Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Э.И.ГРИГОЛЮК
В.И.ШАЛАШИЛИН
ПРОБЛЕМЫ НЕЛИНЕЙНОГО АЕ ① ОРМНРОВАННУ
МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ
ПО ПАРАМЕТРУ
В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
i
МОСКВА “НАУКА”
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1988
ББК 22.251
Г83
УДК 539.31
Грйголюк Э.И., 1П а л ашилин В.И. Проблемытлинейногоде* формирования: Метод продолжения решения по параметру в велинейных задачах механики твердого деформируемого тела. — М.: Наука. Гл. ред. физ.^мат. лит., 1988. - 232 с. ISBN 5-02-013800-2
С точки зрения метода продолжения решения по параметру проведена систематизация существующих решений с использованием шаговых процессов по пгфаметру. Построены модификации метода, реализующие единообразный 1фоцесс продолжения в ре- хулярных и предельных точках множества решений, и их обобщения на нелинейные краевые задачи. На основе этих методов даны алгоритмы решения задач больших прогибов, упругих арок и больших осесимметричных прогибов оболочек вращения, которые использованы для исследования больших прогибов круговых арок и панелей торообразных оболочек. Использование продолжения решения по геометрическому параметру проиллюстрировано на примере задач о собственных колебаниях и устойчивости параллелограммных и трапециевидных в плане мембран и панелей.
Для научных работников, инженеров, аспирантов и студентов старших курсов, работающих в области механики твердого деформируемого тела.
Табл. 3. Ил. 86. Библиогр. 547 назв.
Рецензенты: член-корреспондент АН СССР И.И. Ворович, доктор физико-математических наукЛ,С Кравчук
1703040000-045Г 053 荷 88~ISBN 54)2-013800-21703040000-045Г 053 荷 88~ISBN 54)2-013800-282-8882-88© Издательство "Наука'?.
1703040000-045
Г 053 荷 88~
ISBN 54)2-013800-2
1703040000-045
Г 053 荷 88~
ISBN 54)2-013800-2
82-88
82-88
Главная редакция физжко-математической литературы, 1988
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ. 5
ВВЕДЕНИЕ. . . ；•・・：・• 7
ВЛ. Две формы метода продолжения решения по параметру 12
В.2. Проблема выбора параметра продолжения и ее связь с поведением решения в окрестности особых точек. . • * ・； ♦.•；..••17
Глава 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФОРМЫ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ 24
Обобщенные формы непрерывного продолжения решения 24
Обобщенные ф°рмы дискретного продолжения решения 34
Примеры применения различных форм метода продолжения решения 43 L4. Оптимальный и близкие к нему параметры продолжения решения53
Формы метода продолжения решения с частичной оптимизацией пгфамет- ра продолжения . . 60
Глава 2・ ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТЯХ ОСОБЫХ ТОЧЕК 64
2」・ Классификация особых точек ..64
Простейшая форма уравнений разветвления； 69
Простейший случай ветвления gang (Ze) em - 1) 74
Случай ветвления, когда rang (/°) = m - 2 77
Г лава 3. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬ
НЫХ УРАВНЕНИЙ 83
Непрерывное продолжение решения в нелинейных одномерных краевых задачах ' 84
Дискретное продолжение решения в нелинейных одномерных краевых задачах. . . •-：・・87
Дискретная рртЪгональная прогонка 91
Алгоритмы непрерывного и дискретного продолжения по параметру решения нелинейных одномерных краевых задач. . . . ； 98
Глава 4. БОЛЫВИЕ ПРОГИБЫ АРОК И БОЛЬШИЕ ОСЕСИММЕТРИЯ-
НЫЕ ПРОГИБЫ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ 106
4・1. Большие упругие прогибы плоских арок в своей плоскости. 106
Устойчивость нерастяжимой круговой арки под равномерным давле
113113нием
113
113
4.4.4.4.116124132138116124132138Or Алгоритмы метода продолжения решения по Шфаметру для болыиих про- тябов круговой аркит Большие прогибы круговой ярки при взаимодействии с жесткой полу-
4.4.
4.4.
116
124
132
138
116
124
132
138
л *
45 Уравнения больших осесимметричных прогибов оболочек вращения
Тороидальная оболочка кругового сечения под равномерным внешним давлением.
Глава 5. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В ЗАДАЧАХ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК, ФОРМА КО
ТОРЫХ ОТОБРАЖАЕТСЯ НА КАНОНИЧЕСКУЮ 147
Общая формулировка метода продолжения по параметру в задачах на собственные значения 148
Собственные колебания параллелотраммной в плане мембраны 153
Собственные колебания трапециевидной в плане мембраны 162
Задачи на собственные значения для однородных и трехслойных пластин и сферических панелей параллелограммной и трапециевидной формы в. плане. Мембранная аналогия 165
Решение методом возмущений для п^аллелотраммной в плане мембраны 167
ПРИЛОЖЕНИЯ 176
ОБЗОР РАБОТ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ в НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА 176
Общая формулировка метода продолжения решения по и帆аметру176
Продолжат решения в окрестности особых точек и проблема выбора параметра продолжения 179
Различные формы метода продолжения решения 182
Применение к геометрически нелинейным системам 185
Использование метода продолжения совместно с методом конечных элементов. 190
1・6. Метод продолжения в физически нелинейных задачах 193
Сравнение различных форм метода продолжения 194
П. НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВv^^. ・.・・・・・・.196
201228201228СПИСОК "ИТЕРАТУ1Ы, ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
201
228
201
228
ПРЕДИСЛОВИЕ
Интерес к нелинейньтм задачам в механике подкреплен и усжлен сейчас теми возможностями, которые предоставили вычислительные машины. В этих условиях актуально создание таких методов решения, которые могли бы быть применены к возможно более широкому классу задач. .Один из таких классов образуют нелинейные задачи с параметром. Для них, как правило, существен вопрос об изменении решения по мере юме- нения параметра. Поэтому метод продолжения решения по параметру для них представляется естественным и в определенной степени универсальным инструментом исследования. В настоящей книге изложен опыт и результаты применения этого метода к близкому авторам классу нёЛиней* ных задач механики твердого деформируемого тела.
Во Введении представлены две формы метода: непрерывное продолжение, основанное на интегрировании задачи Коши по параметру с помощью явных схем, и дискретюе продолжение, реализующее шаговые процессы по параметру с итерационным уточнением решения на каждом шаге. Здесь же обсуждаются трудности, возникающие при продолжении решения в окрестности особых точек, и ставится проблема выбора параметра продолжения.
В главе 1 построены обобщенные формы метода, обеспечивающие единообразие процесса продолжения решения в регулярных и предельных точках множества решений. Показано, что проблема выбора параметра связана с решением линеаризованных систем уравнений традиционным методом исключения и что она не возникает при использсжании для этого метода ортогонализации. Показано также, как строить процесс продолжения решения, чтобы линеартзованные системы были максимально обусловленными, и как выбирать оптимальный в этом смысле параметр продолжения. Здесь, рассмотрены примеры применения метода к таким модельным задачам, как пологая арка и трехстержневая ферма.
Глава 2 посвящена анализу поведения решения в окрестности особых точек на основе разложения решения в ряд Тейлора по обобщенному параметру в окрестности особых точек. Построена простейшая форма уравнений разветвления и рассмотрен простейший случай ветвления, когда оно происходит в двумерном подпространстве пространства переменных М па*
5
раметра, а также проведен анализ ветвления в трехмерном подпространстве.
В главе 3 рассмотрены нелинейные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Использованж метода прогонки для решения линеаризованных краевых задач позволило отобразить функциональное множество решений нелинейной задачи на кривую в векторном пространстве малой размерности, а это, в свою очередь, дало возможность обобщить методы гл. 1 на нелинейные краевые задачи.
В главе 4 методы гл. 3 использованы для построения решений в задачах о больших прогибах арок и больших осесимметричных прогибах оболочек вращения. В частности, приведены результаты численных расчетов для круговых арок и круговых торообразных панелей.
В главе 5 рассмотрен пример применения метода продолжения решения по параметру в задачах устойчивости и колебаний пластин и оболочек, имеющих неканошгюскую форму в плане, отклонение которой от канонической (прямоугольник, круг и тл.) определяется некоторым параметром. Задача рассмотрена на примере колебании мембран параллелограм- мной или трапециевидной форм. С помощью мембранной аналогии результаты обобщены на задачи колебаний и устойчивости плоских и пологих сферических панелей. В такого рода задачах часто применяется метод возмущений. Поэтому проведено сравнение методов возмущения й продолжения решения по параметру.
В Приложении I дан обзор исспедований^в которых метод продолжения решения по параметру непосредственно использован для решения нелинейных задач механики твердого деформируемого тела, а также тех работ, где использовались шаговые процессы построения решения, которые могут быть отнесены к той или иной форме этого метода.
Прт выборе степени общюсти изложения материала авторы остановились на той, которая требует о»т читателя знания математики в объеме, традиционном для технического ВУЗа. Некоторые необходимые для чтения книги дополнительные сведения об алгебре векторных пространств даны в Приложении II.
• Книга подводит итог публикации авторов начиная с 1976 г. Работа по ее написанию распределилась следующим образом: В .И. Шалашилин написал гл. 13 и 5, остальные разделы написаны авторами совместно.
Авторы благодарят члена-корреспондента АН СССР профессора И.И. Во- ровича и профессора А.С. Кравчука за труд по рецензированию рукописи; высказанные ими замечания учтены в окончательной редакции книги и, несомненно, способствовали ее улучпюнию. Авторы также признательны А.Я. Бородину за помощь в проведении численных расчетов.
ВВЕДЕНИЕ
Многие задачи механики твердого деформируемого тела сводятся или могут быть сведены к решению систем нелинейных алгебраических, транс-. цендентных, дифференциальных или интегральных уравнений, содержащих в явном виде параметр. Это задачи статического нелинейного деформирования, устойчивости, оптимизации и др. Параметр, входящий в такие нели» жйные уравнения, может быть параметром нагрузки, температурного поля,. геометрическим или конструктивным параметром и тл.
Исторически первой зада^й такого рода была возникшая и исследованная в трудах Я. Бернулли, Л. Эйлера, ЖЛ. Лагранжа задача деформирования гибких стержней (задача эластики), являющая пример геометрически нелинейной задачи, сводящейся к краевой задаче для нелинейного диффе* ренциального уравнения
Трудности» возникающие в геометритески ^линейных системах, видны уже при анализе процесса деформирования простейшей двухстержневой
системы .— фермы Мизеса, показанной на pic. ВЛ. Уравнение1 равновесия узла А фермы имеет вид
Р
N；,(а)
2 8SQ
где ^ — сжимающие усилия в стержнях, а — угол между стержтем и верти- кальЖ). Если а в недеформированном состоянии равен 痴,то укорочение
7
стержней равно
(6(6△Z= -
(6
(6
sinao sina
При деформации стермсней в пределах закона Гука связь между усилиями N и укорочением стержней линейна:
NIo
(в)(в)стержня, Е — мо- Мизеса наиболеестержня, Е — мо- Мизеса наиболее△Z=,
(в)
(в)
стержня, Е — мо- Мизеса наиболее
стержня, Е — мо- Мизеса наиболее
EF
где F, Zo — площадь сеяния и недеформированная длина дуль упругости материала при растяжении. Дня фермы
(а) — (в) связь между углом(а) — (в) связь между угломнаглядную информацию о ее свойствах дает диаграмма, связывающая усилие Р с вертикальным перемещением и уэла Л, показанная на рис. В. 2. К
(а) — (в) связь между углом
(а) — (в) связь между углом
ней можно перейти, добавив к соотношениям а и перемещением и:
(г)(г)tga-tgao
(г)
(г)
и = — ■，、——.
tga-tgao
P=2EFP=2EFРешая все эти соотношения, нетрудно получить зависимость Р (и) в аналитическом виде:
P=2EF
P=2EF
，• •=== — COSCKo
+(1 一 十 tgOo}
Однако аналитическая форМа решения может быть получена лишь в исключительных случаях. Даже если в этой же задаче рассмотреть неидеальнью стержни и учесть их продольный изгиб, то аналитическое репюние становится невозможным. В этом случае соотношение (в) заменяется на следующие зависимости:
Nlo霏2•♦
△/=+(w -Wo),
N*^ir2EJl^.N*^ir2EJl^.EF 4/g wo w=;,
N*^ir2EJl^.
N*^ir2EJl^.
1 —N]N*
Здесь предполагается, что начальная' форма неидеальных стержней имеет вид полуволны синусоиды
7ГХ
^oW = Wosin--—,
где х J — координаты вдоль стержня и по нормали к нему, w0 — амплитуда начальной неидеальности. Деформированная форма стержня также рассматривается в виде полуволны синусоиды
^(x) = w sin,
N- критическая сила для стержня. (Подробно соотношения (д) построены и рассмотрены в § 1.3)
Диаграмма Р® существенно усложняется и принимает вид, показанный на рис. ВЗ Кривая 0-2-3-4 -6 соответствует деформации фермы с идеально прямыми стержнями без учеталотери ими устойчивости, кривая 0 — 1—3 — 5 —6 показывает деформацию такой же фермы, но с учетом потери устойчивости стержней (участок 1-3 — 5). Кривая ° — 7 — 3-8—6 демонстрирует деформацию фермы с неидеальными стержнями.
Уравнения (а), (б), (г), (д) представляют собой систем пяти алгебраических и трансцевдентных уравнении относительно шести неизвестных величин P9N9Al9a9v9 w. Как правило, системы таких уравнений нельзя решить аналитически и их решают численно. При этом задаются рядом значений одной из неизвестных величин, принимая ее за параметр, а остальные неизвестные находят. Уже в этом простом п^жмбре видно, 4to в качест< ве параметра предпочтительнее выбрать смещение и, так как для некоторых значений Р система ш蜀ет три реиюния. Последнее обстоятельство сущест
венно осложняет процесс численного построения решения.
Еще болышю трудности возникают при решении задач деформирования таких систем, как пологие арки и пологие оболочки. В частности, как это показано в работе [107], для пологой арки (рис. В.4) связь между нагрузкой q и усилием распора N имеет вид петлеобразной кривой (рис. В.5). Уравнение, связывающее ^ и^ приведено в § 1.3.
Аналогичные особенности имеют решения для пологих оболочек (рис. Вб). Поведение таких оболочек, как известно (см„ например, [65]), описывается известной системой нелинейных уравнений Маргерра — Власо-
ва отжмжтельно функции прогаба Wh фуопсции усилии Ф：
DV2V2 W — ДЛФ -2(叱①)一PZ = О,
3 7272Ф + Дл^-у £W^) = 0,
Эа歹,Эа歹,
Эа
歹,
Эа
歹,
а?〃 э2ф a?w э2ф э2 w э2ф
L(W9 Ф) =-—；— > -~ +~ * -- - 2
Эх2 已产 by1 Эх2 ЪхЪу ЭхЭ>
Здесв Л1,Л2 - начальные кривизны оболочек по осям хи у; й — толщина оболочки; Р — параметр нагрузки; D — Цилиндрическая жесткость.
Наличие оператора 七 в этих уравнениях делает их нелинейными, и решение краевых задач для таких уравнений становится возможным получить только с помощью чирленных методов. Для этого уравнения в частных производных сначала с помощью вариационных, разностных, проекционных методов, метода конечных элементов или других сводятся к системе алгебраических и трансцендентных уравнении относительно многих неизвестных и параметра нагрузки Р. Наличие большого числа жизвестных и громоздкость таких систем усугубляет те трудаости, характер которых был показан нами выше на простых примерах — ферме Мизеса и пологой арке.
Сходными по структуре и характеру решения уравнениями описывается деформирование показанных на рис. В.7 гибких элементов таких, как
гофрированная мембрана (/), хлопающая мембрана (2), ошьфон (5) ИТЛ・・
К нелинейным уравнениям с параметром сводятся и физи^ски нели* нейные задачи, в которых исследуется процесс деформирования различных систем при работе материала М пределами закона Гука« Часто появляется необходимость одновременного учета физической и геометрической нелинейности. Обычно такая необходимость возникает при решении 10
задач определения предельной несущей способности конструкции н технологических задач.
Нельзя не отметить здесь и задачи оптимального проектирования, которые обычно сводят к определению экстремума некоторой целевой функции (функционала), имеющей сложную структуру. Ькобходамьге условия экстремума этой функции порождают систему нелинейных уравнений относительно параметров сштимизируемой конструкции- Корректное же решение задачи оптимального проектирования предполагает исследование всего множества решений этой системы.
Мы здесь перечислили только некоторые из нелинейных задач механики твердого деформируемого тела. Такого же рода задачи возникают и в других разделах механики. Развиваемые в книге методы могут быть с успехом приложены и в этих нелинейных задачах.
Ввиду трудностей, возникающих при решении нелинейных уравнений и обусловленных как раз их нелинейностью, наиболее распространенным способом анализа решений нелинейных уравнений является прослеживание изменения этих решений по мере изменения параметра задачи. Реализация такого подхода естественно связана с продолжением решения нелинейных уравнений по параметру, возможность которого устанавливается теоремой о неявных функциях и ее обобщениями (см., например, [39,147, 212]). Ограни%ния, накладываемые этой теоремой, в большинстве нели・ нейных задач механики твердого деформируемого тела выполнены, что позволяет п^юдолжать решения этих задач, деленная реализация продолжения решения, как правило, осуществляете只 в виде некоторого шагово< го процесса по параметру. Из литературы известно большое разнообразие таких процессов. Часто они представляются и понимаются независимо от общей схемы продолжения решения по параметру. Это ослояошет оценку их эффективности и понимание их места среди других шаговых процессов. Поэтому возникает настоятельная необходимость в систематизации шаговых процессов продолжения решения.
Но есть два обстоятельства, осложняющие выполнение этой задачи. Во-первых, это разнообразие видов уравнений, которые могут быть алгебраическими, трансцендентными, дифференциальными, интегральными^ а иногда в одной задаче эти виды сочетаются. Во-вторых, обилие публикаций, во многих из которых отдельные шаговые процессы применяются к частным нелинейным задачам.
Преодолеть эти трудности можно было бы с помощью тех возможностей для, обобщений, которые предоставляются функциональным анализом. Но такой подход существенно сузил бы круг читателей.
Поэтому авторы решили ограничить рассмотрение алгебрашюскшмш и трансцендентными уравнениями. При этом имелось в виду, что обобщения сами по себе обычно не приводят к новым результатам, а также то, что численная реализация решения дифференциальных и интегральных уравнений, как правило, связана с их сведением к алгебраическим и трансцендентным с помощью вариационных, разностных и других методов. Специальная форма обо&цения результатов на одномерные {«линейные краевые задачи рассмотрена в гл. 3. Эта форма существенно иеяюльзует ортогональную прогонку для решения пошаговых линеаризованных краевых задач.
В Приложении I дан обзор решении частных задач с применением тех или иных форм метода продолжения решения по параметру.
В Положении II поясняются принятые векторноматричные обозна«- ния и пртводятся краткие сведения о тех свойствах конечномерных векторных пространств, которые используются в книге.
Две формы метода продолжения решения по паримютру
Рассмотрим систему из т нелинейных уравнений относительно т жиз- вестныхЛ^,Ла9 • • • >^9 содержащую параметрР:
Fi(Xi, Л2,...,Xm,Р) = 0,1=1,2, — *т.(В.1.1)
Удобно ввести вектор-функцию F = \Fi9F29... ,Fm ]т и вектор Х= =\Xf9X29.. • ^Х^Д^). Тогда систему уравнений (B.1.J) можно пред* ставить в векторной форме
尸 0,Р) = О・(В.1.2)
Всё дальнейшие рассуждения будем проводить в (m +1)-мерном евклидовом пространстве Rm+1 ：{Х,Р}, т.е. в векторном пространстве с евклидовой нормой. По т координатным направлениям в R^+i будем отсчитывать значения компонент 典 (/ = 1,... ,m) вектора 尢 а по (т +Д)-му направлению — зна«юния параметра Р. Такой подход позволяет исполь- зсжать наглядные геомет|жческие образы.
Нас будет интересовать поведение решений системы (В.1.2) при изменении параметра Р. Пусть известно некоторое решение R。)=因“)，... • • •，/ (о) ] I Ро уравнения (В.1.2), т.е.
尸(Х(о),厶产 О.(В.1.3)
Рассмотрим оКреспкхлъ А точки [Х(о),Р0] £ .+1 в виде прямоугольного параллелепипеда в R^+t с центром в точке [Х(0),Р0]. Свойства решении системы (В.1.2) в этой окрестности устанавливает теорема о неявных функциях (см., например, [339]). В ней показывается, что если:
вектор-функция F (т.е. все ее компоненты 尸。i = 1, •.・,m) определена и непрерьшна в Л,.
в Z существуют и непрерывны частные производные от 冃,i = 1,... ...,m>по всем аргументам石,i = 1,. •. ,т,и параметруР,
в точке [Х(о),Р0] отличен от нуля якобиан det (7 ) вектор функции F, то в некоторой окрестности точки [Х(о), Ро] решения % (I s 1,... .・・,加)системы (В.1.2) являются однозначными непрерывными функциями Р
Х* = Х@), i = 1,...,ш,(В. 1.4)
такими, что
m(p0)=豆(0),/=1,... 9m,(B. 1.5)
и производные dX^dP также непрерывны в этой окрестности.
,ij=i-・・m・,ij=i-・・m・0P1, • • • /т) 一0P1, • • • /т) 一(В.1.6)(В.1.6)Якобианом вектор-функции.F называют определитель det. ) ее матрицы Якоби / :
,ij=i-・・m・
,ij=i-・・m・
0P1, • • • /т) 一
0P1, • • • /т) 一
(В.1.6)
(В.1.6)
3F
J= ъх
Таким образом,, теорема о неявных функциях устанавливает, что при выполнении условий 1) — 3) решение системы (В.1.2) в некоторой окрестности В точки [Х(о),P0] образует единственную кривую К, которая имеет параметрическое представление (В.1.4) и проходит «юрез точку [Х(о),Р0] • Чтобы получить теперь решение 又⑴ системы (В.1.2) при близком к Ро значении 尸】,мы можем продвинуться вдоль ТС. При этом, конечно» точка [X^y^Pi] должна остаться в^ггри окрестности В. Иными словамИэ мы можем из точки fX(o)/o] однозначно продолжить решение в пределах окрестности В. Бели условия 1) — 3) выполняются в точке [&d»/\], то решение снова можно продолжить, и т.д. Таким образом, условия 1) — 3) достаточны для того,. чтобы решения системы (B.1J2) .образовали в 长油+i непрерывную кривую К. А это позволяет получать решения [*(符)，Рл], двигаясь вдоль этой кривой от известного решения 因。),Р0]<
Рис. В. 8 иллюстрирует возможность продолжения решения в трехмерном пространстве 1Ц：{А^,&,Р}. Это свойство решений и лежит в осно
ве метода продолжения решения.
Условия 1), 2) не слишком ограничительны и выполняются в большинстве задач механики твердого деформируемого тела. Точки, в которых
выполняется также и условие 3), т.е. det ⑺ # Отбудем называть регулярными, а точки, в которых det(Z ) =0, — особыми. Как мы увидим в дальнейшем, в особых точках возможность продолжения решения обычно сохраняется, но само продолжение может стать неоднозначным, тл. появляется возможность разветвления кривой К множества решений системы (В.1.2) •.
Сама вдв4 продолжения решения известна и эксплуатируется в математике и люханике давно. Достаточно заметить, что именно она, по существу» лежит в ооюве изйеспюго метода возмущений (метода малого параметра) ,первые применения которого восходят к работам. У. Леверье (1856 г.) и А. Пуанкаре (1892 г.).
Идея продолжения решения неоднократно использовалась и для доказательства существования решений нелижйных уравнений» эффективность ее здесь связана с тем, что вопрос о существовании решения системы (В.1.2) сводится к доказательству существования решения вида (В. 13) и кривой К. В теорти шаспш конешюго прогиба такой способ доказательства существования решения успешно применив Н.Ф. Морозов [251—255]. Он ввел параметр Р в уравнение Фёппля—Кармана в виде множителя при нелинейных частях операторов и доказал топологическую гомотопность операторов уравнений при Р = О н Р = 1 ・ Таким образом, параметр Р использован для посгроешш непре^илвного топологического преобразования • от линейных операторов, соответствующих уравнениям Жермен — Лагранжа, и плоской задарю теорти упругости (Р = 0), к нелинейным операторам уравнений Фешшя — Кармана « = 1)・
Первое использование идея продолжения в вычислительных целях пртнадлежит, но毋щщмо”, МЛаэю [447] (1934 г). Он ввел в трансцендентное уравнение Я{Х) =0 параметр 尸 и таким образом свел его к виду (В.1.2)； Пршюм параметр был введен так, чтобы при Р =Р0 =0 можно было легко получить решение Х(о)=Х(Ро), а при Р=Рп = 1 уравнение обратилось 碗 в исходное. Продвигаясь по последовательности зна畔ний ■ параметра Ро <Pt <Р2 < ..\<Р„, М. Лаэй предложил строить решения для каждого Р» С =1,2,...»п) методом Ньютона—Р^фсона, каюль”я решение для предыдущего знакния 典_^ в качестве начального приближения. Поздаее в работе [448] он распространил этот подход на системы уравнений.
Формулируя свой продесс, М. Лаэй ставил задачу решить центральную Для метода Ньютона—Рафсона (а равно и для любого итерационного метода) профему выбора начального приближения, которое должно быть выбрано .достаточно близким к искомому решению. Действительно, если на интервале Р()&Р «Р办 на кршой К множества решений уравнения (В.1.2) нет особых таюк, то всегда можно выбрать шаг движения по параметру Р таким малым, чтобы иосомое на ьм шаге решешю Х(Р$) и его начальное приближение X©_i) были достаточно близки друг к другу й условия сходимости метода Ньютона—Рафсона по выбору начального приближения были обеспечены. Это следует из непрерывности кривой К.
Очевидно, что предложение М. Лазя применимо и к уравнениям, которые уже содержат параметр. Для них такой подход позволяет организовать шаговый процесс по параметру для построения множеава решений в нн- тере<ующем нас интервале значений параметра Ро 4P <Р„. Обозначим терез *^)=Х5 (Р『)приближенное значение ижомого решения 勾)=
=Х 僞).на j・ шаге итерационного процесса метода Ньютона-Рафсона при Р = Р*. Тогда предложенный М. Лаэем процесс построения решения уравнения (В.1.1) при переходе от 爲 _ к P# можно записать в виде
X，『=勾-1)； **； =*『)一尸(*尸),p0吗;",外)，
/=1,2,..., пока lX(g - Xg-D 1>е, (ВЛ.7)
Здесь е > 0 - заданная погрешность по норме ижолюго репюния;, J(X，火)， Pg) - матрица Якоби вектор-функции F при Х=Х^~ ' к Р = Р/# 14
На наш взгляд, основное в работе М. Лаэя то, что он дал пример построения шагового процесса по параметру, в котором реализуется главный для метода продолжения решения пртнцип： иаюльзовать на каждом шаге информацию о решении, полутенную на предыдущем шаге (предыдущих шагах). С этой точки зрения несуще ственным становится использование для итерационного уточнения решения именно метода Ньютона — Рафсона. Возможна реализахщя шаговых процессов по параметру с применением и других итерационных процессов. Например, замена в (В.1.7) матрицы J(*§T)/ap на матрицу /。^，尸⑴)соответствует переходу к модифицированному методу Ньютона и тл. "
Шаговые процессы по параметру с итерационным уточнением решения на каждом шаге будем называть дискретным продолжением решения.
Другую формулировку метода продолжения по параметру дал Д.Ф. Давиденко [135,136] (1953 г.). Продифференцировав уравнешю (В.1.2) по параметру Р, он получил систему дифференциальных уравнений
dX3尸bF
(B.1.8)(B.1.8)+ =0j= арарэх
(B.1.8)
(B.1.8)
Для этой системы уравнение (В. 1.2) является полным интегралом, удов- летворякицим условию F(X(0),P0) =0- Система (В.1Л) линейна относительно производных d文[dF. Ее решение при условии, что якобиан det。)嗜 0, проводит к систелю обыкновенных дафференциальньк уравнении.
(В.1.9)(В.1.9)竺一厂也.
(В.1.9)
(В.1.9)
dp亜
То, что при Р=Р()решение Х(о)известно, позволяет сформулировать задачу определения решения Х(Р„) как эддачу Коши для системы (В.1.9) при начальном условии
х(2=х(о)・ (в」」。) .Такой подход открывает возкюжности использования для построения решений Х(Р) различных и хорошо исследованных схем интегрирования начальных задач. Простейшая нз этих схем, схема метода Эйлера, приводит к следукицему алгоритму:
*+i)=Xg — 厂(々)JMEXgJDAP, i = 1,2,…，％ (В.1Л1) где ДР =Pf 也-年 F,P = 3F/P.
К этому алгоритму, по существу, сводится известный метод последовательных нагружений, предложенный В.З. Власовым и В.В. Петровым в 1959 г. [276]. Без труда можно построить и алгоритмы других схем, имеющих более высокий порядок точности, таких как модифицированный ме・ тод Эйлера, октоды Рунге — Кутта, Адамса — Штермера и др. Эти схемы использовались и исследовались в рамках метода продолжения по параметру в статьях [136—138,389,437,438] и в целом ряде других работ.
Продолжение решения на основе интегрирования задачи Коши (В.1.9), (В.1.10) с помощью явных схем интегрирования будем ниже назьшать не- пре^илвным продолжением решения.
Покажем, что процессы дискретного продолжения решения также могут быть связаны с интегртрованием задачи Коши. Для этого решение н臂алм ной задачи (В.1.9), (В.1.10) на каждом шаге по ? представим в виде
x(/+1)=x(0-j /-чад,П ^,pWP),W (В.1.12)
Если положить Pm =Р/ + △，，то по теореме о среднем получаем из (В.1.12)
Х(Н1) =Х(/)-J^(X(P)9P)FiP(X(P)9P)^P9
外&Р《尸升1・ (ВЛ.13)
Это соотношение может быть рассмотрено как нелинейная неявная разностная схема, которая включает новое неизвестное Р, и поэтому должна решаться совместно с исходным уравнением (В.1.2), что делает ее прямую реализацию нерациональной. На основе при&шженного представления выражения (В.1.13) можно получить самые различные - разностные схемы. Так, при Р=Р/ получаем явную разностную схему Эйлера (В.1・11)・ Методы построения других явных разностных схем на базе различных формул численного интегрирования соотношения (В.1.12) рассмотрены, например, в книге Н.С. Бахвалова [35J. Положим в выражении (В.1.13) J(X(P),P) aJ(X(力，Pf+i) и используем следующую формулу численного дифференцирования:
居р(Х(Р),止吃[F(X(0,^+i)-F(X(0,Pf)] +О(ДР2). (ВЛ.14)
Тогда с учетом того, что 尸(Х«),PJ =0, получаем из (В.1.13) соотношение. которое совпадает с одним шагом метода Ньютона — Рафсона:
%.1)=%)-厂(々"尸升1)尸(％),%□+ О("2)・ (В・1・15)
Это позволяет процесс реализации неявной схемы (В.1.13) сформулировать в виде итерационного процесса октода Ньютона — Рафсона (В.1.7). Возможны, конечно, и другие итерационные процессы, обеспечивающие вычисления по неявной схеме (В.1.13) •
Таким образом, непрерьшное продолжение сводится к интегрированию задачи Коши (В.1.9), (В.1Л0) с помощью явных схем, а дискретное продолжение —с помощью неявных схем.
Otnkthm здесь еще одну, установленную МК. Гавуриным (75], интересную возможность коюльзования метода продолжения по параметру для организации итерационного процесса решения нелижйного уравнения Н(Х) = 0. Пусть Х(о) — начальное приближение. Построим уравнение с параметром следующим образом ： '
F(X9P)=H(X)-{1 -р)я(х(0)) = о, Ре [0,1]. (в」」б) Здесь параметр Р введен i塚，что Х(。)является решением уравнения (В.1.16) при Р = 0, а при Р = 1 уравнение обращается в исходное. Если
теперь ввести новый параметр 入 так, чтобы
1_р=е-\Х€[0,оо],(В.1.17)
то уравнена (ВДД6) примет вид
尸(X, Х) = Я(Л)-е fН®(0)) = 0.(в.1.18)
Дифференцирование по параметру 入 приводит к задаче Коши по параметру X
二一岛т %(х),ад=х(0).(В.1.19)
Интегрирование этой задачи по 入 методом Эйлера с шагом ДХ = 1 приводит к итерационному процессу
Х(Е+1) = х(А) 一 (電"У* Н(х^),х(о)= №>,
左= 0,1,2,・・・(B.L20)
А этот процесс в точности совпадает с итерационным процессом метода Ньютона—Рафсона для уравнения Я(Х) =0 при начальном приближении Х(°)=Х(о)・
Метод продолжения решения по параметру в изложенном здесь виде может быть практически без изменений распространен на ж линейные краевые задачи, если считать, что 尸(Х>Р) представляет оператор краевой задачи, включающий ее уравнения и граничные условия, а дифференцирование в соотношениях (В.1.6), (В.1.8) понимать в смысле Фреше.
Дополнительные указания на литературу по методу продолжения решения по параметру можно найти в монографиях [481,366] •.
Проблема выбора параметра продолжшш .
и ее связь с поведением роиения в окрестаости особых точек
Изложенные выше формы метода продолжения решения по параметру предполагают, что в рассматриваемом интервале значений параметра Ро < Р ^ Рп определитель detg) матрицы Якоби системы уравнений (В. 1.1) отличен от нуля. Использование метода в окрестности особых точек, где det(/) = 0, требует особого обсуждения. Рассмотрим этот вопрос на примере алгебраической или трансцендентной системы уравнении. С учетом отмеченной выше общности форм дискретного и непрерывного продолжений будем исследовать задачу Коши по параметру, не касаясь ее конкретной численной реализации в виде тех или иных разностных схем.--
Рассмотрим развернутую форму системы (ВЛ .2.)
用(*1,x2, •.，，х也,/*) = 0, I = 1,2,...,m.(B.2.1)
Дифференцирование этой системы уравнении по параметру 尸 приводит к уравнениям
2. Э.И. Григолюк2. Э.И. Григолюк(3.2.2)17(3.2.2)17
2. Э.И. Григолюк
2. Э.И. Григолюк
(3.2.2)
17
(3.2.2)
17
Здесь неизвестными являются производные dXJdPJ = 1, 2,...»m. Отно- .сатепьно них эта система уравнении лшкйна. В регулярных точках множества решении системы (В.2.1), где det g) =Л 0, система (В.2.2) разрешима.
Наряду с матрицей Якоби J = [3F|/3A^],f,/ = 1,...,m, будем рассматривать расширенную матрицу Якоби J, образованную путем присоединения к / справа вектора bF/bP- [dFf/ЭР], i = 1» ・・・，m.
J = ytdF/bP]. (B.2.3)
Тогда решение системы (B.2.2) по правилу Крамера можно записать в виде
(В.2.4)(В.2.4)旭=_(_1)…吧迎
(В.2.4)
(В.2.4)
ЭРdetQ)
Здесь det”)— определитель матрицы, полученный из J вычёркиванием 1-го столбца*
Заметим, что если матрица J — квадратная и имеет порядок т, то расши* ренная матрица 了 一 прямоугольная и имеет размеры m X (т + 1), т.е. составлена из т строк ит+1 столбцов. . •
Ранг матрицы Л размера тХп будем обозначать как rang (4). Он опре* деляется числом линейно независимых столбцов или строк матрицы. При этом столбцы матрицы А удобно рассматривать как векторы в пространстве $* а строки — так же как векторы, но в пространстве &・ Числа ли- жйно независимых строк и столбцов матрицы всегда совпадают.
В регулярных точках множества решении системы уравнений (В.2.1) det ⑺ 幺 0, те столбцы J образуют m-мерныи (полный) базис в %・ Поэтому вектор bF/bP 6 % будет линейно зависим по отношению к столбцам матрицы J, и его присоединение к ней при образовании / не изменит ранга новой системы, составленной уже из (m + 1) векторютолбцов, т.е. в регулярных точках
rang (7) = rang СО = ^- ・ (В.2.5)
В особых точках ситуация меняется. В них det^F) = О, поэтому rang СО = =г < т, т.е. среди m столбцов матрицы / линейно независимы только г столбцов» и они образуют в Rm r-мерныи 6a^ic 垢 который определяет r-мерное подпространство J е Rm. Теперь если вектор bF/дР е J, т.е. он линейно зависим с векторами базиса В,,то
rang(7) = rang(Z)=r<m.(В26)
Если же вектор dF/bP 住 L, т.е. он линейно независим с векторами ба・ зиса 4 To
rang (7) = rang ⑺ + 1 =r+1.(B.2.7)
Особое место среди подобных случаев занимает такой, когда
mng(J) = m, rang^7) = m — 1. (В.2.8)
Точки, в которых выполняется это усговие, принято называть предель* ними. Особые точки, в которых rang(/) < m, будем называть существенно особым.
Ниже будет показано, что в предельных точках касательная к кривой К множества решений системы (В.2.1) в。+1 становится нормальной к оси 18
Е В предельных точках условие rang (7)=切 равносильно требованию, что среди (т + 1) столбцов матрицы / найдутся т линейно независимых. А это значит, что хотя бы один из определителей det(ZQ не равен нулю: det(4)#0.(В.2.9)
В таком 5учае можвю в ка^стве Шфаметра продолжения принять 爲， н.е. мы будем считать, что все X* (/ =Л Л) и параметр Р являются функциями 芻・ Тогда, нродифференцировав систему уравнении (В.2.1) по 爲， получаем
(В.2Л0)(В.2Л0)ха 用 dP
(В.2Л0)
(В.2Л0)
Z — •—l + --——=0.
,/=т 3祈 dXk ЭР d爲
Отсюда с помощью правила Крамера получим
dX[…de©)
(―1)' ', i=l.・・.，k- 1,fc+ 1,... ,m, d爲' 丿 det (厶)'，，，，，
診……診……detQ)detQ)det%)、det%)、(В.2.11)(В.2.11)Ввиду того что detd) =Л 0, при интегрировании этих уравнений вбли^ предельной тйчки устраняются трудности, связанные с неограниченным ростом решения. Последнее уравнение в (В.2.11) как раз и показывает, что в предельной точке касательная к кривой К множества решений нормальна к оси 2 Действительно, представим касательную к Кв виде век- торавЛш+1:Ввиду того что detd) =Л 0, при интегрировании этих уравнений вбли^ предельной тйчки устраняются трудности, связанные с неограниченным ростом решения. Последнее уравнение в (В.2.11) как раз и показывает, что в предельной точке касательная к кривой К множества решений нормальна к оси 2 Действительно, представим касательную к Кв виде век- торавЛш+1:dX. Г d% dXm dP 1荻 ldXk ^'^ dXk9dX^\dX. Г d% dXm dP 1荻 ldXk ^'^ dXk9dX^\• dXk• dXk(B.2.12)(B.2.12)Но так как det ⑺=0, то dP/dX^ = О. И тогда скалярное произведение вектора dX/dXk на орт оси Р [О,... ,0,1] равно нулю.Переход от уравнений продолжения по параметру Р (В.2.4) к уравне* ниям продолжения по параметру Х^ в окрестности предельной точки и лежит в основе известного приема, называемого сменой параметра продолжения. Было высказано много предложений по выбору такого параметра продолжения решения, который позволил бы избежать, смены параметра. Часть из них обсуждена в обзоре [111]. Обратим внимание на предложение И.И. Воровича и В.Ф. Зипаловой [69] использовать в какст・ ве параметра продолжения длину о кривой К множества решений системы (В-2.1) в Rm+“ me mНо так как det ⑺=0, то dP/dX^ = О. И тогда скалярное произведение вектора dX/dXk на орт оси Р [О,... ,0,1] равно нулю.Переход от уравнений продолжения по параметру Р (В.2.4) к уравне* ниям продолжения по параметру Х^ в окрестности предельной точки и лежит в основе известного приема, называемого сменой параметра продолжения. Было высказано много предложений по выбору такого параметра продолжения решения, который позволил бы избежать, смены параметра. Часть из них обсуждена в обзоре [111]. Обратим внимание на предложение И.И. Воровича и В.Ф. Зипаловой [69] использовать в какст・ ве параметра продолжения длину о кривой К множества решений системы (В-2.1) в Rm+“ me mdo2 n EdX；+dp2.i=ldo2 n EdX；+dp2.i=l(В.2.13)(В.2.13)Отсюда следуетОтсюда следует。明f偿）；］『。明f偿）；］『(В.2Л4)(В.2Л4)Таким образом, система (В.2.1) дополнена уравнением (В.2.14). ПослеТаким образом, система (В.2.1) дополнена уравнением (В.2.14). После2*2*1919
診……
診……
detQ)
detQ)
det%)、
det%)、
(В.2.11)
(В.2.11)
Ввиду того что detd) =Л 0, при интегрировании этих уравнений вбли^ предельной тйчки устраняются трудности, связанные с неограниченным ростом решения. Последнее уравнение в (В.2.11) как раз и показывает, что в предельной точке касательная к кривой К множества решений нормальна к оси 2 Действительно, представим касательную к Кв виде век- торавЛш+1:
Ввиду того что detd) =Л 0, при интегрировании этих уравнений вбли^ предельной тйчки устраняются трудности, связанные с неограниченным ростом решения. Последнее уравнение в (В.2.11) как раз и показывает, что в предельной точке касательная к кривой К множества решений нормальна к оси 2 Действительно, представим касательную к Кв виде век- торавЛш+1:
dX. Г d% dXm dP 1荻 ldXk ^'^ dXk9dX^\
dX. Г d% dXm dP 1荻 ldXk ^'^ dXk9dX^\
• dXk
• dXk
(B.2.12)
(B.2.12)
Но так как det ⑺=0, то dP/dX^ = О. И тогда скалярное произведение вектора dX/dXk на орт оси Р [О,... ,0,1] равно нулю.
Переход от уравнений продолжения по параметру Р (В.2.4) к уравне* ниям продолжения по параметру Х^ в окрестности предельной точки и лежит в основе известного приема, называемого сменой параметра продолжения. Было высказано много предложений по выбору такого параметра продолжения решения, который позволил бы избежать, смены параметра. Часть из них обсуждена в обзоре [111]. Обратим внимание на предложение И.И. Воровича и В.Ф. Зипаловой [69] использовать в какст・ ве параметра продолжения длину о кривой К множества решений системы (В-2.1) в Rm+“ me m
Но так как det ⑺=0, то dP/dX^ = О. И тогда скалярное произведение вектора dX/dXk на орт оси Р [О,... ,0,1] равно нулю.
Переход от уравнений продолжения по параметру Р (В.2.4) к уравне* ниям продолжения по параметру Х^ в окрестности предельной точки и лежит в основе известного приема, называемого сменой параметра продолжения. Было высказано много предложений по выбору такого параметра продолжения решения, который позволил бы избежать, смены параметра. Часть из них обсуждена в обзоре [111]. Обратим внимание на предложение И.И. Воровича и В.Ф. Зипаловой [69] использовать в какст・ ве параметра продолжения длину о кривой К множества решений системы (В-2.1) в Rm+“ me m
do2 n EdX；+dp2.i=l
do2 n EdX；+dp2.i=l
(В.2.13)
(В.2.13)
Отсюда следует
Отсюда следует
。明f偿）；］『
。明f偿）；］『
(В.2Л4)
(В.2Л4)
Таким образом, система (В.2.1) дополнена уравнением (В.2.14). После
Таким образом, система (В.2.1) дополнена уравнением (В.2.14). После
2*
2*
19
19
их дифференцирования по о получаем
g諮于崇分。，"лз5）
£固喘）；•叱⑹
Система m однородных уравнений (В.2.15) относительно 色 + 1 неизвестных dXJdu, / = l,...,m, и dP/do при условии, что rang ⑺=m, допускает однопараметрическое множество ненулевых решений, являющее* ся одномерным подпространством в 1tm+上・ А уравнение (В.2.16) требует, чтобы в этом множестве (подпространстве) было выбрано решена (вектор) с единичной нормой (длиной).
Практическая реализация решения системы уравнений (В.2.15) (В.2.16) осуществлялась следующим образом. Сначала т неизвестных 毛，j =],… …,左一1, * + 1, m, н Р выражались через оставшуюся неизвестную X*. Для этого слагаемые в (В.2.15) с множителем dX^/du переносились в правую часть и полученная система т уравнений относительно т неизвестных решалась обычным образом, а полученное решение нормировалось. Однако нетрудно ввдеть, что такое решение системы (В.2.15)» по существу, сводится к виду .
1,・•・，析，i¥=尤1,・•・，析，i¥=尤(B.2.17)(B.2.17)dXtк det」dXk
1,・•・，析，i¥=尤
1,・•・，析，i¥=尤
(B.2.17)
(B.2.17)
dodet 麻)d@
一（-1产一（-1产dXk dodXk do
一（-1产
一（-1产
dXk do
dXk do
И поскольку при численной реализации нербходимо положить dX^du = 1 и полученное решение потом домножить на dX^Idu, то в этот момент решение (В.2.17) в точности совпадает с (В.2.11). Таким образом, проио ходит фактическая подмена параметра о параметром Л*. Причины этого будут разобраны ниже в § 1Д, 1.2. 二
Теперь обратим внимание на то, что если несколько из миноров det 阮) расширенной матрицы Якоби J отличны от нуля, то параметр продолжения можно выбрать не единственным способом. Поэтому возникает вопрос об оценке качества параметра и о выборе оптимального в некотором смысле параметра продолжения.
При численной реализации процесса продолжался существенное значение приобретает обусловленность той частной системы линейных уравнений, которая получается при фиксировании параметра продолжения из системы (В.2.10), н решением которой являются уравнения (В.2.11). Поэтому Е. Рикс [493—495] поставил вопрос о выборе* такого параметра продолжения, который бы обеспечивал наибольшую обусловленность решения соответствующей ему системы линейных уравнений вида (В.1.10). Он показал, что таким параметром является параметр длины кривой, и тем са- 1WM обосновал предложение И.И. Воровича и В.Ф. Зипаловой. Но практическая реализация выбора оптималыюго параметра продолжения в [493— 495] оказалась связана с громоздкими дополнительными вычислениями.
что отмечает и сам автор. Причины этого также будут рассмотрены ниже в § 1-1,12
Обратимся теперь к существенно особым точкам, т.е. тем точкам мно
жества решении системы (В.2.1)»где
rang(/) « rang^ < m.(В.2Д8)
Здесь возможно ветвление решении. Для того, чтобы дать представление о возникающих в этом случае проблемах, рассмотрим уравнение (В.2.1) с одним неизвестным X и параметром R т.е. m = 1・ Для удобства записи обозначим
%=Х,Х”2*
Тогда вопрос сводится к анализу особых точек на плоскости R?: { Х1ЭА^} кривой, заданной выражением
尸(及，也)=0.(В.2.19)
Здесь функция F(X19 %) предполагается непрерывной и достаточное число раз дифференцируемой в окрестности точки
Х(о)= [^1(о)>^2(о)]т ^Я2,где
F(Z1(o),X2(o))sO.(В.2.20)
Для упрощения записи введем в дальнейшем следующее обозначение для производных:
eFl?Xt=F,t・(В.2.21)
В этих обозначениях расширенная матрица Якоби J функции F^XxX^) принимает ввд
『=[尸,,,/]•(В.2.22)
Точка *&)множества решений уравнения (В.2.19) будет регулярной, если в ней
尸,i(Xi(o),X2(o))#O (rang(7)= 1).(В.2.23)
Если Х(о)— предельная точка, то
^> 1 (^1(о)>^2(о)) = 0,居2(*1(0),又2(。))力0 (rang^T) = 1).(В.2.24)
И, наконец, еслиЛГ(0)— существенно особая точка, то
F,! (Х1 (о),Х2(0)) = О, F.i (X,(о), Х2(0)) = о (range)= 0).(В.2.25)
В окрестности такой точки разложение в ряд Тейлора в силу равенств (В.2.20), (В.2.25) представляется в виде
尸(%,&)=二此式А外+ 2不? a%△也+碘△*；] + 0Q3),
「="△*+А期,尸£? =F,11(X1(o),X2(o))>...(B.2.26)
В силу (В.2.19) и (В.2.25) сумма членов второй степени этого разложения должна в окрестности точки Х@)обратиться в нуль на касательной к
кривой К (еслиона существует), т^е.
尸佻 АХ彳+ 2足貝△% ДХ2 + F^ АХ” 0.(В.2.27)
Если 尸鬱 # 0, то касательную к кривой К можно задать выражением
△“必К.(В.2.28)
Тогда» (В.2.27) следует уравнение
礎+ 2尸飴Г+尸瞅产=0.(В.2.29)
Касательная (В.2.28) существует, если уравнение (В.2.29) имеет действительные корни. А число корней определяется дискриминантом
。=尸空尸鸡一伊蚀)2.(В.2.30)
Если D < 0, то уравнение (В.2.29) имеет два различных действительных
корня 厶，力，которые в соответствии с (В.2.28) дают два различных значения производной в точке X(о)：
dJGdX2
=厶， dX*d%
Таким образому через точку X© проходят две кривые, которые в некоторой окрестности Х(о^ удовлетворяют уравнению (В^.19) (рис. В.9). Продолжение решения из точки Х(°)можно о^уществяять вдоль любой из них, задавшись соответствукнцим значением dX/dX*.
При Р> 0 уравхкние (В.2.29) не имеет вещественных корней. Это означает, что касателыш к кривой в wcog точке не существует, а сама точ- 22
ка *(о)является изолированной особой точкой, т.е. в нее нельзя прийти путем продолжения рец^ния.
И, наконец, при 0 = 0 уравнение (3.16) имеет два равных действительных корня Г・ В этом случае истинное поведение кривой в точке ЛГ(0)может быть установлено только на основании анализа членов разложения в ряд Тейлора третьего и более высокого порядка. Здесь уже возможно, что особая точка является общей точкой двух соприкасающихся кривых (рис. В. 10) или точкой возврата (рис. В.11).
Общий случай ветвления кривых в R^+i в настоящее время до конца не исследован. Резу/шаты для аналипгоских функции Ff, начало которым поло募или исследования АМ. Ляпунова [240] и Е. Шмидта [505], приводятся в монографии [53,2121.
Особым интерес для приложении в механике представляет случай, когда существует такая функция F, что
片=就=f小 (В.2.32)
Основы исследования этого случая заложены А. Пуанкаре [486]«Для упругих систем с конечным числом степеней свободы наиболее полно результаты изложены в. монографии Дж. Томпсона и Г. Ханта [523J. Более Подробные указания на литературу даны в Приложении L
ГЛАВА 1
ОБОБЩЕННЫЕ ФОРМЫ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ
В этой главе рассмотрены формы метода продолжения решения, основанные на требовании о равноправии неизвестных %, &;…，Хт и входящего в уравнения параметра задачи X Такое предложение высказывалось' ранее в работах [245,493-495]. Но его практическая реализация была связана с решением линеаризованных уравнений методами типа исключения. А это, как будет показано ниже, равносильно фактическому отказу от равноправия неизвестных и параметра и отданию предпочтения какому-либо из неизвестных или некоторой их комбинации1. Действительная реализация равноправия неизвестных и параметра может быть обеспечена только на основе таких методов решения линеаризованных систем, которые не отдают преимущества ни неизвестным, ни параметру. Одним из таких методов является метод ортогонализации. Оказывается, его использование позволяет не определять параметр продолжения решения и равносильно такому процессу продолжения решения, когда в качестве параметра продолжения выбрана длина дуги множества решении К в Rm+1. Более того, процесс продолжения обеспечивает максимальную обусловленность решения линеаризованных систем и становится единым в регулярных и предельных точках множества решений. С этой точки зрения введение понятия предельной точки становится лишним.
Обобщенные формы построены как для непрерывного, так и для дискретного продолжения. Последний случай ограничен итерационными процессами типа Ньютона — Рафсона. Рассмотрены примеры применения различных форм метода продолжения.
Обобщенные формы непрерывного продолжения решения
Как и ранее, рассмотрим систему иэ т нелинейных уравнении с т неизвестными ХуХа，…，Хт и параметром Р, который будем называть параметром задачи:
F,(Xi,&,...,〃，狞=0, i= 1,2,…加. (1.1.1)
Будем считать параметр задачи Р равноправным со всеми неизвестными 24
Xi (f = l,...,m). Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, обозначим
Р=Хег・(1.1.2)
В (m + 1)-мерномевклидовом пространстве Rm.〔: {Xi,... tXm9Xm^l = =Р} введем вектор X = [^,..., Хт,厶+i =月實・Тогда система уравнении (1.1.1) может быть записана в более компактном виде
片⑺=0, i=l….，m, GCRm+1.(1-1.3)
Рассмотрим матриц Якоби этой системы
了=["^]=[吊j], i=lm;/=l,...,m + l.-(1.1.4)
В отличие от матрицы/Для системы (В.1.1), определенной соотношением (В.1.6), матрица J — прямоугольная. Она состоит из т строк и m *•* 1 столбцов и фактически совпадает с расширенной матрицей Якоби системы (В.1.1), введенной соотношением (В.2.3).
Ограничимся пока рассмотрением таких точек решений системы (1.1.3), в которых
rang(7) = m.(1.1.5)
В соответствии с теоремой о неявных функциях, как это показано во Введении, при данных там предположениях о достаточной гладкости функций 尸『，в окрестности таких точек решение системы (1.13) может быть продолжено непрерывно и единственным образом. Поэтому в пространстве Rm.i множество решений системы (1.1.3) образует непрерывную кривую К. В соответствии с классификациеиА. Пуанкаре [486], те точки, в которых главный минор det(7) матрицы J отличен ^т нуля, будем называть регулярными. А точки,2*де detg) = 0, но rang (7) = m, назовем предельными.
В точках, где rang (/) <т9 возможно ветвление кривой К.
Введем некоторый, не определенный пока, параметр 入，который в отличие от параметра задачи Р s %♦[ будем называл^параметром продолжения. Компоненты 毛(f = 1…•，m + 1) вектора X £ R^.i будем считать непрерывными и достаточное число раз дифференцируемыми функциями параметра продолжения 入
Х» = Х*0 /=l,...,m + L(1.1.6)
Изменение параметра продолжения 入 соответствует продвижению вдоль кривой К решении систем (1.1.3) в Rm.i・ Продифференцируем (1-1.3) по 入.В результате получим сйстему т линейных однородных уравнении для m + 1 неизвестных d%/d入
m+l dXi
E 吊j ' '' =。，i=l,・・・，m.(1.1.7)
/= i ' dX
В матричной форме эта система уравнении имеет вид
_ d* 一
/ —— = О, J = [Ffjh i=lm; /= 1m + 1.(1.1.8)
ад
Как и ранее, будем считать, что некоторое решение Х(о)системы (1.1.3) известно, т,ё.
用(&0))三 0, i = 1…•，以(1.1.9)
Без ограничения общности можно принять, что этому известному репю- нию соответствует начальное значение параметра 入=0
Х(О) = Х(о).(IMO)
Тогда уравнение (1.1.8) с начальным условием (1.1.10) можно понимать как неявно сформулированную задачу Коши по параметру X, Для интегрирования^ задачи Коши необходимо из системы уравнении (1.1.8) найти вектор dJ7d入=[dXjd入,.・・, dA^+Jd入「. Иными словами, необходимо решить систему (1.1.8). Как отмечалось выше, она является системой из т линейных однородных алгебраических уравнении относительно m + ] компонент вектора 々斤/d入.Возможны различные способы решения таких систем. Наиболее распространенный из них состоит в том, что некоторые т компонент вектора d?/d入，например, d*Jd\・・・，dX^-Jd、 dXk+1ld\9...» dXm/dX9 выражаются через оставшуюся компоненту dXjJd 入.Для этого система (1.6) путем переноса в правую часть слагаемых с множителем dXJdX приводится к следующей:
_ dJl* dX*
厶涼卜f而.a」")
Здесь 4^/dX|* m-мерныи вектор, образованный из (т + 1)-мерного век* тора dXfdX исключением Ъй компоненты」爲/d入；觊=[dFjdX*…. ・・n В戶m/dXjt]實—七疝 столбец матрицы J；厶—матрица, полученная из 了 вычеркиванием Л-го столбца.
Сведение системы (1.1.8) к виду (1.1.11) является необходимым прея- варителышм преобразованием для решения ее традиционными (привычными) методами, как<7о: метод иослючения Гаусса, итерационные методы и тл・ Такое преобразование имеет, конечно, смысл при условии, что det ⑦)Г 0. Если rang (J) =m, то всегда можно найти матрицу『*, удов- леторякяцую этому условию.
Обратим внимание на то, что если отождествить параметр X с компонент тойХк:
入三 X*, (1.1.12)
то dXJdX ^ 1, и систем (1.L11) с точностью до обозначений совпадает с системой (В.2.10), и ее решение по правилу Крамера тогда принимает форму (В.2.11). Это свидетельствует о том, что переход от вида (1.1.8) к (1.1.11) фактически равносилен принятию в качестве параметра продолжения компоненты 及 и, по существу, отртцает предложение о равноправии переменных и параметра, отдавая предпочтение переменной 爲.Поскольку этот переход вызван стремлением решить систему (1.6) традиционными методами, то становится очевидной несовместимость этих методов с предложением о равноправии переъюнных. Этим и О^бъяо няется тот факт, что попытки совместить несовместимые подходы, т.е. стремление реализовать равноправие переменных на основе представле-
ния (1.1.11) привели в работах. [245, 493-495] к чрезвычайно сложным алгоритмам.
Таким образом, реализация равноправия леремешшх должна быть необходимо связана с такими методами решения системы (1.1.8), которые решают ее непосредственно, беэ преобразования к виду (1.1.11). Рассмотрим один из таких методов.—
Обозначим через 刀 ью строку матрицы 7 и будем рассматривать ее как вектор в R^+i:
3 Ни//(М + 1)]Т = [^д…..町 m + J T(Ы.13)
Введем обычным образом скалярное произведение в Rm +v: для двух векторов Е = [Ff .,.. ., %+1 ] т и G = [G] ,. .., Gm+i] т скалярное произведение 俛вно
(F.G)= Е Efit.(1.1.14)
i = 1
Теперь систему уравнений (1.1.8) можно представить в виде
('“疝・) = 0, i=l,—，机(1.1.15)
Нетрудно заметить, что эти уравнения представляют условие ортогональности искомого вектора dX[d\ к векторам-строкам Т» матрицы/ •
Обозначим через Р「г-мерное подпространство в R^+i，натянутое на векторы-строки 九 i = 1, • • .,т» а через % — d-мерное подпространство в Rm*— ортогонально дополняющее Рг до %+ j. Иными словами, представим Rm 近 в виде прямой суммы (произведения) двух ортогональных подпространств Рг нА^：
Rm+i =Pr ® Ad, r+d-m + 1.(1.1.16)
Напомйим, что подпространства ^ и Ad ортогональны, если дая любых векторов Е £ Р, н G W А. нх скалярное произведение равно нулю.
Так как любой вектор подпространства А。ортогонален подпространству Р,,, то он ортогонален и строкам Т* матрицы J . Поэтому любой вектор из Ad является решением системы (1.1.15) ,т.е.
di7d 入《A#.(1-1-17)
Таким образом, решение системы (1.1.15) сводится к отысканию в Rm +1 продпространства А。，ортогонального подпространству Рг» натянутому на строки Ц, f = 1… ・，m, матрицы J .
Если rang 力 ==m, что имеет место в регулярных и предельных точках, то среди миноров detQ斤)найдется хотя бы один, не равный нулю. А это значит, что строки Ti9 г = 1,...,mf матрщы J линейно независимы и поэтому образуют в натянутом на них подпространстве Ру /я-мерный базис. Тогда размерность fr равна г = т, и поэтому размерность подпространства Ad решений системы (1.1.15) равна d = 1.
Итак, в регулярных и предельных точках отыскание решения системы (1.1.17) сводится к нахождению в %+1 одномерного подпространства Ai, ортогонального подпространству Рт , которое, в свою очередь, определено базисом из ртрок Ti9i = 1,... »m, матрицы J.
Эта задача легко решается, если в Рт известен ортонормированныи базис, построить который иэ базиса 看,i = 1.・・・,ш, можно с помощью хороию известного процесса ортогонализации базиса Грама — Шмидта.
Обозначим 肥рез Ui9i = 1, •. . ,m, ортогоналыши базис в Рт, а через 匕,i = 1,... , m, — соответствующий U{ ортонормированныи базис. Тогда процесс построения базисов 司》匕 из базиса Ц по Граму — Шмидту сводится к следующему алгоритму:
и】=北，％=Ui/(a,a)"2；
(1.1.18)
vk^Tk- s1 (Tfc>匕)Vh 厶=%/(%,U*)"2, i= 1 *
七=2, ••・,"!・ ・ •
Геометрически этот процесс состоит в вычитании из вектора 厶 его составляющих по уже построенным векторам ортонормированного базиса 匕，i = 1,..., Л — 1. Полученный таким образом вектор 珠 представляет собой составлякшхую вектора Тк> орЮгональную к %, i = 1, • •・ ...» 止—1. После нормировки 外 получается орт /・
Отметим также, что процесс ортогонализации (1.1.18) равносилен разложению исходной матртцы J на произведение левой треугольной матрицы 0 и ортогональной матрицы У, Строками которой являются векторы %,i = 1,... ,m ортонормированного базиса, т.е.
八6匕八6匕(1ДЛ9)(1.1.20)(1ДЛ9)(1.1.20)
八6匕
八6匕
(1ДЛ9)
(1.1.20)
(1ДЛ9)
(1.1.20)
*〃"产,为T,м)吗［产
I 0 при/ >i •
Так как мацжца V — ортогональная^ то
"實=Е,(1.1.21)
где Е — единичная матрица. Поэтому матрицу П можно получить не по формулам (1.1.20), а помножив (1.1.19) справа на Кт. Тогда» учитывая (1.1.21), имеем
6= 7—(1.122)
Когда известен ортонормированш^ базис 外,i = 1,・•・,т,в&, то отыскание решения системы (1.1.15) сводится к нахождению орта %+1 6 А], определяющего подпространство Ai и дополняющего базис Vi £ 衣场,i = 1».. . »mt до базиса Rm”・ Это можно сделать»задав некоторый вектор Q, имеющий ненулевую составляющую Um+i в At и поэтому линейж) независимый с векторами базиса Р^, f = 1, . . . »т, выделив эту составляющую €4и+1 путем вычитания из Q его составляющих по ортам Fj> I s 1» . . . , т, и пронормировав а точно так же, как это делалось в процессе ортогонализации (1.1.18):
Um+i=Q- 2 (Q,匕)%，%+1=%+1/(4+1；/+1)"£ (1.1-23) i = 1 * .
Так как Pw и At ортогональны, то 県.i £ Ai и9 таким образом является решением системы (1.1.15)
di7dMym“・
Обозначим через ort(7, 0 операцию (1.1.18), (1.1.23) определения орта 腺+1 по заданным векторам-строкам 厶 матрицы J и вектору 0, линейно независимому с 7). Тогда решения систем (1.1.8), (1.1.15) можно представить в виде
dX/dX = ort(7,0)- (1.1.2^ Это дифференциальное уравнение по параметру 入 вместе с начальным условием (1.1.10) ♦
京(0) = G(o) (1.1.25) представляет собой, в отличие от 0.1.8), уже явную формулировку •■ дачи Коши по параметру, интегрирование которой позволяет построить
множество решении системы нелинейных уравнений (1.1.3), начиная от точки X © и двигаясь вдоль кривой множества решении К.
Прежде чем переходить к конкретному алгоритму интегрирования задачи Коши (1.120, (1.1.25), выясним смысл параметра 入.Ддя этого обозначим через АХ вектор приращения решния X при переходе из точки Л кривой К £ Rfn+i множества решений системы (1.1.3) в точку В
(рис. 1.1). Тогда длина △ Л вектора ДЛГ равна
△' = (△冗△天产.(1.1.26)
29
Вектор
(1.1.27)(1.1.27)AХ △又
(1.1.27)
(1.1.27)
△入 (дх,дх)1/2
будет единичным вектором, совпадающим по направлению с АХ. При стремлении А歹 к нулю (в — 4) вектор ДХ/АХ, оставаясь единичным, стремится стать касательным к кривой К.В то^ке время по своему смыслу он стремится к вектору d*/d入.Поэтому dX/d\ и является единичным вектором, касательным к К.
Приращение △入 является длиной хорды дуги АВ и при В -*Л стремится к дифференциалу d 入 длины дуги кривой К. А потому параметр 入 является длиной дуги К.
Процесс продолжения решения на основе интегрирования задачи Коши (1.1.24), (1.1.25), вообще говоря, не требует определения параметра продолжения X, Здесь мы только выяснили его смысл. Как видно, этот смысл параметру продолжения 入 придало требование равноправия переменных в процессе продолжения решения.
Теперь становится очевидным, почему рассмотренная во Введении (В2) попытка выбрать в качестве парав^тра продолжения длину кривой К фактически свелась к выбору одной из неизвестных параметром продолжения. Причина этого кроется в решении системы (В.2.15), с точностью до обозначений совпадающей с системой (1.1.18), методом исключения, который в применении к задачам продолжения решения требует отдать предпочтение какой-либо из переменных, в то время, как требование, чтобы в процессе продолжения решения все переменные и параметр задачи в том числе были. равноправны» приводит естественным образом к тому, что фактическим параметром продолжения оказывается параметр длины кривой К.
Обсудим теперь вопрос о погрешности, связанной с переходом от неявной формулировки уравнении продолжения (1.1.8) к явной (1.1.24). Осуществляющая этот переход операция ort(T, Q) равносильна решению системы (1.1.8) методом ортогонализации [35, 63]. Этот метод по числу требуемых для своей реализации операций незначительно уступает мютоду исключения Гаусса.
Как уже отмечалось, использование метода Гаусса требует преобразование системы (1.1.8) к виду (1.1.11). Тогда погреипюсть решения системы (1.1 Д1) методом исключения определяется обусловленностью мат- рицы J *, которая при неудачном выборе параметра продолжения X* может оказаться слабо обусловленной, даже в регулярных точках кртшой К. Это обстоятельство лишний раз подчеркивает» что попытка построить на основе метода Гаусса универсальный алгоритм продолжения прюедет к необходимости дополнительных вычислении для выбора удовлетворительного параметра продолжения. Подробнее этот вопрос мы рассмотрим в § 1.4 в связи с вопросом об оптимальном параметре продолжения.
Обусловленность же метода ортогонализации зависит от двух причин. Во-первых, она определяется обусловленностью расширенной матри- зо .
цы Якоби J, которая не меньше максимальной обусловленности матриц /止.От этой обусловлешюсти зависит погрешность» которая накапливается в процессе построения ортогормированного базиса F\ ,・・・,Vm (1.1.18). Во-вторых, обусловленность метода ортогонализации зависит от выбора вектора Q и определяет погрешность операции (1.1.23) выделения из вектора Q орта искомого решения dX]dX.
В книгах [63, 35] рекомендуется в качестве Q выбрать вектор- строку [0,. . . ,0,2]. Однако такая рекомендация вызвана использованием метода ортогонализации для решения системы уравнении классического вида (АХ=») • Вообще же говоря, обусловленность операции (1.1.23) тем больше (а погрешность тем меньше) 9 чем ближе вектор Q к искомому решению Vm+i- Действительно, если Q совпадает с %+「то все скалярные произведения (Q,匕)』=1,・• •，九 равны нулю, и (Um+li 〃+D = 1. Если же, наоборот, вектор Q ортогонален к 嘘+i，то он пршадлежит подпространству Рт, т.е. 4+1 = 0, н операция нормировки в (1.1,23) становится невозможнбй хотя бы потому, что она пршодат к делению
на нуль. С этой точки зрения использование операции ort(J, Q) в процессе продолжения решения по параметру создает выгодную ситуацию для выбора вектора Q, близкого к искомому Ут^1> Если мы переходим из точки』一1 кривой множества решений К (рис. 1.2) в точку 入命,то рационально в точке 入к в качестве Q выбрать вектор dXIdN^ ^ ( в точке 入*т), который будет тем ближе к искомому вектору dXjdW^ чем ближе А* к %_]，Это обстоятельство может быть испольэоваж) в качестве критерия для оценки величины выбранного шага по 入 при движении вдоль кривой К. Так, малая величина нормы (t^+i, Um^^2 вектора /+[ (шидетельствует о том, что вектор 0 = dX〃 入| 入 сильно отличается
Рис. 1.2
от искомого вектора dXld\^K^ А это значит, что кривая К в пределах
шага от 乂_[ к % =入*_[十△入 сильно изогнулась и» чтобы избежать на- коплеяия погреипюсти щж интегртровании задачи Коши по 入,необходимо уменьшить шаг △入.
Рассмотрим теперь конкретные алгорттмы построения решений системы уравнений (1.1.3) путем численного интегртрования задачи Коши
по параметру 入(1.1.24), (1.1^25):
(1.1.28)(1.1.28)dX 一 、一、一
(1.1.28)
(1.1.28)
—=ort(J,Q), X(O) = X(o)・
Из всех известных алгоритмов рассмотрим и будем исследовать в дальней* шем только метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера и метод Рунге — Кутта 4-го порядка. Ддя удобства введем следующие обозначения:
(1.1.29)(1.1.29)(1.1.30)(1.1.30)(1.1.31)(1.1.32)(1.1.31)(1.1.32)х(М=^г
(1.1.29)
(1.1.29)
(1.1.30)
(1.1.30)
(1.1.31)
(1.1.32)
(1.1.31)
(1.1.32)
dX/dX=x, 4歹佃Х)"=*(m) = *伊),
7（元（“））=元京動）=了（比）, Q（入 Q=Q（jt）・
Простейшим методом интегрирования задачи Коши (1.1.28) является метод Эйлера. Он основан на замене движения по кривой К движением по касательному вектору dX]dX = *・ Переход по методу Эйлера от 入左, где известю Х0*) = X(Л), к M+i = X* + △入 сводится к следующим вычислениям: вычисляется расширенная матрица Якоби / ⑺=/-(*(★))； она дополняется снизу до квадратной вектором^строкой。林)，в качестве которого удобю взять вектор х(★一i) = dXldX^Kk 】,полученный на предыдущем шаге; с помощью операции ort строится орт касательной к кривой К мкюжества решений
dXfdX^Kk =x(jt)= ort(J jt，x(jt«i))
и, наконец, получают приближенное решение Х(д+1)= Х(ХЛ+1), продвигаясь на △入 вдоль вектора касателыюй» как X(л+1)= Х(^)*х(*> △入. В таком алгоритме остается произвол в выборе вектора Q на первом шаге, при переходе от 入⑺=0 к 入⑴♦ Так как обычно начальная точка 入=О, где известно решение Х(о), не является пределыюй, то на первом шаге можно использовать в качестве Q(o)вектор [0,..., 0,1]. Окончательно алгоритм метода Эйлера для интегрирования задачи Коши (1.1.28) принимает следующий вид:
(1,1.33)(1,1.33)Хо =0» 々о) = Х(。)，0(0) = [0,0,.. -, 1] J
(1,1.33)
(1,1.33)
Xi =1 + △%，х(“)= 0rt(丿牍)，Q(*))，
X（Jt+i） =х（。+*（籌）厶入#，Q（Jt+i）=x（jt）,
* = 0,1,2,
С помощью этого алгоритма кривая К множества решении уравнения （1.13） приближенно представляется в виде ломанной Эйлера L （рис. 1.3）.
Как известно （см., например, [35]）, на каждом шаге такого алгоритма накапливается ошибка порядка О （△入，）.
（см., например, [35]）. Его алгоритм в нашем случае принимает вид:（см., например, [35]）. Его алгоритм в нашем случае принимает вид:Более точное приближение множества решений К （с погрешностью на каждом шаге порядка О （△入'） обеспечивает модифицированный метод Эйлера
（см., например, [35]）. Его алгоритм в нашем случае принимает вид:
（см., например, [35]）. Его алгоритм в нашем случае принимает вид:
入。=。，Х（。） = Х（。），Q（o） = [0,0,..., 11 i
А+1 = “ + △%, *00 ss 5（」（Х（*э）, Q（jt））;
（1.1.34）（1.1.34）XX+D=X（JO +*（*）△』，。3 н*⑺，
（1.1.34）
（1.1.34）
城 3 广 0rt。（*左*1）），0左+2，Q（*+D =唾+1），
-—1
X林+D =%（为）+三（*（動+*左+1））△入为，
Л = 0,1,2,...
Еще лучшую точность （погрешность порядка 0»Х） дают формулы 3-го порядка метода Рунге — Кутта:
入о = 0, Х（о）= Х（0）, Q（o）=[“ …，“ 1 ]；
M + i=M* △入需，42 = оП（/（Х（Л））, C（jt））,
*（*） =ort（^（^（*） + '2 △"x（2）））喲）’
（1.135）（1.135）*(£/=0rt('("⑹-△、(+£))— 2* 務”嗜0)’
（1.135）
（1.135）
%+ [） =*（为）+ / （中8）+4x（島）+ *組）△* QgD =中*
斤=0,1,2,...
И, наконец, погрешность О（ДХ5） обеспечивают формулы 4-го порядка л^тода Рунге — Кутгл, наиболее употре&пельные среди которых принимают
3333Э.И. Григолюк
33
33
в нашем случае следующую форму:
入о = 0, Х(о)=М。)，Q(o)= [о, • • • ,о, 1];
入■+L 入it + △』，嘘卜 ort(J (X(fe)),。⑺)，
嘘))=ort(7(X(fe) + l 嘘; △入)嘘)
嗡=wk⑴+1喲gм/3 36)
无8)= ort(J(X(*)+*(思△入Q, *£/，
%+1) = %) + 7 (曜: +厶超+厶品)+喝))，
Q&T)=*£)，火■ °丄 2 …
Все эти алгоритмы относятся к алгоритмам явного вида и для них характерно накопление погрешности в процессе непрерывного продолжения решения. Возможно применение и других алгоритмов яркого вида4 как, например, алгоритмы метода Адамса — Штекера и т.п. (см., например, [35]).
Обо&цевиые фсфмн дискетного щюдолжения ранения
Напомним сначала метод Ньютона — Рафсона для решения уравнения с одним неизвестным!
尸⑺=0.(1.2Л)
Идея метода состоит в том, что некоторое приближенное решение 改⑴ этого уравнения уточняется с помощью замены в (1.2.1) функции 尸(Ж) ее линейной аппроксимацией. Для этого F(X) раскладывают в ряд.Тейлора в окрестности № и сохраняют только линейные слагаемые. Геометрическая интерпретация такой замены показ гена на рис. 1.4. Тогда уравнение (1.2.1) заменяется на следующее:
尸(Х(” +尸'(х«))(х-ха)) = о, F' = dF/dX.(1.2.2)
Решение этого уравнения
X = Х«+1)= Xw - (F'^^FfX10)(1.2.3)
и дает новое приближение для решения уравнения (12・1). Повторяя эту операцию, мы строим итерационный процесс, который при удачном начальна приближении позволяет найти решение уравнения (1.2.1) с какой угодно точностью (рис. 1.4). При этом, конечно, в процессе итерации F‘=dF[dX. должна обращаться в п^ль. Иногда удобно записать уравнение (1.2.2) как уравнение для приращения
F(/w)+F*^0) △ ^ *> = 0.(1.2.4)
Получив отсюда △Х"'。= 一 尸(Х(。)/尸'(犬⑴)，наидем
匹 D =х⑴+次代D.(1±5)
Если 尸-m-мерная вектор-функция, а X — вектор в линейном нормированном пространстве Rm, то метод Ньютона — Рафсона обобщается и требует на каждом шаге итерационного процесса репюния следующей системы
/(*«)) ах"*'； -尸(X。))，(1・2・6)
здесь /(X) = bFjbX — матрица Яко&< вектор—функции Е Эта матрица должна быть не вырождена.
При исследовании решений системы нелинейных уравнений, содержащих параметр 尸，
F(X,P) = 0,(1.2.7)
обычно возникает задача определения влияния изменений параметра задачи Р на эти решения. Как отмечалось во Введении (В.1), при выполнении условий теоремы о неявных функциях решения X уравнений (1.2.7) являются непрерывными и дифференцируемыми функциями Р:
Х = Х(^.(1.2.8)
Простейшей фо^жюй представления этой зависимости было бы отыска・ ние решений %*)= Х務)для некоторого множества значений параметра Ро <Pi <.・・ <Rt<... < Рл. М. Лаэй (447,448] показал, как при использовании метода Ньютона — Рафсона можно экономично организовать процесс продолжения решения по параметру. Его предложение, по существу, свелось к использованию решения для предыдущего значения параметра задачи Р в качестве начального приближения для текущего значения параметра. Этот щюцесс можно записать в вцде
%У =%т)；
〃整/, PQAX弘 1)=一 尸(/息外)，(1.2.9)
碑訐=*2 + AX器，
/ = 0,1,2,... при И△■¥(爲 1)М> е; Л= 1, 2,...,
здесь использованы следующие обозначения: Xg =Х0),Х^)/-е приближение Xg в итерационном процессе Ньютона — Рафсона (1.2.9), который продолжается, пока норма вектора приращения △%审"превышает заданную точность е> 0.
На рис. 1.5 показана геометрия процесса (1.2.9) для уравнения с одним неизвестным при переходе от 厶一i к 尸命・ Искомым множествс»4 решений уравнения /XXР) =0 является кривая К, по которой поверхностьF(AQР) пересекается с плоскостью X ^- Итерационный процесс Ньютона — Рафсона проходит в плоскости Р=& с начальным приближением 内工｝ = ■常一 i).
Этот же рисунок наглядно показывает, что трудности, возникающие в окрестности 1федельиой точки Т> связаны с переходом от /^ к Рк+ 1э который выводит процесс (L29) из области, где существует решение. Как видно, эта трудности обусловлены тем, что решение разыскивается в пло скости P=Z^+1, которая не имеет пересечения с кривой множества решении К. Таких трудностей удастся избежать, если для каждого К организовать итерационный щюцесс Ньютона — Рафсона поиска Х(比)в плоскости М(为卜 которая ортогональна кривой К при X = *左)・ Но пока не найдено 改为А плоскость М(/)неизвестна. Однако можно искать решение в плоскости М&), близкой к М(*> Рассмотрим один из способов задания М；*)・ Так же, как и в предыдущем параграфе, будем считать неизвестные и параметр задачи равшшравными и введем вектор
刀=[%,…，/,/т=Р]£%т・
Тогда систему уравнений (1.2.7) можно записать в векторной форме
尸(Т) = 0・(1.2.10)
Здесь F=[Flt...,/^]T-вектор-функция.
Пусть Г —величина шага, с которым мы стремимся двигаться вдоль К.. Тогда к плоскости М(*)будет близка плоскость М沁 проходящая через
Рис. 1.5
точкуX(jt^i)+ r・ dX6-~dXW& так, что она ортогональна касательно му к кривой Кв предыдущей точке Х(Л_ х)единичному вектору dX^^jj/dX (рис. 1.6). Плоскость М(壽)поэтому определится уравнением
(1211)(1211)
(1211)
(1211)
которое требует равенства нулю скалярного произведения (т.е. ортогональ ности) принадлежащего плоскости М&)вектора
△妬耳［J)+f三汴)△妬耳［J)+f三汴)(1.2.12)(1.2.12)
△妬耳［J)+f三汴)
△妬耳［J)+f三汴)
(1.2.12)
(1.2.12)
и вектора dX&_ i)/入,касателыюго к к^жвой К в точке X (为一【)・
Таким образом, Определение следующего после Х(*т)решения Х(*) сводится к нахождению решения уравнения (1.2.10) в плоскости М；为),т.е.к совк^спюму решению уравнений (1.2ДО), (1.2Л)
尸(М) = 0, 一(1213)
Здесь второе уравнение получено из (1.2.11) с учетом того, что вектор dX(jt-i)佃入 является единичным, т.е.
(dX(it-i)/d 入，dX林_1)阻入)=1.(1.2.14)
Итерационный процесс метода Ньютона 一 Рафсона для системы (1.2.13) имеет вид
Х(М = X(D +rd“o/d 入；(1.2.15)
J^)^^ =-F(XW^' 丿
(*一謐>-[再>,—h
—(i+i)—(0— (f+i)(1.2.17)
X(U)= X ⑺ + ДХ 电，
/ = 0,1,2,... при BAA^D U>£； к = 1,2,...
Здесь» как и ранее в §1・1, введена расширенная матрица Якоби вектор- функции F
7 = 9F/dX.(1.2.18)
Дня уравнения с одним неизвестным X* = X м параметром & = Р геометрия такого итерационного процесса показана на рис. 1.6.
Обратим внимание, что первое слагаемое в квадратных скобках уравнения (1.2.17) представляет собой длину проекции вектора (*^| — —*(*_])) на направление орта dX(太—JdX. Начала этих векторов совпадают и лежат в точке Х&_d , а конец вектора (*靠)—Х(^_。) ле・ жит в плоскости М：. Но так как плоскость 崔 ортогональна вектору dX(为—d О то в процессе итерации длина этой проекции остается постоян- юй и такой же, как на началыюм шаге (1.2.15), т.е. рав>юй Г. Поэтому правая часть в уравнении (1.2.17) обращается в нуль, а само это уравнение приобретает более простую форму:'
(■^2 △又謂А。В')
Геометрически это уравнение означает требование ортогональности поправочного вектора △*(展;)к касательному орту dX^k_tyld\ (см. рис. 1.6). Такая интерпретация дополнительного уравнения (1.2.17) подсказывает некоторые итерационные процессы, от которых следует ожидать еще большей эффективгости. Так, если ввести вектор
翦=邛2一天(1)，(l・2.20)
то по аналогии с (1.2.19) условие (1.2.17) можно заменить следующим:
肉2), △兄#))=0.(1-2.21)
Геок^трия итерационного процесса с таким условием показана на рис. 1.7. в плоскости R^. В этом процессе на каждой итерации корректируется положение плоосости М；尢),в которой ищется решение.
Если к tqw же вектор 殳на каждой итерации гормировать так, чтобы он имел длину Г, то получится итерационный процесс, проиллюстрированный в плоскости R2 рис. 1.8. Этот процесс обеспечивает величину шага Г по хорде кривой К. с заранее заданной точностью. Его алгоритм имеет вид
理=九夜牍_1)/人，观:)=几_1) +说))；
『&£ ) △歹喝)=一尸口 <*>),(1.2.22)
础),△■(；：；)) = (),(1.2.23)
/〜磯)+△*£))/』瑞+△№"，
歹 a+D у +E«+d
f = 0,1,2,... при И △*(張;)N>e; fc = 0,1,2,....
Заметим, что все рассмотренные здесь алгоритмы допускают обычную для метода Ньютона. — Рафсона модификацию с заменой матрицы
證
J(X 窗),которая меняется от итерации к итерации’ на матрицу / (Х(；^)) первого приближения.
Обратим внимание на то» что по, существу, все описание здесь итерационные процессы являются процессами решения систем т нелинейных уравнении вида (1.2.10) с m +. 1 неизвестными компонентами вектора X совместно с некоторым дополнительным условием.
Так, в процессе М. Лаэя (L2.9) используется простейшее дополнительное условие Xm+i =外，а в процессе (1.2.15) —(1.2.17) — условие (1.2.19) и т.д. Все эти дополнительные условия определяют в Rm+1 некоторую плоскость М&), которая может 诙вменяться от итерации к итерации. Обобщая этот подход, можно попытаться сформулировать дополнительное условие, определяющее некоторую поверхность, и искать решение уравнения (1.2.10) как точку пересечения множестаа решении К. с этой поверхностью. Так, если в качестве такой поверхности выбрать сферу радиуса Г с центром в точке Х(驚一d，то придем к совместному решению следующих уравнении:
F(X) = 0,(1.2.24)
由 一М赫-1),元一&>1)) 一产=0-(1.2.25)
Алгоритм метода Ньютона — Рафсона для такой системы уравнений имеет вид
嚼=t dX^ldk,福=歹…+瑞;
了(*3)△p%:)=- 尸a 名)，(1.2.20
础，△穡Т))=4[产一(%喘比(12-27)
亍G+D =亍⑺ +(*1)?("D =歹a+Dy
(*)⑺ (融'*⑺⑺ 一(左-1)'
1 = 0,1,2,... приВАХ(爲)B>£； fc = 1,2,...
Истолкование рассмотренных выше итерационных процессов как процессов совместного решения осювной оютемы' у равнений'с дополнительным уравнением позволяет рассматривать их с общей точки зрения на метод Ньютона — Рафсона, которая подробно развивается во многих монографиях ([366,35,481,212] и др.). В них детально обсуждены вопросы сходимости катода. Мы только отметим, что для сходимости итерационного процесса катода Ньютона — Рафсона началыюе приближение обычно не должю слишком сильно отличаться от искомого решения. В построенных выше итерационных алгоритмах по сакюму смыслу метода продолжения решения это требование удовлетворяется при достаточно малых величинах шага Г по параметру продолжения 入.
Заметим, что рассмотренные здесь алгоритмы дискретного продолжения в качестве основного элемента содержат систему линейных уравнении с расширенной матрицей Якоби J . Это делает их сходными с алгоритмами непрерывного продолжения, и их алгоритмическая близость становится еще более очевидной, если системы (1.2.16), (1.2.22) , (1.2.26) решать методом ортогднализахщи. Расс^трим подробное уравнение (1.2.16), а дополнительное условие возьмем в форме (1.2Л9);
元殴))△5符=一f&2))，(1-2.28)
@&*т)〃入，ДХ(^>) = 0.一 (1-2.29)
Решение уравнения (1.2.18) можно представить в форме
△/£>=*；，А* 鄒 + △租产Q2.30)
Здесь а〈：；)一 произвольный коэффициент; △X。,；；)является решением однородного уравнения
布芻)△程；】)= о,(1.231)
а △Х*，3" — частное решение неоднородного уравнения
，(£?))・△戸貯)=Т&2))・(1232)
Вектор △*；、『)ортогонален подпространству, натянутому на строки матрицы J (Х„, и может быть найден методом ортогонализации, как • и вектор dX/d入,при непрерывном продолжении (см. (1.1.2В)). При этом удобно в качестве вектора Q пртнять вектор △*：芻 предыдущего приближения. Таким образом,
△5嗡 1)= ort「&M А手W ).(1.2.33)
Как отмечалось в § 1ДЭ процесс ортогонализации матрицы равносилен ее представлению в виде произведения левой треугольной матрицы на ортогональную (1.1.19). В нашем случае матрща J (X，?)) в процессе ортогонализации представляется в виде
e3户巡)喟-(1234)
Учитывая это, помножйм систему (1.2.32) на матрицу (П 龍)一‘,обратную для П В результате поЛучим систему уравнении
嚼同肥 7稿)-"(邛?))=鬼・0235)
Так как матрица У ,g ортогональная, то ее произведение на транспонированную (卩名)т является единичной матрицей. Поэтому непосредственной проверкой легко установить, что решением уравнения (1.2.28) является вектор
△5喘"(嘴 L一嘴)T(端)-/(嘴). (1-2-36)
Коэффициент «弘。в (1.230) определится из до1юлнителыюго условия (1.2.29) в виде
鍔」(*2•，我犷))峠1t ‘△萨筑)(37)
• Заметим, что обращение матрицы m-го порядка общего вида является очень трудоемкой вычислительной задачей, так как оно равносильно решению т систем линейных алгебраических уравнений т・го порядка. Однако в нашем случае матрица П „“ является треугольной, что существенно упрощает ее обращение и делает трудоемкость этой операции равной трудоемкости решения только одной системы пг-го порядка. Поэтому использование матрицы (口 器;)т в решении (1.2.36) не существенно увеличивает трудоемкость решения системы (1.2.32) и позволяет при этом использовать результат решения системы (1.2.31).
Представление в виде (1230) допускают и все остальные из расскютрен* ных выпю итерационных процессов. Так, для процесса (1222), (1.2.23) получаем из (1223)
。芻=-(% △f：;%(喘，△我噹")•(1238)
Для процесса (1.2.26), (1.2.27) получаем
。(將Н4■片-(嚟)，軍))-2(嚟),△/，#))]/(嘿),△m嗡D).
(1.2.39)
Обратим внимание на тот факт, что в случае сходимости всех приведенных здесь итерационных процессов, т.е. при X% — Х(^), матрща J &爲)сходится к матрице J (Х(*)), которая играет центральную роль в процессе непрерьшного продолжения решения. Поэтому, сравни， вая уравнения (12.32) и (1.1.8), заключаем, что АХ,，сходится к dX(K)ldN Это позволяет легко комбинировать непрерывное и дискрет
ное продолжения репюния, используя последнее по необходимости для периодического уточнения решения.
Как уже отмечалось, успех пр!менения метода Ньютона — Рафсона во многом зависит от начального приближения. В процессе продолжения
репюния по параметру качество начального пртближения определяется шагом £ по параметру 入.Представление решения в виде (1.2.30) позволяет контролировать величину шага £ с помощью выражений для а*：；' (1.2.37), (1.2.38) или (1.2.39). Для сходящегося итерационного процесса знаменатель этого выражения сходится к скалярному произведению
■*)=@后-1)m入/后功/入). (L2.40)
Ясно, что чем меньше шаг, тем ближе друг к другу ортн dX(先一。〃入 и d*《*)M 入 касательных к кривой К при 入=X^.j н 入=入左 н тем ближе S^ к единице. Конечно, S (左) может быть вычислено только после того, как итерационный процесс сошелся. Но приближенно судить о значении S(&) можно по знаменателям выражении для。，郊)на первом шаге (при г = 0):
5周二(戒("1)/以,△京喘)). (1.2.41)
Поэтому для того, чтобы шаг £ был не слишком т^лким и в то же время сходщ^юсть итерационного процесса была обеспечена, при практической реализации дискретного продолжения решения обычно достаточно следить эа выполнением на первом шаге итерационного процесса условия вида
7H «(d&»i)/dN △碣? <7в<1- (1.2-42)
Из опыта можно рекомендовать для констант 7H и ув значения ~ 0,8 и ~ 0,9 соответственно. При невыполнении условии (1.2.42) необходимо либо уменьшить, либо увеличить шаг t.
3. Примеры пртменения различных форм метода продолжения решения
Здесь мы paccNK)TpnM примеры применения разработанных в § 1.1, 1.2 обобщенных форм метода продолжения решения. Наиболее эффективно эта формы работают, когда множество К решении нелинейной задачи является петлеобразной кршой. Как видно из рис. 1.9, при построении
мы столкнемся с трудностямимы столкнемся с трудностямиРис. 1.9Рис. 1.9кривой К продолжением по параметру Р при приближении к предельной точке В. Чтобы их преодолеть, необходилю сменить параметр продолжения. Если в качестве такого параметра выбрать X и перейти от Р к X на участке между точками Л и В, то точку 6 мы пройдем без осложнений. Но вновь столкнемся с трудностями при приближении к точке С, которая вместе с точксж А является предельной при выбо< ре X в качестве параметра продолжения.
мы столкнемся с трудностями
мы столкнемся с трудностями
Рис. 1.9
Рис. 1.9
Таким образом, для построения множества решений в виде петлеобразной кривой путем продолжения по заданно-
му параметру необходима по крайней мере двукратная смена параметра. Обобщенные же формы продолжения решения, как это было показано выпи, не требуют смены параметра и делают процесс продолжения решения одинаковым как в регулярных, так и в предельных точках множества решений.
Мы здесь пока не касаемся трудностей, возникающих в процессе продолжения около точки ветвления/) (рис. 1.9).
Лемниската Бернулли. В качестве первого примера рассмотрим построение методом продолжения решения лемнискаты Бернулли, которая представляет собой оюжцую кривую в виде положений на бок восьмерси (рис. 1.10). Наличие двух петель на этой кривой делает ее хорошим методическим примером для демонстрации эффективности различных форм метода продолжения решения.
Уравнение лемнискаты в осях X、, & имеет рнд
尸(5) = (X? + X" - 2経(督-X幻=0,天=［：］•(1.3.1)
Эта кривая пересекает ось X、в точках ± а \/5~ и 0. Ниже мы рассмотрим случай а = 1.
Считая 石 н & функщшми параметра 入,получаем уравнение продолжения (1.1.8)
^dx 一「аг эг 1 dx г d*i 缺 1““、
Здесь jT — расширенная матрица Якоби функции F(X)=尸(髙，及).
В развернутом виде уравнение (13.2) пришмает вид (произведено сокращение на множитель 4)
К(*К*分％ 一/xj((*“対)爲 +/&)］八 =。
L dX^dX J(13 .3)
Здесь матрица 了 = ［Jn,J12］ представляет собой попросту вектор-строку
в двумерном векторюм пространстве R?. Поэтому в данном частном случае нетрудно найти единичный вектор dX/dK удовлетворяющий уровне- нию (1.33). Это будет один из вектс^ов
Но мы будем искать решение уравнения (133) dX]dX с помощью общей процедуры ортогонализахщи (1.1.23)
dX/£ = ort(7,e).а 3.5)
Интегрировать это дифференциальное уравнение будем, начиная с точки Л (рис. 1 ЛО),где
京=[依0产.(136)
Начальное значение вектора Q примем в виде
0=[0,1].(1.3.7)
В далшейшем в качестве Q 飽дем принимать предыдущее значение век- TopadAf/dX.
На рис. 1Л0 представлены результаты интегртрования задачи Коши (13.5), (1.3.6) с помощью явных схем различной точности (т.е. методом непрерывного продолжения) с шагом ДХ = 2. При этом рассматривались простой метод Эйлера — результаты показаны точками, модифицированный метод Эйлера — результаты показаны крестиками и метод Рунге — Кутта 4-го порядка — кружки.
Для того чтобы избежать влияния накопления погрешности в точке ветвления О (в начале координат), эта точка проходилась следующим образом: если начало участка перед следующим шагом продолжения решения попадало в круг радиуса 0,1 с центром в точке О, то начало участка переносилось в точку, симметричную относительно О. Это позволило сохранить накопившуюся* погрешность •
Накопление погрешности при применении метода Рунге — Кутта с шагом △入=2 можно охаракте>жэовать следукицим результатом* после четырехкратного обхода восьмерки леминскаты кртвая прплла в точку с координатами & =1,4112, Х2 = -0,0026. Если бы погрешность не накапливалась, то к理вая, конечно, пришла бы в точку Л с координатами К = = Х^« 1,4142, А^ =0.
Применение алгоритмов дискретного продолжения в § 12 при продолжении рецюния с тем же шагом △入=2 дало практически точное значение координат точек лемнискаты. Пртчем затраты мщшшного времени ЭВМ в этом случае были даже несколько меньшими, чем при интегрировании задачи Коши методом Рунге — Кутта, так как количество необходимых итерации метода Ньютона — Раф сона обычно не превышало трех, в то время как шаг метода Рунге — Кутта по трудоемкости равносилен четырем итерациям.
Пологая арка. Одж>й из нелшогах нелинейных задач механики твердого деформируемого тем.» допускающих точное реиюние, является задача о пологой арсе. Это делает ее удобней моделью для проверки эффективности входов решения нелинейных задач. Мы рассмотрим эту задачу в той постановке, в какой она была исследована в работе [107]. Будем также пользоваться, в основном, и обозначениями этой работы, где обоз・ наче^о： w, 〃 一 перемещения оси арси а направлениях координатных осей т,х (рис. 1.11); ■ — стрела подъема арки; ^z ~ интенсивность нагрузки
вдоль оси z; N — продольное усилие в арсе, Е — модуль упругости материала; 尸,J — площадь и главный центральный момент инерции поперечного сечения арси относительно оси, нормальной к плоскости арки; / = =/8 — уравнение центральной оси арки до деформации.
Введем безразмерные переменно
& = х〃，W = w/h, f =f/h, q = qzl^lEJh,(13 8)
U^u/h, k = ~NPlEJ, m = 4J/师2.('
В этих обозначениях уравнения, описывающие деформацию арки, концы которой закреплены от перемещений вдоль оси %Q(0) ="(7) =0), записываются в форме
W【v$左 W"=q— 廿 ”，(13.9)
)(『'"+!(W '))遡♦；左小=0,(・• •)' = d(.・•)侬.(1310)
о \2/4
Общее решение уравнения (1,3.9) ил^ет вцд
W(e = G 8s 凉* + G sin 欣 + Сз 主 + C4+ W1《).(1.3.11)
Здесь % ⑹—частное решение уравнения Q3.9). Если из условии закрепления арки найти постоянные интегрирования Ci,・・•, G и подставить решение (13.11) в уравнение (1.3.10), то в итоге получим трансцендентное уравнение, связывающее параметр нагрузки q с параметром распора арки к в форг^
尸(％ 左) = 0.(1312)
Так, для арки синусоидальной формы под равномерной нагрузкой и при шарнирном закреплении концов имеем
m)= -sin 哦，
(1.3.13)
W(0) = W(l) = №(0)= W"(l) = 0,
(1314)
% - “ W? + ,2 皿"艮
2k后一行4
(13-15)
После определения постоянных G…•，Q из условий (1.3.14) получаемПосле определения постоянных G…•，Q из условий (1.3.14) получаем喫喫COS遂W +电弓（血述与一 1）一COS遂W +电弓（血述与一 1）一1, 1 к— 5бт>]+к皿時1, 1 к— 5бт>]+к皿時(13.16)(13.16)
После определения постоянных G…•，Q из условий (1.3.14) получаем
После определения постоянных G…•，Q из условий (1.3.14) получаем
喫
喫
COS遂W +电弓（血述与一 1）一
COS遂W +电弓（血述与一 1）一
1, 1 к
— 5бт>]+к皿時
1, 1 к
— 5бт>]+к皿時
(13.16)
(13.16)
Подстановка этого выражения в уравнение (13.10) приводит к уравнению, связывающему qnk:
尸@@ = /"^^^[(24 + *)8$2咚+-.
/5 sin \/Го \/k
+ cos2 ^^ [тг?左(2炉-砂 + wA(#2 — к)? ] = 0.(13.17)
Это уравнение отличается от приведенного в работе [107] некоторыми несложными преобразованиями. Его любезно сообщил нам Н.Н. Андриа» нов. Относительно q уравнение (13.17) является квадратным, что позволяет без труда установить зависимость ^(fc). Для значений параметра пологости m< 1 эта зависимость образует на плоскости q,k петлеобразную кривую, которая для т = 02 представлена на рис. 1.12.
Мы использовали для построения этой кривой обобщенные алгоритмы непрерывного и дискретного продолжения. Уравнения непре^шного продолжения представлены в виде
了晉-厶*礎]，*=[：]• 28)
Выражения для 8尸/3q и 8FI3k несложно получить из уравнения (13.17). Они достаточно громоздки, поэтому мы их здесь не приводим.Выражения для 8尸/3q и 8FI3k несложно получить из уравнения (13.17). Они достаточно громоздки, поэтому мы их здесь не приводим.
Выражения для 8尸/3q и 8FI3k несложно получить из уравнения (13.17). Они достаточно громоздки, поэтому мы их здесь не приводим.
Выражения для 8尸/3q и 8FI3k несложно получить из уравнения (13.17). Они достаточно громоздки, поэтому мы их здесь не приводим.
Явная форма уравнения продолжения получалась решением (1.3.18) методом ортогонализации
(1.3.19)(1.3.19)dT/dX = ort( J,Q).
(1.3.19)
(1.3.19)
В качестве начальной точкй была взята точка кривой 左⑷ вблизи начала координат. Само начало координат для такой точки не годилось, так как в нем производные dF/bq и bF/Ьк содержат деление на к. Начальное значение вектора Q было принято в виде Q = [1,0]. Такое задшие Q учитывает, что в начальной точке кривая к④ меньше наклонена к оси q. В дальнейшем в процессе продолжения в качестве вектора Q принимался орт d*/入 для предыдущего значения X.
На рис. 1.12 точками представлен результат интегрирования задачи Коши для уравнения (13.19) методом Эйлера с шагом АХ = 4. Крестикам соответствует результат, полученный модифицированным методом Эштера с тем же шагом. Кружками обозначены точки, полученные методом Рунге — Кутта 4-го порядка с шагом ДХ = 4 и △、= 2. Здесь мы уже имеем практическое совпадение с точным решением. С целью сохранения накопившейся погрешности переход через точку ■фуркации Б осуществлялся также по условию симметртш, как и при построении лемнискаты Бернулли.
Методы дискретного продолжения (§ 1.2) при движении с шагом △入=4 дали результаты, которь» совпадали с точным решением с заданной точностью. При этом машинное время, так же как и в случае лемнискаты Бернулли, оказалось неосолько меньшим, чем при использовании метода Г^нге - Кутта 4-го порядка.
Трехстержневая ферма, досмотрим симметричную деформацию трехстержневой фермы, показанной на рис. 1.13, под действием силы Р. Величинам, относящимся к центральному стержню, мы будем п^жсваивать индекс Т', а к боковым — индекс '2'.
Пусть М - сжимающие усилия в- стержнях; Е - модуль Гука прт растяжении; 户* 厶 一площадь и моменты инерции поперечных сечений стержней; I — длина стержней. Оговоримся сразу, что наша основная цель при рассмотрении этой задачи — получить систему нелинейных уравнений, позволякицую продемонстрировать эффективность различных форм метода продолжения. Поэтому мы не будем стремиться к слишком точному описанию поведения фермы. В частности, мы не будем учитывать изменений углов между стеряшялш при опускании узла фе^яш. С учетом этого
уравнение равновесия узла и условие совместной деформации стержней принимают вцд
N, +^ =Р,(1.3.20)
Д/j «2Д/2.(1.3.21)
Здесь △% — укорочения стержней. Стержни будем считать неидеальными и при подсчете их укорочений будем учитывать изгиб стержней под действием сжимающих усилий 叫.Пусть х — координата вдоль стержня; w* 8, 也。8 — полный и начальный прогибы f-го стержня (i =1,2). Тогда с точностью до квадратичных слагаемых ((dWf/Ул)2 =» (w^)2 < 1)а укорочение стержня можно представить в виде•
М=祭+Kw；)2-(w；o)4dx,j=l,2.(1.3.22)
Для описания изгибных деформаций при действии сжимающих усилий М невдеального стержня с начальным прогибом w/0 (х)воспользуемся уравнениями продольно^юпер^шого изгиба (см.> например, [327,329])
EJtW^NiWt^EJiW^ Л= 1,2.(13.23)
Будем считать, что начальный прогиб стержня имеет форму полуволны синусоиды
wf0 = W#o sin fxR.(13.24)
Тогда уравнение (1.3.23) ввиду шарнирного закрепления концов стержней (w；(0) =w；q)=0) имеет решение вида
w产 Wf sin -—.(1;3.25)
Подставив выражения (1.3.24), (1.3.25) в уравнение (13.23), получаем связь между амплитудными значениями полного.物 и начального прогибов
стержней:
([326)([326)i=l,2・i=l,2・吗=%/(1一m灯;), я2Е/
([326)
([326)
i=l,2・
i=l,2・
% = к,
Здесь “* 一 критические значения сжимающих усилий. Из выражения (1 3.22) После подстановки в него прогибов (13.24) и (13.25) и интегрирования получим
仙盗+ »*%），仙盗+ »*%），(1.3.27)(1.3.27)
仙盗+ »*%），
仙盗+ »*%），
(1.3.27)
(1.3.27)
Соотноиюния (13.20), (13.21), (1326) и (13.27) составляют систему шести уравнении относительно пюсти неизвестных М，А", М，，==1，2, содержащую параметр Р・ Исключим из этих уравнений укорочения А“，
i = 1,2,и введем безразмертые переменные
(1.3.28)(1.3.28)Nf^NtlN；, Р° = PIN：,W； = Wifl,^Q = Wi0H, L册/n；“2"1, &=Ft44Jx, i = l,2.
(1.3.28)
(1.3.28)
Э.И. Григолюк
В итоге получаем слех^ющую систему четырех нелинейных уравнений для Wt и N； с параметром Р° (здесь и ниже знак "。" у безразмерных величин
Ьпущен)：.
М +aJV2 - Р-0,
h-20V2.+ 6[(w；-2物2) 一 ("6-2們。)]=0,(13.29)
Wi (1 — Ni) — Wi О = 0,川2(1 - ％2)— W^2 0 ^ О-
При Р = 0 эта система имеет решение
Р = 0, N] =М = 0, Wi = %(ь 伍=祀2。・(13.30)
Отметим также, что если стержни идеальные, Т・е.弘 о =物 о =0,то система (13.29) имеет четыре точных решения:
21
I)、= - Р, № = — Л Wi =奥=0；(1331)
3За
2)^=1, Nz=(P-l)/Q, W；=(2尸一3)/0,检=0;(1332)
3)Ni=P-ct, M = l,秘1=0,步：=(P-3q)/2S;(1333)
4)Ni = l, M = l, P=l+Q, W；-2W，=(2q — 1)/0・(13.34)
Для q = 1, 3 = 100 эти решения и соответствующие им формы деформирования фермы показаны на рис. 1.14 в пространстве W「恥，Р. Из этого рисунка вида" что множество решений системы (1.3.29) сложно меняется в пространстве и имеет три точки ветвления Bi9B29B39 причем Л2 nJ являются точками вторичного ветвления решений. Такое поведение множества решений делает невоз!^южным его численное построение с использованием единого, параметра продолжения и требует для каждой ветви
выбора своего параметра. Формы метода продолжения, разработанные в § 1.1 и § 1.2, позволяют из5бежать этих трудностей. Введем 5-меряое век
торное пространство Rs и вектор X в нем такой, что £н \Nl9N2iW19W2iPy.(1.3.35)
Тогда система (1.3.29) может бьпь представлена в виде 居(Н) = 0,/=14.(1.3.36)
Начальный вектор определится решением (13.3(^
^<о)= [О,О, %。，弘°, О]1.(13.37)
Задаи Коши по обо&ценному параметру 入 получим, дифференцируя по нему систему уравнений (1.3.2?):.
『•df7d 入=0,Т(О) = Т(о).(1.3.38)
4*.51
ЗдесьdN、耽d%小 pГd入1d\ *d入‘d入，P,I-Г 1Q00，lqJ(Y)=1—2a20必-4峭001-м00L о一伍01-N2oJЗдесьdN、耽d%小 pГd入1d\ *d入‘d入，P,I-Г 1Q00，lqJ(Y)=1—2a20必-4峭001-м00L о一伍01-N2oJ(133》(133》(13.40)(13.40)
Здесь
dN、
耽
d%
小 p
Г
d入1
d\ *
d入‘
d入，P,
I-
Г 1
Q
0
0，
lq
J(Y)=
1
—2a
20必
-4峭
0
0
1-м
0
0
L о
一伍
0
1-N2
oJ
Здесь
dN、
耽
d%
小 p
Г
d入1
d\ *
d入‘
d入，P,
I-
Г 1
Q
0
0，
lq
J(Y)=
1
—2a
20必
-4峭
0
0
1-м
0
0
L о
一伍
0
1-N2
oJ
(133》
(133》
(13.40)
(13.40)
Явную форму задачи Коиш получаем из (1338) методом ортогонализации
旗/d入= ort(7i虞),Q),又(0) = %).(1.3.41)
На рис. 1.15 представлены результаты интегрирования этой задачи с помощью явных схем непрерывного продолжения. В .расчетах принималось q = 1, 6 = 100, Wio = Wzo = 0,001. В табл. 1.1 дан перечень проведенных
Рис. 1.16Рис. 1.16
Рис. 1.16
Рис. 1.16
Таблица 1.1
Сопоставление явных схем интегрирования задачи (1.Э.29) (ряс. 1Л5)
Обозначение
Метод
△入
Расход времени ЭВМ (с)
Сплошная линия
Метод Эйтгера
0.01
40
Крестик
——
0,025
16
Треугольник
m _
0,05
8
Кружок
_"，一
0,1
4
Квадрат
Модифицироващшй
метод Эйтгера
0,1
-8
Сплошная линия
0,05
16
Метод Рунге -Кутта
0,1
17
решений. Результаты представлены в проекциях на плоскости W〕,P н %,W2.*
На рис. 1Л6 представлены результаты расчета того же примера с помощью неявных схем дискретного продолжения (§ 1.分・ При этом использовался алгоритм метода Ньютона — Рафсона с дополнительными условиями (1.2.19), (1.2.21), (1.2.23), соответствующими итерационным процессам, геометрия которых показана на рис. 1.6 - L8. При шаге △入= =0,1 вблизи точки В】 отмечен ^перескок** на соседнюю вётвь возмущенного решения. При уменьшении шага вдвое (А入=0,05), а также при нспол& зовании переменного шага с учетом условия (1.2.42) таких ^перескоков** не происходило. Расход машинного времени ЭВМ при шаге ДХ = 0,05 составил 24 с, а при переменном шаге — 16 с. Расчеты проводились на ЭВМ БЭСМ-6.
1.4. Оптимальный и близкие к нему параметры продолжения ранение
Продолжим начатое во Введении ($ В2 обсуждение вопроса об оптимальном параметре продолжешш. Представим исходную систему (1.1.1) в форме, реализукнцей равноправие неизвестных % (i = 1,.-.,.т) и параметра 2 Дл^ этого, как и в § 1.1, введем (m + 1)-мерное евклидово пространство R^^j： {Xi,..., Хт9 &+i = Р}. В этом пространстве система уравнении (1.1.1) может быть записана в виде
吊(Х) =吊(%,%2, . • •,入力.1)三0, i= 1,…，m.(1.4.1)
В качестве параметра продолжения выберем некоторый параметр д, определенный линейной комбинацией вида
〃=Е，刀.(1.4.2)
/=1
Фиксируя различные тборы чисел /, i =l,<..,m+ 1, мы можем рассмотреть все возможные параметры продолжения. Например, приа】 = ...=ат = =°，@т+1 s 1 параметром продолжения будет параметр Р = Хт^г.А при
53
задании / в виде символа Кронекера
(L4・3)(L4・3)f 0 при i 力上， %=6偉=1, i=lm + 1，
(L4・3)
(L4・3)
I 1 при 1 =尤
в качестве параметра продолжения назначается 爲.Если в R^+i ввести вектор а = [%,・ ・・,am+i]T, то параметр 〃, как это видно из rothoih暫 ния (1.4.2), можно понимать как скалярное щюизведение векторов а Н篦 WRm+l
U = @,X). (1.4.4)
По смыслу представления (1.4.2) вектор л определяет направление, в котором выбирается параметр продолжения. Так, при выборе % в виде (1.4.3) вектор а оказывается ортом оси X*, т.е. ортом той оси, в направлении которой выбран параметр продолжения.
Уравнения продолжения решения по параметру 〃 построим, продаф- ференцировав по этому параметру уравнения (1.4.1) и выражение (1.4.2). В _итоге получим следующую систему уравнений для компонент .вектора dX/dM：
ли+1
s ,dx/dgi,
т+1
3%dX"d*=0, /=1,...,т.
Эту систему для наглядности представим в матричной форме..
(1.4.5)(1.4.5)
(1.4.5)
(1.4.5)
Заметим, что матрица этой системы, которую обозначим через J*, образована дополнением матрицы Якоби / системы (1.4.1) сверху строкой из компонент вектора а
/=[т]"(146)
Решение системы (1.4；5) по правилу Крамера можно представить в форме
(14.7)(14.7)V (-l)*idet(J» dXddx=X, “
(14.7)
(14.7)
Здесь, как и в § Ll,〃 一 квадратная матрица, получаемая из/ вычеркиванием Лго столбца, она в то же время является алгебраическим дополнением элемента , в матрице /*. Через D обозначен определитель матрицы /*» который после раскрытия по элементам первой строки может быть
представлен в виде
т+1
О.= det(T) = \]矶一 1尸 det ⑨).(1.4.8)
Обусловленность системы (1.4.5) определяется чувствительностью ее решения к погреппюстям. Рассмотрим простейший случаи, когда с погрешностью задана правая часть системы (1.4.5) в виде вектора
[1+e,0，….，0]t.(1.4.9)
Тогда вектор погрешности 6 реигсния системы (1.4.5) с правой тастью (1.4.9) по сравнению с решением без погрешности будет ~
«=е[Х1,дХт+1,д]т.(1.4.10)
Исследуем квадратичную погрешность d = (S, £), которую с учетом(1.4.10) и (1.4.7) можно представить в виде
/и+1
X (det^))2
d =底圧=1Г 丁——.(14.11)
В этом выражении от а зависит только знаменатель - определитель D системы (1.4.5). Ясно» что при изменении а погрешность d будет меняться. Поэтому найдем такой вектор 正 т.е. такой параметр продолжения, который обеспечивает минимум квадратичной погрешности. При этом для сравнимости параметров продолжения необходимо, конечно, чтобы все они были заданы векторами а одинаковой длины. Поэтому минимизацию d пос? нужно проводить при условии.
т+1
(а,а) = а； =/・(1.4.12)
■六],
Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Для
этого составим функцию Лагранжа
ФтФтт+1еа (detS))?т+1еа (detS))?m+l+ 7( а； - с2).m+l+ 7( а； - с2).(1.4.13)(1.4.13)
Фт
Фт
т+1
еа (detS))?
т+1
еа (detS))?
m+l
+ 7( а； - с2).
m+l
+ 7( а； - с2).
(1.4.13)
(1.4.13)
Здесь)— неопределенный множитель Лагранжа. Минимум этой функции достигается при
т+1
ЭФЭФ2 (det(^))a
ЭФ
ЭФ
/上1 炉 (-2)(-1)* det&) + 2四=0,
(1.4.14)(1.4.14)i== 1….，加-1.
(1.4.14)
(1.4.14)
Отсюда получаем, что
ЛИ+1
「Z (det^))2
,=*^——~г(—1)/+1 det (Лк /=1»... ,m + 1.(1.4.15)
7 Zr
Неопределенный множитель Лагранжа 7 найдем, подставив / в (1.4.12). В результате получим
€* т+1二
7=—( 2 (det⑨))2)2/°з(1.4.16)
С 齐]
Таким образом, минимум квадратичной погрешности 6а достигается при следующих величинах %:
勿= (-iyTcdet&)/( X (det ⑨ В?)?,广1…・，m + l・ (1.4.17)
Сравнивая выражения для 另(i.4.i7) и для d%/d〃 (1.4.7), замечаем, что они совпадают с точностью до постоянного множителя. Если же выбрать множитель с в (1.4.⑵ в виде
с = ( /В (detg))2)2 仞(1.4.18)
ТОО/ в точности совпадает с dX*M@
■』(-1)"1<^5)仞=也/咖.(1.4.19)
Кстати, прдетавив az из (1.4.19) в (1.4.18), получим, что
痴¥1
。2 = /Е] (det/))2.(1.4.20)
• Тогда из (1.4.18) следует, что с = 1.
Таким образом, вектор а = [qr,・・・, %+i]t, который определяет параметр 〃，обеспечивающий минимальную погрешность при определе* нии dX/dn из системы уравнении (1.4.5) (т.е. обеспечивающий максимальную обусловленность этой системы), должен совпадать с самим искомым вектором dX/d〃. А система (1.4.5) в этом случае принимает вид (здесь мы первое уравнение в (1.4.5) для удобства переставили, сделав его последним)
尸 1,2・・・尸l,m+l
0 '
Ей,?—片чт+1
二
0
・(1.4.21)
也,*Xe + Lm Т
-Xm+1»“・
.1 .
Г л
В матричной записи это уравнение можно представить-в виде
-了 d》/d〃 = 0,(1.4.22)
(dX/dix, даМ)=1.(1.4.23)
Уравнение (1.4.22) в точности совпадает с уравнением непрерывного продолжения (1.1.8), и его решение методом ортогонализации 0.2.24)
dX/dM = ort(r,0 (1.4,24) удовлетворяет условию (1.4.23), так как оно является единичным вектором.
Поэтому оптимальный параметр д совпадает с введенным в § 1.1 обоб* щенным параметром продолжения X, который, как там было установлено, является параметром длины дуги множества решении К системы (1.4.1) (рис. 1.1)・
Представление (1.4.21) подсказывает возможность выбрать в процессе продолжения решения параметр продолжения так, чтобы он был близок к оптимальному. —
Пусть в начальной точке 入 о = 0 известно не только решение Х(0) системы (1.4.1) (F(X(o))三 О), но и единичный вектор Х(0),л = d>(o)/d入， касательный в этой точке к кривой К множества решении этой системы. Тшда вектор а®》=Хд〉，入 определяет в бесконечно малой окрестности точки 入о оптимальный параметр продолжения, который в соответствии с (1.4.2) равен
■ До= @о), X) = (%。),*, X). (1.4.25)
Выбрав До в качестве параметра продолжения, приходим к уравнениям продолжения решения в виде
(1.4.26)
Матрица J* е ［Z「X®),入］т этого уравнения в-отличие от матрицы / является квадратной и во всех точках, кроме точек ветвления, не являет- сяя .вырожденной. Поэтому из (1.4.26) методом исключения можно построить явную форму задачи Коши по параметру д0> которую тиы запишем вводе
(1.4.27)(1.4.27)冗“。=dxid^ =(/♦)-'［：］，衣°)= Х(<9
(1.4.27)
(1.4.27)
По мере продвижения по параметру д0 он, вообще говоря, все больше отклоняется_от оптимального. Об этом отклонении можно судить по дли** не вектора Х9^ > который хотя и будет касательным к кривой К но не 6> дет единичным. Его длина будет тем больше, чем больше параметр д0 отклоняется от оптимального, так как его проекция на направлетае &, в. силу последнего уравнения в (1.4.26), всегда остается равной единице (рис. 1.17). Установим ограничение на это-отклонение:
(我叩。，兄%)"2<7 6>1)-(1.4.28)
Как Показали пракптские расчеты, достаточно выбирать 7 - 1,2 子 1,4. В точке *(п，где это условие перестает выполняться, меняем параметр
〃о на параметр 〃i, который выбираем в направлении вектора *а),入= =а(!), касательного к кривой К в этой точке. Тогда
а(1)= &)入=£% QD/H 冗/ Qi) II*(1429)
Здесь Т，Мо берется в точке X s -У(1). Для такой смены параметра дсюта- точно в матрице J* ур明нения продолжения (1.4.26) в качестве последней строки взять вектор X(i)tx.« Таким образом, процесс продолжения на
участке между 灭(*)и Jt(^i) сводится к интегрированию следующей начальной задачи:
(1.4.30)
(1.4.31)
Интегрирование проводится, пока выполняется условие
1
^XIdnk,dXld^ <у, 7>1.(14.32)
При этом параметром продолжения 儿 является длина координатного вектора, заданного ортом X ⑺，入.Как только условие (1.4.32) перестает выполняться, необходимо произвести смену параметра продолжения и перейти к продолжеюкю по параметру “忙+i，для чего нужно в этой точке построить_ вектор X(«+i),入,пронормировав полученный в этот момент вектор dX/d/“
&*+D = Xw =*屮 ja“X—)2，
и подставить Х(*“)•入 侬 место нижней строки матрицы уравнения (1・4・36・ В качестве начального условия для продолжения решения на новом участке берется вектор 刀(*打),полученный в результате интегрирования задачи Коши (1.4.30), (1.4.31) в момент, когда перестает выполняться условие (1432).
Построенный таким образом процесс продолжения решения системы (1.4.1) обеспечивает автоматический выбор параметра продолжения так, чтобы он все время был близок к оптимальному. В зависимости от того, явные или неявные схемы будут выбраны для интегрирования задачи Коши вида (1.4.30), (1.4.31), можно сформировать алгоритмы как непре-
рывного, так и дискретного продолжения. От алгоритмов, построенных в § 1.1, 1.2, они отличаются тем, что переход от неявной формулировки уравнении продолжения (1.430 к явной (т.е. разрешение этих уравнении относительно d%/d〃Q не требует использования метода ортогонализации и может быть совершен с помощью метода исключения Гаусса всищу, кроме точек, где det (/•) = (-1)兩*】D = 0. Легко видеть, что это условие выполняется в регул風^ых и предельных точках множества решений К. В этих точках матрица 了 一 невырожденная, так как имеется хотя бы один определитель из det @), i ® lt...tm + 1, не равный нулю, а условие (1.4.34 обеспечивает такой выбор параметра продолжения (事е・ вектора 七*)= d京⑺/d入)，при котором определитель О, заданньш выражением (1.4.8), отличен от нуля. И, более того, параметр 〃(*) выбирается так, чтобы обусловленность системы (1・43也 были близка к максимальной.
Отметим, что в точках, где матрица 7 становится вырожденной, т.е. все detS) =0，i = 1,・・.,m+ 1, обращается в нуль и определитель det(T)= =(-l)m+1D. Это следует непосредствен^) из (1.4.8). В таких точках возможно ветвление решений системы (L4.1).
Мы здесь не приводим алгоритмов, реализующих процессы непрерьш* кого или дискретного продолжения решения как процессы интегрирования задачи Коши вида (1.4.30), (1.4.31). При необходимости читатель легко построит их по аналогии с алгоритмами § 1.1,1.2.
Обратим внимание на то, что при заданиях / (i « 1,..., m + 1) уравнения (1.4.1) и (1.4.2) могут быть рассмотрены как система из m + 1 уравнении ст +1 неизвестными и параметром 〃 ввда
包(&Xm+i,ii)^0, i=lm + 1.(1.4.33)
尸a的）尸a的）(1А34)(1А34)К поиску ее решения можно применить все методы продолжения решения, которые обсуждены выше. Так, например, алгоритм дискретного продолжения в форме М・ Лаэя (ВЛ .7), (L2S) с утетом конкретного вида уравнения (1.4.分(последнего уравнения в (1.4.33)) принимает форму 琛卜/I);
尸a的）
尸a的）
(1А34)
(1А34)
△嘴)=-
麻
磺"Н陶 +△嘴？(14.35)
/ = 0,1,2,... при ||△&£；D|l>e； *=1,2n.
В этом алгоритме решение системы (1434) представим в форме
△%£；】)=标△価】)"刀心，(1.4.36)
где Д^^+1^ - решение системы уравнении
”ЕЗз
a AX犷) —решение системы
(1.4.38)(1.4.38)7哂戶麻
(1.4.38)
(1.4.38)
L &*)」0
Сравнивая представления (1.436) и (1.2.30), замечаем/что они совпадают, если в качестве определяю呼го параметр продолжения 从* вектора 々(*) выбрать орт касательной dX^^ i)/"入.А зто позволяет во всех алгоритмах дискретного продолжения § 1.3 вместо метода ортогонализации использовать решение уравнений вида (1.437), (1.4.38) методом исключения. При этом для корректировки при Л = Л + 1 параметра 〃》т.е. для выбора вектора &.卜 определякнцего близкий к оптимальному параметр 〃左+1* необходимо задавать его в виде орта dXq)/d入，который можно получить, пронормировав к единице решение уравнения (1.437)
dXw/d\ = △ЭД+О/|| ДХ^+1) И.(1.4.39)
При этом трудоемкость алгоритмов практически не увеличится. Если же в методе исключения учесть, что матрицы систем (1.437) и (1.4.38) одинаковы, то можно построить и более экономичные алгоритмы.
15. Формы метода продолжения решения
с частичной оптимизацией параметра продолжения
Во многих случаях при реализации процесса продолжения решения оптимизация параметра продолжения требует существенного увеличения трудоемкости при переходе от неявной формулировки задачи Коши по параметру (1.1.8), (1.19) к явной вида (1.1.24), (1.125). Так, если система нелижйных уравнений (1.1.1) порождена методом конечных, элементов, то ее расширенная матрица Якоби 了 будет состоять из ленточной матрицы" J, дополненной справа столбцом [3尸/步期+i] = [2尸/。尸], i = 1,... ,m. Ортогонализация строк такой матрицы приведет к ортогональной, но полностью заполненной матрице. А это потребует существенного увеличения памяти ЭВМ. Для того чтобы уменьшить трудоемкость ортогонализации и сделать ее сравнимой с трудоемкостью метода Гаусса для ленточной матрицы, необходимо разработать специальные приемы ортогонализации, учитывающие ленточный характер матрицы Т.
В то же время часто из физического смысла задачи или в результате продых расчетов можно определить некоторое небольшое число переменных, комбинируя которые удается при продолжении решения избежать трудностей, возникающих в предельных точках. Покажем, как можно оптимизировать процесс продолжения решения в подпространстве, определенным этими переменными. Будем считать, что необходимо оптимизиро- BaTbjipoiiecc продолжения решения по последним q компонентам вектора К Тогда евклидово пространство Rm+i можно представить в виде прямой суммы двух подпространств
Rm+i=bp®Lfl> р +q =兩 +1.(1.5.1)
Здесь Lg — q-мерюе подпространство, натянутое на векторы q последних
координатных направлений в Rm+1, L『一рмерюе подоространство, натянутое на р первых координатных векторов. Вектор * G.Rw+1 удобно представить в форме
где 扌 —вектор, составленный из первых р компонент вектора М, а 方― из q последних.Уравнения продолжения (1.1.8) представим в виде13Hdp ] 八гL с о J L d^/dk JL сЗдесь 4 — квадратная матрица порядка р;где 扌 —вектор, составленный из первых р компонент вектора М, а 方― из q последних.Уравнения продолжения (1.1.8) представим в виде13Hdp ] 八гL с о J L d^/dk JL сЗдесь 4 — квадратная матрица порядка р;勘勘(1.5.3)(1.5.3)Я — матртца из р строк и qЯ — матртца из р строк и q
где 扌 —вектор, составленный из первых р компонент вектора М, а 方― из q последних.
Уравнения продолжения (1.1.8) представим в виде
13Hdp ] 八г
L с о J L d^/dk JL с
Здесь 4 — квадратная матрица порядка р;
где 扌 —вектор, составленный из первых р компонент вектора М, а 方― из q последних.
Уравнения продолжения (1.1.8) представим в виде
13Hdp ] 八г
L с о J L d^/dk JL с
Здесь 4 — квадратная матрица порядка р;
勘
勘
(1.5.3)
(1.5.3)
Я — матртца из р строк и q
Я — матртца из р строк и q
столбцов, т.е. размера pXq; С — матрица размера (д — 1) Хр; О - матрица размера (q — 1) Xq. Из первой группыуравненийЛ£/(/dX + Л/^/йХ=0 выразим d 加入 через 萌办:
dF/dX « -Л ^B d 才/dA(L5.4)
Теперь исключим d*/d入 из второй группы уравнений Cd^/d入 +ZW^/dX = 0. В результате получим неявную форму уравнении продолжения для вектора d右＜А
{-СА^В^ D)d^/dX = 0.(1.5.5)
Матрица — СЛ ^В +О имеет размеры (q — 1) Х《・ Из системы уравнении (1.5.5) методом ортогонализации, можно получить явную форму уравнений продолжения
曲/d 入=ort(-G4 т/ +О, Q).(1.5.6)
Здесь в отличие от (1.1.24) вектор Q является ^-мерным.
Заметим, что, конечно, нет необходимости в обращении матрицы А и построении матрицы Л*ь. Достаточно q раз решить систему уравнении Агк-6*，比=1，• • •，＜，для каждого из q стол&хов матрицы В в качестве правой части 0* этой системы. Тогда (1.5.4) представится в виде
df ld\ = -Zd^ldX,(1.5.7)
где матрица Z = [Zj,... 9Zq] имеет размерpXq и составлена из q р-мер- ных векторовчтголбцовZk(к = 1, • •・,q). Поэтому уравнение (1.5.5) принимает вид
(-CZ + D)d市d2 0,(1.5.8)
а явная форма уравнения продолжения (1.5.6) запишется в форме
dnldX^on^-CZ + D.Q).(1.5.9)
Рассмотрим, как будут выглядеть алгоритмы § 1.4 при частичной оптимизации параметра продолжения. Будем, как и выше, оптимизировать параметр продолжения в Lq・ Для этого зададим параметр продолжения
в виде m+lq
〃=Z CLifXL £ 吗功.(1Л.10)
flI
Тогда, повторяя все рассуждения § 1.4, с учетом представлений (1.5.2), (15.3), приходим к тому, что продолжение по па]раметру д сводится к интегрированию следующей неявной задачи Коши:
Г —CZ+O 1 d#[9聲]d〃Г —CZ+O 1 d#[9聲]d〃Здесь введен вектор 9= [ах,... ,а9] т. После исключения из этого уравнения вектора 尊/如 приходим к неявной формулировке задачи Коши для вектора 询dq
Г —CZ+O 1 d#
[9聲]d〃
Г —CZ+O 1 d#
[9聲]d〃
(1.5.12)
Диализ ошибки этого уравнения, аналогичный проведешюму в § 1.4, п(жводит нас к заключению, что минимум квадратичной ошибки будет достигнут, если а совпадает с искомьш вектором djjd〃, т.е. при
a = dif/d〃. (1513)
Этому требованию удовлетворяет решение вида (1.5.9), и, таким образом, д совпадает с параметром 入,который в нашем случае является длиной проекции к(жвой множества решений на подпространство L@・ Алгоритм, аналогичный определенному соотноигсниями (14.30)—(1.4.32) и реализующий процесс продолжения с параметром 〃，близким к оптимальному в Lq, принимает вид
[廿°]賞=「]，(1514)
L刀")，入J d餘L 1 J
(1.5.15)(1.5.16)(1.5.15)(1.5.16)■（入读））=而0 , 画口麻）"力队）"2 V）,7>1.
(1.5.15)
(1.5.16)
(1.5.15)
(1.5.16)
Для оптимизации в Lq параметра дискретного продолжения введем по аналогии с непрерывным продолжением следующие Представления векторов и матриц, фитуртрующих в алгоритмах § 1.2:
W =W =稿）炎野）稿）炎野）了*г了*г(1.5.17)(1.5.17)%屮“:昆基%屮“:昆基
W =
W =
稿）炎野）
稿）炎野）
了*г
了*г
(1.5.17)
(1.5.17)
%屮“:昆基
%屮“:昆基
Тогда уравнение (1220) примет вид
(15.18)(15.18)А В] Г^ 0]-!^!
(15.18)
(15.18)
СО」才歯DI J」
Исключая из этой системы F；；；'), получим для方&；、)уравнение
(—С4 т» +о)羽&1)=3 — СА т/.(1.5.19)
Это уравнение при дискретном продолжении решения играет ту же роль, rto уравнение (1.55) при непрерывном продолжении. Условие (1.2.19) в подпространстве оптимизации & принимает форму
(端.])，方版))=。・0"。)
Представим реигсние системы (1.5.19) в виде суперпозиции однородного и частного решений
才欝r組）御£" +才絆才欝r組）御£" +才絆(1.5.21)(1.5.21)
才欝r組）御£" +才絆
才欝r組）御£" +才絆
(1.5.21)
(1.5.21)
Получаем из (1.5.20)
嘴)=-(喉7)，赫♦а從I)，中/)(1522)
Как и при непрерывном продолжении, при исключении F,暑')из (1.5.18), нет необходимости обращать матрицу А. Достаточно решить &+ 1) раз систему 4Z] =% (I = 1,…,q +1) для каждого из столбцов матрицы В и вектора / в качестве ее правой части 瓦.Тогда с помощью матрицы Z =y{Z1,... ^Zq\, составленной из векторов столбцов 2比,получаем для {宙 D выражение
驾3)= У 才跋)+ Z/工；(1523)
и уравнение (1.5.9) преобразуется к виду
(-CZ+D)才請)= ^-CZq十 i ・(1524)
Аналогично могут быть представлены и остальные алгоритмы дискретного продолжения, данные в § L2.
ГЛАВА 2
ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТЯХ ОСОБЫХ ТОЧЕК
Развитые в гл. 1 методы продолжения реигения, реализующие равноправие неизвестных и параметра, имеют единый алгоритм продолжения решения в регулярных и предельных точках множества решений нелинейных систем уравнений. Поэтому с точки зрения этих форм алгоритма продолжения нет необходимости во введении понятия предельной точки. Продолжая начатое во Введении обсуждение, здесь мы основное внимание уделим анализу поведения решения в окрестности (ущественно особых точек, т.€ь точек, где выромщается расширенная матрица Якоби 了. В качестве основного метода исследования будет принят метод разложения решения в ряд Тейлора в окрестности особой точки. Он позволяет построить уравнение разветвления, анализируя которое можно найти все ветви решения. Причем сложность анализа зависит от степени вырождения матрицы Яко&1 J. Будет рассмотрен наиболее важный для практических приложений случаи однократного вырождения матрицы/ (rang Q )= =机一1), а также более сложный случаи ее двукратного вырождения (rang (J ) = m — 2)・
2.1. Классификация особых точек
Как и в гл. 1, задачу продолжения решения системы уравнений (1.1.1) будем рассматривать в (m + 1)-мерном евклидовом пространстве Ryn+i» в котором введен вектор X = [Хх.... 9Xm9Xm+i =Р]Т. Тогда задача сводится к продолжению решения системы уравнений
凡(彳)= 0,j == 1,..., m.(2.1.1)
Пусть функции 吊(X) являются аналитическими, тогда компоненты вектора X могут быть рассмотрены как функции параметра продолжения 入
M^MO i=l,・・.，?w + l.(2.1.2)
Пусть в некоторой точке, для которой будем считать параметр 入 равным нулю, известно реигение Х(о). Тогда поведение решения 刀(X) в окрест-
кости этой точки определится раапожением в степенной ряд Тейлора
Х(Х) = Т(о)+АГ(о)Х+— АГ；。)入2 +下 X(Z；V + ...(2.1.3)
Здесь обознаадно
码 0)=演映1入=0，弋)：d217dMi入=0,…(2.1.4)
Уравнение для определения Х'(о), Х(о),... получим, последовательно дифференцируя уравнение (2.1.1) по 入：
"以%)广"Cl,…，m;(2.1.5)
F；J X70y + 凡打 X('o》居°* = 0,i = l,... ,m;(2.1.6)
/Х& + 3尸⑦芻°》К；。冰 + F^iX^X^ *o)产 0,(2.1.7)
i =1, ... ,m;
В этих уравнениях о^щен знак суммирования от 1 до m +1 по повторяющимся индексам и приняты обозначения
犀广bF^x^.码*=分汨/a率先1入=0…(2.1.8)
Последовательность систем уравнений (2.1.5), (2.1.6),... рекуррентна, и в каждой из систем коэффициенты при неизвестных образуют расширенную матрицу Якоби『° =J (飞卜寸尸力],.i = 1,・・・，机；j = 1加+ 1. Обратим внимание, что первая из этих систем - (2.1.5) — однородна, а все последующие — неоднородны.
В регуляртых и предельных точках множеству К решений системы (2.1.1) в Rm+i матртца J не вырождена, т.е. rang (J ) = т. Поэтому решение однородной системы (2.1.5), как это было показано и ранее в § 1.1> принадлежит одномерному подпространству A】G Rm+i- Согласйо(2.1.5) это подпространство А】 ортогонально m-мерному подпространству Pw G € Rm+i，которое определено базисом из т щшейно независимых векторов- строк матрицы 了. Пусть а^ = [W ・•・,〃銀/ — °РТ подпространства А> Тогда решение системы (2.1.5) представляется в виде
X^dX/dX \х=0=са^.(2.19)
Здесь с — произвольный постоянный коэффициент. Так как вектор Х；о) при изменении 入 меняет только свое направление при неизменной длине, определенной соотношением (2.1.9), то векторы Х(о),X(о)> - • • > характеризующие изменение направления вектора Х\о), дол淵<ы быть ортогональны к тму и потому должны принадлежать подпространству Рт,которое является ортогональным дополнением подпространства Aj в 11切+卜 Таким образом, так же как ив §1.1,
■”=Рт.А]・(2.1.10)
Из (2.1.9) сразу следует, что при с = 1 параметр X является диффренциа- лом длины кривой К множества решений системы (2.1.1) в Rm + 卜 Деист-
6565S. Э.И. Григолюк
65
65
вительно, так как &('〉— единичный вектор, т.е. (а(‘>, a(D) = 1§ то
(^(0)>^(0))=У ^Xfld^^ -c^(2.1.11)
Отсюда следует
11/2
(Е (dX*)“入.(2.1.12)
у = 1
А в этом соотношении» так как * € К, левая часть является дифференциалом длины кривой К. Поэтому при с = 1 и правая часть d入"Также будет диффершциалом длины К. .-
Рассмотрим теперь точку *《о)、в которой rang (」(*“))) =，< т. Это означает, что среди т строк матрицы /° я/(Х<о)) линейно независимы только г. Для определенности будем считать, что линейно независимы первые г строк матрицы J°・ Любой другой случай всегда можно свести к таксжому очеввднс^ перенумераций урашюнии в системе (2.L1).
Разобьем уравнения (2.1.1) на две группы
《(G) = 0,i= 1,・・・,，；(2.1.13)
7^(Х) = О,/ = г+ 1,...,т.(2.1.14)
Цля упрощения далшейших выкладок будем считать, что начало координат пространства %+] помещено в точку X(о)，珍 окрестности которой исследуется поведение* рвений, т毋.Х(о)= 0. Этого также всегда можно добиться введением вместо X новой неизвестной У такой, что У = X—*(о)・ Таким образом^ будем считать что
耳(0) = 0,»= 1,・・•，抽(2.1.15)
Продиффер^щируем уравнения (2.1ЛЗ) по параметру X.. В результате получим в точке X®)= 0
弓/片=0, i=l,.,r; / = !,...,«+ 1.(2.1.16)
Матрицу Якоби системы(2.ЫЗ) обозначим через Jr =[尸*,/] (j = 1,・・・,，； / = 1, .«•• т + 1). Она имеет г строк и 欣 + 1 столбцов. По построению ее строки в точке Х(о)= 0 лисюйно независимы, и поэтов ее ранг в этой точке равен г:
rang(Л(0))^л'(2.1.17)
Представим '.I в ваде прямой суммы двух подпространств
$+1 =丹❸ Ad, d = m + 1 —入(2.1.18)
Первое из них — Рг — это r-мерное подцространство в Rm +i, базисом которого являются векторы-строки матрицы 货=/г (О), а второе — А. — ортогональное дрполншие Fr в Rm+1 •
Пусть р(/) £ Pr, t = 1,...» г, и а(" £ %,(/ = 1d) ~ортоиорми- рованные базисы в Рг нА. соответственно. В дальнейиюм буДем прини” мать в качестве р(‘)базис, построенньо! из строк матрицы J； с помощью процесса Грамма—Шмвдта (§ 1・1)・ По построению для введенных таким образом базисов имеют место соотношения
(р(1р6)=М， 幻=1, ...,，；'(2.1.19)
gS, e(/))' = 6",Z j = 1,..., d;(2.1.20)
(р«в(Л)=о,i=l, ...,「；/ = 1…,d；(2.1.21)
(
1 при i = а
0 при I 妾％
Здесь 6" — символ Кронекера. В совокупности базисы р^^ и 0(/)образуют базис в % + ], и поэтому ясно, что каждый вектор Х£ Rmti единственным образом может быть представши в виде разложения по базисным векторам р^\ а^^:
гd
X =Z РА。+Е оуа(".(2Д.22)
d/=1■
И, наоборот, каждому разложению вида (2*1,2。соответствует единстве* ный вектор X е %♦]. Кроме того, если Х= 0» то pz = 0, f = 1,・•・》г, и «у = 0, / =1,…，d. Таким образом» соотиоиюние (2.1.22), определяет взаимно однозначное соответствие мехщу компонентами вектора Хи коэффициентами его разложения р], А/. Это позволяет в уравнениях (2.1.13), (?.1.14) произвести замену переменных с помощью (2.1.22). Тогда эти уравнения принимают вид «
吊Si, ••” Рг；的，…，％)手 °,f н 1,・••"；(2.1.23)
弓(Pi,・♦•, Рг； %，…，Qd) = Q,/ =「+ 1, •・.，析・(2.1.24)
Перейдем к неизвестным р；, а/ и в уравнениях продолжения (2.1.16). Тогда они принимают вид
m +1 гd
S 纥/( S 3)+ 2 а产) = 0*i = 1，…,г.(2.1.25)
Матрицу этого уравнения J^=宙;,步],i = 1,...» r, j. = 1,・・・，m + l,cпомощью процесса Грамма—Шмидта представим в виде (1.1-19)» Т£・ в виде、 произведения матрицы ортогонализации 不 порядка г и ортогональной матрицы Р размера г X (т + 1), строками которой являются векторы р(') (f = 1,…,г ) ортонормированного базиса подпространства Р, С R^ #工
-p⑴實一
Т；=6р, Р= :.(2.1.26)
一 *)Т .
Если, учитьшая это представление, помножить систему (2.1.25) слева на матрицу 己-i * то она примет вид
『d
Р( Z р"(。+ S а/S) = 0.(2.1.27)
Раскрывая эти уравнения с учетом (2.1.26) и используя соотношения (2.1.19)— (2.1.21), получаем
Е,р' = 0, Р‘ = [Р；, ・・・，Р；『(2Л.28)
Здесь Е, — квадратная единичная матрица порядка，・
Полученный результат позволяет сделать два вывода. Во-первых, р； = 0, 左=1,・・・,г, что еще раз подтверждает тот факт, что ненулевые решения *' уравнения (2.1.10 принадлежат пространству Ad. Во-вторых, определитель системы (2.1.28> равен 1 и с точностью до неравного нулю постоянного множителя det&T) совпадает с якобианом уравнении (2Д.23) по переменным рк9 Л = 1,...»г. Тогда па теореме о неявных функциях в малой окрестности рассматриваемой точки Х= 0 переменные рк9 к = 19 ...,г могут быть на основании уравнений (2.1.23) порчены как функции нере・ менных az, / = 1,..., d.
Pfc = Р>(% ,••・，％),к = I,：.,匕(2.1.29)
Функции рк являются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми. Подстановка выражении (2.1.29) в уравнения (2.1.24) приводит к уравнениям разветвления
弓(Р1(@1,…，@d)，…，Р,91，…，@d)； Q“ ・，Qd)= °，/ =，+l,…，机
(2Л.30)
Эти уравнения определяют как число ветвей рецюния, так и их поведение в окрестности исследуеьюй точки.
Поскольку уравнения разветвления (2.1.30) построены так, что их Якобиан равен нулю, то они ьюгут иметь не единственное решение.
Для каждого решения этих уравнений как функции параметра 入
а"=*)(入)， I = 1，…,d,(2.1.31)
из уравнении (2.1.30) или, что одно и то же, из уравнении (2.1.24) по лучаем
р£)= Pg(*)，…,増)，左=1,…,т・(2.1.32)
И тогда можно построить одну из ветвей решения Х(*)(А), поведение которой в малой окрестности исследуемой точки определится разложением (2.1.22).
Следует заметить, что процесс построения уравнений разветвления доста> точно сложен и в явном вида они MOiyr бьпъ выписаны только в исключительных случаях. А их решение в явнш аналитической форме может быть найдено еще в более редких случаях. Поэтому особое значенж приобретают методы» не использующие непосредств^но уравнение разветшюнця в форме (2.1.30)»а решающие задачу на основе более простых соотношений.
22 项 остейшая ф<фма урагасаий разветвления
Преобразуем систему (2.L1) так, чтобы ее линейная часть приняла простейший вид. Для дальнейшего удобно для матрицы Якобй использовать следующие обожачения (см., например, [339]):
了一 a」_咿…％) 一訳-a(х…/g
Строки этой матрицы [^д, ..OF|# w^i]>< = 1?・・・,底,будем, как м раньше, рассматривать как векторы в пространстве Rm+1 и обозначим их ^рез 『")• Тогда
世=[尸仃，...,尸5+1г.(2.2.2)
Пусть, как и в § 2.1, решение системы (2.1.1) исследуется в окрестности точки X = 0, м в этой точке rang(/°) - г < т. Индекс " © " у какой-либо функции будет ниже указывать, что берется значение этой функции в точке X « 0. Пусть снова линейно независимыми являются первые г строк матрицы Якобн /°. Тогда последние /я —，= d — 1 строк этой матрицы являются Линиными ком^нациями первых г строк» т.е.
Г°5‘)= £ 加「(2i=l,...,d-l.(2.2.3)
1=1
Так же, как и в § 2.1, разобьем систему (2.1.1) на две группы уравнений (2.1.13), (2.1.14). Обозначим через J(D и J^ матрицы Якоби этих
групп уравнении
-⑴ _ a—,…，耳)了(2)= aq^+i，[.・>%)
Ясно, что
7=圜
Если ввести матрицу D =团 *], i = 1,・• •，d — 1;左=1,・•・,，, то представление (22.3) в матричной фор— примет вид
尸(2)=亦(1)(2.2.6)
Так же, как и в §2.1, представим пространство Rw+1 в виде прямой суммы двух ортогональных подпространств
Rm+i «Рге Ad, d=m + lr(2.2.7)
Здесь г-кюрное подпространство % определено базисом из векторов- строк матртцы J°⑴，а А" — его ортогональное дополнение в %#卜
Введем в >7 ортонормированный базиср^ 9i = 1,・.• "，построенный из векторов строк матртцы)。⑴ с помощью процесса Грамма — Шмидта. Тмда
了。⑴=6/>.(2.2.8)
Здесь ортогональная матрица Р имеет размер г X ⑺ + 1) м ее строками являются векторы р^ орклюрмированного базиса в Рг
(2.2.9)
С — левая треугольная матртца ортогонализации.
Введем также в подпространстве Аа ортмюрмированныи базис а «), i = 1,・•・，d, м матрицу А размера d X g+ 1), строками которой являют， сявекторыа^Д =l,・・・，d:
(2.2.10)
Преобразуем исходную систему уравнений (2.1.1) следующим образом.
Уравнение (2.1.13) помножим слева на матрицу П"1. Получим систему уравнений
一凡田 6-1 …二..痴.一凡田 6-1 …二..痴.■。而）-_
一凡田 6-1 …二.
.痴.
一凡田 6-1 …二.
.痴.
(2.2.11)(2.2.11)…二.=玖歹）=0.
(2.2.11)
(2.2.11)
-痴」
В силу линейности преобразования и невырожденности мат『щы Й~1 уравнения (2.1.13) и (2.2.11) эквивалентны в том смысле, что все решения X уравнении (2.1.13) являются решениями (2211) и наобортт, т.е. множества решении уравнении (2.1.13) и (2.2.11) совпадают. № матрицей Якоби системы (2211) при X = 0 является ортогональная матрица Р. Действительно, из (2.2.11) и (2.2.8) следует
fe^)>feg,…
(2.2.12)
На основе уравнений (2.1.14) построим следующие уравнения:
耳+,(6 - S 阪Fk(X) = FXX) = 0, f=ld - 1.(2.2.13)
fc = 1
Или, в матричной форм%
工而
— о
ка)~
=
%а)~
= К(Х) = О.
./而_
一痴.
_*而_
• (2.2.14)
Матрица Якоби этой системы 口理 X = 0 обращается в нуль. Действительно, из (2.2.14) в силу (2.2.6) полутаем
(2.2.15)(2.2.15)"%，…，%1)二 ":=7(2%га)”
(2.2.15)
(2.2.15)
а(%,•…，Mn+i)эх
Нетрудно видеть, что множества решении систем (2.1 Д) и (22.11), (2.2.14) совпадают. Мы9 конечно, исключаем здесь случай, когда хотя бы одна из функций 匕』=1,・•.，d — 1, тождественно равна нулю. Этот случай попросту сводится к уменьшению числа уравнении в системе (2.1.1)
В результате преобразований. система (2.1.1) сводится к эквивалентной ей системе изтуравнении
(2216)(2216)板歹)=0, HI,…",
(2216)
(2216)
勿(Х) = 0, j=ld-L(2.2.17)
Матрица Якоби этой системы по построению при * = О принимает вид
Ортонормированные базисы р“), i = 1,.・.9г 9иа^ J = 1 d, в
силу (227) вместе образуют ортонормированныи. базис в %”. Поэтому можно представить искомое решение в виде разложения по этим орто
нормированным базисам
(2.2.19)(2.2.19)京=£ PiP”) + 2 CLj^ ^P^aA = 屮此卜昆閏.
(2.2.19)
(2.2.19)
Здесь 3 = [Pi,. •. 9рг]т иа = [@i,・・・,%]實 можно рассматривать как векторы в евклидовых пространствах 丹.и Ла размерности г и d соответственно и таких, что имеется их взаимно однозначное соответствие с подпространствами Рг и А^, обусловленное соотношением (2.2.19).
Перейдем в уравнениях (2.2.16), (2.2.17) от неизвестной X к неизвест* ным J м 4・ Получим
(2.2.20)(2.2.21)(2.2.20)(2.2.21)■S1,..•，p,；询，…,Qd)==0，f= 1,…"；
(2.2.20)
(2.2.21)
(2.2.20)
(2.2.21)
Vj Si, ♦ • •, P,； Qj. , • • •, &d) =。， /25 1» • • • ,d — 1 •
Или, в векторной форме,
「U(p,a)]
I=0.(2.2.22)
"(砲)J_
Матрица Якоби этой системы по переменным 房 о при X = 0 имеет вид
э(^.Ю° а(а» 戒 Ml
1^=-7г-т^Лтг1РА] =
,=[о о J = Lo о]-S)
Произведение РРТ равно единичной матрице Е порядка г, так как Р — ортогональная матрица; А4Т =0в силу (2.1.21)•
Таким образом, в результате преобразований Q.2.11), (2.2.13) и (2.2.19) мы перешли от системы (2.1.1) с неизвестным * к системе (2.2.22) с неизвестными 乙 丈 Причем преобразования таковы9 что между множества* ми решений этих систем имеется взаимно однозначное соответствие. Но матрица Якоби системы (2.2.22) в особой точке р^ = а = 0 (Х=0) имеет простейший вид (2.2.23). Учитывая это, иэ уравнений (2.2.20) по теореме о неявных функциях можно выразить р через а
3 = 3 @).(2.2.24)
Причем в этих выражениях должны отсутствовать линейные по / зависимости. Подставив (2.2.24) в (2.2.21), получим уравнетая разветвления в виде
У(3@),3) = о.(2.2.25)
В силу структуры матрицы Якоби (2.2.23), эти функции не должны содержать линейных по а зависимостей.
Как уже отмечало^, уравнение разветвления (2.2.25) в явном виде удается построить в исключительных случаях. Методам его приближенно* го построения и исследования посвящена обширная литература [53, 212] 72
и др., начало которой положили работы А.М. Ляпунова [240] и Е. Шмидта [505]. Мы здесь ограничимся методом, основанным на анализе разло жений в ряды Тейлора вида (2.1.3), (2・1.5»-(2・L7) в окрестности особой точки.
В силу представления (2.2.19) поведение решения X (X) в малой окрестности особой точки X = 0 определится разложением в степенной ряд Тейло* pa по X
(2.2.26)(2.2.26)n。)=рТ(%*+曰芯)m+…卜 + /Т (%)x +点强0)入2 + ,.,),
(2.2.26)
(2.2.26)
成=破办h=0，灰状dm"1人=0，...
Уравнения для определения ^(0), 了?0)，• • • , ?(о)« «(0), - .% получим, дифференцируя по 入 уравнения (2.2.16), (2.2.17). Из (2.2.16) имеем после
формального дифференцирования
"，；宓＞)+磴輪广。,
U；弘))[^а«(о)+《р 为))苗)+
(2.2.27)(2.2.27)+ 2 U^pot^Q^(Q)+ u/輪)宓))=。，
(2.2.27)
(2.2.27)
u,；衣& + U工&齢■3 и,；p 制)旗))+ з и^^^^ +
+ 3U，apa(o)^O) + З^»а««(0)«(0) +0，；p/＞命)苗)齢)+
+ 3《p & ^o^Q^Q)+^U^paa^O^(Q^ +
+ ^ааа®(0)«(0)3(0)
В этих уравнениях приняты обозначения, смьхсл которых становится ясным иэ сравнения второго уравнения с его развернутой записью , зи： d/； аи；尸崎抑编 如；d成
^^^»^- • ' "，.. +.■. ■L + ■ - — -^^^-■ ^--««» • —■■ ■ +
дру dX doy d入2加7加髭d入d入
+ 2*1 .9 .9 + Л .缎.型=о, дру дa^dX dX 3牛8/d 入d 入
j=12・・・3
Из (2223) следует, что 《=/0工=0.Из (2223) следует, что 《=/0工=0.Здесь производится суммирование по повторяющимся индексам у рот 1 до ，м у Q от 1 до d.
Из (2223) следует, что 《=/0工=0.
Из (2223) следует, что 《=/0工=0.
(2228)
(2229)(2229)Тогда из первого уравнения (2.2.27) следует известный нам уже из § 2.1 результат
(2229)
(2229)
宓))=。，
который в соответствии с представлением (2.2.19) указывает на то, что вектор X9 =dX/dX принадлежит подпространству %・
Выражения (2.2.28) и (2.2.29) позволяют упростить второе и последующие уравнения в (2.2.27). Они принимают вид
/5)) + Ulf&h)%) = 0,(2.2.30)
Р(0)* 3U加胡园)+ 3a/布)船)■
+ ^,ааа®(0)®(0)^0)=。・
Эта последовательность уравнении позволяет рекуррентно определять 说1)，书鴿，…,если известны 期),威6)，…,которые определяются уравнением разветвления (2.2.25). каждое решение этого уравнения принадлежит пространству Л^, и в соответствии с рекуррентной последовательностью уравнений (2.2.30) оно определяет 苗)е 吟
Учитывая взаимно однозначное соответствие между пространствами dr，<4d и подпространствами Р,, А^ £ Rm+i> заключаем, что каждое реше* ние уравнения разветвления определяет составляющую вектора X в Atf,Ko- торая9 в свою очередь, определяет в силу уравнении (2.2.30) составляющую 刀 в 斗.Поэтому, следуя Томпсону, будем называть Z и 4d активными подпространством и пространством» а Рг и 期 —пассивными.
Дифферешщруя по Л уравнения (2.2.17), получаем рекуррентную систему уравнений, аналогичную системе (2.2.27). Упрощаем ее с у<гетом следующих из (2.2.19) и (2.2.29) результатов
匕％=0，匕% =0，宓) = 0. (2.2.31)
В more,получаем последовательность уравнений
匕%<屈)端广。' (2232)
ЗУ,；а孤)弘)+ 3^аа« (0)0(0) + Кааа^0)«(0)«(0)=。・
Эти уравнения совместно с системой (2.2.30) позволяют последовательно определить векторы %), /&)，/&),・・• м, таким образом, определить в силу разложения (2.2.26) вектор 京 в окрестности особой точки» Причем уравнения (2.2.32) могут иметь несколько решении, и каждое из таких решений определит свою ветвь множества репюнии исходной системы (2ЛЛ). Вообще говоря, уравнения (2.2.30), (2,2.32) содержат ту же информацию о поведении решения в окрестности особой точки, что и уравнения (2.2.20), (2.2.21)・ Но они позволяют часто решать задачу о ветвлении не нд основе уравнения разветвления (2.2.25), а используя его приближенные (и более простые) представления. Ниже рассмотрим некоторые простые случаи.
23 Прост^ший случай ветвления (rang g°) = m — 1)
ItycTb rang^F°) = m — 1. В этом случае размерность d активного подпространства А^ равна 2. После преоб^зовании (2.2.11), (2.2.13) (2.2Л9) с использовашюм ортонормированных базисов подпространств Рт_| и М исходная система уравнений (2.1.1) в особой точке сведется к виду
SS1Pm-i； Qi,Oa)=0, »=1帆-1，(23.1)
V(pi, — 9 Рт-19 %, %) R0-(2.3.2)
Геометрически эта ситуация означает, что являющееся плоскостью в Rm+i активное подпространство А2 соприкасается в любой точке с множеством решений К (со всеми его ветвями, проходящими через особую точку). Поэтому анализ ветвления здесь может быть сведен к ветвлению плоской кривсж.
Первым приближением уравнения разветвления будет первое из уравнений (2.2.32)・ Ояо 1финимает вид
а? 0°
匕3审+2匕力"е+к力a产=0； П/ = --(233)
аа； oaj
и является однородной квадратичной формой. Здесь возможны следующие случаи.
Квадратичная форма (2.3.3) знакоопределена. В этом случае она имеет единственное действительное тривиальное решение Q； = а； = 0. А это означает, что в малой окрестности особой точки больше нет точек из искомого множества решений, тл. исследуемая точка является изолированной особой точкой. В такую точку нельзя прийти, двигаясь вдоль непрерывной кривой К множества решений. Поэтому появление в процессе продолжения решения изолированной особой точки свидетельствует о некорректности процесса продолжения. Причиной возникновения такой ситуации обычно является излишне большой шаг по параметру продолжения X. Знакоопре* деленность квадратичной формы (2.3.3), как это дее отмечено во Введении, зависит от знака ее дискриминанта
0=匕£匕力一(匕；2)2.(2.3.4)
Если Р > 0,то форма (2.3.3) знакооиределена.
2・ Квадратичная форма (2.3.3) знакопеременна. В этом случае D < 0. Если, например, W2 夕 0, 丁。положение касательной к кривой множества решений можно определить на плоскости Аг： {%,%) е Rm+i ее углом 夕 с осью а> • Тогда
Г = tg 3 ==必 /а；』da2/dai.(2.3.5)
Из (2.3.3) без труда получаем для t квадратное уравнение
匕;1 +2匕；2Г■匕£产=0•(2.3.6)
Так как О< 0, то это уравнение имеет два действительных корня
厶,2=(一匕;2 士配)/匕:2 •(2.3.7)
Таким образом, в особой точке пересекаются две ветви множества ре- тений, касательные к которым определяются выражениями
da2/dat =/1э 出2/厶1=卜・(2.3.8)
Геометрически эта ситуация выглядит так, как это показано на рис. 2.1 в плоскости А2 ・
Квадратичная форма (2.3.2) знакопостоянна. В этом случае £> = 0 и квадратный трехчлен (2.3.3) имеет кратный корень 厶遠=Г =—吗2/燈2• Для выяснения характера особш точки необходим анализ высших членов разложения и более тонкий анализ уравнения ветвления. Примеры такого анализа для плоских кривых даны, например, в [339], а анализ возможных случаев приведен в [453, 524, 129]. Здесь особая точка может оказаться
точкой соприкосновения двух ветвей решения или точкой возврата. В по следнем случае приведенными выше уравнениякш (2.2.30) > (2.2.32) дадо пользоваться с осторожностью, поскольку они построены в предположении дифференцируемости множества решений по X в особой точке. А это условие в точке возврата не выполняется.
Для численной реализации продолжения решения в существенно особой точке анализ уравнений (2.2.30), (2.2.32) для высших производных представляется неудобным. Здесь можно пойти по пути численного установления коли^ства и характера решений ветвей в окрестности особой точки
Рис. 2.1Рис. 2.2
в плоскости А2 - В рассматриваемом случае кратного корня поиск этих ветвей облегчается тем, что в окрестности особой точки они должны быть близки к направлению, задаваемому касательной
/ =鹏网=一匕;2/匕;2 . (2.3.9)
Это позволяет вести поиск решения в области, заштрихованной на рис. 2.2. Тогда удобно искать решение уравнения разветвления (2225) на окружности с малым радиусом е. Поиск решения можно облегчить переходом к полярным координатам, как это рекомендуется в [339].
Квадратичная форма (2.3.2) тождественно равна пулю (唱】=《？= -仁2 = 0)・ Здесь в первом приближении поведение решения определяется вторым уравнением (2.2.32), левая часть которого с учетом первого уравнения (2.2.30) приводится к однородной кубической форме
3 Кра ^4ааа(0)а(0)®(0) + Кааа®(о)а(О)®(О)=。・ (2.3.10)
Тогда, рассуждая так же, как при анализе уравнения (2.3.3), приходим к выводу, что в особой точке мо<уг пересекаться три ветви решения.
Как только что отмечалось, анализ уравнения разветвления с учетом высищк производных для численного анализа мало пригоден. Выявление ветвей решения удобнее также свести к поиску нулей на еюкружности в плоскости А2： {«1>«2)е.#] (рис. 2.2).
24 Случай ветледаш, копш nog。?)em —2
Для того чтобы подчеркнуть проблемы, возникающие при анализе ветвления решения в более сложных случаях, рассмотрим ситуацию, копш г = rang (Л °) - т — 2. Здрсь、размерность (/ активного пространства % равна 3. Уравнения разветвления с точностью до второго порядка разложения в ряд Тейлора определяются первым уравнением в (2.2.32). Они при d = 3 примут вад следующей системы уравнении:
《"4aHО,匕./*学県=О, /Л= 1,2,3.(241)
ТЬвые части этих уравнений представляют собой однородные квадратичные формы, матрицы которых обозначим следующим образом：
y")=此产]=[左川，(242)
2=吃卜吗』(2・4.2)
Тогда уравнения (2.4.1) в матричной форме можно записать в виде 位尸/1)才=0, » гаи 位个)方，=001(243)
Ясно, что если хотя бы одна из этих квадратичных форм является знако определенна, то особая точка будет изолированной, поосольку в таком случае система уравнений (2.43) не имеет действительных решений кроме тривиального ^ = 0. Но изолированная особая точка не может быть достигнута в процессе корректного продолжения решения по параметру. Знакоопределенность хотя бы одной из квадратичных форм (2.7.3) свидетельств вует обычно о слишком большом шаге при движении по кривой решении К
Рассмотрим некоторые частные случаи, когда квадратичные формы (243) не являются знакоопределенными. В этих случаях каящому из уравнений (24.3) в пространстве Лз соответствует некоторое действительное множество решений. И вопрос о решении системы (2.4.3) сводится к отысканию пересечения этих множеств.
Обозначим через 入$。,入/", § собственные значения матриц К®, i = 1, 2, к пусть им соответствуют собственные нормированные * векторы
Sf , «2 , ^з • Рассмотрим различные возможные комбинации собственных значений.
Случай 入§" > О, X," > 0,入學 < 0, i = 1, 2・ Здесь квадратичные фор< мы (2%.3) знакопеременны и их матрицы имеют по два положителмых собственных значения и по одному отрицательному. Перейдем в пространств ве 4з： {а】，Оз, %} к базису, образованному собственными векторами $f), $「，$「матрицы 旷⑴.Другими словами, совершим преобра- зовэние
^'=pis^ +₽24^ *рз41)=5(1)₽,
Р=[Р1,Р1.Рз]т> s")= [s「),0T),sf)】.Q44)
Здесь S ⑴ —матрица» столбцами которой являются собственные векторы $F), $尸,$畀• В силу ортонормированности собственных векторов мат-
рица S(D —ортогональна, т.е. S<i)”«l) - E, где К — единичная матрица. Тогда первое уравнение из (2.4.3) примет вид
(S РЕ”) -/ s Р仍=
* == i3 1
S商"S/产" Uiis 1
=4)P； + 入「冒-I E> 3=0. (2-4.5)
Геометрически 勃о озмачает, что в пространстве «43 первое из уравнений (2.4.3) определяет поверхность в виде эллиппгюского конуса с вершиной в шчш1е координат. Ось конуса направлена вдоль собственного вектз ра $「・ Точно так же можно показать, что второе уравнение (2.4.3) определяет также эллиптический конус с осью вдоль вектора s$” ・
Таким образом, вопрос о действительных решениях системы уравнений (2.4.3) геометри^ски сводится к сшределению общих образующих двух эллипти%ских конусов с общей вершиной в особой точке. Для решения этого вопроса применим к уравнениям (243) преобразование (2.4.4). Тогда они примут вцд
■'pH 入「р； .— I 入 S" I р； = о.
(2.4.6)(2.4.6)(2.4.7)(2.4.8)(2.4.7)(2.4.8)ртРр = 09 p^s^^s^.
(2.4.6)
(2.4.6)
(2.4.7)
(2.4.8)
(2.4.7)
(2.4.8)
Для дальтейпгего упрощение первого из уравнении (2А£) положим Qi = Pr/d^^)i i = 1，2,3,
что равносильно следующей матричной операции:
/=А")р,
「瓦］「1/6步 0 _ 0■
方=1 万2 ］五a)=| og
Lo о 1/621.
Тогда первое из уравнений (2.4.6) примет простейший вид
这*用一溜=0.(2.4.9)
А структура второго уравнения принципиально не изменится, и оно примет форму
р*Рр =0, / =芥》瓶).(2.4.10)
В результате проведенных преобразовании один нз рассматриваемых конусов стал круговым (2.4.9) и его ось в тфостранстве ｛而，屍，同 совпа- даетсосыор^.
Второй конус теперь определяется уравнением (2.4.10). Он в общем случае остается эллиптитеским и определится собственными значениями матрицы Р. В частности, его ось будет направлена вдоль того собственного вектора, который соответствует отрицательному собственному значению.
Проделанные преобразования таковы, это число положительных и отрицательных собственных значений матриц У С) и р одинаково.
Рассечем теперь конусы плоскостью В =】• Тогда линия пересечения этой плоскости с конусом (249) будет окружностью, а с конусом (24.10) — эллипсом или гшюрболой в зависшюсти от взаимного располо жения коксов. Таким образом» задача определения действительных корней уравнений (243) свелась к нахождению о&цих точек единичной окружности и эллипса или пшерболы на плоскости 厶=1. Аналитического решения этой Задачи в общем случае, по-видимовиу, не существует. Возможные случаи взаимного расположения окружности и эллипса представлены на рис. 2.3. Из него видно, что число действительных решений уравнений (24.3) может изменяться от 0 до 4. В частности, можно отметить тот факт, что сама по себе знакопеременность квадратичных форм, имеющих матрицы У。〉и У’％ не гарантирует существования действительных решений уравнений (2-7.3). Такое положение имеет место для случаев, показанных нарт!С・2.3,4 伍&
Рис. 23
Окончательно о ветвлении можно судить только в случаях приведенных на рис. 2.3, к, 〃・ В первом из них в точке ветвления пересекаются две ветви рецюния. При этом они касаются двух о&цих образующих конусов (249), Q.4.10). Поэтому продолжение решения из особой точки в этом случае возможно вдоль четырех направлений, как это показано на рис. 2.4* В плоскости, проходящей через о&цие образующие конусов, картина ветвления имеет вид, показанный на рис. 2.5.
В случае Z" в особой точке пересекаются четыре ветви решения, касаю* щиеся четырех о&цих образующих конусов (2.4.9), (2.4.10). Здесь ветви
уже не лежат в одной плоскости и продолжение решения из особой точки возможно в восьми направлениях.
В случаях '江"一％? (рис. 2.3) имеют место касания конусов. Соответствующая о&цая образующая конусов здесь может оказаться касательной двух и более касающихся в особой точке ветвей решений. Для нахождения этих решений необходимо рассматривать уравнения разветвления с учетом выойих слагаемых в разложении Тейлора, причем в плоскости, касающейся обоих конусов по общей образующей. Последнее обстоятельстве упрощает исследование, так как число переменных уменьшается и становится равным двум. Иными словами, в пространстве активных переменных для каждой образующей, по которой конусы(24・9) и (2.4.10) касаются, выделяется двумерное подпространство 一 пложостЬ, касающаяся обоих конусов по общей образующей. В этом подпространстве и нужно исследовать уравнение разветвления.
Если решения уравнений (2・4・6) разыскиваются численно, то можно использовать следующее представление вектора р =必,Pz, Рз Г
singcos^1
Pl =，Р2 =——： , Рз = ■—— •(2.4.11)
配9Tl^l
Нетрудно видеть, что такой вектор р&) удовлетворяет первому уравнению (24.6) при любых 屮.Такое представление реализует простую геометрическую идею: при изменении < в пределах от 0 до 21r вектор р@) обегает первый конус так, что его конец находится на эллипсе, по которому этот
конус пересекается с плоскостью р3 = 1刈| 入} ' 1・ Очевидно, что второе уравнен» будет удовлетворяться тогда и только тогда, когда вектор р(^) будет совпадать с линиями пересечения конусов. Таким образом, задача нахождения действительных корней уравнений (2.7.6) сводится к определению корней тригонометрического уравнения
，(3)=РТ (屮)勿3) = 0, 0《з<2”・(2.4.12)
При этом известно^что число кортей в интервале 0《屮 < 21r не более четырех. Корни, соответствующие пересечению и касанию конусов, легко разде- лить. При пересечении конусов прохождение корня при изменении з сопровождается изменением знака функции，(3), а при касании знак не меняется.
Случай X，)> О, Х「> 0,入尹 < О, Х『)> 0,入夕 > О, Х『)< 0. Пре-. образованием (2.4.4) задача (2.4.3) здесь сводится к следующей системе уравнении:
4)р；-1《)侬 一 I入？)I遥=0,
ртРр = 0・(2.4.13)
Эти уравнения снова являются уравнениями конусов, только в отличие от случая 1 ось первого из конусов направлена вдоль оси р〔，а н@ р3. Поэтому этот случай может быть сведен к случаю 1 соответствующей перенумерацией переменных.
Случай 浸)> О, Х「< 0,入？)< О,X?》> &,入£)< о, X?)< 0. Так же, как и случай 2, сводится к случаю 1 перенумерацией переменных.
Кроме рассмотренных возможны также такие ситуации, когда матрицы У ⑴ и 卩")имеют нулевые собственные значения. Тогда множества в Лз, на которых лежат решения уравнений (2.4.3), вырождаются либо в прямые, либо в плоскости. Это облегчает поиск действительных решений системы уравнений (2.43). При этом возможно большое число различных комбинащш. Рассмотрим в качестве приме込 одну из них.
. Случай &> > О, Х「= О, X?)< О, Х『> > 0,入户 > 0,入朝 < 0. Пре- образование (2.4.4) сводит здесь систему (2.4.3) к следующей:
№以-1疋)1嫉=0,
ргРр = 0.(2.4.14)
Множество решений второго уравнения в пространстве { р「Р2. Рз】образует по-прежнему конус. А решения первого уравнения образуют две плоскости
(2.4.15)(2.4.15)
(2.4.15)
(2.4.15)
Подстановка каждого из этих соотношений во второе уравнение (24.14) сводит задачу к однородному квадратичному уравнению относительно р^ пр? вида
G₽2 + 2GP2P3 + с3р? =0.(2.4.16)
8181Э.И. Григолюк
81
81
Таким образом, в каждой из плосжостей (2.4.15) в Л3 задача установления ветвей решения сводится, к задаче, рассмотренной в предыдущем параграфе.
В заключена отметим, что» как следует из изложенного, когда размер
ность пространства активных переменшох d > 2, для установления ветвей решения в особой точке необходимо рассштривать большое количество различных ситуаций. Это делает задачу анализа решении в такой особой точке громоздкой и весьма трудоемкой при пракпгоской реализации. Общая теория этого вопроса, как нам кажется, далека от своего заверше кия. Для более детального ознакомления, кроме отмечавшихся ранее книг [53,212], можно рекомендовать монографию В,М・ Арнольда, А.Н. Варченко и См.日сейн-Заде 】),а также Ж. Йосса и Д._Джозефа2). Напракти< ке часто и эффективно используют возмущенные решения. Примером тако го подхода является численное решение о поведении трехстержневой системы, приведенное нами в § 1.3.
ГЛАВА 3
МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ ”
В НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ
ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Многие задачи механики твердого деформируемого тела сводятся к нелинейным краевым задачам с параметром для обыкновенных дифференциальных уравнений. Некоторые примеры таких задач будут рассмотрены в следующей главе. Здесь же мы сформулируем алгорттмы метода продолжения решения по параметру, учитьшающие специфику такого рода краевых задач'
Возможны различные подходы к решению нелинейных краевых задач. Широкое распространение здесь получили проекционные и вакационные методы типа методов Еу&юва и Ритца, а также разностные и вартацион- но-разностные методы, такие как метод конечных разностей н метод конечных элементов. С помощью всех этих методов нелинейные краевые задачи сводятся к системам нелинейных алгебраитеских или трансцендентных уравнений с параметром, для решения которых непосредственно применимы алгоритмы продолжения решения по параметру, разработан- нью в гл. 1. Такие подходы предлагались А.А. Курдюмовым [232], И.И. Во- ров!№м и В.Ф. Зипаловой [69] и др.
Другой подход связан со сведением нелинейных краевых задач к решению последовательности линейных краевых задач. В рамках метода продолжения решения по параметру он реализуется непосредственным применением процедуры метода к исходным уравнениям. Первый шаг в направлении такого ногользования процедуры продолжения решения был сделан В.З. Власовым и В.В. Петровым 口卩i формулировке алгоритма метода последовательных нагружении [276].
Tipi таком применении метода продолжения решения к одномерным нелинейным краевым задачам они сводятся к последовательности одно- мертых линейных краевых задач, которью являются удобным объектом для решения методами типа прогонки. Сейчас отработано несколько вариантов метода прогонки, обеспечивающих высокую точность решения npi пртемлемой трудоемкости [35].. Мы будем использовать дискретную ортогональную прогонку СК Годунова [88].
В этой главе будут рассмотрены особенности алгоритмов продолжения решения по параметру прт применении их к одномертым нелинейным краевым задачам с учетом решения линеартзованных краевых задач методом 6* 83
ортогональной прогонки. Для того чтобы эффективно использовать преимущества обобщенных форм метода продолжения решения гл. 1, йеобхо- димы некоторые изменения традиционного алгоритма ортогональной прогонки, который дан СК. Годуновым в основополагающей статье [88] и подробно освещен во многих руководствах по численным методам [35, 123,37] и др. Необходимость и существо этих изменении 動дут выяснены при анализе решения методом начальных параметров 9 который существенно используется в методе ортогональной прогонки. Видоизмененный алгоритм последнего метода будет ишользован и卩i построении алгоритмов тепре- рывного и дискретного продолжения репюния жлинейных одномерных краевых задач. .
.L Непреривное продолжение решения в нелинейных одномерных краевых задачах
Рассмот^жм краевую задачу для системы жлинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с пара^тром
Z'=F(Z,P),(3.1.1)
4Zg)=%32(仇)=，•(31.2)
Здесь введены следующие обозначения: Z =Z0) = [Z〔 (^),... 9Zm 0)]實一 туерная вектор-функция аргумента 0; F(Z,P) = [Fj (Z,P),.-. ...9Fm(Z9P)]T — нелштейная т*мерная вектор-функция; 4 — прямоугольная невырожденная матрица размера пХт(п<т); Е — прямоугольная невырожденная матрица размера 1Хт(1 -т -п); а,Ь — векторы размерности л ит—л = / соответственно, Zf = dZ/d*
Будем считать, что краевая задача (3.1.1), (3;1.2) имеет решения для некоторой области значении параметра Р и для некоторого значения Р=Р0 из этой области такое репюние Z ⑺ известно, т.е.-
ZIp=p° =Z(o).(3.13)
В соответствии с основной идеей метода продолжения по параметру будем считать неизвестную вектор-функцию Z и параметр Р непрерывными и дифференцируемыми функциями некоторого параметра 入
Z=Z(A。 P^PQ^.(3.1.4)
Смысл параметра 入 определяй позже. Но так как он не входит явно в краевую задачу (3.1.1), (3.1.2), то мы вправе выбирать начало отсчета 入 так, как это нам удо&о. Поэтому выберем его так, чтобы известному решению (3.13) соответствовало Х=О,т.е.'
ШО)=2(о),Р(0)=Ро・(3.1.5)
Производные Z и Р по параметру X обозначим соответствующими строчными буквами
dZ]dX = z,dPld\ = p.(3.1.6)
Эти обозначения вместе с начальными условиями (3.1.5) можно рассматривать как задачу Коши по параметру 入.Необходимы только соотношения, определякицие правые части в (3.1.6) — вектор-функцию 区皿=
=[Zj®,…，z协G)]t и пара^тр p. Такие соотношения получим, продифференцировав по 入 краевую задачу (3.1.1), (3.1.2). В результате Три правых частей уравнении (3.1.6) имеем линейную краевую задачу
z'=2(Z,P)z ^РМ^Г)9(3.1.7)
4zOM = 0,Bz02)= O・(3.1.8)
Здесь 丄(Z,P) = Р"] и М^9Р) = \МХ 0,Р),・・・，/0/)「一 матрица-функция и вектор-функция» компоненты кото^шх определяются соотношениями
与=а爲/а 马，3 = а吊/», "=1т. (з」.9)
Одним из методов решения линейной краевой задачи (3.1.7), (3.1 Л) является метод дискретной ортогональной прогонки СЛС., Годунова [88]. Опыт применения этого аютодд для решения линейных и нелинейных задач теории оболоадк и пластин (см., нап(жмер9 [174,123]) показал его устойчивость и высокую эффективность при достаточной экономичности как по числу операции, так и по памяти ЭВМ. Однако для использования метода ортогональной прогонки в рамках обо&ценнмх алгортгмов продолжения решения гл. 1 в его процедуру необходимо внести некоторые изменения. Для того чтобы существо этих изменении не затенялось деталями, связанными с дискретной ортогонализацией решении, рассмотрим сначала решение метода начальных параметров, форма представления которого <ущест- венно используется в методе ортогональной прогонки..
Метод начальных параметров предполагает представление решения линейной краевой задачи (3.1.7) в форме
z = qz⑴ +。22(2)+ ... + e/0)+w0.1).(3.1.10)
Здесь Ci,C2，.・・，R — произвольные постоянные (/ =m —л), а вектор- функции z(D,z(2),・・・，z(‘)— линейно независимые решения следующей однородной задачи:
z' = Az, 4z6) = 0 е®)/0).(3.1.11)
Вектор-функция z("〔)является решением неоднородной задачи
z'=2z+M,z(ft)==0・(3.1.12)
Обратим внимание на то, что в уравнениях (3.1.7) величина р также подлежит определению.
Представление (3.1.10) устанавливает соответствие между функциональным пространством решении уравнении (3.1.7), удовлетворяющих граничному условию Az (fit) =0, и 0 + 1)-мертым векторным пространством Rm: {с*,、,・・・,с，,р}・ Другими словами, для любого набора чисел Ci,C2, — ・,q,p выражение (3.1.10) всегда будет решением задачи
z‘ =Lz + рМ,4z ⑸)=0.(3.1.13)
В пространстве R/.i введем вектор с= [ci,. -. 9с^1^^ Задача метода начальных параметров состоит в определении такого вектора с, п(ж котором функция z (3.1.10) была бы решением краевой задачи (3.L7),(3.1.8) 9 Tf. удовлетворяла бы также и условию Bz(fi2) = 0. Из векторов z ⑴(ft), I = 1,・• • J + 1, являющихся значениями вектор-функций z ")п(ж 0 =仇,
составим матртцу D размера m X (! + 1)
D =后⑴⑸)，2з?),…,收%1 •(3.1.14)
Тогда условие Bz (伝)=0 щжводит к уравнению
ЬОе=无=0,J^BD.(3.1.15)
Это уравнение для нелинейной краевой задачи (3.1.1), (3.1.5) имеет тот же смысл,仃о н уравнение продолжения (1.1В) для системы нелинейных уравнений (1.13). Действительно, определяемому из уравнешш (3.1.15) вектору с€ R]., в силу соответствие, установленного представлением (3.1.10)э отвечают такие вектор-функция z и параметр р, которые являются правыми частями уравнений .продолжения (3.1.6), т$. имеет место соответствие'
{az/ax=z, 〃ydx=p} - с.(з.1」б)
Здесь стрелкой обозначено это соответствие, установленное представлением 0.1.10).—
Поэтому мы и обознашши матрицу BDчерез J, те.так же,как и матрт- цу уравнений продолжения (1.1.8).
Так как матрица b имеет размеры 7 Хт, а матрицаD — (/ +1) Хт,.то размеры матрицы J- будут/ X (7 + 1)・ Таким образом^ уравнения (3.1.Г4) представляют собой систему из Z однородных линейных алгебраических уравнений опюсительно / +1 неизвестных компонент вектора с= [ct,... ・• •》R,河'С R/i • В регуляртых и предельных точках множества решении нелинейной краевой задачи (3.1.1), (3.12) rang (Г) = /, поэтому подпространство в Ri+工, которому принадлежат решения уравнения (3.1.15),одно- мерто. В дальнейшем под с будем понимать орт этого подпространства. Как было показано в § 1.1, определение с из уравнений (ЗЛ.15) методом ортогонализации устраняет различия между регулярными и предельными точками и равносильно использованию на каждом шаге продолжения решения такого параметра, который обеспечивает максимальную обусловленность систем уравнений (3.1.15). Для операции нахождения единичного вектора с, ортогонального векторам-строкам матрицы J, воспользуемся обозначением (1.1.24)
c = ort(J,Q).(3.1.17)
Здесь Q£ R?.i — (7 +1)-мерный вектор-строка, дополняющий снизу матрицу / до квадрапюй и линейно независимей со строками матрицы 了. Как отмечалось в § 1.1» вычислительная погрешность решения системы (3.1.15) будет тем меньше, чем ближе Q к искомому вектору с.
Дия решения системы уравнении (3.1.15) можно пртменить и подходы, разработанные в § 14 и обеспечивающие продолжение решения с・параметром, близким.к оптимальному.
Рассмотртм подробнее установленное соотношением (3.1.10) соответствие (3.1.16) между функциОнально-векторным пространством {z,p}z вектортым пространством R—卜 По смыслу процесса продолжения решения по параметру вектор с является функцией параметра Х,тл.
(3.1.18)(3.1.18)с=с(Х).
(3.1.18)
(3.1.18)
Образуем вектор С(Х) С R/+i такой, что dC/d 入=с・(3.1.19)
Его нетрудно построить, напрнмюр, как интеграл вида 入
C = J e(X)d入.(3.1.20)
о
Тогда соответствие (3.1.16) можно представить в форме
{dZ/dX = z,dP/dX=p} ^{dC/dk^c},(3.1.21)
Отсюда видно, что кроме соответствия{z,p}-^c представление (3.1.10) устанавливает и другое соответствие
{ZQ - С・(3.L22)
Таким образом, определенное параметром Р функциональное пространство решений нелинейной краевой задачи (3.1.1), (3.1.2) отображается на множество С(Х), которое в силу непрерывности с(Х) и выражения (3.1.20) представляет собой кривую К в векторном пространстве R?.卜 Параметр 入 в силу (3.1.20) прюбрётает смы^л длины этой кривой К, а вектор с является ортом касательной к К. Эти геометрические образы позволяют нам для нелинейных краевых задач использовать результаты гл. 1. Примеры алгоритмов непрерывного продолжения репюния краевой задачи (3.1.1),(3.L2) 飽дут даны ниже в § 3.4 после того, как будет сформулирован алгоритм дискретной ортогональной прогонки, учитывающий особенности представления решения в виде (3,1.10)・
32 Дискретное продолжение решения
в нелин^ных однотрных краевых задачах
Обратим внимание на то., что обобщенные алго!жтмы дискретного продолжения решения уравнения 尸(郭)=0 содержат в качестве основного элемента решение системы уравнений (1.2.16), (1.2.22), (1.2.26), которую мы здесь для X = \fc запишем в виде
『&?；)(&俨-砧；)+尸皮备) = 0, 7 = 1.2,... (3.2.1) Если от обобщенного вектора 京=[及,及,• • •,/,Р]支 вернуться к вектору Х= [X,及,・・・,/]т и параметру Р, то выражение (3・2・1) запишется в виде ■
J(X^yPk)(X^^ -^)+M^,^}+F(X^rP^ ) = 0, (3.2.2)
M=dF/dP, / = 1,2,...
Отметим, что такое представление алго^жтма метода Ньютона — Рафсона подчеркивает тот факт, что если итерационный процесс (3.2.2) сходится, те X,g ->Х(*), Р^ ->厶 П{ж / —8, т。он сходится к решению уравнения 尸(Х(*),Р*) =0.
Итерационный процесс (322) без труда обобщается на нелинейную краевую задачу (3.1.1), (3.1.2). Это обобщение чцсто называют квазили- неартзацией [384
Пусть Z，3, Р[。一 значения искомой вектор-функции Z^ и параметра Рк на /41 итерации при 入=入左・ Тогда на (/： + 1)-й итерации квазилинеаризации искомые значения Z&；D 班「夕令工)удовлетворяют следующей краевой задаче [384]:
(Z 瑞))，=丄0 総,P2)(Z招)-終2))+
+W0必歴)政+D 一叩)+尸(Z出,P烈),(3.23)
4Z 瑞)(仇)=%EZ 器 1)@)=瓦(3.2.4)
Здесь, как и в задаче (3.1.7), (318) непре^шного продолжения, £ = =[£//] и М= [М],…，Мт/ — матрща и вектор, определяемые для нелинейной вектор4)ункции F (Z9 Р) следующими соотнопюниями:
l@ = bFfibZf9 м* = а 瓦/а 尸， ％/=i,..., ш.(3.2.5)
Запись уравнения квазилинеартзации (3.2.3) подчеркивает тот факт, что если итерационный процесс сходится, то он сходится к решению исходйой нелинейной краевой задачи (3.1.1), (3.1.2). Действительно, если — ->Z(*)и Р?)->Р^ при / ->8, то пертые два слагаемые в правой части уравнения (3.23) стремятся к нулю и в пределе уравнение (323) обращается в исходное (3.L1).
Перепишем задачу (3.23), (324) в другой форме
^=^^ +Р")■総+М留，(326)
AZ^ (₽!)=<». 8Z图)电)=瓦(327)
Здесь обозначено
• 42)="z洛吸).嘘)="%吧))，
一(3・2S)
@結П尸02),p尸一20結典/)"出一埋)"0弘,Р?)).
.Эта форма записи показывает, что в отличие от линейной краевой задачи (3.1.7), (3.1.8), возникающей при непрерывном продолжении, задача (3.2.6), (3.27) имеет более сложную неоднородность в уравнениях и неодг нородные граничнью условия.
Так же, как и и卩i непрерывном продолжении решения, рассмотрим сначала решение зада<ш (3.2.6), (3.2.7) методом начальных параметров. Оно позволит выявить особенности, которые необходимо учесть npi построении решения методом дискретной ортогональной прогонки.
Решение методом начальных параметров линейной краевой задачи (3.2.6), (3.27) представим в форме, учитывающей наличие в правой части уравнения (3.2.6) слагаемого с множителем P?f кото(ши подлежит
определению на данной итерации
Z 鄒=C(%)Z(O(/+1)+... + С 將)+ 碼"F +
+Р器 1)zgjW+i) •+ z^^i+^.+Р器 1)zgjW+i) •+ z^^i+^.(3.2.9)(3.2.9)
+Р器 1)zgjW+i) •+ z^^i+^.
+Р器 1)zgjW+i) •+ z^^i+^.
(3.2.9)
(3.2.9)
Здесь Z,；；"+". t = 1,... ,1, — вектор4>ункции, являющиеся линейно независимыми решениями однородаой задачи
Z噎礎 Z, 4Z偉i) = 0(Z(6i)#0).(3.2.10)
Вектор-функция Z，副)("" строится как решение неоднородной задачи
2一。宏z+%紛，z(仇) = 0.(3.2.ii)
И, наконец, Z，g2)°*D представляет собой решение следующей неоднородной задачи：
ZJj^Z + S出, 4Z(£i)=a. (3.2.12) 騒едем, как и при непрерывном продолжении, матрицу。器"，составленную из векторов <толбцрв значений вектор-функций
Z必"2"1,…』+ 1, при P = fo,
叫郊)Ё 0必宀)他)，.…z喝)0Toi力］. (3.2.13) ^едем также вектор С器口 = 0得)，・・・，С：需》,Р宙1)］「составленный из / констант интегртрования и параметра. Для этого вектора из краевого условия 3Z,g‘)⑸)=b п(ж 0 =仇 получаем линейное алгебраическое уравнена
BD^ Cfi*1) + В2^^^) = Ь. (3.2.14)
(3.2.15)(3.2.15)(3.2.16)(3.2.16)Это уравнение перепишем в виде 了將)嘲)=喲).
(3.2.15)
(3.2.15)
(3.2.16)
(3.2.16)
Здесь обозначено
T^BD^,a^ -b-BZ^4M.
Уравнение (3.2.15) в 雖линейной краевой задаче является в определенной степей аналогом уравнений (1.2.16), (1.2.22) и тл. дискретного продолжения репюния. Более полной аналогии удается до&ться при форму* лировке задачи квазилинеаризации для приращении AZ^^^ 逝%1)々將
практической реали--практической реали--Но такая формулировка оказывается неудо№ой для 厂二"二
практической реали--
практической реали--
зации изз наличия в правой части слагаемого 0,2)•.
Уравнение (3.2.15) представляет собой систему из / лин^ных алгебраи
ческих 1 неоднородных уравнений относительно Z +1 неизвестных компо-
лент вектора С,［『)Учитывая результаты § 1.2, вектор C，［；D будем
89
искать^ виде
^-^^ +G^.(3-2.17)
Здесь G^1^ — частное решение неоднородного уравнения
了將)G器D = d器】)，(3.2.18)
收窗1)—о&цее ренюние однородного уравнения
J*；%器 D = 0(3.2.19)
и 4&* — неопределенный пока коэффициент» который определяется из дополнительных условий.
Уравнение (3.2.19), как и в уравнение (3.1.15), имеет однопараметрт- ческое подпространство решении в векторном пространстве Rz.i・ И мы далее под с ^J"1^ будем понимать орт этого подпространства.
Как и п(ж непрерьшном продолжении решения, воотользуемся теми возможностями, которью дает толкование представления решения (3.2.9) как отображния функциональвю^екторного пространства {Z9Pi на (/ 1-1) тертое векторов пространство R^.i постоянных интегрирования q,・・•，С] и параметра р. В силу этого отображения уравнению (3.2.19) и его решению с%；‘)= [W'",・・・，c£W),碎"“】соотвётсг- вует линейная краевая зада^
(^^^?^ +^ЙП^Й.
入跟胸) = 0,及器1)(网=0.(3.2.20)
Если итерационный процесс сходится, т.е.
Z/fZg, Р出-Р*, »^-z(fc)И p(g -pfc
при/ т8 , то задача (3.2.20) сходится к следукмцей:
峪)=А0 ⑺ J*)z +p(*)Af(Z(ic),/>(*)),
(3.2.21)
，2&)(Л) = 0,bz«)&) = 0.
А эта краевая задача с точностью др обозначений совпадает с краевой задачей (3;1.7), (3.1.8) непрерывного продолжения. Таким^ образом, вектор NS" в итерационном процессе сходится к вектору с⑺ =cQ⑺), являющемуся, как это показано в § 3.1, ортом касательной к кривой К, на кото^ю отображается в %令工 решение нелинейной краевой задачи (3.1Л), (3.L2).
Наличие в репюнии (3.2Л7) произвольного коэффвдиента 額；%" позволяет выбрать его значение на каждой итерации так, чтобы отображение итерационного процесса (3.2.6), (3.2.7)в пространстве R*. обладало TeNffl же свойствами, что и итерационные процессы дискретного продрлже- ния, построенные в § 1.2. Так, условие, эквивалентное условию (1.2Л9),
должно требовать ортогональности поправочных векторов
△d取)=Cg；D-Q2)(3.2.22)
к орту O(jt_q касательной к кршой К W R].r в предыдущей (к - 1)-й точке, ■£・ П{ж л =入(比_工)• Это условие запишется в виде
(С(1)，嘴D -嚟)) = 0.(3223)
Подстановка сюда решения (3.2.17) дает, что
(3.2.24)(3.2.24)_ 9(»嚟)一С器D)
(3.2.24)
(3.2.24)
电(eg)，嘴】))
Геометрия такого итерационного процесса в R]+[ подобна показанной на (ЖС. 1.6. Так же, как и в § 1.2, знаменатель выражения (3.2.24) может быть использован для контроля за шагом по параметру 入 с помощью условия, гшалогичного условию (1.2.42):
7н <(с(*т), с(*Д)<7в <1.
Точю так же, как и в § 1.2, для определения。,[；1)можно иаюльзовать условия (1;2.23) или (1.2.27). Без труда, иаюльзуя отображение решения нелинейной краевой задачи на векторюе пространство R*i，можно обобщать на случай нелинейных краевых задач и алгоритмы с близким к оптимальному параметром продолжения, построенные в § 1.4.
.3. Дискретная ортогональная прогонка
Как показано в § 3.1, 3.2, алгоритмы ^прерывного и дискретного продолжения решения нелинейных краевых задач содержат решения пошаговых лвдюартзованных краевых задач вида (3.1.7), (3.1.8) дл麗 непрерывного продолжения и (3.2.6), (3.2.7) для дискретного. Выше уже отмечалось, что реализация рассмотренных выше решений этих задач методом начальных параметров в задачах мехщгаки твердого деформируемого тела обычно наталкивается на известные трудности, связанные с наличием быстрозатухающих и быстровозрастающих решений. Последнее пршодит к плохой о^словленности систем (3.1.15) или (3215). Одним из наиболее эффективных способов преодоления этих трудностей является использование прт построении решений метода дискретной ортогональной прогонки, разработанного С.К. Годуновым [88]. В отличие от традиционного варианта этого метода, изложенного, например, в [35, 123, 174], 口口 реализации алгоритма продолжения решения по параметру приходится решать линей- нью краевью задачи вида (3.1.7), (3.1.8) и (326), (3.2.7), содержащие подлежащий определению параметр в свободных членах. А это требует некоторой модершзации известного алгоритма метода ортогональной прогонки. Итак, будем рассматривать линейную краевую задачу
dz/d6 = L0)z +рМ0) + 3(0),(Д)«0 Vfty),(3.3.1)
Лг(ро) = а,(33.2)
Bz{0N)^b.(3.33)
Здесь z0) = [zi (^),... ,zm 0)]T — искомая m-мерная вектор-функция; L ® =[丄"(Д)]，f,/ н 1,・・.,m, - заданная квадратная матрица@ункция порядка m; m 0) = m ⑹，…,m. (6)产,$(6) = [a ⑥，•- •，%(6)「- заданные т-мерныс вектор-функции; Л — заданная невырожденная прямоугольная мат^жца размера л X m (л < m, rang (4) =n); b — заданная невырожденная прямоугольная матрица размера (m—n) Xm (rang(ff)= =m -n = Z); 4ss Hi,..，,，「, Ь= [Ь1,..-,Ь/]Т — заданные векторы; р — параметр; 0о, 0n — координаты начала и конца интервала, на котором разыскивается решение краевой задачи (33.1) — (3.33).
Прежде чем переходить к алго^жтму ортогоналыюй прогонки, обратим в!Й{мание на лежащее в его основе свойство общего решения уравнения (33.1), удовлетворяющего условию (33.2) 口口 6=鳥.Это решение представим в виде.
z(P) = G Z⑴ +&(2)++牛()+口』+1) +z(，+2),(33.4)
l = m-n.
Здео» z。)= [zf“,・♦ •，zN)]T, / = 1,...,/ — линейно независимые вектор-функции, являющиеся решениями однородной*задачи
dzldp^L(^zf 4z0o) = O . G©o)WO)；(3.3.5)
z("D = [zV>, •・•/、'"] T — вектор-функция, представляющая собой частное решение задачи
dz/dfi = 2®z +М©Лг(ро) = 0;(3.3.6)
г (1令2)(f+2).
z,•••/) ]т — вектор④уш^ция, являющаяся частным решением задачи
■ dz/dfi=£(p)z+ 碗， 4z0o)=a;(3.3.7)
&,・・・,G —произвольные постоянные,p — параметр.
Введем вектор С= [G，・•・，G，p, 1]倉 и матрицу U(0, составленную из векторов-функций z。)J = 1* ・・・,Z +2,
и(Д) = [%©] = [Z ⑴(₽)，…,』+2)働，(3.3$)
与(A)=Z?0),i = lm, /=l,...,Z + 2.
Матрщу и(Д) будем называть матрицей о&цего решения. Тогда решение (3.34) задачи (3.3.1), (3.3.2) представится в матричной форме
i(^ = UC.(3.3.9)
Введем невырожденную квадратную матрицу Q порядка / +2 со следующей структурой:
411••・ 4“^i(/+i)^i(/+2)
Q 与 q〃 •・・ q〃 4，("i)^f(/+2)•(3.3.10)
6
Нетрудно видеть, что матрица U*, связанная с Vзависимостью
U*=UQ9(33.11)
имеет ту же структуру, что я матрица Ц так как ее первые I столбцов являются линейно-независимыми решениями однородной задачи (3,3.5), а последние два столбца представляют собой частные решения зфад (33.6) и (33.7). Поэтому вектор-функция
z・(Q = U・C・，(33.12)
где С* = [С?, ...,Срр, 1]т, также является общим решением задачи (33・1), (3.3.2) П{ж произвошяых значениях С*> ・•.,С；, тх. U* также яв- л^тся матртей общего рещения. Если z (份"z・® тождественны, ие. зто одао и то же решение, то векторы Си С* связаны ввиду (33.11) соотношением
-QC=C'・-(33.13)
Рассмотрим тепе}» алгоритм ортогональной прогонки. Для этого разобьем интервал интегрирования 0。《0《削 на ^участков. КоординаХы границ участков обозначим через 0o,0i,・・・,% а сами участки пронумеруем рлева направо от 1 но 原 На первом участке %《0《仇 о&цее решение задачи (3.3.1), (3.3.2) построим в виде (33.4). Сначала получим решение
,/ ■】，•・・，Z, однородной задачи (3,3.5) (здесь и ниже нижний индекс в скобках "(I)" будет оэна^ть принадлежность к /-му участку). Для этого возьмем , ортонормированных решении 十/§，/ = 1, •・•』， уравнения АХ =0и, принимая их в качестве начальных, построим каким-либо численным методом (Рунге — Кутта, Адамса — Штермера и те.) решение началь* ной задачи для однородного уравненияdzldp =L^z^т.е.. z^»/ =1,...,Z, получим как решения начальных задач
dz&产阿?)，嗯偉。)=船，(3344)
片1,.../-<6<仇.
Репюнж ^(₽) задачи (33.6) получим тем же методом, каю решение следующей начальной задачи:.
dzg)/d0M丄⑥zf；；D +М(₽), zf；；D(M=F，『)=0.(3.3.15)
И, наконец, решение z ,『)偉)，задачи (3.3.7) получим, проинтегрировав следующую начальную*задачу:
dz^ ld&=L(^z^ +Ф(₽), z需)低)=貝挤・ (3316) ЗдесьF^q)^ —вектор, являющийся частным решением системы Ai =а и ортогональный (но не нормированный) к векторам 扌，§,/ =1,…，Z・ На вопросе о том, как практически построить векторы 翦；,/=!,>..,/ +2,
мы здее не задеряяваемся, чтобы ие загромождать изложение деталями, а подробно расоАотрим его позже.
Тепер общее решение задачи (3.3.1), (3.3.2) на первом участке можно представить в виде, аналогичном (3.3.9):
方(₽) = Ц1)(Р) С《1) •(3.3.17)
Здесь %)0?) -матрица-функция (3.3.8)иС(1)-[。⑴ 1.・・・,/桃必1产一 вектор произвольных постоянных на первом участке.
Напевом конце первого участка (при /? = /?0) матрица-функция。⑴ 0) принимает значение
Ц1)(₽о)-Л1), F(i)=[F8J，…,Fg;2)].(3-зле)
Здесь，о — матрица, столбцами которой являются ортогональные векто- рыУ，?)/=1,…,1 + 2.
На правом конце первого участка значения матрицы 忆)0。обозна- яимт&с:
%)01)Н五1) = 4沛...；,熠2", J8 =z出(61),(3.3.19)
/ =1 ,... ,Z + 2.
Если столбцы матрицы 吸i)0о )=嘉)образовывали ортогональную систе” векторов» то по мере увели<№ния 6 столбцы матрицы 14 ⑥ все больше отклоняются от ортогональной системы. Отклонения нарастают особенно быстро» если уравнеше (3.3.1) имеет быстрозатухающие и быстровоз- растающие решения. Это приводит к тому, что векторы zg (Д),/ =»,••• ...,/ +2, при больших £ могут стать почти линейно зависимыми. Идея дискретной ортогональной прогонки и состоит в том, чтобы, пока эти отклонения не слишком велики, дрертать процесс интег^жрования и перейти на следующем участке к другому общему решению. Это решение до)ркно быть таким, чтобы составляющие его векторы однородных и частных решений были ортогональны при 6=仇• Для этого проортогонали- зируем с помощью процесса Грама — Шмидта столбцы-матртщы(3.3.19), причем первые I стол&юв, представляющих в 麻)решения однородной задачи (3.3.5), кроме того, пронорми^ем, а векторы夾С и炎『‘ только проортогоналнзируем к 夾《；• / = 1,. • •，厶 без нормировки. Полученную систему вектору обозначим через F，g, / = 1»...,/ +2, и образуем из них матрицу f(2)『очно так же, как матрица f ⑴(3.3.18) образована из векторов 扌 g；, / = 1,. •.,/ +2. Результат этой операции можно представить в ввде
^(1) = Г(2)n(i)-(3.3.20)
Здесь в отличие от § 1.1 производится ортогонализация столбцов матрицы 扌“)• Поэтому матрица W《d является верхней треугольной матрицей, и с учетом особенностей процесса, связанных с ортогонализацией
векторов夾s)h 外：；2), имеет вцд
Г з。) 311
0
第 第
…*
…吟
3（文
3。）
3品一
3热
С(у
0
0
…3伊
哨
3朋
(33.21)
0
0
...0
1
0
-
L о
0
… 0
0
1-
Векторы f，3, / ==
!, выражаются через векторы 夾§,/ =1,...,/,
следующим образом:
%)Н争" (端£3s)穡),尸 1，…"322) где
3伊。(噂夕，務)，9 1
3科=[(第，穴?))-g 觴")2~(3.3.23)
Векторы Ff：；‘) и 八?；？) не нормируются и вычисляются по формуле
V) к 冊)-香 з通？ И,7 + 2・(3.3.24)
Полученную ортогональную систему векторов Fg| ；/ = 1,・・•,/•+ 2» возьмем в качестве начальной для построения решений z』“,/ = 1,• • •,I + 2, составляющих о&цее решение уравнения (3.3.1) на втором участке; тл. так же, как на первом участке, построим решения следующих начальных задач:■
』一-L^^y2圏(仇)=了纵 /=1,...,/；(3.3.25)
dz(*D
-^-=2(®,界)+W). 4界)@)=鮮町)；(3.3.26)
dz("2)
-^- = L®z町)+ 不®,啮2)仙)=第;2)(3.3.27)
Из этих решений общее решение образуется в виде
z(2)(« = ^(2)(«C(2),(3-3.28)
%)(£)=啕，…,z(%j)], C(2)=[C((；)),..., C g,p, T. (3.3.29)
В силу (3.2.25) - (3.2.27)
5仙)=%)=曲:)),...,耳；『].(3.3.30)
Из соотношений (3.3.18), (3.3.20), (3.3.28), (3.3.30) следует, что
。⑴(0)= U(2)(0)6(1)・(3331)
Тогда по рассмотренному выше свойству z(2)(6) (3.2.28) является общим решением уравнения (3.3.1), удовлетворяющим условию (3.3.2). Поскольку zi(0) (3.3.17) является общим решением той же задачи, то векторы произвольных постоянных С⑴ и С(2)связаны соотношением
С(2) =a(i)C(D・(3.3.32)
Поступая точно так же на участках 3,4, . . . , Л, строим, на этих участках общие решения z«)(0) уравнения (3.3.1), удовлетворяющие условию (3.3.2), в виде
痴(6) = %)(0)С(》i = 1,2, •・.，М(3.3.33)
Так как все z(]》(0), i = 1, . . . , N являются общим решением одной и той же задачи, то векторы С«)и Cq.i)связаны соотношениями
C(£+d = О。С(А i=l, — , "― 1,(3.3.34)
где C (力 一ортогонализирующая матрица вида (3.3.21) и такая, что
w(i)=。《)f(i+o» ^(о=%)«а
一(3.3.35)
*+D = %+D(ft), i = l,...,N-l,
Вектор постоянных Cg находится из условий (3.3.3) на правом конце при 0 =队，которые принимают форму Bz(図,(恥=»• С учетам (3.333) и (3.3.35) эти условия сводятся к уравнению,
в W (N) C(N) = b. W (N) = U(N)(ftv)・(3.3.36)
Так как в векторе Cg = [С^. • • • > 咽,Р, 1]т неизвестными являются только первые 0+1) компонент, то уравнение (3.3.35) можно представить в форме
J C(n)= d,(3.3.37)
7=зо. d="3,喘，
< 丿 _(3.3.38)
。=[瑞，…，/谓1, ?(N)=[嘲,…，嘲，pг
Матрица S имеет размер I Хт9 матрица О — m X Q + 1)9 поэтому матрица J =BDимеет размер/ X (Z +1).
Уравнение (3.3.37) играет ту же роль, что и уравнение (3215) при решении задачи вида (3.3.1) — (3.3.3) методам начальных параметров. Поэтов его решение разыскивается в виде
^^)^ас^ + G(n),(3.339)
где £《м — о&цее реиюние однородного уравнения Jc(^ = 0, которое методом ортогонализации можно найти в виде с^ =0itq*q) (§ 1.1); G(ло — частное решение уравнения J G^ = d, которое можно построить способом, данным в § 1.2; а - коэффициент, определяемый из дополнительного условия, зависящего от того, какой именно итерационный процесс из рассмотренных в § 1.2 и § 3.2 реализуется.
При непрерьшном продолжении решения уравнение (3.3.2) однородно, так как d = 0. В этом случае a-IvlG^ = 0, a eg = ort。, q) • В качестве q принимается н вектор。碗 на предыдущем шаге или предыдущей итерации.
Для определения Cg можно также использовать и методы § 1.4.
После того, как тем или иным способом найден вектор С^, совершается обратный ход прогонки, на котором определяются векторы С«) как решения задач (3.3.32)
«(0 Qi) = C(~D，i ="- 1, N-2,・・・，1,(3340)
и решение краевой задачи (3.3.1)亠(3.3.2) строится на участках по полученным С⑴ и построенным на прямом ходе %)в соответствии с (3.3.33):
冊)©)=%)©)%),內т《0《В#=М・・・，1.(3.3.41)
С целвю экономии памяти ЭВМ можю использовать прием, предложенный в книге [123].
Обратимся теперь к вопросу о том, как построить нужные нам для на- .чала прямого хода векторы ? (<\ i = 1, . . . , Z + 2. Рассмоягрим его при условии, что главный 8евый) минор матрицы А отшмен от нуля, В других случаях видоизменения решения очевидны. _
Сначала построим / линейно независимых решений £('),『=1» ・•・，/, однородного уравнения Л ^ =0. Это уравнение представим в форме
。1」1 + • •・+ai〃J =〃■〃+■ + E*i +・•・ +做両 J,
^«i ti *♦••*%/〃 =%办+遥力+1 + • • • +/т E.・(3.3.42)
Теперь задав / линейно ^зависимых ком&шаций, входящих в правые части этих уравнений Е,, i = n + 1,... »m, например, в виде (1Д . ..#0), (ОД, . . . , 0), . . . , (0, 0, • . . , 1), и решив систему (3315), получим I линейно независимых векторов £“), j = 1, . . . »Z. Проортпгонализиро-
Э.И. Григолжж^97
вав ‘加 векторы с помощью прсщесса Грама — Шмидта, построим I орто- нормированных решений {*/：； ,# = 1,・•.，？，уравнения Л}* = О
成⑴.…,宣町=现…,£?)1 6о.(3343)
Вектор q：+" = °，как это принято в (33.15).
Для получения вектора 手^；?)построим сначала произволыюе частное решение t “ 母〉уравнения 4老=о ・ С этой целью достаточно положить равными нулю последние / его составляющих 空；" ^ •.・=£ [ *?)= О, а первые л составляющих найш как решение уравнений
为/f2、一・+勺〃4・2)М效，'
・•・•・- •尊 (3.3.44)
an^^^nn^-a,,.
ПроорЕОтшвашзсфОвав (но без нормирования) полу%нный вектор Е “ +2)=俵丁 +2，，. • Е： +2’• 0» •.・，0]т К векторам f^2)> # = 1，・♦・』， построим требуемьй вектор &f" в ввде
衆7)=з+2) _ , {(福/，+2)四).(3.3.45)
3.4. Алгоритмы непрерывного и дискрегаого продолжения по параметру решения нелинейных одномерных краевых задач
Суммируя результаты этой шавы9 иршедем ддя нелинейной краевой задачи (3.1.1), (3.1.2) алго(й<тмы непрерывного н дискретж)го продолжения решения по параметру. Из алгоритмов вюпрерьшного продолжения рассмот^жм метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера. Алгоритмы методов Рунге — Кутта и других методов, реализующих явные схемы интегрирования задачи Коши по параметру, читатель легко сможет построить самостоятелыю по аналогии.
В качестве примера алгоритма дискретного продолжения рассмотрим только тот, жоторьй связан с дополнительным условием вида (1.2.26). Видоизмежния, необходимые для использования других условий из § 1.2, очевидны*
Метод Эйлера. Рассмотрим алгоритм метода Эйлера для интегрирования нелинейна краевой задачи (3.1.1), (3.1.2) по параметру 入 при начальном условии (3.1.3).
Будем считать, что движение по параметру продолжения ооадествляет- сясшагом AX,Tje.
入能+1 =人Jt + △入♦
Верхний или нижний индексы "к" будут указывать, что данная функция или величина взяты при 入=入*・
На каждом шаге по параметру 入 необходимо решить линеаризованную краевую задачу непрерывного продолжения (3.1.7), (3.1.8). Ее будем решать с использованием ортогональной прогонки. Дця этого интервал 命《0《斯,.на котором строиться решение нелинейной краевой задачи, будем, как и в § 3.3, считать разутым на N участков. Индекс "(i)“ будет указывать, шо величина или функция с этим индексом относятся к ьму участку ft_t <0<ft.一
Прежде чем начинать процесс интегрирования задачи Коиш но параметру X, необходамо задать начальное состояние, определенное условиями (3.1.3)
左=0, % =0, Z(o)=Zo，Р(о)=「о,(3 41)
«(о)：【°，…，°，1】•
Вектор-строка q(°) необходим для дополнения снизу матрицы /(!) при построении решения методом ортогонализации при 无=1.
Для ортогональной прогонки необходимо построить ? ортогональных однородных решений《")J = 1,.・•, Г, задачи
4^=0.(342)
Как указывалось в §3.3, для этого нужно построить сначала / линейно независимых решений Е ")J = 1, . .. ,Z, системы (3.3.42), а потомпроор- тогонализировать их с помощью процесса Г рама — Шмидта (3.3.43) •.
Прямой ход прогонки — построение по участкам 方一】<^ <ft общих решении задачи
，丁)=丄(Z(') J(ir))N(')+"(Z(»P(斤))， ар
(ЗАЗ) 4z(')@)) = 0,
и матриц ортогонализации £2《办，связывающих общие решения соседних участков.
Линеаризованная краевая задача непрерьшного продолжения (3.1.7), (3.1.8) проще задачи (3.3.1、一 (3.3.3) тем, что граничные условия в ней однородные(0 = Л = 0) иФ=0. Поэтому общее решение задачи (3.4.3) будет состоять из / линейно независимых решений z\； , / = 1, •・•, ?, однородной задачи (3.3.5) и частного решения z„D неоднородной задачи (3.3.6). Поэтому матрицы общих решении U；* (Д),f = 1, •・•，N, по участкам будут состоять только из/ + 1 столбцов
u芻們=ь%3)嘴d朝，f = lN.(3.4.4)
Они строятся последовательно, как решения начальных задач вида (3.3.14);
(3.3.15), ибязаны между собой соотношениями
0华 8" =01：?1)(自)就% i=l ….,N- 1.(3.4.5)
Матрицы 叫。из-за того, что z，旨办=0, отличаются от матриц ортогонали* зации (3.3.21) отсутствием послехщей строки и последнего столбца. В результате прямого хода имеем матрицы о&цих решешш по у^сткам
噜)❿，51М(3.4.6)
матрицы ортогонализации
峭，i=l,…,N-1,(3.4.7)
а матрицу/)®
d(*)=嚼胸\
4. Из условия Bz^ 。禽и"，做…•'、 ванной краевой задачи зованием мат^яцыХ)^
(3.4.8)
V)= 0 находится вектор произвольных постояшшх '芻" Р<*)1т» определяющий решение линеаризо- 【непрерывного продолжения. Дйя этого с исполь- 'строится система уравнений
友 *)雄3=8”(*)с繊=0，(3-4.9)
которая решается меходом ортогонализации
£院=сПНа>，4(*))，Р什)нс牀叶卜(3.4.10)
Обратный ход прогонки сводится к построению ренюния линеаризованной краевед задачи по участкам в вцда
z⑺(0)=噺)喷)，自Т «…，i=MN- 1,…，L(3АП)
Здесь £瑞 находится как решение системы уравнений
啮)%，=42中 i = N-l,N-2,.…1.(3.4.12)
Теперь можно осуществить шаг метода Эйлера
Мнл)= Мо* △入，・
Z(*+i)"名⑺ + △入• z⑺,(3.4.13)
P(*+D ="*) + △№(*)•
Полученные эшгаения Zq+i) и Pq+i) используются для следующего шага. Дшс эшго при Л + 1 нужно повторить вышкэтения, начиная с п. 3, положив в wtx fc+ 1 вместо Л и приняв 4(壽.[)=。圏 ・
Для метода Млера, как известно, характерно накопление ошибки, которая на каждом шаге имеет порядок 0(八人2).
Модифицированный метод Эйлера. Модифицированный метод Эйлера дает погрешность на каждом шаге по 入 порядка О(АХ‘)• Мы остановимся на том варианте этого метода, который уже использовался в § 1.1 (1.1.34). Поскольку в этом методе все вычисления на первом полушаге полностью повторяют метод Эйлера, то мы дадим их в виде сокращенной блок-схемы.
Задание иачалыюго состояния
衣=0, % = 0, 4о)=Zo, Р(о)=Ро» «(о)я [00,1].(3.4.14)
Построение / ортогональных решений уравнения 4 £ = 0.
Охределение производных в начале интервала △入.
Прямой ход прогонки — построение по участкам матриц общего решения начальной задачи
替 ^L(ZW,P^ZW ^M^W,P^, 4z&)©о) = 0.(3.4.15)
В результате получаем матрицы о&цих решении и матриш ортогонализации
啼6 А= 1,…,м d&), i= 1….,N- 1.(3.4.16)
Определение вектора с孤
。《*)=碼(М，^BD^k\。総= Е(%),“*)),(3.4.17)
Р(*) = е(Х)Г+1-
3・3・ Обратный ход прогонки: последователыюе решение систем eW^W=^y 1=АГ-1,АГ-2,...,1;(3.4.18)
построение о&цих решений
*(*)= U^c^, Ml <|3<Д, /=М-..,1.(3.4.19)
Построение первого приближения для значении функции Z -и Рв кон* це интервала ДХ:
Z&-D =Za)+ △入n⑺，
Р3+1)=Р(*) + △入• p(*)，4+i)="綿，.(3.4.20)
Вычисление трвого приближения для производных в конце интервала △入.
5Д. Прямой ход прогонки
(3.4.21)(3.4.22)(3.4.23)(3424)(3.4.25)(3.4.21)(3.4.22)(3.4.23)(3424)(3.4.25)^")= ^ ^С*+1 )»^с*+1 ))z(ir+1) + ^(^ (*+!)» ^с*+1))» 4z；n)O。) н 0；
(3.4.21)
(3.4.22)
(3.4.23)
(3424)
(3.4.25)
(3.4.21)
(3.4.22)
(3.4.23)
(3424)
(3.4.25)
/尸)(》, i=l…・,N; Й(；)(*+1), 31,…,N-L 5.2. бтредаление вектора。渦L) D^^U^^(pNl ^k^BD^\ /Г" = 0rt 或髙1 > 砥+i))，P(n)= с(悶:？.
Обратный ход прогонки {С^^^j = N-I,…,1;
恥切"%""4广"，%/6<%，t=M...J
Шаг модифициров^юго метода Эйлера — вычисление уточненных значений Z н Р в конце интервала △入
入读+D =入a)+ △人，
Z(*+JL) = Zg + — (z@)+Z&+1)) •(3426)
△入
「(■+"=「(■) + —(PW +，*+!))•
Переход к следующему интервалу ДХ: q(*+>) = с；篇*'), повторение вычислений,начиная сп.З с заменойЛнаЛ+ 1.
Хотя модифицированный метод Эйлера приводит к накоплению меньшей ошибки, чем метод Эйлера, но при достаточно большом числе шагов по 入 ошибка все же может оказаться существенной.
Дальнейшего уменьшения охиибки можно достичь двумя путями. Один из них — повышать порядок точности явных схем, для чего можно воспользоваться методами типа Рунге — Кутта или Адамса — Штермера. Построенные на их основе алгоритмы продолжения решения недшнейной краевой задачи по параметру будут аналогичны только что построенным. Однако такой путь требует дополнительных ресурсов памяти ЭВМ. Второй путь — использование неявных схем, т.е. переход к дискретному продолжению решения по параметру.
Алгоритм дискретного продолжения решения. Мы здесь рассмотрим ■ только алгоритм с использованием дополнительного условия вида (1.2.19). Остальные дополнительные условия из § 1.2 учитьшаются аналогично.
Будем рассматривать итерационный процесс при 人=入立.Указывающий на это индекс "左"ниже будет опущен. Индекс )" будет означать номер итерахщи. Как и при непрерывном продолжении, индекс "(i)'? будет указывать на принадлежность к f-му участку на интервале 饱《0《卽.
Как, видно из § 3.2, на каждой итерации приходится решать линеаризованную краевую задачу (3.2.3),» (3.2.4). Так как она полностью совпадает с задачей (3.3.1)—(3.3.3), то и алгоритм решения ее методом ортогональной прогонки не отличается от изложенного в § 3.3. Этим алгоритмом мы и будем пользоваться.
Введем обозначения
L^^LiZ^,^),必)=M(ZS,PS),
$。)= $ 0。), P。)).(3.4.27)
Пусть для предыдущего значения 入，равного 入*_[=入比一△入，известны: вектор-функция 20)|入*_「которая является решением нелинейной кра> евой задачи (3.1.1), (3.1.2), и соответствующее значение параметра задачи Р = P(*-d； вектор-функция 2(他|入比_;, являющаяся решением линеари* зованной краевсж задачи (3.1.7), (ЗД.8) при X =入*_ i * вектор。(切|入比_] произвольных постоянных шпегрирования однородной части общего решения этой задачи на участке 削_】《0《卽(3.339) и вектор С® 1入比_] (33.35), который является отображением вектор-функции Z(S)I“_] в 102
векторном пространстве Ri” в силу представления вида (3.2.9). Учтем также, что p《*_i)= dP/d入|入является (/ + 1)-й составляющей вектора £《р |入*_I и поэтому известен вместе с этим вектором.
Ит^)ашюнный процесс при X = Х* будет состоять из следующих этапов.
Задаю% начального приближения 0 = 0)
Z@)=Z% ] + А入• z % ], Р(°)=Р(*_ D + АА• Pg 1), d% = qN)h*_i + А入・C(N)%J1，哪)"(№)%_「(3.4.28)
Итерационный процесс ;=1.
Прямой ход прогонки — построение по участкам матриц общих решении начальной задачи
(3.4.29)(3.4.29)—^LV-1)^ +мУ-^р^ + ^-^, 印
(3.4.29)
(3.4.29)
4z°)
В результате получаем матрицы общих решений и матрицы ортогонализации вида (3.3.21)
嘲(Ю，i=lМ 瞄，i=；..,N-l.(3.430)
Удовлетворение граничным условиям при 0 as 卽(3.3.37)—(3339):
。⑦=哪)@6，(了价=BDQdS = b -Bz謂価(M，
T^C^=d^} ^^ = ort^Kc^hG^y(3.4.31)
Использование дополнителыюго условия вида (1.2.19), (3.2.23):
{(с鼠啕-嚙 1)) = 0} f
力)=«%，^-Gfy(c^,c^,(3432)
用)=/)嚟)+哪)・(3.433)
2・4. Обратный ход прогонки: последовательное решение систем
呦期=С弘)，i=^-l,^-2,...,l；(3.4.34)
построение общих решений
h"=哪，金,仇Т《6《仇，(3.4.35)
i = N,N- 1,...,1.
Проверка условий сходимости. Если
I(噸)-с志？ с爲-嚙D I >е>0，(3436)
то вычисления, начиная с п. 2.1» повторяются при/»равном/+ 1.
В противном случае мечено считать, что итерационный процесс сошелся и принять решение в виде
CgП或品e(n产哪)，
Z%=zS, Zl“ = m(э.4.37)
Эти векторы и вектор-функции используются для задания начального приближения в соответствии с п. 1 для 入立打=入* + △入.
Другие дополнительные условия из рассмотренных в- § 1.2 изкюнят в этом итерационном процессе только вычисления в п. 2.3. Здесь же можно использовать и условия для выбора шага продолжения вида (1.2.59).
Для того чтобы изменить процесс в соответствии с условием (1.2.29), введем вектор
評,嘿)-嚼，1(。)= △人碗).(3.438)
Тогда процесс, геометрически аналогичный в R；+1 процессу, изображенному на рис. 1.7, получается путем замены дополнительного условия (3.4.32) на следующее:
•-"，e(讶)—e瑞) = 0.(3.4.39)
Нетрудно видеть, что такое изменение приведет к замене <в формулах (3.3.33) вектора С乳 на вектор 卢'7〃△入.
Обратимся теперь к процессу (1.2.22),(L2.23). Наличие неоднородных условии в исходной нелинейной краевой задаче не позволяет проводить нормирование векторов в пространстве R?：i ・ Этому препятствует наличие составляющей х^^ 0) в представлении решения (3.2.9) • Однако, главное преимущество процесса (1.2Л2), (1223) в том, что она позволяет обеспечить шаг f = ДХ по кривой Кб 立»] с задашюй точностью. Для нелинейных краевых задач этого же эффекта можж> доиться соответствующим выбором множителя о °〉в представлении* решения в виде (3.2.17). Потребуем, чтобы в процессе итерации поправочный вектор в #7+1 имел длину 厶入$ т.е. чтобы
(殲)-嘴)，嘿)一嚼))=дA2.(3.4.40)
Подставим сюда представления (3.2.17)
C^^^G%(3.4.41)
Получаем дляд^ кващ)атное уравнение
d • (“S 六 2е0s +/= о,
d Н (c8)"%),e 匸(四)，G曲一 C能)，(3.4.42)
，Н(G爲-C徵,G%一 e龄)- △入2.
Отсюда
* = & 土 yjer^2df)!2d.(3443)
нквая формулы (3.4.33) и (3.4.43) и учитывая близость векторов к с爲 и (G爲- С黑，к (G& - С^), заключаем, что в (3.2.43)
знак радикала должен совпадать со знаком е. Если теперь в итерационвом процессе в § 2、3 вычислить а^ по (3.4.43), то получим такой алгоритм, который обеспечивает сохранение заданной величины шага △入 при дви- женин по кривой К, являющейся отображением в R^j функционального множества решений нелинейной краевой задачи.
Примеры пртменения построенных в этой главе алгоритмов непрерыв* ного и дискретного продолжения решении нелинейных краевых задач рассмотрены в следующей главе.
В заключение этой главы обратим внимание читателя на ту роль, кото— рую сыграл в построении алгоритмов продолжения рещения нелинейной краевой задачи факт соответствия (ЗД.22) между функциональным множеством решений задачи {Z, Р}н кривой С(Х) в векторном пространстве Ri + ] малой размерности. Из этого факта》в частности, следует одинаковость топологических свойств {Z, Р} и С(Х). А эти свойства у кривой /Х) значительно проще, чем общие свойства множеств в функциональном пространстве, хотя бы потоь^, что оно бесконечномерно. Это обстоятельство можно эффективно использовать при исследовании общих^ свойств механических объектов, поведение которых описывается одномерными нелинейными краевыми задачами с параметром.
ГЛАВА 4
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ АРОК Й
БОЛЬШИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПРОГИБЫ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
В этой главе мы рассмотрим применение методов предыдущей главы к нелин^Ыым краевым задачам» описывающим болыпие прогибы арок и большие осесимметрические прогибы оболочек вращения. Имея в виду, что нашей основной целью является демонстрация алгоритмов продолжения решения, мы остановились на случае малых упругих деформации без ограничении на углы поворота оси арки и срединной поверхности оболочки.
В линейных задачах деформирования арок и оболочек обычно вводятся нормальные и тангенциальные перемещения. Их введение оправдано тем, что близость деформированного состояния к недеформированному и различный порядок малости нормальных и тангенциальных перемещении позволяют существенно упростить разрешающую систему уравнении. В области 庶формаций, где нелинейность еще мала, например, при конечных прогиба, введение тангенциальных и нормальных перемещений позволяет еще в основном сохранить эти преимущества. Однако в случае больших перемещений такой подход приводит к громоздким уравнениям. Сравнительно более простыми представляются уравнения, где в качестве неизвестных Приняты декартовы координаты деформиров&шой оси арки или изменения декартовых координат срединной поверхности оболочек вращения за счет деформаций. Такие уравнения построены. На их основе рассмотрены большие прогибы круговых арок и тороидальных оболочек.
4.L Большие упругие прогабы плоских арок в своей плоскости
Начало исследовании в области больших упругих прогибов стержней и арок &дло положено известными работами Л. Эйлера, который дал теорию расчета больших перемещении (эластики) при изгибе в своей плоскости криволинейных стержней с нерастяжимой асью. С тех пор подобным задачам с учетом и без учета растяжимости оси было посвящено большое количество исследований. Достаточно полный их обзор дали Д.Да Деппо и Р. Шмидт [507].
Будем рассматривать плоские арки, нагруженные в своей плоскости, и считать осью арки линию, проходящую через центры тяжести поперечных
сечении. Чтобы изгиб такой арки проходил в ее плоскости, необходимо также, чтобы одна из главных централшых осей поперечного сечения лежала в плоскости арки.
Введем в плоскости арки координаты х, у м рассмотрим элемент длиной ds недеформированной оси арки с координатами х0, у。，кривизной к。, радиусом кривизны % и углом ©о между осью х и касательной к
Рис. 4.1Рис. 4.1
Рис. 4.1
Рис. 4.1
элементу (рис. 4.1). Для этого элемента можно записать очевидные геометрические соотношения
dx^ fds = cos ©о, dyo/ds =血仇，(4.1.1)
■ ds = \/^ +碗,(4.1.2)
自=l"o = d&j/ds(4；L3)
Пусть в результате деформации арки этот злеменТ стал иметь длину d*, координаты х, j, кршнзну Л, радиус кривизны г и угол наклона 0 к оси х. Тогда имеют место аналогичные соотношения:
dx/d^ = cos 0, dy/d^ 二 sin0,(4,1.4)
d. y/dx^Tdy^,(4.1.5)
Л = 1" = d®/臂.(4.1.6)
Мы ограничимся здесь таким случаем деформации арки, когда относительные удлинения с ее оси малы по равнению с единицей, т.е. когда
(4Л.7)
Отсюда
d^/ds = 1 + е.d^/ds = 1 + е.(4.1.8)
d^/ds = 1 + е.
d^/ds = 1 + е.
107
На углы поворота 冊ки ограничений накладывать не будем. Изменение кривизны оси арки к будет иметь вид
1d®也
к = — —.— = к _
гГоdids
Обозна«м через ^ и С продольную и перерезывакжцую сипы, а через М — изгибающий момент в сечении арки. Через qn и qT обозначим нормальную и тангенциальную составляющие интенсивности погонной нагрузки на арку. Положительные направления N, Q9 М9 q^nqT показаны на рис.4.1.
Тогда уравнения равновесия деформированного элемента арки (рис. 4.1) можно записать в виде
dN/dH = -kQ 一 qT,
dQ/d^ = Л^ + «„, dM/d£ = 0(4.1.10)
Используем обычные предположения балочной теории: гипотезу плоских сечении и гипотезу об отсутствии нормальных напряжении в продольных сечениях арки (гипотезу о том, что продольные волокна не давят друг на друга). Будем рассматривать арки, у которых размер поперечного с^юния по нормали к оси в плоскости арки мал по (равнению с радиусом кривизны деформированной оси. Эти предположения с учетом принятого ранее допущения |е [ < 1 и при деформациях в пределах закона Гука приводят к следующим соотноиюниям упругости:
N = EFe, М = EJk.(4.1 Д1)
Здесь £ — модуль упругости при растяжении, £ J — площадь и момент инерции поперечного сечения арки относительно его главной центральной осн, перпендикулярной плоскости арки х. у
Таким образом, получена система из десяти уравнении относительно десяти неизвестных ±»х,у»6» k*N» Q, M, е, к. В эту снеге吋 входят геокют- рическяе соотношения, уравнения равтовесия и физические соотношения:
d|dxdy
ds彈 ，浜，
dGd®0
——=к +,
彈ds
dM kN + %,, k= e.
(4.1.12)
N == EFw, M = £Jk, к = к .ds
Заметим, что недаформированное состояние арки, заданное соотношениями (4.1.1)—(4.13), является точным решением уравнений (4.1.12) при Q力=Ст = 0, что легко проверил»» подставив в (4.1Л2) сJ№дующие функции недеформированного состояния:
扌=S, X = Х0， У=Уо, 0 = 00»
с 一(4.1.13)
N = Q = М = О, £ = 0, к = 0,衣="о.
Для сведения уравнении (4.1.12) к системе нелинейных дифференциальных уравнении примем в качестве основных 脈известных переменные х, 乂 & М 2 七 Кроме того, с помощью первого из уравнений (4.1.12) перейдем к дифференцированию по координате s вдоль недеформированной оси арки. В результате простых преобразований получаем (EJ-const)
d£ [ N\dy / N、，
de/^ \
dN /N\
丁 = (1 + TT)iQ - Q)(4114)
詐《)("")
dk/ N\Qd20o
dsVEFJEJds2 •
Из этих уравтоний при е-N/EF-О нетрудно получить известные уравне< ния эластики гибких нерастяжимых стержней Л. Эйлера. Отметим также, что для уравнении (4.1.14) недеформированное состояние аркв (4.1.13) также является точным решением при q— q^ = 0.
Введем безразмерна переменные следующими соотношениями, где Л — некоторый характерный линейный размер арки:'
С использованием этих величин уравнения (4.1.14) приводятся к виду (знак "。" у безразмерных величин ниже везде опущен)
X' = (l+^)cos0. У' = (1+^)мпв9
8' == (1 + cN)Kt
N' = (1 + cN)(—KQ - %),(4.1.16)
Q，= (1 + cN)(kN + %),
К' = (1 + cN)Q + &'・
Здесь знак "' " обозначает дифференцирование по безразмерной координате вдоль недеформированной оси арки s° -s/R.
Заметим, что форма недеформированной оси арки в этих уравнениях представлена единственным слагаемым 8?, что получилось в результате иоюльзования координат х, у и угла в с осью х деформированной оси арки в качестве неизвестных взамен обычных нормальных w и тангенциальных и перемещении и угла поворота оси арки при деформации. На рис. 4.2 показаны два возможных разложения вектора перемещения и либо на составляющие х — х0> у — j0> либо на / 似 Ясно, что последнее разложение определяется системой координат9 связанных с недеформированной аркой, и поэтому дает определенные преимущества, когда деформированное состояние близко к недеформированному, т.е. при малых и, w. При больших же перемещениях, как уже отмечалось» такое представление приводит только к усложнению исходных соотношений.
Рассмотрим теперь граничные условия. Отметим сразу, что использование в качестве независимой переменной координаты s вдоль недеформированной оси арки ставит в соответствие каждому фиксированному значению s некоторую материальную точку оси арки, и это соответствие не нарушается в процессе деформации. Другими словами, координата s является лагранжевой координатой. Это обстоятельство позволяет просто формулировать граничные условия в случаях, когда связи или краевые усилия накладываются на точку оси арки, которая з процессе деформаций остается неизменной. Наиболее распространенные виды такого закршшения конца
арки s = So показаны на pic. 43 ・ Рассмотрим соответствукицие им граничные условия.
Шарнирное закрепление (рис. 4.3, “). При таком закреплении в процессе деформации остаются неизменными координаты конца арки. Кроме того, на конце арки кривизна не меняется, так как изгибающий момент равен нулю. Таким образом,
*(«0)= №， y(so) = Jo, Л(«о) = *0-(4.1.17)
Жесткое защемление (рис. 4.3,6). Здесь имеют место очевидные равенства
х"о) == %,У («о) = Ус, ©Оо) = ©о-(4.1.18)
Свободное отдание (рис. 4.3,в). Здесь отсутствует перемещение по нормали к плоскости опоры и ввиду отсутствия изгибающего момента на конце арки сохраняется начальная кривизна. Кроме того, равно нулю усилие Т вдоль плоскости опоры. Эти условия можно записать в виде
比&) = &),
(x(s0) -х0) sin а - ООо) - Jo) cos а = 0,(4.1.19)
『=N cos (8 — а) + Q sin (8 — а) = О,
Скользящее защемление (рис. 4.3,г). Этот случай отличается от пре* дыдущего тем, что кривизна оси арки меняется, но остается неизменным
начальный угол:
8 =%，
(x(so)-^o)sina 一 (y(s0) - Jo) cos a = 0,(4.1.20)
T = N8s(0o— a)才 Qsin®- a) = 0.
用 Свободный конец <рис. 43,3). Здесь
N($o) = 0, Q(s“ = О, Ms。)=左。・(4.1.21)
Заметим, что иоследшю соотношения в условиях (4.1.19), (4.1.20) нелинейны.
Существенно более сложна формулировка условии, соответствующих овлзям, точка наложения которых в процессе деформации смещается. Пример такой связи показан на рис. 4.4. Один из случаев подобной связи будет рассмотрен также в § 4.4.
Входящие в разрешающие уравнения (4.1.14) погонные нагрузки qn и qT позволяют легко представлять различные кОнкретшле случаи нагружения. Наиболее шгёресны с практической точки зрения нагрузка от собственного веса арки и нормальная погонная нагрузка.
Нормальная погонная нагрузка интенсивности р представляется следующим образом:
Q” = Р. «г = 0-(4.1.22)
Это нагрузка следящего типа. Нагрузку от собствентюго веса арки с погонным весом р можно представить в виде
qT = psin®. qn = —р cos 0.(4.1.23)
Здесь предполагается, что сила тяжести действует вдоль оси у. Такая нагрузка не меняет направления своего действия в процессе деформирования. 脈угне нагрузки, обладающие подовым свойством (например, центробежные силы), могут быть представлены аналогично.
Отметим также, что разрешающая система уравнений (4.1.14) может быть использована и для описания больших прогибов цилиндрических панелей при их цилиндрическом изгибе.： При этом в соотношениях упругости (4.1.11) следует заменить EF на £无/(1 - М) и EJ на Eh3/12(l - М). Здесь Л - толщина оболочки, 〃 - коэффициент Пуассона. Тогда в уравне< ниях (4.1.16) величина с пригашает вид
c = M"2R2. (4.L24) 112
4.2. Устойчивость н 耳ця^мой кругов(厳 арки под ржвнсмертым давлением
Рассмотрим сначала задачу устойчивости круговой яерастяжимой арки под равномерным давлением. Нерастяжимой арке соответствует зна^ние с = 0. Ограничимся случаем шарнирно опертой кругов曲 арки под равно
мерным давлением (рис. 4.5). В ка^стве хгфактерного размера R примем
радиус арки, который также обозначим через Л. Тмда безразмерная координата s° вдоль недеформированнсж оси арки становится равнсж центральному углу, который обозначим 0 и 的дем отсчитьшать от оси симметрии Оу. В недеформ1фованном состоянии угол 0О между касательной к оси арки и осью х будет связан с 0 равенством
А = -S ・(421)
Безразмерная начальная кривизна оси арки К。равна
,d仇
。== -1・(4.2.2)
Для показанного на рис. 4.5 направления давления Р имеем
q” = -Е %• = 0.(4.2.3)
В итоге, с учетом нерастяжимости арки (с = 0) система уравнений (4.1.16) принимает вид
X9 = cos©,y' = sin®, 6' = &
N' = -К0Q' = KN - Р, K' = Q.С"
(Ввиду того, что s° = 0, знак %' " здесь означает дифферешофование по 0。 Шарнирному закреплению концов арки соответствуют граничные усло>
вия при0 = ±%
X(±ft>) = ±sinA>,У(士 До) = cos 鳥，К(±%) = Ко=-1,(425)
Для любых Р уравнения (4.2.4) с граничными условиями (4.2.5) допускают
8. Э.И. Григалюк113
точное решение, отвечающее недеформированному состоянию равновесия арки
(4.2.6)(4.2.6)А = sin₽, К)= cos U, ©о =―瓦
(4.2.6)
(4.2.6)
N。= —В 6b к О, К<> = —1*
Для исследования устойчивости этого решения в рамках йсфуркационного критерия рассмотрим близкие к нему возмущенные решения
X = X。+ х, Y = Yq •¥ у, 9 =* 仇 + %
(4.2.7) N = N。+ п, Q = Qq + % К = Кй + Л.
Подставим эти соотношения в уравнение (4.2.4) и в уравнениях для возмущений xt у, % л, q, %» учитывая малость последних, сохраним только л№ нейные члены. После простых преобразований с учетом решении (4.2.6) получаем для возмущений однородную краевую задачу
х9 = &&nfi9 у9 = В 880,3’ = к,
幫'==q, q' = -Рк - л, 衣'* q,(4.2.8)
х{±М ж У^М- к(±М = О.
В полученных уравнениях удобно перейти к нормально^ 把 и тангенциальному и перемещениям оси арки (рис. 4.5), которые связаны с возмущениями х н、у соотношениями
х = и cos₽ + w sinft у = ->wsin|3 + wcos₽.(4.29)
В итоге приходим к следующей однородной краевой задаче:
и9 = —w, w* = u + d, »，= к,
nf = % q9 = -Рк — п, %' н %(4.2.10)
"(土 鳥)=W(土 鳥)=比(土鳥)=0.
Неизвестные в уравнениях(4.2.10)выразим через и с помсмцыо соотношений
w = —“'，® = —(“" + “)，к = _(“” + “)'，
q = -(""В и)", п=-Р(и" + и)' - (и" + и)"'.б'")
Это представление решения позволяет тождественно удовлетворить все ура- внения(4.2.10), кроме одного 〃' = q,H3 которого следует разрешающее уравнение
(&"干 u)W + (Р + l)(u" +“)" = 0.(4.2.12)
Граничные условия (4.2.8) для этого уравнения с учетом равенств (4.2.9), (4.2.11) принимают вид
(4213)(4213)=“' = (“'' + “)' = () при ₽ = ±0о.
(4213)
(4213)
Характеристическое уравнение, соответствующее (4.2.12), легко приводится к виду
尸•(户 + D[产 + (Р + 1)] = 0.(4.2.14)
Его корнями являются
,2 = °，/•, 4 = ±».Г56 = ±'入，入〜尸+ 1.(4.2.15)
Таким образом, общее решение уравнения (4.2.12) имеет вид
М = G + G6 + Сз 血6 + С4 cos £ + G sin 入£ ±Сб cos 入仇(4.2.16)
Подстановка этого решения в граничные условия (4.2.13) гфиводит к однородной системе линейных алгебраических уравнений для постоянных интегрирования G, G…》Сб・ Определитель этой системы имеет вид
1
—Д)—sin До8$ 鳥—sin А До cos 入鳥
1
0о sin 0оcos Доsin 入 0ocos 入 ％
0
△=
0
1cos j90sin%入 cos 入 Д) 入 sin 入 0o
1cos До—sin ДоЛсовХДо —入 sin 入鳥
0
08$6osin До入3cos入鳥X3sin X/3o
0
0cos Дo-sin Po入3 cos入命一入子疝1入住
В соответствии с бифуркационным критерием устойчивости критическое со стояние арки соответствует такому значению параметра 入,при котором определитель системы равен нулю. Это условие после развертывания определителя и простых преобразовании сводится к виду
(X3 — К) sin 入 ft4 v cos 入住(0o cos До -sin%)-
(4217)"(4217)"—c0s0o(XA>cosXA)-sinXA>)] = 0.
(4217)"
(4217)"
Так как 入 > 1, то это уравнение распадается на два
血入鳥=0,(4.2,18)
入з cos ХДо(0о cos Й)- sin 鳥)—
- cos鳥(入仇8s入鳥-血入鳥)=0.(4.2.19)
Уравнение (4.2.18) приводит к известной фор叫ле (см., например, [327]) для критического давления 厶 при обратно симметричных формах выпучивания
(4.2.20)(4.2.20)V管）」
(4.2.20)
(4.2.20)
Уравнение (4.2.19) соответствует симметричным формам вьшучмвания. Интересно стметить^что для непологих арок (鳥 > 20°) критические нагрузки, соответствующие корням уравнения(4.2.19), близки к нагрузкам, которые дает формула (4.2.20) при т = 3/2, 5/2,... Так, для первой осесимметрич- нои формы выпучивания (т.= 3/2) при 鳥=22,5° по уравнению (4.2.19) имеем Р* = 140, а по формуле (4.2.20) —Р* = 143. При 0О = 45° имеем для Р. соответствейно 343 и 35 и т.д.
• В монографии С.П. Тимошенко [327] исследование этой задачи построено на уравнении, общее решеиие которого состоит только из двух последних слагаемых выражения (4.2.16). Полученная там формула (4.2.20) формально справедлива для m = 1, 3/2» 2, 5/2,…Использованная здесь более точная постановка не приводит к существенному уточнению критических нагрузок.
Алгоритмы метода продолжения решения
по параметру для болыпих прогйб<» круговой арки
Здесь мы конкретизируем для нелинеинсж краевсж задачи деформирования арки алгоритмы метода продолжения решения, сформулированные в гл. 3.
Для круговой арки под действием равномерной нормальней нагрузки 尸 воспользуемся той же системой обозначений, что и в § 4.2 (рис. 4-5). При этом начальное, недеформированное состояние арки определится следующими соотношениями:
% = йпб, Уо = cos₽, ёо = -6,
М м Qo а 0, Ко = -1,尸。н о.()
С учетом того,что ©J 亜,qr =0 и ^Л=-Р,уравнения (4.1.16) примут вид
X' = (l+cN)cosR y'=Q+cW)sine,
^^(1^cN)K9
N' = -(1 ^cN)KQt 0 =(1 +cN)(KN-P),(432)
K'=(1+CN)0
Будем рассматривать здеа» только линейные граничные условия, взяв в 女飮 честве примера условия шарнирного закреплашя (4.1.17)
x(士 鳥尸± sin 鳥，y(± %) = cos %，K(士 仇)=-L(433)
Изложенный ниже подход может быть без труда обобщен на случаи нелинейных граничных условии типа (4.1.19) ? (4.1.10) и тш.
Итак, уравнения (4.3.2) с граничными условиями (453) составляют нелинейную краевую задачу, содержащую параметр Р. Кроме того, для Р = 0 известно решение (4.3.1) этой задачи.
В соответствии с основной идеей метода продолжения и с предположен нием о равноправии переменных и параметра будем считать неизвестные 116
функции краевой задачи (4.3.2), (4.3.3) и параметр Р фуикциями параметра 入,смысл которого выяснен в гл. 3:
x=х(0；入)，y=y(0；入)，б = е(6；入)，N=N(0;入)，
(4.3.4)(4.3.4)0 =0(6；入)，K = K(6；X), P=PQ).
(4.3.4)
(4.3.4)
Введем следующие обозначения для производных по параметру:
ахауэе37V=■= у.7**-= &k =力，ЭХа入ах办эеакар—=瓦—=Р-эхах.а入ахауэе37V=■= у.7**-= &k =力，ЭХа入ах办эеакар—=瓦—=Р-эхах.а入(4.3.5)(4.3.5)
ах
ау
эе
37V
=
■= у.
7**-= &
k =力，
ЭХ
а入
ах
办
эе
ак
ар
—=瓦
—=Р-
эх
ах.
а入
ах
ау
эе
37V
=
■= у.
7**-= &
k =力，
ЭХ
а入
ах
办
эе
ак
ар
—=瓦
—=Р-
эх
ах.
а入
(4.3.5)
(4.3.5)
Краевую задачу для определения х, j,...»Д р.получим, продифференцировав задачу (4*3.2), (43.3) по параметру X:
х'=с・8$е•舞—(1 +dV)・sin❷•此
у =c • sinO• и + (1 + eTV) cos© • 3,
S'= cKn + (1 + cW) 乂
力'=-cKQn-(1 ^cN)(Kq + QJt),(4.3Л)
q^c(KN - P) л + (1 + cN)(Kn ^Nk~ p),
无' = cQzi + (l +c/V)q;
x(士 命)=y(±自)=%(土鳥)=0.(4.3.7)
Эта краевая задача линейна относительно производных х, у, В,舞,q9 kt р неизвестных функций X,.... К и параметра Р но 入.
Для сведения краевой задачи к форме, рассмотренной в гл. 3, введем вектор-функции Z = [X, К 6, М Q, К]* и z.= [х J, В. л9 % %]т・ Тогда зада・ чу (4.3.2), (4.3.3) можно представить в виде (3.1.1), (3.1.2)
Z=F(Z,P),
^^)=41, BZ^^b.(4.3.8)
Здесь граничные условия сформулированы в обобщенном виде для произвольных фиксированных границ интервала 回，伝]переменной £ (так для условий (4.3.3)仇=4о, Ра =+^о) и введено обаэначение 尸0*?) = =[Fi 迎 /),・・・•凡(Z,启 Г для нелинейной вектор-функции, соответствующей уравнениям (43・2). Прямоугольные матрицы Л, В размером 3X6 и трехмерные векторы о, А определяются конкретными условиями закреп* ления концов арки» В частности, для условии шарнирного закрепления (4.33) они записываются следующим образом:
В этих обозначениях уравнения продолжения (4.3.5) с начальными уело-
117
(4.3.10)(4.3.10)(43.11)(43.11)виями (43.1) представятся в виде dZ/dX = z, dP/dk = р.
(4.3.10)
(4.3.10)
(43.11)
(43.11)
А краевая задача (43.6), (4.3.7) принимает форму z'=£(Zj)z+pM0,P), AZ^)^09 破(仇)=0.
[ =[厶/[ =[厶/"二陷了=［票］:"二陷了=［票］:Здесь L (Z, Р) и M(Z, Р) - матрица и вектор, компоненты которых для нелинейной вектор-функции F(Z, Р) правых частей уравнений (4.3.2) определяются следующими соотношениями:
[ =[厶/
[ =[厶/
"二陷了=［票］:
"二陷了=［票］:
(4312)
Развернутая матричная форма уравнений (43.6) приведена ниже:
「X *
■0 0 厶3 Х，м 0 0"
- К一
• 0「
У
0 0 Z，23 丄24 0 0
У
0
8
0 0 0 cK 0 丄36
炉
0
л
=
0 0 0 丄44丄45246
п
+р
0
q
0 0 0 厶4 0厶6
q
检
-上-
ООО cQ 丄65 о ・
.к .
-0 -
или z-L(Z9F)z^pM^Z,Pj9 где
Л1з = —(1 ^c/V)sin0, Lia 53 с • cos0,
^23 = (1 +cX)9OS©, £24 = с • sin0,七 36=1+W
L44 二 yKQ, LqL-Q +cN)K, Вб = —(1+c7V)Q,
Ls4 = (1 + 2c№K-cP,丄56 = (1+cN)M 丄6s = 1+cN
Для проведения конкретных рас«ютов в качестве основного метода интегрирования уравнений продолжения (4.3.10) был принят алгоритм модифицированного метода Эйлера (3.4.14)—(3.4.26), поскольку простой метод Эйлера, как известно [35] . приводит к существенному накоплению. ошибки даже при малом шаге по параметру. Ддя устранения накопления ошибки модифицированного метода Эйлера он Комбинировался с методом дискретного продолжения» для которого применялся алгоритм в форме (3 427)—(3 437) с выбором коэффициента а^ по выражениям (34.32)・ В уравнениях для квазилинеаризации (3.2.6) для упрощения за- тшси строчными буквами обозначим искомые функции текущего (/+ 1)-го
приближения, а прописными — уже известные функции предыдущего □{жближения при Х = Х*
，=Z犷),р=р/2 z=z^, р“咎(4313)
Тогда краевая задача (3.2.6), (32・7) примет вид
г=Щ, P)z +pM(Z, Р) + [~L(Z, P)Z - РМ^., Р) + F(Z, Р)],(4.3.14)
4z0i)=。，Bz偉2)=瓦一 (4.3.15)
Сравнивая уравнения (43.14) с уравнениями (4.3.11) непрерывного продолжения, замечаем, что они отличаются только наличием в (4.3,14) слагаемых, заключенных в квадратные ско&си, В развёртутом виде крае- 'вая задача (4.3.14), (4.3.15) с учетом обозначений (4.3.13) имеет вид
х' = ссо8б・刀-(1 + cN) sin© - ^ + [у cos® - 2^ + (1 + cN) sin0 • 0 +
+ (1 + cN) cos©],
y'=c • sin© - n + (1 + cN)cos© -й + [ysin6・N —(1 +c7V)cos© -0 +
+ (1 +c/V)sin©],
d*= cKn + (1 +cJV)Jt + [^cKN-(1 + cN)K + (1 +dV)K],
八 _cKQn ^ (1 ^cN)(Kq + Qk) + [cKQN+(l+dV)@Q + Q* —
-(l+cAQKQ],(4.3.16)
q'=c&N-P)n + Q+cN)mi+Nk)_a+&f)p+tY3-P)N —
-Q +cM3+NK) + Q +c/V)P + (l +dV)(3-F)L
lc-cQn^(y +c/V)q+ [yQAT—Q +c2V)Q + (1 +dV)0],
x(土A>) = ±sinft), У(土ft))=cosflo, Л(±Ро)-~1-(4.3.17)
Уравнения (4.3.16) мы постарались записать в такой форме, чтобы подчеркнуть сходство слагаемых в правых частях, которые записаны одно под другим в верхней и нижней строках. То же самое сходство видно и в обобщенной записи (4.3.14), где оно подчеркнуто аналогично. Это позволяет при составлении программы для ЭВМ для подсчета правых частей уравнений (4.36) и (4.3.16) использовать одни и те же процедуры как для непрерывного, так и для дискретного продолжения.
Пр( практической реализации этих алгоритмов [351] для интегрирования линейных уравнений (4.3.6) и (4.3.16) с целью получения их фундаментальных решений на прямом и обратном ходах прогонки использовался метод Рунге — Кутта. При этом про№ые расчеты показали, что доста-
точная точность обеспечивается для разбиения арки п^ж б。= 22,5° на 30 участков, а при 06 =90° — на 100 участков. Оказалось также что доо таточно пяти промежуточных ортогонализаций.
При отработке алго{жтма X программы для ЭВМ проводился целый ряд пробных расчетов с целью выяснения влияния шага на накопление ошибки и эффективность комбинирования непрерывного и дискретного продолжении. На рис. 4.6 приведена зависимость безразмерного давле- ния Р от относительного прогиба W = w(0)/R средн峰 точки 03 = 0) шарнирно закрепленной арки под действием равномерного давления при симметричном деформировании арки. Расчеты проводились для арки с пара-, метром с = 10"4 и углом 0。= 45°.
Штриховая кривая 1 на 剛& 4.6 соответствует интегрированию уравнений продолжения модифицированным методом Эйлера с шагом △入 по параметру 入,который на начальном участке деформирования при малых Р соответствовал приращению относительного прогиба w(0)/& =0*005. Штрихпунктирная кривая 2 соетветствует тому же кютоду, но с шагом w(6)/R = 0,0应5・ Сплошная кривая 3 получена 口理 комбинировании двух шагов w(0)便=0,005 модифицированного метода Эйлера с одним шагом по неявной схеме дискретного продолжения, описанной в § 34. Эта кривая практи<юски соответствует точному решению задачи (4,3,2), (4,3.3) (конечно, в пределах принятой дискретизации). Как видно из(жс> 4.6» модифицированный метод Эйлера дает накопление ошибки, особенно существенное в тех областях параметра, где решение претерпевйет значительные изменения. В то же время расход машинного времени при получении кривых 2 и 5 практически одинаков (даже для кривой 5 он был несколько меньшим). Поэтому для всех дальнейших расчетов была использована именно такая комбинация непрерывного и дискретного про- должения.
Алгоритм реализован на ЭВМ БЭСМ-6 в виде комплекса программ для решения нелинейных краевых задач. В расчетах он показал себя достаточно устойчивым, надежным й удобным в обращении.
Рис. 4.6
На (же. 4.7 - 4.10 показаны полученные с использованием такого алгоритма кривые деформирования P(W) н дефор^рованные формы арок с % н 22,5°; 45。； 67,5°； 90°. При этом рассмотрены как симметричные относительно середины, как и несимметричные деформированные формы. Симкютртчные формы показаны для половины арки, а в расчетах они полусны двумя способами:
по расчетам для полной арки с постановкой граничных условий (43.3) шарнирного опирания по обоим концам арки;
по расчетам для половины арки с постановкой граничных условий (4.33) для конца и условии симметрии для центральной точки 6=0
Х(0) = 0(0) = 6(0) = 0・*(4.3.18)
Результаты по обоим способам совпали,.
Для того чтобы получить решения на ветвях, соответствующих возмущенным рулениям» и Перейти к закритическим деформациям арки» вблизи токк &фу]ясации вводились вoз^Qrщeния на нагрузку. Так, для симметричных форм нагрузка принималась в виде
Р(0) =尸口 +0,01 sin (я(Р-₽б)/2₽о)],(4.3.19)
а для несимметритаых форм —
P^PW +0,01 cos(ff(0 一 鳥)/2鳥)]・(4.3.20)
Представленные на рис, 4.7—4.10 кривые соответствуют значению пара* метра с = 10~5 ・ При других значениях с для непологих арок кривые Р(И0 и формы деформирования отличаются от приведенных только на иачаль* ном участке, при малых прогибах. Влияние растяжимости осн, которое тем больше» Км больше с, становится существенным только для пологих арок.
Численное решение выявило, что у арок с Ро = 75° начальный этап за- критического деформирования является устойчивым； Так для арок с ₽о "90° (рис. 4.10) рост прогиба сопровождается ростом нагрузки до величины W = w(0)IR^ 0,75. И только для больших прогибов равновесие форм закрити^ского деформирования становится неустойчивым.
Криические значения параметра Р для непологих арок близки к результатам, полученным при решении задачи об устойчивости нерастяжимой арки (§4.2). При этом критическая нагрузка линейного решения незначительно превышает критическую нагрузку, вытекающую из нелинейного решения. Расхождение увеличивается с увеличением параметра растяжимости с. Однако» пока с< 10-3» в рассмотренных случаях это расхождение ие превышает 5%.
Заметим, что возмомсиы и такие симметричные формы деформирования, когда выворачивание арки начинается не с ее середины, а с краев. Чтобы их потучить, нужно изменить характер возмущения, поменяв знак в сумме (4.3.19). Оивме деформирования для этого случая здесь не приводятся.
4・4・ Большие прогибы круговой арки
при взаимодействии с жесткой полуплоскостью
Рассмотрим симметричную деформацию круговой арки жесткой полуплоскостью (рис. 4.11) [352]. Задаи будем решать на основе уравне* ний (43.2), обозначив нормальную распределенную нагрузку взаимодействия арки с полупложостью через qn. При этом трением будем
пренебрегать, что равносильно отсутствию касательных усилий: q^ = 0. Уравнения (43.2) принимают вид
* = (1 + cN) cos©, У'= (1 +dV) sin©,
8'=(l+dV)K,(4.4.1)
M=*+c№KQ, Q，= (l+cM(m+qJ
CQ+cMQ.
Эти уравнения имеют точное решение, которое соответствует недеформи- рованно呻 состоянию арки, когда плоскость касается ее верхней точки без контактных усилии:
X = sinft У = cosp, 8 = -0, N=Q=0, K = -L(4.4.2)
В силу симметрш деформации арки в средней ее точке при 6 = 0 имеют место условия симметрии
Х(0) = 0(0) = 6(0) = 0.(4.4.3)
На конце арки при 6=6о будем рассматривать шарнирное закрепление или жесткое защемление. Для ша^жирного закрепления граничные условия имеют вид
*3o) = sinA>, r(₽o) = cosP0, K0o) = -L(4・4.4)
Для жесткого защемления имеем
刈Po) = sinAb K(Po) = cosP0, 60о) = 'о・(4・4・5)
Нетрудно видеть, что возможны три вида контакта арки с полуплоскостью, Сначала контакт происходит в точке симметрии арки. Потом появляется 124
область АВ, в которой арка п^яшегает к плоскости (положение / на рис. 4.11). При этом в области контакта ось арки прямолинейна и имеют место соотношения
У = const» ^= const, 0 = К = 6 = О・
Легко провертть9 что эти соотношения являются точным решением уравнении (4ДЛ) при qn =0. Это обстоятельство позволяет сразу сделать вывод, что прилегание арки к полуплоскости происходит без контактных Усилии внутри области контакта. Поэтов контактные усилия могут реали- зобаться только в виде двух сосредоточенных нормалыгых к оси арки усилий Р на границах области контакта.
При дальнейшем деформировании арки продольное усилие N в области контакта может достичь сжимающих крити^ских усилий, что повлечет за собой потерю устойчивости средней части арки и ее отрыв от полуплоскости. В этом случае контакт становится двухточечным, как это имеет место для положения 2 на рис. 4・11・
Обозначим координату контактной точки через Ре и введем в соответ* ствии с соотношениями (4.1.15) безразмерное контактное усилие
P^PR^/EJ.(4・4・6)
Тогда условия сопряжния двух частей арки в точке контакта примут видпри0=рс
Г=Х', Г= У, КУ, N-=N\…小
(4.4.7)
@-=@%0, QFQ+-&
Здесь использованы обозначения вида
Х-=Х®- d。，М = ХОЗ, + 吻,・・・•(4А8)
где <ф — бесконечно малая положительная величина. Введем Аекторн Z =区 к е, м С, М", е = [О, О, 0,0,1,0]т и/=[0,0.1,0,0,0]т. Тогда краевая задача для уравнении (4.4.1) с граничными условиями (444) или (4・45) и условиями (44・7) в точке контакта представится в виде
Z'=f(Z),44.9)
AZ(0) = 0, Я?(0о) =瓦(4.4.10)
Z-^Z^-Pce,(4.4.11)
々САО.(4.4.12)
Здесь F(Z) — нелинейная вектор-функция правых частей уравнений (4Д.1). Матрицах соответствует условиям симметрти (4・43):
Ч 0 0 0 0 01
Л=001000 |.(4А13)
.0 0 0 0 1 о]
Матрица В и вектор b для условий шарнирного закрепления (4.4.4) и
жесткого защемления имеют соответственно вид
(4.4.14)(4.4,15)(4.4.14)(4.4,15)
(4.4.14)
(4.4,15)
(4.4.14)
(4.4,15)
В краевой зада% (4.49)—(44.12) неизвестными являются вектор^)унк- ции Z и два параметра Рс и %・ При^м 毘 входит в краевую задачу особым образом, так как координата 0 = 6。определяет положение скачка вектор@ункции Z определенной условием (44.11) прт одновременном выполнении условия (44.12), равносильного требованию。&)=0. При решении пошаговых линейных краевых задач метода продолжения прогоночными методами интервал [0,仇]изменения координаты 0 для численного построения системы фундаментальных решении разбивается на фиксированное число участков. Поэтов при таком подходе 饱 может принимать только дискретные значения, равные координатам границ участков. Это обстоятельство не позволяет применять дифференцирование по рс и поэтому позволяет использовать только методы дискретного продолжения. При зтом, поскольку известна Последовательность значений РС9 необходимо строить реп1ение задачи (4.4,9)—(4.4.12) для ряда заданных зна%ний параметра 0』.Все это приводит нас к схеме метода продолже- 1шя (1.2.9), предложенной Лазем [447, 448]. Эта схема состоит в применении метода Ньютона при фиксировании значения параметра 饱=6(冷， прй этом в качестве начального приближения используется решение для предыдущего зна%ния Рс == 0(^i). Обозначим через Z м& знатения искомых вектор-функции Z(0) и параметра 几 на (j - 1)-м приближении метода Ньютона, а терез zip — на /-м приближении. Тогда краевая задача /-го
приближения принимает вид
z' = Е (Z)z + 尸(Z) - L 0)Z,(4.4.16)
4z(0) = 0,应(0o)=瓦(4.4.17)
/礼)Н「 优)+%*(44.18)
г2仙)=0.(4.4.19)
Здесь Е0) — якобиан векторфункции F(Z). Он совпадает с данным на с.-119 оператором L0, Р) при Р = 0. Для определения неизвестного усилия Ре решение этой задачи представим в виде
z=z()+Ре》1・(4.4.20)
В этой суперюзиции z0 к z】являются решениями следующих краевых
“Следует отметить» что такой подход не является единственно возможным. Можно, например, ставить эту задачу, как задачу сопряжения двух участков балки в точке контакта. Тогда Д^. будет меняться непрерывно, что дает возможность реализовать схемы нехферывного продолжения решения.
z^L(Z)z0^F(Z^L(Z}Z9
^Zq(O) = 0, Bzq^q)^ 瓦(4.4.21)
Zo(Pc)"zo(^
城=2⑶方，
4方(0) = 0,加1 (0o) = 0,(4.4.22)
z；@) = W(®+e・
С учетом представления (4.4.20) условие (4.4.19) принимает вид
Г [Z。®) ”/!&)] ^ 0.-(4.4.23)
Отсюда, учитьшая, что 尸=[0,0,1» 0, 0, 0] и z = [х J, % 小 q,比]т; имеем простое условие для определения рс.
豳&)+%» 式％) = 0.(4424)
Интерационныи процесс метода Ньютона, в котором Z。)= z, Z。一。= Z (/ — номер итерации), продолжался, пока z и Z не совпали с заданной точностью (в конкретных расчетах требовалось совпадение первых пяти значащих цифр).
Краевые задачи (4.4.21), (4.4.22) решались методом ортогональной прогонки. В процессе продолжения по параметру % контролировалась
Рн с. 4.12
Рнс.4.13
Рн с. 4.18
9. Э.И. Григолюк
⑵
Рн с. 4.25
величина продольного усилия ^в области пртлегания арки к полуплоскос* ти. Когда это усилие пртближалось к критическому сжимающему усилию, в средней точке арки 6 = 0 прикладывалось возмущающее поперечное усилие 0,0 ］几，что позволило избежать трудностей, связанных с переходом через точку бифуркации, и перейти на бифуркационную ветвь по в озлащенному решению. Такой подход соответствовал изменению первого граничного условия в задаче (4.4.21) на следующее:
Xzo(0) = 0,01/>.e. (4.4.25)
47r?£/.3小尸47r?£/.3小尸Сама величина крттического сжимающего усилия Nk равна, как нетрудно видеть из рте. 4.11, зйлеровскому крититескому усилию для стрежня, защемленного в точках контакта —.厶 м + % Соответствующее безразмерным переменным (4.1.15) безразмерное критическое усилие имеет значение
47r?£/
.3小尸
47r?£/
.3小尸
(4.4.26)
После перехода на поспебифуркационную ветвь возмущающее усилие: снималось.
На рте. 4.12—4.27 даны результаты расчетов дня шарнирно закрепленных (рис. 4.12—4.19) и защемленных (рис. 4.20-4.27) арок при % = тг/g, я/4, Зтг/8, я/2. На рис. 4.12, 4.14,.・.,4.26 даны в зависимости от отноше* ния %/Д)величины контактного усилия Рс и прогибов % = 1 — «0) и Wc = I — Ц^,) при 0 = 0 и в точке контакта %♦ Кружками на кривых для Wo м % показаны те положения арки, деформированные оси которых изображены на рис. 4.13,4.15,...., 4.27. На последних креетжами обозначены точки приложения контактных усилии 耳.
Заметим, что возможна реализация таких форм деформирования арок, когда не происходит потери устойчивости арки на участке ее прилегания к пложости. Например, для шарнирно-закрепленных арок перехода такому деформированию происходит при 3?г/8 < 0°.
Кроме симметричной деформации арки возможна и несимметричная. Последняя здесь не затрагивалась.
Отметим также, что в рассмотренной здесь задаче отличителыюй особенностью является переменное положение точки контакта. Поэтому она по методам решения близка к задачам с нелинейными граничными условиями типа (4.1.19)» (4.L20).
Уравнения больших осесимметричных прогибов оболочек вращения
В этом параграфе мы получим уравнения упругих осесимметричных деформаций оболочек вращения при малых деформациях срединной поверхности и неограниченных углах поворота нормали к ней. В отличие от известных форм этих уравнении ([491, 40]), они будут получены в виде, удобном для применения данных в гл. 4 алгоритлюв метода продолжения решения по параметру. В следующих параграфах будут исследованы конкретные задачи для этих уравнений.
Рассмотрим оболочку вращения, ось х направим вдоль оси вращения, а ось у — ж)рмально к оси х. Положение элемента недеформированной образующей срединной поверхности определим координатами Хо,%, и углом 0о меаду касательной к образующей и осью х (рис. 4.28). Функции Хо н Уо, определяющие недеформированное состояние оболочки, будем считать заданными функциями линейной координаты s вдоль образующей оболочки
Хо =Xo(s), Уо =№).(4.5.1)
Для недеформированной срединной поверхности имеют место следующие очевидные геометрические соотношения (рис. 4.28):
必o/ds = cos0o> dyjds = sin 0O,(4.5.2)
l"o = -dGo/d$, l/p = cos0oZXo-(4.5.3)
Здесь r0 и a, — радиусы кривизны срединной поверхности в направлении образующей и в окружном направлении (рис. 4.28) •.
Пусть в результате деформации элемент ds перейдет в элемент 避, положение которого определяется координатами х, j и углом в с осью %.
Радиусы кривизны деформированной поверхж>сти обозначим через г и р (рис. 4*28) • Если рассматривать координаты %, у. как функции линейной координаты W вдоль дефо^нмированной образукяцей, то имеют »юсто соотношения
к=х《)，J=J(O，(454)
dx/d^ = cos0, dy]dW= sin0,(4.5.5)
1〃 = 一 &G/d£ 1/p = cos。仪.(4.5.6)
Ifycrb q м q — относительные деформации срединной жшерхности вдольIfycrb q м q — относительные деформации срединной жшерхности вдоль
Ifycrb q м q — относительные деформации срединной жшерхности вдоль
Ifycrb q м q — относительные деформации срединной жшерхности вдоль
образующей и в окружном направлении. Тогда
(4.5.7)(4.5.7)箧一ds 碓
(4.5.7)
(4.5.7)
叮一方0 У .
% =1.
叫 Jo
Отсюда следует
若/ds = 1 + es,尸% = 1 + d・(4.5.8)
Если ограничиться гипотезой прямых нормалей Кирхгоффа — Лява, то для волокна оболочки, расположенного на расстоянии z от (федданюй поверхности, получим с учетом выражений (45.0, (45.8) деформащю вдоль образующей (рис. 4.29)
一（喈）］小g=
(4.5.9)(4.5.9)(4.5.10)(4.5.10)大心等)]/(/
(4.5.9)
(4.5.9)
(4.5.10)
(4.5.10)
Аналогично для деформации в окружном направлении ef)= ly^z cos в - (j0 +^ cos0o)]/(j ^z cos00)= 小+z 修-J]/(l+3
Введем параметры изменения кривизны срединной поверхности d。。 d。 1(1 +€s)
К$ 二—”一 —■ — = —-+,
& л ro г'(4.5.11)
1 +ee 1 cos в cos в0 (1 + ea)cos0 cos0o
% P Po Jo JoУJo
Для тонкой оболочки z/ro< 1 hz/Po <1. Учитывая это, получим из выражении (43.9)—(43.11) соотношения гипотезы Крихгоффа — Лява в виде
^> = €,+ZK„
密)=q +z%(4.5.12)
На рис. 430 показаны усилия, действующие на деформированный элемент оболочки. Уравнения равновесия этого элемента имеют вид (см., например, [40])
d%y). у
sin。•％ +—Q -j<r>
電x
d(0OУ
—=—^ - cos©- % -yqn,(4.5.13)
臂,
d(May}
=Qy + sin8%
電
Мы будем исследовать упругие деформации оболочки. Тогда для волокон, отстоящих на расстоянии z от серединной поверхности оболочки, имеемМы будем исследовать упругие деформации оболочки. Тогда для волокон, отстоящих на расстоянии z от серединной поверхности оболочки, имеем
Мы будем исследовать упругие деформации оболочки. Тогда для волокон, отстоящих на расстоянии z от серединной поверхности оболочки, имеем
Мы будем исследовать упругие деформации оболочки. Тогда для волокон, отстоящих на расстоянии z от серединной поверхности оболочки, имеем
еле-еле-Здесь о^ и о^ — нормальные напряжения вдоль образующей и в окружном направлении в слое, расположенном на расстоянии z от срединной поверхности; £» ” 一 модуль упругости п(ж растяжении и коэффициент Пуассона. Усилия и мокюнты в срединной поверхности определяются
еле-
еле-
дующими выражениями:
+ Л/2
N$= / T>dz, % =
+ Л/2
/ o^dz9
-№
-Л/2
-
• +力/2
M$n j《％ 必，％ =
-ft/2
"/2
:/ 喑)2dz
-Л/2
(4.5.16)
Подставив сюда выражения (45.15), (45.12), после интегрирования получим соотжэшения закона Гука в виде
Eh/、
Na = B(et^vea), 乂=3(% +吗)，B---;'(4.5.17)
Ma^-D(Kt + VK^, Ma = -D(Ka^VK^t D = —— —■(4.5.18)
12(1 -产)
Обращение этих соотношений пршодит к выражениям
，=占©»一也)，e<,=!餌一叫)；(4.5.19)
EhEh
Y^rbi 他-餌)，％=^lb5M 一碗J(4.5.2。)
Уравнения равновесия (4 5.13), геометрические (4 5 5), (45.8),(4 5.11) и физические (45.17)—(4.5.20)соотношения образуют полную систему нелинейных дифференциальных и конечных уравнений, описывающих осесимметричную деформацию оболочек вращения. Представим ее в еле-
дующем виде:
di5dy
—»= 1 +es, — =cos©, -~7 = sme,
ds臂臂
dNssin 91
工—0rs - NJ + -G- q『，
若уг
dQ11
н；N$(C sin 0 +2Ve cos 0) +
d^гу
dM.
=(
碓
$
sin 6
。也-Ма), У
9
%=叫+(1-/*(?1)
必
D
cos в - со$в0
Jo
■ - COS0- COS0A
Ма = vMs - (1 -吟。
Jo de 1 / d©o\ 一万=一不3詛。
(4.5.21)
Введем безразмерные величины с помощью следующих соотношении» где / — характерный линейный размер оболочки:
Е"广，s =，己 к*»"。，
«=ЛД, Л, = ВЬ2№9 % = B&N]
е = ^2е°» % =硏々："，q产ВВ、*1,
Ms = Bb2lM°9 М^ВЬ21М1, 1"=内"，
О=К；〃，dejds^K^ll, 1+€, = С(4.5.22)
Знак "。” у безразмерных величин ниже всюду будем опускать.
Перейдем в уравнениях (4.5.21) к безразмерным величинам и к дифференцированию по безразмертой координате s° вдоль недеформированной образующей оболочки. В результате получаем следующую систему уравнении, где дифференцирование про>1зводится по s°:
x#=.Ccose, r=csme, е' = -к$+Ко,
[
sin。1
— ^-N^-KQ^qX
Q，= _ C[jK7V♦亍(QsinO./cosG) — q〃], [sin©1
NlW+^-住 —)NlW+^-住 —)0一丁飙一m斗
NlW+^-住 —)
NlW+^-住 —)
(4.5.23)
COS0- COS во
= _ ]2" —卩»
У。
1 - / COS。一 COS
M^vM-—->
Го
к=-^С)・
Отметим, что эти уравнения, так же как полученные аналогичным образом уравнения для арки (4.1.16), справедливы для оболочки вращения произвольной формы. Для конкретных форм оболочки различными будут лишь заданнью для начальной формы оболочки функций К。。)》со$в0($)> Y)(s). Так же, как и для арок, в этих уравнениях- возможен переход-к тамешщалню!^ перемещению 〃 и нормально” прогибу w срединной поверхности. 痴,как и для арок, в задаче больших прогибов такой пере* ход не пршюсет преимуществ, а уравнения излишне усложнятся.
Граничные условия для уравнений (4.5.23) могут быть сформулированы, как и для арок в § 4.1, и обладают теми же особенностями. Ниже мы будем рассматривать только линейные граничные условия.
При реализации на ЭВМ алгоритмов продолжения решений уравне* нии (4.5.23) дня малых толщин оболочек (Z/й > 300) была отмечена неустойчивость счета. Ее удалось устранить после перехода от неизвестных X,匕 6 к нх приращениям АХ, 4元 Д0. Hpi этом размерные приращения координат были отжсены к толщине Л оболочки. Переход к таким неизвестным легко осуществить с помощью соотношении
х=Хо +бдх, у= г0 +5ДХ е=е0 +△©.•(4.5.24)
Для уменьшения ошибок округления при вычислении функций sin 0 и со&0 прн малых измежниях аргумента оказалось необходимым представить их в виде
cos0 = cos。()cosД0 一 sin备sinД0,/一 __ч
(4.5.25)
sin 0 = sin 0o cos Д0 + cos 0osin Д0.
В результате подстановки этих выражении в уравнений (4.5.23) были получены уравнения для приращений
△Х' = —[(С8s△。- l)cos0o - Csin®osinAG],
△ y' = L[(Ccos△。一 1)sin0O -CcosGisinAG], 8
△&=-O,
, Г sin (0O +△©)]
•° У +6“(N-Na)-KQ + qJ
Q，= — C*{aW + "p—^^[0sin(9o + A9)+Ncos(9o +A8)] +q,},
_ Г sin(0o +△©)1
"М电-KTk(5)卜
一” ”сДУ
乂 =列 + ——>С = 1 +62^- рЗ -^-,(4.5.26)
К尸-12М + [cos 00 (1 - cos Д0) - sin0o sinA0],
Ma = vM +[cos 00 (1 - cos Д0) 一 sin0osinA0],
12yo
к一/一4).
Мы ниже будем проводить все рассуждения для уравнений (45.23). Переход к уравнениям для приращений (4.5.26) может быть сделан без принципиальных затруднений.
Тороидальная оболочка кругового сечения под равномертым внешним давлентм
Устойчивости и нелинейному деформированию круговой торообразной оболочки посвящено значительное число исследований. Не ставя себе цель дать полный обзор этих работ, укажем лишь те из них, которые ка* жутся нам наиболее интересными по результатам или методам исследования [455,474,357,427,341, 54,80,79,337].
Рис. 4.31Рис. 4.31На основе полученных в § 45 уравнении рассмотрим задачу о больших прогибах круговой торообразной оболочки под действием равномерного наружного давления.
Рис. 4.31
Рис. 4.31
屮= slR,d=RolR・屮= slR,d=RolR・(4.6.1)(4.6.1)Примем в качестве характерного линейного размера радиус образующей окружности Л, за безразмерную координату и недеформиро- ванной срединной поверхности возьмем угол 屮 и введем параметр d (рис. 4.31):
屮= slR,d=RolR・
屮= slR,d=RolR・
(4.6.1)
(4.6.1)
Тогда для недеформированной поверхности имеем
Хо =sinи, Уо =d- 8s弘 00 =3, M=Qo=Mo=O,Ko = l,&o=O,(462)
C*o = l>A^ao =O,Mxo =。・
Учитывая принятые обозначения и соотношения (4.6.1), (4.6.2), уравнения (45.23) для торообразной оболочки, нагруженной равномерным внешним давлениемP(gr = 0, q〃 = —Р), представим в вцде
X = C8S。，F = Csin0,。'=1+右
(4.63)(4.63). sin。
(4.63)
(4.63)
" = -C-p-B-Na) + K-l)Q,
Q，= -&_ 1)N- —(С sin © +Na cos&)-CP,
Г sin©1
^=c|e-^—(л/-л/в)1.
В этих дифференциальных уравнениях дифференцирование производится по 屮.Уравнения (4.63) дополняются следующими конечными соотношениями:
Chl+^N-I-11 5=//R,
(4.6.4)(4.6.4)— cos 屮 /
(4.6.4)
(4.6.4)
к^-пм-^-^
d - cos 9
%=雨一［^
cos О — cos и d — cos0
% = W+—^
Уd— 8s 屮
-»
Легко проверить, что недеформированное состояние (4.62) является решением уравнений (4.6.3), (4.6.4) при Р = 0.*
Введем вектор-функций А =氏 匕 9, М 0,7W］ “ и Г= ［С Г, М® МГ
Тогда уравнения (4.63), (4.6.4) можно представить в векторной форме
(4.65)(466)(4.65)(466)i^F^T.PX
(4.65)
(466)
(4.65)
(466)
T=G(Z)・
Здесь F(Z, Г, Р) и G(Z) — нелинейные вектор-функции, определяемые правыми частями уравнений (4.63), (4.6.4). Дифференциальные уравнения (4.65) должны быть дополнены граничными условиями, которые соответствуют условиям закрепления оболочки при 屮=з© к 屮=з〔・ Как и ранее, будем рассмат^жвать только линейные граничные условия вида
/2(%)= a BZM) = b・(4.6.7)
Конкретный вид прямоугольных матриц А, В и векторов а, b для различных условий закрепления будет дан ниже.
Для решения уравнений (4.6.5), (4.6.6) при условиях (4.6.7) исполь* зуем сначала метод непрерывного продолжения по параметру. Уравнения продолжения по параметру 入 впишем в виде
az/a入=z, 2778入=± dP/dX^p.(4.6£)
(4.69)(4.6.10)(4.69)(4.6.10)Здесьz иг — вектор-функции: ^^^y^9n.qfmf 9 £=",&,施 a，%】*♦
(4.69)
(4.6.10)
(4.69)
(4.6.10)
Линейные уравнения для определения этих векторов получим, дифференцируя выражения (4.6.5)—(4.6.7) по параметру 入：
/ =LX(Z, T9P)z ^Lt(Z, T,P}t^PLp(Z, ГР), t=J⑦z、(4.4.11)
4z(9o) = O,庞(％)=0・(4.6.12)
В этих уравнениях 丄工，。介 4＞，J — матрицы Якоби вектор-функций 尸hG:
"=%］吟［許］'"=1…6,
(4.6.13)
…在奈鬧•二;二:
(4614)
3"，*』祭］,i=i…6,
(4.6.15)
"附=瑞=偿•卜;二二:：
(4.6.16)
Развернутые выражения этих матриц, соответствующие уравнениям (4.6 二
(4-6.4),
даны ниже:
-0 0
213°
0
0 -
-x -
0 0
£2 30
0
0
У
0 0
00
0
0
s
Ь,г =
。1*42
。43a4
^45
0
л
0052
厶3厶4
厶$
0
q
-0厶2
z6 30
С
26 6.
m_
Li3 =-Csin@
丄 23 =Ccos0,
丄42 -С
sin。
Г
(N-M),
COS0
sin 6
&з =
-c
У
釘-%），厶
4 u
Y '
丄45— 1,
Osine+JVa cos©
Ceos© —A^sin©
丄 52= С
y2，
厶3 =-C
У
厶4 = —(К$ — 1),厶5 = —sin 8 =丄66,
г — С sin 0 +7Va cos 0，— cos©
八 sin。• (M - %)"62 - Jya，-cos 600sinO000-10。300bsi-N 0.41-0一00。。23。=0-с-0-sinв^41 =一 y—(NM),八 sin。• (M - %)"62 - Jya，-cos 600sinO000-10。300bsi-N 0.41-0一00。。23。=0-с-0-sinв^41 =一 y—(NM),一 cos 0 -(M — %) 263 = _e 1"О ' О о &4 ^54 О •一 cos 0 -(M — %) 263 = _e 1"О ' О о &4 ^54 О •丄5 f = —~, 054 sse ~"
八 sin。• (M - %)
"62 - J
ya，
-cos 6
00
sinO
00
0
-10
。3
00
bsi
-N 0
.41
-0一
0
0
。。23
。=
0
-с
-0-
sin
в
^41 =
一 y
—(NM),
八 sin。• (M - %)
"62 - J
ya，
-cos 6
00
sinO
00
0
-10
。3
00
bsi
-N 0
.41
-0一
0
0
。。23
。=
0
-с
-0-
sin
в
^41 =
一 y
—(NM),
一 cos 0 -(M — %) 263 = _e 1"
О ' О о &4 ^54 О •
一 cos 0 -(M — %) 263 = _e 1"
О ' О о &4 ^54 О •
長l纟-丁-迎一%),以一下一;
Начальное состояние оболочки задано соотношениями (4.6.2) нрнР = О. Это состояние определяет начальные значения Zo , 7^ вектор-функций Z н Г при 入=0, необходимые для интегрирования задачи Коши для уравнений (468):
Zo = [sin%d — cds3“, 0,0,0]T , ” (4.6.17)
Го = [1,0,0,0]т. (4618)
Так же, как и для арок (§43), для интегрирования уравнений непрерывного продолжения (469) при проведении конкретных расчетов прилунялся алгоритм модифицированного метода Эйлера (3.4.14)—(3.4.26).
Для упрощения формы уравнений дискретного продолжения введем обозначения, аналогичные использованным ранее для арок (43.13). При 入=入比 искомые функции текущего (/ + 1)-го пртближения обозначим строчными буквами, а известные функции предыдущего /-го приближения — прописными:
^\"曜瑞展雄;R
Z=Z⑥ Г=嘴 Р=РЙ- (4619) В этих обозначениях уравнения дискретного продолжения, аналогичные уравнениям (3.2.6), (3.2.7), примут вид
z' = L3，T,P)z+L«T4t + pLp@,T,PA
+ [-，(Z, T,P)Z -L", T,P)T-PLp & T, P) + F(Z, 7； P)],(4.6.20)
t^J^z^^^Z^Gi^.(4.6.21)
Az 6)=4 及 M)н瓦(4.6.22)
Здесь матрицы £z, Lt9 丄「, J совпадают с выписанными вьпие. В расчетах с использованием этих уравнений реализован алгоритм (3.4.27)—(3.4.37). При этом коэффициент 0 瑞 выбрался по выражениям (3.432). №ыми словами, для оболочки использован алгоритм, который во всех существенных моментах повторял алгоритм для арси (§4.3), При этом, конечно, учитывалось, что изменяемость решении для оболочек существенно выше»
чем для арок, что потребовало увеличения числа точек промежуточной op- 1 тогонализации фундаментальных решений при прогонке.[
Рассматривалась панель в виде половины кругового тора с толщиной j
оболочки Л, радиусом образующей окружности R и расстоянием от оси тора до центра образующей окружности К。. Панель нагружена наружным J давлением 明 безразмерный параметр 尸 которого в соответствии с форму» лами (4.5.22) определяется выражением
Р=Р=(1-/)&з(1-/)&зЕЛ3ЕЛ3GG(4.6.23)(4.6.23)
Р=
Р=
(1-/)&з
(1-/)&з
ЕЛ3
ЕЛ3
G
G
(4.6.23)
(4.6.23)
Просматривались различные условия закрепления краев панели при 屮。=О и з = гг. При 屮=〈о, они имеют вид:
Шарнирное закрепление
XliAZoM)), Г(^о)=Ко(^о), "Зо) = О・(4624)
В матричной форме: AZ 停。)=%
(4.6.26)(4.6.26)
(4.6.26)
(4.6.26)
•1 0 0 0 0 0~
-%®。)-
Л =
0 1 0 0 0 0
?0 М>)
・(4.6.25)
.0 0 0 0 0 1.
.0.
Условие симметрии деформирования относительно плоскости симмет* рии тора:
^(0) = 0, 0(О) = О, е(о)= о,
*1
0
0
0
0
О'
Г°1
Л =
0
0
1
0
0
0
,а= 0 .(4.6.27)
.0
0
0
0
1
0.
LoJ
Результаты расчетов для полуторовой панели не зависели от условий закрепления, так как основная деформация происходила в вершине тора, которая далека от краев, закрепленных в эоне наиболее сильного затухания типа краевого эффекта. Различие в величинах прогиба % в вершине тора при разных условиях закрепления нс превышало ОД %・
Были просчитаны оболочки с Л/й = 100, 200, 300 при d =Л0/Л = 1,5; 2; 25； 3; 4; 5. На рис. 4.32, 4.33 показаны зависимости безразмерного давления Р от относительного прогиба в вершине тора 弘/К・ Здесь же показана последовательность деформированных форм вершины тора.
Рис. 4.32
соответствующая пронумерованным на кривых P(Wq/R) точкам. На рис.， 4.34—4.36 даны кривые P(W()/R) для различных R/力 м d = Яо/Л. На рнс. 4.37 показаны величины критических давлений /^р, соответствующие * максимальным давлениям на кривых 尸(恤依)в зависимости от параметра d для различных Rth. Штриховая кривая соответствует результатам приведенным в работе [341] для осесимвютричной потери устойчивости» №которое различие можно объяснить тем, что в этой работе использованы нелшюйные уравнения в квадратичном приближении, которые менее точны по сравнению с принятыми здесь.
В этой же статье обсуждается поведение оболочки вблизи критической точки, которая считается точкой бифуркации. Следует отметить, что докритическое осесимметричное напряженно-деформированное состояние тора с самого начала является моментным в окрестности верпшн, где меняет знак гауссова кривизна. Поэтому в вершине тора с ростом давления
Р н с. 4・ 38
постепенно развивается вмятина. Этот процесс показан на рис. 4・38. где приведены кривые нормального прогиба W仲）/R в окрестности вершины тора для последовательно возрастающих давлении. Значения давлении* соответствующие этим кривым, приведены в таблице. Причем предельное давление 爲① для этого случая равно 2J2. Таким образом, реальная
потеря устойчивости тора при схжсимметричной деформации происходит путем перехода через предельную точку. В то же время если докритичес- кое состошше определяется приближенно, то вблизи &р на кривой деформирования P(Wq/R) (кривые 2. 2 на рис. 4.39) может появиться точка ^фурсации, которой соответствует 厶..・ Тогда по отношению к такому решению точная кривая деформирования (3 на рис. 4.39) может быть рассмотрена как траектория особым образом возмущенного решения.
Неосесимметричная потеря устойчивости здесь не рассматривается. Но, как показало исследование, в широком диапазоне реальных параметров горообразных оболочек неосесимметричнои потере устойчивости соответствуют более высокие крити^скйе давления.
ГЛАВА 5
МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В ЗАДАЧАХ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК, ФОРМА КОТОРЫХ ОТОБРАЖАЕТСЯ НА КАНОНИЧЕСКУЮ
Задачи о собствеюгых колебаниях и устойчивости для мембран, пластин и оболочек, имеющих в плане неканоническую форму (параллелограмм, трапеция, эллипс и тл,)э часто решаются методом возмущений Рэлея —Шредингера. Подробный обзор таких решений дан в работах [260,226].
При решении методом возмущений неканоническая область должна быть близка к канонической (прямоугольник, круг и тл.). Тогда решение строится в виде разложения в ряды Тейлора по степеням параметра, характеризующего отклонение неканонической области от канонической. Как правило, удается построить такие ряды только до второй степени параметра. Попытки использовать более высокие приближения приводят обычно к громоздким выкладкам. В § 5.5 такие трудности удалось преодолеть, но построенное там решение оказалось практически нереализуемым из-за плохой сходиьюсти рядов. •
В то же время при наличии преобразования, отображающего неканони* ческую область на канонирскую, метод продолжения по параметру позволяет получить решение при сильном отклонении неканони^юской области от канонирской. Ниже рассматривается обобщенная формулировка этого метода в задачах на собственйые значения для эллиптических уравнений, к которым приводятся задачи о собственных колебаниях и устойчивости пластин и оболочек.
Известно, что для ширнирно-опертых пластин и пологих сферических панелей (однородных или трехслойных) существует мембранная аналогия, позволяющая свести задачи их собственных колебаний и некоторые задачи устойчивости к задаче о колебаниях мембран так 曲 же формы в плане.
Поэтому подробно рассмотрены задачи для параллелограммной и трапециевидной в плане мембран. А в § 5.4 приведены формулы мембранной аналогии.
В § 5.5. решение построено методом возмущений и проведено его исследование и сравнение с методом продолжения.
5Д.0бцмкфер»цгшф(та1 шя^^^тшвя не пцшюгру в зммкхя* собстжпые ■■『■■
Ifycib на координатной плоскости х»^ задано од иопараметрическое мно- жеово М неканонических областей D с границами Г (А), форма которых непрерывно зависит от шцтютра 入.Пусть также имеется невырожденное преобразование
НЕ Q,y；入)./="(”； х). (5.1.1)
отображающее области О £ М на некоторую область А канонической формы с границей Го на плоскости Е, q. Пусть также преобразование (5.1.1) таково, 410^»入=入0 об>шсти ЛиД)одинаковы, тл.
EG,У；入о) =Х. *У； %>)■=，.， . (5.1.2)
Ниже п|жмем 入。=0, что,конечж), не огренишшает о&цности.
Рассмотрим задачу на собственные значения для линейного оператора £(И0 эллиптического типа относительно функции W(x, j), заданной на о 風 астяхОЕ М:
А (КО + nW=Q9 Lr [W(TQ))] =0. (5丄3) Здесь Дг — совокушх» лкнЫЬшх операторов* определяюпшх 1фаничные условия на контуре Г (X) обласшД
,С помощью прео^з^ванш (5.L1) задача (5.1.3) сводится к следующей задаче для канонич&осой области А ш пжмжости|,1?: .
，(W;入)+aw = o, £г [W]=0・ (5ДД)
Для решения задач вида (5.1.^ дл« овтсгей Д близких к каношческой^ часто используете метод »озмуте血波丞 Мрме Радея-Н^>едингера [410, 464}. Процедура этого кто原 состоит в разно蜂нии собственной функции W и собственного значения П в ряды Тейлора по параметру X. Это приводит к реку{фешж)д <ястеме краевых задач, соответствующих различным степеням в разложении %йлдра« При практичеасой реализации жтода -сложность рекурргатиых систем существенно во^пстаёт по мере увеличения степей X 1к)этому обычно от^оншшваются удержанием в ряде Тейлора членов до 入“ (изредка до 2) включительно. Эти же обстоятельства затрудняют сщенку области сходимости ряда и установление области удовлетворительной точ1юсти полученного решения. Все это ограничивает пределах п|жменения метода малыми величинами параметра 入，vro соответствует небольшим отклонениям областей Dot канонической области Д)・
Применим к задаче (5.1.4) метод непрерывного продолжения по парамет* ру 入.Пусть дая некоторого 入 известны различные собственные значения 5 V& <Пз>— и нормированные собственные функции %,奥，必,… этой задачи, т.е.
L (抬 А) + &動=0,厶 М (Го) ] «О, (5.15)
(5.L6)(5.L6)/ WfWfdDo =6^=!^ П^И1* ' * “= 1,2*.
(5.L6)
(5.L6)
О[ОнрнМ/.
Здесь М：— символ К^некера.
148
Продифференцируем задаи (5Д.5) по 入，учитывая, что 场Q.恥 X) и %◎)： являются непрерывными и дифференцируемыми функциями X,. и обозначим
加d% 一
二=》,二=3а "1,2…-(5.1.7)
одd Л*
Для функции 修6，窥 X) получим следующую 雖однородную задачу:
，Зк X) — &出=-LtK(^t\ 入)—3t %
八回(To)]=O,1=12...(5.1,8)
Здесь пршято обозначение
Э
，入(暇入)=-Ь(暇 X)..(5.1.9)
ол
Соотношения (5.1.7) можно рассматршать как задачу Коши по параметру X, для которой в качестве начальных условии мюгут &пь приняты собственные значения С】°> и собственные функции 軽°)задачи (5.1•今 njm 入=О, т.е. для каноничеосой области 坊 с границей Го
Я/(0) = а°),也售，窥 0)=必叱 S 1,2,...(5.M0)
Правые «сти уравнен» продолжения (5.1.7) яляются решениями задачи (5.1.8), которая по сравнешю с задачей (5.1.5) является неоднородной.
Решения w^ задачи (5 丄8) будем разыскивать в вида разложения по собственным функциям задачи (5.1.5):
戰=歹哨咻i = 1,2,…(5.1.11)
№дставмм это разложеяие в уравнешю (5.1.8) и проортогсжшшзжруем полученные соотношения к функциям 场.Учитывая выражения ^.1.5), (5.1.6), 1юлучим для коэффициентов a# 0cle呻 уравнений
(% — £2/) /=/，а(М；入)W扌dDq + 3*5%
订=1,2 …(5.1.12)
ОтсюдаП}Ж/ ^«следует
/=77工7 J厶入册;入)m必。，
订=1,2,...、(5.1.13)
П(ж <= / левая часть уравнения (5 Л Л 2) обращается в нуль, а второе слагаемое в правой части не равсю нулю, так как 5计=1. Отаода получим
3* = -g，,入(時；入)仍物，》=1,2,・・・(5Л.14)
Коэффициенты，/ остаются неопределе1шымй1. Их выберем так, что№ при изменении параметра 入 собственные функции 叫 оставались нормированными. Для этого достаточж), тгобы норма функции 恥 не менялась при
изменении параметра 入，а отсюда следует условие
—(/ W： dZ)。)=0, f=l,2,...(5.1.15)
d入 Q°
Раскрывая это соотношение, получаем с учетом обозна^ний (5.1.7) выражение
/ 恥 Wt dD° = 0. 絞。
Подставим сюда разложение (5,1.11) и используем условие ортонормиро* ванности собственных функции (5.1.6). Приходим к соотношению
J WiWfdDQ *=J Wf Z a^ Wj dD。=% J Wf dDo = a// = 0.(5.1.16)
q5/A
Таким образом, определение собственных чисел и собственных функции задачи (5.1.3) для областей О £ М состоит в определении。/°)и 叫(°) для канонл^ской области и интегрировании задачи Коши (5.1.7), для которой Q/°)и Wi являются начальными условиями. Правые части уравжний продолжения (5.1.7) для каждого знания параметра явля> ются решением задачи (5.1.8). Поскольку в процессе продолжения по параметру дая каждого значения • известны собственные функции 昨(X) и собственные значения П/(Х), то решение задачи (5,1.5) сводится к вычислениям интегралов в соотношениях (5.1.12)—(5.1.14) и суммированию (5.1 Д1).
Сравнивая этот процесс с методом возмущений, отметим, что задача (5.1.8) совпадает с задачей первого приближения метода возмущений. В то же время интегрирование задачи Коши методами типа Эйлера, Рунге — Кутта, предиктор-корректор и тл. позволяет при соответствующем шаге по параметру X строить решения для больших значении 入(т,е・ при значительных отклонениях области £> от канонической области Д>) с заранее заданной погрешностью.
Выше был рассмотрен процесс продолжения по параметру для случая, когда собственнью значения различны. Но как в задаче для канонической области, так и в процессе продолжения по параметру 入 собственные значения могут стать кратными. Рассмотрим этот случай подро&<ее.
Пусть известные для некоторого значения параметра X собственные значения задачи (5.1.3) % < А? <•.. V %< ... имеют кратности 左(。・ Тогда собственные функции, соответствующие собственному значению П/, принадлежат к А: (/)-мерному подпространству W^^ пространства W решении задачи (5.1.3). Пусть Wip 仍=1,..・, k(i) ) — ортонормированныи базис в этом подаространстве, т.е.
J % % dDq=6pq, p,q = 1,・・・,*(»)•(5.1.17)
口。
Любая функция 例 нз подпространства W(" является решением задачи (5.1.3) с собственным значением @. Она может быть представлена в виде разложения по ортонормированному базису в W(" л (0
W产 ₽2 %> 场р・(5.1.18)
Пусть Wt нормирована, т.е.
J修恥dA = l.
Тогда, учитывая представление (5.1.18) и выражения (5.1；17), получаем для коэффициентов。力 соотношение
Е 联=1・(5.1.19)
р=1
Решение задачи (5.1 В) для функции w, = 3恥/3入 будем искать в виде
w产 2 E 脸W%・(5.1.20)
/ p
Подставим это разложение в уравнение (5.1.8) и проортогонализируем результат к функциям Wis (/ = 1,2,・・・；$ = 1»2,.・・，確))・ В итоге, учитывая соотношения (5.1.5) и (5.1.17), получим систему уравнений для определения^
◎ - %) * = S *)/ 厶入(“;入)wh dD0+ 6兴函F)；
P=1 々(5.121)
Ai= 1,2宀 s= 1,2,..., fc(i).
Если i » /, то эта система разрешима только при условии, что ее правые части равны нулю, т.е.
啞)0(0 / 厶式Wfp；X) W. dDo +3我f)= 0, s = 1,2,....確).(5.122)
p=l P □•
Для неизвестных 贈 эта однородная задача представляет собой алгебраическую задачу на собственные значения, имеющую *(" собственных зна・ чений 30 (q = 19...9 七⑴).которым соответстйуют k(i) собственных k(i)~ мерных векторов 明)=[町,…，0爲小'・ Каждый из этих векторов в соответствии с представлением (5.1.20) определяет собственную функцию %。
в подпространстве W(*):
w&= 2 0qpMp, q = ],・・・,МО(5.123)
Векторы 阳 ортогональны как собственные векторы. Если они, кроме того, нормированы (5.1.19), то и Змс> составленный из функций 叫), q = 1,.・・, МО, также ортонормирован.
Назовем базис 吗),q = 1,..., k(。, подпространства 标。главным базисом продолжения. Тогда решение 嘲*)задачи (5.1В), соответствующее собственному значению 3骨 и собственному вектору 叫),представляется в виде
*0)
嚕=孑2^ 42 % q=JMi)・(5.1.24)
Для коэффициентов <х然 из соотношения (5.1.21) при i # j получаем формулу
/"WF 总联/.厶(%人)^<^0,
"=12…；q = l,...，HD； $=1,…,頻)。(5.1.25)
Точно так же, как и ранее, из условии нормировки, аналогичных условиям (5.1.15), (5.1.16), легко установить,что при <=/имеет место
а£ = 0.(5.1.26)
Обратим внимание, что если в качестве исходных базисов % в подпространствах W«‘)выбраны главные базисы продолжения 吧),то компонент ты 魄 собственных векторов систем уравнений (5.1.22) принимают простейший вид
42 = 6pq，i=12…；Р.9=1Д...» *(0-(5.1.27)
Соотношения (5.122) и (5.1.25) в этом случае также упрощаются и принимают вид
3黑=-/ L.^-,^^dD0,(5.1.28)
盗= Й^7丄小(噌)；入)吧)30.(5.129)
Таким образом, если перенумеровать собственные значения, расположив их в порядке неубывания с у тегом кратности, £2t 《О? < Лз <... и сопоставить им в качестве собственных функций соответствующие элементы главных базисов продолжения подпространств W^,которые пронуме* рованы последовательно Wt = Wf1* 弘=М1 V-> ^ формулы (5.1.24), (5.128), (5.129) представляются в виде
w#=工旳巧，(5.130)
3L一J £(•"(%;人)修皿0, 丿(5.1.31)
0 при С,="
(5.1.32)(5.1.32)1
(5.1.32)
(5.1.32)
7； /厶入(W.人)物叩опри。产 %.
◎j - % 力.
Эти выражения совпадают с соответствующими формулами (5.i.ll)— (5.1.14), (5.1.16) для случая некратных собственных значении. Такое совпадение позволяет при переходе к главному базису продолжения решать задачу (5.1.8) по единому алгорпму как для некратных, так и для кратных собственных значений.
Собсгвев^ые колебания параллелограммной
в плане мембраны
В качестве первого примера исследуем задачу о собственных колебаниях мембраны, имеющей в плане форму параллелограмма. Простота уравнении и наличие известных решении [344, 450» 395, 396, 510] делает эту задачу удобной для демонстрации изложенного в § 5.1 метода.
Рассмотрим мембрану, форма и размеры которой показашл на рте. 5.1 ,а. Степень ее отклонения от прямоугольной мембраны характеризуется
Ри с. 5.1
углом а. Как известно (см. например, [330]), после разделения временной и пространственных координат задача о собственных колебаниях мембран сводится к следующей задаче на собственные значения дня амплитудной функции прогиба
V2^ + n^ = 0, W(「)= 0.(5.2.1)
Здесь Vе н Э2/Эх2 + В?/勿'—оператор Лапласа, Г — граничный. контур мембраны. Частота собственных колебании мембраны р связана с величиной собственного значения С задачи (5.2.1) следующим соотношением:
S2 = /рА/7^・(522)
Здев、р, h м Tq — массовая плотность, толщина и натяжение мембраны. Определяемое углом а множество М параллелограммных в плане об
ластей D с границей Г на плоскости х, у отображается на прямоугольную область Do с границей Го на плоскости & 切(рис. 5.1,6) с помощью следующего преобразования:
j = x, т?=^-Хх, X = tga.(5.2.3)
В дальнейшем параметр 入 примем в качестве параметра, характерйующего отклонение параллелограммной. мембраны от канонической прямоугольной. С помощью преобразования (523) задачу (521) на плоскости |, ” сводится к виду
〃w；入)+aw=o,w(r<>)=o,„_ „
/ / а? 2 а? \024)
"•・,人)=5-2 入行+0+¥)市)(.,.).
Пусть для некоторого значения 入 известны все собственные значения Dmn и ортонормированные собственные функции Wmn9 составляющие глав- щ»ш базис продолжения. Двойная индексация здесь введена для удобства^ поскольку в дальнейшем решение будет построено в двойных TjmroHo- мепжческих рядах. Таким образом, 0mli и Wmn удовлетворяют зада1»
丄(Mi 力；X) + %» 腰 Wr я •=。，
^ШЛ(Го)=О; т,п = 12…(525)
Дифференциальные уравнения продолжения (5.1J7) представляются в форме
(5.2.6)(5.2.6)
(5.2.6)
(5.2.6)
В качестве начальных условий для этих уравнений используем известную и легко получаемую систему собственных функций и собственных значении для прямоугольной мембраны, что соответствует зна^нию параметра 入=0. Подробно они будут получены ниже. Задачу для определения стоящих в правых частжс уравнений продолжения функции wmn(|9 方；X) н (^„(Х) построим, продифференцировав по 入 уравнения и граничные усэтовия задачи (525)・ В результате получим
丄Мгии； X) + ^тл^тп = 一 ^*»Л(Wtnn» ^) — ^ти^тпэ
Wmn(ro) = O, rn,n = 1,2,...2
Ь,х(...；人)=人)=c 2 -—-+ 2 入才卜…)-(5.2.7)
Учитывая, что функции Wmn составляют главный базис продолжения, решения неоднородной краевой задачи (5.2.7) ищем в соответствии с соотношениями (5.130)—(5.1.32), которые при использованной здесь двойной индексации принимают вид
wm9fH 得QmNjW",(528)
1
„о~о-/ ^(^„„^WijdDo при С”％",
(5・2S)
О 叩и %/ = &л1М•
= — J Z,入(Wm/ 入)WmndDo, m, % i, / = 1,2.・.(5.2.10)
Собственные функции Wmn главного базиса продолжения представим в виде двойного триго股метрического ряда
-2mt 痴.
%,=玄冠鳥р sin 丁 sin 丁，打=12...(5-2-11)
Такое представление обеспечивает выполнение граничных условий задачи (5・2.5) и, в силу разложения (528), граничных условий задачи (5.2;7).
IX
С『том разложении (5.2.11), (5Л.8) и выражения (5.2.10) уравнения продолжения (5.2.6) представляются в виде
凉 fmnpq = ^amnijfifpq9
(52.12)
где
：0 при nmw = Пф
amnti~ -~-— Lmnil при Птв*П/г s句一A2mli
Здесь введено обозначение
^mnif^ ^ 丄，式％ш；入)W^dD。.
(5.2.13)
(5.2.14)
Подставим в это выражение разпожние (52.11). В результате получим аb2
LmniJ = oo 方鳥”q・q^(-2PQco"hosQ?-
2
—2入0 sinPfsin Cn) • £ 力饵-^=sm^{ • sinAix^d",
(5.2.15)
ртг кк Р-—, К=— , Q =
О7Г hr
а
а
Интегралы» входящие в выражения для 2mli", могут быть легко вычислены в квадратурах и имеют ввд
/sin 0p暄.sin a而t aa/ COS 0m .sm a上哦г a/sin 0p暄.sin a而t aa/ COS 0m .sm a上哦г a磷=-Sp*,2л磷=-Sp*,2л(5.2.16)(5.2.16)яяr* , если (p + Jc) нечетно, -pr* , если (p + Jc) нечетно, -p;0, если (р + к) четно.;0, если (р + к) четно.(5.2.17)(5.2.17)
/sin 0
p暄.
sin a
而t a
a
/ COS 0
m .
sm a
上哦
г a
/sin 0
p暄.
sin a
而t a
a
/ COS 0
m .
sm a
上哦
г a
磷=-Sp*,
2л
磷=-Sp*,
2л
(5.2.16)
(5.2.16)
я
я
r* , если (p + Jc) нечетно, -p
r* , если (p + Jc) нечетно, -p
;0, если (р + к) четно.
;0, если (р + к) четно.
(5.2.17)
(5.2.17)
Учитывая эти и аналогичные интегралы по п на интервале [О,》],после несложных выкладок получаем
丄mn" =丄mn" =一收闺一收闺fmnpq 启pq + 》^mnpq 方*' ^pqkl I* pqMJfmnpq 启pq + 》^mnpq 方*' ^pqkl I* pqMJpqklpqkl(5.2.18)(5.2.18)16 ・“-р2)#-『)16 ・“-р2)#-『),если (p + *) н (q +D нечетны.,если (p + *) н (q +D нечетны.
丄mn" =
丄mn" =
一收闺
一收闺
fmnpq 启pq + 》^mnpq 方*' ^pqkl I* pqMJ
fmnpq 启pq + 》^mnpq 方*' ^pqkl I* pqMJ
pqkl
pqkl
(5.2.18)
(5.2.18)
16 ・“-р2)#-『)
16 ・“-р2)#-『)
,если (p + *) н (q +D нечетны.
,если (p + *) н (q +D нечетны.
(5219)(5219)、0, если (р +左)млн (q + /) четно.
(5219)
(5219)
В какстве начальных условий для задачи Коши (52.12) используем известное решение для прямоугольной мембраны (入=О)・ Для получения этого
решения достаточно подставить разложение (5.2.11) в уравнение (5：2・5). Проделав это, легко получаем
|1,еспит = рип=д9
%板。=$ (m”)SG = Q если m /р m1in^qt
=(資)*(#•С
Для реализации вычислении по формулам (5.2.12), (5.2.13)» (5.2.17), (5218) необходимо, чтобы функции Wmn составляли главный базис продолжения. Если среди собственных значений Лтп нет кратных, то сами собственные функции Wmn образуют такой базис. В cnyw кратных собственных значений для перехода к главному базису продолжения не* обходимо проделать некоторые дополнительные вычисления, общий вид которых дан в § 5.1. Мы рассмотрим этот случай на примере совпадения двух собственных значений.
Итак, пусть。口 = £2齢=С ;(奴 A sr) и этим собственным значениям соответствуют две собственные оргонормированные функции 吸]и 忆，образующие подпространство W*, каждый элемент которого также является собственной функцией. Построение главного базиса продолжения в подпространстве W* в соответствии с выражениями (5.1.22) сводится к следующей задаче на собственные значения для алгебраических уравнений:
J 厶xWw；入）^kidDQ -6/ 厶入（%f;入）吸］办。 +3.別=0, d9dq .（5.2-21）
仇Jl人（检，；X） /r皿。+ fc /厶入（%i；入）WstdDQ + 3，%=0..
С учетом обозначения (5.2.14) эта система принимает вид
(5222)(5222)61 Ам + 庄厶 r*r + 3*仇=О,
(5222)
(5222)
01 ^*ш + 02 ^stst + 3*仇=О-
Из выражения (5.2.17) следует, что Lstki = LMgt. Поэтому матрица уравнений (5.2.21) симметрична и, следовательно, система уравнений (5.2.21) имеет два действительных собственных значения 3fH з；, которым соответствуют два собственных ортонормированных вектора 回阿 0尹)]Т и『Р,阳)]*、• Решив эту простую задачу, получаем
3f ,2 = ~ 5 ^klkl^^stst 士R)，3f ,2 = ~ 5 ^klkl^^stst 士R)，6（；，2） =6（；，2） =2 L^ktl^klst^ l(^klkl^^klst)±^]2}^2 L^ktl^klst^ l(^klkl^^klst)±^]2}^(5223)(5223)
3f ,2 = ~ 5 ^klkl^^stst 士R)，
3f ,2 = ~ 5 ^klkl^^stst 士R)，
6（；，2） =
6（；，2） =
2 L^kt
l^klst^ l(^klkl^^klst)±^]2}^
2 L^kt
l^klst^ l(^klkl^^klst)±^]2}^
(5223)
(5223)
0(1,2)= (厶血 - LkG 士 R
{4-% + [(l靠向 一，st) ±R] 2 } 2
R =[(L|WJW - ^ststf + 4，力]2 ・
Таблица 5.1
Анализ влияния метода и шага по параметру на omirfSicy -интегр1фования уравнении продолжения по параметру (S2⑵，"=.=1/111ax X/max = 7X7
Метоп
АХ
Q.5
0.7 . J
13
2.0
Метод
0,1
20,98
неустойчивость
счета
Эйлера
0,025
21,24
22,8
неустойчивость
0,01
21,31
22,9
36,73
51,98
Модифициро-
0,025
21,30
22,9
36,79
неустой-
ванный метод Эйлера
чивость
Метод
0,05
21,28
22,89
36,82
52,25
Рунге-Кутта
0,025
21,32
22,93•
36,89
52,63
Тогда переход в подпространстве W* от базиса 川邸，％ к главному базису продолжения W&, W*t проводится в соответствии с соотношениями
W^^ W^+^W^, ^i = ^,
^^Wkl+^Wst, Ust = ^. б?")
После осуществления такого перехода во всех подпространствах, соответствующих совпадающим собственным значениям, дальнейшие вычи< спения проводятся по формулам (5.2.12), (5.2.13), (5.2.17), (5.2.18), (5.2.19)・
Описанный выше алгоритм был реализован на ЭВМ БЭСМ-6. В рядах (5.2.11) удерживалось конечное число слагаемых, соответствующих изменению f от 1 до imax и / от 1 до /тах. Для интегрирования начальной задачи для системы дифференциальных уравнений (5.2.12) с начальными условиями (5.2Д9) были опробованы различные схемы явного типа. В табл. 5.1 даны безразмерные частоты низшего тона для мембраны со сторонами 0 = 1, b = 1, вычисленные тремя методами с различным шагом △X по параметру 入.При этом в ряде (5.2.11) удерживалось 49 членов, что соответствовало Qax х /тах =7x7. Как вцщю из таблицы, удовлетворительную точность вплоть до значения X = 2 (ст = 635°) обеспечивает метод Рунге—^тга с шагом ДЛ = 0s05・ При интегрировании по методам типа Эйлера возникает неустойчивость из-за накопления ошибок. Анализ результатов с驶та показал, что наиболее существенной прпиной неустойчивости является нарушение из-за накопления ошибок условий ортонор- мированности собственных векторов.
В табл. 5.2 даны результаты расчета безразмерных частот первых девяти тонов при различном числе членов ряда (4.2.11) для X e 1 (а =45°) и 入=2 g ~ 635°). Расчеты проводились для мембраны “=5=1 методом Рунге-Кутта с шагом ДХ = 0,025. Из табл. 5.2 видао, что удержание 小* х Апах 5=7 х 7 =49 членов ряда (52-11) обеспечивает удовлетворительную точность по крайней мере для первых четырех тонов.
3 X
6 2 18 0 0 9 9 0 3
о,% 也6,»,2,6,，0,& & 998а 6SO75 21111 S4322
Таблица 5.2
Анализ влияния числа членов ряда (5211) на точность вычмслеюш частот низших тонов мембраны
О = b = 1, метод 円мг—КуЕ АХ = 0,025)
X
2X1
2 Х2
2X3
3 X 1
3X2
■' 46,54
83；16
248,6
128,1
I"
147,4
45,46
74,37
176,3
120,2
108,6
45,23
74,81
163,S
116,5
101.1
45,09
74,22
161,0
114,9
100,9
45,03
74,15
159,5
114,7
100,5
68,08
114,8
572,0
228,5
264,9
63,06
89,92
255,4
215,2
197,9
62,28
83,08
263,9
184,9
196,8
62,04
82,26
222,6
143,0
196,0
62,02
82,06.
211,7
125,4
195,8
69191158 8
J J J,93*,& 為 S
1 о
2 4 2 2 9 2 3 1 8 7 6 6 6 0 8 7 6 6 ，,，，, ，，，，， 66666 32222 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5
3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 ххххх ххххх
3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 ,
Рис. 5.10
Рис. 5.11
11. Э.И. Григолюк
161
Частоты этих тонов для мембран с различным отношением сторон а/Ь даныв зависимости от X на рте. 5.2.—5.10..Причем на этих рисунках показа^ ны частоты Q при Ь = 1. Для произвольных Ь частота П(Ь) может быть подсчитана как
QJ^ ◎配.(5.2.25)
На рис. 5.11 показано изменение формы узловой линии тона с частотой П1б при изменении параметра 入.馬皿巾 проведены для мембраны с отношением сторон а/Ъ = 1 для ряда (5211) при imax х /тах = 7x7. Этот рисунок показывает； что замедление роста частоты П12 в окрестности 入=12 (рис. 5.5) связано с перестройкой характера узловой линии» которая из единой при 入 V 12 превращается в состоящую из трех несвязанных участков при 入 > 1 ^.Результаты, данные на (же. 5.2—5.10, сравнивались с известными результатами для паршшелограммных и ромбовидных пластин, полученными в работах [395, 396, 510] и приведенными в обзоре Лейсса [450]. Отличие не превышало 3%・ Так> для ромба с углом острой вершины 75, 60, 45 и 30° (что соответствует а = 15, 30,45 и 60°) по результатам работы [396] частотный параметр низшего тона Пц при Ь = 1 принимает значения 20,8; 24£; 35£; 54,1. По нашим расчетам соответственно имеем 20^; 24,7; 35»; 54,7.
Собстветные колебания трапедиевидной в плат мжбрт!
Рассмотрим мембрану, имеющую в плане форму равнобедренной трапеции (рис. 5.12,а). Уравнения непараллельных сторон этой трапеции имеют вид
，=共面_")，X = tga.(5.3.1)
Определяемое углом а множество М трапециевидных областей D с границей Г на плоскости х, у отображается на прямоугольную область & 化 грани-
цей Го на плоскости & » (рис. 5Л2,б) посредством следующего преобразования:
by
А% П= 7~~ +办(5・3・2)
Ь - АХ
Обратное преобразование имеет ввд
Переход от координат x,j к координатам £ 刀 сводит задачу (5.2.1) к следующей задаче для прямоугольной области
[(例 X) + С 冊=О, ^(Го) = о,(5.3.4)
"...小鸟+生m2 +
.英 2b-н b&n
+ 二一止巴 + 它("2」]()(5 35)
e-")2冊 0-M)2勿卜小《535)
Дефференциальные уравнения продолжения - для собственных функции Wmn и собственных чисел Dmn задачи (5.3.4) имеют вид (5.2.6). А неоднородная краевая задача для функций wmn({,药；X) и wmn(X) принимает форму
^(wm« > ^) + ^тп^тп = —Ьд (И^тл ； X) — <^тл ^тп»(5.3.6)
Wm«(To)sO.
Здесьг
,m”)-[(方一М)2哂
Аb(1)2+*籍 ^(4_h) Э 1
+2 е- мА 帝 +V^iF '行К""Ji)
Решение задачи (5.3.6) по-прежнему будем искать в виде (5.2.8)—(S.2.10), где собственные функции главного базиса продолжения представим также в виде двойного тригонометрического ряда, обеспечивающего выполнение граничных условий в задаче (5.3.6),
^ти= 2 V~/»inysin—Sin^y-, ^(5.3.8)
ij~ 1,2,...
Тогда уравнения продолжения пожмут форму (5.2.12), (5.2.13) с тем же обозначением* для £т 叫
1皿=J 厶入(％/入)W〃dA・(5.3.9)
Раскрывая это выражение с учетом конкретного вида оператора (5.3.7) и разложения (5.3.8), приходим к слещгющему представлению ддя£тя^ _4
Lmnij = Е fmnpqfijkl * —[弘2厶一 .pqHa：
-入力Q2厶-6厶02/+ 2人厶Q" J
(=加血 Q=b/込(5.3.10)
Здесь через 厶，厶，& Ji,厶,厶 обозначим следующие интегралы:
« cosPEsinKE
/@因"不y
a sinPfsin/Cf
/g用7疋兩"嘴'
(5.3.11)
/з(Р. Л)= J ЕМ sin*
0 (Ь-Xf)3&
2b
/я
/(4 9= J (г? - b)cosQ刀sinZ^dq L ,
о2b
2b
厶(q, 9 = J G? - bpsinQ刀sin功勤, о
2b
」з@9= J sinQ刀sinLi7d小о
Интегралы J19 A, J3 можно вычислить в квадратурах:
(5312)
厶（40=）%人
Л(^0 =
О» если (7 + q) нечетно,
—J, если 7 働 q,
4b2l
—―；;—,если (/+ q) четно и7^0,
姉?一/)1 丿
A fa, 0 я
0, если 0 + q) нечетно, 喏-易S"% 32b3ql
/(”_户声 eon* (J+ о)четоnl^q.
№тегралы 厶，厶* 石 日 квадратурах не вычисляются, но если на интервале интегртрования [0, а] функция (Ь — Х{) ^ 0, то эти интегралы легко могут быть получены численным интегрированием. Заметим, что обращение функции (Ь - Xf) в нуль при f = а, как нетрудно вцдеть из рис. 5.12, соотает- стаует вырождению трапециевидной пластины в треугольную.
Phc.S.13Phc.S.13
Phc.S.13
Phc.S.13
Все остальные вычисления для трапе- циевцдной мембраны можно проводить по тому же алгоритму, что и щйи паралле- лограммной.
Такие расчеты были проведены для различных отношений а]Ь. Их результаты показаны на рте. 5.13, где. даны безразмерные частоты。главного тона колебаний. При расчетах в рядё (5.3.8) удерживалось 15 членов (imax = 5»/твх = =3). При отнопюнии размеров пластины а/b = 1 и при X = 1 мембрана принимает форму равнобедренного прямоугольного треугольника и частота ее главного тона совпадает с частотой второго тона квадратной мембраны. Точное значение этой частоты известно, и для принятой систем мы координат оно равно 24,67 [450]. На pic. 5.13 оно соотаетствует точке/. Как вцдно из графика рис. 5J3, кривая 。(入)при а/b = 1 стремится к близкому значению. Использовать данный алгоритм для получения частот треугольной мембраны не представляется возможным, так как при 入,соответствующему превращению трапециевидной мембраны в треугольную, знаменатели подынтег»
ральных выражении (5.3.11) обращаются
в нуль. Сравнение результатов для остальных отношений afb (рис. 5.13) с результатами других авторов, приведенными в обзоре [450] и порченными
различными методами, показывает хорошее совпадение.
Задачи на собственные значешя для однородных и трехслойных пластан и сферических панелей параллелотфаммной и трашциевидной формы в плане. Мембранная аналогия
Полученные в § 5.3,5.4 результаты могут быть использованы для подсчета собственных значений в задачах собственных колебании и устойчивости параллелограммных и трапециевидных в плане однородных и трехслойных пластин и пологих сферических панелей, свободно опертых по контуру. Такую возможность дает мембранная аналогия, которая позволяет свести вышеназванные задачи к задаче о колебаниях мембраны и дает простые формулы пересчета.
Мембранная аналогия в задачах о собственных колебаниях полигональных в плане пластин была, по^идимому, впервью использована в работах [395, 396]. Для трехслойных пластин и пологих сферических панелей она была обоснована и использована в статьях [82, 112]. Многочисленны^ результаты с помощью мембранной аналопш получены в работах [43, 335, 194, 45]・
В качестве примера рассмотрим применение мембранной аналогии к задаче устойчивости свободно опертой по контуру Г косоугольной трехслойной пластины, снабженной на контуре абсолютно жесткой диафрагмой и нагруженной по контуру равномерными нормальными сжимающими усилиями М Краевая задача в этом случае описывается уравнениями, которш в форме и обозначениях статьи [112] имеют вид
(1- ^V2)VaV2X + 8V2(l- % V2)x=。，(5.4.1)
xlr = V2xlr = V2 V2xlr = 0.(5.4.2)
Здесь 6 = №?/£>, Wi = (M)2/0, W = »Wi ； V2 — оператор Лапласа; х — разре- тающая функция смещении; £ — параметр жесткости заполнителя на сдвиг; 莎-параметр моментности несущих слоев; D — цилиндрическая жесткость пластины;九 а — толщина и характерный линейный размер пластины.
Положим
V2x = zx.
Тогда операторная часть уравнения (5Л-1) сводится к кубическому уравнению
(5.4.3)(5.4.3)z[(l - Wz)z + “1 - W[Z)] =0. Это уравнение имеет корни
(5.4.3)
(5.4.3)
1-№1-№2W2W1 — №1 — №2W2W人1一帅了~г+ ,＜。，…人1一帅了~г+ ,＜。，…(5.4.4)(5.4.4)Тогда уравнение (5.4.1) можно представить в форме B+a)(v2-z"x=o.ОбозначимW = (y2 -zi)V2X-В итоге уравнение (5.4.1) сведется к виду▽?W + O 冊=0.Тогда уравнение (5.4.1) можно представить в форме B+a)(v2-z"x=o.ОбозначимW = (y2 -zi)V2X-В итоге уравнение (5.4.1) сведется к виду▽?W + O 冊=0.(5.4.5)(5.4.5)(5.4.6)(5.4.6)(5.4.7)(5.4.7)
1-№
1-№
2W
2W
1 — №
1 — №
2W
2W
人1一帅了~г
+ ,＜。，…
人1一帅了~г
+ ,＜。，…
(5.4.4)
(5.4.4)
Тогда уравнение (5.4.1) можно представить в форме B+a)(v2-z"x=o.
Обозначим
W = (y2 -zi)V2X-
В итоге уравнение (5.4.1) сведется к виду
▽?W + O 冊=0.
Тогда уравнение (5.4.1) можно представить в форме B+a)(v2-z"x=o.
Обозначим
W = (y2 -zi)V2X-
В итоге уравнение (5.4.1) сведется к виду
▽?W + O 冊=0.
(5.4.5)
(5.4.5)
(5.4.6)
(5.4.6)
(5.4.7)
(5.4.7)
А граничные условия (5.4.2) дают условия для этого уравнения в форме
(5.4.8)
Краевая задача (5.4.7). (5.4.8) с точностью до обозначений совпадала с задачей (5.2Л) для собственных колебаний мембраны. Из уравнения (5.4.3) приг = —П получаем формулу мембранной аналопш, связывающую критический параметр нагрузки $ с параметром частоты П собственных колебаний мембраны:
(5.4.9)(5.4.9)5 =心型理
(5.4.9)
(5.4.9)
1 + wm
Для собственных колебаний трехслокных свободно опертых пластин мембранная аналогия дает следующую формулу для частот собственных 166
(5.4.10)(5.4.10)колебанииt -
(5.4.10)
(5.4.10)
Xpa^h 1 +Пф1 /
Для частот собственных колебаний з свободно опертых пологих трехслойных сферических панелей радиуса R на основании мембранной аналогии имеем (использованы обозначения работы [112])'
1 + №1 + Ф1П1 + №1 + Ф1П+生/份期‘+生/份期‘(5.4.11)(5.4.11)
1 + №
1 + Ф1П
1 + №
1 + Ф1П
+生/份期‘
+生/份期‘
(5.4.11)
(5.4.11)
Для однослойных пластин собственные частоты подучаются по формуле
(5.4.12)(5.4.12)з^о^ар 府.
(5.4.12)
(5.4.12)
Для однослойных пологах сфери%скхх панелей имеем следующую формулу для частоты собственных колебаний
3=[急(8噥芥、 (5413)
Здесь D = £%з/12(1 — /)；瓦 > —модуль упругости лри растяжении и коэффициент Пуассона; h, R, а — толщина, радиус и характерный линейный размер в плане; р — плотность материала.
Ранение методом возмущений для лараллежнфаммной в плане мембраны.
В процессе работы над изложенными в § 5.1—5.3 методикой и результатами метода продолжения по параметру нам удалось построить для парал- лелограммной в плане мембраны решение методом, который по своему смыслу является методом возмущения границы области и по форме близок к предложенному в работах [127, 465, 260] - В этом решении получено общее выражение коэффициентов разложения решения в степенной ряд Тейлора по параметру, характерный для метода возмущении. Поэтому этот ряд можно понимать как точное решение. Однако попытка реализовать его на ЭВМ оказалась неудачной. Причины этого будут обсуждены ниже.
Рассмотрим задачу о колебаниях параллелограммной мембраны (рис. 5.1,0). С учетом уравнении для верхней и нижней наклонных граней параллелограмма эту задачу для собственной функции Wg(x9 j;入)и собственного числа &(X) запишем в виде
▽2w才+%例=0,
Wi(p,y)=W{(a,yy=0, i= 1,2,...»(5.5.1)
幣口,入х) = Wt(x, b + M) = 0,入=tga.
Следуя общей процедуре метода возмущении, разложим 恥.н「^ в ряды Тейлора но 入 в окрестности известного для прямоугольной мембраны
решения, которое соответствует значению параметра Х = О
(5.5.2)(5.5.2)n,=n<°)+入 n?) + 杂 W +”•n,=n<°)+入 n?) + 杂 W +”•也=W严+入Wp) +工刘尸)+...= Z—^"\ 2!л и!
(5.5.2)
(5.5.2)
n,=n<°)+入 n?) + 杂 W +”•
n,=n<°)+入 n?) + 杂 W +”•
По смыслу этого разлбкени寛
w1)= 为(吗必=毋0抖=*(&)h=。■(5.5.3)
Для л-й производной 吟”)по параметру 入 из уравнения (5，,1) получаем
V2 叫界)+ (叫吗)00 = 0.(554)
Проделав л-кратное дифференцирована круглых скобок, ихюем
(5.5.5)(5.5.6)(5.5.5)(5.5.6)(叫w产=£ 4吸砂一丹, /=о
(5.5.5)
(5.5.6)
(5.5.5)
(5.5.6)
л!
0
Л /!@—)・
Точно так же граничные условия представляются в виде
^-^0с,Лх)1х=о = (^+^) =(55・7)
=*寸尸%。•
Действительно»
—Wt(x, Xx))x=0 = —-+ 丁%g0自。x)=
d 入ЭХ Ъу ах
=Wp® 0)+ X"^W/(x, 0).
Проводя такое дифференцирование по 入 последовательно, приходим к выражению (5.5.7).
В результате для коэффициентов рядов (5.5.2) получаем следующую рекуррентную последовательность краевых задач для прямоугольной области 0 «х《&0《у《Ь:
▽ 2w$0)+ *)%(0)=0,
叫 °)(0,у) = W$°)(4 у) = 0,(5.5.8)
W「)(x,0)= W?)(x,b) = 0,
v?W")+*。)邮")=一 /《可"一力咿-Я(")и^е>,
W^(O,y)^W^(fl,y) = O,
W尸а, О) = -Дс^ x，S•咿-%, 0),
♦Г(х, b) = -Д C^-^-W^-^, Ь).(5.5.9)
Решение задачи (5.5.8) для прямоугольной области известн(2 в виде орто- нормированных функции Ft и соответствующих им еобственных знакшй 9。)
W^=Ft, ▽?% -О严居.(5.5.10)
Решение задачи (5.5.9) будем разыскивать в форме
W^^F^^V[n\(5.5.11)
Функцию U^ выберем так, чтобы она удовлетворяла неоднородным гра> ничным условиям задачи (5,5.9). Достаточно ее взять в виде
up) = _±2L £ 左工吁-%, o)- b /= 1by1
子,于次歹叫"%"812)
Тогда функции 尸戶 должны быть решением следующей задачи для неоднородных уравнении с однородными краевыми условиями
▽ ?尸尸 + a^Ffn) =「вu严- *。)17严 一 a严吊一
-(1 -61/t)”£&*iwP，(5.5ЛЗ)
F<w>(0,j) = F^(a,y^ 尸P(x, 0)=戶尸@, b) = 0.
Функцию 炉)будем искать в виде разложения по известным собственным функциям F,(5.5.10) однородной краевой задачи (5.5.8)
F$n)=部裔^.(5.5.14)
После подстановки выражений (5.5.11)-(5.5.14) в уравнения (5.5.13) и группировки слагаемых получаем, учитывая (5.5.10),
?(а。)_ ^о)у^ч=- си* _月《斗”-八咿-■
-(1- 61И)ДС/П<—«s f^Fk-^Ff.(5.5.15)
Проортогонализировав это выражение к 吊關 учитывая ортонормирован* нОсть этих функции» приходим к уравнению для определения коэффициентов разложения (5.5.14)
(Я/°> - я/°>у^*> —『"UplFtdD _』40"-” U^FtdD -
-(1 一 6门与'43—甫- Я<")8Й.(5.5.16)
Если собственные значения Q*, / = 1, 2,・・., не являются кратными, то из уравнения (5.5.16) получаем при i ^ /
炉=П<°> -^ l^2U^FldD + Л Cn^n-6fDU^FtdD-
-(1-8i„)若函竺-2加•(5.5.17)
При / = /из (5516) следует выражение для Q，")
л
^ = -U^^F^+zcia^f^ +
+а - &“)"£* qap-n曲.(5.5.18)
Оставшийся неопределенным коэффициент『俨 находится из условия нор- мированности функции W，”)・ Как отмечает К. Фридрихе [410], это условие может быть принято различным. Простейшая форма условия нормирован- ности [410] имеет вид
fW^WtdD=l.(5.5.19)
'•О
После подстановки сюда разложения для % (5.5.2) получаем равенство / W^W^dD + XJ W^W^dD +
+ ?g咿)礎2)皿 + .,1.(5.5.20)
В левой части этого равенства / W^W^dD = 1. Поэтому все остальные D
коэффициенты ряда поХв левой части должны быть равными нулю
jW^W^dD^Q. л» 1,2,...(5.5.21)
Отоюда с учетом представления (5.5Л1) и обозначении (5.5.10) получаем
甫)--/ U^FjdD.(5.5.22)
Кроме условия нормировки в виде (5.5.19), нами также использовалось 170
это условие в более сложном виде JW*國=1.
Из этого условия было получено
1л —1
(5.5.23)(5.5.23)戻)=_『「％冲(l-8i„)- -S [2/^~й + + 2E/^-«J U^FkdD + J U^U^n~ndD\.
(5.5.23)
(5.5.23)
Рассмотрим подробнее функции U^fy, у)・ Представим их丑 виде разложения по некоторым базовым системам функции Uk(x) и 唳(х) (Л = 1, 2,...)
。尸=-铝 E$P %(x) - 3E嗦KM(5.5.24)
и кb *
Для обеспечения аппроксимации граничных условии на краях (х, 0) и X Ь), прямоугольной области D достаточно, чтобы системы функций 〃00 и /О,欠=1, 2» …，бьиш полными на интервале [0, а] ортонормировашы- ми системами. В представлении (5.5.12) представим входящие в правые части суммы в виде разложений по базовым системам функций U^) и 〃(х)・ После сопоставления этих разложений с выражением (5.5.24) получаем для коэффициентов разложения 〃即 н "£)следующие выражения:
"月空博VU 方W尸仆叫必,
嘘)=含4g，斗少-%，3/必.(5.5.25)
Подставим сюда выражения (5.5.11), (5.5.14), (55.24) и после простых преобразовании получим
"伊喑喏成-冊好+吧嘘-%,-咋喉t—
(5.5.26)
u/)=加"甫-办限? +"e唯-"% -吧嘘т)е*/ /= 1 к*比
(5.5.27)(5.5.27)Здесь введены обозначения 増力'&■)/&, 噌小售丈/华
(5.5.27)
(5.5.27)
Aw-L"411皿 舔广 xUkVtdx, bob о
cw= —fxVkVidx.(5.5.28)
b о
Соотношения (5.5.17), (5.5.18), (5.5.22), (5.5.24), (5.5.26)-(5.5 28) позволяют построить рекуррентный процесс определения коэффициентов разложении (5.5.11), (5.5.14), и таким образом найти последовательно коэффициенты рядов Тейлора по параметру 入 для некратных србствен- ных значений. В случае кратных собственных значении разрешающие соотношения могут быть построены по аналопщ с § 5.1.
При численной реализации этого решения для параллелограммной мембраны в прямоугольной области была использована система собственных функций задачи нулевого приближения в виде базовых функции двойного тригонометрического ряда. При этом для удобства введена двойная индексация
公2 /тгх
(55.29)(55.29)吗)=居尸-7=sin—sin^-・
(55.29)
(55.29)
9"候 a b
Этот системе функций соответствуют собственные значения..
瓚"(3 О'тт2,...瓚"(3 О'тт2,...(5.5.30)(5.5.30)
瓚"(3 О'тт2,...
瓚"(3 О'тт2,...
(5.5.30)
(5.5.30)
Функции 色 (5.5.29) естественным образом определяют системы функций % 住)н 唳 &) в виде
* = 1,2,* = 1,2,(5.531)(5.531)
* = 1,2,
* = 1,2,
(5.531)
(5.531)
Коэффициенты АкЬ В*“ См (5 Л .8) тогда принимают вид
a
元' при E.
^kl~Bki = Cki^kl~Bki = Cki4a kl4a klMb （尸一г尸Mb （尸一г尸(5.5.32)((_l)ir_l) при Jt/厶(5.5.32)((_l)ir_l) при Jt/厶Ряды(53Л1), (53.14), (5.5.24) представляются в формеРяды(53Л1), (53.14), (5.5.24) представляются в формеУ (л). "хУ (л). "х—：Z 8m•b/.0 q—：Z 8m•b/.0 q(5.5.33)(5.5.33)
^kl~Bki = Cki
^kl~Bki = Cki
4a kl
4a kl
Mb （尸一г尸
Mb （尸一г尸
(5.5.32)
((_l)ir_l) при Jt/厶
(5.5.32)
((_l)ir_l) при Jt/厶
Ряды(53Л1), (53.14), (5.5.24) представляются в форме
Ряды(53Л1), (53.14), (5.5.24) представляются в форме
У (л). "х
У (л). "х
—：Z 8m•b/.0 q
—：Z 8m•b/.0 q
(5.5.33)
(5.5.33)
Формулы (5.5.26) приводят к вьфажениям
(л)_ f ? х.(л—ЛГг(/)А ,〃("1工)(л —О
%厂产 ^п ^tpkq ^кдЛП ^^^^ipk 一“始* )»
(5.5.34)
и。，38 W С力 Е 力р板 Vkql ^nXAkJ(u.).
/=1 кд充"
В этих формулах согласно (5.5.27) обозначено
при 7 =旺心、a6、b )при 7 =旺心、a6、b )2,4,6,...,
при 7 =
旺心
、a6、b )
при 7 =
旺心
、a6、b )
(-1) ' [/(Л*-Ь tfW(X Л+1,а)] при /=1,3,5,...,
叱"(-1)"喝)(5535)
Здесь'
о ； ртгх“Ар,") = J X ' 8>dx.(5.5.36)
Этот интеграл может быть вычислен с помощью следующего рекуррентного процесса
/(1,Р. в) = (А) К-1)₽- 1] при р # О,
/О.р.0)=/О.р.0)=•.：[〃六1при р = О,
/О.р.0)=
/О.р.0)=
/^^2[(-l)₽e/_1 -(/-l)/(/-2,ftв)] при Р#0.
(5.5.37)
Формулы (5.5.17), (5.5.18), (5.5.22) принимают вид
3")= ^—(5.5.38)
叫呼.喟’
fi^ = b^L^*539)
e喘響[(拧-曙峭一("/A
W^C^[f^(5.5.40)
Г编=9屬pE6Г编=9屬pE6(5.5.41)(5.5.41)
Г编=9屬pE6
Г编=9屬pE6
(5.5.41)
(5.5.41)
Этот рекуррентный процесс был реализован на ЕС ЭВМ. При использованииЭтот рекуррентный процесс был реализован на ЕС ЭВМ. При использованииРис. 5.14Рис. 5.14
Этот рекуррентный процесс был реализован на ЕС ЭВМ. При использовании
Этот рекуррентный процесс был реализован на ЕС ЭВМ. При использовании
Рис. 5.14
Рис. 5.14
Начальные значения для рекуррентного процесса (5.5.34) — (5.5.41) определяются решением задачи нулевого приближения
(5.5.42)(5.5.42)喀二（9"打，
(5.5.42)
(5.5.42)
первых 49-ти собственных функции в разложении (5.5.29) (/, / = 1, 2, .., ,7) расчет 16-ти членов рядов по параметру X потребовал ~ 170 килобайт памяти ЭВМ.
Сходимость метода иллюстрирует q>a- фик на рис. 5.14. На нем по горизонтали отложен параметр 入，а по вертикали — число приближений (высшая степень ряда (5.5.2)), необходимое для сходимости первых четьфех значащих цифр частоты первого тона колебаний мембраны с b/а = 1,2. Значения частот сходились к полученным ранее методом продолжения по параметру (§ 5.2). Из графика видно, что 16-ти приближений оказалось достаточно только для сходимости в области X < 0,21. При этом с ростом 入 число приближений резко возрастает.
Откютим, что нр疯 реализации очередного приближения получшного здесь методом возмущении решения необходимо использовать результаты всех предыдущих приближении. Поэтому число приближении ограничено па> мятью ЭВМ. Это делает невозможным получение решения методом воэму*
щений при больших значениях параметра 入.В то же время при малых значениях 入 8 нашем примере при X < 0,2) удовлетворительную точность (с ошибкой в 1 +5 %) дает, как правило, уже второе приближение, реализация которого сравнительно проста. Это, повидимому9 и объясняет тот факт, что абсолютное большинство решении задач механики и физики методом возмущений (см., например, обзор А.Наифе [464]) построены только до второго приближения. С такого рода эффектом столкнулся один из
авторов и его сотрудники при получении решения методом возмущении для трапециевидных пластин в работе [364].
Таким образом, гю сравнению с методом возмущений метод продолжения решения по параметру позволяет исследовать поведение решения 口迴 больших отклонениях от невозмущенного решения.
ПРИЛОЖЕНИЯ
.0638 АШОТ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ МЕТОДА ПГОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ
В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФ(№МИРУЕМОГО ТЕЛА
Обзоры [114, 116] подготавливались нами сравнительно давно и вклю* чают в себя исследования до 1976 г. С тех пор прошло немало времени, появилось значительное количество новых работ, где метод продолжения решения по п^аметру развивался и применялся к новым задачам. Поэтому мы сочли необходимым обновить зти обзоры с учетом новых исследовании, но не меняя их общей структуры.
Наша цель здесь— дать обзор и систематизацию различных форм метода продолжения решения, обратить внимание на возникающие при использовании метода трудности и способы их разрешения. Ввиду этого основное внимание уделялось методическому аспекту исследований. Конкретное же их содержание затрагивалось лишь в той мере, в какой оно связано с методом продолжения рецкния по параметру и с особенностями его примене* ния и реализации.
Общая формулировка метода продолжения решения по параметру
Как уже отмечалось во Введении, при некоторых не слишком обременительных ограничениях на свойства туерной вектор<функции 尸(X 妤， а именно при ее непрерывности и дифференцируемости по компожнтам m-мерного вектора X и параметру Р в окрестности известного решения X^9Pq и при отличии от нуля в этой окрестности якоЗана det (/) вектор<функции 居 решение уравнения
尸(х円= 0(1.1.1)
является непрерывной и дифференцируемой функцией параметра Е т.е.
Х=Х(Р)9(1.1.2)
и такой, что
Х(Р0) = %・(1.13)
Иными словами, в 伽 + 1) -мерном векторном пространстве '.i:{% 尸} решение уравнения (Ы.1)в окрестности точки [*(>),. %]£%♦] представ*
ляет собой непрерывную и дифференцируемую кривую К проходящую терез эту точку [Х(о), Р01 • ：
Именно на этом свойстве решения уравнения (1.1.1) и основан метод продолжения решения по параметру, который предлагает строить решения этого уравнения, отталкиваясь от известного ренюния [%> 凡] и двигаясь вдоль кривой К.
Эта идея неоднократно использовалась для доказательства существования решений нелинейных уравнений. Обзор работ математического.ха- рактера с подобньхм применением идеи продолжения решения дан Фике- ном [409]. В механике твердого деформируемого тела такой способ доказательства существования решения уравнения Феппля—Кармана успешно применил Н.Ф. Морозов [251—255].
Впервые идею продолжения решения по параметру в вьтчислительных целях использовал М. Лаэй [447]. В трансцендентное уравнение
Hg = 0 (1.1.4) ои ввел параметр Р и таким образом свел его к уравнению вида(1.1.1). Параметр был введен так, что при 尸=% = 0 уравнение，(Х, 0)-= 0легко решить, а при Р=Р「I имеет место 尸(X, 1) =/Г(Х), т.е. уравнение F(X^P) = 0 обращается в исходное (1.1.4).
М. □声丘 предложил при продвижении по последовательному ряду значений шфаметра 几 <Pi V... <Рп строить решения уравнения (L1.1) для каждого значения 后 методом Ньютона—Рафсона, используя решение для предыдущего значения 为一】в качестве начального приближения. Позже в статье [448] он обобщил этот подход нр системы уравнений/
Данный М. Лаэем пример шагового процесса итерационного построения решения уравнения (11.1) явился истоком целого ряда работ, в которых идея продолжения решения по параметру использована для построения шаговых итерационных процессов, основанных на пршщипе использования информации о решении, полученной на предыдущем шаге (предыдущих шагах), для построения начального приближения и дальнейшего итерационного егоуточнения.
Продолжение решения с помощью такого рода шагово-итерационных процессов мы будем называть дискретным продолжением.
Следует отметить, что в работах М. Лаэя дан также и пример использования идеи продолжения решения для организации итерационного процесса построения решения уравнения (L1.4). В дальнейшем такой способ построения итерационных процессов использовался и развивался в работах [75,138.336,481,48, 236] D
В работе В.С. Кирин [188] предлагается получать решение уравнения (1.1.1) при Р-Рп с помощью разложения в ряд Тейлора по степеням 值£) в окрестности известного прмР =% решения Х(о). Само уравнение (1.1.1) используется как неявная фужция для получения производных поР.
Дифференцирование уравнения @1.1) по параметру для исследования поведения его корней при изменении параметра применил В .А. Фок [342] в одной из задач дифракции радиоволн.
177177Здесь и далее порядок ссылок - хронологический.
177
177
Э.И. Григолюк
Д)угую формулировку метода продолжения решения по параметру дал Д.Ф. Давиденко [135,136]. Он предложил с помощью дифференциро вания по параметру перейти от уравнения (1.1.1) к уравнению
dX bFdX bFbFbF(LI.5)(LI.5)
dX bF
dX bF
bF
bF
(LI.5)
(LI.5)
Напомним, что здесь J — матрица Якоби. Если якобиан det ⑺=0,то уравнение (1.1.1) заменяется эквивалентной ему задачей Коши
dX — a尸訴=作，х(р°)=№>dX — a尸訴=作，х(р°)=№>(1.1.6)(1.1.6)
dX — a尸
訴=作，х(р°)=№>
dX — a尸
訴=作，х(р°)=№>
(1.1.6)
(1.1.6)
Такая замена позволяет использовать для построения решении Х(Р) уравнения (1.1.1) хорошо исследованные схемы интегрирования начальных задач, как-то схемы Эйлера, Рунге—Кутта, Адамса—Штермера и др. Эти схемы являются явными (открьпыми).
Продолжение решения уравнения (L1.1) на основе интегрирования задашь Коши (1.1.6) с помощью явных схем будем называть непрерывным продолжением.
Как уже отмечалось во Введении, известный метод последовательных нагружений, сформулированный В.З. Власовым и В・В・ Петровым [276] независимо от метода продолжения решения по параметру, может быть понят как алгоритм интегрирования начальной задачи (LL6) методом. Эйлера. Такое понимание метода последовательных нагружении впервые, по-видимому, было достигнуто в работе [176], что позволило модифицировать его на основе схемы Рунге—Кутта, существенно повы- 'OIB тем самым его точность и избавив его в значительной мере от накопления погрешности, особенно свойственной схеме Эйлера.
Сведение процесса продолжения решения к задаче Копш по параметру открывает простор для применения самых различных вычислительных схем интегрирования начальных задач. Так, в работе [136] использована схема Адамса—Штермера. В статье [138] исследовались особенности применения для продолжения решения схем простого и модифицированного методов Эйлера, а также схемы Рунге—Кутта. Эти же вопросы рассматривались в работах [437,389,438]・
Взгляд с точки зрения методов интегрирования задачи Коши позволяет систематизировать различные схемы продолжения решения. Так, предложение В.С. Кирйи [188], обобщенное им в работе [189], представляется как метод построения решения задачи Коши в виде ряда Тейлора по аргументу (параметру). Отметим, что такой способ построения реикния близко примыкает к методу возмущении. Шаговый процесс продолжения решения - с использованием разложений в ряды по степеням приращения параметра предлагался также в работах [362,369,295,296]. В двух последних статьях такой подход разработан в рамках метода конечных элементов.
Как было показано в наших обзорах [114,116], шаговые итерационные процессы продолжения решения также могут быть рассмотрены как схемы интегрирования задачи Коши по параметру только неявного типа. Эти рассуждения воспроизведены во Введении к данной книге, и основаны они на различных приближениях представления процесса продолжения решения
в вцде (В.1.12). Так, видно, что схема (В.1.15) совпадает с процессом М. Лаэя (В.1.7) [447,448].
Возможны и другие итерационные процессы, обеспечивающие вычисление по неявной схеме (В.1.13).
Сведение к задаче Коши по параметру использовалось и для доказательства существования и единственности решений некоторых классов уравнений [75,137,371,372].
В нелинейное уравнение (1.1.4), не содержащее параметра, он может быть введен так, чтобы при Р=Рд уравнение вида (1Л.1) имело известное решение *(о), а при Р-Рп уравнение превращалось в исходное. Различные способы введения параметра рассматривались в работах」75, 366, 481, 476, 48, 236]. Введение параметра позволяет сформулировать задачу Коши вида (L1.6) и на остове ее интегрщювания от 尸о к Р舞 различными мето* дами строить различные итерационные процессы нелинейного уравнения (1.1.4). Эти исследования и развивают идею высказанную еще Лаэем в его основополагающей статье [447]. Оно из таких исследований, принадлежащее М.К. Гавурину [75], подробно рассмотрено нами во Введении. Развитие такого подхода к итерационным процессам дано в [462].
Как уже отмечал^ь во Введении, изложенные здесь формы метода продолжения по параметру легко переносятся на нелинейные краевые задачи, если считать, что 尸(X А) представляет оператор краевой задачи, включающий ее уравнения и граничные условия, а дифференцирование в соотношениях (1.1.5), (1.1.6) понимать в смысле Фреше.
Дополнительные указания на литературу по методу продолжения решения по параметру мохейо найти в монографии [481] .
L2. Продолжите решения в окрестаоста особых точек
и проблема выбора параметра цродолжшш
Эти вопросы подробно рассмотрены в § В.2 Введения и в гл. 12・ Здесь мы укажем на работы, в которых получены или использованы отдельные результаты.
Различные способы классификации особых точек восходят еще к работам АМ. Ляпунова [240], Е. Шмидта [505] и А. Пуанкаре [486]. Они в дальнейшем обсуждались и развивались в исследованиях [346, 453, 147,212,53] и др.
Классификация особых токк в рамках предложения о равноправии неизвестных и параметра дана в работах [353, ИЗ, 114, 357, 358, 115]. Само же это предложение впервые, по-видимому» было высказано в работах [493, 245]. Однако, как показано в [353, 113> 115], реализация его невозможна при разрешении линеаризованной системь! (1.1.7) методом исключения.
Смена параметра продолжения в окрестности предельной точки разработана Д.Ф. Давиденко [136] для частнрго случая, когда все миноры расширений матрицы Якоби не равньгнулю. В этом случае уравнения продолжения принимают форму (В.2.11). В [353, ИЗ, 114] показано^что для реализации такой смены траметра достаточно, чтобы только det QQ # 0.
Вообще» как отмечалось в обзоре [111]» выбор подходящего параметра продолжения является одним иэ центральных моментов, обеспечивающих 12* 179
успешное продолжение решения в окрестности особых точек. Примеры различного выбора параметров продолжения можно найти в работах [434, 377. 322,348,54,323, 170,94,204,385,57,228,123§ 227] и многих других. Например, в статьях [57, 58» 55» 56, 168] в качестве параметра продолжения хфинимается та компонента искомого вектора» которая наиболее быстро менялась на предыдущем шаге.
В статье [69] в рамках непрерывного продолжения было высказано предложение осуществлять продолжение решения вдоль кривой решений К в пространстве、+1 координат и параметра нагрузки. Причем в качестве параметра продолжения Предложена длина этой кривой. Однако, как пока* зано в § 1.1, реализация алгоритма продолжения, когда для решения системы (1.1.7) используется метод исключения Гаусса, фактически сводится к использованию в качестве параметра продолжения одной из неизвестных.
Аналогичное 1федложение в рамках алгоритма дискретного продолжения высказаяо в работе [539]. Однако его реализация такова, что фактически вводится параметр длины касательной к кривой в предыдущей точке, Рйкс [493—496] поставил вопрос о выборе такого направления продолжения, которое обеспечивало бы наибольшую обусловленность решения линеаризованной системы (1.1.7). Эта система была дополнена уравнением
@£)=1.(12.1)
Входящие в зто уравнение компонентыаА f= 1,m+ 1, вектора а определялись из условия максимума меры обусловленности системь! (1.1.7), дополненной условием (1.2.1). В качестве этой меры была принята величина определителя, отнесенная к произведению квадратичных норм его строк. В результате было показано, что наибольшую обусловленность обеспечивает движение в направлении по касательной к кривой К.
Геомелрическая интерпретация дополнительных условий работ [539, 493] дана также в [353, 113, 502], где сформулированы предложения по упрощению этих условий.
Предложения о дополнении системы (1.1.7) вспомогательным уравнением, обеспечивающим возможность ее решения в окрестности предельной точки, высказывались также в работах [377.348,404].
В [353* 113, 362, 365] показаио, что оптимальный параметр продолжения может быть реализован только на основе отказа от разрешения системы (L1.7) методом исключения и использования для ее решения метода, реализующего равноправие неизвестных и параметра. Этот вопрос также подробно изучен в § 1.4. Из него следует, что предложения Вемпне- ра [539] и Рйкса [493—496] фактически реализуют близкий к оптималь* ному параметр продолжения решения. И этот параметр тем ближе к оптимальному, чем меньше шаг вдоль него.
Отметим здесь также недавно появившиеся работы [397, 535, 536, 537], содержащие обзоры зарубежных исследовании и предложения по реализации идей Вемпнера и Рикса в рамках нелинейных задач метода конечных элементов. Различные аспекты применения метода продолжения решения по параметру при численном анализе нелинейного деформи* рования оболочек обсуждены в обзоре [118].
Новое предложение по прохождению предельной точки высказано в работах [386, 375], где для этого предлагается испошаовать экстраполяцию в виде степенного ряда. Но дальнейшие исследования, по-видимому, показали неэффективность такого подхода, и уже в следующей работе [385] авторы использовали алгоритмы со сменой параметра. Сходный алгоритм, а также анализ эффективности различных параметров продолжения даны в [56].
В статье [332] пощюбно исследован один из предложенных в [353, ИЗ]- способов задания параметра продолжения. В статьях [333, 264] использованы также и другие алгоритмы из [353, 113], но уже без ссылок на эти работы. 一
Общин случай ветвления кривых в настоящее время не исследован. Результаты для случая, когда компоненты векторфункции являются аналитическими функциями неизвестных и параметра и начало которым положили известные исследования А.М. Ляпунова [240] и Е. Шмидта [505], приводятся в монографиях [147, 53,212].
Особый интерес для приложении в механике твердого деформируемого тела щ)едставляет случай, кота существует такая функция Ц что компоненты 外 вектор<функции F выражаются в виде
ъи
Fi = —, i=l-・・，m + L (1.2.2)
Основы исследования этого случая заложил А. Пуанкаре [403]. Оно было продолжено работами Н.Г. Четаева [346], Литтлетона [453] и др. Для упругих систем анализ поведения решения вблизи точек бифуркации методом возмущении дал Койтер. Полученные им результаты сумм>фованы в работе [441J. Подход Койтера использовался и развивался в большом количестве исследований, обэор которых дан самим Койтером [442].
Наиболее полный анализ поведения упругих систем с конечным числом степеней свободы в окрестности точек бифуркации для случая, кота в особой точке ответвляется только одно решение , провел Томпсон [521, 522]. Он подробно исследовал признаки, отличающие предельные точки от тб^к ветвления, исследовал характер ветвления и поведение возмущенных решений. Результаты этих исследований суммированы в моио> графин [523]. Отметим здесь также работы, близкие по методам исследования и результатам [500, 501, 511]. Более подробные ссылки даны в обзорных статьях [412, 525]. Укажем также на работы обобщающего характера [392, 450, 44].
Исследованию более сложных случаев ветвления, осложненных кратностью корнейэ посвящены работы [503,504, 359,487,424] •
В теории ветвления стали привлекаться методы теории катастроф [524,331,444,445].
Метод продолжения решения дая деформируемых систем в окрестности точки бифуркации равновесия, основанный на методе возмущений с удержанием членов разложения в ряд Тейлора до второй степени, рассмотреи и реализован Терстоном [527, 528]. Такой подход позволил в простейшем случае бифуркации разделить ветви решения и продолжить решение вдоль ортой из них.
Классификации особых точек для нелинейных уравнении деформируемых сред и особенности продолжения решения в их окрестности обсужда* лись и исследовались в целом ряде работ киевских ученых [52, 80, 23, 25] и др. Эти работы обобщены в монографии [129]. Отметим здесь также книги [123,317].
Широкий круг вопросов, связанных с ветвлением решений для нелинейных дифференциальных уравнений, в том числе и уравнений для различных задач упругого деформирования, рассмотрен в сборнике статей [387] и в статьях [44,17,234]»
Вариант численного анализа поведения системы в окрестности особой точки предложен в [411], где на осжове касательных матриц жесткости В точках до и после особой точки строится задача на собственные значения для разделения бифуркационных ветвей.
Различные формы метода 1фодозвкения решения
Впервью для анализа деформируемой системы метод продолжения решения по параметру применил, по-видимому, Х.-Х. Лин [452]. Он рассмотрел поведение неидеальной продольно сжатой стойки с реальной диаграммой 0(е)・ Бьши сформулированы уравнения в приращениях с учетом сдвига нейзральной линии в области неупругого поведения материала и прослежена деформация стойки по параметру возрастающей сжимающей нагрузки：
Общая формулировка метода продолжения решения по параметру для нелинейных дефоркшруемых систем была высказана в двух работах [276, 232], которые определили две различные формы метода.
В.В. Петров [276], развивая идею В.З. Власова, разбил процесс нагружения оболочки на серию последовательных нагружении, в каждом из которых приращение нагрузки мало. В предположении, что на каждом шаге нагружения приращение прогиба и функции напряжении также малы, им сформулирована рекуррентная последовательность линейных краевых задач для этих приращении.
Для описания нелинейного поведения оболочек были использованы уравнения конечных прогибов пологой тонкой упругой оболочки Маргер- ра, краевая задача для которых может быть записана в виде
^■▼Сф +△斤 w 4 ：Z(W；M9 = 0,
О『2『2 W_ △* Ф _z (W ◎) —PZ = О, (13.1) г(и/,ф)|п = 0.
Здесь кроме фадиционных обозна^нии (см., например, [65]) введены следующие: Р — параметр нагрузки, форма которой определяется функ・ цие宜Za»y)；r(H^)h — совокупность линейных относительно функ* ций прогиба W и усилий Фи не зависящих от параметра нагрузки условий на граничном контуре С оболочки. Изложенный ниже подход без труда обобщается на нелинейные и зависящие от параметра нагрузки граничные условия.
Обознашш производные от Ф, W弘 Рш> некоторому параметру X через соответствующие строчные буквы, т.е.
(13.2)
Параметр 入 выберем так, чтобы ненагружшгаой оболочке соответствовало Х = 0. Тогда
П=о = °- ф1х=о = °- р^°-з
Продифференцируем по 入 уравнения (13.1), с учетом принятых обозна- ^ний (L3.2) получим
——V? V2 ^ ^ ^kw^L(w,W) = 0г Eh
D V2V2 w — А* " Z (叫 Ф) —工做 © — pZ = О,Q3.4)
r(w.屮)b = о.
Соотношения (13.2), (133) могут быть поняты как задача Коши по параметру X, к интегрированию которой применимы известные вычислительные схемы (см., например, (35, 244]). Так, интегрирование методом Эйлера при отождествлении параметра продолжения 入 с параметром нагрузки Р
Р 三入.(13.5)
приводит к следующей схеме:
И^о = 0, Фр = 0, Ро = 0;
Pf = Р/_1 + ДЛ恥=%_1 + APwt,. Фз = Фз一工 +△「“，(13.6)
i= 1,2, ...
Для определения w* и g на йи шаге необходимо решить линейную Краевую задачу
—V?V2 s + % w, + L(wb WfT)= 0,
Eh
OU’gZ 叫 一 △女 e — A (w/, ◎/_ 1) — Z (Wji,屮『)一Z = 0,(13.7)
r(帅,物)ln = 0-
Эти уравнения в точности совпадают с уравнениями для приращений метода последовательных нагружении, построенными В.В. Петровым [276]. Изложенный здесь подход с точки зрения метода продолжения решения по параметру, позволяющий легко строить различные уточненные (как явные, так и неявные) вычислительные схемы интегрирования задачи Коши и варьировать параметры продолжения, дан в работах [173, 348]. Уточненные схемы метода последовательных нагружений предлагались также в статьях [176, 14, 177, 181, 180]. Подробное изложение метода последовательных нагружении и полученных с его помощью рездгльтатов дан в монографии [284].
Отметим, что применение метода продолжения ренюния в изложенной выше форме требует решения на каждом шаге по параметру линейных краевых задач вида (13.7).
Другая форма метода дана А.А. Курдюмовым [232]. Для решения систем нелинейных алгебраических уравнений вида (1.1.1), полученных методом Ритца, он предложил использовать / непрерывное продолжение по параметру нагрузки. В работе [69] зта же форма продолжения по параметру применена к нелинейным уравнениям метода Бубнова. Во избежание. вычислительных, трудностей в окрестности предельной точки продолжение решения предлагается осуществлять по некоторому комплексному параметру, в частности сделана попытка использовать в качестве параметра продолжения решения длину кривой решений К.
Связь между этими двумя формами метода продолжения решения уста- ювлена В.В. Петровым [278]. Он установил, что система линейных уравнений, полученная методом Бубнова из уравнений в вариациях, совпадает с линеаризованной системой типа (1.1.5), которая построена из нелинейных уравнений, Полуниных из уравжний исходной задачи методом Бубнова. При этом система аппроксимирующих базовых функций должна быть, разумеется, одна и та же. Численное сравнение проведено в работе [14J.
Следует отметить, что применение метода продолжения решения непосредственно к уравнениям краевой задачи не связывает его численную реализацию с каким-либо конкретным способом алгебраизации исходной задачи и открывает возможности использования самых различных методов для решения пошаговых линейных краевых задач.
В рамках метода конечных элементов метод продолжения решения впервые был применен, помадимому, в работе [529]. На основе идеи последовательных нагружений предложено для определения приращений обобщенных координат строить касательную матрицу жесткости с использованием полученных на предыдущем шаге значений координат и усилий. Этот подход, по существу, равносилен интегрированию задачи Коши по параметру нагрузки методом Эйлера. -
Отметим также раннее использование идеи продолжения решения по параметру нагрузки в статьях [200,201] для решения нелинейных алгебраических уравнений, порожденных применением вариационных методов к нелинейным уравнениям теории оболочек. В [200] последовательные нагружения сочетаются с зкстраполшщей по параметру нагрузки, что является одной из возможных явных схем интегрирования задачи Копш.по параметру. В работе [201] предлагается на каждом mare получать решение методом последовательных приближений, что соответствует одной из возможных неявных схем интегрирования начальной задачи. Эти подходы обобщены в монографии [199].
В [230J используется вариация по параметрам деформативности системы с конечным числом степеней свободы. Такой подход позволил распространить метод продолжения решения на задачи проектирования. Рассмотрены, в частности, вантовые системы и пологие оболочки.
Различные схемы метода продолжения решения, в том числе метод в форме ДФ. Давиденко, обсуждаются в работе [304] с точки зрения организации итерационных процессов при шаговом подходе к решению нелинейных задач. Эти результаты развиты и обобщены в [305—307], где предла-
гаются. различные способы ускорения сходимости итерационных процессов типа метода Ньютона—Рафсона. Отметим, что эти предложения могут быть поняты как варианты неявных схем интегрирования задачи Коши ло параметру.
Некоторые модификации явных схем интегрирования начальной задачи .по параметру, связанные с уточнением традиционной схемы метода последовательных нагружений, предложены в работах [231, 256,321]. В первый из них, по существу, предлагается процесс интегрирования по методу Эйлера дополнить одной итерацией метода Ньютона—Рафсона. Позже такая модификация шагового процесса использовалась в [290]. В статье [256] обратную матрицу Якоби линеаризованной пошаговой задачи предлагается строить также путем продолжения на основе разложения ее в ряд Тейлора в окрестности предыдущего значения параметра. Такой подход позволяет не обращать матрицу Якоби на каждом шаге интегрирования.
Вопросы автоматизации выбора шага по параметру продолжения при применении метода последовательных нагружений рассмотрены в статьях [85-87].
Применение к геометрически нелинейным системам
• Большое число результатов относится к применению метода последовательных нагружении в форме, предложенной В.В. Петровым [276]. Они отличаются как содержанием конкретных задач, так и методами решения пошаговых линейных краевых задач для вариафи (приращений) перемещении и функции усилий (напряжении).
Первые результаты [278-280, 314> 315] были получены для уравнений Феппля—Кц)мана или Маргерра. При этом пошаговые линейные краевые ■ задачи решались методом Бубнова в варианте Власова, т.е. с независимой аппроксимацией приращений прогиба и функции напряжений. Этот же к<№тод применялся в работах [297, 298]. Использование метода Бубнова в варианте Папковича затруднительно, так как линейное уравнение совместности для приращений прогиба и функции напряжений содержит переменные коэффициенты и, как щ)авило, не может быть проинтегрировано ана- литичежи.
Использование метода Бубнова—Власова для сведения двумерных линейных краевых задач относительно приращений неизвестных к одномерным позволило свести определение приращении к краевым задачам для систем обыкновенных дифференциальных уравнении с переменными коэффициентами. В работах [281, 287, 36] решение получено путем усреднения этих коэффициентов. Точность такого приема была оценена численно на основе сравнения с решением методом типа прогонки [13]. Различные варианты метода прогонки использовались в работах [13, & 222, 11; 183, 12]. Прогонка осуществлялась методом начальных параметров с использованием метода Рунге—Кутта. ВопрЪсы сходимости метода последовательных нагружений в сочетании с методом Бубнова—Власова для сведения двумерных линейных пошаговых задач к одномерным обсуждались в работах [222,10,7,263,223].*
Интересен итерационный метод уточнения решения пошаговых линейных краевых задач [259], заключающийся в применении к ним одночленной
аппроксимации типа Бубнова—Власова попеременно то в одном, то в другом направлении. Причем при перемене направления в качестве аппроксимирующей выбирается функция, построенная на предыдущей итерации ■ методом прогонки. Такой итерационный процесс, названный методом вариационных итераций, позволяет строить решения для произвольных граничных условий и (если сходимость имеет место) получать, посиди- мому, наилучшее одночленное приближение метода Бубнова—Власова. Метод в^иационных итераций1 применялся и исследовался в работах [15,182,224,288* 292,293,338,258].
Сочетание. метода последовательных нагружении с методом конечных разностей для решения пошаговых линейных краевых задая использовано в работах [283,9,143,4,5].
Изложенные выше методы применялись для решения геометрических и одновременно физически нелинейных задач [145, 282, 283, 16, 84, 301, 267], а также для исследования закритических деформации пластан и пологих оболочек [184, 12, 213, 215, 219]. Причем для последних работ характерно. введение малых возмущений формы пластины или оболочки, или нагрузки и смена параметра продолжения в окрестности предельной точки. Численный анализ метода последовательных нагружений в окрестности особых точек проведен в статье [178].
Применительно к расчету вантовых систем на основе непрерывной модели уравнения в приращениях и интегрирование задачи Коши по параметру в форме последовательных нагружений (простой метод Эйлера) использовались в работах [247, 230]. М.Н. Скуратовский [309, 310] показал, что в области эллиптичности уравнений вантовой сети (тл. когда все усилия в сети растягивающие) ломаная Эйлера сходится к интегральной кривой задачи Коши при уменьшении шага последовательных нагружений. Метод продолжения решения в форме Давиденко применен в работах [440,274,275] к расчету вантово-стержневых систем.
Подход Давиденко использован для исследования свсжств операторов уравнений Феппля—Кармана в работе [440]. Отдельные задачи [514, 462, 402, 38, 179, 39, 343, 300,461, 187, 532] решены с помощью дифференцирования по параметру с применением различных явных схем разного порядка точности и неявных схем интегрирования задачи Коши по параметру и методов типа прогонки для решения пошаговых линейных краевых задач.
Неявные схемы интегрирования задачи Коши по параметру (дискретное продолжение решения) реализованы в нескольких формах. Одна из них реализует шаговый процесс по параметру с итерационным уточнением решения по методу Ньютона—Рафсона, те шаговый процесс Лаэя [526, 322-326, 210, 174, 175, 46, 47, 78, 93—95, 285, 216-219, 439, 150, 221, 313,320,103,25,171,220,367» 192, 195,249] и др.
Модификация этого процесса с использованием для итерационного уточнения модифицированного метода Ньютона использовалась также достаточно Широко [106, 98» 77, 78, 325, 105, 191, 167, 103] и др. В работах [482,483] проведено сравнение этих модификаций.
Другая форма шаговых процессов связана с использованием для уточнения решения простой итерации [199—201, 193, 161—166, 149, 403,415]
или итерационного процесса релаксационного типа [83, 509, 191, 134]. В работе [421] для части переменных использован шаговый процесс Лаэя, а для остальных — простая итерация.
Различные варианты схем типа предиктор-корректор использованы в статьях [202-209,273] •
Большое число исследовании связано с применением метода продолжения решения к классической нелинейной задаче конечных и больших прогибов оболочек вращения. Отметим лишь некоторые из них. В работе [434] для пологой сферической панели реализован алгоритм, близкий по форме к алгоритму Лаэя [447, 448], с использованием метода типа начальных параметров для решения нелинейных задач на каждом шаге продолжения. Причем для удовлетворения граничных условии примеяялась процедура метода- Ньютона. Подробно этот алгоритм разработан в [498, 433, 499]. Подобный алгоритм реализован также в ряде статей с участием Н.В. Валишвили и детально описан в книге [54].'
Возникающие при применении этого алгоритма трудности, связанные с плохой обусловленностью задачи Коши и проявляющиеся при исследовании непологих о6оло<юк, преодолены с помощью разбиения области интегрирования на подынтервалы [428, 54] (так называемый мультисег- ментный подход, который можно рассматривать как вариант метода конечных элементов). Терстон [526] использовал для интегрирования задачи Коши по параметру неявную схему с уточнением решения методом Ньютона—Рафсона (т.е., по существу, процесс Лаэя), применив ее непосредственно к уравнениям конечных перемещений пологой сферы. Линейные краевые задачи для поправок решались методом типа прогонки. Аналогичную схему продолжения выбрал Месколл [458,459] и применил ее к уравнениям Рейсснера [491] для больших перемещений сферы. Линейные краевые задачи для поправок метода Ньютона—Рафсона решались конечнофазностным методом с помощью схемы исключения Гаусса.
В работе [370] рассмотрены осесимметричные деформации пологой конической оболочки. Задача Коши по параметру интегрировалась по простой схеме Эйлера. Пошаговые линейные краевые задачи решались методом прогонки. Аналогичная комбинация методов использована в работах [428, 490] для оболочек вращения. В основу положены уравнения Рейсснера [491].
Уточненная схема последовательных нагружений, аналогичная схеме интегрирования задачи Копш по параметру модифицированным методом Эйлера, использована в статье [20].
В работах [340, 273* 125, 175, 174, 105, 202, 203, 205, ЮЗ, 114, 116, 122, 124» 139, 403] для продолжения по параметру применен шаговый процесс с итерационным уточнением решения модифицированным методом Ньютона (модифицированный процесс Лаэя). Для решения промежуточны% линейных краевых задач использован метод дискретной ортогсшаль- ной прогонки СК Годунова [88].
Комбинация явных и неявных схем для интегрирования задачи Коши по параметру с дискретной ортогональной прогонкой для решения линеаризованных пошаговых краевых задач использовалась в работах [119, 351, 352,354,356,358,361].
В двух последних из них показана и использована открываемая методами типа прогонки возможность отображения функциежального пространства решений краевой задачи на векторное пространство малой ра> мерности (см. гл. 3 用 ・
Продолжение по параметру с использованием процесса Лазя н дополнительных условий для прохождения предельных точек применялось в рабо< тах [322—326 94, 170, 167]. Линейные краевые задачи для поправок решались матричной или дискретной ортогональной прогонкой.
Как отмечалось выше, переход к задаче Коши по параметру можно совершить, дифферешшруя по параметру нелинейные алгебраические уравнения, полученные вариационными методами Ритца или Бубнова из исходных нелинейных уравнении теории пластин и оболочек [232]. Такой подход к уравнениям Фёппля—Кармана принят в работе [440] для прямоугольной пластины с аппроксимацией ^ прогиба в виде двойного тригонометрического ряда и сведения к алгебраическим уравнениям методом Бубнова в варианте Папковича.
Различные задачи，осесимметричного деформирования сферической оболочки решены в работах [68—71, 151—158, 73, 261, 262] на основе метода Бубнова с аппроксимацией перемещении в виде рядов по полиномам и применения метода Рунге—Кутта для интегрирования .задачи Коши по параметру.
С помощью конечных разностей повышенной точности из уравнений Маргерра построены разностные уравнения применительно к задаче устойчивости цилиндрической панели под равномерным давлением [74> 374]. Разностные уравнения интегрировались методом продолжения с целью установления момента смены знака якобиана, что отождествлялось с потерей устойчивости панели.
Схемы конечных разностей повышеннеж точности применялись для решения задач нелинейного деформирования оболочек сложной формы в работах [99, 100, 102, 21]. Процесс дискретного продолжения решения здесь осуществлялся с итерационным уточнением по модифицированному методу Ньютона. Этот же алгоритм реализован в статьях [26—28, 31, 30, 268], где учтена односторонняя связь оболочек с упругим основанием. Особенности продолжения решения в этих условиях рассмотрены В.А. Баженовым [22]. Для конечно-элементной и разностной дискретизации краевых задач характерным является большое число неизвестных. Пути преодоления возникающих при этом трудностей с помощью проекции множества решений на подпространство меньшей размерности (редукция базиса) рассмотрешлвработах [470—473,29,96,101,104].
Различные методы решения нелинейных задач теории пологих оболочек обсуждаются в работе [172] применительно к нелинейным алгебраическим уравнениям метода Ритца. Наряду с методом продолжения решения в форме Давиденко и с использованием явных схем для интегрирования задачи Коши по параметру (непрерывное продолжение), рассматривается также модифицированный процесс Лаэя (дискретное продолжение), причем для получения начального приближения предлагается квадратичная экстраполяция [199].
В задачах больших прогибов оболочек применение метода продолжения решения связывается с учетом на каждом шаге по параметру изменения 188
геометрии срединной поверхности. В работе [2] предлагается использовать этот подход в сочетании с методом последовательных нагружений. Шаговые методы с корректировкой метрики срединной поверхности применяются в статьях [50, 128, 49, 97, 24?, 148, 1, 33, 34]. При этом конечно-разностный подход использован как по координатам, так и по параметру деформи< рования оболочек. Разностные уравнения пошаговых линейных задач строятся автоматически на ЭВМ и решаются блочным методом Гаусса. При этом прсжзводные метрического тензора по параметру продолжения в линеаризованных пошаговых краевых задачах не учитьшаются. В последующих работах згой группы авторов [130, 132, 235, 106, 76—78, 98, 133, 23—25,103,129,90] продолжение по параметру осуществляется с помощью модифицированного процесса Лаэя. Целый ряд работ посвящен задачам проектирования оболочек [131, 76—78]. Учет изменения метрики срединной поверхности в рамках метода последсюательных нагружении проведен в [90].
Вопросы изменения метрики и влияние его на сходимость метода последовательных нагружений для трехмерных задач при больших деформацих рассмотрены в [312]. Там указано на необходимость использования более сложных (логарифмических) физических соотношений.
Метод продолжения решения в форме Давиденко и явная схема Рунге — Кутта для интегрирования задачи Коши по параметру применялись в задаче нелинейного деформирования тонкостенного упругого стержня [185]. Линеаризованные пошаговые краевые задачи решались методом конечных разностей с использованием матричной прогонки.
Комбинация явной схемы Рунге — Кутта для продолжения решения с периодическим итерационным уточнением решения методом Ньютона— Рафсона использовалась в [159,396].
В задачах устсжчивости деформируемых систем метод продолжения решения по параметру применялся для определения критических нагрузок с учетом докритических деформации. При этом поведение системы просматривается до момента вырождения матрицы Якоби линеаризованной задачи. Кроме упоминавиюйся работы Лина [452] такой способ определения критических нагрузок использовался в работах [449, 466, 400, 146, 531, 51, 299, 18]. Применяются различные явные и неявные схемы Продолжения. Как попутный результат частные значения критических нагрузок получены также и в решениях, связанных с исследованием закритических деформаций [315, 69, 274, 298, 370, 459, 151-158, 71, 70, 73, 261, 11, 182, 338, 275, 172,128-133, 514,190,49,97. 247, 235,106,74,340,12,374,262, 125,273,174, 284,98,215, 325, 38, 217]・
В работах [227, 228, 272] найдено преобразование, связывающее параметр нагружения с границами отрезка интегрирования. Это позволило применить метод продолжения решения по параметру в новых условиях. Такси подход обобщен на двумерный случай в [229].
L5・ Использование метода продолжения совмесшо с методом конечных элемеятов
Широкое применение получил метод продолжения в сочетании с методом конечных элементов. Обилие публикации, связанных как с различными вариантами метода продолжения, так и с разнообразными видами конечных элементов, может лечь в основу самостоятельного обзора. Ниже мы остановимся только на некоторых работах, связанных с различным использованием метода продолжения, а такЯсе на работах обзорного и обобщающего характера.
Формулировка метода конечных элементов представляет собсж удобную форму для демонстрации различных форм метода продолжения. Разрешаю- щая система уравнений метода конечных элементов может быть записана в виде
KQ =入р - s. (1.5.1)
Здесь К — матрица хсесткости линейной задачи; Q — вектор обобщенных перемещении;入一параметр нагрузки; Р — вектор обобщенных внешних сил при 入=1; S =S(Q) — вектор псевдосил, связанный с геометрической или физической нелинейностью задачи и представлякяций собой нелинейную вектор-функцию обобщенных координат. Без ограничения общности можно считать, что обобщенные координаты отсчитываются от недеформиро- ванного состояния X =0, тоща S(0) = 0.
Дифференцируя уравнения (1.5.1) по параметру 入，получаем формулировку задачи Коши, интегрирование которой позволяет построить интегральную кривую равновесных конфигураций в пространстве Q,入：
dQ/dX = q, QI …=0・ (1.5.2)
Первые части q этих дифференциальных уравнений (скорости изменения обобщенных координат Q по параметру X) определяются уравнениями
Kq + JsQ = Р・ (1.5.3)
Здесь J, = 8£/3Q =厶(Q) — матрица Якоби вектор-функции S. Матрицу К + 厶=Кт называют часто касательной матрицей жесткости.
Для продолжения по параметру на1рузки на интервале параметра [0, X] выбирается ряд последовательных значении Хо =0, Хх, Х2,...сшагом А、,, так что
% =入f-i + A", i = 1,2,... (1.5.4)
Соответствующие 入《 значения векторов обобщенных координат и их производных по 入 обозначим через Q(,)=Q(l), q(,)=q(“j・
' Простейшая явная схема интегрирования задачи Коши (1.5.2) методом Эйлера соответствует методу последовательных нагружении
% =。，Q(o)=。； ％ =入《-1 + △入t,(155)
(К + Jsii^iO = Р，
0(0 = Q(f-i)+ △%(》 i = 1,2 …
Здесь Jsw = /5(С(0)-
Впервые такая схема в рамках МКЭ была, по-видимому, использ(жана в работе [529]. В дальнейшем она получила широкое распространение при решении ксжкретных задач методом конечных элементов [419, 381, 530, 418, 545, 378, 454, 544, 488, 126, 541, 542,417, 512, 3, 89, 380, 375, 532, 416, 528]. Обзор ранних исследований, использующих явные схемы интегрирования задачи Коши по параметру, дан в [457].
Схема (1.5.2) дает, как известно, на каждом шаге интегрирования ошибку порядка (△入,产 Для уменьшения накопления ошибки использовались явные схемы более высокого порядка точности, как-то: схемы модифицированного метода Эйлера, метода Рунге —Кутта и др. [413, 417— 419,492,426,126,271,497,436].
С целью устранения накопления ошибки при шаговом интегрировании задачи Коши использовались неявные схемы интегрирования, которые требуют организации итерационного процесса на каждом шаге по параметру. Общий вид шагового процесса интегрирования задачи Коши для уравнения (L5.1) с использованием неявных схем можно представить в ваде
入 о = 0, О(о)=。； 1 =入f-i + А",(156)
(К+〃д))/ = Р (и™ 爛= %_£))，(1.5.7)
《7 =心 -(*昭噺-P+表[s(Qa)+«.AS(Qa))“,
(1-5.8) (/+1)(/)
7 = 0,1,2,... пока II 4«) - «⑴ II > е.(159)
Если
Ilff 5，)° - ?J2 II & e，то «{0 = «(о°.(L5.10)
Q(r+i)= С(о + q(d△入厶(1511)
От явной схемы (1.5.5) эта схема отличается использованием итерационного процесса (1.5.7)—(1.5.9), который включает выбор начального приближения (1.5.7), интегрирование по фор!^ле (L5.8), пока выполняется условие (1.5.9), и получение решения при достижении заданной точности е > О
В выражениях (1.5.9), (1.5.10) обозначение вида || ... || соответствует каксж-либо векторной норме. Вид итерационного процесса определяется матрицей /")・
При
//)= К + /(% + △入圖;) (1.5.12) итерационный процесс соответствует методу Ньютона — Рафсона.
Матрица
4 ⑺=К + 4(Q(/)) (15.13) реализует модифицированный метод Ньютона. При этом она на каждом шаге по параметру остается постоянной (не зависит от номера итерации /), что существенно уменьшает вычисления.
Если
4。)= К, (1.5.14)
то итерационный процесс соответствует методу последовательных приближении с. итерированием обратной матрицей жесткости. Возможно использование процесса последовательных приближений с видоизменениями релаксационного характера, а также с частичным учетом нелинейности в матрице 4(‘ )・ Различные итерационные процессы типа последовательных приближении использовались в работах [381, 379,407,422,455,516> 401,432, 547, 468, 542,198,380]. Хотя такого рода процессы и являются достаточно "быстрыми" и требуют меньших затрат машинного времени, но область их сходимости ограничена умеренной нелинейностью.
Более эффективный в смысле сходимости итерационный процесс — метод Ньютона —Рафсона (1.5.12) использовался в работах [475—478,408, 394, 506, 390, 414, 515, 269. 439, 431, 406, 480]. Однако этот метод требует корректировки касательнсж матрицы жесткости на каждом шаге итерационного процесса, что сопровождается значительными затратами машинного времени. Это устраняется при применении для итерации модификации метода х 1ьютона( 1.5.13), так как при этом для итераций используется касательная матрица жесткости, построенная на предыдущем шаге по параметру. Такой подход к организации итерационного процесса на каждом шаге по параметру применялся в работах [420, 318,517, 515^476,518,1,397, 535,191,134,303, 536].
В некоторых исследованиях [329, 394, 390, 269, 542] с целью уменьшения машинного времени явные схемы интегрирования задачи Коши по параметру комбинируются с неявными.
Вопросы продолжения рецюния вблизи особых точек в рамках метода конечных элементов рассмотрели Коннер и Морий [196]. Для построения устойчивой вычислительной процедуры они использовали метод возмуще* нии и удерживали в разложениях в ряд Тейлора по параметру высшие члены. Аналогичные предложения высказаны в работе [539].
В последнее время активно разрабатываются шаговые процессы с использованием идей Вемпнера [539] и Рикса [492—494] по выбору, парамет*
ра продолжения решения в рамках дискретного продолжения [386, 535, 536,404,537,543].
В работе [383] исследованы особенности матрицы жесткости при дискретном продолжении решения с дополнительным условием, определяющим параметр продолжения.
В [469] процесс дискретного продолжения осуществляется с однсшре- менной редукцией размерности разрешающей системы путем ее отображения по Бубнову на подпространство аппроксимирующих векторов.
В [393] схема Рунге—Кутта чередуется с периодическим уточнением решения по методу Ньютона — Рафсона.
Мы здесь не рассматриваем схем построения решения, связанных с идеей погружения исходной задачи в класс задач с вязким трецием или с учетом инерционных сил движения. Такого рода методы, названные самокорректи- рукицимися, подробно рассмотрены в обзоре [518].
L6. Метод продолжения в физически нелинейных задачах
Использование методе® продолжения решения по параметру при исследовании упруго-пластических деформаций естественным образом определяется самой постановкой задачи, которая подразумевает прослеживание истории деформирования системы. В этом смысле представляется законо< мерным, что первое применение метода продолжения [452] связано именно с анализом устойчивости упругопластического стержня. Предложенный Лином подход, основанный на процедуре последовательных нагружении, т.е. на явной схеме типа метода Эйлера интегрирования задачи Коши по параметру, использовался и в более поздних исследованиях поведения упругопластического продольно-сжатого стержня [60» 59, 210, 308]. В работе [210] этот метод рассматривается в рамках о&цего подхода к методам продолжения Д.Ф. Давиденко [135]. ,
Формулировка упругопластических задач в приращениях (шаговый или инкрементальный подход) в наиболее общем виде изложена, по-видимому» в монографии Био [388], суммирующей Предыдущие разработки как са* мого автора, так и других исследователей.
Методы продолжения по параь^тру легли в основу многочисленных решении конкретных задач упругопластического деформирования различных систем.
Так, явная схема типа метода Эйдюра для интегрирования задачи Коши по параметру нагрузки в форме метода последовательных нагружении использована в работах [485,316,545,426,373,380].
Особенности использования метода последовательных нагружении для физически нелинейных задач рассмотрены в книге [289]. Разработанные в ней алгоритмы привлекались для исследования пластин и оболочек из материалов со сложными свойствами, в том числе и из разномодульных мате< риалов [289,140, 242, 291,241,243,286]・
В [319, 144] на оснс»е схемы Эйлера построен шаговый процесс продолжения решения по параметру прогиба. Явные схемы более выежого порядка точности типа мод^ицированного метода Эйлера и метода Рунге —
19J19J弘 13. Э.И. Григолюк
19J
19J
Кутта применялись в статьях [376,492,46, 324] • В работах [46, 47] для решения пошаговых линеаризованных задач использована сплайн*аппрокси> мация.
Неявные схемы с использованием простой итерации применялись в целом ряде работ [379, 422, 455, 401, 574, 74, 340, 4, 148, 149]- Отмечено, что для идеально упругопластического материала метод последовательных приближении - сходится медленно, а иногда может сходиться к неправильному решению [422, 455, 401, 175]. Отмечается, что простая итерация, по существу, совпадает с методом упругих решении [175,4].
Метод переменных параметре» упругости, когда для итераций используются параметры упругости (в том же смысле, что и касательные модули упругости), достигнутые на предыдущем шаге по п叩аметру, по смыслу близок к модифищфованному методу Ньютона и применялся совместно с ним в неявной схеме интегрирования по параметру для решения одновременно физически и геометрически нелинейнкве задач [534, 340, 302» 17 5, 463, 197, 6]. Неявная схема продолжения с использованием для итераций метода Ньютона — Рафсона реализована в статье [423] для уточнения реше* ния после нескольких шагов по параметру по явной схеме типа метода Эйлера. Итерация по Ныотону - Рафсону на каадом шаге интегрирования проводилась в работах [515,1,324].
Особенности решения отдельных упругопластических задач обсуждались в [456,91,92,435,520,513].
Подробный обзор с анализом эффективности различных методов решения упругопластических задач дан в работах, [515,334].
Сравнение различных форм метода продолжения
Сравнительная оценка точности и эффективности различных способов Продолжения по параметру в об晔м виде представляется трудно разрешимой задачей. Отдельные априорные оценки [366,481] громоздки и их применение к практическим задачам затруднительно. Поэтому наиболее рациональным кажется исследование эффективности метода на примере некоторых тестовых задач. Такой путь хотя и не дает полной информации о по- грепшости, но дает сведения, ориентирующие исследователя при выборе того или иного подхода.
По-видимому, первой из работ такого рода, касающихся метода продолжения, было исследование Поскитта [489], который сравнил простейшую явную схему типа Эйлера для продолжения по параметру с другими методами решения нелинейных задач, как-то: методом Ньютона — Рафсона, итерации и др. В качестве тестовой задачи была использована трехшарнирная арка Мизеса. Было установлено, что число шагов шагового метода зна< чительно меньию зависит от величины конечного перемещения, чем у всех остальных методов.
В работе [533] та же схема продолжения сравнивается с методом Ньютона — Рафсона и методом возмущении (малого параметра), на примере больших изгибов балки. Нелинейная система алгебраических уравнении построена методом Рэлея — Ритца. Подробно исследовано влияние шага по параметру нагрузки. Маркол [455] сравнивает две неявные схемы продол- 194
жения. Одна из них использует на каждом шаге по параметру итерации с помощью касательной матрицы жесткости предьздущего шага, а другая — с помощью исходной матрицы жесткости (метод упругих решений). Иными словами, в первой схеме итерация проводится модифицированным методом Ньютона, а вторая схема соответствует простой итерации типа последовательных приближений. Показано, что первая схема требует вдвое меньших затрат машинного времени, хотя она требует на каждом шаге по параметру обращения новей) касательнсж матрицы жесткости.
В статье [61] сравниваете兄 различные формы метода продолжения решения: явная схема метода Эйлера, схема типа предиктор-кйрректор, дискретное продолжение с использованием для итерационного уточнения решения модифицированного метода Ньютона. На простом примере оценена их погрешность.
В работе [382] на примере вантовых систем проведено сравнение различных схем продолжения, в том числе явная схема Эйлера (метод последовательных нагружений), неявная схема типа последовательных приближений (метод упругих ренюний) и неявные схемы с использованием различных вариантов метода Ньютона. Показано, что наиболее эффективна неявная схема с использованием модифицированного метода №ютона. Для вантовых же систем показано преимущество последней схемы по сравнению с явной схемой типа модифицированного метода Эйлера и неявной схемой, использующей для итераций метод Ньютона — Рафсона.
Различные схемы продолжения для вантовых систем исследованы в [341].
Серия работ Стриклина, Хайслера и др. [515—518] посвящена анализу и сравнению самых различных схем продолжения в задачах как с геометрической, так и с физической нелинейностью. Проведено обстоятельное иссле< дование, учитывающее не только затраты машинного времени, но и загрузку машинист памяти. Предпочтение отдается разработанным этими авторами самокорректирующимся схемам, связанным с погружением задачи в класс задач с вязким трением с учетом и без учета инерционных сил.
В работе Као [429] явная схема продолжения типа Эйлера сравнивается с неявными, использующими для итерации метод Ньютона — Рафсона и модифицированный метод Ньютона, а также с явной схемой самокорректирующегося метода первого псф/дка [515]. Показано, что схема Эйлера дает при вдвое меньшем шаге по параметру ту же точность, что и самокорректирующийся метод. Сравнение проведено на примере пологой сферы и круговой пластины.
Работа [160] посвящена обсуждению скорости сходимости различных неявных схем продолжения, использующих для организации итерации на каждом шаге нагружения метод последовательных приближений, модифицированный метод Ньютона и метод Ньютона — Рафсона. Исследование скорости сходимости проведено на примерах сферического купола с отверстием, усеченного конуса, консольной плиты. Эти же Схемы обсуждаются и в [479].
Явная схема с однократной коррекцией по методу Ньютона — Рафсона сравнивается с самокорректирующейся схемой [515] и неявной схемой типа последзательных приближений в работе [225].
^13* 195
Обсуждение различных форм продолжения применительно к методу конечных элементов проведено в работах [92, 186, 397, 535, 443, 536, 115, 116].
Анализ различных форм непрерьшного и дискретного продолжения проведен в [Г15] на примере пологой арки и трехстержневой фермы.
В [41] дан сравнительный анализ различных методов расчета упруго
пластических задач: метод переменных параметров упругости, метод дополнительных деформаций, метод продолжения решения по схеме предиктор- корректор.
Различные методы решения нелинейных задач излагаются в книгах [237,123] и статье [114].
Отметим, что большинство авторов отдает предпочтение явной схеме с периодической корректировкой решения по модифицированному методу Ньютона^ Вопрос о длине шага по параметру между корректировками решает, как правило, на основе численных экспериментов.
IL НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ВЩСТОРНЫХ ПРОСТРАВЮТВ
Обозначения в книге в основном вводятся по мере необходимости. Здесь же мы поясним некоторые обозначения, касающиеся конечномерных векторных гцюстранств, и напомним некоторые сведения об этих проста ранствах.
Вектором (т>мерным) называется совокупность т вещественных чисел 。1,。2, •♦” ат — составляющих вектора, расположенных в определен* ном порядасе. Вектор обозначается одной буквой и записывается в виде
" 勾・
Такой вектор является вектором-столбцом. При- умножении вектора на матрицу удобно вводить вектор<троку, который получается из вектора- столбца транспонированием
в1 = А, %•••,"】=...
-ат
Знак " т " будет обозначать операцию транспонирования.
Векторы 0Hb считаются равными.тогда и только тогда, когда равны их составляющие, т.е. д = Ь тогда и только тогда» когда at = bi9 i. = 1,・..,т.
Вектор, все составляющие которого равны нулю, называется нулевым вектором.
Суммой двух векторов а и А называется вектор а + b такой, что
Произведением вектора а на вещественное число 入 будет вектор Ха такой, что
入0 =入0 =
入0 =
入0 =
Множество всех химерных векторов называется m-мерным векторным пространством и обозначается через Rm •
В качестве нормы || а || вектора aG Rm используется квадратичная или евклидова норма
Ю W (G + 0 + ... + 端严.
Векторное пространство с такой нормой называют евклидовым пространством.
Скалярное произведение (а,，)двух векторов л и Л в Rm вводится обычным образом
m
(.D) = £，0,加.
/ = 1
Векторы 0Hb называются ортогональными, если равно нулю их скалярное произведение, т.е. если
(%D) = 0.
Линейной комбинацией л векторов 然(】)，...，д(л)е Rm называется вектор
。=入運⑴+入/⑵+…+ %*)=S //);(11.1)
u i
здесь Xi入〃 -прсжзвольные вещественные числа, из которых не все равны нулю.
Множество всех векторов вида (П.1) называется подпространством пространства Rm, порожденным векторами а ⑴，。⑵，・・・，а ⑺ (или натянутым на эти векторы).
л
Если Z 入山⑴=О» только тогда, когда все % = О, 2 = 1, •・•,舞.то векЕ
торы а('), i ~* 19.... л, называются линейно независимыми.
Если векторы линейно зависимы» то по крайней мере один из них является линейной комбинацией остальных.
В Rm всегда можно найти m линейно независимых векторов, но не более. Эти векторы составляют базис в Rm. Любой вектор в Rm может быть единственным образом представлен как линейная комбинация векторов данного базиса.
Подпространство в Rm, имеющее размерность п, будем обозначать через Ln.
Размерностью п подпространства Ln в。, п< т, называется число порождающих Ln линейно независимых векторов, а сами 用 векторы образуют базис подпространства.
Два подпространства Ln и L^ в % называются ортогональными, если любые два вектора a G Ln и 6 € L化 ортогональны, т.е. если (0, ft) = 0. Здесь п + к <т. Если п + к = т, то Rm образуется как прямая сумма (произведение) ортогональных подпространств 、п и L*：
。=J ® L.
Это означает, что любой вектор с €。единственным образом предста* вим в виде суммы векторов а Е Ьл и А Е %
Среди всех базисов в Rm особое место занимают ортонормированные базисы, т金.базисы, состоящие из ортогональных векторов с нормой, равной единице.
Имея произвольный базис 。“),。(幼,...» 。(酬),всегда можно построить ортонормированный базис v ⑴，v ⑵，…，▼ <w), например, с помощью процесса ортогонализации Грама — Шмидта по следующим рекуррентным формулам:
Vu)=。⑴/ II。⑴ II；
“⑴=о⑴-£ (y(2〃)W
* = 1^里卜)
v(*)= «(О/у „(01|#” 2,3…，m.
Кроме векторов рассматриваются также прямоугольные матрицы. Матрица
составленная из и строк или т столбцов, имеет размер пХ т.
Матрица, у которой 机=м, — квадратная и имеет порядок л.
Матричные операции вводятся обычным образом.
Суммой С - А + В двух матриц 4 = \а^ ] и ^ = \Ьц ] размера пХ т будет матрица С = [с“] того же размера и такая, что
c^ =0炉 + b炉，i = 1,…，〃,/ = 1,...»ж.
Произведением С = АВ матрицы 4 =[。灯]размера л X /п на матрицу В =出炉]размера 加 X 7 является матрица С = [с“] размера и X / такая, что
т
% = Е。泳＞/, i н 1〃，/ = 1,…，L
fc = 1
Произведением с = Ab матрицы 4 =[劣向 размера л X /п на т-мерный вектор b = [fefc] является и-мерный вектор с- [с；] такой,что
т
q = Е а*%, i = 1,...,〃・ к= 1
Произведением с，=，'4 и-мерного векторастроки 6Т = [Ьк] на матрицу Л = [а^П，размера пХ т является m-мерный вектор-строка ст = [cf] такой, что
л
Q = Е bkaki, i=l,...,m.
Jt = 1
В записи произведения вектора на матрицу мы будем иногда опускать знак транспонирования "實"у вектора, имея в виду, что если вектор является первым сомножителем, то он должен быть векторомстрокой, и результатом такого произведения явится также векторстрока.
Матрицей, транспонированной по отношению к матрице / =[勺,] размера п X т, будет такая матрица В =[勿/ ] = 4實 размера 机 X 〃, что b" =。/厶 i = 1,・・・,м. / = 1,..., л.
Строки матрицы А = [а^ ] размера л X m можно рассматривать как векторы в %, а столбцы — как векторы в .
Рангом rang (Л) матрицы А называется число ее линейно независимых строк или столбцов. Ранг матрицы не зависит от того, определен ли он по ее строкам или по столбцам.
Прямоугольную матрицу А размера п X т, т > п, будем называть вырожденной, если rang(4) < л. Это значит, что строки матрицы линейно зависимы.
Определитель det(A) квадратной матрицы Л равен нулю тогда и только тогда» когда она вырождена.
Прямоугольная матрица размера п X т, т > nf вырождена тогда и только тогда, когда все определители л-го порядка, которые можно образовать из ее столбцов, равны нулю.
Матрица называется ортогональной, если ее строки или столбцы ортонор- мированы. Если матрица Л размера 〃 X m, m > л, ортогональна, то АДТ =瓦 где К — единичная квадратная матрица порядка л.
Примененный к векторам-строкам невырожденной матрицы А размера пХ т (т > я) процесс ортогонализации Грама — Шмидта может быть рассмотрен как представление этой матрицы в виде произведения двух матриц
4 = б».
Здесь В — ортогональная матрица размера 〃 X т, строками которой являются векторы ортонормированного базиса, построенного с помощью процесса Грама — Шмидта из векторов-строк а ^\ f = 1, 舞，матрицы А. Матрица О = [з“ ] является левой треугольной матрицей. Из (П.2) видно, что
3“ = (u”W))叱
((и(2。"))，/ < I < л,
^/ = I 0，> i
i,j~ 1，…,л.
Доказательства приведенных выше утверждений, а также многие другие свойства векторов и матриц в векторных пространствах можно найти, например, в книгах В.В.Воеводина х), Б.З.Вулиха 2), Г.Стренга 3).
а) Воев один В.В, №нейнаяалгебра. -М.: Наукй, 1974. 一336с.
а) В у л их Б.З. Введение в функциональный анализ. - М.: Наука, 1967.- 416 с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ЕАдясова Н.М., Капустина С. А., Ябл о нк о Л.С. Некоторые вопросы нелинейных составных конструкций // Прикладные проблемы гфочности и пластичности: Сб. статей* Вып. 1. - Горький, 1975. 一 С. 124-135.
А з а р х и н А.М., Абовский Н.П. К расчету гибких плит и пологих оболочек мегодши последовательных нагружений // Пространственные конструкции в Красноярском крае: Сб. статей. -.1968. - С. 31S-318.
А л е к с а н д р о в А.В. Об исследовании геометрически нелинейных пологих оболочек методом последовательных догружений 〃’ Тр. МИИТ. - 1974. 一 Вып. 456. - С・ 57—64.
Александров А.В., Нольде Г.А. Расчет составных пологих оболочек вращения на осесимметричное воздействие с учетом геометрической и физической нелинейности // Исследование по теории сооружений: Сб. статей. Вып. 32. — М.: Стройиздат. 1976. - С. 147-158.
Александров А.В., Н о льде Г.А. О численном исследовании работы плас- ■ тин при больших прогибах // Тр. МИИТ. — 1982. — Вып. 618. — С. 3—9.
Александров А.В., Н о льде Г.А., Гурвиц Г.А. Применение метода конечных элементов для расчета нелинейно-деформцруемых пластинчатых систем // Прогрессивные конструкции н технологические процессы в сфоительстве стальных мостов： Сб. статей. — М., 1985. — С. 95-97.
Амельченко В.В. К вопросу о сходимости вариационного метода ®.3・ Власова при расчете гибких пологих оболочек 〃 Вычислительные методы и программирование: Сб. статей. Вып. 3. - Саратов, 1970. - С. 1 S3-160.
Ам е льче нк о В.В., Кр ыськ о В.А. Расчет гибких ортотропных пластин методом Власова-Канторовича на ЭВМ 〃 За технический прогресс. 一 1967. - № 1.- С. 9-11.
Амельченко В.ВМ Крысвко В. А< О расчете конструктивно и геометрически нелинейных задач теории пластинок // Теория расчета и надежность прибо ров: Сб. статей. - Саратов, 1969. - С. 10-17.
Амельченко В. В., Крыськ о В.А. О методах расчета оболочек переменной толщины при конечных прогибах на основе метода ВЗ. Власова // ТЪо рия расчета и надежность приборов: Сб- статей.' - Саратов, 1969.- С. 95 - 102.
А м е льч енк о В.В., Крысько В.А. Расчет ортотропных оболочек переменной толщины методом ВЗ Влассюа // Вычилительцые методы и программ>фова- ние: С6・ статей. Вып. 3. — Саратов, 1970. - С. 101-Ш.
Амельченко В.В., Крыськ о В.А. Исследование закритического поведе* ния гибких цилищфических панелей и пластинок // Механика деформ>фуемых сред: С6・ статей. Вып. 2. - Саратов, 1974. - С. 14-23.
Амельченко В.В., Крысько В.А., Неверов Н.В・, Петров В.В. Вопросы применения метода В.З. Власова к решению уравнений метода последо-
вательных нагружений для гибких пластинок и оболочек // 吓.VI Всес. конф, по теории оболочек и пластин, 1966. - М.: Наука, 1966. - С. 56-61.
Амельченко В.В., Кр ы ськ о В.А” Маркушин А.Г., Федоро- в а А.Г. Некоторые вопросы равнения методов расчета гибких пологих оболочек // Дифференциальные уравнашя и вычислительная математика: Сб. статей. Вып. 3. - Саратов, 1973. - С. 158-165.
Амельченко В.В., Неверов И.В., Петров В.В. Решение нелинейных задач теории пологих оболочек путем вариационных ит^аций // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - Г969. - № 3・一С 62-68.
Амельч енк о В.В., Федоре в а А.Г., Крысько В.А., Маркушин А.Г. Нелинейные уравнения пологих оболочек из сжимаемых упругоплас- ттеских' материалов с учетом действия температуры^ Метод Власова-Канторовича 〃 Механика деформируемых сред： Сб. статей. Вып. 1. - Саратов, 1974.- С 154-164.
А н д р е е в Л,В“ О бодан Н.И., Лебедев А.Г. Анализ поведения геометрически нелинейных оболочек при неосесимметричном нагружении // Изв. вузов. Машиностроение. - 1976. — № 5. — С・ 5—8.
А ндр еев Л.В., Об о дан Н.И., Л опатенко АП. Устойчивость анизотропной цилиндрической оболочки под действием неосесимметричнЫ! нагрузки 〃 Прикл. механика. - 1985. - Т. 21, № 3. - С 30-36.
Андреева Л.Е. Ущ)угие элементы приборов. 一 М・：Машгиз, 1962. - 455 с.
Андреева Л.Е., Петровский В.В. Решение нелинейных задач осесимметричного деформирешания оболочек на основе метода В.З. Власова. - В.В・ Петрова 〃 Изв. вузЪв. Машиностроение. - 1972. - № 8. - С・ 173-175.
Ар о и с о н А.Я., Б а ж ен ов В.А, Гоцуля к Е.А., Гуляев В.И., Оглобля А.И. Нелинейное деформирование оболочек спиральных камер гидротурбин в упругой среде // Проблемы прочности. - 1985. - № 4. - С 97—102.
Б а ж е н о в В.А. Построение траекторий нагружения нелинейных механических систем с ограничениями // Сопротивление материалов н теория сооружений: Сб. статей. 一 Киев, 1982. - №40• — С. 5s-65.
Б а ж е н о в В・А., Гайда йчук В.В., Оглобля А.Н. Нелинейный анализ устойчивостн механических систем с односторонними связями // Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. — Киев, 1980. — № 3%. — С. 3-8.
Б а ж е н о в В.А., Г о ц у л як Е.А., Гуляев В.И., Дехтярюк Е.С. Построение и исследование кривых нагружения механических систем // Вычисл. и прикл. матем.: Сб. статей. - Киев, 1981. 一 № 46•- С. 84-96.
Б а ж е н о в В.А., Г оцу ляк Е.А., Оглобля А.Н. Устойчивость круглой в плане сферической панели, односторонне взаимодействующей с винклеровским основанием // Теоретич. н прикл. механика: Сб. статей. - Киев; Донецк, 1983.— №14.— С 112-118.
Б а ж е н о в В.А., Г о цу ля к Е.А., Оглобля А.И. Влияние одностороннего контакта на устойчивость гибких цилюцфических панелей, подкрепленных винклеровым основанием // Изв. вузов. Сгр=-во и архит. — 1984. — № 3•— С. 23-33.
Б а ж е н о в В・А” Г оцу ляк Е.А., Оглобля А.И. Устойчивость гибкой конической панели, односторонне кошакпфующей с упругой средМ при действии внешнего давления 〃 Теорепп. и 1фикл. механика: Сб. статей. - Киев; Донецк» 1984. - № 15. - С. 60-65.
Б а ж е и о в В.А., Оглобля А.Н. Исследование устойчивости незамкнутых цилиндрических труб в упругой среде с односторонними связями // Вести, львов. nojnrrexH. йн<та. - 1984. - № 183. - С. 5-10.
Б а ж е н о в В.А., Заб лоцкий СВ. Нелинейный анализ устойчивости цилиндрических и конических панелей на основе метода редукции базиса 〃 Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. - Киев, 1985. 一 № 47• — С. 5—13.
Б а ж е но в В.А., Оглобля А.И. Деформирование спиральна оболочки, односторонне взаимодействующей с упругим основанием // Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. - Киев, 1985. — № 46•— С. 3—8.
Б а ж е и о в BJt, Оглобля А.И., Шевченко А.С« Исследование устойчивости осесимметричных оболочек, односторонне взаимодействующих с упругой
средМ при действии инешнего давления // Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. - Киев, 1984. 一 № 44. 一 С. 7-13.
Байтуреев К, Пшеничное Г.И. Расчет напряженно-деформированного состояния гибких сетчатых оболочек вращения 〃 Числ. методы в механике твердого деформируемого тела: С6. статей. - М., 1984. - С. 11-22.
Бандурин Н.Г., Николаев А.П. К применению метода шагового нагружения для расчета непологих оболочек // Изв. вузов. Машиностроение. - 1984.— №8・-С 20-23.
Бандурин Н.Г., Николаев А.П. К расчету непологих оболочек с учетом геометрической нелинейности // Прикл. механика. — 1985. — Т・ 21, № 8.— С. 56-63.
Бахвалов Н.С. Численные методы. - Т. 1. - М.: Наука, 1973. - 631 с.
Б е т е в Ю.В., Петров В.В. Об одной методике аналитического решения геометрически нелинейной теории пологих оболочек* // Теоретич. и прикд. механика. 一 1973. - Т. 4, № 3• — С. 33-39.
Бидерман В.Л. Механика тонкостенных ксжструкций. Статика. - М.: Машиностроение, 1977. - 488 с.
Бидерман В.Л., Ж н с л и н В.Я. Большие деформации н закритические состояния полосы из неогуковского материала // Изв. АН СССР, Механшса твердого тела. - 1977. - № 6・-С. 125-132.
Б и ду р м а н ВЛ., Жи с л ин В.Я. Нелинейные характеристики резинсииегалли* ческих упругих элементов // Расчеты на прочность. - 1979. 一 № 2・-С. 107-122.
Б и р г е р И.А.玲углые пластинки и оболочки вращения. - М・：Оборонгиз, 1961.-368 с.
Б н р г е р НА, Те м и с Ю.М. Методы расчета упругопластических оболочек 〃 13-я Всес. конф, по теории пластин и оболочек. Таллин. 1983. Т. 1. А-В. - Таллин, 1983. - С. 120-125.
Б о л о т и н В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. - М.: Физматгиз, 1961. — 339 с.
Б у б л и к Б.Н. Численное решение динамических задач теории пластин и оболочек. -Киев: Наукова думка, 1976. — 224 с.
Будянский Б., Хатчинсон Дж. Выпучивание: Достижение и проблемы // Механика деформ>фуемых твердых тел: Направления развития: Сб. статей.— М.: Мир, 1983. — С 121-160.
Б у л ы г и н А.В. Устойчивость и осесимметричные деформации тороидальной оболочки под действием внешнего давления // Тр. IX Всес. конф, по теории оболочек и пластин. — Л.: Судостроение, 1975. - С. 114-116.
Б у р а г о Н.Г., Кук у джан ов В.Н. Численный метод решения геометрически нелинейных задач для упругопластических оболочек вращения 〃 Строит, механика и расчет сооружений. - 1976. — № 5. - С. 44-49.
Б у р а г о Н.Г., Ку куджан ов В.Н. Выпучивание и закритические деформа- шш упругопдастических оболочек в условиях осевой симметрии // Сборник по численным методам в механике твердого деформируемого тела. - М.: 1978. 一 С. 47-66.
Б у т е н к о В.Ю. Использование метода продолжения решения по параметру для решения нелинейных краевых задач теории тонких пластин // Теория автоматизированного проектирования: Сб. статей, - Харьков» 1980. - № 2・-С. 97-100.
Вайнберг Д.В., Г оцу ляк Б. А., Гуляев И.И. Устойчивость физически нелинейных тонкостенных оболочек и пластин 〃 Теория оболочек и пластин： Тр. VIII Всес. конф, по теории оболочек и пластин. - М.: Наука, 1973.- С. 104-109.
Вайнберг Д.В., Г о цу ляк Е.А., Гуляев В.И., Никитин С.К. Большие деформации оболочек сложного очертания // Сопротивление материале» и теория сооружений: Сб. статей. - Киев, 1971. 一 Вып. 13. - С. 10-19.
В а й нбер г Д.В・, Гуляев В.И. Устойчивость механических и физических полей в оболочках сложной ф°рмы // Успехи механики деформируемых сред: Сб. статей.『М.: Наука, 1975. - С. 96-104.
Вайнберг Д.В・, Гуляев В.И., М е льн ич енк о Г.И. Особые точки и точки ветвления решений нелинейных уравнений деформируемся среды 〃 Сопротив-
ление материалов и теория сооружений: Сб. статей. ▼ Киев, 1973. 一 Выл. 21.- С. 24-31.
Вайнберг М.М., Т р еногии В.А. Теория ветвления решений нетшеЙнСхх уравнений. - М.: Наука, 1969. - 527 с.
Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. — М.: Машиностроение, 1976. - 278 с.
Валишвили Н.В. Об исследованиях гибких элементов конструкции численными методами // Кзв. вузов. Машиностроение. - 1984. - № 2. - С・ 15-19.
Валишвили НВ О выборе параметра при численном решении краевых задач статики гибких оболочек // Прнкл. механика. 一 1984. - Т. 20. — № 11.— С. 115-118.
Валишвили Н.В., Гаврюшин СС. Об использовании метода движения по параметру при конечнофазностном исследовании геомефически нелинейных задач теории тонких упругих оболочек 〃 1j>. XII Всес. конф, по теории оболочек н пластин. Т, I. - Ереван, 1980. - С. 254-257.
В а л и швили Н.В., Г и ор х е лидз е Д.Ш., Тв алчр е л ндз е А.К. Об устойчивости оболочек вращения при конечных перемещениях // 13-я Всес. конф, по теории пластин и оболочек. Таллин 1983, Т. 1. А-В. - Таллин, 1983. — С. 151156.
В а и ь к о В.И. Продольный изгиб упругопластического стержня // Изв. АН CCCR Механика твердого тела. - 1968. — №4. — С・ 171-174.
В а н ь к о В.И., Шестер ик о в С.А, Продольный изгиб и выпучивание 〃 Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1967. - № 2. - С. 157-163.
В е р иж ен к о В.Е. О сходимости методов линеаризации при расчете нелинейноупругих многослойных оболочек // Изв. вузов. Сп)-во и архит. 一 1985. - № 4.- С. 39-43.
В л а с о в В.З. Общая теория оболочек и ее применение в технике. — М.: Гостех- издат, 1949. - 784 с.
Воеводин В.В・ Вычислительные основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1977. - 304 с.
Волошин Е.Л. Численное исследование геометрии оболочек с минимальной срединной поверхностью методом продолжения решения по параметру // Автоматизация проектирования объектов гражд. стр-ва: Сб. статей. 一 Киев, 1984.- С. 11-16.
В о п ь м и р А・С Гибкие пластинки и оболочки. - М・：Гостехиздат, 1956. - 419 c.
В о л ь м и р А.С・ Устойчивость упругих систем. - М.: Физматгиз, 1963. - 879 с.
В о р о в и ч ИН Неединственность и устойчивость в нелинейной механике сплош- Hg среды. Некоторые математические проблемы // Нерешенные задачи механики и прикладной математики: С6. статей. - М.: МГУ, 1977. 一 С. 10-47.
В о р о в и ч И.И., Зипалова В.Ф. Исследование хлопка сферического купола в высоких приближениях // Науч, сообщения за 1964 г. Рост. гос. унс, сер. точных и естественных наук. - Изд. Рост, увит, 1965. - С. 61.
В о р о в и ч И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // Прикл. математика и механика. 一 1965. 一 Т. 29. Вып. 5. - С. 894-901.
В о р о в и ч И.И., Минакова Н.И. Исследование устойчивости непологого сферического купола в высоких приближениях 〃 Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 一 1968. - № 2. - С. 121-128.
В о р о в и ч НМ, Минакова Н.И. Устойчивость непологого сферического купола // Прикл. математика и механика. - 1968. - Т. 32, № 2. - С. 332-338.
В о р ов ич И<И・，Минакова Н.М. Г4>облема устойчивости и численные методы в теории сферических оболочек // Итоги науки. Механика твердых деформируемых тел. Т. 7. - М.: ВИНИТИ, 1973. - С. 5-86.
В о р о в ич И.И., Шепелева В.Г. Исследование нелинейной устойчивости пологой оболочки двояко кривизны в высоких приближениях 〃 Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1969. 一 № 3・ 一 С 69-73.
В о р о в и ч ИМ., Яценко М.Н. Об одной форме потери устойчивости цилиндрической панели // Теория оболочек и пластин： %・ VHI Всес. конф по теории оболочек и пластин. - М.: Наука, 1973. - С. 104—109.
Г а в у р и и М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги кгеративных методов // Изв. вузов. Математика. — 1958. 一 № S. - С 18-31.
Гайдайчук В.В. Обратная задача нелинейной устойчивости шарнирно опертых сферических оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. - Киев, 1976. - Выл. 29. 一 20-25.
Гайдайчук В.В., Г о ц у л я к Е.А., Гуляев В.И. Некоторые обратные задачи нелинейной устойчивости сферических оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений: С6・ статей. - Киев, 1976. - Вып. 28.「С. 11-16.
Гайдайчук В.В., Г о цу ляк Е.А., Гуляев В.И. Обратная задачанели- нейной устойчивости сферической оболочки переменной толщины Ц Прикл. механика. - 1977. - Т. 13, № 2・一С. 9-14.'
Г айдайчук В.В., Г о ц у л я к Е.А., Гуляев В.И. Нелинейная устойчивость тороидальных оболочек переменной толщины при действии внешнего давления 〃 Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1978. 一 № 3・ 一 С・ 105-113.
Гайдайчук В.В., Го цу ляк ЕЛ” Г у ляев В.Н・ Ветвление решений не* линейных уравнший тороидальных оболочек при действии внешнего давления // Прикл. механика. 一 1978. - Т. 14, № 9. - С 38-46.
Г айдайчук В.В., Гуляев В.И. Обратные задачи нелинейной устойчивости оболочек//Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей.- Киев. 一 1974. - Вып. 24. - С. 156-163.
Г а л и м о в Н.К., Сачеиков А.В. Определение частот свободных колеба- нмй и устойчивость пологих трехслойных оболочек и плоских пластин//Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. статей. - Казан耳 1965. - Вып. 3.- С. 148-156.
Ганеева М.С., Алексеева О.В. Об одном алгоритме численного решения геометрических нелинейных осесимметричных задач непологих оболочек вра* щения//Исследования по теории оболочек: Сб. статей. - Казань, 1976. - Вьш. 7. 一 С. 120-127.
Гильман А.А., Петров В.В. Изгиб нелинейно-упугой пластинки, имеющей сложный контур//Механика деформируемых фед: Сб. статей. - Саратов, 1974. - Вып. 2. - С. 42-4&
Г и ii ь м а н Г.Б., Лю бинский В.Ю. Об алгоритмических особенностях автоматизации выбора шага при расчете геометрически нелинейных систем// Автоматизация 1фоектирования объектов хражд. стр-ва: Сб. статей. - Киев, ЗНИИЭП, 1984. 一 с. 16-22.
Г и л ь м а н Г.Б., Шевченко В・Н・ О критериях нелинейности при решении нелинейных задач механики шаговым методом//ЭВМ в исследованиях и проектировании объектов тражд. стр-ва: Сб. статей. - Киев, ЗНИИЭП, 1979. - С. 3-10.
Г и л ь м а н Г.Б., Шевченко В.Н. Автоматизация выбора шага при решении физически нелинейных задач механики шаговым методом//Автоматизация проектирования объектов 1ражд. стр-ва: Сб. статей. - Киев, ЗНИИЭП, 1982.- С. 23-33.
Г о д у и о в С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений//Успехи мат. наук. - 1962.- Т. 16, №6.-С 1717g.
Г о л ь д е Г.А. Расчет тологих осесиммехричных оболочек при больших про- гибах//Тр. МИИТ. - 1974. - Вып. 456. - С. 39-49.
Г о р л а ч Б.А., Орлов Н.Н. Метод последовательных нагружений, учитывающих изменение геометрии, в задачах о больших перемещениях//Вопросы 1фоч* иости и долговечности элементов авиац. конструкций: Сб. статей. - Куйбышев, 1979.-№5・-С. 138-143.
Городецкий А.С. Расчет тонкостенных железобетонных конструкций в неупругой стадии//Матер. IV Всес. конф, по применению мат. машин в строит, механике. - Киев, 1967. - С. 74-80.
Городецкий А.С., 3 дор ен ко В.С. Расчет физически нелинейных рамных систем на ЭВМ//ЭВМ в исследованиях и проектировании объектов строительства： Сб. статей. 一 Киев, 1970. - С. 54-62.
Г оспо дариков А.П. Об одном алгоритме численного расчета торообразных оболочек//Тр. ЦКТИ. - 1982. - № 195. 一 С. 25-28.
Господариков A.IL, Терентьев В.Ф. Об одном универсальном алгоритме построения закритических решений в двухточечных нелинейных краевых задачах осесимметричной деформации оболочек вращения//Актуальные проблемы нелинейной механики сплошных cpem С6. статей. Вьш. 1. - Л.: ЛГУ, 1977. 一 С. 147-154.
Господариков А.П., Терентьев В.Ф. Влияние изменения толщины в задачах о болыиих осесимметричных деформациях тонких оболочек вращения из нелинейно-упругих материалов//Прикл. механика..- 1984. 一 Т. 20, № 5. — С109-115.^.
Г о ц у л я к Е.А. Выбор базиса в методе редукции при решении нелинейных задач устойчивости оболочек//Сопротивление материалов и теория сооружений.— Киев, 1985. - № 47. - С 16-21.、
Г о цу л як Е.А., Гуляев В.И., Мельниченко Г.И. Устойчивость непологой панели под равномерно распределенной нахрузкой//Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. 一 Киев, 1974. - Вьш. 22. 一 С. 109-115.
Г о ц у л я к Е.А., Гуляев В.И.. Мельниченко Г.И. Нелинейное деформирование сф^>ической панели при потери устойчивости температурного поля// Сопротивление материалов и Теория сооружений:. Сб. статей. - Киев, 1976.- Вып. 29. — С. 14-—20.
Г о ц у л я к Е.А., Гуляев В.И., К у.бар И., П ай м у шин В.Н. Нелинейное деформирование фрагмента оболочки вращения со сложными очертаниями контура//Исследования по теории пластичности и оболочек: Сб. статей. — Казань, 1984. - № 17~2. 一 С 45.-55.
Г о цу ля к Е.А., Ер ми шев В.Н. Напряженно-деформированное состояние многоугольной тороидальной камеры//Сопротивление материалов и теория сооружений： Сб. статей. - Киев, 1984. - № 45•- С. 9-12.-
Гоцу ля к Е.А., Ер м ишев В.Н., 3 а б ло ц киЬ С.В. Применение метода редукции базиса к решшию нелинейных задач устойчивости оболочек//Щ>икл. проблемы прочности и пластичности: Сб. статей. — № 31. 一 Горький, 1985.- С. 51-58.
Гоцу л як Е.А., Жадр асино в Н.Т. Устойчивость торосфери«№ских и тороконических днищ, резервуаров под внутренним давлением//Прйкл. механика.- 1985. ~ Т. 21, № 3. - С. 40-45.
Г о ц у л я к Е.А., Жадрасинов Н.Т., К ир ичу к А.А. Устойчивость гибкой составной оболочки вращения//Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. 一 Киев, 1982. - №41. - С. 35-39.
Г о ц у л я к Е.А., Заб ло цк ий С.В; Применение метода редукции базиса к решению нелинейных задач устойчивости оболочек//Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. - Кие% 1985. - № 46. - С. 37-43.
Г о ц у л я к Е.А., К ир ичу к А.А. Численное исследование нелинейной ус* тойчивости оболочек вращения//Сопротивление материалов и теория сооружений： Сб. статей. 一 Киев, 1978. - № 3 2. - С. 87-92.
Г о ц у л я к Е.А., М ел ьниченко Г.И. Термонапряженное состояние с учетом геометрической и физической нелинейности//Тр. IX Всес. конф, по теории оболочек и пластин, 1973. - Л.: Судостроение, 1975. 一 С. 315-318.
Гр иго лю к Э.И. К расчету устойчивости пологих арок//Инж. сб. —1951.— Т. 9.- С. 178-201.
Юв.Григолюк Э.И. Биметаллические оболочки и пластины//Инж. сб. - 1963 - т. 17. 一 С. 69—121.
Григолюк. Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек//Итоги науки. Механика твердых деформируемых тел, 1967. - М.: ВИНИТИ, 1969. 一 348 с.
Григолюк Э<И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. — М.: Наука.
1978.-359 с.*
Григолюк Э.И., Мамай В.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи в задаче Коши//Прикл. проблемы прочности и пластичности. Методы решения задач упругости и пластичности: Сб. статей. - Горький, 1979. - С. 3—19.
Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. - М.: Машиностроение, 1973. 一 215 с.
ИЗ. Гр и го л юк З.Н“ Шалаши л ин В.И. О некоторых формах метода продолжения по параметру в нелинейных задачах теории уйругости//Журн. прикл. механики и теорет. физики. — 1980. - № 5. - С. 158—162.
Григолюк Э.И., Шал аш ил ин В.И. Метод продолжения по параметру в задачах нелинейного ' деформирования стержней, пластин и оболочек//Успехи мехмики. - Варшава - 1981. - Т. 4, вьш. 2. - С. 89-122.
Иб.Григол юк Э.И., Шал аши л ин В.И. Модифицированные формы метода продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела//Пробл. математики и механики: Сб. стате亂一Новосибирск: Наука, 1983. - С. 55-70.
Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру в задачах нелинейного деформирования стержней, пластин и оболочек//Иссле- дования по теории пластин и оболочек: Сб. статей. - Казань, 1984. - Вып. 17, часть I. - С. 3-58.-
Григор-енко Я.М. Численное решение некоторых классов нелинейных задач теории гибких оболочек//Вычисл. и прикл. мат.: Сб. статей. - Киев, 1983. №50.-С. 73-83.
Григоренко ЯМ Решение задач теории оболочек методами численного анализа//Прикл. механика. - 1984. — Т. 20, № 10. 一 С. 3-22
Григоренко ЯМ, Бахромова З.Н., Судавцева Г.К. Численное решение краевых задач о больших прогибах хщинной цилиндрической панели// Прикл. механика. — 1978. — Т. 14, № 10. — С. 47—51.
Григоргн ко Я.М., Крюков Н.Н. К решению нелинейных краевых задач статики слоистых оболочек в эакритической области//Прикл. механика. - 1983.- Т.19, № 3. - С. 35-40.
Григоренко Я.М., Крюков Н.Н., Ахалая Т.Г., Неосесимметричная деформация круглых пластин переменной жесткостц//Прикл. механика. — 1979.— Т. 15, № 10. - С. 75-80.
Григоренко Я.М., Крюков Н.Н., Голуб Г.П., Демянчук В.С. Численное решение нелинейных двумерных задач несимметричной деформации слоистых оболочек вращения переменной жесткости//Прикл. механика, - 1984.- Т. 20, №8.-С. 37-45.
Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. — Киев: Вища школа, 1983. — 286 с.
Григоренко Я.М., Судавцова Г.К., Туманова О.В. Численное решение задач о деформации гибких цилиндрических панелей переменной жест- кости//Прикл. механика. - 1984. - Т. 20, № 11. - С. 66-71.
Григорьев И.В., Фр о л о в А.Н. Нелинейная симметричная деформация многосвязных оболочечных конструкци^/Избр. проблемы прикл. механики: Сб. статей. - М., 1974； - С. 283—293.
Гру дев И.Д. О больших прогибах пространственных тонких стержней//Тр. ВНИИ фнз.>техн. и радиотехн. измер. - 1971. Вып. 8 (38). - С. 17-36.
Гузь О.М. Про наближний метод визначення концентраШ! напружень б1ля кривошшйних отворю в оболочках//Прикл. механика. - 1962. - Т. 8, № 6.— С. 605-612(、
Гуляев В.М： Устойчивость деформируемой феды при больных перемещу ниях//Сопротивление материалов и. теория сооружений: Сб. статей. - Киев, 1971. 一 Вьш. 14. - С. 44-48.
Гуляев В.И., Баженов В.А., Г оцу ля к Е.А. Устойчивость нелинейных механических систем. - Львов: Вища школа, 1982. - 254 с.
Гуляев В.И., Лизунов П.П., Мельниченко Г.И. Нелинейная устойчивость толстостенной тороидальной оболочки//Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. - Киев, 1975. — Вып. 26, — С. 34-40.
131» Гуляев В.И.» Мельниченко Г.И. Формызакритического равновесия оболочки преноса под действием внешнего давления//Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. 一 Киев, 1975. - Вып. 25. - С. 26-36.
Гуляев В.И., Мельниченко Г.И. Закритическое состояние прямоугольных панелей//Сопротивление материалов и теории сооружений: Сб. статей.- Киев, 1975. - Вьш. 27. - С. 10-18.
Гуляев В.И., Мельниченко Г.И. Формы закритического равновесия цилиндрических и конических оболочек эллиптического сечения под действием осевой нагрузкц//Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1976. - № 5. — С. 60- 66・
Г у л я р А.И., Кархал ев В・Н., Сахаров А.С. Алгоритм решения задачи нелинейного деформирования тел вращения при неосесиммезричном нагруже- нии//Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. - Киев, 1982.— №41.-С30-3$.
Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравношй//ДАН СССР. - 1953. - Т. 88, № 4. - С. 601-602.
Давиденко 五 Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений// Укр. мат. журн. - 1953. 一 Т. 5, № 2. - С. 196-206.
Давиденко Д.Ф. О приложении метода в^иации параметра к теории нелинейных функциональных уравиетий//Укр. мат. журн. - 1955. — Т. 7, № 1.- С. 18-28.一.
Давиденко Д.Ф. О примшении метода вариации пгфаметра к построению итерационных формул повышенной точности для определения численных решений нелинейных интегральных уравнеиий//ДАН СССР. 一 1965. - Т. 162, № 3.— С. 499-502.
Демянчук В.С. Неосесиммеоричная деформация гибкой тороидальной оболочки эллиптического сечения//Прикл. механика. - 1984. - Т. 20, № 12.- С. 112-Ш.
Деревянкина Е.Н. Исследование напряженно-деформированного состояния прямоугольных пластинок из нелинейно-наследственного материала, обладающего конструктивной и деформационной анизотропией /Механика деформируемых сред: Сб. статей. — Саратов, 1983. - № 8. - С. 51-57.
Д инник А.Н. Устойчивость арок. - M.-JL: Гостехиздат, 1964. - 128 с.
Дмитриев Л.Г., Сосис П.М. Программирование расчета пространственных конструкций. - Киев, 1963. - С. 141-149.
Дмитриев Л.Г., Шевченко В.Н. Изгиб нелинейно-упругих пластин//ЭВМ в исследованиях и проектировании объектов стороительства: Сб. статей. - Киев, 1970. - С. 94-103.
Д о Д/З и н а Р.Н. Устойчивость н закритическое поведение гибких оболочек переменной толщины при комбинированном на1ружении//Прочность и долговечность элементов конструкций летят, аппаратов: Сб. статей. — Куйбышев, 1984.- С. 54-61.
Дымни ко в СИ., Лаве нд ел Э.З. Об одном приближенном методе решения задач теории упругости для несжимаемого материала в случае больших деформаций/ /Механика полимеров. - 1967. - № 4. - С. 652-658.
Дятлов A-В., Емельянов М.С. Определение критической силы в слабоизогнутых стержнях из упругопластического материала на ЭЦВМ//Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. - Киев, 1975. 一 Вып. 26. - С 131138.
Еру гин Н.Н. Неявные функции. - Ленишрад: ЛГУ, 1956. - 127 с.
Ершов Н.Ф., Попов А.Н.» Дер б а со в А.П. К расчету общей прочности и устойчивости подкрепленной оболочки с учетом физической и геометрической иелинейности//Тр. Горыс. политехи, иннга. - 1975. - Т. 31, № 14. 一 С. 49-57.
Железнов Л.П., Кабанов В.В. Исследование нелинейного деформирования цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении методом конечных элементов//Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1981. - № 3.- С. 49-54.
Заварыкин Л.Г. Несимметричное нелинейное деформирование цилиндрической панели при осевом сжатии//2-я Укр. респ. конф, молодых ученых по механике. - Киев, 1979. - С. 65-69.
ЗипаловаВ.Ф. Исследование больших осесимметричных деформаций сферического купола при комбинированных на1ружениях//Тр. VI Всес. конф, по теории оболочек и пластинок. - М.: Наука, 1966. - С. 416—412.
Зипалова В.Ф. Устойчивость сферического купола с шарнирным за* креплением // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1967. — № 1.- С. 172-177.
3 ипал оваВ.Ф.,НенастьеваВ；М・ Исследование хлопка сферической оболочки под действием кольцевой кшрузки в высоких приближениях//Тр. VI Всес. конф, по теории оболочек и пластинок.二 М.: Наука, 1966. - С. 413-414.
Зипалова В.Ф., Ненастье ва В.М. О получении характеристик ширужения с особенностями в задачах об устойчивости сферической оболочки//Математи- ка, некоторые ее приложения и методика преподавания: Сб. статей. - Ростов- на-Дону, 1972. — С. 58-62.
Зипалова В.Ф.,Ненастьев а В.М. Термоустойчивость шарнирно опертой пологой сферической оболочки//Теория оболочек и пластин:加.VIII Всес. конф, по теории оболочек и пластин. - М.: Наука» 1973. - С. 289-293.
Зипало в а В.6. Шепелева. В.Г. Метод численного* решения нелинейных задач теории оболочек //Науч, сообщения за 1964 г. - Ростов-на-Дону: РГУ, сер. точных и естественных наук. — 1965. - С. 61.
Зипалова В.Ф., Щепкина Е.Д. Исследование устойчивости конической оболочки в высоких приближениях//Изв. АН СССР. Механика твердого тела.- 1970.-№3.-С. 135 - 139.
Зип л ова В@, Щепкина Е.Д. Болыиие деформации пологих оболо^к при комбинированных нагрузках//Прикладные вопросы физики: Сб. статей.- Ростов-на-Дону, 1974. — С %8 - 72.
Зубов Л.М., Овсеенко С.Ю. Большие деформации кручения цилиндров из сжимаемых материалов//Вопросы динамики и прочности: Сб. статей. - Рига, 1982. -№40.-С. 109-117.
Исаханов Г.В.. Кепп лер X., Киричевский В.В., Сахаров А.С. Исследование алгоритмов решения нелинейных задач теории упругости методом конечных элементов//Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. Киев, 1975. - Вып. 27. - С. 3 - 10.
К аба но в В.В., Железнов ВЛ. Алгоритм исследования нелинейного деформвфования и устойчивости похцфепленных цилиндрических оболочек при неосесимметричиом нагружении// Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструйций: Сб. статей- - Куйбышев, 1980. - С. 45 - 57.
Кабанов В.В., Железнов В.П. Исследование нетшейного деформирования и устойчивости цилиндрических оболочек при неосесимметричном давлении методом конечных элементов// Прикл. механика. 一 1981. - Т. 17, № 5•- С. 71-76.
Кабанов В.В., Железнов Л.П. Нелинейное деформирование круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном сжатии//Расчет элементов конструкций летательных аппаратов: Сб. статей. - М., 1982. - С. 77 - 83.
Кд банов В.В., Желе эно в Л.П. Нелинейное деформирование круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном внешнем давлении "Расчет элементов конструкций летательных аппаратов: Сб. статей. - М・.1982.— С. 83 - 85.
Кабаио в В.В., Железнов Л.П. Алгоритм исследования методом конеч< ньхх элементов нелинейного деформирования и устойчивости цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении//Расчет элементов консфукций летательных аппаратов: Сб. статей. - М., 1982. - С. 85 — 91.
Крбанов В.В., Же л*е знов Л.П. Устойчивость цилиндрических оболочек переменной толщины при внешнем давлении/ДТрикл. механика. 一 1984. - Т. 20, №7. —С・53 -59.
К а б ри ц С.А. Расчет осесимметричных тонких оболочек «вращения из эласто- меров//Теория и методы расчета нелинейных пластин и оболочек: Сб. статей» - Саратов, 1981. — С. 36 — 39.
168»Кабриц С.А. Осесимметричная закритическая дефдрмация резиноподобных 、оболочек//Вопросы механики и процессов управления: Сб. статей. - Ленинград, 1984. - № 6. - С 37 - 42.
Кабриц С.А., Колпак Е.П., Черных К.Ф. Квадратная мембрана при больших деформациях//Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1986. - № 1・- С. 175 - 179.
Кабриц С.А., Терентьев В.Ф. О численном построении диаграмм нагрузка -перемещение в одномерных нелинейных задачах теории стержней и обо-
лочек//Вопросы механики и процессов управления: Сб. статей. - Вьш. 1: Актуаль- ные проблемы нелинейной мех. сплошных сред. - "., 1977. - С. 155 - 170. 171. Калинина Н.Г. Метод продолжения решения по параметру применительно к обратной задаче динамики упругих систем//Сопротивление материалов и теория сооруж.: Сб. статей. — Киев, 1982. - № 40. - С. 130 <135.
Ка нтор Б .Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек.- Киев: Наукова думка, 1971. — 136 с.
К.арасик М.Й., Ша лашили и В.И. Об одном шаговом методе решения нелинейных уравнений теории упругости//Прочность конструкций: Межвуз. науч, сб.— Уфа, 1976. - № 1. - С 87 - 92.
Карми ши н А.В., Лясковец В.А., Мя че н к ов В.И., Фролов А.Н. Сгйтика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций, — Мл. Машино* строение, 1975. — 376 с.
Карми шин А.В., Ля ско ве ц В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Численное решение задач статики и динамики тонкостенных оболо'ючных кон- струкций//Прикл. проблемы прочности и пластичности: Сб. статей. - Вып. 1. 一 Горький, 1975. — С 34 - 41.
Карпов В.В. Применение процедуры Рунге - Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин и оболочек//Расчет пространственных систем в строительной механике: Сб. статей. — Саратов, 1972. — С 3 - 8.
Карп ов В.В. Способ улучшения решения, полученного методом последовательных нагружениЙ//Волжский матем. сборник. - Куйбышев: Куйбышевский пед. ин-т 1973. - Вып. 15. - С. 106 -111.
Карпов В.В. О погрешности линеаризации при расчете гибких оболочек// Механика деформируемых сред: Сб. статей. - Вып. 4. - Саратов, 1976. - С. 102 -108.
Карп о в В.В. Расчет пологих оболочек, находящихся в температурном поле, с учетом изменения модуля yfipyrocra и коэффициента линейного расширения материала от температуры//Механика деформируемых сред: Сб. статей. - Саратов, 1978. - № 5. - С. 102 -106.
Карпов В.В.» Михайлов Б.К. Иследование влияния жесткости ребер на устойчивость пологих оболочек с учетом нелинейности деформаций//Числ. методы в задачах мат. физики: Сб. статей. - Л., 1983. - С 135 - 142.
Карпов В.В., Петров В.В. Уточнение решения при использовали шаговых методов -в теории гибких пластинок и оболочек//Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1975. — № 5. - С. 189 — 191.
Карпов В .В., Филатов В.Н. Закритические деформации гибких пластин в температурном поле с учетом изменения свойств материалов 〃 Тр. VII Всес. конф, по теории оболочек и пластинок» 1969. - М.: Наука, 1970.— С 277-280.
Карпов В.В., Филатов В,Н・ Расчет гибких пологих оболочек на воздействие равномерной температуры//Расчет щюстранственных систем в строительной механике: Сб. Статей. - Саратов, 1972. - С. 193 — 196.
Карпов В.В., Филатов В.Н. Расчет гибких пологих оболочек на действие поперечной нагрузки//Механика деформируемых сред: Сб. статей. — Вьш. 2.— Саратов, 1974. — С. 78 — 85.
Ке ббе ль Э.К. Расчет упругого внецентренно сжатого тонкостенного стержня по деформированному состоянию //Изв. вузов. Строительство и архитектура. 一 1974.-№3.-С. 54 -65.
Кепп лер X., Кйричев ский В.В., Сахаров А.С. Некоторые вопросы исследования конструкций при больших деформациях на основе метода конечных элементов//8-й Междунар, контр, по применению математики в инженерном деле. - Эрфурт, 1978. - С. 57 - 64.
Кири чу к А.А. Нешшейная устойчивость сферических сегментов с круговым отверствием в вершине//Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. — Киев, 1980. -№36. - С. 17 - 20.
Кири я В .С. Движение тел в сопротивляющихся средах//Тр. Тбилисского гос. ун-та. - 1951. - № 44. - С. 1- 20.'
Кири ^ В .С. Об одном новом методе решения конечных уравнений//Тр. Тбилисского гос. ун-та. - i960. - № 86. - С. 235 — 259.
Кислоокий В.Н., Сахаров А.С. Большие прогибы и устойчивость оболочек сложной формы //Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. Киев. 1972.尸 Выл. 16• — С. 164 — 167.
Кислоокий В.Н.; Шипов ский И.Я., Цыхановский В.К., Хо- ванец В.А. Исследование напряженно-деформированного состояния беска- мерного пневматического кранца с полусферическими оконечностями методом конечных элементов //Исслед. по судовым мягким и гибким конструкциям: Сб. статей. - Владивосток, 1981. — С. 126 - 138.
Климанов В.И., Чу пии В.В. Исследование прочности и устойчивости гибких составных оболочек вращения при осесимметричном на1ружении и нагре- ве//Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1985. - № 4. - С 32 - 36.
колесников Г.Н. Статический расчет сетчатых оболочек как нелинейных систем// Облегченные конструкции покрытий зданий: Сб. стате*. - Ростовца- Дону, 1979. - С. 140 - 144.
Колесников И.Ю., Шалашил ин В.И. Определение частот и форм собственных колебаний трехслойных косоугольных пластин//Изв. вузов Лит€СР. Вибротехника. — 1979. — Вып. 2 (36) • — С 39 — 48.
Коломоец А.А., Крыськ о В.А., Ку це м ак о А.Н. Нелинейное деформирование и устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки при произвольном внешнем давлении//Изв. вузов. Строительство и архитектура. — 1985. — № 2.— С. 33 - 36.
Конн ор Дж.» Морин Р. Метод возмущений в расчете геометрически нелинейных оболочек//Расчет упругих конструкций с использоваием ЭВМ. Т. 2.— JL: Судостроение, 1974. - С. 186 - 202.
7.1Горнейчук Л.Г. Конечные перемещения упругопластических оболочек вращения "дхц СССР. 一 1975. 一 Т. 225, № 3. - С. 528 - 531.
Корнее» В.С, Постнов В. А. Использование метода конечных элементов (МКЭ) в нелинейных задачах деформирования оболочек вращения//。. Ленишр. кораблестр* ин^х®- —1973. — Вьш. 85. — С. 43 — 48.
Кор нндп“н М.С. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и методы мх^^йия. -м.: Наука, 1964. - 192 с.
.3^5 ни ши н М.С. О решешш систем нелинейных алгебраических уравнений теории оболочек//Изв. вузов. Авиац. техника. - 1959. — № 4. - С 151 — 154.
Корнишин М.С. М у шт а ри Х.М. Об одном алгоритме решения нелинейных задач Теории пологих оболочек//Прикл. математика и механика. - 1959. - Т. 23, № 1. « 159 一 163.
Кор о вайце в А.В. О численном решении нелинейных уравнений осесимметричных оболочек вращения//Изв. вузов. Машиностроение. - 1978. - № 2.- С. 13 - 17.
К оровайцев А.В. Расчет осесимметричных форм равновесия упругой сферической оболочки//Изв. вузов. Машиностроение. - 1978. - № 3. - С 5 - 8.
Коровайцев АВ. Параметрический анализ оболочек вращения при больших перемещениях // Изв. вузов. Машиностроение. - 1979.二 № 2.- С 5-8.
.Коровайцев А.В., У с ю к и н В»И. Некоторые особенности решения задач теории мягких оболочек при больших деформациях//Тр. XII Всес. конф, по теории оболочек и пласпш. — Т. II ； - Ереван, 1980. 一 С. 249 - 254.
Коровайцев А.В. Поведение пологой гибкой сферической оболочки при ограничении ее деформаций жестким вкладышем// Изв. вузов. Машиностроение. -1982. - № 1. - С. 26 - 29.
Коровайцев А.В. Расчет напряженно-деформированного состояния обо- лочек вращения при больших перемещениях //Изв. вузов. Машиностроение.- 1982.-№5.-С. 11-16.
Коровайцев А.В. Расчет упругих оболочек вращения при больших осе- снмметричннх п^)емещениях//Расчет на прочность, жесткость, устойчивость и колебания: Сб. статей. - М., 1983. 一 № 23. - С. 290 - 295.
Коровайцев А.В. О применении метода начальных п^аметров в расчетах нел>шейного поведения оболочек вращения// Изв. вузов.- Машиностроение.— 1983.-№7.-С 148-150;
Коровкин В,С・ Расчет на устойчивость стержня из нелинейно-упругого материала шаговым методом//Тр> ЦНИИСК. - 1971. - Выл. 19. 一 С. 69 - 78.
Кошелева Т.И., Фр о л о в А.Н. Устойчивость моментного состояния тороидальной оболочки 〃Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 一 1973. - №3.- С. 129 - 133.'
Крас ио се льск ий М.А・，Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Ру・ тицк ий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных урав* нений. - М・：Наука, 1969. - 455 с.
Кр ив о ше ни И.В. Несимметричный изгиб и устойчивость гибких оболочек покрытия// Изв. вузов. Строительство и архитектура. — 1976. — № 5:— С. 62 - 66.
Кривошеин И.В. Исследование несимметричных форм и потери устойчивости гибких пологих панелей и пластин//Прикл. теория упругости: Сб. статей.— Саратов, 1977. - Вып. 1. - С. 3 — 9.
Крив о ше ин И.В., Петров В.В. Несимметричные формы потери устойчивости гибких цилиндрических панелей//Механика деформируемых сред: Сб. статей. - Саратов, 1976. — № 4. - С. 120 - 129.
Кривошеин И.В Несимметричные формы потери устойчивости локально нахруженных гибких пологих оболочек//Механика деформируемых сред: Сб. статей. — Саратов, 1978. — № 5・一С 137 - 144.
Крив оше ии И.В. Исследование устойчивости симметричных форм дефор* м(фовшия гибких пологих шарнирио-яеподвижно опертых оболочек//Механика деформируемых <фед: Сб. статей. - Саратов» 1979. 一 № 6. - С 142 - 148.
Кривошеин И.В. Исследование устойчивости форм равновесия пологих ортотропных оболочек//Прикл. теория упругоста： Сб. статей. - Саратов. 1980^ 一 С. 78- 83.
Кривошеин — исилсдовалш； ш^илтмпричных форм потери устойчн* вости гибких пологих оболочек на основе некоторых вариантов уравнений в пврсмещениях//Механика деформируемых дру: Сб. craztt - Саратов, 1982.- №7.-С. 100-105.•
Кривошеин И.В. Исследование устойчивости форм равновесия гибких пологих оболочек//Механика деформируемых сред: Сб. статей. -CS^job, 1983.-№8.-С. 22-30.
Крив ошеин Н.В., Петров В.В. Сравнение некоторых методов лйнеари* эации уравнений теории гибких пологих оболо%к//Механика деформируемых сред: Сб. статей. — Саратов, 1979. — W 6. — С 148 — 153.
Крыськ о В.А. О решении нелинейных задач теории пластинок вариационным методом Власова — Канторовича и пути уточнения решения//Материалы XXX Науч.-техн. конф. Саратов, политехи, ин-та Секция строит, и дорожно- строит. фак. - Саратов. 1967. - С 98 - 104.
Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек.- Саратов. 1976. - 214 с.
Крысько В.А., Амельченко В.В. К расчету гибких ортотропных пластинок модифицированным методом Власова — Канторовича с использованжм ЭЦВМ//За технических прогресс. — 1968. - № 7. - С. 13 - 15.
Крэчун И.П., Куроедов В.В. Об оценке неторых итерационных методов решения задач физически нелинейной теории упругости //Тр. Ленингр. поли- техн. шнга. - 1976. - № 349. - С. 47 - 52.
К у 6 е нко В.Д., Не ми ш ЮД1., Шиере нк о К.И., Шульга Н.А. Метод возмущений в краевых задачах механики дефсфмируемых тел//Прикл. механика. - 1982. 一 Т. 18,學 11. - С 3 - 20.
Кузнецов В.В. Об использовании метода продолжения решения по длине отрезка интегрирования при расчете круглых гофрированных пластин//Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1983. - № 2. - С 189 - 191.
Кузнецов В.В. Численное реиюние нелинейных краевых задач осесимметричного деформирования непологих оболочек вращения//Теория и методы расчета нелинейных пластин и оболочек: Сб. статей. - Саратов, 1981. - С. 73 — 74.
Кузнецов В.В., Петров В.В. Использование метода возмущения области интегрирования при решении нелинейных краевых задач теории гибких пластин
и оболочек//Изв. АН СССР. Механика твердого тела> - 1985. — № 2.- С. 176 -178.
кузнецов З.Н. Некоторые вопросы расчета висячих.покрытий// Висячие покрытия: Сб. статей, — М-： Госстройиэдат, 1962. - С 92 - 122.
Кузнецов Э.Н. Об одной модификации шагового метода последовательных нагружений //Тр. ЦНИИСК. 3972. — Выл. 22. - С. 16 - 18.
Курдюмов А.А. К теории физически и геометрически нелинейных задач изгиба и устойчивости пластин и оболочек //Тр. Ленингр. кораблестр. ин-та- 1961. ~Вьш. 34. -C5S -62.
Куроедов В.В. О реализации МКЭ в задачах физически нелинейной теории упругости //ТР. Ленингр. политехи, шита. — 1976. - №349. - С. 43 - 47.
Лебедев А.Г., Обо дан Н.И. Тшхы ветвдюния нелинейных решений краевых задач теории оболочек//Изв. вузов. Машиностроение.-上984. - № 3•- С 15 -17.
Ли зу ио в ПЛ. Упругопластическая неустойчивость сферических и эллипсоидальных оболочек при действии внутреннего давления//Сопротивле1Ше материалов и теория сооружений: Сб. статей. 一 Киев, 1975. - Вып. 27・ 一 С・ 18 - 24.
Липовцев Ю.В. Метод решения нелинейных краевых задач теории оболо- чек//Механика деформируемого твердого тела: Сб. статей. — Тула, 1983.- С. 87 - 95.
Лукаш П.А. Основы нелинейной механики： - М.: Сгройиздат； 197 8. 一 208 с, 238. Лурье А.М. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. 一 939 с.
Ляв А. Математическая теория упругости. — М.: ОНТИ, 1935. — 674 с.
Ляпунов А.М. Sur les Hgures d*equilibre pen differenter des ellipsoides d'une mass liquide homogene d'un mouvement de rotation// Зап. Акад. наук. —СПб., 1906. - Cl.
Макее в А.Ф. Изгиб круговой цилиндрической оболочки из нелинейно-упругого разносопротивляющегося растяжению и сжатию материала//Механика деформируемых сред: Сб. статей. - Саратов, 1983. - № 8. - С. 79 - 8s.
Макеев А.Ф., Овчинников ИХ. К расчету круговой цилиндрической оболочки из разносопротивляющегося нелинейно*упругого материала//Механика деформируемых <фед: Сб. статей. - Саратов, 1982. 一 №7. - С. 26 - 33.
Макеев А.Ф., Овчинников И.Г., Петро в В.В. Расчет пластинок и оболочек из композиционных, материалов с учетом деформационной анизот* ропии//Мех. консзрукций из композицион. материалов: Сб. тр. 4чго Симп. по механике конструкций из композиционных материалов.- Новосибирск, 1984.- С. 175-181.
М_а р ч у к Г«И. Методы вычислительной математики.亠 Мл Наука, 1977. - 454 с.
Матевосян Р.Р. Метод решения и анализа систем нелинейных уравнений// Тр・ ЦНИИСК. - 1974. 一 Выл. 35. 一 С 22 一 23.
Мельников Ю.А.,. X р у щ И.К. Предельное состоят» и устойчивость при неоднородном внешнем давлении//Гвдромеханика. и теория упругости: Сб. статей. — Днепропетровск, 1984.-兩 3 2. - С. 88 - 92.
Me льничеик о Г.И. Устойчивость сферической оболочки под действием локальных нагрузок //Сопротивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. - Киев, 1974. - Вьш. 23. - С. 56 - 61.
Милейков ский М.Е. Метод исходных уравнений при расчете пологих оболочек на ЭЦВМ//Новые методы расчета строит, конструкций: Сб. статей.— М.: Сгройиздат, 1968. - С. 20 - 31.
М и л е>й к о в с к и Й И.Е., Сидоров В.Н.» Тр у ши и СИ” Б у л г а к о- ва М.В., Кислов В.В. Численные методы расчета оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности и деформаций поперечного сдвига //Теория и эксперим. исслед. пространств, конструкций. Тфименение оболочек в инж. сооруж.: Тр. Междунар, контр. Москва. 23 — 28 сент., 1985» т. 1.- М・，1985.—С. 580-594.
Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. - Мл Физматгаз, 1966. - 432 с.
Морозов Н.Ф. К нелинейной теории тонких пластин//ДАН СССР. — 1957.—
Т・ 114, №5. - С 968-971.
Морозов Н.Ф. Нелинейные задачи теории тонких анизотропных пластин //Вестник ЛГУ. 一 1958. 一 № 19. - С. 100 - 124.
Морозов Н<Ф. Единственность симметричного решения //ДАН СССР.- 1958. - Т. 123, № 3. - С 417 一 419.
Морозов Н.Ф. К вопросу о существовании несимметричного решения// Изв. вузов. Математика. 一 1961. 一 № 2. - С 126 - 129..
Морозов Н.Ф« К нелинейным задачам теории тонких пластин с осями сим- метрии//Тр. Ленишр. технолог, ин^га целлюлозно-бум. промышленности.— 1962. — Вып. 11 — С. 206 — 208.
Музыкантский А.Н., Римский Р.А. К расчету на ЭЦВМ стержневых систем при больших перемещениях//Строит* механика и расчет сооруж. - 1971-— №4・一С.64 г65・
Му штари Х.М., Галимов К.3. Нелинейная теория упругих оболочек.- Казань: Таткнигиздат, 1957. - 431 с.
Неверов В .В., Невер ов И.В. Р&шение задач упругсшластического из- ■ гиба прямоугольных пластин методом вариационных итерациЙ//Изв. АН СССР.
Механика твердого тела. — 1975. -№ 1. — С. 119 - 126.
Неверов И.В. Решение нелинейных задач теории оболочек методом вариационных итераций//Матер. XXX Науч, техн. конф. Саратов, политехи, ин-та. Секц. строит, и дорожно-строит. фак. — Саратов, 1967. — С. 105 ~ 113.
Не ми ш Ю.Н. Трехмерные граничные задачи теории упругости для неканонических областеЙ//Прикл. механика. - W80. - Т. 16, № 2. - С. 3 - 39・
Ненастьев а В.М. О влиянии температурных усилий на устойчивость сферического купола //Тр. VI Всес. конф, по теории оболочек и пластинок.- J969. 一 М.: Наука, 1970. - С — 448 - 450.
Ненастье в а В.М. О нахождении начальных условий задачи Коши методом градиента//Прикл. вопросы физики: Сб. статей. — Ростовч<а-Дону, 1974.— С. 80 - 83. ■
Никиреев В.М. К решению нелинейных уравнений строительной механики методом последовательных на1ружений//Сгроит. механика и расчет сооружений. -1970.-№ 3. -С. 61 -62.
2Ъ4.Никитин П.И., Никитин А.П., Трошин В.Г. Решение геометрически нелинейных задач технической теории оболочек с учетом многопараметричности на1ружения//ДАН УССР. — 1985. - Сер. А, № 5. - С. 41-44.
Новожллов В.В. Основы нелинейной теории упругости. - М.: Гостехиздат, 1948.-211 с.
Новожилов В.В. Теория упругости. 一 Л.: Судпромгиз, 1958. - 370 с.
Ов чинников И.Г., Трушин С.И. Приложение метода последовательных нагреваний к расчету нелинейно-упругих пластйн на температурные воздействия И Прикл. теория упругости: Сб. статей. — Вып. 1. - Саратов, 1977.- С. бб-64.
Оглобля А.И. Построение траекторий нагружения нелинейных оболочечных систем с односторонними связями//Со!фотивление материалов и теория сооружений: Сб. статей. 一 Киев, 1985.…№ 47. - С. 80 一 83.
Оден Д.Г., Кей Д.Е. Определение конечных деформаций упругих тел на основе метода конечных элементов//Рас</ет упругих конструкций с использованием ЗВМ. Т.1.. — Л.: Судостроение, 1974. - С. 52 - 80.
0 сташевский А.Я. К расчету пространственных систем из пологих гибких нитей //Расчет и исследование конструкций с помощью ЭВМ: Сб. статей.- М., 1971.-С.42-49.
Пайан Т.Х.Х., Тонг П. Вариационная формулировка проблемы определения конечных перемещений //Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Т.1. - Л」Судостроение. 1974. - С. 39 - 52.
П а ксюто в а Е.В. Расчет круглой физически нелинейной пластинки //Исслед. и расчет облегченных элементов конструкций: Сб. статей. — Чита, 1985. 一 С. 81 - 86；
Пахомова Л.А., Фрол о в А.Н. Устойчивость симметрично, нагруженных оболочек вращения из нелинейно-упругих материалов// Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 一 1974. - № 4. - С. 80 一 89.
Пере ль м утер А.В. Применение шагового метода к статическому расчету и проверка устойчивости вантовочл'ержневых систем типа мачтовых конструк- циЙ//Матерналы по металлическим конструкциями: Сб« статей. Выл. II. — М.: Сфойиздат, 1966. — С. 77 - 92.
Пере л ьм утер А.В. Основы расчета вантово-стержневых систем. — М.： Сгройиздат, 1969. — С. 135 — 157.
276*Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах//Науч. докл. высшей школы. Строительство. - 1959. - № 1. - С. 27 - 35.
Петро в В.В. Исследование конечных прогибов пластин и пологих оболочек методом последовательных нагружений //Теория пластин и оболочек:我，П-й Всес. конф., Львов, 1961. 一 Киев: АН УССР, 1962. 一 С. 328 - 331.
Пе тр о в В.В. Досл1ждення напружного стану пластин i пологих оболонок при оконченных прогинах методом послвдовни^ навшггажень//Прикл. механ!ка.— 1962. - Н. 8, № 4. - С 35 2 - 357.
Петр о в В .В. Сг1йК1сть пологих оболонок, що пребувають и1д д]ю сил, прик- ладних на контур! //Прикл. механика. - 1964. - Т. 10, № 3. - С 247 — 248.
Петров В.В. Расчет пологих оболочек в температурном поле при конечных прогибах с учетом изменения свойств материала от нагревания //Тр. молодых ученых: Матер, межвуз. конф. Вып. технич. — Саратов: СГУ, 1965. — С. 333 - 341.
Пе тр о в В.В. Расчет гибких пластинок и пологих оболочек вариационным методом В.З. Власова //Ц)икл. механика. - 1966. — Т. 2, № 5. - С. 50 — 57.
Петро в В .В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории обо- лочек//Науч. тр. Саратов, политехи, ин-та. - Вып. 49. 一 1970. ~ С. 50- 57.
Петров В.В. К вопросу расчета пластинок и пологих оболочек с учетом физи- *юской и геометрической нелинейности// Механика деформируемых я>ед: Сб. статей. Вып. 1. 一 Саратов, 1974. - С. 123 - 130.•
Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболоадк. - Саратов, 1975. - 119 с.
Петров В.В. Устойчивость симметричных форм деформирования пологих оболочек, прямоугольных в плане //Междунар. конф, по облегченным пространственным конструкциям пркритЙ! для стр毋а в обычных и сейсмич. р<нах. Алма-Ата, 1977. 一 М.： Сгройиздат^ 1977. - С. 97 - 102.
Петров В.В. Об одном методе расчета цилиндрических оболочек из нелинейно-упругого материала//Механика деформируемых сред.: Сб. статей. - Саратов, 1985.-№9.-С 54 - 100.
Петров В.В.» Бете в Ю.В. Примененние градиентного метода Л.В, Канторовича к расчету гибких пластинок и пологих оболочек//Теория расчета и надежность приборов: Сб. статей. - Саратов, 1969； - С. 3 — 10.
Петров В.В., Неверов И.В., А ме лъченк о В.В. Некоторые вопросы расчета пологих оболочек при больших прогибах вариационным методом Власова //Изв. вузов. Строительство и архитектура. — 1968. - № 12. - С 22 一 28.
Петров В.В., О в чи н ни к о в И.Г., Ярославский В.И. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. — Саратов, 1976. - 133 с.
Петров В.В., Семенов П.К. Расчет нелинейно-упругих пластинок обобщенным методом Власова — Канторовича //Изв. вузов. Строительство и архитектура. —1982. - № 2. — С. 37 — 41.
Петров В.В., Семенов П.К. Некоторые вопросы примежния метода Власова - Канторовича к расчету нелинейно-^упругих пластин //13-я Всес. конф, по теории пластин и оболочек. Т. IV. — Таллин, 1983. — С 72 - 76.
Петров В.В., Филатов В.Н. Расчет гибких пластинок вариационным методом В.З. Власова //Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1970.- №2.-С.46 - 49.•
Петров В.В., Яковлева Л.С. К вопросу выбора аппроксимирующих функций при расчете гибких пластинок вариационными методами //Науч. тр. Саратов, политехи. цн*та. — 1970- - Вып. 49. ~ С. 57 - 63.
Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. - М.— Л.: Гостех- издат, 1948. - 170 с.
Постнов В.А., С л е эи на НГ. Учет физической и геометрической нелинейности в задачах изгиба оболочек вращения при использовании метода ко-
нечных элементов//Иэв. АН CCCF. Механика твердого тела. — 1979. — №6— С. 78 -85.
Постнов В.А., Слезина Н.Г. Решение нелинейных задач устойчивости оболочек с помощью метода конечных элементов// Прочность и надежность судовых конструкций: Сб. статей. 一 Л., 1982. — С. 66 - 73.
Пре гер Л.М. Закритическая деформация трапециевидных и треугольных пластин// Исслед. по строительным конструкциям: Тр. Томск, инж.чиромт. ин-та. Вып. 11. — 1964. —С. 148 ■- 156.
Пре нгер Л.М., Дв о р к н на С.Б. Осесимметричное выпучивание круглой гибкой пластинки //Исслед. по строительным конструкциям: Тр. Томск, инж.- строит. ин-та. Вып. 12..- 1966. 一 С. 68,-71.
Раздельскнй А.Г. Об устойчивости сжатой геометрически несовершенной круговой цилиндрической оболочки //Строит, механика и расчет сооружений. 一 1976. 一 № 2. - С. 46 - 49.
Райзер В.Д., Муртазалиев Г.М. Закригические равновесные состояния пологих оболочек вращения//Сгроит. механика и расчет сооружений. - 1980.- № 1. - С. 40-45.
Рогов А.Н. Исследование полосовых локалысых воздействий на нелинейно* упругую оболочку среднем длины//1^)икл. теория упругости: Сб. статей. Вып. 1.- Саратов, 1977. - С. 43-47.
Сахаров А.С., Г у л я р А.И., Кислоокий В.Н. Исследование устойчивости осесимметричных оболочек при больших перемещениях с учетом физической нелинейности // Проблемы прочности. — 1974. — № 6.- С 47-42.
Сахаров А.С., КнслоокиЙ В.Н., КиричевскиЙ В.В., Альтен- бах И., Габберт У., Даикерт Ю.» Кепплер Х? К очы к 3. !^етод конечных элементов в механике твердых тел. - Киев; Лекпциг: Вища школа - ФЕБ Фахбухферлаг, 1982. - 479 с.
СвнрскнЙ И.В. Методы решения систем алгебраических н трансцендентных уравнений, встречающиеся при расчете больших прогибов пластин и оболочек 〃 Матер, летней школы по проблеме: Физически и геометрически нелинейные задачи теории пластин н оболочек. Т. 1. — Тарту: Тарт, ун-т, 1966. 一 С 234-257.
Свирский И.В. Методы типа Бубнова - Галер кина и последовательных при* ближений. — М.: Наука, 1968. 一 199 с.
Свирский И.В. Способы частичной линеаризации, ускоряющие сходимость метода Ньютона при решении систем нелинейных уравненнй//Тр. семинара по теории оболочек. Казанского физ.*техн. ин^га АН СССР. -： 1975. - Вып. 6. 一 С. 202-209.
Свирский И.В. Способы частичной линеаризации при решении уравнений в частных производных//Тр. семинара по теории оболочек. Казанский физ.-техн, ин” АН СССР. - 1975. 一 Вып. 6. - С. 210-213.
Северов С.П. О реализации шагового метода анализа “《^формируемых сис* тем//Изв. вузов. Машиностроение. - 1971. - № 6. - С. 5-7.
Скуратовский М-Н. Исследование уравнений поло! ой вантовой сети н шаговые вычислительные методы//Новые методы расчета строит, конструкций: Сб. статей. - М.: СтроЙиздат, 1968. - С. 57-62.
Скуратовсквй М.Н. Существование и единственность решения уравнений пологой вантовой сети и шаговые вычислительные методы//Применение ЭВМ в строит, механике: Сб. статей. - Киев, 1968. - С. 153-156.
С л е з н н а Н.Г. Алгоритм и программа расчета устойчивости оболочек вращения с учетом нелинейных факторов//Применение числ. методов в расчетах судовых коис-фукций: Сб. статей. - Л” 1984. — С. 85-90.
С л е п я н Л.И., Внтязева Е.В. Об одном приближенном методе решения задач теории упругости в случае болыиих деформа1ШЙ//ДАН СССР. - 1984.- Т. 277. - № 3. - С. 566—569，'
Соков Л.М., Фролов А.Н. Нелинейное осесимметричное деформирование оболочек вращения//1^)икл. проблемы прочности и пластичности: Сб. статей.— Горький, 1980. - С. 60-69.•
Соколова Г, А. Расчет пл&стинок и оболочек с трапециевидным или треугольным контуром при конечных прогибах//Изв^ вузов. Строительство и архитектура. —1962. - № 4. - С. 61-69.
Соколова Г.А. К расчету упругих прямоугольных пластинок при конечных |фогибах//Изв. вузов. Строительство и архитектура. 一 1963. - № 6. - С. 3-10.
Сорокин В.В. Приближенный метод исследования больших прогибов и несущей способности упругопластических оболочек//Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1966. - № 4. - С. 81-87.
Срубщик Л.С. Выпучивание и послекритическое поведение оболочек.— Ростов^и-Дону, 1981. - 96 с・
С т р и к л и и Д.А. Статический и динамический расчет геометрически нелинейных оболочек вращения//Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Т. 1・-Л.: Судостроение, 1974. - С. 2,3-292
С т о л яр о в Н.Н., Д о д з ни а Р.Н. Об одном алгоритме исследования устойчивости гибких панелеЙ//Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций: Сб. статей. 一 Куйбышев, 1983. 一 С. 51-63.
Т е м и с Ю.М. Метод последовательных нагружений с коррекцией погрешности в геометрически нелинейных упругих задачах. — Прикл. проблемы прочности и пластичности: Сб. статей. — Горький, 1980. - № 16. - С. 3—10.
Темне Ю.М. Решение задач деформационной теории пластичности методом последовательных нагружений с ко冊екциеК погрешности//Уч. зап. ЦАГН.- 1983. — Т. 14. - № 5. - С. 80-89.
Т ерентьев В.Ф. О расчете осесимметричной деформации оболочек враще* ния из нелинейно-упругого материала с учетом изменения ф/мы срединной поверхности//Изв. ВНИИГидротехники. - 1969. - Выл. 91. - С. 239-253.
323・ Терентьев В.Ф., Господарнков А.П. Конечноразностный метод построения закритических решений в нелинейных задачах осесимметричной деформации упругих оболочек вращения//Механика деформируемых сред: Сб. Статей. - Куйбышев, 1976. - С. 88-94.
Терентьев В.Ф., Госпо дарико в А.П., Стрелковская В.И. Об одном классе конечно-разностных алгоритмов решения однопараметрических нелинейных краевых задач осесимметрической статической деформации оболочек вращения//Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 一 1977. — № 2. — С・ 189.
325・ Терентьев В.Ф., Кабрнц С.А. Численное построение диаграмм "Нагрузка — перемещение** в одномерных нелинейных краевых задачах теории стержней и оболочек с использованием метода ортогональной прогонки//Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1977. 一 № 2. - С・ 189-190.
Терентьев В.Ф., Кабр иц С.А., Г ос п о дар ик о в А.П. О применении итерационных методов линеаризации в нелинейных одномерных задачах статической устойчивости упругих систем//Механика деформируемого твердого тела: Сб. статей. - Куйбышев, 19,7. - С. 39-42.
Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. - М.-П.: Гостехиздат,- 1946.-531 с.
Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов с краткими сведениями из истории теории упругости и теории сооружений. - М.: Гостехиздат». 1957. 一 536 с・
Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. - М.: Наука, 1971.-807С.
Тихонов А.Н., Самарский А.А・ Уравнения математической физики.- М.: Гостехиздат, 1977. 一 736 с,
Томпсон Дж.М»Т. Теория катастроф и ее роль в прикладной механике//Тео- рет. и прикл. механика: Тр. 14-го Междунар, конгр. IUTAM, Дельфт, 30 авт.- 4 сект. 1976. - м” 1979. - С. 695—710.
Трошин В.Г. Об одном подходе к решению геометрически нелинейных задач технической теории оболочек//Прикл.. математика и механика. 一 1983. - Т. 47, № 1. - С. 101-107.
Трошин B.F. О решении физически и геометрически нелинейных задач технической теории оболочек//Изв, АН СССР. Механика твердого тела. 一 1985.- №3・一С 129-135.
Угодчнков А.Г., Коротких Ю.Г., Капустин С.А., Сайков Е.И., Паутов А.Н. Численный анализ квазистатических упругопластических задач оболочек и пластин//Тр. IX Всес. конф, по теории оболочек и пластин, 1973.- Л.: Судостроение, 1975. 一 С. 334—340.
Устинов ВЗ. Колебания трехслойных пластин и пологих сферических оболочек полигонального очертания в плане//Тр. МЭИ. — 197Х ~Вып. 104. ~ С. 139-140.
У с ю к и и В.И., К ор о в ай це в А.В. Об одном алгоритме решения задач деформирования мягких оболочек из высокоэластических материалов//Ме«аника эластомеров: Сб. статей. 一 1981. - С. 60Y5.
Федосов Ю.А. Об уточненном решении ^ютн устойчивости тороидальных оболочек//Расчеты на прочность. 一 Мл^Сашиностроение, 1976. - № 17.- С 243-248.
Филатов В.Н. Исследование закригического поведения пластин, находящихся в температурном поле//Науч. тр. Саратовского • политехи, ин-та. - 1970.- Вып. 49. — С. 63—69・
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. T.I. - М.: Наука, 1969. — С. 535-542.
Фролов А.Н. Нелинейная деформация оболочек вращения//Изв. АН СССР. Механика твердого тела, - 1973. — № 1. — С 157亠 162.
Фролов А.Н», X о д ц е в а^ ТМ Исследование нелинейного поведения тороидальной оболочки при внешнем давлении//Тр. X Всес. конф, по теории оболочек и пластин. T.I. - Тбилиси, 1975. - С. 698-703.
342・ Фок В.А. Дифракция радиоволн вокруг земной поверхности. - М.; Л.: АН СССР, 1946. - С. 42-44.
Хашимов Ж. К расчету нелинейных пластин й оболочек переменной толщи- нь(//Вопр. вычисл. и прикл. мат.: Сб. статей. - Ташкент, 1980. - № 62• — С. 132140.
Ц ы д з и к П・В. Применение метода малого параметра для решения задач о собственных колебаниях пластин, близких к прямоугольным//Прикл. математика и механика. - 1952. - Т. 16, № 3. 一 С・ 349-351.
Черных К・Ф・》Шубина И.М. Об учете сжимаемости резины//Механика эластомеров: Сб・ статей. -Т. 2. - 1972. - С. 56-62.
346・ Ч е т а е в Н.Г. Устойчивость движения. - М. - Л.: Гостехиздат, 1946. - 207 с.
Шалашилин В.И. Об одном методе сведения нелинейных краевых задач к задачам Кошц//Всес. научн.-техн. конф.: Применение машинных методов для решения краевых задач: Тез. докл. - М., 1976. - С. 51-52о
Шалашилин В.И. Метод сведения нелинейных краевых задач к задаче Коши. Большие прогибы непологих арок//Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 一 1976. 一 № 5・-С. 195.
Ш ал а ши л ин В・И. Большие изгибы круговой арки под равномерной нормальной нагрузкой//5^я Всес. конф, по проблемам устойчивости в строительно蔵 механике: Тез. докл. - Л., 1977. - С. 48-49.
-350. Шалашилин В.И. Взаимодействие круговой упругой арки с жесткой полу- плосксютыо//Изв. АН СССР. Механика тв^эд. тела. - 1979. 一 № 2. - С. 188.
Шалашилин В.И. Метод продолжения «по параметру и его применение к задаче больших прогибов непологой круговой арки//Изв. АН СССР. Механик! твердого тела. - 1979, - №4. - С. 178-184,
Шалашилин В.И. Большие прогибы круговой арки при взаимодействии с жесткой полуплоскостью//Прочность и устойчивость тонкостенных конструкций: Тр. МАИ. - 1979. - № 491. 一 С. 12-17.
Шалашилин В.Н・ Некоторые алгоритмы метода продолжения по параметру в нелинейных задачах теории упругости//Нелинейная теория оболочек и пластин: Тез. докл. Всес. конф, по нелинейной теории оболочек и пластин. - Казань, 1980. - С. 50-51.
Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру в задачах больших осесимметричных прогибов оболочек вращения//Тр. ХП Всес. конф, по теории оболочек и пластин. Т. Ш. - Ереван, 1980. - С. 264-271.
U1 а л ашил ин ВМ Продолжение по параметру в задачах устойчивости и собственных колебаний//Тр. Всес. симпозиума по нелинейным задачам теории пластин М оболочек. Устойчивость пластин и оболочек. 一 Саратов, 1981. 一 С 29-32.
356・ ШалашилиК В.М. Метод продолжения по параметру в одномерных нелинейных краевых задачах. Большие прогибы торообразной оболочки 〃 Всес. науч, совещ. по проблемам прочности двигателей: Тез. докл. - Л” 1981.- С. 51.
Шалашилин В.И. Алгоритмы метода продолжения по параметру для нелинейных уравнений деформируемых систем//М.: МАИ, 1981, 29 с./Деп. ВИНИТИ: РЖ 'ТИеханикаг — 1981. — 7В191.
Шалашилин В.М. Алгоритмы метода продолжения по параметру в нелинейных краевых задачах теории деформируемых систем. - М.: МАИ, 1981, 25 с./Деп. ВИНИТИ: РЖ “Механика”. - 1981. 一 7В193.
Шалашилин В.И. Продолжение решения в точках ветвления. — М.: МАИ, 1981,29 с./Деп. ВИНИТИ: РЖ “Механика”. 一 1981. - 7В192.
Шалашилин В.И. Уравнения больших осесимметричных прогибов упругих оболочек вращения в координатной форме//Прочность элементов конструкций летательных аппаратов: Сб. статей. - М.: МАИ, 1982. - С 70—73.
Шалашилин В.И. Алгоритмы метода продолжения для болыиих осесимметричных прогибов оболочек вращения//Численные и эксп^)иментальные методы исследования прочности, устойчивости и колебаний конструкций ЛА: Сб. ста- 如戯.-М.: МАИ, 1983. - С. 72-78.
362・ Шалашилин В.И. Об оптимальном и близких к нему параметрах продолжения решения нелинейных уравнениЙ//Вопросы строит, механики и прочности ЛА: Сб. статей. - М・：МАИ, 1985. 一 С. 103-109..
363・ Шал ашилнн В.И., Колесников И.Ю,, Лож кин О.Б., Нагаев В.А. Собственные колебания трапециевидных в плане плоских и сферических трехслойных панелеЙ//Ш Всес. симпозиум по механике конструкций из композитных материалов, Ленинакан, 1979: Тез. докл. - Ереван, 1979. — С. 93-94.
Шалашилин В.М., Колесников И.Ю., Ложкин О.Б., Нагаев В.А. Собственные колебания трапециевидных в плане плоских и сферических трехслойных пластин//Механика композитных материалов. — 1981. - № 2. - С. 238243.
Шалашилин В.И., Костриченко А.Б. Об оптимизации параметра продолжения решения Нелинейных уравнений//Тр. I Всес. симпозиума "Нелинейная теория тонкостенных конструкций и биомеханика9*. — Кутаиси - Ткибули, 22-24 мая 1985. - С. 482-485.
Шаманский В.Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ, ч. II. - Киев: Наукова думка, 1966. - 244 с.
Шаповалов Л.А., Семенов ВЛ” Клюев Ю.И. Нелинейное поведение и устойчивость тонких сферических оболочек при неосесимметричном нагруже- нии//Изв. вузов. Машиностроение. - 1984. 一 № 1. - С 16—19.
Шилькрут Д.И. О решении нелинейных задач теории пластин и оболочек методом малых нагружений//Тр. Кишиневского политехи, ин-та. 一 Вып. 4а.- 1965.-С. 121-125.
Шилькрут Д.И. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений//Журн. вьписл. математики н мат. физики. - 1965. — Т. 5,№ 4•- С 615-625.,
Ш к у т и н Л.Н. Определение критической величины давления для пологих конических оболочек//Тр. VI Всес. конф, по теории пластин и оболочек. - М.: Наука, 1966. - С. 849-852.
Яковлев М.Н. К решению систем нелинейных уравнений методом дифференцирования по параметру〃氷урн. вычисл. математики и мат. физики. - 1964.— T.4,№1L-C・ 146T49.
Яковлев М.Н. О некоторых методах решения нелинейных уравнениЙ//Тр. мат. ин-та им. В, Стеклова. - 1965. - № 84. - С. 8-40.
Ямада И., Е к о ш и У. Исследование конечной деформации осесимметричных плит н оболочек в приращениях//Расчет упругих конслрукций с использованием ЭВМ. Т. 2. 一 Л.: Судостроение, 1974. - С. 171-185.
Яценко М・Н. Об устойчивости цилиндрической панели под действием равномерно распределенного давления//Прикл. вопросы физики: Сб. статей. - Ростов-на-Дону, 1974. — С. 73-79.
А к к о ush Е.А., Toridis T.G., Khozeimeh K., Huang H.K. Bifurcation pre- and post*buckling analyse of frame structure丁/Comput. and Struct. — 1978 — V. 8•- №6. - P. 667-678.
А к у u z F.A., M a i win J.E. Solution of nonlinear problems of elastoplasticity by fmite element method//J. AIAA. 一 1968. - V. 6, № 10. - P. 1825-1831. (Pyc. nep.: Э к ю 3, M e p в н н. Решенне нелинейных задач упругопластичности методом дискретных элементов//Ракетная техника н космонавтика. - 1968. - № 6.— С. 3-10).
A n s е 1 о и е Р.М., Moore R.H. An extension of the Newtoii'-Kantorovich method for solving nonlinear equations with an application to elasticity // J. Math. Analysis Appl. - 1966. - V. 13, N 3. - P. 467—501.
A r g i г i s J.H. Recent advances in matrix method of structural analysis // Progress in Aeronautical Sciences. V. 4. 一 Pergamon Press, Oxford, London, 1963. (Pyc, nq>.: A p г и p и с Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с щжмжяием матриц. - М.: Стройиздат, 1968. — 241 с.)
А г g i I i s J.N. Elasto-plastic matrix displacement analysis of three-dimensional conti- nua // J. Royal Aeron. Soc. — 1965. — N 9. — P. 633—636.
A，t g i〔 i s J.H. Computer and mechanics // Theor. and Appl. MechJPrep. Proc. 14th IUTAM Congr., Delft, 1976. - Amsterdam e.a. - 1976. -V.5.-P. 261—302.
A r g i r i s J.H., Kelsey S., Kamal H. Matrix method ofstructuial analysis // AGARDograph N 72. - Pergamon Press, N.Y., 1964. — P. 157—201.
Baron F., V e nk a t e san M.S. Nonlinear analysis of cable and truss structures // J. Struct. Div.: Proc. Amei. Soc. Civ. Eng. - 1971,- V. 97. - N 2. - P. 321-334.
В a t о z J.L., D h a 11 G. Incremental displacement in nonlinear analysis//Int. J. Num. Meth. Eng. - 1979. - v. 14, N 8. — P・ 1262-1267.
Bellman R.E., К a 1 a b a R,E. Quasilinearization and nonlinear boundary-value problems. 一 N.Y., 1965. (Рус. пер.： Бе лл май Р., Кал аба Р. Кваэшшнеариэат ция н нелинейные краевые задачи. - М.: Мир, 1968. — 183 с.)
В е г g a n P.G.„ Но lan d I., Sor е ide* Т.Н. Use of the cunent stiffness parameter in solution of nonlinear problems //Energy Methods Finite Elem. Anal. — Chichester e.a., 1979. - P. 265-282.
В e r g a n P.G., H о rrigmoe G., Krakeland B., Soreide T.H. Solution techniques for non-linear finite element problems // Int. J. Num. Meth. Eng. — 1978.— V. 12, N 12.-P. 1677-1696.
Bifurcation theory 2nd nonlinear eigenvalue problems / Ed. by J.B.Keller, S. Antman — N.Y. Univers.: W.A. Bejamin INC, N.Y. - Amsterdam, 1969. (Рус, пер.: Теория ветвления и нелинейные краевые задачи на собственные значения / Под рея Келлера и Антмана. - М.: Мир, 1974. - 255 с.)
Biot М.А. Mechanics of incremental deformations. — N.Y.: John Willey, 1965.— 504 p.
Bittner L. Einige Kontinuierlische Analo^en von Iterationsverfahren // Funktiona- lanalysis. Approximations Theorie, Numerische Mathematik, ISNM7. — Basel; Birkhauser Veriag, 1967. - S. 114—135.、♦
В r e b b i a C.. Connor J. Analysis of geometrically nonlinear plates and shells by the finite element method 〃J. Eng. Meeh. Div.: Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. - 1969.— V. 95, N2.-P. 463-483.
В u c h n e 11 D. Computerized analysis of shells-governing equations // Comput. and Struct. - 1984. - V. 18, N 3. - P. 471-5 36.
Budiansky B. Theory of buckling and post-buckling behaviour of elastic structures // Advances in Appl. Meeh. — 1974. — V. 14. - P. 2—66.
Calhoun P.R., D a D e p p о D.A. Nonlinear finite element analysis of clamped arches//J. Struct. Eng.- 1983. 一 V. 109, N 3. — P. 599-612.
Connor J.J., L о g h e r R.D., Chan S.C. Nonlinear analysis of elastic framed structures // J. Struct. Div.: Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. - 1968. - V. 94, N6.-P. 1525—1547.
Conway H.D. Analogies between the buckling and vibration of polygonal plates and membranes // Can. Aeron. J. - 1960. 一 V. 6, N 7. — P. 263.
Conway H.D., Far nh a m K.A. The free flexural vibrations of triangular and some analogies// Int. J. Mee Sci. - 1965. — V. 7. - P. 811-816.
Crisfield M.A. A fast incremental/iterative solution procedure that handies*1snap- through"// Comput. Meth. Nonlinear Struct, and Solids Meeh.: Symp. Comput. Meth. Nonlinear Struct» and Solid Meeh； Washington D.C., 6—8 Oct., 1980. — Oxford e.fi., 1981.-P. 55-62.
Cxi sf ie Id M.A. A fast inciemental/iterative solution procedure that handles Mscap- through** // Comput. and Struct. — 1981. — V. 13, N 1. — P. 55-62.
Crisfield M.A. Numerical analysis of structuies // Developments in Thin-Walled ,Structures 1/Ed. by J. Bhodes and A.C. Walker. - London: Applied Science Publishers LTD, 1982. - P. 235-284.
DaDeppo D.9Sdunidt R. Large deflections and stability of hingless circular arches under interating loads // Trans. ASME. — 1974. — E41, N 4. — p. 898—994.
De D о n a t cr O. Iterative solution of the incremental problem for elastic-plastic structures with associated flow law叨Int•工 Solids Struct. - 1969. - V. 5, N 1.- P. 81-95.•
Distefano N., Todeschini R. A quasilinearization approach to the solution of elastic beams on nonlinear fbimdation //fait. J. Solids and Struct. — 1975. — V・ 11, N 1. - P. 89-97.
Dumir P・C Axisymmetric posthuckUng of orthotropic tapered thick annular plates // Trans ASME: J. Appl. Medi. - 1985. - V. 52, N 3. - P. 725-727.
404,Dvorkin E.N., Bathe KJ. On the automatic solution of non-linear finite element equations // Comput. and Struct.—1983. V. 17, N 5—6. — P. 871—879.
405 Eiler L. M^thoUs inveinendi Mnea^ curvas. 1774 (Рус. пер.： Эйлер Л. методы нахождения кривых лини#. - М.; Л.: ГТТИ, 1934. - С. 447 - 57祖
El-Zanaty M.H., Murray D.W. Nonlinear finite element analysis of steel frames// J. Struct. Eng.- 1983. - V. 109, N 2. - P. 353-368.
Family J., Aicher R.R. Finite asymmetric deformatioii of shallow spherical shells // J.AIAA. — 1965. — V,3,N3.— P.506—510. (Русскийперевод:^*эмили, Арчер. Конечные несимметричные деформации пологих сфертческих оболочек // Ракетная техника и космонавтака* -1965. 一 № 3. - С 151-15力.
V08.户 1 u g g е W., S о u b 1 LR. Stability of toroidal shells under uniform external pressure 〃 J. AIAA. - 1967. - V 5, N 3. - P. 87-90. ffye. п^>.： Ф л ю г г e, С о у б л. Устой«юосяь тороидальной оболочки, нагруженной постоянным внешним давлением 〃 Ракетная техника и космонавтка. 一 1967, № 3・ С 51-58.)
F 1 с k е n F. The continuation method for nonlinear functional equations // Comm. Pure Appl. Math. - 1951. — V. 4, N 2. — P. 435-456.
411.411.412. G ■ 1 芥412. G ■ 1 芥Friedrichs K.O. Perturbation of spectra in Hilbert space. - N.Y. University, 1965. (Рус. пер.: Фридрихе KQ・ Возмущение спектра опо>аторов в гальбф» ^“ 一 М・：Мир. 1969. — 232 с.)
411.
411.
412. G ■ 1 芥
412. G ■ 1 芥
ake M. A simple approach to bifurcation and limit point calcoulation// Int. Math. Eng. - 1985. - V. 21, N1. - P； 183-191.
lyris // Lelyris // LeN.Y., 1975.N.Y., 1975.415.Gandi M.L., Dumir analysis of orthotropic thin415.Gandi M.L., Dumir analysis of orthotropic thinе г R.H. Perturbation procedures in nonlinear finite element structural ana-
lyris // Le
lyris // Le
N.Y., 1975.
N.Y., 1975.
415.Gandi M.L., Dumir analysis of orthotropic thin
415.Gandi M.L., Dumir analysis of orthotropic thin
Notes in Math. — 1975. — N 461* — P. 75—90 / Computation Mechanics,
,Pad log J., Bijlaard P.P. Stress analyse of heating complex .Soc. - 1962. - y. 32, N 5. - P. 700-707.n g T.Y. Elastic instability prediction for double curved shells Methods in Struct. Meeh. - 1969. - AFFDL TR 68-150, Nath Yogendra. Nonlinearaxisymmetncstatic,Pad log J., Bijlaard P.P. Stress analyse of heating complex .Soc. - 1962. - y. 32, N 5. - P. 700-707.n g T.Y. Elastic instability prediction for double curved shells Methods in Struct. Meeh. - 1969. - AFFDL TR 68-150, Nath Yogendra. Nonlinearaxisymmetncstatic413.G a 11 a gh e r sh^es// J. Aeron'
,Pad log J., Bijlaard P.P. Stress analyse of heating complex .Soc. - 1962. - y. 32, N 5. - P. 700-707.
n g T.Y. Elastic instability prediction for double curved shells Methods in Struct. Meeh. - 1969. - AFFDL TR 68-150, Nath Yogendra. Nonlinearaxisymmetncstatic
,Pad log J., Bijlaard P.P. Stress analyse of heating complex .Soc. - 1962. - y. 32, N 5. - P. 700-707.
n g T.Y. Elastic instability prediction for double curved shells Methods in Struct. Meeh. - 1969. - AFFDL TR 68-150, Nath Yogendra. Nonlinearaxisymmetncstatic
414.Galagher R.H.r // Proc. 2d Conf, of P. 711-739.
and Struct.-1985.-V. 20, N £ pP^®s 限督 elastically restrained edge// Comput.
.rirattvHint T A Incremental finite element analyris of geomeV
娥 altered structures// Int. J.Nu . Meth. Eng.- 1984.- V. 20, N 11.-РЛ051-
Amei^ceav Em* W3 П Vw 可“*丫確睜*1 tg««〃 工 Struct. Div.： Proc. Amer. Soc. civ.N 伞»чл 741—756
Goldberg J.E., Meyers v,j, a stu^Xf gyved towers J 4tnirt Div Amer. Soc. Civ. fug. - 1965. - V. 9, N 4. _ £/Z、向认 Div. Proc.
Goldberg J.E., Richard R.M. Analysis of nonlinear structures // J. Struct. Div.: Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. - 1963. - V. 89, N 4. — P. 333-351.
Greenbaum G. A., Conroy D.C. Post-winkling behaviour of conical shell of revolution subjected to bending loads // J. AIAA. - 1970. V. 8, N 4. - 700—707. (Pyc.呻・：Г ринбаум, Конрой. Поведение нагруженной изгибающим мо* ментом конической оболочки вращения после коробления нов冊хностя 〃 Рак» ная техникам космонявтака. -1970. 一 № 4. - С. 116—125.)
Harrison D., Ward T.J.W., Whiteman J.R. Finite element analysis of plates with nonlinear properties // Comput. Meth. Appl. Meeh, and Eng. — 1982. 一 V. 34, N 1-3. P. 1019-1034.
H a v n e f K.S. On the formulation and iterative solution of small strain plasticity problems 〃 J. Quart. Appl. Math. - 1966. — V. 23, N 4. — P. 323-335.
Hofmaister L.D., Greenbaum G.A., E ve n se n D.A. Large strain ela$to plastic finite element analysis Ц J. AIAA. 一 1971. - V. 9, N 7. - P. 1248-1254. (Рус. пер.: Хофмейстр, Грии 6 ay м, И в e и с e н. У1фуго-пластеческий расчет больших деформаций методом конечных элементов 〃 Ракетная техника и космонавтика. - 1971. 一 № 7・ 一 С. 42-51.)
Hunt G.W., Wiliams K2.L Closed-form and asymptotic solutions for an interao tive buckling model//J. Meeh, and Phys. Solids. 一 1984. V. 32, N 2. — P. 101-118.
Hutchinson J.W. Plastic buckling // Advaces in AppL Meeh. — 1974. — V. 14.— P・ 67-145.
6.1 s a c s о n G. Discrete-element plastic analysis of structures in a state of modified plane strain // J. AIAA. 一 1969. — V. 7, N 3. — P. 545-547. (Рус. пер.： И з a к 匕。乩 电нменение метода конечных элементов к анализу пластических конструкций, находящихся в обобщенном плоско деформированном состоянии // Ракетная техникам космонавтика. 一 1969. - № 3. - С. 192—194.)
Jordan P.F. Buckling of toroidal shells under hydrostatic pressure // J. AIAA.- 1973. - V. 11, N 10. 一 P. 1439-1441. (Рус. пер.: Джордан. Потеря устойчивости тороидальных оболочек под действием гадростатаческого давления // Ра- кешая техника и космонавтика. —1973. 一 № 10. — С, 104-106.)
Kalnins A., L е s t i n g i J.F.On nonlinear analysis of elastic shells of revolution// Trans. ASME. - 1967. - E34, N 1. - P. 59-64. (Pyc. nq>.: К а л н и н с, Л e с т и h- г и. К нелинейной теории ущ)угости оболочек вращения // Прнкл. механика.- 1967• —№1・一С・ 69-76.)
Као R. A comparison of Newton - Raphson and incremental procedures for geometrically nonlinear analysis 〃 Comput. and Struct. — 1974. — V. 4, N 5. — P. 1091—1097.
Kar A.K., Okazaki C.Y. Convergence in highly nonlinear cable net problems // J. Struct.Div.:Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. - 1973. - V. 99, N 3. - P. 321-334.
К a s s i m a 1 1 A. Large deformation analysis of elastic-plastic frames // J. St1Px: Eng. - 1983.- V. 109. N 8. - P. 1869-1886.
Kawai I., Yoshimura N. Analysis of large deflection of plates by finj^iement method // Int. J. Numer. Math. Eng. - 1969. - V. 1, N 1. - P. 123-133. /
Keller H.B. Ninnerical methods for two-point boundary-value probteH- ~ artnaro- London:Blmdell Publ. Co. — 1968. — 184 P./ и
Keller H.B., Wolfe A.W. On the nonimique equilibrium s皿貶* 簪「e-
chanism of spherical shells // I. Soc. Ind. and Appl. Math. =，一 • 》■—
stic-plastic shells of revo- .-1970. - V. 96, N 3.-stic-plastic shells of revo- .-1970. - V. 96, N 3.-P. 674-705.
stic-plastic shells of revo- .-1970. - V. 96, N 3.-
stic-plastic shells of revo- .-1970. - V. 96, N 3.-
h of finite element method to axi-h of finite element method to axi-Khojasten-Bakht W., Popov E.P. Analysis^ lution /I J. Eng. Meeh. Div.: Proc. Amer. Soc. Qy P. 327-340.
h of finite element method to axi-
h of finite element method to axi-
Kikuchi F., Ohy a M., Ando Y. Appliz 川 c .
symmetric buckling of shaUow spherical shells 『external pressure // J. Nud. Sd.
and Technol. - 1973. - V. 10, N 6. - P. 339-J：''，““. _“
Kisner W. A numerical method forn(f°lutions of …如ear equations // SIAM J. Appl. Math. - 1964. - V. 12. -~ ：.—.
Kleinmichel H. Stetige Anriog^^1^ verftlwr fur nichtlinear Gl«- chungen in Banachiaumen // Math. Nach> 1 饗:二 v-3?14；_ . ,
Knapp R.H., SziUrd R 产冊蓍黑％? analysis of pseudocylmdncal shells // Acta techn. Acad. Sci. Hun声-"978. - V. 6- N 1-2. - P. 9-41.
К о d n a r R. Pouzitelnost Davidenkovey metody pre Karmanove rovnica pri rieseni problemov nonlineaniej te(Jrie stinlich stien // Stavebn. cfeop. -. 1965. - V. 13, N 9.- P. 564-572.
К о i t e г W.T. Elastic stability and post-buckling bechaviour// Proc. Sympos. on Nonlinear Problems / Ed. Langer R.E. — Univers, of Wconsin Press, 1963. — P. 257-275.
К о i t e r W.T. The application of the initial posMmddiog analysis to shells //Buckling Shells / Proc. State-of-the Art. Colloq., Univ. Stutgart, May 6—7, 1982. — Berlin e.a., 1982. - P. 3-11.
К г К t z i g W.B., Basar Y., Wittek U. Nonlinear behaviour and elastic stability of shells - teoretical concepts - numerical computations — resulting // Buclking Shells. Proc. State-of-the Art Colloq； Univ. Stuttgart. May 6—7, 1982. — Berlin e.a. 1982. - P. 19-56.
К r a t z ig W.B., Wittek U., Basar Y. Buckling of general shells theory and numerical analysis // Collapse: Bucld. Struct. Theory and Pract. Symp. London, 31 Aug.— 3 Sept., 1982. — Cambridge e.a.: Univ. Press, 1983. — P. 377-394.
К u b о r I. Nonlinear ^formation and buckling of shells weakened by holes of comp lex currilineai configurations // Collapse： Buckl. Struct. Theory and Pract. Symp. London, 31 Aug. — 3 S^J 1982. — Cambridge e.a.; Univ. Press, 1983.- P. 395—408.
L a g r a n g e J.L Sur la figure de collones. - Miseellenea Taurinecia, 1773, v, 5; Qlu- resde Lagrange. — 1868. 7 V. 2. - P. 125.,
Lahaye M.E. Une metode de resolution d'une cat^orie d'equations transcendentes // Compter Rendus hebdomataires des Mances de UAcademie des sciences. 一 1934.- V. 198, N 21. - P. 1840-1842.
Lahaye M.E. Solution of sistem of transcendental equations // Acad. Roy. Belg. Bull. / G. Sci. - 1948. 一 V. 5： - P. 805—822.
Lee S.-L., Rossow E.C. Large deflections and stability of elastic frames // J. Eng. Meeh. Div.: Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 一 1968. - V. 94, N 2. - P. 521-547.
Leissa A；W. Vibration of plates. — NASA SR-160. — i960. — P. 353.
Leonard J.W., Verma V.K. Double-curved element for Mooney - Rivlin membranes // J. Eng. Meeh. Div.: Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 一 1976. - V. 102, N 4.- P. 625-641.
Lin T.-H. Buclking of the nonelasticity со1шпп 〃 J. Aeronaut. Sci. — 1950. - V. 17, N 3. - P. 159-172. (Рус. пер.： Лин T.-X. Выпучивание иеупругой колонны // Механика: Сб. переводов и рефератов иностранной периодической лит. — 1951.— №4.-С. 61-83.)
Lyttleton R.A. The stability of rotating liquid masses. — Cambridge: At the University Press, 1953. - 150 p.
Mallet R.H., M a r c a 11 P.V. Finite element analysis of nonlinear structural // J. Struct. Div.: Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. — 1968. - V. 94, N 9・ 一 P. 2081-2105.
M а г c a 11 P.V. A comparative study of numerical methods of elastic-plastic analy* sis И J. AIAA. — 1968. - V. 6, N 1. - P. 157. (Рус. пер.： M a p к о л л. Срашштель ное исследование численных методов упругочшастического расчета // Ракетная техника н космонавтика. 一 1968. - № 1. - С. 188-190).
М а г с а 11 P.V., King JR Elastic-plastic analysis of two-dimensional stress systems by the finite element method // Int. J. Meeh. Sci. - 1967. - V. 9, N 1. - P. 142-155.
M a 11 i n H.C. On the derivation of stiffness matrices for analysis of large deflections and stability problems // Proc. Cont Matrix Methods in Struct. Meeh. - Ohio, 1966.- P. 157-172.
M e s c a 11 J. Large deflections of spherical shells under concentrated loads // Trans. ASME. - 1965. - E32, N 4. - P. 936—938. (Рус. пер.: M e с к о л л. Большие прогибы сферических оболочек под действием со^едоточенных нагрузок // Прикл. механика. - 1965. - №4. — С. 209-212.)
М a s с а 11 J. Numerical solution of nonlinear equations for shells of revolution // J. AIAA. - 1966. — V. 4, N 1]. - P. 2041-2043. (Рус. пер.: M e с к о л л. Численные решения нелинейных уравнений оболочек вращения // Ракетная техника и космонавтика. - 1966. - № 11. — С 220—223.)
Meyer G«H. On solving nonlinear equations with a one-parameter operator imbedding // SIAM J. Numer. Anal. - 1968. - V. 5, N 4. - P. 739-752.
M о n a sa F. Deflections of postbuckled unloaded elastoplastic thin vertical columns // Int J. Soiidsand Struct. - 1980. - V. 16, N 8. - P. 757-765.
N a T.Y., T u r s к i C.E. Solution of the non-linear differential equations for finite bending of a thin-walled by parameter differentiation Ц J. Aeronaut. Quart.- 1974. - V. 25, N 1. - P. 14-18..
N agarajan S., Popov E.P. Plastic and viscoplastic analysis of axisymmetric shells 〃 Int. J. SoUds Struct. - 1975. - V. 11, N 1. - P. 1一19・
N a у f e c h АЛ. Perturbation methods. — John Wiley, Inj 1973. (РУс. пер.: H а Й- ф э A.X. Методы возмущений. - M.: Мир, 1976. - 456 с.)
N а у f е с h А.Н., Mook D.T., Lobitz D.W., Sridhar S. Vibrations of nearly annular and circular plates Ц J. of Sound and Vibr. - 1976. 一 V. 8. - P. 75-84.
Navaranta D.R., Pain T.M.H., Witmer EE Stability analysis of shells of revolution by finite-element method // J. AIAA. — 1968. - V. 6, N 2. — P. 355361. (Рус. пер.: Наваранта, Пиан, Уитмер. Расчет устойчивости оболочек вращения методом дискретных элементов // Ракетная техника и космонавтика. -1968. - № 2. - С. 196-203.)
• 467. Needleman A. Post bifurcation behaviour and imperfection sensitivity of elasticplastic circular plates // Inf. J. Meeh. Sci. - 1975. - V. 17, N 1. - P. 1-13.
N e m a t a-N asset S., Shat off H.D. A consistent numerical method for the solution of nonlinear elasticity problems at finite strains // SIAM J. Appl. Math. - 1971.- V. 20, N 3..- F. 462-481.
Noor A.K. On making large nonlinear problems small 〃 Comput. Meth. Appl. Meeh, and Eng. - 1982. - V. 34, N 1-3. - P. 955-985.
Noor A.K., Peters J.M. Reduced basic technique for nonlinear analysis of structures // AIAA Journal. - 1980. - V. 18, N 4. — P. 455-462.
Noor A.K., Peters J.M. Tracing Post*Limit-Point Path with Reduced Basis Technique // Comput. Meth, in Appl. Meeh, and Engin. - 1981. - V. 28, N 2. - P. 217-240.
Noor A.K., Peters J.M. Recent Advances in Reduction Methods for Instability Analysis of Structures // Comput. and Sturct. - 1983. - V. 16, N 1-4. - P. 67-80.
Noor A.K.I., Peters J.M. Multiple-parameter reduced basis technique for bifurcation and post-buckling analysis of composite plates 〃 Int； J. Numer. Meth. Eng. 一 1983. - V. 19, N 12. - P. 1783-1803.
N о r d e 11 W.J., Crowford J.E. Analysis of behavioui of unstiffened toroudal shells // IASS Paper 4-4/Pacific Simp, on Hydiomechanically Loaded Shells, 1971.- Univ, of Hawaii, Honolulu, 1973. - P. 91-96.
Oden J.T. Numerical formulation of nonlinear elasticity deflection analysis of pla- tes//J. Eng. Meeh. EMv.: Proc. Amer. Soc. Gv. Eng. - 1967. - V. 93,N 2. 一 P. 235-255.
Oden J.T. Finite elements of nonlinear continua. - McGraw-НШ Book Co., 1972. (Рус. пер.: ОЛд e и Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. - М.: Мир., 1976. — 464 с)
Oden J.T., Key J.E. On some generalizations of the incremental stiffness relations for finite deformations of compressible and incompressible elements 〃 Nucl. Eng. Design. - 1971. - V. 15, N 1. - P. 121—134；
Oden J.T., Sato T. Finite analysis and displacements of elastic membranes by the finite element method // Int. J. Solids Struct. 一 1967. - V. 3, N 2. - P. 471-488.
Oliveira E.R.A., Pires E.C.B. A direct discrete method for buclking and postbuckling analysis of structures // Theor. and Appl. Meeh.: Prepr.Proc. 14th IUTAM Congr. Delft, 1976. 一 Amsterdam e.a., 1976. - P. 303—316.
Oliver J., Onate E. A total lagrangian formulation for the geometrically nonlinear analysis of structural uang finite elements. Part. 1. Two-dimensional problems. Shell and plate structures // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1984. - V. 20, N 12.- P. 2253—2281.
Ortega J.M., Rheinboldt W.C. Iterative solution of nonlinear equations in several variables. 一 N.Y.; L. - 1970. (Рус. пер.: Ортега Д., Рейнболдт В. Ит^ацконные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. -М.: Мир, 1975. - 588 с.)
Patisch Н. Geometrical nonlinear analysis of shells 〃 Comput. Meth. Appl. Meeh, and Eng. - 1978. - V. 14, N 2. - P. 159-178.
P a r i s c h H. Large displacement of shells inciuding material nonlinearities 〃 Comput. Meth. Appl. Meeh, and Eng. 丁 1981. 一 V. 27, N 2. — P・ 183-214.
Perrone N., Kao R. Large deflections of response and buckUng of partially and fully loaded spherical caps // J. AIAA. 一 1970. - У. 8, N 12. - P. 2130—2136. (Рус.
пер.： Перроне, Као. Болыиие прогибы и выпучивание частично и полностью нагруженных сферических оболочек " Ракетная техника и космонавтика.— 1970.-№ 12.-С. 23-30.)
485・Plat us Dj Uchiyama S. Very^torgexlefiection behaviour of correlated strips//!. А1ЛА. 一 1965. - V, 3,N 8. - P. 1549-1552. (Рус. пер.: Пл ат у с, У ч и я м a. Сильный изтб гофрированных панелей//Ракетная техника и космонавтика.- 1965. - № 8. - С 236Т138.)
Poiri care Н. Sur l^quilibred*une masse fluide animal d*un mouvement de rotation// Acta mathem. 一 1885. -V. 7. -P. 259-380.
Po iter-Ferry M. Imperfaction sendtivity* of a nearly double bifurcation point// Stab. Meeh. Continua: 2nd Symp., Niimbredit, Aug. 31 -Sept. 4,1981. 一 Berlin ел., 1982.-P. 201-214.
Popov EP” Yag hm ai S. Linear and nonlinear static analysis of axi^mmetrically loaded thin shells of revolution//Proc. 1st Intern. Congr. on Presure Ve^el Technob- gy. - ASME/Royal Netherlands, 1969. - P・ 237-245.
Pо s ki 11 TJ. Numerical solution of nonfinear structures//!. Struct. Div.: Proc. Amer.Soc.Civ.Eng,- 1967. - V. 9 3, N 4. - P・ 69-94.
Radhamohan S*., Se 11 ur A.V., Goldberg JJE. Stability of shells by parametric differentiation//J. Struct. Div.: Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. 一 1971. - V.97, N6・-P. 1775-1790.
491.Reissne r E. On the theory of thin elastic shells//H. Reissner Anniversary Volwne/ed. J.W. Edwards. - Ann Arbor, Mich. 1949. - P. 231 •
Richard RM, Bla^cklo ck J.R. Finite element analysis of inelastic structures//!. AIAA. 一 1969. — V.7, N3・ 一P.432-438. (Рус. пер.: Ричард, Блэкло к. Расчет неупрушх конструкций методом конечных элементов //Ракетная техника и космонавтика. - 1969, № 3. - С 59-66.Г
Riks Е. The application of Newton*s method to the problem of elastic stability// Trans. ASME. - 1972•- E39, N 4. - P. 1060-1065. (Рус. пер: Рикс. Применение метода Ньютона к задаче упругой устоЙчивости//Прикл. механика. 一 1972. 一 №4.-С. 204-210).
Riks Е. A unified method for computation of critical equilibrium states of nonlinear elastic systems//Acta Techn. Acad. Sci. Hung. 一 1978 (1979). - V. 87, N 1—2.- P. 121-141.
Riks E. An incremental approach to the solution of snap^ngandbudkling problems// lnt,J. Sofids and Struct. 一 1979.-V. 15.N7.-P. 529-551.
Riks E. Some computational aspects of the stability analysis of nonlinear structures// Comput. Meth. Appl. Meeh, and Eng. - 1984. - V. 47, N 3. - P. 219—25—
Roberts S.M., Ashwell D.G. The use of finite element midincrement stiffness matrices in the post-budtlinx ana^sis of imperfect structures//Int. J. Solids Struct.— 1971. - V. 7,N 7•- P. 805-823.
Roberts S.M., S h i p m a n J.S. Continuation in shooting methods for two- point boundary value problems // J. Math. Anal. Appl. — 1967. 一 V. 18, N 1.— P. 45-58.
Roberts S.M., Shipman J.S. The extended continuation method and invariant imbedding//；. Math. AnaL Appl.- 1974. - V.45.N 1. - P. 32-42.
Ro о rd a J. The budding behaviour of imperfect structural systems//!. Meeh. Phys. Solids. - 1965•- У. 13, N 5. — P. 267-280.
Roоrda J. Stability of structures with small imperfections//!. Eng. Meeh. Div.: Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. - 1965. — V.91» part 1. -P. 87-106.
Rot her t H.9 Dickel Т.» Renner D. Shap4rough budding of reticulated space trusses//!. Struct. Div.: Proc. Amer. Sic. Civ. Eng. - 1981. — V. 107, Nl.— P. 129-143.，
Samuels P. Bifurcation and limit point instability of dual egenvalue third order systems//Int. J. Solids and Struct. — 1980. — V. 16, N 8. — P. 743—756.
4.Samuels Р.» Stevens J. Instability of dual eigenvalue fourthorder system//」. Struct. Meeh. - 1982. - V. 10, N2.-P. 209-225.
5.Schmidt E. Zur Theorie linearen imd nichtlinearen Integralgleichunjcen. Teil 3. Ober die Auflosungen der niditlinear IntegralgluchuhKen und die Verv^gung ihrer Ldsunger//Math. Ann. - 1908. 一 S.65.
6.Schmidt LA., Bogner F.K., Fox RX. Hnite deflection structural analysis using plate and cylindrical shells discrete elements//!. AIAA. - 1968. 一 V. 6, N 5.- P・ 781—792. (ftrc. пер.： Ш м и т> Б о г н e p, ф о к с. Расчет конструкций при конечных прогибах с использованием дискретных элемежгов пластин н оболочек// Ракетная техника и космонавтика. 一 1988. - №工-С. 17-29.)
Schmidt R・.Da Depp о D.A. A survey of literature on large deflections of non^ullow aithes. Bibliography of finite deflections of straight and curved beams, rings and shallow arches // J. Industr. Mathem. Soc. —1971. — V. 21, N 2. - P. 91 —114.
Schmidt R・,Da Deppo D. Buckling and postbuckling behaviour of Wgh-rise arches with large prebuckling deflections Ц Ind. Math. -1978.—V. 27, N 2.- P. 61-74.
S e k h а г R.B., Alwar R.S. h>st-buckliQg analysis of orthotropic annular plates" Acta Meeh.- 1981. 一 V. 39, N 3-4. 一 P. 289-296.
Seth B.R Transverse vibrations of rectilinear plates 〃 Pioc. Indian Acad. Set Sec. A. 一 Jan. 1947. - V・ 25. _ P. 25-29.
511» S e.w 61 M.J. The static pertuibation techxuquo in buckHiig problems // J. Meeh. Phys. Sofids. - 1965. 一 V. 13, N 4. - P. 247-265.
S h а г If i P., Popov E.P. Nonlinear finite element analysisof sandwich shells of revolution // J. AIAA. - 1973. — V・ 11,N 5. - P. 715-722, (Рус.пер. Шар иф иг П о п о в. Нелинейный анализ трехсменных оболочек вращения методом конечных элементов // Ракетная техника и космонавтика. - 1973丄"№ 5・—С176—185.) 513•家тТТЪ~ Е.А. Space truss nonlinear analysis // J. Stnict. Eng. — 1984. — V. 110, N4.-P. 688-705.
So Itis A. A., Christiano P. Finite defomiations of biaxially loaded columns// J. Struct. Div.: Proc. Amer. Soc. Civ. Exig. - 1972. - V. 98, N 12. — P. 2647-2662.
・ Stricklin J A., Haisler W.E. Computation and solution procedures for nonlinear analysis by combined finite element — finite difference methods // Computer and Struct. 一 1972. -V.2,N 5/6. - P. 955-974.
Stricklin J A, Haisler W.E., MacDougall H.R., Stebbins F.J. Nbnlineax analysis of shells of revolution by the matrix displacement method 〃 J. AIAA. — 1968. — V. 6, N 12. — P. 2306—2312. (Рус. nep.: Стриклин, Хейслер, Макдоугал, Стеббинс. Расчет оболочеквращошяматричным методом перемещений в нелинейной постановке // Ракетная техника и космонавтика. -1968. 一 № 12. - С. 82-89.)
Stricklin J.A., Haisler W.E., Reisman W.A. Geometrically nonlinear' analyas by the direct stiffness method 〃 J. Struct. Div.: Proc. Amer. Soc. Civ. Epg.- 1971. - V. 97, N 9・-P・ 2299-2314.
S tiicklin JA., Haisler WE, Reisman W.A. Evaluation of solution procedures for material and/or geometricaUy nonlinear structural analysis // J. AIAA.» 1973. — V. 11. N 3. — P. 292-299. (Рус, пер.: Стри к л нн, X ой сл ер, Ризе м а н. Оценка методов решения задач строительной механики, нелинейность которых связана со свойствами материала и геометрии // Ракетная техника и космонавтика. - 1973, № 3. — С. 46-57.)
-S t u m р f Н. On the nonlinear buckling and posbbuckling analyst of thin elastic Shells " Int J. Nonlinear Meeh. - 1984. — V. 19, N 3. - P・ 195-215.
Suieshwaro B., Lee L.H.N., A r i m a n T. Inelastic buckling of shaUow spherical shells under external pressure - // Trans. ASME. — 1973. — B95, N1.— P. 208-214.
Thompson JJM.T. Basic princ 如 les in the general theory of elastic stability // J. Meeh. Phys. Solids. - 1963. - V. 11, Nl.-P. 13-20.
Thompson JM.T. Discrete branching points in the general theory of elastic sta- bffity // LMeeh.Phys. Sotids. - 1965. - V. 13,N5.-P. 295-310.
Thompson J^l.T., Hunt G.W. A general theory of elastic stability. — London： G'.Wiley interscience publ., 1973. — 322 p.
Th ompson J.M.T., Hunt G3V. Towaids a unified bifurcation theory // J. Appl. Math, and Physics. - 197s. — V. 26. - P・ 581-603.
Thompson JJM.T., Walker A.C. The non-linear pertuibation analysis of dis・ Crete structural systems // Int. J. Solids Struct. -1968. 一 V. 4, N 8・-P. 757-768.
Thurston G. A numerical solution of the nonlinear equations for axisymmetrical bending of shallow spherical shells // Trans. ASME. -1961. - E28, N 4. - P. 557-562.
(Рус nep；i Та р с т о н. Численное решение нелинейных уравнений изгиоа пологих сферических оболочек // Прикл. механика. 一 1961. — N® 4. — С. 85—91.)
Thurston G.A Continuation of Newton's method through bifurcation points // Trans. ASME. - 1969. 一 E36, N 3・一P. 425-430. (Рус. пер.: Тёрстон. Продолжение метода Ньютона qq＞值 точки бифуркации Ц Прикл. механика. 一 1969.- № 3・-С. 44-52.)
Thurston G. A A new method for computing axisymmetric buckling of spherical caps// Trans, ASME. - J971. - E38, N1. - P. 179-184. (Рус. пер.: Тёрстон. Новый метод расчета осесимметричного вьтучивания сферических куполов // Прикл. механика. - 1971. — № 1. - С 170-177.)
Turner M.J., Dill Е.Н., Martin H.C., M e 1 о s h R. J. Large deflections of stiuctures subjected to heating and external loads // J. Aero / ®ace Sci. - 1960.- V. 27, N L - P. 97—106,127.
T u r n e r J. J., Martin RC., Weikel R.C* Further development and 叫 plica* tions of the stiffness method// AGARDograf N 72. — N.Y.: Pergamon Press. - 1964.- P. 202-266.
Veionda D.RM Neingarten V.I. Stability of hyperboloidal shells // J. Struct. Div.: Proc. Amer. Rc. Civ. Eng. - 1975. - V. 101, N 7. - P. 1585-1602.
Wada H., Taki Y., Takamura T„ Nishimura T. Nonlinear analysis of plates and shells by the incremental procedure using a mixed model of the finite element method 〃 Bull JSME.- 1980. - V. 23, N 186. - P. 1945 -1951.
Walker AC, Hall D.G. An analysis of the large deflections of beam using the Rayleigh — Ritz finite element method 〃 J. Aeronaut. Quart. — 1968. — V. 19, N 4.— P. 357-367.
Wang S«S.—K., Roberts S・B. Plastic buckling of pointJoaded spherical shells // J. Eng. Meeh. Div.: Proc. Amei. Soc. Civ. Eng. - 1971. - V. 97, N L - P・ 77-93.
Wasz^zyszyn Z. Numerical nonlinear analysis of structural instability // Stab. Meeh. Continua. 2 Symp. Numbrecht. Aug. 31 - Sept. 4,1981. - Berlin ел., 1982.- P. 297—305.
Waszczyszyn Z. Numerical problems of nonlinear stability analysis of elastic structures // Comput. and Struct. - 1983. - V. 17, N1. - P. 13-24.
Watson L.T., Holzer MH Quadratic convergence of Ciisfleld*s Method Ц Comput. and Struct. — 1983. - V. 17, Nl.-P. 99-72.
Wei mi t s h k e M.J. On the calculation of limit and bifurcation pointa in stability problems of elastic shells // Int； J. Solids and Struct. - 1985. - V. 21, N 1 ・-P・ 79-85.
W e m p n e r G.A. Discrete ^)pioximations related to nonlinear theories of solids // Int. J. Scdidsand Structures. - 1971. - V. 7, N IL - P. 1581-1599.
Wi s s m a n J.W.； Hauck C. Efficient elastioplastic finite element analy 班 s with higher order stres'oint algorithms 〃 Comput. and Struct - 1983. — V. 17, N 1.- P・ 89-95.
Yang T.Y. Elastic postbuckling predications of plates using discrete element" J. AIAA. - 1971. - V. 9, N 9. - P. 1665-1666. ffye. rep.: Йонг. Определение упругого закритического поведения пластин методом конечных элементов // Ракетная техника и космонавтика. - 1971. - № 9. - C.3-S.)
Y a ng T.Y. Finite di^lacement plate flexure by the use of matrix incremental approach // Int. J. Numer. Math. Eng. - 1972. - V. 4, N 3. - P. 415-432.
Yang T.Y., S aigal S. A curved quadrilateral element for static analysis with geometric and material nonlbearities // bit. J. Numer. Meth. Eng. - 1985. — V. 21, N 4.— P・ 671-635.
Zarghamee M.C, Shan J.M. Stability of space frames // J. Eng. Meeh. Div.: Proc. Amer. Soc. Gv. Eng. 一 1968. - V. 94, N 2. 一 P・ 3 71—384.
Zienkiewicz O.C. The finite element method in structural and continuum mechanics. -London: McGraw IfiH Ltd, 1967. — 272 p.
Zienkiewicz O.C The finite element method in engineeiing science. 一 London: McGraw 1ЕП, 1971. (Pyc. nep.: 3 енкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. - 541 с.)
Zienkiewicz О.С., V a lliap р an S., King J.P. Ehsto-plastic solutions of engineering problems: "Initial stress** flnite element "pmach // Int. J. Numei. Meth. Epg. 一 1969. - V. 1, N1. - P. 75-100.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абовский Н.П. 201
Адясова Н.М. 201
Азархин А.М. 201
Александров А.В. 201
Алексеева О.В. 205
Альтенбах И. 216
Амельченко В.В. 201, 212,
215
Андреев Л.В. 202
Андреева Л.Е. 202
Андрианов Н.Н. 47
Артолвд В.И. 82
Аронсон А.Я. 202
Ахалая Т.Г. 207
Баженов В. А. 188,202, 207
Байтуреев К 203
Бандурин НГ. 203
Бахвалов НС 16, 203
Бахромова З.Н. 207
Бернулли Я. 7
Бетев Ю.В. 203, 215
Бидерман В.Л. 203
Био 193
Биргер НА 203
Болотин В.В. 42
Бублик Б.Н. 203
Будянский Б. 203
Булгакова ME 213
Булыгин А.В. 203
Бураго Н.Г. 203
Бутенко Ю.В. 203
Вайнб^>г Д>В. 203
Вайнберг М.М. 204
Вайникко Г.М. 212
Валишвили Н.В. 187, 204
Ванько В.И. 204
Варченко А.Н. 82
Вемпнер 180,192
Вериженко В.Е. 204
Витязева Е.В. 216
Власов В.З. 15, 83, 178,
182,185. 204
Воеводин В.В. 200, 204
Волошин ЕЛ. 204
Вольмир А.С. 204
Ворович И.И. 19, 20, 83, 204
Вулйх Б.З. 200
Габберт У, 216
Гаврюшин С.С 204
Гавурин МК. 16,179, 205
Гайдайчук Е.А. 202, 205
Галимов Н.К. 205
Ганеев МС. 205
Гильман АА. 205
Гильман Г.Б. 205
Гиорхелидзе ДШ. 204
Годунов СК. 83, 84, 85,
91,187, 205
Голуб Г.П. 207
Гольде Г. А 205
Горлач ЕА 205
Городецкий А.С 205
Господафиков А.П. 206, 207
Гоцуляк Е.А. 202, 203, 205, 206, 207
Григолюк Э.И. 206
Григоренко Я.М. 207
Григорьев И.В. 207
6>удев И.Д 207
ГузьО.М. 207
Гуляев В.И. 202, 203, 205, 206,207
Гуляр А.И. 208, 216
Гурвиц Г.А. 201
Гусейн-Заде С.Й. 82
Давиденко ДФ» 15, 178, 179, 184, 186, 188, 189,193, 208
Да Детшо Д. 106
Данкерт Ю. 216
Дворкина СЕ. 216
Демянчук В.С. 207, 208
Дербасов А.П. 208
Деревянкина В.С 208
Дехтярюк Е.С. 202
Джозеф Д.82
Линник А.Н. 208
Дмитриев Л. Г. 208
Додзина P.HL 208, 217
Дымников СИ. 208
Жглов А.В. 208
Екоши У. 219
Емельянов М.С 208
Ермишев В.Н. 206
Еругин И.П. 208
Ершов Н.Ф. 208
Железнов Л.П. 208, 209
Жислин В.Я. 203
Заболоцкий СВ. 202, 206
Забрейко П.П. 212
Заварыкин ЛТ. 150
Здоренко В.С 205
Зипалова В・6. 19, 20, 83, 204, 208
Зубов Л.М. 209
Исаханов Г.В. 209
Йосс Ж. 82
Кабанов В.В・ 206, 208, 209
КабрицСА. 209,217
Калинина КГ. 210
Кантор Б.Я. 210
Као 195
Капустина С А. 201, 218
Кч>а<жк М.И. 210
Кармашин АВ. 210
Кч>пов В.В. 210
Кархалев В・Н・ 208
Кеббель В.В. 210
Кей ДЕ. 214
Кешшер X 209, 210, 216
Киричевский вК. 209,210, 216
Киричук А. А. 206, 210
Юфия В.С 177, 178, 210
Кислов В.В. 213
Кислоокий В.Н. 211, 216
Юшмшюв В.И. 211
Клюев Ю.И. 219
Койтер 181
Колесников Г.Н. 211
Колесников И.Ю. 211, 218
Коломоец А. А. 211
Колпак Е.П. 209
Коннер Дж. 192, 211
Корнеев B.G 211 -
Корнейчук Л.Г. 211
Корнишин МС 211
Коровайцев А.В. 211, 218
Коровкин ВС 212
Коротких Ю.Г. 218
Костричеико А.Б. 218
Кочык 3. 216
Кошелева Т.И. 212 10>асносельскиЙ М.А. 212
Кривошеин И.В. 212
10>ышсо В.А 201, 2И>
212
々юксв Н.Н. 207
Кубар И. 206
Кубенко В.Д. 212
Кузнецов В.В. 212
Кузнецов Э.Я 213
Кукуджанов В.Н. 203
Курдюмов А・А 83； 184, 213
Куроедов В.В. 212, 213
Куцемако А.Н. 211
Лавендел Э.З. 208
Лагранж Ж.Л. 7
Лазй М. 14,15,35,40» 59,
126, 177, 179, 186, 188,189
Лебедев А.Г; 202, 213
Леверье У. 13
ЛеЙсса 162
Лизунов П.П. 207, 213
ЛинХ.-Х. 182, 189,193
Лиловев Ю.В. 213
Литлетон 181
Ложкин О.Б. 219
Лопатенко А.П. 202
Лукаш ILA 213
Ляпунов А.М. 22.73,179, 181, 213
Лясковец В. А. 210
Макеев А.Ф..213
Мамай В.И. 206.
М^кол 194
Маркушин А.Г. 202
М冊чукГ.П 213
Матевосян Р.Р. 213
Мельниченко Г.И. 206, 207,213
Месколл 187
Милейковский И.Е. 213
Минакова Н.И. 204
Михайлов Б.К. 210
Михлин СГ. 210
Морин Р. 192, 211
Морозов Н.Ф. 14, 177, 213,214
Музыкантский АН. 214
Мукоед АН. 207
Муртазалиев F.M. 216
Муштари Х.М. 211, 214
Мяченков ВМ 210
Нагаев В.А. 219
Найфе А. 175
Неверов В-В. 214
Неверов И.В. 202, 214, 215
Немиш Ю.Н. 214
Ненастъева В.М. 209, 214
Никиреев В.М. 214
Никитин А.П. 214
Никитки П.И. 214
Никитин GK. 203
Николаев АП 203
Новожилов В.В. 214
Нолвде Г.А 201
Ободан Н.И. 202, 213
Овсеенко СЮ. 159
Овчинников И. Г. 213, 214, 215
Оглобля А.Н. 202, 214
Оден Д.Г. 214
(^>лов Н.Н. 205*
Осташевский А.Я. 214
Пайан Т.Х.Х. 214
Паймушин В.Н. 206
Паксютова £.В. 214
Папкович П.Ф. 185,188
Паутов А.Н. 218
Пахомова Л.А. 214
Перельмутер АВ. 215
Петров В.В. 15, 83, 17& 182, 183, 1«5, 202, 203, 205, 210, 212, 213,215
Петровский АВ. 202
Попов АН, 208
Попов Е.П. 215
Поскитг 194
Постнов В.А. 211, 215, 216
Прегер Л.М. 216
Пуанкаре А. *13, 23, 25, 179,181
Пшеничнов Г.И. 203
Раздольский А.Г. 216
Райзер В.Д 216
Рейсснер Э. 187
РиксЕ. 20,180,192
Римский Р.А. 214
Рогов АН. 216
Рутицкий Я.Б. 212
бмфский А.А. 217
Санков Е.И. 218
Сахаров АС 208, 209, .211,216
Саченков А.В. 205
Свирский И.В. 216
Северов С П. 216
Семенов В.П. 219
Семенов П.К. 215
Сидоров В.Н. 213
Скуратовский М.Н. 216
Слезина Н.Г. 215, 216
Слепян Л.И. 216
Соколова Т.А. 217
Сорокин В.В. 217
Сосис ILM. 208
Срубщик Л.С. 217
Сгеценко В. Я. 212
Столяров Н.Н. 217
Сгрелковская В.И. 217
Стренг Г. 200
Стриклин ДА. 195, 217
Судавцева Г.К. 207
Тварчрелидзе А.К. 204
ТемисЮМ 203. 217
Теренпев В.©. 206, 209, 217
Терстон 181,187
Ъ<мошенко С. ПЛ 16,217
ТЙхонов АН. 217
Томпсон Дж. М.Т. 23,74, 181,217
Тонг П. 214
Т^еноган ВА 204
Трошин ВТ. 214, 217
Трушин СМ 213, 214
Туманова О.В. 207
Угодчиков А.С. 218
Устинов В.Ф. 218
Усюкин В.И. 211,218
Федорова А.Г. 202
Федосов Ю.А 218
Филатов В.Н. 210, 215, 218
Фихтенгольц Г.М. 218
Фок В. А. 177, 218
Фреше 17,179 фридрихс 170
Фролов А.Н. 207, 210, 212,214,218
ХаЙспер 195
Хант Г. 23
Хатчинсон Дж. 203
Хашимов Ж. 218
Ходцева Т.И. 218
Цыдзик ПЛ. 218
Цыхяновский В.К. 211
Черных К.Ф. 209,218
Четаев Н.Г. 181,218
Чушш В .В. 211
Шалашилин В.И.207,210, 211, 218
Шаманский BE 219
Шаповалов Л .А. 219
Шевченко А.€. 202
Шевченко В.Н. 205, 208
Шепелева В.Г. 204, 209
Шестериков С4・ 204
Шилькрут Д.И. 219
ШиповскиЙ И.Я. 211
Шкутин Л.Н. 219
Шмцдт Б. 22, 73, 179, 181
Шмцдт Р. 106
Шубина И.М. 218
Щепкина Е.Д. 209
Эйлер Л. 7, 106, 109, 221
Яблонко Л・С・ 201
Яковлев М.Н. 219
Яковлева Л.С. 219
Ямада И. 219
Ярославский В.И. 215
Яценко М.Н. 204, 218
Akkoush ЕЛ. 220
Akyuz F.A. 220
Ando Y. 222
Anselone P.M. 220
Antman S. 220
Archer R.R. 221
A®i”・H. 220
Ariman T. 226
Ashwell D.G.225
Baron F. 220
Bathe KJ. 221
Basar Y. 223
Batoz J.L. 220
Bellman RE 220
Beigan P.G. 220
Byiaard PR 221
Biot M.A. 220
Bittner L. 220
Blacklock J.R. 225
Bogner FK・ 226
BrebbiaC. 220
BuchneUD. 220
Budian或у В. 220
Calhoun P.R. 220
Chan SC. 220
Connor J J. 220
Conroy D.C. 222
Conway H.D. 220
Crisfield MA・ 221
Cristiano P. 226
Gowfon! J・E. 224
Da Deppo DA. 220, 221, 226
De Donato 0.221
Dhatt G. 220
WckelT. 225
DiU E.H. 227
Distefano N. 221
Dumb PC 221
Dvorkin EN. 221
EUer L. 221
El-ZanatyM.H.221
Evensen DA. 222
FamUy J. 221
Farnham K4・ 220
Flugge F. 221
Fox R.L. 226
SoublL.R. 221
Fidcen F. 221
Friedrichs K.0.221
Fiyikake MA 221
Gallagher R.H. 221
GandiMX.221
Gaunt J.T. 221
Ghaboussi J. 221 GoldbeigJ.E. 221,225 Greenbaum G.A. 222
Harrison D. 222
Haudc C. 227
HavnerK-S. 222
Haislet W.E. 226
Hall D.G. 227
Hant G.W. 222
Hatchinson J.W. 222
Hofmaister L.D. 222
Holand 1.220
Holzer M.H. 227
Horrigmoe G. 220
Huang H.K. 220
Hunt G.W. 226
Isacson J.W. 222
Jordan P.E.222
KalabaR.E.220
Kalnin8sA 222
Kamal H. 220
KaoR. 222,225
Kar AK 222
Kawai 1.222
KeUer H.B.222
КеПет J.B. 220
Kebey S. 220
KesiinaUA. 222
KeyJ.E.224
Khojasten—Bakht W. 222
Khozeimeh K. 220
Kikuchi F. 222
King J.P. 223,227
Kisner W. 222
KleihmichelH. 222
Knapp P.H. 222
KodnarR. 223
KoiterW.T. 223
Kiakeland B. 220
KratzjgW.B. 223
Kuboz I. 223
Lagrange J.L. 223
Lahaye M・E. 223
LeeL.H.N. 223
Lee S.-L. 223
Leissa A.W. 223
Leonard J.W. 223
LestingiJ.F. 222
LinT.-H. 223
Lobite D.W. 224
Logher R.D. 220
Lyttleton RA. 223
Mac Dougal H.R. 226 MaHet P.V. 223 MarcalP.V. 223 Martin H.C. 223 Marwin J.E. 220 Melosh RJ. 227 MescaUJ. 223
Meyer G.H. 223 Meyers V.J. 221
Monasa F. 223
Mook D.T. 224 Moore R.H. 220 Murray D.W. 221
№T.Y.224
Nagai^an S. 224 Nath Yogendra 221 NayfechA.H.224 Navaranta D.R. 224 Needleman A. 224 Neingarten V.I. 227 Nishimura T. 227 Noor AK 224 NordeUW.J. 224
OdenJ.T. 224 OhyaM. 222 Okazaki C.Y. 222 Oliveira E.RA. 224
Oliver J. 224 Onate E. 224 Ortega J.M. 224
Padlog J. 221 PiunT.M.H. 224
ParischH.224 Pecknold D.A. 221 Perrone N. 225 Peters JM 224 Pires E.C.B. 224
Platus D.L. 225
Poincare H. 225
Poiter-Ferry M. 225
Popow E.P. 222» 225,226
PoskittTJ. 225
Radhamohan S.K. 225
RheinboldtW.C.224
Reisman W.A. 226
Reissner E. 225
Renner D. 225
Richaid R.M. 222,225
RiksE. 225
Roberts S.B. 227
Roberts S.M. 225
Roorda J. 225
Rossow EC 223
RothertH. 225
Saigal S. 227
Samuels P. 225
Sato T. 224
Schmidt E. 226
Schmidt LA 226
Schmidt R. 221, 226
Sekhar R.B. 226
Seth B.R. 226
Setlui A.V. 225
Sewel MJ. 226
ShanLM. 226
ShariflP. 226
Shipman J.S. 225.
Smith E<A. 226
Soltis A.A. 226
SoreideT^. 220
Sridhar S. 224
Stebbins F.L 226
Stevens J. 225
Stricklin J.A. 226
Stumpf H. 226
Sureshware B. 226
Szilard R. 222
Takamura T. 227
TakiY. 227
Thompson J.M.T. 226,2
Thurston G.A・ 227
Todeschini R. 221
ToridisT.G.220
Turner MJ. 227
Uchiyama S. 225
Valliapan S. 227
Venkatesan M.S. 220
Verma V・K. 223
Veronda D.R. 227
WadaH. 227
Walker A.C. 227
Wang S.S.-K. 227
Ward TJ.W. 222
Waszczyszyn Z. 227
Watson L.T. 227
Weinitshke MJ. 227
Wempner G.A. 227
Whitman J.R. 222
Wiliams K.AJ. 222
Wissman J.W. 227
Witmer E.E. 224
Wittek U. 223
Wolft A.W. 222
Walker A.C. 227
Yaghamai S. 225
YangT.Y. 221,227
Yo函imura N. 222
Zarghamee M.C. 227
Zienkiewecz O.C. 227
Эдуард Иванович Григолюк, Владиьшр Иванович Шалашилин
ПРОБЛЕМЫ НЕЛИНЕЙНОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ:
Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тел!
Редактор И.М. Бокова
Художественный редактор Т.Н.Кольченко
Технические редакторы СВ. Геворкян, СН Баронина
Корректоры Е.Ю. Рычагова, ЯЛ Круглова, Т.В. Обод, ТА. Печко
Набор осуществлен в издательстве на наборно-печатающих автоматах
ИБ № 32649
Сдано в набор 14.08.87. Подписано к печати 14.12.87. Т—24279
Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная № 1
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная
Усл.печ.л. 14,5 • Усл.кр.-отт. 14,5. Уч.»изд.л. 15,95
Тираж 2150 экз. Тип. зак. 10«з Цена 3 р. 60 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство "Наука"
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства "Наука"
630077 г. Новосибирск-?7»ул.Станиславского, 25