А. А. ДЕТЛАФ, Б. M. ЯВОРСКИЙ

НУРС

ФИЗИНИ

(в трех томах)

ТОМ III

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОПТИКА.

АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

Издание третье, переработанное и дополненное

Допущено

Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов втузов

МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1979

ББК 22.34+22.38

Д38

УДК 532.59+535+539.1

Рецензентдокт физ.-мат. наук, проф. И. В. Савельев

Детлаф А. А., Яворский Б. М.

Д 38 Курс физики (в трех томах): Учебное пособие.—3-е изд., перераб. и доп.—М.: Высш, школа, 1979, т. III: Волновые процессы. Оптика. Атомная и ядерная физика.——511 с., ил.

В пер.： 1 р. 20 к.

Настоящая книга является переработанным изданием третьего тома учебного пособия по физике, которое широко используется как основное во многих вузах страны.

При подготовке третьего издания авторы включили в книгу параграф о голографии. Глава о космических Лучах и элементарных частицах дополнена сведениями & последних открытиях в этой области.

Предназначается для студентов втузов.

530.4+535ББк 22.34十22.38530.4+535ББк 22.34十22.3820401—408

530.4+535

ББк 22.34十22.38

530.4+535

ББк 22.34十22.38

Д(m(Qi)Tg 40-791704000000

© Издательство «Высшая школа», 1979

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к третьему изданию 7

ЧАСТЬ VI

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

Глава I. Волновые процессы в упругой среде 8

§1」. Введение 8

Фазовая скорость упругих волн 10

Уравнение волны. Энергия волны 12

Принцип Гюйгенса * 23

Интерференция волн. Стоячие волны 24

Глава II. Основы акустмкм° 33

Основные характеристики звука 33

Эффект Доплера 38

Источники звука 39

Ультразвук 42

Ударные волны 47

Глава Ш. Электромагнитные волны, 50

Некоторые свойства электромагнитных волн 50

Излучение электромагнитных волн 57

Физические основы радиосвязи, телевидения, радиолокации и радиоастрономии 62

Опыты Лебедева. Шкала электромагнитных волн 68

Способы измерения скорости света 70

Глава IV. Прохождение света через границу раздела двух диэлектриков 74

①ормулк ①ренеля 74

Закон Брюстера. Коэффициент отражения света 76

Рефракция света 80

Глава V. Интерференция света 82

Когерентность и монохроматичкость световых волн 82

Некоторые методы наблюдения интерференции света 85

Интерференция света в тонких пленках ,.89

Интерферометры 95

Интерференция многих волн 98

Глава VI. Дифракция света 103

Принцип Гюйгенса — Френеля 103

Дифракция в сходящихся лучах (дифракция Френеля)107

Дифракция в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера) . .109

'•614 4 7358 2 21492 6 67 318 2 р- 12 2 2 2333 4 4555 6 G 6 6 7889 и и t 1 1 11 1 и и 11 1 11 1 1 1 и 11 1 11 11 11'•614 4 7358 2 21492 6 67 318 2 р- 12 2 2 2333 4 4555 6 G 6 6 7889 и и t 1 1 11 1 и и 11 1 11 1 1 1 и 11 1 11 11 118 053 6 65804 7 734736714 00111223333444555662 222 2 22222 2 22222 2 2228 053 6 65804 7 734736714 00111223333444555662 222 2 22222 2 22222 2 2229 9 2 4 626262727279 9 2 4 62626272727

'•614 4 7358 2 21492 6 67 318 2 р- 12 2 2 2333 4 4555 6 G 6 6 7889 и и t 1 1 11 1 и и 11 1 11 1 1 1 и 11 1 11 11 11

'•614 4 7358 2 21492 6 67 318 2 р- 12 2 2 2333 4 4555 6 G 6 6 7889 и и t 1 1 11 1 и и 11 1 11 1 1 1 и 11 1 11 11 11

8 053 6 65804 7 734736714 0011122333344455566

2 222 2 22222 2 22222 2 222

8 053 6 65804 7 734736714 0011122333344455566

2 222 2 22222 2 22222 2 222

9 9 2 4 6

2626272727

9 9 2 4 6

2626272727

Дифракция на пространственных решетках. Дифракция рентгеновского излучения

Голография

Глава VII. Дисперсия, поглощение и рассеяние света" •

Дисперсия света

Взаимодействие света с веществом. Классическая геория дисперсии света х

Поглощение света

Рассеяние света

Излучение Вавилова — Черенкова

Глава VIII. Поляризация света

Элементы кристаллооптики. Двойное лучепреломление

Получение и анализ поляризованного света

Интерференция поляризованного света

Искусственная оптическая анизотропия

Вращение плоскости поляризации

Г лава IX. Оптика движущихся тел м специальная теория относительности

Механический принцип относительности Галилея

Проблема существования эфира

Постулаты специальной теории относительности, Преобразование Лоренца

Важнейшие следствия из формул преобразования Лоренца .・,

Эффект Доплера в оптике

Понятие о релятивистской динамике

ЧАСТЬ VII

ОСНОВЫ АТОМНОЙ физики

Глава X. Тепловое излучение

Тепловое излучение . , * '

Законы теплового излучения абсолютно черного тела

Оптическая пирометрия. Тепловые источники света

Глава XL Основы квантовой оптики

Фотоэлектрический эффект

Другие экспериментальные подтверждения квантовых свойств света

Масса и импульс фотоиа

Эффект Комптона

Корпускулярно-волновая двойственность свойств света

Глава XII. Элементы квантовой мехамикм

Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц вещества

Некоторые свойства волн де Бройля

Вероятностный смысл волн де Бройля

Соотношения неопределенностей Гейзенберга

Уравнение Шредингера

Движение свободной частицы

Электрон в потенциальном «ящике»

Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер

Линейный гармонический осциллятор

Глава ХШ. Строение н линейчатые спектры водородоподобных систем по Бору

Опыты Резерфорда по рассеянию а-частиц веществом

Ядерная модель атома Резерфорда

Линейчатый спектр атома водорода

Теория Бора для водородоподобных систем

Стр.

Экспериментальное подтверждение постулатов Бора. Успехи и затруднения теории Бора 281

Глава XIV. Современные представления о строении и оптических свойствах атомов284

L2'34'5 64 丄 4 11 и —1 11 1 1 §§§§§§L2'34'5 64 丄 4 11 и —1 11 1 1 §§§§§§§ 147 § 14.8.§ 14.9.§ 14.10§14.11Глава§ 147 § 14.8.§ 14.9.§ 14.10§14.11ГлаваВодородоподобная система в квантовой механике Основное состояние атома водорода Пространственное квантование. Спин электрона Принцип Паули Периодическая система элементов Д. И. Менделеева Понятие о линейчатых спектрах атомов с одним валентным электроном Тонкая структура спектральных линий. Векторная модель атома Излучение и поглощение света. Квантовомеханический смысл постулатов Бора Эффект Зеемана ,Понятие о явлениях магнитного резонанса .Рентгеновские лучиXV. Строение и оптические свойства молекул и твердых тел ...Предварительные замечания и общая характеристика химических связей •Ионные молекулы Молеку〃垃 с ковалентной химической связью Расщепление в молекулах энергетических уровней валентных электронов изолированных атомов Молекулярные спектры Закономерности в молекулярных спектрах простейших двухатомных молекулКомбинационное рассеяние света Явление люминесценции Отрицательное поглощение и оптические квантовые генераторы .ЧАСТЬ VIIIВодородоподобная система в квантовой механике Основное состояние атома водорода Пространственное квантование. Спин электрона Принцип Паули Периодическая система элементов Д. И. Менделеева Понятие о линейчатых спектрах атомов с одним валентным электроном Тонкая структура спектральных линий. Векторная модель атома Излучение и поглощение света. Квантовомеханический смысл постулатов Бора Эффект Зеемана ,Понятие о явлениях магнитного резонанса .Рентгеновские лучиXV. Строение и оптические свойства молекул и твердых тел ...Предварительные замечания и общая характеристика химических связей •Ионные молекулы Молеку〃垃 с ковалентной химической связью Расщепление в молекулах энергетических уровней валентных электронов изолированных атомов Молекулярные спектры Закономерности в молекулярных спектрах простейших двухатомных молекулКомбинационное рассеяние света Явление люминесценции Отрицательное поглощение и оптические квантовые генераторы .ЧАСТЬ VIII4 5 7 3 58 8 8 9 92 2 2 2 24 5 7 3 58 8 8 9 92 2 2 2 299012 399012 3о2о147333 3о2о147333 34234234 7 8 2 4 323232^^4 7 8 2 4 323232^^8 14 93 4 4 43 3 3 38 14 93 4 4 43 3 3 3

L2'34'5 6

4 丄 4 11 и —1 11 1 1 §§§§§§

L2'34'5 6

4 丄 4 11 и —1 11 1 1 §§§§§§

§ 147 § 14.8.

§ 14.9.

§ 14.10

§14.11

Глава

§ 147 § 14.8.

§ 14.9.

§ 14.10

§14.11

Глава

Водородоподобная система в квантовой механике Основное состояние атома водорода Пространственное квантование. Спин электрона Принцип Паули Периодическая система элементов Д. И. Менделеева Понятие о линейчатых спектрах атомов с одним валентным электроном Тонкая структура спектральных линий. Векторная модель атома Излучение и поглощение света. Квантовомеханический смысл постулатов Бора Эффект Зеемана ,Понятие о явлениях магнитного резонанса .Рентгеновские лучи

XV. Строение и оптические свойства молекул и твердых тел ...

Предварительные замечания и общая характеристика химических связей •

Ионные молекулы Молеку〃垃 с ковалентной химической связью Расщепление в молекулах энергетических уровней валентных электронов изолированных атомов Молекулярные спектры Закономерности в молекулярных спектрах простейших двухатомных молекул

Комбинационное рассеяние света Явление люминесценции Отрицательное поглощение и оптические квантовые генераторы .

ЧАСТЬ VIII

Водородоподобная система в квантовой механике Основное состояние атома водорода Пространственное квантование. Спин электрона Принцип Паули Периодическая система элементов Д. И. Менделеева Понятие о линейчатых спектрах атомов с одним валентным электроном Тонкая структура спектральных линий. Векторная модель атома Излучение и поглощение света. Квантовомеханический смысл постулатов Бора Эффект Зеемана ,Понятие о явлениях магнитного резонанса .Рентгеновские лучи

XV. Строение и оптические свойства молекул и твердых тел ...

Предварительные замечания и общая характеристика химических связей •

Ионные молекулы Молеку〃垃 с ковалентной химической связью Расщепление в молекулах энергетических уровней валентных электронов изолированных атомов Молекулярные спектры Закономерности в молекулярных спектрах простейших двухатомных молекул

Комбинационное рассеяние света Явление люминесценции Отрицательное поглощение и оптические квантовые генераторы .

ЧАСТЬ VIII

4 5 7 3 5

8 8 8 9 9

2 2 2 2 2

4 5 7 3 5

8 8 8 9 9

2 2 2 2 2

9901

2 3

9901

2 3

о2о147

333 3

о2о147

333 3

4

2

3

4

2

3

4 7 8 2 4 323232^^

4 7 8 2 4 323232^^

8 14 9

3 4 4 4

3 3 3 3

8 14 9

3 4 4 4

3 3 3 3

8 8936168 2 24 ^35353636373737^ ^^8 8936168 2 24 ^35353636373737^ ^^6 9 4 7 0 3 98 8 9 9 0 0 о3 3 3 3 4 4 46 9 4 7 0 3 98 8 9 9 0 0 о3 3 3 3 4 4 4

8 8936168 2 24 ^35353636373737^ ^^

8 8936168 2 24 ^35353636373737^ ^^

6 9 4 7 0 3 9

8 8 9 9 0 0 о

3 3 3 3 4 4 4

6 9 4 7 0 3 9

8 8 9 9 0 0 о

3 3 3 3 4 4 4

ОСНОВЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

Глава XVI. Свойства и строение атомных ядер

Заряд и масса атомных ядер

Спин и магнитный момент ядра

Состав ядра

Энергия связи ядра. Дефект массы

Ядерные силы

Размеры ядер

Модели ядра

Глава XVII. Естественная радиоактивность

Радиоактивные излучения

Закон радиоактивного распада

Правила смещения. Последовательные радиоактивные превращения ядер

Экспериментальные методы наблюдения и регистрации частиц

Закономерности радиоактивного а-распада

Гамма-излучение

Эффект Мёссбауэра

Закономерности 斤радиоактивности

Глава XVIII. Искусственные превращения ядер

Первые ядерные реакции. Открытие нейтрона

Искусственная радиоактивность. е-Захват

罡18222527 ^44444罡18222527 ^4444433363942494 44 4 433363942494 44 4 42223729067 о W 40 24545454646474748^ ^ ^^ ^23729067 о W 40 24545454646474748^ ^ ^^ ^

罡18222527 ^44444

罡18222527 ^44444

3336394249

4 44 4 4

3336394249

4 44 4 4

2

2

23729067 о W 40 24545454646474748^ ^ ^^ ^

23729067 о W 40 24545454646474748^ ^ ^^ ^

Возникновение и уничтожение электронно-позитронных пар ..

Составное ядро. Общая характеристика и примеры ядерных реакций

Прохождение нейтронов через вещество

Ящерные реакции под действием нейтронов

Деление ядер

Энергия активации деления. Спонтанное деление ядер. Особенности деления изотопов урана

Цепная реакция деления

Ядерные реакторы

Термоядерные реакции

Применения радиоактивных изотопов в народном хозяйстве ..

Глава XIX. Космические лучи и элементарные частицы

Предварительные замечания

Космические лучн и их свойства

ц-Мезоны (мюоны) и их свойства

л-Мезоны (пионы) и их свойства

Мягкая компонента космических лучей

К-мезоиы и гипероны. Странность и четность элементарных частиц

Античастицы

Понятие о структуре нуклона

Заключение

Приложение . . .

Международная система единиц

Универсальные физические постоянные

Предметный указатель . , $

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

Третий том курса физики для высших технических учебных заведений написан в соответствии с программой по физике, утвержденной Учебно-методическим управлением по вузам Министерства высшего и среднего специального образования СССР. Третий том охватывает разделы программы, посвященные волновым процессам, оптике, физике атомов и молекул и ядерной физике. В третьем издании книга подверглась существенной переработке. Так, в главу VI «Дифракция света» внесен параграф о голографии; в восьмой части курса «Основы физики атомного ядра -и элементарных частиц» наибольшей переработке подверглась глава XIX «Космические лучи и элементарные частицы».

Как и в предыдущих изданиях третьего тома, в раздел физики твердого тела включены лишь вопросы, связанные с обоснованием расщепления энергетических уровней валентных электронов и возникновения зонного энергетического спектра, а также оптические свойства твердых тел, включая генерацию когерентного света на кристаллах и эффект Мёссбауэра, Остальные вопросы раздела программы «Физика твердого тела», посвященные изучению различных свойств твердых тел, в том числе и полупроводников, рассмотрены в предыдущих двух томах.

Изложение значительной части материала третьего тома связано с большими методическими трудностями. Речь идет о тех разделах физики атома и атомного ядра, которые, как указано в программе курса физики, относятся к определяющим современный уровень развития науки и техники. Авторы в меру своих сил стремились, излагая основные идеи, их физический смысл, методы исследования и результаты, полученные современной физикой, избегать сложного математического аппарата квантовой механики и ядерной физики. При этом было обращено достаточное внимание на преемственность современной и классической физики, непреходящую ценность тех результатов «классики», без усвоения которых трудно проникнуться идеями современной физики, понять ее методы и осмыслить достижения.

В третьем томе главы I—X написаны А. А. Детлафом, главы XI—XIX — Б. М. Яворским.

Авторы отчетливо понимают, что большие трудности, стоявшие перед ними при написании завершающего, третьего тома курса физики, не могли не привести к недостаткам книги, не устраненным в третьем издании. Они заранее благодарны всем, кто сообщит им в издательство «Высшая школа» советы и замечания по этой книге.

Авторы

Часть VI

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

Г л а в а I

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ

Введение

В первом томе курса были рассмотрены простейшие случаи механических колебаний. При этом мы не интересовались теми процессами, которые происходят в среде, окружающей колебательную систему. Результирующее действие среды на систему учитывалось путем введения в уравнение движения системы силы сопротивления (см. т. I, §8.5). Эта сила отождествлялась с силой трения, так как ее действие приводит к уменьшению механической энергии системы и затуханию ее свободных колебаний. Однако такое толкование взаимодействия колебательной системы со средой не полностью отражает истинную картину процессов, происходящих в самой среде. Действительно, если бы это взаимодействие было целиком аналогично трению, то оно должно было бы вызывать только нагревание окружающей среды, т. е. усиление теплового движения ее молекул. На самом деле вследствие передачи энергии колебательной системой среде последняя не только нагревается, но и приходит в механическое движение, совершая вынужденные колебания. В этом легко убедиться, наблюдая образование волн на поверхности жидкости при ударах о нее колеблющегося тела или даже при ее однократном возмущении в результате падения камня. Зритель в театре слышит речь и пение актеров, звучание музыкальных инструментов благодаря доходящим до него колебаниям давления воздуха, создаваемым этими источниками звука.

При изучении закономерностей распространения механических колебаний в газах, жидкостях и твердых телах мы будем отвлекаться от молекулярного строения этих тел и рассматривать их как сплошную среду, непрерывно распределенную в пространстве. Соответственно под частицей среды будем понимать малый элемент ее объема, размеры которого в то же время во много раз больше межмолекулярных расстояний. Даже в наименее плотной среде — газе—межмолекул я р ные расстояния очень малы (порядка 10~8 м при нормальных условиях). Поэтому частицы среды можно приближенно считать точечными.

Упругие свойства среды зависят от ее агрегатного состояния. Например, газы способны сопротивляться изменению их объема — об, ладаютобъемной упругостью. В то же время они беспрепятственно изменяют свою форму, т. е. не обладают упругостью по отношению к деформации сдвига (см. т. I, § 5.2). Аналогичными свой

ствами обладают и жидкости. Твердым телам присуща как объемная упругость, так и упругость формы. В первом приближении все среды (за исключением разреженных газов) можно считать абсолютно упругими, так как внутренние силы, возникающие в них при достаточно малых деформациях, оказываются пропорциональными величинам деформаций.

Тело, колеблющееся в упругой среде, периодически воздействует на прилегающие к нему частицы среды, выводя их из положений равновесия и заставляя совершать вынужденные колебания. При этом среда вблизи тела деформируется и в ней возникают упругие силы. Эти силы действуют как на прилегающие к телу частицы, стремясь возвратить их в положение равновесия, так и на более удаленные от тела частицы, выводя их из положений равновесия. Последние взаимодействуют со следующими частицами и т. д. Таким образом, постепенно все более и более удаленные от колеблющегося тела области среды вовлекаются в колебательное движение.

Механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде, называются упругими волнами. Если эти возмущения, т. е. амплитуды соответствующих им колебаний среды, невелики, то такие упругие волны называются звуковыми или акустическими: при частотах от 16 до 20 000 Гц эти волны, воздействуя на органы слуха человека, вызывают звуковые ощущения (слышимые звуки).

Упругая волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Если же частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны, то такая волна называется поперечной.

Из рассмотренного выше механизма образования упругих волн следует, что поперечные волны могут возникать только в такой среде, которая обладает упругостью формы, т, е, способна сопротивляться деформации сдвига. Поэтому поперечные волны могут существовать лишь в твердых телах. Таковы, например, волны, распространяющиеся вдоль струн музыкальных инструментов. Исключением являются волны, образующиеся на свободной поверхности жидкости или на поверхности раздела двух несмешивающихся жидкостей, имеющих различные плотности. Особые свойства поверхностных волн объясняются тем, что в их распространении определяющую роль играют силы тяжести и поверхностного натяжения в жидкости. При этом частицы жидкости одновременно совершают продольные и поперечные колебания, описывая эллиптические или более сложные траектории.

Продольные волны связаны с объемной деформацией среды. Поэтому они могут распространяться как в твердых телах, так и в жидкостях или газах. Примером продольных волн являются звуковые волны в жидкостях и газах. Они представляют собой колебания давления, распространяющиеся в этих средах.

Подчеркнем, что в отличие от других видов механического движения среды (например, ее течения) распространение у прУ г их волн в среде не связано с переносом Вещества.

Фазовая скорость упругих волн

Найдем выражение для скорости и распространения продольных упругих волн в однородной газообразной или жидкой среде. Ради простоты будем считать, что среда находится внутри бесконечно длинного цилиндрического сосуда под невесомым поршнем, движущимся в момент времени t со скоростью и「 Пусть за малое время dt скорость поршня изменится на величину dvt. Соответственно на du】 изменится и скорость той части среды, на которую распространяется за время dt возмущающее действие поршня, т. е. прилегающего к поршню слоя среды толщиной vdt и массой d/n=pSudf (р ——плотность среды, S — площадь поршня). По второму закону Ньютона, изменение импульса этой массы среды равно

pSudfds =dpSdt.(1.1)

Здесь dp — изменение давления поршня на среду, которое можно найти по закону Гука для объемной деформации:

dp = — K 孚，(1.2)

где К ——модуль объемной упругости среды, a dV/V ——ее относительная объемная деформация. Объем среды, подвергающейся деформации за время dt, V^=vSdtf а деформация этого объема d]/=——dv^di (знак минус показывает, что при увеличении скорости поршня среда сжимается, а при уменьшении — расширяется). Таким образом, закон Гука (1.2) можно переписать:

dp = K 粤.(1.2，)

Подставив это значение dp в (1.1), найдем выражение для скорости распространения продольных упругих волн:

и = УК/р.(1.3)

Заметим, что при выводе формулы (1.3) предполагалось, что плотность среды р—const. В случае упругих волн в газах это условие соблюдается, если избыточное давление во много раз меньше равновесного давления невозмущенного газа.

Путем аналогичных рассуждений можно показать, что скорость распространения поперечных упругих волн в неограниченной изотропной твердой среде равна

и = 1/丽(1.4)

где G — модуль сдвига среды, р — ее плотность.

Распространение продольных волн в достаточно тонком стержне связано с его продольным растяжением и сжатием. Поэтому скорость таких волн оказывается равной

и = 1/■丽(1.5)

где Е — модуль Юнга материала стержня*

Упругие свойства и плотность твердых тел и жидкостей зависят от их химического состава и мало изменяются при различных давлениях и температурах. Следовательно, в первом приближении можно считать, что скорость упругих волн в каждой из этих сред постоянна.

Иная картина наблюдается в газах. Рассмотрим в качестве примера идеальный газ. Плотность идеального газа g=p\i!RT, где R — универсальная (молярная) газовая постоянная; р, 7 н 科 —— соответственно давление, абсолютная температура и молярная масса газа. Для нахождения модуля объемной упругости К газа воспользуемся формулой (1.2):

Значение производной dp/dV существенным образом зависит от вида процесса объемной деформации газа. Рассмотрим два предельных случая: изотермический и адиабатический процессы. Первый реализуется при очень медленной деформации газа, т. е. при очень малой частоте колебаний среды, второй —— при очень быстрой деформации, т. е. при достаточно большой частоте колебаний среды. Частота вынужденных колебаний произвольной системы равна частоте вынуждающей силы (см, т. I, § 8.6). Поэтому колебания среды при распространении в ней упругих волн совершаются с той же частотой, называемой частотой волны, что и колебания источника волн.

Связь между давлением и объемом идеального газа в изотермическом процессе выражается законом Бойля——Мариотта pV=const. Дифференцируя это равенство, получаем

dp-V + p-dV^=0, или (窮•

Таким образом,

Подставив этот результат в формулу (1.3), найдем скорость упругих волн в идеальном газе при изотермическом процессе деформации: %з = Р^¥・(1.6)

В случае адиабатического процесса справедливо уравнение Пуассона [см. т. I, (10.17)] pVK = const, где x=cp/cv ——отношение удельных (или молярных) теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме. Дифференцируя уравнение Пуассона, получаем

dpVH H-xpV^-1 dV = 0, откуда (黑)=一岑・

Поэтому глКал

Скорость упругих волн в идеальном газе при адиабатическом процессе деформации

%л = VkRT瓜.(1.7)

Из формул (1.6) и (1.7) следует, что скорость упругих волн в идеальном газе пропорциональна корню квадратному из отношения абсолютной температуры газа к его молярной массе. Однако числовое значение этой скорости при прочих равных условиях зависит от характера процесса объемной деформации газа, т. е. от частоты упругих волн. Это явление называется дисперсией волн.

Опыты показывают, что скорость распространения слышимых звуковых волн в газах практически не зависит от частоты и соответствует формуле (1.7), если только плотность газов не слишком велика. Рассмотренная нами скорость и распространения упругих волн называется фазовой скоростью. Причина такого названия будет пояснена в следующем параграфе.

Уравнение волны. Энергия волны

Основной задачей изучения волн является выяснение закона изменения во времени и пространстве физических величин, однозначно характеризующих тот или иной тип волнового движения. В случае упругих волн такой величиной может, например, служить смещение s малых по объему участков среды («частиц среды») относительно их положений равновесия. Зависимость s от пространственных координат и времени называется уравнением волны.

Простейшим типом волн являются так называемые синусоидальные (гармонические) волны, при которых величины s для всех точек среды, охваченной волновым движением, совершают гармонические колебания одинаковой частоты. Для существования упругих сину- 0Мсоидальных волн необходимо, чтобы ис-

丁 —・；^аХ Точник волн совершал незатухающие,

гармонические колебания.

Рис. 1.12. Рассмотрим случай одномерной

волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ и возбуждаемой источником, находящимся в точке О (рис. 1.1). Такая волна распространяется, например, в бесконечной натянутой упругой нити, один из концов которой приводится в колебательное движение. Пусть колебания в точке О происходят по закону

s0~ A Q&in(o}t+a)f

где Л о, о), а — соответственно амплитуда, циклическая частота и начальная фаза колебаний. Тогда колебания s в произвольной точке М оси ОХ отстают по фазе от s0：

s~A sin [s(方一厶)+©],(1.8)

где fi=%/u—— время, необходимое для прохождения волной расстояния 0М~х, и А — амплитуда колебаний в точке М, называемая амплитудой волны. Если рассеяние энергии колебаний в среде отсутствует, то амплитуда Л волны в точке М должна быть равна Ло. Формулу (1.8) можно переписать в таком виде:

s—A sin [(&)/—2лх/иГ)Н-сс],(1.9)

где Т=2л/①—период колебаний. Введем следующие обозначения:

K^=vT ~v!vf(1.10)

к=2л/九=s/u,(1-11)

где v—1/Т ——частота колебаний.

Тогда формулу (1.9) можно переписать в таком виде:

s = 4 sin[(s为—2Л%/%)+ 囱=4 sin [((a/—汇尤)+闵.(19)

Выражения (1.9) и (1・9‘)——различные формы записи уравнения одномерной волны. Аргумент синуса в формулах (1.9) и (1.9'), представляющий фазу колебаний величины s в произвольной точке М, обозначается через ①§ и называется фазой волны в этой точке. Из (1.9') следует, что колебания в произвольной точке М оси ОХ отстают по фазе от колебаний в точке О на кх. Величина ——кх+а представляет собой начальную фазу колебаний в точке М. Разность фаз волны в двух различных точках Mi и М^ координаты которых хх и х3, равна разности начальных фаз колебаний в этих точках:

[(o)f—/сх工)+а] — [(ю/—/CQ)+a](%z—石)*

Если эта разность кратна 2乳：

к%—х0=2л/г (м=士 1; 士2; 士3;…)，(1.12)

то

sin [®方一K%0+a]=sin 1(成一^X2)+ct] и

cos [(sf—Oi)+a]=cos [(sf—к%2)+а].

Иными словами, колебания величины s и всех ее производных по времени в точках Mi и М^ будут происходить так же, как если бы фазы колебаний в этих точках были в точности равны. Поэтому говорят, что колебания в точках Mi и M2i координаты которых удовлетворяют условию (1.12), совершаются в одной фазе.

Расстояние между двумя ближайшими точками среды, для которых разность начальных фаз колебаний равна 2л, называется длиной волны. Длина волны является одной из основных характеристик синусоидальных волн. Из (1.12) и (1.11) следует, что длина волны равна Л.

Заметим, что формулы (1.9) и (1.10) получены для случая волн, возбуждаемых в упругой среде источником, совершающим гармонические колебания около неизменного (по отношению к не- ©озмущенной среде) положения равновесия. Вопрос о влиянии движения источника относительно среды на длину волн, возбуждаемых им в этой среде, рассмотрен в § 2.3.

Введенная выше величина ^=2лA, показывающая, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной 2л, называется волновым числом.

Геометрическое место точек среды, для которых в рассматриваемый момент времени фаза волны имеет одно и то же значение, называется волновой поверхностью или фронтом волны. В случае одномер-

ной синусоидальной волны уравнение волновой поверхности имеет следующий вид:

①方一кх+а=Ф3.(1.13)

Этому условию в каждый момент времени удовлетворяет только одна точка оси ОХ, координата которой

х=(М+а—Ф5)/к.

Различным значениям фазы волны Ф3 соответствуют различные волновые поверхности, каждая из которых в одномерных волнах вырождается в точку. Из последней формулы видно, что волновые поверхности с течением времени перемещаются в среде со скоростью

dx dTdx dT3 入3 入—=у-—v.—=у-—v.(1.13')(1.13')

dx dT

dx dT

3 入

3 入

—=у-—v.

—=у-—v.

(1.13')

(1.13')

Таким образом, для синусоидальных волн скорость движения волновой поверхности совпадает со скоростью и распространения волны. Этот результат и явился причиной того, что скорость и была названа фазовой скоростью волны.

Предположим теперь, что источником волн в безграничной упругой среде является колеблющаяся вдоль оси ОХ и перпендикулярная ей пластина АВ (рис. 1.2), поперечные размеры которой можно считать бесконечно большими. Обозначим через So смещение точек пластины АВ и прилегающих к ней частиц среды из положения равновесия. Пусть пластина АВ совершает гармонические колебания с циклической частотой со, амплитудой 4q н начальной фазой а:

ss=24osin(o)/+a).

Тогда в среде распространяется продольная синусоидальная волна той же частоты. Если среда однородна и изотропна, то из соображений симметрии очевидно, что вынужденные колебания всех частиц среды, удаленных от пластины АВ на одинаковые расстояния, должны быть совершенно идентичными, т. е. амплитуды и начальные фазы колебаний таких частиц одинаковы. Иными словами, волновые поверхности имеют вид параллельных плоскостей, расположенных перпендикулярно оси ОХ —— направлению распространения волны. Такие волны называются плоскими.

Картина распространения плоских волн демонстрируется с помощью так называемой волновой ванны, представляющей собой длинный невысокий стеклянный сосуд с основанием прямоугольной формы и пологими стенками . В ванну наливают тонкий слой жидкости, в которую погружают длинную линейку, параллельную короткой стороне основания ванны. Если линейку заставить совершать гармонические коле-

бания в вертикальном направлении, то по поверхности жидкости будет распространяться волна ——система гребней и впадин, параллельных плоскости линейки. Ванна снизу освещается. Так как условия прохождения света через различные области гребней и впадин неодинаковы, то в проходящем свете отбрасываемом с помощью зеркала на экран, наблюдается система движущихся светлых и темных полос, параллельных линейке. Мгновенный фотоснимок этой

картины изображен на рис. 1.3.ВГМГМЮПИПЯПИГ

Колебания в точках среды, отстоящих |

от плоскости АВ на расстоянии /, так же | как в случае одномерной волны, отстают по I фазе от колебаний источника волн на к/:|

s~A sin (со/—^Z+a),

причем если нет рассеяния энергии волны в среде, то, как будет показано ниже, Д=А0. Для точек пространства, лежащих | ||| ( I

правее плоскости АВ,尤＞0 и /=х, а для

точек» лежащих левее этой плоскости, xVOРис- L3

и /———％. Поэтому уравнение плоской вол

ны, распространяющейся от плоскости АВ (х=。) вдоль п о л о ж и^ тельного направления оси ОХ, имеет вид

s=A sin (со/—кх+а).(1.14)

Уравнение плоской волны, распространяющейся в противоположном направлении, отличается от (1.14) только знаком второго члена фазы:

s=A sin (со^+о+а).(1.14‘)

В общем случае положение источника АВ плоских волн может не совпадать с координатной плоскостью %=0. Тогда уравнения волн, распространяющихся вправо и влево от плоскости АВ, имеют вид

s = Л sin \&t—K (х—х^ + а],]

s= 4 sinW + к (х—&) + 叫，I(. )

где х0— координата плоскости источника волн.

Основываясь на формуле Эйлера

е^ = cos р-р г sinр,

где i = ]/—1—— мнимая единица, уравнение плоской волны часто записывают в так называемой экспоненциальной (показательной) форме:

М=方В [КГ-叫.(1.15)

В этом уравнении к ——волновой вектор, численно равный волновому числу к=2л;/九 и направленный в сторону распространения волны; г — радиус-вектор рассматриваемой точки; Л ——комплексная амплитуда волны: A~A^ibt где 3工“一л/2, а а — начальная фаза колебаний в начале координат, т. е. в точке 尸=0. Выражение (1.15) удобно для дифференцирования, однако физический смысл в нем имеет только действительная (вещественная) часть, которую принято обозначать

символом Re, т. е. s=Re(s). Поэтому, пользуясь (1.15) для нахождения какой-либо характеристики волны, нужно после выполнения всех математических операций отбросить мнимую часть полученного комплексного выражения. Так, например, для плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ, скалярное произведение кг=кх и

s = Лег <^-«0 = /и 依丈-亚一 ％(1.15')

т. е.

s = Л [cos (кх—sf—6) +1 sin (ky—sf —6)] и

s— Re (s) — A cos {kx—sf—6) — A sin (①力一长光 + 冗/2 + 6)=~ Л sin (w^—/а + а).

Последнее выражение действительно совпадает с формулой (1.14).

Найдем изменение энергии малого объема dV упругой среды, связанное с распространением в среде плоской волны, которая задана уравнением (1 14), где s — смещение частиц из положения равновесия. Ввиду малости объема dV можно считать, что все находящиеся в нем частицы среды колеблются в одной фазе, так что их скорости одинаковы и равны v^ds/dt. Поэтому кинетическая энергия объема dV среды, соответствующая колебательному движению, равна

dWK = 1/2Ui dm = i/gpu； dV,

где p —— плотность среды. Из (1Л4) следует, что Ui=4(о cos((of— —кх+сс). Поэтому

dWK = 1/2pAW dV cos2 (sf—кх + a).(1,16)

Подсчитывая работу деформации объема dV среды при волновом движении (деформации сдвига в случае поперечной волны и деформации объемного сжатия в случае продольной волны), можно показать, что потенциальная энергия dWn объема dV среды равна его кинетической энергии:

dWn = dWK = Урке? dV cos2 (&)/—кх + a).(1.17)

Полная механическая энергия dW элементарного объема dV упругой среды равна сумме его кинетической и потенциальной энергий:

dr-=drK + drn = pA2w2dVcos2 ^t—кх + а).(1.18)

Объемная плотность энергии волн в упругой среде

Из (1.18) следует, что объемная плотность энергии плоских синусоидальных волн

ар—рД2о)2 cos2((o/—кх+a).(1.20)

Из формулы (1.17) видно, что при плосковолновом движении упругой среды кинетическая и потенциальная энергии каждого малого

участка среды являются одинаковыми периодическими функциями фазы волны и пропорциональны произведению плотности среды на квадрат амплитуды и квадрат циклической частоты колебаний. Поэтому полная энергия колебаний произвольного элемента dV упругой среды и объемная плотность этой энергии также пропорциональны плотности среды, квадрату амплитуды и частоты колебаний и зависят от фазы волны, т. е. являются периодическими функциями Координаты х и времени. Эта закономерность справедлива для любых упругих волн 1, так как связана только с механизмом распространения колебаний в упругой среде и не зависит ни от формы волновых поверхностей, ни от типа деформации среды. Весьма существенно, что при волновом движении полная энергия колебаний каждого малого участка упругой среды периодически изменяется во времени. В этом состоит принципиальное отличие волнового движения от рассмотренных в гл. VIII первого тома свободных механических колебаний консервативной системы, полная энергия которой н е зависит о т времени, так как значения ее кинетической и потенциальной Энергии колеблются в противоположных фазах.

Распространение волн в неограниченной упругой среде представляет собой вовлечение в колебательное движение все более и более удаленных от источника волн областей среды. На это необходимо затрачивать энергию, доставляемую источником волн. Следовательно, р аспростр анение волн в упругой среде неразрывно связано с процессом передачи энергии от одних участков среды к другим. Именно поэтому при волновом движении объемная плотность энергии колебаний в каждой точке среды изменяется во времени.

Скорость и распространения энергии волны равна скорости перемещения в пространстве поверхности, соответствующей максимальному значению объемной плотности энергии w. В случае плоской синусоидальной волны, как видно из формулы (1.20), уравнение одной из поверхностей ш=шмакс имеет вид

①方一о + a ~ 0,

а скорость ее перемещения

Таким образом, в случае плоской синусоидальной волны скорость распространения энергии совпадает с фазовой скоростью волны. В теории волн доказывается, что этот результат справедлив для любых синусоидальных волн независимо от формы их волновых поверхностей.

Для характеристики процесса переноса энергии волнами вводится понятие о потоке энергии. Потоком энергии ①伊 сквозь какую-либо поверхность площадью S называют отношение энергии dWf передаваемой через эту поверхность за малое время 力，к значению

1 Заметим, что в общем случае амплитуда и фаза волны являются функциями не одной, а всех трех пространственных координат xt if и г.

этого промежутка времени:этого промежутка времени:ФФ(1 21)(1 21)

этого промежутка времени:

этого промежутка времени:

Ф

Ф

(1 21)

(1 21)

Найдем поток энергии плоской синусоидальной волны, заданной уравнением (1.14), сквозь плоскую поверхность, перпендикулярную направлению распространения волны. За время dt через эту поверхность площадью S переносится энергия dW, заключенная в прилегающем к ней слое среды толщиной и Л: dW=wSudt, Поэтому искомый поток энергии

0>» = gS〃(1.22)

В общем случае поверхность может иметь произвольную форму и ориентацию по отношению к направлению распространения волны. При этом потоки энергии через различные участки поверхности, имеющие одинаковые площади, оказываются, вообще говоря, не равными. Поэтому возникает необходимость введения новой физической величины —плотности потока энергии волны. Плотностью потока энергии волны называют вектор U, направленный в сторону распространения волны и равный по модулю отношению потока энергии dS^ сквозь малый элемент площади dS поверхности к площади dS^ проекции этого элемента на плоскость, перпендикулярную направлению распространения ВОЛНЫ'

dSdS 丄

Так как за время dt сквозь площадку

Рис 1 4dS переносится энергия, заключенная внут

ри заштрихованного на рис. 1.4 косого цилиндра, объем которого равен udtdS^, то dQ^ —wudS^,

U = ®〃，U = 5u.(1.23')

Таким образом, вектор плотности потока энергии волны равен произведению вектора скорости распространения энергии волны и ее объемной плотности. Для упругих волн этот вектор был впервые введен в 1874 г Н. А. Умовым и называется вектором Умова.

Так как поток энергии 或％ сквозь элемент dS поверхности равен d①的—U dS^ = Un dS = apun dS,

где n — единичный вектор нормали к элементу dS поверхности S, то полный поток энергии сквозь всю поверхность S равен

①的=j U dS] = § wundS.(1 22')

Эта формула справедлива для потока энергии волн любого типа, так как при ее выводе мы не делали никаких предположений относительно природы волны и формы ее волновых поверхностей.

Рассмотрим еще один простейший тип волн в упругой среде. Пусть источником волн в однородной, изотропной и безграничной

среде является сфера радиуса R, все точки которой совершают синхронные гармонические колебания вдоль прямых, соединяющих эти точки с центром сферы. Тогда смещения s0 точек сферы из положения равновесия изменяются по закону

sQ=Aosin (①方+a).

Если радиус R сферы неограниченно уменьшать, то в пределе можно говорить о точечном источнике волн.

Из соображений симметрии очевидно, что в этом случае в среде распространяется сферическая волна, так как волновые поверхности должны иметь форму сфер, концентричных поверхности источника волн. Ясно также, что амплитуды А колебаний во всех точках среды, отстоящих от центра источника на расстоянии г, должны быть одинаковыми. Поэтому уравнение сферической волны имеет вид

s = Л sin Is方一&(尸一R) + cd,(1.24)

где амплитуда А, как мы увидим дальше, зависит от 尸.

Для случая точечного источника волн (R = 0)

s = 4 sin(sf — кг 4- а).(1.24')

Уравнение (1.24) может быть записано в форме (1.24'):

s = A sin (о>/ — кг + ai),(1.24//)

где ai=cc+KR.

Примером сферических волн являются звуковые волны, возбуждаемые колеблющимися телами, размеры которых достаточно малы.

О характере распространения сферических волн можно до некоторой степени судить, наблюдая с помощью описанной выше волновой ванны распространение круговой волны, возбуждаемой па поверхности жидкости колебаниями небольшого шарика. Мгновенный фотоснимок этой волны показан на рис. 1.5.

При распространении плоской волны за равные промежутки времени в колебательное движение вовлекаются равные объемы среды. Именно поэтому амплитуда плоской волны для всех точек одинакова, если только в среде не происходит рассеяния энергии, т. е. преобразования энергии колебаний в другие формы энергии. Иначе обстоит дело в случае сферической волны — по мере удаления фронта волны от источника за равные промежутки времени в колебательное движение вовлекаются все возрастающие объемы среды. Следовательно, в отличие от плоских волн амплитуда сферической волны должна уменьшаться при увеличении расстояния от источника волны. Оказывается, что в случае отсутствия рассеяния энергии в среде амплитуда 4 сферической волны изменяется по следующему закону:

力=竽=?,(1.25)

где о。一 величина, численно равная амплитуде волны в точках среды, находящихся на расстоянии г=1 м от источника волны.

Поэтому уравнение незатухающей сферической волны имеет такой вид:

s = у- sin [sf — & (尸一R)+a]. (1.26)

По мере увеличения радиуса кривизна волновой поверхности сферической волны уменьшается. Поэтому достаточно далеко от источника сферическую волну можно рассматривать как плоскую волну.

До сих пор мы изучали только синусоидальные волны, для возбуждения которых необходимо, чтобыг источник волн совершал незатухающие, гармонические колебания. В действительности все реальные источники не удовлетворяют этому условию хотя бы потому, что обладают конечным запасом энергии и, следовательно, колеблются не бесконечно долго, а в течение ограниченного промежутка времени. Следовательно, все реальные волны в той или иной степени отличаются от синусоидальных. В связи с этим естественно возникает вопрос: применимы ли к реальным волнам соотношения, справедливые для синусоидальных волн? Подробное рассмотрение этого вопроса достаточно сложно и выходит за рамки нашего курса. Поэтому мы лишь приведем без доказательства некоторые основные результаты.

Оказывается, что любая несинусоидальная волна может быть заменена эквивалентной ей системой синусоидальных волн. Такое представление называется спектральным анализом несинусоидальной волны. Совокупность значений амплитуд, начальных фаз и частот эквивалентной системы синусоидальных волн называется спектром соответственно амплитуд, начальных фаз и частот рассматриваемой несинусоИ' дальней волны. Спектр частот может быть как дискретным, или линейчатым (конечным или бесконечным), т. е. представляющим множество отдельных различных значений, так и непрерывным, или сплошным.

Опыты показывают, что волны распространяются в среде независимо друг от друга, так что результирующее смешение любой частицы среды равно векторной сумме ее смещений, обусловленных каждой из волн в отдельности. Этот закон справедлив для волн любой природы и называется принципом суперпозиции волн L

Закономерности распространения несинусоидальных волн в среде сравнительно просты только в тех случаях, когда либо нет дисперсии волн, либо волна мало отличается от синусоидальной (квазисинусоидальная волна). Квазисинусоидальная волна представляет собой совокупность синусоидальных волн, частоты которых мало отличаются от некоторой основной частоты о). Такую несинусоидальную волну называют группой волн или волновым пакетом.

1 Принцип суперпозиции выполняется только для так называемых линейных сред, распространение волн в которых не зависит от интенсивности этих волн Применительно к упругим волнам среду можно считать линейной, если ее деформации в процессе волнового движения подчиняются закону Гука,

В качестве примера рассмотрим простейший волновой пакет, образованный двумя плоскими продольными синусоидальными волнами, распространяющимися вдоль оси ОХ. Пусть амплитуды этих волн одинаковы, начальные фазы ai=a2=Ot а частоты и волновые числа несколько различны, но близки друг к другу:

S]=4o sin（3]/—长iX）, Sz^^^oSin（co2f—&必）.

Для результирующей волны

5=5工+$2 = 20即05 （а（о方一акт） sin （①方--Кt）,

где （0=（（01+（02）/2, As=（o）2-铀）/2,长=（心+К力/2 и а?e=（к2—电）/2.

Таким образом, результирующая волна является плоской волной, циклическая частота со и волновое число к которой равны полусумме соответственно циклических частот и волновых чисел синусоидальных волн, образующих пакет. Однако амплитуда А этой волны не постоянна, а зависит от координаты к и времени:

4 —2X0cos（A（oZ—Акх）.

Полученное выражение для амплитуды волнового пакета само по себе является уравнением плоской синусоидальной волны ——волны амплитуды колебаний, фаза которой

①а=А（о£—Акх.

dx Дюили в пределе, когда Аз, а следовательно, и Ак стремятся к нулю,dx Дюили в пределе, когда Аз, а следовательно, и Ак стремятся к нулю,（1-27）（1-27）Выше было показано, что объемная плотность ш энергии волны пропорциональна квадрату амплитуды этой волны. Следовательно, скорость 〃 распространения энергии волнового пакета, которая, по определению （см, п. 7）, равна скорости перемещения поверхности 侬н%лакс，совпадает с фазовой скоростью волны амплитуды. Дифференцируя выражение для Фл в предположении, что ①幺=const, получаем

dx Дю

или в пределе, когда Аз, а следовательно, и Ак стремятся к нулю,

dx Дю

или в пределе, когда Аз, а следовательно, и Ак стремятся к нулю,

（1-27）

（1-27）

Эту формулу преобразуем, учитывая, что к=2л/% и d/c=——2л d九/九F

'—2n Ж *

Так как 0）=亍=才，где 口一фазовая скорость волны, то ds 2m , 2n dv

и

“ =v―入第（L28）

Скорость и называется групповой скоростью пакета волн. В случае отсутствия дисперсии волн в среде （т. е. когда du/dX=0） их фазо-

вые скорости о одинаковы и не зависят от X. Поэтому в таких средах групповая скорость волн совпадает с их фазовой скоростью.

В заключение этого параграфа необходимо сказать несколько слов о так называемом волновом уравнении— дифференциальном уравнении волнового движения. Это уравнение имеет следующий вид:

0.0.(1-29)(1-29)

0.

0.

(1-29)

(1-29)

Его можно вывести нз уравнения (1.26) для синусоидальной сферической волны. В самом деле, величина s зависит от времени Е и, кроме того, является неявной функцией декартовых координат х, у, г, так как г — )/ 7匸^炉十镇.Легко показать, что

иигдегдеss(1.30)(1 31)(1-32)(1.30)(1 31)(1-32)

и

и

где

где

s

s

(1.30)

(1 31)

(1-32)

(1.30)

(1 31)

(1-32)

—волновое число. Таким образом,

-^-^Kvs=v(1-33)

Отсюда непосредственно следует волновое уравнение (1.29). Легко проверить, что выражение (1.14) для плоской волны также удовлетворяет этому уравнению. Можно показать, что уравнение (1.29) справедливо для любых волн, распространяющихся в однородной и изотропной среде, в которой отсутствуют рассеяние энергии и дисперсия волн. Однако в общем случае для характеристики направлений колебания частиц среды нужно пользоваться не скалярной, а векторной функцией s. Поэтому вместо одного волнового уравнения (1.29) приходится рассматривать аналогичные уравнения для каждой из трех проекций, вектора s на координатные оси OX, 0Y и 0Z.

Волновое уравнение (1.29) обычно записывают в следующей символической форме:

02s

As — -V^4=0,(1.2У)

@2@2@2

где A="g^y-|^т+"^——так называемый оператор Лапласа [часто его обозначают также через (;, у) или v2]-

В каждой конкретной задаче для нахождения однозначной зависимости s от координат и времени с помощью волнового уравнения (1.29) необходимо еще задать

условия однозначности:

начальные условия, т. е. зависимость s от координат в начальный момент времени /=0;

граничные условия, т. е. закон колебаний частиц среды, прилегающих к поверхности источника волн, а также закономерности отражения и поглощения волн на границах среды.

Точное решение этой системы уравнений в большинстве случаев сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому в физике широко применяются различные приближенные методы решения таких задач.

Принцип Гюйгенса

Голландским физиком X. Гюйгепсом был предложен (1690) простой способ нахождения волновой поверхности S(f+Af) в момент времени f+Af, если известно ее положение S (/) в момент времени t. Этот способ называется принципом Гюйгенса. Он основан на предположении о том, что в интервале времени от / до /~ЬА/ каждую точку фронта волны S (/) можно рассматривать как источник вторичных волн. В однородной изотропной среде волновые поверхности вторичных волн в момент времени t+^t имеют вид сфер радиуса 必力(рис. 1.6), центры которых лежат на поверхности SQ). По принципу Гюйгенса, огибающая этих сфер указывает положение в момент времени f+А/фронта S (f+Af) действительно распространяющейся волны. При этом огибающую нужно строить только по ту сторону от волновой поверхности S (0，в которую распространяется рассматриваемая волна.

Принцип Гюйгенса является чисто геометрическим способом построения волновых поверхностей. Он никак не связан с физической природой волн и в равной

мере применим как к упругим, так и к электромагнитным волнам.

Пользуясь принципом Гюйгенса, можно получить законы отражения волн от границы раздела двух сред и преломления волн при переходе из одной среды в другую.

Пусть на плоскую границу M^ раздела двух сред / и 2 падает плоская волна, распространяющаяся вдоль направления КА (рис. 1.7). Угол t между КА и перпен

дикуляром Я£ к плоскости MN называется углом падения. В изображенный на рисунке момент фронт АВ падающей волны достиг отражающей поверхности в точке Д. Следовательно, эта точка начинает излучать вторичную волну. За время St=\BC\/v прохождения падающей волной расстояния ВС фронт вторичной волны, распространяющейся в первой среде, достигает точек полусферы, радиус которой |А£)|=иД^— |ВС|. Положение фронта отраженной волны в этот момент времени изобразится в соответствии с принципом Гюйгенса плоскостью CD, а направление распространения этой волны — лучом ДР. Угол f между нормалью АЕ п лучом AD называется углом

отражения. Из равенства треугольников АВС и ADC следует закон отражения волн: угол отражения tr равен углу падения 1.

Аналогичным образом выводится и закон преломления воли при переходе из одной среды в другую (рис. 1.8). Пусть скорость распространения волны в первой среде bi, а во второй v2. Тогда за время At прохождения падающей волной расстояния ВС в первой среде (Ы=\ВС\!-о^ фронт вторичной волны, возбуждаемой во второй среде точкой Л, достигнет точек полусферы» радиус которой \AD\—v^t= (^/^i) |^С|.

В соответствии с принципом Гюйгенса фронт результирующей преломленной волны, распространяющейся во второй среде, изображается плоскостью CD, а направление ее распространения — лучом AD. Угол г между лучом ДО и продолжением нормали АЕ называется углом преломления. Из прямоугольных треугольников АВС и ADC следует, что |ВС|=|ЯС[ sin / и |ЛД|=|ДС| sin г, или

Таким образом, справедлив закон преломления волн: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению фазовых скоростей волны в первой и второй средах.

Величина п21—sin t/sin г называется относительным показателем преломления второй среды по отношению к первой. Таким образом, из принципа Гюйгенса вытекает, что

(1.35)(1.35)Я 21 = ^1/^2*

(1.35)

(1.35)

Подчеркнем, что все полученные закономерности справедливы только для изотропных сред, в которых скорости волн ие зависят от направления их распространения. В противном случае вторичные волны не будут сферическими (см. § 8.1),

Интерференция волн. Стоячие волны

Рассмотрим более подробно вопрос о наложении

синусоидальных волн, возбуждаемых в однородной и изотропной среде точечными источниками Sx и S2 (рис. 1.9), циклические частоты гармонических колебаний которых равны й)х и о)2, а началь-

Рис. 1.10Рис. 1.10

Рис. 1.10

Рис. 1.10

ные фазы — соответственно м н %・ Пусть вызываемые ими колебания в произвольной точке М одинаково направлены и удовлетворяют уравнению (1.26):

& =?sin(0)^—k^j 4-aJ = Л! sinOv

s2 = -r- sin ®J—%% 十％)=儿 sin ①"

1 2

По принципу суперпозиции, результирующее колебание в точке М описывается формулой s^St+s^A sind). Для нахождения Лиф воспользуемс兄 методом векторных диаграмм (рис. 1.10), рассмотрен-

(1.36)(1-37)(1.36)(1-37)ным в § 8.3 первого тома. Из рис. 1.10 следует, что 匿=& + d + 244 cos (Ф?—©3 忙 ф = 4 sin ① 1 + 4 sin ①2

(1.36)

(1-37)

(1.36)

(1-37)

吕 一 Дх cos Oi + Л2 cos Ф2'

Возможны два случая:

разность фаз волн Ф2—① i в точке М изменяется с те- ч е н и е м времени; такие волны и возбуждающие их источники Si и S2 называются некогерентными;

разность фаз волн Ф2—①工 н е зависит о т времени; такие волны и возбуждающие их источники называются когерентными.

По формуле (1.11), k=s/u, где и — фазовая скорость волны. Поэтому

Ф^—Фх — (со2 — сох) t —(吗—①工 ^") +(%—ai)-(1.38)

Второй и третий члены правой части этого равенства не зависят от времени. Поэтому две синусоидальные волны когерентны, если их частоты одинаковыr и некогерентны, если их частоты различны.

Из формулы (1.36) следует, что при наложении некогерентных синусоидальных волн амплитуда 4 результирующих колебаний в произвольной точке М среды зависит от времени, т. е. результирующие колебания негармонические. Амплитуда 4 изменяется в пределах от |Л1——4』До Л1+Л2, причем циклическая частота колебаний амплитуды 4 совпадает с циклической частотой изменения Ф2——Ф1, т. е. равна |(о2—wij. Если эта частота достаточно велика, то любой регистрирующий прибор не будет успевать реагировать на изменения величины Л, т. е. будет показывать лишь некоторое ее среднее значение.

Найдем среднее значение <Л2> квадрата амплитуды за время, равное периоду т ее изменения:

<Д2> = -~^A4t ^^[Al+ Al + 2A1Azcos (R -① J] df, Оо

о

Так как за время т разность Ф2—Фх изменяется на 2л, то

J cos (Ф2—①Jdf = O и о

〈平〉=尧十尚，(1.39)

Таким образом, при наложении некогерентных волн среднее значение квадрата амплитуды результирующей волны равно сумме квадратов амплитуд исходных волн.

Можно показать, что в согласии с законом сохранения энергии при наложении некогерентных волн происходит суммирование их энергий.

Иначе обстоит дело при наложении когерентных волн. Полагая в формуле (1.38) о^ог^о и учитывая, что при этом в однородной и изотропной среде Vi—v2—получаем

①2-①1=一^"(『2 - Q)+ (a2-%)=一k(Г2 一厂 i) + 3一aj.

Поэтому формулу (1.36) можно переписать в таком виде:

А2 А1 + А1 + 2А1А2т^[к (% —匕)一(砲一％)} (1.36")

Так как а2—-аг=^const и к—const, то амплитуда Л не зависит от времени. Косинус в правой части формулы (L36‘)равен единице и амплитуда результирующего колебания максимальна (А = =41+42)во всех точках М, для которых аргумент косинуса равен

четному числу л:

氏(% - G)+ %-% = ±2杨冗(m = 0, 1, 2,…),(1.40)

или, заменив к на 2лА, получим

%一h=土/^ + ?^尢(1.40‘)

Если а2——仪工=0, то это условие принимает следующий вид:

г2—公=土 mX.0.40")

Очевидно, что амплитуда результирующего колебания минимальна (Д — |Д 1—42» во всех точках М, для которых

к (Г2 -厂 J + cti-& = ±(2m一■ 1) л (烧=1,2, ...),(1.41)

или

~_人=±(2m一1)扌 + ?^ 九.(1.4Г)

Если @2——ai~0, то условие минимума амплитуды имеет такой вид:

Т —j = ±(2/n—1)九/2.(1.4Г)

Величина r2——厂i называется геометрической разностью хода волн от их источников Si и S2 до рассматриваемой точки.

При наложении когерентных волн квадрат амплитуды и энергия результирующей волны, вообще говоря, отличны от суммы соответственно квадратов амплитуд и энергий исходных волн. В самом деле, в точках Л1, удовлетворяющих условию (1.40'),

?=(4 + 人产＞(& + 小),

а в точках М, удовлетворяющих условию (1.4Г), "=(/] 一4产＜(& + 小).

Интерференцией волн называют явление, осуществляющееся при наложении двух или нескольких волн и состоящее в устойчивом во

времени их взаимном усилении в одних точках пространства и ослаблении — в других в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Из предыдущего ясно, что интерферировать могут только когерентные волны, если им соответствуют колебания, совершающиеся вдоль одного и того же или близких направлений.

При интерференции воли отсутствует простое суммирование их энергий. Иными словами, интерференция волны приводит к перераспределению энергии колебаний между соседними областями среды. Однако в среднем для достаточно большой области пространства энергия результирующей волны равна сумме энергий интерферирующих волн. Поэтому явление интерфе^ешда ни в какой мере не противоречит закону сохранения и превращения энергии.

Для демонстрации интерференции волн на поверхности жидкости можно воспользоваться описанной выше волновой ваииой. На рис. 1.11 показана картина интерференции круговых волн, возбуждаемых двумя колеблющимися тонкими стержнями, жестко связанными друг с другом так, что амплитуды, частоты и начальные фазы колебаний стержней одинаковы.

Частным случаем интерференции волн являются так называемые стоячие волны. Стоячая волна образуется в результате интерференции двух синусоидальных волн, обладающих одинаковыми амплитудами, частотами, направлениями колебаний и распространяющихся во взаимно противоположных направлениях. Обе эти волны в отличие от стоячей называют бегущими волнами.

Простейшую (одномерную) стоячую волну можно наблюдать на натянутом упругом шнуре. Если левый конец О шнура (рис. 1.12) привести в гармоническое колебатель- 0丁・…*Т、・ |-Т ное движение в направлении, пер пен-

~*4 zр дикулярном оси ОХ шнура, то вдоль

*г| шнура будет распространяться попе-

Рис. 1.12речная бегущая волна— падающая

волна. Достигнув закрепленного правого конца шнура (точка х=/), волна отразится от него, т. е. возникнет вторая бегущая волна (отраженная), распространяющаяся в обратном направлении. Если при распространении и отражении волн нет рассеяния энергии, то амплитуды падающей и отраженной волн должны быть одинаковыми.

Выведем уравнение одномерной стоячей волны, т. е. найдем зависимость от времени смещения s произвольной точки М (х) шнура. Пусть закон колебаний точки М в падающей волне имеет вид

Si—Л sin (со/—кк).

В отраженной волне смещение s2 точки М отстает по фазе от Si на величину а=2к(/——х)+ф> где ср — дополнительное отставание по фазе, которое может возникать при отражении (см. ниже). Следова-

тельно,

s2=A sin [<о^+к(х—2/)—<р].

По принципу суперпозиции волн результирующее смещение s=Si+s2=4 sin(wZ—кк)+4 sin心f+代(尤一2/)—中].

Так как sin p+siny=2 sin[(P+y)/2I cos[(P—y)/2], то уравнение одномерной стоячей волны можно представить в форме

s=24 cos[k (/—х)+<р/2| sin (со/—к/—屮/2).(1.42)

Написанные выше выражения для Si и s^ справедливы не только для одномерных, но и для плоских волн, распространяющихся соответственно вдоль положительного и отрицательного направлений оси ОХ. Поэтому выражение (1.42) представляет также уравнение плоской стоячей волны. Этот результат в равной мере справедлив как для поперечных, так и для продольных волн.

Из формулы (1.42) следует, что амплитуда одномерной (или плоской) стоячей волны равна

Лст = 2/ I cos [к (/—х) + q)/2]|,(L43)

т. е. является периодической функцией координаты х и не зависит от времени. В точках, координаты которых удовлетворяют условию к (/—х) +q)/2 = 土 /пл (т = 0, 1,2, ...),(1.44)

амплитуда колебаний максимальна и равна 2 Л. Эти точки называются пучностями стоячей волны. В точках, координаты которых удовлетворяют условию

★ (/—к) +(р/2 = 土 (2m— 1)冗/2 (zn= 1,2» ...),(L44‘)

амплитуда колебаний равна нулю. Эти точки не колеблются и потому называются узлами стоячей волны.

Мы нашли положения узлов и пучностей для смещения s частиц упругой среды. Очевидно, таковы же положения узлов и пучностей скорости Vi—ds/dt колебательного движения частиц средн. Найдем теперь положения узлов и пучностей для деформаций и напряжений. Можно показать, что относительная деформация упругой среды при распространении в ней плоских волн равна ds/dx. В бегущей синусоидальной волне деформации и напряжения пропорциональны t\: 窮=—=—曰,где 6 — фазовая скорость волны. В стоячей волне ds/dx и ds/dt не пропорциональны друг другу. Из уравнения (1.42) и формул (1.44) и (L&4') видно, что узлы деформаций и напряжений совпадают с пучностями смещения s и скорости 办，а пучности деформаций и напряжений ——с узлами s и и「

В теории упругих волн доказывается, что угол сдвига фаз 中 при отражении продольной волны от границы раздела двух сред зависит от отношения так называемых волновых сопротивлений этих сред. Волновым сопротивлением среды называется произведение ее плотности р на фазовую скорость и распространения в ней упругой

волны. Если продольная плоская волна, распространяющаяся в первой среде, отражается от границы раздела этой среды с какой-либо второй средой, то при угле падения

<р = 0, если у < 1, и cp = jrt если у > 1, где 丫 =卩2°丿卩工％・

В первом случае часто говорят, что волна отражается от «менее плотной» среды, а во втором — от «более плотной».

Амплитуды Ль А[ и Л2 падающей, отраженной и проходящей во вторую среду плоских продольных упругих волн в случае нормального падения на границу раздела двух сред связаны соотношениями 4 = |昂1& h儿=京儿

Если у=1, то отраженная волна отсутствует (4；=0). Проходящая волна отсутствует и』；=/力 если у —оо. Последнее условие, как видно из табл. 1.1, практически соблюдается при отражении упругих волн, распространяющихся в газах, от поверхностей жидкостей или твердых тел.

Таблица 1.1

ВолновоеВолновое

尸сопротивле-сопротивл»

Средание,Средание,

кг/(м2-с)КГ/(Ма-С)

Воздух (при нормальныхВода (при 20℃) . . . .14-105

условиях) 429Сталь 46 • 106

Кислород (при нормальныхСвинец 27 - Ю6

условиях) 450Стекло 15 • 106

Сдвиг по фазе на 冗 соответствует изменению фазы колебания за промежуток времени 772, в течение которого волна распространяется на расстояние, равное половине длины волны. Поэтому обычно говорят, что при отражении волны от границы с «более плотной» средой имеет место «потеря полуволны».

Расстояние между двумя соседними узлами (или пучностями) стоячей волны называется длиной стоячей волны %ст. Из (1.44) и (1・44‘) следует, что

九 сг = л/к = %/2, (1.45)

т. е. длина стоячей волны равна половине длины бегущей волны. Расстояние между соседними узлом и пучностью стоячей волны равно Хст/2~Х/4.

Колебания во всех точках стоячей волны, находящихся между двумя соседними узлами, происходят с различными амплитудами, но одинаковыми фазами, так как аргумент синуса в уравнении стоячей волны (1.42) н е зависит от координаты х. При переходе через узел фаза колебания изменяется на л, так как cos [к(1——к)+(р/21 изменяет свой знак на противоположный. Смещения частиц среды в одномерной или плоской стоячей волне в различные моменты времени показаны на рис. 1.13, где кружками обозначены узлы,

а время " выбрано так, чтобы sin (①力——&/——屮/2)=0. Предполагается

также, что 屮=冗.

В отличие от бегущей волны в стоячей волне отсутствует перенос энергии ——полная энергия колебаний каждого элемента объема среды, ограниченного соседним узлом и пучностью, не зависит от времени. Она лишь периодически переходит из кинетической энергии, локализованной в основном вблизи пуч-

Рис. 1.13Рис. 1.13ности, в потенциальную энергию упруго деформированной среды, локализованную в основном вблизи узла, а затем обратно из потенциальной в кинетическую. Поэтому такие волны и получили название стоячих. Отсутствие переноса энергии стоячей волной является результатом того, что образующие ее падающая и отраженная волны переносят равную по величине энергию, но в противоположных направлениях.

Рис. 1.13

Рис. 1.13

В случае свободных колебаний упругого стержня, закрепленного на одном конце, в нем устанавливается стоячая волна, причем на свободном конце стержня находится пучность смещения, а на закрепленном — узел (рис. 1.13). Поэтому между длиной / стержня и длиной стоя

чей волны в нем должно выполняться соотношение

(1-46)(1-46)/ = (2т— 1) Хст/2 (ш =1,2,3,...).

(1-46)

(1-46)

Если закреплены оба конца стержня (или упругой нити, например натянутой струны), то на его концах образуются узлы смещения и

(1.47)(1.47)/ ./72■九ст*

(1.47)

(1.47)

При нечетных m это соотношение справедливо также для стержня, закрепленного посередине, так что на его концах образуются пучности.

По формуле (1.45), %CT=X/2=v/(2v), где у — скорость распространения в стержне упругих волн, частота которых v. Поэтому в зависимости от характера закреплений концов стержня частоты возможных в нем стоячих волн должны удовлетворять одному из следующих условий:

(1.46')(1.47')(1.46')(1.47')v = (2团一1)о/(4%

(1.46')

(1.47')

(1.46')

(1.47')

Эти частоты называются собственными частотами колебаний упругого стер?кня.

В § 1.3 было показано, что уравнения одномерной и плоской волн, распространяющихся вдоль одного и того же направления (например, вдоль оси ОХ), совершенно идентичны. Поэтому результаты, установленные нами для частот одномерных стоячих волн, в равной степени справедливы и для плоских стоячих волн в однородной среде. Они справедливы, например, для колебаний газа в цилиндрических трубах с плоскими днищами» перпендикулярными образ^^ющей цилиндра.

Из формул (1.46') и (1.47') следует, что для изменения собственных частот колебаний струн или столбов газа необходимо изменять их длину I. Этим методом широко пользуются при игре на струнных и духовых музыкальных инструментах.

В заключение рассмотрим два интерференционных метода экспериментального определения длины звуковой волны. Схема экспериментальной установки, основанной на первом методе, показана на рис. 1.14. Звуковые волны возбуждаются ко-

7

/%

Рис. 1.15

лебаниями мембраны телефонной трубки Т, включенной в электрическую цепь генератора колебаний звуковой частоты 5. Г., н распространяются в воздухе, заполняющем две U-образпые металлические трубки А и В. Результат интерференции этих волн вблизи малого отверстия С регистрируется на слух с помощью слуховой трубки. Обозначим через ZT и /2 расстояния, проходимые волнами от Т до С соответственно в левом (X) и правом (В) коленах установки. Если %—厶=0 или кратко целому числу длин 厶 исследуемой звуковой волны, то волны в точке С взаимно усиливаются, если же /2 ——/] = (2也+ 1) -у, где т — любое целое число, то волны взаимно ослабляются- Для изменения разности /2——厶 хода волн в обоих коленах установ ки трубка В сделана подвижной. Смещение трубки В регистрируется с помощью неподвижной шкалы D. Смещение трубки В вправо на расстояние / соответствует увеличению 为 и ^——А на 2/. Сначала трубку В устанавливают так, чтобы интенсивность звука в точке С была минимальной. Затем находят наименьшее смещение / трубки В из первоначального положения, при котором вновь наблюдается минимум интенсивности звука в точке С. Тогда искомая длина звуковой волны 九=2乙 В самом деле, если вначале

G-Zi = (2m+ 1) -^-, то 为+2,一厶=[2 (m+ 1)+1] q И

2/— [2 (m+ 1)+ 1 ] -2 - (2m + 1)万=%，

Второй метод основан на свойствах стоячей волны. Вблизи открытого конца цилиндрической стеклянной трубки Л (рис. 1.15), внутри которой находится подвижный поршень В, располагается исследуемый источник звука ——телефонная трубка Т (или камертон). В результате наложения падающей и отраженной от поршня В звуковых воли в трубке возникает плоская стоячая волна* Амплитуда колебаний давления воздуха вблизи узкого отверстия С, соединенного со слуховой трубкой, максимальна, если столб воздуха в трубе резонирует на волны, возбуждаемые источником звука. Для возникновения резонанса необходимо, чтобы длина / столба воздуха удовлетворяла условию (1.46). В опыте находят расстояние А/ между двумя ближайшими положениями поршня, соответствующими наибольшей громкости звука в слуховой трубке. Так как из (1.46) следует, что Д/=ХСТ, то искомая длина звуковой волны 九=2 Д/.

Указанные выше методы пригодны также для определения фазовой скорости у звуковых волн, если известна их частота V. Из (1.10) следует, что u=Xv—2 Л/v»

Глава II

ОСНОВЫ АКУСТИКИ

Основные характеристики звука

Акустикой называется учение о звуке. Причиной звуковых ощущений людей и животных является воздействие на их органы слуха упругих волн, распространяющихся в воздухе или другой упругой среде под влиянием механических колебаний какого-либо тела (источника звука). Это подтверждается следующим опытом. Поместим электрический звонок в замкнутый стеклянный сосуд и откачаем из него воздух. По мере уменьшения плотности воздуха в сосуде звучание звонка ослабевает, а при достаточно сильном разрежении мы видим колебания молоточка звонка и совершенно не слышим его звука. Изменяя частоту колебаний источника звука, можно убедиться в том, что человек с нормальным слухом способен воспринимать как звук только такие упругие волны, частоты которых не меньше 16 Гц и не больше 20 000 Гц. Кроме того, оказывается, что чувствительность нашего уха к волнам различной частоты неодинакова —— она максимальна для волн с частотами порядка 1,5—3 кГц. Эти закономерности обусловлены особенностями строения наших органов слуха и ни в какой мере не свидетельствуют о каком-либо принципиальном отличии «слышимых» упругих волн от «неслышимых». По своей природе н физическим свойствам и те и другие волны ничем качественно не отличаются друг от друга. В этом можно убедиться по их действию на микрофоны, пьезоэлектрические приборы, регистрирующие колебания давления (см. т. II, § 6.5) и другие измерительные устройства. Кроме того, установлено, что верхний и нижний пределы частот слы- ишмых упругих волн у различных животных неодинаковы. Так, например, у собак vMaKC достигает 38 кГц, а у летучих мышей и китов — превосходит 100 кГц. Поэтому звуком в физике называют любые упругие волны, причем в отличие от слышимых волны с частотами, меньшими 16 Гц, называют инфразвуковыми, а волны с частотами, большими 20 кГц,— ультразвуковыми. Ультразвуковые волны с частотами порядка 109 Гц и выше иногда называют гиперзвуковыми. Верхняя граница частот ультразвуковых волн (в кристаллах порядка 1012—1013 Гц) соответствует частотам, при которых длина этих волн становится соизмеримой с межмолекул я р ными расстояниями.

Термин «звук» применяется также для обозначения того ощущения, которое производит звуковая волна на наши органы слуха. Таким образом, рассматривая любое акустическое явление, нужно помнить, что, с одной стороны, звук ——это физический процесс рас-

—33 ——33 —2 А. А. Детлаф, Б. М. Яворский

—33 —

—33 —

пространения упругих волн в среде, а с другой ——психофизиологический процесс, обусловленный указанным выше физическим процессом. Первый круг вопросов является предметом исследования физической акустики, а второй—физиологической акустики.

Физическая акустика по существу является учением об упругих волнах, основы которого были изложены в предыдущей главе. Для характеристики звука в акустике используются частота v звуковой волны (или спектр частот v в случае сложной несинусоидальной звуковой волны) и интенсивность звука.

Интенсивностью или силой звука называется физическая величина /, равная модулю среднего значения вектора плотности потока энергии звуковой волны (вектора Умова):

； = |<и>|.(2.1)

Из формулы (1.23‘)следует, что

/ = g>(2. Г)

где м — групповая скорость волны, а〈酬〉一 среднее значение объем- т

ной плотности энергии 酬：<wy = 4^ J wdt, где T ——период полного о колебания.

В случае синусоидальной волны скорость и совпадает с фазовой скоростью V и w выражается формулой (1.20). Поэтому 〈酬〉= =Vap/l2^2 и

/ = %4七笫〃(2.2)

В Международной системе единиц (СИ) интенсивность звука выражается в ваттах на квадратный метр (Вт/м2).

Распространение в упругой среде продольных звуковых волн связано с объемной деформацией. Поэтому давление в каждой точке среды непрерывно колеблется. Оно равно сумме равновесного значения давления среды и добавочного давления (или разрежения) рзв, вызванного деформацией среды и называемого звуковым давлением.

Из (1.2') и (1.3) следует, что dp3B=pvdvit где Vi—ds/dt — скорость колебаний частиц среды. Таким образом,

Рзв = ри^・(2.3)

Найдем среднее значение квадрата звукового давления и его связь с интенсивностью звука:

<Р1в>=(Р^(О)2)-(23)

В случае плоских и сферических синусоидальных волн, как видно из уравнений (1.14) и (1.26), s=A sin Ф, где амплитуда Л не зависит от времени, а в выражении для фазы Ф от времени зависит только член со 九 Поэтому

^| = 4scos ① и (||)2 = 42со2 cos^①.

За время Т одного полного колебания фаза Ф в каждой точке среды изменяется на 2л и (cos20>=V2. Таким образом,

(得了)= %肥d h〈脸> = %4"з"(ро)".

Из сопоставления этого выражения с формулой (2.2) следует

<pi,>=pvl.(2・3〃)

Давление

Рэф = V<pC> = Кру/(2.4)

называется среднеквадратичным или эффективным звуковым давлением. Значения интенсивности и среднеквадратичного давления для различных звуков в воздухе при нормальном давлении и 20℃ (ри= = 418 кг/(м2'с)) приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Расстоя- УровеньСрсднеквад-

ЗвукЗвукние отзвуковогоИнтенсивность ратичное

Звук

Звук

Порог слышимости При V =—1 кГцТихий разговорГромкий разговорФортиссимо симфонического ор-Порог слышимости При V =—1 кГцТихий разговорГромкий разговорФортиссимо симфонического ор-кестра .. Шум моторакестра .. Шум моторасамолетасамолета一010Т22-Ю-514010-210-3170-8010-5—10-<0,06-0,21010010-325120120акустикеДЛЯхарактеристикизвуковых一010Т22-Ю-514010-210-3170-8010-5—10-<0,06-0,21010010-325120120акустикеДЛЯхарактеристикизвуковых4. В физиологической _ ощущений применяются понятия высоты, тембра и громкости звука. Высотой звука называется качество периодического или почти пери4. В физиологической _ ощущений применяются понятия высоты, тембра и громкости звука. Высотой звука называется качество периодического или почти периисточни- давле- звука, Вт/м2 давление, ка, м ния, дБПа

Порог слышимости При V =

—1 кГц

Тихий разговор

Громкий разговор

Фортиссимо симфонического ор-

Порог слышимости При V =

—1 кГц

Тихий разговор

Громкий разговор

Фортиссимо симфонического ор-

кестра .. Шум мотора

кестра .. Шум мотора

самолета

самолета

一

0

10Т2

2-Ю-5

1

40

10-

210-3

1

70-80

10-5—10-<

0,06-0,2

10

100

10-3

2

5

120

1

20

акустике

ДЛЯ

характеристики

звуковых

一

0

10Т2

2-Ю-5

1

40

10-

210-3

1

70-80

10-5—10-<

0,06-0,2

10

100

10-3

2

5

120

1

20

акустике

ДЛЯ

характеристики

звуковых

4. В физиологической _ ощущений применяются понятия высоты, тембра и громкости звука. Высотой звука называется качество периодического или почти пери

4. В физиологической _ ощущений применяются понятия высоты, тембра и громкости звука. Высотой звука называется качество периодического или почти пери

Область слышимых звуков, ограниченная двумя пороговыми кривыми, показана на рис. 2.1, где по осям координат отложены в логарифмическом масштабе частота и среднеквадратичное давление рэф звука. Из этого рисунка видно, что в области частот, близких к 1000 Гц, ухо способно воспринимать звуки, среднеквадратичные давления которых отличаются более чем

в 107 раз. Поэтому для сравнения различных звуков одной и той же частоты вводится уровень звукового давления:

Ьр^2к\^(р^р^у (2.5) где р9ф— среднеквадратичное давление исследуемого звука, имеющего частоту v, а /?о=2- 10-6Па — условный порог слышимости.

В зависимости от число

вого значения коэффициента к в формуле (2.5) величина L выражается в следующих двух единицах: при к=1 — в белах (Б), -а при к= 10 — в децибелах (дБ). Из (2.5) следует, что уровень звукового давления, соответствующий условному порогу слышимости, равен нулю.

Опыты показывают, что две звуковые волны, уровни звукового

давлен-ия которых одинаковы, а частоты не совпадают, воспринимаются ухом как звуки неодинаковой громкости. Это явление обусловлено зависимостью чувствительности наших органов слуха от частоты звука. Поэтому уровень звукового давления не может служить исчерпывающей характеристикой его громкости. Для сравнения громкости звуков всевозможных частот вводится понятие об уровне громкости. Уровнем громкости звука называется физическая величина, равная уровню звукового давления равногромкого с ним «эталонного звука», частота которого v=l кГц. Уровень громкости звука выражается в фонах. Уровень громкости звука равен 1 фону, если уровень звукового давления равногромкого с ним «эталонного звука» (v=1000 Гц) равен 1 дБ.

Простейшим примером периодических звуковых волн являются синусоидальные волны. В акустике такие звуки называются простыми или чистыми тонами. Однако упругие волны, возбуждаемые реальными источниками звука, представляют собой совокупность синусоидальных волн с различными частотами и амплитудами. В зависимости от вида спектра частот и соответствующих им интенсивностей все звуки можно разбить на две основные группы:

тональные, или музыкальные, звуки, обладающие линейчатым спектром (см. § 1.3, п. 12); таковы, например, звуки различных музыкальных инструментов;

шумы ——звуки, обладающие сплошным спектром; примерами шумов могут служить шелест листьев, шум морского прибоя, уличный шум, звук взрыва и т. д.

Примеры линейчатого и сплошного акустических спектров показаны на рис. 2.2, где по оси ординат отложены: на позиции а — значения / интенсивностей волн с дискретными частотами, на позиции б —— значения d〃dw, где dl —■ интенсивность волн с частотами, заключенными в узком интервале от v до w+dv.

Звуки с линейчатым спектром получили название тональных по

тому, что при их слуховом восприятии возникает ощущение звукатому, что при их слуховом восприятии возникает ощущение звука

тому, что при их слуховом восприятии возникает ощущение звука

тому, что при их слуховом восприятии возникает ощущение звука

®ТВН5ЬНМН збук®ТВН5ЬНМН збукболее или менее определенного тона, называемого основным тоном. Частота v0 основного тона совпадает с наименьшей частотой, имеющейся в линейчатом спектре частот тонального звука (рис. 2.2, а). Тоны, соответствующие остальным частотам спектра, называют обертонами. В случае периодического звука частоты обертонов кратны v0, а сами обертоны называют гармониками. В зависимости от интенсивностей и частот обертонов музыкальные звуки одного и того же основного тона, изда-

®ТВН5ЬНМН збук

®ТВН5ЬНМН збук

ваемые, например, разными музы-Рис. 2.2

кальными инструментами, могут

сильно отличаться по своей звуковой 《окраске》，называемой тембром

звука.

Простейший метод экспериментального определения спектра частот слышимых звуков основан на явлении акустического резонанса, т. е. резкого возрастания амплитуды колебаний каких-либо тел (струн, мембран, столбов газа или жидкости и т. п.) при приближении частоты звуковых волн, вызывающих эти колебания, к некоторым значениям, характерным для колеблющихся тел и называемым их резонансными частотами (см. т. I, § 8.6). В качестве таких тел применяют, например, полые металлические шары различного диаметра (акустические резонаторы Гельмгольца). Исследуемые звуковые волны поступают внутрь резонатора через цилиндрическую трубку а (рис. 2.3), а трубка b вставляется в ухо. Если одна из частот спектра

ввуковой волны совпадает с резонансной частотой vp колебаний воздуха, заполняющего полость шара, то амплитуда этих колебаний становится столь большой, что громкость звука сильно возрастает, причем звучание воздуха в резонаторе сохраняется в течение некоторого времени после прекращения действия источника исследуемого звука. Расчеты показывают, что резонансная частота vp зависит от объема V полости, длины / трубки а и площади S ее поперечного сечения： %=* V 3

где и — скорость звука в воздухе.

Применяя резонаторы, характеризующиеся различными значениями vp, можно определить спектр частот сложного звука.

В настоящее время имеются значительно более совершенные и точные электроакустические методы анализа звуков и получения спектров их частот и амплитуд. Идея этих методов состоит в том, что исследуемый звук действует на микрофон и вызывает появление соответствующих колебаний силы электрического тока в цепи микрофона и напряжения па включенном в эту цепь резисторе постоянного сопротивления. Колебания напряжения многократно усиливаются, а затем анализируются либо по фотографиям вызываемых ими отклонений электронного луча в осциллографе, либо путем применения системы специальных электрических фильтров, пропускающих колебания, частоты которых заключены в достаточно узких пределах, характерных для каждого фильтра.

Эффект Доплера

1 • Опыты показывают, что измеряемая наблюдателем частота v звуковых волн совпадает с частотой v0 колебаний источника волн только в условиях, когда наблюдатель и источник либо неподвижны относительно упругой среды, в которой распространяются эти волны, либо движутся с одинаковыми скоростями. Во всех остальных случаях л?#”。. Так, например, известно, что при приближении к неподвижному наблюдателю быстро движущегося электропоезда его звуковой сигнал кажется более высоким, а при удалении от наблюдателя —— более низким, qeM тон сигнала того же поезда, стоящего на станции. Это явление впервые было теоретически обосновано австрийским физиком К. Доплером (1842) и называется эффектом Доплера.

Найдем связь между v и v0 для простейшего случая равномерного движения точечного источника звука И (рис. 2.4) и наблюда- 亠 теля Н вдоль соединяющей их прямой линии. .T*l fj Будем считать, что для изображенных на И' рис. 2.4 направлений движения источника и

Рис. 2.4наблюдателя их скорости fi и。倉 относительно

неподвижной среды положительны.

В предыдущем параграфе было показано, что распространение продольных звуковых волн в упругой среде связано с периодическими колебаниями давления в каждой точке среды. Эти колебания давления, воздействуя на органы слуха, вызывают ощущение звука, а их частота определяет высоту тона. Области среды, в которых звуковое давление в данный момент времени максимально, называются сгущениями звуковой волны, а области среды, в которых оно минимально,—разрежениями.

С помощью выражения (2.3) можно показать, что поверхности равной фазы звукового давления синусоидальной волны перемещаются в направлении ее распространения с фазовой скоростью и волны. Поэтому если источник звука неподвижен по отношению к среде и в некоторый момент /=0 вблизи него находится сгуще-

ние, то к моменту t=T^ где То— период гармонических колебаний источника звука, это сгущение переместится па расстояние оТ。, а вблизи источника образуется новое сгущение. Расстояние vT0 между сгущениями равно длине XQ звуковой волны, возбуждаемой в среде неподвижным источником.

Иной результат получается в случае изображенного на рис. 2.4 движения источника волны. За время Т^ сам источник перемещается вправо на расстояние。工丁皿 Следовательно, расстояние вдоль прямой ИН между двумя соседними сгущениями, т. е. длина волны 九工 и частота ”l регистрируемые неподвижным наблюдателем, равны соответственно:

九1=иТо—ViT о—(и—s) /v0,

%=炉=%匸巧，(26)

Формула (2.6) объясняет описанное выше различие высот тонов звукового сигнала приближающегося к наблюдателю и удаляющегося от него электропоезда. В первом случае и>0 и 打>”办 а во втором — У1<0 и V!<V0.

Если, кроме того, наблюдатель также движется со скоростью。幺 навстречу источнику звука (рис. 2.4), то число сгущений звуковой волны, регистрируемых наблюдателем за 1 с,

w=Vi+Av,

где Av = —- = ■—vt—дополнительное число сгущений, регистрируемых наблюдателем в результате перемещения за 1 с на расстояние, численно равное его скорости 力.

Таким образом, частоты v и v0 связаны соотношением

(1 + ^)=%|^^・(2.7)

Можно показать, что в случае равномерного движения источника и наблюдателя с произвольными по направлению скоростями vt и v2

1-|--—COS 也

g/一^，(2・8)

l+£ss &

где 令 1 и 令2——углы, образуемые векторами Vi и v2 с вектором R, проведенным от наблюдателя к источнику звука.

Источники звука

Причиной возникновения звуковых волн в упругой среде может являться всякое периодическое или ударное силовое воздействие на эту среду со стороны внешних тел, называемых источниками звука. Мы ограничимся рассмотрением принципов действия лишь некоторых типов источников тональных звуков, широко применяемых в музыкальной и технической акустике.

Простейшим источником тонального 3日足@ служит камертон (рис. 2.5, а), ножки которого, будучи выведенными из положения равновесия, совершают свободные колебания в плоскости чертежа. Камертоны применяют в качестве эталонов звуков чистых тонов (на^ призёр, при настройке музыкальных инструментов). Это связано с тем, что интенсивности обертонов в звуке камертона пренебрежимо малы по сравнению с интенсивностью основного тона. Существенным

недостатком камертона как источника звука является то, что интенсивность излучаемого нм звука очень мала. Дело в том, что его ножки колеблются в противоположной фазе ——они периодически сближаются 门卅 门口 и расходятся. Следовательно, в те моменты времени, когда давление воздуха вблизи их внешних поверхностей больше равновесного, ,давление воздуха вблизи их внутренних по

верхностей меньше равновесного, и наоборот. Поперечные размеры ножек малы, так что это различие в давлениях в значительной степени выравнивается за счет перетекания воздуха вокруг ножек. Поэтому амплитуда колебаний давления воздуха и интенсивность звука камертона весьма невелики. Для усиления способности камертона излучать его укрепляют на деревянном ящике — резонаторе (рис. 25, б), у которого отсутствуют одна или две (противоположные) боковые стенки.

Если размеры ящика подобраны соответствующим образом, то под влиянием колебаний камертона столб воздуха в ящике совершает достаточно интенсивные колебания той же частоты, вызывая замет

ное усиление звука.

Еще более плохой излучательной способностью обладают колеблющиеся струны, поперечные размеры которых значительно меньше поперечных размеров ножек камертона. Поэтому во всех струнных музыкальных инструментах применяют различные резонаторы. Так, например, в рояле роль резонатора играет дека — деревянный щит, склеенный из еловых или пихтовых дощечек.

Скорость V распространения поперечных упругих волн в струне в отличие от скорости этих волн в неограниченной среде зависит не от модуля сдвига G материала струны, а от отношения силы 尸 натяжения струны к площади S ее поперечного сечения:

где р — плотность материала струны. Поэтому в согласии с формулой (L47‘)частота, соответствующая основному тону струны (тп=1), равна

%=击/尸/(*)•

Высоту основного тона струны можно менять путем изменения ее натяжения (это делается при настройке музыкальных инструментов) и длины /・

Частоты собственных колебаний цилиндрического столба газа в трубе с закрытыми концами и в трубе, один конец которой открыт, соответственно равны [см. формулы (L47') и (1.46')]:

V = 2mv/(4/) и V —(2m—1) v/(4/),

где I — длина трубы, и — скорость звука в газе и т=1, 2, 3, ... Первая формула оказывается также справедливой и для случая трубы, открытой с обоих концов, с той лишь разницей, что при этом на концах трубы будут не узлы, а пучности для скорости колебаний и смещения частиц газа. Таким образом, характерной особенностью цилиндрических столбов газа является то, что в них могут распростра

няться только такие звуковые волны, частоты которых удовлетворяют

написанным выше соотношениям. Волны иных частот быстро затухают,

не вызывая практически никаких колебаний газа в трубе. Иными словами, столбы газа в трубах представляют собой колебательные системы, имеющие вполне определенные дискретные спектры частот. Поэтому они, подобно струнам, могут служить источниками тональных звуков. Такими же свойствами обладают воздушные полости, имеющие формы конуса, плавно расширяющегося раструба и т. д.

Звучание духовых музыкальных инструментов является результатом автоколебаний воздушных столбов, заключенных в специальных полостях — резонаторах. Эти колебания возбуждаются струей воздуха, продуваемого через инструмент, а их частота определяется размерами колеблющегося столба воздуха. Тембр звука (т. е. частоты и интенсивности обертонов) зависит от формы резонатора и способа его возбуждения.

В качестве примера рассмотрим подробнее действие

органной трубы (рис. 2.6). Сжатый воздух поступает в трубу через патрубок О. Проходя через узкую щель 4, струя воздуха ударяет в ребро клинообразной кромки В бокового отверстия С в нижней части стенки трубы и вызывает колебания заключенного в ней столба воздуха —— в тр〉6е образуется стоячая волна. Давление р воздуха в трубе вблизи ребра В колеблется с частотой стоячей волны. Поэтому направление струи воздуха, выходящей из щели 4, также колеблется с такой же

частотой. Если р меньше давления р0 вне трубы, то струя отклоняется вправо от ребра В, а при р>р0— влево от ребра В. Легко видеть, что силовое действие такой струи на колеблющийся в трубе столб воздуха автоматически поддерживает эти колебания. Поэтому органная труба представляет собой автоколебательную систему (см, т. II, §22.4).

Своеобразный духовой инструмент представляют органы речи человека. Резонаторами в них служат полости глотки, рта и носа, через которые продувается пульсирующий поток воздуха из легких. Эги пульсации возникают в результате прохождения воздуха через щель между расположенными в гортани голосовыми связками, совершающими автоколебания. Спектр частот пульсирующего потока воздуха достаточно разнообразен. Поэтому, изменяя размеры и форму указанных выше

резонаторов (за счет различного положения губ, языка и т. д.), мы можем произносить звуки, различающиеся по высоте тона и тембру.

Для получения звуков большой интенсивности используются сирены. Зву- 叮анне сирены является результатом периодического прерывания мощной струи сжа- гого воздуха или пара при ее прохождении через отверстия в двух соосных дисках, один из которых (статор) неподвижен, а другой (ротор) вращается. Если число отверстий, равномерно распределенных по окружности каждого диска, равно М а угловая скорость вращения ротора(о, то частота звука сирены v~jVcd/ (2л). Ротор вращается при помощи электромотора либо под действием самой струи воздуха или пара. Сирена второго типа, по существу, представляет собой небольшую турбину. Сирены широко применяются для сигнализации в железнодорожном и морском транспорте, МПВО и т. д. Частоту звука сирены можно плавно изменять, меняя угловую скорость вращения ротора. Быстроходные сирены применяются в качестве мощных источников ультразвуков в воздухе.

Большую роль в современной технике играют электроакустические излучатели — телефоны и громкоговор ител и, в которых электрические колебания преобразуются в механические колебания тонких металлических пластин (мембрана телефона) или бумажных диффузоров.

Для высококачественного воспроизведения звуков во всем интервале частот, используемых в речи и музыке (приблизительно от 40 до 10 000 Гц), телефоны и громкоговорители не должны обладать избирательной чувствительностью по отношению к колебаниям в каком-либо диапазоне из указанных частот. Это достигается путем максимального снижения частот свободных колебаний мембран телефонов и диффузоров громкоговорителей, а также увеличения коэффициента затухания этих колебаний. Особенно большие трудности возникают в воспроизведении звуков низкой частоты: размеры диффузоров малы по сравнению с длинами волн, соответствующих этим звукам. Поэтому при низкочастотных колебаниях диффузора значительную роль играет процесс выравнивания давлений с обеих его сторон, рассмотренный нами выше для камертона. Для увеличения мощности излучения громкоговорителем звуков низкой частоты его устанавливают внутри закрытого ящика таким образом, чтобы широкий конец диффузора совпал со сделанным по его форме вырезом в стенке ящика.

Ультразвук

Для генерирования ультразвуковых волн используются главным образом пьезоэлектрические и магнитострикционные излучатели. Действие пьезоэлектрического излучателя основано на явлении обратного пьезоэлектрического эффекта (см. т. II, § 6.5): тонкая пластинка, вырезанная из кристалла пьезоэлектрика так, что ее плоскость перпендикулярна электрической оси кристалла, совершает вынужденные колебания в переменном электрическом поле. Если частота колебаний поля соответствует условию резонанса, а амплитуда напряженности поля велика, то амплитуда колебаний пластинки также велика и в прилегающей к ней упругой среде пластинка возбуждает мощные ультразвуковые волны. Так, например, при колебаниях в трансформаторном масле кварцевой пластинки площадью 10 см2 мощность излучаемых ею ультразвуковых волн может дости-

гать 400——500 Вт. В пьезоэлектрических излучателях применяют пластинки, изготовленные из кварца, сегнетовой соли, специально приготовленного поликристаллического титаната бария, называемого керамикой титаната бария, и других пьезоэлектриков. Обратный пьезоэффект у сегнетовой соли и керамики титаната бария значительно больше, чем у кварца. Кроме того, кварцевые пластинки больших размеров очень дороги. Однако пьезоэффект кварца почти не зависит от температуры, а у сегнетовой соли он резко изменяется с повышением температуры и полностью исчезает при 54℃. Влияние температуры сильно сказывается также на свойствах керамики титаната бария. Пьезоэлектрические излучатели применяют для генерирования ультразвуков с частотами до 50-106 Гц (50 МГц).

Магнитострикционные излучатели применяют для получения низкочастотных ультразвуков (до 200 кГц). Их действие основано на явлении магнитострикции ——изменении линейных размеров ферромагнитных тел в магнитном поле. Простейший излучатель такого типа представляет собой ферромагнитный стержень, являющийся сердечником соленоида. При пропускании через обмотку соленоида переменного электрического тока длина стержня периодически изменяется в соответствии с колебаниями индукции магнитного поля соленоида. Для увеличения амплитуды этих колебаний, так же как в пьезоэлектрических излучателях, используется явление механического резонанса.

Для регистрации и анализа ультразвуков применяются пьезоэлектрические и магнитострикционные датчики (преобразователи). Действие первых основано на прямом пьезоэлектрическом эффекте: если пластинку, вырезанную из кристалла пьезоэлектрика так, что ее плоскость перпендикулярна электрической оси кристалла, сжимать или растягивать вдоль этой оси, то пластинка поляризуется. На ее гранях, нормальных к направлению деформации, возникают разно именные поляризационные заряды, числовые значения которых зависят от величины деформации, а знаки противоположны при деформациях сжатия и растяжения (см. т. II, § 6.5). Таким образом, измеряя колебания разности потенциалов между гранями пластинки, можно судить о значениях частоты и амплитуды действующей на нее ультразвуковой волны.

Магнитострикционные датчики основаны на обратимости явления магнитострикции: если ферромагнитный стержень деформировать, то его намагниченность изменяется. Эти изменения зависят от величины деформации и ее вида (растяжение, сжатие). Поэтому переменная деформация ферромагнитного стержня, подвергающегося действию ультразвуковых волн, вызывает появление переменной э. д. с. электромагнитной индукции в обмотке катушки, надетой на стержень.

Для измерения среднеквадратичного звукового давления р§巾 и интенсивности / ультразвуковых волн применяют ряд методов. Один из них ——тепловой ——основан на нагревании ультразвуком тел, изготовленных /из звукопоглощающих материалов (вара, смолы).

Ультразвуковые волны обладают рядом специфических свойств. Важнейшая их особенность состоит в том, что, подобно свету, Они

могут излучаться в виде узких направленных пучков, называемых ультразвуковыми лучами. Это свойство является результатом малости длины ультразвуковой волны (см. § 6.1, п. 3). Отражение и преломление ультразвуковых лучей на границе раздела двух сред происходит по законам геометрической оптики, установленным для световых лучей. Поэтому для изменения направления распространения и фокусирования ультразвуковых лучей применяют зеркала различной формы, звуковые линзы, призмы и другие устройства, действие которых на ультразвуковые лучи подобно действию на световые лучи одноименных с ними оптических устройств. Звуковые линзы изготавливают из материалов, в которых скорость ультразвука отлична от его скорости в той среде, для работы в которой они предназначены. Так, например, звуковые линзы, предназначенные для жидких сред, изготавливают из пластмасс. Так же как в оптике, к звуковым зеркалам и линзам предъявляются прямо противоположные требования. Зеркала должны возможно полнее отражать ультразвуковые волны. Поэтому волновое сопротивление р典2 материала зеркала должно быть во много раз больше волнового сопротивления р通 среды: у==^2^> 1 (см. § 1.5, п. 8). Звуковые линзы, наоборот, должны быть возможно более «прозрачными» для ультразвука. Поэтому их нужно изготавливать из веществ, волновые сопротивления которых близки к волновому сопротивлению среды (у^1). Двояковыпуклая или плосковыпуклая звуковая линза является собирающей, если ее относительный показатель преломления п21=— > 1, и рассеивающей, если n2i<l- Двояковогнутая или плосковогнутая звуковая линза обладает противоположными свойствами: при ма1>1 она является рассеивающей, а при /г21Vl —— собирающей.

На законе прямолинейного распространения ультразвуковых

их, как ультраих, как ультраволн основаны такие технически важные применения

их, как ультра

их, как ультра

звуковая локация и дефектоскопия. Принцип ультразвуковой локации состоит в следующем. Источник ультразвука излучает короткий сигнал, распространяющийся в определенном направлении до тех пор, пока на его пути не встретится какое-либо препятствие, при отражении от которого образуется эхо-сигнал, распространяющийся в обратном направлении. Измеряя промежуток времени А/ между моментом посылки сигнала источником и моментом возвращения эхо-сигнала, можно определить расстояние I от источника сигнала до препятствия:

/ = , где V — скорость ультразвука в среде.

По изменению частоты эхо-сигнала, обусловленному эффектом Доплера, можно определить значение и направление так называемой лучевой скорости движущегося препятствия —— составляющей его скорости вдоль направления распространения сигнала. Ультразвуковые гидролокаторы широко применяются для измерения глубин моря, обнаружения подводных лодок, крупных косяков рыб и т. д.

Ультразвуковая локация в воздухе практически невозможна из-за

чрезвычайно сильного затухания ультразвуковых волн. Так, например, для волн с частотой 100 кГц амплитуда звукового давления в воздухе убывает в 100 раз на каждые 10 м расстояния от источника волн.

Применение ультразвука для обнаружения внутренних дефектов (раковин, трещин, неоднородности структуры) в твердых телах впервые было осуществлено С. Я. Соколовым в 1928 г. В настоящее время существует несколько различных типов ультразвуковых дефектоскопов. Втеневом дефектоскопе источник и приемник ультразвукового луча располагаются напротив друг друга с противоположных сторон исследуемого тела. Внутренние дефекты в теле вызывают рассеяние ультразвука и образуют «звуковую тень». Поэтому интенсивность луча, прошедшего через такое тело, меньше интенсивности луча, прошедшего через аналогичное тело, не содержащее внутренних дефектов. «Просвечивая» тело ультразвуком в различных местах и направлениях, можно выяснить форму, размеры и расположение этих дефектов. Однако мелкие раковины и трещины не дают резкой тени, и их обнаружение таким способом затруднительно.

Более совершенен импульсный дефектоскоп, который по принципу действия подобен ультразвуковому локатору: обнаружение внутренних дефектов в теле производится по поступающим от них эхо-сигналам. Расстояние от поверхности тела, на которой установлен источник коротких ультразвуковых сигналов, до внутренней раковины, трещины и т. д. определяется по продолжительности промежутка времени между отправкой сигнала и приходом эхо-сигнала.

Ввиду невозможности регистрации очень коротких промежутков времени между сигналом и эхо-сигналом импульсный дефектоскоп непригоден для «просвечивания» -тонких деталей и обнаружения дефектов, расположенных вблизи поверхности детали. В этих случаях применяют резонансный дефектоскоп. Его действие основано на образовании в исследуемом теле стоячих ультразвуковых волн. Источник ультразвука, частота которого периодически изменяется, плотно прижимается к поверхности исследуемого тела, например к стенке трубы толщиной /. В тех случаях, когда на отрезке I укладывается целое число половин длины волны ультразвука, в стенке трубы образуется стоячая волна и возникает явление резонанса, приводящее к изменению амплитуды колебаний источника ультразвука. Частоты ультразвука, соответствующие условию резонанса, равны

V — ^- /и (/и = 1, 2, 3, • • •)»

где и — скорость ультразвука в материале стенки. Если внутри стенки трубы имеются раковины или трещины, то ультразвуковые волны отражаются не только от внутренней поверхности трубы, но и от поверхностей дефектов. Поэтому появляются добавочные резонансные частоты.

Описанный выше принцип используется также в ультразвуковых приборах, применяемых для измерения толщины стенок трубопроводов (без их разборки), слоя накипи и т. д.

Амплитуды скорости и ускорения колебательного движения частиц среды при распространении в ней ультразвуковых волн, а также амплитуда звукового давления в среде во много раз больше, чем в случае слышимых звуковых волн. В этом состоит вторая особен- пость ультразвуковых волн, также являющаяся результатом малости их длины (большой частоты). Так, например, при интенсивности ультразвука 40 Вт/см2, которую можно осуществить в воде с помощью кварцевого излучателя, амплитуда звукового давления достигает 1 МПа (10 атм), а амплитуда ускорения частиц (при частоте v = l МГц) равна 4,8-106 м/с2. Однако и эти цифры не являются пределом. Их можно значительно увеличить, концентрируя ультразвуковые лучи в небольших областях среды с помощью собирательных звуковых линз.

Благодаря большой амплитуде звукового давления, создаваемого мощными ультразвуками, в жидкости возникает кавитация — непрерывно образуются и исчезают внутренние разрывы. Исчезновение разрывов сплошности жидкости сопровождается кратковременным возрастанием давления до многих сотен атмосфер. Ультразвуки обладают в связи с этим дробящим действием — они разрушают находящиеся в жидкости твердые тела, микроорганизмы, сложные молекулы и т, д. Дробящее действие ультразвуков широко применяют для осуществления и ускорения различных технологических процессов: образования эмульсий и суспензий, снятия пленок окислов (например, с поверхности алюминиевых деталей, благодаря чему возникает возможность их пайки), для удаления нагара и обезжиривания поверхностей деталей, размельчения зерен фотоэмульсии, стерилизации жидкостей. Разрушающее действие ультразвука на поверхность твердых тел заметно увеличивается при введении в жидкость мелких абразивных частиц. Это явление используют для ультразвукового «сверления» отверстий различной формы в стекле, керамике, сверхтвердых сплавах. Для этой цели применяют источники ультразвука (ультразвуковые вибраторы), наконечники которых имеют ту же форму, какую нужно придать отверстию в обрабатываемом изделии.

В легкой промышленности ультразвук применяют для ускорения процесса крашения и улучшения прокрашиваемости ткани, длй ускорения дубления и некоторых других процессов обработки кожи. Ультразвуки вызывают коагуляцию аэрозолей. Поэтому они являются весьма эффективным средством улавливания мельчайших частиц дыма, проходящих через обычные фильтры.

Ультразвук широко используют также и в научных исследованиях. Эксперименты по распространению и поглощению ультразвуковых волн в газах, жидкостях и твердых телах позволяют получить ценную информацию относительно термодинамических свойств и строения вещества, а также характера межмолекулярного взаимодействия и кинетики молекулярных процессов. Таким образом, могут быть, например, определены теплоемкость вещества, константы, характеризующие упругость и вязкость вещества, и т. д. На этой основе возник раздел физики, названный молекулярной акустикой.

Ударные волны

Слышимые звуковые волны в воздухе, как видно из табл. 2.1, связаны со сравнительно малыми колебаниями его давления: максимальное значение амплитуды звукового давления не превышает нескольких тысячных долей атмосферы. Поэтому такие волны являются примером распространения в воздухе слабых возмущений. Однако в ряде практически важных случаев приходится иметь дело с сильными возмущениями, распространяющимися в газах, жидкостях и твердых телах в виде так называемых ударных волн. Сильные возмущения возникают, например, при взрывах; при детонационномсгорании, т. е. химическом превращении вещества или смеси веществ, которое сопровождается выделением теплоты, причем скорость распространения превращения больше скорости звука в этой среде 】；при движении в воздухе тел (снарядов, ракет, современных самолетов), обладающих сверхзвуковой скоростью; при внезапном торможении движущейся в трубопроводе жидкости (гидравлический удар) и т. д,

Теория сильных возмущений и ударных волн, базирующаяся на гидро- и газодинамике, термодинамике, кинетике химических процессов и других разделах физики и химии, достаточно сложна и выходит далеко за рамки нашего курса. Поэтому ограничимся рассмотрением только механизма образования и некоторых свойств ударных волн в газах.

Возникновение ударной волны можно пояснить на примере действия подвижного поршня на газ, заключенный внутри длинной цилиндрической трубы. Пусть вначале поршень и газ неподвижны, причем давление, плотность и температура во всех частях газа одинаковы. Если затем равноускоренно вдвигать поршень внутрь трубы, то равновесное состояние газа нарушается: давление перед поршнем повышается, и в газе начинают распространяться волны сжатия. Очевидно, что интенсивность этих волн вблизи поршня тем больше, чем больше его ускорение. Однако ударная волна может возникать даже при сравнительно небольших ускорениях поршня, когда каждая из волн сжатия, последовательно возбуждаемых поршнем при увеличении его скорости, представляет собой слабое возмущение давления, распространяющееся в газе со скоростью звука. Дело в том, что возмущающее действие поршня на газ вызывает появление так называемого спутного движения — упорядоченного движения молекул газа, направление которого совпадает с направлением распространения волн сжатия, а скорость увеличивается при ускорении движения поршня. Кроме того, благодаря малой теплопроводности газа с увеличением скорости поршня возрастает не только давление газа, но и его температура и пропорциональная ей скорость звука. Вследствие этих причин каждая следующая волна сжатия, возбуждаемая в газе поршнем, движется быстрее предыдущей. Поэтому, нагоняя

1 В теории сильных возмущений скоростью звука в какой-либо среде называют скорость распространения в ней слабых возмущений.

друг друга, они взаимно усиливаются и образуют одну мощную результирующую волну, действие которой на невозмущен丑н/ газ подобно удару ——она вызывает почти мгновенное повышение давления газа на конечную величину, вследствие чего эта волна и получила название ударной волны или скачка уплотнения. Очевидно, что интенсивность ударной волны должна возрастать с увеличением ускорения поршня и уменьшением затухания упругих волн в газе, вызываемого явлениями внутреннего трения и теплопроводности.

Иная картина наблюдается при движении поршня в противоположном направлении, соответствующем возбуждению в газе волн разрежения, В этом случае направление спутного движения газа противоположно направлению распространения волн, а скорость звука в газе уменьшается по мере понижения его давления за поршнем. Поэтому последовательные волны разрежения отстают друг от друга, так что градиент давления в газе, возмущенном поршнем, постепенно уменьшается. Иными словами, происходит постепенное «размазывание» границы между возмущенным и невозмущенным газом.

Найдем выражения для скоростей плоской ударной волны(Оу) и спутного движения газа (и「). Примем для определенности, что фронт АВ ударной волны распространяется в неподвижном невозмущенном газе слева направо (рис. 2.7, а). Обоз-

Рис. 2.7Рис. 2.7начим давление, плотность и температуру невозмущениого газа соответственно через pi,卩工 и 7\, а значения тех же параметров состояния возмущенного газа — через р2» Р2 и % Распределение давления вдоль оси ОХ, совпадающей с направлением распространения ударной волны, показано на рис. 2.7, б. Аналогичный вид имеют распределения плотности газа и его температуры. Удобнее воспользоваться системой отсчета, движущейся вместе с фронтом ударной волны. По отношению к этой системе (рис. 2.7, е) невозмущенный газ движется справа налево со скоростью Vi=—Vy, возмещенный газ движется в том же направлении со скоростью v2= — (vy — vr)—vr—Vy, a фронт AB ударной волны представляет собой неподвижный плоский скачок уплотнения. Числовые значения скоростей Vj и v2 равны:

Рис. 2.7

Рис. 2.7

以=口У； % = Оу —%. (2,9)

Проведем справа и слева от плоскости АВ параллельные ей плоскости 1—1 и 2—2'. В случае установившегося процесса масса газа в объеме между сечениями T—F и 2—勿‘ не должна изменяться с течением времени. Поэтому масса газа 1^卩工, поступающего в этот объем за единицу времени сквозь единицу площади сечения 7—Гt равна массе газа и*?, уходящего из этого объема за то же время сквозь единицу площади сечения 2——2': с^—и2р2, или

0 ypi =«'у—%)р* (2-Ю)

По второму закону Ньютона, изменение импульса любого тела (в том числе и газообразного) равно импульсу действующей на него внешней силы. Изменение импульса газа, проходящего сквозь единицу площади поверхности 力8 за единицу времен и t численно равно У1Р1 (v^^^™~■ ^уPi^г• °но обусловлено различием сил дав-

ления по обе стороны плоскости /В, причем результирующая сила давления, отнесенная к единице площади поверхности АВ> численно равна 卩工——р2, а импульс этой силы за единицу времени численно равен ей самой. Такмм образом, на основании второго закона Ньютона можно написать следующее равенство:

(2.П)(2.П)Р1%% = % —%

(2.П)

(2.П)

Совместное решение уравнений (2.10) и (2.11) приводит к следующим выражениям для скоростей плоской ударной волны и спутного движения газа, вызываемого этой волной;

У Р2~Р1 Р1У Р2~Р1 Р1/(p2 一f丄)⑶-Pl) Р1Р2/(p2 一f丄)⑶-Pl) Р1Р2(2.12)(2.13)(2.12)(2.13)

У Р2~Р1 Р1

У Р2~Р1 Р1

/(p2 一f丄)⑶-Pl) Р1Р2

/(p2 一f丄)⑶-Pl) Р1Р2

(2.12)

(2.13)

(2.12)

(2.13)

ТогдаТогдаДля идеальнопэ газа эти формулы можно несколько преобразовать, если учесть, что скорость звука в невозмущенном газе

Тогда

Тогда

(17)

(2.12")

(2.13)

Наиболее мощными являются ударные волны, возникающие в результате резкого возрастания давления при взрывах обычных взрывчатых веществ и особенно при взрывах атомных и термоядерных бомб. Достаточно сказать, что в момент взрыва термоядерной бомбы давление в зоне ядерной реакции достигает десятков миллиардов атмосфер, а температура — десятков миллионов градусов! По мере удаления ударной волны от центра взрыва ее интенсивность и скорость распространения постепенно уменьшаются.

Неизмеримо более слабые ударные волны образуются в воздухе при движении пуль, снарядов, ракет, сверхскоростных самолетов и других тел, скорость которых больше скорости звука. Интенсивность этих волн зависит от скорости и формы тела. Так, например, при прочих равных условиях тела, имеющие форму конуса или клина, возбуждают более слабые ударные волны, чем тела с плавно скругленной (тупой) лобовой поверхностью. При постоянной скорости движения тела порождаемая им ударная волна перемещается с той же скоростью, так что расположение ее фронта по отношению к телу не изменяется.

Для возбуждения ударных волн в воздухе нужно затрачивать энергию. Следовательно, этот процесс должен сопровождаться возникновением дополнительного сопротивления воздушной среды движению тела, называемого в аэродинамике волновым сопротивлением тела. При движении тел со сверхзвуковыми скоростями волновое сопротивление во много раз больше обычного сопротивления, обусловленного вязкостью воздуха и называемого сопротивлением трения. Однако роль волнового сопротивления весьма существенна и при больших дозвуковых скоростях. Это связано с тем, что местная скорость воздуха, обтекающего выпуклую поверхность, может значительно превышать скорость движения тела. Поэтому при достаточно большой дозвуковой скорости тела около его поверхности образуется область сверхзвукового течения, в которой возникают слабые ударные волны, вызывающие заметное увеличение сопротивления.

глава Ell

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

§ 3-1- Некоторые свойства электромагнитных волн

В гл. XXI второго тома изложены основы теории электромагнитных явлений, базирующейся на уравнениях Максвелла. Там же показано, что переменное электрическое поле обусловливает возникновение магнитного поля, а переменное магнитное поле — возникновение вихревого электрического поля. Таким образом, переменные электрическое и магнитное поля тесно взаимосвязаны, они образуют единое электромагнитное поле. Это поле принято характеризовать двумя векторами ——электрической напряженности Е и магнитной индукции В. Связь между Е и В, а также их зависимость от координат и времени определяются системой дифференциальных уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Эти уравнения можно получить из интегральных уравнений Максвелла, рассмотренных во втором томе, если воспользоваться теоремами Стокса и Остроградского — Гаусса о преобразовании интегралов по замкнутому контуру L и замкнутой поверхности S в интегралы соответственно по поверхности, ограниченной контуром 厶，и по объему, ограниченному поверхностью S.

Для области электромагнитного поля, не содержащей свободных зарядов и макроскопических токов (проводимости и конвекционных), интегральные уравнения Максвелла имеют такой вид:

0Edl = — \ dS, , Н dl=jJS,

,DdS = 0, ,BdS = O,

где D — вектор электри-ческого смещения, Н — вектор напряженности магнитного поля. В первых двух уравнениях интегрирование производится по произвольному неподвижному замкнутому контуру L и по неподвижной поверхности S, «натянутой» на контур L (ограниченной этим контуром), а в третьем и четвертом уравнениях — по произвольной неподвижной замкнутой поверхности S.

По теореме Стокса, циркуляция вектора а вдоль замкнутого контура 厶 равна потоку вектора rot а сквозь поверхность S, ограниченную этим контуром:

^ a dl — J rot adS,

где rota=傷-霜偿一霊)j+機一箒)k

—ротор вектора a=a%i+ayj+bNk・ Таким образом, первые два уравнения Максвелла можно переписать в форме

f (rotE + ^)dS = 0 н С (пЛН-豹 dS = O,

Так как контур L и ограниченная им поверхность S выбираются совершенно произвольно, то равенство нулю этих интегралов возможно только при условии, что rotE 十患=0 и rotH — ^=0,

r°tE=F，rotHf.

Это первые два дифференциальных уравнения Максвелла.

По теореме Остроградского — Гаусса, поток вектора а сквозь замкнутую поверхность S равен интегралу от div а по всему объему V, ограниченному этой поверхностью:

гдегдедивергенция вектора а. Следовательно, третье идивергенция вектора а. Следовательно, третье иf adS= § div a W,

где

где

дивергенция вектора а. Следовательно, третье и

дивергенция вектора а. Следовательно, третье и

четвертое уравнения Максвелла можно переписать в виде

\divDdP = 0 и )divBdP = 0*

Поверхность S и объем У, ею ограниченный, выбираются совершенно произвольно. Поэтому равенство нулю этих интегралов возможно только при условии, что divD=0 и div В = 0.

Для электромагнитного поля в однородной, изотропной и непроводящей среде, не обладающей сегнетоэлектрическими или ферромагнитными свойствами»

D = ес0Е и В = р.|10Н,

где 电 и 卩°— электрическая и магнитная постоянные, а е и 卩一относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, не зависящие ни от координат, ни от времени. В этом случае дифференциальные уравнения Максвелла имеют вид

rot Е

ан

div Е = 0,

.rotH = ee0 ; 1 divH = 0,)

(3-1)

дЕг

^у_

ду dlix dHz

дЕх

*期

Зу дЕх

叫" » 叫

dz аЕу

дх дЕх

况 叫

дх дНх

院。Of， dEz

(З.Г)

дх

ду

,吗

дх

叽＜

ду 叫

s®° а/ '

дх

1 ду

〔发5

дх 1

ду

1 Oz "'

Из уравнений Максвелла следует, что напряженности Е и Н переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению (см. §1.3, п. 14):

△Е—罟霊 =0 и АН—学察=0,

илиилиА邑一А邑一罟鋒=。,罟鋒=。,羽乎々羽乎々0,0,=0;=0;А%-学帑=0, 为 e2 д上2 ，А%-学帑=0, 为 e2 д上2 ，a%一罟号=°，А乩-患券=°，a%一罟号=°，А乩-患券=°，

или

или

А邑一

А邑一

罟鋒=。,

罟鋒=。,

羽乎々

羽乎々

0,

0,

=0;

=0;

А%-学帑=0, 为 e2 д上2 ，

А%-学帑=0, 为 e2 д上2 ，

a%一罟号=°，А乩-患券=°，

a%一罟号=°，А乩-患券=°，

где c=\\V eoHo —3-108 м/с— электродинамическая постоянная, а ЕХ1 Еу, Ez, HXi 方勿 Hz ——проекции векторов Е и Н на оси прямоугольной декартовой системы координат.

@伊 Of 〈 Оу dz / dy\ dt / dz\dt / *@伊 Of 〈 Оу dz / dy\ dt / dz\dt / *°/ дНгuмзначения —^丁 н 方厂 из второго и третьего уравнении первого столб°/ дНгuмзначения —^丁 н 方厂 из второго и третьего уравнении первого столбИз четвертого уравнения первого столбца (З.Г) видно, что %" 十^^Из четвертого уравнения первого столбца (З.Г) видно, что %" 十^^д2Ех_д2Ех. д^Ех 咻卩阿r=声十瑟丁д2Ех_д2Ех. д^Ех 咻卩阿r=声十瑟丁。吗。吗АЕ&,АЕ&,В самом деле, из первого уравнения второго столбца (3.1‘) следует, что

@伊 Of 〈 Оу dz / dy\ dt / dz\dt / *

@伊 Of 〈 Оу dz / dy\ dt / dz\dt / *

°/ дНгuм

значения —^丁 н 方厂 из второго и третьего уравнении первого столб

°/ дНгuм

значения —^丁 н 方厂 из второго и третьего уравнении первого столб

Из четвертого уравнения первого столбца (З.Г) видно, что %" 十^^

Из четвертого уравнения первого столбца (З.Г) видно, что %" 十^^

д2Ех_д2Ех. д^Ех 咻卩阿r=声十瑟丁

д2Ех_д2Ех. д^Ех 咻卩阿r=声十瑟丁

。吗

。吗

АЕ&,

АЕ&,

ца (З.Г),ца (З.Г),泌”0尤泌”0尤Подставив

ца (З.Г),

ца (З.Г),

泌”0尤

泌”0尤

поэтому

т. е. Ех удовлетворяет волновому уравнению. Аналогично можно доказать, что волновому уравнению удовлетворяют также 々，EZi Нх> Ну и Н^

Таким образом, переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде электромагнитной волны. Фазовая скорость электромагнитной волны

и = с"叩， (3.2)

где е и р. — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Для вакуума £=卩=1 и v—c. Следовательно, электродинамическая постоянная представляет собой скорость распространения электромагнитных волн в вакууме. С другой стороны, она совпадает со скоростью света в вакууме. Это навело Максвелла на мысль об электромагнитной природе света.

Относительные магнитные проницаемости всех неферромагнитных сред, т. е. диа- и парамагнетиков, очень мало отличаются от единицы. Поэтому с большой степенью точности можно считать, что в таких средах фазовая скорость электромагнитных волн

u = c//e. (3・2‘)

В гл. VII показано, что относительная диэлектрическая проницаемость любой среды, находящейся в переменном электрическом поле, зависит от частоты колебаний этого поля. Следовательно, во всех средах должно наблюдаться явление дисперсии электромагнитных волн, т. е. зависимости их фазовой скорости от частоты. Дисперсия

отсутствует только в вакууме, для которого е не зависит от частоты и

всегда равна единице.

Из уравнений Максвелла вытекает также вывод о том, что векторы Е и Н электромагнитной волны всегда взаимно перпендикулярны. Кроме того, они лежат в плоскости, перпендикулярной направлению

распространения волны, т. е, вектору V скорости волны. Следовательно, электромагнитные волны являются поперечными. Взаимная ориентация тройки векторов Е, Н и V удовлетворяет следующему правилу: из конца вектора v вращение от Е к Н по кратчайшему расстоянию

вектор V по направ- Е на Н:вектор V по направ- Е на Н:(3.3)(3.3)видно происходящим против часовой стрелки (рис. 3.1). Иными словами, лению совпадает с векторным произведением

вектор V по направ- Е на Н:

вектор V по направ- Е на Н:

(3.3)

(3.3)

g昌即］.

Докаже векторов Е ного направ динат завис

м поперечность электрдаагнитных волн и взаимную перпендикулярность и Н на примере плоской волны, распространяющейся вдоль положитель- ления оси ОХ. В этом случае векторы Е и Н н их проекции на оси коор- ят от координаты 尤 и времени t, т. е.

дЕх _ дЕх _ дЕу 一 дЕу —。邑—dEz _n

и

дуdzOgdzdydz

дуdzdydzдуdz'

Поэтому из

первых и четвертых уравнений обоих столбцов (З.Г) следует, что

攀=0 И染=0；岑=о И警=о.

дхdt

Иными словами, Ех н Нх не зависят ни от координат, пи от времени. Такое стационарное однородное поле не имеет никакого отношения к электромагнитным волнам, поле которых заведомо нестационарно и неоднородно. Таким образом, для поля плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, £%=冃芯=0, т. е.

'E=%j + /k и Н = Я^ + Ягк.

Колебания Е и Н в точках плоскости х= const отстают по времени от колебаний тех же векторов в точках плоскости х~0 на х/о, где и ——скорость волны. Поэтому Е и Н зависят от комбинации /их вида (/—х/и):

4=fi (/—х/о), нy=中1 (/一%例),4=fi (/—х/о), нy=中1 (/一%例),0& I_峪GE^1 dfidt比，1 дх。介叫ан и1 d%若，дх口若:0& I_峪GE^1 dfidt比，1 дх。介叫ан и1 d%若，дх口若:Обозначим t——x!v=^, тогдаОбозначим t——x!v=^, тогдаdEz0马_1 dfadtдх0дНгdtp 2叫_1dtp 2dtVd「dEz0马_1 dfadtдх0дНгdtp 2叫_1dtp 2dtVd「e方=%(f 一尤例)，"z=中国(£-%/〃)・e方=%(f 一尤例)，"z=中国(£-%/〃)・

4=fi (/—х/о), нy=中1 (/一%例),

4=fi (/—х/о), нy=中1 (/一%例),

0& I

_峪

GE^

1 dfi

dt

比，

1 дх

。介

叫

ан и

1 d%

若，

дх

口若:

0& I

_峪

GE^

1 dfi

dt

比，

1 дх

。介

叫

ан и

1 d%

若，

дх

口若:

Обозначим t——x!v=^, тогда

Обозначим t——x!v=^, тогда

dEz

0马_

1 dfa

dt

дх

0

дНг

dtp 2

叫_

1

dtp 2

dt

V

d「

dEz

0马_

1 dfa

dt

дх

0

дНг

dtp 2

叫_

1

dtp 2

dt

V

d「

e方=%(f 一尤例)，

"z=中国(£-%/〃)・

e方=%(f 一尤例)，

"z=中国(£-%/〃)・

Подставив эти значения производных во второе и третье уравнения первого столбца (3」')，получим

пли, учитывая, что v = ■-——-

У ^оРЦо *

位坐 h 否2 [/”0 d鱼

Интегрируя по 己，найдем

Из этих формул видно, что векторы Е и Н взаимно пер пенди^ л яр ны: ЕН=/1б+/押/時伸投 2 — 66)= o.

Легко видеть, что v, Е н Н — правая тройка взаимно перпендикулярных векторов. Действительно» если Е=£/, то Н=//гк, причем если 七^〉。，то и

Итак, из дифференциальных уравнений Максвелла следует, что для плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ,

Ек = Н х = 0,Eg=fl« —X/。)，£z = %«—X/。)，Hp = q"(/ —x/u)，Hz = ^(t—xlv),причем

•/馭 Н 也=/>£-(3.4)

Так как Н — ^Ну + Щ и Е = УЕ^-\-Е^ то

V р-р-о // = /е% Е.(3.5)

Таким образом, взаимно перпендикулярные векторы Е и Н колеблются в одной фазе ——они одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимальных значений. Соотношение (3.5), полученное для плоской волны, справедливо для любой бегущей электромагнитной волны независимо от формы ее волновых поверхностей.

Синусоидальная электромагнитная волна называется монохроматической волной» В каждой точке электромагнитного поля монохроматической волны проекции векторов Е и Н на оси координат инерциальной системы отсчета совершают гармонические колебания одинаковой частоты V, называемой частотой волны. Так, например, в поле плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль поло-

Постоянные интегрирования следует положить равными нулю, так как векторы

жительного направления оси ОХ 1см. уравнение (1.14)],

J = Аг sin ㈣一кх + %),(3.6)

Ez =力2 sin (s2-Кx+а2),

где о — циклическая частота волны, к=(о/и — волновое число. Зависимости Ну м Н? от Е м х, соответствующие уравнениям (3,6), можно определить с помощью формул (3.4).

В общем случае конец вектора Е в каждой точке поля описывает эллипс, лежащий в плоскости, перпендикулярной оси ОХ. Уравнение этого эллипса можно получить, исключив из системы (3.6) величину (of—кх:

务 +今一今£С°s%-%) = Sw(*一吗). (3.6，)

Конец вектора Н также описывает эллипс, лежащий в той же плоскости, но повернутый вокруг оси ОХ на угол 冗/2. Такая плоская электромагнитная волна называется эллиптически-поляризованной. Если амплитуды 力工 и Д2 одинаковы, а а2—^ = {2«： + 1)—(加=0； ±1； 士2;…)，то эллипсы для Е и Н превращаются в окружности. Такая волна называется циркулярно-поляризованной (поляризованной по кругу). Наконец, если а2——ai^m^im^O; ±1; 士2;.. J, то эллипсы вырождаются в два взаимно перпендикулярных отрезка прямых. Такая волна называется линейно-поляризованной (плоскополяризо- ванная волна). В линейно-поляризованной волне векторы Е во всех точках поля колеблются, оставаясь параллельными некоторому определенному направлению. Если ось OY прямоугольной декартовой системы координат проведена вдоль этого направления, то

邑=0, % = 0н 也

Следовательно, для линейно-поляризованной плоской монохроматической волны

Еу =筑 sin (① f—к尤 + а),(3.7)

忆=乩 sin ®f—о + а),

где Eq — амплитуда напряженности электрического поля волны (Во— |Е|макс) н 丸=丿£%/也％)当一 амплитуда напряженности магнитного поля волны (Но= |Н |макс), а ——начальная фаза колебаний Еу н Н^ в точках координатной плоскости YOZ(х^О). Плоскость, проведенная через вектор Е и вектор v скорости распространения волны в данной точке поля, называется плоскостью колебаний волны (плоскость X0Y на рис. 3.2). Плоскость, проведенная через векторы Н и v, называется плоскостью поляризации волны (плоскость XOZ на рис. 3,2) 1. Очевидно, что эти понятия применимы только для линейно* поляризованных волн.

Согласно последним рекомендациям Комитета научно-технической терминологии АН СССР, плоскость, проходящая через векторы Е и v, называется плоскостью поляризации волны. Соответственно плоскость, проходящая через векторы Н и v, не имеет специального наименования, а термин «плоскость колебаний» упразднен.

Электромагнитное поле обладает энергией. Поэтому распространение электромагнитных волн связано с переносом энергии в поле, подобно тому, как распространение упругих волн в веществе связано с переносом механической энергии. Вектор Р плотности потока энергии электромагнитных волн называется вектором Умова — Пойнтинга. Для плоской или сферической волны он выражается формулой, аналогичной (1,23х):

P = gu,(3.8)

где 侬一объемная плотность энергии электромагнитного поля волны, а и —— вектор групповой скорости волны. Во втором томе было показано (см, § 7.1 и 19.6), что объемные плотности энергии электрического w0 и магнитного wm полей соответственно равны:

网=%£%炉 и wm = 72HHo^2-

Следовательно,

(3.9)(3.9)5=叫斗% = %£%Е" +1/小n户а.

(3.9)

(3.9)

Для монохроматической волны групповая скорость и равна фазовой скорости V волны (см. § 1.3, п. 7). Поэтому на основании равенств (3.5) и (3.2)

w = )/£%|1% ЕН = g ЕН, P = ^v. (3.9‘)

Подставив значение v из формулы (3.3), окончательно получим следующее выражение для вектора Умова — Пойнтинга:

Р = [ЕН].(3.10)

Интенсивностью электромагнитной волны называется величина L численно равная энергии, которую переносит волна за единицу времени сквозь единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны. Так же как в случае акустических волн (см. § 2.1), интенсивность электромагнитной волны равна модулю среднего значения вектора Умова — Пойнтинга за промежуток времени, равный периоду Т полного колебания:

/ = |<Р>| = |<[ЕН]>| = ^Ц [EH]dZ .(3.11)

Для линейно-поляризованной плоской монохроматической волны из (3.11) и (3.7) следует, что

儿内/評^,(3.12)

так как за промежуток времени АУТ〈sin?®/—к%+а)〉= 1/2,

56

Основываясь на законе сохранения энергии, можно показать, что в отсутствие поглощения интенсивность сферической электромагнитной волны обратно пропорциональна квадрату расстояния г от центра волны: /~L. Соответственно амплитуды £0 и Яо сферической моно、 хроматической волны обратно пропорциональны г: Е(»~尸~工 и НllL

Рис. з.зРис. з.зМаксвелл теоретически показал, что электромагнитные волны должны производить давление на встречающиеся на их пути тела. По расчетам Максвелла, давление плоской волны пропорционально объемной плотности 切 энергии электромагнитного поля волнь!:

Рис. з.з

Рис. з.з

p=ay(l+R) cosi,(3.13)

где R — коэффициент отражения, т. е. отношение интенсивности волны, отражаемой телом, к интенсивности падающей волны;力 —— угол между направлением распространения падающей волны и внутренней нормалью к поверхности тела (угол падения).

Существование этого давления проще всего пояснить для случая нормального падения (i=0) плоско-

поляризованной волны на плоскую поверхность металла (рис. 3.3). Под действием электрического поля волны электроны в металле перемещаются в сторону, противоположную вектору Е (значительно более массивные положительные ионы практически не реагируют на поле волны, изменяющееся с большой частотой). Со стороны магнитного поля на каждый электрон, движущийся со скоростью v&, действует сила Лоренца F3~—е [veB]. Эти силы направлены внутрь металла перпендикулярно его поверхности. Таким образом, электромагнитная волна действительно должна производить давление на поверхность металла.

Излучение электромагнитных волн

В электродинамике доказывается, что электромагнитные волны возбуждаются изменяющимися во времени электрическими токами, а также отдельными движущимися электрическими зарядами, ускорения которых отличны от нуля 工 Процесс возбуждения электромагнитных волн электрической системой называется излучением электромагнитных волн, а сама система — излучающей системой. Электромагнитное поле волны называется полем излучения.

В качестве примера простейшей излучающей системы рассмотрим линейный гармонический осциллятор — электрический диполь, электрический момент ре которого изменяется во времени по гармоническому закону

Ре=ро sin①力(3.14)

где р0 — амплитуда вектора ре.

Электрический момент диполя (см. т. II, § 2.2) Ре = gL

где 1 ——вектор, соединяющий отрицательный и положительный заряды диполя (плечо диполя), a q — абсолютное значение этих зарядов. Поэтому изменение ре во времени может быть обусловлено тем, что либо q, либо I является функцией времени.

(3.15)(3.16)(3.17)(3.15)(3.16)(3.17)Мгновенная мощность изучения диполя, как можно показать, выражается формулой

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

“ 6nc I 山2 I *

В соответствии с формулой (3.14)

需=-炉рё = - 3维心山•

Поэтому

N =siiAof.

За промежуток времени, равный периоду Т колебания, средняя мощность излучения диполя

(3.18)(3.18)т

(3.18)

(3.18)

/ JА 厶16 IJ

О

Излучение энергии диполем не одинаково в различных направлениях. Интенсивность излучения диполя в так называемой волновой зоне, т. е. в точках пространства, отстоящих от диполя на расстояниях г, которые во много раз больше размера диполя и длины излучаемых им волн,

7 sin2 6/〜

где 3 — угол между осью диполя и рассматриваемым направлением излучения. Зависимость 7 0T 心 при фиксированном значении г, изображенную в полярных координатах /,心(рис. 3.4), называют полярной диаграммой направленности излучения диполя. Из этой диаграммы видно, что диполь всего сильнее излучает в направлениях 心工寬/2, т. е. в плоскости, проходящей через середину диполя перпендикулярно его оси. Вдоль своей оси (3=0; л) диполь не излучает совсем.

Формула (3.15) справедлива также для излучения произвольной системы точечных электрических зарядов qlt ^2,..., qn, движущихся с малыми скоростями (fz<^c). Если положение i-ro заряда определяется радиус-вектором г；, то электрический (дипольный) момент системы

зарядовзарядовр。 = £%・r, h需=£仇當=2由,1= I1= Ii= 1

зарядов

зарядов

где 吃=加一 ускорение i-ro заряда.

В частности, для одного заряда q мощность излучения пропорциональна произведению квадрата модуля его ускорения а на q2:

(3.19)(3.19)必豁/aF.

(3.19)

(3.19)

Рассмотренные выше результаты были использованы в приближенной классической теории излучения атомов, согласно которой это излучение обусловлено колебаниями электронов около их положений равновесия в атомах. Если электрон колеблется с циклической частотой ① и амплитудой /0, то, по формуле (3.18), средняя мощность излучения атома

〈n> =醫典僧，(3.20)

где е — абсолютное значение заряда электрона.

В действительности свободные колебания электрона являются не гармоническими, а затухающими, так как энергия колебаний расходуется на излучение. За время dt энергия электрона уменьшается на величину

—dW = <^> dt- [g^®^^.(3.21)

Механическая энергия электрона, масса которого me, W^l^nt^ll, причем амплитуда затухающих колебаний (см. т. I, § 8.5)

где е — основание натуральных логарифмов, /00 — амплитуда в начальный момент времени /=0, В —— коэффициент затухания, 6=67= —2лр/со ——логарифмический декремент затухания. Из последних двух формул следует, что

dW = — 2рГ dt=： — ~Wdt.

Сопоставляя эта выражения с (3.21), находим

I —12зс 2呼 一12лс тв —6с те

(3.22)(3.22)Промежуток времени т, за который амплитуда колебаний электрона уменьшается в е раз, равен

(3.22)

(3.22)

—1 — \ 2лсте

T一万一鳥S3 .

За это время электрон совершает п полных колебаний, причем

孔=р = J・

о Цо(ое-

Для электромагнитного излучения с длиной волны в вакууме 5,10-7 м, соответствующей зеленому свету (①=3,77*10石 с^),

T 一 ]2-3/43108也1，1()-31 С 一 2 25 . 10-8 e4-3,14-10-7-3,77^103».1,6^'10-38к，— J，

6・3」О8.9,1.]о-зт—

4・3,14JO—7.3,77.1015」，б2・10-зв丄и .

В классической теории излучения время т иногда называют средним временем жизни излучающего атома, а также временем высвечивания. В современной теории излучения (см. § 14.8) этому времени соответствует среднее время жизни атома в возбужденном состоянии.

Электрическая система, в которой существует переменный ток, создает в окружающем пространстве переменное электромагнитное поле % следовательно, в той или иной степени излучает электромагнитные волны. Однако если размеры системы малы по сравнению с длиной волны 九=2пс/со (частота колебаний тока невелика), то излучение ничтожно мало. Это связано с тем, что при указанных условиях ток в системе можно считать квазистационарным — в каждый момент времени значения силы тока во всех частях системы практически одинаковы. Электромагнитные поля, создаваемые отдельными участками системы с противоположными по направлению и равными токами, взаимно ослабляют друг друга. Поэтому результирующее переменное электромагнитное поле быстро ослабевает при удалении от системы, т. е, эта система практически не излучает электромагнитных волн. Например, промышленному переменному току с частотой v=50 Гц соответствует длина волны X^c/v^G-106 м. Следовательно, потери на излучение в линии передачи такого тока должны быть ничтожно малы, даже если расстояние между проводами составляет несколько метров.

Для передачи высокочастотных токов применяют коаксиальные кабели, состоящие из центрального провода, расположенного по оси цилиндрического проводника и отделенного от него слоем диэлектрика. Переменное электромагнитное поле коаксиального кабеля полностью локализовано внутри диэлектрика. Вне кабеля поля нет, следовательно, и нет потерь энергии на излучение.

Колебательный контур, состоящий из конденсатора и катушки индуктивности, тоже практически не излучает электромагнитных волн. Это связано с тем, что переменное электромагнитное поле такого контура остается все время почти полностью локализованным только в пространстве между обкладками конденсатора и внутри соленоида.

Простейшим примером излучающей электрической системы может служить вибратор Герца, с помощью которого Г. Герц впервые практически осуществил (1888) генерирование электромагнитных волн и тем самым экспериментально подтвердил правильность теории Максвелла,

Вибратор Герца представлял собой металлический стержень с двумя одинаковыми шарами 力 и 3 на концах и небольшим искровым промежутком С посередине (рис, 3.5). Электроемкость вибратора в основном определялась электроемкостями шаров, а индуктивность — индуктивностью обеих половин стержня. Возбудителем электромагнит-

ных колебаний в вибраторе являлась индукционная катушка НК, провода от вторичной обмотки которой были подключены к искровому промежутку. Когда переменное напряжение во вторичной обмотке катушки достигало значения пробивного напряжения, то в искровом промежутке проскакивала искра и обе половины вибратора замн、 калнсь между собой. В вибраторе возникали затухающие колебания высокой частоты, сопровождающиеся излучением электромагнитных волн. Частота колебаний определялась емкостью и индуктивностью вибратора п в опытах Герца имела значение порядка 108 Гц, г. е. во много раз превышала частоту колебаний напря-力8

ження во вторичной обмотке индукционной катуш- q— …-%• 一 q ки. Для регистрации электромагнитных волн Герц | | использовал резонатор в виде проволочного кольцап~1^~।

с искровым промежутком. В кольце под действиемП I

поля волны возникали вынужденные электромаг*uм и

нитные колебания. Благодаря тому что собствен- Рис. 3.5 ные частоты вибратора и резонатора были одина

ковы, возникал электрический резонанс. Амплитуда вынужденных

колебаний в резонаторе была настолько велика, что колебания можно было обнаружить либо по проскакиванию искры в его искровом промежутке, либо по свечению небольшой газоразрядной трубки, подключенной к искровому промежутку.

Вибратор Герца, размеры которого малы по сравнению с длиной волны его излучения, подобен рассмотренному выше колеблющемуся диполю. Разница состоит лишь в том, что электрический момент вибратора изменяется вследствие колебаний величины^ разноименных зарядов шаров Л и 5, а не расстояния между ними. Однако это различие несущественно для излучения. Поэтому все соотношения, установленные для излучения колеблющегося диполя, применимы к излучению вибратора Герца, а сам вибратор часто называют диполем Герца.

Если уменьшать размеры шаров А и В, то электроемкость вибратора также уменьшается, а частота электромагнитных колебаний увеличивается. Таким образом Герцу удалось получить наиболее коротковолновое электромагнитное излучение (Z^60 см).

В 1895 г. П. Н. Лебедев сконструировал вибратор, состоявший из двух кусочков платиновой проволоки длиной по 1,5 мм каждый, и осуществил генерирование электромагнитных волн с 入=6 мм. Наконец, в 1923 г. А. А. Глаголева-Аркадьева получила электромагнитные волны с 九 от 82 мкм(8,2・10-з см) до нескольких сантиметров. Она использовала для этого изобретенный ею массовый излучатель, в котором роль миниатюрных вибраторов играли мелкие металличес

кие опилки, взвешенные в вязком масле.

Опыты Герца, а затем и других ученых позволили экспериментально проверить и подтвердить свойства электромагнитных волн, предсказанные теорией Максвелла. В частности, Герц в своих опытах показал, что электромагнитные волны являются поперечными. Оказалось, что они, подобно свету, отражаются от поверхности раздела двух диэлектриков и преломляются при переходе через эту поверх-

ность, а также отражаются от поверхности металлов. Последнее свойство Герц использовал для получения направленного коротковолнового электромагнитного излучения с помощью вибратора, помещенного в фокусе металлического зеркала параболической формы. Для повышения чувствительности резонатора Герц помещал его также в фокусе другого параболического зеркала.

Физические основы радиосвязи, телевидения, радиолокации и радиоастрономии

Вскоре после опытов Герца электромагнитные волны были использованы для осуществления беспроволочной связи, получившей название радиосвязи. Первый простейший радиоприемник, регистрировавший электромагнитное излучение грозовых разрядов, был создан А. С. Поповым и продемонстрирован им на заседании физического отделения Русского физико-химического общества 7 мая 1895 г. В марте 1896 г. на заседании того же общества Попов осуществил передачу с помощью телеграфных сигналов первой в мире радиограммы, состоявшей из двух слов: «Генрих Герц». Последующие годы ознаменовались быстрым развитием радиофизики и радиотехники.

Помимо радиотелеграфии была осуществлена передача с помощью электромагнитных волн речи и музыки (радиовещание)^ а также изображений (телевидение). Были разработаны радиотехнические методы обнаружения и определения местоположения удаленных объектов (радиолокация). В настоящее время радиосвязь является основным, а во многих случаях и единственно возможным средством связи. Методы радиофизики и различные радиотехнические устройства широко применяются в самых разнообразных областях науки и техники (электроника, вычислительная техника и т. д,).

Электромагнитные волны, используемые в радиотехнике, называют радиоволнами. Они охватывают очень широкую область частот от 3' 104 до 3- 10L1 Гц. Радиоволны принято делить на следующие основные группы, приведенные в табл. 3.1.

Т а б л и ц а 3.1

Диапазон тгДиапазондлин волн

Наименование волнчастот, Гц(в вакууме),

Сверхдлинные < 3 • 104> 10 000

Длинные 3-104—3-10510 000—1000

Средние 3-105—3-Ю61 000一100

Короткие 3-106—3-107100—10

Ультракороткие: метровые 3-107—3-10810—1

дециметровые 3• 108—3-1091—0,1

сантиметровые 3-109—3-10100,1—0,01

миллиметровые 3-1010—3-10110,01—0,001

Очевидно, что монохроматические волны, бесконечные во времени, непригодны для передачи по радио каких-либо сигналов. Радиосвязь можно осуществлять лишь с помощью модулированных радиоволн, параметры которых (амплитуда, частота, начальная фаза) изменяются в соответствии с передаваемыми сигналами. В зависимости от того, какой параметр волны изменяется, различают три типа модуляции: амплитудную, частотную и фазовую. Частота исходной (немоду- лированной) волны называется несущей частотой, а частота изменения параметров волны при модуляции ——частотой модуляции. Всякий радиопередатчик состоит из генератора незатухающих электромагнитных колебаний несущей частоты; модулятора, преобразующего эти колебания в модулированные; передающей антенны, осуществляющей излучение радиоволн в нужном направлении.

Приемное устройство состоит из двух основных частей — приемной антенны, служащей для преобразования энергии радиоволн в энергию электромагнитных колебаний, и радиоприемника. Используя явление электрического резонанса, входной колебательный контур приемника можно настраивать на прием радиоволн с различными несущими частотами. В приемнике происходят усиление и демодуляция электромагнитных колебаний, т. е, отделение модулирующих колебаний от колебаний с несущей частотой. Модулирующие колебания после их усиления и выпрямления подаются на воспроизводящее устройство {телефон, громкоговоритель и т. п.).

Как показывают опыт и теоретические расчеты, для высококачественного воспроизведения в приемнике сигналов, передаваемых радиостанцией, необходимо, чтобы частота модуляции была по крайней мере в 5——10 раз меньше несущей частоты. В случае передачи речи и музыки модуляция осуществляется со звуковыми частотами, которые обычно не превосходят 10——13 кГц. Поэтому для радиовеща* ния можно использовать все диапазоны радиоволн начиная с длинных. Практически широковещательные радиостанции используют диапа* зоны длинных, средних и коротких радиоволн.

На распространение радиоволн в атмосфере и дальность их приема существенное влияние оказывает явление огибания этими волнами (главным образом длинными радиоволнами) поверхности Земли. Кроме того, большую роль играют поглощение радиоволн в атмосфере и земной поверхности, отражение волн от последней, а также поглощение и отражение волн в верхней, ионизованной, части атмосферы, называемой ионосферой. Нижняя граница ионосферы на・ ходится на расстоянии около 50 км от поверхности Земли. Основной причиной ионизации земной атмосферы является ультрафиолетовое и мягкое рентгеновское излучения Солнца. В нижней части ионосферы имеется несколько областей (слоев), соответствующих максимумам ионизации и определяющих закономерности распространения радиоволн. Самый нижний слой D (средняя высота максимума ионизации около 70 км) практически существует только в дневные часы. Он сильно поглощает средние и короткие радиоволны и отражает длинные радиоволны. Следующий слой Е, максимум ионизации в котором находится на высоте около 110 км, отражает средние радиоволны.

Наконец, еще более удаленная область 尸 днем в летние месяцы состоит из двух слоев Fx и F2» а в остальное время ——из одного слоя F2. Слой 尸I (около 1W км) похож по своим свойствам на слой Е. Слой F3 лежит выше слоя Ft и соответствует абсолютному максимуму ионизации в ионосфере. Его положение заметно изменяется в течение суток и года. Слой 戸2 — основной слои ионосферы, отражающий короткие радиоволны.

Наиболее устойчивая дальняя радиосвязь осуществляется на длинных радиоволнах, которые огибают земную поверхность, почти не проникают в ионосферу и поэтому мало поглощаются ею. Дальний прием на средних волнах возможен ночью, когда отсутствует слой D ионосферы. Дальняя радиосвязь на коротких волнах, широко используемая в радиовещании и радиотелеграфии, основана на многократном отражении этих волн от слоя F3 ионосферы и поверхности Земли. Используя специальные передающие антенны, которые создают направленное излучение, можно осуществлять коротковолновую радиосвязь на больших расстояниях при сравнительно небольшой мощности радиопередатчика. Однако в силу указанных ^гше особеьшо- стей распространения коротких радиоволн их прием возможен лишь в тех областях поверхности Земли, к которым они подходят после отражения от ионосферы. Таким образом, «зоны слышимости» данной коротковолновой радиостанции перемежаются с достаточно протяженными «мертвыми зонами». Вследствие суточных и годичных колебаний высоты слоя 尸2 ионосферы положения этих зон изменяются. Кроме того, при приеме коротковолновых передач наблюдаются замирания — значительные колебания интенсивности принимаемых сигналов. Замирания вызываются интерференцией радиоволн, отражающихся от различных соседних участков слоя F* ионосферы, взаимное расположение которых изменяется с течением времени.

В телевидении амплитуда несущей волны модулируется в соответствии с различной яркостью отдельных небольших элементов передаваемого изображения. В принятой в СССР системе телевидения все изображение (кадр) разбивается на 625 строк по 833 элемента в каждой строке. Для преобразования изображения в систему электрических сигналов, модулирующих несущую волну и называемых видеосигналами, применяются специальные передающие электроннолучевое трубки. Действие этих трубок основано на явлении фотоэффекта.

В одной из современных передающих трубок — суперортиконе — передаваемое изображение проектируется на полупрозрачный фотокатод. Под действием света из фото катода выбиваются электро кы, причем количество электронов, испускаемых за единицу времени каким-либо участком фотокатода, пропорционально освещенности этого участка. Фотоэлектроны ускоряются в сильном электрическом поле и, бомбардируя плоскую мишень, расположенную позади фотокатода параллельно ему, выбивают нз нее вторичные электрокы. Мишень изготавливается из полупроводника или диэлектрика с большим коэффициентом вторичной эмиссии, равным отношению числа вторичных электронов к числу первичных. В суперортиконе мишень сделана из стеклянной пленки толщиной в 1—2 мкм. Вследствие вторичной электронной эмиссии на поверхности мишени образуется «электрическое изображение» кадра в виде положительных зарядов переменной плотности (большая плотность соответствует более освещенным элементам кадаа). По другую сторону от мишени находится электрон-

ная пушка——устройство для получения узкого пучка электронов, который под действием специальной системы развертки последовательно пробегает по всей поверхности мишени. Энергия электронов пучка в суперортиконе невелика, так что они не вызывают вторичной эмиссии электронов из мишени. Электроны пучка частично переходят на мишень, компенсируя положительный заряд «электрического изображения», а частично отражаются. Таким образом, интенсивность отраженного пучка электронов оказывается модулированной в соответствии с неодинаковыми яркостями различных элементов кадра. Для усиления этих видеосигналов отраженный электронный луч подается на электронный умножитель, благодаря чему чувствительность су- перортикона удается сделать близкой к чувстительности человеческого глаза.

Каждый кадр передается последовательно по частям ——малыми элементами. Чтобы уменьшить мелькание принимаемого изображения, применяют чересстрочную систему развертки ——сначала передают все элементы нечетных строк, а затем четных. За одну секунду передается 25 различных кадров, т. е. около 13 млн. элементов этих кадров! Столь высокая частота модуляции возможна только при передачах на ул ьтр а коротких волнах. Поэтому телевидение осуществляется на УКВ метрового диапазона.

Для воспроизведения изображения в телевизионном приемнике применяется электроннолучевая трубка, называемая кинескопом. Экран кинескопа покрыт составом, который светится под действием падающего на него пучка электронов. С помощью специального устройства производятся горизонтальная и вертикальная развертки электронного луча на экране кинескопа, осуществляемые синхронно с передачей телецентром соответствующих элементов кадра. Неодинаковая яркость свечения в различных точках экрана, необходимая для получения изображения, достигается путем изменения интенсивности электронного луча в соответствии с модуляцией принимаемых электромагнитных волн.

Ультракороткие радиоволны сильно поглощаются поверхностью Земли и практически не отражаются от ионосферы, находящейся в нормальном состоянии. Поэтому надежный прием телевизионных передач обычно возможен только в пределах прямой видимости между передающей и приемной антеннами, зависящей от высоты их расположения над поверхностью Земли, а также от рельефа местности и расположения отдельных крупных препятствий, поглощающих и рассеивающих метровые радиоволны* Наблюдаются случаи дальнего приема телевизионных передач (до 2000 км), которые объясняются отражением метровых радиоволн от возникающих иногда на высотах слоев D и Е очень тонких слоев £s повышенной ионизации. Эти слои £s в основном состоят из положительных ионов металлов (магния, кальция, железа и др.).

Телевизионные программы передаются на большие расстояния с помощью радиорелейных линий, состоящих из цепочки ретрансляционных станций. Ретрансляционная станция принимает сигналы от предыдущей станции, усиливает их и вновь излучает в направлении следующей станции. Для уменьшения мощности передатчиков с помощью антенн ретрансляционных станций обеспечивают остронаправленное излучение. В последние годы для осуществления устойчивой

1 661 663 А. А. 口бпа®. В, М・ Я*о&шкй

1 66

1 66

телевизионной связи на большие расстояния используют искусственные спутники Земли.

Блестящим примером успехов советской радиотехники может служить передача на Землю высококачественных черно-белых и цветных изображений поверхности Марса, полученных в 1974 г. с помощью автоматических межпланетных станций (АМС) «Марс-4» и «Марс-5》. В 1975 г. впервые в истории науки были получены изображения поверхности Венеры вблизи мест мягкой посадки на нее спускаемых аппаратов советских АМС «Венера-9)> и «Венера-10》.

Радиолокация основана на явлении отражения ультракоротких волн от встречающихся на их пути препятствий. В ней используются волны с ^ от нескольких метров до нескольких миллиметров, так как радиолокация наиболее эффективна, когда размеры лоцируемого тела во много раз больше 九.Радиолокатор представляет собой комбинацию мощного ультракоротковолнового радиопередатчика и настроенного на ту же частоту высокочувствительного радиоприемника, имеющих общую приемно-передающую антенну. Антенна радиолокатора осуществляет остронаправленное излучение в виде слабо расходящегося пучка— радиолуча——отдельными периодически повторяющимися импульсами продолжительностью около 10~в с каждый. В промежутке времени между двумя последовательными импульсами излучения, имеющем величину порядка 10-4 ——10'3 с, антенна радиолокатора автоматически переключается на прием волн, отраженных от цели. Расстояние до цели можно найти по промежутку времени между посылкой импульса и приемом отраженного сигнала. Направление на цель определяется ориентацией антенны в момент обнаружения цели. Используя эффект Доплера (изменение частоты при отражении волн от движущейся цели), можно установить скорость цели по отношению к радиолокационной станции.

В настоящее время имеются радиолокационные станции с дальностью действия в сотни и даже тысячи километров. Радиолокаторы надежно работают в любое время суток и при различных метеорологических условиях. Это делает их совершенно незаменимыми в ряде отраслей народного хозяйства и в военном деле. Применение радиолокаторов резко повышает безопасность движения самолетов и кораблей ночью, в тумане и в других неблагоприятных условиях. Радиолокация используется в метеорологии для наблюдения за движением грозовых облаков и предсказания погоды, в геодезии ——при съемке местности, для геологической разведки. Радиолокация используется для исследования метеоров. Она позволяет с большой точностью измерить расстояние до метеора и его скорость. В 1946 г. впервые была осуществлена радиолокация Луны, позволившая подтвердить существование либрации Луны, т. е. очень слабых колебаний ее диска вокруг оси, проходящей через центр диска. Средняя угловая скорость этих колебаний составляет один-два градуса в сутки, так что обнаруженная с помощью радиолокации лучевая скорость (см. с. 44) точек диска была меньше скорости пешехода и составляла около 1 м/с.

Радиолокация ближайших к Земле планет ——Венеры, Меркурия, Марса и Юпитера — впервые была осуществлена в 1961—1963 гг. На

основе радиолокации Венеры и Меркурия удалось установить периоды и направления вращения этих планет. Особенно велика роль радиолокации планет в определении размеров Солнечной системы путем уточнения значения астрономической единицы длины (а. е. д.), равной среднему расстоянию от Земли до Солнца. В результате радиолокации Венеры и Марса» а также использования дополнительных данных оптических измерений и уточненного значения скорости света было найдено, что 1 а. е. д.=(149 597 870,5± 1,6) км. Уточнение значения а. е. д, было необходимо для дальнейшего развития космических исследований, так как позволило направлять автоматические межпланетные станции не только к планетам, но и в точно заданные участки поверхностей планет.

В 1931 г. впервые было установлено существование весьма слабого космического радиоизлучения в области ультракоротких волн (в диапазоне частот от 10 МГц до 15 ГГц), слабо поглощающихся в ионосфере Земли. Однако систематические исследования этого радиоизлучения начались лишь во второй половине 40-х годов, когда в результате больших успехов в области радиолокационной техники были созданы высокочувствительные ультракоротковолновые прием -、 ники и большие приемные антенны с остронаправленным действием. Таким образом, родилась новая наука — радиоастрономия. Устройства, применяемые для приема и исследования космического радиоизлучения, называются радиотелескопами.

Радиоастрономия значительно расширяет возможности исследования различных космических объектов. С ее помощью уже удалось получить много новых сведений, недоступных при обычных оптических наблюдениях. Например, на основе анализа радиоизлучения Луны впервые удалось показать, что поверхностный слой Луны обладает очень малой теплопроводностью.

Радиоизлучение Солнца, как было показано советскими учеными, возникает в атмосфере Солнца и является ценным средством изучения ее состояния. Радиоизлучение Солнца чрезвычайно сильно зависит от его «активности», которая связана с размерами и количеством пятен на его поверхности (фотосфере) и окружающими их факельными полями, более яркими, чем остальные участки фотосферы. Резкое увеличение солнечной активности вызывает на Земле возмущения магнитного поля (магнитные бури) и нарушения радиосвязи на коротких волнах. Прогноз этих нарушений на основе систематического наблюдения радиоизлучения Солнца представляет большой практический интерес.

Обнаружено также радиоизлучение Галактики — звездной системы, к которой принадлежит Солнце, и других звездных систем (галактик), образующих так называемую Метагалактику.

Космическое радиоизлучение в основном имеет магнитотормозное происхождение. Оно испускается быстрыми электронами, которые движутся в космических магнитных полях со скоростями, близкими к скорости света. Это излучение называют синхротронным^ так как по своей природе оно тождественно излучению быстрых электронов, движущихся в синхротроне (см. т. II, § 18.5).

Мощными источниками радиоизлучений В Галактике являются остатки сверхновых звезд и облака межзвездного газа, ионизованного ультрафиолетовым излучением звезд.

На основании анализа радиоизлучения Галактйкй удалось определить распределение и общую массу водорода в Галактике, выявить структуру и напряженность межзвездных магнитных полей, энергию й пространственное распределение электронов и т. д. В 1967 г, были обнаружены Пульсары —— источники пульсирующего радиоизлучения, которые, по-видимому, представляют собой быстро вращающиеся ней- TpQHHbie звезды с очень сильными магнитными полями.

Методами радиоастрономии удается обнаруживать и изучать весьма удаленные от Земли галактики, недоступные наблюдению даже в самые совершенные оптические телескопы. Это связано, во-первых, с 1ем, что подавляющее большинство обнаруженных метагалактических Источников радиоизлучения обладают сравнительно большой радиосветимостью (так называемые радиогалактики): отношение мощности радиоизлучения к мощности излучения видимого света составляет от 0,001 до 10, Во-вторых, благодаря большим эффективным площадям антенн радиотелескопов чувствительность их значительно больше чувствительности самых крупных современных оптических телескопов»

Радиоастрономическими методами удалось обнаружить в 1960 г. совершенно новые объекты Вселенной — квазизвездные радиоисточ- ники, или квазары. Они имеют массу, превосходящую массу Солнца в 108——109 раз, и светимость, на несколько порядков большую, чем светимость всей нашей Галактики!

§ 3.4. Опыты Лебедева. Шкала электромагнитных волн

Мы уже говорили о гипотезе Максвелла относительно электромагнитной природы света. Важную роль в признании справедливости этой гипотезы сыграли опыты Лебедева. Лебедев впервые эк- 口 спериментально обнаружил и измерил давление света 3 на твердые тела (1900) и газы (1907—1910), показав, что оно согласуется с формулой (3.13) теории Максвелла для электромагнитных волн.

Прибор Лебедева представлял собой весьма чув* ствительяьге крутильные весы, подвижная система которых состояла из легкого каркаса с укрепленными на нем тонкими кружками («крылышками»), расположенными симметрично относительно оси подвеса. Одна из конструкций подвижной системы показана на рис. 3.6. Некоторые крылышки были зачернены, а поверхность других была зеркальной. Вся эта система подвешивалась на тонкой упругой нити pHCt з£ внутри закрытого стеклянного баллона, воздух из которого был откачан. Крылышки освещались светом от вольтовой дуги, направляемым на них с помощью специальной системы линз и зеркал. Световое давление на крылышки определя-

лось по углу закручивания нити подвеса, регистрировавшемуся с помощью зеркального отсчета.

Давление света столь мало, что для его надежного измерения необходимо было исключить влияние на крылышки всех других факторов. Влияние конвекционных токов воздуха было, исключено Лебедевым путем создания в баллоне достаточно глубокого вакуума. Однако и в этом случае оставался неустраненным так называемый радиометрический эффект- Причина его состоит в том, что зачерненное крылышко нагревается в результате поглощения падающего на него света, причем температуры освещенной и неосвещенной (задней) поверхностей крылышка не одинаковы. Это различие связано с передачей энергии внутри крылышка путем теплопроводности и зависит от толщины и материала крылышек. Молекулы разреженного воздуха в баллоне, ударяясь о поверхности крылышек и отражаясь от них, создают давление на крылышко. При ударе о более нагретую светом переднюю поверхность крылышка молекулы увеличивают свою энергию и отскаки

вают с большими скоростями, чем молекулы, отражающиеся от задней поверхности. Поэтому молекулы воздуха создают результирующее давление на зачерненную поверхность крылышка, складывающееся с давлением света. Радиометрический эффект может привести к тому, что в опыте давление на зачерненное крылышко окажется больше давления на зеркальное крылышко тех же размеров. Лебедев исключил влияние радиометрического эффекта, использовав в своих опытах очень тонкие крылышки различной толщины от 0,01 до 0,1 мм. Давление света иа зеркальное крылышко (с коэффициентом отражения 7?^-1) оказалось вдвое большим, чем давление на зачерненное крылышко (火=0), что соответствует теоретической формуле Максвелла (3.13).

На рис. 3.7 изображена упрощенная схема установки Лебедева для измерения давления света на газы. Свет, проходящий сквозь стеклянную стенку Л, действует на газ, заключенный в цилиндрическом канале В. Под влиянием света газ перетекает из канала В в сообщающийся с ним канал С. В канале С находится легкий подрижный поршень £>, подвешенный на тонкой упругой нити Е, перпендикулярной плоскости чертежа. Угол закручивания нити, измеряемый с помощью зеркального отсчета, пропорционален световому давлению на газ.

Опыты Лебедева завоевали ему мировую известность и вошли в историю физики как классический пример тончайшего физического эксперимента.

Отличие света, видимого глазом человека, от электромагнитных волн, получаемых с помощью различных электрических колебательных систем, состоит лишь в том, что видимые электромагнитные волны имеют значительно меньшую длину волны (от 3,9 • 10-5 до 7,5 义 X 10'5 см) 1.

В оптике длины волн принято выражать в нанометрах (нм), а также в ангстремах (А); 1 нм= Ю*-9 м, lA = Q,l нм= 10-10 м.

Атомы и молекулы излучают также и невидимые глазом электромагнитные волны. Электромагнитные волны с %>7,5・10一生 см, заполняющие промежуток между ультракороткими радиоволнами с 九= =1—2 мм и видимым светом, называют инфракрасным излучением. Электромагнитные волны, длины которых заключены в пределах от 3,9-10-6 до 10-6 см, называют ультрафиолетовым излучением. В 1895 г. В. Рентген обнаружил еще более коротковолновое электромагнитное излучение — рентгеновское (см. § 14.11). Наконец, вскоре после открытия в 1896 г. явления естественной радиоактивности было установлено, что в процессе радиоактивного распада часто возникает 7-излучение — электромагнитное излучение с длиной волны Х<1А.

4 5 6 7 S 9 10 И 12 13 W К 76 17 18 7g 28 21

95彥运95彥运днхе莒9$днхе莒9$s^^^s 1-luq-s^^^s 1-luq-ш-з-q*-- §ё^ё&^ш-з-q*-- §ё^ё&^彥尽冬-營w彥尽冬-營wss^s-9a嚣н£ss^s-9a嚣н£

95彥运

95彥运

днхе莒

9$

днхе莒

9$

s^^^s 1-luq-

s^^^s 1-luq-

ш-з-q*-- §ё^ё&^

ш-з-q*-- §ё^ё&^

彥尽冬-營w

彥尽冬-營w

ss^s-9a嚣н£

ss^s-9a嚣н£

4 3 2 I Q Т Т Т Т У -6 鼻7 ・8 -9 70 -Я -й 的力小阿

Рис. 3.8

Границы по частоте v (или длине волны в вакууме l=c/v) между различными видами электромагнитного излучения, которые выбраны при построении так называемой шкалы электромагнитных волн, изображенной на рис. 3.8, весьма условны. В действительности нет никаких резких переходов от одного вида излучения к другому. Однако, как мы увидим дальше, электромагнитные излучения, частоты которых отличаются на много порядков (например, радиоволны и лучи Рентгена), обладают качественно различными свойствами.

§ 3.S. Способы измерения скорости света

Впервые измерение скорости света в вакууме было осуществлено О. Рёмером (1676) на основе наблюдений затмения спутника Юпитера Ио. Период Го обращения Ио вокруг Юпитера равен 42,47 ч. Однако наблюдаемые с Земли промежутки времени Т( между двумя последовательными затмениями Ио изменяются в процессе движения Земли по орбите. В положении наибольшего сближения Земли и Юпитера (3 и Ю на рис. 3.9) Т产Т『По мере удаления Земли от Юпитера величина 7\ вначале постепенно возрастает, а затем убывает и становится вновь равной То лишь в положении наибольшего удаления Земли от Юпитера (3‘ и /О' на рис. 3.9). Это явление, как правильно считал Рёмер, объясняется тем, что свет распространяется с конечной скоростью с: за время между двумя последовательными затмениями Ио Земля удаляется от Юпитера на некоторое расстояние, для про-

хождения которого световому сигналу о наступлении затмения Ио требуется дополнительное время, равное 7\—Го. Разности 7\—Tg не превосходят 15 с, и их достаточно точное измерение во времена Рёмера было невозможно. Однако за время движения Земли по орбите из точки 3 в точку 3’ в результате суммирования кажущихся запаздываний всех ^ наблюдаемых при этом затмений Ио кажущееся опоздание в наступлении W-ro затмения составляет заметную величину:

АТ= £ (7\—Т) Так как при этом увеличе- ние расстояния от Земли до Юпитера равно диаметру d орбиты Земли (d=2,99・ 10" м), то скорость света c=dJNT、По измерениям Рёмера, f=2,15* 108 м/с. Согласно современным уточненным данным, АТ=16,5 мин и с^3・ 108 м/с.

Второй астрономический метод измерения скорости света был предложен Д. Брэдли (1727). Точные измерения показали, что в тече

ный большойный большойние года все звезды описывают на небосводе эллиптические траектории. Углы, под которыми видны с Земли большие полуоси этих эллипсов, для всех звезд одинаковы и равны а=20,5". Эксцентриситет е каждого эллипса зависит от угла 中 между направлением из центра Земли на соответствующую звезду и плоскостью орбиты Земли (плоскостью эклиптики): по мере уменьшения ср от 冗/2 до 0 е возрастает от 0 (круговая орбита звезды) до 1 (эллипс вырождается в отрезок прямой, рав-

ный большой

ный большой

осиосилескоп и точка Олескоп и точка О«эллипса»). Описанное явление получило название годичной аберрации света. Оно свидетельствует о конечном значении скорости света и может быть использовано для ее определения.

оси

оси

лескоп и точка О

лескоп и точка О

Поясним это на простейшем примере влияния годичного обращения Земли вокруг Солнца на наблюдение звезды, для которой угол 中=冗/2. В данном случае истинное направление ОА на звезду (рис. 3.10) все время перпендикулярно вектору V скорости движения Земли по орбите (V=29,8-103 м/с). Однако если ось телескопа направить вдоль

линии О А, то изображение звезды в телескопе окажется смещенным по отношению к центру О его поля зрения. В самом деле, за время Af прохождения светом расстояния / внутри телескопа сам те- вместе с Землей смещаются в направлении вектора V

на расстояние Дх = у Д/= —Следовательно, для получения изображения звезды в центре О поля зрения телескопа ось последнего нужно отклонить от вертикали ОА в сторону движения Земли на угол а, удовлетворяющий условию

(3.23)(3.23)tga=&； =上

(3.23)

(3.23)

При этом наблюдателю, смотрящему В телескоп, будет казаться, что звезда находится не на линии ОЛ, а на продолжении оси телескопа, т. е. на линии ОА\ В процессе движения Земли по орбите вектор ее скорости V и связанная с ним линия OAf медленно вращаются вокруг оси ОА. За год вектор V поворачивается на 360°, а лийия ОАГ описывает круговую коническую поверхность с осью ОА. Вращение кажущейся линии наблюдения на звезду и является причиной годичной аберрации света, потому что истолковывается наблюдателем как результат движения звезды по круговой орбите. Угловой размер а радиуса этой орбиты, как уже указывалось выше, равен 20,6". С другой стороны, он должен удовлетворять соотношению (3,23). Таким образом,

К 29,8」事

с = 1^ = !?^м/с^3.10Вм/с.

Для нахождения скорости света в земных условиях необходимо точно измерять весьма малые промежутки времени, за которые световой сигнал проходит сравнительно небольшие расстояния. Впер

вые такие изменения были выполнены А. Физо (1849) с помощью установки, принципиальная схема которой изображена на рис. 3.11. Основной элемент установки — весьма точно изготовленное зубчатое колесо ^, которое может вращаться вокруг оси ОО'. При неподвижном колесе свет от точечного источника S проходит через линзу Л± и, отразившись от полупрозрачного плоского зеркала А, проходит через промежуток между зубцами колеса К・ Далее с помощью системы линз Л2 и Л3 свет направляется на плоское зеркало 3 и после отражения от него направляется вновь на зубчатое колесо. Свет, прошедший сквозь промежуток между зубцами колеса, полупрозрачное зеркало Л и окуляр, попадает в глаз наблюдателя Н, Для прохождения светом расстояния 2/ от колеса до зеркала 3 и обратно затрачивается время Af=2 Ис. Поэтому, приводя во вращение колесо, можно так подобрать его угловую скорость(о=(о0, чтобы за время А£ колесо поворачивалось на половину зубца, т. е. чтобы на пути света, отра-

генного от зеркала 3, оказался непрозрачный зубец:

где Z — общее число зубцов на ободе колеса. Очевидно, что(о0 представляет собой ту наименьшую угловую скорость колеса, при которой наблюдатель не видит света. Из формулы (3.24), зная Z и / и измерив в опыте величину ©0 , можно вычислить значение с.

В 1850 г. Л. Фуко применил для измерения скорости света в воздухе и воде метод вращающегося зеркала. Ему впервые удалось показать, что в согласии с волновой теорией скорость света в воде меньше, чем в воздухе. Комбинацией методов Физо и Фуко является метод вращающейся восьмигранной зеркальной призмы, предложенный А. Майкельсоном и известный из курса физики средней школы.

В одном из наийэлее точных лабораторных методов измерения скорости света в вакууме в качестве высокочастотного модулятора интенсивности света была использована ячейка Керра (см. § 8.4), а в качестве устройства, регистрирующего свет,——специальный фотоэлемент.

На основании обработки многочисленных экспериментальных данных в настоящее время принято считать, что скорость света в вакууме с = 299 792 458(1,2) м/с.

Всякий метод измерения скорости света неизбежно связан с отправлением и приемом какого-либо светового сигнала, т. е. с использованием не монохроматической, а модулированной волны, представляющей собой группу волн. Следовательно, в。всех рассмотренных выше опытах в действительности измеряется групповая скорость света. В § 1.3 было показано, что фазовая и групповая скорости совпадают только в случае отсутствия дисперсии волн в среде. Для света это условие, строго говоря, выполняется только в вакууме.

Глава IV ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ^

§ 4.1. Формулы Френеля

В § 1.4 установлены законы отражения и преломления волн любой природы (в том числе и световых) на границе раздела двух изотропных непоглощающих сред. На основании формул (1.34), (1.35), и (3.2‘) закон преломления света можно записать в форме

sin I п2 “Sin r 九1 31где% = 〃％ = /% и & = 〃％ = /%(4.2)

——абсолютные показатели преломления первой и второй сред, ех и е2 — их относительные диэлектрические проница.емости, % и S — фазовые скорости света в обеих средах, с — скорость света в ва-

、ккууме, а 出】一относи-

?>^ , l /\、 丁 “ тельный показатель пре- f 卞、 » 力二^2Х^>^ 二 М ломления второй среды «„4 . < уИпо отношению к первой.

「 гСоотношение (4.1) иног-

Рнс. 4.1да называют законом

Снеллиуса.

Если 拄i> па, то говорят, что первая среда оптически более плотная, чем вторая. В этом случае угол преломления г больше угла падения i. Следовательно, существует такой угол падения inp> при котором г=90°. Этот угол называется предельным или критическим и определяется из условия sininp —^. При i>tnp свет полностью отражается от второй среды. Такое явление называется полным внутренним отражением. Оно широко используется в оптике для изменения направления распространения света. На рис. 4.1 показано несколько типов призм полного внутреннего отражения (направления распространения света показаны стрелками).

Среда оптически однородна, если ее абсолютный показатель преломления n (v) = )/е (v) для света произвольной частоты v одинаков во всех точках этой среды. В противном случае среда называется оптически неоднородной. Для характеристики направлений распространения световой волны в различных точках среды пользуются понятием луча. Лучом называется линия, касательная в каждой точке которой совпадает с направлением вектора плотности потока энергии световой волны в этой точке.

1 Предполагается, что диэлектрики не поглощают свет и оптически изотропы, т. е. их оптические свойства не зависят от направления распространения и характера поляризации световой волны,

В оптически однородной среде лучи прямолинейны. Если среда изотропна, то лучи нормальны к волновым поверхностям. В дальнейшем мы будем также употреблять слово «луч» (или «луч света») в несколько ином смысле, понимая под этим узкий пучок света, распространяющийся в определенном направлении.

Значительно более сложным является вопрос о соотношениях между амплитудами и фазами падающей, отраженной и преломленной волн на границе раздела. Эти соотношения для плоских монохроматических волн называют формулами Френеля. Они получаются из граничных условий для электромагнитного поля на поверхности раздела двух изотропных диэлектриков (см. т. II, § 21.4):

•^1Т~ 62^2«»(4.3)

= Н碧nJI 1n =世/上$(4・4)

где а,卩1 и еа> щ — относительные диэлектрические и магнитные проницаемости соответственно первой и второй сред; Ei, Hi и Еа, Н3 — векторы напряженностей полей в обеих средах; Eg Hix и Eg Hin — проекции этих векторов соответственно на касательную плоскость и нормаль к границе раздела сред.

только три волны — падаю-только три волны — падаю-Всякую плоскую монохроматическую световую волну, как видно из уравнений (3.6), можно представить в виде совокупности двух плоских монохроматических волн той же частоты, в которых векторы Е колеблются вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений. Поэтому для нахождения з акономерн остей отражения и преломления плоских волн на границе раздела двух сред достаточно рассмотреть порознь плоскую волну, в которой вектор Е колеблется в плоскости падения (p-волна), и плоскую волну, в которой вектор Е колеблется перпендикулярно плоскости падения (s-волна).

только три волны — падаю-

только три волны — падаю-

В дальнейшем предполагается, что обе среды полубесконечны, т. е. неограниченно простираются по обе стороны от границы раздела. Поэтому можно не учитывать многократного отражения и считать, что у границы раздела сходятся щая, отраженная и преломленная.

Рассмотрим сначала отражение и преломление p-волны. Обозначим векторы Е для падающей, отраженной и преломленной р-волн в точках поверхности раздела через Е} Е^тр, Е^р. Будем считать числовые значения этих векторов положительными, если их направления совпадают с теми, которые показаны на рис. 4.2, где векторы Нр, Н^, Н* направлены из-за чертежа к нам. При таком правиле выбора знаков колебания Е^ и Е^ совершаются в одной фазе, если их числовые значения совпадают п о знаку. В этом проще всего убедиться на примере нормального падения света (i=r=0): векторы Е； и Ерр совпадают по направлению* Наоборот, векторы Е®

и Е?р колеблются в одной фазе, если их числовые значения имеют противоположные знаки; колебания этих векторов сдвинуты по фазе на п, если их числовые значения имеют одинаковые знаки. В самом деле, во втором случае при нормальном падении света векторы Е^ и Е^тр противоположны по направлению*

Выведем формулы Френеля для p-волны. В первой среде распространяются две волны ——падающая и отраженная, а во второй —— только преломленная. Поэтому результирующие напряженности Е〔 и Е3 в первой и второй средах вблизи границы раздела соответственно равны

Е] = Е\ + Е” и Е2 = Е^р.

Проекции векторов Ei и Е2 на касательную и нормаль (проведенную из первой среды во вторую):

Е1Т = £® cos i — ЕрТр cos i, E2t —£pP cos r;

E^ =—風 sin i—E\e sin Z, E施=—E” sin r.

где t и г — углы падения и преломления.

(4.5)(4.5)(4.5')(4.5')(4-6)(4-6)Подставим этн значения в граничные условия (4.3): (£р —七尸)cos t =£pp cos 8r(£^ + E『P) sin i = &E嗽 sin r.

(4.5)

(4.5)

(4.5')

(4.5')

(4-6)

(4-6)

Так как

то при i=#。систему уравнений (4.5) преобразуем к виду

£рТР cos f-卜 Ерр cos г — Ер cos i,[

—Е^Р sin 厂十七胱 sin i = Ep sin г. j

Из этой системы находим Е/р и 纬。：

grp — q sin I cos i — sin r cos r —户 tg (t — r)

七 P — 卩 sin Teos Z sin r cos^"— 夕 tg (i 十 f)，

卫口卩—卫0 2 sin r cos i—尸°2 sin г cos t

P — p sin fcos i-j-sin r cos7 — p sin (?+7) cos (i—7)'

Соотношения (4.6) называют формулами Френеля для р-волны. Значения Е^р (о) и Е^ (0) для случая нормального падения света на границу раздела двух сред получим из уравнений (4.5), переходя в них к пределу при Q0:

七弘0) 一 Е尸(0) = EУ(0),

Ek0) +七产(0) = %君凯(0).

Следовательно, при £=尸=0

Е/р(°)=婦坛 н Е"0)=^р取. (46)

Рассмотрим теперь отражение и преломление s-волны. Будем считать, что числовые значения векторов Eg, Е^’р и ERP положительны, если эти векторы направлены в одну и ту же сторону по отношению

д н о й фазе с Eg, если ихд н о й фазе с Eg, если ихРис. 4.3Рис. 4.3

д н о й фазе с Eg, если их

д н о й фазе с Eg, если их

Рис. 4.3

Рис. 4.3

к плоскости падения (например, из-за чертежа, как показано на рис. 4.3). На этом же рисунке показаны соответствующие положительные направления магнитных векторов Н* Н°тр и Н"р. Очевидно, что

векторы Е^р и Еу колеблются в i числовые значения Е烈 и Е質 имеют тот же знак, что и Е?. Аналогично тому, как это было для р-волны,

Е] = Е?+Е宓 и Е? = Е?р；

соответственно

н】 = н?+н;тр и н2-н?р.

Так как “【и 内 практически равны единице, то на основании (3.5) //；= J/器Е；,出тр= /筹Е/р и

出评=|/常Е賢.

Поэтому проекции Нх и Н2 на касательную и нормаль (проведенную из первой среды во вторую) соответственно равны:

%т = — 〃g cos / + Я?тр cos i— р ^1&0加0 (一 Е； + Е；тР) cos %〃2t = —日产 cos г = — ре2со/Мо £$р cos г,Н]产 # sin t + H^sin i = /7^1； (В? + ^Гр) sin i,仇在="У sin r = /7^； £?p sin r.

Подставим эти значения в граничные условия (4.4), положив во втором из них *1=四：

Ve (-e?+e？1Р) cos』一У е2 £沙 cos Г, 了就(Е?+ Е烈)sin i= /Ё； Eh sin r.

Так как

то при f#0 систему уравнений (4.7) преобразуем к виду

(47)(47)(—Е?+Е?тР) sin г cos i =—七产 si口 t cos r,E：+E产=e叫

(47)

(47)

Из системы (47) можно найти £尹 и Ер

?殍=琪?殍=琪sin г cos i— sin / cos r — p0 sin (Z — r) sin i cos r + sin r cos i — s sin(i + rjsin г cos i— sin / cos r — p0 sin (Z — r) sin i cos r + sin r cos i — s sin(i + rjE^p = E?E^p = E?2 sin r cos isin i cos r + sin 广 cos i2 sin r cos isin i cos r + sin 广 cos i=E：=E：2 sin『cos iTin (?+ r)2 sin『cos iTin (?+ r)(4.8)(4.8)

?殍=琪

?殍=琪

sin г cos i— sin / cos r — p0 sin (Z — r) sin i cos r + sin r cos i — s sin(i + rj

sin г cos i— sin / cos r — p0 sin (Z — r) sin i cos r + sin r cos i — s sin(i + rj

E^p = E?

E^p = E?

2 sin r cos isin i cos r + sin 广 cos i

2 sin r cos isin i cos r + sin 广 cos i

=E：

=E：

2 sin『cos iTin (?+ r)

2 sin『cos iTin (?+ r)

(4.8)

(4.8)

Соотношения (4.8) называют формулами Френеля для $-волны. Значения Е；'Р(0) и Е^р(0) для случая i=0 (нормальное падение света)

77

найдем из уравнений (4.7), переходя в них к пределу при if 0:

-£? (0) + £ГР (0) - - niXE^ (0), I

£?(0) + £?тр(0) = £?р(0).J

Следовательно, при i—г=0

Е；тр(о)= _^|е：(О) и Е^(0) = 7Tе；(о).(48)

%21十1几21十1

Закон Брюстера.

Коэффициент отражения света

Из формул Френеля (4.6) и (4.8) можно найти фазовые соотношения между отраженной или преломленной и падающей волнами. Углы i и г всегда заключены в пределах от 0 до 冗/2. Поэтому при любых значениях i и г, как видно из (4.6) и (4.8), Е^ и £^ совпадают по знаку соответственно с £р и Eg, т. е. на границе раздела сред фаза преломленной волны всегда совпадает с фазой падающей волны.

Для отраженной p-волны Е?р совпадает по знаку с Е；, если tg"+ +г) и tg(i—г) одновременно положительны или отрицательны. Это возможно в двух случаях:

при i > г (п21 > 1) и г + г < л/2;

при i V г (拄21 < 1) и I + г > л/2.

Такое отражение р-волны сопровождается сдвигом по фазе на л. Отражение p-волны происходит без сдвига фаз в следующих двух случаях:

при / > г(л21 > 1) и I + г > л/2;

при iV「(〃2iVl) и i+厂 V 冗/2.

Для отраженной s-волны 七；邛 и Е? совпадают по знаку и отражение происходит без сдвига фаз, если i V г. При i > г отражение s-волны сопровождается сдвигом по фазе на л.

Угол падения i0, при котором сумма углов падения и преломления равна л/2, называется углом Брюстера. Его можно найти из закона преломления света:

£п7曰/2-,%=&1，или tg“o = %r(4§)

Таблица 4.1Таблица 4.1Дв1 > 1〃£i V 1Дв1 > 1〃£i V 1，V % I > % 才 V io I > t©，V % I > % 才 V io I > t©Если i=io, то направления распространения отраженной и преломленной плоских волн взаимно перпендикулярны. Очевидно, что i+rV < л/2 при i V М н i+r > л/2 при i > iQ. Поэтому все полученные выше результаты относительно разности фаз отраженной и падающей волн можно свести в табл. 4丄

Таблица 4.1

Таблица 4.1

Дв1 > 1〃£i V 1

Дв1 > 1〃£i V 1

，V % I > % 才 V io I > t©

，V % I > % 才 V io I > t©

р-Волнал00лs-Волналл00р-Волнал00лs-Волналл00В дальнейшем рассматривается отражение света при i V i0. Поэтому в соответствии с табл. 4.1 мы должны считать, что независимо

р-Волнал00л

s-Волналл00

р-Волнал00л

s-Волналл00

от характера поляризации падающего света отражение от границы с оптически менее плотной средой (北21V 1) происходит без сдвига фаз, а отражение от оптически более плотной среды (拄旦】> 1) связано с изменением фазы на л, т. е. с «потерей полуволны» (см. § 1.5, п. 9).

При падении света под углом Брюстера (»=力)tg(/+r)—оо и по формуле (4.6) Е^р =0, т. е. в отраженном свете колебания вектора Е могут совершаться только перпендикулярно плоскости падения. Иными словами, отраженный свет является полностью линейно-поляризованным. Этот результат называется законом Брюстера.

Следует заметить, что в случае nai V 1 полученные выше соотношения для амплитуд и фаз отраженной и преломленной волн справедливы только при углах падения i V inp- При i > 匕卩 происходит полное внутреннее отражение и угол преломления г, входящий в формулы Френеля и определяющий направление распространения преломленной волны, теряет смысл. Как показывают расчеты, при падении линейно-поляризованной плоской волны под углом i=i“p отраженная волна тоже линейно-поляризована. Если / > /пр, то линейно-поляризованный падающий свет после отражения становится эллиптически- поляризованиым.

Для энергетической характеристики отражения света вводится коэффициент отражения R, равный отношению интенсивностей отраженного и падающего света:

R = I叫 1> (4.10)

В соответствии с законом сохранения энергии /о и 7отр равны суммам интенсивностей соответственно падающих и отраженных р- и 5- волн:

人=/^+/： И /。b=/L +呼Р. (4.10")

Выше было показано [см. (3.12)], что интенсивность плоской линейно-поляризованной электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды колебаний напряженности ее электрического поля. Следовательно,

(£Г)Ч(^тр)2А一⑶尸+(Е炉-

Для случая нормального падения света, пользуясь формулами (4.6‘) и (4.8'), получаем

R =(黯)1(4」1‘)

Так, например, при нормальном падении света на границу раздела воздуха со стеклом (拄21=1,5) /?—0,04. Поэтому в оптических приборах, содержащих большое число линз и призм полного внутреннего отражения, потери энергии при многократном отражении могут привести к значительному ослаблению энергии света на выходе из прибора. Для уменьшения этих потерь применяется специальная «просветленная оптика», в которой используется явление интерференции света в тонких прозрачных пленках. Принципы «просветления» оптики рассмотрены в следующей главе.

Законы преломления и отражения, выведенные для плоской границы раздела сред, приблизительно верны и для искривленной границы, если ее радиус кривизны значительно больше длины волны света.

До сих пор мы говорили о так называед^ом зеркальном отражении, при котором угол отражения равен углу падения. В действительности отражение плоских волн от шероховатых поверхностей раздела сред далеко не всегда является зеркальным или даже близким к нему (например, отражение света от газетной бумаги, штукатурки и т. д.). Шероховатые поверхности отражают падающий на них свет во всех направлениях. Такое отражение называется диффузным или рассеянным. Поверхность, рассеивающая свет равномерно по всем направлениям, называется абсолютно матовой.

Как показывают теоретические расчеты и опыты, отражение от шероховатой поверхности тем ближе к зеркальному, чем меньше высота А шероховатостей и больше угол падения i. В этом моадю убедиться, рассматривая, например, отражение света от бумаги с различной гладкостью при углах падения, близких к 90°. Если h«M где X — длина волны света, то при любых значениях i отражение является зеркальным.

Рефракция света

Преломление света наблюдается не только при переходе через границу раздела двух различных сред, но и в случае распространения света в одной и той же, но оптически неоднородной среде. Типичным примером этого явления может служить рефракция света в атмосфере Земли — искривление лучей сцета от удаленного источника f в процессе их прохождения через атмосферу. В пер- /5 / вом приближении мо*н。считать, что относительная '\ J //" диэлектрическая проницаемость и абсолютный пока- \ ^^ затель преломления атмосферы, зависящие от ее \ 夕入 плотности, монотонно убывают по мере удаления от \〃 поверхности Земли. Поэтому луч света от какой-ни- ^^-""^^^будь звезды S, проходя через всю толщу атмосферы,

(М、изгибается так, что его выпуклость обращена в

/\ сторону нормали MN к поверхности Земли в точке

I) наблюдения М (рис. 4.4). Угол 5 между кажущимся

、/ для наблюдателя направлением MS' на звезду и ис

тинным направлением MS называется углом астроноРис. 4.4 мической рефракции. Этот угол равен нулю для звезды, находящейся в зените, и максимален для звезд, находящихся у горизонта (6макс ^35,5'). Угловой размер Солнца равен 32'. Поэтому астрономическая рефракция приводит к увеличению продолжительности дня: при восходе и заходе Солнца его диск виден целиком даже тогда, когда верхний край диска находится ниже горизонта на Зт5\ В полярных странах астрономическая рефракция вызывает значительное сокращение полярной ночи (до нескольких суток вблизи полюсов).

Астрономическая рефракция 6 особенно быстро изменяется в области малых углов подъема источника света над горизонтом. Поэтому

при восходе и заходе диски Солнца и Луны оказываются заметно сплюснутыми в вертикальном направлении (угол рефракции 6 для нижнего края диска больше, чем для верхнего). Кроме того, вследствие дисперсии угол 6 возрастает с увеличением частоты v света. В результате этого верхний край восходящего или заходящего Солнца окрашен в сине-зеленый свет, а нижний ——в красный.

В нижних слоях атмосферы Земли непрерывно происходят конвекционные токи воздуха, которые вызывают нерегулярные колебания условий рефракции света, идущего от〃^

звезд. Это явление обусловливает мерца-^^л

ние звезд, т. е. нерегулярные изменения；

их яркости и окраски. Особенно сильно мерцают звезды, находящиеся вблизи*、

горизонта, так как свет от них проходит萨

значительно больший путь в нижнихРис- 4.5

слоях атмосферы, чем свет от звезд, на

ходящихся вблизи зенита. Планеты практически не мерцают, так как в отличие от весьма удаленных звезд, воспринимаемых глазом как точечные источники света, планеты имеют хотя и малый, но все же видимый диаметр. Поэтому нерегулярные изменения условий рефракции лучей, идущих от различных точек диска планеты, мало сказываются на яркости и окраске всего диска в целом. Аналогичное явление наблюдается и для земных источников света — по мере удаления от уличного фонаря все явственнее обнаруживается мерцание его света.

Целый ряд интересных оптических явлений вызывается рефракцией лучей света от удаленных земных источников, происходящей в нижних слоях атмосферы и называемой земной рефракцией. В качестве примера рассмотрим причины и условия возникновения миражей, т. е. ложных изображений далеких предметов. В жаркие безветренные дни в степях и пустынях наблюдается нижний мираж, при котором кажется, что вдали от наблюдателя поверхность Земли, подобно поверхности воды, отражает небо и далекие предметы. Это же явление можно наблюдать на асфальтированной или бетонированной дороге, удаленные участки которой блестят так, как если бы они были покрыты водой. Нижний мираж объясняется аномальным характером изменения с высотой плотности р и абсолютного показателя преломления 〃 в слое воздуха, прилегающем к сильно нагретой поверхности земли: р и п максимальны на некотором расстоянии от поверхности и уменьшаются по мере приближения к ней. Поэтому лучи света от удаленных предметов, падающие на этот слой воздуха под достаточно малыми углами к его плоскости, испытывают в нем полное внутреннее отражение (рис. 4.5).

Если в прилегающем к поверхности Земли слое воздуха температура быстро возрастает с удалением сл поверхности, то возможно полное внутреннее отражение света в верхних частях этого слоя, приводящее к возникновению верхнего миража. Он наблюдается над морем и представляет прямое или перевернутое изображение удаленных предметов (например, кораблей), располагающееся над ними,

Глава V

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

Когерентность и монохроматичность световых волн

Явление интерференции света состоит в отсутствии суммирования интенсивностей световых волн при их наложении, т. е. во взаимном усилении этих волн в одних точках пространства и ослаблении —в других. Необходимым условием интерференции волн является их когерентность (см. § 1.5). Этому условию удовлетворяют монохроматические волны одинаковой частоты. Однако в силу попе- речности электромагнитных волн условие их когерентности еще недостаточно для получения интерференционной картины. Необходимо, кроме того, чтобы колебания векторов Е электромагнитных полей интерфер ирующих волн совершались вдоль одного и того же или близких направлений.

Заметим, что совпадение направлений колебаний электрических векторов Е двух плоскополяризованных волн вовсе не означает совпадения направлений колебаний их магнитных векторов Н. Последние также совпадают только в том частном случае, когда обе волны распространяются вдоль одной и той же прямой. Электромагнитное поле волны определяется обоими векторами Е и Н. Поэтому выбор вектора Е, а не Н, сделанный выше при формулировании условия интерференции когерентных волн, нуждается в специальном обосновании. Для решения этого вопроса необходимо выяснить, какой из векторов (Е или Н) определяет действие света на органы зрения, фотопластинки, фотоэлементы и другие приборы, предназначенные для его обнаружения и измерения. С точки зрения электронной теории, все процессы, происходящие в этих приборах под влиянием света, обусловлены действием электромагнитного поля световой волны на заряженные частицы, образующие атомы и молекулы вещества. Частота световых волн столь велика, что основную роль в указанных процессах играют электроны. Сила F, действующая на электрон со стороны электромагнитного поля, равна [см. уравнение (18.5) т. II]

F = — еЕ —e[veB] = —е{Е + цц0 [veH]},

где у。——скорость электрона,——е ——его заряд, В=ц^оН ——вектор магнитной индукции. Из соотношения (3.5) следует, что максимальное возможное значение модуля второго слагаемого в фигурной скобке (при Ve 丄 Н) равно

где с= 1“％卩0 и v=^clV^]i—— скорости света в вакууме и веществе. Скорость о имеет значение порядка 108 м/с, а скорость электрона % значительно меньше (например, при вынужденных колебаниях электрона с амплитудой Л = Ю-10 м, т. е. равной размеру атома, в поле волны с частотой v =10唸 Гц %= 2nv4〜10$ м/с). Следовательно,

F л；——еЕ, т. е. действие света на электроны вещества в основном определяется электрическим вектором Е электромагнитного поля. Поэтому вектор Е часто называют световым вектором.

Рассмотренные нами следствия из электронной теории полностью согласуются с данными опытов О. Винера, П. Друде, В. Нернста и др. В этих опытах исследовались различные действия стоячих световых волн (см, § 1.5): химическое действие на фотоэмульсию, фотолюминесценция и др. При отражении от металлического зеркала плоской монохроматической световой волны, распространяющейся нормально к поверхности зеркала, фаза вектора Е изменяется на я, а фаза вектора Н не изменяется. Поэтому в стоячей волне пучности Е и Н сдвинуты друг относительно друга на половину длины стоячей волны, или, что то же самое, на четверть длины волны падающего света. У поверхности зеркала располагаются узел Е и пучность Н, Как показали опыты Винера (1890), области почернения фотоэмульсии под действием световой волны действительно совпадают с пучностями электрического вектора Е.

Из повседневного опыта известно, что при наложении света от двух независимых источников (например, двух электрических ламп накаливания) никогда не удается наблюдать явление интерференции. Увеличение числа горящих в комнате ламп всегда приводит к возрастанию освещенности во всех точках комнаты. Применение одинаковых светсфильтров для «монохроматизации» излучения ламп также не приводит к появлению интерференции. Таким образом, волны, излучаемые независимыми источниками света, всегда некогерентны.

Причины указанной закономерности заключены в самом механизме испускания света атомами (молекулами, ионами) источника. В § 3.2 показано, что продолжительность процесса излучения света атомом т 〜10-8 & За этот промежуток времени возбужденный атом, растратив свою избыточную энергию на излучение, возвращается в нормальное (невозбужденное) состояние и излучение им света прекращается. Затем спустя некоторый промежуток времени атом может вновь возбудиться и начать излучать свет. Такое прерывистое излучение света атомами в виде отдельных кратковременных импульсов — цугов волн ——характерно для любого источника света независимо от специфических особенностей тех процессов, которые происходят в источнике и вызывают возбуждение его атомов.

Каждый цуг волн имеет ограниченную протяженность в пространстве, связанную с конечной длительностью т его излучения. Например, протяженность цуга волн, распространяющегося в вакууме вдоль оси X, равна Дх=ст, т. е. составляет 1—10 м. Вследствие этого, а также уменьшения амплитуды из-за затухания колебаний электрона в излучающем атоме цуг волн отличен от монохроматической волны, которая, по определению, имеет неизменную амплитуду и не ограничена в пространстве. С помощью методов спектрального анализа цуг волн можно представить в виде волнового пакета со сплошным спектром частот: циклические частоты входящих в его состав монохроматических волн образуют непрерывную последовательность значений от 8。一As/2 до So+A(o/2, где о» — циклическая частота коле-

баний источника рассматриваемого цуга волн. Величина Аз, характеризующая ширину спектра, зависит от протяженности А% цуга и его «формы», т. е. характера изменения амплитуды волны по длине цуга. Можно показать, что

As》1/q или А%А(о 2 с・(5.1)

Так как волновое число &=з/с, то Д(о=сД/с и неравенство (5.1) можно переписать в более употребительном виде:

ДхА/с> 1.(5.2)

Из (5.1) и (5.2) следует, что цуг волн Тем ближе по своим свойствам к монохроматической волне с циклической частотой(оо и волновым числом ко=^о/с (в вакууме), чем больше длительность т его излучения:

lim As= lim Д(о = О.

Т -> »Длт 8

Для видимого света q0 ~ 10х§ с-1 и отношение As/s()мало:

2；^ —= ~ 1 U *.

5 — Дх(й0 tg)o

Однако в силу инерционности измерительных приборов, а также органов зрения продолжительность регистрации света всегда во много раз больше длительности т излучения одного цуга. Кроме того, в каждый момент времени излучение света осуществляется не одним, а весьма большим числом атомов светящегося тела. Поэтому достаточно высокая степень монохроматичности каждого цуга порознь вовсе еще не означает когерентности различных цугов между собой и связанной с этим монохроматичности совокупного излучения источника света.

Атомы светящегося тела излучают свет независимо друг от друга. Следовательно, начальные фазы соответствующих им цугов волн никак не связаны между собой. Больше того, даже для одного и того же атома значения начальных фаз разных цугов хаотически изменяются от одного акта излучения этого атома к другому. Из всего сказанного ясно, что свет, испускаемый любым макроскопическим источником, немонохроматичен, так как состоит из Множества быстро сменяющих друг друга цугов, начальные фазы которых изменяются совершенно хаотично. Кроме того, значения циклических частот 5 для этих цугов также могут быть различными.

По-видимому, каждый цуг волн плоскополяризован. Однако для различных цугов плоскости поляризации могут быть ориентированы по-разному. Поэтому свет, излучаемый источником, представляет собой набор плоскополяризованных волн со всевозможными направлениями векторов Е, удовлетворяющими только условию их перпендикулярности лучу. Если все указанные направления совершенно равноправны, т. е. ни одно из них не является преимущественным, то свет называют естественным или неполяризованным. В естественном свете результирующая напряженность Е в каждой точке поля волны совершает колебания, направление которых быстро и беспорядочно изменяется, оставаясь в плоскости, перпендикулярной лучу.

Если имеется некоторое преимущественное направление колебаний вектора Е, то свет называют частично поляризованным в плоскости, перпендикулярной этому направлению.

Все сказанное выше справедливо только для так называемого спонтанного излучения атомов или молекул, осуществляющегося независимо от действия какого-либо внешнего электромагнитного поля (см. § 14.8). Однако возможен также другой тип излучения —— индуцированное, или вынужденное, излучение системы возбужденных атомов или молекул, возникающее под действием переменного внешнего электромагнитного поля (см. § 14.8). Индуцированное излучение всех частиц системы когерентно с возбуждающим его монохроматическим излучением, оно обладает той же частотой, направлением распространения и поляризацией. Эти особенности индуцированного излучения используются в квантовых генераторах и усилителях (см. § 15.9).

Некоторые методы наблюдения интерференции света

Основная трудность в осуществлении явления интерференции света состоит в получении когерентных световых волн. В пре、 дыдущем параграфе было показано, что для этого непригодны излучения не только двух различных макроскопических источников света, но и различных атомов одного и того же источника. Поэтому остается только одна возможность — каким-либо способом разделить свет, излучаемый каждым атомом источника, на две или большее число групп волн, которые в силу общности происхождения должны быть когерентными и при наложении будут интерферировать. В самом деле, для каждого цуга волн в одной из этих групп, соответствующего какому- нибудь акту излучения, имеются по одному сходственному цугу во всех других группах. Эти цуги обладают одинаковыми значениями циклических частот з° и начальных фаз, т. е. когерентны между собой. Кроме того, они одинаково поляризованы и поэтому способны интерферировать при наложении.

Результат интерференции в случае наложения двух волн зависит от разности фаз ДФ, приобретенной ими при прохождении от источника света до рассматриваемой точки интерференционной картины (см. § 1.5), Подчеркнем, что в силу ограниченности промежутка времени т излучения каждого цуга наблюдение интерференции возможно лишь при не слишком больших значениях АФ и соответствующих им разностей хода волн. Например, если одна группа волн опережает другую на время Дг== —^т, то каждый цуг из одной группы не сможет встретиться с когерентным с ним сходственным цугом второй группы. Поэтому никакой интерференции не будет.

Четкость интерференционной картины при неизменном отношении интенсивностей обеих групп волн должна быть тем больше, чем больше относительная продолжительность (т—Д0/т интерференции сходственных цугов волн, т・ е. чем меньше величина A〃t・ Если бы

каждый цуг волн был строго монохроматичным (t=oo), то устойчивая интерференционная картина наблюдалась бы при любых разностях хода. Поскольку максимальные значения т 〜 10-8 с, наблюдение интерференции света при разностях хода порядка 1 м уже принципиально невозможно.

В действительности этот предел, как показывают опыты, значительно ниже для света, испускаемого всеми источниками, кроме оптических квантовых генераторов (лазеров). Например, с помощью таких сравнительно высокомонохроматичных источников, как газо

разрядные лампы низкого давления, излучение которых имеет линейчатый спектр, не удается наблюдать интерференцию света при оптических разностях хода, превосходящих величину порядка 0,1 м. Это связано с так называемым «уширением спектральных линий» газоразрядного источника, которое обусловлено эффектом Доплера и столкновениями излучающих атомов с другими атомами газа (см. § 14.8).

Итак, реальный немонохроматический свет можно рассматривать как совокупность сменяющих друг друга независимых гармонических цугов. Однако средняя длительность одного

цуга тк01, называемая временем когерентности, отлична от среднего времени жизни атома в возбужденном состоянии (для спонтанного излучения ткоГ< 10-8 с). Зна

чение тког тем меньше, чем шире спектр частот рассматриваемого немонохроматического света. Например, время когерентности видимого солнечного света, имеющего сплошной спектр частот от 4-1014 до 8-1014 Гц, тког 〜 10*1* с! Иначе обстоит дело в случае вынужденного излучения, время когерентности которого %「» Ю'8 с. Так, для лазерного излучения тког достигает значений порядка 10~5 с.

Среднюю протяженность гармонического цуга /ког = итког> где и — скорость света, называют длиной когерентности рассматриваемого немонохроматического света. Из сказанного выше ясно, что наблюдение интерференции света возможно лишь при оптических разностях

хода, меньших длины когерентности используемого света.

В качестве первого метода получения когерентных световых волн и осуществления их интерференции рассмотрим метод зеркал Френеля. В нем используются два плоских зеркала АГО и Л2О (рис. 5.1), угол а между плоскостями которых очень мал. Свет, излучаемый точечным источником S, после отражения от обоих зеркал распространяется в виде двух пучков с центрами в Si и S2, являющимися мнимыми изображениями источника S в зеркалах. Эти пучки когерентны и при наложении дают на экране 3 интерференционную картину (область ВС). Результат интерференции в некоторой точке Л1 экрана

зависит от длины волны света Л и геометрической разности хода г3—— —fi=|MS2|— |MSi| света от когерентных мнимых источников S2 и Si до точки М. (см. § 1.5). Начальные фазы колебании источников Si и S3 одинаковы и отличаются от начальной фазы S на 冗 вследствие отражения света от зеркал. Поэтому условия интерференционных максимумов и минимумов в соответствии с формулами (L40") и (1.41я) имеют вид

r ±mA—максимум (优=0; 1; 2;..

Г 2一『1 = "\(5.3)

士(2m—1)万一минимум (m= 1; 2;...).

Величина m называется порядком интерференционного максимума или минимума.

В качестве источника S можно также использовать узкую освещенную щель, параллельную линии В этом случае интерференциониая картина на экране будет иметь вид полос, параллельных щели. Пусть экран Э параллелен мнимым изображениям Si и 5ащели S (рис, 5.2) и находится от них на расстоянии L》I, где /=|SiS3|. Обозначим через у расстояние от произвольной точки М экрана до плоскости О®, перпендикулярной экрану и проходящей посередине между S工 и

Из прямоугольных треугольников MS^P^ и MS2D2 следует: rl^D + (y-l/2yt rl^D + {y + U^\

w一r『匂 + 〃2产一e一〃2户，%一人=%.

Обычно достаточно четкая интерференционная картина наблюдается только вблизи середины экрана. Поэтому можно считать, что y《L, q + G q 2L и

г 袋—尸 i^yllL.(5.4)

Из (5.3) и (5.4) следует, что положение m-го интерференционного максимума на экране удовлетворяет условию

=加厶入〃.(5.5)

Аналогичное условие для m-го минимума имеет вид

Ут = (2/71 —- 1)厶九/(2/).Ут = (2/71 —- 1)厶九/(2/).(55)(55)

Ут = (2/71 —- 1)厶九/(2/).

Ут = (2/71 —- 1)厶九/(2/).

(55)

(55)

Расстояние между двумя соседними максимумами или минимумами, называемое шириной интерференционной полосы, равно

(5・6)(5・6)

(5・6)

(5・6)

Значения длин волн X видимого света очень малы [порядка (4~7) х

X 10、？ м], а увеличение^ лимитируется быстрым ослаблением интенсив-

ности интерферирующих волн по мере удаления от Si и Sa. Поэтому для получения достаточно широких интерференционных полос, различимых глазом, необходимо, чтобы расстояние I между Si и Sa было очень мало. Из рис. 5.1 видно, что i=2R sin a q 2Ra, где R==\OS\. Вот почему угол а в зеркалах Френеля выбирается очень близким к 0.

До сих пор мы предполагали, что зеркала Френеля освещаются строго монохроматическим светом с длиной волны X. Если используется белый свет, представляющий набор волн с непрерывным спектром частот и значений длины волн от 3900 А=3,9-10-^ м (фиолетовая граница спектра) до 7500 А=7,5« 10~7 м (красная граница), то интерференционные максимумы имеют вид радужных полос. Фиолетовый край каждой полосы соответствует меньшему значению у, чем ее красный край.

В этом случае наблюдение интерференционной картины возможно только в области полос с малыми т, так как начиная с некоторого значения т—т0 полосы перекрываются и интерференционная картина полностью смазывается. Величину 戒。для излучения в интервале длин волн от Л до 九+厶九＞九 находят из условия, что максимум т0-го порядка для света с длиной волн 九+A九 совпадает с максимумом (/п0Ч~1)-го по рядка для света с длиной волны %:

.^-仇+厶儿)=錚中］l% т. е.

卅0=困『. (5.7)

Во втором методе осуществления интерференции света используется бипризма Френеля, состоящая из двух одинаковых стеклянных призм, сложенных основаниями (рис. 5.3). В результате преломления в

Рис. 5.3Рис. 5.3призме света, испускаемого источником S, за призмой распространяются две системы волн, соответст-

Рис. 5.3

Рис. 5.3

вующие когерентным мнимым источникам Si и S2. Для уменьшения расстояния l=\SiS2\ преломляющие углы а бипризмы делают очень малыми.

В методе Юнга (рис. 5.4) источниками когерентных световых волн являются две узкие щели Si и S2 в непрозрачном экране Л. Первичным источником света служит ярко освещенная щель S, которая параллельна щелям Si и S2 и находится от них на одинаковых расстояниях.

Расчет интерференционной картины на экране 3, получаемой с помощью бипризмы Френеля или по методу Юнга, ничем не отличается от рассмотренного выше для зеркал Френеля.

Интерференция с曲ета в тонких пленках

Не следует думать, что интерференцию света можно наблюдать только в лабораторных условиях, применяя для этого специальные оптические установки (некоторые из них рассмотрены в § 5.2). Каждому неоднократно приходилось наблюдать радужную окраску мыльных пленок, тонких пленок нефти или минерального

цвета побежалости на поцвета побежалости на попокрытых тончайшим про-покрытых тончайшим про-масла, плавающих на поверхности воды,

цвета побежалости на по

цвета побежалости на по

покрытых тончайшим про-

покрытых тончайшим про-

верхности закаленных стальных деталей, зрачным слоем окислив. Все эти явления обусловлены интерференцией света в тонких прозрачных пленках, которая возникает в результате наложения когерентных волн, отражающихся от верхней и нижней поверхностей пленки.

Для установления общих закономерностей интерференции света в тонких пленках рассмотрим плоскопараллельную прозрачную пленку толщиной d, на

которую падает под углом i плоская

монохроматическая волна (луч / на рис. 5.5). Будем предполагать, что по обе стороны от пленки находится одна и та же среда (например, воздух). Абсолютные показатели преломления этой среды и

пленки обозначим через м( и п2, причем для определенности будем

считать, что 几纟 >

Падающая волна частично отражается от верхней поверхности пленки (луч /'), а частично преломляется (луч AD)t Преломленная волна, достигнув нижней поверхности пленки, также частично отражается (луч DC), а частично преломляется (луч 2‘). То же самое вновь происходит на верхней поверхности пленки с волной, распространяющейся вдоль луча DC, причем преломленная волна (луч /") накладывается на волну, непосредственно отраженную от верхней поверхности (луч Г). Эти две волны когерентны. Результат их интерференции зависит от разности фаз АФ колебаний, возбуждаемых этими волнами соответственно в точках СиВ плоскости ВС, проведеннойперпендику- кулярно лучам Г и Г. Колебания, вызываемые в точке С волной, отраженной от нижней поверхности пленки, отстают по фазе от колебаний в точке Л на величину ДФ1=2л (\AD\+[DC\)/kit где А2 — длина волны света во второй среде 工 Аналогично этому, отставание по фазе колебаний в точке В, вызываемых волной, которая отражается от верхней поверхности пленки, равно ДФа=2л |ЛВ l/A-i+л, где Xj — длина волны света в первой среде. Добавочный член л： учитывает сдвиг "фаз, возникающий при отражении света от оптически более плотной среды (мы полагали, что п2 > 〃к если бы па было меньше пъ то добавочный член п нужно было бы ввести в выражение для А①工,

1 Напомним, что при прохождении волной расстояния, равного X, ее фаза изменяется на 2n.

а не для ДФ2). Сдвиг по фазе на л при отражении эквивалентен дополнительному пути света в первой среде, равному 入工/2・ Таким образом, искомая разность фаз интерферирующих волн

ДФ = ДФ1-АФ2 = -^.(|ЛО| + |ОС|)—^(|ЛВ| + ^).

Длины волн 入2 и 入 1 связаны с длиной волны 入 света той же частоты v, распространяющегося в вакууме, следующими соотношениями, вытекающими из формул (1.10) и (4.2):

где Ui и а2 — фазовые скорости света в обеих средах.

Таким образом,

ДФ = ^[л2(|ЛО| + |ПС|)-п1(|ЛВ| + ^] J

или》(5.8)

А①=罕⑷lM),J

где lz=\AD\+\DC\ и 厶=|4B|+九丿2 — геометрические длины путей, пройденных интерферирующими волнами во второй и первой средах (с учетом возможных потерь полуволны при отражении). Произведение геометрической длины пути / световой волны в среде на абсолютный показатель преломления п последней называется оптической длиной пути s: s=nl. Из формулы (5.8) следует, что

А0)= 2 砲九，(58)

где 6=s2—5尸九2厶一MiZi — оптическая разность хода интерферирующих волн.

Для интерференционных максимумов и минимумов должны соблюдаться условия (см. § 1.5):

(5.9)(5.9)ДФ = 2тл — максимум,

(5.9)

(5.9)

Дф — (2/п— 1)冗一минимум,

где tn — любое целое число. Аналогичные условия можгГо записать для оптической разности хода двух интерферирующих волн:

6 =团九一максимум,

六九(5.9‘)

о (2ш — 1) у—минимум.'

Для плоскопараллельной пленки \AD |—|Z?C| и, как видно из рис. 5.5, |4Q|=d/cos г и \АВ\-= |ZC|sin i=2d tg г sin i. Поэтому оптическая разность хода

§ _ 2/г2d 2孔id sin 厂 sin i 孔!/i—cos r cos г2 '

По закону преломления света, nisin Z=n2sin г, следовательно,

6 =嚮(1 — s"r)—^ = 2%acosr—^,(5.10)

илиили

или

или

(5.10')(5.10')6 = 2d 1/п|——л? sin2 z ——九/2.

(5.10')

(5.10')

Результат интерференции в отраженном от пленки свете, как видно из (5,10) и (5.9Л), зависит от числовых значений d, г, п2 н 九：

при Z/igdcosr = (2m+1)彳一максимум отражения, 】］) при 2nad cos г = тк——минимум отражения.

При освещении пленки белым светом для некоторых длин волн выполняется условие максимума отражения, а для некоторых других — минимума. Поэтому в отраженном свете пленка кажется окрашенной.

Интерференция наблюдается не только в отраженном, но и в проходящем сквозь пленку свете. Можно легко показать (предоставляем это сделать читателю), что оптическая разность хода для проходящего света отличается от 6 для отраженного света на 九/2. Следовательно, максимумам интерференции в отраженном свете соответствуют минимумы интерференции в проходящем свете, и наоборот. Поэтому при освещении пленки белым светом ее окраска в отраженном и проходящем свете оказывается взаимно дополнительной.

Возможность ослабления отраженного света вследствие интерференции в тонких пленках широко используется в современных оптических приборах (фотоаппаратах, биноклях, перископах и др.). Для этого на передние поверхности имеющихся в них линз и призм наносят тонкие прозрачные пленки, абсолютный показатель преломления которых пп меньше абсолютного показателя преломления па для материала линзы или призмы. Толщина пленки подбирается таким образом, чтобы осуществлялся интерференционный минимум отражения для света с длиной волны 九^ 5,5* 10-7 м (5500 А), соответствующей наибольшей чувствительности человеческого глаза (зеленый свет). Такая оптика получила название просветленной оптики. В отраженном свете просветленные линзы и призмы кажутся окрашенными в фиолетовый цвет, так как они заметно отражают только красный и сине-фиолетовый свет.

Наиболее полное взаимное гашение световых волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей пленки на просветленной линзе или призме, происходит в случае равенства интенсивностей этих волн, т. е. приблизительно при равенстве коэффициентов отражения от обеих поверхностей: R, =R〃・ При нормальном падении света из воздуха на пленку и из пленки на линзу или призму значения R【и R〃 можно определить по формуле (4.1Г):

+ D 丿'丿'

так как абсолютный показатель преломления воздуха nB ^ 1.

Приравнивая друг другу эти выражения для R』и R〃， найдем оптимальное значение пп абсолютного показателя преломления мате

риала пленкй：

小1—i — Aо一пи小1—i — Aо一пипп + * 加+〃Ппп + * 加+〃П,откуда 吗= ]/£,откуда 吗= ]/£

小1—i — Aо一пи

小1—i — Aо一пи

пп + * 加+〃П

пп + * 加+〃П

,откуда 吗= ]/£

,откуда 吗= ]/£

поверхность пленки под разнымиповерхность пленки под разными

поверхность пленки под разными

поверхность пленки под разными

До сих Нор мы предполагали, что на плоскопараллельную пленку падает плоская волна (т. е. параллельный пучок Лучей). Рассмотрим теперь интерференцию света при падении на пленку расходящегося пучка лучей, соответствующего, например, сферической волне. На рис. 5.6 показаны три луча，2 н 3, падающие от источника S на

углами 必 ц и G, а также соответствующие им пары лучей Г, Г\ 7, 2小 н 3* 3\ обусловленные отражением света от верхней и нижней поверхностей пленки. Оптические разнсюти хода между лучами каждой пары выражаются формулами (5,10). Они не одинаковы для различных пар, так как t 工力 t 疗 J. Для наблюдения интерференции в отраженном свете используются собирающая линза 〃 и экран 3, расположенный в фокальной плоскости линзы (на рис. 5.6 оптическая ось OiO2 линзы параллельна лучам 2' и 2"). В каждой точке экрана, являющейся побочным фокусом линзы, собираются и интерферируют

все лучи. Которые после отражения от пленки оказываются параллельными прямой, соединяющей эту точку с оптическим центром О линзы (например, лучи J' и /"——в точке а, лучи 7 и 2" — в главном фокусе f и т. д.).

Всякая линза обладает тем замечательным свойством, что она не создает дополнительной разности фаз между лучами, собираемыми линзой в одной и той же точке изображения. Иными словами, оптические длины пути для этих лучей одинаковы, или, как принято говорить, таутохронны. Если бы указанное правило не соблюдалось, то с помощью линз нельзя было бы получать изображения предметов (источников света), подобные этим предметам: «изображения» всегда имели бы вид чередующихся интерфенционных максимумов и минимумов освещенности.

Таким образом, при освещении плоскопараллельной пленки монохроматическим светом результаты интерференции отраженного света в различных точках экрана Э зависят только от углов i падения на пленку или равных им углов отражения для лучей, собирающихся в этих точках экрана. Интерференционная картина имеет вид чередующихся криволинейных темных и светлых полос. Каждой из этих полос соответствует определенное значение угла 九 Поэтому они называются полосами или линиями равного наклона. При освещении пленки белым светом на экране наблюдается система разноцветных полос

равного йаклона. Легко видеть, что в том случае, когда оптическая oci> линзы 〃 перпендикулярна поверхности пленки, полосы равного наклона должны иметь вид концентрических колец с центром в главном фокусе F линзы. Это явление используется на практике для весьма точного контроля степени плоскопараллельности тонких прозрачных пластинок (например, стеклянных): изменение толщины пластинки на величину порядка 10 нм (10-8 м) уже можно обнаружить по искажению формы колец равного наклона.

В отсутствие линзы параллельные лучи J «пересекаются» только в бесконечности. Поэт полосы равного наклона локализованы 6 бесконечности. Их можно непосредственно наблюдать глазом, если последний аккомодирован на бесконечность, т. е. фокусирует на сетчатке поступающие в него параллельные лучи света, образующие всевозможные углы с оптической осью глаза.

Рассмотрим теперь еще один возможный случай ——интерференцию света в тонких пленках, толщина которых не одинакова в раз*

ЯыХ местах. На рис. 5.7 изображена простейшая пленка такого тина, имеющая форму плоского клина с малым углом а между боковыми гранями. Пусть на клин падает плоская волна, направление распространения которой совпадает с лучом /. Направления распространения интерферирующих волн, возникающих в результате отражения света от верхней и нижней поверхностей клина, показаны соответственно лучами Г и Г. Оптическая разность хода между ними выражаетсй формулами (5.10), где d ——средняя толщина клина на участке 4С, Поскольку значения f, па и пг постоянны, одинаковым значениям d соответствуют одинаковые оптические разности хода, а следовательно, и одинаковые результаты интерференции. Поэтому в отраженном свете Должны наблюдаться интерференционные полосы (линии) равной толщины.

Верхняя и нижняя грани клина не параллельны между собой, так что лучи Г и I" имеют Несколько различные направления. Для наблюдателя, смотрящего навстречу этим лучам, они кажутся выходящими из точки Mt расположенной вблизи Поверхности клина. Поэтому говорят, что полосы равной толщины локализованы вблизи поверхности тонкой пленки, в которой они наблюдаются.

В рассматриваемом случае полосы равной толщины параллельны ребру клина. Для определения ширины Ау интерференционных полос в случае монохроматического света с длиной волны X запишем условие (5.11) для двух соседних максимумов интерференции [m-го и (т+1)-го порядков]:

2d 仙 cosr = (2m+l)y , 2dm+1n2 cos『=(2m + 3) ^, откуда

2 (^ст+i——dQ 九a cos r = X.(5.12)

(5.13)(5.13)Рис. 5.8Рис. 5.8разом.разом.|£用=昜 н б==4+4-|£用=昜 н б==4+4-

(5.13)

(5.13)

Рис. 5.8

Рис. 5.8

разом.

разом.

|£用=昜 н б==4+4-

|£用=昜 н б==4+4-

Если расстояния от ребра клина до рассматриваемых интерференционных ПОЛОС равны ут И УтХ=Ут+Ау* ТО

d/® = Ут tg ®， dm十1= (yra + Af/)tga и

dm+Ldmi/gak Aya，(5.12')

где а ——малый угол между гранями клина (преломляющий угол клина). Из (5.12) и (5.12') следует

融=^^7・

Ввиду малости 九 преломляющий угол а клина тоже должен быть

очень малым, так как в противном случае полосы равной толщины будут столь тесно расположены, что их невозможно будет различить.

Частным случаем полос равной толщины являются кольца

Ньютона, которые наблюдаются в схеме, изображенной на рис. 5.8.

Плосковыпуклая линза Л с большим радиусом R кривизны выпуклой поверхности обращена этой поверхностью к плоской пластине Л и соприкасается с ней в точке О. Параллельный пучок света падает нормально на плоскую поверхность ВС линзы и частично отражается от верхней и нижней поверхностей воздушного промежутка между линзой и пластиной. При наложении отраженных волн возникают интерференционные кольца равной толщины. Вид этих колец в случае монохроматического света показан на том же рис. 5.8 внизу. В центре находится темное пятно (минимум нулевого порядка). Оно окружено системой чередующихся светлых и темных колец, ширина и интенсивность которых постепенно убывают по мере удаления от центрального пятна. В проходящем свете наблюдается дополнительная картина — центральное пятно светлое, следующее кольцо темное и т. д.

Оптическая разность хода между лучами.

отраженными от верхней и нижней поверхнос

тей воздушного зазора на произвольном рас

равнаравнастоянии r=\DE\ от точки О,

равна

равна

6=2|£F|+V2,

где показатель преломления воздуха принят равным единице, а член Х/2 обусловлен сдвигом по фазе на л при отражении света от поверхности пластины. Из подобия прямоугольных треугольников EOD и EDM следует, что \DO\ : |D£j=|D£| : \DM\. где [DO\=^\EF\,\DE\=r и \DM 1—2/?— \EF 1^27?, так как |£F| = y—у<^27?. Таким об

Из этого соотношения и условий (5.9‘) следует, что радиусы т-х светлого 觴)и темного (rm) колец Ньютона в отраженном свете равны:

喈=/(2加一DR九/21, 2, 3 I

『加= PmR九(w = 0> 1,2...). J'

Очевидно, что в проходящем свете

嚼=pmr九(m = 0, 1, 2 …)，

rm = V(2m — 1) Rk/2 (m = 1, 2, 3 ...).

Правильная форма колец Ньютона легко искажается при всяких, даже незначительных, дефектах в обработке выпуклой поверхности линзы и верхней поверхности пластины. Поэтому наблюдение формы колец Ньютона позволяет осуществлять быстрый и весьма точный контроль качества шлифовки плоских пластин и линз, а также близость поверхностей последних к сферической форме.

В заключение следует заметить, что в приведенных выше расчетах для колец Ньютона мы не случайно пренебрегли влиянием света, отражающегося от верхней (плоской) поверхности линзы и нижней поверхности пластины. Дело в том, что толщины центральной части линзы и пластинки на много порядков больше толщины воздушного зазора вблизи точки О. Поэтому разности хода между световыми волнами, отражающимися от верхней и нижней поверхностей линзы и пластинки, столь велики, что интерференция этих волн практически невозможна. Например, как видно из (5.10), в случае нормального падения света 6^2 dn2 и минимальная толщина 办 линзы или пластинки, начиная с которой интерференционная картина полностью смазывается, в соответствии с формулами (5.7) и (5.9') равна

,加0入九2

° — 2孔2 —2几2 А入,

Для света с длиной волны 九=5000 А и высокой степенью монохроматичности А九=1 А значение d° в стекле (п3—1,5) равно

25-10е •-

姦匸-? [ § А = 8 • 106A = 0,8 мм.

Интерферометры

Явление интерференции света используется в ряде весьма точных измерительных приборов, получивших название интерферометров. На рис. 5・9 изображена принципиальная схема интерферометра Жамена, применяемого для точных измерений показателей преломления газов и их зависимости от температуры, давления и влажности. Две совершенно одинаковые толстые плоскопараллельные стеклянные пластины Л и В установлены почти параллельно друг другу. Лучи света от монохроматического источника S падают на поверхность пластины Л под различными углами i, близкими к 45°. На рис. 5.9 показан только один падающий луч. В результате его отражения от обеих поверхностей пластины из нее выходят два когерентных параллельных луча / и 2. Пройдя сквозь две совершенно одинаковые закрытые стеклянные кюветы Ki и К2, эти лучи после отражения от второй пластины В собираются линзой 〃 и интерфери-

Руют. Интерференционные полосы равного наклона рассматриваются с помощью окуляра, который на рисунке не показан. Если одну из кювет (К。заполнить газом, имеющим известный абсолютный показатель преломления 几力 а вторую ——газом, показатель преломления п3 которого измеряется, то между интерферирующими лучами возникнет дополнительная оптическая разность хода, равная (п2 —— 及J/. Соответственно произойдет смещение интерференционной картины на Д/n полос, причем

=且五色)так что n^Mi + y Am.

Например, при 2=5 см и 入=5000 А смещению полос на 0,1 их ширины, которое еще можно достаточно надежно зарегистрировать, соответст

вует ничтожно малая разность п3—孔i：

(n2—n-i) ^g= 10 e.

На рис. 5.10 показана упрощенная схема интерферометра Май- кельсона. Вертикальный луч монохроматического света от источника S падает под углом 45° на плоскопараллельную стеклянную пластинку

Л, задняя поверхность которой покрыта тонким полупрозрачным слоем серебра. Часть света отражается от этого слоя (горизонтальный луч /), а часть —— проходит сквозь него (вертикальный луч 2). Луч 1 отража

ется от вертикального плоского зеркала 3i и частично проходит сквозь

пластинку 4 (луч Г). Луч 2 отражается от горизонтального плоского зеркала 32 и возвращается к пластинке Л, дважды проходя сквозь стеклянную пластинку 5, которая параллельна Л и отличается от нее только тем, что не покрыта слоем серебра. Этот луч частично отражается от посеребренной поверхности пластинки Л (луч 2Г). Лучи /' и 2’ когерентны. Результат их интерференции зависит от оптической разности хода луча 7 от точки О до зеркала Зх и луча 2 от точки О до зеркала 32. Благодаря пластинке В их пути в стекле одинаковы, поэтому В называют компенсатором. Таким образом, оптическая разность хода лучей /' и 2’ 6=2办1〃工——厶)，где л工一абсолютный показа-

тель преломления воздуха, а 厶 М /%— расстояния от точки О до зеркал Зг и 3纟・ Если 厶=厶，то наблюдается интерференционный максимум. Смещение одного из зеркал на расстояние 九/4 приводит к возникновению интерференционного минимума. Таким образом, по изменению интерференционной картины можно судить о малых перемещениях одного из зеркал и тем самым использовать интерферометр Манкель- сона для точных измерений длины. Чувствительность этого прибора можно значительно повысить, если пластинку Л освещать параллельным пучком света, а зеркала 3工 и 3? расположить под двугранным углом, меньшим или большим л/2 на малую величину а. В этом случае интерференционная картина будет иметь вид прямолинейных полос равной толщины, соответствующих воздушному клину между зеркалом 3] и мнимым изображением зеркала 3^ в «полузеркальном» слое серебра на поверхности пластинки Л. Очевидно, что преломляющий

угол такого клина равен а.

Погрешности при измерении длины с помощью интерферометра Майкельсона весьма малы (порядка 10-7 м). Этот интерферометр, так же как и интерферометр Жамена, используется для точных измерений показателей преломления, т. е. в качестве интерференционного рефрактометра. Его применяют для спектрального анализа света (интерференционный спектрометр), т. е. для измерения распределения энергии излучения по частотам.

Академик В. П. Линник использовал принцип действия интерферометра Майкельсона для создания микроинтерферометра —— высокочувствительного прибора, служащего для контроля чистоты обработки поверхностей металлических изделий. Основным элементом микроинтерферометра Линника являет

ся стеклянный кубик А (рис. 5.11), состоящий из двух половин, склеенных до диагональной плоскости. Одна из склеиваемых поверхностей пол у посеребр ен а. Ход лучей в интерферометре показан на рис. 5.11, где ВС ——исследуемая плоская поверхность, а 3 — плоское зеркало. Двугранный угол между зеркалом и поверхностью ВС отличается от л/2 на малую величину а. На рис. 5.11 пунктиром DE показано мнимое изображение отражающей поверхности зеркала 3 в полупосеребренной диагональной плоскости кубика Л. Интерференционные полосы равной толщины для воздушного клина D£ ——ВС наблюдаются с помощью микроскопа М. В тех местах поверхности ВС, где имеются выступы или углубления, наблюдаются искривления интерференционных полос. С помощью этого прибора можно обнаружить штрихи на поверхности детали, глубина которых порядка 10-7 м.

Интерференционные методы широко используются для сравнения и проверки точности изготовления технических эталонов длины, для точных измерений коэффициентов линейного расширения и проверки качества линз, для исследования ударных волн в газах н т. д.

-97-97' А. А. Детлаф, Б. М. Яворский

-97

-97

§ 5.5. Интерференция многих волн

В предыдущих параграфах мы рассматривали интерференцию только двух когерентных волн. Например, в случае интерференции в тонких пленках учитывались только волны, соответствовавшие первому отражению от верхней и нижней поверхностей пленки.

В обычных условиях такое упрощение вполне правомерно, так как при последующих отражениях возникают волны с очень быстро уменьшающейся интенсивностью. Например, если коэффициент отражения

Рис. 5.12Рис. 5.12R=0,05, то интенсивности волн, соответствующих первому и второму отражениям от нижней поверхности пленки, относятся как 1 : R?, т. е. отличаются в 400 раз!

Рис. 5.12

Рис. 5.12

При интерференции двух волн интерференционная картин а характеризуется постепенным изменением освещенности экрана при переходе от максимумов к минимумам. Максимумы «размазаны》и по

этому недостаточно четко выделяются на общем фоне. Освещенность в различных точках экрана пропорциональна энергии результирующих колебаний, т. е. квадрату их амплитуды Л, Для случая интерференции двух волн с одинаковыми амплитудами Ао значения Л3 выражаются формулой [см. (1.36)1

42 = 2*(l+cos ДФ),

где ДФ ——разность фаз волн в рассматриваемой точке экрана. Заменив △① на оптическую разность хода 6 по формуле (5.8), окончательно получим

証=2个(1+COS 竽) = 4^cos2 県(5.15)

Зависимость А? от лВ/九 изображена на рис. 5.12.

Совершенно иной характер имеет интерференционная картина в случае наложения большого числа когерентных волн. Для ее осуществления применяются специальные интерференционные приборы: эталон Фабри — Перо, пластинка Люммера ——Герке, дифракционная решетка.

Эталон Фабри — Перо представляет собой две плоскопараллельные стеклянные (или кварцевые) пластинки 5 и С (рис. 5.13), расположенные строго параллельно на небольшом расстоянии одна от другой. Поверхности пластин, обращенные друг к другу, покрыты тонкими полупрозрачными слоями серебра и обладают коэффициентом отражения света R 〜 0,9——0,95. На эталон Фабри —— Перо падает расходящийся пучок монохроматического света от источника S. На рис. 5.13 показан один луч, падающий под углом /. В воздушном зазоре между

пластинами свет претерпевает многократные отражения от их посеребренных поверхностей. Параллельные лучи /, 2, 3 и т. д., выходящие из пластины С, собираются линзой 〃 в одной точке М экрана, находящегося в фокальной плоскости линзы. Интенсивности этих лучей убывают в геометрической прогрессии с увеличением их номера. Оптическая разность хода между каждой парой соседних лучей равна

60 = 2nd cos i + X,

где d ——расстояние между пластинами, п ——абсолютный показатель преломления воздуха, X — длина волны света (второй член в правой части уравнения учитывает дополнительное двукратное отражение

Рис. 5.13

одного из лучей от слоев серебра). Разность фаз между соседними лучами, соответствующая 60j

асcos £ . с

Поскольку изменение разности фаз интерферирующих волн на 2л не влияет на результат интерференции, можно отбросить член 2л, полагая в дальнейшем

А屮о =—弋~ cos I.

На экране наблюдается система интерференционных колец равного наклона, причем максимумы интенсивности соответствуют условию

А屮产 4m；c°s '= 2лтп, или 2nd cos i = mX (/n = 0,l,2,,..),

т. e. взаимному усилению всех интерферирующих волн, приходящих в рассматриваемые точки экрана в «одной фазе». Если амплитуда 力百 волны А，то результирующая амплитуда в интерференционных максимумах

力макс = 2

1=1

где N — число интерферирующих волн.

Интерференционные максимумы оказываются значительно более узкими и яркими, чем в случае интерференции Двух волн. Это легко объяснить на примере интерференции волн с одинаковыми амплитудами 4 и：

Таким образом, энергия результирующих колебаний и освещенность экрана в области интерференционных максимумов пропорциональны квадрату числа N интерферирующих волн. В то же время суммарная энергия колебаний во всех точках экрана пропорциональна N、так как по закону сохранения и превращения энергии она должна быть равна общей энергии всех N волн. Следовательно, возрастание освещенности экрана в интерференционных максимумах с увеличением N должно сопровождаться их одновременным сужением, т. е. соответствующим расширением площади практически неосвещенных участков экрана.

Найдем значение амплитуды Л результирующих колебаний в произвольной точке М интерференционной картины. Рассмотрим сначала интерференцию N волн, амплитуды которых одинаковы и равны Ло, а разности фаз в точке Л1 для (г+1)-й и i-й волн не зависят от i=l, 2,.・ г " н равны Дфо- Для решения этой задачи удобно воспользоваться графическим методом сложения одинаково направленных колебаний, основанным на возможности представления гармонического колебания с помощью вращающегося вектора амплитуды (см. т. I, § 8.3). Этот метод векторных диаграмм мы уже несколько раз использовали раньше (см. т. I, § 8.3 и 8.6; т. II, § 22.2). Вектор амплитуды результирующих колебаний

А = £ А”

где А^ ——вектор амплитуды ”го колебания (|AJ=i40). Векторная диаграмма сложения А『показана на рис. 5.14, из которого следует Л =

=2 |ОО11 |sin (а/2)|, а=2л—AfAcp» и | ООг | 2('Sinj\(p /2)' Таким образом, a-а I史史二竺竺迎|一4|迥12竺®](5 16)

sin(A(p0/2)|一&| 310^/2) Г

Энергия (интенсивность) результирующих колебаний пропорциональна Л2. Поэтому интенсивность

/一’О3m2 (a中；/)一3，"丿

где /q — интенсивность колебаний, соответствующих каждой из волн порознь.

При выводе формул (5.16) и (5.17) неявно предполагалось, что |Д(Ро|#=О, л, 2л, Зв и т. д., так как при этих значениях А(р0 все векторы Az направлены вдоль одной прямой и многоугольник векторов, показанный на рис. 5.14, теряет смысл. Условие

А屮о=土2шг(n=0, 1; 2;…)(5.18)

соответствует одинаковому направлению всех векторов А；, т. е. интерференционным максимумам, о которых шла речь выше. Эти максимумы обычно называют главными максимумами. Если

Дфо==± (2и+1)л 仇=0, 1, 2...), (5.19)

то векторы А； и А/+1 направлены во взаимно противоположные стороны, т. е. их сумма равна нулю. В этом случае при N четном Л =0, а при ^ нечетном Л=Л0-

Из формулы (5.17) определим «ширину» главных максимумов, т. е. расстояние между двумя ближайшими к ним минимумами интенсивности. Для нулевого главного максимума (л=0), как видно из (5.18), Д(ро=О. Ближайшие к нулю значения Д(р0, при которых интенсивность / становится равной нулю, удовлетворяют следующему условию, вытекающему из формулы (5.17)：

N Д(р0/2= ± л. (5 20)

Таким образом, «ширина» интерференционного максимума равна 4 n/jV, т. е. обратно пропорциональна числу интерферирующих волн.

Следующие значения Д(р0, при которых наблюдаются интерференционные минимумы, определяются из условий

—2 屮 ° = ± 2小；±3冗；..а (5.21)

Между каждой парой минимумов находится один максимум. Эти максимумы называются побочными. Их интенсивность при больших ^ ничтожно мала по сравнению с интенсивностями главных максимумов* График зависимости интенсивности / от Дфо по формуле (5.17) показан на рис. 5.15.

Если амплитуды интерферирующих волн не одинаковы, то по-прежнему можно пользоваться векторной диаграммой сложения амплитуд. Однако эта диаграмма будет отлична от изображенной на рис. 5.14. Если амплитуды А/ монотонно уменьшаются с ростом /, то векторная диаграмма будет иметь вид скручивающейся «спирали». Состоящей из отдельных прямолинейных участков.

Формулу (5.16) легко обобщить на случай интерференции сколь угодно большого числа N плоских волн с малыми амплитудами ДА и малыми разностями фаз △%=察， где А屮一разность фаз между крайними волнами ^-й и 1-й)« Заменив

в (5」6) Ло на ДЛ, получим

(5.22)(5.22)I sin (А屮⑵ I |sm(AW2)Л-АЛ|81п(Д(р/2^)ПДмакс| (Дф/2)

(5.22)

(5.22)

где 4макс= А4 •# —— максимальное значение агиплитуды результирующих колебаний, соответствующее условию 厶屮=厶屮(尸0, a sin(^/2^)— Дф/2ЛГ ввиду малости аргумента синуса.

Очевидно, что формула (5.22) абсолютно точна только для интерференции бесконечно большого числа элементарных плоских волн с бесконечно малыми амплитудами, сумма которых конечна и равна Лмакс, и начальными фазами, непрерывно заполняющими конечный интервал значений, ширина которого равна Д(р. Векторная диаграмма сложения амплитуд этих волн отлична от диаграммы на рнс. 5.14: она представляет собой дугу окружности, длина которой равна ЯМако а радиус =4 м ак" A屮.

Глава VI ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

Принцип Гюйгенса — Френеля

В геометрической оптике широко пользуются понятием светового луча, т. е. узкого пучка света, распространяющегося прямолинейно. Прямолинейность распространения света в однородной среде настолько привычна, что кажется очевидной. Убедительным подтверждением этого закона может служить образование тени позади непрозрачного препятствия, находящегося на пути света, излучаемого точечным источником. Границы тени определяются лучами света, которые проходят мимо препятствий, касаясь его поверхности.

Прямолинейность распространения света легко объяснялась теорией И. Ньютона (1704), господствовавшей в физике XVIII в. Согласно этой теории, свет представляет собой поток особых частиц (световых корпускул), которые в однородной среде движутся равномерно и прямолинейно. В то же время прямолинейность распространения света вовсе не была столь очевидна с позиций волновой теории. Ведь по принципу Гюйгенса каждую точку поля волны можно рассматривать как источник вторичных волн, распространяющихся вперед по всем направлениям, в том числе и в область геометрической тени препятствия. Иначе говоря, волны должны огибать препятствия. Таким образом, неясно, как вообще может возникать сколько-нибудь четкая тень, если свет имеет волновую природу? Первоначальная волновая теория света, предложенная Гюйгенсом (1690), не могла дать ответа на этот вопрос. Однако серьезные трудности имелись и у приверженцев корпускулярной теории света, например в объяснении явления интерференции. Кроме того, опыты показали, что закон прямолинейного распространения света не является универсальным. Он особенно заметно нарушается при прохождении света сквозь достаточно узкие щели и отверстия, а также при освещении небольших непрозрачных препятствий. В этих случаях на экране, установленном позади отверстий или препятствий, вместо четко разграниченных областей света и тени наблюдается система интерференционных максимумов и минимумов освещенности. Например, если на небольшой непрозрачный диск падает свет от точечного источника S, расположенного напротив центра О диска, то на экране, установленном позади диска, наблюдается система концентрических темных и светлых колец. Самым парадоксальным является то, что в центре колец, находящемся в точке пересечения прямой SO с экраном, наблюдается светлое пятно! По мере увеличения радиуса диска интенсивности этого пятна и других светлых колец постепенно уменьшаются и позади диска образуется область геометрической тени. Однако даже для препятствий и отверстий, имеющих большие размеры, строго говоря, нет резкого перехода от тени к свету. Всегда существует некоторая переходная область, в которой можно обнаружить слабые интерференционные максимумы и минимумы.

Явления, возникающие при распространении света в среде с резко выраженными неоднородностями, получили название дифракции света.

Решающую роль в уттерядактг в начале XIX в. волновой теории света и ее дальнейшем развитии, позволившем, в частности, объяснить дифракцию света и дать методы ее количественного расчета, сыграл О. Френель. Ему удалось также показать, что закон прямолинейного распространения света является приближенным. Оказалось, что этот закон, а также и вся геометрическая оптика абсолютно точны лишь в пределе — при длине волны света Х-> 0.

При рассмотрении дифракции света Френель исходил из нескольких основных утверждений, принимаемых без доказательства и состав^ ляющих содержание так называемого принципа Гюйгенса —— Френеля.

Во-первых, следуя Гюйгенсу, Френель считал, что ддя решения задачи о распространении волн, возбуждаемых каким-либо источником 50( можно заменить источник S& эквивалентной ему системой фиктивных (или виртуальных) вторичных источников и возбуждаемых ими вторичных волн. В качестве этих источников можно выбрать малые участки любой замкнутой поверхности S, охватывающей S*

Во-вторых, Френель существенно развил принцип Гюйгенса (см. § 1.4), предположив, что вторичные источники, эквивалентные одному и тому же источнику So, когерентны между собой. Поэтому в любой точке вне вспомогательной замкнутой поверхности S волны, реально распространяющиеся от источника So> должны являться результатом интерференции всех вторичных волн. Выбор поверхности S совершенно произволен и в каждой конкретной задаче производится таким образом, чтобы максимально упростить ее решение. Чаще всего предполагают, что поверхность S совпадает с положением в некоторый момент времени одной из волновых поверхностей, соответствующих источнику So. Очевидно, что при таком выборе S все вторичные источники колеблются в одной фазе.

Эти два исходных положения еще недостаточны для количественного расчета дифракции света, так как они ничего не говорят об интенсивности и характере направленности излучения вторичных источников. Поэтому Френель высказал третье предположение о том, что для поверхности S, совпадающей с волновой поверхностью, мощности вторичного излучения равных по площади участков одинаковы. Кроме того, он считал, что каждый вторичный источник излучает свет преимущественно в направлении внешней нормали п к волновой поверхности в этой точке: амплитуда вторичных волн в направлении» составляющем с п угол а, тем меньше, чем больше угол а, и равна нулю при а》乳/2. Таким образом, Френель исключил возможность возникновения «обратных вторичных волн», распространяющихся от вторичных источников внутрь области, ограниченной поверхностью S. Наконец, Френель предполагал, что в том случае, когда часть поверхности S прикрыта непрозрачными экранами, вторичные волны излучаются только открытыми участками поверхности S. Излучение этих участков Френель считал не зависящим от материала, формы и размеров экра^ нов, т. е. осуществляющиеся так же, как если бы экранов не было.

Исходя из принципа Гюйгенса — Френеля, легко получить закон прямолинейного распространения света в свободной от препятствий однородной среде. Пусть So—точечный источник света (рис. 6.1), М ——произвольная точка, в которой нужно найти амплитуду колебаний А. Построим сферическую волновую поверхность S, радиус R которой меньше расстояния SQM на величину L, причем R »% н L》九(X ——длина волны света). Искомая амплитуда А зависит от результата интерференции вторичных волн, излучаемых всеми участками dS поверхности S. Непосредственное решение этой задачи достаточно сложно, так как амплитуды и начальные фазы вторичных волн зависят от расположения соответствующих им источников dS

Рис. 6.1Рис. 6.1

Рис. 6.1

Рис. 6.1

по отношению к точке М. Поэтому Френель предложил оригинальный метод разбиения волновой поверхности S на зоны, позволивший сильно упростить решение (метод зон Френеля).

Способ построения зон Френеля показан на рис. 6.1. Границей первой (центральной) зоны служат точки поверхности S, находящиеся йа расстоянии L+%/2 от точки М. Точки сферы S, находящиеся на расстояниях L+2九/2, L+3入/2 и т. д. от точки М, образуют границы 2*й, 3-й зон Френеля и т. д. Очевидно, что колебания, возбуждаемые в точке М двумя соседними зонами, противоположны по фазе, так как разность хода от сходственных точек этих зон до точки М равна 九/2. При наложении они попарно ослабляют друг друга. Следовательно, если 4工，Л2 и т. д.——амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке М порознь 1-й, 2-й зонами и т. д., то амплитуда результирующих колебаний

总=总1—aа-^-a3-总4+…. (6.1)

Величина Л； зависит от площади сг; r-й зоны и угла ccz между внешней нормалью к поверхности зоны в какой-либо ее точке и прямой, направленной из этой точки в точку М. На рис. 6.2 точки В и 3’ соответствуют внешней границе r-йзоны; )BC|^rz——внешний радиус i-й зоны, а |СО I =/1；—^высота шарового сегмента BOB'. Из прямоугольных треугольников SqBC и МВС следует, что г?=用—保—Az)3= (Л+А/2)2— ——(£+%•){ откуда после несложных преобразований найдем

2低+厶)儿=2九L + (W2产

Так как 九 « L, то при не очень больших i вторым членом в правой части уравнения можно пренебречь по сравнению с первым, так что

%= 2(R；L)- И &，=/2欠儿.=]/ ^j；-

Боковая поверхность шарового сегмента BOB', представляющая

сумму площадейсумму площадейвсех i зон начиная с первой, равна

сумму площадей

сумму площадей

°\ + °з + ... +s == 2nRhj = r鼻厶'

Полагая i=l, 2, по площади:Полагая i=l, 2, по площади:О'】—О'» —— •О'】—О'» —— •..=G；=..=G；=nRLhnRLhЗит. д., найдем, что все зоны Френеля равновелики

Полагая i=l, 2, по площади:

Полагая i=l, 2, по площади:

О'】—О'» —— •

О'】—О'» —— •

..=G；=

..=G；=

nRLh

nRLh

В то же время с увеличением номера зоны возрастает угол а； н в соответствии с принципом Гюйгенса ——Френеля уменьшается интенсивность излучения зоны в направлении точки М, т. е. уменьшается амплитуда А^ Она уменьшается с ростом i также и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Таким образом, Л1 > Л3 > >4з >... > 4/>... Общее число N зон Френеля, умещающихся на части сферы, обращенной к точке М очень велико:

厶十2^=]/ (L + R)a — R2, M = "p“+2LR—В].

Если R=L=10 см и 九=5・10-5 см, то N^3・10a.

Поэтому можно считать, что в пределах не слишком больших изменений i зависимость Ai от i является линейной, т. е.

/1 ； = а—bi,总 f_ 1 = 〃—b (i — 1) и 4f十工==ci—b (i + 1),

или

A1 = (4-[ + 儿+1)/2.(6.2)

Перепишем теперь (6.1) в следующем виде:

总=4+(鲁一4+岑)+ (等一儿十刽+•••=等，(&3)

так как по (6.2) все выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Формула (6.3) показывает, что результирующее действие в точке М полностью открытого фронта световых волн, возбуждаемых источником So, равно половине действия одной только центральной зоны Френеля, радиус г】 которой сравнительно мал (при R=L=10 см и 九=5・ 10—5 см> ri ^ 0,016 см). Следовательно, с достаточно большой точностью можно считать, что в свободном пространстве свет от источника So в точку М распространяется прямолинейно.

Дифракция в сходящихся лучах (дифракция Френеля)

Рассмотрим дифракцию сферической волны на круглом отверстии ВС в непрозрачном экране (рис. 6.3). Дифракционная картина наблюдается на экране 3, параллельном плоскости отверстия и находящемся от него на расстоянии Л. Вопрос о том, что будет наблюдаться в точке Му лежащей против центра отверстия, легко разрешается путем построения на открытой части ВС фронта волны зон Френеля, соответствующих точке М. Если в отверстии ВС укладывается т зон Френеля, то в соответствии с формулами (6.1) и (6.2) амплитуда Л результирующих колебаний в точке М зависит от четности или нечетности т:

总=4—4 + 4— • • • +(—今 + 等(加一нечетное),"1,十) T - 4 (加一четн oе).

В первом случае (т —— нечетное) в точке М наблюдается интерференционный максимум, во втором — минимум. Очевидно, что максимум и минимум будут тем сильнее отличаться друг от друга, чем ближе величина Ат к 4. При неизменном положении источника света число зон т зависит от диаметра отверстия и расстояния L. Следовательно, при изменении диаметра отверстия или удалении от него или приближении к нему экрана Э результат интерференции света в точке М должен изменяться. Если диаметр отверстия велик, так что Ат <^ Ль то никакой интерференционной картины на экране не будет — свет в этом случае распространяется практически так же, как и в отсутствие непрозрач

ного экрана с отверстием, т. е. прямолинейно.

Расчет амплитуды результирующих колебаний в других точках экрана Э значительно более сложен, так как соответствующие им зоны Френеля оказываются частично закрытыми непрозрачным экраном. Из соображений симметрии и закона сохранения энергии очевидно, что интерференционная картина вблизи точки М экрана Э должна иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке Мч По мере удаления от М интенсивность максимумов света убывает.

Если отверстие освещается не монохроматическим, а белым светом, то кольца имеют многоцветную (радужную) окраску, так как число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, зависит от длины волны света,

Из теории Френеля следует, что в том случае, когда в отверстии укладывается только одна зона Френеля, в точке М амплитуда 力= =Лх, т. е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с

отверстием (соответственно интенсивность света вчетверо больше). Величину Л можно сделать очень большой с помощью так называемой зонной пластинки ——стеклянной пластинки, на поверхность которой нанесено непрозрачное покрытие таким образом, что оно закрывает все четные зоны Френеля и оставляет открытыми все нечетные зоны

равно 2瓦 то Л =Л1+Л3 + ..，+Аравно 2瓦 то Л =Л1+Л3 + ..，+А(либо, наоборот, закрывает все нечетные зоны и оставляет открытыми все четные зоны). Если общее число зон, умещающихся на пластинке,

равно 2瓦 то Л =Л1+Л3 + ..，+А

равно 2瓦 то Л =Л1+Л3 + ..，+А

z为一и Если 2右 не слишком велико, то 儿…^ Аг и А ^ kAu т. е. освещенность экрана в точке М в (2^)2 раз больше, чем при беспрепятственном распространении света от источника в точку М.

В случае дифракции света на круглом непрозрачном диске ВС (рис. 6.4) закрытый им участок фронта волны нужно исключить из рассмотрения и строить зоны Френеля, начиная с краев диска. На рис. 6.4 показано построение этих зон для точки М экрана 3,

лежащей напротив центра диска (£ — расстояние от точки М до краев диска В и С). Амплитуда Л в точке М определяется совместным дей

ствием всех открытых зон, начиная с первой:

4=4]-{2 + {3 — {《+..• = 等 + (窃一若2 + 岑)++ (岑-4+ 刽 +• • •=等•

Таким образом, в точке М всегда наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно). Так же как и в случае дифракции на круглом отверстии, центральный максимум окружен концентричными с ним чередующимися темными и светлыми интерференционными кольцами, С увеличением радиуса диска первая открытая зона удаляется от точки М и, что особенно существенно, увеличивается угол с&т между нормалью к поверхности этой зоны в какой-либо ее точке и направлением излучения в сторону точки М. Поэтому интенсивность центрального максимума ослабевает при увеличении размеров диска. Если радиус диска во много раз больше радиуса закрытой им центральной зоны Френеля, то позади диска наблюдается обычная тень, вблизи границ которой имеется очень слабая интерференционная картина. Очевидно, что в этом случае можно пренебречь дифракцией света и пользоваться законом прямолинейного распространения света.

Из рассмотренных примеров видна плодотворность принципа Гюйгенса ——Френеля и основанного на нем метода зон, позволяющих сравнительно просто рассчитывать интенсивность света для различных случаев дифракции. Однако, пользуясь этим принципом, нужно всегда иметь в виду, что он является лишь приближенным расчетным приемом, заменяющим строгое решение задачи о р асп р остр ан ен и и

света. Точное решение волнового уравнения при заданных граничных условиях сопряжено с большими математическими трудностями и пока найдено лишь для некоторых простейших случаев дифракции.

В теории Френеля предполагается, что амплитуды и начальные фазы колебаний в точках поверхности S, не закрытых непрозрачными экранами, такие же, как и в отсутствие последних. На самом деле это предположение неправильно, так как граничные условия в точках поверхности экрана зависят от его материала. Например, в случае металлического экрана с очень высокой электропроводностью вектор Е на внешних границах экрана или на границах отверстий в нем должен быть направлен по нормали к соответствующему участку поверхности экрана. Однако влияние материала экрана на поле электромагнитной волны сказывается лишь на малых расстояниях от экрана, имеющих величину порядка длины волны 九.Поэтому теория Френеля хорошо согласуется с опытом для дифракции света на отверстиях и экранах, размеры которых значительно больше 入.

Второй недостаток теории Френеля состоит в том, что она дает неправильные значения фазы результирующей волны. Так, например, при графическом сложении векторов амплитуд колебаний, возбуждаемых в рассматриваемой точке М весьма малыми элементами полностью открытого фронта волны, оказывается, что фаза результирующего вектора А отличается на п/2 от начальной фазы колебаний в точке Mt происходящих в действительности. Для устранения этой ошибки в фазе нужно считать, что колебания всех вторичных источников, расположенных вдоль некоторой поверхности S, совершаются с опережением по фазе на л/2 по сравнению с колебаниями в соответствующих точках поверхности S, вызываемых первичной волной.

Наконец, третий недостаток теории Френеля заключается в том, что она базируется йа чисто качественном допущении о зависимости амплитуды вторичных волн от угла а между рассматриваемым направлением излучения и нормалью к фронту первичной волны. Количественный вид этой зависимости /(а) в теории Френеля остался неизвестным.

Математическое обоснование и уточнение принципа Гюйгенса — Френеля было даио Г. Кирхгофом (1882) на основе анализа свойств решения волнового уравнения. В частности, Кирхгоф показал, что f(a)〜(1+cos а), т. е. амплитуда вторичных волн равна нулю не при а ^ л/2, как считал Френель, а лишь при а=л. Однако во многих случаях дифракции угол а близок к нулю и это уточнение несущественно.

Дифракция в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера)

Дифракция в параллельных лучах впервые была рассмотрена И. Фраунгофером (1821——1822). Для получения пучка параллельных лучей света, падающих на препятствие (отверстие или непрозрачный экран), обычно пользуются небольшим источником света, который помещается в фокусе собирающей линзы. Распределение по

различным направлениям интенсивности света за препятствием исследуется с помощью второй собирающей линзы и экрана, расположенного в фокальной плоскости линзы. При визуальном наблюдении вместо линзы и экрана пользуются зрительной трубой, настроенной на бесконечность. Наибольший практический интерес представляют случаи дифракции, наблюдающиеся при прохождении плоской волны сквозь узкую щель или круглое отверстие в непрозрачном экране и дифракционную решетку.

Пусть параллельный пучок монохроматического света падает нормально на непрозрачный экран £ (pnc.gS), в -котором прорезана

узкая щель ВС, имеющая постоянную

ширину Ь=|ВС] и длину /» 氏 В соответствии с принципом Гюйгенса ——Френеля точки щели являются вторичными источниками волн, колеблющимися в одной фазе, так как плоскость щели совпадает с фронтом падающей волны. Если бы при прохождении света через щель соблюдался закон прямолинейного распространения света, то на экране 3, установленном в фокальной плоскости собирающей линзы Л, получилось бы изображение источника света. Вследствие дифракции на узкой щели картина коренным образом изменяется: на экране наблюдается система интерференцион-' ных максимумов — размытых изображений источника света, разделенных темными промежутками интерференционных минимумов.

В побочном фокусе линзы F* собираются все параллельные лучи, падающие на линзу под углом ч|)к ее оптической оси OFo, перпендикулярной фронту падающей волны. Оптическая разность хода 6 между крайними лучами CN и BMf идущими от щели в этом направлении, равна

6= \CD \—b si□也

где D — основание перпендикуляра, опущенного из точки В на луч CN, а абсолютный показатель преломления воздуха приближенно считается равным единице.

Разобьем щель ВС на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру В щели. Ширина каждой зоны равна 九/@ sin 屮)，так что оптическая разность хода лучей, проведенных из краев зоны параллельно BMt равна V2. Все зоны в заданном направлении излучают свет совершенно одинаково. При интерференции света от каждой пары соседних зон амплитуда результирующих колебаний равна нулю, так как эти зоны вызывают колебания с одинаковыми амплитудами, но противоположными фазами. Таким образом, результат интерференции света в точке F* определяется тем, сколько зон Френеля укладывается

в щели. Если число зон четное:

(6.4)(6.4)bs历屮= ±2/т?芽(m= 1; 2; •・・),

(6.4)

(6.4)

то наблюдается дифракционный минимум (полная темнота). Знак минус в правой части формулы (6.4) соответствует лучам света, распространяющимся от щели под углом ——ф и собирающимся в побочном фокусе F^ линзы 〃，симметричном с 尸屮 относительно главного фокуса 尸о.

Если число зон нечетное:

bsim|)= ± (2m + 1) ~(m— 1; 2; ...),(6.5)

то наблюдается дифракционный максимум, соответствующий действию одной зоны Френеля, Величина т называется порядком дифракционного максимума.

В направлении -ф=0 наблюдается самый интенсивный центральный максимум нулевого порядка: колебания, вызываемые в точке Fo всеми участками щели, совершаются в одной фазе.

Расчет дифракционной картины, основанный на использовании метода зон Френеля, является приближенным. Точное решение этой задачи осуществляется путем разбиения щели на бесконечное число одинаковых бесконечно узких полос, параллельных ребру В. Вторичные волны, излучаемые этими малыми элементами щели в направлении луча ВМ, имеют одинаковые бесконечно малые амплитуды, а их начальные фазы заключены в интервале шириной Д(р=2 nb sin 屮/к

.я b sin ib sin—j-~-门方sin屮.я b sin ib sin—j-~-门方sin屮Результат интерференции этих волн дается формулой (5.22):

.я b sin ib sin—j-~-

门方sin屮

.я b sin ib sin—j-~-

门方sin屮

(6.6)

где Амакс=Л0— амплитуда колебаний в дифракционном максимуме нулевого порядка, т. е. при р=0; 4屮 ——амплитуда результирующих колебаний, соответствующих произвольному углу дифракции 屮.

Из формулы (6.6) следует условие дифракционных минимумов

А屮=0 при —Sj—!-= ±2т—(/п=1; 2;...),

которое тождественно условию (6.4), положенному с помощью приближенного метода зон Френеля.

Точное условие дифракционных максимумов несколько отличается от приближенного условия (6.5). В согласии с формулой (6.6) точное условие соответствует , sin (Д(р/2)必

максимумам функции ——~-, в то время как условие (6.5) соответствует макси

мумам только sin (А(р/2). Точное условие максимумов имеет вид

tg年=『tg年=『./ л匕 sinsin ibили./ л匕 sinsin ibили@7)@7)

tg年=『

tg年=『

./ л匕 sinsin ib

или

./ л匕 sinsin ib

или

@7)

@7)

максимумов нескольких порядков, вычисленныемаксимумов нескольких порядков, вычисленныес才 ,I sin I

максимумов нескольких порядков, вычисленные

максимумов нескольких порядков, вычисленные

Значения К^ = о —产^ для

по формулам (6.5) и (6.7), приведены в табл. 6.1.

Порядок максимума /пЗначения Ктло формуле (6.7)ло формуле(6.5)4"。Порядок максимума /пЗначения Ктло формуле (6.7)ло формуле(6.5)4"。Т абл ица 6.1Т абл ица 6.1012 3 4012 3 4о g ^555 о 1^0^0^4 3 6 7s 4 4 4 о 1^9^0^4о g ^555 о 1^0^0^4 3 6 7s 4 4 4 о 1^9^0^410,0450,0160,0080,00510,0450,0160,0080,005Из этой таблицы видно, что различия между значениями 长夜,определенными по формулам (6.7) и (6.5), очень невелики. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться более простой формулой (6.5).Интенсивности света /中 в различных точках экрана Э (рис. 6.5) пропорциональны квадратам амплитуды 4*. Из формулы (6.6) следует, чтоИз этой таблицы видно, что различия между значениями 长夜,определенными по формулам (6.7) и (6.5), очень невелики. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться более простой формулой (6.5).Интенсивности света /中 в различных точках экрана Э (рис. 6.5) пропорциональны квадратам амплитуды 4*. Из формулы (6.6) следует, чтолЬ sin 2лЬ sin 2(6.8)(6.8)

Порядок максимума /п

Значения Кт

ло формуле (6.7)

ло формуле

(6.5)

4"。

Порядок максимума /п

Значения Кт

ло формуле (6.7)

ло формуле

(6.5)

4"。

Т абл ица 6.1

Т абл ица 6.1

012 3 4

012 3 4

о g ^555 о 1^0^0^4 3 6 7s 4 4 4 о 1^9^0^4

о g ^555 о 1^0^0^4 3 6 7s 4 4 4 о 1^9^0^4

1

0,045

0,016

0,008

0,005

1

0,045

0,016

0,008

0,005

Из этой таблицы видно, что различия между значениями 长夜,определенными по формулам (6.7) и (6.5), очень невелики. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться более простой формулой (6.5).

Интенсивности света /中 в различных точках экрана Э (рис. 6.5) пропорциональны квадратам амплитуды 4*. Из формулы (6.6) следует, что

Из этой таблицы видно, что различия между значениями 长夜,определенными по формулам (6.7) и (6.5), очень невелики. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться более простой формулой (6.5).

Интенсивности света /中 в различных точках экрана Э (рис. 6.5) пропорциональны квадратам амплитуды 4*. Из формулы (6.6) следует, что

лЬ sin 2

лЬ sin 2

(6.8)

(6.8)

где /@— интенсивность центрального максимума, соответствующего 屮=0・ Зависимость /0 от (b sin яр/入)показана на рн& 6.6. Основная часть света приходится на центральную часть экрана, ограниченную двумя минимумами первого порядка (匕 sin i^= =±几).Из форллул (6.8) и (6*5) можно найти относительные интенсивности остальных максимумов:

/0 一献（2次十I）2 '

где /п=1; 2; 3; - . . — порядок максимума. Значения 1" 1§ даны в табл. 6.1.

Дифракционная картина на экране Э (см. рис. 6.5) зависит от отношения ширины щели b к длине волны света X. В самом деле, если Ь=тЛ, где m —— целое число, то, как видно из соотношения (6.4), угол 2, соответствующий минимуму /и-го порядка, равен 冗应.Следовательно, сколь бы ни были велики размеры линзы 〃 и экрана, на экране нельзя наблюдать дифракционные максимумы, порядок которых больше 加一1.

Шириной дифракционного максимума на экране Э называется расстояние между двумя ближайшими к нему диф

ракционными минимумами. Например, ширина максимума нулевого порядка равна расстоянию между двумя минимумами первого порядка. Если 匕/% невелико, т. е. щель очень узка, то все наблюдающиеся максимумы очень широки и дифракционная картина малоконтрастна. Кроме того, поток энергии через узкую щель крайне невелик, так что интенсивность даже нулевого максимума очень мала. Наоборот, если Ь/九 велико (широкая щель), то центральный максимум очень узкий и яркий. Он представляет собой не что иное, как изображение источника света, образуемое на экране линзой 〃 в соответствии с законами геометрической оптики.

До сих пор предполагалось, что щель освещается монохроматическим светом. Положения дифракционных минимумов и максимумов всех порядков, начиная с первого, зависят от длины волны света Л,

Поэтому при освещении щели белым светом центральный максимум имеет радужную окраску по краям. Полное гашение света не происходит ни в одной точке экрана, так как максимумы и минимумы света с разными % перекрываются.

Большой практический интерес представляет дифракция плоской волны при прохождении через круглое отверстие. С этим типом дифракции приходится иметь дело в различных оптических приборах, в которых роль отверстия играют оправы объективов. Если падающий пучок монохроматического света нормален к плоскости отверстия, то, как показывают расчеты, которые мы не приводим ввиду их математической сложности, дифракционная картина в фокальной плоскости линзы имеет вид центрального светлого пятна, расположенного в главном фокусе линзы и окруженного системой чередующихся темных и светлых колец L Интенсивности светлых колец очень малы по сравнению с интенсивностью центрального максимума (например,厶= =0,018 /0) и быстро убывают с увеличением порядка максимума. Угол 屮 1, соответствующий первому темному кольцу, определяется из уело- вия

sin ^=1,22W, (6.10)

где D — диаметр отверстия.

Рис. 6.7Рис. 6.7Если свет падает на отверстие под небольшим углом а, то характер дифракционной картины не изменяется, но ее центр перемещается в побочный фокус линзы, соответствующий углу 屮=а.

Рис. 6.7

Рис. 6.7

В заключение этого параграфа рассмотрим дифракцию

света, обусловленную действием так называемой дифракционной решетки. Этот* случай дифракции наиболее важен, так как широко используется во многих экспериментальных методах спектрального анализа света. Простейшая дифракционная решетка представляет собой систему из большого числа одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей, лежащих в одной плоскости и разделенных

непрозрачными промежутками,

равными по ширине. На рис. 6.7 показаны только две соседние щели ВС и DE. Ширину щелей обозначим через Ь, а ширину непрозрачных промежутков — через а. Величина d=a+b называется периодом дифракционной решетки»

При освещении решетки монохроматическим светом дифракционная картина на экране Э значительно сложнее, чем в случае одной щели, так как свет от разных щелей также интерферирует.

Предполагается, что источник света точечный.

Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны, падающей нормально на поверхность решетки. Колебания во всех точках щелей происходят в одной фазе, так как эти точки находятся на одной и той же волновой поверхности. Найдем результирующую амплитуду Л колебаний в точке F^ экрана Э, в которой собираются лучи от всех щелей решетки, падающие на линзу Л под углом 屮 к ее оптической оси OF0. Воспользуемся для этой цели векторной диаграммой сложения амплитуд (см. рис. 5.14):

N

А = £ А,.,

где А^— вектор амплитуды колебаний, вызываемых действием одной 1-й щели, N ——число щелей в решетке. В одном и том же направлении все щели решетки излучают свет совершенно одинаково. Поэтому все векторы А； равны по модулю А・|=/. Сдвиг фаз Аф0 между векторами А, и А/+1 определяется оптической разностью хода 6 от сходственных точек двух соседних щелей до точки 尸廿 Например, для щелей ВС и DE на рис. 6.7 сходственными являются точки В и D, С и Е и т. д. Поэтому

6 = |DK| = dsin屮 и А仇=2^ = 2卫普屮，(6.11)

где К — основание перпендикуляра, опущенного из точки В на луч DN,九一 длина волны света, а абсолютный показатель преломления воздуха принят равным единице. Теперь можно воспользоваться результатами, полученными в § 5.5. Из формулы (5.6), где 儿=4屮，и выражения (6.11) для А(р0 следует, что

./nNd sin

Sln (-X-)

Значение 人屮 для дифракции на одной щели было найдено выше [см- формулу (6.6)]. Поэтому для амплитуды А и интенсивности / колебаний в произвольной точке 户2 экрана справедливы формулы:

sin f 冗匕 s*n 2 )JTO sinSE2(W也) ' — """"/ л& sin if V~~sin f 冗匕 s*n 2 )JTO sinSE2(W也) ' — """"/ л& sin if V~~./ sin 心./ sin./ sin 心./ sinsin Usin U(6.12)(6.12)(6.12')(6.12')

sin f 冗匕 s*n 2 )

JTO sin

SE2(W也) ' — """"/ л& sin if V~~

sin f 冗匕 s*n 2 )

JTO sin

SE2(W也) ' — """"/ л& sin if V~~

./ sin 心

./ sin

./ sin 心

./ sin

sin U

sin U

(6.12)

(6.12)

(6.12')

(6.12')

где Ao и『о——соответственно амплитуда и интенсивность колебаний в точке Го (соответствующей углу 寸=0), обусловленные действием одной щели.

Из формул (5.18) и (6.11) вытекает следующее условие для главных максимумов:

d si口屮=士心，(6.13)

где n=0; 1; 2; ...— порядок главного максимума.

Главные минимумы соответствуют таким углам 也 для которых Л^—0, т. е. свет от разных частей каждой щели полностью погашается в результате интерференции. Условие главных минимумов выра* жается соотношением (6.4):

b sinw= 土 m^ (/n=l; 2;...)・

Главные максимумы, соответствующие тем углам 屮，которые одновременно удовлетворяют условиям (6.13) и (6.4), не наблюдаются. Например, если d=2b, то все четные максимумы (冷=2; 4; 6 и т. д.) отсутствуют.

Из формул (6.12') и (6.13) легко найти интенсивности 1п главных максимумов.

nnrfsintp tм не、

В главных максимумах а=——= ± пл и вторая дробь в (6.12 ) представляет

собой неопределенность вида ™「Для раскрытия этой неопределенности нужно воспользоваться правилом Лопиталя:

Следовательно,Следовательно,爲 ®П2（М）］ 系（就标⑴爲 ®П2（М）］ 系（就标⑴= limа -> ± лл= limа -> ± лл（注Y或门2（畔）.\. ппо 丿 \ a j（注Y或门2（畔）.\. ппо 丿 \ a j

Следовательно,

Следовательно,

爲 ®П2（М）］ 系（就标⑴

爲 ®П2（М）］ 系（就标⑴

= lim

а -> ± лл

= lim

а -> ± лл

（注Y或门2（畔）.

\. ппо 丿 \ a j

（注Y或门2（畔）.

\. ппо 丿 \ a j

Кроме главных максимумов имеется, как показано в § 5.5, большое число "Ьчень слабых побочных максимумов, разделенных дополнительными минимумами. Последние определяются условиями (5.20) и (5.21), которые с помощью формулы (6.11) представим в виде

d sin 屮=士 pAlN、d sin 屮=士 pAlN、(6.14)(6.14)

d sin 屮=士 pAlN、

d sin 屮=士 pAlN、

(6.14)

(6.14)

где р принимает любые целые значения, кроме X, 2N, 3^ и т. д.

Из (6.14) и (6.13) легко найти угловую ширину главного максимума n-го порядка, т. е. разность А屮也=屮2九——屮小 углов 屮，соответствующих двум ближайшим к нему дополнительным минимумам:

sm 也-兀 sin 屮 i" = -7^-九 sm 办=丁，

где 屮冷一угол 屮,соответствующий главному максимуму. Поэтому

sin 也 "一sin 明 " =不值.(6.15)

Из тригонометрии известно, что

sin也以一sin屮s = 2 cos 心w 岫 sin 一6,电花

При больших ^ разность 屮纟冷一屮s очейь мала, так что 弘冷 + +w1冷2屮冷 и Зш 中河彳电程. По9тому

Для главных максимумов не слишком высоких порядков углы ^п невелики и cos фп ^ 1, так что угловая ширина этих максимумов обратно пропорциональна длине решетки Nd. Например, при Nd— =1 см и 九=55。0 А Аф几 ^ IO—' рад ^ 21". Таким образом, дифракционная картина, создаваемая решеткой, состоит из системы узких ярких полос, разделенных сравнительно широкими темными промежутками.

Если дифракционная решетка освещается белым светом, то для разных значений % положения всех главных максимумов, кроме центрального (п—0), не совпадают друг с другом. Поэтому центральный максимум имеет вид белой полоски, а все остальные —— радужных полосок, называемых дифракционными спектрами первого, второго и т. д. порядков. В пределах каждой полоски окраска изменяется от фиолетовой у внутреннего края (ближайшего к максимуму нулевого порядка) до красной у наружного края. Это свойство дифракционной решетки широко используют для исследования спектрального состава света, т. е. определения частот (или длин волн) и интенсивностей всех его монохроматических компонент. Применяемые для этого приборы называют дифракционными спектрографами, если исследуемый спектр регистрируется с помощью фотопластинки, и дифракционными спектроскопами, если спектр наблюдается визуально.

Обычно используют более яркие спектры первых порядков, для которых 普« 1 и sin 屮冷 ^屮Поэтому угол 屮九 для n-го дифракционного максимума света с длиной волны 入 прямо пропорционален 九， т. е. дифракционной спектр является линейным.

Дифракция на пространственных решетках. Дифракция рентгеновского излучения

Условия прохождения света через обычную дифракционную решетку (см. § 6.3) периодически изменяются только в одном направлении, перпендикулярном оси каждой щели. Поэтому такую решетку называют одномерной. В этом параграфе мы продолжим изучение дифракции плоских волн на более сложных решетках — двумерной и трехмерной (или пространственной). Простейшая двумерная решетка представляет собой две одномерные решетки, сложенные так, что их щели взаимно перпендикулярны. Дифракцию света на такой решетке можно рассматривать как результат совместного действия двух одномерных решеток. Проведем ось Z перпендикулярно плоскости решетки, а оси X и У ——перпендикулярно щелям обеих решеток, периоды которых равны соответственно 心 и d2- Пусть на решетку падает распространяющийся вдоль оси Z узкий пучок монохроматического света. Тогда в согласии с соотношением (6.13) для

одномерной решетки главные максимумы двумерной решетки удовлетворяют условиям

(6.17)(6.17)di cos cti = ± ni X и d2 cos а2 = =Ь ^2 入,

(6.17)

(6.17)

где аг и сс2 — углы между положительными направлениями осей X н У и направлением на главный максимум, а ^ и п2 принимают значения 0, 1, 2 и т. д. Угол а3 между положительным направлением оси Z и направлением на рассматриваемый максимум найдем из условия для направляющих косинусов прямой:

cos2 at + cos2ct2+cos2 a3 = 1. (6.18)

числа щелей ^l и ^числа щелей ^l и ^Рис. 6.8Рис. 6.8Дифракционная картина представляет систему светлых пятен, расположенных в определенном порядке на плоскости экрана. Разме

числа щелей ^l и ^

числа щелей ^l и ^

Рис. 6.8

Рис. 6.8

ры этих пятен уменьшаются при увеличении обеих одномерных решеток. Поэтому при больших N* и Nz интенсивность в интерференционных максимумах весьма велика и постепенно убывает от центра дифракционной картины к ее периферии.

Простейшую трехмерную дифракционную решетку можно представить в виде системы из совершенно одинаковых и одинаково ориентированных двумерных решеток (рис. 6.8). Расстояние вдоль оси 2 между

соседними решетками обозначим через d3. Оказывается, что главные максимумы такой решетки должны помимо соотношений (6.17) и (6.18) удовлетворять еще одному условию, определяющему взаимное

усиление света от всех двумерных решеток. Из рис. 6.8 видно, что

разность хода лучей света, выходящих из сходственных точек Л и В двух соседних решеток под углом а3 к оси Z, равна

\АВ I — \АС\ =成(1 — cos а»,

где С — основание перпендикуляра, опущенного из точки В на луч AD. Поэтому дополнительное условие для главных максимумов имеет вид

(6.19)(6.19)&需(1 COS otg) —MgX(rt-3 —0; 1; 2;...).

(6.19)

(6.19)

Это условие накладывает ограничения не на угол а3, который полностью определяется из (6.17) и (6.18), а на длины волн Л, при которых возможно наблюдение дифракционной картины. Так как

cos ач = ±4^^> cosa2~ ±^г-^ и cos а3 = 1 —— 粤九, %&

то из (6.18) следует, что длина волны света должна удовлетворять уравнению

（如危户十5"厶户十g/d?户1（如危户十5"厶户十g/d?户1(6.20)(6.20)

（如危户十5"厶户十g/d?户1

（如危户十5"厶户十g/d?户1

(6.20)

(6.20)

т. е. принимать ряд дискретных значений, соответствующих всевозможным комбинациям целых чисел пх, пя# пя.

В частности, при di=d2=d3=d

入=入=2总3d居十涸十着2总3d居十涸十着(6.20')(6.20')

入=

入=

2总3d居十涸十着

2总3d居十涸十着

(6.20')

(6.20')

Из этой формулы видно, что наблюдение дифракции от пространственной решетки возможно лишь в том случае, если длина волны X по порядку величины не превышает периода d решетки. Все волны,

длины которых не удовлетворяютдлины которых не удовлетворяютРис. 6.9Рис. 6.9условию (6.20), не дают никаких интерференционных максимумов, кроме нулевого (п*=к= =九3=0， tак что а工=a2 二 —зт/2) а а з - 0).

длины которых не удовлетворяют

длины которых не удовлетворяют

Рис. 6.9

Рис. 6.9

Всякий монокристалл состоит из упорядоченно расположенных частиц (атомов, ионов или молекул), образующих пространственную дифракционную

решетку.

Расстояния между этими частицами, т. е. периоды решетки di, d2 и ds, очень малы (порядка 10"8 см). Поэтому при прохождении через монокристаллы видимого света (%~5・10~асм) дифракцию наблюдать нельзя. Зато для значительно более коротковолнового рентгенов

ского излучения монокристаллы являются идеальными естественными дифракционными решетками.

Русский физик Г. В. Вульф и англичанин У. Л. Брэгг предложили простой метод расчета дифракции рентгеновского излучения в кристаллах (1913). Они исходили из предположения о том, что дифракцию рентгеновского излучения можно рассматривать как результат его отражения от системы параллельных сетчатых плоскостей кристалла (т. е. плоскостей, в которых лежат узлы кристаллической решетки). Это отражение в отличие от обычного осуществляется лишь при таких условиях падения лучей на кристалл, которые соответствуют интерференционным максимумам для лучей, отраженных от разных плоскостей. На рис. 6.9 показаны две соседнйе сетчатые плоскости кристалла АА' и ВВ\ Абсолютный показатель преломления всех сред для рентгеновского излучения близок к единице. Поэтому оптическая разность хода 6 между двумя лучами /' н 2', отражающими от плоскостей АА1 и ВВ\ равна d=\DE\+\DF\=2d sin -9, где d—межплоскостное расстояние, а 3 ——угол между падающими и отраженными Лучами и плоскостью AAf (угол скольжения). Если длина волны рентгеновского излучения равна 入，то интерференционные максимумы в отраженных лучах должны удовлетворять условию Вульфа — Брэгга

(6.21)(6.21)2 d sin^^/A,

(6.21)

(6.21)

где п=1; 2; ... — порядок дифракционного максимума. Можно показать, что условие Вульфа — Брэгга вытекает как следствие из общих соотношений для дифракции плоских волн на пространственных решетках. Эти соотношения являются обобщением условий (6.17), (6.18) и (6.19), которые получены для частного случая падения волны

вдоль оси Z решетки. Из рис. 6.9 видно, что угол дифракции ip между отраженными и падающими лучами равен 2 仇

Из формулы (6.21) следует, что наблюдение дифракционных мак

симумов возможно только при определенных соотношениях между

Рис. 6.10Рис. 6.10длиной волны 九 и углом 3 или дополнительным ему углом падения i=?r/2 —目：

Рис. 6.10

Рис. 6.10

= ~ = -.(6.22)

Sin 令 COS 1fl'/

Этот результат лежит в основе различных методов спектрального анализа рентгеновского излучения, т. е. определения значений 九 по известным d н 孔 н

измеренным в опыте значениям v для дифракционных максимумов. Наиболее распространен метод качающегося (или вращающегося) кристалла. Узкий пучок исследуемого рентгеновского излучения, прошедший через отверстия в диафрагмах "^ и Д2 (рис. 6.10), направляется на кристалл К, постоянные d которого известны 3. В процессе покачивания (или вращения) кристалла вокруг

Рис. 6.11Рис. 6.11оси О, перпендикулярной плоскости чертежа, изменяется угол 目， благодаря чему обеспечивается выполнение условия (6.22) для всех длин волн 儿 содержащихся в спектре анализируемого рентгеновского излучения. В качестве регистрирующего устройства используется фотопластинка Ф. После проявления фотопластинки на ней наблюдается система дифракционных максимумов, имеющих вид темных пятен. По положению этих пятен можно найти соответствующие им значения углов 3, а из формулы (6.22) — значения 九.

Рис. 6.11

Рис. 6.11

На основании формулы (6.22)

можно также осуществлять рентгеноструктурный анализ кристаллов, т. е. исследовать строение кристаллических решеток и определять межплоскостные расстояния d. Эта идея, впервые высказанная М. Лауэ (1912), явилась существенным вкладом в развитие физики твердого тела.

Особый интерес представляет дифракция рентгеновского излучения в поликристаллических образцах, состоящих из множества

мелких кристалликов, хаотически ориентированных друг относительно друга. Пусть на такой образец Л (рис. 6.11) падает узкий парал-

1 В каждом кристалле можно провести через узлы решетки множество различных систем параллельных между собой сетчатых плоскостей с различными значениями параметра d.

лельны^ пучок М монохроматического рентгеновского излучения с длиной волны X. Среди множества кристалликов в образце всегда есть целый ряд таких, сетчатые плоскости которых наклонены по отношению к пучку М под углами ^, удовлетворяющими условию Вульфа ——Брэгга (6.21). Соответственно нормали п к этим плоскостям образуют с пучком М углы t=n/2 —仇

На рис. 6.11 показано направление нормали п для одного из таких кристалликов В, Отраженные от него лучи отклоняются вверх на угол 2也 Мысленно повернем кристаллик В вокруг пучка М так, чтобы угол i сохранялся неизменным. Тогда отраженные от В лучи будут описывать коническую поверхность, осью которой служит пучок М, а угол раствора при вершине равен 4仇 Очевидно, что такой же результат дает множество различным образом ориентированных кристалликов, плоскости которых образуют один и тот же угол ■& с пучком М. Поэтому на фотопластинке Ф, расположенной позади образца перпендикулярно падающим на него рентгеновским лучам, области потемнения фотоэмульсии, соответствующие дифракционным максимумам, имеют вид концентрических колец. Центр этих колец лежит на пересечении пучка М с плоскостью фотопластинки. Радиусы колец легко определить из рис. 6.11:

r=l tg 23, (6.23)

где I ——расстояние от образца до фотопластинки, а угол О определяется из формулы (6.21). При малых углах sin 赤 м 3 н tg 23 ^ 2®. Поэтому

…限 (6.23，)

Дифракционная картина, получаемая при прохождении монохроматического рентгеновского излучения через поликристаллические образцы, называется дебаеграммой. Метод структурного анализа мелкокристаллических образцов, основанный на снятии и расшифровке их дебаеграмм, был впервые предложен в 1926 г. П, Дебаем и П. Шер- рером (метод Дебая — Шеррера). Метод Дебая —— Шеррера широко применяется для исследования структуры высокомолекулярных соединений, волокон и других объектов, имеющих кристаллическую фазу.

Поскольку sin § не может быть больше единицы, то, как видно из условия Вульфа ——Брэгга (6.21), дифракция на пространственной решетке возможна лишь при d > V2. Если d V 九/2, то все дифраю ционные максимумы, кроме нулевого, отсутствуют: плоская волна проходит через решетку, не изменяя направления своего распространения, т. е, так же, как в однородной среде. Следовательно, неравенство 九 > 2d является условием оптической однородности кристалла для света с длиной волны 九.Например, для видимого света (九 ^ 5х X 10"^ см) все кристаллы (d 〜10"7 — 10"8 см) должны быть оптически однородны. Однако эти рассуждения справедливы лишь для идеальных кристаллов, у которых расстояния между узлами строго одинаковы. В действительности они различны и непрерывно хаотически изменяются из-за теплового движения, так что даже для видимого света реа-

льные кристаллы нельзя считать полностью оптически однородными. Этот вывод подтверждается опытами по рассеянию света в кристалли* ческих телах (см. § 7.4).

Голография

Обычный фотографический метод получения изображений объектов основан на регистрации с помощью фотопластинки (или фотопленки) различий винтенсивности света, рассеиваемого разными малыми элементами поверхности объекта. Для этого при фотосъемке действительное изображение объекта в фотоаппарате проектируется на светочувствительную поверхность фотопластинки. Полученный негатив и отпечатанная с него позитивная фотография объекта — лишь приближенные, двумерные образы трехмерного объекта Об объемности объекта можно судить только по светотеням, имеющимся на его фотографическом изображении. Более совершенным является стереоскопический фотоснимок. Однако и в этом случае не удается получить такого же полного ощущения объемности, как при непосредственном наблюдении самого объекта. Дело в том, что» разглядывая стереоскопический фотоснимок с помощью стереоскопа, мы не можем, например, изменить положение точки наблюдения и увидеть то, что было закрыто во время съемки предметом, находящимся на переднем плане,— не можем «заглянуть за этот предмет».

Английский физик Д. Габор высказал идею (1948) принципиально нового метода получения объемных изображений объектов. Он предложил регистрировать с помощью фотопластинки не только амплитуды (или их квадраты, т. е, интенсивности, как при обычном фотографировании), но и ф а з ы рассеянных объектом волн, воспользовавшись для этого явлением интерференции волн. Таким способом можно получить и зарегистрировать на фотопластинке значительно более полную информацию об объекте, нежели путем обычного фотографирования. Свой метод Габор назвал голографией 1.

Суть этого метода пояснена на рис. 6.12. С помощью фотопластинки F (рис. 6.12, а) регистрируется интерференционная картина, возникающая при наложении волны 1, рассеянной объектом А и называемой сигнальной волной или предметным пучком, и когерентной ей волны 2, имеющей фиксированные значения амплитуды и фазы. Волна 2, называемая опорной волной или опорным пучком, испускается тем же источником света, который освещает объект, и после отражения от зеркала 8 падает непосредственно на фотопластинку 尸. Интерференционную картину, зафиксированную на фотопластинке после ее проявления, называют голограммой объекта. Голограмма в отличие от фотографического изображения объекта совершенно не похожа на него. Она представляет собой очень мелкий и замысловатый узор из чередующихся малых областей различного почернения эмульсии.

Получение голограммы связано с осуществлением интерференции света при больших разностях хода, т, е. требует весьма высокой сте-

丄 От греческих слов «holos» — весь, полный и «gr^pho» — пишу, рисую.

пени когерентности света. Поэтому практическое осуществление идеи Габора стало возможным лишь в начале 60-х годов после создания лазеров. Они являются незаменимыми источниками света в голографии.

Восстановление изображения объекта по его голограмме показано на рис. 6.12, б. Голограмму С просвечивают как диапозитив той же опорной волной 2, которая использовалась при получении голограммы, причем ориентация голограммы по отношению к опорной волне также должна быть сохранена. Эта световая волна дифрагирует на голограмме. В результате дифракции наблюдаются два объемных изображения объекта: мнимое и действительное. Мнимое изображение А' находится в том же месте по отношению к голограмме, где помещался объект Л при съемке голограммы. Это изображение видно при наблюдении сквозь голограмму как через окно. Действительное изображение /" расположено по другую сторону голограммы. Оно как бы висит в воздухе перед голограммой и является зеркальным изображением объекта, что представляет определенные неудобства.

Обычно пользуются мнимым голографическим изображением, которое по зрительному восприятию тождественно самому объекту Оно является объемным, а ею перспектива изменяется в зависимости от положения глаз наблюдателя по отношению к голограмме Например, перемещая голову вдоль голограммы, наблюдатель у- может《заглянуть за предмет», нахо- < дящийся на переднем плане гологра- Рнс 6 12фического изображения. Точно такой

же эффект получается при изменении положения точки визуального наблюдения непосредственно самого объекта.

Интерференционная картина в каждой точке голограммы опре^ деляется светом, рассеянным всеми точками объекта, Поэтому каждый участок голограммы содержит информацию обо всем о б ъ е кт е. Следовательно, если голограмма случайно разбилась, то с помощью даже малого сохранившегося ее осколка можно восстановить изображение всего объекта. Разница состоит лишь в том, что чем меньше размеры оставшейся части голограммы, тем меньше ее разрешающая способность и тем меньше света на ней дифрагирует на стадии восстановления изображения, соответственно тем менее четким и ярким будет восстановленное с ее помощью изображение. Между тем каждый

элемент поверхности обычного фотоснимка содержит информацию только о той части объекта, изображением которой он является. Поэтому частичное повреждение фотоснимка неизбежно сопровождается потерей некоторой части информации об изображенном на нем объекте. Таким образом, с точки зрения надежности хранения записанной на ней информации голограмма значительно превосходит обычный фотоснимок. Наконец, на одну и ту же фотопластинку можно последовательно записать несколько различных голограмм, изменяя каждый раз, например, угол падения опорной волны.

Можно получить цветное голографическое изображение объекта. Для этого при изготовлении голограммы пользуются монохроматическим светом трех основных цветов (например, красным, желтым и снним), испускаемым тремя разными лазерами. На стадии восстановления изображения на голограмму нужно одновременно направить три опорных пучка света от тех же трех лазеров.

Ю. Н. Денисюк впервые получил (1962) объемные голограммы, используя для этого толстослойные фотоэмульсии. Такие голограммы ведут себя подобно пространственным дифракционным решеткам. Они способны выделять из белого света свет той длины волны или тех нескольких длин волн, который был использован при получении голограммы. Поэтому для восстановления изображения, записанного в виде объемной голограммы, последнюю достаточно осветить белым светом. Если при изготовлении объемной голограммы был использован свет трех основных цветов, то при освещении этой голограммы белым светом наблюдается цветное изображение объекта.

Применение голографии открывает принципиальную возможность создания систем стереоскопического цветного голографического кино и телевидения.

Используя расходящиеся пучкн света на стадиях получения голограммы и воспроизведения изображения, а также увеличивая длину опорной волны на второй стадии, можно значительно увеличить размеры изображения по сравнению с размерами самого объекта. На этом принципе основано действие голографического микроскопа.

Голография может быть применена для получения видимых изображений объектов, находящихся в непрозрачной твердой или жидкой среде (например, внутренних органов человека). Этот метод основан на записи голограммы исследуемого объекта с помощью звуковых или ультразвуковых волн, для которых жидкие и твердые среда сравнительно прозрачны. Полученная таким образом акустическая голограмма объекта используется для восстановления изображения в видимом свете.

Очень перспективно использование голографических методов для создания новых, весьма надежных и очень емких систем памяти вычислительных машин, систем поиска заданной информации и распознавания образов, а также для кодирования информации.

Глава VII ДИСПЕРСИЯ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА

< Дисперсия света

Известно, что при пропускании через стеклянную призму узкого пучка белого света на экране, установленном позади прнзмы, наблюдается радужная полоска (рис. 7.1), которая называется призматическим или дисперсионным спектром. Спектр наблюдается на экране и в

том случае, когда источник света, призма и экран помещены в замкнутый сосуд, из которого удален воздух. Следовательно, образование призматического спектра является н агл ядным свидетельством существования зависимости абсолютного показателя пре

ломления п стекла от частоты V света: п~п(у). Как показали исследования, зависимость п от v присуща всем веществам. Это явление получило название дисперсии света.

По теории Максвелла, скорость света в вакууме с= 1%% 网(еои jx0 ——электрическая и магнитная постоянные) не зависит от частоты. Убедительные подтверждения этого вывода были получены в астрофизике при наблюдении излучения двойных звезд. Двойная звезда представляет Собой систему, состоящую из двух звезд, которые связаны силами тяготения и движутся вокруг общего центра инерции. Наблюдатель, находящийся в плоскости движения обеих звезд, должен видеть периодически повторяющиеся взаимные затмения этих звезд, при которых яркость двойной звезды заметно уменьшается. Если бы скорость света в вакууме зависела от частоты, то при затмениях должна была бы Изменяться не только яркость, но и окраска двойной звезды- Например, если бы скорость с для красного света была больше, чем для фиолетового, то в начале затмения двойная звезда должна была бы приобрести сине-фнолетовую окраску, а в конце — красно-желтую. Однако опыты показали, что таких закономерностей в изменениях окраски двойных звезд нет. Следовательно, скорость в вакууме для света любой частоты v одна и та же. Поэтому дисперсия света в веществе обусловлена зависимостью от v фазовой скорости света в этом веществе:

V —V —仆）仆）==v(V).==v(V).

V —

V —

仆）

仆）

==v(V).

==v(V).

Так как частота v обратно пропорциональна длине волны 九 в вакууме (и=с/九)，то в равной мере можно говорить о зависимости п и и от Z: п=п(^) и и=〃九).

Дисперсию света в среде называют нормальной^ если с ростом частоты V абсолютный показатель преломления п среды также возрастает: 関〉0 (соответственно 関 <°) • Такой характер зависимости п от V наблюдается в тех областях частот, для которых среда п р о з р а ч- н а. Например, обычное стекло прозрачно для видимого света и в этом интервале частот обладает нормальной дисперсией (рис. 7.1).

Дисперсию света в среде называют аномальной, если с ростом частоты v абсолютный пока-

уменьшается:уменьшается:затель преломления п среды

уменьшается:

уменьшается:

襲 <0 ^соответственно 襲 >。)• Аномальная дисперсия наблюдается в области частот, соответствующих полосам интенсивного поглощения света веществом. Для стекла эти полосы находятся в ультрафиолетовой и инфракрасной частях спектра. На рис. 7.2 показан типичный ход зависимости п от v. Аномальной дисперсии соответствует интервал частот от q до v2.

В зависимости от характера дисперсии групповая скорость света в веществе (см. § 1.3) может быть как больше, так и меньше фазовой скорости v. В самом деле, a>=2nv и x=2nnv/r, так что da>=2jtdv,

и групповая скорость do) си групповая скорость do) сииd/c = ~ (ndv + 婚窮 dv)

и групповая скорость do) с

и групповая скорость do) с

и

и

'~ 石—' dn — t . v dn ・

При нормальной дисперсии 黑〉0 и u< v. При аномальной дисперсии 器 и u > V, в частности, если

м + v 肃 <1, то u>c.

Между тем, согласно теории относительности и данным экспериментов, скорость распространения светового сигнала (цуга волн, ограниченного в пространстве) в любом веществе не может превосходить скорости света в вакууме. Поэтому полученный выше результат свидетельствует лишь о том, что в области аномальной дисперсии групповая скорость не совпадает со скоростью переноса энергии группой волн, эквивалентной; рассматриваемому световому сигналу. Возможность описания сигнала с помощью групповой скорости основывается на предположении о том, что в процессе распространения сигнала в среде сохраняется «форма» сигнала, т. е. распределение •амплитуды и энергии по его длине. Строго говоря, это условие вы-

полняется только для вакуума. Для всех других сред оно выполняется лишь приближенно и тем точнее, чем уже спектр частот сигнала и чем меньше дисперсия света в веществе при этих частотах. Вблизи полос поглощения дисперсия света в веществе столь велика, что «форма» сигнала быстро изменяется по мере его распространения в веществе.

На явлении нормальной дисперсии основано действие призменных спектрографов и спектроскопов. Принципиальная схема такого спектроскопа изображена на рис. 73 Он состоит из трех основных частей: коллиматора К, призмы А и зрительной трубы Т. Щель S коллиматора находится в фокусе линзы %. Поэтому исследуемый свет после прохождения через щель S и коллиматорную трубу падает на призму А параллельным пучком. Свет, про

Рис. 7.5Рис. 7.5шедший через призму, собирается объективом Л2 зрительной трубы. В фокальной плоскости линзы Л2 образуется дисперсионный спектр. Этот спектр рассматривается через окуляр 〃з зрительной трубы, играющий роль лупы. В призменном спектрографе линза 〃з отсутствует, а изучаемый спектр регистрируется с помощью фотопластинки, помещаемой в фокальной

Рис. 7.5

Рис. 7.5

Существенное отличие дисперсионного спектра от дифракционного состоит в нелинейности первого: угол отклонения призмой лучей монохроматического света не пропорционален ни длине волны этого света, ни его частоте. Поэтому дисперсионные спектральные приборы необходимо предварительно градуировать с помощью эталонных источников о^ета, имеющих линейчатый спектр.

Для наблюдения нормальной и аномальной дисперсий можно воспользоваться методом скрещенных призм, примененным еще Ньютоном. Схема расположения призм и экрана показана на рис. 7.4. Призма А — стеклянная, а призма В изготовлена из вещества, дисперсия света в котором исследуется. Плоскости оснований призм взаимно перпендикулярны. Призма А освещается параллельным пучком белого света. При прохождении через призмы А и В лучи света отклоняются

к основаниям призм, т. е. в двух взаимно перпендикулярных направо лениях (вниз в призме Л и за чертеж в призме В). Углы отклонений для света различных длин волн тем больше, чем больше соответствующие значения показателей преломления призм. Если бы призмы В не было, то па экране 3 наблюдался бы спектр, обусловленный нормальной дисперсией света в стекле. Он имел бы вид прямоугольной радужной полоски К — Ф, показанной на рис. 7.5, а. Вследствие дисперсии света во второй призме спектр на экране искривляется. Его форма (при наблюдении картины на экране со стороны призмы В) в случае нормальной дисперсии в призме В в о всем интервале длин волн видимого света изображена на рис. 7.5, 6. Наконец, вид спектра, показанный на рис. 7.5, % соответствует случаю, когда одна из полос поглощения света веществом призмы В находится в области видимого света. Сдвиг вправо нижней половины спектра по отношению к верхней обусловлен аномальной дисперсией в пределах полосы поглощения.

Метод скрещенных призм непригоден для изучения дисперсии света в газах и парах, показатели преломления которых очень близки к единице. Весьма точный метод измерения дисперсии в таких средах вплоть до границ линий поглощения был предложен Д. С. Рождественским.

Взаимодействие света с веществом. Классическая теория дисперсии света

Дисперсия света является результатом взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами, входящими в состав вещества. Поэтому макроскопическая электромагнитная теория Максвелла не могла объяснить это явление. Классическая теория дисперсии была разработана лишь после создания Г. Лоренцем электронной теории строения вещества.

Из теории Максвелла следует, что абсолютный показатель преломления п среды выражается формулой (4.2):

(7.1)

где е — относительная диэлектрическая проницаемость среды. На первый взгляд кажется, что формула (7.1) противоречит данным опыта. Так, например, для воды, как известно из электростатики, £=81. В то же время для видимого света абсолютный показатель преломления воды равен 1,33, а не 9. Однако это «противоречие» не связано с какими-либо принципиальными недостатками теории Максвелла. Оно «появилось» вследствие пренебрежения явлением дисперсии, т. е. неправильного применения формулы (7.1). Величина е, так же как и п, зависит от частоты v переменного электромагнитного поля: е=е (v)» В самом деле, большое значение относительной диэлектрической проницаемости воды в стационарном (электростатическом) поле £(0)=81 обусловлено ориентационной поляризацией, т. е. преимущественной ориентацией в этом поле молекул воды, обладающих большими дипольными моментами. В переменном электрическом поле молекулы не могут мгновенно изменять свою ориентацию, так как их момент инерции от-

лниен от нуля. Следовательно, в переменном поле значение в воды будет близко к е(0) лишь до тех пар, пока частота колебаний поля не слишком велика, так что молекулы воды успевают изменять свою ориентацию в соответствии с изменениями направления поля. В переменных полях достаточно большой частоты ориентационная поляризация воды или любого другого диэлектрика с полярными молекулами должна практически отсутствовать. Поэтому для видимого света (v ~ ~ 1015 Гц) значение относительной диэлектрической проницаемости среды обусловливается только электронной поляризацией этой среды, т. е. вынужденными колебаниями электронов в атомах, молекулах или ионах среды под действием электромагнитного поля световой волны. Соответственно е (v) < е (0) и л (v) < п(0).

В процессе вынужденных колебаний электронов с частотой v падающего на вещество света периодически изменяются дипольные электрические моменты атомов. Следовательно, как было показано в § 3.2, атомы излучают вторичные электромагнитные волны, частота которых также равна v. Средние расстояния между частицами вещества во много раз меньше протяженности одного цуга волн. Поэтому вторичные волны, излучаемые весьма большим числом соседних атомов среды, когерентны как между собой, так и с первичной волной. При наложении они интерферируют, причем результат интерференции зависит от соотношения их амплитуд и начальных фаз.

Расчеты показывают, что в однородном изотропном веществе в результате интерференции образуется проходящая волна, фазовая скорость которой зависит от частоты, а направление распространения совпадает с направлением распространения первичной волны.

В случае оптически неоднородной среды наложение первичной и вторичных волн приводит к возникновению рассеяния света, которое рассмотрено в § 7.4. Наконец, при падении света иа границу раздела двух различных с р е д в результате интерференции возникает не только проходящая, но и отраженная волна. Таким образом, отражение света происходит не от геометрической поверхности раздела сред, а от более илн менее значительного слоя частиц среды, прилегающих к границе раздела.

В связи с этим особый интерес представляет явление полного внутреннего отражения света от оптически менее плотной среды, о котором мы уже говорили в гл. IV.

Теоретический анализ, проведенный А- А. Эйхеивальдом» показал, что при полном внутреннем отражении электромагнитное поле световой волны не обрывается на границе раздела, а частично проникает и во вторую (оптически менее плотную) среду. Однако амплитуды £0 и Яо напряженностей поля очень быстро уменьшаются по мере углубления во вторую среду:

„ ( / sinH 、 耳〜exp

где г 一 расстояние от границы раздела, Х2— длина волны света во второй среде, i — угол падения (i>tHp) и 几办—относительный показатель преломления второй среды. Глубина проникновения поля во вторую среду соизмерима с длиной волны 12. ^о явление можно обнаружить на опыте. Так, в опыте Г. Квинке, схема которого показана на рнс« 7,6, плоскопараллельный слой воздуха толщиной d находился между

СТРЕЛЯННЫМ полуцилиндром Л и стеклянной призмой В. При d»% (X 一 длина световых волн в воздухе) н углах падения i > f” свет в Призму В не проходил. При малых толщинах d порядка X и мейьше айергия поля в воздухе на границе с призмой В была еще достаточно велика н через призму проходил свет.

Если оптически менее плотная среда способна под действием света флуореедиро- в&ть, то проникновение в нее электромагнитного поля при i>inp можно обнаружить По флуоресцентному свечению тонкого слоя среды, прилегающего к границе раздела. Этот метод был предложен Л. И, Мандельштамом и П* Зелени.

Рассмотрим подробнее классическую электронную теорию днсперсин света в однородном диэлектрике. Из формулы Максвелла (7.1) следует, что дисперсию света можно формально рассматривать как следствие зависимости относительной диэлектрической проницаемости среды & от частоты V световых волн. Из курса электричества известно [см. т. II, формулы (6.18) и 丨

—1+Ре/ (е^Е), где к ——диэлектрическая восприимчивость среда, Ре — проекция вектора поляризации на направление вектора напряженности Е электрического поля. Таким образом,

1+矗.(7.2)

Выше мы уже говорили о том, что в силу большой частоты световых волн поляризация среды обусловлена только смещением электронов (электронная поляризация). Следовательно^ вектор поляризации

Pg = %P®,

где По ——чнсло атомов в единице объема, а р± ——наведенный электрический момент атома. В первом приближении можно считать, что величина ре определяется смещением только внешних, наиболее слабо связанных с ядром электронов атома. Эти электроны называют оптическими электронами.

Будем предполагать^ что свет линейно-полярнзован, причем вектор Е поля волны параллелен оси ОХ:

Е 工 Ji, Е^ ^ fo^os(7.3)

где i — орт оси ОХ, £0 — амплитуда напряженности, 8=2jcv — циклическая частота света. Под действием поля оптические электроны атомов среды смещаются вдоль направлений, параллельных оси ОХ. Если каждый атом имеет по одному оптическому электрону, то

pe = —exi и Р重=—(7.3)

где ——е — заряд электрона, а %1 — смещение оптического электрона под действием поля волны. Из (7・3)н (7.3‘) следует, что формулу (7.2) можно записать в виде

紋=1一詈位)•(7?)

Таким образом, задача сводится к отысканию зависимости отношения х/Ех от частоты света.

$ А. А. Детлаф, Б. М* Яворскнв — 129 г

Для прозрачных веществ в первом приближении можно считать, что на колеблющийся оптический электрон действуют следующие дв『силы:

возмущающая (вынуждающая) сила

(7-4)(7-4)F = — еЕ, F* = — е£0 cos of;

(7-4)

(7-4)

возвращающая квазнупругай сила взаимодействия оптического электрона с остальной частью атома

^возвр = &%1,^ВОМф х = ‘К%,

где к — коэффициент квазнупругой силы; этот коэффициент связан с массой /п электрона н циклической частотой (о。его свободных незатухающих колебаний в атоме соотношением к=т^ (см. т. I, § 8.2), так что

尸ВОЗВРАТ = ^®0^* (7・5)

Дифференциальное уравнецне вынужденных колебаний электрона имеет внд

т 石^ — — /по肋一е£0 cos ①九(7.6)

откуда

尤 eE。8s cot . . eE*(7 7)

m (©о—й)а) от(©5—©a)'

Из (72) и (7.7) следует, что

2/^Ж^・(7・8)

Таким образом, по мере увеличения со от 0 до соо абсолютный

показатель преломления среды монотонно возрастает от величины статического показателя преломления п (0) = К1 + %济/(加％嗡)До 4-8. Прн s=g)0 значение па скачкообразно изменяется от +оо до —оо, а по мере дальнейшего увеличения со от со。до оо п3 вновь монотонно возрастает от—оо до 1. График зависимости п от(о по формуле (7.8) показан на рис. 7.7,

Неограниченное возрастание % и п при(о -> ⑴仆 физически бессмысленно н практически неосуществимо. Этот результат получился потому,

что в приведенном выше выводе мы не принимали во внимание потери энергии, обусловленные излучением вторичных электромагнитных волн, соудареннямн между излучающими атомамн и другими причинами. Приближенно все эти потери можно учесть, если предположить, что на колеблющийся электрон действует дополнительная сила

сопротивления, пропорциональна^ его скорости v:

(7.9)(7.9)Fсопр == —Г,尸сопр#=—『*^Г，

(7.9)

(7.9)

где г—коэффициент сопротивления. Поэтому более точным, чем (7.6), является следующее дифференциальное уравнение вынужденных колебаний оптического электрона:

2P警-咏一朵。S叫2P警-咏一朵。S叫(7.Ю)(7.Ю)

2P警-咏一朵。S叫

2P警-咏一朵。S叫

(7.Ю)

(7.Ю)

где р=г/2/п ——коэффициент затухания (см. т( I, § 8.5).

Можно показать, что решение этого уравнения приводит к следую- щему‘ выражению для показателя преломления газа х:

九=1 -[■九=1 -[■0>0一ft)20>0一ft)22т0 (ш?一炉)\+4伸炉・2т0 (ш?一炉)\+4伸炉・(7.11)(7.11)

九=1 -[■

九=1 -[■

0>0一ft)2

0>0一ft)2

2т0 (ш?一炉)\+4伸炉・

2т0 (ш?一炉)\+4伸炉・

(7.11)

(7.11)

Из расчета, приведенного в § 3.2, вндно» что коэффициент затухания $ во много раз меньше со. Поэтому влияние затухания на завнсн- мость п от со оказывается существенным лишь в области частот ю, очень близких к о。. За пределами этой области 4Р2©2《 (①：一 ①^含 и формулы (7.11) и (7.8) полностью эквивалентны. График зависи- мостн 孔 от о вблизи 8=со。, соответствующий формуле (7.11), показан на рис. 7.7 пунктирной линией. Из (7J1) видно, что м=1 при со=шо<

До сих пор мы основывались на предположении о том, что у каждого вещества имеется только одна характерная для него циклическая частота(оо свободных колебаний оптических электронов. В действительности, как показывают опыты, при прохождении света сквозь любое газообразное вещество наблюдается целый ряд характерных для этого вещества линий поглощения. Следовательно, каждое вещество характеризуется определенным набором различных циклических частот cooft. Поэтому в классической теории дисперсии света вводится предположение о том, что каждый атом (или молекулу) вещества можно рассматривать как систему гармонических осцилляторов — заряженных частнц с различными эффективными зарядами 夕左 и массами т^ совершающих свободные незатухающие колебания с циклическими частотами ①磕.Под действием электрического поля световой волны все эти осцилляторы совершают вынужденные колебания и вносят свой вклад в поляризацию вещества, а следовательно, и в выражение для его показателя преломления. Еслн коэффициент затухания для осциллятора ^-го сорта, соответствующего циклической частоте 色叫,равен В&, то для газа вместо формулы (7.11) получается следующая зависи-

1 Решение уравнения вынужденных колебаний, аналогичного (7.10), приведено в § 8 6 т I Благодаря влиянию силы сопротивления (7.9) колебания оптического электрона не совпадают по фазе с колебаниями напряженности поля. Поэтому отношение х/Ех не постоянно, а периодически изменяется с течением времени, так что при вычисленни л йо формуле (7 2‘) нужно подставлять вместо переменной величины х1Ех ее среднее за период значениеО /£х>: лу=1 — ■—〈-^-)・

мость показателя преломления от частоты:

1+結塞1+結塞9磊一8*3良一炉尸+46^1)29磊一8*3良一炉尸+46^1)2

1+結塞

1+結塞

9磊一8*

3良一炉尸+46^1)2

9磊一8*

3良一炉尸+46^1)2

илн

九=1 т九=1 т2me02me0}r f©ОЙ一®*点々(就ft^-32)2 + 4 傀 0)2}r f©ОЙ一®*点々(就ft^-32)2 + 4 傀 0)2(7.12)(7.12)

九=1 т

九=1 т

2me0

2me0

}r f©ОЙ一®*

点々(就ft^-32)2 + 4 傀 0)2

}r f©ОЙ一®*

点々(就ft^-32)2 + 4 傀 0)2

(7.12)

(7.12)

国『与“=当必Е.国『与“=当必Е.(7 13)(7 13)

国『与“=当必Е.

国『与“=当必Е.

(7 13)

(7 13)

sor. Безразмерныйsor. Безразмерныйгде суммирование производится по всем значениям коэффициент

sor. Безразмерный

sor. Безразмерный

называется силой ^-го осциллятора. Он характеризует интенсивность поглощения веществом счета с циклической частотой ①。丸 и определяется из экспериментальных данных. График зависимости п от со по формуле (7.12), показанный на рис. 7.8, хорошо согла* суется с Жданными опытов, проведенных при обычных условиях.

В приведенных выше выводах считалось, что н石 осциллятор действует электрическое поле Е световой волны в среде< На самом деле колебания ос

циллятора происходят под влиянием так называемого эффективного электрического поля Еэф. Отличие Езф от Е связано с тем, что в созданий поля Еэф заряд рассматриваемого осциллятора не участвует, ав создании поля Е в среде участвует. Прн прочих равных условиях различие между Еэф и Е тем значительнее, чем меньше средние расстояния между молекулами. В сильно сжатых газах, а также жидкостях й твердых телах оно достаточно велико.

Оказалось, что в изотропной среде

Соответственно для зависимости п от ш в случае среды с одной собственной частотой 价 и коэффициентом затухания 0=0 Л* Лоренц и Г. Лоренц получили вместо формулы (7.8) следующее выражение:

(7 14)(7 14)遊一1 — /Zpg?1

(7 14)

(7 14)

n3 + 23m&Q 峭一炉

называемое формулой Лоренца — Лоренца. Для разреженных газов /г$^1,七導巾内七 н формула (7.14) совпадает с формулой (7.8).

8» В современной физике доказано, что поведение таких микросистем, как атом или молекула, нельзя описывать методами классической физики. Они подчиняются законам квантовой механики, основы которой мы рассмотрим дальше. Следовательно, теория дисперсии света в веществе должна базироваться на квантовомеханическом

рассмотрении процессов излучения и поглощения света атомами н молекулами вещества* Как показали исследования, квантовая теория диспфсин приводит к такой же зависимости абсолютного показателя преломления вещества от частота света, что и классическая L Одаако квантовая теория в отличие от классической указала принципы теоретического нахождения набора циклических частот н сил осцилляторов.

Логлои|ение света

Из опытов известно, что по мере распространения плоской световой волны в веществе ее интенсивность постепенно уменьшается. Это явление называется поглощением света в веществе (гйсорб- Цией света). Оно связано с преобразованием энергии электромагнитного поля волны во внутреннюю энергию вещества или в энергию вторичного (фотолюминесцентного, см. § 15.8) излучения, имеющего другой спектральный состав и иные направления распространения. Поглощение света может вызывать нагревание вещества, возбуждение и ионизацию атомов нли молекул, фотохимические реакции и другие процессы в веществе.

Еще в XVIJJ в. П. Бугер и И. Ламберт установили, что нитенскв- ность / плоской монохроматической волны после прохождения сквозь слой поглощающего вещества толщиной % связана с интенсивностью /0 этой волны на входе в слой следующим соотношением (закон Бугера —— Ламберта):

/ = /訳№匕 (7.15)

где а —— коэффициент поглощения (показатель поглощения). Значение а зависит от длины волны света, химической природы и состояния вещества. Существенно, что коэффициент поглощения не зависит от интенсивности света. Из (7.15) видно, что коэффициент погло/цеяия численно равен единице, деленной на толщину слоя вещества, по про- хожденнн которого интенсивность света уменьшается в е=2,72 раза.

Как показали опыты, коэффициент поглощения монохроматаческо- то света в растворе поглощающего вещества в непоглощающем растворителе пропорционален объемно-массовой концентрации с раствора:

ос = %с, (7.16) где at — постоянный коэффициент, зависящий от природа поглощающего вещества и длины волны света.

Эта зависимость была проверена на опыте А. Бером и называется законом Бера. Закон Бера справедлив для разбавленных растворов> В концентрированных растворах он нарушается нз-за влияния взанмо- действия между близко расцоложеннымн молекулами поглощающего вещества.

В днэлектрнках нет свободных электронов и поглощение света обусловлено явлением резонанса при вынужденных колебаниях электронов в атомах и атомов в молекулах дизйектрика. Поэтому диэлектрики поглощают свет более или менее избирательно (селективно) в

1 Строго говоря, это верно лишь для дисперсии, обуслоеденноЯ электрнческим ДЦ£рльным излучением н поглощением молекул.

зависимости от частоты последнего. Поглощение велико лишь в областях частот, близких к частотам собственных колебаний электронов в атомах и атомов в молекулах. Для света всех остальных частот диэлектрик практически прозрачен, т. е. его коэффициент поглощения а близок к нулю. Наиболее ярко это явление резонансного поглощения обнаруживается у разреженных одноатомных газов, обладающих линейчатым сйектром поглощения (рис. 7.9). Дискретные частоты ннтен- сивного поглощения совпадают с частотами собственного излучения возбужденных атомов этих газов.

У газов с многоатомными молекулами наблюдаются системы тесно расположенных лнний поглощения, образующих полосы поглощения.

Структура этих полос определяется составом и строением молекул. Поэтому изучение спектров поглощения является одним из основных методов экспериментального исследования строения молекул. Широко используется также спектральный метод количественного и каче-

“ственного анализа смесей газов,

основанный на измерении спектра частот н относительных интенсивностей линий или полос поглощения смесн (абсорбционный спектральный анализ). У сложных органических молекул особенно характерный вид имеют спектры поглощения в области инфракрасного излучения.

Жидкие и твердые днэлектрикн имеют сплошные спектры погло- щеиия» состоящие нз сравнительно широких полос поглощения, в пределах которых коэффициент поглощения а изменяется плавно. За пределами этих полос а да 0, т. е. диэлектрики прозрачны. Избирательным поглощением объясняется окраска в проходящем свете, наблюдаемая у растворов красителей н многих минералов. Это явление используется для изготовления светофильтров.

Классическая теория дисперсии и поглощения света в диэлектриках, изложенная выше, базируется на предположении о возможности рассмотрения атомов и молекул диэлектрика как набора осцилляторов Удовлетворительное согласие этой теории с данными опытов является подтвержденнем правомерности классической осцилляторной модели атома. Однако более детальное изучение поглощения света в диэлектриках, выполненное С. И. Вавиловым, позволило обнаружить отступления от закона Бугера — Ламберта: при достаточно больших интенсивностях света /Окоэффицнент поглощения некоторых днэлектрн- ков начинает убывать с ростом /0. Это явление, не объяснимое с помощью классической осциллятор ной модели, легко истолковывается на основе квантовой теории. При поглощеннн света часть молекул диэлектрика переходит в возбужденное состояние и их «поглощательная способность» изменяется. Еслн доля этих молекул невелика, т. е, средняя продолжительность <т> их жизни в возбужденном состояннн очень мала (порядка 10"8 с), то зависимость а от /0 отсутствует и соб-

людается закон Бугера — Ламберта. Для некоторых веществ (например, солей урана, сернистого цинка и др ) <т> > 10"4 с. Поэтому при значительных /0 доля возбужденных молекул столь велика, что коэффициент поглощения уменьшается с ростом /0.

В А Фабрикант показал (1940), что можно осуществить такое неравновесное состояние вещества, при котором доля возбужденных молекул будет велика и коэффициент поглощения вещества станет отрицательным Это возможно, когда число актов поглощения света, пропорциональное числу невозбужденных молекул, меньше чнсла актов вынужденного излучения света возбужденными молекулами, пропорционального числу последних Среды с отрицательными коэффициентами поглощения используются для создания квантовых генераторов радиоволн и видимого света, называемых соответственно мазерами и лазерами (см § 15 9).

В заключение рассмотрим вопрос об^ отражении и поглощении света металлами, В газообразном состояннн металлы являются диэлектриками и не обнаруживают каких-лнбо аномальных оптических свойств. В конденснрованном состоянии металлы содержат огромное количество свободных электронов и потому обладают хорошей проводимостью. В электрическом поле световой волны свободные электроны совершают упорядоченное переменное движение и излучают вторичные волны. Благодаря наложению первичной и вторичной волн образуются интенсивная отраженная волна и сравнительно слабая преломленная волна. Коэффициент отражения в большой степени зависит от чнстоты поверхности металла и его электропроводности. У такнх хороших проводников, как серебро и натрий, максимальный коэффициент отражения* достигает значений, соответственно равных 0,96 и 0,998.

Преломленная волна быстро поглощается памере распространения в металле. Ее энергия расходуется на джоулеву теплоту, которая выделяется токами проводимости, возннкающимн прн действии света на свободные электроны. Поэтому отражение и поглощение света происходят в очень тонком слое металла, прилегающем к его поверхности.

В области видимого и особенно ультрафнолетового света у металлов обнаруживается заметная зависимость коэффициентов отражения и поглощения от частоты. Например, коэффициент отражения от чистой поверхности серебра изменяется от 0,96 при Х—700 нм до 0,042 при Х=316 нм Соответственно возрастает и прозрачность тонкой пленки серебра. Аналогичные закономерности обнаруживаются у щелочных металлов. Это свидетельствует о том, что прн больших частотах существенную роль в оптических свойствах металлов начинают играть вынужденные колебания связанных электронов в нонах, образующих кристаллическую решетку металла

Рассеяние света

Рассеянием света называется процесс преобразования света веществом, сопровождающийся изменением направления распространения света и проявляющийся как несобственное свечение вещества. Несобственное свечение обусловлено в ы н у ж д е н* ы м и

колебаниями электронов в атомах, молекулах или нонах рассеивающей среды под действием падающего света. Как показал Л. И. Мандельштам (1907), рассеяние может возникать только в оптически неоднородной среде, показатель преломления которой нерегулярно изменяется от точкн к точке. Примерами таких сред могут служить так называемые мутные среды — аэрозоли (дым, туман), эмульсии, коллоидные растворы, матовые стекла и т. пм содержащие мелкие частнцы, показатель преломления которых отличается от показателя преломления окружающей среды.

В случае оптически однородной среды ее одинаковые малые (сравнительно с кубом длины волны света) объемы, содержащие равное и притом достаточно большое число молекул, можно рассматривать как фиксированные в пространстве когерентные источники вторичных волн. Следовательно, можно отвлечься от теплового движения фактических источников вторичных волн — атомов и молекул среды, если только это движение не нарушает оптической однородности среды. В такой среде рассеяние света должно отсутствовать, так как для всех направленнй, отличных от направления первичного пучка света, вторичные волны взаимно погашаются вследствие интерференцнн.

Иначе обстоит дело в случае оптически неоднородной среды. Еслн расстояния между малыми по размеру неоднородностями среды (например, между инородными частицами мутной среды) значительно больше длины волны света, то эти неоднородностн ведут себя как независимые вторичные источники света, Излучаемые ими волны и е когерентны между собой и при наложении не могут интерферировать. Поэтому оптически неоднородная среда рассеивает свет по всем направлениям.

2* Рассеяние света в мутных средах с размерами неоднородностей не свыше (0,1——0,2)九 называется явлением Тиндаля. Его можно наблюдать, напрнмер, при прохождении яркого пучка света через слон воздуха, заполненный мелкими частичками дыма, нли через сосуд с водой, в которую добавлейо немного молока, содержащего небольшие капелькн жнра. Если мутная среда освещается пучком белого света, то прн наблюдении сбоку, т. е. в рассеянном свете, она кажется голубоватой. В свете, прошедшем сквозь достаточно толстый слой мутной среды,- обнаруживается преобладание длинцоволнового света, так что в проходящем свете среда кажется красноватой. Эта закономерность была объяснена в теории рассеяния света на мелких сферических частицах, разработанной Д. Рэлеем (1899). Рэлей показал, что прн прочих равных условиях интенсивность / света, рассеиваемого частицей, обратно пропорциональна четвертой степени длины волны 九 (закон Рэлея):

/〜L. (7.17)

В случае рассеяния естественного света интенсивность /令 света, рассеянного под углом 3 к направлению первичного пучка, зависит от угла 6 следующим образом：

/§ п /я/а (1 十 cos3 §), (7，1§)

где /я/2 — интенсивность света, рассеиваемого под углом Я=л/2, т. е. перпендикулярно направлению первичного пучка, Еслн молекулы рассеивающего вещества электрически изотропны (неполярные молекулы), то свет, рассеиваемый под углом 3=л/2, полностью поляризован в плоскости, проходящей через падающий и рассеянный лучи.

Явление Тиндаля используется в ультрамикроскопе для обнаружения мельчайших коллоидных частиц размером до 10-в м и наблюдения за их движением. В ультрамикроскопе ось трубы микроскопа установлена перпендикулярно направлению пучка света от осветителя. Поэтому в микроскоп попадает только свет, рассеянный коллоидными частицами, которые наблюдаются в виде блестящих звездочек, выделяющихся на общем черном фоне поля зрения микроскопа.

По мере увеличения размеров d неоднородностей в мутной среде указанные выше закономерности рассеяния света постепенно искажаются. При d > 九 зависимость /仆 от § нмеет сложную форму, причем ннтенснвность рассеяния вперед, т. е. в направленнях § 之 л/2, больше, чем назад. Это явление называется эффектом Ми. Свет, рассеиваемый под углом9=л/2, поляризован лишь частично. Закон Рэлея (7.17) также нарушается. При &》九 спектральный состав рассеянного света практически совпадает со спектральным составом падающего света. Этим объясняется, напрнмер, белый цвет облаков.

Рассеяние света наблюдается также в чистых средах, не содержащих каких-либо частиц примесей (например, в чистых газах и жидкостях, истинных растворах). Оно называется молекулярным рассеянием света и обусловлено, как впервые предположил М. Смолуховский (1908), флуктуациями плотности, возникающим» в процессе Хаотического теплового двигкения молекул среда. Дополнительными причинами возникновения оптической неоднородности в чистых средах с анизотропными (полярными) молекулами являются флуктуации ориентаций молекул (флуктуации анизотропии), а в истинных растворах, кроме того,— флуктуации концентрацнн. А. Эйнштейн, основываясь на идее Смолуховского, создал теорию молекулярного рассеяния света (1910). Как показывают расчеты, размеры утастков среды, соответствующих более или менее значительным флуктуациям, при обычных условиях значительно меньше длин волн внднмйго света. Поэтому теория Эйнштейна привела к тем же результатам в отношении зависимости интенсивности рассеянного света от X и Я, а также характера полярнзацин рассеянного света, что и теория Рэлея.

Молекулярным рассеянием в атмосфере коротковолновой части видимого солнечного света объясняется голубой цвет неба. По тем же причинам при восходе и закате прямой солнечный свет, прошедший сквозь значительную толщу атмосферы, должен быть красно-оранжевым. Флуктуации плбтности и интенсивность рассеяния света возрастают с увеличением температуры. Этим объясняется более насыщенный цвет неба в ясный летний день по сравнению с таким же зимним днем.

Наиболее значительные флуктуации плотности в газах возникают в критическом состоянии, т. е в состоянии, когда газ по своим свойствам

становится тождественным жидкости. Прн этом наблюдается столь интенсивное рассеяние света, называемое критической опалесценцией, что даже сравнительно тонкий слой вещества полностью рассеивает весь падающий на него свет. Аналогичное явление наблюдается в растворах при так называемой критической температуре смешенкя, соответствующей максимальной илн минимальной температуре расслоения раствора иа две несмешивающнеся. жидкости.

Рассеяние светц на флуктуациях анизотропин значительно слабее рассеяния на флуктуациях плотности. Однако оно представляет большой научный интерес, так как из анализа спектрального состава и полярнзацин рассеянного света можно получить ценные сведения относительно электрнческнх свойств и строения анизотропных молекул.

Молекулярное рассеяние света происходит также и в кристаллических твердых телах. Эго явление, зн^ительно более слабое, чем рассеяние в жидкостях, впервые было обнаружено экспериментально Г. С. Ландсбергом (1926). Теория молекулярного рассеяния света в кристаллах была разработана 刀.И. Мандельштамом и его школой (Г. С. Ландсберг, М. А. Леонтович и др.)- Благодаря сильному взаимодействию между частицами в кристаллах флуктуации плотности, обусловливающие рассеяние света, тесно связаны с упругими свойствами всего кристалла. Случайно возникшие флуктуации давления и связанные с ними флуктуации плотности должны распространяться в кристалле в виде упругих тепловых волн. Исходя из этой основной идеи, Мандельштам пришел к выводу, что рассеяние света в кристаллах можно рассматривать как результат дифракции падающего света на упругих тепловых волнах гиперзвуковых частот (^1О10 Гц).

Теория Мандельштама оказалась применимой нВ только к кристаллам, но и к аморфным твердым телам н жидкостям. Из нее следовал важный вырод о том, что при молекулярном рассеянии света в указанных средах должна существовать тонкая структура спектра рассеянного света, обусловленная модуляцией света гиперзвуковыми упругими волнами. Оказалось, что в свете, рассеянном под углом $, помимо несмещенной компоненты с частотой v первичного света, должны наблюдаться «смещенные» компоненты с частотами v+Av и v—Av, причем

Av = 2v (У/и) sin (令/2),

где и' н и — скорости гиперзвука и света в рассеивающей среде.

В жидкостях возможны только продольные упругие волны, поэтому должны наблюдаться две «смещенные» компоненты. В аморфном твердом теле возможны как продольные, так и поперечные упругие волны, имеющие различные скорости и и и?. Соответственно должно быть четыре «смещенных» компоненты рассеянного света. При рассеянии света в анизотропных кристаллах в общем случае число «смещенных» компонент должно бмН равно 24.

Существование этого явления, названного явлением Мандельштама — Бриллюэна, было впоследствии подтверждено экспериментами. Дальнейшее развитие теории рассеяния света привело Мандельштама н Ландсберга к открытию явления комбинационного рассеяния света (см. § 15.7).

§ 7,5. Излучение Вавилова — Черенкова

П. А. Черенков, изучая люминесценцию растворов под действием радиоактивных излучений, обнаружил (1934), что у- и Р-нзлучения вызывают весьма слабое видимое свечение чистых жидкостей. Анализ свойств этого свечения показал, что оно вопреки суще-

ствовавшему в то время мнению не имеет ничего общего с люминесценцией. Так, например, оно наблюдалось во всех чистых жидкостях независимо от их химического состава, причем его интенсивность практически не зависела нн от температуры жидкости, ни от содержания в ней примесей, которые должны былн бы вызывать резкое ослабление («тушение») свечения, еслн бы оно являлось люминесцентным.

С. И. Вавилов высказал правильное предположение о том, что свечение, обнаруженное Черенковым, связано с движением свободных электронов через вещество. Однако попытка объяснить это излучение торможением электронов в жидкостях оказалась неудачной. Расчеты показали, что для всех жидкостей, исследованных Черенковым, интенсивность излучения, наблюдавшегося в опытах» хотя и была очень невелика, но все же во много раз превосходила возможные значения интенснвности тормозного нзлучення электронов. Объяснение природы этого нового типа излучения свободных электрических зарядов при движении их в веществе, названного излучением (эффектом) Вавилова — Деренкова, было дано советскими физиками И. Е. Таммом и И. М. Франком (1937).

В § 3.2 говорилось о том, что заряженная частица (например, электрон) нзлучает электромагнитные волны только тогда, когда она движется с ускорением. Однако, как впервые показали Тамм и Франк, доказательство этого утверждения отнюдь не безупречно. Оно основывается на предположении, что никакая заряженная частица не может двигаться со скоростью, превосходящей скорость света. Это предполо' жение казалось всем настолько очевидным следствием специальной теории относительности, что до Тамма и Франка ннкто даже не пытался его аналнзировать. В действительности теория относительности позволяет лишь утверждать, что скорость и любой заряженной частицы всегда меньше скорости с света ввакууме:о<с. Поэтому заряд, движущийся равномерно и прямолинейно в вакууме, действительно не излучает электромагнитных волн. Впрозрачном веществе фазовая скорость видимого света меньше с. Она равна с/n, где п > 1 — абсолютный показатель преломления вещества. Следовательно, в веще с т в е заряд может двигаться со «с вер хсвето - вой» скоростью (с>и> с/п). Тамм и Франк показали, что заряд, движущийся ® веществе со сверхсветовой скоростью, должен излучать электромагнитные волны. Таким образом, была объяснена природа эффекта Вавилова ——Черенкова и указаны условия его воз- никновення

Следует заметить, что в процессе излучения Вавилова ——Черенкова энергия и скорость движения излучающей свободной частицы, конечно, уменьшаются, т. е. частнца тормозится. Однако весьма существенно, что в отлнчие от тормозного излучения, являющегося следствием изменения скорости частицы, уменьшение скорости частицы прн эффекте Вавилова — Черенкова само является

За открытие н объяснение эффекта Вавилова — Черенкова. С. И. Вавилов» П. А. Черенков, И. Е. Тамм и И. М. Франк в 1947 г. были удостоены Государственной премии, а в 1958 г. И. Е. Тамму, И. М. Франку и П, А. Черенкову была присуждена Нобелевская премня по физике.

следствием излучения. Инымн словами, если бы убыль энергии частицы на излучение Вавилова — Черенкова каким-либо образом восполнялась и частица двигалась бы с постоянной сверхсветовой скоростью, то излучение Вавилова — Черенкова все равно имело бы место, тогда как никакого тормозного излучения частицы не было бы.

Рассмотрим подробнее вопрос об излучении электромагнитных волн заряженной частицей, движущейся в веществе вдоль оси X с постоянной скоростью V (рис. 7.10). Заряженная частица вызывает

кратковременную поляризацию вещества в окрестностях тех точек, через которые она проходит в процессе движения. Поэтому молекулы вещества, лежащие на пути частицы, становятся кратковременно действующими когерентными источниками элементарных электромагнитных ^волн. Излучение Вавилова ——

Черенкова представляет собой результат интерференцнн этнх элементарных волн.

Легко показать/ что при z?Vc/n заряд не излучает, так как элементарные волны полностью гасят друг друга в результате интерференции. Докажем справедливость этого утверждения для излучения с какой-либо длиной волны 儿 осуществляющегося в произвольном направленнн, которое характеризуется вектором п и составляет угол а с направлением вектора v скорости частицы (рис. 7.10). Проще всего это можно сделать, пользуясь методом, аналогичным методу зон Френеля.'

Разобьем траекторию частнцы на равные отрезки \АВ |= |ДС| = ..., размер которых /仪儿 укажем несколько позже. За время 厶/=/&儿/卩 перемещения частицы из точки Л в точку В электромагнитная волна, испущенная из точкн А в момент t нахождения в ней частицы, распространится в направлении п на расстояние

Л = £А/ =為/н

Положение фронта этой волны в момент времени 才+A厶 соответствующий приходу частнцы в точку 8, совпадает с прямой EF, перпендикулярной Л£. Пунктирная прямая DB, параллельная EF, характеризует положение в тот же момент времени ^+ДАфронта волны, излучаемой из точкн В в направлении п. Разность хода этих волн

|BF| = |D5| = M£|-|^D)=(^-cosa)U，

Так как, по условию, и V с/n, то

為＞ 1 н (备一cosa)〉0.

Следовательно, величину /口九 можно выбрать так, чтобы разность хода рассматриваемых волн равнялась 九/2 и они взаимно гасилн друг

(7.19)(7.19)cos а nvcos а nvдруга пр侪 интерференции:

(7.19)

(7.19)

cos а nv

cos а nv

2

Очевидно, что при этом значении 1必 излучение в направлении п любой точки отрезка АВ гасится при интерференции излучением сходственной ей точки соседнего отрезка ВС, отстоящей от нее на расстоянии /сц. Следовательно, при равномерном и прямолинейном движении заряженной частицы в веществе с досветовой скоростью частица не может излучать электромагнитные волны.

Если заряженная частица движется в веществе со сверхсветовой скоростью, то c/(nv)<l и значение /仪儿,удовлетворяющее условию (7.19), неограниченно возрастает по мере приближения угла а к зна・ ченикх д> где

(7.20)(7.20)cosd=c/(nv).

(7.20)

(7.20)

Для направления сс工仆 разность хода \DE\ элементарных волн, излучаемых из двух произвольных точек Л и В траектории заряженной частицы (рис. 7.10), равна нулю:

\DE\^\AE\ — |4jB|cos 1ftH(c/也一о cos 3)Af=0・

Следовательно, в указанном направлении должно происходить

взаимное усиление этих элементарных волн при их интерференции,

т. е. должно наблюдаться результирующее излучение заряженной частицы —— излучение Вавилова — Черенкова. Из сказанного* видно, что характерная особенность излучения Вавилова —— Черенкова состоит в его направленности.

Свет, возникающий на каждом малом участке траектории заряженной частицы, распространяется вдоль образующих конуса, вершина О которого (рис. 7.11) расположена на этом участке, ось совпадает с траекторией частицы, а образующие составляют с осью угол 8=arccos с/т. Свет

поляризован так, что вектор Е направлен по нормали к поверхности конуса, а вектор Н ——по касательной к ней.

Эффект Вавилова — Черенкова нашел широкое практическое применение в современной экспериментальной физике. На его основе

созданы так называемые черенковские счетчики заряженных частиц,

с помощью которых можно не только регистрировать эти частицы, но и определять величину и направление скорости частицы.

Более подробно этот вопрос рассмотрен в § 17.4,

Глава VIII

ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА

Элементы кристаллооптики. Двойное лучепреломление

В предыдущих главах, рассматривая закономерности распространения света в различных средах, мы предполагали, что среда оптическц изотропна, т. е. скорость света в каждой точке среды не зависит Ни от направления распространения световой волны, ни от характера поляризации волны. Исследования показали, что при обычных условиях газообразные, жидкие и твердые аморфные диэлектрики оптически изотропны. В то же время почти все кристаллические диэлектрики оптически анизотропны. Оказалось также, что под влиянием внешних воздействий среда, бывшая оптически изотропной, может стать оптически анизотропной. Это явление называется искусственной оптической анизотропией.

Закономерности распространения света в любой среде (изотропной или анизотропной) в конечном счете определяются интерференцией первичной волны и вторичных волн, излучаемых молекулами, атомами или ионами среды вследствие их электронной поляризации под действием электрического поля Е световой волны. Поэтому оптические свойства среды полностью обусловлены электрическими свойствами этих элементарных излучателей, их взаимным расположением и взаимодействием друг с другом. Молекулы или атомы среды в зависимости от их строения могут быть электрически изотропными или анизотропными. В первом случае их поляризуемость не зависит от направления, во втором — зависит. Однако электрические свойства отдельных атомов или молекул среды еще не определяют полностью оптические свойства этой среды. Так, например, как мы уже указывали выше, все газы, жидкости и аморфные твердые тела при обычных условиях оптически изотропны, хотя молекулы многих из них электрически анизотропны. Причина этого заключается в полной хаотичности ориентаций молекул в газах, жидкостях и аморфных телах. Всякое упорядочение ориентаций анизотропных молекул в этих средах под влиянием внешних воздействий приводит к возникновению оптической анизотропии.

Если среда находится в кристаллическом состоянии, то ее частицы (атомы, молекулы или ионы) располагаются в строгом порядке, образуя кристаллическую решетку. Каждая частица находится в сильном взаимодействии с ближайшими соседями в решетке. Поэтому излучение вторичных волн частицами кристаллической среды зависит не только от электрических свойств самих частиц, но и от силового воздействия со стороны других частиц. Из сказанного ясно, что оптическая анизотропия кристалла может быть обусловлена как электрической анизотропией образующих его частиц, так и анизотропией поля сил взаимодействия между частицами. Характер этого поля, т, е. его изотропность или анизотропность, зависит от степени симметрии ре-

шетки кристалла. Как показали исследования, только кристаллы кубической системы (например, каменная соль NaCl), обладающие весьма высокой степенью симметрии решетки, являются оптически изотропными. Все остальные кристаллы независимо от электрических свойств образующих их частиц оптически анизотропны.

Расчет интерференции вторичных волн в анизотропных кристаллах весьма сложен. Более простой метод изучения закономерностей

распространения света в таких средах основывается на применении к ним теории* Максвелла для переменного электромагнитного поля. При этом кристалл рассматривается как одно р^о д н а я среда,

Рис. 8.1Рис. 8.1диэлектрическая восприимчивость к и относительная диэлектрическая проницаемость е=1+х которой не одинаковы в различных направленияхх. Таким образом, считается что оптическая анизотропия немагнитных кристаллов является следствием анизотропии его относительной диэлект- рической 得ро汽и單您мости.

Рис. 8.1

Рис. 8.1

Если однородная среда не поглощает электромагнитных волн и оптически неактивна (см. § 8.5), то зависимость ее относительной диэлект-

рической проницаемости от направления поддается сравнительно простой графической интерпретации. Проведем из произвольной точки О среды по различным направлениям радиус-векторы г, модули которых равны корням квадратным из значений относительной диэлектрической проницаемости е в соответствующих направлениях |г| = ]/&. Поверхность, проходящая через концы радиус-векторов г, имеет форму эллипсоида (рис. 8 1) и называется оптической индикатрисой среды или эллипсоидом показателя преломления среды. Оси сим

метрии этого эллипсоида взаимно перпендикулярны и определяют три главных направления в среде. В прямоугольной декартовой системе координат, оси OX, OY и OZ которой проведены вдоль главных направлений, уравнение оптической индикатрисы имеет вид

7~ + £- + -^= 1,(8.1)

依 %%

где £#, е^ и е^——значения е вдоль главных направлений, называемые главными значениями диэлектрической проницаемости среды.

Если £工=日岁=日2，то оптическая индикатриса имеет форму сферы, т. е. значения е по всем направлениям одинаковы и среда оптически изотропна.

Анизотропный кристалл, у которого все три главных значения 8 различны (е^е^е^), называется двуосным. Примерами двуосных кристаллов являются ромбическая сера, гипс, слюда, топаз, араго-

1 Предполагается, что кристалл немагнитен, т е его относительная магнитная проницаемость 卩=1.

нит и другие кристаллы, принадлежащие к кристаллографическим системам с низкой симметрией.

Если два главных значения е одинаковы, например %=%*%* то оптическая индикатриса имеет форму эллипсоида вращения вокруг оси ОХ. Плоскость YOZ пересекает этот эллипсоид по окружности. Следоаательно, для любого направления, перпендикулярного оси ОХ, значения е одинаковы, а сами эти направления являются главными. Анизотропные кристаллы, обладающие таким свойством, называются одноосными^ а ось ОХ — оптической осью одноосного кристалла в точке О. Для различных точек О кристалла оптические оси параллельны между собой. Поэтому понятие оптической оси кристалла отличается от понятия оси, принятого в геометрии. Оптическая ось кристалла не является одной какой-то особой прямой в нем, подобной, например, оси симметрии тела, а характеризует лишь некоторое избранное направление в этом кристалле.

Одноосный кристалл называется оптически положительным, если е>£у=%， т. е. если его оптическая ось направлена вдоль большой оси эллипсоида оптической индикатрисы. В противном случае (ех< VEyH%) одноосный кристалл называется оптически отрицательным* Оптически положительными являются^ например, кристаллы кварца (SiO) рутила (TiOa), каломели (Hg£0, киновари (HgS), а оптически отрицательными — кристаллы кальцита, турмалина, апатита, азотнокислого натрия.

В изотропных средах вектор D электрического смещения всегда совпадает по направлению с вектором Е напряженности электрического поля и связан с ним соотношением D=ee0E. В анизотропных средах связь между D и Е имеет более сложный вид:

Dx = ехе0Ед., Dy = е^е^^, 。2 = %%上考* (8.2)

где Dr, Dyt Од н E# £у, £寓一проекции векторов D и Е на главные направления в среде. Из этих формул видно, что в анизотропной среде вектор D совпадает по направлению с Е только в тех случаях, когда вектор Е параллелен одному из главных направлений： D~exeQE, если Ey=E*nO; D—e^eoE, если EfE产6 и D=6*%E, если £工= =Е^=0 (в одноосном кристалле, Для которого в尸％, D=exe0Et если Е产Ez=" и D—eff80E, если _£閣=0). Во всех остальных случаях направления векторов D и Е различны. С этим связана одна из особенностей распространения электромагнитных волн в анизотропной среде, на которой необходимо остановиться специально.

В § 4Л было введено понятие луча, характеризующего направление вектора плотности потока энергии волны (вектора Умова — Пойн- тннга) в среде. Там же было показано, что для плоской монохроматической волны в однородной изотропной среде лучи нормальны к волновым поверхностям. Поэтому лучи одновременно характеризуют и направление переноса энергии волной, и направление распространения фронта волны, причем для монохроматических волн скорость переноса энергии равна фазовой скорости перемещения волновой поверхности вдоль нормали к ней.

Рис. 8.2Рис. 8.2

Рис. 8.2

Рис. 8.2

Иначе обстоит дело в анизотропной среде. Вследствие несовпадения направлений векторов D и Е линейно-поляризованная плоская монохроматическая волна в анизотропной среде характеризуется двумя тройками взаимно перпендикулярных векторов: D, Н, v и Е, Н, vr (рис. 8.2). Векторы D, Е, v и v‘ лежат в одной и той же плоскости, перпендикулярной к вектору Н. Вектор v представляет собой

скорость распространения волновой поверхности вдоль нормали к ней, причем роль электрического вектора, перпендикулярного V, играет вектор D, а не Е. Скорость V называют нормальной скоростью волны. Скорость V’ называют лучевой скоростью волны, так как она совпадает по направлению с вектором Умова ——Пойн- тинга Р=[ЕН1 и равна скорости переноса энергии волной. Нормальная и лучевая скорости связаны соотношением

v~v cos а,

где а — угол между векторами D и Е (а также v и v‘). Нормальная скорость зависит от относительной диэлектрической проницаемости среды е в направлении, определяемом вектором D;

где n^Vг—абсолютный показатель преломления среды для волны с заданным направлением вектора D. Величину м можно найти с по- мощыЪ оптической индикатрисы (8.1). Если вектор D плоской волны совпадает с одним из главных направлений, то луч совпадает с нормалью к фронту волны, а лучевая скорость волны равна ее фазовой скорости:

。k= %=0几#, Оy = ку = e/fly, % = %=С加2，

где пх = Уех, пу^У^у и % = К%—главные значения показателя преломления анизотропной среды. В одноосном кристалле с оптической осью ОХ имеется два различных главных значения п, которые принято обозначать следующим образом:

% = %о и % = % = %.(8.4)

Для оптически положительных кристаллов п^0>п0, а для оптически отрицательных пе0<п0.

Необходимо заметить, что- в анизотропных средах, так же как и в изотропных, наблюдается дисперсия света. Зависимость п от частоты v света может быть различной для разных направлений, т. е, пх, пу и 儿方 могут неодинаково зависеть от v. Поэтому соотношения между размерами полуосей эллипсоида оптической индикатриед, равными nx—Y&v,九“ =pgy н 六2= М& изменяются с изменением частоты света. Например, кристаллы бензила (СвН5СО)а ^ красной и желтой частях спектра являются

одноосными и оптически положительными, для света с частотой v0=7,2 -1014 Гц -— оптически изотропными, а при v>v0— одноосными, но оптически отрицательными. Дисперсия проявляется еще и в изменении угла между оптическими осями двуосного кристалла при изменении частоты света.

С помощью уравнений Максвелла можно установить еще одну

очень важную особенность распространения света в анизотропных средах. Оказывается, что в анизотропном кристалле всякая плоская монохроматическая световая волна распадается на две плоские волны, которые линейно-поляризованы 6。взаимно перпендикулярных плоскостях и обладают различными нормальными и лучевыми скоростями.

Рассмотрим подробнее это явление на примере одноосного кристал

ла, в котором одна из указанных выше волн называется обыкновенной, а другая — необыкновенной. В обыкновенной волне вектор Do всегда перпендикулярен оптической оси кристалла и направлению единичного вектора N нормали к фронту волны. Нормальная скорость этой волны v0=t>0N. Ее числовое значение не зависит от направления N и равно vQ~dnQi где /г0——показатель преломления кристалла для обыкновенной волны [см. формулы (8.4)]. Так как для одноосного кристалла любое направление, перпендикулярное оптической оси, является

главным, то в обыкновенной волне вектор Ео параллелен Do. Поэтому обыкновенный луч совпадает с нормалью N к фронту волны, а лучевая скорость v0=^vQ=clno. Таким образом, п0 является также показателем преломления кристалла для обыкновенного луча. Из сказанного видно, что обыкновенная волна распространяется в анизотропном кристалле так же, как распространяются волны в изотропной среде. Именно поэтому она и была названа обыкновенной.

В необыкновенной волне вектор De перпендикулярен N и Do, т. е. лежит в плоскости, проходящей через оптическую ось и нормаль N. Нормальная скорость этой волны ve— ueN. Ее числовое значение ve=c/ne, где пе—показатель преломления кристалла для необыкновенной волны. Величина пе зависит от направления нормали N и может быть определена с помощью оптической индикатрисы кристалла.

На рис. 8.3 показано сечение оптической индикатрисы плоскостью ХОК, в которой лежат векторы N и De, образующие с оптической осью кристалла ОХ углы <р и*ф. Это сечение имеет форму эллипса с полуосями /гео =旷£尤 и л0= J^e^ и удовлетворяет уравнению:

能十冠一 •

Искомый показатель преломления пе равен длине отрезка ОЯ. Координаты точки Л: х = пе cos 屮=九金 cos (^— <р^ =Ле sin (р и y = /Zg sin 屮=—ne sin ^―— q>)= =—ле cos ф должны удовлетворять уравнению эллипса. Следовательно,

（訖）5中+（斷（訖）5中+（斷cos2ф= 1, откудаcos2ф= 1, откуда

（訖）5中+（斷

（訖）5中+（斷

cos2ф= 1, откуда

cos2ф= 1, откуда

“ sin2 ф ~ cos2 ф~ *(8 5)

, у k 十 FT

%=C /绊±+芸^ =H^sm2(p+噜cos2(p ,(8.6)

' Лео л0

где 办а。—— нормальная скорость необыкновенной волны в направлении, перпендикулярном оптической оси (ф=л;/2). Вдоль оптической оси (ф=0) ve=v0.

Вектор Ее необыкновенной волны также лежит в плоскости чертежа и, как можно доказать, направлен параллельно нормали к индикатрисе в точке А (направление этой нормали показано на рис. 8.3 пунктиром). Единичный вектор Se, перпендикулярный Ее и лежащий в плоскости чертежа, показывает направление луча для необыкновенной волны, называемого необыкновенным лучом.

'Плоскость, проходящая через луч и пересекающую его оптическую ось кристалла, называется главной плоскостью одноосного кристалла для этого луча. Из сказанного выше следует, что обыкновенный луч поляризован 8 главной плоскости (вектор Ео перпендикулярен этой плоскости), а необыкновенный луч поляризован в плоскости, перпенди- кукярной главной плоскости (вектор Ее лежит в главной плоскости)

Лучевая скорость и показатель преломления кристалла для необыкновенного луча в соответствии с формулой (8.3) равны:

% =急 н K = 'eCOSa, (8.7)

где а — угол между векторами Ее и De (или Se и N). Так как пе= =[ОЛ [, то из рис. 8.3 видно, что /г；= |ЛВ[, где В — основание перпендикуляра, опущенного из точки А на направление необыкновенного луча. Очевидно, что угол а=0 и необыкновенный луч совпадает с нор。 малью N к фронту необыкновенной волны только в двух случаях* если вектор N направлен либо вдоль оптической оси (屮=0 и n^—п0), либо перпендикулярно ей (屮=дт/2 и п^=пео).

Лучевые скорости v0 и v； обыкновенной и необыкновенной волн часто называют скоростями распространения обыкновенного и необыкновенного лучей. Если из произвольной точки О одноосного кристалла отложить векторы v0 и v；, соответствующие всевозможным направлениям обыкновенного и необыкновенного лучей, то концы этих векторов образуют две замкнутые поверхности, называемые лучевыми поверхностями обыкновенной и необыкновенной волн. Для обыкновенной волны лучевая поверхность имеет форму сферы, радиус которой и。. Можно показать, что лучевая поверхность необыкновенной волны имеет форму эллипсоида вращения вокруг оптической оси MN (рис. 8.4), проведенной через точку О. Вдоль оптической оси скорости % и и；, одинаковы. Поэтому лучевые поверхности касаются друг друга в двух точках их пересечения прямой MN. В оптически положительном кристалле &《% и эллипсоид вписан в сферу (рис. 8.4, а), а в оптически отрицательном кристалле и；》％ и эллипсоид описан вокруг сферы (рис. 8.4, б).

Различие в величинах vQ и и；_для всех направлений, кроме направления оптической оси, обусловливает явление двойного лучепреломления света в одноосных кристаллах. Оно ^состоит в том, что луч света, падающий на поверхность кристалла, раздваивается 8 нем на два преломленных луча (обыкновенный и необыкновенный), которые в общем случае имеют различные направления.

Двойное лучепреломление впервые было обнаружено во второй половине XVII в. при прохождении света сквозь одноосные кристаллы исландского шпата СаСОв. Эти кристаллы имеют форму ромбоэдра (рис. 8.5), т. е. ограничены шестью ромбами с тупыми углами

= 101°52'・ Направление оптической оси совпадает с направлением диагое лалм ТИо义о, соединяющей вершины 力 М© и Уо, в которых углы между ребрами на всех трех гранях равны а. Если на кристалл падает достаточно узкий пучок света, то в результате двойного лучепреломления из кристалла выходят два пространственно разделенных пучка света о и е, парал

лельных падающему пучку. Двойное лучепреломление отсутствует только в том случае, когда свет падает нормально на плоскую поверхность кристалла, вырезанную перпендикулярно его оптической оси. Это связано с тем, что только вдоль оптической оси обыкновенный и необыкновенный лучи' распространяются, с одинаковыми скоростями.

Двойное лучепреломление было обнаружено и в двуосцых кристаллах, причем оказалось, что в этом случае скорости обоих лучей зависят от направления их распространения в кристалле. Поэтому оба преломленных луча являются необыкновенными. - Вдоль каждой из двух оптических осей двуосного кристалла скорости обоих лучей одинаковы 包 двойное лучепреломление отсутствует.

Для наглядного объяснения двойного лучепреломления и построения обоих преломленных лучей в одноосном кристалле можно воспользоваться графическим методом, предложенным Гюйгенсом и являющимся обобщением принципа Гюйгенса (см. § 1.4) на анизотропные среды. Пусть на плоскую границу ab (рис. 8.6) раздела между вакуумом и одноосным оптически отрицательным кристаллом падает монохроматическая плоская световая волна. Направление распрост-

ранения волны в вакууме характеризуется параллельными лучами АМ и jBK, лежащими в плоскости чертежа и -перпендикулярными фронту волны МР. В рассматриваемый момент времени f фронт падающей волны достиг течки М поверхности кристалла. Следовательно» она становится источником двух линейно-поляризованных вторичных волн в кристалле — обыкновенной и необыкновенной, которые распространяются в кристалле по всем направлениям. Скорость обыкновенной волны не зависит от направления и равна %. Поэтому к моменту времени £+А£, где Д^= )РЛ|/с— время, необходимое для прохождения падающей волной расстояния РК, фронт вторичной обыкновенной волны будет представлять собой полусферу с центром в точке М it радиусом, равньш.У0Л/. Фронт преломленной обыкновенной волны в кристалле изображается плоско^ стьк> КС©, касающейся этой полу* сферы. Вектор, проведенный из точки Л1 в точку касания, указывает направление преломленного обыкновенного луча о. Этот луч лежит в плоскости падения, проходящей через падающий луч АМ и нор

маль Мп к плоскости ab・ Если оптическая ось кристалла MN также лежит в плоскости падения, то колебания вектора Е© в обыкновенном луче совершаются перпендикулярно плоскости чертежа. Это условно показано на рис. 8,6 точками, нанесенными на обыкновенный луч,

Сложнее определить направление преломленного необыкновенного луча. Для этого прежде всего нужно выяснить, что следует понимать под волновой поверхностью необыкновенной волны, излучаемой точечным источником 府，и какова ее форма. Силовое действие и перенос энергии необыкновенной волной связаны с вектором Ее напряженности ее электрического поля. Поэтому волновая поверхность необыкновенной волны является геометрическим местом точек кристалла, в которых фазы колебаний вектора Ее в каждый момент времени одинаковы. Скорость распространения в одноосном кристалле колебаний Ее равна лучевой скорости v〔 необыкновенной волны. Следовательно, в момент времени /+А? фронт вторичной необыкновенной волны описывается уравнением

г = V； А/,

тде г — радиус-вектор, проведенный цз точки М в произвольную точку фронта, а V；— скорость необыкновенного луча в направлении вектора Г. Эта поверхность геометрически подобна лучевой поверхности необыкновенной волны, т. е. имеет форму эллипсоида вращения. Для оптически отрицательного кристалла (например * кристалла цсланд- ского шпата) она имеет вид, изображенный на рис. 8.6. Плоскость

KCg, касающаяся этой поверхности, представляет собой фронт преломленной необыкновенной волны в кристалле. Вектор, проведенный из точки М в точку касания, указывает направление преломленного необыкновенного луча е. Как видно из рис. 8.6, э»тот луч не совпадает ни с обыкновенным лучом, ни с нормалью к фронту К&.

Колебания вектора Ее происходят в плоскости чертежа, что условно показано на рис. 8.6 поперечными черточками, нанесенными на необыкновенный луч. Заметим, что необыкновенный луч в отличие от обыкновенного лежит в плоскости падения только тогда, когда оптическая ось кристалла MN также лежит в плоскости падения.

На рис. 8.7 показано построение обыкновенного и необыкновенного лучей в случае нормального падения света на поверхность ab оптически отрицательного кристалла. Предполагается, что оптическая ось MN

Рис. 8.7Рис. 8.8

лежит в плоскости падения и образует с плоскостью ab угол у, не равный 0 или л/2. Из этого построения видно, что обыкновенный луч является продолжением падающего, а необыкновенный луч преломляется (угол геу=0). Этот результат служит убедительным подтверждением неприменимости к необыкновенному лучу обычных законов преломления света в изотропных средах. Волновые поверхности для обыкновенной (СоСо) и необыкновенной (QC；) волн параллельны друг другу и плоскости ab, так что нормали к ним не преломляются — они совпадают по направлению с нормалью к фронту падающей волны.

Наконец, на рис. 8.8 рассмотрен случай, когда свет падает нормально на поверхность ab оптически отрицательного кристалла, а оптическая ось MN кристалла лежит в плоскости ab (丫=0). Ради простоты' плоскость чертежа выбрана так, чтобы она проходила через оптическую ось MN. Из построения видно, что в рассматриваемом случае необыкновенный луч не преломляется на поверхности ab и совпадает по направлению с обыкновенным и падающим лучами. Однако в кристалле скорости обыкновенного и необыкновенного лучей в этом направлении различны. Они соответственно равны %=c/n。 и veQ=dneQ (для оптически отрицательного кристалла пео<по и veo> >%). Поэтому при прохождении обоими лучами одного и того же расстояния d в кристалле между ними возникает оптическая разность хода

b = d(no—neo). (8.8)

Получение и анализ поляризованного света

Устройства, служащие для преобразования естественного или частично поляризованного света в линейно-поляризован* ный свет, называются поляризаторами. Их действие основывается на использовании либо закона Брюстера для отражения и преломления света на границе раздела двух прозрачных изотропных диэлектриков, рассмотренного в гл. IV, л^бо явления двойного лучепреломления в одноосных кристаллах.'

Примером поляризатора первого типа может служить плоскопараллельная стеклянная пластинка. Если на эту пластинку (рис. 8.9) падает под углом Брюстера 厶,определяемого из условия (4.9), пучок естественного света, то отраженный свет должен быть в соответствии с законом Брюстера полное- 、^_J тью линейно-поляризован в плоскости падения.-х*^

Вектор Е в отраженной волне, являющейся от- |弓仪元~।

раженной s-волной (см. гл. IV), колеблется в нап- L_ 一 ；Х^Г I равлении, перпендикулярном плоскости чертежа, которая совпадает с плоскостью падения. Это、

условно показано на рис. 8.9 точками, нанесен- Рис. 8.9 ньши на отраженный луч. В падающем на пластинку естественном свете ни одно из направлений вектора Е не является преобладающим. Поэтому в преломленном свете должны преобладать колебания вектора ,Е, совершающиеся в плоскости падения, т. е. соответствующие p-волне (см. гл. IV). Иными словами, преломленный свет должен быть частично поляризован.

Обычно вместо одной пластинки пользуются системой одинаковых

стеклянных пластинок, расположенных друг за другом так, что свет,

выходящий из первой плас:тинки, падает под углом

Рис. 8.10 сквозь стопу, был практическиРис. 8.10 сквозь стопу, был практическиБрюстера на вторую, из втоg рой ——на третью и т. д. Такая еа система пластин, называемая стеклянной стопой, позволяет путем многократных отражений и преломлений добиться того, чтобы свет, прошедший полностью поляризован.

Рис. 8.10 сквозь стопу, был практически

Рис. 8.10 сквозь стопу, был практически

В качестве примера поляризатора, в котором используется явление двойного лучепреломления света, рассмотрим призму В. Николя 工・ Она вырезается из кристалла исландского шпата и в поперечном сечении имеет форму ромба. Продольное сечение призмы пока-* зано на рис. 8.10. Передняя и задняя грани АВ и CD наклонены к ребру АО под углом о8° и образуют с оптической осью MN кристалла угол 48°. Диагональная плоскость BD наклонена к AD и ВС под уг-

1 Ее часто сокращенно называют просто ийколем.

лом 22°. По этой плоскости призма разрезана и склеена канадским бальзамом, который прозрачен для света и оптически изотропен. Абсолютный показатель преломления канадского бальзама лк б ==1,550

(для света с 九=589 нм).

На переднюю грань призмы АВ падает луч S естественного света, параллельный ребру AD. В призме он раздваивается на два луча —— обыкновенный (%=1,658) и необыкновенный (九;= 1,515). Так как Пе<пв. 6.V%, то слой канадского бальзама оптически менее плотен, чем исландский шпат, для обыкновенного^ луча и оптически более

плотен для необыкновенного луча. Обыкновенный луч падает на по

верхность канадского бальзама под углом 76,5°, большим предельного, и, претерпев полное внутреннее отражение, поглощается в оправе призмы. Необыкновенный луч свободно проходит через слой канадского бальзама и после пре*

ломления на задней грани CD выходит из призмы параллельно падающему лучу S. Таким образом, призма Николя преобразует естественный или частично поляризованный свет в линейно-поляризованный, плоскость колебаний которого совпадает с главной плоскостью призмы, проходящей через луч и оптическую ось MN* При повороте призмы вокруг луча 5 на некоторый угол на такой же угол поворачивается и плоскость колебаний света.

проходящего сквозь призму.

Вследствие преломления на наклонных гранях АВ и CD луч света, выходящий из николя, несколько смещен по отношению к падающему лучу. Это явление удается устранить в поляризационной призме из исландского шпата, грани АВ и CD которой перпендикулярны ребрам ДО и ВС и параллельны оптической оси MN (рис. 8.11).

Было обнаружено, что все двоякопреломляющие кристаллы в той или иной степени поглощают свет. Поглощение в кристаллах анизотропно: коэффициент поглощения зависит от ориентации электрического Вектора световой волны, т. е. неодинаков для обыкновенного и необыкновенного лучей и зависит от направления распространения света в кристалле. Это явление называется дихроизмом. Примером сильно дихроичного естественного кристалла является турмалин, в котором коэффициент поглощения для обыкновенного луча во много раз больше, чем для необыкновенного. Пластинка турмалина толщиной всего лишь 1 мм практически полностью поглощает обыкновенный луч, так что свет, проходящий сквозь 隹е, оказывается линейно- поляризованным. Коэффициент поглощения необыкновенного луча в турмалине сильно зависит от частоты света. Поэтому при освещении плаетчнки турмалина белым светом в проходящем свете преобладают волны, частоты которых соответствуют желто-зеленой области спектра видимого света.

Еще более ярко выраженным дихроизмом обладают кристаллы герапатита (сернокислого иод-хинин а), которые при толщине в 0,3 мм полностью поглощают один из лучей. Размеры кристаллов герапатита

малы. Поэтому для получения поляризатора с большой площадью поверхности применяют целлулоидные пленки, в которые введено большое число одинаково ориентированных кристалликов герапатита. Такие пленки получили название поляроидов.

Рис. 8 12Рис. 8 12Устройства, служащие для анализа степени поляризации света, называются анализаторами. В качестве анализаторов используются те же устройства, которые служат для получения линейно-поляризованного света (призма Николя, поляроиды и т. д.). Нея кий анализатор (или поляризатор) можно условно изобразить в виде решетки, «прутья» которой параллельны направлению колебаний вектора Еа в проходящем сквозь нее свете. Если на такую решетку-анализатор падает естественный свет (рис. 8.12), то интенсив- ность 1а проходящего света не изменяется при вра- '"/

Рис. 8 12

Рис. 8 12

Рис. 8 13

щении анализатора вокруг направления падающего луча вследствие того, что в естественном свете ни одно из направлений плоскости колебаний не является преобладающим. Очевидно, что

〃 = %&/(), (8・9) где /0 — интенсивность падающего естественного сц^та, а 瓦一коэффициент прозрачности анализатора для пропускаемого им линейно- поляризованного света.

Если падающий свет частично поляризован, то величина /@ при вращении анализатора изменяется в зависимости от ориентации его главной плоскости (т. е. направления «прутьев») по отношению к преимущественному направлению колебаний вектора Е в падающем свете.

Наконец, если на анализатор падает линейно-поляризованный свет интенсивностью /р, полученный с помощью поляризатора, то интенсивность 1〃 света, прошедшего через анализатор, пропорциональна /р и зависит от угла а между главными плоскостями анализатора (а ——〃) и поляризатора (р — р) (рис. 8.13).

Пусть Ер — амплитуда электрического вектора линейнО'ПОЛяри- зованного света, прошедшего через поляризатор. На входе в анализатор этот свет разложится на две волны, поляризованные соответственно в главной плоскости анализатора и в перпендикулярной ей плоскости. Амплитуды Ei и Е2 электрических векторов этих волн равны соответствующим составляющим вектора Ер, так что

Ei=Ep sin а и £2=Ер cos а.

то амплитуда электрического векторато амплитуда электрического вектора

то амплитуда электрического вектора

то амплитуда электрического вектора

Первая волна полностью поглотится в анализаторе, а вторая пройдет через него. Если анализатор абсолютно прозрачен для второй волны, "l для света, прошедшего через анализатор, численно равна

Е^^^Ер cos а,

а интенсивность /а этого f света, пропорциональная V Е?, связана с /р и а со отношением

/а=/р cos2a. (8.10)

В общем случае в правую часть этой формулы нужно еще ввести коэффициент прозрачности ka анализатора:

乙=瓦/p85%. (8.11)

Соотношения (8.10) и (8.11) выражают закон Ма- люса. На рис. 8.14 рассмот

рены два предельных случая: 1) анализатор а «параллелен» поляризатору р (а=0) и Ia=kaIp (рис. 8.14, а); 2) анализатор а «скрещен» с поляризатором р (а=л/2) и /а=0 (рис. 8.14, б).

§ 8.3. Интерференция поляризованного света

Естественный свет представляет собой набор линейно- поляризованных волн со всевозможными ориентациями плоскостей их колебаний относительно луча. Эти элементарные волны соответствуют излучению различных независимых атомов источника света, т. е. заведомо не когерентны друг с другом. При падении естественного света на одноосный кристалл в последнем распространяются две волны — обыкновенная и необыкновенная, которые линейно-поляри- зов&ны во взаимно перпендикулярных плоскостях. Каждая из элементарных волн, падающих на кристалл, участвует в возбуждении этих двух волн. Однако ее вклады в обыкновенную и необыкновенную волны неодинаковы и зависят от угла а между ее плоскостью колебаний и главной плоскостью кристалла. Так, например, элементарная волна, поляризованная в главной плоскости кристалла (仪=冗/2), возбуждает только обыкновенную волну, а элементарная волна, поляризованная в перпендикулярной" плоскости (а=0),— только необыкновенную волну. Иными словами, обыкновенная и необыкновенная волны в основном порождаются разными элементарными волнами, входящими в состав естественного света, падающего на кристалл. Следовательно, обыкновенная и необыкновенная волны, распространяющиеся в одноосном кристалле при падении на него естественного света, некогерентны.

Совершенно иначе обстоит дело, если на двоякопреломляющий одноосный кристалл падает линейно-поляризованный свет (например, полученный из естественного с помощью поляризатора). В этом случае углы az для всех элементарных волн, входящих

в состав падающего на кристалл света, одинаковы и равны углу а между плоскостью колебаний падающего света и главной плоскостью кристалла. Следовательно, для всех падающих элементарных волн соотношения между их вкладами в обыкновенную и необыкновенную волны, возбуждаемые в кристалле, также одинаковы. Покажем это

Рис： 8.16Рис： 8.16на лримере нормального падения света на поверхность одноосного кристалла, вырезанную параллельно его оптической оси MN (на рис. 8.15 поверхность кристалла совпадает с плоскостью чертежа). Составляющие А/е и Afo вектора А± амплитуды напряженности 友 элект

Рис： 8.16

Рис： 8.16

рического поля f-й элементарной падающей волны, которые направлены вдоль оптической оси кристалла и перпендикулярно ей, равны амплитудам напряженности электрических полей необыкновенной и обыкновенной волн, порождаемых t-й волной. Из рис. 8.15 видно, что отношение

装= "^ = tga

Ai cos а 匕

не зависит от 4, т. е. одинаково для всех элементарных волн. Таким образом, можно сделать следукиций вывод: обыкновенная и необыкновенная волны, возникающие в одноосном кристалле при падении на него линейно-поляризованного света, когерентны.

Иначе говоря, обыкновенный и необыкновенный лучи, возникающие из луча линейно-поляризованного света при его двойном лучепреломлении, когерентны.

Пусть свет, линейно-поляризованный призмой Николя (рис. 8.16), падает нормально на поверхность (Q—Q) плоскопараллельной пластинки К, вырезанной из одноосного кристалла таким образом, чтобы плоскость (Q——Q) была параллельна оптической осн. На входе в пластинку К колебания взаимно перпендикулярных векторов Е/о и Е/е 'в обыкновенном и небыкновенном лучах, соответствующих i-й составляющей падающего света с циклической частотой (о储 совершаются в одной фазе с колебаниями Ez и описываются уравнениями

E,o = A；oCOS (®^+ <₽,), Eie = A/eCOS((0/ + q)3 (8.12)

где ф； — начальная фаза колебаний Е$ в точке падения. Если плоскость колебаний падающего света наклонена к главной плоскости кристалла под углом а, то, как видно из рис. 8.15,

Л(о = Л； sina, 4* =』cos a.(8.13)

Таким образом,

Eio = A z sin a cos (®ff + ф J; Eie ^ Xz cos a cos (©^ +(pz). (8.12')

Вследствие различия скоростей распространения в кристалле обыкновенного и необыкновенного лучей колебания векторов Е；。и Е；е на выходе из пластинки будут сдвинуты по фазе. Разность фаз Дq)^ колебаний Е% и Е% можно определить, исходя из формулы (8.8) для оптической разности хода обыкновенного и необыкновенного лучей 工：

№ =筹=謂仇(&14)

где Xz=2nc/©z— длина волны в вакууме для света с циклической частотой ®「Колебания векторов Е^ и Е% на выходе из пластинки К описываются уравнениями

EK = A；sCOS(®jf+(p； — Acpi) И Е；е = A；eCOS (吗f+ 屮7), (8.15) где 屮j——начальная фаза колебаний вектора Е-е. Если поглощение света в пластинке К пренебрежимо мало, то амплитуды А-о и А(е равны соответственно Aio и Д/е> так что

瓦<? = 4 sin a cos (со/十叫一厶屮力，£Je — Л z cos a cos ((о/ + <pj) • (8.15')

Результирующая напряженность E； электрического поля для CReF8, выходящего из пластинки К, равна сумме ее взаимно перпендикуляр' ных составляющих Е-о и Е^: Е；=Е，о+Е* Из уравнений (8.15') следует, что при а, отличном от 0 и л/2,

十产;。丘—cos= sin2 (8.16)

k^/sina/、k^icosa； /?-sinacas a 山也 ''

Это уравнение аналогично (3.6'). Таким образом, s общем случае линейно-поляризованный монохроматический свет после прохождения через пластинку К становится эллиптичееки-поляризованцым^

Рассмотрим важнейшие частные случаи：

если а=0, то, как видно из (8.12) и (8.15工 Е/о=Е/о=0, т. е. в пластинке К распространяется только необыкновенный луч;

если а=к/2; то Е]е=%=0, т. е. в пластинке распространяете* только обыкновенный луч. В обоих случаях пластинка не изменяет характера поляризации света;

если 3=冗/4 и 厶恥=(2加+1} п/2, где т=0; 土 1; ±2; .,., то уравнение (8.16) приводится к виду

Зависимостью д0 и пео от Wf, т* е. дисперсией света в кристалле, мы пренебрегаем,'

т. е. конец вектора 財 описывает окружность радиусом 儿”2 и свет, выходящий из пластинки, циркуля рно-поляризован. Такая пластинка называется пластинкой в четверть волны,什ак к&к минимальное значение абсолютной величины ее оптической толщины 6 в согласии с фсгрмулой (8.14) должно 6ыт& равно

если а牝=(2m+1)n，где m-0; ±1; ±2; .…t.巳」6h^=%/2 (пластинка в полволны), то уравнение (8.16) приводится к виду

£" = —tga£3

Таким образом, вектор Е； колеблется вдоль прямой, образующей с оптической осью кристалла MN угол ―а, в то время как на входе в пластинку вектор Ez колеблется вдоль прямой, образующей с MN угол +& (рис. 8.17). Следовательно, при прохождении линейно- поляризованного монохроматического света сквозь пластинку в полволны свет остается линейно-поляризованным, &о его плоскости колебаний □ поляризации поворачиваются на угол 2а;

если А%=2/шт, где /и=±1; 士2;.…т. е. |6 |мин=Хг (пластинка в целую волну), то уравнение (8.16) призодится к виду

£州=tg аЕ^ •

Следовательно, при прохождении линейно-поляризованного монохроматического с能加改 сквозь пластинку в целую волну свет остается пинейно-поляризованным в прежней плоскости,

Когерентные волны, выходящие из кристаллической пластинки К, не могут интерферировать, так как они поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Добавим поэтому к схеме, изображенной на рис. 8.16, еще одну призму Николя а в качестве анализатора

^―--

к

Рис. 8.18

света, прошедшего через пластинку К (рис. 8.18). Анализатор, разлагая приходящие к нему когерентные волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях и обладающие определенными разностями фаз 厶屮八 выделяет из них составляющие, которые поляризованы в одной плоскости, и тем самым создает условия, необходимые для интерференции этих волн.

Ограничимся рассмотрением интерференционной картины в монохроматическом и белом свете, наблюдаемой при двух положениях анализатора: когда он либо параллелен поляризатору [угол 0 между

главными плоскостями анализатора (а — а) и поляризатора (р — р) равен нулю], либо скрещен с ним ф=л/2). Кроме того, ради простоты предположим, что угол а между главной плоскостью поляризатора и оптической осью кристаллической пластинки К равен л/4/так что амплитуды и интенсивности обыкновенногохи'необыкновенного лучей в 'пластинке одинаковы.

Пусть на пластинку К падает монохроматический свете длиной волны в вакууме, равной X. Возможны следующие два предельных случая:

A中=變仇-"0=｛當+1加 m =。； ±1； ±2；(8.17)

В первом случае, соответствующем пластинке в целую волну, на анализатор падает свет, линейно-поляризованный в плоскости S — 叫 Поэтому при 0Ho интенсивность света, проходящего через анализатор, максимальна, а при §=冗/2 она равна нулю, т, е. при 6=0 наблюдается интерференционный максимум, а при Р=л/2 — интерференционный минимум.

Во втором случае, соответствующем пластинке в полволны, на анализатор падает свет, линейно-поляризованный в плоскости, составляющей с плоскостью (р ——卩)угол 2а=л/2. Поэтому при 0=0 наблюдается интерференционный минимум, а при §=冗/2 ——интерференционный максимум.

В обоих рассмотренных случаях поворот поляризатора или анализатора на угол л/2 (т. е. переход от 0=0 к 0=冗/2 или наоборот) вызывает изменение интерференционной картины на дополнительную, Очевидно, что при произвольных значениях 厶屮,не удовлетворяющих условиям (8.17), интенсивность света, проходящего через анализатор, должна быть отличной от нулевой, но меньшей максимальной.

Если на пластинку К падает линейно-поляризованный белый свет, то при наблюдении через анализатор пластинка видна окрашенной. При изменении угла р, т. е. при вращении анализатора или поляризатора, окраска пластинки изменяется. Это явление объясняется тем, что для различных монохроматических составляющих белого света значения сдвига фаз Лд)г ~-т~^(п0—几е/，определяющие результат их интерференции, не одинаковы. При изменении 0 на л/2 интерференционная картина изменяется на дополнительную: если, например, при Р=0 пластинка была окрашена в красный цвет, то при В=п/2 она приобретает зеленую окраску.

В том случае, когда толщина d пластинки в разных местах не одинакова, а п0——ne0=const, то и значения ^t также различны. Поэтому при наблюдении через анализатор такой пластинки в монохроматическом свете на ее поверхности видна система темных и светлых интерференционных полос, соответствующих участкам пластинки, равной толщины. В белом свете эта плэстинка приобретает причудливую разноцветную окраску, причем каждая цветная интерференционная линия (изохромата) проходит через те точки пластинки, где ее толщина d одинакова. Аналогичная картина наблюдается в пластинке, толщина

которой всюду одинакова, но зато различны разности показателей преломления по—п€о. В этом случае изохроматы соединяют точки, для которых разности п0—пео одинаковы.

Основные применения явления интерференции поляризованного света в технике рассмотрены в следующем параграфе. Пока укажем лишь, что весьма чувствительный способ обнаружения оптической анизотропии в исследуемом образце состоит в изучении влияния этого образца, помещенного между скрещенными поляризатором и анализатором, на прохождение света через анализатор.

Искусственная оптическая анизотропия

Еще в начале прошлого столетия Т. Зеебек и Д. Брюстер обнаружили, что оптическй изотропное твердое тело под влиянием механической деформации становится оптически анизотропным. Например, при одностороннем сжатии или растяжении стеклянной пластинки она приобретает свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого совпадает с направлением сжатия или растяжения. Разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей в направлении, перпендикулярном оптической оси, пропорциональна нормальному напряжению а:

no—neo = ka,

где k — коэффициент, зависящий от свойств вещества. Таким образом, поместив деформированную стеклянную пластинку между поляризатором и анализатором вместо кристаллической пластинки К (рис. 8.18), можно наблюдать интерференционную картийу, аналогичную той, которая была рассмотрена в предыдущем параграфе. По виду изохро- нат можно судить о распределении внутренних напряжений в стеклянной пластинке, так как каждая изохромата проходит через точке, в которых величины о одинаковы.

Явление искусственной оптической анизотропии при деформациях используется для .обнаружения остаточных внутренних напряжений, которые могут возникать в изделиях из стекла и других прозрачных изотропных материалов вследствие несоблюдения технологии их изготовления. Оптический метод изучения на прозрачных моделях распределения внутренних напряжений в различных непрозрачных частях машин и сооружений широко применяется в современной технике. Для этой цели используются модели, изготовленные из целлулоида или другого прозрачного изотропного вещества.

Дж. Керр обнаружил (1875), что жидкий или твердый изотропный диэлектрик, помещенный в достаточно сильное однородное электрическое поле, становится оптически анизотропным. Это явление получило название эффекта Керра/Принципиальная схема его наблюдения в жидкостях изображена на рис. 8.19,. где " и а — поляризатор и скрещенный с ним анализатор, а /(. я,—так называемая ячейка Керра: кювета с исследуемой жидкостью, в которую погружены обкладки плоского конденсатора. Опыты показали, что под действием однород-

него электрического поля в плоском конденсаторе жидкость поляризуется и приобретает свойства одноосного двоякопреломляющего кристалла, оптическая ось которого совпадает с направлением вектора Евн напряженности поля конденсатора. Разность показателей преломления поляризованной жидкости для необыкновенного и обыкновенного лучей монохроматического света в' направлении, перпендикулярном вектору Евн, пропорциональна Е|н：

пео-по = ВКЕ^ (8Л8)

где X — длина волны света в вакууме, а В — так называемая константа Керра. Константа Керра зависит от природы вещества» длины волны 九 и температуры, как правило, быстро уменьшаясь с ее увели*

чением. Часто пользуются другой, константой Керра К, связанной с В соотношением К=В入/孔,где л — абсолютный показатель преломления вещества в отсутствие электрического поля. К определяет относительную разность показателей преломления в поле единичной напряженности. Для большинства веществ константа В>0, т. е. эти вещества по своим оптическим свойствам в однородном электрическом поле подобны оптически положительным одноосным кристаллам.

В 1930 г. было обнаружено существование эффекта Керра и в газах. Трудность наблюдения этого явления связана с тем, что значения В для газов на несколько порядков меньше, чем для жидкостей,

'З. Ячейка Керра, находящаяся между скрещенными поляризатором и анализатором, действует на свет так же, как рассмотренная в § 8.3 плоскопараллельная кристаллическая пластинка. Она создает между необыкновенным и обыкновенным лучами сдвиг фаз

a屮=^?^S-几ej = -2jtdBE：H = - 2乳dB^ ,

где d — длина ячейки, равная длине пластин конденсатора, U= =£вн@ — напряжение, подаваемое на конденсатор, и а 一 расстояние между пластинами. При U=0 ячейка вполне изотропна (Д(р—0) и не изменяет характера поляризации падающего на нее света. Поэтому свет сквозь анализатор не проходит. По мере увеличения U возрастает Лф. При этом увеличивается интенсивность света, проходящего через анализатор, достигая максимума при значении U。、 соответствующем А(р=—л:

и。= a/V2Bd.

Э^)фект Керра практически безынерционен: длительность процес-

сов перехода вещества в электрическом поле из изотропного состояния в анизотропное и обратного перехода после исчезновения поля не ■превосходит 10"9—10-” с. Поэтому, подавая на пластины конденсатора ячейки Керра переменное напряжение U (0&U&U0), можно модулировать интенсивность света, проходящего через анализатор, в соответствии с колебаниями U. Этот принцип был использован П. Г. Тагером в первой системе советского звукового кино для записи звука на кинопленке. Ячейка Керра в сочетании^ со Окрещенными поляризатором и анализатором применяется в скоростной фотосъемке быстро протекающих про

цессов в качестве быстродействующего светового затвора. Для этого на конденсатор ячейки Керра подаются периодически повторяющиеся с частотой киносъемки v=1/(t0+ti) прямоугольные импульсы напряжения (рис. 8.20). Длительность т0 каждого импульса равна продолжительности экспозиции при съемке, которая может составлять до 0,01 мкс.

Классическая теория эффекта Керра для веществ с неполярными анизотропными молекулами была разработана П. Ланжевеном (1910) и развита для веществ с полярными молекулами М. Борном (1918). Неполярные молекулы поляризуются во внешнем электрическом поле Евн. У анизотропной молекулы ее поляризуемость не одинакова в разных направлениях. Поэтому в результате совместного влияния ориентирующего действия электрического поля на наведенные нм электрические моменты молекул и соударений между молекулами в веществе должна нарушаться полная хаотичность во взаимной ориентации частиц. Молекулы стремятся ориентироваться таким образом, чтобы направления их максимальной поляризуемости совпадали с направлением Евн. В связи с этим в электрическом поле относительная диэлектрическая проницаемость е и показатель преломления п среды должны зависеть от направления, т・ е. среда должна быть оптически анизотропной. В обыкновенном и необыкновенном лучах, распространяющихся перпендикулярно Евн, векторы напряженности электрического поля волны колеблются соответственно перпендикулярно Евпи вдоль него. В первом направлении ё и п имеют минимальные значения, во втором —максимальные. Следовательно, %<% и коистаита Керра 8 ="工工"°> 0. При увеличении температуры усиливается хаотическое тепловое движение молекул, препятствующее упорядочению их ориентаций во внешнем электрическом поле. Поэтому возрастание температуры при неизменном значении Еви сопровождается уменьшением степени анизотропии вещества» т. е・ уменьшением разности пео — п0 и константы Керра В.

Если вещество состоит иэ полярных молекул, обладающих постоянными электрическими моментами, то во внешнем электрическом поле возникает преимущественная ориентация векторов электрических моментов молекул по иа* правлению Евн. Направление максимальной поляризуемости полярной молекулы может не совпадать с направлением вектора ее постоянного дипольного момента. Пусть угол между этими направлениями равен а. Тогда при а=0 картина аналогична рассмотренной выше для веществ с неполярными молекулами: константа Керра В>0. Если а=л/2, то значения е и п вещества должны быть минимальными в направлении вектора Евн и максимальными в перпендикулярном направлении, т* е. 轟80<门。и В<0. Таким образом, удалось связать величину и знак константы Керра вещества со свойствами и строением его молекул.

Ориентационная теория Ланжевена — Борна хорошо согласуется с экспериментальными данными для газов. Однако для жидкостей это согласие носит лишь качественный характер, так как'в теории Ланжевена — Борна не учитываются силы межмолекулярного взаимодействия, играющие существенную роль в жидкостях.

Э. Коттон и А. Мутон исследовали (1907) явление возникновения оптической анизотропии у изотропного вещества под влиянием сильного магнитного поля (эффект Коттона — Мутона). Разность показателей преломления вещества для необыкновенного и дбыкновенного лучей, распространяющихся перпендикулярно направлению оптической оси, т. е. вектора Нвн однородного магнитного поля, выражается формулой, аналогичной формуле (8.18) для эффекта Керра:

拠 °—% = С 九用 н, (8.19)

где С — постоянная Коттона ——Мутона, зависящая от природы вещества, длины волны света 九 и температуры. Эффект Коттона — Мутона наблюдался в жидкостях, стеклах и коллоидах, в газах его пока обнаружить не удалось.

§ 8.5. Вращение плоскости поляризации

Д. Араго обнаружил (1811), что при прохождении линейно-поляризованного света сквозь кристалл кварца вдоль его оптической оси плоскость поляризации света поворачивается вокруг направления луча. Если плоскопараллельную пластинку кварца, вырезанную перпендикулярно оптической оси, поместить между скрещенными поляризатором и анализатором, то поле зрения анализатора просветляется. Для полного затемнения поля зрения анализатор нужно повернуть Вокруг луча на некоторый угол 屮，равный углу поворота плоскости поляризации света в пластинке кварца. Дальнейшие исследования показали, что такое же явление наблюдается во многих других веществах, названных оптически активными. Оптически активны не только двоякопреломляющие кристаллы (киноварь и др.), но и оптически изотропные кристаллы, а также чистые жидкости (например, скипидар, никотин и др.) и растворы (например, камфоры в бензоле, водные растворы сахара, глюкозы и т. д.). Оказалось, что все вещества, оптически активные в жидком состоянии (в том числе и в растворах), обладают таким же свойством и в кристалощческом состоянии. В то же время некоторые вещества, оптически активные в кристаллическом состоянии, не активны в жидком (например, расплавленный кварц). Следовательно, оптическая активность определяется как строением самих молекул вещества, так и расположением частиц в кристаллической решетке.

Для большинства оптически активных кристаллов обнаружено существование двух модификаций, осуществляющих вращение плоскости поляризации соответственно по часовой стрелке и против (для наблюдателя, смотрящего навстречу лучу). Первая модификация называется правовращающей или положительной (<р>0), вторая ——левовращающей или отрицательной (屮V0).

В оптически активных кристаллах и чистых жидкостях угол Ф поворота плоскости поляризации света пропорционален толщине 2 слоя вещества, пройденного светом:

Ф=аЛ (8.20)

Коэффициент а, численно равный углу поворота плоскости поляризации света слоем оптически активного вещества единичйой толщины, называется удельным вращением. Удельное вращение зависит от природы вещества, температуры и длины волны X света в вакууме (вращательная дисперсия). Вдали от полос поглощения света веществом зависимость а от X удовлетворяет закону Био: а〜UAA Для лево- и правовращающих модификаций одного и того же вещества значения а отличаются только знаком.

В растворе, как показал Ж. Био,

(f=[a\cl=[a]DKlt (8.21)

где с — объемно-массовая концентрация оптически активного вещества в растворе, D — плотность раствора и K=dD — долевая концентрация по массе, т. е. отношение массы активного вещества к массе всего раствора. Коэффициент пропорциональности [а], зави-

Рис. 8 21Рис. 8 21

Рис. 8 21

Рис. 8 21

сящий от природы оптически активного вещества и растворителя, температуры и длины волны света, называется удельным вращением раствора.

Формула (8.21) лежит в основе точного метода быстрого определения концентрации с оптически активного вещества (например, сахара в водном растворе). Применяемые для этого приборы называются поляриметрами или сахариметрами. Оптическая схема поляриметра изображена на рис. 8.21, где Л 一 трубка известной длины / с исследуемым раствором. Измерение угла ф путем установки анализатора на полное затемнение поля зрения сначала без трубки А, а затем с ней является недостаточно точным, так как человеческий глаз малочувствителен к небольшим изменениям абсолютной яркости равномерно освещенного или затемненного поля зрения. Зато глаз очень чувствителен к малейшему различию в яркостях смежных частей поля зрения, окрашенных в один и тот же цвет, т. е. освещенных монохроматическим светом. Это свойство глаза используется в полутеневом поляриметре, отличающемся от обычного специальной конструкцией поляризатора или анализатора. Простейший полутеневой анализатор изготавливают из призмы Николя следующим образом. Ее разрезают вдоль плоскостей ВС и BD, симметричных относительно главной плоскости %〃[ призмы и наклоненных к ней под малыми углами р (рис. 8.22, а, на котором показано сечение призмы,

перпендикулярное лучам света). Затем клин CBD удаляется, а оставшиеся две части призмы склеиваются друг с другом вдоль плоскостей ВС и BD (рис. 8.22, б). Теперь главные плоскости левой (CCi) и правой (CCJ половин полученной призмы уже не совпадают. Они симметричны относительно плоскости склейки ВС и образуют между собой острый угол 2§・ Если на такую призму (полутенёвой анализатор) падает

Рис. 8.22

линейно-поляризованный свет, то ни при какой ориентации призмы вокруг луча нельзя добиться того, чтобы все поле зрения било полностью затемнено. Освещенность левой и правой половин поля зрения одинакова только в двух случаях: когда плоскость колебаний света, падающего на призму, совпадает с плоскостью ВС или перпендикулярна ей. В первом случае все поле зрения равномерно освещено, а во втором — равномерно затемнено. Установка полутеневого анализатора на равномерное затемнение позволяет весьма точно определять ориентацию плоскости поляризации света и угол ее поворота в оптически активном веществе.

Френель предложил (1823) следующее качественное объяснение явления вращения плоскости поляризации света. На входе в оптически активное вещество ли- нейио-поляризованный монохроматический свет разлагается на две волны той же частоты, но поляризованные по кругу во взаимир противоположных направлениях. Электрические векторы этих волн связаны соотношением

E = Eg+Ed，

а их взаимное расположение показано на рис. 8.23, а. Векторы Е^ и Е^ численно равны половине амплитуды вектора Е и вращаются с угловой скоростью ①=2jw соответственно против и по часовой стрелке (если смотреть навстречу лучу света) так, что в любой момент времени они симметричны относительно плоскости (р——р) колебаний падающего света. В оптически активном веществе скорости vg и "壮 циркулярно- поляризованных волн Е^ и Ее различны. Поэтому при прохождении этих волн через слой вещества толщиной / между ними возникают оптическая разность хода 6 и сдвиг фаз Атр, равные:

1(%一”i (亡一击)'a屮=竿=3值一击)'

где с — скорость света в вакууме. Если ^g<^, то на выходе из вещества вектор Е； опережает по фазе вектор Eg на А©>0 и их взаимное расположение имеет вид, показанный на рис. 8.23, 6. Результирующий вектор Е' колеблется в плоскости (р‘一р‘), повернутой по отношению к 而一р) по часовой стрелке на угол А 屮/2, пропорциональный I、

Таким образом, условие %V% соответствует правовращающему оптическй активному веществу. Очевидно, что прн 0?>?壮 А屮<^б и вещество будет левовращающим. В оптически неактивном веществе vs=v^.

Фарадей обнаружил (1846), что под действием внешнего магнитного вращать плоскость поляризации света, распространяющегося вдоль направления поля. Это явление получило название эффекта Фарадея или магнитного вращения плоскости поляризации. Угол поворота плоскости поляризации

屮=也日，

где Н — напряженность внешнего однородного магнитного поля, / ——длина пути света в поле, а / 一 постоянная Верде, зависящая от природы вещества и длины волны света.

оптически неактивные вещества поля приобретают способностьоптически неактивные вещества поля приобретают способностьРис. 8.23Рис. 8.23Для большинства веществ постоянная Верде не зависит от температуры и магнитное вращение плоскости поляризации обусловлено диамагнитным эффектом. Этот эффект (см. т. П, §20.2) состоит,в том, что во внешнем магнитном поле электроны атомов и молекул вещества прецессируют вокруг направления поля. Тем самым создается вращательная анизотропия вещества, т. е. различие во взаимодействии с веществом циркулярно-поляризованных волн Е? и Erf. вращение одного из этих векторов совпадает по направлению с прецессионным, вращение другого совершается в противоположном направлении.

оптически неактивные вещества поля приобретают способность

оптически неактивные вещества поля приобретают способность

Рис. 8.23

Рис. 8.23

Глава IX

ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ

И СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

§ 9.1. Механический принцип относительности Галилея

Рис 9.1Рис 9.1полагается, что в начальный момент также сходственные оси систем К иполагается, что в начальный момент также сходственные оси систем К иВ этом параграфе напомним коротко некоторые положения классической механики, изложенные в гл. II первого тома. Инерциальной системой отсчета называется такая система, по отношению к которой скорость Материальной точки, свободной от внешних воздействий, сохраняется неизменной по величине и направлению. Любые две инерциальные системы отсчета либо взаимно неподвижны, либо движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, т. е. с постоянной скоростью V. На рис. 9.1 показаны две инерциальные системы отсчета' неподвижная система К (декартовы координаты хг у, г) и система 穴' (декартовы координаты 尤', у* г'), движущаяся со скоростью V, направленной вдоль положительного направления оси ОХ. Ради простоты пред- времени £=0 точки О и О', а К' совпадали. В классической

Рис 9.1

Рис 9.1

полагается, что в начальный момент также сходственные оси систем К и

полагается, что в начальный момент также сходственные оси систем К и

механике принимается, что свойства пространства и ход времени во всех инерциальных системах отсчета одинаковы. Поэтому координаты материальной точки М и время в подвижной (/, у', z', f) и неподвижной (尤,", г, /) системах отсчета связаны преобразованием Галилея:

ИЛИИЛИ(9.1)(9.1)хг ~Х一Vt, »'=", 2f ~z и 尸=y = r-V/ и ，=九

ИЛИ

ИЛИ

(9.1)

(9.1)

Отсюда следует, что скорости v^ и v и ускорения az и а точки М в обеих системах связаны соотношениями

(9.2)(9.2)(9.3)(9.3)

(9.2)

(9.2)

(9.3)

(9.3)

Соотношение (9.2) выражает классический закон сложения скоростей, а из (9.3) следует, что ускорения одной и той же движущейся точки одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, т. е. уско-

рение точки инвариантно по отношению к преобразованию Галилея (9.1).

Силы взаимодействия материальных точек зависят от взаимного расположения и скоростей относительного движения этих точек. Однако из. уравнений (9.1) и (9.2) следует, что взаимное расположение и относительная скорость движения материальных точек J и 2 не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой:

г；2 = Г；—г；=(厶一V/) — (г2 — V/) = Г] — 8 = г®

* = V；—V； = (v3 — V) —(%—V) = %—% = %.

Таким образом, сила F, действующая на материальную топку、 инвариантна по отношению ^ преобразованию Галилея:

F' = F.(9.4)

Наконец, в классической механике считается, что масса материальной точки не зависит от скорости ее движения, т. е. одинакова во всех инерциальных системах отсчета:

т1=т.(9.5)

Соотношения (9,3)——(9.5) показывают, что уравнение второго. закона Ньютона, лежащее в основе классической механики,

а = F/m

инвариантно относительно преобразования Галилея: оно описывает движение материальной точки во всех инерциальных системах отсчета.

Этот вывод является математическим выражением механического принципа относительности Галилея: в любых инерциальных системах отсчета все механические явления при одних 〃 тех же условиях протекают одинаково. Иначе говоря, равномерное прямолинейное движение замкнутой системы не влияет на протекание в ней любых механических явлений.

Механический принцип относительности свидетельствует о том, что в рамках классической механики все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны. Среди них нет какой-то главной, раз навсегда выделенной абсолютной системы отсчета, движение всех тел относительно которой можно было бы назвать абсолютным движением.

§ 92 Проблема существования эфира

Как уже говорилось, в начале XIX в, после работ Юнга и Френеля волновая теория света стала общепризнанной в физике. Считалось, что световые волны распространяются в эфире — особой среде, заполняющей все пространство, включая тела и вакуум. Первоначально световые волны в эфире уподобляли упругим поперечным волнам, скорость которых и = /G/p, где G — модуль сдвига эфира, а р — плотность эфира. Влияние вещества на скорость света объясняли тем, что в веществе эфир сгущается, т. е. его плотность р

зависит от природы вещества. Поэтому абсолютный показатель преломления Света в веществе 拉= Мр/Ри，где р0——плотность эфира в вакууме.

Модель упругого эфира страдала рядом принципиальных недостатков. Во-первых, было непонятно, почему вещество, сгущая эфир, не влияет на упругие свойства эфира, характеризуемые модулем сдвига G. Во-вторых, оставалось совершенно неясным, почему эфир, обладая весьма большой упругостью, соответствующей огромным значениям света в вакууме и всех веществах, свободно проникает во все тела и не оказывает никакого влияния на движение этих тел. Наконец, для объяснения явления оптической анизотропии, а также отсутствия продольных световых волн необходимо было вводить дополнительные допущения о сзойствах упругого эфира.

Несостоятельность модели упругого эфира и попыток сведения оптических явлений к механическим колебаниям эфира стала очевидной после создания Максвеллом теории электромагнитных волн и выяснения электромагнитной природы света. Однако это не привело к отказу от самого понятия эфира. Вместо упругого эфира в физике сталй рассматривать электромагнитный эфир, являющийся той всепроникающей средой, в которой разыгрываются все электромагнитные процессы и, в частности, распростр аняются электромагнитные волны. Свойства эфира и влияние на них вещества описывались с помощью уравнений Максвелла.

В предыдущих главах было показано, что макроскопическая теория Максвелла позволила успешно объяснить целый ряд важнейших оптических явлений —— прохождение света через границу раздела двух сред, интерференцию, дифракцию и поляризацию света. Дальнейшее существенное развитие оптики связано с именем Г. Лоренца —— основоположника электронной теории. Теория Максвелла — Лоренца позволила более детально рассмотреть процессы взаимодействия света с веществом и объяснить, например, явления дисперсии и поглощения света. Теория Лоренца, так же как и Максвелла, опиралась на гипотезу о существовании электромагнитного эфира.

Поскольку в теории Максвелла рассматривается электромагнитное поле в неподвижной среде, естественно возникает вопрос о влиянии движения среды на протекание в ней электромагнитных процессов и возможности описания этих процессов в движущихся средах с помощью уравнений Максвелла.

Попытки развития теории Максвелла и создания электродинамики движущихся сред, основанной на модели эфира, предпринимались Г. Герцем, Г. Лоренцем и др. При этом Герц и Лоренц исходили из диаметрально противоположных предположений относительно поведения эфира при движении тел и возможности распространения на электродинамические процессы принципа относительности, т. е. утверждения о равноправности всех инерциальных систем отсчета.

Герц считал, что движущиеся тела полностью увлекают за собой эфир. Поэтому в системе отсчета, жестко связанной с замкнутой системой тел, движущихся как одно целое, эфир всегда неподвижен.

Таким образом, в электродинамике Герца должен выполняться следующий принцип относительности: произвольное движение замкнутой системы как целого не влияет на протекание в ней любых электромагнитных процессов. Легко видеть, что этот принцип является более общим по сравнению с механическим принципом относительности Галилея, т^к-как говорит о равноправности (в рамках электродина' мики) любых, а не только инерциальных, систем отсчета.

В отличие от Герца Лоренц исходил из предположения, что среда и связанные с ней электрические заряды движутся во всепроникающем неподвижном, однородном и изотропном эфире. Поэтому в неподвижной относительно эфира и движущейся системах тел электромагнитные процессы должны протекать по-разному. Иными

словами, система отсчета, непод- в ижн ая относител ьн о эфир а, должна отличаться от всех других инерциальных систем отсчета, а движение тела по отношению к этой избранной системе отсчета естественно назвать абсолютным движением. Это означает, что в электродинамике JlopeifUa принцип относительности не соблюдается.

Теория Герца противоре

чила данным опытов. Например, она не могла объяснить существование годичной аберрации света (см. § 3.5). В самом деле, если эфир, заполняющий трубу телескопа, полностью увлекается воздухом, который движется вместе с Землей» то никакого различия между истинным и кажущимся направлением на звезду не может быть.

Теория Герца противоречила также опыту Физо (1851). Схема этого опыта показана на рис. 9.2. Луч S монохроматического света падал под углом 45° на пол у посеребрен н ую плоскопараллельную стеклянную пластинку Я и в точке А разделялся на два когерентных луча / и 2. На рис. 9.2 проходящий луч / изображен сплошной линией, а луч 2, отраженный в точке Л,— пунктирной. Далее эти лучи с помощью зеркала В и призмы полного внутреннего отражения С направлялись в две одинаковые трубки Dx и О^ заполненные водой, движущейся со скоростью V. Сходясь вновь в точке Л, эти лучи интерферировали. Опыт показал, что результат интерференции зависит от скорости V, причем дополнительн-ая оптическая разность хода, обус-

ловленная движением воды, равна

6 =产―у2（1_I/医户（1 —酒），（9.6）

где / — длины трубок Di и О2> ^ — скорость света в вакууме, и — абсолютный показатель преломления воды и d=dn — скорость света в неподвижной воде.

Этот опыт можно объяснить, если предположить, что эфир частично увлекается движущейся водой, т, е. движется в том же направ-

лении со скоростью а У, где а 一 коэффициент увлечения эфира. Тогда луч /, распространяющийся в трубках Di и D2 в направлении движения воды и увлекаемого ею эфира, имеет по отношению к неподвижным стенкам трубки скорость vf+aVf а луч 2, распространяющийся в противоположном направлении, имеет скорость v——aV. Поэтому один и тот же путь 2/ в трубках лучи / и 2 проходят за разное

/2//2/

время： % = т^ н & = 7Т^，откуда

и оптическая разность хода между лучами

6 =必』譜急. (96)

Из сопоставления формул (9.6) и (9.6') следует, что коэффициент увлечения эфира зависит только от абсолютного показателя преломления движущейся среды:

а=1 —% (9・7)

Этот результат находился в явном противоречии с теорией Герца, согласно которой для всех сред а=1 [за исключением вакуума, для которого п=1 и в согласии с (9.7) а=01.

Лоренцу удалось успешно справиться с объяснением опыта Физо. Он показал, что движение в неподвижном эфире любой среды, молекулы которой представляют собой системы электрических зарядов, приводит к тому, что скорость распространения света в среде, измеренная по отношению к эфиру, равна

о = и±(1 —£)и =，土叱 (9.8)

где V ——скорость света в случае неподвижной среды, знаки плюс и минус соответствуют двум направлениям распространения света —— в направлении движения среды и в противоположном направлении, а а= I——I/»? есть не что иное, как введенный выше «коэффициент увлечения эфира». Заметим, что в теории Лоренца формула (9.8) является приближенной: она получена в предположении, что 6= (j)冬 1 и влиянием на и дополнительного члена, зависящего от Р2, можно пренебречь.

Из формулы (9.8) следовало, что в замкнутой системе, движущейся относительно неподвижного эфира равномерно и прямолинейно со скоростью V, все интерференционные опыты должны с точностью до эффектов второго порядка, зависящих от (V7c)* протекать так же, как и в неподвижной системе. Таким образом, согласно теории Лоренца, для обнаружения этого движения системы и определения ее абсолютной скорости V необходимо измерить на опыте какой-либо интерференционный эффект второго порядка. Такого рода опыт впервые был проведен MaйкeльcQHOм (1881) и Майкельсоном и

Морлеем (1887), а затем многократно повторен рядом исследователей, осуществлявших измерения со все большей степенью точности.

Опыт Майкельсона был поставлен с целью обнаружения влияния орбитального движения Земли на интерференционную картину, получаемую с помощью интерферометра Майкельсона. Принцип действия этого интерферометра (см. рис. 5.10) рассмотрен в § 5.4. Интерферометр располагался таким образом, чтобы одно из его плеч совпадало с на

правлением вектора V скорости движения

Земли по орбите. Будем, например, счи-马“^

тать, что вектор V совпадает с направлен|

наем распространения луча идущего от

точки О к зеркалу 3i (рис. 9.3). Если бы

интерферометр покоился относительно эфн-丁 2，

ра, то для прохождения лучами света /| ,

н 2 одинаковых расстояний / от точки О、，‘

до зеркал 31 и 32 и возвращения обратно |工——兴亠.

в точку О понадобилось бы одинаковое вре- |卜^ мя 4=2〃с (различием скоростей света 3f |： Z J ' в воздухе и в вакууме можно пренебречь,|

так как они очень близки по величине).

Иначе будет обстоять дело в случае дви-Рис 9 3

жения интерферометра. Скорость света

относительно неподвижного эфира по-прежнему равна с Однако

за время 才 распространения света из О до первого зеркала последнее сместится относительно эфира влево на расстояние Vt[. Поэтому

ct^l + Vt[ и f； = //(c—У).

Время f；, необходимое лучу Г света, отраженного от первого зеркала, для возвращения в точку О интерферометра, который движется навстречу этому лучу, найдем из аналогичного уравнения

с£； = /—V/1, 4=〃(с + Р).

Таким образом, для прохождения света от то^ки О до первого зеркала и обратно необходимо время

友=左+咒=占7 +不同=d：；? = 伊•(9.9)

где B=V/c.

За время t3 прохождения луча 2 от точки О до зеркала 3纟 и возвращения обратно интерферометр смещается относительно эфира влево на расстояние OOl,= Vt2 (рис. 9.4). Поэтому относительно эфира второй луч проходит путь О3；0", причем отрезки ОЗ； и 0"3； одинаковы:

I о瑞=1031=M/2 + I&3/2 = yVTp^py

С другой стороны^ [03£[= (O"3；(=c/J2. Следовательно,

4= ут^р =声餐。(9・9')

Из формул (9.9) и (99) видно, что ^>/2- Поэтому между интерферирующими лучами имеется дополнительный сдвиг по фазе, зависящий от р=У/с:

公%,2 - T (厶X 旧 %)一 九(1一炉,

где X — длина волны света, a T=Vc —— период колебаний.

Так как скорость Земли V^30 км/с и р=10~4<^1, то, пользуясь формулой бинома Ньютона, можно с точностью до Р4 считать, что _^=(1一阳-1=1+02 й 7====(1-p)-^=1+4ра.

Следовательно,

a恥，2 =雯^ =竿俨，

Очевидно, что при повороте интерферометра против часовой стрелки на угол а=45° вокруг оси, перпендикулярной плоскости рис. 9.3, условия распространения обоих лучей в ин терфер ометр е станут одинаковыми, а △屮“合 будет равно нулю. Если интерферометр повернуть на угол а=90°, то его плечи поменяются местами и Дфх 3 станет равнойjj-P2. Таким образом, при вращении интерферометра на угол а=90° общее изменение △中厶2=4冗/§2/入 и может быть обнаружено

увлекается движущимисяувлекается движущимисяпо соответствующему ему смещению интерференционных полос, ввдимых в интерферометре.

увлекается движущимися

увлекается движущимися

Опыт Майкельсона и многократные его повторения на еще более совершенных установках показали, что поворот интерферометра не вызывает какого- либо изменения интерференционной картины, выходящего за пределы погрешностей измерений.

Отрицательный результат опыта Майкельсона. казалось бы, неопровержимо доказывал, что эфир полностью телами (например, Землей). Однако, как

было показано выше, такой вывод противоречит результатам опыта Физо и явлению годичной аберрации света. Опыт Майкельсона можно было бьг объяснить с помощью так называемой баллистической гипо

тезы В. Ритца, согласно которой скорость света относительно неподвижного эфира равна векторной сумме скорости света от неподвижного источника и скорости движения источника света". Однако эта гипотеза противоречит закономерностям движения двойных звезд. Гипотеза Ритца, как показал Л. И. Мандельштам, противоречит

1 Свое название эта гипотеза получила по аналогии с известным в баллистике правилом определения скорости снаряда, выпуска^лого из движущегося орудия.

также известным закономерностям отражения и преломления света. В самом деле, отраженная телом и преломленная вотны являются результатом интерференции вторичных волн, испускаемых движущимися электронами, которые имеются в теле. Если же в соответствии с гипотезой Ритца скорости вторичных волн зависят от движения электронов, то эти волны должны быть некогерентными и не могут интерферировать.

Для объяснения результата опыта Майкельсона Д. Фитцджеральд (1891) и независимо от него Г. Лоренц (1892) высказали гипотезу о том, что в результате движения линейный размер тела в направлении движения должен изменяться в У1 — р2 раз. Поэтому по отношению к эфиру длина горизонтального плеча интерферометра в опыте Майкельсона равна не 厶 а //1——р2. Следовательног значение 方工 также должно отличаться от выражения (9.9) множителем 丿 1 ——Р2,

так что 友一爲代 и никакого смещения интерференционных полос в опыте Майкельсона не должно быть. В этом случае интерференционный эффект, обусловленный движением Земли, полностью компенсируется эффектом сокращения размеров.

Гипотеза сокращения Лоренца — Фитцджеральда позволила согласовать электродинамику Лоренца с безуспешными попытками обнаружить в опыте Майкельсона и ряде других опытов, которые мы не рассматриваем здесь, эффекты второго порядка, обусловленные движением Земли относительно эфира. Однако сама эта гипотеза была крайне искусственной и чуждой всей теории Лоренца.

§ 9.3. Постулаты специальной теории относительности. Преобразование Лоренца

Принципиально новый подход к электродинамике движущихся тел был предложен основоположником теории относительности Эйнштейном (1905). Проанализировав огромный экспериментальный материал, Эйнштейн выбрал два наиболее бесспорных положения и построил на их основе свою теорию. Эти положения называются постулатами специальной теории относительности. Они формулируются следующим образом:

е лю^ых инерциальных системах отсчета все физические явления (механические, электромагиитные и др.) при одних и тех же условиям протекают одинаково^ иначе говоря, с Помощью любых опытов^ проведенных 6 замкнутой системе тел. нельзя обнаружить^ покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно =;

скорость света 6 вакууме не зависит от скорости движения источника света; она одинакова во всех направлениях и во всех инер-

Как всегда, подразумевается движение относительно какой-нибудь инерциальной системы отсчета^ например системы «неподвижных звезд».

циальных системах отсчета, т. е. представляет собой универсальнук) постоянную.

Первый постулат Эйнштейна выражает принцип относительности, являющийся обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы. Его справедливость под- тверяедается тем, что все разнообразные опыты, ставившиеся с целью обнаружить влияние орбитального движения Земли на закономерности электромагнитных явлений, постоянно приводили к отрицательному результату. Второй постулат также безусловно подтверждается всеми экспериментами.

Формулируя свои постулаты, Эйнштейн полностью отказался от эфира. Весь ход дальнейшего развития фи- :зики убедительно доказал правоту 二 Эйнштейна. Электромагнитное поле само является особой формой материи и не нуждается в «придумывании» для него материального носителя —эфира.

■ 2. На первый взгляд кажется, что постулаты Эйнштейна взаимно проти

воречивы. В самом деле, рассмотрим находящиеся в вакууме неподвижную инерциальную систему отсчета К (尤,у, г) (рис. 9.5) и систему отсчета К'(尤',у', z‘), движущ}Аюся равномерно и прямолинейно вдоль оси ОХ со скоростью V. Пусть в начальный момент времени /=0, когда точки。и О' совпадали, в точке О была произведена световая вспышка. К моменту £>0 световое возмущение, распространяясь с одинаковой скоростью с по всем направлениям, достигает в неподвижной системе отсчета К всех точек сферы с центром в точке О и радиусом r=ct. Однако с таким же правом можно считать, что вспышка была сделана в точке О' в тот момент, когда она проходила через точку О. При этом световое возмущение распространяется относительно системы отсчета К' точно так же, поскольку, по второму постулату Эйнштейна, скорость света не должна зависеть от скорости V движения источника света ——точки О'. По первому постулату Эйнштейна, в движущейся системе отсчета К' свет должен распространяться так же, как и в неподвижной. Следовательно, к моменту времени f возмущение, обусловленное вспышкой в точке О* должно достигнуть точек сферы с тем же радиусом ct. Однако центр этой сферы все йремя должен совпадать с точкой О', которая к моменту времени / удалится от О на расстояние Vt, Очевидно, что этот результат противоречит здравому смыслу, так как независимо от выбора системы отсчета световое возмущение должно к моменту времени f достигать вполне определенных точек пространства, которые не могут одновременно находиться на двух различных сферах. Именно это противоречие заставило В. Ритца усомниться в справедливости второго постулата Эйнштейна и высказать взамен него баллистическую гипотезу, о которой уже говорилось в § 92

Величайшая заслуга Эйнштейна состоит в том, что он сумел найти причину кажущейся противоречивости предложенных им постулатов и устранить ее. Для этого Эйнштейну пришлось подвергнуть радикальному пересмотру общепринятые и считавшиеся «само собою разумеющимися» представления о свойствах пространства и времени. Эйнштейн показал, что в рассмотренном выше примере противоречие возникает не из-за применения постулатов теории относительности, а вследствие использования пространственно-временных соотношений, выражаемых преобразованием Галилея (9.1). На этом вопросе, лежащем в основе всей теории относительности, нужно остановиться подробнее.

Основополагающими понятиями всей физики служат понятия длины и времени. Для того чтобы этими понятиями можно было пользоваться, необходимо указать способы однозначного измерения расстояний и промежутков времени. Измерение длины какого-нибудь тела (например, стержня) производится путем ее сравнения с длиной эталонного тела, которая, по определению, считается равной одному метру (само собой разумеется, что при этом должны быть точно оговорены внешние условия — значения температуры, давления и т. д.). В качестве такого эталонного тела можно использовать, например, масштабную линейку, которая, таким образом, является необходимой принадлежностью всякой системы отсчета. Указанный способ измерения легко осуществить, прикладывая линейку к изучаемому стержню, если последний неподвижен относительно системы отсчета К и ее масштабной линейки. А как определить длину того же самого стержня, если он движется относительно системы вместе с системой К' (рис. 9.5)? Во-первых, длину стержня можно измерить указанным выше способом, пользуясь такой же масштабной линейкой, движущейся вместе с системой/С7 и являющейся эталоном длины в этой системе. Легко видеть, что при этом длина стержня I； должна получиться такой же, как и при измерении ее в первом случае (/0), когда стержень покоился относительно системы отсчета К・ В самом деле, пусть /；*h например 儿＞/(). Можем теперь принять, что система К' покоится, а система К движется относительно нее со скоростью —V. Тогда длина /0 стержня, неподвижного относительно движущейся системы К, должна была бы быть больше Zg, что противоречит сделанному выше допущению. Следовательно, /q=/0-

Длину стержня, движущегося вместе с системой К', можно также измерить с помощью масштабной линейки, находящейся в неподвижной системе К (ради простоты предполагаетсяг что стержень расположен вдоль оси Ь'Х) Для этого, очевидно, нужно измерить расстояние / между двумя точками оси ОХ, с которыми совпадают концы движущегося стержня в произвольный, но один и тот ж е момент времени. Обозначим координаты этих точек через xi и 尤室 тогда /— =尤2—尤i・ В движущейся системе координаты концов стержня пусть равны 尤;и 尤;,причем 尤;——X=Z0, так как в системе отсчета К' стержень неподвижен.

Возникает вопрос: будет ли /=/0? Иначе говоря, будут ли совпадать

результаты измерений длины одного и того же стержня, когда он покоится относительно масштабной линейки и когда движется относительно нее? «Да, так должно быть»,——отвечали все до Эйнштейна. Это утверждение считалось настолько очевидным, что никто даже не пытался его проверять. Оно нашло свое выражение в преобразовании Галилея (9.1), из которого следует, что /=/0» так как 尤;一>1=х2—%厶

Эйнштейн впервые ответил на этот вопрос иначе ——равны / и /0 или нет, должен показать опыт, до опыта (a priori) ничего по этому поводу сказать нельзя. Однако мы уже знаем, что для объяснения опыта Майкельсойа Лоренцу и Фитцджеральду пришлось ввести гипотезу сокращения, согласно которой /</0： / =乙/1—0久

Для измерения времени также необходим эталон, в качестве которого используется какой-либо реальный периодический процесс (например, движение Земли вокруг Солнца, качание маятника, движение стрелки часов и т. п.). Всякое измерение времени тесно связано с понятием одновременности двух событий 工 Действительно, 'что означает утверждение: в 12 часов движущаяся материальная точка находилась в некоторой точке Л пространства? Оно означает, что прохождение материальной точки через точку Л пространства и прохождение стрелки эталонных часов через деление их шкалы, соответствующее, п о определению, 12 часам, происходят одновременно.

Эйнштейн впервые обратил внимание на то, что в классической физике еще с времен Ньютона господствует убеждение о существовании некоего абсолютного времени, которое, по выражению Ньютона, «течет одинаково, безотносительно к чему-либо внешнему». Ньютон писал: «Длительность, или возраст, существования вещей остается одним и тем же независимо от того, быстры движения или медленны, или их нет вообще...» Иначе говоря, все вслед за Ньютоном были убеждены в том, что такие понятия, как «одновременность двух событий», «раньше» или «позже», являются априорными, т. е. ясными сами собой, безотносительно к какому-либо эксперименту.

Величайшая заслуга Эйнштейна заключается в том, что он отверг это заблуждение. Он впервые показал, что понятие одновременности вовсе* не самоочевидно и, так же как и понятие длины, нуждается в четком определении, основанном на реальном физическом процессе, с помощью которого можно было бы проверить, одновременны или нет рассматриваемые события. Действительно, мы легко и однозначно можем установить одновременность двух событий по их совпадению, если они происходят в одном и том ж е месте. Однако, вообще говоря, совершенно не ясно, каким образом можно с помощью часов, находящихся в точке Л, обнаружить одновременность или неодновременность двух событий, одно из которых происходит в точке А, а другое — в удаленной от нее точке В.

1 Выше мы уже пользовались этим понятием, не уточняя его смысла, когда говорили об измерении длины движущегося стержня с помощью неподвижной масштабной линейки.

Важность решения этого вопроса для физики можно проиллюстрировать на следующем примере. Для экспериментального измерения скорости распространения некоторого сигнала, посылаемого из точки А в точку В> необходимо знать промежуток времени А/ между моментами отправления и прихода этого сигнала. Измерение А/ можно произвести с помощью двух одинаковых часов, одни из которых находятся в точке Л, а вторые, после сверки синхронности их хода с ходом первых часов, перевезены из точки А в точку 8. Пусть сигнал отправляется из Л в момент времени 左(по первым часам) и приходит в В в момент времени /2 (по вторым часам). Тогда, казалось бы, скорость сигнала и = 厶宀 где L — расстояние между точками 4 HB. Однако'Это было бы так на самом деле, если бы мы могли с уверенностью сказать, что после перевозки в точку В вторые часы продолжают идти синхронно с первыми часами, т. е. в момент отправления сигнала из точки А также показывают время 左 и идут одинаково быстро с часами в точке А. Одинаково ли быстро идут эти часы, можно проверить на опыте, например посылая из А сигналы через определенные равные промежутки времени по первым часам и регистрируя по вторым часам промежутки времени между моментами ярихода сигналов в точку В. Проверить же одинаковость показаний часов можно только с помощью сигнала, который распространялся бы из Л в В мгновенно. Однако таких сигналов в природе не существует. Следовательно, говорит Эйнштейн, вопрос о синхронности часов в точках Л и В, т. е. об одновременности прохождения стрелок этих часов через сходственные деления их шкал, можно решить только путем однозначного соглашения (определения) о том, когда следует считать эти часы синхронными.

За основу такого определения Эйнштейн берет реальный физический процесс — распространение света в вакууме. Пусть по часам в точке Л световой сигн-ал отправляется в момент времени t* и после отражения в точке В возвращается в 4 в момент времени t2. Тогда, п о определению, часы в точке В синхронны с часами в точке Л, если они идут одинаково быстро 〃 в момент прихода сигнала в точку 5 установленные в ней часы показывают время £=(友+厶)/2.

Выбор светового сигнала в вакууме в качестве реального физического процесса для синхронизации часов сделан Эйнштейном не случайно. Во-первых, как показывают опыты, скорость любого другого сигнала не может превосходить скорости с света в вакууме. Во-вторых, согласно постулатам теории относительности, величинам одинакова во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчета.

Определение, данное Эйнштейном, устанавливает однозначный и, что особенно важно, практически осуществимый способ синхронизации часов, находящихся в различных точках пространства и перемещающихся вместе с рассматриваемой с и-

с т е м о й отсчета. Тем самым осуществляется хронометриза* ция системы отсчета, т. е, в ней каждому событию соответствует вполне определенный момент времени t независимо от места расположения той точки, в которой это событие происходит.

До Эйнштейна все были убеждены в том, что промежуток времени между одними и теми же двумя событиями не зависит от выбора системы отсчета. Это нашло, в частности, свое отражение в преобразовании Галилея для времени: f—/, из которого следует, что

где % н 4— моменты времени совершения первого (友 и 4) и второго «2 и Q событий, измеренные в неподвижной и движущейся инерциальных системах отсчета. Если Af=Af, то два события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета (А2=0), должны быть одновременными во всех других инерциальных системах отсчета (АУ=0), т. е. одновременность абсолютна. В дальнейшем мы увидим, что в теории относительности -одновременность двух событий, происходящих в разных точках пространства, относительна: события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, вовсе не одновременны в других инерциальных системах, движущихся относительно первой.

Эйнштейн показал, чтоб соответствии с двумя посгулатамитео- рии относительности связь между координатами и временем в двух инерциальных системах отсчета К и Л\ изображенных на рис. 9.1 и 9.5, выражается не преобразованием Галилея (9.1), а более сложным образом: *

(9.10)(9.10)

(9.10)

(9.10)

(9」0‘)(9」0‘)

(9」0‘)

(9」0‘)

где 6=К/с. Эти соотношения называются преобразованием Лоренца.

Формулы (9.10) можно получить следующим образом. Пусть в начальный момент времени f=0 из точки О неподвижной системы отсчета К (см. рис. 9.1) испускается весьма короткий (точечный) световой сигнал. В системе отсчета К координаты х, р, z точек, до которых дойдет сигнал к моменту времени 力 удовлетворяют условию

(9 11)(9 11)%2 + p2+?2=e証2.

(9 11)

(9 11)

В момент /=0 начало О' подвижной системы отсчета К совпадает с точкой О.

Часы в системе К' целесообразно установить так, чтобы в этот момент времени £'=0.

Из постулатов теории относительности следует, что в системе отсчета К' закон распространения светового сигнала имеет вид, аналогичный (9.11), т. е. к моменту времени £' сигнал достигнет точек, координаты которых х\ у', а' удовлетворяют условию

(9.1「)(9.1「)炉2 +y2+白=盟2.

(9.1「)

(9.1「)

Таким образом, согласно постулатам специальной теории относительности координаты и время в системах отсчета К н К' должны удовлетворять соотношению

£2+p" + 2'2-e2 产=炉十歹+22-e"2.(9.12)

Преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой должны быть линейными, так как только такие соотношения не противоречат полному равноправию любых двух инерциальных систем отсчета, каждую из которых с равным правом можно принять за неподвижную.

Осн OrYf и OZ, а также попарно параллельные им оси ОУ и OZ лежат в плоскостях, перпендикулярных вектору V скорости движения подвижной системы К', т. е. ориентированы по отношению к V совершенно одинаково. Поэтому ясно, что связь между координатами уг и у должна быть такой же, как между 2’ н 2. Иными словами, искомые преобразования имеют такой вид: ”

х'=а/+р/, “=仪2^十02 九 г*—а2г-|-р2/,(9.13)

f =а3х+₽з^

где eq, а?，а% 卩工,卩备 рз— постоянные коэффициенты, значения которых нужно определить.

Запишем координаты точки О' в системах отсчета К' и К：

к~ = %，= 4, =°，XQf=Vtt y^f= 2^, =0.(9」4)

Подставив эти значения в (9.13), получим «jW+Pi^O и p?f=O, т. е.

pt ——备丿 и р2 = 0・(9.15)

Следовательно, соотношения (9.13) можно переписать в виде

xz =«! (х—W)> “=&2弘 zz =а2г,(9.16)

*=a瞬+%九

Для опредепени只 значения коэффициента а2 воспользуемся условием полного равноправия систем отсчета К н К'・ В частности, это условие означает, что размер I эталона длины /；=1 в системе К', измеренный из системы К, должен быть равен размеру ，эталона длины /0= 1 в системе К, измеренному из системы ^\ Из второго уравнения (9.16) следует, что расстояния между двумя точками, лежащими на прямой, параллельной осям ОУ и О'У', измеренные в системах К' и К, связаны со* отношением

Ар' — a2Ap.

Поэтому если эталоны длины расположены вдоль осей OY и ОУ', то при Ау'=/；=1 △д=/, а при Ау=4)=1 АК=Г, причем

/ = 1/&2 и Г ==а2.

Таким образом, равенство I и Г возможно только при условии

а| = 1, или а2 = I.(9.17)

Значения коэффициентов а1( а3 и рз найдем, подставляя выражения (9.16) для лЛд',/ и f в (9.12) и учитывая, что а2=1:

用(尤一巾)2一炉(%*+% /)2=Х2 一 e至2,

ИЛИ

(aj—са|) х2 —2 ^Va|-(-c2a3p3) %/ —伊羯一Н若)产=%&—с2/2.

Это равенство должно выполняться тождественно, т. е. при любых значениях 力 н 九 Поэтому

叱一e2喝=1,饮号+战%久=0，犀党-尸咛=e2.(9.18)

Из первого и третьего уравнений (9.18) следует, что

1/2”1/2”(9.18')(9.18')

1/2”

1/2”

(9.18')

(9.18')

Соответственно из первого и второго уравнений (9.18) имеем

Подставим это значение 伝 в (9.18')：Подставим это значение 伝 в (9.18')：0з = —У ( а30з = —У ( а3d d 一尸）d d 一尸）После преобразования полупим а；=После преобразования полупим а；=I откуда sI откуда sи, согласно (9」8")・и, согласно (9」8")・V/c3 «3 =7==Pl-yz/d0з=—7===-. / 1-Р/с2V/c3 «3 =7==Pl-yz/d0з=—7===-. / 1-Р/с2(9・18“)(9 19)(9」9‘)(9・18“)(9 19)(9」9‘)

Подставим это значение 伝 в (9.18')：

Подставим это значение 伝 в (9.18')：

0з = —У ( а3

0з = —У ( а3

d d 一尸）

d d 一尸）

После преобразования полупим а；=

После преобразования полупим а；=

I откуда s

I откуда s

и, согласно (9」8")・

и, согласно (9」8")・

V/c3 «3 =7==

Pl-yz/d

0з=—7===-. / 1-Р/с2

V/c3 «3 =7==

Pl-yz/d

0з=—7===-. / 1-Р/с2

(9・18“)

(9 19)

(9」9‘)

(9・18“)

(9 19)

(9」9‘)

(9 20)(9 20)Наконец, из первого уравнения (9*18) следует, что 药= 1 + ”喝=■]_•%/•, откуда *

(9 20)

(9 20)

«1 «—RHE •,

Подставив выражения (9.17), (9.19), (9」9‘)и (9.20) для а2, а3,网 н с^ в (9.16), получим преобразование Лоренца (9.10). Формулы (9.10г) получаются из (9.10) путем несложных алгебраических преобразований*

Легко видеть, что при К«с (строго、говоря, при с^8) формулы (9.10) совпадают с формулами преобразования Галилея (9.1). Таким образом, классическая механика, базирующаяся на преобразовании Галилея, пригодна лишь для рассмотрения движений тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме. В общем случае нужно пользоваться так называемой релятивистской механикой, основанной на постулатам теории относительности и вытекающем из них преобразовании Лоренца для координат и времени.

Важнейшие следствия из формул преобразования Лоренца

Координаты х\ у\ zz и время У в движущейся системе отсчета К', так же как координаты 尤，协 z н время / в неподвижной системе отсчета К, не могут быть мнимыми. Поэтому из первого и четвертого уравнений^ (9.10) следует, что 0Hlz/с&1・ Таким образом, скорость У относительного Збижения двух инерциальных систем отсчета не может превосходить скорости света в вакууме.Пусть некоторое тело (например, стержень) движется вместе с сцстемой отсчета /С и имеет в этой системе длину d0=Xa—%； (рис. 9.6, а). Для определения длины d движущегося стержня в системе К необходимо найти координаты точек х2 и 尤 1 оси ОХ, с которыми совпадают концы этого стержня в оди н и тот же моментвре- м е н и / по часам в системеКоординаты х\ у\ zz и время У в движущейся системе отсчета К', так же как координаты 尤，协 z н время / в неподвижной системе отсчета К, не могут быть мнимыми. Поэтому из первого и четвертого уравнений^ (9.10) следует, что 0Hlz/с&1・ Таким образом, скорость У относительного Збижения двух инерциальных систем отсчета не может превосходить скорости света в вакууме.Пусть некоторое тело (например, стержень) движется вместе с сцстемой отсчета /С и имеет в этой системе длину d0=Xa—%； (рис. 9.6, а). Для определения длины d движущегося стержня в системе К необходимо найти координаты точек х2 и 尤 1 оси ОХ, с которыми совпадают концы этого стержня в оди н и тот же моментвре- м е н и / по часам в системеу Л у/у Л у/о 0: х画一d.十卩"力X4о 0: х画一d.十卩"力X444К： d=x2(Z)—尤i(f). Из первогоК： d=x2(Z)—尤i(f). Из первогоРис. 9.6Рис. 9.6уравнения (9.10) следует, чтоуравнения (9.10) следует, что

Координаты х\ у\ zz и время У в движущейся системе отсчета К', так же как координаты 尤，协 z н время / в неподвижной системе отсчета К, не могут быть мнимыми. Поэтому из первого и четвертого уравнений^ (9.10) следует, что 0Hlz/с&1・ Таким образом, скорость У относительного Збижения двух инерциальных систем отсчета не может превосходить скорости света в вакууме.

Пусть некоторое тело (например, стержень) движется вместе с сцстемой отсчета /С и имеет в этой системе длину d0=Xa—%； (рис. 9.6, а). Для определения длины d движущегося стержня в системе К необходимо найти координаты точек х2 и 尤 1 оси ОХ, с которыми совпадают концы этого стержня в оди н и тот же моментвре- м е н и / по часам в системе

Координаты х\ у\ zz и время У в движущейся системе отсчета К', так же как координаты 尤，协 z н время / в неподвижной системе отсчета К, не могут быть мнимыми. Поэтому из первого и четвертого уравнений^ (9.10) следует, что 0Hlz/с&1・ Таким образом, скорость У относительного Збижения двух инерциальных систем отсчета не может превосходить скорости света в вакууме.

Пусть некоторое тело (например, стержень) движется вместе с сцстемой отсчета /С и имеет в этой системе длину d0=Xa—%； (рис. 9.6, а). Для определения длины d движущегося стержня в системе К необходимо найти координаты точек х2 и 尤 1 оси ОХ, с которыми совпадают концы этого стержня в оди н и тот же моментвре- м е н и / по часам в системе

у Л у/

у Л у/

о 0: х画一d.十卩"力X

4

о 0: х画一d.十卩"力X

4

4

4

К： d=x2(Z)—尤i(f). Из первого

К： d=x2(Z)—尤i(f). Из первого

Рис. 9.6

Рис. 9.6

уравнения (9.10) следует, что

уравнения (9.10) следует, что

(9.2,1)(9.2,1)%(「)一％(/) = (爲一х；)М1—俨，т・ е. d = d.

(9.2,1)

(9.2,1)

Соответственно если тот же стержень покоится в снстемё*К, то его длина в этой системе х3—Xi=d0 (рис. 9.6, 6). Относительно системы К' стержень движется со скоростью —V и имеет длину d=x^(tf)—《行, которая в соответствии с первым уравнением (9.10') и принципом относительности также определяется выражением (9.21). Таким образом, линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движениявУ 1——р2 раз. Этот результат, автоматически следующий из преобразований теории относительности, совпадает с предположением Лоренца — Фитцджеральда и позволяет понять, почему в опыте Майкельсона не удается наблюдать смещение интерференционных полос (см. п. 7 § 9.2).

Из второго н третьего соотношений (9.10), не содержащих времени, следует, что 孤一у；=у&—yt н z；—2；=方一z», т. е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы 绚 всех инерциальных системах отсчета. Обобщая все сказанное, можно утверждать, что линейные размеры тела максимальны в той инерциальной системе отсчета* относительно которой тело находится в покое.

В течение длительного времени существовало ошибочное убеждение, что указанные выше закономерности должны приводить к изменению видимой формы тел при их быстром движении относительно наблюдателя. Так, например, считали, что тело шарообразной формы, движущееся со скоростью, близкой к скорости света в вакууме, должно наблюдаться в виде эллипсоида вращения, сплющенного в направлении его движения. Лишь в 1959 г. Дж. Террел впервые показал, что это сокращение быстро движущихся тел нельзя увидеть. Дело в том, что при наблюдении пли фотографировании какого-либо тела мы регистрируем свет, 013Hlвременно поступивший на сетчатку глаза или на фотопластинку от разных точек тела, т. е. испущенный этими точками н е одновременно. Чем дальше от наблюдателя находится какая-либо точка тела, тем (в силу конечности скорости распространения света) более раннему моменту времени соответствует ее изображение на сетчатке глаза или фотопластинке. Следовательно, ^сли тело движется» то его изображение должно быть искаженным, так как тело занимало различные положения в те моменты, когда различные его точки послали свет, образовавший видимое изображение. Это искажение, как показали расчеты» в точности компенсирует эффект сокращения тела в направлении его даижения, так что видимая форма тела не изменяется, но тело кажется повернутым на некоторый угол.

Рассмотрим некоторый процесс, совершающийся в одной и той же точке Л, неподвижной относительно системы К'・ Длительность этого процесса обозначим по часам систем К' н К соответственно через т0 и т. Очевидно, что т0=^——4 и т=/2—友，где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу процесса. Из четвертого уравнения (9.10) имеем

^Tf=F “『VW，

ИЛИ

T-@ (# 2一力 1)Tn =尸.

0/1-Р2

Здесь М—%。一 смещение точки 4 вдоль оси ОХ системы К за время длительности процесса. Поэтому х2—%1=Ут и

% = т/匸篦(9.22)

т. е. т0<т. Таким образом, длительность процесса, происходящего 6 некоторой точке』,минимальна в той инерциальной системе от、 счета, относительно которой точка Л неподвижна.

Этот результат можно также сформулировать следующим образом: часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов. Как видно из (9.22), замедление хода часов становится существенным лишь при скоростях 匕 близких к скорости света в вакууме. Релятивистский эффект замедления хода времени был блестяще подтвержден в опытах с мюонами — нестабильными, самопроизвольно распадающимися элементарными частицами. Среднее время жизни покоящегося мюона т0» т. е. «по часам, движу* щимся вместе с ним», как показали измерения, равно 2,20- 10"в с. Если бы релятивистского эффекта не было, то мюоны, рождающиеся в верхних слоях атмосферы под действием первичных космических лучей и движущиеся к Земле со скоростью У, близкой к с, должны были бы проходить в атмосфере сравнительно небольшие расстояния

Земли, где они в действительности наблюдаются. Формула легко объясняет этот парадокс: для земного наблюдателя жизни мюона т = %“1—р2, а путь мюона в атмосфере Ут = ^ст = — ^ ст0. Так как 6 близко к 1, то У磅>%.Земли, где они в действительности наблюдаются. Формула легко объясняет этот парадокс: для земного наблюдателя жизни мюона т = %“1—р2, а путь мюона в атмосфере Ут = ^ст = — ^ ст0. Так как 6 близко к 1, то У磅>%.порядка гТо=66О м. Поэтому они не могли бы достигать поверхности (9.22) срок равен

Земли, где они в действительности наблюдаются. Формула легко объясняет этот парадокс: для земного наблюдателя жизни мюона т = %“1—р2, а путь мюона в атмосфере Ут = ^ст = — ^ ст0. Так как 6 близко к 1, то У磅>%.

Земли, где они в действительности наблюдаются. Формула легко объясняет этот парадокс: для земного наблюдателя жизни мюона т = %“1—р2, а путь мюона в атмосфере Ут = ^ст = — ^ ст0. Так как 6 близко к 1, то У磅>%.

Релятивистский эффект замедления хода времени позволяет в принципе осуществить «путешествие в будущее» (но не в прошлое!). В самом деле, пусть космический корабль, движущийся со скоростью ^=§0 относительно Земли, совершает перелет от Земли до некоторой звезды и обратно. Если свет проходит путь /0 от звезды до Земли за время ^, то l0=ctQ и для земного наблюдателя продолжительность перелета равна т = ^ = -^. Именно настолько постареют люди на Земле к моменту возвращения космонавтов. С другой стороны, по часам, уста， новленным на космическом корабле, полет займет меньшее время твп которое по формуле (9.22) равно % = -^了 1—Р.

В согласии с принципом относительности все процессы на космическом корабле (в том числе и процесс старения космонавтов) идут так же, как и на Земле, но не по земным часам, а по часам, установленным на корабле L Таким образом, к моменту возвращения на Землю космонавты постареют только на т0. Пусть, например, %= =500 лет 力 §=0,9999・ Тогда 工=лет= 1000,1 лет, а т0 = =彳吃屮 1—0,99的^ 也ет= 14」года, т. е. космонавты возвратятся на Землю спустя 10 веков после вылета (по земным часам), постарев всего лишь на 14,1 года!

На первый взгляд этот результат кажется парадоксальным и гибельным для теории относительности. В самом деле, казалось бы, можно с таким же успехом доказать обратное: часы на Земле, движущейся относительно космического корабля со скоростью —V, должны отставать от часов на корабле, так что* продолжительность полета должна быть для космонавтов большей, чем для людей, остающихся на Земле! Однако совершенно очевидно, что после приземления космического корабля корабельные часы не могут в одно и то же время отставать от часов на космодроме и опережать их. Ведь результат сравнения показаний двух пар исправно идущих часов, находящихся в одной и той же точке пространства и взаимно неподвижных, должен быть вполне однозначным.

В действительности этот так называемый «парадокс часов》 не существует, потому что он возник вследствие неправильного приме-

нения нами принципа относительности. Принцип относительности утверждает полную физическую равноправность не всяких систем отсчета, а лишь инерциальных. Между тем если часы на космодроме все время остаются в покое относительно одной и той же инерциальной системы отсчета» то корабельные часы покоятся относительно системы отсчета, связанной с космическим кораблем. Вторая система н е все время я вл я ет с я инерциальной, так как при запуске, си5лете звезды и приземлении скорость корабля изменяется, а всякая ускоренно движущаяся система неинерциальна. Таким образом, рассмотренная выше эадача принцшшально несимметрична, а земная и корабельная системы отсчета неравноценны в рамках специальной теории относительности. Поэтому если первый метод расчета продолжительностей т и т0 космического перелета, выполненный на основе использования инерциальной (земной) системы отсчета, правилен, то второй —— ошибочен.

Рассмотрим два события / м2, которые в инерциальной системе отсчета К совершаются соответственно в точке А (хъ уи z。в момент времени и в точке В(х3> 必，г2) в момент времени В системе отсчета К' эти события происходят в точке Л (兄，员，z；)f момент времени 4 н в точке В (兄，у2з N；) в момент времени /；. С помощью формул (9.10') легко показать, что

限一e%2 =抬一*篙 (9.23) где

?12== (% - X1 尸 + 匂！2 - Pl)? + (?2 -无汽抬-元产+ (g；一疚产+ (z；一之;户

—квадраты расстояний между точками А и В в системах К и К[ а Л2=/2—Л и /%=4—4—промежутки времени между событиями в этих системах. Величина

512 =/。2 灯 2'—晶 (9.24)

называется интервалом между двумя событиями* Равенство (9.23) показывает, что интервал между данными двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета: s12—^2. Однако в отличие от классической физики 厶 и 厶 равны соответственно /1г и только при У=0, т. е. для систем отсчета К', неподвижных относительно системы К.

Будем ради простоты считать, что ось ОХ проведена через точки Л и В. Тогда 协=验=21=22=0 и по формулам (9.10)向=g2=%=2:；=0. В этом случае►/12=a：2-х1} a йа=Х2~Хр Из первого и четвертого уравнений (9.10) видно, что

/If 4 %—yif . (9 25)

Интервал s12 —VЛ^ —^з может быть действительным (5?2>0), мнимым (s?2<0) и равным нулю.

2]

Если 512>0, то |乙以<0"乩 14J >-2-1 ^12)% как видно из второго уравнения

(9.25), /и всегда совпадает по знаку с /12. Поэтому действительный интервал называ* ется времениподобным В этом случае событие 2 происходит во всех инерциальных системах отсчета либо всегда раньше события / (/12<0, йз<0), либо всегда позже его (^12>0 и /12 >0), т. е. понятия «раньше» и «позже» имеют абсолютное значение. Так как, кроме того,丨厶2【<d厶乩 то события / и 2 могут быть причинносвязанными. Например, при ^2>0 событие 2 может вызываться событием / с помощью снтнала, распространяющегося со скоростью г/=—^ < с. Числовые значения н знак ?12=х；—х； различны в зависимости от скорости У системы отсчета К\ т・ е. понятия «ближе» и «дальше» относи-тельны: в одних системах отсчета X2>Xi, а в других 尤；<力］В системе К', движущейся относительно К со скоростью V=Z12/i12, события / и 2 происходят в од1Той и той же точке (厶9=0)・

Если 512<0, то |/13l>c|/i2l н, как видно из первого уравнения (9 25),応 всегда совпадает по знаку с /12. Поэтому мнимый интервал называется пространственноподобным. В этом случае понятия «раньше» и «позже» относительны, так как численное значение и знак f；? зависят от скорости V системы отсчета К'・ Если F= =巒匕2/厶好 то /12=0, т. е. в системе К' события / и 2 происходят одновременно. Из сказанного ясно, что интервал между причанносвязанными событиями не может быть пространственноподобным.

С помощью преобразования Лоренца (МО) и (9.10') можно найти связь между значениями скоростей точки v и vz по отношению к двум инерциальным системам отсчета К н К' (см. рис. 9.1). По определению,

v = "^i+^j + ^k = %i + %j + &k,

V' =祭' ' +%"『+ 器" " +%『+ %""

Здесь i, j, k E*『,k'— орты осей координат, %=嘗,%工募 и т. д.— проекции векторов скорости на оси координат; к, у, z — координаты движущейся точки в системе отсчета 女 в момент времени /, связанные преобразованием Лоренца с координатами У, /, г\той же точки в системе отсчета К' в соответствующий момент времени f:

z dxf dx1 " , dyT dy‘ dtr 尸 dzf dzf d尸% =犷=丁：五，。L斤=寸：寸h %=而=不:不.

Из формул (9.10') и (9.10) следует, что

dxf df ' vx — V dyr dy dzr dz胃~=7亡萨=hb，h=7t=%' rf

" 匕2 dtс2

Поэтому получаем следующий закон сложения скоростей в спеиналь& н师 теории относительности:

厶+y厶+y。；/="1+誉。；/="1+誉L I 一竺£叶警L I 一竺£叶警(9.26)(9.26)

厶+y

厶+y

。；/="

1+誉

。；/="

1+誉

L I 一竺£

叶警

L I 一竺£

叶警

(9.26)

(9.26)

В пределе при г-^оо эти формулы приводят к обычному закону сложения скоростей в классической механике:

% = 〃 + % %к%； % = % И V = v' +V.

Пользуясь формулами (9・26), найдем связь между квадратами модулей векторов v и v'.

炉=建+崂+u?=炉=建+崂+u?=([—§2)(0广 + UJ + oj) + /"J + 2u#U + U： (1+3心//2.

炉=建+崂+u?=

炉=建+崂+u?=

(9 27)(9 27)（1一炉）产+也1+阮/С）т（1 一俨）_d「［_止上竺上Ё1

(9 27)

(9 27)

（1+6心/e）2［（1+6心儿）2

Соответственно

（1一號仔）（1一02）1 0一m3。户—J（1一號仔）（1一02）1 0一m3。户—J(9.27')(9.27')

（1一號仔）（1一02）1 0一m3。户—J

（1一號仔）（1一02）1 0一m3。户—J

(9.27')

(9.27')

Из (9.27) и (9.27') следует, что если ^~с. то и=с, и наоборот. Таким образом, если скорость движения точки относительно какой-либо инерциальной системы отсчета равна скорости света s вакууме, то она должна быть такой же по отношению /с любой другой инерциальной системе отсчета.

С другой стороны, если У <с, то ь<с, и, наоборот, если ц<с, то У<с, так как при этих условиях

(1-』卜1-炉)> 0(1-』卜1-炉)> 0соответственносоответственно（1一当卜1-俨）＞。］（1一当卜1-俨）＞。］

(1-』卜1-炉)> 0

(1-』卜1-炉)> 0

соответственно

соответственно

（1一当卜1-俨）＞。］

（1一当卜1-俨）＞。］

и числовые значения выражений, стоящих в формулах (9.27) и (9.27) в квадратных скобках, должны быть меньше единицы.

Для иллюстрации релятивистского закона сложения скоростей (9.26) решим следующую задачу. Две материальные точки движутся вдоль оси ОХ системы отсчета К навстречу друг другу со скоростями, соответственно равными 5=0,9 ci и va=—0,7 ci, где i 一 орт оси OX. Требуется определить скорость u2i второй точки относительно первой.

Прежде всего очевидно, что относительная скорость 〃窑】не равна разности v2—Vi, так как |v2—Vi| = l,6c Искомая скорость

U21 = V] = u£i' + и 舒 + 叭 k',

где % — скорость второй точки относительно системы отсчета К「 в которой первая точка неподвижна ®；=0). Система К' движется относительно К вдоль положительного направления оси ОХ со скоростью 卜=0,9 с.

Так как vax=—-0,7 с, а и2у=и2г=01 то из формул (9.26) следует,依о

/ =阡舞5 = —0,982 с, о；尸％2 =。и

un = —0,982 eV, т. е. [u2i| < с.

Формулы (9.26) позволяют легко объяснить опыт Физо, рассмотренный в § 9.2. Пусть система отсчета К неподвижна относительно Земли (лабораторная система отсчета), а система К' движется вместе с водой в трубке D* (см. рис. 9.2). Пусть, кроме того, оси ОХ и О'Х' обеих систем направлены вдоль вектора V скорости течения воды. Скорость света в воде, неподвижной относительно системы К] равна ^=с/п, где п ——абсолютный показатель преломления воды. Для луча / vfx^=zf =с!п,屯=玄=0, а для луча 2 о[=—и'=—с/м, %=%=0・ В лабораторной системе отсчета К абсолютные значения скоростей распространения лучей света / н 2 в воде, движущейся по трубке D“ равны

и= ±% = ±и= ±% = ±&+У c/n± V&+У c/n± V

и= ±% = ±

и= ±% = ±

&+У c/n± V

&+У c/n± V

по сравнению с едини-по сравнению с едини-В системе К свет отВ системе К свет от

по сравнению с едини-

по сравнению с едини-

В системе К свет от

В системе К свет от

с У(1")д' 一 1 土 V7(Gi)

где плюсы соответствуют первому лучу, а минусы — второму. Если,

как это было в опыте Физо, 『«с, то в знаменателе второго члена

можно пренебречь величиной 土 У/(см), малой цей. Поэтому приближенные значения у равны

U = g 土 1Z0T).

Как было показано в § 9.2, эта формула, совпадающая с формулой Лоренца (9.8), полностью объясняет экспериментальные данные, которые были получены Физо.

Рассмотрим истолкование явления годичной аберрации света (см. §3.5), даваемое в теории относительности. Будем, как и в § 3.5, предполагать, что в неподвижной системе отсчета К, скрепленной с звездой О (рис. 9.7), ось OZ, направленная к Земле — точке О', перпендикулярна вектору V скорости орбитального движения Земли.

звезды к Земле распространяется вдоль оси OZ со скоростью v=-v2—c. В системе К' скорость распространения этого луча света v'=〃i' + +и；『+暖к'. Значения 无，%、% и " найдем, воспользовавшись фор мулами (9.26):

% =—匕 ％ = 0, t)； = cj/1—(V/C)\ и = /о? + 以 + %2=с.

Таким образом, вектор v‘ лежит в плоскости X'OZ и образует с осью OZ' угол а, удовлетворяющий условию tga — VlVc^ — У2. Ввиду малости V7c н a sina^tga^V/c, т. е. релятивистская формула совпадает с классической формулой (3.27), использованной в § 3.5 для объяснения явления годичной аберрации света и нахождения скорости света по методу Брэдли.

Эффект Доплера в оптхке

Из гипотезы о существовании эфира, принятой в дорелятивистской классической физике, автоматически следовало, что для световых волн должен наблюдаться эффект Доплера, аналогичный эффекту Доплера в акустике. Если Vi и v2 ——скорости источника света и наблюдателя по отношению к эфиру, то частота v света,

воспринимаемая наблюдателем, и частота v0 монохроматического света, излучаемого неподвижным источником, должны быть связаны формулой (2.8):

〔+¥ cos 餘

v = v0—,(9.28)

1 -]— COS 赤i

где "1 н 曹2 —— углы, образуемые векторами vx и v2 с вектором R, соединяющим наблюдателя Н с источником света И (рис. 9 8).

Формулу (9.28) можно также записать в виде 丄

ИЛИ (при &1«С)ИЛИ (при &1«С)(1 V cos О v = v°|l――—(1 V cos О v = v°|l――—&J-…_]}, (9.28)&J-…_]}, (9.28)(9.28")(9.28")

ИЛИ (при &1«С)

ИЛИ (при &1«С)

(1 V cos О v = v°|l――—

(1 V cos О v = v°|l――—

&J-…_]}, (9.28)

&J-…_]}, (9.28)

(9.28")

(9.28")

1 4* -^- COS % Поэтому1 4* -^- COS % ПоэтомуV—VoV—Voуг cos 令 1 — dg cos %уг cos 令 1 — dg cos %coscos-—COS 7 +-—COS 7 +卜® cos 色[办 cos %. (卜os 9 J _卜® cos 色[办 cos %. (卜os 9 J _。1 COS 01 —u? cos %。1 COS 01 —u? cos %сс

1 4* -^- COS % Поэтому

1 4* -^- COS % Поэтому

V—Vo

V—Vo

уг cos 令 1 — dg cos %

уг cos 令 1 — dg cos %

cos

cos

-—COS 7 +

-—COS 7 +

卜® cos 色[办 cos %. (卜os 9 J _

卜® cos 色[办 cos %. (卜os 9 J _

。1 COS 01 —u? cos %

。1 COS 01 —u? cos %

с

с

где V — модуль вектора V=vi—v3 скорости источника света по отношению к наблюдателю, а 心一угол между векторами V и R. Вели-

1 По формуле бинома Ньютона,

=(1 + ~ COS 办 1) 1 = 1^-COS 51+ (-^- cos ®i)* —

Это выражение для v совпадает с (9 28), так как %cos办】一Уа cos b^V cos ©.

чина Vcos^ представляет собой скорость удаления источника света от наблюдателя или приближения к нему вдоль соединяющей их прямой, т. е. вдоль луча зрения. Поэтому она называется лучевой скоростью источника света.

Из формул (9.28') и (9.28") видно, что при обычных скоростях Р«с отличие V от v0 должно быть очень небольшим. Поэтому долгое время не удавалось экспериментально доказать существование эффекта Доплера в оптике. Впервые это было сделано в опытах русского астронома А. А. Белопольского (1905) и подтверждено с помощью значительно более точных опытов Б. Б. Голицыным (1907).

В своих опытах Белопольский пользовался установкой, основным элементом которой были два параллельных плоских зеркала а и & (рис. 9.9), двигавшихся вдоль нормали к их поверхностям со скоростями va и v& равными по модулю, но взаимно противоположными по направлению (v&=—v&). Луч монохроматического света от

неподвижного источника S падал под углом г на зеркало b и после 2п отражений от зеркал попадал в спектрограф. Можно считать, что отраженные лучи /, 2, 3, . •・,2自 выходят из соответствующих им фиктивных «источников» 5Ь §2，'з, • • -, 52д, излучающих свет той же частоты р。, что и источник S. Из правила построения _изобра- жения в плоском зеркале следует, что S】一мнимое изображение S в зеркале*Ь, S2— мнимое изображение Si в зеркале а и т. д. Точки S, S】,5а, S3, . . ., 8目口 лежат на одной оси ОХ, пер пен ди кул яр ной отражающим поверхностям зеркал. Координаты *i，*2，* ■ •» *з口 тоНек St, S2l . . ., SZn легко найти, зная координаты х0, хл и хь источника S и зеркал.

% =冲 + (办—х0) = 2х&—х0,

力 2 ~ ^а (”1%) = 2*а2修 + Xq,

х3 — хь + (郁一力 2) = 4必—2%—ХО,

х^п=2пха—2пХь+Ч-

При движении зеркал вдоль оси ОХ в направлениях, показанных на рис. 9.9, координаты xa и x& изменяются: -^-=n и 飞丁齐一v, где ^=1 va|=|vb|* Поэтому точки 5卜 S2> • * -, 53д также перемещаются вдоль оси ОХ. «Источник» света, падающего на спектрограф,一точка S2n — движется относительно спектрографа со скоростью V— v3n, которая совпадает по направлению с вектором va и равна по модулю 展警=2"警一醬)=4w

Угол л—® между вектором V и лучом 2п равен углу £ падения света на зеркала. Благодаря большому числу отражений света от движущихся зеркал Белопольскому удалось получить скорость Уда! км/с и наблюдать эффект Доплера, согласующийся с формулой (9.28"):

▲V cos 94砌 cos t

Av =V — Л?о= —■ Vq с —=c“一 - Л?о・

В теории относительности получается следующая формула для эффекта Доплера в оптике:

v = v0v = v01 +В cos 3 '1 +В cos 3 '(9.29)(9.29)

v = v0

v = v0

1 +В cos 3 '

1 +В cos 3 '

(9.29)

(9.29)

где р=У/с, V — скорость источника света относительно наблюдателя н 心一угол между V и направлением наблюдения, измеренный в системе отсчета, связанной с наблюдателем.

При небольших скоростях，«с

V。pi —修 %, R'k^. ^ 1 —Р cos8

и релятивистская формула (9.29) совпадает с классической формулой (9.28"). Однако между точными формулами (9.28') и (9.29) классической и релятивистской теории эффекта Доплера имеются принципиальные различия. Во-первых, в классической теории в отличие от релятивистской отношение v/v0 зависит не только от числового значения и направления скорости V источника света по отношению к наблюдателю, но также от числового значения и направления скорости Vi источника света по отношению к эфиру.

Во-вторых, из формулы (9.28') следует, что при движении источника по отношению к наблюдателю в направлении, перпендикулярном линии наблюдения (9=л/2), эффект Доплера должен отсутствовать: v=v0. Теория относительности приводит к иному выводу — при ■&=л/2 должен наблюдаться так называемый поперечный эффект Доплера:

V = v0 /Т=р « v0 (1-PV2) < Vo. (9.30)

Этот эффект является чисто релятивистским. Он обусловлен замедлением хода времени в движущейся системе отсчета. В самом деле, соотношение (9.30) непосредственно следует из формулы (9.22), если под т и То понимать значения периода колебаний излучающих электронов в атомах источника света, измеренные в системе отсчета наблюдателя (r=l/v) и в движущейся относительно нее системе отсчета источника света(То=1/*о)・

Как видно из формулы (9.30), поперечный эффект Доплера зависит от Р2, т. е. при малых В является эффектом второго порядка малости по сравнению с классическим эффектом, зависящим от 0. Поэтому экспериментальная проверка существования поперечного эффекта Доплера связана с большими трудностями. Впервые такой опыт был осуществлен в 1938 г. американскими физиками Г. Айвсом и Д. Стилуэллом. Результаты опытов Айвса и Стилуэлла полностью

согласовались с релятивистской теорией эффекта Доплера и тем самым явились еще одним экспериментальным подтверждением справедливости специальной теории относительности.

Непосредственно обнаружить поперечный эффект Доплера путем измерения частоты света, излучаемого в направлении 0=л/2 движущимся источником, практически невозможно из-за неизбежных в любом опыте погрешностей А® в определении угла 仇 Действительно, уже при ^=л/2+р/2 cos^«—р/2 и, по формуле (9.29), 1一评/2。工工

2 = ^0 q干 8 с。； и * Vo”—俨/2 =^0, т* е, попеРечныи эффект полностью маскируется классическим. Поэтому Айвс и Стилуэлл поступили следующим образом. Они исследовали с помощью спектрографа длины волн % излучения пучка атомов водорода； двигавшихся с одинаковыми скоростями V порядка 2*10б м/с. Измерения производились одновременно для двух взаимнопротнвоположных направлений наблюдения — вдоль скорости пучка (^―0) и -навстречу ей (办2=冗)・

Из формулы (9.29) следует, что теоретические значения Xj и Х2 должны быть связаны с длиной волны Хо света, излучаемого неподвижными атомами, следующими соотношениями:

，Т^ i。Ji^F н М=%。丿T^r，Т^ i。Ji^F н М=%。丿T^r

，Т^ i。Ji^F н М=%。丿T^r

，Т^ i。Ji^F н М=%。丿T^r

так что среднее значение

一九1 +九2 _лср —2—一九1 +九2 _лср —2—"。0+%)。"。0+%)。

一九1 +九2 _

лср —2—

一九1 +九2 _

лср —2—

"。0+%)。

"。0+%)。

Легко видеть, что отличие Хср от 入°, так же как и поперечный эффект Доплера, обусловлено членом М1 ——р2 в релятивистской формуле (9.29). Измерения, выполненные Айвсом и Стилуэллом для зеленой линии видимого спектра водорода (尤=5861 А), показали, что при различных значениях § величины ДХ~Хср—А0> найденные из опыта, согласуются с теоретическими, равными — Х0р2. Тем самым была экспериментально подтверждена справедливость формулы (9.29) и доказано существование поперечного эффекта Доплера.

Эффект Доплера широко используется в астрономии, радиолокации и других областях науки и техники. На основании доплеровского смещения линий поглощения в спектрах звезд и туманностей, т. е. отличия V от v0, можно определять лучевые скорости движения звезд и туманностей по отношению к Земле. Точно так же по изменению частоты сигнала радиолокатора при отражении от какой- либо цели можно найти лучевую скорость этой цели.

Вращение источника света вызывает доплеровское уширение спектральных линий, так как разные точки такого источника обладают разными лучевыми скоростями. Следовательно, с помощью эффекта Доплера можно исследовать вращение небесных тел. Хаотическое тепловое движение атомов светящегося газа также вызывает уширение линий в его спектре, которое возрастает с увеличением скорости теплового движения, т. е. с повышением температуры газа. Это явление можно использовать для определения температуры раскаленных газов.

Понятие о релятивистской динамике

Из принципа относительности следует, что математическая запись любого закона физики должна быть одинаковой во всех инерциальных системах отсчета. Это означает, что уравнения, описывающие какое-либо явление в системе отсчета К', получаются мз уравнений, описывающих то же самое явление в системе отсчета К путем простой замены в последних всех нештрихованных величин, т. е. измеренных в системе К, на штрихованные, т. е. измеренные в системе К'. Указанное условие называется условием ковариантности уравнений физических законов относительно преобразования Лоренца. Основной закон классической динамики Ньютона для материальной точки

血穿=F, или 备 gv) = F,

в котором масса т точки считается постоянной и одинаковой во всех инерциальных системах отсчета, оказывается нековариантным по отношению к преобразованию Лоренца. Следовательно, он не может служить основой релятивистской динамики.

м?4м?4Эйнштейн показал, что масса одного и того же тела не одинакова в двух инерциальных системах отсчета, движущихся '-друг относительно друга. Это

м?4

м?4

связано с тем, что масса т тела зависит от числового значения v скорости движения тела 工 относительно инерциальной системы отсчета:

*『(9.31)

где /Ио— масса рассматриваемого тела при у—0, т. е. измеренная в инерциальной системе отсчета, относительно которой это тело неподвижно. Ее называют массой покоя тела, ат ——массой движущегося тела, или его релятивистской массой.

Ход зависимости т/т0 от и/с по формуле (9.31) показан на рис. 9.10. Отношение 向恤 заметно отличается от единицы только при скоро* стях и, близких к с ^при ^-<0,5 ^-< 1,15^. Формула (9.31) полностью согласуемся с экспериментальными данными для заряженных частиц, движущихся со скоростями, близкими к скорости света в вакууме (см. т. П, § 1&4, 18.5).

1 Здесь и всюду в дальнейшем предполагается, что тело движется поступательно,

Зависимость (9.31) можно получить, исходя из предположения о том, что в релятивистской механике выполняется закон сохранения импульса: при любых процессах, происходящих в замкнутой системе, ее полный импульс не изменяется. Одновременно можно доказать, что из закона сохранения импульса следует закон сохранения релятивистской массы: при любых процессах, происходящих 6 замкнутой системе, ее полна兔 релятивистская масса не изменяется.

Рассмотрим абсолютно неупругнй прямой центральный удар двух совершенно одинаковых тел, образующих замкнутую систему. Пусть в инерциальной системе отсчета К тело / (рис. 9.11) движется вдоль оси ОХ со скоростью \\, а тело 2 покоится

(v2=0). После удара оба тела движутся со скоростью и. В соответствии с законом сохранения импульса

т (口I % = М (и) и, или

т (t/J иг = М (и) и,(а)

где т (с?) — релятивистская масса тела 7, движущегося со скоростью и】,а М (“)— общая релятивистская масса тел / и 2, движущихся после удара со скоростью и. Скорость и направлена так же, как и Vj, т. е. вдоль положительного направления оси ОХ. Следовательно,

Uj^ — tZ, пУ й1 我z =2°*(6)

Рассмотрим процесс удара тех же тел в двух других инерциальных системах отсчета К' и №, которые, как показано на рис. 9.11, движутся относительно системы К соответственно вдоль оси ОХ со скоростью V】и вдоль оси ОУ со скоростью V.

В системе К' до удара тело / покоилось (vi—0), а тело 2 двигалось вдоль оси U'X' со скоростью V2——V£ [это значение скорости V2 легко получить из формул (9,26), где У=и力 а。乡为нр2у=?22=0]. Таким образом, состояние доижевия тел перед ударом в системе К отличается от состояния их движения в системе К только тем, что тела поменялись скоростями и изменили направления своего движения на противоположные- Поэтому очевидно, что скорость 口‘ тел после удара в системе К' должна быть равна скорости и и противоположна ей по направлению: «'=—и. Из формул (б) следует, что проекции и' на оси координат системы К' соответственно равны 〃；=——〃； 〃"=〃z=°・ С другой стороны, из формул (б) и (9.26), где V—v1( вытекает, что

*5 =〃一近

* — 1 一…Jc* —1—卽Jc* •

Таким образом, — и =『н

2u八

V^ + (ulc)i'(в)

Подставив это значение ^ в уравнение (а) и сократив на 〃，полупим

2ffle1) = " + 3/с)Т М (и).(г)

Для нахождения Связн М (и) с т(и0 и т(О)—/по рассмотрим удар тел в системе отсчета К". По закону сохранения импульса,

m位)v\十加(嗡vZ = M (〃")iT・

В проекции на ось О'У" это уравнение имеет вид

m (и；) и；у + 加(© &н Л1 (н")涼*(д)

7 А. А. Детлаф« В. М・ Яворский —193

Для нахождения проекций скоростей v；,v；h и" на оси системы К" воспользуемся релятивистскими формулами преобразования скоростей прн переходе от системы отсчета К к системе отсчета К":

/， ％%一у иh二而孑/， ％%一у иh二而孑

/， ％%一у иh二而孑

/， ％%一у иh二而孑

Этн формулы отличаются от (9.26) только перестановкой местами индексов * и у. Необходимость такой перестановки связана с тем, что система отсчета К" движется относительно К вдоль оси 0Yt а не оси ОХ, как это предполагалось при выводе формул (9.26).

ПОСКОЛЬКУ Vlx~Vlt Uig = Diz = 0, ЩХ^^у^^2 = ^^ 我#=我 и 〃g = 〃z=0, то из формул (е) следует, что

Vix=Vi У^ 1 — (У/е)2, viy ——匕 uiz = 0, ”=丿 龙(1—V2/c2)^V2;成:=或z=0, &/=一匕 s=匕

心=我 pi二晔凡 必=一匕 и； = 0, /=/VR-v^/c2)+ v4

После подстановки этих значений в уравнение (д) получим

m(/電(1一尸/尚+ 1/2)+m例=M (/*7匸f7硏干阵).

Это равенство является выражением закона сохранения релятивистской массы. При его выводе мы не делали никаких предположений относительно величин входящих в него скоростей. Следовательно, оно должно выполняться, в частности, и при V = 0:

m (yJ + ^o^ Л1 (и).(ж)

Это равенство показывает, что в системе отсчета К сумма релятивистских масс соударяющихся тел до удара равна сумме их релятивистских масс после удара.

Подставив значение М (и) из (ж), в (г) и выполнив несложные преобразования, получим

°1-(«/С)2° У 口—(〃/С)2]24(〃/С)е

У п+(〃/с户产

откуда на основании соотношения (в) следует искомая формула зависимости релятивистской массы тела от скорости его движения:

Н-(°1/с 产

Основное уравнение релятивистской механики имеет вид

F，или(9.32)

肛 F,(9.32，)

где

p-m%戸*（乱32〃）

—Импульс тела в релятивистской механике.

Можно показать, что уравнение (9.32) ковариантно относительно преобразования Лоренца, если принять, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой компоненты силы F вдоль осей координат преобразуются по определенному закону.

При малых скоростях движения тела (d《c) m^/n0== const и релятивистское уравнение (9.32) совпадает с основным законом ньютоновской механики: zn# = F, а импульс тела является линейной функцией его скорости： p-=mov=mv.

У всех тел масса покоя /и0>*0. Поэтому, как видно из формул (9.31) и (9.32"), релятивистская масса и импульс тела должны неограниченно возрастать при стремлении скорости тела к скорости света в вакууме. Все реальные силы конечны по величине, а их действие на тело ограничено во времени. Они не могут сообщить телу бесконечно большой импульс. Следовательно, скорость тела по отношению к любой инерциальной системе отсчета не может равняться скорости света в вакууме^ а всегда должна быть меньше ее. Этот вывод справедлив также для атомов, молекул и всех элементарных частиц, за исключением фотонов, нейтрино и антинейтрино, у которых масса покоя /ио=О, а скорость не может отличаться от с.

Найдем выражение для кинетической энергии материальной точки в релятивистской механике. Приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе, совершаемой на этом перемещении силой F, действующей на точку:

dH7K = Fdr, или dU7K = Fvd/, (9*33) поскольку dr—vdt, где v — скорость точки.

Из основного уравнения релятивистской динамики (9.32) следует

~ Н —旧炉 Н 十 с"「一е/с)2]3/2 Н V・

Поэтому dWK —Поэтому dWK —^0р4и7 cB^0р4и7 cB小而喘产W.小而喘产W.

Поэтому dWK —

Поэтому dWK —

^0р4и7 cB

^0р4и7 cB

小而喘产W.

小而喘产W.

Так как vdv=udo и vv—v\ то

С другой стороны, как видно из формулы (9.31), jfnavdv

"=С2 口― ®/с 用 3/2 *

Таким образом, при изменении скорости материальной точки изменения ее кинетической энергии и релятивистской массы пропорциональны друг другу:

dWK =c*dm.

Кинетическая энергия покоящейся точки ®=0) равна нулю, а ее релятивистская масса равна т^ Поэтому, проинтегрировав уравнение (9・33‘)по WK от 0 до FK и по иг от иг。до иг, получим

^к = з4—恤 d = т^ н[貝и而 1 ] * (9.34) По формуле бинома Ньютона,

Если и«& то можно ограничиться первыми двумя членами этого ряда- В этом случае

%=%С喔偿)'呼。 (9。34')

Таким образом, при малых скоростях движения материальной точки ее кинетическая энергия, вычисленная по релятивистской формуле (9.34), совпадает с обычным выражением (9.34') этой энергии в ньютоновской механике. Однако при больших скоростях движения кинетическая энергия материальной точки WK= {т—团/度 отлична и от m0v2/2, и от 加。2/2. Очевидно, что формулы (§.33‘) и (9.34) справедливы также для системы материальных точек (например, твердого тгла), движущихся как одно целое со скоростью v,

FFС помощью соотношений (9.33) и (9.33') можно преобразовать уравнение (9.32) и найти в явном виде связь между ускорением материальной точки a = и вызывающей его силой F:

F

F

“ с2

Таким образом, F Fv

Из этого уравнения видно, что ускорение а совпадает по направлению с вызываю* щей его силой F только в двух случаях:，

f J_ V (поперечная снла), так что Fv=0 и

т团0

F||v (продольная сила), так что

Fv .1-е/с), (1-(у/с)2]3^ _

Легко видеть, что поперечная сила сообщает материальной точке большее ускорение, чем продольная сила, равная ей по модулю* Эти релятивистские закономерности необходимо учитывать, напрймер, при расчетах линейных и циклических ускорителей заряженных частиц.

Из формулы (9.34) следует, что при сообщении телу кинетиче- кой энергии 外 его релятивистская масса возрастает на величину

Д/п = т—m0 = Wjc2.

Однако известно, что при различных процессах, происходящих в природе, одни виды энергии тела могут преобразовываться в другие. Например, кинетическая энергия тела преобразуется во внутреннюю энергию. Поэтому естественно ожидать, что релятивистская масса тела должна возрастать не только при сообщении ему кинетической энергии, но и при любом увеличении его полной энергии W независимо от того, за счет какого конкретного вида энергии тела это увеличение произошло. В качестве примеров, подтверждающих

справедливость такого предположения, рассмотрим абсолютно неупругий и абсолютно упругий прямой центральный удары двух совершенно одинаковых тел, свободно движущихся навстречу друг другу со скоростями V и —v. Пусть до удара масса покоя каждого из тел равна т0. Тогда сумма их релятивистских масс перед ударом:

2m =2m =M匸丽i 一2恤+*M匸丽i 一2恤+*

2m =

2m =

M匸丽i 一2恤+*

M匸丽i 一2恤+*

где 吃一кинетическая энергия каждого из тел.

После абсолютно неупругого удара тела останавливаются. При этом их кинетическая энергия 2% =2 (/л—m0)c2 преобразуется во

внутреннюю энергию тел, причем в соответствии с законом сохранения энергии приращение внутренней энергии каждого тела At/=UZK. Система соударяющихся тел является замкнутой, поэтому сумма релятивистских масс тел, покоящихся после удара, должна быть такой же, как и до удара, т. е. равной 2т, Следовательно, в результате удара масса покоя каждого из тел возрастает на величину дт =也=丝

Однако такое же увеличение внутренней энергии и массы покоя

тела можно осуществить путем непосредственного нагревания неподвижного тела.

При абсолютно упругом ударе рассматриваемых тел следует различать две стадии. На первой стадии, начинающейся с момента соприкосновения тел и заканчивающейся в момент их полной остановки, происходит преобразование кинетической энергии этих тел в потенциальную энергию их упругой деформации. На второй стадии потенциальная энергия вновь преобразуется в кинетическую энергию тел, отскакивающих друг от друга после удара- Путем рассуждений, аналогичных приведенным выше, легко показать, что в момент остановки тел релятивистская масса каждого из них равна 加()+发, где Wn ——потенциальная энергия упруго деформированного тела.

Подобные примеры можно было бы продолжить. Однако в этом нет необходимости, так как во всех случаях получается один и тот же результат; если полная энергия W тела (или системы тел) увеличивается на dWt то релятивистская масса m этого тела (или системы) возрастает па величину

dm=dWd.

Интегрируя это уравнение, находим универсальное соотношение: W=mc2.(9.35)

Уравнение (9.35) выражает один из важнейших законов природы —закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии:

т)Ана丸 знераи凡 системы равна произведению ее полной релятивистской массы на квадрат скорости света 6 вакууме.

Из формул (9.35) и (9.32") легко найти релятивистскую зависимость между полной энергией тела (или частицы) и его импульсом:

W2 = /nW =1r =死с& + 咆 2 j’ —力位 4 + m2y2c2 = zn 紀 & + p%2； 1一*

т. e.

步=)/尸合+诉吟(9.36)

где m0 — масса покоя тела (частицы). При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой скорость тела, его релятивистская масса, импульс и полная энергия изменяются. Однако, как видно из уравнения (9.36), разность W2—р2с2~т^с1 инвариантна относительно преобразования Лоренца, т. е.} подобно интервалу между двумя событиями, одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Полная энергия

Wo=fnocz(9.37)

тела, неподвижного относительно системы отсчета, называется энергией покоя тела. Энергию покоя свободной частицы обычно называют ее собственной энергией.

Легко видеть, что энергия покоя 叭 свободного твердого тела или любой другой системы взаимодействующих частиц (например, молекулы, атома, атомного ядра), обладающей некоторой прочностью, не равна сумме собственных энергий m0ic2 всех частиц, входящих в состав этой системы. Для расщепления такой системы на ее составные части (например, ядра — на свободные протоны и нейтроны, атома — на электроны и ядро и т. д.) необходимо совершить определенную работу А против сил сцепления между частицами. Поэтому на основании закона сохранения энергии

君 m0^ = W0 + A, или «70= 5 moi^~^WCb,(9.37，)

у 1i= 1

где А取2=4 >0 — энергия связи системы, определяющая степень ее прочности.

Соответственно масса покоя системы т0 меньше суммы масс покоя всех ее частиц в свободном состоянии:

то — £ 出=一 "^5 < 0・(9.37")

Закон взаимосвязи массы и энергии был надежно подтвержден многочисленными экспериментами в ядер ной физике. Предсказываемые на его основе энергетические эффекты различных ядерных реакций и превращений элементарных частиц находятся в точном согласии с результатами экспериментов. На этом вопросе мы остановимся подробнее ниже,

В зарубежной физической и философской литературе соотношение (9.37") часто рассматривается как доказательство возможности

«преобразования массы в энергию» и, наоборот, «энергии в массу》， причем релятивистская масса тела отождествл я ется с количеством содержащейся в нем материи. Таким путем «доказывается» «эквивалентность материи и энергии», т. е. возрождается одна из разновидностей идеализма — энергетизм. Энергетизм отрывает движение от материи. Сокрушительная критика энергетизма была дана В. И. Лениным еще в 1908 г. в его книге «Материализм и эмпириокритицизм». В. И. Ленин показал полную несостоятельность попыток обоснования энергетизма путем ссылок на новейшие достижения естествознания. Столь же несостоятельны ссылки и на теорию относительности. Во- первых, нет никаких оснований для отождествления релятивистской массы тела с количеством содержащегося в нем вещества: при увеличении скорости тела количество вещества в нем не изменяется, а его релятивистская масса возрастает Во-вторых, ни соотношение (9.37"), ни один из известных опытных фактов не подтверждают возможности «перехода массы в энергию». На самом деле возможность такого «перехода» полностью исключается законом взаимосвязи массы и энергии, из которого следует, что в замкнутой системе одновременно должны выполняться и закон сохранения энергии, и закон сохранения релятивистской массы. Превращения энергии системы из одной формы в другую сопровождаются превращениями ее массы. Однако при этом масса не «переходит в энергию», а преобразуется из одной формы массы (например, массы покоя) в другую форму массы (например, массу электромагнитного излучения).

Столь же беспочвенны попытки обоснования с помощью теории относительности другой разновидности идеализма —философского релятивизма, утверждающего, что все наши знания целиком условны и субъективны, т. е. не отражают закономерности объективного мира —— «все зависит от выбора точки зрения наблюдателя». Тем самым релятивисты не только отрицают возможность познания объективных законов природы, но и ставят под сомнение само их существование.

Теория относительности действительно показала, что многие физические характеристики тел и процессов (например, линейные размеры тела, его релятивистская масса, продолжительность процесса и т. д.), считавшиеся прежде абсолютными, неизменными свойствами самих тел и процессов, являются относительными. Их числовые значения в двух инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, не одинаковы. Однако эти результаты, парадоксальные с точки зрения классической физики, не имеют ничего общего с релятивизмом. Они обусловлены объективными свойствами окружающего нас мира. Главный вывод, к которому приводит теория относительности, состоит в том, что пространство 〃 время органически взаимосвязаны и образуют единую форму существо8aHия материи —проспграистбо-бремя. Именно поэтому пространственно-временной интервал между двумя событиями абсолютен (одинаков во всех инерциальных системах отсчета), тогда как взятые порознь пространственный и временной промежутки между этими событиями относительны.

Часть VH

ОСНОВЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ

Глава X

ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Тепловое излучение

Тела, нагретые до достаточно высокой температуры, приобретают способность светиться. Например, раскаленные жидкие или твердые тела испускают белый свет, обладающий сплошным спектром частот. По мере понижения температуры тела не только уменьшается интенсивность его излучения, ио и изменяется спектральный состав излучения. В нем все сильнее обнаруживается преобладание длинных волн (красных и инфракрасных). При дальнейшем охлаждении тела излучение им видимого света вообще прекращается 一 тело испускает лишь невидимые глазом инфракрасные лучи.

Электромагнитное излучение, возникающее за счет внутренней энергии излучающего тела и зависящее только от температуры и оптических свойств этого тела, называется тепловым излучением. Если энергия, расходуемая телом на тепловое излучение, не восполняется за счет соответствующего количества теплоты, подведенного к телу, то его температура постепенно понижается, а тепловое излучение уменьшается.

Тепловое излучение — единственное, способное находиться в термодинамическом равновесии с веществом. Такое излучение, называемое равновесным излучением, устанавливается в адиабатически замкнутой (теплоизолированной) системе, все тела которой находятся при одной и той же температуре. При равновесии энергия, расходуемая каждым из тел системы на тепловое излучение, компенсируется путем поглощения этим телом такого же количества энергии падающего на него излучения.

Спектральной характеристикой теплового излучения тела служит его испускательная способность, называемая также спектральной плотностью энергетической светимости тела, которая равна

”需， (10.1)

где d/нал — энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени с единицы площади поверхности тела в интервале частот от V до v+dv. Таким образом, испускательная способность тела численно равна мощности излучения с единицы площади поверхности этого тела в интервале частот единичной ширины. Из фор-

l 200

мулы (10.1) видно, что в СИ rv выражается в джоулях на квадратный метр (Дж/м2).

=d 取口 ОГЛ=d 取口 ОГЛСпектральной характеристикой поглощения электромагнитных волн телом служит поглощательная способность тела (монохроматический коэффициент поглощения тела)

=d 取口 ОГЛ

=d 取口 ОГЛ

(10.2)

показывающая, какая доля энергии dWt доставляемой за единицу времени на единицу площади поверхности тела падающими на нее электромагнитными волнами с частотами от v до v+dv, поглощается телом. Очевидно, что av — величина безразмерная.

Опыты показывают, что испускательная и поглощательная способ

ности твердого тела зависят от частоты v соответственно излучаемых

Рис. 10.1Рис. 10.1от частоты V изот частоты V изи поглощаемых волн, температуры тела, его химического состава и состояния поверхности.

Рис. 10.1

Рис. 10.1

от частоты V из

от частоты V из

Тело называется абсолютно черным, если оно при любой температуре полностью поглощает всю энергию падающих на него электромагнитных волн независимо от их частоты, поляризации и направления распространения, ничего не отражая и не пропуская. Следовательно, поглощательная способность абсолютно черного тела тождественно равна единице: ^еРн=1.

Испускательную способность абсолютно черного тела будем обозначать через 『；.Она зависит только

лучения и абсолютной температуры Т тела.

Все реальные тела не являются абсолютно черными. Однако некоторые из них в определенных интервалах частот близки по своим

свойствам к абсолютно черному телу. Например, в области частот видимого света поглощательные способности сажи, платиновой черни и черного бархата мало отличаются от единицы. Наиболее совершенной моделью абсолютно черного тела может служить небольшое отверстие О в непрозрачной стенке замкнутой полости (рис. 10.1). Луч света, попадающий внутрь полости через отверстие О, претерпевает многократные отражения от стенок полости, прежде чем он выйдет из полости обратно. При каждом отражении происходит частичное поглощение энергии света стенками. Поэтому независимо от материала сте

нок интенсивность луча света, выходящего из полости через отверстие О, во много раз меньше интенсивности падающего извне первичного луча. Очевидно, что отверстие тем ближе по своим свойствам к абсолютно черному телу, чем больше отношение площади поверхности полости к площади отверстия.

Рассмотренная нами модель абсолютно черного тела позволяет легко понять, почему узкий вход в пещеру или открытые окна домов снаружи кажутся зияюще черными, хотя внутри пещеры около входа или внутри комнат дома достаточно светло из-за отражения дневного света от стен. По той же причине шероховатые ткани с большим ворсом обладают большей поглощательной способностью, чем гладкие.

Испуская электромагнитные волны, а также частично поглощая падающие на них волны, тела способны обмениваться энергией. Этот самопроизвольный процесс передачи энергии в форме теплоты от более нагретого тела к менее нагретому называется теплообменом путем излучения или радиационным теплообменом. Теплообмен излучением в отличие от теплообмена путем конвекции и теплопроводности может осуществляться между телами, находящимися не только в какой-либо среде, но и в вакууме.

Рассмотрим теплоизолированную систему тел, находящихся в состоянии термодинамического равновесия. Температуры всех тел такой системы одинаковы и не изменяются с течением времени, а их излучение —равновесное. Следовательно, для любого тела энергия 取нзп, излучаемая за единицу времени с единицы площади поверхности, должна быть равна энергии 取口。「口, поглощаемой за то же время этим участком поверхности тела за счет падающего на него излучения:

^изл ~ ПОГЛ' (10.3)

Нарушение условия (10.3) противоречит второму закону термодинамики (см. т. I, § 12.3). В самом деле, если например, 1ГИЗЛ>1ГПОГЛ1)то рассматриваемое тело охлаждается, а за счет этого какие-то другие тела системы нагреваются. Поскольку вначале температуры всех тел системы были одинаковы, температура охлаждающегося тела должна стать меньше температуры нагревающихся тел системы. При 1ГИЗЛ< < М^погл соотношение температур будет обратным. Таким образом, при 步нзп* 必пот удалось бы осуществить процесс (теплообмен излучением), единственным результатом которого была бы передача энергии в форме теплоты от холодного тела к более нагретому. Второй закон термодинамики исключает возможность такого процесса.

Из (10.3) следует, что при равновесном излучении выполняется правило Прево: если два тела поглощают разные количества энергии^ то “ излучение у 尤〃х тоже должно быть различным.

В уравнении (10.3) 取血兀 н 步取心 характеризуют интегральное излучение и поглощение единицы площади поверхности тела, т. е. осуществляемое в области всех возможных значений частот электромагнитных волн от 0 до оо. Окружим рассматриваемый элемент поверхности тела фильтром, который абсолютно прозрачен для волн с частотами от v до v+dv и полностью отражает волны с частотами, меньшими V и большими v+dv. Тогда с помощью рассуждений, аналогичных приведенным выше, мы получим следующее дифференциальное соотношение для теплового излучения:

dWa3^dWn^ (Ю.4)

где dWw3^ и d取“от ——энергия, соответственно излучаемая и поглощаемая единицей площади поверхности тела за единицу времени в интервале частот от v до v+dv.

Примером равновесного излучения может служить излучение замкнутой оболочки, окруженной снаружи абсолютно теплонепроницаемой изоляцией. Электромагнитное поле излучения оболочки полностью локализовано в объеме полости. Между оболочкой и полем ее излучения устанавливается термодинамическое равновесие: энергия, излучаемая каждым элементом поверхности оболочки за единицу

времени, равна энергии, передаваемой полем излучения этому элементу за то же время. Основываясь на втором законе термодинамики, можно показать, что объемная плотность w энергии поля одинакова во всех точках полости и полностью определяется температурой оболочки. Иначе говоря, при одной и той же температуре значения w для замкнутых полостей с любыми оболочками и для полости с абсолютно черной оболочкой должны быть одинаковыми. Поэтому равновесное излучение в замкнутой полости называют черным излучением. Испускательная способность г* абсолютно черного тела и объемная плотность энергии поля черного излучения связаны соотношением

■窑=★w，7)，(I。/‘)

Здесь d侬——энергия поля черного излучения в интервале частот от V до v+dv, приходящаяся на единицу объема поля, а

P(v> Т)=罂

—функция частоты и температуры, характеризующая распределение энергии черного излучения по частотам и называемая спектральной

плотностью энергии черного излучения.

Рис. 10.2Рис. 10.2Испускательная и поглощательная способности непрозрачного тела взаимосвязаны. Для отыскания этой связи рассмотрим теплоизолированную систему, состоящую из двух бесконечно длинных пластин а и b (рис. 10.2), которые могут обмениваться энергией в форме теплоты только друг с другом, так как их внешние поверхности покрыты идеальной тепловой изоляцией. Пусть внутренняя поверхность пластины а абсолютно черная, а испускательная и поглощательная способности внутренней поверхности пластины b равны rv и av. Если в рассматриваемой системе установилось термодинамическое равновесие, то температуры обеих пластин одинаковы и равны Т, а излучение пластин —— равновесное. Поэтому можно воспользоваться соотноше

Рис. 10.2

Рис. 10.2

нием (10.4), записанным для единицы площади поверхности пластины Ь. Из формул (10.1) и (10.2) следует, что

(10.5)(10.5)dWa3jl = rvdv и dWnorjl = avdW.

(10.5)

(10.5)

Из условия симметрии очевидно, что энергия dW электромагнитного излучения в интервале частот от v до 旷十孔 падающего за единицу времени на единицу площади пластины Ь, равна энергии, излучаемое за то же время и в том же интервале частот единицей площади абсолютно черной поверхности пластины а. Собственное излучение пластины b в dW учитывать не нужно, так как оно может вновь возвратиться к пластине b только после отражения от пластины а, Однако абсолютно черная поверхность а полностью поглощает падающее на нее излучение, ничего не отражая. Таким образом,

dW r^dv и dWn(y^ = avr^dv. (10.6)

Подставив в (10.4) выражения (10.5) и (10.6) для dWK33l и dWaQT3l, получим

rvdv^avrZdv, или

昂時(Ю.7)

Таким образом, мы доказали, что отношение испускательной способности тела к его поглощател ьной способности не зависит от материала тела и равно испускательной способности абсолютно черного тела, являющейся функцией только температуры и частоты.

Этот закон теплового излучения впервые был установлен Г. Кирхгофом (1895) и носит название закона Кирхгофа в диффренециальной форме, а зависимость г； от v я Т называется функцией Кирхгофа. Из закона Кирхгофа следует, что тело, которое при данной температуре Т не поглощает излучение в каком-либо интервале частот от v до v+rfv (4=0), не может при температуре Т и излучать в этом интервале частот (々=/г；=0). В то же время если поглощательная способность тела «V близка к 1, то это вовсе еще не означает, что испускательная способность rv тела велика. Например, при комнатной температуре тело, которое покрыто слоем красной краски, сильно поглощает зеленый свет. Однако оно не излучает этот свет, так как при комнатной температуре абсолютно черное тело его тоже практически не излучает:

个^0 н г*=а“；^0・

Подчеркнем, что по г лощател ьн а я способность тела не может быть больше единицы. Поэтому испускательная способность rv любого тела не может превосходить испускательную способность г； абсолютно черного тела при тех ж е значениях абсолютной температуры Т и частоты V.

В теории теплового излучения наряду с понятием абсолютно черного тела часто пользуются другой идеализированной моделью реальных тел ——серым телом. Тело называется серым, если его поглощательная способность одинакова для всех частот и зависит только от температуры, материала и состояния поверхности:

〃$ер = дсер.

Во многих случаях необходимо знать полную мощность теплового излучения с единицы площади поверхности тела во всем интервале частот от 0 до оо. Эта величина R&, называемая энергетической светимостью тела или его интегральной испускательной способностью, связана с 入 соотношением

凡=，％dv,(10.8)

о

или на основании закона Кирхгофа (10.7)

& =，研諷(10.9) о

Для серого тела

& = асер J r^dv = a^R^,(10.10)

где

R； =，^dv(10.11)

о

——интегральная испускательная способность абсолютно черного тела, зависящая только от его температуры Т.

Уравнение (10.10) выражает закон Кирхгофа в интегральной форме для серых тел. Из него следует, что при данной температуре сильнее излучают те серые тела, которые обладают большей поглощательной способностью.

Реальное тело может быть близко по своим свойствам к серому телу лишь в сравнительно небольших интервалах частот излучения. Однако и в этом случае интегральную испускательную способность тела 欠④ часто записывают в форме, аналогичной (10.10):

Rs = aR；・(10.12)

Безразмерный коэффициент а называется коэффициентом черноты тела. В со отвегствии с формулами (10.9) и (10.11)

\ av「；dvа=-^ (10 13)

,dv о

и зависит от температуры тела, его материала и состояния поверхности. Поглоща* тельная способность тел av может изменяться в пределах от 0 до 1. Поэтому коэффициент черноты тела, как видно из (10.13), не может быть меньше нуля и больше единицы. Для абсолютно черного тела а=1・ Непрозрачные тела, у которых а=0, не излучают и не поглощают электромагнитных волн: они полностью отражают падающее па них излучение. Если при этом отражение происходит по законам геометрической оптики (угол падения равен углу отражения), то тело называется зеркальным.

Законы теплового излучения абсолютно черного тела

После установления закона Кирхгофа (10.7) стало очевидным, что первоочередная задача теории теплового излучения состоит в нахождении вида функции Кирхгофа, т. е. в выяснении вида зависимости испускательной способности г； абсолютно черного тела от его температуры Т и частоты излучения v. Однако сначала удалось решить более простую задачу — найти зависимость интегральной испускательной способности R； абсолютно черного тела от его температуры. Л. Больцман, применив термодинамический метод к исследованию черного излучения теоретически, показал (1884), что интегральная испускате几ьная способность абсолютно черного те-

ла пропорциональна четвертой степени его абсолютной температура: R； = uT*(10.14)

тела также пропорциональна четвертойтела также пропорциональна четвертойЭтот закон получил название закона Стефана ——Больцмана, так как еще в 1879 г. Д. Стефан на основе анализа экспериментальных данных пришел к аналогичному выводу. Однако Стефан ошибочно считал, что интегральная испускательная способность любого степени его абсолютной температуры. Коэффициент пропорциональности ст называется постоянной Стефана—Больцмана. В результате многочисленных экспериментов найдено, что 0 = 5,67032 (71) х

тела также пропорциональна четвертой

тела также пропорциональна четвертой

X 10-8Вт/(м2-К4).

Значительно более сложной оказалась задача отыскания вида функции Кирхгофа г；, т. е. выяснение спектрального состава

излучения абсолютно черного тела. Решение этой задачи вышло далеко за рамки теории теплового излучения и сыграло огромную роль во всем дальнейшем развитии физики, так как привело к установлению квантового характера излучения и поглощения энергии атомами и молекулами.

Эксперименты показали, что зависимость г* от частоты v при разных температурах Т абсолютно черного тела имеет вид, изображенный на рис. 10.3. При малых частотах 总〜у?Т, а в области больших частот (правые ветви кривых вдали от максимумов) зависимость г* от частоты имеет вид

г* 〜(10.15)

где &i ——постоянная величина, выраженная в кельвинах-секундах (К-с). Зависимость (10.15) была установлена В. Вином. Существование на каждой кривой более или менее ярко выраженного максимума свидетельствует о том, что энергия излучения абсолютно черного тела распределена по его спектру неравномерно: абсолютно черное тело почти не излучает энергии в области очень малых и очень больших частот. По мере повышения температуры тела максимум 『； смещается в область больших частот. Площадь, ограниченная кривой зависимости г* от v и осью абсцисс, пропорциональна интегральной испускательной способности R； абсолютно черного тела. Поэтому в соответствии с законом Стефана — Больцмана она возрастает пропорционально Т汽

Первое теоретическое исследование вида функции Кирхгофа было предпринято московским физиком В. А. Михельсоном (1887). В. Вин рассмотрел (1893) задачу об адиабатическом сжатии черного

излучения в цилиндрическом сосуде с подвижным зеркальным поршнем и зеркальными стенками. Приняв во внимание, что вследствие эффекта Доплера частота излучения изменяется при отражении от движущегося поршня, он получил следующее выражение для функции Кирхгофа:

= v3f(V/T), (10.15，)

где f(v/T) — функция отношения частоты излучения абсолютно черного тела к его температуре. Хотя Вину не удалось теоретически установить вид функции / (у/Т), формула Вина (10.15') позволила получить ряд очень важных результатов. Например, из (10.15') вытекает закон Стефана — Больцмана:

R； = R 哦八v/т)dv = T^ (v/TYf(y/T) d (v/T) = oT*0 0

где a = J x3/ (x) dx——постоянный коэффициент (через % обозначено

оотношение v/T).

Из закона Вина можно найти зависимость от температуры частоты vm, соответствующей максимальному значению испускательнойг способности г； абсолютно черного тела. При v=vfn частная производная

должна быть равна нулю:должна быть равна нулю:3匐停）+事г（票）=。'или3匐停）+事г（票）=。'или(10.16)(10.16)

должна быть равна нулю:

должна быть равна нулю:

3匐停）+事г（票）=。'или

3匐停）+事г（票）=。'или

(10.16)

(10.16)

Из (10.16) следует \ что

(10.17)

где bi — постоянная величина, являющаяся корнем уравнения (10.16), зависящая от вида функции f(y/T), Уравнение (10.17) выражает закон смещения Вина: частота, соответствующая максимальному значению испускательной способности г* абсолютно черного тела, прямо пропорциональна его абсолютной температуре.

Значения частот vml, vm2, vm3t vm4, соответствующие четырем различным температурам 7\,九，Т3, Т4, показаны на рис. 10.3.

Обычно закон смещения Вина записывают в несколько иной форме: для максимума испускательной способности абсолютно черного тела rj, отнесенной к интервалу d九 длин волн (в вакууме),

гХ =号更， (10.18)

1 Соотношение (10.16) выполняется также при любых значениях v/T, если 小/丁户心切-久 Однако в этом случае rv=v3(v/T)~3=T3, т. е. ие зависит от частоты V, что противоречит данным опытов.

где d步нзм—энергия электромагнитного излучения за единицу времени с единицы площади поверхности абсолютно черного тела в интервале длин волн от X до 入+М. Так как, по определению,尸;и г£ не могут быть отрицательными, то из (10.18) и (10.1) следует, что

從=力嘗卜

тотогс dvс

то

то

(10Л9)(10Л9)Поскольку V = y и 苏=——齋

(10Л9)

(10Л9)

Подставляя в (10.19) выражение для г* из формулы закона Вина (10.15'% получаем

r；=4"f (倉)•(10.20)

Пользуясь выражением (10.20) для функции rj, легко показать что длина волны Хт, соответствующая максимальному значению ис- пускательной способности г^ абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его абсолютной температуре:

%»=#•(10.1Г)

Это другая форма выражения закона смещения Внн% который полностью согласуется с результатами экспериментов. По современным данным, постоянная Вина ^=2,898' 10~3 м- К. Из закона Вина (10.17') видно, что при понижении температуры абсолютно черного тела максимум энергии его излучения смещается в область больших длин волн. Становится понятным, почему при понижении температуры светящихся тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение ——белое каление переходит в красное, а затем Booto,e не воспринимается глазом.

Из формул (10.20) и (10.17'} следует, что максимальная испуска- тельная способность г£ абсолютно черного тела пропорциональна пятой степени его абсолютной температуры:

(Г Омаке= 4^(T)r-(1。・21)

Заметим, что испускательные способности г； и 厂工 связанные соотношением (10.19), не пропорциональны друг другу. Поэтому их максимумы лежат в разных частях спектра, а соответствующие им значения Хт и vm н е связаны соотношением k=c/v.

Дальнейшее исследование вида функции Кирхгофа методами классической физики предпринималось рядом ученых. Мы остановимся только на результатах исследования Д. Рэлея и Д. Джинса.

Рэлей подошел (1900) к изучению спектральных закономерностей черного излучения с позиций статистической физики, а не термодинамики, как это делали его предшественники. Он рассмотрел равно-

веснбе (черное) излучение в замкнутой полости с зеркальными стенками как совокупность пространственных стоячих электромагнитных волн. Частоты этих волн должны удовлетворять определенным условиям, подобным условиям для частот стоячих упругих волн в стержнях [см. (1.46х) и (1.47')]. Рэлей показал, что число d% таких собственных частот, находящихся в интервале otv до v+dv, пропорционально объему полости Vf квадрату частоты v и ширине интервала dv: d孔〜 ^Vv2dv.

Колебания с разными собственными частотами совершаются не* зависиж) друг от друга. Поэтому каждой собственной частоте соот* ветствует своя колебательная степень свободы черного излучения. Далее* применив закон классической статистической физики о равном распределении энергии по всем степеням свободы равновесной системы, Рэлей показал, что энергия dW излучения в полости, соответствующая интервалу частот от v до v+dv,

dW 〜Vv^kT dv н p (v, T) = $ 罂~ v2^「.

где 色7t — средняя энергия, приходящаяся на одну колебательную степень свободы (см. т, I, § 15.4),々——постоянная Больцмана. Таким образом, Р^лей получил, что

r； = ^p(v,T)~v"T.

В дальнейшем Рэлей и Джинс уточнили эту формулу, вычислив значение коэффициента пропорциональности:

(10.22)

Формула Рэлея — Джинса (10.22) хорошо согласовалась с данными опытов только в области малых частот излучения. Для больших частот она была явно неверна (рис. 10.4). Формула Рэлея —— Джинса противоречила также закону смещения Вина и закону Стефана—Больцмана: по формуле (10.22) г； монотонно возрастает с ростом частоты,矶]/澳£^£

не имея максимума, а интегральная |к

испускательная способность абсолют-I/

но черного тела при любой темпера-I/ /*\ 駕 歌北統

туре обращается в бесконечность:I// Vх Бина

Рис. 10.4Рис. 10.4(10,22)

Рис. 10.4

Рис. 10.4

Работы Рэлея и Джинса ясно показали, что последовательное при

менение классической физики к исследованию спектрального состава черного излучения дает абсурдные результаты, находящиеся в противоречии с законом сохранения энергии.

Невозможность отыскания методами классической теоретической физики такого выражения для функции Кирхгофа, которое согласовалось бы с данными экспериментов во всем интервале частот от О до 8, получило образное название «ультрафиолетовой катастрофы» Л.

Найти правильное выражение для функции Кирхгофа и дать теоретическое обоснование спектральных закономерностей черного излучения впервые удалось немецкому физику М. Планку. Выше уже отмечалось, что объемная плотность энергии равновесного излучения в замкнутой полости и распределение энергии эюго излучения по частотам зависят только от температуры стенок полости. Материал стенок, т. е. конкретные свойства системы, с которой связано равновесное излучение, не играет никакой роли. Поэтому в своих расчетах Планк выбрал наиболее простую модель излучающей системы (стенок полости) в виде совокупности линейных гармонических осцилляторов (электрических диполей) со всевозможными собственными частотами v. Исходя из того, что в состоянии термодинамического равновесия расход энергии на излучение осцилляторов с собственной частотой v должен полностью компенсироваться в результате поглощения этими осцилляторами энергии падающего на них излучения, Планк показал (1899), что

р (у, Т) = ——и rv = —(10.23)

где <gv> — средняя энергия осциллятора с собственной частоюй v. Если бы для ее определения Планк, подобно Рэлею, воспользовался законом классической статистической физики о равном распределении энергии по всем степеням свободы равновесной системы, то он получил бы, что〈％>=々厂 При этом его формула (10.23) совпала бы с (10.22). Однако Планк пытался найти выражение для <ev>, исходя из термодинамических соотношений. Он был убежден, что между энтропией S осциллятора и его средней энергией должна существовать сравнительно простая связь.

В октябре 1900 г. Планку удалось подобрать такой вид зависимости S от <8V>, при котором

~ /力T_1 и "= * (10.24)

где ai и а2 — постоянные коэффициенты.

Оказалось, что формула (10.24) блестяще согласуется с результатами экспериментов при всех частотах^ и температурах. Поэтому следующий основной этап исследования, завершенный Планком в декабре 1900 г., состоял в выяснении физического смысла и теоретическом обосновании столь удачно угаданного им соотношения между энтропией и средней энергией осциллятора. Применив статистический метод Больцмана, Планк вывел искомое соотношение. Однако для этого ему пришлось ввести так называемую квантовую гипотезу, со-

1 Смысл названия заключается в том, что нарушение закона сохранения энергии происходит при подстановке в интеграл (10.22') бесконечности в качестве верхнего предела частот.

вершенно чуждую классической физике. В классической физике предполагается, что энергия любой системы может изменяться непрерывно, принимая любые сколь угодно близкие значения. Согласно квантовой гипотезе Планка, энергия ev осциллятора может принимать только определенные дискретные значения, равные целому числу элементарных порций —— квантов энергии gv0:

£旷===孔£<vq (孔=0; 1; 2;...).

При этом условии средняя энергия осциллятора оказалась равной

Соответственно испускательная способность абсолютно черного тела

(10.25)(10.25)2лу2ev0

(10.25)

(10.25)

小=?一.ё%М

Из сопоставления (10,25) с формулой Вина (10」5‘) следует, что выражение 空。％，— должно зависеть от отношения v/T. Поэтому

квант энергии должен быть пропорционален частоте v:

%o = /rv,(10.26)

где Л —— универсальная постоянная, получившая название постоянной Планка. Окончательное выражение формулы Планка для испу- скательной способности абсолютно черного тела имеет вид

%=粤•育牝?，(1627)

В области малых частот, т, е. при условии, что квант энергии hv во много раз меньше средней энергии осциллятора, формула Планка совпадает с формулой Рэлея —— Джинса. Для доказательства этого разложим 也”頂丁 в ряд:

户/打=户/打=+等+4T （普）十$（伊）+等+4T （普）十$（伊）

户/打=

户/打=

+等+4T （普）十$（伊）

+等+4T （普）十$（伊）

Если /rv《左Т, то €加/打一l^hv/kT и из формулы Планка (10.27) следует формула Рэлея — Джинса (10.22):

2лМ九у2^v ,

В области больших частот Zrv》々Т н единицей в знаменателе формулы (10.27) можно пренебречь по сравнению с е'、/” Тогда получим формулу

* 2jtAv3* 2jtAv3е-^/ЕТ,е-^/ЕТ,

* 2jtAv3

* 2jtAv3

е-^/ЕТ,

е-^/ЕТ,

которая совпадает с выражением Вина (10.15), причем a^h/k.

Из формулы Планка легко получить закон Стефана — Больцмана и закон смещения Вина. При этом постоянную Планка можно

выразить через постоянные Стефана — Больцмана (о) и Вина (Ь). Из (10.11) и (10.27) видно, что интегральная испускательная способность абсолютно черного тела

兄可竽о兄可竽о加他т_\ dv.加他т_\ dv.

兄可竽

о

兄可竽

о

加他т_\ dv.

加他т_\ dv.

Произведем замену переменной. Обозначим x=hv/kT, так что

dx="^-d^ и dv = —^-d尤.Тогда

璀=璀=2"42"4炉九3炉九3оо%з dxе^—1%з dxе^—1= оТЗ= оТЗгде огде о2п%415с/з2п%415с/з*3d元 л4*3d元 л4Таким образом»Таким образом»так кактак какоо(10.28)(10.28)

璀=

璀=

2"4

2"4

炉九3

炉九3

о

о

%з dx

е^—1

%з dx

е^—1

= оТЗ

= оТЗ

где о

где о

2п%4

15с/з

2п%4

15с/з

*3d元 л4

*3d元 л4

Таким образом»

Таким образом»

так как

так как

о

о

(10.28)

(10.28)

Из соотношения (10.28) Планк впервые определил величину постоянной й. По современным данным,

月=6,626176 (36).10-34Дж-e.

Для вывода закона смещения Вина найдем с помощью формул (10.19) и (10.27) выражение для нспускательной способности rl абсолютно черного тела:

* с # 2лс2Лri=—「”=X2 戸* с # 2лс2Лri=—「”=X2 戸1也 с/ВТМ — 1，1也 с/ВТМ — 1，(10.29)(10.29)

* с # 2лс2Л

ri=—「”=

X2 戸

* с # 2лс2Л

ri=—「”=

X2 戸

1

也 с/ВТМ — 1，

1

也 с/ВТМ — 1，

(10.29)

(10.29)

откуда

一九c Jic/(kTk) 1

2rc%旗 e /J

涼一m(把。/旧储一1) j e近^Т入)一1 — J"

Длину волны 入血,соответствующую максимальному значению /■*» найдем, приравняв нулю эту производную и введя обозначение 尤="〃(々7'九疯)：

%e#—5e为 +5 = 0.

Это трансцендентное уравнение имеет единственный корень, равный 4,965, Следовательно, 九м удовлетворяет закону смещения Вина (10.1Г):

X т = —勿4,965在

и

(10.30)(10.30)1965%

(10.30)

(10.30)

Формула (10.30) позволяет независимым от закона Стефана — Больцмана способом определить постоянную Планка по известному из опыта значению постоянной Вина. Значения й, определенные по формулам (10.28) и (10.30), совпадают между собой и согласуются со значениями h9 полученными другими способами (см. § 11Д).

§ 10-3. Оптическая пирометрия. Тепловые источники света

Для измерения температуры раскаленных тел, а также самосветящихся тел, удаленных от наблюдателе (например, звезд), нельзя пользоваться обычными методами, основанными на применении термометров расширения, электрических термометров сопротивления и термопар. В этих случаях о температуре тела можно судить только по его излучению. Совокупность методов измерения высоких темпе

Рис. 10.5Рис. 10.5ратур, основанных на использовании зависимости испуска- тельной способности исследуемого тела (или его интегральной испускательной способности) от температуры, называется оптической пирометрией. Приборы, применяемые для этой цели,

Рис. 10.5

Рис. 10.5

называются пирометрами излу

чения. Пирометры излучения бывают двух типов ——радиационные и оптические. В первых регистрируется суммарное тепловое излучение исследуемого нагретого тела во всем интервале частот от 0 до 8, во вторых — его излучение в каком-либо одном или двух узких участках

спектра.

В радиационном пирометре (рис. 10.5) изображение участка АВ светящейся поверхности S удаленного тела проектируется с помощью линзы О на крестообразную пластинку s', изготовленную из платиновой фольги с зачерненной поверхностью. В пластинке заложены горячие спаи батареи последовательно соединенных термопар, Холодные спаи термопар выведены во внешнюю часть прибора и находятся при комнатной температуре. Можно доказать, что энергия излучения поверхности S, падающего на пластинку s' за единицу времени, не зависит от расстояния /, если только поверхность S столь велика, что ее изображение в линзе О полностью покрывает всю поверхность пластинки s'. В этом случав температура нагрева пластинки и термоэлектродвижущая сила в цепи батареи термопар, измеряемая милливольтметром mVзависят только от интегральной испускательной способности R3 исследуемого тела.

Шкала милливольтметра градуируется по излучению абсолютно черного тела прямо в ℃ (или К). Поэтому для произвольного излучателя пирометр позволяет определить так называемую радиационную температуру Тр, т. е. такую температуру абсолютно черного тела, при которой его интегральная испускательная способность /?* (Тр) равна интегральной испускательной способности R& исследуемого тела. Из формул (10.12) и (10.14) следует, что для нахождения истинной температуры Т исследуемого тела необходимо знать его коэффициент черноты a: Rs=ugT&=gT^ или

т = т"аГ (10.31)

Так как а&1, то Т^Т^

В качестве примера оптического пирометра рассмотрим пирометр с исчезающей нитью, принципиальная схема которого изображена на рис. 10.6. С помощью объектива О изображение светящейся поверхности исследуемого тела совмещается с плоскостью нити накала фотометрической лампы Л. Нить и изображение тела рассматриваются через окуляр Oi и светофильтр Ф, пропускающий

красный свет с длиной волны в вакууме 九о=66О нм. Яркость накала нити регулируется путем изменения идущего по ней тока с помощью реостата R. При измерениях силу тока в цепи нити подбирают таким образом, чтобы нить не была видна на фоне поверхности исследуемого тела, т. е. чтобы испускательные способности гА нити и поверхности были одинаковы для монохроматического света Хо.

Миллиамперметр (тД) пирометра предварительно градуируется в ℃ (или К) по излучению абсолютно черного тела. Поэтому с помощью оптического пирометра можно оп

ределить так называемую яркостную температуру исследуемого тела, т. е. такую температуру Тя абсолютно черного тела, при которой его испускательная способность г[ для монохроматического света '九q равна испускательной способности г^ исследуемого тела: г九(Тя) = г%(Т), где Т——истинная температура тела. Из закона Кирхгофа следует, что 入(丁)=叽(丁)仄(丁)，где а^ (Г) —поглощательная способность исследуемого тела для монохроматического света 入о при температуре Т тела, a r》Q(T)——испускательная способность абсолютно черного тела для тех же значений длины волны и температуры. Таким образом,

叽(7)=畳*•(10-32)

Для всех тел 耿° (Т)&1. Поэтому 厂九(北)&底。(7) и, как видно из формулы Планка (10.27), T^T. Для° определения истинной температуры тела по его яркостной температуре необходимо знать поглощательную способность тела 仪筛(丁)，так как из (10.32) и (10.27)

一]

следует, что——/ = 口筛(丁)，где a^hcl^

Распределение энергии в спектре излучения серого тела такое же, как и в спектре абсолютно черного тела, имеющего ту же температуру, так как отношение 以(Т)/笈(Т) не зависит от длины волны X. Поэтому для серых тел справедлив закон смещения Вина (10.17') и, зная 九忆，можно определить температуру этих тел: T—b/^m,

К несерым телам закон Вина неприменим. Однако если исследуемое тело мало отличается от серого, то его истинная температура

Т близка к так называемой цветовой температуре Т^ которая находится из условия

(10.33)(10.33)“ Ou）厂「2

(10.33)

(10.33)

儿（7口）5（T）

где Xi и Х2— два определенных значения длины волны света. Обычно принимают %1=655 нм (красный свет) и 12=470 нм (зеленый свет).

Свечение раскаленных тел широко используется для создания источников света. Первые лампы накаливания были созданы А. Н.'Лодыгиным (1873), а первые дуговые лампы — П. Н. Яблочковым (1876). Важнейшими характеристиками источника света являются спектральный состав его излучения и световая отдача, равная отношению светового потока к мощности, потребляемой источником света. Световая отдача выражается в люменах на ватт (лм/Вт).

В настоящее время применяются лампы накаливания с вольфрамовой нитью. Применение вольфрама для изготовления нитей обусловлено двумя причинами. Во-первых, его тугоплавкостью и большой стойкостью по отношению к распылению при высоких температурах нагрева. Во-вторых, селективностью его теплового излучения: доля энергии, приходящейся на излучение видимого света, у вольфрама значительно больше, чем у абсолютно черного тела, нагретого до той же температуры. Поэтому световая отдача у вольфрамовой нити значительно больше, чем у абсолютно черного тела.

В вакуумных лампах с вольфрамовой нитью температура нагрева нити не должна превосходить 2500 К, так как иначе лампа быстро выходит из строя из-за распыления нити. Прй этой температуре максимум испускания соответствует длине волны в 1100 нм, т. е. находится в области инфракрасного излучения. Поэтому для повышения световой отдачи лампы и приближения спектрального состава ее света к спектральному составу дневного света (Хмакс^550 нм) необходимо увеличить температуру накала нити. Это удалось сделать при заполнении лампы инертным газом (аргоном или смесью криптона и ксенона с добавлением азота), присутствие которого уменьшает скорость распыления вольфрама. В газополных лампах температура нита может превосходить 3000 К. Однако световая отдача этих ламп с прямолинейной нитью оказалась такой же, как у вакуумных ламп, имеющих меньшую температуру накала, что связано с дополнительными потерями энергии вследствие значительного теплообмена между нитью и газом, циркулирующим в колбе лампы. Для уменьшения этого эффекта и повышения световой отдачи газополных ламп в них устанавливают нити, имеющие вид спирали или двойной спирали (биспирали) с небольшим значением шага. Вблизи такой спирали образуется слой газа, который почти не движется, так что теплообмен между нитью и газом осуществляется только путем теплопроводности.

Энергетический коэффициент полезного действия современных ламп накаливания не превосходит 5%, т. е. не более 5% энергии, затрачиваемой в лампе, излучается ею в форме видимого света. Люминесцентные источники света обладают в 2——3 раза большим к.п.д.

Глава XI

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ОПТИКИ

§ 11.1. Фотоэлектрический эффект

В предыдущей главе было показано, что последовательное решение проблемы теплового излучения абсолютно черного тела* оказалось возможным лишь после того, как М. Планк отказался от классических представлений о непрерывном процессе излучения энергии атомом — осциллятором. Квантовая гипотеза Планка привела в дальнейшем к представдению о том, что свет испускается и поглощается отдельными порциями ——квантами, нашла свое подтверждение и дальнейшее развитие в ряде других явлений: фотоэлект

рическом эффекте, химическом действии света, эффекте Комптона и т. &

Г. Герц обнаружил (1887), что при сювещеяии отрицательного электрода искрового разрядника ультрафиолетовыми лучами разряд происходит при меньшем напряжении между электродами, чем в отсутствие такого освещения. Это явление, как показали опыты В. Галь- вакса (1888) и А. Г* Столетова (1888—1890), обусловлено выбиванием под действием света отрицательных зарядов из металлического катода разрядника.

Схема опытов Столетова представлена на рис. 11.1. Плоский конденсатор, одной из обкладок которого служила медная сетка С, а в качестве второй — цинковая пластина Dr был включен через гальванометр G в цепь аккумуляторной батареи 5. При освещении отрицательно заряженной пластины D светом от источника S в цепи возникал электрический ток, называемый фототоком. Сила фототока была пропорциональна освещенности пластины D. Освещение положительно заряженной обкладки С конденсатора не приводило к воз- иикновешно фототока. Тем самым было экспериментально доказано, что под действием света металл теряет отрицательно заряжен-

ные частицы. Измерения удельного заряда этих частиц по их откло- нению в магнитном поле показали, что они представляют собой элект' роны (^/т—1,759-1011 Кл/кг). Непосредственным доказательством вырывания электронов из металла под действием света является опыт Иоффе, изложенный в § 11.2 т. II.

Явление вьгрывания электронов из твердьгх и жидких веществ под действием света получило название внешнего фотоэлектрического эффекта (внешнего фотоэффекта).

Ионизация атомов или молекул газа под действием света называется фотоионизацией.

Экспериментальные исследования внешнего фотоэффекта у металлов показали, что это явление зависит не только от химической

природы металла, но и от состояния его поверхности. Даже ничтожные

загрязнения поверхности металла существенно влияют на эмиссию электронов под действием света. Поэтому для изучения фотоэффекта пользуются вакуумной трубкой, изображенной на рис. 11.2. Катод К, покрытый исследуемым металлом, освещается монохроматичес

ким светом, проходящим в трубкурис> ц,з

через окно/). Напряжение Uмежду

анодом и катодом регулируется с помощью потенциометра R и изме

ряется вольтметром V. Две аккумуляторные батареи 5】н Е^, включен

ные «навстречу друг другу», позволяют с помощью потенциометра изменять абсолютное значение и знак напряжения U. Фототок измеряется гальванометром G. На рис. 11.3 изображены кривые зависимости силы фототока / от напряжения U, соответствующие двум различным энергетическим освещенностям катода: £\ (кривая а) и Е£>ЕГ (кривая Ь). Частота света в обоих случаях одинакова. Существование фототока в области отрицательных напряжений от 0 до ——Uq объясняется тем, что фотоэлектроны, выбитые светом из катода, обладают отличной от нуля начальной кинетической энергией. За счет уменьшения этой энергии электроны могут совершать работу против сил задерживающего электрического поля в трубке и достигать анода. Очевидно, что максимальная начальная скорость &маки фотоэлектронов связана с U@ соотношением

(11.1)(11.1)加脸 кс/2 = еи<),

(11.1)

(11.1)

где е и m — абсолютное значение заряда и масса электрона. При U《一Uo фототок /—0. По мере увеличения U фототок / постепенно возрастает, так как все большее число фотоэлектронов оказывается способным достигнуть анода. Максимальное значение тока /н, называемое фототоком насыщения, соответствует таким значениям U, при которых все электроны, выбиваемые из катода, достигают анода:

/н = еп.

где п — число фотоэлектронов, вылетающих из катода за 1 с.

Опытным путем установлены следующие основные законы внешнего фотоэффекта:

Максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется частотой света и не зависит от его интенсивности,

Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, т. е. минимальная частота v0 света, при которой еще возможен внешний фотоэффект. Величина v0 зависит от химической природы вещества и состояния его поверхности.

Число фотоэлектронов 小 вырываемых %з катода за единицу времени, пропорционально интенсивности света (фототок насыщения пропорционален энергетической освещенности Е катода}.

Опыты показывают, что фотоэффект практически безынерционен.

При объяснении первого и второго законов встретились серьезные трудности. В самом деле, согласно электромагнитной теории, вырывание свободных электронов из металла должно являться результатом их «раскачивания» в электрическом поле световой волны. Однако в таком случае совершенно непонятно, почему максимальная начальная скорость и кинетическая энергия вылетающих фотоэлектронов зависят от частоты света, а не от амплитуды колебаний вектора Е напряженности электрического поля волны и связанной с ней интенсивности волны. Трудности в истолковании первого и второго законов фотоэффекта вызвали сомнения в универсальной применимости волновой теории света. *

А. Эйнштейн развил квантовую гипотезу Планка. Анализируя флуктуации энергии излучения абсолютно черного тела, Эйнштейн доказал, что всю энергию излучения можно рассматривать сосредоточенной в отдельных порциях. Это позволило считать, что свет излучается, распространяется в пространстве и поглощается веществом в виде отдельных порций энергии — квантов электромагнитного излучения. Следовательно, распространение электромагнитного излучения нужно рассматривать не как непрерывный волновой процесс, а как поток локализованных в пространстве дискретных квантов, движущихся со скоростью с распространения света в вакууме. Эти кванты электромагнитного излучения были впоследствии названы фотонами. Для монохроматического излучения с частотой v все фотоны обладают одинаковой энергией, равной hv. Процесс поглощения света веществом сводится к тому, что фотоны передают всю свою энергию частицам этого вещества. Очевидно, что процесс поглощения света происходит прерывно как в пространстве, так и во времени. '

Эти идеи Эйнштейна легли в основу квантовой теории света, которая позволила успешно объяснить законы фотоэффекта и многие другие оптические явления.

Рассмотрим с квантовой точки зрения внешний фотоэффект в металлах. Известно (см. т. II, § 10.1), что для выхода из металла элект， рон должен совершить работу выхода А. В результате поглощения фотона электрон приобретает энергию hv. Если hv^A, то электрон может совершить работу выхода и вырваться из металла. В соответствии с законом сохранения энергии максимальная кинетическая

энергия фотоэлектрона

^MaKc/2=/lV —Д.(П.2)

Это уравнение впервые было предложено Эйнштейном и называется уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Как видно из предыдущего, уравнение (11,2) получено в предположении, что электроны в металле движутся независимо друг от друга, т. е. между ними отсутствуют силы взаимодействия* Поэтому передача фотоном энергии одному из электронов не изменяет энергии всех остальных электронов. Теория фотоэффекта, основанная на этом предположении, называется одноэлектронной.

При весьма больших интенсивностях света, вызывающего фотоэффект, например при освещении металла излучением, полученным в генераторах когерентного света (см. § 15.9), законы внешнего фотоэффекта теряют силу. Предположим, что на электрон в металле падают одновременно два совершенно одинаковых фотона с энергией Zrv каждый. Тогда суммарная энергия, переданная электрону, равна 2fcv= =h (2v), т. е. будет такой же, как если бы падал один фотон, но с удвоенной частотой. Очевидно, что закон красной границы фотоэффекта будет нарушен. В так называемой нелинейной оптике изучаются процессы взаимодействия света высоких интенсивностей с веществом и выясняются многие необычные особенности этого взаимодействия.

Уравнение (11.2) позволяет легко объяснить все основные законы внешнего фотоэффекта для металлов. В самом деле, из (11.2) следует, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона зависит не от интенсивности, а от частоты света и работы выхода А. Внешний фотоэффект возможен только в том случае, когда энергия фотона /iv больше или в крайнем случае равна А. Следовательно, соответствующая красной границе фотоэффекта частота

“Uh.(11.3)

Она зависит только от работы выхода электрона, т. е. от химической природы металла и состояния его поверхности (см. т. II, § 10.1).

Наконец, из механизма протекания явления внешнего фотоэффекта ясно, что общее число 孔 фотоэлектронов, вылетающих за единицу времени, пропорционально числу фотонов п\ падающих за то же время на поверхность вещества. Для плоского катода, равномерно освещаемого монохроматическим светом с частотой v, nf ~E/hvf где Е — освещенность, пропорциональная интенсивности1 света. Таким образом, в соответствии с третьим законом фотоэффекта число фотоэлектронов, вылетающих из катода за единицу времени, пропорционально интенсивности света.

На основе соотношений (11.1) и (11.3) уравнение Эйнштейна можно переписать следующим образом:

eU^hiy—Vo).(11.4)

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта неоднократно подвергалось экспериментальной проверке.

Если значения v и v0 известны, то, определив из опыта величину напряжения ― [/0, соответствующую исчезновению фототока, можно по формуле (11,4) вычислить постоянную Планка: h=eU()/ (v——vj. Совпадение этого значения Л с результатами измерений Л на основе других явлений (например, теплового излучения черного тела) может служить подтверждением правильности уравнения (11.4).

В многочисленных измерениях Uo, которые проводились различными учеными, использовалась вакуумная трубка с плоскими электродами и схема, изображенная на рис. 11.2. При этом получались

вольт-амперные характеристики свольт-амперные характеристики смалой крутизной в области напряжений, близких к —U@, Поэтому точность измерения U^ была невелика. Это обусловлено тремя основными причинами. Во-первых, фотоэлектроны имеют различные начальные скорости. Электроны, выбиваемые с поверхности катода, обладают большей скоростью, чем электроны, выбиваемые из его глу* бины, так как последние до выхода

вольт-амперные характеристики с

вольт-амперные характеристики с

Рис. 11.4из металла теряют часть своей энер

гии из-за случайных неупругих столкновений с другими частицами внутри металла. Во-вторых, фотоэлектроны вылетают из катода по различным направлениям. Если начальная скорость фотоэлектрона образует с направлением

нормали к плоскому катоду угол а, то с увеличением а в фототоке участвует все меньшая часть фотоэлектронов и возрастание тока / с ростом U происходит очень медленно. Третья причина состоит в том, что часть фотоэлектронов, достигающих анода, может отражаться от него и возвращаться обратно на катод.

Значительно более точный экспериментальный метод определения Uo и проверки уравнения Эйнштейна был предложен П. И. Лукир- ским и С. С. Прилежаевым (1928). Вместо трубки с плоскими электродами они применили вакуумный сферический конденсатор. Общая схема установки изображена на рис. 11,4. Стеклянный шар А радиусом 11 см, посеребренный изнутри, являлся внешней обкладкой сферического конденсатора и играл роль анода. Катод К имел вид шарика радиусом 1,5 см, изготовленного из исследуемого металла. Трубка С служила для удаления воздуха из полости конденсатора с помощью вакуумного насоса. Через небольшое отверстие D во внешней сфере, закрытое кварцевой пластинкой, шарик к освещался монохроматическим светом, который выделялся из спектра ртутной дуги с помощью фильтра 尸 и кварцевого монохроматора Mt Величина и знак напряжения U между анодом А и катодом К регулировались с помощью потенциометра R и коммутатора /С2. Для измерения U применялся прецизионный вольтметр V. Электрод соединялся с квадрантным электрометром £. Сила фототока измерялась по величине заряда, накапливающегося на электрометре за 1,5——2 мин. Ключ Ki служил для снятия этого заряда путем закорачивания квадрантов электро-

метра на Землю. Средняя сила тока в опытах Лукирского и Прилежаева составляла 10~13 А и измерялась с точностью до нескольких

десятых процента.

Применение сферического конденсатора со сравнительно малым

центральным электродом позволило значительно увеличить наклон вольт-амперной характеристики для фототока в области напряжений, близких к ——Uq, и тем самым повысить точность определения Uq. Действительно, в таком кон- ?

денсаторе влияние на фототок 鼻叫п

отражения электронов от ано- “'

да не может быть значитель- 加。

Рис. 11.6Рис. 11.6ным, так как вероятность их попадания обратно на небольшую внутреннюю сферу К очень мала. Кроме того, направление начальной скорости фотоэлектронов также несущественно, так как внешняя сфера полностью охватывает катод. Поэтому при напряжении t/<0 на анод попадают все электроны, начальная скорость и。которых удовлетворяет условию т^!2^е\и\.

Рис. 11.6

Рис. 11.6

На рис. 11.5 приведены кривые зависимости силы фототока от напряжения, полученные в опытах Лукирского и Прилежаева для меди при освещении

ее монохроматическим светом с

длиной волны в вакууме 入()=240 нм (кривая /) и 入(,=253,7 нм (кривая 2).

Опытами Лукирского и Прилежаева экспериментально подтверждена линейная зависимость максимальной кинетической энергии фо

тоэлектронов от частоты падающего света.

На рис. 11.6 изображены результаты измерения максимальной- кинетической энергии фотоэлектронов как функции частоты облучающего металл света для алюминия, цинка и никеля. Существенно, что в согласии с уравнением (11.4) все прямые параллельны друг другу, причем производная -^- (eU^ не зависит от материала катода и численно равна постоянной Планка h. Прямые указывают также на существование граничной частоты v0 фотоэффекта для данного металла. Отрезки, отсекаемые прямыми на оси ординат (рис. 11.6), численно равны работе А выхода электронов из соответствующих металлов.

Среднее значение 用,полученное из опытов Лукирского и Прилежаева, оказалось равным 6,543-10~34 Дж-с. Точность опытов составляла 0,1——0,2%. Совпадение значения 八,полученного в опытах по

фотоэффекту, с результатами других методов определения (см. § 10.2) подтвердило правильность уравнения (11,2) для фотоэффекта и вместе с тем идеи Эйнштейна о квантовом характере взаимодействия света с электронами при фотоэффекте.

Безынерционность фотоэффекта является доказательством квантовой природы взаимодействия света с веществом. Если рассматривать это взаимодействие с волновой точки зрения, то можно показать, что необходимо конечное и довольно значительное время для того, чтобы при заданной интенсивности света электромагнитная волна передала электрону энергию, необходимую для совершения им работы выхода. Квантовые свойства излучения, т. е. сосредоточение энергии излучения в отдельных частицах — фотонах, повышают ценность энергии излучения. Сравним, например, энергию фотона видимого света (v* aid空 Гц) со средней кинетической энергией <IFK0>, приходящейся на одну степень свободы молекулы газа: <IFK0>= %&Т, где й — постоянная Больцмана и Т— абсолютная температура (см. т. I, § 11.5). Из уравнения

Av = %尼7

следует, что молекула газа имеет такую же энергию, как и фотон видимого света, при температуре порядка 109 K.

Из всего изложенного выше ясно, что кор пу скул я р ные свойства света должны с особой отчетливостью сказываться во. всех явлениях, где происходит взаимодействие коротковолнового излучения с веществом. В § 11.2 мы рассмотрим некоторые из таких явлений.

В кристаллических полупроводниках и диэлектриках помимо внешнего фотоэффекта наблюдается внутренний фотоэффект, состоящий в том, что под действием облучения увеличивается электропроводность этих веществ за счет возрастания в них числа свободных носителей тока (электронов проводимости и дырок). Это явление часто называют еще фотопроводимостью. Его можно легко объяснить на основе зонной теории кристаллических твердых тел, которая была рассмотрена в гл. XIII т. IL Напомним, что в диэлектрике и беспримесном полупроводнике зона проводимости н е содержит электронов, а лежащая ниже ее следующая (валентная) зона целиком заполнена электронами (рис. 11.7, а). Разность W^ между энергиями на нижнем уровне зоны проводимости и верхнем уровне валентной зоны называется энергией активации проводимости вещества. У полупроводников Wa значительно меньше, чем у диэлектриков. Если энергия фотона hv^W^ то при поглощении фотона электрон может быть переброшен из валентной зоны в зону проводимости. Таким образом, под действием света в зоне проводимости появятся электроны, а в валентной зоне ——«положительные дырки». Эти пары разноименных носителей заряда способны под действием внешнего электрического поля приходить в упорядоченное движение, образуя электрический ток. Очевидно, что концентрация электронов проводимости и дырок, а также зависящая от нее электропроводимость вещества пропорциональны числу фотонов, падающих на единицу поверхности вещества за единицу времени, т. е. интенсивности моно

хроматического света. Красная граница для фотопроводимости v0=

=必/九

В примесных полупроводниках с небольшим содержанием примесей вероятность поглощения фотонов электронами примесных атомов мала. Поэтому изменение проводимости под действием света также в основном связано с перебросом электронов из валентной зоны в зону проводимости и образованием пар разноименных носителей заряда — электронов проводимости и дырок. Однако характер проводимости для электронных (n-типа) и дырочных (p-типа) примесных полупроводников различен. В электронном полупроводнике имеются

W

Рис. 11.7

примесные донорные уровни энергии а, которые находятся вблизи «дна» зоны проводимости и заняты электронами (рис, 11.7, б). В процессе образования под действием света электронно-дырочных пар положительные дырки рекомбинируют с электронами донорной примеси. Поэтому фотопроводимость и-полупроводника имеет чисто электронный характер. В дырочном полупроводнике поглощение фотонов вызывает переход части электронов из валентной зоны в зону проводимости, а оттуда на вакантные акцепторные примесные уровни б, расположенные вблизи верхнего края валентной зоны (рис. 11.7, в). При этом в валентной зоне образуются «положительные дырки», так что фотопроводимость р-полупроводника является чисто дырочной.

Особый практический интерес представляет вентильный фотоэффект (фотоэффект в запирающем слое)» состоящий в возникновении электродвижущей силы вследствие внутреннего фотоэффекта вблизи поверхности контакта между металлом и полупроводником или двумя полупроводниками р- и n-типа, обладающего односторонней проводимостью. Причина односторонней проводимости таких контактов, как было показано в § 13.6 и 13.7 т. II, состоит в обеднении слоев полупроводников, прилегающих к поверхности контакта, подвижными носителями заряда (электронами проводимости и дырками). Внутренний фотоэффект в полупроводниках вызывает нарушение равновесного распределения носителей заряда в области контакта и приводит к изменению контактной разности потенциалов по сравнению с равновесной, т. е. к возникновению фотоэлектродвижущей силы. Фото-э. д. с., возникающая под действием монохроматического

света, пропорциональна его интенсивности, так как зависит от числа фотонов, падающих за единицу времени на единицу площади поверхности контактного слоя. Красная граница вентильного фотоэффекта определяется величиной Wa энергетического 《зазора》между валентной зоной и зоной проводимости полупроводника.

Фотоэффект широко используется в науке и технике для регистрации и измерения световых потоков, для непосредственного преобразования энергии света в энергию электрического тока, для преобразования световых сигналов в электрические. Приборы, действие которых основано на использовании фотоэлектрического эффекта, называются фотоэлементами. Вакуумный фотоэлемент представляет собой эвакуированный стеклянный баллон, часть внутренней поверхности которого покрыта слоем металла, играющим роль фотокатода. В качестве анода используется металлическое кольцо или редкая сетка, также находящиеся внутри баллона. Фотоэлемент включается в цепь аккумуляторной батареи. При освещении катода из него вследствие внешнего фотоэффекта выбиваются электроны и в цепи возникает фотоэлектрический ток. Э. д. с. батареи выбирается такой, чтобы фототок был равен току насыщения. В зависимости от спектрального состава света используются фотоэлементы, катоды которых изготовлены из различных материалов. Например, для регистрации видимого света и инфракрасного излучения применяют фотоэлементы с кислородно-цезиевым катодом, для регистрации коротковолновой части видимого света и ультрафиолетового излучения —фотоэлементы с сурьмяно-цезиевым катодом.

Фототок насыщения и интегральную чувствительность можно значительно увеличить путем заполнения баллона фотоэлемента разреженным инертным газом (обычно аргоном при давлениях от 0,01 до 0,1 мм рт. ст.). Такие фотоэлементы называются газонаполненными. Большая чувствительность газонаполненного фотоэлемента, чем такого же вакуумного, обусловлена увеличением числа носителей заряда вследствие ударной ионизации молекул газа электронами. Газонаполненные фотоэлементы менее стабильны в работе и обладают большей инерционностью, чем вакуумные.

Для увеличения тока внутри фотоэлемента используется также явление вторичной электронной эмиссии. На этом принципе основано действие электронных умножителей (см. т. II, § 10.4).

Полупроводниковые фотоэлементы с внутренним фотоэффектом, или фотосопротивленияг обладают значительно большей чувствительностью, чем описанные выше фотоэлементы, в которых используется внешний фотоэффект. Например, чувствительность фотосопротивления сульфида кадмия может достигать 1 А/лм. Фотосопротивления широко применяются для обнаружения и измерения инфракрасного и других излучений. Основной недостаток фотосопротивлений заключается в их большой инерционности, которая возрастает с увеличением чувствительности.

Наибольшее и все возрастающее применение получили вентильные фотоэлементы (фотоэлементы с запирающим слоем), действие которых основано на вентильном фотоэффекте. К их числу относятся кремние-

вые, германиевые, сернисто-серебряные, селеновые и др. фотоэлементы. Вентильные фотоэлементы позволяют осуществлять непосредственное преобразование лучистой энергии в электрическую: под действием освещения они возбуждают электрический ток во внешней цепи без применения какого-либо дополнительного источника э. д. с. Вентильные фотоэлементы широко используются в фотометрии для измерения световых потоков. Кремниевые и некоторые другие вентильные фотоэлементы используются для изготовления «солнечных» батарей, преобразующих энергию солнечного света в электрическую. Кремниевые «солнечные» батареи применяются, например, для питания радиоаппаратуры на искусственных спутниках Земли и автоматических межпланетных станциях.

Другие экспериментальные подтверждения квантовых свойств света

Распространение света в виде потока отдельных фотонов и квантовый характер взаимодействия света с веществом были экспериментально подтверждены в опыте, поставленном А. Ф. Иоффе и Н. И. Добронравовым (1922). Идея опыта состояла в следующем. Микроскопическая заряженная пылинка из висмута радиусом около 3* 10"! см была взвешена в электрическом поле плоского конденсатора. Одна из пластин конденсатора была сделана из алюминиевой фольги толщиной 5-10~3 мм и одновременно играла роль антикатода миниатюрной рентгеновской трубки. Антикатод бомбардировался электронами, которые вырывались из катода трубки ——острия тонкой алюминиевой проволоки ——под влиянием освещения его ультрафиолетовыми лучами. Напряжение между электродами трубки было равно 12 000 В. Освещенность катода была столь малой, что ежесекундно из него вырывалось лишь около 1000 фотоэлектронов. Поэтому рентгеновское излучение антикатода состояло из отдельных импульсов, каждый из которых соответствовал удару одного фотоэлектрона об антикатод. Рентгеновское излучение свободно проникало сквозь тонкую алюминиевую фольгу в полость конденсатора. В опыте исследовалось действие этого излучения на пылинку, находившуюся на расстоянии d=0,2 мм от антикатода, который можно было рассматривать как точечный источник рентгеновского излучения.

Опыт показал, что в среднем через каждые 30 мин уравновешенная пылинка «вздрагивала» и выходила из равновесия. Это происходило благодаря тому, что рентгеновские лучи, попадая на пылинку, освобождали из нее фотоэлектроны н, изменяя ее заряд, выводили ее из равновесия. Пылинка представляла собой для рентгеновских фотонов мишень с площадью лг2—л(3- 10_5)2=9л-10~10 см2. Если считать, что рентгеновские фотоны вылетали из точечного источника по всем направлениям одинаково, то они равномерно распределялись по сфере с поверхностью 4nd2==4n(0,02)2 см2=16л-10"4 см2.

Таким образом, вероятность попадания фотона в «цель» составляла в опыте 9л« 10_^°/(16^* 10~4)—10-в/1,8. Это означает, что в среднем один из 1 800 000 фотонов попадал в пылинку. Если учесть, что

8 а. А, Детдаф, Б. М. Яворский — 225 —

в одну секунду испускалось всего 1000 фотонов, то попадание фотона в пылинку происходило весьма редко. В согласии с результатами опыта один фотон попадал в цель в среднем каждые 30 мин. Таким образом, с квантовой точки зрения опыт получает простое объяснение. Между тем его истолкование с волновой точки зрения оказывается невозможным.

Если считать, что рентгеновское излучение распространяется в виде сферических волн, а не отдельных фотонов, то каждый рентгеновский импульс передавал бы пылинке очень малую энергию. Эта энергия, кроме того, должна была бы распределяться между огромным числом электронов, содержащихся в пылинке. Поэтому практически невероятно, чтобы один из электронов мог накопить энергию, достаточную для совершения работы выхода из пылинки, не только за 30 мин, но и за существенно больший срок облучения.

Из представлений о свете, как о потоке дискретных фотонов, взаимодействующих с регистрирующим прибором (глазом, фотоэлементом и т、п.) независимо друг от друга, следует, что при регистрации очень слабых световых потоков должны обнаруживаться заметные флуктуации их интенсивностей. Эти флуктуации обусловливаются случайными отклонениями числа фотонов N、попадающих в прибор за 1 с, от некоторого среднего значения. Из теории флуктуаций (см. т. I, § 12.6) следует, что относительная флуктуация интенсивности света обратно пропорциональна /Л/\ В обычных световых потоках N столь велико, что обнаружить ничтожно малые относительные флуктуации их интенсивности практически невозможно-

Опыты по обнаружению флуктуаций слабых потоков видимого света впервые были осуществлены С. И. Вавиловым и его сотрудниками. Наблюдения осуществлялись визуально и были основаны на том, что после достаточно длительного пребывания в темноте человеческий глаз обладает резким порогом зрительного ощущения, т. е. зрительно воспринимает свет, интенсивность которого не меньше некоторого определенного значения. Для света с длиной волны 525 нм порог зрительного ощущения у разных наблюдателей соответствует падению на глаз за 1 с от 200 до 400 фотонов. В опытах Вавилова наблюдались периодически повторяющиеся вспышки слабого источника, средняя интенсивность света которого совпадала с порогом зрительного ощущения наблюдателя. Вследствие флуктуаций интенсивности света, соответствующего различным вспышкам, наблюдатель часть вспышек видел, а часть ——не видел. Эти опыты явились убедительным доказательством наличия у света квантовых свойств.

Действие света на поглощающие его вещества может вызывать химические превращения веществ, называемые фотохимическими реакциями. Например, при освещении паров брома молекулы Вг2 диссоциируют на два атома; молекула бромистого серебра AgBr под действием света разлагается на атомы серебра и брома. В некоторых случаях освещение вызывает образование сложных молекул из более простых.

Если при фотохимической реакции не происходит никаких вторичных процессов, связанных с химической активностью веществ,

которые возникают в результате фотохимической реакции, то спра・ ведлив следующий экспериментально установленный основной закон фотохимии (закон Бунзена — Роско): масса т фотохимически прореагировавшего вещества пропорциональна энергии W поглощенного с驼та:

m=kW. (11.5)

Коэффициент пропорциональности k зависит от рода реакции н частоты V света. Зависимость 力 от %, а также существование для каждой фотохимической реакции красной границы, т. е. некоторой минимальной частоты v0 химически активного света, было объяснено Эйнштейном на основе квантового характера поглощения света веществом. Для фотохимического превращения одной молекулы вещества необходима некоторая энергия Wai называемая энергией активации этого превращения. Следовательно, фотон способен вызвать это превращение только в том случае, когда энергия фотона hv^Wa. Минимальная частота химически активного света

vQ^Wjh. (11.6)

Эйнштейн высказал также предположение о том, что каждый фотон, поглощенный веществом, может вызвать фотохимическое превращение только одной поглотившей его молекулы (фотохимическое соотношение Эйнштейна). Поэтому число N молекул вещества, претерпевающих фотохимическое превращение при поглощении энергии /=1, обратно пропорционально энергии 禽 одного фотона (при v>v0):

N 〜(1L7)

где X=c/v — длина волны света. Масса прореагировавшего вещества m—N\ilN^ где 卩——молярная масса. С другой стороны, из формулы (11.5) следует, что m=k при W=l. Следовательно,

左〜卩/(加).

Фотохимическое соотношение Эйнштейна весьма часто нарушается. Иногда на один поглощенный фотон приходится множество молекул, участвующих в химических превращениях. Примером может служить цепная реакция образования на свету НС1 из Н2 и Cl2t происходящего со взрывом. Освещение служит при этом толчком к началу химического процесса, который затем развивается самостоятельно.

Необходимым условием протекания фотохимической реакции является поглощение света веществом. Если для данной частоты v света вещество прозрачно, то не будет ни поглощения, ни фотохимического процесса. Однако в этом случае можно осуществить фотохимическую реакцию, если добавить к исследуемому веществу другое, которое поглощает свет частоты v. Молекулы второго вещества, называемого сенсибилизатором, поглощают фотоны hx и полученную таким образом энергию передают при столкновениях молекулам исследуемого вещества. Очевидно, что такие сенсибилизированные фотохимические реакции могут происходить при доста-

точно частых соударениях между молекулами сенсибилизатора и изучаемого вещества, т. е. в твердых и жидких средах. В противном случае молекула сенсибилизатора «высветится» — потеряет полученную ею энергию — раньше, чем она успеет передать ее молекуле, которая должна подвергнуться фотохимическому превращению.

Масса и импульс фотона

До сих пор при объяснении квантовых оптических явлений мы использовали только одну характеристику фотона ——его энергию ^=hv. Помимо энергии фотон обладает также массой и импульсом (количеством движения).

Формула для массы фотона может быть непосредственно выведена из формулы (9.35), выражающей взаимосвязь массы и энергии в теории относительности:

加=九V/炉.(11.8)

Масса фотона существенно отличается от массы макроскопических тел и масс других «элементарных» частиц. Это отличие состоит в том, что фотон не обладает массой покоя /п0.

В самом деле, для фотона, движущегося в вакууме, v~c и применение формулы (9.31), выражающей зависимость массы от скорости, приводит к абсурду (m=oo), если считать, что у фотона существует отличная от нуля масса покоя. Таким образом, для фотона то=О, т. е. покоящихся фотонов не существует. Но тогда очевидно, что фотон всегда в любом веществе движется со скоростью и=с, так как при。考с масса и энергия фотона были бы равны нулю, что противоречит формуле (11.8). Этот вывод не противоречит тому, что фазовая и групповая скорости света в веществе отличны от с. Дело в том, что распространение света в среде сопровождается процессами «переиз- лучения» ——фотоны поглощаются и вновь испускаются частицами среды. «Переизлученные» фотоны соответствуют тем вторичным волнам, о которых шла речь в § 7.2. Уменьшение (или в случае аномальной дисперсии увеличение) фазовой скорости у света в данной среде в раз по сравнению с' вакуумом связано с тем, что «переизлучение» фотонов частицами среды происходит не синхронно с поглощением этими частицами падающих на них фотонов.

Отметим, что изучение распространения фотонов в веществе принадлежит к числу очень сложных задач, которые рассматриваются в современной квантовой электродинамике.

Из сказанного видно, что современные квантовые представления о свойствах света существенным образом отличаются от ньютоновской корпускулярной теории света. Световые корпускулы рассматривались Ньютоном как обычные механические частицы (с современной точки зрения такие частицы должны были бы иметь массу покоя т()#=0). Интересно отметить, что эту трудность корпускулярной теории понимал М. В. Ломоносов. Критикуя корпускулярную теорию света, Ломоносов говорил, что если бы она была справедлива, то должны были бы обнаруживаться соударения световых корпускул: при пере-

сечении световых пучков происходило бы «в лучах замешательство». При этом речь шла об обычном механическом ударе» подобном соударению шаров.

Импульс фотона р电 и его энергия е由 в соответствии с общей формулой (9.36) теории относительности связаны соотношением

疆=ср%+诉 с2.

Для фотона гПо = О и

p产詈=勺=他，(u.9)

где m ——масса фотона. Если ввести волновое число 尼=2冗/儿 то выражение (11.9) можно переписать в форме

Р巾=用^=* =亲尼=m，(119)

где ^=/i/2ji=1,05' Ю*34 Дж*с1.

Импульс фотона является векторной величиной. Направление импульса совпадает с направлением распространения света, характеризуемым волновым вектором к, который численно равен волновому числу. Следовательно,

р—к.(11.9")

Таким образом, фотон, подобно любой движущейся частице или телу, обладает энергией, массой и импульсом . Все эти три корпускулярные характеристики фотона связаны с волновой характеристикой света — его частотой v. В § 11.5 мы еще вернемся к обсуждению этого очень важного вопроса.

Одним из экспериментальных подтверждений наличия у фотонов импульса является существование светового давления, подробно рассмотренного в § 3.4 с волновой точки зрения.

В самом деле, с квантовой точки зрения давление света на поверхность какого-либо тела обусловлено тем, что при соударении с этой поверхностью каждый фотон передает ей свой импульс. Выше мы уже говорили о том, что фотон может двигаться только со скоростью света в вакууме. Поэтому отражение света от поверхности тела, строго говоря, следует рассматривать как сложный процесс «переизлучения» фотонов ——падающий фотон поглощается поверхностью, а затем вновь излучается ею с противоположным направлением импульса. Однако совершенно очевидно, что при этом давленые света на отражающую поверхность должно быть таким же, каким оно было бы в том случае, если бы фотоны зеркал ь н о отражались от поверхности подобно абсолютно упругим шарикам. В дальнейшем мы будем широко пользоваться этим формальным приемом, условно рассматривая процессы отражения и рассеяния света как процессы отражения и рассеяния фотонов.

Найдем давление, производимое на идеально отражающие стенки замкнутой полости изотропным монохроматическим излучением, заключенным в этой полости. Для простоты предположим, что полость имеет форму куба с ребром, равным /. Ввиду изотропности излучения можно считать, что все направления движения фотонов равновероятны, т. е. фотоны движутся подобно молекулам идеального одноатомного газа. Давление идеального газа на стенки полости найдем из основного уравнения кинетической теории газов: рУ = у2т^'?- Н。口口只 фотсиювS=c и поэтому mjV^hv^

Таким образом,

где W — полная энергия всех фотонов в полости, а давление на ее стенки

"=而=@。(11.10)

Здесь w ——объемная плотность энергии излучения.

В качестве второго примера рассмотрим световое давление, которое оказывает на поверхность тела поток монохроматического излучения, падающего перпендикулярно поверхности. Существенное отличие этого примера от рассмотренного в п. 4 заключается в не изотропности падающего излучения ——все фотоны летят в одном направлении.

Пусть в единицу времени на единицу площади поверхности тела падает п фотонов. Если коэффициент отражения света от поверхности тела равен R, то Rn фотонов отражается, а (1——R) и — поглощается. Каждый отраженный фотон передает стенке импульс, равный 2卩由= =2/rv/c (при отражении импульс фотона изменяется на ——卩电).Каждый поглощенный фотон передает стенке свой импульс p^hvlc. Таким образом, давление света на поверхность, равное импульсу, который передают поверхности за 1 с все и фотонов, выражается следующей формулой:

P —+ ~ (1 -R) *

или

" = W(1 + R) = ^(l+R) = w(l+R),(11.11)

где I=nhv——энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности за единицу времени, т. е. интенсивность света, a w=Hc — объемная плотность энергии падающего излучения. Формула (11.11) подтверждается экспериментальными результатами Лебедева по измерению светового давления (§ 3.4).

Эффект Комптона

Квантовые свойства света проявляются в явлении, которое обнаружил А. Комптоп (1923), наблюдая рассеяние монохроматических рентгеновских лучей «ле! кими» веществами (графит, пара-

фин и др.). В § 14.11 мы подробнее остановимся на происхождении и свойствах рентгеновских лучей, которые представляют собой электромагнитные волны с меньшей длиной волны, чем ультрафиолетовое излучение. Схема опыта Комптона изображена на рис. 11.8. Узкий диафрагмированный пучок монохроматических рентгеновских лучей падает на «легкое» рассеивающее вещество К и после рассеяния на угол 行 попадает в приемник — рентгеновский спектрограф D, где измеряется длина волны рассеянного излучения.

Опыты Комптона показали, что длина волны X рассеянного излучения больше длины волны 入 падающего излучения, причем разность X—入 зависит только от угла

рассеяния 卷：

(11.12)(11.12)А 九=А/ -一九=2K sin2 (3/2),

(11.12)

(11.12)

где 入长一так называемая комптоновская длина волны. Это явление получило название эффекта Комптона.

Рис. 11.8Рис. 11.8Классическая волновая теория

Рис. 11.8

Рис. 11.8

рассеяния света (см. §7,4) оказалась

бессильной в объяснении эффекта Комптона. Согласно этой теории, рассеяние света связано с возникновением в веществе под действием падающего света вторичных электромагнитных волн той ж е ч а с т о т ы (длины волны). ,

С квантовой точки зрения рассеяние света, как и фотоэффект, является результатом взаимодействия фотонов падающего на вещество излучения с электронами этого вещества. При этом взаимодействии должны выполняться законы сохранения энергии и импульса в системе вещество —— излучение, которую можно считать изолированной. Если предположить, что фотон падает на покоящийся 1 свободный электрон вещества и поглощается им, то одновременно

(ИЛЗ')(ИЛЗ')Первое уравнение выражает закон сохранения энергии, второе — закон сохранения импульса. Здесь т и и ——масса и скорость электрона после поглощения фотона, а 疗昆——масса покоя электрона. Учитывая зависимость m от у по формуле (9.31), эти уравнения можно переписать в следующей форме:

(ИЛЗ')

(ИЛЗ')

Легко видеть, что эти два равенства не могут выполняться одновременно при произвольных значениях v, отличных от 0 и оо. Таким образом, фотоэлектрическое поглощение света свободными электронами

Допущение, что электрон покоится, не ограничивает общности вывода.

невозможно: оно противоречит законам сохранения энергии и импульса.

(1L13")(1L13")Фотоэффект может происходить только на «связанных» электронах, находящихся, например, в атоме газа, твердом теле и т. д. В этом случае уравнения (11.13') принимают вид

(1L13")

(1L13")

方кн仔方十Р，

где W ——энергия связи электрона с системой, в которой он находится, а р ——импульс, передаваемый этой системе при фотоэффекте. Легко видеть, что при hv—W, малых по сравнению с т^, и«с и т^ ^-р=====1 ^ =-2^-, т. е. первое уравнение (11.13") совпа

дает с уравнением Эйнштейна (11.2) для внешнего фотоэффекта.

Рис. 11.9Рис. 11.9Для рассеяния света на электронах вещества условие «связанности» электронов не является обязательным, рассеяние света может происходить и на свободных , электронах, Комптон впервые показал, что квантовый подход к задаче рассеяния рентгеновских лучей на «почти» свободных электронах легких веществ приводит к результатам, существенно отличающимся от классических. Рассмотрим снова

Рис. 11.9

Рис. 11.9

покоя Wo^moc^.покоя Wo^moc^.взаимодействие падающего фотона, обладающего импульсом "巾=%со/с=方归 и энергией %二方① (①=2汽中一цикличежая частота света), со свободным покоящимся электроном, имеющим энергию Предположим, что происходит рассеяние фотона

покоя Wo^moc^.

покоя Wo^moc^.

на электроне, в результате которого импульс и энергия фотона становятся равными р$ и £ф=срф. Электрон при этом приобретает импульс ре и энергию W = cj/pe + ^a. Векторная диаграмма импульсов при рассеянии изображена на рис. 11.9. Запишем выражения для законов сохранения энергии и импульса: •

(И-14)(11.14')(И-14)(11.14')(11.14")(11.14")闷0 + % = К + еф>Рф^Ре + Рф-

(И-14)(11.14')

(И-14)(11.14')

(11.14")

(11.14")

Выражение (11Л4) подробнее записывается так: тйс^+ср^ = с УТГГ^5 + 叩$.

Из выражений (11.14') и (11.14w) найдем связь между 處 и "©. При этом нужно учесть, что pl = (рф—Рф)2 = Рф—2p^ cos^ + Рф2. Простые вычисления приводят к результату

Рф~~ Рф т()с + рф (1 — COS^) '

-232 у

Заменяя импульсы фотонов их значениями 戸今=方①/с и pj=%6/c, получаем

6 = 3——*(11.15)

m“2+方①(1 —cos金)

Из формулы (11,15) видно, что циклическая частота рассеянного света о/ отлична от циклической частоты со падающего. Они совпадают лишь в двух случаях. Во-первых, при 3=0, что соответствует отсутствию рассеяния, во-втошях, когда падающее излучение имеет настолько малую частоту, что 方&)W加户，В этом случае очень мягкого рентгеновского излучения вторым членом в знаменателе формулы (11.15) можно пренебречь и s'=s. Такое рассеяние рентгеновского излучения называется когерентным. Из формулы (11.15) можно вычислить изменение длины волны, происходящее при комптоновском рассеянии. Заменяя со по формуле ⑨=2зтс/入,после несложных преобразований получим

△А =九'一九=2备sin? (8/2).(11.16)

Из этой формулы следует в согласии с опытом, что увеличение длины волны при эффекте Комптона зависит только от угла рассеяния 令.Наибольшее увеличение длины волны происходит при 心^冗, т. е. в случае, когда фотон рассеивается в сторону, противоположную первоначальному направлению его движения.

Существенно, что А九 не зависит от длины волны падающего света и свойств рассеивающего вещества.

Из сопоставления формул (11.12) и (11.16) следует, что комптоновская длина волны

底=鳥= 2,42621 (6) • 107м.

Иногда применяется также величина .

Электрон, который в эффекте Кемптона приобретает импульс рй и энергию 步, называется электроном отдачи. Найдем кинетическую энергию 1Кк, которую приобретает электрон отдачи. Так как 叭=”一％, то закон сохранения энергии (11.14) можно написать в форме 方co = %d +步к или 1 —-1--^- . Используя формулу

(11.15), после несложных(11.15), после несложныхпреобразований получимпреобразований получим

(11.15), после несложных

(11.15), после несложных

преобразований получим

преобразований получим

步'K =反0步'K =反0“ 26 Sin2 (仆/2) Г+ 2d sin2 (Й/2)，“ 26 Sin2 (仆/2) Г+ 2d sin2 (Й/2)，(Н.17)(Н.17)

步'K =反0

步'K =反0

“ 26 Sin2 (仆/2) Г+ 2d sin2 (Й/2)，

“ 26 Sin2 (仆/2) Г+ 2d sin2 (Й/2)，

(Н.17)

(Н.17)

где 6=%»//nQ

Наибольшую кинетическую энергию электрон отдачи приобретает при 赤=Jt, т. е. при рассеянии фотона «назад»:

rK = U 26/(1 + 26).(11.1Г)

§ H.5. Корпускулярно-волновая двойственность свойств света

Все изложенное в предыдущих параграфах этой главы служит, казалось бы, убедительным доказательством справедливости квантовых (корпускулярных) представлений о свойствах света. Однако, с другой стороны, большая группа оптических явлений, рассмотренных в гл, V, VI и VIII, неопровержимо свидетельствует о волновых свойствах света.

Известный английский физик Д. Рэлей утверждал, что в «области интерференции волновая теория одержала величайшие победы», В связи с этим возникает вопрос: что же такое свет? «Неужели мы должны считать свет состоящим из корпускул в понедельник, вторник и среду, пока мы проделываем опыты с фотоэффектом и эффектом Ком。 птона, и представлять себе его волнами в четверг, пятницу и субботу, когда мы работаем с явлениями дифракции и интерференции?» Этот вопрос, поставленный в такой форме У. Брэггом, можно сформулировать иначе: что представляет собой свет ——непрерывные электромаг* нитные волны, излучаемые источником, или поток дискретных фотонов, беспорядочно испускаемых источником? Необходимость приписывать свету, с одной стороны, квантовые, корпускулярные свойства, а с другой стороны, волновые — может создать впечатление несовершенности наших знаний о свойствах света. Необходимость пользоваться при объяснении экспериментальных фактов различными и как будто бы исключающими друг друга представлениями кажется искусственной. Хочется думать, что все многообразие оптических явлений можно объяснить на основе одной из этих двух точек зрения на свойства света.

Одним из наиболее значительных достижений физики нашего века является постепенное убеждение в ошибочности попытки про* тивопоставить друг другу волновые и квантовые свойства света. Свойства непрерывности, характерные для электромагнитного поля световой волны, не исключают свойств дискретности, характерных для световых квантов — фотонов. Свет одновременно обладает свойствами непрерывных электромагнитных волн и свойствами дискретных фотонов. Он представляет собой диалектическое единство этих противоположных свойств. Однако в проявлении этих противоположных свойств света имеется вполне определенная закономерность. С уменьшением длины волны (увеличением частоты) все более отчетливо проявляются квантовые свойства света. С этим связано, например, существование красной границы для фотоэффекта и фотохимических реакций. Вместе с тем волновые свойства коротковолнового излучения (например, рентгеновского) проявляются весьма слабо. Мы убедились в этом, в частности, при изучении дифракции рентгеновских лучей (см. § 6.4). Лишь после того, как в качестве дифракционной решетки была использована кристаллическая решетка твердых тел, удалось обнаружить волновые свойства (дифракцию) рентгеновских лучей. Еще в большей степени это справедливо для у-излучения. Наоборот, у длинноволнового излучения квантовые свойства проявляются в малой степени и основную роль играют его волновые свойства. Именно по

этому большая группа оптических явлений (интерференция, дифракция, поляризация и др.) получает свое исчерпывающее объяснение в волновой оптике. Таким образом, если «перемещаться» по шкале электромагнитных волн слева направо, от длинных воли в сторону более коротких, то волновые свойства электромагнитного излучения будут постепенно уступать место все более отчетливо проявляющимся квантовым свойствам.

Одновременное существование у света волновых и квантовых свойств, естественно, ставит вопрос об их сочетании и взаимозависимости.

Взаимосвязь между двойственными корпускулярно-волновыми свойствами света находит простое истолкование при статистическом подходе к рассмотрению вопроса о распространении света. В самом деле, все квантовые оптические явления убеждают нас в том, что свет —— это поток дискретных частиц-фотонов, в которых локализованы энергия, импульс и масса излучения. Взаимодействие фотонов с веществом при прохождении света через какую-нибудь оптическую систему (например, дифракционную решетку) приводит к перераспределению фотонов в пространстве и возникновению дифракционной картины на экране, расположенном на пути света, прошедшего сквозь систему. Очевидно, что освещенности £ экрана в различных точках прямо пропорциональны суммарным энергиям фотонов, попадающих в эти точки за единицу времени. Для монохроматического света £= =dn/dS1 где dn/dS=nQ ——число фотонов, падающих на площадку dS поверхности экрана за единицу времени. Величины и0 и Е пропорциональны вероятности попадания фотонов в рассматриваемую точку экрана. С другой стороны, решение этой дифракционной задачи на основе волновых представлений о свойствах света показывает, что освещенность Е пропорциональна интенсивности / света в рассматриваемой точке экрана. Поскольку / 〜А2, где А ——амплитуда свето вой волны, то 巨〜4气

Из сопоставления двух выражений для £, полученных выше, можно сделать следующий вывод: квадрат амплитуды световой волны в какой-либо точке пространства является мерой вероятности попадания фотонов в эту точку.

Таким образом, корпускулярные и волновые свойства света не исключают, а наоборот, взаимно дополняют друг друга. Они отражают две различные, но в то же время тесно взаимосвязанные закономерности распространения электромагнитного излучения и его вза~ имодействия с веществом. Корпускулярные свойства обусловлены тем, что энергия, импульс и масса излучения локализованы в дискретных «частицах» — фотонах, волновые — статистическими закономерностями распределения фотонов в пространстве, т. е. закономерностями, определяющими вероятности нахождения фотонов в различных точках пространства.

Из опытов по дифракции света известно, что при изменении интенсивности падающего светового потока характер дифракционной картины, возникающей от данного препятствия, т. е. соотношение между интенсивностями в одних и тех же точках экрана, не изменяется.

Это дает основание считать, чю волновые свойства присущи не только совокупности большого числа одновременно движущихся фотонов, но также каждому отдельному фотону. Волновые свойства фотона проявляются в том, что для него нельзя указать точно, в какую именно точку экрана он попадет после прохождения через рассматриваемую оптическую систему. Можно говорить лишь о вероятностях попадания каждого фотона в различные точки экрана. Таким образом, фотоны качественно отличаются от световых корпускул Ньютона, движение которых, как считал Ньютон, подобно движению макроскопических тел, однозначно определяется вторым .законом динамики Ньютона и начальными условиями. Из сказанного ясно, что создание квантовой теории света отнюдь не означало возврата к механической корпускулярной теории Ньютона.

Глава XII

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

§ 12.1. Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц вещества

Французский физик Луи де Бройль пришел к выводу (1924), что корпускулярно-волновая двойственность свойств характерна не только для света. Если по мере возрастания частоты света его волновые свойства все труднее обнаружить, то можно предположить существование еще более коротких волн, чем у у-излучения, связанных каким-то образом с частицами вещества — злекгронамн, нейтронами, атомами, молекулами и т. д.

Оставим пока в стороне вопрос о природе этих волн» хотя сразу же подчеркнем, что волны эти, как будет показано, не электромагнитные. Они имеют специфическую природу, для которой нельзя найти аналогии в классической физике.

Соотношение (11.9) для импульса фотона р巾=用/入 де Бройль обобщил, предположив, что оно имеет универсальный характер для любых волновых процессов, связанных с частицами, обладающими импульсом р:

^Ыр. (12.1)

Формула (12.1) называется формулой де Бройля и является одним из соотношений, лежащих в основе современной физики. Для частицы с массой т, движущейся со скоростью и «с,

入=力/(/7比). (12 2)

(12.2')(12.2')Если частица имеет кинетическую энергию W, то, заменяя ее импульс р энергией W по формуле р=]/2孔历，можно записать (12,2) в форме

(12.2')

(12.2')

-(2m威У?? *

В частности, для электрона» ускоряющегося в электрическом поле с разностью потенциалов А ср, имеем W^nw^/'l^e^, где е —— заряд электрона. Подставив в формулу (12.2‘) это выражение для W и значения всех постоянных, получим формулу, обычно применяемую в практических расчетах (Д(р ——в вольтах, X — в ангстремах):

(12.3)(12.3)а 12,25

(12.3)

(12.3)

Л = —/ ：■.

/ Аф

Формула де Бройля экспериментально подтвердилась в опытах К. Дэвиссона и Л. Джермера (1927), наблюдавших рассеяние электронов монокристаллом никеля. Схема опытов изображена на рис. 12.1. Пучок электронов направлялся из электронной пушки на поверхность заземленного кристалла никеля и отражался от него. Устройство пушки позволяло задавать электронам, вылетающим из нее, опреде-

ленную скорость. Электроны, рассеянные монокристаллом, улавливали приемником ——цилиндром Фарадея (см. т. II, § 4.1), который перемещали в плоскости, проходящей через падающий и отраженный пучки электронов, так что приемник мог фиксировать электроны, рассеянные под различными углами. Ток в детекторе изменялся в зависимости от изменения энергии электронов и углов их рассеяния. Число электронов, попадавших в цилиндр Фарадея, регистрировалось по силе тока в электрической цепи цилиндра (на рис. 12.1 не показана). С классической точки зрения электроны, обладающие произ

вольной кинетической энергией, могут рассеиваться под всевозможными углами в соответствии с законами отражения геометрической оптики.

На рис. 12.2 изображена кристаллическая решетка никеля, на котором производился опыт по рассеянию электронов под углом =65°, На рис. 12.3 приведена полученная для этого случая зависимость числа рассеянных электронов от их кинетической энергии. Мерой числа электронов является сила тока / в приемнике. Видно, что при энергии П7=54 эВ наблюдался максимум числа отраженных электронов, совершенно неожиданный с классической точки зрения. Из результатов опыта следует, что рассеяние электронов монокристаллом никеля напоминает отражение таким кристаллом рентгеновских лучей. В § 6.4 мы видели, что отражение рентгеновских лучей происходит лишь для определенных длин волн, удовлетворяющих условию Вульфа —— Брэгга

1A=2d sin 8. (123)

На рис. 12.4 показаны полученные в опытах Дэвиссона и Джермера максимумы интенсивности рассеянных электронов, соответствующие определенным значениям их кинетических энергий.

Определенность энергии электронов, при которой наблюдается отражение, обусловлена тем, что рассеяние электронов связано с их волновыми свойствами и длина волны, связанной с движущимся электроном, зависит от его кинетической энергии. Из формулы (12.3) при А(р=54 В имеем 2=1,67 А. По формуле Вульфа — Брэгга, при п=\ (см. рис. 12.2) получаем

^ = 2-0,91 sin 65° = 1,65А,

Это совпадение подтвердилось при других значениях энергии электронов и углов рассеяния. Некоторое расхождение между длинами волн, вычисленными по формулам (12.3) и (12.3'), объясняется тем, что волны, соответствующие движущимся электронам, испытывают преломление на границе кристалла. Расчеты, учитывающие этот эсрфект, привели к полному согласию формулы де Бройля с экспериментальными данными.

Вскоре после опытов Дэвиссона и Джермера волновые свойства электронов были обнаружены в экспериментальных исследованиях П. С. Тартаковского в Ленинградском и Г. Томсона в Эбердинском университетах. Опыты эти состояли в прохождении пучков электронов сквозь тонкие пленки (толщиной порядка 10~5 см) поликристалли- ческой структуры. По своей постановке эти опыты были аналогичны

Рис. 12.5

осуществлению д[^фpaкцип рентгеновских лучей по методу Дебая —— Шеррера, рассмотренному в § 6.4.

На рис. 12.5 представлены фотографии дифракционных картин, полученных при рассеянии рентгеновских лучей пластинкой алюминия и пучка электронов, прошедших сквозь тонкие пленки золота и меди. Пользуясь подобными фотографиями, Г. Томсон проверил формулу де Бройля (12.2) и определил по полученным значениям и формуле (12,3) период кристаллической решетки металла, через который проходили электроны. Результаты совпали с известными ранее данными рентгеноструктурного анализа.

В методе Дебая — Шеррера диаметр D дифракционного кольца данного порядка прямо пропорционален длине волны, поэтому отношение Q/入 для данного материала при неизменном расстоянии от образца до фотопластинки должно оставаться постоянным. Аналогичные результаты были получены при дифракции электронов.

В 1949 г. в Москве Л. М. Биберманом, Н. С. Сушкиным и В. А. Фабрикантом были осуществлены опыты по дифракции одиночных, поочередно летящих электронов. Интенсивность электронного пучка в этих опытах была столь малой, что на тонкую пленку вещества одновременно попадал только один электрон.

Из изложенного в§ 11.5 ясно, каковы были бы результаты опыта, состоящего в последовательном «обстреле» фотонами некоторого

препятствия. Мы видели, что результаты наблюдения после многократного «обстрела» соответствовал бы дифракционной кЙртине, полученной на данном препятствии при облучении его световым потоком, состоящим из большого числа фотонов* Аналогичный результат получился в опытах по дифракции поочередно летящих электронов. На рис. 12.6 изображена фотография типичной дифракционной картины, полученной от поочередно летящих электронов в результате многократного «обстрела» вещества элект-

Рис. 12.6ронами. Она не отличается от дифракцион

ных картин, получаемых сразу при обыч

ных интенсивностях электронных пучков.

Для исследования структуры вещества наряду с рентгеноструктурным анализом в настоящее время широко используется метод электронографии. Он основан на том, что дифракционные эффекты для электронов наблюдаются лишь при условии, что длина волны, связанной с электронами, имеет порядок величины межатомного расстояния в веществе. В связи с тем что электроны имеют значительно меньшую проникающую способность, чем рентгеновское излучение, электронография чаще применяется для исследования структуры поверхностей твердых тел, например при изучении коррозии и катализа. Для молекул газов, адсорбированных на поверхности твердого тела, с помощью дифракции электронов могут быть найдены межатомные расстояния и получены другие сведения, характеризующие структуру молекул.

или число,(12.4)(124)или число,(12.4)(124)В формуле де Бройля нет ничего специфического для электрона как определенной частицы. Волновые свойства должны быть присущи любой частице вещества, имеющей массу т и скорость а В 1929 г, опытами О. Штерна и его сотрудников была доказана применимость формулы де Бройля (12.2) к пучкам атомов и молекул. Приняв, что скорость частицы в пучке равна наивероятной скорости молекулы при температуре Т: u^ — V^RTj^, где R — универсальная газовая постоянная, 卩 —— молярная масса вещества (см. т. I, § 11.2), и вычислив массу молекулы по формуле 团=卩/%八(乂八—постоянная, Авогадро), можно соотношение (12.2) переписать в виде

или число,

(12.4)

(124)

или число,

(12.4)

(124)

入=hN a/V 2 卩 RT.

Подставив в (12.4) значения /г, ^A и R, получим

唸е 入 выражается в ангстремах

При температуре Т = 360К это дает для водорода в (ц = 0,002 кг/моль)入=1,§А и для гелия (卩=0,004 кг/моль)九 в 0,9 А, т, е, величины 九，соизмеримые с периодами кристаллических решеток твердых тел. При отражении пучков атомов и молекул от поверхностей твердых тел должны наблюдаться дифракционные явления, описываемые теми же соотношениями, которые справедливы для плоской (двумерной) дифракционной решетки (см. § 6.3). В опытах Штерна измерялась интенсивность пучков атомов гелия и молекул водорода, рассеянных под различными углами поверхностями кристаллов щелочно-галоид- ных солей. Наблюдались пучки, падающие и рассеянные в определенной плоскости. Результаты опытов показали, что помимо частиц, рассеянных под углом, равным углу падения, наблюдаются максимумы числа отраженных частиц под другими углами, определяемыми формулами двумерной дифракционной решетки. Если длину волны, связанную с движущимися атомами (или молекулами), вычислить по формуле (12.4'), то соотношения, определяющие направление интерференционного усиления на двумерной решетке, точно выполняются.

Опыты с атомными и молекулярными пучками крайне затруднительны ввиду малой интенсивности применяемых пучков. Они ценны тем, что подтвердили справедливость формулы де Бройля в виде (12,4) или (12.4‘) для нейтральных атомов и молекул.

Справедливость формулы де Бройля и наличие волновых свойств у частиц убедительно были доказаны в опытах по дифракции нейтронов на кристаллах. Опыты показывают, что отражение нейтронов от кристаллов твердых тел и их рассеяние в веществе происходят в соответствии с условием Вульфа — Брэгга (12.3'), где 九一длина волны, связанная с движущимся нейтроном и удовлетворяющая формуле де Бройля (12.2). Скорость нейтронов в этих опытах определялась независимо из максвелловского распределения нейтронов по скоростям при данной температуре.

В ряде случаев с помощью дифракции нейтронов можно успешнее, чем с помощью рентгеновских лучей или электронов, исследовать строение веществ. Этот метод носит название нейтронографии.

Дело в том, что нейтроны не обладают электрическим зарядом и не испытывают электрических сил взаимодействия с электронами и ядрами. Рентгеновские же лучи рассеиваются на атомных электронах, а пучки электронов, падающих на вещество, взаимодействуют как с атомными электронами, так и с ядрами. Поэтому для исследования структуры вещества, содержащего легкие атомы, рентгеновские лучи и электроны оказываются малопригодными. Так, для веществ, содержащих водород (например, органических кристаллов), дифракция рентгеновских лучей и электронов не позволяет обнаружить расположение атомов водорода, ибо на них рассеяние рентгеновских лучей и электронов незначительно. Наоборот, нейтроны весьма сильно вза~ имодействуют с ядрами атомов водорода посредством ядерных сил (см. § 16.5) и благодаря наличию у нейтрона и ядра водорода магнитных моментов (см. § 16.2). Это приводит к сильному рассеянию нейтронов на водороде, и дифракция нейтронов дает возможность исследовать структуру веществ, содержащих водород.

Изложенное в этом параграфе приводит к выводу о том, что наличие волновых свойств у движущихся частиц, обладающих массой покоя, представляет собой универсальное явление» не связанное с какой-либо спецификой движущейся частицы. Естественно, возникает вопрос о том, почему волновые свойства не обнаруживаются у макроскопических тел, например у летящей пули. Ответ на этот вопрос связан с особенностью формулы де Бройля и всех других формул квантовой физики, содержащих постоянную Планка. Если в формулах квантовой физики нельзя пренебречь постоянной /г^6,62-10-34 Дж-с, мы всегда будем получать неклассические результаты. Наоборот, если в формулах можно считать, что Я -> 0, то результаты квантовой физики совпадают с классическими. В частности, для тел, масса которых несоизмеримо велика по сравнению с массой атомов и молекул, можно считать, что 九一> 0 н никаких волновых свойств у таких тел не обнаружится (Х->0). Например, в случае с пулей массой т—10~3 кг при скорости и=102 м/с 九=? Л с： м = 6,62・

Легко сообразить, что такая длина волны никаким дифракционным опытом не может быть обнаружена. Поэтому можно считать, что волновые свойства у макроскопических тел практически отсутствуют.

Вторым независимым от формулы де Бройля соотношением,、 углубляющим представление о корпускулярно-волновой двойственности свойств частиц вещества, является перенесенная на эти частицы связь между полной энергией W свободной частицы и частотой v волн де Бройля:

呼=九州=方①，(12.5)

где 方=勿(2冗)и (o ——циклическая частота.

Она заимствуется из оптики, где в аналогичной форме связаны энергия кванта и частота света. Таким образом, соотношение между частотой и энергией фотона приобретает в современной физике характер универсального соотношения, справедливого для любых объектов, изучаемых в так называемой квантовой или волновой механике ——разделе современной физики, в котором изучаются законы движения частиц в области микромира (в линейных масштабах 10~*9—— 10-15 м). Объектами изучения квантовой механики являются атомы, молекулы, кристаллы, а также атомные ядра и «элементарные» частицы. В нашем курсе мы рассмотрим лишь некоторые элементы так называемой нерелятивистской квантовой механики, в которой изучаются движения частиц со скоростями и « с. При скоростях, сравнимых со скоростью света в вакууме, эта механика заменяется релятивистской квантовой механикой, изложение которой выходит за пределы данного курса.

Соотношение (12.5) в отличие от формулы де Бройля не являлось объектом экспериментальной проверки. Его справедливость вытекает из согласия с опытом тех теоретических результатов, которые были

получены с его помощью в квантовой механике, атомной и ядерной физике. Все дальнейшее изложение курса будет служить убедительным подтверждением этого.

Некоторые свойства волн де Бройля

Рассмотрим движение свободного электрона, которому согласно формуле де Бройля соответствует волна с длиной

一nW I p ,

Для краткости назовем ее в дальнейшем электронной волной. Для дальнейшего удобно ввести волновой вектор к (/г=2л/Х) и записать формулу де Бройля в виде

р = %к. (12.6)

В § 1.3 мы видели, что при наличии дисперсии следует различать две скорости волн — фазовую и巾аз и групповую и, связанные между собой соотношением (1.28).

Для любой волны помимо ее длины X рассматривается частота % связанная с длиной волны соотношением X^^a3/v, где уфаз ——фазовая скорость распространения волны. Очевидно, что фазовая и групповая скорости волны для частицы, свободно движущейся со скоростью и, должны быть как-то связаны с и. Для вычисления фазовой и групповой скоростей электронной волны недостаточно формулы \=hJр、 связывающей волновые свойства частицы (入)с ее корпускулярными свойствами (импульсом р). Нужно использовать, кроме того, соотношение (12.5), связывающее корпускулярную характеристику электрона ——его полную энергию W ——с частотой v электронной волны. Найдем фазовую скорость волн де Бройля, используя формулу (1.13‘)： уфаз=м/й. Умножая числитель и знаменатель правой части на 方 и используя формулы (12.5), (12.6) и (12.2), получаем

Асо W тс2 с2 с2 q

① Ilk p mv v h

Так как с > и, то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме. Как известно, фазовая скорость волн может быть как меньше, так и больше с в отличие от групповой скорости волн.

Электронные волны (и вообще волны де Бройля) должны испытывать большую дисперсию. Это следует из того, что скорость ифаз волн де Бройля оказывается зависящей от длины волны: 0旧3 〜 厶.

Групповую скорость волны де Бройля можно найти по формуле (1.27):

ds d (方со) dW

Г = сУр2 + т^ и 若Г = сУр2 + т^ и 若c3my тс2c3my тс2=0.=0.Для свободной частицы по формуле (9.36)

Г = сУр2 + т^ и 若

Г = сУр2 + т^ и 若

c3my тс2

c3my тс2

=0.

=0.

а =а ==о.=о.Следовательно, групповая скорость волн 0е Бройля равна скорости частицы:

а =

а =

=о.

=о.

(12.9)

Этот результат имеет существенное значение и сыграл в cqoe время важную роль в развитии принципиальных основ квантовой механики. Дело в том, что после обнаружения волновых свойств у частиц вещества и установления корпускулярно-волновой двойсгвенности свойств частиц была сделана попытка рассматривать частицы как волновые пакеты сколь угодно малой протяженности и таким образом «освободиться» от двойственности свойств частиц. Это как будто соответствовало тому, что частица локализована в данный момент времени б определенной малой области пространства. С другой стороны, эта гипотеза как будто подтверждалась тем, что групповая скорость распространения максимума амплитуды «узкого» пакета совпадает со скоростью частицы. Однако эта гипотеза оказалась ошибочной. Дело в том, что все составляющие пакет синусоидальные волны распространяются независимо друг от друга (см. § 1.3). При наличии большой дисперсии, свойственной электронным волнам (или другим волнам, связанным с частицами вещества), фазовые скорости распространения отдельных составляющих волнового пакета различны и волновой пакет «расплывается». Для частиц с массой порядка массы электрона время расплывания пакета оказывается ничтожно малым (порядка 10~2в с!). Таким образом, попытка «избавиться» от корпускулярно-волновой двойственности свойств частиц вещества с помощью рассмотрения их как волновых пакетов не удалась. Причина этого весьма глубокая — двойственность свойств частиц является объективной закономерностью, проявляющейся в многочисленных явлениях, изучаемых физикой.

Связь между корпускулярными и волновыми свойствами свободных частиц, обладающих массой m и скоростью и, представлена б табл. 12.1.

Таблица 12.1

Волновые спсйстваВолновые спсйстваКорпускулярные свойства

Волновые спсйства

Волновые спсйства

Скорость уДлина волны де Бройля \ = h/mv — h/p

Импульс p = mvЧасюта волны де Бройля v = W/h -- mc^/h

Энергия W = mc2Групповая скорость волн де Бройля “ =。

Фазовая скорость волн де Бройля Уфаз = с2/и

Вероятностный смысл воли де Бройля

Мы не касались до сих пор вопроса о физическом смысле волн, связанных с движущимися частицами. Было лишь подчеркнуто, что волны де Бройля не электромагнитные. В самом деле, электромагнитные волны, как показано в гл. III, представляют собой

распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное поле. Распространение же волн де Бройля не связано с распространением в пространстве какого-либо электромагнитного поля. Можно было бы думать, что с движущимися в пространстве заряженными частицами (электронами, протонами, ионами, а также с нейтральными молекулами, обладающими дипольными и мультипольными электрическими моментами), могущими в известных случаях (см. § 3.2) изучать электромагнитные волны, связан какой-то дополнительный особый волновой электромагнитный процесс. Однако эксперименты опровергают это. С равномерно и прямолинейно движущимися заряженными частицами, как известно, не связано распространение электромагнитных волн L Волновые же свойства электронов наблюдаются и в случае их равномерного движения. Таким образом, электромагнитная природа волн, связанных с движущимися частицами вещества, полностью исключается. Можно показать также, что исключается природа любых других волн, известных в классической физике.

Волны де Бройля, связанные с движущимися частицами вещества, имеют специфическую квантовую природу, не имеющую аналогий в классической физике.

Для понимания физического смысла волн де Бройля существенную помощь может оказать рассмотренное в § 11.5 взаимоотношение между корпускулярными и волновыми свойствами света. Вопрос о природе волн, связанных с частицами вещества, можно сформулировать как вопрос о физическом смысле амплитуды этих волн. Вместо амплитуды Л удобнее рассматривать интенсивность волны, пропорциональную |А| ——квадрату модуля амплитуды 2.

Из опытов по дифракции электронов, рассмотренных в § 12.1, следует, что в этих экспериментах обнаруживается неодинаковое распределение пучков электронов, отраженных или рассеянных по различным направлениям: в некоторых направлениях наблюдается большее число электронов, чем во всех других. С волновой точки зрения наличие максимумов числа электронов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. Другими словами, интенсивность волн в данной точке пространства определяет число электронов, попавших в эту точку за 1 с. Это послужило основанием для своеобразного статистического, вероятностного истолкования волн де Бройля. Квадрат модуля амплитуда волн де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается s этой точке. Изложенное в § 11.5 указывает на аналогичную, по существу, интерпретацию взаимоотношения между корпускулярными и волновыми свойствами света.

Для того чтобы описать распределение вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой области пространства, введем некоторую функцию Т (х, у, z,方)，называемую волновой функцией (или пси-функцией). Определим ее следующим образом: вероят-

ность dw того, что частица находится в элементе объема dV, пропорциональна |¥|2 и элементу объема dV:

d5 = |W『d，=FPFdxdyd2.(12Л0)

Физический смысл имеет не сама функция У, а квадрат ее модуля: |^|2—ТТ *, где Чг* ——функция, комплексно-сопряженная с Т. Величина |Т |2 имеет смысл плотности вероятности:

Р® = ^ = 1"，В」。')

т. е. определяет вероятность пребывания частицы в данной точке пространства. Иными словами, величиной 严户 определяется интенсивность волн де Бройля. Такая интерпретация волновой функции ¥ объясняет, почему волны де Бройля иногда называют «волнами вероятности». Из определения волновой функции следует, что она должна удовлетворять следующему условию,' называемому условием нормировки вероятностей:

\ S dxdydz^l, (12.11) —СО — 8 — 8

где тройной интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам 招 н z от —оо до сх>. В самом деле, 9To условие означает, что пребывание частицы где-либо в пространстве есть достоверное событие и его вероятность должна быть равна единице. На других важных условиях, которым должна удовлетворять V-фупкция, мы остановимся в § 12.5.

Волновая функция 4f является основной характеристикой состояния микрообъектов (элементарных частиц, атомов, молекул). С ее помощью в квантовой механике могут быть вычислены средние значения физических величин, которые характеризуют данный объект, находящийся в состоянии, описываемом волновой функцией Т. Вычислим, например, среднее расстояние <г> от электрона до ядра в атоме. Вероятность обнаружить электрон в атоме в элементе объема d匕 согласно (12.10), равна 14f図匕 Величина S= , , J r^^dxdydz.

—CO — X — 8

очевидно, представляет собой сумму произведений всевозможных расстояний 尸 от электрона до ядра на вероятность этих расстояний. Среднее значение <г> расстояния электрона от ядра выразится отношение величины S к полной вероятности обнаружить электрон в какой- либо точке пространства:

§ , J r\^^dxdydz

)S \^^dxdydz

Знаменатель этой дроби в силу (12.11) равен единице, поэтому

8 8 8S 0cs

<r>= J J J r\W\2dxdydz = J S J r^^dxdydz, (12.1 Г) — СО — СО — СО— X — X — со

ибо 閏户=屮・屮*. Аналогичная формула получается для среднего значения квадрата расстояния:

1>= f J J r^W^dxdydz.(12.11")

—00 — СО — 8

Формула (12.11") имеет большое значение для объяснения процессов излучения и поглощения света в квантовой механике (см. § 14.8).

Соотношения

неопределенностей Гейзенберга

Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц, изучаемых в квантовой механике, и статистический смысл Т-функ- ции, заданием которой определяется состояние частицы в пространстве, приводят к весьма важному вопросу огранице применимости понятий классической физики в микромире. Сама по себе постановка этого вопроса не должна вызывать удивления. Дело в том, что и в классической физике некоторые привычные понятия в определенных случаях имеют границы применимости. Например, понятие температуры неприменимо к одной молекуле, понятие о точечной локализации (о пребывании в определенной точке) не может быть применено к определению положения в пространстве электромагнитной BOv4Hbi. Таких примеров можно было бы привести достаточно много. Подобно этому, в квантовой механике оказывается невозможным одновременно характеризовать объект микромира его координатами (положением в пространстве) и импульсом (в классическом смысле этих понятий).

В § 5.1 обсуждался вопрос о том, что ограниченная пространственная протяженность Ах некоторого цуга волн связана с наличием у него принципиальной немонохроматичности — неизбежного наличия у такого цуга определенного интервала Асо возможных частот или интервала Afe волновых чисел монохроматических волн, составляющих этот цуг. Как было указано [см. формулу (5.2)], между Ах и А尼 существует связь

АхМ > 1.(12,12)

Это соотношение справедливо для любых волновых процессов. Для волны де Бройля частицы, движущейся вдоль оси X с импульсом Р“=р1 (учитывая, что 卩乱=左方)，имеем

1 В данном случае p*=p, ибо других проекций импульса нет:卩^=卩金=0.

Соотношение (12.12) можно представить в таком виде:

△хАр*》九(12.12')

Рассматривая движения частицы вдоль осей У и Z с проекциями импульсов соответственно равными ру и р?, мы получили бы аналогичные соотношения:

(12.13)(12.14)(12.13)(12.14)ДуДру>А,AzAp?》九

(12.13)

(12.14)

(12.13)

(12.14)

Формулы (12.12') — (12.14) называются соотношениями неопределенностей Гейзенберга. В этих формулах А%, Ау и Дг означают интервалы координат, в которых может быть локализована частица, описываемая волной де Бройля;厶卩翼，卜储 и 厶厶一интервалы, в которых заключены проекции импульса частицы по осям X, У н Z соответственно. Соотношения (12.12')—— (12.14) показывают, что координаты частицы xt у, z и проекции рх, ру и р2 ее импульса на соответствующие оси не могут одновременно иметь значения, в т очно с т и равные соответственно х и pxt у и ру> z и % Они могут иметь лишь значения, определенные с некоторой степенью неточности. Значения А% и Ар^, Ау и Ар?, Az и Ар^, связанные соотношениями (12.12') — (12.14), одновременно не могут быть равны нулю. Другими словами, классические понятия координаты и импульса применимы к микрочастицам лишь в пределах, устанавливаемых соотношениями Гейзенберга. Например, если электрон локализован в интервале Ах оси х, то он не может быть описан бесконечно протяженной плоской монохроматической волной де Бройля. Локализация электрона в области Ах означает, что квадрат модуля |Т|2 волновой функции вне интервала Ах должен быть тождественно равен нулю. Для локализации электрона в области Ах его необходимо описать в квантовой механике системой плоских монохроматических волн де Бройля, обеспечивающих выполнение условия 14fl 纟=0 везде, кроме интервала Ах оси X. У такой системы волн уже не будет определенной частоты (или волнового числа). Соответственно у электрона не будет строго фиксированного импульса рх. Импульс электрона может быть найден лишь с точностью до величины Арх, определяемой соотношением (12.12'): Ар#》-^-. Наоборот, если импульс электрона рх задан в интервале

электрон может быть обнаружен с вероятностью, в области А%, удовлетворяющей неравенствуэлектрон может быть обнаружен с вероятностью, в области А%, удовлетворяющей неравенствуАрн импульсов, то равной единице,

электрон может быть обнаружен с вероятностью, в области А%, удовлетворяющей неравенству

электрон может быть обнаружен с вероятностью, в области А%, удовлетворяющей неравенству

пример, иллюстрирующий соотношение (12.12').положение электрона в пространстве определяется спример, иллюстрирующий соотношение (12.12').положение электрона в пространстве определяется сMx

пример, иллюстрирующий соотношение (12.12').положение электрона в пространстве определяется с

пример, иллюстрирующий соотношение (12.12').положение электрона в пространстве определяется с

Рассмотрим Предположим, что

помощью микроскопа; электрон освещается монохроматическим светом частоты V. Дифракционная теория разрешающей способности мккро скопа устанавливает предел наименьших размеров А%, которые могут быть найдены с помощью микроскопа. Они определяются длиной волны 九 и углом а (рис. 12,7): Дх — .При освещении электрона воз-

можно более коротковолновым светом можно уменьшить А%. Однако коротковолновый свет, как известно, проявляет в сильной степени квантовые свойства. Рассеяние на электроне фотона с импульсом hv/c приведет к передаче электрону от фотона некоторого импульса Ар* вдоль оси, перпендикулярной оси микроскопа. Величина этого импульса = Перемножив А% и Ар”, в соответствии с соотношением (12.12') получим

、к 卜Px=h.

Классические представления о движении частицы вдоль некоторой траектории должны в квантовой механике применяться с учетом соотношений неопределенностей. В классической теории в каждой точке траектории частица имеет определенные координаты xt yt z и определенную скорость v (которой соответствуют про-.

екции по координатным осям vy и vz). Рассмотрим, как обстоит дело в квантовой механике. Пусть, нап-:

ример, траектория электрона определяется по следу, который он оставил на фотопластинке. Положение 父 .! / электрона может быть зафиксировано с точностью, 4» определяемой линейными размерами зерна фотоэмуль- /耍 сии, испытавшего воздействие электрона. Примем, а что эти размеры имеют порядок величины Ах 〜10-6 м.

Тогда в соответствии с соотношением (12.12') *неточ- Рис,⑵了 ность в определении импульса электрона равна

Ар#》方/А%* 10~28 кг-м/с. Неточность, с которой может быть найдена скорость электрона, равна Avx=Apx/m^=102 м/с. Обычно след на фотопластинке оставляют быстрые электроны со скоростями и》＞ А% 9 ~ 10е—107 м/с). В этом случае, очевидно, можно говорить о движении электрона по некоторой траектории с точно заданной в каждой точке скоростью.

Представим себе, что речь идет об электроне, движущемся в атоме. Тогда положение его может быть определено с точностью до размеров атома, т. е. Ах 〜10一工° м. В этом случае аналогичный расчет показывает, что неопределенность скорости электрона окажется порядка Аи#я^ 106 м/с. Если считать электрон материальной точкой, движущейся в кулоновском поле ядра по орбите с линейными размерами 10-1° м, то можно показать (см. подробнее об этом в § 13.2), что его скорость должна быть величиной такого же порядка, т. е. и * Аи%. Таким образом, нельзя говорить о движении электрона в атоме по определенной траектории с точно заданной в каждой точке скоростью, Из приведенных примеров видно, что понятие о движении частицы по траектории должно применяться в современной физике с большой осторожностью. Оно имеет смысл лишь в тех случаях, когда неопределенности Avx и Ах в значениях скорости в координаты частицы, определяемые соотношениями Гейзенберга, во много раз меньше, чем сама скорость % и координата х.

Соотношения (12.12')—(12.14) показывают, что с увеличением массы т ограничения, вносимые ими в возможность применения классических понятий координаты и скорости, уменьшаются. В самом деле, ввиду малости А неопределенности в значениях координаты и скорости, вытекающие из формулы

Ах А%》^/т,

становятся пренебрежимо малыми у тел с массой mf во много раз большей масс частиц, находящихся в атоме (электронов, протонов, нейтронов). Например, для пылинки с массой 10-13 кг и линейным размером в 10~6 м, координата которой определена с точностью до 1/100 ее размеров (т. е. Ах 〜10-8 м), неопределенность в значении скорости составит А% 〜10~13 м/с. Эта неопределенность практически не будет сказываться при всех скоростях, с которыми может двигаться такая частица. Для макроскопических тел соотношения неопределенностей не вносят ограничения в возможность применять понятия координаты и скорости. Для таких тел постоянную Планка в формулах (12.12')— (12.14) можно считать пренебрежимо малой (方一>0). В этих случаях говорят о точных значениях координаты и скорости и рассматринают движение тела по траектории в соответствии с законами классической механики. Как мы уже видели (см. § 12.1, п. 9), возможнссгь считать 方->0 приводит к тому, что квантовые свойства изучаемых объектов оказываются несущественными и возможен переход к классическому описанию изучаемых объектов. Мы еще вернемся к этому вопросу в § 12.9.

Соотношения типа (12*12') — (12.14) существуют не только для координат и импульсов. Можно доказать, например, что если частица находится в нестационарном (например, возбужденном) состоянии в течение времени А/ и обладает некоторой энергией W, то энергия может быть задана с ограниченной степенью точности. Если обозначить через А К неопределенность в задании то

AMAW》加 (12.15)

Нетрудно видеть, что это соотношение является записью для волн де Бройля общего соотношения (5.1), устанавливающего принципиальную немонохроматичность ограниченного цуга волн. В самом деле, подставив W в (12.15), из выражения (12.15)AI^=^A(d имеем А①At? 1, т. е. формулу (5.1).

Соотношение (12.15) играет большую роль в атомной и ядерной физике.

Соотношения неопределенностей Гейзенберга иногда неверно связывают с современным уровнем развития квантовой теории. Нередко встречаются утверждения, что эти соотношения не представляют собой ограничений в возможности применения к частицам микромира классических понятий о координатах и импульсах, а только ограничивают ту степень точности, с которой на данном уровне развития физического эксперимента и теории могут быть одновременно измерены координаты и импульсы. Это означает, что при дальнейшем развитии квантовой физики может якобы возникнуть возможность

более точного одновременного определения координат и импульсов. Подобные высказывания ошибочны. Соотношения неопределенностей являются следствием объективно существующей двойственности частиц микромира ——наличия у них корпускулярных и волновых свойств. Эти соотношения свидетельствуют об объективно существующих ограничениях в возможности описания поведения микрообъектов с помощью классических понятий координат и импульсов. В ряде случаев (в каких именно, об этом подробно шла речь выше) описывать движение микрообъекта так, как это делается в классической механике ——с помощью задания в каждый момент времени его координат и импульса, не имеет смысла, ибо сами эти понятия н е м о г у т б ы ть одновременно применены к микрообъекту*

В связи с соотношениями неопределенностей возникает также вопрос о том, почему нужно описывать поведение мнкрообъектов с помощью классических понятий, таких, как координата, импульс и др., если далеко не всегда они могут быть применены. Дело в том, что всякий эксперимент, дающий некоторую информацию о поведении и свойствах микрообъектов, является макроскопическим (отклонение стрелки приборов, положение пятна на экране осциллографа, фотография трека частицы и т. д.). Действия любых приборов, с помощью которых изучается поведение микрочастиц в пространстве и во времени, подчиняются классической механике и электродинамике, и даваемая ими информация носит макроскопический характер, т. е. она должна истолковываться в понятиях классической физики. При этом мы неизбежно должны применять к микрообъектам хотя бы частично классическое описание с помощью классических понятий. Поскольку эти понятия применимы к объектам, подчиняющимся квантовой механике лишь в ограниченной степени, существуют пределы применимости классических понятий, устанавливаемые соотношениями неопределенностей Гейзенберга, '

Процесс взаимодействия прибора с изучаемым объектом называется измерением. Этот процесс протекает в пространстве и во времени и является объективным процессом. Существует, однако, важное различие между взаимодействием прибора с макро- и микрообъектами. Взаимодействие прибора с макрообъектом есть взаимодействие двух макрообъектов, описываемое с достаточной степенью точности законами классической физики. При этом можно считать, что прибор не оказывает на измеряемый объект такого влияния, которое не могло бы быть точно учтено в терминах (понятиях) классической физики, либо сделано как угодно малым. При взаимодействии прибора с микрообъектами возникает иная ситуация. Вследствие объективно существующей двойственности свойств микрообъектов процесс измерения, например фиксация определенного положения микрочастицы, вносит в ее импульс изменение, которое не может быть сделано равным нулю и может быть определено лишь в рамках соотношения неопределенностей Држ》 》一^- . Поэтому воздействие прибора па микрочастицу нельзя считать малым и несущественным, прибор изменяет состояние микрообъекта. Изменение это таково, что в результате измерения определенные

классические характеристики частицы, например ее импульс, оказываются заданными лишь в рамках, ограниченных соотношениями неопределенностей.

Результаты процесса измерения воспринимаются наблюдателем. Эта ситуация дала повод к тому, что некоторые физики (в том числе, и в первую очередь, сам В. Гейзенберг) стали приписывать наблюдателю особую роль в квантовой механике. В философском смысле эта концепция является выражением субъективного идеализма. Гейзенберг писал: «В то время как предмет классической физики составляли объективные события в пространстве и во времени, для существования которых их наблюдения не имеют значения, квантовая теория рассматривает такие процессы, которые, так сказать, вспыхивают в момент наблюдения и о которых бессмысленны наглядные физические высказывания для интервала между наблюдениями». Для таких и подобных этим идеалистических выводов, отрицающих объективное протекание процессов в микромире, соотношения неопределенностей н е дают никаких оснований. На свойства и состояние микрообъекта, изучаемые в процессе измерения, происходящего в пространстве и во времени, наблюдатель не оказывает никакого влияния.

Одним из идеалистических выводов из соотношений неопре-・ деленностей является утверждение о том, что якобы из этих соотношений вытекает неприменимость к явлениям, протекающим в микромире, принципа причинности. На первый взгляд кажется, что это утверждение имеет основания. Действительно, принцип причинности означает возможность на основании известного в некоторый момент времени состояния системы точно предсказать ее состояние в любой следующий момент времени. Классзпеская механика Ньютона позволяет по известным в момент времени % координатам х0, уй, z0 и проекциям скорости и%, Оу。， 02。любой материальной точки определить с помощью решения уравнений ее движения координаты и скорость точки в момент времени £ Это положение называется механическим детерминизмом. Поскольку координаты и скорости микрообъектов одновременно могут быть определены лишь в рамках соотношений неопределенностей, можно как будто сделать вывод о том, что и в начальный момент 备 состояние системы не может быть точно определено, а поэтому и последующие состояния не могут быть предсказаны, т. е. нарушается принцип причинности. В действительности дело обстоит иначе. В квантовой механике само понятие о состоянии системы приобретает иной смысл, чем в классической физике,——для определения этого состояния нужен иной подход. Максимальна точным заданием состояния микрообъекта в квантовой механике яв-тяется задание его Т-функции, которая, как будет показано в § 12.5, удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению, содержащему первую производную функции 4f по времени. Это значит, что задание Т-функции для момента времени £0 определяет ее значение для момента f > %, Другими словами, в квантовой механике в соответствии с требованием принципа причинности состояние микрообъекта, определенное в некоторый момент времени %, однозначно предопределяет его дальнейшие состояния. К микрообъектам нельзя применять принципы

причинности в форме, заимствованной из классической механики и основанной на применении понятий координат и импульсов, ибо особая природа микрообъектов этого не допускает.

Уравнение Шредингера

В квантовой механике возникает важнейшая проблема отыскания такого уравнения, которое явилось бы тем же, чем являются уравнения движения Ньютона для классической механики. Как известно, уравнения Ньютона позволяют для макроскопических тел решать основную задачу механики ——по заданным силам, действующим на тело (или систему тел), и определенным начальяым условиям (начальным значениям координат и скорости тела) найти для любого момента времени координаты тела и его скорость, т. е. описать движение тела в пространстве и во времени. При постановке аналогичной задачи в квантовой механике нужно сразу же учесть, что для частиц микромира характерна двойственность свойств, которая ограничивает возможность применения к таким частицам классических понятий о координате и скорости (или импульсе). Вероятностное (статистическое) истолкование волн де Бройля и соотношения неопределенностей указывают, что уравнение движения в квантовой механике должно быть таким, чтобы оно позволяло объяснить наблюдаемые на опыте ьолновые свойства частиц. Поскольку состояние частицы в цространстве в данный момент времени определяется в квантовой механике заданием волновой функции Y (х, у、z, ^), точнее величиной |Т | 3, определяющей лишь вероятность нахождения частицы в точке %,弘 z в момент t, основное уравнение квантовой механики должно быть уравнением относительно функции Т (х, у, z, /). Далее, это уравнение должно быть волновым уравнением, ибо из него должны получить свое объяснение эксперименты по дифракции микрочастиц, указывающие на их волновые свойства,

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики было найдено в 1926 г( Э. Шредингером. Как и уравнения движения Ньютона, лежащие в основе классической механики и поэтому не выводимые, уравнение Шредингера постулируется. Справедливость уравнения Шредингера доказывается тем, что выводы квантовой механики, полученные с помощью этого уравнения в атомной и ядерной физике, находятся в хорошем согласии с опытом. Уравнение Шредингера имеет следующий вид:

С 礬= —^А2+и(к,у, г, f)屮. (12.16)

Здесь 方=用/2汽=1,05・10-3, д*♦е - постоянная Планка; m ——масса частицы; U(x, у, г, /) — потенциальная энергия частицы в силовом @2@2@2

поле, где частица движется;厶=赤 + -^ + -^——оператор Лапласа, введенный в § 1,3 [см. формулу (1.33)1; Y—Т (х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы; i=l尸—1 ——мнимая единица.

Уравнение (12.16) справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью и«с (с — скорость света в вакууме х). Уравнение Шредингера дополняется важными условиями, которые накладываются на функцию 4T (х, у9 z,力.Этих условий три:Уравнение (12.16) справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью и«с (с — скорость света в вакууме х). Уравнение Шредингера дополняется важными условиями, которые накладываются на функцию 4T (х, у9 z,力.Этих условий три:1) функция "' должна быть конечной, непрерывной и' однозначной;1) функция "' должна быть конечной, непрерывной и' однозначной;С、2)производные 文，石，丁，RС、2)производные 文，石，丁，Rдолжны быть недолжны быть непрерывны;прерывны;3) функция |Т I 3 должна быть интегрируема, т. е.3) функция |Т I 3 должна быть интегрируема, т. е.интегралинтегралJ J J \^^dxdydz должен быть конечным.J J J \^^dxdydz должен быть конечным.— 8—8 — 8— 8—8 — 8(12.17)(12.17)В простейших случаях третье условие сводится к условию нормировки вероятностей (12.11). Первые два из указанных условий не представляют собой чего-либо особенного. Это обычные требования, накладываемые на искомое решение дифференциального уравнения. Третье условие относительно интегрируемости 14fl 2 связано с тем, что физический смысл имеет, как уже подчеркивалось, не сама функция 中，а квадрат ее модуля \^2\. Важность условий (12.17) заключается вВ простейших случаях третье условие сводится к условию нормировки вероятностей (12.11). Первые два из указанных условий не представляют собой чего-либо особенного. Это обычные требования, накладываемые на искомое решение дифференциального уравнения. Третье условие относительно интегрируемости 14fl 2 связано с тем, что физический смысл имеет, как уже подчеркивалось, не сама функция 中，а квадрат ее модуля \^2\. Важность условий (12.17) заключается втом, что, как мы увидим дальше, с их помощью, не решая уравнения Шредингера, а лишь исследуя возможные его решения, можно высказать ряд очень существенных заключений об энергии исследуемой частицы и других физических величинах, ее характеризующих.3. Уравнение (12.16) часто называют временным уравнением Шредингера, ибо оно содержит производную от функции 4f по времени. Однако дня большого числа физических явлений, происходя!цих в микромире, например дня описания поведения электрона в атоме, d ряде случаев важно уметь находить стационарные решения уравнения Шредингера, не содержащие времени. Для решения этой задачи нужно получить так называемое стационарное уравнение Шредингера, в котором исключена зависимость 屮 от времени. Оно имеет смысл для тех задач, в которых потенциальная энергия U не зависит от времени: U=U(x, у, г). Будем искать решение уравнения (12.16) в виде протом, что, как мы увидим дальше, с их помощью, не решая уравнения Шредингера, а лишь исследуя возможные его решения, можно высказать ряд очень существенных заключений об энергии исследуемой частицы и других физических величинах, ее характеризующих.3. Уравнение (12.16) часто называют временным уравнением Шредингера, ибо оно содержит производную от функции 4f по времени. Однако дня большого числа физических явлений, происходя!цих в микромире, например дня описания поведения электрона в атоме, d ряде случаев важно уметь находить стационарные решения уравнения Шредингера, не содержащие времени. Для решения этой задачи нужно получить так называемое стационарное уравнение Шредингера, в котором исключена зависимость 屮 от времени. Оно имеет смысл для тех задач, в которых потенциальная энергия U не зависит от времени: U=U(x, у, г). Будем искать решение уравнения (12.16) в виде произведения:изведения:屮7%, у, г, f)=屮(,% у,分中(f),屮7%, у, г, f)=屮(,% у,分中(f),(12,18)(12,18)

Уравнение (12.16) справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью и«с (с — скорость света в вакууме х). Уравнение Шредингера дополняется важными условиями, которые накладываются на функцию 4T (х, у9 z,力.Этих условий три:

Уравнение (12.16) справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью и«с (с — скорость света в вакууме х). Уравнение Шредингера дополняется важными условиями, которые накладываются на функцию 4T (х, у9 z,力.Этих условий три:

1) функция "' должна быть конечной, непрерывной и' однозначной;

1) функция "' должна быть конечной, непрерывной и' однозначной;

С、

2)производные 文，石，丁，R

С、

2)производные 文，石，丁，R

должны быть не

должны быть не

прерывны;

прерывны;

3) функция |Т I 3 должна быть интегрируема, т. е.

3) функция |Т I 3 должна быть интегрируема, т. е.

интеграл

интеграл

J J J \^^dxdydz должен быть конечным.

J J J \^^dxdydz должен быть конечным.

— 8—8 — 8

— 8—8 — 8

(12.17)

(12.17)

В простейших случаях третье условие сводится к условию нормировки вероятностей (12.11). Первые два из указанных условий не представляют собой чего-либо особенного. Это обычные требования, накладываемые на искомое решение дифференциального уравнения. Третье условие относительно интегрируемости 14fl 2 связано с тем, что физический смысл имеет, как уже подчеркивалось, не сама функция 中，а квадрат ее модуля \^2\. Важность условий (12.17) заключается в

В простейших случаях третье условие сводится к условию нормировки вероятностей (12.11). Первые два из указанных условий не представляют собой чего-либо особенного. Это обычные требования, накладываемые на искомое решение дифференциального уравнения. Третье условие относительно интегрируемости 14fl 2 связано с тем, что физический смысл имеет, как уже подчеркивалось, не сама функция 中，а квадрат ее модуля \^2\. Важность условий (12.17) заключается в

том, что, как мы увидим дальше, с их помощью, не решая уравнения Шредингера, а лишь исследуя возможные его решения, можно высказать ряд очень существенных заключений об энергии исследуемой частицы и других физических величинах, ее характеризующих.

3. Уравнение (12.16) часто называют временным уравнением Шредингера, ибо оно содержит производную от функции 4f по времени. Однако дня большого числа физических явлений, происходя!цих в микромире, например дня описания поведения электрона в атоме, d ряде случаев важно уметь находить стационарные решения уравнения Шредингера, не содержащие времени. Для решения этой задачи нужно получить так называемое стационарное уравнение Шредингера, в котором исключена зависимость 屮 от времени. Оно имеет смысл для тех задач, в которых потенциальная энергия U не зависит от времени: U=U(x, у, г). Будем искать решение уравнения (12.16) в виде про

том, что, как мы увидим дальше, с их помощью, не решая уравнения Шредингера, а лишь исследуя возможные его решения, можно высказать ряд очень существенных заключений об энергии исследуемой частицы и других физических величинах, ее характеризующих.

3. Уравнение (12.16) часто называют временным уравнением Шредингера, ибо оно содержит производную от функции 4f по времени. Однако дня большого числа физических явлений, происходя!цих в микромире, например дня описания поведения электрона в атоме, d ряде случаев важно уметь находить стационарные решения уравнения Шредингера, не содержащие времени. Для решения этой задачи нужно получить так называемое стационарное уравнение Шредингера, в котором исключена зависимость 屮 от времени. Оно имеет смысл для тех задач, в которых потенциальная энергия U не зависит от времени: U=U(x, у, г). Будем искать решение уравнения (12.16) в виде про

изведения:

изведения:

屮7%, у, г, f)=屮(,% у,分中(f),

屮7%, у, г, f)=屮(,% у,分中(f),

(12,18)

(12,18)

в котором разделены переменные:州 является функцией только координат, ср — функцией только времени. Подставляя (12.18) в (12.16) и производя дифференцирование, получаем

—“察=—"^■中厶屮 + U (х, у, г)1р(р.

Разделим правую и левую части уравнения на произведение ерр: 専и(х，У，z)3京需. (12.19)

В релятивистской области апс уравнение Шредингера заменяется более сложным релятивистским уравнением Дирака, рассмотрен не которого выходит за рамки нашего курса.

Поскольку левая часть уравнения есть функция только координат, а правая ——функция только времени, уравнение (12.19) удовлетворяется при единственном условии ——обе части равны постоянной величине. Обозначим ее через ―■ W：

齧需=Т忆(12.20)

(х, 4，z) =—К.(12.21)

Уравнение (12.21) обычно записывают в форме

А“ +学(М —U)2=0(12.22)

и называют стационарным уравнением Шредингера.

Уравнение (12.22) является важнейшим соотношением нерелятивистской квантовой механики, играющим основную роль в атомной физике. Функции 叭 удовлетворяющие уравнению Шредингера при данном U, называются собственными функциями. Значения W^ при которых существуют решения уравнения Шредингера (12.22), называются собственными значениями. Примеры отыскания собственных функций и собственных значений приведены в следующих параграфах.

Уравнение (12.20) можно сразу проинтегрировать:

Incp = ^~ IF^ + In Фо-

Пер ейдем от логарифмов к самим функциям:

屮工屮声"犷"匕(12.23)

где ср。= фо (0) — значение ср (/) в начальный момент времени / = 0.

Для того чтобы выяснить смысл величины W в стационарном уравнении Шредингера, сравним (12.22) с волновым уравнением (1.29):

А О 1 d2s с

AS -風?萨=°

где и巾аз — фазовая скорость волн.

Для синусоидальной волны вида S=4 (г) exp [Z2nv (方一r/v^]t где v ——частота волны, А (г) ―• комплексный вектор амплитуды волны (см. § 1.3); легко показать, дифференцируя дважды по /, что

Поэтому волновое уравнение (1.29) можно записать в формеAS + ^^S = 0.Поэтому волновое уравнение (1.29) можно записать в формеAS + ^^S = 0.絹=—4n2v2S.(12,24)

Поэтому волновое уравнение (1.29) можно записать в формеAS + ^^S = 0.

Поэтому волновое уравнение (1.29) можно записать в формеAS + ^^S = 0.

唯aз

Идея Шредингера состояла в том, что к волнам де Бройля, связанным с движущимися частицами, можно применить волновое уравнение в форме (12.24). Из формулы де Бройля 入=/i/ (mu) следует, что

1 V

九 ^фаз 九'

叭 получим叭 получимА屮+写竺屮=0.А屮+写竺屮=0.(12.24')(12.24')где и由日3 ——фазовая скорость волн де Бройля, a v ——их частота. Под^ ставив это значение 仍旬巾心 в уравнение (12.24) для волновой функции

叭 получим

叭 получим

А屮+写竺屮=0.

А屮+写竺屮=0.

(12.24')

(12.24')

Кинетическая энергия частицы m^l2=^W——U, где W — ее полная энергия в нерелятивистской теории. Коэффициент при 屮 в уравнении (12.24') можно переписать иначе:

R取一U)・

Таким образом, имеем

的+芻"一⑺2=。■

Следовательно, уравнение (12.24) тождественно со стационарным уравнением Шредингера (12.22), если W есть полная энергия частицы, движущейся в данном потенциальном поле и обладающей потенциальной энергией U.

Такой подход к истолкованию уравнения Шредингера (12.22) отнюдь не должен рассматриваться как его вывод, а лишь указывает на волновой характер этого уравнения. Подчеркнем еще раз (см. п. 2 этого параграфа), что уравнение Шредингера не выводится. Более того, возможность представления полной энергии W частицы в виде суммы кинетической и потенциальной энергий имеет в квантовой механике ограниченный характер (см. § 12.8, п. 5).

Из вида решения (12.23) для временной части волновой функции (12.18) следует, что уравнение Шредингера (12.16) находится в согласии с предположением о связи полной энергии W частицы с частотой волн де Бройля v=w/2n в форме (12.5).

В самом деле, если подставить выражение (12.23) в формулу (12.18), то решение уравнения Шредингера приобретает следующий вид 七 屮(х, у, z, t)=屮(х, g, г,) е-м/九(12.18,)

Таким образом, состояние частицы в данный момент времени описывается периодической функцией времени с циклической частотой m=W/h, определяемой полной энергией частицы. Как уже указывалось, эта связь энергии частицы W с частотой волны де Бройля является важнейшей основой квантовой механики.

§ 12.6. Движение свободной частицы

При свободном движении частицы ее полная энергия совпадает с кинетической, а скорость v=const. Направим ось X вдоль вектора v. Тогда стационарное уравнение Шредингера (12.22) можно

Постоянный множитель(р0 включен в функцию 屮(х, у, г), так как она определяется из линейного дифференциального уравнения (12.247) с точностью до произвольного постоянного миожителя.

записать в следующем виде:

袈+ 輕睜=0.(12.25)

d*2 I 力 2 T

Уравнение (12.25) имеет решение

— Лехр (— -~yr2mWx^ + Вехр (— *V2tnWxj ,

где Д и В — некоторые постоянные.

Решение полного уравнения Шредингера (12.16) получится тогда в форме (12.18'):

▽ (х,乡,Z, 9 = 4ехр [— i 传 f—*響 х)] +

+ 8exp[—£堂力+上礬 j] .(12.26)

Решение (12.26) представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматических волн одинаковой частоты(о=取/瓦 распространяющихся одна в положительном направлении оси X с амплитудой Л, другая ——в противоположном направлении с амплитудой В. Сравнивая полученные решения с общим выражением плоской монохроматической волны (1.15):

s = A ехр[ — t (st—fex)]9

видим, что для свободной частицы волновое число

為=m万丽7%.

2. Таким образом, свободная частица в квантовой механике описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени вероттность обнаружить частицу в данной точке пространства. Действительно, выбирая для простоты лишь одну из волн (12.26), например первую, распространяющуюся в положительном направлении оси X, имеем

|中产=寸尹=|力汽

§ 12.7. Этктрон в потенциальном «ящике»

Рассмотрим электрон, движущийся в потенциальном поле, изображенном на рис, 12.8. Потенциальная энергия электрона вне и внутри потенциального «ящика» имеет следующие значения:

(12,27)(12,27)U = 0 при 0《用《厶，

(12,27)

(12,27)

U = оо при用《0 и %》L・

Примером движения электрона в потенциальном «ящике» является рассмотренное во втором томе движение коллективизированных электронов внутри металла. Как известно, в классической электронной теории считалось, что вне металла потенциальная энергия электрона

9 А. А. Детлаф» Б( М. Яворсквй — 257 —

равна нулю, а внутри металла она отрицательна и численно равна работе выхода электрона из металла. Иными словами, считалось, что движение электронов ограничено потенциальным барьером прямоугольной формы с плоским дном. Рассматриваемый нами потенциальный «ящик» с бесконечно высоким барьером на границах более )-.прост, чем реальный случай электрона в

U IJметалле.

II2. Применим к электрону, движущемуся

|

в таком потенциальном поле, уравнение Шредингера в форме (12.22) и учтем, что для одномерной задачи A=：d2/dxa

需 十 察(取一U)屮"(12.28)

Z=° X=Z 片 Уравнение (12.28) при условии (12.27) может Рис. 12.8иметь решение, удовлетворяющее требованиям

лишь в том случае, если волновая функция 屮(％) будет обращаться в нуль на стенках «ящика»:

(12.29)(12.29)屮(0)=屮(L)==0.

(12.29)

(12.29)

В самом деле» обозначив 罢 через 屮",перепишем (12.28) в виде

2-鬻 ”一и)・.2-鬻 ”一и)・.(12.28')(12.28')

2-鬻 ”一и)・.

2-鬻 ”一и)・.

(12.28')

(12.28')

В области 0 & %《 厶 имеем U=0 и отношение i|),*/i|> имеет конечное значение. При х -> 0 и х-> L потенциальная энергия стремится к бесконечности. Для того чтобы условия (12.17) не были нарушены, необходимо, чтобы 屮(%)->0 при х — 0 и x^L. Таким образом, для электрона в потенциальном «ящике» с бесконечно высокими стенками решение уравнения Шредингер а должно быть таким, чтобы

гр = О и 1212H° вне области O^x^L. (12.30) другими словами, вероятность найти электрон вне «ящика» равна нулю. В этот результат необходимо внести важное уточнение, о котором мы скажем несколько позже (см. § 12.8).

Задача о движении электрона в прямоугольном потенциальном «ящике» с бесконечно высокими стенками сводится к решению уравнения

礬+謂叭=0(12.31)

при краевых условиях (12.29)屮(0)=屮(厶)=0. Обозначим 号 W = % где А имеет смысл волнового числа волны де Бройля для электрона, находящегося внутри потенциального «ящика», и запишем периодическое решение уравнения (12.31) в виде

屮(力=4 cos k х+В sin 仇(12.32)

где 4 и В ——постоянные. Используя первое из краевых условий (12.29), получим, что А=0. Второе условие дает

W) = 5sin^L = 0.(12・32‘)

Таким образом, мы приходим к окончательному результату:

5*0, 4 = 0, sin^L = 0・(12,32”)

Из (12.32") следует, что величина k должна принимать лишь определенные дискретные значения kn9 удовлетворяющие условию: йп£=ля, где 北=1; 2;… Отсюда

Лп=пзт/Л.(12.33)

Условие (12.33) имеет простой физический смысл. Так как 左а=2л/Ап, где Лп — длина волны де Бройля для электрона в «ящике», то условие (12.33) означает, что

2л пл 霏=万2л пл 霏=万a 2LИЛИ лп ——,a 2LИЛИ лп ——,

2л пл 霏=万

2л пл 霏=万

a 2L

ИЛИ лп ——,

a 2L

ИЛИ лп ——,

«ящика» должно укладываться целое«ящика» должно укладываться целоет. е. на длине потенциального число полуволн де Бройля.

«ящика» должно укладываться целое

«ящика» должно укладываться целое

Аналогичную картину мы имели при распространении упругих волн вдоль струны, закрепленной на концах. Как известно из § 1.5, в этом случае образуются стоячие волны, причем возможные длины волн 九r образуют дискретный ряд значений: осуществляются при sinknL=O лишь те значения 入几,которые соответствуют целому числу длин волн, укладывающихся на длине струны.

九看啸2九看啸2Условие (12.33) приводит к очень важному результату:

九看啸2

九看啸2

2mU2mU(12.34)

2mU

2mU

т. е. энергия W электрона в потенциальном «ящике» не может быть произвольной. Она принимает лишь ряд дискретных собственных значений 取…

Другие значения W энергии электрона невозможны: вероятность обнаружить' внутри «ящика» электрон с энергией, отличной от Wni равна нулю. Физические величины, которые могут принимать лишь определенные дискретные значения, называются квантованными. Таким образом, энергия электрона, находящегося в потенциальном «ящике», является квантованной. В гл. X, рассматривая идеи Планка, позволившие разрешить трудности в проблеме излучения абсолютно черного тела, мы видели, что основу для его рассуждений составляло предположение о том, что энергия атомного осциллятора может принимать определенные, как мы скажем теперь, квантованные значения. Это предположение было совершенно чуждо классической физике, где процессы излучения предполагались протекающими непрерывно» а физические величины, характеризующие излучение, могли принимать произвольные значения； В квантовой механике квантованность энергий в системах, где 取 V 0, как можно строго обосновать, является автоматическим следствием тех математических

требований, коюрне накладываются на решения уравнения Шредингера. Мы увидим, что этот результат имеет общее значение.

Квантованные значения Wn называются уровнями энергии, а числа л, определяющие энергетические уровни электрона, называются квантовыми числами. Таким образом, электрон в потенциальном «ящике» может находиться на определенном энергетическом уровне Wn. Иногда говорят, что он находится в определенном квантовом состоянии п.

Для потенциального «ящика» с размерами а, соизмеримыми с размерами атома L= 10 А= 10_fl м, собственные значения энергии электрона образуют последовательность энергетических уровней, «расстояние» между которыми Д1Г = Wn+i — U^n = (2n+1)-5,4* 10"20 Дж =э =0,34 (2〃+ 1)эВ.

В потенциальном «ящике» макроскопических размеров L = 10*2 м соседние энергетические уровни Wn+1 и Wn отличаются друг от друга на величину

ДГ = Гл+1—Гп = (2п + 1)-5,4'Ю"34Дж = (2л+1)-3,4-10"х&эВ.

Энергетические уровни в этом случае расположены столь тесно, что можно считать эти уровни как бы квазинепрерывными. Для такого потенциального «ящика» квантование энергии дает результаты, не сто』。существенно отличающиеся от результатов классической физики, как в случае «ящика» атомного размера. Заметим, что ДЦ7 = 0ири L―> оо, т. е. энергетический спектр будет непрерывным.

Рассмотрим влияние квантового числа п на характер располо жения энергетических уровней электрона в потенциальном «ящике»» Для этого сопоставим величину

A取=取“+1一步" =(2〃 +1)霖(12.35)

с энергией Wn электрона, находящегося на уровне п. Найдем отношение А^/^л, используя формулу (12.34):

Из (12.36) видно, что при увеличении квантового числа п, когда 2п + 1 «2п и ^«4*(12.37)

величина Д^ становится малой по сравнению с Wn, т. е. происходит относительное сближение энергетических уровней.* При больших квантовых числах л квантование энергии даёт результаты, близкие к результатам классического рассмотрения. В этом находит свое выражение важный принцип Сбйтветствия, наиболее полно сформулированной Бором (1923): при больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам, В более общей формулировке принцип соответствия требует, чтобы между любой теорией, которая является развитием

классической, и первоначальной классической теорией существовала закономерная связь — в определенных предельных случаях новая теория должна переходить в старую. В предыдущих главах мы имели несколько случаев убедиться в справедливости этого принципа. Например, в гл. IX показано, что формулы кинематики и динамики теории относительности переходят в формулы классической механики Ньютона при таких скоростях, что и?/с2 fo. Между квантовой механикой и классической предельный переход связан с возможностью пренебречь конечностью величины А и считать А-> 0.

Прохождение частицы сквозь потенциальным барьер

В предыдущем решении мы считали, что на границах «ящика» волновая функция становится равной нулю. В действитель- сти дело обстоит сложнее. Движение электрона с постоянной скоростью внутри «ящика» описывается плоской волной де Бройля. На границе (см. рис. 12.8), где происходит скачкообразное изменение потенциала, эта волна должна вести себя аналогично электромагнитной волне на границе двух сред с различными показателями преломления (см гл. IV). Как известно» такая волна на границе частично отражается, а частично проходит^ерез границу. Даже в случае полного внутреннего отражения имеет место частичное проникновение света во вторую среду (см. § 7.2). Волна де Бройля на границе «ящика» также испытывает отражение, но частично проходит в область вне «ящика». Другими словами, имеется определенная вероятность обнаружить электрон за пределами потенциального «ящика».

Этот результат существенно4 отличается от выводов классической физики. Частица, подчиняющаяся законам классической физики, может выйти из потенциального «ящика» при условии, что ее полная энергия превышает 《глубину》 потенциального «ящика». С классической точки зрения частица, находящаяся внутри потенциального «ящика»,《заперта》в нем. Стенки потенциального «ящика» представляют для нее потенциальный барьер, который частица преодолеть не может. Для того чтобы частица могла выйти из потенциального «ящика» или проникнуть в него, согласно классической физике ей нужно сообщить энергию, равную или большую разности высоты барьера и ее собственной энергии.

Квантовая механика приводит к принцигТйально новому выводу о возможности прохождения («просачивания») частиц сквозь потенциальные барьеры. Это явление называется туннельным эффектом. Для описания туннельного эффекта вводится понятие прозрачности D потенциального барьера. Если по аналогии с оптикой для волн де Бройля подсчитать интенсивность /пад падающей на барьер волны и интенсивность /прох волны, прошедшей сквозь барьер, то, по определению, прозрачностью (коэффициентом прозрачности) потенциального барьера называется величина

(12.38)(12.38)D = ^прох/^пад»

(12.38)

(12.38)

L 261 —

Эту величину можно рассматривать как вероятность прохождения волн де Бройля сквозь потенциальный барьер, или, что то же самое, как вероятнсють просачивания частицы, описываемой волной де Бройля, сквозь потенциальный барьер. По аналогии с оптикой можно ввести также коэффициент отражения R, так что D = 1—R.

Расчеты, которые выходят за рамки данного курса, показывают, что прозрачность барьера зависит от «формы» потенциального барьера и его высоты.

В случае прямоугольного потенциального барьера с высотой Ug и шириной L (рис. 12*9) прозрачность барьера выражается формулой

D = Do exp (— J V2m(U9 — W) L),(12.39)

где /л — масса частицы, a W — ее энергия» В случае, когда потенциальный барьер имеет сложную форму» прозрачность барьера подсчитывается по формуле

D = Dc expl —D = Dc expl —(12・39‘)(12・39‘)

D = Dc expl —

D = Dc expl —

(12・39‘)

(12・39‘)

где 石 н 力一координаты начала и конца потенциального барьера U(%) для данного значения полной энергии / (рис. 12.10). В этих формулах D@ — постоянный коэффициент, близкий к единице.

Туннельный эффект может играть заметную роль в тех случаях, когда прозрачность барьера не слишком мала, т. е. когда коэффициент отражения мал. Это условие осуществляется только в тех случаях, когда линейные размеры потенциального барьера соизмеримы с атомными размерами. Например, при Ug—W ^ 10 эВ для электрона m л? 10'30 кг, при L 10~10 м D 1/е. При тех же условиях для La 10'2 м, т. е. в макроскопической области, имеем D^e-i". С увеличением массы частицы и разности Uq — W прозрачность барьера уменьшается.

Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер приводит к возможности обнаружить ее в области, запрещенной с точки зрения классической механики. В самом деле, если полная энергия / частицы меньше высоты барьера а, то в области, где U(%) > 诊，кинетическая

энергия частицы р'/ (2/и) отрицательна, ибо

W=^+U(x) и |^<0, если и (х) > W.

С классической точки зрения эта область недоступна для частицы, так как бессмысленно говорить о мнимом импульсе р частицы. Квантовая механика приводит к возможности обнаружить частицу в этой запрещенной области (так называемый парадокс туннельного эффекта). На самом деле здесь нет парадокса и предыдущие рассуждения о мнимом импульсе частицы неверны. В самом деле, туннельный эффект есть чисто квантовое явление. Если попытаться перейти к классической теории, положив, что Й-> 0, то согласно (12.39) D -> О и о прозрачности барьера не имеет смысла говорить.

Описывая же туннельный эффект в квантовой механике, мы встречаемся с неожиданной с точки зрения классической физики труднос- стью, связанной с самой возможн остью представления полной энергии W частицы в виде суммы ее кинетической 戸/2/и и потенциальной U (%) энергий: *=^ + U(%). В классической физике такое представление не вызывает сомнения, и оно предполагает, что одновременно известны с любой степенью точности и кинетическая энергия р*2т, и потенциальная энергия U (х) частицы. 44ными словами, считается, что частице с любой степенью точности одновременно приписываются определенные значения координаты % и импульса р, Но, как известно из § 12.4, соотношение неопределенностей Гейзенберга исключает такую возможность в квантовой механике; само представление полной энергии в виде суммы точно определенных частей — кинетической и потенциальной энергий — неправомерно. Поэтому и парадокса, основанного иа представлении W в виде суммы ^ + U(%), в квантовой механике не существует. Если мы зафиксируем частицу в определенной области Ах \ измеряя ее координату, т. е. определим с достаточной точностью ее потенциальную энергию U (х), то при этом вносится неопределенность Ар в значении ее импульса Ар ^ 方/А% и, следовательно, нельзя будет говорить о точном значении кинетической энергии р”2m.

Таким образом, нельзя будет утверждать, что после того, как фиксировано положение частицы, ее полная энергия по-прежнему равна W.

Найдем изменение ^Wk кинетической энергии частицы, вызванное фиксированием ее в области Ах. Из формулы (12.39) видно, что эффективная глубина проникновения частицы в классически запрещенную область внутри потенциального барьера равна Дх = ^/У^2т(ио——W\ Соответствующее изменение импульса частицы 厶卩耳强耳内加“一吩 Изменение кинетической энергии

^^>u0-w.

1 Речь все время идет об одномерной задаче.

Другими словами, А% превышает ту энергию, которой не достает частице, находящейся внутри пбтенциальной ямы, для того чтобы она могла «классическим способом» пройти над барьером.

Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер получило экспериментальное доказательство в явлении холодной эмиссии электронов нз металлов. Во втором томе курса указывалось, что вырывание электронов из металлов электрическими полями происходит при напряженностях электрического поля,-в сотни раз меньших, чем те, которые необходимы для того, чтобы электрон в металле под действием внешнего электрического поля преодолел поверхностный скачок потенциала на границе металл — вакуум и покинул металл. Объяснение этого было дано в квантовой механике. Действие электрического поля с напряженностью Е приводит к тому, что потенциальный барьер для электронов на границе металл — вакуум будет узким и электрон, обладающий энергией W, по абсолютному значению меньшей высоты барьера (У。，может выйти из металла сквозь барьер с помощью туннельного эффекта. Это приводит к уменьшению па сравнению с классическими оценками напряженностей полей, необходимых для возникновения холодной эмиссии.

Электрическое поле вырывает, электроны из отдельных атомов и молекул благодаря туннельному эффекту. Это явление автоионизации также происходит при меньших напряженностях поля, чем это следует из классической физики. Явление автоионизации получило свое объяснение в квантовой теории с учетом прохождения электронов сквозь потенциальный барьер.

Туннельный эффект играет основную роль в явлениях радиоактивного а-распада, которое рассмотрено в § 17.5.

Линейный гармонический осциллятор

Линейным гармоническим осциллятором называется частица с массой /и, которая движется вдоль некоторой оси под действием квазиупругой силы 尸，пропорциональной отклонению х частицы от положения равновесия:尸=——kx.

"Здесь k — коэффициент квазиупругой си

лы, связанный с массой т частицы и собствен- ^^ ной циклической частотой ш0 ее колебаний

\/ формулой &=/и喘[см. т. I, уравнение (8.15')].

；\/ IW Потенциальная энергия гармонического

I \/_ j X осциллятора имеет вид [см. т. I, уравнение

也 。&(3.10)1 U (х)=йх2/2, изображенный на рис.

Рис. 12.1112.11. Модель гармонического осциллятора

имеет большое значение в физике. Например, при объяснении механизма дисперсии света и изучении законов теплового излучения абсолютна черного тела мы уже пользова? лись моделью гармонического осциллятора. Эта модель может применяться в тех случаях, когда амплитуда колебаний частицы невелика. В противном случае сила 尸 и потенциальная энергия U (х) неограниченно возрастают с ростом х, Во всех реальных физических задачах с

ростом амплитуды колебаний возникают отклонения от гармоничности колебаний и кривая на рис. 12.11 теряет физический смысл. Модель гармонического осциллятора часто применяется в приложениях потому, что с помощью надлежащим образом выбранных координат (так называемых «нормальных координат») малые колебания произвольной системы частиц могут быть представлены как колебания совокупности гермонических осцилляторов.

С классической точки зрения амплитуда малых колебаний гармонического осциллятора определяется запасом его полной энергии W. В точках Л и В кинетическая энергия осциллятора становится рав* ной нулю и вся энергия переходит в потенциальную энергию осциллятора. Этим точкам соответствуют значения координат 尤=±〃，где а ——амплитуда колебаний клас

сического осциллятора. За пределы области (——а, +а) классический осциллятор выйти не может. Вероятность шкл (x)dx того, что осциллятор находится на отрезке от х до х + dx, по классической механике выразится отношением

wK]l(x)dx = Y^,

где 成一промежуток времени, в течение которого осциллятор находится между точками 尤 н % 十 壮尤，Т—2п!ы^ —— период колебаний осциллятора. Можно записать

Здесь V — скорость частицы, совершающей гармонические колебания, например, по закону х=а sin о)0Л Тогда

v = ^~ асоо cos соо ^ = au)0 (1—х2/а2у^9

если выразить cos со。/ через х. Окончательно при т-а《尤《а имеем

叫"(X)=启(1_端/d)"2 -

Из рис. 12 12 видно, что плотность вероятности шкл (х) неограниченно возрастает при приближении х к предельным точкам 士а, ограничивающим область, в которой может находиться классический осциллятор.

В квантовой механике задача о колебаниях линейного гармонического осциллятора должна быть решена с помощью уравнения Шредингера (12.22). Оно имеет для линейного гармонического осциллятора следующий вид:

請十^(犷一啰屮=0.(12.40)

Введем обозначения:

а = то)"方；§ — 2/пМ/力.(12.41)

Тогда уравнение (12.40) можно записать так:

总+(b一炉炉)屮=0.(12.40‘)

Если ввести новую переменную z=*р^ах, так что ^^=&窈,

то уравнение (12.40，)примет вид &詆+ (Р—ccz*)W=O, или после

почленного деления на а

(12.42)(12.42)碧+(名-冷屮=。.

(12.42)

(12.42)

Задача сводится к отысканию конечных, непрерывных и однозначных решений этого уравнения в области —оо <： г < оо. Замечательным свойством уравнения (12.42) является то, что такие решения это дифференциальное уравнение имеет лишь при определенных значениях параметра 卩饱，а именно:

(12.43)(12.43)"| = 2孔 + 1 (m -0; 1; 2;...).

(12.43)

(12.43)

Мы ие будем приводить достаточно сложного Доказательства условия (12.43). Однако можно простой подстановкой убедиться в существовании волновых функций, удовлетворяющих уравнениям типа (12.42) при условии, что выполнено требование (12.43). Например,

функция a(z) = eT*厶 удовлетворяет уравнению ^^+(1—z2)-фо=О,

屮 1(2)= 2zeT*/"»

»需+(3-23)取=0,

屮 2 (z) = (4”一2) 丁紋/*»

»争+(5-#)5=0,

恥(z) = (8z3—⑵产少»

»争+(7T)S=0.

Дифференциальное уравнение вида "^г4-(^—z2)i|)=0 имеет конечные, непрерывные и однозначные решения во всем интервале z от —оо до -f-oo при условии, что Л—2л-|-1.

Условие (12.43) возникает из требования конечности решения уравнения (12.42) во всем пространстве. “

4. Подставляя в услойие (12.43) отношение p/а из (12.41), получаем ?—=2九+1, откуда собственные значения энергии линейного гармонического осциллятора

% = (2九+1)峥=(叶1/2)於)。. (12.44)

Мы приписали энергии W индекс п, ибо из формулы (12.44) видно, что энергия осциллятора Wn квантована и может иметь лишь дискретные значения, определяемые значениями квантового числа п. Дозволенные квантовой механикой значения энергии линейного

гармонического осциллятора представляют собой систему равноотстоящих друг от друга энергетических уровней, изображенных на рис. 12.13. При п ^> 1 (л+1/2 ж п) энергетические уровни осцилля

Рис. 12.13Рис. 12.13тора совпадают с теми значениями квантованной энергии осциллятора *；=孔方①力 которые принимались Планком на заре возникновения квантовых предстайлений для истолкования законов излучения абсолютно черного тела (см. § 10.2).

Рис. 12.13

Рис. 12.13

Существенные отличия результата (12.44) от выводов старой квантовой теории, а также от результатов классического рассмотрения колебаний линейного гармоничес-

кого осциллятора сказываются при рассмотрении вопроса о найме н ь ш е й энергии, которой может обладать такой осцилляторо По классической теории (а также по старой квантовой теории при п=0), наименьшая энергия, которую может иметь осциллятор, равна

нулю. Это значит, что осциллятор не колеблется и находится в положении равновесия. Рассматривая атомы твердого тела в первом приближении как осцилляторы \ классическая физика приводит к результату, что при температуре абсолютного нуля (7=0) такие атомы не должны совершать колебаний. Современная квантовая механика приводит к иному результату. Наименьшая энергия, которой может обладать линейный гармонический осциллятор, отлична от нуля и равна

Эта энергия называется нулевой энергией и не может быть отнята от осциллятора никаким охлаждением вплоть до абсолютного нуля. Она может быть отнята лишь изменением свойств самого осциллятора: %нн f 0 при % т 0. Но тогда сама постановка задачи о колебаниях осциллятора теряет физический смысл. Наличие нулевой энергии и соответствующих ей «нулевых колебаний» осциллятора нашло свое экспериментальное подтверждение в явлении рассеяния света кристаллами при сверхнизких температурах. Эксперименты показали, что при уменьшении температуры интенсивность света, рассеянного кристаллами, стремится к некоторому значению, не зависящему от дальнейшего охлаждения. С классической точки зрения интенсивность рассеянного света должна убывать до нуля по мере убывания температуры, ибо должны прекращаться колебания атомов, на которых происходит рассеяние света. Результаты опытов показывают, что и при Т -> 0 у атомов сохраняются некоторые «нулевые колебания», на которых и происходит рассеяние света. Этим «нулевым колебаниям» соответствует нулевая энергия атомных осцилляторов.

Наличие нулевой энергии является характерным признаком любой системы частиц, рассматриваемых в квантовой механике. При температурах, близких к абсолютному нулю, любое вещество нахо-

Они будут не одномерными, а трехмерными, ио это не имеет значения в данном вопросе.

дится в конденсированном состоянии и его атомы (молекулы или ионы) ведут себя, как некоторые колеблющиеся осцилляторы. Оказывается, что нулевая энергия есть минимальная энергия, которой должен обладать квантовый атомный ос-дится в конденсированном состоянии и его атомы (молекулы или ионы) ведут себя, как некоторые колеблющиеся осцилляторы. Оказывается, что нулевая энергия есть минимальная энергия, которой должен обладать квантовый атомный ос-Рис. 12.14Рис. 12.14Рис. 12.15

дится в конденсированном состоянии и его атомы (молекулы или ионы) ведут себя, как некоторые колеблющиеся осцилляторы. Оказывается, что нулевая энергия есть минимальная энергия, которой должен обладать квантовый атомный ос-

дится в конденсированном состоянии и его атомы (молекулы или ионы) ведут себя, как некоторые колеблющиеся осцилляторы. Оказывается, что нулевая энергия есть минимальная энергия, которой должен обладать квантовый атомный ос-

Рис. 12.14

Рис. 12.14

венным веществом, которое может существовать в жидком состоянии при Т -> 0. Во-первых, это обусловлено тем, что у гелия частота колебаний атомов соо сравнительно велика, ибо она зависит от массы m атома:①° 〜tn-”％ а масса атома гелия мала. Поэтому у гелия нулевая энергия /ко0/2 имеет сравнительно большое числовое значение. С другой стороны, силы притяжения атомов гелия малы, ибо у них полностью застроены электронные оболочки с двумя электронами. В итоге атомы гелия и при Т f 0 находятся б интенсивном движении, и гелий остается жидким вплоть до абсолютного нуля. Жидкий гелий называется квантовой жидкостью, так как причиной его жидкого состояния является квантовый эффект — наличие нулевой энергии.

Вероятность обнаружить линейный гармонический осциллятор на участке с координатами от 尤 до х + dx в квантовой механике равна

wKB (%) d% = I 联(х)|2 dx.

На рис. 12.14 изображены квантовая плотность вероятности для состояния м=1 и для сравнения — классическая плотность вероятности сокл. Наиболее существенным отличием 6KB от ^кл* является возможность обнаружить частицу за пределами классически дозволенной области |%|《 а, т. & за точками А и В на рис. 12.11. Это связано с тем, что благодаря волновым свойствам область за пределами |%| W % где полная энергия W меньше потенциальной» не запрещена и там можно обнаружить частицу.

По мере увеличения квантового числа п кривая распределения вероятностей |фп| 2, изображенная на рис. 12.15 для п—10, все больше становится похожей на классическую кривую на рис. 12.12. В этом находит свое выражение принцип соответствия Бора (см. §12.7, п. 7).

Глава XUi СТРОЕНИЕ И ЛИНЕЙЧАТЫЕ СПЕКТРЫ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ СИСТЕМ ПО БОРУ

Опыты Резерфорда по рассеянию а-частиц веществом

РРРис. 13.1Рис. 13.1Э. Резерфорд исследовал рассеяние а-частиц при прохождении их через тонкую металлическую фольгу (1911). Альфа- излучение образуется при естественном радиоактивном распаде атомов некоторых тяжелых элементов и представляет собой положительно заряженные частицы с зарядом 2 е и массой, приблизительно в четыре раза большей, чем масса атома водорода (подробнее от а-частицах см. в гл. XVII).

Р

Р

Рис. 13.1

Рис. 13.1

Энергии а-частиц, испускаемых различными радиоактивными элементами, имеют порядок велшщнн 1(? —107 эВ (от 4,05* 106 эВ для урана до 8,78- 106эВ для тория С). С помощью таких частиц, обладающих достаточно большими энергиями, Резерфорд со*своими сотрудниками Гейгером и Марсденом зондировал вещество ——«простреливал» металлические фольги. Установка*для изучения рассеяния а-частиц изображена на рис. 13.1. Металлическая камера Л, сверху закрытая стеклянной пластинкой Р, прикреплялась к подставке

В, на окружности которой были нанесены градусные деления. Вся подставка вместе с камерой могла вращаться на шлифе С. Сбоку в камеру Л был вделан микроскоп Л1, перед объективом которого укреплялся экран, покрытый сернистым цинком. Источник а-частиц R помещался в свинцовом футляре 尸,имеющем диафрагму D. На пути пучка а-частиц помещалась рассеивающая металлическая фольга Е толщиной 10'7—— —10-6 м. Источник и фольга укреплялись неподвижно на трубке Т, проходящей через основание прибора. Через эту трубку из камеры Л откачивался воздух, чтобы не происходило рассеяния а-частиц на молекулах воздуха. Попадание каждой а-частицы на экране S вызывало вспышку — сцинтилляцию» обусловленную флуоресценцией экрана. При повороте камеры на различные углы на экран попадали а-частицы, рассеянные под соответствующими углами. С помощью описанной установки можно было наблюдать а-частицы, рассеянные под углами до 150°.

Опыты, проведенные в лаборатории Резерфорда, показали, что наряду с подавляющим большинством а-частиц, отклоняющихся весьма незначительно от своего первоначального направления» имелись а-частицы, которые при прохождении через тонкие фольги резко отклонялись на весьма большие углы, порядка 135—150°. Объяснить эти резкие отклонения накоплением малых отклонений оказалось невозможным.

Опыты Резерфорда и его сотрудников явились экспериментальным подтверждением высказанной Резерфордом идеи о том, что весь положительный заряд атома сосредоточен в его ядре — области, занимающей весьма малый объем сравнительно со всем объемом атома. Рассеяние а-частицы на таком малом объеме маловероятно, поэтому большинство а-частиц испытывает незначительное рассеяние; а-частицы проходящие вблизи от этой малой области, испытывают резкие отклонения, ибо на малых расстояниях силы отталкивания между положительно заряженными а-частицей и ядром должны быть очень велики. Вероятность попаданий а-частиц в ядро и их отклонений на большие углы сравнительно мала, но не равна нулю.

Резерфорд теоретически рассмотрел задачу о рассеянии а-частиц в кулоновском электрическом поле ядра, содержащего Р положительно заряженных частиц. Аналогичная задача рассмотрена в первом томе курса (см. § 6.5) при изучении рассеяния частиц на неподвижном' рассеивающем центре в предположении, что взаимодействие падающей частицы и центра происходит по закону центральных сил с потенциальной энергией взаимодействия Wn вида Wn—^/rt гдер — постоянная величина, аг— расстояние от центра до частицы. Для взаимодействия а-частицы с ядром потенциальную энергию Wn запишем так: 必=^^, где е=1，6・10~1в Кл — элементарный электрический заряд； 2е и Ре — заряды а-частицы и ядра, так что

о 2еРе

6 = 1^7・

Обозначим через п плотность потока а-частиц, налетающих на ядро (п выражается в м~2-с-1), а через dM——число а-частиц, рассеянных в единицу времени внутрь телесного угла dQ. Отношение dN/n=da называется дифференциальным эффективным сечением рассеяния а- частиц в кулоновском поле ядра атома. Согласно формуле Резерфорда (6.59) (см. т. I, § 6.5),

而=(鳥)'sin；*2)'

где(р=л—2фо — угол рассеяния а-частицы (рис. 13.2),犷一ев энергия; da выражается в м2.

Из формулы Резерфорда следует, что число a-частиц, рассеянных за единицу времени внутрь единичного телесного угла, равно

ST ~ П \4ле0.4IJZ / sin* (ф/2) '(J」)

Формула (13.1) показывает, что для данного рассеивающего вещества при определенной энергии 呼 a-частиц и заданной плотности их потока произведение 請 sin噹 должно оставаться постоянным. Это было экспериментально подтверждено в опытах Гейгера и Марсдена, описанных выше для углов рассеяния 県 меняющихся в широких

пределах от 15 до 150е. Небольшой разброс в значениях произведения jg- sin4 (ф/2) объяснялся экспериментальными трудностями при создании моноэнергетических пучков а-частиц постоянной плотности п.

Формула (13.1) дает возможность по измеренному числу^ частиц, рассеянных под некоторым углом <р, определить число Р элементарных положительных зарядов, содержащихся в ядре атомов данной рассеивающей фольги. Опыты показали, что это число равно порядковому номеру Z элемента в периодической системе Менделеева, т. е. P=Z. Таким образом, идея Резерфорда о сосредото4ении положительного заряда в его ядре не только получила блестящее экспериментальное подтверждение, но и позволила установить физический смысл порядкового номера в периодической системе элементов (см. § 14.5).

Очевидно, что в нейтральном атоме 笠,〉^7 f

должно содержаться также Z электронов. Поэтому проверкой справедливости ^^^

ядерной модели атома послужило изуче- /?^^ ние тех явлений, в которых независимым путем могло быть определено число элект-Рис- 13,2

ронов в атоме. Три группы явлений особенно пригодны для этой цели, прежде всего измерение интенсивности рассеянного света в различных участках спектра. Как известно, рассеяние света происходит на электронах атомов и носит резонансный характер — оно наиболее интенсивно при совпадении частот рассеиваемого света и собственной частоты колебаний электронов. Опыты показали, что в атомах имеется несколько групп электронов, «резонирующих» на различные частоты падающего света. Теория явления рассеяния света позволяет по известной интенсивности рассеянного света в данной области частот определить число электронов, участвующих в рассеянии. Таким образом, измеряя интенсивность рассеянного света в широком диапазоне частот, можно найти полное число электронов в атоме. Другим независимым методом определения числа электронов в атома丈 является изучение потерь энергии а- и 0・ частиц при прохождении их сквозь слой вещества некоторой толщины. Оказывается, что потери энергии а- и р-частицами в веществе связаны с числом электронов в атоме, которое может быть определено по этим потерям. Наконец, измерение коэффициента рассеяния рентгеновских лучей данным атомом также дает возможность найти общее число Z его электронов (см. § 14.12). Существенно, что число электронов в 价о・ ме, определенное различными методами, совпало с числом элементарных положительных зарядов в ядре, измеренным по рассеянию а-частиц.'

По известному заряду ядра Ze можно установить верхний предел размеров ядра. При рассеянии а-частицы ядром не происходит их столкновения в механическом смысле этого слова, ибо в случае такого столкновения закон взаимодействия /п=0/г и вытекающая из него формула Резерфорда не были бы справедливы. Сумма радиусов ядра и

а-частицы меньше того минимального расстояния г0, на которое сближаются их центры при столкновении (рис. 13.2). Для оценки г0 рассмотрим центральный удар а-частицы о ядро, соответствующей углу рассеяния <р= 180°. Из закона сохранения энергии следует, что в момент наибольшего сближения а-частицы с ядром ее кинетическая энергия g2/2 полностью перейдет в потенциальную энергию их взаимодействия:

(13.2)(13.2)fnv — 2е Ze

(13.2)

(13.2)

2 一 4冗时0

Здесь /и — масса а-частицы, у — ее начальная скорость вдали от ядра. Для а-частиц, испускаемых RaC, t»~l,9-107 м/с. Оценим г0 для золота (Z=79). Подставив значения: е= 1,6- 1О"10 Кл и zn=6,5-10"22 кг, получим

Таким образом, ядро атома золота имеет размеры, меньшие этой величины. Если предположить, что электрон имеет сферическую форму, то, как можно показать (см. §14.3), его «классический радиус» должен иметь такой же порядок величины. Это наряду с другими важными обстоятельствами, которые мы обсудим подрсбнее в § 16.3, привело к выводу, что электроны не могут находиться в ядре. Современные методы оценки размеров ядер показывают, что эти размеры имеют порядок 10~15 м (см. § 16.6).

Ядерная модель атома Резерфорда

На основании результатов опытов по рассеянию а-

частиц тонкими металлическими фольгами и следствий, к которым привели эти опыты, Э Резерфордом была предложена ядерная модель атома. Согласно этой модели, в ядре атома — малой по сравнению с объемом всего атома области с линейными размерами 10"15 ——10"14м—— сосредоточен весь его положительный заряд и практически вся масса атома. Вокруг ядра в области с линейными размерами 〜10~舒 м движутся электроны, масса которых составляет лишь весьма малую долю массы ядра 2. Статическая ядерная модель атома, в которой электроны были бы неподвижны, физически бессмысленна. В результате действия кулоновских сил притяжения электроны сразу же упали бы на ядро. Чтобы этого не произошло, электроны должны двигаться около ядра по орбитам, зависящим от энергии электронов Ядерная модель атома Резерфорда внешне очень напоминает Солнечную систему: в центре системы находится «солнце» — ядро, а вокруг него по орбитам движутся «планеты» — электроны Поэтому данную модель часто называют планетарной Орбиты электронов в атоМе стационарны; атому свойственна исключительная устойчивость, о чем, в частности, сви-

детельствуют оптические линейчатые спектры атомов, отличающиеся определенным для всех атомов данного элемента расположением линяй.

Устойчивость атома не может быть согласована с классическим истолкованием ядерной модели. Рассмотрим, например, ядерную модель простейшего атома — атома водорода» содержащего один электрон и ядро — протон. Предположим ради простоты, что электрон дви-~ жется вокруг протона по круговой орбите. В § 12.4 мы видели, что классическое представление об орбите, как о траектории движения электрона в атоме, не выдерживает критики с квантовомеханической точки зрения. Однако, как мы увидим в § 14.2, имеет смысл говорить о геометрическом месте точек, в которых с наибольшей вероятностью может &ять обнаружен электрон в атоме водорода. Это геометрическое место заменяет в квантовой механике классическое представление об орбите электрона. В дальнейшем, употребляя термин «орбита» электрона, мы будем иметь в виду этот его смысл. Скорость электрона на круговой орбите с радиусом г 内 10~х° м должна быть порядка и= = 108 м/с (это сразу следует из формулы ?=彳盒声),а центростремительное ускорение a=t»/r должно иметь порядок величины 1022 м/с2 х- Такой ускоренно движущийся электрон должен вести себя как вибратор, колеблющийся с большой частотой; он должен излучать электромагнитные волны (см. § 3 2).

По формуле (3.19) можно рассчитать мощность излучения электрона, ускоренно движущегося в атоме. Согласно классическим представлениям, это излучение (и связанная с ним потеря электроном его энергии) должнб происходить непрерывно. Поэтому электрон не сможет удержаться на круговой орбите — он должен по спирали приближаться к ядру, и частота его обращения вокруг ядра (а следовательно, и частота излучаемых им электромагнитных волн) должна н е п р е р н” н о изменяться. Иными словами, электромагнитное излучение атома должно иметь непрерывный, а не линейчатый спектр. Можно было бы избежать трудности с потерей электроном энергии на излучение, если допустить, что он движется с малыми скоростями и ускорениями, т. е. считать, что его излучение пренебрежимо мало. Однако в этом случае также неизбежно падение электрона на ядро, потому что при малых скоростях электрон не сможет удержаться на орбите такого радиуса, который соответствует реальным размерам атома.

Таким образом, применение классической электродинамики к ядерной модели атома привело к полному противоречию с экспериментальными фактами. Согласно классической теории, должна иметь место: ”

непрерывная потеря электроном энергии в виде излучения электромагнитных волн и неустойчивость атома;

существование только непрерывного спектра. Спектральных линий существовать не должно.

В действительности оказывается» что: а) атом является устойчивой системой; б) атом излучает энергию лишь при определенных условиях; в) излучение атома имеет линейчатый спектр, связанный, как мы увидим дальше, ро строением и свойствами его электронной оболочки.

Эти выводы относятся не только к атому водорода, но и к другим атомам.

Линейчатый спектр атома водорода

Светящиеся газы дают линейчатые спектры испускания, В соответствии с законом Кирхгофа (см. § 10.2) спектры поглощения газов также имеют линейчатую структуру. Изучая линейчатый спектр водорода, швейцарский учитель физики И. Бальмер установил (1885 ), что длины волн известных в то время девяти линий спектра могут быть вычислены по формуле

入= %М/(步—4),(13.3)

где Х0=3646ДЗ А, а п=3, 4, 5,..., 11—целые числа.

Формулу (13.3) обычно записывают в ином виде:

v*=4 = R'(gT)，ОЗ”)

где /?л = 10973731,77 м-, м=3, 4, 5,...; v* = l/X называется волновым числом. Константа R' впервые была определена Р. Ридбергом и называется постоянной Ридберга* Формула Бальмерак впервые указавшая на особое значение целых чисел в спектральных закономерностях, сыграла выдающуюся роль в развитии учения о строении атомов.

В настоящее время известно большое число линий в спектре водорода, длины волн которых укладываются в формулу Бальмера. Если учесть большую точность спектроскопических измерений, то следует признать, что формула Бальмера принадлежит к числу наиболее точных закономерностей физики. Формулу (13.4) переписывают нередко для частот V соответствующих линий. Так как v=c/X, то формула (13.4) для частот имеет аналогичный вид:

v = R (^―^) •(13.4，)

Произведение R=R、c==3,2931193・ 10工立 с"1 также называется постоянной Ридберга * но выраженной в с-1. Из формулы (13.4) видно, что все линии, отличающиеся различными значениями /г, образуют группу, или серию, линий, называемую серией Бальмера. С увеличением п линии серии сближаются друг с другом. Значение п=оо определяет границу серии Бальмера. Ей соответствует длина волны %=3645,068・10т° м=3645,068А,

Ридберг показал, что в линейчатых спектрах не только водорода, но и других элементов наблюдаются спектральные серии, при-

чем частоты v всех линий данной серии удовлетворяют соотношению (13.4")

где п2 и Hi — некоторые целые числа. Функции '『(几丿 и Т(п^ называются спектральными термами. Для данной серии п2 имеет постоянное значение. Изменение числа 几工 дает все линии данной серии. Например, для серии Бальмера из (13.4ff) следует, что Т(n^R!^ и T^^R/nf. При неограниченном возрастании nx Т (пх) ^- 0 и частоты линий серии Бальмера стремятся к пределу, которым является терм Т (п2), представляющий собой частоту границы серии.

В. Ритц установил (1908) справедливость положения, называемого комбинационным принципом Ритца: частоты спектральных линий излучения любого атома могут быть представлены в виде разности двух термов; составляя различные комбинации термов, можно найти все возможные частоты спектральных линий этого атома.

Из комбинационного принципа Ритца следует, что в спектре водорода кроме бальмеровской серии должны существовать другие серии, которые могут быть получены из термов серии Бальмера. Например, вычитая из частоты водородной лиции Нр vHp = /? ^—^ частоту линии HaVHa = R g—^^ , получим

V = R 傍T) •

Аналогичным путем можно найти и другие линии серии, обнаруженной Ф. Пашеном в инфракрасной части спектра водорода и называемой серией Пашена：

、=R 偿—^5)，не м = 4, 5, 6,...

Тщательные исследования спектра водорода показали, что в нем наблюдаются еще четыре серии спектральных линий. В далекой ультрафиолетовой области спектра была обнаружена серия Лаймана

v = /? (j—^2^ , где п = 2, 3, 4,・・・

В далекой инфракрасной области были также обнаружены: серия Брэкета

V = R (家~"~评)* где rt == 5, 6, 7,

серия Пфунда

* = R (^-营), где 九==6, 7, ...；

серия Хэмфри

V = /? (^—±) » где м = 7, 8, ♦ ♦ ♦

Таким образом, все сериальные формулы спектра водорода могут быть выражены единой формулой

J = P ”5)

v = R 係—%)， (13.5，)

где zn и п — целые числа, причем для данной серии /г—m+1 > /п+2, т+3 и т“ д. Для серии Лаймана m—1, для серии Бальмера /п=2, для серии Пашена т=3 и т. д.

При неограниченном возрастании п частоты всех серий водородного спектра сходятся к соответствующим границам. Граничные частоты водородного спектра Т (/и) равны R!n^.

Из формул (13.5), подтвержденных на опыте с огромной, «спектроскопической», точностью, ярко выступает особое значение целых чисел в спектроскопических закономерностях В гл. XIII мы видели, что квантовомеханическое решение некоторых задач об энергии (например, у осциллятора, электрона в «ящике» и др.) также приводит к особой роли целых чисел ——квантовых чисел, определяющих дискретные значения энергии Забегая вперед, укажем сразу, ято числа тип в формулах (13 5) также являются квантовыми числами, определяющими энергетические уровни атома водорода. Однако от открытия сериальных закономерностей в атоме водорода до квантовомеханического решения задачи об атоме водорода физика прошла огромный путь, исторически очень короткий, но полный драматизма и выдающихся открытий. Этот путь, как и вся физика первой половины нашего века, навсегда будет связан с именем великого физика-датчанина Нильса Бора.

§ 134 Теория Бора для водородоподобных систем

В предыдущем параграфе было показано, что дискретный линейчатый спектр атома водорода и закономерности (13 5) или (13.5х) находятся в прямом противоречии с классическим истолкованием модели атома Резерфорда

Первая попытка построения неклассической теории атома была предпринята Бором (1913) и составила важный этап в развитии современной физики. В основе этой теории лежала идея связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и поглощения света, подтвержденные обширным экспериментальным материалом. В теории Бора не содержалось принципиального отказа от описания поведения электрона в атоме при помощи законов классической физики. Такое описание сохранялось. Однако для достижения тех целей, которые поставил перед собой Бор, ему пришлось классическое описание дополнить некоторыми ограни^ниями, накладываемыми на возможные состояния электронов в атоме. Эти ограничения были сформулированы в виде постулатов, физический смысл которых не

только не мог быть объяснен в рамках теории, но, более того, противоречил сохраняющемуся в теории классическому описанию движения электрона в^атоме. Тем не менее такой принципиально непоследовательный путь привел к правильным результатам в некоторых вопросах, в частности к объяснению спектральных закономерностей атома водо* рода. Причина этого заключается в том, что в боровской теории, которую часто называют «старой» квантовой теорией, были правильно указаны некоторые свойства атомных систем. Как мы увидим, эти правильные результаты могут быть получены в квантовой механике из гораздо более строгих и общих положений, не требующих постулатов.

Теория Бора применима не только к атому водорода, но и к так называемой водородоподобной системе, состоящей из ядра с зарядом Ze и одного электрона, вращающегося вокруг ядра. Такую систему называют также изоэлектронной водороду. Примерами таких систем являются ионы Не+, Li十十 и др.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний) заключается в следующем, существуют некоторые стационарные состояния атома, находясь 8 которых。咒 не излучает энергии. Этим стационарным состояниям соответствуют вполне определенные (стационарные) орбиты, по которым движутся электроны. При движении по стационарным орбитам электроны, несмотря на наличие у них ускорения» не излучают электромагнитных волн.

Второй постулат Бора (правило квантования орбит) утверждает, что 8 стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию

Ln = nwr =几方，где n= 1; 2; 3; ... (13 6)

Здесь т — масса электрона, и — скорость электрона, г — радиус его орбиты,方=用/2冗.

Целое число п равно числу длин волн де Бройля для электрона, укладывающихся на длине круговой орбиты. В самом деле, учитывая формулу (12*2), найдем орошение длины окружности к длине волны де Бройля:

2л г 2nrmv

Третий постулат Бора (правило частот) устанавливает, что при переходе атома из одного стационарного состояния s другое испускается или поглощается один фотон. Излучение происходит при переходе атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией (при переходе элейтрона с орбиты, более удаленной от ядра на более ближнюю к ядру орбиту). Поглощение фотона сопровождается переходом атома в состояние с большей энергией. Этому соответствует переход электрона на более удаленную от ядра орбиту. Изменение энергии атома, связанное с излучением или поглощением фотона, пропорционально частоте v. Если 厶取一изменение энергии атома в результате этих процессов, то

A*=/iv・ (13.7)

Правило частот Бора (13.7) может быть записано иначе. Если 呼л и Wm — энергия атома в двух стационарных состояниях, то

Wn-Wm = hvnm.(137)

При Wm V Wn происходит излучение фотона, при Wm > Wn — его поглощение.

Анализируя содержание постулатов Вора, нельзя не заметить, что первый и третий постулаты связаны с невозможностью классического обоснования ядерной модели атома, а также со спектральными закономерностями (13.5) в атоме водорода и квантовой структурой излучения. В самом деле, сопоставление формул (13.7')» (13.5') и (13.4") позволяет заключить, что энергия атома в некотором стационарном состоянии

Wn = — R/i/紋，где и— 1, 2, ..(13.8) а спектральный терм связан с энергией атома формулой

==衣.(13.8)

Таким образом, целые числа, входящие в сериальные формулы (13.5) и (13.5'), определяют квантованные значения энергии атома (энергетические уровни атома водорода). Целое число п, определяющее энергетические уровни водородного атома по формуле (13.8), называется главным квантовым числом.

Из формулы (13.8) следует, что энергетические состояния атома водорода образуют последовательность энергетических уровней, изменяющихся в зависимости от значения и. Энергетическое состояние, соответствующее значению п=1, называется основным или нормальным (невозбужденным) состоянием. Все состояния с п > 1 называются возбужденными. При возрастании и энергетические уровни сближаются к границе, соответствующей значению п=оо. При этом значении п ^=0. Знак минус в формуле (13.8) показывает, что электрон связан в атоме силой притяжения к ядру. Поэтому абсолютное значение Wn в формуле (13.8) считают энергией связи электрона в атоме, находящемся в состоянии п. Тогда значение ^=0 соответствует ионизации атома, т. е. отрыву от него электрона. Энергия ионизации из данного состояния равна по абсолютной величине энергии связи электрона в атоме в этом состоянии. Энергия ионизации I^hqh связана с потенциалом ионизации ①： 犷 1f丽=6屮，где е —— абсолютная величина заряда электрона. Таким образом,

Подставив в это соотношение значение R , получим для потенциала ионизации атома водорода из нормального состояния (п=1) величину

ф^=13,53 В. На рис. 13.3 приведена схема энергетических уровней атома водорода. Стрелками указаны переходы, соответствующие излучению различных серий спектральных линий.

4. Второй постулат Бора не мог быть навеян никакими эмпиричес-

кими формулами и явился его гениальной догадкой. Этот постулат

(13.6) в соединении с формулой (13.7') поз-

волил Бору рассчитать спектр атома водорода и других изоэлектрон- ных водороду систем, а также теоретически вычислить соответствующие им значения постоянной Ридберга, находящиеся в хорошем согласии с опытом. Бор считал, что движение элект-

13,53——о2 73・

72・

//-

10

[в водородоподоб- системе происходит

по круговой орбите радиуса г под действием кулоновской силы притяжения электрона к ядру, обусловливающей центростремительное ускорение, т. е. можем mu2 Ze2

4

записать:

или, так как ①——угловая вращения»

& Ze2

—4ле0г2，и=М гдескорость

4ле0та)2 '

(13.9)

Возведем соотношение

в

квадрат

т=

(13.6): 产旧尸=献方2. Из двух

需尊巒I里

魄第汰雜

20000-

то-

S §■

8删0・

100000

Дпины Волн tow 5 〃加=Ю'^см)

Рис, 13.3

последних формул получим

% =紋方叫孔%/依z”)，гда n— 1; 2;...

(139)

При п=1 для водорода Z=1 нмеем

r^aQ= 方 24冗%/(加产)=o,529 • 10-10 m = 0,529 A*

(13.9")

Эту величину называют радиусом первой орбиты электрона в атоме водорода (первым боровским радиусом).

Из формулы (139) видно, что радиусы орбит растут пропорционально квадратам целых чисел. Энергия электрона в водородоподобной системе равна сумме его кинетической 吃 и потенциальной *口 энер-

гии в электростатическом поле ядра:

Подставив г в (13.9") из (13.9'), получим

吃=-4•謂，"з」。)

Сравним формулы (13.8) и (13.10). Для круговой орбиты число п, определяющее в теории Бора момент импульса электрона, совпадает с главным квантовым числом х. Приравнивая коэффициенты при 1/п для водорода, получим

Rh = ^・(13.11)

Формула (13.11) дает значение постоянной Ридберга для водорода. Учет движения ядра сводится к тому, что вместо массы m электрона в формулу (13.11) следует ввести приведенную массу тприв двух частиц — электрона и ядра, движущихся относительно центра масс системы ядро — электрон: /и11Pliв=/и〃/(/п+М), где М — масса ядра атома. Полученное таким образом значение R для водорода /?н = 3,28805 х X 1015 с-】 находится в хорошем согласии с данными, полученными из спектроскопических измерений. Постоянная Ридберга R^ Для водородоподобной системы выразится в соответствии с (13.10), (13.11) и (13,8) как

及 = 2嗔=誤・(13.11)

Энергетические уровни водородоподобной системы можно записать в следующем виде:

Wn = — Z£Rh[*"3.8")

Для вычисления постоянной Ридберга можно воспользоваться принципом соответствия Бора, сформулированным в § 12.7. Классическое выражение для радиуса орбиты электрона в атоме водорода согласно (13.9) имеет вид

\ 4леот 丿

Эта формула приводит к выражению для энергии электрона по (13・9“)

Рассмотрим теперь переход электрона между двумя соседними энергетическими уровнями п и и—1 при n》i • По принципу соответствия результаты квантовомеханиче^ ского и классического рассмотрения должны при этом совпадать. Частота； соответ-

ствующая этому переходу,

D Г 11 1„ 2л—1 2R

I ［向耳卞卜"%•二Гр а声，

r6q 孔»1. Таким образом,紋=2R/v и 孔=(4лК)%(й"/$・ Энергия электрона по формуле (13.8) равна

呼"=一殷=一戸/3 rt2(4 無)2/

Приравнивая по принципу соответствия классическое н квантовое выражения для энергии, после возведения в куб получаем

R =R =me4me48h^8h^

R =

R =

me4

me4

8h^

8h^

Этот результат совпадает с формулой (13.11).

§ 13^.5. Экспериментальное подтверждение постулатов Бора. Успехи и затруднения тензии Бора

Постулат Бора о существовании стационарный состояний атомов и правило частот (третий постулат) нашли свое экспериментальное подтверждение в опытах Д. Франка и Г. Герца, поставленных в 1913 г. В этих опытах изучались столкновения электронов с атомами газов методом задерживающего потенциала. Идея опытов заключалась в том, что пучок электронов, ускоряемых в электрическом поле, проходил через газ и электроны испытывали соударения с атомами газа. Первые опыты были поставлены на ртути.

Схема опытов изображена на рис. 13.4. Накаленный катод ^, испускающий электроны, сетчатый электрод S и анод 4, соединенный с электрометром или гальванометром Gr помещались в стеклянный сосуд, в котором

находились ртутные пары при давлении около 0,1 мм рт. ст* Между катодом и сеткой создавалось ускоряющее электрическое поле с разностью потенциалов фъ а между сеткой и анодом — слабое замедляющее поле с разностью потенциалов 屮射 не превышающей 0,5 В. Электроны, встречающие на своем пути атомы ртути, могут испытывать с ними соударения двоякого рода. Первый тип соударений — упругие столкновения, в результате которых энергия^ электронов не изменяется, а изменяются лишь направления скоросгей электронов. Такие упругие столкновения, хотя и затрудняют попадание электро' нов на анод, не могут явиться причиной практически Полного отсутствия анодного тока в трубке, который должен возрастать с увеличь нием ускоряющей разности потенциалов 屮力 Второй тип возможных соударений электронов с атомами — неупругие столкновения —связан G потерей электронами их энергии и передачей этой энергии атомам ртути. В соответствии с постулатами Бора каждый из атомов ртути не может принять энергию в любснд количестве. Атом

может воспринять лишь определенную энергию и перейти при этом в одно из возбуждейных энергетических состояний. Ближайшим к нормальному состоянию атома ртути является возбужденное состояние» отстоящее от основного по шкале энергий на 4,86 эВ.

До тех пор пока электроны, ускоряемые полем, не приобретут энергию 绅 1=4,86 эВ, они испытывают лишь упругие столкновения и анодный ток возрастает. Как только кинетическая энергия электронов достигает 4,86 эВ, начинают происходить неупругие столкновения.

Электрон с так^м значением энергии полностью отдает ее атому ртути, возбуждая переход одного из электронов атома ртути из нормального энергетического состояния на возбужденный энергетический уровень. Ясно, что такой электрон, потерявший свою кинетическую энергию, не сможет преодолеть задерживающее его поле и не достигнет анода. Таким образом, при разности потенциалов между катодом и сеткой, равной 4,86 В, должно происходить резкое падение анодного тока. Аналогичное явление должно происходить при е%=2・4,86вВ, 3-4,86 эР н, вообще говоря,

при ^ф!=п*4,86эВ, когда электрдны могут испытать два, три и т. д. неупругих соударения с атомами ртути, потерять при этом полностью свою энергию и не достигнуть анода. На рис. 13.5 приведена характерная кривая зависимости анодногб тока от разности потенциалов между катодом и сеткой в опытах Франка и Герца, подтверждающая справедливость первого постулата Бора.

Третий постулат Бора (правило частот) также экспериментально подтвердился в опытах Франка и Герца. Ртутные пары, возбужденные электронам ударом, оказались источником ультрафиолетового излучения с длиной волны 2537 А (первая резонансная линия ртути). Это излучение происходит в тот момент, когда атом ртути, возбужденный электронным ударом на уровень с энергией W2t возвращается в основное нормальное энергетическое состояние с энергией Fi. Согласно правилу частот Бора (13.7), F2—W^hv, где W2—取】=A取.По известному AW=4,86 эВ=4,86 e Дж, где е= = 1,6* 10-19 Кл — заряд электрона, можно вычислять длину волны излучения:九=/ic/AK=2,537・io~7 м=2537 А. Этот результат полностью согласуется с экспериментом.

Серьезным успехом теории Бора явилось теоретическое вычисление постоянной Ридберга для водородоподобных систем и объяснение структуры их линейчатых спектров. В частности, Бору удалось правильно объяснить серии спектральных линий ионизованного гелия, до этого приписываемые водороду (так называемые серии Пикеринга и Фаулера для Не+). По значениям постоянной Ридберга R для Н и Не+ можно теоретически вычислить отношение массы протона к массе электрона mp/me и значение Rh при неподвижном ядре. Вычисления привели к значению тр/те=1847, находящемуся в согласии с известным

из опыта. Это было очень важным подтверждением правильности основных идей, содержащихся в теории Бора. Не менее важным оказалось нахождение удельного заряда электрона е!те из спектроскопических данных. Значение е/те определяется по известным постоянным Ридберга для двух различных атомов, например водорода и дейтерия (тяжелого водорода).

Теория Бора объяснила физическую природу характеристических рентгеновских спектров (см. §, 14.11), расщепление спектральных линий в сильном магнитном поле (нормальный эффект Зеемана, § 14.9) и другие явления. Дальнейшее обобщение правил квантования орбит на системы с многими степенями свободы позволило установить, что состояние электрона в водородоподобной системе не может быть описано одним квантовым числом. Квантовых чисел должно быть столько же, каково число степеней свободы, например для эллиптической орбиты электрона их должно быть два. ,

Теория Бора сыграла огромную роль в создании атомной физики. В период ее развития (1913—1925) были сделаны важные открытия, навсегда вошедшие в сокровищницу физической науки.

Особенно велика ее роль в развитии атомной, а также частично и молекулярной спектроскопии, где огромный экспериментальный материал с помощью теории Бора был систематизирован и сведен к определенным полуэмпирическим закономерностям.

Однако наряду с определенными успехами в теории Бора с самого начала обнаружились существенные недостатки. Главнейшим из них была внутренняя противоречивость теории. Основываясь на механическом соединении классической физики с квантовыми постулатами, теория Бора в ряде проблем привела к существенным трудностям. Сюда прежде всего относится вопрос об интенсивностях спектральных линий. Для их вычисления в теории Бора приходилось применять принцип соответствия не только для больших квантовых чисел, но и для малых, т. е., по существу, использовать для расчета интенсивностей классические представления. Наиболее серьзной неудачей в теории Бора явилась абсолютная невозможность с ее помощью создать теорию атома гелия, содержащего помимо ядра два электрона. Постепенно становилось очевидным, что теория Бора, правильно объяснившая одни факты и не способная истолковать целый ряд других, представляет собой лишь переходный этап на пути создания последовательной теории атомных и ядерных явлений. Такой последовательной теорией явилась квантовая (волновая) механика. Применение ее к атомным процессам позволило не только объяснить огромное многообразие явлений атомной и ядер ной физики, но и вскрыть физическое содержание самих постулатов Бора.

Глава XIV

СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СТРОЕНИИ И ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ АТОМОВ

Водородоподобная система в квантовой механике

Результаты, достигнутые боровской теорией в решении задачи об энергетических уровнях электрона в водородоподобной системе, получены в квантовой механике 6ез~ привлечения постулатов Бора. ，

дингера:дингера:a中+^(m-S2=0・a中+^(m-S2=0・(14.1)(14.1)Рассмотрим движение электрона в кулоновском поле ядра Ze, г. е. задачу об электроне, обладающем потенциальной энергией U(г)~ =——Z^2/4ne0r, где г — расстояние между электроном и ядром. Состояние электрона в водородоподобном атоме описывается некоторой волновой функцией 叭 удовлетворяющей стационарному уравнению Шре

дингера:

дингера:

a中+^(m-S2=0・

a中+^(m-S2=0・

(14.1)

(14.1)

Здесь W — значения полной энергии электрона в атоме, которые требуется отыскать при условии, что 屮 удовлетворяет требованиям конечности, однозначности и непрерывности (см. § 12.5). Центральносимметричный характер силового поля, в котором движется электрон, естественно, требует использования сферических координат при решении уравнения (14.1).

Решение уравнения Шредингера для водородоподобной системы в сферических координатах позволяет получить важные результаты. Оказывается прежде всего, что момент импульса электрона в атоме квантуется по формуле

厶= РПШУ 方，(14.2)

где /=0; 1; 2;...; п — 1 ——орбитальное квантовое числоя. Далее, из уравнения (14.1) следует, что при 呼 V 0, т. е. в условиях, когда электрон «связан» в атоме, его движения должны быть периодическими, а значения W ——полной энергии ——квантованными. Значения энергии, которыми может обладать электрон в атоме, определяются выражением

№ = 一8胪母(if/+1)2,(14.3)

где 九广一так называемое радиальное квантовое число. Если ввести обозначение

м=仆十/十 1,(14.4)

то выражение (14.3) для энергетических уровней электрона в водородоподобной системе можно записать в форме, аналогичной выражению

Пределы, втюторых изменяется число /, рассмотрены в конце этого параграфа»

(13.10) в теории Бора:

呼 _ Z2ffH — Z2R厶卜力=^8庐礴=~ .

Таким образом, последовательное решение уравнения Шредингера для электрона в водородоподобной системе приводит к энергетическим уровням типа Бальмера — Ридберга без использования каких-либо постулатов. Квантовое число п, определенное по формуле (14.4), совпадает с главным квантовым числом, вводимым в теории Бора по формуле (13.8). Энергетические уровни электрона для водородоподобной системы зависят только от главного квантового числа. Из формулы (14.4) следует, что наибольшему значению /макс при данном п соответствует Пг=0, т. е. /макс=п — 1. Следовательно, при заданном п орбитальное квантовое число может принимать следующие значения：

/ = 0, 1, 2, . > >, (м—-1}-(14.5)

Основное состояние атома водорода

Состояния электрона, обладающего различными значениями орбитального квантового числа, в атомной физике принято обозначать и называть следующим образом;

2=0 — s-состояние,

2=1 —p-состояние,

2=2 — ^/-состояние,

/=3 一 ^-состояние и т. д. в порядке следования букв латинского алфавита.

Рассмотрим более подробно s-состояние электрона в атоме водорода при п=1. Такое- состояние электрона и атома в целом называется основным состоянием. Волновая функция 屮 электрона в этом состоянии является функцией только 厂：屮=屮(>),т. е. s-состояние электрона в атоме сферически симметрично;［屮卩一вероятность обнаружить электрон в данной точке атома — будет зависеть только от г. Уравнение Шредингера для основного состояния водородного атома имеет следующий вид:

需一需+氯%+ 焉)М。.(14.6)

Будем искать решение этого уравнения в форме

2=支-"%(14.7)

где а。имеет размерность длины, с — некоторая постоянная, определяемая из условия (12.11) нормировки вероятности.

Дифференцируя 屮 и подставляя d^/dr и d纳/dd в уравнение (14.6), получим после сокращения на 屁一〃迎

dG一言)一岛=%•

Последнее уравнение удовлетворяется для любых значений г при выполнении двух условий:

(14.8)(14.8)加

(14.8)

(14.8)

方22匕

2пг • ra0 4ле0

Из последнего условия следует, что_ ^24ле0/ 一 те*’

Из сравнения (14.9) с (13.9") видно, что выражение (14,9) совпадает с первым боровским радиусом а@ для атома водорода. Подставив (14.9) в выражение (14,8) для 吃，получим

吃=—@4/8胪唸(14.10)

Сравнение (14.10) с (143) показывает, что мы получили значение энергии основного состояния атома водорода, соответствующее п=1.

Найдем вероятность того, что электрон в основном состоянии атома водорода находится на расстоянии г от ядра, точнее в интервале расстояний от г до r+dr, т. е. в шаровом слое с объемом dy=4№dr.

По формуле (12.10), вероятность обнаружить электрон в элементе объема dV

dw = \^\2dV = 1屮『4冗r旣九

Подставим в эту формулу выражение (14.7) для волновой функции основного состояния:

ds = с呢7r 1% • 4nradr.(14.11)

沛）沛）Вычислим теперь те расстояния гмакс от ядра атома, на которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон. Для этого исследуем выражение dt^/dr на максимум. Дифференцируя функцию ег2/7% н приравнивая производную нулю, получим гмакс=а0.

沛）

沛）

Этот результат является частный случаем более общего вывода: боровские орбиты электрона представляют собой геометрические места точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон.

По теории Бора, вероятность обнаружить электрон в состоянии с п=1 отлична от нуля только для г—а0. Согласно же квантовой механике, эта вероятность лишь достигает г максимума при г=а^ но она отлична от нуля во всем пространстве. На рис. 14.1 сопоставлены вероятности обнаружить электрон на различных расстояниях от ядра по

теории Бора 細叩)и по квантовой механике 他J

Из формулы (14.2) следует, что электрон, находящийся в атоме водорода в s-состоянии, т.е. в состоянии с /=0, имеет момент импульса#

давный нулю: Lo==O. С точки зрения теории Бора такое состояние со- ртветствойало бы «маятниковообразной» орбите, проходящей через ядро атома Квантовая механика приводит к возможности существования таких состояний электрона, в которых он не имеет момента импульса, связанного с движением по орбите L

Пространственное квантование. Спин электрона

Из курса электричества и магнетизма (см. т. II, § 20.1) известно, что орбитальный момент импульса электрона L； и пропор- вдональный ему магнитный момент р^ ориентированы перпендикулярно плоскости орбиты электрона и направлены в противоположные стороны. Между векторами р^ и L； существует следующая связь*

PL — gL—g^L,, (14.12) где g^^l^nie называется орбитальным гиромагнитным отношением, те— масса электрона3. Напомним, что аналогичная связь существует между магнитным моментом и механическим моментом импульса атома в целом Указанная связь векторов р加 и L выводится в классической физике и сохраняется в теории Бора. В квантовой механике, естественно, не может быть указана ориентация векторов L； и рга относительно плоскости электронной орбиты. Для указания ориентации векторов L и рт должно быть выбрано некоторое направление в пространстве, и расположение вектора Lz фиксируется углом между вектором L； и этим направлением, за которое выбирается направление либо внешнего магнитного поля, в котором находятся атом и его электроны, либо внутреннего магнитного поля, созданного всеми электронами (кроме рассматриваемого) и ядром атома. В классической физике предполагалось само собой разумеющимся, что вектор Lz (или рт) может быть ориентирован относительно избранного направления магнитного поля произвольным образом. На этом естественном предположении основывалась Классическая теория парамагнетизма П. Ланжевена, изложенная в § 20.4 т. II.

На языке теории Бора возможность любых ориентаций вектора 4 означает, что плоскость орбиты электрона может быть ориентирована произвольно по отношению к внешнему магнитному полю Однако такое предположение было ошибочным. Оказалось, что существует так называемое пространственное квантование: вектор момента, импульса электрона может иметь лишь такие ориентации е пространстве, при которых проекция Llz вектора L? на направление Z внешнего поля принимает квантованные значения, кратные 方.

Этот результат впервые был получен как следствие обобщенных А. Зоммерфельдом правил квантования боровских орбит. В квантовой механике строго доказано, что проекция Llz вектора

Этот вывод относится не только к основному состоянию атома водорода, но и к электрону в s— состоянии любого атома.

Далее в этой главе приняю обозначение массы электрона через те.

L& орбитального момента импульса электрона на направление Z внешнего магнитного поля принимает лишь целочисленные значения 方:

(14.13)(14.13)厶z =九方,

(14.13)

(14.13)

小期тш6小期тш6Рнс. 14.2Рнс. 14.2где т ——так называемое магнитное квантовое число, имеющее значения: /и=0, 土 1, 士2, 士3 . . ., 土/; здесь / — орбитальное квантовое число, определяющее модуль вектора L^ [см. формулу (14.2)1. Таким образом, вектор Lz может принимать 2Z+1 ориентаций в пространстве. На рис. 14.2 приведены возможные ориентации векторов Lx для электронов в р- и d-состояниях (/=1 и /=2).

小期тш6

小期тш6

Рнс. 14.2

Рнс. 14.2

Пространственное квантование, как будет подробнее рассмотрено в § 14.9, приводит к «расщеплению» энергетического уровня электрона на

ряд подуровней.

О. Штерном и В. Герлахом были поставлены опыты (1921), целью которых являлось измерение магнитных моментов pm атомов различных химических элементов.

Для определения моментов Lz и р^ одного электрона опыты должны быть

поставлены с атомами, у которых орбитальные механические (и магнитные) моменты всех электронов, кроме одного, взаимно компенсируют друг друга. Такими атомами являются атомы химических элементов, образующие первую группу периодической системы Менделеева и имеющие один валентный электрон на внешней оболочке (см. § 14.5).

Идея опытов Штерна и Герлаха заключалась в измерении силы, действующей на атом в неоднородном магнитном поле. В таком магнитном поле на атом должна действовать сила, числовое значение которой выражается формулой

(14.14)(14.14)F = Pm 提.

(14.14)

(14.14)

Здесь 3 — индукция магнитного поля, направленного вдоль оси Z и неоднородного только вдоль этой же оси.

Опыты Штерна и Герлаха обнаружили ошибочность классического предположения о том, что магнитный момент рт и механический мо~ мент импульса L； атома произвольно ориентируются относительно направления внешнего поля, и подтвердили наличие пространственного квантования. Схема первых опытов Штерна и Герлаха изображена на рис. 14:3. В трубке, где был создан вакуум порядка 10""扌 мм рт. ст., помещался источник пучка атомов. В этих опытах это был нагреваемый до высокой температуры серебряный шарик К・ Атомы серебра вылетали с его поверхности со средней тепловой скоростью порядка 100 м/с, соответствующей температуре испарения серебра. Из этих атомов при помощи щелевых диафрагм В вырезался узкий пучок,

проходящий через сильное и неоднородное магнитное поле, направленное перпендикулярно пучку. Основная трудность опыта состояла в том, чтобы достигнуть настолько большой неоднородности магнит

ного поля, чтобы она сказывалась на расстояниях порядка размеров атома. При такой величине неоднородности поля, как показывает

Рис. 14.3Рис. 14.3формула (14.14), можно было рассчитывать получить заметную отклоняющую силу 尸，действующую на атом в магнитном поле. Необходимая неоднородность поля была достигнута за счет применения сильного электромагнита S^ с полюсными наконечниками специальной формы. Приемником атомов серебра служила фотопластинка А.

Рис. 14.3

Рис. 14.3

Если бы момент импульса L, атома (и его магнитный момент рт) мог пэинимать произвольные ориентации в магнитном поле, то можно было бы ожидать непрерывного распределения попаданий атомов на пластинку с большей плотностью попа-

даний в середине пластинки и уменьшением числа

попаданий к ее краям. Опыты, проведенные с серебром и атомами других элементов периодической системы, привели к совершенно иному результату. На рис. 14.4 приведена фотография результата опыта Штерна и Герлаха с литием. Из рисунка видно, что на(|х)топластинке

получились две резкие полосы ——все атомы отклонялись в магнитном

Рис. 14.4Рис. 14.4поле двояким образом, соответствующим лишь пвум возможным ориентациям магнитного момента во внешнем поле. Момент импульса атома (и его магнитный момент) равен суммарным моментам электронов, поскольку магнитные моменты ядер имеют значительно меньшую величину, чем магнитные моменты электронов (см. § 16.2). Последние совпадают с суммарными моментами валентных электронов, так как моменты электронов замкнутых оболочек компен

Рис. 14.4

Рис. 14.4

сируются.

У лития н других атомов первой группы периодической системы Менделеева имеется один валентный оптический электрон (см. § 14.5). Таким образом, моменты импульса и магнитные моменты таких атомов

совпадают с моментами электрона.

Если подставить выражение (14.2) для 厶 в формулу (14.12), то снязь числовых значений моментов рт и Lt можно записать в виде

"m=炭乙=卜^^磊=^^^^*(14」5)

Величина 卩^=6方/2团金=9,274* 10-м Дж/Тл называется магнетоном Бора. Таким образом, магнитный момент может содержать некоторое число }//(/+1) магнетонов Бора.

По известной величине dB/dz неоднородности магнитного поля, направленного по оси Z, и по определенной из отклонения атомов в

Ю А. А. Детлаф, В. М・ Яворский — 289 —

магнитном поле силе F, действующей на атом, можно, пользуясь формулой (14.14), определить ртг. Для серебра Штерн и Герлах получили, что проекция магнитного момента атома на направление поля численно равна магнетону Бора. По оценкам исследователей, относительная погрешность в определении магнитного момента не превышала 10%. Результаты этих опытов, впоследствии проверенные на других атомах элементов первой группы периодической системы, не вызывают ни малейшего сомнения. Таким образом, опыты Штерна н Герлаха не только подтвердили пространственное квантование моментов импульса в магнитном поле, но, кроме того, дали экспериментальное подтверждение выводу о том, что магнитные моменты электронов и атомов состоят из некоторого числа «элементарных моментов», т. е. имеют дискретную природу, связанную с квантованием момента импульса. Магнитные моменты электронов и атомов выражаются в магнетонах Бора.

Важной особенностью атомов первой группы элементов таблицы Менделеева, с которыми ставились вначале опыты Штерна и Герлаха, является то, что валентный электрон в основном состоянии атома имеет орбитальное квантовое число, равное нулю, т. е. электрон находится в s-состоянии. Атомный пучок в опытах содержал атомы, находящиеся в основном состоянии 1. Однако в состоянии с /=0 электрон не имеет момента импульса, как это следует из формулы (14.2). Поэтому возникает серьезный вопрос об истолковании результатов опытов Штерна и Герлаха. Пространственное квантование какого момента импульса обнаружилось в этих опытах и проекция какого магнитного момента равна одному магнетону Бора? В § 20.4 т. II говорилось об опытах Эйнштейна и де Гааза, обнаруживших аномальное значение гиромагнитного отношения для ферромагнетиков. Для объяснения этого результата нужно предположить, что у электрона помимо орбитального момента импульса Lz и соответствующего ему магнитного момента рт имеется собственный механический момент импульса L§, называемый симном электрона, и соответствующий ему собственный магнитный момент pms. Предположение о существовании спина было высказано (1925) С. Гоудсми- том и Г. Уленбеком в связи с целым рядом трудностей в атомной физике, накопившихся к тому времени. Одной из них, и притом очень важной, явилась трудность с истолкованием результатов опытов Штерна и Герлаха.

Уленбек и Гоудсмит дали спину электрона наглядное модельное истолкование, заключающееся в том, что спин рассматривался как момент импульса, связанный с вращением электрона ——заряженного шарика — вокруг своей оси. Однако можно показать, что такое представление о спине приводит к противоречию с теорией относительности. Оказывается, что для того, чтобы вращающийся вокруг своей оси электрон-шарик приобрел магнитный момент, равный одному

1 Если даже предположить, что при нагревании источника пучка атомов последние переходили в возбужденные состояния, то следует учесть, что в возбужденном состоянии атомы находятся в среднем 10~8с, а затем переходят в нормальное состояние.

магнетону Бора, угловая скорость вращения должна быть такой, что линейная скорость на поверхности сферы должна в 200 раз превосходить скорость света в вакууме.

В самом деле, предположим, что электрон представляет собой шарик с некоторым радиусом г. Величину этого «классического» радиуса электрона можно оценить, приравняв потенциальную энергию заряженного шарика его собственной энергии:巾卢久 Отсюда следует значение классического радиуса электрона:

г — е3/(4ле0тес2) == 2,81 • 10TM.

Если шарик радиусом г с моментом инерции /=2/5 团^川(см. т. I, табл. 1 на с. 79) вращается с угловой скоростью s=u/j то, приравнивая момент импульса Js спину электрона (см. п. 7), получим

2/5тгиг = Й/2,

где V — линейная скорость на экваторе шарика. Простая оценка показывает, что при этом

и = 5A/(4mer) ^ 200 с,

а это находится в очевидном противоречии с постулатом теории относительности. Модельное представление о спине при всей его наглядности не выдерживает критики и к нему не следует привыкать.

Спин электрона и других элементарных частиц рассматривают как некоторое особое свойство этих частиц: подобно тому как частицы имеют массу, а заряженные частицы ——заряд, они имеют еще и спин. Заметим, что в дальнейшем развитии квантовой механики Дираку удалось показать, что существование спина вытекает из полученного им релятивистского волнового уравнения.

Если приписать электрону собственный момент импульса Ls (сокращенно — спиновый момент, или просто спин), то с ним оказывается связанным некоторый собственный магнитный момент pm,s электрона. Из общих выводов квантовой механики следует, что спин должен быть квантован по закону

Ls = /s(s+l) А. (14.16)

где s — квантовое число, называемое спиновым квантовым числом . Аналогично результату (14.13), проекция Lsz спина на ось Z, совпадающую с направлением внешнего магнитного поля, должна быть квантована и вектор Ls может иметь 2s+l различных ориентаций в магнитном поле. Из опытов Штерна и Герлаха следует, что для спина электрона таких ориентаций существует всего 2, так что 2s+1—2, т. е. s=% ・

Для атомов первой группы периодической системы, валентный электрон которых находится в состоянии с /=0, момент импульса всего атома равен спину валентного электрона. Поэтому обнаруженное для таких атомов пространственное квантование момента импульса атома

в магнитном поле явилось доказательством наличия у спина лишь двух ориентаций во внешнем поле L

Спиновое квантовое число в отличие от введенных ранее трех квантовых чисел— главного (п), орбитального (/) и магнитного (т)— не является целым числом. Численно значение спина электрона найдем по формуле (14.16):

厶=J^(^十1)方=哆加 (14.17)

По аналогии с пространственным квантованием орбитального момента импульса электрона Lz, проекция L“ вектора Ls на направление внешнего поля должна быть квантованной величиной и определяться по формуле, аналогичной (14.13):

L„ = msA,(14.18)

где число ms может иметь всего два значения:恤=土％ . Таким образом, проекция спинового механического момента импульса на направление поля может принимать два значения:

乙方=士% 方.(14.19)

Очень часто говорят, что спин электрона может быть ориентирован либо вдоль направления напряженности магнитного поля, либо противоположно вектору Н. Такое общепринятое словоупотребление неточно: говоря о направлении спина, при этом в действительности имеют в виду направление его составляющей Lsz,

Из опытов Штерна и Герлаха следует, что проекция pmsz собственного магнитного момента электрона равна магнетону Бора р,в:

=(14.20)

Часто говорят просто, что собственный магнитный момент электрона равен магнетону Бора. Это тоже неточность: говоря о магнитном моменте, при этом в действительности имеют в виду абсолютную величину его проекции на направление магнитного поля.

Рассмотрим отношение L$z и рт8г. Из формул (14.19) и (14.20) видно, что

Очевидно, что отношение числовых значений проекций векторов, направленных во взаимно противоположные стороны, равно отношению

числовых значений самих векторов:

(14.2Г)(14.213(14.2Г)(14.213Pzbs — е — а瓦_gs.

(14.2Г)

(14.213

(14.2Г)

(14.213

В векторной записи имеем

Р巾 s н — gJs*

Отношение gs—e/mP —спицрвое гиромагнитное отношение, как видно из сравнения (14.21") с (14.12), вдвое превышает орбитальное гиромагнитное отношение gr В опытах Эйнштейна и де Гааза (см. т. II, § 20.4) было определено именно спиновое гиромагнитное отношение Для 辰рромагнетнков. Это позволило выяснить сПНновук) природу магнитных свойств ферромагнетиков и создать современную теорию ферромагнетизма.

Принцип Паули

В. Паули установил (1925) квантовомеханичёский &а- кон, называемый принципом Паули или принципом исключения. В своей простейшей формулировке он гласит: 8 любом атоме не может быть двух электронов, находящихся в двух одинаковых стационарных состояниях, определяемых набором четырех квантовых чисел: главного п, орбитального 厶 магнитного m 〃 спинового ms L

Принцип Паули в его полном квантовомеханическом истолковании связан с важным положением квантовой механики о неразличимости тождественных частиц и вытекающими из него следствиями. В первом томе курса, рассматривая вопрос о квантовых статистиках (см. т. I, § 11,5), Мы касались вопроса О том, что в квантовых статистиках в отличие ог классической статистики учитывается неразличимость тождественных частиц. Когда в квантовой статистике решается вопрос о распределений частиц по ячейкам фазового пространства, то перемена местами двух тождественных частиц, например двух электронов, ие приводит к новому распределению. '

Состояние системы, состоящей из п тождественных частиц, описывается в квантовой механике некоторой полной волновой функцией, зависящей как от координат всех частиц системы (координатные волновые функции), так и от ориентаций их спинов (спиновые волновые функции). Из принципа неразличимости тождестэенных частиц вытекает, что существует два типа полных волновых функций, описывающих состояние системы тождественных частиц: симметричные и антисимметричные волновые функции*

Различие симметричных и антисимметричных волновых функций состоит в том, что первые не изменяют своего знака при перестановке любой пары а и 6 частиц системы (т. е. при переходе к состоянию системы, в котором частица а находится в прежнем квантовом состоянии частицы 6, а частица b — в прежнем квантовом состоянии частицы а), тогда как вторые изменяют при этом свой знак на про тивоположный* В квантовой механике доказывается, что тип полной волновой функции системы тождественных частиц (ее симметричность или антисимметр ичность) Зависит от величины Lsz проекции сйийов этих частиц на направление внешнего магнитного поля и не изменяется при любых внешних воздействиях на систему частиц. Электроны и другие частицы, у которых LSz равно нечетному числу 土力/2, называются фермионами или частицами с полуцелым спииом. Система тождественных фермионов описывается антисимметричной полной волновой функцией и подчиняется квантовой ста1истике Ферми —— Дирака. Частицы, у которых Lsz равно нулю или четному числу 土力/2, называются бозонами или частицами с целым

См. примечание 2 на с, 292.

спином. Система тождественных бозонов описывается симметричной полной волновой функцией и подчиняется квантовой статистике Бозе一 Эйнштейна.

Принцип Паули выражает особенность поэедения системы тождественных фер- мионоэ: в данной системе тождественных фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Из этой общей формулировки принципа Паули вытекает как частный случай его простейшая формулировка, приведенная выше.

Применительно к системе электронов в атоме принцип Паули можно записать следующим образом:

Zi(〃, /, m, ms)^=0 или 1,(14.22)

где Zi(〃，/, m, mJ есть число электронов, находящихся в состоянии, описываемом набором квантовых чисел п, /, m и т$. Пользуясь принципом Паули, можно найти максимальное число электронов в атоме, имеющих заданные значения трех (小 /, m), двух (п, /) и одного (л) квантовых чисел. Найдем максимальное число Z2(^, 4 m) электронов, находящихся в состояниях, определяемых набором трех квантовых чисел (п, / и т), т. е. отличающихся лишь ориентацией спинов электронов. Поскольку число ms может принимать лишь два значения: 4-% и —%, очевидно, имеем

Z^ (п, /, т) = 2.(14.22')

Вычислим далее максимальное число электронов Z3 (п. /), находящихся в состояниях, определяемых двумя квантовыми числами: п и /. Так как при заданном числовом значении L( вектор момента импульса L может иметь 2/4-1 различных ориентаций в пространстве, то число электронов Z3 (*, /) выразится следующим образом:

2з(& 2)亠2⑵+1).(14.23)

Значения Z3 (п, /) для разных / приведены в табл. 14.1.

Наконец, найдем, пользуясь принципом Паули, максимальное число Z (孔)электронов, находящихся в состояниях, определяемых значением 几 главного квантового числа. Так как согласно (14.5) число / при заданном п изменяется от 0 до 几——1, то, суммируя Z3 (п, /) по / от 0 до п—1, получим

z(")= £ 2(2/+1) = [2(/1—l) + 2]n = 2rt3.(14.24)

Таблица

14.1

Значение орбитального квантового числа /

0

1

2

3

4

Символ соответс1вуюш,С1 о состояния электронов

s

Р

d

/

g

Максимальное число электронов Z3 (几,/)

2

6

10

14

18

В табл. 14.2, составленной на основе формул (14.22)——(14.24),

12 3 4 512 3 4 5klmnoklmno2 2 2 2 22 2 2 2 26 6 6 66 6 6 6— — 一 2 - - - 8 10 — — 18 10 14 — 32 10 14 18 50— — 一 2 - - - 8 10 — — 18 10 14 — 32 10 14 18 50Таблица 14.2

12 3 4 5

12 3 4 5

klmno

klmno

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

6 6 6 6

6 6 6 6

— — 一 2 - - - 8 10 — — 18 10 14 — 32 10 14 18 50

— — 一 2 - - - 8 10 — — 18 10 14 — 32 10 14 18 50

Заданные кванювые числа

п, 1, т, "?s

п, /, т п,

и

Максимальное число электронов

1

22(2/

т1)

2也2

приведены максимальные числа

электронов,

обладающих

в

атоме

заданными значениями квантовых

чисел.

Т а б л и ц а 14.3

Количество электронов в состояниях

Максимальное

лСлой

число

s(/=0)卩(/ = 1)d(/ = 2)/ (7 = 3)g(/ = 4)электронов

В табл. 14.3 приведены максимальные числа электронов, находящихся в состояниях, характеризуемых данными значениями главного 几 и орбитального / квантовых чисел.

Принцип Паули сыграл выдающуюся роль в развитии современной атомной и ядерной физики. Так, например, удалось теоретически обосновать периодическую систему элементов Менделеева. Без принципа Паули невозможно было бы создать квантовые статистики и современную теорию твердых тел.

Периодическая система элементов Д. И. Менделеева

В 1869 г. Менделеев открыл периодический закон изменения химических и физических свойств элементов в зависимости от их атомных масс. Если расположить химические элементы в порядке возрастания их атомных масс, то периодически, через правильные промежутки, называемые периодами, элементы, оказавшиеся в таблице Менделеева в одном вертикальном ряду (так называемой группе элементов), обнаруживают сходные физико-химические свойства. Однако сам Менделеев, расположив известные в его время 64 химических элемента в таблицу, отражающую периодическое изменение химических свойств элементов, был в ряде случаев вынужден отступить от принципа возрастания атомных масс. Менделеев ввел понятие о порядковом номере элемента и, расположив химические элементы в порядке возрастания их номера, получил полную периодичность в изменении химических свойств элементов. При этом часть клеток периодической системы осталась свободной, так как соответствующие им элементы тогда еще не были известны. Таким образом,

Менделееву удалось на основании открытого им закона предсказать ряд новых химических элементов (галлий, скандий, германий и др.) и описать их химические свойства. В дальнейшем все эти элементы были открыты и предсказания Менделеева полностью подтвердились. Менделееву удалось также внести уточнения в значения атомных масс и некоторые свойства ряда элементов. Атомные массы бериллия, титана, церия и урана, вычисленные на основе закона Менделеева, оказались правильными, а экспериментальные данные о них, полученные до этого,— ошибочными. Эта явилось подлинным триумфом закона Менделеева. Являясь одним из важнейших законов природы, периодический закон Менделеева составляет основу современной химии, атомной и ядерной физики.

Физический смысл порядкового номера Z элемента в периодической системе элементов был установлен в ядерной модели атома Резерфорда (см. § 13.2)： Z совпадает с числом положительных элементарных зарядов в ядре, закономерно возрастающих на единицу при переходе от предыдущего элемента к последующему. Химические свойства элементов и ряд их физических свойств объясняются поведением внешних, так называемых валентных, электронов их атомрв. Поэтому периодичность свойств химических элементов должна быть связана с определенной периодичностью в расположении электронов в атомах различных элементов. Важнейшей задачей физики явилось теоретическое истолкование периодического закона Менделеева и объяснение строения периодической системы. Основы теории периодической системы были разработаны в кзантовай теории еще до появления современной квантовой механики. Теория периодической системы основывается на следующих положениях:

порядковый номер химического элемента равен общему числу электронов в атоме данного элемента;

состояние электронов в атоме определяется набором их квантовых чисел п, /, m и ms. Распределение электронов в атоме по энергетическим состояниям должно удовлетворять принципу минимума потенциальной энергии: с возрастанием числа электронов каждый еле- Ауюнщ査 электрон должен занять возможное энергетическое состояние с наименьшей энергией;

заполнение электронами энергетических состояний в атоме должно происходить в соответствии с принципом Паули.

Электроны в атоме, занимающие совокупность состояний с о дина к о в ы м значением главного квантового числа п, образуют электронную оболочку, или электронный слой. В зависимости от значений п различают следующие оболочки: К при 几=1, L при 理=2, М при 几=3, N при 拄=4, О при п=5 и т. д. Из формулы (14,24) определяют максимальное число электронов, которые могут находиться в оболочках: в /С-оболочке — 2 электрона, в оболочках L, М, N н О — соответственно 8, 18, 32 и 50 электронов. Это видно также из табл. 14.3. В каждой из оболочек электроны распределяются по подгруппам, или подоболочкам» каждая из которых соответствует определенному значению орбитального квантового числа /. Максимальное число элект- Pqhoei, которые могут находиться в состоянии, определяемом значе-

яием I орбитального квантового числа, дается формулой (14.23) и приведено в табл. 14.1.

В атомной физике принято обозначать электронное состояние в атоме символом 几厶 указывающим значения двух квантовых чисел. Электроны, находящиеся в состояниях, характеризуемых одинако- 那тми квантовыми числами ми/, называются эквивалентными. Число z эквивалентных электронов указывается показателем степени в снм- юле 几/z. Если электроны находятся в некоторых состояниях с определенными значениями квантовых чисел п и Z, то считается заданной так называемая электронная конфигурация. Например, основное состояние атома кислорода можно выразить следующей символической формулой :

Is3, 2s, 2р4.

Она показывает, что два электрона находятся в состояниях с n^l Я Z—0, два электрона имеют квантовые числа я—2 и /=0 и четыре электрона занимают состояния с п=2 и 2=1.

Изложенных выше сведений достаточно для обоснования строения периодической системы элементов Менделеева. Однако для полного описания состояния атома этих сведений недостаточно (см. § 14.6). Порядок заполнения электронных состояний в оболочках атомов, а в пределах одной оболочки ——в подгруппах (подоболочках) должен соответствовать последовательности расположения энергетических уровней с данными п и I. Сначала заполняются состояния с наименьшей возможной энергией, а затем состояния со все более шясокой энергией. Для легких атомов этот порядок соответствует тому, что сначала заполняется оболочка с меньшим п и лишь затем Должна заполняться электронами следующая оболочка. В пределах ОДйой оболочки сначала заполняются состояния с 2=0, а затем состояния с большими /, вплоть до 1=п——1. Подобная идеальная система элементов должна была бы иметь строение и длины периодов (т. е. число элементов в одном периоде), соответствующие табл. 14,3. Реальная периодическая система элементов Менделеева, представленная в начале книги, отличается от идеальной системы.

Для того чтобы понять различия между табл. 14.3 и реальной периодической системой элементов, следует учесть, что каждый электрон находится в поле ядра и в поле всех остальных электронов, взаимодействующих между собой. Задача об энергетическом- состоянии электрона, движущегося в столь сложном поле, является очень трудной в квантовой механике.

Для того чтобы разобраться в распределении электронов в атомах химических элементов по состояниям, атом каждого последующего элемента можно приближенно представлять себе образованным из атома предыдущего путем прибавления к ядру одного протона (и необходимого числа нейтронов, см. § 16.3) и одного электрона, находя-

щегося на периферии атома. При этом, согласно Бору, распределение электронов по состояниям, имеющееся в атоме данного элемента, должно соблюдаться и в атоме следующего элемента L Однако учет взаимодействия между электронами приводит к нарушению этого положения. Взаимодействие между электронами приводит к тому, что для достаточно больших главных квантовых чисел п состояния с большим п и малым / могут иметь меньшую энергию, т. е. быть энергетически более выгодными, чем состояния с меньшим 孔，но с большим I. В этом состоит причина отступления в заполнении состояний в реальной периодической системе элементов от заполнения, соответствующего табл. 14.3.

Рассмотрим кратко последовательность заполнения электронами состояний в атомах некоторых химических элементов, находящихся в основном состоя- н и и. В атоме водорода единственный электрон находится в состоянии 1 s, характеризуемом квантовыми числами 八=1, Z—0, /п—0. При этом проекция его спина на направление внешнего поля характеризуется спиновыми числами т^—^^' В атоме гелия имеется два электрона. Второй зпектрон этого атома также может находиться в состоянии 1s, т. е. при 几=1, /—0 и т—0, но спин второго электрона должен быть ориентирован противоположно спину первого (для одного из них т^—1/^ для другого т$= — i/z)・ Группа состояний с &= 1,，=0, т=0 и 加$=土】/2 образует заполненную К-оболочку атома, соответствующую завершению первого периода периодической системы Менделеева.

Следующий по порядку атом лития содержит три электрона. Но, по принципу Паули, третий электрон атома лития уже не может разместиться в целиком заполненной 7С-оболочке и занимает наинизшее энергетическое состояние в оболочке с 几=2 (L-оболочке). Таким состоянием является состояние 2s(м=2, /—0,加=0). Литием начинается второй период периодической системы.

Четвертый электрон бериллия (Z—4) занимает также состояние 2s, а пятый электрон бора (Z=5) должен уже занять энергетически более высокое состояние 2"(几=2,

Электроны всех атомов вплоть до неона (Z— 10) размещаются в подоболочке с /— 1 и 八=2» У неона таких электронов 6, т. е. число, максимально возможное для такого состояния. Таким образом, L-оболочка неона оказывается полностью застроенной и на этом элементе завершается второй период периодической системы Менделеева.

11-й электрон натрия (Z=ll) размещается уже в Л1-оболочке (几=3), занимая низшее состояние 3s. Далее вплоть до аргона (Z= 18) идет последовательная застройка Af-оболочки. Она заканчивается заполнением всех состояний подоболочки Зр у аргона, завершающего третий период периодической системы.

19-й электрон калия (Z= 19) должен был бы занять состояние 3d в Л4-оболочке. Однако химические и оптические свойства калия, как показывает опыт, аналогичны свойствам Li и Na, у которых валентный электрон находится в s-состоянии. Поэтому н у К его 19-й валентный электрон должен находиться в s-состоянни. Но это дюжет быть только s-состояние уже в следующей Аг-оболочке (必=4)—— состояние 4s. Таким образом, начиная с калия при не заполненной 3d подгруппе М-оболочки начинается застройка ^'oбoлoчки. Это означает, что вследствие взаимодействия между элекфонами энергия 1Г4)0 электрона в состоянии 4s меньше, чем энергия IF3 2, которую он имел бы в состоянии 3d. Спектроскопические и химические свойства кальция (Z=20) показывают, что его 20-й электрон также размещается в состоянии 4s ^-oбoлoчки. Начиная со скандия (Z=21) возобновляется нормальное заполнение подоболочки 3d, которое заканчивается у меди (Z=29). Далее, до криптона (2=36) происходит нормальное заполнение N-оболочкн. Криптон завершает четвертый период периодической системы элементов. Элемент рубидий (Z=37), следующий за

криптоном, по своим свойствам аналогичен атомам щелочных металлов Na и К. Поэтому его валентный, 37-й электрон размещается не 8 Л'-оболочке, которая еще не достроена, а в следующей 0-оболочке (〃=5), т. е. находится в состоянии 5s. У атома стронция (2丁38), который по своим свойствам аналогичен кальцию, электрон также занимает состояние 5s. Начиная с иттрия (Z=39) и до палладия (Z=46) заполняется подгруппа 4d, при этом изменяется число электронов в состоянии 5s от двух у иттрия до 0 у палладия. У серебра (Z=47) и кадмия (Z=48) вновь застраивается подгруппа 5s. Начиная с индия (Z—49) и до ксенона (Z=$4), завершающего пятый период, происходит застройка подгруппы 5р. С цезия (Z=$5) начинается заполнение /^-оболочки (汽=6).

У элементов группы редких земель [от лантана (Z=57) до лютеция (Z=71)L так называемых лантанидов, обнаруживается сходство химических и ряда физических свойств. Это связано с особенностью порядка заполнения состояний электронами атомов этих элементов. У лантана подгруппы 5s, 5〃 * 65 целиком заполнены и 57-й электрон лантана находится в состоянии 5d, в то время как глубокая подгруппа 4/ не заполнена электронами. У атомов элементов от церия (Z—58) до лютеция (Z=71) происходит заполнение этой оболочки, а внешняя подгруппа 6s остается без изменения. Этим и объясняется тождественность химических свойств лантанидов.

Начиная с гафния (Z=72) происходит застройка подгруппы 5d, завершающаяся у одновалентного золо1а (Z~79). У ртути (Z—80) заканчивается заполнение подгруппы 6s, а начиная с таллия(Z=8i) и до радона (Z=86), завершающего шестой период периодической системы апементов, происходит заполнение подгруппы 6р. У франция (Z二87) и радия (Z=88) заполняется подгруппа 7s Q-оболочки.

Второй группой редкоземельных элементов являются так называемые актиниды. Эта группа элементов, начинающаяся с актиния (Z=89), простирается до элемента с атомным номером 105 и содержит заурановые элементы: нептуний (2=9$), плутоний (Z—94), америций(Z—95), кюрий (Z=96) и пр. В честь двух величайших физиков нашего сюлетия два элемента этой группы названы： эйнштейний (Z=99) и фермий (Z=100). 101-й элемент был назван менделевием в честь создателя периодической системы элементов Д. И. Менделеева. Элемент с зарядом ядра 2=104, открытый (1964) в Дубне, назван курчатовием в честь выдающегося советского ученого И. В. Курчатова (§ 18.8). Все актиниды отличаются заполнением лодгруппы 5/, а внешние их электроны находятся в состоянии, аналогичном состояниям лантинидов.

Из всего изложенного выше следует, что периодичность химических свойств элементов объясняется повторяемостью электронных конфигураций во внешних электронных подгруппах у атомов родственных элементов.

Теоретическое объяснение периодического закона Менделеева — одного из важнейших законов естествознания ——явилось величайшим достижением современной физики.

§ 14.6. Понятие о линейчатых спектрах атомов с одним валентным электроном

Линейчатые спектры атомов, содержащих более одного электрона, имеют, вообще говоря, значительно более сложную структуру, чем спектр водорода, рассмотренный в § 13.3, Относительно более простыми являются линейчатые спектры атомов так называемых щелочных металлов (Li, Na, К, Rb, Zs)( находящихся в первой группе менделеевской системы. Атомы этих элементов имеют, как показано в § 14.5, один внешний электрон и заполненные внутренние электронные оболочки. Оптические линейчатые спектры атомов щелочных металлов объясняются поведением внешнего электрона, дви-

жущегося в электрическом ноле атомного остатка ——ядра н заполненных электронных оболочек. В атомном остатке содержится Z—1 электронов и общий заряд атомного остатка равен заряду одного протона (+е). Если внешний электрон движется достаточно далеко от атомного остатка, т. е. находится в состоянии, характеризуемом большими квантовыми числами п, то при условии сферической симметрии поля атомного остатка можно считать, что внешний, валентный, электрон движется в центральном поле одного заряда, подобном полю ядра атома водорода. Можно ожидать, что спектральные термы гцелочных атомов в этих случаях будут аналогичны термам водародоподобных систем. Как мы увидим дальше, опыт подтверждает это предположение.

Если же валентный электрон подходит близко к атомному остатку, то сказывается «нежесткость» этой сложной системы — электрон своим электрическим полем деформирует атомный остаток (поляризует его) и движется уже в электрическом поле не только точечного заряда, но и диполя или более сложной системы зарядов.

Эти качественные соображения позволяют найти энергетические уровни щелочного атома. В первом приближении можно считать, что атомный остаток действует на валентный электрон как система, состоящая из точечного заряда и диполя, центр которого совпадает с точечным зарядом, а ось проходит через валентный (оптический) электрон. Спектральные термы щелочных атомов выражаются следующим образом：

+ (14.2^)

где R ——постоянная Ридберга, п ——главное квантовое число и а — поправка, зависящая от орбитального квантового числа /.

В отличие от энергии электрона у водородоподобных систем энергия валентного (оптического) электрона в атомах щелочных металлов зависит не только от главного квантового числа п, но и от орбитального квантового числа / (от которого зависит поправка а). Поэтому энергетические уровни и соответственно спектральные термы при одном и том же значении главного квантового числа п будут различны для s-, р-, d- н т. д. состояний оптического электрона. Этот результат справедлив не только для атомов щелочных металлов, но и дл51 атомов с более сложной структурой. Опыт подтверждает изложенные выше теоретические соображения. Анализ спектров сложных атомов привел Ридберга к выводу, что в первом приближении термы таких атомов имеют вид (14.25). Наблюдаемые экспериментально серии спектральных линий могут быть объяснены по комбинационному принципу Ритца комбинациями термов вида (14.25), причем в отличие от атома водорода в атомах щелочных металлов практически реализуются лишь некоторые электронные переходы, называемые разрешенными. Разрешенные переходы удовлетворяют условиям А/=±1, где Д/ ——разности значений орбитальных квантовых чисел, соответствующих двум состояниям валентного электрона. Эти условия называются правилами отбора.

§ 14.7. Тонкая структура спектральных линий. Векторная модель атома

При более тщательном изучении спектральных линий водородоподобных систем, атомов щелочных элементов и других сложных атомов была обнаружена так называемая тонкая структура спектральных линий. Применение спектральных приборов с большей дисперсией позволило установить, что линии спектров атомов часто являются двойными. Например, для желтой О-линии натрия расщепление составляет примерно 6 А (она состоит из линий с длинами волн 5890,0 А и 5895,9 А). Естественно предположить, что расщепление спектральных линий обусловлено тем, что расщепляются энергетические уровни электрона, переход между которыми приводит к возникновению данной спектральной линии. Иными словами, тонкая структура спектральных линий должна быть связана с тонкой структурой уровней энергии электрона. До сих пор, рассматривая энергию электрона в атоме, мы не принимали во внимание епин электрона и его влияние на энергию электрона. Кроме того, выражения (14.3'), а также (14.25) для энергетических уровней электрона получены с помощью уравнения Шредингера, которое, как подчеркивалось в § 12.5, является нерелятивистским. Иными словами, при выводе этих выражений не учитывается релятивистская зависимость массы от скорости. Последовательное рассмотрение влияния этих двух факторов на энергетические уровни электрона в атоме было проведено П. Дираком с помощью релятивистского волнового уравнения. Мы остановимся лишь на качественной стороне вопроса и обсудим результаты, полученные в теории Дирака.

Рассмотрим прежде всего влияние спина электрона на его энергию в атоме с одним валентным электроном^ Благодаря собственному магнитному моменту pms электрон ведет себя как «магнитный диполь», помещенный в магнитное поле, создаваемое движением этого же электрона по орбите. Поведение такого диполя в магнитном поле рассмотрено в § 17.1 т. II. В атомной физике взаимодействие магнитного спинового момента с орбитальным магнитным полем носит название спин-орбитального взаимодействия. Благодаря этому магнитному взаимодействию электрон обладает дополнительной энергией, которая не учитывалась в теории, рассмотренной выше. Для описания спин- сфбитального взаимодействия, а также для целей систематики спектров атомов применяется векторная модель атома. В этой мод&гш момент импульса, соответствующий орбитальному движению электрона, представляется вектором 1, а его спин — вектором s L Благодаря спин-орбитальному взаимодействию орбитальный момент 1 электрона складывается с его спином s. Рез у льти р ующи й вектор

j = l + s(14.26)

Называется вектором полного момента импульса электрона. Полный момент является квантованной величиной. Его числовое значение

1 Мы применяем здесь общепринятые в спектроскопии обозначения, отличающиеся от обозначений L^ и L^ в § 14.3, но это не должно вызвать недоразумений.

определяется по формуле

|j| = %7G 方，(14.27)

аналогичной формулам (12.46) и (14.16). Величина / называется внутренним квантовым числом, В соответствии с формулой (14,26) внутреннее квантовое число / принимает полуцелые значения:

j =/士 1/2 при /> 1,j= 1/2 при / = 0.

Таким образом, каждому значению орбитального квантового числа % (к р о м е /~0) соответствуют два значения внутреннего квантового числа /. Это является причиной раздвоения энергетических уровней атома с одним валентным электроном во всех состояниях, за исключением s-состояний, где 1=0.

Пространственное квантование, рассмотренное в § 14.3, существует и для вектора полного момента j.

Проекция /г вектора j на направление внешнего магнитного поля оказывается также квантованной по закону

厶=吗方，(14.29)

где trtj называется полным магнитным квантовым числом. Число /И/ принимает все полуцелые значения от ——/ до /, т. е. 2/ +1 значений.

С учетом спина электрона состояние электрона в атоме вместо набора квантовых чисел п, L т н т§ характеризуется набором квантовых чисел % 厶 j н my.. Однако число электронов Z3 (м, 2) в атоме при заданных значениях и и I по-прежнему равно 2(2/ +1) и введение полного момента j и внутреннего числа / не изменяет закономерностей заполнения электронами состояний в сложных атомах. Действительно, при /=2+% получается 2j+l=2/+2 состояний, а при /—/—% будет 2/+1=2/ состояний. Всего, таким образом, получается 4/+2=2(2/+1) состояний.

Для атомов с одним оптическим электроном орбитальный момент электрона является орбитальным моментом атома в целом. С учетом спина электрона каждому значению /, кроме /=0, соответствуют два значения / и вместо одного уровня имеется два уровня — так называемый дублет. В атоме Na переход электрона с такого дублетного уровня на одиночный уровень, соответствующий значению /=0, и приводит к раздвоению желтой D-линии на две составляющие, наблюдаемые на опыте.

§ 14.8. Излучение и поглощение света. Квантовомеханический смысл постулатов Бора

В § 13.4 мы рассмотрели на основе постулатов Бора вопрос об излучении спектральных линий атомом, находящимся в возбужденном состоянии, а также поглощение излучения, которое падает на атом. Квантовая механика позволила объяснить эти процессы в полном согласии с опытом и вскрыла смысл постулатов

Бора. Предположим, что электрон в водородоподобной системе находится в некотором энергетическом состоянии, характеризуемом главным квантовым числом и. Волновая функция электрона в этом состоянии согласно формулам (12.18) н (12.23) имеет вид

^„(X, у, г, /)==ф„(х, у, z)e-iwnt/h^ (14.30)

Вероятность нахождения электрона в элементе объема dV внутри атома выразится как |ipn|dV и, если подставить предыдущее выражение для ^п (хт у、z, /), равна |ifn (х, у, z)|dV. Таким образом, в квантовом состоянии, характеризуемом главным квантовым числом п, вероятность местоположения электрона в атоме не зависит от времени, не изменяется с течением времени. Электрон в таком состоянии с классической точки зрения не совершает колебаний и не излучает энергию. Его энергия Wn не изменяется. Энергетическое состояние электрона, характеризуемое определенной энергией Wn, является стационарным. Находясь в этом состоянии, электрон не излучает энергии. Это есть не что иное, как первый постулат Бора о наличии у атома стационарных состояний, находясь в которых электроны атома не излучают.

С точки зрения квантовой механики стационарное состояние атома должно сохраняться как угодно долго, если нет внешних причин, вызывающих изменение энергии атома. Однако опыт показывает, что атом, находящийся в возбужденном энергетическом состоянии, сам собой переходит в нормальное, невозбужденное состояние, излучая свет. Такое излучение, происходящее в отсутствие внешних причин, изменяющих энергию атома, называется самопроизвольным или спонтанным излучением. Для строгого объяснения спонтанных переходов атома из высших энергетических состояний в низшие недостаточно одних законов квантовой механики и приходится прибегать к квантовой электродинамике, в которой рассматриваются с общей точки зрения законы возникновения и исчезновения электромагнитного поля. Разумеется, в рамках нашего курса эти вопросы рассмотрены быть не могут. Однако задолго до создания квантовой электродинамики 3 . Эйнштейн создал (1916) теорию излучения, базирующуюся на законах сохранения энергии и импульса при взаимодействии квантовых систем с электромагнитным полем. Рассмотрим, согласно Эйнштейну, спонтанное излучение атома. Если атом в некоторый момент времени / находится в квантовом состоянии и и обладает энергией Wni то под действием внутренних воздействий, механизм которых невозможно детально проследить, атом может самопроизвольно перейти в некоторое состояние т, характеризуемое меньшей энергией Wm 3- Введем вероятность Апт того, что в течение 1 с осуществляется спонтанный переход атома из состояния п в состояние т. Величина Апт на-

зывается коэффициентом Эйнштейна для спонтанного излучения. Введение ее обусловлено тем, что самопроизвольный переход из состояния и в состояние m может и не произойти, так как в соответствии с выводами квантовой механики атом может оставаться еще некоторое время в состоянии и. Если Nn есть число атомов , находящихся на энергетическом уровне Wn в момент времени 力 то число — dNn атомов, перешедших за промежуток времени от / до t+dt в состояние т, пропорционально вероятности Апт спонтанного перехода, числу атомов и промежутку времени dt:

—dNn=AnmN ndt.

Знак минус указывает на убыль числа атомов на уровне п.

После интегрирования получим

Nn-^Nn^^^(14.31)

где Nj——число атомов на уровне п в начальный момент времени /=0.

Каждый переход из состояния и в состояние m сопровождается излучением спектральной линии с циклической частотой з円т, определяемой правилом частот Бора:

wn-wm^nm.

Энергия, испускаемая за время d£, dW^nm\dNn\ = ^nmAnmN,tdt.

Интенсивность излучения, т. е. энергия, ислускаемая за единицу времени, выразится следующим образом:

/ =警=^nmNnf>Anm^A^ = I^-A^(14.32)

где /о=4717n方①71mMzо——начальная интенсивность излучения (лри /=0).

Назовем средней продолжительностью тп жизни атома в возбужденном состоянии время, в течение которого число атомов ^0, первоначально находившихся на возбужденном уровне 〃, уменьшается в е раз:

州"= М”е・

Из формулы (14.31) видно, что Nn0^= Nn^~A^nt После сокращения на 州冷и получим

4/%н1, т. е. т„ = \/Апт.(14,33)

Таким образом, коэфсрициент Эйнштейна Апт имеет ясный физический смысл: это есть величина, обрапшая среднему времени жизни атома в возбужденном состоянии, С учетом (14.33) формулу (14.32) можно переписать в виде

1= ©&.(14.34)

Проверка экспоненциального закона (14.34) убывания интенсивности излучения и измерение величины тп были осуществлены Вином

в опытах со свечением киналовых лучей. Вин изучил свечение пучка нодородных каналовых лучей, распространяющихся в пространстве со столь высоким вакуумом, что соударений между частицами не происходило и возбужденные частицы высвечивались только за счет конечности времени жизни возбужденного состояния. Вин измерял для отдельной спектральной линии убывание интенсивности вдоль пучка лучей, прошедших со скоростью 〃 некоторый путь %, так что /=%/и.

Величина тп определялась из формулы (14.34) по известным значениям интенсивностей /0 и 7. ,

Для линии водорода На (8=6562 А) получилось, что тп = 1,5-10"8 с, для линии ртути (九=2537 А) тп—9,8-10-8 с. Порядок величины тп» qIO-b с является характерным для времени нахождения атомов в возбужденном состоянии, после чего они спонтанно переходят в ни- жерасположенные энергетические состояния. Конечность времени жизни тп атома в возбужденном состоянии приводит к тому, что энергия Wn атома в возбужденном состоянии может быть определена лишь с некоторой неопределенностью A/吨， вытекающей из соотношения неопределенностей Гейзенберга (12.15):

Величина \Wn=Fn называется естественной шириной энергетического уровня Wn. Значение 厶杯九 или тп определяет естественную ширину Av7im спектральной линии, возникающей при переходе с уровня 孔 на уровень т; по правилу частот Бора,

что соответствует в шкале длин волн величине 厶九〜10一" А.

Помимо естественной ширины спектральных линий существуют другие причины, приводящие к уширению спектральных линии. Например, так называемое ударное уширение связано с тем, что в результате соударений возбужденных атомов уменьшается время жизни атома в возбужденном состоянии и спектральная линия уширяется. Второй причиной дополнительного уширения является эффект Доплера (см. § 9.5). Вследствие того что излучающие возбужденные атомы движутся в различных направлениях и с различными скоростями, возникает доплеровское уширение спектральной линии.

Если атом находится в пространстве, где имеется электромагнитное поле, то, согласно Эйнштейну, между атомом и полем происходит взаимодействие, определяемое законами сохранения энергии и импульса. В классической электродинамике доказывается, что диполь, находящийся в электромагнитном поле падающей на него волны, может в зависимости от соотношения фаз между собственными колебаниями диполя и колебаниями поля в волне либо поглощать энергию из поля, либо отдавать ее полю в виде вынужденного излучения. В последнем случае говорят об отрицательной абсорбции света в отличие от обычного поглощения (положительная абсорбция). Эйнштейн показал, что атом, находящийся в электромагнитном поле, должен об

ладать свойствами, аналогичными свойствам классического диполя: в присутствии поля должно происходить вынужденное излучение атома Это означает, что атом, находящийся на некотором возбужденном энергетическом уровне и, может с некоторой вероятностью перейти под действием поля в низшее состояние т, поле как бы «сваливает» атом с возбужденного уровня вниз.

В § 15.9 мы увидим, что явление вынужденного излучения нашло свое экспер имен тал ьн ое подтверждение в принципиально новых квантовых источниках и усилителях света, созданных в последние годы. Вероятность вынужденного испускания под действием поля пропорциональна спектральной плотности р (v) энергии поля и некоторому коэффициенту Впт1 который называется коэффициентом Эйнштейна для вынужденного (индуцированного) излучения. Эту вероятность, следуя Эйнштейну, записывают в форме Вптр (v).

Полная вероятность того, что возбужденный атом, находящийся на уровне и, за единицу времени перейдет на низший уровень т с испусканием фотона hv спонтанно или вынужденно, выразится суммой Anm+B1imp(V). Число dNn атомов, которые из общего числа ^n атомов, находящихся на уровне п, перейдут в состояние m за время df, можно представить следующим образом.

dN；^[Anm + Bnm(i^]Nndt.

С другой стороны, взаимодействие с электромагнитным полем атомов, находящихся на уровне т, может привести к тому, что атом, поглощая фотон с энергией hv=Wn——Wm, перейдет в более высокое энергетическое состояние п. Вероятность того, что за 1с произойдет акт поглощения, по аналогии с предыдущим можно записать так: Втпр(V), здесь Втп——коэффициент Эйнштейна для поглощения света. Число актов d%Z возбуждения атомов за время dt выразится следующим образом:

dN 1n — В优及р (у) Nmdlf

где ^m—— число атомов, находящихся на уровне т в момент времени Л В состоянии термодинамического равновесия вещества и электромагнитного поля должно быть равновесие между процессами испускания и поглощения света, т. е. равенство полного числа актов испускания света числу актов его поглощения.

Поскольку речь идет о переходах между дв)мя произвольно выбранными уровнями п и т, иногда говорят, что имеет место детальное равновесие, для которого, следовательно, можно написать [Апт + Вптр(V)] Nn = BmnP(V)Nm.(14 35)

Такое равновесие устанавливается в замкнутой полости, темпера- т\ pa Т стенок которой поддерживается постоянной. Равновесие,

возникающее в результате излучения и поглощения электромагнитных волн атомами стенки, приводит в этом случае, как показал Эйнштейн, к формуле Планка (см. § 10.2).

Воспользуемся условием детального равновесия (14.35) для вывода, по Эйн* штейну, формулы Планка (10.27). Для этого учтем» что число атомов, находящихся в различных энергетических состояниях, описывается статистической формулой Больцмана (см. т・ I, формула (11.14").

и %»" w諸Г,

где Nq— число атомов на некотором энергетическом уровне, принятом за начало отсчета энергии. Тогда, решая уравнение (14.35) относительно p(v), имеем

4「％/盯

№ Т)= В eV"，J%戸.

(14.36)(14.36)Из условия, чтобы при Tfg р(л?, Т)->g, имеем

(14.36)

(14.36)

В пт = Втп，

т. е. равенство коэффициентов Эйнштейна для вынужденного (индуцированного) излучения и поглощения света. Тогда, если принять во внимание» что ^п^^т~ =九招 получаем

Р( ' ' ——1 '

Воспользуемся далее формулой Вина (10 15') для излучения абсолютно черного тела, согласно которой и (10.Г) p(v, 7)=丫3屮(v/T), где ср (WT)= —- / (v/T) — универсальная функция отношения v/T. Из сопоставления предыдущей формулы с законом Вмна следует, что AumlBnm—^t где а — постоянная, не зависящая ни от v, ни от Т.

Таким образом,

p (% T)=p (% T)=JM 7 — 1JM 7 — 1

p (% T)=

p (% T)=

JM 7 — 1

JM 7 — 1

При малых частотах V, таких, что М卷Т, ^^т=1~\-^/кТ и поэтому p(v, 0 = —a^kT h. В этом случае объемная плотность излучения абсолютно черного тела должна удовлетворять закону Рэлея —— Джинса: р (v, 7) = -^-也Т. Следовательно,

8门左a —__ и8门左a —__ и4m — 8n/i4m — 8n/iВп~тВп~т(14.37)(14.37)

8门左a —__ и

8门左a —__ и

4m — 8n/i

4m — 8n/i

Вп~т

Вп~т

(14.37)

(14.37)

Окончательно формулу Планка можно записать в таком виде:

р(* Т)=р(* Т)=&1«2 Ду&1«2 ДуQhv/kT _^Qhv/kT _^

р(* Т)=

р(* Т)=

&1«2 Ду

&1«2 Ду

Qhv/kT _^

Qhv/kT _^

Однако чаще формулу Планка записывают не для объемной плотности излучения, а для испускательной способности абсолютно черного тела г* которая связана с р(% Т) соотношением

~ = ^Р“，7)・

Тогда формулу Планка получим в 即де (10.27):

* 2л№ hv

В квантовой механике переход атома из одного состояния в другое, связанный с излучением или поглощением фотона 方①，должен описываться с помощью общего уравнения Шредингера (12.16), в котором волновая функция электрона зависит не только от координат, но и от времени Ф—W (х, у, z, £)• Рассмотрим атом, оптические свойства которого определяются поведением одного оптического электрона. Переход такого атома из одного состояния в другое означает переход между этими состояниями его оптического электрона, описываемого волновой функцией 屮

Последовательное рассмотрение проблемы излучения выходит за рамки нашего курса. Мы ограничимся лишь основными положениями, оставляя в стороне подробные вычисления. Переход электрона из энергетического состояния п в состояние m означает, что состояние электрона не может быть стационарным, т. е. вероятность \^\2 dV обнаружить электрон в элементе объема dV должна зависеть от времени. В п. 1 этого параграфа мы пришли к выводу: если состояние электрона

описывается волновой функцией типа (12.18') Т^^-ф^ (х, у, г) е 玄 , tq 11r『d!Z не зависит от времени. Состояние электрона будет стационарным. Рассмотрим переход электрона из состояния и в состояние m под действием электромагнитного поля 1 . Если в некоторый момент времени t на него начинает действовать поле и электрон совершает переход из одного состояния в другое, то с этого момента он может находиться и в состоянии и, и в состоянии m ——имеется как бы «смесь» обоих состояний, существует определенная вероятность обнаружить электрон как в одном, так и в другом состоянии. Выберем волновую функцию Т такого «смешанного» состояния следующим образом:

гдеТп hV^——волновые функции электрона типа (12.18') в состояниях и и g а коэффициенты с工 и & зависят от времени. В момент /=0, когда поле было только создано, электрон находился в состоянии и, так что Ci (0)=1 и с2(0)=0. В некоторый момент f, когда переход закончился и электрон перешел в состояние т,勿(/) = 0 и & (尸)=1. При таком выборе \W\2dV будет зависеть от времени. В самом деле,

I" = (с 黑 + + &屮力

Раскрывая эту сумму и подставляя ^^^ (х, у, г) ^iW^lK и 屮加==%((%，У，乞)广“"加"匕 мы будем иметь члены вида с；4Pzi Ч^ и 礎4fm屮工 которые не зависят от 力 и перекрестные члены типа c&W”％ и CiC^m^n^ зависящие от времени.

В классической теории мощность излучения электрона, колеблющегося с циклической частотой о» выражается формулой (ЗЛ9):

где |р) — модуль вектора второй производной по времени от дипольного момента колеблющегося заряда. Если г ——расстояние элек* трона до ядра атома, то ре———er, где е — абсолютное значение заряда электрона; тогда мощность излучения

ЕСЛИ ГаГ|1gg厶 TQ ：к—沁2口

6л С } I

Пользуясь принципом соответствия, сформулированным в § 12.9, можно показать 1 , что в квантовой механике формула мощности излучения отличается от классической только заменой гкЛаР на гкв Если перейти к средней мощности <^>, то для вычисления среднего значения 卜⑴М. м&х нужно воспользоваться формулой

|г(/)|кв,мех = && {у C°S ~'^'Д ^} J ^« I Г I ^^•(14.38)

Результат (14.38) имеет большое значение. Он показывает, что происходят колебания среднего значения расстояния электрона от ядра — это расстояние является периодической функцией времени с частотой ^птп= (Wn—W^/h, соответствующей правилу частот Бора* С классической точки зрения, которая сохраняется в данном случае и в квантовой механике, такие колебания приводят к излучению и поглощению света.

Таким образом, возникновение линейчатых спектров и постулат Бора о связи частоты излучения с разностью энергии уровней, между которыми происходит переход, получают в квантовой механике свое обоснование: излучение и поглощение квантов света происходят лишь с частотами, удовлетворяющими правилу частот Бора.

Результат (14.38) и формула (3.19) указывают, что средняя мощности должна быть пропорциональна величине

Выражение

rnm = ^nr^dV(14.38，)

может обращаться в нуль, и тогда соответствующий переход нз состояния и в состояние m оказывается «запрещенным» — спектральные линии, соответствующие этому переходу, не наблюдаются. Так, в

Доказательство этого важного положения выходит за рамки нашего курса.

квантовой механике возникают особые правила отбора, ограничивающие число возможных переходов электрона в атоме, связанных с испусканием или поглощением света. Если бы таких правил отбора не существовало, то число линий в спектрах излучения и поглощения атома было бы произвольно велико. Оказывается, например, что в атомах, где существует две системы энергетических уровней — одиночные (синглетные) и тройные (триплетные) (гелий, ртуть),— практически не наблюдается переходов между синглетными и триплетными уровнями. Далее, как показывает опыт, оптический электрон не переходит с уровня s(/=0) на уровень d(/-=2), но может переходить с уровня s на уровень р(/~I) (или наоборот). В спектроскопии эти правила отбора были установлены эмпирически еще до развития квантовой механики. В квантовой механике правила отбора являются следствием выражения (14.38'). Возможны лишь такие переходы» для которых гпт не обращается в нуль. Состояние электрона в атоме определяется набором квантовых чисел 小厶 m н s. Волновые функции 屮沱(х,，，z) и 屮2 (%，У，％) зависят от этих чисел. Расчеты показывают, что для электрона, движущегося в центрально-симметричном поле ядра (случай водородоподобных систем),, выражение (14.38') отлично от нуля лишь в том случае, если происходит переход между состояниями, для которых изменение орбитального квантового числа Д/ удовлетворяет условию А/ = ±1 . Это означает, что электрон может переходить из состояния s в р (или наоборот), из р- в d-состояние (или наоборот), т. е. всегда так, чтобы орбитальное квантовое число увеличивалось или уменьшалось на единицу. Помимо правила отбора по орбитальному квантовому числу / существуют другие правила отбора, например по магнитному квантовому числу т: возможные оптические переходы должны удовлетворять условиям Д/«—0, ±1. Мы не будем подробнее останавливаться на этих правилах. Отметим в заключение, что в отличие от теории Бора, которая не позволила вычислить интенсивности спектральных линий, квантовомеханическое рассмотрение проблемы излучения дало возможность в согласии с опытом решить задачу об отыскании частот спектральных линий атомов и об их интенсивностях.

Эффект Зеемана

П. Зееман обнаружил (1896), что если поместить источник света между полюсами электромагнита, то спектральные линии источника расщепляются на несколько компонент. В настоящее время эффектом Зеемана называется расщепление спектральных линий и уровней энергии во внешнем магнитном поле. В свое время, в особенности в период после создания теории Бора, изучение эффекта Зеемана на спектральных линиях атомов в видимой и ультрафиолетовой областях спектра сыграло существенную роль в развитии учения о строении атома. Однако и до сих пор эффект Зеемана является одним

из методов изучения энергетических уровней электронов в атомах и облегчает истолкование спектров сложных атомов.

В простейшем случае эффект Зеемана заключается в том, что при помещении источника света в достаточно сильное магнитное поле спектральная линия с частотой v0 расщепляется на три или две компоненты. При наблюдении излучения, распространяющегося перпендикулярно направлению напряженности Н магнитного поля, линия v0 симметрично расщепляется на т р и компоненты с частотами -+工,v0 и v„2. При э】ом все три компоненты линейно- поляризованы, У средней компоненты в。, называемой л-компонентой, колебания электрического вектора Е направлены в д о л ь Н. У край-

Л оперен о^ и^людснисЛ оперен о^ и^людснис卩ра赤RbH式 %4初/而例"e卩ра赤RbH式 %4初/而例"e疔疔Рис. 14.6Рис. 14.6Рис. М.5Рис. М.5

Л оперен о^ и^людснис

Л оперен о^ и^людснис

卩ра赤RbH式 %4初/而例"e

卩ра赤RbH式 %4初/而例"e

疔

疔

Рис. 14.6

Рис. 14.6

Рис. М.5

Рис. М.5

них компонент v+1 и v_x (так называемых a-компонент) колебания электрического вектора Е перпендикулярны направлению Н.

При наблюдении излучения, распространяющегося вдоль направления магнитного поля, линия v0 исчезает, а крайние линии v+1 и 1 оказываются поляризованными по кругу с противоположными направлениями вращения (рис. 14.5). Указанный тип расщепления спектральных линий называется нормальным или простым эффектом Зеемана. В этом эффекте расстояние между средней и крайними линиями нормального триплета Av0—v+i——v0—v0—v„x оказывается равным

0 — 4n 他 ё — h ,

где 卩尸方е/(2 mJ — магнетон Бора.

Нормальный эффект Зеемана относительно легко наблюдается в спектрах щелочноземельных элементов, а также в спектрах Zn, Cd и Hg.

Нормальный эффект Зеемана был объяснен еще Г. Лоренцем (1897) на основе классической электронной теории. Рассмотрим атом с одним валентным излучающим электроном. С классической точки зрения, излучение атомом электромагнитных волн с частотой v0 является результатом гармонических колебаний электрона с такой же частотой. Если атом находится в магнитном поле, то произвольное линейно-поляризованное колебание электрона s может быть разложено на два колебания: одно (si) происходит вдоль магнитного поля, а другое (s)—— в плоскости, перпендикулярной направлению поля

(рис. 14.6). В свою очередь это последнее можно разложить на два колебания хну, поляризованные по кругу с противоположными направлениями вращения. Как показано в § 20.2 т. II, это вращение должно происходить с частотой прецессии Лармора vL~^H! (4лme). Для кругового колебания с направлением вращения» совпадающим с направлением прецессии, частота колебаний электрона будет v0+v£ а для колебания с противоположным направлением вращения получится частота v0—vr. Вдоль магнитного поля л и н е й н о-поляризо- ванное колебание электрона Si не дает излучения, ибо, как известно (см. § 3.2), линейный осциллятор вдоль своей оси не излучает. Поэтому в продольном эффекте Зеемана наблюдают два колебания, поляризованных по кругу с частотами колебаний, смещенными относительно первоначальной частоты v0 на величину

Av。= ± 也=±Av。= ± 也=±NqCHNqCH4л me *4л me *

Av。= ± 也=±

Av。= ± 也=±

NqCH

NqCH

4л me *

4л me *

При наблюдении излучения в направлении, перпендикулярном направлению магнитного поля (поперечный эффект Зеемана), все три колебания si, х и у дадут линейно-поляризованные излучения с частотами v0 и х^±х^х0±цхаеН/(4лте). Изложенные рассуждения находятся в полном согласии с опытом.

Квантовомеханическая теория эффекта Зеемана основана на анализе расщепления энергетического уровня излучающего электрона в атоме, помещенном в постоянное магнитное Поле с напряженностью Н. Для нормального эффекта Зеемана предполагается, что электрон обладает лишь орбитальным магнитным моментом р^. В магнитном поле с индукцией В электрон приобретает дополнительную энергию AUZMarH, величина которой

Ариаги = —РтВ = —%林0”COS ⑴侖)=—网％#,

где pmz — проекция магнитного момента на направление Z магнитного поля.

По формулам (14.12) и (14.13),

где /п — магнитное квантовое число- Таким образом, дополнительная энергия, приобретаемая электроном атома 1 в магнитном поле, равна

А*магн = М}Х0Н =翳团乂А*магн = М}Х0Н =翳团乂(14.39)(14.39)

А*магн = М}Х0Н =翳团乂

А*магн = М}Х0Н =翳团乂

(14.39)

(14.39)

Если обозначить энергию электрона в атоме в некотором состояний 7 без магнитного поля через 吃 и соответственно через 恤一магнитное квантовое число, а индексом 2 снабдить соответствующие величины в более низком энергетвдеском состоянии 2, то полную энергию элек-

1 Напомним, что рассматривается сл\гчай атома с одним излучающим электро

НОМе'

трона в состоянии / при наличии поля можно записать в виде

W\= Жг 4" tn^Q^^H^

Соответственно в состоянии 2 полная энергия выразится в виде

呼；=呼a +加銀@Ns〃・

Частота оптического перехода между состояниями / и 2

% 一叭 吃一%WHd""砂分h,14 40)

V kL =Л十(用i-mJ —^~ = V。+ Am. (1&"U丿

где v0 —— частота спектральной линии в отсутствие магнита ого поля. По правилу отбора для магнитного квантового числа при переходах между разрешенными уровнями Лиг^т1~т2= + 1Г 0, —1. Поэтому частоты нормального триплета Зеемана имеют значения

совпадающие с опытом в случае сильных магнитных полей.

Критерий сильного и слабого магнитного поля в эффекте Зеемана связан с величиной нормального расщепления 卩о~冃方.Если эта величина намного превышает разность между энергиями двух энергетических уровней (i-го и /-го) в отсутствие магнитного поля:

"阳I吃一呵I,

то магнитное поле считается сильным (здесь К； и 吗——энергии двух уровней в атоме). Магнитное поле, удовлетворяквдее. противоположному условию

%Мв" «I 吃—吟 I，

называется слабым.

В слабом магнитном поле наблюдается аномальный, или сложный, эффект Зеемана. В этом случае происходит расщепление спектральных линий на множество компонент, которые относятся по своей поляризации либо к л-компонентам, либо к cr-компонентам. Аномальный эффект Зеемана получил свое истолкование после обнаружения спина электрона и создания векторной модели атома. При объяснении нормального эффекта Зеемана принимается во внимание лишь орбитальный магнитный момент электрона. Наличие у электрона спина и соответствующего ему магнитного момента усложняет картину расщепления энергетических уровней и спектральных линий в магнитном поле.

При увеличении напряженности магнитного поля взаимодействие между орбитальным и спиновым моментами становится все менее существенным по сравнению с взаимодействием каждого из них порознь с внешним полем, Расщепление спектральных линий при этом растет и постепенно начинают сливаться компоненты мультиплетов соседних спектральных линий. В сильном магнитном поле из всех компонент мультиплетов остаются три линии (для поперечного) или две линии (для продольного) нормального эффекта Зеемана. Переход

от аномального к нормальному эффекту Зеемана при увеличении напряженности внешних магнитных полей называется эффектом Пашена ——Бака.

Понятие о явлениях магнитного резонанса

С расщеплением энергетических уровней в магнитном поле, обусловленным наличием у электронов, а также у ядерных частиц магнитных моментов, связано явление магнитного резонанса, играющего большую роль в современных методах исследования строения и свойств вещества.

Магнитным резонансом называется избирательное поглощение энергии переменного электромагнитного поля веществом, находящимся в постоянном магнитном поле. Это явление связано с вынужденными переходами между подуровнями одного итого же зеемановского мультиплета, появившегося в результате действия постоянного магнитного поля. Опыт и теоретические расчеты показывают, что спонтанные переходы между такими подуровнями не происходят, так как они очень маловероятны. Эти переходы соответствовали бы для практически достижимых напряженностей магнитного поля излучению с частотами, лежащими в радиодиапазоне. Например, расщеплению, связанному с электронными магнитными моментами, соответствует излучение в области сантиметровых волн. Однако кроме спонтанных переходов, возможны вынужденные переходы между подуровнями 呼 и 呼十厶呼 зеемановского расщепления, вызванные наложением на вещество дополнительного п е р ем e н н о г о магнитного поля с частотой v = - — - , совпадающей с частотой перехода между данными двумя подуровнями. Эти вынужденные переходы и обусловливают явление магнитного резонанса.

Магнитный резонанс, связанный с наличием у электронов магнитных моментов, называется электронным магнитным резонансом (в § 16.2 будет рассмотрен ядер- ный магнитный резонанс, обусловленный наличием магнитных моментов у ядерных частиц ——протонов и нейтронов). Как известно (см. т. II, §20.2), в постоянном магнитном поле Н вектор р^ магнитного электрона совершает прецессионное движение вокруг направления внешнего поля с некоторой частотой прецессии v0 (рис. 14.7, о).

Рис. 14.7Рис. 14.7Предположим, что кроме постоянного магнитного поля действует еще переменное магнитное поле Н\ направление которого перпендикулярно направлению Н, а частота меняется. Переменное магнитное поле с индукцией В' создает вращающий момент М, действующий на магнитный момент р仅 [см. т. II, формула (17.5)]:

Рис. 14.7

Рис. 14.7

М = [р 罐 В'].

Под действием этого момента сил вектор р加 должен прецессировать вокруг направления переменного магнитного поля, имеющего напряженность

Н'= В7 (卩仙1), так что ориентация вектора р血 относительно поля Н должна измениться (рис. 14.7, б). Эго означает, что изменится проекция ртН вектора рш на направление Н. Если частота переменного поля совпадает с частотой прецессии v0 (магнитный резона с), то изменение ориентации вектора р^ и его проекции 口疯出 на направление поля Н будет очень сильным. Это приведет к изменению энергии магнитного момента рт в поле Н, т. е. вызовет энергетические переходы между подуровнями зеемановского расщепления.

Магнитный резонанс может быть использован для определения частоты v0 прецессии. По известной частоте v0 можно определить магнитные моменты электронов.

Существуют два различных метода наблюдения магнитного резонанса: нзме- репие воздействия переменного радиочастотного магнитного поля на молекулярный

или атомный пучок (метод И. Раби) и измерение поглощения веществом электромагнитных волн соответствующей частоты.

В первом методе пучок частиц, обладающих магнитным моментом, отклоняется в постоянном неоднородном магнитном поле и приемник фиксирует число частиц, испытавших в постоянном магнитном поле некоторое определенное отклонение. Если этот пучок одновременно подвергнуть действию переменного радиочастотного магнитного поля, направленного перпендикулярно направлению постоянного магнитного поля, то оно вызовет переходы между подуровнями зеемановского расщепления. Когда частота V переменного поля не совпадает с частотой переходов (другими словами, с частотой v0 прецессии вокруг постоянного поля), в приемник попадает то же число частиц, что и в отсутствие переменного поля. При совпадении частоты переменного поля с частотой переходов (с частотой прецессии) все частицы, для которых проекция магнитного момента на направление постоянного поля изменилась, будут иначе отклоняться в неоднородном иоле и не попадут в приемник. Экспериментально этот метод может быть реализован в двух вариантах. Задавая определенное значение напряженности постоянного магнитного поля, исследуют зависимость интенсивности молекулярного (или атомного) пучка, попавшего в приемник, от частоты V переменного магнитного поля и находят такую частоту vMHHt при которой интенсивность пучка оказывается наименьшей («резонансный минимум»). Эта частота совпадает с v0. Можно, наоборот, фиксировать частоту радиочастотного магнитного поля и изменять напряженность постоянного поля, т. е. изменять частоту v0, добиваясь ее совпадения с частотой v. Резонансные минимумы, полученные таким образом, имеют исключительную остроту и позволяют определять магнитные моменты с относительной точностью 10-4—10~^. Важной особенностью магнитного резонанса в молекулярных и атомных пучках является то, что он позволяет изучать действие радиочастотного поля па свободные молекулы и атомы, не взаимодействующие между собой. Вместе с тем экспериментальные трудности работы с молекулярными пучками, необходимость специальной вакуумной техники очень усложняют измерения.

Вторым методом изучения магнитного резонанса, практически более удобным, является исследование резонансного поглощения электромагнитных волн веществом, помещенным в постоянное однородное магнитное поле. Если частота переменного магнитного поля совпадает с частотами, соответствующими переходам между подуровнями зеемановского расщепления, то происходит интенсивное поглощение радиоволн веществом. Благодаря высокой чувствительности современных радиотехнических методов можно наблюдать поглощение волн, частоты которых соответствуют переходам между ближайшими подуровнями. Изучение поглощения в радиочастотной области в принципе не отличается от изучения поглощения волн в области оптических частот (см. § 7,3). Вся экспериментальная методика исследования магнитного резонанса методом резонансного поглощения более проста, чем в методе молекулярных пучков. Вместе с тем точность этого метода также очень высока.

Исследование поглоикения веществом электромагнитного излучения радиодиапазона составляет содержание так называемой радиоспектроскопии, которая позволяет раскрыть многие тонкие особенности строения вещества. Принципиальная схема радиоспектроскопических исследований состоит в следующем. От генератора электромагнитных волн излучение поступает в волновод, частично заполненный исследуемым веществом. Волновод представляет собой канал для передачи энергии электромагнитного поля, ограниченный боковой поверхностью (или поверхностями) определенной формы. В простейшем случае волновод имеет вид металлической трубки круглого или прямоугольного сечения. После прохождения сквозь поглощающую среду излучение поступает в детектор, вырабатывающий электрический сигнал, пропорциональный мощности электромагнитного излучения, падающего на детектор. После усиления этот сигнал наблюдается на экране осциллографа или регистрируется измерительным прибором. Для радиоспектроскопических методов характерна весьма высокая разрешающая способность, в сотни тысяч раз превышающая разрешающую способность оптических методов. Методом поглощения исследуются вещества в газообразном и в конденсированных (твердом или жидком) состояниях. При исследованиях поглощения в газах генератор должен давать излучение в диапазоне миллиметровых и сантиметровых волн, соответствующее избирательному поглощению газов при низких давлениях. В конденсированных средах метод радиоспектроскопии широко применяется для определения характера химических связей в веществе. При этом, однако, приходится учитывать, что определенные таким методом магнитные моменты взанмо-

действующих друг с другом частиц вещества могут существенно отличаться бт значений магнитных моментов для свободных частиц. Это сильно затрудняет интерпретацию резонансных пиков поглощения в конденсированных средах.

Важным случаем резонансного поглощения йвляется так йазываемый электронный парамагнитный резонанс (э. п. р.), открытый Е. К* Завойским (1945) и часто называемый просто парамагнитным резонансом.

Явление электронного парамагнитного резонанса состоит в поглощении парамагнитным веществом микроволнового радиоизлучения за счет переходов между подуровнями зеемановского расщепления. Расщепление энергетических уровней о6у・ словлено действием постоянного магнитного поля на магнйтйые моменты частиц ее* щества, определяющие его парамагнитные свойства. Во внешнем посияй- ком магнитном поле магнитные моменты атомов 1 стремятся ориентироваться вдоль поля. Одновременно с этим происходит зеемановское расщепление айерготических уровней и перераспределение по этим уровням атомов. Заселенность атомами йоду* ровней зеемановского расщепления оказывается неодинаковой.

В состоянии термодинамического равновесия среднее число атомов, находящихся на данном подуровне, выразится формулой Больцмана [см. т. I, формула

<n> = noe магй/ ,

где энергия А»магн пропорциональна mH. На подуровнях с меньшим 言нхиеннем магнитного квантового числа 卅 находится большее число атомов, чем на Хр\「нх подуровнях с пг'>/л, так как состояния с меньшей потёнциальной энергией энергетически более выгодны. Иными словами, должна существовать преимущественная ориентация магнитных моментов атомов вдоль направления магнитного поля, соответствующая намагниченному состоянию парамагнитного вещества (см. т. II, § 20.4). При наложении на вещество переменного магнитного поЛя с Частотами, совпадающими с частотой перехода между подуровнями зеемановского расщепления или кратными ей, будет происходить резонансное поглощение электромагнитных воли. Оно обусловлено преобладанием числа переходов, связанных с увеличением магнитного квантового числа на единицу (переходы типа т-^т^-1), над числом противоположных переходоа (типа m+lf mj. Другими словами, в результате ре* зонансного поглощения энергии переменного магнитного поля атомы будут переходить с более заселенных нижних энергетических уровней на менее заселенные верхние уровни. Поглощение пропорционально числу поглощающих атомов в ёд!1НИце объема вещества. Чувствительные установки для изучения э. п. р、позволяют обнаруживать поглощение в образцах, имеющих концентрации поглощающих атомов порядка 10 см~3. Особенно эффективен э. п. р. а тех случаях, когда вещестбо ссстонт из атомов с одним внешним электроном в s-состоянии, которые обладают суммарным магнитным моментом, равным спиновому магнитному моменту s-электроиа. Химически устойчивые молекулы, как правило, имеют четное число электронов, образующих заполненные оболочки, так что полный механический и магнитный моменты молекулы равны нулю. При химических реакциях таких молекул в качестве промежуточных продуктов могут образовываться так называемые свободные, химически неустойчивые радикалы, обладающие одним электроном с некомпенсированным спином. Метод парамагнитного резонанса позволяет обнаружить эти радикалы и по протеканию химических реакций сделать определенные выводы о характере химических связей.

Особым случаем парамагнитного резонанса является резонансное поглощение электромагнитных волн электронами проводимости в металлах, связанное со спином электронов и спиновым парамагнетизмом электронного газа в металлах (см. т. II* § 20.4). В ферромагнитных веществах наблюдается ферромагнитный резонанс^ связанный с изменением ориентации электронных моментов внутри доменов (см. т* II, § 20.6) или между доменами ферромагнетиков* Этот случай резонанса связан с особым спиновым взаимодействием электронов в ферромагнетиках и используется для изучения этих взаимодействий.

§ 14.11. Рентгеновские лучи

Большую роль в исследованиях строения и свойств электронных оболочек атомов сыграли лучи, открытые в 1895 г. В. Рентгеном и названные в его честь рентгеновскими лучами.

Рентгеновские лучи возникают при торможении веществом быстрых электронов. Для получения рентгеновских лучей служат специальные электровакуумные приборы — рентгеновские трубки, состоящие из вакуумированного стеклянного или металлического корпуса, в котором на некотором расстоянии друг от друга находятся катод и анод, включенные в цепь высокого напряжения. В рентгеновских трубках катод служит источником электронов, а анод (антикатод) — источником рентгеновских лучей Ч Между катодом и анодом создается сильное электрическое поле, разгоняющее электроны до энергий 104——105 эВ. Для получения электронов столь высоких энергий в рентгеновских трубках создается вакуум 〜IL мм рт. ст. В современных ускорительных установках (бетатронах и синхротронах) (см. т. II, § 18.5 и 21.2) рентгеновские лучн возникают при торможении электронов с энергиями порядка 102 МэВ и более.

Рентгеновские лучи возникают в результате преобразования кинетической энергии быстрых электронов в энергию электромагнитного излучения и представляют собой электромагнитные волны с длиной волны порядка от 0,01 А до 800 А. (Напомним, что длина волн наиболее короткого。из воспринимаемого глазом фиолетового излучения равна 4000 А.) Волновая электромагнитная порода рентгеновских лучей полностью доказывается опытами по дифракции рентгеновских лучей (см. §6.4). Кроме того, с рентгеновскими лучами были осуществлены интерференционные и дифракционные опыты, аналогичные опытам с зеркалами Френеля и дифракции на щели, хотя малая длина волны рентгеновских лучей сильно затрудняла осуществление этих экспериментов. Тем не менее эти опыты были осуществлены и волновая электромагнитная природа рентгеновских лучей была твердо установлена.

Для обнаружения рентгеновского излучения используются различные их действия. Рентгеновское излучение в сильной степени действует на фотопластинку, обладает высокой способностью ионизировать газы, вызывает флуоресцентное свечение в так называемых люминофорах. (Явление флуоресценции рассмотрено в § 15.8.) Для измерения интенсивности рентгеновских лучей используются главным образом их фотохимическое и ионизирующее действия. В специальных ионизационных камерах интенсивность рентгеновского излучения измеряется по силе тока насыщения, возникшего в результате ионизации газа, заключенного в камере. Сила этого тока пропорциональна интенсивности рентгеновского излучения. Ионизационные камеры и

1 Наряду с описанными электронными рентгеновскими трубками существует и другой тип рентгеновских трубок — ионные трубки, в которых свободные электроны образуются при бомбардировке катода ионам разреженного газа, ускоренными электрическим полем.

другие методы обнаружения ионизирующих излучений рассмотрены в ядерной физике (см. § 17.4).

(14.41')(14.41')Экспериментальные исследования показали, что существуют два типа рентгеновского излучения. При энергиях электронов, не превышающих некоторого критического, зависящего от материала антикатода, возникает рентгеновское излучение со сплошным спектром, подобным спектру белого света. Такое рентгеновское излучение называется белым. Белое рентгеновское излучение, как показали подробные исследования, вызывается торможением быстрых электронов при их движении в веществе. Поэтому белое излучение называют также тормозным. Таким образом, этот тип рентгеновского излучения испускается самими электронами, движущимися в веществе. Согласно классической теории излучения, при торможении движущегося заряда должно действительно возникать излучение с непрерывным спектром. Однако рентгеновский сплошной спектр отличается важнейшей особенностью — он ограничен со стороны малых длин волн некоторой границей 入мнн，называемой границей сплошного спектра.

(14.41')

(14.41')

волновой границы рентгеновского сплошного спектра, является одним из наиболее точных и достоверных.

Соотношение (14.41) совпадает с уравнением Эйнштейна (11.4) для фотоэффекта, если в нем пренебречь работой выхода электрона из металла L Действительно, явление фотоэффекта и возникновение рентгеновского тормозного излучения являются взаимно-обратными явлениями: прочтенное справа налево уравнение (14.41) дает энергию электрона при фотоэффекте» прочтенное слева направо, оно указывает на существование граничной частоты (или длины волны) при полном преобразовании энергии тормозящего электрона в энергию фотона.

Вторым типом рентгеновского излучения является так называемое характеристическое рентгеновское излучение. Свое название оно получило вследствие того, что этот тип рентгеновских лучей характеризует вещество антикатода. Характеристическое рентгеновское излучение имеет линейчатый спектр. Важная особенность этих спектров состоит в том, что атомы каждого химического элемента независимо от того, в каких химических соединениях они находятся, обладают своим, вполне определенным, линейчатым спектром характеристического рентгеновского излучения. В этом заключается отличие линейчатых рентгеновских спектров от оптических линейчатых спектров, которые существенно различаются для атомов, находящихся в свободном состоянии и в химических соединениях. Мы убедимся в этом различии подробнее при изучении спектров молекул в гл. XV. Существование такого различия может быть понято из следующих общих соображений. Мы уже видели, что оптические линейчатые спектры атомов связаны с поведением внешних валентных электронов. При образовании химических соединений состояния этих электронов изменяются, что не может не сказаться на оптическом спектре. Тот факт, что рентгеновские линейчатые спектры являются индивидуальной характеристикой атома, не изменяющейся при вступлении его в химические соединения, указывает на то, что возникновение характеристического рентгеновского излучения связано с процессами, происходящими в глубинных, застроенных электронных оболочках атомов, которые не изменяются при химических реакциях атомов. Как и оптические спектры, линейчатые рентгеновские спектры состоят из линий, составляющих несколько серий. Однако в отличие от серий оптических спектров, имеющих множество линий и обнаруживающих большое разнообразие у атомов разных химических элементов, серии рентгеновских линейчатых спектров имеют небольшое число линий. Особенно важно, что у разных элементов обнаруживаются однотипные серии линий, отличающиеся лишь тем, что у атомов более тяжелых элементов сходные серии линий смещены в сторону более коротких волн.

В порядке возрастания длин волн серии характеристического рентгеновского излучения называются соответственно К”, Л-, М、 ^-ce-

1 Если 巾отоз巾4)ект вызывается рентгеновским излучением, то в уравнении (11.4) работа выхода электрона из металла много меньше энергии hv фотона и ею можно пренебречь,

риями. Эти названия, как будет показано ниже, связаны с происхождением линий этих серий.

Физический смысл появления линейчатых характеристических рентгеновских спектров был выяснен в боровской теории атома. Как мы видели в § 14.5, в атомах с большим атомным номером Z внутренние электронные оболочки К, L, М и другие полностью заполнены электронами. При удалении электрона с одной из внутренних оболочек на освободившееся место переходит электрон из более удаленной от ядра оболочки н излучается рентгеновский фотон. Если, например, электрон удаляется из самой внутренней /(-оболочки атома под действием налетающего на атом электрона или первичного жесткого излучения, то на его место может перейти электрон с Л-, М・，В- оболочек и др. Такой переход связан с испусканием фотонов с определенной энергией и возникновением линий рентгеновской К-серии. Очевидно, что для вырывания электрона из /(-оболочки, наиболее близкой к ядру, где электроны испытывают наибольшее к ядру притяжение, требуется затрата значительной энергии ——работы вырывания электрона. Энергия налетающего электрона или первичного налетающего фотона должна быть по крайней мере равна этой работе. Поэтому для каждого атома существует определенная граница возбуждения К-серик, Например, для ртути(Z=8G) <жа составляет около 82 кэВ. Переходу эдектрона с £-ободочки на К-оболочку соответствует самая длинноволновая линия К& /(-серии рентгеновского характеристического излучения. Линия Кв соответствует переходу электрона из /И-оболочки на К-оболочку, линия Ку — переходу из ^-oбoлoчки на ^оболочку. Совокупность линий Ка, К$ и К? образует /(-серию. Частоты линий возрастают при переходе от линий Ка к Кв и К?・ Это связано с увеличением энергии, высвобождающейся при переходе электрона на К-оболочку со все более удаленных оболочек. Наоборот, интенсивности линий убывают при переходе от линии К& к линиям К^ и К^, так как вероятность переходов на К-оболочку с L-оболочки больше, чем с АР, ^- оболочек и других, более удаленных. Линии серий L, М и т. д. характеристического рентгеновского излучения испускаются при освобождении «вакантного» для электрона места соответственно на L-, М・,^- оболочках и т. д. Так, при переходе электрона на L-оболочку из /И-оболочки возникает линия La, из W-оболочки ——линия

Рис. 14.9 Lr н т. д. Все перехода, заканчивающиеся на L-оболочке, соответствуют линиям Л-серии характеристического рентгеновского излучения. Общие закономерности, отмеченные для К-серкк, остаются справедливыми для 厶-серн访 и др.

Для серий характеристических спектров справедлив комбинационный принцип Ритца, установленный для оптических спектров (см. § 13.3).

На рис. 14.9 схематически представлено возникновение различных серий характеристического рентгеновского излучения.

Г. Мозли, исследуя (1913) зависимость длин волн линии К^

характ^ристического излучения от атомного номера Z различных элементов, обнаружил справедливость следующего соотношения, называемого законом Мозли:

= J/3/4 (Z—о),(14.42)

где v* = l/v — волновое число линии, R'—постоянная Ридберга, м-1, о ——постоянная экранирования. Соотношение (14.42) можно переписать в следующем виде:

* = (1 _40伍一0户=侈一寸 g一^)，

ИЛИ

У = Р0—о)2&_£),(14.42，)

В таком виде это соотношение напоминает сериальную формулу для водородоподобного атома, точнее формулу для первой линии серии Лаймана (см. § 13.3) с тем отличием, что величина Z уменьшена на а. Смысл постоянной экранирования заключается в том, что в тяжелом атоме, содержащем Z электронов, на электрон, совершающий, например, переход, соответствующий линии Ла, действует не весь заряд ядра 2е, а заряд (Z——o) е, ослабленный экранирующим действием одного электрона, остающегося в Л-оболочке.

Для линий К& постоянная экранирования o = L Формулы, аналогичные (14.42'), можно написать и для других сходственных линий характеристических спектров различных элементов. Например, для линий La 炉= R'(Z—о户(g—£) , где a = 7,5.

(14.42〃)

К 3 = a(Z—Ь),К 3 = a(Z—Ь),(14.42^)(14.42^)В общем виде закон Мозли часто записывают следующим образом:

К 3 = a(Z—Ь),

К 3 = a(Z—Ь),

(14.42^)

(14.42^)

где V —— частота, с'1; а — постоянная для данной серии линий, с_1/3； b — постоянная экранирования.

На рис. 14.10 приведена так называемая диаграмма Мозли, иллюстрирутощая для линий К& линейную зависимость У v*//?7 от атом

ного номера Z. Последовательное применение формулы Мозли к элементам периодической системы Менделеева подтвердило в свое время закономерное возрастание на единицу заряда ядра при переходе от одного элемента к последующему. Это имело большое значение для подтверждения справедливости ядерной модели атома и периодического закона Менделеева.

Малая длина волны рентгеновского излучения (их большая «жесткость») обусловливает высокую проникающую способность этих лучей сквозь вещество и свое-

11 А. А. Детлаф, В. М. Яворский — 321 —

「Сразные закономерности их поглощения, Характерным примером этого является бильшое помещение рентгеновских л^чей свинцовым стеклом, прозрачным для видимого света. Этим свойством свинцовых стекол пользуются для предохранения от рентгеновского излучения при работе на рентгеновских установках. При прохождении рентгеновского излучения сквозь вещество его интенсивность уменьшается вследствие истинного поглощения и рассеяния.

Ослабление интенсивности вследствие рассеяния связано с эффектом Комптона (см. § 11.4). При этом часть энергии жесткого рентгеновского излучения передается электронам вещества, а излучение, испытавшее рассеяние, становится более мягким, т. е. приобретает большую длину волны.

Благодаря различному поглощению рентгеновского излучения при прохождении их через неоднородные препятствия эти лучи нашли широкое применение в медицине для просвечивания н в различных областях науки и техники для дефектоскопии. Эти применения основаны главным образом на двух закономерностях поглощения,

молекулярный коэффициент истинного поглощения складывается из атомных коэффициентов поглощения для всех атомов, входящих в молекулу;

атомный коэффициент истинного поглощения та весьма сильно зависит от атомного номера Z поглощающего вещества и длины волны 入 рентгеновского излучения; эта зависимость выражается эмпирически установленной формулой

% =左2齡3,

где k ——некоторая постоянная величина.

В зависимости от энергии фотонов рентгеновского излучения они могут вызы- рать внутренний фотоэффект в различных электронных оболочках атомов. По мере рсста энергии фотонов, т. е. уменьшения длины волны, коэффициент истинного поглощения уменьшается. Однако при некоторых значениях частот происходит скачкообразное возрастание поглощения^ Оно связано с появлением дополнительного поглощения за счет вырывания фотоэлектронов из соответствующей внутренней оболочки атома. Значения зтнх частот (или длин волн) рентгеновского излучения позволяют судить об энергиях электронов в состояниях, соответствующих данной оболочке (точнее, различным подоболочкам).

Весьма важным является быстрый рост та с увеличением Z. Например, при просвечивании человеческого тела молекулярный коэффициент истинного поглощения в костях, состоящих из фосфорнокислого кальция, оказывается приблизительно в 150 раз большим того же коэффициента для мягких тканей тела, в которых поглощает главным образом вода. Поэтому при просвечивании резко выделяется тень от костей. Зависимость та от Z позволяет обнаружить различного рода дефекты в оптически непрозрачных твердых телах методом рентгеновской дефектоскопии. В зависимости от атомного номера Z дефектов в теле при его просвечивании границы дефектов будут обозначены на экране по-разному. Если дефекты имеют атомные номера Z, меньшие, чем вещество тела, то область, занятая дефектами, окажется более светлой, чем остальное поле зрения. В противоположном случае дефектная область окажется затемненной. Рентгеновская дефекюскопия позволяет определять не только площадь, занимаемую дефектом, но и его толщину. Последнее достигается путем измерения ослабления интенсивности рентгеновского излучения при прохождении сквозь тело.

В заключение рассмотрим некоторые особенности рассеяния рентгеновского излучения в веществе. Существенным для закономерностей рассеяния является то, что длина волны 九 рассеивающегося рентгеновского излучения соизмерима с атомными размерами. Это приводит к тому, что в отличие от рассеяния в оптической области (например, рэлеевского рассеяния, рассмотренного в § 7.4) рассеяние рентгеновского излучения н е зависит о т длины волны. Рассеивающими центрами для рентгеновских лучей являются атомы или молекулы вещества. В этом смысле рассеяние рентгеновского излучения происходит так, что для него любая среда является «мутной» L

Напомним, что обычное рассеяние света при его прохождении чер ез «мутную» среду обусловлено взвешенными частицами с размерами, во много раз большими атомных, и с показателем преломления, значительно отличающимся от показателя преломления среды.

Согласно волновой теории рассеяния рентгеновского излучения % развитой Дж. Дж. Томсоном, атомный коэффициент рассеяния

8л е&8л е&3 т|с43 т|с4Z,Z,

8л е&

8л е&

3 т|с4

3 т|с4

Z,

Z,

где Z ——общее число электронов в атоме, е — заряд электрона, те — его масса. С помощью этой формулы Томсону удалось показать, что по крайней мере для легких элементов в периодической системе справедливо соотношение Z/A в 1/2, т. е・ атомная масса таких элементов примерно вдвое превышает их атомный номер. Подлинный смысл этого соотношения мы выясним дальше в ядерной физике. Остается лишь заметить, что при рассеянии рентгеновского излучения легкими веществами в ббльшей степени проявляется квантовая природа этого излучения (см. § 11.5).

1 В основе ее лежало рассмотрение вынужденных колебаний электронов под действием падающего рентгеновского излучения.

И*

Глава XV

СТРОЕНИЕ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Предварительные замечания и общая характеристика химических связей

В предыдущей главе мы видели, что на основе квантовой механики были созданы современные представления о строении и оптических свойствах атомов, в том числе и многоэлектронных. Теперь мы перейдем к изучению строения и оптических свойств м о - л е к у л — наименьших частиц данного вещества, обладающих его основными химическими свойствами.

Молекулы состоят из одинаковых или различных атомов, соединенных между собой в одно целое междуатомными связями, которые иногда называют химическими связями. Само существование молекул как устойчивых систем показывает, что химические связи атомов в молекулах должны быть обусловлены наличием между атомами некоторых сил взаимодействия, связывающих атомы в молекулах друг с другом. Опыт показывает, что для того, чтобы разъединить молекулу на составляющие ее атомы, необходимо совершить определенную ра- ■боту. Это означает, что образование молекулы сопровождается выделением энергии. Так, например, два атома водорода в свободном состоянии обладают большей энергией, чем те же атомы, соединенные в двухатомную молекулу. Это является доказательством наличия сил, связывающих атомы в молекулах, причем энергия, выделяющаяся при образовании молекулы, является мерой тех сил взаимодействия, которые соединяют атомы в молекулах.

В этой главе мы остановимся главным образом на физическом содержании современного учения о строении и оптических свойствах молекул и твердых тел, оставляя в стороне весьма сложный математический аппарат, применяемый в современной теории для изучения этих важных разделов физики \ Напомним, что в гл. XIII т. II в связи с изучением электрических свойств твердых тел были рассмотрены многие вопросы их строения.

Для разъяснения физического смысла важнейших закономерностей, объясняющих причины, по которым электрически нейтральные атомы могут образовать устойчивую молекулу, ограничимся рассмо^ трением простейших двухатомных молекул, состоящих из двух одинаковых илн различных атомов.

Экспериментальные факты показывают, что силы между атомного взаимодействия в молекулах возникают между внешними, валентными, электронами атомов. Об этом в первую очередь свидетельствует отмеченное в § 14.11 резкое изменение оптического спектра атомов при вступлении их в химическое соединение и, наоборот, сохранение неизменным рентгеновского характеристического спектра атомов не-

1 Это замечание в полной мере относится также к последней, восьмой, части курса (гл. XVI-XIX).

зависимо от рода химических соединении, в которые входят эти атомы. Напомним, что линейчатые спектры определяются состоянием внеш

них, валентных электронов, а рентгеновские характеристические — внутренних, глубинных, электронов атомов С другой стороны, очевидно, что в процессе химического взаимодействия в механизме образования химических связей должны принимать участие те электроны, для изменения состояния которых требуется сравнительно небольшая энергия. Ими являются внешние, валентные, электроны атомов, по

тенциалы ионизации которых значительно меньше, чем у электронов, находящихся на внутренних застроенных оболочках.

Независимо от природы тех сил, которые приводят к образованию устойчивой системы из двух атомов (двухатомной молекулы),

можно высказать некоторые общие соображения о характере этих сил.

畋仞畋仞Атомы, разведенные на значительное расстояние друг от др^ га, не взаимо-

畋仞

畋仞

действуют друг с другом. По мере уменьшения расстояния г между ядрами атомов возрастают силы взаимного п р и т я ж ен и я, действующие между атомами. Однако эти силы не являются единственными На малых расстояниях между атомами проявляют свое действие силы взаимного отталкивания, не позволяющие электронам данного атома слишком глубоко проникнуть внутрь электронных оболочек другого атома. Как и в случае взаимодействия между молекулами (см. т. I., § 13.1), силы притяжения и отталкивания различно зависят от расстояния г между атомами. Силы отталкивания являются более короткодействующими, чем силы притяжения. При увеличении расстояния между атомами силы отталкивания убывают быстрее, чем силы притяжения. Благодаря одновременному действию противоположно направленных сил —— притяжения и отталкивания ——на некотором расстоянии г0 между атомами обе силы уравновешивают друг друга и их геометрическая сумма равна нулю. Этому расстоянию соответствует наименьшая взаимная потенциальная энергия Wp (г) атомов двухатомной молекулы. На рис. 15.1 приведены кривые зависимости от расстояния г проекций на г сил притяжения F2, отталкивания 巳 и результирующей силы 尸 взаимодействия атомов в такой молекуле, причем положительными считаются

силы отталкивания. На рис. 15.2 приведена кривая зависимости от г потенциальной энергии Wр (г) взаимодействия двух атомов в молекуле. Равновесное междуатомное расстояние г0 в молекуле называется длиной связи и является важной характеристикой строения молекулы. Величинам (на кривой рис. 15.2) от минимума потенциальной энергии до оси 'абсцнсс, к которой кривая Wp (г) асимптотически приближается при неограниченном возрастании г, имеет большое значение. Она равна работе, которую надо совершить для того, чтобы разорвать связи атомов в молекуле, разъединить молекулу на составляющие ее атомы и перевести атомы на бесконечное расстояние друг от друга. Эта работа D представляет собой так называемую энергию диссоциации молекулы или энергию связи. Очевидно, что энергия диссоциации численно равна энергии, выделяющейся при образовании молекулы, но противоположна ей по знаку: энергия диссоциации отрицательна, а энергия, выделяющаяся при образовании молекулы, положительна. Таким образом, независимо от природы сил, образующих химическую связь атомов в молекуле, эта связь может быть количественно охарактеризована двумя величинами: энергией связи D и длиной связи г。.

Простейшее предположение о природе химической связи атомов в молекуле заключается в том, что между внешними электронами атомов возникают электрические силы взаимодействия, удерживающие атомы друг возле друга. Оди а ко непременным условием устойчивости молекулы в этом случае будет возникновение у двух взаимодействующих атомов противоположных по знаку электрических зарядов, притяжение между которыми и обеспечит химическую связь. Подобный тип химической связи действительно осуществляется в некоторых молекулах. Взаимодействующие атомы при этом превращаются в ионы. Один из атомов, присоединивпшй к себе один или несколько электронов, приобретает отрицательный заряд и становится отрицательным ионом. Другой атом, отдавший соответствующее количество электронов, превращается в положительный ион. Между разноименно заряженными ионами возникает электростатическое притяжение. Подобный тип связи называют ионной связью. Эту связь называют также гетерополярной (от греческого слова «гетеро» ——разный). Молекулы, в которых осуществляется такой тип связи, называются ионными или гетерополярными молекулами.

В очень большом числе молекул, в том числе и в простейших двухатомных молекулах (Н2, О2, N2, С12 и др.), не происходит переходов электронов от одного атома к другому и не создаются разноименно заряженные ионы. Простейшим доказательством этого является то, что в парах веществ, состоящих из таких молекул, при сообщении им достаточной энергии происходит диссоциация молекул на н е й- тральные атомы. Ионные же молекулы диссоциируют на свободные противоположно заряженные ионы, что может быть установлено различными методами химического анализа и изучением дей-

ствия па эти ионы электрических и магнитных полей. Химическую связь, осуществляющуюся между электрически нейтральными атомами в молекуле, называют ковалентной или гомеополярной связью (от греческого слова «гомео» — одинаковый). Эта связь характерна для молекул, состоящих из одинаковых атомов, откуда и произошло ее название. Выяснение природы гомеополярной связи стало возможным только на основе квантовой механики и явилось ее выдающимся успехом. Молекулы, в которых осуществляется такой тип связи, называют гомеополярными или атомными молекулами.

Разделение химических связей на два типа —■ ионных и гомео- полярных —— в известной мере условно, В большом числе случаев связь обладает характерными чертами обоих типов связей, и лишь детальные теоретические п экспериментальные исследования позволяют установить в каждом случае соотношение между степенью «ионности» и «гомеополярности» связи.

Ионные молекулы

Типичными примерами ионных молекул, в которых осуществляется гетерополярная связь, являются молекулы щелочно- галоидных солей, образованных ионами атомов элементов I и VI групп периодической системы Менделеева: NaCl (Na丄CL), RbBr (Rb+Br~), CsJ (Cs+J-) и др. Металлы первой группы обладают сравнительно небольшими значениями потенциалов 屮 ионизации, например для атома Na энергия, соответствующая потенциалу ионизации J =eq), составляет 5,1 эВ. С другой стороны, атомы VI группы (металлоиды) характеризуются большой величиной так называемого электронного сродства. Под этим термином понимается количество энергии, которое выделяется при присоединении электрона к нейтральному атому металлоида. Например, для хлора С1 эта величина составляет 3,8 эВ. Переход электрона от атома Na к атому С1 приводит к образованию ионов Na+ и С1~, каждый из которых обладает устойчивой внешней восьмиэлектронной (s+p) подгруппой, характерной для атомов благородных газов, не вступающих в химическую связь. Электростатическое притяжение противоположно заряженных ионов на весьма малых расстояниях между ними сменяется силами отталкивания, препятствующими дальнейшему сближению ионов. Ионы Na+ и С1~ оказываются на равновесном расстоянии друг от друга, соответствующем уравновешиванию сил притяжения и отталкивания. Так возникает ионная молекула NaCl, В связи с тем, что взаимодействие ионов носит в основном кулоновский характер, ионная связь имеет ненаправленный характер. Кроме того, в отличие от других видов химической связи ионная связь не может быть насыщена.

Сравнение потенциалов ионизации металлов и электронного сродства металлоидов показывает, что почти всегда энергия ионизации е 屮 несколько превышает электронное сродство. Для случая NaCl превышение составляет 1,3 эВ. Таким образом, переход электрона от атома Na к атому О не может происходить самопроизвольно и требует затраты некоторой энергии. С другой стороны, известно,

что при образовании молекул выделяется энергия. Чтобы понять, откуда берется энергия, недостающая для ионизации атома щелочного металла, учтем, что при сближении ионов выделяется энергия их электростатического взаимодействия. Образование ионов и их сближение представляют собой единый процесс, происходящий одновременно и лишь после того, как атомы сблизятся настолько, что вместе с образованием ионов выделяется необходимая для этого энергия. Легко подсчитать, что потенциальная энергия Wp(r) электростатического взаимодействия двух однозарядных ионов, находящихся на расстоянии г, равная Wр (г)=е/ (4л；80г), восполнит разность между энергией ионизации и электронным сродством в 1,3 эВ при 尸=11・10-区° м=11 А. Здесь е — абсолютное значение элементарного заряда, равного заряду электрона, 80——электрическая постоянная в СИ. Таким образом, переход электрона от атома Na к атому О может начинаться лишь при г^И А. Однако, как показывают данные рентгеноструктурного анализа и другие методы, равновесное рас* стояние г0 в молекуле NaCl составляет всего 1,4 А. При этом расстоянии энергия Wp^=e2/ (4 П80^о) составляет 10,2 эВ и на 8,9 эВ превышает энергию, необходимую для образования ионов Na十 и С1~ в одной молекуле. При пересчете на один моль это составляет энергию в 49 200 Дж, или 205 ккал, выделяющуюся при образовании молекул. Опыт показывает, что эта величина несколько завышена, ибо она не учитывает вклада в потенциальную энергию сил отталкивания, которые несколько уменьшают эту энергию.

Молекулы с ковалентной химической связью

NO, аммиак NH3, метан CH4 и др,). Простейшей молекулой с ковалентной связью является молекула водорода Н2, состоящая из двух протонов и двух электронов. Спектроскопические данные показали, что у этой молекулы равновесное расстояние гъ между ядрами ——протонами —равно 0,74 А, Энергия связи D (см. рис. 15.2) составляет для молекулы водорода 4,718 эВ, или 103,24 ккал/моль.

Количественная теория гомеополярной связи применительно к молекуле водорода была разработана В. Гайтлером и Ф. Лондоном (1927) на основе квантовой механики.

Рассмотрим два атома водорода, ядра которых находятся в точках а и & на расстоянии R друг от друга. Предположим, что оба атома находятся в основных s-состояниях. Если R весьма велико, то атомы не взаимодействуют и полная энергия системы W равна удвоенной энергии основного состояния атома водорода:

刃=2 Wu

где Wr вычисляется по формуле (14.10).

При сближении атомов между ними возникает взаимодействие, характеризуемое некоторой энергией 取尸(R), зависящей от расстояния между атомами, так что полная энергия W системы выразится следующим образом：

W=2 %+吟依).(15.1)

Если R->8, то 取尸(R)->0. Из факта существования устойчивой молекулы водорода следует, что при сближении атомов Wp(R) вначале уменьшается от 0 при А=8 до некоторых отрицательных значений при конечных R, что соответствует притяжению атомов. Затем при малых расстояниях R энергия Wp (R) увеличивается и становится положительной, что соответствует отталкива-尸

нию атомов. Такой характер изменения ^^^Q\Z^^^^ Wp(R) следует из общих соображений, / /

изложенных в § 15.2 и не зависящих от I ( 亦=^^^/"\、 природы химической связи. Задачей кванто- \\))

вомеханического расчета являлось вычис- \^丿/ ление Wp (/?). Мы рассмотрим лишь суть —~ этого расчета, оставляя в стороне математи

ческие выкладки. Пусть электрон 1, принад-Рис. 15.3

лежащий атому, ядро которого находится

в точке а, расположен на расстоянии 尸от этого ядра (рис. 15.3). Его расстояние от ядра b обозначим через г1ь. Аналогично, электрон 2, принадлежащий ядру 匕，находится от ядер а н b на расстояниях г2а й г2Ь. Через ?\w обозначим взаимное расстояние между электронами. Йа рис. 15.3 изображены электронные облака двух атомов водорода. Как видно из рисунка, при конечном расстоянии R между ядрами происходит частичное перекрытие электронных облаков обоих электронов 1. Оба электрона в молекуле водорода являются тождествен-

1 На рис. 15.3 облака электронов считаются сферически симметричными, т. е. соответствующими s-состояниям электронов. В действительности при R#=oo это не так.

ными, неразличимыми частицами. В соответствии со сказанным в § 14 4 о принципе Паули эти оба электрона можно поменять местами: электрон 1 может принадлежать ядру Ь, а электрон 2 ——ядру а, и это приведет к той же системе ——молекуле водорода, состоящей из двух ядер и двух электронов. Состояние такой системы в квантовой механике может определяться либо симметричной, либо антисимметричной координатными волновыми функциями. При этом согласно принципу Паули (см. § 14 4) полная волновая функция системы тождественных электронов, т. е. волновая функция, зависящая от координат электронов и от ориентации их спинов, должна быть обязательно антисимметричной.

Расчет энергии взаимодействия 取「(R) производится с учетом обоих возможных состояний молекулы водорода и приводит к следующему ее значению:

如土。保)=斗兽需2， (15.2)

где знак плюс относится к случаю описания состояния молекулы симметричной координатной волновой функцией, а минус — антисимметричной координатной волновой функцией (см. § 14.4), Безразмерный интеграл S (R) называется интегралом перекрытия и характеризует перекрывание электронных облаков при сближении атомов друг с другом. При Rfoo, когда атомы не взаимодействуют, интеграл S (/?), как можно показать, обращается в нуль, что соответствует отсутствию перекрывания электронных облаков. Наибольшего значения, равного 1, интеграл S (R) достигает при R=0, когда оба атома водорода как бы сливаются вместе. Этот случай, разумеется, не имеет смысла, и поэтому интеграл S (R) имеет в молекуле Н2 положительное значение, меньшее единицы. Для качественной оцепкр! поведения энергий 取+尸(7?) и W^p (R) взаимодействия атомов в молекуле интеграл У (R) существенной роли не играет.

Интеграл C(R), называемый кулоновским интегралом, характе- рнз)бт кулоновское взаимодействие ядер и электронов в молекуле Н2. Наибольший интерес и наибольшую трудность представляет истолкование интеграла Л (R), который называется обменным интегралом. Наличие A (R) связано с неразличимостью электронов в молекуле и возможностью их обмена местами друг с другом. Интеграл A (R), имеющий размерность энергии, характеризует особое квантовомеханическое взаимодействие, возникающее между двумя тождественными электронами, которое может быть условно названо «обменным взаимодействием». «Обменное взаимодействие» электронов в молекуле водорода можно понимать в том смысле, что электрон каждого из ее атомов проводит некоторою долю времени у ядра другого атома, осуществляя тем самым связь обоих атомов, образующих молекулу.

Для решения вопроса о том, какой знак имеет энергия 钟士尸(R) в выражении (15.2) и, следовательно, будет ли происходить притяжение или отталкивание между атомами, должны быть проанализированы знаки функций C(R) я % (R). Расчеты показывают, что на весьма больших расстояниях R интегралы С 依)и 4 (R) имеют исчезающе

малые значения. Это соответствует тому, что на больших расстояниях R между атомами их взаимодействием можно пренебречь, ибо оно весьма мало. На средних расстояниях R (соизмеримых с боровским радиусом водородного атома), как показывают вычисления, оба интеграла C(R) и Л (R) отрицательны, причем |4 (R)|> |C(R)]・ Тогда из формулы (15.2) видно, что имеются следующие два значения энергии взаимодействия атомов в молекуле водорода:

w+p(R)=Q甥*<0；取一依)=暗需>0，

(15.3)

Первое из них ^+^^) соответствует притяжению и характеризует устойчивое состояние молекулы водорода, второе W_p{R)——о т- талкиванию и определяет неустойчивое состояние молекулы. Согласно принципу Паули, в устойчивом состоянии молекулы, когда координатная волновая функция молекулы симметрична, спины электронов должны быть ашипараллельны, ибо только в этом случае полная волновая функция в соответствии с требованиями принципа Паули будет антисимметричной. Наоборот, в неустойчивом состоянии молекулы водорода, когда координатная волновая функция антисимметрична, спины элекаронов должны быть параллельны для обеспечения антисимметричности полной волновой функции.

Как показывают расчеты, при сближении двух водородных аюмов с больших расстояний между ними атомы начинают притягиваться, если спины их электронов антипараллельны и, следовательно, полный спин обоих электронов равен нулю. На расстоянии, соизмеримом с боровским радиусом атома водорода, энергия взаимодействия

W+p(R) имеет минимум, и это рассюяние определяет устойчивое расположение ядер в молекуле водорода. На очень малых расстояниях между атомам” притяжение переходит в отталкивание в соответствии с общим ходом зависимое!и энергии взаимодействия от расстояния (см. § 15.1). Существенным результатом квантовомеханического изучения молекулы водорода является вывод о тем, что при параллельных спинах электронов невозможно образование устойчивого состояния молекулы, так как энергия W^p(R) взаимодействия атомов при этом положительна и атомы отталкиваются. Результаты квантовомеханических расчетов энергий взаимодействия в молекуле водорода приведены на рис. 15.4. По оси абсцисс отложено междуатомное рас- стоения в атомных единицах длины (первых боровских радиусах водорода а。，по оси ординат ——энергии взаимодействия в эВ. На рисунке указаны также ориентации спинов в случаях W^P{R) и W+p(R), а также приведены кривая кулоновскаого взаимодействия C(R) и

экспериментально полученная кривая (пунктирная) для энергии взаимодействия. Минимум теоретической кривой W+p(R) приходится на расстояние Ro=l,6 (в единицах а。), или 0,83 А, и дает для энергии диссоциации молекулы значение 0=3,2 эВ. Экспериментально полученные значения этих величин соответственно равны: /?0=1,4 й0, т. е. 0,74 А, и 0=4,72 эВ. Как видно, расчеты Гайтлера и Лондона находятся в удовлетворительном согласии с опытными данными. С помощью улучшенных кванговомеханических расчетов теоретические данные были приведены в лучшее согласие с опытом. Впоследствии аналогичные расчеты были проделаны для других молекул с ковалентной связью (N2, О?，СН и др.); они дали хорошее согласие с экспериментом в отношении равновесных междуядерных расстояний и энергий диссоциации.

Таким образом, причиной, вызывающей образование молекулы с гомеополярной связью, является квантовомеханический эффект, связанный с неразличимостью электронов, причем основная часть энергии связи определяется обменным интегралом Л (R). Молекула водорода, согласно вышеизложенному, имеет результирующий спин, равный нулю; кроме того, она не имеет орбитального магнитного момента и поэтому должна быть диамагнитна, что соответствует опытным данным.

При столкновении двух атомов водорода молекула может быть образована лишь при условии, что спины обоих электронов будут анти- параллельны, ибо в противном случае, при параллельных спинах, атомы будут отталкиваться. В зависимости от того, связывает ли ковалентная связь два одинаковых атома (как в случае молекулы водорода) или два различных атома, расположение электронного облака в молекуле будет симметричным или асимметричным. Молекула с асимметричным распределением электронного облака (вероятность нахождения электронов у одного из атомов больше вероятности нахождения у другого) имеет постоянный дипольцый момент, она полярна. В предельном случае, когда подавляюще преобладает вероятность нахождения электрона у одного из атомов, гомеополярная связь переходит в ионную. Таким образом, как мы уже указывали, непереходимой грани между ионной и гомеополярной связями не существует.

§ 15.4. Расщепление в молекулах энергетических уровней валентных электронов изолированных атомов

На примере простейшей молекулы водорода убедимся в том, что взаимодействие атомов в молекуле вызывает расщепление энергетических уровней валентных электронов изолированных атомов. Если не учитывать энергии ядра, то энергия атома водорода является энергией его единственного электрона, являющегося вместе с тем и валентным электроном.

Из формул (15.1) и (15.3) следует, что в результате взаимодействия между атомами в молекуле водорода полная энергия W молекулы мо

жет принимать два возможных значения:

%(R) = 2吃十°怨,(15.4)

吃=2% +步 _p(R) = 2S + q^譌立，(15.4)

где 2 Wx——энергия системы, состоящей из двух невзаимодействующих атомов, разведенных на весьма большое расстояние; значение W+ соответствует описанию состояния системы симметричной координатной волновой функцией, а значение W_ ——описанию системы антисим

метричной координатной волновой функцией. Таким образом, энергия 2Wг расщепляется на два возмож- ных значения: W+ и Схематически это показано на рис. 15.5. Из рисунка видно, что энергия W+ мень・ ше, чем 2Wlt на величину (C+4)/(i十 +S), а энергия W~ больше 2 Wx на величину (С—4)/(1 —S) (первому значению энергии соответствует антипа-

р аллельное расположение спинов

электронов, второму ——параллельное расположение спинов). Таким образом, устойчивой молекула может быть лишь в том случае, когда спины обоих электронов имеют противоположную ориентацию.

Поскольку в молекуле водорода взаимодействуют валентные электроны атомов, можно сказать, что результатом взаимодействия

валентных электронов атомов в молекуле является расщепление их энергетических уровней.

При сближении двух атомов водорода оба электрона, движущиеся вокруг обоих ядер, можно рассматривать как некую единую систему связанных электронов, В такой системе энергетический уровень 2^1 расщепляется на уровни W+ и W-t соответствующие симметричной и антисимметричной координатным волновым функциям системы [см. формулы (15.4) и (15.4‘) и рис. 15.5]. Полученные результаты имеют общий характер. Они справедливы и для более сложных молекул, чем молекула водорода, а также для взаимодействующих атомов, не образующих молекул (например, для атомов в кристаллической решетке твердого тела). Однако для атомов, содержащих Z электронов и взаимодействующих между собой, заметное расщепление энергетических уровней возникает лишь для внешних, валентных, электронов. Для этих электронов существенными оказываются те же квантовомеханические эффекты, о которых выше шла речь применительно к молекуле водорода.

В квантовой механике получает свое объяснение и образование зон разрешенных значений энергии электронов (зонный энергетический спектр) в кристаллах твердых тел, которые использовались нами во втором томе курса при изучении современных представлений об электрических свойствах твердых тел (см. § 13.2).

Образование зонного энергетического спектра электронов в кристалле может быть понято, если обратиться к соотношению неопре-

деленностей (12.15') и использовать выражение (12.39) для прозрачности потенциального барьера. В изолированном атоме ввиду конечности времени т жизни электрона в возбужденном состоянии (т^10-8 с) естественная ширина ^W энергетического уровня составляет

AW ^/т 10-7 эВ

и определяет естественную ширт^ну спектральных линий (см. § 14.8), В кристалле валентные электроны атомов, слабее связанные с ядрами, чем внутренние электроны, могут переходить от одного атома к другому с помощью туннельного эффекта просачивания сквозь потенциальный барьер, разделяющий атомы в кристалле. Это приводит к тому, что энергетические уровни таких электронов расширяются и превращаются в зоны (полосы) дозволенных значений энергии электронов. Для оценки ширины 厶刃 интервала возможных значений энергии валентного электрона в кристалле предположим ради простоты, что потенциальный барьер, разделяющий атомы в кристалле, имеет вид, изображенный на рис. 12.11, а его прозрачность выражается формулой (12.39):

D a exp ( V2m(U0 — W)厶)，

где Uo—W — высота барьера, составляющая в нашем случае к〃0 эВ (энергия ионизации атома), Л — ширина барьера, В кристалле атомы сближены и сильно взаимодействуют. Это приводит к перекрыванию электронных облаков валентных электронов, и для Л следует выбрать величину, соизмеримую с периодом кристаллической решетки (L^ ^10~8 см). Оценим время т, в течение которого валентный электрон принадлежит данному атому, т. е. находится внутри прямоугольной потенциальной ямы с линейными размерами d^lO-8 см (линейный размер атома). Если скорость и движения электрона в атоме — потенциальной яме ——принять равной 108 см/с, то за 1 с электрон v/d раз подойдет к барьеру. Частота просачивания электрона сквозь барьер выразится произведением

v = ^Q^ ^ ехр (—*/2/п(U。二取)L)・

Среднее время жизни электрона у данного атома

T =eхp (京丿2他(U。一取)厶).

Подставляя в эти выражения числовые значения всех величин, получим т^10"Ч с, откуда по соотношению неопределенностей найдем Д1Г = ^/т^ 1 эВ.

Таким образом, вместо естественной ширины AIF^IO-7 эВ электронного энергетического уровня в изолированном атоме в кристалле возникает зона дозволенных значений энергии с шириной порядка электронвольт, т, е. в 107 раз шире, чем у изолированного атома.

Можно показать, что такая картина наблюдается только для валентных электронов. Внутренние электроны атомов имеют ничтожную вероятность просачивания сквозь барьер и перехода к другому атому. Для таких электронов резко растет высота барьера (UQ—W^IO3 эВ) и сравнительно небольшое увеличение его ширины (1^3-10-8 см) приводит при подстановке в предыдущую формулу к совершенно иному результату: т^Ю20 лет. Таким образом, уширение энергетических уровней глубинных электронов атомов не может идти ни в какое сравнение даже с естественным уширением уровня валентных электронов в изолированном атоме.

Молекулярные спектры

Познакомившись с физическими основами образования химических связей, обусловливающих существование молекул и их строение, перейдем теперь к изучению оптических свойств молекул, в первую очередь спектров, испускаемых молекулами.

В предыдущих главах были рассмотрены спектры атомов, состоящие из отдельных линий, образующих серии. Внутри каждой серии атомного спектра спектральные линии находятся на разных расстояниях друг от друга, к границе серии они сближаются. Молекулярные спектры уже по внешнему виду сильно отличаются от атомных. Они представляют собой совокупность более или менее широких полос, образованных тесно расположенными спектральными линиями. Внутри каждой полосы линии у одного из ее краев располагаются столь тесно, что они сливаются. Молекулярные спектры за их характерный вид называют полосатыми спектрами. Полосы в молекулярных спектрах наблюдаются в инфракрасном, видимом и ультрафиолетовом диапазонах частот электромагнитных волн. Достаточно близко расположенные полосы образуют группы полос. В спектрах двухатомных молекул наблюдается несколько групп полос. С усложнением строения молекул усложняются их спектры. Так, у многоатомных молекул сложной конфигурации в ультрафиолетовой и видимой областях спектра наблюдаются лишь сплошные широкие полосы поглощения (испускания).

Из того, что нам известно о механизме возникновения спектральных линий, можно заключить, что и в молекулах отдельная спектральная линия возникает в результате изменения энергии молекулы. Полную энергию W молекулы можно рассматривать как состоящую из нескольких частей 上 I?7rlecт ——энергии поступательного движения ее центра инерции, %口一энергии движения электронов в атомах молекулы, 1^кол ——энергии колебательного движения ядер атомов, входящих в молекулу, около их равновесных положений, 1^вр ——энергии вращательного движения молекулы как целого и, наконец, энергии ®я ядер атомов в молекуле:

Г = Гпосг + Ц7ЭЛ + Гкол + IFBP + гя. (15.5)

1 В первом приближении эти части можно считать независимыми.

Энергия /пост поступательного движения молекулы не квантована, и ее изменения не могут привести к созданию молекулярного спектра L Если не интересоваться сверхтонкой структурой спектральных линий и другими оптическими явлениями, обусловленными ядерными частицами, то можно в выражении (15.5) не учитывать и 历訳 Тогда энергия молекулы, определяющая ее оптические свойства, будет состоять из суммы трех слагаемых:

=++ 时(15.6)

По правилу Бора (13.7), частота v фотона, испускаемого молекулой при изменении ее энергетического состояния, равна

V =空=峥,(15.7)

где AWan，Д^кол н А^вр — изменения соответствующих частей энергии молекулы. Так как каждое из слагаемых (15.6) принимает ряд дискретных квантованных значений, то их изменения также имеют дискретные значения и поэтому спектр молекулы состоит из густо расположенных линий, образующих полосы. Изучение спектра молекул должно основываться на рассмотрении каждого из слагаемых (15.7). Как показывают опыт и теоретические исследования, эти слагаемые имеют различную величину:

АГвр^АГкол<ДГэл, чем и объясняется наличие частот молекулярных спектров в разных диапазонах электромагнитных волн.

Для того чтобы выделить частоты, соответствующие изменениям различных видов энергии в молекуле, удобнее рассмотреть ее спектр поглощения. Как известно, спектры испускания и поглощения обратимы и связаны законом Кирхгофа. Предположим, что на вещество, состоящее из не взаимодействующих между собой молекул , падает длинноволновое излучение с малыми по величине квантами энергии, и рассмотрим, что будет, если постепенно увеличивать частоту v (энергию фотонов). До тех пор, пока квант энергии hv не станет равным наименьшей возможной разности энергий между двумя ближайшими энергетическими уровнями молекулы, поглощения света происходить не будет и линий спектра поглощения не возникнет. Поглощение наступит при длинах волн порядка 0,1——1 мм, т. е. в далекой инфракрасной области спектра, и соответствует изменению вращательной энергии молекулы. Кванты энергии таких волн могут перевести молекулу с одного вращательного энергетического уровня на другой, более высокий, и, следовательно, привести к возникновению спектральной линии вращательного спектра поглощения. По мере уменьшения длины волны в этой области смогут возникнуть все новые линии вращательного спектра поглощения, которые в своей совокуп-

ности дадут нам представление о распределении вращательных энергетических состояний молекулы.

Поглощение света в инфракрасной области с длиной волны от

единиц до нескольких десятков микрон вызывает переходы между колебательными энергетическими уровнями в молекуле и приводит к возникновению колебательного спектра молекулы. Однако при изменении колебательных энергетических уровней молекулы

одновременно изменяются и ее вращательные ния. Поэтому переходы между двумя колебательными уровнями сопровождаются изменением вращательных энергетических состояний, т. е. при изменении энергии колебаний молекулы совершают кoлeбaтeльнo-вpaщa- т е л ь н ы е переходы, так что возникает

Коле5атепьны& Вращатешь/едробна уроони

энергетические состоя-энергетические состоя-Рис. 15.7Рис. 15.7Рис. 15.6

энергетические состоя-

энергетические состоя-

Рис. 15.7

Рис. 15.7

колебательно-вращательный спектр. Это схематически показано на рис. 15.6. Спектр с частотами v^.BpaUb соответствующими переходу с одного колебательного уровня на другой, состоит из группы очень близких линий, определяемых различными сопутствующими вращательными переходами. Если этн линии рассматривать в приборе, не обладающем высокой разрешающей способностью, то линии сольются в одну полосу, соответствующую данному колебательному переходу.

В видимой и ультрафиолетовой областях спектра энергии фотонов достаточно для осуществления переходов молекулы между различными электронными энергетическими уровнями. Каждому такому уровню соответствует определенное пространственное распределение электронов, принадлежащих атомам, составляющим молекулы, или, как говорят, определенная конфигурация электронов, обладающая некоторой дискретной энергией. Каждой электронной конфигурации, каждому электронному энергетическому уровню молекулы будут соответствовать различные возможные колебания ядер в молекуле, т. е. целый набор колебательных энергетических уровней. Переходы между такими электронно-колебательными уровнями приводят к возникновению электронноколебательного спектра молекулы (рис. 15.7), характеризуемого частотой Vэл-кoл отдельной линии. На каждое колебательное энергетическое состояние накладывается, кроме того, система вращательных уровней, показанная на рис. 15.6. Таким образом, каждому электронно-колебательному переходу будет соответствовать определенная

полоса, поэтому весь электронно-колебательный спектр в видимой и близкой к ней области представляет собой систему из нескольких групп полос, расположенных в этих участках спектра.

Закономерности в молекулярных спектрах простейших двухатомных молекул

Качественные соображения, изложенные в § 15.5, находят свое развитие и подтверждение в закономерностях, установленных с помощью квантовой механики, которыми описываются молекулярные спектры. Не вдаваясь в подробности вычислений, мы рассмотрим эти закономерности на примере молекулярных спектров простейших двухатомных молекул. Начнем с закономерностей вращательных спектров. Экспериментальные исследования поглощения электромагнитных волн радиодиапазона позволяют с помощью методов радиоспектроскопии (см. § 14.10) весьма точно исследовать вращательные спектры двухатомных молекул. Поскольку совершенно свободное вращение молекул возможно лишь в газах, изучение спектров газов позволяет получить надежные сведения о закономерностях расположения вращательных энергетических уровней и переходах между ними. Если считать двухатомную молекулу идеально жесткой, то кинетическая энергия вращательного движения такой молекулы имеет вид

呼叩=L2/(2人)，

где J。一 момент инерции молекулы, вычисленный по отношению к оси, перпендикулярной линии, соединяющей атомы и проходящей через центр инерции молекулы. Если mi и т2 ——массы атомов в молекуле, а гх и г2 — их расстояния до центра инерции, то

где m~mrmj(т^тз) — приведенная масса молекулы, a r—rr+r2 — расстояние между ядрами в молекуле.

Таким образом, вращение двухатомной молекулы может быть рассмотрено как вращение одной частицы с моментом инерции 几, обладающей массой, равной приведенной массе молекулы. Момент импульса 厶 такой частицы квантован и выражается формулой

厶(J + 1)方,

где J=0, 1, 2, 3,...——вращательное квантовое число, определяющее вращательный энергетический уровень. Энергия (tt^Jj данного уровня вычисляется по формуле

、_九2/(J十1)"RG

(取bp)j ——•(15.8)

Из выражения (15,8) следует, что энергии последовательных вращательных уровней начиная с уровня J = 1 возрастают пропорционально произведению J (J+1). Формулу (15.8) удобно переписать в

другом виде:

(吃 p)l3J(J + 1),(15.9)

где 3=用2/8冗2/ (выражается в Дж) называется вращательной постоянной молекулы.

В квантовой механике доказывается, что возможны лишь такие переходы между вращательными энергетическими уровнями, которые подчиняются следующему правилу отбора по вращательному квантовому числу:

AJ=±L

т. е. переходы возможны только между соседними вращательными энергетическими уровнями. Переходу при условии AJ = +1 соответствует поглощение света, а переход, соответствующий изменению AJ=—1, сопровождается излучением света.

Разность энергий двух соседних вращательных уровней согласно (15.9) равна

(%前"一(%詬=3(/ + 1)(/ + 2) - 3/(/ + 1) = 25(/ + 1).

(15.10)

Как видно, эта разность пропорциональна вращательному квантовому числу J и обратно пропорциональна моменту инерции Jo молекулы. Формула (15.10) дает ряд равноотстоящих друг от друга спектральных линий «чистого» вращательного спектра, расположенных в далекой инфракрасной области с длиной волны порядка сотен микрон.

Волновое число излучения для молекулы Н2 при переходе между первыми вращательными энергетическими уровнями, соответствующими значениям J — 1 и J = 0, определяется разностью ^^-(W^. и равно 120 ему、

Это соответствует длине волны излучения, равной 例 см = 83 мкм, и разности энергий соседних вращательных уровней в 0,015 эВ.

Практически более важным является решение обратной задачи. По расстоянию между соседними линиями вращательного спектра можно найти вращательную постоянную 3 молекулы, а по ней вычислить момент инерции молекулы 丿山 Тогда по известным значениям масс ядер можно вычислить равновесное расстояние Ro между ядрами в двухатомной молекуле — важнейшую структурную характеристику молекулы.

Ядра обоих атомов в двухатомной молекуле совершают колебательные движения относительно положений их равновесия, которые определяются взаимодействием между ядрами и электронами. Из рис. 15*2 видно, что потенциальная энергия Wp (г) двухатомной молекулы, рассматриваемая как функция междуядерного расстояния, вблизи равновесного расстояния г=г0 имеет вид параболы. Это означает, что вблизи г^ потенциальную энергию Wp (г) молекулы можно выразить формулой

так что при г=го, Wp (г)=Wp (r0) = Wp, мин^D (см. рис. 15.2). Здесь 尼 ——силовая постоянная, характеризующая квазиупругие силы, возникающие в молекуле при отклонениях ядер от положений их равновесия. Сила F, действующая на ядро при малых отклонениях ядер из положений равновесия, может быть при этом записана следующим образом 1：

F ~—k (г—г。).

Колебания под действием такой силы рассматривались в §&1 т. I, где показано, что циклическая частота этих колебаний

"0=/^ И™ /I-"11)

Масса m в случае колебаний двухатомной молекулы равна ее приведенной массе: т=т1т2/(z«i+m2) (mi и т2 — массы атомов в молекуле). Малые колебания ядер в молекуле являются гармоническими и могут рассматриваться как гармонические колебания линейного осциллятора с массой, равной т. В § 12.9 показано, что энергия гармонического осциллятора принимает квантованные значения, равные [см. формулу (12,44)]

(%。Я)。 = (。+ ^"% = (。+ ^) j/J ,(15.12)

где и — колебательное квантовое число, принимающее целочисленные значения и=0, 1, 2, 3, 4; v0 —— собственная частота колебаний осцил-

лятора, определяемая формулой

(15.11).

Формула (15.12) дает систему энергетических уровней, изображенных на рис. 15.8. Для переходов между энергетическими уровнями осциллятора справедливо правило отбора:

Аи=±1,

т. е, возможны лишь переходы между соседними уровнями, причем переход при Аи= + 1 происходит с поглощением, а переход при Аи=—1 — с излучением света.

Разность энергий двух последо

вательных уровней (15.12) равна

（啖。м-%。/*

и, следовательно, частота, соответствующая излучению при переходах между этими уровнями, совпадает с классической собственной частотой колебаний осциллятора. Важным результатом является наличие у молекулы в основном колебательном состоянии с колебательным

1 Не следует смешивать эту квазиупругую силу 尸 с силами взаимодействия между атомами в молекуле, изображенными на рис. 15.1.

квантовым числом и=0 определенной нулевой энергии:(取koJq=/2v“2. Это значит, что при любых сколь угодно низких температурах, в том числе и при 7f 0, ядра в молекулах колеблются с некоторой нулевой амплитудой.

Волновые числа колебаний ядер в молекулах составляют от нескольких сотен до нескольких тысяч см-1. Например, для молекулы водорода Н2 в основном электронном состоянии волновое число v* — ~\rkQ—vJc составляет 4400 см~】 (длина волны Хо^:2,27 мкм). Нулевая энергия молекулы водорода при этом равна приблизительно 0,25 эВ. Если воспользоваться связью между энергией и амплитудой колебаний: (W^^lji (AKQ^^I^^{А^^, то легко подсчитать, что для молекулы водорода нулевая амплитуда колебаний (Акол)о равна 0,12а и составляет приблизительно 0,16 равновесного расстояния между ядрами в молекуле водорода, равного 0,74А.

Практически очень важным случаем молекулярных спектров является излучение (и поглощение) света молекулами, имеющими постоянный дипольный электрический момент ре, т. е. молекулами с несимметричным расположением электронов относительно ядер. При отсутствии в них электронных переходов такие молекулы дают колебательно-вращательные спектры испускания и поглощения, лежащие в инфракрасной области. Способность таких молекул поглощать инфракрасное излучение (так называемая оптическая активность асимметричных молекул) имеет большое значение для изучения строения и свойств таких молекул. С другой стороны, молекулы, не обладающие дипольным электрическим моментом ре, не поглощают инфракрасного излучения, поэтому газы азот N2 и кислород О2, входящие в состав атмосферы, являются прозрачными для проходящего инфракрасного излучения. Наоборот, пары воды, входящие в состав атмосферы, поглощают инфракрасное излучение, ибо молекула Н2О имеет значительный дипольный момент ре. Однако при некоторых длинах волн коэффициент поглощения инфракрасного излучения парами воды оказывается небольшим и для этих участков спектра атмосфера является прозрачной. Это имеет большое значение для ра、 диоастрономии и в военном деле для обнаружения объектов по их тепловому, инфракрасному излучению.

§ 15>7- Комбинационное рассеяние света

При рассеянии света, происходящего либо на посторонних включениях в веществе, через которое проходит свет (рассеяние в мутной среде), либо на флуктуациях плотности, связанных с тепловым движением молекул среды, частота v света, испытывающего рассеяние, не изменяется.

В случае рассеяния света атомами вещества переменное электрическое поле Е электромагнитной волны наводит в атомах электрический дипольный момент ре=еоаЕ, где а —— поляризуемость атома [см. т. II, § 6.1, формула (6.2)]. Поскольку напряженность Е электрического поля волны меняется с частотой v0 падающего света: E=^E0cos2jtv0Z, индуцированный дипольный момент ре также изменяется с этой же

частотой. Поэтому излучение атомов под действием падающего света имеет частоту v0 и рассеяние когерентно.

Существуют, однако, причины, которые могут вызвать изменение частоты монохроматического света, рассеиваемого веществом. Представим себе, что рассеивающей свет частицей является колеблющаяся молекула. Ее поляризуемость а состоит из двух частей: а0 — постоянной поляризуемости, не зависящей от колебаний молекулы, и av cos 2nvZ——поляризуемости, периодически меняющейся с часто^й, равной частоте v колебаний молекулы1:

а = а0 + av cos 2nvt,(15.13)

Тогда дипольный момент такой частицы р^—КпаЕ будет равен

ре = 80 |а0Е0 cos 2лv0^ + avE0 cos 2лv/cos2лv0/}.(15,14)

Второй член (15.14) представляет собой периодически меняющийся с частотой v0 дипольный момент, амплитуда которого изменяется с частотой V. Мы имеем здесь случай амплитудной модуляции дипольного момента. Под действием падающего света частоты v0 происходят колебания дипольного момента, модулированные собственными колебаниями молекулы, происходящими с частотой v, причем 皿冬皿。,ибо собственные частоты колебаний молекулы соответствуют инфракрасной области спектра.

Произведение cos2jiv/cos2^v0/ можно представить следующим образом:

cos 2nv/ cos 2лv0/ ^ V2 cos 2л (% —驚)％ + % cos2л (v0 + v) t.

Поэтому индуцированный дипольный момент молекулы

Pc = еоаоЕо cos 2л v0/ + х/2£о^Ео cos 2冗(v0——v) / +

+ %%%，Eq cos 2л (v0 + v)九(15.14,)

Наряду с членом р%%%, изменяющимся с частотой v0 и обусловливающим когерентное рассеяние с неизменной частотой vOf дипольный момент содержит члены p^Vo-v и pfVo + v,, обусловливающие некогерентное рассеяние с частотами v0—v и v()+* — так называемое комбинационное рассеяние света. Если имеется ряд собственных частот vx, v2, va колебаний молекул, то в спектре рассеянного света должны появиться все «комбинационные» частоты: v0±vif v0±v3, v0±v3 и т. д.

Комбинационное рассеяние света обнаружили (1928) Л. И. Мандельштам и Г. С. Ландсберг (при исследовании спектрального состава излучения, рассеянного кристаллами кварца). Одновременно такое же явление было обнаружено Ч. В. Раманом и К. С. Кришнаном при рассеянии света жидкостями. Публикация об открытии Раманом была сделана в журнале «Nature» несколько раньше, и поэтому спектры комбинационного рассеяния иногда называются раман-спектрами,

Линии в спектре комбинационного рассеяния с частотами v0——vif v0—v2 и т. д., меньшими частоты падающего света, называются красными (или стоксовыми) спутниками (сателлитами); линии с частотами

Строгое обоснование этого вывода выходит за рамки нашего курса*

Vo+vn v0+v2 и т. д., большими Vo,— фиолетовыми (или антистоксовыми) спутниками (сателлитами), причем все частоты vn v2, v3 и т. д. характерны для данного кристалла (или жидкости) и не зависят от частоты v0 падающего света. Экспериментальное изучение комбинационного рассеяния показало, что интенсивность фиолетовых спутников меньше интенсивности красных и с повышением температуры возрастает, в то время как у красных она практически не зависит от температуры.

Полное объяснение явления комбинационного рассеяния света, в частности соотношения интенсивностей красных и фиолетовых спутников, было дано на основе квантовых представлений. Пусть фотон /ivo падает на вещество, молекулы которого могут находиться в различных колебательных энергетических состояниях (^К0Л)С1, (^Кол)^2 и т.工.Помимо упругого, когерентного рассеяния фотона (состоящего в поглощении и последующем испускании фотона молекулой, при котором частота v0 фотона не изменяется) возможно такое взаимодействие фотона с молекулой, в результате которою молекула перейдет из нормального колебательного состояния с энергией (1ГКОЛ)^1 в более высокое энергетическое состояние с энергией (1ГКОЛ)&2, так что (呼女皿)〃〉 > (ir^)^. Необходимая для этого перевода энергия А1Г =(呼к。”，」；— ~(^кол)^ заимствуется у фотона, энергия которого уменьшится на А1^ и станет равной

hv~hv0—A IF.

Таким образом, в рассеянном свете появится частота, равнаяv^v0~\W/h

и соответствующая красному спутнику. Перевод молекулы в различные возбужденные колебательные состояния приведет к появлению всей совокупности красных спутников. Появление фиолетовых спутников с квантовой точки зрения объясняется возможностью того, что молекула, находящаяся в одном из возбужденных колебательных состояний с энергией (/к*】)办 под действием фотона с энергией hv^ перейдет в нормальное состояние с меньшей энергией (1ГК0Л)и1. Тогда первоначальная энергия hv0 фотона увеличится на kw~ =(取ко)力一(呼колЗ и станет равной hv=hv0+&W . Это будет соответствовать появлению в рассеянном свете фиолетового спутника с частотой

В обоих случаях сдвиг частоты v0 падающего света равен 打=厶取/瓦 т. е. частоте перехода между колебательными уровнями молекулы. Поскольку число молекул, находящихся в возбужденных энергетиче-

ских состояниях, обычно меньше, чем число молекул в нормальном колебательном состоянии, очевидно, что вероятность рассеяния кванта 版о с увеличением частоты на Vi меньше, чем вероятность обратного перехода из нормального состояния в возбужденное0 Поэтому интенсивность фиолетовых спутников должна быть меньше, чем красных. С повышением температуры заселенность молекулами возбужденных энергетических состояний возрастает. Поэтому возрастает и вероятность рассеяния фотона с переводом молекулы из возбужденного состояния в нормальное. Другими словами, с повышением температуры возрастает интенсивность фиолетовых спутников. Число же молекул, находящихся в нормальном колебательном энергетическом состоянии, мало меняется с повышением температуры. Поэтому интенсивность красных спутников практически мало меняется при нагревании.

Из сказанного выше следует, что сдвиг частот в спутниках при комбинационном рассеянии совпадает с частотами колебаний в молекулах, лежащими в инфракрасной области спектра. Однако это совпадение наблюдается не всегда. В ряде случаев сдвиг частот, наблюдаемых при комбинационном рассеянии, н е совпадает с частотами в инфракрасном спектре молекулы. Возможен и такой случай, когда частоты поглощения, наблюдаемые в инфракрасном спектре молекулы, не проявляются в спектрах комбинационного рассеяния. Дело здесь в том, что для излучения (и поглощения) молекулой электромагнитных волн необходимо, чтобы молекула, ведущая себя в этом случае как диполь, изменяла бы дипольный момент ре. Для комбинационного рассеяния света, связанного с модулированием падающей волны, это условие не обязательно. Необходимо лишь, чтобы в молекуле изменялось взаимное расположение ее частей и изменялась бы ее поляризуемость, В некоторых случаях различие условий, необходимых для появления инфракрасных частот и частот комбинационного рассеяния, приводит к тому, что наблюдаются одни из них и не наблюдаются другие.

Комбинационное рассеяние света позволяет отыскивать собственные частоты колебаний сложных многоатомных молекул и тем самым делать заключения о составе и строении таких молекул. С помощью спектров комбинационного рассеяния проводят, например, количественный спектральный анализ состава сложных органических смесей.

Явление люминесценции

Помимо теплового излучения, наблюдаемого у тел при температуре Т, существует еще один вид излучения тел, избыточного над тепловым. Оно называется люминесценцией.

Люминесценция может быть вызвана бомбардировкой тел электронами и другими заряженными частицами, пропусканием через вещество электрического тока или действием электрического поля, освещением видимым светом, рентгеновским и гамма-излучением, а также некоторыми химическими реакциями в веществе. В зависимости от

способов возбуждения люминесцентного свечения различают катодолюминесценцию, электролюминесценцию, фотолюминесценцию, хемилюминесценцию и т. д.

В отличие от теплового излучения, которое, как установлено в § 10.1, является равновесным, люминесценгное излечение не имеет равновесного характера. Оно вызывается сравнительно небольшим числом атомов, молекул или ионов (образующих центры люминесценции), переходящих под действием какого-либо источника энергии в возбужденное состояние. Центрами люминесценции в твердом теле могут служить ионы, атомы или группы ионов, находящиеся около того места кристаллической решетки, где правильность ее структуры нарушена включением активатора ——атома постороннего вещества — или вакансией. Последующее возвращение возбужденного центра люминесценции в нормальное или менее возбужденное состояние сопровождается испусканием люминесцентного излучения. Длительность свечения обусловлена длительностью возбужденного состояния, которое помимо свойств самих излучающих атомов, молекул или ионов зависит от окружающей их среды. Если возбужденное состояние метастабильно, то время пребывания в нем частицы может достигать 10-4 с (вместо обычного времени пребывания в возбужденном состоянии IO-® с). Соответственно увеличивается и длительность люминесценции. Люминесценцию с временем затухания ^10~8^10-9 с называют обычно флуоресценцией. Такое время затухания характерно, например, для фотолюминесценции многих веществ, главным образом жидкостей и газов. Люминесценция, которая сохраняется длительное время после прекращения действия возбудителя свечения, называется фосфоресценцией. Такое длительное высвечивание наблюдается у твердых тел, способных люминесцировать. Строго говоря, подразделение люминесценции на флуоресценцию и фосфоресценцию условно, так как установить точную временную границу между ними иногда бывает затруднительно.

При возбуждении люминесценции электронным (катодным) пучком кинетическая энергия бомбардирующих электронов передается электронам атомов (или молекул, ионов) и переводит их в возбужденное состояние. Передача энергии возможна лишь при условии

где 外一кинетическая энергия бомбардирующего электрона, W3 и Wn ——полная энергия атома (или иной люминесцирующей частицы) соответственно в возбужденном и нормальном состояниях

При достаточной энергии WK возбуждения возвращение атома (молекулы или иона) в нормальное состояние может происходить в несколько этапов через все менее возбужденные состояния. Этому соответствует испускание нескольких фотонов люминесцентного из-

1 Обычно преобладает механизм непрямой передачи энергии центрам люминесценции (через посредство других атомов, которым электроны непосредственно передают свою энергию). На долю прямого возбуждения приходится не более 1% всего свечения.

лучения различных частот, причем суммарная их энергий равна энергии WK начального возбуждения.

Электролюминесценция в газах вызывается электрическим разрядом. Энергия возбуждения в этом случае сообщается молекулам газа с помощью электронного удара или удара ионов.

Хемилюминесценция вызывается экзотермическими химическими процессами в веществе, т. е. процессами, протекающими с выделением энергии. Люминесцентное излучение уносит избыток энергии, что приводит к образованию химических соединений с более устойчивой в данном окружении и при данных условиях электронной конфигурацией. Хемилюминесценция часто сопровождает, например, процессы окисления с образованием более устойчивых продуктов сгорания. Яркость хемилюминесценции может на несколько порядков превышать яркость теплового излучения люминесцирующего вещества при температуре опыта. Частным случаем хемилюминесценции является биолюминесценция (например, свечение гнилых деревьев и светлячков).

Фотолюминесценция возбуждается электромагнитным излучением видимого или ультрафиолетового диапазона. Фотолюминесценцию изучал еще Д. Стокс, который установил, что фотолюминесцирующее вещество излучает, как правило, свет, имеющий большую длину волны, чем то излучение, которое вызывает люминесценцию. Это правило Стокса получает свое естественное обоснование в квантовой оптике.

В самом деле, фотон возбуждающего фотолюминесценцию света имеет энергию hv, которая, по закону сохранения энергии, частично расходуется на создание фотона с энергией йулюм люминесцентного излучения, а в остальном будет израсходована на различные неоптические процессы 1：

九y加…+取，

где W — энергия, пошедшая на различные процессы, кроме фотолюминесценции. Обычно 呼>0 0wV%1raм，т. е. ХЛЮМ>Х, что соответствует правилу Стокса.

В некоторых случаях фотолюминесцентное излучение имеет длину волны, меньшую, чем длина волны возбуждающего света (так называемое антистоксово излучение). Это явление объясняется тем, что к энергии hv фотона возбуждающего излучения добавляется энергия теплового движения атомов (молекул или ионов) люминесцирующего вещества :

hvmm = hv + akT, где а —— коэффициент, зависящий от природы люминесцирующего вещества, k —— постоянная Больцмана, Т —— абсолютная температура. Аитистоксово излучение проявляется все отчетливее по мере повышения температуры.

Отношение энергии, излучаемой при фотолюминесценции, к поглощаемой энергии возбуждающего ее света называется энергетическим выходом фотолюминесценции. Акад. С. И. Вавиловым установлен закон, согласно которому энергетический выход фотолюминесценции возрастает прямо пропорционально длине волны 九 поглощаемого излучения, а затем, достигая максимального значения в некотором интервале длин волн (入——入^акс)，быстро спадает до нуля при дальнейшем увеличении длины волны. Закон Вавилова легко объясняется на основе представленр1й о квантовом выходе фотолюминесценции. Под этим термином понимается отношение числа фотонов люминесцентного излучения к числу фотонов возбуждающего излучения при фиксированной энергии последнего. Очевидно, что с увеличением длины волны возбуждающего излучения (уменьшения его частоты) увеличивается число фотонов с энергией hv, содержащихся в данной энергии первичного излучения. Поскольку каждый фотон может вызвать появление фотона /1УЛЮМ, то с увеличением длины волны происходит возрастание энергетического выхода люминесценции. Резкое спадание энергетического выхода при некоторой длине волны объясняется тем, что фотоны hv света с такой длиной волны не в состоянии возбудить электроны атомов (молекул или ионов) люмине- сцирующего вещества.

Величина энергетического выхода люминесценции в сильной степени зависит от возможности в веществе безызлучательных переходов молекул из возбужденного состояния в нормальное. Если вероятность таких переходов велика, происходит тушение люминесценции. Обычно причиной тушения люминесценции являются либо безызлучательные переходы в самих люминесцирующих молекулах, либо процесс передачи энергии молекулы присутствующим молекулам примеси. Основную роль в последнем случае играют так называемые удары в т о- р о г о рода ——столкновения, в результате которых энергия возбуждения переходит без излучения в энергию теплового движения молекул. При чрезмерно большой концентрации люминесцирующего веихества также наблюдается резкое уменьшение интенсивности флуоресценции. Оно называется концентрационным тушением или самоту- шением и объясняется тем, что в результате усиления связи между молекулами происходит их ассоциация в нелюминесцирующие димеры (сдвоенные молекулы).

Фотолюминесценция ряда жидкостей (растворы некоторых красок, растворы хинина и др.) легко наблюдается визуально при пропускании через растворы таких жидкостей видимого света. При этом правило Стокса проявляется непосредственно: видно, что свечение флуоресценции более длинноволновое, чем падающий свет.

Явление флуоресценции связано с переходами атомов, молекул или ионов из обычных возбужденных состояний, длительность существования которых 10*8 с, в нормальное. Фосфоресценция, дающая длительное свечение, обусловлена достаточно продолжительным нахождением атомов в возбужденных состояниях. Возможной причиной этого может быть наличие метастабильных возбужденных состояний, переход из которых в нормальное состояние по тем или иным причинам

затруднен. В кристаллических фосфоресцирующих веществах, например полупроводниках p-типа, это связано с оседанием возбужденных электронов на акцепторных примесных уровнях (см. т. II, § 13.5).

На явлении люминесценции основан люминесцентный анализ, принцип которого заключается в следующем. Вещество» состав которого необходимо* исследовать, освещается ультрафиолетовыми лучами. Вещество либо само по себе, либо после обработки соответствующими реактивами дает характерное люминесцентное свечение, по характеру которого можно, определяя интенсивности линий в спектре, определить не только качественное, но и количественное содержание исследуемого вещества. Люминесцентный анализ в отличие от обычного спектрального анализа не сопровождается разложением на элементы исследуемого вещества и применяется при весьма малых количествах изучаемого вещества. С другой стороны, чрезвычайно высокая чувствительность люминесцентного анализа позволяет обнаружить наличие ничтожных примесей порядка 10'11 г в 1 г исследуемого вещества. Люминесцентный анализ успешно применяется в различных отраслях промышленности, в биологии, медицине, агротехнике и т. п.

Явление люминесценции позволяет создать источники света, которые обладают значительными преимуществами перед лампами накаливания, излучающими в диапазоне видимого участка спектра лишь около 3——5% расходуемой энергии и имеющими малую светоотдачу. Люминесцентные источники света не требуют нагрева, дают излучение в сравнительно узкой спектральной области и являются весьма экономичными, например натриевые лампы, в которых пары натрия светятся под действием электрического разряда. Натриевые лампы дают излучение, почти полностью сосредоточенное в области около желтой линии натрия с длиной волны 589 нм, что близко к длине волны, соответствующей максимуму чувствительности глаза. Однако натриевая лампа придает всем освещаемым объектам неприятную желтую окраску.

Люминесцентными источниками света являются также ртутные лампы, весьма разнообразные по устройству. В области видимого света излучение этих ламп сосредоточено в основном в желтом, зеленом, синем и фиолетовом участках спектра.

Помимо этого, спектр паров ртути значительно простирается в область ультрафиолета. Интенсивное излучение в ультрафиолетовой области ртутных ламп среднего и низкого давления обеспечивает им широкое применение как бактерицидных источников излучения.

Для получения ламп с излучением, близким по составу к дневному свету, применяются ртутные лампы низкого давления в форме трубок, внутренняя поверхность которых покрывается смесью люми- несцирующих веществ. Поглощая ультрафиолетовое излучение ртутных паров, эти вещества дают люминесцентное излучение в видимой области, близкое по составу к дневному свету. Такне лампы дневного света широко распространены для освещения в промышленности и быту.

Отрицательное поглощение и оптические квантовые генераторы

В заключение этой главы рассмотрим вопрос о принципиально новых источниках излучения, обладающих необычными свойствами.

В 1954 г. в СССР появились работы Н. Г. Басова и А. М. Прохорова» в которых был описан квантовый генератор ультракоротких радиоволн в сантиметровом диапазоне, называемый мазером. Термин шазер» (maser) составлен из первых букв английского названия этого устройства: microwave amplification by stimulated emission of radiation ——усиление микроволн с помощью стимулированного излучения. Генераторы и усилители света в видимой и ближней инфракрасной областях, появившиеся в 1960 г., называются оптическими квантовыми генераторами (ОКГ). Иначе эти устройства называют генераторами когерентного света (ГКС). В настоящее время их сокращенно называют лазерами. Термин «лазер» имеет такое же происхождение, как и термин «мазера. Оба типа устройств работают на основе эффекта вынужденного (индуцированного или стимулированного) излучения. В § 14.8 указывалось, что этот эффект является результатом взаимодействия электромагнитной волны с атомами вещества, через которое проходит волна. Так как поведение атомов описывается квантовыми законами, в названиях обоих устройств имеется слово «квантовый»: «квантовый генератор», «квантовый усилитель».

В § 14.8 выяснено, что явление индуцированного (стимулированного) излучения может приводить к отрицательному поглощению света. Так как эти явления лежат в основе ОКГ, вернемся к этим вопросам и рассмотрим их несколько более подробно.

Активной (усиливающей) называется такая среда, в которой интенсивность проходящего светового луча возрастает. Возможность существования такой среды вытекает из явления вынужденного излучения, рассмотренного Эйнштейном. Для дальнейшего необходимо более подробно остановиться на свойствах вынужденного излучения.

Эйнштейн показал, что вынужденное излучение должно быть по своим характеристикам совершенно т о ж д е ственно с тем излучением, которое, проходя через вещество, вызывает появление инд) цированного излучения. Новый фотон, появившийся в результате того, что атом (или молекула) вещества переходит с высшего энергетического состояния на низшее под действием света, имеет ту же энергию и летит строго в том же направлении, что и фотон, стимулировавший появление первого. На волновом языке эффект вынужденного излучения сводится к увеличению амплитуды проходящей волны без изменения ее частоты, направления распространения, фазы и поляризации. Другими словами, вынужденное излучение строго когерентно с вынуждающим излучением.

Новый фотон, появившийся б результате индуцированного излучения, усиливает свет, проходящий через среду. Однако следует иметь в виду, что кроме индуцированного излучения происходит

Да &7〃財腕近77夕〃扌Дуда бзаи^одеисшЬ^,次二^2 —О- 隔u I Да &7〃財腕近77夕〃扌Дуда бзаи^одеисшЬ^,次二^2 —О- 隔u I процесс поглощения света. В результате поглощения фотона атомом, находящимся на энергетическом уровне 吃，фотон исчезнет и атом перейдет на энергетический уровень 取之(рис, 15.9, а). Этот процесс уменьшает мощность света, проходящего через среду. Таким образом происходят два конкурирующих друг с другом процесса. В результате актов вынужденного излучения фотон с энергией hv «сваливает» атом с уровня W2 на уровень Wt и вместо одного фотона дальше летят два фотона (рис. 15,9, б). Акты же поглощения уменьшают число фотонов, проходящих сквозь среду. Действие усиливающей среды определяется тем, какой из двух процессов преобладает. Если преобладают акты поглощения фотонов, то среда будет не усиливающей, а ослабляющей свет, который через нее проходит. Если главную роль играют акты вынужденного излучения, то среда усиливает свет.

Да &7〃財腕近77夕〃扌Дуда бзаи^одеисшЬ^

,次二^2 —О- 隔u I

Да &7〃財腕近77夕〃扌Дуда бзаи^одеисшЬ^

,次二^2 —О- 隔u I

Поглощение света в веществе подчиняется закону Бугера — Ламберта (см. § 7.3):

/ = /()е~а*,(15.15)

б) Сшимд/щ卩口банное излечивРис. 15.9б) Сшимд/щ卩口банное излечивРис. 15.9где 仪一положительный показатель поглощения, % — толщина поглощающего слоя, /0 ——интенсивность света, входящего в среду, /— интенсивность света, прошедшего слой толщиной %.

б) Сшимд/щ卩口банное излечив

Рис. 15.9

б) Сшимд/щ卩口банное излечив

Рис. 15.9

В. А. Фабрикантом впервые были рассмотрены особенности среды с отрицательным поглощением света. Им было показано, что для такой среды закон (15.15) имеет другой вид:

П/出3П/出3(15.15')

П/出3

П/出3

Здесь |仪| ―■ положительная величина, что соответствует ие ослаблению, а усилению света по мере прохождения его через вещество. Иначе говоря, в усиливающей среде показатель поглощения среды становится отрицательным. Этим объясняется то, что подобную среду иногда называют средой с отрицательным показателем поглощения. Формула (15.15') указывает на крутое возрастание интенсивности света с увеличением толщины слоя усиливающей среды (рис. 15.10). Это означает, что в такой среде лавинообразно нарастает число фотонов за счет преобладания актов вынужденного излучения. Два фотона, образовавшихся в одном акте индуцированного излучения (см. рис. 15.9, б), при встрече с двумя атомами, находящимися на возбужденном уровне, «свалят» их вниз и после этого будут лететь уже четыре одинаковых фотона и т. д. (рис. 15.11). С волновой точки зрения, амплитуда электромагнитной волны и ее квадрат, пропорциональный интенсивности света, будет нарастать за счет энергии, получаемой от возбужденных атомов.

Оценим коэффициент поглоихения а некоторой среды, не предполагая специально, что она является усиливающей. Коэффициент

поглощения а в условиях, когда спонтанное излучение несущественно, должен определяться, вообще говоря, двумя противоположными процессами — поглощением и индуцированным излучением.

Рассмотрим два энергетических уровня Wi и W2 атомов (или молекул) среды, между которыми, согласно Эйнштейну (см. § 14.8), возможны три типа оптических процессов: спонтанное излучение, поглощение и вынужденное (стимулированное) V^s jизлучение (рис. 15.12), Предположим для просто

/ ты, что процессами спонтанного излучения,

о

5'

при которых возбужденные атомы самопроизвольно переходят в нормальное состояние, можно пренебречь. Ниже мы выясним, при каких условиях это возможно. Число фотонов, поглощенных атомами, находящимися на нижнем энергетическом уровне 呼加 пропорционально концентрации атомов М, которые имеют энергию 叫 Число атомов вынужденного (стимулированного) излучения пропорционально концентрации атомов 必 на верхнем энергетическом уровне W2. Можно доказать, что коэффициент пропорциональности в обоих процессах

одинаков. Коэффициент поглощения а Фабриканта (15.15') в свою очередь

в законе Бугера — Ламберта —

пропорционален разности числом актов поглощения нужденного излучения:

3k〈N\—NJ,

междуи вы-

(15.16)

где fo>0 — коэффициент пропорциональности.

6. Обычно в состоянии термо-

当工导Qlfz-

物

динамического равновесия системы

число атомов 丛 на возбужденном уровне 取之 меньше числа атомов М на более низком уровне 吃，т. е. NJMV1. Поэтому в состоянии равновесия а>0. Это значит, что число актов обычного (положительного) поглощения превышает число переходов, сопровождающихся

отрицательным поглощением, т, е. индуцированным излучением. Однако из (15.16) следует, что могут существовать такие среды, в которых коэффициент поглощения а будет отрицательным (а<0). Для получения среды с отрицательным поглощением необходимо создать неравновесное состояние системы, при котором число атомов М на возбужденном уровне было бы больше, чем число атомов Д\ в нормальном состоянии, т, е. ^2/^1>1. Такие состояния

принято называть инверсными (обращенными) состояниями. Слово «инверсия» означает переворачивание (от латинского слова «inversio»). Смысл термина состоит в том, что в таком неравновесном состоянии имеется «обращенное» распределение атомов по энергетическим состояниям ——на верхнем уровне концентрация атомов больше, чем на нижнем.

Процесс перевода среды в инверсное состояние называется накачкой усиливающей среды. Наиболее естественной представляется оптическая накачка среды, при которой атомы переводятся с нижнего уровня 取1 на верхний возбужденный уровень 取纟 облучением светом такой частоты v, что %*=取2——取а Если усиливающая среда является газообразной, то перевод атомов на верхний энергетический уровень возможен при неупругих столкновениях атомов с электронами в газовом разряде (электрическая накачка). Однако такие методы перевода атомов с нижнего уровня на верхний не приводят к инверсной заселенности атомов по уровням. За счет спонтанного излучения атомов, находящихся на возбужденных уровнях весьма малое время (см. § 14.8), а также за счет столкновений атомов с электронами, при которых возбужденные атомы отдают электронам свою энергию и переходят на нижние уровни, заселенность атомами верхних уровней будет меньше, чем нижних. Этот общий результат показывает, что использование двух уровней 吃 и W2 не эффективно для получения инверсной заселенности.

Существо метода, предложенного В. А. Фабрикантом, состояло в том, чтобы с помощью специальных молекулярных примесей избирательно разрушить некоторые нижние энергетические уровни и таким образом осуществить более высокую заселенность атомами верхних энергетических уровней по сравнению с нижними. В мазере, созданном Н. Г. Басовым и А. М. Прохоровым и независимо от них Ч. Таунсом, молекулы, находящиеся на нижнем энергетическом уровне, удалялись с помощью специально созданного неоднородного электрического поля. Другим методом получения инверсной заселенности является применение вспомогательного излучения, которое создает избыточную по сравнению с равновесной концентрацию атомов (или других частиц) на верхних энергетических уровнях.

Практическое осуществление инверсной заселенности уровней в оптических квантовых генераторах производится по трехуровневой схеме, предложенной Н. Г. Басовым и А. М. Прохоровым в 1955 г.

Один из первых генераторов когерентного света, работающих по схеме трех уровней с твердым телом в качестве активной, усиливающей среды, был создан в 1960 г. Усиливающей средой в нем являлся кристалл рубина, представляющий собой по химическому составу окись алюминия А12О3 с примесью окиси хрома Сг2О3 в количестве от 0,03 до 0,05%. При этом в кристаллической решетке окиси алюминия определенная часть атомов А1 заменена ионами Сг3+. Активным веществом, в котором осуществляются вынужденные переходы, являются в рубине ионы хрома Сг3+. Энергетическая схема уровней Сг3+ содержит ближайшие к основному уровню С две широкие энергетические полосы А и двойной метастабильный уровень В, пере

ходы с которого на основной уровень С соответствуют длинам 上олн красного света 6927 и 6943 А (рис. 15.13). Существенно наличие трех уровней: Л, В и С. 。

При интенсивном облучении рубина зеленым светом мощной импульсной лампы, наполненной неоном и криптоном (лампы накачки), происходит переход ионов хрома на уровни широкой полосы А, откуда наиболее вероятным является безызлучательный переход ионов на двойной уровень В с передачей избытка энергии кристаллической решетке рубина. Таким образом, можно создать условия, при которых населенность ионами двойного уровня В будет превышать населен

ность основного уровня С. В соответствии с п. 7 концентрация ионов на уровне А будет меньше,甘ем на уровне С. Но не это важно. Важно то, что уровни В и С будут заселены инверсно. Это позволяет получить оптический генератор на линиях 6927 и 6943 А. Возникновению инверсии уровней В и С способствует малая вероятность спонтанных переходов ионов хрома с уровня В на уровень С.

В одном из газовых оптических квантовых генераторов усиливающей средой служит плазма высокочастотного газового разряда, полученная в смеси гелия с неоном. За счет соударений с электронами атомы гелия переходят в возбужденное состояние W3^ При столкновениях возбужденных атомов гелия с атомами неона последние также возбуждаются и переходят на один из верхних уровней неона, близко расположенных к соответствующему уровню гелия. Переход атомов неона с этого уровня на один из нижних уровней W2 сопровождается излучением лазера. На рис. 15.14 изображена упрощенная трехуровневая энергетическая диаграмма такого лазера.

Лавинообразное нарастание интенсивности(света. в усиливающей, активной среде означает, что такая среда действует как7 усилитель электромагнитных волн. Принцип подобного усиления был сформулирован в 1951 г. В. А. Фабрикантом, М. М. Вудынским и Ф. А. Бутаевой.

Эффект усиления света, основанный на индуцированных переходах, можно увеличить путем многократного прохождения усили- ваадого света через один и тот же слой «усиливающей» среды. Например, это может быть достигнуто путем помещения слоя среды с отрицательным поглощением (кювета с газом или кристалл) между

Рис. 15.15Рис. 15.15Рис. 15.16Рис. 15.16

Рис. 15.15

Рис. 15.15

Рис. 15.16

Рис. 15.16

двумя достаточно плоскими зеркалами, установленными параллельно друг другу. Чаще зеркала делаются вогнутыми. Принципиальная схема ОКГ изображена на рис. 15 15, где / — активная среда, 2 и 3— сплошное и полупрозрачное зеркала. Любой фотон, возникший в активной среде за счет спонтанного испускания возбужденных накачкой атомов среды, является «затравкой» процесса генерации света.

Рассмотрим фотон, которой движется параллельно оси кюветы или кристалла. Он рождает лавину фотонов, летящих в том же на-

правлении (рис. 15.16, а). Часть этой лавииы частично пройдет через полупрозрачное зеркало 3 наружу, а часть отразится и будет нарастать в активной среде (рис. 15.16, б). Когда лавина фотонов дойдет до сплошного зеркала 2, она частично поглотится, но после отражения от зеркала 2 усиленный поток фотонов вновь будет двигаться так же, как и первоначальный, «затравочный» фотон (рис. 15.16, в). Таким „^ образом, с помощью зеркал в О КГ реализуется положи- тельная обратная связь, необходимая во всяком генераторе для того, чтобы был обеспечен режим генерации (см. Il II, §2.4). Поток фотонов, многократно усиленный и вышедший из генератора сквозь полупрозрачное зеркало, создает строго нап-

равленный пучок лучей света огромной яркости.

Для того чтобы в ОКГ нарастала лавина фотонов (самовозбуждение генератора), необходимо, чтобы усиление, которое создается на пути фотонов между двумя последовательными отражениями от зеркала 2, по крайней мере компенсировало потери фотонов при отражении от зеркал. Количественной мерой усиления света в ОКГ на пути фотонов длиной 厶 может быть выбрана величина, равная K=I/I0=^L 1по формуле (15.15)]. Здесь L — длина активной среды между зеркалами. Между двумя отражениями фотоны проходят путь 2L, поэтому усиление определяется величиной в2aL Для того чтобы учесть потери фотонов в зеркалах, обозначим через R2 и R3 коэффициенты отражения света от зеркал 2 и 3 (см. рис. 15.15). Общие потери фотонов, отражающихся последовательно от обоих зеркал, пропорциональны произведению RR. С учетом потерь в зеркалах усиление ОКГ можно записать в более общем виде:

(15.17)

Из формулы (15.17) можно найти условие, при котором потери в зеркалах компенсируются усилением среды и поэтому J^J^ т, е. К'=1：

炉"L飞兄=L(15.17)

Логарифмируя условие (15.17'), получим величину укоэффициента отрицательного поглощения а в лазере:

а = -£1п(&&).(15.18)

Формула (15.18) используется для определения минимальной (пороговой) мощности накачки, которая необходима для усиления света в генераторе. Очевидно, что если увеличить мощность накачки так, чтобы процессы генерации света превышали потери в зеркалах, то в ОКГ будут нарастать лавины фотонов и яркость луча, вышедшего из генератора, будет увеличиваться. Однако в ОКГ невозможно беспредельное возрастание усиления света. По мере роста усиления возрастают процессы спонтанного излучения атомов, находящихся на верхних «рабочих энергетических уровнях» генератора. Это приводит к уменьшению инверсии в заселении верхних энергетических уровней и уменьшению индуцированных переходов — усиление уменьшается и замедляется нарастание лавины фотонов. Описанное явление называется насыщением в оптическом квантовом генераторе. 、

До сих пор при анализе условий усиления света в ОКГ мы не учитывали, что индуцированное излучение в генераторе является когерентным первоначальному, «затравочному» излучению. Волновые свойства света приводят к некоторым дополнительным условиям, при которых осуществляется режим генерации. На волновом языке процесс усиления света в ОКГ означает непрерывное и значительное возрастание амплитуды световой волны. Но для этого необходимо, чтобы волна, возвратившаяся в некоторую точку активной среды после отражения от зеркал, имела в этой точке фазу, совпадающую с фазой первичной волны*при любом числе отражений от зеркал. Это накладывает определенное условие на зависимость между длиной волны А. и длиной L активной среды. Длина пути, который проходит волна между двумя отражениями, должна составлять целое число длин волн:

2£=лХ, или

厶=曲/2, где п=1, 2,(15.19)

Тогда при сложении амплитуд первичной и всех вторичных волн будет резко возрастать амплитуда результирующей волны. Если выполнено условие (15.19), то волны, которые при каждом отражении выходят из генератора через зеркало 3 (см. рис. 15.15), когерентны между собой. Разность фаз двух поеледовательно вышедших волн составляет ДФ=2л2£/Х и определяется разностью оптического хода 2L [формула (5.8')L Лучи, которые вырываются из ОКГ, являются результатом интерференции многих когерентных волн, имеющих разность фаз, кратную 2л. Это обеспечивает наибольшую результи-

рующую амплитуду и интенсивность света, полученного в лазере. Как известно (см. § 5.5), при интерференции многих когерентных волн интерференционные максимумы интенсивности получаются очень узкими, резкими. Если условие (15.19) будет нарушено, то амплитуды волн не будут усиливаться.

Уравнение (15.19) является фазовым условием, выполнение которого так же необходимо для процесса генерации света в ОКГ, как и условие компенсации потерь (15.17'). Из уравнения (15.19) следует, что если рассматривать пространство между двумя зеркалами в ОКГ как некоторый зеркальный резонатор, то на длине L его должно укладываться некоторое целое число п стоячих полуволн (см. § 1.5). Таким образом, уравнение (15.19) есть одновременно условие резонанса между электромагнитной волной и зеркальным резонатором. Из уравнения (15.19) можно найти частоты, генерируемые в ОКГ. Используя связь частоты с длиной волны 九=c/w и уравнение (15.19), получим

vn=nc/2L. (15.20)

Каждому значению п соответствует определенная частота. Кроме того, частоты, Тенерируемые в ОКГ, должны одновременно удовлетворять боровскому правилу частот (см. § 13.4), связывающему частоту с разностью энергетических уровней атомов активной среды генератора. Необходимость одновременного выполнения уравнения (15.20) и условия частот Бора на первый взгляд очень усложняет практическое создание ОКГ. В самом деле, это предъявляет очень высокие требования к точности, с которой должно быть задано рас二 стояние L, чтобы сохранялась когерентность интерферирующих волн： Однако в действительности ситуация оказывается не такой безнадежной. Выручает то, что правило частот Бора выполняется с точностью до конечной ширины энергетических уровней атома (см. § 14.8), а также то, что существует ряд причин уширения спектральных линий, в первую очередь за счет эффекта Доплера.

Мы не можем входить в детальное обсумденне вопроса о ширине спектральных линий, излучаемых ОКГ. Можно показать, что спектр, излучаемый ОКГ, состоит из ряда очень узких линий, частоты которых, как это видно из (15.20), отстоят друг от друга на Av—c/2L.

Создание лазеров - позволило значительно продвинуться вперед в решении задачи о получении строго монохроматического света. Высокая степень монохроматичности света, получаемого в лазерах, означает, что имеется значительно ббльшая (на несколько порядков), чем обычно в оптике, длительность непрерывного цуга волн, испускаемых ОКГ. Следовательно, пространственная протяженность, длина непрерывного цуга воЛн, испускаемого лазером, также значительно превосходит длину цуга в обычной оптике. Последнее обстоятельство снимает то ограничение, которой накладывается обычно в оптике на проведение опытов по интерференции: требование малой разности оптического хода лучей. С лучом лазера можно производить опыты по интерференции при громадных разностях хода — порядка десятков метров и более.

Одной из замечательных особенностей лучей, получаемых в ОКГ, является их острая направленность, малое расхождение пучка лучей по углам. Это связано с механизмом процессов индуцированного излучения, лежащих в основе действия лазеров. Дело в том, что «затравочный» фотон, необходимый для генерации света в лазере, должен лететь параллельно оси резонатора. Фотай, летящий «вбок», под углом к оси резонатора, создаст лавину фотонов, которая после небольшого числа отражений выйдет из активной среды и не будет участвовать в процессе усиления (см. рис. 15.16, а),-В генерации и усилении света участвуют только фотоны, летящие параллельно оси резонатора. Поэтому луч, вышедший из генератора, имеет острую направленность. Однако волновые свойства света не позволяют полупить угол расхождения лучей, равный нулю. Явление дифракции света (см. § 6.3) определяет нижний угловой предел 0МНН для расхождения лучей ОКГ, Угол расхождения лучей не может быть меньше угла дифракции на круглом экране, имеющем диаметр О:

8鹏》九/2 (15.21)

где D — диаметр зеркала в оптическом квантовом генераторе, @мнН имеет порядок величины IO-5—10-6 рад. В газовых лазерах угловое расхождение лучей достигает такой величины.

В силу высркой когерентности и острой направленности лучей ОКГ они могут быть с большой эффективностью использованы для связи, локации, получения очень высоких температур в малых объемах и т. д. При ширине полосы излучения в 1 А на длине волны в 1 мкм теоретически можно осуществить передачу 10 000 радиопрограмм» С помощью современных ОКГ можно осуществить связь на громадных расстояниях астрономического порядка. Излучением ОКГ можно пробивать мельчайшие отверстия в самых твердых веществах, например в алмазе, осуществлять сварку микродеталей. Лучи лазеров нашли применение в хирургии при лечении отслаивания сетчатки глаза. Луч лазера как бы «приваривает» отслоившуюся сетчатку к тканям глазного дна.

Характеристики современных ОКГ пока еще далеки от принципиально возможных. Например, в принципе возможно, получение световых пучков такой мощности, которой будут соответствовать световые давления порядка миллионов атмосфер. Все это создает необозримые перспективы для применения квантовых усилителей и генераторов когерентного света.

Часть УШ

ОСНОВЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

Глава XVI

СВОЙСТВА И СТРОЕНИЕ АТОМНЫХ ЯДЕР

Заряд и масса атомных ядер

Важнейшими характеристиками ядра являются его заряд </я и масса М. Заряд ядра определяется числом положительных элементарных зарядов, сосредоточенных в ядре. Носителем положительного элементарного заряда е=1,6-10~19 Кл в ядре является протон (см. § 16.3). Так как атом в целом нейтрален, то заряд ядра определяет одновременно число электронов в атоме, каждый из которых обладает отрицательным элементарным зарядом. Распределение электронов в атоме по энергетическим оболочкам и подоболочкам существенно зависит от их общего числа в атоме. Поэтому заряд ядра в значительной мере определяет распределение электронов по их состояниям в атоме, в частности число электронов на внешней оболочке, от которого зависят химические свойства атома. Иными словами, зарядом ядра определяется специфика данного химического элемента. Заряд ядра дя—Ze, где Z — зарядовое число ядра, равное порядковому номеру элемента в системе Менделеева, Известные в настоящее время 107 химических элементов имеют зарядовые числа ядер, изменяющиеся от Z—1 (водород) до Z==107.'

Масса атомного ядра практически совпадает с массой атома, потому что масса электронов всех атомов, кроме водородного, составляет приблизительно лишь 2,5-10-4 массы атомаг. Массы атомов принято выражать в атомных единицах массы (а. е. м.). За атомную единицу массы принята 1/12 массы атома кислорода *С (смысл обозначения см. дальше в этом параграфе): 1 а. е. м. = 1>6605655(86)・ 10^27 кг

Современные методы масс-спектроскопии (см. т. II, § 184) позволяют определять массы атомов с большой точностью. При этих измерениях были обнаружены изотопы — разновидности атомов данного химического элемента, обладающие одинаковым зарядом, но различающиеся массой. В настоящее время известно около 300 устойчивых и свыше 1000 неустойчивых (радиоактивных) изотопов (см. § 18.12). Измерения масс изотопов, произведенные с большой точностью, показывают, что они всегда выражаются в а. е. м. почти целыми числами. Атомные массы изотопов называются изотопными массами*

1 Напомним, что масса электрона равна 1/1836 массы протона,

Оказалось, что для каждого химического элемента имеется п о- стоянное процентное содержание различных изотопов. Поэтому каждый химический элемент имеет определенную атомную массу, представляющую собой среднее значение агомных масс всех его изотопов. Этим объясняется то, что атомные массы элементов в ряде случаев заметно отклоняются от целых чисел.

Весьма важной для ядерной техники является разделение различных изотопов данного химического элемента. Существует несколько методов разделения изотопов, но изложение их выходит за рамки нашего курса. Отметим лишь, что с помощью этих методов успешно решаются две задачи: получение чистых изотопов и обогащение смеси изотопов одним из них.

Большое значение для развития ядерной физики сыграл тот факт, что изотопные массы в атомных единицах массы выражаются практически целыми числами. Из него следовало, что атомные ядра всех химических элементов состоят из целого числа некоторых однородных составляющих.

Целое число, ближайшее к атомной массе, выраженной в а. е. м., называется массовым числом и обозначается буквой 4. В настоящее время общепринято обозначать различные изотопы химических элементов следующим образом:夕X, где X — символ химического эле- мента в таблице Менделеева, соответствующего данному заряду ядра Ze.

Существуют также ядра, которые при одинаковой массе обла- дают различными зарядами. Они называются изобарами. Изобары большей частью встречаются среди тяжелых ядер, причем парами и триадами. В настоящее время известно 59 устойчивых изобарных пар и 5 изобарных триад. Примерами устойчивых изобарных пар являются US и 瑞Аг,嘴Ru и 嶋Dd. Примером изобарной триады может служить JJZr, J§Mo и ；：Ru.

Спин и магнитный момент ядра

В § 1Ф.7 было показано, что наличие спина электрона обусловливает тонкую структуру спектральных линий. В частности, для атомов с одним валентным, оптическим электроном взаимная ориентация орбитального и спинового моментов электрона приводит к раздвоению всех энергетических уровней (кроме s-уровня) и соответственно к раздвоению спектральных линий. Увеличение разрешающей способности спектральных приборов и применение источников света особой конструкции, позволяющих получить весьма узкие спектральные линии, дали возможность тщательнее исследовать структуру раздвоенных линий.

А. Н. Терениным и Л. Н. Добрецовым было обнаружено (1928), что каждая из двух D-линий натрия (см. § 14.7) в свою очередь является двойной ——состоит из двух близко расположенных линий. Линия D 2 (^=5890 А) расщеплена на 0,021 А, а линия Z)! (Х=5896 А)— на 0,023 А1. Обнаруженное расщепление называется сверхтонкой

1 Тонкое расщепление линий £\ и % составляет 6А,

структурой спектральных линий. В. Паули первым высказал пред* положение, что сверхтонкая структура объясняется наличием спина у ядра атома. Момент импульса ядра, называемый обычно спином ядра, является наряду с зарядом и массой важнейшей его характеристикой.

В состав ядра входят, как мы увидим в § 16.3, протоны и нейтроны, каждый из которых обладает спином 方/2. Спин ядра, вообще говоря,

обусловлен как спинами составляющих его частиц, так и моментами импульса, связанными с движениями ядерных частиц в ядре (орбитальные моменты). Спин ядра, состоящего из четного числа частиц, является целым числом (в единицах 方).Спин же ядра, состоящего из нечетного числа частиц, является полуцелым (в единицах 方).

Если предположить, что спин ядра в единицах 方 равен /, то полный спин атома с одним валентным электроном может быть равен либо* /4-1/2, либо /—1/2 (поскольку спин электрона в единицах 方 равен

1/2) 1. Оптический переход электрона в атоме натрия с верхнего уровня на нижний уровень, раздвоенный вследствие учета спина ядра, приводит к сверхтонкой структуре линии О2. На рис. 16.1 слева приведена схема, поясняющая «обычное», тонкое, расщепление спектральных линий, а справа — схема возникновения сверхтонкой структуры линии О2-

Тонкая структура D-линий воз

никает при переходе электрона с верхнего уровня, раздвоенного вследствие наличия спина у электрона, на нижний уровень. Сверхтонкая структура связана с раздвоением нижйего уровня ввиду наличия спина / у ядра. По наблюдаемому на опыте соотношению интенсивностей компонент сверхтонкой структуры можно определить хпин / ядра. Для атома Na он оказался равным %方.

Как известно из § 14.3, спин электрона был измерен в опытах Штерна и Герлаха. Спин протона был определен на основании наблюдения интенсивностей вращательных спектров молекулы На.

Ядра с полуцелым спином (в единицах. Й.) подчиняются принципу Паули. Можно показать, что в этом Случае во вращательных спектрах молекулы наибольшую интенсивность нмеют линии, соответствующие переходам между уровнями с нечетным значением вращательного квантового числа J. Соотношение интенсивностей во вращательных спектрах водорода показало, что ядро водорода }Н й!«еет прлуце- лый спин. Из измерения отношения интенсивностей линий вращательных спектров было найдено, что спин ядра водорода JH, т, е. спин протона, равен 方/2 а.

Атомные ядра помимо спина обладают магнитными моментами^ Следовательно, магнитными моментами обладают все компоненты атома (ядро и электроны).

Спииы остальных алектронов, попарно складываясь, дают нуль.

Об измерении спина нейтрона см. §.16.5.

(16.1)(16.1)Ядерные частицы имеют собственные магнитные моменты, которыми определяется магнитный момент ядра в целом. По аналогии с магнетоном Бора для измерения магнитных моментов ядер вводится так называемый ядерный магнетон:

(16.1)

(16.1)

*" =砧，

выражение для которого аналогично магнетону Бора, но масса электрона те заменена массой протона т?. Ядерный магнетон в mJ mg »1836,5 раза меньше магнетона Бора.

Ядерный магнетон ря=5,050824 (20)-10"2г Дж/Тл.

Между спином I ядра, выраженным в единицах 方，и магнитным моментом Ржя, выраженным в ядерных магнетонах, существует соот^ ношение, аналогичное (14.21) и (14.2Г) для электронных моментов：

(16.2)

где g. — ядерное гиромагнитное отношение.

Для измерения магнитных моментов ядер в настоящее время широко применяются методы магнитного резонанса, рассмотренные в § 14.10. Магнитный резонанс, обусловленный магнитными моментами ядер, исследуется как методом молекулярных пучков, так н методом поглощения радиочастотного излучения. Этот метод называют ядерным парамагнитным резонансом или просто ядерным магнитным резонансом (ЯМР). Однако в отличие от метода электронного парамагнитного резонанса в случае ядерного парамагнитного резонанса избирательное поглощение электромагнитного излучения веществом обусловлено переходами его ядер между различными энергетическими подуровнями. Дело в том, что магнитный момент ядра во внешнем постоянном и однородном поле претерпевает пространственное квантование. В § 14.9 при рассмотрении эффекта Зеемана мы показали, что результатом действия магнитного поля на атом н связанного с этим пространственного квантования явля* ется расщепление энергетических уровней электронов. Совершенно аналогично пространственное квантование ядерных моментов во внешнем магнитном поле приводит к расщеплению энергетических уровней ядра на ряд подуровней L Действие переменного радиочастотного магнитного поля (с частотами, соответствующими частотам переходов между соответствующими подуровнями) приводит к возможности избирательного поглощения радиочастотного излучения, т. е. к ядер ному парамагнитному резонансу. Исследование резонансных частот позволяет определить структуру энергетических уровней различных ядер. Частоты ядерного парамагнитного резонанса прн одном н том же значении напряженности Я постоянного магнитного поля по порядку величины в Нв/Мя^Ю4 раз меньше частот электронного парамагнитного резонанса и лежат в -области 104—10^ с-1 для обычно применяемых полей. С помощью ЯМР определяют также химический состав вещества. Основано это на том, что частоты яМР очень чувствительны к малейшим изменениям магнитного поля. В частности, магнитное поле, создаваемое электронной оболочкой атома, сдвигает частоту ЯМР. В зависимости от химической связи между атомами, определяемой свой* ствами и строением их электронных оболочек, этот химический сдвиг при ядерном резонансе оказывается различным, что позволяет установить тнп химического соединения.

Методами магнитного резонанса в его различных модификациях с большой точностью измерены магнитные моменты различных ядер, а также нейтрона и протона.

Магнитный момент нейтрона был определен методом, представляющим собой видоизмененный вариант метода магнитного резонанса.

1 Доказательство того, что ядра атомов, как и их электроны, находятся в определенных энергетических состояниях^ приведено в § 17.6,

На рис. 16.2 изображена схема опыта. Пучок нейтронов пропускается через два намагниченных до насыщения ферромагнетика: Л и

Если нейтроны обладают магнитным моментсм, то при прохождении их через ферромагнетики А и Аг помимо обычного рассеяния нейтронов в веществе, вызванного главным образом взаимодействием нейтронов с ядрами, должны наблюдаться электромагнитные взаимодействия магнитных моментов нейтронов с ориентирован屮ми магнитными моментами областей спонтанной намагниченности ферромагнетика (см. т. II, § 20.6). Как известно, параллельные магнитные моменты отталкиваются, а антипар аллельные — притягиваются. Это

приводит к дополнительному рассеянию нейтронов или к уменьшению

их рассеяния при прохождении сквозь ферромагнетик. Таким образом, при пропускании нейтронов через первый ферромагнетик Л последний ведет себя как своеобразный поляризатор, пропускающий нейтроны с преимущественной ориентацией магнитных моментов. Второй ферромагнетик Аг ведет себя как анализатор. Он пропустит различное число нейтронов в зависимости от взаимной ориентации векторов намагничения ферромагнетиков 4 и Л\ Опыты подтвердили наличие такого эффекта. Тем самым было доказано, что нейтрон обладает магнитным моментом. Знак магнитного момента нейтрона был определен с помощью слабого постоян

ного продольного магнитного поля В, созданного между ферромагнетиками 4 и 4' соленоидом С. В этом магнитном поле возникает прецессия магнитных моментов нейтронов,

направление которой зависит от знака магнитного момента. Результатом прецессии должно явиться изменение числа нейтронов, проходящих через анализатор Л\ Опыт позволил установить, что нейтрон имеет отрицательный магнитный момент. Для измерения магнитного момента нейтрона кроме продольного поля В между ферромагнетиками А и 4' было приложено поперечное высокочастотное резонансное поле В】，вызывающее переориентацию магнитных Моментов нейтронов и вследствие этого изменение числа нейтронов, прошедших через второй ферромагнетик. Результаты не очень точных измерений показали, что магнитный момент нейтрона равен ——1,91314(50)|ля.

Магнитный момент протона впервые был измерен методом от

клонения молекулярного пучка в неоднородном магнитном поле. В принципе этот метод не отличался от опыта Штерна и Герлаха (см. § 14.3). Опыты производились с водородом. При этом необходимо было компенсировать магнитный момент электрона, превосходящий почти в 2000 раз ядерный магнетон 卩宜.Для компенсации электронного

магнитного момента опыты производились не с атомным пучком, а с пучком молекул водорода Н* В нормальном состоянии молекулы Н2 спины обоих электронов направлены противоположно друг другу и суммарный орбитальный момент электронов молекулы равен нулю.

Однако и при исключении электронных магнитных моментов магнитный момент молекулы Н2 может создаваться не только за счет магнитных моментов ядер протонов, но и за счет вращательных движений молекулы. При температуре жидкого воздуха практически все молекулы водорода с антипараллельными спинами ядер (молекулы параводорода) находятся на нижнем вращательном энергетическом уровне, для которого вращательное квантовое число равно нулю. Поэтому такие молекулы не могут внести вклад в магнитный момент, обусловленный вращением молекулы. Молекулы ортоводорода (с параллельными спинами ядер, которых в обычном водороде 75%) и при температуре жидкого воздуха обладают вращательным моментом импульса и связанным с ним магнитным моментом. Таким образом, при изучении отклонения очень слабо магнитных молекул ортоводорода в сильно неоднородном магнитном поле с целью определения магнитных моментов ядер-протонов приходилось специально делать поправки на магнитный момент, связанный с вращением молекул. Очень точные измерения привели к весьма неожиданному результату для магнитного момента протона. Он оказался равным 2,7928456(11)р,я вместо ожидаемого значения, равного одному ядерному магнетону. Положительный знак магнитного момента Протона означает, что направления магнитного момента протона и его спина совпадают. С классической модельной точки зрения это означает, что магнитный момент протона как бы связан с вращением положительного заряда. Для нейтрона направления его спина и магнитного момента противополож- н ы. Аномальное значение магнитного момента протона и знак магнитного момента нейтрона обусловлены сложной структурой этих частиц (сад. § 19.8).

Состав ядра

С момента установления ядерной модели атома вопрос о составе атомного ядра являлся одним из центральных в ядерной физике. Правильный ответ на него физика ядра смогла дать по мере накопления сведений о различных свойствах ядер. Важнейшими из них явились данные о заряде, массе и спине ядра. Как известно (см. § 13.1), заряд ядра определяется суммарным зарядом находящихся в нем элементарных положительных зарядов. Поскольку элементарным положительным зарядом обладают протоны, то наличие в ядре протонов с самого начала развития ядерной физики не вызывало сомнений. С другой стороны, масс-спектроскопические измерения, позволяющие измерять массу с большой точностью, обнаружили два существенных факта:

массы изотопов всех атомов (выраженные в единицах массы, равных массе протона), кроме обычного водорода, превышают численно заряды их ядер, выраженные в элементарных зарядах. По мере увеличения Z это различие становится все большим. Для элементов средней части периодической системы Менделеева изотопные массы (в а. е. м.) примерно в два раза превышают заряды ядер. Для тяжелых ядер это соотношение становится еще большим. Из этого

следует, что при всех условиях протоны не могут быть единственными частицами, составляющими ядро;

практическая целочисленность (в атомных единицах массы) масс ядер изотопов всех химических элементов указывала на две возможности — либо в ядре находятся частицы примерно (или точно) одинаковых масс, либо в составе ядра имеются различные по массе частицы и в этом случае масса одних из них весьма мала по сравнению с массой других, так что масса этих легких частиц не вносит сколько- нибудь заметного вклада в изотопную массу L

Последняя возможность представлялась особенно заманчивой, ибо позволила создать гипотезу о протонно-электронном строении ядра. Согласно этой гипотезе, массовое число 4 должно представлять собой число протонов в ядре. Но, кроме того, в ядро необходимо было «поместить» такое число электронов, чтобы разность между массовым числом и числом электронов давала заряд ядра. Эта гипотеза находилась также в согласии со значением изотопных масс, поскольку масса электронов в ядре существенно меньше, чем масса протонов, и не влияет на общее значение массьцядра. Однако гипотеза оказалась в противоречии с Другими важнейшими свойствами ядер, прежде всего со значениями их спинов и магнитных моментов. Если бы в состав ядра входили электроны, то магнитные моменты ядер имели бы порядок магнетона Бора 卩月,в то время как изложенные в предыдущем параграфе методы измерения магнитных моментов ядер привели к значениям этих моментов порядка ядерного магнетона, т. е. примерно в 1865 раз меньшим. Существенная трудность возникла также со значениями спинов ядер.

Рассмотрим, например, ядро ?Ве. Согласно этой гипотезе, оно должно было бы состоять из девяти протонов и пяти электронов. Спины этих 14 частиц, складываясь, должны были бы дать целочисленный спин (в единицах 方).Между тем спин ядра ?Ве полуцелый и равен 3/2Й. В ядре калия ；：К должно было бы содержаться 40 протонов и 21 электрон и общий спин 61 частицы должен был бы быть полуцелым. Между тем спин ядра 空К равен 4方.Таких примеров можно было бы привести множество.

Принципиально несовместима гипотеза о протонно-электронном строении ядра с соотношением неопределенностей Гейзенберга. Если предположить, что электрон локализован в области ядра, имеющего линейные размеры порядка (Ю-14—10-15) м, то из соотношения ЛрЛх^ ^方，принимая Ax=10~j^m, можно вычислить неточность Ар, с которой может быть определен импульс электрона в ядре. Очевидно, что значение самого импульса р электрона должно быть не меньше, чем значение Ар, т. е. р^Ар^^/Лх. Определив таким образом минимальное значение импульса электрона в ядре, можно по формуле4 Wz=p2c2+

1 Третья возможность, заключающаяся в том, что в составе ядра имеется набор различных сортов частиц (по массам) так, чтобы сумма их масс давала целое число а е. м представлялась с самого начала маловероятной.

1 Так как для скорости электрона в ядре получается значение, близкое к с, нужно пользоваться формулой теории относительности.

+/n記4 найти наименьшую энергию электрона в ядре. Она оказыва* ется близкой к 70 МэВ, что никак не согласуется с теоретическими и экспериментальными данными об энергиях связи в ядре (см. § 16.4). Кроме того, эти значения значительно превосходят энергии электронов, выбрасываемых ядрами при p-радиоактивном распаде (см. § 17.8). Если же считать, что электроны в ядре имеют энергию, соответствующую энергии выбрасываемых ^-частиц (обычно порядка нескольких МэВ), то для размеров области, где электроны должны быть локализованы, т. е. для размеров ядра, из соотношения неопределенностей получаются несоразмерно большие значения, противоречащие опытным данным. Мы еще вернемся к этому вопросу в § 16.4. Таким образом, гипотеза о протонноэлектронном строении ядра не выдержала экспериментальной проверки и была отброшена.

В 1932 г. была открыта новая частица — нейтрон, обладающая массой, близкой к массе протона и не имеющая электрического заряда (см. § 18.1). Дальнейшие исследования показали (см. § 16.5), что нейтрон имеет спин, равный 方/2. Почти вслед за открытием нейтрона Д. Д. Иваненко сформулировал гипотезу о протонно-нейтронном строении ядра, подробно развитую В. Гейзенбергом, Эта гипотеза, очень быстро получившая всеобщее признание, явилась основой для создания современной теории атомного ядра. Согласно современным представлениям, массовое число А ядра представляет собой общее число частиц — протонов и нейтронов, находящихся в ядре. Зарядовое число Z определяет число протонов в ядре, а следовательно разность A—Z=N дает число нейтронов, содержащихся в ядре данного изотопа. Если проследить за распределением числа протонов Z и нейтронов А——Z в ядрах различных элементов периодической системы Менделеева, то можно заметить, что для ядер элементов вплоть до середины менделеевской системы число нейтронов, входящих в ядро, примерно равно числу протонов, так что (Л—Z)/Z^l. По мере утяжеления ядер, с ростом массового числа, количество нейтронов возрастает сравнительно с числом протонов в ядре. В конце периодической системы Менделеева отношение (Л—Z)/ZE,6.

Представление о протонно-нейтронном составе ядра согласуется с данными об изотопных массах ядер и дает правильные значения их магнитных моментов. В самом деле, магнитные моменты протона и нейтрона по порядку величины соответствуют ядерному магнетону, так что ядра, построенные из таких частиц, должны иметь магнитные моменты такого же порядка величины. Это соответствует опытным фактам.

Применение соотношения неопределенностей к тяжелым (сравнительно с электронами) протонам и нейтронам дает вполне разумные оценки для возможных значений энергии этих частиц в ядре. Эти оценки согласуются со значениями энергий, приходящихся на одну частицу в ядре (см. § 16.4).

Четность или нечетность числа протонов и числа нейтронов в ядре определяет четность или нечетность общего числа Л его частиц. В отношении четнсюти возможные типы ядер удобно расположить в следующую таблицу:

Четно-четные

Четное

Четное

Четное

Четно-нечетные

》

Нечетное

Нечетное

Нечетно-четные!

Нечетное

Четное

Нечетно-нечетные

Нечетное

Четное

Название ядер

Четность Л

Четность числа протонов (Z)

Четность числа нейтронов (N)

Величина сяина ядра — целочисленность его или полуцелое значение (в единицах 方)——существенна для описания атомных ядер одной из двух квантовых статистик (Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна; см. т. I, § 11.5). Свободные протоны и нейтроны, обладающие спином 加2, подчиняются статистике Ферми ——Дирака. Что касается ядер, то в случае четного числа частиц в ядре оно имеет целочисленный спин (в единицах 方)и подчиняется статистике Бозе — Эйнштейна. Если же ядро имеет нечетное число нуклонов и обладает полуцелым опином (в единицах 方),то оно описывается статистикой Ферми — Дирака.

Элементарные частицы ——протоны и нейтроны, входящие в состав ядра, получили общее название нуклонов. Считается, что ядерная частица ——нуклон может находиться в двух «зарядовых состояниях»: протонном с зарядом +е и нейтронном с зарядом 0. Массы покоя этих двух состояний нуклона также несколько различны, что имеет большое значение (см. § 17.8) для понимания процессов, происходящих при радиоактивном Р-распаде ядер.

По современным данным, массы покоя протона тр и нейтрона. тп соответственно равны:

^= 1,6726485(86).10-27 кг =1,007276470(11) а.е.м; zn〃= 1,6749543(86). IO"? кг== 1,008665012(37) а.е.м.

Нуклоны ядер находятся в состояниях, существенно отличающихся от их свободных состояний. Это связано с тем, что во всех ядрах, кроме ядра обычного водорода, имеется по крайней мере не менее двух нуклонов, между которыми осуществляется особое ядерное взаимодействие.

§* 16.4- Энергия связи ядра. Дефект массы

Наличие между нуклонами особого ядерного взаимодействия, имеющего характер сил притяжения, вытекает из того, что ядра, содержащие положительно заряженные протоны и нейтроны, лишенные заряда, представляют собой устойчивые образования 1.

Устойчивость атомных ядер означает, что между нуклонами в ядрах существует определенная связь. Изучение этой связи может

1 Условия, при которых атомные ядра испытывают превращения и не являются устойчивыми, рассмотрены в гл. XVII, XVIII.

быть проведено в известных пределах энергетическими методами без привлечения сведений о характере и свойствах ядерных сил. Такой подход, основанный на законе сохранения энергии, позволяет сделать ряд важных выводов о специфике связей, удерживающих нуклоны в ядре друг возле друга. Введем понятие об энергии связи отдельного нуклона в ядре. Энергией связи нуклона в ядре называется физическая величина, равная той работе, которую нужно совершить для уда。 ления данного нуклона из ядра без .сообщения ему кинетической энергии. Полная энергия связи ядра соответственно определяется той работой, которую нужно совершить для расщепления ядра на составляющие его нуклоны без придания им кинетической энергии. Из закона сохранения энергии следует, что при образовании ядра из составляющих его нуклонов должна выделяться та же энергия, которую необходимо затратить при расщеплении ядра на составляющие его частицы. Очевидно, что энергией связи атомного ядра можно назвать разность между суммарной энергией свободных нуклонов, составляющих данное ядро, и их энергией в ядре.

Оценим энергию связи атомных ядер. Большую помощь здесь оказывают весьма точные масс-спектроскопические измерения масс ядер. Они показывают, что масса ядра меньше, чем сумма масс составляющих его нуклонов. Уменьшение суммарной массы нуклонов при образовании из них ядра можно объяснить выделением энергии связи при образовании ядра. В самом деле, в § 9.6 было показано, что между энергией W и массой т имеется соотношение (9.35), вытекающее из теории относительности: W=mc^, где с — скорость света в вакууме. Если обозначить через ^Wcn энергию, выделяющуюся при образовании ядра, то соответствующая ей масса

(16.3)

характеризует уменьшение суммарной массы при образовании ядра из составных частиц.

Если ядро с массой М образовано из Z протонов с массой тр и из Л ——Z нейтронов с массой mnt то

Am = Zmp + (А —Z) тп—М.(16.4)

Величина Аги служит мерой энергии связи. В самом деле, из (16.3) и (16.4) следует, что

ДВ^св = Amr? = [Zmp十(4—Z) mn—M] с2.(16.5)

В ядерной физике для вычисления энергий применяется специальная единица —— атомная единица энергии (а. е. э.), соотц^тствую- щая одной атомной единице массы:

1 а. е. э. = с2-1 а. е. м. =931,5016 МэВ,

так как 1 МэВ=10е эВ = 1,602* 10~13 Дж.

Таким образом, для получения энергий связи ^WC3 ядра в МэВ необходимо разность суммарной массы частиц в ядре и массы ядра [по формуле (16.4) в а. е. м.] умножить на 931,5016.

При практическом вычислении энергии связи ядра часто бывает удобнее пользоваться формулой (16.4) в другом виде. Вместо массы М ядра берут атомную массу 附а， выраженную в а. е. м., тогда вместо массы протона тр следует брать массу водородного атома 团打 выраженную в тех же единицах:

А/п = Z/Пн + (4 —2)团〃—Л1а.(16.4х)

Легко сообразить, что в (16.4') Z электронных масс, содержащихся в Ма, взаимно сокращаются с тем же числом Z масс электронов, входящих в член Zm^. Энергии связи в ядрах весьма велики (в среднем 〜8 МэВ на один нуклон в ядре).

В практических расчетах часто применяется наряду с энергией связи величина так называемого дефекта массы ——разность между изотопной массой Ма, выраженной в а. е. м., и массовым числом Л:

Ах = Ма — А，(16.6)

где X ——символ элемента.

Для большинства ядер дефект массы оказывается отрицательным. При вычислении дефектов масс большое .значение имеет точность, с которой измеряются изотопные массы. Для тяжелых ядер ошибки в определении дефектов масс, даже при точных масс-спектроскопических измерениях, оказываются изменяющимися в слишком широких пределах . Поэтому обычно применяется коэффициент упаковки Р, представляющий собой дефект массы, отнесённый к одному нуклону:

Р=} =吆U =—(16.7)

Ошибка при вычислении коэффициента упаковки оказывается величиной одного порядка как для тяжелых, так и для легких ядер.

Используя понятие дефекта массы, можно в ином виде записать формулу (16.5) для энергии связи ядра. Ввиду того что /пн—Ан+1, mn~An4-l и Ма=Дх+^» после подстановки этих выражений в (16.4') имеем

А/п = Z (%—Ап) + ЛЛ„—Ах・

Умножив полученное выражение на 931,5016, найдем энергию связи ядра в МэВ. Энергия связи АТ^св ядра зависит главным образом от общего числа частиц в ядре и в меньшей степени ——от соотношения в ядре числа протонов и нейтронов. Эти выводы соответствуют экспериментальным данным, показывающим, что в первом приближении энергия связи линейно возрастает с увеличением массового числа. Физически это означает, что, грубо говоря, каждый нуклон, введенный в ядро, приводит к выделению из ядра приблизительно одинаковой энергии. Если вместо Ах ввести коэффициент упаковки, то, подставив точные значения Дн и Ап для удельной энергии связи в ядре ^Wc^/A,

равной средней энергии связи, приходящейся на один нуклон, можно записать расчетную формулу

AgB = ^ = 931,5016(G—&》「)，(16.8)

где Ci и Са ——известные численные константы, определенные с высокой точностью.

'Для применения этой формулы должны быть известны коэффициенты упаковки соответствующих ядер. Их значения вычислены для всех ядер. На рис. 16.3 приведена кривая, выражающая зависимость коэффициента упаковкн от массовых чисел ядер. Наибольшие значения Р имеет для нейтрона и протона, совпадая с соответствующими

значениями дефектов масс этих частиц. С ростом А коэффициент -упаковки Р вначале быстро убывает и принимает отрицательные значения» Для ядер средней части периодической системы Менделеева коэффициент упаковки приблизительно постоянен и близок к —10~3.

По формуле (16.8) можно вычислить удельную энергию связи в ядре и проанализировать ее зависимость от числа нуклонов А в различных ядрах. На рис. 16.4 приведена кривая зависимости удельной энергии связи от массового числа А. Кривая указывает на различие величины A5cB У разных ядер, т. е. на различие прочности связей нуклонов в ядрах в зависимости от массового числа. Наиболее прочно связанными являются нуклоны в ядрах средней части периодической системы Менделеева, приблизительно при 28<Л<138, т. е. от 聲Si до 1 謂Ва. В этих ядрах удельная энергия связи близка к 8,7 МэВ. По мере дальнейшего увеличения числа нуклонов в ядре удельная энергия связи убывает. Для ядер, расположенных в конце периодической системы (например, для урана), А^Св^7,6 МэВ. Этот факт, как видно в § 18.8, объясняет выделение энергии при делении' тяжелых ядер. Кривая Дшсв на рис. 16.4 показывает, что в области небольших массовых чисел удельная энергия связи обнаруживает характерные острые «пики» — максимумы и минимумы. Минимумы для энергии связи на один нуклон наблюдаются в этой области

у ядер с нечетными числами протонов и нейтронов — :Li, Х°В и 号N・ Максимумы удельной энергии связи соответствуют ядрам с четными числами протонов и нейтронов (например, |Не, *С, ^О). Наибольшими значениями удельной энергии связи обладают четно-четные ядра (см. табл. 16.1). Наименьшей энергией связи на один нуклон обладают нечетно-нечетные ядра. Промежуточными значениями удельной энергии связи обладают четно-нечетные и нечетно-четные ядра. Это обстоятельство имеет существенное значение для понимания

* 5Q* 5QРис. 16.4Рис. 16.470〃乃Массовое числа70〃乃Массовое числа654 3 2654 3 20$ 733 8N農s6 告工 qlfgs0$ 733 8N農s6 告工 qlfgs

* 5Q

* 5Q

Рис. 16.4

Рис. 16.4

70〃乃

Массовое числа

70〃乃

Массовое числа

654 3 2

654 3 2

0$ 733 8N農s6 告工 qlfgs

0$ 733 8N農s6 告工 qlfgs

различия в условиях деления тяжелых ядер изотопов урана 2^U и 2；；U (см. § 18.9).

Оценка средней энергии связи, приходящейся на одну ядерную частицу и составляющей для средней части периодической системы 8,7 МэВ, является еще одним доказательством отсутствия в ядре легких частиц.

Для частиц, находящихся' в ядре, «запертых» в области ядра, последнее можно рассматривать как потенциальный «ящик» (см. § 12.7), Размеры этого «ящика» должны быть такими, чтобы на его протяжении укладывалась хотя бы одна стоячая волна де Бройля. Другими словами, размеры ядра должны быть соизмеримы с длиной де бройлевской волны частицы, находящейся в ядре. Подсчитаем дебройлевскую длину волны нейтрона или протона в ядре, принимая, что их энергия 疯^8 МэВ, т. е. имеет порядок величины средней удель-

ной энергии связи. По формуле (12.2') имеем X=/i/l/"2mr«l,5-10-16 м,

если в качестве 加 взять массу протона или нейтрона. Эта длина волны оказывается соизмеримой с линейными размерами ядра.

Для электрона энергия в 8 МэВ является релятивистской и в основной формуле де Бройля (12.1)入=/i/p необходимо пользоваться релятивистской связью между энергией и импульсом, выражаемой формулой (9.36). Из нее следует, что

p%2 =取2 - ТП紀=(u7 - 用储)(《7 + 用储)

Выражая в этих формулах полную энергию 呼 через кинетическую 呼《 и энергию покоя (см §9.6)的=呼《+恤吟 получим

р2c2 = ц/к (取к+2тоС»

Для тех случаев, когда ^^>2т^ч а это как раз соответствовало бы пребыванию электрона с энергией W^8 МэВ в ядаег, формула упрощается:

"2^2 Q 呼 ^, или ср Q 呼к，те. " ^ /к/с

Таким образом, длина волны де Бройля для релятивистской частицы 入+器(16.9)

При WK^8 МэВ получаем 1/2л^2,5* 10~14 м. Эта длина волны электрона слишком велика и не соответствует размерам ядра. Заметим, что если бы в формуле (16.9) 1/2л; была сравнима с размерами ядра:入/2л^5・ К)-】'м (для средней части периодической системы Менделеева), то для энергии электрона в ядре получилась бы непомерно большая величина В^к^39,3 МэВ. Приведенные рассуждения нахо* дятся в полном соответствии с доказательством отсутствия электронов в ядре, вытекающим из соотношения неопределенностей Гейзенберга (см. § 16.3).

Ядерные силы

Прочная связь, существующая между нуклонами в ядре, свидетельствует о наличии в атомных ядрах особых, так называемых ядерных сил. Легко убедиться в том, что эти силы не сводятся ни к одному из типов сил, рассмотренных в предыдущих частях курса физики. В самом деле, если предположить, например, что между нуклонами в ядрах действуют гравитационные силы, то легко подсчитать по известным массам протона и нейтрона, что энергия связи на одну частицу окажется ничтожной — она будет в 10зв раз меньше той, которая наблюдается экспериментально. Отпадает также и предположение об электрическом характере ядерных сил. Действительно, в этом случае невозможно представить себе устойчивого ядра, состоящего из одного заряженного протона и не имеющего заряда нейтрона. Между тем такое ядро существует у тяжелого водорода — дейтерия

1 Для электрона 2 т^= 1,02 МэВ.

；D・ Это ядро —— дейтрон (или дейтерон)—— устойчивая система, состоящая из протона и нейтрона, с энергией связи около 2,2 МэВ.

Наконец, ядерные силы не мог/т быть и магнитного происхождения, несмотря на то что и протон и нейтрон имеют магнитные моменты. Можно подсчитать, что энергия взаимодействия магнитных моментов протона и нейтрона составляет всего около 105 эВ, что не идет ни в какое сравнение с действительной энергией связи в дейтроне.

Теоретические расчеты и опыты по рассеянию протонов на протонах показывают, что ядерные силы притяжения действуют лишь на весьма малых расстояниях между нуклонами в ядре (^2,2-10~15м). Это дало основание называть ядерные силы короткодействующими. Расстояние 2,2-10"15 м называется радиусом действия ядерных сил.

Особое значение для свойств ядерных сил имеет обнаруженная в них зарядовая независимость: ядерные силы притяжения, действующие между двумя нуклонами, одинаковы независимо от того, в каком зарядовом состоянии, протонном или нуклонном, находятся взаимодействующие частицы. Этот вывод был сделан на основании тщательного изучения рассеяния протонов на дейтронах и рассеяния нейтронов на протонах. Мы не можем входить в детальное обсуждение вопросов, связанных с исследованием этих типов рассеяния. Однако отметим, что при изучении рассеяния нейтронов на протонах был решен весьма важный вопрос о спине нейтрона. Мы уже много раз использовали тот факт, что спин нейтрона равен 方/2, а между тем непосредственное его измерение, подобное опытам Штерна — Герлаха (как при измерении спина электрона), или измерение по наблюдению интенсивностей вращательных спектров (как при измерении спина протона), невозможно. Определение спина нейтрона основано на измерении спина дейтрона ；D ——ядра тяжелого водорода. Спин дейтрона в основном состоянии (т. е. в состоянии, когда орбитальные моменты импульса протона и нейтрона отсутствуют) оказался равным 方.Поскольку спин протона равен 方/2, то спин нейтрона может быть равен либо 方/2, либо ЗЙ/2. Последнее предположение привело к несоответствию теоретически рассчитанных и экспериментально наблюдаемых эффективных поперечных сечений рассеяния нейтронов на протонах и было отброшено, так что спин нейтрона равен 方/2.

Ограничимся сравнительно грубым доказательством зарядовой независимости ядерных сил, основанным на измерениях энергии связи в легких ядрах — дейтерии ；D, тритии ^Н (иногда его обозначают 1Т) и двух изотопах гелия: Ще и ^Не Заметим, что в ядре трития находится один протон и два нейтрона, а в ядре |Не, наоборот,——два протона и один нейтрон. Такие ядра называются зеркальными. Энергии связей перечисленных ядер, определенные с большой точностью, равны соответственно у ；D 2,226 МэВ, ?Т — 8,49 МэВ, Ще — 7,72 МэВ, Ще — 28,3 МэВ. При пересчете на удельную энергию связи это составит соответственно 1,113; 2,830; 2,573; 7,070 МэВ. Если предположить, что имеется зарядовая независимость ядерных сил, то следует считать, что различие в энергиях связей зеркальных ядер, составляющее 0,77 МэВ, связано с кулоновской энергией отталкивания двух

протонов в ядре ^Не. Полагая эту величину равнойпротонов в ядре ^Не. Полагая эту величину равнойна-на-

протонов в ядре ^Не. Полагая эту величину равной

протонов в ядре ^Не. Полагая эту величину равной

на-

на-

4леог ходим, что среднее расстояние г между двумя протонами в ядре |Не составит 1,9* 10~15 м. Это находится в хорошем согласии с величиной «радиуса действия» ядерных сил — расстояния порядка 2* 10"15 м. Если предположить, что взаимодействие между любыми парами нуклонов в ядре одинаково независимо от того, между какими нуклонами оно происходит, то можно сделать еще одно заключение, соответствующее опытным данным. В ядрах с малым числом нуклонов энергию связи можно рассчитывать исходя из предположения, что в них происходят парные взаимодействия частиц друг с другом (двухчастичное взаимодействие). Тогда энергия связи должна быть пропорциональна числу возможных взаимодействующих пар, т. е. числу возможных связеи-между парами частиц. Легко сообразить, что в ядрах дейтерия, трития и гелия эти числа связей составляют 1, 3 и 6 соответственно. Приблизительно в таком же отношении 1:3:6 находятся удельные энергии связей в этих ядрахг

Большая величина ядерных сил притяжения между нуклонами в ядре находится, на первый взгляд, в противоречии с тем, что у ядра дейтерия удельная энергия связи —— 1,113 МэВ ——значительно меньше, чем у ядер более тяжелых, находящихся в средней части периодической системы Менделеева, ^8,7 МэВ. В действительности это связано с особым характером состояния нуклонов в дейтроне. Оказывается, что значительную долю времени нейтрон и протон пребывакхг в дейтроне на расстояниях друг от друга л；3* 10-15 м, превышающих радиус действия сил притяжения между ними. Дело в том, что если бы они находились в пределах радиуса действия ядерных сил, то длина дебройлевской волны каждого из нуклонов, имеющая порядок величины радиуса ядра, соответствовала бы столь большим значениям импульса и кинетической энергии частиц, что невозможно было бы образование устойчивого ядра дейтерия. Поэтому устойчивым состоянием дейтрона оказывается состояние с малой энергией связи, но с относительно большим расстоянием между частицами. В ядре гелия :Не потенциальная энергия по сравнению с дейтроном увеличивается в шесть раз, а кинетическая энергия — только в два раза, поскольку вдвое увеличивается число нуклонов. Поэтому суммарное взаимодействие всех нуклонов — ядерное и кулоновское — оказывается способным удержать все нуклоны в ядре гелия на расстояниях в пределах радиуса действия ядерных сил.

Потенциальная энергия ядерного притяжения на расстояниях порядка радиуса действия ядерных сил с избытком достаточна для создания устойчивого ядра гелия, а-частицы, даже с учетом кинетической энергии сблизившихся нуклонов и кулоновского отталкивания протонов. Поэтому в ядре гелия наблюдается значительно большая по сравнению с дейтроном энергия связи. Это различие в энергиях связи ядер гелия и водорода имеет огромное практическое значение для термоядерных реакций (см. § 18.11).

Ядерные силы зависят от ориентации спинов взаимодействующих между собой нуклонов. С наибольшей ясностью это вытекает из опытов

по рассеянию нейтронов молекулами орто- и параводорода. В молекуле ортоводорода спины обоих протонов параллельны друг другу, а в молекуле параводорода они антипараллельны. При рассеянии нейтронов молекулой параводорода спин нейтрона может быть параллелен одному из противоположно направленных спинов протонов в молекуле. При рассеянии же молекулой ортоводорода спин нейтрона может оказаться либо параллельным спинам обоих пр®тонов, либо антипараллельным им. Если бы взаимодействие нейтрона с протоном не зависело от взаимной ориентации их спинов, то рассеяние нейтронов на молекулах орто- и параводорода происходило бы одинаково. В действительности опыты показали, что рассеяние нейтронов на параводороде примерно в 30 раз превышает рассеяние на ортоводороде. Это доказывает зависимость ядерных сил от ориентаций спинов взаимодействующих нуклонов. Зависимость ядерных сил от спинов нуклонов проявляется также в том, что ядра различной четности обладают различной устойчивостью (см. § 16.7).

Для ядерных сил характерна насыщенность, проявляющаяся в том, что каждый нуклон в ядре взаимодействует лишь с ограниченным числом ближайших к нему соседей-нуклонов. Это свойство ядерных сил вытекает из зависимости энергий связи в ядрах от массового числа Л. Если бы каждый нуклон взаимодействовал одновременно со всеми Л—1 нуклонами, заключенными в ядре, то энергия связи ядра была бы пропорциональна возможному числу взаимодействующих пар % т. е. числу сочетаний из 4 по два: А (Л——1)/2. Этой же величине было бы пропорционально число связей в Ядре, и энергия связи в ядре была бы квадратичной функцией от массового числа. Однако все данные об энергиях связи и дефектах масс в ядрах говорят в пользу почти линейной их зависимости от числа нуклонов в ядре. Насыщен* ность ядерных сил обнаруживает известное сходство этих сил с химическими силами, обладающими характерной для них особенностью —— каждый атом в зависимости от своей валентности способен вступать в связь с ограниченным числом других атомов.

Практически полное насыщение ядерных сил достигается у «-частицы, представляющей собой устойчивое образование из двух протонов и двух нейтронов. Насыщенность ядерных сил может быть увязана с короткодействующим характером этих сил, если предположить, что за пределами радиуса действия ядерных сил притяжения между нуклонами действуют силы отталкивания, препятствующие тому, чтобы в область действия сил притяжения попало слишком много нуклонов.

Наконец, необходимо отметить, что ядерные силы не являются центральными силами, т. е. такими, которые можно представить действующими по линии, соединяющей центры взаимодействующих нуклонов. Нецентральный характер ядерных сил вытекает, в частности, из зависимости этих сил от ориентации спинов взаимодействующих нуклонов.

1 В предположении, что в ядрах осуществляется парное взаимодействие между любыми двумя нуклонами.

Короткодействие ядерных сил удалось объяснить на основе предположения об обменном характере этих сил. Идея о том, что взаимодействие между двумя частицами может осуществляться благодаря обмену третьей частицей, была впервые высказана И. Е. Таммом и Д. Д. Иваненко (1934).

Для понимания этой идеи необходимо обратить внимание на то, что в квантовой механике не только важнейшие характеристики микрочастиц, например энергия и импульс, оказываются при определенных условиях квантованными, но и поле, обусловливающее те или иные взаимодействия, должно быть также квантовано. Квантованность электромагнитного поля, ответственного за электромагнитные взаимодействия, характеризуется наличием квантов этого поля ——фотонов, которые рассматриваются как частицы. С квантовой точки зрения создание поля некоторым электрическим зарядом означает испускание им квантов поля — фотонов. Взаимодействие между данным зарядом и некоторым другим означает, что фотоны, испущенные первым зарядом, поглощаются вторым Иными словами, взаимодействие заряженных частиц осуществляется *путем обмена фотонами.

Однако в это истолкование электромагнитного взаимодействия необходимо внести уточнение. Легко сообразить, что если источником электрического поля является неподвижный заряд, то ему неоткуда почерпнуть энергию, необходимую для рождения фотона. Равным образом поглощение фотона свободным зарядом приводит к нарушению законов сохранения (см. § 11.4). Следовательно, в действительности такой процесс обмена фотонами происходить не может. Подобные процессы называются виртуальными (воображаемыми) процессами. Виртуальные процессы (переходы) являются в квантовой теории способом описания взаимодействий. Фотоны, которые излучаются и поглощаются в виртуальных процессах, называются виртуальными. Для того чтобы понять, какой физический смысл имеет описание электромагнитных взаимодействий с помощью виртуальных фотонов, обратимся к соотношению неопределенностей (12.15)

AW AQ%

Оно истолковывается в виртуальных процессах как возможность отклонения от закона сохранения энергии на величину ДЖ в течение времени А/〜方/А步.Заряд как бы занимает энергию на некоторое время для испускания фотона при условии ее быстрой отдачи за счет поглощения фотона другим зарядом.

Виртуальные процессы обмена фотонами с заимствованием н возвратом энергии происходят за очень малое время； Подчеркнем еще раз, что речь здесь идет о с п о с о- б е описания реальных электромагнитных взаимодействий с помощью обмена виртуальными фотонами.

Ядерные частицы —— нуклоны — являются источниками особого ядерного поля, характеризующего ядерные силы. Ядерное поле следует определить как особую форму материи, обусловливающую ядерные взаимодействия нуклонов. Как показал И. Е. Тамм, квантами ядерного поля не могут быть легкие частицы —— электроны. Расчеты, которые мы не приводим, показывают, что обмен электронами не может объяснить одновременно малый радиус ядерных сил и большую энергию связи в ядрах. В современном варианте обменной теории ядерных сил, впервые предложенной X. Юкавой (1935), предполагается, что взаимодействие между нуклонами в ядре осуществляется путем обмена особыми частицами — л-мезонами (см. § 19.4). В названии этих частиц подчеркивается, что масса их должна быть промежуточной

между массами электрона и протона (《мезо» — средний, промежуточ

ный).

мен нуклонов л;-мезонами 匕 не должно превышать величины, определяемой соотношением неопределенностей Гейзенберга Af)减.Вемен нуклонов л;-мезонами 匕 не должно превышать величины, определяемой соотношением неопределенностей Гейзенберга Af)减.ВеЕсли предположить, что между нуклонами в ядре происходит обмен виртуальными л-мезонами, можно объяснить короткодействующий характер ядерных сил. л-Мезон обладает не равной нулю массой покоя тп (см. § 19.4). Время Д/, в течение которого может происходить об

мен нуклонов л;-мезонами 匕 не должно превышать величины, определяемой соотношением неопределенностей Гейзенберга Af)减.Ве

мен нуклонов л;-мезонами 匕 не должно превышать величины, определяемой соотношением неопределенностей Гейзенберга Af)减.Ве

Rw = %Nt^cRw = %Nt^cличина А取 неопределенности в значении энергии нуклона, очевидно, должна быть связана с зарождением вблизи нуклона в области радиуса действия ядерных сил новой частицы, обладающей энергией покоя %=加/2. Таким образом, Д^^ %. Считая, что ^W=W^ имеем At 定 方“加/纟).Если считать, что л-мезон удаляется от нуклона со скоростью %, близкой к скорости с света в вакууме, то он пройдет за время At расстояние

Rw = %Nt^c

Rw = %Nt^c

Таким образом, & равно комптоновской длине волны л-мезона (см. § 11.4). Предполагая, что за время Д^ л-мезон проходит расстояние Rr=R, равное примерно радиусу действия ядерных сил (R^ 1,5 • 10~" м), можно подсчитать массу л-мезона: 俑=方/依").Расчет показывает, что тп ^ 250 met где те — масса покоя электрона. Это находится в согласии с измеренными массами л-мезонов (см. § 19.4)/

Заметим, что с этой точки зрения электромагнитное поле, в котором взаимодействие осуществляется с помощью обмена виртуальными фотонами, имеет бесконечно большой радиус действия. В самом деле, масса покоя фотона 加°力=0, поэтому расстояние, на которое может распространяться фотон (если он не поглощен), равно по предыдущей формуле бесконечности:

3而丁О0•

Описав важнейшие свойства ядерных сил, укажем в заключение, что в современной ядерной физике продолжается изучение их природы.

Размеры ядер

Из опытов Резерфорда по рассеянию а-частиц веществом были получены первые данные о размерах той области пространства, которую занимает ядро. Точнее, было установлено, что на расстояния, меньшие некоторой величины при данной энергии а-частицы, эта частица не может приблизиться к ядру вследствие действия на нее кулоновских сил отталкивания со стороны положительно заряженного ядра. Однако теперь мы знаем, что в ядре действуют два типа сил ——

1 Промежуток времени от испускания я-мезона одним нуклоном до поглощения его другим.

ядерные силы притяжения между нуклонами и кулоновские силвг отталкивания между протонами. При этом кулоновские силы действуют на значительно ббльших расстояниях между протонами, чем радиус действия ядерных сил. Устойчивость ядер означает, что ядерные силы притяжений превышают кулоновские силы отталкивания и в итоге их совместного действия ядро занимает некоторую область пространства, которую следует считать размерами ядра.

Размеры ядра можно определить как область пространства в атоме, вне которой не действуют специфические ядерные силы притяжения между нуклонами. При определении размеров ядра нужно учесть, что ядро является системой частиц, подчиняющихся квантовой механике и, следовательно, соотношению неопределенностей Гей- зенбер га, В следствие этого р азмеры обл асти, в которой находятся ядерные частицы, могут быть заданы лишь с точностью, допускаемой этим соотношением. Другими словами, границы области, называемой размерами ядра, по необходимости «размыты» ®.

Имеется ряд методов, позволяющих оценить размеры ядра. Все они при некотором различии численных коэффициентов дают один порядок величины для линейных размеров области пространства, занимаемого ядром.

Размеры ядра могут быть оценены из данных по рассеянию ядрами быстрых

нейтронов. На рис. 16.5 приведена найденная этим методом зависимость радиусов ядер R от 4'/・, где Л — массовое число. Наиболее тяжелые ядра, например Pb, U, имеют «поперечные» сечения около 3*10~2а м2, а их радиусы приближаются по порядку величины к 10~14 м. Все методы оценки размеров ядер дали значения радиусов ядер, хорошо описываемые эмпирической формулой

R=%4&R=%4&(16Л0)

R=%4&

R=%4&

где Го=(1»4ч-1,5)* 10-15 м.

Пользуясь формулой (16.10), можно подсчитать среднюю плотность р ядерного вещества. Предполагая, что ядро имеет форму сферы с радиусом R, имеем

明 Л/?3明 Л/?3(16.11)

明 Л/?3

明 Л/?3

Здесь Мя — масса ядра. Если принять массу ядра Мя=тпА, где mn —

Это в полной мере относится также н к оценке области пространства, занимаемой электронами в атоме, т, е, к определению размеров атома в целом»

масса нейтрона, то

1,673 ю~27 у1П17, 3

кг/м3 ^1,3* 1017 кг/м3.

ул(1,5 10-15)3

Результат показывает, что плотность ядерного вещества колоссальна —она не идет ни в какое сравнение с плотностями обычных веществ, состоящих из атомов химических элементов и их соединений.

§ 16,7. Модели ядра

Отсутствие точных знаний о характере ядерных сил притяжения между нуклонами заставило идти в теоретических исследованиях по пути отыскания таких моделей ядра, которые, правильно отражая важнейшие его свойства, допускали бы возможность количественного расчета характеризующих ядро величин. Первой моделью ядра была капельная модель, предложенная Я. И. Френкелем (1936) и развитая Бором и др. В основе капельной модели ядра лежит аналогия между свойствами ядра и каплей жидкости. Так, подобно короткодействующим ядерным силам, силы взаимодействия молекул жидкости имеют малый радиус действия. Ядерные силы, как и силы, действующие между молекулами жидкости, обладают свойствами насыщения. Далее, для капли жидкости характерна постоянная плотность ее вещества (при заданных внешних условиях ——температуре и давлении), не зависящая от числа частиц, входящих в каплю. Как известно, ядро имеет приблизительно постоянную удельную энергию связи и постоянную плотность, не зависящую от числа нуклонов в ядре. Наконец, аналогия между ядром и жидкой каплей проявляется в том, что в обоих случаях наблюдается определенная подвижность составляющих каплю молекул и входящих в ядро нуклонов. Последнее свойство нуклонов проявляется в наличии у них орбитальных моментов импульса. Нужно, однако, сразу же заметить, что ядро-каплю следует считать заряженнойи подчиняющейся законам квантовой механики. Этим ядро существенно отличается от капли жидкости. При разработке капельной модели ядра большое значение имели закономерности в распространенности изотопов в зависимости от четности массового числа, а также постепенное возрастание в периодической системе Менделеева отношения (Л — Z)/Z от единицы до 1,6 к концу системы (см. § 16.3). Из этих закономерностей следует, что наибольшая устойчивость должна наблюдаться у таких ядер, которые характеризуются одинаковой «концентрацией» нейтронов и протонов. Возрастание с увеличением А отношения (Л ——Z)/Z означает рост концентрации нейтронов в «ядерной жидкости». За счет увеличения кулоновской энергии отталкивания протонов, возрастающей пропорционально Z?, убывает концентрация протонов и соответственно растет концентрация нейтронов в ядре-капле.

Капельная модель ядра позволила установить полуэмпнрическую формулу для энергии связи в ядре. Полная энергия ядра должна включать в себя, во-первых,

энергию, связанную с массой входящих в ядро свободных нуклонов, равную 呼 i = c2[Zm 尸+(4-Z) mJ

Далее, необходимо учесть выделение энергии ТГ2 при образовании ядра. Выше показано, что для большинства ядер на один нуклон приходится энергия, близкая к 8 МэВ. Во всяком случае, можно считать, что энергия ТГ2, выделяемая при образовании ящ)а, пропорциональна массовому числу 才：W2~—a1At где параметр, который должен быть вычислен эмпирическим путем. Знак минус означает, что при образовании ядра выделяется энергия. В последнем выражении не учитывается тот факт, что энергии отдельных нуклонов можно считать одинаковыми лишь в среднем. В частности, энергия нуклона, находящегося внутри ядра и испытывающего взаимодействие со стороны ближайших соседей, окружающих его со всех сторон, отличается от энергии нуклонов, находящихся на «поверхности» ядра. Здесь имеется полная аналогия с энергией молекул в капле жидкости. Как известно (см. т. I, § 14.4), молекулы жидкости, расположенные на ее поверхности (в частности, на поверхности капли), испытывают одностороннее притяжение со стороны молекул, находящихся внутри жидкости. По аналогии, нуклоны, расположенные на поверхности ядра- капли, вносят меньший вклад в энергию ядра, чем внутренние нуклоны ядра. Поэтому к энергии 呼2 Должен быть добавлен с противоположным знаком член 1Г3 —поверхностная энергия ядра. Если R ——радиус ядра-капли, а ст ——«поверхностное натяжение» ядра-капли, то

取 3 = 4h/?祐，(16 12)

где R вычисляется по формуле (16.10). Тогда

(16 12，)

где 仪2— коэффициент, содержащий ст и числовые значения постоянных величин. Следует учесть еще данные о различной устойчивости ядер в зависимости от соотношения в ннх числа протонов и нейтронов. Поскольку наиболее устойчивы ядра, в которых числа протонов и нейтронов равны, т. е. (Л—Z)/Z=^ 1, в общий баланс энергии ядра- капли должен быть внесен член W4, учитывающий неравенство числа протонов н нейтронов. Знак этого члена должен быть противоположен знаку члена 1Г2, определяющего выделение энергии при образовании ядра. На каждый из А нуклонов за счет этого приходится некоторая энергия WjAf являющаяся функцией отношения (4—2Z)/Z, т. е. -^- = / (—z~j * В связи с незнанием точного характера зависимости ядерных сил от неравенства в ядре числа протонов Z и нейтронов 4——Z функцию

т* е. пот* е. поf (令)аппрокснмнру10T квадратичной зависимостью 瓶中; лагают

т* е. по

т* е. по

取4- (A-2Z)丁=恤—矛一取4- (A-2Z)丁=恤—矛一или必=。З空弾или必=。З空弾

取4- (A-2Z)

丁=恤—矛一

取4- (A-2Z)

丁=恤—矛一

или必=。З空弾

или必=。З空弾

где а3—коэффициент, который отыскивается эмпирическим путем.

Далее в энергию ядра необходимо внести добавочный член 呼5, учитывающий электростатическое отталкивание протонов. Энергия может быть вычислена в предположении, что заряд Ze ядра равномерно распределен по его объему с объемной плотностью р, так что Ze= 4/3 пр/?, где 女 ——радиус ядра. Пользуясь формулами (3.32) н (7.7) из второго тома курса, можно подсчитать

一 з (Ze)2%一丁丽币"13)

Заменив в этой формуле R по соотношению (16.10), получим и^=аОЛ4'/з, гдеа&— коэффициент, который можно вычислить теоретически.

Наконец, последний добавочный член 犷$ вводится для учета того, что ядерные силы зависят от спинов взаимодействующих нуклонов. Измерения энергий связи различных ядер показали, что для четио-четных ядер энергии связен имеют максимальные, а для нечетно-нечетных ядер — минимальные значения* Эти различия указывают на то, что при зарядовой независимости ядерных сил ориентации спиной нуклонов оказывают определенное влияние на их взаимодействие. Это влияние учитывается введением специального члена 1Г$ в выражение для энергии ядра, который подбирается таким образом, чтобы для нечетно-четных н четно-нечетных ядер этот член отсутствовалг. Для члена 呼& были предложены разные выражения.

Наиболее принятыми являются следующие:

% = 土。64-3/4 h %=土成4-1/厶

где аБ н al —эмпирически подобранные коэффициенты. Знаки плюс и минус соответствуют четно-четным и нечетно-нечетным ядрам. Полная энергия ядра есть сумма всех слагаемых:

呼= /】+取2 +取з+呼《+取б+取中(16.13')

Очевидно, энергия связи ядра А1ГСВ в соответствии с ее определением по формуле (16.5) равна А呼св=取工——呼.Таким образом, энергия связи ядра в капельной модели

A%B = ai4-a24"3 —西("^2Z)2 —a忆24-1/3 土 *4-3/4.(16.14)

Были предложены различные значения для коэффициентов 仪力 а2, а3 и а5, при которых AWcb достаточно хорошо согласуется с опытными данными для не слишком легких ядер (при 力＞15).

До сих пор мы не вводили никакого определения» а тем более критерия устойчивости атомного «ядра. Назовем устойчивыми (стабильными) такие атомные ядра, состав которых не изменяется с течением времени.

Полуэмпирическая формула (16.14) для энергии связи ядра позволяет установить соотношение между зарядом ядра Z и его массовым числом Л, при которых ядра оказываются наиболее устойчивыми. Рассмотрим ядра, обладающие данным 4 (^=const), т. е. изобары, отличающиеся зарядом ядра Z. Для таких ядер энергия связи ^WCBt определяемая формулой (16.14), будет функцией только Z.

Из общих соображений можно установить критерий устойчивости (стабильности) ядер. Очевидно, что при данном Л наиболее устойчивы ядра с такими значениями Z, которые соответствуют наименьшему значению полной энергии W ядра. Можно найти эти значения 2丫毎 из условия (d//dZ)j=const = 0, выражающего минимум энергии ядра. Расчет, который мы опускаем, приводит к формуле

ZyCT =-.(16.15)

1,98+0,015 产

Формула (16.15) хорошо согласуется с экспериментальными данными. При использовании этой формулы необходимо брать целое значение ZyCT, ближайшее к значению Zy?* получаемому по ней. Из

формулы (16.15) следует, что для легких ядер Zy„ Q Л72. Этот результат согласуется с данными о том, что стабильными оказываются легкие ядра с равным числом протонов и нейтронов в ядре.

Оболочечная модель ядра, в некотором смысле противоположная капельной модели, была разработана М. Гепперт-Майер и И. Йенсеном. В капельной модели движение нуклонов в ядре носит беспорядочный характер, нуклоны часто испытывают столкновения н не могут длительно находиться в определенных энергетических состояниях. По оболочечной модели нуклоны движутся почти независимо в поле, создаваемом самими нуклонами. '

При этом нуклоны в ядре находятся в определенных энергетических состояниях, характеризуемых определенными волновыми функциями и индивидуальными квантовыми числами — главным и орбитальном. Иными словами, подобно электронам в атоме, нуклоны в ядрах образуют определенные оболочки и подоболочки. Согласно этой модели, в ядре существуют две системы нуклонных состояний: одна — для протонов, другая ——для нентронор, которые заполняются независимо друг от друга. Ядра, имеющие только заполненные нуклонные оболочки, должны обладать повышенной устойчивостью и быть более распространенными, а также должны иметь сферически симметричное распределение заряда. Для объяснения распределения нуклонов по энергетическим состояниям (уровням) и группировки уровней в энергетические оболочки в этой модели делается ряд предположений. Мы не имеем возможности на этом останавливаться. Отметим лишь, что порядок заполнения нуклонных обЬ- лочек с ростом / сходен с порядком заполнения электронных оболочек к ростом Z*

Необходимо, однако, отметить, что аналогия нуклонных оболочек в ядре и электронных оболочек в атоме имеет внешний характер.

Электроны в атоме движутся в электрическом поле ядра и соседних электронов. Это поле с хорошим приближением рассматривается как центральное кулоновское поле. Нуклон в ядре даижется в я дерном поле, не имеющем центрального характера. Предсказания модели ядерных оболочек находятся в согласии с обнаруженными на опыте фактами. Так, опыты показали, что наиболее устойчивыми являются ядра, у которых числа нейтронов или протонов равны 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 и 152 (к такому выводу приходит и теория). '

Эти числа названы магическими. Такие ядра наиболее распространены, и их квадрупольные электрические моменты, характеризующие степень симметрии электри- ческогв заряда ядер, близки к нулю. Ядра, у которых магическими являются и число протонов и число нейтронов, называются Дважды магическими. К их числу относятся, например, $Не J：O,芻Са,嘰РЬ. Наиболее тяжелое из устойчивых ядер ——свинец —— имеет число протонов Z=82 и число нейтронов 4—Z=146. Ядра химических элементов, расположенных в периодической системе Менделеева за свинцом^ уже неустойчивы и подвержены радиоактивному распаду. Об устойчивости ядра гелия аНе мы неоднократао говорили выше и еще встретимся с этим вопросом при рассмотрении радиоактивного а-распада (см. § 17.1).

Наряду с ядерными моделями, созданными для объяснения устойчивости ядер, насыщения ядерных сил (капельная модель), величины спинов, магнитных и квадрупольных моментов основных состояний ядер (например, оболочечная модель), существует ряд других моделей, предназначенных для объяснения взаимодействия ядер с налетающими частицами, например оптическая модель ядра, модель прямых ядерных реакций и др.

Глава XVII ЕСТЕСТВЕННАЯ РАДИОАКТИВНОСТЬ

§ 17.1. Радиоактивные излучения

Явлением естественной радиоактивности называется самопроизвольное превращение- одних атомных ядер в другие, сопровождающееся испусканием различных видов радиоактивных излучений (а, 8 н 丫) н некоторых элементарных частиц. Явление это было открыто А. Беккерелем (1896). Он занимался изучением вопроса о том, не сопровождается ли флуоресценция любой природы испусканием рентгеновских лучей. Беккерель производил опыты Il Ус солями урана; некоторые из них обладают свой

ством флуоресцировать и действуют на фотоплас- I 十才 тинку.

д I 丁Беккерель обнаружил, что соединения урана, в

d闻течение нескольких лет находившиеся в полной

』темноте, продолжают действовать на фотопластинку, причем наиболее сильное действие оказывает металлический уран. Из этого он заключил, что уран испускает особые лучи. Первые же исследования показали, что эти лучи проникают сквозь тонкие металлические экраны и ионизируют газ, Рис, °」 через который проходят. Замечательными особенностями обнаруженного излучения оказались его самопроизвольность и постоянство, полная независимость от изменения внешних условий: освещения, давления и температуры. Пьер и Мария Кюри обнаружили, что урановая смоляная руда обладает способностью давать излучение, в четыре раза превосходящее по интенсивности излучение урана. Это дало основание искать более мощный источник излучения, чем уран. В 1898 г. Пьер и Мария Кюри открыли два новых радиоактивных элемента —— полоний С；：Ро) и радий CegRa). Вещества, испускающие новые излучения, были названы радиоактивными, а новое свойство вещества, связанное с наличием особых излучений,— радиоактивностью,

Вслед за открытием радиоактивных элементов Ро и Ra была установлена неоднородность излучения, которое они испускают. Оказалось, что излучение состоит из трех видов: а, р и у. Анализ состава излучения был произведен впервые М. Кюри по отклонению радиоактивных излучений в магнитном поле. На рис. 17.1 изображена схема разделения а-, р- и у-лучей в магнитном поле, направленном перпендикулярно плоскости рисунка (I — толстостенный сосуд из свинца, 2 — радиоактивный элемент Ra). Характер отклонения лучей в магнитном поле показывает, что а-лучи несут положительный заряд, р-лучн — отрицательный, а у-лучи не заряжены.

Дальнейшие исследования показали, что а-лучи представляют собой поток ядер гелия L Эти лучи вызывают почернение фотопласти-

1 Заряд а-частицы равен 2е, а масса совпадает с массой ядра изотопа гелня *Не.

нок, производят сильное ионизирующее действие при прохождении через газы и обладают относительно малой проникающей способностью. Для выяснения природы а-лучей Э. Резерфордом был поставлен следующий опыт. В стеклянную ампулу с тонкими стенками помещался радиоактивный газ радон (2g|Rn). Ампула помещалась в стеклянный сосуд, в котором создавался высокий вакуум. а-Частицы, испускаемые радоном, поглощались стенками сосуда и при этом превращались в атомы гелия, присоединяя к себе по два электрона каждая. Образовавшиеся атомы гелия выделялись из стенок сосуда при их нагревании. Через несколько дней скопившийся в сосуде газ ——гелий — с помощью специального ртутного затвора переводился в капиллярную трубку, находящуюся в верхней части сосуда. С помощью двух электродов, впаянных в капиллярную трубку, в ней создавался электрический разряд. Анализ свечения этого разряда показал, что спектр разряда действительно совпадает со спектром излучения гелия. Тем самым подтвердилось, что а-частицы, испускаемые радоном, превращались в гелий. Дальнейшие исследования отклонения а-лучей в магнитном и электрическом полях позволили измерить удельный заряд q/ma а-частицы (加仪 ——масса а-частицы) и подтвердили правильность представлений о ее природе.

По своей природе р-лучи оказались потоком быстро летящих электронов, скорость которых превышает скорости обычных катодных (электронных) лучей. Энергия Р-частиц может достигать 10 МэВ, что соответствует их скорости, приближающейся к скорости света в вакууме. Измерения удельного заряда qlm^ где т^ — масса р-частицы, подтвердили выводы о прнро% р-лучей,

Гамма-лучи представляют собой жесткое электромагнитное излучение, обладающее наибольшей из всех радиоактивных излучений проникающей способhoctwq. Они вызывают относительно слабую ионизацию вещества, через которое они проходят. Электромагнитная природа изучения и его свойства были изучены теми же методами, которые применялись при изучении природы и свойств рентгеновского излучения (см. § 14.11). Основные сведения о свойствах у-излучения были получены главным образом при изучении их поглощения и рассеяния в веществе. Так было установлено, что они отличаются еще большими частотами, чем рентгеновские излучение. Это означает, что их квантовые свойства проявляются еще в большей степени, чем у рентгеновского излучения. '

Опытным путем было установлено, что все радиоактивные излучения: 、

в той или иной степени обладают химическими действиями, в частности вызывают почернение фотопластинок;

вызывают ионизацию газов, а иногда и конденсированных тел, сквозь которые они проходят;

возбуждают флуоресцентное свечение ряда ^твердых тел и жидкостей.

Эти свойства лежат в основе экспериментальных методов обнаружения и исследования свойств радиоактивных излучений (см. § 17.4). Калориметрические исследования показали, что радиоактивные излу-

чения могут сопровождаться выделением энергии. Так, еще в первый период изучения естественной радиоактивности супруги Кюри обнаружили, что 1 г радия выделяет в час около 102 Дж теплоты 工・

§ 17.2. Закон радиоактивного распада

Явление естественной радиоактивности было тщательно изучено еще в первом десятилетии XX в. Большую роль при этом сыграло изучение протекания радиоактивных процессов во времени, Резерфорд и его сотрудники наблюдали изменение во времени радиоактивного излучения солей радия. В запаянную ампулу они поместили 1,318 г RaCl2, в котором содержался 1 г чистого радия. По истечении нескольких суток в ампуле обнаружили два газа. Один из них, как показали спектроскопические данные, оказался гелием, а другой —— новый газ — обнаружил в свою очередь наличие у него сильной радиоактивности. По своим химическим свойствам этот газ, названный впоследствии радоном, оказался похожим на инертные газы.

Оказалось, что протекание радиоактивных процессов во времени совершенно не зависит от внешних условий, а также от концентрации радиоактивных атомов. Наконец, было установлено, что распад радия в солях RaCl2 и RaBr2 зависит лишь от числа атомов радия в этих соединениях, т. е. скорость процесса не зависит от того, распадается ли вещество в виде химически чистого элемента или соединения.

Перечисленные факты привели Резерфорда к выводу, л то радиоактивные превращения есть свойство атомных ядер, которые могут самопроизвольно подвергаться таким превращениям.

В дальнейшем будем называть естественные радиоактивные превращения ядер, происходящие самопроизвольно, радиоактивным распадом илй просто распадом. Атомное' ядро, претерпевающее радиоактивный распад, называется материнским^ Ядро, возникшее в результате распада, называется дочерним ядром. Ввиду самопроизвольности этого процесса естественно предположить, что число ядер dN, распадающихся за интервал времени от / до / ~Ь d力 пропорционально промежутку времени df,n числу N наличных ядер, еще не распавшихся к моменту времени

—dN=ANdt. (17.1)

Здесь X — постоянная величина, которую называют постоянной распада или радиоактивной постоянной. Из соотношения (17.1) следует, что постоянная распада представляет собой относительную убыль числа ядер, подвергающихся распаду, за единицу времени:

%=JZ^. (17.Г)

Иными словами, постоянная распада характеризует долю ядер, распадающихся за единицу времени, т. е. определяет скорость радиоактивного распада. Предположение о том, что ввиду самопроиз-

Такое количество теплоты выделяет в час 1 г радия без учета выделения теплоты продуктами распада Ra.

вольного характера процесса распада 九 не зависит от внешних условий, а определяется лишь внутренними свойствами ядра, имеет, как мы увидим, большое значение для понимания смысла радиоактивных превращений. '

Разделяя в уравнении (17.1) переменные 方=——Kdt и иптет рируя

это уравнение, получим

In N=—W+ln С,

где С —— постоянная интегрирования. Если в начальный момент £=0 первоначальное число ядер равно ^0, то In N()=ln С, и окончательно получим

N = Nq^. (17,2)

Выражение (17.2) называется законом радиоактивного распада. На рис. 17.2 изображена зависимость ln(AW(j) от времени t. Она позволяет экспериментально по наклону прямой определить постоянную распада 儿 ибо tg а=Л'儿 где К ——соотношение размерных величин, принятых за единицы масштабов по осям координат.

Самопроизвольный характер радиоактивного распада означает, что различные атомные ядра, претерпевающие распад, имеют разную продолжительность жизни. Согласно (17.1), число атомных ядер, распадаю

щихся за время df, равно dN. Пользуясь этим соотношением, подсчитаем среднюю продолжительность жизни данного радиоактивного вещества. Суммарная продолжительность жизни dN ядер равна 力dB|, т. е. thN dt. Отсюда средняя продолжительность жизни всех первоначально существовавших ядер выразится следующим образом:

т = ^~ J "Ndt = X J 力『£'df =；оо

Постоянная распада 九,выражаемая согласно (17.2) в с-\ является обратной величиной средней продолжительности жизни т данного радиоактивного элемента.

Формула (17.2) иногда записывается в виде

(17 2‘)(17 2‘)n = nu

(17 2‘)

(17 2‘)

Практически для характеристики устойчивости ядер относительно распада, для оценки продолжительности жизни данного радиоактивного изотопа вводится понятие о периоде полураспада Т. Так называется время, в течение которого первоначальное количество ядер данного вещества распа дается наполовину. Из определе-

НИЯ Т и формулы (17.2) следует, что ^-= Noe~KT. Отсюда получаем

Т =¥ = ^^ = 0,693t.(17.3)

У естественно радиоактивных элементов периоды полураспада Т изменяются в очень широких пределах.

Закон радиоактивного распада (17.2) является следствием предположения о том, что распад происходит самопроизвольно. Основное соотношение (17.1) было написано на основании двух предположений: 1) постоянная распада не зависит от внешних условий; 2) число ядер, распадающихся за единицу времени, пропорционально наличному количеству ядер. Эти предположения не позволяют сделать заключение о тои, какое именно ядро претерпевает распад за данный промежуток времени df. Речь может идти лишь о числе ядер, претерпевающих распад в данном интервале времени от f до t+dt. Такое представление о радиоактивном распаде означает, что речь идет о статистическом процессе, т. е. распад данного ядра является случайным событием, имеющим ту или иную вероятность. Введем понятие о вероятности распада g^hoi о ядра за единицу времени. Если за время df из наличного числа ^ распалось d/V ядер} то относительная убыль -——дг числа ядер, происходящая за единицу времени, т. е. величина ——d^/(^d^), представляет собой вероятность распада одного ядра. Такое определение вероятности в точности совпадает со смыслом постоянной распада 九 по формуле (17.Г). Таким образом, постоянная распада, по определению, есть вероятность распада одного ядра за единицу времени. Предположим далее, что эта величина не зависит от времени. Физически это означает, что для радиоактивного распада одного ядра несущественно, сколько времени «прожило» данное ядро, и что 九 является константой, характеризующей все ядра данного сорта. Можно показать, что такое определение постоянной распада приводит к закону радиоактивного распада (17.2), который является, таким образом, статистическим законом.

§ 17.3. Правила смещения. Последовательные радиоактивные превращения ядер

Естественная радиоактивность наблюдается у ядер атомов тяжелых химических элементов, расположенных за свинцом в периодической таблице Менделеева. Естественная радиоактивность легких и средних ядер ——сравнительно редкое явление, наблюдаемое у ядер 得к,罂Rb,噺In,嘲La,噜Sm, *?Lu и 嚼Re.

Опытным путем было установлено, что при радиоактивном распаде ядер соблюдается закон сохранения электрических зарядов.

Если через Z^ обозначить заряд ядра, претерпевающего распад, а через Z* ——заряды ядер и частиц, возникших в результате радиоак-

тиьььго распада, то этот закон может быть записан следующим образом:

厶=e2,..(17.4)

Кроме того, установлено, что при естественном радиоактивном распаде выполняется правило сохранения массовых чисел. Если приписать нуклонам (протонам и нейтронам) массовые числа, равные единице (это соответствуе! их массам в а. е. м,), а электрону — массовое число, равное нулю, то сохранение массовых чисел при радиоактивном распаде можно записать в виде

4 = “，(17.5)

где Ля ■ массовое число материнского ядра; Л ^ ——массовое число ядра или частицы, гюлу^квшейс只 в результате радиоактивного распада.

Соотношения (17.4) и (17.5) при радиоактивном распаде обычно формулируются в виде так назнваемнх правил смещения, позволяющих установить, какое ядро возникает в результате распада данного материнского ядра. При этом различают правила смещения для случаев возможного а- или р-распада.

Если 夕X есть материнское ядро, претерпевающее распад, то правила смещения записываются соответственно следующим образом:

при сх-распаде ^Х — ^Y + tHe,]

при p-распаде ^Х'

Здесь Y ——символ дочернего ядра, :Не ——ядро гелия, т. е. а-частица; —毎——символическое обозначение электрона, имеющего заряд, равный —1, и нулевое массовое число.

Из выражений (17,6) видно, что ядро, претерпевающее а-распад, смещается на два места левее в периодической системе элементов Менделеева в связи с Е^ылетом двух положительных зарядов. Вылет а- частицы сопровождается уменьшением массового числа па четыре единицы. При p-распаде положительный заряд ядра увеличивается на одну единицу и ядро смещается на одно место правее в периодической системе. При этом не происходит изменения массового числа ядра.

Из правил смещения следует, что в результате радиоактивною а- или p-распада ядра атомов радиоактивных элементов превращаются в ядра изотопов других химических элементов. В ряде случаев дочернее ядро оказывается также радиоактивным и возникает цепочка радиоактивных превращений. Естественнорадиоактивные ядра образуют три радиоактивных семейства, называемых по родоначальнику семейства —— наиболее долгоживущему изотопу с наибольшим периодом полураспада. Это семейства урана p^U), тория (^Th) и актиния (嚼Ас). Существует, кроме того, еще одно радиоактивное семейство, полученное искусственным путем и начинающееся от трансурановою элемента нептуния 广芻Np). Переход от одного члена каждого из есте- сгвеннорадиоактивных семейств к другому осуществляется цепочкой а- и [5-распадов и заканчивается на устойчивых ядрах изотопов свинца: семейство тория —— на ядре ^РЬ, семейство урана — на 2^РЬ, се-

мейство актиния — на '^Pb. Семейство нептуния заканчивается на ядре висмута 2g|Bi.

Если происходит цепочка радиоактивных превращений, то закон радиоактивного распада в форме (17.2) позволяет судить лишь об убыли с течением времени материнского вещества. Если же дочернее вещество также является радиоактивным, то изменение его количества с течением времени требует более детального анализа. Одновременно происходят и накопление этого вещества, и его убыль вследствие распада. Обозначим через 九м н 入口 ——постоянные распада соответственно материнского н дочернего вещества. Рассмотрим изменения в числе их ядер, происходящие за время df. Согласно (17.1), за время dt распадется 底N盘 ядер атомов материнского вещества из общего числа Nm этих ядер, имевшихся к моменту времени dt. Если из каждого ядра материнского вещества образуется одно ядро дочернего, то за время df число ядер дочернего вещества увеличится на K^N^t, Вместе с тем из числа ядер N口 дочернего вещества, имевшихся к моменту времени 力 за промежуток dt распадется %N£t. Общее изменение dN^ числа ядер дочернего вещества за единицу времени выразится следующим образом:

誉=m心一%/・ (17.7)

В случае подвижного равновесия между материнским и дочерним веществами dN/dt=a, т. е.

И*. (17.8)

Условие (17.8) называется условием радиоактивного равновесия. В этом случае числа распадающихся в один и тот же промежуток времени ядер атомов обеих веществ одинаковы и распад дочернего вещества точно компенсируется его образованием из материнского. При условии такого равновесия

底(09)

Числа атомов обоих веществ пропорциональны периодам их полураспадов. Формулой (17.8) или (17.9) практически пользуются для отыскания периодов полураспада веществ, распадающихся настолько быстро (или, наоборот, столь медленно), что основной закон (17.2) оказывается непригодным.

Произведение 4=九N для данного радиоактивного вещества имеет ясный физический смысл. Из формулы (17,1) следует, что оно равно числу ядер атомов данного вещества, распадающихся в единицу времени. Эта величина носит название активности радиоактивного вещества.

Единицей активности в СИ является секунда в минус первой степени (с'1). Это активность такого вещества, в котором происходит один распад в одну секунду. Эта единица называется беккерель (Бк).

Внесистемной единицей активности служит кюри (Ku). Кюри ——это активность 1 г радия, т. е. число распадов, которое происходит в 1 г радия в 1 с.

Зная период полураспада радия (Т——1590 лет), можно найти активность 1 г радия. В 1 г радия число атомов будет М—N{M (М ——масса моля радия, Уд ——постоянная Авогадро). Вычисляя, получим

2,67・ 1()2"т.2,67・ 1()2"т.N — 6,023 102! моль226 'моль

2,67・ 1()2"т.

2,67・ 1()2"т.

Тогда активность 1 г радия

4 = W-^|^^-=3,7- Ю^с-^ЗД-1010 Бк.

Отсюда кюри определяется как активность такого радиоактивного препарата, в котором ежесекундно происходит 3,7,10")распадов.

Применяется также единица активности резерф* рд (Рд) — активность препарата, в котором ежесекундно происходит 100 распадов.

1Рд=1О0 ci 1Ки = 3,7・10& Рд.

§ 17.4. Экспериментальные методы наблюдения и регистрации частиц

Для изучения различных свойств радиоактивных излучений (а- и р-частиц, у-фотонов), а также для исследования других частиц в современной ядерной физике применяются различные методы, в основе которых лежат главным образом ионизирующее и фотохимическое действия излучения.

Рис. 17.3Рис. 17.3Еще в начале нашего столетия В. Круксом и другими учеными было обнаружено, что при попадании а-частиц на флуоресцирующие вещества они вызывают слабые, но видимые непосредственно глазом световые вспышки ——так называемые сцинтилляции. Было установ-

Рис. 17.3

Рис. 17.3

〃«*ш частиц

лено, что каждая а-частица вызывает одну световую вспышку и это может быть использовано для счета а-частиц. Однако непосредственный подсчет глазом числа вспышек труден и утомителен. После создания в конце 40-х годов электронных умножителей (см. т. II, § 10.4) были построены сцинтилляционные счетчики частиц. В таком счетчике, схема которого изображена на рис. 17.3, используется светящееся флуоресцирующее вещество, в котором частицы, обладающие достаточно большой энергией, вызывают сцинтилляционные вспышки. Каждая вспышка действует на фотокатод электронного умножителя и выбивает из него электроны. Последние, проходя л каскадов умножителя, дают

на выходе импульс тока, который затем подается на вход усилителя и приводит в действие электромеханический счетчик имп\льсов. На осциллографе можно получить регистрирующую кривую, показывающую интенсивность отдельных импульсов. Эта ингенсивность пропорциональна энергии отдельной сосчитанной частицы. Таким образом определяют не только число частиц, но и распределение их по энергиям. Для того чтобы большая часть свега, возникшего в рез、пьтате вспышки, доходила до фотокатода, межд^ веществом и фотоэлектронным умножителем устанавливается «светопровод» ——цилиндрический стержень из органического стекла (люцита), внутри которого свет, испытывая непрерывно полное внутреннее отражение, проходит практически без потерь.

Излечение Вавилова — Черенкова с 1951 г. стало препесняться для счета частиц и у-фогонов (в последнем случае по вторичным электронам, которые создают ^-фотоны). Такие счегчики Черенкова применяются для счета частиц, дви жущихся в веществе со скоростью, пре вышающей фазовую скороеib света в данной среде. В эюм случае, как известно, при движении каждой заряженной частицы возникает излучение Вавилова —■ Черенкова. Фиксируя это излучение, можно сосчитать пролетающие частицы. Схема счетчика Черенкова приведена на рис. 17.4. Заряженные частицы проникгиот вдоль оси в блок из люцита с показателем преломления 孔= 1,5, Под характерным для эффекта Черенкова j глом (cos 仆工 1单〃)возникает излучение, фокусируемое сферической поверхностью люцитового корпуса / и отражаемое системой зеркал 2 на фотокатоды 3 дв〉х умножителей, помещенных вне траекторий движущихся вастшь Из-за специфических условий возникновения излечения Вавилова —— 11ерепкова такими счетчиками могут быть сосчитаны (при 〃 = 】，5) электроны с энергией выше ОД 8 МэВ, протоны с энергией, превышающей 320 А1зВ, и у-фотоны, создающие вторичные электроны достаточно высоких энергий.

Поскольку счетчик Черенкова регистрирует направление излучения, он позволяет определить направление движения частицы, вызывающей излучение. Наблюдение излучения Вавилова ——Черенкова под различными углами позволяет идентифицировать частицы по их скоростям н энергиям. Счетчики Черенкова в настоящее время устанавливаются на искусственных спутниках Земли и космических кораблях для исследования космического изл\чения. Они сыграли большую роль в открытии двух элементарных частиц —— антипротона и антинейтрона (см. § 19.7),

На ионизирующем действии частиц, обладающих достаточно большой энергией, основано устройство ионизационных камер, служащих для наблюдения и регистрации частиц. Если энергия частиц, проходящих через газ, превышает энергию ионизации молекул газа, то такие частицы способны создавать первичные или вюричные ионы обоих знаков. Первичные ионы непосредственно создаются а- и р-

излучениями, вторичнь^е — рентгеновским или у-излучением. В последнем случае вначале под действием излучений возникают вторичные электроны (фотоионизация), а они уже вызывают затем ионизацию

молекул или атомов газа.

Регистрация нейтронов основана на изучении процессов их взаимо

действия с ядрами (см. § 17.4, 18.5).

Число пар ионов, образующихся в газе в единицу времени, может служить мерой интенсивности потока частиц или фотонов, вызвавших

ионизацию.

Число пар ионов

x当n 言9 X-QKW噌odli у i AsHHshasHQs

占纪пи q皆营

проп叩аиана他 настпн

Q/п 口стьдатжьшнил

yss^w-豆wLq昼后Q

Omcwb рабньм

может быть измерено, еслм об

разующиеся ионы направить электрическим полем к электродам и измерить возникший при этом ток. При определенных условиях ионизационный ток пропорционален числу пар ионов, возникших в 1 с. Другими словами, он пропор

ционален интенсивности пото

ка частиц, вызвавших иояиза-

〃夕加ок частии Ш!и фотонов

女

I Л цшишю

0 %诊® 薛 的千

Рис. 17.5Рис. 17.6

ВДЮ. Такая пропорциональность наблюдается лишь в режиме тока РЕасыщения (см. т. II, § 12.2 и 12.3), когда все ионы достигают электродов, а не исчезают вследствие рекомбинации или диффузии к стенкам. Устройства, работающие на этом принципе в р е ж и м е тока насыщения, называются ионизационными камерами.

На рис. 17.5 изображена кривая зависимости силы тока в газе ст разности потенциалов между электродами. Ионизационные камеры работают в режиме участка UiU2 кривой до появления самостоятельного газового разряда, вызванного ударной ионизацией. Принципиальная схема ионизационной камеры изображена на рис. 17.6, В зависимости от формы электродов / и 2 различают плоские, цилиндрические и сферические камеры. К электроду / подается напряжение U порядка нескольких сотен вольт. Электрод 2, называемый внутренним или собирающим, присоединяется к усилителю. Ионизационный ток измеряется по падению напряжения на высокоомном сопротивлении R усилителем.

Устройства, работающие на участке UK” кривой ионизационного тока (см. рис. 17.5), т. е. в области самостоятельного газового

разряда, вызванного ударной ионизациеи, называются счетчиками. Они являются наиболее распространенными измерительными приборами, применяемыми в различных областях ядерной физики. При этом различают две возможные области кривой (см. рис. 17.5), где используются счетчики. На участке V2UZ число пар ионов, возникших в газе в результате столкновений, а также разрядный импульс напряжения пропорциональны числу пар ггонов, первично образовавшихся от ионизирующей частицы. Поэтому область U^U^ называется областью пропорциональной зависимости, а счетчики, работающие в режиме этой области, называются пропорциональными счетчиками. Они характеризуются сравнительно невысоким (or 102 до 1О) «коэффициентом размножения» ионов, возникших 7 в результате соударений, причем этот коэф-

у /? Ц § фициент является постоянным. Область U3U& т[—|!: ” а 昆 называется областью ограниченной пропор-

義 * циональности и в счетчртках практически не используется. Наибольшее значение для счет-

Рнс 1'7чиков имеет область, называемая областью

равных импульсов или областью Гейгера (по имепи Г. Гейгера, который в 1928 г. вместе с В. Мюллером впервые использовал эту область газового разряда для подсчета электронов). Область Гейгера характеризуется сильным разрядом, вызванным столкновениями, большой ролью ультрафиолетового свечения разряда, которое выбивает фотоэлектроны из молекул и атомов газа, а также стенок разрядной трубки. В области Гейгера ионизационный ток н е зависит от числа первичных ионов, образованных каждой ионизирующей частицей, первоначально попавшей в счетчик.

Схема счетчика Гейгера ——Мюллера с нитью изображена на рис. 17.7. Он представляет собой металлический цилиндр, наполненный газом. По оси цилиндра натянута тонкая металлическая нить С, имеющая относительно стенок положительный потенциал U порядка 1000 В. Попадание внутрь цилиндра ионизирующей частицы вызывает в счетчике появление ионов, которые, ускоряясь полем, существующим между нитью и цилиндром, вызывают дальнейшую ионизацию. Весьма высокий коэффициент размножения ионов (порядка 108 и более) не является постоянным ——нарастание числа ионов приводит к появлению разряда. Последовательно нити счетчика включается резистор такого сопротивления R, чтобы возникший в счетчике разряд вызывал на этом резисторе падение напряжения, достаточное для прерывания разряда. Для работы счетчика в области Гейгера существенно, что условия возникновения, развития и гашения разряда зависят лишь от попадания в счетчик ионизирующей частицы и не зависят от числа пар ионов, созданных ею на единице длины пути. Каждый раз при появлении в счетчике разряда импульс тока, возникший в счетчике и усиленный до необходимого значения, отмечает попадание в него одной частицы. В так называемых торцовых счетчиках нить заменена иглой, а в перед-

ней стенке счетчика, обращенной к исследуемому потоку частиц, сделано отверстие, сквозь которое проходят частицы (отверстие закрыто фольгой необходимой толщины). Счет у-фотонов в таких счетчиках производится по действию электронов, которые вырываются благодаря

фотоэффекту и ком птон - эффекту из стенок счетчика,

Большое значение для изучения природы и свойств радиоактивных излучений и для исследования элементарных частиц сыграла камера Вильсона, разработанная Ч. Вильсоном в 1911—1912 гг. Вильсон обнаружил, что пересыщенный водяной пар легко конденсируется

в капли на цепочке ионов, образующихся вдоль траектории ионизирую

щей частицы. Для конденсации требуется быстрое пересыщение пара,

которое происходит, если некоторый объем насыщенного пара подвергнуть адиабатическому расширению, сопровождающемуся охлаждением. Помимо водяных паров для этой цели применяются пары спирта, четыреххлористого углерода и других веществ. На рис. 17.8 приведена схема камеры расширения Вильсона. В цилиндре Л, который имеет сверху прозрачную крышку С, с помощью поршня В создается нужный объем пара. Следы ионизирующих частиц, пересекающих, камеру, в нужный момент времени освещаются и фотографируются. Стенки камеры прозрачны в

некоторых местах, что позволяет производить фотографирование под различными углами и получать стереоскопические снимки. Камера Вильсона дает возможность производить измерение следов пролетаюЕцих частиц. В объеме камеры перед расширением создается электрическое поле, которое удаляет все возникшие в объеме ионы и выключается непосредственно перед расширением. Согласова

ние моментов времени ——выключения электрического поля, расширения, освещения и фотографирования ——производится автоматически. Камерн приводятся в действие пролетающей частицей, которая должна быть сфотографирована. С этой целью над камерой и под ней уста-1 навливаются счетчики Гейгера —— Мюллера, В момент совпадения импульсов от обоих счетчиков, что указывает на пролет частицы через камеру, автоматически срабатывает механизм, приводящий камеру в действие.

По предложению Д. В. Скобельцына, камеру Вильсона обычно помещают в сильное однородное магнитное поле (метод Вильсона • Скобельцына). Заряженные частицы испытывают в таком поле действие силы Лоренца и их траектории искривляются (см. т. П, § 18.3). По радиусу кривизны траектории и известной скорости частицы может быть определен ее удельный заряд. Наоборот, при известном значении удельного заряда по величине радиуса кривизны находят скорость и энергию частицы.

След пролетающей ионизирующей частицы можно также сделать видимым в перегретой жидкости (см. т. I, § 13.3), закипающей при резком уменьшении давления. Центрами интенсивного парообра-

зования, приводящего к появлению цепочки пузырьков пара, явля-: ются ионы, образующиеся вдоль траектории заряженной частицы. Этот принцип осуществлен в пузырьковой камере, предложенной Д. А. Гла зером (1952). В качестве рабочих жидкостей (наполнителей) в ней применяют жидкий водород, пропан С3НЯ и другие легкокипящие жидкости (главным образом фреоны). Преимуществом пузырьковой камеры перед камерой Вильсона является значительно большая (примерно в 103 раз) плотность вещества наполнителя Это позволяет применять ее дли регистрации частиц очень больших энергий, которые тормозятся в пузырьковой камере на отрезках, в тысячи раз меньших, чем в камере Вильсона, Если в камере Вильсона можно сфотографировать лишь малый участок траектории очень быстрой частицы, то зафиксированный в пузырьковой камере след частицы соответствует в тысячи раз большему участку траектории в камере Вильсона.

Последним из экспериментальных методов, на котором мы остановимся, является метод толстослойных, или ядерных, фотоэмульсий, разработанный Л. В. Мысовским и А. П. Ждановым. Ои основан на использовании почернения фотографического слоя под действием проходящих через фотоэмульсию быстрых заряженных частиц. Ядерные эмульсии применяются в виде ряда слоев. Это позволяет исследовать траектории частиц высоких энергий. Для изучения следов частиц, обладающих очень высокой энергией и дающих длинные следы, большое число пластинок складывается в стопу, помещаемую наклонно к следу. Тогда последовательные участки следов траектории частицы можно изучать по почернению эмульсии в пластинках стопы, следующих друг за другом. Существенным преимуществом метода фотоэмульсий помимо простоты применения является то, что он дает н е и с ч е з а ю hi, и й след частицы, который затем может быть тщательно изучен. Это привело к широкому применению метода ядерных фотоэмульсий при изучении свойств новых элементарных частиц и исследовании космического пространства (путем установления пластинок с ядерными фотоэмульсиями на спутниках, ракетах и космических кораблях). Этим же методом с добавлением к эмульсии соединений бора или лития могут быть изучены следы нейтронов, которые в результате реакций с ядрами В и Li создают а-частицы, вызывающие почернение в слое ядерной эмульсии. По следам сх-часгиц делаются выводы о скоростях и энергиях нейтронов, вызвавших появление а- частиц.

§ 175 Закономерности радиоактивного а-распада

Радиоактивный сх-распад является свойством тяжелых ядер с массовыми числами Л > 200 и зарядовым числом Z > 82. Внутри тяжелых ядер происходит образование а-частиц, состоящих каждая их двух протонов и двух нейтронов. Обособлению этих четырех нуклонов способствует свойство насыщения ядерных сил. По сравнению с отдельными нуклонами сформировавшаяся сх-частица подвержена меньшему действию ядерных сил притяжения и вместе с тем

большему действию кулоновских сил отталЕ<пвапия от протонов ядра.

Ядра естественно-а-радиоактивных элементов, близко расположенных в периодической таблице Менделеева, весьма резко отличаются по значениям периодов их полураспадов. Вместе с тем, как показали исследования, скорости вылетающих а-частиц у радия А(^Ро) и радия С'(*；Ро) отличаются весьма незначительно— 1,68* 107 м/с и 1,92х X IO? м/с* Для выяснения механизма а-распада и его особенностей боль

шое значение имели опыты по рассеянию а-частрщ тяжелыми радиоактивными ядрами и одновременное измерение энергии ос-частиц, испускаемых этими ядрами. На рис. 17.9 изображена кривая по1енциаль- ной энергии системы ядро урана — а-частица. На рас

стояниях, превышающих

радиус действия ядерных сил, кривая является частью гиперболы, соответствующей взаимодействию сс-частицы с положительно заряженным ядром по закону Кулона. На расстояниях, где действуют ядерные силы, кривая потенциальной энергии аппроксимирована вертикальной прямой, соответствующей резкому изменению с расстоя

нием ядерных сил,

Из рис. 17.9 видно, что ядро представляет для а-частицы потенциал ьиый барьер некоторой высоты U» Опыты Резерфорда по рассеянию а-ча('тиц, получаемых при распаде тория С「на ядрах урана показали, что а-частицы, обладая энергией 8,8 МэВ, до расстояний ^3-10~14 м рассеиваются ядром урана по закону Кулона. Отсюда следует, что высота барьера U^ для а-частицы больше чем 8,8 МэВ. -В противном случае сс-частица с такой энергией не была бы рассеяна ядром, а была бы им захвачена, т. е. проникла бы внутрь ядра. Наряду с этим обнаружилось, что а-частицы, испускаемые ядром урана, имеют энергию, меньшую высоты барьера и равную лишь 4 МэВ. Из кривой рис. 17.9 видно, что это соответствует выходу а-частицы из ядра па расстояниях 6,7* 10~и м от его центра. Таким образом, сс- частица, не будучи в состоянии преодолеть барьер высоты Uq, выходит из ядра, проходя сквозь запрещенную область 4笈，где ее полная энергия W значительно меньше потенциальной. Такое прохождение частицы сквозь потенциальный барьер ——туннельный эффект (см. § 12.8)——характеризуется прозрачностью D потенциального барьера, вычисляемой по формуле (12,39').

Формула (12.39') указывает на большую чувствительность прозрачности барьера к малейшим изменениям энергии сс-частицы, находящейся внутри потенциальной ямы L В самом деле, даже незначительные изменения в значениях 取 приводят к тому, что величина

1 В данном случае для а-частицы внутри ядра.

exp(——京 J 厂2团“[U (无)——旷"л:) будет очень сильно изменяться. При малейишх изменениях энергии W а-частицы в ядре значительно изменяется и прозрачность D потенциального барьера. Этим объясняются отмеченные выше большие различия в периодах полураспадов радиоактивных элементов при сравнительно близких значениях энергий выле- тйюдщх из их ядер сс-частиц.

Постоянную распада 入 можно легко связать с прозрачностью D потенциального барьера для сс-частицы. Простоты ради заменим реальный потенциальный барьер прямоугольным потенциальным барьером длины L, изображенным на рис. 12.11, Тогда вероятность того, что за единицу времени произойдет а-распад,——постоянную распада X —— можно представить произведением

九=0他 (17.10)

где п ——число ударов а-частицы о стенку барьера за единицу времени. Если v^ V^W!та ——скорость а-частицы в ядре, то 打=炉/(2厶)，ибо 2 L есть расстояние, проходимое а-частицей от одного удара о стенку барьера до другого. Используя формулу (12.39) для прозрачности прямоугольного барьера и подставив значения D и ?г в выражение (17.10), получим 1

^ = 7Т ]/'~~ ехР ^—jy~2ma(U0 — W) L^ . (17.11)

Формула (17.11) указывает на существование зависимости межд\ постоянной распада и начальной энергией а-частицы.

Наличие определенной связи между постоянной радиоактивного распада и начальной энергией вылетающих из ядра а частиц было уста-

новлено экспериментальным путем значительно раньше, чем была создана современная теория а-распада. Исследование кривых удельной ионизации, производимой а-частицами в различных газах, показало, чго зависимость числа а-частиц от длины пути R, который эти частицы проходят в данном веществе, изображается кривой, представленной на рис. 17.10.

бегов а-частиц незначительнобегов а-частиц незначительноИз кривой видно, что длины про- отличаются от некоторой величины

бегов а-частиц незначительно

бегов а-частиц незначительно

Ro, являющейся экстремальным значением пробега а-частиц. Иными

словами, длины пробегов а-частиц, испускаемых данным радиоактивным веществом, варьируются в очень небольших пределах вблизи Ra ——некоторой постоянной длины пробега. Г, Гейгер и Дж. М. Нэт- тол на основании анализа большого числа опытов установили соотношение, носящее название закона Гейгера — — Нэттола: чем меньше

При этом опущен коэффициент DQ, близкий к единице.

период полураспада радиоактивного элемента, тем больше пробег испускаемых им а-чаапиц. Закон Гейгера — Нэттола выражае1ся формулой

или \nR = Af\nK + Bf, (17.12) 1пА=4+В In R, (17.13)

где 4, В', Л и В — эмпирические константы.

Более точные исследования показали, что у каждого а-излу- чающего ядра могут существовать несколько групп «моноэнергети- ческих» а-частиц. Разброс энергий а-частиц внутри каждой группы очень мал. Оценку степени неоднородности а-частиц по энергиям можно произвести с помощью соотношения неопределенностей (12,15). Если обозначить через AW разброс энергий а-частиц, а через Д/ —— время, в течение которого происходит их испускание, то согласно

(12.15) Ш

Для радиоактивных элементов с наименьшим периодом полураспада △£ а 10~4 с, откуда 厶取^ IO* Дж. Эта величина значительно меньше разности энергий а-частиц, принадлежащих различным «мо- ноэнергетическим» группам.

Экспериментальные данные о наличии у одного и того же а-радио- активного элемента нескольких групп а-частиц с различными R。и постоянство длин пробегов для каждой такой группы показывают, что выбрасываемые из ядер а-частицы обладают определенным «спектром» энергий и, следовательно, атомные ядра обладают дискретными энергетическими уровнями.

Гамма-излучение

Гамма- из л учен ие не вызывает изменения заряда и массового числа ядер, а поэтому не описывается никакими правилами смещения. Установлено, что у-лучи как самостоятельный вид естественной радиоактивности не встречаются и обычно сопровождают а- и |3-распады. Опытным путем установлено, что у-лучи испускаются не материнским, адочерним ядром, которое в момент своего образования оказывается возбужденным и обладает избыточной энергией по сравнению с обычным, нормальным энергетическим состоянием ядра. За весьма малое время (порядка 10~13 —— —Ют с), значительно меньшее, чем время жизни возбужденного атома (^ 10™8 с), дочернее ядро переходит в нормальное или менее возбужденное состояние и при этом испускает у-излучение, имеющее дискретный, линейчатый спектр,

Указанные выше свойства у-излучения ядер были доказаны при изучении явления внутренней конверсии v-лучей. Так называется явление фотоэффекта на электронах внутренних оболочек атома под действием у-лучей, испускаемых его ядром. Электроны, которые образуются в результате такого внутриатомного фотоэффекта, называются конверсированными или электронами конверсии. В ряде случаев вся энергия у-излучения расходуется на явление внутренней конверсии и

тогда вместо 7-лучей могут наблюдаться лишь электроны конверсии. Энергия е屮 фотоэлектрона конверсии связана с энершеи Лу у-фотона уравнением (11.2) Эйнштейна для фотоэффекта.

e^^hv—An,

где Лп ——работа выхода электрона с л-й электронной оболочки атома， равная энергии электронов, находящихся на определенных энергетических уровнях в атоме. Энергии электронов, находящихся на этих уровнях/ известны из данных о характеристических рентгеновских спектрах атомов. Гамма-фотон, обладающий большой энергией hv, может удалить электрон из любой внутренней оболочки (К-, L， М-оболочки и т д.) Поэтому энергии е屮几 электронов конверсии выразятся следующим образом:

eq)L =尿一Al ； есрм =hv — Лм ；以pa = /iv —才川 и т д., (17.14)

где 4小 力加，А& —— энергии рентгеновских уровней атома.

Очевидно, что атом, ядро которого испускает 7-фотон, должен благодаря внутренней конверсии испускать одновременно характеристические рентгеновские излучения Действительно, в результате конверсии атом теряет электроны из внутренних оболочек, на их место переходят электроны с внешних оболочек, что сопровождается излучением линий рентгеновского характеристического спектра (см § 14,11) Измерения энергии конверсированных электронов и весьма точные данные об энергиях рентгеновских уровней в атомах позволяют, во-первых, убедиться в том, что ядро может испускать определенный ряд монохроматических у-лучей, т. е что у-излучсние обладает линейчатым спектром. Во-вторых, при рассмотрении соотношений (17 14), если считать известными значения всех входящих в них величин, можно убедиться в том, что у-лучи испускаются не материнским, а дочерним ядром в момент его образования.

Наличие дискретного, линейчатого спектра у-излучения, как и существование определенных энергий а-частиц, выбрасываемых ядрами, имеет принципиальное значение и является доказательством того, что атомные ядра могут находиться в определенных дискретных энергетических состояниях.

Энергия у-фотона может быть записана следующим образом.

hvik = W-Wk, (17.15)

где vlk ― частота у-фотона, соответствующего переходу ядра из состояния с энергией Wt в состояние с энергией IV\ Измерения энергии У'фотонов показывают, что разность 必工一％ в большинстве случаев имеет порядок величины 0,1 МэВ. Это означает, что у-лучн являются весьма коротковолновым электромагнитным излучением с длиной волны, не превышающей 10'11 м, т е ОД Л. С другой стороны, это показывает, что энергетические уровни в ядрах весьма раздвинуты «друг от друга. Разность энергий ближайших уровней в ядре значительно превышает разность энергий ближайших электронных уровней в атоме.

На большой проникающей способности у-излучения основана гамма-дефектоскопия — метод обнаружения дефектов в изделиях путем просвечивания их у-лучами, широко применяемый в промышленности и строи!ельстве (металлургия, судостроение и т. д). Различные местные повреждения в сварных швах, металлических отливках и других объектах обнаруживаются по различной интенсивности у-излучения7 прошедшего через исследуемые тела. В зависимости ог состава, толщины, плотности и других свойств просвечиваемою и Аделия изменяется интенсивность у-излучения, достигшего приемника, поставленного за объектом. Таким методом определяют местоположение, размеры и формы дефектов (трещины, раковины, непроваренные швы и т. п ).

Действие на вещество у-излучения и других «“нов ионизирующих излучений оценивается дозой излучения D. Так называется ве- личина» равная отношению энергии излучения к массе обличаемого вещества.

Единицей дозы является джоуль на килограмм (Дж кг) Это доза излучения, при которой массе в 1 ki облученного вещества передается энергия ионизир\ющего излечения 1 Дж. Эта единица называется грей (Го).

Внесистемная единица дозы ■— рад, 1 рад= 10~3 Дж^кг= 10~2 Гр.

Мощностью N дозы излучения называется доза D, отнесенная к единице времени* М=。7

Единицей мощности дозы является ватт на килограмм (Вт'кг или Гр/с).

Энергетической хапактеристикой излучения, оцениваемой по ионизации сухого а!мосферного воздуха, является экспозиционная доза излучения D3 Единицей ее служит кулон на килограмм (Кл^кг)—— экспозиционная доза рен1геновского или гамма-излучения, при которой сумма электрических зарядов ионов одного знака, созданных электронами, освободившимися в облученном воздухе массой в 1 кг при полном использовании ионизирующей способности, равна 1 1<л.

Внесистемной единицей экспозиционной дозы служит рентген (Р)：

1 Р=2,58 10-4 Кл/кг

При экспозиционной дозе, равной 1 Р, в 10-(, м3 сухого воздуха при нормаль ном агмосферггом давлении возникает с\ммарнн也 заряд ионов одного знака равный 1/3 1О'Э К л'

Мощность экспозиционной дозы Na=D/t выражается в амперах на килограмм (А/кг). Это мощность экспозиционной дозы электромагнитного излучения, при которой за время в 1 с экспозиционная доза возрастает на 1 Кл/кг.

Внесистемные единицы мощности экспозиционной дозы I Р/с=2,58Д/кг- 1 Р/мин=4,ЗОИО-0 А/кг, 1 Р/ч=7,17.Ю- A/ki.

(бэр). Так называется поглощенная энергия излучения, биологически эквивалентная одному рентгену:

1 бэр = 10-2 Дж/кг.

Для человеческого организма считается безопасной мощность дозы, примерно в 250 раз превосходящая мощность, которую создают космический фон и радиоактивные излучения из недр Земли.

Эффект Мёссбауэра

Выводы о существовании дискретных энергетических уровней у атомного ядра с присущими им определенными значениями энергии нуждаются в одном важном уточнении. Строго говоря, лишь основное состояние стабильного ядра имеет определенную энергию. Все возбужденные состояния ядра имеют значения энергии, определенные лишь с точностью до величины △步,вытекающей из соотношения неопределенностей (12.15):

△取Q方A:,

где А/ ——время жизни ядра в возбужденном состоянии. Лишь для основного состояния стабильного ядра А/=оо и А步=0. Чем меньше величина А/, тем большей становится неопределенность ДР7 величины энергии возбужденного состояния. Например, ядро иридия (^Цг) имеет возбужденное состояние с энергией 步=129 кэВ. Переходя в основное состояние, это ядро испускает у-巾отон. Если принять, что у иридия период полураспада Т^Ю-10 с равен времени △厶 то соотношение неопределенностей дает возможность оценить величину А 取. Она оказывается приблизительно равной 5- 1О-0 эВ. Конечное время жизни возбужденных энергетических состояний ядра приводит к немонохроматичности у-излучения, сопровождающего переход ядра из возбужденного состояния в основное. Эта немонохроматичность называется естественной шириной линии у-излучения, а неточность АР7 величины энергии возбужденного состояния называется естественной шириной энергетического уровня и обозначается буквой Г. В предыдущем примере Г=5-10~6 эВ, что составляет весьма малую часть энергии W уровня: ГШ=\' 10-11. Очень важной задачей ядерной физики являлось отыскание способов измерения весьма малых изменений Энергии, сравнимых с естественной шириной уровня「. Это давало бы возможность измерять энергию уровней в ядрах с весьма большой относительной точностью Г/W.

Методом измерения малых изменений энергии на величину, сравнимую с шириной уровня Г, является резонансное поглощение у-излучения ядрами. Если ядро облучается у-фотонами такой частоты V, что энергия Av фотона равна разности энергий одного из возбужденных и основного энергетических состояний ядра, то может происходить резонансное поглощение у-излучения —— ядро поглощает 丫-фотон такой же частоты, какую имеет излучаемый самим ядром у-фотон при переходе ядра из данного возбужденного энергетического состояния в основное.

Однако практическое осуществление резонансного поглощения у-излучепия до последнего времени затруднялось весьма широкими линиями излучения и поглощения. Это связано с тем, что в актах излучения и поглощения ядром у-фотонов необходимо учитывать отдачу ядра. При переходе ядра из возбужденного состояния с энергией W в основное (энергия которого принята равной нулю) у-фотон приобретает энергию 叫，меньшую, чем W, на величину Wa энергии отдачи ядра:

Wy=W~Ws<W.

Аналогично при возбуждении ядра и переходе его из основного состояния в состояние с энергией W -р-фотон должен обладать энергией Wv, большей W на величину /я той энергии отдачи, которою ■р-фотон должен передать поглощающему ядру:

W：? = W +Wa>W.

Таким образом, частоты в максимумах линий излучения vH31 и поглощения vnorJI сдвинуты друг относительно друга на величину Av=

—江 такую, что Mv=2^fl.

Энергию Ww отдачи ядра можно подсчитать, воспользовавшись законом сохранения импульса, согласно когорому в процессах излучения и поглощения -у-фотона импульс его рф должен быть равен импульсу ядра ря: р^=р.・ Тогда

Для ядра 嶋 1г с энергией возбужденного состояния W= 士129 кэВ вычисления дают результат %0,05 эВ. Таким об

разом, максимумы линий излучения и поглощения сдвинуты на величину ^v=2Wjh. Легко видеть, что /iAv=0,laB значительно превышает естественную

ширину уровня Г. На рис. 17,11 изображено относительное расположение и форма линий излучения и поглощения -р-лучей с энергией W перехода 129 кэВ ядром иридия при Т=300 К- Из рисунка видно,что резонансное поглощение и испускание у-лучей может происходить лишь для небольшого числа у-фотонов в области перекрытия линий испускания и поглощения L Для увеличения этой области и тем самым улучшен卩я условий наблюдения резонансного поглощения п;пменялссь доплеровское смещение частоты линий испускания в

1 Аналогичный расчет энергии огдачи в случае излучения и поглощения видимого света с длиной волны Х^5000А при массовом числе А —200 показывает, что и/я=1,36"10~п эВ, т. е. является весьма малой величиной. Это означает, что линии испускания и поглощения полностью перекрываются и поэтому в видимой области могут осущесшляться процессы резонансного поглощения и излучения.

результате быстрого движения излучающего источника. Однако такие опыты не могли быть использованы для измерения малых изменений энергии, так как результаты опытов зависели от точности измерений скорости движения источника.

Р. Мёссбауэр разработал метод (1958), позволивший резко уменьшить энергию отдачи 步“ ядер в процессах испускания и поглощения у-лучей и тем самым создать условия, при которых эти процессы происходят практически без потерь энергии на отдачу ядер. Речь идет о явлении, получившем название эффекта Мёссбауэра. Метод основан на том, чтобы наблюдать излучение и поглощениеу-лучей ядрами, находящимися в кристаллической решетке, т. е. в связанном состоянии. В этих условиях импульс и энергия отдачи передаются не одному ядру, излучающему у-фотон (или поглощающему его), а в с е й кристаллической решетке в целом. Ввиду того что масса кристалла значительно больше массы ядра, потери энергии W^ при излучении и поглощении у-лучей становятся весьма малыми, т. е. эти процессы происходят практически без потерь энергии, идеально упруго. Из предыдущего ясно, что в этом случае будет наблюда гься резонансное поглощение и испускание строго определенной час готы, а линии поглощения и испускания будут весьма узкими, имеющими только естественную ширину.

Методом резонансного поглощения -р-излучения без отдачи измеряются весьма малые изменения энергии. Так, например, измерения эдикта Мёссбауэра для ^-перехода в ядрах ”Fe с энергией перехода IF—14,4 кэВ позволили определить изменение энергии с точностью до величины Г/W, равной 3-10"13, а для Y-перехода в 67Zn с энергией перехода 呼=93 кэВ величина ГШ оказалась равной 5-10-16. Возможность измерять очень малые изменения энергии и высокая точность этих измерений позволили с успехом применять э^ект Мессбауэра для наблюдения очень тонких и важных эффектов в современной физике. Так, в 1960 г. этим методом в лабораторных условиях было измерено смещение частоты спектральных линий в гравитационном поле (так называемое «красное смещение»).

При движении фотона в гравитационном поле между точками с гравитационными потенциалами 屮i и ср2 (см. т. I, § 6.2) его энергия изменяется на величину А 步=—加力(屮?一屮。一一"紀 Ар Знак минус указывает на то, что увеличение энергии фотона в гравитационном поле происходит за счет уменьшения его «собственной» энергии 取= =无也 т.巳儿Av=——m巾 Аср. Подставив массу фотона т#=6吟 получим относительное изменение частоты при прохождении фотоном гравнта* ционной разности потенциалов Дер:

Av Аф

Потенциал поля тяготения Солнца увеличивается по мере удаления от него. Это значит, что на поверхности Зем^и он больше, чем на поверхности Солнца, т. е. Aq > 0. Следовательно, Avzv отрицательно и все спектральные линии Солнца и звезд, регистрируемые на 3<м ю, 6\;рт иметь меньшие частоты, сдвинутые к красному участку спеюра. Этот

虱巾ект поэтому и получил название гравитационного красного смещения.

Идея использования э^екта Мёссбауэра для измерения красного смещения состояла в том, чтобы сравнить частоты -р-фотона на полу и потолке лаборатории и определить сдвиг частоты. При подъеме по вертикали в поле тяготения Земли на высоту 10 м гравитационное красное смещение равно | ^ | — ^ — ^ ^： Ю-15. Для того чтобы зарегистрировать такой сдвиг частоты, нужно было осуществить резонансное поглощение у-фотонов так, чтобы источники и приемники ^-из- лучения имели относительную ширину линий, меньшую или равную Ю~15. При этих условиях поглощение надежно отсутствовало, если частота у-фотона, падающего на ядро, отличалась от частоты фотона, который ядро может поглотить, на величину Av^lO''15 v.

В опыте, о котором идет речь, два одинаковых кристаллических источника у-излучения располагались на 20 м один выше другого. Когда приемник у-излучения находился на одной высоте с источником 丫-фотонов, происходило резонансное поглощение. При подъеме приемника на 20 м поглощение прекращалось вследствие гравит анионного смещения частоты. Для восстановления поглощения использовался эффект Доплера (см. § 9.5). При определенной скорости сближе ния приемника с источником излучения доплеровское увеличение частоты компенсировало ее гравитационное уменьшение и резонансное поглощение у-луией восстанавливалось. Описанный опыт подтвердил в земных условиях один из результатов общей теории относит елыюсти.

Эффект Мёссбауэра с успехом применен для наблюдения доплер- эффекта второго порядка (см. § 9.5). В так называемой ядерной спек】- роскопии эффект Мёссбауэра используется для точных измерений энергетических уровней атомных ядер. В физике твердого тела эффект Мёссбауэра открывает такие возможности для исследования, которые по своей значимости можно сравнить с методом Лауэ наблюдения дифракции рентгеновских лучей. Как известно, этот метод в свое время открыл целую эпоху в исследовании строения и свойств твердых тел. Мы не имеем, к сожалению, возможности входить в более подробное обсуждение уже имеющихся применений аффекта Мёссбауэра и перспектив его дальнейшего использования.

§ 17-8, Закономерности р-радиоактивности

Явление естественной р_-радиоактивности г, как это следует из правил смещения (17.5), не связано с изменением числа наклонов в ядре, ибо массовое число А нс изменяется при вылете электрона. Протонно-нейтронное строение ядра исключает возможность вылета из ядра стабильно существующих электронов — их в ядре нет. Поэтому теоретическое истолкование [3.-радиоактивных превращений ядер явилось весьма важной задачей ядерной физики.

1 Обозначение р_ для процесса естественной p-радиоактивпости связано с тем, что, как выяснится в § 18 2, возможен еще процесс р+ искусственной р-радиоактив- ности.

Ей предсюяло ответить на вопрос: откуда берутся электроны, выбрасываемые ядрами при радиоактивном р_-распаде? Сам термин «распад» здесь должен употребляться в условном смысле. Речь идет, строго говоря, не о распаде, а о превращении материнского ядра 纟X в дочернее zQY с одновременным испусканием электрона. Однако термин «р--распад» обычно применяется, и мы будем им пользоваться. Предположение о том, что электрон покидает электронную оболочку, окружающую ядро, отпадает, ибо это было бы связано либо с изменением

химических свойств атома (ионизация с внешних электронных подуровней), либо с одновременным возникновением кроме у-нзлу- чения рентгеновских фотонов, если бы электрон удалялся с одной из внутренних оболочек. Эксперименты не подтвердили ни того,

ни другого.

Серьезную роль в развитии современных представлений о при

роде р__-распада сыграло изучение энергетического спектра испускае

мых электронов.

На рис. 17.12 представлена кривая распределения р_-частиц по энергиям для изотопа 羽К. Она характерна для распределения по энергиям электронов у всех радиоактивных источников. Важной особенностью всех энергетических р„-спектров является их н е прерывность. Во всех случаях кривая начинается с нуля и ограничена со стороны больших энергий. Наибольшая энергия W^4 макс, которой могут обладать испущенные электроны, называется верхней границей энергии [3_-спектра и является характеристикой источника [3_-излу- чения 1.

Непрерывность энергетического спектра испускаемых электронов при p^-распаде явилась большой трудностью в ядерной физике. В самом деле, из изложенного в предыдущих параграфах с необходимостью вытекает, что атомные ядра как квантуемые системы могут находиться в определенных энергетических состояниях. В таком случае, почему же р_-активные ядра, которые до и после р_-распадп имеют вполне определенные энергии, могут выбрасывать электроны(о всевозможными энергиями? Можно подумать, что электрон выбрасывается с определенной энергией (равной разности энергий материнского и дочернего ядра), а затем электрон каким-то образом растрачивает некоторую часть своей энергии, причем эта часть может быть различной а. Однако это предположение было опровергнуто прямыми ка-

В действительности, как видно из кривой рис. 17.12, энергией IT乩 макс не обладает ни один электрон, испущенный данным источником. Однако существенно, что кривые типа изображенных на рис. 17.12 не приближаются асимптотически к оси абсцисс, а пересекают ее при 晔，макс. Это означает, что для данного источника р_-из- лучения невозможны энергии электронов, превышающие 阳廿,маис.

Например, можно предположить, что энергия электрона растрачивается внутри электронных оболочек атомов радиоактивного препарата, испускающего р_-лучи.

лориметрическими опытами. Если ^..-активный препарат находится в свинцовой ампуле, непроницаемой для р_-лучей, то вся энергия, выделяемая при р_-расладе, заключена внутри ампулы. Поместив ампулу в калориметр, можно измерить энергию, выделившуюся за определенное время, и подсчитать энергию, приходящуюся на один электрон, испускаемый ядром. Если бы гипотеза о том, что выбрасываемая р_- частица имеет постоянную энергию, оказалась верна, то измеренная калориметрически энергия на один распад совпадала бы с %, макс — верхней границей энергии в спектре р_-излучения. Многочисленные опыты такого типа, поставленные с большой точностью, показали, что указанная энергия совпадает не с W^^ макс, а со средней энергией частицы, которая составляет лишь четверть от W^i макс.

Затруднение с непрерывностью энергий, испускаемых ядрами В—-лучей, имело принципиальный характер. Речь шла о нарушении закона сохранения энергии при р_-распаде. Н. Бор пытался даже обосновать теоретически возможность нарушения закона сохранения энергии в отдельных элементарных процессах, происходящих в микромире, в том числе и во внутриядерных явлениях. Согласно этим идеям Бора, справедливость закона сохранения энергии должна проявляться в микромире лишь статистически для большого числа элементарных процессов. Однако поскольку многочисленные достижения квантовой теории в области атомной и ядерной физики не пришли в противоречие ни с одним из основных законов природы (в частности, для элементарных процессов закон сохранения энергии подтверждался всякий раз с поразительной точностью), не было оснований выделять процесс р_-распада среди других процессов.

Помимо кардинальной трудности с законом сохранения энергии с ^--распадом была связана еще одна трудность. Как известно, при ^-распаде ядра не изменяется число нуклонов в ядре. Поэтому не должен изменяться и спин ядра, равный целому числу 方 при четном массовом числе А и полуцелому числу 方 при нечетном числе Л. Но вылет электрона, имеющего спин 方/2, должен изменить спин ядра на величину 方应，т. е. ядро, имеющее, например, четное число нуклонов, должно было бы после р_-распада иметь полуцелый спин и подчиняться другой квантовой статистике, продолжая сохранять в своем составе четное число нуклонов. Это противоречило экспериментальным и теоретическим данным о строении и свойствах атомных ядер.

Таким образом, явление р_-радиоактивности поставило перед ядерной физикой три трудные проблемы: откуда берутся вылетающие электроны, почему их энергии могут принимать всевозможные значения от 0 до 啤,макс и как совместить сохранение при р_-распаде спина ядра с тем, что электрон уносит из ядра спин, равный 方/2? Решение этих проблем было предложено В. Паули (1931). Он предположил, что при Р„-распаде помимо электрона вылетает еще одна частица, обладающая нулевым зарядом, ничтожно малой массой и спином, равным 方/2. Э. Ферми, разработавший на основе гипотезы Паули теорию p.-распада, назвал эту частицу нейтрино, что означает «маленький нейтрон». Нейтрино принято теперь обозначать символом Jve. Согласно современным данным, частицей, испускаемой при электронном 卩一・

распаде, является не электронное нейтрино »户，а так называемое электронное антинейтрино, обозначаемое Sve и обладающее, как и электронное нейтрино, спином 力/2, нулевым зарядом, нулевой массой и магнитным моментом, не превышающим 10~9 магнетона Бора. Вопрос о различии «античастиц» ——нейтрино и антинейтрино — более подробно рассмотрен в § 19.7.

Введение нейтрино (а впоследствии и антинейтрино) позволило сразу объяснить наличие сплошного энергетического спектра у р_.- радиоактивных излучателей. Полная энергия, теряемая ядром при испускании электрона, действительно равна IV%, макс ——верхней границе p^-спектра. Но опа может различным образом распределяться между электроном и антинейтрино в соответствии с кривой па рис. 17.12. В частности, пулевое значение энергии электрона на кривой означает, что вся энергия ^„-распада уносится антинейтрино. В граничной точке кривой рис. 17.12, где энергия электрона равна W^4 макс, вся энергия распада уносится электроном, а энергия антинейтрино равна нулю. Во,всех промежуточных точках кривой рис. 17.12 энергия распада распределяется между электроном и антинейтрино таким образом, что сумма энергий этих частиц все время равна %, мнк「 Естественным образом объяснилось и сохранение спина ядра при Р„.-распаде. Поскольку вместе с электроном уносится н антинейтрино, обладающее, как и электрон, спином 力/2, суммарный спин обеих частиц при взаимно противоположной ориентации их спинов может быть равен нулю.

Вопрос о возникновении электронов при р_-распаде мы рассмотрим несколько дальше, а сейчас кратко остановимся на вопросе об экспериментальном обосновании гипотезы о нейтрино. Эксперимент по обнаружению антинейтрино рассмотрен в § 19.7. Обнаружение нейтрино (и антинейтрино) сопряжено с большими трудностями, связанными с отсутствием у этих частиц электрического заряда и массы. Дело в том, что нейтринные частицы практически почти не взаимодействуют с веществом. Если -р-лучи высоких энергий порядка 10G —— 10s эВ, сравнительно слабо взаимодействующие с ядрами, должны пройти в среднем 2,5—3 м в свинце, прежде чем у-фотон будет захвачен ядром, то, как можно подсчитать, нейтрино должно пройти через свинец расстояние в ... 50 световых лет, прежде чем произойдет ее взаимодействие с ядром . Идея одного из экспериментов по обнаружению нейтрино состоит в изучении отдачи атомных ядер при р^-распаде. Если бы вылетающий при р_-распаде электрон был единственной частицей, то, по закону сохранения импульсов, ядро приобретало бы при этом импульс, равный и противоположный импульсу электрона 3. Если же при ^.-распаде ядра вместе с электроном выбрасывается и антинейтрино, то векторная сумма трех импульсов ——электрона, антинейтрино и ядра отдачи ——должна быть равна нулю. Это

показано на рис. 17.13. Во всяком случае, импульсы электрона и ядра отдачи не могут быть в случае наличия антинейтрино направлены в противоположные стороны. Опыт подтвердил эти соображения.

Для решения вопроса о возникновении электронов при распаде следует еще раз напомнить, что при этом распаде согласно правилу смещения (17.5) число нуклонов в ядре не изменяется и заряд ядра увеличивается на одну единицу. Единственной возможностью одновременного осуществления этих условий является превращение в ядре нейтрона ^几 в протон ；р с одновременным образованием электрона

w вылетом антинейтрино :v©:

о^ 一^}РА- -1^ 4" ove- (17」6)

При этом превращении выполняются закон сохранения электрического

заряда, а также, как видно из идеи рассмотренных выше опытов, закон сохранения импульса. Сохраняется также баланс массовых чи

сел. Остается выяснить энергетическую возможность такого превращения. Оно должно сопровождаться выделением энергии, необходимой для образования электрона и антинейтрино при самопроизвольном протекании естественной р_- радиоактивности. Превращение нейтрона в протон оказывается возможным ввиду различия масс и энергий покоя этих частиц. Масса покоя нейтрона пре

вышает массу атома водорода (т. е. про

тона и электрона, вместе взятых) на 0,837-10~3 а.е.м. Этой массе соответствует энергия, равная 782 кэВ. За счет этой энергии может происходить самопроизвольное превращение нейтрона в протон. Энергия 782 кэВ при этом должна распределяться между вылетающими электроном и антинейтрино.

Для подтверждения изложенной выше теории p.-распада cyui,e- ственное значение имело обнаружение (1950) радиоактивного распада свободных нейтронов. В связи с созданием ядерных реакторов, генерирующих потоки нейтронов большой интенсивности, удалось наблюдать радиоактивный распад свободного нейтрона. Оказалось, что этот процесс происходит с периодом полураспада, равным (1,01 土 士 0,03)-103 с. Электроны, возникающие при распаде нейтрона, имеют, как выяснилось, непрерывный энергетический спектр того же типа, что и приведенный на рис. 17.12. Верхняя граница W^^ накс энергии электронов, образовавшихся при распаде нейтрона/ оказалась равной 782 кэВ, что соответствует приведенным выше расчетам.

При движении в веществе ^--электронов и других заряженных частиц они теряют энергию. Мерой потери энергии заряженной частицей является величина ——dW/dxf т. е. убыль энергии dW частицы на единице длины пути dx. Различают потери энергии ионизационные и радиационные. Первый тип потерь обусловлен взаимодействием заряженных частиц с электронными оболочками атомов, а второй ——взаимодействием с ядрами. Детальный анализ показывает, что иониза-

ционные потери зависят от скорости и заряда по закону—(丽丿 ~ ^-вплотьдо энергий частиц порядка нескольких мегаэлектронвольт.

При дальнейшем возрастании скорости и энергии частицы убыль энергии прекращается. Радиационные потери связаны с тормозным излучением, т. е. испусканием фотонов при торможении частицы кулоновским полем ядер атомов вещества. Как известно (см. § 14.11), результатом такого торможения является появление рентгеновского излучения с непрерывным спектром частот. Особенно велики тормозные потери энергии в конденсированных средах, где велика плотность ядер и, следовательно, вероятность торможения ядрами заряженных частиц. Исследование радиационных (тормозных) потерь позволило установить следующие закономерности этого явления:

радиационные потери возрастают с увеличением заряда ядра атомов вещества прямо пропорционально Z2;

тормозное излучение прямо пропорционально квадрату ускорения частицы и, следовательно, при одном и том же заряде частиц (одинаковой силе взаимодействия с ядрами вещества) обратно пропорционально квадрату массы частицы.

Отсюда следует, что тормозное излучение является основным источником потерь энергии для б ы с т р ых электронов, в то время как для протонов и более тяжелых заряженных ядер тормозные потери несущественны. При малых энергиях электронов основным источником потерь энергии являются ионизационные потери. Отсюда следует, что существует некоторая критическая энергия электронов, при которой тормозные потери становятся равными ионизационным. Для воды она равна около 100 МэВ, для свинца ——около 10 МэВ, для воздуха —— нескольким десяткам МэВ.

Глава XVIII

ИСКУССТВЕННЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ЯДЕР

§ 18.1. Первые ядерные реакции. Открытие нейтрона

Открытие естественной радиоактивности сыграло большую роль в изучении строения и свойств атомных ядер. Оно давало возможность зондировать ядра с помощью а-частиц, обладающих достаточно большими энергиями и способных, преодолев потенциальный барьер, проникнуть внутрь ядра.

Так было положено начало изучению ядерных реакций — искус

ственных превращений атомных ядер, вызванных их взаимодействием

с частицами или друг с другом. Впервые ядерная реакция была осу

ществлена в 1919 г. Э. Резерфордом с помощью а-частиц, испускаемых полонием 驾Ро и имеющих энергию около 7,5 МэВ. Схема опыта Резерфорда изображена на рис. 18.L В камере К, наполненной различными газами, помещался радиоактивный полониевый источник С. Сцинтилляции, вызванные попаданием каких-либо частиц на экран

S, наблюдались в микроскоп М. Альфа- частицы с энергией, близкой к 7,5 МэВ, имели при давлениях газов,

которые создавались в камере, такие длины пробегов, что алюминиевая фольга 尸,поставленная перед экраном S, полностью поглощала все ос-частицы, испущенные полонием. Таким образом, в микроскопе не должны были наблюдаться сцинтилляции, вызванные ос-частицами.

Между тем опыт показал, что при наполнении камеры азотом сцинтилляции наблюдались. При заполнении камеры другими газами, например кислородом или углекислым газом, сцинтилляций не было.

Появление сцинтилляций означало, что при наполнении камеры азотом действие а-частиц на атомы азота приводило к возникновению

новых частиц, обладающих достаточной проникающей способностью и достигающих экрана S. По отклонению этих частиц в магнитном поле удалось установить, что это были протоны, и измерить их скорость. Резерфорд объяснил результаты своего опыта так: при столкновении с ядром азота быстрая ос-частица проникает в него и вызывает ядерную реакцию превращения азота в ядро кислорода с выбрасыванием

протона.

Ядерные реакции происходят в соответствии с законами сохранения суммарного массового числа частиц, обладающих массой покоя, и суммарного электрического заряда всех ядер и частиц, участвующих в реакции. Поэтому указанную реакцию можно записать следующим образом:

(18.1)

Действительно, из (18.1) видно, что сумма нижних индексов — зарядов всех ядер и частиц, а также сумма верхних индексов — их массовых чисел — неизменны как до, так и после реакции.

В дальнейшем детальное описание ядерной реакции (18.1) было проведено с помощью автоматизированной камеры Вильсона, позволяющей получать стереоскопические снимки и производить измерение пробегов пролетающих частиц. Фотографии следов показали, что весьма редко след ос-частицы заканчивался вилкой, изображенной на рис. 18.2. В точке О исчезает след частицы, поглощенной ядром азо- D та, и вместо него образуются два следа: короткий 4жирный след ядра кислорода *0, испытавшего от

дачу, и длинный топкий след, явно не принадле- ^уОжащий ос-частице,一 след протона, образовавшегося

Xпри ядерной реакции.

/По закону сохранения импульса в реакции (18.1)

можно определить отношение масс ядра отдачи и Рис. 18.2 образовавшейся частицы. Для этого по фотографии следов нужно измерить угол между следами ОА и Ор продуктов реакции и по измеренным длинам пробегов вычислить скорости ядра кислорода, а-частицы и протона. Расчеты показали, что искомое отношение масс равно 1 : 17, что соответствует образованию в реакции изотопа кислорода ^0 и протона ；р.

Реакция (18.1) происходила с поглощением энергии, т. е. была эндотермической реакцией L Энергию \W, поглощенную в реакции, легко определить по разности масс частиц, вступивших в реакцию и получившихся в результате нее, аналогично тому, как в § 16.4 вычислялась энергия связи частиц в ядре:

△刃= 931,5 (ЛЬ* + 叫н。一Mig—叫卩)МэВ.

По известным значениям всех масс можно подсчш ать, что AIF= =—1,16 МэВ. С другой стороны, энергетический выход реакции может бьпь подсчитан, если применить к реакции одновременно законы сохранения импульса и энергии. Оба метода вычисления оказалась в хорошем согласии друг с другом и полностью подтвердили правильность записи реакции (18.1). Одновременно теоретическое и экспериментальное изучение реакции (18.1) показало, что законы сохранения энергии и импульса и соотношение W^mc^ могут с успехом применяться к элементарным актам ядерных превращений.

После осуществления первой ядерной реакции были предприняты обширные исследования превращений ядер атомов бора, алюминия, фтора, калия и других элементов по действиям а-частиц. В общем виде все эти реакции можно записать следующим образом 2:

2x +Щe - 好:Y + 扣 + A呼， (18.2)

Эндотермическая реакция может происходить лии1ь начиная с определсиной минимальной энергии налетающей сс-частицы, называемой энергетическим порогом реакции.

В подобной записи, обычно применяемой в ядерной физике, величина А1卩 добавляется для суждения об энергетическом характере реакции.

где £Х — исходное ядро, облучаемое а-частицей, ^У — ядро, получившееся в результате реакции. Величина \W может быть как отрицательной для эндотермических реакций, так и положительной для экзотермических реакций (происходящих с выделением энергиих).

Экзотермические реакции не имеют энергетического порога и могут происходить при любых значениях энергии налетающей частицы.

Однако при незначительных энергиях такие реакции мало вероятны. Примером экзотермической реакции служит ядерная реакция превращения ядра алюминия 式А1 в ядро кремния 曾Si:

27A1+4He_3oSi+ip+Ar.

В этой реакции были обнаружены протоны с длиной пробега около 0,9 м. Такой большой пробег протонов объясняется тем, что в этой реакции выделяется энергия ^W, равная 2,26 МэВ,

Ядерные реакции под действием а-частиц привели к открытию нейтронов, которые, как известно из предыдущего, входят в состав атомных ядер. В 1930 г. при облучении ядра бериллия ^Веа-частнцами было обнаружено возникновение весьма сильно проникающего излучения. Предположили» что ядро бериллия, захватив а-частицу, превращается в возбужденное ядро изотопа углерода 擊С, переход которого в нормальное состояние сопровождается испусканием фотонов жестких у-лучей. Оценки энергии предполагаемых -р-лучей по их поглощению привели к тому, что у-фотон должен иметь энергию, близкую к 7 МэВ.

В 1931 г. Ф, Жолио-Кюри и И. Кюри-Жолио обнаружили, что «бериллиевое излучение», проходя через водородсодержащие соединения, например парафин, производит интенсивнее выбивание протонов, обладающих длиной пробега до 26 см. Для получения протонов с такими пробегами у-фотонн должны были бы иметь энергию не 7, а 55 ЕзВ. Дальнейшие исследования показали, что излучение, которому вначале приписывали электромагнитный характер, вызывает появление ядер отдачи в таких газах, как азот, аргон и даже сравнительно тяжелый криптон. Причем при наблюдаемых в аргоне пробегах ядер отдачи у-фотоны должны были иметь энергию, которая почти на порядок величины больше, чем та, которую фактически имели частицы проникающего излучения, возникшего в бериллии. Выход из этого затруднения был указан в 1932 г. Д. Чэдвиком. Он доказал, что наблюдаемые в различных газах пробеги и скорости ядер отдачи могут возникнуть при соударении этих ядер не с -р-фотонами, а с частицами, масса которых близка к массе протона. Эти частицы и были названы нейтронами (}?). В самом деле, нейтрон с массой покоя тп н скоростью 方 до упругого центрального соударения с неподвижным ядром, имеющим массу М, сообщит этому ядру скорость V, которая находится из законов сохранения импульса и энергии:

0=2m"//(优" + m).

В экзоюрмической реакции сумма кпнешческих энергий ее продуктов превышает энергию падающей частицы на величину выделяющейся энергии ЛУГ.

Для случаев прохождения нейтронов через азот (Л! = 14) и водород (ЛТ = 1) отношение скоростей ядер отдачи равно

VN ： VH = (rnn + 1) ：(т„ + 14).

Из экспериментальных данных о скоростях ядер отдачи отношение ?n/?h оказалось равным приблизительно 0,13. Это дает для тп значение, близкое к единице. Нейтроны, не обладающие электрическим зарядом, не взаимодействуют с электронами атомов и не имеют кулоновского взаимодействия с ядрами. Однако благодаря ядерным силам и наличию у нейтронов магнитных моментов существует взаимодействие нейтронов с ядрами, которое и приводит к появлению ядер отдачи, наблюдаемых экспериментально.

Ядерная реакция, в которой впервые были получены нейтроны, имеет следующий вид:

:Вв +岀 ет*С + М・(18.3)

В дальнейшем нейтроны сыграли выдающуюся роль в качестве частиц, вызывающих ядерные реакции.

Искусственная радиоактивность. е-Захват

И. Кюри-Жолио и Ф. Жолио-Кюри обнаружили (1934), что в некоторых ядерных реакциях под действием а-лучей облучаемые ядра испытывают радиоактивный распад после того, как действие на них ос-лучей прекращается. Опыты проводились с ядрами алюминия, бора, магния. Это означало, что в результате воздействия а-частиц на ядра последние становились радиоактивными. Опыты показали, что изменение активности этого собственного радиоактивного излучения удовлетворяет основному закону радиоактивного распада (17.2), т. е. экспоненциально зависит от времени, как и в случае естественной радиоактивности. Периоды полураспада для бора, алюминия и магния оказались равными соответственно 14, 3,25 и 2,5 мин.

Так было открыто явление искусственной (наведенной) радиоактивности, заключающееся в том, что под действием а-частип, а также нейтронов и других частиц могут возникать искусственнорадиоактивные ядра, дающие собственные радиоактивные излучения.

Возможность существования искусственной радиоактивности вытекает из следующих соображений. Согласно формуле (16.15), устойчивыми, обладающими наименьшей энергией, являются ядра с числом протонов Zyg：

Zyc「Zyc「1,98+0,015А2/31,98+0,015А2/3Л

Zyc「

Zyc「

1,98+0,015А2/3

1,98+0,015А2/3

и соответствующим числом нейтронов (4——Zycr). При меньшем числе протонов, чем это предписывается формулой (16.15), ядро обладает повышенной энергией и оказывается неустойчивым. Наличие в ядре меньшего, чем следует по (16.15), числа протонов и, следовательно, избыток в нем нейтронов приводят к тому, что ядро стремится уменьшить свою энергию путем превращения нейтрона в протон, рас-

смотренного в § 17.8. Как известно, это приводит к радиоактивному Р„-распаду, сопровождающем) ся выбрасыванием из ядра электрона н антинейтрино.

Существенно, что условием такого процесса является избыток в ядре числа нейтронов по сравнению с их числом, требуемым формулой (16,15). Следовательно, радиоактивными мог>т быть не только тяжелые ядра, для которых наблюдается явление естественной радиоактивности.

Легкие ядра, в которых искусственно создано избыточное число нейтронов по сравнению с протонами, т. е. такие ядра, где нарушено условие их стабильности (16.15), также могут быть ^-радиоактивными. Изотопы, обладающие таким свойством, называю!ся искусег- веннорадиоактивными. Типичным примером является превращение стабильного изотопа натрия 署Na под действием нейтронов в радиоактивный изотоп iiNa. Этот изотоп является ^--радиоактивным и превращается в стабильный изотоп магния 翁Mg, причем процесс сопровождается выбросом электрона и -р-фотона:

裳NaTMg-7宀.

Радиоактивный изотоп углерода "С, возникающий из стабильного ядра азота ^N под действием нейтронов (с выделением протонов), распадаясь, вновь превращается в устойчивый изотоп азота:

K — +战

Радиоактивный изотоп кобальта ?；Со, испуская электроны, превращается в стабильный изотоп никеля ；；Ni L

Примеров искусственной ^--радиоактивности можно привести очень много.

В настоящее время искусственнорадиоактивные изотопы, возникающие под действием нейтронов, получаются в результате деления тяжелых ядер (см. § 18.7) и их создание является одним из процессов, происходящих в ядерных реакторах (см. § 18.10).

Условие (16.15) устойчивости ядер может быть нарушено также путем введения в ядро избыточных протонов. Это приведет к возрастанию энергии ядра по сравнению с ее минимальным значением, определяемым условием (16.15), и к появлению у ядра радиоактивных свойств. Такие ядра будут претерпевать радиоактивный распад, соответствующий превращению избыточного протона в нейтрон по схеме

；Р―о^ + +1^ + ove- (18.4)

Возникающая при этом частица +?е с положительным единичным зарядом имеет массу, равную массе электрона, спин, равный 方/2, и называется позитроном. Реакция сопровождается, как мы видим, выбрасыванием нейтрино oVe——незаряженной частицы с массой покоя, равной нулю, что вытекает из тех же соображений, которые изложены в § 17.8 при обсуждении р_-распада.

1 В приведенных выше реакциях не указано, что они сопровождаются выбрасыванием антинейтрино.

—413 —

В связи с тем что масса покоя (а следовательно, и энергия покоя) протона меньше, чем у нейтрона, реакция (18.4) не может происходить для свободного протона, как это наблюдается для нейтрона. Однако для протона, связанного в атомном ядре благодаря ядерному взаимодействию частиц, эта реакция оказывается энергетически возможной. Превращение (18.4) при наличии избыточного протона переводит ядро в состояние с минимумом энергии ч сопровождается ее выделением, Искусегвеннорадиоактивное превращение, приводящее к появлению позитронов, называется радиоактивным р,-распадом в отличие от обычного электронного распада. Искусственную 卩『- радиоактивноегь впервые наблюдали супруги Жолио-Кюри при облучении сс-частицами бора, алюминия и магния. Как показало детальное изучение этих ядерных реакций, они происходят по следующей схеме:

а)】怨 hlHe —^N-> ?N + X

i；N -1£+ 我 + 3；

(18.5)(18.5)；；Al+；He — j；P —猾P + 3?,

(18.5)

(18.5)

?职一賤++:e + 3；

；»\g + 3H2 —；；Si —恥i+^〃，

Искусствсннорадиоактивные изотог^ы 号N и HSi имеют в своих ядрах но одному избыточному протону, чем и объясняется позитронный характер их радиоактивности. Появление в ядерных реакциях (18.5) позитронов было доказано наблюдением треков этих чаешц в камере Вильсона, находящейся в магнитном поле. Характер отклонений частиц указывал на наличие у них положительного заряда. Опыты показали, что масса покоя позитрона в точности равна массе покоя электрона, а его спин равен 方/2. Все сказанное в § 17.8 о непрерывном энергетическом спектре электронов, образуемых в процессе естественной р_-радиоактивности, относится и к спектру энергий позитронов, возникающих при искусственной ^-радиоактивности.

Превращение протона в нейтрон в ядре может происходи!ь кроме процесса р+-радиоактивностн с помощью так называемою е-захвата, обнаруженного Л. Альварецем (1937). Этот вид искусственной радиоактивности заключается в том, что превращение ；/7->新 сопровождается исчезновением одного из электронов на ближайшей к ядру К-оболо^ке атома. Протон ；р, превращаясь в нейтрон, как бы «захватывает» электрон _?е с /(-оболочки; отсюда и термин электронный захват, или е-захват \ Часто ^-захват называют третьим типом |}-радиоактивности. При этом из законов сохранения вытекает необходимость появления нейтрино. е-Захват может быть описан следующей схемой:

初+ -喪一Т〃 + »е・(18.6)

На самом деле захвата электрона ядром, разумеется, не происходит. Превращение протона в нейтрон в ядре сопровождается одновре-

менным исчезновением электрона на /(-оболочке. Примером е-захвата является превращение радиоактивного ядра бериллия jBe в устойчивое ядро лития §Li. Период полураспада этого процесса составляет 53,6 дня. Другим примером является превращение радиоактивною изотопа ванадия ^V в стабильный изотоп тнтана 芻Т с периодом полураспада 600 дней.

Опыты показали, что при ^-захвате наблюдается характеристическое рентгеновское излучение, принадлежащее К-линии элемента. Последнее очень существенно для обнаружения ^-захвата. При е- захвате, кроме нейтрино, никакие частицы не вылетают. В этом состоит существенное отличие ^-захвата от процессов р j -радиоактивности, при которых вылетают две частицы, между которыми распределяется энергия распада. В случае ^-захвата нейтрино уносит всю энергию распада. Это означает, что нейтрино, вылетающие при е-захватв, должны обладать определенной энергией. Это обстоятельство использовалось в одной из попыток экспериментального обнаружения нейтрино (см. § 19.7).

В результате превращения ；р-＞仆i в ядре его атомный номер Z становится равным Z1, т. е. в результате ядерного превращения возникает ядро атома химического элемента, расположенного на одно место левее в периодической системе элементов Менделеева. Одновременно на ближайшей к ядру ^оболочке образовавшегося атома оказывается лишь один электрон вместо двух. Как известно из § 14.11, в этом случае должно возникать характеристическое рентгеновское излучение. Таким образом, экспериментальным методом обнаружения ^-захвата является возникновение рентгеновского характеристического излучения у продукта этого радиоактивного процесса.

В подавляющем большинстве случаев ядра, возникшие в результате ^-захвата, оказываются возбужденными и переходят в нормальное состояние с испусканием -р-излучения.

Возникновение и уничтожение электронно-позитронньэх пзр

В 1928 г. П. Дирак из релятивистского волнового уравнения для электрона вывел, как следствие, с^ ществование частицы (позитрона), которая должна проявлять себя как положительный электрон (см. § 19.7).

В 1932 г., за два года до открытия супругами Жолио-Кюри искусственной радиоактивности, X. Андерсон обнаружил позитроны среди частиц, входящих в состав космических лучей (см § 19.2). Вскоре выяснилось, что позитроны возникают в процессе образования пар. Так называется процесс превращения -у - фото н а большой энергии в пару частиц — электрон и позитрон. Этот процесс, происходящий по схеме Y~^_i^++?e, вызывается столкновением у-фотона с какой-либо заряженной частицей, например атомным ядром, в поле которого и образуется электронно-позитронная пара. Возникновение пары экспериментально может быть обнаружено, например, в камере Вильсона, находящейся в магнитном поле. Под

действием силы Лоренца, действующей на дви?кущийся заряд в постоянном магнитном поле, происходит отклонение заряда. Электрон и позитрон, имеющие противоположные по знаку заряды, отклоняются в противоположные стороны. На рис. 18 3 приведена фотография пары, образовавшейся в слое свинца толщиной 5-10~2 м под действием у-фотонов с энергией в 5,7 МэВ.

Рис 18 3Рис 18 3Образование пары электрон + позитрон должно происходить в соответствии с законами сохранения энергии и импульса. Из закона сохранения энергии следует, что для создания пары -р-фотон должен иметь энергию, не меньшую чем 2 т. е. /iv^2/noC—l,O22 МэВ, где тос2=О,511 МэВ есть энергия покоя каждой из образовавшихся частиц. Поэтому, например, у-излучение полония с энергией 0,8 МэВ не создает пары, вто время как -р-излучениес энергией 1,8МэВ образует пары.

Рис 18 3

Рис 18 3

Закон сохранения импульса накладывает дополнительные ограничения на процесс образования пары. Дело в том, что при обра зо- вании из фотона двух частиц с массой покоя 加о声0 суммарный импульс обеих частиц меньше, чем импульс фотона hv/c 工 Поэтому в системе фотон — электронно-позитронная пара закон сохранения импульса оказывается нарушенным. Это означает, что для образования пары нужно участие еще одной частицы, принимающей на себя часть импульса фотона,

превышающую суммарный импульс обеих частиц. Такой частицей обычно является атомное ядро, но может служить и один из электронов электронной оболочки атома вещества, в котором происходит торможение жесткого -р-излучения. В этом последнем случае электрон отдачи получает импульс, который может быть обнаружен по следу этого электрона в камере Вильсона . Возникновение пары частиц (электрона и позитрона), обладающих каждая спином, равным 方/2, из -р-фотона требует помимо выполнения законов сохранения энергии и импульса, чтобы фотон обладал целым спином (в единицах 力)，равным 0 или 1. Ряд веских соображений, в обсуждение которых мы не входим з, привел к выводу, что фотон не может быть бесспиновой частицей и что, следовательно, спин фотона равен 方.Это означает, что «газ фотонов» — электромагнитное поле — должен подчиняться статистике Бозе — Эйнштейна. Действительно, применение статистики Бозе ——Эйнштейна к полю излучения абсолютно черного тела приводит к формуле Планка.

Кроме процесса возникновения электронно-позитронной пары возможен обратный процесс соединения этих частиц, при котором пара уничтожается и возникает в подавляющем большинстве случаев два у-фотона. Этот процесс может быть описан следующим образом:

學+ +”2» (18.7)

Появление при таком процессе двух у-фотонов вытекает из закона сохранения импульса. В самом деле, если до воссоединения частиц 一;е и +；е суммарный импульс обеих частиц в системе координат, связанной с центром масс системы электрон — позитрон, был равен нулю, то для сохранения импульса неизменным после уничтожения пары должны образоваться два у-фотона, импульсы которых направлены В противоположные стороны Каждый из у-фотонов уносит энергию, равную /iv^/noc2—0,511 МэВ L

Возникновение и уничтожение электронно-позитронных пар отражает важный принцип обратимости процессов микромира, известный в квантовой физике. Если существует какой-то прямой процесс, то существует и обратный процесс. Поэтому в уравнении (18.7) стрелки должны быть направлены в обе стороны.

冬+ £=2» (18 7')

Прямым экспериментальным доказательством существования эффекта уничтожения пары являются опыты Л. А Арцимовича, А. И Алиханова и А. И. Алиханяна. Они воспользовались тем, что в свободном состоянии позитрон может существовать весьма недолго. Проходя через вещество, он воссоединяется с одним из электронов атома вещества и при этом возникают два у-фотона. В описываемых опытах источник позитронов помещался внутри свинцовой оболочки, которая располагалась между двумя счетчиками. Толщина оболочки выбиралась такой, чтобы все позитроны внутри нее соединялись с электронами, а образовавшиеся -р-фотоны проходили наружу и фиксировались счетчиками. Опыты показали, что в каждом акте воссоединения позитрона с электроном возникали два у-巾отона, летящих в противоположные стороны. Измерения интенсивности у-излучения позволили измерить энергию hv фотонов, оказавшуюся близкой к 0,5 МэВ.

Явления возникновения и уничтожения электронно-позитронной пары представляют интерес как пример взаимосвязи различных форм материи. Мы встречаемся здесь с превращением материи в форме вещества в материю в форме электромагнитного поля и с обратным превращением. Разумеется, при этих превращениях выполняются все законы сохранения. Так, масса у-фотона, из которого образуется пара, оказывается в точности равной массе образовавшихся частиц. Поэтому не может быть речи ни о каком «уничтожении» или «рождении» массы, а тем более материи в этих процессах. Именно поэтому следует избегать термина «аннигиляция» («превращение в ничто») пары при описании процесса превращения пары в -р-фотоны.

Последнее справедливо в том случае, если можно пренебречь кинетическими энергиями 闷3 и Fn электрона и позитрона до их воссоединения Вообще говоря, энергия обоих 7-фотонов равна Wiy—2moc2+W9+ Wa.

14 а. А. Детлаф, Б. M. Яворский — 417 —

Составное ядро. Общая характеристика и примеры ядерных реакцмй

В основе подавляющего числа ядерных реакций лежит столкновение атомных ядер с частицами (нейтронами, а-частицами, протонами, дейтронами) или меаду собой L Эти столкновения существенно отличаются не только от соударений тел или частиц, рассматриваемых в классической механике (см., например, т. I, § 6.5), но и от механизма столкновений налетающих частиц с электронной оболочкой атомов или молекул, рассматриваемых в квантовой механике.

В классической физике и в большинстве квантовомеханических задач о столкновениях рассматривается передача импульса (а при неупругих соударениях ——и энергии) от налетающей частицы к какой- либо одной частице мишени, с которой происходит столкновение. Например, при возбуждении или ионизации атома соударением его с ионом происходит передача энергии от иона к какому-либо электрону атома. В результате этот электрон либо переводится в возбужденное энергетическое состояние, либо в случае ионизации удаляется из атома.

В ядерных столкновениях мы встречаемся с принципиально иной ситуацией. Короткодействие ядерных сил приводит, как известно из § 16.6, к тому, что плотность ядерного вещества очень велика. Ядро представляет собой настолько плотное образование, что когда в него попадает налетающая частица, она не взаимодействует с каким-либо одним нуклоном. Проникая в ядро, частица не простреливает ядро, а «застреваете в нем, причем энергия частицы передается не одному, а многим нуклонам. Таким образом, захват ядром попавшей в него частицы приводит к образованию промежуточного так называемого составного ядра ( «компаунд» -ядра)* В этом состоит первый этап ядерной реакции.

Н. Бор, Я. И. Френкель и Л, Д. Ландау, развившие теорию составного ядра, показали, что энергия 呼，которую приносит с собой частица, за весьма малое время равномерно распределяется между всеми частицами составного ядра, т. е. не только нуклонами ядра-мишени, но и частицами, из которых состоит захваченный ядром «снаряд» 2, Согласно теории составного ядра, оно, как и любое возбужденное тяжелое ядро (с большим массовым числом), может рассматриваться как статистическая система частиц, совершающих неупорядоченные движения, подобные движению частиц в капле жидкости. По своим свойствам составное ядро должно быть аналогично капле жидкости (см. § 16.7), поскольку быстрое перераспределение энергии между частицами в ядре возможно лншь при частых столкновениях частиц, что характерно для перераспределения энер- 1ИИ между частицами жидкости. В частности, распределение энергии

В качестве исключения, когда столкновения не происходит, укажем на спонтанное деление ядер (см. § 18 7)

Налетающая частица (например, дейтрон или а-частица) может в свою очередь состоять из нескольких элементарных частиц.

W возбуждения составного ядра между всеми его частицами должно подчиняться статистическим законам, в первом приближении 一一 закону равномерного распределения энергии по степеням свободы (см. т. I, § 11.5). Если составному ядру с массовым числом Л сообщена энергия W. то средней энергии возбуждения на одну частицу W/A должна соответствовать некоторая «ядерная температура» Т, определяемая из условия

WlA^/^T.

Мерой ядер ной температуры является средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну частицу составного ядра.

Например, при 4 = 100 и 117=100 МэВ «ядерная температура» оказывается по порядку величины равной 109 градусам.

Огромное значение Т показывает условность этого понятия.

Статистическое рассмотрение составного ядра-капли оказалось очень плодотворным для описания общих закономерностей протекания ядерных реакций, в частности для понимания второго этапа я д е р н о й реакции — вылета из составного ядра тех или иных частиц. В результате случайных отклонений от равномерного распределения энергии возбуждения между частицами составного ядра на одной из них может сконцентрироваться энергия, достаточная для вылета этой частицы из ядра. Этот процесс можно рассматривать как «испарение» частицы из составного ядра-капли. Между первым этапом ядерной реакции и вылетом из составного ядра тех или иных частиц проходит время, много большее так называемого ядерного времени, за которое принимается время, необходимое для того, чтобы частица с энергией порядка 1 МэВ и скоростью ^107 м/с прошла расстояние, по порядку величины равное диаметру ядра

IQ-16 м

10"Ч м, т. е. время, равное ня= 乂/c = ]0一噩 с. Время жизни составного ядра достигает (10е——107)тя. Это означает, что превращения составного ядра ——второй этап ядерной реакции ——происходят н е- зависимо от захвата падающей частицы ядром-мишенью, т. е. от первого этапа реакции. Оба этапа ядерной реакции могут быть изображены следующей схемой:

0乎+a-史y一修f +b，(18.8)

где g：X — исходное ядро-мишень, а — налетающая частица,方丫 一 составное ядро, g：C——ядро-продукт ядерной реакции, b ——частица, вылетевшая из ядра в результате реакции.

В том случае, если испущенная ядром частица тождественна с падающей (a^=b)t формула (18,8) описывает рассеяние частицы (неупругое или упругое в зависимости от того, одинаковы или нет энергии частицы до и после рассеяния). Если же частица b не тождественна а, то происходит ядерная реакция в прямом смысле слова.

Эффективность любой ядерной реакции определяется величиной эффективного поперечного сечения о данной реакции, характе-

ризующего ее «выход» на одну облучающую ядро частицу. Предположим, что за единицу времени на единицу площади поперечного сечения слоя вещества, содержащего 2V0 ядер в единице объема, падает плоскопараллельный поток, в котором содержится 孔о частиц. Тогда число частиц dnu, претерпевающих ядерную реакцию в слое толщиной dx, можно выразить следующим образом:

dnQ—Gtio^odx. (18 9)

Величина о, выражаемая в квадратных метрах (м), называется эффективным поперечным сечением данной ядерной реакции L

Составное ядро 殳Y может, как правило, испустить одну из следующих частиц* нейтрон, протон, сс-частицу и у-фотон. Каждый из этих процессов может быть охарактеризован вероятностью 儿 того, что составное ядро выбросит i-ю из перечисленных выше частиц и перейдет из своего возбужденного состояния в нормальное состояние ядра-продукта g：C.

Полная вероятность X того, что произойдет любое из этих превращений составного ядра, равна сумме вероятностей всех возможных процессов 2:

入Е %力+入产+入口 + % " (18.10)

Вместо вероятности 九 процесса распада составного ядра обычно рассматривается время жизни т его возбужденного состояния, причем 工=1/九・ По соотношению неопределенностей Гейзенберга (12 15) время жизни т связано с величиной неопределенности энергии AIV составного ядра формулой

Величина △取 называется шириной уровня Г. Таким образом,

Г«4==^ = ^^ + Хр + Х« + ^) = ГП + Гр + Га + Г?, (18 11)

где Гп, Гр, Га и 1\ ——ширина уровней, соответствующая указанным превращениям ядра Величину /\=%儿=方/巧 называют парциальной шириной уровня. Таким образом, полная ширина уровня составного ядра равна сумме парциальных ширин, соответствующих всем возможным процессам распада составного ядра.

Ядерные реакции могут быть классифицированы по различным признакам: по энергиям вызывающих их частиц, по роду участвующих в них частиц и, наконец, по характеру происходящих ядерных превращений. Различают ядерные реакции при малых, средних и высоких энергиях. Реакции при малых энергиях (порядка 1 эВ) про-

исходят в основном с участием нейтронов. Реакции при средних энергиях (до нескольких МэВ) вызываются, кроме того, заряженными частицами (протонами, а-частицами) и 7-фотонами. Реакции при высоких энергиях (сотни и тысячи МэВ) приводят к рождению отсутствующих в свободном состоянии элементарных частиц и имеют большое значение для изучения свойств и структуры элементарных частиц.

По роду участвующих в ядерных реакциях частиц различают реакции под действием нейтронов и под действием заряженных частиц (кроме перечисленных выше ими могут быть дейтроны и многозарядные ионы тяжелых химических элементов) Источниками заряженных частиц помимо естественнорадиоактивных элементов являются ускорители, рассмотренные во втором гоме (см. т. II, § 18 5 и 21.2). Ядер- ные реакции могут производить также у-фотоны и космические лучи.

Для краткого обозначения характера ядерной реакции принята следующая символика, (а, Ь), где а ——обозначение частицы, вызывающей реакцию, b ——возникшей в результате реакции. Например, реакции (а, р) и (а, п) происходят под действием а-частиц и приводят к вылету из ядра протонов ；р и нейтронов Jn

Протоны, обладающие по сравнению с а-часшцами меньшими зарядом и массой, могут при наличии у них достаточной энергии проникать в ядра и вызывать различные реакции (р, а), (р, п) и др. Например, под действием искусственно ускоренных протонов происходят реакции (р, а):

|Li+lp — (：Ве) * —坦2 + "Ie

В этой реакции помимо а-частицы ©Не) получается легкий изотоп гелия 1Не. Другой пример реакции (р, а)

符 駕Mg +訳е

В ряде случаев при реакциях (р, а) образуется не одна, а две а-частицы и возникает у-излучение большой энергии. Например,

々Li +；р —*- (:Be)* —>:Be + 丫 一»-2|He + у.

В этой реакции возбужденное ядро бериллия (:Be) * переходит в основное состояние ядра fBe с испусканием у-фотонов высокой энергии. Ядро 1Ве является неустойчивым и распадается на две а-частицы.

В реакциях типа (р, п) под действием протонов возникают нейтроны. Реакция сводится к тому, что в ядре происходит замена нейтрона на протон. Примером может служить реакция

Ядра, возникающие в подобных реакциях, обычно бывают нскусст- веннорадиоактивными. В качестве источников ядерных реакций применяются дейтроны iD ——ядра тяжелого водорода-дейтерия. С их помощью осуществляются, например, реакции типа (d, р) и (d, п). Особый интерес имеет реакция, возникающая при облучении тяжелой воды дейтронами. Она может протекать по каждому из указанных типов:

；D + ；D-4H + h ；D+；D — ^He+^・

В обоих случаях происходит синтез тяжелых ядер — трития ；Н или легкого изотопа гелия |Не из более легких (дейтерия) с одновременным образованием протона или нейтрона. Значение последних реакций и их осуществление подробно рассмотрены в § 18.11.

По характеру происходящих при реакциях ядерных превращений важнейшими являются ядерные реакции с испусканием нейтронов, заряженных частиц, а также реакции захвата. Последние характерны тем, что в этом случае составное ядро не испускает никаких частиц, а переходит в нормальное энергетическое состояние, излучая у-фотоны (радиационный захват). Для ядерных реакций с вылетом заряженных частиц, а также реакций, происходящих под действием таких частиц, необходимо учитывать наличие у ядра кулоновского потенциального барьера, который заряженные частицы должны преодолеть для попадания в ядро или для выхода из него. Благодаря туннельному эффекту реакции под действием заряженных частиц начинаются при энергиях налетающих частиц, меньших, чем высота потенциального барьера. Однако в связи с малой величиной прозрачности барьера вероятность такого проникновения в ядро мала. Для вылета из ядра заряженной частицы на ней в составном ядре должна сосредоточиться энергия возбуждения, необходимая для преодоления потенциального барьера . Для нейтронов отсутствует кулоновский потенциальный барьер, поэтому выход из ядра нейтрона не требует такой энергии, как для испускания ядром заряженных частиц. Поэтому для ядер со средним значением массовых чисел (50<cA<100) наиболее вероятными ядерными превращениями под действием заряженных частиц являются вылет нейтрона и излучение у-фотона.

§ 18.5. Прохождение нейтронов через вещество

Пучок нейтронов, проходящий через вещество, практически не взаимодействует с электронными оболочками атомов и молекул, поскольку нейтроны не обладают электрическим зарядом. Взаимодействие нейтронов происходит лишь с ядрами, чем и объясняется большая (по сравнению с заряженными частицами) проникающая способность нейтронов.

Характер взаимодействия нейтронов с ядрами различен для случаев быстрых и медленных частиц. Нейтроны называются быстрыми, если их скорость и так велика, что соответствующая ей длина деброй- левской волны 九=鳥 намного меньше, чем радиус R ядра, т. е. 而《R или и》赧》Энергии быстрых нейтронов заключены в пределах от 0,1 до 50 МэВ. Если^》R, т. е. и & 磊，то нейтроны называются медленными. Их энергии не превышают 100 кэВ. В первом случае эффективное поперечное сечение взаимодействия нейтрона

с ядром можно принять равным его геометрическому сечению, т. е. считать, чТо ядро представляет для нейтрона некоторую «мишень», с которой он соударяется L Для медленных нейтронов с энергиями до 0,5 эВ (их называют еще тепловыми) эффективное поперечное сечение их взаимодействия с ядрами оказывается в 103——103 раз большим геометрического сечения ядра.

Здесь уместно привести следующую оптическую аналогию* Если линейные размеры рассеивающего свет центра значительно превышают длину X световой волны, то рассеяние света происходит по законам геометрической оптики и усложняющие явление дифракционные эффекты не учитываются. Это соответствует случаю быстрых нейтронов. Рассеяние света на объектах с линейными размерами d^九 происходит по законам волновой оптики, где интерференционные и дифракционные явления играют основную роль. Это соответствует случаю медленных нейтронов.

При взаимодействии нейтронов с веществом происходят процессы упругого и неупругого их рассеяния на ядрах, а также захват нейтронов ядрами и деление тяжелых ядер (см. § 18.7). Быстрые нейтроны испытывают главным образом рассеяние на ядрах. Если плоскопараллельный пучок нейтронов проходит вдоль некоторой оси X, то число нейтронов в пучке вследствие взаимодействия с ядрами убывает по экспоненциальному закону

N = Nr-叫 (18.12)

аналогичному закону распределения свободных пробегов молекул, рассмотренному в первом томе настоящего курса [формула (11.20)]. В выражении (18.12) N&——начальное число нейтронов в пучке при %=0, N ——число нейтронов, прошедших без рассеяния расстояние 招 / ——средняя длина свободного пробега нейтрона в веществе. Величина / может быть выражена через эффективное поперечное сечение а взаимодействия нейтронов с ядрами [см. т. I, формула (11.19)]：

/= 1/(%о), (18.13)

где По——концентрация неподвижных ядер в веществе.

В веществах, которые называются замедлителями, эффективное поперечное сечение рассеяния нейтронов превышает сечение захвата. В качестве замедлителей нейтронов применяют графит, тяжелую воду и соединения бериллия. Проходя через такие вещества, быстрые нейтроны испытывают рассеяние на ядрах и замедляются до тех пор, пока их энергия W не станет равной энергии теплового движения атомов вещества-замедлителя, т. е. W^kT, Энергия этих тепловых нейтронов переходит в основном в энергию отдачи ядер (при комнатной температуре энергия тепловых нейтронов равна 0,025 эВ). Дальнейшие столкновения тепловых нейтронов с ядрами вещества- замедлителя не могут привести к уменьшению энергии нейтронов, так как наступает тепловое равновесие между нейтронами и окружающей средой: нейтроны с одинаковой вероятностью могут приоб-

рести и потерять энергию порядка kT. Дальнейшие столкновения тепловых нейтронов с ядрами могут привести лишь к диффузии нейтронов в веществе без потери ими энергии до тех пор, пока нейтрон либо не будет захвачен ядром, либо не выйдет за пределы замедлителя. В состоянии теплового равновесия осуществляется максвелловское распределение нейтронов по скоростям.

Исследуя явление искусственной радиоактивности, Э. Ферми (1934) заметил, что вещества, приобретающие искусственную радиоактивность при действии нейтронов на их ядра, обнаруживают значительно большую активность, если нейтроны предварительно про

пустить через замедлитель — водородсодержащее вещество типа парафина.

Медленные нейтроны испытывают, проходя через вещество, не только рассеяние, но и так называемый захват ——поглощение нейтронов ядрами. Захват нейтронов приводит к искусственной радиоактивности ядер вещества. Опыты показали, что при определенных энергиях медленных нейтронов их захват ядрами происходит наиболее интенсивно. Это явление, называемое резонансным поглощением нейтронов, происходит при совпадении энергии нейтрона с энергией составного ядра.

Регистрапия нейтронов, проходящих через вещество, основана на тех эффектах, которые возникают при взаимодействии нейтронов с ядрами, и осуществляется счетчиками или ионизационными камерами. Так, при рассеянии нейтрона ядро отдачи получает от нейтрона часть или всю его энергию. Наблюдая ядро отдачи любым из методов, применяемых для регистрации заряженных частиц, можно подсчитать число провзаимодействовавших с ядрами нейтронов, пропорцио^ нальное числу ядер отдачи, и найти энергию нейтронов. Оказалось, что измеренная на опыте энергия ядер отдачи является простой функцией энергии нейтрона. Таким способом регистрируются быстрые нейтроны.

Медленные нейтроны, испытывающие захват ядром, регистрируются по процессам, сопровождающим распад составного ядра,— испусканию заряженной частицы или у-фотона или, наконец» осколков ядра при его делении (см. § 18.7). Во всех этих случаях для регистрации числа первичных нейтронов, вызвавших ядерную реакцию, могут применяться методы регистрации заряженных частиц и у- фотонов. Наконец, для регистрации нейтронов используется то обстоятельство, что в результате захвата нейтронов ядра очень часто становятся искусственнорадиоактивными. Этот метод практически очень удобен, так как позволяет устранить мешающие излучения, обычно испускаемые нейтронными источниками или окружающей средой, захватывающей нейтроны. Вещества, применяемые для регистрации нейтронов, в которых радиоактивность наводится нейтронами, называются радиоактивными нейтронными индикаторами.

Тепловые нейтроны при комнатной температуре (ТеЗОО К) имеют дебройлевскую длину волны, равную 1,8 А, что легко подсчитать по формуле 厶=九//2加修步,где W^kT ——энергия теплового нейт-

рона. Вообще все медленные нейтроны имеют длину волны порядка нескольких ангстрем. Это означает, что нейтроны должны давать отчетливую дифракционную картину на монокристаллах или поли- кристаллических порошках, подобную картине, которую получают при дифракции рентгеновских лучей и электронов. Этого вопроса мы уже частично касались в § 12.1.

Схема опыта по отражению нейтронов от различных кристаллов изображена па рис. 18.4. Пучок тепловых нейтронов, выходящих через узкое отверстие из источника / (ядерного реактора, см. § 18.10), попадает на кристалл-монохроматор 2 .

под определенным углом скольжения , -&. Кристалл достаточно интенсивноI ]〃?〃/

отражает в первом порядке (м=1) нейтроны с определенной длиной вол-I I \ >^

ны2ссогласно уравнению (6.21). Таким образом происходит монохроматиза-" ция нейтронов по энергиям. Напри-Рис- 1&4

мер, при угле скольжения 今= 16° длина волны де Бройля у нейтронов, отраженных от монохроматора, составляет около 1,5 А. На пути пучка, отраженного монохроматором, устанавливается исследуемый кристалл 3. Можно установить его под различными углами 仆 к пучку, соответствующими разным порядкам п дифракционных максимумов отражения. Одновременно с поворотом исследуемого кристалла специальное механическое устройство осуществляет поворот детектора (приемника) нейтронов 4 ——обычно счетчика, наполненного фтористым бором BF3. Нейтроны вызывают в боре реакции превращения бора RB в литий |Li с образованием а-частиц и ядер отдачи, регистрируемых счетчиком.

Дифракцию нейтронов можно наблюдать как по методу Лауэ, так и на поликристаллических порошках по методу Дебая. В первом случае, как известно, дифракцию наблюдают при немонохроматических волнах, что особенно удобно для нейтронов, возникающих в ядерных реакторах, ибо такие нейтроны имеют сплошной спектр скоростей и длин волн де Бройля.

Дифракция нейтронов с успехом применяется для исследования строения кристаллов.

§ 18,6. Ядерные реакции под действием нейтронов

Среди всех частиц, способных вызывать ядерные реак

ции, наиболее эффективными являются нейтроны. Ввиду отсутствия Для них кулоновского потенциального барьера нейтроны, имеющие даже малую энергию, могут проникать в ядра атомов всех элементов, включая наиболее тяжелые, такие, например, как уран. Возбужденное составное ядро, возникшее в результате захвата нейтрона, распадается с различными ядерными превращениями. Важнейшими из них являются реакции (几,а),(小 р) и (м, 2м). В наиболее тяжелых

ядрах под действием нейтронов возможна также реакция деления (см. § 18.7).

Ядерные реакции под действием нейтронов приводят к образованию искусст- веннорадиоактнвных изотопов. Впервые это было обнаружено Ферми с сотрудниками. Для веществ, облученных нейтронами, с помощью счетчика Гейгера —— Мюллера ими был установлен экспоненциальный спад числа импульсов, характерный для распада искусственнорадиоактивных изотопов. Искусственная радиоактивность, вызванная нейтронами, как правило, состоит в 卩 «-распаде, что естественно при появлении в ядре избыточного нейтрона. Так, например^ реакция превращения азота в углерод приводит к появлению радиоуглерода^еС, отличающегося очень большим периодом полураспада, превышающим 5000 лет:

号 N + Jn—^*g + ip.

Определение содержания долгоживущего изотопа 长 в деревянных предметах и других углеродсодержащих телах широко применяется в археологических исследованиях для установления «возраста» событий, происходивших в глубокой древности. Радиоуглеродный метод датировки в археологии основан на том, что реакция превращения азота в углерод интенсивно происходит в природе на атмосферном азоте под действием медленных нейтронов, образуемых в атмосфере космическими лучами. Воз* никший радиоактивный углерод усваивается живыми организмами (например, растениями при фотосинтезе) и таким образом участвует в круговороте веществ в живой природе1. 、

Погибший живой организм (например, срубленное дерево) перестает накапливать изотоп геС, и постепенно теряет его в результате радиоактивного распада* Определив относительное количество нераспавшегося радиоактивного углерода, можно уста, новить момент, когда организм перестал поглощать из атмосферы изотоп ：匕 т. е. дату гибели организма.

Наряду с реакциями на нейтронах, приводящими к появлению заряженных частиц и размножению нейтронов, большое значение имеют процессы захвата и неупругого рассеяния, результатом которого является сохранение того же ядра и обра* аование одного нейтрона, т. е. реакции вида

纟y+品一＞-纟y* +加,

В реакциях этого типа существенное значение имеет обмен нейтронами: из ядра рылетает не тот неЙ1рон( который захвачен ядром. Энергия вылетевшего нейтрона отличается от энергии падающего, вследствие чего ядро-пр оду кт ^Y* оказывается возбужденным (это отмечено звездочкой) и переходит в нормальное состояние с излучением V-фотона.

Ядерные реакции ядер урана с нейтронами сыграли особую роль в ядерной физике. Благодаря этим реакциям было обнаружено деление ядер, о котором пойдет речь в следующем параграфе, а также была обнаружена возможность создания химических элементов, атомы которых имеют заряд ядра, превышающий 92 е. Такие химические элементы называются трансурановыми (т. е. заурановыми). Остановимся кратко на получении некоторых из них, которое стало возможно бла* годаря процессам, происходящим в ядерных реакторах (см. § 18.11),

Резонансный захват медленных нейтронов наиболее распространенным изотопом урана |1U приводит к образованию радиоактивного изотопа 2芻и, который, испытывая р—.радноактнвное превращение с периодом полураспада 23 мин, превращается в изотоп трансурано-

вого элемент а нептуния 嘴Np:

曬嚼U鼻嚨Np.мин

В свою очередь ядро изотопа нептуния 2||Np, являясь р_-радиоактивным с периодом полураспада 2,3 дня, превращается в плутоний 瓚Ри:

噺NP鼻甯рuz。дня.

Плутоний 2ЦРи ——важнейший трансурановый элемент. Благодаря эффективному делению под действием тепловых нейтронов (см. § 18.7) он играет выдающуюся роль в получении ядерной энергии. Плутоний 曜Рр является а-радиоактивным с весьма большим периодом полураспада (24 000 лет), он превращается в устойчивый изотоп урана 嘴U:

嘴рu号試瓚U

Ядерная реакция типа (м, 2п) превращает изотоп урана 2|1U в искусственнорадиоактивный изотоп 2協U, который, будучи ^.-активным, превращается в изотоп нептуния 噥№р, являющийся а-радиоактивным с огромным периодом полураспада — 2,2- 10s лет:

瓚u +曾一嘰u+ 2：% 噺u占f嚼Np

о,8 дня

Изотоп нептуния 2|lNp дает начало одному из радиоактивных семейств ядерных превращений (см. § 17.2).

Помимо трансурановых элементов существуют и другие, получаемые бомбардировкой устойчивых изотопов тяжелых элементов. До последнего времени периодическая система элементов была раздвинута до химического элемента с Z=103. В настоящее время она про* двинулась до химического элемента с номером Z—107. Химический элемент с номером Z=105 назван нильсборием (Ns),

Деление ядер

Среди ядерных превращений особое место занимает деление тяжелых ядер на осколки приблизительно равной массы, имеющее огромное значение в современной науке и технике. История открытия этого важнейшего явления относится к 1934 г., когда Ферми, изучая искусственную радиоактивность, обнаружил, что уран, облученный нейтронами, дает радиоактивные продукты, обладающие несколькими периодами полураспада. Было обнаружено несколько цепочек последовательных радиоактивных превращений, напоминающих ряд семейств при естественной радиоактивности.

Вначале было предположено, что происходит образование заурановых элементов: ядро урана, захватившее нейтрон, образует более тяжелый его изотоп, который в свою очередь, будучи р_-радиоактив- ным, превращается в химический элемент с Z=93. В свою очередь

ядро атома этого элемента с помощью p.-распада превращается в ядро атома элемента с Zh94. Поскольку уран имеет несколько изотопов, то существование нескольких радиоактивных цепочек представлялось естественным. Именно так впервые возникло предположение о существовании трансурановых химических элементов, рассмотренных в § 18.6.

Для проверки этого предположения были предприняты энергичные исследования (1936——1937) ядерных реакций, происходящих при облучении урана нейтронами различных энергий. К удивлению ученых, исследование химических свойств продуктов этих реакций показало, что они подобны свойствам элементов, расположенных в средней части периодической системы. Так, И. Кюри и П. Савич обнаружили среди продуктов облучения вещество с периодом полураспада 3,5 ч, которое по своим свойствам является лантаном (La). Как он возникает из урана, оставалось загадкой. О. Ган и Ф. Штрассман весьма точным радиохимическим анализом доказали (1938), что облучение урана нейтронами приводит к появлению химического элемента из середины менделеевской таблицы ——бария 5бВа, являющегося химическим аналогом радия ^Ra,

Аналогичный результат был ими получен при облучении нейтронами изотопа тория 端Th.

Эти удивительные результаты впервые были объяснены О. Фришем и Л. Мейтнер, которые предположили, что тяжелые ядра являются неустойчивыми. Возбужденное при захвате нейтрона тяжелое ядро (например, урана) может разделиться на две приблизительно равные части, называемые осколками деления. При этом нуклоны исходного составного ядра должны распределиться между осколками деления с выполнением законов сохранения зарядов и массовых чисел 1：

Zu = Z]+Zz； 4и + 1 %и = 4 + &, (18.14)

где индексы 1 и 2 относятся к осколкам деления, Zu и "и 一 зарядовое и массовое числа исходного ядра урана.

Эксперимент подтвердил это предположение: среди продуктов облучения урана нейтронами были обнаружены помимо бария радиоактивные изотопы стронция 38Sr и иттрия 39Y, а кроме того, радиоактивный изотоп химически инертного газа (криптона или ксенона).

Простые соображения показывают, что деление ядра урана на два осколка должно сопровождаться выделением огромной энергии. В самом деле, из § 16.4 известно, что удельная энергия связи в ядрах атомов элементов, расположенных в средней части периодической таблицы, составляет примерно 8,7 МэВ, в то время как для тяжелых ядер она равна 7,6 МэВ. Этот факт приобретает теперь первостепенное значение: при делении неустойчивого «рыхлого» ядра урана на два устойчивых «упакованных» осколка должна освобождаться энергия, равная 1,1 МэВ на один нуклон. Всего для ядра урана 嘰U, содержа-

1 При этом мы не учитываем процессов, происходящих в дальнейшем с осколками деления. Об этом речь пойдет в п. 6 данного параграфа,

щего 238 нуклонов, должна выделяться энергия порядка 200 МэВ. При делении ядер, содержащихся в 1 г урана ^U, выделится энергия 8-1010 Дж, или 22000 кВт-ч.

Основная часть энергии W деления выделяется в виде кинетической энергии осколков деления. Действительно, если акт деления произошел и осколки находятся друг от друга на расстоянии г, при котором ядерные силы притяжения уже не действуют, то проявляется электростатическая кулоновская энергия отталкивания заряженных ядер ——осколков деления. По формуле (3.11) второго тома, потенциальная энергия взаимодействия зарядов Z】e и Z^e равна %=把 Расстояние г между осколками в момент завершения деления, очевидно, будет r=Ri+R^ где Ri и R2——радиусы ядер осколков деления, которые можно вычислить по формуле (16.10): /? = 1,4- Ю^^-Л^з (R выражено в метрах). Считая, что Z1=Z2=92 : 2H46, R.R? и Л1=Д2=238 : 2=^119, получим по формуле для Wn значение, близкое к 200 МэВ.

Очевидно, что потенциальная энергия Wn отталкивания ядер должна перейти в их кинетическую энергию WK и осколки деления должны разлетаться с большими скоростями. Опыты подтвердили эти соображения и оценки. В одной серии опытов, проведенных О. Фришем и Л. Мейтнер, внутренние стенки ионизационной камеры покрывались изнутри окисью урана. В отсутствие источника нейтронов в камере наблюдались незначительные ионизационные импульсы от а-частиц урана. При действии на камеру нейтронов наблюдались сильные ионизационные импульсы, вызванные осколками деления, обладающими большой энергией. Когда источник нейтронов поместили в замедлитель (слой парафина), то число импульсов в случае урана возрастало, однако при покрытии стенок камеры торием или протактинием оставалось неизменным. Это показывало, что деление урана происходит при облучении его как быстрыми, так и медленными нейтронами, причем действие последних более эффективно.

Масс-спектрометрические измерения, проведенные в 1940 г., позволили установить, что тепловые нейтроны производят деление ядер изотопа 2||U, а энергия активации, т. е. минимальная энергия, необходимая для осуществления реакции деления ядра изотопа ?區U, а также ядер изотопов тория н протактиния, существующих в природе, составляет приблизительно 1 МэВ. Наличие осколков деления ядер урана было зафиксировано в камере Вильсона, в которую вводилась окись урана, нанесенная на тонкую пленку. Стереоскопические фотографии ясно обнаруживали следы тяжелых осколков, разлетающихся при делении в противоположных направлениях. Этот же результат был получен с помощью метода толстослойных фотоэмульсий.

Осколки, которые образуются при делении тяжелых ядер, должны быть р_-радиоактивны и могут испускать нейтроны. Этот вывод непосредственно вытекает из рассмотрения состава исходного тяжелого ядра и ядер-осколков деления. Как известно (см. § 16.3), в ядрах атомов химических элементов, расположенных в середине менделеев

ской таблицы, число нейтронов ^ примерно равно числу протонов, так что NIZ^\. Для тяжёлых ядер, перегруженных нейтронами, отношение N/Z возрастает до 1,6. Из этого факта следует два вывода. Во-первых, осколки деления в момент своего образования должны обладать избытком нейтронов над протонами. В § 18.2 показано, что при этом наблюдается р_-радиоактивность. Большая перегруженность ядер-осколков нейтронами должна привести к тому, что продукты ^--распада ядер-осколков также будут ^--радиоактивны. Так возникнут цепочки радиоактивных распадов, наблюдавшиеся в исследованиях, проведенных Ферми и его сотрудниками.

Определенная часть энергии W деления тяжелого ядра должна уноситься в виде энергии W^, максР--распада. Во-вторых, очень существенно, что часть избыточных нейтронов, представляющих собой разность между числом нейтронов в исходном ядре и их числом в ядрах- осколках, будет испускаться осколками деления в виде так называемых нейтронов деления. На долю нейтронов деления также приходится некоторая часть Wn энергии деления.

Из закона сохранения энергии следует, что

取士取к + 取В-，макс + 囚п・ (18.15)

Опыты, проведенные Ф. Жолио-Кюри, обнаружили ^-радиоактивность осколков деления и испускание вторичных нейтронов, возникающих в процессе деления. Число нейтронов, образовавшихся в актах деления, может быть несколько различным. Поэтому вводится понятие о среднем числе </г> возникших нейтронов, приходящихся на один акт деления. Так, для ядер плутония ||Ри и урана ^|U, которые делятся под действием тепловых нейтронов (см. § 18.9), число <л> равно соответственно 3,0 и 2,5. Таким образом, процесс деления ядер сопровождается размножением нейтронов.

Детальные исследования показали, что среди нейтронов деления нужно различать две группы частиц: мгновенные (или вторичные) и запаздывающие нейтроны. Мгновенные нейтроны испускаются непосредственно при делении ядра за время порядка 10-14 с. Их происхождение обусловлено двумя причинами. Во-первых, часть избыточных нейтронов деления не успевает присоединиться к осколкам деления и испускается самостоятельно. Во-вторых, осколки деления в первый момент находятся в возбужденном состоянии и энергия их возбуждения может отдаваться как в виде ^-фотонов, так и в форме энергии освобождающихся быстрых нейтронов. 3апаздывающие нейтроны испускаются продуктами деления спустя некоторое время после деления.

Происхождение запаздывающих нейтронов связано с радиоактивными свойствами осколков деления. Выше было указано, что в результате перегрузки осколков деления нейтронами они являются ^--радиоактивными и испытывают ряд последовательных превраще-

ний. Дочерние ядра при этих превращениях оказываются возбужденными, и если энергия возбуждения соответствующего ядра-продукта превышает энергию связи нейтрона в данном ядре, то происходит испускание нейтрона.

Теория деления тяжелых ядер была разработана (1939) Я. И. Френкелем, а также Н・ Бором и Дж. Уиллером на основе гипотезы о неустойчивости тяжелых ядер. В основе теории лежала капельная модель ядра. Рассмотрим кратко основы этой теории, ограничившись подсчетом энергетического баланса процесса деления и некоторыми другими связанными с этим вопросами. Нас будет интересовать лишь первая стадия деления ——образование ядер-осколков, и мы не будем рассматривать их радиоактивных превращений. Тогда выполняются условия (18.14) и можно не рассматривать в выражении (18.15) энергию W^., макс радиоактивных р_-распадов. Кроме того, примем сразу во внимание, что, как показывает опыт, энергия Wn вторичных нейтронов мала по сравнению с энергиями Мк ядер-осколков 】.Как известно из § 16.7, капельная модель ядра позволяет получить полуэмпирическую формулу (16.14) для энергии связи ядра-капли. В этой формуле содержится ряд членов, из которых два члена представляют наибольший интерес для рассмотрения первой стадии деления ядра. Это, во-первых, поверхностная энергия Ws ядра-капли, равная, по формуле (16.12), 1Г3=4л/?о, где а ——«поверхностное натяжение»; во-вторых, энергия Wb электростатического взаимодействия протонов, определяемая формулой (16.13):

где Ze — заряд ядра, R ——его радиус. Все остальные члены в формуле (16.14), выражающие различные свойства ядерных сил, зависят от общего числа Л нуклонов в ядре. Для подсчета энергетического баланса деления ядра в тех предположениях, о которых оговорено выше, все эти члены не будут иметь значения, ибо общее число частиц сохраняется неизменным при выполнении условия (18.14).

Подсчитаем энергию, которая освобождается при делении исходного ядра с зарядом Z。и массовым числом Л на два одинаковых дочерних ядра-осколка 2, так что &=3=4/2 и Zi=Z^=Z/2・

Формулу для энергии связи в ядре до деления перепишем, удерживая лишь существенно важные члены, в таком виде:

3 /2g2

步=4П个。+• (18.16)

По сравнению с (16.14) мы изменили знаки у членов 步3 и 步§, но это не имеет, как будет видно, никакого значения. Кроме того, для удобства вместо А步св принято обозначе ние 0

При делении ядра должно выполняться условие неизменности объема капли, т. е* ~ л^ = 2у л/??, где Rr — радиус ядра-осколка. Отсюда R] = r/%2, Энергия связи в двух ядрах-осколках по формуле (18.16) запишется следующим

образом:

W=2(41&0+!>但汾.

\1 5 4吸

Подставив вместо R】 его выражение и учитывая, что Zi=Z‘2, получим

W =2 (4лоy~i ——.(18.17)

\/ 4516л80Т? /

Разность AF выражений (18.16) и (18.17) представляет собой энергию, которая освобождается при симметричном делении тяжелого ядра в виде кинетической энергии его осколков:

^ = W-W =^R^(\+ 色丄岁-(I—-.(18.18)

'/ 4 丿 5 4jw()R

Первый член в формуле (18.18) имеет отрицательный знак, ибо 1——2//4 = =1— ^/^ й； —0,26. Это соответствует тому, что при сохранении объема деление ядра-капли приводит к увеличению суммарной поверхности капель-осколков деления 1. Физически это означает, что баланс одной только поверхностной энергии приводит к энергетической нецелесообразности процесса деления ——энергетически выгодно, наоборот, слияние мелких капель с уменьшением 'свободной поверхности и уменьшением свободной энергии (см. т. I, § 12.4). Второй член выражения (18.18) положителен. Энергетический баланс деления определяется знаком А呼.При AW>0 энергия выделяется, при 厶步<0 она поглощается. Все зависит от соотношения между поверхностной энергией, затрачиваемой при разделении капли, и электростатической энергией, выделяемой в процессе деления.

Существуют некоторые критические параметры Z, R н о ядра-капли, при которых процесс деления происходит изоэнергетически, без изменения энергии системы: ДУ/=0,или является энергетически выгодным, т. е. АУ/>0. Запишем это условие в форме Д W^O. Тогда по формуле (18」8) получаем

3 Z証 2_

4吧区 А 2 /^胃 0,70.(18.19)

4nR2G2—/ 2

Левая часть неравенства (18.19) представляет собой отношение энергии кулоновского отталкивания протонов, стремящегося разорвать ядро-каплю, к поверхностной энергии, стремящейся противодействовать растеканию капли. Полагая согласно (16.10) R=%4'/s, rqe『0= 1,4 ТО"* м, можно 08.19) переписать со знаком равенства следующим образом：

-——)=0,70.(18.20)

5 (4л)2 еого<7 \ Л /

Единственной переменной величиной в равенстве (18.20) является так называемый параметр деления Z2M. Для того чтобы установить, для каких значений параметра деления процесс деления будет энергетически выгоден, т. е* будет выполнено 5гсловие А步>0, подставим в предыдущее выражение числовые значения всех констант. Тогда получим следующее неравенство, определяющее необходимые значения параметра деления:

(72/Д) > 17.(18.21)

Это условие выполняется для всех ядер, начиная с серебра ^Ag, для которого параметр деления 七20» Чем больше параметр деления, тем легче должно делиться ядро.

Энергия активации деления. Спонтанное деление ядер.

Особенности деления изотопов урана

Полученный в предыдущем параграфе результат свидетельствует о том, что все ядра атомов химических элементов второй половины периодической системы Менделеева (при Z>47) должны быть неустойчивы по отношению к процессу деления. Между тем опыт показывает, что подавляющее большинство изотопов с массовыми числами Л, большими 108, являются устойчивыми, за исключением наиболее тяжелых, которые могут претерпевать так называемое самопроизвольное (спонтанное) деление, о котором речь пойдет дальше. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что выполнение условия экзотермичности, положительного энергетического баланса реакции деления, еще недостаточно для того, чтобы реакция деления произошла. Для осуществления реакции необходима некоторая минимальная энергия, называемая энергией активации деления ядра (порогом деления). В § 16.7 проанализировано условие устойчивости ядра-капли, сводящееся к требованию минимума его полной энергии и приводящее к соотношению (16,15) между числом протонов ZyLT И общим числом нуклонов Л в устойчивом ядре. С учетом главных членов в выражении (16.14) для энергии ядра-капли можно утверждать, что ядро наиболее устойчиво в том случае, когда сумма поверхностной и электростатической энергий сферического ядра-капли будет наименьшей. Пусть при этом ядро имеет радиус R. Отклонение от сферической формы ядра приведет к увеличению его поверхности и соответствующему возрастанию поверхностной энергии IF；；. Од

меньшение электростатиче-меньшение электростатиче-новременно с этим происходит у ской энергии IF5, ибо при сферической форме ядра протоны максимально сближены друг с другом и энергия их отталкивания будет наибольшей.

меньшение электростатиче-

меньшение электростатиче-

а, который вначале характериа, который вначале характериТаким образом, при малых деформациях ядра-капли условие его устойчивости будет нарушено. Однако даже для малой деформации ядра необходимо затратить определенную энергию. Если отложить на оси ординат потенциальную энергию Wn делящегося ядра, а на оси абсцисс — некоторый параметр

а, который вначале характери

а, который вначале характери

зует деформацию ядра, а затем после его деления ——расстояние между осколками, то получим кривую, изображенную на рис. 18.5. Вначале при нулевой деформации ядро находится в устойчивом состоянии (точка Л). При малых деформациях ядро——заряженная капля —— приходит в колебание: попеременно то вытягивается, то сжимается. Когда деформация ядра достигнет некоторого критического значения ак, при котором потенциальная энергия капли будет

соответствовать точке 6 на кривой рис. 18.5, колебания ядра-капли приведут ею к делению. Последовательные стадии деления ядерной капли изображены на рис. 18.6, 〃 ——5. Промежуточные состояния связаны с образованием и удлинением «перетяжки» в капле (рис. 18.6, в). Разность 坦^吕―庐必4Hl卜д на рис. 18.5 является энергией активации деления. Если энергия возбуждения ядра окажется меньшей, чем энергия активации, то деформация возбужденного ядра- капли не дойдет до критической О ОСО ОО Ор а*, ядро не разделится и вер- 辽) 力 疗 8 д) нется в основное состояние, испустив 丫-фотон.

Рн& 1&62. Энергия активации пред

ставляет собой, таким образом, высоту потенциального барьера W^ который должен быть преодолен для создания критической деформации ядра-капли и его деления. Установление зависимости между энергией активации 1ГД деления и параметром деления ZM представляет собой весьма сложную задачу. Решение ее было впервые дано Я. И. Френкелем, а также Н, Бором и Дж. Уиллером для предельного случая, когда энергия активации обращается в нуль.

Для определенных значений 72/Л высота потенциального барьера (см. рис. 18.5) равна нулю, в этом случае ядро неустойчиво ——происходит самопроизвольное деление ядра. Как показали расчеты, условие 刃д=0 выполняется, если электростатическая энергия отталкивания протонов вдвое превышает поверхностную энергию ядра- капли. Поэтому критерий самопроизвольного деления ядра можно по аналогии с (18.20) записать в следующей форме:

-———=2.(18.2Г)

5 (4л)2 EqWo \ А Л

Если подставить в (18.2「) числовые значения всех постоянных, то получим (Z2M)K 49,(18 21”)

При Z2M=(Z2M)K ядро становится совершенно неустойчивымх. При Z2 / Л < V(Z2/4)k требуется затрата энергии активации 刃口 для того, чтобы была достигнута критическая деформация ядра-капли, приводящая к делению. Для тяжелых ядер 诊口 составляет 5—7 МэВ, т. с. имеет тот же порядок величины, что и энергия связи нейтрона в тяжелом ядре, или, что то же самое, удельная энергия связи.

При Z2/4>(Z2/』)k невозможно существование ядра. Деление такого сверхтяжелого ядра должно происходить самопроизвольно за время, сравнимое с ядерным временем тя= 10~22 с (см. § 18.4). Условие (1&21“) ограничивает возможности устойчивого существования сверхтяжелых ядер.

Наиболее тяжелыми являются трансурановые ядра, получаемые искусственным путем. Они имеют наибольшие значения параметра деления. Для изотопа урана 瓚U параметр деления равен 35,6, для америция 嗜Ат——37,3.

В 1964 г. в лаборатории ядерных реакций Объединенного института ядерных исследований в Дубне под руководством Г. Н. Флерова получен изотоп нового трансуранового элемента с Z=104 и массовым

числом 260 (курчатовий). Для получения этого элемента изотоп плутония 嚼Ри облучался ядрами неона 欝Ne, После захвата ядра неона образовывалось составное ядро ；g：Ku и в одном случае на 10 млрд, составных ядер после испускания четырех нейтронов возникало ядро элемента 罂Ku:

瓚 Ри + 器 Ne 一 攏 Ku -> 瓶 Ku + 4；n.

В самых мощных пучках ускоренных ядер неона одно ядро курчатовия рождается за несколько часов. У нового, 104-го, элемента периодической системы элементов параметр деления Z2M^41, т. е. имеет значение, уже приближающееся к критическому. Время жизни ядер этого элемента *；：Ки, как показали опыты, составляет около 0,3 с.

Реакцией слияния ядер урана с ядрами неона в Дубне впервые были получены атомы элемента нобелия (No) с Z—102. Реакция сопровождалась образованием возбужденного составного ядра 謂No* с последующим вылетом из него четырех нейтронов:

瓚U +需Ne 猥N。* 一鑑N。+专九.

Одно ядро изотопа ^No рождалось на 100 млн. составных ядер. В остальных случаях составные ядра делились на ядра-осколки и нейтроны. В реакциях слияния впервые были получены изотопы заурановых элементов кюрия Ст, берклия Вк, калифорния Cf, менделевия Md, а также изотопы элементов с зарядами ядер 103, 105, 106, 107.

При значениях Z2M<(Z2M)K возможно самопроизвольное деление ядер, происходящее аналогично а-распаду (см. § 17.5), т. е. путем туннельного эффекта. В 1939―1940 гг. Г. Н. Флеров и К. А. Петржак впервые наблюдали самопроизвольное деление урана U-238. С помощью весьма чувствительной методики они обнаружили в ионизационной камере импульсы, создаваемые осколками деления урана, не подвергнутого действию нейтронов, вызывающих деление. Период полураспада спонтанного деления составляет, по оценкам Флерова и Петржака, 101е——Ю17 лет. Напомним, что для естественной а-радиоактивности урана U-238 период полураспада составляет 10е лет, т. е. на семь порядков меньше. Большой период полураспада для спонтанного деления связан с весьма малой величиной прозрачности барьера для этого процесса.

Энергия активации, которую необходимо сообщить тяжелому ядру для деления при значениях параметра Z2M, меньших критического, может быть придана ему нейтроном, захваченным ядром. При этом образуется составное ядро с массовым числом, на единицу большим, чем у исходного ядра. Нейтрон, захваченный ядром, приносит в ядро энергию, равную сумме своей энергии связи и кинетической энергии. Если эта энергия превышает энергию активации деления, то происходит деление ядра. Заметим, что если энергия активации деления превышает энергию связи нейтрона, то деление может быть осуществлено лишь нейтронами, кинетическая энергия которых не меньше разности энергии активации и энергии связи нейтрона. Составное ядро-капля, получившее необходимую энергию, претерпевает критическую деформацию и делится. На опыте обнаружена существенная

разница в делении ядер двух изотопов урана — U-238 и U-235. Как уже отмечалось в § 18.7, ядра урана U-238 дел ячея под действием нейтронов с кинетической энергией не менее 1 МэВ, в то время как ядра U-235 делятся при захвате самых медленных, тепловых нейтронов, причем эффективные поперечные сечения деления ядер U-235 достигают сотен барн (1 барн = 10'24 см2). Объяснение этих различий заключается в следующем Составное ядро U-239, возникшее при захвате нейтрона ядром U-238, имеет параметр деления Zs/A—35,46 и энергию активации деления 吃=7 МэВ. Энергия связи нейтрона, захваченного ядром 2||U, составляет около 6 МэВ. Таким образом, деление ядер U-238 может быть вызвано нейтронами с кинетической энергией не менее 1 МэВ. Для составного ядра U-236, получившегося при захвате нейтрона ядром U-235, параметр деления и энергия активации деления равны соответственно 35,9 и 6,6 МэВ. Эти значения указывают, что условия для деления ядери-235 под действием нейтронов более благоприятны, чем для ядер U-238. Кроме того, энергия возбуждения, сообщаемая ядру U-235 при захвате нейтрона, составляет около 6,8 МэВ Различие в энергиях связи нейтронов в ядрах U-236 и U-239 обусловлено зависимостью величины энергии связи нуклона в ядре от четности или нечетности числа нейтронов и протонов в ядре. В случае U-236 захваченный нейтрон является четным и его энергия связи больше, чем энергия связи нейтрона, захваченного ядром U-239 и являющегося нечетным Тепловые нейтроны вызывают также деление ядер изотопа урана U-233 и трансуранового элемента плутония Ри-239.

Цепная реакция деления

Для практического применения деления тяжелых ядер важнейшее значение имеет выделение большой энергии при ка/к- дом акте деления и появление при этом нескольких (двух-трех) мгновенных нейтронов. Если каждый из этих нейтронов, взаимодействуя с соседними ядрами делящегося вещества, в свою очередь вызывает в них реакцию деления, то происходит лавинообразное нарастание числа актов деления. Такая реакция деления называется цепной. Свое название эта реакция получила по аналогии с цепными химическими реакциями, т. е. реакциями, продукты которых Moryi вновь вступать в соединения с исходными веществами.

Основы теории цепных химических реакций были созданы Н. Н. Семеновым (1928—1934) Цепная химическая реакция осуществляется при участии так называемых активных центров, которыми являются свободные атомы и радикалы. Основной особенностью цепной реакции является непрерывное восстановление активных центров, в результате чего появление каждого нового центра сопровождается большим числом повторяющихся звеньев (цепей) реакции. Я. Б. Зельдович и Ю. Б. Харитон впервые указали (1939) на возможность существования цепной ядерной реакции деления, в которой роль активных центров играют нейтроны деления. В этом случае каждый из нейтронов, об- разевавшихся при одном акте деления» «восстанавливается»: если он

будет захвачен ядром, то это вызовет появление новых нейтронов деления, в свою очередь способных вызывать реакции деления, т. е. новые цепи реакции и т д.

Рассмотрим несколько подробнее возможность осуществления цепной реакции. Предположен не о том, чго каждый из нейтронов захватывается соседними ядрами, в действительности не реализуется. Часть вторичных нейтронов попадает в ядра атомов тех веществ, которые непременно присутствуют в той области, где реализуется цепная реакция, но не являются делящимися —— замедлители нейтронов, теплоносители, уносящие теплоту из зоны реакции, и др. Часть нейтронов может просто выйти за пределы активной зоны — тою пространства, где происходит цепная реакция.

Далее мы подробнее остановимся на причинах, которые приводят к тому, что не все нейтроны захватываются ядрами делящегося вещества и не все нейтроны, захваченные ядрами, вызывают процесс деления. Существуют процессы радиационного захвата и неупругого рассеяния нейтронов ядрами, не приводящие к делению ядер Таким образом, существуют факторы, способные оборвать развитие цепей в цепной реакции.

Очевидно, что непременным условием возникновения цепной реакции является наличие размножающихся нейтронов. Введем понятие о коэффициенте k размножения нейтронов. Коэффициентом размножения нейтронов называют отношение числа нейтронов, возникающих в некотором звене реакции, к числу таких нейтронов в предшествующем ему звене. Необходимым условием для развития цепной реакции является требование fe^l. Величина k определяется, во-первых, значением <v>, во-вторых, вероятностями различных процессов взаимодействия нейтронов с ядрами делящегося вещества и примесей в нем, а также размерами системы. Роль последнего фактора существенна потому, что с уменьшением размеров активной зоны увеличивается доля нейтронов, выходящих за ее пределы, и уменьшается возможность дальнейшего развития цепной реакции. Потери нейтронов пропорциональны площади поверхности, а генерация нейтронов пропорциональна массе и, следовательно, объему делящегося вещества Например, для делящегося вещества, имеющего сферическую форму (объем V〜R3, поверхность S〜R% у-〜 靑),с уменьшением R, т. е. с уменьшением объема и массы делящегося вещества, растет доля потерь нейтронов, вылетающих из активной зоны Мини- мадьные размеры активной зоны, при которых возможно осуществление цепной реакции, называют критическими размерами, а минимальную массу делящихся веществ, находящихся в системе критических размеров,——критической массой. Для уменьшения потерь нейтронов и уменьшения критических параметров делящегося вещества его окружают отражателем — слоем неделящегося вещества, обладающего малым эффективным поперечным сечением для захвата нейтронов и большим сечением их рассеяния Отражатель возвращает в активную зону большую часть вылетевших из нее нейтронов. В качестве отража-

телей используются те же вещества, которые применяются для замедления нейтронов (см. § 18.5),——графит, тяжелая вода, соединения бериллия.

Одной из наиболее важных характеристик цепной реакции является скорость ее развития, зависящая помимо коэффициента k размножения нейтронов от среднего времени т между двумя последовательными актами деления. Очевидно, что т определяет среднее время жизни одного «поколения» нейтронов, т. е. среднее время от момента деления до захвата нейтрона ядром атома делящегося вещества. Точнее, время т складывается из времени деления ядра, времени запаздывания вылета нейтрона нз ядра относительно момента деления и времени, прошедшего до следующего захвата. Если N есть число нейтронов в данном звене цепной реакции (данном «поколении»), то в следующем звене их будет Nk, Прирост числа нейтронов за одно «поксхче- ние» равен

dN=kN—N^N{k—\Y

Прирост числа нейтронов за единицу времени, т. е. скорость развития цепной реакции,

u=需=吆割).(18.22)

Интегрируя (18 22), получим

n=猫注-1)%，(18.22’)

где ^o——число нейтронов в момент ^—0 начала реакции, ^ ——число нейтронов к моменту времени f; N зависит от знака (月——1), поскольку т существенно положительно (т>。). При 伏——1)>0, т. е.力>1,川 растет с течением времени, и цепная реакция называется ускоряющейся (развивающейся). При fe—1^0, т.巳月=1, ^ = ^o, число нейтронов не изменяется с течением времени и реакция называется самоподдержи- вающейся. Если 伏——1)<0, то происходит затухающая цепная реакция, при которой ^<^0^——число нейтронов и актов деления с течением времени убывает.

Условие 月=1 определяет критический режим реакции. При й<1 режим называется подкритическим, а при &>1 ——надкритическим,

В случае развивающейся цепной реакции для резкого уменьшения времени т, т. е. для получения весьма быстрой цепной реакции взрывного типа, необходимо осуществить процесс размножения на быстрых нейтронах; для получения управляемой цепной реакции необходимо увеличивать время т, т. е. нужно стремиться к тому, чтобы время запаздывания вылета нейтронов относительно момента деления и время перемещения нейтронов до следующего захвата по возможности были большими. Первое зависит от механизма возникновения вторичных нейтронов и меньше поддается воздействию, второе —— от взаимодействия вылетевших из ядра нейтронов с окружающими ядрами, т. е. от замедления нейтронов, их движения в веществе и, наконец, от их захвата. Управление цепной реакцией сводится в основном к воздействию на эти процессы.

Ядерные реакторы

Устройства, в которых осуществляется управляемая цепная реакция деления, называют ядерными реакторами (или атомными котлами). Первый ядерный реактор, созданный под руководством Ферми, был запущен в 1942 г. В качестве сырьевых и делящихся веществ в реакторах используются U-235, Pu-239, U-238, а также Th-232. В естественной смеси изотопов урана изотопа U-238 содержится в 140 раз больше, чем изотопа U-235. Для понимания процессов, происходящих в реакторе с природной смесью изотопов, необходимо учитывать отмеченные в § 18.8 различия в условиях, при которых происходит деление ядер обоих изотопов урана. Исследование энергетического спектра нейтронов, испускаемых при делении, показывает, что их энергии составляют в основном около 0,7 МэВ. Эти нейтроны способны вызвать деление лишь ядер U-235. Те немногие мгновенные нейтроны, энергия которых превышает энергию активации деления ядра U-238, с большей вероятностью претерпевают неупругое рассеяние, и их энергия оказывается, как правило, ниже порога деления ядра U-238. В результате ряда столкновений с ядрами урана нейтроны теряют энергию малыми порциями, замедляются и испытывают радиационный захват ядрами U-238 или поглощаются ядрами U-235. Поглощение нейтронов ядрами U-235 способствует развитию цепной реакции, поглощение же их ядрами U-238 выводит нейтроны из цепной реакции и ведет к обрыву цепей реакции Расчеты показывают, что в естественной смеси изотопов урана вероятность обрыва цепей превышает вероятность разветвления реакции и цепная реакция деления н е может развиваться ни на быстрых, ни на медленных нейтронах.

В ядерных реакторах на медленных нейтронах условием, обеспечивающим развитие цепной реакции, является применение замедлителя для уменьшения резонансного захвата нейтронов ядрами U-238. При каждом столкновении с ядрами замедлителя нейтрон теряет энергию большими порциями к это благоприятствует «проскакиванию» энергии нейтрона через ту область резонансных энергий, при которых сечение захвата нейтрона ядрами U-238 имеет наибольшие значения. Водород, который является наилучшим замедлителем, в то же время имеет большое сечение захвата тепловых нейтронов, а это ведет к обрыву цепей реакции. Поэтому в качестве замедлителей применяют углерод (в виде графита), дейтерий (в виде тяжелой воды), бериллий и окись бериллия, ядра которых обладают небольшим сечением захвата тепловых нейтронов.

Различают два типа реакторов на медленных нейтронах ——гомогенные и гетерогенные. В гомогенных реакторах делящееся вещество равномерно распределяется по объему замедлителя (например, растворяется в воде). В гетерогенных реакторах уран расположен отдельными блоками по объему замедлителя — тяжелой воды или графита. В гомогенных реакторах нейтроны в ходе замедления все время находятся поблизости от ядер атомов урана, распределенных по всему объему. Это приводит к большей вероятности поглощения нейтронов ядрами атомов урана, а не замедлителей, но это же снижает вероятность избежать захвата нейтронов ядрами U-238. В гетерогенных реакторах, наоборот, сравнительно мала вероятность поглощения теп-

ловых нейтронов ядрами урана, но зато повышается вероятность избежать резонаи- сиого захвата ядрами U-238, ибо значительную часть времени замедляемые нейтроны с энергиями, «опасными» для резонансного захвата, проводят за пределами блоков делящегося урана. Работе реактора способствует также снижение утечки нейтронов, достигаемое за счет увеличения критических размеров и применения отражателей нейтронов. Гетерогенные уран-графитовые реакторы, в которых впервые была осуществлена самоподдерживающаяся ядериая реакция, содержали примерно 45 т урана и 450 т графита, служившего замедлителем и отражателем. Примером гетерогенного ядерного реактора на медленных нейтронах является реактор первой в мире советской атомной электростанции, введенной в эксплуатацию в 1954 г.

Быстрое развитие цепной реакции сопровождается выделением значительной энергии, что может вызывать излишний перегрев реактора. При достижении реактором требуемой мощности необходимо надкритический режим развивающейся реакции свести к критическому режиму со значением k=\ и затем поддерживать этот режим. Для уменьшения коэффициента размножения нейтронов в активную зону реактора вводятся стержни из материалов, сильно поглощающих тепловые нейтроны, например из бора или кадмия. Такие управляющие стержни уменьшают значение 后 и предотвращают нарастание скорости цепной реакции, поддерживая ее в необходимом стационарном режиме.

Деление ядер урана, осуществляемое в реакторах, сопровождается образованием большого числа различных радиоактивных осколков. Расчеты показывают, что на 22 000 кВт*ч энергии образуется примерно 1 г осколков. При этом испускаются р-_ и 7-излучения. Кроме того, реакторы, работающие с замедлителями, испускают мощные потоки тепловых нейтронов, которые используют для получения различных искусственнорадиоактивных изотопов. Эти изотопы применяют для исследований в различных областях народного хозяйства.

Нейтронные потоки и ^-излучение, возникающие в ядерных реакторах, имеют большую интенсивность, обладают высокой проникающей способностью и губительно действуют на организм человека. Поэтому для защиты персонала, обслуживающего ядерные реакторы, принимают специальные меры. Одна из наиболее эффективных мер — автоматизация процессов управления реактором.

Для управления реактором существенную роль играют запаздывающие нейтроны деления (см. § 18.7). Дело в том, что время жизни мгновенных нейтронов, т. е. время от появления такого нейтрона до его поглощения ядром, составляет всего 10"3 с и управление реактором в столь малые времена затруднительно. Однако за счет небольшого числа запаздывающих нейтронов с большим временем жизни (порядка 10 с) число нейтронов можно заставить возрастать более медленно, чем и достигается возможность управления реактором. Вода, охлаждающая реактор атомной электростанции, становится радиоактивной и не используется для преобразования энергии пара в электрическую энергию. Нагретая вода поступает в парогенератор и там передает теплоту воде, циркулирующей во втором замкнутом контуре, в котором образуется пар, подводимый затем к турбине.

Урановые реакторы на тепловых нейтронах могут решить задачу энергоснабжения в ограниченном масштабе, который определяется количеством урана U-235. При использовании всего природного запаса урана U-235 можно получить энергию, приблизительно эквивалентную запасам обычного топлива на Земле.

Для увеличения ядерных энергетических ресурсов используются процессы, происходящие при захвате нейтронов ядрами урана U-238 и тория Th-232. Они приводят к появлению эффективно делящихся плутония Ри-239 и изотопа урана U-233. Схема получения плутония Ри-239 рассмотрена в п. 5 § 18.6:

噺и (% Y) f 噺и J J嚟Np J工嚼Pu

2 3 мин 2,3 ДНЯ

Реакция на тории происходит по следующей схеме:

嘴Th (% Y) - 嘰Th，，鸞Pa 嘴u23 МНЯ 2 7,4 ДНЯ

Захват нейтронов ядрами U-238 сопровождается созданием ядерного горючего, которое может быть химическим путем отделено от U-238. Этот процесс называется воспроизводством ядерного горючего. При делении одного ядра U-235 образуется в среднем 2,5 нейтрона, из которых лишь один необходим для поддержания цепной реакции. Остальные 1,5 нейтрона могут быть захвачены ядрами U-238 и из них могут быть образованы 1,5 ядра Ри-239. В специальных бридерных (воспроизводящих) реакторах коэффициент воспроизводства ядерного горючего превышает единицу. В урановых реакторах, работающих на медленных нейтронах, этого осуществить нельзя. Действительно, в таком реакторе деление происходит в 84,5 случая из 100 поглощений тепловых нейтронов ядрами U-235. Теоретически возможный максимальный коэффициент воспроизводства ядерного горючего составит 2,5х Х°,845——1=1," вместо 1,5. В результате поглощения нейтронов замедлителем и их вылета за пределы реактора он еще уменьшится. В реакторах с замедлителем коэффициент воспроизводства ядерного горючего, как правило, меньше единицы. Например, в реакторе первой АЭС он составляет всего 0,32. Бридерные реакторы работают на б ы с г р ьг х нейтронах. Активной зоной является сплав урана, обогащенного изотопом U-235, с тяжелым металлом (висмут, свинец), мало поглощающим нейтроны. В бридерных реакторах отсутствует замедлитель. Управление таким реактором производится перемещением отражателя или дополнительной массы делящегося вещества. Управляющие стержни, поглощающие нейтроны, здесь бесполезны ввиду малости сечения поглощения быстрых нейтронов по сравнению с медленными.

В Советском Союзе ——пионере ядерной энергетики — ведется огромная работа яо ядерному реакторостроению и мирному использованию энергии делящихся ядер. Созданы реакторы на быстрых нейтронах, дающие нейтронные потоки огромной интенсивности.

Поеледовател ь на я борьба Советского Союза за мирное использование внутриядерной энергии нашла свое отражение в достигнутых соглашениях между СССР и США о направлении большего количества расщепляющихся материалов для использования в мирных целях, в том числе для опреснения морской воды. Расчеты показывают, чго реактор на быстрых нейтронах мощностью 2,2 *106 кВт может обеспечить работу электростанции мощностью 5,1 *105 кВт и дистилляционной опреснительной установки производительностью 180 тыс. м‘ пресной воды в сутки при стоимости воды 2—3 коп. за 1 載.При достижении реакторами мощности в (10—20)-IO6 кВт стоимость опресненной воды настолько снизится, что можно будет ставить вопрос о применении ее для орошения засушливых земель.

Одновременно с решением проблем большой ядерной энергетики и увеличением мощности реакторов в СССР успешно решаются проблемы малой ядерной энергетики. Уменьшение размеров реакторов крайне важно для использования ядерного горючего в двигателях, где лимитирован вес горючего. Такие двигатели устанавливаются на подаодных лодках и ледоколах дальнего плавания.

Особым реактором на быстрых не貞тронах, в котором осуществляется быстрая, неуправляемая цепная реакция взрывного типа, является атомная бомба. Ядеоным взрывчатым веществом в ней служат чистые делящиеся вещества U-235, Ри-239 н U-233; в период до взрыва развитию цепной реакции препятствует вылет нейтронов за пределы делящегося вещества. Быстрая цепная реакция взрывного типа оказывается возможной при определенных критических параметрах (размере и массе) устройства. Отсутствие замедлителя приводит к значительному снижению критических размеров системы. Для изотопов U-235, Ри-239 и U-233 критическая масса составляет, по-видимому, 10—20 кг. При плотности вещества р™ 18,7 г/см3 его критическая масса занимает объем шара радиусом 4—6 см. Некоторое уменьшение критической массы взрывчатого вещества бо血н может быть достигнуто за счет помещения заряда в оболочку из металлов, имеющих большую плотность и мало поглощающих нейтроны.

Для осуществления взрывной реакции взрывчатое вещество необходимо перевести в надкритическое состояние. После этого за счет имеющихся нейтронов космических луче貞 и спонтанного деления начнется взрывная реакция. Перевод вещества бомбы из подкритического в надкритическое состояние производится максималь-

но быстро. Для этой цели ядерпый заряд бомбы делится, например, на две части, каждая из которых находится еще в подкритических условиях (имеет докритические размеры)» В момент осуществления взрыва одна из половин заряда выстреливается в другую и при их соединении почти мгновенно достигается надкритическое состояние всей системы. Взрывная реакция приводит к выделению колоссальной энергии. Температура, развивающаяся при этом, достигает 107 градусов. Разрушительная сила бомбы, сброшенной на Хиросиму, была эквивалентна взрыву 20 тыс. т тринитротолуола. В поздних образцах атомного оружия разрушительная сила доведена до эквивалента в сотни тысяч тони и более. Если к этому добавить, что при атомном взрыве возникает огромное количество радиоактивных осколков деления, в том числе и весьма долгоживущих, то станет очевидным, что ядерный взрыв представляет собой ужасную катастрофу. Тем большее значение приобретает та борьба, которую последовательно проводит Советский Союз за запрещение использования ядер кого оружия. Существенным этапом этой борьбы явилось соглашение о запрещении экспериментальных ядерных взрывов в трех средах (в воздухе, на земле и под водой).

Термоядерные реакции

Наряду с процессом деления тяжелых ядер, язляю- щимся мощным источником энергии, существует второй путь зыделе- ния внутриядерной энергии ——синтез более тяжелых ядер (гелия) из наиболее легких (изотопов водорода). В § 16.4 и 16.5 было отмечено, что энергия связи в ядре гелия значительно превышает энергию связи в ядрах тяжелого водорода ——дейтерия ；D, а также и трития :Н ——еще более тяжелого изотопа водорода. Удельная энергия связи в дейтроне составляет 1,113 МэВ, и удельные энергии связей в трех ядрах ——?D, ；Н и^Не ——огносятся приблизительно, как 1:3:6. Это означает, что ядерные реакции соединения двух дейтронов, рассмотренные в п. 8 § 18.4:

；D + ；D — ；H+切，；D+；D —犷e + 辐， (18.23) должны сопровождаться выделением больших энергий. Действительно, как показывают расчеты, в первой из них выделяется энергия 1F, равная 4,04 МэВ, а во второй — 3,27 МэВ. Еще большая энергия ——17,58 МэВ ——выделяется при соединении водорода с тритием с образованием ядра гелия и нейтрона:

；D + ；HTHe +孔 (18.23)

Подчеркнем, что в этих реакциях выделение энергии, рассчитанное на один нуклон, в несколько раз превышает выделение энергии на одну частицу при реакциях деления тяжелых ядер. В самом деле, при делении ядра U-238 выделяется энергия порядка 200 МэВ, что составляет на одну частицу -~ МэВ, т. е. приблизительно 0,85 МэВ. В реакции (18.23') эта величина равна-^ 丄等 工 3,5 МэВ, т. е. примерно в четыре раза больше. Еще более эффективной в смысле удельного выделения энергии является реакция синтеза ядра гелия |Не из четырех протонов ；р. Выделенная при этом энергия равна 26,8 МэВ, что составляет 6,70 МэВ на одну частицу,

Рассмотрим условия, при которых могут протекать реакции синтеза легких ядер. В п. 9 § 18.4 мы подчеркивали, что в ядерных реакциях под действием заряженных частиц существенную роль иг-

рает кулоновский потенциальный барьер, препятствующий сближению ядер. Если кинетическая энергия бомб ардир ующей ядро заряженной частицы невелика, то реакции на заряженных частицах не могут происходить. У легких ядер кулоновский барьер относительно невысок, но все же для осуществления реакции слияния двух соударяющихся дейтронов необходимо, чтобы они имели энергию порядка 0,1 МэВ.

В самом деле, для соединения двух ядер дейтерия их надо сблизить до расстояния г=3・10~1&м (см. § 16.5) и преодолеть при этом потенциальную энергию отталкивания Wn—e2/^&(ir). Легко подсчитать, что средняя кинетическая энергия 3/2kT сталкивающихся дейтронов будет достаточна для этого при температуре Т^2-109 К. При этом средняя энергия дейтрона как раз и составит 0,1 МэВ. Таким образом, реакция слияния двух дейтронов может происходить при температуре, значительно превышающей температуру центральных областей Солнца, оцениваемую в 1,3* 107 К. Такие реакции называют термоядерными.

Как показали более детальные исследования, температурный режим для осуществления реакций синтеза может быть несколько «облегчен» и снижен до 107 К. Дело в том, что при сверхвысоких температурах порядка десятков миллионов градусов атомы легких элементов находятся в состоянии плазмы — электронноядерного газа, состоящего из полностью ионизованных атомов, т. е. свободных электронов и оголенных ядер. Распределение частиц плазмы по скоростям и энергиям при данной температуре подчиняется закону Максвелла (см. т. I, § 11.2). Это означает, что при некоторой температуре Т существует определенное число ядер, находящихся на «хвосте» макс- зелловской кривой распределения (см. т. I, рис. 11.5) и имеющих большую энергию. Частицы, находящиеся в «хвосте» максвелловского распределения при Та; 10? к, имеют энергии порядка десятков килоэлектронвольт, что еще, однако, значительно ниже кулоновского барьера. Для ядер изотопа водорода этот барьер составляет 350—— 500 кэВ. Известно, что в ядерных реакциях заряженных частиц при обычных температурах вероятность туннельного проникновения сквозь кулоновский барьер при столкновении ядер невелика (см. § 18.4). Однако она очень быстро увеличивается с ростом энергии сталкивающихся частиц. Например, для двух ядер дейтерия эта вероятность при средней энергии частиц в 1,7 кэВ (соответствующей температуре в 2-107 К) превышает в IO? раз вероятность туннельного слияния двух ядер дейтерия, обладающих средней энергией в 17 эВ (Т=2・105 К). Температура в 107 К оказывается достаточной для того, чтобы начала протекать термоядерная реакция за счет туннельного слияния ядер, находящихся в «хвосте» максвелловского распределения. Кроме того, благоприятную роль для протекания термоядерных реакций играет то обстоятельство, что с повышением температуры интенсивнее происходят столкновения ядер, находящихся на «хвосте» максвелловского распределения, что способствует проникновению ядер друг в др) га сквозь кулоновский потенциальный барьер.

Температура порядка 107 К характерна для центральной части Солнца. С другой стороны, спектральный анализ излучения Солнца позволяет установить, что в его составе, как и в составе многих других звезд, имеется значительная часть водорода (около 80%) и гелия (до 20%). Углерод, азот и кислород составляют не более 1% массы звезд. Впрочем, если учесть, что масса Солнца колоссальна (1,99 х X Ю30 кг), то на Солнце имеется достаточное количество этих газов. Сопоставление всех этих данных с условиями протекания термоядерных реакций привело к выводу, что термоядерные реакции должны происходить н а Солнце и звездах и являться источником энергии, компенсирующим их излучение. Ежесекундно Солнце излучает энергию 3,8-1026 Дж, что соответствует уменьшению его массы покоя на 4,3 млн. т. Полезно отметить, что скорость удельного выделения энергии Солнца, т. е. выделение, приходящееся н а единицу массы в 1 с( оказызается при этом весьма малым, всего 1,88-10-4 Дж/(с-кг). Оно составляет лишь 1% от удельного выделения энергии в живом организме в процессе обмена веществ.

Малое удельное выделение Солнцем энергии за I с объясняет, почему мощность излучения энергии нашим светилом практически не изменилась за несколько миллиардов лет существования Солнечной системы.

В 1938 г. было высказано предположение о возможном протекании термоядерных реакций на Солнце в форме так называемого протонно'протонного цикла. В одном из вариантов прогонно-протонного цикла происходят, как считают, следующие реакции. Цикл начинается с соединения двух протонов с образованием дейтрона и испусканием позитрона и нейтрино: ；р+；р+；D++；e+Me・ Далее, дейтрон реагирует с протоном, образуя ядро легкого изотопа гелия |Не, а избыток энергии выделяется в виде -у-излучения: ；D+；p->^Не+у. Заметим, что позитрон, образозавшийся на первом этапе цикла, соединяясь с электроном плазмы, также дает у-излучение.

С 1951 г. считают, что наиболее вероятным продолжением цикла является соединение ядер гелия ^Не с образованием ядра *Не (а- частицы) и двух протонов: |Не+|Не-+|Не4-21р. Результатом цикла является синтез водородных ядер в ядро гелия, сопровождающийся выделением энергии.

В 1939 г. Г. Бете предложил цикл термоядерных реакций, называемый углеродно-азотным циклом или циклом Бете. В этом цикле соединение ядер водорода в ядро гелия облегчается при помощи ядер углерода *С, играющих роль «катализаторов» термоядерной реакции. Началом цикла является проникновение быстрого протона в ядро углерода с образованием ядра неустойчивого радиоактивного изотопа азота 职 и излучением у-фотона:

紀+初一恥

С периодом полураспада 14 мин в ядре ^N происходит превращу ние (18.4) ip~^ln+ ^+^е и образуется ядро изотопа углерода 讃С: 号N+^cW+%+*e. Приблизительно через каждые 2,7 млн. лет ядро

^С, захватив протон, образует ядро устойчивого изотопа азота 】：N: "С+；р->i；N+? Спустя в среднем 32 млн. лет ядро ^N захватывает протон и превращается в ядро кислорода ^О:号N+；p—^O+丫. Неустойчивое ядро i；O с периодом полураспада 3 мин испускает позитрон и нейтрино и превращается в ядро 1汹：^О->1 ^N++?е+gvе. Завершается цикл реакцией поглощения ядром 丄;N протона и распадом его на ядро углерода *С и а-частицу, происходящими приблизительно через 100 тыс. лет:

甄+出一紀+ $нe

Новый цикл начинается вновь с поглощения углеродом *С протона, происходящего в среднем через 13 млн. лет】. Результатом одного цикла является превращение четырех протонов в ядро гелия с появлением двух позитронов и у-излучения, к которому следует добавить излучение, возникающее при слиянии позитронов с электронами плазмы. Энергия, выделяющаяся на одно ядро гелия, составляет 26,8 МэВ. В пересчете на грамм-атом гелия это составляет 700 тыс. кВт-ч энергии. Этой энергии достаточно для компенсации энергии, излучаемой Солнцем. Хотя термоядерные реакции на Солнце и приводят к уменьшению на нем водорода, расчеты показывают, что коли- чества водорода, имеющегося на Солнце, хватит для поддержания термоядерных реакций и излучения Солнца на миллиарды лет.

Из предыдущего ясно, какое большое значение имеет осуществление в земных условиях термоядерных реакций для получения энергии. Достаточно сказать, что при использовании дейтерия, содержащегося в 1 л обычной воды, в реакции термоядерного синтеза выделится столько же энергии, сколько выделяется при сгорании около 350 л бензина.

Условия, близкие к тем, какие реализуются в недрах Солнца, были впервые осуществлены в СССР, а несколько поздн-ее в США, в водородной бомбе, где происходит самоподдерживающаяся термоядерная реакция взрывного характера. Взрывчатым веществом, в котором происходила термоядерная реакция (18.23'), являлась смесь дейтерия ?D и трития ；Н. Необходимая для протекания реакции высокая температура была получена з台 счет взрыва «обычной» атомной бомбы.

Теоретической основой для получения искусственных у п- р а в л я е м ы х термоядерных реакций являются реакции типа 《18.23'), происходящие в дейтериевой высокотемпературной плазме .

Как показали тщательные исследования, условия, при которых могут протекать управляемые термоядерные реакции типа (18.23) и (18.23'), несколько различаются, но сводятся к двум требованиям:

наличие некоторой минимальной температуры и определенного ограничения для произведения пт, где п — концентрация вещества в плазме, т — время удержания частиц в плазме.

Для осуществления термоядерной реакции типа (18.23) необходимо, чтобы выполнялись" условия

пт> 1()16； т> 109K.(18.24)

Для реакции типа (18.23') эти условия несколько «облегчены»:

пт> 1014; Т〉108К.(18.24')

Ограничения для произведения m имеют определенный физический смысл: число прореагировавших ядер должно быть пропорционально концентрации вещества и времени существования ядра.

Задача заключается, однако, не только в создании условий, необходимых для интенсивного выделения энергии в термоядерных процессах, но главным образом в поддержании этих условий. Для осуществления самоподдерживающейся термоядерной реакции нужно, чтобы скорость выделения энергии в системе, где происходит реакция, была не меньше, чем скорость отвода энергии от системы.

Основной причиной потерь энергии высокотемпературной плазмой является ее огромная теплопроводность, быстро растущая (пропорционально Т%)при рассматриваемых высоких температурах. Отвод энергии из плазмы может происходить благодаря диффузии горячих частиц из области, где происходит реакция, на стенки аппарата, в котором находится плазма. Если плазму не теплоизолировать от контакта с любыми окружающими веществами, то ее нельзя нагреть даже до нескольких сотен тысяч градусов, так как вся энергия^ выделяющаяся в результате реакций синтеза, будет передаваться стенкам. Иными словами, необходимо удержать плазму в заданном объеме, не допуская ее расширения. Идея эффективной магнитной термоизоляции плазмы применительно к проблеме управляемого термоядерного синтеза была предложена в СССР в 1950 г. Если пропустить через плазму в форме столба вдоль его оси сильный электрический ток, то магнитное поле этого тока, имеющее форму, обычную для прямолинейного проводника (см. т. II, § 15.2), создает электродинамические силы, которые будут стремиться сжать плазменный столб (см. т. II, § 18,1). Таким образом, столб плазмы окажется оторванным от стенок и стянутым в плазменный шнур. Очевидно, что сжатие плазмы может происходить до тех пор, пока давление, вызванное электродинамическими силами, не уравновесится газокинетическим давлением частиц самой плазмы. На рис. 18.7 шнур 2 изолирован от стенок / магнитным полем Н. Электрический ток /, пропущенный через газ, выполняет несколько функций: а) в начальной стадии создает плазму благодаря интенсивной ионизации; б) стягивает плазму в шнур; в) за счет выделения джоулевого количества теплоты нагревает плазму до высокой температуры.

В первоначальных опытах, проводившихся в СССР Л. А. Арцимовичем и его сотрудниками, в дейтерии, находящемся под давлением

Рис. 18.8Рис. 18.80,01—0,11 мм рт,ст.,с помощью батареи конденсаторов большой емкости создавался мощный импульсный разряд. Максимальная сила тока в момент разрядного импульса достигала 105——10б А при длительности нарастания тока от нуля до максимума 5——10 мкс. Возникшая плазма сначала быстро стягивалась в шнур к оси разрядной трубки. В конце сжатия температура шнура достигала 1О градусов и даже нескольких миллионов градусов. Однако удержать плазменный шнур в таком состоянии не удается: происходят быстрые радиальные его колебания —— он то расширяется, то снова сжимается. Вследствие в плазменном шнуре воз

Рис. 18.8

Рис. 18.8

никают деформации, которые изменяют геометрическую форму шнура. Результатом этого является нарушение термоизоляции, интенсивное взаимодействие плазмы со стенками, приводящее к загрязнению дейтерия веществом стенок и быстрому охлаждению плазмы. Все это происходит за время в несколько микросекунд, сравнимое с временем разрядного импульса. К моменту, когда достигнут максимум тока, температура плазмы уже снижается по сравнению с той, которая у нее была в момент окончания первого сжатия в шнур.

На рис. 18.8 представлены две простейшие деформации плазменного шнура; его местное сужение (а) и изгиб (б).

Основным вопросом, с решением которого связано осуществление управляемых термоядерных реакций, является выяснение условий, при которых высокотемпературная плазма, помещенная в магнитном поле надлежащей конфигурации, может сохранять устойчивость. Решение этого вопроса наряду с поисками путей повышения температуры плазмы до необходимой для самоподдерживающейся реакции синтеза является главным направлением, в котором развиваются исследования по управляемым термоядерным реакциям. Решение проблемы устойчивости плазмы потребовало прежде всего тщательного изучения деформаций, которые могут возникнуть в плазменном шнуре. Не вдаваясь в детали, укажем, что в случае деформации, изображенной на рис. 18.8, а, в области сужения (перетяжки) плазмы возрастет напряженность магнитного поля, а вместе с ней и электродинамические силы, стягивающие ши^р в этой области по сравнению с соседними участками. Между тем давление самой плазмы во всех ее

сечениях одинаково и плазма может свободно перетекать вдоль ее сюлба. Следоваз сльно, в месте сужения возросшее электродинамическое давление не будет уравновешиваться давлением плазмы и сужение будет продолжат ься вплоть до разрыва шнура в области первоначального сужения. Аналогично можно показать, что возникшая в плазменном шнуре деформация изгиба будет развиваться и приведет к дальнейшему изгибанию шнура. В настоящее время детально изучены возможнь『е виды иеусюйчивости плазмы. Для стабилизации плазмы применяют различные варианты использования дополнительных внешних магнитных полей, не связанных с ч оком, проходящим через плазму.

В связи с трудностями удержания плазмы в магнитном поле в последние годы широко используются сфокусированные лазерные лучи и электронные п\чки для сверхбыстрого нагревания термоядерного вещества до необходимых температур. Основная идея состоит в том, чтобы осуществить термоядерную реакцию за столь короткое время, чтобы не успела проявиться неустойчивость плазмы.

Для того чгобы реализовать условия (18.24'), необходимо в объеме плотной смеси дейтерия и трития (порядка нескольких мм5) за несколько наносекунд выделить энергию, не меньшую 107 Дж. Импульсное нагревание плазмы лазерным лучом позволит добиться этого от источников с импульсной мощностью порядка 5-1014 Вт, которая еще не достигнута. Кроме того, для достижения необходимой импульсной мощности нужно повысить к. п. д. лазерных установок, который пока еще не позволяет получить требуемый энергетический баланс.

Импульсное нагревание термоядерного вещества электронным пучком основано на том, что на короткое время можно создать юки порядка 104—105 А при энергии электронов в пучке порядка нескольких МэВ. Этим способом достигнута мощность 1012 Вт при энергии пучка в несколько тысяч джоулей. Однако принципиальных ограничений на рост тока и энергии электронов в пучке, по-видимому, пока не существует.

Мы не б\дем подробно обсуждать те пути, по которым практически осуществляется управляемый термоядерный синтез. Остановимся лишь кратко на реализации программы «Токамак» г, наиболее перспективно развивающейся в СССР, США и других странах. Основная идея установок типа «Токамак» заключается в том, чтобы использовать достаточно сильное магнитное поле, параллельное электрическому току, для того чтобы это поле препятствовало поперечным движениям плазменного шнура. Чтобы плазма не выходила через концы плазменного шнура, его свернули в тор.

Установка «Токамак» схематически представлена на рис. 18.9: 1 —— внутренняя камера; 2 —— внешняя медная камера; 3 — обмотка, создающая магнитное поле вдоль тора; 4 ——первичная обмотка трансформатора; 5 ——железный сердечник; 6 ——плазменный виток. Внутрь тороидальной камеры впускается газообразный дейтерий. С помощью трансформатора 8 камере индуктируется кольцевой ток, который,

Сокращение от слов: Тороидальная Камера со стабилизирующим Магнитным полем： последняя буква «г» для благозвучности заменена на «к».

ионизируя газ, образует плазму. Магнитное поле этого тока удерживает плазму в виде плазменного шпура или витка. Кроме того, ток, протекающий по плазме, нагревает ее. Для обеспечения устойчивости плазменного шнура на поверхность камеры надеваются катушки, генерирующие продольное магнитное поле с напряженностью, в 5一 10 раз превышающей напряженность поля, создаваемого током. Уста-

Рис. 18.9

новки 《Токамак-3》 многих поколений, включая «Токамак-10», являются реальным путем к созданию таких устройств, которые приведут к развитию ядерной энергетики.

§ 18.12. Применения радиоактивных изотопов в народном ХФзяйстве

Развитие реакторостроения и все увеличивающаяся мощность ядерных реактора позволили значительно расширить производство радисакгивных изотопов, широко применяемых в самых различных областях народного хозяйства. Производство и применение радиоактивных изотопов составляют важную отрасль прикладной ядерной физики. Основой практического применения радиоактивных изотопе® служат следующие их свойства:

большая энергия радиоактивных излучений, позволяющая регистрировать акты появления отдельных а-, р-частиц и ^-фотонов и таким образом обнаруживать весьма малые количества радиоактивных веществ;

независимость активности данного радиоактивного изотопа от условий, в которых находятся радиоактивые атомы (характер химического соединения, внешние условия, агрегатное состояние и т. д.);

одинаковые химические свойства стабильных и радиоактивных изотопов данного химического элемента;

различная проникающая способность разных типов радиоактивных излучений (ос, § н у) и специфический характер их взаимодействия с веществом.

Радиоактивные изотопы применяются главным образом в качестве источников излучения высоких энергий и радиоактивных индикаторов. Наибольшее практическое значение имеет сейчас второе направление, где круг возможных применений весьма разнообразен. Основу его составляет тот факт, что радиоактивные излучения атомов радиоактивного изотопа отличают их от стабильных неизлучающих атомов, являются своеобразной меткой, позволяющей следить за поведением излучающих атомов. Использование «отмеченных» радиоактивностью атомов получило название метода «меченых^ атомов. Разнообразные применения радиоактивных индикаторов можно разделить по типу решаемых задач на следующие четыре группы:

15 А. А. Детлаф, Б. М. Яворскк# — 449 —

Изучение пространственного распределения в объекте некоторого вещества (или веществ), вводимого в него извне. Если в данный объект ввести вещество с примесью радиоактивного индикатора, то по активности в различных участках объекта можно установить распределение введенного вещества по объекту. К такого типа задачам относятся различные диффузионные исследования (самодиффузия металлов, диффузия постороннего вещества в данное, термодиффузия и т. д.).

Определение содержания в данном веществе различных его компонентов, в том числе и таких, которые имеются в весьма малых количествах. Для этого необходимо ввести в вещество радиоактивный индикатор с физико-химическими свойствами, тождественными или очень близкими к свойствам исследуемого компонента, причем удельная активность и количество введенного индикатора известны. После полного перемешивания введенного индикатора с изучаемым компонентом измеряют удельную активность проб этого компонента и определяют его начальное количество. Примером этого типа задач служит химический анализ по методу изотопного разбавления для определения количества веществ, находящихся в растворе, а также так называемый активационный анализ. В последнем случае при облучении вещества нейтронами некоторые стабильные атомы в результате реакций захвата становятся радиоактивными. По характеру излучения изотопов судят об образовании изотопов атомов тех или иных элементов. Активационный анализ позволяет обнаруживать весьма малые концентрации элементов — до 10~6 %.

Установление промежутка времени между моментом введения некоторого вещества в определенное место изучаемого объекта н моментом появления этого вещества в некотором другом месте объекта. Этим методом решаегся большое число практически важных задач, например установление направления воздушных потоков в вентилируемых помещениях пыльных цехов, определение времени прохождения газа через доменную печь и др.

Решение методом радиоактивных индикаторов задач, связанных с определением (оценкой) активности некоторого источника в первоначальный момент времени по его активности в данный момент. Этим методом определяется возраст геологических объектов и археологических находок, в последнем случае — по концентрации в них долгоживущего изотопа углерода С-14, который образуется в воздухе под действием космических лучей (см. § 18.5).

Большое значение имеет контроль различных технологических процессов с помощью радиоактивных индикаторов. Этот контроль основан на измерении различных параметров, характеризующих процесс (уровень жидкости, толщина образца н т. д.), по прохождению через вещество регистрируемого радиоактивного излучения с определенным законом поглощения (или отражения) его веществом. При автоматизированном соединении счетчиков (или других устройств) с аппаратами, управляющими технологическими процессами, метод радиоактивные индикаторов позволяет обнаружить отклонения от правильного режима протекания процесса и автоматически производить его корректирование. В этих случаях радиоактивные изотопы являются датчиками различных физических величин и параметров процессов. Например, в текстильной промышленности таким методом изучается процесс вытягивания шерсти на вытяжных аппаратах. К чесаной шерсти, поступаюдей на ленточную машину для вытягивания, добавляются радиоактивные волокна. Протекание процесса вытягивания фиксируется счетчиками Гейгера. Полученные данные используются при конструировании усовершенствованных вытяжных аппаратов и позволяют лучше понять, как лента утончается в ровницу и затем в пржу.

Метод радиоактивных индикаторов широко применяется при изучении износа инструмента или материалов при трении. С этой целью одна из трущихся поверхностей предварительно активируется радиоактивным изотопом, а затем либо определяется активность смазочного масла, либо измеряется перенос вещества с активированной поверхности на неактивироваиную. При изучении износа инструмента в его состав вводится радиоактивный изотоп и по измерению активности стружки, в которой имеются частицы — следы износа, судят о его скорости в зависимости от разных причин.

В металлургии, машиностроении и других отраслях промышленности радиоактивные изотопы применяются в радиоактивных уровнемерах, толщиномерах, устройствах для измерения концентраций, влажностей и других величин.

В медицине с помощью радиоактивных индикаторов определяют места скопления в организме элементов, входящих в лекарственные препараты, сведения о пере-

мещениях в организмах тех или иных веществ и об органах, где концентрируется то или иное вещество. На методе меченых атомов основана диагностика некоторых заболеваний.

В сельском хозяйстве метод радиоактивных индикаторов применяется для контроля за равномерным внесением удобрений в поиву, равномерным распределением малых доз витаминов по всей массе кормов, а также для решения многих других аналогичных задач.

Радиоактивные изотопы в качестве источников частиц высокой энергии i применяются для дозированного облучения различных веществ с целью вызвать заранее планируемые изменения в их структуре, а также в состояниях их молекул и атомов. Облучение вызывает существенные качественные изменения в протекании физико-химических процессов в веществе. Основанные на этом методы радиационной химии и радиационной биологии в настоящее время все шире внедряются в практику.

Радиационная химия решает следующие основные проблемы: 1) создание веществ с максимальной сопротивляемостью разрушению, вызываемому радиоактивными излучениями (защита стенок реактора, теплоносителей и смазочных материалов, работающих в поле излучений, радиобиологическая защита и т. д.)； 2) создание новых материалов с ценными свойствами (например, новых полимерных материалов).

Радиационная биология изучает изменения в живых организмах, вызванных действием радиоактивных излучений. Наибольший интерес представляет исследование изменения наследственных качеств животных и растений. Большое число новых перспективных сортов сельскохозяйственных культур получено в результате изменения наследственности растительных организмов под действием радиоактивных излучений.

Нс следует, конечно, считать, что энергии этих частиц сравнимы с энергиями частиц в космических лучах или даже с энергиями частиц, разгоняемых в ускорителях.

Глава XIX

КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ

§ 19.1. Предварительные замечания

Проблемы физики частиц микромира — их природы, свойств и взаимных превращений ——являются важнейшими в физике наших дней. Все наши сведения о строении атома не могут считаться исчерпывающими до тех пор, пока не будут решены проблемы, связанные со структурой частиц микромира (нуклонов, электронов и т. д.).

Вопрос о структуре электрона и протона — частиц, известных еще до появления современной квантовой механики,——решался, по существу, двояким образом. С одной стороны, в целом ряде задач их можно было рассматривать как бесструктурные частицы — материальные точки, обладающие рядом свойств, например зарядом и массой. Представление о точечной элементарной частице находится в согласии с теорией относительности. Дело в том, что если элементарная частица имеет конечные размеры, является протяженной, то она, будучи единым целым, не должна деформироваться, так как деформация по смыслу этого понятия связана с возможностью независимых движений отдельных частей целого. Но в применении к элементарной частице это означает, что внешнее воздействие на нее должно было бы мгновенно передаваться от одних ее частей к другим. Это противоречит основному положению теории относительности об отсутствии в природе скоростей передачи взаимодействий, больших скорости с света в вакууме. С другой стороны, уже в классической электродинамике было введено понятие о классическом радиусе электрона, которое неизбежно означает наличие некоторой протяженности частицы в пространстве и существование у нее определенной структуры.

Из классической электродинамики известно (см. т. II, § 3.2), что неподвижная заряженная частица с зарядом е создает электростатическое поле с потенциалом (р=е/(4п£у), где 厂 ——расстояние от частицы. Для бесструктурной точечной частицы это означает, что созданное ею поле в точке ее нахождения (при г->0) обладает бесконечным потенциалом, а следовательно, и бесконечной потенциальной энергией. Так, в физику бесструктурных частиц вошли «бесконечности», потребовавшие введения каких-то неточечных взаимодействий. Развитие всей квантовой механики в ее применении к элементарным частицам представляло собой непрерывное создание различных методов введения неточечных взаимодействий, попыток устранить «бесконечность», ввести определенную структуру элементарных частиц, которая не противоречила бы теории относительности.

Для выяснения структуры частиц микромира необходимо иметь частицы весьма больших энергий. Легко показать, что с увеличением энергии сталкивающихся частиц можно получить информацию о явлениях, происходящих на все более малых расстояниях между час

типами. В самом деле, предположим, что требуется выяснить, что происходит при соударении двух элементарных частиц на весьма малом расстоянии Аг между этими частицами. Если координата частицы определена с точностью до Аг, то неопределенность в ее импульсе будет Др^-^- и, следовательно, неопределенность в энергии частицы будет не меньше, чем некоторая величина AW7. Чем меньше изучаемые расстояния Аг, связанные со структурой элементарных частиц, тем больше должны быть импульс р и энергия W частиц, ибо они не могут быть меньше, чем Др и \W.

Заметим, что на заре развития физики ядра энергии, которыми располагали, должны были обеспечить возможность проникновения в области с линейными размерами 10~12——10~13 см. Физика элементарных частиц и исследования их структуры стали возможны при достижении энергий, позволяющих проникнуть в области с размерами 10~13——10-и см. Так, для релятивистского электрона необходимые энергии должны составлять We^2 ГэВ. Для проникновения в глубь микромира до расстояний 10-14—10-15 см необходимы энергии порядка 104 ГэВ, получение которых на ускорителях еще невозможно.

Предельно большие энергии в настоящее время порядка 1012 ГэВ наблюдаются у частиц в космических лучах.

Как всякая бурно развивающаяся область знаний, учение об элементарных частицах не находится пока еще в таком завершенном состоянии, которое допускало бы его систематическое изложение, в особенности в рамках общего курса физики для втузов. Поэтому в этой завершающей главе курса мы ограничимся кратким изложением основных экспериментальных данных и в меньшей степени будем касаться их теоретического истолкования.

§ 19.2. Космические лучи и их свойства

Космическими лучами называются потоки атомных ядер высокой энергии, главным образом протонов, приходящие на Землю из космического пространства, а также вторичное излучение, создаваемое этими ядрами в атмосфере Земли. Космические лучи были обнаружены в начале XX в. при изучении ионизации сухого воздуха, заключенного в замкнутый сосуд. Опыты показали, что заряженный электроскоп, помещенный в очень толстую свинцовую оболочку, все же теряет свой заряд. Изучение причин этого явления привело к обнаружению излучения внеземного происхождения, обладающего высокой проникающей способностью. Тот факт, что обнаруженное излучение приходит на Землю из космического пространства, подтверждается следующим наблюдением: при подъеме в атмосферу до высоты 1000 м происходит незначительное уменьшение интенсивности ионизации, которое затем сменяется быстрым ее ростом, который нельзя объяснить, если считать, что источники ионизации находятся в недрах Земли. Исследования показали, что космическое излучение поступает на Землю изотропно из всего космического пространства, о чем свидетельствует практическая независимость интенсивности

ионизации воздуха космическими лучами от суточного вращения Земли.

Интенсивность / космических потока частиц ——числом частиц,：Интенсивность / космических потока частиц ——числом частиц,：Рис. 19.1Рис. 19.1лучей определяется плотностью проходящих в 1 с через единицу площади поверхности внутри единичного телесного угла. Она выражается В М-2・СрТ・сТ.

Интенсивность / космических потока частиц ——числом частиц,：

Интенсивность / космических потока частиц ——числом частиц,：

Рис. 19.1

Рис. 19.1

Изменение интенсивности космических лучей с высотой показано на рис. 19.1. 一

Космические лучи, изотропно падающую из мирового пространства, испытывают отклонение в магнитном поле Земли, в результате чего их интенсивность зависит от широты. Наибольшее отклоняющее действие магнитное поле Земли оказывает в экваториальной

области. Здесь наибольшее число частиц испытывает сильное отклонение и н е проходит в нижние слои земной атмосферы. Это явление называется широтным эффектом. Изучение отклоняющего действия магнитного поля Земли на космические лучи показало, что положительные частицы, входящие в их состав, отклоняются к востоку, а отрицательные ——к западу (восточно-западный эффект).

Изучение состава первичного космического излучения з а пределами земной атмосферы проводится с помощью ионизационных камер, счетчиков, пачек ядерных

1 1

1300

650

6830

24

94

47

1040

3—5 10

2,0

1,0

ю-&

6-9 14

6,7

3,3

10,1

10 31

2,0

1,0

1,0

UZ7N20 51

0,5

0,26

0,05

ядер и их

данные для

частиц

Т а б л и ц а 19.1Т а б л и ц а 19.1Во Вселенной (в сред-川Х7Во Вселенной (в сред-川Х7приведены в табл. 19.1,приведены в табл. 19.1,7 NZ加『万=丽7 NZ加『万=丽фотоэмульсий, поднимаемых на воздушных шарах, ракетах, а также установленных на космических кораблях. В состав первичных космических лучей входят главным образом протоны иа-частицы. Кроме того, входит несколько групп ядер: легкие (L) ядра лития, бериллия и бора, средние (М) ядра углерода, кислорода, азота и фтора и тяжелые (И) ядра с порядковыми номерами Z>10. Подгруппы очень тяжелых ядер (VH) содержат ядра с Z>20.

Т а б л и ц а 19.1

Т а б л и ц а 19.1

Во Вселенной (в сред-

川

Х7

Во Вселенной (в сред-

川

Х7

приведены в табл. 19.1,

приведены в табл. 19.1,

7 N

Z加『万=丽

7 N

Z加『万=丽

Интенсивность различных групп

с полной энергией, большей 2,5 ГэВ/нуклон,

где <Л> — среднее массовое число данной группы.

концентрации ядер группы (Н), в по- огношенпе, характеризующее среднюю во Вселенной — на Солнце, в звездахконцентрации ядер группы (Н), в по- огношенпе, характеризующее среднюю во Вселенной — на Солнце, в звездахВ пятом столбце таблицы приведено отношение концентраций со

концентрации ядер группы (Н), в по- огношенпе, характеризующее среднюю во Вселенной — на Солнце, в звездах

концентрации ядер группы (Н), в по- огношенпе, характеризующее среднюю во Вселенной — на Солнце, в звездах

ответствующих групп ядер к следнем столбце — такое же распространенность элемента и межзвездной среде.

Из табл. 19.1 можно сделать два вывода. Во-первых, легких эле

ментов во Вселенной очень мало, в то время как в космических лучах ядер группы (L) столько же, сколько тяжелых ядер группы (Я) и в 105 раз больше, чем в среднем во Вселенной. Во-вторых, космические лучи по сравнению с небесными телами значительно обогащены тяжелыми и очень тяжелыми элементами. Так, в космических лучах на

одно ядро группы (Я) приходится 700 протонов и а-частиц, а на одно ядро группы (VH) — около 2000 протонов и ос-частиц. Соответственно

во Вселенной на те же ядра приходится протонов и а-частиц 8000 и 160 000.

Энергетический спектр первичных космических лучей весьма широк. В этом спектре преобладают частицы с энергией до нескольких десятков ГэВ. Наибольшая часть первичных космических лучей обладает энергией Ю】'эВ. Встречаются частицы и с энергией 1021 эВ.

На высотах, превышающих 50— 60 км, где наблюдается постоянная ин

тенсивность космических лучей, есть лишь первичное излучение. Рост интенсивности с приближением к Земле (рис. 19.1) означает

появление вторичных космических лучей.

Свою огромную энергию частицы первичных космических лучей расходуют главным образом при неупругих столкновениях с ядрами атомов азота и кислорода воздуха в верхних слоях атмосферы. Результатом этих столкновений и связанных с ними процессов и яв

ляются вторичные космические лучи, которые достигают поверхности Земли. Оценки длин пробегов протонов и тяжелых ядер первичных лучей показывают, что ниже 20 KM все космическое излучение является вторичным.

Для изучения проникающей способности вторичных космических лучей измерялась их интенсивность после прохождения через слой свинца различной толщины d. На рис. 19.2 приведены результаты измерений, в которых за единицу принята интенсивность космических лучей при d=0. При толщинах d от 0 до 10——13 см интенсивность быстро ослабевает, а при дальнейшем увеличении толщины она практически остается постоянной. В связи с этим в составе вторичных космических лучей различают мягкую и жесткую компоненты. Мягкая компонента сильно поглощается свинцом, жесткая компонента обладает в свинце большой проникающей способностью.

В основе разделения космических лучей на мягкую и жесткую компоненту лежит отмеченное в § 17.8 различие в радиационных (тормозных) и ионизационных потерях легких и тяжелых заряженных частиц. В жесткую компоненту входят более тяжелые быстрые заряженные частицы, теряющие энергию в основном лишь на ионизацию атомов, встречающихся на их пути. В составе мягкой компоненты находятся легкие заряженные частицы ——электроны и позитроны, а также фотоны.

Вне земной атмосферы обнаружены околоземные радиационные пояса (зоны), представляющие собой две разграниченные области с сильно повышенной интенсивностью космического ионизирующего излучения {по сравнению с наблюдаемой на относительно малых высотах). Образование этих поясов связано, как показали исследования последних лет, с захватом и удержанием заряженных частиц магнитным полем Земли.

Радиационные пояса должны быть характерны для Всех небесных тел, обладающих магнитным полем. По данным» полученным с помощью космических ракет, Луна не имеет собственного магнитного поля и поэтому вокруг нее нет радиационных поясов. Данные о зонах повышенной космической радиации имеют существенное значение для полетов человека в космическое пространство、

Гипотезы о происхождении первичного космического излучения опираются на данные об энергии первичных частиц и на радиоастрономические данные. Считается, что в первичных лучах заряженные частицы приобретают большие энергии благодаря ускорению, которое они получают в электромагнитных полях звезд и Солнца Существенно, что ускорение заряженных частиц должно происходить постепенно. В противном случае, если бы энергии до 10〃 эВ, которыми обладают тяжелые и сверхтяжелые ядра, имеющиеся в первичном излучении, получались ими сразу в результате некоторых сверхбыстрых процессов, ядра сразу бы «испарялись» на составляющие их нуклоны. Энергии связи в ядре не хватило бы для удержания нуклонов друг возле друга в ядре при быстром сообщении ему энергии, значительно меньшей, чем 10п эВ. Постепенное ускорение первичных космических лучей может осуществляться аналогично ускорению частиц в бетатроне (см. т. II, § 21.2). При вращении звезд, обладающих магнитным полем, создаются вихревые электрические поля- Магнитные поля звезд, действуя на протоны и ядра, удержизают их на замкнутых траекториях, двигаясь по которым они приобретают в электрических полях колоссальные ускорения. Вторым механизмом ускорения частиц в первичных космических лучах являются статистические эффекты: при встрече с облаками межзвездной материи, обладающими неоднородными магнитными полями, частицы ускоряются.

В облаках межзвездной материи возникают движа<ия заряженных масс, создающие переменные электромагнитные поля. В этих полях заряженные частицы первичного космического излучения могут ускоряться до самых больших 9nq)ra% которые в нем наблюдаются. Предполагается, что начальная энергия первичных частиц (порог инжекции) имеет своей природой ударные волны, возникакмцие в результате столкновений газовых масс при взрыве так называемых сверхновых звезд. Энергия этих взрывов — внутриядерного происхождения, поэтому энергия космических лучей имеет своей первопричиной ядерную энергию.

Таким образом, в настоящее время считается наиболее вероятным, что в основном космические лучи в Галактике образуются при взрывах сверхновых звезд, а также, возможно, и новых звезд. В процессе блужданий в межзвездном пространстве часть тяжелых ядер, генери*

руемых в источниках, расщепляется. Это в конечном счете приводит к наблюдаемому составу космических лучей (см. п. 3). Электронная компоненту (一止,+1б) вторичных космических лучей является результатом вторичных процессов (в частности, образования л;-мезонов с последующим их распадом: § 19.4). Считается, что

быстро изменяющиеся магнитные и электрические поля, возникающие при вспышках сверхновых звезд, способны ускорять протоны в космических лучах до энергий порядка 10й эВ. Происхождение сверхгигантских энергий частиц порядка 10紀 эВ связывается с тем, что некоторые типы звезд являются источниками мощного низкочастотного электромагнитного поля, которое, взаимодействуя с протонами с энергией 1014 эВ, ускоряет их до энергий 1021 эВ.

§ 19.3. м-Мезонм (мюоны) и их свойства

Изучение процессов взаимодействия космических лу* чей с зеществом долгое время было единственным методом изучения элементарных частиц. Взаимодействия космических лучей с вещест^ вом и их поглощение связаны с процессами рождения и качественного превращения элементарных частиц. Лишь после создания уникаль* ных ускорительных установок (см. т. II, § 18.5) возникла возможность изучения природы, взаимных превращений и структуры элементарных частиц в лабораторных условиях. Однако если принять во внимание, что в первичных космических лучах регистрируются одиночные частицы с энергиями ~10以 эВ, то станет ясно, что космические лучи еще очень долго будут конкурировать с ускорителями в деле исследования элементарных частиц.

При изучении взаимодействия частиц жесткой компоненты космических лучей с веществами были обнаружены новые частицы — мезоны. Возможность рождения новых частиц при столкновении быстрой заряженной частицы первичных лучей (например, протона) с ядром атома азота или кислорода атмосферы вытекает из соотношения (9.35) между массой и энергией. При энергии протона 10А ГэВ, приблизительно в 104 раз превышающей его энергию покоя \ столкновение протона с ядром приводит не только к расщеплению ядра на его составные части — нуклоны. За счет колоссального избытка энергии и массы первичной частицы над энергией и массой покоя ядра энергии протона хватает не только для сообщения кинетической энергии продуктам расщепления, но и для рождения новых частиц, как обладающих массой покоя, так и имеющих лишь массу, связанную с полями.

Изучая поглощение космических лучей свинцовыми фильтрами по методу Вильсона ——Скобельцына, X. Андерсен и С. Неддермейер получили (1937) трек заряженной частицы, фотография которого изображена на рис. 19.3. По характеру искривления трека в магнитном поле (частица двигалась сверху вниз) был установлен положи-

1 Таким же, очевидно, является отношение массы протона к его массе покоя.

тельный знак частицы. По производимому ею ионизационному действию и потерям энергии была оценена масса покоя частицы. Она составляет приблизительно 200 те, где 团日——масса покоя электрона. Впоследствии были обнаружены отрицательные частицы с такой же массой. В дальнейшем для отличия этих частиц от других частиц с массой покоя, промежуточной между массами покоя электрона и протона, мезоны с массой 勺;200 me были названы fi-мезонами (мюонами).

Точные экспериментальные исследования масс покоя 口土-мезонов, проведенные при изучении распада более тяжелых частиц, чем ^-мезоны, привели к значению

加觊±= 105,6599(14) МэВ.

В табл. 19.2 приведены характеристики элементарных частиц. Массы частиц приведены, как это сейчас принято, в энергетических единицах (МэВ). Поскольку масса электрона 加日^°,5 МэВ, то для нахождения массы частицы в электронных массах нужно ее массу в МэВ умножить на два.

Исследование изменения интенсивности жесткой компоненты космических лучей с высотой (на уровне моря и на высокой горе)

показало, что на уровне моря 卩-мезоны имеют заметно меньшую интенсивность. Опыты ставились так, что на горе имелся дополнительный фильтр, действие которого было эквивалентно поглощающей способности столба воздуха с высотой, равной высоте горы. Следовательно, условия поглощения 卩-мезонов воздухом были одинаковыми как на горе, так и на уровне моря. Единственной причиной убыли интенсивности ^-мезонов за время / пролета ими расстояния Н, равного высоте горы, мог быть самопроизвольный распад it-мезона. Оце- нмвая время пролета г = — — \т. е. считая, что мезоны движутся со

скоростью о, бчизкой к скорости свега с) и используя формулу (17.2') для радиоактивного распада

^ = N^~ ^тц ,

можно было по известным из измерений числам ^-мезонов на горе (NJ и на уровне моря (N) определить ти——среднее время жизни 卩-мезона. Такие оценки привели к значению т^10~5 с.

Более точные опыты по определению 小，проведенные по методу поглощения жесткой компоненты космических лучей в свинцовых фильтрах с использованием весьма точных методов регистрации ^-мезонов, привели к значению 工4=2,15(7)， 10-6 c.

Более точным значением ти в настоящее время считается

S =2,1983 (8)-10-^с.

Время жизни 卩+.мезона т^ + ^ 2,2-10-6 с одинаково во всех веществах, Для отрицательного мюона ти- зависит от атомного номера Z ядер атомов среды, в которой он движется, и с ростом Z изменяется в пределах порядка ML с, '

Мюоны могут испытывать распад по схемам

卩十一＞ i；e + М + + 8%+ovu， (19.1)

где Me и Jv^ —электронное и мезонное нейтрино (и соответственно антинейтрино).

Электроны 一?е и позитроны +?е распада 卩-мезонов были отчетливо обнаружены по методу чувствительных ядерных фотоэмульсий. Энергия электрона (или позитрона), возникшего в реакциях (19,1), не превышает 50 МэВ и гораздо меньше энергии [л^-мезонов. Поэтому электрон (позитрон) не может быть единственной частицей при распаде р.^-мезона. Анализ процесса распада по законам сохранения привел к схемам (19.1) 1. Из них следует, что спин |л-мезонов, как и электрона, должен быть равен 方/2, ибо спин нейтрино и антинейтрино равен 土布2 каждый и эти спины взаимно компенсируются (при отсутствии ciporo выделенных ориентаций каждого из спинов).

Зависимость времени жизни т^--мезона от заряда ядра Z атомов вещества приводит к тому, что |1--мезон может быть захвачен атомом вещества с образованием так называемого мезоатома. Среди атомов, содержащихся в периодической системе элементов Менделеева, мезоатомов нет. Они образуются при ионизационном торможении 卩 一-мезона вблизи ядра. Потеряв свою энергию, pt--мезон захватывается на одну из орбит, подобных электронным, но с радиусом, в (团乩/^6)^200 раз меньшим. За короткое время (10~14— 10一13 с) [л-мезон может переходить из одного энергетического состояния в мезоатоме в другое (с одной «орбиты» на другую), излучая у- фотоны. По существованию такого излучения и измерению его энергии были сделаны выводы об образовании мезоатомов. Мезоатом существует короткое время, пока |л~-мезон не распадется и пи не будет захвачен протоном ядра. К мезоатомам с успехом применяется боровская теория водородоподобных систем. Так, по формуле (13.9‘) можно оценить радиус /С-орбиты р_-мезона в свинце (Z=82): г =亍——

Он оказывается равным 3* 10~15 м, т. е. имеет величину, меньшую радиуса ядра свинца. Это означает, что в мезоатоме свинца р-~-мезон находится некоторое время внутри ядра и не поглощается им. Этот результат имеет большое значение. Он показывает, что 卩-мезоны являются ядерно-неактивными частицами, т. е. они весьма слабо взаимодействуют с ядрами. С другой стороны, время 10~8 с в 10й раз больше ядерного времени (10~32 с), которое характеризует внутри-

1 В настоящее время установлено, что нейтрино %〉и антинейтрино 如营， испускаемые вместе с электронами, отличаются от нейтрино 加卩 и антинейтрино ^ц, испускаемых вместе с мезонами. Поэтому теперь принято различать электронное и мезонное нейтрино (и антинейтрино), причем 2屮&声釈觊.Об этих различиях сказано в § 197

Таблица 19.2

Преобладающаясхема распадаПреобладающаясхема распадаEHHL1。0」0二。 AXSCOHOWS KHtlHgodu HHUННЕ。 te^KROHOmxEHHL1。0」0二。 AXSCOHOWS KHtlHgodu HHUННЕ。 te^KROHOmxqksHHBdl。qksHHBdl。HKdBE «ЗИИОНСФС*HKdBE «ЗИИОНСФС*скачет ElqHHOHdB©скачет ElqHHOHdB©пин方 спин方 сМасса, Бремя жизни,МэВс /Масса, Бремя жизни,МэВс /a HKdee ежаоa HKdee ежао«хщ«№язпофо«хщ«№язпофоНазвание частицыи антачастнцыНазвание частицыи антачастнцы

Преобладающаясхема распада

Преобладающаясхема распада

EHHL1。0」0二。 AXSCOHOWS KHtlHgodu HHUННЕ。 te^KROHOmx

EHHL1。0」0二。 AXSCOHOWS KHtlHgodu HHUННЕ。 te^KROHOmx

qksHHBdl。

qksHHBdl。

HKdBE «ЗИИОНСФС*

HKdBE «ЗИИОНСФС*

скачет ElqHHOHdB©

скачет ElqHHOHdB©

пин方 с

пин方 с

Масса, Бремя жизни,МэВс /

Масса, Бремя жизни,МэВс /

a HKdee ежао

a HKdee ежао

«хщ«№язпофо

«хщ«№язпофо

Название частицыи антачастнцы

Название частицыи антачастнцы

ФотонТ0Стабилен100

Лептоны

Нейтрино:

электронное нейтри- %;0; 0< 60 эВСтабильны1/20; 0+1;

но, антинейтрино$—1

ц-мезонное нейтрино,0; 0< 1,6»1/20; 0+1;

1антинейтрино*—1

Электроны:

専электрон, позитрон—1; 0,511004 (16)>1/20; 0+1;

[十 1—1-

Мюоны:

ц_-мезон, н+-мезон]厂； 一1; 105,6599(14) 2,1983 (8)- Ю-8 1/20; 04-1；卩

-—*^二+

N十十1一工

+ y法十ve

Мезоны:

Пионы:

л+-мезон, л"--мезон 冗十； 十1;139,579(14) 2,6024 (24)-10-800; 00; 00; 01十1;冗十

f 尸+V"

л°-мезон冰0134,975(17) 0,76 (15) • 10-工6000018

л° 一>2?

Каоны：

/<+-мезон, К--мезои К+;4-1;493,82(11)1,235 (4)-10-800; 00; 0十1; 1/2 十 1/2; Л+

f出十+у1A

«т —1— 1—1/2

№-мезон, антн-К。- К°； &。0; 0497,76(16) Kg：0,862(6)X

鸣т 2m

мезои

“о ,00； 09; 0+1; 1/2 -1/2;

一^几，因V

Kf：%38(19)X—1十 1/2 К；

xio-8

—> 冗，e, V

Барионы^

Нуклоны:

протон, антипротон р; р +1;

—1

938,2592(52)

Стабильны

I /2

4；

нейтрон, антинейтрон п\ и 0; 0

939,5527(52)

1013(26) 932(14)

1/2

+匕

—1

Л*-гиперон, гиперон

айТи-Л*-

S+-гиперон, S+-гиперон

анти-

2-гиперон, анти-2 ~- гиперон

2*-гиперон, гиперон

анти-S*-

Е-гиперон, гиперон

анти-Е-

Ев-гйперон, гиперон

анти-S®-

Й^-гнперон, Й~-гиперон

антн-

Гипероны:

1115,60 (8)

2,51(3).10一1。

1/2

—1

1129,40(19)

0,802 (7)-10'10

1/2

+1；

—1

1197,32(11)

1,49 (3)-10-10

1/2

二1'

1192,46(12)

工》ксп V Ю—14 ^теор Н 10 19

1/2

+1；

—1

1321,25(18)

1,66 (4)-10-1°

1/2

1314,7 (7)

3,06( 18) 10-10

1/2

+1;

№72,5(5)

1,3(4)-10-1°

3/2?

+ 1；

0;

0

0; 0

1/2

+)/2;

一1/2

0；

0

0, 0

1/2

-1/2； + 1/2

n -

f P十+ +元

0;

0

—1;

十1

0

0; 0

Л°

тр + 口-

0；

0

—1;

+1

1

十1；

—1

s+

一► Л卜九千

0；

0

一1;

十1

1

一1； 十I

s-

-►冷+旷

0；

0

-1;

4-1

1

0; 0

Se

-£ + 了

0;

0

-2;

+2

1/2

-1/2; +"2

E —

тА^ + к

0；

0

一2;

十2

1/2

+ 1/2；

-1/2

3®-

—>А° + л°

0;

0

一3; +3

0

0; 0

£2"

/日+一 ЧЛ*+№

Примечание. Античастицы имеют тождественные с частицей эначения массн, времени жизни, спила н язотоннчеекого епмна и лротиве- иоложные по знаку эначения электрического, барионного и лептонного зарядов, странности и проекции изотопического спина. Схема распада античастицы зарядовосопряжена схеме распада частицы (иавример, для частицы ц~ —► е- +Уд + V^, для античастнцы ц+ -~>е+ + v^ + V^. В таблице даны только преобладающие схемы распада.

ядерные взаимодействия. Это означает, чю)л-мезоны взаимодействуют с ядрами в 1°м раз слабее, чем это необходимо для обеспечения короткодействующего характера ядерных сил. Другими словами, ^i-мезоны н е могут быть фотонами ядерного поля, обеспечивающими взаимодействие нуклонов в ядре.

Слабое взаимодействие ^.i-мезонов с ядрами аналогично столь же слабому взаимодействию с ядрами электронов и позитронов, а также нейтрино и антинейтрино* По этому признаку все указанные частицы в настоящее время объединяются в особый класс элементарных частиц, называемых лептонами.

Для того чтобы отличить элементарные частицы, входящие в группу лептонов, им приписывается характеристика, называемая лептонным зарядом.

Считается, что все лептоны (электроны, отрицательные мюоны и нейтрино) имеют лептонный заряд, равный +1, все антнлептоны (см. § 19.7) (позитроны, положительные мюоны и антинейтрино)— лептонный заряд, равный——1), а все остальные частицы не имеют лептонного заряда. Процессы, происходящие с участием лептонов, характеризуются относительно медленным протеканием (см. табл, 19.2 и 19,3) и происходят так, что суммарный лептонный заряд сохраняется неизменным.

Мю-мезоны часто называют мюонами, чтобы отличить их от других мезонов, не входящих в группу лептонов. Из ядерной неактивности ^-мезонов следует, что они не могут быть теми частицами в первичных космических лучах, которые взаимодействуют с ядрами атомов атмосферных газов. К 1946 г. в физике космических лучей было накоплено достаточно данных о том, что в составе первичных космических лучей должны существовать ядерно-активные частицы, сильно взаимодействующие с ядрами и имеющие массы, промежуточные между массой p-i-Mesona и протона.

§ 19.4. л-Мезоны (пионы) и их свойства

С. Поуэлл и его сотрудники, изучая следы мезонов в ядерных фотоэмульсиях, обнаружили (1947) наличие следов частиц с массами покоя, близкими к 300 те. На рис. 19.4 изображена схема процесса, обнаруженного в фотоэмульсии. В точке А частица с массой покоя 比 300 me остановилась и возникла частица с массой покоя ^ 200 те, движущаяся до точки В, где она также остановилась. Частица с треком АВ оказалась р,+-мезоном с соответствующим ему распадом в toqkb В. Первичная частица, распад которой привел в точке Л к рождению |л-мезона, была названа л(пи)-мезоном или пионом. На рис. 19.5 схематично изображена последовательность (л;-р,-^)-распада. Из анализа длин пробегов л- и р,-мезона были найдены энергии обеих частиц, а из законов сохранения энергии и импульса установлено, что вместе с рЛ-мезоном должна рождаться еще одна частица, которая уносит значительно большую энергию, чем р,+-мезон. Масса ее, как это следовало из законов сохранения, должна была быть значительно меньше масс покоя мезона и электрона. Отсутствие электронно-по-

зитронных пар в фотоэмульсии на пути второй частицы, родившейся

вместе с 卩-мезоном, исключало возможность

Исследования показали, что при распаде

того, что это был『巾отон*

卩十-мезона мезонное нейтрино JvH согласно реакции 冗+т 卩++；%х.

л+-мезона рождается кроме

(19.2)

2. Изучение следов частиц в ядерных фотоэмульсиях показало, что в некоторых случаях в месте остановки л-мезона образуется след в виде звезды, состоящей из нескольких лучей ——треков возникших частиц. Такой тан взаимодействия л-мезонов с легкими ядрами показал, что может происходить захват л-мезона ядром. Он приводит к расщеплению ядер, которое обнаруживается в виде звезды в ядерной фотоэмульсии. На рис. 19.6 показана точка А, в которой произошло образование звезды. Анализ следов в ядерных фотоэмульсиях, проведенный на основе законов сохранения энергии и

Рис. 19.5

импульса и учитывающий энергию связи и кинетическую энергию всех частиц, возникающих в процессе ядерного расщепленияг, показал, что энергия покоя 冗-мезона близка к 140 МэВ, что соответствует массе покоя 比 270 me. Ядерные превращения типа звезды, вызываемые л-мезонами, показали, что кроме положительных л+-мезонов существуют отрицательные л_-мезоны, которые легче поглощаются положительными ядрами атомов. На фотографии (рис. 19.7) видны треки частиц, возникших при ядерном превращении легкого ядра под действием 兀一-мезона. Положительный л+-мезон должен обладать значительно большей кинетической энергией, чтобы, преодолев кулонов- ское отталкивание ядра, проникнуть в него и вызвать 、汇 ядерное превращение типа звезды. Чаще л+-мезоны\ 1

распадаются вблизи ядра по уравнению (19.2).у

В космических лучах л-мезоны образуются в XV результате разрушения ядер атомов атмосферных "^>^ газов быстрыми космическими частицами (протонами, 4( а-частицами). Фотоснимок взрыва ядра, вызванного]

такими частицами, очень характерен (рис. 19.8), его называют «звездой». Наряду с тяжелыми частицами

при разрушении ядер образуются и л;-мезоны.Рн& 19.6

В 1947 г. л-мезоны были получены искусственно, в

лабораторных условиях. Расчеты показывают, что для создания л- мезонов нужны весьма быстрые заряженные частицы, взаимоденст-

Нейтроны не вызывают ионизации и их следы в эмульсии не видны. Регистрация нейтронов производится по вторичным эффектам. При взаимодействии л-мезона с ядром вылетают протоны, нейтроны и а-частицы.

вукндне с ядрами мишени. Так, энергия протонов должна быть порядка 300 МэВ. Схема получения л-мезонов изображена на рис. 19.9. При бомбардировке мишени Л мз бериллия или углерода быстрыми протонами 扔(а также и се-частицами) возникали л^мезоны, вылетаю-

Рис. 19.7Рис. 19.7Рис. 19.8

Рис. 19.7

Рис. 19.7

щие из мишени под произвольными углами. Магнитное поле ускорителя закручивало л-мезоны по круговым траекториям с радиу- &мн, определяемыми их скоростями [см. т. II, формула (18.19)]. л-Меэоны, вылетавшие из мишени вперед, разделялись: п~・ме・ зоны выводились кз камеры ускорителя, а л+-ме- С>кзоны отклонялись внутрь камеры. Мезоны, ныве-

^А денные из камеры, исследовались по их энергиям, 1 А) импульсам н массам масс-спектрометрическими ме- 炉《歹 тадами (см. т. II, § 18.4).

J Изучение л-мезонных пучков позволило устами- / вить время т жизни л-мезонов. С помощью сцинтилляционных счетчиков измеряют промежуток Рис. 19.9 времени между моментом зарождения л-мезона и моментом его распада на мезон и нейтрино (или антине^рино). Оказалось, что время жизни одинаково для положительных л+ и отрицательных л'-мезонов:

тя± = 2,551 (26)-10-вс

и на два порядка меньше, чем у 卩-мезонов. Это согласуется с тем, что 鸟 космических лучах у поверхности Земли число n-мезонов много меньше числа р,-мезонов. Схема распада л "-мезона аналогична урав-

нению (19(2):

旷一►h~H_ovm>(19.3)

где 卩-——отрицательный мюон, a gvM — мезонное антинейтрино.

Опыты с искусственными л±-мезонами позволили найти точное значение их массы покоя:

/ия±= 139,579 (14) МэВ.

4* Вместе с л1-мезонами, возникающими при облучении мишени Л протонами (рис. 19.9), наблюдалось мощное ^-излучение, которое фиксировалось по образованию электронно-позитронннх пар, вызываемых у-фотонами. Специально поставленными опытами удалось установить, что наряду с заряженными л 4-мезонами существуют нейтральные л°-мезоны, обладающие весьма малым временем жизни и распадающиеся на два фотона:

л°—> v + y.(19.4)

Образовавшиеся у^фотоны движутся практически в том же направлении, что и л°-мезон. Время жизни л°-мезона определялось из анализа

последующего образования фотонами электронно-позитронных пар:

兀°兀°(19.5)(19.5)/Y-* +妝 + 一怜,、Y —《e + -髭，

兀°

兀°

(19.5)

(19.5)

Так как ни л°-мезон, ни у-фотон не производят ионизации и не оставляют следов в ядерных эмульсиях, время жизни л°-мезона измерялось из анализа расстояния / в фото

эмульсии от точки О звезды, где образуется л°-мезон в результате действия быстрых заряженных частиц на ядра, до ближайшей точки Л, где рождается пара (+?е, _*) (рис. 19.10). Такой анализ позволил установить, что время жизни зт°-?лезона составляет * 10-1& с. Более

точные измерения времени т^。, основанные на изучении распада тяжелых ^±-мeзoнoв (см. § 19.6), привели к следующему значению:

工虱。= 0,76 (15)• 10-16с.

Массу покоя 兀°-мезона и других нейтральных частиц нельзя определить, как для заряженных частиц, по радиусу траектории в магнитном поле. Для нахождения массы л°-мезона использовались законы сохранения энергии и импульса в реакции взаимодействия л--мезонов с протонами. В этой реакции возможна перезарядка л--мезона в л°-мезон: n~+ip n°+Jn с последующим распадом л°- мезона:冗。一> у + у.

Массы и энергии протона, нейтрона и л;"-мезона в этих процессах известны. Энергии у-фотонов могут быть измерены. Тогда можно определить энергию и массу л°-мезона. Таким путем, используя, кроме того, данные об импульсах частиц в указанных превращениях, удалось найти массу покоя л°-мезона. Практически более

удобно определять разность масс покоя (тлтп^, откуда по известной массе покоя л "-мезона находится масса покоя л°-мезина:

团汽。=134,975 (17) МэВ.

Спин л°-мезона может быть определен из реакции его распада (19.4) и анализа нуклон-нуклонных взаимодействий, приводящих к рождению 兀-мезонов. Из этих взаимодействий, которые мы не будем рассматривать, следует, что спины л-мезонов должны быть целыми (в единицах 方)или равными н у л ю. Из реакции (19.4) следует, что спин л°-мезона не равен единице. В противном случае л°-мезон не мог бы распадаться на два фотона, каждый из которых имеет спин, равный 方.В настоящее время установлено, что спин л;0-мезона равен нулю. Это соответствует тому, что в реакции (19.4) спины каждого из фотонов, равные 力，как бы компенсируют друг друга. Спины заряженных л±-мезонов по ряду данных также оказались равными нулю.

На данном этапе развития ядерной физики различие в массах покоя заряженных 冗土 и нейтрального л°-мезонов, так же как и различие в массах покоя двух состояний нуклона в ядре — протонного и нейтронного, рассматривается в связи с представлением о зарядовой независимости ядерных сил и вытекающими отсюда следствиями. Как уже указывалось (см. § 16.5), ядерные силы, действующие между нуклонами, не зависят от того, в каком состоянии, протонном или нейтронном, находится нуклон и имеет ли ядерная частица заряд. Различие между протоном и нейтроном в отношении заряда проявляется лишь в электромагнитных, а не ядерных взаимодействиях частиц. Требование зарядовой независимости ядерных сил приводит к определенным ограничениям взаимодействия л-мезонов с нуклонами. Короткодействующий характер ядерных сил можно объяснить «обменом» нуклонов л-ме- зонами.

Как показали расчеты, для зарядовой независимости ядерных сил необходимо, чтобы взаимодействие нуклонов сзаряженными л±-мезо нами было одинаковым независимо от знака заряда мезона. Если бы в ядре отсутствовали электромагнитные взаимодействия и единственным взаимодействием было бы л-мезониое, ядерное взаимодействие, то зарядовая независимость ядерных сил привела быкодинаковым значениям масс нуклонов (протона и нейтрона) и одинаковым значениям масс всех я-мезонов. Различие в массах нуклонов и соответственно я-мезонов возникает за счет наличия помимо ядерного еще электромагнитного взаимодействия, обусловленного зарядом частиц. Энергия взаимодействующих заряженных частиц отлична от энергии нейтральных частиц. Вследствие этого и массы покоя заряженных и нейтральных частиц оказываются различными. Подобно тому, как учет влияния спина на энергию электронов в атоме приводит к расщеплению энергетических уровней электронов (см. § 14.7), учет добавок электромагнитного взаимодействия к ядер ному приводит к тому, что даойное состояние нуклона (протонно-нейтронное) расщепляется на два различных состояния по массам покоя ——массы частиц ^汽 и ；р оказываются различными. Вследствие тех же причин вместо одной массы покоя я-мезонов возникают две близкие массы покоя — у заряженных л *-мезонов и у нейтрального л°-мезона (на рис. 19.11 показаны значения масс:。——без учета электромагнитного взаимодействия, б ——с учетом электромагнитного взаимодействия).

Таким образом, зарядовая независимость ядерных сил и наличие дополнительных электромагнитных взаимодействий частиц в ядре приводят к различию в массах нейтральных и заряженных частиц, имеющему электромагнитное происхождение. Масса частицы как бы складывается из основной части, имеющей ядерно-мезонное происхождение, и некоторой дополнительной массы, имеющей электромагнитную природу. Считается, что добавочная масса может быть как положительной (связанной с увеличением энергии), так и отрицательной (если энергия уменьшается в ре

зультате электромагнитного взаимодействия). Так, в нуклоне, где масса нейтрона тп на 2,53 те больше, чем масса протона, электромагнитная добавка отрицательна, а у я-мезонов, где масса нейтрального я °-мезона на 8,98 те меньше массы л+-мезопов, электромагнитная добавка к массе положительна. Электро

магнитная добавка к массам заряженных 冗士-мезонов считается одинаковой,

поэтому они имеют одинаковую массу.

Зарядовая независимость ядерных сил и те следствия, к которым^она приводит, является характерным признаком так называемых сильных взаимодействий, примером которых помимо ядерных сил между нуклонами служат процессы образования

мезонов в ядерных взаимодействиях при высоких энергиях. Все процессы, в которых проявляются сильные взаимодействия, происходят во времени весьма быстро. Характерным временем для сильных взаимодействий является ядер ное время. По порядку величины это время равно комптоновской длине волны нуклона (h/mc), деленной на скорость света в вакууме* Подстановка числовых значений дает ядерное время 10-23 с (табл. 19.3).

Сильное взаимодействие характеризуется безразмерной константой g2/加弋 1, где постоянная g имеет размерность электрического заряда.

Развшие представлений о зарядовой независимости в сильных взаимодействиях привело В. Гейзенберга к введению характеристики элементарных частиц,

называемой изотопическим спином. Выше мы видели^ чю нуклонные состояния пред

ставляют собой как бы дублет, состоящий из протона и нейтрона, а л-мезоны являются как бы триплетом из л + -, л-- и л°-мезонов. В каждом из этих мультиплетов члены отличаются зарядом и имеют близкие массы.

Для характеристики числа членов в зарядовом мультиплете вводится понятие вектора изотопического спина Т, так, чтобы число зарядовых состояний в данном мультиплете равнялось 2Т+1. Изотопический спин нуклона равен половине (Т=1/?)1 в соответствии с тем, что в зарядовом мультиплете нуклона всего два члена: 2 ・1/2+1= =2. Изотопический спин я-мезона равен единице, так как число членов в я-мезонном мультиплете равно трем: 2・1十1=3.

Для индивидуальной характеристики каждого плена в мультиплете вводится понятие о проекции Т自 изотопического спина на некоторую《ось». Сразу же подчеркнем, что в физике элементарных частиц введение оси проекций W и вектора Т изотопического спина имеет лишь тот смысл, что эти понятия позволяют сформулировать особенности свойств (а также и превращений) элементарных частиц, вытекающие из зарядовой независимости при сильных взаимодействиях. Понятия об изотопическом спине и его проекции не связаны с ориентацией Т и Г^ в обычном пространстве. У л-м е з о н о в проекция Tg изотопического спина частицы равна ее заряду (в единицах е): у л°-мезона Т&=0, у л +-мезона Т自=1, у л ~-мезона 力自=—1- Для н у к л он а проекция 7g изотопического спина связана с зарядом z частицы, являющейся членом зарядового мультиплета, простым соотношением 2

Zni/z+q. (19.6)

Тогда для нейтрона Т| ——1/2, а для протона Г|~ 1/2.

Для каждого зарядового мультиплета среднее значение 〈7己〉проекции изотопического спина равно нулю. Для каждого из зарядовых мультиплетов можно ввести понятие среднего электрического заряда (г) мультиплета. Для пи-мезонного триплета он равен пулю, а для нуклонного дублета равен +х/2.

Введение изотопического спина оказалось весьма плодотворным для изучения сильных взаимодействий, при которых наблюдается зарядовая независимость. Исследования показали, что во всех процессах, связанных с превращениями элементарных частиц, обусловленными зарядовонезависимыми сильными взаимодействиями, вы- пслняется закон сохранения изотопического спина: полный изотопический спин Т

лом.лом.Изотопический спин в отличие от обычного является безразмерным числом. В формуле (19.6) заряд z выражен в элементарных зарядах (е) и является чис

лом.

лом.

всех частиц изолированной системы не изменяется при всех превращениях, вызванных сильными взаимодействиями. В настоящее время сильно взаимодействующие частицы называют адронами (от английского слова «hadron》——крупный, массивный).

Кроме сильных взаимодействий, примером которых является ядер ное взаимодействие, существуют еще электромагнитные и слабые взаимодействия. О слабых взаимодействиях мы уже говорили, рассматривая взаимодействие р,-мезонов (мюонов) с ядрами (см. § 19.3). Слабыми являются также взаимодействия, приводящие к процессам p-распадов ядер.

Слабое взаимодействие характеризуется константой слабого взаимодействия G, имеющей размерность обратного квадрата массы, а также безразмерной константой, которая выражается через массу протона Tn” ^=G/n^ 10~?. Слабое взаимодействие является наиболее медленным из всех взаимодействий, проявляющихся в микромире. Теоретические оценки и экспериментальные данные, в обсуждение которых мы не можем входить, приводят к характерному времени для слабых взаимодействий порядка 10~10 с (см. табл. 19.5).

Электромагнитные взаимодействия связаны с наличием у элементарных частиц электрических зарядов и характеризуют взаимодействие между электромагнитным полем и заряженным частицами. Этими взаимодействиями обусловлена кулоновское отталкивание протонов в ядрах, а также процессы рождения и уничтожения электронно-позитронных пар. Для электромагнитных и слабых взаимодействий между частицами н е существует зарядовой независимости —— силы взаимодействий этих типов зависят от наличия у частиц электрического заряда.

Электромагнитное взаимодействие характеризуется безразмерной константой &=©2/(方с)=1/137, которая называется постоянной тонкой структуры. Эта постоянная была введена в свое время для учета влияния релятивистской зависимости массы от скорости на энергию электрона в водородоподобной системе. Учет этого влияния приводит к расщеплению энергетического уровня на ряд подуровней, откуда постоянная а и получила свое название.

Электромагнитное взаимодействие примерно в 100 раз слабее сильного. Это означает, например, что при столкновении заряженных пионов и барионов вероятность процессов, вызванных электромагнитным взаимодействием, в 100 раз меньше вероятности процессов, вызванных сильным взаимодействием. Поэтому время, характерное для электромагнитного взаимодействия, в 100 раз больше вдерного времени. Электромагнитное взаимодействие является единственным из взаимодействий микромира, которое проявляется в макроскопических явлениях и процессах.

Для электромагнитных и слабых взаимодействий н е выполняется закон сохранения изотопического спииа. Поскольку электрон, позитрон, [i-мезоны, фотоны, а также нейтрино и антинейтрино не принимают участия в сильных взаимодействиях, им н е приписываются какие-либо значения изотопического спина.

В табл. 19.3 приведена сравнительная характеристика типов взаимодействия между элементарными частицами.

Тип взаимодействия

Сравнитель-ная вели-чина

Характерноевремя nporeKd-ния, с

1Ю-23—10-221/13710-2 ют10~14]0_10—]071Ю-23—10-221/13710-2 ют10~14]0_10—]07космических лучейкосмических лучей

1Ю-23—10-22

1/13710-2 ют

10~14]0_10—]07

1Ю-23—10-22

1/13710-2 ют

10~14]0_10—]07

космических лучей

космических лучей

Сильное

Электромагнитное

Слабое

Мягкая компонента

Образование ^-фотонов при распаде л°-мезонов позво

ляет понять происхождение мягкой компоненты космичес

ких лучей. Гамма-фотопы, образовавшиеся при распаде 兀。-мезона,

обладают большими энергиями, значительно превосходящими порого

вую энергию 2тес2~1,02 МэВ, необходимую у-фотону для рождения злектронно-гтозитрон- ной пары (% — масса покоя электрона). Возникшие быстрые заряженные частицы движутся приблизительно в направлении породивших их фотонов. Как известно (см. § 17.8), такие быстрые частицы теряют свою энергию в основном на тормозное излучение, ибо ионизационные потери энергии весьма быстрых легких заряженных частиц невелики. Это значит, что каждая из частиц пары (+髭，-％), тормозясь, в свою очередь создает фотоны, энергии которых еще достаточны для того, чтобы из них вновь образовались пары { ；е, _%), т. д. Этот процесс прекратится, когда энергия у-фотонов станет меньше 2т^?х. Описанный процесс называется электронно

фотонным или каскадным ливнем.

На рис. 19.12 изображена схема развития каскадного ливня, порожденного мягкой компонентой космических лучей. По мере своего развития ливень расширяется, ибо направления частиц «ливня в каждом следующем каскаде размножения не строго параллельны. Так,

обнаружены ливни, охватывающие колоссальные площади, превышающие 104 м2. Первичные частицы, которые создают такие ливни, обла

дают громадными энергиями, и тем не менее частицы электроннофотонного ливня являются «мягкими» — они не проходят больших толщин вещества, растрачивая свою энергию на создание фотонов (7-фотоны) либо на рождение пар (заряженные +；е и _?е электроннопозитронные составляющие ливня). Как уже указывалось (см. § 19.2),

1 Точнее, когда энергия электронов в воздухе достигнет критич«:кого значения в несколько десятков мегаэлектронвол ьт, при котором тормозные потери энергии сравняются с ионизационными (см. § 17.8) и дальнейшее образование фотонов прекратится.

поглощение жесткой компоненты связано с ионизационными потерями 1 чжелых заряженных часгиц (мы не говорим сейчас о рождении мезонов).

Развитие каскадных ливней можно наблюдать в камере Вильсона, в которую вставлены свинцовые пластинки. Ввиду того что в свинце критическая энергия электронов, необходимая для преобладания радиационных потерь над ионизационными, составляет около 10 МэВ, электроны с энергией в несколько десятков мегаэлектронвольт в состоянии развить ливень за счет тормозного излучения. Большая плотность свинца способствует быстрой потере электронами (и позитронами) ливня их энергий, поэтому слоя свинца толщиной порядка нескольких сантиметров достаточно для возникновения и развития ливня.

/С-мезоны и гипероны. Странность и четность элементарных частиц

В 1949 г. в ядерных фотоэмульсиях были зарегистрированы ядерные превращения в форме звезд, вторичными частицами которых являлись л- или ц-мезоны, а также электроны и позитроны. Исследования показали, что эти ядерные превращения вызываются так называемыми /<-мезонами (каонами)— частицами, массы которых близки к 1000 те. Среди К-мезонов обнаружены зарялсенные /(+ и /<~-мезоны, нейтральные К°-н анзи-ка-нуль К° -мезоны. Впоследствии оказалось, что /С°-н Д°-мезоны являются «смесью» двух других нейтральных частиц ——К$ и К£, обладающих различными временами жизни и схемами распада.

Детальное изучение распада К-мезонов методом ядерных фотоэмульсий показало, что эти частицы могут быть отнесены по массам, зарядам и значениям спинов к разновидностям близких друг к другу частиц. Все они, как н л-мезоны, не имеют спина — спин всех К-мезонов равен нулю. Массы заряженных мезонов оказались равными 『几艮± = 493,82 (11) МэВ. Массы нейтральных каонов несколько больше и отличаются друг от друга, например тло =497,76(16) МэВ. Времена жизни заряженных каонов одинаковы и равны t^±= 1,235 (4) х X Ю-8 с.Времена жизни нейтральных каонов различны:

т^о =0,862 (6).10-10с; %£ = 5,38 (19)・1()тз

Все сведения о разновидностях К-мезонов получены при изучении распадов /(-мезонов, а также механизмов их рождения. Рассмотрим в качестве примера распады положительного К+-мезона. Чаще всего К+-мезон распадается на р,+-мезон и мезонное нейтрино 8VA 2：

酬2 -n' + 0VH -

Достаточно часто происходит распад на два п-мезона:

Кроме того, наблюдаются еще четыре вида распада: K爲 -一兀+ +兀一 +П+ , K爲一П+ +兀。 +冗。, k% ~*世+ + 71"+2I, K自—> +宏+速+

Такого типа распады наблюдались как в космических лучах, так и для искусственных /(-мезонов, полученных в ускорителях.

На рис. 19.13 приведена фотография распада /С+-мезона на три я-мезона по схеме

Большую группу элементарных частиц, обнаруженных в ядерных фотоэмульсиях, составляют так называемые гипероны ——частицы

Рис. 19.13Рис. 19.13с массами покоя, превосходящими массу покоя нейтрона и заключенными в интервале от 1115,60(8) МэВ для лямбда- нуль-гиперона(А,°) до!672,5(5) МэВ ддя омега-минус-гипе- рона (С~). Спиновые свойства всех гиперонов роднят их с фермионами — протоном и нейтроном: спин у них равен 方/2L Нуклоны и гипероны являются родственными частицами, и в современной классификации элементарных частиц их относят к одному классу тяжелых частиц ——барионов (см. табл. 19.2).

Рис. 19.13

Рис. 19.13

Для всех элементарных частиц может быть введено понятие барионного, или ядерного (нуклонного), заряда В. Если определить, что для барионов этот заряд равен единице, для антибарионов равен ―1, а для частиц, не принадлежащих к классу барионов, равен нулю, то можно сформулировать закон сохранения барионного (ядериого) заряда: при всех ядерных превращениях в изолированной системе барионный заряд сохраняется неизменным. Закон сохранения барионного заряда, как и закон сохранения электрического заряда, справедлив как при сильных (ядерных), так и при электромагнитных взаимодействиях. Если, например, до превращения имелся один барион——нейтрон с барионным зарядом 8=1, то после превращения должен существовать один барион ——нейтрон, протон или один из гиперонов, для которых ядерный заряд 8 также равен единице.

Введение ядерного заряда В позволяет записать в более общем виде формулу (19.6), связывающую между собой электрический заряд г и проекцию Tg изотопического спина каждой частицы в зарядовых мультиплетах нуклонов и л-мезонов:

z = ”+3/2. (19.7)

В самом деле, для нуклонов (протона и нейтрона) 3= 1 и zuTg+'/z, т. е. выполняется соотношение (19.6), а для л-мезонов 8汽=0 и проекция изотопического спина л-мезона совпадает с электрическим зарядом (в единицах е). Для среднего электриче-

1 Исключение составляет Й--гиперон, у которого спин равен 3/2Й<.

ского заряда (z) каждого из мультиплетов (нуклонного и пи-меэонного) справедлива формула

<z> = 5/2,(197)

которая для дублета нуклонов (Я=1) дает (г)=1/2, а для пи-мезонного триплета (В—0) дает (г)=0.

Из формулы (19.7) вытекает важный вывод. Так как г и В сохраняются как в сильных, так и в электромагнитных взаимодействиях, то в этих взаимодействиях сохраняется проекция Т& изотопического спина, в то время как полный вектор Т сохраняется постоянным лишь в сильных взаимодействиях.

Гипероны весьма неустойчивы и имеют время жизни, изменяющееся в интервале от 10""14 до 10~10 с. Изучение свойств гиперонов в пузырьковых камерах, помещенных в магнитное поле, позволило установить наличие как нейтральных, так и ^чзаряженных положительных и отрицатель-

д^\^^\^ных гиперонов.

На рис. 19.14 приведена в качестве при- \л7мера схема распада лямбда-нуль-гиперона

F%、(Л®), заканчивающаяся распадомвформе

\звезды 冗--мезона, которыйобразовался

Рис. 19.14из Л°-гиперона:

个 一打十n一.(19.8)

Изучение следов частиц, изображенных на рис. 19.14, позволило определить энергии протона +р и л~-мезона и найти по балансу энергии при распаде массу Л°-гиперона:团”=1115, 60(8) МэВ. Весьма точное определение в камерах момента времени рождения Л°-гиперона и момента его распада позволили измерить время жизни этой частицы: тл=2,51 (З)-Ю- с.

При систематизации ЛГ-мезонов и гиперонов обнаружилось, что свойства их необычны для мира элементарных частиц. Это заставило считать К-мезомы и гипероны так называемыми странными частицами. Рождение странных частиц несомненно вызывается сильным взаимодействием, т. е. время рождения этих частиц соответствует времени сильных взаимодействий: 1023——10-22 с. Вместе с тем, распадаясь на ядерно-активные л-мезоны по схемам, приведенным выше, т. е. на частицы, характеризующие сильные взаимодействия, К-ме- зоны имеют значительно большие времена жизни: 10-10—10~ с, характерные для ядерно^пассивных мюонов, т. е. для слабого взаимодействия. Далее было установлено, что АГ-мезоны и гипероны всегда рождаются парамии не в любых комбинациях. Наконец, обнаружилось существенное отличие в условиях образования и реакциях взаимодействия ^-мeзoнoв с другими частицами.

типлетами нуклонов и л-мезонов встретились трудности. Вначале было предположено, что гипероны, как и нуклоны, образуют дублеты и имеют изотопический спин Т, равный 〃2, а /(-мезоны,подобно зт-мезоиам,образуют триплет, в котором изотопический спйн Т частицы равен единице. Однако и гипероны, и К-мезойы не укладывались в эту схему. Так, гиперон Л° С массой 1115,6 МэВ не имел близких по массё частиц и должен был считаться одиночной частицей с изотОйическйм спином Т=0, чтобы (27十 1) — число компонент в мультиtvtetfe — равйялось единице, а не Т= = /sf как это имеет место для нуклонного дубЯета.

Для сигма-плюс-гиперона (S+) и сйша-мииус-гиперома (Х~), иьгегощих противоположные знаки, скорее можно было предяоложйть, что изотонический спнн Т равен единице, а не 1/2, как у нуклонов, и ч1© должна быть третья частицй — сиг- Ma-nwib-гиперон (S0), необходимая для зарядового триш^ета 2-гя1Крондв.

Выяснилось, что К-мезоны в отлнине от л-мезОнов образуют дублеты, т・ е. имеют, подобно нуклонам, изотопический спин, равный половине, а не единице, как л-мезоны. Х-мезоны образуют два дублета: (К+,疝)и (К〕№)<

Для теоретического объяснения поведения странных частиц в 1953—1954 гг. М. Гелл ——Манн и К. Нисидзима ввели особую характеристику элементарных частиц —так называемую странность — и сформулировали зайон сохранения странности.

Приняв, что для странных частиц справедливы зарядовая независимость взаимодействий и вытекающее из нее описание частйц с Помощью изотопического спина, они предположили, что для ^мезонов и г这nepowtft выйОлняетСй закон сохранения изотопического спина. Тогда частицы с дамшлм значением вектора полного изотопического спина должгш представлять собой зарядовой мультиплет. В отличие от формул (19.7) и (19.7') свйзь между электрическим Зарйдом z, барйойным зарядом В и проекцией изошпичесКоГТ) спина Т| выражаем для странных частиц формулой, отличной от (19.7),

z = % 十/ + S)/2 (19.9) и средний заряд для мультиплета равен

<z> = (E + S)/2, (19.9Э

где 5=0, ±1, ±2, . . . — величина, называемая странностью частицы. Она отлична от тгуля только для странных частиц (Х-мезонов и гиперонов) и равна нулю для «обычных» частиц. Согласно (19,9‘), странность S можно определить как разность удвоенного среднего заряда 〈之〉мультиплета и барионного заряда 8 частиц :

S = 2«>—А (199)

Как указывалось выше, для сильшлх и эл^ктр<»йагяитных взйимоде^ствйб сохраняется величина Tg проекции изотопического спина. Поскольку, кроме того, в этих взаимодействиях сохраняются электрический г и барионный В заряды, то из соотношения (19.9) следует закон сохранений странности: суммарная странность изолированной системы при сильных и электромагнитных взаимодействиях не изменяется.

Введение странности S и установление закона ее сохрянеиня позволили объяснить необычные свойства странных частиц. Так, если приписать гиперону А® странность S, равную ——1, то из формулы (19.9) следует, что Т£=0, ибо для этой частицы Вд9= 1, а г=0. Но это значит, что вектор Т полного изотопического спина тоже равен нулю (в силу произвольной ориентации «оси» Е), а следовательно, 27十1=1・ Таким образом, частица А0 должна быть одиночной и не должно быть заряженных лямбда-гиперонов, что и наблюдается экспериментально. Для гиперонов Е+ н £~ (сигма- плюс- и сигма-минус-гипероны) странности равны: Ss+ = S^- = — 1. Средний заряд мультиплета по формуле (19.9') равен нулю: <zs>—0, ибо Л2+ =5S_ = 1. Из формулы (19.9) следует, что для S-гиперонов заряд частицы численно равен проекции

北 изотопического спина: z=T自.Но так как ?=十1 и —1, но Т&=±1, Это значит, что числовое значение полного изотопического спина равно единице (Т=1) и, следовательно, 27十1=3. Таким образом, зарядовый мультиплет S-гиперонов должен быть триплетом, что и было обнаружено экспериментально — частица 2? была открыта. На основе понятия странности и закона се сохранения была предсказана помимо 50-гиперона частица кси-нуль-гиперон (3°) по известному кси-минус-гиперону (Е~). Эксперимент подтвердил существование 8 гиперона.

Для К+- и /(--мезонов странности равны соответственно 5^-+=+1 и 5氏_=—1. Это согласуется с полученными из реакций образования этих мезонов значениями проекции изотопического спина. Действительно, так как для /С+-мезонов барионный заряд 8=0, то для Х+-мезона при 7自=支/纟 н г=1 из уравнения (19.9) следует, что $К+ =+ 1，а для /(--мезона (z = — 1, "= — 1/2> 3艮一 =0) 5艮_ = — 口.

Закон сохранения странности позволил объяснить появление дублетов Л-мезо^ нов и запрет одиночного рождения странных частиц. При реакциях с «обычными» частицами, не обладающими странностью, не может рождаться одна странная частица, а должны возникать две странные частицы с противоположными знаками странности. Например； в реакции

л- 4-ip—^А° 十 К°

странности в левой части н правой равны нулю, ибо 5八@=— 1 и 5^0 = 1.

С точки зрения закона сохранения странности процессы рождения и распада странных частиц, для которых характерны сильные взаимодействия, должны были бы протекать за время порядка 10"23 с (см. табл. 19.3). Опыты, как уже указывалось, не подтвердили этого. Например, распад А°-гиперона по уравнению (19.8) происходит за время порядка 10~s с, характерное для слабых взаимодействий. Однако реакция (19.8), как легко видеть, идет с нарушением закона сохранения странности. Действ и тельно странность исходной частицы А°-гиперона равна ——1, а суммарная странность продуктов реакции обычных частиц равна нулю. Объяснение медленного распада странных частиц заключается в том, что для слабых взаидюдействий закон сохранения странности не выполняется. С помощью странности получили свое объяснение и некоторые другие особенности поведения странных частиц, указанные в п. 5. В табл. 19.2 приведены характеристики элементарных частиц, включающие данные об их изотопическом спине Т, его проекции Tg, странности S и схемы распадов частиц.

Кроме свойств элементарных частиц, рассмотренных в последних параграфах, большое значение имеет так называемая четность частицы. Как известно (см. § 13.5), в квантовой механике состояние одной частицы или системы частиц описывается волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера. Под четностью Р состояния или четностью волновой функции частицы понимают характер ее поведения при пространственной инверсии ——изменении знака всех координат частицы на противоположные: х на —х, у на —у, z на —2. Произведем отражение координат — замену %, “, г на ——％,——у, ——г —— и предположим, что волновая функция гр (——尤，——р, ——z) отличается от первоначальной только множителем 尸：

屮(X, у, 2)=尸屮(一X, —у, —2).

Если провести повторное отражение, то вернемся к первоначальным координатам х, у, е. При этом появится еще один множитель Р, так что 屮(х, у, 2)=Р屮(一х, —у, —2)=PW(x, у, % откуда P=±l. Be- личина Р называется четностью или внутренней четностью частицы.

2 Значения странности элементарных частиц практически устанавливались главным образом из анализа наблюдаемых ла опыте реакций образования гиперонов и характера мультиилетности семейств сданных часшц.

Если при пространственной инверсии знак волновой функции не изменяется, то четность считается положительной (戶= + 1). Если при изменении знаков координат волновой функции она изменяет свой знак на противоположный, то четность считается отрицательной (Р=——1). Из свойств уравнения Шредингера следует, что если сохраняется постоянной энергия частицы, то сохраняется и ее четность L Это утверждение называется законом сохранения четности. Закон сохранения четности означает, что процессы природы не зависят от выбора правовинтовой или левовинтовой систем координат, в которых эти процессы рассматриваются, или, что то же самое, отсутствует различие между объектом и его зеркальным отображением (замена всех положительных координат частицы отрицательными эквивалентна переходу от правовинтовой системы отсчета к левовлнтовой, которые являются зеркальными отображениями друг друга). Таким образом, закон сохранения четности связан со свойством зеркальной симметрии пространства (так называемая Р-симметрия).

С точки зрения закона сохранения четности существование двух- и трех-пионных распадов положительных каонов представлялось необъяснимым. Раньше считалось, что существует два мезона: т-мезон и ^-мезон (тау- и тета-мезоны), которые, имея одинаковые характеристики (массы, времена жизни, спины), обладали различными схемами распада: т-мезон распадался на три пиона, а и-мезон — на два пиона. Это составило загадку «тау-тета» в физике элементарных частиц. Дело в том, что по закону сохранения четности на два пиона может распадаться только частица с четностью Р= + 1, а на три пиона — частица с четностью Р=——1. Закон сохранения четности требовал, чтобы частицы «тау» и《тета》были различными, что противоречило обнаруженным на опыте одинаковым свойствам этих частиц.

В 1956 г. Ли Цзундао и Янг Чженьнин высказали предположение о том, что в слабых взаимодействиях, прнмерамм которых являются распады т・ и ^-мезонов, нарушается закон сохранения четности. Они же предложили несколько экспериментов по проверке справедливости своего утверждения. Один из опытов, осуществленный под руководством ученой By Цзяньсюн, заключался в наблюдении нарушения зеркальной пространственной симметрии p.-распада ядра 6℃о. 0一・ Распад является типичным случаем слабого взаимодействия и поэтому удобен для проверки сохранения четности при слабых взаимодействиях. Опыт заключался в следующем. При температуре жидкого гелия ядра 6℃о были определенным образом ориентированы ——их спиновые моменты направлены в одну сторону. Если при p.-распаде ядер электроны вылетают с равной вероятностью как вдоль направления спина ядра, так и в противоположном направлении, то это означает, что данный процесс обладает зеркальной пространственной симметрией, т. е. для него выполняется закон сохранения четности.

В самом деле, если вращающийся шар одинаково испускает р_- частии.ы вдоль своей оси вращения во взаимно противоположных направлениях, то его зеркальное отображение неотличимо от самого шара

1 Эго справедливо также для системы частиц.

(рис. 19.15, а). Если же вращающийся шар преимущественно испускает р_-частицы в определенном направлении, например вверх (рис. 19.15, 6), то зеркальное отображение шара не совпадает с самим шаром. Это означает нарушение зеркальной симметрии пространства

и в этом случае следует считать нарушенным закон сохранения четности. Опыт By — Эмблера подтвердил последнее. Электроны при

^--распаде вылетали преимуществен

но в сторону, противоположную направлению спинов ядер.

Несохранение четности было также обнаружено при распаде л--мезонов по схемам, соответствующим уравнениям (20.2) и (20.3). Ввиду того что спин л^-мезонов равен нулю, при распаде этих пионов на ^±-мезоны спины мезонных нейтрино %% и антинейтрино v^ должны быть направлены противоположно спинам соответствующих мюонов, лишь в этом случае суммарный спин будет равняться нулю. Экспериментально удалось осуществить ориентировку р,~-мезонов, образовавшихся по схеме (20.3), и наблюдать, что электроны, образовавшиеся при распаде 卩一 -мезона по схеме (19.1), вылетают преимуществе н н о в некотором избранном направлении. Это и означало нарушение зеркальной симметрии пространства при распаде л;±-мезонов и

несохранение четности для этого процесса. Дальнейшее развитие представлений о несохранении четности было проведено советским ученым Л. Д. Ландау и связано с существованием частиц и античастиц.

Античастицы

L Как видно из табл. 19.2, любой из элементарных частиц, за малым исключением, соответствует так называемая античастица. Массы покоя, спины, изотопические спины и времена жизни у частиц и античастиц равны.

В качестве примеров уже рассмотренных частиц и античастиц укажем на электрон и позитрон, р,+- и |л~-мюоны,兀+- и л--мезоны, электронное и мезонное нейтрино и антинейтрино,衣+・ и К--мезоны н др. Значения электрических, а также ядерных зарядов частиц и античастиц численно равны, но противоположны по знаку. Знаками отличаются также странности частиц и античастиц и их магнитные моменты. Как будет показано, наличие электрического заряда не является непременным условием существования пары частица — античастица. В настоящее время известно всего несколько частиц, у которых отсутствуют античастицы, или, точнее, несколько частиц и античастиц, которые тождественны друг с другом: фотон, л°-мезон, а также К* и Кд-мезоны. Такие частицы называются абсолютно или истинно нейтральными. Понятие абсолютной нейтральности не следует сме-

шивать с электрической нейтральностью частицы, ибо у последних могут быть античастицы. Отсутствия электрического заряда еще недостаточно для абсолютной нейтральности частицы.

Впервые представление об античастице возникло в 1927—1928 гг., когда П. Дирак на основе релятивистского волнового уравнения пока* зал, что электрон должен иметь спин и что для свободного электрона имеются две области собственных значений

полной энергии IF: одна от 忆产 До +℃, дру- 2 гая от —тес2 до —оо, где тв — масса покоя в

Рис. 19.16Рис. 19.16электрона. Отрицательные значения полной энергии свободного электрона означали возможность существования отрицательной массы, что представляло серьезные трудности. Например, электрон в состояниях с отрицательной массой должен был, испыты-

Рис. 19.16

Рис. 19.16

вая действие внешней силы, приобретать ускорение, направленное противоположно действующей силе . Попытки считать, что действие внешней силы, нарушающей свободное движение, может

означать нарушение выводов из теории Дирака, оказались несостоятельными. Дело в том, что наличие отрицательной энергии вытекает из теории относительности. Согласно соотношению (9.36), между энергией W, импульсом р и массой покоя те электрона имеется связь

涉2="2炉+质*

откуда при р=0 имеем W=±mec2t На рис. 19.16 изображены две области дозволенных значений энергии, разделенные интервалом 2团淌支 Как показал П. Дирак, в квантовой механике вероятность перехода из состояния с положительной энергией в область состояний с отрицательной полной энергией отлична от нуля.

Для того чтобы понять интерпретацию, которую Дирак дал полученному им результату, заметим, что для электрона (—е) с отрицательной массой (——т^ удельный заряд ^^ равен удельному заряду положительного электрона (+е) с положительной массой 二1g，=广*"“ ■ Дирак высказал гипотезу о том, что все уровни отрицательной энергии заняты электронами в соответствии с принципом Паули и эти электроны создают равномерный и поэтому не проявляющий себя фон. Уровни положительной энергии заняты лишь частично электронами. Если электрон, находящийся на уровне с отрицательной энергией, получит энергию W ^ 2тес3, то он перейдет в область положительных энергий, где проявит себя как «обычный» электрон. На освободившемся месте в фоне отрицательных энергий появится при этом 《дырка》, проявляющая себя как положительный электрон, т. е. позитрон.

Гипотеза Дирака была подтверждена экспериментально (1932). Позитрон обнаружили в космических «лучах. Нетрудно видеть, что рассмотренный Дираком процесс есть не что иное, как процесс образования электронно-позитронной пары (см. § 18.3). В схеме Дирака процесс уничтожения электронно-позитронной пары означает переход электрона с уровня положительной энергии на вакантное «пустое» место в фоне отрицательных энергий, сопровождающееся переходом энергии и массы сливающихся частиц в энергию и массу электромагнитного поля (рождение двух у-фотонов).

Открытие пары частица — античастица (электрон — позитрон) указало на симметрию элементарных частиц в отношении знака их зарядов, получившую название принципа зарядового сопряжения. Согласно этому принципу, заряженные элементарные частицы существуют парами. У каждой заряженной частицы должна быть античастица с противоположным по знаку зарядом. Поэтому у протона должна существовать античастица ——антипротон _；0. Впоследствии принцип зарядового сопряжения был распространен не только на заряды, но и на некоторые другие характеристики элементарных частиц, упомянутые в п. 1. Особенно важным было обобщение принципа зарядового сопряжения на нейтральные частицы: нейтрон и нейтрино. Согласно этому обобщению, следовало ожидать, что должны существовать антинейтрон "% и электронное антинейтрино 8Vg.

Принцип зарядового сопряжения в действительности значительно шире требования симметрии элементарных частиц в отношении знака электрических зарядов. Этот принцип отражает существование в физике особой, так называемой С-симметрии: законы физики должны быть инвариантны относительно замены всех частиц на античастицы, включая и нейтральные частицы.

При соединении частицы с античастицей происходит выделение энергии, не меньшей удвоенной энергии покоя каждой из них. Зарождение пары частица — античастица требует затраты энергии, превышающей удвоенную энергию покоя пары. Это связано с необходимостью сообщить рождающейся паре некоторый импульс и кинетическую энергию. Расчеты показывают, что наименьшая энергия, необходимая для рождения протон-антипротонной пары, составляет в системе координат, где один нуклон покоится, 6〃？声2(团卩——масса покоя протона) или 5,6 ГэВ. Однако за счет ряда эффектов при практическом осуществлении получения пары ；р-> _：р (внутренние движения нуклонов в ядрах мишени и др.) наименьшая энергия для рождения этой пары снижается до 4,3 ГэВ. Следует подчеркнуть, что способность к быстрому воссоединению со своей частицей является существенной особенностью античастиц — позитронов, антипротонов и антинейтронов. Это связано с тем, что вещество, из которого построена окружающая нас природа, состоит из частиц ——электронов, протонов и нейтронов. Античастицы — позитроны, антипротоны и антинейтроны, — встречаясь в веществе со своими имеющимися в избытке «партнерами по паре», воссоединяются с ними и перестают существовать, вызывая, по законам сохранения, рождение новых частиц и полей. Нетрудно

сообразить, что в гипотетическом «антивеществе», «антиатомы» которого содержали бы в своих ядрах антипротоны й антинейтроны, а на периферии которых находились бы позитроны х, электроны, протоны и нейтроны, испытывали бы столь же быстрое воссоединение при встрече с частицами «антиатомов». Таким образом, стабильность «привычных» частиц и нестабильность их античастиц условна: в вакууме античастицы —позитроны, антипротоны — столь же стабильны, как и их частицы — электроны и протоны.

Все это согласуется с существованием С-симметрии.

Рождение новых частиц при воссоединении нуклона с антинуклоном приводит к появлению 冗士- и Д'-мезонов, не обладающих барионным зарядом В. В связи с этим закон сохранения барионного заряда должен быть обобщен для реакций, в которых участвуют антинуклоны. Антинуклонам (и вообще антибарионам) приписывается барионный заряд, равный——1: В石=——1, где £ — символ антибариона. В обобщенном виде закон сохранения барионного заряда утверждает, что в ядерных превращениях в замкнутой системе суммарный барионный заряд сохраняется постоянным.

Антипротон _如 был обнаружен экспериментально в конце 1955 г. О. Чемберленом, Э. Сегрэ, К. Вигандом и Т. Ипсилантисом при бомбардировке медной мишени протонами, ускоренными в камере беват- рона — ускорителя протонов (г. Беркли, США) — до энергии порядка 6 ГэВ. Схема опыта изображена на рис. 19.17. Пучок ускоренных протонов бомбардировал медную мишень Т. Возникшие при этом отрицательные частицы отклонялись магнитным полем беватрона и пропускались через дополнительное магнитное поле двух магнитных линз Л1[, пропускающих частицы с определенным импульсом, равным 1,19 ГэВ-с/см. Вместе с предполагаемыми антипротонами _}р при этом через магнитное поле проходили в огромном количестве л- -мезоны. Например, при энергии протонов 6,2 ГэВ на один антипротон приходится 62 000 л "-мезонов.

Основная трудность эксперимента по идентификации антипротонов состояла в отделении их от л "-мезонов и измерении их масс. Массы частиц определялись по результатам измерений их импульсов (методом отклонения в магнитных полях) и скоростей. Последние измерялись двумя независимыми способами: по времени пролета и с помощью счетчиков Черенкова. Пучок отрицательных частиц проходил через фокусирующее магнитное поле Q】и попадал в сцинтилляционный счетчик Si. Затем, пройдя последовательно через магнитную линзу Qz, отклоняющее магнитное поле М?, второй сцинтилляционный счетчик S2 и счетчики Черенкова Сг и С2, частицы регистрировались сцинтилляционным счетчиком S3. Черепковский счетчик С\ пропускал частицы, для которых у/б'>0,79. Черенковский счетчик С2 отфильтровывал я~-мезоны. Оп пропускал лишь частицы, для которых v!c заключено в пределах 0,75< vic <0,78. Этому условию удовлетворяли антипротоны _；р, для которых и/с=0,87 при импульсе 1,19 ГэВ-с/см; для л "-мезонов при том же импульсе и/с=0,99. Кроме того, измеря-

L Возможность существования антивещества в каких-либо галактических системах Мироздания не отрицается современной наукой.

десятков антипротонов идесятков антипротонов и

десятков антипротонов и

десятков антипротонов и

лось время f пролета частиц между счетчиками Si и S^, равное соот- ветственнобД* 10~8с для Д?Р и 4-10-8 с для л~-мезонов. Фиксирование антипротона происходило по трем признакам: срабатыванию счетчиков S» $倉,С2 и 53 при пролете антипротона и отсутствию срабатывания при зтоМ счетчика &, а также по измерению времени пролета частиц между счетчиками Si и $宮・ В опыте было зарегистрировано несколько

построена кривая относительного выхода антипротонов н л*-мезонов в зависимости от энергии первичных протонов, изменяющейся в пределах от 4,3 до 6,2 ГэВ.

Надежность методикк обнаружения антипротонов и тождественность масс антипротона и протона проверялись следующим остроумным способом. Если изменить направления Всех магнитных полей на противоположные и направить в установку протоны с импульсом, равным 1,19 ГэВ-с/см, то срабатывание всех счетчиков должно происходить точно так же, как и прк прохождении через установку антипротонов. Опыты подтвердили это, и, таким образом, существование антипротона было доказано совершенно однозначно.

Измерение магнитного момента ан

типротона подтвердило, что эта частица имеет знак заряда, противоположный протону. Магнитный момент в первых недостаточно точных опытах оказался равным —1>8 因 и меньшим теоретически ожидаемого значения ——2,79 ця.

В 1956 г., год спустя после открытия антипротона, в опыте Б. Корка, Г. Ламбертсона, О. Пиччони и В. Вензеля был экспериментально обнаружен антинейтрон in. Для получения этой частицы Использовалась реакция перезарядки антипротонов, происходящая в следующем процессе:

4/ + ；Р—柳 + 弘 (19.10)

т. е, при превращении антипротона и протона в антинейтрон и нейтрон. Факт образования антинейтрона обнаруживался по воссоединению его с нейтроном. При этом должна выделяться энергия W=2тпс^= — 1900 МэВ, где тп — масса покоя нейтрона (и антинейтрона), Эта энергия идет в основном на образование л- и К-мезонов в соотношении приблизительно 95% к 5%. Наблюдение звезд в фотоэмульсиях при воссоединении (Jn — Jn) показало, что при этом образуется в среднем три заряженных л-мезона, каждый из которых уносит энергию 改250МзВ・ Кроме заряженных возникают нейтральные л ^мезоны и К9-мезоны, на которые приходится остальная энергия воссоединения. По характеру поглощения л-мезонов, образовавшихся в процессе 已元 一 Jn) воссоединения, удалось установить, что воссоединение про-

исходит при взаимодействии антинейтрона с нейтроном, расположенным вблизи поверхности ядра.

Схема опыта ло обнаружению антинейтрона изображена на рис. 19.18. Антипротоны _；р возникали при бомбардировке мишени из бериллия протонами, ускоренными в беватроне до энергии 6,2 ГэВ. Методом, описанным выше, выделялся пучок антипротонов с интенсивностью в 350—600 антипротонов в час. Пучок антипрото

нов после прохождения последнего счетчика схемы, изображенной на рис. 19.17 I поступал в так называемый конвертер X, в котором

Рис. 19,18Рис. 19,18происходила перезарядка антипротонов по уравнению (19.10). Конвертер представлял собой сосуд, наполненный сцинтиллирующей органической жидкостью. Результаты перезарядки антипротонов фиксировались четырьмя фотоумножителями (ФУ). Антипротоны, возникшие в конвертере вместе с другими

Рис. 19,18

Рис. 19,18

частицами, проходили далее через

два счетчика сцинтилляций Si и 32, разделенных свинцовым экраном. В этих счетчиках отделялись все заряженные частицы, у-фотоны, а также 冗°- и К§х_-мезонн. В последнем черенковском счетчике С из свинцового стекла регистрировались процессы воссоединения антинейтронов с нейтронами по мощному черепковскому излучению продуктов всюсоединения. Ими являются в основном л-мезоны. Регистрация антинейтронов сводилась в опыте к наблюдению срабатывания счетчиков С3, С и конвертера X при отсутствии импульсов от счетчиков 5工 и S^ Они не срабатывали на нейтральные антинейтроны. В первом опыте наблюдалось 60 антинейтронов с выходом примерно 0,0028 на

один антипротон.

Последовавшие за первыми опытами эксперименты по обнаружению частиц 一犷 и ^ а также теоретические работы показали, что антипротон и антинейтрон составляют зарядовый дублет частиц с вектором Т изотопического спина, равным Т=1/2・

Из уравнения (19.9) при 5=0 и ядер ном заряде В, для антинуклонов равном —1 (8后=—1), имеем, что проекция Tr изотопического спина для этих частиц равна соответственно — J/2 для антипротона, х/а для антинейтрона (табл. 19.2).

Подобно свободному нейтрону, свободный антинейтрон испытывает распад с периодом полураспада 1,01 (3) «103 с. Реакция распада антинейтрона имеет вид

Jn = -ip + +i6 + ?ve.

Большой интерес и серьезные трудности представляло прямое экспериментальное доказательство наличия нейтрино, а также решение вопроса о том, представляют ли нейтрино и антинейтрино тождественные или различные частицы, т. е. не является ли нейтрино абсолютно нейтральной частицей.

* Этот счетчик одновременно фиксировал, что возникшие антипротоны летят в нужном направлении.

—481—48116 а. А. Детлаф, Б.М. Яворскн#

—481

—481

Первые попытки обнаружения нейтрино были основаны на наблюдении энергий ядер отдачи при ^-захвате. Как известно (см. § 18.2), при этом процессе из ядра должна вылетать одна частица ——нейтрино, уносящая всю энергию распада. При этом, очевидно, все ядра отдачи должны иметь одинаковые энергии и импульсы.

А. И. Алиханов и А. И. Алиханян предложили воспользоваться легкими ядрами бериллия JBe, которые, испытывая ^-захват, превращаются в ядра лития |Li:

IBe + _；e —^Li + ^

с периодом полураспада 43 дня. Энергия WVet уносимая нейтрино, равна, очевидно, разности энергиих атомов ^Ве и &LL Расчеты приводят к значению %产0,87 МэВ. Если нейтрино имеет массу покоя, равную нулю (mVtf=0), то по ее импульсу pVe= WVe/ct равному импульсу "г ядра отдачи (pr — pve), можно найти энергию Wr ядра отдачи:

阪一片 р：ё 步ve

где М ——масса ядра лития &Li, возникшего при е-захвате. Это дает 吗=45 эВ. Опыты, описания которых мы не приводим, подтвердили в основном приведенные расчеты, однако расхождение опытных и теоретических значений энергий ядер отдачи достигало 1/3 Wr и не позволяло сделать окончательного вывода о том, что эти опыты являются непосредственным подтверждением существования нейтрино.

Новые возможности для обнаружения антинейтрино создались в связи с развитием физики и техники ядерных реакторов. Осколки деления тяжелых ядер, как известно, имеют избыток нейтронов и претерпевают радиоактивный р_-распад, при котором испускаются электронные антинейтрино ve. С помощью достаточно мощных потоков антинейтрино были поставлены опыты по изучению взаимодействия антинейтрино с протонами. Идея опытов заключалась в обнаружении реакции захвата электронного антинейтрино протоном, идущей по схеме

；% + ；"~^几十+:仇 (19.11)

Аналогичная реакция для захвата электронного нейтрино нейтроном идет следующим образом:

»е +加—扣+」е・ (19.1Г)

Можно показать, что процессы указанного типа допустимы, если превращения нейтрона в протон .и протона в нейтрон происходят, как это установлено в § 17.8 и 18.2, по схемам а:

^几一^扔+ -?& + ：%, Ip―^訳• + +；& + ：%♦

Поскольку при е-захвате ядро ?Ве как бы поглощает электрон своего атома, вместо разности энергий (и масс) ядер можно брать разность энергий (и масс) атомов —массы и энергии электронов входят слева и справа.

Из общих принципов релятивистской квантовой механики следует, что процессы рождения элементарных частиц, обусловленные данным взаимодействием, могут

Опыт по обнаружению антинейтрино, вызывающего превращение протона в нейтрон и позитрон по уравнению (19.11), поставлен с&Рей- несом и К，Коуэном (1953—1954) на пучках антинейтрино от реактора Мишенью и детектором процессов служила камера объемом около 1 м3' наполненная сцинтиллирующей жидкостью, имеющей в своем составе водород и кадмий. Большое число фотоумножителей фиксировало происходящую реакцию (19.11). Образовавшиеся при реакции позитроны, встречаясь с электронами атомов жидкости, соединялись с ними и образовывали каждый по два у-фотона, появление которых фиксировалось вспышкой в сцинтиллирующей жидкости. Возникшие нейтроны замедлялись водородом и захватывались кадмием (радиационный захват). Каскад у-фотонов, возникающий при радиационном захвате, давал вторую вспышку. Наблюдения этих вспышек позволили надежно установить протекание реакции (19.11) и подтвердили существование электронного антинейтрино. Сечение реакции (19.11) оказалось равным 6 с； 11 (4)* 10-*4 см2.

В 1956 г. были поставлены надежные по результатам опыты, которые позволили установить, что нейтрино взаимодействует с веществом иначе, чем антинейтрино, и что поэтому их нужно считать двумя отличными друг от друга частицами. Схемы (19.11) были однозначно установлены и подтвердили различие частиц ve и ve. Нейтрино отличается от антинейтрино также лептонным зарядом.

Вопрос о различии нейтрино и антинейтрино, а также о различии между электронными и мезонными нейтрино и антинейтрино заслуживает несколько более подробного обсуждения. В § 19.6 рассмотрен вопрос о несохранении четности при слабых взаимодействиях. После того как несохранение четности с несомненностью подтвердилось экспериментально, Л. Д. Ландау высказал предположение о том, что в слабых взаимодействиях сохранение четности нарушается так, что при одновременной замене знака всех координат частиц на противоположные (пространственная инверсия) и замене всех частиц на античастицы зеркальная симметрия пространства сохраняется неизменной. Это положение получило название закона сохранения комбинированной четности в слабых взаимодействиях.

Основу теории Ландау, Ли и Янга составляет идея о том, что зеркальное отражение (Р-снмметрня) должно быть связано с С-сцм- метрией, т. е. заменой частицы на античастицы. Например, зеркальным отражением протона является антипротон. Закон сохранения четности предполагал, что зеркальным отражением протона является протон. Кроме того, считалось, что при отражении «левое» заменяется «правым», и наоборот.

вызывать также и другие процессы, получающиеся из первых переносом частицы из одной части уравнения реакции в другую» но с заменой частицы на античастицу. Оказывается также, что схема распада античастицы является зарядовосопряженной со схемой распада частицы. Например, если 卩-мезон имеет схему распада +；¥口十队0, то ее античастицар, + распадается по схеме 卩+->+*+龜+淑е [см. уравнения (19.1)].

Согласно Ландау, Ли и Янгу, симметрия относительно зеркального отражения с одновременной заменой частиц на античастицы означает так называемую CP-симметрию, состоящую из последовательных зарядового сопряжения и отражения координат. Симметрия СР называется также комбинированной инверсией. Несохранение четности и зарядового сопряжения в явлениях, происходящих со слабым взаимодействием, означает, что в этих явлениях не имеют смысла в отдельности Р” и С-симметрия. Если, следуя Ландау, ввести комбинированную четность (CP-четность), которая может быть равна +1 или ——1, то в слабых взаимодействиях CP-четность должна сохраняться.

Поясним, что это значит на том же примере с р„-распадом ядер 翳Со, который рассмотрен в § 19.6 (п. И). Если бы вместе с ядрами 課С。 были ориентированы ядра «антикобальта» |?Со, то они испускали бы при р+-распаде позитроны преимущественно в сторону, противоположную вылету электронов в р_-распаде ядер |°Со. При рассмотрении распада одинакового числа ядер вещества и «антивещества» никакого нарушения зеркальной симметрии пространства не наблюдалось бы. Число частиц и античастиц, вылетающих вдоль и противоположно ориентации спинов ядер, было бы одинаковым. Рис. 19.15, а иллюстрирует сохранение комбинированной четности, если считать, что вместе с пространственной инверсией (изменении на противоположные знаков всех координат) одновременно происходит замена частиц на античастицы. Зеркальная симметрия пространства в этом случае не нарушается.

Закон сохранения комбинированной четности соответствует современным представлениям о том, что нейтрино и антинейтрино должны отличаться друг от друга своей так называемой спиральностью. Суть дела состоит в том, что спины нейтрино и антинейтрино должны быть всегда ориентированы вдоль направления их движения: у антинейтрино параллельно направлению движения, у нейтрино —— противоположно ему. Если считать спин некоторым вращением, то с движением антинейтрино можно связать движение правого винта (правая, или положительная, спиральность). Аналогично, движение нейтрино можно сопоставить с движением левого винта (левая, или отрицательная, спиральность). Иногда говорят о правовин- товом и левовинтовом нейтрино.

Наличие у нейтрино и антинейтрино определенной спиральности не должно зависеть от системы координат и не должно приводить к нарушению зеркальной симметргги пространства. Между тем продольно-поляризованное нейтрино не обладает симметрией левого и правого. При отражении в зеркале правый винт переходит в левый и частица не переходит сама в себя. Если же допустить, что одновременно с пространственной инверсией происходит замена частицы на античастицу, например правовинтовое антинейтрино перейдет в левовинтовое нейтрино, то зеркальная симметрия пространства не будет нарушена.

Сохранение комбинированной четности получило экспериментальное подтверждение в ряде явлений, связанных с R.-распадом и обусловленных спиральностью нейтрино. Рассмотрим, например, что должно происходить, если при р_-распаде ядра электрон и электронное

антинейтрино летят в одном направлении с параллельными или анти- параллельными спинами, причем спин ядра при р_-распаде изменился на 方.Из закона сохранения момента импульса следует, что суммарный спин электрона, антинейтрино и дочернего ядра должен равняться 尢. Но поскольку антинейтрино продольно поляризовано и его спин направлен вдоль движения, то и спины электронов будут преимущественно направлены в ту же сторону — возникает продольная п о- ляризация электронов при р_-распаде в направлении испускания электронов. В целом ряде эффектов, например при изучении аннигиляции позитронов на электронах с заданным направлением спина в ферромагнитных кристаллах, подтверждено наличие продольной поляризации электронов.

Экспериментально было обнаружено (1964), что в одном из распадов нейтральных каонов нарушается сохранение СР-четности. Ни на каких других процессах

рождения и распада частиц такогоРис 19 19

нарушения не обнаружено. Теоре-'

тически возможность нарушения

СР-симметрни связана с очень общей теоремой в квантовой теории поля ——СРТ-теоремой. Для ее понимания рассмотрим вопрос о Т-инвари- антности — так называется симметрия по отношению к обращению времени Т. Обращение времени, разумеется, не означает, что протекание времени рассматривается «вспять», от будущего к прошедшему. Время всегда протекает от прошлого к будущему. Обращение времени следует понимать как обращение движения. Рассмотрим это иа примере механического движения. Пусть в некоторой системе отсчета в момент / материальная точка, движущаяся по траектории АВ (рис. 19.19), имеет радиус-вектор г и импульс р. В обращенном движении на траектории ВА в момент / в точке с радиус-вектором г материальная точка будет иметь импульс ——р. Если в «обычном» движении в начальный и конечный моменты времени точка характеризуется радиус-векторами и импульсами ri} pi и г2, р2, то в обращенном движении все будет «наоборот» ——в начале и конце движения радиус-векторы и импульсы будут г2, —р2 и Г1, —pi. Примером обращенного во времени процесса является прокручивание кинопленки от конца к началу. Любая реакция между парой частиц 1 и 2 с рождением частиц 3 и 4, обращенная во времени, означает, что из частиц 3 и 4 рождаются частицы 1 и 2, причем у всех частиц знаки импульсов заменяются на противоположные.

Сущность СРТ-теоремы состоит в том, что любая релятивистски инвариантная теория элементарных частиц инвариантна относительно СРТ-операции, в которой дополнительно к CP-симметрии добавляется обращение во времени. Из СР Г-теоремы следует, что симметрия СР относительно комбинированной инверсии автоматически означает

симметрию относительно обращения времени. Это означает, что при нарушении CP-симметрии одновременно нарушается и Т-симметрия. Для подтверждения нарушения комбинированной четности необходимо экспериментально обнаружить эффекты нарушения Т-инвариантности. Таких эффектов на достигнутом пока экспериментальном уровне не обнаружено. Высказано предположение, что за распады нейтральных каонов ответственно особое «сверхслабое» взаимодействие, которое ввиду малости его константы (меньшей в 1010 раз константы слабого взаимодействия) не удается пока обнаружить.

Вопрос о различии между электронными и мезонными нейтрино и антинейтрино возник при изучении распада заряженных 冗土-мезонов по схемам (19.2) и (19.3). Оказалось, что если отделить образующиеся нейтрино и антинейтрино и затем осуществить реакции захвата этих частиц, например нейтрино нейтронами, то реакция (19.1 Г) не осуществляется, а вместо нее захват происходит по схеме

妝 й+м一^打 + n， (19.11") свидетельствующей о различии частиц ve и %.

В заключение укажем, что античастицы были обнаружены и среди гиперонов. Антигипероны подчиняются общим требованиям для всех античастиц, указанным в п. 1 этого параграфа.

Для образования пары гиперон ——антигиперон требуется существенно больше энергии, чем для создания пар нуклонов. Например наиболее легкий из антигиперонов — анти-лямбда-нуль гиперон (Ло) может быть создан при энергиях на 1—1,5 ГэВ больших, чем те энергии, при которых возникают антинуклоны. Это связано с относительно большой массой покоя гиперонов.

В последние годы обнаружено большое число новых частиц, которые были названы резонансными частицами (резонансами). Так теперь называют весьма короткоживущие образования (с временем жизни кЛО* @. Основанием для того, чтобы считать резонансы частицами, является то, что в ряде случаев при своем образовании, а также и распаде, они ведут себя как одна частица с определенными характеристиками: спином, странностью, изотопическим спином, электрическим и барионным зарядами и т. д. Резонансы имеют также определенные импульсы и энергии. Термин «резонанс» в применении к частицам возник еще в 50-х годах, когда при исследовании рассеяния на протонах л-мезонов с энергией около 200 МэВ было обнаружено резкое увеличение эффективного сечения рассеяния, названное резонансом. Резонансные состояния, аналогичные л-мезон-про- тонному резонансу, оказались имеющими свойства частиц, и название укрепилось: обнаружилось, что у каждой из адронных, сильно взаимодействующих частиц существуют присущие ей резонансы, отличающиеся большей массой и, как правило, большими значениями спинового квантового числа. Обнаружено также существование и мезонных резонансов. Число открытых частиц и резонансов в настоящее время уже настолько велико, что в последние годы в физике элементарных частиц были предприняты серьезные попытки их классификации. Однако мы не сочли возможным рассматривать в данном пособии этих вопросов,

В связи с тем что число частиц и их резонансов весьма велико, само представление об элементарности многих из частиц ставится под сомнение. Поэтому определение элементарной частицы оказывается недостаточным и вряд ли есть возмояшость дать в настоящее время исчерпывающее определение элементарной частицы. Чем глубже физика проникает в познание свойств «элементарных^ частиц, тем все более оправдывается гениальное ленинское предвидение о том, что электрон так же неисчерпаем, как и атом.

§ 19.8. Понятие о структуре нуклона

В § 19,1 уже отмечалось, что представление об определенной структуре элементарной частицы находится в противоречии с теорией относительности, требующей, чтобы элементарные частицы были точечными. Например, принятое в классической электродинамике соотношение для «классического» радиуса электрона (см. u. G § 14.3) 『=-^г явно предполагает, что электрон не является точечным и имеет размеры. В современной физике на смену классическим моделям элементарных частиц пришли попытки отыскания таких структур этих частиц, которые не противоречили бы теории относительности. В настоящее время имеются прямые экспериментальные доказательства наличия структуры элементарных частиц и разработаны способы ее изучения. Такие эксперименты проведены только для нуклонов.

Одним из методов изучения структуры нуклона является исследование упругого рассеяния л-мезонов на протонах. Другой метод состоит в исследовании упругого рассеяния электронов на протонах и нейтронах. Они позволили сделать определенные выводы о структуре нуклона. Упругое рассеяние я-мезонов на протонах, как показали опыты, происходит так, что л-мезон мало отклоняется от первоначального направления полета, а протон получает незначительную отдачу, т. е. переданный протону импульс Ар невелик. Из соотношения неопределенностей следует, что этот процесс должен происходить в некоторой области пространства, характеризуемой линейными размерами 仪》方/Ар. Детальное изучение упругого рассеяния л-мезонов на протонах показало, что этот процесс следует представлять себе как результат дифракции л-мезонов на некоторой поглощающей мезоны области, определяющей размеры нуклона. Оценки показали, что эти размеры имеют порядок 10-15 м.

Для современного состояния вопроса о строении и свойствах элементарной частицы характерно то, что структура и свойства одной частицы зависят от свойств других частиц. В частности, структура нуклона связана со свойствами пионов. Напомним (см. § 16.5), что взаимодействие нуклонов в ядре можно рассматривать как пионное взаимодействие, состоящее в излучении и поглощении виртуальных пионов протоном и нейтроном:

扔=孔+十訓；JnZ± +Jp； Jn^Jfl +л°.

Эти процессы показывают, что нуклон N в процессе взаимодействия с другим нуклоном виртуально испускает или поглощает пион с соответствующим зарядом:

NNN +

Одиночный нуклон также испускает и поглощает виртуальные пионы, и это приводит к тому, что «голый» нуклон всегда окружен облаком виртуальных пионов. Радиус пионного облака 尸冗 по порядку величины должен быть таким же, как радиус действия ядерных сил (см. § 16.5): 『几〜 也.Таким образом, экспериментально наблюдаемый реальный нуклон как бы содержит «голый» нуклон и пионное облако.

Кроме облака пионов структура нуклона определяется взаимодействием нуклона с каонами и гиперонами. Основным виртуальным процессом этого взаимодействия является излучение нуклоном ^ каона К с образованием гиперона У:

Виртуальные каоны образуют облако, радиус 尸« которого оценивается аналогично радиусу 夕冗 пионного облака:

Каонное облако не окружает «голый» нуклон, ибо при виртуальном испускании каона нуклоны превращаются в гипероны.

Помимо указанных процессов происходит еще образование виртуальных пар нуклон-антинуклон (М &), создающих также некоторое облако. Виртуальный процесс образования пар происходит по схеме

Радиус облака виртуальных пар составляет г& ^ 0,07 гх.

Таким образом, структура нуклона определяется свойствами других частиц. В нуклоне непрерывно происходят виртуальные процессы, в результате которых нуклон представляется сложной композицией многих других частиц. В центральной части нуклона («голый» нуклон) находится ядро («керн») нуклона с радиусом (0,2—0,4)• 10■堂 м. В этой области, которая еще не изучена, по-видимому, какую-то существенную роль играют тяжелые частицы — резонансы и нуклон-антинуклон- ные пары, Керн окружают пионные и другие облака (рис. 19.20),

Рассеяние быстрых электронов с энергией вплоть до 550 МэВ на протонах позволило изучить распределение плотности электрического заряда протона в зависимости от расстояния г от центра керна. При этом необходимо учитывать, что заряд протона неделим и всегда проявляет себя как единое целое. Поэтому распределение электрического заряда в протоне не означает возможность экспериментально выделить некоторую часть этого заряда. На рис. 19.21 показана зависимость от г заряда д, содержащегося в шаровом слое, заключенном между радиусами г и г + Дг. Площадь под кривой равна заряду 8

протона. Кривая на рис. 19.21 имеет резко выраженный максимум, приходящийся на расстояние R&=0,77 Ф, которое называется электрическим радиусом протона.

Результаты аналогичных опытов по рассеянию быстрых электронов на нейтронах изображены на рис. 19.22. Рассеяние происходит так, что «электрический радиус» нейтрона равен нулю. При взаимодействии с быстрыми электронами нейтрон имеет пионное облако, совпадающее

Рис. 19.22Рис. 19.22предположить, что как анопредположить, что как ано

Рис. 19.22

Рис. 19.22

предположить, что как ано

предположить, что как ано

по размерам с керном. Электрический заряд распределяется по нейтрону так, что во внешней и внутренней областях он отрицателен, а в средней области положителен. Полный электрический заряд ней

трона, равный площади под кривой, равен нулю.

Структура нуклона позволяет объяснить наличие отрицательного

магнитного момента ртп у нейтрона и аномальное значение магнитного

момента ртр протона (см. § 16.3). Обратим внимание на то, что магнитный момент протона, равный 2,79 ця, на 1,79 内 превышает значение 1 |ЛЯ, которое следовало бы ожидать по аналогии с тем, что магнитный момент электрона равен одному магнетону Бора 卩笈・ Маг-

нитный момент р^ нейтрона отрицателен: pmn=—1,9 |ЛЯ. Можно

мальное значение магнитного момента протона, так и отрицательная величина магнитного момента нейтрона объясняются наличием у нуклона пионного облака. В самом деле, вращение заряженного пионного облака вокруг его оси должно быть связано с появлением [некоторого «тока» и соответствующего ему магнитного момента. В случае протона положительное пионное облако создает магнитный момент, дополнительны йк магнитному моменту керна того

же знака, что и приводит к аномальному значению магнитного момента протона. В случае нейтрона отрицательное пионное

облако создает отрицательный магнитный момент. Представление о пионном облаке нуклона оказывается весьма плодотворным и позволяет, например, объяснить различие масс нейтрона и протона существованием энергий электростатического и магнитного взаимодействия керна нуклона с пионными облаками.

В настоящее время интенсивно изучаются столкновения электронов между собой по методу встречных пучков, для которых характерны сверхвысокие энергии соударяющихся частиц. Эти опыты должны дать сведения о структуре электрона.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Современный курс физики в высшей технической школе охватывает все важнейшие разделы классической и современной физики. Среди всех дисциплин во втузе нет таких, которые могли бы сравниться с курсом физики по богатству и многообразию идей, методов исследования и фундаментальности изучаемых в нем достижений науки и техники. В наши дни существенно изменилось положение курса физики 6 системе подготовки современного инженера. Если раньше курс физики был в основном базой, фундаментом, на котором строилось здание инженерной подготовки, то теперь курс физики, полностью сохранив это свое значение, стал одновременно составной частью подготовки специалиста к конкретной инженерной деятельности. Ряд областей современной техники, такие, например, как электронная техника (включая полупроводниковую), ядерная техника (включая реак- торостроение) и др., настолько тесно переплетаются с физикой, что становятся неотделимыми от нее. Вместе с тем в давно сложившихся «классических» отраслях техники применение новых физических методов исследования приводит зачастую к принципиально новым инженерным решениям ряда проблем.

Для нашего времени характерно резкое сокращение сроков между научными открытиями, достижениями современной науки и их внедрением в повседневную инженерную практику. Появление и развитие пограничных научных и инженерных дисциплин, находящихся на стыках нескольких наук и базирующихся на физике, существенно расширило возможности дальнейшего взаимного проникновения друг в друга различных областей знания и повысило инженерный уровень, на котором могут решаться в наши дни многие технические задачи.

Все это не могло не привести к резкому повышению требований, которые предъявляются к современному курсу физики во втузе. Эти повышенные требования находят свое выражение как в увеличении объема курса физики, так в особенности и в научно-теоретическом его уровне.

На протяжении трех томов в данном курсе рассмотрены все основные разделы классической и современной физики. Начав с'изу-

чения основ физической механики, мы рассмотрели основы термодинамики и молекулярной физики, учение об электричестве и магнетизме, колебательные и волновые процессы, включая учение об электромагнитных волнах и оптику. Существенное место в последнем томе отведено основам современной атомной физики и физике атомного ядра. Нетрудно заметить, что все построение курса физики означало непрерывное углубление сведений о явлениях природы, закономерностях, управляющих процессами в окружающем нас мире. В самом деле, изучение механики происходило на макроскопическом уровне, когда объектом изучения являлись макроскопические тела, движущиеся со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме, с массами, неизмеримо превышающими массы атомов и молекул. Следующий, молекулярный, уровень изучения явлений позволил выяснить особенности поведения совокупностей атомов и молекул. Молекулярная физика с ее статистическими методами была первым шагом в микромир — область, в которой развитие физики шло особенно быстро и где* достигнутые физикой результаты оказали столь глубокое, революционизирующее влияние на всю науку и технику и на повседневную жизнь человеческого общества. На молекулярном уровне изучения курса нам уже пришлось встретиться с необходимостью отказаться в ряде случаев от методов, применяемых в макрофизике, появилась необходимость использования новых, квантовых представлений и новых закономерностей. Строго говоря, в этом нет ничего неожиданного. Переход к новым количественным масштабам с необходимостью приводит, как учит нас диалектический материализм, к существенным качественным изменениям. Поэтому не удивительно, что в микрсшире господствуют иные законы, чем в макромире.

С полной очевидностью это вскрылось на следующем, внутримолекулярном, уровне, когда в курсе электричества и магнетизма изучались многообразные явления, объясняемые поведением заряженных частиц ——электронов и ионов в веществе и вакууме. Классическая электродинамика, накопившая за длительный период своего развития большое число законов, описывающих различные явления электричества, магнетизма и оптики, получила свое завершение в уравнениях Максвелла и электронной теории Лоренца. Однако именно здесь полностью вскрылась недостаточность классического описания. Вспомним, например, что закон Рэлея —— Джинса (см. т. III, гл. X) привел к «ультрафиолетовой катастрофе», несмотря на то что он описывал взаимодействие равновесного теплового излучения со стенками полости, в которой это излучение находится, на основе хорошо развитых и совершенных методов классической теории излучения, классической статистической физики и электронной теории. Аналогично этому, электрические свойства твердых тел — металлов и особенно полупроводников ——не получили своего объяснения в классической теории. Таких примеров па протяжении трехтомного курса было приведено очень много. Для полного объяснения многих вопросов учения об электричестве и магнетизме, для истолкования механизма взаимодействия электромагнитного поля с веществом, представлений классической физики оказалось недостаточно. Однако если в области элект-

ричества, магнетизма и даже взаимодействия света с веществом классическая физика в ряде случаев давала правильные объяснения многим фактам и закономерностям, то на внутриатомном уровне она привела к резким противоречиям с экспериментальными данными.

Изучение строения и свойств атома и атомного ядра ——достижение физики нашего столетия. Оно стало возможным, во-первых, благодаря быстрому расширению технических возможностей эксперимента —фактору, сыгравшему огромную роль в развитии современной физики, и, во-вторых, благодаря двум революционизировавшим всю физику теориям — теории относительности и квантовой механики. Возникшие в первой четверти нашего столетия, они привели физику .к осознанию тех особых законов, которыми управляется микромир. В настоящее время квантовая механика и теория относительности — это не только теории, позволяющие проникать в тайны строения атомного ядра и элементарных частиц. Теория относительности уже достаточное время является основой для получения расчетных инженерных формул ускорительной техники и исследования термоядерных реакций. Квантовая механика в ее применениях к расчетам ядерных реакторов, электронных приборов, квантовых генераторов и усилителей является дисциплиной, основы которой входят в инженерную практику.

Многие основные идеи квантовой механики, а также и теории относительности кажутся поначалу необычными, противоречащими тому складу мышления, к которому привыкает человек благодаря длительному периоду обучения в школе и повседневной практике. Невозможность свести дело к привычным представлениям, отсутствие в ряде случаев аналогий, столь облегчающих «понимание» изучаемого предмета,— все это действительно составляет известные трудности в начальный период изучения современной физики. Однако значительная часть этих трудностей проистекает из-за того, что недостаточно осознаются логические связи между классической и современной физикой, между различными аспектами рассмотрения физических явлений. На это требуются время и терпение —— два фактора, без которых немыслимо усвоение новых идей.

Глубокие внутренние связи между классической и современной физикой находят свое выражение впринципе соответст- в и я, согласно которому между дальнейшим развитием разделов физики и их предшествующим содержанием устанавливаются определенные связи: в определенных предельных случаях новое физическое учение переходит в старое. Тем самым установленные на определенном этапе развития физики закономерности, правильно объясняющие экспериментальные данные, не отбрасываются с развитием нового этапа учения, а включаются в него как предельный случай, справедливый в определенных условиях.

Все здание классической и современной физики, несмотря на его сложную «архитектуру», прочно покоится на фундаменте законов сохранения. Все те законы сохранения, которые были установлены в классической физике, применимы и в физике микромира — им подчиняются, как мы видели, элементарные процессы, происходящие с отдельными частицами вещества. Во всеобщности действия зако-

нов сохранения находят свое доказательство глубокие связи между классической и современной физикой. Правда, в физике элементарных частиц появились новые законы сохранения, не действующие в области макромира, ио в этом находит лишь свое подтверждение ленинское учение об абсолютной и относительной истине и о непрерывном переходе в процессе познания от сущностей менее глубоких к сущностям более глубоким.

Современная физика принадлежит к числу наиболее быстро развивающихся наук. Ее динамический характер особенно сказывается в развитии таких разделов, как физика атомного ядра и элементарных частиц, физика твердого тела и др., а также ряда пограничных, соприкасающихся с физикой наук (биофизика и др.). Развитие новейшей физики приводит к появлению многих новых дисциплин. Вряд ли можно было думать несколько десятков лет тому назад, что возникнет механика плазмы, магнитная гидродинамика, что появится квантовая радиотехника и другие новейшие разделы физики.

Из сказанного ясно, какое значение имеет для современного инженера изучение физики. Именно поэтому время и усилия, потраченные на усвоение основ современной физики, сторицей окупятся в дальнейшей учебе и работе инженера.

ПРИЛОЖЕНИЕ

§ 1- Международная система единиц

ДлинаL метр мДлинаL метр м1. Международная система единиц (СИ) базируется на семи основных единицах — метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела и двух дополнительных ——радиан и стерадиан. Определения и обозначения этих единиц приведены в табл. 1.

ДлинаL метр м

ДлинаL метр м

Таблица 1

Величина

Единица СИ

Наименование

Размерность

Наименование

Обозначение

Определение

Русское

международное

1. Основные единицы СИ

m Метр — единица длины, равная 1 650 763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2 р10 и 5 d5 атома криптона-86

МассаМассаММкилограммкилограммкгкгkgkgКилограмм — единицамассы,равная массе международного прототипа килограммаКилограмм — единицамассы,равная массе международного прототипа килограмма

Масса

Масса

М

М

килограмм

килограмм

кг

кг

kg

kg

Килограмм — единицамассы,

равная массе международного прототипа килограмма

Килограмм — единицамассы,

равная массе международного прототипа килограмма

ВремяТ

секунда сsСекунда——единица времени,

равная 9192631770 периодов

излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133

рила электри- I ампер А ческого токарила электри- I ампер А ческого токаА Ампер — сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал 'бы между этими проводниками силу, равную 2・10-2 Н на каждый метр длины

рила электри- I ампер А ческого тока

рила электри- I ампер А ческого тока

Величина

Единица СИ

Наименование

Размерность

Наименование

Обозначение

Определение

Русское

международное

Термодинамическая температура

0 кельвин КККельвин — единица термодина

мической температуры, равная 1/273,16 части термодинамическойтемпературы

тройной точки воды

Количество вещества

Nмоль моль mol Л1олб —единица количества ве

щества, равная количеству вещества системы, в которой содержится столько же структурных элементов (атомов, Молекул, ионов, электронов и др. частиц или специфицированных групп частиц), сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг

Сила света

J кандела кдcdКандела——сила света, испуска

емого с площади 1/600 000 м сечения полного излучателя (абсолютно черного тела) в пер пен дикул яр ном этому сечению направлении при температуре излучателя, равной температуре затвердевания платины при давлении 101 325 Па

Плоский угол

2. Дополнительные единицы СИ

— радиан рад rad Радиан一 угол между двумя радиусами окружности, дуга между которыми по длине равна радиусу*

Телесный угол

— стерадиан срsrСтерадиан — телесный угол с

вершиной в центре сферы,

вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной,- по длине равной радиусу этой сферы

Таблица 2

Величина

Производная единица СИ

Наименование

Размерность

Наименование

Обозначение

Примечание

русское

международное

Производные единицы пространства и времени

Площадь

Объем

L2

L3

квадратный метр кубический

ма

м3

та

т3

Скорость

LL

метр? секунду

м/с

m/s

Ускорение

LT-2

м^тр на секунду в квадрате

м/с2

m/sa

Частота

т-1

герц

Гц

Hz

Частота вращения

т-1

секунда в минус первой степени

S-工

Угловая скорость

радиан в секуи- ДУ

рад/с

rad/s

Угловое ускорение

Т- 2

радиан на секунду в квад-

рад/са

rad/s2

рате

4, Производные единицы механических величин

Плотность

L-зм

килограмм на кубический метр

кг/м3

kg/m3

Момент инерции

L2M

килограмм-метр в квадрате

кг-м2

kg- m2

Импульс

LMT-1

килограмм-метр в секунду

кг - м/с

kg- m/s

Момент импульса

L2MT"1

килограмм-метр в квадрате в секунду

кг-м2/с

kg-m2/s

Сила

LMT-2

ньютон

Н

N1 H =

=1 кгх XM/d

Момент силы

L2ML

ныотон-метр

Нм

N -m

Импульс силы

LMT-1

ньютон-секунда

Н-с

N-s

Давление, напряжение (ме

■ML

паскаль

Па

Pa 1 Па = =1 Н/м3

ханическое), модуль упругости

Поверхностное

ML

ньютон на метр

Н/м

N/m

натяжение

Работа, энергия

l2mt-2

джоуль

Дж

J1 Дж =

=1 Н・м

Мощность

L2MT-3

ввтт

Вт

W1 Bt =

=1 Дж/с

Динамическая вязкость

L-iMT-1

паскаль-секунда”

Па-с

Pas

Кинематическая вязкость

L2T-i

квадратный метр на се-

м2/с

m2/s

кунду

Продолжение табл. 2

Величина

Производная единица СИ

Обозначение

Наименование

Размерность

Наименование

русское

международное

Примечание

Производные единицы тепловых величин Количество теп- L2MT"2 джоульДжJ1 Дж =

лоты, внут-= 1 Нм

ренняя энергия

Удельное коли-L2T"aджоуль на ки-Дж/кгJ/kg

честно теп-лограмм

лоты

Теплоемкость и UMT-?®-』 джоуль на кель- Дж/КJ/K

энтропия си-вин

стемы

ТеплоемкостьL2!-2©^1 джоуль на ки- Дж/(кг-К) J/(kg-K)

удельнаялограмм-

кельвин Теплоемкость L2MT"2N~1@"1 джоуль на моль- Дж/(моль*К) J/(mol-K) молярнаякельвин

Теплопровод- LMT*"3©"1 ватт на метр- Вт/(м К) W/(m・K) ностькельвин

Производные единицы электрических и магнитных величин Плотность элек-L-2!ампер на квад- А/м2А/ш2

трическогоратный метр

тока ЭлектрическийTIкулонК лС1 Кл =

заряд= 1 А-с

Плотность электрического заряда а) линейнаяL'1!!кулоннаметрКл/мС/ш

поверхностиL~2TIкулоннаквад-Кл/м?С/т3

наяратный метр

объемнаяL~3TIкулоннакуби-Кл/м3С/ш3

ческий метр

Поляризация,L"2TIкулоннаквад-Кл/м2С/ш2

электричес-ратный метр

кое смещение

ЭлектрическийLTIкулон-метрКл- мС -ш

момент диполя

Поток смещенияТIкулонКлС

Электрический1АМТ-з[-1вольтВV1 В =

потенциал,Дж/Кл

напряжение, э. д. с. Напряженность LMT"3!"1 вольт на метрВ/мV/m

электрического поля

ЭлектрическаяL-^M-2T《产 фарадФF1 Ф —

емкость= 1 Кл/В

ЭлектрическаяL"3M_1T4I2 фарад на метрФ/мF/m

постоянная

Величина

Производная единица СИ

Наименование

Размерность

Наименование

Обозначение

Примечание

русское

международное

Электрическое сопротивление

Удельное электрическое сопротивление

имТТ-2

L3MT-3L

ОМ

ом-метр

Ом

Ом-м

R

1 Ом = =1 В/А

Электрическая проводимость

Удельная электрическая проводимость

LtM-TW

L-3M-TI2

сименс

сименс на метр

См

См/м

S

S/m

1 См = =1 А/В

Магнитный поток

ЕЭДТ-Ч-1

вебер

Вб

Wb

1 В6 = =1 Тл- ма

1 Вб = =1 В-с

Магнитная индукция

Магнитодвижущая сила

Напряженность магнитного поля

МТ-2!-1

I

L-4

тесла

ампер

ампер на метр

Тл

А

А/м

Т

А

А/т

1 Тл = =1Н/(АХ Хм)

Индуктивность, взаимная индуктивность

Магнитная постоянная

Магнитный момент электрического тока

Намагниченность

Магнитное сопротивление

LMLL

L2!

L-4

LM-TF

генри

генри на метр

ампер-квадрат- ный метр

ампер на метр

ампер на вебер

Гн

Гн/м

А/м

А/Вб

Н

Н/ш

А-т3

А/т A/Wb

1 Гн = =1 Вб/А

7. Производные единицы световых величин м величии энергетической фотометрии

Световой потокJлюменлм- 1m

Освещенность

Светимость

Яркость

Поток излучения

Энергетическая освещенность

「J

L~2J

L"2J

L2MT-3

ML

люкс

люмен на квадратный метр

канделана

квадратный метр ватт

ватт на квадратный метр

лк лм/м3 кд/м2

Вт Вт/ма

1х 1т/т2 cd/ma

W W/ma

1 лк = =1 лм/м2

и светимость

Величина

Производная единица СИ

Наименование

Размерность

Наименование

Обозначение

Примечание

русское

международное

ЭнергетическаяМТ-3ватт на стера- Вт/(ср- м3) W/(s「X

яркостьдиан-квадрат-X ш2)

ный метр

Спектральная

плотность

энергетической светимости

подлине вол- L-1MT"3 ватт на метр в Вт/м3W/m3

ныкубе

по частотеМТ~аджоуль иа квад-Дж/м2J/гп2

ратный метр

ЭнергетическаяLaMT"3ватт на стера-Вт/срW/sr

сила светадиан

3. Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименования приведены в табл. 3.

Таблица 3

Приставка

Обозначение

МножительМножительНаименованиеНаименованиерусскоерусскоемеждународноемеждународное10экса1015пета1012тера10Bгига106мега103кило102(гекто)101(дека)(деци)io-2(санти)10-3милли10-8микро10-8наноio-12ПИКО10-15фемто10-18атто10экса1015пета1012тера10Bгига106мега103кило102(гекто)101(дека)(деци)io-2(санти)10-3милли10-8микро10-8наноio-12ПИКО10-15фемто10-18аттоэптгмкгддсммнпфаэптгмкгддсммнпфаEPTGMkhdd с m 卩口 pf aEPTGMkhdd с m 卩口 pf a

Множитель

Множитель

Наименование

Наименование

русское

русское

международное

международное

10

экса

1015

пета

1012

тера

10B

гига

106

мега

103

кило

102

(гекто)

101

(дека)

(деци)

io-2

(санти)

10-3

милли

10-8

микро

10-8

нано

io-12

ПИКО

10-15

фемто

10-18

атто

10

экса

1015

пета

1012

тера

10B

гига

106

мега

103

кило

102

(гекто)

101

(дека)

(деци)

io-2

(санти)

10-3

милли

10-8

микро

10-8

нано

io-12

ПИКО

10-15

фемто

10-18

атто

эптгмкгддсммнпфа

эптгмкгддсммнпфа

EPTGMkhdd с m 卩口 pf a

EPTGMkhdd с m 卩口 pf a

§ 2. Универсальные физические постоянные

В табл. 4 указаны значения физических постоянных, приведенные в статье «Рекомендуемые согласованные значения фундаментальных физических постоянных——1973 гл (Доклад рабочей группы CODATA по фундаментальным физическим постоянным, август 1973 г. —УФН, 1975, 115, с. 623 — 633).

Таблица 4

Относительная

ВеличинаОбозначениеЗначение 1погреш

ность,10-»

1. Атомная едн-

1 а. е. м.=

Q КГ-МОЛЬ- = 10 — 3

“А

1,6605655 (86) • 10~ 2? кг

ница массы

2.

Заряд элементарный

1,6021892 (46)-10-19 Кл

3.

Заряд удельный электрона

е)тв

1,7588047 (49)-1011 Кл/кг

4.

Комптоновская длина волны нейтрона

^tn = hHmnc}

1,3195909(22).10-15 м

5.

Комптоновская длина волны протона

入k, p = "/W")

1,3214099 (22)-10-^ м

6.

Комптоновская длина волны электрона

入k, e =九/ (m^c)

2,4263089(40)/0-3 2 м

7.

Магнетон Бора

卩B = ^/2g

卩况=//2也尸

9,274078 (36)-10~24 Дж/Тл

8.

Ядерный магнетон

5,050824 (20) • 10-27 дж/тл

9.

Магнитный момент протона

Ар Пр/ Цр/Ря

1,4106171 (55)」ОТ6 Дж/Тл 1,521032209 (16) • 10-3 2,7928456(11)

10.

Магнитный момент электрона

通

9,284832 (36)-10-24 Дж/Тл 658,2106880 (66)

11.

Масса покоя нейтрона

1,6749543 (86)-10-27 кг

1,008665012(37) а. е, м.

12.

Масса покоя протона

trip

1,6726485(86)，10-2? кг

1,007276470(11) а. е. м.

13.

Масса покоя электрона

%

0,9109534 (47)-10"30 кг

5,4858026 ⑵)• 10-4 а. е. м.

14.

Объем моля идеального газа при нормальных условиях (Г о = = 273,15 К, р0= 101325 Па)

и。= К/'о/Ро

0,02241383 (70) м3/моль

15.

Постоянная Больцмана

总=£//Va

1,380662 (44)-10-23 Дж/К

16.

Постоянная газовая универсальная

R

8,31441 (26) Дж/(моль-К)

17.

Постоянная гравитационная

У

6,6720 (41)-10-и Н・м2/кг&

5

2

■8

9^

7

■7

£

3 3

99

18 1371 8

9 0 3 9 01 0.1 0 13

30030505050^

32

6

Величина

Обозначение

Значение !

Относительная погрешность, 10-е

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

Постоянная магнитная

Постоянная Планка

Квант магнитного потока Квант циркуляции

Постоянная радиационная первая Постоянная радиационная вторая Постоянная Ридберга

Постоянная Стефана — Больцмана Постоянная тонкой структуры Постоянная (число) Фарадея

Постоянная электрическая Радиус боровский

Радиус электрона классический

Скорость света в вакууме Ускорение свободного падения стандартное

Число Авогад- РО

Энергия покоя нейтрона Энергия покоя протона Энергия покоя электрона Энергия, соответствующая 1 а. е. м.

Но

h

力=/г / 2л

① о = hlle

ct = 2л/гс2

c2 — hc/k

"8 一眦

冗2胪

_ 6ol3c2

2h

a-1

F —汽 a©

£()= 1/(卩們

a0 = 0£/(4n/?8)

е 4nme

с

g

“А

加£

meca

4Л-10-? —=12,5663706144Х м

Х10-г — м

6,626176 (36)-10-34 Дж/Гц 1,0545887(57) J0Т4 дж/Гц 2,0678506(54).10 75 Вб

3,6369455(60)*10-4 Дж/(Гц-кг)

3,741832(20)"0Т8 Вт-м2

0,01438786 (45) м-К

1,097373143(10)-107 м7

5,67032 (71).1О-8 Вт/(м2-К4)

0,0072973506 (60)

137,03604 (11)

9,648456 (27)- W Кл/моль

8,85418782 (7).10~12 Ф/м

0,52917706 (44)-10-10 м

2,8179380 (70)-10-^ м

299792458 (1,2) м/с

9,80665 м/с3

6,0220943 (61)-102^ моль-»

939,5731 (27) МэВ

938,2796 (27) МэВ

0,5110034(14) МэВ

931,5016 (26) МэВ

2；6

1,6

5,4

31

0,009

125

0,82

0,82 2,8

0,008

0,82

2,5

0,004

1Q

2,8

2,8

2,8

2,8

1 Числа в круглых скобках указывают стандартную погрешность в последних цифрах значения величины, приведенного в табл. 4.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аберрация света годичная 71, 187

Абсорбция света отрицательная 305

положительная 133, 305

Адроны 468

Активность радиоактивного вещества 388

Акустика 33

—молекулярная 46

—физиологическая 34

—физическая 34

Амплитуда волны 12

де Бройля, статистический смысл 245

комплексная 15

световой» статистический смысл 235

сферической 19

Анализ активационный 450

—люминесцентный 348

——рентгеноструктурный кристаллов 119

,метод Дебая — Шерера 120

качающегося кристалла 119

—спектральный рентгеновского излучения 119

Анализатор 153

Ангстрем 69

Анизотропия оптическая кристаллов 142

искусственная 142, 159

Антинейтрино мезонное 459

—электронное 406, 478

Антинейтрон 478, 480

Антипротон 479

Античастицы 476

Атом, векторная модель 301

—распределение электронов по состояниям 295

—ядер на я модель Резерфорда 273

Атомы «меченые» 449

Бариоиы 471

Беккерель 388

Бел 36

Биология радиационная 45工

Бипризма Френеля 88

Бозоны 293

Бомба атомная 441

—водородная 445

Вектор волновой 15

—световой 83

Вектор Умова 18

Вектор Умова — Пойнтинга 56

Вещества радиоактивные 382

Взаимодействие сильное 467

—слабое 462, 468

—спин-орбитальное 301

—электромагнитное 468

—ядер ное 366, 466

Вибратор Герца 60

Видеосигнал 64

Волна, амплитуда 12

комплексная 15

—бегущая 27

Волна гармоническая 12

—необыкновенная 146

—обыкновенная 146

—,объемная плотность энергии 16, 56

—одномерная 13

—опорная 121

—плоская 14

—поперечная 9, 53

—предметная 121

—продольная 9

,разрежения 38

,сгущения 38

—синусоидальная 12

—,скорость групповая 21

——распространения энергии 17, 21

—стоячая 27

—сферическая 19

—,фаза 13

—,частота 11, 54

— электромагнитная 52

,интенсивность 56

—— 一 линейно-поляризованная (пло- скополяризованная) 55

, плоскость колебаний 55

поляризации 55

монохроматическая 54

плоская 54

,скорость фазовая 52

циркулярно-поляризованная 55

эллиптйчески-поляризованная

55

—электронная 243

Волны акустические 9

—гиперзвуковые 33

—де Бройля 243

一 ——,вероятностный смысл 244

,групповая скорость 243

,фазовая скорость 243

—звуковые 9

— инфразвуковые 33

—когерентные 25

Волны модулированные 63

—пекогерентные 25

—ударные 48

—ультразвуковые 33

—упругие 9

Вращение плоскости поляризации света 162

магнитное 165

удельное 163

Время когерентности 86

—ядерное 419

Высота звука 35

Гармоника 37

Генераторы когерентного света 349

Гипероны 471

Гипотеза баллистическая Ритца 172

— квантовая Планка 210

— сокращения Лоренца — Фитцджеральда 173

Голограмма 121

—объемная 123

Голография 121

Громкость звука 35

Группа волн 20

Давление звуковое 34

среднеквадратичное 35

—света 68, 230

—электромагнитной волны 57

Движение абсолютное 167

—свободной частицы в квантовой механике 256

Дебаеграмма 120

Дейтрон (дейтерон) 372

Демодуляция 63

Детерминизм механический 252

Дефект массы 368

Дефектоскоп ультразвуковой импульсный 45

резонансный 45

теневой 45

Дефектоскопия гамма 399

—рентгеновская 322

—ультразвуковая 45

Диполь Герца 61

Дисперсия света 124

аномальная 125

вращательная 163

,классическая теория 127

,метод скрещенных призм 126

нормальная 125

— упругих волн 12

Дифракция нейтронов 241

——рентгеновских лучей 118

Дифракция света 104

,метод зон Френеля 105

—Фраунгофера 109

на дифракционной решетке 113

,главные максимумы

114

Дифракция света на дифракционной решетке, угловая ширина, 115

двумерной 116

трехмерной 117

круглом отверстии 113

одной щели ПО

—Френеля 107

—на круглом диске 108

отверстии 107

—электронов 238

Дихроизм 152

Диэлектрическая проницаемость анизо

тропной средн, главные значения 143

Длина волны 13

комптоновская 231

——стоячей 29

—когерентности 86

——пробега нейтронов средняя 423

—пути оптическая 90

—связи молекулы 326

Доза излучения 399

Дозы излучения мощность 399

Единица длины астрономическая

(а. е. д.) 67

—массы атомная (а. е. м.) 358

—энергии атомная 367

Закон Бера 133

—Био 163

—Брюстера 79

— Бугера — Ламберта 133

—Бунзена 一 Роско 227

—Вавилова 347

-г взаимосвязи массы и энергии 198

—Гейгера — Нэттола 396

—Кирхгофа 204

для серых тел 205

—Малюса 154

—Мозли 321

—отражения волн 24

—преломления волн 24

—радиоактивного распада 385

—Рэлея 136

—сложения скоростей классический 166

релятивистский 186

—смещения Вина 207

—Снеллиуса 74

—сохранения импульса 193

массы 193

— Стефана — Больцмана 206

Замедлители нейтронов 423

Замирания 64

Заряд барионный (нуклонный, ядер- ный) 471

,закон сохранения 471, 479

—лептонный 462

Захват радиационный 422

—электронный (е-захват, К-захват) 414

Звук 33

—— тональный (музыкальный) 36

Зеркала Френеля 86

Зоны Френеля 105

—энергетические в кристаллах 333

Излучатель массовый 61

Излучение Вавилова — Черенкова 138

—вынужденное (индуцированное) 305

,коэффициент Эйнштейна 306

—движущегося заряда 59

— диполя электрического 57

,полярная диаграмма направленности 58

— инфракрасное 70

—равновесное 200

—рентгеновское белое 318

тормозное 318

,граница сплошного спектра 318

характеристическое 319

,граница возбуждения 320

,закон Мозли 321

,классификация серий 320

— самопроизвольное (спонтанное) 303

,коэффициент Эйнштейна 304

—синхротронное 67

—тепловое 200

черное 203

—ул ьтр афиолетов ое 70

—электромагнитных волн 57

Изобары 359

Изотопы 358

—искусственнорадиоактивные 413

Изохромата 158

Индикаторы радиоактивные 449

нейтронные 424

Индикатриса оптическая 143

Интеграл кулоновский 330

— обменный 330

—перекрытая 330

Интенсивность звука 34

—электромагнитной волны 56

Интервал 184

—времениподобный 185

—пространственноподобпый 185

Интерференция волн 26

—многих волн 98

—поляризованного света 154

—света 82

•в тонких пленках 89

•, полосы равного нак

лона 92

равной толщины 93

,методы наблюдения 85

Интерферометр Жамена 95

—Линника 97

—Майкельсона 96

Ионосфера 63

Источники света 215

,световая отдача 215

Источники света люминесцентные 348

Кабель коаксиальный 60

Кавитация 46

Кадр 64

Камера Вильсона 393

—ионизационная 391

—пузырьковая 394

Камертон 40

Каоны (К-мезоны) 470

«Катастрофа ультрафиолетовая» 210

Квазары 68

Квант энергии 211

Квантование пространственное 287

Керн нуклона 488

Кинескоп 65

Колебания нулевые 267

Кольца Ньютона 94

Конверсия внутренняя 7-лучей 397

Константа Керра 160

Конфигурация электронная атома 297

Котел атомный 439

Коэффициент отражения света 79

—поглощения монохроматический 201

света 133

отрицательный 350

—размножения нейтронов 437

—упаковки ядра атома 368

—черноты тела 205

—Эйнштейна для вынужденного излучения 306

поглощения света 306

спонтанного излучения 304

Кристалл анизотропный, связь D и Е 144

—двуосный 143

— одноосный 144

,оптически отрицательный 144

положительный 144

Курчатовий 435

Кюри 388

Лазер 349

Лампы дневного света 348

—накаливания 215

—ртутные 348

Лептоны 462

Ливень электронно-фотонный (каскадный) 469

Линза звуковая 44

Линии (полосы) равного наклона 92

равной толщины 93

—спектральные, сверхтонкая структура 359

,тонкая структура 301

,уширение доплеровское 305

ударное 305

,ширина естественная 305

Локации ультразвуковая 44

Луч 74

—необыкновенный 147

— обыкновенный 146

Лучепреломление двойное 148

Лучи альфа 382, 394

—бета 382, 403

—гамма 382, 397

—инфракрасные 70

—космические 453

,компонента жесткая 455

мягкая 455, 469

первичные 454

—рентгеновские 70, 317

—ультразвуковые 44

—ультрафиолетовые 70

Люминесценция 344

Магнетон Бора 289

—ядерный 361

Мазер 349

Максимумы дифракционные 111

,ширина 112

— интерференционные главные 101

побочные 101

Масса критическая 437

—покоя 192

—приведенная 280

—релятивистская 192

——,закон сохранения 193

Массы изотопные 358

Мезоатом 459

Мезоны 457

Мерцание звезд 81

Метод Вильсона — Скобельцына 393

— Дебая — Шерера 120

—зон Френеля 105

—качающегося кристалла 119

—скрещенных призм 126

——толстослойных фотоэмульсий 394

—Юнга 88

Механика квантовая (волновая) 242

нерелятивистская 242

—классическая 166

—релятивистская 180

,закон взаимосвязи массы и энергии 198

сохранения импульса 193

----массы 193

,импульс тела 194

,кинетическая энергия 195

,масса тела 192

,основное уравнение динамики 194

,полная энергия 197

,энергия покоя 198

Микроскоп голографический 123

Мираж 81

Молекула водорода, теория Гайтле- ра—Лондона 329

Молекулы атомные (гомеополярные) 327, 328

Молекулы ионные (гетерополярные) 326, 327

Момент импульса электрона в атоме орбитальный, правило квантования 284

, пространственное квантование 287

—----полный 301

собственный (спин) 290

ядра атома (спин ядра) 360

—магнитный электрона в атоме орбитальный 287

собственный 290

ядра атома 361

Мюоны (р--мезоны) 458

Накачка усиливающей среды 352

Нанометр 69

Нейтрино мезонное 459

—,спиральность 484

—электронное 405

и мезонное, различие 486

Нейтрон 411

—,магнитный момент 362

—,масса покоя 366

—,спин 365

Нейтронография 241

Нейтронов размножение 430

,коэффициент 437

Нейтроны быстрые 422

—деления 430

—запаздывающие 430

— мгновенные (вторичные) 430

— медленные 422

—тепловые 432

Нептуний 427

Николь 151

Нильсборий 427

Номер порядковый элемента 295, 296, 358

Нуклоны 366

—,размеры и структура 487

Обертон 37

Оболочки электронные в атоме 296

,обозначения 296

Опалесценция критическая 138

Оператор Лапласа 22

Оптака нелинейная 219

—просветленная 91

Опыт By Цзяньсюн 475

— Иоффе и Добронравова 225

—Квинке 128

— Майкельсона 171

——Резерфорда (природа а-лучей) 383

—Физо 169, 187

Опыты Айвса и Стилуэлла 191

—Белопольского 189

—Бибермана, Сушкина и Фабриканта 240

—Вавилова 226

Опыты Герца 60

— Дэвиссона н Джермера 237

—Лебедева 68

—Лукирского и Прилежаева 220

—Резерфорда 269

—Столетова 216

—Тартаковского 239

—Томсона 239

—Франка и Герца 281

—Штерна 240

— Штерна и Герлаха 288

Осциллятор линейный гармонический 57

в квантовой механике 265

Отношение гиромагнитное орбитальное 287

спиновое 293

ядерное 361

Отражатель нейтронов 437

Отражение света диффузное (рассеян

ное) 80

зеркальное 80

металлами 135

полное внутреннее 74, 128

Пакет волновой 20

Пара электронно-позитроиная 415

Параметр деления ядра 432

Переходы электронные разрешенные

300

Период 295

—полураспада 385

Пиоиы (л-мезоны) 375, 462

Пирометр излучения 213

—оптический 213

—радиационный 213

— с исчезающей нитью 214

Пирометрия оптическая 213

Плазма высокотемпер атур на я 445

,неустойчивость 447

— низкотемпературная 445

Пластинка в полволны 157

целую волну 157

четверть волны 157

—зонная 108

Плоскость главная одноосного кристалла 147

—колебаний 55

—поляризации 55

Плотность вероятности 246

Плутоний 427

Поверхность волновая 13

—лучевая необыкновенной волны 147

обыкновенной волны 147

Поглощение резонансное 7-лучей 400

нейтронов 424

一 света 133

металлами 135

отрицательное 350

Подоболочки (подгруппы) электрон

ные в атоме 296

Позитрон 413, 477

Показатель преломления абсолютный 74

анизотропной среды, главные значения 145

одноосного кристалла для волны необыкновенной 146

обыкновенной 146

необыкновенного луча

147

обыкновенного луча

146

относительный 74

Поле излучения 57

—электромагнитное 50

,волновое уравнение 51

— ядер ное 375

Поляризатор 151

Поляриметр 163

—полутеневой 163

Поляроид 153

Порог болевого ощущения 35

—зрительного ощущения 226

— слышимости 35

Порядок дифракционного максимума 111, 114

—интерференционного максимума 87

Постоянная Верде 165

—Вина 208

—вращательная молекулы 339

—Коттона — Мутона 162

—Планка 211, 212

—радиоактивного распада 384

—Ридберга 274, 280

для водородоподобной системы 280

—силовая 340

—Стефана — Больцмана 206

一 тонкой структуры 468

—экранирования 321

—электродинамическая 52

Постулаты Бора 277

— специальной теории относительности 173

Потенциал ионизации атома водорода 278

Потери энергии заряженной частицы в веществе ионизационные 407

.радиационные 407

Пояса радиационные околоземные 456

Правила отбора 300, 310, 340

—смещения при радиоактивном распаде 387

Правило Прево 202

—Стокса 346

Преобразование Галилея 166

—Лоренца 178

Призма Николя 151

Принцип Гюйгенса 23

—Гюйгенса — Френеля 104

—зарядового сопряжения 478

Равновесие детальное 306Равновесие детальное 306388естественная 382388естественная 382(наведенная) 413 67(наведенная) 413 67

Равновесие детальное 306

Равновесие детальное 306

388

естественная 382

388

естественная 382

(наведенная) 413 67

(наведенная) 413 67

Принцип комбинационный Ритца 275

—относительности механический (Галилея) 167

Эйнштейна 173, 174

—Паули 293

—соответствия Бора 260

—суперпозиции волн 20

Продолжительность жизни атома в возбужденном состоянии 304

Прозрачность потенциального барьера 261, 262

Протон, заряд 358

—,магнитный момент 363

—,масса покоя 366

—,спии 360

——,электрический радиус 489

Процессы (переходы) виртуальные 375

Пульсары 68

Пучности стоячей волны 28

Пучок опорный 121

—предметный 121

—радиоактивное Радиоактивность бета 403

—искусственная Радиоастрономия Радиовещание 62 Радиоволны 62

Радиогалактики 68

Радиолокация 62

Радиорелейная линия 65

Радиоспектроскопия 315

Радиотелескоп 67

Размеры критические активной зоны ядерного реактора 437

Разность хода геометрическая 26

оптическая 90

Распад а л ьфа-р адиоа ктив ны й 394

—Р - -радиоактивный 403

—р+-радиоактивный 414

—радиоактивный 384

,закон 385

,период полураспада 385

,постоянная распада 384

,правила смещения 387

Рассеяние рентгеновских лучей когерентное 233

комптоновское 230

—света 135

в мутной среде 136

комбинационное 342

красные (стоксовы) спутники 342

фиолетовые (антистоксовы) спутники 343

молекулярное 137

,тонкая структура спектра 138

Реактор ядерныб 439

бридерный (воспроизводящий) 441

на быстрых нейтронах 441

медленных нейтронах 439

гетерогенный 439

гомогенный 439

Реакции термоядерные 443

,типы циклов 444

—фотохимические 226

,красная граница 227

,основной закон 227

,энергия активации 227

—ядерные 409, 419

деления 427, 433, 434

захвата 418, 424

цепные 436

,режим критический 438

надкритический 438

подкритический 438

самоподдерживающиеся 438

ускоряющиеся (развивающиеся) 438

экзотермические 411

эндотермические, энергетиче

ский порог 410

,эффективное поперечное сечение 419

Регистрация заряженных частиц 389

—нейтронов 424

Резерфорд 389

Резонанс акустический 37

—магнитный 314

— ферромагнитный 316

—электронный 314

парамагнитный 316

——ядерный магнитный (парамагнитный) 361

Резонансы (резонансные частицы) 486

резонатор акустический 40

Гельмгольца 37

Рентген 399

—,эквивалент биологический (бэр) 399

Рефрактометр интерференционный 97

Рефракция света 80

астрономическая 80

Земная 81

Решетка дифракционная (одномерная) 113

двумерная 116

трехмерная (пространственная)

Н7

Сахариметр 163

Свет естественный (неполяризованный) 84

—частично поляризованный 85

Светимость энергетическая 204

,спектральная плотность 200

Связь ковалентная (гомеополярная) 327, 328

,свойство насыщения 328

—ионная (гетерополярная) 326