Ж.-П. Кахан

Абсолютно сходящиесяряды Фурье

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgeblete

Jean-Pierre Kahane

SERIES DE FOURIER ABSOLUMENT CONVERGENTES

Springer-Verlag Berlin • Heidelberg • New York 1970

Ж.-П. КАХАН

Абсолютно сходящиесяряды Фурье

Перевод с французскогоБ. В. Панникова

Под редакциейА. М. Олевского

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

МОСКВА 1976

УДК 517.52

В книге известного французского математика рассматривается важный раздел теории тригонометрических рядов, имеющий широкие связи с другими областями математики. В ней наряду с классической частью теории содержится обзор последних результатов, многие из которых получены самим автором.

Теория абсолютно сходящихся тригонометрических рядов сейчас интенсивно развивается, и в ней есть много нерешенных задач. Выпуск книги Ж.-П. Кахана, рассчитанной на студентов старших курсов, аспирантов и математиков, работающих в различных областях математического анализа, будет стимулировать интерес к этой важной теории.

., 20203-007 „ 4QК 041(01)-76 7., 20203-007 „ 4QК 041(01)-76 7Редакция литературы по математическим наукам

., 20203-007 „ 4Q

К 041(01)-76 7

., 20203-007 „ 4Q

К 041(01)-76 7

© Перевод на русский язык, «Мир>, 1976

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА

Теория абсолютно сходящихся рядов Фурье является одним из важных разделов анализа, имеющих богатые связи с. другими областями математики. Классический аспект теории состоит в исследовании условий гладкости функции, обеспечивающих абсолютную сходимость ряда из ее коэффициентов Фурье (принадлежность классу А), и широко освещен в известных монографиях А. Зигмунда и Н. К. Бари; в настоящее время эта проблематика близка к завершению.

4 В последние два десятилетия получен ряд новых значительных результатов относительно свойств указанного класса. Использованные при этом- методы характеризуются тесным взаимопроникновением идей метрической теории функций, функционального анализа, теории вероятностей и т. д.

Так, оказалось, что в вопросе о продолжении непрерывной функции с заданного множества до функции, принадлежащей* классу А (множества, для которых указанная задача всегда разрешима, называются множествами Хелсона), существенную роль играет арифметическая природа множества (гл. 4). Это относится и к другим специальным классам замкнутых множеств меры нуль (множества Кронекера, Дедекинда и т. д.), возникающим в теории абсолютно сходящихся рядов Фурье (гл. 7).

Далее, класс А образует банахову алгебру. Многие задачи, естественно возникающие в рамках теории функций, допускают поэтому функционально-аналитическую трактовку. Например, вопрос об описании автоморфизмов алгебры А эквивалентен вопросу о заменах переменной, не нарушающих абсолютной сходимости рядов Фурье.* Один из интересных результатов теории состоит в том, что лишь линейная замена является допустимой в этом смысле (гл. 6).

Теория банаховых алгебр приводит и к новым постановкам некоторых задач. Например, задача об описании замкнутых идеалов алгебры А (так называемая проблема спектрального синтеза) приводит к вопросу о возможности аппроксимации в пространстве А заданной функции посредством

функций, аннулирующихся в окрестности множества ее нулей. Оказывается, что это не всегда можно сделать. Подробное обсуждение этой задачи содержится в гл. 5.

Наконец^ в теории абсолютно сходящихся рядов Фурье находят приложение теоретико-вероятностные методы (гл. 3 и 5), используемые при построении «типичных» контрпримеров.

Эти и целый ряд других близких проблем и составляют предмет монографии Кахана. В ней наряду с классической частью теории (гл. 2) изложены результаты последних лет,, в том числе и самого автора, которые до сих пор были рассеяны по многочисленной журнальной литературе.

При переводе, в частности, в примечаниях переводчика, учтены исправления, а также дополнения к списку литературы, любезно присланные автором книги. Стиль книги лаконичен, однако постановки проблем и основные идеи изложены достаточно подробно.

Написанная известным исследователем в области анализа Фурье на основе единого функционально-аналитического подхода к многообразным вопросам теории, эта книга, как мы надеемся, вызовет интерес у широкого круга математиков.

А. М. Олевский

ВВЕДЕНИЕ

Эта книга посвящена изучению функций, принадлежащих классу Л, т. е. функций, непрерывных на окружности, ряды Фурье которых абсолютно сходятся.

Принадлежность классу Л является локальным свойством функции. Дескриптивная часть теории состоит в сравнении этого локального свойства с другими свойствами (например, модулем непрерывности). Этот раздел теории возник сравнительно давно: он восходит к С. Бернштейну. Его последние результаты относятся главным образом к сужениям функций класса Л на замкнутые подмножества Е окружности; эти сужения составляют класс функций, который мы обозначаем через Л (£). Для некоторых замкнутых подмножеств Е окружности любая непрерывная на Е функция принадлежит классу Л (Е); в этом случае множество Е называют множеством Хелсона. Вообще говоря, чем «больше» множество Е, тем более жесткие условия требуется наложить на модуль непрерывности функции, определенной на Е, чтобы она заведомо принадлежала классу Л(Е); тем не менее вопрос далеко не прост, так как здесь большую роль играют арифметические свойства множества Е.

Класс Л обладает структурой банаховой алгебры (относительно нормы, равной сумме абсолютных величин коэффициентов Фурье). Этот факт, открытый Винером, порождает большое число проблем. Он также наводит на мысль представлять определенный выше класс Л (£) в качестве факторалгебры алгебры А:

A^-A/Ie,

где 1е—замкнутый идеал алгебры А, состоящий из тех функций, принадлежащих А, которые обращаются в нуль на множестве Е. В дальнейшем будут изучаться следующие проблемы:

Какие эндоморфизмы имеются в алгебре Л?

Какие функции действуют в классе Л, т. е. функции Р (определенные, например, на интервале / вещественнрй оси), такие, что для любой функции /, принадлежащей классу А и принимающей значения в /, функция Р$ также принадлежит классу Л?

Каковы замкнутые идеалы алгебры Л?

Каковы замкнутые подалгебры алгебры Л?

Пусть дана функция f, принадлежащая классу Д; каковы функции F, определенные на множестве значений /, для которых F(heA>

Проблемы 1 и 2 были сформулированы Полем Леви в 1934 г. Они были полностью решены в 1953 г. (Бёрлинг и Хелсон) и 1958 г. (Кацнельсон). Частным случаем проблемы 3 является проблема, которую по причинам исторического характера называют ^проблемой спектрального синтеза: все ли замкнутые идеалы алгебры А исчерпываются идеалами вида /в? Отрицательный ответ на этот вопрос был получен в 1959 г. Малья- веном. Проблемы 4 и 5 взаимосвязаны. Проблема 5, как мы ее сформулировали, была поставлена в 1959 г. Мальявеном под названием «индивидуального символического исчисления», но уже в 1939 г. Марцинкевич работал в этом направлении. Несмотря на то что связь проблем 5 и 2 очевидна, лишь недавно, в 1963—1967 гг., стало ясно, что индивидуальное символическое исчисление позволяет дать новое доказательство теоремы Кацнельсона.

Все перечисленные проблемы, сформулированные для класса А, допускают аналогичную формулировку для классов А (£). Более того, оказывается, что рассмотрение этих проблем (за исключением первой) для некоторых классов А (Е) является наилучшим подходом к их изучению для класса А. Так, метод тензорных алгебр, введенный Варопулосом в 1965—1967 гг., на самом деле состоит в отождествлении некоторых алгебр А (£) с алгеброй V (D) функций, определенных на квадрате D2 компактной группы D = { —1, 1}" (в которой сложение определено как умножение координат). В свою очередь некоторая замкнутая подалгебра алгебры V (D) может быть отождествлена с A (D), алгеброй абсолютно сходящихся рядов Фурье на группе D (а не на окружности!).

Алгебру A (D) можно также интерпретировать как алгебру абсолютно сходящихся рядов Фурье—Уолша. Учитывая простоту и значение этой интерпретации в теории Варопулоса, мы сочли необходимым дать ее краткое изложение.

Многие проблемы, касающиеся классов А (Е), еще не решены. В частности, мало известно об изоморфизмах между двумя алгебрами А (Е), и А (Е"). Следуя методу Ива Мейера [2], мы приведем нетривиальные примеры таких изоморфизмов.

Наконец, мы остановимся на связи между принадлежностью классу А и степенью лакунарности рядов Фурье и покажем, в частности, что для рядов Фурье с малыми лакунами из принадлежности классу А на интервале (зависящем от лакун) следует принадлежность классу А на окружности.

В последней главе собраны классические и более новые результаты, об абсолютно сходящихся рядах Тейлора.

Глава I

РЯДЫ ФУРЬЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

В этой главе мы введем обозначения, которыми будем пользоваться на протяжении всей книги. Не претендуя на изложение всех важнейших результатов о рядах Фурье непрерывных функций, мы изложим вкратце некоторые из них.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

^ — вещественная прямая, Т —окружность (аддитивная грурпа вещественных чисел по модулю 2л), Z — группа целых чисел, С—поле комплексных чисел.

С (Т) — банахово пространство непрерывных комплексных функций на окружности с нормой

||/||с(Т)= sup 1/(01-t ет

Для всех f из С (Т), так же как для всех суммируемых /, положим

cn = M/) = f(n) = p(0e-te^(neZ).

т

Эти числа называют коэффициентами Фурье функции / и пишут

У cneinf;

пег

ряд в правой части называется рядом Фурье функции /. Сверткой функций / и g называется функция

Q*gUf) = ^f(t-s)g^^

(если не оговорено противное, то интеграл всегда будет браться по Т). Нетрудно проверить, что

M*8)=M)c»(g).

НЕКОТОРЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ

Тригонометрическим полиномом называется конечная сумма Р (/) = 2 а«^"‘ (ап = 0 для достаточно больших |/г|).

Нетрудно проверить, что сл(Р) = «„. Приведем примеры тригонометрических полиномов.

Ядро Дирихле:

«Сумма Фурье» функции f:

N

SN(t) = ^,cn(f)e^=(f^DN)(t).

—N

Ядро Фейера:

N

Kn (0 = 2 ( —тг)еМ = У ^+^ + • • •+D^ ^ =

Wsin-£

«Сумма Фейера» функции f:

Упомянем еще об одном полиноме: Nt

Гк№ = 2"^ = И ^ (s) - П ^-* 1о

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ

Сформулируем несколько основных теорем о сходимости рядов Фурье непрерывных функций.

(Фейер). Последовательность о к сходится к функции f по норме С (Т) (N-t-ooy ®.

Классическое доказательство показывает, что если В -— банахово пространство суммируемых на Т функций с нормой, инвариантной относительно сдвига (Ц//||в = |1Лв> рДе ft (s) = f (s — 0)» причем операция сдвига непрерывна (т. е. \\ft- /|| ->0 при t->-6y то aN стремится к f в В для любой f^B (Кацнельсон).

(Дю Буа Реймон). Существует такая непрерывная функция f, для которой последовательность Sn (0) расходится.

Доказательство. Допустим противное; тогда по теореме Банаха — Штейнгауза

sudh^mmN - ИЛс (Т)sudh^mmN - ИЛс (Т)оо.оо.

sudh^mm

N - ИЛс (Т)

sudh^mm

N - ИЛс (Т)

оо.

оо.

Между тем для функции f (/) = IFN (t) etNt имеет место равенство (f*DN) (0) =— т(^ ■^Т^"",+ лг)’ в то вРемя как нормы "^Цс(т). как мы видели раньше, ограничены в совокупности. ■

(Карлесон [2]). Последовательность Sn^) сходится к функции f (t) почти всюду. ♦

Существующее на сегодняшний день доказательство теоремы Карлесона является чрезвычайно трудным (Карлесон [2], Мате fl], Бийяр [1], Хант [I]1). Изложение доказательства, данное Карлесоном, относится к любым функциям, суммируемым с квадратом. Результат остается справедливым, если заменить С (Т) на LP(T) (р>1), и, более того, справедливо неравенство '

■ ^upSN^Pdt^Kp^HtWdt

(Хант [1]). Добавим, что для любого множества Е меры нуль на Т существует такая непрерывная функция f, ряд Фурье которой расходится на Е (Кахан и Кацнельсон [3]).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КЛАССА U (Т)

Как приложение теоремы 1 получаем, что если функция /еС(Т) и последовательность SN имеет предел в С(Т), то этим пределом является функция f. В этом случае пишут feU(Ty Нетрудно проверить, что U(Т) является банаховым

9 См. также Черных р], Феферман р].—Прим, перев.

пространством с нормой

II / ||и <т) = sup || SN ||с (Т).

Теорема 2 показывает, что t7 (Т) =# С (Т).'Без труда проверяется, что если тригонометрический ряд равномерно сходится (т. е. последовательность его симметричных частных сумм N

^апеш равномерно сходится), то этот ряд является рядом —N

Фурье своей суммы. Таким образом, U (Т) является множеством сумм равномерно сходящихся, тригонометрических рядов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КЛАССА А (Т)

Обозначим через А (Т) множество всех функций /еС(Т), ряды Фурье которых абсолютно сходятся. Легко проверить, что класс А (Т) является множеством сумм абсолютно сходящихся тригонометрических рядов У, anelnt, У, |а„|<оо. Это neZneZ

банахово пространство с нормой

И||л(Т)= S 1^01-nez

Включение А (Т) с U (Т) очевидно. Неравенство А (Т) 5^ U (Т) можно установить с помощью следующего классического предложения:

Если невозрастающая последовательность гп стремится к нулю,

СО

то ряд ^^п-^^- равномерно сходится. 1

Доказательство вытекает из формулы

n

2 ^n ^п” ~“ е^+а) Fm*i + (^31+2 — еж+з) F м^ + • • •

м +1

.. . + (8jV-l ” ^n) Fn-1 + ^nFn " ^АшЛи

и того факта, что нормы ЦГ^Пст ограничены в совокупности (стр. 10). ■

ОО

Следовательно, сумма ^s^-^^- пРинаДлежит прострад- ।

ОО

ству U (Т). Но она принадлежит А (Т) лишь в случае27<- 1

НЕСКОЛЬКО РЕЗУЛЬТАТОВ ОТНОСИТЕЛЬНО КЛАССА U (Т)

Для любой функции f gC (Т) существует гомеоморфизм ф окружности Т, такой, что /(ф)еС7(Т) (Бор [1]; см. также Салем [4]). •

Пространство U (Т) не является алгеброй. Более того, существуют функции g^U (Т) и f е А (Т), такие, что fg ^U (Т) (Салем [3]).'

Докажем это утверждение. Положим

11

Тогда

2N

SNVg^e^ = -^Nt ^^

1

и значит нормы |lg(05<w llvm не ограничены в совокупности. Если же для любой feA(J) мы имели бы fgeU(T), т. е.

SUp||Sjv ^) j|c(T) <оо,N

то тогда по теореме Банаха — Штейнгауза мы имели бы неравенство

II fg Цу (т> = sup || SN (fg) ||с (т) < С || f ||д (t).

Полагая f(t)—eiNt, мы приходим к противоречию; тем самым теорема Салема доказана. ■

Пусть заданы функция Ф, определенная на подмножестве В комплексной плоскости С, и некоторый класс непрерывных функций. Говорят, что Ф действует в данном классе, если для любой функции / из этого класса со значениями в Е суперпозиция Ф»/ (которая обозначается также через Ф(/)) является функцией того же самого класса. Из теоремы Салема следует, что функция Ф(х) = № не действует в U (Т). Этот результат может быть усилен:

Среди функций, определенных на интервале вещественной оси, только линейные функции действуют в U (Т) (Кахан и Кацнельсон [2]). •

Укажем, наконец, любопытный результат.

Если ф — аналитический гомеоморфизм окружности Т и feA(T), то /»фг1/(Т) (Альпар [2], [3]; см. также Халас И1). •

ПЕРВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОТНОСИТЕЛЬНО КЛАССА А (Т)

В отличие от U (Т) для А (Т) справедлива следующая важная теорема Винера:

Класс А (Т) является банаховой коммутативной унитарной алгеброй с обычной операцией умножения и нормой Н^Цд (т>-

Доказательство. Мы уже знаем, что Л (Т) — банахово пространство. Так как

Cn^g)= 2 Ст^Ср^,

т-\-р = п

ТО

UgUm-I^nW^ 5 М)ПМ£)М1Лд(т)Шл(т). пт, р

Поскольку fg = gf и Щ|Л(Т)=1, то наше предложение.доказано. ■

Эта структура банаховой алгебры приводит к проблемам, которые мы отмечали во введении. В качестве примера посмотрим, как применяется теория Гельфанда.

Найдем непрерывные гомоморфизмы алгебры А (Т) в поле С (будем говорить кратко: гомоморфизмы). Известно, что для такого гомоморфизма % справедливо неравенство | х (/) | =5 ^11/1Ь(Т). Тогда IxW |=51, |х(^"“)1^1 и, кроме того, X (eif) х (e*,z) = х (1) = 1 • Таким образом, существует точка /0 е Т, такая, что х(еи) = е11». Тогда

х (S ^”0=5 cn®lnte»

т. е. x(f) = f(M- Обратно, для любого /оеТ отображение t~*-fVo) является гомоморфизмом и Две различные точки окружности соответствуют различным гомоморфизмам.

Максимальные идеалы алгебры А (Т) являются ядрами гомоморфизмов. Можно отождествить окружность Т с пространством максимальных идеалов А (Т) (отождествляя t0 с множеством функций /, обращающихся в нуль в точке /0)- В этом случае любая функция алгебры А (Т) совпадает со * своим гельфандовским представлением. Множество значений, которое принимает функция / на окружности Т, т. е. /(Т), является ее спектром. В качестве приложения получаем следующий важный результат, который далее мы докажем независимо:

Аналитические функции действуют в алгебре А (Т) (Винер — Леви).

Частный случай (Винер): если f е Л (Т) и функция / (/) нигде не обращается в нуль, то l/f е А (Т). Это важный результат с точки зрения тауберовых теорем.

Отметим, что неизвестно, справедлив ли в случае А (Т) аналог теоремы Бора для класса U (Т); эта пока не решенная проблема была поставлена Лузиным (см. Бари [1, стр. 168]).

ДРУГИЕ КЛАССЫ

Разумеете^, что среди классов непрерывных функций, которые можно определить, опираясь на ряды Фурье, интерес представляют не только А (Т) и U (Т).

Укажем некоторые из этих классов.

С+(Т), Л+(Т), (/+(Т) —соответственно подклассы классов С(Т), Л (Т), ^(Т), состоящие из функций f, у которых коэффициенты Фурье сл(/) = 0 для п<0.

Сд (Т), Лд (Т), Uл (Т)—соответственно подклассы классов С (Т), А (Т), U (Т), состоящие из функций, . у которых коэффициенты Фурье сл(/) = 0 для п^Л, где Л —некоторое заданное подмножество Z, а Л (Т; to) — множество тех / из С(Т), для которых

У, |с„(/)|(0(п)<оо,пег

где го — фиксированная функция, определенная на Z, со значениями в [1, оо).

ЛР(Т)—множество функций / из С(Т), для которых

5 |с„(/)|р<оо,пег

где 0<р< 1.

В дальнейшем нам встретятся некоторые из них. Легко проверить, что С+(Т) и Л+(Т) являются банаховыми алгебрами, равно как и Л (Т; ю) при условии со (/г4~/и) ^ю(п) со (т). Класс ЛР(Т) также является алгеброй, но не банаховой. Пространство <7+(Т) вообще не является алгеброй (Кахан и Кацнельсон [2]). Классы Сд (Т) и Лд (Т) будут изучаться в гл. X, а Л+(Т) — в гл. XI,

Глава IIДЕСКРИПТИВНАЯ

В этой главе собраны необходимые и достаточные условия принадлежности функций классу Л (Т), примеры и контрпримеры. Если не оговорено противное, то начиная с этого места мы всюду будем писать Л вместо Л (Т).

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Начнем с нескольких необходимых и достаточных условий.

Любая непрерывная на окружности функция с неотрицательными коэффициентами Фурье принадлежит классу Л. Любая функция класса Л является линейной комбинацией непрерывных функций из С (Т) с неотрицательными коэффициентами Фурье.

Вторая часть утверждения очевидна. Для доказательства первой части используем теорему Фейера (стр. 11). По этой теореме для любой функции / из класса С (Т)

N

— N

если, кроме того, сл(/)^0, то

nez

Функцию из С (Т) с неотрицательными коэффициентами Фурье называют функцией положительного типа. Существуют интересные характеристики функций положительного' типа (Бохнер, Шёнберг; см. Рудин [4]). Однако это редко используется при изучении класса А.

Приведем следствие:

Любая четная функция из класса С (Т), выпуклая на [0, 2л], принадлежит классу Л.

Действительно, каждая такая функция является суммой некоторой константы и функции положительного типа. Это можно проверить следующим образом. Пусть для 0 <8^ л функция Де из С(Т) определяется. следующей формулой:

Дв (Г) = sup ^0, 1 — Ц^-j для | /1 ^ л.

Легко подсчитать, что

с„(Де)=2^|^).^о.

Пусть теперь dpi — ограниченная и положительная на (0, л] мера и функция f определена равенством

/ (0 = $ Л8 (О ^ О5)-о

Снова имеем cn(f)^O. Выбирая подходящим образом меру dp, можно получить любую четную, положительную и выпуклую на [0, 2л] функцию из С(Т). ■

Разумеется, результат остается справедливым при замене выпуклой функции вогнутой.

УСЛОВИЕ РИССА

Свертка двух функций из L? (Т) принадлежит классу А, и любая функция из класса А является сверткой двух функций. из Z?(T) (Ф. Рисе).

Если функции / и g принадлежат классу L2 (Т), то их свертка

вообще говоря, определена лишь почти всюду. Но так как (hg^n^'f^gtn), то

SI A) to I - (21 f го Г 2 li го \Т < ”-

и, таким образом, свертку f*g можно определить как функцию класса А. В этом смысл первого утверждения. Второе немедленно получается, если записать / (л) =(й (л))2, откуда . следует: f = h*h; ясно, что функцию /, принадлежащую

классу А, вообще говоря, многими способами можно представить как свертку функции К из £2(Т) с самой собой. ■

Насколько нам известно, первое интересное применение этой теоремы получено в теории Варопулоса (см. гл. VIII).

УСЛОВИЕ СТЕЧКИНА

Для любой функции f из La(T) и любого целого n^Q положим

en^ = ^U-P\\L*m.

где нижняя грань берется по всем тригонометрическим полиномам,укоторыхне болеечем пкоэффициентовотличноот

(П\

р (0 — У, Ym^M-Тогда 2I f (п)| < совтомитолько

т=1/nEZ

оо

в том случае, если У^ге„(/)<оо (Стечкин [1]). п

Действительно, пусть аг, а^, ..., ап,... — последовательность модулей коэффициентов Фурье функции f, расположенных в порядке невозрастания. Тогда

ОО

У lh»)l= 5 ап*nezл=1

/оо \ 1/2е„ = е„(/)=2 “ml .

\т = п + 1/

Ряды 2й" и ^2па2п, как и ряды ^^е„ и 22"/2е2"» являются сходящимися или расходящимися одновременно. Так как

2"/2«2 [П+1 ^ в2«^2"/2а2П4-2("+о/2й2 л+1+...

(второе неравенство следует из неравенства треугольника), то ряды 22"й2” и У 2п/2е2п также сходятся или расходятся 71=1п=1

одновременно, что и требовалось доказать. ■

Как следствие получаем теорему С. Бернштейна:

Для любой функции f из С (Т) и любого целого п^О положим

где нижняя грань берется по всем тригонометрическим полино - мам порядка ^п [P(t) = 2?me"i- Тогда если ^-^Еп^-Ссо, \ -п /Т^я

Хронологически теорема Бернштейна предшествовала критерию Стечкина,

ЛОКАЛЬНОЕ СВОЙСТВО. ЛОКАЛЬНАЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТЬКЛАССАМ А (Т), A (R), В (R)

Для функций из С (Т) принадлежность классу Л является локальным свойством: если f е С (Т) и для каждого а. из Т существует функция ga из класса А, совпадающая с функцией f в некоторой окрестности точки а, то f ^ А (Винер).

Действительно, пусть Уа — открытый интервал с центром в точке а, на котором функции f и ga совпадают. Так как окружность Т является компактом, то существует конечное множество (а), такое, что Т= [J Уа. Пусть фо — такая бес- ае(а)

конечно дифференцируемая функция, что фа > 0 на Уа и фа = 0 на T\VO. Тогда Ф= 2 Та есть бесконечно диффе- а с (а)

ренцируемая и строго положительная на Т функция. Положим фа = Ф^фа. Имеем 2 Фа = U Фа/= Фа£а» Причем функция фа ас (а)

также бесконечно дифференцируема. Следовательно,

f= 5 W= 5 Фа^еЛ,ас (а) ас (а)

так как бесконечно дифференцируемые функции принадлежат классу А и так как класс А является алгеброй. ■

Эта теорема принадлежит к числу основных. Чаще всего мы будем уделять внимание именно локальным свойствам функций.

Обозначим через A (R) класс преобразований Фурье функций, суммируемых на прямой:

/ g Л (R) <=> / (Z) = J ewf (и) du, J|/ (ы) | du < оо,

RR

и через В (R) класс преобразований Фурье —Стильтьеса мер, ограниченных на прямой:

geB^og^=\ emdp(u), J | dp (и) | < co. RR

Нетрудно проверить, что класс B(R) является алгеброй и что класс A (R) является идеалом алгебры В (R). Условимся говорить, что функция f, определенная на прямой R (или на фиксированном подмножестве из R), локально принадлежит некоторому классу, если для каждого а из R (соответственно из данного подмножества прямой R) существует функция ga, принадлежащая этому классу и совпадающая с f в некоторой окрестности точки а. Рассматривая А (Т) как класс функций,

принадлежащих классу A (R) и 2л-периодических на прямой, получаем следующую теорему, также принадлежащую Винеру:

Локальная принадлежность функции f классу А (Т) эквива- ~ лентна локальной принадлежности классу A (R) или В (R).

Действительно, если / локально принадлежит А (Т), то она локально принадлежит B(R), поскольку А (Т) с: В (R) (достаточно положить dp= 2 сп6п> где 6„ — мера Дирака, сосредо- nez точенная в точке п).

Если же / локально принадлежит классу В (R), определим для каждого а бесконечно дифференцируемую функцию ф0 с компактным носителем, равную 1 в окрестности а, и функцию ga из В (R), равную f в окрестности а. Легко проверить, что фаеД(Й); следовательно, фде Л(К), а потому f локально принадлежит A (R).

Наконец, если / локально принадлежит A(R), то пусть, как и выше, функция фо равна нулю вне некоторого интервала / длины <2л, равна 1 в некоторой окрестности а, и пусть функция ga принадлежит A (R) и совпадает с f в окрестности а. Проверим, что 2л-периодическое продолжение функции фа£а с интервала / принадлежит А (Т). Из этого вытекает локальная принадлежность функции f классу А (Т).

Положим h = фа^а- Имеем h е A (R); пусть

1

h (t) = $ eiu‘h (и) du, J У | h (v + n) | dy<_ оо.

ROnsZ

Тогда для некоторого значения у имеем У | й (и + п) | <оо. ml

В то же время

А -(0-+ п) =§ МО e-t,°£e'tn< dt.

Таким образом, 2л-периодическое продолжение функции h(t)e~ivt с интервала / принадлежит А (Т). Умножая ее на 2л- периодическую бесконечно дифференцируемую функцию, равную ^ на /, мы видим, что 2л-периодическое продолжение функции h с интервала / принадлежит А (Т). ■

Нам будет удобно обозначать класс функций, определенных на R и локально принадлежащих А, через Д10С.

КЛАССЫ Аф, У, ^

Теперь нам бы хотелось сравнить локальную принадлежность функции классу А с другими ее локальными свойствами.

Пусть задана такая функция ф, определенная и возрастающая на [0, оо), что ф(0) = 0 и ф (х + У) ^ф (*) + ф(у)- Обозначим через ЛФ(Т) или просто через Лф класс принадлежащих пространству С (Т) функций f с модулем непрерывности

<oz(6)= sup

ieT, гет, |/-z'K6 удовлетворяющим условию

<о,(6) = 0(ф(6)) (6->0).

Определим аналогичным образом класс Лф (Е), заменяя Т замкнутым подмножеством Е окружности Т.

Далее мы убедимся, что можно охарактеризовать те функции ф, для которых АфсЛ, а также для некоторых множеств Е те функции ф, для которых Лф (f) с: А (Е).

Обозначим через ^(Т) или просто через ^ класс функций с ограниченной вариацией на Т. Исследуем также проблему включения ‘^ПЛфС А.

Заметим, что ни для какой функции ф' не выполняется соотношение А П УсЛф. Этот факт следует из утверждения, приведенного на стр. 17, поскольку для любой функции <р существует четная и выпуклая на [0, 2л] функция, не принадлежащая Лф.

В то же время если обозначить через |Д°+ класс функций, возрастающих на прямой, а через Афс класс функций, локально принадлежащих Лф, то, как мы убедимся, А'^ПД^+сгЛ^ для некоторых функций ф.

ТЕОРЕМЫ БЕРНШТЕЙНА И ЗИГМУНДА

ОО.

Если У, 2//2ф (2-/) < оо, то Лфс: А (Бернштейн [1]). /=1 -

Если У ]Ар(2~') <оо, то T^i^cA (Зигмунд [2]). /=1

Предположения теорем можно записать соответственно следующим образом:

1-1

Ф (h) h~3/2 dh < со и ^ ]/ф (Л) h-1 dh < со1).

о• о

*) Здесь используется монотонность ф. Эти условия можно также

записать в видеПрим, пере в.записать в видеПрим, пере в.у К$д2><сп=\у К$д2><сп=\ОО

записать в виде

Прим, пере в.

записать в виде

Прим, пере в.

у К$д2><с

п=\

у К$д2><с

п=\

Эти теоремы можно доказать с помощью критерия Стечкина (см. стр. 18). Но все же несколько проще действовать так, как в книге Зигмунда [2]. По формуле Парсеваля имеем

<7 ДО = ^ I / Ч (' - Ф I2 ^ = 4 2 I h«) I2 sin3 nh

и, согласно неравенству Коши,

2 |н«)1^2</+п/2/ ^ |?(п)|ау/а. 2<|n|<2;+1\2/^|пК27+1/

/ 1/ Л \\1/2— q..\3 7 \3.2Л/ 1/ Л \\1/2— q..\3 7 \3.2ЛТак как sin2 nh^~ для ~ ^ | nh | ^^, то

/ 1/ Л \\1/2

— q..

\3 7 \3.2Л

/ 1/ Л \\1/2

— q..

\3 7 \3.2Л

2-/<|П|<2Я1

Применение очевидного неравенства qx^ (А) ^ ©у (2А) завершает доказательство теоремы Бернштейна. Чтобы получить теорему Зигмунда, запишем следующее неравенство:

п

\п]1 \ п п / ^ ' \ 1 п /'\ п / •

из которого следует, что <?(А) = 0 (А©у (А)). ■

Перейдем к рассмотрению обратных теорем.

ОБРАЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ БЕРНШТЕЙНА

ОО

Если ^ 2//2 ф (2_/) = со, то Лф не содержится в Л (Берн- /=1

штейн [1], Стечкин [2]).

. Для доказательства нам необходимы в качестве лемм два классических результата; их доказательства мы приведем позже (стр. 40 и 46).

Лемма А. Существует такая абсолютная постоянная С и последовательность таких тригонометрических полиномов

Р)^-5 РДп)е^,

что ||РУ||Д=1 и ЦР/ЦиССг-А2 (здесь через || ^обозначена ’ норма в С (Т)).

Лемма В. Если Р — тригонометрический полином степени ^N и Р' — его производная, то ||Р'|оо^ АЦРЦо, (неравенство Бернштейна).

Пусть Р}—полиномы, фигурирующие в лемме А. Положим

/•=1

ОО

где aj^O и 2 «/2-//2<оо, так что / еС (Т). Выбор чисел а# 1

будет уточнен ниже. Положим, кроме того,

H0=S + s «Л(О =Q(0+^(0- ,=1/=v+l

Записывая равенство

f (Н A) - f (О = Q V+ft) - Q (0+к V+^ - Я (0.

мы видим, что

юу^хй^'и+зЦРи.

Согласно лемме В, имеем ЦР/Цсо^З^ЦР/Цоо- Тогда, в силу леммы А,х

JQ'|U^2C ^З^й/,/=i№<С § 2-//=а,.f—v-H

Обозначим через rv+i сумму последнего ряда. Тогда

(о, (А) = 2СЛ 5 2> (г, - r/+1) + 2Crwl.

Чтобы /еЛф, достаточно, полагая <pv = tp(2-v), иметь coy (2-v) ^ 4Сфу для любого v и, следовательйо, достаточно, чтобы было справедливым неравенство

| rv +1 /vx+... + 2^ + ^14 < 2Vv.

Обозначим через ф* наименьшую выпуклую функцию, такую, что ф* (2-v) ^ фv для любого V. Положим ф* (2~v) = ф*. Ясно, что ^Ф^/2 = оо. Легко проверить, что ф*^2фу. Полагая rj=^— уф/-1 (j= 1, 2, ...), получаем, что /еАф и последовательность <j невозрастающая, причем ^г^12 =оо1).

Действительно. ^-гу+^у ^-ф^^+у (2ф)--ф/+1 -^_х^ 5= ^0 в силу выпуклости ф*; г^^2 =ф^2//2—ф*_[21/2—1 и, следовательно, S Г^12 ^2 Ф/ (!— ^^j+O.CV.—Пдшм. пврев".

Невозрастание последовательности г^ позволяет определить aj с указанными выше свойствами. Так как Са^^^ (г^ — г^х), ОО

то ^а^со и, следовательно, /^ А. ■

1

Мы получили, таким образом, характеризацию функций ф, для которых Лфс:Л.

ОБРАЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЗИГМУНДА

Если lim (/2ф (2~7)) = оо, то ^ОЛф не содержится в А.

I—»

Точнее, существует неубывающая функция, принадлежащая классу Л^ и не принадлежащая классу Л|ос.

Следствие (Салем [2]). Если У,(ф(2^)) */2+8 = оо (е>0),

1

то существует неубывающая функция, принадлежащая А^ и не принадлежащая Л1ос.

Мы снова воспользуемся здесь двумя леммами. Первая из них является видоизменением приведенной выше леммы А и будет доказана на, стр. 46.

Лемма С. Существует такая абсолютная постоянная С и последовательность таких тригонометрических полиномов

Vpv (°) = 5 — C0S ти’m=l

что р^ (0) = 0 и || ps Цю < CVv.

Лемма D. Пусть заданы две функции ф и ф, принадлежащие классу С (Т) (ф ^= 0 и ф имеет ограниченную вариацию V (ф)) и некоторое целое 6 > 0. Тогда'

Ф (би) ф (а) ^ = ф (0) (ф (0) + е),

где |е|<уУ(ф).

Лемма D доказывается непосредственно интегрированием по интервалам -у, —мвг - .

Обозначим через | ||р норму в пространстве Lp (Т). Так как у V = || pv ||| ^ || pvMPvIli, то, применяя лемму С, получаем llPvIli^^Kv. С другой стороны, в силу леммы В, ||pv|ko< <Cv3/2, т. е. V (pv) 2лСт3/2,

Положим

vdv (и) = ^ cos t™»m = Y

q^ =^(dv(u)+Pv(«)).

Используя формулу для ядра Дирихле Dv = 1 + 2dv, приведённую на стр. 10, можно проверить, что для соответствующей постоянной С'>0 справедливы неравенства || dv ||х ^ С'log v и V (dv) <С log v. Кроме того, dv (и) ^v (1 — v2u2). Из этого следует, что для подходящей постоянной у>0 и достаточно больших v

у V

У v

Заметим, что qv является тригонометрическим полиномом степени ^v с коэффициентами Фурье, равными 0 или y> причем ^v (0) = 1.

Пусть vi, ..., v„, ... и 6Ь ..., 6„ ... — две последовательности целых чисел (мы определим их позже), у —мера, преобразование Фурье — Стильтьеса которой определено формулой

ООа/ и \

11 М»Г7Г> П=1

и пусть / — первообразная ц, обращающаяся в нуль на минус бесконечности. Мера ц является сверткой бесконечного числа положительных мер ц„ единичной массы;, каждая из мер р„ является суммой vn точечных мёр с массами —, сосредоточен- ными в vn точках последовательности <#—Ц-г (/ =— v„, ...

W1 ...

.... V„).

Предположим, что

2v„ е„.

Тогда функция / является непрерывной неубывающей функцией 2

с вариацией, не превосходящей ——— на любом интервале длины д-д——. Из этого слёдует, что /еА^, если для любого п имеем

’G^U^d^

С другой стороны, f е Л1ос в том и только в том случае, если

du

Между тем для любой пары положительных целых чисел п и / справедливо неравенство

2л (/+D ^...е^

2л/е1...еп

du __ в С 1 \du

и ^ / + 1 J Ф” W2n‘

где

е =

/г = «4-1

Фп(и) = |^1(«62,..6„) ^Из. .,6„) ...qVn («) |, /1/2л(/+1)б1...б„уй ? С \.

61...е6

< п ^ А=п4-1

Предположим, что (iii)

•Л.

(iv)

Тогда для /^j^^

Пш ^- = оо, п-*со п

^<оо.

’п

1 и v„+i ^ ЮС2 имеем е >у, и, следова-

. тельно, для достаточно больших п справедливо неравенство

2л9г... 0дТ

Применим лемму D к последнему интегралу, полагая Ф = фд-ь 0 = 9л/-ф= | ^ |. Получим

$' ф» W ё = S ф"-1 ^ ё(11 К Ч1+е")’

где | е„ I < г- V (qv ). Используя оценки, полученные ранее для Ц^Цх и V (q^, приходим к неравенству

В силу условия (iv)*

$ ф" (°) й <V1••• v«)-'/2 ' т

для некоторого подходящего 0>О.

Для того чтобы f^AXoc, достаточно, таким образом, иметь неравенство

Йш (у" (vi... v„)-*/2 log 6„+1) > 0. п-*со

Однако в силу нашего предположения существует такая последовательность /„, стремящаяся к +оо, что ф(2-/”)^ ^у ”/п2. Следовательно, можно по индукции определить последовательности v„ и 6„ так, чтобы выполнялись соотношения

ф(2 v n^V1"’'v”)vi...v„^ 1, . v„+i^e1...6„,

где символ [ | обозначает целую часть числа, и

2 91... ел2-<Я^'^<оо.

Но в таком случае выполняются условия (1) — (iv) и, кроме того, Пт (у” (vt ... v„)~ */2 log 6„+1) > 0;.

п~*со

так что /еЛф00 и /£Л1ОС. ■.

Таким образом, приведенную в качестве следствия теорему Салема можно усилить. В то же время мы не нашли характеризации функций ф, для которых V 0 Аф с Л х)

КЛАССЫ А (£) И Лф (£)'

Перейдем к проблеме соотношения классов А (Е) и Лф (£) (Кахан [2], Кахан и Салем [1, гл. XI]). Обозначим через Е^ множество точек окружности, расстояние которых от замкнутого множества Е не превосходит h, а через |Д(Л>| его меру.

Если J ф (А) | Ew р/2 Л-з/2 dh < оо, то Лф (Д) с А (Д). о

Действительно, если /О^ЛФ(Е), а функция / совпадает с f0 на множестве Е и линейна на интервалах, смежных с Е, то легко проверить, что /еЛф. Полагая

Т ЕГО

видим, что q(h) = O (| Ew | mf (/1)), и завершаем доказательство так же, как на стр. 22х). ■

Для некоторых множеств Е это условие является необходимым, и достаточным. Мы увидим, что так обстоит дело для совершенных симметрических множеств с постоянным отношением разбиения, т. е. для всех множеств вида

£t = /a + & 2 е„|"(я—О

где 0<£<у, 0<6<2л(1—£) и е„ — всевозможные последовательности, состоящие из 0 и 1. Множество Кантора соответствует случаю £ = .у. Для каждого п множество Е^

является объединением 2”является объединением 2”равных порций диаметра у^. Если

является объединением 2”

является объединением 2”

2(1-92(1-9, то множество kE^w содержит, таким образом, 2”

2(1-9

2(1-9

непересекающихся интервалов длины у-^ и содержится в объединении «удвоенных» интервалов (т. е. с теми же центрами, но с удвоенной длиной). Из этого следует, что

где знак ^ означает, что отношение соответствующих величин ограничено сверху и снизу двумя положительными по« стоянными.

1ОО

Так как интеграл ^^hrx~al<z и ряд ^Т^З"/2 одно- о1

временно сходятся или расходятся, то

5 Ф ^) 2/1/2 < ооЛф ФО о А ФО*

1

1

!) Аналогично, если j (ф (h) \E(h) | )1/2 Л-1 dh < оо, то ^ Q Лф (Е) cz А (Е). о

В частности, ф (Е) cz А (Е) для любого совершенного симметрического множества с постоянным отношением разбиения. —Прим перев»

Для получения обратной импликации необходимо каждой функции ф, для которой левый ряд расходится, поставить в соответствие функцию /, принадлежащую классу Аф (Е^) и не принадлежащую Л ф^. Это будет сделано в следующей главе.

ОДНО НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССУ Л

Для того чтобы функция

ОО

Ц(^гп 005 (/г/ + ф„)о

принадлежала классу А, необходимо, чтобы сопряженная функция

f (9==5л»8ш(п/ + ф„)i

также принадлежала этому классу А. Положим

г /а_ 1 (-$)-/(<+$)

Te.aV)— —1—°8т-

е соа

=42Гп sin ^+^ S ^т^ds(°< е<^°< °°)

8

Если feA, mo функции К,а$ равномерно ограничены и равномерно стремятся к нулю вместе с а. ■

И. МНОЖЕСТВА УРОВНЯ ФУНКЦИЙ,ПРИНАДЛЕЖАЩИХ КЛАССУ А

Приведем два интересных следствия:

Существует такое совершенное множество Е на R, что из функций, постоянных на интервалах, смежных с Е, классу Л1ос принадлежат лишь тождественные постоянные.

Существует такая непрерывная неубывающая функция f, отличная от тождественной постоянной, что из всех функций Ф, определенных на множестве значений f, только тождественные постоянные удовлетворяют условию ФфгАХос (Кахан и Кацнельсон [4]).

Второе предложение непосредственно следует из первого, если взять в качестве / первообразную положительной непрерывной меры, сосредоточенной на Е.

Выберем в качестве Е множество

и предположим, что Ьп = гпЛ.1-\- rn+2-V*. ..<_rtt и

>0.>0.

>0.

>0.

Пусть / — функция, принадлежащая классу Л,ос и постоянная на интервалах, смежных с множеством Е; положим h = = |/ (60) — / (0) |. Для каждого п множество Е содержится в объединении 2" равных отрезков длины Ьп с левыми концами п

в точках вида ^ е»гб (е* = 0 или 1). Назовем их «белыми» »=1

отрезками; «черными интервалами» будем называть 2" 4-1 смежных с ними интервалов, включая полупрямые (—оо, 0) и (60, 4-оо). Существуют два последовательных «черных» интервала, на которых значения / отличаются не менее чем на 2~”Л; пусть [/, / +6„] — «белый» отрезок, который их разделяет. Положим e = bn, a = bn_i — 2bn. Так как длины «черных» интервалов не меньше а, то /(/ + $) и/(/ —s) принимают два различных постоянных значения, различающихся по крайней мере на 2~nh, когда е<$<а. Из этого следует, что

I к ДО I > | 2-”А log ^-^^ .

Учитывая предположения, сделанные ранее относительно гп, получаем, что h = 0. Заменяя Е произвольной порцией Е, видим, что функция / является тождественно постоянной. ■

Естественно, невозможно построить строго возрастающую непрерывную функцию, обладающую свойством предложения 2.

СЛУЧАЙ НЕУБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЙ

Если функция / не убывает и /еЛ1ос, то

— ОО < ка (0— ОО < ка (0аЛ JSоаЛ JSо

— ОО < ка (0

— ОО < ка (0

а

Л JS

о

а

Л JS

о

для всех t и a > 0 и функции- /0,а (0 равномерно стремятся к нулю вместе с а на любом отрезке.

Из этого следует один результат, который сообщил нам Кацнельсон (1967 г.):

Обозначим через ву (6, /) модуль непрерывности функции f на интервале I. Тогда если функция f не убывает ufe Л10С, то

Ю/(6, П^О^ОЙ^ (6^0).*

В обозначениях, приведенных на стр. 21, из этого вытекает Т+ ПЛ 10СсзЛф0С для y(6) = ^log^ \

Разумеется здесь можно предполагать функцию f определенной только в окрестности интервала /. Вместе с тем, как показывает пример функций, четных и вогнутых на [0, ^л], из того, что функция f возрастает на интервале / (/ = [0, л]) и feA(I), еще ничего не следует относительно оу (6, /). Условие неубывания не может быть заменено условием ограниченности вариации.

ПОСТРОЕНИЕ НЕУБЫВАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ,НЕ ПРИНАДЛЕЖАЩЕЙ КЛАССУ А

Отвечая на вопрос А. Зигмунда (1967), покажем, что предыдущие предложения не характеризуют неубывающие функции из класса Л1ос.

Существует неубывающая функция f, f^Aloc, такая, что — oo<f0ia(t)^0 для всех t и для всех а>0 и функции KaV) равномерно сходятся к нулю вместе с а.

В самом деле, пусть f — первообразная меры р, преобразование Фурье —Стильтьеса которой имеет вид

п— 1

0д — последовательность целых чисел ^3, которую мы определим позже. Так как UcosmI,™ —, то из вычислений, проведенных на стр. 26, следует, что f^A, если

VОО

(02 ^RWn = co.

п= 1

Носителем меры р является симметрическое совершенное множество

и р, является естественной мерой на этом множестве, сопостав-

ляющей любым двум конгруэнтным порциям равные массы и имеющей полную массу, равную 1. Если / — интервал длины 2 =ап то р(/)^2-л. Таким образом, — в! е„ ' п ~Р Ле

-^„+i--’J^2'R+1 з T- = 2-n+1log6n+1.

Из этого следует, что f0tO (/) — всюду конечная функция, равномерно стремящаяся к нулю вместе с а, если

(И)У, 2-я1о§6„<со.

п=1

Выбирая последовательность 6„, удовлетворяющую условиям (i) и (ii), получаем нужный пример. ■

Отметим, что условие (ii) эквивалентно (на основании вычислений, аналогичных проведенным на стр. 26) условию

ОО

1н(«) \а^г<°°»

которое выражает тот факт, что мера р является мерой с конечной энергией относительно логарифмического ядра. Функция / (/) с точностью до постоянного множителя является логарифмическим потенциалом меры р.

ЧЕТНЫЕ И НЕЧЁТНЫЕ ФУНКЦИИ

Конец этой главы мы посвятим четным и нечетным функциям, положительным на [0, со).

Начнем с функций, вогнутых на [0, оо). Все эти функции локально принадлежат классу А, за исключением, быть может, окрестности нуля. Мы уже знаем, что четные функции этого типа принадлежат классу Л,ос (стр. 17). Что же касается нечетных функций, то справедливо следующее утверждение:

Пусть f —нечетная функция, вогнутая на (0, оо). Тогда

feAXoc в том и только в том случае, если / (0 у < оо (Зигмунд).

Необходимость этого условия мы уже видели (оно записывается в виде —/ол(О) <оо). Для доказательства достаточности можно действовать следующим образом. Множество нечетных функций g из С(Т), g(« —0 = £(0t вогнутых на [0, л] л/2

и таких, что \ g^y^l, является выпуклым и замкнутым

в С (Т). Это выпуклая замкнутая оболочка, которая порождена функциями СеПе (^<е<^, определенными посредством равенств

DeW-inf^, 1), 0^1^,

08(л-О = 08(О= —Пв(—О для всех t, (л/2х-1

С г—1 dt \/15л \—1

\ 08— =l10gl?J *

Простое вычисление показывает, что

ООООЯ—1Я—1л\ Пв (0 sifi ^ ^л\ Пв (0 sifi ^ ^-O(logl)-O(logl)(—0),(—0),

ОО

ОО

Я—1

Я—1

л

\ Пв (0 sifi ^ ^

л

\ Пв (0 sifi ^ ^

-O(logl)

-O(logl)

(—0),

(—0),

так что нормы функций се08 ^0<e<yj в пространстве А ограничены постоянной С и для любой функции g из рассматриваемой оболочки Иа^С- ■

Применяя более легкую часть предложения, видим, что существуют такие неотрицательные функции f на [0, со), четное продолжение которых на (—со, со) принадлежит классу Д1ос, а нечетное продолжение не принадлежит Д|ос. Доста- 1

точно выбрать вогнутую функцию f, такую, что \f(t)y = oo.

ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕЩЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

В предыдущем абзаце можно поменять местами слова «четное» и «нечетное».

Существуют такие неотрицательные на [0, со) функции, нечетное продолжение которых -на (— со, со) принадлежит классу Д10С, а четное продолжение не принадлежит Д|ос (Кахан [1]).

Удобно воспользоваться следующей леммой:

Лемма. Пусть f^-f^f) на [0, л],

А (0 = S «/sin ^Pi1’ fa (А ~ S 6" cos ^1о

где pj целые, р^х —pt*>Kpl (К и а —постоянные >0), Д/>0

(/=1, 2, ...), ^af<oQ и ^a^logpj^oa» Тогда ^\bn\^QQ.

111

2 ЖгП^ Кахан

Доказательство. Имеем

ЛОО

bn = ^\ fl (О COS nt di = - 2 Мл m

О/= 1

где ' 0,если п четно,

.1

(2^ + 2^’если п нечетно-

Пусть 0<Х<1 и р/ = [Р/ —MP/ —Py-Ol- Пусть tn — целое положительное число и Л — объединение интервалов вида It = = [2р/, ^рД (/=1, 2, .ту Тогда

ОО

ле Л/=1пеЛ

Для j^m имеем В/>0. Для Y^j^m

в» 2=^- 2 ^+ ■ 2 лм>

ПЕ^-п^ь^гmA, л>2Ру4-1

со

>4-iog(py-P/_1)-A $ (-^--^J^+oq^

2р,+ 1

>у logp/--^(l -<J)logp/+i+O(l).

Если X достаточно мало, то из этого следует, что сумма 2 Ьп неограниченно увеличивается при возрастании т, и mA лемма доказана.

Для построения искомой функции f выберем функцию /1, удовлетворяющую условиям леммы и мажорируемую на [0, л] такой вогнутой функцией <р, для которой ^ <р (Д у < со. Тогда о

функция / = <р —Д будет неотрицательной на [0, оо), ее нечетное продолжение будет принадлежать классу Д1ос, а ее четное продолжение не будет принадлежать Д10С.

001

■ Положим Д (/) = 5 anPn<tY а-п = -^ И 1

2”

" Рп^= 5 sin (4" -Vi^t

i=—2n

Условия леммы выполнены. Остается промажорировать функцию fi(t). Для этого представим Д в виде

п = 1n = N +1

и используем оценки функцйй Pn(f) = sin'WD^n.i^ty.

(О(ii)(О(ii)\P„ (/)|^(2я+1+1)|зт4я/[, |P„(/)|<l|sin2"-V|-4

(О

(ii)

(О

(ii)

Согласно (i), имеет место неравенство

N^««Pn^n = 1N^««Pn^n = 1^8/^+31 Zj.^8/^+31 Zj.

N

^««Pn^

n = 1

N

^««Pn^

n = 1

^8/^+31 Zj.

^8/^+31 Zj.

Выберем У = у log-jj|- + O (1), чтобы предыдущее выражение было равномерно ограничено.

ОО

Остается оценить сумму У, апРпЦ.у Для этого обозна-

ti = N -j- 1

ним через Л/ последовательность таких целых п, больших N, V-00

для которых |sin2/t-1^|"^, и положим 2-2 +2* из 2W+1 пел(

(ii) следует, что

2* < 5 а„/г-1/22” = О (У-з/2).

W+1

Предположим теперь, что пеЛ(. В силу (i) и неравенства | sin rx | ^ г | sin х |, справедливого для всех целых г ^ 1, имеем для 2k ^п неравенство

I ДНО I < (2A+1 + 1) 22ft-"+11 sin 2"-1/1 < К« г3*-2»*2.

из которого следует, что

"5 |аЛ(01<8п-3/2

Выберем из последовательности Л( такую подпоследовательность 5/ = {П1, /г2> •••}> чтобы объединение R отрезков вида [п/2, п], п г St, покрывало множество Л( и чтобы никакая точка не принадлежала более чем двум отрезкам (это влечет за собой неравенство пр+2^2пр). Тогда

5 I «А (О I I «-кРи (О I < 8 5 п7ш, kextAsRр=\

откуда

2 |а,Л(0!=<Ж-3/2).

fee Az

Таким образом, мы получили соотношение

Итак, существует вогнутая функция <р (/) = C^log-~j-)”3/2, для которой Л(0<ф(0’ и эт0 завершает построение функции

Относительно разложений функции, определенной на [0, -л], в абсолютно сходящиеся ряды по синусам или косинусам см. также гл. VI, а также Боас [11, Идзуми и Цутикура [Й, Кахан [1], Вик [3].

Глава HIПСЕВДОМЕРЫ И КЛАССЫ Л(Е)

При изучении пространств Л (Е) нам неизбежно приходится обращаться к понятию двойственности. В этой главе будет введено понятие псевдомеры (линейной формы, непрерывной на Л(£)), развиты некоторые приемы построения псевдомер и выведены некоторые свойства классов Л (Е).

С другой стороны, проблемы аппроксимации в пространстве Л (в частности, проблема гармонического синтеза) часто оказываются эквивалентными проблемам аппроксимации в сопряженном пространстве. Поэтому привлечение псевдомер будет также необходимо и в следующих главах.

ПСЕВДОМЕРЫ

Мы имеем включения С” (Т) cz Л (Т) с С (Т), где через С00 (Т) обозначено пространство бесконечно дифференцируемых на Т функций, сходимость в котором понимается как равномерная сходимость функций со всеми их производными, причем эти включения топологические, т. е. сходимость в топологии пространства, стоящего слева, влечет за собой сходимость в топологии пространства, стоящего справа.

Любая мера на окружности Т (линейная непрерывная форма на С (Т)) является, таким образом, линейной непрерывной формой на А (Т) и любая линейная непрерывная форма на Л (Т) является распределением Шварца на Т). Линейную непрерывную форму на А (Т) мы будем называть псевдомерой.

Двойственность между мерами (обозначаемыми, смотря по обстоятельствам, через р или через dp) и непрерывными функциями (обозначаемыми через /) выражается формулой

(р, д = ^(0^(0.

т

Положим

(ц,$elnt

т

Тогда, если dp (0 =g(0^’ то И («) = gW Если / G Л (Т), то

(и. л = S н (~ ”) / («)•nez

Для любого распределения Т на окружности Т положим

(Т,пу

Если /еСю(Т), то

(T,n=S t(-n)hnYneZ

Преобразование Фурье Т распределения Т на окружности представляет собой медленно возрастающую последовательность, иными словами, для достаточно большого целого А

Т (п) = О (| п |л)(л -> ± оо).

- Обратно, любая медленно возрастающая последовательность является преобразованием Фурье некоторого распределения (определяемого приведенной выше формулой). '

Известно, что линейные непрерывные формы на Iх (суммируемые последовательности) являются элементами из /°° (ограниченные последовательности). Любая линейная непрерывная форма на А (Т) представляется, следовательно, в виде

(T,f)= S t(-n)f (п) Tel», nez

и псевдомеры можно отождествить с распределениями с ограниченными коэффициентами Фурье.

ПРОСТРАНСТВА М И РМ. НОСИТЕЛИ

Обозначим через М (Т) или М банахово пространство мер с нормой

|||iU= sup 1^и i- = C|dp,| (полная масса) fecm ll/lloo J

иcиcчерез PM (T) или PM банахово пространство псевдомер нормой

иc

иc

lTh-su5^ = sup|7(„)|.

Будем писать

Т ~ 2 Т W ^nt (РяД Фурье —Шварца).

Пространство РМ бу дет модулем над Л, если определить произведение Tf(T еРМ, f е Л) формулой .

(П, g^ = (T, fg),

— факт, общий для сопряженных к топологическим алгебрам пространств. Тогда

(Т, П = СП, 1) = (77)(0),

.£ Т(т)Нр),

m-\-p = n

От^Црж^НтЦржИ/и .

Пространство РМ является кольцом относительно свертки, определенной посредством соотношения (T*S) = TS, и, кроме того,

|| Т * S ||рл || Т ||рд11| 5 ||рм.

Носитель распределения Т есть наименьшее замкнутое множество Е, такое, что если feC^fT) и f = 0 в окрестности Е, то (Г, /) = 0. В частности, это определение применимо и к псевдомере.

Если fe А и функция f обращается в нуль в некоторой окрестности носителя псевдомеры Т, то Tf — O и, в частности, (Т, п = о.

Действительно, существует функция g из класса С°°(Т), равная нулю в окрестности носителя Т и равная 1 на носителе /, Имеем по определению (Т, g) = О, а также (Т, gein<) = О для всех целых п, так что Tg = 0, Следовательно, Tf = Tgf = O, а потому (Т, /) = 0. ■

-Существуют псевдомеры, не являющиеся мерами, например, Т ^ i У (sgn п) е1^ (преобразование Гильберта представляет собой свертку с Ту Псевдомера, не являющаяся мерой, называется «существенной псевдомерой». Ниже мы приведем способы построения существенных псевдомер на некоторых множествах.

Пусть дано замкнутое подмножество Е окружности Т. Обозначим через РМ (Е) множество псевдомер, сосредоточенных на Е. Это замкнутое подпространство пространства РМ.. Его ортогональное дополнение в пространстве А есть подпространство Je, порожденное теми функциями класса Д, которые обращаются в нуль в окрестности множества Е. Ясно, что JB является замкнутым идеалом, содержащимся в 1Е — идеале, который состоит из всех функций, принадлежащих классу А

и обращающихся в нуль на Е. Тот факт, что для некоторых множеств Е идеалы 1Е и JE не совпадают, составляет содержание теоремы Мальявена, которую мы докажем несколько позже.

ПРОСТРАНСТВО PM (R)

Можно определить также псевдомеры на прямой К как линейные непрерывные формы на A (R); их можно отождествить с распределениями на R, преобразования Фурье которых принадлежат пространству L°°(R) (пространству измеримых функций, существенно ограниченных на R). Рассмотрим банахово пространство PM (R) псевдомер на R с нормой

IIТ hiw =, sup |^' h 1 = ess.sup | Ф (и) | = || Ф U feЛ(R) II/Ил (R) aeR

Это модуль над В (R), алгеброй преобразований Фурье — Стиль- тьеса ограниченных мер на R, причем -справедливо неравенство

|| Цра/(R) || Т ||pM (R) || f ||в (R). (1)

Предположим, что псевдомера Т сосредоточена на отрезке [— а, а]. Тогда ее преобразование Фурье Ф (и) является ограниченной функцией на R, которую можно продолжить на комплексную плоскость как целую функцию экспоненциального типа ^а (т. е. | Т (оу) (^ Де01®1, где А —некоторая константа). Обратно, каждая ограниченная на R целая функция экспоненциального типа является преобразованием Фурье некоторой псевдомеры, сосредоточенной на [—а, а] (теорема Пэ'ли — Винера1, см. Кацнельсон [З])1). Ниже приводится обобщение (доказательство простое) неравенства С. Бернштейна для производных тригонометрических полиномов, которое использовалось нами на стр. 22 (Боас).

Если функция Р (и) ограничена на R и, будучи продолжена на комплексную плоскость, имеет экспоненциальный тип ^а, то

IIР'1=0 а IIР loo.

Действительно, положим Р = Т. Тогда Р' ==ixT. Достаточно доказать, что если Т — псевдомера, сосредоточенная на [— а, а], то ||^T||pM(R)^a||T||p^(R). Заметим, что xT = fT для каждой функции f, принадлежащей классу В (R) и равной х в окрестности отрезка [—а, а]. Выберем Ь>а и положим Цх^=х на

г) См. Пэли и Винер [1], а. также Гельфанд и Шилов [1J, [2J. — Прим, перев.

[—6, 6], f(x) = 2b — х на [6, 36], f (х-\-4b) = f (х) для всех остальных х.

Простое вычисление, аналогичное проведенному на стр. 17, показывает, что ||/||в(ю = 6. Используя неравенство (1), получаем, чтц Ц-гТЦржк)^ ИЛрм(Я)- Это неравенство и дает требуемый результат, когда b стремится к а. ■■

Если распределение 7, заданное на прямой R, сосредоточено на интервале / длины <2л, то его можно рассматривать так же как распределение на окружности Т.

Если Т —псевдомера на R, то она. является псевдомерой на Т, и обратно; при этом нормы в PM (R) и PM (Т) эквивалентны, если интервал I фиксирован.

В самом деле, неравенство Ц Т Ц/>м (т> =^|| Т |pjwcr> очевидно. С другой стороны,

|| 7||/>М (R)каппрмт,

где К = sup ||^ЦА(/). »

О^о^ 1

ЦЕПОЧКИ

Мы назовем /n-цепочкой множество, состоящее из 2я* точек вида a + a^+a^ + .-. + a^ (а, /ь /2, ..., 1т — фиксированные вещественные числа, ау = 0 или 1 для / = 1, 2, ..., т). Например, множество {1, 2, 3, ..., 2я*} является т-цепочкой {а = li = 1, /2 = 2, ..., /т = 2т-1). В том случае, когда /п-цепочки будут рассматриваться на окружности Т, .мы, естественно, будем предполагать, что все точки различны по модулю 2л.

Положим р = pzn z2 = 60 + 6/, + б/, — 6/, +1, (6 я обозначает меру Дирака в точке х, определенную равенством (6Л, f) =f (х)). Имеем

р (— п) = 1+ eini> + ^п1* — ein ^*.+^,

|р(—«)|<| Ц-е^Ц-| 1-е^‘||в{п/«|<2уТ,

так что ПрК<2]/2, в то время как ЦрЦд([ = 4.

.Рассмотрим 2т-цепочкуЕ на Т вида

Е = {а + «1/1 + ..- + «шкт. «/ = 0 или 1}.

Положим

РЕ = p/v /, * р/Л *... * PZlm_!, 1,т * 6а.

С помощью элементарных выкладок получаем, что

PB-2±6"+»?i+vt+-'-+a?mw^

Эта мера доставляет каждой точке множества Е массу ±1. Следовательно, имеем || Ня U ^ 4™ и

т

И Це ||ря ^ П II ^'2/-1,Ч] Ирл1 ^ ^ УТр./ = 1

Приведем два приложения.,

Пусть Е — такое замкнутое множество на Т, что для сколь угодно большого т в Е содержится некоторая т-цепочка. Тогда множество Е является носителем существенной псевдомеры.

Действительно, множество Е содержит непересекающиеся ОО

2/п-цепочки Е (т) (т=1, 2, ...). Ряд У, 4~трЕ(т) сходится 4т = 1

п

в РМ. Сужение его суммы Т на конечное множество [JE (/и) 1

имеет меру с полной массой п, и, следовательно, псевдомера Т не является мерой. ■

При том же самом предположении не все непрерывные на множестве Е функции принадлежат классу А(Е).

Действительно, существует хотя бы одна точка а множества Е, такая, что в любой ее окрестности содержатся цепочки (Е (т)) сколь угодно большой длины. Следовательно, из них можно выбрать такие цепочки, что объединение U £ (т) не будет 1

содержать точки а, а сама точка а будет служить для этого объединения предельной точкой. Выберем непрерывную на множестве Е функцию Д принимающую значения ± \(т на множестве Е ^, для которой

(РЕ(т). /) = ”||Pe||m-

Тогда

sup 1^121141 _, оот II Не (т) ||рд1

и, следовательно, f ф А (Е). ■

Интересно, что этот метод (с необходимыми изменениями) сохраняет силу, если окружность заменить произвольной бесконечной абелевой локально компактной группой.

Примером множества Е, содержащего сколь угодно длинные цепочки, является множество

£ = Ши^ (« = 1. 2,

Действительно, для любого v в множестве Е содержится

,С12v 1 гр

арифметическая прогрессия <^, ^^4. Таким же при

мером является симметрическое множество вида

E = ta + 2M„; 8" = 0 или ч*

рассмотренное в предыдущей главе (стр. 28).

СЛУЧАЙНЫЕ МЕРЫ НА ЦЕПОЧКЕ.

ПРИЛОЖЕНИЕ К МНОЖЕСТВАМ ХЕЛСОНА И СИДОНА

Мы покажем теперь, что если в выражении (2) выбрать знаки + и — случайным образом, то с большой вероятностью получается такая мера, сосредоточенная на Е, что отношение ЫММм мало.

Рассмотрим п вещественных чисел хх, х2, ..., хп и некоторое целое s > 0. Каждому набору целых alt ..., a„, для которых | cq | +... + | a„ | ^ 2s, поставим в соответствие целое т и некоторое гт^0. Выбирая случайным образом независимо друг от друга с вероятностью у знаки + и —, образуем случайную меру

Р = 5 ~ ^т^а^ +... +(^)

сосредоточенную на множестве

ДСч. ха, .... хп; 5) = <5а/хуЩ|а/|<2#).

Полная масса ||ц||м = 2 гт' если все точки а^-р... ... + а„хя, соответствующие весам rm^0, различны. Преобразование Фурье этой меры имеет вид

А (“) = S —“.

Положим Uj — XjU (/= 1, 2, ..., п) и

Rep.(u) = 5±r'”COs(a1«1 + ... + a„u„)=P(u1, и2„ .... и^.

Для каждого выбора знаков ± обозначим через М максимум модуля тригонометрического полинома Р (^ь- ..., и„) на торе Т”. Пусть (и?, ..., «„)—точка, в которой достигается этот максимум модуля, и пусть Я —гиперкуб, определенный в Тп неравенствами | иу —и) |^2-5-1 (/ = 1, 2, ..., п). Легко видеть (Кахан и Салем [1, стр. 147]), что |P(«i«л) | >

> М/2 для иеН.

Обозначая через § математическое ожидание случайной величины, в каждой точке (ui, u2, ... и^ тора V для любого X > 0 имеем

§^ХР (“1"Ч> = П ^С^2^0'^

(^ = ^г^) и, далее, заменяя X на — X, получаем, что х # (е2Л lp(“i"«) I) < ^^.

Интегрируя последнее неравенство по ТЛ и используя оценку снизу для |Р(«1, ..., и^\ на Н, приходим к неравенству * 2-"^ (е^ )<^^...^е2к1р <“1“«) I . du^ 2 • (2л)”,

или

8 ^м -2K‘R-snsy ^ 2 (2л)”2”5е~8"\

Обозначая через Р вероятность события, имеем

Р (ХМ — ^R — Sns^ty^Z (2л)”2"$е-8"$<^

и, следовательно, полагая X = 2j/<^, получаем р^м^у^^.

Рассматривая полином

5 ± rm sin (axUi +... + аяил)

вместо полинома Р (иъ и2, .... ип), мы получим неравенство точно такого же типа. Из этого следует, что

Р(supIp. (w) |^ 16]/nsR)<-^.

Другими словами, неравенство

Ы1™ < 16 УЦ^ r^2

99 выполняется с вероятностью, превосходящей ^.

В частности, выбирая случайным образом знаки + и — в выражении (2), получаем с вероятностью, превосходящей ^, что || р Црд, < 16 ]/"2т2^.

Наиболее интересным является такое следствие:

Пусть F есть подмножество множества Е (хь х2,.... хл; s), содержащее по крайней мере К ns точек (К целое ^ 1). Тогда F является носителем такой меры р, для которой

Mpm/IIpU^ р=-

Действительно, достаточно выбрать меру р в виде (3) с гт — 0 или 1, ^гт =^ггт=Кп&. e

Отсюда вытекает следующее предложение:

Пусть Е —такое замкнутое подмножество Т, что для любого целого К^Х существует множество вида Е (хь х2> ••• ..., хп; s), содержащее по крайней мере Kus точек множества Е. Тогда множество Е является носителем существенной псевдомеры и существуют непрерывные на Е функции, не принадлежащие классу Афу

Доказательство точно такое же, как и для предыдущего предложения, q

Этот результат, выраженный в форме необходимого условия того^ чтобы замкнутое подмножество окружности Т было множеством Хелсона, можно найти у Кахана и Салема [1, стр. 146] (с пропусками в доказательстве, которые мы здесь восстановили). Он является переложением аналогичного результата относительно множеств Сидона, анонсированного ранее в работе Кахана [3].

МЕРЫ РУДИНА-ШАПИРО

Для мер р вида

р = 2±6a+ai'i+■••+“„'„ («/=0 или 1; /=1, 2, .... п), (4) для любого набора знаков + и — справедливо неравенство

Вероятностный метод показывает, что для некоторых мер справедливо неравенство ЦрЦр^С 16 ]/п2"/2. Этот результат может быть улучшен при помощи метода, найденного независимо Шапиро [1] и Рудином [1] (см. также Кахан и Салем [1, стр. 133]).

Выбирая подходящим .образом в выражении (4) знаки + и —, можно получить такую меру, что ЦрЦря^^"*1)/2.

Действительно, введем меры ру и vy для / = 0, 1, .... п, преобразования Фурье которых зададим следующим рекуррентным способом:

Ро (и) = ± е-‘°“, v0 (и) = ± в~‘°и,

р/+1 (и) = ру (и) + е иМи^ (и), vj+1(u)=^p.j(u)-e~ll^uvj(u)(/ = 0, 1, ...).

Для дальнейшего удобно оставить произвольный выбор знаков

(из четырех возможных выборов) в определении р0 и v0. Легко проверить, что для каждого / меры р,у и vy представляются В виде 2 — ба + а^ + .-.+ау/у (а6 = О ИЛИ 1). С Другой СТОрОНЫ, равенство параллелограмма приводит к равенству

IНЯ1 («) I2 +1V/+1W Г = 2(1 ^ (и) Г +1V/ («) Г) = 2/+2.

Отсюда следует искомая оценка. —

Приведем несколько приложений.

Для любой арифметической прогрессии вида [a, a-Vh, а + + 2/г, ..., a-V-ph) можно выбрать таким образом знаки + или —, что мера

п

/=0

будет удовлетворять условию

Действительно, если р = 2я, то достаточно взять меру р„, соответствующую случаю Z/ = 2/-1Zt. Если же р = 2я + 2я' + + 2"" + ... (п >■ п' > п” >...), то выберем меру

Н= Ня + Нп< * 62”Л +* 6(2™+2«')л + • •• •

Тогда || рЦр^и^ 1^2 (2я/24-2я'/2 + 2я>'/2-{-...) и мы получаем требуемый результат.

Как частные случаи получаем сразу же леммы А и С гл. II.

МЕРЫ РУДИНА—ШАПИРО НА СИММЕТРИЧЕСКОМ ‘ СОВЕРШЕННОМ МНОЖЕСТВЕ

Рассмотрим теперь совершенное симметрическое множество на окружности. Пусть

(00)

£ = <а+5 6пЦ (е = 0 или 1),

IП = 1/

и пусть для каждого п bn = lnVL^ln^^_/<ln (/0 = 2л). Обозначим через Еп множество, состоящее из 2Л точек вида ctA-^iA-^-A-^jm и сосредоточим на нем меру р^. Будем называть отрезком Вп («белым» отрезком n-го ранга) любой отрезок длины Ьп с левым концом, принадлежащим множеству Еп. От отрезков Вп перейдем к отрезкам Вп+11 заменяя каждый Вп двумя отрезками, которые остаются после выбрасывания из Вп концентрического интервала длины bn — ^b^

Рекуррентные формулы предыдущего параграфа, определяющие меру р/, можно записать в виде '

Pv+i (и) = ру (и) + e~"lW (2рм («) - р7 («)),

ИЛИ

Py+i - Ру = &1№ * Py-i - %.у * (Ру - Py-i)-

Ясно, что мера р;+1 совпадает с мерой р,у на множестве Ер) (это позволит нам писать в соответствующих формулах у. вместо ру). Кроме того, мера ру- при сдвиге множества Е,_г на /у+1 переходит в меру р7+1, при сдвиге множества Ej\Ej_i на //+1 мера ру переходит в меру р;+1 с противоположным знаком.

Для каждого отрезка В„ = [а, а + 6„] сужение на него меры ру (/^га + 2) вполне определено рекуррентной формулой и значением меры р„ + 2 в четырех точках: а, а-Ня+i, а 4-^+2, а+/л+14-/„+2. В силу того, что при определении мы допустили произвол в выборе знаков, это мера вида py_n.

Эти замечания используются в двух следующих параграфах.

ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ, НЕ ПРИНАДЛЕЖАЩЕЙ КЛАССУ А (Е)

Пусть рп —такая невозрастающая последовательность положительных чисел, что ^ 2'1/2рл = оо, и Е — симметрическое со- о

вершенное множество. Тогда существует непрерывная на множестве Е функция f^A(E), колебание которой на каждом

* отрезке Вп («белом» отрезке п-го ранга) не превосходит р„.

Можно предполагать, что limp„ = 0. В таком случае достаточно определить функцию f на множествах Еп и затем продолжить ее по непрерывности. Определим / на множестве ^ау+аХ^гу таким образом, чтобы

/(t + Zay+aWWДля t^Ey,

f (t + ly*») -t(t) = — ^ (t) Pay+i для t e Ey^ \Ey.

Тогда справедливо равенство

5 f ^Pay+a — 2 J f dp.y + 2yp2y+i

(первое слагаемое правой части есть интеграл по множеству £у4-{0, /2у+г}, а второе — интеграл по множеству (£у+1\£2у) + + {0, /2у+г}) и> следовательно,

V+D $ / dp.y^ = 2-/ $ f dy.y + У^ру^.

!) Если хгЕ^ то x-^-lj^ г Ед. — Прим, пере^

В силу предположения относительно последовательности рЛ получаем, что последовательность 2-/ $ fd^ не ограничена.- Однако если бы можно было продолжить функцию f на множество Е так, чтобы ^еЛ^), то мы имели бы неравенство

2"^ М^2-ф||Л(£)||р2/Ь^(1).

Это противоречие показывает, что функция /, будучи продолжена по непрерывности на множество Е, не принадлежит классу А (Ду,

Для полного определения функции необходимо еще соответствующим образом выбрать значения f (^ на множествах Еу+1\Еу. Потребуем, чтобы на каждом отрезке В2/ функция ^|в2/+2 (сужение функции / на множество £у+2) не принимала бы более двух значений. Тогда на каждом отрезке By колебание функции /|е2/+2 в точности равно р2у+1 и на каждом отрезке B2/+i оно равно нулю или р^+р Закончим определение / |е27+2’ отправляясь от Це<2} (/^1) и требуя, чтобы колебание /|52/+2 на каждом отрезке Ву_2 было равно колебанию / |е2Р т- е- Ран- ®т0 возможно, так как py-i^py+i- Из этого следует, что. для всех / и всех к > / колебание f |£2Й на каждом By равно py_t и на каждом Ву+1 не превосходит ру+1. -Таким образом, условия, налагаемые на колебания функции, выполнены и построение функции закончено.

В случае когда 1п = ЬД g < -^, b < 2л (1 — £)), множество Е является тем самым совершенным симметрическим множеством» с постоянным отношением разбиения, равным g, которое рассматривалось на стр. 28. Выбирая р/ = ф(^), получаем следую- „ щий результат:

ОО

Если ф — возрастающая функция, причем У, ф (^”) 2я/2 = оо,

1

v то существует функция f, принадлежащая классу Аф (£) и не принадлежащая классу Д (£). ■

Это ответ на вопрос, который ранее оставался открытым (см. стр. 29).

Вычисления этого параграфа в основном заимствованы из работы Кахана [2] и монографии Кахана и Салема [1, гл. X].

ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ, НИКАКАЯ СУПЕРПОЗИЦИЯ КОТОРОЙ, ОТЛИЧНАЯ ОТ ПОСТОЯННОЙ, НЕ ПРИНАДЛЕЖИТ КЛАССУ А (Е)

Мы уже встречались на стр. 30 с построением непрерывной функции на прямой, для которой из суперпозиций вида F-f дищь тождественные постоянные принадлежат классу Д100, .

Некоторое изменение построения предыдущего параграфа также доставляет нам непрерывную функцию, обладающую этим свойством. Точнее,

Пусть Е — совершенное симметрическое множество и тп — такая невозрастающая последовательность (п = 0, 1,...), что ®„^2®„+1 и

Игл (®я2”/2) >■ 0.(5)

/г-юо

Тогда существует непрерывная на множестве Е функция /^const, такая, что ее колебание на каждом отрезке Вп не превосходит соя и из суперпозиций вида F»f классу А (Е) принадлежат лишь тождественные постоянные.

Очевидно, можно считать, что соо^1 и lim (g^”) > 1. Существует такая последовательность целых чисел /о = О, Л,... ... ^ /^, ..., что со2/^ ^ 2~7^; разрежая при необходимости эту последовательность, можно предполагать, что /Vh^^/^. Наконец, уменьшая при необходимости о>^, можно положить

2/й ”, п е \21^ /а + Лж], 2 /А+1, п е[/д + taw 2/а+1].

Начиная с этого момента мы будем считать, что последовательность ton определена именно таким образом. Пусть Еп обозначает множество Еп-\- {0, bn^, иными словами — множество концевых точек отрезков Вп. Для простоты обозначений заменим - индекс 2Д индексом к и припишем черту: tok = to^k и т. д.

Обозначим через Рк следующее свойство: множество f (Ек) есть множество всех точек/ кратных tokl содержащихся в [0, 1], и колебание /|£* на каждом отрезке Вт (т ^ 2/д) в точности равно tom. Будем определять сужения /^ по индукции.

Положим f(a) = 0, f (<з + Z?o) = 1; таким образом, условие Ро выполнено. Допустим, что функция / уже построена на множестве Ек_ 1 и условие Р^ выполнено. На каждом Вк_1 (в концах которого функция / принимает значения, отличающиеся друг от друга на cs^t) перенумеруем отрезки Вк слева направо и потребуем, чтобы два значения, которые принимает сужение ^1 на каждом Вк, имели вид /со& («меньшее» значение) и (/+ + 1) tok («большее» значение) и чтобы / увеличивалось с увеличением номера Вк. В этом случае условие Рк будет выполнено. Остается уточнить выбор двух значений сужения /|£* на каждом отрезке Вк. Для этого рассмотрим меру pfe из предыдущего параграфа. Изменим ее на множествах Е^_г и Е^А-Ь^ — Ь^

таким образом, чтобы свертка( vfc=^*(60-65J ' (через pt обозначена измененная мера) снабжала точки множества Е^-1 (на котором / уже определена) массой, равной + 1 там, где / принимает «большее» значение, и массой, равной — 1, где она принимает «меньшее» значение. Во всех точках t, принадлежащих Е^, выберем теперь для / (/) «большее» значение там, где vA имеет массу + 1, и "«меньшее» значение там, где мера чк имеет массу —1. Это условие согласуется с определением функции / на множестве Ek_t в силу выбора меры р*, а также с условием Рк, так как_мера v6 является суммой массы -f- 1 и массу — 1 на каждом Вк. Таким образом, функция / построена на Ек и условие Рк выполнено.

По непрерывности можно продолжить / на все множество Е.

Стало быть, нами построена непрерывная функция Д обладающая таким свойством, что на каждом отрезке Вт ее колебание в точности равно ©т.

Рассмотрим образ меры vft при отображении f. Ввиду того что мера vk сосредоточена на Ек) ее образ будет сосредоточен на f(EkY т. е. множестве всех точек, кратных G>fe и принадлежащих [0, 1]. На носителе положительной части меры vk, которую мы обозначим через vt, функция f принимает «большие» значения и каждое свое значение принимает, как легко видеть, одинаковое количество раз. Образом меры vj является, следовательно, мера с общей массой ||^||Л1 = Ц ^||л1 = 2/й, равномерно распределенной ио точкам вида jmk (j=l,2, ...v^Y Образом отрицательной части меры vk является мера с той же общей массой, равномерно распределенной по точкам вида j6k (/=0, 1,..., 2,ft—1). Следовательно, образ меры vk при отображении f есть мера 2^ (6t — 60).

Для любой функции g вида F-f имеет место равенство

\gdVk = 2’^F^-F^Y

С другой стороны, для любого целого п одновременно выполняются неравенства

• | $ е^ dvk (t) | ^ || vk ЦРЛ1 ^ 21| ^ ||рм ^ 21| pft ||РЛ1 + 4 ■ 2^ < 8 2'» (так как мы предположили, что 2jk_t^ik) и

| $ ем dvk (0 I = IS eini (1 - ein^ d^ (i) | <

^Irtjl^jll^llM^f?,

Из этого следует^ что если g е Л, то

\§^к = о^ (й->со).

Таким образом, если функция g имеет вид F°f и ge Л(Е), то Е(0)=Е(1), т. е. g^=g^-¥b0Y

Заменяя меру vA ее сужением на отрезок Bmi убеждаемся тем же самым способом (см. замечание в конце § 7 на стр. 47), что при тех же предположениях функция g принимает равные значения _на концах отрезка Вт. Из этого следует, что функция g является тождественной постоянной. ■

Изложенный . нами метод в упрощенном виде можно найти в работе Кахана и Кацнельсона [4]. Ценой небольших усложнений можно получить следующий результат (см. упомянутую работу), который мы здесь лишь сформулируем.

Пусть задана возрастающая полуаддитивная функция ф (/i) (/г>0), удовлетворяющая условию

' Иш (й”1/2ф (Д)) >0.(6)

О

Тогда существует функция f^ const, принадлежащая классу ЛФ(Т), такая, что из функций вида F ° f только тождественные постоянные принадлежат А (Т). •

Эти результаты являются точными в следующем смысле. В условии (5) нельзя заменить 2П/2 на ЛП2Л/2, если ИтД„ = со, а в условии (6) нельзя заменить

h~x<2 на А (й) й-*/2, если ИтД(й) = 0.

Это следует из теоремы Бернштейна (стр. 21) и ее аналога для совершенных симметрических множеств (стр. 28).

ИДЕМПОТЕНТЫ АЛГЕБРЫ А (Е)В СЛУЧАЕ mes £ = 0

Любая псевдомера со средним значением, равным нулю

Т^^Т^е1"1 (Т(0) = 0), является обобщенной производной некоторой функции с суммируемым квадратом

постоянной на каждом интервале, дополнительном к носителю

псевдомеры Т. Если не предполагать, что 7(0) = О, то первообразная псевдомеры 7 уже нс будет периодической; в этом случае имеем

п ф 0

Пусть Е — замкнутое множество меры нуль на окружности Т. Если псевдомера Т сосредоточена на Е, то она полностью определяется значениями первообразной 6 (/) на множестве /\Е, где / — некоторый интервал длины 2л, такой, что его концы не принадлежат множеству Е. Эти значения определяют коэффициенты Т (п) и, следовательно, Т. В частности, Т = 0, если функция 0 (/) постоянна на дополнении к множеству Е.

Для сопряженных пространств это означает следующее:

Если множество Е имеет меру нуль, то банахова алгебра * AUe порождается своими идемпотентами.

Напомним, что через JE мы обозначаем замкнутый идеал банаховой алгебры А, порожденный функциями, обращающимися в нуль в окрестности множества Е. На стр. 39 мы видели, что идеал JE является ортогональным дополнением к PM (Е) в пространстве А. Стало быть, пространство PM (Е) является- сопряженным пространством к банахову пространству AUe-

Среди идемпотентов, принадлежащих факторалгебре AUe, находятся все классы ita,bi (а < b < а + 2л, а^Е, Ь^Е), которые имеют в качестве представителей функции из А, равные 1 в окрестности множества Е П [а, Ь] и равные 0 в окрест- .ности Е П [6, а-|-2л]. Если ТеРМ (Е), то

(Т,/[а.е]) = 6(&)-9(а).

Если все эти скалярные произведения равны нулю, тр функция 9(<) постоянна на дополнении к множеству Е и, следовательно, Т = 0. Таким образом, банахово пространство AUe порождается классами i[a> 6]. ■

Заметим, что А (Е) = АНе есть банахова факторалгебра, содержащаяся в алгебре AUe- Как следствие получаем, таким образом, следующий результат:

Если множество Е имеет меру нуль, то алгебра А (Е) = = АЦе порождается своими идемпотентами. ■

ИДЕМПОТЕНТЫ АЛГЕБРЫ А (£)

В СЛУЧАЕ, КОГДА mes Е > 0

Мы увидим, что предыдущие результаты теряют силу, если отказаться от предложения, что множество Е имеет меру нуль.

Пусть Е — нигде не плотное совершенное множество положительной меры на окружности, и пусть lv, 12,1п —длины смежных интервалов. Если 1п^^п^ то существует измеримая функция, отличная от нуля на множестве положительной меры, заключенная между нулем и единицей и равная нулю вне мно- жества Е, 'такая, что ее коэффициенты Фурье удовлетворяют условию 6 (п) == О ^|-^) (п ± оо).

Для доказательства удобно считать множество Е расположенным на интервале длины 2л вещественной оси. Обозначим через а —л левый конец множества Е и через ^, t2,..., tn,... центры интервалов (длины lv,l2,...,ln,..^, образующих множество [а — л, а + л]\£. Пусть ср —функция из класса С2, заключенная между нулем и единицей и равная единице на [—у» у]1)* Положим Хп^^ и

ФО (0 = Ф (^ — °^)»Ф« (0=ф(^п(^^))-

Функция

.е(0 = Фо(0*Й (! — ф^(0)

п = 1

определена всюду, заключена между нулем и единицей, строго положительна на множестве положительной меры и равна нулю

А/ 1 \

вне множества Е. Остается показать, что 8(и) = 01 — 1 («->оо).

п

Положим 6л = ф0 П (1—<рт). Имеем 8„ = 8„_1 (1 — ф„) или т = 1

е„ (о = е^! (о - ф„ (/) е^^у - Фя ^ (t -t„) e;_i ^ - Тя ^ ф» (О с

Т„ (/) = 8^ (/) - б^ Щ -kt- t„) B'n-l Цп\

Для преобразований Фурье имеем

8„ (и) = 6„_4 (м) - 1 ф (f) e"tutn 8„_, (/„) -

^ e~iuin^ ^ - ^п <иУ ^Кп Х^п/

При оценках, которые мы сейчас получим, будем обозначать через С произвольную абсолютную постоянную (которая необязательно должна быть одной и той же в разных строках).

т) Функция и равна нулю вне отрезка [—л, л].-— При^. ред.

Имеем

О ^ фл ^ 1, || фл ||оо ^ СХП1 || фл ||оо ^ СХл,О ^ 6л ^ 1 , II 6п ||оо ^ || 6л — 1 ||оо "4"* || фп ||оо ^ • • . ^ СХп ,II 9^ |^ ^ || 6^_! 11^ + 2 || 6л ||оо II Фи ||оо +CU

и, обозначая через || ЦЬ верхнюю грань модуля функции на ^ + Дк неравенства

h^l&^^ilQ^-HIco^C^l,

IlT^^lie^.ii^c^1, Ьп11«^|Г6п-11к<с^->"'

fl (ФпТп)" lloo - II ?; Ui+2II Tn Hi II Фп k+ II Tn Hi II ф; Hoc < C^ _ ь

Из двух последних неравенств следует, что

I <₽«?«(«) |^СЦ_! inf (А, А^^'^Й' 4У \Лп и3/\Хп и2/

Так как к тому же выполнены неравенства

|$(M)|^Cinf(l, А),|ф' (u)|^Cinf(l, I),

то равенство (7) приводит к неравенству

|6„(M)|^|9„_J«)| + Cinf(l У-

Функции 6„ стремятся к 9 в L1, и, следовательно, их преобразования Фурье 9„(и) равномерно стремятся к 9 (и), когда п-^-оо. Из этого следует, что. для Хт^ы^Хт+1

“\Л/П+1Лл1+2/

или (с другой постоянной С)

следовательно, 9 (ц) = О ^^ (и -> со).

Для сопряженных пространств из этого следует, что

При сформулированных выше предположениях относительно множества Е банахова алгебра AIJe не порождается своими идемпотентами.

В дальнейшем мы увидим, что Ie — Je, если выполнено следующее условие (условие Герца, см. стр. 73): существует такая последовательность положительных чисел еП) стремящаяся к нулю, что любое кратное еп или принадлежит множеству Е. или находится от него по крайней мере на расстоянии гп. Это условие совместимо с условием, налагаемым выше на множество Е: достаточно положить 1п = 2-2” и в качестве концов п-го смежного к Е интервала взять последовательные кратные 1п. Следовательно,

Существует такое совершенное нигде не плотное множество Е, для которого алгебра А (Е) не порождается своими идемпотентами. ■ *

Этот результат принадлежит Кацнельсону и Рудину [I]1). Существует также совершенное нигде не плотное множество положительной меры Е, для которого алгебра А (Е) порождается своими идемпотентами; это вытекает -из результатов, содержащихся в книге Зигмунда [2, т. I, стр. 599].

АЛГЕБРЫ СТОУНА —ВЕЙЕРШТРАССА

Множества Е, рассмотренные в предыдущем параграфе, применялись Кацнельсоном и Рудином, которые получили отрицательное решение следующей проблемы: является ли алгебра А (Т) алгеброй Стоуна—• Вейерштрасса, т. е. алгеброй функций, не содержащей ни одной замкнутей симметричной собственной подалгебры, разделяющей точки?

Существует замкнутая собственная подалгебра алгебры А (Т), которая является симметричной и разделяющей точки.

Действительно, пусть Т — нетривиальная псевдомера с первообразной 9, сосредоточенная на совершенном нигде не плотном множестве Е. Функции класса С°° с первыми производными, равными нулю на множестве Е, образуют алгебру а, симметричную и разделяющую точки на Т. Пусть алгебра а есть замыкание алгебры а в А. Если f^a, то (Т, /) = (6, /') = 0; то же самое справедливо, если f ^ а. Таким образом, а —собственная подалгебра. ■

^ На стр. 255 в определениях 1Ь начиная с п. 1.12, следует заменить <ft совпадает с Ь на «^ > О».

Глава IV

ПСЕВДОМЕРЫ И КЛАССЫ А(Е) (ПРОДОЛЖЕНИЕ).УСЛОВИЕ КРЕЙНА. МНОЖЕСТВА ХЕЛСОНА

В предыдущей главе широко использовалось необходимое условие принадлежности функции f пространству А (Е), а именно

supцеМ(Е), ||ц||рЯ<supцеМ(Е), ||ц||рЯ<ЕЕfdp <со,fdp <со,- (1)- (1)

sup

цеМ(Е), ||ц||рЯ<

sup

цеМ(Е), ||ц||рЯ<

Е

Е

fdp <со,

fdp <со,

- (1)

- (1)

где через М (Е) обозначено пространство мер, сосредоточенных на множестве Е. Следуя методу М. Г. Крейна, мы покажем сейчас, что это условие является и достаточным в тех случаях, когдй Е — окружность, интервал или не слишком «тонкое» множество. Далее будет рассмотрен пример Кацнельсона и Макги; показывающий, что это условие не всегда является достаточным.

Будут определены псевдомеры почти периодического типа и приведены их основные свойства. Наконец, мы будем изучать множества Хелсона, т. е. множества Е, для которых А (Е) = = С(Е), где через С (Е) обозначено пространство функций, непрерывных на Е.

ПСЕВДОФУНКЦИИ

Будем называть псевдофункцией любую псевдомеру с коэффициентами Фурье, стремящимися к нулю. В силу теоремы Римана — Лебега любая суммируемая функция является псевдофункцией. Через PF обозначим замкнутое подпространство пространства РУИ, состоящее из всех псевдофункций. Через PF (Е), где Е замкнуто, обозначим замкнутое подпространство пространства РЕ, состоящее из псевдофункций, сосредоточенных на множестве Е. Возможен случай РЕ(Е) = {0} (например, если Е —конечное множество). В этом случае говорят, что Е есть множество единственности или множество типа U. Если же PF (Е) ^ {0} *), то говорят, что Е — множество неединственности или множество типа М. Если М (Е) f| РЕ(Е)=/={0}, то говорят, что Е — мно-

х) Это условие эквивалентно существованию нетривиального ряда £ спе1пх, сходящегося к нулю вне Е. Пример множества типа М нулевой меры впервые указан Д. В. Меньшовым. —Прим, ред,

жество неединственности в узком смысле или множество типа Мо; такими множествами являются, например, все множества Е положительной меры. Подробное изложение результатов, связанных с этими множествами, читатель найдет в книгах Зигмунда [2], Бари [1], а также Кахана и Салема [1].

Роль пространства PF определяется тем, что банахово пространство А является сопряженным к пространству PF, т. е. любая линейная непрерывная форма на PF может быть записана в виде Т-*(Т, f), где feA. Это простая переформулировка того факта, что пространство Р является сопряженным к пространству с0 последовательностей, сходящихся к нулю на бесконечности.

ПРОСТРАНСТВА ~А (Е) И Ad (Е).ТЕОРЕМА КРЕЙНА

Обозначим через Md (Е) пространство линейных комбинаций точечных масс, сосредоточенных на множестве Е. Следующее условие является ослаблением условия (1):

(2)(2)sup К f dp I < оо. цеMd(£), |ip.||p^ < 11 £|

(2)

(2)

Обозначим через Л (Е) и Ad (£) пространства функций, непрерывных на множестве Е и удовлетворяющих соответственно условию (1) или условию (2). Это банаховы пространства , с нормами

Легко_ проверить, что замкнутый единичный шар простран- ства* А (Е) является замыканием в то пологий С (Е) единичного шара пространства А (Е). Из этого следует, что пространство Л (Е) состоит из функций, являющихся на Е равномерными пределами функций, ограниченных в совокупности по норме А (Е). Аналогично, пространство Ad (Е) состоит из непрерывных функций, получающихся при замыкании (в топологии поточечной сходимости на £) ограниченных множеств в А (Е). В первом случае можно ограничиться пределами последовательностей, но во втором случае нельзя.

Рассмотрим случай Е.= Т. Если fsA(T), то функция / является равномерным пределом функций fj, для котор ых

||/7||д^С‘ Тогда для любого целого N

У! |Hn)l = lim 5 1Ь(п)|^С п ^Nin\^Nz

и, следовательно, feA. Таким образом, Л(Т) = А(Т).

Аналогично, используя теорему Лебега о мажорированной сходимости, убеждаемся, что любая непрерывная. функция, являющаяся поточечным пределом на Т последовательности функций, ограниченных в совокупности по норме А, принадлежит пространству А. Но это еще не является доказательством того, что ЛЙ(Т) = Л(Т).

Рассмотрим более общий случай, когда множество Е является интервалом / окружности Т (быть может, / = Т).

Имеет место равенство Аа(1) — А{1). Другими словами, условие (2) необходимо и достаточно для того, чтобы f е А (/) (М. Г. Крейн [1]).

Предположим, что | J f dp | ^ Ц р ||РЛ1 для всех мер реЛ1й(/). Сначала докажем, что

|p(Og(O Sl^kU|p(Og(O Sl^kUдля всех g е С”,для всех g е С”,(3)(3)

|p(Og(O Sl^kU

|p(Og(O Sl^kU

для всех g е С”,

для всех g е С”,

(3)

(3)

Для этого обозначим через aN сумму масс 1/N, расположенных в точках, кратных ЗДИ, на окружности Т. Имеем

НШ^- Hm \t^g^doN^.

С другой стороны, мера gaN имеет в качестве коэффициентов Фурье следующие величины:

^н)(п) = 2 g(n-HN).isz

Так как g является быстро убывающей последовательностью, то Нт ||^^|!рл1 = ||^||рм- Наконец, в силу исходного предполо-

N —»-оо жения,

| V ^gk^N^ I^HgOjvllp^.

Мы получили, таким образом, требуемое неравенство (3).

Пространство С00 является подпространством (не замкнутым) пространства PF. По теореме, Хана —Банаха отображение g-^fg можно продолжить до непрерывной линейной формы 1

на PF. Это означает, что существует такая функция ^еА

(пространство, сопряженное к PF), что

V^ = 5 fog для всех g г С”. i I

Отсюда следует, что f — f0 на интервале /, т. е. feAy). ■

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ ТОГО,ЧТОБЫ А(Е) = А(Е)

Введем для множества Е одно простое ограничение, из которого следует, что условие (1) влечет за собой принадлежность функции / пространству А (5).

Условимся говорить, что множество Е всюду является Мо-множеством, если пересечение Е с каждым интервалом, центр которого принадлежит Е, является Л4о-множеством.

Пусть множество Е является всюду М0-множеством. Тогда А (Е) — А(Е), т. е. условие (1) является необходимым и достаточным для того, чтобы f^A (£).

Действительно, если мы предположим, что |$f dp | = '||р||РЛ1 для всех мер р е М (Е) П РЕ, то по теореме Хана —Банаха существует такая функция foeA, что

§ f dp = J /о dp для всех р е М (Е) П РЕ. (4)

С другой стороны, в силу теоремы Райхмана, на любом Л40-мно- жестве сосредоточены некоторые положительные меры, являющиеся одновременно псевдофункциями (Зигмунд [2, т. II, стр. 214], Кахан и Салем [1, стр. 150]). Таким образом, для любого х^Е и любой заданной окрестности точки х существует положительная мера р, принадлежащая пространству М^Е^РЕ и сосредоточенная в этой окрестности. Из условия (4) следует, что в этом случае f(x)=f0(x). Следовательно, feA(Ey «

Исходное предположение не гарантирует, что Л^(£) =А (£).

В самом деле,

Существуют множества Е, всюду являющиеся МЙ-множествами и линейно независимые над кольцом целых чисел. Для каждого такого множества выполняются соотношения А(Е')=А(Д), Аа(Е) = С(Е) и А(Е)^С(ЕУ

Существование множеств Е типа Мо, являющихся к тому же независимыми, доказано Руди ном [2]; относительно других построений см. Кахан [4] и ^[11]. Ни одна из этих конструкций не является явной: строится случайное множество и доказывается, что почти наверное оно независимо и является Л40-мно- жеством; без особого труда доказывается, что оно всюду типа Мо.

Мы уже показали, что в этом случае справедливо равенство А(Е)=А(Е). Равенство Ad(E)=C(E) следует из того, что для любой меры р е Md (Е)

IIИ Ирм = 11И 11м

в силу независимости и теоремы Кронекера (Кахан и Салем [1, стр. 175]).

Наконец, неравенство А (Е)^С (Е), как мы увидим позже, вытекает из того, что Е является Л40-множеством.

Относительно условий, достаточных «почти всюду», см. Розенталь [3].

ПРИМЕР КАЦНЕЛЬСОНА И МАКГИ

Существовало предположение, что условие (1) всегда является необходимым и достаточным условием принадлежности функции классу А (Е)х); это предположение было опровергнуто Кацнельсоном и Макги [I]).

Существует такое множество Е, что А (Е)=^А (Е).

Пусть 1п,— стремящаяся к нулю последовательность линейно независимых положительных чисел. Обозначим через Рп множество точек, кратных 4~л 1п и заключенных между — 1п и /„.

ОО

Образуем множество |J Рп; это замкнутое множество, а нуль — п=1

его единственная предельная точка.

Нам потребуются следующие леммы.

Если f^A(E) и Цр) = 0, то lim Ц/||л(Р) =0. п-*ооп

На каждом из множеств Рп можно сосредоточить меру pirt, являющуюся суммой меры Дирака в нуле и масс ± 2" ^п4г^ в других точках множества Рп, причем 0^|1л^2.

Пусть у —линейная комбинация точечных масс, причем v^O, и пусть Ае — треугольная функция, введенная на стр. 17. Тогда lim || v * Ag ||л = v (0) (масса меры v в нуле).

8 = 0

Лемма 1 вытекает из того, что если некоторая функция класса А равна нулю в нуле, то норма в А (/) ее сужения на интервал / стремится к нулю, когда / стягивается к нулю. Этот факт мы докажем несколько позже (стр. 71).

х) Профессор А. Бёрлинг дал понять, что нет оснований называть это гипотезой Бёрлинга. По-видимрму, такое название объясняется тем интересом, который А. Бёрлинг проявил к этой проблеме.

Для доказательства леммы 2 выберем в качестве сужения меры ця на совокупность положительных точек множества Рп меру Рудина — Шапиро (стр. 45), умноженную на 2"(n+2/). В качестве сужения на совокупность отрицательных точек Рп выберем меру, симметричную первой относительно нуля. В этом случае значения величин ц^ — 1 являются действительными и заключены между — 1 Д- 1.

Пусть v = ^v(X)S^ (сумма конечна) есть мера, фигурирующая в лемме 3. Тогда

IIV * Ле ||л (Т) = | V Ag lit. (Z) = Л V (та) Ae (та) = (v * Ag) (0).'

Это выражение равно v(0), если е меньше минимального значения |Х|, отличного от нуля.

Перейдем к доказательству нашего предложения. Пусть / — функция, / (0) = 0, значение которой в любой точке хеЕ (х=^0) равно массе в точке-х (х^Рп, / (х) = ± 2(”42)). Тогда feC^ и

2"3 = ^ / d^n || цл ||РЛ11| / ||л ^р^21| / ||л ^рп^ ,

т. е., в силу леммы 1, f^A(E). Остается показать, что Г^Афу

Для каждого целого N положим v^^pj *ц2 ... *ц^. Тогда справедливо неравенство vy = р,^ ... |Лм ^ 0. Поскольку числа 1п независимы, мера v^ совпадает с мерой р,я на множестве Рп, если n^N, и v^ равна нулю на множестве /V\{0}., если n>N. Поэтому для, достаточно малого е>0 справедливы соотношения

ОО

vv*Ag-AE = f на (J Р„,п= 1

N

vN*\z — \z = ^ на £\ U Рпп = \

и, в силу леммы 3, ||vAr*AE — Ае||д<3. Таким образом, функ-

N

ции In, совпадающие с f на множестве [J Р„ и равные нулю П=1

N

на множестве £\ |J Р„, равномерно ограничены в метрике А (£) и равномерно стремятся к f и, стало быть, f еА (С). ■

ПСЕВДОМЕРЫ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ТИПА

Говорят, что псевдомера на Т (соответственно на R) имеет почти периодический тип (сокращенно п.п. тип), если ее преобразование Фурье является почти периодической функцией

на Z (соответственно на R). На протяжении этого параграфа мы будем свободно пользоваться теорией почти периодических функций Г. Бора, изложение которой читатель найдет в книге Кацнельсона [З]).

Приведем другую формулировку этого определения. Пространство псевдомер п.п. типа на Т (соответственно на R) есть замкнутое подпространство пространства PM (Т) (соответственно PM (R)), порожденное мерами, сосредоточенными на конечных множествах. Это перефразировка того факта, что почти периодические функции являются равномерными пределами обобщенных тригонометрических полиномов. Обозначим эти пространства через РМрр(Т) и PMpp(Yty

Пространство РМрр (Т) (соответственно РМрр (R)) является модулем над кольцом А (Т) (соответственно над кольцом A (R)). Из этого следует, что принадлежность пространствам РМрр (Т) и РМрр (R) является локальным свойством. Кроме того, локально любая псевдомера п.п. типа на Т имеет п.п. тип на R и обратно. Для удобства мы ограничимся в последующем рассмотрении псевдомерами на прямой R.

Приведем две основные теоремы.

(Сильный синтез.) Если Е —замкнутое подмножество R, то подпространство пространства РМ№ь порожденное МДЕ), совпадает с пространством PM (Е) П РМрр-

Это сразу же следует из теоремы-о синтезе почти периодических функций с помощью надлежащего метода суммирования рядов Фурье —Бора. ■

Множество точек, в окрестности которых фиксированная псевдомера не имеет п.п. тип, не содержит изолированных точек (Люмис).

Для доказательства удобно опереться на теорему Бора о том, что ограниченность первообразной почти периодической функции влечет за собой ее почти периодичность. В других обозначениях это можно записать так:

Т^РМ и хТ гРМрр-=1> Т е РМрр.

Пусть теперь некоторая псевдомера Т имеет п.п. тип на каждом из интервалов (— а, 0) и (0, а). Достаточно показать, что Т имеет п.п. тип на (—а, а). Умножая, если это необходимо, на функцию из класса А, можно предполагать, что Т сосредоточена на отрезке [—а, а]. Пусть /8 —такая нечетная функция, сосредоточенная на [—2е, 2е], что 16^х) = х на [0, е] и /е(х) = 2е — х на [е, 2е]. Так как функция х — /8 равна нулю в окрестности нуля и локально принадлежит А, то (х — Те) Т е еРМрр; с другой стороны, норма ||/6||д(К) стремится к нулю

при е->0 и, следовательно, норма pe7l|pM(R) также стремится к нулю. Таким образом, хТ ^РМрр и достаточно применить теорему Бора.

Как следствие получаем: любая псевдомера со счетным носителем имеет п.п. тип. ■■

МНОЖЕСТВА ХЕЛСОНА. ЛЕММА

Компактное множество Е называется множеством Хелсона, если С(£) = Л(£), иными словами, если любую непрерывную функцию на Е можно продолжить до функции из класса А.

Исследование множеств Хелсона основывается на следующей лемме:

Пусть X и Y — два банаховых пространства, такие, что X является векторным подпространством пространства Y, плотным в Y, и каноническое отображение X в Y непрерывно. Пусть X* и Y* — двойственные пространства; ясно, что Y* является векторным подпространством пространства X*. Тогда следующие соотношения эквивалентны*.

X=Y (иными словами, каноническое отображение есть отображение на),

sup ||х||х<оо,

X G X, || X Цу ^ 1

sup ||у*||к. <оо.

, «'ey*. Цг/Их**?1

Доказательство можно найти у Кахана и Салема [1, стр. 141].

Если выбрать Х = Л(Е), Y = C^E), то условие (с) запишется в виде

sup Ы|м<оо,

чеМ^Е), llullpAf ^ 1 т. е.

Црк^сИрЦря для всех реЛ1(Е) и с = с<Еу(5)

Это условие Карлесона._

Если выбрать Х = А^, Y = C(E), то условие (с) запишется в том же самом виде, так как |Ы(Л(е>)* “ИИрло Таким образом, равенства А (Е) = С (Е) и Л (Е) = С (Е) эквивалентны.

Выберем, наконец, Х = А*(Е'}) Y = C(E). Напомним, что через А* обозначается подпространство пространства А, состоящее. из функций, коэффициенты Фурье которых 1(п) равны нулю для п<0. Через Л+(Е) обозначается пространство сужений на Е функций, принадлежащих Л+ (факторпространство пространства Л+ по его замкнутому подпространству, состоящему из функций, обращающихся в нуль на Е). Исследование таких множеств Е, для которых Л+(Е) = С (Е), восходит к Кар-

лесону [1]. В этом случае для всех р е М (Е) имеем

|| р||(Л+ (£»• — sup I [!(—«) Iп^О

и условие (с) записывается в виде

ЦрЦм^с'зир |р(—п) [ для всех р s А4 (£) и с'=с* (Е). (6) п>0-

Ясно, что соотношение Л+ (Е) = С (Е) влечет за собой А (Е) = = С (Е). Обратное утверждение, которое мы докажем ниже, было установлено Виком [1].

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МНОЖЕСТВ ХЕЛСОНА"

Приведем основную теорему о множествах Хелсона.

Пусть Е — замкнутое подмножество окружности. Тогда следующие условия эквивалентны;

Любая непрерывная на Е функция является сужением на Е некоторой функции из класса А.

Любая непрерывная на Е функция является сужением на Е некоторой функции из класса А*.

Любая непрерывная на Е функция является равномерным пределом сужений на Е функций, ограниченных в совокупности* по норме А.

Существует такая постоянная clt что любая непрерывная на Е функция f может быть представлена в виде / = 5 Т^1"1 nez

(^Е), где £ IТ» | ^с4ПИс^,.

пег

Существует такая постоянная с2, что любая непрерывная на Е функция / может быть представлена в виде /= ^ Y«£lnt

(tefy где ^1 Vn|^c2||f||c(£).

О

Существует такая постоянная с^ что для любой меры pi, сосредоточенной на Е, справедливо неравенство

llnk = U^l^c3Sup |р(л)|.

nEZ

Существует такая постоянная с4, что для любой меры pi, сосредоточенной на Е, справедливо неравенство

,||p.h^c4sup |р(— л)}.

Существует такая постоянная сб, что для любой меры р, сосредоточенной на Е, справедливо неравенство

Инк^ Пт |Д(П)|.|л|—ОО_

Существует такая постоянная с^ что для любой меры р, сосредоточенной на Е, справедливо неравенство

Цр-к^Св Пт |р.(— п) |.

.М-* ОО

Лемма, доказанная в предыдущем параграфе, влечет за собой эквивалентности 1 о 4 <=> 6 о 3 и 2 о 5 •» 7. Импликации 9 => => 7 => 6 и 9 => 8 => 6 очевидны. Остается показать, что 6 => 9.

Пусть выполнено условие 4, и пусть мера р принадлежит пространству М (Е). Комплексно сопряженная ей мера

р~ ^ н(— п)^,

/1GE z

которая также принадлежит М (Е), абсолютно непрерывна относительно меры р, и ее плотность по отношению к р по модулю равна 1. Таким образом, меру р можно аппроксимировать по норме М (Е) с помощью произведений вида v = fp, где f ^С (Е) и ||Лс(Е)=1- В силу условия 4,

dv(0 = dp(02Tmeimt, ^lYml^Ci

и потому

lim |v(—/г)!^^ Нт |р(—п)|.

п->4"°°/1-*+°°

Отсюда следует, что

lim |p(+n)|^c1 lim |р(—n)|,

И—>-|- 00П->4”00

т. е.

lim | р(/г)|^С! lim |р(—/г)|. | п I -► ООп->+ ОО

Таким образом (при выполнении условия 4) условие 8 влечет за собой 9.

Пусть теперь выполнено условие 6. Обозначим через Pj и Qj два тригонометрических полинома вида

PAt)=Il 6meimt (em = ±l),

т = 1

2-^

Qi^”^ б'т^ (е^ = ±1),

m=M

таких, что | Р/(О I® 4~ Ю/(0 Iя = 2/+1. Существование таких полиномов следует из построения Рудина и Шапиро, приведенного

3 Ж.-П, Кахан.

на стр. 45. Тогда

1^(0Ж0/(0>2(/+')/з, следовательно, при фиксированной мере ^ е М (£) (заменяя при необходимости О, на Р7) мы получаем, что неравенство

$|Р7(ХО^(0>2</+0/2|№

выполняется для бесконечно многих целых X, принадлежащих некоторому множеству Л. Для любого ХеЛ имеем, в силу условия 6,

2</+|>/2||ц|1я^с3 sup I ^ em^(«-M .nez im=1

Неограниченно увеличивая X, получаем

2(/+’)/2Ин11л^Сз f Нр^^'—1) iiin 1|л(п)Н

\|п | —> оо jI /

Теперь, для того чтобы убедиться в справедливости предложения 8, достаточно выбрать / так, чтобы 2^+1>/2>с3, и поло- житьс5 = (2/' - 1) (2(/+ D/2 _ с8)-1.

Таким образом, мы получили импликацию 6=>9, которая и завершает доказательство.

В качестве первого следствия получаем, что А (£) = С (Е) => => Д+(£) = С (Е). Новое доказательство этого результата с помощью более сильного и общего метода принадлежит А. Бернару [1].

В качестве второго следствия получаем такой результат: из равенства Л (Е) — С (Е) вытекает, что Е не является Л40-мно- жеством. Это теорема Хелсона [2]. В частности, множество Е нигде не плотно. Неизвестно, всякое ли множество Хелсона является (/-множеством 1).

В качестве третьего следствия получаем следующий критерий:

Для того чтобы замкнутое множество Е было множеством Хелсона. необходимо и достаточно, чтобы Е было нигде не плотным и идемпотенты алгебры С(Е) были ограничены в Л (Е).

Это условие необходимо в силу только что приведенного, замечания и предложения 4. Оно достаточно, поскольку если Е — замкнутое нигде нс плотное множество, то любую непрерывную на множестве Е функцию, принимающую значения вида 2^-, заключенные между нулем и единицей, можно представить в виде ^ ^- /л (сумма конечна), где 1п — идемпотенты алгебры 1

CkEY ■

t) См. примечание 2 на стр. 69. — Прим, перев.

НОВОЕ ПОСТРОЕЙИЕ ФУНКЦИИ,НИКАКАЯ СУПЕРПОЗИЦИЯ КОТОРОЙ,ОТЛИЧНАЯ ОТ ПОСТОЯННОЙ, НЕ ПРИНАДЛЕЖИТ А (5)

В качестве применения этого результата можно показать, что для достаточно «больших» множеств Е существуют такие замкнутые подалгебры С (Е), пересечение которых с алгеброй А (Е) содержит только тождественные постоянные (такой результат был получен нами на стр. 49 для совершенных симметрических множеств).

Множество Е нигде не является множеством Хелсона, если не существует никакой порции Е (непустого пересечения множества Е с открытым интервалом, концы которого не принадлежат Е), являющейся множеством Хелсона.

Если множество Е нигде не является множеством Хелсона, то существует такая непрерывная на Е функция f, отличная от тождественной постоянной, что .из функций вида РЦ классу А (Е) принадлежат только тождественные постоянные (Кахан [15]).

Заметим сначала, что если функции f и F-f непрерывны на множестве Е, то функция Е заведомо непрерывна на множестве f(,Ej. Результат справедлив для любого компакта Е и доказывается непосредственным рассмотрением полного прообраза замкнутого множества при отображении F.

Так как множество Е нигде не является множеством Хелсона, то можно определить последовательность Ejik (/ = 0, 1,...; ^ = 0, 1, .... У-1) замкнутых, попарно не пересекающихся, нехелсоновых, нигде не плотных подмножеств множества Е, расположенных в том же порядке, что и точки вида ^4-^2~Л На каждом множестве Ej)k определим функцию / таким образом, чтобы выполнялись следующие условия: 1) / непрерывна и принимает два значения toH и (& + 1)2-/; 2) Ц/ —А2-/||д^ fc^ 5=24 В силу условия 1, функцию f можно продолжить по непрерывности на множество Е так, чтобы f (Е) = [0, 1].

Если F«feA(E), то нормы ЦЕ^д ^ ^ должны быть равномерно ограничены. Между тем на каждом E/|ft имеет место тождество

F-f=F (62-/) + 2/ (f - 62"/) [Е ((6 + 1) 2-/) - F (62-/)].

Принимая во внимание условие 2, получаем из этого, что sup 2а/1Е ((А + 1) 2-/) - Е (62-/) I < со,

откуда в силу непрерывности функции Е вытекает, что F постоянна на множестве f(E). ■

з«

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ, ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯИ ОСТАВШИЕСЯ ОТКРЫТЫМИ ПРОБЛЕМЫ,СВЯЗАННЫЕ С МНОЖЕСТВАМИ ХЕЛСОНА

Результат, полученный нами на стр. 45, можно переформулировать в виде необходимого условия того, чтобы замкнутое множество было множеством Хелсона.

(Н.У.) Для того чтобы замкнутое подмножество Е окружности Т было множеством Хелсона, необходимо, чтобы для

{

п

2 ^Хр а/ /=1

целые, 21аИ^251 содержало не более Kns точек множе-

)

ства Е. м

На счетные множества Хелсона переносится все изложенное в начале гл. X относительно множества Сидона.

Фактически счетные множества Хелсона на R являются множествами Сидона на R. Используя критерий Стечкина (стр. 18), получаем следующее условие:

(Д.У.) Для того чтобы счетное замкнутое подмножество Е окружности Т было множеством Хелсона, достаточно, чтобы оно представляло собой конечное объединение множеств Е,, обладающих следующим свойством: существует такое целое В >®, что для любого t еТ и любого целого s имеется не более В® наборов знаков + и — и различных точек ti, Ц, ..., ts, принадлежащих Е,, для которых ± tt ± /2 ±... ± ts = t.

Приведем два следствия. Говорят, что счетное подмножество окружности Т является множеством Адамара, если его можно представить в виде {а±/у, / = 1, 2, ...}, где 0</у+1<е/у (0<е<1, / = 1, 2, ...). Говорят, что подмножество Е окружности Т независимо, если никакая линейная нетривиальная комбинация элементов Е с целыми коэффициентами не равна нулю на Т.

(Д.У.1) Любое конечное объединение множеств Адамара является множеством Хелсона.

(Д.У.2) Любое конечное объединение счетных независимых множеств является множеством Хелсона.

Определение множества Хелсона естественно обобщается для других групп. Если заменить группу Т группой D (счетное произведение груйп, состоящих из двух элементов), то условия (Н.У.) и (Д.У.2) сохраняют силу (при определении независимости удобно ограничиться только коэффициентами 0 и 1). Замечательно, что в этом случае условие (Н.У.) достаточно, а условие (Д.У .2) необходимо для того, чтобы. счетное замкнутое множество было множеством Хелсона (Мальявен-Бремере и Мальявен [1]).

В случае окружности Т не выяснено, являются ли условие (Н.У.) достаточным, а условие (Д.У.) необходимым. Ясно, что ни условие (Д.У.1), ни условие (Д.У.2) не являются необходимыми.

В гл. VIII будут приведены примеры совершенных множеств Хелсона. Ситуация в случае совершенных множеств полностью отличается от ситуации в случае счетных множеств. Например, существует совершенное независимое множество типа Мо (множество Рудина, см. примечание на стр. 59). Такое множество не является множеством Хелсона.

Даже в случае счетных множеств не выяснено, всегда ли объединение двух множеств Хелсона является множеством Хелсона х) (это так в случае группы D в силу теоремы Мальявен- Брамере и Мальявена.

Из характеризации множества Хелсона и того факта, что псевдомера со счетным носителем имеет п.п. тип, следует, что счетное множество Хелсона не является носителем существенной псевдомеры. Не ясно, верно ли это в общем случае.

Равным образом не выяснено, имеет ли множество Хелсона тип U; естественно, это так, если оно не является носителем существенной псевдомеры).

х) Положительный ответ на этот вопрос получен Дрюри [1] и Варопу- лосом [7]. — Прим, перев.

Глава V

ЗАМКНУТЫЕ ИДЕАЛЫ. РОЛЬ ВЕЛИЧИНЫ ^"/Црм

Любому замкнутому подмножеству Е окружности Т соответствуют (стр. 39) замкнутый идеал 1Е алгебры А,, состоящий из всех функций, принадлежащих алгебре А и обращающйхся в нуль на множестве Е, и замкнутый идеал JE алгебры А, порожденный функциями, принадлежащими алгебре А и обращающимися в нуль в окрестности множества Е. Таким образом, JeclIe и множество JE является ортогональным дополнением в пространстве А к пространству PM (Е): Основная цель этой главы — сравнить идеалы 1Е и JE.

Эта задача связана со следующими проблемами:

Указать, если возможно, такие методы аппроксимации функции f в А, при которых множество нулей аппроксимируемой функции содержалось бы внутри множеств нулей аппроксимирующих функций.

Выяснить, для каких множеств Е пространство М (£) мер, сосредоточенных на Е, слабо плотно в пространстве PM (Е). (Это привело бы в двойственность пространства А и РМ.)

По причинам исторического характера вторая проблема называется проблемой гармонического или спектрального синтеза (см. Кахан и Салем [1, стр. 113]). Существование множеств, не обладающих этим свойством, было открыто Малья- веном [1]. При доказательстве теоремы Мальявена существенную роль играет порядок убывания по и величины ||ег“/||РЛ1.

ТЕОРЕМА ВИНЕРА—ДИТКИНА

Если А6 — «треугольная» функция (стр. 17) и Ve = 2A2e —Ае, то функция Ve равна единице на [—е, е], нулю вне [—2е, 2е] (mod 2л) и || Ие U 3

Пусть f^A и f(0) = 0. Тогда lim^ V6f\\A = О, т. е. функ- е->0

ция f является пределом функций /(1 — Уе) 6 А.

Для доказательства удобно воспользоваться следующим неравенством для функции g, непрерывной и имеющей кусочно

, непрерывную производную на окружности Т:

/л\ 1/2

Ил^1£(0)|+ £ $ |g'(0M,(1)

\ —Л'

которое является просто другой записью неравенства Шварца

п ф 0 '\м ф 0п ф 0 /

Если функция f непрерывно дифференцируема, то функции Vef'"VV'ef равномерно ограничены. Таким образом,

— 2е

и, с другой стороны,

| (VJ) ^dt = О (е*)(8^0).

-28

В силу неравенства (1), полагая g=Vef, имеем Нт || ^1^ = 0. е^ 0

В общем случае достаточно аппроксимировать функцию f в пространстве А тригонометрическими полиномами, обращающимися в нуле в нуль. ■

Как следствие получаем такой результат: если fe А и / (0) = 0, mo ИтЦ/Цлц-е, е]) = 0. е->0

Изложенное выше в основном принадлежит Винеру [1]. Значение этого факта в проблеме синтеза было обнаружено Диткином [1]. По этой причине говорят, что замкнутое множество на окружности является множеством Диткина, если для любой функции / из класса А, обращающейся в нуль на множестве Е, существует такая последовательность функции <р„, принадлежащих классу А и обращающихся в нуль в окрестности множества Е, что НтЦф^ —/1^ = 0. Определение представляет интерес и для других групп (Рудин [4, гл. VII]). Говорят, что множество Е есть сильное множество Диткина, если последовательность функций ф„, кроме того, можно выбрать независимо от функции f. -

Из изложенного сразу же вытекает, что точка, отрезок, конечное объединение точек и отрезков являются сильными множествами Диткина. В работе Вика [5] показано, что любое сильное нигде не плотное множество Диткина заведомо конечно. Мейер в работе [1] построил первые нетривиальные примеры сильных множеств Диткина, например, множество £ = [—1, 0] (_J {^}- См. также Розенталь [2].

В качестве приложения отметим, что любую кусочно-линейную функцию можно аппроксимировать в Д функциями, обращающимися в нуль в окрестности ее нулей.

ТЕОРЕМА ВИНЕРА-ЛЕВИ

Н. Винером и П. Леви были сформулированы соответственно первая и вторая части следующей далее теоремы. Доказательство, как указал П. Леви [1], в основном принадлежит Винеру.

Если функция feA и если f нигде не обращается в нуль, то 1/fe A. Более общо, если F (г) — аналитическая функция на множестве значений функции f (т. е. аналитическая в окрестности этого множества), то F«fe А.

Этот факт сразу же следует из теории Гельфанда (см. гл. I, стр. 14). Доказательство Винера состоит в следующем.

Пусть feA, Ца) = Ь и функция F (z) аналитична в окрестности трчки Ь. В силу того что принадлежность классу А является локальным свойством (стр. 19), достаточно показать, что функция F«f совпадает с некоторой функцией класса А в окрестности точки а. Без ограничения общности можно пред

положить, что a = b = Q. В таком случае F(г) = ’^lcnzn, причем о

ряд абсолютно сходится при |г|<7? для некоторого R. Если е достаточно мало, то выполняется неравенство ЦУе/ЦдС/? и, следовательно, F-V^^A. Так как функция F«f = F-V4 в некоторой окрестности нуля, .то теорема доказана. ■

В качестве приложения теоремы Винера получаем следующий результат:

Если I — собственный идеал алгебры А, то множество Е всех общих нулей функций из I является непустым замкнутым множеством и JEal а1Е.

Действительно, пусть / — идеал алгебры А и множество всех общих нулей функций, принадлежащих этому идеалу, пусто. Тогда любой точке аеТ соответствуют некоторая ее окрестность Га и функция fa, принадлежащая идеалу / и не обращающаяся в нуль на Va. Пусть (а) —такое конечное множество, что Т= [J Гд. Тогда функция /= У, fafasl

aE(a) as (a)

строго положительна на окружности Т. Поскольку в этом случае 1//еД, то идеал / содержит функцию f.\/f=i, т. е. I = А. Из этого следует, что если / — собственный идеал, то множество Е непусто. Включение I а 1Е очевидно, а включение Je^T следует из того, что' для любой точки а^Е идеал 7

I

содержит функцию, не равную нулю в точке а и равную нулю вне произвольной фиксированной окрестности точки а. щ

Множество Е называют коспектром идеала /.

ТЕОРЕМА ГЕРЦА

Приведем теорему, по существу принадлежащую Герцу [1]: Пусть f ^ А, и для каждого N пусть fN обозначает функ- 2л^

цию, совпадающую с f в точках вида -^- и линейную в промежутках. Тогда lim ||f — ^||д = 0.

N-*co

Если функция f непрерывно дифференцируема, то производные функций f — fN (определенные всюду, кроме, быть может, точек, рациональных относительно 2л) равномерно стремятся к нулю и требуемый результат следует из неравенства (1) на стр. 71. Если

к=Л

где Ае — та же самая «треугольная» функция, что и на стр. 70. Так как Ае является функцией положительного типа (стр. 17) и коэффициенты Фурье меры

n

5 ехР (^у^) 6(2йл)/п (6О — мера Дирака в точке а) 6=1

также неотрицательны, то тем же самым свойством обладает их свертка fN. Наконец, поскольку Ду (0) = 1, то справедливо неравенство ||^||д^1.

Из этого следует, что в общем случае Ц^Цд^Ц/Цд. Так как непрерывно дифференцируемые функции плотны в простран-, стве А, то требуемый результат, будучи установлен для непрерывно дифференцируемых функций, справедлив для всего пространства Л. ■

В качестве иллюстрации этого результата рассмотрим случай, когда функция f обращается в нуль на канторовом множестве

Е = |4л^-|2-, е„ = 0 или 1

В этом случае функции f3v совпадают с функцией / в концевых точках «белых» отрезков v-ro ранга, участвовавших в по-

строении множествастроении множестваЕ отрезков видаЕ отрезков вида+ gy- j; значит, функции f3v обращаются в нуль на множестве Е.+ gy- j; значит, функции f3v обращаются в нуль на множестве Е.

строении множества

строении множества

Е отрезков вида

Е отрезков вида

+ gy- j; значит, функции f3v обращаются в нуль на множестве Е.

+ gy- j; значит, функции f3v обращаются в нуль на множестве Е.

В общем случае говорят, что множество Е удовлетворяет условию Герца, если существует такая последовательность целых чисел N„, стремящаяся к бесконечности, что для каждого v любая точка вида ^- или принадлежит множеству Е, 2д

или отстоит от него на расстоянии, не меньшем чем др. Отно- сительно этих множеств см. Розенталь [4].

Пусть множество Е удовлетворяет условию Герца и функция fe А обращается в нуль на множестве Е. Тогда функция f является пределом в А последовательности кусочно линейных функций, обращающихся в нуль на множестве Е.

Из этого следует, что функция / является также пределом в А последовательности функций, обращающихся в нуль в окрестности множества Е.

ФУНКЦИИ, ДОПУСКАЮЩИЕ СИНТЕЗ.МНОЖЕСТВА СИНТЕЗА

Говорят, что функция /, принадлежащая пространству А, допускает синтез, если она является пределом в А последовательности функций, обращающихся в нуль в окрестности множества нулей функции /. Обозначим множество нулей функции / через N(f). Таким образом, в обозначениях, введенных на стр. 70, функция / допускает синтез тогда и только тогда, когда feJN^y Для выполнения этого условия необхо- •димо и достаточно, чтобы (Г, /) = 0 для любой псевдомеры Т, сосредоточенной на N (/).

Говорят, что замкнутое .подмножество Е окружности является множеством синтеза, если имеет место равенство Ie = Je- Это означает, что пространство _РМ (Д) является ортогональным дополнением к 1Е, или, другими словами, для любой псевдомеры Т, сосредоточенной на множестве Е, и любой функции из пространства А, обращающейся в нуль на Е, справедливо равенство (Г, /) = 0. Это означает также, что пространство М (Д) (равно как и МД (Е)) плотно в пространстве РМ(Е) в слабой топологии <з(РМ, Д). Если назвать «спектром» ограниченной последовательности {un)nez носитель псевдомеры, для которой эта последовательность является преобра-

зованием Фурье, то это означает также, что любая ограниченная последовательность V^Wi является слабым пределом в топологии о (Z00, Z1) линейных комбинаций последовательностей ^е1ап\п^г с точками а, принадлежащими спектру последовательности {un}n^z. Последнее, собственно говоря, и является задачей «спектрального синтеза»..

Обозначим через А* (Е) ортогональное дополнение к идеалу 1Е в пространстве РМ. Пространство А* (£) содержится в пространстве РМ (£) (которое является ортогональным дополнением к идеалу JE) и является пространством, сопряженным к банахову пространству А (Е) (отсюда и соответствующее обозначение). Если множество Е является множеством синтеза, то Д * (£) = РМ (Е).

Если множество N (f) для некоторой функции f является множеством синтеза, то / допускает синтез т).

Мы уже видели, что люб^я кусочно-линейная функция допускает синтез (стр. 72). Приведем другие примеры.

Пусть В—банахово пространство функций, принадлежащих пространству А, причем оператор вложения В в А непрерывен. Если функция f^B аппроксимируема в В функциями, обращающимися в нуль в окрестности множества М^), то ясно, что / допускает синтез. В гл. II (стр. 21) мы встретились с условиями, при которых банаховы пространства Лф и ТПЛФ2) содержались в пространстве А. Легко проверить, что соответствующие вложения непрерывны. Из этого следует, что если ф удовлетворяет указанным условиям гл. II и если функция f аппроксимируется в Лф (соответственно ^ПЛф) кусочно-линейными функциями, то она допускает синтез.

Отсюда можно получить> заменяя ф, что классы Лф и У^Лф, содержащиеся в пространстве А, полностью состоят из функций, допускающих синтез.

Что касается множеств синтеза, то приведем два резуль- , тата, полученных выше.

Любое множество Диткина является множеством синтеза (стр. 71). ив

Если множество Е удовлетворяет условию Герца, то оно является множеством синтеза (стр. 74). ■

Другие примеры множеств синтеза доставляет нам следующая теорема.

Если граница множества Е счетна, то Е является множеством синтеза. -

х) Обратное неверно, поскольку для любого замкнутого множества Е существует Гладкая функция Д для которой N (f) = Е. — Прим, перев.

^ Норма функции /еЛф определяется как ||/||Л = sup «ь(6)/ф(6)

' яф б>о '

— Прим, перев.

Действительно, пусть даны функция feX, обращающаяся в нуль на Е, и псевдомера Т е РМ, сосредоточенная на Е. Тогда их произведение 7/ сосредоточено на границе множества Е (так как Tfg — O, если функция geA обращается в нуль в окрестности границы). Если это произведение не есть тождественный нуль, то его носитель имеет по крайней мере одну изолированную точку. Производя при необходимости сдвиг, мы можем считать, что это точка 0. Применяя теорему Винера — Диткина (стр. 70), получаем, что псевдомера Tf есть предел в РМ псевдомер вида TfU — Vg) (е-^-0). Так как эти псевдомеры равны нулю в окрестности нуля, то то же самое справедливо для псевдомеры Tf. Мы получили противоречие, и, значит, Tf = O. ■

Назовем множеством S.V.P. (без существенных псевдомер) замкнутое множество Е, для которого выполнено равенство РМ (Е) = М (Е). Примеры таких совершенных множеств мы увидим в гл. VII.

Любое множество S.V.P. является множеством синтеза. Это очевидно, поскольку М(Е)3_1е. ■

Заметим, что равенства

А*(Е)=РМ(Е),

РМ(Е) = М(Е),М(Е) = А*(Е)

определяют соответственно множества синтеза, множества S.V.P. и множества Хелсона. Так как М (Е) cz А* (Е) с РМ (Е), то безразлично, сказать ли, что множество Е является множеством S.V.P., или сказать, что множество Е является одновременно множеством Хелсона и множеством синтеза *). Не известно пока ни одного множества Хелсона, не являющегося множеством синтеза.

ТЕОРЕМА Б ЁРЛ ИНГА—ПОЛЛАРДА

Используем теперь метод Бёрлинга — Полларда (Поллард [ 1 ]).

Пусть заданы замкнутое подмножество Е окружности и некоторое е > 0. Обозначим через Е6 множество точек, отстоящее от множества Е на расстояние, не большее, чем е. Пусть функция feA аннулируется на Е и Т — псевдомера, сосредоточенная на Е. Будем искать условия, обеспечивающие выполнение равенства (7, /)= 2 Т(,п^^—п) = 0.

пех

я) Существование таких множеств доказано Кёрнером {3]. — Прим, перев.

Заметим, что

ПоложимПоложим

Положим

Положим

Это непрерывная функция, сосредоточенная на [—е, е], линейная на [—е, 0] и [0, е], и ее среднее значение на окружности Т равно 1. Положим Те = Т*6е; это непрерывная функция, сосредоточенная на множестве Е6. Имеем

(Т, f) = lim(T8, f) = Hm \Е_08^°еХе(Т, f) = lim(T8, f) = Hm \Е_08^°еХеТЖ^. (2)

(Т, f) = lim(T8, f) = Hm \

Е_08^°еХе

(Т, f) = lim(T8, f) = Hm \

Е_08^°еХе

С другой стороны, в силу равенства Парсеваля, справедливо соотношение

IIТ6 ||t.|| Т || рм|| де Иг- =0 (e-i/2) (е^О),

поэтому, применяя неравенство Шварца, мы получаем:

(Те, П = о(^ sup If (О I./mes(Ев\Е)\ (s^O).(3)

\ <еЕв ./

Теперь мы можем усилить рассмотренные в предыдущем параграфе достаточные условия того, чтобы функция / допускала синтез. Справедливы следующие предложения (в предположении, что feA):'

Если /еЛ1/2, mo f допускает синтез.

Если f е 6У>, то f допускает синтез.

Если feA.» с а> 1/3, то функция f(t) — x при почти всех х допускает синтез. .

Если sup |f(/)| = O(]/l) (£ = /V0), то f допускает teEe

синтез.

Если lim (—^ sup !/(/)] KmeslfgXfl = 0, (Е = е-»0 \ V 8 /еЕе/

= N (/)), то f допускает синтез.

Предложение (v) следует из соотношений (2) и ; (3) ‘ и влечет за собой (iv), которое в свою очередь влечет за собой (i). Остается доказать предложения (ii) и (iii). Утверждение (ii) принадлежит Кацнельсону (устное сообщение).

Предложим, что f^^, E = N (f) и Те PM (Е). Добавляя, если это необходимо, к псевдомере Т точечную массу,

сосредоточенную на множестве £, можно считать, что Т (0) = 0. Достаточно показать, что (Г, П = 0-

" Обозначим через 0, как и на стр. 51, первообразную псевдомеры Т и положим е8 = 6*68. Тогда T8 = 6g, а потому, интегрируя по частям, мы получаем, что

2Л (Те, /) = ^е (t)df(t).

В случае когда функция 6 непрерывна, функции 6S равномерно стремятся к 6, и, следовательно, lim (ТЕ1 f) = \ 6 (0 df (/);

е-*0

последний интеграл равен нулю, так как функция 6 постоянна на смежных с Е интервалах.

В общем случае имеем

2л(Т6, f) = S^E(f)df(O;

7

сумма в правой части распространяется на все смежные с Е интервалы. Для каждого смежного интервала / положим 6? (/) = Ss (0 ~ ^, гДе X —значение функции 0е(/) в середине интервала Г, справедливо равенство

$0g(f)df(/)=$0g*(/)df(/). 77

Если интервал / = (а, Р) имеет длину, превосходящую 2е, то 0е — 0 на интервале [ос 4-е, ₽ —е]. Во всех случаях производной функции 0g является функция Т8 = 0^), а потому функции 0g равномерно ограничены. Таким образом, при любом е>0 каждый член ряда ^^edf по модулю не превосходит (7) /

общего члена абсолютно сходящегося числового ряда, не зависящего от е. Кроме того, он стремится к нулю, когда е стремится к нулю. Но тогда сумма ряда стремится к нулю при.е, стремящемся к нулю, и, следовательно, (Т, /) = 0. Тем самым предложение (И) доказано.

Предложение (ш) является следствием предложения (v). Действительно, предположим, что /еЛа, и пусть

. Е (х) = f-1 (х), Е6 (х) = Е (х) 4- [— е, е].

Разобьем окружность на N равных отрезков S и обозначим через Rn объединение прямоугольников SxHSY Так как высота прямоугольника имеет порядок 01-^4, то

/ 1 \

mesRN = 0(N^co).

Обозначим через Rn(x) пересечение множества Rn с прямой, все точки которой имеют одну и ту же ординату х.

Справедливо соотношение

mes RN = ^ mes RN (x) dx = О (-^,

и потому для некоторого с>0 и любого Х>0 выполняется соотношение

mes{x| /^ (%) >< у.

Отсюда следует, что для почти всех х

R2i(x) = OUa2"^

С другой стороны, если е=-^-, то mesfg (х) ^3 mes Rn^x).

Значит, Ее (х) = О ^еа log2 ^ (е -*• 0) для почти всех х.

Если а >1/3, то,' используя предположение (v), получаем, что функция f — x для почти всех х допускает синтез, и предложение (Ш) доказано. ■

КОНТРПРИМЕР. ТЕОРЕМА И ЛЕММА МАЛЬЯВЕНА

Обращаясь к контрпримерам, мы покажем теперь, как строятся функции, которые не допускают синтез (теорема Мальявена).

Для этого мы воспользуемся следующей основной леммой Мальявена [1].

Пусть f — вещественная функция, 'принадлежащая алгебре А. Предположим, что для некоторого целого р^ 1 выполнено неравенство

$ и? \\е№/^м du < со о

и, кроме того, ^eittJw dtdu^O.(4)

R

Тогда функция fp не допускает синтеза. Кроме того, все замкнутые идеалы алгебры А, порожденные соответственно функ- ' циями f, р, р*1, различны.

Доказательство. Положим

Тр = $ ^iup е11^ du

r'

(интеграл сходится в РМу Псевдомера Тр есть слабый предел при е-^0 величин,

Тр,е=(iu)» е-"еи2еМ du = д^ЧЬ ( ^е(х) =^е 8 j,

равномерно стремящихся к нулю на любом компакте, не пересекающемся с множеством W (f). ГТаким образом, псевдомера Тр сосредоточена на N (/). С другой стороны, справедливо равенство

^тр, р)^\ ^“fw^v^wau, R

откуда, интегрируя по частям, получаем

(Тр, fP^-p^Tp-!, fP-^ = ...= (-l)Ppl(T0, 1).

Поскольку скалярное произведение (То, 1) равно интегралу (4), то (Тр, fP) Ф 0, и, следовательно, функция р не допускает синтеза.

Аналогичные выкладки показывают, что скалярное произведение (Тр, p*4i) = 0 для любой функции h, принадлежащей алгебре А., Стало быть, функция р не принадлежит замкнутому идеалу, порожденному функцией р+1; точно такое же рассуждение мы проводим, заменяя р на q (\^q^p—\y Таким образом, все замкнутые идеалы, порожденные функциями Д р, ..., р*1, различны. ■

При использовании леммы Мальявена, основное — найти вещественные функции f, принадлежащие алгебре А/для которых нормы |р<и/||р,и при м->оо стремятся к нулю быстрее, чем некоторая отрицательная степень и. Мы укажем для этого два способа. Первый, использующий понятие случайного тригонометрического ряда, позволяет получать такие функции в некоторых классах Ay. С помощью второго, более элементарного, труднее указать соответствующие липшицевы функции, но зато он содержит дополнительную информацию, касающуюся, например, множеств, не являющихся множествами синтеза. Третий способ будет приведен в гл. VIII. См. также Кауфман [2].

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ МЕТОД

Пусть 0<а< 1, К — целое положительное число, L — целое положительное число, меньшее К, и l^t, r)ytz (/ = 0, 1, .... /=1, 2, ... L) — независимые случайные величины, распределенные по гауссовскому закону. Положим

6/ (0 = 2 ^ ^., t cos № + n7, i sin Kjt^ о

L

F^ = У G^ a^X^ cos mt ^-Y^iumf),

Z = 1

причем последняя сумма распространяется на все индексы m вида 1$ и am==af, Xm = ^ib YTO = x\M. Используя свойство

лакунарных рядов Фурье (Зигмунд [2, т. I, стр. 83]), легко проверить, что почти наверное F е Л П Ау, если аК^ < 1х). Мы докажем следующую теорему (Кахан [8]):

Для любого целого р ^ 1 и любого у < 2(р + 1) ЛЮЖН0 выбрать такие К, L и а, что аКх < 1 и функция Fp с вероятностью, большей ну Ля, не допускает синтеза. При этом все замкнутые идеалы алгебры А, порожденные функциями F,F*,... ..., Fp+1, различны.

(5)(5)Согласно лемме Мальявена, достаточно проверить, что

(5)

(5)

8 Н ир || eluF Цр^ du j < co\o/

и

(6)(6)

(6)

(6)

где через 8 обозначено математическое ожидание случайной величины.

Положим

giuF (0 — р^ ^ eint.

Пусть г и q — два целых положительных числа ^2, удовлетворяющие условию

г(р+1)<9<^1.(?),.

При любом е>0 неравенство (5) следует из неравенства

(

ООт

j“ (2Jрл (и) п w < 00

и тем болеё из неравенства

(

ООк

^ы2г(р+1+В) ^lAtOOl^jO^

nez/'

Таким образом, неравенство (5) вытекает из неравенства

$ u^S ( У, | Рп (ы) Й du < со.(8)

о\ziez/

Так как для любых / и /

Р<\^.1 \^у)^О{е~У\ Р (| tv, z | ^ф = 0 (е-^ — Прим, перге.

Легко проверить, что

^(Se'“F"’S)=exp("^2a")l)-

Следовательно, соотношение (6) справедливо.

Вычислим левую часть неравенства (8). Имеем

6 (| рп (и) |2') = (2л)"2'

T2'

... e,’"(A+-+<r-si_-~sr) dsi... dsr dtv.. dtr, S^4F^--*FtrV^^^

= exp(-yJ^^^i,m^))>

где

Ф (Sitr) = | eZsi + • • • + eUr -euv-...- eur p.

Таким образом, для любой функции А алгебры А выполни- ется равенство

^ /2 'Рл ^ ^ ^ ^ = (2л)"2г $ ехР (~ У ^Ач>(^i-• • ->т1г^...

\neZJ?2г

... A (О +... 4- tr — Si —... — sr) ds!... dsr dtx... dtr.

Устремляя меру 2лА (0 dt к мере Дирака, получаем равенство

^ / 2 | р„ (а) |2'\ = (2л)~2'+1 ^ ехр (- у ^^ (mS1^^-ь ^nEZ]т2г-1

f/z (si + • • • Н- Sr-i — ^i — • • • — ^r-i)) dsi... dsr dix... dtr_p

Вычитая в последнем выражении sr из всех остальных переменных и интегрируя по sr, получаем, что

^ / ^ \Рп(и) l2^, = (2л)-2'+2 ^ ехр (— у ^ °"1^ ^ms' ^^^ ^s ^’ \neZ/т2г-2

где

s = (si, sr_i), / = (Д,^r-i), dsdt = dsi...dtr_u

ф (s, 0 = 1 e1$1 + •.. + eis'"-i + 1 — elii — ... — eu---i —

_e‘(si+-+sr-i~/i-"--<r-i’ [3,

г) См. Кахан [14, стр. 235]. — Прим, перев.

Умножая на и^-1 и интегрируя, получаем окончательно

С ylq-lg / \рп^ Mdti =

О\nez)

= (2n)-2r+2 Г (q) ^ f^aMi(ms, mt^Vdsdi. (9) T2r-2 Х

Обозначим через V множество точек (s, /), в которых обращаются в нуль все функции ф(/5, //) (ZeZ). Покажем, что множество V представляет собой объединение (г—1)! подпространств размерности г —1, получающихся из многообразия

/1 = S1, ta" S2, . .., //•-! = S/.-1,

если правые части равенств переставлять всеми возможными способами.

Ясно, что множество V содержит объединения этих многообразий. Обратно, пусть (s, /) е V, Тогда для любой функции Л е Л справедливо равенствоv

A (si) + •.. + A (s^i) + А (0) - А (/1) —... — А (/г_!) -

— A (si +... + sr_i — /i —— /г„1) = 0.

Положим временно sr = 0, Zr = Si + .. . + sr_i — tx —...— tr_x. Для каждого х е Т обозначим через о (х) и т (х) соответственно количество переменных sz и th равных х (/ = 1, 2, ..., г). Тогда

о (х) = lim (A (si) +... + A (sr)), x(x) = lim (А (/!) + -.. +А (/г))

при условии, что функции А поточечно стремятся к функции, равной единице в точке х и нулю в остальных точках. Следовательно, т(х)=о(х). Таким образом, точка (s, /) содержится в объединении указанных подпространств.

Представляя тор Т2г^2 как куб [0, 2л)2г~2, разобьем этот куб на К2г~2 подкубов, являющихся декартовыми произведе- [2jtZ? 2 л (к ~}~ 1) \, /х 1у 1 \

_# 1, ..., Л —

Назовем «белыми» кубами кубы, примыкающие к множеству V, а «черными» — все остальные. Объединение всех «белых» кубов составляет множество В, объем которого \В\ не превосходит СК-^1» где постоянная С = СГ зависит только от г. В силу неравенства (7), можно выбрать К и а таким образом, что < 1 и а-2? | В | < 1. Пусть N — объединение «черных» кубов и р* (s, /) — его характеристическая функция. Выбирая L доста-

точно большим, а е>0 достаточно малым, имеем

L

Р (s, 0 = 5 ^ (,s« #) > еР *(s> О-z=i

С этого момента будем считать а, К и L фиксированными. Положим

X(s, t^ = l^a?lp^KJs, КИ)\^.\ о/

Тогда на основании (9) неравенство (8) эквивалентно тому, что x(s, 0 eL (Т2г~). Для того чтобы проверить это последнее включение, рассмотрим множества

No-. p*(s, 0 = 1, Nr- p*(s, 0 = 0, N^. p*(s, 0 = 0,No-. p*(s, 0 = 1, Nr- p*(s, 0 = 0, N^. p*(s, 0 = 0,<No = N^

No-. p*(s, 0 = 1, Nr- p*(s, 0 = 0, N^. p*(s, 0 = 0,

No-. p*(s, 0 = 1, Nr- p*(s, 0 = 0, N^. p*(s, 0 = 0,

^(Ks,Kt) = \,

P*(Ks, Kt) = O, p* (K2s, K4) = l,

Bo: p*(s, 0 = 0 (Bo = 8),

Br. p*(s, 0 = P*№ Kt) = O,

B2: p* (s, 0 = P*(№, №) = P*(№s, №0 = 0,

Имеем |B/| = |Bp, \Nj\ = |В V(1 — |B|) и x(s, 0^а'2Уе~9 на множестве Nj. Так как а~2’|В|<1, то x(s, 0 s№(Т2г*2), и доказательство завершено. ■

В качестве следствий получаем предложения типа обратных предложениям (iii) и (iv) на стр. 77.

Для любого а < 1/4 существует такая функция f е Л П Да, что для чисел х, образующих множество положительной меры, функции f — x не допускают синтеза1).

Для любого а< 1/2 существует не допускающая синтеза функция f е А, которая удовлетворяет условию

sup | f(t) = О (еа) (£ = N (0, е-> 0)2). ■ teEe

ПРЯМОЙ МЕТОД.

МНОЖЕСТВА, НЕ ЯВЛЯЮЩИЕСЯ РАЗРЕШАЮЩИМИ

Предыдущее построение предоставляет мало информации о множествах, не являющихся множествами синтеза. Другой метод, который мы сейчас изложим, показывает, что такие множества существуют во всех достаточно «больших» замкнутых множествах.

Следуя Мальявену [3], будем говорить, что замкнутое подмножество Е окружности является разрешающим множеством» если любое его замкнутое подмножество является множеством синтеза.. Сейчас мы покажем, что разрешающие множества являются «тонкими».

Мы будем опираться на следующую лемму (упрощенный вариант основной леммы работы Мальявена [3]).

Пусть Е —замкнутое подмножество окружности. Пусть существуют псевдомера S^O, сосредоточенная на множестве Е > и функция f г А, такие, что

$ || Seiu^ ||рл11 и | du < оо. R

Тогда множество Е не является разрешающим.

Умножая при необходимости псевдомеру S на экспоненту с мнимым показателем, можем считать, что S(0) = (S, 1)#=0. Положим для любого вещественного числа а

Та=^ Siueiu^ duR

(интеграл сходится в РМ). Легко проверить, что псевдомера Та сосредоточена на множестве Е П N (f — а) и что

(Та, f — a) = ^(S, eia^)du.

R •

Скалярное произведение (S, еда) является непрерывной функцией аргумента и, суммируемой на R и не равной тождественно нулю, поскольку (S, 1) =Н=0. Ее преобразование Фурье также ^0. Для соответствующего вещественного а имеем (Та, f — d)=#O. Из этого следует, что множество E[\N(f — a) не является множеством синтеза. Стало быть, множество Е не является разрешающим. ■

Ниже мы покажем, что при некотором условии на псевдомеру S можно подобрать такую вещественную функцию f из класса А, для которой норма || Sew Цр^ стремится к нулю быстрее, чем любая отрицательная степень и. Исследование этой задачи разбивается на несколько этапов, представляющих и самостоятельный интерес.

Пусть gx и hx — две функции из класса Л, непрерывно зависящие в А от параметра X (X пробегает некоторый компакт). Тогда

lim IIgfx (0 ^х (^) 1|рл1 = ||^х ||рмI] ^л 11рл1» (Ю) й-*оо

причем предел равномерен относительно X.

. Действительно, Z-й коэффициент Фурье произведения gx(t)hx(kt) равен "^gx^ — ik)hx(i). Обозначим через Г

к к *

целое число, заключенное^между — у Иу—1 и сравнимое с I по модулю к\ пусть Г = I — j'k. Имеем неравенство

IlgxUH^xW-gxUWn iIlgxUH^xW-gxUWn iУ I gx (п) | ]hx Црм- |п|>6/2У I gx (п) | ]hx Црм- |п|>6/2

IlgxUH^xW-gxUWn i

IlgxUH^xW-gxUWn i

У I gx (п) | ]hx Црм- |п|>6/2

У I gx (п) | ]hx Црм- |п|>6/2

Из этого следует, что выражение

V, ГV, Гsup Hgx(l-ik)Ml) -sup|gx(/,)ftx(/')|

V, Г

V, Г

i

стремится к нулю равномерно относительно X при ^-4-со, откуда в свою очередь следует равенство (10). ■

Существует абсолютная постоянная у>0, обладающая следующим свойством: для любого целого N^ \ в классе А найдется вещественная функция <р, для которой || <р ||д ^ 1 и

(П)(П)IIе№ч>||рм "Сe-,v“ для N ^и^Ж.

(П)

(П)

Пусть, в самом деле, ф — вещественная, отличная от тождественной постоянной функция с нормой в пространстве А, равной 1. Заметим, что норма Це'^Црм непрерывно зависит от параметра X и строго меньше 1 для Х^О. Положим

е^ = sup Це^Црд,,

и пусть hx = etx'1?. Применяя N раз предложение 1, определим целые числа £1=1, ^2, ..., км так, чтобы выполнялось неравенство

II hx (£1 (Z)) hK (к2 (Z))... hx (kN (Ц) b ^ c^n (1 ^ X ^ 2). Полагая

<p (0 = I (Ф (M)+Ф (W)+... 4- ф (км (/)),

получаем неравенство (11). ■

Пусть ^ки^ —положительная и выпуклая относительно

00 переменной и>0 функция, удовлетворяющая условию $ 6(«)х

1

X и-2 du < оо. Существует такая вещественная функция f, принадлежащая классу Л, что для любого достаточно большого и справедливо неравенство

\\е1и)\\Рм^^.-(12)

Можно предполагать, что lim 6(и) = оо. Положим 6(2т) = и~*оо

= у2т+1ат. Из условий, налагаемых на функцию 6, следует, ОО

что am^am+i и 2°т<°о- Пусть фт — вещественная функция 1

с нормой в пространстве А, равной 1, удовлетворяющая условию|| e^Vm ||РЛ1 ^ e~V“om дЛЯ 2т ^ И ^ 2m+1.

Тогда для значений и, принадлежащих этому отрезку, справедливо неравенство

ll^^U^e-26^).(13)

Положим ооq

f=^ а'№ ^' /»= S адпМ» (14) ,n=\/1=1

где последовательность kn будет определена позже. Реализуем неравенство (12) .на отрезке 2m s^ м ^ 2”,+I. Для этого сначала определим такую возрастающую последовательность qm, для которой 2m+1 У, a„^log2.

Тогда для 2m ^ и ^ 2Я*+1 справедливы неравенства ‘ G.5)

С другой стороны, используя предложение 1, мы можем написать неравенство

l^^k^sh^U п b^'U,(16)

i = m

если числа 6^, ^+1, ..., kqtn достаточно велики или, более точно, если

kj>Km,j^ кг; кн^ (i = m, m-Vl. .... Ят), (17) где Kmj — некоторая (определенная) функция / —1 целочислен-

ных переменных. Последовательность ki, ..., k„, ... можно выбрать таким образом, что неравенство (17) будет выполнено для всех m и всех / (заключенных между пг и qm). Действительно, каждое кп фигурирует только конечное число раз в левых частях неравенств (17).

Объединяя неравенства (13), (15) и (16), приходим к неравенству ||е№^||рл1^2||е<“,?т||рЛ1^4е~2е(“), из которого следует (12) для всех достаточно больших и. ■

На этом этапе мы уже получили новое построение функции, принадлежащей классу А и не допускающей синтеза.

Прежде чем двигаться дальше, введем специальный класс псевдомер. Будем говорить, что псевдомера S обладает, свойством Q, если для любых целых положительных J и N и любого е>0 существует целое х = х(7, N, е), обладающее следующим свойством: при любом /eZ имеет место неравенство

1S (пк + / + /)!<е для |/|^/, |nK^, п^пь

где И/— некоторое целое, зависящее от I. Ясно, что любая псевдофункция обладает свойством Q. Заметим также, что введенное выше число х можно заменить любым ему кратным. Будет удобно считать, что х>27. Сформулируем аналог предложения 1:

Пусть S — псевдомера, обладающая свойством Q, a gK и h^ — две непрерывные функции из класса А, непрерывно зависящие в А от параметра X (X пробегает компакт). Тогда любому а>0 можно поставить в соответствие такое целое х, что для всех к, кратных х, справедливо неравенство

\\S(t)gK(t)hK(ktnPM^\\SgK\\PM\\hKЦрл + а-

Достаточно рассмотреть тот случай, когда функция g является тригонометрическим полиномом порядка J, а функция h — тригонометрическим полиномом порядка N, и заметить, что если к кратно х (J, N, е), то выражение

I, пI, пsup ^^(nk + l + j)g(— j)K(— п) -

I, п

I, п

-sup 2S (/' + /)§(— /)|| M— n')l

по модулю не превосходит (2Л^ +1) (27 +1) бЦ^Цр^ЦАЦрд. е

Пусть 6 (и) — функция, введенная на стр. 87, и S —псевдомера, обладающая свойством Q. Существует такая вещественная функция f, принадлежащая классу А, для которой при любом- достаточно большом и выполняется неравенство

WSe^^^e^,(18)

Определим последовательность ап так же, как на стр. 87. Предположим (это допустимо), что функции <рт, непрерывно дифференцируемы, и вновь определим функции f и fq с помощью равенств (14). Остается определить последовательность кп. В силу неравенства (1) на стр. 71 для любого р справедливы неравенства

, ,рр

к“₽|д^ JJ Ц е1“°п<$п |д =С 13 (1 + лиап ||фп||ь«(Т))- п=1п—\

Обозначим последнюю величину через Ср(и), и пусть рт— наибольшее из тех целых р, для которых

Ср(и)<е^6<“) для 2т и 2m+1.

Важно отметить, что рт стремится к бесконечности вместе с т. Далее определяем последовательность qm таким же образом, как и выше. -

Для 2m^w^2m+I имеем (полагая р = рт и q = qm) IS^ I™ «51 А |л I S=“ W k |I, <

й w | Se-

Используя предположение 4, получаем неравенство

[I Setu ^ fp^ U 21| S ||рд!||РЛ1

i—p

при условии, что кр, kp+1, .... kq кратны соответствующим целым.

Можно выбрать последовательность ki, ..., кп, ... таким образом, что указанное неравенство будет выполняться для всех т. Получаем тогда неравенство

l|Se‘“/||™^4l|S||P^, •

из которого следует (18) для всех достаточно больших и. ■ Объединяя предложение 5 со второй леммой Мальявена, получаем следующую теорему:

Если множество Е является разрешающим, то оно не является носителем никакой псевдомеры, обладающей свойством Q. В частности, множество Е является множеством единственности. ■

Последнее утверждение теоремы принадлежит Мальявену [3]. При некоторых дополнительных ограничениях теорема сформулирована в работе Кахана и Кацнельсона [1], где приведены также приложения. Можно также показать, что любое симметрическое

совершенное множество является носителем некоторой псевдомеры со свойством Q. Например, троичное множество Кантора (которое является множеством единственности и множеством синтеза) не является разрешающим множеством.

В гл. VIII мы приведем другие примеры множеств, на являющихся разрешающими.

ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИДЕАЛОВ. ТЕОРЕМА ХЕЛСОНА

Пусть / и J — два идеала алгебры А и 6 — непустое откры- х тое подмножество окружности Т. Говорят, что идеалы I и J совпадают, на. множестве G, если сужения функций из идеала/ на всякое компактное подмножество из G составляют ту же совокупность, что и сужения функций из идеала J. То же самое можно выразить, сказав, что для любой функции f из алгебры А, сосредоточенной на множестве G, имеет место равенство fl = fJ. Стандартные рассуждения типа приведенных на стр. 19 показывают, что если идеалы 1 и J равны е окрестности любой точки, то они совпадают.

Любому собственному идеалу / алгебры А соответствует его коспектр Е = Е Ц) — замкнутое подмножество Т, для которого Jecl I о Iв (стр. 72). Таким образом, Е является наименьшим замкнутым множеством, на дополнении которого идеал / равен алгебре А.

Любой паре идеалов I и J соответствует такое наименьшее замкнутое подмножество окружности Т, вне которого идеалы / и J равны (определение корректно).; обозначим это множество через 5(/, J). Исследуем множества 5 (/, J), предполагая, что идеалы I и J замкнуты, £(/) = £(/) и, / с/.

При этих предположениях множество S (/, J) является или пустым, или совершенным нигде не плотным.

Согласно определению, множество 5(7, J) не содержит никакого интервала. Остается показать, что 5(/, J) не содержит ни одной изолированной точки. Это непосредственно следует из того, что точка является множеством Диткина (см. стр. 4Q.

Наиболее интересным следствием является следующая теорема, принадлежащая Хелсону [1] (см. также Саеки [1]).

Если I и J — два замкнутых идеала с одним и тем же коспектром Е и J строго содержится в 1, то существует бесконечное несчетное множество замкнутых идеалов, обладающих тем же коспектром Е и заключенных между идеалами I и J.

Действительно, пусть а —точка нигде не плотного совершенного множества 5 (/, /). Представим множество 5 (/, /)\{а} в виде последовательности $i, s2,... непересекающихся порций, стягивающихся к точке а (порцией совершенного множества

называется непустое пересечение его с интервалом, концы которого не принадлежат этому совершенному множеству). Для каждого множества Л целых положительных чисел рассмотрим идеал алгебры А, равный идеалу / на множестве (J S/ и равный идеалу J на множестве Н Sj. Это замкнутый /ЕЛ/^л

идеал /Л, заключенный между идеалами / и J, с коспектром, равным Е. С другой стороны, множество S (/Л, J) является замыканием множества |J s?. Следовательно, все идеалы /Л /ел

различны, и, таким образом, они образуют несчетное множество. ■■

Глава VI

СУПЕРПОЗИЦИИ, РОЛЬ НОРМ ||e"V|^

Мы уже встречались с теоремой Винера —Леви: если/еА и функция F аналитична в окрестности множества / (Т), то F-feA. В то же самое время, когда была сформулирована эта теорема (1934 г.), П. Леви показал, что если/^Л'00 (классу функций, локально принадлежащих Л) и если функция ф линейна, то /«фе Л*00. Он же поставил следующие два вопроса:

Существуют ли другие функции F, определенные на интервале /, для которых F«feA, какова бы ни была функция /, принадлежащая классу А и принимающая значения в интервале /?!

Существуют ли другие функции ф "вещественной переменной, для которых / = феЛ,0С всякий раз, как только /еЛ100 (Леви [1])?

Ответы оказались отрицательными. Первая проблема была решена Кацнельсоном [1]. Ответ на второй вопрос в неявном виде был получен Бёрлингом и Хелсоном [1] и в явном виде, но в частном случае—Лейбензоном [1].

Эти вопросы тесно связаны с асимптотическим поведением норм ||ег”/||д при п->со (/еЛ, / вещественна).

1 КЛАССЫ А (со) И РОСТ НОРМ И'^Ид

Напомним, что через А (Т, со) или просто А (®) нами обозначено множество непрерывных функций F на окружности, для которых

У, | F (п) | со (п) < оо,nez

где со —функция, заданная на Z, со значениями В [1, ОО]. Условимся в случае ®(п) = оо считать, что неравенство | F (п) | со (п) < оо означает F (и) = 0 и | F (п) | со (и) = 0.

Класс А (со) является банаховым пространством, и его топология сильнее топологии равномерной сходимости.

Начиная с этого места, рассматривая суперпозиции F»^ мы будем предполагать, что функция f вещественна и непрерывна и принимает значения в области определения функции F.

Импликация

Fe A (to)^>Fof е А(1)

справедлива в том и только в том случае, если функция f вещественна и выполняется соотношение

II eini ||л = О (<о (л)) (л ± со)(2)

• (Лейбензон [1], Кахан [1]).

Действительно, условие (2) означает, что отображение F-*F«f, суженное на экспоненты F(t)=eint, является ограниченным оператором из класса А (го) в класс А. Используя линейность, получаем отсюда, что это отображение определено на всем классе Л (со), т. е. (2)=>1. Обратно, если выполнено условие (1), то отображение F^-F = f пространства А (го) в пространство А является линейным и непрерывным в более слабой топологии С (Т). Теорема о замкнутом графике показывает, что это отображение непрерывно для топологий Л (го) и А, т. е. (1)=>(2). ■

Как следствие получаем, что скорость возрастания норм Ц^Цд, когда л->±оо, является локальным свойством в следующем смысле:

Пусть f — непрерывная функция на Т. Для справедливости импликации (1) достаточно, чтобы в окрестности любой точки х функция f совпадала с некоторой функцией fx, для которой справедлива импликация (1).

Из того, что функции F»fxeA для любого х, следует, что F-f^ А. ■

Через Л1ос (и) будем обозначать класс функций, определенных на некотором открытом интервале вещественной прямой и локально совпадающих с функциями, принадлежащими классу Л (ю).

. 2. РОСТ НОРМ [|е*«^||лВ СЛУЧАЕ КУСОЧНО ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ .

Определим теперь точный порядок роста норм ||ег"^||л для некоторых случаев (Кахан [1]). Если не оговорено противное, мы будем всегда предполагать, что л>0.

Возьмем сначала функцию f(f) = \t\ на [— л, л]. Имеем в этом случае следующие коэффициенты Фурье:

О,если т — п четно,

Cmt^)^ i / *,* \

——:— , если т — п нечетно,

л \п—т 1 n-ptn

После простых вычислений получаем, что 9

Полагая С= sup Ц^^Нл, получаем

I о | < 1/2

22С'

^logu + O (1) «С Цс^ЦайС — log и + 0(1) (и вещественно,' и со).

Та же самая оценка справедлива для случая /(/) = а|^| на [—л, л] (а+=0).

Используя локальный характер скорости возрастания норм Р^Цл, получаем следующий результат:

Если функция f вещественна, непрерывна на окружности Т и кусочно линейна, то

k^h^iog/i,

где знак ^ означает, что отношение двух величин заключено между двумя строго положительными постоянными. ■■

Для простоты будем писать Л|ос (log) вместо Aloc (1 + log+1 • |). Приведем несколько следствий.

Если функция f вещественна, непрерывна, кусочно линейна и если F е Л|ос (log), то F-f г Л10С.

Если функция F непрерывна, постоянна вне интервала I и совпадает на I с функцией, принадлежащей классу Л|ос (log), то Fe Л1ос.

Если некоторая совокупность замкнутых интервалов покрывает прямую и на каждом из них функция F совпадает с некоторой функцией, принадлежащей классу Л10С (log), то F е Л10С..

ОО

Если F (t) — ^ап sin п! (соответственно cos nt), где i'

ОО

2|an|log«<oo, то функцию F (соответственно F — F(0)) 1

можно разложить на отрезке [0, л] в абсолютно сходящийся косинус-ряд (соответственно синус-ряд).

Каждое из предложений 1,2,3, 4 становится неверным, если заменить функцию log функцией со, где <o(n) = o(logn) (п-> + оо) (Кахан [1], Боас [1], Идзуми и Цутикура [1], Вик [3]).

ПОРЯДОК РОСТА НОРМ Це‘"/||д

В СЛУЧАЕ f г С2

Предположим теперь, что функция / кусочно непрерывно дифференцируема. Положим eui = g и cm = cm(g)=g(rn). Поль-

зуясь неравенством ^Пварца, получаем

2

,„ I—/ V 1 \1/2/ V I l2W2 — / 2 \*/2П ,1!

kml^( 2 Н 2 ^П ^\NJ 115 ^

| zn I > Af\\m\>N/ Mm’>N/

Выбирая в качестве N наибольшее целое, не превосходящее Vп, получаем неравенство

\\е^А^Нс^.

где С —некоторая абсолютная постоянная.

Чтобы получить оценку снизу, предположим, что на некотором произвольно малом отрезке / функция f принадлежит классу С2 и не линейна. Уменьшая при необходимости / и меняя знак функции f, можно предполагать, что на этом отрезке /"^р>0. Положим

ат~ У2л *

/

Согласно лемме Ван-дер Корпута (см. Зигмунд [2, т. I, стр. 317]), для любого т имеет место неравенство

,।2

I ^ < ,г.г- •л]/ | /г | р

Пусть h — функция из класса А со средним значением, равным 1, сосредоточенная на отрезке /, и пусть / — характеристическая функция отрезка /. Тогда

1 he-H Ь < ||h ||л || 1е-^ Ь ^ (С = С (р, А)),

1<|аь<|^’"Лр2^

и, таким образом,

||^/||л(/)>С-1/«/

В качестве следствий получаем:

Если функция f на отрезке 1 вещественна, принадлежит

классу Сг и не линейна, то Игл ——> 0. n~T55 Vn

Если вещественная функция /^ const принадлежит классу С2(Т), то

И^Иа^/л.

Если функция F г Л1ос ("К • )> то F°f е Л10С. Если же со (п) = = о(Уп) (п—*■00), то существует такая функция F е АХос (ю), что F-f ^ Л1ос.. ■

МЕТОД МАРЦИНКЕВИЧА

Следуя идее Марцинкевича [1], произведем теперь оценку норм Це’"/||л, используя только распределение величин | / |, иными словами распределение амплитуд разложения функции /, независимо от частот и фаз, к которым они ^относятся.

Представим функцию / в виде

f(0 = S/'mcos(M + <Pm) fr^^^rg,2гт<оо\ (3) оVо /

где гт — амплитуды, Хт —частоты и <рт —фазы. Используя неравенство (1), приведенное на стр. 71, получаем

где С—некоторая абсолютная постоянная. Левая часть этого неравенства не изменяется при замене аргумента / на kmt. Поэтому'■

k'”' U -s ПIс'"”101IV+^ Ь < П d + с»„).tnт

Полагая t

<ог(/г)=П(1+С|/г|гт)(neZ),(4)

т*'

получаем следующую импликацию

F г Л|ос (<оГ) =>F°f^ Л1ос.

Исследуем класс F е Л1ос(юг) в некоторых частных случаях. Прежде всего заметим, что для любого N справедливо неравенство

<»г(«)^ П (1+Cnrm)exp/Cn 2'

т^N\ т>N /

и, таким образом, для любого е>0 (йДп) = о(евп). Следовательно, класс А (а>г) содержит все функции, аналитические на окружности Т.

Предположим теперь, что ^ rv <со, 0<у<1. Сущест- т= 1

вует такая постоянная С^, что 1 + х ^ exp (CvxY) для всех

х^О. Таким образом, для любого N.

®г(п)^ 2 (l+Cnrm)exp/C'raV У, г^ ‘m^N\ m > N

(С' = С^Сф. Отсюда следует, что ®г (п) = о (exp (env) для любого е>0.

Пусть заданы положительная последовательность Мп (п=6, 1 , . . .) и некоторый отрезок I. Обозначим через С ({.№«}, /) совокупность всех бесконечно дифференцируемых на / функ

/|fw(x)|\l/r*\ Мп )/|fw(x)|\l/r*\ Мп )<оо.<оо.ций F, для которых

/|fw(x)|\l/r*

\ Мп )

/|fw(x)|\l/r*

\ Мп )

<оо.

<оо.

supхе Z, п

Класс С ({«!}, /) состоит в точности из всех функций, аналитических в окрестности отрезка /. Класс С ({(«!)”}, /) (а> 1) называется классом Жеврея с индексом а на /. Легко проверить, что это алгебра. Обозначим через С1ос({ЛЦ) класс функций, определенных на заданном открытом интервале (в частности, на всей прямой), которые на любом его замкнутом подинтервале / принадлежат классу С ({VMn), /). В зависимости от того, содержит класс С({Л1„}) или нет отличные от нуля функции с компактным носителем, говорят соответственно, что это неква- зианалитический или квазианалитический класс функций. Если ограничиться логарифмически выпуклыми последовательностями {ЛЦ, т. е. такими, для которых последовательность ■("^4 не убывает, то необходимым и достаточным условием квазианалитичности класса С ({М„}) является условие

ОО

У -гг5— = оо (теорема Данжуа — Карлемана; см. Мандельбройт о

[1, стр. 101]). Если класс С1ос({Л1л}) неквазианалитичен, то он содержит ненулевые функции, сосредоточенные на сколь угодно малых интервалах.

ОО

Если У г? <оо, 0<у< 1, то класс Д1ос(®л) содержит т—\

класс Жеврея с индексом l/y: Gv = Cloc({(nl)1/v|), Таким образом, функция F-f^A, как только F принадлежит классу Жеврея индекса 1/у (функция f задана рядом (3)) (Марцинкевич [1]).

Действительно, так как классы Жеврея являются неквази- аналитическими алгебрами, достаточно показать, что класс Д1ос(йг) содержит все функции из класса Gv с компактными носителями, расположенными внутри некоторого интервала длины с 2л. Для этого, в свою очередь, достаточно показать, что класс А (<ог) содержит все 2л-периодические функции F, принадлежащие классу Gv (обозначение: FeG4(T)). Если

4 Ж, П. Кахан

FgGy(T), то при некотором К справедливы неравенства \Fw^\^KnW!-<(п = 0, 1, ...; /еТ).

Применяя эти неравенства при интегрировании по частям формул Фурье, получаем, что

|Cm(F)| = inf^^ = O(e-ei-l’) '

для любого е<1//С, а потому F е А (®г). ■

Приведем результат того же рода, принадлежащий Мальявену [2].

ОО

Если ^ /"mlog —<со, то класс Д10с(®г) содержит неко- т= 1

торый неквазианалитический класс С1ос({Л1„}). Существуют, таким образом, бесконечно дифференцируемые (функции F с ком- - пактным носителем, для которых F ^ е А (функция f всегда задана рядом (3)).

Для того чтобы оценить tor(n), рассмотрим функцию х

, ч Г х для 0 ^ х ^ 1,

( 1 + logx для х^ 1.

Имеем 1+х^еф(х) и, следовательно,

(йДп^ехр^^Гт),т

откуда получаем, что

ОООО

2=2 2 ^=2r4logi+°<1))<^ (5)

п =1тп=1т

Обозначим через К ({Вр}) класс всех бесконечно дифференцируемых функций на окружности Т, для которых ||/7(р)||00 = — О(Вр) (р-*оо). Если положить

В р+2 = SUp (П-Р<йг (П)),(6)

п

то легко видеть, что А ({Вр}) с= А (®г). С другой стороны, в силу того что log го, (п) является выпуклой функцией аргумента log п, имеем tor (п) =sup (н-рВр+2), и сходимость ряда (5) эквивалентна, р

таким образом, сходимости интеграла

J^M<Jr<0o, 7(r)-sup^.

°° В

Последнее эквивалентно условию ^ ^- < оо (см. Ман- p=i P+1

дельбройт [1]. Определим класс Cloc ({М}) так, чтобы

7 ”-< со и -н— = о — (р-^со). Поскольку этот класс п = 1

не является квазианалитической алгеброй, любая функция F из этого класса локально совпадает с некоторой функцией из этого же класса,. сосредоточенной на некотором интервале длины, меньшей 2л. Из этого сразу же следует, что она локально совпадает с некоторой функцией, принадлежащей классу К ({Вр})- Таким образом, мы получаем, что С1ос ({М„}) с: с: А1ос (со,). ■

Наконец, не налагая никаких ограничений на последовательность rm, кроме условия £rm<^ со, получаем следующий результат, обращение которого приведено в гл. VIII:

Для любой вещественной функции }6еА со значениями, лежащими в открытом интервале I, существует такой класс С|ос ({Л1,,}), состоящий из функций F, определенных на I, что MV,n = o^y и для любой функции F из этого класса справедливо включение F ° f0^. А. -

Доказательство использует следующее следствие из леммы А. Картана (Картан [1, стр. 24]): если F е С({М„}) и Мп^п!, то суперпозиция F»sin принадлежит классу С ({Af„}). Можно предполагать, что значения функции f0 принадлежат интервалу (—1, 1)'и что / zd [—1, I]. Положим f=arcsin/0. Определим последовательность гт согласно (3), последовательность юг согласно (4), Вр в соответствии с (6) и, наконец, последовательность Мп так, чтобы Mx^n=oVBXn't) и М"^х,п = о(\Щ). Если функция F е Cloc ({Af„}) на интервале /, то имеем E-sine е К (Вр) с А (®г) и, следовательно, F-sinfeA, т. е. f«Fe е А. ■

ФУНКЦИИ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ В КЛАССЕ Л (£)

Мы только что видели, что для каждой вещественной функции f г А найдется функция F, не являющаяся аналитической на множестве / (Т), для которой F»f г А. В противоположность этому если функция F не аналитична на интервале /, то неверно, что F»feA для всех функций f е А со значениями в интервале /: это теорема Кацнельсона [1].

Можно поставить аналогичную проблему, заменив класс А классом А (Е), где Е — некоторое замкнутое подмножество окружности Т. Пусть задана некоторая функция F, определенная на вещественном интервале / (открытом или замкнутом).

4*

Говорят, что функция F действует в классе А (Е), если для любой функции f, принадлежащей классу А (Е), со значениями, лежащими в интервале I, F °f е А (Е).

Если Е — множество Хелсона, то любая непрерывная функция действует в классе А (Е) Мы скоро увидим, что для некоторых других множеств Е (в частности, для Е = Т) лишь аналитические функции действуют в классах А (Е); в этих случаях говорят, что Е является множеством аналитичности.

Заметим прежде всего, что если множество Е бесконечно, то любая функция, действующая в классе А (Е), заведомо непрерывна. Итак, рассмотрим замкнутое бесконечное множество Е и функцию F, непрерывную на отрезке / = [—1, 1], действующую в классе А (Е). Если вещественная функция из класса А(Е) такова, что И||а(е)^1, то F-f е А (Е). Сейчас мы покажем, что в этом случае отображение f->F = f единичного замкнутого вещественного шара пространства А (Е) в пространство А (Е) ограничено в окрестности нуля.

Существуют два таких положительных числа е и К, что для любой вещественной функции ^еЛ(Е) с нормой, не пре- в&ходящей е, справедливо неравенство ЦЕ^/Цд (е> ^/С.

Допустим, что это не так. Тогда существует последовательность вещественных функций /„, принадлежащих пространству А (Е), нормы которых стремятся к нулю, а нормы || F ° fn ||л (£) стремятся к бесконечности. Множество Е содержит по крайней мере одну предельную точку х0, такую, что для любого замкнутого интервала / с центром х0 нормы ЦГ-^Цд (ЯП/) не ограничены в совокупности. Чтобы упростить запись, предположим, что хо = О. Если зафиксировать номер п и устремить интервал / к нулю, то, как известно (см. стр. 71), нормы Ц/7«fnMa (snzt будут стремиться к [Г (fn (0)) |.

Следовательно, можно определить по индукции последовательности отрезков /<, = [—е*, efc], Д = [— eL e*] (е^<е6)и последовательность функций gk = f„k так,' что будут выполняться неравенства

V7*giA\A(En(ili\i!ty)^5k»

IlgHU^3^^,

С) ® А+1 ^^ "Ту ^k •

Положим Уб=У8й (обозначение введено на стр. 70). На множестве //,\/k выполняются равенства Vk — VA+1=1 и F# — — Г;+1 = 0, если j=£k (в силу условия (с)).

Положим

t=^Vk-Vk^gk.

В силу того, что Ц^Цл^З, и условия (Ь) имеем неравенство И/Цл (£) ^ 1- На множестве Е(Ц1к\Г^ имеем f = gh и, следовательно, согласно условию (а),

Таким образом, F»f^A, а это противоречит исходному предположению. ■

ТЕОРЕМА КАЦНЕЛЬСОНА

Если выбрать а достаточно малым, то будет выполняться неравенство

\\F^sin(f(tHxW^^K

для всех вещественных / с нормой ЦЛд(В)=^ 1 в Л (Е) и всех вещественных х, заключенных между —лил. Положим Ех(х) = = E(asinx). Для любого teE справедливо равенство

А(п)е^^ = $ FtM^^.(7)

— Л

Рассмотрим сначала случай Е = Т. Равенство (7) влечет за собой равенство коэффициентов Фурье обеих частей. Из этого с учетом предыдущего неравенства вытекает, что

|А(«)Н1^1|л^/<.(8)

Для применения этого неравенства используем следующие леммы:

Если geA и heA.mo lim ||е(0М^)11л = ШлИМл- к-* со

Это очевидно, если g — тригонометрический полином (тогда предел достигается для всех номеров к, превосходящих степень полинома gY Общий случай выводится из этого путем аппроксимации функции g тригонометрическими полиномами. ■

Для любого е>0 справедливо неравенство

Это сразу же следует из разложения экспоненты. ■

Для любого г>0 выполняется равенство

sup||еУ[|д = ег.

/вещественно

• пП1л<'‘

Неравенство |ег/||д^ег очевидно. Для установления противоположного неравенства рассмотрим вещественную функцию

с нормой, равной г;

^ = n" ^C0S ^ + cos V + • • + COS ^„/).

Если г и п фиксированы, то в силу леммы 1 имеем равенство

'sup ^/|]л=1|^С08^.

*Чк п

Устремляя п к бесконечности и используя лемму 2, получаем искомый результат. ■

Так как неравенство (8) выполняется для любой веществен- —ной функции / с единичной нормой в пространстве А, то, согласно лемме 3, получаем, что F1(n) = О (е“1"1) (л->сю). Следовательно, функция Гг является аналитической функцией. Поэтому F аналитична в окрестности нуля.

Из сказанного вытекает, что если функция F, определенная на интервале /, действует в пространстве А (Т), то F аналитична в любой внутренней точке интервала /.

Предположим теперь, что / = [0, 1]. Отображение x-^-F (х2), определенное на отрезке [—1, 1], действует в пространстве Л, и, следовательно, оно аналитично в окрестности нуля. Таким .ОО

образом, имеем F (х2) = 2 Ьпхп, причем последний ряд сходится

'О '*

в окрестности нуля. В силу четности этой суммы в окрестно- 0°

сти нуля, имеем Ь2я+1 = 0, а потому F (я) = У, binxn, т. е. F ана- ' о

литична в окрестности нуля.

Мы установили теорему Кацнельсона.'

Если функция, определенная на замкнутом интервале I, действует в пространстве А (Т), то она аналитична в окрест* ности интервала /. ■1

МНОЖЕСТВА АНАЛИТИЧНОСТИ (ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ)

Предположим теперь, что Е — замкнутое множество меры нуль. Известно, что в этом случае линейные комбинации идемпотентов плотны в пространстве А (Е) (стр. 52).

* Положим

^£(г) = sup И||Д(£).

f вещественна

Роль этой функции проявляется в следующей теореме (Кахан и Кацнельсон [1]):’.

Для того чтобы множество Е было множеством аналитичности, необходимо и достаточно, чтобы

Йт (у log W£(r))>0.(9)

Г —* CD ' *'

Напомним, что множество Е называется множеством аналитичности, если любая функция F, определенная на замкнутом интервале / и действующая в пространстве А (Е), заведомо аналитична в окрестности /.

Если условие (9) не выполнено, то существует такая последовательность ®(n) = eE'i1"1, где limen = 0, что любая функция, принадлежащая классу А (со), действует в пространстве А (Е). Таким образом, множество Е не является множеством аналитичности.

Если условие (9) имеет место, то, в силу полуаддитивности (функции log Ne (г), имеем также соотношение

Из равенства (7) следует, что если функция f является лилейной комбинацией идемпотентов алгебры А (Е), то для нее справедливо векторное равенство

Л

— Л

из которого снова вытекает неравенство (8).

Для любого достаточно большого п можно подобрать функ- цию Д удовлетворяющую неравенству к‘я/||А(г)>^ • Аналитичность функции Ръ а следовательно, и функции /7, устанавливается так же, как и выше. ■

Далее мы увидим, что теорема останется справедливой и без дополнительных ограничений на меру множества Е (стр. 104).

МНОЖЕСТВА АНАЛИТИЧНОСТИ; ПРИМЕРЫ

Рассмотрим одно приложение. Условимся говорить, что множество Е удовлетворяет условию R, если для любого целого N существуют мера р, сосредоточенная на множестве Е, и положительное число X, такие, что

sup 51 IMp-^I^A’IpWI, Р lm\<N

где постоянная К зависит только от Е.

Если множество Е имеет меру нуль и удовлетворяет условию R, то оно является множеством аналитичности (Кахан и Кацнельсон [1]).

Достаточно проверить условие (9). Для этого воспользуемся результатом, приведенным на стр. 86.

Из исходного предположения следует, что для любой функции ф, принадлежащей классу Л, существуют мера р, сосредоточенная на £, и целое положительное X, такие, что выполняются условия

Н(0) = 1, |^(0ф(^Мрл!<2К||<р||рЯ.(10)

В случае, когда ф — тригонометрический полином (здесь можно писать К вместо 2К) это проверяется непосредственно; в общем случае проверка осуществляется посредством аппроксимации функции ф тригонометрическими полиномами.

Пусть / — вещественная функция из класса А, такая, что Ц/||л = г и II ^ ||рм ^ ^ (существование такой функции / для некоторого ц>0 установлено на стр. 86). Тогда для любой меры р, сосредоточенной на множестве Е, справедливо неравенство

1м(0)| = |(^Л б-/)|^||^/||РД1||е'/||л(£).

Положим ф = е-^ и затем выберем меру р и число X так, чтобы выполнялись условия (10). В этом случае справедливы неравенства

кУ||л(£)^(2К1Ф||рл1)-1^2^^.

а следовательно, и неравенство (9). ■

Условие R выполняется для некоторых счетных множеств. Пусть, например, множество Е содержит арифметические прогрессии вида Р = {а —v/, .... а—1, а, а + 1, ..., a-f-vZ) произвольной длины (иными словами, v сколь угодно велико). Зададим меру р равенством р (п) = e~lna cosv In; эта мера сосредоточена на £ и удовлетворяет условию

sup У |р(р-т-) = р(0)4-е,

где е стремится к нулю при фиксированном N и неограниченном возрастании v. Как следствие получаем, что любое множество Е, содержащее арифметические прогрессии сколь угодно большой длины, является множеством аналитичности. ■

В частности, любое множество положительной меры является множеством аналитичности. ■

Непосредственно видно, что условие R выполняется, если Е — множество типа Мй или, общее, если на нем можно сосре-

доточить меры, для которых предел Итп |р(л)| сколь угодно

П — ОО

мал, в то время как р(0) = 1.

Можно проверить также, что условие R выполняется для всех множеств Е, содержащих сколь угодно большие цепочки (Кахан и Кацнельсон [1]).

Другие примеры множеств аналитичности будут получены с помощью теории Варопулоса на стр. 136.

ТЕОРЕМА БЁРЛИНГА И ХЕЛСОНА

На стр. 95 мы видели, что если вещественная функция / из класса А принадлежит на сколь угодно малом интервале классу С2 и не является на нем линейной, то нормы |[^'”^Цл неограниченно возрастают при | п | -> оо. Теперь мы установим этот результат, освобождаясь от дополнительного предположения, что feC2 (Бёрлинг и Хелсон [1]).

Обозначим через ВН класс таких вещественных функций, принадлежащих А, для которых |^я/||д = 0(1) (п->-оо). Мы разобьем изучение класса ВН на несколько этапов.

Если f^BH, то любой сдвиг функции f снова принадлежит классу ВН. ■

Если f<=BH, то ||е<“/|^ = 0(1) (и вещественно и стремится к бесконечности). ■

Если функции fug принадлежат классу ВН, то любые их линейные комбинации также принадлежат ВН.

Это очевидно в силу 2. ■■

4)'Если последовательность функций ф„ из А, равномерно ограниченных по норме А («= 1, 2, ...), поточечно сходится к функции ф, то коэффициенты Фурье функции ф образуют суммируемую последовательность.

Это непосредственно следует из теоремы Лебега о мажорированной сходимости. ■ .

Если f е ВН и множество N (f) (множество нулей функции f) имеет положительную меру, то f = 0.

Действительно, из исходного предположения относительно функции f следует, что || cos”/ ||л = <Д (1). Умножая при необходимости f на постоянную, можно считать, что —л/2^/^л/2. Тогда последовательность cos” f при п -> со поточечно сходится к характеристической функции множества N (/). Так как множество N (f) имеет положительную меру, то в силу предыдущего предложения это возможно лишь в случае N (f) = Т. ■

Если f е ВН, то существует такая постоянная К, что для любой меры р, являющейся линейной комбинацией точечных масс, р = 2а»^ . образ ру = £апд( у^ меры р при отображе-

нии f удовлетворяет условию

II Р-7 Ирм ^ К || Н ||рм- ■

Если f е ВН, то существует такое целое N, что при отображении f любые N точек, составляющие арифметическую прогрессию, переходят в N точек, зависимых над полем рациональных чисел.

Действительно, в противном случае существовали бы сколь угодно длинные арифметические прогрессии Р, такие, что их образы состояли бы из независимых точек. Тогда для любой меры р, сосредоточенной на множестве Р, по теореме Кронекера мы бы имели равенство HpH|pm = ||P'/IIm = ||pU- В то же время отношение норм ЦрЦрл/Ц р]|м для достаточно длинных прогрессий Р как угодно мало (можно выбрать в качестве меры р меру Рудина — Шапиро (стр. 46)). Эт'о противоречит предложению 6. ■

Если feBH, то существуют такие целые Лъ ..., AN, не все равные нулю, и такое множество L с [0, 1] положительной меры, что равенство

Л1/(/ + /) + Л^(^ + 2/) + ...+ Ллг/(/ + М) = 0(11)

выполняется для любого teT и любого let.

Действительно, пусть N выбрано в соответствии с предыдущим предложением. Тогда каждой паре чисел (t, I) еТх[0, 1] отвечает по крайней мере один набор N целых чисел Ль ... ..., An, для которых справедливо равенство (11). Так как множество' наборов счетно, то по крайней мере один из них отвечает подмножеству положительной меры множества Тх[0,1]. Зафиксируем набор Дь ..., An, обладающий этим свойством. Тогда существует такое подмножество L отрезка [0, 1] с положительной мерой, что для любого le.L равенство (11) выполняется для некоторого подмножества величин t положительной меры на Т. В силу предложений 1, 3 и 5 из этого следует, что для любого I е L равенство (11) выполняется для всех t. ■

(теорема Бёрлинга — Хелсона). Пространство ВН состоит лишь из тождественных постоянный.

Действительно, пусть фД/) есть левая часть равенства (11). Тогда

ф; W = / («) kAie-n + A^71’ + • • • + ANeNlnl) = 0

для любого п и любого leL. Так как множество L бесконечно, то для каждого п=#0 выражение в скобках отлично от нуля по крайней мере для одного значения l^L. Значит, f (п) = 0 для любого п=£0. ■

Следствие 1. Пусть <р — такое отображение окружности Т в себя, что для любой функции F г А функция F «ф заве-

домо принадлежит классу А. Тогда ^^ = ktA-<p^> где к-—некоторое целое.

Положим ft = $-25^25^21 и ^) = ф(/) — kt. Исходное предположение эквивалентно тому, что ||е‘”ф||д = 0 (1) (см. стр. 93), и, следовательно, ||е'л/ ||д = О (1). Поскольку функция ф локально принадлежит классу А (мы видим это, полагая локально F(x) = x), то функция / принадлежит классу А, а потому f — тождественная постоянная. ■

Следствие 2. Множество эндоморфизмов банаховой алгебры А (Т) исчерпывается отображениями вида F (t) ->

F (kt + ф) (k —целое, феТ).

Действительно, любой эндоморфизм банаховой алгебры А (Т) заведомо имеет вид F-*F»<p, где ф —некоторое отображение окружности Т на Т, а предыдущее следствие дает нам вид отображения ф. ■

АВТОМОРФИЗМЫ АЛГЕБР А (/)

Следующая модификация используется для решения второй проблемы П. Леви, указанной во введении.

Пусть I — некоторый интервал и f — вещественная непрерывная функция на этом интервале. Если ||е'л/||д(7) = О(1) (п-хх^, то функция f линейна на 1.

Ограничимся наброском доказательства. Выберем интервал Г, расположенный строго внутри интервала /: рассуждая, как выше, устанавливаем существование множества L положительной меры, близкой к нулю, и целых Ль.... AN, для которых выполнено соотношение

Л1/(/+0+...+Лл^+М) = 0 (teF, lety (12)

Любое решение f(f) разностного уравнения (12) есть функция, периодическая в среднем, которая представляет собой на каждом компакте равномерный предел линейных комбинаций произведений полиномов и экспонент, являющихся в свою очередь решениями уравнений (12) (см., например, Шварц [1]). Так как множество L бесконечно, то только линейные комбинации произведений экспонент и полиномов могут быть решениями. С другой стороны, как на стр. 95, доказывается, что функция f не может принадлежать классу С2, если она нелинейна. ■■

Следствие 1. Пусть ф — такое отображение замкнутого интервала I на замкнутый интервал J, что для любой функции F из класса А (Г) функция Р-ц> заведомо принадлежит классу А(1). Тогда отображение ф линейно. ■

Следствие 2. Не существует нетривиальных автоморфизмов алгебр Д (/). ■

(Существуют два тривиальных автоморфизма алгебры Д (/),)

В гл. IX мы вернемся к изоморфизмам между алгебрами Д (5) и Д (Е').

Было бы интересно выяснить, для каких последовательностей ®„, стремящихся к бесконечности, из условия ||е‘”/|]А = = О («>„) всегда следует, что функция / линейна. Можно предположить, что это так в случае coa = o(logn) (п->оо).

Глава VII

ТОНКИЕ МНОЖЕСТВА И МЕТОДЫ БЭРА

Во многих интересных проблемах, связанных с замкнутыми подмножествами окружности и тригонометрическими рядами, возникает то-или иное условие тонкости множества, которое, будучи выполнено для множества Е, выполняется для любого его замкнутого подмножества. В начале главы мы произведем частичный и беглый обзор, отсылая за более полным ознакомлением с этими вопросами к монографии Кахана и Салема [1]. В большинстве этих проблем соответствующее условие тонкости выполняется для множеств Кронекера, которым в основном посвящена эта глава.

Функциональный метод изучения множеств Кронекера, принадлежащий Р. Кауфману, может быть применен к проблеме представления непрерывных функций с помощью пере- размещений функций класса А. Этой проблеме будет посвящен конец главы.

ТОНКИЕ МНОЖЕСТВА

Мы уже встречались со следующими типами тонких множеств:

множества Хелсона, определенные равенством А (Е) = = С (Е) (см. стр. 63);

множества типа U, определенные равенством PF (Е) = {0} (см. стр. 56);

множества S.V.P., определенные равенством PM (Е) = = М (Е) (см. стр. 76);

разрешающие множества (сокращенно ^-множества), для которых, по определению, любое замкнутое подмножество является множеством синтеза (см. стр. 85).

Добавим к этому

множества Е типа АА+, для которых А* (Е) = А (Е);.

множества типа ZAV, на которых обращается в нуль по крайней мере одна функция из класса А+, не равная тождественно нулю;

множества типа UQ (единственности в широком смысле), ^ определенные равенством PF (Е) П М (5) = {0};

множества типа N (или абсолютной сходимости), для

ОО

которых существует тригонометрический ряд J£r„cos(n/4-<p„),

1

ОО

2|г„| = оо, абсолютно сходящийся на множестве Е.

1

Наконец, ниже будут определены

множества Кронекера:

множества Дирихле.

В приведенной ниже таблице представлены известные нам ответы на вопрос, является ли множество типа, указанного в строке, множеством типа, указанного в столбце.

н

и

S.V.P

R

ЛЛ+

ZA*

и»

N

К

D

н

да

нет

нет

нет

да

да

да

нет

нет

нет

и

нет

Да

нет

нет

нет

нет

да

нет

нет

нет

S.V.P.

да

Да

Да

да

да

да

да

нет

нет

нет

R

нет

Да

нет

да

?

?

Да

нет

нет

нет

АА^

нет

нет

нет

нет

да

да

да

нет

нет

нет

ZA+

нет

нет

нет

нет

нет

да

нет

нет

нет

нет

и»

нет

нет

нет

нет

нет

нет

Да

нет

нет

нет

N

нет

нет

нет

нет

нет

нет

Да

Да

нет

нет

к

да

да

Да

да

да

да

да-

да

Да

да

D

нет

да

нет

нет

да

да

да

Да

нет

да

МНОЖЕСТВА КРОНЕКЕРА И МНОЖЕСТВА ДИРИХЛЕ

Обозначим через U (£) класс непрерывных комплексных функций, равных по модулю 1 на множестве Е. Это метрическое пространство с расстоянием, обычным для непрерывных функций.

Говорят, что Е —множество Кронекера, если множество экспонент ^ |£ (и е Z) плотно в пространстве U (£).

Классическая теорема Кронекера утверждает, что любое конечное независимое множество (т. е. множество, никакая нетривиальная линейная комбинация элементов которого с целыми коэффициентами не кратна 2л) является множеством Кронекера.

Любое множество Кронекера заведомо независимо.

Действительно, в противном случае существуют такие элементы 1Ъ ..., tn множества Е и такие целые рх, ..., рп, не равные нулю одновременно, что (/(^^‘...У (У)Р/г= 1 для любой функции f, являющейся пределом экспонент на множестве Е.

Однако, как мы сейчас увидим, не любое замкнутое независимое множество является множеством Кронекера.

Условимся говорить, что Е является множеством Дирихле, если существует последовательность целых п^ео, для которых функции е1^*" |е стремятся к единице в U (Е).

Любое множество Кронекера является множеством Дирихле.

Действительно, рассмотрим элемент f класса U (Е), не совпадающий ни с одним сужением экспоненты ^ |е (п s Z) (такой элемент существует в силу того, что класс U (Е) несчетен). По определению множества.. Кронекера существует последовательность целых т^, для которой f = lime‘m^|E, причем можно предполагать, что т;>1 — т;-*оо. Полагая п, = т#+1— — mj, получаем, что Иш ^* |е = 1. ■

Будем говорить, что множество Е обладает свойством L, если существуют две положительные последовательности а, и р./, такие, что Ита/='б, Птру — оо и для каждого индекса / множество Е может быть „покрыто объединением открытых интервалов с длинами, равными ал расстояние между которыми не менее а,ру.

Любое множество Дирихле обладает свойством L.

Действительно, пусть последовательность г]/= sup 1 sin«/|

Н=Е

2Агс sin ti/ стремится к нулю. Достаточно выбрать ау =———, а^=^

л—2Агс sin ц/

Как следствие получаем: любое множество Кронекера обладает свойством L. ■

Из этого следует, например, что множество, состоящее из точек вида 1 и 1— е~п (и=1, 2, ...), не является множеством Кронекера. Из этого же вытекает, что любое множество Кронекера заведомо имеет меру нуль. Впрочем, это следует из условия независимости.

МЕТОД КАУФМАНА

Эффективные построения совершенных множеств Кронекера были предложены Хьюиттом и Какутани [1], Рудином [4], а также Виком [2] (так называемые равномерно кронекеров- ские множества). В частности, Вик построил множества Кронекера с положительной мерой Хаусдорфа относительно произвольной фиксированной определяющей функции Л(/), для которой Иш^ = оо. Кауфману [1] принадлежит идея выявления множеств Кронекера с использованием теории Бэра. Мы используем этот подход применительно к понятию подобных множеств (Кахан [1]).

Продемонстрируем сначала метод Кауфмана в простом случае. Пусть Е — совершенное нигде не плотное множество. Совокупность непрерывных отображений из £ в Т образует полное метрическое пространство U* (£). Условимся говорить, что в метрическом пространстве некоторое свойство имеет , место для квазилюбого элемента, если оно справедливо всюду вне множества первой категории в смысле Бэра (счетного объединения замкнутых нигде не плотных множеств).

Квазилюбой непрерывный образ множества Е является множеством Кронекера.

В самом деле, пусть заданы локально постоянная функция, ср г U (£) и некоторое е>0. Обозначим через Л (ср, е) подмножество отображений /е £/*(£), удовлетворяющих условию

VneZ||ew-<p||c(E)^e (1)

(С (Е) — пространство непрерывных комплексных функций на множестве Е). Это замкнутое подмножество пространства U* (£). Покажем, что оно нигде не плотно.

Любое открытое подмножество пространства U* (£) содержит некоторый шар'В^, р) (р>0), где отображение f локально постоянно. Зафиксируем такой шар. Выберем п>л/р и определим вещественную функцию g на множестве Е равенством

^п. (.Кеч = <pf — п,^п.§<,п,

Функция g локально постоянна, а потому непрерывна на множестве £, и мы имеем

f+g^B(f, р), f-Vg^ А (ф, е).

Таким образом, множество А (ф, е) нигде не плотно в пространстве U* (Е).

Зафиксируем последовательность ф„, плотную в пространстве U (Е), и последовательность е„, стремящуюся к нулю. Пусть А = иЛ(ф„, е„). Если f ф А, то последовательность п

сужений е'”/1£ плотна в классе U (Е) и следовательно, последовательность сужений е1^^^ плотна в классе U (/(£)). ■ С другой стороны, еще легче проверить, что квазилюбой непрерывный образ множества Е является совершенным множеством.-

Заметим, что в приведенном доказательстве можно заменить множество Z его произвольным бесконечным подмножеством. Таким образом, справедливо следующее предложение:

Пусть заданы бесконечное множество целых чисел Л и совершенное нигде не плотное множество Е. Тогда последовательность е<п(^(Е) (пеЛ) для квазилюбой функции f плотна в классе U (/(E)). ■

МНОЖЕСТВА КРОНЕКЕРА, СОДЕРЖАЩИЕСЯ В ЗАДАННОМ СОВЕРШЕННОМ МНОЖЕСТВЕ

Рассмотрим теперь несколько менее простую ситуацию.

Пусть Е — совершенное нигде не плотное множество и Р — некоторое совершенное множество на окружности. Пусть Е и Р разбиты на совершенном подмножестве Еъ ..., Еп и соответственно Pi, Р2Рп. Совокупность непрерывных отображений из £ в Р, отображающих множества Ej, в множества Р. (i = X, 2, ..., п), образует метрическое пространство U>(E), являющееся замкнутым подпространством пространства U* (Е).

Для квазилюбого отображения f eU$ (Е) множество f (Е) является множеством Кронекера.

Доказательство точно такое же, как и в предыдущем случае до момента выбора значения п и функции g. Пусть снова заданы е>0, р>0, локально постоянное на множестве Е отображение f е Up (Е) и локально постоянная на Е функция фе(/(Е). Существует такое разбиение множества Е на совершенные подмножества Е1, Е2, ..., Ет, более мелкие, чем множества Е,, Е2> •••» Еа, что на каждом из множеств Е6 функ- ' ЦИИ / И ф ЯВЛЯЮТСЯ ПОСТОЯННЫМИ. ПуСТЬ /=/» И ф = ф»

на каждом Ек. Далее, существует разбиение множества Р на совершенные подмножества Р1, Р\ ..., Р”, более мелкие, чем

Ръ Р2, ..., Р«, такое, что fk^Pk. Определим локально постоянную функцию g, подбирая ее значения gk на множествах Ек так, чтобы выполнялись условия: 1) |§й|<р; 2) ^k-Vgk^ еР6 (^ = 1, 2, ..., /и); 3) числа fk-Vgh независимы (mod2л). Тогда, согласно теореме Кронекера, можно выбрать такое целое п, что

|6<n(fft+8ft) _ ф6|<^е для &=1( 2, ,.., /и,

и доказательство завершается так же, как и выше. ■

Для квазилюбого отображения f^Up (£) каждое из множеств f(£i), Н^г)» •••> ЦЕп) совершенно. Таким образом, установлен следующий результат, который мы используем позднее.

Пусть заданы совершенные попарно не пересекающиеся подмножества Pi, Р2) .... Рп окружности Т. Тогда существует множество Кронекера К, пересечение которого с любым множеством Pf совершенно и непусто. ■'

ПОДОБНЫЕ МНОЖЕСТВА1)

Будем говорить, что два компактных множества Е и Е* подобны, если существует функция feC1^), производная которой всюду строго положительна и равна 1 на множестве Е, отображающая множество Е на множестве Е' (отображение / с указанными свойствами будем называть допустимым). Ясно, что речь идет об отношении эквивалентности. Будем обозначать через ТТ любой класс, состоящий из всех подобных множеств, и через ТТ (5) класс, содержащий множество Е.

Каждый из классов ТТ становится метрическим пространством, если определить расстояние между двумя множествами Е и Е’ посредством равенства

d (Е, Е') = inf sup (| f (0 - /1 +1 logf (01),(ER

где нижняя грань берется по всем допустимым отображениям. Легко проверяется, что это пространство полно.

Если Е и Е' — компакты меры нуль, то они подобны в том и только в том случае, если длины lx, 12, ..., 1п, ... и li, 14, ..,

х) В оригинале —«ensembles tangents par translation»,

..., In, ... их смежных интервалов при некоторой согласованной г) нумерации образуют эквивалентные последовательности flim^ = 1\ Тогда

<ЦЕ, Е')^ЦЕ, £') + infsup log^|^2d(£, Е'),

где 6(Е, £') —обычное расстояние между компактами и нижняя грань берется по всевозможным согласованным упорядочениям смежных интервалов. Проверку этого факта мы предоставляем читателю.

Нетрудно проверить, что для любой возрастающей положительной функции h(f), для которой отношение Ур- не возрастает (/>0), любые два подобных множества имеют одну и ту же й-меру Хаусдорфа. Напомним, что й-мерой множества Е называется предел при е->0 величины 1п12й(|А„|), где нижняя грань берется по всем покрытиям множества Е интервалами Д„ с длинами |А„|, не превосходящими е.

Можно проверить также, что если множество Е удовлетворяет условию £ (см. определение на стр. 111), то тем же свойством обладает любое множество Е', принадлежащее классу ТТ (£). Таким образом, можно говорить, что некоторый класс ТТ обладает или не обладает свойством L.

Мы уже знаем, что если класс ТТ не обладает свойством L, то он не содержит ни одного множества Кронекера (а также ни одного множества Дирихле). Сейчас мы докажем один результат «противоположного» направления.

Если класс ТТ обладает свойством L, то квазилюбой его элемент является множеством Кронекера.

Действительно, пусть Е е ТТ, Пусть заданы локально постоянная функция ф е U (£) и е > 0. Обозначим через В = = В (ф, е, £) совокупность множеств ЦЕ), где / — допустимое отображение, удовлетворяющее условию

inf||^-9||C(E)^e.

п

Множество В замкнуто в пространстве ТТ и В = В (ф V"1’ 8» / ФУ) для любого допустимого отображения /, где через f-1 обозначено отображение, обратное к /. Заменяя, если это необходимо, функцию ф, можно считать, что множество Е является элементом совокупности В. Сейчас мы покажем, что множество В нигде не плотно.

*) Согласованность означает, что для любых п и т порядки расположения на прямой пар смежных интервалов 6п, 6т и д', д^ совпадают.— Прим, ред.

Пусть а/, р,у —две последовательности, определяемые множеством Е в силу свойства L, и Пу —такая последовательность положительных целых чисел, что Нтлу«у = 0 и limny«/P/ = oo. Для каждого f существует покрытие множества Е открытыми интервалами А длины ay, которые разделены отрезками А' длины ^ay|iy (свойство L). Обозначим через Ej множество центров интервалов А. Пусть gy(/) —такая непрерывная на окружности функция, что

е‘"Аот = ф(/), — л^цу|§у(/) —/|<л (t<=EjB gj^ — t постоянная на каждом А, gy(/) линейная на каждом А.

Эта функция совпадает на множестве Е с допустимой функ-

12л

цией, производная которой заключена между 1и 2л

1 "^ "п^ й- и которая отклоняется от t менее чем на —. Тогда множества gj (Е) стремятся в ТТ к множеству Е, когда / -> оо. С другой стороны, на каждом интервале А, на котором функция ф постоянна, справедливо неравенство

| ginjgj (t) _ ф (/) | ^

и, таким образом, gj(E')^B для всех достаточно больших /.

Итак, замкнутое множество В нигде не плотно в ТТ. Выбирая последовательность функций фя, плотную в классе U (Е), и последовательность ея, стремящуюся к нулю, определим последовательность замкнутых нигде не плотных множеств Вп = = В (ф„, е„, Е), объединение которых дает исключительное множество В*. Если Е' е ТТ и Е' фВ*, то сужения ein/iE. плотны з t/(E'). ■

В доказательстве фигурирует последовательность Пу, такая, что для квазилюбого множества Е из класса ТТ последовательность сужений е1П/\Е плотна в ЩЕ). Можно также показать, что любая бесконечная подпоследовательность последовательности щ обладает этим свойством.

ТЕОРЕМА ВИКА

Используя изложенные результаты, приведем несколько примеров классов ТТ.

Пусть А = {Ач, Х2,..., Х„,...} — возрастающая последовательность целых положительных чисел. Обозначим через ЕЛ множество точек х, которые могут быть представлены в виде

ОО

х = я У -^-(mod 2л) (ея = 0или 1).(2)

п= 1

Заметим, что

[ sin 2Х"л: | =^ 2jl • 2х"—X"+i (хе£л).

Если lim (Хя+1 — Хя) = оо, то множество Ел является множеством Дирихле и, в частности, обладает свойством L. Если, напротив, Пт (Хя+1 — Хл) < оо, то замкнутое подмножество множества Ед, образованное точками 0 и л2-” (л е Л), не обладает свойством L, и тем более то же, справедливо для множества Ед. Таким образом,

Класс ТТ (Ел) обладает, свойством L в том и только в том случае, если Ит(А,я+1 —А,я) = оо. ■

Пусть теперь h (I) — такая положительная возрастающая ,1- А (О

функция, что lim —^- = оо.

Существуют классы ТТ(Ед), обладающие свойством L, каждый элемент которых имеет строго положительную h-меру.

В самом деле, Л-мера множества Ед положительна, если на Ед сосредоточена такая положительная мера р^.О, что для любого интервала / имеет место неравенство р(/)^Л(|/|) (см. Кахан и Салем [1, стр. 27]). Выберем естественную меру на множестве Ед, иными словами, такую меру р, что для любого х вида (2) имеем

ОО

р(х) = р([0, х])= 2 $-• п= 1

Тогда масса любого интервала, расположенного между двумя последовательными точками, кратными л2-\ будет равна О или 2~". Следовательно, р(/)^2-л+1, когда л2-л" + ’ ^| 11 ^л2-х". Выбирая множество Л так, чтобы

й(л2—X/I+1)^ 2-п+1,(3)

получаем, что Л-мера множества Ед положительна. В силу замечания, сделанного в предыдущем параграфе, то же самое справедливо для всех элементов класса ТТ(Ед).

Без ограничения общности можно считать, что выражение h(t)!t не возрастает на [0, л] и что h(f) постоянна на отрезках вида [a,, Р/] (аг>0, р,->0, Ита; = 0, Ит^-=оо). Определяя Хя+1 как наименьшее целое, для которого выполняется неравенство (3), получаем, что эта последовательность строго возрастает (так как h (2/) -с 2h (t)) и что Ит(Хя+1 —Хя) = оо (поскольку последовательность л2-х” принимает не более одного значения, заключенного между аг и рг). Следовательно, класс ТТ (Ед) обладает свойством L.

Из этого следует теорема Вика [2].

Для любой возрастающей положительной функции, такой, что Нт -^т^- = оо, существуют множества Кронекера положи- тельной h-меры. ■

СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ КРОНЕКЕРА

Любое множество Кронекера является множеством Хелсона.

Фактически мы сейчас докажем два гораздо более сильных ' предложения.

Пусть Е — множество Кронекера и at) а^,..., а,,...— положительная суммируемая последовательность. Каждой вещественной непрерывной на множестве Е функции f соответствует такая возрастающая последовательность целых чисел п0, п1г п2, .... П], ... , что

ОО

f(0 = So/cos^ («о = Ilf lie (Е). teE). о

Действительно, можно представить функцию f в виде f (/) = = а0 cos <р0 (/) и подобрать функцию а^"»1, отстоящую от функции йое‘ф« не более чем на av Далее полагаем / (f) — a0 cos not = =о1со8ф1(/) и подбираем функцию а^**111, отстоящую от функции а^1 не более чем на а2, и т. д. ■

Заметим, что на последовательность п, можно наложить условие лакунарности произвольного типа п, 5s ф7 (Щ), п^ ... ..., п7-1), где фу —некоторые заданные функции.

Любое множество Кронекера является множеством S. V. Р (Варопулос [1]).

Пусть, в самом деле, псевдомера Т е PM (Е). Достаточно показать, что псевдомера Т является мерой. Вычитая при необходимости из псевдомеры Т соответствующую меру, сосредоточенную на множестве Е, можно предполагать, что Т(0) = 0. Рассматривая псевдомеры Т + Г и Т — Т, где 7 ~ 2 ТА— n) etnt, мы видим, что без ограничения общности можно предполагать псевдомеру Т «вещественной», т. е. 7’(п) = Т(—/г).

Первообразной псевдомеры Т в смысле теории распределений является, функция

е~ у

in

Это функция с суммируемым квадратом, постоянная (почти всюду) на каждом смежном с Е интервале. Достаточно показать, что функция 9 совпадает (почти всюду) с функцией огра-

ниченной вариации. Так как множество Е имеет меру нуль, достаточно показать, что локально постоянная функция 6^ определенная на множестве Т\Е и почти всюду совпадающая с функцией 6, является функцией ограниченной вариации. Однако, если точки а и b принадлежат множеству Т\£, то

^ - 6, (а) = (Г, £„,») (а < b < а + 2л),

где ^о,6 — некоторая функция из класса А, равная 1 в окрестности замкнутого множества

(такое множество называют «порцией Е»), Вариация функции 6, равняется, таким образом, верхней грани скалярных произведений (Т, £) по всем функциям £ класса А, равным + 1 иЛи —1 в окрестностях порций Е, образующих разбиение множества Е.

Пусть х — функция класса С1, равная 1 в окрестности 1 и —1 в окрестности —1. Таким образом,

ч (1, если I cos nt — 11 < е,.

X(cosnZ ( —1, если | cos nt А-11 < е,

для соответствующего е>0. Пусть | — определенная выше функция; тогда существует такое целое п = п^, что

]£(/) — cos nt | < е, t^E.

Последнее неравенство, будучи справедливым на множестве Е, имеет место и в некоторой окрестности Ё; следовательно, X(cosnt) = £ (О в некоторой окрестности Е. Поэтому

(Т, $ = (Т, g(cos/tf)).

Поскольку ||x(cosn/)|^ = ||x(cos/)||A, мы получаем, что

(Т, ?) = ||7’bh(cosOIU.

Справа стоит конечное число, не зависящее от функции g; следовательно, 6t имеет ограниченную вариацию. Таким образом, псевдомера Т является мерой. ■

Из этого следует, что множество Кронекера удовлетворяет любым условиям тонкости, рассмотренным в-начале этой главы. В следующей главе мы увидим, что это не так для алгебраической суммы ^1 + ^2> гДе Ki и Кг —два совершенных непере- рекающихся множества Кронекера.

СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ ДИРИХЛЕ

Рассмотрим сначала одно простое условие, гарантирующее, что множество Е является множеством Дирихле.

Пусть N6 — наименьшее " число интервалов длины е, покрывающих множество Е. Тогда если

то Е является множеством Дирихле.

Это условие принадлежит Салему (Кахан и Салем [1, стр. 95]). Приведем доказательство. Пусть 1Ь /2, ..., /9 — интервалы длины е, покрывающие множество Е, и пусть х, е I, (j = 1,2,... ..., q и q = N^. Согласно теореме Дирихле, для любого целого положительного h существует целое п, заключенное между 1 и К9 и такое, что | sin nh.Xj | < п/h (j=l, 2, ..., q). Тогда для любого xelj справедливы неравенства

| sin nhx — sin nhxj | ^ h9*4,

| sin nhx | ^ у + h9*4.

Из нашего предположения вытекает, что lim hMe-=O. Следо- 8^0

вательно,

lim ЦзттхЦс^^у.т-^оо

Поскольку h произвольно, мы получаем, что Е является множеством Дирихле. ■

Используя эти условия и результаты, приведенные на стр. 45, 89 (или на стр. 136), можно проверить, что существуют множества Дирихле, не являющиеся ни множествами Хелсона, ни разрешающими множествами.

Любое множество Дирихле является множеством типа U (Кахан [10]).

Используем ту же идею, что и в теореме Варопулоса на стр. 118. На протяжении этого параграфа через Е будет обозначаться множество Дирихле.

Пусть /е —нечетная функция, определенная равенством

Xдля8 — X ДЛЯ0дляXдля8 — X ДЛЯ0для|х|^е, е^х^2е, x3s2e.|х|^е, е^х^2е, x3s2e.

Xдля

8 — X ДЛЯ

0для

Xдля

8 — X ДЛЯ

0для

|х|^е, е^х^2е, x3s2e.

|х|^е, е^х^2е, x3s2e.

Для каждого е>0 существует такое целое пе, превосходящее е-1, что sup 1 sin nBt | < е. Для каждой псевдомеры Т, сосредо- t^B

точенной на множестве Е, имеем

t (2пе) -Т^ = 21 (Т, е^Ц (sin п8ф.

Между тем нормы ||/g (sin nt) Цл стремятся к нулю при е-»-0 (в этом можно убедиться, например, применяя неравенство (1), приведенное на стр. 71). То же самое справедливо для норм ||/е(sinпе/|)л- Таким образом,

Hm 1т(п)-т (О)1 = о

П->ОО

и, аналогично, для каждого целого р l^Llf (п)-Т(р)| = о. . п—*со

В этом случае имеем

Пт | Т (п) | = sup | Т (р) |. п-+оор

Таким образом, множество Е имеет тип U. ■

Любое множество Дирихле есть множество типа N.

Действительно, во введенных выше обозначениях ряд

ОО

2 sin n^j-vt абсолютно сходится на Е. ■■ / = 1

Для любого множества Дирихле Е имеет -место равенство Д+ (Е) = А (Е) и существует функция, принадлежащая классу А*, отличная от тождественно нулевой, которая обращается на Е в нуль (Варопулос, устное сообщение, см. также стр. 181).

Действительно, для каждого целого neZ имеем

IIеш-е1^2^ || л(£) = 21|sin nj. ||д(Е) ^21| /8 (sinп^ ||д.

Следовательно, любую функцию из класса А (Е) можно как угодно точно приблизить в А (Е) функциями из класса А* (Е) с той же нормой. Таким образом, тождественное отображение пространства А* (Е) в пространство А (Е) является изометрическим отображением на.

Из этого следует, что на множестве Е справедливо равенство е-“ ='2tcneinf, где 2|с„|<оо, т- е- 1 — У, Cn-i^ = 0. ■ оо1

ПЕРЕРАЗМЕЩЕНИЯ ФУНКЦИЙ КЛАССА А

Будем называть перерзамещением непрерывной на окружности Т функции g любую суперпозицию вида g«q>, где <р — некоторый гомеоморфизм окружности Т.

Возникает вопрос: существует ли такая непрерывная на Т функция g, что никакое ее переразмещение не принадлежит пространству А (Т). Эта проблема, поставленная Лузиным, остается нерешенной (стр. 15). Применяя метод Кауфмана, мы покажем, что переразмещения функций из класса А (Т) порождают векторное пространство С (Т).

Пусть h — полуаддитивная возрастающая непрерывная функция переменной t ^O, такая, что Л(0) = 0 и lim (M/i (/)) = оо. о

Обозначим через Но множество локально возрастающих гомеоморфизмов ф окружности Т, для которых (оф (ц) = о (h (ц)) О'] ->• 0), где, как обычно, (оф(т])= sup |ф(0 — ф(О I- Если задать

расстояние между элементами фо ф2 множества Но следующим образом:

d («Pi. Фг) = sup -^т^г— +1Ф1 (0) - Ф2 (0) |,

то Но превращается в метрическое пространство. Его пополнение Н можно реализовать, присоединяя к Но такие отображения ф окружности Т на окружность Т, которые удовлетворяют условию <Вф (т]) — o(h (ц)) и являются локально возрастающими* всюду, за исключением, быть может, отрезков /„, на каждом из которых отображение постоянно.

Заметим, что квазилюбой элемент ф пространства Н принадлежит пространству Но.

В самом деле, пусть / — интервал с рациональными концами. Множество отображений ф, принадлежащих Н и постоянных на интервале /, очевидно, замкнуто и нигде не плотно в Н. Следовательно, множество Н\Н0 является счетным объединением замкнутых нигде не плотных множеств. ■

Аналогично, декартовы произведения НхН и НхНхН являются полными метрическими пространствами. Квазилюбая пара (фо ф2) из НхН принадлежит НохНо, и квазилюбая тройка (фо ф2, ф3) из НхНхН принадлежит НохНохНо.

Следующий результат стимулирован теоремой Колмогорова о представлении непрерывных функций многих переменных с помощью суперпозиций функций одной переменной и сложения.

Для квазилюбой тройки из пространства НхНхН любая непрерывная на Т функции f может быть представлена в виде

/ = 50Ф1 + §-Ф2+5"Фз.

где g — выбранная надлежащим образом функция из класса А (Т) (Кахан [9]).

Воспользуемся двумя леммами.

2Л

Лемма 1. Пусть ^еН, 6 = ^- (v целое >0), S--подмножество окружности Т, состоящее из отрезков одинаковой длины 26, разделенных интервалами длины 6, и, наконец, пусть ф — локально постоянная на S функция класса Н, линейная на интервалах, смежных с S, и такая, что sup | лр (/) — t

— Ф (/) | ^ (Оф (26). Тогда d (ф, ф) ^е,

где е зависит только от ф, 6 и стремится к нулю при 6-^0. Доказательство непосредственно следует из неравенств

(Оф-^ (л) ^2й)ф (26) для т] >6»

«Ф-ф (n) sS 2-^- ®ф (26) 4-Иф (л) ДЛЯ О<Т)<6.

Лемма 2. Пусть {4, /2, ••• » М — конечное независимое подмножество окружности Т и 8Ъ е2, ... , ен — заданный набор чисел, равных— 1, 0 или 1. Тогда существует такая функция §еА (Т)., что

IlglUm6^,

g^-^ ф-ХЛ,...,^,

II £ 11cm <1

Достаточно рассмотреть меру

Н— ^о + у (S—^ + 6<,))*... *^60 + ~2~ ^(6—<jv+ ^м^ и положить

g = Ац * И Дц>

где Дп — треугольная функция, построенная для отрезка [— т], г]] (см. стр. 17), а т)>0 выбрано меньше наименьшего из попарных расстояний между точками, принадлежащими носителю меры ц.

Ключом к доказательству теоремы является следующее предложение.

Пусть / — вещественная непрерывная на окружности функция, не равная тождественно нулю, и пусть F — множество таких троек (<pi, q>2, <р3), принадлежащих НхНхН, что для любой функции ge4(T), удовлетворяющей условию Ц^Цд^ ^2||/||с, справедливо неравенство

ff — g - <Р! — g= ф2 — g° <р3 ||с^ ^ llfllc-

Тогда множество F замкнуто и нигде не плотно в пространстве НхНхН.

Без ограничения общности можно считать, что ||/||с=1. Очевидно, что множество F замкнуто. Покажем, что оно нигде не плотно. Для этого мы докажем, что в любой окрестности любой фиксированной тройки (q>i, ф2, фз)> принадлежащей множеству F, существует такой элемент (фх, фо, ф3,) пространства НхН хН, что для подходящей функции g имеем ||^||д^2 и

(4)(4)7

(4)

(4)

И-^»Ф1-^“Ф2-^’Фз||с^-§-||Л1с-

Выберем 6 = In/N, где N — достаточно большое целое, кратное 3, так что «/(26Х1/8. Пусть SIt S2, S3 —три замкнутых множества, получающихся один из другого сдвигом на ±6, образованные из отрезков одинаковой длины 2 6,. разделенных интервалами длины 6. Каждая точка окружности Т принадлежит по крайней мере двум из этих множеств. Пусть задана тройка (фх, ф2, <р3). Определим тройку (фх, ф2, ф3) в соответствии с леммой 1, причем так, чтобы множество фх (Sx) (J U Фг (S2) U фз (5з) было независимо на Т и состояло из N точек (4, /2,.... t^ (тогда значения, принимаемые функциями ф/, на отрезках, составляющих множества S/, будут все различны).

Если /п = ф/($), где s —некоторый из составляющих отрезков множества S,, то положим

8п =8п =если f^O на s,— 1, если f <0 на s,

8п =

8п =

О в остальных случаях.

Можно применить лемму 2 и определить соответствующую функцию g. Положим

С = 5»фх+5.ф2 + §.ф3.

Рассмотрим некоторую точку / еТ. Пусть для определенности /е5хП52. Если 0 «^/(/)=$£ 1/8, то §(фх(/)) = О или 1/4, £(ф2(/) = 0 или 1/4, |g (фз (0) I ^1/4 и, следовательно, —1/4^ =^G (/) ==5 3/4. Если f(0^ 1/8^= a>f (26), то имеем £(фх(0) = = ^(Фг (0)= 1/4 и |£(фз(0) I ^ 1/4, и потому 1/4 ^G(/)^ 3/4. Во всех случаях (точно так же рассматривается случай / (/) ^ 0) имеем |f (l)—G(t) |^7/8, т. е. неравенство (4).

Итак, предложение доказано.

Пусть теперь fk (А = 1, 2,...) — последовательность функций, плотная в пространстве Cr (Т) (пространство вещественных непрерывных функций на окружности Т), и Fk—последовательность соответствующих замкнутых нигде не плотных под-

множеств пространства НхНхН. Объединение множеств Fk является исключительным множеством Ф. Если (фъ ф2, Фз,) Ф ^ ф и feCr(T), то существует такая функция g^ A (Т), что ^_g^1_g.?2_gf^3||c<^^||c.

Зафиксируем тройку (ф1( ф2, ф3) ^ Ф. Обозначим через у (f) функцию g, которую мы определили выше. Начиная с заданной функции /оеСг(Т), определим по индукции функции

fm*l = fm - V (W «Ф1 - V (М - Ф2 ” V (fm) • ФЗ (т = 0, 1, . ..).

Имеем

Ряд У, ?(/,«). следовательно, сходится в метрике А, и его т = 0

сумма gQ удовлетворяет равенству f0 — go ° Ф1 — go - Фг — go • Фз = 0.

Доказательство теоремы закончено. ■■

Нетрудно видеть, что в приведенной формулировке нам были необходимы именно три гомеоморфизма. Действительно, если Ф1 и ф2 — гомеоморфизмы окружности Т, то множество функций ^"Фт + ^’Фг (g^^CH) не совпадает со всем пространством С (Т). В то же время, несколько изменяя леммы 1 и 2, можно доказать тем же методом следующее предложение:

Для квазилюбой пары (ф!, ф2)еЯх/7 каждую функцию f еС (Т) можно представить в виде

/ = ^1°Ф1 + ^2°Ф2,

где gx и g2 — dee подходящие функции, принадлежащие пространству А (Т) (Кахан [9]). •

Из этого следует, что для квазилюбой пары (фъ ф2) множество тех точек-окружности, фг- и ф2-образы которых совпадают, является множеством Хелсона.

Глава VIIIТЕНЗОРНЫЕ АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Тензорные алгебры были введены в 1965 г. Н. Варопуло- сом при изучении классов A (S), где S — алгебраическая сумма KiA-Кг двух совершенных множеств Кг и Кг, объединение которых является множеством Кронекера. Все алгебры A (S) (соответствующие любой паре Кх, Кг) оказываются изоморфными, и их моделью является некоторая тензорная алгебра, обозначаемая далее через V (D) (это тензорное произведение C(D)®C(D) в смысле Гротендика). С 1965 г. тензорные алгебры становятся предметом самостоятельных исследований (см., в частности, Варопулос [1] и [3]). Однако большинство рассматривавшихся там задач возникло из анализа Фурье, и тензорные алгебры в свою очередь играют существенную роль в исследовании класса А. Мы увидим, что они доставляют новые примеры множеств аналитичности, неразрешающих множеств и новые сведения относительно таких функций F, что для некоторой заданной f е А функция F ° / заведомо принадлежит классу А (индивидуальное символическое исчисление).

КЛАСС А НА КОМПАКТНОЙ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЕ

Мы воспользуемся здесь некоторыми сведениями из теории компактных абелевых групп, содержащимися, например, в книге Рудина [4] *). В дальнейшем нас будет интересовать преимущественно группа D = {—1,1}N, элементами которой являются последовательности (гг, г2, .... г„,...), г„ = ±1, а групповой операцией — покоординатное умножение (группа D обозначается через Da в книге Рудина и через Dm в статьях Варо- пулоса).

Пусть К — компактная абелева группа. Характеры группы К (непрерывные на К функции %), равные по модулю 1 и такие,

г)См. Гельфанд, Райков и Шилов [1], а также Понтрягин [1]. — Прим, перев.

что x(x+^) = xWx(y))> образуют абелеву группу К, которая, будучи наделенной дискретной топологией, называется группой, двойственной к группе К. На группе К существует единственная мера —мера Хаара —с общей массой, равной единице, инвариантная относительно сдвига.

Обозначим через А (К) множество всех тех функций /, определенных на группе К, которые могут быть представлены в виде

/W = S «хХ(*) (хе К),хе К■

II ли (К) = s |ах|<оо.хек

Это банахова алгебра, содержащаяся в алгебре С (К). Можно доказать, что группа К является спектром алгебры А (К) (пространством максимальных идеалов).

Обозначим через / преобразование Фурье функции f, т. е. f(^)=ax. Справедливо равенство Парсеваля:

х IIH^wM/к2(#)>

Для К = Т снова получаем К = Z, полагая (n, х) = einx. Мерой Хаара здесь является мера ^- Кроме того, Л(К)=Л(Т).

ТЕНЗОРНЫЕ АЛГЕБРЫ

Пусть заданы два компакта Ki и К». Через

С (КО, С(К2), C(KiXK2)

обозначаются соответствующие пространства непрерывных функций. Рассмотрим множество функций f е С (Ki X К2), которые можно представить в виде

f Ui, ^2) = S gn(x^hn(x^п — 1

(короче: / = 2^Л®АЯ), где

S и»||с(К1)||Й«||с(К2)<ОО. /2 = 1

Эти функции /, очевидно, образуют алгебру, которую мы обозначим через V (Ki, К2). Это «проективная тензорная алгебра», которую Гротендик обозначает через С (Ki) ® С (К2).

Алгебру V (Ki, К») можно нормировать, полагая

||/ ||v (К„ К2) = inf 2 II gn ||с (К,) |Мс (К,)»п — 1

где нижняя грань берется по всевозможным представлениям функции f вида ^gn®hn. Ясно, что

II /II v (К„ К8)^||/||с№, К,)

и алгебра V (Къ Кг) является банаховой коммутативной унитарной алгеброй.

Можно доказать, хотя это нам не потребуется, что спектром алгебры V (Къ Кг) является множество Ki X Кг-

ВКЛАДЫВАНИЕ ) АЛГЕБРЫ А (К) В АЛГЕБРУ УЦК)

Начиная с этого момента будем предполагать, что множество К1 = Кг = К является компактной абелевой группой. Вместо V (К, К) будем писать просто V (К).

Заметим, что КхК — компактная группа, двойственной к которой является группа КхК- если х=(х1( х2) еКг хКг» то % (х) = Xi (хх) Ха (-fa)- Если f г A (Ki X Кг), то справедливо равенство

/И = aS «х., x.Xi W Ха W.

XiG&i, x»e^2

где 21 %, Xi | < оо. Следовательно, feV(K) и ||/|и(/о < ^ || / ||л (К X К)-

Таким образом, справедливы следующие включения:

A(KxK)cV(K)cC(KxK), причем нормы соответствующих элементов не возрастают. Так как спектры алгебры С^КхК) и'А(КхК) совпадают с множеством КхК, то спектром алгебры V(К) также является множество К X К-

Тем не менее больший интерес представляет не связь алгебр V (К) и А (КхК), а связь алгебр V (К) и А (К). Действительно, справедлива следующая теорема (Варопулос):

Алгебра А (К) состоит из тех и только тех функций feC(K), для которых функция /(хх + х2) принадлежит алгебре V (К).

Для доказательства удобно (следуя Герцу) рассмотреть два линейных отображения

М: С(К)^С(КХК)!,' .

Р: С(КХК)-*С(К),

определяемых равенством

(Лф(хъ х2) = /(х1 + х2),

(.Pg)(x) = \g(x-y,y)dy,К

где через dy обозначена мера Хаара на группе К. Наша теорема записывается в виде

А(КН\ MfeV(K)V

Следующие этапы доказательства представляют и самостоятель, ный интерес.

1-й этап. Отображение РМ является тождественным отображением пространства С^К). так как

PAff(x) = $ МЦх—у, y)dy=^ f(x)dy = f(x). кк

2-й этап. Отображение Д1 переводит пространство А (/<) в пространство V (К), не увеличивая норм, поскольку

Мх (хъ х2) = X (^1 + х^ - X М X W и М линейно.

3-й этап. Отображение Р переводит пространство V (К) в пространство А (К), не увеличивая норм, поскольку

Р(1®§Ш = ^ f(x-y)g(y)dy = (f*g) (х),К

V*s||л(К) = Ug||ы(Я)^II / ||l« (Л)IIg|l*(Л) =

= II / Ik2 (К) II g (К)II f ||с (К) II g ||с (К)

и Р линейно.

Наконец, справедливы импликации

feA (K)=^Mfe V (K^PMf = f е А (К),

т. е. теорема доказана, кроме того,

II f h (К) = II PMf ||д (К) =С IIМ f [у (К)II / IIД (К).

так что отображение М является изометрическим вложением А (К) в V (К). ■

ПЕРВЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Рассмотрим три приложения

Если в классе А (/<) действуют только аналитические функции, то в классе V (К) также действуют только аналитические функции.

Это очевидно. ■

б Ж.-П. Кахан

По аналогии с функцией N^W определенной на стр. 102, положим

, sup

f вещественна

feV(K), 1111^^=51

^(г)= sup ||е^||л(К).

f вещественна fsA

Тогда N*kV^NkVY

Это также очевидно. ■

Допустим, что синтез не имеет места в алгебре А (К) (это означает, что существует замкнутый идеал, не являющийся пересечением содержащих его максимальных (идеалов); тогда синтез не имеет места и в алгебре V (К).

Действительно, из нашего предположения следует, что существует такое замкнутое подмножество Е множества К, что некоторая функция f, принадлежащая классу А (К) и обращающаяся в нуль на Е, не может быть аппроксимирована в А (К) функциями g, которые обращаются в нуль в окрестности множества Е. Пусть

Б ={(Xr, х8)| xi + xae£}.

Предположим, что множество Ё является множеством'' синтеза в V (К). Тогда функция Mf аппроксимируется в V (К) функциями h, которые обращаются в нуль в окрестности множества Ё. Из этого следует (1-й и 2-й этапы предыдущего параграфа), что функция f аппроксимируется в А (К) функциями Ph. Это приведет к противоречию, если окажется, что функции Ph обращаются в нуль в окрестности множества Е.

Между тем тот факт, что функция h обращается в нуль в окрестности множества Е, эквивалентен существованию двух окрестностей нуля Vi, V2 в группе К, таких, что h(x1 + y1, х»А-Уг) = 0 ПРН х^^еЕ, yt е Vi, у8 е 1/2. Отсюда следует, что Ph(x + y) = 0 при xgE, yeVi. нн

5 ВЫДЕЛЕНИЕ 1) АЛГЕБРЫ И (D)В АЛГЕБРЕ A (S)

Все предшествующее представляло теорию «вкладывания» алгебры А (К) в алгебру V (К). Ограничиваясь теперь специальной группой, а именно группой D, мы остановимся на «выделении» алгебры V (К) в алгебре A (S), где S — соответствующее замкнутое подмножество окружности Т. Грубо говоря, вклады-

!) В оригинале «etalement»

вание состоит в переходе от функций одной переменной к функции двух переменных, а выделение —в переходе от функции двух переменных к функций одной переменной. Вкладывание позволило нам получить некоторые результаты относительно алгебры V (К) с помощью уже известных результатов относительно алгебры А (К). Выделение принесет нам некоторые результаты относительно алгебры А (Т) в предположении, что известны соответствующие результаты относительно алгебры A (D).

Напомним, что через D = {—1, 1}N обозначается множество последовательностей х={Г1, г2, ..., гп, ...) (rn = ± 1), наделенное структурой абелевой группы (групповой операцией является покоординатное умножение), и эта группа компактна (как

ОО произведение компактов). Так как отображение х-^-^гп^п 1 взаимно однозначно и непрерывно, то множество D гомеоморфно тернарному канторову множеству, а следовательно, любому совершенному нигде не плотному подмножеству прямой R.

Рассмотрим теперь два совершенных нигде не плотных подмножества Ki и Кг окружности Т, объединение которых является множеством Кронекера. Отождествим пространство C(DxD) с пространством С^КгХКг)» отождествляя первый сомножитель D с множеством Ki, а второй —с множеством Кг. Кроме того, отождествим множества КтХКг и Кг + Кг = 8, сопоставляя каждой паре (х,, х^ сумму Х1-фх2 (так как множество Ki U Кг независимо, то любое вещественное число можно не более чем одним способом представить в виде Xi + x2; таким образом, отображение (xi, х2) -> Xi + х2 является гомеоморфизмом пространства К1ХКг на S). Наконец, отождествим алгебру C(DxD) с алгеброй С (S) и алгебру V (D) с соответствующим подмножеством алгебры С (S), которое мы обозначим через V (S). Это и есть «выделение».

Теорема (Варопулос). Пространства A (S) и V (S) совпадают (т. е. имеют место теоретико-множественное равенство и равенство норм).

Доказательство опирается на следующую лемму.

Лемма. Пусть Ег и Е^ — два банаховых пространства, причем Е2 линейно вложено в Ev Допустим, что существуют такие 0 < е < 1 и b >> 0, что для любого х еЕг найдется у s Ей, для которого справедливы неравенства

||г/ —x||1<e||x||i, kfe<^klk-

Тогда множества Ег и Ей совпадают и Ц л; Ц2 ^ р—у^ Ц аг [|i для любого х»

6*

Для доказательства достаточно рассмотреть итерации

Хх — Х — у, Х, = Х1-У1, Х^^Уп.

о

Покажем сначала, что A (S) с: V (S). Если /е<4(5), то справедливо равенство

tVxx-Vxx) = ^aneinx^nx« (хгеКх, хггКх),

где 2|а„|<оо, а потому feV(S), причем ||f^(S)^||f||A(S).

Используем теперь эту лемму в случае V (8) = Ег и Л (S) = = Ег. Если f е V (S), то

f<xx-Vxx) = ^ang,Axx)hrAxx),(1)

где 51а«1<°°- к»||с(х1) = ||Лл||с(ад = 1. Если функция gn не обращается в нуль, то она является средним арифметическим двух непрерывных функций, модуль которых равен 1. То же самое справедливо для функции hn. Таким образом, функции вида (1), для которых функции gn и hn по модулю равны 1, плотны в пространстве V (S) (впрочем легко видеть, что множество этих функций совпадает с пространством V (S)) и для них суммы 21^1 как угодно близки к нормам ||f Ov(S>- Таким образом, чтобы можно было применить нашу, лемму с постоянной Ь = \, достаточно показать, что любой паре непрерывных функций g, h, равных по модулю 1 соответственно на множествах Кх и Кх, отвечает такое целое Х>0, что

. |g(xi)/i(x2)— e^<x*+^>|<8 (ххеКх, Хх^Кх). (2)

Поскольку множество Кх I) Кх является множеством Кронекера, для функции, равной g на Кх и равной h на Кх, существует такое X, что выполняются неравенства

| g (Хх) — е^ I < у (Xi е К1),| h (х8) - е1Хх« | < у (хх е Кх),

а следовательно, и неравенство (2). Применяя лемму, получаем тогда, что V (S) = A (S).

Поскольку 6=1 и е произвольно мало, лемма доставляет нам также неравенство НЬа’МЛц^ в

КЛАСС A (D)

Для того чтобы использовать предыдущую теорему, а также результаты § 4, необходима некоторая информация о классе Л(П).

Напомним, что элементами группы D являются последовательности х=(г0, <ъ .... гп, . ..)(г„ = ±1), причем операция умножения определяется покоординатно. Характерами этой группы являются конечные произведения координат характеров гп. Положим ty0 = 1 и

Ю^Га/o^...raq для П = 2“1 + 2“= +. .. + 2"»

(О ^ «1 < а2 <... < а?).

Если мы сопоставим каждому элементу х группы D вещест-

СО

венное число 5 (1 — r^ 2~”-3, принадлежащее отрезку [0, 1] о

(это соответствие будет взаимно однозначным, за исключением тех случаев, когда, начиная с некоторого номера, все гп совпадают), то гп можно интерпретировать как функции Радемахера, a wn — как . функции Уолша. Двоично-рациональным точкам интервала (О, Г) отвечают два элемента группы D и два значения гп, начиная с некоторого номера (для функций Радемахера обычно выбирают среднее значение). Таким образом, алгебру A (D) можно рассматривать как алгебру абсолютно сходящихся рядов Фурье —Уолша.

Алгебра A (D) представляет собой банахову алгебру, спектром которой является множество D. Линейные непрерывные формы на A (D) называются псевдомерами (на D) и образуют банахово пространство, которое мы будем обозначать через PM (D). Определим носитель псевдомеры Т как наименьшее замкнутое множество S, для которого справедливы равенства (Г, /) = 0 для всех функций f е A (D), обращающихся в окрестности множества S в нуль.

На класс A (D) можно распространить большую часть тех исследований, которые мы уже провели для класса А (Т). Сейчас мы возобновим исследования относительно невозможности спектрального синтеза и относительно функций, действующих в соответствующих классах. Изучение норм Hc'^IIpm (d> и ||ег“/||д(П) является в группе D более легкой задачей, чем в других группах, по следующим причинам. Для любого характера tw„ справедливы равенства

в1""" = cos awa ф-1 sin awn — cos а ф- iwn sin s;

следовательно,

|е“ю’"||рм = sup (| cosa|, |sina|), .(3)

= | cos а Ц-1 sina|.(4)

С другой стороны, функции гп являются независимыми харак- N

терами и произведение вида Р[ (ап + Ьпгп) является линейной 1

комбинацией 2^ различных характеров. Значит, норма последнего произведения в пространстве РМ (равно как и в Л) является произведением норм его сомножителей. Таким образом, если 03

f(x') = ^lattr„^x')

О

оо

(ряд Радемахера), где ад^0 и ^о^Соо, то выполняются

1

равенства

ОО

'(5)

о,;

°°v।

к“ЛА=пк“"'“к<б)।

В дальнейшем через dx мы будем обозначать меру Хаара' я на группе D’

НЕРАЗРЕШАЮЩИЕ МНОЖЕСТВА

Исходя из изложенного выше, приведем новое простое ■ ; доказательство теоремы Мальявена (стр. 79) и несколько допол- ним ее. Начнем с исследования соответствующих вопросов i в алгебре Л (D).-1

Синтез не имеет места в алгебре Л (D).

Это означает, что существуют / е Л (D) и псевдомера Т на

группе D, сосредоточенная на множестве нулей функции f, i

для которых (Т, /) Ф 0. Снова воспользуемся основной леммой. ' Если вещественная функция / е Л (D) и-

$ || е^ Црм (D) | и |р du < оо,' (7)

R

^ e^Mdxdu^O,(8)'

R D

то все замкнутые идеалы алгебры Л (D), порожденные функ- \ циями f, /а, ..., /р+1, различны.|

Доказательство леммы, как и в случае группы Т, состоит в доказательстве того, что псевдомера

J eiafuPdu

сосредоточена на множестве ^(О) и что она ортогональна к функции р+1, не будучи ортогональна к fp.

Пусть теперь Цх^^а^ДхУ В силу равенств (3) и (5), ■о'

имеем

ИИрм(0) = П8иР(1С08иа«1, |sin«a„|)..

О

Заметим, что если,

то sup(|cos«a„|, | sinua„ |) <Ау.

Значит, если при фиксированном и условие (9) выполняется для v различных номеров п, то

Пусть Пу —такая возрастающая последовательность целых чисел, что

5 2_/П/ < со

(из этого следует, что ^ ^ kni*i— nh < °°)- Положим 'ап = -^2~/ для п.)^п<;п^1,

тогда ^an<co. Если 2/^n^2-/+1, то условие (9) выполняется для rt/+i —/г,- значений п, а потому

Выбирая числа п, таким образом, чтобы Нт ^ . ”- = оо, полу- /-*00/

чим, что неравенство (7) справедливо для всех р.

Кроме того,

J euf ^ dx = Л cos wa„, DО

J J eiujW) dxdu — sncos uan da.

RDRO

" Последний интеграл сходится в силу условия (7). Рассматриваемый как функция параметра а0’, он не является тождественным нулем, и, следовательно, можно выбрать такое значение а0, при котором выполнено условие (8). Теорема доказана.

В силу теорем, приведенных на стр. 130 и 131, синтез не имеет места в алгебрах V (D) и Л (S), когда S представляет собой алгебраическую сумму двух непересекающихся совершенных множеств, объединение которых является множеством Кронекера на окружности Т. Отсюда вытекает, что синтез не имеет места в алгебре Л (Т): действительно, множество S содержит тогда множество, не являющееся множеством синтеза.

Кроме того, мы получаем новые примеры неразрешающих множеств.

Пусть Е —замкнутое подмножество окружности Т, содержащее алгебраическую сумму двух непустых совершенных множеств. Тогда Е— неразрешающее множество.

В самом деле, пусть множество Е содержит алгебраическую сумму двух непересекающихся совершенных множеств Еу и Е^. Существует такое совершенное множество Кронекера К, содержащееся в объединении Ег U Е^ что множества Ai = К П Ег и А2 = АП^2 являются совершенными (стр. 114). Так как множество Е содержит множество Ai + A2, то Е содержит множество, не являющееся множеством синтеза. ■

МНОЖЕСТВА АНАЛИТИЧНОСТИ

Действуя так же, как и выше, легко показать,, что рассмотренное множество Е является множеством аналитичности. Сейчас мы установим более сильный результат:

Если для всех целых п множество Е содержит алгебраическую сумму двух множеств, состоящих из п точек, то Е является множеством аналитичности.

В самом 'деле, в этом случае для каждого целого / множество Е содержит множество S#1 состоящее из 4^ точек, которое является алгебраической суммой двух множеств Pj и Qj, состоящих из 2^‘ точек. Отождествляя, с одной стороны, Ph а с другой стороны, Qj с группой Dy = {—1, 1р, получаем

изометрический изоморфизм алгебр A (S,) и V (D27). В частности, в обозначениях, приведенных на стр. 130, справедливы неравенства

Ne (г) ' NSj (г) ^ М&а/ (г) >Nd^ (г).

Обозначим через rlt г2, .... r2j координатные характеры группы D2/ и рассмотрим функцию

/ =2/(,"1 + Г2 + -•• + /-2/)-

Имеем || f ||л (d2^ = 1, и, в силу (4) и (6), справедливо равенство ||е,г/||д(о2/) = (| cos -^ | + | sin | j2y. Так как при фиксированном г правая часть равенства стремится к ег, когда j->oo, то

Ne^ = ^ и множество Е является множеством аналитичности в силу теоремы, приведенной на стр. 103. ■■

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕВ АЛГЕБРЕ A (D)

Теперь мы намерены установить теорему, обратную к теореме типа Марцинкевича (стр. 99). Начнем со случая алгебры A (D).

Пусть I — замкнутый интервал на вещественной прямой и Мп —последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию

М^’П-0^ (л-*оо). (10)

Тогда существует функция f е A (D) со значениями в интервале I, такая, что если функция Ф определена на I и Ф-f е г A (D), то заведомо Ф г С {(Мл}, /). (Определение класса С({МЛ}, /) см. на стр. 97.)

Обозначим через Ar (D) множество всех вещественных функций, принадлежащих алгебре A (D). Мы будем пользоваться следующей леммой:

Лемма 1. Пусть гп —произвольная невозрастающая последовательность вещественных чисел, стремящаяся к нулю. Существует такая функция q> е Ar (D), для которой справедливы неравенства

^Haid)^" (п=1, 2, ...).

00

Доказательство. Положим ф = 5ат> гт> «т^О» о

00

2®m<oo. Тогда, в силу равенств (4) и (6), о

||е1п<$ |л (D) = П (I (cos n«m | +1 sin пат |). m = 0

Выберем достаточно малое С>0, так, чтобы выполнялось условие

| cos и | + | sin и | ^6°“ для 1и^с.

Тогда

|]е1"ф||л(п)^ П emam=exp/cn 5 ««У am<c/n\ ат^с!п /

Таким образом достаточно найти такие ат^0, для которых 2ат<оои

с 5 ат ^ ^^а.т<с!п

Будем- действовать следующим образом. Положим e* = 8i и еп, е^-1—— L Тогда имеем O^e^-i—е„^— и lime^ = 0 (так как поскольку ряд £ 1/п расходится, то п->со

е* = е„ для бесконечно многих номеров и). Полагая ат = = y(em —Em+i), получаем последовательность, обладающую требуемыми свойствами.

Лемма 2. Пусть феЛДВ) и FeC(T).

Если В(ф + ^)еЛ(В) и ЦВ(ф + /)||д(0) ^В для любого t, |/|^л, то

|/-(п)|^В 11^1^0).

Доказательство можно провести так же, как на стр. 101, используя равенство

F (n) е^^ = J F (ф (х) + /) e-lnt .—л

Рассмотрим теперь два экземпляра Di и Da группы D. Их произведение изоморфно D:

D = D!XD2.

Лемма 3. Пусть фхеЛг (Di), ф2еЛг(92), и пусть образ Ф2 (D2) содержит отрезок [ — л, л]. Положим

ф (хъ Х^ = фг (Х1) + ф2 (Х2).

Тогда если функция F^CiT) и F^eX(D), то коэффйци- енты Фурье функции F удовлетворяют условию

F (п) = О (|| е1"^ Ид^ох>)(я ± со).

Доказательство. Ясно, что характеры группы DiXDa суть произведения характеров групп Di и D2. Имеем

F - Ф = У, anmw„ (х^ wm (х2),

п, tn

И°ф||л(О) = S l°nml-

п, tn

Рассмотрим теперь функцию F ° ф как функцию, определенную на группе Di и зависящую от параметра х2. Справедливо следующее неравенство:

ппттИ«ф 1^(0,) = 5 £°п*И ^H^IUcD).

п

п

т

т

Так как по предположению ф2(В2)гэ[ —л, л], то

sup Ц/ЧФх + ОЦлщо^ sup И»ф||Л(01). Z

|/|<Лx2ED2

Остается, таким образом, применить лемму 2 (заменяя D на Di и ф на ф1).

Заметим, что функции ф2, удовлетворяющие предположению со леммы, действительно существуют: например, ф2 = л^^г„. 1

На этом этапе мы уже получили интересное заключение.

В самом деле, пусть еп — невозрастающая последовательность, стремящаяся к нулю. Пусть ф1 —функция, определенная в лемме 1, и ф —функция, определенная- в лемме 3. Сопоставление лемм 1 и 3 дает следующий результат: если Fed(T) и Г«феД(О), то

Л (п) = О (е~ ^(п->оо).

В дальнейшем будем считать функцию F вещественной и будем рассматривать только положительные значения номеров п.

Доказательство теоремы (в которой без ограничения общности можно положить / = [—1, 1]) с помощью замены / = со$ф сводится к следующей лемме.

Лемма 4. Пусть последовательность Мп удовлетворяет условию (10). Тогда существует невозрастающая последователь-

ность е„->-0, такая, что для любой вещественной четной функции FeC(T), коэффициенты Фурье которой удовлетворяют условию

F (^ = 0 (е~ пе”)(п -»- сю),

функция Ф (х) = F (arc cos х) принадлежит классу С ({Л4Л}, /). Доказательство леммы мы разобьем на несколько этапов. 1. Предположим, что F (/) = Ф (cos /) и что | F\n) | ^ е*п8 (е>0). Положим F* (еи) = F (/). Функция F* может быть аналитически продолжена в кольцо e_e<|z|<e8, и ее модуль не превосходит суммы ряда ^ е 2 в кольце ДЕ/2 = {г|е~Е/2< <|z|<e8/2}. Таким образом, |F*(z)|<4/e для геДе,^ Поскольку Ф (х) = F* (4-(х + —и, то функция Ф допускает аналитическое продолжение на окрестность эллипсоидальной области, являющейся образом кольца Л8/г при отображении г-*- у.^+у)» и ограничена числом 4/8 в этой области. По формуле Коши имеем равенство

ф<”)(х) = — £ -^—dzW 2га J (2-x)”+i ^v

где через у обозначен эллипс. Пусть хе/ = [—1, 1] и гЕу. Тогда |z — х|^е2/2 и, следовательно,

| Ф” (х) | С/г! 2”е'2й-3,

где С —некоторая абсолютная постоянная.

Пусть теперь dp — положительная конечная мера, сосредоточенная на [0, оо]. Предположим также, что F (/) = Ф (cos t); тогда

£ (п) = § е-"8 dp (е) (neZ).

Отсюда следует, что ФеС ({/И„}, /), где

Мп = п” 5 б-2”-3 dp (е).х

Для завершения доказательства леммы остается показать, что для любой последовательности Мп, удовлетворяющей условию (10), существует мера dp, для которой

е-2"-3 dp (е) ^ Мп

и

^_"8dp (е)

где е„ — некоторая невозрастающая последовательность, стремящаяся к нулю. Последнее условие выполняется для всякой меры, имеющей ненулевую массу в любой окрестности нуля. Можно проверить, что первое условие выполняется, например, для меры, определенной равенством

е-Чр(е) = 5 f=i где

£/— inf (log Мп — п log п — 2nj) П

(условие, налагаемое на последовательность Мп, влечет за собой условие ^>> —оо).

Доказательство теоремы закончено. ■

Заметим, что построенная функция f имеет вид со$ф, где Ф е Л (D).

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕВ АЛГЕБРЕ А (Т)

Предыдущее доказательство можно провести для произведения любых групп. Но лишь теория тензорных алгебр дает возможность получить следующий результат относительно группы Т:

Пусть Е —замкнутое подмножество окружности, содержа* щее алгебраическую сумму двух совершенных непустых множеств. Пусть Мп — последовательность, удовлетворяющая условию

мпП = °^("-*00).

и 1—замкнутый вещественный интервал. Существует такая функция feA^E), принимающая значение в интервале 7, что для любой функции Ф, определенной на интервале I, из условия Ф-/еЛ(£) следует, что ФеС({ЛГ„|, 7) (Кахан [7]).

Результат справедлив, в частности, для случая £ = Т, является усилением предшествующих результатов Мальявена [2] и Варопулоса [2] и позволяет вновь получить теорему Канцель- сона, так как пересечение всех классов С({А4„|, 7), удовлетворяющих условию (10), совпадает с классом функций, аналитических на 7. Будем исходить из предыдущей теоремы, сформулированной на стр. 137. Построенную в этой теореме функцию обозначим через /V Благодаря теореме Варопулоса о вкладывании (стр. 128) мы можем во всем изложенном заменить алгебру A (D) алгеброй V (D).

Действительно, если мы положим

g (хь xj = f0 (хх + х2)(здесь g = Mf0),

то будем иметь импликации Ф-g е V (D) о Ф«/о s A (D) =} =^ФеС({Л1л}, 7).

Пусть теперь 8 = К1-\-Кг (сумма двух совершенных непустых множеств Кт и К^ объединение которых является множеством Кронекера). Теорема о выделении (стр. 131) устанавливает изоморфизм между алгебрами V (D) и A (S). Наша теорема, таким образом, доказана для случая E = S.

В общем случае множество Е содержит алгебраическую сумму типа S. Заметим, что (в случае 7 = [ — 1, 1], к которому всегда можно свести общий случай) /0 имеет вид cos<p0, а следовательно, g имеет вид созЛ1ф0, поэтому можно построить функцию / на множестве S вида созф, где фе Л (S). Продолжая ф до функции класса А (Е), продолжаем функцию /=созф до функции класса А (Е) таким образом, чтобы ее значения принадлежали интервалу I. ■

Глава IXИЗОМОРФИЗМ АЛГЕБР Л(£)

Сказать, что банаховы алгебры Л (Е) и А (Е') изоморфны,— это иными словами сказать, что существует гомеоморфное отображение ф множества Е* на множество Е, для которого выполняется тождество

f е Л (Е) <=>/«ф е Л (ЕС).

Мы уже знаем, что изоморфизмы имеют место в следующих случаях:

Когда Е и Е'— два гомеоморфных множества Хелсона (так как тогда изоморфны алгебры С (Е) и С (Е')).

Когда Е и Е* — интервалы (в этом случае все изоморфизмы "описаны на стр. 107).

Когда каждое из множеств Е и Е' представимо в виде алгебраической суммы двух непересекающихся совершенных множеств, объединение которых является множеством Кронекера (тогда алгебры Л (Е) и Л (Е') изоморфны и изометричны тензорной алгебре V (D)).

Можно задать вопрос, влечет ли ла собой изоморфизм алгебр Л (Е) и А (Е'), что оба множества Е и Е* обладают одним и тем же свойством тонкости из числа тех, которые были рассмотрены в гл. VII. В некоторых случаях ответ очевиден (если Е является множеством Хелсона, то Е* — также множество Хелсона, вместе с тем если множество Е является множеством Кронекера, то Е' не обязательно обладает этим ■ свойством). В общем случае ответ неизвестен, положительный ответ на этот вопрос для множеств единственности и синтеза давал бы решение некоторых задач, относящихся к множествам Хелсона1).

Эта глава в основном будет посвящена описанию "новых классов изоморфных алгебр А (Е) с помощью «принципа блюдец» И. Мейера [2], [5], улучшенного благодаря одной идее Р. Шнейдера [1].

х) Ответы на этот вопрос положительны для множеств типа S. V. Р. и Н и отрицательны для множеств типа U, N, R, К, D (см. стр. 110).-^ Прим, персе.

Заключительная часть главы посвящена совсем иной проблеме — проблеме изометрического изоморфизма алгебр А (£); мы изложим основные результаты де Лю и Кацнельсона [I] относительно этих изоморфизмов.

ПРИНЦИП «БЛЮДЕЦ»

Для дальнейшего изложения удобно в случае замкнутых множеств Е на прямой наделять классы А (Е) структурой нормированных факторалгебр алгебры A (R) и рассматривать пространства PM (Е) в качестве пвдпространств пространства PM (R). Аналогично, если Е'— замкнутое подмножество пространства Rp, будем обезначать через А (Е’) соответствующую фактор- алгебру алгебры A (Rp) (алгебры, элементы которой обладают суммируемыми на Rp преобразованиями Фурье, и нормы этих преобразований в Е1 задают нормы соответствующих элементов). Через PM (Е') обозначим пространство псевдомер, состредото- ченных на множестве Е* (псевдомерой является любое распределение, преобразование Фурье которого ограничено, и норма этого преобразования в L” задает норму псевдомеры).

Пусть S —отрезок [ —/, /], где 0</<1/л, и А —конечное множество целых чисел. Рассмотрим два множества, S + Л и SxA. Первое расположено на прямой R (и напоминает расставленные в ряд блюдца), второе расположено на плоскости R2 (и напоминает блюдца, составленные в стопку). Обозначим через ф отображение, ставящее в соответствие паре Ц, Л) (/ ® eS, is Л) сумму < + Х. Это гомеоморфизм множеств SxA и S-j-A, и почти очевидно, что отображение f-^f-ф определяет изоморфизм алгебр A(S + A) и A (SxA). «Принцип блюдец» дает нам оценку норм при этом изоморфизме.

Для любой функции f е A (S + А) справедливы неравенства

||f °V||A(SXA)^llf|U(S + A)^ (1 — ^-^ 11/° Ф||Д(5ХЛ) •(1)

В самом деле, пусть Т — некоторая псевдомера, сосредоточенная на множестве S + Л. Тогда

f(«)=S Ш^

Хее Л где ip —некоторые псевдомеры, сосредоточенные на множестве S. В таком случае выражение

0 (ы, о) = ^ Фх («) е1Кихел

является преобразованием Фурье псевдомеры 0, сосредоточенной на множестве SxA. Очевидно, что

|1 Т Jpm ($+Д) ^ || ® |)рл1 (3 х Л)>

и так как отображение 0 -> Т является сопряжением по отношению к отображению /->/°Ф, то мы получаем левое из неравенств (1).

С другой стороны, предположим, что Т — псевдофункция. Тогда и псевдомеры фХ являются псевдофункциями.

Пусть (u0, Vo) —точка, в которой модуль выражения 0(а, v) достигает наибольшего значения (такая точка существует, так как 6 (и, у) стремится к нулю при и -> оо и 2л-периодична относительно переменной и).

Сдвигая, если это необходимо, точку у0 на расстояние, кратное 2л, можно предположить, что |и0 — v0|^n. В силу неравенства Бернштейна (стр. 40), первая производная функции 0 (u, Vo) (по переменной и) не превосходит величины /||0||, а вторая производная—величины /2||0||. Тогда для соответствующих А и В выполняется равенство

0 (и, о») = 0 («о. vo) + Л (« —ы0) +В^^,(2)

где |B|^Z2||0||. Кроме того, модуль левой части этого равенства достигает максимума при и = и0, и, следовательно, постоянная А является произведением числа 0 (u0. v0) на чисто мнимую постоянную. Отсюда следует, что

10 (u, Vo) > 10 (Uo, Vo) I — Z81| ©ll1^-, и, таким образом,

||T||pM(S+A)2a |^ (vo, Vo) 1^11® ||рм (SXA) (1 -^У-)'^^

Мы знаем, что норма функции / в пространстве Л (S + A) есть норма линейной формы Т-^Т, f), определенной на пространстве PF(SA-A.) (стр. 56). Поэтому правое из неравенств (1) следует из неравенства (3). ■■

Сделаем несколько замечаний.

Неравенства (1) останутся справедливыми, если множество S заменить любым его замкнутым подмножеством.

Неравенства (1) останутся справедливыми, если множество А заменить некоторым конечным множеством членов арифметической прогрессии шага й, удовлетворяющего условию , й/. nW-i /. nW-1

К-, и заменить (1на (1 —.

Неравенства (1) будут справедливы, если множества S х А и S + Л заменить на F х S хЛ и F х (S + Л), где F — любое замкнутое подмножество пространства Rp и ф определяет естественное отображение множества FxSxA на множество Fx X (S-j-A).

Объединяя эти замечания, получаем следующее предложение:

Пусть Л — конечное множество членов арифметической прогрессии с шагом h, S — замкнутое подмножество прямой диаметра 21 <z — и F — некоторое замкнутое подмножество пространства Rp. Пусть ^ — отображение множества FxSxX на Fx Х(5 + Л), определенное формулой ф(х, t, Х) = (л:, # + ^)- Тогда для любой функции f из класса Л (F х (S + Л)) справедливы неравенства

И /0 Ф1U (FxSxa)^VVuWAN^l,- ^j Ilf° Ф Ш (FXSXA)- ■ (4) В дальнейшем мы ограничимся применением изложенного в случае, когда множество Л состоит из двух элементов. Вместе с тем мы укажем сейчас, как можно модифицировать ограничения на множество Л.

ОБЩИЙ ПРИНЦИП БЛЮДЕЦ

Пусть Л — конечное подмножество вещественной прямой R, р>0, 0^е<1. Будем говорить, ,что пара (р, е) допустима для множества Л, если для любого тригонометрического полинома вида Р(и)= У, а^е'ка справедливо неравенство

Лед

sup | Р (и) | ^ (1 — е) sup | Р (ы) |.IuI<рugR

Если, как в предыдущем параграфе, множество Л состоит из целых чисел, то пара (л, 0) допустима для множества Л. Пусть, как выше, S есть отрезок [-^-/, /]. Рассмотрим алгебры A(S + A) и A(SxA). Предположим, что / достаточно мало, так что функция (р: (/, Л)->/ + Х взаимно однозначно отображает множество SxA на S + A.

Общий принцип блюдец состоит в следующем:

Предположим, что пара (р, е) допустима для множества Л. Тогда для любой функции feA(S'+A) функция f«q> принадлежит алгебре A (S + Л) и справедливы неравенства

||Л<р1|а(Зхл);<||Па(3 + л)=^(1 — у (р^ + КЗе)2) ||/0 ф ]|л (Sxaj- (5)

Первое из неравенств (5) доказывается точно так же, как и первое из неравенств (1). Далее определим псевдофункции Т и фх и псевдомеру @ так же, как и выше. Единственное различие состоит лишь в том, что мы не можем определить точку (ы0, и^ тем же самым способом. Выберем точку (tz0, v^, принадлежащую полосе \и — и|^р, так, чтобы выполнялось неравенство |@(«о, u0)|^(l — e)|j@|[. Снова имеем равенство (2),

из которого следует

|6(«, Vo) I S= I ® («о, Уо) + Л (м-1/о)|-/2||0||-^^.

Можно считать, что 0 (и0, и0) > 0 (это достигается умножением 0 на соответствующее число, равное по модулю 1). Пусть A = a-Vib. Тогда для любого вещественного числа и справедливо неравенство

|б(«, у0)|^6(и0, u^A-a^u-u^-t2^-^-^-,(6)

из которого следует, что

а(Ы-Ыо)^е||0|| + /2||0||^1^

Выбирая соответствующее и, убеждаемся, что

|а|</К^||0||.

Используя неравенство (6) и последнюю оценку для |а|, получаем, что

IM. Ц>)Ы@1|(1-«-Р^-уРг'а).

и, таким образом

|| Т ||рм (S+л) 5= (1 — ^(р^ + У2е)2^ || 0 Црм (5хл) •

Из этого следует второе из неравенств (5). ■

В качестве следствия получаем следующее предложение:

Пусть А —конечное подмножество прямой и (р, е) — пара, допустимая для множества Л. Пусть S — замкнутое подмножество прямой диаметра 21, для которого р/ + У^е < 1. Пусть, наконец, F —замкнутое подмножество пространства Rp и ^ — каноническое отображение множества FxSxA на fx(S + A). Тогда для любой функции f е A (F х(5+Ау) справедливы неравенства

Ilf оф||л(Рх5хЛ) <lf ||л(Fx(3 + A))^

^(1-^(р/+г^)Уи»ф||л(FXSXA)* ■(7)

ТОНКИЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА

С помощью принципа блюдец (в первой форме) мы сейчас докажем следующую теорему, принадлежащую Шнейдеру [1].

Назовем тонким симметрическим множеством такое симметрическое множество:

|соX

Е = {а+ £ ^ 6п = 0 или В (/„>/»+i + /„+2+ ...),

(п = 1/

00

для которого 2('Т±1) <-°°- (^T° понятие тонкости отличается от рассмотренных в гл. VII; как мы увидим в дальнейшем, фигурирующее в нем условие является «критическим».)

Если Е и Ег — два тонких симметрических множества, то

алгебры А(Е) и А (£') изоморфны. Точнее, если £ = р + 2е^р

I 1*

f 001

Е' = \а' +58"^| и если отображение фю множества Е' на мно-

(

00\СО

а' + У, e„Zn) = а + У enZ„, то

1/1

f е Д (£) о / • ф g А (Е').(8)

. Теорема очевидна, если 1п = 1п, начиная с некоторого номера. Поэтому без ограничения общности можно считать, что а = 0 и &п = ^л+1 + ^л+2 + ---< —^л ДЛЯ каждого п. Любой функции f, определенной на множестве Е, поставим в соответствие функцию g, определенную на множестве последовательностей {en}S=i следующим образом:

(

00\

^enUVg^x, е2,ей,...).

1/

Для каждого целого положительного т обозначим через Ет {ООх

У e„Z„l и через fm функцию, определенную на m + 1J

множестве {0, ЦтхЕт, следующим равенством:

(

00х/00\

У ^п^п |= fm ( ®1» •••» 8m, У 8nZnj.

/\т+1j

Применяя принцип блюдец (неравенство (4)) в случае, когда множество Л состоит из двух точек, получаем неравенства

,Я2Ь2 .-1

^KII^-iK 1--2Л НАД(9)

\‘т /

где норма функции fm берется в пространстве Д({0, l^xEm), а норма fm-i в пространстве А ({0, l}m-1x£m-i). Если функция f локально постоянна, то функция g зависит лишь от конечного числа 8Я переменных и нормы ||/|| совпадают, начиная с некоторого номера. Положим в этом случае ||g||= lim-||/m|j.

т-*ао

Определение нормы ||g||, очевидно, не зависит от множества Е. Применяя, многократно формулу (9), получаем в таком случае неравенства

m = \m = \2^2^У'кП.У'кП.(Ю)(Ю)

m = \

m = \

2^

2^

У'кП.

У'кП.

(Ю)

(Ю)

Так как локально постоянные функции плотны в пространстве А (Е) (стр. 52), то неравенство (10) и аналогичное неравенство для норм || / • <р ||д (£'» показывают, что нормы Ц/Цлщ) и ||f «<р||а(Е') эквивалентны, откуда следует соотношение (8). ■ Таким образом, мы получили • общую модель всех алгебр Д(Е), где Е — любое тонкое симметрическое множество. Это алгебра функций g. Ее сложно определить «внутренним образом» как топологическое тензорное произведение ® А (Л„) пе N

алгебр А (Л„), где каждое Лп представляет собой множество {0, 1} (или любое другое множество, состоящее из двух элементов). Относительно определения этого произведения и дополнительных результатов по этому поводу см. статью Мейера [5].

Мы предоставляем самому читателю определить другие классы изоморфных алгебр А (Е), используя неравенства (7) вместо неравенств (4).

МНОЖЕСТВА С НЕИЗОМОРФНЫМИ АЛГЕБРАМИ

Покажем, следуя Шнейдеру [1], что условие / -7й- <оо в определении тонких симметрических множеств является «кри- ( °°)

тическим». Пусть снова Е = <а + 56"Л; е” = ® или Ч» £'=

Г°01

= <^+58^> ^^О И™ В и Ф — естественное отображение

I1)

множества £' на множество Е.

Если числа Vn линейно независимы над полем рациональных I00

чисел и если(.целое четное), где V/V = oo, то (8)

не имеет места.

Действительно, из (8) следует, что нормы тех псевдомер, которые являются суммами точечных масс, сосредоточенных на множестве Е, и нормы их образов при отображении ф

эквивалентны. Рассмотрим меры р и v, преобразования Фурье которых заданы соответственно формулами

2тр (м) = JJ sin Гпи,п = i2тр (м) = JJ sin Гпи,п = i2mV (И) = И Sin 1пи.п = 12mV (И) = И Sin 1пи.п = 1

2т

р (м) = JJ sin Гпи,п = i

2т

р (м) = JJ sin Гпи,п = i

2m

V (И) = И Sin 1пи.п = 1

2m

V (И) = И Sin 1пи.п = 1

В силу нашего предположения о независимости чисел 1п имеет место равенство ||р||рл1=1. С другой стороны, легко проверить, что

sup | sinxsin2/x|^ 1 — Ср,X

где S —некоторая абсолютная постоянная. Тогда

т

ЬЬ^П a-c/v8),

П= 1

и исходное ограничение, налагаемое на последовательность 1п, показывает, что || v ||p^ = о (1) при /п->со. Так как меры v являются образами мер р относительно ф, то наше предложение доказано. ■

Отметим без доказательства более сильный результат И. Мейера, показывающий, что симметрические множества Е и Ео, будучи- эквивалентными арифметически, не обязательно обладают изоморфными алгебрами Аф) и А ф0).

Положим 1п = ^г..Лп-1 (1— £я)> т. е. симметрическое множество Е построено с помощью последовательных разбиений с, отношениями, равными |я (иными словами, bn = ^nbn_x). Обозначим через Ео некоторое множество, удовлетворяющее оо•

условию 2^ = о° или> возвращаясь к первоначальной записи, 1

условию ^(In+i/tp^coy

Пусть ап и Ьп — две такие последовательности положительных чисел, стремящиеся к нулю, что для некоторого е>0 выполняются неравенства

п»е-1/2^ап и у>Ьп^ая + (п!)-8.

Если между ап и Ь„ выбирать величины £„ случайно и независимо с естественной вероятностью, то почти наверное алгебры Аф) и А фо) не будут изоморфными. ф

Метод доказательства этого результата совершенно отличен от предыдущего. Он состоит в доказательстве того, что любая псевдомера из пространства А* ф0) (сопряженного к пространству А фо)) является пределом последовательности псевдо-

мер из пространства Л(£о) с конечными носителями и что почти наверное это не верно для алгебр А (£) (Мейер [4]).

По поводу изоморфизмов алгебр А (£) и других свойств этих алгебр см. также статьи Макги [2] и [3]J).

ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ИЗОМОРФИЗМЫ

При получении изометрических изоморфизмов алгебр А (£) уже не безразлично, рассматривать ли алгебру А (Е) как фак- торалгебру алгебры А (Т) или же алгебры A (R). Мы рассмотрим периодический случай, т. е. будем представлять себе А (£) как факторалгебру алгебры А (Т). Известно немного примеров таких классов замкнутых подмножеств окружности Т, для которых из принадлежности множеств Е и Е' одному и тому же классу следует существование изометрического изоморфизма между алгебрами А (Е) и А (Е'). Приведем примеры таких классов.

для каждого замкнутого подмножества Е окружности Т класс множеств, получающихся из £ с помощью сдвига или операции зеркального отражения,

любой класс гомеоморфных множеств Кронекера,

класс алгебраических сумм двух непересекающихся совершенных множеств, объединение которых является множеством Кронекера (гл. VIII).

Более общий пример в рамках той же теории:

для любых замкнутых нигде не плотных подмножеств £i, ..., £р окружности Т рассматривается класс алгебраических сумм р попарно не пересекающихся замкнутых множеств, объединение которых является множеством Кронекера и которые соответственно гомеоморфны множествам £i, ..., Fp. Другие примеры были даны Макги [2], в частности, это класс симметрических совершенных множеств, у которых отношения разбиения £п = -^- независимы и быстро убывают к нулю.

Мы покажем теперь, что для фиксированного множества Е не существует слишком много таких множеств £', алгебры А (£') которых изометрически изоморфны алгебре А (£). Мы будем обозначать через ф отображение Е на £', такое, что

fe А(Е')=ф1-ц>^ Л (£) и ||f «<р ||д (^ = 11/114 (В9.(11)

Наше исследование основывается на следующей лемме (Де Лю и Кацнельсон [1]):

Пусть у — положительная мера с полной единичной массой на локально компактной абелевой группе G, у —ее преобразо-

ванне Фурье, определенное на двойственной группе G. Тогда множество элементов у eG, для которых |р(у) | = 1, образует подгруппу группы G и функция р является мультипликативной функцией на этой подгруппе.

Действительно, равенство | р (у) | = 1 означает, что характер у-»-(у, у) постоянен на носителе меры р и что он принимает на нем значение, равное р (у). ■х

Приведем теорему из работы Де Лю и Кацнельсона [1].

Если отображение ф удовлетворяет условию (11), то ф сохраняет отношение аффинности с целыми коэффициентами, т. е. условие

miti + т^ 4-,.. + mptp = 0 (mod 2л)

1т;еХ, tj^E, 2m/ = ^j влечет за собой условие

\1/

тхф (Л) + /п2ф (/2) + • • • + /Ирф (/р) = 0 (mod 2л).

В самом деле, сдвигая, если это необходимо, множества Е, Е', можно считать, что /р = ф(/р) = 0. Согласно (11), псев- рр

домеры 2аД и 2аДр^ обладают равными нормами, каковы 111

бы ни были комплексные числа а-^ ..., ар) и, в частности, справедливо неравенство

рр^supneZ^supneZ(12)(12)

р

р

^sup

neZ

^sup

neZ

(12)

(12)

Пусть G— подгруппа окружности Т, порожденная элементами th t-h • • ■, tp-i и наделенная дискретной топологией. Неравенство (12) и теорема Хана —Банаха показывают, что отображение

/ р , \ р

т))-2 «/’<'/> \1/ 1

можно продолжить до линейной формы на пространстве C(G) непрерывных на G функций, так чтобы норма этого продолжения не превосходила единицы. Следовательно, существует мера р на G с нормой, не превосходящей единицы, для которой

(/ = 1, 2, .... р).

Так как мера р положительна, р (0) = 1 (для / = р), то можно применить сформулированную выше лемму. Таким образом,

функция р мультипликативна на группе G, и потому отображение ср сохраняет отношение аффинности с целыми коэффициентами. ■■

Не следует думать, что если отображение ф сохраняет отношение аффинности, то обязательно выполняются условия (11) и даже, что алгебры А (Е) и А (Е') заведомо изоморфны. Соответствующий контрпример мы получаем, выбирая в качестве Е совершенное множество Кронекера, а в качестве Е' — множество Рудина (независимое и типа Мо, для которого Л (Е') =£С(Е')).

ТРИВИАЛЬНЫЕ ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ИЗОМОРФИЗМЫ

Говорят, что алгебра А (Е) допускает лишь тривиальные изометрические изоморфизмы, если условию (11) удовлетворяют лишь отображения ф вида ф (/) = (/ — /0) или ф(/) =— (t — to) (mod 2 л).

Если множество Е является аффинной базой окружности Т, то алгебра А (Е) допускает лишь тривиальные изометрические изоморфизмы (Де Лю и Кацнельсон [1]).

Если

t = п^Ц + • • -+^ptp (ty^Z, п^-р...4~п0 = 1, tj^E),. (13)

то положим ф(0 = Л1ф(^) + ... + «рф(^р). В силу предыдущего предложения, такое определение функции корректно. Так как по условию Е —аффинная база окружности Т, то функция 6<Ф определена всюду на Т и, очевидно, мультипликативна.

Пусть Ет — множество точек / вида (13), удовлетворяющих условию |«! | +... +1 пр | ^ 2/п + 1. Поскольку множество Ет замкнуто и объединение всех Ет есть окружность Т, то по теореме Бэра для всех достаточно больших тДт^т^ множества Ет содержат некоторый интервал.

Функция ф непрерывна на множестве Е. Покажем, что е/ф непрерывна на окружности Т. Для этого каждому е>0 поставим в соответствие некоторое разложение множества Е на такие порции Е/ (/ = 1, 2, ..., А), чтобы колебание ф на каждом Е} не превосходило eJ^mj-V 1). Для любого т множество Ет является объединением алгебраических сумм

Е^ + Е'1 +... + Е'т — Е‘т^ —... — Е'^т (14)

порций Е/ (/ = /о. /1, ..., /гт). Следовательно, хотя бы одна из этих сумм содержит некоторый интервал и колебание е'ф на этом интервале не превосходит е. Из этого следует, что функция е<ф непрерывна на Т.

Таким образом, ^ = е1пУ-‘«>. Стало быть, множество Е'=ф(Е) также является аффинной базой окружности Т, и, выбирая

вместо ф обратное к нему отображение, мы получаем, что п = ± 1. ■

В частности, если / и /' — два интервала, то алгебры Л (/) и А (/') являются изометрически изоморфными лишь в том случае, если |/| = |/'|. Результат переносится также на совершенные симметрические множества Е с постоянным отношением разбиения (например, на тернарное множество Кантора).

Говорят, что множество Е обладает свойством продолжимости, если любую функцию f е А (£) можно продолжить до функции g на окружности Т, такой, что Ц^Цлт =||/Цл<в>- Говорят, что множество Е обладает свойством ограниченной продолжимости, если таким образом можно продолжить любую функцию fe. А (£), модуль которой постоянен. В статье Де Лю и Кацнельсона [1] найдены условия на множество Е, обеспечивающие выполнение этих свойств.

Если множество Е обладает свойством ограниченной продолжимости и выполнены условия (11), то q> (f) = п (t —10) (mod 2л) для некоторого подходящего целого п^О. Кроме того, за исключением того случая, когда множество Е содержит арифметическую прогрессию, шаг которой соизмерим с л, справедливо равенство п = ± 1, т. е. алгебра А (£) допускает только тривиальные изометрические изоморфизмы.

Действительно, сдвигая, если это необходимо, множества Е и Е’, можно предположить, что ср (0) = 0. Пусть ф — продолжение на Т функции е1<¥ с единичной нормой в А (Т). Так как ф(0) = = 1 =||ФЙа, то ф —функция положительного типа. Следовательно, применима лемма, приведенная на стр. 151—152, при G = T и d = Z. Поскольку функция ф непрерывна, множество точек, в которых |ф| = 1, является замкнутой подгруппой группы Т, содержащей множество Е, и функция ф мультипликативна на этой подгруппе. Отсюда вытекает, что el'v = elnt на множестве £ для некоторого подходящего п.

Так как в этом случае множество ф(£) также обладает свойством ограниченной продолжимости, то отображение, обратное к отображению ф, имеет вид m\t — t^ (mod 2л). За исключением указанных особых случаев, мы получаем, таким образом, равенства л = /п = ±1. ■

В особых же случаях, действительно, может встретиться неравенство п#=±1. Например, это так, если множество Е состоит из точек, кратных 2л/5. Отображение ф (/) = 2/ удовлетворяет здесь условиям (11).

По поводу изометрических изоморфизмов см. также Леблан [2] и [4].

Глава X

ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ

Для любого множества целых чисел Л обозначим через СЛ (Т) множество непрерывных на окружности Т функций Д для которых Цп) = 0, если п^Л. Иными словами, в силу теоремы Фейера (стр. 11), СЛ(Т) представляет собой замкнутое подпространство банахова пространства С (Т), порожденное функциями {еш}хел- В некоторых случаях вместо СЛ(Т) мы будем писать просто Сл.

В этой главе мы займемся в основном двумя следующими проблемами:

Для каких множеств Л справедливо включение СЛ(Т)с сЛл(Т)? В этом случае Л называют множеством Сидона.

Какова для каждого множества Л нижняя грань длин интервалов /, для которых из включений f е СЛ (Т) и / е А (/) следует, что f е А (Т)? Эта нижняя грань называется псевдд- периодом множества Л.

Каждая из этих проблем связана со многими другими вопросами; мы ограничимся лишь их упоминанием.

МНОЖЕСТВА СИДОНА

Приведем несколько эквивалентных определений множества Сидона.

Множество целых чисел Л является множеством Сидона тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих эквивалентных условий1.

существует такая • постоянная с, что || / |[д ^ с || f |[с для любого тригонометрического полинома f (i) = ^ а (X) е"0;

Х^Л

любой ограниченной последовательности ^Х^к^хсоответ- ствует по крайней мере одна мера ц на Т, для которой Р\Х) = Ь(Х) (Хе Л);

любой последовательности {с(Х)}хел, стремящейся к нулю при X, стремящемся к бесконечности, соответствует по крайней мере одна суммируемая на Т функция ф, для которой ф (X) =

= с(Х) (ХеЛ) (Качмаж. и Штейнгауз [1], Кахан [1], Рудин [4, стр. 121]).

В самом деле, из условия (а) вытекает, что суммы Фейера функции feCA сходятся в А и, следовательно, Л —множество Сидона. Обратно, если Л —множество Сидона, то каноническое отображение пространства ЛЛ (замкнутого подпространства пространства А, порожденного функциями {е!'^}хел) на пространство Сл взаимно однозначно, а потому по теореме Банаха нормы этих пространств эквивалентны, откуда вытекает (а).

Чтобы доказать импликации (а)«(Ь) и (с)«(а), достаточно воспользоваться следующей леммой (следствие из леммы, приведенной на стр. 63). Пусть X и У —два банаховых пространства и Т — линейное непрерывное отображение из X в У, причем образ X плотен в У. Для того чтобы это отображение было сюръективным, необходимо и достаточно, чтобы сопряженное отображение отображало пространство У*, сопряженное к пространству У, на пространство X*, сопряженное к X. Полагая Х=Е (пространство суммируемых последовательностей) и У=СЛ, имеем: Х* = /ю и У* есть факторпространство пространства М (Т) по подпространству, ортогональному к Сд, откуда следует эквивалентность условий (а) и (Ь). Полагая У = с0 (пространство последовательностей, стремящихся к нулю на бесконечности) и X равным факторпространству пространства ^(Т) по его подпространству, ортогональному к пространству СЛ(Т), имеем У* = /х и Х* = Сд, откуда вытекает эквивалентность условий (с) и (а). ■

Условимся говорить, что два подмножества комплексной плоскости С сильно отделены друг от друга, если существуют 8>0 и целая функция, вещественная часть которой больше в на одном из множеств и меньше—е на другом.

Если для каждого разбиения Л на два подмножества X' и X" существует мера р на Т, такая, что множества р (Л') и р (Л") сильно отделены друг от друга, то Л является множеством Сидона.

Действительно, пусть сначала функция f еСл имеет вещественные коэффициенты Фурье. Определим Л' и Л" как множества чисел X, для которых / (X) ^ 0 и f (X) < О (X е Л) соответственно. По предположению существуют е > О, целая функция Ф и мера р, такие, что вещественная часть функции Ф»р больше 8 на множестве Л' и меньше —е на множестве Л". Далее, функция Ф«р является преобразованием Фурье некоторой меры v. Следовательно, справедливо неравенство

а потому { г А.а потому { г А.Хед

а потому { г А.

а потому { г А.

Если f^CA, то функции /(О + Н— О и i (f (t) — f (— /)) также принадлежат пространству СЛ и их коэффициенты Фурье вещественны. Из этого обстоятельства в силу сказанного выше мы получаем, что feA. ■

Последняя теорема дает возможность довольно просто строить примеры множеств Сидона.

МНОЖЕСТВА ТИПА /0

Один специальный класс множеств Сидона заслуживает особенного внимания. Хартман и Рыль-Нардзевский [1] называют множеством типа /0 любое множество Л вещественных чисел, такое, что любую ограниченную на Л функцию можно продолжить до почти периодической функции на прямой. Доказано, что в этом случае любая ограниченная на Л функция может быть продолжена до почти периодической функции с абсолютно сходящимся рядом Фурье, иными словами, ее преобразование Фурье является дискретной мерой (Хартман и Кахан [1]). Этот результат мы примем без доказательства и будем говорить, что множество целых Л имеет тип /0, если любой ограниченной последовательности {6(Л)}хел отвечает по крайней мере одна дискретная мера р на Т, такая, что р (Л) = = 6^ (Ле Л).

Для того чтобы множество целых чисел Л имело тип /0, достаточно, чтобы для каждого разбиения множества А на две части Д' и А” существовала дискретная на Т мера р, такая, что замыкания множеств р (Л') и р (Л") не пересекаются.

Действительно, в этом случае существует непрерывная функция Ф, такая, что Ф-р равна нулю на множестве Л", единице на множестве Д' и всюду заключена между нулем и единицей. Таким образом, любой идемпотент алгебры СЛ допускает продолжение до почти периодической функции (на Z), принимающей значения в отрезке [0, 1]. Записывая ограниченную функцию на Л в виде 2 е„/2л, где е„ — идемпотенты алгебры СЛ, мы видим, что любая ограниченная на Л функция допускает продолжение до почти периодической функции. В силу сформулированного выше результата множество Л имеет тип /0.

Очевидно, что любое множество типа 10 является множеством Сидона, но обратное утверждение неверно. Более детальное исследование множеств типа /о читатель найдет в работах Мела [2] и [3].

МНОЖЕСТВА, ЛАКУНАРНЫЕ В СМЫСЛЕ АДАМАРА

Пусть теперь А —множество целых чисел, симметричное относительно нуля, а Д+ —его строго положительная часть. Говорят, что множество А лакунарно в смысле Адамара, если

множество Л+ может быть представлено в виде последовательности Хь Х2, ..., Хп, ...yi существует такое q> 1, что Xn+1^^Xn. Иногда в этом случае также говорят, что множество Л является д-лакунарным.

Первая теорема, доказанная в 1927 г., принадлежит Сидону [1] (см. также [2]).

Любое лакунарное в смысле Адамара множество является множеством Сидона.

Используя элементарный метод, принадлежащий Мела [4], мы установим следующий более сильный результат, содержащийся в статье Хартмана и Рыль-Нардзевского [1].

Любое лакунарное в смысле Адамара множество имеет тип /0.

Достаточно доказать следующее предложение:

Пусть множество Л лакунарно в смысле Адамара и а,— некоторая функция, определенная на множестве X и принимающая значения 0 или 1. Тогда существует дискретная на окружности Т мера р, такая, что р = а на Л.

Предположим сначала, что функция а четна и О^Л. Обо- значим соответственно через De (&) и D, (е) множества точек окружности |г| = 1, для которых

Re г 3=8 и Rez^ — e.

Будем писать просто DgD^ вместо Do (0) и Dt (0). Обозначим через Ет множество точек Е е 7, для которых е^т s Da (xm); это объединение интервалов Jm с общей длиной л/Хт, отделенных друг от друга интервалами той же самой длины.

Любой интервал / длины ^Зл/Хт содержит по крайней мере один интервал Jm. С другой стороны, если п>»т, то множество JmV\En содержит интервал длины d, где

,л /11_\ л /.1_\

Пусть s — некоторое целое ^ 1, удовлетворяющее условию qs — — qs-1 >6 (неравенство строгое). Тогда

, Зл ЗлТКп ^m+s

Пусть заданы интервал /0 длины d0>3n/A.t и два различных целых числа к и /, заключенных между 1 и s. Тогда можно определить по индукции вложенные друг в друга интервалы I) длины

л /11

* 2 \ /$+Inf(4,Z) ^/s+sup(fc, Z)

содержащиеся в пересечениях множеств Ejs^.k D^s+z- Существует, следовательно, точка g г /0>. принадлежащая всем множествам

Ет ^т = к или / (mods)). Точнее, существует, как легко видеть, е>0, зависящее лишь от q, s и /0, и точка |е/0, такие, что е^хт е рв ^ ^(m = k или I (mod s)).

Пусть ф — четная бесконечно дифференцируемая функция на окружности, равная нулю на Do (е) и единице на Di (е) (т. е. ф (/) = /, если еие.ВДе^, j = 0, 1). Тогда

Ф (^т) = «Дт) (т = к или / (mod s).

Предположим теперь, что аДт) = 0 для т^=к (mods). Для каждого l=£k существует ^е/0, для которого ф(£Дт) = = а(Хт) (т = к или Z(mods)). Тогда произведение

W = П ФО

1 <i«s

равно а Д) на множестве Л+. Поскольку ф четна, ф = а на всем множестве Л. Так как функций ф является преобразованием Фурье дискретной меры, то в этом частном случае наш результат установлен.

Разлагая а в сумму S функций предыдущего типа, получаем искомый результат в случае, когда функция а четна и 0 ^ Л.

Если функция а — 1/2 нечетна и О ^Л, то поступим так же, как и выше, определяя Do (е) и Dt (е) как части окружности | г | = — 1, на которых

Im г ^е, 1тг^ —е,

а ф —как бесконечно дифференцируемую функцию на окружности, равную нулю на Do (е) и единице на ОДе). Кроме того, мы потребуем, чтобы функция ф—1/2 была нечетной.

Наконец, если 0 еЛ, то определим функцию ф как преобразование Фурье дискретной меры, равной нулю на Л\{0} и отличной от нуля в нуле.

Общий случай выводится из предыдущего, если разложить функцию а—1/2 на ее четную и нечетную составляющие. ■

ПРОИЗВЕДЕНИЯ РИССА

Классическим инструментом для изучения множеств Сидона являются произведения вида

#(0 = П О+^^ + фи)) (0<а<1)), т = 1

которые называются произведениями Рисса. Частичные произведения положительны и имеют вид

где сумма распространяется на все возможные наборы 8/, еу = = — 1,0, 1.

Обозначим через ^({Хт},«) число решений уравнения ztXmi±Xm2±...±Xm$ = n (m1<m2<...<ms).

Заметим, что если последовательность {Хт} является ^-лакунарной для ^>3, то, как легко видеть, Ps({Xm}/i) = 0 или 1 для любого п и любого s. Отсюда нетрудно вывести, что теорема Сидона является частичным случаем следующей теоремы, принадлежащей Стечкину [2]:

Если Л — множество целых чисел, симметричное относительно нуля, положительная часть которого Л+ представима в виде конечного объединения к непересекающихся множеств Л/, удовлетворяющих условиям

Rs^,n^Bs (s=l,2,...; /=1, 2,...,&; п = 0, 1,...) (1)

с постоянной В, не зависящей от s, j и п, то Л является множеством Сидона.

В самом деле, если выполнены условия (1), то частичные произведения RmjV) произведений Рисса

Я/(0= П (H-acostM + yW) (о<а<1)

имеют равномерно ограниченные коэффициенты Фурье, имеющие предел при т-^-со. В таком случае Rj(f) представляют собой) положительные меры ру. Легко проверить, что

I № (± Ч - 4 ^'•1111« i В’ (|)' - (X В Л»,s = 2

|ру(±ц)[^^!_(ц^Л;, п>0).

Предположим сначала, что 0 ^ Л. Если на множестве Л задана нечетная вещественная функция ср, то, стало быть, 2

существует мера v = — (р! +... + Р&), длд которой

|;(±X)-e±^w|^^^- (АеЛ).

Если а выбрать достаточно малым так, чтобы правая часть неравенства не превосходила 1/3, то будет выполняться неравенство

| vM-e^l^y (АеЛ).

Из этого следует, что для любого разбиения Л на два подмножества Л' и Л" существует такая мера р, что множества р (Л') и р (Л") сильно отделены друг от друга. (Для %>0 положим ф(Х) = 0, л, л/2 или —л/2 в зависимости от того, принадлежит ли пара (%, —%) множеству Д'хД', Л"хЛ", Д'хЛ" или Л"хЛ'.) Результат сразу же распространяется на случай ОеЛ (при необходимости к мере р добавляется постоянная).

Остается применить предложение, приведенное на стр. 156. ■ Как следствие получаем: любое конечное объединение лакунарных в смысле Адамара множеств является множеством Сидона. ■

Напротив, нетрудно построить объединение двух лакунарных в смысле Адамара множеств, которое не является множеством типа /0.

НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫОТНОСИТЕЛЬНО МНОЖЕСТВ СИДОНА

Приведем еще несколько результатов.

Существуют множетва Сидона, которые нельзя представить в виде конечного объединения множеств, лакунарных в смысле Адамара (Хьюитт и Цукерман [1]). -

Действительно, если множество {3"}n=i,2,„. разбить на блоки, а затем сдвинуть их соответствующим образом, то можно получить множество А, удовлетворяющее условию Rs (А, я) = О или 1 и не представимое в виде конечного объединения лакунарных множеств. Например,

A = {3” + 3m2} (яг=1, 2,(m-l)2^n<m2). ■

Если Л —множество Сидона, то существует такое целое К, что, каковы бы ни были вещественные хх, х2, .... хп и целое s, п

множество А содержит не более Kns точек вида 5“/^/’

1 п

Sl«y|^2s.

1

Доказательство приведено на стр. 44. ■

Для каждого q > 1 существует такое А > 0, что

^ \IW\<AsupHt)

Хек^^

6 ж4-пе Кахан.

для любого q-лакунарного множества Л, не содержащего нуля, любой вещественной функции feCK и любого интервала I, длина которого больше AIK (Хг=тГЛ+). В частности, из справедливости неравенства /^0 на интервале I вытекает, что f = 0 (Вейс [1]).

Доказательство представляет собой модификацию доказательства, которое мы привели для теоремы Сидона. •

Условимся говорить, что компакт К cl Т является собственным компактом для множества Сидона Л, если существует такое А > 0, что для любой функции f е Сд справедливо неравенство

5 1н^>1<л sup |/=(оь

точек видаточек видаНапомним, что через Е (^ g2> • • •) обозначается множество ОО

точек вида

точек вида

а А- b ^ 8лЫ2 .*Лп\ е„ = 0 или 1 1

<5n<yj‘ В частности, обозначение Е(^ соответствует случаю

Для каждого ^>1 существует такое £0<1/2, что если (6 — a) Xi достаточно велико и^п^^0. то множество Е (^, |2» • • •) является собственным компактом для множества N (Кахан и Вейс [1]).

Если на компакте К сосредоточена мера ц, преобразование Фурье которой удовлетворяет условию р (и) = О (| и |-а) (| и | ->оо) для некоторого а,>0 и если множество Л лакунарно в смысле Адамара. то К является собственным компактом для любого множества Л', отличающегося от Л не более чем на конечное число точек.

Если компакт К является множеством типа Л10, то существует такая последовательность q^ q^ ..., стремящаяся к бесконечности, что К является собственным компактом для любого множества Л = {±Хл}, удовлетворяющего условию

^1^91» •••> ^л+1 ^ 9л+1^Л (^ ~ 1 , 2,...).

Если К—несчетный компакт, то существует бесконечное множество Л, для которого К является собственным компактом (Хелсон и Кахан [I])). •

х) Относительно множеств Сидона следует, кроме того, отметить,- что

ВНЕШНЯЯ РАВНОМЕРНАЯ ПЛОТНОСТЬ

Перейдем ко второй проблеме, которая была сформулирована в введении.

Условимся говорить, что Л—правильно распределенное множество плотности D(D>0), если существует взаимно однозначное соответствие между Л и множеством ^Z, такое, что расстояния между соответствующими точками равномерно ограничены.

Для любого множества целых чисел Л мы будем обозначать через А (Л) нижнюю грань плотностей правильно распределенных множеств, содержащих Л. В работах Кахана [3] и [4] величина А (Л) называется верхней плотностью распределения; эту величину можно также называть по очевидным причинам внешней равномерной плотностью.

Пусть п (/) —неубывающая функция, постоянная на каждом смежном к Л интервале, непрерывная справа и имеющая единичный скачок в каждой точке множества Л. Тем самым она определена с точностью до аддитивной постоянной. Сказать, что множество Л правильно распределено с плотностью D-e это, иными словами, сказать, что

п (I)— Dt = 0(1)(/->±со).

Легко проверить, что для любого множества Л

А (Л) = lim (sup lll+jOzillU,

Ниже мы докажем следующую теорему (Кахан [3] и [4]): Нижняя грань длин интервалов I, для которых любая функция из класса СЛ(Т), принадлежащая классу А (/), заведомо принадлежит классу А (Т), равна 2лА (Л).

ЛЕММЫ О ПЛОТНОСТИ

Прежде всего необходимо дать несколько определений и сделать некоторые замечания.

Пусть е —положительное число, N — положительное целое и к целое. Будем говорить, что множество Л е-близко к множеству WZ + &, если существует взаимно однозначное соответствие между множествами А и NZ-Vk, такое, что расстояние между соответствующими точками не превосходит eN.

Лемма 1. Пусть даны правильно распределенное множество А с рациональной плотностью D и число е>0. Тогда существуют разбиение А на подмножества А!, Л2, ..., Лр, целое Л^>0 (j) = ^ и целые ki, к^, ..., кр, такие, что множества Л/ s-близки к множествам NZ+k) U = l, 2, ..., р).

6»

Действительно, образуем разбиение Л на множества Ль Л2,... ..., Лр (каждое содержит ровно одну точку из р последовательных точек, принадлежащих множеству Л). Тогда для любого / = 1, 2, ..., р существует взаимно однозначное соответствие между множествами Л/ и множествами i(pZ + /)> такое, что расстояние между соответствующими точками не превосходит К (К зависит только от Л). Выбирая в качестве kj ближайшее целое к i/D* а в качестве р — то целое, для которого N = -^ и /С+1<еМ, получаем требуемый результат.

Верхняя плотность множества Л определяется равенством

О(Л) = Пт

/-►±00 г

Воспользуемся следующим фактом, доказательство которого мы лишь наметим.

Лемма 2. Если J — замкнутый интервал длины <2 л/) (Л), то функции eiU (X е Л) образуют полную систему в банаховом пространстве С (J).

Достаточно показать, что если peM(_J) и $ е~м dp (О = О для всех X г Л, то р = 0. Если считать интервал J симметричным относительно нуля, J = [—а, а], то целая функция

Ф (су) = ^ e*lwt dp (/) (су = и + су) j

удовлетворяет неравенству | Ф (су) | ^|| р ||я ехр (а | и |) и обращается в нуль на множестве Л. Применяя формулу Йенсена, получаем, что Ф==0.

Будем говорить, что последовательность множеств целых - чисел Л„ сходится к множеству Л (п — 1, 2, ...), если для любого ограниченного интервала Н при всех достаточно больших п множества Л„ Q Н совпадают с множеством Л П Н. Ясно, что из любой бесконечной последовательности множеств, состоящих из целых чисел, можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Лемма 3. Пусть Л — множество целых чисел и 0<D< <Д(Л). Тогда существует последовательность сдвигов множества Л, сходящаяся к множеству Л*, такая, что D(A*)^D.

Обозначим через /„ любой из замкнутых интервалов длины 2” с целыми концевыми точками, в котором содержится не менее D2” точек множества Л. Так как 2)<А(Л), то ясно, что для достаточно больших п такие интервалы /„ существуют. Для любого достаточно большого п зафиксируем интервал

рп = \ап, ЬД типа /„. По крайней мере один из интервалов

Г„ ап+Ьп1 Га„ + Ь„ . 12 ]’ [ 2’ °п]

имеет тип In_v Таким способом можно определить последовательно вложенные друг в друга интервалы /„, In, • • •, In = = [с„, с„+1], причем каждый последующий является половиной предыдущего и каждый интервал 1*п имеет тип 1п_}. Сдвиги этих интервалов на —сп образуют некоторое семейство Fn. Обозначим через Fn часть семейства Fm состоящую из интервалов длины ^2m. Если зафиксировать /и, то существует не более 2я* различных семейств F„. Следовательно, из любой бесконечной последовательности значений п можно выбрать бесконечную подпоследовательность, для которой семейства Fn совпадают. Применяя диагональный процесс, определим интервалы Уо = [0, 1], Л, ..., Jm, каждый из которых является половиной следующего, и последовательность {/г6} так, чтобы при любом m семейства Fnk состояли из интервалов Jo, Ji,...

Рассмотрим множества Л* = Л — сПк. Заменяя, если это необходимо, последовательность {nft} некоторой подпоследовательностью, можно считать, что множества Лй образуют последовательность, сходящуюся к некоторому множеству Л*. По построению каждый из интервалов Jm является интервалом длины 2т, содержащим точку 0 и содержащим по крайней мере [Z)2m] точек множества Л* (символ [ ] здесь обозначает целую часть числа). Из этого следует, что D (Л*)^П, ч. т. д.

ИНТЕРВАЛЫ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С МНОЖЕСТВОМ Л

Будем обозначать через Л некоторое множество целых чисел и через / замкнутый интервал на окружности. Говорят, что интервал /-ассоциирован с множеством Л, если на классе тригонометрических полиномов /= ^ с^еГи (сумма конечна)

ЕЛ_

нормы Щ/||д и ||/||д(7) эквивалентны (иными словами, их отношение заключено между двумя строго положительными числами, зависящими лишь от Л и /).

Обозначим через Лд (Т) и ЛЛ (/) соответственно замкнутые подпространства пространств Л (Т) и Л (/), порожденные функциями е1м (А е Л). Согласно неоднократно использованной выше теореме Банаха (стр. 63), интервал / ассоциирован с множеством Л в том и только в том случае, если банаховы пространства Лд(Т) и Лд(/) изоморфны относительно канон и-

ческого отображения, при котором каждой функции из класса Ах (Т) отвечает ее сужение на /.

Из соображений двойственности интервал / ассоциирован . с Л тогда и только тогда, когда каноническое отображение пространства, сопряженного к пространству ЛЛ(Т), на пространство, сопряженное к Ах (Т), является отображением на, т. е. когда отображение Т-^Т^Х)} из РМ(1) на /д (пространство ограниченных последовательностей, заиндексованных элементами из Л) сюръективно.

Лемма 4. Интервал 1 ассоциирован с множеством А, если существуют т](0<1]<1) и Л>0, такие, что для любой последовательности {6 (X)} с единичной нормой в Z” существует псевдомера Т е РМ Ц), удовлетворяющая условиям:

sup iTW-^Wl^rb sup | Т (X) | ^ Л. -Хелхел

Это просто переформулировка леммы, приведенной на стр. 131.

Лемма 5. Если I —интервал, длина которого строго больше ^п/Ы, то алгебра Anz(I) изоморфна алгебре Anz(T) относительно канонического отображения.

N

Действительно, существует разбиение единицы 1=5^.

1

в котором каждая функция ф„ принадлежит А и сосредоточена на интервале, получающемся из интервала / с помощью сдвига на число, кратное Чп/И. Тогда для любой функции f е Anz (Т) справедливо неравенство

N

II f IIA (Т) < ^ || Фя Нл (Т) || f IU (/)•1

Лемма 6. Для любого а>0 существует такое е>0, что если множество Л является е-близким к множеству NZ-\-k, то любой интервал I длины (2л + a)/N ассоциирован с Л. - Обозначим через X' точку из множества NZ-yh, соответствующую точке X еЛ. В силу леммы 5 каноническое отображение алгебры Anz-vu (Т) на Anz + k (I) является изоморфизмом. Обозначим через Да максимальную из норм в этих двух алгебрах. С любой последовательностью {6(Х)}хел единичной нормы в Z” можно ассоциировать псевдомеру Т е РМ (/), такую, что

■1(Х) = ЦХ) (ХеЛ), ЦТЦрл,^^.

Далее,

1t W - т (X') I = I (Т, е^ - еП |< J Т Ь12 sin ^1' ^ ф,

Если е выбрано достаточно малым, то правая часть неравенства не превосходит 1/2 и требуемый результат вытекает из леммы 4.

Лемма 7. Если J — замкнутый интервал, содержащий строго внутри себя замкнутый интервал, ассоциированный с К, то существует такое О» 0, что для любого-целого h^X существует псевдомера ТеРМ(Д удовлетворяющая следующим условиям*.

ЦТ^^с, = 0 (ХеЛ), Т^ = \.

В силу исходного предположения существуют такой интервал /, лежащий строго внутри интервала J, и такое число К>0, что любой ограниченной последовательности {6(Х)}хел можно поставить в соответствие псевдомеру 6 е РМ (/) с нормой ^Ksup | b (X) |, такую, что 0(Х) = 6(Х) (ХеЛ). Без ограничения общности можно предположить, что интервал / содержит некоторый интервал вида [—а, а]. Характеристическая функция этого интервала после нормировки (обозначим ее через %) удовлетворяет условиям

Х(0) = 1, |х(т)|<^ Для \m\>d=^.

Положим b (X) = х (X — п), если |Х — n}>d, и Ь(Х)=О в противном случае (ХеЛ). Пусть 6 —соответствующая псевдомера и S = —б + е'^х- Тогда

|SFpm<|, S(X) = 0 (ХеЛ, |Х —n|>d), |S(«)|^|.

Пусть т) 2> 0 настолько мало, что / + [—т], т]]с J, и пусть ф —функция, сосредоточенная на [—т), ц], со средним значением, равным 1, причем ф (щ) = О для 0 < | т | < d (т целое). Положим, наконец, T = S*4>ein<; тогда

ИЬ<4|1ф1Ь, Т(Х) = 0(ХеЛ), |Т(п)>у,

и мы получаем требуемый результат с постоянной с = 3 || ф ||РЛ1.

Лемма 8. Пусть Л — правильно распределенное множество плотности D и I —замкнутый интервал, длина которого строго больше 2nD. Существует постоянная С>0, обладающая следующим свойством Р: для любого ХоеЛ существует псевдомера Т = 1\ое РМ (Г), такая, что

ЦТЬ^С, Т^-О (ХеЛ, Х^Х0), Т(Х0) = 1.

Можно предположить, что D рационально, и положить 111 = (2л + 2а) D (а > 0). Пусть тогда 8 выбрано, как в лемме 6, 9 множества А1( ..., Лр, как в лемме 1. Предположим для

определенности, что Хо е Ар. Тогда можно записать равенство / = /! + ..►+ Jp (сумма алгебраическая), где интервалы Jj имеют длины, равные -—~ ‘ • Каждый содержит строго внутри себя интервал, ассоциированный с Л;. Следовательно, к интервалу Jj и множеству Л; применима лемма 7 и можно определить псевдомеры Tj ^РМ Ц^ удовлетворяющие следующим условиям:

{j=\, 2, ..., р — 1), где постоянные С/ зависят только от Jj и Л/. Наконец, так как интервал Jp ассоциирован с множеством Лр, существует псевдомера TpePM{Jp), такая, что

||ТР||рм<Ср, fPW = 0 (ХеЛр, Х^Х0), tPM = L

Полагая С = СгС2 ... Ср и Т = Тг*Та*... *ТР, получаем требуемый результат.

Лемма 9. Предположим, что множеству Л и замкнутому интервалу I отвечает постоянная СТ>О, обладающая свойством Р, описанным в лемме 8. Тогда любой замкнутый интервал, содержащий строго внутри себя интервал I, ассоциирован с множеством Л.

В самом деле, пусть е > 0 и 8е — функция из класса Л (Т) со средним значением, равным единице, сосредоточенная на [—е, е]. Для любого ХеЛ в силу свойства Р существует псевдомера T^., Пусть задана последовательность {Ь(Х)}хеЛ с единичной нормой в /“; тогда ряд

5 Ь^ТхЦМ^Хех.

определяет псевдомеру Т, сосредоточенную на / + [—е, е], с нормой, не превосходящей С||б8||д(т), причем Т(Х) = &(Х) (X s А).

Наконец, сопоставляя определение А (Л) с леммами 8 и 9, получаем следующую теорему:

Если длина замкнутого интервала I строго больше 2лА(Л) {внешней равномерной плотности множества Л), то интервал I ассоциирован с Л. ■-

СЛУЧАЙ, КОГДА | / | > 2лД (А)

Применение изложенного выше к интересующей нас проблеме состоит в следующем.

Если замкнутый интервал I содержит строго внутри себя интервал J, ассоциированный множеством с А, и функция [

из класса Сл (Т) принадлежит классу Л (/), то f заведомо принадлежит классу Ах (Т).

В самом деле, пусть f е С х (Т) П А (/) и пусть 68 = -~ 6i(e/) — «треугольная» функция, сосредоточенная на [—в, е] (6i(/) = = sup(0, 1 —1^|) для любого t. Тогда функции /*68 сходятся к f в А (/), поскольку / е А (/). С другой стороны, так как /еСд(Т) и ^SgeC1, то (f*66y еСд(Т). Отсюда вытекает, что /*68 е Ах (Т). Значит, /е ЛЛ (J), и если интервал J ассоциирован с Л, то функция /1/ может быть продолжена до некоторой функции g, принадлежащей пространству АЛ (Т). Для любого е>0 функции /*68 и g*6B совпадают в пространстве Лд(Т), так как их сужения на J совпадают в пространстве Ax VV Следовательно, f = g. ■

Объединяя два последних результата, получаем следующее утверждение (Кахан [3]):

Если длина замкнутого интервала I строго больше 2п& (Л) и некоторая функция одновременно принадлежит классам-СЛ (Т) и А (Г), то она принадлежит классу Ах (Т). Кроме того, существует такая постоянная с = сЦ, Л), что для любой функции f ® Сл (Т) П А (/) справедливо неравенство

Приведем два следствия. Пусть |7|>2лА(Л) и feCx.

Если /_гЛа(7) с а >1/2 или / е ^ (7) П Ла (7) с а>0 или выполнено любое другое условие, влекущее за собой включение feAy), то /еЛЛ(Т).

Если функция / бесконечно дифференцируема на /, то f бесконечно дифференцируема на Т и

для любого n = 0, h 2, .... В частности, если функция f аналитична на / (т. е. в окрестности 7), то / аналитична на всей окружности Т.

СЛУЧАЙ, КОГДА 111 < 2лА (Л)

Теперь мы изложим обращение предыдущего результата.

Если длина замкнутого интервала I строго меньше 2л А (Л), то существует функция f класса Сд(Т)йЛ(7), не принадлежащая классу Лд (Т).

Воспользуемся леммами 2 и 3 (стр. 164), в которых J и D выберем таким образом, чтобы 17 | < | J | < 2л7) < 2л А (Л). Выберем функцию <р, равную нулю в окрестности интервала 7, непрерывную, отличную от тождественного нуля на J и не принадлежащую классу Л (/). Согласно лемме 2, ее можно аппрок-

симировать в С (/) тригонометрическими полиномами вида

ПФ- s ^Х*^,

X*GA*

где Л*— множество, определенное в лемме 3. Регуляризуя функции /* путем свертывания их с функциями 6е и уменьшая интервал J, можно предполагать, что функции /* сходятся к нулю в А (/). В частности, нормы ||/*||д(/) ограничены в совокупности. С другой стороны, если предел функций f* не принадлежит пространству A (У), то, как известно (см. гл. IV, теорема Крейна), нормы ||f/U(j) не ограничены в совокупности. Заменяя последовательность {/*} некоторой ее подпоследовательностью, можно предполагать, что ||//||д(/)^/2.

Так как каждое конечное подмножество множества Л* при бесконечно многих сдвигах принадлежит множеству Л, то можно определить экспоненты е1^ и тригонометрические полиномы h(0 = ^fl (0 таким образом, чтобы функции /убыли сосредоточены на непересекающихся подмножествах множества Л. Тогда функция

ОО

принадлежит классу Сд (Т) П А (I), но не принадлежит классу Лд(Т). ■

Это завершает доказательство теоремы, сформулированной на стр. 163.

КОММЕНТАРИИ

Изложенная выше теория восходит к Пэли и Винеру [1]. Эти авторы называют псевдопериодом, ассоциированным с Л, нижнюю грань длин интервалов /, для которых нормы в пространствах L2 (/) и L2 (Т) тригонометрических полиномов 5 а(Х)е‘и эквивалентны. В качестве псевдопериода можно хел

брать величину 2л А (Л) (Кахан [3]).

В работах Кахана [3] и [4] изложение не ограничивается случаем, когда Л является последовательностью целых чисел. В книге Пэли и Винера [1] и в статье Кахана [3] рассматриваются также регулярные последовательности вещественных чисел (расстояние между любыми двумя различными членами ограничено снизу положительной постоянной). В работе Кахана [3] рассмотрены также регулярные последовательности в пространствах Rp. В статьях Кахана [4] и [3] используются интерполяционная теорема для целых функций и выкладки

(впрочем, очень интересные) Ингама. Можно без них обойтись, следуя методу, изложенному в этой, книге.

В изложенном выше можно заменить класс А другими классами, например Ар = «?Чр(1 <р<2) (заменяя пространство Сд пространством Ад (Т)). Основная проблема, сформулированная в 1935 г. Мандельбройтом, состоит в следующем: при заданном Л определить интервалы / и свойство Р таким образом, чтобы любая функция из класса СЛ, удовлетворяющая условию Р на I, заведомо удовлетворяла всюду условию Р. По этому поводу см. работу Кахана [4].

Независимо от приведенных результатов следствие 1 (стр. 169) устанавливалось различными авторами в частных случаях (Нобл [1], Кеннеди [1], Боянич и Томич [1]).

Глава XI

АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ ТЕЙЛОРА

В этой главе мы будем изучать подалгебру Л+ алгебры А, состоящую из функций f вида

№=Ш^. V\\ = ll\hn')\<oo.оо

Нам будет удобно ассоциировать с функцией / ряд Тейлора

ОО

Р^^Цп^,о

абсолютно сходящийся в круге D = {| z | ^ 1}. Таким образом, tW=m.

ТЕОРЕМА ХАРДИ И ЛИТТЛВУДА

Пусть через ^+ обозначен класс функций / с ограниченной вариацией на Т, (/ (0 = у (/ (^ + 0) +/ (/ — 0)) j, удовлетворяющих условию

о

Пространство У+ содержится в пространстве А* (Харди и Литтлвуд); см. Зигмунд [2, т. I, стр. 454].

Точнее, можно показать, что Q/|U+^||f|^+, где 1/1^ = = | f (0) | + var f. Достаточно доказать это неравенство для сумм Фейера ряда Фурье функции /, так как их нормы в пространстве ^+ не превосходят соответствующей нормы функции f, а их нормы в пространстве А* стремятся к соответствующей норме функции f. Таким образом, можно предполагать, что f N

Является тригонометрическим полиномом: /(0 = 2/ V1) ^^ Пусть

g (/) —производная /(/); достаточно показать, что

N2л

2^Mlg(0|dt(!)

1о

Если g(n)^0 для любого п, то это следует из равенства

N А2лоо

101

В общем случае положим

<?(z) = Ss(«)z" = «zv П (г-2у).

Предположим для удобства, что ни одно из чисел Zy по модулю не равно 1 (это достигается малым изменением коэффициентов полинома). Обозначим через гъ ..., гк нули функции G(z), по модулю меньшие 1. Тогда функция

к 1

/=1

совпадает по модулю с функцией G (г) на окружности | г | = 1 и не обращается в нуль на круге D. Пусть через

Я (г) = S А (/г) г"о

обозначен квадратный корень из Я (г), аналитический на круге D и

Цг) = К(г)^ = ^Цп)г\о

Положим, наконец,

К* (г) = 21 к (п) | г»,о

£*(г)=SI Un^V,о

G* (г) = К* (z) L* (г) = £g* (")г" о

Так как G(z) = /<(z)L(z), то имеем, очевидно, неравенство g* (n) ^ |g(n) |. С другой стороны, обозначая через || Ь квадра-

тическую норму на окружности, получаем соотношения

2Л

j IG* И | di\\К* ||г IIL* ||2 = || К||21| L |к =

ОООО2л2Л

ОО

ОО

Используя равенство

влекущее за собой- неравенство

оо А2л

( \G*(ie«)\dt,1о

завершаем доказательство. ■

ПРОСТРАНСТВО А* КАК БАНАХОВА АЛГЕБРА

Найдем непрерывные гомоморфизмы алгебры А* в поле С. Пусть х — такой гомоморфизм. Известно, что J X (f) I ^ II f ||л+ для любой функции / е Л+; следовательно, x^eD. Поло

жим х(е“) = ^. Тогда X (f) = S / («) ^ = ^ ©• о

Таким образом, максимальные идеалы алгебры Л+ можно отождествить с точками круга D (точка отождествляется с совокупностью тех функций feA*, для которых Е(£) = 0). Тогда функция Г является гельфандовским представлением функции /. Нам будет удобно обозначить через е^* алгебру функций F^, являющихся суммами рядов Тейлора, абсолютно сходящимися в круге D. В качестве приложения теории Гельфанда, а также как непосредственное приложение теоремы Винера —Леви получаем следующий результат. .

Если F е е^* и если функция Ф аналитична в открытой области, содержащей множество F(D), то Ф-^е^. ■

Любой автоморфизм алгебры Л+ порождается некоторым гомеоморфным отображением ф круга D на D, при котором F»ф г &^+, как только F е е^+. Положим ф (е*8) = е'*(/). Если отображение ф определяет некоторый автоморфизм, то ||ф”||^+ = =0(1) и, следовательно, || е1”* ||л+= О (1) (п^-оо). По теореме Бёрлинга — Хелсона (стр. 106) ф является линейной функцией (можно также заметить, что отображение ф априори имеет

вид ф(г) =е<е^_г"-, |а|< 1, а потому функция феС2 и,к ней можно применить предложение, приведенное на стр. 95). Из этого следует, что автоморфизмы алгебры Л+ исчерпываются вращениями круга D. ■

Ситуация менее проста в случае эндоморфизмов. Последние определяются непрерывными отображениями ф круга D в себя, такими, что фЕе/+ и ||ф"Ц»<+= О (1)(/г-*оо). Например,

любая функция ф е е^*, для которой sup | ф (г) | < 1 (нера- |2|<1

венство строгое), определяет эндоморфизм F ~*F • ф алгебры е^+. Другие примеры содержатся в статьях Байсанского [1], Хедстрома [1]; более полное изложение читатель найдет в статье Неймана [2]).

Между тем, следуя К. Харзалла (устное сообщение), можно без труда выявить все изометрические эндоморфизмы. Если отображение ф определяет такой эндоморфизм, то sup | ф (z)| = 1 и ||ф|и+=1; следовательно, ф(z) = е16ф0(г), где функция ф0(г) имеет неотрицательные коэффициенты Тейлора. Если ф0 (г) =

ОО

= аргр + aqz4 + У, a„z", apaq^Q, то легко видеть, что Цф^ — 1

— ToU+<2. Так как ||zp — г9||л+ = 2, то отображение Р-^-Е«^й не является изометрическим, и то же самое справедливо для отображения F->-F«<p. Значит, остается случай ф0(г) = гр, который действительно определяет изометрию при р^ 1. Таким образом, любой изометрический эндоморфизм алгебры е^+ имеет вид F (г) -*F (ei9zp) (р целое 5=1). ■

ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ АЛГЕБРЫ е^+

Пусть Zo е D. Попытаемся описать все примарные идеалы алгебры е^*, содержащиеся в максимальном идеале, отвечающем точке г». Пусть / — один из таких идеалов.

Предположим сначала, что | г01 < 1. Пусть р — наибольшее целое, при котором любая функция из идеала / содержит множитель (г —г0)р. В этом случае множество функций g, для которых (z — z0)pg (z) е I, является идеалом алгебры @^+ и не содержится ни в каком максимальном идеале. Следовательно, идеал / алгебры е^+ порожден функцией (г — г^р.

Случай | z01 = 1 не столь очевиден. Не ограничивая общности, можно предполагать, что г0=1. Рассмотрим функцию фа(г) = = ехрау±у (а вещественно). При а>0 эта функция голо-

морфна и ограничена внутри круга D, непрерывна и по модулю равна 1 на всей границе круга, за исключением точки z=l. Заметим, что фо (—= ф-о (z) = —тт. Условимся говорить, что \ z /фа Кг)

идеал / содержит функцию фа в качестве множителя (а^О), если для любой функции Fei функция /7(г)ф_а(г) ограничена (и, следовательно, непрерывна) в круге D. Множество чисел а, таких, что идеал / содержит функции фа в качестве множителей, a priori может быть множеством следующего вида: {0}, полуоткрытый интервал [0, а0), замкнутый интервал [0, а0] или вся полупрямая [0, оо). Случай полупрямой исключается по теореме о факторизации для ограниченных аналитических функций (Альпар [4]). Равным образом исключается случай полуоткрытого интервала. Действительно, если Fei для а<а0 и zeD, то по теореме о максимуме модуля и в силу непрерывности функции F мы имеем |F (z) ф_я (г) | -с ^ sup | F (г) I; следовательно, функция F (г) ф_Яп (г) должна быть

И = 1

ограничена в круге D. Множеству {0} соответствует, например, идеал /, порожденный функцией г— 1. Интервалу [0, а0] отвечает, например, идеал /, порожденный функцией (г—1)2фЯо(г) (применяя неравенство (1), приведенное на стр. 71, можно проверить, что эта функция принадлежит классу е^*\ Если два примерных идеала имеют одно и то же замыкание, то им, очевидно, отвечает одно и то же множество чисел а. Обратное утверждение также справедливо и будет опубликовано позже Д.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОЖЕСТВА В КРУГЕ

Мы будем называть в этом параграфе интерполяционным множеством любое замкнутое подмножество Е круга D, такое, что' алгебра е^+(£), состоящая из сужений на Е элементов алгебры <2^*, совпадает с алгеброй С (Е) функций, непрерывных на множестве Е. Любое конечное множество, очевидно, является интерполяционным. То же справедливо для образов множеств Хелсона (см. стр. 64) при отображении t-^-e. Так как эти образы были впервые рассмотрены Карлесоном [1], мы будем их называть множествами Карлесона. Наконец, результат сохраняется для объединения конечных множеств с любым множеством Карлесона. Приведем обращение этого факта, принадлежащего С. А. Виноградову [1].

Любое интерполяционное множество является объединением конечного множества, лежащего внутри круга D, и множества Карлесона на его границе.

Достаточно показать, что интерполяционное множество не может содержать бесконечное множество точек, лежащих внутри круга D. Предположим противное, т. е. что множество Е содержит последовательность различных внутренних точек zb z2, ..., гя, ... , сходящуюся к некоторой точке на границе. Из равенства С(£) =е^+(£), ввиду очевидного топологического включения е^+ (5) с: С (Е) вытекает, что нормы в пространствах С (Е) и е^+ (Е) эквивалентны. Пусть gn — непрерывная на Е функция, равная единице в точках z2, z4, ..., z2„ и нулю в остальных точках множества Е, и G„ —функция, принадлежащая алгебре е^+ и совпадающая с gn на Е. Так как ||gn||c<E)= 1» то можно выбрать функции Gn так, чтобы их нормы были ограничены в совокупности в е^+. Будем рассматривать пространство е^+ (изоморфное пространству Z1) как пространство, сопряженное к с0 (пространству последовательностей, стремящихся к нулю на бесконечности), которое наделено соответствующей слабой топологией. Разрежая, если это необходимо, последовательность G„, можно предполагать, что последовательность G„ слабо сходится к некоторой функции Оеет£*. Для каждого г, лежащего внутри круга D, отображение F-*F (г) непрерывно в слабой топологии е^+. Таким образом, для каждого / имеет место равенство G (Z/) = = limG„(z/) = 0 или 1 в зависимости от того, четно или п-*со

нечетно число /. Но это невозможно, поскольку функция G непрерывна на D. ■',

ФАКТОРАЛГЕБРЫ АЛГЕБРЫ А+

Пусть Е—замкнутое подмножество окружности и Л+ (£) — алгебра сужений на множество Е функций из класса А*. Это факторалгебра алгебры А* по замкнутому идеалу, состоящему из тех функций класса Л+, которые обращаются в нуль на множестве Е.

Необходимо рассмотреть два случая. Если идеал состоит лишь из тождественного нуля, то говорят, что множество Е является определяющим для алгебры Л+ (это так, например, если множество Е имеет положительную меру); тогда алгебра Л+(£) совпадает с алгеброй А*. Если же не существует функции из класса Л+, отличной от тождественно нулевой, которая обращается в нуль на множестве Е, то мы говорим, что множество Е имеет тип ZA*. Далее будут приведены принадлежащие Карлесону [1] примеры определяющих множеств и множеств типа ZA*. Приведем сначала одно свойство алгебры А*(Е) во втором случае (Кахан и Кацнельсон [3]).

Если множество Е имеет, тип. ZA+, то алгебра А+(Е) регулярна и ее спектр совпадает с множеством Е.

7Ж.-П. Кахан

Непрерывные гомоморфизмы алгебры Л+ (£) в поле С имеют вид

О

где точка г принадлежит S, множеству нулей, общих для всех функций Fes/+, обращающихся в нуль на е1Е. Предположим, что S^^E, и пусть s S \ егЕ.

В этом случае в комплексной плоскости С найдется такой контур у, который окружает множество ёЕ, отделяя его от точки £, и не пересекается с множеством, S. Если ш ^ S, то функция (о> —^)-1 принадлежит е^+(£); отображение£У->- ->.((У —е»)-1^ множества C\S в пространство А^ф^ непрерывно. Для любого полинома Рф справедливо векторное равенство в пространстве Д+(£)1

Р Ф*) |в = ^5 § Р W Ф — е1*)'1 Ie МV

следовательно,

И(ИН1л+(£)<^ир|РШ

где постоянная К не зависит от Р. В то же время существуют полиномы Р (г), как угодно малые на у и равные единице в точке |. Это противоречие устанавливает равенство S = etE.

Таким образом, множество Е можно отождествить со спектром алгебры А^фУ

Заменяя множество Е замкнутым подмножеством F множества Е и точку 5 точкой еи», toeE\F, мы видим, что существует функция, принадлежащая алгебре А+ф), равная нулю на F и единице в точке t0. Стало быть, алгебра А^ф) регулярна. ■

Заметим, что не известно, существует ли для каждого множества Е типа ZA* функция F е еЖ+, множество нулей которой в точности совпадает с множеством etE.

ПРИМЕРЫ МНОЖЕСТВ ТИПА ZA*

Результаты настоящего параграфа заимствованы из работы Карлесона [1].

Пусть Е — замкнутое подмножество меры нуль окружности Т. Обозначим через Ц, 12, .... 1п, ••• длины интервалов,

ОО

смежных с Е. Тогда, если У /„logr <оо, то множество Е имеет тип ZA*.

Обозначим через (а„, 0„) п-й смежный с Е интервал длины 1п. Пусть х —некоторое целое 2$ 2. Положим

Чп (г) = ((г - е'^) (г - е1^*

и обозначим через h^ функцию, определенную на множестве Т\5 и совпадающую с т]„ ^е1^ на интервалах (а„, р„). Сделанное предположение выражает тот факт, что функция / (/) = = log |/г (/) | суммируема на Т. Положим

g(z) = exp — y^-^aty

Покажем, что эта функция принадлежит классу ®^+ и обращается в нуль на множестве е‘£.

Гармоническая функция log |g(z) | является интегралом Пуассона функции /(/). Следовательно, ] g (е") | = | Л (О I на множестве Т\£. Отсюда вытекает, что если функция g (z) непрерывна в круге D, то она заведомо обращается в нуль на множестве etE. Сейчас мы покажем, используя формулу

= -L С / (/) —^— di,g(z) 2л J ' (е^—г)2

что производная g' функции g ограничена внутри круга D, а потому функция g принадлежит классу е^* и тем более непрерывна на D.

Положим hn (t) = т)„ (е1^ и определим функции gn {z) и ln (t) с помощью hn^ так же, как мы определили функции g(z) и Z (/) с помощью hkty Поскольку |g„ (еи) | = |т]„ (ert) | на всей окружности Т и функции g№ (z) и т]„ (z) не обращаются в нуль внутри круга D, они пропорциональны друг другу с коэффициентом, по модулю равным 1. Кроме того,

(2)(2)g'^ _ g'n^g^ gn(z)

(2)

(2)

Из этого следует, что функцию g' можно продолжить по непрерывности на дугу (et04 е1^) и что, если6е(ап, ря), то выполняется неравенство

g'х . х .

+=™р(|« Чр. гя-Чг»)$ W)I 11.<0-|>-•

Поскольку | g (е<6) | = | h (6) | = | eto — ?“» |к | eto — е1^" |х и интеграл $ IU к^ I dZ равномерно ограничен по п, функция g* (z) ограни- 7*

чена на множестве е‘<г\£>, а следовательно, на всей внутренности круга D, и неравенство Шварца показывает, что^е а^+.

Если х достаточно велико, то, дифференцируя многократно равенство (2), мы видим, что функция g^ принадлежит классу Ср, причем целое р может быть выбрано как угодно большим. С другой стороны, пусть функция / (г) голоморфна внутри круга D, непрерывна и принадлежит классу Lip а (а > 0) на его границе, и пусть функция f(e“) обращается в нуль в концевых точках системы непересекающихся интервалов /„ с Т. Тогда loglfte'7) |^Clog| 7„ |, для любого 1г1п и, следовательно, f log|f(e")|d/^Cj]|/n|log|/n|. Если последний ряд

п

расходится, то / = 0. Мы получаем, таким образом, следующую

теорему.

Пусть Е —замкнутое подмножество меры нуль „окружности Т и Ц, 12, ..., 1щ ... — длины его смежных интервалов.

ОО

Если ^ ln log-j—<оо, то для любого целого р^1 найдется функция f, принадлежащая классу (ФуЦт. е. feCp и f(n)=0 для п < 0) и не равная тождественно нулю, которая обращается

в нуль на множестве Е. Если же, напротив, ^ln\og-^-=oo,

то для любого «>0 (из того, что функция, принадлежащая классу (Л®)+ (/ еА®, fn) = O для п<0), обращается в нуль на множестве Е, следует, что f тождественно равна нулю. ■

ОО

Условие ^ In log — <оо, объединенное с условием mes £ = 0, можно выразить несколькими эквивалентными способами. Мы предоставляем читателю проверить, что одним из таких условий является неравенство $ Ne (£) de > оо, где Ne (Е) — минимальное о

число интервалов длины е, покрывающих множество Е.

7 МНОЖЕСТВА ТИПА ДА*

В этом параграфе речь пойдет о замкнутых подмножествах Е на окружности Т, для которых справедливо равенство А (Е) = = А+(Еу Так как во всех случаях справедливо топологическое включение Д+ (£) с А (£), то обратное включение означает эквивалентность норм в пространствах А*(Е) и А (£). Если эти нормы совпадают, то говорят, что множество Е имеет изометрический тип АА*.

Мы можем воспользоваться леммой, сформулированной на стр. 63. Заметим, что пространство, сопряженное к пространству А (Е), которое обозначается через N (Е), состоит из псевдомер, допускающих синтез и сосредоточенных на множестве Е, и, таким образом, М (Е) с N (Е) cz PM (Е). Мы получаем сразу же следующий критерий:

Множество Е имеет тип. А А* (соответственно изометрический тип ЛД+) тогда и только тогда, когда при некотором 0 > 0 (соответственно при 0 = 1) для любой псевдомеры Т г N (Е) выполняется неравенство

sup |Г(/г)|^4" SUP I^Wl" <3)

В качестве приложения приведем два примера множеств изометрического типа АА*: 1) множества Дирихле,* определенные на стр. 111, и, в частности, такие множества, для которых lH2Me(E)/log-i-= 0; 2) счетные множества Е (см. стр. 63).

Можно показать, что в классе симметрических множеств с постоянным отношением разбиения £ множества типа А А* совпадают с множествами типа U. Это те множества, для которых число 1/^ является числом Пизо (Кахан и Салем [1, гл. 12]; см. также стр. 184 этой книги).

Приведем еще несколько новых характеристик множеств типа АА* в терминах банаховой алгебры А*(Е). Заметим сначала, что если множество Е имеет тип ZA*, то существует суммируемая последовательность у„, для которой на множе-

ОО

стве Е выполняется равенство 1=2 4neinf; следовательно, в"и = 1

°?

= 2Тп+1е,л/ на Е, и потому сужение еги\в и его натуральные о

степени принадлежат алгебре А* (Е).

Следующие предложения эквивалентны:

множество Е имеет тип А А*;

множество Е имеет тип ZA* и ||е“‘л'||А+(Е) = О(1) (/1->оо);

алгебра А^ (Е) симметрична.

Действительно, импликации а) => с) => Ь)ч=^> а) почти очевидны. ■■

Любое множество типа АА+ имеет заведомо тип ZA*, но обратное неверно. Достаточно взять в качестве множества Е множество типа Л40. удовлетворяющее условию ^Ne(E) de<Loo о

(Шов [1]). Если множество Е имеет тип ZA*, но не АА+, то нормы je-'^llA+tE) не ограничены в совокупности. Легко видеть,

что условие ||^"/^||д+(Е) = 0 (со^) (п->оо) в действительности эквивалентно тому факту, что все функции класса А (со) (т. е. все функции, ДЛЯ которых 5 \Нп) I ®|П| <°°). будучи суженными nez

на множество Е, принадлежат классу А*(Е). Можно построить множество Е, такое, что ^‘^ ||д+<е) '>^°'> начиная с некоторого я (а), как только а <1/2 (Кахан и Кацнельсон [5]).

МЕРЫ ХАУСДОРФА И МНОЖЕСТВА ТИПА ZA*

Выше мы нашли условия на функцию У8(5), обеспечивающие принадлежность множества Е классу ZA* или АА*. Теперь мы покажем, что никакое условие на меру Хаусдорфа множества Е не влечет за собой того факта, что множество Е принадлежит какому-нибудь из этих классов. Наше изложение основано на теореме Ивашева-Мусатова [1] и методе Карлесона [1].

Теорема Ивашева-Мусатова формулируется следующим образом:

Для любой функции h(t), задающей жру Хаусдорфа и удовлетворяющей условию

Нт-^г- = со, /-»о ‘

существует замкнутое множество Ео h-жры нуль и типа /Ио. •

Отсюда следует, что существует замкнутое множество Ео, имеющее /i-меру нуль и не имеющее типа АА+. Приведем более сильный результат:

Для любой указанной выше функции h (/) существует замкнутое множество Е h-жры нуль, не ижющее типа ZA*.

Пусть, в самом деле, Ео — замкнутое множество й-меры нуль, на котором сосредоточена некоторая мера-псевдофункция р. Пусть множество Е равно алгебраической сумме Eй-\-^1 где А — некоторое замкнутое счетное множество, которое мы определим несколько позже. Тогда множество Е замкнуто и его й-мера равна нулю.

Пусть f е А* и / = О на множестве Е. Тогда функция

g(/) = $f(/ + s)dp(s)= £ НпГ^-п^е^/1 = 0

обращается в нуль на множестве А. Кроме того, модуль непрерывности этой функции имеет порядок О(ф(6)), где ф(6) = i= inf (У6 + sup |р(п)|). Определим множество А так, Ыj п j > N

00

чтобы выполнялось равенство У /„ -(Гт- = оо, где /„ — длины

смежных интервалов. Тогда $ log | g (/) | dt = — оо, и так как geA\ то g = 0. Отсюда следует, что /(я) = 0, как только р(—п)=И=О. Заменяя, если это необходимо, меру р мерой це‘п(, видим, что / = 0. Следовательно, множество Е не имеет типа ZA*. ■

МНОЖЕСТВА ТИПА 2АЛ

Пусть Л —некоторое множество целых неотрицательных чисел. Обозначим через ЛЛ множество функций f вида

но = ^ iw^. si/wH/Koo.

ХеЛ

Это замкнутое подпространство пространства А* (вообще говоря, не алгебра). Говорят, что множество Е имеет тип ZAa, если существует функция класса Аа, не равная тождественно нулю, которая обращается в нуль на множестве Е. Говорят, что множество Е имеет, тип ААа, если любая функция класса А совпадает на множестве Е с некоторой функцией класса ЛЛ. Это значит, что пространство А (Е) = Лл (Е) является факторпро- странством пространства Лд по замкнутому подпространству, состоящему из функций класса ЛЛ, аннулирующихся на Е. Поскольку к этой ситуации применима та же лемма, что и на стр. 63, то имеем критерий, аналогичный критерию на стр. 181.

Множество Е имеет тип ЛЛд тогда и только тогда, когда при некотором р>0 выполняется неравенство

IIГ ||РЛ1 = sup | Г (п) | ^-^-зцр | ^ (Л) |пегНх®л

для любой псевдомеры Т eN (Е). ■

Из этого нетрудно вывести следующее предложение (Кахан и Салем [1, стр. 152]):

Множество Е имеет тип ZAa тогда и только тогда, когда для некоторого р > 0 и некоторого Хо s Л выполняется неравенство

||T||p^ = sup|f(n)|^lsup iT^I

nezР16ЛДЛ

для любой псевдомеры Т еРМ (Е). ■

Приведем несколько следствий, установленных в работе Кахана [4] (см. также Кахан и Салем [1, гл. 12]).

Пусть / — открытый интервал окружности Т и пк — последовательность неотрицательных целых чисел. Мы будем гово- рить, что множество Е имеет тип Hi , если для любого я множество пкЕ не пересекается с интервалом / окружности Т. Более общо, пусть а = (а1( ..., ат) —вектор пространства Rm, не ортогональный ни одному вектору с целочисленными компонентами, Q —открытое подмножество тора Тт и пусть р* — последовательность положительных чисел, стремящаяся к бесконечности. Будем говорить, что множество Е имеет тип Но^а, если для любого к множество аркЕ не пересекается с й. Эти типы множеств были введены соответственно Райхманом и Пятецким-Шапиро.

Если множество Е имеет тип Н/"^ или тип Н^а, то существует множество Л, лакунарное в смысле Адамара (т. е. отношение каждого члена к предыдущему ограничено снизу некоторым числом, строго большим 1), такое, что множество Е имеет тип ААд и 2Ад. •

Этот факт имеет место, в частности, для симметрического совершенного множества Е = Е^ с постоянным отношением разбиения, равным |, если 1/| является числом Пизо.

Если множество Е имеет тип н\Пк\ где |/|>4л/3, то существует как угодно редкое множество Л (т. е. если зафиксированы первые п его членов, то (п+1)-й член можно выбрать сколь угодно большим), такое, что множество Е имеет тип ААд и ХАд. •

Например, это так для множества Е = Е^, где 1/^ —целое число ^7.

ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ

Общие сведения можно найти в следующих работах:

относительно тригонометрических рядов: Зигмунд [2], Бари [1], Эдвардс [1], Салем [5];

относительно анализа Фурье: Кацнельсон [3];

относительно абелевых групп и анализа Фурье: Рудин [4];

— относительно нерешенных проблем: Бёртель [1, стр. 351] (проблема 15 решена в монографии Кацнельсона [3]) и Ульянов [1] (ответ на вопрос, поставленный на стр. 41 последней статьи, остается открытым и после изложенного на стр. 24— 27 нашей книги)!).

Существуют многочисленные обобщения теорем Бернштейна и Зигмунда; см., например, Идзуми [1] и Жук [1].

Получено довольно много условий на коэффициенты Фурье, обеспечивающих принадлежность функции классу Л. Наиболее простые условия относятся к случаю, когда «вещественные» коэффициенты Фурье (коэффициенты при cosn/, sin nt) положительны (см. Томич [1] и Ройал [1]). Относительно соответствующих условий в других случаях см., например, Мохенти [1], Яно [1], Мазар [1], Идзуми [2].

Интересные подклассы класса Л образуют функции f, удовлетворяющие условию |f(± п) | ^..ап (n = 0, 1, 2, ...), где а0, аъ а2> ... — некоторая невозрастающая суммируемая последовательность. В силу одной теоремы Бёрлинга в этом случае |/|еЛ. По поводу этой теоремы см. Бёрлинг [2], Боас [2], Кинукава [1], Сунуоти [1].

Можно изучать абсолютно сходящиеся ряды Фурье на произвольных компактных абелевых группах. Относительно группы Т” см. Митягин [1], а также Тиман [1] и [2]. Можно также изучать ряды Фурье относительно некоторой полной ортонормированной системы. По поводу рядов Фурье— Хаара см. Ульянов [2].

) Ответ на этот вопрос получен Бочкарёвым. —Прим, перев.

Алгебры А (Т, со) («весовые алгебры») естественно появляются в случае го (я) = (1 4-1 п |)“ (2а целое) при исследованиях локальных свойств преобразований Фурье радиально суммируемых функций в пространстве R2a+1 (Гатсуп [1]). Функции, действующие в этих алгебрах, изучались Кацнельсоном [2], а также Лебланом [1] и [3]. Отметим несколько результатов:

— цри у 5^1 функции класса А ((1 +|п |)“) действуют в классе А ((1 +| п 1)®) тогда и только тогда, когда и 5а о + 1/2 (Кацнельсон [2]);

— при и^1 функции класса Л((1-Цй|)“) действуют в классе А ((1 +| п |)т), если ы^1 + 1/2и. Обратно, если все функции класса А ((1 +1 п |)“) действуют в классе А ((1 +1 п 1)®), то u5=1+'1/2u (Леблан [3]).

Классы 4Р(/ е Д'1 о fe 1Р) изучались Арбо [4] (порядок роста сумм ^ Iс«^е”^ 1Р ПРИ у-со, 0<р<2), а также neZ

Ривьером и Сагером [1] и Каханом [6] (функции, действующие в этих пространствах). Получено обобщение теоремы Кацнельсона: все функции, действующие в классах Ар, заведомо принадлежат классу Жеврея Gi/P (0<р< 1) (Ривьер и Сагер [1]). Более легким обобщением является следующее: если для любой функции /е А композиция F-feAp (1 ^ ^р<2), то функция F является аналитической (Рудин [3]).

Относительно подалгебр алгебры Л, состоящих только из постоянных функций на некотором множестве, см., статью Гатсупа [2], в которой приведены простые примеры в случае алгебры А (Т”) (п>4).

Что касается замкнутых идеалов алгебры Л, то естественно задать вопрос: все ли они исчерпываются идеалами, порожденными только одной функцией. Эта проблема пока не решена. Близкие к ней проблемы рассмотрены Ацмоном [I]1).

Функция ф, определенная на множестве Т\£, называется мультипликатором идеала 1е, если для любой функции feIE функция /ф, продолженная нулем на множество Е, принадлежит классу IЕ. Говорят, что мультипликатор тривиален, если он является сужением некоторой функции класса А. Каковы множества Е, для которых идеалы 1Е обладают только тривиальными мультипликаторами? Вопрос полностью решен в работе Мейера [3]: это нигде не плотные множества. Ситуация становится более сложной, если заменить Т на Z и алгебру А (Т) на алгебру A (Z) коэффициентов Фурье —Лебега.

Существует связь между индивидуальным символическим исчислением и синтезом, и это позволяет думать, что при некоторых условиях регулярности, налагаемых на функции, действующие в банаховой алгебре функций (которая по предположению регулярна и симметрична), синтез не имеет места. Однако это не так (см. Ацмон [2]).

Отметим гипотезу Кацнельсона: любое замкнутое подмножество Е окружности Т заведомо является или множеством X ел сона, или множеством аналитичности (гипотеза о дихотомии). По этому поводу см. работы Кацнельсона и Мальявена [1] — [ЗЬ

Приведем несколько дополнительных ссылок и результатов относительно тонких подмножеств окружности Т или других групп:

относительно множеств абсолютной сходимости см. Салем [1], Арбо [1], Лафонтен [I]1);

относительно множеств единственности см. Макги [1] и Кахан [10]2);

относительно множеств Хелсона см. Розенталь [1], Варопулос [3], Кёрнер [1];

относительно множеств типа S.V.P. см. Мальявен [4];

относительно множеств Кронекера см. Варопулос [1], [2], [3] и Кёрнер [1].

Приведем несколько результатов из работ Варопулоса [1], [3] и Кёрнера [1]. Объединение множества Кронекера и одной точки при условии независимости заведомо является множеством Кронекера (Варопулос [1]). Объединение множества Кронекера и множества Хелсона заведомо является множеством Хелсона2) (Варопулос [3]). Можно построить следующие примеры: совершенное, не являющееся множеством Дирихле, любое замкнутое собственное подмножество которого кронекерово; счётное, замкнутое, независимое, являющееся множеством Дирихле, но не являющееся множеством Кронекера; замкнутое, независимое, являющееся счетным объединением множеств Кронекера, но не являющееся множеством Хелсона; замкнутое, независимое, являющееся множеством Дирихле; но не являющееся множеством Хелсона (Кёрнер [1]).

Теории лакунарных рядов посвящена обширная литература. По поводу проблем, изложенных в настоящей книге, см., кроме уже упомянутых, следующие работы: Мела [1], Феррю [1], Емельянов [1], Гапошкин [1].

По поводу алгебры a^+, алгебры рядов Тейлора, абсолютно сходящихся в круге D: | z | ^ 1, остается еще много нерешен-

ных проблем. Например, если дано замкнутое подмножество Е круга D, на котором по крайней мере одна функция Feo^ обращается в нуль, то существует ли функция G е е^+, множеством нулей которой в точности является множество Е>

Принадлежность классу е^+ не инвариантна относительно конформного отображения круга D на самого себя (за исключением вращений) (см. стр. 175 этой книги, а также Альпар [1]). Можно рассмотреть такие односвязные области Q плоскости С, для которых любое конформное отображение внутренности круга D на Q обязательно принадлежит классу е^+. Любая область со спрямляемой границей принадлежит к этому типу (стр. 170). По поводу исследования свойств функций F в этом случае см. Нейман, Шварц и Шапиро [1]. Звездные ограниченные области не всегда являются областями такого типа (Кацнельсон и Пиранян; устное сообщение). Для того чтобы область имела такой тип, еще недостаточно, чтобы она была образом круга D при отображении, осуществляемом однолистной функцией класса е^+ (Кацнельсон и Пиранян).

О некоторых не затронутых в этой книге вопросах см. Пипперт [1] и Литтлвуд [1].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ i)

Аветисян Р. А.

[1*] О множествах абсолютной сходимости двойных тригонометрических рядов, Математ. заметки, И (1972), 473—480.

Альпар (Alpar L.)

Sur certaines transform6es des series de puissances absolument con- vergente sur la frontiere de leur cercle de convergence, Magyar Tud. Akad. Mat. Katato Int. Kozl., 6 (1961), 157—164.

Sur une classe particuliere de series de Fourier ayant des sommes partielles bornees, Stadia Set. Math. Hangar., 1 (1966), 189—204. ДЗ] Abszolut konvergenz Fourier-sorok transforma Itjairol (Sur les transformations de Fourier absolument convergentes), Mat. Lapok, 18 (1967), 97—104.

Sur une classe particuliere de series de Fourier a certaines puissances absolument convergentes, Stadia Sci. Math. Hangar., 3 (1968), 279—286.

Арбо (Arbault J.)

Sur 1’ensemble de convergence absolue d’une serie trigonometrique, Bull./Soc. Math. France, 80 (1952), 253—317.

Ахиезер H. И.

Лекции по теории аппроксимации, изд-во «Наука», М., 1965. Ацмон (Atzmon А.)

Non-singly-generated closed ideals in group algebras, Israeli. Math., Sec. F., 7, No. 24 (1969), 303—310.

Spectral synthesis in regular Banach algebras, Israel J. Math., 8, No. 3, (1970), 197—212.

] Non finite generated closed ideals in group algebras., J. Funct. Anal., П (1972), 231—249.

Байсанский (Bajsanski В. M.)

Sur une classe generate de procedes de sommation du type d’Euler- Borel, Acad. Serbe Set. Publ. Inst. Math., 10 (1956), 131—152, Бари H. K.

Тригонометрические ряды, Физматгиз, M., 1961

Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе.

Бернар (Bernard А.)

•[1] Une caracterisation de С (X) parmi les algebres -de Banach,

C. R. Acad. Sci. Paris, 267 (1968), 634—635.

Бернштейн С. H

Собрание сочинений, т. I и II, изд-во АН СССР, М., 1952, 1954._ Бёрлинг (Beurling А.)

Sur les integrates de Fourier absolument convergentes et leur applb cation a une transformation fonctionelle, Neuvieme Congres de Math. Scand., Helsinki, 1938, p 345—366.

On the spectral synthesis of bounded functions, Acta Math., 81 (1949), 225—238.

Бёрлинг и Хелсон (Beurling A., Helson H.)

Fourier-Stieltjes transforms with bounded powers, Math. Scand., 1 (,1953), 120—126.

Бертель (Birtel F. T.)

Function algebras, Scott, Foresman and Company, 1966.

Бийяр (Billard P.)

Sur la convergence presque partout des s€ries de Fourie-Walsh des fonctions de 1’espace L2(0, 1), Studia Math., 28 (1966/1967), 363—388 Боас (Boas R. P.)

Absolute convergence and intergrability of trigonometric series, J. Rat. Meeh. 'Anal., 5 (1956), 621—632.

Beurling’s test for absolute convergence of Fourier series, Bull, Amer. Math. Soc., 66 (1960), 24—27.

Бор (Bohr H.)

Ober einen Satz von J. PM, Acta Univ. Szeged, 7 (1935), 129—135.

[2*] Почти-периодические функции, М.-Л., 1934.

Бочкарёв С. В.

[1*] О проблеме Зигмунда, Изв. АН СССР, сер. матем., 37, № 3 (1973), 630—638.

[2*] Об абсолютной сходимости рядов Фурье по ограниченным полным ортонормированным системам функций, Матем. сб., 93, № 2 (1974), 203—217.

Боянич и Томич (Bojanic R., Tomic М.)

Об абсолютной сходимости рядов Фурье с малыми пропусками, Матем. сб., 70 (1966), 297—309.

Варопулос (Varopoulos N. Th.)

Sur les ensembles parfaits et les series trigonometriques, C. R. Acad. Sci. Paris, 260 (1965), 3831—3834.

Sur les ensembles parfaits et les series trigonometriques, C. R. Acad. Sci. Paris, 260 (1965), 4668—4670, 5165—5168, 5997—6000; 262 (1966), 384—387, 447—449; 263 (1966), 785—787.

Sur un th£oreme de M. Paul Malliavin, C. R. Acad. Sci. Paris, 263 (1966), 834—836.

Tensor algebras and harmonic analysis, Acta Math., 119 (1967), 51—112.

Sur les ensembles de Kronecker, C. R. Acad. Sci. Paris, 268A (1969), 954—958.

Sur les ensembles de Kronecker et les fonctions de Lipschitz, C. R. Acad. Sci. Paris, 269A (1969), 74—-77.

Sur la reunion de deux ensembles de Sidon, C. R. Acad. Sci. Paris, 271 (1970), 251—253.

Groups of continuous functions in harmonic analysis, Acta Math., 125, (1970), 109—154.

Вейс (Weiss M. G.)

Concerning a theorem of Paley on lacunary power series, Acta Math., 102 (1959), 225—238.

On lacunary power series, Ark. Mat., 5 (1963), 1—26.

Вик (Wik I.)

On linear dependence in closed sets, Ark. Mat., '4 (1960), 209—218.

Some examples of sets with linear independence, Ark. Mat., 5 (1963), 207—214.

Extrapolation of absolutely convergent Fourier series by identically zero, Ark., Mat , 6 (1965), 65—76.

Studies on absolutely convergent Fourier series, Acta. Univ. Upsal., 1965

A strong form of spectral synthesis, Ark. Mat., 6 (1965), 66—64.

Винер (Wiener N.)

Tauberian theorems, Ann. of Math., 33 (1932), 1—100.

Виноградов C A.

Об интерполяции и нулях степенных рядов с последовательностью коэффициентов из 1Г, ДАН СССР, 160 (1965), 263—266.

Гапошкин В. Ф.4

К вопросу об абсолютной сходимости лакунарных рядов, Изв. АН СССР, сер. мат., 31 (1967), 1271—1288.

Гатсуп (Gatesoupe М.)

Caracterisation locale de la sous-algebre fermee des fonctions radiales de ^L1 (R”), Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 17 (1967), 93—107.

Sur une relation d’equivalence correspondant a une sous-alg^bre de restictions de A (R”) reduite aux cpnstantes, G. R. Acad. Sci. Paris, 268A (1969), 490—492.

Гельфанд И. M., Райков Д. А., Шилов Г. Е.

[1] Коммутативные нормированные кольца, Физматгиз, М., 1960.

Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е.

[1*] Обобщенные функции и действия над ними, Физматгиз, М., 1958.

[2*] Пространства основных и обобщенных функций, Физматгиз, М., 1958.

Герц (Herz С. S.)

Spectral synthesis for the Cantor set, Proc. Nat. Acad. Sci. U. 8. A., 42 (1956), 42-43

Гойал (Goyal О. Р.)

On the absolute convergence of Fourier series, Mat. Vesnik, 2 (1965), 88—91.

Гофман (Hoffman K.)

Банаховы пространства аналитических функций, ИЛ., М., 1963.

Де Люв и Кацнельсон (De Leeuw К., Katznelson Y.)

On certain homomorphisms of quotients of group algebras, Israel J. Math., 2 (1964), 120—126.

Дешан (Deschamps M.)

] Ensembles de Sidon topologiques, Ann. Inst. Fourier, 22, No. 3 (1972), 51—80.

Диткин В.

Исследование строения идеалов в некоторых нормированных кольцах, Учен. зап. МГУ, 30 (1939), 83—130.

Дрюри (Drury S.)

[1*] Sur les ensembles de Sidon, C. R. Acad. Sci. Paris, 271 (1970), 162—163.

Емельянов В. Ф.

Абсолютная сходимость лакунарных рядов, Мапгем. заметки, 5 (1969), 125—131.

Жирар (Girard D. М.)

] The asymptotic behavior of norm of powers of absolutely convergent Fourier series, Pacific J. Math., 37 (1971), 357—381.

] The behaviour of the norm of an antomorphism of the unit disc., , Pacific J. Math., 47 (1973), 443—456.

Жук В. В.

Об абсолютной сходимости рядов Фурье, ДАН СССР, 160 (1965), 519—522.

Зигмунд (Zygmund А.)

Remarque sur la convergence absolue des series de Fourier, J. London Math. Soc., 3 (1928), 194—196.

Тригонометрические ряды, т. I, II, изд-во «Мир», М., 1965. Ивашев-Мусатов О. С.

М-множества и A-мера, Мапгем. заметки, 3 (1968), 441—447, Идзуми (Izumi S.-I.M.)

On absolute convergence of Fourier series, Ark. Mat., 7 (1967), 177—184.

Absolute convergence of Fourier series, Proc. Japan Acad., 45 (1969), 342—347.

Идзуми и Цутикура (Izumi S. I., Tsuchikura T.)

Absolute convergence of trigonometric expansions, Tdhoku Math. J., 7 (1955), 243—251.

Иосида К. (Yosida К.)

[1*] Функциональный анализ, „Мир“, М., 1967.

Карлесон (Carleson L.)

Sets of uniqueness for functions regular in the unit disc., Acta Math., 87 (1952), 325—345.

On the convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta Math , 116, No. 1—-2 (1966), 135—157. (Русский перевод: сб. Математика, 11 :4 (1967), 113—131.)

Картан (Cartan Н.)

Sur les classes de fonctions definies par des megaliths portant sur Ies derivees successives, Paris, Hermann, k40.

Кауфман (Kaufman R.)

A functional method for linear sets, Israel J. Math., 5 (1967), 185—187

Gap series and an example to Malliavin’s theorem, Pacific J. Math., 28 (1969), 117—119.

[3*] M-sets and distributions, Asterique, 5 (1973).

Кахан (Kahane J.-P.)

Sur certaines classes de series de Fourier absolument convergentes, J. Math. Pares Appl. 35 (1956), 249—258.

Generalisation d’un theoreme de S Bernstein, Bull. Soc. Math. France, 85 (1957), 221—229

Sur les fonctions moyenne-periodiques borne^s, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 7 (1957), 293—314.

Pseudoperiodicite et series de Fourier lacunaires, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 79 (1962), 93—150.

Images browniennes des ensembles parfaits, C. R. Acad. Sci. Paris, 263 (1966), 678—681

Sur les series de Fourier a coefficients dans IP, in “Orthogonal expansions and their continuous analogues”, Southerrf Illinois University Press, 1968, p 257—272.

Une nouvelle reciproque du theoreme de Wiener-Levy, C. R. Acad. Sci. Paris, 264 (1967), 104—106.

Sur le theoreme de Beurling-Pollard, Math. Scand., 21 (1967), 71—79.

Sur les rearrangements de fonctions de la classe A, Stadia Math., 31 (1968), 287—293.

A metric condition for a closed circular set to be a set of unique» ness, J. Approx. Theory, 2 (1969), 233—236.

[Ill Approximation par des exponentielles imaginaires; ensembles de Dirichlet et ensembles de Kronecker in “Abstract spaces and ар» proximation”, Basel, Birkhauser, 1969

The technique of using random sets in harmonic analysis in “Recent advances in probability and related topics” (a paraitre).

] Ideaux primaires fermes dans certaines algebres de Banach de fonctions analytiques, Springer Lecture notes, No. 336; Analyse har- monique dans le domaine complexe.

[14*] Случайные функциональные ряды, изд-во «Мир», 1973»

Кахан и Вейс (Kahane J.-P., Weiss М. С.)

On a lacunary power series, Ark. Math., 5 (1963), 1—26.

Кахан и Кацнельсон (Kahane J.-P., Katznelson Y.)

£ I] Contribution a deux probldmes, concernant les fonctions de la classe Л, Israel J. Math., 1 (1963), 110—131.

Sur les series de Fourier uniformement convergentes, C. R. Acad. Sci. Paris, 261 (1965), 3025—3028.

Sur les ensembles de divergence des series trigonometriques, Studia Math., 26 (1966), 305—306.

Lignes de niveau et series de Fourier absolument convergentes, Israel J. Math., 6 (1969), 346—353.

Sur les algebres de restrictions des series de Taylor absolument convergentes a un ferme du cercle, J. Analyse Math., 23(1970), 185—197.

Кахан и Салем (Kahane J.-P., Salem R.)

Ensembles parfaits et series trigonometriques, Paris, Hermann, 1963.

Кацнельсон (Katznelson Y.)/

Sur les fonctions operant sur Talgebre des series de Fourier absolument convergentes, C. R. Acad. Sci. Paris, 247 (1958), 404—406.

Sur le calcul symbolique dans quelques algdbres de Banach, Ann. Sci. Ecole'Norm. Sup. (3) 76 (1959), 83—123.

An introduction to harmonic analysis, New York, Wiley, 1958.

Кацнельсон и Кёрнер (Katznelson Y., Korner T.)

[1*] An algebra dense in its tilde algebra, Israel J. Math., 17, No. 3 (1974), 203—217.

Кацнельсон и Макги (Katznelson Y., McGehee О. C.)* .

Measures and pseudomeasures on compact subsets of the line, Math. Scand., 23 (1968), 57—68.

Кацнельсон и Мальявен (Katznelson Y., Malliavin P.)

Une critere d’analyticite pour les algebres de restrictions, C. R. Acad. Sci. Paris, 261 (1965), 4964—4967.

Verification statistique de la conjecture de la dichotomie sur une classe d’algebres de restrictions, C. R. Acad. Sci. Paris, 262A (1966), 490—492.

Analyse harmonique dans quelques algdbres homogenes, Israel J. Math., 5 (1967), 107—117.

Кацнельсон и Рудин (Katznelson Y., Rudin W.)

The Stone-Weierstrass property in Banach algebras, Pacific J. Math., 11 (1961), 253—265.

Качмаж и Штейнгауз (Kaczmarz S., Steinhaus H.)

Теория ортогональных рядов, Физматгиз, М.., 1958.

Кеннеди (Kennedy Р. В.)

Fourier series with gaps, I, II, Quart. J. Math. Oxford, 7 (1956), 224—230; 8 (1957), 84—88

Кёрнер (Kdrner T. W.)

Some results on Kronecker, Dirichlet and Helson sets, Ann. Inst, ppurier (Grenoble), 20 (3) (1970), 219—324.

] Sur Ies ensembles ЛА+ et les ensembles pics, G. R. Acad. Set. Paris, 274A (1972), 1718—1721

[3*] A pseudofunction on a Helson set, 1, II, Asterique, 5 (1973),

Ки Гуан-Фу (Qi Guang-Fu)

Some theorems on the absolute convergence of periodic multiplicative orthogonal series, Chinese Math.-Acta, 6 (1965), 208—218.

Кинукава (Kinukawa M.)

Contractions of Fourier coefficients and Fourier integrals, J. Ana* lyse Math., 8 (1960/1961), 377—406.

Крейн M. F.

О представлении функций интегралами Фурье — Стильтьеса, Уч. зап. Куйбышевского пед. инет., 7 (1943), 123—148.

Лафонтен (Lafontaine J.)

Reunions d’ensembles de convergence absolue, Bull. Soc. Math. France, Memoire, 19 (1969).

Леблан (Leblanc N.)

Calcul symbolique dans certaines algebres de series de. Fourier d poids, C. R. Acad. Sci. Paris, 266A (1968), 339—341.

Sur un theor£me de De Leeuw et Katznelson, G. R. Acad. Sci. Paris, 269A (1969), 640—643.

Les fonctions qui operent dans certaines algebres a poids, Math. Scand., 25, No. 2 (1969), 190—194.

[4*] Sur Ies isomorphismes d’algebres de restrictions; Stadia Math., 49 (1973), 7—34.

Леви (Levy P.)

Sur la convergence absolue des series de Fourier, Compositio Math.t 1 (1934), 1—14.

Лейбензон 3 Л.x

О кольце функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье, УМН, 9 (1954), 157—162.

Линдал и Поулсен (ред.) (Lindahl L. A., Poulsen F.)

[1*] Thin sets in harmonic analysis, Marcel Dekker, N. Y., 1971 (Va- ropoulos seminar at the Mittag-Leffler Institute 1969—1970), Литтлвуд (Littlewood J. E.)

A theorem on trigonometrical series with 2 I ctm 1 + 1 bm | convergent with an application to a convergence problem, J. London Math. Soc., 37 (1962), 252. .

Мазар (Mazhar R. M.)

Absolute convergence of Fourier, series, Proc. Japan. Acad., 44 (1968), 756—761.

Макги (McGehee О. C.)

Sets of uniqueness and sets of multiplicity, Israel J. Math., 4 (1966), 83—96.

Certain isomorphisms between quotients of a group algebra, Pact* fic J. Math^ 21 (1967), 133-152.

Un theorems sur les ensembles symetriques, Seminaire d’analyse harmonique, Orsay, (1967—1968) expose No. 3.

Мальявен (Malliavin P.)

Impossibilite de la synthese spectrale sur les groupes abeliens non compacts, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 1959, p. 85—92.

Calcul symbolique et sous-algebres de L1 (G), Bull. Soc. Math. France, 87 (1959), 181—190.

Ensembles de resolution spectrale, Proc. Internal. Congr. Mathematicians, Stockholm, 1962, p. 368—378.

Sur les ensembles ne portant pas de pseudomesures, C. R. Acad. Sci. Paris, 267 (1968), 813—815.

Мальявен-Брамере и Мальявен (Malliavin-Brameret М.-P., Malliavin P.) [1] Caracterisation arithmetique d’une classe d’ensembles de He Ison, C. R. Acad. Sci. Paris, 264A (1967), 192—193.

Мандельбройт (Mandeldrojt S.)

Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. При-» менения. ИЛ , М., 1955.

Марцинкевич (Marcinkiewicz J.)

Sur la convergence absolue des series de Fourier, Mathematica, Cluj, 16 (1940), 66—73.

Мате (Mate A.)

Negyzetesen integralhato fiiggvenyek Fourier-soranak konvergen- cidja (Convergence des series de Fourier des fonctions de carre som- mable), Mat. Lapok, 18 (1967), *195—242.

Мейер (Meyer Y.)

Ideaux fermes de L1 dans lesquels une suite approche 14dentit6e Math. Scand., 19 (1966), 219—222.

Isomorphismes entre certaines algebres de restrictions, C. R. Acad, Sci. Paris, 265A (1967), 18—20.

Endomorphismes des ideaux fermes de L1 (G), classes de Hardy et series de Fourier lacunaires, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 1 (1968), 499—580.r

Algebres de restictions non isomorphes, Ann. Inst. Fourier (Gre« noble), 19 (1969), 117—124.

Isomorphismes entre certaines algebres de restrictions, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 18(1969), 73—86.

Мела (Mela J.-F.)

Suites lacunaires de Sidon. Ensembles propres et points exception- nels, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 14 (1964), 533—538.

Sur les ensembles d’interpolation de C. Ryll-Nardrewski et S. Harb man, Studia Math., 29 (1967/68), 167—193.

Sur certains ensembles exceptionnels en analyse de Fourier, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 18 (1969), 33—70.

Approximation diophantienne et ensembles lacunaires, Bull. Soo. Math. France^ Memoire, 19 (1969), 26—54

Митягин Б. С

Об абсолютной сходимости ряда коэффициентов Фурье, ДАН СССР, 157 № 5 (1964), 1047—1050

Мохенти (Mohanty R.)

A criterion for the absolute convergence of a Fourier series, Proc bond. Math. Soc., 51 (1949), 186—196.

Немыцкий В. В.

] О некоторых классах линейных множеств в связи с абсолютной сходимостью тригонометрических рядов, Машем. сб. 33 (1926), 5—32.

Нобл (Noble N. Е.)

Coefficient properties of Fourier series with a gap condition, Math Ann., 128 (1954), 55—62.

Ньюман (Newman D. J.)

Homomorphisms of /+, Amer, J. Math., 91 (1969), 37—46.

Ньюман, Шварц и Шапиро (Newman D. J., Schwartz J. T., Shapiro-H. S.)

On generators of the Banach algebras lY and Lt (0, oo), Trans. Amer. Math. Soc., 107 (1963), 466—484.

Олевский A. M.

] Fourier Series with Respect to General Orthogonal Systems, Springer- Verlag, 1970.

Пипперт (Pippert R. E.)

On absolutely convergent trigonometric series, Math. Z., 85 (1964), 401—406.

Поллард (Pollard H.)

The harmonic analysis of bounded functions, Duke Math. J., 20 (1953), 499—512.

Понтрягин Л. C.

[1*] Непрерывные группы, изд. 3, «Наука» М , 1973.

Пэли и Винер (Paley R. Е. А. С., Wiener N.)

Преобразование Фурье в комплексной плоскости, изд-во «Наука», М., 1964

Ривьер и Сагер (Riviere N. М., Sagher Y.)

The converse of Wiener-Levi-Marcinkiewicz theorem, Studia Math.» 28 (1966), 133—138.

Розенталь (Rosenthal H. P.)

Caracterisation d’ensembles de Helson, par 1’existence de certains projecteurs, C. R. Acad. Set. Paris, 262A (1966), 286—288.

Sur les ensembles de Dutkin forts, C. R. Acad. Sci. Paris, 262A (1966), 873—876.

A characterization of restrictions of Fourier-Stieltjes transforms, Pacific J. Math., 23 (1967), 403—418.

A characterization of the linear sets satisfying Herz’s criterion, Pacific J. Math.» 28 (1969), 663—668.

Рудин (Rudin W.)

[lj Some theorems on Fourier coefficients, Proc. Amer. Math., Soc., 10 (1959), 855—859.

Fourier-Stieltjes transforms of measures on independent sets, Bull. Amer. Math. Soc., 66 (1960), 199—202.

A strong converse of the Wiener-Levy theorem, Canad J. Math., 14 (1962), 694—701.

Fourier analysis on groups, New York, Interscience Publishers, Inc., 1962.

Саеки (Saeki S.)

An elementary proof of a result of Henry Helson, Tdhoku Math. J., 20 (1968), 244—247.

Spectral synthesis for the Kronecker sets, J. Math. Soc. Japan, 21 (1969), 549—563.

Салем (Salem R.)

The absolute convergence of trigonometrical series, Duke Math. J., 8 (1941), 269—272.

On a theorem of Zygmund, Duke Math. J., 10 (1943), 23—31.

A singularity of the Fourier series of continuous functions, Duke Math. J., 10 (1943), 711—716.

On a theorem of Bohr and Pal, Bull. Amer. Math. Soc., 50 (1944), 579—580.

Ensembles parfaits et series trigonometriques, Paris, Hermann, 1963.

Essai sur les series trigonometriques, Paris, Hermann, 1940 ou OEuvres Mathematiques, Paris, Hermann, 1967.

Сидон (Sidon S.)

Verallgemeinerung eines Satzes fiber die absolute Konvergenz von Fourierreihen mit Liicken, Math. Ann., 97 (1927), 675—676.

Ober orthogonale Entwicklungen, Acta, Sci. Math. (Szeged), 10 (1943), 206—253.

Стечкин С. Б.

Об абсолютной сходимости ортогональных рядов, ДАН СССР, 26 (71) (1951), 225—232: 102 (1955), 37—40.

Об абсолютной сходимости рядов Фурье, ИАН СССР, сер. ма- тем. 17 (1953), 87—98, 19 (1955), 221—246: 20 (1956), 385—412.

Сунуоти (Sunuochi G. I.)

On the convolution algebra of Beurling, Tohoku Math. J., 19 (1967), 303—310.

Тиман M. Ф.

Об абсолютной сходимости кратных рядов Фурье, ДАН СССР, 137 (1961), 1074—1077.

Частные наилучшие приближения функций, абсолютная сходимость рядов Фурье и ядерность интегральных операторов Гильберта-Шмидта, Матем. сб., 75 (1968), 361—374.

Томич (Tomic М.)

[1] Remarque sur ma note «La convergence absolue des series de Fourier», Arch. Math., 14 (1963), 31—33.

Тригуб P. M.

[1*] Линейные методы суммирования и абсолютная сходимость рядов Фурье, Изв. АН СССР, сер. матем., 32, № 1 (1968), 24—49.

[2*] Связь между суммируемостью и абсолютной сходимостью рядов и преобразований Фурье, ДАН СССР, 217, № 1 (1974), 34—37.

Ульянов П. Л.

Решенные и нерешенные проблемы теории тригонометрических и ортогональных рядов, У МН, 19 (1964), 3—69.

Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье, Матем. сб., 72 (1967), 193—225.

Феррю (Ferru Н.)

Conditions de Lipschitz et convergence absolue des series de Fourier lacunaires, Bull. Sci. Math., 92 (1968), 81—96.

Феферман (Fefferman C.)

] Pointwise convergence of Fourier series, Amer. Math. Soc., 98, No 3 (1973), 551—571.

Халас (Halasz G.)

On a theorem of L. Alpdr concerning Fourier series of powers of certain functions, Studia Sci. Math. Hangar, 2 (1967), 67—72.

Хант (Hunt R. A.)

On the convergence of Fourier series in orthogonal expansions and their continuous analogues, Southern Illinois University Press, 1968, p, 235—256.

Хартман, Кахан и Рыль-Нардзевский (Hartman S., Kahane J.-P., Ryll- Nardzewski C.)

Sur les ensemles d’interpolation, Bull АсаД. Polon. Sci Ser. Sci. Math. Astronom. Phys., 13 (1965), 625—626.

Хартман и Рыль-Нардзевский (Hartman S., Ryll-Nardzewski C.)

Almost periodic extensions of functions, I, II, III, Colloq. Math., 12 (1964), 23—29; 15 (1966), 79—86; 16 (1967), 223—224.

Хедстром (Hedstrom G. W.)

Norms of powers of absolutely convergent Fourier series, Michigan Math. J., 13 (1966), 393—416.

Хелсон (Helson H.)/

On the ideal structure of group algebras, Ark. Mat., 2 (1952), 83—86.

Fourier transforms on perfect sets, Studia Math., 14 (1954), 209— 213.

Хелсон и Кахан (Helson H., Kahane J.-P.)

A Fourier method in diophantine problems, J. Analyse Math.^ 15 (1965), 245—26?.

Хьюитт и Какутани (Hewitt Е., Kakutani S.)

A class of multiplicative linear functionals on the measure algebra of a locally compact Abelian group, Illinois, J. Math., 4 (i960), 553—574.

Хьюитт и Цукерман (Hewitt E., Zuckerman H. S.)

Some theorems on lacunary Fourier series, with extensions to compact groups, Trans Amer. Math. Soc., 93 (1959), 1—19.

Черных H. И.

] О поведении частных сумм тригонометрических рядов Фурье, У МН, 23:6 (1968), 3—50.

Шапиро (Shapiro Н. S.)

Extremal problems for polynomials and power series, M. S. Thesis, Mass. Inst. Techn. Cambridge, Mass., 1951

Шварц (Schwartz L.)

Theorie generate des fonctions moyenne-periodiques, Ann. of Math., 48 (1947), 857—929.

Шнейдер (Schneider R.)

• [1] Some theorems in Fourier analysis on symmetric sets, Pacific J. Math., 31 (1969), 175—196.

On certain homomorphisms of restriction algebras of symmetric^ sets, Israel J. Math., (1968), 223—232.

Шов (Chauve M.)

] Sur les series de Taylor absolument convergentes, C. R. Acad. Sci. Paris, 268A (1969), 1384—1386.

Эдвардс (Edwards R. E.)

] Fouries series. A modern introduction, I, II, New York, Holt, Rinehart and Winston, Inc., 1967.

Ядав (Yadav B. S.)

] Generalizations of certain results on the absolute convergence of Fourier series, Math Japan, 11 (1966), 5—9.

Ядав и Ройал (Yadav В. S., Goyal О. P.)

] On the absolute convergence of Fouries series, J. Maharaja Sayafi- rao Univ. Baroda, 10 (1961), 29—34.

Яно (Yano K.)

] A note on absolute convergence of Fourier series, Proc. Japan., - Acad., 39 (1963), 65—68.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора 5

Введение 7

Глава I. Ряды Фурье непрерывных функций г9

. 1.Обозначения 9

Некоторые тригонометрические полиномы 10

Основные теоремы о сходимости 11

Определение класса U (Т) 11

Определение класса А (Т) 12

Несколько результатов относительнокласса U (Т) , . .13

Первые результаты относительно классаА (Т) 14

Другие классы 15

Глава И. Дескриптивнаятеория . . 16

Необходимые и достаточные условия16

Условие Рисса 17

Условие Стечкина 18

Локальное свойство. Локальная принадлежность классам А (Т), A (R), В (R) 19

Классы Аф> ^^ ^ 20

Теоремы Бернштейна и Зигмунда .*....21

Обращение теоремы Бернштейна , . . . 22

Обращение теоремы Зигмунда . . . ..24

Классы А (Е) и Аф (£) 27

Одно необходимое условие принадлежности классу А .29

Множества уровня функций, принадлежащих классу А 29

Случай неубывающих функций .. .30

Построение неубывающей функции, не принадлежащей классу А 31

Четные и нечетные функции 32

Четные и нечетные функции (продолжение) 33

Глава III. Псевдомеры и классы А (Е) 37

Псевдомеры 37

Пространства М и РМ Носители 39

Пространство PM (R) 40

Цепочки 41

Случайные меры на цепочке. Приложение к множествам

Хелсона и Сидона 43

Меры Рудина — Шапиро 45

Меры Рудина — Шапиро на симметрическом совершенном множестве 46

Построение функции,не принадлежащей классу А (Е)47

Построение функции, никакая суперпозиция которой,

отличная от постоянной, не принадлежит классу А (Е)48

Идемпотенты алгебры А (Е) в случае mes£ = 0 ....51

Идемпотенты алгебры А (Е) в случае, когда mes Е > 052

Алгебры Стоуна — Вейерштрасса . . . 55

Глава IV. Псевдомеры и классы А (Е) (продолжение). Условие Крейна. Множества Хелсона 56

Псевдофункции 56

Пространства А (Е) и Ad(Ey Теорема Крейна57

Достаточное условие для того, чтобы А^Е^А^Е).,59

Пример Кацнельсона и Макги 60

Псевдомеры почти периодического типа 61

Множества Хелсона. Лемма 63

Эквивалентные определения множеств Хелсона....64

Новое построение функции, никакая суперпозиция ко

торой, отличная от постоянной, не принадлежит А (£)67

Необходимые условия, достаточные условия и оставшиеся открытыми проблемы, связанные с множествами Хелсона 68

Глава V. Замкнутые идеалы. Роль величины ||iin/Ирти 70

ТеоремаВинера— Диткина 70

ТеоремаВинера — Леви 72

Теорема Герца .73

Функции, допускающие синтез. Множествасинтеза..,74

Теорема Бёрлинга — Полларда 76

Контрпример. Теорема и леммаМальявена...,,..79

Вероятностный метод 80

Прямой метод. Множества, не являющиеся разрешающими 85

Локализация идеалов Теорема Хелсона .90

Глава VI. Суперпозиции. Роль норм || е1п^ ||л 92

Классы Л (со) и рост норм Це^ц^ 92

Рост норм [|ег’^|)л в случае кусочно линейной функции 93

Порядок роста норм [ einf ||л в случае / е С294

Метод Марцинкевича , , . . ..96

Функции, действующие в классе Л (f) 99

Теорема Кацнельсона 101

Множества аналитичности(характеризация) 102

Множества аналитичности;примеры 103

Теорема Бёрлинга и Хелсона. 105

Автоморфизмы алгебр Л (Z) 107

Глава VII Тонкие множества и методы Бэра 109

Тонкие множества 109

Множества Кронекера и множества Дирихле111

Метод Кауфмана 112

Множества Кронекера, содержащиеся в заданном совершенном множестве 113

Подобные множества 114

Теорема Вика . . . ,’ 116

Свойства множеств Кронекера 118

Свойства множеств Дирихле 120

Переразмещения функций классаЛ 121

Глава VIII. Тензорные алгебры и их применения . . .126

Класс Л на компактной абелевой группе 126

Тензорные алгебры 127

Вкладывание алгебрыЛ (/<)валгебруV (К) 128

Первые приложения 129

Выделение алгебры V(D)валгебреЛ (S) 130'

Класс Л (D) 133

Неразрешающие множества ..134

Множества аналитичности 136-

Индивидуальное символическое исчисление в алгебре Л (D) 137

Индивидуальное символическое исчисление в алгебре Л(Т) . . 141

Глава IX.Изоморфизмалгебр А (Е) 143

Принцип «блюдец» 144

Общий принцип блюдец. 146

Тонкие симметрические множества 147

Множества с неизоморфными алгебрами.149

Изометрические изоморфизмы 151

Тривиальные изометрическиеизоморфизмы 153

Глава X. Лакунарные ряды 155

Множества Сидона., . . 155

Множества типа /0 157

Множества, лакунарные в смысле Адамара .......157

Произведения Рисса 159

Некоторые дополнительные результаты относительно множеств Сидона. ............. .161

Внешняя равномерная плотность.163

Леммы о плотности 163

Интервалы, ассоциированные с множеством Л165

Случай, когда | / | > 2лЛ (Л) 168

Случай, когда | / | < 2лД (Л) 169

Комментарии 170

Глава XI. Абсолютно сходящиеся ряды Тейлора . , 172

Теорема Харди и Литтлвуда 172

Пространство Л+ как банахова алгебра 174

Примарные идеалы алгебры q^* 175

Интерполяционные множества в круге 176

Факторалгебры алгебры Л+* 177

Примеры множеств типа 2Л+ 178

Множества типа ЛА+ 180

Меры Хаусдорфа и множества типа ZA^ 182

Множества типа ZAK . . , . 183

Замечания и дополнения 184

Список литературы . ,. , с 189

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И ПО, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».

Ж -П. КаханАБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫФУРЬЕ

Редакторы Д. Борисова, А. БряндинскаяХудожник Н. А. Фильчагин

Художественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор И. М. КренделеваКорректоры С. А. Денисова, М. М. Колотилина

Сдано в’Набор 12/VIII 1975 г. Подписано к печати 21/VI 1976 г. Бумага тип. №,3 160X 90716 = 6,50 бум. л. 13 печ. л. Уч.-изд. л. 11,06. Изд. № 1/7996. Цена 76 к. Зак. 823.

Издательство «Мир»Москва, 1-й Рижский пер., 2

Набрано и сматрицировано в ордена Трудового Красного Знамени Ленинградском производственно-техническом объединении «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская, 26.

Отпечатано в ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской типографии № 2 имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

ИМЕЕТСЯ В ПРОДАЖЕ

Варга Р. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ АППРОКСИМАЦИИ В ЧИСЛЕННОМ АНАЛИЗЕ, «Мир», 1974, 40 к.

Книга принадлежит перу известного американского специалиста по прикладной математике и посвящена новым направлениям вариационных методов, которые развивались в последние десятилетия. Большая часть изложенного в книге материала до сих пор публиковалась лишь в виде журнальных статей и служебных отчетов.

Книга написана на высоком математическом уровне и будет полезна для лиц, работающих в самых различных областях вычислительной и прикладной математики. Она доступна студентам старших курсов университетов и высших технических учебных заведений, специализирующихся по вычислительной математике.

Заказ на эту книгу направляйте по адресу: 121019. Москва, Г-19, просп. Калинина, 26, п/я № 42. Московский Дом книги, фирменная секция издательства «Мир».

Книга будет выслана наложенным платежом.

ИМЕЕТСЯ В ПРОДАЖЕ

Данфорд Н„ Шварц Дж. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. Т. 3. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. Пер., с англ., «Мир», 1974, цена 3 р. 19 к.

Эта книга — заключительный том хорошо известной фундаментальной монографии по теории операторов, первые два тома которой вышли в русском переводе в Издательстве иностранной литературы в 1962 и в издательстве «Мир» в 1966 г. соответственно. Том посвящен спектральным операторам— важному классу несамосопряженных операторов. В нем систематически излагается теория этих операторов, рассматривается вопрос об их месте в общей теории, изучаются волновые операторы.

Нет сомнения, что этот том, как и предыдущие, заслужит широкое признание математической общественности.

Книга интересна специалистам в различных областях математики, теоретической физики, а также всем, кто хочет обстоятельно изучить современный математический анализ. Она доступна студентам-математикам университетов и пединститутов. .

Заказ на эту книгу направляйте по адресу: 191049, Ленинград, Пушкинская ул., 2, магазин № 5 «Техническая книга».

Книга будет выслана наложенным платежом.

76 к.

*) См. также Кауфман [I], Кёрнер [1], Немыцкий [1*]. — Прим., перев.

а) Объединение двух множеств Хелсона заведомо является множеством Хелсона (Варопулос [6], Дрюри [1]). — Прим, перев.