и

DIE MATHEMATISCHENHILFSMITTEL DESPHYSIKERS

VON

ERWIN MADELUNG

SECHSTE,REV1D1ERTE AUFLAGE

BERLIN, GOTTINGEN, HEIDELBERGSPRINGER-VERLAG

1957

Э. МАДЕЛУНГ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

АППАРАТ ФИЗИКИ

СПРАВОЧНОЕ

РУКОВОДСТВО

ПЕРЕВОД

С 6-ГО НЕМЕЦКОГО ИЗДАНИЯ

М. А. ИГЛИЦКОГО

ПОД РЕДАКЦИЕЙ

В. И. ЛЕВИНА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВОФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 196L

АННОТАЦИЯ

Книга представляет собой обширное справочное пособие по математике и теоретической физике.

Благодаря обилию фактического материала и своеобразной манере изложения книга получила широкую известность во мно- 1'их странах.

Основное содержание книги:

Г. Математика. 1) Числа, функции и операторы. 2) Дифференциальное и интегральное исчисление. 3) Ряды и разложения. 4) Теория функций (в частности, специальные функции). 5) Алгебра. 6) Преобразования. 7) Векторный и тензорный анализ. 8) Специальные системы координат. 9) Теория групп (с теорией представлений). 10) Дифференциальные уравнения (обыкновенные и с частными производными, линейные задачи, теория возмущений). 11) Интегральные уравнения. 12) Вариационное исчисление. 13) Теория вероятностей.

И. Физика. 1) Механика. 2) Электродинамика (с включением оптики). 3) Теория относительности. 4) Квантовая теория (с теорией излучения). 5) Термодинамика. 6) Статистические методы.

Книга представляет единственное в своем роде пособие и будет очень полезна широкому кругу специалистов-физиков, математиков, инженеров, работников научно-исследовательских институтов и лабораторий. Она может быть также использована аспирантами и студентами университетов и втузов.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода *12

Из предисловия автора к четвертому изданию 14

Введение 15

часть первая

МАТЕМАТИКА

Система понятий математики 19

Раздел первый. Числа, функции и операторы '20

Числа20

Натуральные числа (20). 2. Рациональные числа (22). 3. Иррациональные числа (22). 4. Операции (23).5. Функции (23). 6. Пределы (24).

Многомерные числа25

Числовые пространства и многообразия (25). 2. Многомерные алгебры (26). 3. Комплексные числа (26). 4. Кватернионы (17). Гиперкомплексные числа высшего порядка (28). Клиффордовы числа (28).

Числовые последовательности и функции 29

Простые и кратные последовательности (29). 2. Суммы и средние знаиення (31). 3. Разложение векторов и функций (33).

Операторы31

Понятие оператора (34). 2. Единичный оператор Е и дельтафункция (35). 3. Операторы, связанные с данным оператором (38). 4. Алгебра операторов (39). 5. Алгебраическое построение операторов (40). 6. Специальные элементарные линейные операторы (41). 7. Дифференциальные операторы (45). 8. Преобразования (46). 9. Собственные значения и собственные решения (47). 10. Операторные уравнения (48). 11. Представление операторов матрицами (49).12. Многопараметрические операторы (50), 13. Симметризующий оператор (51).

Раздел второй. Дифференциальное и интегральное исчисление . . . 53

Л. Определения и обозначения 53

Правила дифференцирования54

1. Произведения и частные (54). 2. Функции от функций (55).

Обратные функции (55). 4. Неявные функции (56). 5. Параметрическое задание функций (56). 6. Полный дифференциал (56), 7.Введение новых переменных (56).8. Целые рациональные функции r-汪 степени от п переменных (57). 9. Дифференцирование интегралов (58).

Таблица производных и интегралов .. 59

Методы интегрирования61

Общие замечания (61). 2. Рациональные функции； разложение на простейшие дроби (62).

Определенные интегралы 64

Методы вычисления (64). 2. Оценки (66). 3. Приближение интегралов суммами (66). 4. Некоторые формулы (67). 5. Несобственные функции (70). 6. Эллиптические интегралы (71).

Конечные разности74

Раздел третий. Ряды иразложения79

Ряды 79

Общие сведения (79). 2. Признаки сходимости (80). 3. Суммы некоторых рядов (81).

Разложение функций в ряды82

Представление произвольной функции при помощи известных функций (83). 2. Разложение функций в степенные ряды (84). 3. Ортогональные системы функции (88). 4. Разложения по ортогональным системам (91). 5. Специальные ортогональные разложения (94),

Раздел четвертый. Функции98

Общая теория функций 93

Определения и обозначения (98). 2. Комплексные функции (99).

Аналитические функции (100). 4. Криволинейные интегралы (102).

Разложение аналитических функций в степенные ряды (103). 6. Методы вычисления комплексных интегралов (107). 7. Отображение, осуществляемое комплексными функциями (110). 8. Наглядное изображение комплексных функций (111).

Специальные функции . . 114

1. Определение функций (114). 2. Классификация функций (114).

Алгебраические функции (115). 4. Элементарные трансцендентные функции (119). 5. Функции гипергеометрического типа (129). 6. Конфлюэнтные гипергеометрические функции (139). 7. Факториал П (%) и гамма-функция Г (%) (151). 8. Функции Матье (и Хилла) (154). 9. Эллиптические интегралы и функции (155).

Раздел пятый. Алгебра 161

Линейные уравнения 161

Определения и обозначения (161). 2. Раэрешимость и решения (162). 3. Вторая нормальная форма (164). 4. Линейные уравнения с бесконечным числом неизвестных (165).

Матрицы166

Определения, обозначения (166). 2. Операции с конечными матрицами (167). 3. Определитель, ранг, след (169). 4. Специальные матрицы (169). 5. Матрицы со свойствами симметрии (170). 6. Преобразование матриц (172). 7. Бесконечные матрицы (175).

Определители186

Определения (176). 2. Теоремы об определителях (177).

Умножение, дифференцирование (178). 4. Оценка и окаймление определителя (178). 5. Специальные определители (179). 6. Бесконечные определители (180). 7. Практическое вычисление (180).

Комбинаторика

Перестановки (181). 2. Сочетания, размещения (182). 3. Биномиальные коэффициенты (182).

Раздел шестой. Преобразования

Общие преобразования

Общие сведения (184). 2. Геометрическая интерпретация (185).

Инварианты (185).

Линейные преобразования

Линейные пространства (186). 2. Общие линейные преобразования (187). 3. Унитарные и ортогональные преобразования (188). 4. Преобразование квадратичных и эрмитовых форм (192).

Преобразование прикосновения (контактное преобразование) ......

Двумерный случай (193). 2. Многомерный случай (199).

Раздел седьмой. Векторный анализ

А・ Векторы в трехмерном евклидовом пространстве

Определения (201). 2. Векторная алгебра (202). 3. Алгебра

181181184184184184186186193193201201201201ические векторные уравнения (204). 4. Интегральные и дифференциальные выражения (205). 5. Преобразование результатов дифференциальных операций (207). 6. Радиус-вектор г (209). 7. Интегральные теоремы (212). 8. Специальные векторные поля (217). 9. Векторные поля, не всюду непрерывные (218). 10. Совокупности векторов (221). И. Точечная решетка и взаимная решетка (222). 12. Волновые поля (225). 13. Представление Фурье периодических и непериодических полей (230). 14. Комплексные векторы (236). 15. Кватернионы в векторной символике (237). 16. Гиперкомплекспые векторы (238). 17. Дуальные векторы (239). 18. Преобразование к движущейся системе координат (241).19.Область интегрирования, завпсящаяЪт времени (242).

181

181

184

184

184

184

186

186

193

193

201

201

201

201

Тензоры в трехмерном пространстве .242

Линейные функции поля (242). 2. Понятие тензора (243).

3. Специальные тензоры (245). 4. Скаляры, связанные с тензорами (245). 5. Собственные значения и собственные векторы (246). 6. Геометрическая интерпретация тензора (247). 7. Представление тензоров с помощью векторов (247). 8. Тензорные поля (248). 9. Тензоры, зависящие от времени (249). 10. Тензорные поля, получаемые из векторных полей при помощи дифференциальных операций (249). И. Тензоры высшего ранга (251).

Векторы и тензоры в пространствах произвольного числа измерений . . 251

Системы векторов (251). 2. Системы координат (253). 3. Компоненты вектора (254). 4. Компоненты тензора (255). 5. Преобразования (255). 6. Дифференцирование и свертывание (256). 7. Неевклидовы пространства (259), 8. Системы координат, зависящие от времени (движущиеся) (260), 9. Ортогональные координаты (260).

Раздел восьмой. Специальные системы координат . . 264

Двумерные системы264

Декартова система координат %, у (264). 2. Общие (в общем случае неортогональные) системы координат Е, “ (265). 3. Общие ортогональные системы координат и, и, & п (266). 4. Плоские полярные координаты (267). 5. Плоские параболические координаты (268). 6. Плоские эллиптические координаты (268). 7. Плоские биполярные координаты (269).

Трехмерные системы

Декартова система координат х, у, z (270). 2. Общие цилиндрические координаты (271). 3. Вращательно-симметричные координаты и, и, у (273). а) Сферические координаты (274). f) Параболические координаты вращения (275). 丁) Координаты вытянутого эллипсоида вращения (276). о) Координаты сплющенного эллипсоида вращения (278). е) Тороидальные координаты (279). Z) Пространственные биполярные координаты (280). 4. Комические координаты 厂，м, и (281).

5) Общие эллипсоидальные координаты (282).

/^-мерные полярные координаты 285

Раздел девятый. Теория групп2S8

Общие определения и теоремы 288

Группы (288). 2..Подгруппы (289), 3. Преобразование, норм(1ль- ный делитель (290).

Непрерывные группы291

Теория представлений293

Общие сведения относительно представлений i'руппы (293).

Основные теоремы о представлениях (295).

Специальные группы . 「 297

1. Группы вращений и их представления (297). 2. Представления и характеры групп перестановок (298). 3. Группы симметрии (кристаллы) (300).

Раздел десятый. Дифференциальные уравнения ........... 309

Общие сведения о дифференциальных уравнениях ,....；..,. 309

Классификация дифференциальных уравнений (309). 2. Решения дифференциальных уравнений (310). 3. Линейные задачи (313).

Обыкновенные дифференциальные уравнения 313

Дифференциальные уравнения первого порядка (313). 2. Некоторые особые формы дифференциальных уравнений высшего порядка (317). 3. Линейные дифференциальные уравнения (320). 4. Системы дифференциальных уравнений (332). 5. Уравнения Пфаффа (335).

Дифференциальные уравнения с частными производными ,. ... . . . 337

Дифференциальные уравнения с частными производными пер- рого порядка (337). 2. Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, линейные относительно вторых производных (339).

Линейные задачи 349

Общие сведения (349). 2. Однородные задачи второго порядка (351). 3. Краевые задачи для эллиптических уравнений (356). 4. Задачи с начальными условиями для гиперболических уравнений (359).

Теория возмущений 361

Задачи о собственных значениях (352). 2. Метод вариации постоянных (370). 3. Прочие методы (371).

р£1здел одиннадцатый. Интегральные уравнения S76

Интегральные уравнения второго рода375

Общие положения (376). 2. Симметрическое ядро, однородное уравнение (378), 3. Симметрическое ядро, неоднородное уравнение (380). 4. Несимметрическое ядро (382).

Интегральные уравнения первого рода 382

Раздел двенадцатый. Вариационное исчисление 3s4

Приведение к дифференциальным уравнениям384

Вариация без дополнительных условий (384). 2. Вариация с дополнительными условиями (388).

Прямые методы решения389

Метод Ритца (389). 2. Сведение к задаче с бесконечным числом переменных (389). 3. Аппроксимация ломаными линиями (391).

Раздел тринадцатый. Статистика (исчисление вероятностей)392

Основные понятия392

Способ описания (392). 2. Относительные частоты (393). 3. Вероятность (394). 4. Основные элементарные правила (395). 5. Средние значения (396).

Статистика серий 396

Общие правила (396). 2. Отклонения (397). 3. Особые случаи (399). 4. Корреляция (400).

С Теория выравнивания 401

Теория ошибок (401). 2. Выравнивание (402). 3. Выравнивание посредственных наблюдений (403).

часть вторая

ФИЗИКА

Система понятий теоретической физики407

Раздел первый. Механика 411

Основы механики точки411

Постановка задач 413

Механнка одной материальной точки 413

Общие сведения (413). 2. Особые случаи (414). 3. Уравнения движения в произвольных координатах (417). 4. Так называемые принципы механики точки (421).

Система материальных точек423

Общие сведения (423). 2. Формальное сведение к динамике .одной материальной точки (424). 3. Колебания около положений равновесия (425). 4. Механика твердого тела (427).

Механика континуума430

Основные понятия и кинематика (431). 2. Силы (433). 3. Теория упругости (434). 4. Переход к гидродинамике (439). 5. Гидродинамика (440).

Раздел второй. Электродинамика (с включением оптики)443

Общая теория443

Электростатика (444). 2. Магнитостатика (447).3. Электрический ток (448). 4. Электромагнетизм (450). 5. Электродинамика (451).

Силы (453). 7. Энергия (456). 8. Электрические системы единиц (458).

Специальные случаи 460

Электродинамика квазистационарных токов (460). 2. Электродинамика однородной среды (461). 3. Электродинамика периодических полей в однородной среде (464). 4. Механика заряженных материальных точек (467). 5. Основы оптики (471). 6. Волны в анизотропных

средах (кристаллооптика) (472).

Раздел третий. Теория относительности 476

Специальная теория относительности 476

Пространственно-временная система отсчета (476). 2. Четырех- мерпое пространство (477). 3. Специальное преобразование Лоренца векторов и тензоров (478). 4. Кинематика (479). 5. Электродинамика (480). 6. Электродинамика движущихся сред (482). 7. Основные уравнения механики континуума (482). 8. Механика точки (483). 9. Общая теория поля (485). 10. Практическое применение теории относительности (487). 11. Релятивистские инварианты (489).

Общая теория относительности 489

Основные положения (489). 2. Гравитационное поле (490).

Гравитация и материя (490).

Раздел четвертый. Квантовая теория492

Старая теория 492

Механика (492). 2. Электродинамика (494).

Новая теория (волновая механика)495

Нерелятивистская механика точки .. . . 496

Средства описания (496). 2. Уравнение Шредингера (497).

Описание при помощи операторов (501). 4. Постановка задач (503).

Общие формы решений уравнения Шредингера (504). 6. Классификация собственных решений (507). 7. Матричный метод (507). 8. Физическая интерпретация решений (511). 9. Соотношение неопределенностей (514). 10. Подсистемы и взаимодействие (515). И. Принцип Паули (517). 12. Система многих одинаковых частиц (518). 13. Операторы Гамильтона со свойствами симметрии (520).

Релятивистская механика точки522

Основные уравнения (522). 2. Применение уравнений Дирака (526).

Теория излучения 527

Теория излучения на основе принципа соответствия (527).

Квантовая теория излучения (528). а) Поле излучения, свободное от зарядов (529). Ь) Взаимодействие излучения с веществом (529). с) Простые процессы .взаимодействия (532).

Раздел пятый. Термодинамика 536

Основные понятия (536). 2. Процессы и равновесия (537).

Энергия (538). 4. Температура и энтропия (539), 5. Первичные и вторичные интенсивные переменные (540). 6. Коэффициенты и про-

изводные (541). 7. Уравнения состояния и идеальные газы (543). 8. Процессы в гомогенных системах (544). 9. Процессы в замкнутых системах (545). 10. Равновесие в замкнутых системах (546). 11. Равновесие в незамкнутых системах (547). 12. Теория фаз (548). 13. Третье начало (549). 14. Смеси идеальных газов (549). 15. Реальные газы (551). 16. Обобщения (552). 17. Излучение в полости (552). 18. Релятивистская термодинамика (553).

Раздел шестой. Статистические методы554

Дискретные состояния554

Общие сведения (554). 2. Термодинамическое равновесие (556).

Статистическая механика558

Классическая механика (558). 2. Разбиение фазового пространства на ячейки (560). 3. Кинетическая модель идеального газа (561).

Статистики Ферми и Бозе566

Приложение568

596596Специальные интегралы Фурье (568). 2. Разложение в степенные ряды (569). 3. Преобразование Фурье (571). 4. Гармонический осциллятор в канонических переменных (573). 5. Движение планет в канонических переменных (573). 6. Вынужденные колебания (575). 7. Пример к теории групп (576). 8. Пример к методу Ритца (579). 9. Движение Кеплера (581). 10. Магнитное кольцо (584). 11. Строение атома (584). 12. Электронный газ (586) 13. Пример к расщеплению собственных значений (587). 14. Броуновское движение (589). 15. Флуктуации макроскопических величин (590). 16. Биномиальные коэффициенты (591). 17. Коэффициенты рядов (593). 18. Единицы количества электричества (594).19. Единицы энергии (594). 20. Единицы длины (595). 21. Универсальные постоянные (595).

596

596

Литература

Предметный указатель605

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Предлагаемая вниманию читателя книга немецкого физика Э. Маделунга занимает особое место в физико-математической справочной литературе. За рубежом она пользуется большой популярностью в кругах специалистов и с момента выхода в свет ее первого издания в 1922 г. выдержала пять переизданий, причем при подготовке третьего и четвертого изданий автор в значительной степени переработал и дополнил ее. Особенности этой книги заключаются, во- первых, в отборе и систематизации материала и, во-вторых, в характере его изложения. Как пишет автор в предисловии к четвертому изданию, книга эта, не претендуя на то, чтобы быть учебным пособием, представляет собой «нечто большее, чем простой справочник или сборник формул». Отбор и систематизация материала в этой книге, в отличие от справочных изданий, рассчитанных на квалифицированного научного работника в области физико-математических наук, преследует цель дать более или менее полную картину математического аппарата теоретической физики, начиная с таких основных математических понятий, как понятия числа, функции и оператора, и кончая разделами математики, которые нашли применение в теоретической физике лишь в недавнее время. Кроме того, около одной трети книги посвящено обзору главнейших разделов теоретической физики, в котором автор, излагая в сжатом виде содержание соответствующих дисциплин, ставит перед собой цель раскрыть взаимопроникновение математических и физических идей, составляющих основу этих дисциплин. В этой связи представляет также интерес введение в физическую часть справочника, в котором автор делает попытку классификации физических теорий в соответствии с их структурой и характером применяемого ими математического аппарата.

Что касается самого изложения материала книги, то оно, в отличие от большинства справочных изданий такого рода, до некоторой степени несет на себе отпечаток личных взглядов автора, выкристаллизовавшихся, как автор сообщает в предисловии к первому изданию, в процессе его многолетней исследовательской и педагогической работы. ЗтЬ обстоятельство, несомненно, обусловило ряд важных достоинств книги, но в то же время привело к известной ее односторонности. Необычность характера изложения проявляется также в ег о

максимальной «физичности» в математической части и известной «ма- тематичности» в физической части. Следует, однако, отметить, что автор иногда слишком далеко отходит от общепринятых формулировок и оперирует представлениями, не укладывающимися в рамки математики. Хотя в книгах, предназначенных для физиков, допустимм отклонения от современного стандарта математической строгости и привычной для математика и физика-теоретика номенклатуры понятий, все же в отдельных случаях автор пошел в этом направлении дальше, чем это было необходимо, В частности, укажем на вводимое автором без ясного определения понятие «плотной последовательности» (стр. 22), которое, на наш взгляд, не служит никакой полезной цели.

■ В книге такого объема и такой калейдосконичности не могут нс встретиться и фактические погрешности. Те из них, которые были обнаружены при переводе, были исправлены, что иногда (но не 2c всех случаях) оговаривалось *в подстрочных примечаниях. Были также выявлены некоторые другие погрешности, исправление которых беч существенного пересмотра текста оказалось невозможным. Такие места переводились без изменений, но сопровождались необходимыми пояснениями в подстрочных примечаниях. Кроме того, при переводе были опущены некоторые места, не имеющие непосредственного отношения к излагаемому справочному материалу.

Что касается библиографии, то полностью сохранен весь список литературы немецкого издания; он дополнен еще указаниями на некоторые распространенные у нас монографии, учебные и справочные руководства.

Мы здесь остановились на некоторых недостатках книги Э. Маделунга подробнее, чем на многих ее достоинствах, которые легко обнаруживаются при пользовании ею. Эта книга, без сомнения, явится ценным вкладом в нашу справочную литературу и, как мы надеемся, окажет помощь широкому кругу читателей.

В. Левин

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ

Третье издание этой книги вышло в свет в 1935 г. Уже в 1942 г. я получил предложение подготовить новое издание книги, к этому времени полностью разошедшейся. Необходимая для этого работа растянулась почти на шесть лет. Принявшись за переработку книги, я вскоре понял, что было бы нецелесообразно ограничиться лишь небольшими улучшениями. Необходимость быть кратким и вместе с тем ясным заставила меня всюду стремиться к большей систематичности изложения.

Книга в новом издании сохранила свой прежний характер, хотя мои личные точки зрения получили в ней более полное выражение, чем в предыдущих изданиях. Некоторое увеличение объема книги объясняется многочисленными дополнениями, которые, как я полагал, могут повысить ее ценность. В ряде мест оказались возможными и сокращения. В части, посвященной физике, я приложил дальнейшие усилия к тому, чтобы с достаточной четкостью выявить связь между математическими и физическими идеями.

Я знаю, что моя книга во многих ее частях не встретит одобрения математиков. Они порицают мое непринужденное обращение с тем, что они рассматривают как свое священное достояние. Однако многое из того, что им представляется важным и интересным, для нас, физиков, не имеет большого значения. Мы не можем оснащать машину, которая должна нам служить, чрезмерно большим количеством предохранительных устройств и окружать ее предостерегающими надписями, не причиняя себе тем самым чувствительных неудобств.

Я хотел бы еще раз указать на то, что книга, не будучи учебником в собственном смысле слова, мыслилась все же как нечто большее, чем простой справочник или сборник формул. В ней по разным поводам высказан ряд мыслей, в настоящее время не являющихся еще общим достоянием, которые руководили мной при написании этой книги.

Эрвин МаделунгЭрвин МаделунгФранкфурт-на-Майне, декабрь 1949 г.

Эрвин Маделунг

Эрвин Маделунг

ВВЕДЕНИЕ

Экспериментальная и математическая физика имеют общий предмет изучения и различаются только применяемыми ими методами исследования. Обе эти ветви науки образуют вместе одно целое, единство которого обеспечивается их взаимодействием. Физик-экспериментатор, лишенный помощи теоретика, бессилен в такой же степени, как теоретик без поддержки физика-экспериментатора.

Метод математической физики состоит в использовании фактов, устанавливаемых математикой. Этот метод, постоянно проверяемый экспериментальным путем, привел к огромным успехам, что дает физикам твердую уверенность в его применимости. Однако физики рассматривают этот метод лишь как инструмент и необходимый вспомогательный аппарат. Переоценивать математический метод и математический формализм было бы столь же неверно, как и пренебрегать ими.

Первая часть настоящей книги посвящена изложению математического материала. Ввиду того, что способ применения этого материала постоянно изменяется, в некоторых случаях нельзя обойтись без известного его препарирования, которое может потребовать от читателя самостоятельных усилий.

Вторая часть содержит основные физические законы и некоторые примыкающие к ним положения в объеме, достаточном для того, чтобы стали ясными общие контуры всей теории. На первый план при этом всегда выдвигаются идеи, связанные с аксиоматикой, а также методические вопросы, относящиеся к применению математического аппарата.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

МАТЕМАТИКА

СИСТЕМА ПОНЯТИЙ МАТЕМАТИКИ

Важными понятиями математики являются точка и число. Геомет^ рая (в широком смысле) имеет дело с точками в конечных или бесконечных точечных многообразиях. Анализ занимается числами в 乜и* еловых многообразиях. Этим математическим образованиям, состоящим из точек или из чисел, противостоят как самостоятельные объекты математические операции. Простейшей операцией геометрии является движение. Оно переводит каждую точку в некоторую другую. Точно так же множество движений переводит данное точечное многообразие в другие {отображение), В анализе аналогичной операцией служит установление соответствия между числами или между числовыми многообразиями (функция или преобразование). Это соответствие [изоморфизм) между геометрией и анализом позволяет геометрии облекаться в формальные одежды анализа и наоборот, а также позволяет нам рассматривать геометрию и анализ как различные воплощения одной и той же абстрактной сущности. Отсюда явствует, что геометрический и аналитический формализм с точки зрения применений равноценны.

Математика создала свое собственное символическое письмо. Как величины, так и операции обозначаются чаще всего отдельными буквами; для обозначения операций часто употребляются также специальные знаки, сокращения слов и т. п. Не существует никаких твердых правил, с помощью которых можно было бы в символической записи отличать друг от друга величины и операции. Известно, что одна и та же символическая запись часто может быть истолкована различным образом, и подлинный смысл ее усматривается только из сопровождающего текста ^.

】)В последнее время тенденция к употреблению символической стенографии, понятной лишь небольшому кругу лиц, настолько усилилась, что это начинает вызывать беспокойство. Часто приходится отгадывать настоящие загадки, так как забывают указать, где можно найти объяснение применяемого 《кода》.

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ

ЧИСЛА, ФУНКЦИИ И ОПЕРАТОРЫ

Этот раздел содержит в основном определения понятий и объяснения обозначений. В нем дается общий обзор ряда разделов математики, причем многие детали оставлены без подробного рассмотрения. При этом мы стремимся, в частности, к ясному выявлению далеко идущих связей и аналогий, господствующих в линейной математике, независимо от того, идет речь о конечных дискретных или о бесконечных плотных многообразиях.

Многие основополагающие рассмотрения, необходимые для выяснения строгого математического смысла столь важных понятий, как сходимость, бесконечность, континуальность, непрерывность, предельный переход и т. д., здесь намечены лишь вскользь. В этом отношении изложение ведется совершенно некритически; все специальные вопросы, методы и теоремы будут рассмотрены в дальнейших разделах.

А. ЧИСЛА

Натуральные числа

Основываясь на наглядных представлениях, мы образуем следующие понятия, не определяемые здесь более точно:

понятие множества элементов (индивидуальностей), которое может быть разложено на подмножества и снова составлено из них;

понятие эквивалентности двух множеств одинаковой мощности в случае, если их элементы могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие}

понятие индивидуального обозначения для их элементов при помощи установления взаимно однозначного соответствия между данным множеством и эквивалентным множеством различных символов;

понятие сравнения мощностей двух множеств; мощность одного из множеств может быть больше мощности другого, равна ей или меньше ее;

понятие упорядочения элементов множества в некоторую последовательность;

понятие упорядочения одной последовательности в соответствии с другой посредством установления между их элементами взаимно однозначного соответствия.

С помощью абстракции, при которой понятие мощности изолируется от всех остальных свойств множества, мы приходим к понятию натурального числа. Совокупность всех возможных чисел такого рода может быть упорядочена в соответствии с их величиной в неограниченно продолжаемую последовательность. Обозначения для ее элементов мы получаем, устанавливая взаимно однозначное соответствие между ними и членами какой-либо последовательности, состоящей из символов, чисел и цифр.

Эти числа, или их символы, служат:

в качестве кардинальных чисел для обозначения мощности множества, т. е. числа его элементов;

в качестве порядковых чисел для установления порядка элементов в множестве при помощи их нумерации, при которой каждому элементу ставится в соответствие определенный индекс.

Составлению множества из его подмножеств соответствует процесс образования суммы чисел при их сложении.

Наглядные представления позволяют установить для сложения правила, символически формулируемые следующим образом:

a-\-b = b-\-a коммутативный закон сложения);

(а-]-Ь)-\- с = а-\-(Ь -\- с) (ассоциативный закон сложения).

При помощи многократного сложения равных чисел мы приходим к понятию умножения числа а на числовой множитель Ь, что дает произведение Ьа. Здесь имеют место правила:

ab = Ьа (коммутативный закон умножения);(ab) с— a (be) (ассоциативный закон умножения).

Сложение и умножение связаны посредством соотношений a(b-\-t)='ab-\-ac\“

(b-\-c}a = ba^ca] ^истриоутивные законы).

Из этих зависимостей вытекает способ, позволяющий получить обозначение для любого； числа с помощью небольшого множества соответственно выбираемых основных . чисел, из которых определенным образом составляется данное число (система счисления}. Производить вычисления с числами значит заменять одни способы задания чисел другими. Для этой цели применяются (наряду с вычислительными правилами, сформулированными выше, и дальнейшими, вытекающими из них) таблицы^ в простейших случаях заучиваемые наизусть, а также соответствующие вычислительные приборы. С помощью таких вычислений заключают о равенстве чисел, заданных различными способами (например, 3• 7• 8 = 8十6・ 10十 100 = 168).

Рациональные числа

Наряду с конструктивным определением числа с как суммы двух данных чисел а и Ь, а-\-Ь = с, возможно также дескриптивное его определение при помощи требования c-\-d = ey где £ н е являются данными; при этом с символически записывается в виде с = е — d. Если числа end связываются таким образом, то говорят, что выполняется вычитание, результатом которого является разность с. Чтобы поставленному требованию можно было всегда удовлетворить, необходимо, присоединив нуль и отрицательные числа, расширить совокупность натуральных чисел до совокупности всех целых чисел.

Аналогичным образом при помощи требования cd = e приходят к делению с=-^, результатом которого является частное. Это дает повод расширить числовую систему, присоединяя к ней дроби. В результате обоих расширений мы приходим к системе рациональных 心 сел. Деление на нуль при этом исключается, как не имеющее смысла.

Для того чтобы в этой числовой системе все приведенные выше действия были определены однозначным и непротиворечивым образом, достаточно потребовать, чтобы для рациональных чисел сохраняли силу те же общие правила, которые были очевидными для действий с натуральными числами. Тогда результатом выполнения действия всегда будет снова некоторое рациональное число. Рациональные числа образуют числовое поле.

При этом оказывается возможным любое множество рациональных чисел однозначно упорядочить в соответствии с их величиной.

Чтобы получить обозначение для любого рационального числа, соответствующее его аддитивному построению, необходимо ввести предварительно некоторую расширенную систему основных рациональных чисел.

Совокупность всех рациональных чисел образует плотную последовательность х). Это означает, что каждый интервал, определяемый двумя различными рациональными числами, разность которых может быть сколь угодно мала, содержит бесконечное множество рациональных чисел.

Иррациональные числа

Вводя дальнейшие условия, можно определить еще одно бесконечное числовое множество. Принадлежащие ему числа, если потребовать, чтобы для них выполнялись общие правила действий, располагаются между рациональными, не будучи представимы в виде таковых. Эти числа называются иррациопальными. С их введением множество рациональных чисел расширяется до множества дейст-

Более точно 《плотное в себе упорядоченное множество».

вительных чисел, о которых говорят, что они образуют непрерывную последовательность, или линейный континуум.

различие между иррациональными и рациональными числами, точное определение иррациональных чисел, их распределение по различным областям рациональности и выделение из множества иррациональных чисел в некотором смысле наиболее иррациональных транс^ цендентных чисел, так же как и возможность их построения при помощи формального, практически невыполнимого процесса,——все это вопросы, чрезвычайно интересные с чисто математической точки зрения; они не имеют, однако, существенного значения для применений в области. физики.

Операции

Сложение и умножение являются простейшими операциями, которые каждому числу а при условии задания некоторого слагаемого (соответственно множителя) ставят в соответствие определенное число Ь. Вычитание и деление являются соответствующими им обратными операциями. которые, используя то же слагаемое (соответственно тот же множитель), однозначно возвращают от b к а.

Комбинируя эти четыре вида элементарных операций, мы приходим к понятию общего линейного соотношения между b и а. Такое соотношение может быть представлено в форме

с коэффициентами а, р, у, S. Обратная операция такова:

P — ср

Дальнейшие соотношения получают, вводя операцию возведения 8 степень: Ь = ап. Она определяется для произвольных рациональных показателей п посредством равенств:

Обратной операцией для нее служит извлечение корня: а = 力b = bn .

В области действительных чисел операция возведения в степень является однозначно выполнимой только для целых положительных показателей. Вообще говоря, она уводит в область иррациональных или в область комплексных чисел (см. стр. 26).

Функции

■ Если а в соответствии 。一*- b может обозначать различные или же произвольные числа, то а называется переменной^ поскольку зна・ чення b определяются предварительным выбором значений а, то Ь называется переменной, зависящей от а. Говорят также, что b находится

в функциональной зависимости от а, или же является функцией от а. Для обозначения такой зависимости обычно употребляется запись 力=/(&) или, если желают подчеркнуть, что а н 力 являются переменными,—запись У =f (х), или также у =у (х).

Задание конкретной функции одной или нескольких переменных называется явным, если указан определенный символически записываемый способ вычисления ее значений (т. е. формула). Прочие способы задания функции называются неявными. Явное задание может содержать требование выполнения ограниченного (конечного) или неограниченного (бесконечного) количества операций. Во втором случае все необходимые операции не могут быть в действительности выполнены, и задание только тогда имеет смысл, когда можно сколь угодно близко подойти к цели, выполняя лишь конечное число операций. Соответствующий процесс при этом называется сходящимся} вычисляемая функция называется его пределом.

Обратная по отношению к /(х) функция /-1 возвращает от /(х) снова к %, иными словами, из J/ =/(х) следует f~ (j/) = x. Если допустить для х также .и комплексные значения, то последнее соответствие будет однозначным только для линейных функций, так как требование у=/(%) при заданном у может удовлетворяться, вообще говоря, более чем одним значением х. /~J в этом случае называется многозначной функцией.

Пределы

Число J) называют бесконечно большим и обозначают символом оо, если желают выразить, что оно превосходит любое другое число. Этим обозначением оно не фиксируется в качестве объекта в множестве чисел, и применять к символу оо установленные выше вычислительные правила недопустимо.

Такое число возникает как предел функции /(%) при некоторых значениях х0 переменной % (особые точки, или сингулярности). Для обозначения его употребляется запись lim /(х) = оо или, более

кратко, /(х0) = оо. Для обратной функции в этом случае пишут lim/~i(%) = %g или /~1(оо) = %0. Это означает следующее: /~丨(尤) приближается сколь угодно близко к пределу х0, если х неограниченно возрастает.

Число называют бесконечно малым, если желают выразить, что оно имеет абсолютную величину меньшую, чем любое произвольно заданное (положительное) число. Вводить специальный символ для обо-

значения этого понятия излишне, так как он заменяется записями вида lim — = 0 или lim —= оо.

а//（X + £）— f（X） 戶 / vA、

Иногда употребляется символ е （ например, =/ （工）丿.

МНОГОМЕРНЫЕ ЧИСЛА

Числовые пространства и многообразия

Совокупность действительных чисел образует числовой контичгум, или одномерное числовое пространство, в котором каждое число служит координатой, определяющей положение некоторой точки.

Упорядоченную совокупность л любых действительных чисел ^（. （/ = 1, 2, ..., л） называют п-мерным числом. Эти числа образуют л-мерное числовое пространство. Каждое из чисел этого пространства представляет некоторую точку, положение которой определяется п координатами.

Если мы заставим точку перемещаться в пространстве, то она будет описывать некоторую линию, или кривую. Система значений координат точки образует одномерное многообразие^ т. е. некоторое новое одномерное пространство, вложенное в л-мерное числовое пространство. Точки полученной кривой могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие с точками одномерного числового пространства. Обычные действительные числа могут поэтому служить для обозначения точек кривой. В этом случае говорят, что они являются значениями параметра кривой ^х, или координатами на кривой.

Если кривую подвергнуть непрерывному перемещению в пространстве, то при этом возникает семейство кривых, образующее поверхность, или двумерное многообразие. Вводя для обозначения кривой параметр семейства q2t мьг получаем возможность обозначить точку, лежащую на поверхности, при помощи двух чисел q* и 夕名,и тем самым получаем координаты на поверхности.

Аналогичным образом мы приходим к понятию A-мерных многообразий, так называемых подпрост ранете^ вложенных в числовое пространство размерности n^k. Каждая точка такого многообразия может быть обозначена как при помощи п координат zt в числовом пространстве, так и при помощи А координат q（ в самом многообразии. Каждое z『может быть выражено через qt. Между zz имеется п ——А соотношений.

Одно и то же многообразие может быть определено различным образом, так же как и координаты в том числовом пространстве, коТорое его содержит. При разных способах введения координат одна н та же точка многообразия может получить различные координаты

в нем. Такая замена одних координат другими называется преобразованием координат, которое переводит данное многообразие в себя.

В многообразии можно построить геометрию, если ввести в нем метрику (Риман), определив, что следует понимать под расстоянием ds между двумя точками, соответствующие координаты 夕才 которых отличаются на бесконечно малые величины dqv Метрику принято определять при помощи формулы вида ds^ =戸 g^.九d%dg走(см. стр. 253), где gik являются функциями от qt. Для метрики в числовом пространстве обычным является следующее определение: ds2 =£ dzj (декартова метрика). .

Обобщая идею представления поверхности как произведения двух длин, мы приходим к представлению л-мерного пространства в виде произведения содержащихся в нем подпространств, не имеющих общих q「

Многомерные алгебры

С многомерными числами можно производить вычисления так же, как с действительными (одномерными) числами, если предварительно определить, что следует понимать под суммой и произведением двух многомерных чисел. При этом в каждом случае возникает специальная алгебра с правилами оперирования, более или менее напоминающими правила обычной алгебры. Полного совпадения можно достичь только в двумерном случае для комплексных чисел при помощи подходящим образом выбранных определений.

Комплексные числа

Комплексными числами называются двумерные числа (пары чисел) 4 = (〃“ 〃乞),8 =(力с 力2)н т- “•，Для которых по определению полагаем:

А-^-В—С означает 〃］十久=力；a2-\-bz = c2J

АВ~С означает а1Ь1 — а2Ь2 = с^ 〃1%十〃2久=与・

Для умножения на действительное число а полагаем:

аЛ =佃&, е〃2)・

Если ввести специальные пары Е=(1, 0) и /=(0, 1), то получим: а также

ЕЕ= Е, ЕА = АЕ = Д, 〃 = — Е, IA = Д/.

Ен/ ведут себя, таким образом, как обыкновенные числа, а именно, £ — как число 1, / — как число Z, квадрат которого равен ——1. Поэтому можно, принимая во внимание правило /2 = —1 и записывая

£= 1, I=i (что дает А = а^-\- ia^ B = b、+ ibz и т. д.), производить вычисления подобно тому, как это делают с обычными числами.

Алгебра комплексных чисел во всех пунктах сходна с алгеброй действительных чисел и может считаться ее естественным обобщением. Двумерное числовое пространство а】，а± называется гауссовой, числом вой плоскостью. В этой плоскости каждое комплексное число изображается некоторой точкой, а】 называется действительной частью числа Л: a】 = Re/4, а&——мнимой, частью: at = lmA. Число ]/ а： + а； = I Л I называется абсолютной величиной, или модулем 4. Число /*=〃]——/〃2 называется числом, комплексно-сопряженным *) с 4 Справедливы равенства:

。尸胃，「『,I川=了京

Кватернионы

Кватернионами называются четырехмерные числа

4 = (%,&, %, а) 8=(",么，％,刀)и т. д., для которых мы определяем:

/4十8 =。 означает а^ -|- bx =fj； a, ^-bz=ci и т. д.

Некоммутативное умножение определяется следующим образом. Мы вводим специальные кватернионы

£=3 0,0,0); Ж = (0, 1,0,0); ^=(0, 0, 1,0); Е = (0, 0, 0, 1) и полагаем:

U = M』N* = — F = — E;

LE = EL = L; ME = ЕМ = М; NE = EN = N;

LM = N= — ML\ MN=L = — NM; NL = M = — LN*

Тогда A — a^L-\- atM -|- atN-\- a^E и

48 = (a*4 + a&乙 + &% — afi^ L + (&“ + 〃《么 + afix — аД) М ++(a.% + a也 + a也一"抄 J N 4-

+ (—a自一a也一afit +a4乙)E(长 84).

Кватернион

力 一 [ — a、L — a±Af — a^N a4fa； + Q： + W + a：

существует лишь в том случае, когда знаменатель не равен нулю.

Четыре числа а】，％, %, а& (которые могут быть также комплекс- ннмн) называются компонентами, а】,а±, а* образуют ^векторную»9

')Или сопряженным комплексным.

卄4 — скалярную часть. В алгебре кватернионов содержится трехмерная векторная алгебра (см. стр. 237 — 238).

Если кватерниону Л поставить в соответствие матрицу (см. стр. 166)

(4)=(4士忆 一4 十勺，

то получим (若)十(8)=(若十8)； (Л) (fi) = (AB} в смысле алгебры матриц. Тем самым обе алгебры изоморфны (см. стр. 289). Относительно других представлений см. стр. 293.

Гиперкомплексные числа высшего порядка

По аналогии с изложенным выше строится алгебра 2л-мерных чисел

A = ^afii

со специальными Сп удовлетворяющими следующим условиям.

Пусть даны:

один элемент f такой, что £CZ = Czf = Cz (для всех /);

п элементов Са, антикоммутирующих друг с другом, т. е. таких, ЧТО Са°з =——CgCa При "方口, И ОблЭДаЮЩИХ СВОЙСТВОМ Сд =——Е (или, что то же, =£\ если каждое С( заменить на /CJ;

?(〃 J ° элементов % 三 CQ = — С^, и вообще

дальнейшие комплексы по (?) элементов: С^ ^ Cfi^ и т. д.

Это дает в совокупности 2П различных элементов С厂 Приведенными выше условиями полностью определена некоторая алгебра гн- перкомплексных чисел такого вида. Значения а? можно брать и комплексными.

С помощью этого метода получаем:

При 72 二

二 1 комплексные числа,

при 几二

二 2 кватернионы,

при п-

二 3 бикватернионы,

при Л -

=4 клиффордовы числаJ).

Клиффордовы числа

Четыре элемента Са в физике обычно обозначаются через уя и нормируются с помощью условия 丫^ =十1・

Шестнадцать элементов & образуют 60 коммутирующих и 60 антикоммутирующих пар. Имеется 6 «пентад», состоящих каждая из

Они называются также числами Клиффорда — Липшица (см., например, Э. К а р т а н, Теория спиноров. М., 1947). (Прим, ред.)

пяти попарно антикоммутирующих элементов, и 20 «триад», содержащих по три таких элемента.

Каждый элемент принадлежит двум пентадам и имеет 8 антикоммутирующих с ним элементов. На рис. 1 ими являются те, которые вместе с данным элементом принадлежат одному и тому же пятиуго.чьнику, т. е. одной и той же пентаде.

Клиффордовы числа допускают

представление

с помощью матриц

4-го порядка, например:

/0 00 — А

/0 0 0

0 0 一0 .

匕一0 i 00，

7尸 о 1 0

0，

\/ 000/

\— 1 0 0

0/

/00 —£ 0\

/1 00

/о 0 0 £]

(010

L= i 00 0 卜

% —丨 0 0—1

0 И т. д.,

\0 —/0 0/

\、0 00

—1/

а также могут рассматриваться как операторы (см. стр. 43).

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФУНКЦИИ

1. Простые и кратные последовательности

Если л числам от т до т-\~ п—1 поставить в соответствие 〃 предметов, то получится последовательность, для элементов которой соответствующие им числа служат индексами.

Если предметы, о которых идет речь, являются действительными НЛН комплексными числами:。加,ат+и 。加+箝...,Om+„_p ТО для записи последовательности пользуются символом {а*}, считая, что

индекс k принимает значения 加，加十 1,加十〃——1. Эта последовательность, в зависимости от того, в какой связи она рассматривается, называется:

однострочной матрицей с элементами aki

функцией целочисленного параметра 左, определенной на множестве чисел от т ло т-]-п——1, значениями которой служат числа aki

n-мерным вектором а с компонентами ак.

Если дан некоторый закон построения последовательности, позволяющий продолжить ее сколь угодно далеко, то возникает бесконечная последовательность. Она называется дискретной или плотной^ смотря по тому, является ли расстояние (разность) между ее соседними элементами конечным или бесконечно малым. Множество ее элементов- является счетным. Это означает, что оно может быть приведено во взаимно однозначное соответствие с дискретной последовательностью, состоящей из всех целых чисел ^加，т. е. что его элементы могут быть перенумерованы с помощью этих чисел.

Элементы плотной последовательности удобнее поставить во взаимно однозначное соответствие с элементами плотной последовательности рациональных чисел, заключенных между границами а и ^. Индекс-параметр превращается тогда в переменную, пробегающую эту область, и последовательность, будучи плотной, представляет собой непрерывную функцию этой переменной.

Функция в известном смысле может рассматриваться как предельный случай (при п—> оо) однострочной матрицы или как вектор в бесконечномерном «функциональном пространстве» (гильбертовом пространстве); отсюда проистекают далеко идущие аналогии между матрицами, функциями и векторами.

Если мы образуем последовательность, элементы которой сами являются последовательностями, то получим так называемую двойную последовательность, элементы которой обозначаются с помощью двух индексов: {^ifc}-

Если эти элементы ——числа, то такой объект называется:

двумерной матрицей с элементами aik1 или

функцией двух параметров / и ^ (заданной на числовой решетке [/,左]),значениями которой служат в泳，или

тензором второго ранга】)с компонентами 。泳.

Переход к бесконечным последовательностям дает много различных случаев. Особенно важными являются случай бесконечной дискретной последовательности функций одной переменной и случай плотной последовательности таких функций, приводящий к функции двух переменных. Они могут рассматриваться как предельные случаи матриц.

Легко можно построить также образы высшего порядка, например последовательности двумерных матриц и их пределы.

Наряду с термином «ранг》в литературе можно встретить также термины «валентность», «порядок», «степень»/《ступень》. (Прим, ред.)

Суммы и средние значения

Если дана какая-либо последовательность ｛。左｝, то можно образовать последовательность ее частичных, сумм

m + 1—г]

2 a/ = ｛sj

仲｝=｛%仲｝=｛%k=m 丿

仲｝=｛%

仲｝=｛%

и последовательность ее частичных средних значений.

Если числа ак ограничены, то ограниченными будут и средние значения, даже если выполнить предельный переход при /—► оо. Они образуют сходящуюся последовательность.

Если последовательность, состоящая из чисел 。左,является плотной и представляет собой тем самым некоторую функцию /(х) переменной х, изменяющейся между границами а и р, то вместо того, чтобы писать

(% — a) s,(% — a) s,% 一 a_;_s% 一 a_;_s

(% — a) s,

(% — a) s,

% 一 a

_;_s

% 一 a

_;_s

пишут

(х —а)/(х)=，/(x)dx = F(x),

где dx = % [： Эта бесконечная сумма называется интегралом функции /(х), распространенным на область (промежуток) от а до х. Сам интеграл также представляет собой функцию 尸(％) той же переменной 1).

Таким образом, имеем:

интеграл равен среднему значению, умноженному на меру области, в то время как

сумма равна среднему значению, умноженному на число слагаемых.

Обратно, из 尸(％) можно однозначно получить /(х). /(х) называется производной от функции Л(х); обозначение:

/(x) = F W = ^ .

Эти операции, называемые интегрированием и дифференцировав наем, могут выполняться повторно и приводят к образам высшего порядка, например,

言尸(x) = F"(x)=爲尸(х)(см. стр. 53).

■) Более удобной является запись 尸(х) = § f (s) ds, в которой используется специальное обозначение для переменной интегрирования с целью подчеркнуть, что интеграл является функцией только своего верхнего предела *・

Суммой двух последовательностей {а^} и {^}, упорядоченных с помощью одного и того же параметра 左，называют последовательность {ак -]- Ьк}. Скалярным произведением этих последовательностей называется число (билинейная форма)

т + /—1(生勿£ ak "斤k=m

Последняя сумма для бесконечных последовательностей, вообще говоря, расходится. Ее заменяют поэтому пределом частичного среднего значения последовательности {а^Ь左}:

]ш —f- Z—1

(a, b) = limr g ak bk {усредненное скалярное произведение).

Для функций скалярное произведение обычно определяют при помощи формулы

(〃，力)= ,а (х) b (х) dx (скалярное произведение функций а (х) и b (х)).

Две последовательности (матрицы, функции или векторы) назнва- ются взаимно ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Нормой последовательности называется число

N=(a, а)；

в случае, когда ak ——комплексные числа, нормой называют число N=(a*,a). Если N=l, то говорят, что последовательность нормирована на единицу.

Следует обратить внимание на то, что скалярное произведение и норма для конечных, бесконечных и плотных последовательностей определяются различным образом.

Во всех этих случаях справедливо неравенство Шварца

(а, 6『V (а, а) 0,6),

соответственно для комплексных последовательностей:

|(а*, Ь)「0(а*, а)(产,Ь).

(0*,»一(产 0)[2(0*,»一(产 0)[2Ввиду того, что

(0*,»一(产 0)[2

(0*,»一(产 0)[2

I (а*, 6) 12 ={I (а*, 6) 12 ={(а*, Ь) 4- 3*.叭2

I (а*, 6) 12 ={

I (а*, 6) 12 ={

произведение (а*, 〃)俨，b) будет не меньше каждого из положительных действительных слагаемых, стоящих в правой части *).

что, однако, не соответствует существу дела.что, однако, не соответствует существу дела.(a*, b) называется также «эрмитовым» произведением. Часто его пишут без звездочки. В этом случае наше обозначение (ауЬ) надо заменить на (а*, %)，

что, однако, не соответствует существу дела.

что, однако, не соответствует существу дела.

Разложение векторов и функций

Аналогия между векторами и функциями отчетливо выявляется при следующем сопоставлении (относительно векторной символики см. стр. 201)..

Вектор а в //-мерном пространстве | Функция /(х) в области а— допускает представление в виде линейной комбинации . п базисных векторов| оо базисных функций 屮,(х),

иначе говоря, допускает разложение вида

а= £ ai ezа= £ ai ezсе

а= £ ai ez

а= £ ai ez

/(х)= 2 ai^i^-

『=1

£ %е,. = о t=1£ %е,. = о t=1Базисные векторы, соответственно базисные функции, при этом должны быть линейно независимыми, т. е. между ними не должно существовать никакого соотношения вида

£ %е,. = о t=1

£ %е,. = о t=1

2 % %.(х)= о,

где % не все равны нулю.

Вычисление коэффициентов (компонент)勺 становится особенно простым, если е「 соответственно ^-(х), являются нормированными н попарно ортогональными, т. е. если

= jg*(x)%(x)dx = ｛；肾;書:ai^-^^J^^^^^f^dxHco(/*,/)= V*(x)/(x)dx= X |旬广= jg*(x)%(x)dx = ｛；肾;書:ai^-^^J^^^^^f^dxHco(/*,/)= V*(x)/(x)dx= X |旬广伍.* (о八= /Р * Р ] — / 1 при »=々 9，在)一(0 при j"

= jg*(x)%(x)dx = ｛；肾;書:

ai^-^^J^^^^^f^dx

Hco

(/*,/)= V*(x)/(x)dx= X |旬广

= jg*(x)%(x)dx = ｛；肾;書:

ai^-^^J^^^^^f^dx

Hco

(/*,/)= V*(x)/(x)dx= X |旬广

Именно, тогда будем иметь:

«,-=(£,*, а)

(а*, а)= 2 丨％「

Последняя формула называется условием полноты. Она представляет собой критерий того, что выбранные функции . (х) образуют полную систему, пригодную для разложения всех рассматриваемых функций.

Если область а—>р бесконечна, то достичь полноты можно, вообще говоря, лишь беря плотную последовательность функций, используемых для получения разложения. Индекс-параметр / превращается тогда в переменную s, и вместо 屮；(х) следует взять

содержащую два параметра функцию 屮(s, х). Разложение при этом имеет вид

+ 8

/(Х)=，a(s)<f(s,x)ds,

-g и, если

то

a (s) = § 屮* (s,尤)/(x) dx.

Функция a (s) называется спектральной функцией представления.

Соотношение полноты здесь принимает вид

+85

§ ] a (s) 12 ds = § I /(х) I z dx.

D. ОПЕРАТОРЫ

Понятие оператора

Оператор ставит одной числовой последовательности {。左} по определенному закону в соответствие некоторую другую последовательность {Ь左} той же мощности л. Это записывается в виде {b^ = Т {аА} или, проще, b = Та. При этом, вообще говоря, каждое bk зависит от всех。々.Мы имеем, таким образом, л уравнений вида

6々^/々(。1，a2,а3, …,。)

е. некоторое общее преобразование. В этом понятии содержатся многие важные частные случаи.

Нас здесь будут интересовать только

линейные операторы, характеризующиеся тем, что для них bk являются линейными функциями от 。々：

Коэффициенты Тк1 образуют квадратную матрицу. Если {”} и {力*} рассматриваются как векторы, то оператор называется тензором, В этом случае мы будем писать Ь = 3н (см. стр. 243).

Для линейных операторов справедливо следующее предложение.

Из Ьх — Тах и Ьг—Таг вытекает, что (久 十厶)=Т(%十仪*), а также Т(аа) = аТа для произвольного числа а.

81° 瓦=£ Tkl «Z32。力(％)= , Т(х,^а(^ dt3° 乙=§ 丁卜(x) a (x) dx84° 力(x)= £ TJx)%Z—1Хотя эти четыре формы81° 瓦=£ Tkl «Z32。力(％)= , Т(х,^а(^ dt3° 乙=§ 丁卜(x) a (x) dx84° 力(x)= £ TJx)%Z—1Хотя эти четыре формыПредельный переход при л——•*- оо дает четыре специальные формы линейных соответствий:

8

1° 瓦=£ Tkl «Z

3

2。力(％)= , Т(х,^а(^ dt

3° 乙=§ 丁卜(x) a (x) dx

8

4° 力(x)= £ TJx)%

Z—1

Хотя эти четыре формы

8

1° 瓦=£ Tkl «Z

3

2。力(％)= , Т(х,^а(^ dt

3° 乙=§ 丁卜(x) a (x) dx

8

4° 力(x)= £ TJx)%

Z—1

Хотя эти четыре формы

дискретной последовательности соответствует дискретная последовательность.

плотной последовательности соответствует плотная последовательность.

плотной последовательности соответствует дискретная последовательность.

дискретной последовательности соответствует плотная последовательность.

представляют собой лишь различные

предельные случаи одной и той же зависимости, из них только 1° и 2° рассматриваются как соответствия, осуществляемые оператором, в то время как 3° и 4° рассматриваются обычно с другой точки зрения. В соответствии с этим мы в дальнейшем будем говорить лишь о первых двух формах: о матричном операторе в случае 1° и об интегральном операторе с ядром Т (х, /) в случае 2°. Тк1, соответственно Т (х, /), может содержать также и другие параметры, например параметры, указывающие положение или время. Это приводит к понятию оператора, являющегося функцией точки и функцией времени.

Единичный оператор £ и дельта-функция

Единичный оператор определяется равенством Еа = а,

т. е. как матричный оператор ——равенством

2 % ал=%

и как интегральный оператор——равенством

§ Е(х, t)a (t)dt = a (х)

Единичная матрица Eik записывается большей частью с помощью символа Ь-к = Ьк1 (символ Кронекера). Имеем: 5/Л = 1 при 1 = k и %№= 0 при i六瓦

§ 6(% — f)df = 1.§ 6(% — f)df = 1.Единичное ядро f(x, /) записывается в виде 6(% — /) = 6(2 — %) (дельта-функиця), 5 (х ——/) = 0 всюду, кроме x = J где функция

§ 6(% — f)df = 1.

§ 6(% — f)df = 1.

становится бесконечной и притом такой, что

Функция 6(% — f) может быть многими способами представлена в виде некоторого предела. Такое представление дают, например, следующие формулы:

己吗｛/彳(1 —(х —/)2)"卜】рн—/|。，

при I X — / I 1 .

Справедливо следующее формальное соотношение:

2一/)=^备1х一 小

Употребительны также следующие представления:

S (x--/)=丄 lim h门f8

=—lim I

冗8

=—lim I "门 TOO

=—lim(

=lim §

'sin 〃(％ — £) \

、I '

1 — cos n (x — t)

sin2 n (x — f)\

i (% — f )2 丿，

応(％ — f)\

2tc/j(jc—/)

ds e(представление Фурье).

(X —f)+&

3—limt史

冗(％— /)—0JS

(X—f)—£

N

=Нт £ 碉х)中“(/),,Ytco „ — о

если функции 屮门 образуют нормированную ортогональную систему.

При подстановке любого из этих выражений в операторное уравнение знак предельного перехода необходимо выносить из-под знака интеграла.

Если положить %—f = z, то 6(2), будучи рассматриваема как функция комплексного переменного, имеет два полюса первого порядка в точках 十/g и —/е с вычетами, соответственно равными +而 и —而'“У11* интегрирования должен проходить между этими полюсами.

Можно разложить 6 (2) на две функции, каждая из которых имеет только один полюс:

a(z)=6+⑶ +[⑶，

где

"⑺一奋吧(母7)；

“)=+2"R(z —j・

Отсюда

%(z) 。一 (z)一2戒巴产+y玩z

и, следовательно,

6+(2)= ^6(2)一 志=6—(-2)=迨(Z)= (](Z*))*,

1 (z) = ； 6 (Z) +蟲=6+ ( — Z)=江(Z)=储(Z*)尸.

Они допускают также следующие представления:

8 с ■

S

2mzs

е ds;

о

о

「 2mzs ds= \ е ds .

Путь интегрирования для функций проходящим соответственно над и писатьПуть интегрирования для функций проходящим соответственно над и писать以(2)н 6_(2)следует выбирать под точкой 2 = 0, причем можно以(2)н 6_(2)следует выбирать под точкой 2 = 0, причем можно

Путь интегрирования для функций проходящим соответственно над и писать

Путь интегрирования для функций проходящим соответственно над и писать

以(2)н 6_(2)следует выбирать под точкой 2 = 0, причем можно

以(2)н 6_(2)следует выбирать под точкой 2 = 0, причем можно

6+ (z) =6+ (z) =6 (2)1~—-' '2 戒z6 (2)1~—-' '2 戒z

6+ (z) =

6+ (z) =

6 (2)1~—

-' '2 戒z

6 (2)1~—

-' '2 戒z

Если образовать функцию

旦岀(芻 f) =，е (尤一S) е (S — /) ds,

то будем иметь:

尸&八々八小при а<х<р,

4(0 при尤Vа и尤>р.

Интегральный оператор с Е^ (х, /) в качестве ядра «вырезает» из /(х) кусок, заключенный между х = а и 尤=? (фильтрующий оператор}.

Специальные свойства. Из приведенных выше определений вытекают следующие формулы для дельта-функции и функций §+ и §_:

S (— %) = 6 (%) = 6* (%), 5 (ах) = -1- § (х),

6(/(%))=? ； j^ ；Т，если/(%) имеет только простые нули хп. х§(х) = 0; /(х) S (х)= /(0)6(%), f^^x) S (x)=f{a) й (х),

§ 〃/)6(x — /)d/ = /(x),

-00

4'СО

С 6(% —■ /) S(5 — /) dt = b{x — s).

1+^.而 sesx dx, —CO1+^.而 sesx dx, —COнепрерывна в точке t = x.непрерывна в точке t = x.-со

1+^.

而 sesx dx, —CO

1+^.

而 sesx dx, —CO

непрерывна в точке t = x.

непрерывна в точке t = x.

2, (х) =^6 (х) = — 6,( 一 x)=

+ оо

\ /«)6'(% — f)dt=f (х), если /■'⑺

—со

+00

С 6'(%—)6(S—)df = 6'(% —s),

—ОО

6"(х) = ?(х)，

备 6(х) = (—1)"^6(х),

\ /(/)^S6« - %)力=(-1L2^/(*м если 尸(‘)непрерывна —со

при t = X.

хЗ+ (*)=干匕，

(6±(a)十 6土(力))6 (a + 力)=6 (a + 力)6(力)=6 (a +力)6 (a) = 2(a) 6(力), (瓦(G+6± (外)6± (a +厶)=6± ⑷旌(з+ ^ 6 (a) S (з.

Операторы, связанные с данным оператором

С данным оператором Т могут быть связаны некоторые другие, определяемые при помощи сравнения их свойств со свойствами данного оператора. Мы определим их (неявно), исходя из результатов их применения к произвольным а н 仇 с помощью равенств:

(aTb)* = (а* Т* 力*); Т* называется оператором, комплексно-сопряженным с Т,

(aTb) = (bta); f называется оператором, транспонированным по отношению к Т,

Т+= Т*; Т十 называется оператором, сопряженным с Т, или (явно) при помощи условий, налагаемых на их матрицы, соответственно ядра:

5 = (7 浦*, 9(х,/) = (К(х,/))*, T[% = T£〃 k (% J) ^= K(L 外 爲=彌， ^(Х, t) = K^(t, X)).

Если Т十=7\ то оператор называется самосопряженным, или эрмитовым. Тогда имеем (а*ТЬ) = (Ь*Та)* и (а^Та) действительно. Если Т действительно и, значит, Т* = Т, то 亍=Т* и оператор называется симметрическим.

Оператор Т~* который при данном Т позволяет решить уравнение b—Та относительно а, называется обратным по отношению к Т. При этом пользуются следующей формой записи: а=Т~1 Ь.

Тогда для любого а имеет место равенство а= Т~1Та, т. е. Т~*Т = Е. В матричной форме будет: / = ?Т^ Tkl а£) и следовательно, 2^' Tkl — ^u, Это дает для отыскания Т"1 всего л линейных уравнений. Если определитель ] TkL | равен нулю, то решение невозможно. В этом случае оператор Т называется сингулярным и не имеет обратного. То же самое имеет место, если существует 〃工0 такое, что Та = О.

При л—> оо, так же как и в случае интегральных операторов, для отыскания Т~1 приходится прибегать к неалгебраическим методам.

Оператор называется унитарным, если для него Т~】 = 7'十 или, что то же, ТТ* = Е.

Равенство Т2а=Т(Та) определяет оператор Т2, полученный посредством итерации. Аналогично определяются высшие степени 7", Т- ... оператора Т.

Алгебра операторов

Если Ь=Т*а и с = Т^а, то равенства 力土с = (Т〔土TJa определяют новые операторы Тх ± 丁乞,называемые соответственно суммой и разностью операторов 7\ и %

1) Для((”)》= 21) Для((”)》= 2Если с=Т]力 и b = Т*а, то равенство с = 7\Т2a определяет новый оператор Т^Т21 называемый произведением операторов 7\ и Т2.

1) Для

((”)》= 2

1) Для

((”)》= 2

Вообще говоря, 7\7\ не равно 7\7\. Если 7\7\ = 7\7\, то операторы 7\ и 7\ называются перестановочными. 7\7\ — 72Tl называется коммутатором операторов 7\ и % его часто записывают при помощи символа [7\Т2]. Если ТХТ2 =—乙丁戸 то Тх и Т2 называются антикоммутирующимих).

Тем самым определена алгебра операторов. При выполнении преобразований следует принимать во внимание, что:

умножение, вообще говоря, не подчиняется коммутативному закону, обратный оператор не всегда существует,

поэтому из 7\7\ = 0 не обязательно следует, что 7\ или 7\ = 0 (делители нуля), и

из 7 — 72 не следует, что Т = Е (идемпотентный оператор).

Операторов, обратным к 7\7\、является Т~1 Т~1, оператором, сопряженным к ТХТ^ является Т^ Т\,

Произведение двух самосопряженных операторов 7\ и Тг не есть, вообще говоря, самосопряженный оператор: (7\7\)‘关 7\7\・ Однако самосопряженными будут составленные из них симметрированные произведения

2

ТЗ-ТНТЗ-ТН2/2/豆[ЛЛЬ豆[ЛЛЬ

ТЗ-ТН

ТЗ-ТН

2/

2/

豆[ЛЛЬ

豆[ЛЛЬ

Имеем:

(т：〃*7\ 勿=(〃* Т： 7\ Ь).

Из неравенства Шварца (см. стр. 32) для самосопряженных операторов следует:

(а*Т'а)(а*Т[а)^ (а*7；7» (а*乙7>)=

_卜* 7/2^7；7；

Алгебраическое построение операторов

При помощи алгебраических операций можно, исходя из небольшого числа элементарных операторов, построить сколь угодно сложные. Для этой цели могут быть использованы и бесконечные процессы (ряды), причем, конечно, необходимо исследовать, сходятся ли они. Построенные таким путем операторы являются функциями тех, которые были использованы при их построении: Г =/(Л, B, Ct...).

I)「iG + G，теперь стали часто обозначать через [，&]+ (антикомму^ mamop)*

Примерами могут служить:

丁二源 E-j-叁/十q 4 + …+%(полином от Д),

Т =/ и т. п.,

Т=е^Ве~А=В^ [АВ] + ^-[Д [働 44mm [^]]] +

Специальные элементарные линейные операторы

а) Матричные операторы Т конечного порядка

Они действуют на функции одного параметра s; порядок N может иметь различные значения.

N=2; s принимает, например, значения 1 и 2.

7/(1) = а/(1)+ М(2);=/а 八

7〃2) = Y/(1)+ "(2);

Собственные значения：

Собственные функции:

¥6 = еb,平⑵= e(x -a); e =评是亡:豆 или в иной форме:

<p(1) = D 伙一6),坞(2) = Пу；D="tr*可J

L' имеет матрицу:

Специальные случаи: Операторами спина называются операторы & % & определяемые матрицами:

； (г№)= (®, (Crt)= (о _,

или, если считать, что s принимает значения -j-1 и —1, -—равенствами:

U(S)=/(—s)； 7j/(5)——/5/(—^5)； ^/(5)= 5/(5).

Эти операторы являются эрмитовыми; собственные значения равны ± 1.

Имеют место соотнои!ения:

£" =川=一"&相=花=-S，犀=何=一£& e"=寸=1+1.

из которых усматривается связь этих операторов с кватернионами (см. стр. 43).

Всякий эрмитов оператор при N=2 моткет быть задан в виде

Г=成+阿十了十^

с действительными а, р, 7, S. Его собственные значения суть 1 =

Полагая

〃 = /(1), 可=/( 一1),можно рассмотреть действительный аксиальный вектор а в трехмерномпространстве, имеющий компоненты:

ах =+ 守*〃 = £ /* (s) £/($),

% = —£ (〃*U — u*〃) =，/* (s) " (s),

az = u^u—u*u = £/* (s)g/(s).

Модуль его равен

a= |a| = 〃*〃 + u*u = £尸(£)/(£)•

При этом будем иметь (применяя полярные координаты 0 и ср):

1/一 0 一‘天

и=у a cos у е ,

v — a sin ~^-е 2

с точностью до общего множителя, по модулю равного 1.

Ортогональное преобразование (вращение) вектора а индуцируется унитарным преобразованием S (S^= S* = S~]) в комплексном а, и- пространстве:

ал = 25*/*(5)SV(^) = 2/* ^s~^sf^ нт. д.

N=4. Вместо того чтобы рассматривать целочисленный параметр s, изменяющийся от 1 до 4, можно ввести два таких параметра 5 и 5, каждый из которых принимает лишь значения 十1 н —1, и заставить оператор действовать на функции /® g).

Специальные спинорные операторы получаются как произведения двух операторов спина, из которых один действует на s, а другой на у. Это дает следующие 16 операторов:

V % з 力，Е,晶玩 R 丽，祀，& 5, *.

Пример:Пример:(3可)/(5，S)= - ZS/(-$, -S).

Пример:

Пример:

Все они являются эрмитовыми, и с их помощью может быть построен любой эрмитов оператор с N = 4.

Эти операторы образуют специальное представление клиффордо- внх чисел (см. стр. 28). В качестве основных антикоммутирующих элементов yt, у2, у3, 丫工 можно взять, например, любые четыре элемента из числа следующих: G, Q 7j；, 7|7j, т^.

Если воспользоваться одним индексом, обозначив:

/(1, 1)=屮”八1, 一1)=屮2, /(-1, 1)=6, /(-1, -1)=ф4, то преобразования, выполняемые рассматриваемыми операторами, могут быть представлены с помощью следующей таблицы.

Клиффор-

Матричное п

рсдставление

Спинорные операторы

Обозначения

Гиперком- плексные векторы (стр. 23弘

Днрак

Маделунг (3-е нзд.)

1

5

屮2

1

1

1

Ti

一冲工

一 №

他

№

並

勺

勿

屮2

勺

ъ

屯

匹

f 2

也

н

5

%

一屮3

ГМ

3=%=因

%

Т23

也

电

丫打

心

-屮3

к

电

一出.

电

一抄4

is?

к

电

%

к

屮，

一九

%

巧

к

昨

一坤4

池

—小

/X

七м

池

瓯

一川4

_ %

/农

Т314

心

一Фл

5

к&

—电

一冲3

zee

丫123

弘

-外

一T2

E

<?2

Г

71234

一 %

一队

一5

—2

— Pl

Самосопряженными являются лишь операторы yn у2, у3, у炉 y|t34； остальные становятся таковыми только после умножения на i.

Ь) Обзор дальнейших элементарных линейных операторов

Оператор:

Соответствующие

Замечания:

%〉］ ^ik^k

матрица: 7}д

для дискретных последовательностей а и &

&(х) = , 丁 (％ £) а (/)dt

ядро: 7(х, £)

для плотных последовательностей а и b

1. Единичный оператор Е % = /•

Z? (х) — а (%)

Е (х, /) — 6 (% — £) _

2. Оператор умножения М 勿=团网

b (х) = т (х) а (х)

Mjh =加/济

М (х, t)^m (x) 5 (x — Z)

М* = Му； диагональная матрица

М (х, £) = М (£, х)

3. Оператор сдвига V

■ Ь (х) — я (х + °)

丿/=Cj + S,々

У (%, £) = § (% + G — £)

Без краевых условий не определен при Z + -s > л или < 1 соответственно, при х + a〉В или < a (см. стр. 45)

4. Оператор дифференцирования D

Без краевых условий не определен при i = 1

% =а£ — ai-i

D(x} /) — ч-о (х — f)

.,.da (x) b (x) = —

， dx

D(x, £) = *(% — £)

' -тт 5(X — /)，

5. Оператор интегрирования /

九 _ I 1 ПРИ 色 W»

访一1 0 ПрИ 左 > j

■ b (x).— У a (f} dt

/(x,/)={：np'wx

I 0 при ^ > x

6. Проекционный оператор 尸

匕(%) = а (х) j 0 传)а (f) dt

pik = Мл

尸 3 f) = a (х) р (f)

Сингулярен

产P)p

идемпотентен при a p)= i

7. Оператор перестановки II

П/ в каждой строке и в каждом столбце содержит одну единицу, прочие элементы равны нулю

Определен только для ко- нечных л

8. Унитарный оператор S

Представим в виде

s+=ST

£s*(f, хЛ) 5 (Л ^}dt =

S = etAt где

=3 (х，— %")

9. Оператор Фурье 尸

尸十=尸7

12京竺

&?=占6 " Vn

尸(мё)=夕g‘

Частный случай операторов 8； комплексный оператор (ср. стр. 192 и Приложение 3, стр. 570)

10. Инфинитезимальный оператор О О=В~\-^АЛ где

е《1

°ift = 5/a + 鸟4力

О (х, Z) = 3 (х — Z) -f- + W% f)

Унитарен при

4 =一小

Примерами таких продолжений, среди многих возможных, могут служить:

L %+/ = % * = q (например,分=% = °)・

an + l=^an-\-lc^ О]_/ = О]/q.

an + l = al (периодичность или цикличность).

an+l = an_t (отражение).

Аналогичные условия необходимо налагать н на плотные последовательности. В таких случаях говорят о краевых условиях, которым должны удовлетворять функция о (%) и ее производные на границе области.

Дифференциальный оператор Z) = — требует одного краевого условия (см. стр. 54), 02= — двух и т. д. Оператор D кососимметричен:

Ь = — Q; операторы D2 и ID являются поэтому самосопряженными.

Оператор сдвига V (см. стр. 44) можно, положив V — eaD, представить в виде дифференциального оператора, если воспользоваться разложением Тейлора:

/' + a) = e"D/(x)= {1 _|-а£)+ |р£)2+ …}〃х) =

=/(х) +=/(х) +а学а学а2 d2f (х)а2 d2f (х)

=/(х) +

=/(х) +

а学

а学

а2 d2f (х)

а2 d2f (х)

Преобразования

Уравнение вида а = Sa может рассматриваться как линейное преобразование, т. е. как такое соответствие между векторами или функциями а и им соответствующими а\ при котором все линейные соотношения, связывающие элементы одной системы, сохраняются. Например, из а-\~Ь—с следует, что а' +，= с'. Вообще линейное соотношение Ь = Та при указанном преобразовании переходит в 〃 = Та', где Т =STS-'. Если соотношения высшего порядка также остаются неизменными (инвариантными), т. е. если, например, из (а*/?) = 1 следует, что (а*'〃) = 1, то должно быть

(S^Sb) = (a^Sb) = (а%)

и, следовательно, S^S = E. Такое преобразование называется унитарным^ а в действительной области — также ортогональным. Оно может быть формально построено с помощью любого самосопряженного оператора Л = Д\ если положить

S = J" = E+ДА — ^1S+ = c — f/ =^~/Л — S-1.

При унитарном преобразовании каждая ортогональная нормированная система переходит снова в некоторую ортогональную нормированную систему.

Собственные значения и собственные решения

Задача отыскания вектора или функции а из уравнения

Ти=\и,

где Т ——данный оператор, называется задачей о собственных значениях. Она разрешима лишь для некоторых Х = *, называемых собственными значениями оператора Т, Решения 辽丁 уравнения

TUj = \jUj

называются собственными решениями （собственными векторами, собственными функциями）, соответствующими Ху. Они образуют Vy-мерную совокупность, т. е. подпространство «-мерного векторного или функционального пространства ——так называемое собственное подпространство, соответствующее собственному значению &.仆 называется в этом случае >у-кратным или （у」——1 ）-кратно вырожденным. Имеем: ^ vy. = л.

j

В каждом собственном подпространстве можно выбрать V」линейно независимых % （г = 1, 2,…，,）и с их помощью представить любое 勺 в виде ^j~^cjrujr Удобнее всего выбирать эти 辽丿「 так, чтобы они образовывали ортогональную нормированную систему: （%，""，）=6/.

Если Т ——самосопряженный оператор, то числа 号 все являются действительными, а собственные подпространства ——взаимно ортогональными: （〃；, 〃/,） = 0 при 丿力/• Тогда все 辽丿丁 образуют полную ортогональную нормированную систему:（辽方, Uj屮）=力戸倉「宀 Они могут быть перенумерованы подряд при помощи одного индекса k и обозначены через 辽左（々=1, 2,л）,（辽義 辽即）=8左依；при этом некоторые из могут быть равны между собой.

Оператор Т полностью определяется заданием полной системы его собственных значений и собственных решений. Если хотя бы одно из ）у равно нулю, то оператор является сингулярным.

Имеет место следующее представление （при Т' = Т）:

7a = e爲/（成，a）； вообще

Tma = ^uk（ul а）,так что имеем также

Для ядра самосопряженного интегрального оператора справедливо равенство

Г （% /）=耳*噴4（工）唳 «） （билинейное разложение）^

н， в частности,

Е(招 /) = 2(x —— £) = W4(x)殿⑴.

Оператор Т', полученный из оператора Т с помощью преобразования Т = STS-\ имеет те же самые §, что и Т. Таким образом, собственные значения являются инвариантами такого преобразования.

Два оператора, имеющие одни и те же собственные решения, являются перестановочными. Для двух перестановочных операторов можно при помощи надлежащего выбора (см. выше) образовать совпадающие системы собственных решений. Поэтому задача отыскания собственных решений оператора Т облегчается, если известны собственные решения какого-либо оператора Т\ перестановочного с 7\ ибо в каждом "/-мерном собственном подпространстве оператора Т' должны лежать также Vх собственных решенийл) оператора Т. Тем самым получается одновременно классификация собственных решений Т по собственным значениям

Операторные уравнения

Часто встречается следующая задача: найти вектор (или функцию) и из уравнения Та = /. Формальным решением служит u=T^xf.

Если Т представляет собой дифференциальный оператор Q, то уравнение Du = / называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением. Если Q7 (при заданных краевых условиях!) можно представить в виде интегрального оператора /, так что и = If, то ядро оператора / называется соответствующей функцией Грина.

Что касается методов решения, то часто используют самосопряженные операторы Q н / в следующих нормальных формах, содержащих параметр 卜

Qn ——ки = g для дифференциальных уравнений,и ——Х/и = / для интегральных уравнений.

Эти уравнения являются эквивалентными, если J = D~ и g=Q/・ Их формальными решениями служат ряды

"=一 仔 + 券十注

“=/ +Ц^+M/2/十... (ряд Неймана},

Этими решениями можно пользоваться, если ряды сходятся или обрываются.

Если собственные значения 入工 и собственные решения ut оператора Q = /7 известны, то решения могут быть записаны также

в формев формеВ 1〃 (giz；) соответственно,

в форме

в форме

①=£飞—；

Эти формулы утрачивают силу, если 入 равно одному из )” и при этом (gu：) (соответственно (/w*)) отлично от нуля. Если же (при 入=入1 эти выражения равны нулю, то множитель при ui остается неопределенным.

Представление операторов матрицами

Если две функции а (х) и b (х), связанные соотношением Ь=Та, заданы своими разложениями по некоторой ортогональной системе 屮； 。")=』a用7); b(x) = ^lb^i(x),

& = § % (%) T ( £ 〃戌"(％)а\ к& = § % (%) T ( £ 〃戌"(％)а\ кто будем иметь

& = § % (%) T ( £ 〃戌"(％)а\ к

& = § % (%) T ( £ 〃戌"(％)а\ к

"X = £，若(х) 7也(х) dx-ak =工“心 左 a々

где

Tik = ^ *(х) %(X)dx.

Числа Tik образуют матрицу, представляющую оператор Т в системе ср-. Вид матрицы зависит от выбора этой системы.

Алгебра матриц изоморфна алгебре операторов, представляемых ими.

Если для представления оператора Т выбрана система его собственных функций, то элементы представляющей его матрицы будут иметь вид

T込=%4%，

где 入j ——собственные значения оператора. Такая матрица называется диагональной.

Для ядра Т (%, /) оператора имеют место соотношения

7,тс = , ,% (х) 7(% 力 % (0 dx dt

И

Т (%, 0㈢(％)Г/屮々(О-

Если при помощи унитарного преобразования y；=Sg совершается переход к другому представлению, то новая матрица имеет вид

% = 口：(％)S『 TS%.(x)d% =(母 丁5)诋・

Если для представления выбирается континуальная ортогональная система 屮(s, х) с условием ，屮* (s, х)屮(s, x') ds = 2 (х ——х'), то получается снова некоторый интегральный оператор:

а(х)=^а (s) g (s, х) ds, b｛x)=^ (s)屮(s, x) ds, B(s)=，(x(s') T(s, s')ds', me T(s,s')=，屮* (s, x) 丁屮(s', x) dx.

В то же время

"(")=,'(x, £) a (x‘) dx\ где T (x, £) = “* (s, x') 丁屮(s, x) ds,

причем T действует на x, но не на s.

Взяв, в частности, g(s, x) =》(s ——х), получим очевидную формулу

Т(х, £) = 0($ — %) 丁扌($ — %)壮$ = г»(%，—％).

Многопараметрические операторы

Линейное соответствие Ь=Та между двумя двупараметрическими последовательностями ｛力泣｝ и ｛。泳｝ может быть представлено в матричной форме

力泳=2 Т/

При %—> оо имеем интегральное представление вида

力(х,”= § §dsd/ Т｛х,у, s, t)a(s,t),

а также смешанную формулу

%(х) = ,§7*(х，0 ак (/) di.

двух опе- параметр,двух опе- параметр,Эти операторы могут быть разложены в произведение раторов, каждый из которых действует только на один например:

двух опе- параметр,

двух опе- параметр,

l、r

или

bi(X)= ,2 7；k 7"(X, /)飲(/) d/

и т. д. Большая сложность этих конструкций требует особенно четкой и разработанной символики.

Аналогичные образы могут быть легко построены и в пространстве размерности 2V〉2. Здесь N переменных 冲,на которые дейст-

вуют операторы, можно рассматривать как компоненты вектора j и писать

力(К) =「&(◎, так что

力(9= § Г(&『)&(『)d『 (интеграл в j-пространстве).

Примерами могут служить:

Единичный оператор Е, допускающий представление в виде интегрального оператора с ядром

£ G，Г) = a G — X') = IP (乙一£)• к

В двух измерениях справедливо следующее представление:

注一门=Е:m^^^7)=乩爲十粉1小一门，

в трех измерениях—такое:

е (Е — Г) = SdPk е2« (Г 一 г'J) = — ^ А I「у I(А = diV grad).

Тензорные операторы векторного исчисления (см. стр. 243).

Дифференциальные операторы (с краевыми условиями), например;

Г蟲

Векторные операторы с компонентами ТА, например дифференциальный оператор «градиент»:

Симметризующий оператор

Если собственному значению 入 оператора Т соответствуют несколько собственных функций 屮(j) и существует невырожденное преобразование ^ = ^ такое, что для каждой собственной функции, соответствующей значению 入：

7 中(©=№ (力，

также и 屮(『)=屮(3Ij) является собственной функцией:

7中慨。=х中(北D,

то существует линейный оператор Лл, определяемый равенством

AJG)=/(/)=S门门"『-也)喈

для любых функций /(g), удовлетворяющих краевым условиям оператора Т.

Оператор

Ал = е^ -鳥 grad)

называется симметризующим оператором для Т.

Имеет место равенство

⑺l一Аm?⑴=0，

т. е. Ал и Т имеют общее собственное подпространство, соответствующее собственному значению I (Операторы Ал и Г являются перестановочными только 8 этом подпространстве, но не вообще.)

Если I для оператора Т служит /z-кратным собственным значением и функции (рп (р2, ...» ср^ образуют полную систему соответствующих собственных функций, то оператор Ал может быть представлен с помощью матрицы а秋,причем

лАд% (?) =£%%•(&)•

Эта матрица а№ называется h-мерным представлением оператора Ал (см. стр. 293).

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Производной у' = f (х) функции у =/(х) по ее параметру х называется функция от х, определяемая следующим образом:

У三/'(X)三弊У三/'(X)三弊limAf ОlimAf О/(X + 力)—/ (%)/(X + 力)—/ (%)

У三/'(X)三弊

У三/'(X)三弊

lim

Af О

lim

Af О

/(X + 力)—/ (%)

/(X + 力)—/ (%)

Неопределенным интегралом для функции /(х) называется совокуп- ность функций F(х), определяемых условием -^-=/(%), что записывается в форме

尸(%)= S/⑴dХ十 e

с неопределенной постоянной С.

Определенный интеграл от /(х) по интервалу с границами а и р определяется и обозначается следующим образом:

n 一 1n 一 1

n 一 1

n 一 1

ззТем самим

з

з

т. е.尸(х) есть функция верхнего или нижнего предела определенного инте! рала, содержащего отличную от х переменную интегрирования s.

Итерированная операция дифференцирования — приводит к высшим производным, обозначаемым через /",/"",или через

Для итерированной операции интегрирования не существует общеупотребительного соответствующего символа; все же можно писать в таких случаях /{~п)(%).

Дифференцирование многопараметрической функции по одному из ее параметров при условии, что остальные остаются постоянными, приводит к понятию частной производной. Частные производные обозначаются через

Если параметры не выписаны, то часто возникает необходимость указать, какие из них считаются постоянными. При этом применяются такие формы записи, как

\d% /乂 z\d% /乂 zилиилиd% |y,zd% |y,z

\d% /乂 z

\d% /乂 z

или

или

d% |y,z

d% |y,z

Операторы дифференцирования и интегрирования. Операции дифференцирования и интегрирования можно представить с помощью линейных операторов Он/:。(工)=^/(х), //(х) = J/(Z) dt. Оператор D является сингулярным и не имеет однозначно определенного обратного оператора D~l. Только при введении дополнительного краевого условия /(а) = 0 можно определить D~l равенством О~，= /, так что DI = ID=\.

Оператор In — D~n с помощью равенства

может быть представлен в виде интегрального оператора с ядром, исчезающим при £<а н £>х. Эта формула позволяет разумным образом определить /" также для нецелых значений л; например, будем иметь:

//(х) =。/(х) =//(х) =。/(х) =1 d西衣1 d西衣

//(х) =。/(х) =

//(х) =。/(х) =

1 d

西衣

1 d

西衣

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Произведения и частные

Пусть

и = и(х), v = v(x),

е. пусть и и V — функции переменной х. Штрихом будем обозначать дифференцирование: и，=案.Тогда справедливы следующие

правила:(и^)' = vu' + 口";правила:(и^)' = vu' + 口";u и2u и2VII — ZZVVII — ZZVииииииии

правила:

(и^)' = vu' + 口";

правила:

(и^)' = vu' + 口";

u и2

u и2

VII — ZZV

VII — ZZV

и

и

и

и

и

и

и

и

(4Ш)" = 口 ”0 + 2口廿 + 口 d;

(4Ш)⑺=4/⑺0+ (；)小 70，+ 一 . +口0"

Логарифмическое дифференцирование:"壊"=^ (логарифмическая производная).

uv..., d(lny)uv..., d(lny)wwww

uv..., d(lny)

uv..., d(lny)

w

w

w

w

_y = d; ^(口") = 口"(@ In 〃y =严(0 勺 +0Tn 口).

Функции от функций

У=У{и), u = u(x).

dy dy du .、 dzy Gy f da\z , dy d%

м м («цепное правило»);( 丁 -4— 丁 ；

d%‘ — du2 \dx)十 du2 ' dx dxz 十 du d%‘ *

口 —口(％】,%2，％6 • • • )) У — У (^) —У (-^i) %2，％з，• • • )•

/,瓦/,瓦являетсяявляется"買；型.翼一霊挈=碧r=0 дПа всех

/,瓦

/,瓦

является

является

Ох, ди ох/ d%j охА 。％也 d%f d(%“ 工也)

Обратно, обращение в нуль всех этих определителей условием того, чтобы _у представляло собой функцию от и.

Обратные функции

a) y=y(x\ x = x(y\ ^女。・

空=丄. dx dx '

dx dzx dy dys

ди.

ду = иУ

dsv — 3

b) u = u(xf _y),

@ = @(х, У)；

ди

班=心，

Q#0・

0%vy ,0% —

dq — Q， du —

办=—% . dy

du Q ' du

一1勺

~D~ ；

一力，

D

о (% 5

0(修 У)

d (n, vj

Неявные функции

“X, у, z, .. .) = 0,厶= ^#о.

.0叩_ fхJ: 一 2怠"j, + 加)f；

Параметрическое задание функцийх = 屮"),沙=少《)， 寫=屮‘声S

"叩 一- 3歹平"" +3中，旷2 -

Если / здесь представляет собой длину дуги s, т. е. dsz = dx^ -[- dy2^ то будем иметь:； dx. —1dy __

衣尸 уГ干L石=百年产；

不 ~ 4 +)； ‘乎； 不 =(1丄『守,

Полный дифференциал

壮屮=£ 黑 d*i называется полным дифференциалом функции .

Выражение ^―2Л(хп х2> ^3> • • •)^/ представляет собой полный дифференциал некоторой функции ^ = ^ (х1( х2( х*, ...), и, сле- довательно, Д = ^- в том и только в том случае, когда для всех г и 左 выполнены соотношения 1=1.

Введение новых переменных

а)(р =(р(х, _у); требуется ввести вместо у новую переменную №= N(X, у).

у(х, у) при этом переходит в ср (х, ») = Ф(х, n(x, _у)):

dy — ОФ 丄 ОФ dz 西—ОФ dz

荻=Вс十京凉；讶=而万，

Ь)屮=屮(尤,_у); новые переменные: и = и(х1 _у), 1V =切(尤,у), 屮(尤,_у) при этом переходит в Ф(〃(％, _у), v(x, _у)):

。中。① ди 丄 дФ du . д^дФ du 丄 дФ du

дх — ди дх * dv dx ' ду ~' ди ду 十 dv ду '

С) ? = <Р(Х” ％, ..х„);占.=々仅” X，..

Z,々=1, 2, ..., п.

屮(尤 и 尤2，х„) переходит в 巾⑪戸匕，•••，») Тогда

Следовательно,

"ф=£ £ й■鳥叫=§設耽， откуда

0① _у0中 _у 0①°)%

Применяя другой способ записи, для случаев а) и Ь) получим формулы:

3 ] — I I dtp I dz I dtp I — I dz ]

衣尸加lz十石口矶； 帆=豆口而]j

соответственно

81 =如1 .电II 01 .=吧.丝I亠羽1 .四1 .

дх [у ди J дх |у 1 du |ц дк 卜， ду %@& k 0yL du bi dy b

Если рассматривать величины 屮,尤,_у, % 切 как равноправные, а именно, считать каждую из них функцией двух из остальных, н обозначить их в произвольном порядке через а,，, у, 5, е, то получатся следующие общие формулы:

机開Y=1； 亂乳.亂

да色

邙5 —立| 一 邙丫

da睜 bdS

0丫 50丫3

Целые рациональные функции г»й степени от п переменных

平=平(%],%2，尢3, • • •,尤门)=^2 "以々々尤/

с г индексами /, А, /, . . ., каждый из которых пробегает значения от

1 до ", г множителями х〔, х* х° ... и пг коэффициентами artZ< Например, при г= 3:

!f, = au1^ + a1i»xJxS + ••• + a1»3X.X.X. + •

Дифференцирование по одной из переменных:

г=1：設 £%%.=%,

Т=2： 5^~ ^2 a 泳巧& =Si (“sf + %s)巧、

T = 3：^2 ^iklXi Xk Xl =ai'jA ~F aiks^ XIXA>

и аналогично для больших значений г.

Имеет место теорема Эйлерам

Она справедлива вообще для произвольных однородных функций, т. е. в случае, когда 屮(在х】,在х?, /гх^ …・)=互‘屮(х» %，招，・・•)， причем г не обязательно должно быть целым положительным.

Дифференцирование интегралов

По одному из пределов интегрирования:

^f^dt=-^f{t}dt=f^. ах

По параметру: в каждом интервале a V% Vp, в котором /(х, /) при aVt Wb непрерывно дифференцируема, справедливо равенство

ьь

Если интеграл несобственный, то, кроме того, оба интеграла ьь

j /(х, /) dt и J^-/(x, /) dt в интервале aVxVp должны равномерно сходиться.

По пределу интегрирования и параметру (условия применимости см. в н. Ь)):

XX

^] 〃Х, /)d/=/(x, х)+j^/(x, /)成；

более общая формула имеет вид

屮⑺屮(X)

^ J/(X,/)〃 =少，(х)〃х,屮(х)) —V(x)/(x,屮(х))十 j 左〃x,t)dt.

中(X)中(X)

Если /(X, /) в верхнем пределе интегрирования имеет особенность, то часто бывает выгодно ввести вместо £ новую переменную, притом

такую, чтобы пределы интегрирования стали постоянными (случай Ь)). С помощью подстановки s= _ 小 OVsVl, получается полезная формула XX

言у(х, /)^ = ^^^ ^x-a^^-^ — ^^-f^dt.

С. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ

См. также формулы для arccos, arcctg и т. д. на стр. 122 и след.

石=〃*)

尸(％)=，/(0 dt

ах

In a

arcsin %

% arcsin x 4- У 1 — x2

In %

x In x — x

arctg %

% arctg % — ； In (1 + x2)

sin %

—cos %

sin2 %

11 .

—x — — sin x COS X

cos %

sin %

sin2 %

—Ctgx

tg%

—Ineos x ■

ctgx

In sin %

cos2 %

tgx

sh %

ch %

1

-—=cosec % sin x

Intg 万

ch %

sh %

1 =sec %

cosx

Mtg传+子)

th %

In ch %

cth %

In sh %

1

In tg X

sin % cos %

]

% + £Z

In(% + a)

(x + a)"

1

^■y (%+«)"〔 ПрИ 6 ^ — I

Ar sh—=

arcsin —=

■J&z + a*

=—arccos — + у

=±仁升］/片)

Ar ch =

arctg ——

a

a

/ X2 - a2

=±陪± л

xa

炉+出

=—arcctg £+^

1

% M炉一出

arcsec — — arccos —

—a2 Arsh ^" + ^ Mx11 十必—a2 Arsh ^" + ^ Mx11 十必/х2 - а2/х2 - а2a2 Arch Т + ^" Mx?—炉 饋 arccos 尚+^М^^a2 Arch Т + ^" Mx?—炉 饋 arccos 尚+^М^^11/干：S% + e/干：S% + e2 /F^12 /F^11%十力一 у力2 一 e, , 2-In —!「.пРи е < ^2e %十力十了胪一С1%十力一 у力2 一 e, , 2-In —!「.пРи е < ^2e %十力十了胪一С—「二.• arctg—「二.• arctg科）叩…"科）叩…"

—a2 Arsh ^" + ^ Mx11 十必

—a2 Arsh ^" + ^ Mx11 十必

/х2 - а2

/х2 - а2

a2 Arch Т + ^" Mx?—炉 饋 arccos 尚+^М^^

a2 Arch Т + ^" Mx?—炉 饋 arccos 尚+^М^^

1

1

/干：S% + e

/干：S% + e

2 /F^

1

2 /F^

1

1%十力一 у力2 一 e, , 2

-In —!「.пРи е < ^2

e %十力十了胪一С

1%十力一 у力2 一 e, , 2

-In —!「.пРи е < ^2

e %十力十了胪一С

—「二.• arctg

—「二.• arctg

科）叩…"

科）叩…"

—,f (Z)或

Arth — ~％ ; действительно при действи

тельном х, I х I < а

Arcth——=—in ―!—— действительно при деистви- а 2 х — а

тельном х, I х j > а > 0

4%+8(х — xj (x —丐)Ax + B(d；2辰+ c尸4%+8(х — xj (x —丐)Ax + B(d；2辰+ c尸Uax2 十 2^% 十 сУ — ах2 + 2bx 十 сsinm%你=0)cosm % (加 £ 0)tgm x 1)Uax2 十 2^% 十 сУ — ах2 + 2bx 十 сsinm%你=0)cosm % (加 £ 0)tgm x 1)

4%+8

(х — xj (x —丐)Ax + B

(d；2辰+ c尸

4%+8

(х — xj (x —丐)Ax + B

(d；2辰+ c尸

Uax2 十 2^% 十 с

У — ах2 + 2bx 十 с

sinm%你=0)

cosm % (加 £ 0)

tgm x 1)

Uax2 十 2^% 十 с

У — ах2 + 2bx 十 с

sinm%你=0)

cosm % (加 £ 0)

tgm x 1)

—j (Лх,十 В) In (x — “ — (Лх2 + В) In (х — х2)|

—ЛАЬ — В Г du

2("一 1)(靖十2汲十 0"7 _ (c_Q)"方 ) (1十球)"

2(〃 一 1)(1 H-x2)"T 十 2〃- 2 J 厂仔尸UP" “ 产

” 了废 + X2

—L=r ln(bax,-\~V a Ya%?十 2bx 十 с) при а〉0；

b2 — ас 7^ 0

尸优)=\ f(f) dt

ctgm % (m W 1)

—质L [CtgET x — J ctgm-2 x dx

sinm ~1 X COS 〃十〔％ 1 7及—1「 . m-2И ,

sinR x cosn x 丿 (m + " 0) J

/М + 〃/И + /z J

SinffI+1 X COS^-1 X 1 〃一1 「. mn-2,

—\ sinm % cosn 2 % dx

m 十〃1+ 1 J

鳥5户1)

声 1) sinm x .

C0Sn J" W 1)

COSm X

——(Л 产 1)

SUI %

cos x1 /z — 2 P dx

(n — 1) sin n~l x 1 w — 1 J siMT%

sin xл — 2 C dx

(/z — 1) cos71"1 x 1— 1 J cosw-2 X

sinm + 1 xm — m + 2 f sinR x dx

(/Z — 1) COSn-1 Xn — 1)cOS"-2%

cosm 十 1 %〃？ 一 m + 2 f cosm x 必c

(n — 1) sinrt-1xn — 1 )sin"T%

D. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Общие замечания

Если для подинтегральных функций /『(％) можно в вышеприведегг- ной таблице найти интегралы Ff(x), то, руководствуясь следующими правилами, можно найти интегралы 尸(％), соответствующие и некоторым другим функциям /(_г).

Подынтегральная функция / (x)

Интеграл 尸(%)= § f(t)dt

A+A

尸i+G(теорема сложения)

寸

尸'=f

/(H)"

尸(“)(辽= 〃(％)) (см. «цепное правилом, стр. 55)

/(ax)

丄尸（g

f、Fа +厶尸1

F；G —，/2尸 1 &尤｛интегрирование no частям', применимо только в случае непрерывности 厶!)

f

х/ — ^ xf dx

/w

Р/(х (и)) Л (a) da (интегрироаание подстановкой Jх = х (и), и = и( х)(

然伙,))

/(? 3)

J/d（«））力（«）山上 ?伉）=屮⑺，案=力他）

Метод подстановки выгодно применять к рациональным функциям R (?(%)) от функции ср (х), не являющейся рациональной. Здесь часто удается, подходящим образом подбирая функцию и(х), свести интеграл F(x) к интегралу от рациональной функции, например,

J /?(sinх) Jx = j R (yqr^) пр?' где " = tg彖

ИЛИ

)m收 + 2仄 + Y )(2(aмГ+Р)) "M?+P' 一 2("m鼠+厂

Сводка таких подстановок приведена в таблице на стр. 63.

Рациональные функции； разложение на простейшие дроби

Каждая рациональная функция R(x) (см. стр. 114) допускает разложение: R(x) = F (х) 4~ J^" > me Л(х), ср (х) и /(х) являются целыми

/(х) выше степенипредставлено в виде/(х) выше степенипредставлено в видерациональными функциями, причем степень ср (х). Выражение J^ всегда может быть

/(х) выше степенипредставлено в виде

/(х) выше степенипредставлено в виде

суммы простейших дробей, которые без труда интегрируются.

Если корни уравнения /(%) = (% ——xj(х — х2).. .(х ——хл)= О

все различны, то

中(%)="】"2 II 4 глр中(/)

f(x) % —% 十％— 十…十％ —%/1 —八 к»

Если уравнение /(х) = 0 имеет кратные корни, а именно а корней, равных %[, р корней, равных х2> и т. д.} то разложение на простейшие дроби имеет вид

%) 4 _J^2I 丄 儿 丄

无Г一%了十(% 一修尸1十

十(%_/户T(%_Х2)丁’十 .一，

/" 8八.•. находят путем сравнения коэффициентов.

Полагая, например, /(х) = (х — х^ ft (х), получаем для определения следующие а уравнений:

▼(占) = 4/(%)，

U (%)=4/(%)+ //(巧)，

门看)=4/：(当)+2公方(占)+2若/(占)，

или в общем виде:

*(xj=£ 占4+JL3), 仁0,1<7.-1.

0

住、

(-丨 a NZ1— I)J+1)

寸-

为 +1

T3W

Z 二 2?

11 S X£

統統3q1

0 * 三 台 ［二

石3

+爲

1 .

；1 1

;1? ^ ^

3

X X 丨114 i 1q

It

N 4

§ P?3 1

爲+為］&“&E

妥7

+ +

Q 11

I1

厂|n+~|統統*一

g

3|z 屮 33

S^NOSSUnoB Q3a^4s^v5 314do.LOX3H

-+者+ 飞4 £) e儲/一 X)。

Н — &У1 X)七

(*—■/! /)七

(*+ 1УГ5 七

-+父'4 £ +父'4 京)七

(謔皆-xwouxc^ -x%ou SZ-S)七

w5£ qО£ qs)七

(謔 兮 £ мои -X UIS) е

внпннкб BeHqlfedJalH34。匸

Если /(х) и 屮(х) действительны при действительных значениях х, то простейшие дроби, соответствующие комплексным корням уравнения /(х) = 0, всегда можно попарно сгруппировать так, чтобы при этом получались действительные члены. Пусть, например, х1 = и1-^ Zfn %2 = х； = 〃1一也；тогда

Л . А* _尸х + Q

X — X］十 X — %2 一(X — 〃1)2 + и；

Е. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Методы вычисления

Упомянем, среди прочих, следующие способы вычисления:

при помощи известного неопределенного интеграла 尸(х) функции /(х):

\ f g dx = F〈Ь、一 F 8

при помощи преобразования (подстановки):

р (*)р (*)л

р (*)

р (*)

^f(w(x))dx= J f(u)h'{u)du, 〃 = <p(x), X—A(u); aP (a)

частные случаи:частные случаи:ЛЛаЛаЛJ /(ax) dx = ± j/(〃) d〃,J /(ax) dx = ± j/(〃) d〃,ь〈/(x) dxь〈/(x) dx(ad — be) + zz (方一 〃)(ad — be) + zz (方一 〃)d — сd — сdada

частные случаи:

частные случаи:

Л

Л

аЛ

аЛ

J /(ax) dx = ± j/(〃) d〃,

J /(ax) dx = ± j/(〃) d〃,

ь

〈/(x) dx

ь

〈/(x) dx

(ad — be) + zz (方一 〃)

(ad — be) + zz (方一 〃)

d — с

d — с

da

da

(сдвиг пределов интегрированна);

посредством интегрирования «в комплексном» (см. стр. 107);

вычисление интеграла как функции пределов интегрирования и, возможно, параметра:

ььf) dx — g (。, 6, /),f) dx — g (。, 6, /),

ь

ь

f) dx — g (。, 6, /),

f) dx — g (。, 6, /),

например, из дифференциального уравнения для g, в котором роль независимого переменного играет одна из величин а, “人…；

посредством разложения подынтегральной функции в ряд с последующим почленным его интегрированием; оба предела интегрирования должны при этом -лежать внутри области сходимости ряда.

В двойных интегралах вида

b d

(dx С dy/(x丿)

вычисляют сначала внутренний интеграл J dy / (х, у) = g (х, ct rf), рассматривая при этом х как постоянный параметр； end могут быть как постоянными, так и функциями от х. После этого интегрируют по х. Аналогично поступают и с более чем двукратными интегралами (например, с объемными интегралами).

При постоянных пределах интегрирования часто бывает полезна перемена порядка интегрирования. В частности, справедлива следующая формула:

Ь хЬ Ь

j dx J 力/(х,у) = j dy J dxf{x,y}.

а аа у

Эта формула допускает обобщение.

Часто бывает полезно также преобразование (замена переменных)

X-X' (Xj, Х2,凤，.• •，Хп)-

При этом получаем:

J J …/(Xj, Х2, ..., xtl) dx、dx2dx“ —

G '•

=JJ . . J 方(K，X；, . . . , К)翡;宙二；g dx'.dx' ...dx'n'),

Последний интеграл распространен на область G\ в которую переходит данная облаС1ь G при выполненном преобразовании (отображении), причем подынтегральная функция должна быть умножена на определитель преобразования

а(&, %,….，*г?)а(&, %,….，*г?)(см. стр. 185).(см. стр. 185).

а(&, %,….，*г?)

а(&, %,….，*г?)

(см. стр. 185).

(см. стр. 185).

i) Здесь подразумевается, что определитель преобразования в рассматриваемой области не меняет знака и что ориентации областей G к G согласованы； /1 (*］，х；, • • •, */ ^ У (% (х；, х；, • • •, */，•…,*n (*］，^^ • • •» *"))” {Прим. ре@)

Оценки

Если в интервале то отсюда следует:Если в интервале то отсюда следует:ььJ/(x)dx<ььJ/(x)dx<a<^x<Zb выполнено неравенство /(х)<^^(х)>

Если в интервале то отсюда следует:

Если в интервале то отсюда следует:

ьь

J/(x)dx<

ьь

J/(x)dx<

Если в интервале а<^х<^Ь (соответственно при интегрировании в комплексной области, на пути интегрирования С, имеющем длину L} выполняется неравенство |/(х) | <^2И, то имеем:

f(x)dx <^М{р — а), соответственно \ f{z) dz <7И£.

Неравенство Шварца (см. стр. 32) также может быть применено для получения оценок.

Приближение интегралов суммами (см. также стр. 76 и 81)

Пусть интервал а^х^Ь разделен на п равных частей, длина каждой из которых равна A: b — a = nh; положим f (а-\-kh} = уkt Л = 0, 1,..., л, и пусть Е, £ ——некоторые числа, заключенные между а н Ь: а<Е<" а<Е'之瓦 Тогда имеют место:

формула трапеций ь

J/(х)"%=^m + 2乂+...+2几.]-|-几)-R〃，凡=臀广位)，

формула Симпсона (л четное) ь

J/(X) dx = ^仇十4乂十2"十4"十…+2%7+4%Т十%) 一 g,

&=需严(£)•

Если кривая обращена выпуклостью в одну сторону, то для ошибки D имеем оценку

D0认儿一2乂十2第 一2"十...一2y…十几).

Некоторые формулы !)

Интегралы с постоянными параметрами, т. е. константы, представленные в виде определенных интегралов:

j с。产j si/d』？*.]?^)=手(~J(-ir； оо

I cos2〃+i/d/= i sin^+i/d/= 」；4・6；j：兰 ；

JJ1・3・5 …(2〃+ 1)

оо

{+与 при a>0,

О при а = О,

—妥 при а <°；

ОО

Г cos at

I ——dt= oo;

ррf 0 при т^п (т,я =0,+1,...),

I cos mt cos ntdt— I sin mt sin nt dt = < 冗

JJ- при 加=拉；

ооI 2 尸，

8

J еТ>/ = ^]Ат;

储>"cos""^「(抒储>"cos""^「(抒

储>"cos""^「(抒

储>"cos""^「(抒

Большое собрание определенных интегралов можно найти в книге D. В i е г е и s de Haan, Nouvelles tables d^ntegrales definies, Leiden, 1867; новое изд., 1957. (См. также Рыжик И. М. и Г радштейн И. С., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, изд. 3-е, М.-Л., 1951.) (Прим, Ped)

导广（力导广（力1. *21

导广（力

导广（力

cos-^ tdt

JH-尸 2.)

оо

4 U凉4 U凉Г2Ш-Г2Ш-Интегралы с переменными параметрами, т. е. функции, представленные в виде определенных интегралов (в случаях, когда параметры могут принимать комплексные значения, иногда даются ссылки на последующие главы):

4 U凉

4 U凉

Г2Ш-

Г2Ш-

со

f txe~yl dt = -^ Г (х + 1) = —j П (х) при Rex>—1

О

(при у = 1—гамма-функция, или интеграл Эйлера, см. стр. 151);

I tn e~yt dt = ^—.nl для целых zz 0;

при Rex〉О, Re^>—1;при Rex〉О, Re^>—1;при 尤>0 и целом п* ОI (см. интеграл ошибок, стр. 86);при 尤>0 и целом п* ОI (см. интеграл ошибок, стр. 86);(х,^>0);(х,^>0);о

при Rex〉О, Re^>—1;

при Rex〉О, Re^>—1;

при 尤>0 и целом п* О

I (см. интеграл ошибок, стр. 86);

при 尤>0 и целом п* О

I (см. интеграл ошибок, стр. 86);

(х,^>0);

(х,^>0);

1со1

，产(1 _/)J'd/ = S еТ*+"'(1 —е-у d/ = 2，严+1 (1 ―尸产出, Ооо

=2 Iо=2 IоSi产 + 11 cos^ + i tdt = B (x, у)=忐“净,

=2 I

о

=2 I

о

при Rex> — 1, Rey>—1 (формула Эйлера; 8(尤,_у) называется также бета-функцией);

f 产 т П(х-1) II (у-х)

J阡产〃£ -而j

при

dt = II (х — 1) II (- X)=

71

sin (nx)

Rex>0, Rey> — 1, Re (J/ —x)> — 1;

при 0<Rex<l;

8

『•р^〃 = ^{е-*Е“х) —e*Ei(—x)} (см. стр. 87); о

(|х|<1) (см. ниже);(|х|<1) (см. ниже);

(|х|<1) (см. ниже);

(|х|<1) (см. ниже);

К88

「書出=[1^£^出=(?+屮(X)=£ 信一T^)^">0).

；рез С = 0,577216 здесь обозначена эйлерова постоянная (см. гр. 87) н

W(x) = ^(lnII(x)).

®со

)-r~idt = n' £"^n = 〃!，(〃十 1)(〃 uenoe >0),

h。一 1左=i；(z) — риманова дзета-функция;

CD

J ~^~—dt = n\ (12~")匚仍十 1) = 1 2лТ1 + злТГ•

(л целое〉0);

J (1 +xcos 纱=。门(X)X 1), о при этом

仇⑴=7^^ и G«w=G»-i w+t^fgLi w при “>i； [In (1 +xcos/)d/ = 2irln(! + ^Q -炉)(|х|<1).

Другие определенные интегралы, которые, подобно только что приведенным, служат для определения функций, читатель найдет на стр. 134 (полиномы Лежандра), стр. 136 (присоединенные сферические функции), стр. 148—149 (цилиндрические функции), стр. 151 (гамма- функция).

Важным вспомогательным средством для вычисления определенных интегралов является интегральная теорема Коши из теории функций, см. стр. 102.

Несобственные функции.

представимые при помощи определенных интегралов: а) дельта-функция 6(% — f) (см. стр. 35), Ь) функция Дирихле

о

В точках, расположенных на прямых _у = ± %, имеем А (%,_у) = 土?， в прочих же точках Д (х, у) равна либо 0, либо ±тг/2. Значения,

Рис. 2. Функция Дирихле.

принимаемые функцией А (х, у} в различных октантах х, ^-плоскости, показаны на рис. 2.

При _у = 0, в частности, получается функция

А(х)= ,¥ 弘

о

Эта функция связана с Й-функцией следующей зависимостью:

Д(х) = п ] 2(/)〃一与

или (чисто формально!):(х) = пЗ(х).

Эллиптические интегралы

Интегралы вида

丿=§ R(J М%产 + W + • • • + %) 〃 -

в случае, когда R представляет собой рациональную функцию и уравнение а^ -\- ахх9 -\- • •.十％ = 0 не имеет кратных корней, называются эллиптическими интегралами. Они могут быть приведены при помощи действительных преобразований к некоторым нормальным формам.

Прежде всего устраняют нечетные степени переменной.

а) При помощи действительной линейной подстановки i = ^^^ (а и b действительны) достигают того, что действительные, соответственно комплексные, корни стоящего под радикалом полинома располагаются на действительной, соответственно мнимой, оси симметрично относительно точки 0. Интеграл принимает вид

卩=，旦(н, М土 (出一р)(出一g)) du=^R, (а, Г) du, где p и q ——действительные числа.

b)旦(〃，IT) записывают в форме

MJ球，w)+必%(标，IT)

и затем, умножая числитель и знаменатель на (Л4 — uN) и производя почленное деление, приводят к виду 戸(匕 IT)+ 〃Q(吟 IT); здесь M^ N” М N—полиномы, Р и Q—рациональные функции. Интеграл

Q(u2t W)udu вычисляется элементарно при помощи подстановки 〃2=q в то время как Р(и^, 1Г) (ввиду того, что 环 рационально) может быть подобно тому, как это было показано выше, представлено в форме

尸(%%=乳:注跟?=ф>(吟+环外 S) = Ф, S) +岁. где Ф“ Ф2, Ф — рациональные функции. Интеграл ^j (u2) du вычисляется элементарно. ■

Г ф (〃2)

Интеграл ) - ^ ■ du при помощи подстановки, вводящей вместо и новую переменную 居 приводят к виду

)/(1一X2)(1一力气2))/(1一X2)(1一力气2)他y 1)■他y 1)■

)/(1一X2)(1一力气2)

)/(1一X2)(1一力气2)

他y 1)■

他y 1)■

Подстановка имеет различный вид, зависящий от вида 1Г; случаи, которые могут встретиться в действительной области, собраны в таблице на стр. 72—73. Так как преобразование будет действительным

00

00

詳

1

rN + zd

(” —гп) (гХ + гн) +

Gt + ”)一 式/一 1)4 xri

詳 zY 一（式 + ”）

詳^ - zY + ”人詳

式

00

00

гХ

詳

(”+ #)(?'(-初 +

（式 + ”）一

к

詳”-（式+ z叫

式

&(詳式 一 8^0 (гХ 一 l)yt

0

00

zT

式

0

00

T1

式

(”-好?) Qy -好?) +

x （八一”）叭 式/ - 1）（詳窈一”）/ @ 一 ”） X

史一

G" 一 I）г^гХ

齐一1

詳式

芷

0 =詳

丨团

1 W

(” > г,о

2HHmruHhuH goHqmMJg-HH н WOXJ^<s^xw^weesrf- .c CZ

ОО

也&Т1 — Qy + g y[) (n + g%

XT —

0

0

小

吊T一M

（户一I）小

1

式+尹1

(”-"?)(式 + J)-

也—Д）

（式+ 成

貿-

式

0

0

式

户式一（式+两 中”n

（/ - 1）式

(e+ Z力(式一 z")—

/（式一力一小 /1 X （式一列）一

式

小

M

式

产（式一小）一小

/（式一力一？T

式一剂

X （式一 5）叭

闻

6（/ - I）yt

史二J人中

00

0

0

00

中一 I

（小+用）3 + "?）十

（户一I）”

nuvdJglHH gnHHguglrgdu。-и

только при 尤2 V 1, то в различных областях изменения переменной а следует применять различные подстановки.

Числовой параметр 月(々2 V 1, л <^pi2) называется модулем Лежандра. Разложение рациональной функции /Ф (z?) = Q (尤乞) на простей- рР dx>

шие дроби приводит к интегралам J у- и )(炉 + ©严 乂 , где х=1/‘(1一炉)(1—公炉)

приводится к лежандровой нормальной форме интегралов 1-го и 2-гоприводится к лежандровой нормальной форме интегралов 1-го и 2-города;рода;мальныммальнымdx(炉+ e严Xформамdx(炉+ e严Xформам4Функции», стр. 155).4Функции», стр. 155).при помощи аналогичной формулы приводится к нор-интегралов 1-го и 3-го рода (см. также разделпри помощи аналогичной формулы приводится к нор-интегралов 1-го и 3-го рода (см. также раздел

приводится к лежандровой нормальной форме интегралов 1-го и 2-го

приводится к лежандровой нормальной форме интегралов 1-го и 2-го

рода;

рода;

мальным

мальным

dx

(炉+ e严Xформам

dx

(炉+ e严Xформам

4Функции», стр. 155).

4Функции», стр. 155).

при помощи аналогичной формулы приводится к нор-интегралов 1-го и 3-го рода (см. также раздел

при помощи аналогичной формулы приводится к нор-интегралов 1-го и 3-го рода (см. также раздел

F. КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ

Пусть дана функция /(х); образуем для фиксированного значе

ния х следующие выражения:

十"（尤）=十"（尤）=fa + 加一f(x)Лfa + 加一f(x)Л

十"（尤）=

十"（尤）=

fa + 加一f(x)Л

fa + 加一f(x)Л

（厶=黄&+3））■（厶=黄&+3））■%А2/(х)= 02%А2/(х)= 02—2f (х) + f (х —力)—2f (х) + f (х —力)(Д2 ^ A — A).(Д2 ^ A — A).

（厶=黄&+3））■

（厶=黄&+3））■

%А2/(х)= 02

%А2/(х)= 02

—2f (х) + f (х —力)

—2f (х) + f (х —力)

(Д2 ^ A — A).

(Д2 ^ A — A).

Разностные отношения более высокого порядка строятся аналогичным путем.

Если функция /(х) задана при помощи таблицы с постоянным шагом 力，то разностные отношения, умноженные на соответствующие степени 力(т. е. А"), могут быть вычислены при помощи вычитания в соответствии со следующей схемой:

4^+.,+₽4^+.,+₽В этой схеме в местах, обозначенных через ап (л целое), мы записываем значения f (х -\~nh). Затем в каждом из мест, обозначенных через 瓦+%，записываем разность между стоящими слева ниже н слева выше ап+1 и ап, т. е. pn_|_i у2 = ап+1 ——ап. Аналогично вычисляем уп из соотношения ^п = ^п_^^^ — 0〃_% и таким же образом поступаем с 5, е и т. д. После того, как эти вычисления будут закончены, у нас еще будут отсутствовать значения 师十力,院仃十力， заключенные на схеме в скобки; каждое из этих значений находится как среднее арифметическое двух чисел, расположенных над и под

4^+.,+₽

4^+.,+₽

ним, напримерним, напримерУ ). Стоящие справа от ап в той

ним, например

ним, например

же строке 厶，и т. д. суть умноженные на соответствующие степени 力(средние) разностные отношения в точке х -|- nh.

Схему можно продолжить также влево, для чего необходимо в одном из мест 儿+七 предварительно написать произвольное число, например 0, после чего остальные 丛〃+% вычисляются так, чтобы было gn4->/3 ■—餌—力=乙，т. е., иными словами, каждое следующее значение р. находится посредством сложения значения ап, расположенного правее и выше искомого ц, с предыдущим значением ц. Таким же образом поступаем со столбцами, где стоят у, $ и т. д. Значения,

заключенные в скобки, находим, как выше, образуя средние арифметические чисел того же столбца, соседних с искомым. Стоящие в схеме слева от жирной черты числа р., v, G, .. . называются значениями первой, второй, • • • суммирующих функций.

Связь между разностными отношениями и производными. Формула Тейлора (см. стр. 84) дает возможность непосредственно выразить разностные отношения как линейные функции производных, пос^е чего они могут быть вычислены. Такое вычисление имеет, однако, второстепенное значение по сравнению с обратной задачей — по данным разностным отношениям вычислить производные. Решая систему линейных уравнений, получаем:

也^/(" +吮=0以一書*+表九一

岁11

"杳/(%+罹也)=匕一我% +而%- ' •

соответственно,

dx/\ I \1 2 / /%241 640"叶%，

"备/g+ ("+^)力)=h+%-釦“+%+盡%+%-…

Эти формулы, таким образом, делают возможным численное дифференцирование функции, заданной табличным способом. Подобно этому можно получить линейные

Соотношения между суммирующими функциями и интегралами, которые имеют следующий вид (см. также формулу суммирования Эйлера, стр. 81):

1916048019160480х+"2力

191

60480

191

60480

i，/(х)"х= [%—^%+薪i"

* + 〃2力 x + И3A

；y j dx j f{x)dx= ^>„+ I2a« — 240^+ 60 480' ' ]„, >

x + 〃1 力x + 〃1 力

х+ "2力一 х+ 〃2力 x+ 〃2力

Л» j dx j dx j f{x)dx= ^„ + 246^ — 30 240 S»+ • •

x +小力 x + 〃l力 x+ 〃1力

Эти формулы бывают полезны при решении часто встречающейся в практике задачи численного интегрирования.

Разностную схему можно с выгодой применить также и для целей, которые ставит перед собой

Интерполяция. Предположим, что ищется значение /（尤十（〃十力也） （0</<1）. Сначала вычисляем величины

после чего получаем:/（尤十（?г+方）力）=%十川;после чего получаем:/（尤十（?г+方）力）=%十川;/ （尤+{n — /）力）=art — /Л,/ （尤+{n — /）力）=art — /Л,4 = /, 3 = ^（/—1）, с = .；« + 1）, о = ；« —2）,Е= 1«十2）, •・・，

после чего получаем:

/（尤十（?г+方）力）=%十川;

после чего получаем:

/（尤十（?г+方）力）=%十川;

/ （尤+{n — /）力）=art — /Л,

/ （尤+{n — /）力）=art — /Л,

f+一，

H=Y„ + CIII, 111 = 5 +DM

IV = % + ^V,

II=YlCW，

W=3 —DIV,

IV = % —EV,

Уменьшение шага таблицы.

1） вдвое （/ =区）:

/卜十（"十^"） = ^+73 - I L+v2+its %+v3 - тш ^+^（+••••

/卜十（〃十^"） = a，+%+纯叶* + 3，+（+…,

в

С

D

Е

尸

々=1

— 0,3

—0,08

+ 0,008

0,0224

+ 0,00864

— 0,1

—0,12

+ 0,004

0,0144

+ 0,00448

+0,1

—0,12

—0,004

0,0144

-0,00448

+ 0,3

-0,08

-0,008

0,0224

-0,00864

в десять раз

здесь можно рекомендовать вычислить для каждого интервала более

тесную разностную схему, принимая в качестве исходных значений % = %，

帆=°」九—0,045?/а + O,OO68Va —…，

Y1 = 0,01Y%— 0,004班+

方 3/a "^ О,。。】？％ • • •，

так что 九三

Какое число этих членов следует удерживать, зависит от степени точности, которой желательно достичь. За дальнейшими подробностями следует обратиться к справочной литературе по численным методам анализа.

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙРЯДЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ

А. РЯДЫ

Общие сведениясоФормально построенная сумма S = а】十〃含十...= V 〃友 беско-немного множества действительных или комплексных чисел %, %，(или функций 〃i(N),瓦2(2)， . . .) называется рядом. Если

sn = 2 〃& = 〃i 十〃2 十•・•十 〃/: (л-я частичная сумма} при л —► g имеет определенный конечный предел s, то ряд S называется сходя- щамся, в противном же случае — расходящимся, s называется суммой ряда, s—sn = rn называется (л-м) остатком ряда.

Сходимость. Для сходимости ряда S необходимо и достаточно, чтобы для каждого положительного числа s (которое может быть выбрано произвольно малым) существовало число N® такое, чтобы неравенство Irrt I = I 5 —邑J<s было справедливо для любого /z〉N⑶ (1) или чтобы было

1% — %|<Е для каждой 口叩bi 加，л, где 加〉N(* /z〉N(s). (2) Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то сходится и данный ряд S; в этом случае он называется абсолютно сходящимся. В противном случае он (при условии его сходимости) называется условно сходящимся. Только в случае абсолютной сходимости сумма s ряда S не будет зависеть от порядка его членов.

Функциональные ряды. Функциональный ряд S(z) = =N uh (г) называется равномерно сходящимся в замкнутой области G комплексной ^-плоскости (соответственно в действительном интервале а^ z^b)^ если существует не зависящее от z число N(e) такое, что (1) или (2) выполнено для всех z, принадлежащих области G.

Равномерно сходящийся в замкнутой области G

а) ряд непрерывных (аналитических) функций переменного z представляет в области G непрерывную (аналитическую) функцию,

Р) ряд интегрируемых функций допускает в области G почленное интегрирование:

,{ ££ J uh(t) dt,

G (々=1 JЛх= 1G

у) ряд функций, являющихся в области G z-плоскости регулярными аналитическими, может быть в этой области почленно продифференцирован какое угодно число раз:

△6s 论

不工/(z)=£1, 2,…I).

五=1л=1

Признаки сходимости

изменение величин на его. сходимости.соa) ряд 5=力工得 жительное число а < 1изменение величин на его. сходимости.соa) ряд 5=力工得 жительное число а < 1VaV 1VaV 1или У I нЛ I < а < 1ООили У I нЛ I < а < 1ООконечного числа членов ряда не отражается

изменение величин на его. сходимости.

со

a) ряд 5=力工得 жительное число а < 1

изменение величин на его. сходимости.

со

a) ряд 5=力工得 жительное число а < 1

VaV 1

VaV 1

или У I нЛ I < а < 1

ОО

или У I нЛ I < а < 1

ОО

сходится абсолютно, если существует поло- такое, что

справедливо для всех достаточно(3)

> больших А, т. е, для всех%〉"

(А/——положительное число).(4)

Вообще^ ряд 2 wa сходится абсолютно, если существует сходя- щийся ряд, членами которого служат положительные числа ал, причем ал^\uh\ для всех 力〉"("——положительное число). (5)

Функциональный ряд 5(2)= £ 辽五(？) равномерно сходится в каждой замкнутой области G, в которой выполнены (3), (4) или (5) с Н、не зависящим от z.

Ряд с членами, попеременно положительными и отрицательными, сходится, если абсолютные величины членов монотонно—> 0 при Л—>оо・ Для остатка ряда всегда имеем: \rh\^\uh+1 |.

Сходимость или расходимость ряда может быть часто установлена при помощи сравнения с интегралом: если, например, |/(х) | монотонно убывает при %〉加，то имеем

2 /W2 /Wлп

2 /W

2 /W

V S I/® I V £ |/(f) I 成 для всех п> т

Л=« + 1и

соОО

I |/(/) I dt существует.I |/(/) I dt существует.и ряд 2 /(%) абсолютно сходится, если

I |/(/) I dt существует.

I |/(/) I dt существует.

Л~,1

')Если G—действительный интервал aWzW仇 то нужна еще равномер ная сходимость в G ряда производных, (Прим ред}

Суммы некоторых рядов

Для целей практики часто бывает весьма важно уметь выразить сумму ряда либо при помощи функции, значения которой легко вычисляются, либо при помощи функции, для которой имеются таблицы (см. также стр. 83—84 и формулы на стр. 85 и след.).

а) Встречающиеся в дальнейшем числа Бернулли Вк являются коэффициентами степенного ряда

'ОО

eк - 1 一乙 А! *

имеем:

纥=1, q = , Bz = -g-, ' B2fc + 1 = 0 для ^ = 1,2,..

—1115

约=丽，筑=/， 线=布，^io = 66 > о —691 г — 7 —3617

(В2к обозначается часто через 终)・ Относительно оценок см. (7) и (8). Ь) Конечные ряды.

1 + % + %*+…+ %" = “ +不丄 при х*1 (геометрический ряд)9 1—У+…+ * 宀+；"(丁 "+I для р = 1,2,3,...

Последняя формула представляет собой символически записанное вычислительное правило: следует выполнить разложение по формуле бинома (стр. 85) и заменить все 星 числами Бернулли 勺. При помощи этого способа можно, в частности, получить формулы

1十2 + 3十...-\- п =-^ п (п-\- 1),

1' + 2—32+...+"2 =書"("+1)(2"+1), г+炉+炉+…+"3=4"2("+1『.

Если функция f(x) непрерывна вместе со своими производными всех встречающихся порядков, то имеет место формула суммирования Эйлера

Nj 信) = ,/(/)弘+^(/(0)+〃加))+

+纟憑［尸7(⑺一产г0)1 + ^^/<"(0叫(6)

где 加，л = 1, 2,…и 0<6VL

Если /(左)зависит еще от непрерывно изменяющегося параметра х, то (6) дает, вообще говоря, полу сходящееся разложение (см. стр. 84).

Бесконечные ряды.

1 +工+炉+ .Ряд ] + ±.1 +工+炉+ .Ряд ] + ±.-1 с一一=X IF820£Е一一 一一-1 с一一=X IF820£Е一一 一一%%и叩и叩XX

1 +工+炉+ .

Ряд ] + ±.

1 +工+炉+ .

Ряд ] + ±.

-1 с一一=

X IF820£Е一一 一一

-1 с一一=

X IF820£Е一一 一一

%

%

и

叩

и

叩

X

X

называется римановой ^-функцией. При х целом и четном, к = 2〃, этот ряд связан с числами Бернулли:

…、(一1)2 (2 冗产鸟〃! О Q/Q\

С(2л) = ^~ 2(爲]~ при л=1, 2, 3,(8)

Отсюда, в частности, получаем:

52)=京 54) =薪 56) =募，门8)=論 ит. д.

Вообще при помощи формулы Эйлера (6) при т—► оо часто можно найти выражение для суммы бесконечного ряда, имеющего вид со

2 /(左),или, по крайней мере, приближенно вычислить ее.

Многие ряды могут быть истолкованы как воссоздающие функцию по ее особенностям, например:

4т8GO

nctgm= x 占=：+£(三+*)= 左二一S也=1 '1 /

ОО

= g + 2x £总，

или

со

k = 1

В. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ

Предварительное замечание-, факты, установленные в пп. 1—4 для

случая одного переменного, остаются в силе, если заменить соответственно х через хп х2, ..., хп, £ — через & & ..% dt — через d£, dt2 …dtn и рассматривать основную область О как некоторую область xt., .хп-пространства.

Представление произвольной функции при помощиизвестных функций

Задача возможно более хорошего представления функции /(х), определенной для всех значений х некоторой области G (например, aV%W0) посредством линейной комбинации известных функций 屮〔(л:), ср2 (х), может быть решена:

При помощи аппроксимации с п как-либо выбранными ^ выражением вида Fn (х) = 2 ^^ (х)； коэффициенты с^ определяются так, чтобы отклонение Гп (х) от /(х) было в области G возможно малым (см. также Ь)).

При помощи разложения 8 ряд по некоторой упорядоченной системе, состоящей из бесконечного множества функций 屮工(х), ср2 (х), ...; коэффициенты с〔, с^ ... определяются так, чтобы частичная сумма Sn (х) = 2 ^й^Рй (х)» образованная с помощью д первых функций, для достаточно больших л отклонялась от /(х) в области G сколь угодно мало (см. также Ь)).

Понятие приближенного представления функции /(х), мало отклоняющегося от нее, уточняется большей частью одним из следующих способов:

(в смысле метода наименьших квадратов): интеграл

Сл2

)/V) — £ %汽(/) dt

GY = 1

должен иметь возможно меньшее значение (аппроксимация 8 среднем, соответственно сходимость 8 среднем},

(в «чебышевском смысле»): величина

m岁 /(X)- 2 с用(х)

должна быть возможно меньше (равномерная аппроксимацияt соответственно равномерная сходимость),

(для рядов):.

Hm f/W— 2 с^ (х)

П 00 \Y=1/

для всех х, принадлежащих области G (сходимость ряда в обычном смысле).

Если область G конечна, то равномерная аппроксимация является в то же время и аппроксимацией в среднем. Достаточно рассматривать

лишь конечные области, ибо области, простирающиеся в бесконечность, могут быть преобразованы в конечные.

Полнота. Система функций % (х), (р2 (х), ... называется полной в области G, если любая функция, непрерывная в области G, может быть с их помощью со сколь угодно высокой степенью точности аппроксимирована в среднем, т. е. если для любого положительного s можно найти такое л, что будем иметь:

Р«2

J /(/)—£ 4%(/)<г-

Для представления функций используются преимущественно (но не исключительно): .

а) степени 1, х, х2, №, . .., соответственно 1,(х ——а), (х — а)2, (х ——а)\ ... или 1, ；,&,&, ... и т. д. (для нескольких переменных 工久气=1, 2, и т. д.);

，)полны системы ортогональных функций.

Ряды, используемые лишь для приближенного вычисления значений функции, не обязательно должны сходиться; достаточно, если остаточный член разложения Rn (х) для некоторой частичной суммы Л„ (х) станет достаточно малым. Если | Rn (х) | при фиксированном х и возрастающем п сначала убывает, а затем стремится к бесконечности, то разложение называется полу сходящимся. Достижимая степень точности, хотя и является ограниченной, часто бывает достаточной, и полусходящееся разложение может поэтому оказаться более ценным, чем сходящийся ряд. Ряды со специальным свойством: lim xnRn (х)=0 для всех л, называются асимптотическими рядами и служат для вычисления значений функции при больших значениях аргумента (см. также формулу (6) на стр. 81).

Разложение функций в степенные ряды

Формула Тейлора. Если функция /(2)в области G комплексной 2-плоскости, содержащей точку 2 = а, имеет непрерывные производные до /(w+n (г) включительно, то имеет место равенство

/(z)=/(a)+宁门а)+^^广⑷十...^^^^а^п, где остаточный член имеет вид

= ^)1)!1/!П+1)(« + 0(^- «))，0<9<1.

В частности, при a — Q получается формула Маклорена

〃z) =/ (0) + »' (0)4-計〃(0)+ …^ f^(0)+ 詳取尸+北仍).

Область сходимости получаемого с помощью этих формул разложения функции в степенной ряд зависит от расположения особых точек функции (см. также стр. 103).

Разложения некоторых элементарных функций1).

(Рядом с каждым разложением в скобках указана область сходимости.)

(1+疗=1+⑴х十⑹炉十...=£ (纟)Y ()х1<1),

р может принимать любые, в том числе комплексные значения. Эта формула называется биномиальной, формулой. Относительно коэффициентов (彳)разложения см. стр. 182 и Приложение 16 (стр. 591). Важным частным случаем является геометрический ряд (см. также стр. 81)

1」爰 =1 +%+%2 + .…(I % I V 1).

Показательная функция и родственные функции:

£*= 1 十 彳十^ 十.・・ 十§!十总门 (для всех конечных %);

оD I I X I"I I + 1 с

остаточный член 1Kzi |V—при ——- В частности:

с=1 +^+^j+^+...= Нт (1 +Т)" = 2,718281828

口耳=с% 旧“=］十 士!;备 十(х I：备)，十 ….(для всех конечных х);

cosx=l —^+^—

1о

18乂 = 乂十3炉十秀炉

on

1о

thx = x——f炉十炉

i) В формулах пунктов b) и

(для всех конечных х);

•； сЬх=1+^+^+--*

(для всех конечных х);

十315 十

厂爲if”…佃<力

315%十

£注宀，(g)；

с) X считается комплексным. (Прим, ped.)

xctgx= 1 — w%' —^%"一急%° — •・・=

co

=£(一1)"醤尸(EV 喻

，zi = 0八

xcthx=l 十彳炉一诃 ^+945^ —• • • = X醤^'"(blVK)； ln(l+%)=^у 4~у —今+…(|x|Wl,% 六一1)；

尤 21% i 1 3 1 5 1

arcsin% = %+ у у 2Г4 у 2.4.6 T + '' * (|%丨 V D；

Разложения неэлементарных функций. Нижеследующие разложения внутри областей сходимости могут быть приняты за определения соответствующих функций. Другие определения можно найти на стр. 114 и след.; функции, рассматриваемые там подробно, здесь только перечислены.

Гауссов интеграл ошибок и родственные функции (стр. 68): j-%/=¥<i>(x)=f一击十差一券 о

(для всех конечн ых х). Интегралы. Френеля

x3Hh①НОХ X①38 KITE)x3Hh①НОХ X①38 KITE)

x3Hh①НОХ X①38 KITE)

x3Hh①НОХ X①38 KITE)

при этом I R〃 V jрт^1 (разложение полусходящееся, применяется для больших значений х, см. 1е).

Интегральная показательная, функция и родственные функции:

Ei (х) = J ^-^/ = 8

гдегде= С+1пх+ 鳥+ 為+ ..・(для всех %*0), ，，I'll 1 Z'Z!'

где

где

С= limIn")=0,577216...

мт8、 23П/

(эйлерова постоянная, см. также стр. 153).

Интегральный синус:

JC

Si (%) = J，^ dt=x —爲 + 爲 + …・(для всех %), о

Интегральный косинус:

Ci (х) =-J 号}/=

—C-}-lnx —爲 + 出一.-• (лля всех %*0).

Сферические функции см. стр. 132.

Функции Чебышева см. стр. 138.

Функции Лагерра см. стр. 142.

Функции Эрмита см. стр. 144.

Цилиндрические функции см. стр. 146.

Гамма-функция см. стр. 151.

Эллиптические функции см. стр. 156; определение 右 см. также стр. 155.

snx = x — (l+#)差+(1+14火+ 6嗒—

—(1+135公+135公+火雷+…,

cnx=l-J + (l + 4^)J-(l+44^+16^)J+...,

dn x = 1 — 6‘ щ* -[- 6‘ (4 + /2)^62( 16 + 44冴 + k*)當 + ...

В квантовой статистике встречаются следующие интегралы:

0-2*8Q-kX

l十（千1）沐"・，=e（干1）1^7

uuпри этомпри этом(при Re *〉0),

u

u

при этом

при этом

(干 1)飙+…=£＜干 1)

/18"■uw2 a/18"■uw2 aН（p一2丸+1）%2々Н（p一2丸+1）%2々j +R(x, p),j +R(x, p),(при Re х〉0),

/18

"■uw2 a

/18

"■uw2 a

Н（p一2丸+1）%2々

Н（p一2丸+1）%2々

j +R(x, p),

j +R(x, p),

|R(x, р)| ML

(1)”(221一1鹏/(-1产+1公

В частности, q =叵.B2kчисла Бернулли, см. стр. 81;； (2左) риманова дзета-функция, см. стр. 82.

Ортогональные системы функций

Определен и я. Функция Ф(尤)удовлетворяет условию Д, если Ф (尤)в области G непрерывна всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек (в случае нескольких переменных ——по каждому переменному при произвольных принадлежащих О фиксированных значениях остальных переменных), и если интегралы I Ф (/) I(// и ^ I Ф (/) Р dt существуют.

Две функции /(х) и g(x), удовлетворяющие условию Л, называются взаимно ортогональными в области G (см. стр. 32), если их скалярное произведение равно нулю:

(/*,g)=，/*(/)g(/)〃 = 0.

Последовательность функций 屮】(尤)，屮2 (尤)，…•，屮巾 若。，из которых каждая ортогональна ко всем остальным, называется ортогональной системой функций, короче, ортогональной системой в области G. Если всегда (屮；，屮加)=1, то ортогональная система называется нормированной. Система 屮以(无)=/:?用丁 нормирована.

Если для некоторой системы %【(％), %含(％)， . -. справедливы равенства 、Р(/)Х嚷⑴厶(')d/ = 0 при т^=п,

где р (х)—функция, действительная и неотрицательная в области G, го %п (х) образуют ортогональную систему с весовой функиией (или просто весом) р (х). Функции р^р (х) /„(х), 〃=1,2, . образуют ортогональную систему в обычном смысле. Если область G бесконечна, то нормирование системы часто оказывается невозможным.

Линейная зависимость. 左 функций /\ (х), .. . ( Д (х) называются линейно независимыми в области G, если уравнение £cv/v(x) = 0 удовлетворяется для всех значений х, принадлежащих G, только в том случае, когда с【=с^ =...=，々=0； в противном случае функции 九(х), . . . т Д (х) называются линейно зависимыми в области G. Функции, принадлежащие некоторой ортогональной системе, всегда линейно независимы.

Ортогонализация. Если в системе 左 функций 九(х),... ...(Д (х) какие-либо I функций являются линейно независимыми, то из них можно образовать / попарно ортогональных функций (左，/ = =1, 2, . . .Следует положить

屮 1 (%)=: q Ji (%),

屮2(х) = с“％ (x)+q/(x), вообще

屮/z(%)= %i%(%)++%力一仰〜I(%)~VChhfh^X^

力=1, 2и затем определить для каждого Л — 1, 2, * . . коэффициенты с力° . .., chh так, чтобы они не все были равны нулю и чтобы функция 屮力(х) была ортогональна к 仏(％), •…，屮力_[ (%), т. е. эти коэффициенты должны быть определены из уравнений

(ь,中G = %i(常，廟+..+%j(无一i，%)+ %〃(方，%) = o, 々=1,2,…・,й——1. Функции, тождественно равные нулю, следует отбросить. Если потребовать еще, чтобы было выполнено условие (屮;，‘屮" = 1， то коэффициенты chk будут однозначно определены и функции 屮° 屮2, . ..,(рп, ... будут образовывать нормированную ортогональную систему.

Из полных ортогональных систем функций одного переменного можно следующим способом образовать такую же систему функций нескольких переменных: если 屮、(占)，^12(xi)i * • •—полная ортогональная система в промежутке а1^х1^ /?1Т (р21 (х2)т (р22 (х2)(...— полная ортогональная система в промежутке 02 Vxit V/?? и т. д., то функции 也％(4)・屮2%(£)・...W“％(x“)，где %,包，...，/г“= 1, 2,..

образуют полную ортогональную систему в области 。丸 V%^V 力不 А = 1,2, .. ., л.

Функции сри (х), составляющие ортогональную систему, могут образовывать плотную последовательность. Индекс п превращается тогда в переменную s:屮以(#) =у (s, %).

Ортогональность и нормированность определяются в этом случае равенством

(屮* (s),屮(s)) = § 屮* (S, x) <p (s', x) dx = 6 (s — s').

Специальные ортогональные системы, а) Системы op того- н а л ь н ы x полиномов. Они могут быть представлены с помощью выражений вида 尸以(％)= V с以丸％*> л = 0, 1, 2, 3, . .., с условиями ортогональности

§ 尸“ (х)尸”,(х) р (х) dx = %”，N“，

где весовая функция р (х), границы а, b и нормирующие множители Nn считаются заданными.

Часто также вместо того, чтобы задавать N以,задают значение 尸以(0) = с以° или значение FnW — ^cnk. Тем самым коэффициенты спк полностью определены и могут быть вычислены.

Функции Fп (х), образующие подобную систему, во всех практически важных случаях могут быть получены иными путями, в част-

Некоторые важные

Наименование

Символ

p⑴

а •~► ь

Полиномы Якоби

Полиномы Лежандра

Полиномы Чебышева . . . . ^ Полиномы Лагерра ......

Обобщенные полиномы Лагерра

Полиномы Эрмита

Jn 3 g,工) 尸”(х)

7”(х)

Q”(x) 4(х) 鹫⑴ 4(%)

依 7(1— *)产 T 1

/1-х2

/1-х2 L

01

-1 +1

-1 +1

-1 +1

0 + 8

0 + 8

—ОО + 8

ности как коэффициенты разложения некоторой производящей фун®・ (см. стр. 104):

〃х,/)=纟尸“(х)/"; §/(х,/)*(x)dx=隽 N“产，

как полиномиальные решения некоторого дифференциального уравнения, как обрывающиеся ряды или же, наконец, как определенные интегралы, например с помощью комплексного интеграла по замкнутому контуру в виде 尸“(％)=击，戸4n/(%, /) при заданной функции /(х, О (см. стр. 105). Они часто могут быть легко вычислены при помощи рекуррентных формул.

Ь) Системы ортогональных трансцендентных и неэлементарных функций. Чаще всего они определяются как собственные решения некоторого дифференциального уравнения с однородными краевыми условиями (см. стр. 354 ——355).

Разложения по ортогональным системам

Ряды. Для всякой произвольно заданной функции /(%), удовлетворяющей условию Л (см. За), можно построить (по крайней мере, формально) соответствующий ей ряд по ортогональной системе %(Х)，公(х)，у

F{x-)=J^c^h{x), где % = ^^, Л = 1, 2, • (9) Числа ch называются коэффициентами разложения, или коэффициентами Фурье, функции f(x) по системе 屮力(％)• Имеет место

ортогональные полиномы

Нормировка

Примечания

4 W, q, о)= 1

%⑴=1

Частный случай гипергеометрических функций

=尸(一孔,, + 孔,9, x), ем. стр. 129

= J“(1, 1, -^―^―-^ = сферические функции, см. стр. 132

2

N ——

n"=(码2

“5 —/г)!

N^^nXV^

=cos (и arccos х)； Тп (cos 0) = cos (ив)

ип(х) = У~1 — хЛ Qn_t (х) = sin 5 arccos %)

см. стр. 142

z* W=^* Z“(x)

см. стр. 144

неравенство Бесселя

2 1%| 2(麻％)=(/*,/).(Ю)

л=1

Почленное интегрирование ряда (9) всегда приводит к равномерно сходящемуся в G ряду для /(/)dt.

Если {工为(х)}——полная ортогональная система с весовой функцией р(%), то вместо (9) будем иметь:

尸（х）= £乙在（х）,Л —1尸（х）= £乙在（х）,Л —1，"/)〃?)减(/)近

尸（х）= £乙在（х）,

Л —1

尸（х）= £乙在（х）,

Л —1

где 乙=7

\八，)1必(，)「近

G

Аппроксимация. Из всех возможных линейных комбинаций W 〃力屮力(％) частичные суммы Fh (х) ряда 尸(无)наилучшим образом аппроксимируют функцию / в G в среднем: интеграл

⑴一Z W「"

имеет наименьшее значение в том случае, когда ah = ch (см. (9)) при 力=1, ..., л.

Полнота. Если ортогональная система 屮】(％), %(%),••• является полной (см. 1с), то (10) переходит в условие полноты (равенство Парсеваля)

Вообще для скалярного произведения двух функций / ng, коэффициентами разложения которых служат соответственно сЛ и dh, имеет место соотношение

（尸，g）=£宾厶（哈 %）=£"/；：' %

При этом каждая функция /(х), удовлетворяющая условию А (см. За), может быть с любой степенью точности аппроксимирована в среднем частичными суммами Fn (х) и никакая функция /(%) не будет ортогональна ко всем функциям 平力(х), Л= 1, 2, . .., кроме /= 0 (замкнутость ортогональной системы). Если ортогональная система полна, то каждая функция /(х), удовлетворяющая в области G условию И, полностью определяется своими коэффициентами разложения по этой системе. Если последовательность срЛ, или какая-либо ее часть, является плотной, то суммы следует, в соответствии со смыслом, заме-

нить интегралами и соответственно изменить нормировку (см. стр. 33 —34).

Представление функций разлож ениями по орто

гональным системам. Не /(х) может быть представлена системе (в том смысле, что ряд своей суммой); чтобы это былогональным системам. Не /(х) может быть представлена системе (в том смысле, что ряд своей суммой); чтобы это былокаждая кусочно-непрерывная функция своим рядом 尸(х) по ортогональной 尸(％) сходится и имеет функцию /(х) возможно, прежде всего необходимо

гональным системам. Не /(х) может быть представлена системе (в том смысле, что ряд своей суммой); чтобы это было

гональным системам. Не /(х) может быть представлена системе (в том смысле, что ряд своей суммой); чтобы это было

(но не достаточно^, чтобы используемая ортогональная система была полной. Вообще равенство 尸(％)=/(%) имеет место:

а) в каждой замкнутой области G" (например, в aV%V0), целиком лежащей в области G, при условии, что в G' ряд F(x) равномерно сходится и функция /(х) непрерывна;

р) если 屮［(工),ср2 (х), ... являются собственными функциями некоторого интегрального уравнения второго рода с основной областью G

/(х) =，К(х, G(см. стр. 88)./(х) =，К(х, G(см. стр. 88).и симметрическим ядром К(%,у) (см. также билинейную формулу, стр. 47), функция же /(х) представляется «истокообразно» в виде

/(х) =，К(х, G

(см. стр. 88).

/(х) =，К(х, G

(см. стр. 88).

/) g(/) dt с функцией g(x), удовлетворяющей условию 4

丫) если 屮 1 (%),屮2 (%)，•…являются собственными функциями самосопряженного дифференциального уравнения вида ру(, -|- р'уг ~Н + %” = 0 с непрерывными в G коэффициентами р, р' и д, причем PN0 (в случае нескольких переменных уравнение имеет вид PW + px,yXl +&/$+•••+ РхпуХп + 勿+ '”=0)с соответствующими краевыми условиями; /' (х) и f (х) должны в G существовать и быть кусочно-непрерывными. Случай у) содержится в ，).

В случаях 0) и у) ряд 尸(％) сходится в области G равномерно й абсолютно.

Условия представимости функции, на которые в дальнейшем мы часто будем ссылаться.

■ Условия 8: область может быть разложена на конечное число ограниченных кусочно-дифференцируемыми кривыми частичных областей, внутри каждой из которых / и ее первая производная непрерывны; / и ее первая производная, взятые по абсолютной величине, интегрируемы в G

Условия D (так называемые условия Дирихле): интервал / (aV%Vm может быть разложен на конечное число частичных интервалов, в каждом из которых функция / монотонна; / в / непрерывна

всюду, кроме, быть может, конечного числа точек, интегралы

,1/(川 d/ и ，1广(/)|〃

существуют.

При известных предположениях (см. 5) имеет место равенство 尸(尤)=/(%), если / непрерывна по х.

Вообще: 尸(％)= Пт 彳(/(% +力)十/(% —力))=у {/(х+ °)+ -j-/(x—0)}, если пределы /(x-j-O) и /(% ——0) конечны [для нескольких переменных: F(x) = среднему арифметическому пределов функции / с обеих сторон от точки разрыва, если эти пределы конечны и не зависят от пути, по которому происходит приближение к этой точке].

Ряд 尸 сходится равномерно в каждой замкнутой области, в которой / непрерывна.

Специальные ортогональные разложения

а) Разложения Фурье

а) Основная область: av%v〃 + / {ряды Фурье).

оос 厶、+8

尸(X)= g+Е 卜z,cos_ + %sin

Л=г1丿А = —co

где

% = 丁) /(/)cos-у-d/; % = 7 J /(/)sm丁 d/;

"#2屯力f

4 = T j /(疗t弘

Если /(x) — периодическая функция с периодом /, т. е. / (х) = =/(%+/)， то разложение 尸(％) сохраняет силу также и за пределами основной области. Если / (х) действительна, то следует принять а^ а-й*

р) Основная область: —8<%<十3.

Из а) посредством предельного перехода получаются интегралы Фурье:

гдегде+8+82M

где

где

а (/) cos —^—1-^(/) sindt = ^= J a (t)e 产 dt,

+ 8+8

0(/)=代)/(s)cos-p-ds; "(/)=西)/(5)sin -yds;

+ °°2 戒 St

a") =

P ——произвольное действительное положительное число (например, р =т 2тг).

Эти разложения имеют место для (непериодических) функций /(%), которые при х—>±8 стремятся к нулю настолько быстро,

что интегралы сходятся. Для действительной функции /(х) имеем а* (/) = а (—/).

Если с помощью непериодической функции/(х) построена следующим образом периодическая функция g(x):

g(x) =力为 /(хЦ-AZ) = g-(хЦ-л/);孔=0, ±1, ±2,・.・)

то из

4-002m力%+8

g(x)= £ 々卢 £ и /(x)= C a (t) c2m dt

也=-8Л

вытекает соотношение

ал = Та(4)-

связывающее коэффициенты аЛ и значения спектральной функции а (/) в точках t = h^L

Таким образом, имеем вообще:

+ 8[ +8 2п/力％ -Н»2笃历М

У, /(^ + W)=T £ e~ J dx'f{x')e~ 1 .

——qoh=——co—co

Это——обобщенная формула суммирования Пуассона. Более известные специальные случаи получаются отсюда при х = 0, / = 2тг.

у) Многомерные разложения Фурье.

Основная область для переменных хг: О V 尤尸 V /广•

尸(尤1,尤2，, * , > 尤Г，• • • ) ——-

=3a)打(空+等

где

a (九 1，九2，.…，九Г， • • ,) =^ ^■ X

Если основной областью для некоторых из переменных хг служит весь промежуток (—оо, Ц-оо), то соответствующие суммирования должны быть заменены интегрированиями. При этом hr следует заменить переменной s^ и опустить /г.

Разложение по сферическим функциям (см. стр. 132).

а) Основная область:——1&尤&十1 (ряд Лежандра),

Q0+〔

尸⑴=£分巳(尤)，где Гл = ^ШУ f^P^dt. 力=0- 1

Обобщение на случай присоединенных сферических функций (см. стр. 136)：

尸(х)=£с〃е(х),力二办

где

Р)Основная область: 0 ^ ср < 2п; OvOVn (сфера).

尸е,<?)=隽 S c〃/g%(cosO),

Л—0 т~ — h где л 2«

砧=露｛^需) "(0',中')ef 碎(cos g sin斤却心

0 0

Примеры:

Л=0'

(丿力+】/ —бесселева функция);

[m/2] х^ = т! £力=0[m/2] х^ = т! £力=0(2m +1 — 4力)(2m +1 — 4力)1-3-5 ... (2m 4-1 -2Л) 2лЛ!1-3-5 ... (2m 4-1 -2Л) 2лЛ!尸m-咕（％）尸m-咕（％）

[m/2] х^ = т! £

力=0

[m/2] х^ = т! £

力=0

(2m +1 — 4力)

(2m +1 — 4力)

1-3-5 ... (2m 4-1 -2Л) 2лЛ!

1-3-5 ... (2m 4-1 -2Л) 2лЛ!

尸m-咕（％）

尸m-咕（％）

Разложение по бесселевым функциям (см. стр. 146) а) Основная область: 0V%<oo.

8

尸(％) = § а «) Jn (坟)dt, где

Пример:

8

a(/) = /§〃s)sJ“(s/)ds;

О

к = 0, 士 1, ±2,…

8

е 也「 t dt

4 (/х).

Р) Основная область: 0 = %VL

со1

尸(％)=£ %4(а/), где % = N \ f д 38# dh 力=iо

Здесь аЛ означает й-й корень уравнения Jn (а) = 0 и

.N =

2

2

(4(ал))2 (厶+i (咽)‘

Разложение lo полиномам Лагерра (см. стр. 142) Основная область: Ovx<oo.

88

尸(X) = ^^ ё/方(X), me <\ =(川产 j/⑴。'Lh⑴ dt.

Разложение по полиномам Эрмита (см. стр. 144) Основная область: --00<%<十8.

00+8

尸(x)=£cj，(x), где %=* j 〃/)eTq(/)必Л—01 '二о

где.

4 n 口 y ] 一 产,;

,2^/(/) Uh ")

『也Mi。

f) Разложение по полиномам Чебышева (см. стр. 138) Основная область: —1VxV-|-L

00

尸(X)=号十£< {4厶⑴十匕必⑴}，

РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ

ФУНКЦИИ

А. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ

Определения и обозначения

Однозначная функция / (/(%) или /(尤卜...,%J) каждой точке % некоторой области (т. е. каждому значению х некоторого интервала или каждой системе значений %「 ... , хп .некоторой области) ставит в соответствие определенное значение функции. Интервалы или области, содержащие все свои граничные точки, называются замкнутыми (не содержащие ни одной такой точки——открытыми}} если область замкнута, то предел любой сходящейся последовательности точек, принадлежащих ей, также всегда принадлежит ей.

Функция / называется:

непрерывной 8 точке £, если /($) конечна и если для любой последовательности, сходящейся к & имеется lim /(%)=/(?; при этом функция /(%)=/(%i， .. . , хд), зависящая но крайней мере от двух переменных, может быть в точке & = (；〔,, £j непрерывной по

каждому переменному (т. е. при условии, что изменяется только одно переменное, остальные же сохраняют свои значения), не будучи в то же время непрерывной в этой точке (т. е. при условии, что могут изменяться все переменные);

непрерывной в области G, если / непрерывна в каждой точке области G;

кусочно-непрерывной в области G, если область G можно разложить на конечное число частичных областей, внутри каждой из которых функция / непрерывна, причем при произвольном приближении к границе (изнутри) функция стремится к определенным конечным пределам;

дифференцируемой в точке 詳 если для любой последовательности, сходящейся к £, существует конечный предел lim "?三 j(";

ку с очно-гладкой у если / и ее первая производная кусочно-неире рывны;

абсолютно интегрируемой в области G, если интеграл ) \f\dx существует.

Каждая дифференцируемая функция непрерывна, каждая непрерывная функция интегрируема.

Действительная функция /(%) действительной переменной называется в интервале /:

монотонно возрастающей, если в / из %＞三 всегда следует, что /(%)М/(£),

монотонно убывающей, если из %＞； всегда следует, что /(%)=/(?•

Многопараметрическая функция /(巧，,..) %〃)называется однородно 证 степени а (см. стр. 58), если

Для дифференцируемых однородных функций имеет место соотношение Эйлера

Комплексные функции

Всякая функция одной или нескольких действительных переменных, которая наряду с ними содержит в качестве параметра мнимое число /, называется комплексной. Она считается заданной, если посредством преобразований ее можно привести к виду

/(%,/,♦.•；力)-^“(％, 乂…•)2(%, 乂 •••)

(разложение на действительную и мнимую части).

Комплексная функция каждой точке своей области определения ставит в соответствие пару чисел (〃, р). В случае двух переменных (х, _у) это соответствие можно рассматривать как отображение х, _у-плоскости на 〃, ^-плоскость.

В этом понятии в качестве особенно важного специального случая содержится понятие аналитической функции /(г) комплексной переменной ? = % +(у, которое подробно изучается так называемой теорией функций.

Разложение на действительную часть и и мнимую часть в часто может быть достигнуто при помощи разложения по степеням /, так как значения 产 для целочисленных п известны. Часто это удается сделать и иными способами. При этом используют преимущественно показательную функцию, а также круговые и гиперболические функции действительного параметра.

Ниже приводится сводка важнейших правил.

Положив х = г cos ср, у =r sin 屮，т. е.

r = Vx2+M будем иметь:r = Vx2+M будем иметь:arctg% + 2〃n(x>0),

r = Vx2+M будем иметь:

r = Vx2+M будем иметь:

= \— целое число),

1.1.2.3.4.5.2.3.4.5.(х + iyY = г1^ = г" (cos а^ + z sin 叫)(Муа叩), (X + 沙厂=L" (cos 呻一z sin 叫)=(■^^ ), 广=J^~=cos 夢十/sin 筹；/『=±^4, In (х-[~(У)= *n r ~h ^ (^ ~h 2тт〃)，In (— x) = In z (2n + 1) %In zx= \n Xr^~ i(2〃 + ；) tt,d" = cos x + i sin x (Эйлер), xr = cos In x + 力 sin In x,sin (x + z» = sin x chy + / cos x shy, cos (x * »)= cos x chy — £ sin x shy(х + iyY = г1^ = г" (cos а^ + z sin 叫)(Муа叩), (X + 沙厂=L" (cos 呻一z sin 叫)=(■^^ ), 广=J^~=cos 夢十/sin 筹；/『=±^4, In (х-[~(У)= *n r ~h ^ (^ ~h 2тт〃)，In (— x) = In z (2n + 1) %In zx= \n Xr^~ i(2〃 + ；) tt,d" = cos x + i sin x (Эйлер), xr = cos In x + 力 sin In x,sin (x + z» = sin x chy + / cos x shy, cos (x * »)= cos x chy — £ sin x shytg(% + z»)=tg(% + z»)=sin 2% + £sh 2y cos 2x + ch 2ysin 2% + £sh 2y cos 2x + ch 2y(г — sin 2%-『sh 2y 一 cos2% + ch2y，sh (x + (у) = sh x cosy + i ch x siny ch (x -[- iy} = ch x cosy / sh x siny,(г — sin 2%-『sh 2y 一 cos2% + ch2y，sh (x + (у) = sh x cosy + i ch x siny ch (x -[- iy} = ch x cosy / sh x siny,th(%4-z» =th(%4-z» =sh 2% + i sin 2ych 2% + cos 2ysh 2% + i sin 2ych 2% + cos 2ycth (x-|-z») =cth (x-|-z») =sh 2% — / sin 2y ch 2% — cos 2ysh 2% — / sin 2y ch 2% — cos 2yarctg2 +(2〃+Dn(x<0)

1.

1.

2.

3.

4.

5.

2.

3.

4.

5.

(х + iyY = г1^ = г" (cos а^ + z sin 叫)(Муа叩), (X + 沙厂=L" (cos 呻一z sin 叫)=(■^^ ), 广=J^~=cos 夢十/sin 筹；/『=±^4, In (х-[~(У)= *n r ~h ^ (^ ~h 2тт〃)，

In (— x) = In z (2n + 1) %

In zx= \n Xr^~ i(2〃 + ；) tt,

d" = cos x + i sin x (Эйлер), xr = cos In x + 力 sin In x,

sin (x + z» = sin x chy + / cos x shy, cos (x * »)= cos x chy — £ sin x shy

(х + iyY = г1^ = г" (cos а^ + z sin 叫)(Муа叩), (X + 沙厂=L" (cos 呻一z sin 叫)=(■^^ ), 广=J^~=cos 夢十/sin 筹；/『=±^4, In (х-[~(У)= *n r ~h ^ (^ ~h 2тт〃)，

In (— x) = In z (2n + 1) %

In zx= \n Xr^~ i(2〃 + ；) tt,

d" = cos x + i sin x (Эйлер), xr = cos In x + 力 sin In x,

sin (x + z» = sin x chy + / cos x shy, cos (x * »)= cos x chy — £ sin x shy

tg(% + z»)=

tg(% + z»)=

sin 2% + £sh 2y cos 2x + ch 2y

sin 2% + £sh 2y cos 2x + ch 2y

(г — sin 2%-『sh 2y 一 cos2% + ch2y，

sh (x + (у) = sh x cosy + i ch x siny ch (x -[- iy} = ch x cosy / sh x siny,

(г — sin 2%-『sh 2y 一 cos2% + ch2y，

sh (x + (у) = sh x cosy + i ch x siny ch (x -[- iy} = ch x cosy / sh x siny,

th(%4-z» =

th(%4-z» =

sh 2% + i sin 2ych 2% + cos 2y

sh 2% + i sin 2ych 2% + cos 2y

cth (x-|-z») =

cth (x-|-z») =

sh 2% — / sin 2y ch 2% — cos 2y

sh 2% — / sin 2y ch 2% — cos 2y

существует и не зависит от способа приближения h н к к [2-е определение] 案=^； или, в иной записи,существует и не зависит от способа приближения h н к к [2-е определение] 案=^； или, в иной записи,

существует и не зависит от способа приближения h н к к [2-е определение] 案=^； или, в иной записи,

существует и не зависит от способа приближения h н к к [2-е определение] 案=^； или, в иной записи,

Аналитические функции

Функция /(z^^u^iv комплексной переменной z = x~\^iy называется регулярной в точке z=x-\-iy, если

[1-е определение]lim 〃宀一〃” + 沙)

以 力，g 0"十/

способа перехода к пределу (т. е. от нулю);

^■=—黑(уравнения Коши—Римана),

^(“+2)=0,

причем производные являются непрерывными функциями от % н у.

Оба эти определения равносильны. Поэтому имеем:

Функция, которая всюду в области О, за исключением не более чем счетного множества значений z, является регулярной, называется аналитической в области G. Точки области G, в которых однозначная функция не является регулярной, называются особыми томами、 или особенностями^ функции. Точка 2 =司 называется несущественно особой, если существует такое положительное л, что (z ——z^f {z} ограничено в окрестности z — z^ в противном случае она называется существенно особой.*

Аналитическая функция от аналитической функции есть снова аналитическая функция. Аналитической будет и функция 屮(z), обратная аналитической функции /(z) (определяемая посредством равенств 屮(/(z)) =/(平(z)) = z).

Аналитическая функция f(z) = u-\-iv определяет пни как функции от х и _у:

"=/*1(看驴，皆：=//匕У).

Их находят, приводя /(尤十 沙)к виду /, (х,少)十/(匕 у).

/j и /2 называются гармоническими функциями, или потенции- 力ам% причем /2 называется гармонической функцией, сопряженной с /г В точках, в которых /(z) регулярна, имеют место равенства

@2@2

АД = Д/2 = 0, где А = ^г + ^г (уравнения Лапласа).

Поэтому всякая произвольно заданная аналитическая функция / дает два частных решения уравнения А屮=0 (в двумерном случае).

Если аналитическая функция f(z) = u-\-iv для действительных z принимает действительные значения, то имеет место равенство

/(z*) = а ——iv (принцип симметрии}, откуда

"/⑶+"#)"2)一"/)

"=2' k=^•

Аналитическая функция /(z) осуществляет конформное отображение х, .у-плоскости на и, ^.плоскость (см. стр. 110).

Многозначные функции. Определение функции может приводить к многозначности, например в том случае, когда функция з = /(?) определена как решение нелинейного уравнения с коэффициентами, зависящими от 2. Наиболее простыми примерами служат s" = z, £砲%(z) = 0, 尸(s) = z (обратная функция) и т. д. Различные решения называются ветвями функции. Если п из них при z = @

совпадают, то а называется точкой ветвления (л——1)-го порядка. п ветвей функции связаны здесь между собой таким образом, что возможен непрерывный переход от одной ветви к другой. Если представить себе область изменения z в виде некоторой поверхности, то эта поверхность будет состоять из различных «аистов^, на совокупности которых функция w может быть представлена как

однозначная.

Каждой отдельной ветви функции соответствует кривая, зависящая от определения ветви, в точках которой функция разрывна. Эта

кривая начинается и оканчивается в точках ветвления и называется

разрезом. Например, функция w = ~^ z^ определенная условием

&2 = 2, имеет две ветви:叫=Vp ?2 и 叫=

если ввести обозначение z=pe2 (с действительными 0Vp<oo;

——口<屮=十口). Обе они при 屮=н, т. е. при z действительном

отрицательном, разрывны. Здесь 吃 непрерывно переходит в 叫，так же как н 叫 в 吃. Из полученных при помощи разрезов отдельных

листов можно составить так называемую 《риманову поверхностью таким образом, что непрерывность восстанавливается. Точка ветвления, однако, остается особой точкой.

Точка 2=оо является точкой ветвления для функции /(z), если функция /(；) имеет точку ветвления при 2 = 0.

Криволинейные интегралы

а

Интеграл f(z) dz понимают как

§ /(2)dz = § (〃 十 iv) (dx 十 i dy)=

=^ (udx ——v d>)十 £ § (u dx 十 zz dy).

Интегралы берутся по некоторой определенной кривой между точками z = a и 2 =力；для этого можно, например, выразить хну и тем самым также 〃 н и в виде функций параметра s кривой и

интегрировать поИз второго (udx ——vdy) и (см. стр. 56).интегрировать поИз второго (udx ——vdy) и (см. стр. 56).ИнтегральнаяИнтегральнаяS.

интегрировать по

Из второго (udx ——vdy) и (см. стр. 56).

интегрировать по

Из второго (udx ——vdy) и (см. стр. 56).

Интегральная

Интегральная

определения регулярной функции следует, что (vdx-[~u dy) суть полные дифференциалы

теорема Коши. Интеграл ^ f(z) dz от аналитиче-

ской функции /(z) не изменяет своего значения, если, сохраняя постоянными а и Ь, подвергать путь интегрирования непрерывной

деформации, при которой он ни разу не проходит через особую точку функции /(z).

Если путем интегрирования служит замкнутая кривая (обозначение: ,),т. е. если а = Ь, то，/'(z)dz = 0 при условии, что кривая не заключает внутри себя особых точек функции./(z).

Интегральная формула Коши. Соотношение

позволяет вычислить значение функции /(z) в точке z = ；, если известны значения функции на некоторой кривой, окружающей точку 乙 и не содержащей внутри себя особых точек' функции. При этом точка z должна пробегать кривую в положительном направлении (движение в положительном направлении по окружности единичного круга ведет из 十1 через в —1).

Аналогичным путем вычисляется л-я производная аналитической функции в точке z = £

причем имеет место важная формула

1Kdz / 1 при 几=0,

2应 3 近二。"+丁= I 0 при лТ^о.

Теорема о среднем. Если кривая представляет собой окружность, н0 -|- Zv0 — значение функции /(z) в центре этой окружности, 〃 +加一значение функции на окружности (выраженное как функция угла 9), то 2n2n

о0

Таким образом, д0 и % суть средние значения соответственно значений функций и и V на окружности.

Разложение аналитических функций в степенные ряды

а) Разложение в окрестности регулярной точки

а) Если функция /(z) в окрестности точки 2 = 2° регулярна, то она может быть разложена в ряд (Тейлора):

□о

/(z) = W产(Z — Z。)" = % 十 ％(Z — Z。)十 4(Z — Z。)' +…， где

Путем интегрирования С служит простая замкнутая кривая, обходящая один раз вокруг точки 2°, не заключающая внутри себя особых точек функции / и пробегаемая в положительном направлении.

Сходимость. Ряд Тейлора сходится абсолютно и равномерно в каждом круге | z — z01 г, внутри и на границе которого функция /(z) регулярна. Всегда существует /?〉г (радиус сходимости} такой, что ряд

сходится, если | z — z0\ расходится, если | z —分 |〉R.

Поведение ряда на окружности | z—z0\ = R (граница круга сходимости) зависит. от свойств /(z). Эта окружность проходит через ближайшую к 2。особую точку функции /(z).

Если л коэффициентов а^ av ..., 〃也_】равны нулю, но ап^=0, то точка 2° называется нулем п-го порядка функции /(г).

0) Если /(z) регулярна в бесконечности (это означает, что /(1，2‘) регулярна в точке z'=0), то разложение функции /(1//) в окрестности точки z' = 0 приводит к разложению функции /(z) в окрестности точки z=oo:

加)=%+手+号+ где。一产击处9:…心 С

Здесь С——простая замкнутая кривая, заключающая внутри себя все особые точки функции /(z), лежащие в конечной части плоскости. Ряд сходится вне круга с центром в точке 2 = 0, граница которого проходит через наиболее удаленную от точки 2 = 0 особую точку функции /(z). Он сходится равномерно и абсолютно вне и на границе всякого большего круга с центром в точке 2 = 0.

В этих разложениях существенным для практики является то, что функция внутри области сходимости соответствующего ряда может быть с известным приближением представлена с помощью суммы конечного числа членов ряда, причем оишбка такого приближения с возрастанием числа членов становится произвольно малой (пример см. в Приложении 2, стр. 569).

Полученные здесь формулы можно использовать также для представления коэффициентов степенного ряда с помощью комплексных интегралов; например, в случае ряда

e =工7Tг По21аем加=而gуk = 厘夕?k. п —О

Если последовательность функций 尸〃 (z) определена посредством производящей функции (см. стр. 91):

ОО/(/—)=£ 尸“⑴ z".

то будем иметь:то будем иметь:

то будем иметь:

то будем иметь:

у） Аналитическое продолжение. Если мы зададим функцию /（2） при помощи ее разложения в окрестности точки г0, то функция вначале будет определена лишь внутри круга сходимости. Если перейти к разложению функции в окрестности точки 2； =2°+с, лежащей внутри этого круга, то получим ряд

/（2）= 4 + 〃［（2 — 2； +G + 4（2 —芯 +，『+ ...

Раскрыв скобки （2—2；十，）“ по формуле бинома и расположив члены по степеням （2 ——zj）, получим разложение вида

/（2）=么+ /\（2 - 2:） + 力2（2 - 2:『+ •…

Полученный ряд сходится в некотором круге с центром в точке 2；, причем может случиться, что этот круг частично выходит за пределы прежнего круга. В области, которая служит пересечением обоих кругов, оба разложения сходятся к одной и той же сумме. Второе разложение представляет собой поэтому （если только оно сходится вне круга сходимости первого разложения） аналитическое продолжение первого. Повторяя этот процесс, можно функцию, определенную с помощью степенного ряда, продолжить на более широкую область, которая может совпадать и со всей плоскостью. Встречаются случаи, когда аналитическое продолжение далее некоторой определенной границы невозможно.

Ь） Разложение однозначных функций в ряд Лорана

Во всякой кольцеобразной области »t （заключенной между двумя концентрическими окружностями К、и Kj rx^\z — z/Vq） функция /（£■）, однозначная и регулярная в этой области, может быть разложена в ряд

+ оо -

/（2）= £ %（2—2产=

=.一 + （z 二。）2+2 二 十% + %（2 - 20）+

сходящийся в этой области абсолютно и равномерно. Коэффициенты ряда находятся по формулам^

（二产1（二产1々 = 0, 土 1, 士 2,,々 = 0, 土 1, 士 2,,

（二产1

（二产1

々 = 0, 土 1, 士 2,,

々 = 0, 土 1, 士 2,,

где путем интегрирования служит окружность К, лежащая в области Ш: |z —Z°|=p； /\Мр0，а・

Ряд Лорана разбивает /(z) на две функции: /(z) = /( (z) -|-/2 (^) (/1= 2 , /2= N )，me /i(z) регулярна всюду вне круга ^1 \ 左=—8 左=0，

(см. а,0), а /2 (z) — всюду внутри круга К? (см. а,а). В соответствии с этим ряд Лорана сходится во всей кольцеобразной области, заключающей в себе область 況 и ограниченной концентрическими окружностями, проходящими через ближайшие к Zt особые точки функции /(z).

с) Разложение в окрестности изолированной особой точки

а) Аналитическая функция, однозначная в окрестности особой точки z0, может быть разложена в ряд Лорана, сходящийся при 0<|z — Zo|VR, где окружность |z — z0\=R проходит через особую точку функции /, ближайшую к точке z0.

Разложение функции в ряд Лорана может содержать либо конечное, либо бесконечное число отрицательных степеней, В первом случае существует такое целое положительное т, что произведение (z—Zo)m/(z) регулярно, произведение же (z — z^f1-1 f(z) не регулярно в точке z = z0. В этом случае говорят, что функция / (z) в точке z = z0 имеет полюс порядка

/(z)=(z 彳脑+• •. + zMo + % + 4 (z - 2())+4(Z - ZJ2 +…

Во втором случае точка z = z0 является существенно особой точкой функции /(z).

р) Аналитическая функция, которая в любой окрестности точки 2 = 2° является многозначной, имеет эту точку своей точкой ветвления. Если существует такое целое положительное число т, что функция /(分十喲 в окрестности точки f = 0 становится однозначной, то имеет место разложение

+ 84-00左

/(Zo + /")=/(Z)= 2 鉄户= 2 %(z —Z°)匹

k= — 00左=—8

Если при этом m——наименьшее возможное из чисел такого рода, то точка z = z0 служит для функции /(z) точкой ветвления (加——1)-го порядка. Разложение вообще не содержит отрицательных степеней, содержит их конечное число или же содержит их бесконечное мно

жество в зависимости от того, является функция /(?(,十严)при / = 0 регулярной, имеет полюс или существенно особую точку.

Если функция /(z) при z = z0 является бесконечнозначной {точка ветвления бесконечно высокого порядка}^ то не существует никакого разложения по степеням z ——z0, целым или дробным.

Здесь, как и выше, поведение функции /(z) в бесконечно удаленной точке z=g характеризуется поведением/(l/z‘)в точке z' = 0, а разложение /(/) в окрестности z = oo получается из разложения /{】/z') в окрестности / = 0.

d) Вычеты, теорема о вычетах

Коэффициент а_[ ряда Лорана, в который разлагается функция

/(z) в окрестности особой точки z = z^ называется вычетом функции /(2)относительно ТОЧКИ 2 = 2°：

a_]^=Res у(z) = ^^.^ f (z) dz.

При этом кривая С, которая служит путем интегрирования, не должна заключать внутри себя никаких особых точек функции /(z), кроме 2 = 2°. Практическое значение этой формулы состоит в том, что она позволяет вычислить интеграл §/(z)dz, исходя из разложения функции в окрестности полюса.

Если точка z0 есть полюс п-го порядка, то для вычета имеем формулу

。_尸5- ])! ^d^^Z~Z^^Z^z=：z： например, для 〃=1: a_,=((z — z^f (z))z=z<t.

Для 〃 = 2: a_, = ^ ^z — z^f(z}}^^^

Вычетом относительно бесконечно удаленной точки называют коэффициент ——а1 разложения функции в окрестности этой точки /(2)=+ 1. -+a-iz + ao + y + lr+

Если функция f(z) в некоторой области, ограниченной одной или несколькими непрерывными кривыми, всюду однозначна и всюду, за исключением, быть может, конечного числа особых точек, регулярна, то интеграл ■^夕/(z)dz, взятый по границе области, равен сумме вычетов относительно всех расположенных внутри этой области особых точек. Если функция /(?) всюду однозначна и всюду, за исключением, быть может, конечного числа особых точек, регулярна, то сумма вычетов функции относительно всех ее особых точек, включая и бесконечно удаленную точку, равна нулю (теорема о вычетах).

Методы вычисления комплексных интегралов ь

Пусть дан интеграл 1= J f(z) dz от аналитической функции f(z)y взятый по некоторой кривой между действительными или комплексными точками а и Ь. Общий метод его вычисления при помощи известных функций состоит в том, что, сохраняя постоянными пределы интегрирования, деформируют путь интегрирования так, чтобы он, не пройдя ни разу через особую точку, превратился в результате в такой путь,

интеграл по которому распадается на сумму легко вычисляемых ин

тегралов.

В частности, удобно использовать следующие пути интегрирования (рис. 3):

/——замкнутый путь вокруг полюса: интеграл равен вычету, умноженному на 2叫

— кривые в бесконечности (| г |—~> оо), на которых /(г) = О J),

——интегрирование в противоположных направлениях по одной и той же кривой: интегралы взаимно уничтожаются.

Дальнейшее упрощение часто может быть достигнуто при помощи введения соответствующим образом подобранной новой перемен-

Рис. 3. Применение теоремы о вычетах.Рис. 3. Применение теоремы о вычетах.ной 屮(2)вместо 2 (отображение г-плоскости на 屮一плоскость), .в частности в тех случаях, когда введение новой переменной преобразует путь интегрирования в замкнутый.

Рис. 3. Применение теоремы о вычетах.

Рис. 3. Применение теоремы о вычетах.

При благоприятных условиях путь интегрирования можно расположить так, что лишь небольшие его участки будут доставлять существенные части полного значения интеграла, причем эти участки таковы, что подынтегральная функция (приближенно) может быть записана в простой форме. На этом основано применение метода седловых точек). Он применяется, если модуль функции /(г) на пути

интегрирования мал всюду, кроме окрестности точки (или нескольких точек) 2$, где |/(г) | имеет резкий максимум. В этом месте находится так называемая седловая, точка (см. стр. 112). Она определяется условием 尸(2)= 0 при n = 2§. В окрестности этой точки /(г) имеет

разложение вида

/(г)=/(г5)4-^=^Г(^)+ -..

dz.dz.Положив / = /*(%), 3=尸(/),..., получим:

dz.

dz.

Этот интеграл можно аппроксимировать при помощи следующего:

/ 全/ j е 2' dz.

) Имеется в виду, что при |z|—>оо функция / (z) стремится к нулю настолько быстро, что стремится к нулю н произведение £max|/(z)|, где £ —

длина пути интегрирования С. (Прим, ред.)

Теперь путь•—L瓦_ — sТеперь путь•—L瓦_ — sинтегрирования располагают

Теперь путь

•—L瓦_ — s

Теперь путь

•—L瓦_ — s

ds = ±dzds = ±dzи, следовательно,и, следовательно,так, чтобы былоОтсюда находим:так, чтобы былоОтсюда находим:с действительным s.

ds = ±dz

ds = ±dz

и, следовательно,

и, следовательно,

так, чтобы было

Отсюда находим:

так, чтобы было

Отсюда находим:

/^干厶/岂 Je-s"ds.

Вследствие большой быстроты изменения функции в окрестности точки максимума пределы интегрирования можно отодвинуть в бесконечность. Это дает

Остающийся пока еще неопределенным знак легко находится. Этот приближенный метод, как и всякий другой подобный метод, требует выяснения вопроса о достигаемой с его помощью степени точности.

Пример:

/ = Ц(х)=，e~zzxdz\

/(z) = e-?z*, /'(z)/(z) = e-?z*, /'(z)—У /，—У /，1 /，1 /，

/(z) = e-?z*, /'(z)

/(z) = e-?z*, /'(z)

—У /，

—У /，

1 /，

1 /，

следовательно,следовательно,

следовательно,

следовательно,

zs = х, Л = е~ххх, В ^：；А

П (х) ^ 1/2пх42 — J/厂2Hx ххе~х {формула Стирлинга}.

Эта формула применяется при больших х (см. стр. 154 и 183).

Изложенный метод может быть применен также к действительным интегралам от аналитических функций.

Если подынтегральная функция является многозначной, то необходимо выделить ветвь, которую желательно интегрировать. Путь интегрирования при этом не должен пересекать разрезов, на которых выбранная ветвь терпит разрыв.

Часто встречаются интегралы следующего вида:

/ =，(z —仪)“(2 —好 / (z) dz

с нецелыми аир, взятые по замкнутому контуру, охватывающему точки z = a и 2 =力，но не заключающему внутри себя особенностей функции /(2). Подобный контур может быть расположен на одном листе лишь в том случае, когда 々 + 0 есть целое число. Значение рассматриваемого контурного интеграла при этом равно

/ = (1 一产'")，(z -a)"(z -勿;"⑺以，

b

где ， означает интеграл, взятый по незамкнутому контуру, соединяю

щему точки а и Ь.

В общем случае замкнутый контур может быть получен в виде ^двойной петлив, т. е. в виде пути интегрирования, который сначала обходит обе точки в положительном направлении, а затем, в той же последовательности, в отрицательном направлении, после чего он замыкается. Тогда будем иметь:

/=(1—产勺(1 — *呻)^ {z — aY {z-byf(z) dz.

/ обращается в нуль, если а или 0—целое число, так как в этом случае одна из точек ветвления исчезает.

Отображение, осуществляемое комплексными функциями

Всякая непрерывная комплексная функция w=f{z} = u-^iv комплексной переменной z = x-\~ly осуществляет непрерывное отображение области комплексной 2~плоскостн (х, ^-плоскости) на область комплексной w-плоскости (и, ^-плоскости).

Конформное отображение. Если отношение расстояния между двумя точками R н 尸 х,^/-плоскости к расстоянию между их образами Q〔 и Q, принадлежащими 〃, и-плоскости, стремится к определенному пределу, когда точка 尸〔，двигаясь по непрерывной кривой, стремится к точке Р, причем предел этот зависит только от Р и, следовательно, является одним и тем же для всех проходящих через точку Р непрерывных кривых, то отображение называется конформным в точке Р. (Это определение конформности сохраняет силу н в общем случае отображения n-мерных областей.) Конформное отображение сохраняет углы (в широком смысле): угол, образованный касательными, проведенными в точке Р к двум проходящим через эту точку гладким кривым, равен углу между касательными, проведенными к образам этих кривых в точке, являющейся образом точки Р; направление вращения может измениться на противоположное. Малые треугольники отображаются в почти подобные треугольники: 8 малом конформное отображение является отображением по- добия.

Всякая аналитическая функция /(?) всюду, где она регулярна и где /' (?)声 0, осуществляет конформное отображение областей г-плоскости на области w-плоскости, и обратно; отображение сохраняет углы в строгом смысле, т. е. оно оставляет неизменным также и направление вращения. Отображение, осуществляемое функцией /* (г), комплексно-сопряженной с аналитической, изменяет направление вращения на противоположное. Всякое конформное отображение осуществ-

А. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ 11 I ляется некоторой аналитической функцией (или функцией, комплексносопряженной с аналитической).

Риманова поверхность. Комплексная функция w=f(z) является, вообще говоря, неоднозначной: одному значению z соответствуют в общем случае несколько значений w. Если области г-плоско- сти, в которых функция многозначна, расслоить на несколько расположенных один над другим и надлежащим образом друг с другом скрепленных листов〉то можно достичь однозначности: всякой ^-области этой совокупности листов ^римановой поверхности функции /(г)] будет соответствовать некоторая w-область. Риманова поверхность строится при помощи аналитического продолжения (см. также 5а, у, стр. 105) функции /(z) по всем возможным путям, исходящим из какой-либо точки, в которой функция регулярна; если два продолжения в окрестности точки z совпадают, то они отождествляются, в противном случае для их изображения необходимы два различных листа римановой поверхности. Отдельные листы римановой поверхности скрепляются вместе в точке ветвления функции, которая также называется точкой ветвления римановой поверхности. Точка ветвления имеет порядок, равный соответственно п—1 или оо, смотря по тому, принадлежит она п листам римановой поверхности или же бесконечному множеству таких листов.

Если подобным образом произвести замену w-плоскости римановой поверхностью функции, обратной /(г), то обе римановы поверхности при помощи функции w=f(z) будут отображаться одна на другую однозначно обратимым образом.

Наглядное изображение комплексных функций

Для наглядного изображения комплексной функции 3=/(z) = =/(x-\-iy) = u (х, у) + iv (х, у) пользуются осуществляемым ею отображением. Его представляют, покрывая х,.у-плоскость или риманову поверхность функции /(г) кривыми, отображающимися в некоторые стандартные кривые и, -и-плоскости.

Выберем в качестве стандартных кривых те кривые, на которых действительная и мнимая части функции з сохраняют постоянное значение, скажем, 卫(尤,y) = mcc, v (х, у) = пх1 а — постоянное число, /и, п=0, ±1, ±2,.…Эти два семейства кривых, всюду, где функция /(г) регулярна и где f (г) 0, пересекают друг друга под прямым углом; две кривые, принадлежащие одному семейству, не пересекают друг друга, во всяком случае, на одном и том же листе римановой поверхности функции /(г).

Первая интерпретация. Всегда можно рассматривать одно из семейств (безразлично, какое именно) как семейство линий уровня некоторой поверхности, расположенной над г-плоскостью; тогда другое семейство будет представлять собой семейство линий, быстрейшего спуска (градиентных линий) этой поверхности. Над каждой г-областыо

при этом будет лежать столько кусков поверхности, сколько имеется соответствующих этой области листов римановой поверхности.

Поверхность всюду имеет отрицательную кривизну и, следовательно, не имеет ни максимумов («вершин»), ни минимумов («ям»).

Каждая линия быстрейшего спуска спускается монотонно от 十 оо до —оо; каждая линия уровня отделяет область, расположенную выше, от области, расположенной ниже. Все кривые обоих семейств незамкнуты; если какая-либо из линий не является на всем своем бесконечном протяжении свободной от двойных точек, то либо эта линия прерывается особой точкой функции, либо она принадлежит раз-

личным листам римановой поверхности.

сти Dсти DВторая интерпретация. Одно из семейств кривых (например, u — const) можно рассматривать как семейство линий тока плоского потока несжимаемой жидкости； тогда другое семейство (т = const) будет семейством линий равного потенциала (скоростей). Поле векторов скоро-

сти D

сти D

,направленных по касательным к линиям u = const,

является безвихревым и свободным от источников: div V = 0, rot D = О во всех точках, в которых функция /(г) регулярна. Особые точки,

либолибовихревыевихревыенапротив, представляют собой либо источники,

либо

либо

вихревые

вихревые

точки.

Нули и особенности. Нули функции / суть точки пересечения линий а=0 и и=0. л-кратные нули функции / являются (л——1 )-кратными нулями производной /\ Они изображаются седло^ выми точками поверхности (в которых «перевал» ведет из одной «долины» в другую) в первой интерпретации или соответственно точками скрещивания потока жидкости во второй интерпретации. Здесь встречаются п долин, соответственно л течений. Через эту точку проходят по 2〃 кривых каждого семейства (с тем же параметром, т. е. с той же самой константой), причем соседние кривые пересекаются под углом, равным тт/〃； каждый из этих углов делится пополам одной из кривых другого семейства. Отображение здесь более не является конформным, и оба семейства кривых перестают быть взаимно ортогональными (см. рис. 5, стр. 117, на котором изображена точка скрещивания первого порядка).

Простой полюс (точка бесконечности) дает «острие» бесконечной высоты, расположенное бесконечно близко к «дыре» бесконечной глубины, или же бесконечно близкие друг к другу источник и сток (Quellsenke). Из простого полюса исходит по пучку соответствующих

всевозможным значениям параметра кривых каждого семейства, кото

рые затем снова впадают в него по направлению, противоположному тому, по которому они исходили (см. рис. 21, стр. 159, где представлен простой полюс), п-кратные полюсы дают, согласно этому, л «острий» и л «дыр» (л источников и л стоков, имеющих каждый бесконечно большую интенсивность), расположенных бесконечно близко, симметрично и в перемежающемся порядке. О i сюда исходит по л

пучков кривых каждого семейства (см. рис. 7, стр. 118, где представлен полюс второго порядка).

В окрестности регулярной точки функция / (г) ограничена; окрестность полюсау как бы велико ни было постоянное число С〉0, может быть сужена таким образом, что всюду в ней будет ]/(n)|>G. В любой сколь угодно малой окрестности существенно особой точки функция /(г) принимает значения, сколь угодно близкие к любому заданному. Поэтому при приближении к этой точке по различным путям могут быть получены различные пределы; например, для z = 0 функция /(z) = e"z стремится к пределу е~ ^ = 0, если точка г движется по отрицательной действительной полуоси, и к пределу e+s = 8, если z движется по положительной действительной полуоси. Простые источники и стоки в интерпретации, связанной с потоком жидкости, всегда являются точками ветвления (например, z=lnw при 做=0, рис* 9, стр* 123)*

Рассмотрение обратной функции также может помочь выяснению свойств данной функции. Точки ветвления представляются в виде седловых точек (см. выше); число т в 5с, R, стр. 105 равно числу встречающихся долин.

Свойства функции можно сделать обозримыми, выбирая в качестве стандартных кривых также кривые постоянного модуля и постоянного аргумента-. г (х, y) = \w\ = та, ср(х, у)=/ф tg 屮=^) , а, р ——постоянные, т, 〃 = 0, ±1, + 2,...

В точках, в которых /(г) и ее обратная функция регулярны, оба семейства кривых взаимно ортогональны. Первое семейство представляет собой семейство линий уровня поверхности, называемой рельефом функции /(г), другое семейство дает для этой поверхности линии быстрейшего спуска. Эти последние расходятся лучеобразно от полюсов, чтобы снова сойтись в нулях. Линии уровня, представляющие собой кривые, свободные от двойных точек и на римановой поверхности замкнутые, охватывают полюсы и нули; вокруг точки ветвления кривая делает столько обходов, сколько имеется скрепленных в этой точке листов римановой поверхности.

Полюсы изображаются бесконечно высокими остриями, нули ——воронкообразными углублениями;(〃——1 )-кратные нули производной/7, при условии, что /(2)抬 0, изображаются седловыми точками с п долинами х).

Представление, устраняющее особое положение точки г= оо, получают при помощи стереографической проекции х,_у-плоскости, или соответственно 〃, ^-плоскости, на сферу, которая касается плоскости в одной точке, например в нулевой точке (Риман). Из точки сферы, диаметрально противоположной точке касания, проводят лучи, пересечением которых со сферой и с плоскостью устанавливается

')Чертежи см. в книге Е. Янке и Ф. Э м д е, Таблицы функций с формулами и кривыми. Изд* 3-е, Физматгиз, 1959.〈Прим. №°・)

взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и точками сферы. Точке оо соответствует при этом центр проектирования. Отображение является конформным.

Если таким же образом спроектировать сферу на другую касательную плоскость, то определяемое этим конформное отображение обеих плоскостей друг на друга может быть осуществлено непосредственно при помощи некоторой дробно-линейной функции.

В. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Определение функций

Определение специальной функции может быть дано:

посредством указания определенных свойств, которыми должна обладать функция, например особенностей при в общем регулярном поведении (Риман), или внутренних закономерностей, описываемых функциональными уравнениями (например, такими, как условие периодичности, дифференциальные или интегральные уравнения), или, наконец, экстремальных свойств (вариационные условия);

посредством указания способа вычисления значений функций, например с помощью алгебраических уравнений, дифференцирований или интегрирований, или с помощью разложения функции в ряд по уже известным функциям.

Не всякая система заранее указанных свойств определяет функцию: определение функции при помощи методов, перечисленных в пункте а), требует поэтому всегда доказательства ее существования; во многих случаях таким доказательством служит указание конструктивного определения функции в соответствии с пунктом Ь).

Классификация функций

az +匕 cz -\^daz +匕 cz -\^d>w — az^b называется целой линейной функцией.

az +匕 cz -\^d

az +匕 cz -\^d

называется дробно-линейной функцией.

s =0。2"十012"-1 + ... 十0万_12+a^ (a。，0) называется целой

рациональной функцией степени л^ или/ короче, полиномом.

竺 十Ж1，… 扌:""十Т1 называется {дробной} рациональной функцией.

Если s удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению . -^rn (z) = 0, коэффициенты гд (z) которого являются рациональными функциями, то w называется алгебраической функцией.

Функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцен-

дентной.

Функция, которая в конечной части плоскости всюду регулярна и, следовательно, может быть представлена в виде степей-

ного ряда 士 做2匕 сходящегося при любом конечном значении z о

(т. е. всюду), называется целой-, целой рациональной (полином), целой трансцендентной.

Функция, не имеющая в конечной части плоскости других особенностей, кроме полюсов, называется мероморфной. Она может быть представлена в виде отношения двух целых функций, а также в виде суммы целой функции и простейших дробей. Рациональные функции являются частным случаем мероморфных.

Алгебраические функции

Если конечнозначная аналитическая функция 仞=/(z) нигде (в частности, также и при z=oo) не имеет существенных особенностей, то эта функция является алгебраической (см. 2); в качестве ее особенностей могут встретиться лишь полюсы (простые и кратные) и точки ветвления. Соответствующая риманова поверхность состоит из п листов, где п—степень алгебраического уравнения, определяющего 仞；над каждой точкой z, которая не является точкой ветвления, лежит точно п листов.

Рациональные функции

(однозначные алгебраические функции)

Целые линейные функции w=az-\-b.-

Обратная функция: z =侬 口，(также целая линейная функция).

Отображение: ^-плоскость и w-плоскость конформно отображаются друг на друга при помощи поворота и растяжения, т. е. при помощи сдвига, вращения и изменения масштаба (преобразование подобия).

Дробно-линейная функция 仞=£：■丰;.

Обратная функция: z =三^3f (также дробно-линейная).

Особенность： простой полюс при z =у , в остальных точках регулярна.

Ну ль' z —.

Отображение: окружности (а также прямые) переходят в окружности или прямые. Всякое взаимно однозначное конформное отображение полной 2-плоскост и (т. е. с включением точки 2= оо) на полную w-плоскость осуществляется при помощи некоторой линейной функции.

Линейная функция может быть при е 声 0 составлена из следующих функций:

CZ-\- d — 2Z；^7=2”； 上 с，“ 2” + ^ =叫

соответствующее отображение, следовательно, получается с помощью поворотов, сопровождаемых растяжениями (см. а), и отображения, определяемого посредством уе , гдеинверсии относительно единичной окружности (с отражением в х-оси).

См. также пример 砌=р^^ в Приложении 2 (стр. 569).

у) Целая рациональная функция n-й степени (полином) п обратная ей функция

Обратная функция не является рациональной.

По основной теореме алгебры функция 砌 может быть представлена в виде

砌=g(2 —/)(2—司)...(2 — 2)

В точках a】,z2,, . zn функция имеет нули. Если zt = z2, то в этой точке находится двукратный нуль и т. д. Бесконечно удаленная точка является единственной особенностью (полюс %-го порядка).

Частным случаем является функция

которая может быть особенно легко изображена наглядно, если нарисовать кривые г = const, ср = const и соответственно р = const, 屮=const, где

z = r^, 3=p6也

Имеют место равенства

p =产，屮=吋 и г= (/ p,平=:.

Кругу w-плоскости с центром в точке 砌=0, разрезанному по радиусу, соответствует круговой сектор n-плоскостн с углом, равным 2тт/%. w-плоскость поэтому не может быть взаимно однозначно отображена на 2-плоскость при помощи рассматриваемой функции; чтобы такое отображение стало возможным, вместо w-плоскости следует взять /z-листную риманову 妙поверхность с точками ветвления при 砌=0 и w —оо.

В случае % = 2 функция

W=f(z) = aZ? + 第+ с может бытъ составлена из линейных преобразований

и функции

砌=2* для которой обратной является 2 = У^・

Эта функция отображает n-ппоскость на дважды взятую w-плоскость. Чтобы достичь однозначности обратной функции, необходимо заменить

^-плоскость двулистной римановой поверхностью. Изображение на ^-плоскости имеет при 2=0 седловую точку (двукратный нуль).

Имеют место формулы:

十〃十уm2十=芬2, X2 —少2 = 〃,

—〃-)-m 〃2+02 = 2儿 2xy=v.

Кривые х = const, у = const на софокусные параболы с фокусом

w-плоскости представляютw-плоскости представляютсобой Крк-собой Крк-вые и = const, у = const представляют собой равносторонние гиперболы в полуплоскости х>0 (рис. 5).

w-плоскости представляют

w-плоскости представляют

собой Крк-

собой Крк-

Дробная рациональная функция и обратная ей функция.

Обратная функция здесь также не принадлежит к тому же типу. Мы рассмотрим случай функции

吻=丄,обратной которой является z =.

Имеют место равенства

f 小И+“ + 七尸Й = 2х2,

.(炉 +屮)2 - "(炉以

Кривые изображены на рис. 6 и 7. Точка 2=0 является полюсом вгорого порядка; здесь сходятся по два пучка кривых каждого из семейств 〃 = const Н 0 = const.

Рие. 7.如=言

Нерациональные алгебраические функции

Мы рассмотрим лишь один частный случай ——функциюw=/1-2* обратную функции 2 = /1一初、

Рис. 8 представляет одну ветвь функции 砌 на z-плоскости; на w-плоскости в данном примере получается в точности та же картина. Каждому значению z соответствуют два значения w. Точки

Рис. 8.如=М1 — ?2.2 =十1 и 2 = —1 являются точками ветвления. Функция имеет, таким образом, две ветви, которым соответствуют два листа римановой поверхности, соединяющихся друг с другом по отрезку с концами Ц- 1 и——1. Точка 2 = оо (砌= оо) представляет собой простой полюс.Рис. 8.如=М1 — ?2.2 =十1 и 2 = —1 являются точками ветвления. Функция имеет, таким образом, две ветви, которым соответствуют два листа римановой поверхности, соединяющихся друг с другом по отрезку с концами Ц- 1 и——1. Точка 2 = оо (砌= оо) представляет собой простой полюс.

Рис. 8.如=М1 — ?2.

2 =十1 и 2 = —1 являются точками ветвления. Функция имеет, таким образом, две ветви, которым соответствуют два листа римановой поверхности, соединяющихся друг с другом по отрезку с концами Ц- 1 и——1. Точка 2 = оо (砌= оо) представляет собой простой полюс.

Рис. 8.如=М1 — ?2.

2 =十1 и 2 = —1 являются точками ветвления. Функция имеет, таким образом, две ветви, которым соответствуют два листа римановой поверхности, соединяющихся друг с другом по отрезку с концами Ц- 1 и——1. Точка 2 = оо (砌= оо) представляет собой простой полюс.

Элементарные трансцендентные функции

Показательная функция ехр (х) = е*

Она является простейшей целой трансцендентной функцией, без полюсов и нулей. Мы определяем ее как решение дифференциального уравнения:

у—у = 0

с нормировкой:

у(0)= L

Она может быть представлена с помощью следующего ряда:

ехp(х)= 1 +备 +导 +

или же как предел:ехр(х%%(1+£)"=“％(1+^『или же как предел:ехр(х%%(1+£)"=“％(1+^『：Hm〃一＞8：Hm〃一＞8111 n1 n

или же как предел:

ехр(х%%(1+£)"=“％(1+^『

или же как предел:

ехр(х%%(1+£)"=“％(1+^『

：Hm

〃一＞8

：Hm

〃一＞8

1

1

1 n

1 n

Одним из ее значений exp (1) = 1 十% 十%十备 十... является число е= 2,7182818. . . Поэтому большей частью пишут: ехр(х) = е".

Функция принимает, среди прочих, следующие значения:

е± 2d= 1; е± =——1 ； е± 2 =才二乙 где тг = 3,141593

ех — периодическая функция с периодом 2п/:已工+几^亩=е*.

Имеет место теорема сложения:

Представляя ех в виде суммы двух слагаемых, из которых первое является четной, а второе ——нечетной функцией, получают целые трансцендентные

гиперболические функции ch х и sh х.

' 變 + g一X l ех - е~х

ch x = -^——， sh % =—-,ex = chx sh x( e~x = ch x — shx.

Они связаны соотношениями

Обе эти функции служат решениями дифференциального уравнения: У'—у = 0-

Они могут быть представлены с помощью следующих рядов:

chx=〔+^- +訂 +sh x=x-j- lr + fr + • • •

Эти функции, подобно ex, являются периодическими с периодом 2п/, но в отличие от йее имеют нули, которые расположены соответственно в точках ( п^)^ ш и пш.

Мы можем теперь определить мероморфные функции th х и cthx с помощью равенств

sh %1

tn X ~•

сп % cth %

Они являются периодическими с периодом тг/ и имеют нули и полюсы (соответственно полюсы и нули) первого порядка соответственно в точках е' и (几+'。亩.

th x может быть такисе представлен с помощью следующею разложения в ряд:

111 х х^ —正 № — в], х7 —j—(см. стр. 85).

Представляя etx в виде суммы четной и нечетной функций, получают целые трансцендентные

тригонометрические, или круговые, функции cos х и sin х.

е1'х IXе1Х _ е~1Х

cos х == chzx, sinx =—= — Zsh Zx,

elx = cos x -]- Z sin x,—cosx—/ sin x.

Они связаны между собой соотношениями

—cos х = — sin%, — sin x= cos x. dxdx

Обе они служат решениями дифференциального уравнения:

У+^=о

и могут быть представлены с помощью следующих рядов:

Эти функции являются периодическими с периодом 2тг и имеют нули соответственно в точках (〃+%)п и от. Имеет место также сле

дующее представление в виде бесконечного произведения:

sinnx = Trx JJ (sinnx = Trx JJ (

sinnx = Trx JJ (

sinnx = Trx JJ (

Мы можем теперь определить мероморфные функции tgx и ctgх с помощью равенств:

, sin х，

tgx == -— = — I th--- . ■.

a COSX Ctg Xcth IX

Они являются периодическими с периодом тг и имеют полюсы и нули (соответственно нули и полюсы) первого порядка соответственно в точках (〃+工)1T и m.

tg х может быть также представлен с помощью следующего разложения в ряд:•

炉 2]7

tg к =х- "у + 正 炉十 jj^ к? +. (см. стр. 85).

Функцииsec %Функцииsec %1COS X1COS Xcosec %cosec %1sin x1sin xsin vers x = 1 — cos хэsin vers x = 1 — cos хэsem x =sem x =1 — cos x1 — cos x=s"=s"X1X1

Функции

sec %

Функции

sec %

1

COS X

1

COS X

cosec %

cosec %

1

sin x

1

sin x

sin vers x = 1 — cos хэ

sin vers x = 1 — cos хэ

sem x =

sem x =

1 — cos x

1 — cos x

=s"

=s"

X

1

X

1

употребляются сравнительно редко.

Из числа функций, обратных перечисленным здесь, часто встречаются следующие:

натуральный логарифм, In х.

Он определяется соотношением 6也％ = % и МОжет быть представлен с помощью интеграла:

1пх = ",

1 или же как предел:

1п хг= lim х ~).

е f 0£

Имеет место функциональное уравнение:

In ах = In а In х.

Для In х точки 0 и оо являются особыми (точки ветвления бесконечного порядка), вследствие чего In х представляет собой бесконечнозначную функцию. Значения функции, принадлежащие различным ветвям, отличаются на кратное 2та. Поэтому 1п х в окрестности нуля не разлагается в степенной ряд, но допускает такое разложение в окрестности любой другой конечной точки. Разложение имеет вид

В вычислительной практике вместо натуральных логарифмов употребляются почти исключительно бригговы логарифмы log при основании 10. Имеем: iQiogх — Xj откуда logхз= 1^-^ = 0,434295...Inх.

Обратные круговые и обратные гиперболические функции Arcsin х, Arccos х, Arsh х, Arch х и т. д.

Они определяются как обратные функции равенством

sin (Arcsin %) = %

и аналогичными равенствами для других функций. Они могут быть представлены с помощью логарифма:

A『csin% = — z In (Ёг+ 厂1 —■ Arshx = \n (x x2 1); Arctgx=^ln^±^;A「th x In ;21 — xA『csin% = — z In (Ёг+ 厂1 —■ Arshx = \n (x x2 1); Arctgx=^ln^±^;A「th x In ;21 — x; Arccos% = —z In (% + »/1 —x2)；Arch % = In (% + ]/%2 —1)；Arcctgx = ^In 詔；Arcth % = ! In 2士，.

A『csin% = — z In (Ёг+ 厂1 —■ Arshx = \n (x x2 1); Arctgx=^ln^±^;

A「th x In ;

21 — x

A『csin% = — z In (Ёг+ 厂1 —■ Arshx = \n (x x2 1); Arctgx=^ln^±^;

A「th x In ;

21 — x

2 x — 1

Для действительных х > 0. (Прим, peg

Эти функции бесконечнозначны. На каждом листе римановой поверхности лежат две точки ветвления первого порядка, из которых идут разрезы к z= оо.

На рис. 9—12 схематически изображены функции е*+%

им.им.sin (% + 0) и функции, обратные

им.

им.

Некоторые употребительные формулы.

Соотношения между круговыми функциями:

COS X

=У 1 —sin2 x

_ 1

—Ctgx

/l+tg2x

К 1 +c【g% 1

к 1 — cos2 X

= sinx

/1 + tg2 X

У1 + ctg2 J

У 1 — cos2 х

sin X

= tg X

—1

cos X

M1 — sin2 x

ctg J

COS X

_ 1 1 — sin2 X

— 1

=ctg 用.

У1 — COS2 X

sin x

tg X

Соотношения между гиперболическими функциями:

ch% =]/ 1 -|-sh2x~

_1— cth x

M1 —收 x У cth2 x — 1

У ch2x— 1 =sh% 二

_ th x —1

/1 — th2x Кcth2 x - 1

У ch2 x — 1sh x_

ch xУ 1 十 sM x

ch x — У" 1 -|- sh2 x _

У Sx—lshx

1

=鳥=dhx.

Теоремы сложения：

cos (к±у)= cos % cosy 千 sin % siny;

ch (x ±y) =ch x chy 土 sh % shy；

sin (x ±y) = sin % cosy ± cos x siny;

sh (x ±y) = sh x chy 土 ch % shy

.,,x tgx tg V/.、 thx±thy

tg (% +_y) = -r ,——; th (% 4-= -j-г~;

6 '1 tg x igy'] 士 th thy，

L、 ctgxctgyHl, cthxcthy 土 1

7ctgy±ctgx'cth у 士 cth x

Функции двойного аргумента:

cos 2%= cos2 х— sin2% = f「;ch 2x = ch2 x + sh2 x;

sin 2% = 2 cos xsinx— % •能： ;sh 2% = 2ch x sh x;

1 + fg x

tg 2x =

2tgx .

1 — tg2X，

th 2% 二

_ 2th x . l+th^*

ctg 2x =

ctg2 X — 1

2ctgx '

cth 2% 二

_ cth2 x + 1

2 cth x

Степени функций (ряды Фурье):

при n нечетном:

)sin (〃 一 4) х —)sin (〃 一 4) х —sid x= &У 1 [sin nx — ( ； ) sin (〃 — 2)工十(j

)sin (〃 一 4) х —

)sin (〃 一 4) х —

白产Х J；cos(/z—4)x—|—...白产Х J；cos(/z—4)x—|—...—(3 ) sin (〃 — 6) x 十...十(—1) 2

白产Х J；

cos(/z—4)x—|—...

白产Х J；

cos(/z—4)x—|—...

cos хcos хcob х = G)“ 1 [ cos 〃x 十(；)cos (〃 — 2) x 十(；)

cos х

cos х

при п четном:

sinnx = - ~!^ [cos пх——(；)cos (л ——2)工十(；)cos (л ——4) х.

•••十(一1) 2 (三 jcos2x| 十出；;

cos nx 十cos nx 十cos (л - 2)Х十cos (л - 2)Х十

cos nx 十

cos nx 十

cos (л - 2)Х十

cos (л - 2)Х十

Функции половинного аргументам

%11 + cos %C0S 2-= У -2—.%■ / 1 — COS XSET= У ―—%11 + cos %C0S 2-= У -2—.%■ / 1 — COS XSET= У ―—chT =chT =sh 三— sn 2 —sh 三— sn 2 —

%11 + cos %

C0S 2-= У -2—

.%■ / 1 — COS X

SET= У ―—

%11 + cos %

C0S 2-= У -2—

.%■ / 1 — COS X

SET= У ―—

chT =

chT =

sh 三— sn 2 —

sh 三— sn 2 —

,% sin % 1 — cos % .冃2 — 1 4-cosx — sin x ',二—sin %— 1 + cos % .2 2 — 1 — cos % — sin % *,% sin % 1 — cos % .冃2 — 1 4-cosx — sin x ',二—sin %— 1 + cos % .2 2 — 1 — cos % — sin % *x— shx —chx— 1.2 — ch % + 1 — —sh x一 'x sh % ch x 4-1 cth—= —гr-= —2 ch х — 1 sh %x— shx —chx— 1.2 — ch % + 1 — —sh x一 'x sh % ch x 4-1 cth—= —гr-= —2 ch х — 1 sh %

,% sin % 1 — cos % .冃2 — 1 4-cosx — sin x '

,二—sin %— 1 + cos % .

2 2 — 1 — cos % — sin % *

,% sin % 1 — cos % .冃2 — 1 4-cosx — sin x '

,二—sin %— 1 + cos % .

2 2 — 1 — cos % — sin % *

x— shx —chx— 1.

2 — ch % + 1 — —sh x一 '

x sh % ch x 4-1 cth—= —гr-= —

2 ch х — 1 sh %

x— shx —chx— 1.

2 — ch % + 1 — —sh x一 '

x sh % ch x 4-1 cth—= —гr-= —

2 ch х — 1 sh %

8. Суммы u разности функций:COS X 十 cosy = 2 COS —^ COS 2 ;COS X ■— cosy — — 2 sin —sin ——8. Суммы u разности функций:COS X 十 cosy = 2 COS —^ COS 2 ;COS X ■— cosy — — 2 sin —sin ——sin x —F~ sin J/2 sin —-— cos —■~；sin x —F~ sin J/2 sin —-— cos —■~；ch x Ц- ch_y = 2 ch X +^ c^~^ ；ch x — ch_y = 2sh^^sh^^ ;sh x ± shy = 2 sh%2^* ch^ф^ ;ch x Ц- ch_y = 2 ch X +^ c^~^ ；ch x — ch_y = 2sh^^sh^^ ;sh x ± shy = 2 sh%2^* ch^ф^ ;

8. Суммы u разности функций:

COS X 十 cosy = 2 COS —^ COS 2 ;

COS X ■— cosy — — 2 sin —sin ——

8. Суммы u разности функций:

COS X 十 cosy = 2 COS —^ COS 2 ;

COS X ■— cosy — — 2 sin —sin ——

sin x —F~ sin J/2 sin —-— cos —■~；

sin x —F~ sin J/2 sin —-— cos —■~；

ch x Ц- ch_y = 2 ch X +^ c^~^ ；ch x — ch_y = 2sh^^sh^^ ;sh x ± shy = 2 sh%2^* ch^ф^ ;

ch x Ц- ch_y = 2 ch X +^ c^~^ ；ch x — ch_y = 2sh^^sh^^ ;sh x ± shy = 2 sh%2^* ch^ф^ ;

tgx4-tgу =— ； thx + thy= • J 亡力;

& — 丿 cos % cos уch % ch у

,公 sin (vsh(y±%)

ctg x + ctg v = ^—; cth x + cthy =―产 匚—.

6 —— &丿 shi x sin у —— 丿 sh % sh у

9. Преобразование произведений в суммы:

2 cos пх cos тх = cos (п —— 加)х 十 + cos (n + rn)工；

2 ch nx ch mx = ch (相 十 /n) x 十 + ch (n — /n)x；

2 sin nx sin mx = cos (相一m) x —

—cos (n + 加)X；

2 sin nx cos mx = sin (n ——гп)х-\- -|-sin (/z-|-/?z)x;

2 sh nx sh mx = ch (相 十 加)x — —ch (n —m) x;

2 sh nx ch mx = sh (及-\-гп) x-^ -|-sh (n — /n)x・

Суммы и разности обратных функций:

Arccos х 土Arccosy = Arccos (xy 干 Jl —炉 Jl—j/2) =Arcsin (уУ 1 —%2±x J/1 —尸)，

Arcsin x+ Arcsin j/ = Arcsin (x ]/ 1 —yz±y У1 —x2) =Arccos (У 1 —炉]/" 1 —у2^ху),

Arctg х 士 Arctgj/ = Arctg ^^j,

Arch x +Arch у = Arch (xy + ]/"№ — 1 У у2—1) =Arsh [у Ух2— 1 土 — 1),

Arsh x ± Arsh у = Arsh (x VyZJ[-^ ±У P炉十〔5 =Arch (/戸/ И/ 十 1 士 秒),

Arth x Arth у = Arth〔" 一 ' ‘ .

Практическое применение логарифмов и тригонометрических функций. Применение логарифмов, в особенности бригговых: log х = = 0,434295. . .1口 х, для вычисления значений функции, представленной в виде произведения, является общеизвестным. Для вычисления некоторых других функций с помощью логарифмико-тригонометрических таблиц бывают полезны следующие формулы, содержащие вспомогатель

ной угол 中：1 cos” 中а — b = a cos2 屮, метод преобразования сумм и логарифмирование:ной угол 中：1 cos” 中а — b = a cos2 屮, метод преобразования сумм и логарифмирование:разностей к виду, допускающемуразностей к виду, допускающему

ной угол 中：

1 cos” 中

а — b = a cos2 屮, метод преобразования сумм и логарифмирование:

ной угол 中：

1 cos” 中

а — b = a cos2 屮, метод преобразования сумм и логарифмирование:

разностей к виду, допускающему

разностей к виду, допускающему

bгде cos 屮=£ ,bгде cos 屮=£ ,

b

где cos 屮=£ ,

b

где cos 屮=£ ,

E = tg"一中)，где tg中=不,

V a -[-b == —, где 块 9 =—,

]cos cp sin ср *匕丫 а

m优力2 = a sin平=力tg中，где cos屮=2,

y a2 -Д^Ь2 — lab cos у = (а + b) cos % гдеy a2 -Д^Ь2 — lab cos у = (а + b) cos % гдеsin屮sin屮2 Mа方 丫—cos 丁, а +匕 2 *2 Mа方 丫—cos 丁, а +匕 2 *

y a2 -Д^Ь2 — lab cos у = (а + b) cos % где

y a2 -Д^Ь2 — lab cos у = (а + b) cos % где

sin屮

sin屮

2 Mа方 丫

—cos 丁, а +匕 2 *

2 Mа方 丫

—cos 丁, а +匕 2 *

cos a cos 力 + sin a sin b cos уcos a cos 力 + sin a sin b cos у—cos a cos (b — у) 一 cos 中 cos。sin (b + 屮)一 sin 中—cos a cos (b — у) 一 cos 中 cos。sin (b + 屮)一 sin 中где tg(p = tgacosx где ctgcp = tg(z cosy.

cos a cos 力 + sin a sin b cos у

cos a cos 力 + sin a sin b cos у

—cos a cos (b — у) 一 cos 中

cos。sin (b + 屮)

一 sin 中

—cos a cos (b — у) 一 cos 中

cos。sin (b + 屮)

一 sin 中

Корни уравнений:

x22ах 力 2 = 0;%i = ^tg%%2 = —— ^ctg 屮，гдеtg2y=^,

尤22ax -\- bz = 0\%]=Z?tgy,%2 = ^ctg%гдеsin2?=~^

(при Р|<|а|), соответственно, %i,2 =力(cos 屮土 i sin 屮)，где cos ср = у (при |^|^|а|), а cos 尤 +力 sin % = с; 尤=屮 +少， где tg =—,

cos ф= у cos у = / sin?,

尤3--зgх2 + 3bx c = 0; %〃 =a + 2 ]'a2——b cos (空军上)

仇=0, 1,2), где

/ 一等 a 力 + ^-

cos 屮 =——г(при a2~^b] при a2=b имеем % = 〃 + /c —— 优).

G — b) /2

Тригонометрия. Записываемые при пор.ющи тригонометрических функций соотношения между сторонами а, % с и противолежащими им углами а, 0, у имеют следующий вид:

8 плоском треугольнике (* +。十丫 =叮) sin а: sin。： sin 丫 = а:力：с (теорема синусов),

a^ — b2 -\-с2 ——2bc cos а (обобщенная теорема Пифагора),

传 4- с) si吗=〃 cos 写]

г 卜(уравнения Мольвейде),

(力一с) cos 京=а sin —I

b - c , 8一Y，a?4工=烂F g^b - c , 8一Y，a?4工=烂F g^(s — /?)($ — с)$ ($ — а)(s — /?)($ — с)$ ($ — а)a 4-с где §=—1 2 1 ,a 4-с где §=—1 2 1 ,—07- (уравнение Непера), tg中

b - c , 8一Y，a

?4工=烂F g^

b - c , 8一Y，a

?4工=烂F g^

(s — /?)($ — с)$ ($ — а)

(s — /?)($ — с)$ ($ — а)

a 4-с где §=—1 2 1 ,

a 4-с где §=—1 2 1 ,

площадь: / = ^ siny= М s(s 〃)(sG)(s с);

в сферическом треугольнике 佃十3十丫 =冗十£； $—сферический избыток)■

sin а: sin р: sin y = sin atsinb: sin с (теорема синусов丿， cos а = cos b cos с sin b sin c cos a, [

a , . Q .〉 (теоремы косинусов),

cosa = — cos p cos 丫 十 sin ° sin у cos a 丿丿 八

SIH — Sin—2~:== SIH — COS—2~ j

.ct b + c a 0 + 丁

2222 (уравнения Мольвеиде, / ayccat

cos^siu^=sin^sinf, Деламбра), a b сa ・ 8 4-7

COS у cos ——= cos — sin’，…

d 1/sin ($ 一匕)sin ($ - c) _a十匕十(?/力

tg У sill s sin (s - a) ， s =2~ < "2，

. a T f — CCS a CCS (b — a)a 4- 4-7 z

^2=V 硏『而I』，0 =>2，

площадь: /=R2& (s выражено в дуговой мере, R ——радиус сф^ры),

При логарифмических вычислениях часто бывает полезным введение вспомогательного угла (см. стр. 126), например,

в плоском треугольнике:

с = (а-]-b\ cos 屮,с = (а-]-b\ cos 屮,при с, выраженном через а, Ь,при с, выраженном через а, Ь,.2 yr a b 7

с = (а-]-b\ cos 屮,

с = (а-]-b\ cos 屮,

при с, выраженном через а, Ь,

при с, выраженном через а, Ь,

где sb 屮=7rpycos 少

у, соответственно

7 а 4- &.с

cos —=——三■ sin ср, где cos ср =―

при j, выраженном через a, 仇 с;

в сферическом треугольнике:

cos (Ь —中))

cos с =——cos a,

{ при c,

выраженном

cos 中'

1 через at

6, Y，

где tg 屮=

1 при/?, выраженном че-

j， cos a …，

=tg a соз у

Рез a, с,

Y，

при a.

выраженном

g — g isin (b一中)'，

[через a,

6, г

Функции гипергеометрического типа

а) Общие гипергеометрические функции

,Они определяются как решения дифференциального уравнения Гаусса:

х(1 — Х)У +(Y — (а -|- р + 1) х)У — а^у = 0.(1)

Этому уравнению удовлетворяет ряд

со,、

у = х°и(х, 8) = х5 ^4^^' где Cfc +1 = Cfc (7 + 6 i *) (1 + 6 + ft) •

Определяющее уравнение (см, стр. 329) для S здесь имеет вид

方传+ y 一 1) = 0.

Таким образом, рассматриваемое уравнение в случае, если у не есть целое число, имеет два линейно независимых решения:

乂 =尸(/Р, x X)= 1 +§ x +巴吋m『嗒+ ]

I a(a + l) (+)р(Р + 1)©+2) d If ⑵

d 而冃研哥 3十…J

乂 =广7(1+(-Т+耙「+ °X+•①)

Последнее решение может быть также представлено в виде

乂 = х'-т尸(а —丫十1, р —y + 1, 2—Y，х).(3‘)

Поэтому достаточно, вообще говоря, изучить зависимость функции 尸(а, 0, Y，%) от ее аргумента х и параметров а, 8, у. Она определяется как решение уравнения ⑴，удовлетворяющее начальным уело- ВИЯМ у(0)= 1, У(0) = -^~.

Оба ряда (2) и (3) заведомо сходятся при |%|<1, за исключением того случая, когда 丫 ——целое число, В последнем случае находится только одно решение, ибо при у = 1 оба ряда совпадают, а при 丫*1 один из них расходится. Если первое решение обозначить через 沙？ то второе решение У2) можно будет записать в форме

у(2)=у“)]口 尤 +%, где z находится либо общим способом, описанным на стр. 322, либо же при помощи разложения в ряд, как решение неоднородного уравнения после подстановки выражения для у‘*)(при известном у⑴)в уравнение (1).

При у=1 имеем также:

券=尸(% Р，1,х)1Пх+借+ 苓+2^'=「

При а или 0 целых неположительных ряд обрывается, превращаясь в полином (полином Якоби, стр. 90).

Решение дифференциального уравнения Гаусса допускает также интегральное представление:

у=с]尸7(1 — /)1-一(1 —X/)-%/.

Путь интегрирования может быть взят

между двумя точками, в которых Г (1——£尸一”(1—尤/)'■卩一， обращается в нуль, или

в виде замкнутого контура, внутри которого лежат две особые точки подынтегральной функции, или

в виде двойной петли (см. стр. 110), обходящей особые точки по два раза в противоположных направлениях.

В частности, чтобы получить представление функции Л (а,卩，％ %), следует взять точки 0 и 1 и исключить точку / = 1 /х. Нормирующий множитель С определяется условием у (0)=1. Это дает в случае

、「П (丫 一 1) / если Rea>0

丿 L]i(a-ljH&—a-l) ) и Re(y—a)>0, в случае.

&= 1 _；2工亘 Q, если y — целое число, в случае

Сс — ] 一 e2T7cf-a)Gr

Одновременно получаем частное значение

尸(%0，L 1)=尸(%0，L 1)=S —I) p _ 1)'S —I) p _ 1)'Н(т — 1) Н (т _ a _11 (f — a — 1) 11 (丫 一

尸(%0，L 1)=

尸(%0，L 1)=

S —I) p _ 1)'

S —I) p _ 1)'

Имеется ряд тождеств, из которых наиболее важными являются следующие:

尸（％ р, х %）三尸低 ％ Y，%）三（1 —尸（丫一％ 丫一0, Y，x}= 三！!$二；）/*二;;（一yГ"尸（a, a-Y+1, a 一0+1,?）十

H(a— g— 1)H(Y — 1) 11 (a — 1) 11 (丫 一 p — 1)H(a— g— 1)H(Y — 1) 11 (a — 1) 11 (丫 一 p — 1)(一 %)一3尸(p，в-Y + l p 一 a + 1, ~).

H(a— g— 1)H(Y — 1) 11 (a — 1) 11 (丫 一 p — 1)

H(a— g— 1)H(Y — 1) 11 (a — 1) 11 (丫 一 p — 1)

Их можно использовать для получения асимптотических (полусходя- щихся) рядов при I * I〉L

Далее, имеет место соотношение

^尸(% В，Y，x) = +尸色 + 1, ?+1, Y+ 1, X).

Дифференциальное уравнение Гаусса характеризуется своими тремя правильными особыми точками (см. стр. 329): 0, 1 и оо с показателями, равными соответственно 0 и 1—丫，0 и у — а — 0, а и р. Сумма этих показателей равна 1.

При помощи линейного преобразования независимой переменной особые точки уравнения можно переместить в три произвольные точки 〃，仇 ％ при помощи же преобразования зависимой переменной можно показатели сделать равными произвольным числам аа\ 00', 丫丫', сумма которых остается по-прежнему равной 1. Это приводит к более общему уравнению, которое называется дифференциальным уравнением Римана:

а/(а —①但一с) I 瞅(力一с)(Ь — а)〔斤(с — а) (с —力)а/(а —①但一с) I 瞅(力一с)(Ь — а)〔斤(с — а) (с —力)++(х — а) (х — Ь) (% — с)(х — а) (х — Ь) (% — с)j = 0.j = 0.

а/(а —①但一с) I 瞅(力一с)(Ь — а)〔斤(с — а) (с —力)

а/(а —①但一с) I 瞅(力一с)(Ь — а)〔斤(с — а) (с —力)

+

+

(х — а) (х — Ь) (% — с)

(х — а) (х — Ь) (% — с)

j = 0.

j = 0.

Его решения могут быть представлены с помощью гипергеометрических функций. Его частное решение

X尸(a + P + 丫，а + РТ丫, 1 + —К "體二X) обозначается символом

ными и обратно, рднако эта операция, и третьему столбцам, приводит к тому Выбирая различным образом 〃，仇 с наряду сными и обратно, рднако эта операция, и третьему столбцам, приводит к тому Выбирая различным образом 〃，仇 с наряду с[ О[ О

ными и обратно, рднако эта операция, и третьему столбцам, приводит к тому Выбирая различным образом 〃，仇 с наряду с

ными и обратно, рднако эта операция, и третьему столбцам, приводит к тому Выбирая различным образом 〃，仇 с наряду с

[ О

[ О

Другие решения могут быть получены путем перестановки столбцов этой схемы и заменой штрихованных показателей нештрихован- 一 亠примененная только ко второму

же решению.) и значения параметров, можно

оо 1'

а 0 х .

? 丫—а 一р

получить решения других дифференциальных уравнений, относящихся к тому же типу.

При 。=1,力=8, с =——1 получаем:

у^С^-хГ^+хГР^ + ^^а^-^^-^ 1+а-а； Ц^)

и далее ири а=Y = -£ = 一 丁 =子，0 = - % g=1+m

Ух = (1 —尤2产尸(—m, n ~\- \ ~\- mf 1十加,，2，)=

/ 10

=尸：(X)=p《成一"x >

——присоединенную сферическую функцию и ее уравнение (см. стр. 136);

точно так же при а = у = О, £ = 丁 = ^, 0=—g = k получаем: (10—1

乂 =尸(一/%^,?) = 7\(X)=p0〃: x .

—функцию Чебышева (см. стр. 138).

Ь) Сферические функции Лежандра Ря (х) и Q〃 (尤)

Они служат решениями дифференциального уравнения Лежандра:

（1-炉丿—2 砂，+ ^+1）y=0,

являясь, следовательно, частнымявляясь, следовательно, частнымций аргументаций аргумента宇）宇）случаем гипергеометрических функ- ,и могут быть представлены с послучаем гипергеометрических функ- ,и могут быть представлены с помощью рядов: со乃=0мощью рядов: со乃=0гдегде他一〃)伏+ 〃+) % + 2 — % 伏+1)伏+2)他一〃)伏+ 〃+) % + 2 — % 伏+1)伏+2)т.т., = 4(1_^H)炉 +, = 4(1_^H)炉 +〃(以一2)(72 + 1) (〃 + 3)〃(以一2)(72 + 1) (〃 + 3)4!4!+ 8 (廿一+ 8 (廿一(〃 一1)(〃 + 2)尤§(〃 一1)(〃 + 2)尤§3!3!（〃-i）s-3）s+2）m+4）（〃-i）s-3）s+2）m+4）5151XX))

являясь, следовательно, частным

являясь, следовательно, частным

ций аргумента

ций аргумента

宇）

宇）

случаем гипергеометрических функ- ,и могут быть представлены с по

случаем гипергеометрических функ- ,и могут быть представлены с по

мощью рядов: со

乃=0

мощью рядов: со

乃=0

где

где

他一〃)伏+ 〃+) % + 2 — % 伏+1)伏+2)

他一〃)伏+ 〃+) % + 2 — % 伏+1)伏+2)

т.

т.

, = 4(1_^H)炉 +

, = 4(1_^H)炉 +

〃(以一2)(72 + 1) (〃 + 3)

〃(以一2)(72 + 1) (〃 + 3)

4!

4!

+ 8 (廿一

+ 8 (廿一

(〃 一1)(〃 + 2)尤§

(〃 一1)(〃 + 2)尤§

3!

3!

（〃-i）s-3）s+2）m+4）

（〃-i）s-3）s+2）m+4）

51

51

X

X

)

)

один из рядов обрывается и превращается в полином Ле- ряд при этом есть функцияодин из рядов обрывается и превращается в полином Ле- ряд при этом есть функция

один из рядов обрывается и превращается в полином Ле- ряд при этом есть функция

один из рядов обрывается и превращается в полином Ле- ряд при этом есть функция

с произвольными Л и 5.

Для каждого целого числа л ^ О соответствующая сферическая функция жандра Рп (х) (см. стр. 90); второй Лежандра «второго рода» Qn (х). '

Для целых п имеют место также разложения по убывающим степеням：

и —/ 1 —办 S — 1) ] I 办 S — 1) S — 2) (/г — 3) J、丄 J一 I2(2/z- 1) J十 2・4(2/2一 1)(2汽一 3)一 丁一 丿十

I n 1/ 1 I 5+1)5 + 2) 1 I 5+1)5 + 2)5 + 3)5 + 4)丄丄 \

十%" + 1 ^ i DQ/2+з) 己г 2.4(2n + 3) (2n + 5) 炉十….丿

(|х|>1) с произвольными С и £).

В частности, при обычной нормировке 匕(1)=1 имеем:

旦(х)=1, Р^х^х, Р2(х) = 1(Зх2-1), Р3(х) = 1(5х3-Зх),

Р4(х)= у(35х4 — ЗОх2 + 3),2(*)=京(63炉一70х—15х),

Функции Q门(％) могут быть представлены следущим образом:

Qn (Х) = Рп (^) >П ]/ р~ + полином (п1)-й степени (см. стр. 329).

В частности, имеем:

Qo(%) = ln |/Г~^ = х+у+^ + у+ • • • =Arthx,

Qi (%) = X In J/^ : t j _ 1= _ 1+炉 + ^+家+

=x Arth x1.

Если I % I > 1, то

in V任^=in p注4土千=/+表+表+…土六

Дальнейшие Рп (х) и Q“ (％) находятся при помощи рекуррентных формул (см. ниже).

Полиномы Рп (%) имеют производящую функцию:

соответственно,=£ 尸以(£)「(" + " для "|>1

〃 =0

и допускают представление:

尸“ (х)=為灰(炉-1)"•

Они имеют также интегральные представления:

где интеграл берется по контуру, обходящему точку t = x, или же при помощи действительных интегралов:

Рп (х) = -1- J (% + (cos f)丿炉一\)п dt = о

=^ j(X 土 (cos О^2 —1 厂s+i)成.

о

Функции Qn(x) представляются следующим образом:

+ 1+1

Q“(x) = ^ J&(/)(£±K"x—/))d/=K J Pn{t)^_(x-t)dt^

-1-1

+1

=一 zn C Pn(^ S+(^一 £)成 (см. стр. 37)

Они имеют производящую функцию:

8

』=£ (2〃+l)P“(/)Q“(x)・

n = 0

Как для Рп (х), так и для Q^ (х) справедливы следующие рекуррентные формулы:

尸宀出=*х尸.(х)一子尸…(х)(〃纟0),

(Y)一-一-

= ；(〃P“(x)+ R-i(x)), 卜》1)・

P^+1 (^) = ^n- 1(X)+ (2n + 1)pn (x) 丿

Имеет место соотношение ортогональности:

『匕(X)尸“，(X)dx = ^Др 6““，，

+1f2 力！1

I х〃 РЙ_2а (%) dx J =「3.5…(2m一2叶1) * 2.4二石，

— I( = 0 ПРИ а отрицательном или полуцелом.

На рис. 13 дана качественная картина . зависимости функций Рп (х) от х и п.

Зональные сферические функции. Если положить х = cos ^ и рассматривать § как одну из сферических координат г, 8,屮，то

Рп (cos。) будет представлять собой функцию, определенную на поверхности некоторой сферы,——так называемую «зональную сферическую функцию», которая при л целом неотрицательном всюду конечна и непрерывна вместе со всеми своими производными. Функция

У = Рп (cos 8), рассматриваемая как функция от 8, удовлетворяет дифференциальному уравнению:

祭+ ctg啜+ 〃(〃+l)y = O.

Она может быть представлена в виде тригонометрического полинома (ряда Фурье). В частности, получаем:

Ро (cos 8) = 1, Р, (cos 3) = cos 8, Р2 (cos 8) =} (3 cos 2 8 十 1))

Рг (cos 6) = ^ (5 cos 33 + 3 cos 0),

「4 (cos ^) = i (35 cos 48 + 20 cos 28 十 9),…

Qo(cos3) = —Intg 万，Q](cos8)=—l—cosSIntg 万，…

При больших п Рп (cos ^) асимптотически представляется следующей функцией:

Р产(cosB)= ]/ “n s；n 3 sin ( ( " + 4") * + 亍)，T- 3〉巴(侪)=丄

Функции rnPn (cos 8) и ,工]Pn (cos 8) называются шаровыми функ-

4〃ал/〃 Лапласа\ они удовлетворяют уравнению А〃 = 0・

Вводя декартову координату N = rcosB, получим также:

尸“化。s3)=三f尸+啮(；).

Имеет место соотношение ортогональности:

f P“(cosB)2, (cos8) sinBd8 =]6““,.

Присоединенные сферические функции Р； (х)

Они являются решениями дифференциального уравнения;

([—炉)У” 一 2%У + Q 5 + 1) — ] Г Q y = Q.

При целых п и tn они легко находятся с помощью формулы

Рп (Х) = Р-т (Х) = (]/Т^Р)т 爲戶“ (х).

При I 相〉孔 они тождественно равны нулю.

В частности, имеем: Р^ (х) = Рп (х) и

8(Х)= /Т^^

Р；(х) = 3х J1 —х2,Р.2(х) = 3(1 —х2),

尸；(Х) = 4(5х2 — 1)/1—х2,个(х) = 15 (х —炉)， 尸；(х) = 15 (1 —工2) /1 — х2.

Отметим следующие рекуррентные формулы:

(2孔+1)X尸；(十)=5一m+1)尸詳(X)+ 5 +向理】⑴,d 、6+1)工秋(尤)一5 一m+1)0署1(用

凉尸"(х)=•

Если положить x= cos ^, то функция 匕(cos 8), рассматриваемая как функция от 8, представляет собой решение уравнения

糸 y + ctgB 窯 + (〃(〃+ 1)—為卜，= о.

Функции Рп (cos &) являются (подобно ^„(cosft)) тригонометрическими полиномами:

Р； (cos3) = sin 3,

PJ (cos d) =у sin 23,Pj(cos&) = —(1 —cos 23),

P' (cosft) =-g- (sin 8十5 sin 33), Pf (cos U) —— (cos 3— cos 33),

P； (cos 3)=彳(3 sin 3 — sin 33).

Имеют место соотношение ортогональности:

+ jтс

,Рп (尤)尸才(尤)dx = \ P„ (cos 3)尸彳(cos 3) sin 3d3 =

—1о

_2仇+加)！/

=(2办+1)5一出 М

а также так называемая теорема сложения:

匕(cos Y)=左 W ；:工岗£ 修(cos 3) P*(cos В') е,А « -叱

где cos 丫 = cos 3 cos 3' + sin 3 sin 8’ cos (屮一屮').

Общие сферические функции Yn (9,屮)

Они служат решениями дифференциального уравнения с частными производными:

祭+ ctg嘴+為宇+仆十1)y = 0

и могут быть представлены в виде

工也中)= fC/7出，中)，

где Yn = Pn (cos 3) eim，\ a Cnm — произвольные (комплексные) постоянные.

При целых п и /и, л^ 0, п^т^ — п получаются функции, однозначные и непрерывные на поверхности сферы. Постоянными, которых здесь имеется 2八十1， можно распорядиться, смотря по обстоятельствам.

Если ввести декартовы координаты х, у, z\ x = rsin& coscp, у = г sin 3 sin % г = г cos ft, то всякая линейная комбинация выражений вида

d^dy^dz1〈尸丿，

где &十0 + 丫 =八,выраженная через 3 н у, представляет собой снова некоторую функцию Уп (3,屮).Каждая однородная функция

138138iv. функции

138

138

尸“(х, У, z) л-й степени, для которой выполнено условие А尸〃 =0, может быть представлена в виде 尸〃(％, У, ^) = гл Уп (9,屮).

Наглядной физической интерпретацией Уп (3,屮) служит потенциал на сфере г = 1, в центре которой находится система мультиполей л-го порядка. При вращательной симметрии относительно оси z (осесимметрический случай) имеем: Yn (d, tp) = Сп0Рп (cos д).

Имеет место соотношение ортогональности:

2n к

中Msin9e)*(3,屮)屮出，屮) = 3E砒隔/.

* J勿(2〃 十 1)(〃 一 tn) 1

Функции Чебышева Тп (х) и Un (х)

Они служат решениями дифференциального уравнения: (1 — х2)У — х/+ л2> = 0,

в силу этого являются гипергеометрическими функциями: а = —р = л, Y = E аргумента ―-— или —^— и могут быть представлены с помощью рядов:

ОО

» =入卢，где 必=(『+])(+)%；

л Л "2 产 I л2 <«2 - 4) 4 л2 (Л2 - 4) (л2 - 16) . I

—“2 — ] J J ("2 — ]) ("2 — 9)ЗГ- 15!

с произвольными А и В.

Для каждого целого числа п один из этих рядов обрывается, и соответствующая функция превращается в полином. Тп (х), который нормируют так, чтобы было Гп (1) = 1, для чего множитель при хл берется равным 2"L Таким образом, имеем:

Т.⑴=1, Тх (х) = X,乙⑴=2炉 一 1,「3 (х) = 4х3 — Зх, Г4 (х) = 8х4 — 8х2 十 1,・• •

Полиномы Тп (у) имеют производящую функцию:

ОО

■ п —0

Они могут быть представлены с помощью интегралов

(1 一标)厂… 1 — 2改+*(1 一标)厂… 1 — 2改+*

(1 一标)厂… 1 — 2改+*

(1 一标)厂… 1 — 2改+*

интеграл берется по контуру, начинающемуся и оканчивающемуся в -]~ оо, охватывающему какой-либо один из корней знаменателя подынтегральной функции и не заключающему внутри себя других ос о-

бенностей. Они могут быть вычислены также с помощью следующей формулы:

(X)=爲

и выражаются через тригонометрические функции посредством равенств

Тп (%) = cos (〃 arc cos %) или Тп (cos 3) = cos /zU.

Тот из рядов, который при целом п не обрывается, представляет функцию, которую мы будем обозначать через Un (х). Она является произведением ]/1 —%" и полинома Qn_^ (х)：

Un (х) = у 1 —炉 Q^ — i (%), кроме UQ (x) = arcsinx;

Qo (%) = 1, Qi (%) = 2%, Qz (%) = 4x2 — 1,Q3 (x) = 8炉—4%, Q4 (x) = 16炉一12炉 + 1,...

При этом имеет место соотношение и вообще

ип^}=^ут^Гп(х), T^x^-^VT^U'^xY

Полиномы Qn (%) имеют производящую функцию:

со

一2"+尸=汇 Q" (X)产・n =0

Функции Иu (х) могут быть представлены также в виде

Un (х) = sin (п arccos х), т. е. % (cos 8) = sin 〃3.

Конфлюэнтные !) гипергеометрические функции

а) Общие сведения

Они возникают из общих гипергеометрических функций при предельном переходе р ―> оо, %—> 0, при котором произведение 戸 остается конечным. Если вместо 0% снова писать х, то они будут решениями дифференциального уравнения:

ху" -]- (у — х)у' — ау = 0.(I)

Последнее удовлетворяется рядом:

y — x'U^X, »=%" £ C/t

А =0

Эти функции называются также вырожденными, (Прим. реЗ)

где

_a + ^+k

C龙+1 = Ck(7 +3+々)(1 +r+竹.

Определяющее уравнение, как и выше, имеет вид 5 (S -)- у—1)=0, так что получаем решение

—、1 I а I а (а + 1)炉 & g 十 1)伍干 2) %，〕

(I 了 I 了(了 + 1) 2! I 了(7 + 1)(7+2) 3! I

и второе решение

" =/"丁 尸(口 一y + 1，2-y，x), если y 一 не целое число, =ух 1п х -)- степенной ряд, если у — целое число.

Имеет место соотношение

尸(a, y，幻=變尸(y— a, % 一х).

Основные факты относительно сходимости, возможных случаев обрыва рядов и выбора второго решения, установленные для неконфлюэнтных функций, остаются в силе также для функций рассматриваемого класса.

Интегральное представление имеет вид

Путь интегрирования и нормирующий множитель для 尸(а, у, х) берутся такими же, как и для 尸(а, у, х).

尸(％Y，x) совпадает с C£j二：_i(x)—обобщенной функцией Лагерра (см. стр. 143), где。=(丫一 а—1)!(:二；).Предельный переход: lim 尸(а, р, Y，ух) = О (а, р, %) = G(p, а, х)=

важен для асимптотического представления:

尸(a, Y，X) = и:: д 。-当)(一G (a, a -一!)+

+ 貶—I卜"F*G (1 — а,a, g).

Родственные дифференциальные уравнения:

Посредством преобразования переменных можно получить различные обобщения, среди которых отметим следующие. Если общее решение уравнения (1) обозначить через Fa (а, у, х), то

Функция z = x^e^xFa (а, у, ех) удовлетворяет дифференциальному уравнению

g一扌十?（了一29 [3/+-）

х

z = 0・

Специальные виды этого уравнения можно получить различными путями:

[а) 0 =2" •

I % I \4%1 x2 /

口 = 一m даст:口 = 一m даст:

口 = 一m даст:

口 = 一m даст:

lb пРи е=2м a —X(

z" + R + 0_£)z = O,z=CZn (x) = xne~ix Fa ("+4", 2〃+ 1, 2,x)

•—одно из представлений цилиндрических функций (см. стр. 146).

Функция 2=х'е 2 Fa (а, у, ех2) удовлетворяет дифференциальному уравнению

Рассмотрим частные случаи, получающиеся при 0 = 0:

2a) 6 = 0: 2"—(2£х - 2丫^~^)父一4saz=0.

При 丫 =区，£= 1» а — — у это дает:

^ — 2XZ1 ^"Inz — ^ 2 = C”〃(x) = Fa ( —у» 炉)

—одно из представлений функций Эрмита (см. стр. 144).

2Ь) 8= 1, Y=4•: z" —2如，+ 26(1 —2a)z = 0;

следовательно, если

то

Z=C"〃(％) = xFa (^2^，4* %*) •

Мы получили здесь сс=彳， z! = С^-^2 иМы получили здесь сс=彳， z! = С^-^2 иеще одно представление функций Эрмита. Положив £ = —1, придем к уравнению z"十 2xz'= 6, откудаеще одно представление функций Эрмита. Положив £ = —1, придем к уравнению z"十 2xz'= 6, откудаz=q+c\ \оz=q+c\ \ое'2 dt. Это приводите'2 dt. Это приводитпредставлениюпредставлению

Мы получили здесь сс=彳， z! = С^-^2 и

Мы получили здесь сс=彳， z! = С^-^2 и

еще одно представление функций Эрмита. Положив £ = —1, придем к уравнению z"十 2xz'= 6, откуда

еще одно представление функций Эрмита. Положив £ = —1, придем к уравнению z"十 2xz'= 6, откуда

z=q+c\ \

о

z=q+c\ \

о

е'2 dt. Это приводит

е'2 dt. Это приводит

представлению

представлению

интеграла ошибок ①(％) ={已一私壮才 в виде у J О

①(*)=斤尸4 (m，"2 ,一炉

Функции Лагерра £п(л)

Они служат решениями дифференциального уравнения:

砂"十 О —x)yr -}-пу = 0

н, следовательно, являются конфлюэнтными гипергеометрическими функциями с а =——л, у = 1:

у = с\ е'*(1

Решения этого уравнения при целом неотрицательном лт регулярные при х = 0 и нормированные при помощи начального условия у (0) = л!, суть полиномы Лагерра (см. стр. 90). Решения уравнения могут быть представлены при помощи разложения в ряд:

00 у 为("一力)

A=0

и следовательно, при обычном нормировании:

хX) = 〃！(1_以+*炉一"("(；# —2)炉+…

—D*)，

так что, в частности, имеем:

Lq (%) — 1, А( (х) ^=^ 1 — X,丄乞(％) -— 2 — 4% —j— №) % (%) = 6 — 18x-j- 9炉一％з,

А4(х) = 24 — 96х + 72х2 — 16х3 + х\ ...

Полиномы ЛагерраПолиномы Лагерраимеют производящую функцию:

Полиномы Лагерра

Полиномы Лагерра

п = 0

и могут быть также представлены с помощью формулы 厶“(x) = e^(xL).

Общие решения дифференциального уравнения Лагерра получаются из соответствующих общих решений гипергеометрического уравнения. В частности, имеется второе решение, не регулярное в точке х = 0:

(%) 1 п % + (1 + 2〃) х + &±2] ЗМ)炉 +

I (2+4〃一24公一11/?)小 I

ПW8 X十…

Далее, имеют место следующие разложения, применяемые при больших значениях х:

乂 =(一х)h一丿，

% =(叶咤叶"+北+图+...

Справедливы следующие рекуррентные формулы:

乙“ +1 (х) = (2〃 + 1 — X)С” (х)—凰…(х),

4 +, (x) = 一(a + 1)(厶"(x) 一 4(X))•

Соотношение ортогональности для целых неотрицательных 汽：

§ e~xLn (х) &，(х) dx= (a!)' S„„«.

Обобщенные функции Лагерра Ln (х)

Они являются решениями дифференциального уравнения:

砂"+ (々 + 1 - %)_/ + (〃 一粉少=0, и, следовательно, представляют собой конфлюэнтные гипергеометрические функции F(a, у, х) с 5 = h — л, 丫 =々 + 1:

у = С, tk-n~\\—tYextdt.

Решения этого уравнения при целых неотрицательных л и л ——力,

регулярные при %=0 и условняу(0)= 鼠也f,регулярные при %=0 и условняу(0)= 鼠也f,нормированные при помощи начального суть обобщенные полиномы Лагерра (см.

регулярные при %=0 и условняу(0)= 鼠也f,

регулярные при %=0 и условняу(0)= 鼠也f,

стр. 90). Решения уравнения могут быть представлены при помощи раз

ложения в ряд:

□о

少=2e产"，「де Q +

С/ (〃 —々—Z)

(e + [)《+1+6，

так что

(〃一砌卜 力+1 十依+1)伊+2)2! *一

Они имеют производящую функцию:

со

е%( 1 +/)" = *£(_ 1)…屮m(X)”

Соотношение

£：(%)= 3 丄沁)

связывает эти функции с функциями Лагерра А„(х) = А„(х).

Имеет место соотношение ортогональности:

8

J Xke~xd (х)以(х) dx =芝^ 6”“.

О

Родственные дифференциальные уравнения:

У一(1+2 卩 + 虹a" +

I { 0 ( 0 + ] ) + (以 + С3 ——立)(1 + 2g) + В (女——1)) f а (а —力) решение: у (х) = xMV^ (х).

у" +出土；二艺)У + (_；+(" + р~) + 1^)у = решение: у (х) = х^ 2 L^ (х).

Функции Эрмита Нп (х)

Они являются решениями дифференциального уравнения:

У —2%У+ 2/г_у = 0

и, следовательно, представляют собой конфлюэнтные гипергеометри^ ческие функции аргумента х с а =— , у =—.

соОсоОРешение, разложенное в степенной ряд, имеет вид

со

О

со

О

2 —灯

ГДе 勿+ 2 = %(〃+1)5 + 2)'

следовательно,

II 2气〃一1)(〃一3)“523(〃一 1)5 —3)(〃一5)., I \

Для каждого целого числа п один из рядов обрывается, и соответствующая функция превращается в полином Эрмита (см. стр. 90). Полиномы Эрмита нормируются так, чтобы высшая степень хл имела коэффициент 2" (тогда коэффициенты полинома являются целыми числами).

"о(%)=1,"】(％) = 2占 Н2 (х) = 4х2 —2, Hs (х) = 8х3 — 12х,

/У4(х)=16х4 —48х2+12, Н& (х) = 32х5 — 160х3 4~ 120х, ...

Интегральное представление функций Эрмита имеет виду = с\е-^+гхЧ-(п+^(а.

Путь интегрирования идет нз 十 оо в ——оо, для j\——выше, для у2 — ниже точки / = 0.

■ Они имеют производящую функцию:

8e/2+“Х=£"伞吟л =0

и могут быть также представлены с помощью формулы

%(х) = (—1)"产卷(е*)・

Справедливы следующие рекуррентные формулы:

Нп + 1(х) = 2хНп(х)-2пНп_1(х),片(х) = 2仍…(х).

Соотношение ортогональности для целых неотрицательных «:

+8

.，еЗНп (х) Нп> (х) dx = 2%! Vк %，. —со

Родственные дифференциальные уравнения:

y_2x(1 +2ё)_/+(2八一2£+4%2ё伯十 1))y = 0；

решение:у =Нп (х).

У +(2л+1—x2)j/ = 0;

решение:у = е 2 Нп{х}.

Цилиндрические функции Zn (х) (функции Бесселя)

Они определяются как решения дифференциального уравнения Бесселя:

У'+^У + (1—± 卜=0.

Последнее удовлетворяется рядом *):

У = £，" ГДе % + 2 =但十〃+ 2)Ji-〃 + 2)， так что

V Ахп f 1兰:— /一 V 2(2〃+2) 丁 2， 4 (2〃+ 2)(2〃+ 4) 一

—3Z6 (2〃 + 2) (2〃 十 4) (2〃 + 6) +…)+

+ 8% 禮([+ 2 (2〃 一 2) + ^(2〃一 2)(2不一4j 讨

Оба ряда нормируют, полагая

（%）= £々=0（%）= £々=0k\ 11 (п + /г)k\ 11 (п + /г)так что у = CJn (х) + C2J_п (х) = Z„ (х).так что у = CJn (х) + C2J_п (х) = Z„ (х).

（%）= £

々=0

（%）= £

々=0

k\ 11 (п + /г)

k\ 11 (п + /г)

так что у = CJn (х) + C2J_п (х) = Z„ (х).

так что у = CJn (х) + C2J_п (х) = Z„ (х).

Функции Jn (%) называются функциями Бесселя с положительным, соответственно отрицательным, индексом л.

При целом п функция Jn (х) становится целой трансцендентной, т. е. всюду регулярной в конечной части комплексной плоскости. В частности, получаем:

丿(х)—+JqVH- (1!)2 十(2!)2(3!)2 十.一，丿(х)—+JqVH- (1!)2 十(2!)2(3!)2 十.一，

丿(х)—+

JqVH- (1!)2 十(2!)2(3!)2 十.一，

丿(х)—+

JqVH- (1!)2 十(2!)2(3!)2 十.一，

Вообще 丿_禮(%) = (—1)"丿禮(%) и, следовательно, решения Jn (x) и J_n (x) линейно зависимы. Линейно независимым с Jп (х) решением при целом я остается функция Неймана

入了 心一((%) cos 加 一 J j (%) 2、

一sinTzn卜

])Здесь 用 пробегает, вообще говоря, нецелые значения (образующие арифметическую прогрессию с разностью 1). (Прим, реб)

Точнее, "〃(%)= Нт 4(%)匸。$ "注二4-、」包.(ГТрим.ред) nSin Vk

В частности,В частности,

В частности,

В частности,

—乙(尤)+等4(%)—…} >

где 0=0,57722 (см. стр. 153),где 0=0,57722 (см. стр. 153),

где 0=0,57722 (см. стр. 153),

где 0=0,57722 (см. стр. 153),

Дальнейшие Jn (х) и ^n (х) для целых л находятся при помощи рекуррентных формул (см. ниже). Решениями иного вида служат функции Ганке ляг

碎(Х) = Jn (Х) + iNn (x) и 碎(х) = Jn (x) — iNn (x), "f)(x) + 〃伊(x)硼(x)— 必气)

J"(x) =2' 2"(X)=27 •

Эти зависимости аналогичны следующим:

Функции Jn (x) имеют производящие функции:方(Tj£j“(x)f",

а также

8

е& cos t = j^^_y<2 £ 产 Jr (z) cos nt (ряд Фурье).

При л, равном половине нечетного числа,

_ 色3丄—丄一旦

九 .♦ ., 2 ,2 » 2 », <у ,...,

все Zn (x) выражаются в конечном виде с помощью тригонометриче

ских функций, например:

“Х)= ]/"^.sinx,jjx)= У ^cosx,

N-”Jx)= ]Z^ sin х,...N-”Jx)= ]Z^ sin х,...

N-”Jx)= ]Z^ sin х,...

N-”Jx)= ]Z^ sin х,...

Для этих функций имеется также представление вида

1 产P*)dt = F y^Jn+^Y

Дальнейшие функции можно найти при помощи рекуррентных формул.

При х》>1 и одновременно х^п имеем:

研х)一/3'[〜(收)打 碎(价一/^l[7"+十)・], откуда

± F / К \

Jn (%)—> (——1 ) J/ -- cos I x — —- 1 для четных п、

Jn (х)―(—Jn (х)―(—Для комплексного х функции Zn (х) являются, вообще говоря, ком-Для комплексного х функции Zn (х) являются, вообще говоря, ком-cos (х 4""^^ для нечетных 〃〔).cos (х 4""^^ для нечетных 〃〔).

Jn (х)―(—

Jn (х)―(—

Для комплексного х функции Zn (х) являются, вообще говоря, ком-

Для комплексного х функции Zn (х) являются, вообще говоря, ком-

cos (х 4""^^ для нечетных 〃〔).

cos (х 4""^^ для нечетных 〃〔).

при целом л и действительном х представляют собой действительные монотонные функции. Функция N〃(ix) является комплексной.

Цилиндрические функции допускают следующие интегральные представления:

1) Или, при любом 几,Jn (х)1) Или, при любом 几,Jn (х)Zn (х) = ； j eix cost/" (' * )d(2) (Зоммерфельд)

1) Или, при любом 几,Jn (х)

1) Или, при любом 几,Jn (х)

В последнем интеграле путь интегрирования должен пролегать между двумя точками из числа трех, в которых подынтегральная функция обращается в нуль. Выполняя такой выбор всеми тремя возможными способами, получим значения 2Jn (х), Н^ (х) и Н(? (х). Для целых л имеем, далее, действительные интегралы:

丿⑺(产叫0S加山(Ганзен)

но

丿以(х)=鼻 \ cos (х sin / —山)dt(Бессель).

Для всех цилиндрических функций справедливы следующие рекуррентные формулы:

Z,宀(х) = ^ Z” (х) — z…(х)=卷 Z„ (х) — ^ Z” (х)=

С ПОМОЩЬЮ ЭТИХ формул МОЖНО, ИСХОДЯ ИЗ ZQ (х) И Z] (х)=———Zo (х)

и соответственно из Z^ (х) Z—”？(尤), легко вычислить все прочие Zn (х) и их производные для п целого или полуцелого.

Имеют место соотношения ортогональности:

определив числа % таким образом, чтобы было /〃(％) = 0, получим:■

；(0при mR т\

S JnMJnM^d^^ ^ [<(%)『при 加=”.

Отсюда посредством предельного перехода находим:

со

о

Далее, имеет место равенство

со

к(а"Кх = 7^・

На рис. 14 и 15 схематически представлены функции Jo (х -]- (у) и Ч U + О')-

-5 -5 -^ -J ~2 ~10 / 44 5 6 7 6〃

На рис. 16 и 17 дана качественная картина зависимости функций J戸(％) н NJ%) от х и р.

Родственные дифференциальные уравнения:

+ [(盟+卜=0；

реи1ение: y = xZn (px).

Отметим некоторые частные случаи:

у"+[(財 xTT)Z —^^l]y = 0, y = y-Zn^x^.

P+小一吗冃з0， у = т“+，心)；

/ 尸十2、

_/，+ 同勺=0,y = y^ Z^J^^ X 2 ),

при этом — 2.

у"^У = 0，у"^У = 0，В то же время

у"^У = 0，

у"^У = 0，

у = УХ'Х-п (при л = 0 будем иметь

у = ]/х (Л-|-^1п х));

^^卜=。,^^卜=。,у''+(1 —±)» = о, y = VxZn(x), где л2 = ^4-а2;

^^卜=。,

^^卜=。,

_У ^^ "Р^х Z“+1，? (х);

у = х2 z«(pMR;

далее,

y" + W4——» = о,y" + W4——» = о,У — Vхе~ахZn (zax).У — Vхе~ахZn (zax).

y" + W4——» = о,

y" + W4——» = о,

У — Vхе~ахZn (zax).

У — Vхе~ахZn (zax).

П (х)三 F (х + 1) = limП (х)三 F (х + 1) = lim1，2，3../-/(% + 1) (% 十 2).…(%十々)*1，2，3../-/(% + 1) (% 十 2).…(%十々)*Тем самым одна из двух функций Г(х) (Лежандр) или П(х) (Гаусс) является излишней. Мы будем преимущественно пользоваться функцией II (х).

П (х)三 F (х + 1) = lim

П (х)三 F (х + 1) = lim

1，2，3../-/

(% + 1) (% 十 2).…(%十々)*

1，2，3../-/

(% + 1) (% 十 2).…(%十々)*

Для целых положительных х = п имеем П (л) = 1 • 2 • 3 .. . л = л! (л факториал); в то же время

И (0) = 1, II (— л) = оо.

целой транс-целой транс-

целой транс-

целой транс-

Имеют место следующие интегральные представления:

ОО

II (х) = ^ е~ЧхсИ при Rcx>—1 (Эйлер) о

н общая формулан общая формула1晒1晒dt.dt.

н общая формула

н общая формула

1晒

1晒

dt.

dt.

Путь интегрирования возвращается обратноПуть интегрирования возвращается обратнов виде бесконечного произведения:в виде бесконечного произведения:начинается в 十 оо, обходит точку /=0 и в + оо. Имеет место также представление

Путь интегрирования возвращается обратно

Путь интегрирования возвращается обратно

в виде бесконечного произведения:

в виде бесконечного произведения:

1й^Т尸击=1 巾(1 十台尸，С=0,57722 (см. стр. 153).

Для II (х) справедливы следующие функциональные уравнения:

II (% + 1) = (% + 1) Н (х);II (х — 1) = J [I (х);

II (х —1)11 (—х) =^-;

\， 、， sin кх *11(—х)、， кх

Если п——целое положительное число, то

П(〃Т) =「3・5..片 Т)М*, 口^=)/п,丄卜2 J 1-3-5.(2л —l)v ，'

員忐）一产（-1）…1）!

Далее, мы определяем Ф-функцию:

屮（乂Н^柏u⑺既吗9—£ 母）.

\々=1/

Если С= lim （£ ^In п ^ = 0,577216 . .. （С — эйлерова постоянная）, то

q‘（x）=E （万—JT^l）—и

Отсюда, в частности, следует:

屮（0） = — С,

屮⑴=1 — С, 屮⑵=1+^一&

中（3） =1+^*十 ^—c,..., и вообще:

屮（X+1）=寸（х）十达.

Функция 屮（х） допускает интегральное представление:

Гоо

а также разложение в ряд:

QO

屮（х +1） = 1—с十 2（-1）^-1（^-1）；

々=2

8QO

S" = * 庐=11（〃 一 1））^』成（см・ стр, 82）・

々=1о

Отсюда после интегрирования вытекает:

QOQO々=2々=2

QO

QO

々=2

々=2

При больших х употребительно следующее представление: 1пП(х)=(х4-1)1Пх-х4- 1旷宕+龙—费т или формула Стирлинга:

II (х) = ххе~х М2тгх (1 + г (х)), где

Функции Матье (и Хилла)

Они определяются как периодические решения дифференциального

уравнения Матье:

у" + 0 — 2" cos 2x)j = О,

соответственно более общего дифференциального уравнения Хилла:

十步(х))» = 0,

где Ф (х)—периодическая функция с периодом 2тг и со средним значением 0.

Общее решение можно представить в форме, данной Флоке:

y = Ae^fx{x')^-Be-vxf1{xY

Отсюда получаются действительные периодические решения при условии, что J1 — чисто мнимое число вида |1=万,где а н 力〉0 являются целыми (взаимно простыми) числами. Период в этом случае равен 2тг儿

Если функция Ф (х) задана, то J1 является функцией от ). и у. Кривые |1 =号 в ).,у-плоскости целиком покрывают полосы, заключенные между кривыми g = Zn к |1 =力("十^-) (л—целое число). Между этими полосами находятся лишь те значения ji, которым соответствуют непериодические решения, остающиеся неограниченными при х—^±8・

Чтобы найти решения, соответствующие заданным значениям параметров 入 н 丫 (соответственно /^), необходимо сначала найти pi. Функцию /(х) берут в виде ряда Фурье и, подставляя этот ряд в уравнение, получают в качестве условия, которому должно удовлетворять ji, равенство Л ig,入，у) — 0, где Л (ji,工 丫)——бесконечный определитель Хилла. Полученное уравнение для ji решают приближенно. Оно может быть сведено к уравнению Д (0,入，丫)= ：： »；匕.

После того как g найдено, решение может быть получено при помощи разложения в ряд.

В случае уравнения Матье имеем:

Функции Матье первого рода Сп （х） и Sn （х） суть соответственно четные н нечетные решения с периодом 2тт （力=1,江=，〃）.Они могут быть представлены в виде сумм Фурье, начинающихся соответственно с eos пх и sin пх. Они образуют полную ортогональную систему для области 0—► 2п （р = 1）. Аналогичные функции можно получить для

Функциями Матье второго рода являются решения

Эти функции, вообще говоря, непериодичны.

Эллиптические интегралы и функции

а） Эллиптические интегралы

Относительно приведения общих эллиптических интегралов см. также стр. 71—74 （раздел «Дифференциальное и интегральное исчисление»）.

Нормалъная форм Лежандра: общий эллиптический интеграл допускает приведение к следующим трем нормальным формам （0＜父＜1, x= sin 屮）：

了 了（1 一尸）（1 —炉尸）J /1 - /г2 sin2（Pг

j g：^J^ df = j /1 — /г? sin押 优? = E （/г,屮），

jdt

）（尸一的了（］ 一 尸）（］

Они называются неполными эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода. Интеграл

）Y1 —炉 sin2 ф о）Y1 —炉 sin2 ф о尸（电?）=К他）尸（电?）=К他）

）Y1 —炉 sin2 ф о

）Y1 —炉 sin2 ф о

尸（电?）=К他）

尸（电?）=К他）

называется полным эллиптическим интегралом 1 -го рода. Функции Е,尸，К табулированы. На рис. 19 изображены 尸(例 叫 и E(kt 屮) как функции от 屮 для различных значений параметра А = sin ■&.

Рис. 19. Эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода.

Нормальной формой Beueptumpacca интегралов 1-го рода называют интеграл

00

b) Общие сведения из теории эллиптических функций

Эллиптические функции представляют собой обратные функции или алгебраические функции от обратных функций для эллиптических интегралов. Они являются двоякопериодическими функциями своего комплексного аргумента г и имеют два комплексных периода (о】и (о2, так что

/(z)=/(z+ 〃№]+〃№)(%, W2==O, 士 1, 士2,

В конечной части плоскости они не имеют существенных особенностей. При этом предполагается, что отношение периодов * не является действительным числом, в силу чего комплексную г-плоскость можно, отправляясь от произвольной точки г0, разбить на параллелограммы, вершины которых образуют такую решетку zQ-\~m^x -\~т^^ что функция /(г) в соответствующих точках различных параллелограммов будет принимать равные значения («параллелограммы периодов»).

Теоремы Лиувилля:

Не существуег эллиптической функции, отличной от постоянной, которая была бы всюду конечна в параллелограмме периодов.

Сумма вычетов эллиптической функции относительно всех особенностей, расположенных в параллелограмме периодов, равна нулю.

Эллиптическая функция в параллелограмме периодов принимает каждое значение столько раз, считая по кратности, сколько раз она принимает значение 8.

Эллиптические функции Якоби

Определение. Функция, обратная функции

z = F(k, =(0<^<1),⑴

называется амплитудой z:

(p = amz.(2)

Если ввести х = sin щ, то (1) и (2) переходят соответственно в

J V(i 一尸)(1 - kV) и

х= sin (am z).

Последнее соотношение записывают более кратко в форме x = sn z (sinus amplitudinis).

Далее вводятся функции:

]/1—х2 = cos (am z) = cn z (cosinus amplitudinis), 丿1—kzxz = Дат г = dn z (delta amplitudinis).

Функции sn, cn, dn называются эллиптическими функциями Якоби, Общие свойства, sn z является нечетной, cn z и dn z——четными

функциями от z. В частности, имеем:

sn 0 =0, сп 0 = 1, dnO=l.

Эти функции двоякопериодические, а именно

sn z имеет периоды 吗=饮，% = 2火'，

cn z имеет периоды 吗=4( о)2 = 2К+2，К',

dn z имеет периоды 吗=2储 ％ = 4，К', где

К=尸(电千)，k，= F W 罢，H=l-АЛ

Функции Якоби имеют нули:

sn (2тК^^1^) = 0, сп((2/и+l)^+2л/^/) = 0,dn《2加 + [) К + (2孔 + ])對)=0

и полюсы первого порядкам

2 = 2тК Ц- (2л1) iK! (加，л = 0, ±1, 土 2,

Далее, имеют место соотношения:

^ + К) =霊，cn(z+K) = — 〃^，dn(z + K)=a sn (z十火)=鳥，СП (Z + К) = — ^ 案’dn (z + g = — i 堂,

sn (z + K + 火，)=与黑,СП (z + K+ 长)=一鳥，

dn (z+K+cK')=，“ 案.

Формулы дифференцирования:

dsnz- dcnz- ddnz , 2

「—= СП 2-dn 2, —J= — sn 2 dn 2,——=—k Sn 2 СП 2.

Разложения в ряды см. раздел «Ряды», стр. 87.

^-функция ВейерштрассаОпределение. Функция, обратная функциисо

,У4£3 —&£_&，

называется ^-функцией. Вейерштрасса с инвариантами g± и g『 口=伊(2) ИЛИ "=伊(2；队，а3).

Она удовлетворяет дифференциальному уравнению

伊需y = 4夕_柒у—gГ

Общие свойства.伊(z) является двоякопериодической функцией. Имеем:

争(0)=檢(％)=岩(о>2)= 8.

В этих точках 伊 имеет полюсы второго порядка. Если положить4/' — gj — gs = 4 d — ej (/ — e^t — eJ,

где

、+% + q = 0, то получим:

Разложение. Если ввести обозначение w = m^x -}- ^2^2» то будут иметь место разложения

Суммирование производится по всем значениям /и」т2 — 0,± 1，士 2,...,

Гис. 20—24. Эллиптические функции.

за исключением ^ =/и2 = 0. Разложение для 伊 может быть записано также в форме

b 1刁一犬十20 十28 十1200十6160

Между инвариантами и периодами существуют соотношения

где q = e ^2'.

Приведение, ^-функция с инвариантами ^2, g$ всегда может быть приведена к некоторой ^-функции с только одним （«абсолютным»） инвариантом 丿 с помощью формулы

伊⑵g,, gj =加峥Qz;農笫），

если в ней положитьесли в ней положитьПри этом получим:При этом получим:

если в ней положить

если в ней положить

При этом получим:

При этом получим:

伊（Z； &，gj = ^ 伊（/#；/，/），где J = ~

Представление. Всякая двоякопериодическая функция /（%; （оп <о$） может быть представлена как рациональная функция от двух эллиптических функций 犷（2； %, <о2） И 學，（2； （01，（О；）.

На рис. 20 ——24 дано качественное изображение комплексных функций sn, cn, dn, 學 н 學'при действительном k. Полюсы л-го порядка, седловые точки и нули обозначены соответственно через Р„, S н 0.

е） Связь между функциями Якоби и ^-функцией

СП « =СП « =dn « =dn « =J 學（z）-&У 學（z）-qJ 學（z）-&У 學（z）-q

СП « =

СП « =

dn « =

dn « =

J 學（z）-&

У 學（z）-q

J 學（z）-&

У 學（z）-q

где

我= z]/% — e. и 兴=^——

Обращение:

（2）= % 4-®=--「= 3 +」一；-

' ' I I ' 1 S'sdzz 2 I ' 1 W sn2 U 8 1 sM 以

РАЗДЕЛ ПЯТЫЙ

АЛГЕБРА

А. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определения и обозначения

Общей формой (первой нормальной формой) системы т линей-

является следующая:является следующая:ных уравнений с п неизвестными

является следующая:

является следующая:

a11占 。12%2… ашхП= ^1»

⑴⑴a2/1+a22%+ … +a2П乙="2,

⑴

⑴

amiXt 4- amzX2 h-…+a加"乙="加，

или, в сокращенной записи,

^j。/兑％兑—bj(2 — 1, 2, ... , s).

k 二 1

m = n. Величины bi и xi можно интерпретировать соответственно как компоненты л-мерных векторов 6 и у. Тогда соотношения (1) можно записать в форме

近=Ь・

Здесь 北 означает тензор (оператор), который вектору j ставит в соответствие вектор b (см. стр. 34).

Задача решения системы (1) равносильна задаче обращения тензора (соответственно матрицы)班，т. е. задаче отыскания тензора (матрицы) со свойством:

& =班-6

Геометрически эта задача эквивалентна каждой из следующих двух задач:

найти точку пересечения л плоскостей (ад) = bh

представить вектор b в виде линейной комбинации п векторов 口火： Ь =.£хМ・

Разрешимость и решения (^л))

Ранг

Разрешимость системы линейных уравнений (1) и многообразие ее решений зависят от ранга г системы уравнений (или, что то же, от ранга г ее матрицы (仪汕)),который равен наибольшему числу линейно независимых среди линейных форм g а泳工左 «=1, ..., л). В этом случае имеется по крайней мере один отличный от нуля минор г-го порядка, в то время как миноры более высоких порядков все равны нулю (см. стр. 177). Число d = n ——г называется дефектом системы уравнений.

Линейная независимость, т линейных функций /『=£。泳 х« (или /п систем Q” из которых каждая состоит из л чисел а『左) (/ = 1, ..., w; k= 1, ..., л) называются линейно не^висимыми^ если невозможно указать систему постоянных чисел с” . . ., гт (среди которых не все равны нулю) такую, что соотношение 2 cz=о будет удовлетворяться тождественно по х” . .., хп (необходимое условие: т V 叫 (См. также определитель Грама, стр. 179.) При т> п всегда имеется линейная зависимость £с『/『 = 0, соответственно У cfii = 0, где ci не все равны нулю.

Геометрически: т линейно независимых векторов az (f=l,…，/п) с компонентами (а〃, ..., а-п) принадлежат некоторой w-мерной гиперплоскости и не принадлежат никакой гиперплоскости меньшего числа измерений.

Однородные уравнения

Если все % = 0, то система уравнений (1) называется однородной.

а) Ранг г = л,дефект d = 0, следовательно, определитель

det(0j左)，0. Имеется только ^тривиалъноеу) решение

%! = х2 = . .. =хп = 0.

Ранг г< л, дефект d>0, следовательно, det (。泳)= 0. Имеется d = п ——г линейно независимых решений:

xi =睪) (％ = 1,2,…> d; /=1,2, ..., л).

Всё линейные комбинации этих решений с произвольными коэффициентами с九 также представляют собой решения:

Х/ = £ %泸(f = 1, л)⑵

л=1

—так называемое общее решение.

之以 4、• 4*± • • • • • 4力之以 4、• 4*± • • • • • 4力В случае г = п — 1 (d=l) решение может быть определено условием

之以 4、• 4*± • • • • • 4力

之以 4、• 4*± • • • • • 4力

(с точностью до множителя пропорциональности). Aik есть алгебраическое дополнение элемента aik (см. стр. 177). Среди чисел А[к по крайней мере одно должно быть отличным от нуля, в остальном Z может быть выбрано произвольно.

Транспонированная система уравнений (возникающая при замене aik на aQ всегда имеет тот же ранг и тот же дефект, что и данная, и поэтому также имеет d=n — г линейно независимых реше* ний &夕(й = 1, ., ., ^).

Неоднородные уравнения

Система уравнений (1) называется неоднородной, если по крайней мере одно %孚0.

а) Ранг г = пь дефект 5=0, следовательно, det(。/)片 0. Соответствующая однородная система не имеет нетривиальных решений. В этом случае неоднородная система линейных уравнений имеет в точности одно решение:

「det (。加 014"+ …+%4/(3)

理2 чисел 丁丁;~7 det (0加理2 чисел 丁丁;~7 det (0加представляют собой, таким образом,представляют собой, таким образом,тензора (или матрицы) обладающего свойством Практическое ние (3) в большинстветензора (или матрицы) обладающего свойством Практическое ние (3) в большинстве§1~\ обратного по отношению к§1~\ обратного по отношению кe=现7瓦 решение.случаев малоe=现7瓦 решение.случаев малоДля практическихДля практическихделителей требует, вообще говоря,делителей требует, вообще говоря,компонентытензору 91 икомпонентытензору 91 ицелей реше-целей реше-приспособлено. Вычисление опре- большей работы, чем метод по-приспособлено. Вычисление опре- большей работы, чем метод по-следовательного исключения, состоящий в следующем: при помощи способа, совпадающего с описанным в п. С7 (стр. 180) для определителей, шаг за шагом уменьшают число неизвестных, содержащихсяследовательного исключения, состоящий в следующем: при помощи способа, совпадающего с описанным в п. С7 (стр. 180) для определителей, шаг за шагом уменьшают число неизвестных, содержащихсяв системе, каждый раз на единицу, до тех пор, пока одно из неизвестных не будет найдено; после этого остальные неизвестные находят, подставляя в обратном порядке уже найденные значения.р) Ранг「V 小 дефект 5〉0, det (aik) =0. Между левыми частями 2aikxk «=1, 冷)в этом случае имеется d = n — г линейных зависимостей (которые определяются решениями соответствующей транспонированной однородной системы). Система уравнений (1) поэтому будет совместной^ т. е. будет иметь решения лишь тогда,в системе, каждый раз на единицу, до тех пор, пока одно из неизвестных не будет найдено; после этого остальные неизвестные находят, подставляя в обратном порядке уже найденные значения.р) Ранг「V 小 дефект 5〉0, det (aik) =0. Между левыми частями 2aikxk «=1, 冷)в этом случае имеется d = n — г линейных зависимостей (которые определяются решениями соответствующей транспонированной однородной системы). Система уравнений (1) поэтому будет совместной^ т. е. будет иметь решения лишь тогда,

理2 чисел 丁丁;~7 det (0加

理2 чисел 丁丁;~7 det (0加

представляют собой, таким образом,

представляют собой, таким образом,

тензора (или матрицы) обладающего свойством Практическое ние (3) в большинстве

тензора (или матрицы) обладающего свойством Практическое ние (3) в большинстве

§1~\ обратного по отношению к

§1~\ обратного по отношению к

e=现7瓦 решение.

случаев мало

e=现7瓦 решение.

случаев мало

Для практических

Для практических

делителей требует, вообще говоря,

делителей требует, вообще говоря,

компоненты

тензору 91 и

компоненты

тензору 91 и

целей реше-

целей реше-

приспособлено. Вычисление опре- большей работы, чем метод по-

приспособлено. Вычисление опре- большей работы, чем метод по-

следовательного исключения, состоящий в следующем: при помощи способа, совпадающего с описанным в п. С7 (стр. 180) для определителей, шаг за шагом уменьшают число неизвестных, содержащихся

следовательного исключения, состоящий в следующем: при помощи способа, совпадающего с описанным в п. С7 (стр. 180) для определителей, шаг за шагом уменьшают число неизвестных, содержащихся

в системе, каждый раз на единицу, до тех пор, пока одно из неизвестных не будет найдено; после этого остальные неизвестные находят, подставляя в обратном порядке уже найденные значения.

р) Ранг「V 小 дефект 5〉0, det (aik) =0. Между левыми частями 2aikxk «=1, 冷)в этом случае имеется d = n — г линейных зависимостей (которые определяются решениями соответствующей транспонированной однородной системы). Система уравнений (1) поэтому будет совместной^ т. е. будет иметь решения лишь тогда,

в системе, каждый раз на единицу, до тех пор, пока одно из неизвестных не будет найдено; после этого остальные неизвестные находят, подставляя в обратном порядке уже найденные значения.

р) Ранг「V 小 дефект 5〉0, det (aik) =0. Между левыми частями 2aikxk «=1, 冷)в этом случае имеется d = n — г линейных зависимостей (которые определяются решениями соответствующей транспонированной однородной системы). Система уравнений (1) поэтому будет совместной^ т. е. будет иметь решения лишь тогда,

когда выполнены условия разрешимости:

(4)(4)? % Q产)=0 для всех й = 1)..., iZ.

(4)

(4)

Совокупность решений (общее решение) может быть представлена в виде суммы одного, выбираемого произвольно, решения неоднородной системы и общего решения однородной системы (см. (2)).

Отыскание одного решения неоднородной системы. Находят не равный нулю минор r-го порядка, затем в соответствующих г неоднородных уравнениях полагают равными нулю л — г неизвестных, коэффициенты при которых не содержатся во взятом миноре. Решая полученную таким образом неоднородную систему относительно г неизвестных и присоединяя к найденным их значениям равные нулю значения остальных неизвестных, получают решение системы с л неизвестными.

Вторая нормальная форма

Ее получают, вычитая из диагональных элементов матрицы первой нормальной формы параметр X:

(41—U…+。3门=4，I

a2产1 + (a22") 4 + ' ' ' + a2пХа ”2, I(5)

%1/ + ап2Х2 + • •. + (%" -")Х"=匕 "，丿

или, в сокращенной записи,

^j ^ik^k“Xj —勿(/ — 1, • • •,孔)

соответственно, если использовать векторную символику, 3lj — Xg = b.

Условия разрешимости в этом случае формулируются при помощи требований, которым должно удовлетворять X. Соответствующая однородная система (/?. = 0) имеет нетривиальные решения лишь в том случае, когда А равно одному из л корней ку (/= 1, •••,〃) векового уравнения det (Й —1($) = 0 (см. также стр. 245). Эти п собственных значений все действительны, если матрица (。诅)является эрмитовой〔) (aik = а^ для всех Z,左)при действительных aik1 следовательно, симметрической (aik=ak^.

Решения t〕/, W?/， •・•， $„；, принадлежащие собственным значениям Ху однородной системы, называются собственными решениями. Для них имеют место равенства

(/,丿1 j • • •,门)，ИЛИ 入/。/*1а/ Oy {；£/}■

Они определяются с точностью до общего множителя, если 入/—простой корень; этот множитель фиксируют при помощи нормирующих условий

* + e：/+•••+%= X 为=(心=1(丿=1，…

I) До конца настоящего параграфа автор считает матрицу 火 эрмитовой, хотя и не оговаривает этого явно. (Прим, ред.]

В то же время при 入厶，入/ имеем:

*1 盘/ + *2五% + • • • + 2门庐门/斗 2泌£"(^A> %) ^^ 8

Таким образом, векторы fly образуют нормированную ортогональную систему. Если при помощи (ортогонального) преобразования {преобразование к главным осям, разложение по собственным решениям}

х,・ = у/ И 4 = у/： с обратным преобразованием

%Z = 2J%v н “=?£汝

ввести вместо xk и bk новые величины %； и 力，，то будем иметь:

£可=2践2, £2%*44 = »、产户

Неоднородная система (5) тогда принимает вид

% 一入)К； = b 心 откуда получаем решение

巧=£ 斤^kbr

следую-следую-С помощью векторной символики то же самое записывается щим образом:

следую-

следую-

(а&,/')^^(I, Ва&)L(Е，а&):=(%，Ь)十入(。兑,工),

（毎，X）（毎，X）（以，b） 'h一、*（以，b） 'h一、*У 口左(^А> Ь)У 口左(^А> Ь)

（毎，X）

（毎，X）

（以，b） 'h一、*

（以，b） 'h一、*

У 口左(^А> Ь)

У 口左(^А> Ь)

Таким образом, мы не получаем никакого (конечного) решения, если к равно одному из 入兑,за исключением того случая, когда одновременно также и (а&, 6) = 0. В этом случае, однако, j определяется лишь с точностью до произвольного слагаемого, кратного п^.

Линейные уравнения с бесконечным числом неизвестных целесообразно записывать в форме:

х,-+ 2 с,кхк —bi («= 1, 2, . .(С)

что означает замену 91 в (1) на ⑥ + ① (@ ——единичная матрица, см. стр. 35). «Транспонированной^ называют здесь систему с матрице)

^十代.При известных предположениях (например, при условии, что двойная сумма 2 I % 厂 сходится и, следовательно, матрица мало от клоняется от @) остаются в силе те же теоремы, что и при конечном числе неизвестных. (Рассмотрение бесконечного определителя редко бывает полезным.) Либо система (6) — и тогда также и система, «транспонированная» по отношению к ней, —при произвольных 勺，для которых сумма * | bi |2 сходится, имеет однозначно определенное решение xi = bi -|- £ 壮工改力后(»=1, 2, . . .) такое, что сумма £|х/2 сходится, либо соответствующая однородная система (все 勿=0) и «транспонированная» однородная система имеют d > 0 линейно независимых решений со сходящейся суммой 2 I xi Р- В этом случае неоднородная система имеет решения лишь тогда, когда выполнены d условий, соответствующих условиям (4).

Для более общих систем уравнений эти теоремы, вообще говоря, утрачивают силу (см. стр. 175—176).

В. МАТРИЦЫ

Определения, обозначения

Система 加・к элементов (чисел или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции) aik (/ = 1, . . ., /и; Л= 1,••・, и), расположенных в виде прямоугольной схемы с

m строками (горизонтальными рядами) и к столбцами (вертикальными рядами), называется (конечной) матрицей. В подробной записи:

Короче:(。加，II。》II или, в случае необходимости, более точно: (〃£k)(m пг "н обозначаем матрицы прописными буквами готического алфавита: §! = (〃*), 毋=(勿Q. Индекс i всегда обозначает номер строки, индекс 局一номер столбца; символ (。疝万 m) обозначает поэтому матрицу, тране и онированную по отношению к матрице (а^{т „), получаемую посредством замены строк столбцами. В случае m = k матрица называется квадратной,

Матрицы, содержащие лишь один столбец (〃=1), мы обозначаем строчными буквами готического алфавита а, ..., J, ...; они используются также для представления векторов (см. стр. 30).

Элементы матриц могут иметь различную природу: они могут представлять собой коэффициенты разложений в ряды, линейных уравнений или преобразований, билинейных или квадратичных форм, элементы определителей, компоненты тензоров и т. д.； они в свою очередь также могут быть матрицами. Матрицы, составленные из матриц, называются клеточными, или блочными, матрицами (Obermatrizen).

Операции с (конечными) матрицами

Две матрицы с одним и тем же числом строк /ине одним и тем же числом столбцов п мы будем называть матрицами одинаковых размеров (gleichartig). Если матрица квадратная, то число ее строк называется порядком матрицы. С матрицами одинаковых размеров можно производить вычисления по следующим правилам.

Равенство. Две матрицы одинаковых размеров называются равными: {а^ = (bik) в том и только в том случае, когда условие aik = bik выполнено для всех z,左.Таким образом, одно уравнение, содержащее матрицы, равносильно т・п уравнениям, связывающим их элементы.

Сумма. Суммой 31 十界 двух матриц 21 н 23 одинаковых размеров называется матрица, элементами которой служат суммы соответствующих элементов матриц 31 н 更：

班 + 纷= (&") +(%") = (%•" + %)•⑴

Имеют место

21 + 分=23 + 31 (коммутативный закон) и

(界 + 23) + (5 =班 + (力十(S)=災 + 少十①(ассоциативный закон).

Умножение н а скаляр. Произведением матрицы 31 = (&Q на произвольное комплексное число р (скаляр) называется матрица, каждый элемент которой равен соответствующему элементу матрицы §1, умноженному на р:

21р = рЗ!=3浦.(2)

Таким образом, по отношению к сложению и умножению на скаляр матрицы ведут себя, как их элементы.

Произведение квадратных матриц. Произведением двух квадратных матриц 31 и 23 одного и того же порядка называется матрица, обозначаемая через 班势，элементы которой cik определяются с помощью соотношений

晩=(a浦(%)=(2t %、%)=(喝•(3)

Иными словами, элемент с泳,стоящий на пересечении z-й строки и 左~го столбца, равен скалярному произведению z-ro горизонтального вектора матрицы SI и А-го вертикального вектора матрицы 怨: cik = aii^ik 三 〃/砥 + • • • + ai^nk*

Пример:Пример:/a Ь\ /a е_(аа +你碎 + 发)

Пример:

Пример:

(c d) (丫 方丿—(ca^dy c^-［-db)

Имеют место:

(界取)6 =以(23⑨=必336 (ассоциативный закон умножения),

〉(дистрибутивные законы).

界世+ 0 =界方+以® J 、)

Перестановочность. Вообще говоря,

(g %•%)=酰户石以=(£］分产业)，

⑷(5)(6)⑷(5)(6)⑺⑺т. е. коммутативный закон умножения не имеет места. Поэтому две матрицы 观 и 怨，для которых выполнено соотношение 班史=史双, называются взаимно перестановочными. Например, матрица р® (р — произвольное комплексное число, (S — единичная матрица) перестановочна с любой матрицей. Мерой неперестановочности двух произвольных матриц 31 и 附 служит матрица

⑷

(5)

(6)

⑷

(5)

(6)

⑺

⑺

(以附—安北)三［以办］,

называемая коммутатором матриц 双 и 少.

Произведение прямоугольных матриц. Если 31 и 55 ——прямоугольные матрицы с числами строк и столбцов соответственно 加［,Hj и 勿岂，〃2， т0 в случае； когда л, = т21 существует произведение 以泣 получаемое по правилу (3);界513 при этом есть (勿1，л2)-матрица. Аналогичным образом существует (m2t л,)-матрица 33应，если 勿［=%. Этим иногда пользуются для представления системы линейных уравнений: если Ь есть (勿，1)-матрица (%) (£=1, . . ., m)t & есть (л, 1)-матрица (尤0 (£ = 1, . . ., л), то система линейных уравнений с (勿，л)-матрицей *［ может быть представлена с помощью равенства 以苫=Ь (см. стр. 161).

Дифференцирование. Если элементы матрицы (%左)являются функциями параметра f, то производной данной матрицы называется матрица, элементами которой служат производные

(勿，л)-матрицы 戰=(aik) (勿”，м')-матрица(勿，л)-матрицы 戰=(aik) (勿”，м')-матрицаПрямым произведением (т\ л^-матрицы 奴'=(〃；左)называется

(勿，л)-матрицы 戰=(aik) (勿”，м')-матрица

(勿，л)-матрицы 戰=(aik) (勿”，м')-матрица

（Q〃，左炉）-—■ »〔 >^ 班，где с% 左炉——〃£*%/,*

строка, каждой комбинациистрока, каждой комбинацииКаждой комбинации "' соответствует kk'—столбец прямого произведения.

строка, каждой комбинации

строка, каждой комбинации

(%〃2)X ((%〃2)X (Пример:

(%〃2)X (

(%〃2)X (

Всегда имеем:

(北X联')(必X 日)=北分X以

Определитель, ранг, след

Каждой конечной квадратной матрице ?1 соответствует опреде^ литель. Этот определитель матрицы 31 обозначается символом det 31 (определение см. на стр. 176). Имеет место соотношение-

det ?(33 = det SI*det 23 (см. также стр. 178)、

Ранг г конечной (не обязательно квадратной) матрицы 21 определяется как наивысший из порядков отличных от нуля миноров этой матрицы (см. стр. 177). Если матрица ——квадратная 〃一го порядка, го число п ― г = d называется дефектом матрицы. Имеет место следующее предложение: дефект произведения двух матриц не меньше дефекта каждого из сомножителей и не больше суммы дефектов сомножителей.

Квадратная матрица 31 называется

вырожденной (особенной, сингулярной), если det 21 = 0, т. е. если ранг г V 〃，

невырожденной (неособенной, регулярной), если det §1=^=0, т. е. если ранг г = п. Невырожденная матрица называется также обратимой (см. 4с).

Следом (Sp) квадратной матрицы 31 = (aik) называется сумма ее диагональных элементов:

Sp 212 аЦ'

Имеют место равенства

Sp (规 + 怨)=sp 班+ Sp23

Sp (北B) = Sp ⑵")， или, иначе, Sp[2l, S] = 0.

Специальные матрицы

Нулевая матрица. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей} она обозначается символом 9t

или просто 0. Имеют место равенства:

det 况=0,批+ 0 = 0+期=以，910 = 0й = 0.

В противоположность тому, что справедливо для обычных чисел, из 21^3 = о не следует ни 31 = 0 или % = 0, ни 券?[ = 0. Например,

(а 0\ /0 0\/0 0、—\b 0丿(e d丿一1。0尸(а 0\ /0 0\/0 0、—\b 0丿(e d丿一1。0尸при любых a, bt с, 4.при любых a, bt с, 4.

(а 0\ /0 0\/0 0、—

\b 0丿(e d丿一1。0尸

(а 0\ /0 0\/0 0、—

\b 0丿(e d丿一1。0尸

при любых a, bt с, 4.

при любых a, bt с, 4.

Обе матрицы, стоящие в левой части, называются делителями нуля. В то же время

3)(*)=Q，/)#・

Единичная матрица. Она определяется условиями:

®=(s,-fc)> где，泳:靠优食

Элементы, стоящие на главной диагонали: &口， а?2， •・.， ^пп, все равны 1, все прочие элементы равны нулю. Имеем:

班思=思界=北；detg=l.

Вместо @ пишут также 1.

Обратная матрица. Для всякой невырожденной конечной матрицы 界(det 31*0) существует однозначно определенная обратная матрица 3I-1 со свойствами:

界7界=界2L=色(界7尸=以，

(Ж0)Т =分一嘅一,det界7 = ((15以尸.

Вырожденные конечные матрицы (det 31 = 0) не имеют обратных. Если 奴-i существует, то 妙 называется также обратимой.

Задача отыскания матрицы 旷，равносильна задаче отыскания решения системы линейных уравнений 叮=3(工 или g =袁厶 в которой неизвестным служит j*.

Степени, полиномы. Степени 21§1 = ЗР, 315131 = 21® и т. д. часто называют итерациями матрицы 界 и соответственно также §[7或7 = §1-2 и т. д., §1° = ®. Выражения вида

尸(31) = р。或十р,/т十…十р—31十Рл® называются полиномами от 式

Матрицы со свойствами симметрии

Квадратная матрица 僥 называется канонической, если &泳=0 при »<々 или »〉屯,т. е. если все ее элементы, расположенные выше главной диагонали, или все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Матрица @ является, следовательно, канонической. Имеем:

det 飘 zr=&[]%2 ... 〃"

Если равны нулю все элементы, не принадлежащие главной диагонали, т. е. ёсли матрица имеет вид 5) = (rffeS№), то она называется диагональной. Имеем:

det 企=ddn.

Поскольку диагональные матрицы обладают преимуществом особой наглядности, часто стремятся заменить матрицы соответствующими им дна”

гональными матрицами. Диагональные матрицы всегда перестановочны между собой. В частности, матрицы вида р@ (которые ведут себя так же, как числа р) перестановочны со всеми матрицами (см. (2)). Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы по модулю равны 1, называется фазовой, матрицей, (Г中々力々)(Phasenmatrix). Если элементы диагональной матрицы сами являются матрицами, то такая матрица называется квазидиагональнои, или клеточно-диагональной.

Транспонированная, комплексно-сопряженная, сопряженная, контрагредиентная матрицы. Матрице51 соответствуют 】)：

транспонированная матрица:裏=(а^,

комплексно-сопряженная матрица: 21* =(〃【％), сопряженная матрица:婚= (〃；『) =賓*.

(观十)~1 называется также матрицей, контрагредиентной к 奴.Имеют место формулы:

（北+纷）=贸+城（岡）=劣寃；立^ =（旣）7；det 迎=det 北；§1 =如；（北+纷）=贸+城（岡）=劣寃；立^ =（旣）7；det 迎=det 北；§1 =如；図+少）* = 2= +射*；（贝+少产=2+》；図+少）* = 2= +射*；（贝+少产=2+》；($1券)* =双*苏*;(北 7)* = (21*)7；det 31* = (det 双产;班** =以；($1券)* =双*苏*;(北 7)* = (21*)7；det 31* = (det 双产;班** =以；（界汕方=题沁；（班 т）+ = （2И）т；det 以十=（det 8（）*;班卄=界.（界汕方=题沁；（班 т）+ = （2И）т；det 以十=（det 8（）*;班卄=界.

（北+纷）=贸+城（岡）=劣寃；

立^ =（旣）7；

det 迎=det 北；

§1 =如；

（北+纷）=贸+城（岡）=劣寃；

立^ =（旣）7；

det 迎=det 北；

§1 =如；

図+少）* = 2= +射*；（贝+少产=2+》；

図+少）* = 2= +射*；（贝+少产=2+》；

($1券)* =双*苏*;

(北 7)* = (21*)7；

det 31* = (det 双产;

班** =以；

($1券)* =双*苏*;

(北 7)* = (21*)7；

det 31* = (det 双产;

班** =以；

（界汕方=题沁；

（班 т）+ = （2И）т；

det 以十=（det 8（）*;

班卄=界.

（界汕方=题沁；

（班 т）+ = （2И）т；

det 以十=（det 8（）*;

班卄=界.

Симметрические, эрмитовы, кососимметрические, альтернирующие матрицы. Если матрица §1 совпадает со своей транспонированной: 3(=氮，aik = aki для всех Z,力,то она называется симметрической. Если матрица 如 совпадает со своей сопряженной, 飘=?什,〃/ = 〃&, то она называется эрмитовой^ или са

мосопряженной. Диагональные элементы эрмитовой матрицы, а также ее определитель действительны. Действительная эрмитова матрица является симметрической. Следующие формулы справедливы также для произвольной симметрической матрицы (~ вместо +). Из 双=界十, 怨=痂十следуеt:(取十分户=必+泣(尸(北而=尸(2()(尸⑷ —произвольный полином), (31一】)十=21" 1 при условии, что det §1^=0; в то же время

т. е. произведение двух эрмитовых матриц является эрмитовой матрицей лишь в том случае, когда множители перестановочны.

Все собственные значения эрмитовой матрицы действительны (см. 6Ь, стр. 173); действительными будут также значения эрмитовой

Встречающиеся в литературе обозначения очень различны. Обозначения, применяемые здесь, сохраняют свой смысл на протяжении всей книги.

формы 工。泳勺х；,(。泳)=(暗)ПРИ любых значениях 々.Если эрмитова форма при произвольных значениях переменных 々 всегда имеет положительные (неотрицательные) значения, то она называется положительно определенной (полуопределенной). В этом случае собственные значения матрицы, соответствующие рассматриваемой форме, все положительны (неотрицательны).

Матрица ?1 со свойством 必『=——31 называется альтернируют щей ^; такая матрица может быть представлена в виде произведения i на эрмитову матрицу. Действительная альтернирующая матрица называется кососимметрической, или антисимметрической^ 飘=——21. Все диагональные элементы 〃〃• альтернируюи;ей матрицы являются чисто мнимыми, все диагональные элементы кососимметрической матрицы равны нулю. Альтернирующая матрица четного порядка имеет действительный определитель, нечетного порядка ——чисто мнимый; ранг кососимметрической матрицы всегда есть четное число.

Произвольную матрицу всегда можно однозначным образом представить в виде суммы;

эрмитовой и альтернирующей матриц, симметрической и кососимметрической ) матриц.

d) Унитарные, ортогональные матрицы. Матрица U, удовлетворяющая условию ПШ =1Н11 =区 или, что то же, 11+ —U~\ называется унитарной. Если матрица 11 является унитарной, то унитарными будут также матрицы IL, II, U*, U+； вместе с 乩 и 11а унитарными будут также U^j и n2Ur Для конечных унитарных матриц имеем | det U | — 1, т. е. detll = d屮.Матрица U~l2(U, полученная из эрмитовой матрицы 31 преобразованием с помощью унитарной матрицы U, всегда является также эрмитовой.

Матрица Q называется ортогональной, если для нее справедливо равенство DS — ®. Всякая действительная унитарная матрица является ортогональной. Все правила действий с унитарными матрицами могут быть перенесены на ортогональные. Для конечной ортогональной матрицы Q имеем: det Q = ±l (см. также стр. 188).

6. Преобразование матриц

Общие факты. Матрицей, полученной из произвольной квадратной (или бесконечной) матрицы Э1 преобразованием с помощью обратимой матрицы @, называется матрица 6— S'1?!®; обратно, матрица 91 = ®6®~1 является матрицей, полученной из матрицы ⑨ преобразованием с помощью матрицы DT Матрицы 9( и @-131@

1) Или эрмитовой кососимметрической, (Прим, ред)

называются подобными. Подобные матрицы имеют один и тот же ранг; они описывают одно и то же линейное преобразование （см. стр. 186）. Матрица, подобная сумме （произведению） двух матриц, равна сумме （произведению） подобных матриц:

е7（以+必）0=①-物ё+出0；

07界势0=（07必0）（07 附 0）.

Далее имеем:

0Т界70 = （07班®）т и еТ尸（в）0 =尸（07时0）,

где 尸（？1） означает произвольный полином от матрицы 奴.Таким образом, каждому преобразованию матриц с помощью какой-либо невырожденной матрицы соответствует такое же преобразование их сумм, произведений, обратных матриц и полиномов от них.

Инварианты （см. также стр. 185; сказанное там с соответствующими изменениями сохраняет силу также для данного раздела）.

Важнейшие инварианты даются инвариантным характеристическим^ или вековым, полиномом матрицы:

det （班一施）= J% —厶• • • %”—

a”iJ• • • ann —入

=（一 1）"『十（一 1）…》a用"'十• • • 一 £4n + det 9Г.

Коэффициенты этого полинома являются инвариантами; среди нна— след

£a仃=SpSI = Sp （& 7北0） и определитель

det 以= det （07以0）、

Важными инвариантами служат п корней характеристического урав" нения матрицы 31, det （奴一I您）=0,——собственные значения Хи . , ., Xn. Их совокупность （каждый корень считается столько раз, какова его кратность） образует спектр матрицы §1; он состоит в точности из тех значений 1, для которых det （81——Х@）-1——резольвента матрицы 91 — перестает существовать. Имеем:

Sp §1 = \ + . 一 + 1小 det 31 = % . .. L・.

Ранг равен числу отличных от нуля собственных значений; матрица §1 является вырожденной в том и только в том случае, когда по крайней мере одно из собственных значений равно нулю. Степеням 21启（厶=0, 土 1, ±2,...） матрицы 21 соответствуют собственные значения （%产（/=1,…》п）, полиномам 尸（界）（см. 4d）—собственные значения 尸（％）.

Пример. Для квадратной матрицы второго порядка (^ ^丿 имеем:

с) Нормальная форма. Важной является задача отыскания для данной матрицы 事 подобной ей матрицы 0~W[0 возможно более простого вида [приведение матрицы 或 к нормальной форме), По нормальной форме можно более легко усмотреть свойства, остающиеся при преобразовании инвариантными; кроме того, подобными друг другу являются те и только те матрицы, которые могут быть приведены к одной и той же нормальной форме. Если нормальная форма представляет собой диагональную матрицу, то имеем £) =(ХДЛ); на главной диагонали стоят собственные значения.

Матрица §1 может быть преобразована к диагональной форме:

если ее собственные значения все различны, й-й столбец 台左 матрицы 0 находится из системы линейных уравнений (91 ——卜⑥)^fr = 0 и определен с точностью до постоянного множителя;

р) если матрица St является эрмитовой, унитарной или симметрической (см. также d). В этих случаях спектр представляет собой полную систему инвариантов (см. стр. 185). В прочих случаях существуют, вообще говоря, еще и дальнейшие инварианты, отысканием которых занимается теория элементарных делителей. Преобразование к диагональной форме в оби^ем случае невозможно.

Унитарные преобразования. Какова бы ни была эрмитова или унитарная матрица g, всегда существует унитарная матрица U такая, что матрица

n一喧口 = 9 = 0&) = S A君S (8)

имеет диагональную форму. Здесь Лv Л2,...,人工 означают различные собственные значения & из числа л имеющихся собственных значений, причем А, как корень уравнения det (@ — А®) = 0 имеет кратность ру； а°> = (/，，) означает диагональную матрицу, для которой 川夕=1 при %=( и /^ = 0 при \ т^ Ау.

Однородная линейная система уравнений

(5 一 А收)1/ = 0,冴=&,

имеет ру линейно независимыхимеет ру линейно независимыхрешений 1(?, 1(?,…，1(恥一собствен

имеет ру линейно независимых

имеет ру линейно независимых

ных решети матрицы £, принадлежащих значению Лу, которые могут быть выбраны нормированными и попарно ортогональными:

(1%【'))=1,(号)，哼) = 0,Л^А.

Таких различных нормированных и попарно ортогональных собствен-

ных решений 1(夕(无=1,р/ J= 1, .. ., /) мы получим всего 〃=尸 Ру. Они могут быть приняты за п столбцов унитарной матрицы II в равенстве (8). Аналогичные факты имеют место для ортогональных преобразований симметрических матриц (см. также стр. 164——165).

Если также U^1(§11, = ©, то И】!!-】一квазидиагональная матрица, / диагональных клеток которой являются унитарными матрицами, имеющими соответственно порядки рр. .. , рг; если среди чисел \ нет совпадающих, то UjU"1 — фазовая матрица.

к некоторой фа-к некоторой фа-Всякая унитарная матрица может быть при помощи унитарной

к некоторой фа-

к некоторой фа-

е.е.матрицы преобразована к диагональной форме, т.

е.

е.

несколькихнесколькихзовой матрице.

нескольких

нескольких

Одновременное преобразование

матриц. Если эрмитовы или унитарные матрицы 53” ®2,...,然忆 все попарно перестановочны, то существует унитарная матрица II такая, что матрицы 1L込U, IV^Д!,..., IL23mlI, полученные из данных матриц преобразованием с помощью матрицы II, все являются диагональными матрицами.

7. Бесконечные матрицы

Если порядок п квадратной матрицы неограниченно возрастает, то получаем бесконечную матрицу

(〃н/2.…、

Д ZZZZ I О21 〃22 * 一

Квадратная матрица, у которой оба индекса Wg, являющаяся частью данной бесконечной матрицы, называется усеченной матрицей порядка q,(〃泳)［贝(^-ter Abschnitt) бесконечной матрицы.

Определения и правила, сформулированные на стр. 167 и следующих, относящиеся к действиям с конечными квадратными матрицами, справедливы здесь лишь с некоторыми доп олнител ьными ограничениями. Для того чтобы можно было образовать произведение в соответствии с правилом (3), необходимо потребовать, чтобы все встречающиеся суммы были сходящимися. Законы 〈4), (5), (6), вообще говоря, утрачивают силу. На случай так называемых ограниченных матриц могут быть перенесены 2а и 2Ь (стр. 167). При этом матрица называется ограниченной, если для любых систем значений %” ％?, ... и уи у^ ..., удовлетворяющих условиям

88I СО

?МГ01, имеем У生/也m附

(Af не зависит от %； и у,・

След определяется согласно (7) при условии, что сумма сходится. Возможен случай, когда, несмотря на то, что ЗОВ, Sp 21 и Sp 势

существуют, Sp 界史 и Sp Й331 расходятся, причем Sp [3153] (см. (4)) существует и не равен 0.

Относительно определителя бесконечной матрицы см. «Бесконечные определители», стр. 180. Вообще говоря, ранг является бесконечным, дефект же и число линейно независимых решений системы однородных линейных уравнений, соответствующей данной матрице, конечны. .

Нулевая матрица и единичная матрица определяются в соответствии с 4а и 4Ь. Что касается матрицы, обратной бесконечной матрице, то необходимо различать:

матрицу 工 левую обратную по отношению к матрице 31, определяемую условием 主？( = ®

матрицу 炒,правую обратную по отношению к матрице 3(, определяемую условием 源)=®.

Равносильными являются (см. также Alb, стр. 161): задача отыскания матрицы X — задаче решения системы линейных уравнений ^ = SIj относительно 邑

матрицы 期 ——задаче решения системы линейных уравнений。=貝& относительно £

Для каждой системы, в которой действия, указанные в 2, являются неограниченно выполнимыми и подчиняются перечисленным там законам (например, для системы ограниченных матриц), справедливы предложения:

а) Если 31 имеет как левую, так и правую обратные матрицы, то эти матрицы совпадают и определены однозначно.

0) Если PI имеет одну и только одну правую обратную матрицу, то эта матрица является также левой обратной и определена однозначно.

В частности, для эрмитовой матрицы £ имеем теорему: либо для ,0 не существует ни левой, ни правой обратных матриц, либо же существует в точности одна матрица, являющаяся для $ одновременно и левой, и правой (эрмитовой) обратной матрицей.

Относительно преобразований бесконечных матриц остается в силе сказанное в 6а. Собственные значения определяются как те значения 入， для которых резольвента перестает существовать. Является существенным то, что определенные таким образом собственные значения могут заполнять непрерывную область (непрерывный спектр). Нормальная форма (8), стр. 174, содержит в этом случае еще одно слагаемое, имеющее вид интеграла.

С. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Определения

Определителем квадратной матрицы из п-п элементов aik (Z} k — = 1,2, . . ., п) называется сумма всех произведений

£ ('1, '2，• . .，'打)a1r1 a2г:| ， 一

в которых (/•〔, г2} . . .} гл) есть некоторая перестановка чисел 1, 2, . .., /г; при этом £ (j,々,.…,乙)=+ 1, если перестановка (&,...,乙?) четная и =—1} если эта перестановка нечетная (см. D1, стр. 181).

Соответствующий квадратной матрице 91=(〃泳)л-го порядка определитель п-го порядка записывается в форме

^11 〃12• • • 〃irz

Ri a22 … a2rz =改1(a加=(1591=1a/1(/, й= 1, ..Л).

Миноры). Определители квадратных матриц г-го порядка, получающихся из матрицы 纷 с /п строками и л столбцами посредством вычеркивания из нее т—г строк с номерами 厶，％ im_r и л — г столбцов с номерами 左】，々？，...， ^п_г, называются минорами r-го порядка матрицы 明. Произведение этого минора на (——1/1+6Ч-- - -4-/m_r4-Ai4-Aa4-.. -Ч-Ап-г (показатель называется индексом минора) называется субопределителем r-го порядка матрицы 23. Матрица 然 имеет всего (，) • (；) миноров (субопределителей) г-го порядка. Если матрица 史——квадратная, то минор л — г-го порядка (субопределитель л ——г-го порядка), получающийся посредством вычеркивания из матрицы тех г строк и г столбцов, которые перед этим сохранялись, называется дополнительным минором (соответственно алгебраическим дополнением) минора, рассматривавшегося ранее. Если, в частности, из квадратной матрицы (а^ вычеркнуть Z-ю строку и 左-白 столбец и умноисчть полученный минор на (—1)1 + А, то полученное произведение называется алгебраическим дополнением элемента aik (оно обозначается через А{^.

Теоремы об определителях

Теорема о разложении (Лаплас):

det 31 — Ia、mA、h — a力丫4力丫 (力—^)j

в то же время

〉；a,力 4,/ —a加 4了у — 0(力力 /) •

Y二 1Y = 1

Определитель равен нулю, если

все элементы одного ряда (столбца или строки) равны нулю, или

все элементы какого-либо ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ему ряда, или

все элементы какого-либо ряда представляют собой одну и ту же линейную комбинацию соответствующих элементов параллельных ему рядов, т. е. вообще: если несколько параллельных рядов линейно зависимы.

Определитель не изменяет своего значения, если

он подвергается транспонированию, т. е. все элементы а.к заменяются элементами 〃衣厶

к элементам одного из его рядов прибавляются соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.

При перестановке двух параллельных рядов определитель изме^ няет только свой знак.

Если все элементы какого-либо ряда определителя умножаются на одно и то же число, то определитель умножается на это же число.

Умножение, дифференцирование

Произведение двух определителей detla/bdetl^x) равно определителю det(C/%), элементы которого могут быть получены любым из четырех следующих способов (справа записаны соответствующие матричные уравнения):

Cjk £ 〃八九々aii^ik 十 ai2^2k 十• ••十 ainb砥；①2Ю”

cik 2 а1^кчaifik\ H-* ai2^k2 H~ • *• П- airfikn»g^PI赤"

С/^ £ 。v仇У%也1+。2也2十"一十。加力Arm；(£=^14

С,% = £ a."b2k == %力1在十 0也在十• ••十。,"力加(5=: 21 必.

Относительно дифференцирования определителя справедливо сле-

дующее:

г(&/ — алгебраическое

6а国*6а国*У I aik I дополнение элемента 〃衣‘),

6а国*

6а国*

при условии, что все。沿 являются независимыми переменными.

Оценка и окаймление определителя

Для определителя л-го порядка справедливо следующее неравенство, принадлежащее Адамару:

I det {а^ |2 П (I «,ч Г +1Г + • • • +UJ).

Имеем:

^11 ^ 12 * * * ^1П 〃1

=wl&kl—否Aik "部h=wl&kl—否Aik "部h%1 &2 * * * %М 〃2

=wl&kl—否Aik "部h

=wl&kl—否Aik "部h

аП1 СП2 * * * апп %q % …vn w

В частном случае, когда w=l и все % = 0 или все q・ = 0, получаем для рассматриваемого определителя значение = | a[k |, т. е. значение исходного определителя.

Специальные определители

а) Для так называемого определителя Вандермонда, в котором %%=(4尸，нмеем:

1

1

• 1

出

• ап

а；

:=U (。走&)(也/:= 1,2,..., /г),

и —1

A>Z

а】,〃2，…,ап一произвольные числа.

Симметрический определитель, в котором aik = ai+k_x и % 土〃三 ％ т. е. имеющий вид

& 4 …ап

〃2 〃3* * *。1

а3 аЦ * * * ^2= 2，

называется циркулянтом, или циклическим определителем.

Его значение равно

П 一 1

Z“ = (—1 产ЮТЦ(4 + а" + аМ+..・+аМ“-М), 々=0

где (о = е 〃 (или какому-либо другому первообразному корню л-й степени из единицы).

Определитель Грама. Для существования линейной зависимости между т векторами «-мерного пространства а『 = (〃“,..., ain)t /=1, 2, 25,加(см. стр. 25) необходимо и достаточно, чтобы определитель Грама этих векторов

a： (%>)•••(生嗫

det(a』) = det(£(仇储)磴(Мт) =det(W )'),

i) Здесь автор обозначает скалярное произведение векторов и. и / символом (ci霜々)(а не (立磋),как выше). (Прим. 〃е0・)

где ?[ = (Oj%), был равен нулю. Этот определитель равен квадрату объема гиперпараллелепипеда, построенного на векторах а「

Определитель Вронского. Для существования линейной зависимости между п функциями Д (х) переменного х необходимо), чтобы определитель Вронского

detdetА"（х）/7dx“-/(x)•• dx"r/"(x)d〃T而』/1(х)-2/2 (x) * •也(%)@力1 (%)•dx/1(Х)А"（х）/7dx“-/(x)•• dx"r/"(x)d〃T而』/1(х)-2/2 (x) * •也(%)@力1 (%)•dx/1(Х)

det

det

А"（х）

/7

dx“-/(x)•

• dx"r/"(x)

d〃T

而』/1(х)

-2/2 (x) * •

也(%)

@力1 (%)

•dx

/1(Х)

А"（х）

/7

dx“-/(x)•

• dx"r/"(x)

d〃T

而』/1(х)

-2/2 (x) * •

也(%)

@力1 (%)

•dx

/1(Х)

был тождественно равен нулю.

Бесконечные определители

Если существует предел определителя усеченной матрицы порядка q бесконечной матрицы,

Hm det(a,.“)[G =。，

то D называется определителем бесконечной матрицы (а秋)；в этом случае D есть сходящийся бесконечный определитель. Если при этом

ддaik и бесконечное произведение [[ ан

д

д

оба являются сходящимися, то определитель называется нормальным. Миноры нормального определителя нормальны. Для нормальных определителей справедливы предложения, аналогичные тем, которые имеют место для конечных определителей (см. пп. 2 и 3).

Практическое вычисление

Из элементов z-й строки определителя det (а泳) вычитают соответствующие элементы первой строки, умноженные предварительно на —■ . Значение определителя при этом не изменится. Если проделать

это со всеми строками (кроме первой), то определитель примет вид

'11 '12 '13• • • Д1П

0 “2 % …％ det(&Q= 0 忆 bas ... bsn

”22 ^23' * '”2以

При помощи того же самого способа понижают порядок определителя, образованного числами ^ и т. д. В конце концов значение определителя det (а/Л) получается в виде произведения п чисел. Часто при этом бывает полезно переставить строки или столбцы (необходимо учитывать, что такая перестановка может повлечь перемену знака определителя); в тех случаях, ко1да это возможно, общие множители элементов строки или столбца следует выносить за знак определителя.

Значение det (а/Л) можно найти также при помощи решения систем линейных уравнений. Следует решить последовательно такие системы уравнений:

2.=0,1 4卢2」一a2/2 ==1.3.(4总一一%"3(021£一一"31 a31x3 -一 a33司Тогдаполучим:2.=0,1 4卢2」一a2/2 ==1.3.(4总一一%"3(021£一一"31 a31x3 -一 a33司Тогдаполучим:1. 4/ = 1 •1. 4/ = 1 •det(qQ =『vzl ® а1Л243 • • •det(qQ =『vzl ® а1Л243 • • •

2.

=0,

1 4卢2」

一a2/2 =

=1.

3.

(4总一

一%"3

(021£一

一"3

1 a31x3 -

一 a33司

Тогда

получим:

2.

=0,

1 4卢2」

一a2/2 =

=1.

3.

(4总一

一%"3

(021£一

一"3

1 a31x3 -

一 a33司

Тогда

получим:

1. 4/ = 1 •

1. 4/ = 1 •

det(qQ =『vzl ® а1Л243 • • •

det(qQ =『vzl ® а1Л243 • • •

Таким образом, вычисление определителей и решение систем линейных уравнений представляют собой практически одну и ту же задачу.

D. КОМБИНАТОРИКА

Перестановки

а) п различных элементов допускают 1 -2-3 . . . п — п ! (п факториал) различных способов уггорядочения в одну последовательность (перестановки). Перестановка называется четной {нечетной), если она может быть получена из первоначального расположения при помощи четного (нечетного) числа транспозиций. Транспозицией называется преобразование перестановки, состоящее в том, что два ее элемента меняют местами. Если перестановка чисел 1, 2, .. ., п является четной (нечетной), то общее число случаев, когда большее число предшествует меньшему (число беспорядков), также будет четным (нечетным).

Ь) класс, класс, класс,Ь) класс, класс, класс,Если средисостоящийсостоящийсостоящийЕсли средисостоящийсостоящийсостоящийп элементов имеются совпадающие, а именно, имеется из а совпадающих между собой элементов, затем из 0 совпадающих между собой элементов, затем из у совпадающих между собой элементов и т. д.,п элементов имеются совпадающие, а именно, имеется из а совпадающих между собой элементов, затем из 0 совпадающих между собой элементов, затем из у совпадающих между собой элементов и т. д.,то такие л элементов допускают —~：— различных способов упорядочения (перестановки с повторениями).то такие л элементов допускают —~：— различных способов упорядочения (перестановки с повторениями).Сочетания, размещенияСочетания, размещенияг различных элементов из общего числа имеющихся л различныхг различных элементов из общего числа имеющихся л различныхэлементов могут бытьвыбраны (без учета порядка)элементов могут бытьвыбраны (без учета порядка)п !п !гЦп - г)1 -(厂)гЦп - г)1 -(厂)различными спосо-различными спосо-бами (сочетания)^выбраны и упорядочены ( л)г!= п' ： различными способами\ г /(〃一/•)!(размещения}.Если каждый из л имеющихся различных элементов может быть взят любое число раз, то г элементов могут быть«/ л + г — 1 \ л (л + 1) (л + 2)(л + г — 1)выбраны ( r 1 =—_!~! различными способами (сочетания с повторениями}} выбраны и упорядочены лг различными способами (размещения с повторениями).бами (сочетания)^выбраны и упорядочены ( л)г!= п' ： различными способами\ г /(〃一/•)!(размещения}.Если каждый из л имеющихся различных элементов может быть взят любое число раз, то г элементов могут быть«/ л + г — 1 \ л (л + 1) (л + 2)(л + г — 1)выбраны ( r 1 =—_!~! различными способами (сочетания с повторениями}} выбраны и упорядочены лг различными способами (размещения с повторениями).Биномиальные коэффициентыБиномиальные коэффициентыЗдесь k — натуральное число V〃； 加，л — произвольные натуральные числа; %, у — произвольные действительные или комплексные числа.Здесь k — натуральное число V〃； 加，л — произвольные натуральные числа; %, у — произвольные действительные или комплексные числа.

Ь) класс, класс, класс,

Ь) класс, класс, класс,

Если средисостоящийсостоящийсостоящий

Если средисостоящийсостоящийсостоящий

п элементов имеются совпадающие, а именно, имеется из а совпадающих между собой элементов, затем из 0 совпадающих между собой элементов, затем из у совпадающих между собой элементов и т. д.,

п элементов имеются совпадающие, а именно, имеется из а совпадающих между собой элементов, затем из 0 совпадающих между собой элементов, затем из у совпадающих между собой элементов и т. д.,

то такие л элементов допускают —~：— различных способов упорядочения (перестановки с повторениями).

то такие л элементов допускают —~：— различных способов упорядочения (перестановки с повторениями).

Сочетания, размещения

Сочетания, размещения

г различных элементов из общего числа имеющихся л различных

г различных элементов из общего числа имеющихся л различных

элементов могут быть

выбраны (без учета порядка)

элементов могут быть

выбраны (без учета порядка)

п !

п !

гЦп - г)1 -(厂)

гЦп - г)1 -(厂)

различными спосо-

различными спосо-

бами (сочетания)^

выбраны и упорядочены ( л)г!= п' ： различными способами

\ г /(〃一/•)!

(размещения}.

Если каждый из л имеющихся различных элементов может быть взят любое число раз, то г элементов могут быть

«/ л + г — 1 \ л (л + 1) (л + 2)(л + г — 1)

выбраны ( r 1 =—_!~! различными спо

собами (сочетания с повторениями}} выбраны и упорядочены лг различными способами (размещения с повторениями).

бами (сочетания)^

выбраны и упорядочены ( л)г!= п' ： различными способами

\ г /(〃一/•)!

(размещения}.

Если каждый из л имеющихся различных элементов может быть взят любое число раз, то г элементов могут быть

«/ л + г — 1 \ л (л + 1) (л + 2)(л + г — 1)

выбраны ( r 1 =—_!~! различными спо

собами (сочетания с повторениями}} выбраны и упорядочены лг различными способами (размещения с повторениями).

Биномиальные коэффициенты

Биномиальные коэффициенты

Здесь k — натуральное число V〃； 加，л — произвольные натуральные числа; %, у — произвольные действительные или комплексные числа.

Здесь k — натуральное число V〃； 加，л — произвольные натуральные числа; %, у — произвольные действительные или комплексные числа.

В частности, имеем:

(9 = 1； (；)=*； (J1) = % (：)=1； t)=o ПРН0>〃.

Имеют место правила (в предположении, что mV%,加 Vy)：

…十 (i)(㈡ «теорема сложения).

Отсюда получаем:

凿=—（；）』（А •••+（：）'，闾）=（；）+（〃「）+•••+（：），

L3.5 ...（21）”

（A-”一），Cv）=i）”CT）.

Далее, при /?№ имеем:

（Z）± （；） + （2）±…+（±1）"（：）=（1土1）"={:

Поведение （ , ） при больших п и k характеризуется соотношениями:

гдегде芸二尸У 2тш “芸二尸У 2тш “玉7.玉7.-4<°<т-4<°<т

где

где

芸二尸

У 2тш “

芸二尸

У 2тш “

玉7.

玉7.

-4<°<т

-4<°<т

Приближение тем лучше, чем ближе 左 к ^. Если 左«% то

（П=象“昌 °<^<4-

При 左，п и /г—ky больших по сравнению с 1, с помощью формулы Стирлинга （стр. 154） получаем （^=а）：

лАлА111

л

А

л

А

1

1

К2тша （1 — а） 1炉（1 -а）т/ '

РАЗДЕЛ ШЕСТОЙ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

А. ОБЩИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Общие сведения

Преобразование ставит в соответствие системе значений хр %2， . . ., х„ некоторую другую систему значений х；, х；, . .., х^ при помощи системы уравнений вида

七:==/ [(尤1，…，Х〃)，尤2 丿2 (-^1)• • • > Х/1)，• • • > *П ~~ f п (/，…•，/)♦ ( 1)

Обращение. Относительно функций 厶 мы предполагаем, что они являются непрерывными и дифференцируемыми и что их функциональный определитель ——определитель преобразования ——

必，…/)=一de"

О/ . " ' dxn

для подвергающихся преобразованию систем значений отличен от нуля. Тогда система уравнений (1) может быть разрешена относительно xi !); уравнения

и г=：尸；(х：，. . .，х/ (i 1, . . ., л)(2)

определяют обратное преобразование. Преобразование (1) при этом называется обратимым.

Г рупповое свойство. Обратимые преобразования некоторого многообразия образуют группу (см. стр. 288): два последовательно произведенных преобразования S и Т равносильны одному преобразованию TS. Вообще говоря, TS 次 ST. Единичным элементом группы является тождественное преобразование Е\

Х- = X- (£=1, , .., л).

Обратным элементом для преобразования S является обратное преобразование 5~\ определяемое соотношениями (2), для которого имеем SS~ = S~'S=E.

Геометрическая интерпретация

Преобразование может быть геометрически интерпретировано как:

Преобразование координат、т. е. переход от описания с помощью координат л\, …，匕 к описанию с помощью координат %；, . . ., xfn. В этом случае xz и х； представляют собой координаты одной и той же точки 8 различных системах координат. Если fj — произвольные дифференцируемые функции, то, исходя из декартовой системы координат, мы получаем, вообще говоря, некоторую систему криволинейных координат.

Деформация многообразия, т. е. отображение многообразия 8 себя, перемещение точки xi в точку х； 8 той же системе координат. При этом прямые линии переходят, вообще говоря, в кривые.

Отображение . . . ,хп-многообразия в некоторое другое многообразие, элементами которого служат системы значений х；, . . .,х：. При произвольных (дифференцируемых) функциях /• отображение в целом не обязательно будет однозначным; в малом преобразование всегда однозначно (при условии, что определитель преобразования W0), т. е. достаточно малая окрестность точки х. всегда отображается в окрестность точки х； однозначно обратимым образом.

Определитель преобразования всегда представляет собой отношение, в котором изменяется бесконечно малый объем, т. е. отношение преобразующихся друг в друга элементов объема (см. стр. 65).

dVr —хп)

dV —…xfi)'

Инварианты

Характер преобразования Т: х；=厶(％口 ... , х〃) выявляется в тех свойствах преобразуемого многообразия, которые при преобразовании Т остаются инвариантными. Для функций, описывающих такие свойства, справедливо равенство

А (Хр■ “ * К • •» ,

иначе говоря, при замене первоначальных координат xv . . . , хп новыми координатами х；,... ,х： эти функции сохраняют свои значения с точностью до множителя х, который зависит лишь от параметров, характеризующих преобразование. Функции ^ (хр ... , х〃) называются инвариантами. Уравнения и системы уравнений, которые при преобразовании не изменяются, называются ковариантными.

Преобразования данного многообразия, исходя из характера их инвариантов, подразделяют на классы. Преобразования, принадлежащие к одному классу, образуют группу. Полной называется такая система независимых инвариантов, которая достаточна для того, чтобы полностью характеризовать класс преобразований; все прочие инварианты

преобразований этого класса могут быть получены с помощью инвариантов полной системы. Вообще говоря, чем уже класс преобразований, тем больше имеется независимых инвариантов, принадлежащих ему.

Далее, инварианты привлекаются для решения вопроса о том, в каких случаях два многообразия могут быть отображены одно на другое с помощью преобразований, принадлежащих данному классу. Это

имеет местоимеет местов том и только в том случае, когда значения инвариантов,

имеет место

имеет место

образующих относительно данного класса преобразований полную

систему, для обоих многообразий совпадают.

Инварианты преобразования координат называются также скалярами (например, расстояние между двумя точками, площадь поверх

ности); особую важность имеет линейный элемент, или элемент длины дуги, ds = ^gik dxi dxk = ^2 gik d^ ^x^. Если зависимость gik от

勺 известна, то тем самым в многообразии, описываемом с помощью Хр определены все метрические соотношения.

Примеры см. на стр. 256.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Линейные пространства

л-мерное линейное, или аффинное^ пространство состоит из всех точек, положение которых относительно некоторой фиксированной системы координат определяется л координатами ％?, ... , хп (точенное пространство) или из всех векторов & =(%“ ... , хп) (векторное пространство). При линейном преобразовании

оно преобразуется в себя, отображается на себя. Каждой точке (соответственно, каждому вектору) ставится в соответствие другая точка (соответственно, вектор), притом однозначно обратимым образом'). Матрица 21= (а*) представляет оператор, осуществляющий отображение.

Унитарное пространство. Если хн %?, ...、х^ ——произвольные комплексные числа и длина | j | вектора 工 задана при помощи единичной эрмитовой формы

IJ I = V 巧％; (х*—число, комплексно-сопряженное с х,-), (4)

')Однозначная обратимость имеет место, конечно, лишь при условии, что матрица 31 является невырожденной. (Прим, ред)

то линейное пространство называется унитарным пространством, ибо (4) при унитарных преобразованиях остается инвариантным.

Унитарное пространство счетного числа измерений, состоящее из всех точек или векторов %,…)，для которых ряд 00

V XjX； сходится, называется гильбертовым (унитарным) пространством. 尸1

Общие линейные преобразования

Представление. Общее (неоднородное) линейное преобразование переменных х~ …,хп может быть представлено посредством равенств:

'.二2 卜=浜 + L(*)= %(5)

Xn ;== aniXi 十• • • + annXn + 九 J

Оно называется однородным, если t = 0, и унимодулярным^ если определитель преобразования det(а^ равен единице.

Нормальная форма. Линейное преобразование, определяемое посредством (3), при переходе к другой системе координат у£ принимает вид

где 传浦=23=07310, если 勺=工必к. Таким образом, подобные матрицы представляют одно и то же линейное отображение, только в различных системах координат. Если матрица 奴 является симметрической или эрмитовой, то система координат 歹工 может быть выбрана таким образом (это сводится к надлежащему выбору матрицы ®), что отображение будет определяться при помощи уравнений простой формы у.=\.у. (нормальная форма линейного преобразования).

Новыми координатными осями служат инвариантные прямые преобразования. В прочих случаях нормальная форма может не иметь столь простого вида (см, стр. 173).

Проективное преобразование. Если в п-мерном пространстве ввести однородные координаты £~ $2, ... ,£% + 】 при помощи равенств хд = ^-, то линейное преобразование ££ = £ 。必 F + l/

будет представлять собой《ко九几инеарное» преобразование пространства (коллинеацию)^ записываемое при помощи уравнений

-г- ит. &

a"+i, 1 片 十 "n+1,2 % 十 …~r an+i, n+i

При коллинеарном отображении остаются инвариантными: двойное отношение четырех элементов (прямых, точек), степень алгебраических кривых и поверхностей.

Таким образом, прямые, плоскости, пучки прямых и т. д., конические сечения и вообще кривые и поверхности второго порядка остаются таковыми же.

Бесконечно удаленные элементы переходят, вообще говоря, в конечные, системы параллельных прямых переходят в пучки прямых.

Декартова система координат переходит в проективную систему координат, состоящую из л ——1 пучков прямых (или пучков плоскостей).

Если знаменатели приводятся к постоянным, то преобразование называется «аффинными. При аффинном преобразоаании конечная часть пространства переходит в себя (параллельные прямые остаются параллельными).

Унитарные и ортогональные преобразования

Линейное однородное преобразование, для которого

alkaik = 2 ^kflki= °и(/,々=1,2,...,叫

называется унитарным^), Если все aik действительны, то преобразование обычно называют ортогональным. Преобразование оставляет инвариантной форму ^ x*xz (соответственно 工％；)・ Для определителя унитарного преобразования имеем | det (@/力)| = 1 (для ортогонального преобразования будет, следовательно, det (〃[%) = 土 1). Число независимых коэффициентов преобразования равно у(л——1). Если записать преобразование символически в виде 工'=8丫, рассматривая при этом %『как декартовы координаты (компоненты вектора т), то будем иметь:

C*D = D*D= ® или Qt =Qi

л = 2. Наиболее общее унитарное преобразование в двумерном пространстве имеет вид

%； = хх cos 屮 с" — «г? sin 屮 Г* %； = л\ sin 屮 с"十 x2 cos g c", где a - p - ¥ + 6 = 0.

Действительное ортогональное преобразование с определителем det (ai}^ = -]-1 представляет собой поворот на угол 屮 вокруг начала координат некоторой декартовой системы координат х, у:

или xr iyr = {хZy) е/?.или xr iyr = {хZy) е/?.х = х cos 屮一у sin 屮, у，= % sin ? +y cos у,

или xr iyr = {хZy) е/?.

или xr iyr = {хZy) е/?.

])При условии, что базисные векторы образуют ортогональную нормированную систему. (Прим, ред.)

Ортогональное преобразование с определителем det (aik) = —1:

x； = xc°S¥+，sin% I илн х，+ду = (х_д>)^ у =xsm ср—у COS ф, J] J \

оно представляет собой отражение в прямой ；=tg 千.

л = 3. Действительное ортогональное преобразование с положи* тельным определителем в трехмерном пространстве представляет собой вращение {поворот) (£ на угол 8 вокруг неподвижной оси а, проходящей через начало координат. Оно может быть представлено в виде

(£i = г' = г cos 5 -j- а (аг) (1 —cos 力+[ai] sin 方 (歩=1),

или, если ввести

c = atg^ (а =〉)， в виде

6г = f = 7^{t (1 — с')十 2С (с,г) + 2 [с,г]}.

Для компонент, вводя обозначения ах = cos аи ау = cos а2)〃？= =cos ав)получим:

£ = %(1 — sin* at (1 —cos 6)) +_y (cos at cos a2 (1 — cos 5)—

——cos ae sin 6) + 2 (cos % cos ae (1 ——cos 方)+ cos a2 sin 3), y' —x(cosa2 cos at (1 ——cos 6) + cos ae sin 5)-j-5r (1——sin2 a2 (1 ——cos 6))+ + 2 (cos a2 cos a3 (1 — cos S) — cos % sin 3), z1 — x (cos a3 cos % (1 ——cos 3)——cos a2 sin 5)十

+»(cos % cos a2 (1 ——cos 5) + cos % sin 3)十 2 (1 ——sin2ae (1 ——cos 8))

и при этом

COS § = — (Ri + «22 + 〃33 — 1)，

cos % = /丫二黑/(/ = 1，2, 3).

Особые случаи.

Для весьма малых 6 (бесконечно малое ортогональное преобразование) будем иметь:

(Si = F = I = 6 [ai]

При 3 —тг, I с I = Ч- оо говорят об отражении в прямой:

口I = f = — I + 2a (ar).

При 6 = — мы применяем символ так что

U = К,.

В этом случае ось называется《осью п-го порядкам (n-zdhlig). Будем иметь:

您1 = = тождественному преобразованию, 阳=®

Действительное ортогональное преобразование в трех измерениях с отрицательным определителем представляет собой инверсионный поворот. Обозначив это преобразование через 3, получим:

?т = т'=——6г, так что 3 =——g, S„ =——6Л.

б】 называется инверсией*. 31г=г/ = — г.

5卩=§]& = &3\ = — & = ®i есть отражение @х:

0卩=工'=1 — 2а(ar), а2 = 1 относительно плоскости, проходящей через г = 0, перпендикулярной к вектору а.

0耀= 0iG^ =——626„ есть зеркальный поворот.

Имеем:

3^ = (—1)п®, @„=(—芭2)* т. & =思 при четном п и =色 при нечетном л.

Далее, для отражений @；, 0： с различными а\ 口" имеем:

色0"=⑨c c = _IgX

Если перенести начало координат в точку т = т0, то получим:

Y = t° 十 Q (t —1°) = Qt 十 ％ — 4%.

Мы имеем здесь, таким образом, неоднородное преобразование: r' = Dt-j-t 仕=工0 — DtJ. Преобразование 工'=工 + 1 называется трансляцией.

Комбинация поворота и параллельного переноса в направлении

оси вращения называется винтовым движением 広.Принимая точку

начало координат, можно всякое неоднородное

ортогональное преобразование с положительным определителем пред

ставить в виде винтового движения.

Комбинацию отражения относительно плоскости и трансляции в направлении какой-либо прямой, параллельной этой плоскости, называют скользящим отражением 6.

Пусть два преобразования 亠 и ©2, рассматриваемые в одной и той же системе координат, являются взаимно обратными (£\8乞=@). Тогда последовательное их выполнение в системах координат, получающихся одна из другой при помощи параллельного переноса, дает в качестве результирующего преобразования чистую трансляцию. Примерами этого могут служить две инверсии относительно различных точек, два отражения относительно параллельных плоскостей, два отражения относительно параллельных прямых и т. и.

Последовательное выполнение двух вращений дает снова вращение, причем результирующее преобразование, вообще говоря, зави-

сит от порядка выполнения исходных преобразований. Имеем:芭’毡气=区"亏сит от порядка выполнения исходных преобразований. Имеем:芭’毡气=区"亏гдегдеL — ~1-(^)*Перестановочными являются лишь вращения вокруг одной и той же оси и бесконечно малые вращения.L — ~1-(^)*Перестановочными являются лишь вращения вокруг одной и той же оси и бесконечно малые вращения.8) Всякое теризующееся ния с, может два вращения8) Всякое теризующееся ния с, может два вращениявращение, харак- вектором враще- быть разложено на с векторами j и с2вращение, харак- вектором враще- быть разложено на с векторами j и с2вокруг взаимно перпендикулярных осей ((CjC^^O) и допускает представление с помощью углов Эйлера рис. 25):вокруг взаимно перпендикулярных осей ((CjC^^O) и допускает представление с помощью углов Эйлера рис. 25):屮，屮，ф, 3, если положить (см.ф, 3, если положить (см.1. Clx = COS^tg-J C"=sin4)tg^1. Clx = COS^tg-J C"=sin4)tg^——поворот——поворотвокруг лежащей в х, .у-плоско-вокруг лежащей в х, .у-плоско-сти «линии узлов» на угол 3(0 V。V「)сти «линии узлов» на угол 3(0 V。V「)屮 ——угол между屮 ——угол междуи осью *(0V屮 V2tt).и осью *(0V屮 V2tt).

сит от порядка выполнения исходных преобразований. Имеем:

芭’毡气=区"亏

сит от порядка выполнения исходных преобразований. Имеем:

芭’毡气=区"亏

где

где

L — ~1-(^)*

Перестановочными являются лишь вращения вокруг одной и той же оси и бесконечно малые вращения.

L — ~1-(^)*

Перестановочными являются лишь вращения вокруг одной и той же оси и бесконечно малые вращения.

8) Всякое теризующееся ния с, может два вращения

8) Всякое теризующееся ния с, может два вращения

вращение, харак- вектором враще- быть разложено на с векторами j и с2

вращение, харак- вектором враще- быть разложено на с векторами j и с2

вокруг взаимно перпендикулярных осей ((CjC^^O) и допускает представление с помощью углов Эйлера рис. 25):

вокруг взаимно перпендикулярных осей ((CjC^^O) и допускает представление с помощью углов Эйлера рис. 25):

屮，

屮，

ф, 3, если положить (см.

ф, 3, если положить (см.

1. Clx = COS^tg-J C"=sin4)tg^

1. Clx = COS^tg-J C"=sin4)tg^

——поворот

——поворот

вокруг лежащей в х, .у-плоско-

вокруг лежащей в х, .у-плоско-

сти «линии узлов» на угол 3(0 V。V「)

сти «линии узлов» на угол 3(0 V。V「)

屮 ——угол между

屮 ——угол между

и осью *(0V屮 V2tt).

и осью *(0V屮 V2tt).

г2Х= sin ^ sin ф tg "'屮 ——поворот на угол 屮 + 屮 вокруг новой ОСИ 2‘.

G尸一sin 3 cos 少 tg空^

с2г= cos^tg^i^ 屮一угол между ct и осью х7 (0 ср 2п)э

3 ——угол между осями z и z'・

Отсюда получаем:

Jg-|c0S^]Jg-|c0S^]5 с叶，…=:小5中5 с叶，…=:小5中

Jg-|c0S^]

Jg-|c0S^]

5 с叶，…=:小5中

5 с叶，…=:小5中

,ф + 审ВВ 4 -4- ср

С помощью этих соотношенийС помощью этих соотношенийc—tg1^,COS — = cos у cos .

С помощью этих соотношений

С помощью этих соотношений

получаем следующие явные выражения

ДЛЯ £, _/, /：

xr=x (cos 屮 cos 屮 ——sin 屮 sin 屮 cos 3)十

+卫(cos 屮 sin 屮 + sin 屮 cos 屮 cos 3)十 z sin 屮 sin 3, yf =——x (sin 屮 cos 屮 + cos у sin 屮 cos 3)十

+卫(——sin 屮 sin 屮一［-cos 屮 cos 少 cos 3)十 2 cos 屮 sin 3, zr = xsin 屮 sin ^—у cos屮 sin 3十2 cos 3.

孔=4* Ортогональное преобразование в четырех измерениях наиболее просто представляется при помощи кватернионов (см. стр. 237——238).

п= N. Частным случаем унитарного преобразования в N измерениях служит преобразование

(преобразование Фурье).(преобразование Фурье).2做 yi=V^Tike N '

(преобразование Фурье).

(преобразование Фурье).

1 и 2M

Отправляясь от него, можно при помощи предельного перехода ^—► оо» 耳=7 получить ряд Фурье:

2н/хL dx.2н/хL dx.2м%хL

2н/х

L dx.

2н/х

L dx.

а такжеа также卫(*) = £С庐丄；Ск = ^^=т\У

а также

а также

при ^―► оо, 7^=х, 7^=s — интегралы Фурье: + 8+00

у {х)= \ 7j(s)e2G$ds; ij(5)= § y(x)e~2nixs dx, —8—CO

Преобразование квадратичных и эрмитовых форм

При линейном преобразовании 巧=2 %/；,(乙力)=給,квадратик пая форма Q = 2^i*xixa с симметрической матрицей 4 = (g»)nepe- ходит в форму Q' = 2%1*x^ с матрицей » =勇◎然.Матрицы Q н £У (при условии, что det S3 ^= 0) всегда имеют один и тот же ранг г (ранг квадратичной формы). При преобразовании эрмитовой формы "=/丸力*/；аналогично этому получим 呂=33十g方.

Используя тензорную символику, будем иметь:

f = S9t, O = D

q="It)=⑨ t'G 公门=(т£а323т')= (t‘空心吩门=(т0 Г},

С. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРИКОСНОВЕНИЯ (КОНТАКТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ) 193 где

При помощи линейного преобразования всякая квадратичная форма ранга г может быть преобразована в единичную форму х；+•・• + %；• Всякие две квадратичные формы одинакового ранга могут быть линейно преобразованы одна в другую.

Действительные квадратичные формы (все qik действительны) могут быть при помощи действительного линейного преобразования (все bik действительны) приведены к виду х；+ . . . +工；——x；+i——...——x；. Эрмитовы формы всегда могут быть приведены к виду 占尤十... ...4~ ^р^р — %/+1%；+]——...——xrxj. Индекс инерции р при этом вполне определяется исходной формой и при действительных преобразованиях (если форма эрмитова, то при любых) остается инвариантным (закон инерции квадратичйых форм). Если р =『, то форма при произвольных х2, . . ., хп (не все xi = 0) принимает только положительные (при р = 0 только отрицательные) значения; форма в этом случае называется положительно {отрицательно} определенной.

При помощи ортогонального преобразования квадратичные формы могут быть приведены к виду 艺 1fх：, где 1г, . . ., Лп — собственные значения матрицы формы. При помощи унитарного преобразования эрмитовы формы могут быть приведены к внду 工Матрнней ортогонально (унитарно) преобразованной формы служит матрица, получающаяся соответствующим преобразованием матрицы исходной формы (см. стр. 174 — 175).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРИКОСНОВЕНИЯ(КОНТАКТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ))

Двумерный случай

а) Общие сведения

Посредством уравнения вида

W(x, у, Ху К) = 0 (направляющее уравнение))

каждой точке х, _у-плоскости ставится в соответствие кривая Л, /-плоскости и обратно; кривой ср (х, >) = 0 или х = х (/), у=у (/) ставится в соответствие семейство кривых F(X^ 匕 /) = 0, огибающую которого можно рассматривать как образ кривой 平=0.

Название «преобразование прикосновения» обязало своим происхождением тому обстоятельству, что образами двух соприкасающихся кривых служат снова соприкасаюи1иеся кривые.

Уравнение образа кривой (р= 0 получают путем исключения параметра f из уравнений 尸=0 и 扛=0 или путем исключения хну из уравнений W= 0, (р=0 и

dW dcp dW。平°d% ду ду дх —'

Хотя здесь точки значком соответствии отношению к точкамХотя здесь точки значком соответствии отношению к точкамх,『-плоскости не находятся во взаимно одно- с точками Л, Е-плоскости, это имеет место по данной кривой ср = 0 и точкам ее образа (такх,『-плоскости не находятся во взаимно одно- с точками Л, Е-плоскости, это имеет место по данной кривой ср = 0 и точкам ее образа (такчто точки этих кривых могут быть представлены с помощью одного и того же параметра /).что точки этих кривых могут быть представлены с помощью одного и того же параметра /).Если положитьЕсли положить闪=0,闪=0,dv " 力а=p，衣=р，тоdW j dW c 段+ p万=°，dv " 力а=p，衣=р，тоdW j dW c 段+ p万=°，с помощью трех уравненийс помощью трех уравнений舞+Р禁=。舞+Р禁=。

Хотя здесь точки значком соответствии отношению к точкам

Хотя здесь точки значком соответствии отношению к точкам

х,『-плоскости не находятся во взаимно одно- с точками Л, Е-плоскости, это имеет место по данной кривой ср = 0 и точкам ее образа (так

х,『-плоскости не находятся во взаимно одно- с точками Л, Е-плоскости, это имеет место по данной кривой ср = 0 и точкам ее образа (так

что точки этих кривых могут быть представлены с помощью одного и того же параметра /).

что точки этих кривых могут быть представлены с помощью одного и того же параметра /).

Если положить

Если положить

闪=0,

闪=0,

dv " 力

а=p，衣=р，то

dW j dW c 段+ p万=°，

dv " 力

а=p，衣=р，то

dW j dW c 段+ p万=°，

с помощью трех уравнений

с помощью трех уравнений

舞+Р禁=。

舞+Р禁=。

можно рассматриваемому преобразованию придать форму:

Х=Х(х』р), У= У(匕 М р), Р=Р(х,у, р),

причем выполняется условие

Ь) Преобразование ЛежандраЬ) Преобразование Лежандра

Ь) Преобразование Лежандра

Ь) Преобразование Лежандра

представляет собой простой пример:

dy = р dx.Определяем У посредством

dY = xdp = PdX; х =尸，р=Х; следовательно,

У + Y=xp-[~ const, и мы получаем:

у-\~ ¥ — хХ = const

в качестве направляющего уравнения.

Это преобразование находит применение в теории дифференциаль* ных уравнений. Оно позволяет привести дифференциальное уравнение /(х, 乂 р) = 0 к другому дифференциальному уравнению

/(尸,(ХР-У), -¥) = 0,

которое может оказаться более легко решающимся. Производная р служит здесь независимым переменным ‘X (см. также стр. 316).

с) Каноническое преобразование

представляет собой преобразование прикосновения, важное для меха*

ники. Ононики. Оноопределяется равенством

ники. Оно

ники. Оно

z — Z=^(q, Q),

в котором изводящейв котором изводящейФ означает произвольную функцию. Она называется при функцией. Положив

в котором изводящей

в котором изводящей

dz n dZ

P==dq' Р=而'

получим:получим:р dq — PdQ = dФtр dq — PdQ = dФt⑴⑴

получим:

получим:

р dq — PdQ = dФt

р dq — PdQ = dФt

⑴

⑴

так чтотак что

так что

так что

дФ с дФ

Эти уравнения позволяют выразить Q и Р в виде функций от ^ и р.

Это преобразование называется каноническим ввиду того, что оно переводит так называемые канонические уравнения механики (см. стр. 418)

—dq—

(в которых параметр 7 означает время, а Н есть функция Гамильтона, зависящая от координат ^ и р, характеризующих соответственно положение и импульс) снова в канонические уравнения относительно Q и Р.

Для доказательства образуем вариацию уравнения (1), разделив предварительно его члены на dt. Будем иметь:

p 6 j + /6p —p通—Q 6尸—疝=0.

Ввиду того, что ^(绅)=薄，это выражение можно переписать в форме

*(Р切—&Q -沁)一/切+ p 6Q + 0订一Q/=0.(3)

Вследствие (1) выражение, стоящее в скобках, обращается в нуль. Положив далее

"(% P)= K(Q, Q, получим:

вычитая это равенство из (3) и принимая во внимание (2), непосредственно находим:

X дК з дК

Q=/； p=-又•

(5)⑹(5)⑹т. е. определитель ние р, ^-плоскостит. е. определитель ние р, ^-плоскостипреобразованияпреобразования0（么 p） 汝戶）0（么 p） 汝戶）равен единице; отображеравен единице; отображеСпециальные случаи:Специальные случаи:на Р, Q-плоскость сохраняет площади.на Р, Q-плоскость сохраняет площади.1) Преобразование1) Преобразование

(5)

⑹

(5)

⑹

т. е. определитель ние р, ^-плоскости

т. е. определитель ние р, ^-плоскости

преобразования

преобразования

0（么 p） 汝戶）

0（么 p） 汝戶）

равен единице; отображе

равен единице; отображе

Специальные случаи:

Специальные случаи:

на Р, Q-плоскость сохраняет площади.

на Р, Q-плоскость сохраняет площади.

1) Преобразование

1) Преобразование

Мн получили снова каноническую систему в новых переменных с новой функцией Гамильтона

Следующие уравнения эквивалентны уравнению (1):

pdq-^Q dP= dX (9, Р), А

qdp-^PdQ^dW {р, Q),卜(4)

qdp—QdP=d0〈p, P). j

При X = qP или ^ = pQ преобразование превращается в тождество, т. е. р = Р, g=Q.

Если представить преобразование в форме р=р(Р, Q), g = g(R Q),

то из (1) и (4) будет следовать, что

др — dQдр —дРdq — дР dqdQ

dP —dq fOQ —dg，dQ —dp1 dP —dp

а также

dp dq dp dq —.

Q=〃g), р=С является каноническим.

Линейное преобразование

Q=ag + 也,尸=*十切

является к'апоническим, если aS ——ру=1. В частности, если положить a =』= ,8 = 丫 =芸, получим

Q =吉(9+汕= iP\尸=含(g —力)=/Q*.

Таким образом, действительные переменные д, р переходят в комплексные переменные Q,尸,причем

<7 = *(Q—'Q = ±(Q+Q*)， p=m(Q+'Q=T^(Q—Q*)・•

Бесконечно малое каноническое преобразование определяется равенствами:

Q戶

У I' dq *

где 入一малая константа.

Например, преобразование

Q =0+0空龍包d力

также является каноническим, и вследствие группового свойства преобразований (см. стр. 288) то же можно сказать и о преобразовании

夕：=% +，q dt^ p == Pq +，P dt,toto

переводящем %，p0 в g, p.

Имеем поэтому:

OS 仇，q) n —■ dS 仇，q)

В механике S называют функцией действия (см. стр. 419). Там она определяется обычно следующим образом:

S ^= I (р j — ”) dt ：= § A dt;

L = pQ——H называется функцией Лагранжа.

Действительно, отсюда с помощью (2) находим:

2S = p2g —几 2%.

Особый интерес представляют канонические преобразования, которые переводят функцию K(Q, Р) в функцию, зависящую только от Р, например K(Q, Р) = зР.

Тогда будем иметь:

л дКс I

Q= = Q = w^+a,

户==。，昨

где ш, а, р константы.

Таким образом, мы получаем здесь очень простое решение преобразованного уравнения Гамильтона и, тем самым, при помощи обратного преобразования ——решение исходного уравнения.

Если в задачах механики Q представляет собой отвлеченную (безразмерную) величину или угол такой, что ^ и р являются функциями от Q с периодом 2п, то Q называется угло вой переменной (пример см. Приложение 5, стр. 573).

d) Обобщение

изложенной теории можно получить, рассматривая случай, когда каноническое преобразование само зависит от 厶 т. е. когда формулы имеют вид p=p(Q,尸，力，g = g(Q,尸，力 и, следовательно, явным образом содержат /.

Простейшим преобразованием такого рода является:

где / и 8 — произвольные константы.

Это преобразование будет каноническим, если положим:

K(R Q) = 〃(p, q^^Aq — BpY

Оно приводит к более общему зависящему от времени преобразованию с новыми переменными Р и Q':

р = Р (Р, Q')十4, g = Q (Р, Q') + В/；

при этом

К'(Р, Q') = K(P, Q) = "(P，q)^-(Aq — Bp).

Рассматриваемые преобразования являются, таким образом, преобразованиями к движущимся системам коо рдинат.

Это можно использовать в случае, когда требуется привести К(Р, Q) к виду 储(尸)十储(尸,Q), где ^1 мало по сравнению с 勺・

Тогда имеем:

Если, теперь, интеграл ) ~^ dt мал по сравнению с р。, то можно при помощи преобразования

ввести а и р в качестве новых переменных; при этом они сами также должны рассматриваться как малые величины.

Согласно изложенному выше это приводит к соотношению K(R Q) = Q(%B)—з(% + р)

Величины аи^ являются, таким образом, снова каноническими переменными с функцией Гамильтона 0.

Функция Q называется возмущающей функцией.

Описанный метод называется методом вариации постоянных.

Многомерный случай

Здесь направляющим уравнением будет:

取(％" %2，• • •，Хц, X" *2，•• •，"л) 0・

Общее преобразование Лежандра: для данной функции /(%“ ^2» • • • > "也，乂, 3^2» ' • • > 乂)； d/=gx,d巧收.；m=爲，%=器 строят другую:

F ("1，X2、•..,"也，У\i У2^ • • • > J^z)> для которой выполнено условие

dF =卓看 dXj — Yi d%

Таким образом,”

/+ 尸—'^ciXi = const.

Это и есть направляющее уравнение, если положить f=xk+l, F=Xk+l, Мы имеем, таким образом:

d 尸df 3F и

d/i 门 0%. @力 1

Это преобразование находит применение в вариационном исчислении при униформизации общих задач, а также для вывода канонических уравнений (см. стр. 386), в частности, в механике при переходе от функции Лагранжа L(x, х) к функции Гамильтона "(р, %) (см. стр. 418). Оно используется и в термодинамике (см. стр. 540).

Понятие канонического преобразования может быть без труда обобщено на многомерный случай (см. также Приложение 5, стр. 573); (1) переходит в■

尹/幻一二P/Q,. = d<I>(%,叁g“； Q], QzQ)

где / = 1, 2, ..., /г, так что d① nd①

Все остается в силе без каких-либо изменений, следует лишь добавить знаки суммирования; уравнения (5) и (6) обобщаются следующим образом:

dpj = dQk dpj = dPk dqj = dPk 呪—dQ 也

Мы будем иметь поэтому:

у （物dpt dqA （dQk 呪•丄 d為 дрЛ—dQk

что равно 1 при х= Qb и равно 0, если вместо х подставить другие Р и Q, кроме Q炉

Выражение （х, у） = £ （需•器—龄•芻） называется скобкой.

Лагранжа, Имеем, таким образом:

（Qm%） = _~ （弓，QQ = &т （Q^,Q/）=（匕,发—。・

Специальные случаи:

Если из переменных образовать векторы:

q = {%}, p = {&}, g={QJ,第={РJ，

то линейное преобразование можно представить с помощью тензоров SI,纷，®, ©：

G = W（q +舛，第=如十斗.

Оно является каноническим, если

④公一弟0 =（5=堂）近—疋经.

Для компонент получаем Aik = и т. д.

Комплексные переменные. При помощи канонического преобразования

厶歯 i+%d%-|-QdP+Q*dP* = d<D（%, %，尸，Р*）, где

^ = k（P（qi +/）+戶* （% 一也））三A （%（尸+产）十忆（戶一勺）， получаем:

Q = 第=々（%+ 也）； Q* = 駐=々（外一忆），

2 =農=々（尸+产）；% =窘=沦（尸一产），

戶=^ S1 —''J；°*= ^（'1 +勿J"

Из действительных координат qx> 夕毋 здесь составлена комплексная величина Q с соответствующим （комплексным） импульсом Р （工Pi + MD，Например:

"=扌（况十g；）+与（Pl + pD = ^ QQ* + 2/步匕

РАЗДЕЛ СЕДЬМОЙ

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

А. ВЕКТОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Определения

Векторный анализ объединяет геометрические и алгебраические понятия и формулирует имеющие для них место соотношения при помощи символики, приспособленной к его целям.

Основными его понятиями являются скаляры, векторы и тензоры.

Скаляром называется функция точки, которая каждой точке ставит в соответствие определенное число.

Вектором называется функция точки, которая каждой точке ставит в соответствие определенное число и определенное направление. Для наглядного изображения векторов часто применяют направленные отрезки (стрелки).

Тензором (второго ранга) называется функция точки, которая заданному в этой точке вектору ставит в соответствие другой вектор, причем соответствие между векторами является линейным. Тензор высшего ранга таким же образом ставит каждому вектору в соответствие тензор на единицу меньшего ранга (вектор = тензору первого ранга).

Эти функции, помимо их зависимости от точки, могут содержать и другие параметры, например время.

Если эти функции определены в каждой точке пространства, то говорят о скалярных полях, векторных полях, тензорных полях, соответственно о векторе поля и т. д.

Возможны случаи, когда поле определено лишь на некоторой поверхности, на некоторой линии или в отдельных точках.

Если функции, о которых идет речь, не зависят от положения точки, то такие скаляры, векторы и тензоры мы в дальнейшем будем называть свободными.

Вектор, заданный в одной какой-либо точке, может быть с сохранением величины и направления перенесен в другую точку. То же имеет место и для тензоров.

Векторы, длина которых равна единице, называются единичными векторами. Длина вектора является скаляром.

Обозначения. В дальнейшем мы пользуемся большей частью следующими обозначениями:

скаляры обозначаются греческими буквами, например 屮， векторы обозначаются готическими буквами, например а) тензоры обозначаются прописными готическими буквами, например 電. Длина вектора а обозначается той же буквой латинского алфавита а. Употребительно также обозначение |а|.

Чтобы показать, что скаляр является функцией точки, применяют обычно запись 屮(т) (т — радиус-вектор, см. стр. 209). Если, кроме того, скаляр зависит от времени /, то пишут 屮(т,/)* Аналогичные обозначения применяются для векторов и тензоров.

Векторная алгебра

Под суммой двух векторов а и 6 понимают вектор с = а + Ь, длина и направление которого в каждой точке зависят от слагаемых таким же образом, как длина и направление диагонали параллелограмма зависят от сторон, исходящих из вершин того же угла, что и диагональ. Отсюда следует, что для сложения векторов справедливы коммутативный закон:

а + b = b + а и ассоциативный, закон'.

(а+Ь)+ с = а + (Ь + с)・

Операция вычитания получается посредством обращения: а = с — b； b — с —(I.

Под произведением а屮 вектора и на скаляр 屮 понимают вектор длины |а|(р = а% направление которого совпадает с направлением вектора а ). Таким образом,。=叫，где через 储 обозначен единичный вектор, имеющий направление вектора а.

Произведением двух векторов а и 6 называют две различные величины:

Скалярное произведение (ub) (называемое также внутренним произведением). Оно представляет собой скаляр, равный

(иЬ) = а•岳 cos 屮

i) Весьма часто употребляется также обозначение а 三 а.

•—произведению длин векторов а и Ь, умноженному на косинус угла, образованного их направлениями. Отсюда вытекает, что (ab) = (bd) (коммутативный закон).

Длина вектора а равна

а = У (аа) = [ а [.

Ее следует брать всегда положительной.

Векторное произведение [ab] (называемое также внешним про» изведепием). Оно представляет собой вектор, направленный перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы а и Ь; длина его равна

|[ab]| = a-^-sincp,

т. е. равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь. Направление вектора [ab] подчинено условию: векторы а, b и [аЬ |, взятые в указанной последовательности, должны образовывать правую систему 1).

Отсюда следует, что

[砌=_[呵

Имеют место следующие правила:

[口口]= 0, (а [аЬ]) = 0,

(аЬ)+(ос) = (а(Ь + с)),[ [аЬ] + [ас] = [а(Ь + с)] J(аЬ)+(ос) = (а(Ь + с)),[ [аЬ] + [ас] = [а(Ь + с)] J{дистрибутивный закон}.{дистрибутивный закон}.

(аЬ)+(ос) = (а(Ь + с)),[ [аЬ] + [ас] = [а(Ь + с)] J

(аЬ)+(ос) = (а(Ь + с)),[ [аЬ] + [ас] = [а(Ь + с)] J

{дистрибутивный закон}.

{дистрибутивный закон}.

(а[Ьс]) = (Ь[са]) = (с[аЬ]),

[а[Ьс]] = 6(ас) —с(аЬ),

([ab][而])=(а [b[cb]]) = (ас) (bb) — (Ьс) (аЬ), |丽『=0汐—((11))2,

[/5 + [瓦1、闻+ [式啲=0,

а (Ь [Ьс]) -|-Ь (Ь [са]) + с (b [ab]) = Ь (а [be]).

(а[Ьс]) представляет собой объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с. Если эти векторы компланарны, то (°[Ьс]) = О,

и обратно.

】)Тройка векторов g b н [ab] при переходе от правой системы координат к левой меняет свою ориентацию. (Прим, ред.)

Далее, имеет место равенство

(ае) (af) (ag)

(a [к]) (е [fg])= (be) (bf) (bg)

(cej (cf) (eg)

в силу которого имеем:

a2 (ab) (ac)

(a[bc])2= (ab) b2 (be) (ac) (be) f2

=a^bzc2 —饋(be)'—加(ac)2 — f2 (abf + 2(ab) (be) (ac).

Алгебраические векторные уравнения

* = xa+yb + zc (разложение вектора * на три вектора, па-* = xa+yb + zc (разложение вектора * на три вектора, па-Подлежащие разысканию неизвестный вектор и неизвестные числовые множители обозначаются соответственно через j и х, у z; a, b, С, р, q, г означают данные векторы.

* = xa+yb + zc (разложение вектора * на три вектора, па-

* = xa+yb + zc (разложение вектора * на три вектора, па-

9 焦 а) = Р,

Решение:к=卡 + 5-^-.

t[ia]=b,

佟 a) = P, 3・{(gb) = G

ретенне・阿+ '@+'网

e(a [be])•

|(l・c) =，.

1 & + a = b. Решение: j = 6 — a.

4.

e㈣)¥lWe㈣)¥lW2 —(e)* на два вектора ——парал-2 —(e)* на два вектора ——парал-раллельных a, b и с).

e㈣)¥lW

e㈣)¥lW

2 —(e)

* на два вектора ——парал-

2 —(e)

* на два вектора ——парал-

n(КМ) ,, Ф |сп])

Решение: х — ^ ' у,

(а [1ч])，丿 (п [Ьср，

p=x[bc]+_y[c(i] + z[abl

Решение: х =, у = •，

8也口" ) (a也⑴

* = xa + [ga] (разложение вектора дельный а и перпендикулярный а).

Реи(ение: х=喫，吗.

С/едует иметь в виду, что уравнение, связывающее два вектора, эквивалентно трем алгебраическим уравнениям. С другой стороны, неизвестный вектор эквивалентен трем алгебраическим неизвестным.

Если вектор представлен в виде суммы, то слагаемые называются «компонентами», или «составляющими», вектора.

Интегральные и дифференциальные выражения

Интегралы могут быть распространены на различные пространственные области ——кривые: J' ds, поверхности: J'd/, объемы: / di?). Подынтегральная функция может представлять собой либо скаляр, либо вектор поля. Интеграл имеет тот же характер, что и подынтегральная функция. ,

Область интегрирования G указывают, помещая ее обозначение ниже знака интеграла: / . Если интегрирование производится по гра-

G нице замкнутой области, то мы будем заключать в скобки букву, обозначающую эту область: / ,

Скалярные интегралы

Линейным интегралом вектора а, взятым по некоторой кривой, называется величина

，(ad§) =，(aj)ds,

где б】 есть единичный вектор, направление которого совпадает с направлением элемента кривой d^v = §^5. Скалярное нронзведенне (a§J записывают также при помощи символа ast и тогда линейный интеграл обозначается р as ds.

Поверхностным интегралом называется величина

，(an) df,

где 11——единичный вектор, направление которого перпендикулярно к элементу поверхности df. Вместо (ап) пишут также 〃“，и тогда поверхностный интеграл обозначается j %"•

Векторные интегралы

Можно образовать величины / ads, которые в отличие от ненаправленных (скалярних) величин J as ds являются векторами.

Под интегралом 「ads понимают вектор, возникающий при суммировании векторных дифференциалов ads вдоль некоторой кривой (после того как все онн будут параллельно перенесены в одну точку). Аналогично определяются J a df и / a dv. Эти векторы не связываются с какой-либо определенной точкой и являются, следовательнэ: свободными.

Дифференциальные операции над векторами и скалярами

По аналогии с производной функции, для данного поля можно определить новые поля, получающиеся из него при помощи операции дифференцирования. Аналогично с мы получаем:

grad 屮——вектор (градиент)^ определяемый равенством

(d grad6三里(包*‘)

или, при d^ = ей, — равенством

(若 grad 屮)=〃.

Требование, чтобы уравнение удовлетворялось тождественно относительно а (соответственно относительно d§), определяет однозначно grad ср как некоторое векторное поле, поставленное в соответствие данному скалярному полю . Вектор этого поля направлен перпендикулярно к поверхностям ср = const и указывает направление, в котором функция возрастает. Его длина равна максимальному значению, которое может иметь 寞 при перемещении из данной точки по всевозможным направлениям. Можно также дать эквивалентное определение в форме

=lim展о

Здесь поверхностный векторный интеграл распространен на замкнутую поверхность, ограничивающую объем % При этом единичный вектор нормали п (л2 — 1) направлен во внешнюю сторону. При определениях такого рода (см. также 3) и 4)) величины, о которых идет речь, определяются в точке, где берутся бесконечно малые V или 尸 и, тем самым, являются функциями точки.

(с grad) В —— вектор (векторный, градиент}, определяемый формулой

(ci grad) b= lim (Ь (г+ “：)-.”))

ИЛИ

®S grad) b = db.

Здесь db представляет собой изменение вектора Ь при перемещении d§.

1) Ввиду этого иногда применяется также запись1) Ввиду этого иногда применяется также записьgrad 牛=grad 牛=的的

1) Ввиду этого иногда применяется также запись

1) Ввиду этого иногда применяется также запись

grad 牛=

grad 牛=

的

的

div а ——скаляр (дивергенция), определяемый формулой div a= lim g/"(口0)).

rot а ——вектор (ротор, или вихрь), определяемый формулой rot а = lim g J d/[na]),

или также формулой

(п rot а)= lim (工 f (ad§)).

Линейный интеграл распространен здесь на замкнутую линию, ограничивающую часть поверхности 尸.Вектор п есть единичный вектор нормали к поверхности 】).

Символы grad, div, rot представляют линейные дифференциальные операторы, которые данным полям ставят в соответствие другие поля.

Преобразование результатов дифференциальных операций

Применяя перечисленные выше дифференциальные операторы к скалярному и векторному произведениям, получаем, в частности:

grad (屮?)=屮grad少十少grad中，

div (a屮)=屮diva-]-(agrad屮)，rot (a屮)=屮 rot a — [a grad 屮]div[ab] = (brot a) — (a rot b),rot [ab] = (b grad) a — (a grad) b 十 a div b — b div a,grad (ab) = (b grad) a 十(a grad) b 十[a rot b]十[b rot a].

Двукратное применение операторов дает, в частности:

rot grad 屮=О,div rot a —0.

Комбинации

div grad 屮

и

grad div a — rot rota

обозначаются обычно соответственно через А屮 и Да.

*) Направление п должно быть согласовано с направлением обхода контура (尸).См. сноску на стр. 212. (Прим, ped.)

Если f представляет собой свободный (не зависящий от положения) вектор, то справедливы соотношения:

div f = rot f = (a g『ad) f = Af = О, (a grad(fb)) = (f (agrad)b),

A(fn) = (f Да),A[fn] = [f Аа].

Часто бывает необходимо образовать дифференциальные выражения для некоторой функции /(屮)скаляра ср. Здесь имеют место, в частности, следующие правила:

grad / (屮)=^ grad%"(中)=您中+君(g^d屮『，

а также следующие специальные правила:

а (屮少)=平A少+屮а平+ 2 (grad (Р grad屮)，

Ас/ = асра"2 (ср Дер -]- (а — 1) (grad 屮『)，

Ah1T—(*：

А产=e中(A屮+ (grad屮了).

Векторные операторы. Дифференциальный оператор grad можно формально рассматривать как вектор д (его часто обозначают также V («набла»)); при этом будем иметь:

grad 屮=辭， div a = (ga), rot a — [ga], следовательно,

a屮= (gg)%

厶a = g(qa)—[g [ga]]=(M)a-

При этом, однако, необходимо сохранять порядок множителей; например, (a[gb]) = ([agj b) означает, что ([a grad] Ь) = (a rot b). В противном случае следует иметь в виду правила перестановки множителей, например,

(q[ab]) = (b[ga]) —(a[gb]),д (ab) = (ag) b + (bg) a + [a [gb]] + [b [да]] и т. п.

Можно также ввести вектор [г grad] —ш, т. е. nrp = [rgrad ^ (ma)— =(r rot а). Для него справедливы, в частности, операторные уравнения

[тш] = —ш

и при постоянных а н Ь:

(ад)т —ш(ад) = [а^,(аш) (Ьт) — (Ьт) (ат) = — Qab] ш),[т grad]2 = (min) = Г2 (дд) — (тд)2 — (гд) = Г2А —(г grad)2 — (т grad).

Радиус-вектор г

Важным вектором является радиус-вектор т, определяющий положение данной точки по отношению к фиксированной точке 工=0・ Поле этого вектора мы получим, поставив каждой точке пространства в соответствие вектор г, направленный от нулевой точки к данной точке и имеющий длину г, равную расстоянию между этими точками.

Если в качестве нулевой точки выбрать точку с радиусом-вектором г0, то положение точки г относительно нулевой точки будет характеризоваться вектором г — г0.

Вектор г —工'，характеризующий относительное положение двух точек т и 工'，не зависит от выбора нулевой точки. Если образовать функции от г —工‘，то эти функции будут зависеть как от г, так и от 工'* Дифференцирование и интегрирование поэтому могут выполняться по каждому из аргументов, и в записи должно быть указано, какой из аргументов имеется в виду, что можно сделать, например, при помощи штриха, сопровождающего обозначение операции.

Уравнение (аг) = р является уравнением плоскости, перпендикулярной к вектору а и отстоящей от нулевой точки на расстоянии, равном j^j').

Если дана кривая, s—измеряемая вдоль нее длина дуги, т — радиус-вектор ее точек, то имеем:

где t — единичный вектор, направленный по касательной к кривой в точке г.

Далее, получим:

石尸k

Здесь 济 означает вектор, определяющий направление и длину радиуса кривизны кривой в точке т.

Векторы 9t и t определяют соприкасающуюся плоскость кривой в точке т.

Дифференциальные операции над скалярами и векторами, образованными из вектора г и свободных векторов а, Ь, . .., f, выполняются

】)Вектор о, будучи отложен от начала, обращен в сторону плоскости при р > 0 и в противоположную сторону при р < 0. (Прим. реЗ)

D

div D

rot D

grad div d

(f-grad) V

агп

п （ат）厂抬一2

nrn~2 [ra]

a/zr«-2_p

+ r/z (n — 2) (ar) rn^^

an⑴+ 1)尸7

a (rf) "”t

ri

s+з）产

0

r/z 5 + 3)d~z

r/z m+3"…

产+工（任）"A2

a(br) гп

(仙)尸+

十(m)(br) "*2

[ba] rn + [ra] (br) nrn~2

a (br) nrn~2 +

+ D (ar)"…+

+ l (吐)ПГП~г +

+ Г (ar) (br) x

Xn(n~~2) rn-4

cm 仇+3) (br)尸г

n(fb)产 +

+ a(rf) (rb) nrn~z

г (ar) гп

(几十4) (ar)产

[ar]产

a (zz + 4) d +

+ r (zz + 4) zz (叫 d - 2

r(ar)/z(/z+5)X

Xrn"2 + 2arft

f (ar) rn + r(af) rn + + r(ar) (fr)/zrn~2

г (ar) (Ьг) гп

(zz+5) (ar) (br)rn

[ar] (br) rn + [br](ar) rn

S+5) {a (h)+b (ar) +

十切粤黑}，“

2 ja(br)4-b(ar)4- + r(ab)}r" + 4-г(аг)(Ьг)л(л4-7) г"'2

f (ar) (br) rn +

+ H(”)3)+ +(ar)(bf)}rn + + r(ar)(br) (fr)"产-2

[аг] г"

0

a 5 + 2) d -

—r (ar)

0

口1］几（几+3）厂〃-2

[af]n +

+ [ar](fr) nrn^

[ar] (Ьг) гп

(r [ba]) r"

a 5 + 3) &r) i — 一 r {(ab) +

[ba] rn-|-r (r [ba]) nrn~2

[nr] (br) n 仇+5)产г— + 2[ab]rn

[af] (ln)rn +

+ [ar] (br) (fr) пгп^г-^

+ [cn]创)产

а In г

(ar) 尸

mu

a 2r (ar)

a

产

厘 г2

21。

VI-ВЕКТОРНЫМ АНАПНЗ

без труда. В таблицах на стр. 210 и 212——213 представлены важнейшие типы таких операций и результаты, к которым они приводят.

Если в этих и следующих далее формулах вместо т писать т——т\ то они сохраняют силу при условии, что дифференцирование производится по т. В то же время будем иметь, например,

grad (а； Г —『)=—grad' (а, т —工‘).

В частности, следует иметь в виду соотношения: rot г = 0, div т = 3, grad (ат) = а, rot [词=20, div [ат] = 0,

а также

g^d (*) = —rot (*) (г т^О).

Далее, для произвольного скаляра 屮,соответственно вектора и, имеем: (D grad) т = D,

Д (ТО) = (г Аи) + 2 div D, 厶(г(р) = г △屮 + 2 grad q rot [rt>"| + grad (xu)= — D + T div и * [t rot nJ.

Для функции 屮(厂),зависящей только от г = \х\ (сферическая симметрия), имеем:

* = ¥“ + %'，

Степенные ряды в векторной форме. Произвольные скалярные поля 屮 или векторные поля и, не имеющие в нулевой точке особенностей, можно представить в виде разложений по т, используя константы а, р, у, ... и постоянные векторы а, 6, с, . .. в качестве параметров разложения. Разложения имеют следующий вид:

屮=а + (аг) + {犷 + (网)(Ct)} + {产(bt) + (et) (2 (gt)} +

+ {旷 + 尸例)(it) + (ft) (It) (шт) (nr)} + … b = а + {ат 十[bi] + с (员)} + {е尸 + т (ft) + [gt](勺 т)十

+ i 冏(h)} + {肌尸 + 口间产斗 t (lit) (Dt) + "2 (qt)+ + 画](m(间 + D (mt)(曾(/)} +

Если поля представлены такого рода разложениями, то применение к иим дифференциальных операторов выполняется легко.

平

grad ср

厶平

г"

[川-2

п(п十1)尸т

In г

1

戸

(аг) Г11

м" + г (аг) пгП~2

(nr) 〃 5 + 3)尸 一2

(cir) (br) к

и (1я)尸‘ + b (иг) г" +

十 Y (0T)(ьТ) ига~2

2 (M)) d + 〃 5 + 5) Sr) (br)厂 T

При решении скалярных или векторных дифференциальных уравнений можно брать такие представления в качестве исходных и затем выводить отсюда алгебраические соотношения между параметрами разложения.

Интегральные теоремы

Скалярные интегралы

Теорема Г а у с с а:

,df ап = , dp div а.

Первый интеграл распространен на замкнутую поверхность, второй— на ограничиваемый ею объем. Вектор п в выражении ап = (ап) есть единичный вектор внешней нормали к поверхности.

Теорема Стокса:

,ds as = , d/a, [rotn а = (n rot а)]. (尸)F

Первый интеграл берется по замкнутой кривой, второй——по произ- вольной, поверхности, ограниченной этой кривойJ).

Теорема Грин а:' применяя теорему Гаусса к вектору ф grad (р, получаем:

*) Положительное направление нормали к поверхности должно быть ориентировано относительно направления обхода контура интегрирования так же, как положительное направление оси z — относительно положительного направления вращения в %, -плоскости. (Прим, ped)

grad A中

ЛДср

17/ (n -|- 1) (n - 2)厂…

п (л + 1) (л — 2) (п - I/—

2

2

戸

ал (л +3)尸 т +

+ тл m一2)5 + 3)仙工""4

п ("+ 1)(〃一2) (п + 3) (АТ) г" 7

m S + 5) {a (配)+ b (") +

+ Т5一2)吗斗…+

4-2r (ab) nrn~2

〃 { 4 (〃 + 3) (сЬ) +

+ S + 5) 5 — 2) S+3) ^^)}尸т

Отсюда вытекает следующая полезная формула:

§ "(少gradЯ中—中gradЯ屮)=§ du (少A平一屮g).

(Ю

Особенно важны следующие частные случаи:

.少=1. , d/giad门屮=,dv А.

.屮=；.Тогда Дф= 0 nf)H「У。. Будем иметь:

< "grad„ 屮——屮 grad,, = j du (； A屮)一j du (屮A；).

Последний интеграл равен нулю, если поверхность, по которой берется стоящий слева интеграл, не заключает внутри себя точки г — 0. Если же эта точка находится внутри поверхности, то получим:

где 屮° ■— значение 屮 в нулевой точке. Таким образом, выражение :——厶不 представляет собой обобщение дельта-функции на трехмерный случай (см. стр. 35). Имеем:

4=д4=д1* 二г"1* 二г"4тг5(г —т0).4тг5(г —т0).

4=д

4=д

1

* 二г"

1

* 二г"

4тг5(г —т0).

4тг5(г —т0).

В случае, когда поверхность заключает внутри себя нулевую точку, получаем:.

4呻。=—jd時 + j 贝；grad“¥ —<pgrad"；).

2а.屮=1 дает:2а.屮=1 дает:J "（号 grad” 中一屮 grad” （号））=4叫。,J "（号 grad” 中一屮 grad” （号））=4叫。,соответственносоответственно=0,=0,

2а.屮=1 дает:

2а.屮=1 дает:

J "（号 grad” 中一屮 grad” （号））=4叫。,

J "（号 grad” 中一屮 grad” （号））=4叫。,

соответственно

соответственно

=0,

=0,

4тт, соответственно = О,4тт, соответственно = О,bgrad”

4тт, соответственно = О,

4тт, соответственно = О,

смотря по тому, принадлежит нулевая точка рассматриваемому объему или нет.

pikr

. 屮二 —.Тогда 厶屮=—А2ф при г^О.

Если функция 屮 удовлетворяет всюду уравнению А屮 十力'屮=0, то

смотря по тому, заключает поверхность внутри себя точку г = 0 или нет.

Теорема Пуассона:

или, в более точной записи:

а Г d吟（J）

叫 С）

Эта теорема справедлива также для векторов:

A =『宇Аа = — 4M.

Поэтому из 厶屮=——4пр следует 屮=jdu^-, из Аа = — 4п6 следует а= У dv — . Справедливо также более общее утверждение;

из a屮+ 力2屮=-47Tp следует 屮= \ du竺一.

Векторные интегралы

Для произвольной замкнутой кривой имеем:

§ dS（p= $ df[n grad 平];

интеграл в правой части берется по поверхности, ограниченной этой кривой.

Специальные случаи

Собственные интегралы

,оН 公 grad у,

,df [па] = , du rot а,

，打⑴ rot а) = 0,

,d/d(bli) = , dD (a div b + (b grad) a),

,d/li(ab)=,公 grad (ab)=

=，du ((a grad) b 十(b grad) а 十[a rot b]十[b rot a]),

，d/(H (ab) — a (bn) — b (an))=

=，du ([a rot b] + [b rot a] — a div b — b div a), J 办信燈一a(mi)) = J ^([arot a] — a div a).

Несобственные интегралы

Следующие далее интегралы берутся по всему пространству (до г = оо). Подынтегральная функция должна быть непрерывной и при больших г исчезать быстрее, чем })

Скалярные интегралы:

)dx/diva =0,

,d守屮 div a =——,du (d grad 屮), ,dv (a rot b) = , du (b rot q).

В частности, для радиуса-вектора I：

dv ( a grad；dv ( a grad；,div advr

dv ( a grad；

dv ( a grad；

,dv (I grad 屮)=——3 , du 屮, ，dv (I rot a) = 0.

Здесь имеется в виду убывание на бесконечности порядка р^-, где Е > 0. Это условие достаточно для сходимости тройного интеграла, но оно не является необходимым. (Прим, ред}

Векторные интегралы:

§ du grad 屮=0,

g dv rot a = 0,

g du О div b = — g du (b grad) a.

j du 屮 rot 0 = j dz [a grad 屮]

g dv 屮 grad 少=g dv 6 grad 屮，

，dv (口 div b + b div a) = § du ([a rot t>] + [b rot a]).

В частности, для радиуса-вектора г:

,rot a 「，「〃 1 ] С л [ai]

^—= J dv la grad — I = —) d^*,

)du[tgiad 叫=0, g du T div a = — g dv a,

R dv [r rot 口] = 2 § dv a,

Если образовать интеграл, например, вида

也乎(1)

то он будет представлять собой функцию от т‘. Мы будем при этом иметь:

11г —г —门门grady(r)I г - rz 1 'grady(r)I г - rz 1 '

1

1

г —

г —

门

门

grady(r)

I г - rz 1 '

grady(r)

I г - rz 1 '

Если интегрирование выполняется по всему пространству, то первый интеграл равен нулю при условии, что 屮 при г—► оо убывает быстрее, чем ；.

В таких случаях пишут более просто:

屮=£響и grad £響=£急哨.

Специальные векторные поля

Векторное поле а, для которого rot а всюду равен нулю, называется безвихревым полем.

Безвихревое векторное поле а может быть представлено в виде поля (отрицательного) градиента некоторого скаляра 仏

а = — gradtp, называемого потенциалом, или скалярным потенциалом. Тогда будем иметь:

2

J 4 ds = % —%. 1

Значение интеграла зависит лишь от начальной и конечной точек и не зависит от пути интегрирования; в случае замкнутого пути интегрирования интеграл равен нулю. Справедливо также обратное утверждение: поле градиента скаляра всегда является безвихревым.

Если положить

div а — — divgrad 屮=—А? = 4ттр,

大С dv р-

то будем иметь 屮=| 尸，где г означает расстояние элемента объема от точки, в которой разыскивается значение 屮.Интеграл в случае, если не оговорено чего-либо иного, берется по всему пространству. Конечно, необходимо проверить, сходится ли он.

Таким образом, если diva всюду задана и rot a = 0, то эта формула позволяет вычислить 仏 а следовательно, также и вектор а.

Векторное поле а, для когорого diva всюду равна нулю, называется соленоидальным, или свободным от источников. Свободный от источников вектор а может быть представлен в виде ротора свободного от источников вектора 班：；

a = rot 9(, div 91 = 0.

Вектор 奴 называется векторным потенциалом вектора а.

Если положить

rot а = rot (rot 2() = — Д?( = 4пс, то получим:

Таким образом, если rot а всюду задан и div a = 0, то эта формула позволяет вычислить 21, а следовательно, также и а.

Всякое векторное поле при условии, что оно всюду непрерывно и на бесконечности достаточно быстро исчезает, может быть однозначным

образом представлено в виде суммы (суперпозиции) двух полей — безвихревого и свободного от источников:

где

rot а' = 0, div а* = о；

,.С dv div а “. С dv rot а

а = —grad J a=rot)-^-.

Операции, фигурирующие в этих формулах под знаком интеграла, должны выполняться в той точке, в которой берется элемент объема; операции, указанные перед знаком интеграла, выполняются в точке, где вычисляется вектор а\ соответственно а*.

Векторные поля, не всюду непрерывные

Пусть

rot а = о

div(1 = 0 при т^О.

Тогда

J ап df— const = 4пе

для всякой замкнутой поверхности, заключающей внутри себя точку Т = 0, и

^ andf= 0

для всякой замкнутой поверхности, не заключающей внутри себя точки 工=0 (см. стр. 213—214).

Множитель е называется мощностью находящегося в точке т=0 источника,

В этом случае поле а может быть получено из некоторого потенциала 屮：

a = —— g【ad屮，R =；

Функция 屮 имеет особенность при г= 0.

Это же поле может быть получено из некоторого векторного потенциала 班：

(I = rot 21,

SI = е 河曙wj = е[11, grad In (г 十(ill))] = —e rot (n In (г + (nt))), где л2 = I. 31 имеет особую линию, определяемую условием г =——(nr), т. е. полупрямую т =——alt.

la) Пусть div(1 = 0 во всех точках, кроме г = 0 и г = I, где находятся источники мощностей соответственно ——е и е. Если теперь заставить I стремиться к нулю так, чтобы при этом произведение

1^ =Ш оставалось конечным, то получим двойной источник, или диполь^ с моментом ш.

Имеем:

а = —gradcp,—屮=(mgrad；)= —•^•=div

И.

a = rot §1,北=-^- = — [in grad 3] = rot (?),div3( = 0.

Пусть

rot(i = 0

и

divd = 0・

Относительно вектора а предположим, что он терпит разрыв на некоторой поверхности, так что ап = (ап) при переходе с одной стороны поверхности на другую изменяется скачком от значения %】 к значению ——％?. Здесь п означает нормальный вектор к поверхности, направленный от 1-й стороны ко 2-й.

Если положить

то 4п(о = div а называется поверхностной дивергенцией.

ю есть мощность источников, которые мыслятся распределенными на поверхности, отнесенная к единице площади поверхности.

Если ср также терпит разрыв на поверхности, то мы определяем величину

В этом случае говорят о двойном слое с моментом т. Мы имеем:忘=——grad.

屮

интеграл распространен на поверхность.

Если т на поверхности сохраняет постоянное значение и (о = О, то будем иметь:

屮= т9,

где Q ——телесный угол, под которым поверхность видна из точки, в которой разыскивается значение у.

Пусть всюду diva = 0 и всюду, кроме точек некоторой линии L {вихревой линии), rot a = 0.

Тогда линия А либо является замкнутой, либо простирается в бесконечность. Для всякой замкнутой кривой, охватывающей линию А, будем иметь:

ds as = ^ df rotn a = const = 4пт (см. стр. 212),

причем поверхность ) df может быть произвольным образом деформирована. Отсюда следует, что т вдоль линии А остается постоянным, т называется моментом вихревой линии.

ds df rot ads df rot aТВТВВвиду того, что dv = ds df^ векторный потенциал вихревой линии дается формулой

ds df rot a

ds df rot a

ТВ

ТВ

откуда следует, что

a = rot§l = T J-^-[rffi,T],

Так как вектор а всюду, кроме точек линии А, является безвихревым, то он может быть получен из некоторого скалярного потенциала 屮，a =——grad 屮；однако при этом для всякой - кривой, охватывающей замкнутую вихревую линию (см. выше), будем иметь:

1122

1

1

2

2

где 7 и 2 ——совпадающие начальная и конечная точки замкнутого пути интегрирования, которые считаются принадлежащими различным сторонам поверхности 尸，натянутой на линию L. Таким образом, вихревая линия А с моментом т эквивалентна двойному слою 尸 с моментом т, произвольным образом натянутому на линию L. Скалярным потенциалом, как и выше, является ср = тй.

Пусть rot a= 0 всюдуу кроме точек^ принадлежащих некоторой поверхности, и div a = 0, т. е. вектор а терпит разрыв на поверхности, причем [па] (компонента вектора, параллельная поверхности) при переходе с одной стороны поверхности на другую изменяется скачком от значения [1【％] к значению [па2].

Введем вектор

— °2)]-

4ng = rota называется поверхностным вихрем, или поверхности ным ротором. При этом имеем:

奴= jdf$, a= rot ?I.

Совокупности векторов

Геометрическое пространство заполняется совокупностью всех значений радиуса-вектора т, или, что то же, оно представляет собой совокупность всевозможных значений этого вектора. Аналогично этому, совокупность значений вектора f какой-либо иной природы образует f-пространство с координатами 左苫，kyy kz. В этом пространстве могут быть введены все обычные понятия, такие как скаляры, векторы и т. п., а также дифференциальные и интегральные операции, такие как grad, div,，du н т. д. Соответствующие величины и операторы обычно обозначают при помощи индекса 左：grad左，div左，，壮守々； p^=p(f) = p(Ai%, % 々J ——плотности в f-пространстве.

Возможно, далее, комбинирование геометрического т-пространства с некоторым f-пространством. В этом многообразии размерности 2x3 каждой точке т соответствует целое i-пространство.

В этом случае точка в (т, !)-пространстве представляет собой

элемент, который определяется своим положением т и одновременно некоторым вектором f. Множество ■ таких точек имеет плотность, характеризующуюся функцией распределения 尸(т, f). Объемная плотность (в т-пространстве) этих элементов равна р = , du々尸(т, f).

в f-нро- f) — всев f-нро- f) — всеВеличина рА = ^ dv F (г, f) представляет собой их плотность странстве, величина М= , р du = , р内 dvk = , , du dvk F (т,

в f-нро- f) — все

в f-нро- f) — все

их множество.

Посредством интегрирования по f можно для функций от т и f образовать их локальные средние значения:

小“у (г, f)尸(г, f)，dvk 尸(Г, f)小“у (г, f)尸(г, f)，dvk 尸(Г, f)«% 中匕 f）尸（Y，f），«% 中匕 f）尸（Y，f），

小“у (г, f)尸(г, f)

，dvk 尸(Г, f)

小“у (г, f)尸(г, f)

，dvk 尸(Г, f)

«% 中匕 f）尸（Y，f），

«% 中匕 f）尸（Y，f），

а также, следовательно, обычные скаляры и векторы, например;

一 ，也武尸(г, I) 「

'="% 尸(t, f) = F) fF(r,f).

Функция 尸(r, f) при этом играет роль весовой функции.

Применение. Эти понятия служат, в частности, для описания систем, состоящих из в каком-либо смысле плотно распределенных элементов, каждый из которых обладает качеством, которое можно изобразить с помощью вектора f (скорость, импульс, момент и т. п.). Данный формализм может быть применен также к сложным полям излучения (f ——волновой вектор (см. стр. 226)).

Распределение, задаваемое функцией 尸(т, f), может зависеть дт времени: Л (г, f, t). Изменение F(y, f,玄)—尸(％ 力彳) за время /2 ——片1 может осуществляться в силу различных причин:

благодаря удалению или введению элементов:

благодаря перемещению элементов из положения г в положение т' при неизменном f:

竺囈，')=Jdd ｛尸К £)了⑴，I)一 尸(％ f) 7% С ｝；

благодаря изменению характеризующего элементы вектора с f на f при неизменном г:

竺(”)=J d% ｛尸(t, f') r(r, f)—尸(t, f) r(f, f')｝.

Здесь 屮 означает функцию, появление которой обусловлено внешним воздействием. V и W суть функции, описывающие соответственно переходы от г к т' и от f к Г. Они называются функциями перехода (Obergangsfunktionen). В случаях 2) и 3) рА, соответственно р, остается постоянным, и, следовательно, постоянным будет также и М.

Если конечные изменения положения происходят лишь за конечное время, то функция V (г, Т‘) существует лишь для малых т —【'* В этом случае 2) может быть заменено соотношением

更肾上S = —div(D尸(％ f)) с вектором тока D. Аналогично для 3) имеем:

"(扌J ")= — div比(京尸(i,f) с вектором возмущения 虞.Все эти функции могут зависеть от г, f и /.

Точечная решетка и взаимная решетка

Элементарной пространственной точечной решеткой, или пространственной решеткой Браве, называется система бесконечного числа точек, радиус-вектор которых т может быть представлен с помощью трех некомпланарных основных векторов е“ е2, е& формулой

3

+及© + ”2 + 〃q = to+X 〃© (I)

с тремя целыми (положительными или отрицательными) числами лп л2, п*. Положение каждой точки решетки характеризуется этими тремя числами. (Мы полагаем в дальнейшем г0 = 0.)

с помощью других векторов е； посред- aik состоит из целыхячейки), построеннойс помощью других векторов е； посред- aik состоит из целыхячейки), построеннойТа же решетка может быть представлена основных векторов е；, которые получаются из ством преобразования е； = £а/%е^, где матрица чисел и имеет определитель det (а法)=1.

с помощью других векторов е； посред- aik состоит из целых

ячейки), построенной

с помощью других векторов е； посред- aik состоит из целых

ячейки), построенной

Объем одной ячейки решетки (элементарной на трех основных векторах, равен

% = (3e ej)=^,

где р означает среднюю объемную плотность точек решетки.

Прямая, содержащая две точки решетки, содержит бесконечное множество таких точек, причем соседние точки находятся на равных

расстояниях друг от друга.

Плоскость, содержащая три точки решетки, содержит бесконечное множество точек решетки, которые образуют плоскую решетку. Такая плоскость называется плоскостью^ принадлежащей решетке. Для данной плоскости, принадлежащей решетке, существует бесконечное множество параллельных ей плоскостей, принадлежащих решетке; эти плоскости находятся на равных расстояниях друг от друга и

в совокупности содержат все точки решетки.

Если посредством равенств (职々)=6/ определим векторы е1, е* е5, взаимные к векторам ez, так что U =, 中"； и т. д., то будем иметь:

(2)(2)(tgd)=乙.

(2)

(2)

При помощи векторов е‘ можно для решетки xg построить взаимную решетку EJ

%=尹出 &e,)i,(3)

где 4——целые числа.

Объем одной ячейки взаимной решетки, построенной на векторах е, равен

%=сe叫)=高=亡；

таким образом, средняя объемная плотность р точек, принадлежащих пространственной решетке, равна Vg.

Всякая плоскость, принадлежащая решетке, может быть представлена в виде

(%о)=厶 (w = 0, +1, ±2,.. .),(4)

т. е. как плоскость, нормальная к вектору

(5)(5)乳=£ 4d с целочисленными /j

(5)

(5)

не имеющими (иначе, чем в (3)) общих делителей. Вектор т^。является кратчайшим вектором взаимной решетки, идущим по направлению, перпендикулярному к плоскости.

Семейству параллельных плоскостей, принадлежащих решетке, в представлении вида (4) соответствует один и тот же вектор %. Отдельные плоскости семейства отличаются друг от друга значениями л. Принадлежащая решетке плоскость, ближайшая к началу координат, задается условием л = 1. Каждому семейству параллельных плоскостей, принадлежащих пространственной решетке, при помощи соотношения (4) ставится в соответствие (ближайшая к началу координат) определенная точка т^ взаимной решетки.

На всякой прямой, проходящей через начало координат и через т^。， лежат точки взаимной решетки, располагающиеся на равных расстояниях друг от друга; точки взаимной решетки можно поэтому, каждую отдельно, поставить в соответствие значениям л, фигурирующим в (4): г^ = лг^0. Тогда каждой отдельной плоскости, принадлежащей пространственной решетке, соответствует одна определенная точка взаимной решетки. Это соотношение является взаимно однозначным н двойственным..

Взаимно простые коэффициенты 厶 в (5) называются индексами Миллера и характеризуют ориентацию семейства перпендикулярных к Tg。 плоскостей, принадлежащих пространственной решетке.

Отрезки а?, отсекаемые на осях принадлежащей решетке плоскостью (4), измеренные в единицах | е J получаются из соотношения а^=п (，=1, 2, 3).

Величины- ai могут быть и нецелыми положительными или отрицательными рациональными числами.

Для принадлежащей решетке плоскости, проходящей через три точки т- = ^ni^ji имеем:

з

Nd

где А = det (л^), a Aji означает алгебраическое дополнение элемента П/j в определителе det (п^. Далее, имеем 4 =丄£力“ и п =— , где т означает общий наибольший делитель трех сумм £ А^.

Расстояние до плоскости, принадлежащей решетке, от начала координат: nd =寸~г. При этом d = -^~г представляет собой расстояние от начала координат до ближайшей к началу принадлежа-

щей решетке плоскости того же направления (zz= 1) и одновременно —— расстояние между двумя принадлежащими решетке соседними плоскостями того же направления.

Для плоскости, принадлежащей решетке, средняя плотность расположенных на ней точек решетки равна

Еще одно свойство взаимных векторов выражается тождеством

1 =次(的=交(叫)

(вытекающим для частного случая векторов пространственной решетки из (1) и (2)) (см. стр. 253).

Волновые поля

Скалярные волны

Процесс, периодически повторяющийся во времени^ называется колебанием. Он может быть представлен с помощью одной или нескольких функций времени /, для которых имеет место равенство s (£) = s (£ ； 7). Если колебание описывается действительной или мнимой частью функции

s (/) = Ае т = 4«汕土，

то говорят о гармоническом колебании. При этом множитель А (вещественный или комплексный), характеризующий амплитуду, может представлять собой функцию точки, а также других параметров.

Можно также рассматривать явление, периодически повторяющееся в пространстве J):

s(t) = s(t + Ni), в частности описываемое формулой, связанной с синусоидальной плоской волной:

• 5 (г) = Ае * = Ае'(Гг, (п = 1);

Л может зависеть от времени и других параметров.

Процесс, периодически повторяющийся как во времени, так и в пространстве, называют волной, в частности плоской элементарной

')В оригинале здесь употреблен термин «Weilung». Соответствующего русского термина нет. (Прим, ред.)

волной^ если она может быть представлена в следующей нормальной форме:

s (Г,0 ==厶广("^)=

=Aeik *-(叫).

При этом имеем:

£ = 々 = v = t，т =

>2 冗2Wf

入=-т- = , 11 = —г-.

Я(ОЯ

При 4 = |4|£“ фигурирующие здесь действительные величины имеют следующие названия:

IАI — амплитуда^

а ——фазовая постоянная^

со — круговая частота、 f—волновой вектор, Н волновая нормаль (л2=1), V——фазовая скорость、или скорость распространения фазы,

Т -—период колебания ^-^?- = v——частота\ ш = 2nv^ ,

入一длина волны (Xv= V),

^ = | f I — называется также волновым числом, 血一(fr) -f- а — фаза.

/ = |4『 представляет собой меру (математической) интенсивности волны. В качестве меры физической интенсивности берутся пропорциональные величины, определяемые в разных случаях различным образом.

Элементарная волна такого рода задается шестью числовыми параметрами.

В физике V является, вообще говоря, функцией от со (дисперсия) и и (анизотропия): У—/(ш, п), так что -^-=/((о,-^~) нлн <о =尸(f), V = gO Поэтому о) н V для однородной среды, в которой распространяется волна, представляют собой скалярные функции в {-пространстве.

Элементарная волна называется монохроматической в отличие от более общих волновых образований, получающихся как линейные комбинации элементарных волн. Для элементарных волн справедливо волновое уравнение

a5=俨 不или As +炉s = 0,так же как и для всех комбинаций с одинаковыми V или 月,а следо-вательно, и с одинаковыми со. Если определить волну как общее

решение волнового уравнения, то сюда не войдут комбинации с различными y и瓦

Имеется ряд важных частных случаев.

Комбинация двух элементарных волн с одной и той же амплитудой:

S& f) = 2|*cos{£5№M —鱼二严 + 土尹}X

Xe( 222 /=/(/, T)e“@-Kr)+ W.

Мы имеем здесь дело с частным случаем модулированной волны, т. е. с произведением амплитудного множителя /(/, г), зависящего от времени и положения, и фазового множителя со средними значениями параметров. Вид первого множителя типичен для интерференции. В случае, когда 叫二叫，он сам по себе имеет здесь вид волны, так называемой стоячей волны. Если (0】 ——(о2 и 力——f2 малы по сравнению с「% [% , соответственно с &扌& , то амплитудный множитель /(/, г)《медленно изменяется^t в противоположность фазовому множителю.

Интенсивность такой комбинации характеризуется зависящей от положения и времени величиной |/(/, т)『・

Группа волну т. е. комбинация бесконечного множества элементарных волн с приблизительно одинаковым волновым вектором f Г ：

s = § dvk A (f) е『(з — В)).

Интегрирование- распространено на малую окрестность A% f-npo- странства, окружающую f, в которой комплексная функция /(f) отлична от нуля. Если(o = F(f), то

$ = /(1 _加)△(⑤ -@))，

值=尸(6, U = graded), т, e. %=(記'田,и т. д.

Мы снова получаем модулированную волну, амплитудный множитель /(г ——fu) которой «движется» с групповой скоростью и. Справед^ ливо также соотношение

П = (пУ+ ^gradA

При помощи надлежащего выбора A (f) можно группу волн сконцентрировать в части пространства Аи, наименьшее протяжение которой обратно величине области интегрирования: Au At/力全 1. В этом случае говорят о волновом пакете.

Если ^vk — ДД двумерно (например, |f|= | f |), то получаем волновой луч с поперечным сечением А/*-^-・ Если Аи^ = А& одномерно (например, ~ = n = const^ , то получаем волновой фронт глубины А/ > £-.

Если в соотношении Д (f) = | Д (f) | еь^ фазовая функция a(f) всюду разрывна в том смысле, что a (f) внутри сколь угодно малой области f-пространства принимает все значения между 0 и 2тг, то амплитудный множитель и тем самым интенсивность волны не зависят от положения и времени. Между этим крайним случаем и случаями, описанными выше, имеется много промежуточных.

Если интегрирование распространить здесь на все f-пространство, то получим диффузную совокупность волн с непрерывным спектром, которая в акустике известна как шум, а в оптике ——как белый свет. Их общая интенсивность дается интегралом /=§ ^ft | A (f) |г. Две совокупности такого рода называются не когерентными, если их интенсивности комбинируются аддитивно. Условием этого служит ортогональность их спектральных функций:

，"％$(£) 49 = 0.

Дальнейшими важными типами волн служат:

Затухающие волны. Их получают, беря в качестве параметров ш и f элементарной волны комплексные，величины. Общий вид зависимости при ①二❷十？色 f = f0—Za таков:

s — z4e——(Qr)e『(”％f —

Затухающие волны допускают представление с помощью интегралов, содержащих незатухающие элементарные волны с действительными ш и f только в части пространства, например при f>0, (ат)>0, для чего служит тождество

С _= L при />0 偉>0),

J 2江也 +加) [0 при f<0.

—со

Сферические волны (в изотропных средах (0 =尸(々))：

s = А= А= А

Эти волны могут быть построены из плоских элементарных волн лишь в частях пространства, не содержащих источника л = 0 (см. стр. 346).

Из сферических волн можно составить также более общие волны, в частности при помощи интегрирования пр линейно или поверхностно

распределенным источникам.

Математическая формулировка принципа Гюйгенса (построение волнового поля из сферических волн) дается при помощи тождества (см. стр. 214):

если внутри области, содержащей точку г = 0 и ограниченной поверхностью, по которой берется интеграл, всюду выполнено условие 加十无2s = 0.

При помощи дифференцирования можно получить волны из двойных источников'.

Важно, что сни при больших г убывают лишь как ~ (в отличие от соответствующих полей, убывающих как 产). Для объемного интег-

Это уже не есть волна в обычном смысле.

Цилиндрические волны (см. стр. 343): s = Ae^J^kr^

где J。——бесселева функция нулевого порядка (см. стр. 146), г ——измеряемое по перпендикуляру расстояние до оси цилиндра.

Векторные волны

Векторной элементарной волной называют векторное поле, имеющее вид f(f, =

Вектор амплитуды 81 мы считаем не зависящим от положения у и времени /. Эта волна называется продольной, если 811| f и, значит, rotf = 0; она называется поперечной, если ?! J_f и> значит, (ЗП) = О, откуда следует, что div f = 0.

Направление вектора 界 называется направлением поляризации; плоскость, проходящая через 21 и f, называется плоскостью поляризации волны. Если (北 £) = 0 и 81 ——комплексный вектор, то волна называется эллиптически поляризованной.

Векторная элементарная волна имеет три компоненты, которые.

являются скалярными волнами.

Комбинации векторных волн могут быть поэтому полностью описаны тремя скалярными волнами. При этом, однако, следует иметь в виду, что соотношение o)= F(f) должно быть заменено соотношением о)=尸(f,班)и что потому эти три скалярные волны, вообще говоря, зависят друг от друга.

Представление Фурье периодических и непериодическихполей

Периодическая функция, периоды которой образуют пространственную решетку (см. стр. 222), т. е. удовлетворяющая соотношению 中⑴=<?(т—2i%e))=<f(r—%)

с произвольными целочисленными &, может быть представлена с помощью суммы Фурье:*

中(Т)=££尸(G产a=£館一i

т. е. каждый вектор fx равен одному из векторов Tg взаимной решетки 1). Суммирование по 入 распространено на все точки взаимной решетки. Коэффициенты определяются равенством

尸色)=，d&屮⑴",

в котором интеграл распространен на одну ячейку Vg решетки.

Непериодические функции могут быть в области, целиком принадлежащей одной из ячеек решетки, представлены таким же образом. Если в таком представлении перейти к бесконечно большой ячейке, то получим, так как в этом случае вектор fx принимает все значения, интегралы Фурье

ср (т) == ^ dvk 尸(f )е ^(М),

+ со

где 尸(f)= , du屮⑴ e-2n『g,，d%=，，，dAj#dAi?応吸

Аналогичным образом могут быть представлены векторные поля с векторными коэффициентами:

»(1)=$£宵伍)次(火， соответственно ，d% 竇(f)e2"g.

Чтобы получаюпХиеся поля были действительными, должны выполняться условия

尸* (*)=尸(一%),соответственно,争* (fx)=彩(一入)，

1) Здесь (в 13) волновой вектор записывается в виде 2冗匕

Эти представления можно обобщить, вводя при f масштабный множитель р:

2据•里)2nj (式)

?(6=办«"尸(屏\ гдеf(D = ^，du<p(T"。

и точно также для D (г). Здесь часто выбирают, например, р = 2тг. Важен следующий частный случай?

5 (г — т')= § d%e±2*〃rT'J) (см. стр. 36).

Если функция (р(т) обладает сферической, симметрией, т, е. является функцией только от г ^> 0, то сферической симметрией будет обладать и функция 尸(t), т. е. она будет функцией только от k=\ f I ^： 0. В этом случае имеем соотношения

СО00

^(r)=~^dk 论尸(论)sin 2ттАг и 尸(论)=J J dr r(p (r) sin 2n 论 r・ о0

Это дает среди прочих, следующие частные случаи:

中（厂）

丄 г

1 戸

兀胪

3 (厂一厂Q)

sin 2兀ar г

cos 2na「 r

e—2w r

r

?■ sin 2兀麻°

扌（点一a）—目（点一a） （、0）

2a々 + aI / '

к（Й2 — a2）

n（炉+ <?） （a* °）

*他+。）｛々_。+偌伊叫力+J-3 a） （a〉0）

产"%一" r

(см. стр. 36)

1 / 2兀(々一a) + f 1 2兀伍 +a)—修 ]R n

力(4戸(力一 a)z-(-严]4d值+*-(-产)

e-2w

戸（依+吟2（h/①

% % — nWa

a 冗 e(a > 0)

следует:следует:а также аналогичные и k. Так, например,а также аналогичные и k. Так, например,при перестановке гпри перестановке г

следует:

следует:

а также аналогичные и k. Так, например,

а также аналогичные и k. Так, например,

при перестановке г

при перестановке г

Сюда относятся также следующие интегралы Фурье, используемые в релятивистской волновой теории:

при

J *I 0 при Г<с| 儿

А (，, /)=一 3 #=瑟"％ 響 №=歳击 6, iY),

"В")3尸)々ckWc (r2 — c2^)

4（小=小^©^=歳击"产一С屮）一提击4（小=小^©^=歳击"产一С屮）一提击Re (〃V)(卩 M^尸"£)Re (〃V)(卩 M^尸"£)

4（小=小^©^

=歳击"产一С屮）一提击

4（小=小^©^

=歳击"产一С屮）一提击

Re (〃V)(卩 M^尸"£)

Re (〃V)(卩 M^尸"£)

咱力）=焉『叫篙舞％»《哼畧

(/#)=人十方m ——цилиндрическая функция).

Если периодическая функция 屮(т) с образующими решетку периодами определена равенством

屮(t) =尸屮(t —%),

где сумма распространена на все точки решетки, а 少⑴一непериоди

ческая функция,ческая функция,заданная равенствомзаданная равенством屮⑴=j dvk F(t)e21zi ⑺，т0 ?⑴

ческая функция,

ческая функция,

заданная равенством

заданная равенством

допускает представление вида

?⑴=亡2尸值产皿

или

Т吟 ％)dd =Т吟 ％)dd =⑹⑹中⑴угT^中⑴угT^吗々吗々'&S) , 1 г dvf'&S) , 1 г dvf2323dvtdvtgостается конечной (入*0).Интегрируя (6) по а функцииgостается конечной (入*0).Интегрируя (6) по а функции抬抬.Их разность ^г £.Их разность ^г £расходятся как limRf 8расходятся как limRf 8в промежутке от 0 до 1 /е2, получают .дляв промежутке от 0 до 1 /е2, получают .дляО (x) = 1 — :^： { о соотношениеО (x) = 1 — :^： { о соотношение"df; 50)=1； G(оо) = 0 (см. стр. 67)"df; 50)=1； G(оо) = 0 (см. стр. 67)уч G(e I Г — Tg 丨)4『抬丨уч G(e I Г — Tg 丨)4『抬丨/1：2*/1：2*лл

Т吟 ％)dd =

Т吟 ％)dd =

⑹

⑹

中⑴угT^

中⑴угT^

吗々

吗々

'&S) , 1 г dvf

'&S) , 1 г dvf

23

23

dvt

dvt

g

остается конечной (入*0).

Интегрируя (6) по а функции

g

остается конечной (入*0).

Интегрируя (6) по а функции

抬

抬

.Их разность ^г £

.Их разность ^г £

расходятся как lim

Rf 8

расходятся как lim

Rf 8

в промежутке от 0 до 1 /е2, получают .для

в промежутке от 0 до 1 /е2, получают .для

О (x) = 1 — :^： { о соотношение

О (x) = 1 — :^： { о соотношение

"df; 50)=1； G(оо) = 0 (см. стр. 67)

"df; 50)=1； G(оо) = 0 (см. стр. 67)

уч G(e I Г — Tg 丨)

4『抬丨

уч G(e I Г — Tg 丨)

4『抬丨

/1：2*

/1：2*

л

л

1-й пример:屮⑴=6⑴；

屮⑴=£ 6 (t — *) = ； £ е 2"%) = }£eE).

2-й пример: 屮(т) = е 。；

一兀力a% £产f g) - aM点 V g h

(так называемая тройная формула тэта-преобразования Эвальда}, 3-й пример: ф(г) = —；

и отсюда:

斗』—册（筹）=4"守一市+

•，产％）一n

Надлежащим выбором е можно достичь того, что суммы £ и g 不'будут обе быстро сходиться. При т ―► оо член, содержащий xg = О,

становится равным—.

Эта формула служит для вычисления потенциала решеток по Эвальду.

Для упрощения часто полезно положить:

Эти 外 образуют полную ортогональную нормированную систему:J dv a*av = 3xV ；ja；(t)A(t') = “t — t').Aa 入=—471%：%.У v g屮 x=\dv 屮(t) a；⑴，6=\dvu ⑴ a：⑴.Эти 外 образуют полную ортогональную нормированную систему:J dv a*av = 3xV ；ja；(t)A(t') = “t — t').Aa 入=—471%：%.У v g屮 x=\dv 屮(t) a；⑴，6=\dvu ⑴ a：⑴.Для этойДля этойПоложив,Положив,получим:получим:системы имеем:grad % = 2位 ％ %;системы имеем:grad % = 2位 ％ %;далее:далее:%=赤尸2%=赤尸2中⑴=?外外⑴, 0⑴=£队外（1'）,中⑴=?外外⑴, 0⑴=£队外（1'）,гдегдегдегде

Эти 外 образуют полную ортогональную нормированную систему:

J dv a*av = 3xV ；ja；(t)A(t') = “t — t').

Aa 入=—471%：%.

У v g

屮 x=\dv 屮(t) a；⑴，

6=\dvu ⑴ a：⑴.

Эти 外 образуют полную ортогональную нормированную систему:

J dv a*av = 3xV ；ja；(t)A(t') = “t — t').

Aa 入=—471%：%.

У v g

屮 x=\dv 屮(t) a；⑴，

6=\dvu ⑴ a：⑴.

Для этой

Для этой

Положив,

Положив,

получим:

получим:

системы имеем:

grad % = 2位 ％ %;

системы имеем:

grad % = 2位 ％ %;

далее:

далее:

%=赤尸2

%=赤尸2

中⑴=?外外⑴, 0⑴=£队外（1'）,

中⑴=?外外⑴, 0⑴=£队外（1'）,

где

где

где

где

Далее, можно 队 представить в компонентах, из которых одна (т\) имеет направление £入(продольная), а обе остальные перпендикулярны к этому направлению. Эти две последние (поперечные) компоненты удобнее обозначать через т\ и 守丁？. Объединяя ах' с соответствующими векторами направлений в векторы ах (т), аТ[ (т) и аТа (т), получаем представление

и⑴=£ S取⑴+ £ %(Ц⑴+ 2 W(T)・

Для этих a ⑴ имеем:

(& k) =。；(hh) =以外； (fx aTi) = 0(%= 1, 2),

div ax = 2应以％;rot 鱼=0,

div k = 0;rot aTi = 2тп[厶dt J

§ du(外0片)厶人’；\ du

н

仆=，dv е ⑴ a： (t))； a, =，dv (D (t) a：,).

С этим представлением связано, таким образом, также разложение векторного поля на безвихревую (продольную) и свободную от источников (поперечную) составляющие. Это разложение удобно применять лишь в линейных задачах.

Имеем:

Ab(t) = —4口2 俘抬um ⑴+ Z纥％% (t)+Z成％(Ij(t“ .

Вместо того чтобы разлагать по комплексным функциям е " ‘ можно воспользоваться для этой цели действительными функциями cos 2тт (rtx) и sin2TT (rtx). Следует учитывать, что число слагаемых при

этом остается неизменным, т. е. следует суммировать лишь по половине общего числа точек взаимной решетки, и каждая из них (кроме нулевой) дает два члена разложения.

Суммы £ и 2 следует понимать именно в этом смысле. В качестве различных 耿 можно ввести величины "j/^-^— cos 2п (г{)) и у/"у-sin 2тт(г1х), которые образуют пары, соответствующие парам А и —fx = f_x; в своей совокупности эти ах также образуют полную ортогональную нормированную систему. Формулы разложения при этом остаются в существенном теми же, однако некоторые выгоды комплексного представления, облегчающие, например, образование grad, div и rot, утрачиваются.

Можно также наряду с 口入 использовать а* в качестве независимых функций, входящих в систему, по которой берется разложение, и писать в случае действительных полей

?⑴=?%队+中口

(и аналогично для 0 (г)), если снова ограничиться, как выше, половиной точек взаимной решетки, или же писать

屮（Т）=^" £%外+中:a；

с суммированием по всем точкам решетки.

Если поле, помимо зависимости от положения г, зависит также от времени /, то 尸,也,соответственно %, т\,守汽,также становятся функциями от 九

Такое поле можно разложить в ряд, сответственно в интеграл Фурье относительно /; при этом получается, например, представление

十8

（р （г, /）=）%入） dy尸（t, V）/立他十心切,

где

尸(f, y)=,d& § d/平(工，力)e-2才(м+(м)).

Отсюда видно, что поле построено из плоских волн, которые при отрицательном у движутся по направлению f, при положительном же V — в противоположном направлении. В соответствии с этим можно писать: со

平(％ 力)=,d⑦々,dv {尸(f j) 62M(”+M)—尸(f, — у)е~2"(“_ в»}. 0

Здесь часто встречается случай, когда 平 удовлетворяет дифференциальному уравнению, из которого следует, что y = ±y(f). Тогда получим:

у (г,力)=，d% f dv 6。一 v (f)) {尸1 (f)介/“+⑺)—尸2 ⑴2g"("))}•

0

Комплексные векторы

Понятие комплексного вектора вводится при помощи формальных сумм a = a' + fa", а* = а' — za\ в которых а' и а" означают действительные векторы. Комплексной длиной вектора а мы называем число а = У(аа) — Уа!2 — а"?(^V); «нормой» называется действитель

ное число:

(aa*) = G+(^=аа^ — \а^).

Произведение аа = b с комплексным числовым множителем а = а' + Ах" определяется как

ай = (£"——а"а") + / (а"а‘ + а&") =^ If + fb" = b.

Как b‘, так и b" представляют всевозможные линейные комбинации векторов а' и а", являющиеся функциями от а. При отображении а―^аа здесь остается инвариантным не направление, а некоторая плоскость вместе с направлением нормали к ней.

При а = е诃 векторы Ь' и Ь", рассматриваемые как радиусы-векторы, описывают эллипс с 屮 в качестве параметра кривой. Этот эллипс может служить для геометрического представления вектора а； а' и а" являются сопряженными радиусами-векторами эллипса. Площадь эллипса / = п I [a'dff] |.

Отображение а ―)- ае/с? оставляет этот эллипс инвариантным так же, кик и величины аа*, (аа*) и [аа*] = — 2z [й*^]'

Для а = е'Р = ± ^/^±^ имеем: а / J=b' + /V,

служит вектор с ком- а = а*=0 и, сле-优=优=Пред-служит вектор с ком- а = а*=0 и, сле-优=优=Пред-где (Ь6') = 0 (преобразование к главным осям);

служит вектор с ком- а = а*=0 и, сле-

优=优=Пред-

служит вектор с ком- а = а*=0 и, сле-

优=优=Пред-

Важным частньш случаем комплексного вектора плексной длиной, равной нулю, нуль-вектор, с довательно, a' = a,ft (a\itt) = 0.

Мы нормируем его условием (ап*) = 1, т. е.

ставляющий его эллипс является кругом радиуса 1.

(аа*)= 1, (%а) = °， (L。*) = 0.(аа*)= 1, (%а) = °， (L。*) = 0.Перпендикулярным к нему действительным единичным вектором служит % = 2["门 Мы имеем, следовательно,

(аа*)= 1, (%а) = °， (L。*) = 0.

(аа*)= 1, (%а) = °， (L。*) = 0.

储=小*叮 % = 1, а =—7[п^], а О, a* = + X [ae*] a* = 0,

Отсюда вытекает, что для любого, действительного или комплексного, вектора и возможно следующее представление:

u = &L + qa + qa*, где

G = (%D); q = (ii*D); &=(询・

Применение. Эти комплексные векторы можно применить, в особенности в виде cid叫 к представлению пространственных колебаний, прецессионных движений, вращений и векторных волн.

Решением дифференциального векторного уравнения

^=ф【а] (U — постоянный вектор) служит комплексный вектор

С1 = а1【+ с10d叫(о = | н I，母=0,

где а — произвольная постоянная, ао ——нуль-вектор, причем а0 J_ П. Вектор а «прецессирует» вокруг н с угловой скоростью, равной(о.

Как действительная, так и мнимая часть любого решения этого дифференциального уравнения служат его решениями, равно как и любая их линейная комбинация.

Кватернионы в векторной символике

Кватернион 幺(см. стр. 27) можно рассматривать как объединение вектора а и скаляра а в одну величину, в записи: 2 = (°, а) или также = (а -|- а). Вычисления с такими величинами подчинены следующим правилам:

сложение: (% a) -j- (b, р)=(« + Ь, 口十乳

умножение: (а, а) X (Ь, Р)= (3 у) =([п,可斗口卜十 р% ар — (аб)).

При этом получаем:

炉+?=(紋+吟(加+Р2)；

(а, а) х (— а, а) =(о, а2 4-а2) == (а2 4-а2) (0, 1);

(О, 1) есть (一и，a) а2 + а2- ну (а, а).(О, 1) есть (一и，a) а2 + а2- ну (а, а).единица, равная единичному кватерниону Е

(О, 1) есть (一и，a) а2 + а2- ну (а, а).

(О, 1) есть (一и，a) а2 + а2- ну (а, а).

представляет собой кватернион Л"1, обратный кватернио-

Если рассматривать кватернион /? = (г, р) как вектор четырехмерного пространства, считая, что скаляр р представляет собой чет

вертую компоненту, «перпендикулярную» к г, то умножение на другой кватернион будет тензорным оператором

(匚？') = (d а) X (Г, р)； R=A х R

При 。2-]-口* = 1 это есть специальное ортогональное преобразование в четырехмерном пространстве:. т,2 ~{- р，2 = X2 4~ р2< Общее ортогональное преобразование имеет вид

(г\р') = (а,а) (Г,р)(Ь,р); &=/ X RX В, где (优+ 炉)传" + p2)=1.

Если здесь а = Ь, а = ^ (Л =5), то данное преобразование принадлежит к классу преобразований Лоренца (см. стр. 477); если а =——b, а = р, (5 = Л*1), то имеем р* = р, и остается лишь вращение в трехмерном пространстве с | г* | = | г [ (см. стр. 189).

Гиперкомплексные векторы

Из пентады, состоящей из пяти гиперкомплексных чисел (см. стр. 27)， удовлетворяющих условию 丫“友 + 丫友卜=23/, можно выбрать три и объединить их в один вектор 勺，положив, например, 色=L，" = 丫&，也=L・ Тогда получим:

即)) = 3.

Произведение [1)1)] здесь не равно нулю и определяет вектор

[汕]=23，

для которого М = х%,隔=丫心 М = ьх・

При этом имеем:

(领) = 3, [5可=2阳[動]=啦=一2w

(U§) = (Gb)= — З/т определяет скаляр ^ = 7^^3,d = —1,

"工=工0=，6，扇工=T3=i0.

Если а, Ь,...——обыкновенные векторы, то будем иметь:

U(aI)) + (aI))U = 2a；

I)(а") —(碼)U = 2“啕；

(曲)(6价 + (з)((1") = 2 (ab), 3)2 =吟

(叫)(bU)-(皿)(⑪)=2,■侈[at])；

(叽叫])=-S ①明)=-([0叨 U) = - 2/(а^);

① [碼]=зa _(曲)0 = 2a + "明；

([а"]田妙=([В吼砌)=4 М),(阿『=2吟([叨[3]) — ([b 圮国]) = 2,•風ab]).

Умножая на —反，соответственно на —т2, получим также:

6(а“)= U(喃；§ (а§)=卜(询；(他)§ = (аб) I)；(a^) ^ = (al))i); 3(砌)+((1切6 = - 2反а и т. д.

При умножении на четвертое число 丫& пентады будем иметь:

Y」) = —Ь%； Y^=窘4； " = —%•

Эти величины можно также комбинировать с дифференциальными операторами, такими, как grad и [г grad], которые можно рассматривать как векторы, не подчиняющиеся, вообще говоря, коммутативному закону (см. стр. 208). При этом получаем, в числе прочих, следующие операторные уравнения:

(b grad) [г grad] — [г grad]« grad) = [" grad],

(U grad) § — 6(" grad) = 2小 grad],

(9 grad) (§ [r grad])十侈[т grad]) ("grad) =—2/ (" grad),

grad) % — % (U grad) = 2(" grad) % Поэтому

[тgrad]4-/ у и ｛侈[tgrad])+4 % представляют собой операторы, перестановочные с ("grad).

Дуальные векторы

Под дуальным числом понимают (по аналогии с комплексными числами) объединение двух чисел at и ая в одну величину А. Если писать А=аг-\- еа2Т то при вычислениях с такими числами следует принимать во внимание правило е2 = 0, так что, например, aВ^Вa =/4 + е (а也 + 仆幻；

4" = a：(1+ё 脸)；l=x1-啕 нt. a.

Дуальные векторы мы образуем аналогично: 31 = Gj -]- ест2. • т = (a^^Ь2^(a2Ь.)Ь[晩]=m忆+Е佃也]十[*」},

ЗР = а：-]-Е・2 (aq); }/^ = axи т. д.

Они являются единичными векторами (SI2 = 1) при 〃； = 1, (сца?) = 0. тлиК [0102]!

Их нормируют следующим образом: 丁==」.

у а2 й1 %

Применение. Положение прямой 31 в пространстве может быть описано при помощи единичного вектора а (д2 = 1), направленного по прямой, и вектора q, направление и длина которого совпадают с направлением и длиной перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат： (аа) = 0.

Уравнение прямой при этом принимает вид т= 0 -]- аа (а——параметр линии) или [га] = а, где а = [аа] (момент относительно начала координат).

Имеем： g=[o可 и (а万) = 0.

Кратчайшее расстояние между двумя прямыми 31 и 23 дается формулой

((Ь й) [аЬ])(ь6)+(о6/麻j)

Если ввести нормированный дуальный вектор Э1 = а -]- еа, то им тоже полностью описывается некоторая прямая. Для двух прямых имеем:

(3123) = (оЬ) + е <ЗЬ)十(bo)} = cos у — М sin 屮，

где 屮一угол между а и Ь.

Положив Ф =(р + * будем иметь:

cos Ф = cos у — 3 sin 屮=(3123).

Таким образом, дуальное произведение (2133) или дуальный угол

прямые служитпрямые служитПрямая23 подПрямая23 подФ характеризует относительное положение двух прямых. Эти пересекаются, если (3133) «действительно»; точкой пересечения М=1В=1Щ = а+а^ = Ь+Ь^.

прямые служит

прямые служит

Прямая

23 под

Прямая

23 под

8b) (bG ~ (nb) - (nb)

Если (2133) = 0, то прямые пересекаются под прямым углом. 6 = ^^== = С -]- е^ (62= 1) пересекает обе прямые Э1 и прямым углом. Для нее имеем:

g] _ |с, \ab] + [abll _(i(ab) + b(ba)с=iWi ~w ，

G= — [cc] = ?献见 _|_ 3 ctg 1f.

Точки пересечения 6 с и 39:

—с丄 muGb). т —С 〔疝](пб)% _L十1则2，%[疝f一.

Если прямые QI и 23 находятся на бесконечно малом расстоянии друг от друга, т. е. если мы положим b=d + u,也=§十！) и перейдем к пределу при и—>0, D—>0, то будем иметь:

d =依暇)—► 0; (au) = — ^ —> 0 (бесконечно малые второго порядка);

(叫 + (gu) = — (UD) 一 0;

Г[同.(I饰)一11(同.-u(ud) U(ab)

и кратчайшее расстояние d между ними получается при

тТ

Преобразование к движущейся системе координат

Если скалярные или векторные поля заданы как функции радиуса- в 'ктора Т (/), который зависит от одного параметра, например от времени /, то это означает, что поля заданы в некоторой «движущейся» системе координат. Если скорость ее движения равна

应=D, то изменение скаляра 仏 который сам по себе от времени не зависит, вычисленное для фиксированной точки движущейся системы, дается формулой '

6? = (U grad 屮)历

и аналогично для вектора — формулой

%= {(и grad) а — (а grad)l?}5/.

X) = const означает, что система движется поступательно; d = [ut], где U= const, означает, что система вращается как твердое тело вокруг неподвижной оси. В последнем случае имеем:

g — {([uy] grad) а — [иа]}8/.

Поле а = т/(г) остается при этом неизменным.

В случае, если имеется явная зависимость от времени, то она с указанными неявными зависимостями комбинируется аддитивно.

Область интегрирования, зависящая от времени

2

Для линейного интеграла § (a d§)t который берется по некото- 1

рой кривой, движущейся со скоростью 0, имеем:

^Jd/% = J rf/(|j+ rot [ай]+ » div а) j

Линейные функции поля

Если при движении в векторном поле а по произвольной прямой оказывается, что вектор а является линейной функцией длины, измеряемой по этой прямой, и, следовательно, представим в форме %—а2 = bd, где b — постоянный вектор, зависящий только от направления прямой, a d—расстояние между точками, в которых взяты векторы а1 и а2, то векторное поле а называется линейной вегстор-фунгсцией точки.

Такая функция может быть построена из нескольких величин вида

a = % + 红 +审(口闾+з(q/)+瓦觴叨+...),

е. она выражается как сумма заторов、линейно зависящих от г. Через а。，力，ц„, ”小 q〃，b^, еп здесь обозначены константы и векторы, не зависящие от положения.

Это выражение можно, однако, без ограничения его общности, записать и в более простой форме:

а = к +耳屮"(q/)(〃 = 1，2> 3),

где 卡〃 и q〃 一 свободные векторы.

Тогда имеем:

div й ^=2 （弘 q J

rot и 艺応霜J

Если разложить a—a0 на два поля а' и а" так, чтобы было: div а'= 0, rot а" = 0 （см. стр. 218）, т. е. на свободную от источников и безвихревую составляющие, то получим:

口 - % = a' + a"，

"=[间，rota，= 2u, u = ^£[p“q“];

a"=4" £ 例（q“D+q“ 的淌），杀 a"=£ （工qj

Понятие тензора

Линейную зависимость предыдущего пункта, при которой каждому вектору т ставится в соответствие некоторый вектор а, мы будем символически записывать в виде

a ■ й0 —1 支 т,

равно как и вообще линейную зависимость двух векторов а и Ь:

3a = $6=2^„（q„b）-

Оператор 支 называется тензором^）.

Требование линейности означает, что должно быть 尼口 =々Ab =支尼ь,

а также, что при 口'=貢Ь‘

a +d=支6 +支6'=支（6 +f）.

Если определить, далее, сумму двух тензоров 3?】и $2 условием

（$1 + 支2）Ь =Sjb + S26,

то ясно, что оператор 2 можно рассматривать как алгебраическую величину, аддитивную в смысле приведенных выше формул.

Тензор называется симметрическим, если для произвольных векторов а и Ь

（аЗД = （ЬЗ：а）,

Более точно 一 тензором второго ранга. По причинам, которые станут ясны впоследствии （см. стр. 251）, можно скаляр называть тензором нулевого ранга, вектор — тензором первого ранга.

антисимметрическим (или кососимметрическим}, если (a支ь)=一(览a).

Любой тензор 支 может, быть однозначно представлен в виде суммы симметрического тензора 支］и антисимметрического тензора 支『

支=支［十支*

Тензор 孟=寬［——支2 называется тензором, сопряженным, или транспонированным, по отношению к 支.Симметрический тензор является, таким образом, сопряженным по отношению к самому себе. Всегда справедливо соотношение (а支Ь) = (ЬНа).

Ввиду того, что векторы а и Ь связаны линейным соотношением, можно, вообще говоря, получить вектор b из вектора а при помощи некоторого нового тензора. Этот тензор называется обратным тензором по отношению к тензору 支 и обозначается через 支「

5 =覧一七.

Если существует вектор 0声0 такой, что 支е = 0, то тензор 支 называется сингулярным. В этом случае 支-'а определено лишь с точностью до произвольного слагаемого, кратного е).

Если, кроме зависимости

a =支5, имеем также:

Ь = 0с

и, следовательно,

а = ^0с,

то эта формула также определяет линейную зависимость между а и с. Это означает, что 2@ представляет собой некоторый новый тензор, называемый операторным произведением тензоров 支 н ®. Вообще говоря,

支0片03.

Операторное произведение тензора на самого себя 支霓=* называется итерацией тензора. Этот процесс может быть повторен любое число раз:

守支支=支\

из которогоиз которогоСледует обратить внимание на соотношение 5® =@5, следует, что (а2@6) = (b^Jft).

из которого

из которого

Специальные тензоры

Единичным тензором @ мы называем тензор, который произвольному вектору а ставит в соответствие этот же вектор:

Для всякого тензора имеем: $$-1 = @ = @~г = @.

Ортогональным тензором D мы называем тензор, для которого имеет место равенство

Отсюда для произвольных векторов а н Ь следует: (Сл：СЬ) = (ub).

Соответствие, устанавливаемое тензором такого рода, может быть для произвольной системы векторов описано как чистое вращение, зависящее только от самого тензора, т. е. при этом соответствии сохраняются как длины всех векторов, (Са)2 = а2, так и углы между ними.

Скаляры, связанные с тензорами

Рассматривая выражение

(式 с [яьад)_,т|(nW■ —

сбразованное для трех произвольных некомпланарных векторов а, Ь, С, легко убедиться, что оно не зависит от векторов а, b и с. Тем самым оно представляет собой скаляр, зависящий только от 支.Он называется определителем тензора 覧(см. также стр. 173). Для сингулярного тензора имеем: | Т| = 0. Обратно, при |Т| = 0 существует вектор е 关 0 такой, что 宣е = 0 и, значит, 支 является сингулярным тензором.

Если образовать определитель тензора

0=覧一施

и разложить его по степеням 1, то получим выражение вида

ср (X) называется характеристическим полиномом тензора 支.

Фигурирующие здесь величины T(d и 丁仆)представляют собой два новых скаляра, получаемых из тензора 支.В дальнейшем мы будем вместо Т⑴ писать | 支 |; эта величина называется следом тензора. Далее, имеем:

Скалярным произведением тензоров $ и @ называется след операторного произведения 電邑

（S@） = |S@|.

Имеем:

（£0） = （@$）.

Составленное таким же образом произведение тензора с самим собой приводит к новому скаляру （叟皂）=（支覧）=| 堂古 | = Т（：）— 2Т”“ который можно назвать скалярным квадратом тензора.

Собственные значения и собственные векторы

Если определитель | S | = ср （к） тензора 0 =堂一к@ равен нулю, т. е•屮 0） = 0, то существует вектор е 工 0 такой, что @е = 0. Три корня \,〈，厶 уравнения 屮 0） = 0 называются собственными значениями тензора 電；соответствующие векторы е” е2） es） нормированные условием I е„ |= 1, называются его собственными векторами!）. Для них имеем: @пе„ = 0, где 露=覧一\^, т. е.

Очевидно, что @1@2@3е„ = 0 для каждого из векторов еп и, тем самым, для произвольных векторов. Вследствие того, что 屮（i） = =—（I — “（I — L）（入—L），можем написать:

中（覧）=一（覧一 X恁）（覧-^）（覧-X闵=-色色色三0, т. е.

堂* — T（d支* + 丁（2）覧~-| ^! ® = 0 （уравнение Гамильтона — Кэли}^ или, в более общем виде:

豆m一7⑴2^一 + 几莲тт — I T I支m7三0.

Это дает линейное соотношение между четырьмя последовательными итерациями тензора.

Инварианты могут быть выражены через собственные значения:

7（1）=1 支| = \ + * + \，7（" =）、）* + 入工 + x入，17| = ALA.

Итерации 2m тензора 支 имеют те же собственные векторы, что и W соответствующие собственные значения равны 惠. Это верно также при /п<0.

Если тензор сингулярен, то по крайней мере одно собственное значение его равно нулю. В этом случае обратного тензора 支一^ не существует.

〔）Собственные значения и собственные векторы могут быть и комплексными. （Прим, ред.）

Геометрическая интерпретация тензора

Уравнением

（г^г） = С

определяется некоторая поверхность второго порядка. Она может служить для наглядной интерпретации симметрической частн 支】тензораМ, в то время как для антисимметрической части выражение （т J2t） равно нулю.

Варьируя т, получим: 6 （工支I）= 2 （沃宣卩）=0. Вариация йг лежит в плоскости, касающейся поверхности в точке т; следовательно, вектор $j направлен по перпендикуляру к этой плоскости. Зная ее рассто- Q

яние Л от начала координат, можно из равенства | 支]工]=万 опреде

лить длину вектора а * так что рассмотренное построение позволяет установить связь между 苏工 и т. | г | имеет стационарное значение в точках, где 方（产）=2 （工6工）=0・ Следовательно, только здесь, в верши

нах （Scheitelpunkte） поверхности, т параллелен STj. Таким образом, в этих точках нмеем 支 j = h, где к = -у. Единичные векторы е = |।

соответствующих направлений, являющихся направлениями главных осей поверхности, служат собственными векторами тензора 支厂 Для них

имеем поэтому ^^„ = \^„ （〃 =1, 2, 3）. Числа кп являются собственными значениями. Векторы е„ попарно перпендикулярны, как это следует из （е〃宽^е出）=入〃 （е〃е〃，）=入加（е〃е#）, если только 腕片入〃，. Последнее условие исключает вращательную симметрию, которая делает направления осей неопределенными.

Во многих случах, имеющих практическую важность, выражение （г支I） является положительным для всех г. Тогда полагают С=1. Поверхность в этом случае представляет собой эллипсоид — так называемый тензорный эллипсоид. Поверхность （т$-1г）= 1 иногда на

зывают вторым тензорным эллипсоидом.

Антисимметрическая часть 宣±, рассматриваемая как оператор, эквивалентна векторному умножению на некоторый вектор ц: 5Г2т = [нг] и, следовательно, может быть интерпретирована с помощью этого вектора или, лучше, с помощью плоскости （п$2Г）= 0, образованной всеми векторами $2г.

Представление тензоров с помощью векторов

Общее представление тензора （см. стр. 242） 2а = 2^л（Р»й）, содержащее шесть векторов 丄，q^, в случае симметрического тензора может быть приведено к более простой форме:

袁口 — £ “点八％а）； I % 1 = 1

с тремя единичными векторами и тремя числами; далее, используя собственные векторы и собственные значения, получим:

%a»人展办（ё簿），

Иногда может оказаться более удобным представление

覧а ^^ аа ~|~ Р （qa） ~Н q （卩口）；| Р | ^^ I q 丨，

содержащее два вектора одинаковой длины и одно число. Главные оси здесь идут по направлениям » + q, р—q и [pq]. Соответствующие собственные значения: a +（pq）+ |”q|, a +（pq） — |>||q| и a.

Эти векторы р н q соответствуют оптическим осям в кристаллооптике. Если две оси совпадают, то оказывается возможным еще более простое представление:

Ja = aa -|~ 即（坤）； I у I = 1, содержащее один единичный вектор и два числа.

Вектор р является собственным; остальные две оси перпендикулярны к нему, в остальном же их положение произвольно. Собственные значения равны а -|~ рт % а..

Для антисимметрического тензора имеем представление 覧a = [lid].

Этот тензор имеет собственные значения 0 и ±"ll|； собственными векторами его служат

奇…土，ь",_

где（b%） = （b"M）= （bg = 0, I b[ = |b"|= /^ ・

Ортогональный тензор Q может быть представлен в форме

©r=rcos5-|~a（ar）（1—cos 5） -|~ [йг] sin §, | 口 | = 1

（см. стр. 189）. Он имеет собственные значения 1 и е土" и собственные векторы а и Ь' +『Ь" — те же, что и [аг].

Тензорные поля

Если тензор задан как функция точки, то говорят о тензорном поле. Из такого поля можно получить векторное поле、возникающее вследствие зависимости тензора от точки:

div 2= lim ；Jd/支口；

как и выше, п означает здесь внешнюю нормаль к поверхности, заключающей объем К

Если тензор 支 антисимметричен, то ввиду Sil—[ип] будем иметь: divS£= lim ^^f [lin] — — rot ц (см. стр. 207).

Теореме Гаусса соответствует равенство

§ d/£ll = § du div 支. Далее, имеем;

div (屮写)=平div支 + 支grad中；

в частности, для единичного тензора:

div (屮(S) = grad 屮.

Применяя теорему Гаусса к вектору 覧а, получаем:

,du div 宣(1= , df (п5а)=，rf/(n3ii).

Тензоры, зависящие от времени

壹0)二吟十支a 2，二瓶

Для ортогонального тензора © получаем:

/a) =噂+[呵，

где U означает вектор угловой скорости, т. е. вектор, направленный по оси вращения, длина которого равна угловой скорости. Отсюда следует, что применением некоторого зависящего от времени ортогонального тензора можно произвольным образом движущуюся жесткую систему преобразовать к покою (см. стр. 241).

Тензорные поля, получаемые из векторных полей при помощи дифференциальных операций

Операция образования градиента позволяет из скалярного поля у получить векторное поле grad 屮；подобно этому, применяя дифференциальные операции, можно получить тензорное поле 界 из векторного поля а. Для этого существует много возможностей, как и в простейшем случае, когда мы, беря произвольный вспомогательный вектор f, пишем общее выражение:

或j = R div а + р (J grad) а 十 丫 [f rot а].

Выбирая различным образом числа а, В, 丫, получаем различные 奴(а, р, Y).

След имеет вид:

I 汩=(3% + p)diva.

Скалярный квадрат:

（Т） = （За2 + 2呻）（div а）1 +『 收—（处⑴）+ （2f — 2问（rot 峭 далее,

div 班=Y厶0 +（a + 0—y）grad diva.

Тензор 21 можно разложить на симметрическую часть:

丸=北（巾修），

т. е. тензор 31 симметричен при 丫=专,и антисимметрическую часть: 丸= 31（0, О, Y—纟；I 丸 1 = 0.

21$ допускает дальнейшее разложение на две части:

也=以卜+g,0,0）;|%1 = 1汩，

так что будем иметь:

叫=（а +£）皿 а С

ИI扎| = 0・

Тогда получим:

（牀） = 3（a + ^「（diva『，

（叱）=Г 卜^ _ （ga） — 1 （div a『-у （rot a）［,

（绅=2（Y一^了（m吼

так что

（北2）=.（浒）+図:）+ （界：）■

Эти части имеем:Эти части имеем:можно поэтому назвать попарно ортогональными. Далее,

Эти части имеем:

Эти части имеем:

div 欢=div SI】+ div 班古十 div5Ia,

div或I = （«+£） grad diva, div 3l2 = y （厶a+ у grad div a）,

div 也I =（专一丫 ） rot rot a.

Аналогично тому, как скаляр 屮 разлагается в окрестности какой-либо

точки по формуле tp = ^р0 -|- (т grad0 tp) -|- ... (grad0 ср означает (grad 屮卜=о), можно и для вектора а получить разложение вида

а = а0 -|-31(а, р, у)т-|- ..., где а = 0, 0 = 1, у = 0.

Здесь можно снова разложить тензор 奴 на слагаемые:

9IlT = yTdivoa (div0 а означает (div п)т = 0 и т. д.),

§12т = —ухdiv0a + (тgrad。)a十^[trot0a],

SIsr = —y[rrot0a].

Такое разложение часто бывает полезным, так как поля 1) и 2) являются безвихревыми, 2) и 3) — свободными от источников. 1) дает дивергенцию, 3) дает ротор и 2) представляет собой свободную от вихрей и источников так называемую деформацию поля.

Тензоры высшего ранга

Тензор третьего ранга 支")ставит вектору а линейным образом в соответствие обычный тензор (второго ранга); S(s)a = $(2). Мы имеем, таким образом:

③⑶ть =支⑶6 = &

т. е.寃。)описывает линейную зависимость вектора с от двух векторов а н Ь. (Пример： с = |)(qa) (ob))-

Вообще,支("+" можно определить соотношением

^п^а = ^п\

Тензор 1-го ранга есть вектор; тензор нулевого ранга есть скаляр. Тензоры ранга выше второго для практических целей употребляются редко. Общеупотребительных обозначений для них не существует.

Тензор 4-го ранга может быть использован также для описания линейной зависимости между двумя тензорами 2-го ранга.

С. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ПРОИЗВОЛЬНОГОЧИСЛА ИЗМЕРЕНИЙ

Системы векторов

Все понятия трехмерного векторного исчисления могут быть, в соответствии с их смыслом, почти без изменений перенесены на пространства с числом измерений 丸 >3, за исключением векторного произведения двух векторов и ротора, которые заменяются тензорами и лишь в трехмерном пространстве могут рассматриваться как векторы.

Выражению (а[6с]) соответствует общее выражение (а [ЬсЬе...]), которым определяется объем Vn n-мерного параллелепипеда, построенного на п векторах а, 6, с, Ь, е, . . ., причем каждые три идущие подряд вектора должны образовывать правую систему. Имеют место правила перестановок:

izn =(a[bcbe. ..]) = ( — l)n_, (6[cbef.. .a]) = (c[befg.. .ab])=…

При этом

[6cb.. ,] = alz„

означает вектор, перпендикулярный ко всем векторам 6, с, Ь,..., длина которого определяется условием (аа) = 1. Таким образом, имеем (дЬ) = (ас)= . . . =0. Этими соотношениями вектор а однозначно определен. Вектор [bcb...] представляет собой аналог векторного произведения ): он меняет свой знак, сохраняя абсолютную величину, при перестановке двух векторных множителей и обращается в нуль, когда два множителя равны между собой, как и вообще в случае, когда множители Ь, с, Ь, . . . не являются линейно независимыми.

Объем Vn может быть представлен в виде определителя 废(cib) (ас)…

2 — Sb)尸(6с)...

(ас) (be) с? ... •

Система векторов а, b, с, Ь, . . ., определенных тем же способом, что и выше, является взаимной по отношению к системе а, Ь, с, Ь,... Имеем: (a[5£e・.J三歹；

£= [bebe ...] и т. д.

При изменении а на величину da будем иметь 6?Vn = (a^a) Vn; изме- ння все а, Ь, с, ..получим 寸=(ada) + (bdb) + (сde)・

Ввиду (a da) + (a du) = 0 имеем:

(ad&)+(bd 石)+(cd?)+…= — ^ = У

Если в n-мерном векторном пространстве приходится иметь дело с такого рода величинами, то представляется более удобным различать векторы а, Ь, с, ... при помощи индексов, т. е. писать ег, е2, е3, е4,...

〔)В двумерном пространстве пишут: V2 = (a [Ь]). При этом [Ь] представляет собой вектор, перпендикулярный к Ь и равный ему по длине, и

(a岡)

вместо а, Ь, с, Ь, … и е1, е\ е\ е4, … вместо а, Ь, с, Ь,… Мы имеем, следовательно,(已『已*) = 6/况・ Далее, принято писать (*%) = &% И ("吟=£匕 Тогда IZ： = |g/| = g,岩е g —определитель с элементами gik. Тем самым, ввиду 1 =工**已比,имеем соотношение

^gikgkl = ^r

Из теоремы о разложении определителя по элементам строки (см. стр. 177):

вытекает:

g"=* и |/"1 = 7-

Далее, имеем:

會=*= j(e'de,) = _j(e/e').

Системы координат

В л-мерном пространстве, в котором введена некоторая система координат х\ х2, xJ,х”，мсжно каждой точке поставить в соответствие систему основных векторов е； так, чтобы было d§ = £ 屮炉

или 已£ =育・ Здесь d§ означает вектор, направление и длина которого соответствуют отрезку, соединяющему точку х\ х2, х8,… с точкой х1 -\-dx\ x' + dx', ... Вектор ez указывает направление, в котором возрастает только х\ в то время как остальные координаты сохраняют свои значения постоянными; длина его равна абсолютной величине производной длины дуги соответствующей линии по х‘. Векторы же е? направлены перпендикулярно к поверхностям У = const. Имеем (e'dS) = dx\ так что l=gradf.

Эти векторы 勿 и 1 образуют векторные поля. Их производные по координатам связаны соотношениями

曳=也.

Линейным элементом координатной системы называют ds = \d^ |. Имеем, следовательно:

ds‘ =』g*dx'd#.

Величины gik являются функциями координат. Будучи скалярными величинами, они более удобны для практического использования при вычислениях, чем е； и е'・

Правила, относящиеся к суммированию:

1° Суммирование по индексу должно производиться в том и только 8 том случае, когда он встречается в одном и том же члене дважды, причем один раз в качестве верхнего, другой раз в качестве нижнего. Для упрощения записи принято (в физической литературе) в подобных случаях знаки суммирования (как сами собой разумеющиеся) не выписывать, а дополнять ими соответствующие выражения мысленно. Неясностей при следовании этому правилу можно не опасаться.

2° Индексы, встречающиеся в члене только один раз, по которым, следовательно, не подразумевается никакого суммирования, должны во всех членах равенства занимать одно и то же положение (вверху или внизу).

3・ Компоненты вектора

Система линейно независимых векторов а, Ь, с, Ь, • •. может служить для представления произвольного вектора b в виде

ь = аа + рЬ + тс4-・・•

Числа а, р, у, ... называются компонентами V в этом представлении. Используя е” пишут:

(1 =废储+a匕+ a匕+…=w因，

или, опуская сам собой разумеющийся знак суммирования,

а = Л^ соответственно ° = а£.

Числа а1 называются контравариантнымиt числа а-——ковариантными компонентами вектора а в используемой системе координат. Имеем: а『 = (°е) и a. = (aez), Т. е. справедливо тождество。= %.(℃)=山叫) (разложение вектора по направлениям, параллельным координатным линиям, соответственно перпендикулярным координатным поверхностям). Далее, имеем:

傲(С%')旦％м，令=Sik^у

а* =(0。) = c^akgik = а'а, = aflk^kt

Для двух векторов а н В получим:

(а + Ь)‘=『+ 乂 (а 4- b)j = ai + %,

(ab) = a^bkgik = ^^А = а^ — a^b^ (аег) (6ег) и т. д.

Для //-мерного объема У以= (a[bcb •・•]) будем иметь:

а1 а2 а® ...

•

Компоненты тензора

Имея соотношение 口 =豆6, можем написать:

從=(届)=(е”МЬ) = (е2М) bk = Tlkbk.

Величины Т‘' = (е‘^е') называются контравариантными компонентами тензора 位. Аналогично получаем ковариантные компоненты Tik = (ezJefc) тензора 位，а также Т/ = (е范吟 и Т] = (е‘支％) — смешанные компоненты тензора 支...

Вместе с тем имеем, следовательно: а = Tlkbk = Т** ai— Tikbk = =T^bk. Величины gik—^k также являются компонентами некоторого тензора, а именно, компонентами метрического фундаментального тензора, ибо с помощью gik получается выражение линейного элемента, которое лежит в основе всех метрических соотношений; величины g ：= g* = В * являются компонентами единичного тензора ®.

Компоненты транспонированного тензора 2 находятся при помощи простой перестановки индексов (без перемены их положения):

亍 丁 亍熊 丁色fy/ г f

Операторное произведение &宅 имеет компоненты (0支解= S〃?1 и т. д. Скалярное произведение (⑥支)= S,rT'' и т. д. След 1宽| = 77=7*状=产g* н т. д.

Компоненты тензоров высших рангов образуются аналогично. Число индексов совпадает с рангом тензора. Поэтому векторы можно также называть тензорами 1-го ранга, а скаляры — тензорами нулевого ранга.

Так, компоненты тензора третьего ранга 位⑴ суть:

7羯=(% (覧⑴е,)%) = (扌⑴е,%е,.) и т. д.

Так же образуются компоненты тензоров более высокого ранга.

Преобразования

Если при помощи преобразования

xr=fr{x\ х\ Xs, .. ., хп) = Д(xz)

перейти от системы координат х1 к некоторой новой системе координат то все величины gik и т. д. и вследствие этого все компоненты векторов и тензоров изменятся, в то время как сами векторы и тензоры, равно как и все связывающие их соотношения,

останутся теми же. Поэтому в новых координатах, так же как и в исходных, должно быть, например:'

а = а‘е, = а"е；, az = a^a-i = ^，г^ (йЬ) — a!bi = а，г^;

из a = b, а1 =Ь1 следует a，r = Ь，Г.

Скалярные величины, такие как а* (аЬ), (а^Ь), | 支 |, (0袁)н т.п., хотя они и выражаются через компоненты, являются, таким образом, инвариантами преобразования.

Положив ^=а,, 空=储 получим: %微=瞋.

Из di = e：dxl = e；dx" = е； —г dx‘ = е,-——dx'T следует：

■ e； =、・W，• e,・ = e；W，

ar = ci^ а『 = а；сс, для ковариантных компонент вектора,

а" = 6丸 a. = a,r^r для контравариантных компонент вектора. Закон преобразования усматривается, таким образом, из положения индекса. Это правило справедливо также для компонент тензора; мы

имеем, например:

rrs = Т^^ и т. д.

Если, напротив, трансформационные свойства числовых величин заранее известны, то отсюда можно заключить, имеем ли мн право рассматривать их как компоненты векторов или тензоров.

Следует, далее, обратить внимание на очевидные правила:

2— г а2— г а

2— г а

2— г а

Эти дифференциальные операторы ковариантные компоненты вектора.Эти дифференциальные операторы ковариантные компоненты вектора.преобразуются, таким образом, какпреобразуются, таким образом, как

Эти дифференциальные операторы ковариантные компоненты вектора.

Эти дифференциальные операторы ковариантные компоненты вектора.

преобразуются, таким образом, как

преобразуются, таким образом, как

Дифференцирование и свертывание

В результате дифференцирования («Erweiterung») (представляющего собой обобщение операции образования градиента) возникают:

из скаляра 屮一вектор grad 屮： d屮=(grad 屮 di),

из вектора а — тензор 3( :da = ^dx,

из тензора 支⑶一тензор 支⑷：d±c)=支⑶£匸

В получающихся при этой операции уравнениях для компонент встречаются выражения вида

限尸(吟)иГ1噥)=一小箱■

Они называются трехиндексными символами Кристоффеля.

Они могут быть выражены также через g汾：

曝尸^偌+饗一礬卜Г2/8

Они симметричны no kt /: Г^ = Г[А.

В частности, имеем:

现=/鲁=卜'箱=一仆粉=m

Используя эти символы, получаем:

df^= ~ dx1 = (е,- grad 屮)dx\ следовательно, (grad 屮)工・=鳥，da = ~ dd — eMz. dx%

следовательно,

4%4%口用）一（噥）=詈一哂К口用）一（噥）=詈一哂К

4%

4%

口用）一（噥）=詈一哂К

口用）一（噥）=詈一哂К

соответственно

4 =糸+叫〃，

следовательно,

雷1%一甫以；

соответственно

T»，=+ T+ T⑺叮*

Отметим также соотношения, свободные от Г, например:

(Уравнение ci = Ciffik в трехмерном случае переходит в с = 6Ь = [rot % b].)(Уравнение ci = Ciffik в трехмерном случае переходит в с = 6Ь = [rot % b].)

(Уравнение ci = Ciffik в трехмерном случае переходит в с = 6Ь = [rot % b].)

(Уравнение ci = Ciffik в трехмерном случае переходит в с = 6Ь = [rot % b].)

Свертывание представляет собой обобщение операции образования следа. При этом возникают:

■ из тензора (2-го ранга)岂一скаляр | $ |,

из тензора (3-го ранга)宣⑴一вектор t.

Свертывание осуществляют, отбирая компоненты тензора, у которых совпадают один верхний и один нижний индекс (по этому индексу производят суммирование), или же при помощи умножения на gik или р"：

I 支 I = 7；=g,U* =賦7历=(展立)=(е,£е‘)，l=外鹼"=7*；t = (*e,)"

Комбинируя операции дифференцирования и свертывания, приходят к обобщению операции образования дивергенции. Таким путем получают:

из вектора а■ скаляр diva,

из тензора S—• вектор div 支；

曙М噜)；

(div办=:^喝拿一17元；(div 0 =亡整守+匕T；

N = dWgrad 屮=^ 鳥-£嗡).

Применение этих понятий к метрическому фундаментальному тензору gik дает тождества:

提吗g+ p^ " = (diV好=0,

У g дхг

筹 +Г团 +1# =等一T^gir-匸& = 0.

Отсюда можно получить тензор 4-го ранга:

%=提%一м以+恵现一叮％ =

4•係像Ж晦)}

Он называется тензором кривизны Римана—Кристоффеля. Этот тен-

緑(球一

зор имеет —「^~: независимых компонент. При его свертывании воз-

никает симметрический тензор 脏 2-го ранга с компонентами:

При повторном свертывании получается скаляр | 9^ | = /? = ^kRik Между ними имеется следующее соотношение:

div 北=^ grad R.

Неевклидовы пространства

Если вектор а, не изменяя его, параллельно перенести на df, то будем иметь da = O:.

da1 = — Tlkrak dxr.

Если принять это уравнение в качестве общего определения параллельного переноса на бесконечно малые расстояния в произвольных пространствах, то следует иметь в виду, что оно лишь в том случае является интегрируемым и, тем самым, определяющим параллельность и равенство также и для конечных расстояний, когда для тензора кривизны:

Rjhn = 0.

Если имеет место этот случай, то пространство называется евклидовым, в противном случае——неевклидовым^ или искривленным (точнее, соответствующие наименования присваиваются метрике пространства). Равенство нулю компонент этого тензора 学力左 представляет собой условие того, - чтобы при определении метрики с помощью линейного элемента ds = Vgjhd£dx* оставались в силе все метрические соотношения евклидовой геометрии. Только в этом случае можно при помощи соответствующим образом подобранного преобразования перейти к g-k = d-k, т. е. ввести декартову координатную систему. Неевклидовы пространства существуют уже в случае двух измерений; например, таким пространством является поверхность сферы.

Кривая называется геодезической, или, в евклидовом пространстве,

касательнойкомпонентыи тем самымкасательнойкомпонентыи тем самым«прямой», если при движении вдоль нее направление остается постоянным3). Касательный вектор t имеет

касательнойкомпоненты

и тем самым

касательнойкомпоненты

и тем самым

=^； . Для них, следовательно, должно быть ^ = 0,

Системы координат, зависящие от времени (движущиеся)

Изменение системы координат во времени может быть описано при помощи поля вектора н, представляющего собой скорость и точки х7 = const. Положив 11=与也‘,получим:

Компоненты вектора а, который изменяются при этом на

^а.= а, — й/;

дх1

сам по себе является постоянным, 近'=-噥m

Эти производные по времени относятся к неподвижной точке. Если отнести их к точке, движущейся со скоростью и: vl = и1 —, то для произвольного скаляра, соответственно вектора, получим:

dpd中I / d少dzdu]/ да

—=—+ т/—=——Ни —.

dtdt дх£dtdt dxf

Если ^= 0,Если ^= 0,то V =и t и мы получаем:то V =и t и мы получаем:

Если ^= 0,

Если ^= 0,

то V =и t и мы получаем:

то V =и t и мы получаем:

rfc, Ou"=硬rfc, Ou"=硬

rfc, Ou

"=硬

rfc, Ou

"=硬

(производная по времени при фиксированных х')・

Здесь Sa1 = (a1^-—公三)6/ (片(%)).

Вращение декартовой координатной системы как твердого тела описывается соотношениями

% = 3%х*， где 〃％ = — %,•

что дает:

夜

沁*

（瑞一噴-也筛r— W。［弘

Ортогональная система координат определяется при помощи линей» ного элементаОртогональная система координат определяется при помощи линей» ного элементаОртогональные координаты г)

Ортогональная система координат определяется при помощи линей» ного элемента

Ортогональная система координат определяется при помощи линей» ного элемента

(ds)"=Jg"(“)"；

при этом g" = |e/2 = e； и gH = I е12 = ^2, так что 11

Здесь часто оказывается целесообразным, кроме ковариантных и контра- вариантных компонент, между которыми имеется зависимость

ci = a ・g〃 =色

ввести еще их геометрическое среднее

а；а；а&. = /3 ="а&. = /3 ="

а；

а；

а&. = /3 ="

а&. = /3 ="

Величины ai мы будем называть натуральными компонентами; они служат длинами составляющих векторов.

Мы введем теперь вместо основных векторов % единичные векторы % имеющие те же направления; тогда

а = X /У = £(%* F = ?逗У, а = N & = 2 (。3)i* = Z >L，

и поэтому 产=忆

dxl не являются натуральными векторными компонентами, однако таковыми будут

e^df =dSj.

Аналогичным способом можно определить натуральные компоненты тензора 覧；тензорное соотношение 口 =覧5 записывается в виде

% =2亍疝⑪

причем натуральные компоненты тензора даются равенствами

爲=著=7%%=7層=?借=(强3•

Метрический фундаментальный тензор. Он имеет диагональную форму:

= &・夙=啜w где 必=｛； „ри / — А

1

Определитель*

g=g、&&…，V i=ei^3- • •

Трехиндексные символы:

F,,/ = 0 при ，片左片/片匕

讎У)，

I 1 8gii

/2-丄小"-十万寿

(V),

i, ii

2 OS '

[% = 0 при z片左片/片厶

Г仁一嘉礬（/"，

%=「%=+%=「%=+[%=[%=1 °g"1 °g"丄^ =丄史2&他W2g" °声 2 dxk 1 01ng〃丄^ =丄史2&他W2g" °声 2 dxk 1 01ng〃2g〃 О%'2 дх12g〃 О%'2 дх1

%=「%=+

%=「%=+

[%=

[%=

1 °g"

1 °g"

丄^ =丄史2&他W

2g" °声 2 dxk

1 01ng〃

丄^ =丄史2&他W

2g" °声 2 dxk

1 01ng〃

2g〃 О%'2 дх1

2g〃 О%'2 дх1

Благодаря этим соотношениям формулы стр. 257 при переходе к натуральным компонентам преобразуются следующим образом:

a. = 1启 ek临胪 ei M 十tk^er ОН丿a. = 1启 ek临胪 ei M 十tk^er ОН丿(a = grad<p),(a = grad<p),(§1 = grad a,(§1 = grad a,t. e. 21b = (bgrad)a),t. e. 21b = (bgrad)a),

a. = 1

启 ek临胪 ei M 十tk^er ОН丿

a. = 1

启 ek临胪 ei M 十tk^er ОН丿

(a = grad<p),

(a = grad<p),

(§1 = grad a,

(§1 = grad a,

t. e. 21b = (bgrad)a),

t. e. 21b = (bgrad)a),

^ l v^z ф. Ф.^ l v^z ф. Ф.

^ l v^z ф. Ф.

^ l v^z ф. Ф.

(少= div tt),

仲=A叫

(Tri + 7")呢 — V5 Trr_ 2£r

eier 0%'-6玲0%‘

((X = div 支).

Если здесь Т* — компоненты антисимметрического тензора (几=—Тк)，т0 оба последних члена исчезают.

Если, в частности,

7\ = aik — aki

1[д (Ь；е^。瓦％)

©[©к

то будем иметь:

(а = — rot rot b).

Это выражение может быть разложено на две части:

где первая часть представляет собой grad div 6, а вторая ——вектор с = ДЬ. Симметрическая часть тензора aik записывается в форме

s泳s泳22一0/+0々?_一0/+0々?_I 。就g4%0e々 十或々二*'I 。就g4%0e々 十或々二*'

s泳

s泳

2

2

一0/+0々?_

一0/+0々?_

I 。就g4%0e々 十或々二*'

I 。就g4%0e々 十或々二*'

Антисимметрические тензоры в трех измерениях имеют только три компоненты. Если интерпретировать их как компоненты некоторого вектора, полагая

то последний будет определен этим независимо от системы координат. Например, тензор afik —。左々=力 определяет вектор с =[ab]; далее, тензор

_ 1_ 10（勿叫0（勿叫

_ 1

_ 1

0（勿叫

0（勿叫

определяет вектор с = rot 6.

Эти векторы называются аксиальными в отличие от обычных векторов, называемых полярными.

Операция rot, применяемая к аксиальному вектору, идентична операции div, применяемой к антисимметрическому тензору (например, rot rot 6).

При переходе от одной ортогональной системы координат к другой такой же системе имеют место следующие формулы преобразо- еания:

с ортогональной матрицей:

РАЗДЕЛ ВОСЬМОЙ

СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Специальные системы координат применяются при изучении специальных задач. Они могут приводить к методическим упрощениям по сравнению с описанием, не использующим никакой системы координат. Их выбирают по возможности такими, чтобы они были приспособлены к задаче. При этом, однако, часто возникают трудности в установлении более общих зависимостей. Поэтому такие специальные системы не должны вводиться слишком рано.

Практическое применение находят почти исключительно ортогональные системы и в них — почти исключительно натуральные компоненты векторов и тензоров (см. стр. 261).

В этих случаях координаты при практических вычислениях различаются не при помощи числовых индексов, а при помощи различных букв. Компоненты векторов и тензоров обозначаются при этом соответствующими буквенными индексами.

Все формулы векторной и тензорной алгебры для всех ортогональных систем сохраняют силу в той. же самой простой форме, какую они имеют в декартовых координатах. Лишь величины, образуемые при помощи дифференцирования, имеют в каждой координатной системе свою специфическую форму.

ДВУМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ

Векторное произведение и ротор имеют здесь только одну компоненту. Они представляют собой так называемые псевдоскаляры.

Декартова система координат х,』(равноотстоящие прямые)

(is? = d炉+dy，

g办=6注，g= 1,e'=l； 见注=0，

(ab) =^ a/x + ару、

[ab] — axby ——aybx (псевдоскаляр).

Оби1ие формулы стр. 261 и дальнейших применяются в следующей простейшей форме:

3，Io-'8-旷，++-如dx^-^ 0---?n中XV Ad ia d3，Io-'8-旷，++-如dx^-^ 0---?n中XV Ad ia drota =rota =巴沙巴沙(псевдоскаляр).(псевдоскаляр).

3，

Io-'8-旷，++-如dx^-^ 0---?n中XV Ad ia d

3，

Io-'8-旷，++-如dx^-^ 0---?n中XV Ad ia d

rota =

rota =

巴沙

巴沙

(псевдоскаляр).

(псевдоскаляр).

Общие (в общем случае неортогональные)системы координат & 〃

「х'=3（х, У）, x2 = rt（x, у）,公=（偉）4（幫成叶2像計需^ 十

+（（舒+（舒

丿 十丿丿 户_2（axax十ay力丿-丿丿

_ g、gI丁g

g—（a（x,y）丿•

Отсюда находят значения g[ky так же как и

k=(訂+僞)=((訂+(新)g,

l=（勁工（缴=（偉）工（舒）g，

Контравариантные компоненты вектора а таковы:

a=凉恥+而甸=a=凉恥+而甸=MEMEdxdxду死&+ду死&+ЦаУЦаУV7V7

a=凉恥+而甸=

a=凉恥+而甸=

ME

ME

dx

dx

ду

死&+

ду

死&+

ЦаУ

ЦаУ

V7

V7

ковариантныековариантныеже:же:=瓦4十而旬=71=瓦4十而旬=71

ковариантные

ковариантные

же:

же:

=瓦4十而旬=71

=瓦4十而旬=71

Общие ортогональные системы координат 〃, о ($,哈

Такие системы получают, исходя из декартовых координат х, у, при помощи соотношения

и + ^=/(х + <у),

где /—произвольная аналитическая функция (см. стр. 100), причем возможен переход к более общим координатам £, 7] посредством соотношений

£ = £(〃)， ij=q(0), соответственно 〃 = 〃(？， 0 = 0(力.

Линейный элемент тогда имеет вид

^=4(加十^)=分｛成"像)』м (黑))，

где

с _/М«、2 [ f ди\г _ f dv\z J f dv\l _0他，и) 111

加丿十底丿加丿十底丿

и для элемента площади получаем выражение

df—Vgdudv = ~ dudv.

В качестве компонент векторов и тензоров мы применяем натуральные компоненты а-=Мdat (см. стр. 260). Для вектора а с декартовыми компонентами ах и- ау будем при этом иметь (ввиду ^^霊=丿。^

Вектор а = grad 少 имеет компоненты:

grad”少=嘉/方，grad。屮=嘉/力.

та = 0係（詣卄鳥（言）卜厶中= "{£И寫},

зa = D^（言）一萩离）卜

Чтобы перейти к более общей системе & 彳,следует положить: д 1 д d 1 д

°” —生'％ — %，ди — dn 决，du du д*成cfn

-洲齿狗ar+-洲齿狗ar+對^+對^+^=FgS{^fe+^^} > %=/》{%*% =志黑卜瑞+旬粉，。尸/方收^

-洲齿狗ar+

-洲齿狗ar+

對^+

對^+

Плоские полярные координаты

（концентрические zz-окружности и радиальные v-лучи）

江十沁=1n（尤+ »）,

① =In ）/%2+歹，x = eu cos v,-00<〃<+8,

u = arctg{,y = e"sinq0Vu<2tt.

Линейний элемент: ds2 = eza （du^ ~\-dv2}.Линейний элемент: ds2 = eza （du^ ~\-dv2}.D=e~zaD=e~za1FTP，1FTP，Элемент площади: df — ezu du dv.Здесь обычно вводят новые координатыЭлемент площади: df — ezu du dv.Здесь обычно вводят новые координатышений /• = е\（р = и. Это г = К^+У, 屮=arctg 子，шений /• = е\（р = и. Это г = К^+У, 屮=arctg 子，даетдает% =% =У =У =д _ 2г cos % г sin %д _ 2г cos % г sin %г, ср при помощи д ' д寸=3~ ИО V，< 8,О V（P<2tt.г, ср при помощи д ' д寸=3~ ИО V，< 8,О V（P<2tt.соотно-соотно-Линейный элемент: ds2 — dr2 -|- г2 d'^.Элемент площади: df=rdrd'^.Натуральные векторные компоненты:Линейный элемент: ds2 — dr2 -|- г2 d'^.Элемент площади: df=rdrd'^.Натуральные векторные компоненты:axx + ayy_-a卩 + ayx Мх—уаaxx + ayy_-a卩 + ayx Мх—уа% = ar cos 屮一％ sin 屮, а» = ar sin 屮 + a毕 cos ср.% = ar cos 屮一％ sin 屮, а» = ar sin 屮 + a毕 cos ср.

Линейний элемент: ds2 = eza （du^ ~\-dv2}.

Линейний элемент: ds2 = eza （du^ ~\-dv2}.

D=e~za

D=e~za

1

FTP，

1

FTP，

Элемент площади: df — ezu du dv.

Здесь обычно вводят новые координаты

Элемент площади: df — ezu du dv.

Здесь обычно вводят новые координаты

шений /• = е\（р = и. Это г = К^+У, 屮=arctg 子，

шений /• = е\（р = и. Это г = К^+У, 屮=arctg 子，

дает

дает

% =

% =

У =

У =

д _ 2

г cos % г sin %

д _ 2

г cos % г sin %

г, ср при помощи д ' д

寸=3~ И

О V，< 8,

О V（P<2tt.

г, ср при помощи д ' д

寸=3~ И

О V，< 8,

О V（P<2tt.

соотно-

соотно-

Линейный элемент: ds2 — dr2 -|- г2 d'^.

Элемент площади: df=rdrd'^.

Натуральные векторные компоненты:

Линейный элемент: ds2 — dr2 -|- г2 d'^.

Элемент площади: df=rdrd'^.

Натуральные векторные компоненты:

axx + ayy

_-a卩 + ayx Мх—уа

axx + ayy

_-a卩 + ayx Мх—уа

% = ar cos 屮一％ sin 屮, а» = ar sin 屮 + a毕 cos ср.

% = ar cos 屮一％ sin 屮, а» = ar sin 屮 + a毕 cos ср.

Векторные дифференциальные операции:

gradR =苏，gra% 屮而,

1 д1 да

diva = 7»(y)+ 7 而，

Плоские параболические координаты

(софокусные и- и v-иараболы с общей осью симметрии)

8 = ]/尸 + %, где r — Yx2-\-y2 (расстояние от фокуса х = 0, у = 0),

[产一炉.

х =—,0Va<8, I (для данных значенийv

у=±〃и,О = и<з J получаются два значения _у!).

Линейный элемент: ds2 = (и2 -|- v2) (du2 -|- dv2).

2r 峻+炉,

Элемент площади: df— (us -|- v2) du dv. Натуральные векторные компоненты:

ахУ rayV г — x-aх Yr 一 % + 旬了r + %ахУ rayV г — x-aх Yr 一 % + 旬了r + %%U + &м "y一 m 1产+草2 .%U + &м "y一 m 1产+草2 .

ахУ rayV г — x

-aх Yr 一 % + 旬了r + %

ахУ rayV г — x

-aх Yr 一 % + 旬了r + %

%U + &м "y一 m 1产+草2 .

%U + &м "y一 m 1产+草2 .

В остальном применяются формулы стр. 266——267. Можно, например, ввести 以2 = £, "=% однако это редко приносит пользу.

Плоские эллиптические координаты

(софокусные u-гииерболы и v-эллипсы)

I% + ZV

以十 zu = arcsin —!-,

sin я = ” ； ％, ch v="扌■”,2a2a '

где S[ =]/(_г + а)2 十沙\ s2 = Y(x ——a)z 十沙‘——расстояния точки х,у от фокусов, лежащих на х-оси в точках хх =——а и х2 = -|-а. (孑—ц = е есть эксцентрическая аномалия эллипса, см. Приложение 9, стр. 581, £^——его численный эксцентриситет.^

х = a sin ц ch v, 0 = в<2тг, 1 (для данных 辽, и получаются y = ±acosz/shq 0Wd<oo j два значения^!).

Отсюда следует:

х2 , у2 1,№у2 1 ,и \

г^Г-Г^2~=^ -эллипсы), ,.尸'=1 (и -гиперболы), a- chz v 1 azshzv ''' a2 sin2 zz a2 cos2 и/

Линейный элемент: dsz=az (ch2 v ——sin2 w) (du2 ~}-dvz)=

=sxs2(duz ~\~dvzY'

a2 (ch2 и — sin2 it) 6戸2 *

Элемент площади: df= a2 (ch2 v ——sin2 ц) du dv = s}sz du dv.

Натуральные векторные компоненты:

aa = ax cos 8 ——ay sin 8, I где вспомогательный угол 8 удовлет- a^ = ах sin Ь ~\~ ау cos 8, / воряет условию tg 8 = tg ц th v.

—au cos 〃 ch и + av sin 〃 sh и — au sin 〃 sh и + av cos и ch и

，У ch2 и — sin2 и '>УсЬ2 v — sin2 u

В литературе встречается также подстановка:

Е = sin в, 7] = ch и.

В пределе при a—> 0 получим a ch и = г. Мы приходим к поляр- иым координатам г,屮，где 屮=^辽.

В пределе при a—* оо получаем декартовы координаты с х = a sin и, у = ashv.

Плоские биполярные координаты

〃 + fu〃 + fu(пучок ц-окружностей, охватывающих полюсы, лежащие на х-оси в точках д\=+а и 尤2 = 一 仪，и пучок ^-окружностей, проходящих через эти полюсы)

〃 + fu

〃 + fu

辽 + 沁=In “ + " + 少—2 Ar th% +少; x~}-iy=ath 1a — x — lyaI J

U2ax.2aV

th 〃 =~2， tg D = -2;=.

a2 -P%2a2 — x2 — у2

(e“ представляет собой отношение — расстояний s^ и ^2 точки %, у

от полюсов; п — и есть угол, под резок, соединяющий полюсы.)

которым из точки %, у виден

от-

a sh а

“ —ch “ + cos v *a sin v

—ОО <□<+ ОО,

'—ch а + cos и *

u = const: окружности c 凡= (аполлониевы окружности);

и = const; окружности с 凡=

0 Ми < 2тг.

m вокруг * =而’》= 0

(пучок окружностей, проходящих через полюсы). п „„2a2 (山产丄 rfv2)

Линейный элемент: ds =к——Н

(ch и + cos v)2

I . 土вокруг x= 0, у =--

I sin VI У，J 也и

(ch и 4- cos v)2 _4az

^(a2 —炉 + у2)2 + 4%У

сa2 du dv

Элемент площади: (/f=———： / (ch a + cos и)2

Натуральные векторные компоненты:

= {@(公一炉+歹)一。了2秒}尝，

3 = {ax • 2砂 + ay (a"-炉 +-^2)} ^^ »

—a”(1 + ch a cos ») + sh a sin »

% —ch и 4- cos v*

——a〃 sh a sin » +(1 + ch 〃 cos u)

旬一"ch 方соз »'

В литературе применяется также подстановка

Т] = П — и.Т] = П — и.

Т] = П — и.

Т] = П — и.

ТРЕХМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ

Декартова система координат х, у, n

Она получается из двумерной декартовой системы координат посредством присоединения еще одной координаты 2. Все сказанное относительно двумерной системы остается в силе. Формулы стр. 261 и дальнейших могут применяться в простейшей форме ео всеми е； = 1.

Мы имеем здесь, в частности:

(ab) = a/# 十旬"у +。/力

[ab]* =ауЬг — a/” [ab]> = a/* — ахЬг, [ab£ = axby — aybx,grad*(? =第，8叫平=翁，gradz(? =第，

,dazrot* а = f*ду,dazrot* а = f*дуdav ,дах

,daz

rot* а = f

*ду

,daz

rot* а = f

*ду

—,rotva = ^—, 叽(1=」

dz J °z dx z 必 dy

(agrad)/ = %整十旬箒十％常и т. д.,

△《=А%△《=А%и т. д.и т. д.

△《=А%

△《=А%

и т. д.

и т. д.

ТензорыТензорыимеют компоненты Тхх, Тху и т. д. При этом имеем:

Тензоры

Тензоры

($a)x = Txxax + Tx^y + ТхАг и т. д„(div5%=右十歹 + k н т.д.,\^\ = тхх + тУУ + тг2, \T\ = ^t(Tik),

(舱)=T，+ 7大+覆+ % +忆+ 7；z + t^х+%+%， ^ = {SXXTXX + SxyTxy + SXJ^-}-

十(^ухтух 十 syyTyy 十 s^t^j 4-(- •

Общие цилиндрические координаты

Они получаются из двумерных плоских координат ц, & посредством присоединения декартовой координаты 瑞 перпендикулярной к и, v-плоскости. Они являются ортогональными, если ортогональна плоская система 辽，& (соответственно & q), и в этом случае линейный элемент имеет вид

dJ =力" 古"и + dz” (см. стр. 266), 分=1

и элемент объема dV—^gdudvdz=^dudvdz.

Натуральные векторные компоненты аа, %, 〃#，ау выглядят точно так же, как для соответствующих плоских координат. Независимо от них присоединяется третья компонента az,

grad 屮 следует дополнить .г-компонентой: gra*屮=招，

div а следует дополнить аддитивным членом ^; ••・+騎，

А屮 следует дополнить аддитивным членом^： • ••十君・

rot a имеет компоненты:

= M方常一翁，г叫。=幾一丿力患

Примеры:

а) Круговые цилиндрические координаты 〃, и, z.

〃 =In j/炉+少2, X = e° COS V, —8<〃<+оО,

и = arctg 考,2,и = arctg 考,2,Линейный элемент: ds2 = еЛинейный элемент: ds2 = еу = еа sin v, 0wu<2tt,2,-00<2<+8.у = еа sin v, 0wu<2tt,2,-00<2<+8."“ (d/? + dv2) + dz2."“ (d/? + dv2) + dz2.1~"2 i 2 — е 炉+俨1~"2 i 2 — е 炉+俨Элемент объема: dV —^a du dvdz^Элемент объема: dV —^a du dvdz^или при р = е\ 屮=修р = ]/ 炉屮=arctg § ,или при р = е\ 屮=修р = ]/ 炉屮=arctg § ,d dd ddu — P dp，dv /， x — p cos (p, OwpVoo, y = psin. OW屮 <2tt,du — P dp，dv /， x — p cos (p, OwpVoo, y = psin. OW屮 <2tt,z, Линейный элементz, Линейный элемент：ds?=映2 + [/d 中 2 +点2.：ds?=映2 + [/d 中 2 +点2.—оо <^ z <^ -j- оо.—оо <^ z <^ -j- оо.

и = arctg 考,2,

и = arctg 考,2,

Линейный элемент: ds2 = е

Линейный элемент: ds2 = е

у = еа sin v, 0wu<2tt,

2,-00<2<+8.

у = еа sin v, 0wu<2tt,

2,-00<2<+8.

"“ (d/? + dv2) + dz2.

"“ (d/? + dv2) + dz2.

1

~"2 i 2 — е 炉+俨

1

~"2 i 2 — е 炉+俨

Элемент объема: dV —^a du dvdz^

Элемент объема: dV —^a du dvdz^

или при р = е\ 屮=修р = ]/ 炉

屮=arctg § ,

или при р = е\ 屮=修р = ]/ 炉

屮=arctg § ,

d d

d d

du — P dp，dv /， x — p cos (p, OwpVoo, y = psin. OW屮 <2tt,

du — P dp，dv /， x — p cos (p, OwpVoo, y = psin. OW屮 <2tt,

z, Линейный элемент

z, Линейный элемент

：ds?=映2 + [/d 中 2 +点2.

：ds?=映2 + [/d 中 2 +点2.

—оо <^ z <^ -j- оо.

—оо <^ z <^ -j- оо.

Элемент объема: db=pdpd^dz・

Натуральные векторные компоненты &「, а^ а%, ау выглядят, как и в плоских полярных координатах (см. стр. 267), К ним присоединяется третья компонента а?， не зависящая от остальных.

Векторные дифференциальные операции:

gra% 少=崇，grad,» =瑞，gradR = %

Sva = w*3p)十 F石十^7，

，一P d八 Fd" 丁 户 屮 丁 dz2吃 丁 p dp 丁 к d# 丁 d炉，

1 d1 da0rot, a = — Ep%).1 d1 da0rot, a = — Ep%).1 da?da. daz

1 d1 da0

rot, a = — Ep%).

1 d1 da0

rot, a = — Ep%).

叫 ° — p / dz，叫 a dz dp，

0) Параболические цилиндрические координаты 〃, и ——как в плоских параболических координатах (см. стр. 268); к ним присоединяется третья, не зависящая от них координата 2. Линейный элемент, элемент объема, натуральные векторные компоненты и векторные дифференциальные операции см. выше.

了) Эллиптические цилиндрические координаты: и,皆一как в плоских эллиптических координатах (см. стр. 268); к ним присоединяется третья, не зависящая от них координата г. Линейный элемент, элемент объема, натуральные векторные компоненты и векторные дифференциальные операции см. выше.

Вращательно-симметричные координаты 瓦,и, g

Они получаются из соответствующих плоских координат а, и при помощи вращения на угол 平 вокруг оси симметрии 皆二=0. Координата g изменяется в промежутке 0V 屮 <2тт, в то время как 以，v изменяются в полуплоскости. Они являются ортогональными, если ортогональна система zz, v. Для построения общих вращательно-симметричных координат с осью вращения 2 следует положить:

u=u(z, р), и = и(2, р), х = р cos ср, _y = psi□屮， т. е.

р = /^+У, g=arctg》

Для построения ортогональных вращательно-симметричных координат следует положить:

辽+z力 =/(2 +《),

где /—произвольная аналитическая функция (см. стр. 266). Тогда оказываются справедливыми следующие общие формулы.

Линейный элемент: ds2 = -^- {du2 -[- dv2] -[- ^zdr^z.

Элемент объема: dV = р}^g du dv d^ = -^ du dv d^.

Натуральные векторные компоненты:

y- pzp荃8羽亦+ +pp”% a*y- pzp荃8羽亦+ +pp”% a*如^变dz如^变dzx-pe 骄x-pe 骄р- и•d-d+d-dр- и•d-d+d-dСС屮屮о +о +

y- pzp荃8羽亦+ +

pp”

% a*

y- pzp荃8羽亦+ +

pp”

% a*

如^变dz

如^变dz

x-pe 骄

x-pe 骄

р- и•d-d+d-d

р- и•d-d+d-d

С

С

屮

屮

о +

о +

Векторные дифференциальные операции:

gradNF/万爲；grad。少=m方窯；grad,屮=^黑,

или

仙=汽｛* + ^ + *忌+｝）卜*九

必^=〒狗9%）一彳麻，

叫a=^需—?雜脸

Ма"｛£ （备一总言）｝ •

Примеры:

а) Сферические координаты (см, плоские полярные координаты). 〃十加=1 n (n »р)

и=1п]/^24-р2 ^ = У^~^У\ х = еи sin VCOS ф, - 8V口< 十 0°, u=arctg 乌，y = eu sin-V sin tp, OVuVtv,

tp = arctg ^,tp = arctg ^,z = e" cos и, О V 平 V 2% p = e" sin v.

tp = arctg ^,

tp = arctg ^,

11O = LO = LЛинейный элемент: ds2 = e2U {duz -|- ^2 4* ^ sin2 v).

1

1

O = L

O = L

Элемент объема: &\^=或"sinpdadpdg.

д _ д历=r行д _ д历=r行?=r sinB,?=r sinB,Обычно вводят другие координаты г, 9 при помощи соотношений r = eut 8 = и:

д _ д历=r行

д _ д历=r行

?=r sinB,

?=r sinB,

x = r sin 0 cos % y = r sin 9 sin % z = r cos 9,x = r sin 0 cos % y = r sin 9 sin % z = r cos 9,0<r<oo, 0 ^ 9 ^ л,О V 屮 V 21r.0<r<oo, 0 ^ 9 ^ л,О V 屮 V 21r./•=1/炉+_/ +宫, nM X? +y2

x = r sin 0 cos % y = r sin 9 sin % z = r cos 9,

x = r sin 0 cos % y = r sin 9 sin % z = r cos 9,

0<r<oo, 0 ^ 9 ^ л,

О V 屮 V 21r.

0<r<oo, 0 ^ 9 ^ л,

О V 屮 V 21r.

О = arctg £丄厶,

(p = arctg^ ,

Линейный элемент: ds2 — dr2 4~ r2 Mz -|- r2 sin2 9 6?^2.

Элемент объема: dV = r2 sin Orfrdb6f^.

Натуральные векторные компоненты:

— @yzayyz 02了 炉工产 '( @严

一广 了炉 ｝俨 十 厂了/否「 r ，'爭一"丁jp^ 十 了^^^ ax = ar sin 0 cos q + % cos 0 cos ?—。中 sin %

ay = ar sin 6 sin 屮 + a^ cos 0 sin g 十。勺 cos %

az = ar cos 8 — % sin 0.

Векторные дифференциальные операции:

骐力屮=帚，駿%少=7京骐^少=可詣

diva=戸齐(Го+е 帝(Sin叫)+加^,diva=戸齐(Го+е 帝(Sin叫)+加^,卜g喘+^^步卜g喘+^^步10产sin 0次10产sin 0次

diva=戸齐(Го+е 帝(Sin叫)+加^,

diva=戸齐(Го+е 帝(Sin叫)+加^,

卜g喘+^^步

卜g喘+^^步

10

产sin 0次

10

产sin 0次

rot8a==7 ｛急需一^"叫， 叫a=;檢(9)一制.

(Aa)r= - A (rar) —у diva,

(rgrad3)= r*, [rgrad 叨, = 0, [t grad ф]0 = — _L^,[rgradb产寫，[rgrad5z = M，

[r grad]2ф = (trot [rgradф]) = ^ ^ (sin 嚼)+急醤•

，)Параболические координаты вращения.

^^=m$+w(р=Мх叶峭,

辽 2 = r-)-N, где r = V z2 -f- p2, x = uv cos cp, 0V"<oo, 炉=r—2,y=UV sin cp,0Vu<oo,

屮=arctg ^ ,2 = и q 7 ,О V ▼ < 2%

〃2 + du 1 p Ou Ip dzz du p = au, r== ——,盼=五不，d^ = ^уг 豆=而♦

Линейный элемент: ds?=(辽^ + и') ®炉+du,十炉饋di.

и2+v2 2r

Элемент объема: dV=uv{u2 -\~ v2) du dv d^. Натуральные векторные компоненты:

。产+。炉。产+。炉U 2,不 75 3 + мU 2,不 75 3 + мy~2/•(二 z)—ахУ + ауy~2/•(二 z)—ахУ + ау0★ + avu u炉十炉 auv + avu u炉十炉了亦+炉0★ + avu u炉十炉 auv + avu u炉十炉了亦+炉cos 屮一a., sin 中,cos 屮一a., sin 中,sin中十。7 COS屮,sin中十。7 COS屮,

。产+。炉

。产+。炉

U 2,不 75 3 + м

U 2,不 75 3 + м

y~2/•(二 z)

—ахУ + ау

y~2/•(二 z)

—ахУ + ау

0★ + avu u炉十炉 auv + avu u炉十炉

了亦+炉

0★ + avu u炉十炉 auv + avu u炉十炉

了亦+炉

cos 屮一a., sin 中,

cos 屮一a., sin 中,

sin中十。7 COS屮,

sin中十。7 COS屮,

Векторные дифференциальные операции:Векторные дифференциальные операции:gradH ф = 丁‘ ，—, grad„ 山=..—, V и2 -|-v2 ди'# t产 + v2 dudiv a =gradH ф = 丁‘ ，—, grad„ 山=..—, V и2 -|-v2 ди'# t产 + v2 dudiv a =1 Г 1 d 1 dAl Г=乃中匕^k)十；■"(% 十 ]/ ^+^1 Г 1 d 1 dAl Г=乃中匕^k)十；■"(% 十 ]/ ^+^。旬 иаи + vav [0中h2 +炉I。旬 иаи + vav [0中h2 +炉I

Векторные дифференциальные операции:

Векторные дифференциальные операции:

gradH ф = 丁‘ ，—, grad„ 山=..—, V и2 -|-v2 ди'# t产 + v2 du

div a =

gradH ф = 丁‘ ，—, grad„ 山=..—, V и2 -|-v2 ди'# t产 + v2 du

div a =

1 Г 1 d 1 dAl Г

=乃中匕^k)十；■"(% 十 ]/ ^+^

1 Г 1 d 1 dAl Г

=乃中匕^k)十；■"(% 十 ]/ ^+^

。旬 иаи + vav [0中h2 +炉I

。旬 иаи + vav [0中h2 +炉I

A少=f?卄烏（"黑）十^ ^； b嘉）十A少=f?卄烏（"黑）十^ ^； b嘉）十

A少=f?卄烏（"黑）十^ ^； b嘉）十

A少=f?卄烏（"黑）十^ ^； b嘉）十

rot a =-「 ._(吟)/,

u 了1? + 炉 du , uvd中

rot。a = —J •二—(g),

v uv д^ и U t产 + v2 ди ■

中 У" + и* 1〈 ди du 丿 и2 -|-炉 j

у) Координаты вытянутого эллипсоида вращения (софокусные двуполостные н-гиперболоиды вращения и вытянутые т/-эллипсоиды вращения).

叶吁 arcsmT—

sin u = ~：?, спт/= , 9 = arctRj, 2a 12a 1*x ，

где $1 = ]/炉十》2-|-(z-|-a)2, s2 = Vx2十U 十(z — a)2 — расстояния точки х, м z от фокусов, лежащих на оси z в точках 弓=-a и.е=十a.

х = a cos ushv cos 屮,

y = a cos zzsh-u sin 屮， z = a sin 辽 ch %y = a cos zzsh-u sin 屮， z = a sin 辽 ch %° Vy V 2tt, a cos и shu.° Vy V 2tt, a cos и shu.

y = a cos zzsh-u sin 屮， z = a sin 辽 ch %

y = a cos zzsh-u sin 屮， z = a sin 辽 ch %

° Vy V 2tt, a cos и shu.

° Vy V 2tt, a cos и shu.

в. трехмерные системы277

Линейный элемент:

ds2 — a2 (ch2 & — sin2 a) (da?十壮")十 a2 cos2 и sh2 & d,・

一a2 (ch2# _ 就m卩) sxsz ,

Элемент объема: dV=^ (ch2^ ——sin2 u} cos ushvdu dv d^. Натуральные векторные компоненты:

йпйпс вспомогательным углом S:tg 6 =喧 a th 5с вспомогательным углом S:tg 6 =喧 a th 5X - р рX - р р—ди sin 〃 sh и + & cos м ch и—ди sin 〃 sh и + & cos м ch и]/ch2 и — sin2 и—аи sin и sh и + av cos и ch и]/ch2 и — sin2 и—аи sin и sh и + av cos и ch иcos中--a? sin平,cos中--a? sin平,\ Uch2v — sin2 и ди cos 〃 ch и + a^ sin 〃 sh и }^ch2 v — sin2 и\ Uch2v — sin2 и ди cos 〃 ch и + a^ sin 〃 sh и }^ch2 v — sin2 иsin▼十 45 cos中,sin▼十 45 cos中,Векторные дифференциальные операции:Векторные дифференциальные операции:grad 小二；=L=型 * a M ch? и — sin2 и диgrad 小二；=L=型 * a M ch? и — sin2 и диg【ad$ =g【ad$ =1d£ a }^ch2 v — sin2 и du1d£ a }^ch2 v — sin2 и dugra% 少gra% 少1 0屮 a cos и sh u d?'1 0屮 a cos и sh u d?'Д^ = а2 (Ch2 v-Д^ = а2 (Ch2 v-sin2zz)sin2zz)(coszz du(coszz du1 d sh и du1 d sh и du

йп

йп

с вспомогательным углом S:tg 6 =喧 a th 5

с вспомогательным углом S:tg 6 =喧 a th 5

X - р р

X - р р

—ди sin 〃 sh и + & cos м ch и

—ди sin 〃 sh и + & cos м ch и

]/ch2 и — sin2 и

—аи sin и sh и + av cos и ch и

]/ch2 и — sin2 и

—аи sin и sh и + av cos и ch и

cos中--a? sin平,

cos中--a? sin平,

\ Uch2v — sin2 и ди cos 〃 ch и + a^ sin 〃 sh и }^ch2 v — sin2 и

\ Uch2v — sin2 и ди cos 〃 ch и + a^ sin 〃 sh и }^ch2 v — sin2 и

sin▼十 45 cos中,

sin▼十 45 cos中,

Векторные дифференциальные операции:

Векторные дифференциальные операции:

grad 小二；=L=型 * a M ch? и — sin2 и ди

grad 小二；=L=型 * a M ch? и — sin2 и ди

g【ad$ =

g【ad$ =

1d£ a }^ch2 v — sin2 и du

1d£ a }^ch2 v — sin2 и du

gra% 少

gra% 少

1 0屮 a cos и sh u d?'

1 0屮 a cos и sh u d?'

Д^ = а2 (Ch2 v-

Д^ = а2 (Ch2 v-

sin2zz)

sin2zz)

(coszz du

(coszz du

1 d sh и du

1 d sh и du

1 叫 a2 cos2 и sh2 u d(p2

В литературе часто применяется подстановка £ = sin% ：] = ch -у.

В пределе при a—> 0, полагая ach& =『，получаем сферические

координаты г, 6,屮 с 0=———и.

В пределе при a—> оо, полагая 2= a sin a, p = ashq получаем круговые цилиндрические координаты р,阴 z.

8) Координаты сплющенного эллипсоида вращения (со巾окуснзе однополостные zz-гиперболоиды вращения и сплющенные т-эллипсоиды вращения).

口 + 2 = arcsin^t^ ,

sinu = £i^,ch^=i±^, <₽=arctgi,

где % = jG +(p + 汉)2, 52 = ]/^24-(p — а)2 представляют собой соответственно наибольшее и наименьшее расстояние от точки х, у, z до окружности радиуса а с центром в начале координат, лежащей в х, ^-плоскости. (При отрицательном 2 следует для s】и s^ брать отрицательные значения!)

0 W 口 W tt, О W и V oo, 0 W 屮 V 2%0 W 口 W tt, О W и V oo, 0 W 屮 V 2%х = a sin w ch т cos 屮, j/ = а sin w ch т sin 屮， г = а cos w sh т,

0 W 口 W tt, О W и V oo, 0 W 屮 V 2%

0 W 口 W tt, О W и V oo, 0 W 屮 V 2%

p = Mx' + = a sin w ch т.

Линейный элемент:

dsz = a2 (ch2 и -— sin2 w) (du + dv2) + a2 sin2 口 ch2 и ^2.

D =i

a2 (ch2 u — sin2 zz)

Элемент объема: dV=(L9 (ch2 т——sin8 w) sin uzhvdu dv d^. Натуральные векторные компоненты:

%(%р % 上)cos 6 —。鹏由 6, 1、

、 卩I с вспомогательным углом с:

「@尹*)sin…3j tgf"

cos ▼ --。中sin中,cos ▼ --。中sin中,& cos 〃 ch и + % sE 〃 sh иj/^ch2 v — sin2 zz

cos ▼ --。中sin中,

cos ▼ --。中sin中,

cos %cos %/a% cos 〃 ch и +。口 sin 在 sh u\ . 丄

cos %

cos %

\ l^ch2 v — sin2 и 丿 屮 中

—aa sin 〃 sh и + av cos и ch и

j/^ch2 v — sin2 и

Векторные дифференциальные операции:

屮—a2 (ch2v — sin2a) j sin u 丽'【"，丽屮—a2 (ch2v — sin2a) j sin u 丽'【"，丽1 д .叩[而;丽С”石: +

屮—a2 (ch2v — sin2a) j sin u 丽'【"，丽

屮—a2 (ch2v — sin2a) j sin u 丽'【"，丽

В литературе

В пределе координаты г, В пределе

часто полагают $ = cos и, tj = sh v.при а—>0, полагая achD = /*, получаем сферические 9,屮 с 8 = zz.при а—> оо, полагая р = a sin zz, z = а sh г/, получаемчасто полагают $ = cos и, tj = sh v.при а—>0, полагая achD = /*, получаем сферические 9,屮 с 8 = zz.при а—> оо, полагая р = a sin zz, z = а sh г/, получаемкруговые цилиндрические координаты р,屮，z.

часто полагают $ = cos и, tj = sh v.

при а—>0, полагая achD = /*, получаем сферические 9,屮 с 8 = zz.

при а—> оо, полагая р = a sin zz, z = а sh г/, получаем

часто полагают $ = cos и, tj = sh v.

при а—>0, полагая achD = /*, получаем сферические 9,屮 с 8 = zz.

при а—> оо, полагая р = a sin zz, z = а sh г/, получаем

и семейство внутри себяначале коор-и семейство внутри себяначале коор-th〃 =th〃 =u + 2= In2apu + 2= In2ap炉+p2+22，炉+p2+22，a + P + 厉 a — p — IZa + P + 厉 a — p — IZ2 Ar th2 Ar th2a,：2 二炉二222a,：2 二炉二22,屮=arctg ^ ',屮=arctg ^ '£)Тороидальные координаты (семейство zz-торов сферических ^/-сегментов, соответственно заключающих и проходящих через окружность радиуса а с центром в динат, лежащую в х, ^-плоскости).

и семейство внутри себя

начале коор-

и семейство внутри себя

начале коор-

th〃 =

th〃 =

u + 2= In

2ap

u + 2= In

2ap

炉+p2+22，

炉+p2+22，

a + P + 厉 a — p — IZ

a + P + 厉 a — p — IZ

2 Ar th

2 Ar th

2a,：2 二炉二22

2a,：2 二炉二22

,屮=arctg ^ '

,屮=arctg ^ '

(о" представляет собой отношение — наибольшего расстояния s^ точки х, у z от «базисной окружности» к наименьшему расстоянию 52; п ——V есть наименьший из углов, под которыми виден диаметр базисной окружности).

a sh iz %= -—— ch и 十 cos иa sh “ у = ch儿十cos иa sin иa sh iz %= -—— ch и 十 cos иa sh “ у = ch儿十cos иa sin иcos ср,cos ср,sin 中,sin 中,Z — ch 儿 + cos и *a sh儿Z — ch 儿 + cos и *a sh儿P = ch a + cosu，P = ch a + cosu，Поверхности zz = const ——торы,Поверхности zz = const ——торы,о v〃<g,о v〃<g,О V в < 2n,О V в < 2n,О V 屮 < 2n,О V 屮 < 2n,производящий круг которыхпроизводящий круг которыхпринадлежит системе биполярных плоских координат. Поверхности в = const представляют собой сферические сегменты, проходящие через базисную окружность (см. стр. 269—270).принадлежит системе биполярных плоских координат. Поверхности в = const представляют собой сферические сегменты, проходящие через базисную окружность (см. стр. 269—270).Линейный элемент: ds2Линейный элемент: ds2а2а2(ch 儿 + cos v)2 (ch м + cos и)?(ch 儿 + cos v)2 (ch м + cos и)?{dif ~\~dv2 ~\~d^2 sh2 zz}.{dif ~\~dv2 ~\~d^2 sh2 zz}.а2а2

a sh iz %= -—— ch и 十 cos и

a sh “ у = ch儿十cos и

a sin и

a sh iz %= -—— ch и 十 cos и

a sh “ у = ch儿十cos и

a sin и

cos ср,

cos ср,

sin 中,

sin 中,

Z — ch 儿 + cos и *

a sh儿

Z — ch 儿 + cos и *

a sh儿

P = ch a + cosu，

P = ch a + cosu，

Поверхности zz = const ——торы,

Поверхности zz = const ——торы,

о v〃<g,

о v〃<g,

О V в < 2n,

О V в < 2n,

О V 屮 < 2n,

О V 屮 < 2n,

производящий круг которых

производящий круг которых

принадлежит системе биполярных плоских координат. Поверхности в = const представляют собой сферические сегменты, проходящие через базисную окружность (см. стр. 269—270).

принадлежит системе биполярных плоских координат. Поверхности в = const представляют собой сферические сегменты, проходящие через базисную окружность (см. стр. 269—270).

Линейный элемент: ds2

Линейный элемент: ds2

а2

а2

(ch 儿 + cos v)2 (ch м + cos и)?

(ch 儿 + cos v)2 (ch м + cos и)?

{dif ~\~dv2 ~\~d^2 sh2 zz}.

{dif ~\~dv2 ~\~d^2 sh2 zz}.

а2

а2

tgB =tgB =(а2 一 х2 +/) '(а2 一 х2 +/) '

tgB =

tgB =

(а2 一 х2 +/) '

(а2 一 х2 +/) '

Элемент объема: dV—- ~a ^n~-dudvd^. (ch u cosv)3 7

Натуральные векторные компоненты:

с вспомогательным углом Е：

[а„ (1 + ch и cos и) +旬 sh sin.

=J T——\cos 屮一g„ sin 5

]ch IZ + COS UJ т ①，‘

a =，”1 十 ch“ cos：)+.a°更生也и； $Е 9 十 ％ cos “У Ich 〃 +cos иJ,I▼*

——a„ sh iz sin и +(1 + ch iz cos u)

z —ch u + cos и”

Векторные дифференциальные операции:

—(ch iz + cos v)3 ( d / sh u 舛、丄。( sh u a? sh 乩I du〈 ch iz + cos v du J * du〈 ch u + cos и

a? sh"z де?2 У р \dir du sh2 a 'dg 4 / J

В литературе применяется также подстановка: £ = e~ut q = ir ——и. 工)Пр ос транственные биполярные координаты,

uA-iv=\n。+ z 十夕—2 Ar th “ 十 &

1a — z — /рa

th 〃 =「一г , tg о =fi―Ai~2, 平=arctg —

a + ? +2a + ? +2■Tx

(e° представляет собой отношение расстояний -1 точки х, у, z от полюсов, лежащих на оси z в точках z^ =—а и 。2=十々； п — и есть угол, под которым из точки х, у n виден отрезок 2a, соединяющий полюсы).

a sin иХ= -T——:COS少,ch 〃 +cos и 7a sin V.У = F——:Sin平,丿 ch и cos v 丁'a sh izZ = -r——:,ch iz + ccs и— a sin vP — ch iz + cos и *a sin иХ= -T——:COS少,ch 〃 +cos и 7a sin V.У = F——:Sin平,丿 ch и cos v 丁'a sh izZ = -r——:,ch iz + ccs и— a sin vP — ch iz + cos и *—ОО < a < 十 ОО,0 W и W %° W 屮 < 2%—ОО < a < 十 ОО,0 W и W %° W 屮 < 2%

a sin иХ= -T——:COS少,

ch 〃 +cos и 7a sin V.

У = F——:Sin平,

丿 ch и cos v 丁'

a sh iz

Z = -r——:,

ch iz + ccs и

— a sin v

P — ch iz + cos и *

a sin иХ= -T——:COS少,

ch 〃 +cos и 7a sin V.

У = F——:Sin平,

丿 ch и cos v 丁'

a sh iz

Z = -r——:,

ch iz + ccs и

— a sin v

P — ch iz + cos и *

—ОО < a < 十 ОО,0 W и W %

° W 屮 < 2%

—ОО < a < 十 ОО,0 W и W %

° W 屮 < 2%

rz = const: сферы с радиусомrz = const: сферы с радиусомRu = -^^ и центром в точкеRu = -^^ и центром в точке

rz = const: сферы с радиусом

rz = const: сферы с радиусом

Ru = -^^ и центром в точке

Ru = -^^ и центром в точке

Х = У = О, 2 = М

и = const: поверхности, образованные вращением круговых дуг, проходящих через полюсы, с радиусом Rv = ^—^ и центром в точке

p = 1訂卜2 =0■Линейный элементp = 1訂卜2 =0■Линейный элементa-a-,： 曲2 = ^(ch u + cos u)z,： 曲2 = ^(ch u + cos u)z{dz?-]-du* 十今2 s依叫.{dz?-]-du* 十今2 s依叫.

p = 1訂卜2 =0■

Линейный элемент

p = 1訂卜2 =0■

Линейный элемент

a-

a-

,： 曲2 = ^

(ch u + cos u)z

,： 曲2 = ^

(ch u + cos u)z

{dz?-]-du* 十今2 s依叫.

{dz?-]-du* 十今2 s依叫.

° — (ch 辽 + cos и)?

a-

Элемент объема: dVЭлемент объема: dVa sin V,,,——；dv d. (ch и + cos vf•a sin V,,,——；dv d. (ch и + cos vf•Натуральные векторные компоненты:Натуральные векторные компоненты:a“ = — (axy+av-^-) sin S + аг cos 8, % = (W +W) cosG + q sin 5a“ = — (axy+av-^-) sin S + аг cos 8, % = (W +W) cosG + q sin 5с вспомогательным углом 5:с вспомогательным углом 5:2”逐二丁f研,2”逐二丁f研,%%彳十%彳，—I — an sh zz sin и + 仪仃(1 + ch u cos v)' % —'ch 口 + cos и—I — att sh и sin и + 仪歹(1 + ch u cos v) ay — Ich u + cos и—a„ (1 + ch и cos и) + av sh и sin и"z —ch % + cos и*%%彳十%彳，—I — an sh zz sin и + 仪仃(1 + ch u cos v)' % —'ch 口 + cos и—I — att sh и sin и + 仪歹(1 + ch u cos v) ay — Ich u + cos и—a„ (1 + ch и cos и) + av sh и sin и"z —ch % + cos и*cos屮--% sin% sin(p4~a?coscf»cos屮--% sin% sin(p4~a?coscf»Векторные дифференциальные операции:Векторные дифференциальные операции:., (ch 〃 4- cos и)$A山= -• a2 sin и., (ch 〃 4- cos и)$A山= -• a2 sin иsin иch и + cos иsin иch и + cos иsin v 科、］丄ch и + cos у dv / j *I (ch и + cos и)? @2屮sin v 科、］丄ch и + cos у dv / j *I (ch и + cos и)? @2屮или, в более удобной записи:или, в более удобной записи:^(^+4)}('/р)-^(^+4)}('/р)-

Элемент объема: dV

Элемент объема: dV

a sin V,,,

——；dv d. (ch и + cos vf•

a sin V,,,

——；dv d. (ch и + cos vf•

Натуральные векторные компоненты:

Натуральные векторные компоненты:

a“ = — (axy+av-^-) sin S + аг cos 8, % = (W +W) cosG + q sin 5

a“ = — (axy+av-^-) sin S + аг cos 8, % = (W +W) cosG + q sin 5

с вспомогательным углом 5:

с вспомогательным углом 5:

2”逐二丁f研,

2”逐二丁f研,

%%彳十%彳，

—I — an sh zz sin и + 仪仃(1 + ch u cos v)' % —'ch 口 + cos и

—I — att sh и sin и + 仪歹(1 + ch u cos v) ay — Ich u + cos и

—a„ (1 + ch и cos и) + av sh и sin и

"z —ch % + cos и*

%%彳十%彳，

—I — an sh zz sin и + 仪仃(1 + ch u cos v)' % —'ch 口 + cos и

—I — att sh и sin и + 仪歹(1 + ch u cos v) ay — Ich u + cos и

—a„ (1 + ch и cos и) + av sh и sin и

"z —ch % + cos и*

cos屮--% sin% sin(p4~a?coscf»

cos屮--% sin% sin(p4~a?coscf»

Векторные дифференциальные операции:

Векторные дифференциальные операции:

., (ch 〃 4- cos и)$

A山= -

• a2 sin и

., (ch 〃 4- cos и)$

A山= -

• a2 sin и

sin и

ch и + cos и

sin и

ch и + cos и

sin v 科、］丄

ch и + cos у dv / j *

I (ch и + cos и)? @2屮

sin v 科、］丄

ch и + cos у dv / j *

I (ch и + cos и)? @2屮

или, в более удобной записи:

или, в более удобной записи:

^(^+4)}('/р)-

^(^+4)}('/р)-

По аналогии с тороидальными координатами здесь также можно применить подстановку:

Конические координаты г, и, а

Их получают при помощи стереографической проекции, проектируя двумерную ортогональную систему координат u, v на сферу радиуса 1 и присоединяя радиальную координату г, т. е. при помощи соотношений

4^=/(a+2)，Г=/炉+^+犬,

или, в явном виде:

х + а = Г^тр/(〃 + М)，z = r 注怫

Тогда получим:

ds" = d产 4-(：；)；%•(必 4- g

Отсюда можно получить, например, сферические координаты (г, 0, <р), взяв /(我十 加)=6"+"竺 sin6 = £^, 屮=仏

Специальная система эллиптических конических координат возникает, когда в качестве / берут подходящим образом выбранный эллиптический интеграл. Ее можно получить более удобным путем как один из случаев вырождения общих эллипсоидальных координат (см. стр. 284). Соответствующие формулы имеют вид

X = г ? ； » =р(宕一М)(у2 —宕);

Z Jj4r^ М(1 —'^)(1 —『)；

疗=4产+产"2 - }?) ((] 一 112M炉一间 + (1 - V《；v2 - 炉))•

5. Общие эллипсоидальные координаты')

Если вместо двумерных эллиптических координат 辽,1y (см.

стр. 268) взять величины Xj = a sin и и а2 = a ch v, где 入？〉仪〉入$〉。, то оба значения 入 будут удовлетворять одному и тому же уравне-

Рис. 26. Эллипсоидальные координаты.

нию 戸+ *^5= L

Поэтому

при определении эллиптических

координат можно исходить из этого уравнения. Для и и ^ получается более удобное представ-

В случае трех измерений поступают аналогичным образом. Уравнение

определяет некоторую поверхность второго порядка. Без ограничения общности можно считать, что

здесь а = 0 и с〉Ь. Если заставить к изменяться от оо до с, то при

этом получим семейство софокусных эллипсоидов, заполняющее

В Их часто (Прим, ред.)

называют также эллиптическими координатами

в пространстве.

все пространство. Аналогичным образом, при с〉｝〉Ь （соответственно 力〉｝〉0）, получим аналогичное семейство однополостных （соответственно двуполостных） гиперболоидов. Эти три семейства поверхностей попарно ортогональны.

Если выбрать три различных значения ｝, удовлетворяющих условию %〉с〉h〉力〉％1〉0, и положить:

так что ｝〉1〉》〉左〉|1〉0, то для декартовых координат х, j, z точки пересечения поверхностей, определяемых значениями Ji, v,）. （рис. 26）, получим следующие выражения:

У = 土^百鼻m伊2一了）"2 一川）（尸一公）,

Z = 土 С •?^^/（1一）12）（1-、户）02一1）,

т. е. значения ji, у, ｝ определяют х, yt z с точностью до знака. Числа ji, у, ｝ называются общими эллипсоидальными координатами с параметрами k и с.

Линейный элемент в этих координатах имеет вид

2 _ C2d^ （I2 一 炉）（丿一卩2）Т如（F — M）俨 一 J）e^ （Р 一 炉）（户 一 2

"S =一（工二尚（炉一炉） I （1 -丿）俨一依） I 02一1）02 -依）•

Отсюда получаются выражения для g〃，= e：* В частности, находим:

a少=^ QZ -2）#：吟俨-片）｛ （m — ^а^. （4寞）+

十0「Н）8弘礫卄（d — G）C弘嚼）卜 где

d = （l-了）（炉—了）,炉=（1 —吟⑺—层），0 = （¥-1）（¥ 一炉）.

Если положить

+ = M（）i）N（v） А。），

то уравнение A屮 十戈* = 0 распадется на три обыкновенных дифференциальных уравнения:

/ （/釣十T （炉*+姬+卩）"=°） 8^（8穿）十^（公丿十6户十團N = 0,

e駅e豹十T （炉炉十心十В）а =0,

с постоянными разделения ан?. Эти уравнения представляют собой три так называемых дифференциальных уравнения Ламе.

Введение новых независимых переменных

点 =砸，冲=丽，dl = c^j

ведет, очевидно, к дальнейшим упрощениям. Эти переменные представляют собой эллиптические интегралы от исходных переменных.

1cos少1cos少Вместо 禺 V, } поэтому используются также координаты 6, % 屮 или а, р, 丫, определяемые посредством соотношений:

1

cos少

1

cos少

|1 = А sin 6, у = Msin?屮十左2 cos2 仏 i

9卜

J y1 -血siM成一 )h1 一吟啰三亨)

о0

J У1 —(1 一炉)cos2 cp J у (1 - >2)俨-炉 j

Ок

J У 1 —炉 COS?屮 j У。2 — 1) (M —龙2) 01

Важное свойство этих а, р, у состоит в том, что всякая функция, линейная относительно каждого из этих переменных, У7 (а, р, у)= =с。十 с^а 十 ・• •十 已12tzp -)-•••-)-已123tzpY， удовлетворяет уравнению 匕=0.

Общие эллипсоидальные системы координат вырождаются в более простые (рассмотренные выше) системы, если с или А или они оба стремятся к пределам оо и 0, соответственно 1 и 0. Координаты при этом следует в зависимости от надобности преобразовать так, чтобы они изменялись в свойственной им области. Имеются следую^ щие случаи вырождения:

с―^оо. БуДем иметь: pt―^0, у―A, i—-► 1.

Преобразование 半=招 еm屮一版=少，c^'^一1 =z паеt 吟 картову систему х, у z.

с―^0. Будем иметь: i―оо.

Преобразование ск = г дает систему эллиптических конических координат г,禺а

А―1. Будем иметь: у ―1.

/'1 _ v2-

Преобразование "j/ j^=cos 屮 дает систему координат ц, i,屮 эллипсоида вращения с осью х в качестве оси вращения.

А―^0. Будем иметь: pt―0.

Преобразование y = sin：p дает ту же систему, что и 3), с переменными у, L 屮 н осью z в качестве оси вращения.

с—► оо и ^ —► 1. Будем иметь: р.—► 0, v—► 1,入一► 1.

Преобразование rji= x, j/ ； --% = ь, j/ ^ — |ё = ^ дает систему эллиптических цилиндрических координат х, а, т с осью х в качестве оси вращения.

с—►оо и 内一► 0. Будем иметь: р.—► 0, у—► 0, к—И.

Преобразование — = а, — = т,匕厂戸一1=2 дает ту же систему, что и 5), с переменными ?, ь, t н осью z в качестве оси вращения.

6*) как 6) при kc—► 0.

Преобразование — = sin ср, с? = р, сН『一1=2 дает систему круговых цилиндрических координат 2, р,屮.

с—>0 и 内一► 1. Будем иметь: v—► 1,入一► oo.

Преобразование u = siri( j/^； ~ 工=cos 7 Л = г дает сферические координаты г, 8,屮 с осью х в качестве оси вращения.

С. Л^-МЕРНЫЕ ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ

，，4 ' ^2* ' ' * » ^Л- 1 *

Эти координаты являются ортогональными и связаны с декартовыми координатами xz соотношениями:

cosO ,

/-1

x[ = r cos 0z Ц sin G- при i = 2, 3,..., N—1

丿=】

и

x» = r Hsin%.

Область изменения координат: 0wr<g; 0v8『Vtt при f=l, 2, ..., N— 2; 0 Ojv — 1 <С^ 2тг.

N

Имеет место равенство，x： =，L При N=2 и N = 3 получают-

ся соответственно плоские полярные координаты и сферические координаты.

Линейный элемент имеет вид

Л-1 /-1

厶，2=〃2 +Г储价十产2 II Sg 2 % d成

，=2У1'

Г-2

так что е =1, е2=г, е； = г Ц sin% при / = 3, 4,. . ., М и элемент объемам

dV=「N-idr JJ （sinO/）NT7d%.

Дифференциальный оператор Лапласа имеет вид

*宫翁=礬+唄需+х患+（1）噫喘十

+ d s：M L ｛賞 + （N— 3） ctg 力芻｝ + .. •

…｛請+（N— 1 一）龙 * 黑｝ + …

r2 IJ sin% 1丿

I 1 дгФ

ra sin2 0y

Так； например, при N=5, полагая 0] = :x, % = ,, 63 = 7, % = ?, будем иметь:

xv=r cos a,

x2 = rsinacosp, x3 = r sin a sin p cos y, %《 = /• sin a sin p sin^ cos 3,

x5 =r sin a sin , sin у sin S,

где Oga, p, у тг и 0V?<27r.

Далее:

dsz = dr2 + 产6^2十产（ssn2a d『 十 sin2a sin2 p ^y^sin2 a sin3 p sin, dV｝\ %=1, ez = ry e3 =r sin a, e4 = r sin a sin p, e5 = r sin a sin p siny;

dV =廿总/分分 dr da d^ 盟曲=产dr sin3a da sinR ^ siny d、d&

и

婕=塞+ ；禦礬+3唸a需｝ +

+石& ｛翁+2吗翁｝十

' 厂2 sin2 a sin2 3 I d『'* I @丫 j ' 厂2 sin2 a sin2 g sin2 丫 дб2

Для объема N-мерного шара радиуса R получим:

匕八）=口丿=^R"S⑴SS（%_2）, me S擋）=§sir?0d0.

то есть

- при N= 2v (> = 1, 2, 3,...),

—~•при n=2'叶1.

N

Поверхность п-мерной сферы равна 0(^ =—丿(改.Числовые значения даются следующей таблицей.

РАЗДЕЛ ДЕВЯТЫЙ

ТЕОРИЯ ГРУПП

А. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ

Группы

Совокупность (множество) ® конечного или бесконечного числа отличных друг от друга математических объектов (см. стр. 19), элементов^ называется конечной, соответственно бесконечной, группой, если выполнены следующие так называемые групповые аксиомы:

Существует закон композиции (т. е. определена операция), который каждой (упорядоченной) паре элементов Л, В из ® ставит однозначным образом в соответствие определенный элемент С= АВ из ®; элементы АВ и 8A вообще говоря, различны.

Для упомянутой в I операции справедлив ассоциативный закон'. имеем (ДВ) С— A (BQ = АВС для произвольных Д, В, С из ⑨.

HI. Для двух произвольных элементов А, В из @ всегда существуют однозначно определенные элементы X и У нз ⑨ такие, что АХ— Ву YA — В (закон однозначного и неограниченно выполнимого правого и левого деления); X называется правым, Y—левым частным при делении В на А,

Аксиома III равнозначна аксиоме

НГ. В группе ® существуют: 1) (левый) единичный элемент £ такой, что ЕА = А для произвольного А из @, 2) для каждого А (левый) обратный элемент 4一1 такой, что А~ХА = Е (см. также с)).

Число g элементов группы (конечное или бесконечное) называется порядком группы; операция обычно называется умножением, хотя роль группового умножения может играть любая другая подходящая операция, например сложение. Если коммутативный закон АВ = ВА справедлив для произвольных Д, В из ®, то @ называется абелевой группой.

Примеры. Группу образуют, например, перестановки л предметов (для всякой конечной группы существует изоморфная ей (см. 1е) группа перестановок х)). Все целые числа (так же, как и все числовые

')Мы сохраняем здесь терминологию автора (Permutation). В русской литературе употребляется термин 《группа подстановок》. (Прим, ред}

матрицы с т строками и 〃 столбцами) образуют абелеву группу по отношению к сложению как групповой операции; положительные рациональные числа образуют абелеву группу относительно умножения. Вращения, переводящие правильное тело в себя, как и линейные (или только ортогональные) преобразования л-мерного пространства в себя, образуют группу (операция: последовательное выполнение). Группа может быть также определена при помощи чисто формальных правил оперирования (см. пример в Приложении 7, стр. 576).

Всегда имеем АВ^АС и ВА ^ СЛ, если 片千 С Если В пробегает все элементы @, то при фиксированном Л также АВ, ВА и В~1 будут пробегать все элементы группы ®, причем в каждом из этих случаев каждый элемент встретится ровно один раз.

Среднее значение. Пусть функция 尸(/) определена для произвольного элемента Л группы @ (функция на группе), т. е. пусть каждому элементу Л поставлено в соответствие определенное числовое значение 尸(/)• Если группа @ конечна и состоит из элементов 4】,...,/g, то величина

±e尸(4)三±£尸(用=附(尸(4))

называется средним значением функции 尸(/) на @. Имеем: m(尸(4))= m(尸(5/))= m(尸(/5))= m(注7)) АААА

для каждого S из ®.

Изоморфизм. Говорят, что группа ® гомоморфно отображена на группу ®\ если каждому элементу группы @ однозначно поставлен в соответствие определенный элемент группы ⑤'таким образом, что произведению двух элементов из ® соответствует произведение соответствующих элементов из 册.Если это соответствие взаимно однозначно, т. е. если группа О' также гомоморфно отображается на группу 8, то группы @ и @' называются (взаимно) изоморфными (см. также Зс)).

Подгруппы

Всякое подмножество & группы ®, которое само по себе уже образует группу, называется подгруппой группы @.

Если @ представляет собой конечную группу порядка g, то порядок А всякой ее подгруппы § является делителем g: g = hj; число / называется индексом ,，относительно ® (пример см. в Приложении 7, стр. 576).

Каждая группа содержит в качестве (несобственных) подгрупп себя самое и единичную подгруппу, состоящую только из Е. Прочие подгруппы называются истинными, или собственными.

Если среди «степеней» AQ = Et Л1 = Л, A2 = AAt A = AAAt... элемента А группы ® две равны между собой, то существует наименьшее натуральное число k такое, что Ak = E-, это число k называется порядком элемента Л и является делителем g.

Группа, все элементы которой являются степенями одного и того же элемента, называется ицклической и является абелевой группой.

Разложение по подгруппе. Если Ах —Е, Л2,. .., Ah — элементы подгруппы & группы (S, В—произвольный элемент из ®, то элементы

BAt (/=1,2,... , А)

образуют левый смежный класс, или класс вычетов, 8“ а

乂乃(/=1, 2,...,力)

образуют правый смежный класс (класс вычетов $切 группы ® по подгруппе &・

Подгруппа & сама является как левым, так и правым смежным классом. Смежные классы, отличные от &, не являются группами.

Прямое произведение. Группа ® называется прямым произведением двух подгрупп ⑨〔и ®2: ® = ®j X ®2» если каждый элемент ®, перестановочен с каждым элементом ®2 и каждый элемент ® может быть единственным образом представлен в виде произведения элемента ®, на элемент @2; порядок ® равен, следовательно, произведению порядков ⑨〔и ®2.

Пример. Трехмерная полная ортогональная группа G；, состоящая из всех вращений и зеркальных поворотов в трехмерном пространстве (см. также С4), является прямым произведением группы вращений £§ и группы, состоящей из покоя (тождественного преобразования) £ и отражения S относительно нулевой точки. Всегда можно (абстрактно) построить группу, являющуюся прямым произведением двух произвольно заданных групп.

элементов, сопряженных с £, содержит только сам элемент Е. В абелевой группе каждый элемент сам по себе образует класс.

Элементы, принадлежащие к одному и тому же классу, имеют один и тот же порядок. Элемент, обратный элементу, сопряженному с Л, является сопряженным с элементом

Сопряженные подгруппы, нормальный делитель. Элементы, полученные из элементов некоторой подгруппы ⑪ группы ® преобразованием при помощи фиксированного элемента Т из ®, также образуют подгруппу Т^*0T ——одну из подгрупп, сопряженных с ，貝. Сопряженные подгруппы изоморфны. Если подгруппа 位 совпадает со всеми своими сопряженными, т. е, содержит все элементы, сопряженные с любым ее элементом, то § называется инвариантной подгруппой, или нормальным делителем (см. пример в Приложении 7, стр. 576). Подгруппа является нормальным делителем в том и только в том случае, когда она вместе с каждым своим элементом содержит весь класс элементов, сопряженных с ним. Подгруппа индекса 2 всегда является нормальным делителем. Если группа абелева, то нормальным делителем служит всякая подгруппа.

Факторгруппа. Всякий правый смежный класс ,$8 по нормальному делителю & является в то же время левым смежным классом С&. Смежные классы по нормальному делителю & вместе с ним образуют факторгруппу ⑨/&, если произведением смежных классов Л^ и 80 считать смежный класс АВ^. Элементами факторгруппы служат, таким образом, некоторый нормальный делитель и его смежные классы (см. пример в Приложении 7). Порядок факторгруппы равен индексу нормального делителя. Если группа ® абелева, то абелевой будет и всякая ее факторгруппа.

Если каждому элементу группы ® поставить в соответствие его смежный класс по некоторому нормальному делителю, то группа (S) гомоморфно отобразится на соответствующую факторгруппу. Обратно, всякая группа ®\ на которую группа ® может быть гомоморфно отображена, изоморфна некоторой факторгруппе группы ®.

НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ

а) Если элементы Л группы ® могут быть однозначно охарактеризованы л параметрами alt 〃岂，・• •,

5 / (a1，• . • , %) {"1，• . • , ^п} > изменяющимися непрерывно в некоторой области (причем параметры произведения и обратного элемента зависят непрерывно дифференцируемым образом от параметров исходных элементов), то ® называется непрерывной группой. При этом связь между параметрами произведения;

= {рр р2)• • • I Рп}

элемента А на шениями вида

элемент 8= ｛力戸 b* 力〃｝ устанавливается соотно-

Если число п

Pk == Pk (^р 厶，…“，'〃；％ ° параметров конечно, то ® :

2，• • • j а〃)・

называется конечно непре-

рывной (п~параметрической) группой; если же параметров имеется бесконечное счетное множество, то ® называется бесконечной непрерывной группой. Далее, группа ® называется связной непрерывной, если область, в которой могут изменяться параметры,—так называемая основная область G — является связной, и сметанной непрерывной^ если G состоит из нескольких (возможно, из счетного множества) разобщенных частичных областей GH G2,...

Примеры. Действительные ортогональные преобразования л-мер- ного пространства с det © = -|-1 образуют связную непрерывную, с det © = + 1——смешанную непрерывную у л (л——1) - параметрическую^ группу. Ортогональные матрицы, элементами которых служат рациональные числа, образуют бесконечную группу, но не непрерывную группу.

Ь) Элементы, параметры которых имеют мало отличающиеся чения, называются соседними. Элемент изменяется непрерывно, характеризующие его параметры изменяются непрерывно.

зна-если

Элементы смешанной непрерывной группы ®, принадлежащие той частичной области (назовем ее GJ основной области G, которая содержит единичный элемент, образуют связную непрерывную подгруппу группы ® ——ее нормальный делитель. Элементы какой-либо иной частичной области С\ области G образуют смежный класс по этому нормальному делителю; индекс этого нормального делителя равен числу частичных областей Gr основной области С.

с) Среднее значение. Образуем функциональный определитель -

g(4) = g(g, •••>«„) =

О (凸(&4),..., 〃以(ZM))

6 (0口….，a〃)

положим В— Д'1 и dA =

значению ~ V 尸(4) для ко-

в котором (после дифференцирования)

= g(%,…，а,^ах . .. dan. Среднему

нечных групп будет тогда соответствовать среднее значение 尸(4) на непрерывной группе ®

м®(尸(4))=,尸｛A)dA^dA. 4⑨⑸

Этим выражением всегда следует заменять выражение

2⑷

в слу

чае, когда речь идет о непрерывной группе. Функция ^(ап а2> ...,

при образовании среднего значения по %,色，…，％ играет, таким образом, роль весовой функции (см. стр. 396).

Для группы вращений действительного трехмерного пространства (см. стр. 189) будем иметь:

4={恥旬〃1，8= {%%%}, АВ={ъ1)х1оуъ1)г}.

При этом получим: g(〃M』z)=(i +%2 •

ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Общие сведения относительно представлений группы

Всякая группа ЭЛ конечных квадратных матриц (или линейных подстановок) с не равным нулю определителем, на которую может быть гомоморфно отображена (см. Ale) данная абстрактная группа ®, называется представлением группы ®. Каждому элементу А группы 8 при этом однозначно соответствует матрица 欢(/)=(加我(/)) группы 2)t таким образом, что произведению АВ двух элементов Л и В из ® соответствует произведение матриц, соответствующих этим элементам: 9Jl(/)SR(q)= SR(/8). Порядок Л матриц из 2)1 (число переменных линейной подстановки) называется степенью, или размерностью, представления. Если соответствие взаимно однозначно, т. е. если группи @ и ЭЛ изоморфны, то представление 2)1 называется точным. Всякое представление группы ® является точным представлением некоторой ее факторгруппы; элементы, поставленные в соответствие единичному элементу представления (им всегда служит единичная матрица), образуют в группе @ соответствующий нормальный делитель.

Эквивалентность, характеры. Если каждую матрицу представления 9Л подвергнуть преобразованию с помощью одной и той же матрицы Т (см. стр. 290), т. е. в пространстве, где действуют линейные подстановки, соответствующие матрицам представления 2)1, выполнить аффинное преобразование Т, то получим представ- ление 9ЛГ= Т^'ЗЛТ, эквивалентное представлению ЭЛ. Эквивалентные представления не считаются существенно различными.

Характером представления ЯЛ называется функция

X(4)= Ьи (4)= Sp (ЗЯ (4)) = &4 加館4)

матриц 2)1 (Л). Для сопряженных элементов группы характер принимает одно и то же значение:

Х(4) = %(8-%8);

он зависит только от класса элементов, сопряженных с 4, т. с. является функцией, определенной на множестве классов.

При линейном преобразовании представления ЗЯ характер не изменяется. Имеет место предложение:

два представления эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им характеры совпадают для всех элементов группы.

Приводимость. Из двух произвольных представлений 3)^ и ЗЯ2 одной и той же группы @ (с размерностями 力】и й2) можно получить новое представление, объединяя матрицы SJij (Л) и ЗЛ2 (Д), которые соответствуют элементу А группы @)в одну клеточную матрицу

порядка /г】十

Всякое представление группы ®, которое эквивалентно представлению такого вида и, следовательно, может быть получено при помощи объединения двух других представлений группы @ и линейного преобразования, называется приводимым. Представление, не являющееся приводимым, называется неприводимым. Разложение приводимого представления на неприводимые представления осуществляется с точностью до порядка и эквивалентности единственным образом.

Критерии: а) Если существует матрица 泌，не кратная единичной матрице:泌抬入(£ ни для одного X, и если матрица S3 перестановочна со всеми матрицами представления

犯3h (人)=班(儿)泌，

то представление ЭЛ приводимо.

Р) Если для ("', Л)-матрицы 2S и всех матриц двух неприводимых представлений ЭЛ и 2)У имеем:■

2В»Л(А)=竅'(4)23, v=l, ..„ g,

то либо представления SD1 и ЭЛ' эквивалентны, либо ЗВ есть нулевая матрица {лемма Шура}.

у) Для характера представления GI имеем:

А1(|хИ)|2)А1(|хИ)|2)=1) если ЭЛ неприводимо,

А1(|хИ)|2)

А1(|хИ)|2)

>1, если ЭЛ приводимо.

Унитарные представления. Для всякого представления группы ® I) существует эквивалентное ему представление, состоящее только из унитарных матриц (см. стр. 172) (унитарное представление). Эквивалентные унитарные представления всегда могут быть унитарно преобразованы одно в другое. Достаточно поэтому рассмотреть неприводимые унитарные представления группы, чтобы получить обзор всех ее представлений.

】)Конечной. {Прим, ред)

2. Основные теоремы о представлениях

а) конечных групп

(пример см. Приложение 7, стр. 576)

Для конечной группы ® порядка g, элементы которой образуют с различных классов сопряженных элементов, существуют ровно с попарно неэквивалентных неприводимых представлений с размерностями 力口 ..., йс. Размерности йг являются делителями g, причем:

Если эти представления 2К") (/=1， 2, ... , с) элементов Аг (г = 1, 2, ..., g) унитарны (что всегда может быть достигнуто соответствующим преобразованием), то имеют место следующие соотношения ортогональности.

Пусть (加疆(/))•—матрица неприводимого унитарного представления 9Л“)； тогда имеем：

-X硏2(4)(畤2⑷)* н y互&，瓦屮，

目A‘

т. е. это среднее значение отлично от нуля лишь в том случае, когда / = /', » = »', k = k'. Векторы 唬)(Z = 1, 2, . .. , с), число которых равно g, с компонентами

(吗),=哪⑷

образуют полную эрмитово-ортогональную нормированную систему векторов g-мерного пространства (которая, вообще говоря, изменяется при переходе к эквивалентному представлению).

Если из каждого из с классов группы ® выбрать по одному элементу В、，Вс и если hk есть число элементов, сопряженных с элементом 终， то для характеров неприводимых представлений ЭЛ⑴，ЭК© имеем:

12产⑷（疋‘）h））*=e产（线）

5 4次二1 5

т. е. векторы т“)с компонентами

образуют полную эрмитово-ортогональную нормированную систему векторов f-мерного пространства.

Для характера % произвольного (приводимого) представления Wt группы ®, составленного из неприводимых представлений (см. 1с)

*2") (возможно, линейно преобразованных) так, что представление 9П")встречается в 断 ql раз, имеем:

X (勺)=(8Q 伊 1,・.

Числа 9[ (и тем самым в существенном разложение представления 9Л), таким образом, определены однозначно. Имеем:

g，= ^£x(Q8‘>(4))*

и, далее,

1%(4)『=£д；・

Если 9Л；),SR^^ и 扌员⑴，…，亚&) — полные системы неприводимых представлений соответственно групп ®t и @2> то сгс2 матричных групп ЭЛ体 *)=亚陋)X 9Л?),月=1,…с^ /=1, .. q, которые состоят из всех матриц ЭЛ他 *)(4) = 9Л，)(4) X 9J??)(4), образуют полную систему неприводимых представлений прямого произведения

@=®1Х@2.

0) произвольных групп

Формулы, справедливые для представлений произвольных групп,

мости 」£g ,4мости 」£g ,4получаются из формул, указанных в а), заменой в случае необходи

мости 」£g ,4

мости 」£g ,4

средним значением М. Вообще, для двух неприводимых

представлений ЭЛ' и 9Л" произвольной группы @ с размерностями 力' и 力"имеют место следующие соотно1иения, в которых 8 означает фиксированный элемент из @:

(О,小嗚⑷暇仁吁旧…⑻,(О,小嗚⑷暇仁吁旧…⑻,если ЭЛ' неэквивалентно 9Л", если 93Г эквивалентно 93Г.если ЭЛ' неэквивалентно 9Л", если 93Г эквивалентно 93Г.

(О,

小嗚⑷暇仁吁旧…⑻,

(О,

小嗚⑷暇仁吁旧…⑻,

если ЭЛ' неэквивалентно 9Л", если 93Г эквивалентно 93Г.

если ЭЛ' неэквивалентно 9Л", если 93Г эквивалентно 93Г.

В общем случае аналогично этому будем иметь, если *' и %"——характеры соответственно 9JT и ЭЛ":

拆⑷Х3" 〃働

если ЭЛ' неэквивалентно 5Щ", если ЭЛ' эквивалентно 2ЛТ и, значит, х' = х”，

и если (приводимое) представление Ш1 содержит q' раз неприводимое представление то

Далее, если в представлении 501 встречается лишь конечное число различных неприводимых представлений ЭЛ⑴，...,ЭЛ⑺，то

А1(хИ)хИ_1))= Л1(1хИ)|2)= £ 4

D. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ

Группы вращений и их представления

п-мерная полная ортогональная группа 0； содержит все по

вороты и зеркальные повороты (все действительные ортогональные

преобразования с определителем d=l или d =——1) «-мерного пространства (см. стр. 189). ©п есть смешанная непрерывная —(л——1) «-параметрическая группа. Основная область G состоит

из двух отдельных частей, соответствующих d = l и d =——1. Подгруппа вращений (d =十 1)——п-мерная группа чистых вращений ®п —— является нормальным делителем индекса [©„:©„] = 2 в группе

〃 = 2. Элементы Ad (ср) группы 0： задаются при помощи 厶壮(屮)：

°V 屮 <2% d = ±l；°V 屮 <2% d = ±l；л J x' = xd cos Sina, d a I у = x sin(P 十歹 cos 平

°V 屮 <2% d = ±l；

°V 屮 <2% d = ±l；

屮 представляет собой угол поворота. Имеем:

4⑺4⑺=4s依十屮)；

группа ©2 является поэтому неабелевой, в то время как однопараметрическая связная непрерывная группа 0尸 состоящая из всех Ai (屮)，является, напротив, абелевой. Каждый класс сопряженных элементов группы ®2 либо состоит из двух элементов Ах (ср) и Ах (——屮)， либо состоит из всех элементов А_х (tp).

Весовой функцией при образовании среднего значения (см. стр. 293) служит g (у) = 1:

2л2H

，，尸⑷dA =-为/尸(&⑺)%=4上_ J尸(4 (*4⑺)%

для каждого фиксированного At (ср) из S)；,2 л2 лдля каждого фиксированного At (ср) из S)；,2 л2 л®2ОО®2ОО

для каждого фиксированного At (ср) из S)；,

2 л2 л

для каждого фиксированного At (ср) из S)；,

2 л2 л

®2ОО

®2ОО

для каждого 屮・

Все неприводимые представления двумерной группы чистых вращений £岂 одномерны и даются формулой

亚(m)(4(中))=(/勺 при /=0, 土 1, 土2,…

Соответствующие соотношения ортогональности совпадают с таковыми для разложения Фурье (см. стр. 94).

Полная система неприводимых представлений двумерной полной ортогональной группы S)； дается посредством:

9Jt(4 (①))=⑴ (тождественное представление),

训。＞(&(《))=(&)

/n = 1, 2,...

л = 3. Всякое вращение Л из 5)3 может быть составлено из вращения Л (0, 0, у) вокруг оси z (угол поворота у), вращения Л (0, р, 0) вокруг (новой) оси х (угол поворота р) и вращения Л (0, 0, а) = Л(а, 0, 0) вокруг (новой) оси z (угол поворота а):

厶(а,氏 丫)=厶(％ 0, 0)Л(0, р, 0) Л (0, 0,卄

а, р, 丫 представляют собой три так называемых эйлеровых угла. Достаточно поэтому указать элементы матриц неприводимых представлений вращений Л (а, 0, 0) и Л (0, 0, 0): / = 0, 1, 2,...

т^ (Л (а, 0, 0)) = eira8rs; г, s = — /, —/十1,/ —1, /.

噌⑷。，匹。））=?一У年嘉中寻三X

X (cos 訂宀-…(sinr, S, как внте.

Вращения на один и тот же угол 8 (см. стр. 189) принадлежат к одному и тому же классу.

Представления и характеры групп перестановок

л! перестановок л предметов образуют так называемую симметрическую группу 附万 л-й степени.

Символом (г” 尸含,...,尸舟)обозначают перестановку 々 элементов г】,...,尸舟,которая переводит rt в rz+1 (/=1,...,々—1) н 尸舟 в 广】 {цикл). Всякая перестановка допускает разложение на циклы:

尸=（；',：：二:f）=⑴也…/）（% •••力№…）,…,

если j、переходит в 1,人 переходит в ^, ... и если 々 не встречается в первом цикле, / не встречается в обоих первых циклах и т. д.

Например, перестановка, переводящая (24351) в (42513), имеет разложение Р=(135)(24). Она же переводит (12345) в (34521). Если при таком разложении перестановки Р на циклы получается 入左 циклов, содержащих каждый по k цифр (々 = 1, ..., п), то система чисел (入[,入2， К) характеризует тип перестановки Р. В группе перестановок взаимно сопряженными являются все перестановки одного и того же типа, и только они. Поэтому каждому разложению числа я на положительные слагаемые (partitio numerorum), т. е. каждой системе чисел Z], ... , 2抬,%•№, удовлетворяющей уравнению N] + 2?2 + • • • + 厶？〃 = 〃, соответствует в симметрической группе $п в точности один класс сопряженных элементов и в точности одно неприводимое представление группы % (и обратно).

Важнейшие неприводимые представления, которые соответствуют разложениям ? +(〃 ——v) =п и 1Ц-1Ц-...Ц-1Ц-2Ц-..,Ц-2 = п, можно получить, например, следующим образом. Пусть хи ..., хп— переменные, принимающие лишь два значения:十1 и——1. Полная ортогональная система в пространстве 尤力 состоящем из 2" точек, дается системой 2" функций:

"/2 ♦ ■ ♦"/2 ♦ ■ ♦

"/2 ♦ ■ ♦

"/2 ♦ ■ ♦

Умножив каждую из (?二〔) функций (у——1)~го ряда (> = 0, 1,...

лп —- 1、

или ——J на сумму тех переменных из числахл,

перь определить ещеперь определить ещекоторые в нее не входят, получим [ —〔丿 линейно независимых линейных комбинаций функций v-ro ряда /п ..., Л л 、. Мы можем те-

перь определить еще

перь определить еще

—I 1 дальнейших линейных ком-

бинаций этих функций, которые будут линейно независимы как между собой, так и от f-. Если Apg(%[,...,尤门)означает функцию, получаемую из g применением к переменным перестановки Р, то спра* ведливо равенство

АР^(片，...，х“)= £ 崛)(Pg,・(x” …，％)

при 论=1,4・ Матрицы (加 £? (Р)) = 9№)(Р) образуют неприво

димое представление 911卜)группы фл, соответствующее разбиению

п?--1п?--1? + (〃一 v)= п; размерность 9Л^> равна 4=(；

п

?--1

п

?--1

Неприводимое представление, соответствующее разложению 〃 на v двоек и п ——2v единиц, получим, умножая на——1 матрицы представления ЭЛ” соответствующие нечетным перестановкам.

Характер ^ (Р) представления ЗЛ“)(Р) для v = 0, 1,2,.. ., у или п — 1卢

——может быть получен из тождества

(1 —X)(1 + 工六(1 + X» (1 + X”声=2 少)(Р) X*

7 = 0 если (｝〔, . . ., Хп)——тип Р.

В общем случае характер %(廿】，• • •，卩冷 неприводимого представления, соответствующего разложению 从】 十 从？十.… 十 从以=〃 (все %. №), получают, образуя определитель

Ф(И1®)= det(p收_『+々(匕У,);

при этом Ру (匕，..., 工)для v=l, 2, . . . означает сумму всевозможных произведений степеней п переменных У】,..., 工, причем степень каждого произведения равна у：

= 2疗疗…措по всем卩1十也十.•. 十 h = v,Р声0,

и Pq = 1, р_] =р_2 =・・.=0. ф(1，・-，“п), будучи симметрической функцией от Fj, . . ., Yn) допускает разложение по степеням степенных сумм % =声夕十…十 %； ПрИ этом получаем:

那у户"…'鹏Р)

ЛО всем Р из $n 1"%! z'"%!…/2% В

если Р имеет тип .., Ап).

Группы симметрии (кристаллы)

Совокупность всех операций наложения или конгруэнций, т. е. преобразований г—► г\ переводящих в себя с сохранением всех расстояний и углов некоторый геометрический образ, состоящий из точек, линий, поверхностей и т. п., образует группу Я, называемую группой симметрии (данного образа).

Образ называется 々-кратно периодическим, если в группе Я' содержатся k линейно независимых трансляций'.工'=工十勺‘.Группа 代 в этом случае является бесконечной. Совокупность всех трансляций, содержащихся в 陡,образует инвариантную подгруппу ®. Операции из @ переводят произвольную точку в случае 々=1 в цепь точек^ в слу* чае 々 = 2^—в сеть точек, в случае 々=3 ——в решетку точек (решетку Браве). Группы симметрии в соответствии с этим называются цепными (Kettengruppen), сетчатыми (Netzgruppen) или пространственными. Подгруппа ® и ее смежные классы образуют факторгруппу 好=阳0 — точечную группу, изоморфную группе симметрии.

В непериодическом случае (总=0)轡 идентична с R. Группа 窗 тогда может быть построена из вращений 6П и инверсионных вращений Зп или зеркальных поворотов @п (см. стр. 190). Оси вращений и плоскости отражений называются элементами симметрии. Они все проходят через общий центр. Для того чтобы группа 密 была конечной, элементы должны иметь конечный порядок и определенное взаимное расположение.

Группу 密 характеризуют при помощи элементов, достаточных для ее построения; эти элементы могут выбираться различным образом из совокупности имеющихся элементов J).

В периодическом случае (总千 0) для построения группы 密 могут применяться также винтовые перемещения g〃 и скользящие отражения 0. Рассматриваемые как образующие элементы факторгруппы 齊,они являются циклическими. Они не обязательно должны иметь общий центр. Их возможные трансляционные составляющие и относительные положения определяются группой трансляций ®. При 总=2 или 3 порядки элементов симметрии могут быть равны только п = 1, 2, 3, 4, 6.

Этот случай представляет особый интерес ввиду того, что трижды периодические функции реализуются в природе как распределения масс и зарядов внутри кристаллов. Симметрия кристаллов проявляется как в относительном расположении их естественных граничных поверхностей, так и во многих физических свойствах. Их периодичность ясна уже из наличия встречающихся у них элементов симметрии с л = 1, 2, 3, 4, 6. При помощи макроскопических наблюдений, од- нако, невозможно ни установить тип соответствующей кристаллу решетки Браве (т. е. тип группы трансляций ®), ни отличить оси вращений ⑤ от осей винтовых перемещений ① или ——плоскости отражений 0 от плоскостей скользящих отражений 0. Поэтому различные кристаллы классифицируют вначале, не принимая во внимание таких отличий, в результате чего получаются 32 кристаллографических класса. Каждый такой класс означает точечную группу^ образованную так, как если бы существовали только некоторые (£〃 и @п с общим центром. Наименования классов и соответствующие им символы связаны с их элементами симметрии или с известными симметричными формами: Dn — /z-кратный диэдр (D& = У), Т—тетраэдр, О—октаэдр.

В таблице на стр. 302 и следующих указаны различные номенклатуры такого рода. Элементы, характеризующие группу, обозначаются: для системы Шенфлиса — S, Викоффа — % Германа и Могэна — Н、Ниггли в случае расхождений с тенфлисовской — N. Заключенное в скобки ", так же как и заключенные в скобки составные части символов, означают те элементы, без которых можно обойтись при построении точечной группы, но которые полезны при полном обзоре пространственных групп.

Обзор 32 кристалле

Порядок точечной группы

Наименование по Грогу

Наименование по номенклатуре Федоровского института (1935 г.)

Шенфлис (Ниггли)

Гемиэдрия, 1

Голоэдрия, 2

Гемиэдрии: 2

Моноэдрический (triklin pedial)

Пинакоидальный (triklin pinakoidal)

Диэдрический безосный (monoklin domatisch)

Т р н к Примитивный

Центральный

М о н о к

Плакал ьный

л и н н а я

С, 邑©)

л и н и а я &五&)

2

Голоэдрия, 4

Гемиэдрии: 4 4

Голоэдрия, 8

Тетарто- эдрии:4

4

Гемиэдрии: 8

8

8

8

Голоэдрия, 16

1) Исходя из ского института,

В столбце《!

ниям Грота (п(

Диэдрический осевой (monoklin sphenoidisch)

Призматический (monoklin prismatisch)

Ромбо-пирамидальный

Ромбо-тетраэдрический (rhombisch dispheno- idisch)

Ромбо-дипирамидальный

Тетрагонально-тетраэдрический (tetragonal disphenoidisch)

Тетрагональнопирамидальный

И. Тетрагонально- дипирамидальный

Тетрагонально- скаленоэдрический

Дитетрагонально- пирамидальный

Тетрагонально- трапецоэдрический

Дитетрагонально- дипирамидальный

интересов читателей, мы установленной в 1935 г., и Наименование по Гроту》м кледние в случае несов

Аксиальный

Планаксиальный

Р О М б 1 Планальный Аксиальный

Планаксиальный

Т е т р а г о 1 Гироидо-прими- тивный

Примитивный

Центральный

Гироидо-планальный

Планаксиальный

Аксиальный

Планаксиальный

сочли возможным допе символы классов по II ы даем наименования падений указываются

G

С%к

1 ч е с к а я С?р

DmNQ а л ь н а я

S,

С

Sz(% 勿)

队

мнить настоя [убникову.

по номенкла в скобках).

графических классов 】)

волы

Элементы симметрии

Примечания

Викофф

Герман— Могэн

Шубников

Центр

х-направ- ление

у-направ- ление

z-направ- ление

С И

匚 т e м a

1С

1

1

-

-

—

—

1G

2

—

—

с и

二 т e м

2c

m

m

—

—

—

©WH

2c

2

2

—

—

—

2G

2/m

2:m

—

—

%叫尹

с и

с т e м

a

2е

min

一

党叮

2。

22(2)

2:2

—

吟S/

管

По одному Х-, у- и z-на-

правлению, все

2D/

mm/n

m•2:加

扌;0H

岱严,М

углы 90°

с и

с т e м

a

4c

4

4

—

—

—

w了/ =行：

4c

4

4

—

—

—

党S/

Два х-направления

4a

4/m

4:m

—

под 90°, два такие же у-направ-

4d

4m⑵

4*m

一

6sM ")

ления, Z (^)= =45°, одно

содержит ©^

^-направление,

4e

4m (m)

4•m

—

^SWH

目

перпендикулярное К X и 5».

4。

42(2)

4:2

—

仅5/

4Di

4/mm(m)

zn・4：zn

①:匕行"

区切

6：叫 G"

щую таблицу, включив в нее наименования классов по номенклатуре Федоров-

туре Федоровского института, установленной в 1924 г., близкие к наименова- (Прим. peg

Порядок точечной группы

Наименование по Грогу .

Наименование по номенклатуре Федоровского института (1935 г.)

Шенфлис (Ниггли) 1

Тетарто-

Р О

16. Тригонально-

мбоэдричесв Примитивный

а я (и л и &

эдрия: 3

Гемиэдрии: 6

пирамидальный

17. Ромбоэдрический

Центральный

気（以•）

6

18. Дитригонально-

Планальиый

6

пирамидальный

19. Тригонально-

Аксиальный

4

Голоэдрия, 12

трапецоэдрический

20. Дитригонально-

Планаксиальпый

S®“(2d)

Тетарто-

скаленоэдрический

21. Тригонально-

Гексагон

Гироидо--

а л ь н а я

&万

эдрии: 6 6

дипирамидальный

22. Гексагонально-

примитивный

Примитивный

С.

Гемиэдрии: 12

пирамидальный

23. Гексагонально-

Центральный

Ga

12

дипирамидальный

24. Дитригонально-

Гироидо-

4.

12

дипирамидальный

25. Дигексагонально-

планальный

Планальный

12

пирамидальный

26. Гексагонально-

Аксиальный

а

Голоэдрия, 24

трапецоэдрический

27. Дигексагонально-

Планаксиальный

Тетарто-

дипирамидальный

28. Тритетраэдрический

К у б и ч е с Примитивный

кая (или Г

эдрия, 12

Гемиэдрии: 24

(tetraedrisch-dodekaedrisch) 29. Дидодекаэдрический

Центральный

Th

24

(dyakis-dodekaedrisch)

30. Гексатетраэдрический

Планальный

Q

24

31. Триоктаэдрический

Аксиальный

О

Голоэдрия, 48

(pentagon-ikositetraedrisch)

32. Гексоктаэдрический

Планаксиальный

Продолжение

волы

Элементы симметрии

Примечания

Викофф

Герман— Могэн

Шубников

,,х-направ-

НентрЛенИе

у-направ- ление

z-направле-

т р

лгональн

а я)

с н с т e

м а

зс

3

3

—

—

—

@尸

за

3

6

—

—

??=&:，

содержит

3*加

⑤产

Три х-направления

Зе

3m

^SWH

危％

под 60°, одно ^-направление,

3。

32

3:2

一

—

嗽"

перпендикулярное к ним

3Di

3m

6//1

?w

содержит 应产

с и

г т е м

a

6с

6

3:加

—

—

—

中=管65

6С

6

6

—

—

—

(5严

6&

6/т

6:团

—

—

区了% gSH

Три х-направлепия

6d

6m (2)

m • 3:加

一

优UZ⑴

彦曰

建"=优后5

под 60°, три таких же у-направ- ления, / (ау)=

бе

6m (m)

6・m

^SWH

值切

麓师

= 30°, одно z-направление,

6。

62⑵

6:2

—

0切

嚟力

перпендикулярное ко всем %, у

602

6/mm(m)

m・6：m

評

芯:匕e日

岱2,①（用

Р е

гуля

р н a

3) с и

с т е м a

Г

23

3/2

应了"

—

Три х-направления (ребра куба), шесть

77

m3

6/2

& содержит

V-направлений (диа

彦SH

评"

гонали граней), че

Те

43(m)

3/4

—

货，

您 SVT（"）

砂

тыре ^-направления (простран стве иные

содержит

диагонали). Углы: xx/:90°;v>',：60o,

峻

0

43⑵

3/4

—

晩"

色切

应严

90°； zzF 〜109,5。, cost = — 1/3； xy: 45°, 90°; az:% т； yz: 90。一 ％t，90°

01

m3m

6/4

吟匕驴

匾，е日

*, содержит

306

Решетки Враве

1Х・ ТЕОРНЯ ГРУПП

Название и символ

д2

ь»

户

(m)

S)

Симмет-

Кристаллографические оси

1. Кубическая примитивнаяГс

а

а

а

—

—

ОЛ

а, Ь, С

2. Кубическая гранецентрированная F；

а

а

а

а/2

а/2

а/2

а

一fl + b + C, Q - b + C, Q + b 一С

3. Кубическая объемноцентрирован- наяГ：

а

а

а

—а/3

—а/3

-а/3

оЛ

Ь + j с +а, а +Ь

4. ГексагональнаяГЛ

а

а

р

—а/2

&儿

а, Ь, с (— (а + Ь))1)

5. РомбоэдрическаяГм

а

а

а

°鼠

Ь — с, с — а, 口十 b 十 с

6. Тетрагональная примитивная Г,

а

а

р

—

一

q4儿

а, Ь, с

7. Тетрагональная объемноцеитри- рованнаяГ；

а

а

а

—а — 2р

D4儿

b+з с + а, а + b

8. Ромбическая примитивнаяГо

а

В

Y

—

一

2儿

а, Ь, с

9. Ромбическая базоцентрированная Г*

а

а

—

—

Y

%

а 一 b> а + Ь, с

10. Ромбическая гранецентрированнаяГ^

В + Т

丫 + а

а + Р

а

р

Y

D2儿

—口 + b + с, q— Ь + за+Ь — с

11. Ромбическая объемноцентриро- ванная「［

а

а

а

Y

—(а + В + т)

4儿

Ь+j с + а, а +b

12. Моноклинная примитивнаяГт

а

р

Y

3

Q

а, Ь, с

13. Моноклинная базоцентрированнаяГ*

а

а

р

Y

Y

8

%i

а + Ь, о 一 h с

14. Триклинная%

т

3

E

С

С

,а, Ь, с

1) В гексагональной системе не существует трех векторов, пригодных для простого изображения полной симметрии. Если ввести еще четвертый, избыточный вектор Ь'=——(а + Ь), то все операции симметрии могут быть с удобством представлены как перестановки векторов а, Ь, Ь' между собой с одновременной переменой знака а, Ь, Ь' и, независимо от этого, знака с.

Кристаллографические классы в зависимости от симметрии допустимых для них решеток Браве разделяются на семь кристаллографических систем). При этом класс, для которого решетка Браве обладает полной симметрией, называется голоэдрическим, класс, порядок которого вдвое или вчетверо меньше, называется гемиэдрическим, соответственно тетартоэдрическим.

Решетки Браве задаются тремя векторами t = a, t2 = Ь, 彳=£： г0==/а wb Ц- п с с целыми /,步,п.

Они подразделяются на 14 классов, в соответствии с их симметрией (см. таблицу на стр. 306).

На основе более тонкого анализа возможна дальнейшая классификация, подразделяющая каждый кристаллографический класс на некоторое число различных структур. Они различаются при помощи соответствующих им решеток Браве, а также благодаря различию между (^ и (£ или между ® и @ и различию в положении этих осей и плоскостей. Это дает в целом 230 возможных структур (так называемых пространственных групп), которые распределяются по классам следующим образом.

Кубическая система:

3

0

Th

Г

4

4

2

3

2

4

2

2

2

1

2

2

2

2

2Всего 36

Тетрагональная система:

D&h

А

&力

&

S«

Г,

16

8

8

8

4

4

1

Г；

4

2

4

4

2

2

1 Всего 68

Гексагональная система:

06力

А

以0

2力

С

C*h

ГЛ

4

6

4

4

2

6

Всего 27

4. Ромбоэдрическая

система:

D艮

2

Gd

Cs!

Гл

4

6

4

1

3

2

1

2

1

1

Всего 25

5. Ромбическая система:

3/1

『

16

4

bo

Г；

6

2

7

Г：

2

1

2

г；

4

2

3

—

Всего 59

6. Моноклинная система:

点

Q

a

4

2

2

Г；

2

2

1

Всего 13

7. Триклинная система:

2

1