Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ГРАФИК ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ у=кх+Ь
；КВАДРАТЫ И КУБЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛот1доЮ
1234567 •8910п2481632641282565121024п3927812437292187656119683 590491234567 •8910п2481632641282565121024п3927812437292187656119683 590492323
1
2
3
4
5
6
7 •
8
9
10
п
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
п
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19683 59049
1
2
3
4
5
6
7 •
8
9
10
п
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
п
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19683 59049
2
3
2
3
П 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
п2 1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
П3 1
8 27
64
125 216
343
512
729
1000
СТЕПЕНИ ЧИСЕЛ 2 И 3
ФОРМУЛЫСОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
(а-b) (а+Ь) = а2~Ь2(a+b)2 = tf + 2ab + b2
(a-b)2 = a2 -2аЬ + Ь2
(a+b) (a2-ab + Ь2) ^= а3+ Ь3(a-b) (a2 + ab + b2) = а3- Ь3
ДГЕБМ
УЧЕБНИК
ДЛЯ 6 КЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Под редакцией С. А. ТЕЛЯКОВСКОГО
Ут“р*@ем Министерством, просвещения СССР
ИЗДАНИЕ ВОСЬМОЕ, nmFABOTAHHOI
фед^ня шкошв
ВКБЛИОТШСА
МОСКВА «ПРОСШЗЦЕНИЕ，1985
ББК 22.14я72 А45
Ю. Н. МАКАРЫЧЕВ, Н. Г. МИН ДЮК, К. С. МУРАВИН, К. И. ПЕШКОВ, С. Б. СУВОРОВА
Настоящий учебник является переработанным вариантом учебника авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. С. Муравина.
Переработку осуществили Ю. Н. Макарычев» Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова.
А 4306020400-227_0
103 (03) — 85
© Издательства «Просвещение», 1985 г.
ГЛАВА
ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ВЫРАЖЕНИЯ
ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Решим задачу: «Туристы в течение двух часов ехали на велосипедах по шоссе со скоростью 16 км/ч, а затем шли лесом еще 7 км. Какова длина всего маршрута?»
По шоссе туристы проехали 16 • 2 км, а лесом прошли 7 км. Поэтому длина всего маршрута равна (16・2十7) км, т. е. 39 км.
Решая задачу, мы получили числовое выражение 16・2十7・ Числовые выражения составляются из чисел с помощью знаков действий и скобок. Приведем еще примеры числовых выражений:
43:5;9,6 - 3 • 1,2;5 • (7,4 - 6,1).
Если в числовом выражении выполнить указанные действия, соблюдая принятый порядок действий, то получится число, которое называют значением выражения.
Найдем, например, значение выражения 96-2・6?. Для этого сначала выполним возведение в степень, затем умножение и, наконец, вычитание:
62 = 36;2) 2-36 = 72;3) 96-72 = 24.
Число 24 — значение выражения 96-2-62.
Сложение, вычитание и умножение можно производить над любыми числами. Делить можно на всякое число, которое не равно нулю. Если в выражении встречается деление на нуль, то говорят, что это выражение не имеет смысла. Например, не имеет смысла выражение 35: (4-2 —8), так как 4 • 2 — 8 = О, а на нуль делить нельзя.
Найдите значение выражения:
6,965 + 23,3;76,73 + 3,27;50,4 — 6,98;88 — 9,804;6,965 + 23,3;76,73 + 3,27;50,4 — 6,98;88 — 9,804;Д) 6,5-1,22;е) 0,48-2,5;ж) 3,725 • 3,2;з) 0,016-0,25;Д) 6,5-1,22;е) 0,48-2,5;ж) 3,725 • 3,2;з) 0,016-0,25;и) 53,4:15;к) 16,94:2,8;л) 75:1,25;м) 123,12:30,4.и) 53,4:15;к) 16,94:2,8;л) 75:1,25;м) 123,12:30,4.
6,965 + 23,3;
76,73 + 3,27;
50,4 — 6,98;
88 — 9,804;
6,965 + 23,3;
76,73 + 3,27;
50,4 — 6,98;
88 — 9,804;
Д) 6,5-1,22;
е) 0,48-2,5;
ж) 3,725 • 3,2;
з) 0,016-0,25;
Д) 6,5-1,22;
е) 0,48-2,5;
ж) 3,725 • 3,2;
з) 0,016-0,25;
и) 53,4:15;
к) 16,94:2,8;
л) 75:1,25;
м) 123,12:30,4.
и) 53,4:15;
к) 16,94:2,8;
л) 75:1,25;
м) 123,12:30,4.
Выполните действия:
481,92:12 — 20,16;в) 1,08 • 30,5 —9,72:2,4;
6,05 • (53,8+ 50,2);г) 44,69 + 0,5 • 25,5:3,75.
Найдите значение выражения: г
155,5-5,5• 20,7; в) 3,6:0,08 +5,2• 2,5;
85,68:(4,138 + 2,162);г) (9,885 — 0,365): 1,7 + 4,4.
4. Выполните действия:
а)
б)
3 . 6、
Т+Т;д)
—+ —;е)
6 丁 4 ''
1等+条；
5 — 3今；
и)
к)
1A告；
2+年
в)
7 5、
可—t，Ж）
9 8 '
л)
б"。；
г)
元一元，3)
5. Вычислите:
5.9. 可.元，
М）
32•丄
3 • 6 •
а)
6-|—8;
Г)等:《);
ж) -у- •(—49);
б)
7等+峙；
Д）今（一6）；
3）_16:（一等）；
в)
5工6—;
34 '
е) 3等.3;
и -з》（一好）.
Выполните действия:
а)8^+б|~3为в) 2f.^:2±;
12Т-5Т+7Т :г) 1*:2靑・26.
7・ Найдите значение выражения:
a) 3等•专+ 6等:2;в) 2普一1*1土+1乎1十;
6)等一姦，传+1春)； г) 5等：(3-1*2告)+善.
8・ Выполните действия:
а)а)3亲+1普』2专;3亲+1普』2专;
а)
а)
3亲+1普』2专;
3亲+1普』2专;
Найдите значение выражения:
252;в) 3,52;д)(十)；ж)(】* У；
123;г) 0,23;е)信)4;з)(2告)：
Имеет ли смысл выражение:
a) 6,3:(2,5・9-22,5);6) (15 — 2,5，6)：4,2?
Составьте какое-нибудь выражение, содержащее два знака действия, значение которого равно: а) 12; б) 0.
Используя три раза цифру 2, составьте выражение, значение которого равно: а) 6; б) 8; в) 3; г) 1.
Составьте числовое выражение для решения задачи: «Из двух населенных пунктов, расстояние между которыми 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Какое расстояние будет между ними через 3 ч после выхода, если известно, что скорость одного пешехода 4 км/ч» а другого 5 км/ч?»
Решите задачу, составив выражение: «Один рабочий изготовляет за час 7 деталей, а другой 9 деталей. Сколько деталей они изготовят за 4 ч?»
Используя термины «сумма», «разность», «произведение» и <частное», прочитайте выражение:
а) 8,5-7,3;г) 5,6 4-0,9;ж) 2,5-(3,2 +1,8);
б) 4,7-12,3;д) 2-9,5 + 14;з) 6,1-(8,4：4).
в) 65:1,3;е) (10-2,7):5;
Запишите в виде выражения:
а) сумму чисел 28 и 15; в) разность чисел 3 и 8,7; б) произведение чисел 6 и 3; г) частное чисел 0,8 и 0,4.
Упражнения для повторения
Найдите 1% числа 240. Найдите 5%, 85%, 150% того же числа.
Найдите: а) 3% числа 500; б) 40% числа 15.
За несколько книг уплатили 5,2 р. Стоимость одной из книг составила 30%, а другой 45% израсходованных денег. На сколько копеек первая книга дешевле второй?
Площадь участка поля 80 га. Первый тракторист вспахал 40% этого участка, а второй 60% оставшейся части. Кто из них вспахал больше и на сколько гектаров?
На весь рейс шоферу отпустили 150 л бензина. Сколько литров бензина шофер израсходовал за рейс, если 12% его он сэкономил в пути?
ВЫРАЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ
Двигаясь со скоростью 60 км/ч, автомобиль за 2 ч пройдет 60* 2 км, за 3 ч — 60-3 км, за 5 ч — 60 • 5 км. Вообще, за t q он пройдет 60t км. Выражение 60力 позволяет находить путь, пройденный автомобилем за разные промежутки времени 九 Букву £ в выражении 60 力 называют переменной, а само выражение 60 力一выражением с переменной.
Приведем еще пример. Пусть длины сторон прямоугольника равны а см и & см. Тогда его площадь равна ab см2. Выражение ab содержит две переменные а и &. Оно показывает, как находить площадь прямоугольника при различных значениях а и 6. Например,
если а = 8 и Ь = 11, то ab = 8・ll = 88;
если а = 25 и Ь = 4, то ab = 25・4 = 100・
Если в выражение с переменными подставить вместо каждой переменной ее значение, то получится числовое выражение. Выполнив указанные в нем действия, получим число. Это число называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных. Так, число 88 есть значение выражения ab при а = 8 и Ь = 11, число 100 есть значение этого выражения при а = 25 и Ь = 4.
Рассмотрим выражение х (х + 1). Для любого х можно вычислить соответствующее ему значение этого выражения. В таких случаях говорят, что выражение имеет смысл при всех значениях переменной.
Некоторые выражения имеют смысл не при всех значениях переменных. Так, дробь ^^* при Ь = 3 не имеет смысла. В этом случае Ь —3 = 0, а на нуль делить нельзя. При всех остальных значениях Ь это выражение имеет смысл.
6
Найдите значение выражения:
9х(х —8)+13 при х = 3;в)论+ 等(论^-) при 左=2;
(р + 0,6)(р —0,6) при р= 1,4; г) 5,5 —(4m+ 1) при т=-^.
Заполните таблицу, вычислив значения выражений
Зх —1 и —Зх + 1 для указанных значений х:
X
-2
-1
0
1
2
4
б
Зх — 1
—Зх + 1
Найдите значения выражений 10 —2г/ и 10 + 2у и запишите их в соответствующие клетки таблицы:
У
-3
-1
0
2
3
4
6
10 - 2y
10 + 2y
Значения переменной х равны 5, 3, 0, —Зи 10. Найдите соответствующие значения выражений (2х — 5) х и 2х —(х + 5).
Какие значения принимают сумма % + у и произведение ху при следующих значениях переменных:
х = 1»2,у = —2,5;в) х = 0,1,у = 0,2;
х——0,8, у = 3;г) х =—1,4, у =—1,6?
Найдите значение выражения 5m ——3〃, если:
а) т=—|-, п = -~-; б) m = 0,2, 几=—1,4.
Вычислите значение выражения }х —у, если:
а)攵=2,4, у = 0,8;в) х = 4,8, у == —2,1;
х=—3,6, у = 5;г) х =—4,4, у=—3.
29. Заполните таблицу значений выражения а — 2b:
а
5
-2
4
1
6
b
-3
3
0
-1
4
а — 2b
При некоторых значениях х 理 у значение выражения х —у равно 0,7. Какое значение принимает при тех же х и г/ выражение:
а У-%；6)臨？
Вычислите значение выражения:
(2m + 6)а при т=- 2-у, " = 3;
х — 2ху при х = 5, у= —1;
ах — Зу при а = 10, %= —5, у =^-;
ах + Ь% + с при。=十，х = 2, Ь=—3, с = 5,8.
В классе 35 учеников. Каждый из них получил бесплатно учебники по математике стоимостью 0,55 р. и остальные учебники общей стоимостью 〃 р. Сколько денег было израсходовано, чтобы обеспечить этот класс учебниками?
Опытное поле разбили на два участка. Площадь первого участка а га, а второго b га. С каждого гектара первого участка собрали 32 ц пшеницы, а с каждого гектара второго участка 40 ц. Сколько пшеницы собрали с обоих участков? Вычислите при а = 120 га и Ь = 80 га.
На стройке работало 5 бригад, по а человек в каждой, и 3 бригады, по b человек в каждой. Сколько человек работало на стройке? Вычислите при а = 25 и Ь = 32.
Составьте выражения для вычисления площади каждой фигуры, изображенной на рисунке 1.
Рис. 2Рис. 2Ребро куба равно а м. От этого куба отрезали прямоугольный параллелепипед, высота которого равна й м (рис. 2). Найдите объем оставшейся части.
Рис. 2
Рис. 2
Рис. 1
Прочитайте, пользуясь терминами «сумма* «разность», «произведение» и «частное», выражения:
mx;г) (q + 5)x;氷)£-十以
〃一а;д)т —8а;з) ab + bc;
10 + 儿；е) 2x4-1;и) (а —b)(@ +b)・
Запишите в виде выражения:
сумму чисел 6 нс;разность чисел а и т;квадрат числа х;куб числа у;сумму числа х и произве- дения чисел а и Ь;При каких значениях ражение:a) 5y+ 2; 6)阜；в) ^7；сумму чисел 6 нс;разность чисел а и т;квадрат числа х;куб числа у;сумму числа х и произве- дения чисел а и Ь;При каких значениях ражение:a) 5y+ 2; 6)阜；в) ^7；разность числа т и частного чисел X и у;произведение суммы чисел а и & и числа с;произведение числа а и суммы чисел хну.переменной имеет смысл вы-y； n)昂；8 岛？3 十а1U— оразность числа т и частного чисел X и у;произведение суммы чисел а и & и числа с;произведение числа а и суммы чисел хну.переменной имеет смысл вы-y； n)昂；8 岛？3 十а1U— о
сумму чисел 6 нс;
разность чисел а и т;
квадрат числа х;
куб числа у;
сумму числа х и произве- дения чисел а и Ь;
При каких значениях ражение:
a) 5y+ 2; 6)阜；в) ^7；
сумму чисел 6 нс;
разность чисел а и т;
квадрат числа х;
куб числа у;
сумму числа х и произве- дения чисел а и Ь;
При каких значениях ражение:
a) 5y+ 2; 6)阜；в) ^7；
разность числа т и частного чисел X и у;
произведение суммы чисел а и & и числа с;
произведение числа а и суммы чисел хну.
переменной имеет смысл вы-
y； n)昂；8 岛？
3 十а1U— о
разность числа т и частного чисел X и у;
произведение суммы чисел а и & и числа с;
произведение числа а и суммы чисел хну.
переменной имеет смысл вы-
y； n)昂；8 岛？
3 十а1U— о
Упражнения для повторения
Найдите число, если известно, что 3% этого числа равны 1,8・
После снижения цен на 30% стоимость часов стала равной 21 р. Сколько стоили часы до снижения цен?
Перевыполнив план на 15%, завод выпустил за месяц 230 станков. Сколько станков должен был выпустить за месяц завод по плану?
ФОРМУЛЫ
Для решения многих задач в общем виде составляют формулы, выражающие зависимости между переменными. Приведем примеры.
Пример 1. Пусть сторона квадрата равна а см. Тогда его площадь равна а2 см2. Обозначив площадь квадрата (в квадратных сантиметрах) буквой S, получим формулу
S = а'・
Пример 2. Всякое четное число т равно некоторому целому числу 〃，умноженн、му на 2:
т = 2〃・
При этом для каждого целдго числа л число т, полученное по формуле т = 2л, является четным. Эту формулу называют формулой четного числа.
Пример 3. Если тело движется с одной и той же скоростью и м/с, то за t с оно пройдет vt м・ Обозначив пройден* ный телом путь (в метрах) буквой s, получим формулу, выражающую зависимость между путем, скоростью и временем движения:
s = vt.
Обычно по смыслу задачи бывает ясно, какие значения могут принимать переменные в формулах. Например, в формуле площади квадрата S = a? переменная а может принимать любое положительное значение, но не может равняться нулю или принимать отрицательные значения. В формуле четного числа т = 2п переменная п может принимать любые целые значения и не может принимать дробные значения.
Составьте формулу для вычисления периметра прямоугольника. Найдите по этой формуле периметр прямоугольника, стороны которого равны: а) 4,2 м и 3,5 м; б) 60 дм и 8 дм; в) 8,6 см и 1,2 см; г) 0,5 дм и 66 см.
Сформулируйте правило для нахождения периметра квадрата и запишите его в виде формулы. Найдите с помощью этой формулы периметр квадрата* если его сторона равна: а) 7,5 см; б) 2」дм; в) 0,7 м; г) 3,2 км.
i 45. Число а составляет р % числа Ь. Выразите в через р и Ь. Составьте задачу, которую можно решить с помощью полученной формулы, и решите ее.
Длину в дюймах можно выразить в сантиметрах по формуле у = 2,54%, где х — число дюймов, а у — соответствующее число сантиметров. Сколько сантиметров в одном дюйме? Составьте таблицу значений у для % = 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40.
Масса 1 см3 вещества равна р г. Составьте формулу для вычисления массы пг вещества в граммах, если его объем равен V см3. Найдите по формуле массу: а) 240 см3 пробки, для которой р = 0,18; б) 120 см3 серебра, для которого р = 10,5.
Двигаясь со скоростью и км/ч, автомобиль пройдет s км за £ ч. Составьте формулу для вычисления скорости автомобиля. Пользуясь этой формулой, найдите и, если:
a) s = 270,力=2; б) £ = 240, ^ = 3;， в) s = 315, t = 3,5.
ю
Составьте формулу числа:
а) кратного 3; б) кратного 5; в) кратного 10.
Напишите формулу числа, кратного 7. Найдите по этой формуле два трехзначных числа, кратных 7.
Составьте формулу нечетного числа.
Упражнения для повторения
Сколько процентов составляет число 8 от числа 200?
В цехе работало 90 рабочих. В результате механизации ручного труда в цехе ту же работу стали выполнять 54 человека. На сколько процентов сократилось число рабочих в цехе?
Найдите значение выражения:
37,6-5,84 + 3,95-8,9;в) 17,1-3,8：4,5 0,5；
81-45,34 + 19,6 + 21,75;г) 81,9:4,5:0,28-1,2.
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИИ
свойства действий над числами
Напомним основные свойства сложения и умножения чисел.
Переместительное свойство: для любых чисел а и Ь еермы равенства
<i + b=b+a, ab — Ьа.
Сочетательное свойство: для любых чисел а, b и с верны равенства
(л4-Ь)+с=а+(Ь + с), (аЬ)с = а (Ьс).
Распределительное свойство: для любых чисел а, Ь и с верно равенство
а (Ь+с)=аЬ+ае.
Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует, что в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.
Например, в сумме a + b + c + d, где а9 b9cnd — произвола ные числа, можно объединить первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:
a + b + <?+d = (a 十 d)+(b + c)・
Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует, что в любом произведении можно как угодно
переставлять множители и произвол ъным образом объединять их в группы.
Например, в произведении abed, где а, Ь, с и d — произвольные числа, можно объединить первый множитель с третьим, а второй с четвертым:
abcd = (ac)-(bd).
Распределительное свойство распространяется на случай, когда число умножается на сумму трех и более слагаемых. Например, , f,
а (b + с + d) = ab ас ad
для любых чисел а,瓦 с м d.
Мы знаем, что вычитание можно заменить прибавлением числа, противоположного вычитаемому: a — b = a ^( — b). Это позволяет числовое выражение вида a — b считать суммой чисел а и ——Ь, числовое выражение вида a + b ——с —d считать суммой чисел а, Ь,——с и ——d и т. п.
Для таких сумм также справедливы рассмотренные свойства действий. Например, применив к выражению a (b-c-{-d) распределительное свойства умножения с учетом правила знаков, получим:
a (b — c + d) = ab — ac-{-ad.
Использование свойств действий иногда позволяет упрощать вычисления. Приведем примеры.
Пример 1. Найдем значение выражения 3,27 — 6,5 — -2,5 + 1,73.
Это выражение является суммой чисел 3,27, —6,5, —2,5 и 1,73. Имеем:3,27 - 6,5 - 2,5 +1,73 = (3,27 +1,73) +
+ (— 6,5 — 2,5) = 5 — 9 = — 4.
Пример 2. Найдем значение произведения 1,25-4,3-8.
1,25 • 4,3 • 8 = (1,25 • 8) • 4,3 = 10 • 4,3 = 43・
Пример 3. Найдем значение выражения 5告• 17.
5 今 17 =(5+备).17 = 5.17+今17 = 85 + 2 = 87.
Какие свойства действий позволяют, не выполняя вычислений, утверждать, что верно равенство:
а) 247 + 35 = 35 + 247; в) 14 + (16 + 97) = (14 + 16) + 97; б) 84-19=19.84;г) 25・(4 + 7) = 25・4+25・7?
Вычислите наиболее рациональным способом:
3,17 + 10,2 + 0,83 + 9,8;в) 15,21 — 3,9 — 4,7 + 6,79;
4,11 + 15,5 + 0,89 + 4,4;г) -4,17 + 3,8-5,83-3,3.
57・ Найдите значение выражения:
8,91 + 25,7 + 1,09;в) 7,15-9,42 + 12,85-0,58;
6,64 + 7,12 + 2,88;г) 18,9-6,8-5,2-4,1.
Выполните действие и объясните, какие свойства сложения были при этом использованы:
а) 5*+13"^;б) 19-у-{-10-|-.
Найдите значение выражения:
а)5^- - 2寺+1}-4导;а)5^- - 2寺+1}-4导;
а)5^- - 2寺+1}-4导;
а)5^- - 2寺+1}-4导;
Вычислите наиболее рациональным способом:
а) 50-1,34.0,2;в) 25•(-15,8)・4;
б) -75,7• 0,5• 20;г) 0,47.0,4-25.
Используя распределительное свойство умножения, выполните действие:
3专.5;6) 7.2今 b) 2今10; D 6.4方
Найдите значение выражения:
а 3,5 • 6,8 +3,5 • 3,2;б) 12,4 • 14,3-12,4 • 4,3.
Вычислите:
а) 15,7 • 3,09 +15,7 • 2,91;б) 4,03 • 27,9 -17,9 • 4,03.
Докажите, что:
сумма 24-17 + 17-6 делится на 5;
сумма 34・85 + 34・36 делится на 11.
Упражнения для повторения
Для детского сада купили а наборов карандашей и b альбомов для рисования. Набор карандашей стоит 25 к., а альбом на 10 к. дешевле. Какова стоимость покупки?
Автомобиль двигался t ч со скоростью 60 км/ч и р ч со скоростью 50 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля?
13
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИИ
Рассмотрим выражения х(у + 7) и %у + 7х. Вычислим их значения при х = 9 и у= —2:
к (У+ 7) = 9•( —2+ 7) = 45,
М + 7х = 9・(一 2) + 7・9 = 45.
Мы видим, что при х = 9 и у=—2 соответственные значения выражений х(у + 7) и ху + 7х равны. Из распределительного и переместительного свойств умножения следует, что соответственные значения этих выражений равны при любых значениях переменных. О таких выражениях говорят, что они тождественно равны.
Определение. Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.
При решении уравнений, вычислении значений выражений и в ряде других случаев одни выражения заменяют другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
Мы уже встречались с тождественными преобразованиями выражений. К ним относятся, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок.-
Пример 1. Приведем подобные слагаемые в сумме 5х + 2х — Зх.
Чтобы привести подобные слагаемые^, надо, как известно, сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.
Имеем:
5х + 2х —Зх = (5 + 2 —3)х = 4х・
Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения.
Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2а + (Ь —Зс卜 Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс»: если перед скобками стоит знак «плюс*, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Получим:
2а + (Ь — Зс) = 2。+ b — Зс.
Проведенное преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.
Пример 3. Раскроем скобки в выражении а —(4Ь —с).
Применим правило раскрытия скобок* перед которыми стоит знак «минус»: если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Получим:
а — (46 — с) = а — 4b + с.
Выполненное преобразование также основано на свойствах действий над числами. Действительно, представим данное выражение в виде суммы:
а — (4& — с)=а + ( —1)-(4& — с).
Применим распределительное и сочетательное свойства умножения:
。+( — l)・(4b —с)=а + ( —4b + c) = a —4b + c・
Являются ли выражения тождественно равными:
2с-3 и 6с;г) (х — х)а и 0;
7+(а + Ь) и (7 +。)+匕；д) х — у и у —х;
—2а + 2а и 0;е) (х — у)2 и (у — х)2?
Являются ли выражения тождественно равными:
а; 2х + 3у и Зу + 2х;в) (。+匕)・0 и а + &;
2х + 14 и 2(х + 7);г) (а + &).1 и а + Ь?
Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное свойства умножения:
а； —6,2а-5;в) 0,Зх・(一12у);
б) 4с.(-1,25);г) -0,1 &.(-2,3с).
Упростите выражение:
а) 1,6-( —0,2п);б) — 6,4а・(一 5с)・
Преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:
7 (х - y);в) -23，(20一зЬ-|-1);
(a —4b丿・3;г) 1,5• (— Зх + 4у — 5з).
а) 1,2・(5р。)；б) (тп —4x)-( —6);а) 1,2・(5р。)；б) (тп —4x)-( —6);Замените выражение тождественно равным, используя распределительное свойство умножения:
а) 1,2・(5р。)；
б) (тп —4x)-( —6);
а) 1,2・(5р。)；
б) (тп —4x)-( —6);
в) 2,5・(4х-6у-2);
г) — 0,1(100а + 10Ь —с).
Среди выражений 2 (Ь —а), —2 (а —Ь), — 2а — 2仇 —2а +2b найдите те, которые тождественно равны выражению 2b — 2q.
44・ Приведите подобные слагаемые:
5。+ 27。一а;в) 6х —14 — 13х + 26;
12b —17b-b;г) -8 — у + 17 —10у・
Выполните приведение подобных слагаемых:
13。+2b — 2。一b;в) —5,1q — 4Ь — 4,9。+匕;
41х —58х + 6у — у;г) 7,5х + у — 8,5х — 3,5г/.
76・ Приведите подобные слагаемые:
8х—6у + 7х —2у;в) 3,5b —2,4с —0,6с —0,7b;
27p+14q — 16р —3q;г) 1,6а+ 4% — 2,8а — 7,5%.
Раскройте скобки:
x + (b + c + d — m);в) х + у — (Ь + с — т);
а —(Ь —с —d);г) х + (а — b)—(c + d).
Запишите без скобок выражение:
/п + (а —论一Ь);в)工 +。+ (加一2);
m—(a —fe —&);г) а —(Ь —с) + (加+ 〃)•
Раскройте скобки:
(к 一У)一加；в)-(加一〃+5);
(g -f- Ь) — (с — d);г) —•(2q — b) + (加一1).
Запишите без скобок выражение:
a) Q + 3 —(с —d));б) х —(у —(р +也))・
Упростите выражение:
5 —(а — 3);в) 64 — (14 + 7%);
7 + (12 —2Ь);г) 38 + (12р—8).
Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: а) х + (2х + 0»5);в) 4а —(а+ 6);
б) Зх — (х — 2);г) 6Ь + (10 — 4,5b).
Упростите выражение:
(х-1)+(12-7,5х);г) b-(4-2b) + (3b-l);
(2р+1,9)—(7—р);д) у—(у + 4) + (у —4)；
(3 — 0,4@)—(10 — 0,8а);е) 4х — (1—2%) + (2х — 7).
Упростите выражение и найдите его значение:
(5х—1)—(2 —8х) при х = 0,75;
(6 —2х)+(15 —Зх) при х = — 0,2;
12 + 7х—-(1 —Зх) при х= —1,7;
37-(х-16) + (11х-53) при х=-0,03.
Докажите, что при любом а значение выражения 3(。+ 2)—За равно 6.
8в・ Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
3(6~5х)+17х-10; г) 2 (7,3-1,6а)+ 3,2。一9,6;
8(Зу + 4)-29у*14; д) -5 (0,36 +1,7) +12,5-8,5Ь;
7(2z —3，+6z —12;е) — 4 (3,3 — 8с)+4,8с + 5,2.
Упростите выражение и найдите его значение:
0,6(р—3)+「+2 при р=0,5;
4 (0,5g — 6) — 14g 4- 21 при g=-|-;
—0,5 (За+4) + 1,9@—1 при а=—|»;
10(0,7-3b)+14b + 13 при Ь=—16・
88・ Упростите выражение:
3(2加+ 1)+4т-7; . г) 0,2(За-1)+0,3-0,6а;
~6(Зп + 1)+12п + 9;д) 0,9 (2Ь-1)-0,5Ь + 1；
5(0,6-1,5р) + 8-3,5р;е) -2,6 (5-с)-с + 8・
Упражнеиия для повторения
Вычислите:
a)年.2,4+-|-0,15;6) 2,08:等一0,15.春
Найдите значение выражения:
5%у —#2 при х= —2, у = 1,6;
а2 —ЗаЬ при а=—р Ь=-|-.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ
Если в выражении 5(Ь —с) —Зс раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые* то получится тождественно рав* ное ему выражение 5b — 8с・
Равенство
5 (Ь — с)—Зс = 5b — 8c
верно при любых значениях переменных. Такие равенства называют тождествами.
Тождеством называют равенство, верное при любых значениях переменных.
Тождествами считают и верные числовые равенства.
Приведем примеры тождеств:
a+b = b+% а (Ьс)=(а&) с, а*1=а,@+(—а)=0,
а( — b)=—ab,(—а) (— b)=Qb・
Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.
Докажем, например, тождество
7(2 + b)-(14-b) = 8b・(1)
Преобразуем левую часть равенства (1):
7(2 + Ь) —(14 —6)=14 + 76 —14 +Ь = 8Ь.
В результате тождественных преобразований мы получили правую часть равенства (1). Значит, это равенство есть тож** дество.
Для доказательства тождества иногда преобразуют каждую его часть.
Докажем, например, тождество
d (с —a) + ab = a(b —d) + cd・(2)
Выполним преобразования:
d (с — a)-{-ab = cd — ad + a 瓦a(b — d) + cd=ab — ad + cd = cd — ad + ab.
Левая и правая части равенства (2) тождественно равны одному и тому же выражению. Поэтому они тождественно равны между собой. Значит,, равенство (2) — тождество.
Не ^всякое равенство есть тождество. Так, равенство х + 2 = 2х не является тождеством. Действительно, если бы это равенство было тождеством, то оно было бы верным при всех значениях х. Однако, например, при х = 1 это равенство не является верным. Значит, оно не является тождеством.
Является ли тождеством равенство:
6(х—у)=?вх—бу;в) 3q—4=(2q —4)+а;
25 (а—а)=25;г) а・ 5b = 5аЬ?
Докажите, что равенство а2 = 2а не является тождеством.
93・ Является ли тождеством равенство:
а)х+4=(3+х)4-1;Докажите тождество:7х-42 = 7(х-6);8 (2тп-1)=2 (3m-1,5);2 (29ба+10»= 5(46+а);а)х+4=(3+х)4-1;Докажите тождество:7х-42 = 7(х-6);8 (2тп-1)=2 (3m-1,5);2 (29ба+10»= 5(46+а);б) 5у-35 = 5(у-7)?7(26-3) + 18 = 146-3;12х-1 = 4(15 + Зх)-61;За=66-|-3 (а — 26).б) 5у-35 = 5(у-7)?7(26-3) + 18 = 146-3;12х-1 = 4(15 + Зх)-61;За=66-|-3 (а — 26).
а)х+4=(3+х)4-1;
Докажите тождество:
7х-42 = 7(х-6);
8 (2тп-1)=2 (3m-1,5);
2 (29ба+10»= 5(46+а);
а)х+4=(3+х)4-1;
Докажите тождество:
7х-42 = 7(х-6);
8 (2тп-1)=2 (3m-1,5);
2 (29ба+10»= 5(46+а);
б) 5у-35 = 5(у-7)?
7(26-3) + 18 = 146-3;
12х-1 = 4(15 + Зх)-61;
За=66-|-3 (а — 26).
б) 5у-35 = 5(у-7)?
7(26-3) + 18 = 146-3;
12х-1 = 4(15 + Зх)-61;
За=66-|-3 (а — 26).
Докажите, что равенство является тождеством:
а) 5р—45=5(р—9);в) 11 (2 —3q)+6q = 22 —27q;
=8(3-*) = 8%—24;г) 8(2# + 5)+7 = 47 + 16н・
Докажите тождество:
х (у—2)—3у = у (х — 3) — 2х;
2а(& —5)+Ь = Ь(2а + 1)-10а.
Составьте два выражения для вычисления площади фигуры, изображенной на рисунке 3. Докажите, что полученные выражения тождественно равны.
98・ Докажите, что выражения 4р (1 — ?)+ 5^ и q(5 —4р)+4р тождественно равны.
$ 3. УРАВНЕНИЯ С ОДНОВ ПЕРЕМЕННОЙ
УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ
Решим задачу: «На двух полкахХО книг, причем на верхней полке в 8 раза больше книг* чем на нижней. Сколько книг на нижней полке?»
Обозначим буквой н число книг на нижней полке. Тогда число книг на верхней полке равно Зх. По условию задачи на обеих полках находится 40 книг. Это условие можно записать в виде равенства:
3%+%=40・
Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют/Зфав- нениями. Переменную в уравнении называют также неизвестным числом или просто неизвестным.
Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение Зх+х=40 получается верное равенство. Такое число называют решеиием уравнения или корнем уравнеиия. Равенство Зх + х=40 верно при х=10. Число 10 — корень уравнения 3% + %=40・
Определение. Корнем уравнеиия называется значеиие переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Уравнение Зх + х = 40 имеет один корень. Можно привести примеры уравнений, которые имеют два9 три и более корней или вообще не имеют корней.
Так, уравнение (х—4) (х —5) (х—6)=0 имеет три корня: 4, 5 и 6・ Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (х—4) (х—б) (х—6), а зна< чит, и само произведение. При любом другом значении х ни один из множителей в нуль не обращается, а значит, не обращается в нуль и произведение. Уравнение % + 2 = # не имеет корней, так как при любом значении х левая часть ур<9|нения на 2 больше правой части.
Решить уравнение — значит найти все его корви нли дока・ зать, что их нет.
Уравнение х2 = 4 имеет два корня — числа 2 и —2. Урав> нение (% —2) (%+ 2) = 0 также имеет корни 2 и —2. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют раввосильиыми уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.
Уравнения обладают следующими свойствами:
если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному;
если обе части уравнения умножить или разделить mq одно и то же отличное от нуля число, то получился уравнение, раеносильное данному.
Рассмотрим уравнение х2 —2 = 7. Прибавив к левой и правой частям этого уравнения число 2, получим уравнение х2 = 9. Докажем* что уравнения х2 — 2 = 7 и х2=9 равносильны.
Пусть некоторое значение х является корнем первого уравнения, т. е. при этом значении* х уравнение х2—2 = 7 обращается в верное равенство. Прибавив к обеим частям этого равенства чвсло 2, мы снова получим верное равенство. Значит, при этом значении х второе уравнение также обращается в верное равенство. Мы доказали, что каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения.
Допустим теперь, что некоторое значение х является корнем второго уравнения х2=9, т. е. обращает его в верное равенство. После вычитания из обеих частей этого равенства числа 2 мы получим верное равенство. Значит, при этом значении х первое уравнение также обращается в в^ное равенство. Поэтому каждый корень второго уравнения является корнем первого.
Таким образом, уравнения х2 — 2 = 7 и х2 = 9 имеют одни и те же коран, т. е. являются равносильными.
Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств уравнений в общем случае.
Можво также доказать, что {если в уравнении перенести слагаемое иа одной части в другую, изменив ео так, то получится уравнение, равносильное данному. Например, перенеся в уравнении 5% = 2%+ 9 слагаемое 2% с противоположным знаком из правой части уравнения в левую, получим уравнение 5х—2х=9, ему равносильное.
Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую часто применяется при решении уравнений.
Является ли число —2 корнем уравнения:
3(х4-3) = 2х4-7;в) (3-х)(3 + х) = 1;
-4y + 8 = 16 - (У+ 2);г)0— 2(0+ 4)=-6?
Является ли корнем уравнетия н? — 5х=6 число: а) 1; б) -1; в) 6; г) -6?
Докажите, что каждое из чисел 1,2 и —1,2 является корнем уравнения х2 = 1,44.
Какие из чисел —3; 0; 2 и 6 являются корнями уравнения х2—Зх —18 = 0?
Докажите, что любое число является корнем уравнения: а) 7х + 1,5 = х + 1,5 + 6х;6) 1,2 (у+5)=6} 192y.
106・ Имеет ли корни уравнение:
а) 2* + 3 = 2х + 8;б) 2у = у?
Имеет ли уравнение корни и сколько:
а) I х 1 = 1; б) I х I =0; в) [ х I = —5;г) I х I =1,3?
Равносильны ли уравнения:
7 (% —3) = 49 и % —3 = 7; в) 2х—7 = 0 и 2% = 7;
*=9 и 2х=27;г) х2=5х—6 и х2-5х + 6=0?
Упражнения для повторения
Упростите выражение:
0,4 (7х-2)-1,6 + 1,7х; в) 2,5 (4 —Зу) —у+ 2,3;
(1,2а-4)+ (40-4,8а); 一 г) (14 - 3,6Ь)-(12 +10,46).
Найдите значение выражения:
8(3 —3,5тп)—20+23/п при т— —2,5; 1,2; 40./
линейное уравнение с одной переменной
Каждое из уравнений 5х= —4, — 0,2х = 0, — %= —6,5 имеет вид ах = Ь, где а и b — уисла. В первом уравнении а = 5» Ь= —4, во втором а= —0,2, Ь = 0, в третьем а= —1, &= —6,5* Такие уравнения называют линеиными уравнениями с одной переменной.
Определение. Уравнение вида ах = Ь9 гдех — перемев- шш, а и Ь — числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Число а называется коэффициентом при переменней, а число b — свободным членом.
Рассмотрим линейное уравнение ах = Ь, в котором коэффициент а не равен нулю. Разделив обе части уравнения
на а, получим х=—. Значит, линейное уравнение ах=Ь9 в а
котором 0*0. имеет единственный корень -у.
Рассмотрим теперь линейное уравнжие ах = Ь、у которого коэффициент а равен нулю. Если а = 0 и Ь#=0, то уравнение ах = Ь не имеет корней, так как равенство 0х = &, где Ь*0, не является верным ни при каком х. Если а = 0 и 6 = 0, то любое значение х является корнем уравнения, так как равенство 0х = 0 верно при любом х.
Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.
Пример. Решим уравнение 4 (% + 7) = 3 — х.
Раскроем скобки:
4% + 28 = 3 —%.
Перенесем слагаемое —х в левую часть уравнения, а слагаемое 28 в правую^ изменив при этом их знаки:
4х + % = 3 — 28.
Приведем подобные слагаемые:
5х= — 25.
Заменяя последовательно одно уравнение другим, равносильным ему, мы получили линейное уравнение, в котором коэффициент при х отличен от нуля. Разделим обе части уравнения на этот коэффициент:
х= —5.
Число —5 является корнем уравнения 4(х + 7) = 3 —х.
Может случиться, 'что при решении уравнения мы придем к линейному уравнению вида Ох=Ь. В этом случае исходное уравнение либо не имеет корней, либо его корнем является любое число. Например, уравнение 2% +5 = 2 (%+ 6) сводится к уравнению 0* = 7, и, значит, оно не имеет корней. Уравнение 3 (% + 2) + % = 6 + 4лг сводится к уравнению 0х = 0, и9 значит, любое число является его корнем.
Найдите корень уравнения:
5х= —60; в) 7х = 9;д) —9%=—3; ж) 0,7х=0;
—10% = 8; г) 6х= — 50;е) 0,5х = 1,2;з) —1,5х = 6.
23
6 У 3 *、28e)可"=正.6 У 3 *、28e)可"=正.0,15x4-6 = 51;— 0,7工 + 2 = 65.0,15x4-6 = 51;— 0,7工 + 2 = 65.2工+ 9 = 13 х;14 y = 19 -1切；1,7— 0,3/п = 2 + 1,7/п;0,5а + 11 = 4 —За;1,2〃+ 1 = 1 — 〃；2工+ 9 = 13 х;14 y = 19 -1切；1,7— 0,3/п = 2 + 1,7/п;0,5а + 11 = 4 —За;1,2〃+ 1 = 1 — 〃；0,8х + 14 = 2-1,6х;эк) 15—р=^р —1；3) 1 亚+ 4=~|-%+1;0,8х + 14 = 2-1,6х;эк) 15—р=^р —1；3) 1 亚+ 4=~|-%+1;к) х —4х = 0;л) х= —х;м) 5y = 6у・к) х —4х = 0;л) х= —х;м) 5y = 6у・115・ Решите уравнение:115・ Решите уравнение:Зх —8 = х + 6;7a —10 = 2 — 4а;1^-1 = 3-1^2,6-0,2Ь = 4,1-0,5Ь;р--^—^~~^~y^Зх —8 = х + 6;7a —10 = 2 — 4а;1^-1 = 3-1^2,6-0,2Ь = 4,1-0,5Ь;р--^—^~~^~y^0,8 —у = 3,2 + у;冰)告工=十；2х —0,7х = 0;9y = 7у.0,8 —у = 3,2 + у;冰)告工=十；2х —0,7х = 0;9y = 7у.116. Найдите корень уравнения:116. Найдите корень уравнения:(у + 4) —(у —1) = 6у;Зр-1-(р + 3)=1;Решите уравнение:2х + 5 = 2(х + 1) + 11;5(2у-4) = 2(5у — 10);Решите уравнение:15 (% + 2)_ 30 = 12х;6(1 + 5х) = 5(1 + 6х);(у + 4) —(у —1) = 6у;Зр-1-(р + 3)=1;Решите уравнение:2х + 5 = 2(х + 1) + 11;5(2у-4) = 2(5у — 10);Решите уравнение:15 (% + 2)_ 30 = 12х;6(1 + 5х) = 5(1 + 6х);6 (и + 2) —7и = 101;20〃 = 19 —(3 + 12〃).6 (и + 2) —7и = 101;20〃 = 19 —(3 + 12〃).Зу —(у —19) = 2у;6х = 1 — (4 —6х).Зу + (у-2) = 2(2у-1);6g -(g 一1) = 4+5孙Зу —(у —19) = 2у;6х = 1 — (4 —6х).Зу + (у-2) = 2(2у-1);6g -(g 一1) = 4+5孙
6 У 3 *
、28
e)可"=正.
6 У 3 *
、28
e)可"=正.
0,15x4-6 = 51;
— 0,7工 + 2 = 65.
0,15x4-6 = 51;
— 0,7工 + 2 = 65.
2工+ 9 = 13 х;
14 y = 19 -1切；
1,7— 0,3/п = 2 + 1,7/п;
0,5а + 11 = 4 —За;
1,2〃+ 1 = 1 — 〃；
2工+ 9 = 13 х;
14 y = 19 -1切；
1,7— 0,3/п = 2 + 1,7/п;
0,5а + 11 = 4 —За;
1,2〃+ 1 = 1 — 〃；
0,8х + 14 = 2-1,6х;
эк) 15—р=^р —1；
3) 1 亚+ 4=~|-%+1;
0,8х + 14 = 2-1,6х;
эк) 15—р=^р —1；
3) 1 亚+ 4=~|-%+1;
к) х —4х = 0;
л) х= —х;
м) 5y = 6у・
к) х —4х = 0;
л) х= —х;
м) 5y = 6у・
115・ Решите уравнение:
115・ Решите уравнение:
Зх —8 = х + 6;
7a —10 = 2 — 4а;
1^-1 = 3-1^
2,6-0,2Ь = 4,1-0,5Ь;
р--^—^~~^~y^
Зх —8 = х + 6;
7a —10 = 2 — 4а;
1^-1 = 3-1^
2,6-0,2Ь = 4,1-0,5Ь;
р--^—^~~^~y^
0,8 —у = 3,2 + у;
冰)告工=十；
2х —0,7х = 0;
9y = 7у.
0,8 —у = 3,2 + у;
冰)告工=十；
2х —0,7х = 0;
9y = 7у.
116. Найдите корень уравнения:
116. Найдите корень уравнения:
(у + 4) —(у —1) = 6у;
Зр-1-(р + 3)=1;
Решите уравнение:
2х + 5 = 2(х + 1) + 11;
5(2у-4) = 2(5у — 10);
Решите уравнение:
15 (% + 2)_ 30 = 12х;
6(1 + 5х) = 5(1 + 6х);
(у + 4) —(у —1) = 6у;
Зр-1-(р + 3)=1;
Решите уравнение:
2х + 5 = 2(х + 1) + 11;
5(2у-4) = 2(5у — 10);
Решите уравнение:
15 (% + 2)_ 30 = 12х;
6(1 + 5х) = 5(1 + 6х);
6 (и + 2) —7и = 101;
20〃 = 19 —(3 + 12〃).
6 (и + 2) —7и = 101;
20〃 = 19 —(3 + 12〃).
Зу —(у —19) = 2у;
6х = 1 — (4 —6х).
Зу + (у-2) = 2(2у-1);
6g -(g 一1) = 4+5孙
Зу —(у —19) = 2у;
6х = 1 — (4 —6х).
Зу + (у-2) = 2(2у-1);
6g -(g 一1) = 4+5孙
Решите линейное уравнение:
а) -|-х = 12; в) — 4х=};
б)等!/ = 9;г) 5у= —-1»;
Найдите корень уравнения:
12х —1 = 35;в) 1,3х = 54 + х;
—% + 4 = 47;г) 7 = 6 — 0,2%;
Решите уравнение：
Найдите корень уравнения:
(13х —15) —(9 + 6х)=г —Зх;
12 —(4х —18) = (36 4-4х) + (18 — 6х);
1,6 工一(х — 2,8) = (0,2х +1,5) — 0,7;
(0,5х +1,2)一(3,6 — 4,5х) = (4,8 — 0,3x) +(10,5x + 0,6).
120・ Решите уравнение:
5% + (Зх —3) = 6х + 11;
За — (10 + 5а) = 54;
в) (х — 7)一(2% + 9)=—13;
г) 0,6 + (0,5 г/ — 1) = у + 0,5.
При каком значении переменной:
значение выражения 6а — 3 равно —39;
значения выражений 2т —13 и 加 + З равны;
значение выражения 3— 5c на 1 меньше значения выражения 1— с;
г значение выражения 2x4-1 на 20 больше значения выражения 8x4-5;
значение х в 3 раза меньше значения выражения 45 —Юх;
значение выражения 9—у в 2 раза больше значения у?
Найдите корень уравнения:
5 (Зх-{-1,2) + х = 6,8;в) 13 — 495у = 2 (3,7—0,5г/);
4(х + 3,6) = 3х —1,4;г) 5,6 —7у= -4 (2у — 0,9) + 2,4・
Решите уравнение:
0,4х + 3 = 0,2 (3力 +1) — х;в) 0,8х — (0,7х + 0,36) = 7,1;
3,4 — 0,6х = 2х — (0,4х +1);г) х — 0,5 = 2 (0,Зх — 0,2).
Найдите корень уравнения:
6(х —1) = 9,4 —1,7х;г) —3 (у+ 2,5) = 6,9 —4,2у;
3,5—9。= 2(0,5а —4);д) 3,5х —7 = 4 (8十力；
3 (6— l,lm) = 1,7m— 2; е) 4 (х — 0,8) = 3,8х — 5,8.
Решите уравнение: '
а 7 х —8,2) = 3х +19; г) 3 (2,5 — 2х) = 13,5 — 14х;
6)0,2 5х —6) + 4х = 3,8;д) 0,6г/ — 1,5 = 0,3(4/ — 4);
в) —(7у+ 0,6) = 3,6 —у;е) 0,5(4 —2а) = а—1,8.
Упражнения для повторения
Приведите подобные слагаемые:
12,5у-11 + 18,1у — 6,9у + 27;
6)14 亠 0,8у—1,4у —у;
в) 7,4а —9,6а—3,2。+0,3а;
г) 15,1m— 34,3m + 4,2m + 7,8m.
127・ Упростите выражение и найдите его значение:
а) 6,8с—(3,6с+ 2,1) при с = 2,5;
4,4 —(9,6 —1,2m，при т = — 3,5.
Вычислите:
б^ (3Т~"1Т):2Т-1Т，2,4-
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИИ
При решении задач с помощью уравнении поступают следующим образом. Обозначают некоторое неизвестное число буквой и, используя условие задачи, составляют уравнение. Затем решают это уравнение и найденное значение неизвестного истолковывают в соответствии с условием задачи.
Задача 1. В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того как из корзины переложили в ящик 10 яб- лок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине и сколько в ящике?
Решение. Пусть в корзине было % яблок, тогда в ящике было 2х яблок. После того как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в корзине стало (х—10) яблок, а в ящике (2х 4- Ю) яблок. По условию задачи в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине. Значит,
5 (х-10) = 2x4-10.
Решим составленное уравнение:
5х — 50 = 2% +10,
5х — 2х= 104-50,.
Зх = 60,х = 20.
Следовательно, в корзине было 20 яблок. Так как 2% = =2 • 20 = 40, то в ящике было 40 яблок.
Задача 2. Предназначенные Для обработки 67 деталей решили распределить между тремя рабочими так, чтобы первый получил на 5 деталей больше второго и на 7 деталей меньше третьего. Сколько деталей 山адо выделить первому рабочему?
Пусть первому рабочему следует выделить х деталей, тогда второму рабочему надо выделить х —5 Деталей, а третьему х + 7 деталей. По условию задачи рабочие должны обработать всего 67 деталей, т. е.
х + (х-5) + (х + 7) = 67・
Отсюда
х + х —5 + х + 7 = 67,
3x4-2 = 67,Зх = 65,х=21т-
По смыслу задачи неизвестное значение х не может быть дробным числом. Значит, распределить детали указанным способом нельзя.
Периметр треугольника равен 16 см. Две его стороны равны между собой и каждая из них на 2,9 см больше третьей. Каксжы стороны треугольника?
В трех цехах завода работают 1274 человека. Во втором цехе на 70 человек больше, чем в первом, а в третьем на 84 человека больше, чем во втором. Сколько человек работают в каждом цехе?
T3L На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло на ^20^г шерсти меньше» чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходо* вали на каждое изделие?-
Можно ли расположить 158 книг на трех полках так, чтобы на первой полке было на 8 книг меньше, чем на второй, и на 5 книг больше, чем на третьей?
133・ Можно ли 59 банок консервов разложить в три ящика так, чтобы в третьем было на 9 банок больше, чем в первом, а во втором на 4 банки меньше* чем в третьем?
На одном садовом участке в 5. раз больше кустов малины, чем на другом. После того как с первого участка пересадили на второй 22 куста, на обоих участках кустов ма> лины стало поровну. Сколько кустов малины было на каждом участке?
В одном резервуаре 380 м3 воды, а в другом 1500 м3. В первый резервуар каждый час поступает 80 м3 воды9 а из
второго каждый час выкачивают 60 м3. Через сколько часов воды 田 резервуарах станет поровну?
136・ Перчатки на 6 р. дешевле портфеля и на 2 р. дороже берета. Сколько стоят перчатки, если 2 портфеля стоят столько же, сколько стоят 7 беретсгв?
По шоссе идут две автомашины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая уменьшит на 10 км/ч, то первая за 2 ч пройдет столько же, сколько пройдет вторая за 3 ч. С какой скоростью идут автомашины?
138・ В первой бригаде было в 4 раза меньше людей, чем во второй. После того как из второй бригады 6 человек ушло, а 12 перевели в первую, людей в бригадах стало поровну. Скодь7 ко человек было в первой бригаде?*
На доске записано некоторое число. Один / ученик увеличил это число на 23, а другой уменьшил на 1. Результат первого оказался в 7 раз больше, чем результат второго. Какое число записано на доске?
140・ В корзине было в 2 раза меньше винограда, чем в ящике. После того как в корзину добавили 2 кг, в ней стало винограда на 0,5 кг больше, чем в ящике. Сколько винограда было в корзине?
Один арбуз на 2 кг легче, чем другой, и в 5 раз легче, чем третий. Первый и третий арбузы вместе в 3 раза тяжелее, чем второй. Найдите массу каждого арбуза.
142< Два прямоугольника имеют одну и ту же длину. Найдите эту длину, если ширина одного из них 12 м, другого z 15 м9 а площадь первого прямоугольника на 60 м2 меньше площади второго.
В двух мешках было по 50 кг сахару. После того как из одного мешка взяли в 3 раза больше сахара, чем из другого, в нем осталось в 2 раза меньше сахара, чем в другом. Сколько сахара осталось в каждом мешке?
За 9 ч по течению реки теплоход проходйт тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.
Упражнения для повторения
На координатной плоскости (рис. 4) отмечены точки А, В, С9 D9 Е и F. Найдите их координаты.-
Отметьте в координатной плоскости точки А (— 3; 4), 5 (6; 5), С (5; 0) и D (— 3; 0).
Проведите отрезки АС и BD.
Найдите координаты точки пересечения отрезков АС и BD.
Постройте отрезок MN9 зная координаты его концов: М( —1; 4) и N (2; — 2). Найдите координаты точек пересечения этого отрезка с осью х и с осью у.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
К параграфу 1
ббHi)；149. НайдитеHi)；149. Найдитев）一可：4;4r）于（一4,9）；в）一可：4;4r）于（一4,9）；д) (— 0,15)--|-;е) —Т6:(Т)・д) (— 0,15)--|-;е) —Т6:(Т)・значениезначениеа)б)а)б)42,5-10 + 25,5:17;16,8:10 + 7,4.0,8;150. Вычислите:42,5-10 + 25,5:17;16,8:10 + 7,4.0,8;150. Вычислите:выражения:в) 20,6-8 -244,8:6;г) 240,8:301 + 32-0,06.выражения:в) 20,6-8 -244,8:6;г) 240,8:301 + 32-0,06.а) 12,6 + 5(3,251—1,171);151. Вычислите:а) 12,6 + 5(3,251—1,171);151. Вычислите:б) 7,6 — 8,4:(0,27 + 0,15).б) 7,6 — 8,4:(0,27 + 0,15).бба)а)14：4++告・8;152. Найдите значение(2-4 号)收一2今 2?GY+£)14：4++告・8;152. Найдите значение(2-4 号)收一2今 2?GY+£)в) (1h2A3今)-3-| г) 14-15千：2.в) (1h2A3今)-3-| г) 14-15千：2.выражения:выражения:б)б)14：(4~+^Т)14：(4~+^Т)3A.6-5A.2A )：4|3A.6-5A.2A )：4|148^Ъычислите:
б
б
Hi)；
149. Найдите
Hi)；
149. Найдите
в）一可：4;
4
r）于（一4,9）；
в）一可：4;
4
r）于（一4,9）；
д) (— 0,15)--|-;
е) —Т6:(Т)・
д) (— 0,15)--|-;
е) —Т6:(Т)・
значение
значение
а)б)
а)б)
42,5-10 + 25,5:17;
16,8:10 + 7,4.0,8;
150. Вычислите:
42,5-10 + 25,5:17;
16,8:10 + 7,4.0,8;
150. Вычислите:
выражения:
в) 20,6-8 -244,8:6;
г) 240,8:301 + 32-0,06.
выражения:
в) 20,6-8 -244,8:6;
г) 240,8:301 + 32-0,06.
а) 12,6 + 5(3,251—1,171);
151. Вычислите:
а) 12,6 + 5(3,251—1,171);
151. Вычислите:
б) 7,6 — 8,4:(0,27 + 0,15).
б) 7,6 — 8,4:(0,27 + 0,15).
б
б
а)
а)
14：4++告・8;
152. Найдите значение
(2-4 号)收一2今 2?GY+£)
14：4++告・8;
152. Найдите значение
(2-4 号)收一2今 2?GY+£)
в) (1h2A3今)-3-| г) 14-15千：2.
в) (1h2A3今)-3-| г) 14-15千：2.
выражения:
выражения:
б)
б)
14：(4~+^Т)
14：(4~+^Т)
3A.6-5A.2A )：4|
3A.6-5A.2A )：4|
Найдите число, обратное:
сумме чисел — и —;в) произведению чисел у§ и у^ 5
разности чисел 6,2 и 5,8;г) частному чисел 4,9 и 3,5・
Найдите число, противоположное:
сумме чисел 2,86 и —4,3;
рааности чисел ——|- и 糸
произведению чисел —5,75 и 1,6；
частному чисел 46 и -7-|-.
Сравните:
а) 3,48-4,52 и -8,93+9,16;б) 6,48•专 и 6,48:糸
Имеет ли смысл выражение:
Q I•1°，7о
丿 4,18-2,09-2 *丿 1,68:4,2-2,5 0,16
Найдите значение выражения:
при т=———;при т=———;б) ^j^ ПРИ Q = 3,5・ Qб) ^j^ ПРИ Q = 3,5・ Q158.158.Найдите значение выражения 子匕孑,если:Найдите значение выражения 子匕孑,если:
при т=———;
при т=———;
б) ^j^ ПРИ Q = 3,5・ Q
б) ^j^ ПРИ Q = 3,5・ Q
158.
158.
Найдите значение выражения 子匕孑,если:
Найдите значение выражения 子匕孑,если:
х = 4, у=1,5;х= —1,片专；х = 4, у=1,5;х= —1,片专；х = 1,4, у =。；х = 1,3" у = - 2.6.х = 1,4, у =。；х = 1,3" у = - 2.6.
х = 4, у=1,5;
х= —1,片专；
х = 4, у=1,5;
х= —1,片专；
х = 1,4, у =。；
х = 1,3" у = - 2.6.
х = 1,4, у =。；
х = 1,3" у = - 2.6.
^ ^ ЧЮ- riz^ ^ ЧЮ- rizражение: а)宇；ражение: а)宇；6）占6）占В)合;В)合;Г)書?Г)書?
^ ^ ЧЮ- riz
^ ^ ЧЮ- riz
ражение: а)宇；
ражение: а)宇；
6）占
6）占
В)合;
В)合;
Г)書?
Г)書?
Запишите в виде выражения:
сумму произведения чисел а и b и числа с;
разность числа с и частного чисел а и &;
произведение разности чисел % н у и их суммы;
частное суммы чисел а и b и их разности.
При каких значениях переменной имеет смысл вы
Составьте выражение для ршненхш задачи:
Периметр прямоугольника 16 см, одна из его сторон т см. Какова площадь прямоугольника?
Площадь прямоугольника 28 м2, а одна из его сторон равна а м. Чему равен периметр прямоугольника?
Из двух городов, расстояние между которыми s км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Скорость одного из них 力 км/ч, а скорость другого и2 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Мотоциклист догоняет велосипедиста. Через какое время мотоциклист догонит велосипедиста, если сейчас между ними s км, скорость велосипедиста и】 км/ч, а скорость мотоциклиста и2 км/ч?
От прямоугольного ли
ста картона со сторонами а см и Ь см отрезали по углам квадраты со сторонами х см (рис. б). Г/ Из оставшейся части сделали открытую коробку. Запишите5
формулу для вычисления объе
ма V коробки. Вычислите по формуле объем коробки, если а=35, 6 = 25, % = 5・ Какие значения может принимать переменная х при указанных значениях а и Ь?
Скорость лодки в стоячей воде равна и км/ч. Скорость течения реки у км/ч. Составьте формулу для вычисления времени в часах, за которое лодка пройдет 8 км по течению
и такое же расстояние против течения.
Для того чтобы расстояние, измеренное в морских милях, выразить в километрах, пользуются формулой у = ],852х, где х — расстояние в милях, а у — то же расстояние в километрах. Пользуясь этой формулой, выразите в километрах следующие расстояния: 10 миль9 50 миль, 250 миль.
Составьте формулу числа:
кратного 4;в) кратного 12;
кратного 9;г) кратного 60.
16в. Запишите формулу натурального числа, которое:
а)в風中а)в風中при делении на 3 дает в остатке 1;
а)в風中
а)в風中
при делении на 3 дает в остатке 2;
при делении на 5 дает в остатке 3;
при делжии на 5 дает в остатке 4・
К параграфу 2
Запишите в виде равенства следующее свойство чисел:
при прибавлении нуля к любому числу получается то же число;*
при умножении на нуль любого числа получается нуль;
при умножении на 1 любого числа получается то же число;
при умножении на —1 любого числа получается противоположное число.
Найдите значение выражения:
8,7 - 9,6 + 3,5 • 8,7 - 8,7 • 3,1;в) 5,9 • 2,6 + 5,9 • 3,2 + 5,8 • 4,1;
7,6.6,8 -1,5 - 6,8 + 6,8-13,9;г) 6,8 • 8,4 -1,6 • 8,4 + 5^2 • 1,6.
Вычислите:
а) (1,25.1,7-0,8-1,7).3,45; б) 3,947:(3,6-2,6-4-0,25).
Являются ли тождественно равными выражений:
а) —3(@—Ь) и ЗЬ —За; б) —5(у —%) и 5y— 5х?
Объясните, почему равенство является тождеством:
I х |= I—х|;в) \ ab \ = \ а \- \ Ь \\ .
I х—у | = | у — х I;г) I 2с I =2| с |.\ '
Преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:
а) 0,8 (11х+10у~2); в) -7.(0,5m-l,2n + l);
в) (20-12a+4b)・l,5; г) (-2,2-т +，5砌・(一6)・
Докажите, что выражение тождественно равно нулю:
а) (а+Ь) х+(а—Ь) х—2ах; б) 8(%—у)+8(у—%)・
Приведите подобные слагаемые:
—3,6*—5,2 — 2,4%—9;г) 1,2# + 3,4х — 5 — 5,3%;
4,6а +1,56 — 3,26 —1,8^；д) 2,4а —0,8тп — 0,4тп —1,5m;
—6,7。+5b — 0,8а—2,5 b;e) —3,8y + 2% +8y — 4,3y・
Докажите* что:
выражение н(—1)+%(—2)+%(—3)+6% тождественно равно нулю;
выражение а(-5)+a・4 +0(一3)+0■2 тождественно равно —2а.
в) х + ( —(—у))； г) х —( —( —У))・в) х + ( —(—у))； г) х —( —( —У))・Раскройте скобки:
в) х + ( —(—у))； г) х —( —( —У))・
в) х + ( —(—у))； г) х —( —( —У))・
_(—%)+(—У)；
—( — %) — (—У)；
Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
6,9 — 5,1加 + (6加—1,2);в) 7,5у + (6 — 7,3у)—5,8;
8,4х — 4,4 — (1,6 + 10%);г) —(3,7g — 5,5) + 9q — 3,9.
Найдите значение выражения 8а ——(4匕十3。)——(4а —3b) при:а) а = 6,8, b = 7,3; б) а = — 8,9, Ь = — 9,9.
Докажите, что значение выражения не зависит от а:
а)。+ (2。一(За — 5));б) а — (ба — (5а — 8)).
Составьте разность выражений 17х —13//4-8 и 20х + 6у и упростите ее.
Докажите тождество:
а) 3%(7у —4) —6%у + 12х=15ху; б) тп—р = п (m — fj — (р —я).
К параграфу 3
Является ли корнем уравнения (2х — 3,8) (4,2 + Зх) = 0 число: а) 1,9; б) 2; в) —1,4； г) —3?
Какие из чисел —4,——3,——1, 3, 4 являются корнями уравнения: а)炉+ 4%十3 = 0; б) х2 + х = 12?
Имеет ли корни уравнение:
Зх4-7 = (9 + х)4-2х;в) х2 = х;'
5х—1 = 4 (%十2) —(9 —%);г) х + 1=х —1?
Решите уравнение:、
а) I х 丨=5; б) I у 1=3,7; в) I а |-17 = 0; г) 1,4 | b | =0.
Составьте какое-нибудь уравнение, корнем которого является число: а) 8; б) —10; в) 0.
При каких значениях коэффициента т уравнение тх = 5 имеет единственный корень? Существует ли такое значение т, при котором это уравнение не имеет корней; имеет сколько угодно корней?
При каких значениях коэффициента р уравнение рх = 10 имеет корень, равный —5; 1; 20?
Найдите корень уравнения:
3,8х — (1,6 —1,2%) = 9,6 + (3,7 — 5%);
(4,5у + 9) — (6,2-3,1у) = 7,2у + 2,8;
в) 0,6-772 — 1,4 = (3,5加 + 1,7) — (2,7m — 3,4);
3333r) (5,3a — 0,8) — (1,6 — 4,7a) = 2q — (a — 0,3).
33
33
2 Заказ 890
Решите уравнение:
0,15 (х — 4)=9,9 - 0,3 (х -1);
1,6 (а — 4) - 0,6 = 3 (0,4а - 7);
*) (0,7* — 2,1) — (0,5 一 2© = 0,9 (3% — 1) + 0 J;
г) -3(2-0,4" + 5,6 = 0,4(3什1).
При каком значении переменной:
сумма выражений 2%十7 и —力十12 равна 14;
разность выражений —5沙十1 и 3^十2 равна —9;
значеш1е выражения 5 —а на 20 больше значения выражения 6а —1;
значение выражения 7 m —3 в 2 раза меньше значения выражения 12m +1?
Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения ах = 6 является целым ч^лом.
Не решая уравнения 7 (2х +1)= 13, докажите, что его корень не является целым числом.
На ферме 1000 кроликов и кур; у них 3150 ног. Сколько кроликов и сколько кур на ферме?'
Двое рабочих изготовили за смену 86 деталей, причем первый изготовил на 15% больше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?
На первом участке на 9 кустов смородины больше, чем на втором. Если со второго участка пересадить на первый 3 куста, то на первом участке станет в 1,5 раза больше кустов смородины, чем на втором. Сколько кустов смородины на первом участке?
У Миши в четыре раза больше марок, чем у Андрея. Если Миша отдаст Андрею 8 марок, то у него станет марок вдвое больше. Сколько марок у каждого мальчика?
Чтобы сдать в срок книгу в библиотеку, ученик должен был читать ежедневно по 40 страниц, но он читал в день на 15 страниц меньше и сдал книгу на 6 дней позже срока. За сколько дней ученик должен был прочитать книгу?
Чтобы сделать воврэмя заказ, артель стеклодувов должна была изготовлять в день по 40 изделий. Однако она изготовляла ежедневно на 20 изделий больше и выполнила заказ на 3 дня раньше срока. Каков был срок выполнения заказа?
Если к задуманному числу прибавить 7, полученную сумму умножить на 3 и из произведения вычесть 47, то получится задуманное число. Какое число задумано?
ГЛАВА
II
ФУНКЦИИ
§ 4. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ И ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
10. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Рассмотрим примеры зависимости одной переменной от другой.
Длина стороны квадрата равна а см, его периметр равен р см, а площадь — S см2.
Периметр квадрата зависит от длины его стороны:
если а = 3, то р = 4・3 = 12;
если а = 6, то р = 4・6 = 24;
если а = 9, то р = 4・9 = 36 и т. д.
При увеличении стороны квадрата в несколько раз его периметр увеличивается во столько же раз. В самом деле, периметр квадрата со стороной а равен 4а. При увеличении положительного множителя а в несколько раз произведение 4а увеличивается во столько же раз.
Зависимость площади квадрата от длины его стороны иная: если а = 3, то S = 3? = 9;если а = 6, то S = 6? = 36.
Мы видим, что при увеличении стороны квадрата в 2 раза его площадь увеличилась не в 2, а в 4 раза.
Пусть переменные % и у принимают только положительные значения. ^Переменная у пропорциональна переменной х, если при увеличении значении х в несколько раз соответствующие значения у увеличиваются во столько же раз.1
Это означает, что если Xi и Хг — значения переменной х, а у； “ у2 — соответствующие им значения переменной у, то
х2 ?2 •—=—.
Xi yi
В рассмотренном примере переменная р пропорциональна переменной а, а переменная S не пропорциональна перемен-
2*2*35
2*
2*
ной а. Иначе говоря, периметр квадрата пропорционален его стороне, а площадь квадрата не пропорциональна стороне квадрата.
Приведем другие примеры пропорциональных переменных.
Путь, пройденный телом, движущимся с постоянной скоростью, пропорционален времени движения. Стоимость товара, продаваемого по одной и той же цене, пропорциональна его массе. Масса тела одной и той же плотности пропорциональ* на его объему.
Мы показали, что периметр квадрата р пропорционален его стороне а. В этом случае для каждой пары соответственных значений переменных аир отношение -~- равно одному и тому же числу 4:
Р12 2436/
—=—=—=—=…=а369
Вообще, если переменная у пропорциональна переменной х, то отношения соответственных значений х и у равны.
Пусть Xi и %2 — произвольные значения переменной х, у\ п у2 — соответствующие им значения переменной у. По определению пропорциональных переменных
#2 У2=•
Переставив крайние члены пропорции, получим
*川У2
Из доказанного свойства следует, что отношения любых соответственных значений пропорциональных переменных у и х равны одному и тому же числу. Это числЪ называют коэффициентом пропорциональности. Обозначим коэффициент пропорциональности буквой А. Тогда
При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Коэффициент пропорциональности выражает скорость движения. Стоимость товара пропорциональна его массе, коэффициент пропорциональности выражает цену товара.
Задача. Для покраски пола площадью 15 м‘ израсходовали 1,2 кг краски. Сколько краски потребуется, чтобы покрасить пол площадью 25 м2?
36
Решение. Пусть для покраски 25 м2 пола потребуется х кг краски. Так как при увеличении площади пола в несколько раз расход краски увеличивается во столько же раз, то масса краски пропорциональна площади пола. Значит,
Отсюда:
15х = 1,2-25,
1,2-25Х= 15~，
Ответ: 2 кг.
Для решения задачи можно составить другую пропорцию:
Можно также воспользоваться свойством пропорциональных переменных и записать пропорцию:
Е2=_£
УК = 25 •
Пропорциональны ли: .
стоимость крупы и ее масса; в) масса рельса и его длина;
площадь круга и его радиус; г) объем куба и его ребро?
На путь от турбазы до города турист затратил 1 ч 20 мин. За какое время он пройдет путь в 1,5 раза больший, если будет двигаться с той же скоростью?
Резервуар наполняется при помощи насоса за 2 ч 30 мин. За какое время тем же насосом можно заполнить резервуар, объем которого в 5 раз меньше?
Пропорционален ли периметр равностороннего треугольника длине его стороны? Чему равен коэффициент п ропорциональности ?
Пропорциональна ли стоимость карандашей данного вида их числу? Чему равен коэффициент пропорциональности, если известно, что 5 карандашей стоят 10 к.?
206^ За 8 ч токарь изготовил 17 деталей. Сколько часов потребуется,токарю на изготовление 85 деталей, если он будет работать с той же производительностью?
За 4,5 м ткани заплатили 18 р. Сколько стоят 27 м такой же ткани?
Из 2,5 кг свежих слив получается 750 г чернослива. Сколько чернослива получится из 12,5 кг слив?
Масса 12 см3 бронзы равна 103,2 г. Какова масса бронзовой детали, объем которой равен 25 см3?
Тонна морской воды содержит 25 кг соли. Сколько соли содержится в стакане морской воды (считайте, что в стакане 250 г морской воды)?
Чтобы наполнить бензином 5 цистерн, потребовалось 1 ч 15 мин. Успеют ли за 2 ч наполнить бензином 7 таких цистерн?
Известно, что масса 17 л керосина равна 13,6 кг. Уместится ли 12 кг керосина в бидоне, если в него входит 16 л?
Упражнения для повторения
В координатной плоскости постройте точку, у которой: а) абсцисса равна 3, а ордината противоположна абсциссе; б) абсцисса равна —2, а ордината на единицу больше;
абсцисса равна 0, а ордината на единицу меньше;
абсцисса равна 1,5, а ордината в 2 раза больше абсциссы.
Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, третье 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звенья вместе. Сколько книг собрало каждое звено?
Решите уравнение:
а) 1 — 1,7х — (0,8х + 2) = 3,4;б) 5 —0,2г/= 0,3г/ —39..
11. ДЕЛЕНИЕ НА ЧАСТИ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ДАННЫМ ЧИСЛАМ
П р и м е р. От мотка проволоки отрезали кусок длиной I см. Масса отрезанного куска равна т г. Переменная т пропорциональна переменной 厶 так как с увеличением длины куска в несколько раз его масса увеличивается во столько же раз. В таблице указаны некоторые соответственные значения 2 и т:
1152025303952657811520253039526578Отсюда:Отсюда:39526578ТК = 20 = 25 = 30 •39526578ТК = 20 = 25 = 30 •
1
15
20
25
30
39
52
65
78
1
15
20
25
30
39
52
65
78
Отсюда:
Отсюда:
39526578
ТК = 20 = 25 = 30 •
39526578
ТК = 20 = 25 = 30 •
Говорят, что числа 39, 52, 65 и 78 пропорциональны числам 15, 20, 25 и 30.
Числа у】, у?，Уз，•“ пропорциональны числам 力卜 *2，*з* •“， если
У1У2 уз
"二■' 二二—i. •
*1#2 Х3
Коэффициентдр нии/Коэффициентдр нии/опорциональностиопорциональностиравен любому из отноше-равен любому из отноше-
Коэффициентдр нии/
Коэффициентдр нии/
опорциональности
опорциональности
равен любому из отноше-
равен любому из отноше-
У\ У2 Уз
x1, 工2'*3'
Решим задачи.
Задача 1. Отрезок АВ длиной 70 см разбили на четыре части, пропорциональные числам 2, 3, 4 и 5. Найдите длины этих частей.
Решение. Пусть длины частей равны а, 6, с и d см. Так как числа а, Ь, с и d пропорциональны числам 2, 3, 4, 5» то
abed三=可=丁=T*
Обозначив коэффициент пропорциональности буквой fe, найдем, что。= 2也，b = 3k, с = 4为，d = 5左.
По условию задачи сумма длин частей равна 70 см. Поэтому:
2fe + 3ft + 4ft + 5* = 70.
Решим получившееся уравнение:
14fe = 70,
也=5.
Значит: а = 2论= 10, b = 3为= 15, с = 4^ = 20, d = 5^ = 25.
Ответ: 10, 15, 20 и 25 см.
Обычно решения подобных задач записывают короче.
Задача 2. Стороны треугольника, периметр которого 30 см, пропорциональны числам 5, 7 и 8. Найдите стороны треугольника.
Решение. Пусть коэффициент.. пропорциональности равен 为.Тогда меньшая сторона треугольника равна 5论 см, средняя 7论 см, большая — 8й см. По условию задачи:
5ft + 7fe + 8ft = 30.
Отсюда:
20也=30,fe = l,5.
Значит, 5ft = 7,5; 7k = 10,5 и 8左= 12.
Ответ: 7,5; 10；5 и 12 см.
39
Стороны одного четырехугольника равны 1,2; 1,4; 2,6 и 2,8 дм. Стороны другого четырехугольника равны 3; 3,5; 6,5 и 7 дм. Пропорциональны ли стороны этих четырехугольников?
Пропорциональны ли числа 0,6; 1; 1,4 числам 1,5; 2,5; 3,5?
Докажите, что числа 1,4; 1,8; 2,2 и 2s пропорциональны числам 3,5； 4,5; 5,5 и 6,5. Каков коэффициент пропорциональности?
Пусть даны отрезки длиной 8,5; 15 и 25 см. Найдите длины пропорциональных им отрезков, если больший из них равен 20 см.
Стороны одного треугольника равны 7, 8 и 10 см. Стороны второго треугольника пропорциональны сторонам первого, причем его средняя сторона равна 16,8 см. Найдите периметр второго треугольника.
Площади полей, засеяцных рожью, пшеницей и ячменем, пропорциональны числам 9, 5 и 3. Сколько гектаров засеяно рожью и сколько ячменем, если известно, что пшеницей засеяно 410 га?
Найдите длины сторон треугольника, если известно, что они пропорциональны числам 2, 4 и 5, а периметр треугольника равен 16,5 см.
Найдите каждый из смежных углов, если известно, что эти углы пропорциональны числам: а) 5 и 4; б) 14 и 1.
Пионерский отряд должен посадить 60 деревьев. Их распределили между тремя звеньями пропорционально числам 3, 4 и 3. Сколько деревьев должно посадить каждое звено?
Поле, площадь которого 600 га, разбито на четыре части, пропорциональные числам 2, 3, 7 и 8. Найдите площадь каждой части.
Сплав состоит из меди, цинка и никеля, массы которых пропорциональны числам 13, 4 и 3. Какова масса сплава, если в него входит меди на 2,4 кг больше, чем никеля?
Число спортсменов, занимающихся в волейбольной, баскетбольной и гимнастической секциях, пропорционально числам 5, 2 и 4. Сколько спортсменов занимается в этих трех секциях, если в гимнастической секции занимается на 17 человек меньше, чем в волейбольной?
Упражнения для повторения
Отметьте точки А (4; —3) и В ( — 2; 6). Проведите прямую АВ и найдите координаты точек пересечения этой прямой с осью х и с осью у.
Отметьте в координатной плоскости точки М (0; —4) и N (6; 2) и соедините их отрезком. Найдите координаты точки пересечения этого отрезка с осью 土.
ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Пример. Пусть автомобиль проходит 120 км со скоростью и км/ч за 力 ч. Время t Зависит от скорости и:
если и = 20, то 力= 120:20 = 6;
если и = 40, то 力= 120:40 = 3;
если и = 60, то t— 120:60 = 2 и т. д.
При увеличении скорости в несколько раз время уменьшается во столько же раз. В самом деле, время, за которое автомобиль пройдет 120 км со скоростью и км/ч, равно 120 lи 120
—ч. При увеличении знаменателя дроби — в несколько раз эта дробь уменьшается во столько же раз.
Пусть переменные х и у принимают только положительные значения. Переменная у обратно пропорциональна переменной х9 если при увеличении значений х в несколыео раз соответственные значения у уменьшаются во столько же раз.
Это означает, что если Xi и Хг — значения переменной в, a yi и ^2 — соответствующие им значения переменной у, то
——=-.
В рассмотренном примере переменная t обратно пропорциональна переменной и. Иначе говоря, время прохождения определенного расстояния обратно пропорционально скорости движения.-
Приведем другие примеры обратно пропорциональных переменных. При постоянной площади прямоугольника его длина обратно пропорциональна ширине. Объем тела определенной массы обратно пропорционален плотности.
В примере с движением автомобиля время £ обратно цропорционально скорости и. В этом случае для каждой пары
41
соответственных значений и*5［力 произведение vt равно одному и тому же числу 120:
vt = 20 • 6 = 40 • 3 = 60 • 2 =…=120.
Вообще, если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то произведения соответственных значений х м у равны.
Пусть х\ и %2 — произвольные значения переменной х, а у\ и у2 — соответствующие им значения переменной у. По определению обратно пропорциональных переменных
Применив основное свойство пропорции, получим:
Х\У\ =Х2У2.
Задача. Некоторый заказ при одновременной работе 5： автоматов выполняется за 12 часов. За сколько часов будет выполнен тот же заказ при одновременной работе 8 автоматов?
Решение. Пусть 8 автоматов выполнят заказ за х ч. Так как при увеличении числа автоматов в несколько раз' время выполнения заказа уменьшается во столько же (тз/ то время выполнения заказа обратно пропорционально числу автоматов. По определению обратно пропорциональных переменных отношение х к 12 равно обратному отношению 8 к 5:
х 5
Отсюда:
8х = 125,
_12・58，
х = 7,5.
Ответ: 7,5 ч.
Заметим, что при решении задачи можно было воспользоваться свойством обратно пропорциональных переменных.
Путь от А до В турист прошел за 4,5 q. За сколько времени турист прошел бы тот же путь, если бы шел в 1,5 раза быстрее?
Бассейн наполняется водой за 1 ч 10 мин. За какое время может наполниться тот же бассейн, если скорость подачи воды уменьшится в 2 раза?
Поезд должен был пройти перегон между станциями А и В со скоростью 60 км/ч. Однако он двигался со скоростью 90 км/ч. Во сколько раз быстрее он прошел перегон АВ?
Имеются железный и алюминиевый бруски, массы которых одинаковы. Какой из брусков занимает больший объем и во сколько раз больший, если известно, что плотность алюминия 2,6 г/см3, а плотность железа 7,8 г/см3?
Совхозное поле три трактора могут вспахать за 60 ч. За какое время вспашут это поле 12 таких тракторов?
Для перевозки песка предполагалось выделить 15 самосвалов, грузоподъемностью 4 т каждый. Сколько самосвалов грузоподъемностью 5 т следует выделить для выполнения той же работы?
У совершенствовав резец, рабочий стал затрачивать на изготовление детали 8 мин вместо 10 мин. Сколько деталей стал изготовлять рабочий за смену, если известно, что раньше за смену он изготовлял 48 деталей?
На одной из сцепляющихся шестерен 54 зуба, а на другой 45. Сколько оборотов сделает вторая шестерня за то время, за которое первая сделает 270 оборотов?
Для 120 коров запаса сена хватит на 60 дней. На сколько дней^хватит того же запаса сена для 180 коров?
Упражнения для повторения
Отметьте в координатной плоскости точки А (— 2; —3) и В (4; 5). Найдите координаты середины отрезка АВ.
Из 85 т сахарной свеклы получается 18^7 т сахару. Сколько сахара получится из 115 т свеклы?
§ 5. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ
Рассмотрим задачу: «Расстояние между станцией и турбазой 60 км. С турбазы на станцию отправился велосипедист со скоростью 12 км/ч (рис. 6). На каком расстоянии от станции он будет находиться через х ч?»
За х ч велосипедист проедет 12х км. Значит, через х ч он будет находиться отЗ^танции на расстоянии 60 ——12х км. Обозначим это расстояние (в километрах) буквой у. Тогда
у = 60 — 12%.
丁 J6°*м Станция Мы получили формулу,
- выражающую зависимость расстояния у от времени дви-
"“жения х. По смыслу задачи пе
Рис. 6
ременная х может принимать неотрицательные значения, не большие 5 (через 5 ч велосипедист приедет на станцию).
По формуле у = 60 —12% для каждого значения х можно найти соответствующее ему значение у. Например, если х = 2, то у = 36; если х==3,5, то у= 18; если х = 4, то у = 12, т. е. через 2 ч велосипедист будет находиться на расстоянии 36 км от станции, через 3,5 ч — на расстоянии 18 км, через 4 ч — на расстоянии 12 км.
Мы видим, что значения у зависят от значений х, причем
каждому значению х соответствует единственное значение у. Такие зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями или функциями.
Зависимость переменной у от переменной х называет终, функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у зависимой переменной. Говорят также, что у является функцией от х. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.
Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. В рассмотренной задаче область определения функции состоит из всех чисел от О до 5, включая чцсла 0 и 5. Иными словами, область определения состоит из всех значений х, которые больше или равны 0 и меньше или равны 5. Пишут 0 & % & 5.
С функциональными зависимостями мы уже встречались, когда рассматривали пропорциональные и обратно пропорциональные переменные. Так, функциями являются зависимость периметра квадрата от его стороны, зависимость времени
прохождения некоторого пути от скорости.
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Приведем примеры.
Пример 1. Пусть длина стороны квадрата равна а ем, а его площадь S см2. Функцию S от а можно задать формулой
S = a'・ Область определения этой функции состоит из всех положительных чисел.
Пример 2. Пусть п — число мячей, купленных по цене 0,8 р. за штуку, с — стоимость покупки в рублях. Функция с от 〃 может быть задана формулой с = 0,8〃. Область определения этой функции состоит из всех натуральных чисел.
Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл. Например, область определения функции, заданной формулой ^二文二,состоит из всех чисел, кроме числа 2.
Площадь прямоугольника со сторонами 9 и х см равна S см2. Выразите формулой функцию S от х. Какое значение S соответствует х = 4; 6,5; 15?
Поезд, двигаясь со скоростью 70 км/ч, за ^ ч проходит s км. Задайте формулой функцию s от 九 Назовите независимую переменную (аргумент) и зависимую переменную. Найдите значение s, соответствующее 力= 2,4; 3,8. Какому значению t соответствует s = 105; 420?
Ширина прямоугольника х см, а длина на 5 см больше ширины. Площадь прямоугольника S см2. Задайте формулой функцию S от х. Найдите две пары соответственных значений аргумента и функции.
Купили портфель за 5,5 р. и m книг, по 0,75 р. за каждую. За всю покупку заплатили с р. Задайте формулой функцию с от т. Найдите три пары соответственных значений аргумента и функции.
Функция задана формулой у = 2%+ 7. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 12; -50; 43.
12=—.В таблице указаны12=—.В таблице указаныФункция задана формулой у = 0,1% +5. Для значения аргумента, равного 10, 50, 120, найдите соответствующее значение функции.
12
=—.В таблице указаны
12
=—.В таблице указаны
X
一 6
—4
-3
2
5
6
12
У
Функция задана формулой у
значения аргумента. Заполните таблицу, вычислив соответствующие значения функции.
X
一 5
—4
-3
0
2
3
6
У
Функция задана формулой у = %2 — 9. Заполните таблицу:
Формула у = — 5х 十 6 задает некоторую функцию. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному —1,2; 2,8. При каком значении аргумента значение функции равно 6; 8; 100?
Найдите область определения функции, заданной формулой:
a丿y=%2+8;a丿y=%2+8;в) Ув) У2з+7;2з+7;
a丿y=%2+8;
a丿y=%2+8;
в) У
в) У
2
з+7;
2
з+7;
6）广тЬ6）广тЬ。）匕胃。）匕胃
6）广тЬ
6）广тЬ
。）匕胃
。）匕胃
У мальчика было 20 к. Он купил х карандашей, по 3 к. за штуку. Обозначив число копеек, оставшихся у мальчика, буквой у, задайте формулой функцию у от х. Какова область определения этой функции?
252・ Один из смежных углов равен х°, а другой у°. Какова область определения функции у от х? Составьте таблицу соответственных значений хну для значений х от 10 до 170 через 20 единиц.
Функция задана описанием: «Каждому натуральному числу, меньшему 13, поставили в соответствие остаток от деления этого числа на 5». Какова область определения этой функции? Задайте эту функцию таблицей.
Каждому натуральному числу “ ставится в соответствие остаток г от деления этого числа на 4. Какое число соответствует 13, 120, 162, 999? Какова область определения функции г от 〃？ Какие числа служат значениями функции?
Упражнения для повторения
Двигаясь со скоростью 75 км/ч, автомобиль за некоторое время проходит 180 км. Сколько километров может пройти автомобиль за то же время, если уменьшит скорость на 15 км/ч?
Велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч в течение 4 ч. За какое время велосипедист проедет то же расстояние, если увеличит скорость на 10 км/ч?
14. ГРАФИК ФУНКЦИИ
На метеостанции в течение суток вели наблюдения за температурой воздуха. В таблице указаны некоторые результаты наблюдений:
0
3
6
9
12
15
18
21
24
р
-4
一7
—5
0
2
4
2
1
-3
Буквой t обозначено время суток (в часах), а буквой р — температура "(в градусах Цельсия).
Эта таблица не дает полного представления о температуре в течение суток. Например, остается неясным, какая температура была в 7 ч, в 12 ч 30 мин и т. д. Для непрерывной регистрации температуры в течение этих суток можно было бы использовать самопишущий прибор. Этот прибор в каждый момент времени 才 отмечал бы в координатной плоскости точку, у которой абсцисса равна значению 厶 а ордината — соответствующему значению температуры р (рис. 7). В результате получилась бы некоторая линия — график температуры (рис. 8).
По графику температуры легко получить многие сведения об изменении температуры в течение суток. Например, в 7 ч температура воздуха была —3,5 °C, с 3 ч до 15 ч она повышалась, а с 0 ч до 3 ч и с 15 ч до 24 ч понижалась, самая высокая температура была в 15 ч и т. д.
Рис. 7
Зависимость температуры р от времени 力 является функцией. Изображенную на рисунке 8 линию называют графиком функции р от t.
Графиком функции называется множество всех точек, абсциссы которых равны значениям 'аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
Покажем, как можно построить график функции, заданной формулой.
Пусть функция задана формулой у = х(6 —х), где —1&Х&5.
Составим таблицу некоторых соответственных значений аргумента и функции:
X-1012345У-7058985X-1012345У-7058985Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице. Соединим их плавной линией (рис. 9). Получим график функции, заданной формулой у = х (6 — %), где — 1 & &х《5. Чем больше отметим точек, принадлежащих графику, и чем плотнее
X
-1
0
1
2
3
4
5
У
-7
0
5
8
9
8
5
X
-1
0
1
2
3
4
5
У
-7
0
5
8
9
8
5
они будут расположены, тем точнее будет построен график.
На рисунке 10 изображен график некоторой функции. Пользуясь графиком, для каждого значения аргумента можно найти соответствующее ему значение функции. Найдем, например, значение функции при х = 3. Для этого через точку на оси х с абсциссой 3 проведем перпендикуляр к оси х. Точка пересечения этого перпендикуляра с графиком функции имеет координаты (3; 5). Значит, при х = 3 значение функции равно 5.
С помощью графика можно по данному значению функции найти значения аргумента, которым оно соответствует. Найдем, например, по графику, изображенному на рисунке 10, значения х, для которых у = 7. Для этого через точку на оси у с ординатой 7 проведем прямую, параллельную оси х. Эта прямая пересекает график в двух точках с координатами (5; 7) и (9; 7). Значит, функция принимает значение, равное 7, при х = 5 и при % = 9.
Используя график температуры воздуха (см. рис. 8), ответьте на вопрос: а) какая температура воздуха была в 8, в 12, в 20 ч; б) в какое время температура была 5 ℃, —4 °C, 1 °C; в) когда температура была 0 ℃, когда она была выше 0 °C и когда была ниже 0 °C; г) в какое время температура была наименьшей и в какое наибольшей?
Рис. 11
xpdlow 8 зхиои юьоизшxpdlow 8 зхиои юьоизш
xpdlow 8 зхиои юьоизш
xpdlow 8 зхиои юьоизш
По озеру плавает яхта. Ее расстояние от базы меняется с течением времени. Зависимость расстояния s от времени t показана на графике (рис. 11). На каком расстоянии от базы находилась яхта через 20 мин, через 40 мин, через 1 ч 20 мин, через 2 ч 30 мин после отправления? Через сколько минут после отправления яхта находилась на расстоянии 10 км, 8 км, 2 км от базы?
匕
40
30
20
Ю
0‘204。6080100120740х
Возраст сосны 6 годах
Рис. 12
На рисунке 12 изображен график зависимости высоты сосны от ее возраста. Найдите, пользуясь графиком: а) высоту сосны в возрасте 10, 40, 90, 120 лет; б) в каком возрасте сосна достигла высоты 20, 25, 30 м; в) на сколько метров выросла сосна за промежуток времени от 20 до 60 лет, от 60 до 100 лет.
Зависимость площади круга от его диаметра изображена графиком на рисунке 13. Найдите по графику: а) площадь круга, диаметр которого равен 1,2; 2,5; 3; 3,2 см; б) диаметр круга, площадь которого равна 5; 7; 8,5 см2.
С помощью графика зависимости длины окружности от ее диаметра (рис. 14) найдите:
а) длину окружности, диаметр которой равен 1,2; 2,5; 4 см; б) диаметр окружности, длина которой равна 5; 8; 10 см.
Измеряя через каждую минуту температуру воды в баке, составили таблицу:
X, мин
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
у, ℃
14
28
41
54
66
76
85
93
98
100
100
100
100
Рис. 16Рис. 16
Рис. 16
Рис. 16
Постройте график зависимости у от х (масштаб: 1 см на оси х соответствует 1 мин, 1 см на оси у соответствует 10 °C). Используя график, ответьте на вопросы:
какую температуру имела вода через 4, через 5,5, через 9, через 10,7 мин после начала нагревания;
через сколько минут после начала нагревания температура воды стала равной 41 ℃; 60 °C; 93 ℃; 100 ℃?
Кривая MN — график некоторой функции (рис. 15). Найдите по графику значение функции, соответствующее значению аргумента —2; — 1; 0; 1; 5.
Используя график функции, изображенной на рисунке 16, заполните таблицу:
Укажите пять значений аргумента, которым соответствуют положительные значения функции, и пять значений аргумента, которым соответствуют отрицательные значения функции.
265・ На рисунке 17 изображен график некоторой функции. Пользуясь им, заполните таблицу:
Укажите три значения х, при которых у>0, и три значения х, при которых у V0.
Кривая CD — график некоторой функции (рис. 18). Используя график, найдите: а) значение у при х= —3; —2; 0; 2; 4; б) значения х, которым соответствует у= —2; 0; 2; 3.
Графиком функции служит отрезок, координаты концов которого ( — 6; —2) и (3; 5). Начертите график и найдите по графику: а) значение у при х= —5; — 3; —1; 1; 2; б) значения х, которым соответствует у=—1; 1; 3; 4.
Ломаная АВС — график некоторой функции, причем 厶(一3; 1); В (— 1; — 1) и С (3; 3). Начертите график и с его помощью найдите: а) значения функции, соответствующие х= —2,5; —1,5; 0; 1,5; 2; б) значения аргумента, которым соответствует у =—0,5; 1; 2,5.
Графиком некоторой функции является ломаная MNP, причем М( —2; — 1), N (3; 6), Р (6; — 3). Начертите график и, пользуясь им, найдите: а) значение функции у при х= —1,5; 0; 4; 5,5; б) значения аргумента, которым соответствует у——2,5; 0; 4,5.
Принадлежат ли точки А (4; 2), В (1; —4) и С (1; 4)
графику функции, заданной формулой у = 2х —— 6? Назовите координаты еще каких-либо двух точек, одна из которых
принадлежит графику этой функции, а другая не принадлежит.
271. Постройте график функции, заданной формулой у = х{х — 2\ заполнив предварительно таблицу:271. Постройте график функции, заданной формулой у = х{х — 2\ заполнив предварительно таблицу:X—2-1,5-1-0,500,511,52УX—2-1,5-1-0,500,511,52У
271. Постройте график функции, заданной формулой у = х{х — 2\ заполнив предварительно таблицу:
271. Постройте график функции, заданной формулой у = х{х — 2\ заполнив предварительно таблицу:
X
—2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
У
X
—2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
У
Рис. 17Рис. 17
Рис. 17
Рис. 17
272. Постройте график функции, заданной формулой: а) у = % + 3, где 1^х<5; в) у = 5 —%, где —4&Х&6; б) у = 4 — х2, где — З&х&З; г) у = х? + 2х, где — З&х&2・
273・ Функция задана формулой у = — 9 где 1 & х & 12.
Составьте таблицу значений функции для целых значений х. Постройте график функции. Отметьте на графике точку с абсциссой 2,5. Найдите ее ординату и проверьте результат по формуле.
Рис. 18
Упражнения для повторетия
Периметр прямоугольника со сторонами % и у см равен 20 см. Задайте формулой функцию у 5 %. Укажите область определения этой функции. Какие значения может принимать функция?
Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента х, равному 3; 2,5 и 7.
При каком значении аргумента соответствующее значение функции равно 3; 2,5 и 7?
Стороны прямоугольника а и Ь дм, а его площадь равна 10 дм2. Задайте формулой функцию b от а. Укажите область определения этой функции. Какие значения может принимать функция?
Длины сторон треугольника пропорциональны числам 4, 6 и 9. Найдите длину каждой стороны треугольника, если средняя сторона больше меньшей на 5 см.
15. ГРАФИК ПРЯМОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
Рассмотрим пропорциональные переменные тп и 匕 где т — масса железного бруска в граммах, V — его объем в кубических сантиметрах. Выразим зависимость m от V формулой. Масса одного кубического сантиметра железа равна 7,8 г, поэтому:加= 7,8Р・
Формулой вида y = kx можно выразить зависимость между любыми пропорциональными переменными. В самом деле, пусть переменная у пропорциональна переменной х и число k — коэффициент пропорциональности. Тогда
Отсюда:
у = kx.
В полученной формуле переменная х принимает лишь положительные значения. Следовательно, область определения функции состоит из положительных чисел.
В дальнейшем будем рассматривать функцию y = kx с любой областью определения. Такую функцию при Л=#0 называют прямой пропорциональностью или -просто пропорциональностью.
Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у=кх3 где х — независвомая перемеш1ая и к — не равное нулю число.
Пусть прямая пропорциональность задана формулой у = = 0,5х. Построим ее график. Для этого составим таблицу некоторых значений функции:
X
-4
—3
-2
—1
0
1
2
3
4
У
—2
— 1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице (рис. 19). Нетрудно заметить, что все отмеченные точки лежат на одной прямой. Проведем эту прямую (рис. 20). Построенная прямая — график функции у = 0,5х. Эта прямая проходит через начало координат, так как если х = 0, то и у = 0・
Вообще, график прямой пропорциональности есть прямая, проходящая через начало координат. 十
Прямая определяется двумя своими точками. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую. В качестве одной из таких точек целесообразно брать начало координат.
Построим графив функции, заданной формулой у = — 2х. Найдем по этой формуле координаты какой-нибудь точки графика, отличной от начала координат, например точки с абсциссой —3: если х= —3, то у = 6. Отметим в координатной плоскости точку ( —3; 6). Через эту точку и начало координат
Рис. 19Рис. 19
Рис. 19
Рис. 19
У27。卜"74X•7\1•2<•3VУ27。卜"74X•7\1•2<•3V
У
2
7
。卜
"7
4
X
•7
\
1
•2
<
•3
V
У
2
7
。卜
"7
4
X
•7
\
1
•2
<
•3
V
проведем прямую. Эта прямая — график функции у = — 2% (рис. 21).
На рисунке 22 построены графики прямых пропорциональностей y = kx с различными коэффициентами Л. От коэффициента 论 зависит расположение графика в координатной плоскости.
Если х = 1, то из формулы y = kx находим, что y = k. Значит, график прямой пропорциональности проходит через точку (1; ft).
Вели ft > 0, то точка (1;力)лежит в первой координатной четверти. В этом случае график прямой пропорциональности расположен в первой и третьей координатных четвертях. Начало координат делит график на дзе полупрямые. Полупрямая, лежащая в первой координатной четверти, образует с осью х некоторый угол. Этот угол зависит от коэффициента &: чем больше 尼,тем больше угол (рис. 22).
Если fe<0, то точка (1; k) лежит в четвертой координатной четверти. Значит, график прямой пропорциональности расположен во второй и четвертой координатных четвертях. Рассмотрим угол между осью х и полупрямой, лежащей в четвертой координатной четверти (рис. 23). Этот угол тоже зависит от коэффициента 尼：чем больше модуль fe, тем больше угол.
В рассмотренных примерах мы считали, что область определения функции состоит из всех чисел. Если область определения прямой пропорциональности состоит не из всех чисел, то в этом случае график прямой пропорциональности представляет собой соответствующую часть прямой. Например, это может быть полупрямая или отрезок.
Велосипедист движется равномерно со скоростью 12 км/ч.* Запишите формулу, выражающую зависимость пройденного пути s (в километрах) от времени движения t (в часах).* Является ли эта зависимость прямой пропорциональностью?
Напишите формулу, выражающую зависимость длины окружности от радиуса. Докажите, что эта зависимость является прямой пропорциональностью. Чему равен коэффициент пропорциональности?
Прямая пропорциональность задана формулой у =
=——~х. Найдите:
3 1 2 а) значение у, соответствующее х, равному —9; 1—; 2—;
б) значение %, которому соответствует у, равное 0; —~; 10.
X
1
3
4
8
g
У
51
75
Известно, что функция у от х является прямой пропорциональностью. Задайте эту функцию формулой и заполните таблицу:
X
2
4
6
8
10
12
У
-30
28L Функция у от х — прямая пропорциональность. Задайте эту функцию формулой и заполните таблицу:
Какие из точек А (6; —2), В ( — 2; —10), С (1; 1), X一专；1 年)，后(°； °)принадлежат графику прямой пропорциональности: а) у=——|»х; б) у = 5х?
Постройте график функции, заданной формулой у = 3%. Найдите по графику:
значение 弘 соответствующее х, равному 1; 1,5; 2,5; 3;
при каком х значение у равно — 3; 0; 3;
при каких х переменная у принимает положительные значения и при каких отрицательные.
Постройте график функции, заданной формулой у = =——0,5х. С помощью графика найдите:
значение у9 соответствующее %, равному —2; 4; 1;
при каком х значение у равно —1; 0; 2,5;
при каких х переменная у принимает положительные значения и при каких отрицательные значения.
Существует ли такое %, при котором у= —150? Если существует, то вычислите его.
285・ Постройте график прямой пропорциональности у = 2х. Найдите с помощью графика:
\^ ^ ^ \^z3;\^ ^ ^ \^z3;какое значение Принимает функция при х, равном 2; 2,5;
\^ ^ ^ \^z3;
\^ ^ ^ \^z3;
при каком х значение функции равно 7;
при каких х значения функции положительны и при ка
ких отрицательны.
Постройте в одной координатной плоскости графики прямых пропорциональностей y = kx при 尼=6; 0,3; —1; —2,4.
Основание прямоугольника 2,5 м9 высота % м. Выразите площадь у прямоугольника (в квадратных метрах) через х. Постройте график зависимости у от х.
Найдите по графику:
площадь прямоугольника, высота которого 3,5 м; 4 м;
высоту прямоугольника, площадь которого 6 м2; 8 м2.
288・ Сторона равностороннего треугольника равна х см. Выразите периметр у этого треугольника (в сантиметрах) через х. Постройте график зависимости у от х. Найдите по графику сторону треугольника, если его периметр равен 7,5 см. Ответ проверьте вычислением.
Масса одной детали 0,75 кг. Обозначив массу х деталей (в килограммах) через у, выразите у через х. Постройте график зависимости у от х.
Турист вышел из города и через х ч)находился на расстоянии у км от него.
Зависимость у от х показана в таблице:
X
0
0,5
1
2
2,5
3
3,5
4
У
0
2,1
4,0
7,9
10,1
12Д
14
16,1
В координатной плоскости отметьте соответствующие точки и покажите с помощью линейки, что они расположены почти на прямой. Составьте формулу, которая приближенно выражает зависимость у от х.
На рисунке 24 построены графики движения пешехода (отрезок ОВ) и велосипедиста (отрезок ОА). С помощью графиков ответьте на вопросы:
Какое время был в пути пешеход? велосипедист?
Какой путь проделал пешеход? велосипедист?
С какой скоростью двигался пешеход? велосипедист?
Во сколько раз путь, который проехал за 2 ч велосипедист, больше пути, пройденного за то же время пешеходом?
2. В каких координатных четвертях расположен график прямой пропорциональности:
у = 1,7%;в) у = 0,9%;д) у = х；
у =—3,1%;г)у=—2,3%;е)，=—%?
293・ В каких координатных четвертях расположен график функции:
а) у = 2,3%; б) у= — 4,5х; в) у= — 0,1х; г) у = 0,7%?
На рисунке 25 построены графики прямых пропор
циональностей. Для каждого графика напишите соответствующую формулу.295. На рисунке 26 изображен графщс зависимости удлинения у стальной проволоки от силы 尸，под действием которой проволока растягивается. Укажите границы изменения силы 尸，при которых зависимость удлинения проволоки от силы 尸 является прямой пропорциональноциональностей. Для каждого графика напишите соответствующую формулу.295. На рисунке 26 изображен графщс зависимости удлинения у стальной проволоки от силы 尸，под действием которой проволока растягивается. Укажите границы изменения силы 尸，при которых зависимость удлинения проволоки от силы 尸 является прямой пропорциональностью.стью.у,ММ—27——<—<N0200400600800woo11111111у,ММ—27——<—<N0200400600800woo11111111Рис. 26Рис. 26
циональностей. Для каждого графика напишите соответствующую формулу.
295. На рисунке 26 изображен графщс зависимости удлинения у стальной проволоки от силы 尸，под действием которой проволока растягивается. Укажите границы изменения силы 尸，при которых зависимость удлинения проволоки от силы 尸 является прямой пропорционально
циональностей. Для каждого графика напишите соответствующую формулу.
295. На рисунке 26 изображен графщс зависимости удлинения у стальной проволоки от силы 尸，под действием которой проволока растягивается. Укажите границы изменения силы 尸，при которых зависимость удлинения проволоки от силы 尸 является прямой пропорционально
стью.
стью.
у,ММ
—
2
7
—
—
<
—
<
N
0
200
400
600
800
woo
1
1
1
1
1
1
1
1
у,ММ
—
2
7
—
—
<
—
<
N
0
200
400
600
800
woo
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 26
Рис. 26
Упражнения для повторения
Найдите неизвестный член пропорции:.
а)3Т:1К=Х:Т;6) у:2*=千4?
Упростите выражение:
а) —21(4 —100)一54a;б) 28 -10加 + 4 (加+18).
Для сельской библиотеки ученики шестых и седьмых классов собрали 315 книг. Сколько книг собрали семиклассники, если известно, что они собрали на 10% книг больше, чем шестиклассники?
6・ ЛИНЕЙНАЯ функция
16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИИЕИНОИ ФУНКЦИИ
Рассмотрим примеры функций.
Пример 1. На шоссе расположены пункты 4 м 3» удаленные друг от друга на 20 км (рис. 27}・ Мотоциклист выехал из пункта В в направлении, противоположном А, со скоростью 50 км/ч. За t ч мотоциклист проедет 50力 км и будет находиться от А на расстоянии 50力+ 20 км. Если обозначить буквой £ расстояние (в километрах) мотоциклиста до пункта А, то зависимость этого расстояния от времени движения можно выразить формулой
s = 50t + 20, где 力》0.
Пример 2. Ученик купил тетради по 3 к. за штуку и ручку за 35 к. Стоимость покупки зависит от числа тетрадей. Обозначим число купленных тетрадей буквой х, а стоимость покупки буквой у (в копейках). Получим:
у = 3# + 35, где х — натуральное число.
В обоих примерах мы встретились с функциями, заданными формулами вида у =々％ + Ь, где х — независимая переменная, knb — некоторые числа. Такие функции называют линейными. 60
Определение. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у=кх*Ь, где х — независимая переяленпая, hub — числа.
Если Ь = 0, то формула y = kx-{-b принимает вид у = kx. Этой формулой при Л=#0 задается прямая пропорциональность. Таким образом, прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.
Заметим, что если в формулу y = kx-]-b вместо k подставить О, то получится у = 0% + Ь. Значит, при 左=0 формула y — kx-{-b принимает вид у = Ь. Функция, задаваемая формулой у = Ь, является линейной. Она принимает одно и то же значение при любых значениях х.
Каждую секунду в бассейн поступает 0,5 м3 воды. Сколько кубометров воды станет в бассейне через х с, если сейчас в нем 120 м3 воды? Задайте формулой зависимость объема воды в бассейне от времени его наполнения. Является ли эта зависимость линейной функцией?
Длина прямоугольника х см, а ширина на 3 см меньше. Задайте формулой зависимость периметра прямоугольника от длины. Является ли эта зависимость линейной функцией?
Ученик имел 50 к. На эти деньги он купил х марок по 5 к. После покупки у него осталось у к. Задайте формулой зависимость у от х. Является ли эта зависимость линейной функцией?
Плата за телеграмму может быть подсчитана по формуле у = 5% + 20, где х — число слов в телеграмме, а у — плата за телеграмму (в копейках). Является ли функция у от х линейной? Какое значение функции соответствует значению аргумента, равному 15; 26; 40? Существует ли значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное 70; 82?
Является ли линейной функция, заданная формулой:
а) у = 2х —3;
г) у = 8%;
Ж) у = /2_3;
б) у= —% + 5;
д) у=* + 1;
、1 Ох — 7
З) у—；
в) у = 7 —9%;
е) У = -|- + 1；
И) У = 5?
304. Функция задана формулой: а) у = (5х —1) + ( —8%十9); б) у = 4 (х —3) + (х + 2). Является ли эта функция линейной?
305. Упростив правую часть формулы у = 7 (8 — %)十(х —10), выясните, является ли заданная этой формулой функция
Некоторая линейная функция задана формулой вида y = kx — l. Найдите число Л и заполните таблицу:
X
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
У
0,8
Упражнения для повторения
Решите уравнение:
а) 3(0,9х —L —(彳+ 0,6)= — 0,2; б) 7 — (3,1 - 0,1 у) = 3 — 0,2у.
При каких натуральных значениях 〃：
а) ^^— правильная дробь; б)片入—неправильная дробь?
Проходит ли график функции, заданной формулой у = — 2х2 + Зх, через точку:
а)厶(一1； 一5); б) В (2; ?); в) С(3; -9)?
17. ГРАФИК ЛИНЕИНОИ ФУНКЦИИ
Линейная функция y = kx-\-b при b = 0 и к =# 0 есть прямая пропорциональность. В этом случае, как известно, графиком функции служит прямая. Построим график линейной функции, которая не является прямой пропорциональностью, например график функции у = 0,5% —2. Для этого составим таблицу:
X
-6
一4
-2
0
2
4
6
8
У
-5
-4
—3
—2
-1
0
1
2
У42—6—4-202/46X1У42—6—4-202/46X1
У
4
2
—6
—4
-2
0
2/
4
6
X
1
У
4
2
—6
—4
-2
0
2/
4
6
X
1
Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице (рис. 28). Все эти точки лежат на одной прямой. Эта прямая (рис. 29) является графиком линейной функции у = 0,5х — 2.
Вообще, графиком линейной функции является прямая.
Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую.
Пример 1. Построим график функции у = 2% + 3.
Функция у = 2% + 3 линейная, и поэтому ее графиком является прямая. Используя формулу г/= 2x4-3, найдем координаты двух точек:
х =-2, y = 2，(一2)+3=-1;
х = 1, у = 2・1 + 3 = 5.
Отметим точки 厶(一2; —1) и В (1; 5). Проведем через эти точки прямую (рис. 30). Прямая АВ есть график функции у = 2х + 3.
Пример 2. Построим график линейной функции片 =—0,8х + 1.
При построении графика линейной функции в качестве одной из точек удобно брать точку его пересечения с осью у, т. е, точку с абсциссой 0.
Найдем координаты точек графика, соответствующих х = 0 и х = 5:
x = 0, g=-0,8，0+ 1 = 1;
х = 5, у = — 0,8 • 5 + 1 = — 3.
Отметим точки М (0; 1) и К (5; — 3) и проведем через них прямую (рис. 31). Прямая МК есть график линейной функции У= —0,8% + L
Пример 3. Построим график функции у — — 4.
Эта функция линейная, так как формулу у = — 4 можно представить в виде у = 0% — 4. Любому значению х соответствует одно и то же значение 弘 равное —4. Отметим две какие- нибудь точки с ординатой —4, например (0; —4) и (2; —4), и проведем через них прямую (рис. 32). Получим график линейной функции у = — 4.
Постройте график функции:
у= —2х + 1;у = 0,2х + 5;у= —2х + 1;у = 0,2х + 5;у = 3х —4;
у= —2х + 1;
у = 0,2х + 5;
у= —2х + 1;
у = 0,2х + 5;
у = — 0,6х —1,5.
В какой точке этот график пересекает ось ординат? 313・ Постройте график функции:
у = 3% + 2;у = — Зх + 2;у = 3% + 2;у = — Зх + 2;у = 0,3% — 5;у == —0,3% — 5.у = 0,3% — 5;у == —0,3% — 5.
у = 3% + 2;
у = — Зх + 2;
у = 3% + 2;
у = — Зх + 2;
у = 0,3% — 5;
у == —0,3% — 5.
у = 0,3% — 5;
у == —0,3% — 5.
Постройте в одной и той же системе координат графики функций:
а) у = 1,2х и у = 1,2к —3;а) у = 1,2х и у = 1,2к —3;б) у = —х и у= — х + 3,5.б) у = —х и у= — х + 3,5.
а) у = 1,2х и у = 1,2к —3;
а) у = 1,2х и у = 1,2к —3;
б) у = —х и у= — х + 3,5.
б) у = —х и у= — х + 3,5.
Постройте график линейной функции у=— 1,5х + 3. Выясните с помощью графика: а) какое значение у соответствует х= —2,5; 3,5; б) какому значению х соответствует у =—4,5; 0,5; в) при каких значениях х значения у положительны и при каких отрицательны.
Начертите график линейной функции у = 1,5х + 4. Найдите с помощью графика: а) значение у, соответствующее х= —3,5; 1,5; б) значение х, которому соответствует у — —0,5; 4,5. При каких значениях х значения у положительны и при каких отрицательны?
Постройте график функции у—— 10х + 40, выбрав масштаб: по оси х — в 1 см одна единица, по оси у — в 1 см 10 единиц. Найдите по графику: а) значение у, соответствующее % =—2,5; 0,8; 3,5; б) значение х, которому соответствует у = 70; — 10; — 30; в) при каких значениях х значение у равно нулю, больше нуля, меньше нуля.
Построив график функции у= — Зх + 6, выясните, при каких значениях х: а) у = 0; б) у>0; в) у V0.
Начертите график функции у = 2% —4 и найдите, при каких значениях х: а) у^^; б) у>0; в) у 之 0.
Постройте график функции у = 2х — 5. Выясните с помощью графика, как изменяется у, когда х возрастает: а) от —4 до 0; б) от 0 до 6.
Функция задана формулой у=— 1,2х + 4. Как изменяется у при изменении аргумента: а) от —5 до 1; б) от 2 до 5? Ответ найдите по графику.
В одной и той же координатной плоскости постройте графики функций: у = 6; у = 3,2; у=—1； у=—5; у = 0・
Постройте графики функций: у=—2; у——1,9; у — 1,6; у — 7 •
В бак налили воды, температура которой 10°С, и нагрели ее до 100 °C, причем через каждую минуту температура повышалась на 1,5 ℃. Задайте формулой зависимость температуры воды у от времени нагревания х. Постройте график этой зависимости. Узнайте по графику: а) какую температуру имела вода через 5 мин, через 10 мин после начала нагревания; б) через какое время вода нагрелась до 85 ℃.
Не выполняя построения графика функции у = 192х ——7, выясните, проходит ли этот график через точку:
а) А (100; 113); б) 5(-15; -2 5); в) С(-10; 5); г) D (300; 3 5 3).
Упражнения для повторения
Решите уравнение:*、
3,7х-2= -2x4-3,13;в) -27х = 5-54х;
4,2х + 8 = 8-7х;г) %-1=0,4%-2,5.
65653 Заказ 890
65
65
Вычислите:
а)6-|^1"^" + "^—6；6) 7 十 2424:(11,8 十 0,2)十 2,3.
В автопарке было в 1,5 раза больше грузовых машин, чем легковых. После того как автопарк получил еще 45 легковых автомашин, а 12 грузовых машин передал подшефному колхозу, в нем стало легковых машин на 17 больше, чем грузовых. Сколько всего автомашин было в автопарке?
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИИ
Графики двух линейных функций представляют собой прямые, которые либо пересекаются, либо параллельны. Любую линейную функцию можно задать формулой вида y = kx-\-b. Взаимное расположение графиков линейных функций зависит от значений k и Ь.
Рассмотрим графики линейных функций, заданных формулами у = 0,9х ——1 и у = 0,8х + 1 с различными коэффициентами Л (рис. 33). Выясним, пересекаются ли эти графики. Пересечение графиков функций означает, что они имеют общую точку. В этом случае найдется такое значение х, которому соответствует одно и то же значение у для обеих функций. Чтобы найти это значение х, приравняем правые части формул у = 0,9х—1 и у = 0,8% + 1 и решим получившееся уравнение:
0,9х — 1 = 0,8х +1,
0,9х —0,8х = 1 + 1,
0,1х = 2,
% = 20.
При % = 20 обе формулы дают одно и то же значение у:
0,9% —1 = 17 и 0,8x4-1 = 17.
Это означает, что точка (20; 17) принадлежит как одному, так и другому графику. Такая точка только одна. Значит, прямые, являющиеся графиками линейных функций у = 0,9%—1 и у = 0,8х + 1, пересекаются.
Рассмотрим теперь линейные функции, заданные формулами у = 0,5%+ 4 и у = 0,5% —2, с одинаковыми коэффициентами 左.Графики этих функций изображены на рисунке 34. 66
Чтобы найти координаты точки пересечения графиков, приравняем правые части формул и решим полученное уравнение:
0,5х + 4 = 0,5х — 2,
0,5х — 0,5х = — 2 — 4,
0%=-6.
. Уравнение 0,5х + 4 = 0,5х — 2 не имеет корней. Значит, прямые, являющиеся графиками линейных функций у = 0,5%+ 4 и у = 0,5х —2, не имеют общих точек, т. е. они параллельны.
Вообще, графики двух линейных функций, заданных формулами вида у = fex + Ь, пересекаются, если коэффициенты k различны, и параллельны, если коэффициенты k одинаковы.
Докажем это. Пусть y = Ex+bi и ^ =左2文 + ^2 — две различные линейные функции. Чтобы выяснить взаимное расположение их графиков, составим уравнение
k\x + b\ =%х + 历・
Преобразуем это уравнение:
k 1 х — k^x =戾一b I,
（力 I - E）% = b'2 - b I.
Мы получили линейное уравнение. Если 也丨声为2, то уравнение имеет единственный корень. В этом случае графики функций пересекаются.
Если 左I =左2 и bi =#匕2, то уравнение не имеет корней. В этом случае графики функций параллельны.
Из доказанного следует, что график любой линейной функции y = kx-\-b при b声 0 параллелен графику прямой пропор-
3*67
б)
Рис. 35
циональности с тем же коэффициентом k (рис. 35). Отсюда ясно, что угол, который образует график линейной функции у = /?х 十 b с осью х, также зависит от коэффициента 瓦 Поэтому число 力 в формуле y = kx-\-b называют угловым коэффициентом прямой.
На рисунке 36 изображены прямые, которые являются графиками линейных функций, заданных формулами вида y — kx-\-b с одним и тем же значением 论 и различными значениями Ь. Все эти прямые параллельны.
На рисунке 37 изображены прямые, которые являются графиками линейных функций, заданных формулами вида y — kx-\-b с одним и тем же значением b и различными значениями 力.Все эти прямые пересекаются в одной точке, лежащей на оси у.
Рис. 36
Рис. 37
Каково взаимное расположение графиков функций:
пд)е)пд)е)y=—4x и y=—4% —5;у = 3%+1иу=—4x + l;у = 12% и y = — 8х?y=—4x и y=—4% —5;у = 3%+1иу=—4x + l;у = 12% и y = — 8х?а) у = 7х —4 и у = 7% + 8;
пд)е)
пд)е)
y=—4x и y=—4% —5;
у = 3%+1иу=—4x + l;
у = 12% и y = — 8х?
y=—4x и y=—4% —5;
у = 3%+1иу=—4x + l;
у = 12% и y = — 8х?
б) у — 10x4-8 и у=— 10x4-6;
в) у = 3х —5 и у= -6x4-1;
Линейные функции заданы формулами: у = — 10x4-13, у = 3,7х —13, у — —8 — Юх, у=—3,6х —8, г/= 3,6х +8, у = — 3,6х. Выделите те функции, графики которых параллельны друг другу. Назовите две из заданных функций, графики которых пересекаются.
Функции заданы формулами: у=—1,5х + 6, у = 1,5% —6, у = 0,5%+ 4, у = 0,5%, у = 3十1,5%・ Выделите^ те из них, графики которых:
параллельны графику функции у = 0,5х+10;
пересекают график функции у=—1,5х.
Дана лицейная функция у = 2,5х + 4. Задайте формулой какую-нибудь линейную функцию, график которой:
параллелен графику данной функции;
пересекает график данной функции.
Задайте формулой две линейные функции, графики которых: а) параллельны; б) пересекаются.
Функция задана формулой у = кх + 6. При каком значении А график этой функции параллелен графику функции:
у= —Зх + 7;в) у = % + 3,7;д) у = 8х;
г/ = 100х — 1;I)У=—х + 9;е) у=—5?
Выясните, при каких значениях А график функции у = ^х —12 пересекает график функции:
а) у = 4% —7; б) у=—6х + 29.
Линейная функция задана формулой у = kx -9. При каком значении А график этой функции параллелен графику функции у = 8,8х — 7 и при каких значениях k пересекает его?
Функция задана формулой y = ^# + 3. При каких значениях к график этой функции: а) параллелен оси х; б) пересекает ось х?
Постройте в одной и той же системе координат графики функций:
у= —х + 6, у= —х—1,5, у=—х, у= —х —3;
у = х + 2,5, у= —х + 2,5, у = 2,5, у = 0,5х + 2,5.
33ft Постройте в одной и той же системе координат графики функций, заданных формулами вида:
y = 3*+b при Ь = 1,2; —4; 0;
y — kx — 2 при 为=1; — 1; 0,4.
Найдите координаты точки пересечения графиков функций:
а) у = 10х —8 и у=—3% + 5; г) у = 37х —8 и у = 25% + 4; б) j/ = 14 — 2,5% и у = 1,5х—18; д) у = 14х и у = % + 26;
у = 20х —70 и у = 70х + 30; е) у=—5% + 16 и у= —6.
Пересекаются ли графики функций:
у=—6# + 9 и у = 2х —7; в) у = 0,2х —9 н у =专％ + 1;
у=—0,5% + 2 и у = 2,5лг —10; г) у = хпу= — Зх-{-3,6?
Для пересекающихся графиков найдите координаты точки' пересечения.
Упражнения для повторения
Верна ли пропорция:
а) 16,8:4,8 = 19,6:5,6;б) 3,4:8,5 = 9,5:22,8?
Решите уравнение:
a)芷=三；б)空=丝.
丿 3,6 4,2*"丿 0,5 х
На элеватор за два дня завезли 1440 т зерна, причем во второй день завезли 80% того количества, что завезли в первый. Сколько тонн зерна завезли на элеватор в первый день?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
К параграфу 4
Как изменится площадь прямоугольника, если длину увеличить в 3 раза, а ширину увеличить в 4 раза?
Площадь, отводимую колхозом нод пшеницу, увеличили с 200 до 320 га. Как изменится урожай пшеницы, собранный колхозом, если урожайность увеличится в 1,1 раза?
Для покраски пола в комнате израсходовали 1 кг краски., Хватит ли 700 г краски, чтобы покрасить пол в комнате, длина которой в полтора раза меньше, а ширина в 1,2 раза меньше?
Масса алюминиевого бруска, объем которого 35 см3, равна 94,5 г. Каков объем алюминиевого бруска массой 756 г?
Из 3 кг свежих яблок получается 390 г сушеных. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить 1 кг сушеных? Результат округлите до десятых.
Из 1200 т сахарной свеклы получили 180 т сахара. Сколько надо переработать свеклы, чтобы получить 250 т сахара? Сколько получится сахара из 150 000 ц сахарной свеклы?
Докажите, что если числа а9 b и с пропорциональны числам х, у и z, то числа х9 у п z также пропорциональны числам a, b м с.
352・ Расстояние между двумя городами 750 км. Найдите соответствующее ему расстояние на карте, масштаб которой 1 : 1 000 (Ю0・
Расстояние между двумя городами на карте равно 6 см. Каково это расстояние в действительности, если масштаб карты 1 : 500 000?
В таблице найдите строки, пропорциональные первой строке; найдите столбцы, пропорциональные первому столбцу:
2
35
7
11
4
6
10
11
12
6
9
15
21
33
8
12
20
28
30
10
15
25
29
55
12
18
30
42
66
Длина прямоугольника относится к его ширине как 7 : 2, периметр равен 3,6 дм. На сколько длина прямоугольника больше его ширины?
За перепечатывание рукописи три машинистки, работавшие одновременно, получили 57 P. Как должны распределить они между собой эти деньги, если известно, что первая перепечатывала в час 8 страниц, вторая 6 страниц, а третья 5 страниц?
При изготовлении варенья из крыжовника на 1 кг ягод расходуется 1,5 кг сахарного песку и -|- стакана воды. Хозяйка затратила на приготовление варенья 6 кг песку. Сколько было взято крыжовника и сколько воды?
В одну бутыль налит керосин, а в другую бензин, причем масса керосина равна массе бензина. Какая из жидкостей занимает больший объем и во сколько раз больший, если масса 1 л керосина равна 800 г, а масса 1 л бензина равна 710 г?
Отправляясь в поход по намеченному маршруту, пионеры рассчитывали проходить по 12 км в день, но из-за ненастной погоды проходили ежедневно на 4 км меньше. Во сколько раз увеличилось время, затраченное ими на весь маршрут?
Длину прямоугольного параллелепипеда увеличили в два раза, а ширину в три раза. Как надо изменить его высоту, чтобы объем параллелепипеда остался прежним?
Расстояние, которое пассажирский поезд проходит за 3 ч, товарный проходит за 5 ч. Поезда отправились одновременно навстречу друг другу из двух городов. К моменту встречи путь, пройденный пассажирским поездом, оказался равным 180 км. Какой путь прошел товарный поезд? Каково расстояние между городами?
Бригада изготовляет 180 изделий за то время, за которое по плану она должна изготовить 150 изделий. На выполнение некоторого задания бригада затратила 30 ч. Сколько часов отводилось на это задание по плану?
Применив новый вид резца, токарь стал затрачивать на изготовление детали в 1,2 раза меньше времени, чем затрачивал ранее, и потому изготовил за смену на 16 деталей больше. Сколько деталей изготовлял он за смену первоначально?
К параграфу 5
Масса одного кубического сантиметра ртути равна 13,6 г. Масса V см3 ртути равна т г. Задайте формулой зависимость: а) т от V; б) V от т.
При делении натурального числа п на 5 в частном получается число 尼 и в остатке 3. Задайте формулой зависимость 〃 от k.
Чтобы найти значение некоторой функции, надо значение аргумента уменьшить на 3,7 и полученный результат умножить на 1,2. Задайте эту функцию формулой. Найдите по формуле значение функции, если значение аргумента равно 0,7; 1,2; 4,4; 5.
Функция задана формулой у =——0,5 (8 — х). Заполните таблицу соответственных значений х и у.
X
-1,4
2,6
8,8
У
— 3,4
—1,8
2,4
При делении числа у на число х в частном получается 5, а в остатке 10. Задайте формулой функцию у от х. Какова область определения этой функции? Найдите две пары соответственных значений х и у.
Между сторонами угла (тпр) проходит луч п так, что Z. (тп〃) = 60°・ Задайте формулой функцию у от х, если 乙(〃р) = х° и Z. (тпр) = у。. Какова область определения этой функции?
Какова область определения функции, заданной формулой:
а)片为； 6)广為？
Турист вышел с турбазы А в направлении железнодорожной станции В. На рисунке 38 дан график зависимости пути, пройденного туристом, от времени движения. Выясните: а) какое время затратил турист на путь из А в В; б) с какой средней скоростью двигался турист; в) сколько минут он затратил на первый привал и сколько затратил на второй привал; г) сколько километров турист прошел за первый час движения и сколько за последний; д) какое время было затрачено туристом на первые 8 км и какое на следующие 8 км.
На рисунке 39 изображены графики изменения температуры воздуха в Архангельске и Ярославле за однц и те же сутки. В какое время температура воздуха: а) была одинаковой в Архангельске и Ярославле; б) повышалась и в Ярославле, и в Архангельске; в) понижалась и в Ярославле, и в Архангельске; г) в Ярославле повышалась а в Архангельске понижалась?
Рыболов вышел из дома и пошел на озеро, где ловил рыбу. Затем он возвратился обратно. График движения рыболова показан на рисунке 40. Узнайте по графику: а) каково расстояние от дома до озера; 6) сколько часов шел рыболов до озера и сколько часов он затратил на обратный путь; в) сколько часов был рыболов на озере; г) на каком расстоянии от дома был рыболов через 1 ч после выхода из дома; д) через сколько часов после выхода рыболов был на расстоянии 6 км от дома; е) какова средняя скорость рыболова на пути к озеру и какова на обратном пути.
Изучая зависимость объема V жидкости в сосуде от
Л, см369121518匕Л1,23,15,69,714,721Л, см369121518匕Л1,23,15,69,714,721высоты й ее уровня, получили таблицу:высоты й ее уровня, получили таблицу:Постройте график функции Р от Л. Узнайте по графику: а) сколько литров жидкости налили в сосуд, если высота уровня стала равной 5 см.Постройте график функции Р от Л. Узнайте по графику: а) сколько литров жидкости налили в сосуд, если высота уровня стала равной 5 см.
Л, см
3
6
9
12
15
18
匕Л
1,2
3,1
5,6
9,7
14,7
21
Л, см
3
6
9
12
15
18
匕Л
1,2
3,1
5,6
9,7
14,7
21
высоты й ее уровня, получили таблицу:
высоты й ее уровня, получили таблицу:
Постройте график функции Р от Л. Узнайте по графику: а) сколько литров жидкости налили в сосуд, если высота уровня стала равной 5 см.
Постройте график функции Р от Л. Узнайте по графику: а) сколько литров жидкости налили в сосуд, если высота уровня стала равной 5 см.
10 см; б) какой будет высота уровня в сосуде, если в него налить 4 л, 10 л.
Постройте график функции, заданной формулой: а) у=~|"(10 —#), где —2&Х&12;
у= —(5 + х), где —10&Х&4;
у = (х—1)(х + 1), где —З&х&З;
y = 3# + %2, где — 3&Х&2.
В одной и той же системе координат постройте графики функций у = 2 — 0,5х и у= — 1 + 0,5х. Назовите какое-нибудь значение аргумента, при котором: а) значение первой - функции больше значения второй функции; б) значение первой функции меньше значения второй функции. Есть ли такое значение аргумента, при котором значения функций равны?
На рисунке 41 тонкой линией изображен график первой функции, а толстой — график второй функции. При каких значениях аргумента значение первой функции: а) равно значению второй; б) больше значения второй; в) меньше значения второй?
Прямая пропорциональность задана формулой у=—7,5%・ Найдите значение у при х== —12; 20; 44. При каком х значение у равно —1500; 1200?
Какое расстояние у (в километрах) проедет велосипедист за х ч, если будет двигаться равномерно со скоростью 15 км/ч? Постройте график зависимости у от % (масштаб по оси х: в 1 см — 15 км; по оси у: в 1 см — 1 ч). С помощью графика ответьте на вопросы: а) Какой путь проедет велосипедист за 3 ч; за 3 ч 40 мин? б) Сколько времени затратит велосипедист на путь в 50 км?
Постройте график функции, выбрав соответствующий масштаб: а) у = 100%; б) у = 0,02%・
381. Покажите схематически в одной координатной плоскости, как расположены графики функций у— ах и у — Ьх, если:
а>0, b>0 и а>Ь;
aVO, Ь<0 и |а| Vlb|・
При каком значении а точка А (а; —1,4) принадлежит графику прямой пропорциональности у = 3,5%?
К параграфу 6
Является ли линейной функция, заданная формулой: а) У =宁；、г) у = 2(1-3х) + 7(х-3);
у = 3(% + 8);д) у = %(9 —х) + %2;
у = х(6-х);е) у = 5(34-4х)-4(5х-1)?
Функция задана формулой у = 0,2лг —4. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному — 25; —12; 45; 60. При каком значении аргумента значение функции равно 0; равно 1? Существует ли такое значение х, при котором: а) значение функции равно значению аргумента; б) значение функции противоположно значению аргумента?
Зная, что зависимость у от х является линейной функцией, заполните таблицу:
X
—2
0
2
4
6
б)
—10
0
10
30
У
-8
12
У
-15
5
6
15
В таблице указаны некоторые значения аргумента и соответствующие им значения линейной функции.
X
1
2
3
4
5
6
7
У
11
21
31
41
51
61
71
Подберите формулу, которой можно задать эту функцию.
Масса одного гвоздя равна 5 г, а масса пустого ящика равна 400 г. Какова масса тп (в граммах) ящика, в котором лежит х гвоздей? Составьте формулу, выражающую зависимость m от х. Является ли функция, заданная этой формулой, линейной?
Постройте график функции, заданной формулой у = 0,5% + 3・ С помощью графика найдите:
значение у, если х = — 4; — 1; 4;
значение х, которому соответствует у, равное —2; — 0,5; 6;
координаты точек пересечения графика с осями координат;
корень уравнения 0,5% +3 = 0.
Не выполняя построения, выясните, проходит ли график функции, заданной формулой у = 1,25х —5, через точку: а) М(12; 10); б) К(-20; -30); в)Р(3; 5); г) Q (20; -20).
Функция задана формулой у=十 ％ 十 3, где ——4 & % & 8. Постройте график этой функции и укажите все целые значения, которые может принимать эта функция.
В баллоне содержится 1,8 кг жидкого пропана. Газовая плитка расходует каждый час 0,2 кг пропана. Обозначив буквой т массу (в килограммах) пропана, который останется в баллоне через t часов работы плитки, напишите формулу зависимости тп от 力 м постройте график. Найдите по графику: а) сколько килограммов пропана останется в баллоне через 3 ч; через 5 ч; через 6,5 ч работы плитки; б) через сколько часов в баллбне останется 1,5 кг пропана; 1 кг пропана; 0,6 кг пропана.
Скорость и распространения звука в воздухе в зависимости от температуры 力 может быть найдена приближенно по формуле и = 331+ 0,6力 где и — скорость (в метрах в секунду), 力一температура (в градусах Цельсия). Найдите, с какой скоростью распространяется звук в зимний день с температурой —35 °C и в летний день с температурой + 30 °C.
График некоторой линейной функции вида у = ^% + 1 параллелен графику функции，= — 0,4х. Найдите значение коэффициента 力 и выясните, принадлежит ли этому графику точка М (50; 一 19).
Задайте формулой линейную функцию, графиком которой служит прямая, проходящая через точку А (2; 3) и парал* лельная графику функции у = 1,5к —3・ Постройте ее график.
График линейной функции — прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку М (5; 8). Задайте эту функцию формулой.
Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций:
у = 4% + 9 и у = 6х —5; в) у = 10* —7 и у = 5;
у = 16х —7 и у = 21% +8; г) у = 0,1х и у = 14.
ГЛАВА
СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
СТЕПЕНЬ И ЕЕ СВОЙСТВА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Произведение нескольких одинаковых множителей можно записать в виде степени. Например, 5・5・5・5・5・5・5 = 57.
Выражение 57 читают по-разному: «Пять в седьмой степени», «Седьмая степень числа пять*, «Степень числа пять с показателем семь».
Определение. Степенью числа а с натуральным показателем л, большим 19 называется произведение п множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.
Степень числа а с показателем п обозначают так: а"・ Выражение ап называют степенью, число а — основанием степени, число п — показателем степени.
По определению степени:
а = а, а — аа, а —- ааа, а — аааа^
Вообще,
а・
Нахождение значения степени называют возведением в степень. Приведем примеры возведения в степень:
34 = 3 3 3 3 = 81; 02 = 0-0 = 0;
(-6)з = (-6)・(一6)・(一6)=-216; Т=9・
Ясно, что при возведе耳＞ш в степень положительного числа получается положительное число; при возведении в степень нуля получается нуль.
}рн возведении в степень отрицательного числа может полупиться как положительное число, так и отрицательное. Например,
(_2)』一2;
(一2)2 = ( - 2).(一2) = 4;
(一2)3 = (一2).(一2).(一2)=-8;
(-2)4 = (-2).(-2).(-2).(-2) = 16.
Степень отрицательного числа с четным показателем есть число положительное, так как произведение четного числа отрицательных множителей положительно. Степень отрицательного числа с нечетным показателем есть число отрицательное, так как произведение нечетного числа отрицательных множителей отрицательно.
Квадрат любого числа есть число положительное или нуль, т. е. с^^Оурн тоболГа.
Вычислим убиения нескольких выражений, содержащих степени./
Пример 1. Найдем значение выражения 4« 103:
1) 103 = 10.10.10==100t); 2) 4.1000У4000.
Значит, 4-103 = 4000.
Пример 2. Найдем значение выражения ——26 + ( —З)4:
26 = 64;3) (-3)4 = 81;
-2б=-64;' 4) -64 + 81 = 17.
Значит, -26 + (-3)4 = 17.
397. Запишите произведение в виде степени:
0,9 0,9 0,9;(一6).(一6).(一6).(一6);1444^ г)(-1)-(-1)-(-1>д) 5 • 5• 5;25 раз0,9 0,9 0,9;(一6).(一6).(一6).(一6);1444^ г)(-1)-(-1)-(-1>д) 5 • 5• 5;25 разCCCCCCC； ж) уу ... у ;
0,9 0,9 0,9;
(一6).(一6).(一6).(一6);
1444^ г)(-1)-(-1)-(-1>
д) 5 • 5• 5;
25 раз
0,9 0,9 0,9;
(一6).(一6).(一6).(一6);
1444^ г)(-1)-(-1)-(-1>
д) 5 • 5• 5;
25 раз
3)(-$ (-Х)(-Х)(-Х)(-Х)；
(а—Ь)(а-5^)；
(ху) (ху) (ху) (%у) (*у).
показатель степени:показатель степени:Назовите основание и
показатель степени:
показатель степени:
а) 3,54; 6) (-0,1)3; в) 8042; г) (-100)4; д) (-а)6; е) (-^ х)\
Используя определение степени, представьте степень в виде произведения.
Выполните возведение в степень:
24; в) 53; д) (-7,8)2； 挤)信)\
42; г) З5; е) (-1,5)3; з)(— 告)：
Найдите значение степени:
252;в) 73;д) (-О,*冰)(一十)\
84;г) 75;е) (-2,4)2;3)(一^)：
б) в виде куба число: 64; —216; 0,008;б) в виде куба число: 64; —216; 0,008;164164；4；41727*1727*
б) в виде куба число: 64; —216; 0,008;
б) в виде куба число: 64; —216; 0,008;
164
164
；4
；4
17
27*
17
27*
401. Заполните таблицу:
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2〃
Зп
402. Представьте:
а) в виде квадрата число: 0,81; 0Д6; 144; ^^; 1爵；0,0004;
403・ Представьте в виде квадрата или куба число:
а) 8; б) 81; в) 125; г) 64; д) 0,25; е) 0,001; ж) 3-|-; з) 1^.
Сравните:
712 и 0;в) (-5,9)3 и (~5,9)2;
( - 25)3 и 0;p) ( - 2,3)时 и(一8,6/.
Выполните действия:
а) 7・52;в) ( — 0,4)3;д)-3-25;
6)(7・5)2;- г) -0,43；е) -б2.(-12).
406・ Найдите значение выражения:
63:2;в) ( — 0,1)4;д) 0,6・(一2)4;
(6:2)3;г) -0,1—е) -1О.(-О,2)3.
Вычислите:
а) 9-(А)2;в) (ТО，；д) 4.53;ж)-24-15;
б)(9・誓)2；г) -106;е) —5З;з) 2700-(-ОД)3.
80
408. Выполните действия:
闺 5表•(•})" + 9;
а) 72 + 33;
г) 10-5-24;
б) 62 + 82;
д) 2；34~3.24;
3)15-|.0,43 + (-1)6；
в) (6 + 8)2；
е) 2-53 + 5-23;
н) 3"Ь(2т).
409. Вычислите:
а) 102-32;
в) —62 —( —I)4;
д) 0,2.33-0,3.24;
б) (Ю-З)2;
г) -83 + (-3)3;
е) 8 • 0,53 + 25 ・ 0,22.
Найдите значение выражения:
а) 8х3 при х = — 2; —1; 0; 3; б) 70 —а2 приа= —25; 1; 10. 411・ Найдите значение выражения:
а) 0,01у4 при у— —2; 3; 10; б) 2c? + 3 при с = —11; 0; 15.
Чему равны значения выражений:
х2; — х2; ( —х)2 при х = 9; —6;
х3; — х3; ( —х)3 при х = 4; — 3?
Вычислите значение выражения х5 + х4 + х3 + х2 + х при х= — 1; 0; 10.
414・ Найдите значение выражения 2х4 — 5х3 -{- х2 + Зх 4- 2 при х = 5; —5.
Представьте произведение в виде степени с основанием а:а) а%； б) а%?; в) а%б；г)。20al2
Объясните, почему при любых значениях переменной х значения выражений 4х2 и (х —8)2 являются неотрицательными числами.
417・ Докажите, что выражения 絞 + 工 и 3 + (5 —。了 принимают только положительные значения.
Прочитайте выражение:
(х + у)2；в) (х-у)2;д) (%-у)з；
х2 + у2;г) х2 —у2;е)炉 + дЗ.
Запишите в виде выражения:
квадрат суммы чисел х и 1;
сумму квадратов чисел а и Ь;
разность куба числа т и квадрата числа п;
произведение четвертых степеней чисел а и Ь.
Упражнения для повторения
За три дня художественную выставку посетило 8400 человек. Число посетителей в первый, второй и третий дни пропорционально числам 2, 2, 3. Сколько человек посетило выставку в каждый из трех дней?
Найдите стороны четырехугольника, если известно, что они пропорциональны числам 2, 3, 3 и 4, а периметр четырехугольника равен 72 см.
Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции у = 1,2% —30 с осью х и осью у.
Принадлежит ли графику функции у= — х2 + 7,25 точка: а) М(3,5; -5); 6) Р(-1,5; 5)?
20. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ
Выражение а2а3 представляет собой произведение двух степеней с одинаковыми основаниями. Это произведение можно записать в виде степени с тем же основанием:
а%? = (аа)« (та) = ааааа = а5.
Значит,
а%з =必+з =公.
Мы видим, что произведение а2а3 равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей перемножаемых степеней.
Докажем, что для любого числа а и произвольных натуральных чисел тип
атаГ = ат+п.
Для этого, используя определение степени и свойства умножения, представим выражение атап сначала в виде произведения множителей, каждый из которых равен а, а затем в виде степени:
атап = (аа ... а) • (аа ... а) = аа ... а = ат + п.、一 1sz-—^^―V -^^―^z—^
т разп раз 加十〃 раз
Таким образом.
Доказанное равенство выражает свойство произведения степеней. Его называют основным свойством степени. Оно распространяется на произведение трех и более степеней.
Например,
amanak =0加+%左=a5+〃)+也=礙+"+匕
Отсюда следует правило умножения степеней: @р“ улто- жтйи степеней с одинаковыми основаниями основание оставь “шот прежним, а показатели степеней складывают.
Приведем примеры:
±%7 = #8 + 7 = #15, gy5 = g 1 у 5 = у 1 + 5 = у 6,62 b4 b3 =标 + 4 + 3 = j.
Выражение а7:а3 является частным двух степеней с одинаковыми основаниями. Это частное при а#=0 можно представить в виде степени с тем же основанием. Действительно, так как а3 • а4 = а7, то по определению частного
07：q3 = @4
Мы видим, что частное а7:а3 равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя.
Докажем, что для любого числа q#=0 и произвольных натуральных чисел тип, таких, что т>п,
a :q =0・
Покажем, что ат~пап=ат.
Действительно, по основному свойству степени (fl-na^^(^m-^n = ari-n^n^a!n.
Значит, по определению частного ап:ап = ат^.
Итак, при делении стептей с одикако&ыми основаниями основание оставляет прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Приведем примеры:
V • С V — С 9 〃 •夕夕 • g — 夕 —夕 ・
Мы вывели правило деления am на @" для случая,/когда т> п. Если это правило применить к частномКх^*^", то получится
art:an=art-n=a°.
Степень с нулевым показателем не была определена. Так как при всяком а=/=0 и любом натуральном 几 ал:ал=1, то считают, что при q=/=0 q°=1・и
Определение. Всякое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
Например, 2° = 1, ( — 3,5)°= 1. Выражение 0° не имеет смысла.
Теперь, после введения нулевой степени, мы можем применять формулу ^а!1 = ат+п и в том случае, когда т = 0 или 几=0 (при а=#0). Точно так же формула ат:ап = ат~п справедлива и тогда, когда т^пу тп = О или 〃 = 0 (при а=#0).
Представьте произведение в виде степени:
х5х8;в)沙4y9；д) х9х;ж) 26・2‘；
а6а3;г) b8b15；е) ууп;з) 75-7.
425・ Запишите в виде степени произведение:
а)加3加8；в) с’с%д)。絞；ж) 59-58;
х4х4;г) рЗр"；е) Ь2Ь;з) "З3-З3.
Представьте степень в виде произведения двух степеней с тем же основанием каким-нибудь способом:
а) х10; б)严； в) 212; г) 517.
Представьте выражение х6 в виде произведения двух степеней с основанием х всеми возможными способами.
Предстдвьте в виде степени произведение:
х2х5х4;в) тт3т2тъ;д) 102-103-105;
у3у2у；г) р^рр\е) 34-32-33-3.
429・ Запишите 卫 виде степени выражение:
т3т2т8;в) хх4х4х;д) 78-7-74;,
а4а3а2;г) n5nn3n6;е) 5-52*53«55,
Представьте в виде степени:
58.25;в) 615 36;д) 0,45-0,16;
312 27;г) 2%32;е) 0,001-ОД4.
Представив в виде степени выражение, найдите его значения по таблице степеней числа 2, помещенной на форзаце учебника:
а) 24-2;б) 26 4; в) 8 27; г) 16-32.
84
432・ По таблице степеней числа] 3, помещенной на фор заце учебника, найдите значение выражения, представив его в виде степени с основанием 3:
^ 32 35; б) 81-З6; в) 9-2187; г) 27-243.
Представьте выражение в виде степени с основанием с:а) (с4)2; б) (с2)4.
Представьте в виде степени частное:
х5:х3;в) МУа;д) с12:с3;ж) 38:35;
р°：У；г) Ь19:Ь18; е) p2°:pi°; з) 0,79:0,74.
Выполните деление:
к°:"；в) %i5：%4； д)ю16：Ю12;
а8:а4;г) у9：у;е) 2,316:2,37.
Представьте степень в виде частного степеней с тем же основанием каким-нибудь способом:
а)巒；б) х6;в) 24;г) 0,55.
Найдите значение выражения:
56:54;в) 0,51°:0,57;д) 2,7313:2,7312;
10电 10%Г)(11)8：(Н)6； е) (-f)7：(-T)4-
Вычислите:
丿丿 35.36 '丿 518 '' 0,64.0,65 •
Упростите выражение:
а) хпх3; б)。2。团；“ в) кг"； г)，：у4； Д)c9:cw; е) kn:k.
Вычислите:
а) 7° + 3.25; б) (4.210)0; в) (8°-2-3)3; г) -42-12.6°.
Найдите значение выражения:
Зх° при х = 2,6;Q^lOMb。при а=—3, Ь=—8;
—2；5yo при у=—1 告；г) 27а%з при。=告，с=—-^・
Выполните действия:
а) Ь4Ь0;. б) с5：с°; в) а%。； г) х3:х°.
Упражнения для повторения
Постройте график функции, заданной формулой у = х ——3. Найдите по графику значения функции при х = 4 и х = 6. Как изменяется значение функции при возрастании х от 4 до 6?
Принадлежит ли графику функции, заданной формулой д = %3—з%2, точка 厶(7； 196);'точка 5( — 5; — 200)?
Кусок гранита объемом 40 ем3 имеет массу 108 г. Какова масса куска гранита, объем которого на 35 см3 больше?
21. ВОЗВЦЦЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СТЕПЕНИ
Выражение (。6户 является степенью произведения множителей а и Ь. Это выражение можно представить в виде произведения степеней а и Ь:
(аЬ)4 = (а}) • (а&). (аЬ) • (ab) = ab • ab • ab • ab = (аааа) • (bbbb)=後 bt
(аЬ)4 = а464.(аЬ)4 = а464.Значит,
(аЬ)4 = а464.
(аЬ)4 = а464.
Мы видим, что четвертая степень произведения аЪ равна
произведению четвертых степеней множителей а и &.
Докажем, что для любых а и Ь и произвольного натураль
ного числа пного числа п/(Qb)“ = Q”b"・/(Qb)“ = Q”b"・
ного числа п
ного числа п
/(Qb)“ = Q”b"・
/(Qb)“ = Q”b"・
По определению степени
(аЬ)п = (а6).(аЬ). ... -(ab).
Сгруппировав отдельно множители а и множители Ь, получим :
(аб)-(аЬ)* ... -(аЬ) = (аа ... a)・(bb ... &).
п раз л разп раз л раз
п раз л раз
п раз л раз
п раз п разп раз п разСледовательно,Следовательно,Воспользовавшись определением степени, находим: (аа ... a)-(bb ... b) = a"b".
п раз п раз
п раз п раз
Следовательно,
Следовательно,
о(aby=a"bn・
Свойство степени произведения, выраженное равенством (аЬ)п = апЬл, распространяется на степень произведения трех и более множителей. Например,
(2yz)5= 25y5z5= 32g5z5.
Отсюда следует правило: (дри возведении в степень произведения возводят в зту степень каждый множитель и результаты перемножают.
Выражение (а5)3 есть степень, основание которой само является степенью. Это выражение можно представить в виде степени с основанием а:
(а5)3 = а5а5а5 = а5+5+5 = а15.
В результате возведения степени а5 в третью степень мы получили степень с тем же основанием и показателем, равным произведению показателей 5 и 3.
Докажем, что для любого числа а и произвольных нату~ рольных чисел тип
(" = а叫
По определению степени
(ат)п = атат...ат.
Согласно основному свойству степени
л раз
атат...ат = ат + т+ '+т. 、・7^7^
Заменим сумму 加 + 加 + …+ 加 произведением тп. '^
п раз
Тогда получим:
尸 " i 一、
。加十 m+ +т=атп9
Следовательно,
(0加)〃=0叫
Из равенства (а^ = amn следует правило: ^при возведении степени в степень основание оставляют тели же, а показатели перемножают.
Свойства степеней, выраженные формулами (ab)" = a"b' и (ат)п = атп9 имеют место и для степеней с нулевым показателем (если основания отличны от нуля).
Выполните возведение в степень:
3/)4；в) (2х)3;д) (-5%у)з；ж) ( —0,2ху)4;
(abc)5;г) (ЗаЬ)2;е) ^\ОаЪс^\з) (-0,5М)3.
447, Возведите в степень:
(тп几У；в) ( —Зур;д) (Юхг/)2;
(xyz)2;г) ( —2ах)3;е) ( — 2abx)4.
Найдите значение выражения:
а) (2-10)3;6) (3・ 100)4.
Докажите, что: а) квадраты противоположных чисел равны; б) кубы противоположных чисел противоположны.
Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 2 раза; в 3 раза; в 10 раз; в п раз?
・ Как изменится объем куба, если его ребро увеличить в 2 раза; в 3 раза; в 10 раз; в п раз?
Представьте в виде степени произведение:
Ь3х3;в) х2у222\д) 32а5;.
а7у7;г) ( —а)3Ь3;е) 09027 т3.
Найдите значение выражения:
24-54;в) 0,25,5.415;д) (-|) -1,49；
43-253;г)(告)7.1,57；е) 0,26.507.
Выполните возведение в степень:
(х3)2;в) (а5)4;Д)(у?/ж) (Ь3)3；
(%2)3；г) (а6)3;е) (У)?；з) (&5)2.
Запишите в виде степени с основанием х выражение:
а) (х6)4; б) х6х4; в) х2х2; г) (х2)2; д) х2х3х4; е) ((х2)3)4.
Представьте в виде степени с основанием а выражение: а) (а5)2;б)歩炉；в) (а’з；「) 。3。4；д)絞絞；е) (dy.
Представьте в виде степени с основанием а:
а) а”з；6) аат;в) а2ат;г) (а2)т;д) (ап)3;е) (а3)п.'
Представьте в виде степени с основанием 5 число: а) 254; б) 1253; в) 6252.
Представьте 220 в виде степени с основанием:
а) 22; б) 24; в) 25; г) 210.
460・ Запишите 260 в виде степени с основанием:
а) 4; б) & в) 16; г) 32.
464. Упростите выражение:
а) х5-(х2)3;6) (%3)4.%8； в)(х4)2-(х5)3; г) (х2)3-(х3)5.
465. Найдите значение выражения:
、25.(23)4(5乎57(2乎.、37・27
а)干；6)勺；в)-, Г)而.
Упражнения для повторения
' 466. Докажите, что при любом натуральном 〃 значение дроби 竺 ^"2 есть натуральное число.
Какой цифрой может оканчиваться квадрат натураль-г ного числа? четвертая степень натурального числа?
Известно, что график функции у =论％+ 5,4 проходит через точку А (3,7; —2). Найдите коэффициент k.
На рисунке 42 построен график некоторой функции. Используя график, найдите:
значение у при х, равном —2; —1; 2;
значение х, при котором у равно —0,5; 2.
§ 8. ОДНОЧЛЕНЫ
22. ОДНОЧЛЕН И ЕГО СТАНДАРТНЫЙ ВИД
Выражения 5。？％, 2Ь3 ( —3) Ьс2, —За7, ху2 являются произведениями чисел, переменных и их степеней. Такие выражения.
а также числа, переменные и их^тепени, называют одночленами. —■—
Рассмотрим одночлен 2&3 ( — 3) 6с2. Переставим множители и заменим произведение чисел 2 и — 3 числом — 6, а произведение степеней &3 и 6 степенью &4. Тогда получим:
2bз(_ з)匕巒=2 (— 3) Ь3Ьс2 = - 6b4c乙
Мы представили одночлен 2ЬЗ( —— 3)Ьс? в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Такой вид одночлена называют стандартным видом. К одночленам стандартного вида относятся и такие одночлены, как ——5, о,——а, а3.
Любой одночлен можно привести к стандартному виду, группируя множители и используя основное свойство степени.
Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Например, коэффициент одночлена — 6b4c? равен —6. Коэффициенты одночленов а2 и —ab считают равными соответственно 1 и — 1, так как。2 = 1・。2 и —аЬ= — 1-аЬ.
В одночлене 7ах2у3 сумма показателей степеней всех переменных равна 6. Эту сумму называют степенью одночлена lax^y3. Степень одночлена — 9Ь4с3 равна 7, степень одночлена 35к
—равна 5.
Вообще, степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен не содержит переменных (т. е. является числом), то его степень считают равной нулю.、、
Является ли одночленом выражение:
3,4х2у;г)х2+х;ж)а —Ь;к)с10;
— 0,7ху2;д)х2х;з) 2(% +疗；л)—т;
а ( — 8);е)——^-т3пт2;и) — О,3ху2;м)0,6?
Записан ли в стандартном виде одночлен:
6g/;в) 0,5тп2〃；д) — х2у3;
— 2аЬа;г) — bca;е) 5р%2?
Представьте одночлен в стандартном виде и назовите его коэффициент:
8х2х;в)Зху ( — 1,7) у;д)-|-m2n-4,5n3;
l,2abc-5a;г)6с2 (— 0,8) с;е)2-|-а2х^——~ ^ а3х2.
473・ Приведите одночлен к стандартному виду:
а)削力沙；в)— 8аЬ ( —2,5) Ь2;д)2т3п-0,4тп;
б) 0,15pg-4pg2;г)10а2Ь2 ( — 1,2а3);е)— 2х3-0,5ху2.
90
Найдите значение одночлена:
5х3 при х = 0,5;в) 12炉у при х = — 0,3, У=|~；
— 0,125г/4 при у = — 2;г) — 9%5y? при % = — 1, У =± •
.475. Вычислите значение выражения:
3,7г2 при 2 = 0,4;в) — 3公匕 при а — — 0,1, b = 4;
— 0,5m3 при m = 0,6;г) -^х2у2 при % = — ±, у = 4}・
Ширина прямоугольника равна т см, а длина в 5 раз больше ширины. Найдите площадь прямоугольника.
Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, ширина которого а см, длина в 2 раза больше ширины, а высота в 2 раза больше длины?
Какова степень одночлена:
— 7%5уб；в)0,8т〃％2；д) — 6/и7;
-^abc\г) аЬ2с3；е) 23?
Упражнения для повторения
Функция задана формулой у =^- х. Найдите зна
чение функции при %=—3;等；2,4. При каком х значение у равно 1; —6; —10,2?
Найдите значение выражения:；'
6）諾6）諾V 43.3,0 а) б10
6）諾
6）諾
УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ. ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА В СТЕПЕНЬ
Составим произведение одночленов 2а2Ьс и — За?Ь』и упросим его. Для этого, воспользовавшись переместительным и сочетательным свойствами умножения, сгруппируем числовые множители и степени с одинаковыми основаниями:
2а2Ъс • ( — За2b4) = (2 • ( — 3)) • (а2а2) • (bb‘)с.
Перемножим числовое множители и степени с одинаковыми основаниями:
(2•( — 3))ra%2)・(bbb с= — 6苏匕％.
Мы преобразовали произведение одночленов 2ibc и —За2b4 в одночлен стандартного вида:
2a2bc・(一3a2b4)= — ба%5c
Аналогично можно преобразовать в одночлен стандартного вида произведение трех и более одночленов. Например,
—х2у • 4炉力.(—5第)=—1 • 4 • (— 5) d^xyy2y = 20%6/
Таким образом, при умножении одночленов стандартного вида перемножают их коэффициенты, а показатели степеней одинаковых переменных складывают.
Рассмотрим вопрос о возведении в степень одночлена.
Выражение ( —2а2Ь)3 представляет собой третью степень одночлена — 2а2Ь. Упростим это выражение, воспользовавшись правилами возведения в степень произведения и степени:
、(-20%)3 = (- 2)3 •储)3 •庐=_ 8。6ь3.
Мы преобразовали степень одночлена —202b вzодночлен стандартного вида:
(-202b)3= -8歩Ь3.
Приведем еще один пример возведения в степень одночлена:
(—Х^у2^ = ( — 1)5 • (%3)5 .(*5 = — %15у10.
При возведении в степень одночлена стандартного вида возводят в эту степень его коэффициент, а показатель степени каждой переменной умножают на показатель степени, в которую нужно возвести одночлен.
Выполните умножение:
4%.7g;в)ааь3.ла^；д) - 0,6a2Ь・(一10a庐)；
—8%・5*Г)炉产(一б");е) -г专 川〃4.5涼〃з.
Перемножьте одночлены:
—11х2у И 0,3%2д2；в) 4ху, — X2 И — уЗ;
а5Ь и — аЬ%;г) а2х5д, —Qfiaxb2 и 0,6а2Ь3.
Выполните умножение:
3,5-2тп;г) ад-( —7аЬ2)-4а2Ь;
— 6ах3-9Ьх2;д) 10%2у・(一文十)・0,6%3；
—8a2b2。(一3a^b^}\e) —9ab'За，( — 4b).
Упростите выражение:
а) — 098т2п• (— О,5тп5п7);г) ab-( — ab2)-ab3;
б)。,3产(一~^Х"办Д)"/•( —Н/М—к/；
в) l~|~cd・(——^<?%7)；е) тп (— т5п3) • (— т3п3).
Представьте несколькими способами одночлен 6а?Ь^ в виде произведения двух одночленов стандартного вида.
Представьте одночлен — 12х4у3 двумя способами в виде произведения:
двух одночленов стандартного вида;
трех одночленов стандартного вида.
Выполните возведение в степень:
(Зх2)3; в) ( —2а4Ь2)3; д) ( —а2Ьс3)5；
(4m)2; г) 3%2疗； е) ( — a3b2cf.
Представьте в виде одночлена стандартного вида:
(2Tn3)4；B) (- 0,6m3〃2)3；Д)( 一кg4b2)4；
(За)2;г) 2хуЗ)2；е) (―%2沙3加)5.
Возведите одночлен:
5х2у3 в квадрат;в) — 2тп%2 в четвертую степень;
— 4ах3 в куб;г) — а?» в пятую степень.
Представьте выражение в виде квадрата одночлена:
а) 81%4； б) 121а6; в) 0,09г/12; г)等煦
Представьте выражение в виде куба одночлена:
а) 64х9; б) 0,001晁2；в) _&008Ьб; г) -^а15.
Представьте каждый из одночленов:
9b2c2; 100т2п6 в виде квадрата одночлена;
—。3匕6； _-27х6Ь9 в виде куба одночлена.
493・ Запишите каждый из одночленов:
16х6; 497n2/? и тп8 в виде квадрата одночлена;
а9; — 8тп3 и 1000%3^6 в виде Куба одночлена.
Какой одночлен надо возвести в квадрат (в куб), чтобы получить одночлен:
а)炉式?；б) 1000ОООтп18?
495. Представьте выражение в виде одночлена стандарт-
ного вида:
25a4.(зМ)2；
( 一 3Ь6)4.Ь；
в) 8P15.( —р)4；
г) ( — с2)3-0,15с4;
д) (-Юс).0,0001с";
(3Ь5)2 •告Ь3；
( —2х3)2-^ — ■^冷；
( 一-^У^ —16t/2).
496. Упростите выражение:
a) (%疗•(一3%4力)；
б)в)
0,502ь3.(一2ь)6；
(0,2тп2п)3- 1000тп4п7;
г)
-7с8.(-0,4сЗ)2；
497・ Преобразуйте
( —x2y)3-( —xV);
0,2a2b3 • (— 5а3Ь)2;
Ж)(;m2")3.(- 32m2")；
з) (—l-Pq) •( —27p5q). выражение в одночлен стандартного
вида:
(-0,2Ь6)35Ь;
-0,01a4.(-10a5)3;
B)^"(一好");
r)(3告02)3.81*
д) (2。".(一7。7ь)；
е) — 0,6x7i/7-(0,5xi/2)2;
ж) 10p4Q4-(0,lpg)3;
( —За7b2)4 •击 ab.
Упражнения для повторения
На одном складе было 18 5 т угля, а на другом 237 т. Первый склад стал отпускать ежедневно по 15 т угля, а второй по 18 т. Через сколько дней на втором складе будет угля в полтора раза больше, чем на первом? /
В одном овощехранилище 210 т картофеля, а в другом 180 т. В первое овощехранилище подвозили ежедневно по 90 т, а во второе по 120 т картофеля. Через сколько дней в первом овощехранилище картофеля будет в 1,2 раза меньше, чем во втором?
Прямая, являющаяся графиком функции, заданной формулой у = ^# + Ь, пересекает оси координат в точках А (0; 6) и В ( — 4; 0). Найдите ft и Ь.
Найдите координаты точки пересечения графиков функций у=—0,3% + 5,4 и у = 0,7х —8,4.
9. ФУНКЦИЯ у = %2 и ЕБ СВОЙСТВА
ФУНКЦИИ у = *2 И у = %з и ИХ ГРАФИКИ
На практике часто встречаются функции, которые задаются формулами у = х2 и д = %з. Примерами таких функций служат зависимость площади квадрата от его стороны и зависимость объема куба от его ребра.
Построим график функции у = х2. Чтобы получить представление о графике и его расположении в координатной плоскости, выясним некоторые свойства этой функции.
Если х = 0, то у = 0・ Значит, график проходит через начало координат.
Если х=#0, то у > 0, так как квадрат любого числа, отличного от нуля, есть число положительное. Поэтому все точки графика функции, кроме точки (0; 0), расположены выше оси х.
Противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у. Это следует из того, что (— х)2 = х2 при любом х. Например, если х— —15, то у = (——15)2 = 225; если х = 15, то у= 152 = 225. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, расположены симметрично относительно оси у.
Вычислим координаты точек графика функции у = х2. При этом воспользуемся тем, что противоположным значениям х соответствуют равные значения у. Результаты вычислений запишем в таблицу:
X
一 3
— 2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
У
9
6,25
4
2,25
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
X0,10,20,30,40,50,60,70,80,9У0,010,040,090,160,250,360,490,640,81X0,10,20,30,40,50,60,70,80,9У0,010,040,090,160,250,360,490,640,81Построим точки, координаты которых указаны в таблице (рис. 43). Чтобы точнее построить график вблизи начала координат, вычислим еще несколько значений функции:
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
У
0,01
0,04
0,09
0,16
0,25
0,36
0,49
0,64
0,81
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
У
0,01
0,04
0,09
0,16
0,25
0,36
0,49
0,64
0,81
Из таблицы видно, что график функции вблизи начала координат почти сливается с осью х.
吆-7 О吆-7 ОРис. 44Рис. 44Соединим отмеченные точки плавной линией. Получим график функции у = х2 (рис. 44). Кривую такого вида называют параболой.
吆-7 О
吆-7 О
Рис. 44
Рис. 44
Построим график функции ^ =炉.Сначала выясним некоторые свойства этой функции.
Если х = 0, то у = 0. Значит, график проходит через начало координат.
Если х>0, то у>0; если х<<0, то у <0. Это следует из того, что куб положительного числа есть число положительное, а куб отрицательного числа есть число отрицательное. Значит, график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.
Противоположным значениям х соответствуют противоположные значения у. Это вытекает из того, что при любом значении х верно равенство (— х)3 = — х3. Например, если х———5, то у= —125; если х = 5, то у =125. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, расположены симметрично относительно начала координат.
Составим таблицу, вычислив для некоторых значений аргумента соответствующие значения функции, округлив их до сотых (при этом воспользуемся тем, что противоположным значениям х соответствуют противоположные значения у):
X—2-1,5-1-0,500,511,52У-8-3,38-1-0,1300,1313,388X—2-1,5-1-0,500,511,52У-8-3,38-1-0,1300,1313,388Построим точки, координаты которых указаны в таблице (рис. 45).
X
—2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
У
-8
-3,38
-1
-0,13
0
0,13
1
3,38
8
X
—2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
У
-8
-3,38
-1
-0,13
0
0,13
1
3,38
8
Соединим отмеченные точки плавной линией. Получим график функции у — х3 (рис. 46).
Заметим, что вблизи начала координат
график функции почти сливается с осью х (если х = 0,1, то у = 0,001; если % = 0,2, то у = 0,008; если х = 0,3, то у = 0,027).
Используя график функции у = х2, изображенный на рисунке 44, найдите:
значения у, соответствующие х = 0,75; —1,25; 1,25;
—2,3; 2,3;
значения х, которым соответствует у = 3; 5.〈
3. Пользуясь графиком функции у = х2 (см. рис. 44), найдите:
значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 1,4;, — 2,6; 3,1;
значения аргумента, при которых значение функции равно 4; равно 6;
несколько значений х, при которых значения функции меньше 4; больше 4.
504・ Воспользовавшись графиком функции ^ =炉，изображенным на рисунке 44, найдите:
значение у9 соответствующее % =—2,4; —0,7; 0,7; 2,4;
значения х, которым соответствует у = 2? 0,9;
несколько значений х, при которых значение функции больше 2; меньше 2.
Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 3 раза; уменьшить в 10 раз?
Как надо изменить сторону квадрата, чтобы его площадь увеличилась в 4 раза; в 16 раз?
Постройте график функции у = 0,5%2. Пользуясь построенным графиком, найдите:
、а) значение у, соответствующее х = 1,6; —3,4； 3,4；
б) значения х, которым соответствует у = 3; 5.
Постройте график функции у——х2. Найдите по графику:
значения у9 соответствующие х = —1,25; 1,25; —2,3; 2,3;
значения х, которым соответствует у =—3; —6.
509・ Постройте график функции у= — 0,5х2. Найдите по графику:
значение у, соответствующее х = 2,6; —2,4;
значения х, которым соответствует у= — 4.
Принадлежит ли графику функции у = х2 точка:
а) Р(-18; 324); б) Q (102; 10 404); в) Я (-99; -9801)?
Используя график функции у = х3, изображенный на рисунке 46, найдите:
значение у9 соответствующее х = 1,4; —1,4; —1,8; 1,8;
значение х, которому соответствует у=—4; 4.
512・ Пользуясь графиком функции у = х3 (см. рис. 46), найдите:
значение функции, соответствующее значению аргумента, равному —0,7; 1,3;
значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное 3; равное —3;
несколько значений аргумента, при которых значение функции больше — 3, но меньше 3.
Как изменится объем куба, если его ребро увеличить в 2 раза; уменьшить в 3 раза?
Как надо изменить ребро куба, чтобы его объем увеличился в 64 раза?
Постройте график функции у=—д?. Найдите по графику:
значение у, соответствующее х = 0,7; —1,3;
значение х, которому соответствует у = 4.
6. Принадлежит ли графику у = х3 точка:
а) А (-0,2; -0,008);6)В(1 告；3告)；в)С(—*;^)?
517・ Принадлежит ли точка М (2; 16) графику функции: а) у = 4%2;б) у = 2%з； в) у = х\ г) у= — 8х2?
В одной и той же системе координат постройте графики функций у = х2 и y = #T где х^0. Пользуясь построенными графиками, сравните:
а) 0,492 и 0,493; б) 1,52 и 1,53; в) 2,72 и 2,73.
Упражнения для повторения
На покраску квадратной плитки израсходовали 20 г краски. Сколько краски потребуется, чтобы покрасить плитку, имеющую форму квадрата, сторона которого в 3 раза больше (обе плитки окрашиваются с одной стороны)?
Резервуар, имеющий форму куба, наполняется при помощи насоса за 45 мин. За какое время наполнится тем же насосом резервуар, имеющий форму куба, ребро которого вдвое больше?
521 ・ Сравните значения выражений:
0,316 и ( — ОЗ)%в) —5,64 и (-5,6)%
( 一 1,9产 и 1,921;г) -0,8й и 一0,8)".
Найдите координаты точки пересечения графиков функций у = 8,5% и у = 0,5% —19,2・
25. ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ
В практике вычислений часто используются математические таблицы, которые являются таблицами значений различных функций. Рассмотрим таблицу значений функции у = %2, взятую из «Четырехзначных математических таблиц» В. М. Брадиса без столбцов поправок (см. с. 208, 209).
Покажем, как находить по этой таблице квадраты чисел от 1 до 10, записанных не более чем тремя цифрами.
Найдем по таблице квадрат числа 1,84. Для этого возьмем строку, которая начинается с числа 1,8 (первые две цифры числа 1,84), и столбец под номером 4 (третья цифра числа 1,84). В их пересечении записан искомый квадрат. Получаем, что 1,842« 3,386.
Найдем теперь квадрат числа 2,3・ Так как 2,3 = 2,30, то искомый квадрат помещен на пересечении строки, начинающейся с 2,3 и столбца под номером 0. Получаем 2,32« 5,290.
Если число, большее 1 и меньшее 10, записано более чем тремя цифрами, то для нахождения по таблице квадрата этого числа его предварительно округляют.
Например: 7,687% 7,69%59,14.
С помощью той же таблицы можно находить квадраты и других чисел.
Если число больше 10, то его представляют в виде произведения числа из промежутка от 1 до 10 и некоторой степени числа 10.
Найдем, например, значение степени 34,62.
Имеем:
34,62=(3,46 • 10)2 = 3,462 102.
По таблице находим, что 3,462« 11,97. Значит,
34,62«11,97 100 = 1197.
Если положительное число меньше 1, то его представляют в виде произведения числа из промежутка от 1 до 10 и дроби вида 0,1; 0,01; 0,001 и т. п.
Найдем, например, значение степени 0,3572.
Так как 0,3572=(3,57 0,1)2 = 3,572.0,М и 3,572^12,74, то 0,3572«12,74 • 0,01 = 0,1274.
Рассмотрим более сложный пример возведения числа в квадрат с помощью таблицы.
Найдем значение степени 567,62.
Округлив число 567,6 так, чтобы в нем осталось три цифры, получим 568. Имеем:
567,62 ^ 5682 = (5,68 • 100)2 = 5,682 • 10 000 «内 32,26 -10 000 = 322 600.
Найдите с помощью таблицы квадраты чисел:
2,34; 5,12; 8,37; 9,56; 3,04; 6,19;
1,3; 4,7; 2,8； 5,7; 8,3; 7,2; 9,6.
Найдите по таблице квадраты чисел:
а) 5,24; 52,4; 524; 0,524; б) 1,31; 0,131; 131; 1310.
Найдите по таблице:
0,3892;в) 9342;д) 0,5822; ж) 0,06782;
0,7162;г) 61,72; е) 23,42；з) 98 7002.
526・ Найдите по таблице квадратов:
1,372; 3,842; 7,082; 9,42; 5,52;
39,92; 4652; 0,7662 ; 0,0392; 10802.
Найдите с помощью таблицы квадрат числа:
а) 3,1238; . б) 5,6073; в) 26,96; г) 0,01234.
528・ Возведите в квадрат с помощью таблицы число:
а) 8,2357; б) 4,1023; в) 78,19; г) 0,6137.
Найдите с помощью таблицы площадь квадрата» сторона которого равна: а) 6,34 м; б) 25,7 дм; в) 0,685 км.
Радиус круга равен 2,81 м. Воспользовавшись формулой S = лг2, найдите площадь круга, взяв л ^3,14. Результат округлите до десятых.
53L Найдите площадь поверхности куба, ребро которого равно 3,3 дм. Результат округлите до десятых.
Найдите с помощью таблицы значения функции у = 2尤2 для значений х от 6 до 6,1, взятых через 0,01. Результаты округляйте до десятых.
100
Упражнения для повторения
Какие из графиков линейных функций у = 3,7 — 1,2х, у = 1,2х, у=——|-х + 4 и у = — 1,2х параллельны графику функции у= —1,2% + 2?
Найдите координаты точки пересечения графиков функций:
а) у = 0,8х—10 и ^ = 3 + 告用 б) у = 4,7%—1,1 и у = 4,4х+1,3.
В одном мешке 55 кг крупы, а в другом 63 кг. Из второго мешка взяли вдвое больше крупы, чем из первого, после чего в нем осталось на 5 кг крупы меньше, чем в первом. Сколько килограммов крупы взяли из каждого мешка?
26. АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Измеряя те или иные величины, мы получаем их при6ли・ женные значения. Так, используя линейку с миллиметровой шкалой, найдем, что длина отрезка АВ (рис. 47) приближенно равна 4,3 см:
АВ «4,3 см.
Число 4,3 является приближенным значением неизвестного нам числа, выражающего длину этого отрезка.
Приближенные значения получаются также при округлении чисел. Например, округляя дроби 5,617; 41,862; 0,45; 2,033 до десятых, получаем:
5,617 «5,6; 41,86衿 41,9; 0,45 «0,5; 2,033^2,0.
Мы уже встречались с приближенными значениями чи- cej^ когда пользовались таблицей квадратов. Найдем по этой таблице значение выражения 7,352:
7,352 q 54,02.
Выполнив умножение, получим точное значение этого выражения:
7,352 = 7,35 • 7,35 = 54,0225.
Приближенное значение выражения 7,352, найденное по таблице, отличается от его точного значения на 0,0025:
54,0225 — 54,02 = 0,0025.
Таким же образом найдем приближенное и точное значения выражения 7,342. Таблица квадратов дает приближенное значение:
7,342^53,88.
С помощью умножения получаем точное значение:
7,342 = 7,34 • 7,34 = 53,8756.
В этом случае приближенное значение отличается от точного на 0,0044, так как
53,88 - 53,8756 = 0,0044.
Чтобы узнать, ка сколько приближенное значение числа отличается от самого числа, надо из большего числа вычесть меньшее. Иначе говоря, надо найти модуль разности числа и его приближенного значения. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.
Определение. Абсолютной погрешностью приближенного значения числа называется модуль разности числа и его приближенного значения.
Так, в рассмотренном примере абсолютная погрешность приближенного значения 54,02 равна 0,0025, а абсолютная погрешность приближенного значения 53,88 равна 0,0044, так как
I 54,0225-54,02 | = | 0,0025 | =0,0025;*
I 53,8756-53,88 | = | —0,0044 | =0,0044.
Найти абсолютную погрешность не всегда возможно. Мы не можем, например, найти абсолютную погрешность приближенного значения 4,3, полученного при измерении длины отрезка АВ на рисунке 47, так как не знаем точного значения. В таких случаях важно указать такое число, больше которого абсолютная погрешность не может быть. В примере с измерением длины отрезка можно сказать, что абсолютная погрешность меньше 1 см. Однако это грубая оценка. Можно дать более точную оценку: 0,1 см. Это означает, что абсолютная погрешность приближенного значения 4,3 меньше 0,1.
Еще пример. Пусть при округлении некоторой десятичной дроби х до сотых получили 8,62:
%q8,62.
Промежуток коорднватной пря-8,62
мой на рисунке 48 содержит все —I—1~L，」.I I I/■」/ | ・ числа, при округлении которых &"方&62$
получается 8,62. При округленииРис. 48
десятичной дроби она могла как увеличиться, так и уменьшиться, но не более чем на 0,005. Следовательно, абсолютная погрешность приближенного значения 8,62 не больше чем 0,005. Говорят, что 8,62 есть приближенное значение числа х с точностью до 0,005.
Вообще, если абсолютная погрешность приближенного значения не превосходит некоторого числа 居 то это значение называют приближенным значением с точностью до h.
Точность приближенного значения зависит от многих причин. В частности, если приближенное значение получено в процессе измерения, то его точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение. Наприм^), на медицинском термометре деления нанесены через 0^1°. Он дает возможность измерять температуру с точностью до 0,1°. Комнатный термометр, на котором деления нанесены через 1°, позволяет измерять температуру с точностью до 1°. С помощью торговых весов, у которых цена деления шкалы 5 г, можно взвешивать с точностью до 5 г.
При округлении десятичных дробей до десятых, сотых* тысячных и т. д. получаются приближенные значения с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Например, округлив число 2,513 до десятых, получим 2,5・ Число 2,5 является приближенным значением числа 2,513 с точностью до ОД. Действительно,
I 2,513-2,5 1=0,013 <0,1.
Найдите по таблице квадратов приближенное значение площади квадрата со стороной: 4,24 см, 5,87 дм и 6Д1 см. Вычислите абсолютную погрешность каждого приближения.
Округлите числа 17,26; 12,034; 8,654 до десятых и найдите абсолютную погрешность каждого из приближенных значений.
Найдите абсолютную погрешность приближенного значения, полученного в результате округления:
числа 9,87 до единиц;в) числа 0,453 до десятых;
числа 124 до десятков; г) числа 0,198 до сотых.
539・ Найдите абсолютную погрешность приближенного значения, используя приближенное равенство: а) 2,8413^2,84;в) 0,0569«0,057;
31,192^31,2;г) 487,81^488.
Представьте число 告 в виде десятичной дроби и округлите эту дробь до десятых, до сотых, до тысячных. В каждом случае найдите абсолютную погрешность прибли- женного значения.
При вычислении дробь -у заменили десятичной дробью 0,14. Какова абсолютная погрешность этого приближения?
В сумме 告+M каясдое слагаемое представили в виде десятичной дроби с одним знаком после запятой и выполнили сложение. Найдите абсолютные погрешности приближенных значений слагаемых и суммы.
Найдите по графику функции у = х2 (см. рис. 44) приближенные значения у при х = 0,7; 1,8; 3,4- Вычислите абсолютную погрешность каждого из приближенных значений.
Найдите с помощью графика функции у = х2 приближенные значения у при х = 0,9; 1,5; 2,3. Вычислите абсолютную погрешность каждого из приближенных значений.
Измерьте с помощью транспортира каждый из углов, изображенных на рисунке 49. Какова точность полученных результатов?
546・ Начертите острый угол и измерьте его с помощью транспортира. Какова точность полученного результата?
При измерении длины стержня пользовались линейкой с миллиметровыми делениями, штангенциркулем (цена деления 0,1 мм) и микрометром (це- 夕на деления 0,01 мм). При этом
./были получены результаты:
/17,9 мм, 18 мм, 17,86 мм. Ка-
\/ким инструментом выполнено
\nL каждое из указанныхизме-
\рений и какую точность дает
\ каждый инструмент?
6С 548. С помощью весов и
Рис. 49гирь установили, чтомасса
арбуза больше 5 кг и меньше 6 кг. В качестве приближенного значения массы взяли среднее арифметическое 5 кг и 6 кг. С какой точностью выбрано это приближение?
549. Покажите, что каждое из чисел 0Д6 и 0,17 является приближенным значением числа -|- с точностью до 0,01. Какое из них является приближенным значением числа -|» с точностью до 0,005?
550・ Найдите приближенные значения с точностью до 0,1 числа 1-у, выраженные десятичными дробями с одним знаком после запятой.
Упражнения для повторения
Чтобы попасть на турбазу, туристы должны преодолеть расстояние в 252 км. Часть пути они проехали на автобусе, а остальное расстояние прошли пешком, причем на автобусе они ехали на 2 ч больше, чем шли пешком. Сколько времени шли туристы пешком, если известно, что скорость автобуса 60 км/ч, а шли туристы со скоростью 6 км/ч?
Постройте график функции:
а) у= —6,5;б) у = 7,2・
Вычислите:
б7・78 ・445
)427 '丿 Ц3.210 *
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ш
К параграфу 7
Верно ли равенство:
а) 32 + 42+52 = 62;б) (1 + 2 + 3 + 4)2=13 + 23 + 33Ч-43?
Разложив число на простые множители, представьте его в виде произведения степеней простых чисел:
а) 54; б) 144; в) 225; г) 500.
55в. Представьте число в виде степени с основанием 2 или 3:
а) 64; б) 81; в) 512; г) 729; д) 1024.
Представьте число в виде суммы степеней числа 2: а) 6; б) 18; в) 42.
Представьте число в виде степени с показателем, отличным от 1:
а) 121; б) -32; в) 0,125; г) 625; д) -0,216; е) 0,343.
Найдите значение выражения:
0,001х5 при х= —2;в) %2y4 при х = 5, у = 2;
1000^3 при у = 0,1;г) Зх3у3 при %=—2, у=—5・
Найдите значение выражения ( — 1)п при п, равном: а) 6; б) 11; в) 23; г) 70.
Вычислите:
сумму кубов чисел 5 н — 3;
куб суммы чисел 9 и —11;
разность квадратов чисел 12 и 8;
квадрат разности чисел 96 и ——4.
Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:
(-0,03)8 и 0; в) (-1,75)3 и(__0,29)2;
0 и (-1,25)7; г) 0,986 и 1,026.
Что больше и на сколько:
23 или З2;в) 2-32 или 3-23;
52 или 25;г) (11 + 19)2 или 112 + 192?
Сравните значения выражений а2 и а3 при а, равном: а) —12; б) 0; в) 5.
Найдите при х= 1,5 и х= —2 значения выражений: а) х2; — х2; ( —%У； б) х3; — х3; ( —х)3.
566・. Какие из чисел — 3, —2, —1, 1, 2, 3 являются корнями уравнения:
х4 = 81;в) х2 —х = 2;д) х3 —Зх2 —4х+12 = 0;
х6 = 64;г) х4 + х3 = 6х2;е) х3 + Зх2 —х—3 = 0?
Докажите, что не имеет корней уравнение:
х24-1 = 0; б) 2х6 + Зх44-х2 + 1 = 0.
5в8. Докажите, что уравнение %4 + 3%3 + 2%2 + % + 6 = 0 не имеет положительных корней.
Может ли уравнение %6—%5 + %4一炉 + 炉—%+1=0 иметь отрицательные корни?
Упростите выражение:
а) а10а12 ( — а5); б) х (— х) (— х6);в) yky3y2; г) ЬЯ&ЛЬ3.
Представьте выражение в виде степени:
а) 25.8; б) 16-64; в) 7л 343; г) 81-3\
Представьте выражение в виде произведения двух множителей, один из которых равен а5:
а)苏°; б) а6; в) —а”.
Замените х степенью с основанием с так, чтобы полученное равенство было тождеством:
а) с2х = с5; б) хс5 = с9; в) сб% = с"; г) с’хмс^.
Замените частное степенью:
а) Ь,5:Ь12; б) 739:713; в) а":а; г) 12,00:12".
Найдите значение выражения:
а) 13,00:1398; в) 214:84; д) 5,0:254;
38・27 ・)95・59 ・)38.58
) 36.25 '丿 39.510，丿 3 0 57 .
Упростите выражение:
a) 6叶3：6"；б) 10"+1：10〃一1.
Вычислите:
a) (217-43,07.4)。+ 5•告；б) 17,83。.6,4+今2,8.
Упростите:
а) (-，(一 1)“；6) ( —1 产：(一1)з.
Площадь круга вычисляется по формуле S = лг2, где г — радиус круга. Как изменится площадь круга, если его радиус увеличить в 3 раза; в 7 раз?
Объем шара вычисляется по формуле У=-|-лг3, где г — радиус шара. Как изменится объем тара, если радиус увеличить в 2; в 4 раза?
Найдите значение выражения:
а) 45・2,55;в) 0,29-57;д) 0,2-253;
6)(告广・3?г) 0,410.2,512;е)佶у.814.
Сравните значения выражений:
107 и 28-57;в) 2525 и 250 - 350;
612 и 2,3.Зн;г) 6330 и 36。・53°・
Представьте выражение в виде 3〃 или ——3":
а) ( — 33)2；6) (—ЗУ； в) -(34)2； г) -( — 32)3.
Упростите выражение:
а) (%3)2.( —#3)4；в) (%7)5.(_%2)6；
6)(73)7.(-力5；г) (一c9)4.(c5)2.
Замените букву р выражением так, чтобы полученное равенство было тождеством:
a)卢=#20；В)P3e8 = c20;"
р7 = %21；Г) у7.(у2)4 = р5.
Представьте в виде степени:
а) 45-221; б) 513.25"; в) 85-163; г) 2710-915.
Представьте выражение в виде хп или — хп:
а) ( — X3)7; б) ( — X2)5; в) ( —х)4х8; г) (—х5)7-(х2)3.
Сколькими способами можно представить в виде степени с показателем, отличным от 19 число: а) 215; б) 26?
К параграфу 8
Вычислите значение одночлена:
7q3 при а = 0; 1; —1; —0,1； 0,2;
— 4х3 при х=2; —3; 20; —0,2; 0,5・
Найдите значение выражения:
а) —4,5ab при а=—6, Ь = 3-|-; а=-|-, Ь=—|-; а=—|-,
2257n2〃2 при т= — 1-у> 〃 = 1"|"； тп= —0,2, 〃=—0,5;
/П = 0,几=—6； 7n = -|~, 〃 = 3-|»・
Какова степень одночлена:
8%зу；в) 09b9;д) — 8х°;
— 10аЬ2с3;г) —%”；е) 2,4?
Представьте выражение в виде одночлена стандартного вида и укажите его степень:
5ab ・0,7Ьс・40ас;г) — а3Ь-За2Ь4;
-0,45bd・(一l^ad)・9ab;д) 0,6х3у-(-0,5xy3);
- 1,9а&-(- 16аЬс)• (— 0,5с);е)-。雜涼几乂一专标叫.
Составьте все возможные одночлены стандартного вида с коэффициентом 5, содержащие две переменные хиу9 так, чтобы степень каждого одночлена равнялась: а) трем; б) четырем.
Выполните умножение одночленов:
— 8%2уЗ и о,2ху3; г) 1,25ху2, — О/”？ и — 0,3%%;
m2n2 и 0,5涼几；д) — 2,5abc, —abc и 3,4а2Ь;
— 2,4х3а и — 0,5%уЗ； е) 0,8а5Ьх, — 0,4а&2х3 и — ORab%?.
Представьте выражение в виде произведения двух одночленов стандартного вида, один из которых равен 20х4у:
а) 100%5уЗ；6) —30%4g5； В)—《/бу； Г)х10у2.
Представьте данный одночлен в виде произведения двух каких-нибудь одночленов стандартного вида:
а) — 8<Л?з； б)—胪严；в) бохЮу15
Преобразуйте выражение в тождественно равный ему одночлен стандартного вида:
{—10а&12)2;в) ( —Зху2а3)3;
(-0,2%4g)4；г) (-0,5ab2cзу.
Представьте произведение одночленов в виде степени некоторого одночлена:
27а2Ь5.За,0Ь3;в) 0,01Ь5с3.(-0,1Ьс2);
一64喝口.(一0,25阳9)； г) _^p%14.告P3g*
Упростите выражение:
(-0,2疗.50产r)(-3。%)2.善q冲8；
— 60с6 • ( — 0,5巒)3 ； д) _ 十 М ・(А ЬЗс5y.
(一0,6%3)2・(—5*4)； е) (-O^xW.f-lOOOx5!/10).
Представьте в виде одночлена стандартного вида:
(2@Ь)2.( —3q&)3;д) ( —ЗтМУМ —加2几)3；
(- 0,2ху)3 . (- 5*y)2; e)(告 &)3.(2%3力)2；
_(3制)2.( — 3“)з；ок)(告居吁・(_з@ь)4；
— ( —0,5ас2)2.( —2汽)3; з) ( ―^炉力飞—^"у.
Упростите выражение:
а)(―电2)4・(-%у)2; г) (-уа2Ь)3-(9加)2;
- ("!"Л：узу .(一3%)3； д) (- 5箇6)2.(-!~<1b3)3；
(-2%3у)3・(-2у2)з； е) О吁.(一 3告q36)2.
К параграфу 9
Известно, что точка Р( —4; Ь) принадлежит графику функции, заданной формулой у = %2. Найдите значение Ь・ Принадлежит ли графику этой функхцш точка Q(4; Ь)?
Известно, что точка С (тп; 9) принадлежит графи- ку функции, заданной формулой у =炉・ Принадлежит ли графику этой функции точка D(-m; 9)?
На рисунке 50 построены графики функций у = х, у == х2, у = х3. Пользуясь графиками» сравните:
0,23 и 0,232; в) 0,232 и 0,233; д) 1,47 и 1Л73;
0,23 и 0,233; г) 1,47 и 1,472;е) 1,472 и 1,473.
С помощью таблицы квадратов найдите значение выражения:
Зх2 при х = 7,13;
а2 —Ь2 при а = 17,3, Ь = 12,5;_
а2 ^Ь2 при а = 2,17, Ь = 1,16.~
Вычислите с помощью таблицы квадратов:
а) 3,264; б) 5,174; в) 1,394; г) 2,11*
Найдите по таблице квадратов значения функции у=*2 при указанных значениях х (результат округлите до сотых):
X
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
У
На сколько увеличивается значение функции с изменением х от 1,21 до 1,22?
Представьте число у в виде десятичной дроби и округлите эту дробь до десятых, до сотых, до тысячных. В каждом случае найдите абсолютную погрешность приближенного значения, если:
а) У=枣;6) !/=备.
Какое из двух приближенных значений числа ± точнее: 0Д8 или 0,19?
Какое из двух приближенных значений числа -|- точнее: 0,55 или 0,56?
Какое из четырех приближенных значений числа л = 3,14159... лучше: 3,141; 3,142; 3~|>; 3詳?
Докажите, что число 1,4 является приближенным значением числа 1,361 с точностью до 0,1.
Запишите число 芸 в виде десятичной дроби и округлите эту дробь: а) до десятых; б) до сотых; в) до тысячных. Укажите точность полученного при округлении приближенного значения.
ГЛАВАГЛАВАIVIV
ГЛАВА
ГЛАВА
IV
IV
МНОГОЧЛЕНЫ
§ 10. СУММА И РАЗНОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ
27. МНОГОЧЛЕН И ЕГО СТАНДАРТНЫЙ ВИД
Выражение 4х2у — 5ху + Зх — 1 представляет собой сумму одночленов 4х2г/, —5ху, Зх и —1. Такие выражения называют многочленами.
Определение. Многочленом называется сумма одночленов.
Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Так, многочлен 4 工 2y — 5ху + 3х ——1 состоит из членов 4х2г/, — 5хг/, Зх и — 1.
Если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом, если из трех членов — трехчленом. Одночлены считают многочленами, состоящими из одного члена.
В многочлене 5а2Ь + 2 -{- 4аЬ2 — За2Ь — 7 члены 5。2b и — 3。2b являются подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными слагаемыми являются и члены 2 и —7, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена.
Сумму подобных членов можно заменить одним членом, сложив их коэффициенты и оставив ту же буквенную часть. Такое тождественное преобразование многочленов называют приведением подобных членов.
Выполнив приведение подобных членов в многочлене 5а2Ь + 2 + 4аЬ2 — За2Ь — 7, получим:
5а2b + 2 + 4ab2 - За2b - 7 = 2а2b 十 4аЬ2 - 5.
Многочлен 2a2 b 十4。匕2 — 5 не содержит подобных членов, и каждый его член является одночленом стандартного вида. Такой многочлен называют многочленом стандартного вида. 112
Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные члены.
Членами многочлена стандартного вида 8%у + 6%2уЗ _ 9 служат одночлены второй, пятой и нулевой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким образом, многочлен стандартного вида 8ху + 6х2у3 ——9 является многочленом пятой степени.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью многочлена, не записанного в стандартном виде, называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.
Например, чтобы выяснить, какова степень многочлена За4 + 8аЬ — 2а4 — а4 -{- 5Ь, приведем его к стандартному виду:
За4 + 8аЬ —2а4 —а4 + 5Ь = 8аЬ + 5Ь.
Степень многочлена 8ab +5b равна двум, поэтому и степень многочлена За4 -{- 8аЬ — 2а4 — а4 + 5Ь равна двум.
Назовите каждый член многочлена:
-6х44-у3-5у + 11;б) 25аЬ + ab2-а2Ь + 8а-7Ь.
Выполните приведение подобных членов многочлена: а) 3%4-5% + 7%2-8%4 + 5%；
2а? + а2 —17 — За^ + а? —。— 80;
12аЬ2 - Ь3 - 6аЬ2 + За2Ь - 5аЬ2 + 2Ь3;
2а2 — ах3 — а4 —絞炉十。炉十 2а4.
616・ Приведите подобные члены многочлена:
—04 + 2a3 — 4a4 + 202 — 3絞；
1 + 2/ —4/ —6/+ 4/ —/ — 9;
10х2у — 5ху2 — 2х2у + х2у — Зху2;
ЗаЬ3 -{- 6а2Ь2 — аЬ3 — 2а2Ь2 — 4а2&2 + 7.
Представьте в стандартном виде многочлен:
— 8р4 -{-12р3 4~ 4р4 — 8р2 -{- Зр2;
2@■02 +a2 —3q2 + q3 —@；
Зх • х4 -{- Зх • х2 — 5х2х3 — 5х2х;
За.4Ь2 —0,8Ь-4Ь2 —2аЬ.ЗЬ + &.ЗЬ2—1.
618・ Запишите в стандартном виде многочлен:
2a2%з — а%з _。4 十 з%4 —仆3 十 ахз 十 2а4;
5х • 2у2 — 5х • Зху — х2у + бху2.
619. Найдите значение многочлжа:
5%б — з%2 + 7 _ 2%б _ з汇6 +《炉 ПрИ 欠=—ю；
4。2b ——aft2 —За2Ь + аЬ2——а匕+ 6 при а=——3, b = 2・
620・ Найдите значение многочлена:
6a3—aI0 + 4a34-«I0~8a3H-a при q= —3;
4х6у3 — Зх6у3 + 2х2у2 — хву3 — х2у2 + у при х= —2, у=—1.
а)б)引 1?а)б)引 1?Запишите в виде многочлена число, состоящее из: х десятков и у единиц;
а)б)引 1?
а)б)引 1?
а десятков и b единиц;
а сотен, b десятков и с единиц;
х сотен, у десятков и х единиц.
Расположите по убывающим степеням переменной
многочлен:
a) 17a4 — 8。5 + За — а?—1 *б) 35 — с^ -f- 5с^ — с*
623・ Расположите по ной:623・ Расположите по ной:возрастающим степеням перемен-возрастающим степеням перемен-
623・ Расположите по ной:
623・ Расположите по ной:
возрастающим степеням перемен-
возрастающим степеням перемен-
х4 —5 —х2 + 12х;х4 —5 —х2 + 12х;2у + у3 — у2 + 1.2у + у3 — у2 + 1.
х4 —5 —х2 + 12х;
х4 —5 —х2 + 12х;
2у + у3 — у2 + 1.
2у + у3 — у2 + 1.
624. Какова степень многочлена:
а)6 吗а)6 吗4а6 —2а7 + а—1; г) 4ху + ху2 — 5х2 + у;
а)6 吗
а)6 吗
5рЗ —р —2;д) 8х4у + 5х2/—И；
1 —Зх;е) %g + ” + %z—1?
Упражнения для повторения
625. Решите уравнение:
х —0,75 ,0,56—% + 2
^1= 32，丿 35 = 5 •
626. Вычислите:
а)а)53.252 .53.252 .в)в)45.3845.38627. При каком значении627. При каком значенииаргумента функция у = 0,01харгумента функция у = 0,01хпринимает значение, равное: а) 240; б) —100?принимает значение, равное: а) 240; б) —100?
а)
а)
53.252 .
53.252 .
в)
в)
45.38
45.38
627. При каком значении
627. При каком значении
аргумента функция у = 0,01х
аргумента функция у = 0,01х
принимает значение, равное: а) 240; б) —100?
принимает значение, равное: а) 240; б) —100?
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ .戸八
Составим сумму многочленов 5х2-{-7х —9 и — 3炉一6% + 8: (5х2 + 7х-9) + (-Зх2-6х + 8).
Раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим: (5х2 +7х-9) + ( —Зх2-6х + 8) = 5х2 + 7х-9-Зх2-6x4-8 = = 2х2 + х — 1.
Сумму многочленов 5х2-{-7х —9 и — Зх2 — 6х -{- 8 мы представили в виде многочлена 2炉 + % —1・ Вообще, сумму любых многочленов можно представить в виде многочлена.
Составим разность многочленов х3 + 5х2 — х-{-8 и х3 —7х—1: (%з + 5*2 — % + 8) — (%з — 7# — 1).
После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим: (х34-5х2 — х + 8)—(х3 — 7х — 1) = х34-5х2 — х4-8 — -#3 + 7х +1 = 5炉 + 6х + 9・
Разность многочленов х3 + 5х2 — х-{-8их3 —7х—1 мы представили в виде многочлена 5х2 + 6х-{-9. Вообще, разность любых многочленов можно представить в виде многочлена.
Таким образом, при сложении и вычитании многочленов снова получается многочлен.
Иногда требуется несколько членов многочлена заключить в скобки. Тогда:
если перед скобками ставят знак «плюс», то члены, которые заключают в скобки, пишут с теми же знаками;
если перед скобками ставят знак «минус», то члены, заключаемые в скобки, пишут с противоположными знаками.
Например,
Зх — 2g + b = 3% + (— 2y + b),3x — 2g + b = 3x — (2y — b).
Полученные равенства являются тождествами. Убедиться в этом можно, раскрыв скобки в правой части каждого равенства.
а) Составьте сумму многочленов 4х3 — 5х — 7 и х3 —8х и преобразуйте ее в многочлен стандартного вида.
Составьте разность многочленов 5y? —9 и 7g? —у + 5 и преобразуйте ее ® многочлен стандар^ох'о #й>(а.
Даны два многочлена: 2а3 —4а2—5а + 5 и а3-{-4а
—4а —2. Составьте и упростите:
сумму этих многочленов;
разность первого и второго многочленов;
разность второго и первого многочленов.
Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
(14-За)+(а2-2а); г) (Ь2-Ь + 7)-(Ь2 + Ь + 8);
(2х2 4" Зх)-f-(— %+ 4); д) (8п3 — 3几2) — (7 + 8〃з — 2紋)；
(у? —5y)+(5y —2g2);е) (а2 + 5а + 4)—(а2 -{- 5а — 4).
Упростите выражение:
5,2а — (4,5а + 4,8а2);
- 0,8Ь2 + 7,4Ь + (5,6Ь - 0,2Ь2);
8х2 + (4,5 — х2)—(5,4^2 — 1)；
(7,3g — 力 + 4) + 0,5力一(8,7》一2,匂2).
632・ Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
18х2-(10x-5 + 18x2); B)(标+ь一1)一(标一6 + 1);
—12с2 + 5с + (с + 11с2);г) (15-7力)一(уЗ — у2—15)・
Найдите сумму и разность выражений:
а)。+匕 и а —Ь;в) —а—Ь и а—Ь;
а—Ь и а + b;г) q —b и Ь —а.
Упростите выражение:
а) (а2 一 0,45а +1,2) + (0,8а2 一 1,2а) - (1,6а2 一 2а);
6)(力一 1,75g — 3,2) -(0,3y2 + 4) — (2у — 7,2);
бху — 2х2 — (Зху + 4%2 +1)—(— %у — 2炉—1)；
- (2аЬ2 - аЬ + Ь) + 3。标 一 4Ь -(5аЬ — ab2).
С^^^ Упростите выражение:
8а2Ь + (- 5а2Ь + 4Ь2) + (а2Ь - 5Ь2 + 2);
(ху + х2 + у2) — (х2 + у2 — 2ху) — ху.
Найдите значение выражения
(5,7。2b — 3 Jab + 8川)-(6,9@Ь — 2,3a2& + 8*3),
если: а)а = 2иЬ = 5; б) a=—2 и ft = 3.
637・ Вычислите значение выражения 5х2 — (Зху — 7炉)+ (5ху — 12х2), если: а) #=—0,25 и у = 4; б) х= —5 и у = 0,1.
Учащимся была предложена задача: «Найти значение выражения
(7а3 - 6Mb + 5ab2) + (5d + 7a2b + ЗаЬ2) - (10а3+а2Ь + 8аЬ2)
при а =—0,25, b=—0,347>• Один из ученйков сказал, что в задаче есть лишнее данное. Прав ли он?
Докажите, что значение выражения не зависит от значений переменной:
1,7 - 10Ь2 - (1 - ЗЬ2) + (2,3 + 7 Ь2);
1-Ь2-(ЗЬ-2Ь2) + (14-ЗЬ-Ь2).
Пусть х=5а2 + 6ab — b29 у = — 4а24-2аЬ + ЗЬ2, z = = 9а2 + 4аЬ. Подставьте эти многочлены вместо х9 у и z в данное выражение и упростите его:
а) 力 + g + z;б) % —g —z・
Решите уравнение:
а) (17-5х)-(Зх-11) = 4;
或 19 + 2%) - (5% -11) = 25;
(3,2у-1,8)-(5,2у + 3,4)=-5,8;
1 - (0,5х -15,8) = 12,8 - 0,7х;
Д)3,8 —l,5g + (4,5g-0,8) = 2,4у + 3;
4,2у + 0,8 = 6,2у-(1,% + 0,8) + 1,2・
642・ Решите уравнение:.
8g-3-(5-2g) = 4,3; в) -8% + (4 + 3©=10-x;
0,5у-1 -(2у + 4) = у; г) 1,Зх-2-(3,3х + 5) = 2% +1・
Представьте выражение в виде суммы каких-нибудь двучленов:
а) Зх3 —2х2 —х-{-4;б) —5" + 4g3 + 3y2 —2g.
Представьте выражение каким-либо способом в виде разности одночлена и трехчлена:
а) х3 + 2х2-Зх—5;^ V б) За4 + 2а3 + 5а2-4.
Докажите, что сумма:
трех последовательных натуральных чисел кратна 3;
четырех последовательных натуральных чисел не кратна 4.
117
Упражнения для повторения
Мастер и ученик изготовили за смену 24 детали, причем число деталей, изготовленных мастером, относится к числу деталей, изготовленных учеником, как 5:3. Сколько деталей изготовил мастер?
На двух участках высадили 260 кустов смородины, распределив их между участками в отношении 8:5. На сколько кустов высадили на первом участке больше, чем на втором?
Докажите/что данное равенство является тождеством: а) ( —2х)4 = 8х-2х3; б) ( —6а2)2а3 = (2а2)3-4,5а.
§ 11. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА И МНОГОЧЛЕНА
29. УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН
Составим произведение одночлена 9п3 и многочлена 7〃2 —3〃 + 4:
9〃з(7〃2-з〃 + 4).
Преобразуем это произведение, используя распределительное свойство умножения:
9" (7〃2-3〃 + 4) = 9〃3・7〃2 + 9〃з(_з〃)+9〃з.4 =
、=63п5-27п4 + 36п3.
Произведение одночлена 9п3 и многочлена 7п2 —Зп + 4 мы преобразовали в многочлен 63п5 ——27〃'+ 36〃？, умножив одночлен на каждый член многочлена и сложив полученные результаты.
Вообще, произведение одночлена и многочлена можно представить в виде многочлена.
При умножении одночлена на многочлен пользуются правилом:
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
При умножении одночлена на многочлен запись можно вести короче. Например,
—За2 (4@з —。+1) = —12。5 + Зд3 — 3a?.
Умножение одночлена на многочлен применяется при решении уравнений. Приведем примеры.
Пример 1. Решим уравнение 8 —5х (х — 7)=1 —5х2.
Преобразуем левую часть уравнения, воспользовавшись правилом умножения одночлена на многочлен. Получим уравнение
8-5%2 + 35x = 1-5%2.
Отсюда
-5х24-35х + 5х2 = 1-8,
35х=-7,х= —0,2.
Пример 2. Решим уравнение 2干/■■丄——左萨~=2.
Умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей, т. е. на число 18, получим:
(-^^-■^±^). 18 = 2-18.
Отсюда
2jl=lL.18__2HlL .18 = 36,
96
2(2r-1)-3(% + 5) = 36,
4х — 2 — Зх —15 = 36, _
х = 53.
Выполните умножение:
2%(%2 —7% —3);г)(员一2,4g + 6)・l,5g;
—4Ь2 (5Ь2-ЗЬ-2); д) -0,5х2 (-2х2-3х + 4);
(За3 一 а? + °)( — 5°з)；匂(一 3力 + 0,6g) (—1,5/).
Преобразуйте произведение в многочлен:
а) 3。6(02一20Ь + ь2)；г) 2,5a2ь(4a2-2aь + 0,2Ь2);
— %2g (炉力-炉一力)；д) (6,Зх3у-Зу2-0,7х)-10х2у2;
( —2ах2 + 3ах —а2)( —а2х2); е) — »^а2уъ(Ьау2 — ^у — ^а^.
Представьте в виде многочлена:
—Зх2 ( —х34-х —5);(1-{-2а —а2)-5а;—Зх2 ( —х34-х —5);(1-{-2а —а2)-5а;в)Вв)В-304^^2「2aх + %3 _ 1)；(典=方+ " + уЗ) . З%у2.-304^^2「2aх + %3 _ 1)；(典=方+ " + уЗ) . З%у2.
—Зх2 ( —х34-х —5);
(1-{-2а —а2)-5а;
—Зх2 ( —х34-х —5);
(1-{-2а —а2)-5а;
в)
В
в)
В
-304^^2「2aх + %3 _ 1)；(典=方+ " + уЗ) . З%у2.
-304^^2「2aх + %3 _ 1)；(典=方+ " + уЗ) . З%у2.
Упростите выражение и найдите его значение:
3 (2х— 1) + 5 (3 — х) при х= —1,5;
25。一4 (За —1) + 7 (5 —2。) при а = 11;
4у —2 (10у —1) + (8у —2) при g=—0,1;
12 (2 —3р) + 35р —9 (р+1) при р = 2.
653・ Представьте в виде многочлена:
14Ь+1-6(2-11Ь); в) 14(7х-1)-7(14х + 1)；
25(2 — Зс)+16(5с — 1); г) 36,2 — д)_6(5 — 2办
Упростите выражение:
14g + 2g (6 —疗д)7b (4c-b) + 4c(c-7b);
3丿一2y(5 + 2y);e)— 2y (x3 — 2y) — (x3y + 4г/2);
4x (x—1) —2 (2x2 —1);ж) Зт2 (m-^5n)—2n (8zn2 —n);
r) 5a (a2 — 3a) — 3a (a2 — 5a);з)6m2n3 — n2 (6m2n + n — 1).
Представьте в виде многочлена:
6% (第一3) —% (2 —%); в) ax (2х — За) — х (ах-{- 5а2);
— а2 (За — 5) + 4а (а2 — а); г) — 4тп2 (п2 — тп2) -{- Зп2 (т2 — п2).
Найдите значение выражения:
—2х(х2—х + 3) + х(2х2 + х — 5) при х = 3; —3;
х(х —у) —у (у2 —х) при х = 4 и д = 2.
Вычислите значение выражения:
5х (2х — 6) — 2,5х (4х — 2) при х= —8; 10;
5a (a —4b) — 4b (b —5。)при a= —0,6 и b= —0,5.
658. Упростите выражение:а) (ЗМ)2 — @з(1 — 5砧5) ( —!~b) -b(l - 2b—^"ь2)；658. Упростите выражение:а) (ЗМ)2 — @з(1 — 5砧5) ( —!~b) -b(l - 2b—^"ь2)；в) х (16х — 2х3) — (2х2)2;г) (0,2с3)2 一 0,01с4 (4с2 一 100).в) х (16х — 2х3) — (2х2)2;г) (0,2с3)2 一 0,01с4 (4с2 一 100).
658. Упростите выражение:
а) (ЗМ)2 — @з(1 — 5砧
5) ( —!~b) -b(l - 2b—^"ь2)；
658. Упростите выражение:
а) (ЗМ)2 — @з(1 — 5砧
5) ( —!~b) -b(l - 2b—^"ь2)；
в) х (16х — 2х3) — (2х2)2;
г) (0,2с3)2 一 0,01с4 (4с2 一 100).
в) х (16х — 2х3) — (2х2)2;
г) (0,2с3)2 一 0,01с4 (4с2 一 100).
Рае. 51Рае. 51
Рае. 51
Рае. 51
С помощью рисунка 51 разъясните геометрический смысл формулы a (b + e) = ab + ac для положительных значений а, Ь и с.
Докажите, что выражение
х (2х+1) —х2 (% + 2) + (%3 —%+3) при любом значении х принимает одно и то же значение.
661 ・ Докажите, что выражение тождественно равно нулю:
@ (Ь —с)+Ь (с —а) + с (а—Ь);
a(b + c-bc)—b(c-{-a — ac) + c(b — d).
Докажите тождество:
%® —2)—g(% + z) + z(x —у)= —2yz;
а (а — &) — Ь (Ь — а) = а2 — Ь2.
Решите уравнение:
5х4-3(х-1) = 6х4-И；Д) 6十(2-4х) + 5 = 3(1-Зх);
Зх-5(2-х) = 54;e)0,5(2y-l)-(0,5-0,2g) + l = 0;
8(д-7)-3(2у + 9)=15; ж) 0,15 (х-4) = 9,9-0,3 (х-1);
0,6-0,5(у-1) = д + 0,5; з) 3(Зх-1) + 2 = 5(1-2x)-1.
Найдите корень уравнения:
Зх (2х — 1) — 6х (7 + х) = 90;
1,5х (3 + 2х) = Зх (х +1)- 30;
5х (12х — 7) - 4х (15х -11) = 30 + 29х;
24х - 6х (13х- 9)= -13- 13х (6х-1).
665・ Решите уравнение:
3(-2х+1)-2(х+13)==7х-4(1 —х);
—4(5_2а) + 3(а_4) = 6(2 — а) — 5а;
Зу^у-1)- 2у (бу - 5) = 9у - 8 (3 + у);
15% + бх (2 —3%) = 9х (5 —2%) —36.
При каком значении переменной:
значение выражения 2 (3 — 5с) на 1 меньше значения выражения 4 (1 — с);
значение выражения —3 (2%十1) на 20 больше значения выражения 8%+ 5;
значение выражения 5%十7 в 3 раза меньше значения выражения 61 — Юх;
значение выражения 8 — у в 2 раза больше значения заражения 7 + у?
Решите уравнение:
а)彳+ 後= 14;г) 22 + 3=^;ж)晋十1=務
6)=5;д)生一生=7;3)迎一整=丄.
；28*“35，丿 1283
в) 2 = У —1；е) -уН|*+4 = 0;
6в8. Найдите корень уравнения:
а)а)6х — 5 2х — 16х — 5 2х — 1б)б)в)в)735 — x I 3x — 1~2~15-5% — 7 x — 5128~735 — x I 3x — 1~2~15-5% — 7 x — 5128~+ 2;+ 2;=4;=4;5;5;г)г)Д)Д)е)е)4у — 11 I 13 — 7,4у — 11 I 13 — 7,1515 —6y J у ~3 Г 8У 3 —2y 51515 —6y J у ~3 Г 8У 3 —2y 52020=0;=0;0.0.=2;=2;
а)
а)
6х — 5 2х — 1
6х — 5 2х — 1
б)
б)
в)
в)
73
5 — x I 3x — 1
~2~15-
5% — 7 x — 5
128~
73
5 — x I 3x — 1
~2~15-
5% — 7 x — 5
128~
+ 2;
+ 2;
=4;
=4;
5;
5;
г)
г)
Д)
Д)
е)
е)
4у — 11 I 13 — 7,
4у — 11 I 13 — 7,
151
5 —6y J у ~3 Г 8
У 3 —2y 5
151
5 —6y J у ~3 Г 8
У 3 —2y 5
20
20
=0;
=0;
0.
0.
=2;
=2;
669・ Решите669・ Решитеуравнение:уравнение:
669・ Решите
669・ Решите
уравнение:
уравнение:
а)а)б)б)3%+5—%+l~5Г"2p-l p+13%+5—%+l~5Г"2p-l p+11；1；в)в)бу —1&•бу —1&•6633г)г)1512-х~4~1512-х~4~53 '2 —х х53 '2 —х х3366
а)
а)
б)
б)
3%+5—%+l
~5Г"
2p-l p+1
3%+5—%+l
~5Г"
2p-l p+1
1；
1；
в)
в)
бу —1&•
бу —1&•
6
6
3
3
г)
г)
15
12-х~4~
15
12-х~4~
53 '
2 —х х
53 '
2 —х х
3
3
6
6
Найдите корень уравнения:
а)а)11х — 32 — %х — 32 — %б)б)2о +132。2о +132。33+ 4;+ 4;в)в)1010515 1 2515 1 2г)г)2m + l ~4~x+192m + l ~4~x+19х —16х —16m—6 —m, g 12-, % + 3m—6 —m, g 12-, % + 3
а)
а)
1
1
х — 32 — %
х — 32 — %
б)
б)
2
о +132。
2
о +132。
3
3
+ 4;
+ 4;
в)
в)
10
10
515 1 2
515 1 2
г)
г)
2m + l ~4~
x+19
2m + l ~4~
x+19
х —1
6
х —1
6
m—6 —m, g 12-, % + 3
m—6 —m, g 12-, % + 3
Решите уравнение:
а)а)б)б)в)в)6y + 7 I 8 — 5y4 十 35a — 1 2a — 3~3~ ~5 llx-4 x-9~76y + 7 I 8 — 5y4 十 35a — 1 2a — 3~3~ ~5 llx-4 x-9~7=5;=5;1；1；=5;=5;г)г)Д)Д)е)е)2с —2с —с + 3.с + 3.9* 46Зр—12р + 69* 46Зр—12р + 624365-4^=」24365-4^=」1=0;1=0;3x4-20 J х3x4-20 J х66зз
а)
а)
б)
б)
в)
в)
6y + 7 I 8 — 5y
4 十 3
5a — 1 2a — 3
~3~ ~5 llx-4 x-9
~7
6y + 7 I 8 — 5y
4 十 3
5a — 1 2a — 3
~3~ ~5 llx-4 x-9
~7
=5;
=5;
1；
1；
=5;
=5;
г)
г)
Д)
Д)
е)
е)
2с —
2с —
с + 3.
с + 3.
9* 46
Зр—12р + 6
9* 46
Зр—12р + 6
2436
5-4^=」
2436
5-4^=」
1=0;
1=0;
3x4-20 J х
3x4-20 J х
6
6
з
з
Комплект, составленный из 15 открыток, 10 конвертов и блокнота, стоит 1 р. 68 к. Конверт в 8 раз дешевле блокнота и на 2 к. дороже открытки. Сколько стоят открытка, конверт, блокнот?
673・ Периметр треугольника 44 см. Одна из его сторон на 4 см меньше другой и в два раза больше третьей стороны. Найдите стороны треугольника.
Турист прошел 110 км за три дня. Во второй день он прошел на 5 км меньше, чем в первый; в третий день он прошел
расстояния, пройденного за два первых дня. Сколько километров проходил турист каждый день?
675・ Три бригады рабочих изготовили за смену 104 детали. Первая бригада изготовила на 12 деталей меньше, чем вторая, 122
а третья -|- того числа деталей, которое изготовили первая 审 вторая бригады вместе. Сколько деталей изготовила каждая бригада?
Применив новый резец, токарь стал обтачивать за один час на 4 детали больше, чем полагалось по норме, и потому выполнил дневную норму не за 8 ч9 а за 6 ч. Сколько деталей в ^ень должен был обтачивать токарь по норме?
Скашивая ежедневно по 60 га вместо 50 га, бригада сумела скосить луг на один день быстрее, чем планировалось. Какова площадь луга?
Увеличив среднюю скорость прохождения дистанции с 250 м/мин до 300 м/мищ спортсменка стала пробегать дистанцию на одну минуту быстрее. Какова длина дистанции?
879・ От лагеря до привала пионеры шли со скоростью 4,5 км/ч, а возвращались в лагерь со скоростью 4 км/ч, затратив на обратный путь на 15 мин больше. На каком расстоянии от лагеря был сделан привал?
Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта В, отстоящего от А на расстоянии 20 км9 выехал мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а мотоциклист ехал со скоростью 16 км/ч. На каком расстоянии от пункта А мотоциклист догонит велосипедиста?
Из пункта А вышла грузовая машина со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ней из А вышла легковая машина со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от А легковая машина догонит грузовую?
Упражнения для повторения
682* Докажите, что равенство является тождеством:
а) (2炉^)2 • За2 = За6 (2а&)2; б) ( — 2x^yf • ( — у2)2 =—炉^ (2ху2)3.
Постройте график функции, заданной формулой у=-|-% —3. Найдите, при каких значениях х значение у: а) равно 0; б) меньше 0; в) больше 0.
Найдите координаты точек пересечения графиков линейных функций:
а) у = 5% + 29 и у=—Зх—11; б) у = 1,2% и у = 1,8% + 9,3・
123
В каких координатных четвертях расположен график функции:
у= — 28х; в) у==0,05х;
у=—28# + 4;г) у = 0,05% —2,5?
Докажите, что функции, заданные формулами у = =4 (3 —2x)—5 и д = % —9(% —8), являются линейными, а их графики — параллельными прямыми.
Постройте в одной и той же координатной плоскости графики функций: а) у = х2 и у = 4; б) у = х2 и у = 2х. Найдите координаты точек их пересечения.
30. ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ
Каждый член многочлена 6a?b + 15b2 можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен ЗЬ:
6a2b + 15b2 = 3ft.2a2 + 3b-5b.
Полученное выражение на основе распределительного свойства можно представить в виде произведения двух множителей. Один из них — общий множитель ЗЬ, а второй — сумма 2a2 и 5b:
3b.2a2 + 3b.5b = 3b(2a2 + 5b).
Итак,
6a2b + 15b2 = 3b (2a2 + 5Ь)・
Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены) называют разложением многочлена на множители. Такде преобразование используется при решении уравнений, в вычислениях и в других случаях.
Примененный нами способ разложения многочлена на множители называют вынесением общего множителя за скобки.
Пусть требуется разложить на множители многочлж —15х2у3 — ЗОх3у2 -{- 45х4у. Члены этого многочлена имеют различные общие множители: х9 у, Зху, —5х2 и другие. Целесообразно вынести за скобки 15х2у или —15%2y. Вынесем за скобки, например, —15х2у:
—15%2y3_3o#3y2 + 45%4g= —15%2y (力 + 2%沙一3%2)・
Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены многочлена, 124
выносят с наименьшим показателем, который она имеет в данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена — целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена.
Покажем, как вынесение множителя за скобки применяется при решении уравнений.
Решим, например, уравнение
2х2 + Зх = 0.
В выражении 2х2 -{- Зх вынесем за скобки множитель х. Получим:
х(2х + 3) = 0./
Произведение х (2х + 3) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, т. е. когда
х = 0 или 2% + 3 = 0・
Решая уравнение 2# +3 = 0, находим:
х= —1,5.
Следовательно, произведение х (2х + 3) обращается в нуль при х = 0 и при х = —1,5, т. е. уравнение 2х2 + Зх = 0 имеет два корня: 0 и —1,5.
Разложите на множители и сделайте проверку: а) mx+mg; б)论力一рх; в) — аЬ + ас; г) —та —па.
Вынесите за скобки общий множитель:
а) 4а —4Ь;
Д)6х—18;
и) 7ах + 7Ьх;
б) 12% + 48у;
е) 9 + 12у;
к) 3bg —6Ь;
э) — 15а + 20b; -
ж) 12а+ 12;
л) — 5тп〃 + 5〃;
г) — бтп —9〃；
з) -10-10с;
м) За + 9аЬ・
690. Разложите на множители:
5y2_15у；3%+6%2；.M + a;r) c — c2- 《5y2_15у；3%+6%2；.M + a;r) c — c2- 《И)37712+9加3；
5y2_15у；
3%+6%2；.
M + a;
r) c — c2- 《
5y2_15у；
3%+6%2；.
M + a;
r) c — c2- 《
9рЗ —бр;
4c2—12c’； m) 5x5 — 15x3.
691. Представьте в виде произведения:
г) — 6ob +9b%ж) 6?nn3-f-8m2n2;
Д)%2у —%力；з) — 4х2у24-16х3/.
е) аЬ —а2b2;
692・ Вынесите692・ Вынеситеза скобки общий множитель:
692・ Вынесите
692・ Вынесите
tl4x-21y;15а + 10Ь; в) 8аЬ —бас; г) 9ха + 9хЬ;tl4x-21y;15а + 10Ь; в) 8аЬ —бас; г) 9ха + 9хЬ;7х —14х3;
tl4x-21y;
15а + 10Ь; в) 8аЬ —бас; г) 9ха + 9хЬ;
tl4x-21y;
15а + 10Ь; в) 8аЬ —бас; г) 9ха + 9хЬ;
16力 + 12y2；曲 18аЬ3-9Ь4;
④ 4X3J/2 一 6%2g3.
693. Найдите значение выражения:
3,28х — х2 при х = 2,28;б) a2g — а3 при a=—1,5иу= — 8,5.
694. Докажите, что значение выражения:
а) 487 — 486 кратно 47;в) 523 —521 кратно 24;
248 -{- 247 кратно 25;г) 257-{-513 кратно 30.
695. Разложите на множители многочлен:
"5? 8 引"5? 8 引%3 —3炉 + %；г) 6х2 —4х3-{-10х4;
"5? 8 引
"5? 8 引
加2 —2тдЗ —7n4；д) 15а3 —9а26а;
4a5 —2d + *е) — 3m2 — бтп3 + 12тп5.
696・ Представьте в виде произведения:
с? —с' + 2с5;в) 4*4 + 8л? — 2炉；
57n4一加3十 2m2；г)5а — 5а2 —10а4.
697. Вынесите за скобки общий множитель:
За?—15a2b+ 5@丛； г) 12a2b — 18ab2— 30ab3;
20x4 — 25x2y2 — Юх3;д) 4ax3 -{- 8a2x2 — 12a3x;
— 6am2 + 9m3 — 12m4;e) — 3x4y2 — 6x2y2 + 9x2y4.
698・ Разложите на множители многочлен:
4c4 —6%2c2 十 8с;в) Зах — бах2 — 9а2х;
10а2х —15а3— 20а4х; г) 8а4Ь3— 12а2д4 + 16а3Ь2.
699. Докажите тождество:
а (Ь — х) -{- х (а -{- Ь) = Ь (а + х);
с (у —2) + 2 (у + с) = у(с + 2);
а (а — Ь) + 2аЬ = а (а -{- Ь)；
х (1 — х)-{-х (х2 — 1) = х2 (х — 1).
126'
х-10^ = 0;6х —0,2х2 = 0.х-10^ = 0;6х —0,2х2 = 0.5х2 —0,8х = 0;7х2-0,28х = 0.5х2 —0,8х = 0;7х2-0,28х = 0.а）匹尹+生尹=9;а）匹尹+生尹=9;21 — 4%8%+15 =-93~ —21 — 4%8%+15 =-93~ —2.2.
х-10^ = 0;
6х —0,2х2 = 0.
х-10^ = 0;
6х —0,2х2 = 0.
5х2 —0,8х = 0;
7х2-0,28х = 0.
5х2 —0,8х = 0;
7х2-0,28х = 0.
а）匹尹+生尹=9;
а）匹尹+生尹=9;
21 — 4%8%+15 =
-93~ —
21 — 4%8%+15 =
-93~ —
2.
2.
Решите уравнение:
х2 + 8х = 0;в) Зх2 — 1,2х = 0;
5х2 —х = 0;г) 6х2 —0,5х = 0;
Найдите корни уравнения:
5х2-{-Зх = 0;в) 6х2 —3,6х = 0;
х2— 11х = 0;г) О’Зх2 —3% = 0;
Упражнения для повторения
Велосипедист проехал путь АВ со скоростью 12 км/ч. Возвращаясь из В в А, он развил скорость 18 км/ч и затратил на обратный путь на 15 мин меньше, чем на путь из А в В. Сколько километров между А и В?
Решите уравнение:
Известно, что значение выражения а—Ь при некоторых значениях а и b равно 0,5. Чему равно при тех же а и Ь значение
выражения:
а) Ь —а;в) (а — Ь)2；д) (а—&)3;
б)心；г) (b-af;е) (Ь-а)З?
§ 12. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
31. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН
Составим произведение многочленов а+ b и с + &:(a + b) (c + d\
Представим это произведение в виде многочлена. С этой целью обозначим многочлен。+ b буквой х и воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
(а + b) (c + d) = x (c + d) = xc + %d.
В выражение xc-\-xd подставим вместо х многочлен а + b и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
хс + xd = (а + Ь) с + (а + b) d = ас + Ьс 十 ad + bd・
Итак, (a + b) (c + d) = ac+bc+〃d+bd・
Произведение многочленов a+ b и c + d мы представили в виде многочлена ас+ bc+ad+ bd. Этот многочлен является суммой всех одночленов, получающихся при умножении каждого члена многочлена а + b на каждый член многочлена с + &.
Вообще, произведение любых двух многочленов можно пред
ставить в виде многочлена.
При умножении многочлена на многочлен пользуются пра
вилом:
Чтобы умножить многочлен mq многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
Умножим многочлен 4х2-|-2ху — у2 на многочлен 2х — у: (4х2 + 2ху —力)(2% — g) = 8х3 + 4%2у — 2xy2 — 4x2y — 2%力 + уЗ = = 8х3 — 4ху2 + у3.
Выполните умножение:
д) (Ь-3)(а-2);е) ( — а + у)(—1 — у).д) (Ь-3)(а-2);е) ( — а + у)(—1 — у).д) (2g— 1)(3,+ 2);е) (5х-3) (4-Зх).д) (2g— 1)(3,+ 2);е) (5х-3) (4-Зх).(х + тп) (у + 〃)；в) (а — %) (Ь — у);.
д) (Ь-3)(а-2);
е) ( — а + у)(—1 — у).
д) (Ь-3)(а-2);
е) ( — а + у)(—1 — у).
д) (2g— 1)(3,+ 2);
е) (5х-3) (4-Зх).
д) (2g— 1)(3,+ 2);
е) (5х-3) (4-Зх).
(а —b)(* + g);г) (% + 8)® —1)；
Упростите выражение:
(x + 6)(x+5); в) (г-^^-в);
(а -4) (а+1)； г) (а — 4) (2。+1);
Представьте в виде многочлена выражение:
а)(加一〃)(％ + с); в) (а + 3)(а —2); д) (1 — 2а) (За +1)；
З-р)但一吟 г) (5-х) (4-х); е) (6m-3)(2-5?n).
С помощью рисунка 52 разъясните геометрический смысл формулы (а + Ь) (с 十 d) = ас + be + ad + bd для положи» тельных。，仇 с и d.
Запишите в виде многочлена выражение:
a)(炉+y)(% +办
(Тw?-〃)(涼 + 2〃2)；
(4a2+b2) (3a2-Ь2);
(5第2一4第)(% + 1)；
(@ - 2) (4。3 - 3a2);
(7р2 —2p) (8p —5),
710・ Выполните умножение:
(2炉一y)(d + y)；в) (lly2 —9)(3у —2);
(7х24-а2) (х2 —За2);г) (5а —За3) (4а —1).
Замените степень произведением, а затем произведение преобразуйте в многочлен:
а) (X + Ю)2;6) (1 一 疗；B) (3。一1)2； г) (5-6Ь)2.
Представьте в виде многочлена выражение:
(х2 + ху — у2) (х + у);д)(а2 — 2а + 3) (а — 4);
(п2 — пр + р2) (п—р);е)(5х—2)(х2 —х—1);
(а + х)(а2 — ах — х2);ж)(2 — 2% + х2) (х + 5);
(Ь— с)(标一Ьс — с2);з)(3g — 4) (у2 — у +1).
713・ Запишите в виде многочлена:
(с2 —cd —d2)(c-f-d); в) (4a24-a-f-3)(а—1);
(х —у) (х2 —ху —у2);г) (3 —х) (Зх2 + х —4).
Раскройте скобки:
(4〃2——6〃р +9P2) (2〃 + Зр);г) (7 — 2а) (4а2 + 4а + 3);
(25х2 + Юху + 4y2) (5% — 2у); д)(炉一％ + 2) (Зх2 + % — 2);
(-2а24-За4-1) (За-2); е) (5- 2а + а2) (4а2- За — 1).
Запишите в виде многочлена выражение:
а)(х + 1) (х + 2)(х + 3);6) (。一 1) (。一 4) (а + 5).
Упростите выражение:
(3b-2)(5-2b)+6b2; г) 5Ь3 + (а2 + 5Ь) (аЬ-Ь2);
(7у-4)(2у + 3)-13驴 д) (a-b)(a + 2)-(a + b)(a — 2);
х3 —(х2 —Зх) (х + 3); е) (х + у)(х —у) + 2(х-{-1)(х + 2).
717・ Представьте в виде многочлена выражение:
(4х + 1)(1 —2х) —7х2;в) (х + Зу) (х — у) + (2у — х) (х + у);
—6加2一(加 + 4)(з — m)； г) (а — х) (х-{-4а)—(а-{-х) (х — 4а).
Найдите значение выражения:
(% + 5)(х —2)—(х —3)(% + 4) при х = 2,5;
(у —6) (у —1) —(у + 3) (г/Ч-2) при у= —0,5;
(а —7) (а+ 5)-{-(а-{-8) (а —6) при а=—7;
(Ь + 9)(Ь4-4) + (Ь-12)(Ь-1) при Ь=-5・
7Т9・ Докажите, что при любом значении переменной х: а) значение выражения (% — 3) (% + 7)—(%+5) (х — 1) равно — 16;
значение выражения х4 — (х2 — 7) (х2 + 7) равно 49.
Решите уравнение:
6х2- (2х- 3) (Зх + 2)=2;
(10х + 9) х=8 - (1 ~ 5х) (2х + 3);
12 —% (н—3)=(6 —%) (%+2);
(х+4) (х4-1)=х —(х —2) (2 —х).
72L Найдите корень уравнения:
5 + х2=(х+1) (х+6);
2х (х - 8)=(х +1) (2х - 3);
(Зх-2)(х+4)-3(х+б)(х-1)=^0;
х2 + х (6 —2х) = (х —1) (2 —х)—2.
Докажите, что:
при любом натуральном значении п значение выражения п (п + б)—(п — 3) (п + 2) кратно 6;
при любом натуральном значении п9 большем 2, значение выражения (п — 1)(几 +1)—(〃 一 7) (п — 5) кратно 12.
Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат меньшего из них на 65 меньше произведения двух остальных.
724・ Найдите четыре последовательных натуральных числа, такие, что разность между произведением двух больших чисел и произведением двух меньших равна 58.
Периметр прямоугольника равен 60 см. Если длину прямоугольника увеличить на 10 см, а ширину уменьшить на 6 см, то его площадь уменьшится на 32 см2. Найдите площадь прямоугольника.
726・ Сторона квадрата ва 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 2 см больше другой его стороны. Найдите еторену квадрата, если из1^етн09 что площадь квадрата на 30 ем2 меньше площади пряидугольника.
-У*>ажммя：даш BMTqHBiKa
. Для вы*лветмякШ№»ю・ з#*шия к епределеншхму ерсжу бригада уМбтеиж д/шж^. б им. жвтевлтъ ежедневно &<;детдлж В^е^шмлмя шйш ма • летел磧 в день, бригада 1эе
уже за один день до срока не тольконI 丛
выполнила плансшое задание, но и qI_L_
изготовила 18 деталей сверх плана.Iе* л **
Сколько дней работала бригада?
Тракторная бригада должна Jа была по плану вспахивать ежедневнорщ；. 53
112 га целины. Перевыполняя план на
8 га в день, бригада уже за день до срока закончила пахоту. Сколько гектаров целины нужно было вспахать бригаде?
Решите уравнение:
‘536*丿 43
Составьте выражения для вычисления площади фигуры, изображенной на рисунке 53, сначала достроив фигуру до прямоугольника, а затем разбив ее на два прямоугольника. Докажите, что полученные выражения тождественно равны.
Докажите тождество а (b — c) + b (с —а)=с (Ь —а).
32. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛБНА НА МНОЖИТЕЛИСПОССЖОМ ГРУППИРОВКИ
Иногда удается разложить многочлен на множители, используя группировку его членов.
Пусть требуется разложить на множители многочлен ab —2Ь + За —6・ Для этого попытаемся сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель:
Qb —2b + 3a —6 = (ab —2b) + (3。一6).
В первой группе вынесем за скобки множитель Ь9 а во второй —множитель 3:
(аb - 2 &) + (За - 6) = Ь (а - 2) + 3 (а - 2).
Мы представили многочлен аЬ —2匕十3。一6 в виде суммы b (а — 2)十 3 (а — 2), в которой оба слагаемых имеют общий множитель а — 2. Вынесем этот множитель за скобки:
Ь(а —2) + 3 (а-2) = (а —2)2 + 3).
Итак,
„.ab — 2b + 3a~~-6 = (a - 2)(b十3)。
Способ, с помощью которого мы разложили многочлен на множители, называют способом группировки. 5*
Разложение многочлена ab — 2b + 3a — бна множители можно выполнить, группируя его члены иначе:
ab —2b + 3a —6=(@b + 3a)+(—2Ь —6)== а(Ь + 3)-2(Ь + 3)== (Ь + 3)(а-2)・
Приведем еще один пример.
Разложим на множители многочлен ac^bd—bc — ad.
Сгруппируем первый член многочлена с третьим и второй с четвертым.
В первой группе вынесем за скобки множитель с, а во второй — множитель — d・ Получим:
ac-{-bd— be — ad=(ас— bc)+(bd—@d)==c (а — b)—d (q — b)=一 =(q — Ь) (с 一 d).
Заметим, что при группировке слагаемых можно сразу перед второй скобкой поставить знак «минус» и вынести за скобки во второй группе множитель d・ Получим:
ac-^-bd — Ьс — ad=(ас — be)—(ad — bd)==c (a — b)—d (a — b)==(@ — b) (c—d).
Представьте в виде произведения выражение:
а) с(%+с)+Ь(%+с);、6) “(у-1) — 3(у-1); в) у(а + ь)—(а+&);г)(Р—q)+b(p—q);а) с(%+с)+Ь(%+с);、6) “(у-1) — 3(у-1); в) у(а + ь)—(а+&);г)(Р—q)+b(p—q);Д)(а + у)—с(а + у);е) х2 (х—р)+(х—р);яс) (т + 3)2—ш (лг + 3);з) х(1 —х)—(1 —х)2.Д)(а + у)—с(а + у);е) х2 (х—р)+(х—р);яс) (т + 3)2—ш (лг + 3);з) х(1 —х)—(1 —х)2.
а) с(%+с)+Ь(%+с);
、6) “(у-1) — 3(у-1); в) у(а + ь)—(а+&);
г)(Р—q)+b(p—q);
а) с(%+с)+Ь(%+с);
、6) “(у-1) — 3(у-1); в) у(а + ь)—(а+&);
г)(Р—q)+b(p—q);
Д)(а + у)—с(а + у);
е) х2 (х—р)+(х—р);
яс) (т + 3)2—ш (лг + 3);
з) х(1 —х)—(1 —х)2.
Д)(а + у)—с(а + у);
е) х2 (х—р)+(х—р);
яс) (т + 3)2—ш (лг + 3);
з) х(1 —х)—(1 —х)2.
733. Разложите на множители:733. Разложите на множители:a(c — b) + d(b — c);%3-5)-у(5 —у%3a(2x-7) + 5b(7-2x);17P (Зр—q) —2q (q —Зр);Решите уравнение, часть:х(2х-1) + (2х-1)=0;(6什5)—2у(6у + 5) = 0;a(c — b) + d(b — c);%3-5)-у(5 —у%3a(2x-7) + 5b(7-2x);17P (Зр—q) —2q (q —Зр);Решите уравнение, часть:х(2х-1) + (2х-1)=0;(6什5)—2у(6у + 5) = 0;Д)(х-у)-а(у-х);(2a-36)+c(3b-2a);3(a-2)2-(2-a);2(3—b)+5(b — 3)2.разложив на множители левуюх (х—2) + 5 (2 —х)=0;у (5у —2)—(2 —5у)=0・Д)(х-у)-а(у-х);(2a-36)+c(3b-2a);3(a-2)2-(2-a);2(3—b)+5(b — 3)2.разложив на множители левуюх (х—2) + 5 (2 —х)=0;у (5у —2)—(2 —5у)=0・
733. Разложите на множители:
733. Разложите на множители:
a(c — b) + d(b — c);
%3-5)-у(5 —у%
3a(2x-7) + 5b(7-2x);
17P (Зр—q) —2q (q —Зр);
Решите уравнение, часть:
х(2х-1) + (2х-1)=0;
(6什5)—2у(6у + 5) = 0;
a(c — b) + d(b — c);
%3-5)-у(5 —у%
3a(2x-7) + 5b(7-2x);
17P (Зр—q) —2q (q —Зр);
Решите уравнение, часть:
х(2х-1) + (2х-1)=0;
(6什5)—2у(6у + 5) = 0;
Д)(х-у)-а(у-х);
(2a-36)+c(3b-2a);
3(a-2)2-(2-a);
2(3—b)+5(b — 3)2.
разложив на множители левую
х (х—2) + 5 (2 —х)=0;
у (5у —2)—(2 —5у)=0・
Д)(х-у)-а(у-х);
(2a-36)+c(3b-2a);
3(a-2)2-(2-a);
2(3—b)+5(b — 3)2.
разложив на множители левую
х (х—2) + 5 (2 —х)=0;
у (5у —2)—(2 —5у)=0・
735・ Решите уравнение:3 (Зх - 4) - 5х (Зх - 4) = 0;(6g —7) у —8 (6g —7) = 0;735・ Решите уравнение:3 (Зх - 4) - 5х (Зх - 4) = 0;(6g —7) у —8 (6g —7) = 0;в) 4 (3 — 2g)—Зу (2у — 3)=0; г) 6х(1 + 5х)-(5х + 1)=0.в) 4 (3 — 2g)—Зу (2у — 3)=0; г) 6х(1 + 5х)-(5х + 1)=0.Представьте в жение:%(b + c) + 3b + 3c;у (a —c) + 5q —5с;Разложите натх+ту + 6х + 6у\ б) 9% + ау+ 9g +。％;7а — 7Ь-{-ап — Ьп;ас + Ьс —2。一2b;8. Разложите наa)炉+炉+%+1；/ —/ —/ + 1；@4 + 2аЗ—а — 2；Ь6-ЗЬ4-2Ь2 + 6;739・ Представьте в а) кр — ку + тр — ту; б) 4а + хЬ -{- 4Ь -{- ха;в) тп — mk -{-xk-^xn;Представьте в жение:%(b + c) + 3b + 3c;у (a —c) + 5q —5с;Разложите натх+ту + 6х + 6у\ б) 9% + ау+ 9g +。％;7а — 7Ь-{-ап — Ьп;ас + Ьс —2。一2b;8. Разложите наa)炉+炉+%+1；/ —/ —/ + 1；@4 + 2аЗ—а — 2；Ь6-ЗЬ4-2Ь2 + 6;739・ Представьте в а) кр — ку + тр — ту; б) 4а + хЬ -{- 4Ь -{- ха;в) тп — mk -{-xk-^xn;виде произведения многочленов выра-виде произведения многочленов выра-р(с —d) + c —d;
735・ Решите уравнение:
3 (Зх - 4) - 5х (Зх - 4) = 0;
(6g —7) у —8 (6g —7) = 0;
735・ Решите уравнение:
3 (Зх - 4) - 5х (Зх - 4) = 0;
(6g —7) у —8 (6g —7) = 0;
в) 4 (3 — 2g)—Зу (2у — 3)=0; г) 6х(1 + 5х)-(5х + 1)=0.
в) 4 (3 — 2g)—Зу (2у — 3)=0; г) 6х(1 + 5х)-(5х + 1)=0.
Представьте в жение:
%(b + c) + 3b + 3c;
у (a —c) + 5q —5с;
Разложите на
тх+ту + 6х + 6у\ б) 9% + ау+ 9g +。％;
7а — 7Ь-{-ап — Ьп;
ас + Ьс —2。一2b;
8. Разложите на
a)炉+炉+%+1；
/ —/ —/ + 1；
@4 + 2аЗ—а — 2；
Ь6-ЗЬ4-2Ь2 + 6;
739・ Представьте в а) кр — ку + тр — ту; б) 4а + хЬ -{- 4Ь -{- ха;
в) тп — mk -{-xk-^xn;
Представьте в жение:
%(b + c) + 3b + 3c;
у (a —c) + 5q —5с;
Разложите на
тх+ту + 6х + 6у\ б) 9% + ау+ 9g +。％;
7а — 7Ь-{-ап — Ьп;
ас + Ьс —2。一2b;
8. Разложите на
a)炉+炉+%+1；
/ —/ —/ + 1；
@4 + 2аЗ—а — 2；
Ь6-ЗЬ4-2Ь2 + 6;
739・ Представьте в а) кр — ку + тр — ту; б) 4а + хЬ -{- 4Ь -{- ха;
в) тп — mk -{-xk-^xn;
виде произведения многочленов выра-
виде произведения многочленов выра-
a(p — q)+q—p.
множители многочлен:
Д)ах + ау — х — у;
1 —Ьх —%+Ь;
ху + 2у — 2х — 4;
ab —4а + ЗЬ —12.
множители:
а2 —аЬ —8а-{-8Ь;
аЬ — 3b+ 标—За;
llx — xy + lly — x2;
hn — тп — ri? + mh・
виде произведения многочлен:
г)炉 + 7第一ат —7а;
3)Зт — mk -{- 3fe — fe2;
{ е) xk-xy — x2-{-yk.
Разложите на множители многочлен:
а) х2 + ах — а2у — аху;(б) а% + к? — а〃х — ан;а) х2 + ах — а2у — аху;(б) а% + к? — а〃х — ан;в) 5а3с + 10а2 — 6Ьс — Забе2;г) 21а 4- 8ху3 — 24у2 — Таху.
а) х2 + ах — а2у — аху;
(б) а% + к? — а〃х — ан;
а) х2 + ах — а2у — аху;
(б) а% + к? — а〃х — ан;
Найдите значение выражения:
p2q2+pg_q3_p3 11Pli「= 0,5 и g= —0,5;
Зх3 — 2у3 — 6х2у2 + ху при %=~|" и У=*・
742・ Чему равно значение выражения:
2а-{-ас2—®2^——2с при а = 1-|- и с=—1~|~;
%2у —у + %у2 —% при х = 4 и у = 0,25?
Найдите значение выражения:
13,5 • 5,8 一 8,3 • 4,2 - 5,8 • 8,3 + 4,2 ・ 13,5；-
3,1 - 8,2 +12,5 • 4,8 + 3,1 -4,3 -12,5 ・ 6,7.丿
Представьте в виде произведения:
ас2—ad^c3 — cd—bc2-{-bd;
ах2+ау2 — Ьх2 —by2 + b — a;
ап2 + сп2 — ар + ар2 — ср + ^Р2；
ху2 — Ьу2 — ах -{- а b + у2 — а.
745・ Разложите на множители многочлен:
х2у + х + ху2 + у + 2ху + 2;б) х2 — ху + х — ху2 + у3 — у2.
Упражнения для повторения
Представьте число 3斗 в виде десятичной дроби и округлите эту дробь до десятых. Найдите абсолютную погрешность полученного приближенного значения.
Число коров в колхозном стаде возросло на 60 голов, а в связи с улучшением кормовой базы удой молока от одной коровы возрос в среднем с 12,8 л в день до 15 л. Сколько коров стало в стаде9 если колхоз стал ежедневно получать на 1340 л молока больше, чем раньше?
Применение для перевозки зерна автопоезда (автомашины с прицепом) позволило за один рейс перевозить на 4,3 т зерна больше, чем на одной автомашине. Сколько тонн зерна перевозит автопоезд за один рейс, если он за 3 рейса перево- вит на 10,4 т зерна больше, чем одна автомашина за 4 рейса?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
К параграфу 10
Найдите значение многочлена х2 — 3ху+^- у2, если *) #=3, у= —2; б)工=}, У="у*•
Приведите подобные члены многочлена:
бтл — 5血2〃2 — 91n諸—Umn + 10mn2+5m2n2;
2®?ь—efr3—а»—q% —a2b.
Приведите к ггандартаому вцду многочлен:
a) 10a&c2+23d!b«—ebc2 — 15a2dc+abc2—2а2Ьс;
<)—3,6*2yz+1,2ху2а——0,5 專у*? + 3i2y^ — 4xy2^+*y/・
Найдите значение выражения -у а2Ь—^аЬ?—@'b + + 2аЬ2—~аЬ2, если:
а) а = 8, & = —0,5; б) @= —0,5, Ь = 4.
Расположите многочлен Зах2 — 6а3х + 8а2 — х3:
по возрастающим степеням переменной х;
по убывающим степеням переменной а.
Какова степень многочлена:
7х3у2 — 2х5 -J- Зху3 — 4x2i/2 4- 6;
— тп2 + 2тп — 8 -{- тп6 — Зт3п3 + л5;
0,403ь + 30标 _ io + 0,603& 一 2Q庐一^Ь；
— 3,lax4 + 2,5@х + 2ах4 + 1,1ах4 — 0,5ах — 2@工7
Сложите многочлены:
2%3 —4%2 + 7% + i и _х34-2х2 + Зх —5;
—Юа^ + бс^ + За и —6。？ — 4包 +8a?;
2。+ Ь — с — d и 4a — 3 b — 2c + 5d;
x2 — y2 + x — 6 и —％2 + 2力一y — 4・
Найдите разность многочленов:
6а3 4- 2а2 — 8а — 9 и 8а3 —а2 —6а + 1;
— Зх -{- х3 — 2х2 и 4х3 —2х2 —4х;
4а —ЗЬ4-2с и — 6а + 4Ь —2c — 2;
г)标 + 标―2аЬ + 1 и 2а2 + Ь2 + 2Ъ + 1.
Представьте в виде многочлена:
(-2х24-х4-1)-(х2-х4-7)-(4х2 + 2х + 8);
(За2-а + 2) + (-За2 + За-1)-(а2-1);
2а-ЗЬ + с —(4а + 7Ь + с + 3);
2ху —力 + (力—%у) —(炉 + xy).
Упростите выражение:
(1 —х + 4х2 — 8%з)+ (2х^+炉一6% — 3) — (5х3 — вх2)：
(0,5а — 0,6& + 5,5)-(-0,5а + 0,4b) + (1,ЗЬ-4,5).
Докажите, что выражение 厶+B —С тождественно равно выражению С—В —А, если А = 2х —1, В = 3x4-1 и С = 5%・
Докажите, что:
если сложить сумму двух чисел с их разностью, то получится удвоенное первое число;
если из суммы двух чисел вычесть разность тех же чисел, то получится удвоенное второе число.
Решите уравнение:
(4 - 2“) + (5% - 3)=(“一2)一(* + 3);
5 — Зу — (4 — 2у) = у — 8 — (у — 1);
b) 7_1专0 + (年0_5告) = 2Q+告_(}+*q);
г) 一 3,6 - (1,5х +1) = - 4х - 0,8 - (0；4х 一 2).
Найдите четыре числа, пропорциональные числам 2, 4, 5 и 6, если разность между суммой двух последних и суммой двух первых чисел равна 4,8・
Если к задуманному числу приписать справа нуль и результат вычесть из числа 143, то получится утроенное задуманное число. Какое число было задумано?
Если к данному числу приписать справа цифру 9 и к полученному числу прибавить удвоенное данное число, то сумма будет равна 633. Найдите данное число.
Если к данному трехзначному числу слева приписать цифру 8 и к полученному четырехзначному числу прибавить 619, то сумма будет в 40 раз больше данного трехзначного числа. Найдите это число.
К параграфу 11
Преобразуйте произведение в многочлен:
За5Ь4(а10-а7&3 + Ь10);
— 2х8у5 (Зх2—5ху + у2);
(х4+7х2^2 — 5/) • (—0,2ху2);
r)g7_专住+告氏3一告e5)( - 30ЬeЗ).
Решите уравнение:
ба+^ — ЗмМзу—});Д)屮一宁—中=0；
7 (2у — 2) — 2 (Зу — 3,5)=9; е\ 2%—14 — з%—1 — %—2 — в) 11,2 (5х -1)=36 - 3 (13,4 - 7х);' ~62^=^
г) 19,4 (2 - 5х)=40 + 5 (9х -11,6);
186
В одном сосуде было в 1,5 раза больше жидкости, чем в другом. Из первого сосуда вытекало за секунду 125 см3 жидкости, а из второго 48 см3. Сколько жидкости было в каждом сосуде, если известно, что через 1 мин 20 с во втором сосуде осталось на 0,56 л жидкости больше, чем в первом?
В одном сосуде было на 9 л меньше жидкости, чем во втором. В первый сосуд вливалось за секунду 240 см3 жидкости, а во второй 108 см3. Сколько жидкости было в каждом сосуде, если известно, что через 1 мин 40 с в первом сосуде стало в 1,2 раза больше жидкости, чем во втором?
Из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 72 км/ч. Через 45 мин вышел поезд из В в А со скоростью 75 км/ч. Расстояние между А и В равно 348 км. На каком расстоянии от В поезда встретятся?
Из пункта М в пункт ^ вышел пассажирский поезд, проходящий в час 70 км・ Через 30 мин навстречу ему из N вышел скорый поезд со скоростью 90 км/ч. Расстояние MN равно 515 км・ Через сколько часов после выхода из N скорый поезд встретится с пассажирским?
Из города М в город ^, находящийся на расстоянии 64 км от М9 одновременно выехали^ две грузовые автомашины со скоростями 66 км/ч и 60 км/ч. Через сколько часов после отправления вторая машина окажется вдвое ближе к ^, чем первая?
Мотоциклист выехал из пункта А в пункт В. Если он будет ехать со скоростью 35 км/ч, то приедет в В на 2 ч позже намеченного срока; если же будет ехать со скоростью 60 км/ч, то приедет в В на 1 ч раньше срока. За сколько времени наметил мотоциклист проехать расстояние от А до В?
Катер, идя по течению реки 5 ч, проходит столько же километров* сколько он проходит за 6 ч 15 мин против течения реки. Найдите скорость катера в стоячей воде9 если скорость течения реки равна 2,4 км/ч.
Бакенщик, гребя по течению* успевает проплыть за 3 ч такое же расстояние, какое он может проплыть за 3 ч 40 мин против течения. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде равна 5 км/ч.
Колхоз должен был провести сев за 14 дней. Перевыполняя план, колхозники засевали в день на 30 га больше, чем предполагалось по плану, и уже за 4 дня до срока им
137
оставалось засеять только 20 га. Сколько гектаров должен был засеять колхоз?
На строительстве ГЭС укладчики бетона не только выполнили 10-дневное задание, но и, перевыполняя норму на 450 м3 в день, уже за 1 день до срока уложили на 800 м3 бетона больше, чем предполагалось по плану. Сколько кубометров бетона уложат строители за 10 дней?
Чтобы закончить сев в срок, колхоз должен был засевать в день 73 га. Перевыполняя план, колхозники засевали в день на 14 га больше, чем предполагалось по плану, и уже за 2 дня до срока им оставалось засеять только 6 га. Сколько гектаров должен был засеять колхоз?
Найдите значение выражения:
5cx+ 巒 при х = 0,17, с = 1,15;
4a2 —ab при а = 1,47, Ь = 5,78.
Решите уравнение:
1,2%2十％ = 0;в) 0,5х2 —х = 0;д) 1,6х2 = 3х;
1,6х + х2 = 0;г) 5х2 = х;е) х = х2.
Представьте в виде произведения:
am + am + l;в) 4хп + 2 + 20хп;д) аГЪ2п + апЬп\
5%团+3 + 10%3；г) у + 2 —у;е) 15х2л +，—25хл +，.
Вынесите за скобки множитель:
(За + 6)2;в) (ах + ау)2;д) (5g —ЗО)3;
(12b— 4)2;г) (_3р + 6)з；е) (2а-8)4.
Докажите, что:
710 —79 —78 делится на 41;
109 +108 +107 делится на 222;
257 —512 делится на 120;
817 —279 —913 делится на 45.
Докажите, что значение выражения а? — а кратно 2 при любом целом а.
Если к целому числу прибавить его квадрат, то полученная сумма будет четным числом. Докажите.
Докажите, что если к двузначному числу прибавит^ число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то полученная сумма будет кратна 11.
Сумма двух последовательных натуральных степеней числа 3 кратна 12. Докажите это.
К параграфу 12
Представьте в виде трехчлена выражение:
(х-2)(5 + х);в) (10-z)(z-4);д) (5с + 2) (2с-1);
(У + 7)(у-11);г) (За+ 4)(8-а); е) (3几一2)(1—4几)・
Упростите выражение:
н) (х 一 2) (* + 3) + (% + 2) (х — 3);
(g-De+^+g+De-Z)；
(а + 1)(а + 2) + (а + 3)(а + 4);
(с-1)(с-2) + (с-3)(с-4)・
Докажите, что:
(x-^a)(x-{-b) = x2-{-(a + b) x + ab;
(y — a)(y — b) = y2 — (a + b)y + ab.
Представьте в виде многочлена выражение:
(х2 + х —1)(2х2 —х + 4);(-5а2 + 2а + 3)(4а2—2а + 1);У(У-3)® + 2);(с-4)(с + 2)(с + 3)・(х2 + х —1)(2х2 —х + 4);(-5а2 + 2а + 3)(4а2—2а + 1);У(У-3)® + 2);(с-4)(с + 2)(с + 3)・выражение тождественно равновыражение тождественно равноа)(炉一” + 4)(-5);
(х2 + х —1)(2х2 —х + 4);
(-5а2 + 2а + 3)(4а2—2а + 1);
У(У-3)® + 2);
(с-4)(с + 2)(с + 3)・
(х2 + х —1)(2х2 —х + 4);
(-5а2 + 2а + 3)(4а2—2а + 1);
У(У-3)® + 2);
(с-4)(с + 2)(с + 3)・
выражение тождественно равно
выражение тождественно равно
(2у-1)(у2 + 5д-2)；
(2-За)(-а2 + 4а-8);
r) (3 - 40)(2巒-0-1);
Докажите, что двучлену:
а) (х + у) (х2 —同/ + 力；в) (а + Ь) (а3 —а2Ь+а&2 — Ь3);
(х — у)(x2 + Xу + у2); г) (a -协⑷ + 标Ь + 。川 + 庐).
Упрсютите:
(а2-7)(а + 2)-(2а-1)(а-14);
(2-&)(14-2Ь)+(1 + Ь)(&^-3&);
2х2 — (х — 2у) (2х 4- у)；
г)(加一3n) (m + 2n) — m (m — n).
Решите ураввение:
a)住+ 1)(* + 2)一("一3)何+ 4)=5;
(3* - 1)(如+?)一5+1)约#一电=16;
叫 44一电y + 1)ну一3)=a*一證力根y一7)；
r) W^2)(5-y)=47H2y-3)^-l).
Представьте в виде многочлена:
сумму многочлена х3-{-7х2 + 8 и произведения многочленов —6% + 4 и х —1;
разность произведения многочленов а?+ 7。一4 и а ——3 и многочлена а3 + 4а2 — 29а 11.
Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях переменных:
126у3 + (х — 5у)(х24-25у2 + 5ху) при х = — 3, у=—2;
тп3-{-п3—(п^ — 2тп — п2)(т — п) при т=—3, п = 4.
Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
(。一3) (а? — 8а + 5) — (а — 8) (а? — За+ 5);.
(х2 - 3% + 2) (2% + 5) — (2х2 + 7% +17) (% - 4).
Докажите, что:
сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5;
сумма четырех последовательных нечетных чисел кратна 8.
Найдите четыре последовательных натуральных числа, если известно, что произведение первых двух из этих чисел на 38 меньше произведения двух следующих.
Докажите, что:
а； произведение двух средних из четырех последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел;
произведение двух крайних из четырех последовательных нечетных чисел на 8 меньше произведения двух средних чисел.
Сторона квадрата на 2 см больше одной из сторон прямоугольника и на 5 см меньше другой. Найдите площадь квадрата, если известно, что она на 50 см2 меньше площади прямоугольника.
Если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину увеличить на 5 см, то получится квадрат, площадь которого будет больше площади прямоугольника на 40 см2. Найдите площадь прямоугольника.
Периметр прямоугольника равен 36 м. Если его длину увеличить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м9 то его площадь увеличится на 30 м2. Определите площадь первоначального прямоугольника.
Периметр прямоугольника равен 30 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 8 см2. Найдите площадь первоначального прямоугольника.
Найдите значение выражения:
巒 + ab —7а —7b при а = 6,6, 6 = 0,4;
б)炉一％y —4% +4y при х = 0,5, у = 2,5;
5q2 —5qx —7a+ 7% при а = 4, %=—3;
xb —хс + Зс —ЗЬ при х = 2, Ь = 12,5, с = 8,3;
ау — ах — 2х + 2у при а=—2, х = 9,1, у=—6,4;
Зах —4Ьу —4ау+ ЗЬх при а = 3, Ь=—13, %=—1, у=—2.
Разложите на множители многочлен:
q3—2q2+2q—4;д) а2Ь — Ь2с+а2с—Ьс2;
б)炉一12 + бх2—2%; е) 2х3+ху2—2х2у—у3;
с4—2с2+с3 — 2с; ж) 16аЬ2 — 10с3+32ас2—5Ь2с;
— у' —у5+* + уЗ； з)ба3 — 21а2Ь + 2аЬ2—7Ь3.
Докажите тождество
(а2 + 户)(аЬ + cd) — аЬ (а2 + &2 — с2 — d2) = (ас + bd) (ad + bc)・
При каком значении а многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению (炉 + % — 1) (% — а), не содержит: а) х2; б) х?
При каком значении b многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению (х2 — 10х + 6) (2х + Ь): а) не содержит *
имеет равные коэффициенты при х3 и при х?
Представьте в виде произведения:
ma^mb + na — nb+pa—pb;
ax — b»—cx+ay — by — cy;
В)炉 + @工2 —у —Qy + c%2 —‘у；
ах2 — 2у — Ь^+ау + 2Х2 — by.
ГЛАВА
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
§ 13. РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ
33. УМНОЖЕНИЕ РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИИ НА ИХ СУММУ
Умножим разность а —b на сумму а + 6:
(а — Ь) (а + Ь) = а' + аЬ —ab —公=。2 —从・
Значит,
⑴⑴(а-Ь) (а + Ь) = а^-Ь2.
⑴
⑴
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
Тождество (1) является одной йз формул сокращенного умножения. Эта формула позволяет сокращенно выполнять умножение разности выражений на их сумму. Например:
(5х3 一 3犷)(5%з + ЗУ) = (5х3)2 一 (3力)2 = 25х6- 9/.
Представьте в виде многочлена произведение:
и)(几一Зт)(Зтп + 〃)；к)(2а-ЗЬ)(ЗЬ + 2а);л) (8с +9d)(9d —8с);м) (fOx —7y)(10% + 7у)・и)(几一Зт)(Зтп + 〃)；к)(2а-ЗЬ)(ЗЬ + 2а);л) (8с +9d)(9d —8с);м) (fOx —7y)(10% + 7у)・(х — у^^х + у); д) (х + 3)(х —3);
и)(几一Зт)(Зтп + 〃)；
к)(2а-ЗЬ)(ЗЬ + 2а);
л) (8с +9d)(9d —8с);
м) (fOx —7y)(10% + 7у)・
и)(几一Зт)(Зтп + 〃)；
к)(2а-ЗЬ)(ЗЬ + 2а);
л) (8с +9d)(9d —8с);
м) (fOx —7y)(10% + 7у)・
6(P + G(P —G； *е) (1—c)(l-fc);
(Ь —а) (Ь+а); ж) (2%—1)(2% +1);
(р — 7)(р + 7); з) (4 + 5g) (5у — 4);
иС) (a3-廿)(a3 + 川)； з) (c4 + d2)(d2 —с4);,и) (5х2 — 2у2)(5х2 + 2у2);к)(10p3-3^)(3q + 10p3;;л) (12а4 —7х)(-12а4 —7х/ m)(一乡-15庐)值一16戸).иС) (a3-廿)(a3 + 川)； з) (c4 + d2)(d2 —с4);,и) (5х2 — 2у2)(5х2 + 2у2);к)(10p3-3^)(3q + 10p3;;л) (12а4 —7х)(-12а4 —7х/ m)(一乡-15庐)值一16戸).Выполните умножение:
иС) (a3-廿)(a3 + 川)； з) (c4 + d2)(d2 —с4);
,и) (5х2 — 2у2)(5х2 + 2у2);
к)(10p3-3^)(3q + 10p3;;
л) (12а4 —7х)(-12а4 —7х/ m)(一乡-15庐)值一16戸).
иС) (a3-廿)(a3 + 川)； з) (c4 + d2)(d2 —с4);
,и) (5х2 — 2у2)(5х2 + 2у2);
к)(10p3-3^)(3q + 10p3;;
л) (12а4 —7х)(-12а4 —7х/ m)(一乡-15庐)值一16戸).
(х2-5)(х2 + 5);
6)侦+ 3)(М-3);
(4 + у2)(у2-4);
Г) (9一产)(川 + 9);
(—^ + 8)0 + 8);
(н24-1)(^п2 + 1)；
813・ Представьте в виде многочлена:813・ Представьте в виде многочлена:а) (У-4) (у+ 4);6)他 +1)(1-а);в) (7х-2)(7х+2);г) (86 + 5)(5-86);а) (У-4) (у+ 4);6)他 +1)(1-а);в) (7х-2)(7х+2);г) (86 + 5)(5-86);(3炉一1)(3炉+ 1);
813・ Представьте в виде многочлена:
813・ Представьте в виде многочлена:
а) (У-4) (у+ 4);
6)他 +1)(1-а);
в) (7х-2)(7х+2);
г) (86 + 5)(5-86);
а) (У-4) (у+ 4);
6)他 +1)(1-а);
в) (7х-2)(7х+2);
г) (86 + 5)(5-86);
(4/ + 5)(4/-5);
(12巒_7@2)(7。2 + 12峭;
(-11р*+9)(11р4 + 9).
а) (0,7# +у2) (0,7% —/)；б) (1,3а2-0,1) (1,3а2+0,1);В) (1-亲2)(1+告巒)；а) (0,7# +у2) (0,7% —/)；б) (1,3а2-0,1) (1,3а2+0,1);В) (1-亲2)(1+告巒)；д) (0,8Ь2~ 1)(1 +0,8b2);е) (1,4с+ 1,7дЗ)(1,7уЗ-1,4с):陶(普_p4)%+40；д) (0,8Ь2~ 1)(1 +0,8b2);е) (1,4с+ 1,7дЗ)(1,7уЗ-1,4с):陶(普_p4)%+40；814. Выполните умножение:
а) (0,7# +у2) (0,7% —/)；
б) (1,3а2-0,1) (1,3а2+0,1);
В) (1-亲2)(1+告巒)；
а) (0,7# +у2) (0,7% —/)；
б) (1,3а2-0,1) (1,3а2+0,1);
В) (1-亲2)(1+告巒)；
д) (0,8Ь2~ 1)(1 +0,8b2);
е) (1,4с+ 1,7дЗ)(1,7уЗ-1,4с):
陶(普_p4)%+40；
д) (0,8Ь2~ 1)(1 +0,8b2);
е) (1,4с+ 1,7дЗ)(1,7уЗ-1,4с):
陶(普_p4)%+40；
Г)停加3+3g一争吗；3) (__!„炉)(*_q5).
815. Выполните вычисления:
a) (100-1)(100 + 1); в) 74・66; д) 1002-998;
б) (80 + 3)(80-3); г) 201-199; е) 1,05 0,95.
816・ Найдите значение произведения:
а) 52・48;б) 37-43;а) 52・48;б) 37-43;в) 6,01-5,99;г) 2,03-1,97;в) 6,01-5,99;г) 2,03-1,97;Д)17,3・16,7;е) 29,8-30,2.Д)17,3・16,7;е) 29,8-30,2.
а) 52・48;
б) 37-43;
а) 52・48;
б) 37-43;
в) 6,01-5,99;
г) 2,03-1,97;
в) 6,01-5,99;
г) 2,03-1,97;
Д)17,3・16,7;
е) 29,8-30,2.
Д)17,3・16,7;
е) 29,8-30,2.
многочлена:д) (Ь-2)(Ь4-2)(Ь2 + 4)； е) (3-у)(3 + у)(9 + у2)； ж) (а2 + 1)(а + 1)(а~1)； з) d + l)(c2+l)(c2-i)・многочлена:д) (Ь-2)(Ь4-2)(Ь2 + 4)； е) (3-у)(3 + у)(9 + у2)； ж) (а2 + 1)(а + 1)(а~1)； з) d + l)(c2+l)(c2-i)・Представьте в виде
многочлена:
д) (Ь-2)(Ь4-2)(Ь2 + 4)； е) (3-у)(3 + у)(9 + у2)； ж) (а2 + 1)(а + 1)(а~1)； з) d + l)(c2+l)(c2-i)・
многочлена:
д) (Ь-2)(Ь4-2)(Ь2 + 4)； е) (3-у)(3 + у)(9 + у2)； ж) (а2 + 1)(а + 1)(а~1)； з) d + l)(c2+l)(c2-i)・
2(х-3)@ + 3);
у@ + 4)(у-4);
5х (х + 2) (х-2);
-За(а+ 5)(5-а);
Упростите выражение:
2炉一(第 + 1)(力一1); в) (зaь-1)(зaЬ + 1)-8a262;
6Ь2 + (3~2Ь) (3 + 2Ь);г) (0,8% +у)(0,8х —у)+ 0,36炉.
Докажите, что квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.
Упростите:
(^-У)(^+У)и2+А в) (3m-2)(3m + 2)+4;
6)件❶+力“备‘十»2)佟а二b); г) 25/>4_(7+5/i2)(7-5〃2)・
821. Упро・тте выраявемт:
0)住一2)(#+2)—* 付+5);в) (4х—а) (4х+а)+2х (ж—а);
m(m—4)+^—m)(3 + m); „ f) 2« (•+1)—(2а+Ь) (2а—Ь).
822. Представьте в виде многочлена:
(3тП —а)(3m +a)—(2a + m)(3а —?п);
(х — 4у) (х + 2у) + (х — 3г/) (Зу + х);
(5а — 3с)(5а + 3с) — (7с — а)(7с~|~а);
(4Ь + 10с) (10е一 4Ь) + (— 5с + 2b) (5с + 26).
823・ Упростите выражение:
5а(а —8)-3(а + 2)(а-2);
(1 - 4Ь) (4Ь +1) + 6Ь (Ь - 2);
(8р —q)(q + 8p) —(p + q)(p —q);
(36с-1)(с + 7)-(6с — 1)(1 + 6с)・
Решите уравнение:
87n (1+ 2т) —(4тп + 3) (4тп —3) = 2тп;
х-Зх(1-12х) = 11-(5 —6х) (6х + 5).
825・ Найдите корень уравнения:
(6х —5) (6х + 5) —4х (9х-{-2)= — 1;
(8 — 9р，р=—40 + (6-Зр)(6 + Зр)・
Упражнения для повторения
Запишите в виде выражения:
произведение разности чисел 19 и 9 и их суммы;
сумму квадратов чисел 15 и 25;
квадрат суммы Ь и с;
куб разности а н 匕.
Прочитайте выражение:
2(х + у);в) (Ь + у)2;д) х2 —а2;
2%у;г) (а — Ь)2;е) а3 + Ь3.
Представьте выражение в виде квадрата одночлена: а) 4х4;в) Збтп6;д) 9a4b2;
б) 0,25а4;г) а2b4；е) 0,16х6у4.
Из пунктов 4 и В, расстояние между которыми 1020 км? отправились одновременно навстречу друг другу два поезда» причем скорость одного была на 10 км/ч больше скорости другого. Через 5 ч поезда, еще не встретившись, находились на расстоянии 170 км друг от друга. Найдите скорости поездов.
144
34. РАЗЛОЖЕНИЕ РАЗНОСТИ КВАДРАТОВ НА МНОЖИТЕЛИ
Поменяем местами в тождестве (о — b) (а + b) = М — ь2 правую и левую части. Получим:
а2-Ь2 = (а-Ь)(а + Ь).
Это тождество называют формулой разности квадратов.
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.
Формула разности квадратов применяется для разложения на множители разности квадратов любых двух выражений.
Разложим, например, на множители двучлен 49х2—16ув. Представив этот двучлен в виде разности квадратов и применив формулу а2— Ь2 = (а— Ь) (а + &), получим:
49х2 -16/ = (7х)2 - (4^3)2 =(7Х 一 4/) (7х + 4у3).
Представьте многочлен в виде произведения разности
и суммы:
a）炉一犷；
г) т2—1;
ж) р2 —400;
к) Ь2—■^;
б) с2 —公；
д) 16一 照
з) у2 —0,09;
•Л）为善;
в) а2 —25;
匂 100 —х2;
и) 1,44 —а2;
м) "Ц—р2.
831. Разложите на множители:
а) 25%2 —у2；д) 97n2 —16几2；и) 9—Ь%2；
б) — тп2+16п2;е) 64P2 —81q2；к) 4а2Ь2 — 1;
в) 36а2 —49;
ж) — 49山+16?>2； л) р2 —02b2;
г) 64-25*
з) 0,01п2 —4тп2;м) 1602d2 —9q2.
832・ Представьте в виде произведения:
а) х2 —64;
б) 0,16-с2;
г) — 81 + 25力；ж) %2у2 —0,25;
д) 144b2 —。2；3)С2d2 —絞；
в) 121 —疗；
е) 16%2—49力；и) a2第2 -4力.
833. Вычислите:
а) 472-372;
б) 532 — 632；
в) 1262-742^д) 0,8492 - 0,1512;
г) 21,32-21,22;е)(5-|)2-(ф|)2.
834. Найдите значение дроби:
36 —
792-652 .、532-272 .7 532-32*
)420 '丿 79—512'612 — 442 ,
、145
835・ Найдите значение выражения:
а) 412 —312; в) 2562 —1562;五)^Izil^ ・)632—272
б) 762-242; г) 0,7832-0,2172;鬼 ^3F ；句 83^=7^
836. Разложите на множители:
a)%4一9；6) 25 T；B)m8一Q2；a)%4一9；6) 25 T；B)m8一Q2；pda二一Ад)6pda二一Ад)6ж) Ь4—у10;3)加8-几6；и) а4 — Ь4;ж) Ь4—у10;3)加8-几6；и) а4 — Ь4;
a)%4一9；
6) 25 T；
B)m8一Q2；
a)%4一9；
6) 25 T；
B)m8一Q2；
pda二一Ад)6
pda二一Ад)6
ж) Ь4—у10;
3)加8-几6；
и) а4 — Ь4;
ж) Ь4—у10;
3)加8-几6；
и) а4 — Ь4;
837. Решите уравнение:а)炉一16 = 0; б)户一81 = 0;837. Решите уравнение:а)炉一16 = 0; б)户一81 = 0;в) х2—1-=0; г) а2—0,25 = 0.в) х2—1-=0; г) а2—0,25 = 0.
837. Решите уравнение:
а)炉一16 = 0; б)户一81 = 0;
837. Решите уравнение:
а)炉一16 = 0; б)户一81 = 0;
в) х2—1-=0; г) а2—0,25 = 0.
в) х2—1-=0; г) а2—0,25 = 0.
838. Представьте в виде произведения:
ж) 16m6y2—9n4;з) 9%"4—io。*и) 0,81P6Q4-0,01x2.ж) 16m6y2—9n4;з) 9%"4—io。*и) 0,81P6Q4-0,01x2.сб —9%4；г) @%2 —1；
ж) 16m6y2—9n4;
з) 9%"4—io。*
и) 0,81P6Q4-0,01x2.
ж) 16m6y2—9n4;
з) 9%"4—io。*
и) 0,81P6Q4-0,01x2.
100у2 — а8；д)0,36-х4/;
4%4 —25廿；е) 4@2—Ь%2;
839. Разложите на множители:
a)8 引a)8 引64 —у4；г) 25加6 —几2；ж) 64 —a4b4；
a)8 引
a)8 引
х2-с6;д) 1-49р1°;з) 16Ь2с,2-0,25;
g4 — Ь8;e)4уб -9a4；и)81%%2—0,3602.
840. Решите уравнение:
а) 4炉二9 = 0;б) 25х2-16 = 0.
84L Решите уравнение:
а)加2-25 = о； б)炉-36 = 0； в) 9х2-4 = 0; г) 16х2-49 = 0.
Представьте выражение в виде произведения:
(х+3)2-1；в) (4а-3)2—16;д) (бу-6)2-81;
64-(Ы-1)2;г) 25-0 + 7)2；е) 1-(2х-1)2.
Разложите на множители:
a) 9y2-Q +2yУ；в) 49л2-(У+8ж)2; д) (-2a2 + 3ft)2^4a4;
6)《3S-5)2 -16経；f) 65.一3。)2-2品2； e)那一a一^^.
Предетавьте в ■』< кромзмдения:
а) (25—5)2—36;в) Ц-11т)2-1;д) (5<-3d)2-9d2;
® 9-包+3e)2;Г)炉一犀尸+:)2；e)足一给b+呼.
Докажите, что при любом натуральном п значение выражения: а) (п-{-7)2 —п2 делится на 7; б) (4〃 + 5> —9 делится на 4.
Упражнения для повторения
Запишите в виде выражения:
а) квадрат суммы 5х и 3; в) квадрат разности т и 2л; б) сумму квадратов 1 и 4а; г) разность квадратов Зх и 7у.
Со станций Af и N, расстояние между которыми 380 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость поезда, отправившегося со станции ^, была больше скорости другого поезда на 5 км/ч. Через 2 ч после отправления расстояние между поездами составляло 30 км. Найдите скорости поездов.
§ 14. КВАДРАТ СУММЫ И КВАДРАТ РАЗНОСТИ
ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ
СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИИ
Рассмотрим еще две формулы сокращенного умножения.
Возведем в квадрат сумму。+瓦 Для этого представим выражение (а + Ь)2 в виде произведения (а + Ь) (а + Ь) и выполним умножение:
(a+b)2 = (a + b) {a-[-b) = a2 + ab + ab + b2 = a2+2ab + b2.
Значит,
(a + bf = ^ + 2ab + b2.(1)
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
Тождество (1) называют формулой квадрата суммы. Эта формула позволяет упрощать возведение в квадрат суммы двух выражений. Например,
(8х + Зу)2 = (8х)2 十 2 • 8% • Зу + (ЗуУ = 64炉十 48%у + 9力.、
Рассмотрим теперь квадрат разности а—Ь. Так как разность а ——& можно представить в виде суммы a + ( - ь)3 тс по формуле квадрата суммы имеем:
(0-b)2 = 9 + (一b))2=@2 + 2a(一Ь)十(-6)2 = @2_2a6 + b2.
Значит,
(а - Ь)2 = / - 2ад + 絞・ (2)
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
Тождество (2) называют формулой квадрата разности. Эта формула позволяет упрощать возведение в квадрат любой разности. Например, (10а — 7 Ь2)2 = (10а)2 — 2 • 10а • 7 Ь2 4- (7 б2)2 = =100а2 - 140aM 十 49b《.
Заметим, что тождество (2) можно получить и умножением а—Ь на а — Ь по правилу умножения многочлена на многочлен.
Представьте в виде многочлена:
а)(“ + у)2；в) (Ы-3)2;д) (у-9)2; ж)(а + 12)2; и) (&-11)2.
(р—аУ；г) (10 —с)2; е) (9—у)2; з) (15 —х)2;
849・ Преобразуйте в многочлен:
a)(加 +吟；B) (q -25产；д) (0,2 -х)2;
(с — 砌％г) (40 + 炉；е) (fe + 0,5)2.
С помощью рисунка 54 разъясните геометрический смысл формулы (а + Ь)2 = а2 + 2а Ь + Ь2 для положительных значений а и Ь.
Докажите тождество:
а) (% —У)2 =(У —к/б) ( —а—Ь)2 = (а-{-Ь)2.
Преобразуйте в многочлен:
а) ( — “ + 5)2;6) (-Z —2)2； в)(—几+ 4)2; г) (-6 — 10)2.
853. Представьте в853. Представьте ввиде многочленавиде многочленаквадрат двучлена:квадрат двучлена:
853. Представьте в
853. Представьте в
виде многочлена
виде многочлена
квадрат двучлена:
квадрат двучлена:
а) (2х + 3)2; Д) ( —15 — 2с)2;а) (2х + 3)2; Д) ( —15 — 2с)2;(5“一2炉；(7у-6)2;(-9@ +4a2;(5“一2炉；(7у-6)2;(-9@ +4a2;е) (8尼+ 10)2;ок) (5у —3z)2;(Их —7у)2;е) (8尼+ 10)2;ок) (5у —3z)2;(Их —7у)2;(0,1а-20)2;( — 1告p+6q)； л) (-0,8%-0,5b)2； м) (0,08а-50)2.(0,1а-20)2;( — 1告p+6q)； л) (-0,8%-0,5b)2； м) (0,08а-50)2.
а) (2х + 3)2; Д) ( —15 — 2с)2;
а) (2х + 3)2; Д) ( —15 — 2с)2;
(5“一2炉；
(7у-6)2;
(-9@ +4a2;
(5“一2炉；
(7у-6)2;
(-9@ +4a2;
е) (8尼+ 10)2;
ок) (5у —3z)2;
(Их —7у)2;
е) (8尼+ 10)2;
ок) (5у —3z)2;
(Их —7у)2;
(0,1а-20)2;
( — 1告p+6q)； л) (-0,8%-0,5b)2； м) (0,08а-50)2.
(0,1а-20)2;
( — 1告p+6q)； л) (-0,8%-0,5b)2； м) (0,08а-50)2.
X
0,02
0,05
-0,06
0,08
а+%)2
14-2х
854・ Преобразуйте в многочлен854・ Преобразуйте в многочлена) (Их-у)2;б) (За + ЮЬ)2;а) (Их-у)2;б) (За + ЮЬ)2;в) (бтп-f-n)2;в) (бтп-f-n)2;г) (8х —Зу)2;д)(}р+4о)；е)(5а+*ь户г) (8х —Зу)2;д)(}р+4о)；е)(5а+*ь户квадрат двучлена:ж) (0,2р —10g)2;з) (30+ 2,5炉；квадрат двучлена:ж) (0,2р —10g)2;з) (30+ 2,5炉；и) (0,8х —0,1у)2.и) (0,8х —0,1у)2.855. Используя квадрата разности, а) (100+ 1)2； 6) (100-I)2;856. Заполните (1 + х)2 до сотых:855. Используя квадрата разности, а) (100+ 1)2； 6) (100-I)2;856. Заполните (1 + х)2 до сотых:формулу квадрата суммы вычислите:формулу квадрата суммы вычислите:в) 612;г) 1992;таблицу.в) 612;г) 1992;таблицу.Д) 9992;е) 7022;Д) 9992;е) 7022;или формулуили формулуокруглив значенияокруглив значенияж) 9,92;з) 10,22.ж) 9,92;з) 10,22.выражениявыражения
854・ Преобразуйте в многочлен
854・ Преобразуйте в многочлен
а) (Их-у)2;
б) (За + ЮЬ)2;
а) (Их-у)2;
б) (За + ЮЬ)2;
в) (бтп-f-n)2;
в) (бтп-f-n)2;
г) (8х —Зу)2;
д)(}р+4о)；
е)(5а+*ь户
г) (8х —Зу)2;
д)(}р+4о)；
е)(5а+*ь户
квадрат двучлена:ж) (0,2р —10g)2;
з) (30+ 2,5炉；
квадрат двучлена:ж) (0,2р —10g)2;
з) (30+ 2,5炉；
и) (0,8х —0,1у)2.
и) (0,8х —0,1у)2.
855. Используя квадрата разности, а) (100+ 1)2； 6) (100-I)2;
856. Заполните (1 + х)2 до сотых:
855. Используя квадрата разности, а) (100+ 1)2； 6) (100-I)2;
856. Заполните (1 + х)2 до сотых:
формулу квадрата суммы вычислите:
формулу квадрата суммы вычислите:
в) 612;
г) 1992;
таблицу.
в) 612;
г) 1992;
таблицу.
Д) 9992;
е) 7022;
Д) 9992;
е) 7022;
или формулу
или формулу
округлив значения
округлив значения
ж) 9,92;
з) 10,22.
ж) 9,92;
з) 10,22.
выражения
выражения
При вычислении квадратов чисел, близких к единице* вместо формулы (1 + а)2 = 1 + 2а 4- а2 используется при6ли・ женная формула (1 + а)2«1 + 2а. Какова абсолютная погрешность приближения, найденного по этой формуле? Для каких значений а эта формула дает приближение с точностью до 0,01?
Пользуясь формулой (1 + аУ^1 + 2а, найдите приближенное значение выражения:
(1 + 0,01)2;в) 1,052;д) 0,972;
(1-0,02)2;г) 1,0052;е) 0,9992.
Вычислите абсолютную погрешность приближения.
Преобразуйте в многочлен:
(х2 —5)2;г) (а2 —За)2;ж) (4у3—0,5у2)2;
(Зр—疗；д)(毋 ％з + б%у；з)(1 毋@5 + 8^2)；
(5уЗ —2炉)2;е^ (с2 —0,7с3)2;и) (0,6Ь —60Ь2)2.
860・ Представьте в виде многочлена:
(@2 —2Ь)2;в) (7а64-12а)2; д) (Зу + 8у5)2;
(х34-3/)2; г) (15х-х3)2;е) (4а3-11а2)2.
Упростите выражение:J
(12а-1)2-1；в)121-(11 9х)2;|
24ab-(2а + 6Ь)2;г)a2b2一(^ + 7)2.:
862・ Представьте в виде многочлена:j
18а+ (а — 9)2;в)4х2 —(2х —З)2;；
(5% —1)2 — 25^2；f) (a-2b)2一4此*
Упростите выражение:'
(х—3)2 + х(х + 9);г)。4 + 81—(@2 — 9)2;
(2。+ 5)2 - 5(4a+ 5);д) (х + 2)(х-2)+(X+4)2;；
в)标 + 49一8一7)2；e) ®一10)3 — 6)一(y-8y.j
864・ Упростите выражение:；
(a+ 3)2+ (0一3)2；B)(4“ + 5)2-2工(8“+1);j
(2х + 5)2 + (5-2х)2; г) 9Ь(Ь-1)-(ЗЬ + 2)2.|
Найдите значение выражения:|
(q + 8)2 —(а —4)(а + 4) при а = 0,6; —5;3
@ + 12)2 —(у+ 16) (у+ 4) при д=-17,5; 3,5.I
Упростите выражение и найдите его значение:|
(х—10)2—х (х + 80) при х=0,97;1
(2х + 9)2-х(4х + 31) при х=-16,2・1
Решите уравнение:1
(% —б/ —%(%+8)=2;в) у @ —1)—® —5)2 = 2;1
9х(х + 6)-(Зх + 1)2 = 1;г) 16g(2 —у) + (4у-5)2 = 0.扌
868・ Найдите корень уравнения:1
(х-5)2-х2 = 3;в) 9炉—1_(з—2)2 = 0;:
(25 + 1)2-4g2 = 5;г) % + (5% + 2)2 = 25(1 + 炉).：
Представьте в виде многочлена выражение:
7(4а — 1)2；г)0(о + 9Ь)2;ж)(а+2)(а—I)2;
— 3(5у—©2；д)— ь(ь—6孑；з) (% —4)(#+2产；
— 10(年力 + 2)2;е)х(л2 + 5х)2;田)®—1)2®—з).
870・ Преобразует в мявУбчлен выражение:;
а) 5£За+7)2; в) .у{#+2у)2；』)(*+1)?住一今；
6-6(4 - 8)2；г)—p ①一5吩2；砂他+砌 3一货.：
Преобразуйте в многочлен выражение:
(p一3)2(p + 3)2;B) (0一5)2(5 +a)2;
® + 4)2(у —4)2;- г) (х + 4)2(4 —х)2.
Докажите тождество:
а2-{- Ь2 = (a^j- Ь)2 — 2аЬ; в) (а# ЬУ + (а—Ь> = 2 (絞+廿)；
(а+ b)2 — 4ab=(a— bf; г) (а-{- Ь)2 —2Ь (а-{-Ъ)=а2— Ь2.
Используя тождество (a-{-bf = а^-^2аЪ-^Ь^ и правило * умножения многочленов, выведите формулу куба суммы
(а + Ь)3 =號 + За2b^，2аЬ2-{- Ь3.
Пользуясь доказанным тождеством, преобразуйте в многочлен выражение:-
a) (2% + 疗；、6) 0 + 3ь)3.
874・ Выведите формулу куба разности:
(3 bp =03 - 3a2Ь + 30川_6З
При каком значении х:
квадрат двучлена % + 1 на 120 больше квадрата двучлена % —3;
удвоенное произведение двучленов %+ 2 и х—2 меньше суммы их квадратов на 16?
Упражнения для повторения
Принадлежат ли графику функции, заданной формулой у = 0,02х2, точки А (15; 4,5), В(-2,05; -0,12), С (50; 50)?
Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции у = 0,24%+ 6 с осями координат.
Постройте в одной и той же координатной плоскости графики функций у = х2 и у=—% + 6 и найдите координаты точек пересечения этих графиков.
Решите уравнение:
a) 2x-宁=专一6;б) 1+岑=%一厘.
880о Найдите корень уравнения:
a) 6 =亜尹.2,4;6) 0,69=生譯 13,8.
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛКВАДРАТА СУММЫ И КВАДРАТА РАЗНОСТИ
Формулы квадрата суммы и квадрата разности дают возможность не только упрощать возведение в квадрат суммы и разности, но и раскладывать на множители выражения вида a2 + 2ab-h Ь2 и а2 —2аЬ + Ь2.
Действительно, поменяв местами в этих формулах левую и правую части, получим:
М + 2а 厶 + 庐=(а + &)2,а2 —2аЬ4-Ь2 = (л— Ь)2.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Разложим на множители трехчлен 9х2+ + 30%+25・
Первое слагаемое представляет собой квадрат выражения 3%, третье — квадрат числа 5. Так как второе слагаемое равно удвоенному произведению 3% и 5, то этот трехчлен можно представить в виде квадрата суммы Зх и 5:
9x2 + 30x + 25 = (3x)2 + 2.3x-5 + 52 = (3x + 5)2.
Пример 2. Разложим на множители многочлен @2-20062+100尸：
а2-2ОаЬ2+1ООЬ4 = а2-2.а.1ОЬ2+(1ОЬ2)2 = (а-1ОЬ2)2.
881. Представьтех2 + 2ху + у2;P2—2pq + q2;881. Представьтех2 + 2ху + у2;P2—2pq + q2;трехчлен в видев) а?+12а + 36;г) 64+16Ь + Ь2；трехчлен в видев) а?+12а + 36;г) 64+16Ь + Ь2；квадрата двучлена:Д)1 — 22 + *е) 〃2 + 4〃 + 4・квадрата двучлена:Д)1 — 22 + *е) 〃2 + 4〃 + 4・
881. Представьте
х2 + 2ху + у2;
P2—2pq + q2;
881. Представьте
х2 + 2ху + у2;
P2—2pq + q2;
трехчлен в видев) а?+12а + 36;
г) 64+16Ь + Ь2；
трехчлен в видев) а?+12а + 36;
г) 64+16Ь + Ь2；
квадрата двучлена:
Д)1 — 22 + *
е) 〃2 + 4〃 + 4・
квадрата двучлена:
Д)1 — 22 + *
е) 〃2 + 4〃 + 4・
882. Разложите882. Разложитенана9%2 —24%g +16gГ25Ь2 + 1ОЬ4-1；121а2 — 44ах -{- 4х2;-i- тп2 4- 2тпп -{- 4п2;9%2 —24%g +16gГ25Ь2 + 1ОЬ4-1；121а2 — 44ах -{- 4х2;-i- тп2 4- 2тпп -{- 4п2;множители:49 +9а2-42а;0.25х2 + 10ху + 100у2; ж)4с(/ + 25с2 + д,16</2;3) 9P2一加+专絞.множители:49 +9а2-42а;0.25х2 + 10ху + 100у2; ж)4с(/ + 25с2 + д,16</2;3) 9P2一加+专絞.
882. Разложите
882. Разложите
на
на
9%2 —24%g +16gГ
25Ь2 + 1ОЬ4-1；
121а2 — 44ах -{- 4х2;
-i- тп2 4- 2тпп -{- 4п2;
9%2 —24%g +16gГ
25Ь2 + 1ОЬ4-1；
121а2 — 44ах -{- 4х2;
-i- тп2 4- 2тпп -{- 4п2;
множители:
49 +9а2-42а;
0.25х2 + 10ху + 100у2; ж)4с(/ + 25с2 + д,16</2;
3) 9P2一加+专絞.
множители:
49 +9а2-42а;
0.25х2 + 10ху + 100у2; ж)4с(/ + 25с2 + д,16</2;
3) 9P2一加+专絞.
в) 16х2 + 24ху + *; г) * —42pq + 49q2.в) 16х2 + 24ху + *; г) * —42pq + 49q2.
в) 16х2 + 24ху + *; г) * —42pq + 49q2.
в) 16х2 + 24ху + *; г) * —42pq + 49q2.
883. Замените звездочку таким одночленом* чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата
двучлена:
Ь2 + 2ОЬ + *；
* + 14y + 49;
884・ Преобразуйте трехчлен в квадрат двучлена:
81а2— 18аЬ+ Ь2;г) 100х2 + У2 + 20ху;
1 + у2 — 2у;д)户 + 4。2一4ab;
8аЬ-{- Ь24- 16а2;е) 28ху -{- 4&х24- 4у2.
Найдите значение выражения:
а)力一2у+1 при у = 101;
4х2 — 20%+ 25 при % = 12,5;
25а2-{-49-{-70а при а = 4,4;
60Ь + 100Ь2 + 9 при Ь = 1,7.
Представьте выражение в виде квадрата двучлена, если это возможно:
4х2 + 12х + 9;г) 100Ь2 + 9с2-60Ьс;
25а2-30а& + 9Ь2;д) 49х2+12ху-64у2;
р2 —2р+4;е) 81y2 —16# —72gz・
Преобразуйте выражение в квадрат двучлена:
а) хА-8х2у + 16у2;г)初+费犷+告；
б)十M + 2ab2 + 4b4；д) a2x2 — 2abx+b2;
в)游+^十告；е) 9y2 + c2d2 + 6cdy.
888・ Представьте в виде квадрата двучлена выражение: а) 4а6—4а3Ь2+ Ь4;в) 0,01х4 + у2—0,2х2у;
б)胪一必公+十火г)9х8-{-4у2-т- 12х4у.
Упражнения для повторения
Докажите, что функции, заданные формулами у = 4 (3 —2x) — 5 и у = х — 8 (х —8), являются линейными, а их графики — пересекающимися прямыми. Каковы координаты точки пересечения этих прямых?
Представьте в виде куба одночлена выражение:
27а3;в) 8Ь6;д) — 27а3х6;
—8m3;г) — 64加；е) 64а%9.
Запишите в виде выражения:
куб суммы х и 5;
• куб разности 7 и тп;
сумму кубов 2а и 1;
разность кубов 3% и 2 g.
§ 15. СУММА И РАЗНОСТЬ КУБОВ
37. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ,ПРИВОДЯЩИЕ К СУММЕ И РАЗНОСТИ КУБОВ
Умножим сумму а+Ь на выражение а2 — ab-{-Ь2:
(0十b)(絞一0Ь十Ь2) =a3 一公ь十0川+必Ь一。标十ь3 = a3+ Ь3.
Мы получили тождество
(а + Ь) (а^-аЬ + Ь2) = а^ + Ъ\
Выражение а2 —аЬ + b2 напоминает трехчлен 公一2ab + b{ который равен квадрату разности а и Ь. Однако в этом выражении вместо удвоенного произведения а и b стоит просто их произведение. Выражение вида a2 —ab + Ь2 называют неполным квадратом разности.
Полученное тождество представляет собой формулу сокращенного умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности.
Произведение суммы двух выражений и неполного квад^ рата их разности равно сумме кубов этих выражений.
Пример 1. Представим в виде многочлена произведение (加+ 3月)(疗-3m〃+ 9m).
Так как первый множитель есть сумма выражений m и 3% а второй — неполный квадрат их разности, то данное произведение равно сумме кубов этих выражений:
(тп + 3〃) (иг? — Зтп/i + 9标)=涼 + 27〃з.
Преобразуем теперь в многочлен произведение разности а—b и выражения a2 + ab+ Ь2, которое называют неполным квадратом суммы а и Ь:
(а — Ь) (а2 + аЬ + Ь2) = а3 + а2& + а&2 — а2д — а^2 — Ь3 = а3 — Ь*
Мы получили тождество
(a-ь)(紋 + 0h+ь2) =03-33.
Это тождество представляет собой формулу сокращенного умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы.%
Произведение разности двух выражений и неполного 笈戒оЭ~ рата их су^мы равно разности ^убов зги* сыряжений.
Пример 2. Представим в виде многочлена выражение
(х — 5у)(炉 + 5ху + 25^2).
Это выражение является произведением разности двух одночленов и неполного квадрата их суммы. Поэтому
(х — 5y) (%2 + 5ху + 25g3=х3—125^3.
Преобразуйте произведение (х +10) (х2 — 10х +100) в многочлен: а) по правилу умножения многочлена на многочлен; б) по формуле сокращенного умножения.
Запишите в виде многочлена произведение:
a)(加 +几)(加2-加几+几2);(c-d)(c2 + cd+d2);(Р + 5)(р2-5р + 25);(y-2)(y2 + 2i/ + 4);a)(加 +几)(加2-加几+几2);(c-d)(c2 + cd+d2);(Р + 5)(р2-5р + 25);(y-2)(y2 + 2i/ + 4);(х-1)(х2 + х + 1);(0 + 1)(02 一0+ 1)；(4 + с) (с2 — 4с +16);(3—Ь)(Ь2 + ЗЬ + 9).(х-1)(х2 + х + 1);(0 + 1)(02 一0+ 1)；(4 + с) (с2 — 4с +16);(3—Ь)(Ь2 + ЗЬ + 9).
a)(加 +几)(加2-加几+几2);
(c-d)(c2 + cd+d2);
(Р + 5)(р2-5р + 25);
(y-2)(y2 + 2i/ + 4);
a)(加 +几)(加2-加几+几2);
(c-d)(c2 + cd+d2);
(Р + 5)(р2-5р + 25);
(y-2)(y2 + 2i/ + 4);
(х-1)(х2 + х + 1);
(0 + 1)(02 一0+ 1)；
(4 + с) (с2 — 4с +16);
(3—Ь)(Ь2 + ЗЬ + 9).
(х-1)(х2 + х + 1);
(0 + 1)(02 一0+ 1)；
(4 + с) (с2 — 4с +16);
(3—Ь)(Ь2 + ЗЬ + 9).
894・ Представьте в виде многочлена:
(l+z)(l —z + z2);в) (3 —m) (9 + Зтп + тп2);
б)(左 -7)*49 + 7左 +论2)；г) (4 + fe)(fe2-4fe + 16).
895? Упростите выражение:
a) (a+5b)(a2-50Ь +25b2)；r) (26-1)(462 + 26+1);
(2«/ — %) (4力 + 2ху + х2); д) (3 + 2第)(9 — 6% + 4х2);
(т2 — ^тп + 16n2) (т + 4п); е) (25 + 15а + 9а2) (5 — За).
Представьте в виде многочлена:
a) (% -З^М + 3кg + 9/； в)(4什1)(16力一4什1);
б)(26 +0)(4ь2_2^ + 吟； г) (3-2С)(9 + 6e + 4e2).
Упростите выражение:
а)(X + у)(炉— ху + у2)+(% - у) (%2 ^ху + у2);
(т — n) (т^+ тп + п2)—(т + п) (тп2 — /п〃 + 几,.
Найдите значение выражения:
а) (х+4)(х2—4х+16)—64 при х=—0,5;
6)13一住_w)(炉+3x+吩 11Pli »=-1；
в)住斗?)(力?一2#+4)一住2+8) при *=0J;
г) х3—(jt —: 1) (х2 4- х 4-1) + 5^ при л=0,6.
НаЗдяяе зяачеявм выражюш:
10—(у 4-2) (у3—2у+4) 1фи』=—2;
(m2 +.4加 +1® 例—学-械3 + 3血)4ф1ит=Q,8.
Упражнения для повторения
Турист рассчитал, что если он будет идти к железнодорожной станции со скоростью 4 км/ч, то опоздает к поезду на полчаса, а если он будет идти со скоростью 5 км/ч, то придет на станцию за 6 мин до отправления поезда. Какое расстояние должен пройти турист?
Проходит ли график функции у = х4 + х3 — х2 + х—1 через точку:
а) 4 ( — 2; 2); б) 5( — 1; —3); в) С (3; 101); г) D (-3; 41)?
38. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ СУММЫ И РАЗНОСТИ КУБОВ
Поменяем в тождестве (а + Ь)储一ab + Ь2) = а3+Ь3 местами левую и правую части. Получим:
a3_pb3 = fa + b> (а^-аЬ + Ь2).
Это тождество называют формулой суммы кубов.
Сумма кубов двух выражений равна произведению сулемы этих выражений и неполного квадрата их разности.
Формула суммы кубов применяется для разложения на множители суммы кубов любых двух выражений.
Пример 1. Разложим на множители многочлен 27%з + дЗ.
Данный многочлен можно представить в виде суммы кубов двух выражений:
27х3 + у3 = (Зх)3 + у3.
Применив формулу суммы кубов, получим:
(3x)3 + 力=(Зх + у) (9炉-Зху + 〃2).
Итак,
27%з + уз =(3%+у)(9第2 — з%у + у2).
Аналогично может быть получена формула разности кубов. Поменяв местами в формуле (о ——b) (а? + а b + Ь2) = а3 ——Ь3 левую и правую части, будем иметь:
а3-Ь3 = (а-Ь) (a^ + ab + b2).
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.
Пример 2. Разложим на множители многочлен 加^—几з.
Представим данный многочлен в виде разности кубов двух выражений и, применив формулу, получим:
/w6 -几3 =(疗)3 -几3 =(加2 -砌(加4 +加2几+几,.
Разложите на множители многочлен:
х3 + у3;в) 84-а3;д)产十1；
m3 —п3;г) 27 —尤；е) 1 —с3.
Примените формулу суммы кубов или формулу разности кубов:
а) с3 —d3;в) #3 — 64;д) у?—1；
6)方 + q3；f) 125 + 谓e) l + 庐.
Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители:
8х3—1;в) 8——|-а3;д) 125а3 —64&3;
1 + 27/;г) 64m3+1000;е) 27х34-125у3.
905・ Разложите на множители:
а) 8 —川；в) 64х3-{-1;д) т3 —27п3;
б)疋 + 27;г) 1-8рЗ；е)靑。3+^3.
Запишите в виде произведения выражение:
х3 —у6;в) к —谓д) а6+Ь9;
а^+Ь\г) р? +財9；е) б—Н
Разложите на множители:
а) с3 + Ь6; б)炉一胪； в) #6一8； г) 27 +，・
Запишите в виде произведения:
а)一炉 + 死в) 一不+专；д) c6+1;
—8-昧г)一专一ь6；е)炉+/
Представьте в виде произведения:
а3Ь3—1;в) 8 —。3成；д) х6у3 + с3；
1 + #ЗуЗ；г)涼?？+27；е) а3 — т3п9.
Докажите, что значение выражения:
З273+1733 делится на 500;
7313 —6313 делится на 100.
911・ Делится ли значение выражения:
а) З83 + 873 на 75;б) 993-743 на 25?
Упражнения для повторения
От деревни до станции велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно он возвращался со скоростью 10 км/ч. Найдите расстояние от деревни до станции, если известно, что на обратный путь велосипедист затратил на 1 ч больше, чем на путь от деревни до станции.
Из пункта А связной доставил донесение в пункт В за 30 мин. На обратном пути он уменьшил скорость на 1 км/ч и затратил на дорогу 36 мин. Определите, с какой скоростью шел связной из А в В.
39. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ РАЗЛОЖЕНИЯИА МНОЖИТЕЛИ
Для разложения многочлена на множители иногда приходится применять несколько способов.
Пример 1. Разложим на множители многочлен
18х3+12х2 + 2х.
Все члены многочлена имеют общий множитель 2х. Вынесем этот множитель за скобки:
18х3 + 12х2 + 2х = 2х (9х2 + 6% +1).
Трехчлен 9%? + 6% + l можно представить в виде квадрата суммы Зх и 1. Поэтому
2х (9х2 + 6% +1) = 2% (За +1)2.
Итак,
18х3 + 12х24-2х = 2х (Зх +1)2.
Пример 2. Разложим на множители многочлен ab3 —ЗЬ3 + аЬ2у — 3b2y.
Сначала вынесем за скобки общий множитель Ь2:
ab3 — З^3 + ^У — ЗЬ2у =廿(аЬ-ЗЬ-[-ау — ЗуУ
Попытаемся теперь разложить на множители многочлен @Ь — ЗЬ + @у — Зу.
Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвертым, будем иметь:
ab — 3b + ау — Зу b〈a — 3) + у (a — 3){а 3) (b + y\
Окончательно получим:
@Ь3 一3匕3十0冲g 一3b2y =b2 (a -3)(5 + y).
Пример 3. Разложим на множители многочлен а2 —4ах —9 + 4х2.
Сгруппировав первый* второй и четвертый члены многочлена, получим трехчлен, который можно представить в виде квадрата разности:
а2 —4ах —9 + 4х2 = (а2 —4ах-{-4х2) —9 = (а —2х)2 —9.
Полученное выражение можно разложить на множители по формуле разности квадратов:
(0-2%)2-9 = (0-2%)2 — 32 = (@ — 2% - 3)(0-2% + 3).
Следовательно,
@2 — 4ax — 9 + 4%2 = (q — 2x — 3) (a — 2x + 3).
Разложите на множители многочлен:
5%2 —5力；в) 7b2—63；д) a3 —а;
ат2 —ап2;г) — 9 + 9р%е) 2х—2х3.
Представьте в виде произведения многочлен:
х2 — х4;в) 81х —х3;д) р4 —16;
/ —г) —/ + 4/;е) а4—64.
916・ Выполните разложение на множители:
тх2 —ту2;в) 4庐一 ь；д) х4 —1;
6絞-24;г) а4—Ь2;е) 81-а*
Разложите на множители:
3%2 + 6%у + 3у2;г) 6p2+24q2 + 24pq;
-m2+2m-l;д) 454-30а + 5а2;
—4%+4 + 炉；е) — 24х + 18х2+8.
Представьте в виде произведения многочлен:
4%3 —4уЗ；г) #6—1；ж) х5 —х2;
7^+7*д)1+а$;з) у3 + У6；
am3—ап3;е) у*—實‘；и) 27т2—т5.
Выполните раэлеженве ва множители:
a) 2病一4加 + 2; 6) 36 + 2仙十4#2； в)84З一^3； p)他广+9广 ^20. .Раэлеж»»# »а шфжители:
4#у+12y—4力一12;в) — ob，一5о#—4ab—20а;
60+62-3" -12*r)m+紋Ь+,2+*儿
Представьте в виде произведения:
456 + 6л—ЗаЬ — 90;в) ас4—с4 + ас3—с3;
— 5ху — 40у — 15х — 120;г) х3 — х2у + х2 — ху.
Разложите на множители:
Н)第2_十一% 一y；r)紋一尼一р2 一 p；
а2 —Ь2—а+Ь;д)с —d? + c2 —d;
в)加 + 几 + 加2 —М;е) 4m2 — 2m + n — n2.
Представьте в виде произведения:
х2 — у2 + х + у;в) p+p2-q —q2；
а—Ь + а2—Ь2;г) 巒 + d —d? + c・
Выполните разложение на множители:
x2—2xc + c2 — d2;т2 + 2ху — х2 — у2; в)炉+庐一c? + 2ab;x2—2xc + c2 — d2;т2 + 2ху — х2 — у2; в)炉+庐一c? + 2ab;г) с2 + 2с+1—@2;д)p2 一炉 + 6% -9;с) %?—q?—10а — 25・г) с2 + 2с+1—@2;д)p2 一炉 + 6% -9;с) %?—q?—10а — 25・
x2—2xc + c2 — d2;
т2 + 2ху — х2 — у2; в)炉+庐一c? + 2ab;
x2—2xc + c2 — d2;
т2 + 2ху — х2 — у2; в)炉+庐一c? + 2ab;
г) с2 + 2с+1—@2;
д)p2 一炉 + 6% -9;
с) %?—q?—10а — 25・
г) с2 + 2с+1—@2;
д)p2 一炉 + 6% -9;
с) %?—q?—10а — 25・
925・ Разложите на множители:
х2 + 2ху + у2 — т2;р2 —а2—2аЬ — Ь2;Представьте в а) аЬ2 — а—Ь3+Ь;&х2 + 2Ь2 — Ь3 — 2х2;х2 + 2ху + у2 — т2;р2 —а2—2аЬ — Ь2;Представьте в а) аЬ2 — а—Ь3+Ь;&х2 + 2Ь2 — Ь3 — 2х2;в) М-с2 —8Ь + 16;г) 9 —с2 + а2 —6а.в) М-с2 —8Ь + 16;г) 9 —с2 + а2 —6а.виде произведения:х3 + х2у — 4у — 4х;х3 — Зу2 4- Зх2 — ху2.виде произведения:х3 + х2у — 4у — 4х;х3 — Зу2 4- Зх2 — ху2.
х2 + 2ху + у2 — т2;
р2 —а2—2аЬ — Ь2;
Представьте в а) аЬ2 — а—Ь3+Ь;
&х2 + 2Ь2 — Ь3 — 2х2;
х2 + 2ху + у2 — т2;
р2 —а2—2аЬ — Ь2;
Представьте в а) аЬ2 — а—Ь3+Ь;
&х2 + 2Ь2 — Ь3 — 2х2;
в) М-с2 —8Ь + 16;
г) 9 —с2 + а2 —6а.
в) М-с2 —8Ь + 16;
г) 9 —с2 + а2 —6а.
виде произведения:
х3 + х2у — 4у — 4х;
х3 — Зу2 4- Зх2 — ху2.
виде произведения:
х3 + х2у — 4у — 4х;
х3 — Зу2 4- Зх2 — ху2.
927・ Выполните разложение на множители:
а3+а2—аЬ2—Ь2;Решите уравнение: а) х3 + Зх2 —4х—12 = 0; б) 2m3 —т2—18тп-{-9 = 0;929・ Решите уравнение: а)炉一2%2 —# + 2 = 0;у?—у2=]бд—16；а3+а2—аЬ2—Ь2;Решите уравнение: а) х3 + Зх2 —4х—12 = 0; б) 2m3 —т2—18тп-{-9 = 0;929・ Решите уравнение: а)炉一2%2 —# + 2 = 0;у?—у2=]бд—16；б) 9п + т3 — т2п — 9m.б) 9п + т3 — т2п — 9m.g3 -6力=6 一y;г) 203 + 302 = 2@ + 3.g3 -6力=6 一y;г) 203 + 302 = 2@ + 3.в) 2уЗ-у2 — 32у + 1б = 0;г) 4х3 —Зх2 = 4х —3.в) 2уЗ-у2 — 32у + 1б = 0;г) 4х3 —Зх2 = 4х —3.
а3+а2—аЬ2—Ь2;
Решите уравнение: а) х3 + Зх2 —4х—12 = 0; б) 2m3 —т2—18тп-{-9 = 0;
929・ Решите уравнение: а)炉一2%2 —# + 2 = 0;
у?—у2=]бд—16；
а3+а2—аЬ2—Ь2;
Решите уравнение: а) х3 + Зх2 —4х—12 = 0; б) 2m3 —т2—18тп-{-9 = 0;
929・ Решите уравнение: а)炉一2%2 —# + 2 = 0;
у?—у2=]бд—16；
б) 9п + т3 — т2п — 9m.
б) 9п + т3 — т2п — 9m.
g3 -6力=6 一y;
г) 203 + 302 = 2@ + 3.
g3 -6力=6 一y;
г) 203 + 302 = 2@ + 3.
в) 2уЗ-у2 — 32у + 1б = 0;
г) 4х3 —Зх2 = 4х —3.
в) 2уЗ-у2 — 32у + 1б = 0;
г) 4х3 —Зх2 = 4х —3.
Докажите, что значения многочлена 炉_% при целых значениях х кратны числу 6.
Докажите тождество
d-ing-Dg+Dd+DM+D.
160
Упражнения для повторения
Упростите выражение и найдите его значение при указанном значении переменной:
(6х-1)(6х4-1)-(12х-5)(Зх+1) при х = 0,2;
(5 + 2х)2 - (5 + Зх) (5 - Зх) при х=—3.
Является ли корнем уравнения х4 十 5х2 — 6 = 5х (х2 — 1) число: 0; — 1; 1; 2; 3; —2?
Покажите, как примерно расположен в координатной плоскости график функции:
а) у=—0,9% + 4; б) у = 2,3х; в) у=孟;г) у= —9・
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
К параграфу 13
Представьте в виде многочлена:
а) (х2-11)(11 + х2);Г)(b7十3)(一b7+3)；
6)(十+10)( - 10 + 力)；д)(一еб_8)дб_8)；
(а5-1)(а5 + 1);е) ®9 _ 5)( _ 5 —不).
Вычислите:
1005-995; в) 0,94• 1,06; д) lO-i-9-y ; е) 99善ТОО等・
108-92; г) 1,09-0,91;
Представьте в виде многочлена:
5g (力一3)岁+ 3);B)(絞 一 з)(絞 + з)(a8 + 9);
一 8x (4x - 炉)(4竺+ X3);г) (1- b3)(l + 川)(1 + Ь6).
Упростите выражение:
(0 + 2)(0-2)-а(а-5); в) (Ь-4)(b + 4)一(b一3)(Ь+5);
(0一3)(0十3) +。(7 -a)； Г) 3 + 8)3 一 6) — 3 一 7)(Ь十7);
(с-1)(с+1) + (с-9)(с + 9);
(с + 5) (с - 5) - (с -10) (с +10).
Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
а) (х-8)(х + 8)-(х-12)(х + 12);
в) 4а2 + (2絞一5。)(5а + 2а2) + (а2 — 5) (1 — 4а2).
6 даказ 890_161
Разложите намножители:
1 —a2b2；г)0,09х6 —0,49/;ж)1 善炉一^丿；
4х2/-9;д)1,21а2-0,36Ь6;з)0,01а2Ь4-1;
—0,64 +л?；е)2-~ Ь2——~с2;и)— 9тп2+1,44п6.
Найдите значение дроби:
)382-172 .弟 39,52-3,52 .、17,52 — 9,52
丿亍22—162, 丿 57,52 — 14,52 '丿 131,52-3,52,
Представьте в виде произведения:
а) х10-1;г) 36-Ь4/;ж)0,01х16-0,16;
6)严一16;д) 250%4-1；з) 1,69晁4一1,21.
в) а2х8 —81; е) —9 + 121m8n8;
Разложите на множители:
(х —5)2 —16;(Ь + 7)2 —9;25-(3-х)2;81-(0 +7)2;(5х—12)2 —%2；е) 36р2-(5р-ЗУ；944. Докажите, что выражения:(х —5)2 —16;(Ь + 7)2 —9;25-(3-х)2;81-(0 +7)2;(5х—12)2 —%2；е) 36р2-(5р-ЗУ；944. Докажите, что выражения:(7% —4)2 —(2%+ 1)2;
(х —5)2 —16;
(Ь + 7)2 —9;
25-(3-х)2;
81-(0 +7)2;
(5х—12)2 —%2；
е) 36р2-(5р-ЗУ；
944. Докажите, что выражения:
(х —5)2 —16;
(Ь + 7)2 —9;
25-(3-х)2;
81-(0 +7)2;
(5х—12)2 —%2；
е) 36р2-(5р-ЗУ；
944. Докажите, что выражения:
(〃_ 2)2 — (3〃 + 1)2;
9 ("1)2-1;
4-25 (%-3)2;
9(х+5)2-(х-7)2;
м) 49 (у-^-Э^ + З)2.
при любом натуральном п значение
а) (〃 +1)2—— (〃 ——1)2 делится на 4;
б)(2〃 + 3)2—(2〃一Ip делится на 8;
в) (3〃 + 1)2 —(3〃一I)? делится на 12;
т) (5〃 + 1)2 —(2〃一 1)2 делится на 7.
К параграфу 14
Представьте в виде многочлена
a）（年%+ 9）；б）（-| ^-3）2；В） （一2。+告ь）；a）（年%+ 9）；б）（-| ^-3）2；В） （一2。+告ь）；r) ( 一3%—^!/)； д) (5司/ — 0,8严2；(0,4а + 10аЬ)2;(За2 — 5аЬ)2;r) ( 一3%—^!/)； д) (5司/ — 0,8严2；(0,4а + 10аЬ)2;(За2 — 5аЬ)2;(8ху + 3/)2;(а3Ь3 —I)2;к) (2-f-xV)2;л) 3 —Затру；m) (у8-2/》.(8ху + 3/)2;(а3Ь3 —I)2;к) (2-f-xV)2;л) 3 —Затру；m) (у8-2/》.
a）（年%+ 9）；
б）（-| ^-3）2；
В） （一2。+告ь）；
a）（年%+ 9）；
б）（-| ^-3）2；
В） （一2。+告ь）；
r) ( 一3%—^!/)； д) (5司/ — 0,8严2；
(0,4а + 10аЬ)2;
(За2 — 5аЬ)2;
r) ( 一3%—^!/)； д) (5司/ — 0,8严2；
(0,4а + 10аЬ)2;
(За2 — 5аЬ)2;
(8ху + 3/)2;
(а3Ь3 —I)2;
к) (2-f-xV)2;
л) 3 —Затру；
m) (у8-2/》.
(8ху + 3/)2;
(а3Ь3 —I)2;
к) (2-f-xV)2;
л) 3 —Затру；
m) (у8-2/》.
Преобразуйте в многочлен выражение:
a) (0,7炉5-2第方2；' B) (0,2Р曾+азраз)?
6)(告齡1 告加了；Г) (-|-^4+-|Ь2с3)2-
工62
Представьте в виде многочлена выражение:
、а) (2加3几+ о,37nzi,2；в)(0,1а6Ь4-0,2аЬ6)2；
6)(告。4b2Lab^ ;p)(靑炉沙2—_|_ Xy^ 2.
Преобразуйте в многочлен:
a) (%-5)2+ 2x(%-3);6)①+印一曲®一2);в) (a — 4)(。+ 4) + (2。一 Ip;r) (b-3)(b + 3)-(b + 2)2;a) (%-5)2+ 2x(%-3);6)①+印一曲®一2);в) (a — 4)(。+ 4) + (2。一 Ip;r) (b-3)(b + 3)-(b + 2)2;д)(2q-5)2 —(5a —2)2;e) (3b -1г+ (1-3牙； ж)(2х +1)2—任 + 7) (% — 3);з) (3g —2)2—(g —9，(y —3)・д)(2q-5)2 —(5a —2)2;e) (3b -1г+ (1-3牙； ж)(2х +1)2—任 + 7) (% — 3);з) (3g —2)2—(g —9，(y —3)・
a) (%-5)2+ 2x(%-3);
6)①+印一曲®一2);
в) (a — 4)(。+ 4) + (2。一 Ip;
r) (b-3)(b + 3)-(b + 2)2;
a) (%-5)2+ 2x(%-3);
6)①+印一曲®一2);
в) (a — 4)(。+ 4) + (2。一 Ip;
r) (b-3)(b + 3)-(b + 2)2;
д)(2q-5)2 —(5a —2)2;
e) (3b -1г+ (1-3牙； ж)(2х +1)2—任 + 7) (% — 3);
з) (3g —2)2—(g —9，(y —3)・
д)(2q-5)2 —(5a —2)2;
e) (3b -1г+ (1-3牙； ж)(2х +1)2—任 + 7) (% — 3);
з) (3g —2)2—(g —9，(y —3)・
Представьте в виде многочлена:
а) (х + у+1)(х + у-1);6)(m + 〃 - 3)(б + 〃 + 3);в) (a-b-5)(a-b + 5);、950. Докажите тождествоа) (х + у+1)(х + у-1);6)(m + 〃 - 3)(б + 〃 + 3);в) (a-b-5)(a-b + 5);、950. Докажите тождествог) (c-d+8)(c-d-8);Д)(р+ 2q — 3) (р — 2q — 3);с) (л — Зх + 6)(。+ Зх + 6).г) (c-d+8)(c-d-8);Д)(р+ 2q — 3) (р — 2q — 3);с) (л — Зх + 6)(。+ Зх + 6).
а) (х + у+1)(х + у-1);
6)(m + 〃 - 3)(б + 〃 + 3);
в) (a-b-5)(a-b + 5);、
950. Докажите тождество
а) (х + у+1)(х + у-1);
6)(m + 〃 - 3)(б + 〃 + 3);
в) (a-b-5)(a-b + 5);、
950. Докажите тождество
г) (c-d+8)(c-d-8);
Д)(р+ 2q — 3) (р — 2q — 3);
с) (л — Зх + 6)(。+ Зх + 6).
г) (c-d+8)(c-d-8);
Д)(р+ 2q — 3) (р — 2q — 3);
с) (л — Зх + 6)(。+ Зх + 6).
(a+b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
Представьте в виде многочлена:
a) ((a+b)2)2;a) ((a+b)2)2;6) (a-Ь)*6) (a-Ь)*
a) ((a+b)2)2;
a) ((a+b)2)2;
6) (a-Ь)*
6) (a-Ь)*
Докажите, что значение выражения не зависит от х:
а) (% + 7)2-(%-5)(л： + 19); б) (х-9)2 + (8-х)(х+26)<
Найдите значение выражения:
(2у —с> + ® + 2с)2 при с = 1,2 и у = — 1,4;
(3a-2b)2-(2a-b)2 при а = 1,35 и Ь=-0,65・
Решите уравнение:
(х-7)24-3 = (х-2)(х + 2);
(% + 6)2-(%-5)(л： + 5) = 79;
(2х-3)2-(7-2х)2 = 2;
(5х -1)2 - (1 - Зх)2 = 16х (х - 3).
Докажите, что функция, заданная формулой у = (2х —5) (3 + 8%) —(1 —4x)2, линейная. Принадлежит ли графику этой функции точка А (—1； 10); точка В (0; 16)?
Разложите на множители:
Ь2-{-106 + 25;в) 16х2 —8x4-1；д) x' + z^y + g?;
с2-8с + 16;г) 4с2 + 12с+ 9;е) а6-6а3Ь2 + 9Ь*.
Представьте в виде квадрата двучлена или в виде
выражения, противоположного квадрату двучлена:
а4 —8а2-{-16;г) с4d? +1 — 2c?d;ж)у —у2 —0,25;
—4 —4Ь—Ь2;д) а6Ь24-12а3Ь + 36;з)9 —加 +击加?；
10х-%2_25;е) х+1+—х2;и)-25-2п-0,04п2.
4
выражений:a) %2 — 2%y + g2 + Q2； б)4炉+炉一4% + 1;а2-{-Ь2 4-1 +2а;9b2-бЬ + 4巒+1；выражений:a) %2 — 2%y + g2 + Q2； б)4炉+炉一4% + 1;а2-{-Ь2 4-1 +2а;9b2-бЬ + 4巒+1；958. Представьте многочлен в виде суммы квадратов двух
выражений:
a) %2 — 2%y + g2 + Q2； б)4炉+炉一4% + 1;
а2-{-Ь2 4-1 +2а;
9b2-бЬ + 4巒+1；
выражений:
a) %2 — 2%y + g2 + Q2； б)4炉+炉一4% + 1;
а2-{-Ь2 4-1 +2а;
9b2-бЬ + 4巒+1；
Д)х2 + 2х + 2;
а2 + 2аЬ + 2Ь2 + 2Ь + 1;
х2 — 4ху + у2 + х2у2 + 1;
х2 + у2 + 2х + 6у + 10.
К параграфу 15
Представьте в виде многочлена:
а) (Зр+5)(9р2_15р + 25); в) (10x + 3z/V100x2-30xi/4-9i/2);
(4b2 + 2b + l)(2b-l); г) (16а2 + 20аЬ + 25Ь2)(4а-5Ь).
Преобразуйте в многочлен выражение:
(За3—1)(9а6 + За3+1);г) (2d — с2\(4Ь2 + 2&с2 + с^
(7х2 + 2) (49х4- 14х2 + 4);д) (а5-3д6) (а,0 + За5Ь6 + 9&12);
(Ь2 + 5)(25 + Ь4-5Ь2);е) (Ь3 + с10) (Ь6 + с20-Ь3с10).
Упростите выражение:
(х + 4) (х2 — 4% +16) + (% — 4)(炉十 4% +16);
(0一1)(m +。+ 1)-(a十1)(。2 -0+ 1)；
в)匂 + 2)(丿一2g 十 4)—⑨ 一 5)(力 + 5y + 25);
(2р 一 3) (4力 + бр + 9) + (р + 3)(户-Зр + 9).
Докажите тождество:
(a2 + 产)(04 - 02b2 + b^ _ 他з _ 喲 0з + 喲=2№;
(а — b) (a+ b) {а2 — ab + 川)(а? + ab + Ь2) = а6— Ь6.
Упростите выражение:
(2х — у) (4х2 + 2ху + у2) — (% + 5g)(炉一5ху + 25у2);
(За- Ь) (9а2 + За& + Ь2)-位 + 2Ь)(炉一 2ab + 4Ь2).
Найдите значение выражения:
(у + 5)®2—5什25) —у (у? + 3) при у= —2;
02 (0+ 4) —(0+ 2) (02 —2a + 4) при а = 3;
х(х + 3)2 —(х —1)(х2 + х-{-1) при х= —4;
(2р — 1) (4р2 + 2р+1) —Р(Р — 1)(Р+1) при р = 1,5・
Разложите на множители:
0,027х3+1；в) d3 +0,008с3;
i/6-0,001x3;г) 125-0,064рЗ.
Представьте в виде произведения:
а) ^-У{2\6) -/5+击；8)3告小+з2；Г)1装讶8 + 队
Докажите, что значение выражения:
413 +193 делится на 60;в) 663-{-343 делится на 400;
793 —293 делится на 50;г) 543 —243 делится на 1080.
Выведите формулу разности кубов из формулы суммы кубов.
Представьте в виде произведения:
(х + 1)34-х3;в) (a—b)3-f-b3;д) 27а3 —(а—Ь)3;
(у-2)3-27;г) 8%3 + (#-g)3；е) 1000 + (Ь-8)3.
Разложите на множители выражение а6 — Ь6, представив его в виде разности: а) кубов двух выражений;
квадратов двух выражений.
Разложите на множители:
а) 2,1а2-2,1b2;1" + 1,7标；Ija3-ijb3；а) 2,1а2-2,1b2;1" + 1,7标；Ija3-ijb3；n^o ^и ^»7 2 5+ 4-4+о^ 4^ 4^7 2 5n^o ^и ^»7 2 5+ 4-4+о^ 4^ 4^7 2 5ж) 2,506-2,5№;1,2а6 + 1,2Ь6;308-3隐ж) 2,506-2,5№;1,2а6 + 1,2Ь6;308-3隐
а) 2,1а2-2,1b2;
1" + 1,7标；
Ija3-ijb3；
а) 2,1а2-2,1b2;
1" + 1,7标；
Ija3-ijb3；
n^o ^и ^»
7 2 5
+ 4-4+
о^ 4^ 4^
7 2 5
n^o ^и ^»
7 2 5
+ 4-4+
о^ 4^ 4^
7 2 5
ж) 2,506-2,5№;
1,2а6 + 1,2Ь6;
308-3隐
ж) 2,506-2,5№;
1,2а6 + 1,2Ь6;
308-3隐
Преобразуйте в произведение выражение:
а) 9е15 —с13; б) х22 —^х20; в) а5 —0,64а2; г) у7 — 1^уъ.
Представьте в виде произведения:
2х8-12х4 + 18;в) а4^ + 6а2д3 + 9Ь5;
— 2а6 — 8а3Ь — 8Ь2;г) 4х4-4ху6-{-ху12.
Разложите на множители:
70а—84b + 20ab — 24Ь2;в)口2g — 9х2 + 36 — З^у；
21* —6с-ЗсЗ + 42Ь;г) ЗОа3 — 18а2Ь-72& + 120а.
Преобразуйте в произведение:
За3 — Зад2 + а^Ь — Ь3;в) Зр — 2с3 — Зс3р + 2;
2х — а2у — 2а2х -|- у;г) а4 — 24 -{- 8а — За3.
Разложите на множители:
х2 —у2—1,5 (х —у);г) р2 —16с2 —р—4с;
х2 — а2-{-0,5 (х-{-^)；д) М + ба + бЬ—庐；
4。2—Ь? —2а+Ь;е)炉一7% + 7у —方・
Представьте в виде произведения:
а)炉(％ + 2у) —% —2у;в) а3 — 5а2 — 4а -{- 20;
б)力(2^ — 5)-8沙 + 2仇г) *3- 4%2-9*+ з6.
Разложите на множители:
а2— Ь2-{-2 (а + Ь)2;в) 2 (% —疗+ 3炉一揖/2;
b2-c2-io(b-c)2;г) 5G2 — 5-4 (。十1)2.
Преобразуйте в произведение выражение:
х2 + у2 + 2ху — 1;д) 1 — 25х2 +Юху —у2;
а2+Ь2-2а6-25;е)川一公一 12а-36;
36一标一巒 + 2儿；m:) 8102 + 6几-9b2-e2;
49 — 2ах — а2 — х2;з) b2c2 —4^с —&2—е^+1.
Разложите на множители:
а) х3 + у3 + 2ху (х + у);г) рЗ-е^+ар—1;
6)炉一y3_5*(第2+现+/；Д) 8Ь34-6Ь2 + 3Ь4-1;
в) a3—b3 + 5a2b — 5аЬ2;е) а3 — 4а2 + 20а —125.
Представьте в виде произведения:
х3 -{- у3 + 2х2 — 2ху + 2у2;в) а44-«Ь3 —а3Ь —64;
а3 — Ь3 + За2 4- За & + 3 Ь2;г)端十炉^ —力力一歹*
ГЛАВА
VI
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ уравнении
§ 16. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ИХ СИСТЕМЫ
40. УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ЕГО ГРАФИК
Пусть требуется найти два числа, разность которых равна 5. Если первое число обозначить буквой х, а второе буквой у, то соотношение между ними можно записать в виде равенства х — g = 5・
Равенство х — у = 5 содержит две переменные. Такие равенства называют уравнениями с двумя переменными или уравнениями с двумя неизвестными.
При х = 8, у = 3 уравнение х — g = 5 обращается в верное равенство 8 — 3 = 5. Говорят, что пара значений переменных х = 8, у = 3 является решением этого уравнения. Пара х= 3, у = 8 не обращает уравнение х — g = 5 в верное равенство, значит, не является его решением.
Определены е《 Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений ‘переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Пару х = 8, у = 3, являющуюся решением уравнения х —у = 5, можно записать так: (8; 3). При такой записи необходимо знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой — на втором. В записи решений уравнений с переменными % м у на первое место ставят значения х, а на второе место — значения у. Например, решениями уравнения % —у = 5 служат также пары: (12; 7), (5,2; 0,2), ( — 2; —7), (3,8; -1,2)/-
Ууравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.
Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной?^ уравне- 167
нии слагаемые можно переносить из одной его части в другую, изменив знаки этих слагаемых;^обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля. При этом получаются уравнения, равносильные исходному.
Чтобы найти решения уравнения
3% + 2g = 8,(1)
можно подставить в него вместо х произвольное число, например 3. Получим уравнение с одной переменной у: 3 • 3十2^ = 8. Решив его, найдем, что у= —0,5. Пара (3; —0,5)— решение уравнения 3% +2g = 8.
Для отыскания решений уравнения (1) удобно выразить одну переменную через другую. Выразим, например, переменную у через х. Для этого перенесем слагаемое Зх в правую часть уравнения, изменив его знак:
2g=—Зх 十 8.(2)
Разделив обе части этого уравнения на 2, получим:
广-1,5% + 4.(3)
Уравнение (3) равносильно уравнению (2), а уравнение (2) — уравнению (1). Поэтому уравнение (3) равносильно урав・ нению *(1).
По формуле у=—1,5% + 4 можно найти сколько угодно решений уравнения 3% + 2^ = 8. Например, если х = 2, то у = — 1,5 • 2 -|- 4 = 1; если х = — 0,4, то у = —1,5•( — 0,4) + 4 = 4,6. Значит, уравнение (1) имеет бесконечно много решений.
Каждое решение вид^ (х; ，) уравнения с двумя переменными можно изобразить в координатной плоскости точкой с координатами х и у. Все такие точки образуют график уравнения. На рисунке 55 показан график уравнения х2 — у = 0.
Этот график — парабола. Действительно, уравнение х2 ——у = 0 равносильно уравнению у=^=х2, а формулой у = х2 задается функция, графиком которой является парабола.
Графики уравнений весьма разнообразны. На рисунках 56 и 57 изображены графики уравнений %2 + у2=1, X2 + 行=2 (%2 一 у2), у = %3 + *2, %3 + дЗ _ 3%д = 0.
Является ли пара чисел х= 1-|- и у = 4等 решением уравнения % + у = 6? Укажите еще два решения этого уравнения.
Пары значений переменных х и у указаны в таблице:
X-5-4一 3-10345У0341-54一 30X-5-4一 3-10345У0341-54一 30a)炉+ 力=25;a)炉+ 力=25;б) %2_у2 = 7?б) %2_у2 = 7?Какие из них являются решениями уравнения:
X
-5
-4
一 3
-1
0
3
4
5
У
0
3
4
1
-5
4
一 3
0
X
-5
-4
一 3
-1
0
3
4
5
У
0
3
4
1
-5
4
一 3
0
a)炉+ 力=25;
a)炉+ 力=25;
б) %2_у2 = 7?
б) %2_у2 = 7?
Какие из пар (-2; -10), (0; 10), (2; 4) и (3; 2,5) являются решениями уравнения ху + у = 10?
Составьте какое-нибудь уравнение с двумя переменными, решением которого служит пара чисел:
б) х=—1, у = 2.б) х=—1, у = 2.а) х = 2, д = 4,5;а) х = 2, д = 4,5;Рис. 57Рис. 57
б) х=—1, у = 2.
б) х=—1, у = 2.
а) х = 2, д = 4,5;
а) х = 2, д = 4,5;
Рис. 57
Рис. 57
Найдите три каких-нибудь решения уравнения: а) 〃и = 6;б) 2р —3q = 5・
Из уравнения 2〃 + и = 4 выразите: а) переменную и через и; б) переменную и через и.
Выразите из уравнения переменную у через х. Используя полученную формулу, найдите три каких-либо решения уравнения:
④ х + у = 27; б)； 2% —у = 4,5; в) 3% +2y = 12; г) 5у — 2х=1.
Выразив переменную у через переменную х, найдите три каких-нибудь решения уравнения: а) ху—12 = 0;gj)3x — у = 10.
Среди решений уравнения х-{-2у = 18 найдите такую пару, которая составлена из двух одинаковых чисел.
Найдите значение коэффициента а в уравнении а% + 2у = 8, если известно, что пара х = 2, у — 1 является решением этого уравнения.
Докажите, что уравнение:
%2 + /=—1 не имеет решений;
%2 + 沙2 = 0 имеет только одно решение.
Принадлежат ли графику уравнения х^ — 2ху^у2 = 9 точки А (-2; -5), В (4; 1), С(1; -4), D (2; 2)?
Какие из точек А ( — 3; 12), В (2; —7) и С (0; 3) принадлежат графику уравнения х2 —у 4-3 = 0?
Проходит ли через начало координат график уравнения:а) %2 —% —у = 1;б) у = х4 — 3х2 + х?
Постройте график уравнения: а) у —炉=0;б) л? —у = о.
997. На рисунке 58 построены графики уравнений Зх — у= 10 и 8g —%=12・ Для каждого уравнения найдите по его графику несколько решений. Используя рисунок, укажите такую пару чисел, которая является решением как первого, так и второго уравнения, и проверьте ответ вычислением.
Упражнения для повторения
Найдите значение выражения:
2c (с —4)2 —с? (2с —10) при с = 0,2;
(q —4b)(4Ь +。)при а= 1,2, Ь= —0,6.
Разложите на множители:
а) 1+。— а? —。3；б) 8 — b? +4b — 2b2.
ЛИНЕЙНЫЕ уравнения с двумя переменными
/ Каждое из уравнений с двумя переменными 5%+ 2^ = 10, —Зх + 7у = 5, 4% —у = 1 имеет вид a#+bg = c, где а, Ь и с — некоторые числа. Такие уравнения называют линейными уравнениями с двумя переменными.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ах + Ьу = с9 где % и у — переменные, а, Ь и с — числа.
Числа а и b называют коэффициентами при переменных, число с — свободным членом.
Выясним, что представляет собой график линейного уравнения.
Если в линейном уравнении коэффициент при у не равен нулю, то из этого уравнения можно выразить у через х. Возьмем, например, уравнение' Зх + 2у = 6. Имеем:
2y = — Зх + 6,у = —1,5% + 3.
Формулой у = — 1,5х-{-3 задается линейная функция, графиком которой служит прямая. Та же самая прямая является и графиком уравн^гия 3% +2y =6, так как это уравнение равносильно уравнению у — —1,5%+ 3.
Если в линейном уравнении коэффициент при у равен нулю, а коэффициент при х отличен от нуля, то графиком такого уравнения также является прямая. Рассмотрим, на* пример, уравнение % + 0у = 6. Его решениями служат все пары чисел (х; у), в которых х = 6, а у — любое число. Изобразив эти пары точками, получим прямую, параллельную оеи ординат (рис. 59).
Итак, графиком линейного уравнения с двумя перемен- нылш> 6 котором, хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.
Рис. 59Рис. 60Рис. 61
Уравнение ах-{- Ьу = с9 в котором а = 0 и Ь = 0, имеет вид 0% + 0у = с・ При с = 0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком — вся координатная плоскость. При с=#0 уравнение не имеет решений, и его график не содержит ни одной точки.
Приведем примеры построения графиков линейных уравнений.
Пример 1. Построим график уравнения Зх — 4у= 12.
В линейном уравнении Зх ——4g =12 коэффициенты при переменных отличны от нуля. Поэтому его графиком является прямая. Прямая определяется двумя точками. Найдем координаты двух каких-либо точек прямой:
если х = 0, то у=—3; если % = 2, то у = —1,5.
Отметим точки (0; —3) и (2; —1,5) и проведем через них прямую (рис. 60). Эта прямая — график уравнения Зх — 4g = 12.
Пример 2. Построим график уравнения х= —3.
Это уравнение можно записать в виде % + 0у=—3・ Его графиком служит прямая, параллельная оси у (рис. 61).
Является ли уравнение с двумя переменными линейным:
а) Зх —у=17; б) %2 —2^ = 5; в) 13% + 6д = 0; г) ху-|-2х = 9?
Из линейного уравнения 4%—— 3g = 12 выразите: а) у через х;б) х через у.
Выразите: а) у через х из уравнения 6х —у=12; б) х через у из уравнения 10%+7^三0・
Найдите пять каких-либо решений линейного уравнения:а) з —3^ = 18;б) 〃 + и = 0,6・
Известно, что решением уравнения 21х —45^ = 100 является некоторая пара чисел, в которой х=5. Найдите соответствующее значение у.
1005・ Известно, что решением уравнения 12u —15b = 132 является пара чисел, в которой и = 0・ Найдите соответствующее значение 〃•
Постройте график уравнения:
а) 2х —у = 6;6)1,5% +2g = 3;в) 2х = 7; г) — 5у = 21.
Постройте график уравнения:>
а) % + д = 5;б) у —4% = 0; в) 1,2х= —4,8; г) 1,5у = 6.
Постройте график уравнения:
% —у—1 = 0;в) 2(% —g) + 3g = 4;
Зх = у + 4;г) (х + у) — (х—у) = 4.
Упражнения для повторения
12糸3^-4至.4营12糸3^-4至.4营1009. Вычислите:
12糸3^-4至.4营
12糸3^-4至.4营
8彖2力冬22
8百. 7 + 36m：15
1010. Найдите значение выражения:
а)а)приm=1当 4приm=1当 4(m —5)2—m (m —20)
а)
а)
приm=1当 4
приm=1当 4
(тп —5) (тп + 5) —тп (тп + 5)
б)б)、а (а — 4)—(а+4产@ (а + 4) — (а — 2) (а + 2)、а (а — 4)—(а+4产@ (а + 4) — (а — 2) (а + 2)при а = —14-. 4при а = —14-. 4
б)
б)
、а (а — 4)—(а+4产
@ (а + 4) — (а — 2) (а + 2)
、а (а — 4)—(а+4产
@ (а + 4) — (а — 2) (а + 2)
при а = —14-. 4
при а = —14-. 4
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Задача. В двух корзинах 12 кг яблок, причем в перво» корзине на 2 кг яблок больше, чем во второй. Сколько яблок в каждой корзине?
Пусть в первой корзине х кг яблок, а во второй у кг. По условию задачи в двух корзинах 12 кг яблок, т. е.
% + у=12・
Так как в первой корзине яблок на 2 кг больше, чем во второй, тос
х — у — 2.
Мы составили два уравнения с двумя переменными. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие пары значений переменных, которые обращают в верное равенство каждое из уравнений, т. е. являются решениями как первого, так и второго уравнений. В таких случаях говорят, что надо решить систему уравнений. Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки. Доставленную систему уравнений можно записать так:
Г *+г/=12,
I % —У = 2・
Пара значений переменных х = 7, у = 5 служит решением каждого из уравнений системы, так как оба равенства 7 + 5 = 12 и 7 — 5 = 2 являются верными. Такую пару называют решением системы. Других решений эта система не имеет.
Теперь мы можем ответить на вопрос задачи: в первой корзине 7 кг яблок, а во второй 5 кг.
Определение. Решением системы уравнении с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.
Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Пусть требуется решить систему уравнений
У —%2 = 0,
у - 2 %-3 = 0.
Рис. 62Рис. 62Для этого в одной координатной плоскости построим графики уравнений системы. Графиком первого уравнения служит парабола, а графиком второго —прямая (рис. 62).
Рис. 62
Рис. 62
Координаты любой точки параболы являются решением уравнения у —— —х2 = 0, а координаты любой точки прямой — решением уравнения у — 2х — —3 = 0. Координаты каждой из точек пересечения графиков удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, т. е. являются решением системы.
Графики уравнений пересекаются в двух точках А (—1； 1) и В (3; 9). Следовательно, система имеет два решения: (-1； 1) и (3; 9).
Примененный нами способ решения системы называется графическим.
Заметим, что графический способ обычно позволяет находить решения приближенно.
Решим графически систему линейных уравнений:
(2# + Зу = 5, I Зх —у = — 9.
Графиком каждого из уравнений служит прямая. Построив эти прямые в одной координатной плоскости (рис. 63), найдем, что они пересекаются в точке С (— 2; 3). Значит, система имеет единственное решение (—2; 3).
1011. Является ли решением системы1011. Является ли решением системычисел:чисел:ху — 1, о - пара2х —у = 1ху — 1, о - пара2х —у = 1В рассмотренном примере прямые, являющиеся графиками линейных уравнений, пересекаются, и система имеет единственное решение. Если графики двух линейных уравнений — параллельные прямые, то система не имеет решений. Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений.
1011. Является ли решением системы
1011. Является ли решением системы
чисел:
чисел:
ху — 1, о - пара
2х —у = 1
ху — 1, о - пара
2х —у = 1
х = 1, д = 1;в) х=1~, у=—2;
х=3, У =专；г) х = 0, у= —1?
Является ли пара (3; — 1), в которой на первом месте значение переменной и, а на втором — значение переменной V, решением системы:
3〃 + и = 8, 7〃一2и = 23;3〃 + и = 8, 7〃一2и = 23;/ 2u + " = 5,公+ 力=10?
3〃 + и = 8, 7〃一2и = 23;
3〃 + и = 8, 7〃一2и = 23;
1013> Какие из пар ( — 3; 4), ( — 2; —6), ( — 4; 3) являются решениями системы:
I х2 + / = 25,( Зх-у = 0,
“I 工у = — 12;八 5%-у=-4?
1014. Составьте систему уравнений, решением которой служит пара значений переменных:
а) % = 2, у = 5; б) х = 0, у = 3.
1015. На рисунке 64 построены графики уравнений 炉 + 力=25 и Зх — 4y = 0. С помощью этих графиков решите систему
J х2 + у2 = 25,
I 3% — 4g = 0.
1016. Решите графически систему уравнений
(炉+力=9,
I (% - 3)2 + ® 一3)2 = 9, используя рисунок 65.
1017. Решите графически систему:
a) {к毎 a 6){：3露3,.
Решите графическим способом систему уравнений
2
g = 2%十4.
Решите графически систему линейных уравнений:
(% —у = 1,ч ( % +沙=0,
I % + Зу = 9;丿 I -舐+ 4у = 14;
J % +2g = 4,Зх —2g = 6,/
I -2x + 5g = 10;Г)1 3% + 10y=—12.
Решите графически систему:
f 欠一2g = 6,( y = 0,
I 3%+2^=-6;丿 I 2x + 3y=-5.
Выясните, имеет ли система решения и сколько:
Г 4у —х = 12,( 1,5х —у=1,( 2х==11 —Зу,
I Зу + %=—3;用 I—3第 +2g=—2;"'I6g = 22 —4%;
(g —3第=0,.(% + 2y = 3,X f—% + 2g = 8,
I 3y —x = 6;丿 Iy— — 0,5x;丿 I% + 4g = 10.
Упражнения для повторения
Представьте в виде многочлена:
а) (5с2-с + 8)(2с-3)-16; б) 18m3-(3m-4)(6m2 + m-2).
Разложите на множители:
а) а3 + а2 —х2а —х2;б)川+b2c — 9b —9c.
Является ли решением уравнения х2 ——ху-{-у2= 19 пара чисел:а) (2; 5);б) ( — 2; — 5)?
§ 17. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ
Решим систему уравнений:
(3*+ " = 7，
I —5#+2y = 3.⑴
Выразим из первого уравнения у через х:
у = 7 —3%.
Подставив во второе уравнение вместо у выражение 7 — Зх, получим систему:
Г 3%十 у = 7,
I -5工 + 2(7-3%) = 3.' '
Докажем, что системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.
Пусть некоторая пара значений х тл у является решением системы (1). При этих значениях х и у уравнение —5% + 2у = 3 обращается в верное равенство. Заменив в нем значение у равным ему значением выражения 7 — 3%, мы снова получим верное равенство. Значит, каждое решение системы (1) является решением системы (2).
Аналогично доказывается, что каждое решение системы (2) является решением системы (1).
Таким образом, системы (1) и (2) имеют одни и те же решения. Такие системы называются равносильными.
В системе (2) второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
-5x4-2 (7-Зх)=3,
—5% +14 — 6х = 3,-11х==-11,
Соответствующее значение у можно найти, подставив вместо х число 1 в первое уравнение системы (1). Удобнее, однако, воспользоваться формулой у = 7 — 3х:
У = 7 —3-1,
У = 4・
Пара (1; 4) — решение системы (1).
Способ, с помощью которого мы решили систему (1), называют способом подстановки. При решении этим способом сначала из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной. Решают это уравнение. Затем находят соответствующее значение второй переменной.
На рисунке 66 построены графики уравнений 3% + у = 7 и —5% +2g = 3. Они пересекаются в точке (1; 4). Через эту точку проходит и график уравнения — 5% + 2 (7 — 3x) = 3, т. е. прямая х = 1. Мы видим, что системы (1) и (2) имеют одно и то же решение.
Покажем применение способа подстановки еще на одном примере. Решим систему:
J 7% + 6y = 6,
I 3# + 4у = 9・
Выразим из второго уравнения % через у:
3% = 9 —4 弘
上 9 — 4у
Подставим в первое уравнение вместо %
9 —выражение —:.
7•宁+ 6у = 6・
Решим полученное уравнение с одной переменной у:
7(9 - 4刀 + 3.65 = 3.6,
63 —28у + ：18y = 18,
—10у = —45,
17-817-8У = 4,5.
17-8
17-8
Подставим в уравнение 囂=闫制 вместо у число 4,5:
#=9 — 4・4,5
а)
х= — 3.
Ответ: х = — 3, у = 4,5.
1025. Решите систему уравнений:
[у-2х=1,ВЛ 工 + У = 6,( g_ х= 20,
(7х- g = 9;丿 1 3%-5g = 2;用 1 2%-15g=-l;
б)
(7x_3g=13,J 4“一 g = ll,( 25_%=—4弘
1 x — 2y= 5; 丿 1 6% —2g = 13;丿 1 3x —2j/= 30.
а)
1026. Найдите решение системы уравнений:
(2%+ у=12,[ 8g— х = 4,
t 7х-2у = 31;用 1 2%-21y = 2;
б)
[g —2x = 4,( 2x= у+ 0,5,
1 7尤一g=l;丿 1 3x-5y = 13.
1027. Решите систему уравнений:
а)
Г 2u+ 5и = 0,[ 4u + 3d = 14,
1 —8〃+15и = 7;в) ( 5〃 —3^ = 25;
б)
J 5р—3q= 0,( 10p+7q=—2,
1 3p + 4q = 29;А [ 2р—22= 5q.
1028. Решите систему:
а)
(3% + 旬=0,./ 5% + 6g=-20,
1 2x + 3g = l;9什2%= 25;
б)
J 7х+2у= 0,/ 舐+1 = 8弘
t 4y + 9x=10;Цй-Зх=-11.
1029. He выполняя построений, найдите координаты точки
пересечения графиков уравнений:
а) 7# +4y = 23 и 8х—10у = 19;
б)' 11 尤一6у = 2 и —8%十 5g = 3・
1030・ Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений, не выполняя построения:
а) 5х —4у=16 и % —2д = 6; б) 20х— 15у = 100 и 3% —у = 6・
1031. Найдите решение системы:
J 3 (x—5)—1 = 6 — 2x, I 3(x-y)-7y=-4;J 3 (x—5)—1 = 6 — 2x, I 3(x-y)-7y=-4;G [ 6(% + g)-g=-l,4 7(g + 4)-® + 2) = 0・G [ 6(% + g)-g=-l,4 7(g + 4)-® + 2) = 0・
J 3 (x—5)—1 = 6 — 2x, I 3(x-y)-7y=-4;
J 3 (x—5)—1 = 6 — 2x, I 3(x-y)-7y=-4;
G [ 6(% + g)-g=-l,4 7(g + 4)-® + 2) = 0・
G [ 6(% + g)-g=-l,4 7(g + 4)-® + 2) = 0・
1032. Решите систему уравнений:1032. Решите систему уравнений:J 2(3x-2y)+ l = 7x, 用 t 12( x+ j/)-15 = 7% + 12jgJ 2(3x-2y)+ l = 7x, 用 t 12( x+ j/)-15 = 7% + 12jgX ( 5(% + 2y)— 3 = 3%+ 5, I 4(#_3g)_50=—33g;X ( 5(% + 2y)— 3 = 3%+ 5, I 4(#_3g)_50=—33g;
1032. Решите систему уравнений:
1032. Решите систему уравнений:
J 2(3x-2y)+ l = 7x, 用 t 12( x+ j/)-15 = 7% + 12jg
J 2(3x-2y)+ l = 7x, 用 t 12( x+ j/)-15 = 7% + 12jg
X ( 5(% + 2y)— 3 = 3%+ 5, I 4(#_3g)_50=—33g;
X ( 5(% + 2y)— 3 = 3%+ 5, I 4(#_3g)_50=—33g;
{ 3(х + у)-7 = 12х + у, I 6® _ 2%)一工=一45%;{ 3(х + у)-7 = 12х + у, I 6® _ 2%)一工=一45%;J 4х+ l = 5(x — 3g)_6, Ч 3(* + 61/) + 4 = 9什 19.J 4х+ l = 5(x — 3g)_6, Ч 3(* + 61/) + 4 = 9什 19.1033. Решите систему:){ 5什8 (% —3g)= 7x—12,丿 I 9x4-3 (x-9y) = lly + 46;1033. Решите систему:){ 5什8 (% —3g)= 7x—12,丿 I 9x4-3 (x-9y) = lly + 46;! -2(a-b)+16 = 3(b + 7),I 6a — (a —5')=一8一(b + 1).! -2(a-b)+16 = 3(b + 7),I 6a — (a —5')=一8一(b + 1).
{ 3(х + у)-7 = 12х + у, I 6® _ 2%)一工=一45%;
{ 3(х + у)-7 = 12х + у, I 6® _ 2%)一工=一45%;
J 4х+ l = 5(x — 3g)_6, Ч 3(* + 61/) + 4 = 9什 19.
J 4х+ l = 5(x — 3g)_6, Ч 3(* + 61/) + 4 = 9什 19.
1033. Решите систему:
){ 5什8 (% —3g)= 7x—12,丿 I 9x4-3 (x-9y) = lly + 46;
1033. Решите систему:
){ 5什8 (% —3g)= 7x—12,丿 I 9x4-3 (x-9y) = lly + 46;
! -2(a-b)+16 = 3(b + 7),
I 6a — (a —5')=一8一(b + 1).
! -2(a-b)+16 = 3(b + 7),
I 6a — (a —5')=一8一(b + 1).
1034. Найдите решение системы:
а)а)士一-^ = —4, 3 2'上+丄=—2;2 ~ 4，士一-^ = —4, 3 2'上+丄=—2;2 ~ 4，в)в)i 蕊一 2b = 6,6){ 6,I —3aH-~~= —37;i 蕊一 2b = 6,6){ 6,I —3aH-~~= —37;г)г)2m丄几_1 т十下一'色=4;ю 6'7x 一¥=_4, %+胃=—3.2m丄几_1 т十下一'色=4;ю 6'7x 一¥=_4, %+胃=—3.
а)
а)
士一-^ = —4, 3 2'
上+丄=—2;
2 ~ 4，
士一-^ = —4, 3 2'
上+丄=—2;
2 ~ 4，
в)
в)
i 蕊一 2b = 6,
6){ 6,
I —3aH-~~= —37;
i 蕊一 2b = 6,
6){ 6,
I —3aH-~~= —37;
г)
г)
2m丄几_1 т十下一'
色=4;
ю 6'
7x 一¥=_4, %+胃=—3.
2m丄几_1 т十下一'
色=4;
ю 6'
7x 一¥=_4, %+胃=—3.
1035. Решите систему уравнений:
,3,22,1,一一 •=丄15&3+-i6x-5 士10/—<l\z6,3,22,1,一一 •=丄15&3+-i6x-5 士10/—<l\z6
,3,22,1,一一 •=丄15&3+-i
6x-5 士10/—<l\z
6
,3,22,1,一一 •=丄15&3+-i
6x-5 士10/—<l\z
6
Упражнения для повторения
1036. Упростите выражение:
а) (2х — Зу)2 + (2х + 3疗；б) (2х + Зу)2 — (2* — Зу)2.
1037. Разложите на множители:
a) %5 + 402%3 — 40%4；6) 4g6- 12a5б + 9a4Ь2.
1038. Решите графически систему уравнений:
)[у = х\J У = х\
(3% + у = 4;6) I 5
44. СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим еще один способ решения систем уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Пример 1. Решим систему:
(2% + Зу=—5,(1)
I х — Зу= 38.
,В уравнениях системы коэффициенты при у — противоположные числа. Сложив почленно левые и правые части уравнения, получим уравнение с одной переменной:
Зх = 33.
Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением 3% = 33・ Получим систему:
⑵⑵Г 3х = 33,
⑵
⑵
I % —8y = 38.
Решим систему (2). Из уравнения 3х = 33 находим, что х = 11. Подставив это значение х в уравнение х —3у = 38, получим уравнение с переменной у:
11-Зу = 38・
Решим это уравнение:
-Зд = 27,
Пара (11; —9) — решение .системы (2). Она является также решением системы (1), так как системы (1) и (2) равносильны. В этом можно убедиться с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые были проведены в предыдущем пункте при решении систем способом подстановки.
Рис. 67Рис. 67На рисунке 67 изображены графики уравнений 2% + Зу = =—5 и % — Зу—38. График
Рис. 67
Рис. 67
уравнения 3х = 33, т. е. прямая х = 11, проходит через точку их пересечения. Из рисунка видно, что система (2) имеет то же решение, что и система (1).
Пример 2. Решим систему:
(5% + 11у= 8,
I Юх- 7y = 74.
Почленное сложение уравнений системы не приводит к исключению одной из переменных. Однако если умножить все члены первого уравнения на — 2, а второе уравнение оставить без изменений, то коэффициенты при х в полученных уравнениях будут противоположными числами:
(-10%-22у=-16,
I Юх- 7у= 74.
Теперь почленное сложение приведет к уравнению с одной переменной —29j/ = 58. Из этого уравнения находим, что у— —2. Подставив во второе уравнение вместо у число —2, найдем значение х:
10%-7 (-2) = 74,
Юх = 60,
х = 6.
Ответ: х = 6, у=—2.
Пример 3. Решим систему:
(9% + 7у=7,
I 2% —Зу= —85.
Подберем множители к уравнениям так, чтобы коэффициенты при у стали противоположными числами. С этой целью умножим каждый член первого уравнения на 3, а второго на 7. Получим систему:
(27% + 2w=21,I 14х-21у=—595.
Сложив уравнения почленно, получим:
41х=-574.
Отсюда
х= —14.
Подставив это значение х в уравнение 2% —Зу=—85, найдем, что у = 19.
Ответ: х=—14, у = 19.
1039. Решите систему:
а)
Г 2% + 1% = 15,
в)(4% —7g = 30,
{ 10х—11у= 9;
I 4x —5g = 90;
б).
Г 9х— 17у= —4,г) f 13х —8у = 28,
(-9%+15д= 12;t 11%-8g = 24.
1040・ Найдите решение системы:
а)
(% —6у = 17, 1 5% + 6у = 13;
в) (3%+2^= 5,
1 —5% + 2g = 45;
б),
Г 4x-7z/=-12,г) ( 9х-4у=-13,
1 —4% + Зу= 12;1 9х —2у=—20.
1041. Решите систему:
а)
f 40x + 3i/ = 10, 1 20х —7у= 5;
rj ( 13x-12j/ = 14, 1 llx — 18y== 4;
б)
(5х — 2у= 1, 1 15% —Зу= -3;
Д)[ lOx— ” = 8, 1 15x + 21y = 0,5;
в)
(33。十42b = 10,е) Г 9g+ 8z=—2,
(90+14Ь=4;[ 4g + 5z=_IL
1042. Решите систему уравнений:
а)
[12%_7у = 2, 1 4kL5y = 6;
в) f 6x —25y= 1, 1 5x —16y= —4;
6).
(7a+ 2u= 1,г) f 7a + 4b = 90,
[17u + 6v= —9;1 5a —6b = 20.
1043. Найдите решение системы:
а)
(0,75# + 20g = 95, 1 0,32% —25g = 7;
в) ( 10% = 4,6 + 3g, 1 4g+ 3,2= 6x;
б)
(0,5u —0,6u = 0, 1 0,4〃+l,7u = 10,9;
г) ( -3b + 10a-0,l=0, 1 15。+ 4b-2,7 = 0・
1044. Составьте уравнение вида y = kx-{-b9 график которого проходит через точки:
М(5; 5) и N(-10; -19); в) А (8; -1) и 5(-4; 17);
Р(4; 1) и Q(3; -5); г) С (-19; 31) и D(l; -9).
Прямая y — kx-}-b проходит через точки 4(—1; 3) и В (2; — 1). Напишите уравнение этой прямой.
График линейной функции пересекает ось х в точке с абсциссой 4, а ось у в точке с ординатой 11. Задайте эту функцию формулой.
Задайте формулой линейную функцию, график которой изображен на рисунке 68.
Решите систему:
а) Г 5 (х + 2у) — 3 =尤十 5,6) ( 2,5 (х — Зу) — 3 =—3% + 0,5,
I y+4(% —3y) = 50;I 3(% + 6沙)+ 4 =削 + 工9.
1049. Найдите решение системы:
( ~^х~^~^^一2 = 0,I 5% — у = 11;f —=-^ •几=0,I 57n — 4n = 2;1050. Решите систему:а){後+十一5 =。’I 2х— t/ = 10;6)/ 2% —7y = 4,(管一6=0;,( ~^х~^~^^一2 = 0,I 5% — у = 11;f —=-^ •几=0,I 57n — 4n = 2;1050. Решите систему:а){後+十一5 =。’I 2х— t/ = 10;6)/ 2% —7y = 4,(管一6=0;,J 0,5尤+ 0,2у = 7,i тх-^ = 0;Г) Г +〃Н=-3, I 0,2〃 + 0,1и = 3,9・J 0,5尤+ 0,2у = 7,i тх-^ = 0;Г) Г +〃Н=-3, I 0,2〃 + 0,1и = 3,9・В)(写一置=。'I 3(x-l)-9 = l-z/;" ^_广一枭I f+^=-lВ)(写一置=。'I 3(x-l)-9 = l-z/;" ^_广一枭I f+^=-l
( ~^х~^~^^一2 = 0,
I 5% — у = 11;
f —=-^ •几=0,
I 57n — 4n = 2;
1050. Решите систему:
а){後+十一5 =。’
I 2х— t/ = 10;
6)/ 2% —7y = 4,
(管一6=0;,
( ~^х~^~^^一2 = 0,
I 5% — у = 11;
f —=-^ •几=0,
I 57n — 4n = 2;
1050. Решите систему:
а){後+十一5 =。’
I 2х— t/ = 10;
6)/ 2% —7y = 4,
(管一6=0;,
J 0,5尤+ 0,2у = 7,i тх-^ = 0;
Г) Г +〃Н=-3, I 0,2〃 + 0,1и = 3,9・
J 0,5尤+ 0,2у = 7,i тх-^ = 0;
Г) Г +〃Н=-3, I 0,2〃 + 0,1и = 3,9・
В)(写一置=。'
I 3(x-l)-9 = l-z/;
" ^_广一枭
I f+^=-l
В)(写一置=。'
I 3(x-l)-9 = l-z/;
" ^_广一枭
I f+^=-l
1051. Найдите решение системы:1051. Найдите решение системы:184184
1051. Найдите решение системы:
1051. Найдите решение системы:
184
184
Упражнения для повторштия
Принадлежит ли графику уравнения {х — у2^ — = (х + у)2 точка: 4(4; —1); В(1; — 1); С (2; 2)?
Разложите на множители:
15。2-15坟；в) 10а3 + 10b3;д) 47а6-47b6;
29а2 + 29Ь2;г) 18а3-18Ь3;е) 51а6 + 51Ь6.
Упростите выражение:
а) 2х (8х-1)-(4х+1)2； б) 4 (3g-1产一18у (2у-1).
Для вычисления кубов чисел, близких к единице, используют приближенную формулу (14-а)3«1-{-За. Вычислите по этой формуле приближенные значения выражений: а) 1,13; б) 0,93. Какова абсолютная погрешность приближения?
45. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ
При решении задачи с помощью системы уравнений сначала обозначают буквами неизвестные числа. Затем составляют систему уравнений, решают ее и, наконец, истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи.
Задача 1. Для клуба приобрели 5 комплектов шахмат и 8 комплектов шашек на сумму 55P. Сколько стоит один комплект шахмат и сколько один комплект шашек, если известно, что 3 комплекта шахмат на 2 р. 20 к. дороже, чем 4 комплекта шашек?
Решение. Пусть один комплект шахмат стоит х рублей, а один комплект шашек у рублей. Тогда 5 комплектов шахмат и 8 комплектов шашек стоят 5н + 8у рублей. Так как за всю покупку заплатили 55 р., то
5%+ 8g = 55.
По условию задачи 3 комплекта шахмат дороже 4 комплектов шашек на 2 р. 20 к. Отсюда получаем второе уравнение:
3% —4g = 2,2.
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения х и у9 которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнениям, т. е. удовлетворяют системе:
5%+8^ = 55,Зх —4у = 2,2・
Решим полученную систему. Умножим обе части второго уравнения на 2:
J 5% + 8/=55,(6х —8у = 4,4.
Сложим уравнения почленно:
Их = 59,4,х = 5,4.
Подставим в уравнение 5尤+ 8^ = 55 вместо х число 5,4- ・5・5,4 + 8у = 55,
8y = 28,У == 3,5.
Пара х = 5,4, у = 3,5 — решение системы.
Ответ: комплект шахмат стоит 5 р. 40 к” а комплект шашек — 3 р. 50 к.
Задача 2・ Требуется разложить 163 шара в два ящика так, чтобы в одном из них шаров оказалось в 2 раза больше, чем в другом. Сколько шаров надо положить в каждый ящик?
Решение. Пусть в один ящик положили % шаров, а в другой у шаров. Тогда в соответствии с условием задачи % + у = 163 и х = 2у. Мы получили систему:
* + ^ = 163, х = 2у.
Решив ее, найдем, что х = 108-|-, у = 54-|»・
По смыслу задачи значения % н у должны быть натуральными числами, а мы получили дробные числа.
Ответ: разложить шары таким образом нельзя.
Сумма двух чисел равна 13, а их разность равна 2. Найдите эти числа.
Периметр прямоугольника равен 30 м, его длина больше ширины на 1 м. Найдите длины сторон прямоугольника.
Колхоз отвел под гречиху и овес 700 га, причем площадь, отведенная под овес, была на 60 га больше площади, отведенной под гречиху. Сколько гектаров было отведено под овес и сколько под гречиху?
В РАПО было направлено 187 тракторов и комбайнов, причем комбайнов на 23 меньше, чем тракторов. Сколько тракторов и сколько комбайнов было послано в РАПО?
.186
Периметр равнобедренного афеугольника равен 117 м. Боковая сторона на 13,2 м больше основания. Найдите основание.
Ю62・ За 600 г конфет и 1,5 кг печенья заплатили 4 р. 62 к. Сколько стоит 1 кг печенья, если он дешевле 1 кг конфет на 1 р. 40 к.?
W63. Для детского дома купили 15 комплектов постельного белья, в каждый из которых входит пододеяльник и простыяя, и еще 20 простыней, уплатив за всю нокулку 310 р・ Сколько сзи里 комплект, если известно, что пододеяльник на 4 р. дороже, чем простыня?
В первой овоищой 戦апахке на 120 кг больше яблок, чем во второй. Когда в первой гадали 209 кг, а во второй 130 кг, то во второй палатке осталось s 2 рааа меньше “л<ж, чем в !шрвай« Сколько лблок было s обеих шшазах а1ервана- чально?
王0С5・ За 4 ч езды на автомашине и 7 咂 мезды на поезде ту^шсзжг проехали 640 «м・ KaiK^a скорость поезда, «ели ©на на 5 км/ч больше всоростн автеьтшины?
За три пары лыяс и ^ч^гайре пары коньков уплатили 47 р. -Сколько .стоит шфа лыж и сколько стош* пара кс^ыоов, если дае tiapbi кхшьюав дороже @^ой пары лыж на 1 冷・？
Пять шариковых ручек дороже двух коробок цветных карандашей на 2 р. 55 к., а две шариковые ручки дешевле пяти «ор^бок цветных карандашей на 1 р. 50 к. Сколько стоит шариковая ручка 戮 только ^етоит коробка цветных каранда- шей?
立О©& 竝3 пунктов А и В, расстояние между которыми равно 290 «м, зы^е^т одновременно два явтомобиля. Если а»Ф❽мбим сбудут дштгаться навстречу друг другу, то встреча произойдет через 2 ч. Если же они будут двигаться в одном направлении, то автомобиль, вышедший из А, догонит автомобиль, вышедший из В, через 14 ч. Какова скорость каждого автомобиля?
4069・ Два туриста ъышли одновременно из двух городов, расстояние между которыми 38 км, и встретились через 4 q. С какой скоростью шел каждый турист, если известно, что первый прошел до встречи на 2 км больше второго?
Моторная лодка путь по течению от одной пристани до другой проходит за 4 ч, а обратный путь за 5 ч. Какова
скорость лодки в стоячей воде, если 70 км по течению она проходит за 3,5 ч?
107L За 3 ч по течению и 4 ч против течения теплоход проходит 380 км. За 1 ч по течению и 30 мин против течения теплоход проходит 85 км. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения.
Бак наполняется водой с помощью двух труб» Если вода будет поступать из первой трубы в течение 20 мин, а из второй в течение 10 мин, то в баке окажется 120 м3 воды. Если же первая труба будет открыта 15 мин, а вторая 7 мин, то в бак нальется 88,5 м3 воды. Сколько кубических метров воды в минуту вливается в бак через каждую трубу?
Я задумал два числа. Если к первому прибавить половину второго, то получится 65. Если из второго числа вычесть третью часть первого числа, то получится первое число. Какие числа я задумал?
У двух мальчиков 16 орехов. Если один отдаст другому 6 орехов, то у него окажется в три раза меньше орехов, чем станет у другого. Сколько орехов у каждого мальчика?
Из двух сортов сухофруктов ценой 1 р. 20 к. и 1 р. 50 к. за килограмм требуется составить 36 кг смеси ценой по 1 р. 30 к. за килограмм. Сколько килограммов сухофруктов каждого сорта надо взять?
Из двух сортов муки ценой 31 к. и 46 к. за килограмм составили 50 кг смеси ценой по 40 к. за килограмм. Сколько килограммов муки каждого сорта входит в смесь?
В колхозе под озимыми культурами было занято на 480 га больше, чем под яровыми. После того как убрали 80% озимых и 25% яровых культур, площадь, оставшаяся под озимыми, оказалась на 300 га меньше, чем площадь под яровыми. Какая площадь была отведена колхозом под яровые и какая под озимые культуры?
Две бригады рабочих должны были по плану изготовить за месяц 680 деталей. Первая бригада перевыполнила месячное задание на 20%, а вторая на 15%, и поэтому обеими бригадами было изготовлено сверх плана 118 деталей. Сколько деталей должна была изготовить по плану каждая бригада за месяц?
Упражнения для повторения
Упростите выражение:
(а —2) (а2-{-а—1) —а2 (а —1);
(3-р)(9 + Зр+р2)-(1—рЗ).
Разложите на множители:
a) 0,064m3+ 1; б) 0,027х3-г/3; в)卢十8； г) 27-т6.
В каких координатных четвертях расположен график уравнения:
2% +5y=12;б) Зх —4д = 10?
Докажите тождество
(X3 — У3)2 + 2%ЗуЗ = (%2 + д2)@4 + д4 —炉办
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
К параграфу 16
Является ли решением уравнения х2 —2у = 7 пара значений переменных х и у:
а) (5; 8); 6) (-4; —11,5); в) (-1; -3); г) (1,2; —2,78)?
Составьте уравнение с двумя переменными мни, решением которого служит пара чисел вида (“； и):
а) (10; 3); б) (0; -7); в) (0,6; -0,8); г) (-1,4； -3,6).
Найдите несколько решений уравнения:
a) 5g—1 = 3%; б) %у —4 = 0; в) д + 2%2 = 0; г) х3 — 10у = 0.
Имеет ли уравнение решения, и если имеет, то сколько:
а)「2十炉=—4；в)丨 р I + I q 丨=0;
pq + 2 = pq;г) p2 +(q + i)2 =。？
Известно, что:
пара значений переменных х = 5, у = 7 является решением уравнения ах—2у = 1.^ Найдите коэффициент а;
пара значений переменных х=—3, у = 8 является решением уравнения 5% + Ьу = 17・ Найдите коэффициент Ь・
Найдите все пары натуральных чисел, которые являются решениями уравнения:
а) % + у = 11;б) ху = 18.
Найдите все пары простых чисел, которые являются решениями уравнения а + Ь = 42.
Для школы-интерната приобрели несколько пар коньков по 3 р. и несколько пар лыж по 2 р. 40 к. Стоимость всей покупки 30 р. Сколько пар коньков было куплено?
Хозяйка купила глубокие и мелкие тарелки. Глубокая тарелка стоит 80 к., а мелкая 60 к. За всю покупку она заплатила 7 р. Сколько мелких тарелок купила хозяйка?
Группа учащихся отправилась в музе近,причем часть учеников поехала на троллейбусе, а остальные на автобусе. Проезд на троллейбусе стоит 4 к., а на автобусе 5 к. За проезд учащихся всего заплатили 1 р. 69 к. Сколько учащихся поехало на автобусе?
Принадлежит ли графику уравнения х3 — у — 2 = 0 точка:
а) М(-1; -3); б) К(-1; 1); в) В(1; -1)?
Графику уравнения х ——％g = 46 принадлежит точка с ординатой ——1,3. Найдите абсциссу этой точки.
График уравнения 8х—5у = 14 проходит через точку с абсциссой 1,2. Найдите ординату этой точки.
В уравнении у = ах2 — 4 подберите коэффициент а так, чтобы график уравнения проходил через точку Р (1; —3). Пересекает ли этот график ось у?
Не выполняя построения, докажите, что графики трех уравнений xj/.=12, 2x + j/ = 10 и 4х24-у2 = 52 проходят как через точку ▲ (3; 4), так и через точку В (2; 6).
В каких точках пересекает оси координат график уравнения:
а) 2% + Зу = 4;б) ху + у — х = 7?
Постройте график уравнения:
а) % + д = 0;б) % —у = 0;в) у —3%2 = 0; г) д + #2 = 0・
Постройте график уравнения:
3(х —2g)—2(у —4у) = 4;
2 (0,5х - 1,2у) - (0,6у + х) = 6;
в)' 3^ (0,4у — 0,2х) — 4 (О,3у — 0,6х) = 0,6.
В линейном уравнении ах —у = 4 подберите коэффициент а так, чтобы график этого уравнения проходил через точку М (3; 5). Постройте график этого уравнения.
100
Постройте прямую, которая является графиком уравнения у —2,5% = с, если известно, что она проходит через точку К (2; — 3).
1103г Является ли решением системы уравнений 02+^2=16,
Q2 + 8a+b2 — 8b + 16 = 0
пара чисел: а) а = 0, Ь = 4; б) а = 0, 6=—4; в)。=—4, b = °?
Решите графически систему уравнений:
а) ( 2% + у = 0, б) ( 1/ =炉， в) ( у = %з, г) J у = %2, I % + '=—3; I у —6 —% = о； I ' + 1 = 0； I ' = #3 1105. Покажите, что прямые % + g = 5, 2а —у = 16 и % + 2у = 3 пересекаются в одной точке. Каковы координаты этой точки?
Постройте в одной координатной плоскости графики линейных уравнений у —2х = 0 и % + у = 6 и найдите координаты точки их пересечения. Проходит ли через эту точку график уравнения 2х3 —ху = 8?
При каком значении а прямые 5х ——2j/ = 3 и х + у = а пересекаются в точке, принадлежащей оси у?
При каком значении b прямые Ь% + Зу = 10 и х — 2у = =4 пересекаются в точке, принадлежащей оси w?
При каком значении k прямая у = Е% —4 проходит через точку пересечения прямых у = 2х — 5 и 必=—优升1?
Решите графически систему уравнений:
а)/у + 3% = 0,6)/# + д = 1,
j% — у = 4,§У —х = 3,
I% + у=—2;л2% + у = 0・
Имеет ли система решения, и если имее^ то сколько: а) ( 2% + 5у = 17,в) Г 0,2х— 5у = 11,
I 4x-10g = 45;I —% + 25у=-55;
6)(胃一常=1,Г) ( 3%十等у=10,
I 6х —2у = 35;I 9% —2y = 1?
Укажите какое-либо значение ft, при котором система f 2% + у = 7, I у — кх = 3
имеет единственное решение. Проверьте свой ответ, построив графики.
При каком значении с система
(Зх— у = 10, (9% —Зу = с
имеет бесконечно много решений?
При каком значении с система
I 5% + 2у = с
не имеет решений?
К параграфу 17
Решите систему:
[ 25х-18у = 75, в) Г 8g-5z = 23, д) ( 7%十4g = 74, [35x-28g = 35;I 3g-2z = 6;I3%十2^ = 32;
( 35% = 3g + 5,r)( 13x-15y=-48,e) fllu + 15u = 1,9,
[49% = 4纥｛>9;t 2x+ у = 29;I—3〃 + 5u = l,3・
Найдите решения системы:
f 6(# + g) = 8 + 2x —3弘
I 5 J —#) = 5 + 3% + 2y;
f -2(2x4-l)+l,5 = 3(y-2)-6x, I 11,5-4 (3-x) = 2g-，5-%);
( 4 (2x — g + 3) — 3 (x — 2y + 3) = 48, I 3 (3x - 4y + 3)+4 (4x - 2у - 9) = 48;
r) f 84 + 3 (x - 3y) = 36x - 4 (y +17), I 10(% —y) = 3y + 4(l —%).
в) J 4x —3g = l,I 2% + l 9-5y.'6 —8 'r) J 3q = 4p —7,I 1 — 3q 4 — 2Pв) J 4x —3g = l,I 2% + l 9-5y.'6 —8 'r) J 3q = 4p —7,I 1 — 3q 4 — 2PРешите систему:
в) J 4x —3g = l,
I 2% + l 9-5y.
'6 —8 '
r) J 3q = 4p —7,
I 1 — 3q 4 — 2P
в) J 4x —3g = l,
I 2% + l 9-5y.
'6 —8 '
r) J 3q = 4p —7,
I 1 — 3q 4 — 2P
V 515*
I 2x —5g = 0;
( 3加 + 5" = 1,
I m I 3n r
4433I t+万=1；
4
4
3
3
Найдите решение системы:
a) ( (%一1)2一(% + 2)2 = 9弘б) f (7 + u)2一(5 + u)2 = 6内
I ®-3)2-® + 2)2 = 5х;1 (2 — и)2_(6 — и)2 = 4и・
Решите систему:
a) J 8% + 5д = 20,в) ( -1,8% + 2,4у = 1,
I 1,6% +2y = 0;1Зх —4y = 5;
б){ тх~"^ y=， тх^^Т*
И3х-7у = 5;I -16х + 3у = 12.
Имеет ди решения система уравнений:
а) ( 5х—4у = 1,б) ( 11% + Зу= —1,
j Зх+1 =13,j 2* + у = 3,
I 7лг—5y = 1；《5% + 2у = 4?
Проходят ли прямые 2% + Зу = 20, Зх —5у = 11 и % + у = 9 через одну и ту же точку?
Существует ли на прямой 7% + 8у = 135 точка: а) абсцисса которой равна ее ординате; б) абсцисса которой противоположна ее ординате; в) ордината которой равна удвоенной абсциссе?
Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки: а) А (1; 2) и В ( — 2; 3); б) М (— 5; 0) и К (2; -1).
Напишите уравнение вида у =尼％ + Ь, график которого проходит через точки: а) М( —1; 1) и Р (4; 4); б) А ( — 3; 3) и В(3; -3).
Комплект из десяти конвертов и пяти открыток стоит 85 к. Сколько стоит один конверт, если два конверта дешевле трех открыток на 3 к.?
За три общие тетради, пять блокнотов заплатили 2 р. 45 к. Сколько стоит одна общая тетрадь и сколько стоит один блокнот, если две тетради дороже трех блокнотов на 5 к.?
В овощную палатку завезли картофель и капусту. В первый день продали половину картофеля и -|» капусты общей массой 15 т. Во второй день продали -|- оставшегося картофеля и -~ оставшейся капусты общей массой 10 т. Сколько картофеля и сколько капусты завезли в палатку?
7 Заказ ,890 193
Совхоз выделил для отправки в город яблоки и груши. В первый день отправили — всех яблок и — всех груш — всего 2т. Во второй день отправили 告 оставшихся яблок и 告 оставшихся груш, всего 1 т 250 кг. Сколько яблок и сколько груш выделил совхоз для отправки в город?
Два пионерских звена работали на уборке картофеля. В первый день одно звено работало 2 ч9 а второе 3 ч, причем всего было собрано 23 ц картофеля. Во второй день первое звено за 3 ч работы собрало на 2 ц больше картофеля, чем другое звено за 2 ч работы. Сколько центнеров картофеля собирало каждое звено за 1 ч работы? .
ИЗО. Известно, что 30% числа а на 10 больше, чем 20% числа Ь, а 30% числа b на 35 больше, чем 20% числа а. Найдите числа а и Ь.
Токарь и его ученик должны были изготовить за смену 65 деталей. Благодаря тому, что токарь перевыполнил план на 10%, а ученик на 20%, они изготовили 74 детали. Сколько деталей по плану должен был изготовить за смену токарь и сколько его ученик?
За четыре транзисторных и шесть ламповых радиоприемников уплатили 520 р. После снижения цен на транзисторные приемники на 15%, а на ламповые на 20% за один транзисторный и два ламповых приемника уплатили 130 р. Сколько стоил транзисторный приемник до снижения цен?
Два фрезеровщика, один из которых работал 5 дней, а другой 8 дней, изготовили 280 деталей. После повышения производительности труда первым на 62,5%, а вторым на 50% за 4 дня совместной работы они смогли изготовить 276 деталей. Сколько деталей стал изготовлять каждый фрезеровщик за один день?
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
(1134. Ё школьной математической олимпиаде принимали 9 учеников шестого класса. За каждую решенную задачу ученик получал 2 очка, а за каждую нерешенную задачу с него списывалось 1 очко. Всего было предложено 10 задач. Докажите, что среди участников олимпиады из шестого класса было по крайней мере два ученика, набравших одинаковое число очков. (Считается, что ученик, набравший больше штрафных очков, чем зачетных, набрал н 吵ЕгР^крв.)
\1135>/Два туриста, имея один велосипед, должны за полтора часа проделать путь в 12 км. На велосипеде каждый из них может развить скорость 20 км/ч, а пешком 5 км/ч. Смогут ли туристы проделать весь путь без опоздания, если на вело- ?й^^^^овременно два человека ехать не могут?
(\113€к11еред соревнованиями по плаванию каждого из четырех участников А, Б, В и Г спросили, на какое место он рассчитывает. А сказал: «Я буду первым», Б сказал: <Я не буду последним», В сказал: «Я не буду ни первым, ни последним» и Г сказал: «Я буду последним». После заплыва оказалось, что только один из них ошибочно предсказал результат. Кто из пл о 吵吟 ошибся?
/O3J/ Докажите, что любую сумму, большую семи копеек, можйоуплатить трехкопеечными и пятикопеечными монетами.
ненеая сдачи.ая сдачи.
не
не
ая сдачи.
ая сдачи.
013% В ящике лежат разноцветные шарики: 5 белых, 1^1ф^ных и 20 черных. Какое наименьшее число шариков надо вынуть из ящика, не заглядывая внутрь, чтобы среди
них оказалось обязательно: а) хотя бы по одному шарику всех указанных цветов; б) 10 шариков одного цвета?
Я задумал число, не превышающее 1000. Как, задав не более 10 вопросов, на которые я буду отвечать только «да* или «нет», можно узнать, какое число я задумал?
Через 5 лет возраст брата будет относиться к возрасту сестры как 7 : 5. Сколько лет каждому из них в настоящее время, если год назад брат был вдвое старше сестры?
Три ящика были наполнены орехами. Во втором было на 10% больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов было в каждом ящике, если в первом было на 80 орехов больше, чём в третьем?
Число а составляет 80% числа Ь, а число с составляет 140% числа Ь. Найдите числа а, Ь и с, если известно, что с больше а на 72.
Число а составляет 75% числа b и 40% числа с. Число с на 42 больше, чем Ь. Найдите числа а и Ь.
При делении натурального числа а на натуральное число b в частном получили сив остатке d. Выясните, могут ли все числа а9 Ь9 с и d оказаться нечетными.
Найдите двузначное число, которое в четыре раза его цифр. »
/дТ46. Делится ли число 111 ... 1 на 81?
81 раз
Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 есть простое число или единица.
К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число, в 23 раза большее первоначального. Найдите это двузначное число.
В двузначном числе зачеркнули одну цифру. Получилось число в 31 раз меньше первоначального. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?
Первая слева цифра четырехзначного числа 7. Еслй эту цифру переставить на последнее место, то получится число меньше первоначального на 864. Найдите первоначальное число.
Первая слева цифра шестизначного числа 1. Если эту цифру переставить на последнее место, то получится число в 3 раза больше первоначального. Найдите первоначальное число.
a) —i-I-I—I •'-I-I一a* 6) —j"J—1—1-1-1—1~a
'M(a)M(a)
» _I-I_厶」_»-I-г) -~一1—1-1a 丿м(а)м(а)
Рис. 69
Если между цифрами двузначного числа вписать это же двузначное число, то полученное четырехзначное число будет больше первоначального в 77 раз. Найдите это число.
Найдите трехзначное число, которое равно Квадрату двузначного и кубу однозначного числа.
Докажите, что значение выражения 116+146—133 кратно 10.
Постройте график функции:
а) у= I х 1—3;б) у = 4— I х |.
На рисунке 69 показано положение на координатной прямой точки М (а). Покажите на той же координатной прямой примерное положение точек A (a2\ С (a3), D(4>)・
Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 — кубом натурального числа.
Может ли разность двух трехзначных: чисел, из которых второе записано теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, быть квадратом натурального числа?
Докажите, что значение выражения 3"+2 —2"+? + + 3" —— 2" при любом натуральном значении п кратно 10.
Что больше: 吗土1 или 吗土叮
10н4-11012 + 1
При умножении многочлена 2х3 — 5х2 — 7H—8 на многочлен ax2+bx + ll в произведении получился многочлен, не содержащий ни х4, ни х3. Найдите коэффициенты а и Ь и узнайте, какой многочлен получился в результате умножения.
Ученик сообщил своему товарищу, что задумал двузначное число, вычел из него число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке, и получил квадрат четного числа. Товарищ после некоторого размышления заявил, что полученная разность равна 36. Прав ли он? Найдите все двузначные числа, обладающие свойством, которое подметил ученик.
Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 168, а их общий наибольший делитель равен 24.
Разложите на множители многочлен:
х8 + х4 —2;в)几‘ + 4；
居―° —1；г) M + ^+i.
Докажите, что р? —1, где р — простое число, большее 3, кратно 24.
Сколько делителей у числа 1010?
Найдите все простые числа р м q, для которых 卩2-2q2=i.
Может ли: а) сумма пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом; б) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом?
Упростите выражение
(2 +1)(22 + 1)(24+1) (28 +1)(2,6+1)(232 +1).
Докажите* что уравнение %? —* = 30 не имеет решений в целых числах (т. е. когда хну оба целые).
Докажите, что не существует целых коэффициентов а9 Ь9 с и d, таких, что значение многочлена a^^bx^ + cx^d равно 1 при х = 19 и равно 2 при х = 62.
Докажите, что если у есть среднее арифметическое х х z, то х4 + 2х3^ — 2xz3 — z4 — 4х2у2 + 4y2z2 равно нулю.
Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.
Постройте график уравнения:
а) (%—2) (у+3)=0;б) х2 + ху = 0.
Постройте график уравнения:
а) у+ I у 丨=%;б) у=х-1 у |.
Решите[ *7二 Т
систему:I— z = 丁 1'
k z + % = 8・
РешитеJ # + у=—3,
систему:I У+ z = 6，
\ z + %=L
При каких натуральных значениях х та у верно равенство 3%+7^ = 23?
Путь от А до В идет 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км по ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за 1 ч 7 мин, а обратный путь за 1 ч 16 мин. Найдите скорость мотоциклиста в гору и скорость под гору, если на ровном месте его скорость была 18 км/ч.
У школьника была некоторая сумма денег монетами достоинством в 15 к. и 20 к., причем двадцатикопеечных монет было больше, чем пятнадцатикопеечных. Пятую часть всех денег школьник истратил, отдав две монеты за билет в кино. Половину оставшихся у него денег он отдал за обед, оплатив его тремя монетами. Сколько монет каждого достоинства было у школьника вначале?
Если задуманное двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4 и в остатке 3. Если же из задуманного числа вычесть удвоенную сумму его цифр, то получится 25. Какое число задумано?
В двух сосудах емкостью 144 л и 100 л содержится некоторое количество воды. Если больший сосуд долить доверху
водой из меньшего, то в последнем останется ± первоначаль-
ного количества воды. Если же долить меньший сосуд доверху
из большего, то в большем останется -~ первоначального количества воды. Сколько литров воды содержится в каждом сосуде?
В одном сосуде 49 л воды, а в другом 56 л. Если долить первый сосуд доверху водой из второго сосуда, то второй сосуд окажется наполненным только наполовину. Если же долить второй сосуд доверху водой из первого, то первый окажется наполненным только на одну треть. Какова вместимость каждого сосуда?
1184 Автобус и маршрутное такси, выходящие навстречу друг другу по расписанию в 8 ч 40 мин из М н К, обычно встречаются в 8 ч 52 мин. Однажды маршрутное такси отправилось в рейс с опозданием на 8 мин и встретилось с автобусом в 8 ч 57 мин. Найдите скорость автобуса и такси, если известно, что расстояние от М до ЛГ равно 24 км.
Из А в В, расстояние между которыми 37 км, в 7 ч 18 мин и в 7 ч 48 мин вышли два автобуса с одной и той же скоростью. Велосипедист, выехавший из В в А в 7ч 28 мин, встретил первый автобус в 7 ч 58 мин, а второй в 8 ч 19 мин. Найдите скорости велосипедиста и автобусов.
Из пунктов М и £, расстояние между которыми 70 км, одновременно выехали навстречу друг другу автобус и велосипедист. Они встретились через 1 ч 24 мин. Продолжая движение с той же скоростью, автобус прибыл в R н после 20-минутной стоянки отправился обратно. Найдите скорости автобуса и велосипедиста, если известно, что автобус обогнал велосипедиста через 2 ч 41 мин после первой встречи.
Из А в В вышел турист. Через 1 ч 20 мин из А в том же направлении выехал велосипедист, который обогнал туриста через 30 мин. Прибыв в В, велосипедист, не останавливаясь, повернул назад и встретил туриста через полтора часа после первой встречи. Найдите скорости туриста и велосипедиста, если известно, что расстояние 4В равно 24 км.
Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит 12% воды. На сколько килограммов увеличилась масса добытой тонны угля, после того как уголь две недели пролежал на воздухе?
Два брата ходят вместе из школы домой с одинаковой скоростью. Однажды через 15 мин после выхода из школы первый побежал в школу и, добежав до нее, немедленно бросился догонять второго. В это время второй, уменьшив скорость ходьбы в два раза, продолжал идти домой. Когда первый брат догнал второго, они пошли с первоначальной скоростью и пришли домой на 6 мин позже, чем обычно. Во сколько раз скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев?
В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?
На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если его длину увеличить на 20%, а ширину на Ю%?
Поезд из А в В шел со скоростью 60 км/ч, а возвра* щался из В в А со скоростью на 20 км/ч меньшей. Какова средняя скорость поезда?
Наименьшее общее кратное двух чисел, не делящихся друг на друга, равно 90； а их наибольший общий делитель равен 6. Найдите эти числа.
Представьте выражение 2%?+2^2 в виде суммы квадратов двух многочленов.
Представьте выражение 24ху в виде разности квадратов двух многочленов.
Представьте выражение 2。(。2 + 3标)в виде суммы кубов двух многочленов.
Представьте выражение 2Ь (За + Ь2) в виде разности кубов двух многочленов.
Найдите коэффициенты а, b н с многочлена ах2 -{- Ьх + с, знан, что равенство
2х4 + х3 —41х2-{-83х —45 = (ах2+ Ьх4-с) (х2-{-4х —9) является тождеством.
“ 1199. Составьте многочлен шестой степени с переменной х, зная, что при любых значениях х его значение а) положительно; б) отрицательно.
1200. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению 11% +8g = 104.
СВЕДЕНИЯ ИЗ КУРСА МАТЕМАТИКИ IV—V КЛАССОВ
Делимость чисел
Пусть а и Ь — натуральные числа и при делении а на b в частном получается див остатке г. Тогда a=bq-^r9 где q и г — натуральные числа или нуль, причем rvb. Например:
_127 I 35
-105127 = 35・3 + 22・
~22，
Если натуральное число а делится на натуральное число Ь, то а называют кратным b, а b — делителем а. Это означает, что a=bq, где q — натуральное число. Например, 62 кратно 31, 31 — делитель 62, так как 62 = 31-2.
Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет только два делителя — единицу и само это число.
Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.
Например, числа 2, 3, 5, 7, 43, 109 — простые, а числа 4, 12, 35 — составные.
Всякое составное число можно разложить на простые множители и притом единственным способом. Например, 630 = 2-З2.5-7.
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение всех получившихся простых множителей.
взяв каждый из них с наибольшим показателем. Например, 72 = 23.32; 180 = 22-32.5 и 600 = 23.3-52. Наименьшее общее кратное чисел 72, 180 и 600 равно 23-32-52 = 1800.
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим показателем. Например, наибольший общий делитель чисел 72, 180 и 600 равен 22-3, т. е. числу 12.
Если число оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, то оно делится на 5. Если число оканчивается любой другой цифрой, то оно не делится на 5.
Если число оканчивается четной цифрой, то оно делится на 2. Если число оканчивается нечетной цифрой, то оно не делится на 2.
Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.
Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.
Обыкновенные дроби
Правильной дробью называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя.
Неправильной дробью называется дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему.
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей; вычислить дополнительные множители, разделив наименьшее общее кратное на каждый знаменатель; умножить чиелитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель. Например, приведем к наимень-
云-~. Наименьший云-~. Наименьшийшему общему знаменателю дроби 当 общий знаменатель равен 36:
云-~. Наименьший
云-~. Наименьший
11-66 .77 32155-210
66-636*1212-336*1818-236
При сложении дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель* второй дроби и оставляют тот же знаменатель. При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель. Например:
^^ЗЛ1V k計％*74fу卷賢一W瞳，^^ЗЛ1V k計％*74fу卷賢一W瞳，_41_=_з
^^ЗЛ1V k計％*74fу卷賢一W瞳，
^^ЗЛ1V k計％*74fу卷賢一W瞳，
1—
При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями их предварительно приводят к общему знаменателю.
Чтобы перемножить две дроби, надо перемножить отдельно их числители и знаменатели и первое произведение сделать числителем, а второе — знаменателем. Например,
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю. Например, -|-：-|-=Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю. Например, -|-：-|-=里.巫里.巫15 28*15 28*Десятичные дробиДесятичные дроби11. При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если первая следующая за этим разрядом цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют. Например, 2,8195 «2,8； 4,356 «4,4. .11. При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если первая следующая за этим разрядом цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют. Например, 2,8195 «2,8； 4,356 «4,4. .二串當卷磋三七工二工图伞翦窖I、Л<ЯЖЙ■Я12二串當卷磋三七工二工图伞翦窖I、Л<ЯЖЙ■Я122 _4_ = _8_
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю. Например, -|-：-|-=
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю. Например, -|-：-|-=
里.巫
里.巫
15 28*
15 28*
Десятичные дроби
Десятичные дроби
11. При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если первая следующая за этим разрядом цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют. Например, 2,8195 «2,8； 4,356 «4,4. .
11. При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если первая следующая за этим разрядом цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют. Например, 2,8195 «2,8； 4,356 «4,4. .
二串當卷磋三七工二工图伞翦窖I、Л<ЯЖЙ■Я12
二串當卷磋三七工二工图伞翦窖I、Л<ЯЖЙ■Я12
Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно. При этом дроби записывают одну под другой так, чтобы запятая оказалась под запятой. Например:
68,35,27563,02568,35,27563,0253,4691十 48,63
68,3
5,275
63,025
68,3
5,275
63,025
52,0991
Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Например:
匸 3,06Z\ с /匸 3,06Z\ с /八2,41224八2,41224612612
匸 3,06
Z\ с /
匸 3,06
Z\ с /
八2,41224
八2,41224
612
612
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо в делимом и делителе перенести запятые вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число. Например:
12,096:2,24 = 1209,6:224,
_1209,6 1224
-1120 |М~_896一896
0
Чтобы умножить десятичную дробь на 10", надо в этой дроби перенести запятую на п цифр вправо, ^тобы разделить десятичную дробь на 10* надо в этой дроби перенести запятую на п цифр влево. Например:
8,372-100 = 837,2;
3,4:1000 = 0,0034.
Положительные и отрицательные числа
Модулем положительного числа и нуля называется само это число. Модулем отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Модуль числа а обозначают |а|. Например, 13,61 = 3,6, 101 =0, | — 2,81 = 2,8. Модуль числа также называют абсолютной величиной числа.
Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и перед полученным результатом поставить знак «минус».
Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо из большего модуля вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.
Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
Например, —3,4 + ( —1,8)= —5,2; 2,5 + ( —4,1)= — 1,6; —3,6 + 3,6 = 0.
Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Например, — 5 —1,9= — 5 + (—1,9)= — 6,9・
Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули.
Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить их модули и перед полученным результатом поставить знак «минус».
Например, — 1,2・(一 8) = 9,6; —3-1,2=—3,6.
Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.
Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным результатом поставить знак «минус».
Например, —4,8:( —2,4) = 2; 5,5:( —5)=—1,1.
Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. 206
Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, надо сумму этих чисел разделить на число слагаемых.
Равенство двух отношений называют пропорцией. Например, равенство 2,5:5 = 3,5:7 — пропорция. Числа 2,5 и 7 — крайние члены пропорции. Числа 5 и 3,5 — средние члены пропорции. Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов. В пропорции можно менять местами крайние члены или средние члены.
Свойства действии
Переместительное свойство сложения. От перестановки слагаемых значение суммы не изменяется.
Сочетательное свойство сложения. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число* можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.
Переместительное свойство умножения. От перестановки множителей значение произведения не изменяется.
Сочетательное свойство умножения. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.
Распределительное свойство умножения. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты.
В выражении, не содержащем скобок, сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление и далее сложение и вычитание. Сложение и вычитание, так же как умножение и деление, производятся в той лоследователь- ности, в которой они записаны.
Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках.
Таблица квадратов
а
1
2
3
4
5
в
7
8
9
1,0
1,000
1,020
1,040
1,061
1,082
1,103
1,124
1,145
1,166
1,188
1,1
1,210
1,232
1,254
1,277
1,300
1,323
1,346
1,369
1,392
1,416
，2
1,440
'1,464
*1,488
1,513
1,538
1,563
1,588
1,613
1,638
1,664
1,3
1,690
1,716
1,742
1,769
1,796
1,823
1,850
1,877
1,904
1,932
1,4
1,960
1,988
2,016
2,046
2,074
2,103
2,132
2,161
2,190
2,220
1,5
2,250
2,280
2,310
2,341
2,372
2,403
2,434
2,465
2,496
2,528
1,6
2,560
2,592
2,624
2,657
2,690
2,723
2,756
2,789
2,822
2,856
1,7
2,890
2,924
2,958
2,993
3,028
3,063
3,098
3,133
ЗД68
3,204
1,8
3,240
3,276
3,312
3,349
3,386
3,423
3,460
3,497
3,534
3,572
1,9
Д610
3,648
3,686
3,725
3,764
3,803
3,842
3,881
3,920
3,960
2,0
4,000
4,040
4,080
4,121
4,162
4,203
4,244
4,285
4,326
4,368
2,1
4,410
4,452
4,494
4,537
4,580
4,623
4,666
4,709
4,752
4,796
2,2
4,840
4,884
4,928
4,973
5,018
5,063
5,108
5,153
5,198
5,244
2,3
5,290
5,336
5,382
5,429
5,476
~ 5,523
5,570
5,617
5,664
5,712
2,4
;5,760
5,808
5,856
5,905
5,954
6,003
6,052
6,101
6Д50
6,200
2,5
6,250
6,300
6,350s
6,401
*6,452
6,503
6,554
6,605
6,656
6,708
2,6’
6,760
6,812
6,864
6,917
6,970
7,023
7,076
7,129
7,182
7,236
2,7
7,290
7,344
7,398
7,453
7,508
7,563
7,618
7,673
t,/28
7,784
2,8
7,840
7,896
7,952
8,009
8,066
8Д23
8,180
8,237
8,294
8,352
2,9
8,410
8,468
8,526
8,585
8,644
8,703
8,762
8,821
8,880
8,940
3,0
9,000
9,060
9,120
9,181
9,242
9*303
9,364
9,425
9,486
9,548
3,1
9,610
9,672
9,734
9,797
9,860
9,923
9,986
10,05
10,11
10,18
3,2
10,24
10,30
10,37
10,43
10,50
10,56
10,63
10,69
10,76
10,82
3,3
10,89
10,96
11,02
11,09
11,16
11,22
11,29
11,36
11,42
11,49
3,4
11,56
11,63
11,70
11,76
11,83
11,90
11,97
12,04
12,11
12,18
3,5
12,25
12,32
12,39
12,46
12,53
12,60
12,67
12,74
12,82
12,89
3,6
12,96
13,03
13,10
13,18
13,25
13,32
13,40
13,47
13,54
13,62
3,7
13,69
13,76
13,84
13,91
13,99
14,06
14,14
14,21
14,29
14,36
3,8
14,44
14,52
14,59
14,67
14,75^
14,82
14,90
14,98
15,05
15,13
3,9
15,21
15,29
15,37
15,44
15,52
15,60
15,68
15,76
15,84
15,92.
4,0
16,00
16,08
16,16
16,24
16,32
16,40
16,48
16,56
16,65
16,73
4,1
16,81
16,89
16,97
17,06
17,14
17,22
17,31
17,39
17,47
17,56
4?
17,64
17,72
17,81
17,89
17,98
18,06
18,15
18,23
18,32
18,40
4,3
18,49
18,58
18,66
18,75
18,84
18,92
19,01
19,10
19,18
19,27
4,4
19,36
19,45
19,54
19,62
19,71
19,80
19,89
19,98
^0,07
20,16
4,5
20,25
20,34
20,43
20,52
20,61
20,70
20,79
20,88
2温
21,07
4,6
21,16
21,25
21,34
21,44
21,53
21,62
21,72
21,81
21,90
22,00
4,7
22,09
22,18
22,28
22,37
22,47
22,56
22,66
22,75
22,85
22,94
4,8
23,04
23,14 ,
23,23
23,33
23,43
23,52
23,62
23,72
23,81
23,91
4,9
24,01
24,11
24,21
24,30
24,40
24,50
24,60
24,70
24,80
24,90
25,00
25,10
25,20
25,30
25,40
25,50
25,60
25,70
25,81
25,91
26,01
26,11
26,21
26,32
26,42
26,52
26,63
26,73
26,83
26,94
27,04
27,14
27,25
27,35
27,46
27,56
27,67
27,77
27,88
27,98
28,09
28,20
28,30
28,41
28,52
28,62
28,73
28,84
28,94
29,05
29,16
29,27
29,38
29,48
29,59
29,70
29,81
29,92
30,03
30,14
^
0
1
2
3
4
5
в
7
8
9
Таблица квадратов (продолжение)
N
0
1
2
3
4
5
в
7
8
9
30,25
30,36
30,47
30,58
30,69
30,80
30,91
31,02
31,14
31,25
31,36
31,47
31,58
31,70
31,81
31,92
32,04
32,15
32,26
32,38
32,49
32,60
32,72
32,83
32,95
33,06
ЗЗД8
33,29
33,41
33,52
33,64
33,76
33,87.
33,99
34,11
34,22
34,34
34,46
34,57
34,69
34,81
34,93
35,05
35,16
35,28
35,40
35,62
35,64
35,76
35,88
6,0
36,00
36,12
36,24
36,36
36,48
36,60
36,72
36,84
36,97
37,0Я
6,1
|37,21
37,33
37,45
37,58
37,70
37,82
37,95
38Q7
38Д9
38Д2
6,2
38,44
38,56
38,69
38,81
38,94
39,06
39Д9
39,31
39,44
39,56
6,3
39,69
39,82
39,94
40,07
40,20
40,32
40,45
40,58
40,70
40,83
&4
40,96
41,09
41,22
41,34
41,47
41,60
41,73
41,86
41,99
42,12
6,5
42,25
42,38
42,51
42,64
42,77
42,90
43,03
43,16
43,30
43，Х
6,6
43,56
43,69
43,82
43,96
44,09
44,22
44,36
44,49
44,62
44,76
6,7
44,89
45,02
45,16
45,29
45,43
45,56
45,70
45,83
45,97.
46,10
6,8
46,24
46,38
46,51
46,65
46,79
46,92
47,06
47,20
47,33
47,47
6,9
47,61
47,75
47,89
48,02
48Д6
48,30
48,44
48,58
48,72
48,86
7,0
49,00
49,14
49,28
49,42
49,56
49,70
49,84
49,98
60,13.
50,27
7,1
50,41
50,55
50,69
50,84
50,98
51,12
51,27
51,41
51,55
51,70
7,2
51,84
51,98
52ДЗ
52,27
52,42
52,56
52,71
52,85
53,00
53Д4
7,3
53,29
53,44
53,58
53,73
53,88
54,02
54,17
54,32
54,46
54,61
7,4
64,76
54,91
55,06
55,20
55,35
55,50
55,65
55,80
55,95
56,10
7,5
56,25
56,40
56,55
56,70
56,85
57,00
57,15
57,30
57,46
57,61
7,6
57,76
57,91
58,06
58,22
58,37
58,52
58,68“
58,83
58,98
59,14
7,7
59,29
59,44
59^0
69,75
59,91
60,06
60,22
60,37
60,53
60,68
7»
60,84
61,00
61,15
61,31
61,47
61,62
61,78
61,94
62,09
62,25
7,9
62,41
62,57
62,73
62,88
63,04
63,20
63,36
63,52
63,68
63,84
8,0
64,00
64,16
64,32
64,48
64,64
64,80
64,96
65,12
65,29
65,45
8,1
65,61
65,77
65,93
66,10
66,26
66,42
66,59
66,75
66,91
67,08
8,2
67,24
67,40
67,67
67,73
67,90
68,06
68,23
68,39
68,56
68,72
8,3
68,89
69,06
69,22
69,39
69,56
69,72
69,89
70,06
70,22
70,39
8,4
70,56
70,73
70,90
71,06
71,23
71,40
71,57
71,74
71,91
72,08
8,5
72,25
72,42
72,59
72,76
72,93
73,10
73,27
73,44
73,62
73,79
8,6
73,96
74,13
74,®
74,48
74,65
74,82
75,00
75,17
75,34
75,52
8,7
75,69
75,86
76,04
76,21
76,39
76,56
76,74
76,91
77,09
77,26
8,8
77,44
77,62
77,79
77,97
78,15
78,32
78,50
78,68
78,85
79,03
8,9
79,2|
79,39
79,67
79,74
79,92
80Д0
80,28
80,46
80,64
80,82
9,0
81,00^
81Д8
81,36
81,54
81,72
81,90
82,08
82,26
82,45
82,63
9Д
@2,8К
82,99
83,17
83,36
83,54
83,72
83,91
84,09
84,27
84,46
9,2
8名64
84,82
85,01
85,19
85,38
85,56
85,75
85,93
86Д2
86,30
9,3
86,49
86,68
86,86
87,05
87“
87,42
87,61
87,80
87,98
88,17
94
88,36
88,55
88,74
88,92
89,11
89,30
89,49
89,68
89,87
90,06
9,5
90,25
90,44
90,63
90,82
91,01
91,20
91Д9
91,58
91,78
91,97
9,6
92,16
92,35
92,54
92,74
9203
93,12
93,32
93,51
93,70
93,90
9,7
94,09
94,28
94,48
94,67
94,87
95,06
95,26
95,45,
95,65
95,84
9,8
96,04
96,24
96,43
96,63
96,83
97,02
97,22
97,42
97,61
97,81
9,9
98,01
98,21
98,41
98,60
98,80
99,00
99,20
99,40
99,60
99,80
N
0
1
2
3
4
5
в
7
8
9
ЕДИНИЦЫ ВЕЛИЧИН
Единицы длины
1 километр (км) = 1000 метров (м)
1 метр (м)=10 дециметрам (дм)=100 сантиметрам (см)
1 дециметр (дм) = 10 сантиметрам (см)
1 сантиметр (см) =10 миллиметрам (мм)
Единицы площади
1 квадратный километр (км2)=1 ООО 000 квадратных метров (м2)
1 квадратный метр (м2)=100 квадратным дециметрам (дм2)=10 000 квад* ратных сантиметров (см2)
1 гектар (га)=100 арам (а) =40 000 квадратных метров (м2)
1 ар (а) =100 квадратным метрам (м2)
Едшпщи массы
1 тонна (т)=1000 килограммов (кг)
1 центнер (ц) = 100 килограммам (кг)
1 килограмм (кг) =1000 граммов (г)
1 грамм (г)=1000 миллиграммов (мг)
Единицы объема
1 кубический метр (м3)=1000 кубических дециметров (дм3)=1 000 000 кубических сантиметров (см3)
1 кубический дециметр (дм3)=1000 кубических сантиметров (см3)
1 литр (л)=1 кубическому дециметру (дм3)
1 гектолитр (гл)=100 литрам (л)
Единицы времени
1 год *365 суткам
сутки = 24 часам (ч)
час (ч)=60 минутам (мин)
минута (мин) = 60 секундам (с)
предметный указатель
Абсолютная погрешность 102
Возведение в степень 78
одночлена 92
произведения 86
степени 87，
Вынесение общего множителя за скобки 124
Выражение с переменными 6
Вычитание многочленов 115
График линейной функции 63
—линейного уравнения с двумя переменными 171
——прямой пропорциональности 55
—уравнения с двумя переменными 168
—функции 48
Графический способ решения систем 175
Линейная функция 61
Линейное уравнение с двумя переменными 171
одной переменной 22
Многочлен 112
—стандартного вида 112
Независимая переменная (аргумент) 44
Область определения функции 44
Обратно пропорциональные переменные 41
Одночлен 89
—стандартного вида 90
Основание степени 78
Основное свойство степени 82
Деление степеней 83
Зависимая переменная 44 Заключение в скобки 115 Значение выражения* 3, 6
Корень уравнения 20
Коеффициент одночлена 90
—пропорциональности 36
Парабола 96
Переменная 6
Переместительное свойство сложения 11
умножения 11
Подобные члены многочлена 112
Показатель степени 78
Приведение подобных членов 112
Пропорциональные переменные 35
Прямая пропорциональность 54
Равносильные системы уравнений 177
—уравнения 20
Разложение на множители многочлена 124 разности квадратов 145 кубов 156 суммы кубов 156
Распределительное свойство умножения 11
Решение системы уравнений 174
——уравнения с двумя переменными 167
Свойства действий над числами 11
—обратно пропорциональных переменных 42
— пропорциональных переменных 36
——уравнений 21
Система уравнений 174
Сложение многочленов 115 Сочетательное свойство сложения 11 умножения 11
Способ группировки 131
—подстановки 178
— сложения 181
Степень многочлена 113
—одночлена 90
—с натуральным показателем 78
—с нулевым показателем 84
Тождественно равные выражения 14
Тождественные преобразования 14
Тождество 18
Точность приближенного значения 103
Угловой коэффициент прямой 68 'Умножение многочлена на многочлен 128
— одночленов 92
— одночлена на многочлен 118
—степеней 83
Уравнение 20
—с двумя переменными 167
Формула квадрата разности 148
суммы 147
—разности квадратов 145
кубов 156
— суммы кубов 156
Формулы сокращенного умножения 142
Функция 44
Числовое выражение 3 Член многочлена 112
ОТВЕТЫ
Глава I
а) 20; б) 629,2; в) 28,89; г) 48,09. 3. а) 41,65; б) 13,6; в) 58;
Ю. в. а) И; б) 14~； в) 1; г) 14. 7. а) 4^|; б) 0; в) 3; г) 16^. 8. а) 5~; б) 1; в) 3"|ч г) ~. 19. 78 к. 20. Первый на 3,2 га. 21. 132 л. 22. а) —122;
1,6; в) Зу； г) 2,5. 27. а) —4; б) 5,2. 28. а) 0,4； б) -6,8; в) 4,5； г) 0,8. 31. а) 3; б) 15; в) —49; г) 0,8. 40. 60. 41. 30 р. 42. 200 станков. 52. 4%. 53. 40%. 54. а) 26,81； б) 77,01; в) 7,22; г) 78. 56. а) 24; б) 24,9; в) 13,4; г) -9,5. 57. а) 35,7; б) 16,64; в) 10; г) 2,8. 59. а) 0; б) 1^・ 60. а) 13,4; б) -757; в) -1580; г) 4,7. 63. а) 94,2; б) 40,3. 82. а) Зх+0,5； б) 2*+2; в) За—6; г) 1,бЬ+10. 83. а) 11 —6,5х; б) Зр—5,1; в) 0,4а —7; г) 6Ь —5; д) у —8; е) 8#—8. 84. а) 6,75;
22; в) —6; г) —0,3. 86・ а) 8 + 2%; б) 46 —5у; в) 20^—33; г) 5; д) 4 —10b; е) 36,8с—8. 87. а) 1; б) —7; в) —3,1; г) 276. 88. a) 10m —4; б) —6几 + 3;
11-Ир; г) 0,1; д) 1,ЗЬ+0,1; е) 1,6с-5. 89. а) 1; б) 3. 90. а) -20; б) у. 99. а) 3,4； б) 5,24. 109. а) 4,5х—2,4; б) 36 —3,6а; в) 12,3 —8,5у; г) 2 —14Ь.
16,5； - 2; -196.113. а)3;б)~ 43; в) 180; г) - 5; д) 300; е) - 90.114. а) 1
0,5; в) —0,15; г) —2; д) 0; е) —5; ж) 12; з) — 3; и) 0; к) 0; л) 0; м) 0.115. а) 7; б) 1±；в) 5-1；Г) 5; д) 1~; е)-1,2; ж)1^-. 116. а) -~; б) 2,5;в) -89; г) 0,5.
а),в),г)Корней нет;б) любоечисло является корнем уравнения.
а) 0; б), г) Корней нет; в) любое число является корнем уравнения. 119. а)2,4;б)-12; в) -5;г) -1,5.120. а) 7; б) -32; в)-3; г) -1,8.
а)-6;б)16; в) ~|s г) -4; д) 3^; е) 3. 122. а) 0,05; б)-15,8; в) 1,6;
г) 0,4.123. а) -3,5; б) 2; в) 74,6; г) 0,25. 124. а) 2; б) 1,15; в) 4; г) 12; д) -78;
е) -13. 125. а) 19,1; б) 1; в) -0,Т; г) 0,75; д) 1; е) 1,9. 126. а) 23,7у + 16;'
б) 14—3,2у; в) —5,1а; г) —7,2m. 127. а) 5,9; б) —9,4. 128. а) 45,82; б) —2,5. 129. 6,8; 6,3 и 3,4 см. 130. 350; 420 и 504 чел. 131. 400; 80 и 75 г. 134. 55 и 11 кустов. 135. Через 8 ч. 136. 5,2 р. 137. 50 км/ч. 138.10 чел. 139. 5.140.1,5 кг. 141. 2; 4 и 10 кг. 142. 20 м. 143. 20 и 40 кг. 144. 20 км/ч. 149. а) 426,5; б) 7,6; в) 12Д; г) 2,72. 150. а) 23; б) -12,4. 151. а) -2; б) 4; в) 1^; г) 6^. 152. а) ^; б) 16. 153. а) у； б) 2,5; в) 240; г) у. 154. а) 1,44; б) 1^; в) 9,2; г) 6. 157. а) ~; б) -16. 158. а) -19; б) ^; в) 2; г) 0. 166. а) 87; б) 136; в) 58; г) 52. 169. а) 0; б) 3,947. 177. а) 5,7 +0,9m; б)二 1,6х-6; в) 0,2у+0,2; г) б,3« + 1,6. 178. а) —0,5; б) 1. 189. а) 1,49; б) 0; в) —32,5; г) 0,3. 190. а) 24; б) —35; в), г) корней нет. 191. а) —5; б) 1; в) —2; г) 3,5. 194. 575 кроликов, 425 кур. 195. 46 и 40 деталей. 197. 48 и 12 марок, 198. 10 дней. 199. 9 дней. 200. 13.
Глава II
40 ч. 207. 108 р. 208. 3,75 кг. 209. 215 г. 210. 6,25 г. 211. Да. 212. Да. 214. 20, 30, 15 книг. 215. а) -1,76; б) 88・ 216. Да. 217. Да. 219. 6,8; 12; 20 см. 220. <2,5 см. 221. 738 и 2 4б'га. 222. 3; 6 и 7,5 см. 223. а) 100 и 80°; б) 168 и 12°. 224. 18, 24,18 деревьев. 225. 60, 90, 210 и 240 га. 226. 4,8 кг. 227.187 человек. 230. 3 ч. 231. 2 ч 20 мин. 232. В 1,5 раза. 233. Алюминиевый в 3 раза. 234. За 15 ч. 235. 12. 236. 60. 237. 324. 238. На 40 дней. 240. 25,3 т. 245. 31; — 93; 9?・ 24в. 6; 10; 17. 249. 12; —8; 0; —0,4; —18,8. 250. а), г) Все числа; б) все числа, кроме числа 7; в) все числа, кроме числа — 3. 251. Все целые числа от 1 до 6 включительно. 252. Все числа от 0 до 180, исключая 0 и 180. 253. Все натуральные числа от 1 до 12. 254. 1, 0, 2, 3; все натуральные числа; 0, 1, 2, 3. 255. 144 км. 25в. 2,4 ч. 270. Принадлежат А и В. 27в. 10;
15 и 22,5 см« 277・ Ка・ 278・ 2л. 279. а) 3; —^*; —~$ 6) 0; 1 -g-; -— 30. 282. а) Принадлежат А и К; б) принадлежат В н Е. 287. а) 8,8 м2; 10 м2; б) 2,4 м; 3,2 м. 292. а) В I и Ш; б) во II и IV; в) в I и III; г) во II и IV; д) в I и Ш; е) во II и IV. 29в. а>2у； б)訟 297. а) 156а—84; б) —6m+ 100. 298. 165 книг. 300. Да. 301. Да. 304. а), б) Да. 305. Да. 308. Л = 1,5. 309. а) 2; б) — 3. 310. а) л《10; б) 〃&5・ 311. Проходит через А и С. 325. Проходит через А, В и D. 32в. а) 0,9; б) 0; в)農；г) -2,5. 327. а) }; б) 211,3. 328. 200. 335. а)改=/=4; б)友耍一6. 337. а) При fe=0; б) при 片耍6. 340. а)(1; 2); б) (8; —6); в) (-2; -110); г) (1; 29); д) (2; 28); е) (4,4； -6). 341. а) (2; —3); б) (4; 0); г) (0,9; 0,9). 842. а) Да; б) нет. 343. а) 1,4; б) 0,12 5. 344. 800 т. 345. Увеличится в 12 раз. 34в. Увеличится в 1,7 6 раза. 347. Хватит. 348. 280 см3. 349. Около 7,7 кг. 350. Около 1667 т; 2250 т. 352. 75 см. 353. 30 км. 355. На 1 дм. 356. 24; 18 и 15 р. 357. 4 кг и 3 стакана. 358. Бензин примерно в 1,1 раза. 35铢 В 1,5 раза. 360. Уменьшить в в раз. Зв1. 108 и 288 км. Зв2. 36 ч. ЗвЗ. 80.
Звв. —3,6; —3; 0,84; 1,56. 368. Все натуральные числа, большие 10. 382. а= —0,4. 389. а), б) Да; в), г) нет. 390. 2, 3, 4 и 5. 393.论=——0,4; при* надлежит. 394. у = 1,5%. 395. у = 8. 396. а) (7; 37); б) ( — 3; —55); в) (1,2; 5); г) (140; 14).
Глава III
б) 4096; г) 16 807. 403. г) 82, 43; ж) 1,53； з) 1,22. 405. д) -96; е) 432. 40в. д) 9,6; е) 0,08. 408. д) 114; е) 290; ж) 10; з) 2; и) 78,5. 409. в) —37; г) -539; д) 0,6; е) 2. 411. а) 0,16; 0,81； 100; б)* 245; 3; 453. 414. 667; 1887. 420. 2400, 2400 и 3600. 423. а), б) Принадлежит. 428： в) тГ|; г) р^; д) 1010; е) З10. 429. в) х10; г) п15; д) 713; е) 5”・ 430. в)公7； г) 214; д) 0,47. 434. в) а20; з) О,7б.
7R
в) хн; г) уТ 437. б) 1000; г) 1у； е) 一券・ 438. а) 49; б) 81; в) 25; г) 0,216. 439. а) %“+з； в) x"+i; г) /~4. 440. а) 97; б) 1; в) -12 5; г) -28. 441. а) 3; 6) -2,5; в) 90; г) -1. 445. 202,5 г. 452. г) (-ад)3; д) (2а)5; е) (0,3m)3. 453. в) 1; г) 1; д) ―; е) 50 000 000. 455. д) х9; е) х24. 457. в) ат+\ г) а2m. 4в0. б) 820; г) 32,2. 462. в) а14; г) х20; д) т20. 463. в) а% г)а^. д)а12； е) а21. 4в4. в) х23; г) х21.
1
4в5. а) 16; б) 5; в) 4; г) —. 466. Указание. Докажите, что сумма цифр любого из чисел вида 10"+2 делится на 3. 468.论=—2. 473. б) 0,6р%з； в) 20ад3; г) — 12q5b2；典)o,8m4n2; e) — x4y2. 474. 6) —2; в) 0,18; г) 1. 475. a) 0,592; 6) —0,108; в) 0,012; г) ~. 476. 5m2 см2. 477. 8a3 см3. 478. а) Одиннадцатая;
б) третья; е) нулевая. 480. а) ~; б) 0,5. 482. а) —3,3*’?'； б) —а6Ь4с; в) 443y♦；
г) -0,36а5двхв. 483. в) 64абЬ7; г) -28。4b% д)-6炉們 е)108a守.434. ft)“4涼號； 6) 一 "144力；b) -J%8； r) 一a3ь6；我)X4/; e) m%% 487. в) - 8al2d6; г) 81х"4；典)—ai0b6c16; e) a%%?. 488. в) — 0,216m9ne; г) 4炉?6； д) x4yl6d8; е)-川°员5加5 《go а)(9л2)2. 491. в) (-0,2b2)3. 494. б) 1000 т9; 100 加幺 495. a) 225a% б) 81 濟；в) 8P叱 г) -0,15^°; д) с叱 е) 2b% ж) -х10; з) 2《* 49в. а) —За/产 6) 32q2b°; в) 8ml0n10; г) — 1,12ен; д) d仇 е) 5G8b5； ж)— o,5m8n4; 3) -12p7q9. 497. a) -0Q4b* б) 10a19; в) p16; г) 3000a”； д) ~112анЬб; e) — 0,15х9уи; ж) 0,01p7^7; з) 8a29b9. 498. Через 9 дней. 499. Через 6 дней. 500. & = 1,5, Ь = 6. 501. х = 13,8» у = 1,26. 505. Увеличится в 9 раз; уменьшится в 100 раз. 510. а), б) Принадлежит; в) не принадлежит. 513. Увеличится в 8 раз; уменьшится в 27 раз. 516. * б) Принадлежит; в) не принадлежит.
180 г. 520. За 6 ч. 5 22. %= -2,4, у = -2 0,4. 5so. 2 4,8 м2. 531. 6 5,3 дм2. 534. а) Прямые параллельны; б) х = 8, у = 36,5. 535. 13 кг и 26 кг. 538. а) 0,13;
б) 4; в) 0,047; г) 0,002. 539. а) 0,0013; б) 0,008; в) 0,0001; г) 0,19. 542. ~;
~; ~. 548. 0,5 кг. 550.1,4 и 1,5. 551. 2 ч. 553. а) 7; б) 121. 555. г)22 • 53.556. г) 3е; д) 2,0. 557： в) 2б + 23-р^. 561. а) 98; б) -8. 571. в) 7“+з； г) 3^+* 572. в) а6.(-а35). 574. 6 72в. 575. б) 36; р) 0,6; е) ± 577. а) 2糸 б) 6,8. 581. в) 0,04; г) 6,25; д) 1; е) 81. 582. в) Указание: 252б = 5б0; 250.Зб0 = 6б0; г) 6330>3е0• 580.
215
583. г) 3е. 594. г) 0,15x3y3z3; д) 8,5а4Ь3с2; е) 0,16а7д7хв. 599. г) 7а20Ь10; д) 一如％% е)63产 боо. е) 0,5х12у7; ж) 36а8д8; з) -^У7- 601. г) За8b7； д) 0,2а9Ьп; е) а^】。. 609. 0,18. 610. 0,56.
Глава IV
а) 107; б) 30. 620. а) —57; б) 3. 625. а) 0,05625; б) -1,92. 626. а) у； 2 е
б) 1; в) у. 627. а) 24 000; б) -10 000. 630. г) -2b—1; д) -М—7； е) 8. 631. а) 0,7а-4,8а2; б) -д2+13д; в) 1,6х2+5,5； г) 1,9у2-1,4у4-4. 632. а) 5- —Юх; б) 6с—с2; в) 2b—2; г) 30 —у? —6力・ 634. а) 0,2а2 + 0,35а +1,2; б) 0,7卜一3,75?; в) — 4х2Ч-4ху; г) 2а&2-4ад~5д. 635. а) 4^Ь-^ + 2\ б) 2ху. 636. а) 60; б) 156. 637. а) -2; 6)-1. 640. а) 10а2Ч-12аЫ-2д2; б) -4д2. 641. а) 3; б) 1 告；в) 0,3; г) -20; д) 0; е) ~. 642. а) 1,2 3; б) -2; в) -1,5; г) -2. 646.15 деталей. 647. На 60 кустов. 652. а) 10,5; б) 28; в) 0,8; г) — 5.653. a) 80b — — 11; б) 5с+34； в) —21; г) 42 — 24у. 654. а) 26у —2у2; б) —у2 —Юу; в) 2 —4х; г) 2а3; д) 4c2—7隐 е) — Зх3у; ж) Зт3—т2пЧ-2п2; з) п2—п3. 655. а) 7х2~20х; 6 а3+а2; в) ах2—8а2х; г) 4m4—m2n2 —Зп4. 656. а) —6; 60; б) 8. 657. а) 200; -250; б) 0,8. 658・ а) 14а4-а3; б) 2b?-Ь; в) 16х2-6х4; г) с* 663・ а) 7; ,6) 8; в) 49; г) 0,4; д) —2; е) 0; ж) 24; з) ^・ 664. а) —2; б) —20; в) —1,5； г) —0,2. 665. а) -1; 6) 2; в) -4; г) 2. 666・ а) 0,5； 6) —2; в) 1,6; г) -2. 667. а) 2 4; б) 13у； в) 1у； г) -1у； д) -52,5; е) -4,5; ж) -36; з) 1у. 668. а) 12,5; б) 17; в) 17; г) -25; д) А； е) ||. 669. а) 1}; б) -0,5； в) -у； г) 28. 670. а) —13; б) 1,5; в) -15; г) 0,5. 671. а) - 3,5; б)~1;в)1; г) 2; д) 17,4; е) 4=. 672.紡6 и 48 к. 673. 16; 20 и 8 см. 674. 41, 36 и 33 км. 675. 26,38 и 40 деталей. 676. 96 деталей.
677. 300 га. 678. 1500 м. 67^. 9 км. 680. 60 км. 681. 360 км. 693. а) 2,28;
б) -15,75. 700. а) 0; -8; б) 0; 0,2; в) 0; 0,4; г) 0;呑 д) 0; 0,1; е) 0; 30. 701. а) 0;
— 0,6; б) 0; 11; в) 0; 0,6; г) 0; 10; д) 0; 0,16; е) 0; 0,04. 702. 9 км. 703. а) 5; б) —1,5. 712. а) х3 + 2х2у —у3; б) п3 — 2п2р + 2пр2 — р3; в) а3 —2ах2 —х3; г) Ь3 —2b2с+сЗ； 口)а3__ба24-11а —12; е) 5х3 — 7х2 —3x4-2; ж) х3 + Зх2 —8х + + 10; з) ЗуЗ —7y2十7，_4. 71з. @) с3 —2cd2 —d3; 6) х3 —2х2у4-у3; в) 4а3 — —3q2 + 2o —3; г) —3工3 + 8炉+7%-12・ 714. а) 8п34-27р3; б) 125х3 —8у3; в) -6а34-13а2~За-2; г) -8а34-20а24-22а4-21; д) ^-2^^3^^^х-^ е) 4а4-11а3Ч-25а2 —13а —5. 715. а) х3Ч-6х2Ч-11x4-6; б) а3-21а 4-20. 716. а) 19д —10; б) 14y2 —12; в) 9х; г) ^匕+ 5052 — 0252；其)4。一2ab; e) 3%2 + 6% + 4 — у?. 717. a) — 15炉 + 2* + 1; 6) —5m24->n —12; в) — у24- Зху; г) 8а2 — 2炉.718. a) 7; б) 6; в) 15; г) 98. 720. а) -0,8; б) -1,25; в) 0; г) 0.
723. 21, 22, 23. 724. 13, 14, 15, 16.723. 21, 22, 23. 724. 13, 14, 15, 16.721. а) -у； б) 0.2; в) 3,5; г) -1-|.
723. 21, 22, 23. 724. 13, 14, 15, 16.
723. 21, 22, 23. 724. 13, 14, 15, 16.
725. 221 см2. 726. 36 см. 727.12 дней. 728. 1680 га. 729. а) 2; б) 15,5. 734. а) 0,5;
-1； б)--1； ~; в) 2; 5; г) 0,4； -1. 735. a) 1g; -|; б) 1-|; 8; в)峙；一耳； г) —^; 4-- 741. а) 一与 б) У. 742. а) 12』б) 0. 743. а) 52; б) 15. 747. 260 коров, о о1о обо
748. 6,8 т. 752. а) 18; б) -8,5. 757. а) -7х2-14; б) -а24-2а4-2; в) —2а- -ЮЬ-З; г) -х2. 761. а) -2; б) 8; в) у； г) 2. 762. 1,92; 3,84; 4,8； 5,76. 763. 11. 764. 52. 765. 221. 768. 16,8； 11,2 л. 769. 1,2; 10,2 л. 770. 150 км. 771. Через 3 ч. 772. Через 1 ч. 773. 8 ч. 774. 21,6 км/ч. 775. 0,5 км/ч. 776. 1120 га. 777. 37 000 м3. 778. 876 га. 779. а) 2,3; б) 0,147. 780. а) 0; ~； б) 0; -1,6; в) 0; 2; г) 0; 0,2; д) 0; 1£; е) 0; 1. 794. а) -4; б) 1; в) 2; г) 2. 795. а) 2х34-10x4-4; б) 4а + 1. 796. а) -35; б) 156. 799. 8, 9, 10, 11. 801. 400 см2. 802. 360 см2. 803. 80 м2. 804. 55,25 см2. 805. а) —2,8; б) 7; в) 91; г) -4,2; д) 0; е) -50. 808. а) 1; б) —1. 809. а) 20; б) 1.
Глава V
—g-; г) 0,5 и —0,5.—g-; г) 0,5 и —0,5.818. а) х24-1; б)从 + 9; в) a2b2_］； г)х2 —у2. 820. а) х4 —у4; б) 16a4rb% в) 9m2; г) 50〃4 — 49. 821. а) —4 —5х; б/ —4m+ 9; в) 18х2 —2ах —а2; г) 2аЬ + + 経—2a2 823. a) 2a2-4 0а +12; б) 1-12д-10д2; в) 63р% г) 251с—6・ 824. а) —1,5； б) 7. 825.叨-3; б) —0,5. 829. 80 и 90 км/ч. 834. а)今 б) 4善；в)年；г) 1.
—g-; г) 0,5 и —0,5.
—g-; г) 0,5 и —0,5.
835. д) -~; е) 5. 837. а) 4 и -4; б) 9 и -9; в) -у
840. а) 1,5; —1,5; б)等；—^・ 841. а) 5; —5; б) 6; —6; в) ~; —|-； г) 1告；
一1^・ 843. а) (у —1)(5у + 1); б) (с + 5) (5 —7с); в) -(%+，) (15% +у); г) -ЗЬ (10а-ЗЬ); д) ЗЬ (3&-4а2); е) (5д3-х) (х-ЗЬ3). 844. а) (2Ь-11) (2匕十1); б) -(44-За) (10 +За); в) (3-11т) (5-11m); г) -(р + 1)(Зр +1); д) 5c(5с- —6d); е) — 9д (2а24-9Ь). 847. 85 и 90 км/ч; 100 и 105 км/ч. 8в1. а) 144а2 — — 24а; б) —4q2 —36从；в) 198х-81х2; г) -14аЬ —49. 862. а) а2+81; б) —10% + 1; в) 12х—9; г) а2 —4а&. 863. а) 2炉 + 3#十9; б) 4а2; в) 14b; г) 18а2; д) 2炉 + 8% + 12; е) -4. 864. а) 2а2 + 18; б) 8х2+50; в) 38%+25;
L I
г) -21Ь-4. 865. а) 89,6; 0; б) 10; 94. 866・ а) 3; б) 0. 867. а) 1,7; б)府;в) 3; г) 3,125. 868. а) 2,2; б) 1; в) % г) 1. 870. а) 45а2 + 210а+ 245; б) -96 + + 48Ь —6* в) %2у + 4%у2 + 4уЗ； г) — р3 + 10р2д — 2^^\ д) х3 —2х2 —Тэ：—4. 871. а) г’ —18^ + 81; б)力_32犷 + 256; в) а4 —50а24-625; г) х4 —32^+256. 875. а) 16; б) при всех х. 876. Принадлежат А и С, не принадлежит В. 877. (0; 6); ( — 25; 0). 879. а) —6; б) 5. 880. а) 2; б) 2,3. 885. а) 10 000; б) 400; в) 841; г) 400. 898. а) -0,125; б) gl; в) —0,009; г) 4. 899. а) 10; б) —66,4. 900.12 км. 901. Через В, С и D проходит, через А нет. 911. а), б) Да. 912. 30 км.
913. 6 км/ч. 917. а) 3 (*+，/; б) — (m —I)2; в) (х—2)2; г) 6(p + 2q>; д)5 (。+3户；е) 2 (Зх-2)2. 919. а) 2 (т-1)2; б) 4 (34-х)2; в) z8 (а - b)(出 + 力 + 户)； г) 9(x-h if) (х2-ху + 力.920. а) 4 (х -Ь 3) (у -1)； б) 6 (2 - д) (5 - а); в) — а (с+4) X Х(Ь + 5); г) а(а4-1)(а4-Ь). 921. а) 3 (Ь —2) (15—а); б) —5® + 3)(% + 8); в) с3 (а —1) (с4-1)； г) х(х—у) (хЧ-1). 922. а) (%+у) (% —у —1); б) (а—Ь)Х Х(а+& —1)； в) (т + п)(1 + т —/г); г)伊+「)(左一р —1); д) (с—d) (l+，+ d); е) (2т —n)(2m + 〃一 1). 923. а) (% + у) (%—у + 1); б) (а —Ь)(l-f-a + d); в) (р—q)X X(1+p + q)； г) 9+d)(c —d + l). 925. a) (% +，一т)(% + у + т); б) (р+@ + Ь)Х X(p-а -ь)；b)(ь一。 - 4)(Ь +e一4); г) (3 - 0—e)(3-q+c). 927. a) (a + 1)Х Х(а-Ь) (a+b); 6) (m —n)(m —3)(加 + 3). 928. a) -3; 2; —2; 6) 0,5； 3; —3; в) 6; r) —1,5; 1; — 1. 929. a) 2; 1; —1; 6) 1; 4; —4; в) 0,5; 4; —4; г) 0,75; 1; — 1. 932. a) 4,6; 6) 57. 938. a) 5a— 4; 6) 7а-9; в) —2b —1; r) 2匕十1; д) 2c2 —82; e) 75. 941. a)彩；6) 4； в)詣 943. ж) 15 (х-1)(Зх-1); з)(2п4-3)Х Х(1-4п); и) (За+ 2) (За+ 4); к) (-5x4-17) (5х- 13); л) 8(% + 2)(%+11)； м) 4(5у-11)(2у-17). 948. а) Зх2-16x4-25; б) -Зу24-24у4-64; в) 5а2- —4q —15; г) —4b —13; д) —21a? + 21; ©) 18b?—12b -J- 2^ ж) 3d + 22; з) 8/-23. 953. а) 17; б) 17,4. 954. а) 4; б) 1,5； в) 2,625; г) 0. 961. а) 2х3; б) -2; в) 133; г) 9рЗ. 963. а) 7х3-126у3; б) 26а3-9д3. 964. а) 131; б) 28; в) 61; г) 24, 125. 969. а) (2x4-1) (х24-х4-1)； 6) @ — 5)(力一什丁)； в) а (а2-Зад4- + ЗМ); г)(3х-у)(3х2 + у2);典)(2а+ b) (13@2-5аЬ + Ь2); е) (ЬЧ-2) (Ь2-26д4-244). 974. а) 2(7 + 2Ь)(5а-6Ь); б) 3 (7Ь-с) (с2Ч-2); в) 3 (у + 3) (2 - %) (2 + %); г) 6(5а-Зд)(а2 + 4). 975. а) (а-Ь)(&+Ь) (За +Ь); б) (1-а)Q+а)(2% + у); в) (1—。)(1 +。+。2)(3尸 + 2); г) (а + 2) (а2-2а + 4) (а-3). 976. а) (х-у)Х X (х4- у — 1,5); б) (х 4- а) (х—а + 0,5); в) (2а — д) (2а 4- д — 1); г) (р 4- 4с) (р—4с — 1); Д) (。+匕)(。一匕 + 6); е) @-у)@ + у — 7)・ 977. а) (х^2у)(х-1) (х+1); б) (2у-5)(у-2)(у + 2); в) (а — 2)(0 + 2)(а—5); г) (х-4) (х-3) (х+3). 978. а) (。+ 匕)(3。+匕)；6) (Ь — с)(11с — 9Ь); в) (%—у) (5% +у); г) (а + 1)(а-9). 979・ а) (%+у —1)(% + у + 1); б) (а-Ь-5)(а-Ь + 5); в) (6 —匕 + c)(6 +Ь-с); д) (1 — 5%+ у)(1 +5% — у); е) (b — а — 6) (6 +。+6); ж) (9а — 3b + c)(9@ + 3b — с); з) (be—b —с—l)(bc+b + c —1). 980. a) (x-f-jr)(x24-xy + y2); 6) —(4w + y)X Xd +切+，)； в) (@—b)(@2+6ab + b2)； r)(p—i)(p2 —p + D； Д)(2Ы-1)Х Х(4д2 + Ы-1); e) (а —5)(紋+。+25)・ 981. a) (x2-xy^y2)(x+y + 2); б) (а2 + +ab^b2) (а —&4-3); в) (а —Ь)(а+Ь)(@2 —ab + b2); г) (%+，)(％ —，)(炉 + 羯 + 力).
Глава VI
990. (6; 6). 991. а = 3. 998. а) 6,16; б) —4,32. 999. а) (1 —а)(14-а)2； 6) (2 —Ь)Х 义(2 +炉.1009. а) 1; б) 16; в) §； г) ~. 1010. а) -1,2; б) 1. 1022. а) 10с3- — 17с24-19с—40; б) 21т24-10т —8. 1023. а) (а+ 1)(а + %) (а —%); 6) (Ь + с)Х Х(Ь4-3)(Ь-3). 1025. а) (2; 5); б) (1; -2); в) (4; 2); г) (4,5; 7); д) (-23; -3);
e) (7; 一4,5)・ 1026. a) (5; 2); б) (1; 6); в) ( — 20; -2); г) (-1,5; -3,6). 1027. а) и=—0,5, и = 0,2; б) р = 3, q = 5; в) и=^^ и=—1 專；г) р=2,25, q = — 3,5.1028. а) (-4; 3); 6)(-2; 7); в) (-10; 5); г) (-11; -4). 1029. а) (3; 0,5)； б) (4; 7). 1030. а) (1у； —2停)；б) (~0,4； -7,2). 1031. а) (4,4； 1,72); 6(з^； ~4т)в 1°32・ а)(3; —^); б) (~J； 2); в) (—166; 34); г)(5百；—g-^. 1033. а) #=7, у = 1; б) а =—3, Ь = 1. 1034. а) х~—6; у=4; б) а=12, Ъ——2; в) т = 5, п=—3; г) х= — 1, у=—5. 1035. а) (—15; 12); б) (2; -1,5). 1036. а) 8^+18у2； б) 24ху. 1037. а) х3 (х-2а)2; б) а4 (2о-ЗЬ)2. 1039. а) (2; 1); б) (-8; -4); в) (60; 30); г)(2;-；)・ 1040. а) (5; -2); б) ( — 3; 0); в) (-5; 10); г) (-3; -3,5). 1041. а) (}; 0; б) (-0,6; -2); в) а=—«|», Ь=у； г) (2; 1);葡(击 一~|-)； е) у=6; z=—7. 1042. а) х=—1, у= —2; б) 〃 = 3; V = —10; в) #= —4; у= —1; г) а = 10, Ь = 5・ 1043. а) х = 100, у=1； б) и=6, и = 5; в) х=0,4, у= —0,2; г) а=0,Г, Ь=0,3. 1044. а) {/— 1,6х — 3; б) у=6х—23; в) у=—1,5x4-11; г) у =—2х一7. 1045. у——1扌力+1 等. 1048. а) (7; —2); б) (2; 1). 1049. а) х=3, у = 4; б) т = 10, п = 12; в) х=6, у=20; г) 〃=12, и = 15・ 1050. а) (9; 8); б) (-0,8; -0,8)； в) (3; 4); г) (-1; 0). 1051. а)工=15, у = 12; б) м=—8, и=6; в) х= 12, у = —12; г) а=15, Ь=10. 1052. а) Система не имеет решении; б) система имеет бесконечно много решений. 1054. д) 47 (a一m他+S⑷+功 + 产乂必一卅+統)；e) 51 (a2^ь2)% Х(а4-а2Ь2+Ь4). 1055. а) -10х-1; б) -6у + 4・ 1057. 7,5 и 5,5・ 1058. 8 и 7 м. 1059.380 и 320 га. 1060.105 тракторов и 82 комбайна. 1061. 30,2 м. 1062.1,8 р. 1063. 14 р. 1064. 300 и 180 кг. 1065. 60 км/ч. 1066. 9 и 5 р. 1067. 75 и 60 к. 1068. 80 и 60 км/ч. 1069. 5 и 4,5 км/ч. 1070. 18 км/ч. 1071. 55 и 5 км/ч. 1072. 4,5 и 3 м3.1073. 39 и 52.1074. 10 и 6 орехов. 1075. 24 и 12 кг. 107в. 20 кг по 31 к. и 30 кг по 46 к. 1077. 720 и 1200 га. 1078. 320 и 360 деталей. 107». а) -За+2; б) 26. 1080. в) (р2 + 2) (р4-2р2 + 4); г) (З-m2) (9 + Зтп2 + т4). 1087. а) 3; б) 4. 1088. б) (1; 18); (2; 9); (3; 6); (6; 3); (9; 2); (18; 1). 1089. (5; 3 7); (11; 31); (13; 2 9); (19; 2 3); (2 3; 19); (2 9; 13); (31; 11); (37; 5). 1090. 6 или 2 лары коньков. 1091. 1, 5 или 9 тарелок. 1096. а = 1・ 1107. а= —1,6. 1108. Ь = 2,5・ 1109.论= 1,5. 1111. а), г) Одно; б) не имеет; в) бесконечно много. 1115. а) х = 21, у = 25; б) х=1, у = 10;
в) у=16, z=21; г) х = 9, у = 11; д) х = 10, у= 1; е) U= —0,1, d = “2. 1116. а)( ~; 1); б) ( — 0,5; 1,5)； в) (7; 5); г) (4; 4). 1117. а) * = 4： У =】搭 б) ш=—8, я = 5; в) # = 1, у = 1； г) р = 2, q=g. 1118. а) х=—5, у = 3; б) и=0, и = 4. 1119. а) (5; —4); 6), в), г) решений нет. 1120. а) Не имеет; б) имеет. 1125. 6 к. 1126. 40 и 25 к. 1127. 20 и 15 т. 1128. 3 и 2 т. 1129. 4 и 5 & 1180. а=200, Ь = 250.1131. 40 и 25 деталей. 1132. 40 р. 1133. 39 и 30 деталей.
Задачи повышенной трудности
И34« Решивший 10 задач получает 20 очков, решивший 9 задач — 17 очков и т. д. Решивший 3 задачи или меньше получает 0 очков. Число возможных вариантов набранных очков (20; 17; 14; 11; 8; 5; 2; 0) равно 8. Следовательно, из 9 учащихся по крайней мере 2 получили одинаковое число очков. 1135. Смогут, если половину расстояния каждый из них проедет на велосипеде, а другую пройдет пешком. 1136. Ошибся А. Первым был Б. 1138. а) 33 шарика; б) 2 4 шарика. 1139. Число, не превышающее 1000, заключено между числами 2° и 210, т. е. между 1 и 1024. Вопросы следует задавать так, чтобы после каждого ответа промежуток между числами уменьшался вдвое. Например, первый вопрос: «Больше ли задуманное число, чем 512?* (так как 512 = 2s). 1140. Брату 9 лет, сестре 5 лет. 1141. 520, 572 и 440 орехов. 1142. 96, 120 и 168.1143. 36 и 48.1145. 12; 24; 36; 48. 1146. Делится. 1148. 77・ 1150. 7681. 1151. 142 857. 1152. 15. 1153. 729. 1157. 72. 1158. Не может. 11в0. Первая из дробей больше, чем вторая. 1161. а = 4, Ь = 10. 1162. 51; 62; 73; 84; 95. 1163. 24 и 144, или 48 и 120, или 72 и 96. 1166. 121.1167. р = 3, q = 2. 1168. а), б) Не может. 1169. 264-1. 1177. %= — 4, у = 1, z = 5. 1178. х=3, у = 2. 1179. 12 и 3 0 км/ч. 1180. 6 монет 2 0-копеечных и 2 монеты 15-копеечные. 1181. 47. 1182. 96 и 60 л. 1183. 63 и 84 л. 1184. 45 и 75 км/ч. 1185. 18 и 42 км/ч. 1186. 35 и 15 км/ч. 1187. 4,5 и 16,5 км/ч. 118s. Примерно на 114 кг. 1189. В 3 раза. 1191. На 32%. 1192. 48 км/ч. 1193. 30 и 18. 1200. (8;2).
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА Q ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Выражения 3
Числовые выражения —
Выражения с переменными 6
Формулы 9
Преобразование выражении 11
Свойства действий над числами —
Тождественные преобразования выражений .14
Доказательство тождеств 18
§ 3. Уравнения с одной переменной 20
Уравнение и его корниJ
Линейное уравнение с одной переменной .22
Решение задач с помощью уравнении 26
Дополнител ьн ые упражнения к главе / • • •29
№АВА№АВАIIIIФУНКЦИИФУНКЦИИ
№АВА
№АВА
II
II
ФУНКЦИИ
ФУНКЦИИ
§ 4. Пропорциональные и обратно пропорциональные пере-
менные 35
Пропорхщональные переменные —
Деление на части, пропорциональные данным числам 38
Обратно пропорциональные переменные•41
§ 5・ Функции и их графики 43
Что такое функция —
График функции 47
График прямой пропорциональности54
ГЛАВАГЛАВАГЛАВАГЛАВАГЛАВАГЛАВА§ в. Линейная функция60Определение линейной функции —График линейной функции62Взаимное расположение графиков линейных функции 66Дополнительные упражнения к главе //....70§ в. Линейная функция60Определение линейной функции —График линейной функции62Взаимное расположение графиков линейных функции 66Дополнительные упражнения к главе //....70шшСТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМСТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМСтепень и ее свойства . 78Определение степени с натуральным показателем —Умножение и деление степеней82Возведение в степень произведения и степени ・ ・86Одночлены 89Одночлениегостандартный вид —Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень 9】Функция у =*2иеесвойства 9124・ Функции у = #2 и у = %з и их графики •一Таблица квадратов 9'Абсолютная погрешность10Дополнительные упражнения к главе Ill . . •10Степень и ее свойства . 78Определение степени с натуральным показателем —Умножение и деление степеней82Возведение в степень произведения и степени ・ ・86Одночлены 89Одночлениегостандартный вид —Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень 9】Функция у =*2иеесвойства 9124・ Функции у = #2 и у = %з и их графики •一Таблица квадратов 9'Абсолютная погрешность10Дополнительные упражнения к главе Ill . . •10ЖЖСумма и разность многочленов11:Многочлен и его стандартный вид -Сложение и вычитание многочленов . ・，・ • ・11Произведение одночлена и многочленаИУмножение одночлена на многочлен-Вынесение общего множителя за скобки .12Произведение многочленовЦУмножение многочлена на многочлен ...-Разложение многочлена на множители способом группировки1^Дополнительные упражнения к главе /V . . .1；Сумма и разность многочленов11:Многочлен и его стандартный вид -Сложение и вычитание многочленов . ・，・ • ・11Произведение одночлена и многочленаИУмножение одночлена на многочлен-Вынесение общего множителя за скобки .12Произведение многочленовЦУмножение многочлена на многочлен ...-Разложение многочлена на множители способом группировки1^Дополнительные упражнения к главе /V . . .1；VVФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
ГЛАВА
ГЛАВА
ГЛАВА
ГЛАВА
ГЛАВА
ГЛАВА
§ в. Линейная функция60
Определение линейной функции —
График линейной функции62
Взаимное расположение графиков линейных функции 66
Дополнительные упражнения к главе //....70
§ в. Линейная функция60
Определение линейной функции —
График линейной функции62
Взаимное расположение графиков линейных функции 66
Дополнительные упражнения к главе //....70
ш
ш
СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Степень и ее свойства . 78
Определение степени с натуральным показателем —
Умножение и деление степеней82
Возведение в степень произведения и степени ・ ・86
Одночлены 89
Одночлениегостандартный вид —
Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень 9】
Функция у =*2иеесвойства 91
24・ Функции у = #2 и у = %з и их графики •一
Таблица квадратов 9'
Абсолютная погрешность10
Дополнительные упражнения к главе Ill . . •10
Степень и ее свойства . 78
Определение степени с натуральным показателем —
Умножение и деление степеней82
Возведение в степень произведения и степени ・ ・86
Одночлены 89
Одночлениегостандартный вид —
Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень 9】
Функция у =*2иеесвойства 91
24・ Функции у = #2 и у = %з и их графики •一
Таблица квадратов 9'
Абсолютная погрешность10
Дополнительные упражнения к главе Ill . . •10
Ж
Ж
Сумма и разность многочленов11:
Многочлен и его стандартный вид -
Сложение и вычитание многочленов . ・，・ • ・11
Произведение одночлена и многочленаИ
Умножение одночлена на многочлен-
Вынесение общего множителя за скобки .12
Произведение многочленовЦ
Умножение многочлена на многочлен ...-
Разложение многочлена на множители способом группировки1^
Дополнительные упражнения к главе /V . . .1；
Сумма и разность многочленов11:
Многочлен и его стандартный вид -
Сложение и вычитание многочленов . ・，・ • ・11
Произведение одночлена и многочленаИ
Умножение одночлена на многочлен-
Вынесение общего множителя за скобки .12
Произведение многочленовЦ
Умножение многочлена на многочлен ...-
Разложение многочлена на множители способом группировки1^
Дополнительные упражнения к главе /V . . .1；
V
V
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
§ 13. Разность квадратов1
Умножение разности двух выражений на их сумму
Разложение разности квадратов на множители ・ ・1
§ 14. Квадрат суммы и квадрат разности ・ ・ ・ . . ・147
Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений -
Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы иквадратаразности152
§ 15. Сумма и разностькубов154
Формулы сокращенного умножения, приводящие к сумме и разности кубов —
Разложение на множители суммы и разности кубов 156
Применение различных способов разложения на множители158
Дополнительные упражнения к главе V . . .161
ГЛАВАГЛАВАVIVIСИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙСИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛАВА
ГЛАВА
VI
VI
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 16. Уравнения с двумя переменными и их системы ・ . .167
Уравнение с двумя переменными и его график ・ ・—
Линейные уравнения с двумя переменными ・ .171
Системы уравнений с двумя переменными ・・ ・173
§ 17. Решение систем линейных уравнении177
Способ подстановки —
Способ сложения181
Решение задач с помощью систем уравнений ・ ・ ・185
Дополнительные упражнения к главе VI189
Задачи повышенной трудности195
Сведения из курса математики IV—V классов202
Таблица квадратов 208
Единицы величин210
Предметный указатель211
213213Ответы
213
213
Сведши о полвзавашпЕ учебником
№
Фамилия и. имя ученика
Учебный год
Состояние учебника
В начале года
В конце года
1
2
3
4
5
Юрий Николаевич Макарычев, Нора Григорьевна Мммдюк, Константин Соломонович Муравин,>
Константин Иваневт Мешков, Светлана Борисовна Суворова
АЛГЕБРА
Учебник для 6-го класса средней школы
Зав. редакцией Р・ 4. Хабиб
Редактор И. И. Никитина'
Мл. редакторы Л. И, Заседателева, Н. Т. Протасова
Художник В. Л. Николаев
Художественный редактор Е. Н. Карасикz .
Технические редакторы И. В. Квасницксм, Е. В. Богданова Корректоры О. С. Захарова, Г. С. Царикова
ИБ № 8414
Сдано в набор 01.08Л4. Подписано к печати 04.12.84. Бумага кн.*журнальная. Гарнжтура школьная. Печать высокая. Усл. neq. л. 14+форз. 0,25. Усл. кр-отт. 14,69. Уч.*изд. л. 10,81 + 0,45 фора. Тираж 3 570 000 вкз. Заказ 890. .Цена 2 5 коп. Ордена Трудового Красного Знаменж иадательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, поля- графп и киижной торговли. 129846, Москва, 8*й проезд Марьиной рощи, 41. Саратовский ордева Трудового Краевого Знамевн полиграфический комбинат Росглавполнграфпрома Государственвого комитета РСФСР ао делам издательств, полиграфии и кницсвой торговля, ффатов, ул. Чернышевского» 59.
ТАБЛИЦА КВАДРАТОВнатуральных чисел отЮ ДО 99
ДЕСЯТКИ
Е Д И 1
4 И 1
1 ы
Q
1
2
3
4
炉
6
7
8
9
1
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
2
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
3
900
961
1024
1089
1156
1225
1296
1369
1444
1521
4
1600
1681
1764
1849
1936
2025
2116
2209
2304
2401
5
2500
2601
2704
2809
2916
3025
3136
3249
3364
3481
.6
3600
3721
3844
3969
4096
4225
4356
4489
4624
4761
7
4900
5041
5184
5329
5476
5625
5776
5929
6084
6241
8
6400
限1
8724
6889
7056
7225
7396
7569
7744
7921
9
8100
8281
8464
8649
8836
9025
9216
9409
9604
9801
УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТПРЯМОЙ
25 к.