Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
This is a volume in
WAVELET ANALYSIS AND ITS APPLICATIONS
Charles K. Chui, Series Editor
Texas A&M University, College Station, Texas
An Introduction to
Wavelets
Charles K. Chui
Department of Mathematics
Texas A&M University, College Station, Texas
К. Чуи
ВВЕДЕНИЕВЭЙВЛЕТЫ
Перевод с английскогоЯ. М. Жилейкина
Academic Press
San Diego • New York • Boston • London • Sydney • Tokyo e Toronto
Рекомендовано Научно-методическим советом по математикеУчебно-методического объединения университетовдля использования в учебном процессе для студентов вузовпо специальности «Прикладная математика»
Москва «Мир» 2001
УДК 519.6
ББК 22.193
487
Чуи Ч.
487 Введение в вэйвлеты: Пер. с англ. — М.: Мир, 2001.— 412 с., ил.
ISBN 5-03-003397-1
Учебное пособие по теории вэйвлетов — одному из активно развивающихся направлений теоретической и прикладной математики, написанное известным американским специалистом по вычислительной математике. Книга написана так, что от читателя требуется только знание основ теории функций и вещественного анализа. В книге содержатся формулировки и доказательства всех основных положений теории вэйвлетов, большое внимание уделено частотно-временной обработке сигналов, дано много примеров, иллюстрирующих применение теории. Изложение отличается простотой, ясностью и лаконичностью.
Для студентов высших учебных заведений, специализирующихся по математике и инженерным наукам, — как учебное пособие, для специалистов, работающих в этой области, — как справочное пособие.
ББК 22.193
PCZDHаИздание осуществлено при финансовой поддержке Российского фондафундаментальных исследований по проекту №00-01-14042Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-003397-1 (русск.)ISBN 0-12-174584-8 (англ.)ISBN 5-03-003397-1 (русск.)ISBN 0-12-174584-8 (англ.)Copyright © 1992 by Academic Press. All Rights Reserved.
ISBN 5-03-003397-1 (русск.)
ISBN 0-12-174584-8 (англ.)
ISBN 5-03-003397-1 (русск.)
ISBN 0-12-174584-8 (англ.)
© перевод на русский язык. «Мир», 2001
Предисловие переводчика
Предлагаемая читателю книга «Введение в вэйвлеты» посвящена бурно развивающейся области современной теоретической и прикладной математики. Теория вэйвлетов, или как их иногда называют в русской литературе — всплесков, имеет истоки в таких классических областях математики, как теория функций вещественного переменного, теория ортогональных рядов, преобразование Фурье и другие интегральные преобразования, теория функций комплексного переменного, функциональный анализ. Основные подходы и методы теории вэйвлетов базируются на результатах классиков математической науки: Ж. Фурье, А. Лебега, Н. Н. Лузина, С. Банаха, Д. Гильберта, А. Н. Колмогорова, А. Зигмунда, Н. К. Бари, А. Хаара, А. Кальдерона, Дж. Литтлвуда, Р. Пэли, Д. Габора, К. Шеннона, Н. Винера. Особенно следует выделить результаты этих авторов, направленные на модернизацию и совершенствование методов представления функций в виде интегралов и рядов.
Интерес к этой теме обусловлен широким применением гармонического анализа и методов преобразования Фурье, а также их использованием в таких науках, как теория информации и обработка сигналов. Поэтому теория вэйвлетов и их применения неразрывно связаны также и с развитием прикладных областей современной науки: цифровой обработки
5 Предисловие переводчика сигналов и изображений, теории фильтрации и кодирования, теории сплайнов, дискретных и быстрых преобразований.
Наиболее бурное развитие теории вэйвлетов приходится на 80-90-е годы XX века. В этот период получены законченные теоретические результаты и разработаны эффективные методы их практического применения. Следует отметить, что на практике в теории фильтрации, при обработке и передаче информации вэйвлеты фактически применялись уже в 40- 50-х годах. Один из крупнейших специалистов в области теории и применения вэйвлетов профессор С. Малла пишет: «В основу вэйвлетов положена не какая-либо «новая блестящая идея», а концепции, которые существовали в разнообразных формах во многих различных областях знаний. Формализация и появление «теории вэйвлетов» есть результат совместных усилий математиков, физиков и инженеров, которые независимо развивали сходные идеи.» (Список дополнительной литературы по вэйвлетам, [68].) Поэтому многие положения теории вэйвлетов допускают формулировку и интерпретацию в терминах других наук.
В настоящее время библиография по вэйвлетам насчитывает несколько сот наименований, и в этой области активно работает много ученых в разных странах мира, в том числе и в России. Хотя, к сожалению, несмотря на огромный вклад российских и советских ученых в функциональный анализ, теорию ортогональных рядов и разложений и другие области математики, российская научная общественность осталась несколько в стороне от такой важной и современной области науки как теория вэйвлетов и их применения. Предлагаемая читателю монография, возможно, является первой книгой на русском языке, целиком посвященной этой актуальной теме. Важной целью ее издания является ликвидация информационного вакуума в рассматриваемой научной области.
Монография «Введение в вэйвлеты» принадлежит перу известного американского математика, крупного специалиста в области вэйвлетов, профессора Чарльза К.Чуи. Первона-
чальные результаты по теории вэйвлетов и ее применениям были получены в 80-е годы представителями французской научной школы. Эти результаты связаны с именами И. Мейера, С. Малла, И. Добеши, Ж. Баттла, А. Коэна, Ж. Виля, Р. Куафмана и других. Здесь интересно отметить, что вышеперечисленные ученые —это специалисты в чистой математике, квантовой механике, инженеры-электрики и инженеры- акустики, при этом временной диапазон получения ими основных результатов изменяется от начала века до 80-х годов. В дальнейшем, ввиду большой научной и практической актуальности, вэйвлетами стали заниматься ученые других стран. В России одним из первых обратил внимание на новое направление профессор С. Б. Стечкин; затем этой тематикой стали заниматься его ученики, а также математики Петербурга и Новосибирска. Наибольшее внимание теории вэйвлетов было уделено в США. К работе в этой области было привлечено большое количество математиков как из США, так и из других стран. Так, профессор И. Добеши, один из ведущих специалистов в этой области, прочла цикл лекций в США, опубликовала монографию «Десять лекций по вэйвлетам», которая стала классической, и сейчас работает в Принстонском университете.
Профессор Чарльз К. Чуи —крупный специалист в области вычислительной математики (теории сплайнов и теории приближения функций) и теории обработки сигналов. Он возглавляет группу математиков, активно работающих в области вэйвлетов и их применений. Предлагаемая читателю книга является первым, основополагающим томом из серии «Вэй- влеты — руководство по теории и применениям», издаваемой в Академик Пресс под его редакцией [18]. В настоящее время вышли в свет десять томов этой серии. Тома со 2-го по 10-й — это сборники, содержащие статьи ведущих специалистов, посвященные применениям и обобщениям вэйвлетов.
Отметим наиболее характерные особенности предлагаемой читателю книги. Во-первых, это основополагающая книга по
теории вэйвлетов, которая содержит формулировки и доказательства всех основных положений этой теории. Характерно, что в библиографиях всех книг по вэйвлетам монография Чарльза К.Чуи всегда занимает одно из первых мест рядом с книгами И. Мейера и И. Добеши. Во-вторых, ее отличают простота и лаконичность изложения. Стиль книги близок к традиционно математическому стилю. Это, по сути дела, годовой курс лекций для студентов высших учебных заведений, которые специализируются по математике и инженерным наукам. Все определения и доказательства автор дает четко и математически строго. Безусловно, что для более подробного и широкого изучения вэйвлетов и их применений читателю следует обратиться также и к другим книгам по этой тематике.
Скажем несколько слов об особенностях перевода этой монографии на русский язык. Как упоминалось выше, теория вэйвлетов находится на стыке нескольких наук. Поэтому используемый в книге словарь терминов отличается от терминов математического и функционального анализов и носит специфический характер. Так как английский язык во многих областях человеческой деятельности стал международным языком, то на его базе сформировался широко распространенный специальный язык, который используется при описании задач вэйвлет-анализа. Перевод с этого языка на русский язык представляет определенные сложности, ввиду отсутствия общепринятого однозначного перевода используемых терминов. Определение значения многих терминов, используемых автором, дается непосредственно по тексту и не вызывает трудностей при чтении. Для определенности при составлении предметного указателя наряду с русскоязычным термином в скобках приводится его английский эквивалент. Это поможет читателю при чтении англоязычной литературы по данной тематике. Кроме того, ниже мы даем пояснение ряда используемых в книге терминов.
Аналоговый сигнал — analog signal; изменяющаяся функция времени или пространства; часто представляет измеренную физическую величину, которая носит колеблющийся характер; квадрат нормы в пространстве I? определяет энергию аналогового сигнала; эта функция может быть непрерывно или дискретно заданной, в последнем случае она называется цифровым сигналом — digital signal.
Выборка — sampling; выбор элементов некоторого множества для его изучения; линейный оператор, действующий на непрерывный (/) или дискретный ({Д}) сигналы, результатом чего является дискретный сигнал {<рД.
Разрежающая выборка — upsampling; линейный оператор U такой, что tp2k = fk^ ^k+i = 0.
Сгущающая выборка — downsampling; линейный оператор D такой, что vpk = Д^; результат действия такого оператора иногда называют децимацией — decimation.
Двойственное — dual; может использоваться как в качестве прилагательного: двойственная функция, двойственный вэйвлет, так и в качестве существительного: построение ^ и соответствующего ему двойственного Д
Диапазон — band; область изменения аргумента функции; наиболее часто этот термин применяется при изменении сигнала в частотной области.
Поддиапазон —- subband.
Частотный диапазон — frequency band.
Дискретное преобразование Фурье — discrete Fourier transform; определение дано в § 2.4: пусть {Д} Е Р — цифровой сигнал, дискретное преобразование Фурье — это периодическая функция или ряд Фурье ^<kEZ fkelkx; такое определение отличается от общепринятого: {Д} к = 0,1,..., N — 1, {4} = F({AH, где ct = | £^"1 Ле-2’^, к = 0,1,..., N - 1.
Интерактивный режим — on-line.
Каркас — frame.
Малая волна — small wave; нетривиальная функция J(t) 6 L^R) (или LX^Y удовлетворяющая условию ОО
J f^dt = 0.
— ОО
Масштаб — scale; общепринятый термин, означающий отношение размеров реального объекта и его модели; характерные размеры области определения функции.
Масштабирующая функция — scaling function.
Масштабный параметр — scale parameter.
Приближение и удаление (объекта) — zoom-in and zoom-out (of object); часто употребляется в том смысле, что некоторый метод «обладает свойством приближения и удаления ...».
Свертка —convolution; сверткой двух функций /(t) и
ОО
g^t) называется функция h(t) = J f^git — т^йт, а дискрет- — ОО
ной сверткой —А (А;) = Y^mez f^d^k - mY
Символ — symbol; символом последовательности {q} называется функция 52^е^ Скегкх.
Сплайн — spline; определения терминов, связанных со сплайнами, даются в главе 4; в этой книге рассматриваются сплайны с эквидистантными узлами и для их обозначения в оригинале используется дополнительное прилагательное «кардинальный», которое при переводе опущено. Выражения «базисное сплайн-разложение», «базисный сплайн- вэйвлет» означают, что для построения «разложений» и « вэйвлетов» используются базисные сплайны (В-сплайны).
Среднее — average. Среднее значение — average value.
Скользящее среднее — moving average; если задана последовательность {щ,} и последовательность весов {а^}, то скользящим средним называется последовательность {q} такая, что ск = ^e2Q a-t-ki иногда автор идентифицирует скользящее среднее с дискретной сверткой: ск = J3/eZ c(ak-(-
Фильтр — filter; линейный оператор, приводящий к изменению (фильтрации) как формы сигнала во временной области, так и образа сигнала в частотной области; основное внимание в книге уделяется частотной фильтрации сигнала.
Низкочастотный фильтр — low-pass filter; фильтр, пропускающий низкочастотную составляющую сигнала.
Диапазонный фильтр — band-pass filter; фильтр, пропускающий составляющую сигнала из определенного диапазона частот.
Высокочастотный фильтр — high-pass filter; фильтр, пропускающий высокочастотную составляющую сигнала.
Подциапазонный фильтр — subband filter; фильтр, пропускающий составляющую сигнала из некоторого поддиапазона основного диапазона частот.
Блок фильтров — bank of filters; набор фильтров.
Что касается обозначений, используемых автором, то они приводятся в книге по мере изложения материала. Отметим только, что символ := означает определение выражения, стоящего слева от этого знака, {жД - последовательность или множество элементов Конец доказательств отмечается значком □.
Так как книга в оригинале была опубликована в 1992 г., мы сочли целесообразным добавить дополнительный список литературы, который, не претендуя на полноту, содержит основные работы по вэйвлетам, вышедшие в последние годы.
Отметим также, что большое количество информации по вэйвлетам может быть получено с помощью компьютерной сети Internet. Среди этих материалов можно указать компьютерный журнал Wavelet Digest, который доступен через Internet по адресу
http://www.wavelet.org.
Значительный интерес представляет библиотека стандартных программ по вэйвлетам и частотно-временным преобра-
зованиям WaveLab, разработанная в Станфордском Университете США, которая входит в состав пакета MatLab и доступна по адресу
http: //www-stat.stanford/edu/wavelab.
В Политехнической школе (Ecole Polytechnique) во Франции разработана и поддерживается библиотека стандартных программ Last Wave для вэйвлет-обработки сигналов и изображений, которой можно воспользоваться через Internet по адресу
http: // wave.cmap.polytechnique.fr/soft/LastWave/.
Более подробно с программным матобеспечением по вэйвле- там можно ознакомиться в цитируемой выше монографии С. Малла «Обзор вэйвлет-обработки сигналов» (Список дополнительной литературы по вэйвлетам, [68]).
В заключение я хочу выразить благодарность всем, кто помогал мне в переводе, редактировании и выходе в свет этой книги. Я благодарю академика Н. С. Бахвалова за постоянное внимание к работе и ряд ценных советов, профессора Т. П. Лукашенко, который прочитал перевод книги и сделал ряд замечаний. Хочу поблагодарить участников семинара механико-математического факультета МГУ под руководством профессора В. М. Тихомирова: профессоров С. В. Ко- нягина, В. Б. Демидовича и других. Беседа с ними мне была полезна. Вся работа по набору книги, созданию электронного макета на языке ИТеХ и редактированию была выполнена моими коллегами из Научно-исследовательского вычислительного центра МГУ Ю. И. Осипик и Л. Г. Васильевой, которых я искренне благодарю. Я всегда получал удовлетворение от моих контактов с автором книги профессором Чарльзом К. Чуи и хочу выразить ему свою благодарность.
Март 2001 г.Март 2001 г.Я. М. Жилейкин jam@srcc.msu.su
Март 2001 г.
Март 2001 г.
Предисловие к русскому изданию
Несмотря на то, что гармонический анализ продолжает быть очень популярной и важной математической дисциплиной, никогда не было уделено столько внимания его вычислительным аспектам, как начиная с появления «вэйвлетов» в конце 1980-х годов. В действительности вычислительный гармонический анализ, который с недавнего времени стал активной областью исследований, построен на базе основных принципов математики вэйвлетов. С точки зрения применения в теоретических и инженерных науках вэйвлет-преобра- зование привело к использованию мощного математического набора методов локализованного частотно-временного и пространственно-фазового анализов многомасштабных явлений. Эти методы пополнили аппарат современных научных исследований и стимулировали развитие инженерных приложений. В результате вычислительный гармонический анализ можно рассматривать как междисциплинарную область исследований.
Для освоения вычислительного гармонического анализа в высшей степени целесообразно приобрести основополагающие знания по математике вэйвлетов. «Введение в вэйвлеты», переведенное на русский язык специалистом по прикладным методам вычислительной математики, может служить читателю достаточным основанием для научных исследований в этой увлекательной междисциплинарной области. Опублико-
ванная впервые издательством Академик Пресс в США в январе 1992 г., эта книга была затем переведена на японский и китайский языки, соответственно, в 1993 и 1994 гг. Предлагаемое читателю русское издание, квалифицированно переведенное на русский язык с небольшими изменениями профессором Я. М. Жилейкиным, дополнено также расширенной библиографией по теории и применениям вэйвлетов.
Автор выражает глубокую благодарность профессору Я. М. Жилейкину за проявленную им инициативу и весьма своевременное завершение этого трудного и желанного проекта.
Июль 2000 г.,Чарльз К. Чуи
Станфорд, Калифорния, США.
Предисловие
Анализ Фурье — это хорошо разработанный предмет, занимающий центральное место в математическом анализе и его приложениях. Не только технические приемы этого предмета имеют фундаментальное значение во всех разделах науки и техники, но как интегральное преобразование Фурье, так и ряды Фурье имеют наглядную физическую интерпретацию. Более того, вычислительные аспекты рядов Фурье особенно привлекательны главным образом по причине свойства ортогональности этих рядов и простоты их выражения с использованием только двух функций: sin х и cos х.
В последние годы тема «вэйвлет-анализа» привлекла большое внимание в равной мере как математиков, так и инженеров. Так же, как и в анализе Фурье, вэйвлет-анализ имеет два существенных и важных раздела: «интегральные вэй- влет-преобразования» и «вэйвлет-ряды».
Интегральное вэйвлет-преобразование определяется как свертка с учетом растяжения некоторой функции ф^ называемой «базисным вэйвлетом», в то время как вэйвлет-ряд выражается через единственную функцию *ф, называемую «7?.- вэйвлетом» (или просто вэйвлетом) с помощью двух очень простых операций: двоичных растяжений и целочисленных сдвигов.
Однако в отличие от анализа Фурье интегральное вэйвлет-преобразование с базисным вэйвлетом тесно связано с вэйвлет-рядом, определяемым через вэйвлет ^- В самом деле, если V’ выбран как «двойственный» к ^, то коэффициенты вэйвлет-ряда любой интегрируемой с квадратом функции / в точности равны значениям интегрального вэйвлет-преобразо- вания, вычисленным в точках, определенных двумя параметрами на соответствующих масштабных уровнях, характеризуемых двоичным растяжением.
Так как интегральное вэйвлет-преобразование функции / одновременно локализует / и ее преобразование Фурье / со способностью сжатия и расширения и так как существуют алгоритмы получения последовательностей коэффициентов вэйвлет-рядов в режиме реального времени, а также восстановления / по этим коэффициентам, то перечень возможных применений вэйвлет-анализа кажется бесконечным. С другой стороны, полиномиальные сплайн-функции занимают важное место среди простейших функций, используемых для вычислительных и прикладных целей. Поэтому они наиболее привлекательны для анализа и построения вэйвле- тов.
Эта книга представляет собой вводный курс в вэйвлет- анализ и в ней обращено особое внимание на сплайн-вэйвле- ты и частотно-временной анализ. Краткий обзор этого материала, включающий классификацию вэйвлетов, интегральное вэйвлет-преобразование для частотно-временного анализа, кратномасштабный анализ, выделяющий важнейшие свойства сплайнов, и вэйвлет-алгоритмы для разложения и восстановления функций, будет представлен в первой главе. Цель этой главы не в получении глубоких результатов, а в создании общего впечатления о том, что является предметом вэйвлет-анализа и какую часть его мы намерены осветить в этой книге.
Изложение построено так, что содержит в себе все необходимые материалы. Единственное, что нужно от читателя — это знание основ теории функций и вещественного анализа. С этой целью предварительный материал по анализу Фурье и теории сигналов включен в главы 2 и 3, а вводный материал по базисным сплайнам дан в главе 4. Следует указать, однако, что главы 3 и 4 содержат материал, являющийся неотделимой частью вэйвлет-анализа. В частности, в главе 3 понятия «каркасов» и, более общее, — «двухпараметрических вэйвлетов» — вводятся в рассуждениях о восстановлении функций по частичной информации о ее интегральном вэйвлет-преобразо- вании в частотно-временном анализе.
«Вэйвлет-ряды» являются общей темой последних трех глав. В главе 5 обсуждается общий подход к анализу и построению масштабирующих функций и вэйвлетов. Сплайн-вэйвлеты, которые служат простейшими примерами, изучаются в главе 6. Последняя глава посвящена исследованию ортогональных вэйвлетов и вэйвлет-паке- тов.
Эта монография в основном была написана под влиянием пионерских работ А. Коэна, Р. Куафмана, И. Добеши, С. Малла и И. Мейера, так же как и моих совместных работ с X. Л. Ши и Дж. 3. Вонгом.
При изучении этого увлекательного предмета мне были весьма полезны беседы и переписка с многочисленными коллегами, которым я очень благодарен. Особенно я хотел бы упомянуть П. Ошера, Г. Баттла, А. К.Чэна, А. Коэна, И. Добеши, Д. Жоржа, Т. Н. Т. Гудмэна, С. Жаффара, К. Ли, С. Малла, И. Мейера, К. А. Мичелли, Е. Каку, X. Л. Ши, Дж.Стеклера, Дж.З. Вонга, Дж.Д. Ворда и Р. Веллса.
Среди моих друзей, кто прочитал отдельные части моей рукописи и сделал много ценных замечаний, я особенно обязан К. Ли, Е. Каку, X. Л. Ши и Н. Сивакумару. Я постоянно получал удовольствие от помощи Робина Кэмпбелла, кото-
18
рый набрал в ЬЧуСе всю рукопись, Стефани Селлерс и моей жены Маргарет, которые ее переработали и получили в виде, готовом для опубликования.
Чарльз К. ЧуиЧарльз К. ЧуиВ заключение я хочу выразить благодарность за действенную помощь и дружеское участие издательскому отделу Академик Пресс и особенно Чарльзу Глэйзеру, который всегда верил в меня.
Чарльз К. Чуи
Чарльз К. Чуи
Колледж Стэйшн, Техас, Октябрь 1991г.
Обзор
В настоящее время «вэйвлеты» стали очень популярной темой многих научных и инженерых обсуждений. Некоторые видят в вэйвлетах новый способ представления функций, рассматривают их как технику частотно-временного анализа, другие смотрят на них как на новый математический предмет. Конечно, все они правы, так как «вэйвлеты» представляют собой многосторонний инструмент с очень богатым математическим содержанием и огромными возможностями для применения. Однако ввиду того, что предмет находится только в процессе своего быстрого развития, еще рано составлять о нем окончательное представление.
Цель этой книги очень скромна — книга задумана как учебник, содержащий материалы вводного односеместрового курса лекций для аспирантов и студентов старших курсов математических и инженерных учебных заведений; книга написана также для всех математиков и инженеров, которые хотят изучить предмет. Для специалистов она может служить дополнением к более продвинутым монографиям, таким как два тома И. Мейера «Вэйвлеты и операторы» [21], к томам серии «Вэйвлеты — руководство по теории и применениям» [18] и к книге .И. Добеши «Вэйвлеты» [20].
Вэйвлет-анализ— относительно новый предмет, поэтому подходы к изложению и организации материала в этой книге отличаются от других. Цель данной главы — дать общие идеи о том, что такое вэйвлет-анализ и какая его часть будет изложена в этой книге.
От анализа Фурье к вэйвлет-анализу
Обозначим через Z2(0, 2 л) множество всех измеримых функций /, определенных на интервале (0,2л) и таких, что
2?г
| /(ж) |2 dx < оо.
Читатель, который не знаком с основами теории интеграла Лебега, может считать, что / являются кусочно-непрерывными функциями. Всегда можно предположить, что функции из Ь2(0,2 л) периодически продолжаемы на всю вещественную ось
R := (—оо, оо),
а именно: /(т) = /(ж — 2л) для всех х. Поэтому множество L2(0,2л) часто называют пространством 2л-периодических функций, интегрируемых с квадратом. Легко можно проверить, что £2 (0,2л) — векторное пространство. Любую / из L2(0,2л) можно представить рядом Фурье
оо
№) = £(1.1.1)
п= —ОО
где константы сп, называемые коэффициентами Фурье, определяются формулой
1 Г27Г
= f(x)e~mxdx.(1.1.2)
Jo
чает, чточает, чтоlimM,N—нх>limM,N—нх>/И- £ w1" п=—М/И- £ w1" п=—МСходимость рядов в (1.1.1) в пространстве L2(0,2л) озна
чает, что
чает, что
lim
M,N—нх>
lim
M,N—нх>
/И- £ w1" п=—М
/И- £ w1" п=—М
2
dx = 0.
Имеются две явные особенности разложений в ряды Фурье
Первая особенность состоит в том, что / разлагается в бесконечную сумму взаимно ортогональных компонент дп := с^е^®, где ортогональность означает, что
(9т,9п)*=0 для всех т^п (1.1.3)
со скалярным произведением в (1.1.3), определенным формулой:
1 Г27Г
^ОттОпТ := — gm^g^W^ (I-1-4)
где черта над функцией означает операцию комплексного сопряжения. Условие (1.1.3) является следствием важного и простого факта, что
wn(x) := ет®, п = ... ,-1,0,1,...,(1.1.5)
образует ортонормированный (о.н.) базис в £2(0,2я).
Вторая особенность разложения в ряд Фурье (1.1.1) состоит в том, что о.н. базис {wn} порождается растяжением единственной функции
w(t) := е1Ж,(1.1.6)
так, что wn^ = w(ns) для всех целых п. Это будет называться в дальнейшем целочисленным растяжением.
Подводя итог, можно сказать, что каждая 2.л-периодическая. интегрируемая с квадратом функция порождается «суперпозицией» целочисленных растяжений базисной функции w(x) = егх.
Из свойств базиса {wn} следует также, что разложение в ряд Фурье (1-1.1) удовлетворяет так называемому равенству Парсеваля
-1 r^lt00
— / | /(ж) |2 dx = 52 I с" I2 •(1Л-7)
n=T-OO
Пусть £2 обозначает пространство всех суммируемых с квадратом бесконечных последовательностей; другими словами, {сп} £ £2 тогда и только тогда, когда
ОО
52 IСп |2< °°-п——оо
Отсюда, если квадратный корень величины, стоящей в левой части (1.1.7), используется в качестве «нормы» для измерения функций из Z2(0,2тг) и одновременно квадратный корень величины в правой части (1.1.7) используется как норма в £2, то пространство функций Z2(0,2тг) и пространство последовательностей £2 изометричны друг другу. Возвращаясь к вышеприведенному замечанию о разложениях в ряды Фурье (1.1.1), можно также сказать, что каждая 2л-периодическая интегрируемая с квадратом функция представляет собой Р-линейную комбинацию целочисленных растяжений базисной функции ифх) = е?х. Мы обращаем особое внимание на тот факт, что базисная функция
изфгф = егх = cost + г sin®, которая является синусоидальной волной, — это только одна функция, требуемая для порождения всех 2л-периодических интегрируемых с квадратом функций. Для любого целого, большого по абсолютной величине п волна шп(т) = ш(пт) имеет высокую частоту, а для малых по абсолютной величине значений п волна ton(x) имеет низкую частоту. Таким образом, каждая функция из Т2(0,2л) состоит из волн различных частот.
Далее рассмотрим пространство Z2(R) измеримых функций /, определенных на вещественной оси R, удовлетворяющих неравенству
/ I |2 dx < оо.
J —ОО
Ясно, что два пространства функций Z2(0,2л) и Z2(R) совершенно различны. В частности, каждая функция (ее локальное среднее значение) из Z2(R) должна «затухать» до нуля при х, стремящемся к ±оо, но синусоидальные (волны) функции wn(x^ не принадлежат Z2(R). В сущности, если мы хотим использовать «волны», порождающие Z2(R), то эти волны должны были бы затухать до нуля при х —> ±оо, и из всех практических соображений это затухание должно было бы быть очень быстрым. Так мы приходим к рассмотрению малых волн, или вэйвлетов, для порождения Z2(R). Так же, как и в случае Z2(0,2л), где одна функция w^ = егх порождает целое пространство, мы предпочитаем иметь одну функцию для порождения всего L2 (R) и будем обозначать ее через ф. Но если вэйвлет ф имеет очень быстрое затухание, то как он может покрыть всю вещественную ось? Очевидным способом является сдвиг ф вдоль R.
Пусть Z обозначает множество целых чисел:
{Z = ..,-1,0,1,...}.
Простейший способ для ф покрыть все множество R состоит в рассмотрении всех целочисленных сдвигов ф, а именно
Ф(х — к), к е z.
Затем, так же как и в синусоидальном случае, мы должны рассматривать волны различных частот. По разным причинам, которые вскоре будут ясны читателю, мы не хотим рассматривать волны единичной частоты, но скорее волны с частотами, разделенными на последовательные «октавы» (или частотные диапазоны). Ради вычислительной эффективности мы будем использовать для частотного разбиения целые степени 2. В результате мы рассматриваем малые волны
ф^х — к), j,kETi.(1.1.8)
Заметим, что 1^(23т — к) получена из одной «вэйвлет-функци- и» ^ в результате двоичного растяжения (т.е. растяжения в 25 раз) и двухпараметрического сдвига (на k[23Y
Итак, нас интересуют «вэйвлет-функции» ^, двоичные растяжения и двухпараметрические сдвиги которых достаточны для представления любой функции из I/2(R). Для простоты давайте рассмотрим сначала ортогональный базис, порожденный функцией ф. Позже в этой главе (см. §1.4) мы введем более общие «вэйвлет-ряды».
Повсюду в этой книге мы будем использовать следующие обозначения для скалярного произведения и нормы в пространстве Z2(R):
Z
OO
f^g^dx-,(1-1-9)
■ОО
№:=(/,/)1/2,(1-1-10)
где f,g Е £2(R). Заметим, что для любых ),к Е Z мы имеем f г®Л 1/2
ll/(2j ■ -ЧИг = / ИР2! -1= 2^2||Л|2.
Следовательно, если функция ф Е A2(R) имеет единичную норму, то все функции фрк, определенные формулой
ФзДх) -.= ^12ф^х-к\ j,kEZ,(1.1.11)
также имеют единичную норму, то есть
IlMlh = М2 = 1, j,KL (1.1.12)
В этой книге будет часто использоваться символ Кронекера
для 3 = к, для з + к,для 3 = к, для з + к,(1.1.13)
для 3 = к, для з + к,
для 3 = к, для з + к,
определенный в Z х Z.
Определение 1.1. Функция ф 6 Z2(R) называется ортогональным вэйвлетом (или о.н. вэйвлетом), если семейство ^Фзк^, определенное формулой (1.1.11), является ортонорми- рованным базисом в L2(R); это означает, что
{Фрк,Фе,т} = Sjy 6к,т, зЛЛтЕЪ, (1.1.14)
и любая / G Z2(R) может быть представлена как
ОО
/(л) = ^ ' СукФз,^^;(1.1.15)
j,k— — ОО
где ряд (1.1.15) сходится в L2(R), а именно
limMi ^Ni ^M^N^—>oolimMi ^Ni ^M^N^—>ooW2 M
lim
Mi ^Ni ^M^N^—>oo
lim
Mi ^Ni ^M^N^—>oo
E E сз,^з,к
3 = — M2 k=—Mi
= 0.2= 0.2Простейшим примером ортогонального вэйвлета является функция Хаара фн, определенная формулой
= 0.
2
= 0.
2
( 1
Фн^ := / -1
I о
для 0 < х < 1,ДЛЯ | < X < 1,для 0 < х < 1,ДЛЯ | < X < 1,(1.1.16)(1.1.16)в других случаях.в других случаях.Мы проведем краткое обсуждение свойств этой функции в параграфах 1.5 и 1.6. Другие о.н. вэйвлеты будут изучены более подробно в главе 7.
для 0 < х < 1,ДЛЯ | < X < 1,
для 0 < х < 1,ДЛЯ | < X < 1,
(1.1.16)
(1.1.16)
в других случаях.
в других случаях.
Ряды, представляющие функции / в (1.1.15), называются вэйвлет-рядами. Аналогично обозначению коэффициентов Фурье в (1.1.2) вэйвлет-коэффициенты с^ определяются формулой
сз,к = <Mj,kV(1.1.17)
Если мы определим интегральное преобразование W^ в A2 (R) как
(W^f^b, а) :— |а] a f /(х)ф(^dx
/ е £2(Н),(1.1.18)/ е £2(Н),(1.1.18)J—ОО
/ е £2(Н),
(1.1.18)
/ е £2(Н),
(1.1.18)
2626Глава 1. Обзор
26
26
то вэйвлет-коэффициенты в (1.1.15) и (1.1.17) принимают вид
<w = (W) (|4) ■(1.1.19)
Линейное преобразование W^ называется интегральным вэй- вдет-преобразованием относительно «базисного вэйвлета» -ф. Следовательно, (j, /с)-й вейвлет-коэффициент функции / определяется интегральным вэйвлет-преобразованием f, вычисленным в точке двухпараметрического сдвига b = к/23 с двоичным растяжением а = 2-J, где тот же о.н. вэйвлет ф используется для порождения вэйвлет-ряда (1.1.15) и для определения интегрального вэйвлет-преобразования (1.1.18).
Важность интегрального вэйвлет-преобразования будет обсуждена в следующих параграфах этой главы. Здесь мы только отметим, что это интегральное преобразование значительно обобщает (интегральное) преобразование Фурье 4", определяемое формулой
/
ОО e^fWx. feL2^. (L1.20)
■ОО
Математическое рассмотрение этого преобразования откладывается до следующей главы. Как известно, преобразование Фурье представляет собой другую важную составляющую анализа Фурье. Интересно отметить, что в то время, как две составляющие анализа Фурье, а именно ряд Фурье и преобразование Фурье, явно не связаны друг с другом, две соответствующие составляющие вэйвлет-анализа: вэйвлет-ряд (1.1.15) и интегральное вэйвлет-преобразование (1.1.18), тесно связаны друг с другом, как это описывается формулой (1.1.19).
Интегральное вэйвлет-преобразование
Интегральное вэйвлет-преобразование и частотно-временной анализ
Преобразование Фурье F, определенное в (1.1.20), не только мощный математический инструмент, но и допускает важные физические толкования в приложениях. Например, если функция / 6 Z2(R) рассматривается как аналоговый сигнал с конечной энергией, определяемой его нормой Ц/Ц2, то преобразование Фурье
fH := итм(1.2.1)
функции / представляет собой спектр этого сигнала. В анализе сигналов аналоговые сигналы определяются во временной области, а спектральная информация об этих сигналах дается в частотной области. Для простоты представления будем допускать существование отрицательных частот. Поэтому в обоих случаях временной и частотной областями будет вещественная ось R. Аналогично равенству Парсеваля для рядов Фурье, равенство Парсеваля, которое описывает связь между функциями из Z2(R) и их преобразованием Фурье, дается формулой
</,9> = ^(/,9>,/,9€A2(R).(1.2.2)
Здесь используется понятие скалярного произведения, определенное в (1.1.9), и, как мы увидим в следующей главе, преобразование Фурье ^ отображает b2(R) на себя. Как следствие равенства (1.2.2) мы видим, что энергия аналогового сигнала прямо пропорциональна его спектральному содержанию; более точно,
ll/lh = 4=11/112, /еМ (1.2.3)
2727V 2тг
27
27
28282929
28
28
29
29
Глава 1. Обзор
Однако формула
ГСО
Дш) = / e'^f^dt(1.2.4)
J —оо
преобразования Фурье в таком виде не удобна для практических задач. Во-первых, чтобы извлечь спектральную информацию /(ш) об аналоговом сигнале /(t) по этой формуле, следует использовать бесконечные интервалы времени: иметь информацию о прошлом и будущем сигнала, чтобы вычислить спектр для одной частоты ш. Во-вторых, формула (1.2.4) не отражает эволюцию частот со временем. Что действительно необходимо — это определить интервалы времени, которые дают спектральную информацию о любой нужной частотной области (или диапазоне частот). Кроме того, так как частота сигнала обратно пропорциональна длительности его периода, то в случае высокочастотной спектральной информации временной интервал может быть взят относительно малым для обеспечения нужной точности, а в случае низкочастотной спектральной информации такой временной интервал должен быть взят относительно большим. Другими словами, важно иметь гибкое частотно-временное окно, которое автоматически сжимается в окрестности высоких частотных центров и расширяется у низких частотных центров. К счастью, интегральное вэйвлет-преобразование W^, относящееся к некоторому «базисному вэйвлету» ^, как это следует из формулы (1.1.18), обладает этой способностью сжатия и растяжения.
Рассмотрим специфический случай, когда обе функции — ^ и ее преобразование Фурье ф — имеют достаточно быстрое затухание и могут использоваться в качестве функций-окон. Для любой функции w из L2(R), используемой в качестве функции-окна, можно ввести понятия его «центра» и «ширины», которые определяются следующим образом.
Определение 1.2. Тождественно не равная нулю функция w € 1v2(R) называется функцией-окном, если тифх) также
Интегральное вэйвлет-преобразование
принадлежит L2(R). Центр t* и радиус £\w функции-окна w определяются как
е := irf / ^^Ml2^U-2-5)
и
Дш := угчг 1 / (ж - Д)2|ш(т)|2& >,(1.2.6)
соответственно; ширина функции-окна равняется 2ДШ.
Мы еще формально не определили «базисный вэйвлет» ф, и отложим это до следующего параграфа. В качестве примера базисного вэйвлета может быть взят любой ортогональный вэйвлет, как это было рассмотрено в предыдущем параграфе. Во всяком случае, мы увидим, что любой базисный вэйвлет, являющийся функцией-окном, должен обязательно удовлетворять равенству
/ ф^йх = 0,(1-2.7)
J — ОО
так что его график изображает малую волну.
Предположим, что ф — базисный вэйвлет, такой что ф и его преобразование Фурье ф являются функциями-окнами с центрами и радиусами t*, ш*, ^, Д^ , соответственно. Тогда в первую очередь ясно, что интегральное вэйвлет-преобразование
(W^f^a) = \а\ 2 / Д^ф () dt (1.2.8)
аналогового сигнала /, как это определено в (1.1.18), локализует сигнал во «временном окне»
[6 + at* — аД^, b -I- at* + оД^],
с центром окна в b + at* и шириной, равной 2аД^. В анализе сигналов это носит название «временной локализации». С другой стороны, если мы положим
р^ш) := ф(ш + ш*),(1.2.9)
то т) также функция-окно с центром в нуле и радиусом, равным Д^. Вследствие равенства Парсеваля (1.2.2) интегральное вэйвлет-преобразование (1.2.8) принимает вид
W)MW)M(1.2.10)(1.2.10)
W)M
W)M
(1.2.10)
(1.2.10)
VаVаОтсюда, с точностью до множителя а • |а|~2 / 2тг и линейного сдвига по фазе ег6ш, определенного величиной параметра 6, та же самая величина (И^/)(6, а) дает локализованную информацию о спектре /(ш) сигнала /(i) с «частотным окном»
V
а
V
а
1а1'
— Д 71Д ~
а а а
центр которого находится в точке иУ/а, а ширина равна 2Д^/а. Это называется «частотной локализацией» сигнала. Так как выражения в правой части (1.2.8) и (1.2.10) определяют одну и ту же функцию, мы приходим к понятию «частотно-временного окна»:
,*,*" Ш* 1 W* 1
,*
,*
[b+at*—аД^,Ь+аГ*+аД^]х ——- Д^, — +-Д^ (1.2.11)
для частотно-временного анализа сигналов, в котором используются интегральные вэйвлет-преобразования относительно базисного вэйвлета ф с описанными выше свойствами функций-окон.
Следует сделать некоторые замечания. Во-первых, так как в конце концов мы должны рассматривать положительные частоты, то базисный вэйвлет ф следует выбирать так, чтобы центр ш* функции ф был положительным числом. На
практике это положительное число вместе с положительным масштабным параметром а выбирается таким образом, что
ш*/а является частотним центром для интересующего нас
ш*аш*адиапазона частотдиапазона частот1а1 А 1 m
ш*а
ш*а
диапазона частот
диапазона частот
Д 1—Д г . 1огда отношение a v a a v
riri01010202b^ + ait*b^ + ait*^2 + H2t^2 + H2ttt
ri
ri
01
01
02
02
b^ + ait*
b^ + ait*
^2 + H2t
^2 + H2t
t
t
Рис. 1.2.1. Частотно-временные окна, аг < а2.
частотного центра к ширине диапазона частот равняется
-У- = —(1.2.12)
и не зависит от параметра а и положения частотного центра. Эта величина называется Q-постоянной частотного анализа. Важно, что частотно-временное окно (1.2.11) сужается (по переменной t) при больших частотных центрах ш*(а и расширяется при малых частотных центрах ш*/а (см. рис. 1.2.1); в то же время площадь частотно-временного окна остается постоянной, равной АЛтрД-ф. Это как раз то, что наиболее желательно при частотно-временном анализе. Более подробно на этих особенностях вэйвлет-преобразования мы остановимся в главе 3.
Формулы обращения
и двойственные
Интегральное вэйвлет-преобразование (Му/Дб, а) определяет расположение (в терминах b + at*), «размер» (в терминах параметра а) и полную величину (измеряемую значением (W^f^b, а)) области изменения / с учетом способности сжатия и растяжения. Эта информация крайне ценна для многих применений, таких как частотно-временной анализ. Для примера, при сжатии информации значения (W^f)^b, а), ниже некоторого определенного уровня, удаляются; в случае низкочастотной фильтрации (W^b, а) заменяется нулем для малых значений параметра а. В любом случае (новая и модифицированная) функция / должна быть восстановлена по значениям (Wy/)(6, а). Любая формула, которая выражает / через значение (И^у/Дб, а), будет называться обратной формулой и функция ф — ядро, используемое в этой формуле, - двойственным базисного вэйвлета ф. На практике функция ф может использоваться как базисный вэйвлет только в том случае, если обратная формула существует.
Далее мы изучим четыре различные ситуации в порядке увеличения ограничений на область определения Wp.
(1°) Восстановление по (W^f^b^a^ a,b € R.
Для того чтобы восстановить / по (W^f)^, а), нам потребуется константа
Ct;=pl^<00.(1.ЗЛ)
Конечность этой константы сужает класс функций ф из L2(R), которые могут быть использованы в качестве «базисных вэйвлетов» в интегральном вэйвлет-преобразовании. В частности, если ф является функцией-окном, то она принадлежит пространству Z1(R), то есть
роо
I \ф^\дж < оо,
J ~оо
откуда следует, что ф — непрерывная функция в R (см. теорему 2.2 в главе 2). Далее из (1.3.1) следует, что функция ф обращается в нуль в начале координат, другими словами,
[ ф^дх = 0.(1.3.2)
J — оо
Поэтому график базисного вэйвлета ф представляет собой малую волну. С помощью константы ф получаем следующую формулу восстановления:
/М = " // е г2(Н),
Су Jr2 J(\ а у j а“
(1.3.3) где R2 = R х R. Заметим, что то же самое ядро
с точностью до знака комплексного сопряжения используется для определения обоих интегральных преобразований: (1.1.18) и его обращения (1.3.3). Следовательно, ф можно назвать двойственным базисного вэйвлета ф. Конечно, нельзя ожидать единственности этого двойственного.
(2°) Восстановление по (W^P^a^b € R,a > 0.
В частотно-временном анализе, как это обсуждалось в предыдущем параграфе, мы используем положительную константу, умноженную на а-1, для представления частот. Следовательно, если нас интересуют только положительные частоты, то нам нужна формула восстановления, в которой интегрирование осуществляется по области R х (0, оо) вместо R2. Поэтому следует теперь рассмотреть еще более узкий класс базисных вэйвлетов ф, а именно: вэйвлеты, удовлетворяющие равенству
I— Idw —< oo, (i.o.4)
Jo ^ Jo w2
3-3954
где C^ определена в (1.3.1). К примеру, любая вещественная ф, удовлетворяющая (1.3.1), может быть взята в этом случае в качестве базисного вэйвлета. Для любой ф, удовлетворяющей (1.3.4), мы имеем следующую формулу восстановления:
О г ОО г рос/_ >\>.
ооI Va \ а / J и
(1.3.5)
За исключением множителя 2, это та же самая формула, что и формула восстановления (1.3.3). Конечно, на базисный вэй- влет ф в (1.3.5) наложены дополнительные ограничения. Так же как и в пункте (1°), в рассматриваемой ситуации мы снова называем ф, комплексно сопряженную ф, двойственным базисного вэйвлета ф. Здесь также нет оснований ожидать единственности двойственного.
(3°) Восстановление по (W^f^b^yb Е R,а = ^,3 Е Z.
Сосредоточивая наше внимание на случае, когда а = 2~J, где j пробегает все целые числа, мы можем рассматривать частотно- временную локализацию с частотными окнами
Bj:=W-2^,2VA-2^ jEZ. (1.3.6)
В частности, если центр w* окна ф выбран какдх)
то диапазоны частот Bj,j Е Z, в (1.3.6) образуют несвязное разбиение всей частотной оси [0, оо), за исключением концов интервалов Bj. Интегральное вэйвлет-преобразование (1.2.8) используется для определения временных интервалов [Ь + 2~Д* — 2~-? Д^, b + 2-Jt* + 2^ Д^], на которых спектральное содержание сигнала /, с частотами из Bj, имеет достаточно большое значение, а именно: значение |(W^/)(5, а)| лежит выше некоторого порога.
Так как доступна только часть информации об W^f, то базисный вэйвлет ф должен удовлетворять более сильным
условиям, чем (1.3.1), для получения формулы восстановления. Условие, которое мы налагаем на t/>, называется условием устойчивости и имеет следующий вид:
ОО
(1.3.7)(1.3.7)А< £ |^(2-М|2<В,j=-oo
(1.3.7)
(1.3.7)
'ОО'ООо Шо Шгде Л и В, 0 < А < В < со — константы, не зависящие от ш. Из формулы (1.3.7) следует, что ф удовлетворяет также неравенствам
'ОО
'ОО
о Ш
о Ш
f т vZLda,<Bln2, (1.3.8) о ш
которые означают, что С^ лежит между 2Л1п2 и 2В1п2. Подробно об этом будет говориться в § 3.4. Если ф удовлетворяет (1.3.7), то базисный вэйвлет ф имеет двойственное ф*, преобразование Фурье которого задается формулой
(1.3.9)(1.3.9)
(1.3.9)
(1.3.9)
Формула восстановления, использующая это двойственное, может быть определена следующим образом:
со лоо
Е / \.^^^фЖ2-^фЧ2Чх-ЬШЬ,
J —ОО
/ е l2(R).
Так как базисные вэйвлеты ф в этом случае имеют большое теоретическое и прикладное значение, им дано специальное название.
Определение 1.3. Функция ф € T2(R) называется «двухпараметрическим вэйвлетом», если она удовлетворяет условию устойчивости (1.3.7) для почти всех ш 6 R и некоторых констант А и В таких, что 0 < А < В < оо.
з*
В главе 3 будет показано, что даже двухпараметрические вэйвлеты в общем случае не имеют единственного двойственного. Наиболее интересными примерами двухпараметрических вэйвлетов, по всей видимости, являются так называемые каркасы, которые будут введены в §3.5.
(4°) Восстановление по (W^f)(b,a),b = -^,а = 2~^ ,j,k £ Z.
С целью создания эффективных алгоритмов для определения интегрального вэйвлет-преобразования (W^f^b, а) и для восстановления / по (W^f^b, а) рассматривают только дискретные выборки. Очень важно разбить частотную ось на диапазоны частот, использующие степени 2 для масштабного параметра а, как это было сказано в (3°), гораздо более эффективно рассматривать только модели с двухпараметрическими значениями b = к/2^ на временной оси при а = 2~-?,7 £ Z, вместо произвольных b £ R. Во многих применениях при таком единообразном дискретном моделировании мы очень мало теряем в общности задачи, и, как мы увидим далее, математическая теория такого подхода очень привлекательна. Сначала заметим, что
(
к 1 \
27’ 2^7 = / iV^W^W1 - k^dx = (f,^jtk),
(1.3.10) где, так же как и в (1.1.11),
ФзДх) := У^НУх -к), j,ke Z.(1.3.11)
Однако в общем случае мы не требуем, чтобы ^j,^ была о.н. базисом в L2(R), как это было в §1.1. Действительно, достаточно, чтобы ^з^ была «устойчивым» базисом, как это будет определено ниже.
Определение 1.4. Функция ф £ L2(R) называется TZ-функ- цией, если Ь^ркЬ как это определено в (1.3.12), является базисом Рисса в L2(R), в том смысле, что линейная оболочка ^j^i В к € Z, плотна в L2(R) и что существуют положи-
тельные константы Л и В, 0 < Ательные константы Л и В, 0 < АА II {с,Д fe<А II {с,Д fe<ОО ООЕ Е- СбкФз,к j=—ook=—ooОО ООЕ Е- СбкФз,к j=—ook=—oo< В < оо такие, что2< В || {с>л} ||22 (1.3.12)2< В < оо такие, что2< В || {с>л} ||22 (1.3.12)2
тельные константы Л и В, 0 < А
тельные константы Л и В, 0 < А
А II {с,Д fe<
А II {с,Д fe<
ОО ОО
Е Е- СбкФз,к j=—ook=—oo
ОО ОО
Е Е- СбкФз,к j=—ook=—oo
< В < оо такие, что
2
< В || {с>л} ||22 (1.3.12)
2
< В < оо такие, что
2
< В || {с>л} ||22 (1.3.12)
2
для всех бесконечных суммируемых с квадратом последовательностей {с^^}, то есть
ОО ОО
II fe} Ili2:= Е Е \c6k\2 < °°-j=-oo k——oe
Предположим, что ч/’—^-функция. Тогда существует единственный базис Рисса {фз*^ в Z2(R), двойственный {ф^ в том смысле, что
^Ф^к)Ф ’ ) 5j^ • 5^^, j, к,£,тп Е Z. (1.3.13)
Отсюда любая функция f Е Т2(Н) имеет следующее (единственное) разложение в ряд:
ОО
№ = Е Ua^#^.(1.3.14)
3,к=-оо
Однако, хотя коэффициенты являются значениями интегрального вэйвлет-преобразования функции / относительно Ф, ряд (1.3.15) не является обязательно вэйвлет-рядом. Для того чтобы он был таковым, должна существовать некоторая функция ф Е £2(Н), и двойственный базис ффз*^ в формуле (1.3.15) получается из ф как
^фх^ф^фх^(1.3.15)
где, как обычно, используется обозначение
ФзлМ := ^^ф^х - к).(1.3.16)
Если ^фд,^ — о.н. базис в L2(R), как уже обсуждалось в (1.1.14), (1.1.15) и (1.1.17), то ясно, что (1.3.14) имеет место
при тД^' = Фз,^ или ф = ф. Однако в общем случае, как это мы увидим в следующем параграфе, ф может не существовать. Если ф так выбрано, что ф существует, то пара (ф,ф) очень полезна для определения значений интегрального вэй- влет-преобразования функции / G A2(R) в двухпараметрических точках и для различных двоичных масштабных уровней (или октав), а также для восстановления / по значениям ее интегрального вэйвлет-преобразования. А именно, мы имеем:
ОО00
/(ж) = 52 ^ФзлШк^ = 52 МэЛЖк^У (1-3.17) j,k——ооj,k=~ оо
Классификация вэйвлетов
Пусть ф G L2(R) -7Z-функция, тогда последовательность фф^, определенная в (1.3.12), является базисом Рисса в L2(R). Первый вопрос, с которым мы сталкиваемся — происходит ли базис фф^, двойственный {ф^, как это определено в (1.3.14), от некоторой функции ф G A2(R) согласно формулам (1.3.16)-(1.3.17). Что самое удивительное, в общем случае ответ отрицательный.
Например, пусть т/ G L2(R)—некоторый ортогональный вэйвлет, в соответствии с определением 1.1. Для любого комплексного числа я, такого что \z\ < 1, рассмотрим функцию
ф^г) := ф^ := т/(ж) - zV^n^xy (1.4.1)
Тогда ясно, что последовательность фф^кУ определенная в (1.3.12), является базисом Рисса в L2(R). Рассмотрим теперь двойственный базис {V^} относительно Vh,kY В частности, легко проверить, что
ОО
■=(1.4.2)
^0,1(ж) = 7?о,1 (ж).
Если может быть найдена некоторая функция ф = фг Е L2^^ для которой выполняются (1.3.16)—(1.3.17), то мы имеем
>?(ж) = т?о,1(® + 1) = ^0,1(ж + 1)
= Фод (ж + 1) = Фоц^
ОО
= V’°’°(^)= ^-q-t^xV,
или " сю
^n-l^xV =0.
Так как очевидно, что последнее равенство неверно, за исключением, может быть, конечного числа значений г, где \z\ < г и 0 < г < 1 - произвольное число, то мы заключаем, что функции ф = фг в общем случае не существует.
Эти рассуждения обусловливают следующее определение «вэйвлетов».
Определение 1.5. Я-функция ф Е b2(R) называется Я-вэй- влетом (или вэйвлетом), если существует функция ф Е T2(R) такая, что {фj1k} и {Ф1,к}г как это определено (1.3.12) и (1.3.17), являются двойственными базисами в L4KY Если ф — Я-вэйвлет, то ф называют двойственным вэйвлетом, соответствующим ф.
Ясно, что двойственный вэйвлет — единственный, и сам является вэйвлетом. Если говорить более точно, то пара (ф, ф^ симметрична в смысле того, что ф также является двойственным вэйвлетом для ф. Для удобства будем просто называть ф вэйвлетом, а ф— «двойственным» для ф. Как мы уже заметили в параграфе 1.3, если ф — ортогональный вэйвлет, то он является двойственным самому себе в том смысле, что ф = ф.
Важно придать особое значение тому факту, что любой вэйвлет, ортогональный или нет, порождает разложение любой функции / G L2(R) в вэйвлет-ряд, а именно:
ОО
/(ж) = ^ ^ Cj^jДж),
j,k=-oo
где каждый коэффициент Cj^ есть интегральное вэйвлет-пре- образование / относительно ф двойственного ф, вычисленное в точках временной шкалы
(о, а) =— .
v 7 \2з 23у
Пусть ф — любой вэйвлет, и рассмотрим порожденный им базис Рисса Vh,kY Для каждого j Е Z обозначим через Wj замыкание линейной оболочки ^j^ : А: 6 Z}, а именно:
Wj := clos^^)^^ : к Е Z).(1.4.3)
Очевидно, что Ь2(Д) может быть разложено в прямую сумму подпространств Wj-.
L2(R) = ^ Wj := • - 4W-i+W0+Wi+ •(1.4.4)
jez
в том смысле, что любую / Е L2(R) можно единственным образом представить в виде суммы
/(ж) = ■ ■ • + д-1(т) + до^х) + 91 (®) 4,(1.4.5)
где 9j Е Wj для всех j Е Z. Точки над знаком суммирования и над плюсами в (1.4.4) указывают на то, что берутся «прямые суммы».
Если ф ортогональный вэйвлет, то подпространства Wj из L2(R) — взаимно ортогональны, другими словами
(9j,9l) = 0, jV ^ гДе 9з € Wj и gt Е Wt. (1.4.6) В этом случае мы будем использовать обозначение
Wjl.Wb 3 0 L(1-4.7)
Соответственно прямая сумма в (1.4.4) становится ортогональной суммой:
L2(R) = ф Wj := • - • Ф W-i ф Wo ® Wx © • •(1.4.8)
jez
где окружность вокруг знака плюс в (1.4.8) означает «ортогональную сумму». Разложение (1.4.8) обычно называют ортогональным разложением jL2(R). Это означает, что разложение (1.4.5) любой / Е L2(R) в виде (бесконечной) суммы функций gj Е Wj не только единственно, но и то, что компоненты разложения / взаимно ортогональны, как указанно в (1.4.6).
Таким образом, ортогональный вэйвлет ф порождает ортогональное разложение L2(R). Однако мы использовали не все ортогональные свойства Vbi.kV а именно: для каждого у условие ортогональности (ф^ф^ = ^/ не отражено в формуле (1.4.8). Это означает, что существует широкий класс вэйвлетов, которые могут быть использованы для порождения ортогональных разложений L2(R). Имеющаяся в нашем распоряжении гибкость математического аппарата позволяет конструировать вэйвлеты, обладающие некоторыми нужными свойствами. Наиболее важным свойством, которое может быть выполнено для вэйвлетов ф с компактным носителем за счет такой гибкости, является их «симметричность» или «антисимметричность». Подробно мы рассмотрим это в главах 5 и 6.
Определение 1.6. Вэйвлет ф в L2(R) называется полуор- тогоналъным вэйвлетом (или п.о. вэйвлетом), если порожденный им базис Риоса {V’j,^} удовлетворяет равенству
^ФфьФг.т') = О, 3^^ зЛЛт Е Z. (1.4.9)
(1.4.10)(1.4.10)Очевидно, что каждый п.о. вэйвлет порождает ортогональное разложение (1.4.8) Z2(R), и любой о.н. вэйвлет является также п.о. вэйвлетом. Вэйвлет (или более точно, 7^- вэйвлет) ф называется неортогональным (или н.о.) вэйвлетом, если он не является п.о. вэйвлетом. Однако, будучи TL- вэйвлетом, он имеет двойственный вэйвлет ф, и пара (ф,ф) обладает свойством биортогональности:
(1.4.10)
(1.4.10)
{Фз,к^Ф£,т} — ^jyt^kjrm 7, ^>1, ^ G Z.
Кратномасштабный анализ, сплайны и вэйвлеты
Любой вэйвлет, полуортогональный или нет, порождает разложение Z2(R) в прямую сумму подпространств (1.4.4). Для каждого j Е Z будем рассматривать замкнутые подпространства
Vj = • • •+Wj_2-A-Wj_b j Е Z,(1.5.1)
в L2(R). Ясно, что эти подпространства обладают следующими свойствами:
(1°)... С У-1 с Vb с V1 с ...,
(2°)closL2 ( (J = Z2(R),
MGZ /
(з°)П V, = {о},
j€Z
(4°)Vj^x = Vj^Wj, j EZ и
(5°) /(ж) E Vj ^ /(2т) E Vj+1J E Z. Следовательно, в противоположность подпространствам Wj, которые удовлетворяют соотношению
Wjnwz = {0}, 3^^
подпространства Vj вложены друг в друга, как это описано в условии (1°), и обладают тем свойством, что любая функция / из i2(R) может быть приближена с произвольной точностью ее проекциями Pjf на Vj, что следует из условия (2°). С другой стороны, с уменьшением j проекции Pjf могут иметь сколь угодно малую энергию, что обусловлено условием (3°). Условиями (1°) — (3°) не описывается наиболее важное внутреннее свойство этих пространств, которое состоит в том, что всё больше и больше «колебаний» Pjf убирается при j -> — оо. В сущности, эти колебания счищаются слой за слоем в порядке убывания «размеров колебаний» (более известных как диапазона частот) и откладываются в дополнительных под-
пространствах Wj, в соответствии с (4°). Ввиду условия (5°) этот процесс может протекать очень эффективно.
Действительно, если упомянутое подпространство Vo порождено единственной функцией ф Е £2(В.) в смысле, что
Vq = closL2(R)(^>o,fc : к Е Z),(1.5.2)
где
фj,k^ := ^з^ф^х - kY(1.5.3)
то все подпространства Vj также порождены той же функцией ф (точно так же, как подпространства Wj порождены ф согласно (1.4.3)), а именно
Vj = closL2(R)(^5A; : к Е Z), j Е Z. (1.5.4)
Отсюда процесс «очищения» с Vj подпространства Wj-i, затем И^-2, ■ ■., Wj-t может быть выполнен достаточно эффективно. Мы вернемся к этому рассуждению в следующем параграфе.
(1.5.5)(1.5.5)Определение 1.7. Говорят, что функция ф £ L2(R) порождает кратномасштабный анализ (КМА), если она порождает последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств Vj, которые удовлетворяют условиям (1°) — (3°) и (5°) в смысле (1.5-4), u {^o,fc} образует базис Рисса в Vq. Здесь, аналогично определению 1-4-, для того чтобы {^>о,А:} была базисом Рисса в Vq, должны существовать две константы А и В, 0 < А < В < оо, такие что
(1.5.5)
(1.5.5)
AllWIfe <AllWIfe <5 ' ск Фо,к^ R||{cA:}||^2
AllWIfe <
AllWIfe <
к=—оо2
для всех бесконечных суммируемых с квадратом последовательностей {с^}, то есть
оо
(1.5.6)(1.5.6)11{М1& = 52 lCfc!2 < °0"
(1.5.6)
(1.5.6)
к=—оо
Если ф порождает КМА, то ф называется «масштабирую- гцей функцией»-.
Точное определение (КМА) будет дано в §5.1. Типичными примерами масштабирующих функций ф являются В- сплайны m-го порядка Nm, где т— произвольное положительное целое число. Более точно, В-сплайн первого порядка IVi — это характеристическая функция единичного интервала [0,1), и для т > 2 Мт определяется рекурсивно интегралом свертки:
роорХ
Nm^y^ Nm_yx-t)N^dt = Nm^(x-t)dt. (1.5.7) J—ооJ О
Чтобы описать подпространство Vo, порожденное Nm, необходимо ввести следующие обозначения:
{
кп — множество всех полиномов степени не выше п.
Сп — множество всех функций / таких, что
/, /',..., / О1) всюду непрерывны. Также пусть С = С°.
(1.5.8)
Подпространство Vo, порожденное Nm, состоит из всех функций / £ Ст~2 ПТ2(Н) таких, что на любом интервале [fc, k + 1), к Е Z функция / принадлежит множеству тгт-1, т.е.
/ I[k,fc-1)E ^т-х, к Е Z.
Из условия (5°) для КМА мы можем теперь определить все другие подпространства Vj, а именно
Vj = {/ Е Ст"2 П Т2(Н) : f U -кт_ь к Е Z}.
Так как сплайны — кусочно-полиномиальные функции, то они легко могут использоваться при вычислениях. Действительно, алгоритмы для графического изображения кривых с помощью сплайнов и для вычисления их полиномиальных составляющих, особенно в терминах 5-сетей (или коэффициентов Бернштейна—Безье), чрезвычайно эффективны. Сверх того,
так как В-сплайны имеют наименьший возможный носитель, то применимы схемы локальной интерполяции для аппроксимации функций в С П L2(R) с помощью любого сплайн- подпространства Vj. Все такие алгоритмы могут использоваться в режиме реального времени. Детали будут изучены в главе 4.
Из последовательности вложенных друг в друга сплайн- подпространств Vj мы получаем подпространства Wj как ортогональные дополнения, а именно:
И>+1 = Vj ® Wj, з 6 Z.(1.5.9)
Эти подпространства Wj взаимно ортогональны и образуют ортогональное разложение L2(R), как это следует из (1.4.7) и (1.4.8). Точно так же, как В-сплайн Nm является функцией с наименьшим носителем, порождающей (V)}, интересно найти функцию V’m ё Wo с наименьшим носителем, которая порождала бы взаимно ортогональные подпространства Wj, в смысле (1.4.3), с функциями ^m,j,k вместо ^Л’ гДе
^т,3Дх) = У^^х - fc), j, keZ. (1.5.10)
Эти функции с компактным носителем, фт, будут называться В-вэйвлетами порядка т. В главе 6 будут выведены явные формулы для всех фт и их двойственных ^m, т = 1,2,.. Интересно сравнить носители В-сплайнов и В-вэйвлетов. Под носителем непрерывной функции /, обращающейся в нуль вне некоторого ограниченного интервала, мы понимаем наименьшую замкнутую область, вне которой / тождественно равна нулю. Стандартное обозначение - supp/. Мы увидим, что
supp Nm = [0,m],
<(1.5.11)
_ supp -фт = [0, 2m - 1]
для всех т = 1,2,.... Кроме наименьшего носителя В-вэй- влеты фт обладают многими другими важными свойствами.
Здесь мы отметим только три из них. Во-первых, из (1.5.9) следует, что каждый фт является п.о. вэйвлетом. Во-вторых, нетрудно построить эффективные алгоритмы вычисления фт и всех его производных. И наконец, В-вэйвлеты фт — симметричны для четных т и антисимметричны для нечетных т; это означает, что
'^тМ = <Ы2т - 1 - ж) для четных т,
<(1.5.12)
фт^ = ^Фт^т - 1 - ж) для нечетных т.
Симметрия и антисимметрия вэйвлет-функций очень важны в приложениях, связанных с анализом сигналов. Например, эти понятия играют главную роль для устранения искажений при восстановлении сжатой информации. Этот вопрос будет обсуждаться в главе 5. Другие интересные свойства -фт будут изучены в главе 6.
Вэйвлет-разложения и вэйвлет-восстановления
Вернемся к рассмотрению основной структуры кратномасштабного анализа и вэйвлетов, как это определено в (1.5.1), где {V}} порождена некоторой масштабирующей функцией ф £ L2(R) и {Wj} порождена некоторым вэйвлетом -ф G Z2(R). В этом случае, ввиду условия (2°), каждая / из L2(R) с любой желаемой точностью может быть приближена функцией Jn Е Vn при некотором N Е Z. Так как Vj = V^-i+Wj-i для любого j Е Z, Jn имеет единственное разложение:
Jn = In-i + 9N-1,
(1.6.1)(1.6.1)где Jn—i € Vn-i и gw-i £ Wn-i- Повторяя этот процесс, имеем:
(1.6.1)
(1.6.1)
Jn = 9N-1 4" 9N-2 4Н 9N-M 4- Jn-m,
где fj G Vj и gj G Wj для любого j и M выбирается так, чтобы Jn-m была достаточно «размыта». «Разложение» в (1.6.1), которое единственно, называется вэйвлет-разломсением, и «размытость» измеряется в терминах «колебаний» (или более точно, частоты или числа периодов на единицу длины) функции /n-м- Наименее эффективный «критерий остановки» состоит в требовании, чтобы ||/лг-м|| был меньше некоторого порога. В последующем мы обсудим алгоритмический подход к выражению /w в виде прямой суммы его компонент 9N-h - ■ • ,9N-M и Jn-m и восстановлению /дг по этим компонентам.
Так как масштабирующая функция ф 6 Vo и вэйвлет ф EWq принадлежат Vi, a Vi порождено фу^^ = 2г/2ф(2х - к), к G Z, то существуют две последовательности {р^} и Ы е я2 такие, что
^(ж) = У^РА ^(2ж - к),(1.6.2)
к
Ф($) = ^9кФ^х — к)(1.6.3)
к
для всех х G Н. Формулы (1.6.2) и (1.6.3) называются двухмасштабными соотношениями масштабирующей функции и вэйвлета, соответственно. С другой стороны, так как ф(2х^ и ф(2х — 1) принадлежат Vi и Vi = Vq+Wq, то существуют четыре Я2 последовательности, которые мы обозначаем как {«—2*}, {^-2*}, {«1—2*1 и {&i—2*},& G Z, такие что
Ф№ = У2[°-2к Ф(х - fc) + ь_2к ф(х - А:)],(1.6.4)
к
Фк^х - 1) = y~^[ai-2fc Ф^х - &) + ^1—2& ф(х - А:)](1.6.5)
к
для всех х G R. Две формулы (1.6.4) и (1.6.5) могут быть объединены в одну:
Ф(2х-Я^ = ’^2,^а£_2кф(х-к)-1гЬб_2кф(х-к1)'\, I G Z, (1.6.6) к
которая называется соотношением разложения для ф и ip. Теперь мы имеем две пары последовательностей ({рк^-, {<&}) и ({«kb {bk})t которые единственны и проистекают из представления в виде прямой суммы Vi = Vq+^O- Эти последовательности используются для определения последующих алгоритмов разложения и восстановления. Поэтому, {рк} и ^q^ называются последовательностями восстановления, тогда как {йк} и {bk} —последовательностью разложения.
Для того чтобы описать эти алгоритмы, сначала напомним, что обе функции fj Е Vj и gj Е Wj единственным образом представляются рядами:
где cP = ^ Е £\
здесь мы умышленно опустили нормировочный коэффициент 2>/2, написав ф(2^х - к) и чр^х - к) вместо обычных ф^,к и ф^к^ ДО13 того чтобы избежать ненужного умножения на V2 в алгоритмах. В следующих алгоритмах разложения и восстановления функции fj и gj представлены с помощью последовательностей с? и cP, как это определено в (1.6.7) и (1.6.8).
Алгоритм разложения
Применяя (1.6.6)-(1.6.8), имеем
dN-2dN-2d^"1
dN-2
dN-2
jJV-MjJV-MCN __, CN-1
jJV-M
jJV-M
Рис. 1.6.1. Вэйвлет-разложение.
Заметим, что обе последовательности — с7"1 и d-7-1 — получаются из с^ по схеме сколъзяи^его среднего, использующего последовательности разложения в качестве «весов» с той особенностью, что эти скользящие средние вычисляются только в четных точках. Это называется сгущающей выборкой. Поэтому каждая стрелка на рис. 1.6.1 указывает на скользящее среднее вместе со сгущающей выборкой.
Алгоритм восстановления
Применяя (1.6.2), (1.6.3) и (1.6.8), имеем:
4 =+ Чк-2£ d3^1](1.6.10)
£
дМ-МдМ-МдМ—М+1дМ—М+1CN-MCN-McN-M+icN-M+iNN
дМ-М
дМ-М
дМ—М+1
дМ—М+1
CN-M
CN-M
cN-M+i
cN-M+i
N
N
Рис. 1.6.2. Вэйвлет-восстановление.
Здесь с-7 получается из с-7-1 и dj l с помощью двух скользящих средних, использующих последовательности восстановления в качестве «весов», с той особенностью, что разрежающая выборка должна быть выполнена до реализации скользящих средних. Более точно, значения ср1 и d3^1 берутся при четных индексах т = 21 и нули —при нечетных индексах т = 21 + 1, затем выполняется (дискретная) свертка по отношению к {рт} и {9т}.
Мы заканчиваем этот параграф несколькими замечаниями о двух приведенных выше алгоритмах. Во-первых, если весовая последовательность ({а/;}, {Ь^}, {pfc} или {%}) конечна, то соответствующий алгоритм скользящего среднего — это очень простой фильтр с конечным импульсным откликом (КИО-фильтр). Если, однако, весовая последовательность бесконечна, то алгоритм скользящего среднего есть фильтр с бесконечным импульсным откликом (БИО-фильтр). Как известно, ВИО-фильтры могут быть использованы как филь- 4 - 3954 '
тры с авторегрессивными скользящими средними (АРСС- фильтры) в случае, если символ весовой последовательности (или ее «z-преобразование») есть рациональная функция. Мы будем называть такие весовые последовательности «АРСС- последовательностями». Иначе, бесконечная весовая последовательность должна быть усечена, чтобы привести к КИО- фильтру. Во-вторых, если весовая последовательность состоит из иррациональных чисел или чисел с длинным десятичным разложением, то необходимо их округление («квантование»). Конечно, усечение и квантование влекут за собой погрешности, которые должны быть оценены a priori. Наконец, так как масштабирующая функция и вэйвлет-пара (ф, ф) используются как «зеркальные фильтры», то симметрия (или, по крайней мере антисимметрия) очень важна во многих применениях, связанных с анализом сигналов. Например, при восстановлении изображений по сжатой информации отсутствие симметрии или антисимметрии влечет за собой существенные искажения. Как будет видно в главе 5, свойства симметрии (ф, ф) находят свое отражение в симметрии последовательностей разложения и восстановления. Краткое описание методов обработки сигналов и изображений будет дано в главе 3.
В главе 6 мы увидим, что в тех случаях, когда сплайн-вэй- влеты фт (с минимальным носителем) используются в качестве ф, последовательности восстановления конечны, а последовательности разложения — АР СС-последовательности. Все эти последовательности симметричны для четных т и антисимметричны для нечетных т. Кроме того, выделяя общий знаменатель членов последовательности, мы придем к последовательности с целочисленными членами.
С другой стороны, когда рассматриваются ортогональные вэйвлеты ф с компактным носителем, то последовательности разложения и восстановления конечны. Однако для непрерывных ф возможно отсутствие симметрии и антисимметрии, и соответствующие последовательности разложения и восста-
новления должны быть подвергнуты квантованию. Детальное обсуждение структуры и схем построения масштабирующих функций и вэйвлетов будет дано в главе 5. В частности, в этой главе будет изучена тесная связь между линейно-фазовой фильтрацией и симметричными масштабирующими функциями и вэйвлетами. Последние две главы посвящены соответственно полуортогональным и ортогональным вэйвлетам. Более точно, достаточно полный анализ базисных сплайн-вэй- влетов будет дан в главе 6, и рассуждения об ортогональных вэйвлетах, особенно с компактным носителем, будут представлены в главе 7. Также в эту главу будет включено краткое рассмотрение ортогональных вэйвлет-пакетов, которые применяются для лучшей частотно-временной локализации.
Глава 2
Анализ Фурье
Тема анализа Фурье —одна из самых старых в математическом анализе, она чрезвычайно важна как для математиков, так и для инженеров, С практической точки зрения, когда говорят об анализе Фурье, обычно имеют в виду (интегральное) преобразование Фурье и ряды Фурье. Преобразование Фурье —это интеграл Фурье от некоторой функции /, определенной на вещественной оси R. Когда / представляется как аналоговый сигнал, то ее область определения R называют непрерывной временной областью. В этом случае преобразование Фурье / от / описывает спектральное поведение сигнала /. Так как спектральная информация дается в терминах частоты, область определения преобразования Фурье /, которой также является R, называется частотной областью. С другой стороны, ряды Фурье —это преобразование бесконечных последовательностей в периодические функции. Следовательно, когда бесконечная последовательность представляет собой цифровой сигнал, то его область определения, которой является множество целых чисел Z, называется дискретной временной областью. В этом случае ряд Фурье также описывает спектральное поведение цифрового сигнала, и область определения ряда Фурье также вещественная ось R,
которая является частотной областью. Однако, так как ряды Фурье имеют период, равный 2тг, частотная область R в этом случае обычно идентифицируется с единичной окружностью. Для математика такое отождествление более предпочтительно, так как «дуальная группа» Z — это «группа окружности».
Важность преобразования Фурье и рядов Фурье проистекает не только из значительности их физической интерпретации, как при частотно-временном анализе сигналов, но также из того факта, что аналитическая Фурье-техника является весьма мощной. Так, например, при изучении вэйвлет- анализа часто встречается формула суммирования Пуассона, равенство Парсеваля для рядов и для интегралов, преобразование Фурье функции Гаусса, свертка функций, дельта-функция и т.д. Так как предполагается, что эта монография должна быть самодостаточной, то есть содержать все нужные для изложения данные, то в этой главе будут приведены предварительные материалы по основам анализа Фурье.
Прямое и обратное преобразования Фурье
В этой главе предполагается, что все функции /, определенные на вещественной оси R, измеримы. Для читателя, который не владеет основами теории Лебега, но хочет понять некоторые основные теоремы, можно допустить, что / — кусочно непрерывны, то есть можно считать, что в каждом случае существуют точки {ж,} на R, не имеющие конечных точек сгущения такие, что ж/ < sj+i для всех j и что / непрерывна на каждом открытом интервале (xj^Xjyi) так же, как на бесконечных интервалах (—оо,ттжД и (max ж?, ос), если штж, или max$j существуют. Для каждого р, 1 < р < со, обозначим через ZP(R) класс измеримых функций / на R таких,
что интеграл (Лебега)
конечен. Также обозначим через L°°(R) множество почти всюду (п.в.) ограниченных функций; такими являются функции, ограниченные всюду, кроме множества меры (Лебега) нуль. Отсюда, наделенное «нормой»
1! Л р1! Л р{/.^ №)1р<£с}р для 1<р<оо,ess sup |/(®)| для р = оо,
1! Л р
1! Л р
—oo<x<oo
каждое //(R), 1 < р < сю, является пространством Банаха. Так как в этой вводной монографии для понимания сущности вэйвлетов и частотно-временного анализа не требуется дополнительных знаний о структуре пространств Банаха, читатель должен только знать несколько элементарных свойств норм I^(R) таких, как неравенство Минковского:
II/+ 91b < № + Ы„(2.1.1)
и неравенство Гельдера:
Il/Slli <ll/ll,llsll,(P-i)-.,(2-1.2)
гдер(р—I)-1 должно быть заменено 1 при р = сю. Следствием неравенства (2.1.2) является неравенство Шварца:
||/9«1 < II/II2II9II2.(2-1.3)
Отсюда, ввиду (2.1.3), мы можем определить «скалярное произведение»
/
ОО
f^g^dx, /,gGL2(R).(2.1.4)
-ОО
Наделенное этим скалярным произведением Банахово пространство L2(R) становится Гильбертовым пространством. Ясно, что
U,n = ll/fe f^M(2.1.5)
В дальнейшем в первую очередь мы сосредоточим наше внимание на функциях из L^R). Как обычно (для математиков), мнимая единица будет обозначаться через г. Инженеры- электрики могут при желании во всем тексте заменить г на j.
Определение 2.1. Преобразование Фурье функции У G ^(R) определяется как
/
ОО
e^Wb- (2.1.6)
-оо
Некоторые основные свойства /(ш) для любой у € ГДИ) объединены в следующей теореме.
Теорема 2.2. Пусть f € Z1(R). Тогда ее преобразование Фурье / обладает следующими свойствами:
JcL^fR), гдеН/ийН/И,;
У равномерно непрерывна на R;
если производная У' от f также существует и принадлежит L^R), то
№) = iu)JH,(2.1.7)
f(w) -8- 0 при си оо или —оо.
Доказательство. Утверждение (а) очевидно. Для доказательства (б) возьмем произвольное 5 и рассмотрим
SUp|/(w + ^) -/(ш)| = SUp / g-гшх^-гбх _ ^Д^Я
шш J-oo
/•ОО
< / |e-ifa - lll/WI*.
J — оо
Так как |е-^бя: — 111/(ж)| < 2|/(ж)| G L^R) и |е"^-1| -> 0 при 5 ^ О, то по теореме Лебега о переходе к пределу под знаком интеграла имеем, что величина, стоящая справа, стремится к нулю при 5 -> 0.
Для доказательства (в) мы применяем стандартную теорему интегрирования по частям в (2.1.6), используя тот факт, что /(ж) -> 0 при х -> ±оо.
В завершение, утверждение (г) часто называют леммой Римана—Лебега. Для ее доказательства заметим сначала, что если /' существует и принадлежит L^R), то из (в) и (а) мы имеем
1/И = < Л|1Л1о
при и) -> ±оо. В общем случае для любого е > 0 можно найти функцию д такую, что д,д' Е ^(R) и ||/ — g||i < е. Тогда из утверждения (а) мы имеем
I/MI < |/(ы) - g(w)| + |д(ш)|
< II/ - gib + |д(ш)1 <£ + |д(ш)|,
завершающее доказательство (г). □
Хотя /(ш) -> 0 при ш -^ ±ос для любой / е br(R), это не означает, что / обязательно принадлежит ^(R). Чтобы построить контрпример для демонстрации этого замечания, будем использовать понятие так называемой «ступеньки Хэви- сайда»
где а G R.
Пример 2.3. Функция
/(ж) = е жи0(т)
принадлежит L^R), но ее преобразование Фурье
не принадлежит £1(R).
Доказательство. Из равенства е-ги,х = cos шх — г sin шх имеем:
ООГОО
е~х cos wxdx — г / е-х sin wxdx
Jo
_1 гш 1
1 + w2 1 + w2 1 + iw’
1которая убывает на бесконечности как — и, следовательно,гш
не принадлежит L^R).□
Если / принадлежит Z1(R), то мы можем «восстановить»
/ по /, используя «обратное преобразование Фурье», определенное следующим образом.
Определение 2.4. Пусть f 6 ^(R) - преобразование Фурье некоторой функции f € L^R). Тогда обратное преобразование Фурье от / определяется как
„1
(2.1.9)
Поставим следующий важный вопрос: когда / может быть восстановлена по / с использованием оператора ^-1, т. е. когда (^-1/)(^) = /(ж) ? Ответ следующий: в любой точке х, где / непрерывна. Этот ответ является содержанием следующей теоремы.
Теорема 2.5. Пусть f G ^(R) такая, что ее преобразование Фурье j также принадлежит L^R). Тогда
/(х) = ^ПМ(2.1.10)
в любой точке х, где / непрерывна.
Мы отложим доказательство этой теоремы до следующего параграфа. Вместо этого мы закончим параграф выводом формулы преобразования Фурье для «функции Гаусса».
Пример 2.6. Пусть а > 0. Тогда
(2.1.11)(2.1.11)
(2.1.11)
(2.1.11)
В частности, преобразование Фурье функции Гаусса е равняется л/^е~ш
Доказательство. Рассмотрим функцию
e-ax Уху^ у G R(2.1.12)
-ОО
Дополняя до квадрата, получим
/
ОО2
е-^-^)2+^^(2.1.13)
-оо
Так как обе функции: /(у), определенная (2.1.12), и функция
могут рассматриваться как целые (аналитические) функции, равные друг другу на R, как это показано в (2.1.13), они должны совпадать на всей комплексной плоскости С. В частности, положив у равным —гш, получим
Непрерывно-временная свертка и дельта-функция
Пусть /ид принадлежат L^R). Тогда h - (непрерывно-временная) свертка функций /ид — также является функцией из b1(R) и определена формулой
/ОО
(2.2.1)(2.2.1)/(ж - y)g(y)dy.
(2.2.1)
(2.2.1)
-оо
Ясно, что h € L^R); действительно,
Rli < 11/1Ш11,(2.2.2)
так как
y^Wg^dydxy^Wg^dydx
y^Wg^dydx
y^Wg^dydx
dy
Замена переменных интегрирования в (2.2.1) дает равенство:
f*g = g*f, /,деь\к\(2.2.3)
Это означает, что оператор свертки коммутативен. Так как / * д принадлежит L^R), мы можем снова свернуть / * д с другой функцией и £ L1(R) и рассматривать (/ *д)*и. Легко видеть, что
(/ *д) * и = / * (д * и), /,д, o£L1(R).(2.2.4)
Следовательно, оператор свертки ассоциативен.
Поставим следующий вопрос: существует ли некоторая функция, назовем ее d 6 £X(R), такая, что
f*d = f, /eL^R)?(2.2.5)
Ответ отрицательный, и это может быть показано с использованием методов преобразования Фурье. Сначала сформулируем следующее важное свойство оператора преобразования Фурье.
Теорема 2.7. Пусть fug принадлежат Z1(R). Тогда
(f * g)\w) = fHo^Y(2.2.6)
Так как доказательство тривиально следует из теоремы Фубини, то оно здесь опущено.□
Теперь, если существует функция d G ^(R) такая, что имеет место равенство (2.2.5), то, применяя теорему 2.7, мы имеем
Это означает, что мы должны иметь d(w) = 1, что противоречит лемме Римана — Лебега и утверждению (г) теоремы 2.2.
Однако мы все-таки хотим «приблизить» d в (2.2.5), так как даже приближение тождественности свертки (или просто приближенная тождественность) является очень важным инструментом в анализе Фурье.
Из предыдущих рассуждений мы видим, что первым ограничением на семейство функций {</а} С L^R), которые позволяют приблизить тождественность, есть условие
<Цш) « 1, w 6 R,(2.2.7)
где, например, а —> 0. В частности, можно пронормировать эти функции, положив dQ(0) = 1 или, что то же самое,
f da(x)dx = 1.(2.2.8)
J —ОО
Рис. 2.2.1. Функции Гаусса ga,a = 1, |, ^.Рис. 2.2.1. Функции Гаусса ga,a = 1, |, ^.
Рис. 2.2.1. Функции Гаусса ga,a = 1, |, ^.
Рис. 2.2.1. Функции Гаусса ga,a = 1, |, ^.
Отличным кандидатом для такого семейства является семейство функций Гаусса
1
(2.2.9)(2.2.9)Уа^—е 4« , а > 0.
(2.2.9)
(2.2.9)
z Viva
Действительно, применяя (2.1.11) в примере 2.6 с а = 1/(4о?), мы имеем
(2.2.10)(2.2.10)УаМ = е~аш
(2.2.10)
(2.2.10)
которое очевидно удовлетворяет (2.2.7) и (2.2.8). Графики да для последовательности убывающих значений о? > 0 приведены на рис. 2.2.1.
Заметим, что если да используется в качестве «весовой» функции для непрерывной функции / из Z1(R), то вес все более сосредоточивается в окрестности начала координат при а —> 0+; таким образом,
/ f^-y^g^dy ~ /(т-0) = f(x), о->0+;
J —ОО
62
что то же самое, что
(/*gQ)(®) ~/М, а^0+.
Более точно, мы имеем следующую теорему.
Теорема 2.8. Пусть / G Z1(R). Тогда lim (/ * ga)^ = /(ж)
(2.2.11)(2.2.11)а->0+а->0+в любой точке х, где / непрерывна.
(2.2.11)
(2.2.11)
а->0+
а->0+
Доказательство. Пусть / непрерывна в точке х и е произвольно заданное число. Выберем у > 0 такое, что
|/(ж — у) — /(ж)| < е
для всех у 6 R, \у\ < б- Тогда, используя (2.2.8) с da = gai
мы имеем
< / № ~У) -№\9а№у
J-7]
+ / U(x-y) - f^gaWy
<Е gaWy^r II/II1 maxga(y) + |/(ж)| / 9»Wy
J-qЫ>4У|у|>л
<E [ ga^dy + \\f\\i9Ct(p) + \f(x')\ f g\^dy J—coyiyl^iy/V®
= е + \\Л\1да(уН\Лж)\ f 9iky)dy. y|y|>»?/V“
Так как ga(?7) и последнее слагаемое стремятся к нулю при о —> 0+, то теорема доказана.□
Теперь рассмотрим С — множество непрерывных функций из L^R). Тогда для любого ж 6 R каждая да может быть рассмотрена как линейний функционал в С, определенный формулой
9а °:= U*9aX$V
Одновременно мы рассматриваем линейный функционал 5 в С, определенный как
5оДх-.адНхУ(2.2.12)
Тогда (2.2.11) в теореме 2.8 утверждает, что
да -> 6 в С, а -> 0+.(2.2.13)
Так как 5 * ./ = /, то 5 — «тождественная свертка» и, следовательно, {^а} — аппроксимация тождественной свертки. Напомним, что 5 не является функцией из Z1(R), фактически это вообще не функция, так как удовлетворяет равенствам
р(т) = 0 для всех ж 0,..
(2'2'14)
Хотя этот линейный функционал 5 часто называют «дельтафункцией», на самом деле это «обобщенная функция» или «распределение». Как мы отметили ранее, так как 5 * f = J для всех f Е С, то мы должны определить преобразование Фурье от 5 равным константе 1, а именно:
ад = 1.(2.2.15)
В завершение этого параграфа продемонстрируем возможности приближенной тождественности {gQ} для доказательства теоремы 2.5 из предыдущего параграфа. Сначала установим равенство:
Г ООГ ОО
/ f(x)g^dx = f(x)g(x)dx, f,g Е L\RY (2.2.16)
J —ooJ —ОО
Заметим, что так как / и д принадлежат L°°(R), как это показано в теореме 2.2 (а), оба интеграла в (2.2.16) конечны вследствие неравенства Гель дера (2.1.2) при р = 1. Простое применение теоремы Фубини приводит к равенству (2.2.16).
Доказательство Теоремы 2.5. Пусть х G R. — фиксировано, положим
12:= — elyxe~ay12:= — elyxe~ay(2.2.17)(2.2.17)
12
:= — elyxe~ay
12
:= — elyxe~ay
(2.2.17)
(2.2.17)
Тогда, применяя (2.1.11) из примера 2.6, имеем
/*00V—оо/*00V—ооe^e^e-^dte^e^e-^dt
/*00
V—оо
/*00
V—оо
e^e^e-^dt
e^e^e-^dt
— Г e^-^V^dt]-оо
где да определено формулой (2.2.9). Итак, из (2.2.16) и (2.2.17) следует, что
U*9a^= 1 f^Oa^-yWU*9a^= 1 f^Oa^-yW(2.2.18)(2.2.18)
U*9a^= 1 f^Oa^-yW
U*9a^= 1 f^Oa^-yW
(2.2.18)
(2.2.18)
— ОО
poo
f(yMy)dy
—ооpoo—ооpoof(yWy)dyf(yWy)dy
—оо
poo
—оо
poo
f(yWy)dy
f(yWy)dy
ei^f(y)e-ay3dy.
Если теперь / — непрерывная функция х, то по теореме 2.8 выражение в левой части формулы (2.2.18) сходится к /(ж) при a -> 0+. Поэтому, так как выраже-
ние в правой части (2.2.18) стремится к (J7 1/)(ж), мы имеем
/И = С^1/)^).□
Преобразование Фурье функции, интегрируемых с квадратом
В этом параграфе мы вводим определение преобразования Фурье для функций из L2(R). Для этого нам необходимо понятие «автокорреляции».
f(x + y)f(y)dy.f(x + y)f(y)dy.Определение 2.9. Автокорреляционная функция от f € L2^) определяется как
f(x + y)f(y)dy.
f(x + y)f(y)dy.
(2.3.1)
Заметим, что ввиду неравенства Шварца (2.1.3) подынтегральная функция в (2.3.1) принадлежит L1(R), поэтому F^ имеет конечное значение при любом х Е R. Как следует далее, фактически мы можем сказать немного больше.
Лемма 2.10. Пусть F — автокорреляционная функция от фЕТДку Тогда:
|F^)| < ||/|j2 для всех ж 6 R и
F— равномерно непрерывна на R.
Доказательство. Как указано выше, (а) является следствием неравенства Шварца
/
ОО
W + y^WKy^dy
1/21/2•оо
1/2
1/2
№№< \1/(аг + у)|2^?
№
№
IJ — ООJ
= 11/112-
Для доказательства (б) мы рассмотрим произвольное вещественное число ту и снова применим неравенство Шварца
|Г(т + ту) -Лж)1 = / {/(ж + у + у) ~ f(x + y)}f(y)dy
|/(я + ту + у)—/(я; + у)|2ф/>||/||2
= \1/(у + у) ~/(у)|2^У f II/II2-
kJ — 00)
Так как / 6 Т2(Н), то по теореме Лебега интеграл внутри фигурных скобок, который не зависит от х, стремится к нулю
при ту —> 0.
Следующий результат позволяет распространить понятие преобразования Фурье на функции из L2(R).
Теорема 2.11. Пусть / 6 I-1(R) DL2(R). Тогда преобразование Фурье / от / принадлежит £2(R) и удовлетворяет следующему «равенству Парсеваля»:
II/II2 = M/lll
(2.3.2)(2.3.2)Доказательство. Так как /— непрерывная функция, стремящаяся к нулю на бесконечности, что вытекает из теоремы 2.2, то семейство {уа}, определенное в (2.2.10), может быть использовано как весовая функция, так что gQ|/|2 £ L^R). Заметим, что
(2.3.2)
(2.3.2)
J —00 J— оо LV—ооJ —00 J— оо LV—ооУа(ж)|/(ж)|2с^ = / ga^j^f^dx
J —00 J— оо LV—оо
J —00 J— оо LV—оо
где, с точностью до множителя (2тг)-1, выражение внутри квадратных скобок есть обратное преобразование Фурье от да. Следовательно, по теореме 2.5 мы имеем
/*ООлГ ОО/*ОО
/ ga^Hx^dx = 2л f(y) Ц^бсЛУ — u)dydu,
где дй определено в (2.2.9). Итак, используя понятие автокорреляции, введенное в (2.3.1), мы приходим к равенству
[ ga(x)\f(x)\2dx = 2% f F(x)ga(x)dx.
J —ООJ—oo
Так как F — непрерывная функция и {gQ}— приближение 5-распределения, имеем
lim [ ga(x)\Kx)\2dx = 2ttF(0).(2.3.3)
Теперь-по теореме Фату получаем, что / G L2(R); и так как 0<да|/|2<|/|2, теорема Лебега позволяет перейти к пределу под знаком интеграла в (2.3.3), что дает
/
ОО
|/«^ = 2ttF(0) ^Trll/Hi.
-oo
Этим завершается доказательство теоремы 2.11.□
Как следствие из теоремы 2.11 мы видим, что преобразование Фурье F может рассматриваться как ограннченнный линейный оператор в £X(R) P1L2(R) со значениями в Z2(R); таким образом
F : £X(R) П L2(R)£2(R)
и ||F|| = V^- Так как LX(R) П L2(R) плотно в Z2(R), F может быть распространено на все L2(R) с сохранением нормы. Более точно, если / G L2(R), то усеченные функции
!n^ := (/(ж) ДЛЯ |ж| ~(2.3.4)
( 0 в остальных точках,
где N = 1,2,... принадлежат ^(R) П L2(R), так что Jn € L2(R). Легко видеть, что {/лг} удовлетворяет критерию
5*
Коши в Z2(R), и ввиду полноты L2(R) существует функция Ао е £2(R) такая, что
lim || JN - /00II2 = 0.
N-юо
Определение 2.12. Преобразование Фурье f функции / £ L2(R) определяется как предел foa последовательности {/n} u обозначение
/(w) = l.i.m.N-^oo Jn^(2.3.5)
= l.Lm.N->oQ / e шх/(х)с1х
будет использоваться в смысле «предела в среднем».
Конечно, определение / для / G L2(R) не должно зависеть от выбора Jn £ ^(R) OL2(R). Другими словами, любая другая последовательность Коши из LX(R) П Z2(R), которая приближает / в L2(R), может быть использована для определения /. Но ввиду его простоты усечение /, как это сделано в (2.3.4), часто используется на практике, в частности в анализе сигналов. Заметим также, что продолжение Д из LX(R) AL2(R) на L2(R) находится в соответствии с исходным определением У на LX(R). Это легко проверить, используя основы теории Лебега. Особое внимание следует уделить тому факту, что равенство Парсеваля (2.3.2) распространяется на все L^^Y На самом деле несколько больше дает следующая теорема.
Теорема 2.13. Для любых f,g£ L2^) справедливо следую- гцее равенство
U,я) = ^LsY(2.3.6)
В частности, Ц/Ц2 = (2тг)" 21|/||2.
Равенство (2.3.6) также называют равенством Парсеваля.
Доказательство. Из вышепроведенных рассуждений следует, что
IWI2 = 2tt||/^, h G L2(R).
Если положить h равным каждой из четырех функций
f + 9, f ~ 9, f ~гд, / + ig,
то, используя формулу для скалярного произведения
\Ь9/, (2.3.7)
мы придем к равенству (2.3.6).□
Напомним, что когда в определении 2.4 было введено обратное преобразование Фурье Т"-\ мы должны были ограничить область определения пересечением L^R) с образом У, потому что Г не отображает L^R) в E^R). Кроме того, мы даже не можем писать
если / не является непрерывной функцией в точке ж. С другой стороны, теория L2(R) гораздо более элегантна. Мы видим, что Т отображает L2(R) в себя. Мы покажем, что это отображение является взаимно однозначным отображением не «в», а «на», так что обратное преобразование Фурье Т-х может быть легко определено.
Чтобы продолжить наши рассуждения, потребуются предварительная лемма и обозначение.
Лемма 2.14. Пусть f,g G Z2(R). Тогда
[ $№№ = f f^g^dx. (2.3.8)
«/—ООJ— ОО
Доказательство. Как показано в (2.2.16), равенство (2.3.8) справедливо для /,у е ^(R); так как Z^R) nL2(R) плотно в L2(R), то легко видеть, что (2.3.8) справедливо также для f,gcL4RYа
Определение 2.15. Для любой f, определенной на R, функция f~ определяется как
f-^^J^-xY(2.3.9)
Мы называем f~ «отражением» / (относительно исходной функции).
Очевидно следующее замечание.
Лемма 2.16. Пусть / е L2(R). Тогда
?И = Щ)М; ГпИ = и'ГИ (2.3.Ю)
Теперь мы можем установить обратимость оператора преобразования Фурье на L2(R).
Теорема 2.17. Преобразование Фурье У осуществляет взаимно однозначное отображение L2(R) на себя. Другими словами, любой g £ T2(R) соответствует одна и только одна / 6 Z2(R) такая, что / = д; таким образом
/(я) ^"W) == №(2.3.11)
есть обратное преобразование Фурье от д.
Доказательство. Пусть д е L2(R). Тогда ее отражение д-, как определено в (2.3.9), также принадлежит L2(R). Сначала покажем, что функция
/И :=(2.3.12)
удовлетворяет равенству / = д п.в.
Действительно, применяя последовательно (2.3.10), лемму 2.14, (2.3.12), снова (2.3.10) и равенство Парсеваля, получим
1|9-/||2 = ЫЙ2Де(д,/) + |№
49ll2-2fie(5,m + ll/ll2
= Ы2-2Я=&Г)-Н/||2 ЙЫг-ЗЯв/д, РД + Ш,
\27Г /
19
= stol2-^Й+ 2,||/||=
= -“1|9Й + 4-И?1Й = о,27Г27Г
откуда / = g п.в.
Демонстрация того, что /, определенная формулой (2.3.12), единственная функция в £(R) такая, что f = д, эквивалентна доказательству того факта, что / = 0 влечет / = 0 п.в. Это является непосредственным следствием равенства Парсеваля в теореме 2.13.□
Z2(R) теория преобразования Фурье, рассмотренная выше, часто носит название теории Планшереля.
Ряды Фурье
Обратимся теперь к изучению 2тг-периодических функций. При любом р, 1 < р < оо, будет использоваться следующее обозначение:
11/11^(0,2^) := <11/11^(0,2^) := <
11/11^(0,2^) := <
11/11^(0,2^) := <
ДЛЯ 1 < р < ОО,
для р = оо.
Для любого р, 1^(0,2тг) определяет банахово пространство функций /, удовлетворяющих равенству /(ж+2я) = /(ж) п.в. на R таких, что ||/||ы’(о,2тг) < °°- Иногда целесообразнее использовать подпространство непрерывных функций СДОДя] пространства £°°(0, 2тг) вместо всего £°°(0, 2%). Здесь * используется для напоминания того, что /(0) = /(2%), если /еС*[0,2тг].
Неравенства Минковского, Гельдера и Шварца для ^(R) в (2.1.1), (2.1.2) и (2.1.3) справедливы также для Lp(0, 2тг). В частности, для р = 2 мы можем снова определить «скалярное произведение»
1
(/,9)* =/ Ш$>, Lg е ^(0,2тг),(2.4.2)
где звездочка используется, чтобы отличить это скалярное произведение от скалярного произведения в £2(R). Позже нам понадобится также следующее обобщенное неравенство Минковского:
(2.4.3)
здесь обобщение состоит в простой замене конечной суммы интегралом (Лебега) в конечных пределах. Заметим также, что в противоположность пространствам //(R), которые не вложены друг в друга, мы имеем
Лр(0,2тг) С £9(0,2%), p>q.
Это может быть легко проверенно с помощью неравенства Гельдера.
Сопутствующими пространств 1^(0,2%) являются пространства (последовательностей) 1Р = £P(Z) бесконечных по-
следовательностей {а^}, к £ Z, которые удовлетворяют неравенству: ||{afc}||№ < оо, где
{
1
<, для 1 < р < оо,
Uez' ' /(2-4.4)
sup|afc|, для р = оо.к
И снова, неравенства Минковского, Гельдера и Шварца выполняются для пространств последовательностей. Аналогично пространствам Гильберта Z2(R) и А2 (0,2тг), пространство £2 _ ^2(2) также является пространством Гильберта со скалярным произведением:
^Qkb W^ := ^ *-(2-4.5)
kez
Напомним, что интегральное преобразование Фурье используется для описания спектрального поведения аналогового сигнала /, имеющего конечную энергию (то есть / 6 £2(R)). Здесь мы вводим дискретное преобразование Фуръе Т* цифрового сигнала {с^} £ $Р для описания его спектрального поведения следующим образом:
(^•{<Д)Ы(2.4.6)
k^Z
Таким образом, дискретное преобразование Фурье {q} является «рядом Фурье» с «коэффициентами Фурье», равными {cjt}. Мы не обсуждаем вопрос о сходимости рядов Фурье в (2.4.6), но для {с/Д 6 £L ясно, что эти ряды сходятся абсолютно и равномерно для всех ж G R. В общем случае, формальный ряд (2.4.6) может быть рассмотрен просто как «символ» последовательности {с^}.
Так как егх = cos ж 4- г sin ж, ряд Фурье в (2.4.6) может быть записан как
СЮоооо
/(ж) := У^ Скегкх = у + У^ Qfc cos &ж + y~4fc sin /сж, (2.4.7) к=—оок=1к=1
где
®fc = Cfc + С_fc,
<(2.4.8)
^fc = ^ск — с—к)-
Формулы (2.4.8) могут быть легко выведены с помощью равенств:
ЗШ = в ;
егх _]_ е гхCOST = .
2
Обозначение функции /(т) в (2.4.7) используется только как обозначение ряда Фурье. Это может и не быть функцией. В любом случае мы всегда можем рассматривать тригонометрические полиномы
NN
(SNf)(ж) := 52 ске1ка = у + 52(ak cos кх + bk sin кх^k=-Nк=1
(2.4.9) где N — положительное целое. Они называются частными суммами рядов Фурье функции /.
Особую важность представляет тригонометрический многочлен степени N
1sin(7V+^)T
Dn^ := 9 + 52 cos кх =’(2.4.10)
ДД bill X
fc=l2
который называется ядром Дирихле степени N. Заметим, что по крайней мере формально N-я частная сумма S^f ряда Фурье / может быть получена как «свертка» / с ядром Дирихле степени N, а именно:
1 р2тгг2т
f(t)DN(x - t^dt.f(t)DN(x - t^dt.(SNf)(x) = - f(x- t)DN(t)dt = - /я Jo^ Jo
f(t)DN(x - t^dt.
f(t)DN(x - t^dt.
Конечно, интегрирование в (2.4.11) допустимо, если / е ^(ОДл).
С другой стороны, если / — любая функция из Lp(0,2л), 1 < р < оо, мы можем определить «обратное дискретное преобразование» ^7*™1 от / формулой:
= скШ := у / i^e^dx. (2.4.12) Jo
Таким образом, F*~v переводит / 6 Zp(0,2л) в бесконечную последовательность ^ck(J^,k Е Z. Эта последовательность, конечно, определяет ряд Фурье
Y,^Vkx(2.4.13)
к^г
и называется последовательностью «коэффициентов Фурье» ряда Фурье. Фундаментальным является вопрос: «сходится» ли этот ряд к исходной функции /. Обсуждение этой темы откладывается до следующего параграфа. Сейчас мы займемся только изучением Т2(0,2л) теории.
Теорема 2.18. Пусть / £ Т2(0,2л). Тогда, последовательность {q(/)} коэффициентов Фурье функции f принадлежат ^ и удовлетворяет неравенству Бесселя:
ОО
52 1С*(/)|2 — И./'1112(0,27г)-(2.4.14)
к= —оо
Доказательство. Пусть ^(У) обозначает TV-ю частную сумму ряда Фурье (2.4.13). Тогда мы имеем
0<ll/-s»(/)fe(0,2,)
Н/1&(о,2,)-2^,ЗД)Г+№(ЛЙ^^
Легко проверить, что
N
Ц,ЗМУГ = £ Ы/)|2(2.4.16)
k=—N
И
IISa,(/)II^(„,2,) = £ l=t(/)|2.(2.4.17)
k=-N
Отсюда, подставив (2.4.16) и (2.4.17) в (2.4.15), мы получим
£ Ы/)|2 < 11/11^(0,2,).k=-N
Так как это неравенство справедливо при любом N, то мы
установили (2.4.14).□
Обратной к теореме 2.18 является следующая, так называемая теорема Рисса-—Фишера.
Теорема 2.19. Пусть {cfc} G А Тогда существует некоторая f € L2(0,2тг) такая, что с^ является k-м коэффициентом Фурье функции /. Кроме того,
ОО
£ Ы2 = 11/1112(0,2,)-(2.4.18)
к=—оо
Эта теорема утверждает, что дискретное преобразование Фурье Г* отображает £2 в Т2(0,2тг), и равенство (2.4.18) выполняется для всех / из области значений оператора J* на £2.
Доказательство. Для любого положительного N рассмотрим тригонометрический многочлен
N
SN^ = 52 Ckeikx.(2.4.19)
k=-N
Так как {cfc} принадлежит £2, последовательность
N
k=-N
является последовательностью Коши вещественных чисел. Откуда, рассматривая равенство, аналогичное (2.4.17) для ЦУдг — •^м||£2(о12тг)’ приходим к тому, что {S/v} является последовательностью Коши в Б2 (О,2тг). Пусть / е £2(0,2тг) - предел этой последовательности. Тогда, в силу неравенства Бесселя (2.4.14), коэффициенты Фурье с^(/) функции / удовлетворяют неравенству
N
52 \ckU) — cfc| II/ — ^11^2(0,2^)' k——N
Устремив У —> оо, получаем
Ск(Л=ск, kEZ.
Более того, ввиду (2.4.16) и (2.4.17), имеем
II/ “ ^111,2(0,2тг) = 11/11ь2(0,2тг) - 2Т?е(/, SnY + H^llbfo,^)
= Н/1112(0,2тг) " 52 l^fcP,
k=-N
что при N -> со дает (2.4.18).□
Мы обращаем особое внимание на то, что теорема 2.19 только утверждает, что равенство (2.4.18) справедливо для всех функций / из области значений оператора дискретного преобразования Фурье, действующего на пространство ^2. То, что (2.4.18) может быть распространено на все Б2(0,2я), является следствием теоремы Вейерштрасса, которая утверждает, что множество всех тригонометрических многочленов плотно
в L2(0,2л). Равенство (2.4.18), распространенное таким образом на все L2(0,2л), называется равенством Парсеваля для L2(0,2 л). Простой способ установить справедливость теоремы Вейерштрасса — это рассмотреть чезаровы средние последовательности частных сумм ряда Фурье функции / £ Ь2(0,2 л).
Пусть / 6 Tv2 (0, 2л) и обозначим через STJ n-ю частную сумму ряда Фурье (2.4.7), как она определена в (2.4.9). Тогда N-e, чезарово среднее от \Snf^ дается формулой
c^Nf :=c^Nf :=sof + --- + sNfN + 1sof + --- + sNfN + 1(2.4.20)(2.4.20)
c^Nf :=
c^Nf :=
sof + --- + sNf
N + 1
sof + --- + sNf
N + 1
(2.4.20)
(2.4.20)
Так как Snf есть свертка / с ядром Дирихле Dn, как это определено в (2.4.11) (для / е Т2(0,2л) С Т1(0,2л)), то из этого следует, что ст nJ есть свертка / с так называемым ядром Фейера, определенным формулой
Kn^) : =Kn^) : =Д)(я) НVDn^7V+1Д)(я) НVDn^7V+118Ш2(^^ж)7V + 1 2sin2(f)18Ш2(^^ж)7V + 1 2sin2(f)(2.4.21) •(2.4.21) •
Kn^) : =
Kn^) : =
Д)(я) НVDn^7V+1
Д)(я) НVDn^7V+1
18Ш2(^^ж)
7V + 1 2sin2(f)
18Ш2(^^ж)
7V + 1 2sin2(f)
(2.4.21) •
(2.4.21) •
а именно:
(2.4.22)(2.4.22)1
(2.4.22)
(2.4.22)
(^Г)^ = ~ fkx~ t^KN^dt.^ Jo
Заметим, что тригонометрический многочлен К^ отличается от D^^ тем, что Kn^x) > 0 для всех х. Это свойство является решающим при доказательстве следующего результата о плотности тригонометрических многочленов.
Теорема 2.20. Пусть / 6 Ь2(0,2л). Тогда
lim ||/ - ^/||l2(02t) = 0.
Перед доказательством этой теоремы самое время ввести обозначение «Lp(0,2%) модуля непрерывности»:
'^р(/',^ := sup {^ f^ |/(ж + 7г) - f(_x)\Pdxp 0<h<T]
для /е£р(0,2я),
где 1 < р < оо; и если р = сю, то (2.4.23)
w(/;p) := ^(/ip) := sup max \f(x + h) - /(ж)|0<h.<y ж
.для /бС*[0,2я].
Заметим, что £°°(0,2тг) заменено своим подпространством С*[0,2тг]. Отметим также, что шр(/;р) и ш(/;р)—неубывающие функции аргумента р и что
j^pU;n)->0 при р->0+ для /€Тр(0,2тг),,.
[ш(/;р)->0 при р -> 0+ для /бС*[0,2я].
Вернемся теперь к доказательству теоремы 2.20.
Доказательство. Так как
то, используя обобщенное неравенство Минковского (2.4.3) и определение Ш2(/; |<|), мы последовательно получаем, что
II/ ~ ^/|к2(0,2тг) =II/ ~ ^/|к2(0,2тг) =■2тг■2тг12я^ + 1)12я^ + 1)'2тг'2тгAin И«Х \2X г-7— dtv sm 5 7Ain И«Х \2X г-7— dtv sm 5 7Jo2Jo21/21/2dx >dx >
II/ ~ ^/|к2(0,2тг) =
II/ ~ ^/|к2(0,2тг) =
■2тг
■2тг
1
2я^ + 1)
1
2я^ + 1)
'2тг
'2тг
Ain И«Х \2
X г-7— dt
v sm 5 7
Ain И«Х \2
X г-7— dt
v sm 5 7
Jo
2
Jo
2
1/2
1/2
dx >
dx >
27Г/ f^^'V
I у sin j 7
Пусть е > 0 — произвольное заданное число. Выберем М > 0 так, что
-гЦ/Иую.з,) jM ^<е.
Так как ш2(/; •) < ЗН/Цу^^) и ш2(/; •)-неубывающая функция, то для (N + 1)тг > 2М имеем
II/ - ^/Пь2(0,27г)II/ - ^/Пь2(0,27г)г 2п '’w+Tг 2п '’w+TduduМт<£ + ^2Мт<£ + ^2/ 2М XVs na и/ 2М XVs na и—> £ + 0,—> £ + 0,
II/ - ^/Пь2(0,27г)
II/ - ^/Пь2(0,27г)
г 2п '’w+T
г 2п '’w+T
du
du
Мт
<£ + ^2
Мт
<£ + ^2
/ 2М X
Vs na и
/ 2М X
Vs na и
—> £ + 0,
—> £ + 0,
при N -> оо. Этим завершается доказательство теоремы
2.20.□
Используя полученный результат о плотности тригонометрических многочленов в Т2(0,2тг), мы можем установить следующий основной результат этого параграфа.
Теорема 2.21. Дискретное преобразование Фурье Г*, определенное в (2-4-6), есть изометрический изоморфизм ^2 на L? (0,2тг). Другими словами, Т* отображ.ает Р взаимно
однозначно на Т2(0,2тг), так что имеет место равенство Парсеваля
001/*2тг
Е^|2 = ^/0 l/WI2^ /GT2(0,2tt),(2.4.25)
где Ck = Ck(J) — к-й коэффициент Фурье функции /.
Доказательство. Из теоремы 2.19 следует, что F* отображает £2 в Т2(0,2тг). Для доказательства того, что это — отображение на L2(0,2тг), возьмем произвольную функцию / £ Т2(0,2тг) и обозначим через {q} последовательность коэффициентов Фурье функции /. Тогда, в силу неравенства Бесселя из теоремы 2.18, мы имеем
СЮ
Е lCfc|2 — H^IIl2(0,27t)-к=—оо
С другой стороны, по определению a^f в (2.4.20) и, обращаясь к Snf в (2.4.9), получаем
Е l"^ Г‘е '
k=-N+ '
так что
N /\2
П^я/Нл2^^) = Е f1 ~ 2V 1 / lCfc'2
— Е 1С/с|2 — 11^И12(0,27г)- k=-N
Таким образом, мы имеем
1
Следовательно, в результате применения теоремы 2.20 установлено равенство Парсеваля (2.4.25). Это равенство, конечно, гарантирует, что преобразование J7* взаимно однозначно, так как, если все коэффициенты Фурье / равны нулю, то 11/11^(0,2^) = о, или / = 0 П.В.. □
Основы теории сходимости
и формула суммирования Пуассона
Хотя теория сходимости рядов Фурье — весьма увлекательная тема, детальное ее изучение выходит за рамки этой книги. Мы обсудим только два основных условия сходимости, опустив при этом их доказательство.
Во-первых, напомним, что существует 2тг-периодическая непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится во всех рациональных точках. Кроме того, существует функция из L^O, 2тг), ряд Фурье которой расходится всюду. Встает вопрос о наложении на функцию некоторых условий, гарантирующих сходимость ее ряда Фурье. Один из результатов о сходимости, который требует наиболее слабых предположений и является в то же время весьма глубоким, состоит в том, что ряд Фурье любой функции / из Lp(0,2tt), где 1 < р < оо, сходится к / почти всюду. В дальнейшем нас будет интересовать равномерная сходимость или, по крайней мере, сходимость в некоторых специфических точках.
Следующий результат носит название условия сходимости Дини—Липшица. Здесь будет использоваться обозначение шД; р) для равномерного модуля непрерывности, введенное в (2.4.23).
Теорема 2.22. Пусть / Е С*[0,2тг] такая, что
ооat < ооtat < ооt
о
о
at < ооt
at < ооt
для некоторого а > 0. Тогда ряд Фурье функции / сходится равномерно к f; таким образом
lira ||/ — ^/||£оо[0^] = 0.
М-Лоо1 ’ J
Например, если ш(/; т?) = О(7/а) для некоторого а > 0, то, конечно, условие (2.5.1) выполняется.
Второе условие сходимости, которое будет установлено ниже, называется условием Дирихле—Жордана. Оно применимо для функций, которые не осциллируют очень сильно. Такие функции называют функциями с ограниченной вариацией. Хорошо известно (и не так трудно вывести это из определения), что любая функция с ограниченной вариацией на отрезке [а, Ь\ может быть представлена как разность двух неубывающих функций. Следовательно, если / — функция с ограниченной вариацией на [а, 6], то оба односторонних предела
V(®+) := lim Дж + Л);
2.5.22.5.2h->0+
2.5.2
2.5.2
/(я") := lim Дх - h)»h—>0+
существуют в каждой точке х, а < х < Ь.
Теорема 2.23. Пусть / — 2я-периодическая функция с ограниченной вариацией на [0,2тг]. Тогда ряд Фурье функции / сходится к (ДхД + ДхД)/2 всюду; таким образом
hm kSNfW = "—1 2 ^(2.5.3)
N-^oo2
для любого ж £ R. Кроме того, если / непрерывна на любом отрезке [а, 6], то ряд Фурье функции f сходится равномерно к / на [а, 6].
В то время как (интегральное) преобразование Фурье, изученное нами в первых трех параграфах этой главы, опре-
делено на L^R?), ряды Фурье представляют только периодические функции. Простейший способ периодизации функции / 6 P’(R) состоит в рассмотрении
Ф/(ж):= ^ /(ж + 2тг/г).(2.5.4)
к=—сс
Первый вопрос, который здесь возникает, является ли Ф/ функцией. Как видно из следующей леммы, ответ положительный при р = 1.
Лемма 2.24. Пусть f 6 i‘(R)- Тогда ряд, определенный формулой (2.5-4), сходится п.в. к некоторой 2тг-периодической функции Ф/. Кроме того, сходимость п.в. является абсолютной, Ф/ е ^(одтг), и
НФ/Иы^.) < ^11/111.(2.5.5)
Доказательство. Абсолютная сходимость почти всюду будет установлена, если мы докажем неравенство
I |/(ж + 2тгА;)|(/ж < оо. к=—ОО
Но справедливость этого неравенства, вместе с неравенством (2.5.5), непосредственно следует из простого наблюдения, что р2тг00/-2тг
/ |Фу(ж)|б?ж < 52 /|/(ж + ‘Z-nk^dx
00/•2тг(А;+1)roo
= 52 / ww = / ww < oo.
Исходя из этой леммы, мы можем рассматривать ряд Фурье функции Ф/(ж), а именно:
ОО
Ф/W = £ С1(Ф/)е“*.
к=—оо
где
«НФ/) = ^ / e-«“»,tx)dx 100 г2т
= ^ "Е e-‘kIf(x + 2,rj)<fc
Следовательно, если ряд Фурье функции Фу (ж) сходится к Фу, то две величины
£ /(т + 2лА;)(2.5.6)
к= —оо
И
. оо
^ Е Лч®'*1<2-5-7)
к=—оо
могут быть равны друг другу. К несчастью, так как Фу есть только функция из ^(О,2л), то ее ряд Фурье может всюду расходиться. Таким образом, на Фу или / должны быть наложены некоторые условия, которые бы обеспечили равенство величин (2.5.6) и (2.5.7). Сначала мы обратимся к одному весьма общему положению.
Теорема 2.25. Пусть / е ^1(R) удовлетворяет следующим двум условиям:
ряд (2.5.6) сходится всюду к некоторой непрерывной функции и
ряд Фурье (2.5.7) сходится всюду.
Тогда имеет место следующая «формула суммирования Пуассона»:
ОО1 оо
52 /(т + 2лк) = — 52 meik\ X е R. (2.5.8) к=—сок= —оо
В частности,В частности,
В частности,
В частности,
ОО- ОО
£Е (2-5-9)
k~ —оок=—оо
Перед тем как мы наложим на / некоторые достаточные условия, гарантирующие выполнение пунктов (а) и (б), заметим, что формула суммирования Пуассона (2.5.8) или (2.5.9) может быть сформулирована в несколько ином виде. Для этого мы просто заметим, что если /о(ж) := /(аж), где а > 0, то fa^ = а~1Ка')- Откуда (2.5.8) и (2.5.9) принимают вид:
Г 00100ь
(2.5.10)(2.5.10)(2.5.11)(2.5.11)Е i^+^^m Е /у='-‘- к—-оок=—оо
(2.5.10)
(2.5.10)
(2.5.11)
(2.5.11)
00100 ь
Е = ^ Е
чк=—оок=—оо
В частности, положив а = (2л) г, имеем
ОО00
Е /(ж + А:) = Е /(2лА;)е^, к=—оок——ос
оооо
Е /№ = Е f^y к=—оок=—оо
Перечислим теперь некоторые условия, при которых выполняются пункты (а) и (б) в теореме 2.25.
Следствие 2.26. Пусть f — измеримая функция, удовлетворяющая равенству:
(2.5.12)(2.5.12)f(x),f(x) = О f
(2.5.12)
(2.5.12)
для некоторого а > 1. Тогда формула суммирования Пуассона (2.5.8) справедлива для всех ж 6 R.
Заметим, что так как / удовлетворяет (2.5.12), то / обязательно непрерывна, откуда следует, что оба условия (а) и (б) выполняются.
Следствие 2.27. Пусть / G Z^R), и предполооюим, что ряд в (2.5-4) сходится всюду к непрерывной функции с ограниченной вариацией на [0,2 л]. Тогда формула суммирования Пуассона (2.5.8) справедлива для всех х 6 R.
Если Фу — непрерывная функция с ограниченной вариацией на [0,2л], тогда по теореме 2.23 ее ряд Фурье, определяемый формулой (2.5.7), сходится всюду к Фу. Таким образом, (2.5.6) и (2.5.7) равны друг другу.
В качестве важного примера можно рассмотреть любую непрерывную функцию f с ограниченной вариацией и компактным носителем. Для такой / ряд (2.5.4) —это только конечная сумма и, следовательно, Фу — непрерывная функция с ограниченной вариацией на [0,2л]. В качестве типичного примера в главе 4 будут детально изучены В-сплайны порядка не меньше второго.
Мы завершим эту главу применением формулы суммирования Пуассона к изучению преобразования Фурье автокорреляционной функции F (определенной формулой (2.3.1)) от функции / 6 Z2(R). Это лучше подготовит нас к построению полуортогональных вэйвлётов в главе 5. Используя обозначение /~ для отражения /, определенного в (2.3.9), мы можем переопределить F как
F(sMhUW
Откуда, применяя лемму 2.16, мы получаем
Е(ж) = |у(ж)р. (2.5.13)
Теперь, так как / принадлежит L2(R), то в силу равенства Парсеваля этому пространству принадлежит и /. Поэтому, F е ^(R) и по лемме 2.24
Фр(ж) = ^ Р(Ж + 2тгА;)= 22 № + 2тгА;)|2(2.5.14)
к= —оок= —оо
сходится п.в. и Фр € Т1^, 2тг).
Для изучения ряда Фурье функции Фр наложим одно дополнительное условие. Потребуем, чтобы / е L^R). Тогда (/)“ также принадлежит L^R), что имеет место и для свертки F = f * (/)~. Следовательно, по теореме 2.5, мы имеем
Пх) = (F^F^x) = — / e^F^dy (2.5.15)^^ J —оо
/ 1
откуда коэффициенты Фурье функции Фр даются формулой
/ 1 -\Л
Ск = сДФр)= —FW=F(-kY
yjTT у
Таким образом, ряд Фурье Фр может быть записан как
Фр(ж) = ^ F(-k)eikx = 22 F^e"^1.(2.5.16)
к=—оок=—оо
Итак, мы имеем:
ОО00
22 № + 27rfc)|2= 22 W п.в.,(2.5.17)
к=—оок=—оо
где z = е-гх и правая часть формулы (2.5.17) называется символом последовательности £F(k)y Если случится так, что /
имеет компактный носитель, то таким же свойством обладает и автокорреляционная функция F; и символ ^F^k^ есть полином Лорана. Этот полином Лорана называют также полиномом Эйлера—Фробениуса, порожденным /. Следовательно, (2.5.17) устанавливает очень важную связь между полиномом Эйлера—Фробениуса, порожденным функцией / с компактным носителем, и неотрицательной функцией Фр в (2.5.14), что будет способствовать изучению безусловных базисов, ортогонализации и двойственности. Подробности по этим темам будут обсуждаться в последующих главах, в частности, в главе 5.
Возвращаясь к (2.5.17) без предположения о том, что / имеет компактный носитель, мы имеем только равенство п.в. для / 6 Z/1(R) AL2(R). Ниже мы даем три различных набора условий, которые обеспечивают справедливость (2.5.17) для всех ж € R.
Теорема 2.28. Пусть f Е L2(R) удовлетворяет одному из следующих трех условий:
/(ж) = С>(|ж|—^), /3 > 1 и /(ж) = О(|ж|~"), а > 5, при |ж| —> оо.
/ имеет компактный носитель и принадлежит классу Ыр(7) для некоторого 7 > 0, то есть
sup sup |/(ж+<)—/(ж)| = O(h,'1'), при А —> 0+. (2.5.18) х 0«<Л
/ — непрерывная функция с компактным носителем и имеет ограниченную вариацию на этом носителе.
Отсюда следует, что
0000 Г 1
52 |№+2rt)|2= 52 1№ +
k=—ook=—oo
(2.5.19) для всех х Е R.
Заметим, что каждое из условий (а)-(в) обеспечивает, что левая часть формулы (2.5.19) есть 2тг-периодическая функция, ряд Фурье которой дается выражением в правой части этой формулы. Это очевидно для условия (а), но требует немного больше труда при доказательстве для условий (б) и (в). Сходимость ряда Фурье в любой точке $ Е R для условий (а), (б) и (в) выводится из следствия 2.26, теоремы 2.22 и теоремы 2.23 в указанном порядке. □
Глава 3
Вэйвлет-преобразования и частотно-временной анализ
Для изучения спектрального поведения аналогового сигнала необходимо полное знание сигнала во временной области, включая и будущую информацию. Вдобавок, если сигнал меняется в малой окрестности некоторого момента времени, то это влияет на весь спектр. Действительно, в крайнем случае преобразование Фурье от дельта-распределения §(t — to) с носителем в единственной точке to есть е-^оШ, которое покрывает всю частотную область. Следовательно, во многих приложениях, таких как анализ нестационарных сигналов и обработка сигнала в реальном времени, применение одной формулы преобразования Фурье весьма неадекватно. Недостаток формулы преобразования Фурье в частотно-временном анализе был замечен уже Д. Габором, который в своей работе 1946 года ввел «функцию-окно» временной локализации g^t — b), где параметр b используется для перемещения окна с целью покрыть всю временную область для получения локальной информации о преобразовании Фурье сигнала. Фактически Габор использовал функцию Гаусса в качестве функции окна д. Так как преобразование Фурье функции Гаусса также является функцией Гаусса, то одновремен-
но оказывается локализованным и обратное преобразование Фурье.
Первый параграф этой главы посвящен изучению преобразования Габора. Обсуждение этого так называемого «кратковременного преобразования Фурье» (КВПФ) в общем случае и принципа неопределенности, который определяет величину (размер) окна, является содержанием второго параграфа. В частности, здесь будет замечено, что частотно-временное окно любого КВПФ определено весьма жестко и, следовательно, применение этого преобразования не эффективно для детекции сигналов высокой частоты и исследования сигналов низкой частоты. Это служит причиной введения интегрального вэйвлет-преобразования (ИВП) в §3.3. Вместо того чтобы применять окна для прямого и обратного преобразования Фурье, как это делается в КВПФ, ИВП непосредственно выделяет часть функции (сигнала) и ее преобразования Фурье. Это происходит за счет параметра растяжения (масштабного параметра), который позволяет сужать или расширять частотно-временное окно в зависимости от частоты. Обращение ИВП означает восстановление сигнала по его локальной спектральной информации. Будет рассмотрена информация, полученная в результате непрерывных и дискретных наблюдений. Это приводит к изучению каркасов и вэйвлет-рядов в последних двух параграфах этой главы.
Преобразование Габора
Функция / из £2(R) используется для представления аналогового сигнала конечной энергии, и ее преобразование Фурье
Z
OO
e^fWt(3-1.1)
-ОО
дает спектральную информацию о сигнале. Всюду в этой главе t и ш предназначены для обозначения, соответственно, временной и частотной переменных. К сожалению, одна формула (3.1.1) не очень удобна для получения информации о спектре j по локальным наблюдениям сигнала /. Для этого необходимо «хорошее» временное окно.
«Оптимальное» окно для временной локализации достигается в результате использования некоторой гауссовой функции
Уа(^) ~ о .е 40!^(3.1.2)
2vTra
где а > О фиксировано, в качестве функции-окна (см. рис. 2.2.1). Здесь оптимальность определяется принципом неопределенности, который будет рассмотрен в следующем параграфе. Для любого фиксированного значения а > О, преобразование Габора функции / € L2(R) определяется как
Z
CXD (e-^f^Wt-bW,(3.1.3)
-ОО
таким образом, (^/)(а>) локализует преобразование Фурье функции / в окрестности t — Ь. «Ширина» окна определяется (фиксированной) положительной константой а; это будет обсуждено ниже. Заметим, что из формулы (2.1.11) в примере 2.6 при ш — 0 и а = (4а) мы имеем
[ ga(t-b)db = f ga(x)dx = 1,(3.1.4)
J — ООJ — ОО
откудаоткудасо G R.со G R.
откуда
откуда
со G R.
со G R.
Таким образом, множество
W : ь е R}
преобразований Габора функции / точно разбивает преобразование Фурье / функции / и дает о ней локальную спектральную информацию. Для измерения ширины функции- окна мы используем понятие стандартного отклонения, или среднеквадратичной (СК) длительности, определяемой формулой
Л x2gl(x)dx^ .(3.1.5)
1|9а||2 U —ооJ
Заметим, так как да — четная функция, ее центр, определенный формулой (1.2.5), равняется0, и, следовательно, A9q совпадает с общим понятием «радиуса», введенным в определении 1.2.
В частности, ширина функции-окна да равняется 2A9q .
Теорема 3.1 Для любого а > О a9q = VS.(3.1.6)
Таким образом, ширина функции-окна да равняется 2VS.
Доказательство. Положив в формуле (2.1.11) ш = 0, имеем [ e~ax2dx = х/яа-1/2,(3.1.7)
J — ОО
продифференцировав это равенство по параметру а, получим /оо
х2е-ах dx = ^V3/2.(3.1.8)
-ОС2
Откуда, подставив а = (2а)-1 в формулы (3.1.7) и (3.1.8), имеем
11^112 = (втгс)-1/4(3.1.9)
и в результате
Можно интерпретировать преобразование Габора Q^f в (3.1.3) несколько иначе, а именно: положивМожно интерпретировать преобразование Габора Q^f в (3.1.3) несколько иначе, а именно: положив
Можно интерпретировать преобразование Габора Q^f в (3.1.3) несколько иначе, а именно: положив
Можно интерпретировать преобразование Габора Q^f в (3.1.3) несколько иначе, а именно: положив
G^^e^Mt-bY(3.1.10)
мы имеем
/"СО
№/)(") = (/,<??,„)=/ /«суш (3.1.11)
V —оо
Другими словами, вместо рассмотрения (5^/) как локализации преобразования Фурье / мы можем истолковать его как выделение части функции (или сигнала) / с помощью функции-окна О“ш в (3.1.10). Мы будем следовать этой точке зрения позднее при его сравнении с «интегральным вэй- влет-преобразованием». График вещественной и мнимой частей С“ш для б = 0, ш = 2тг и указанных значений а приводится на рис. 3.1.1-3.1.2.
Одно преимущество формулировки (3.1.11) состоит в том, что равенство Парсеваля в формуле (2.3.6) может быть применено для установления связи преобразования Габора от функции / с преобразованием Габора от /. Действительно, т. к.
G^^) =(3.1.12)
которое следует из (2.2.10), мы имеем
= U^ = v^^U(зллз)
’27Г
■1 "ОО■1 "ООр—гошр—гош2тг
■1 "ОО
■1 "ОО
р—гош
р—гош
(егЬп/(^91/4^1] - ш^П -do
-I1111।г
-3-2-10123
Рис. 3.1.1. Re Gq2t, a = 0.2925.
Рис. 3.1.2. Im G^2n, a = 0.2300.
Давайте обсудим (3.1.13) с двух различных точек зрения. Во- первых, мы рассматриваем
Z
CXD (е-^(1У)да^-Ь^1 (3.1.14) -ОО
= (^‘Д '/~(^Лч))з^-"Мч,
которое говорит, что с точностью до множителя ^^ё1^ преобразование Фуръе с окном от / с функцией-окном да в окрестности t = b равняется обратному преобразованию Фуръе с окном от / с функцией-окном gi^a в окрестности у = ш. По теореме 3.1 произведение ширин этих двух окон есть
(2A9J(2Agi/4J = 2.(3.1.15)
С другой стороны, рассматривая
1 / ёЬш \
Щ,м := ^®ь«М = (j^) ^дц^ч - ^, (3.1.16) мы имеем
иЯМШД(3.1.17)
Это равенство говорит о том, что информация, полученная при рассмотрении аналогового сигнала /(/) в окрестности t = b с использованием функции-окна G^y, как это определено в (3.1.10), может быть также получена при наблюдении спектра /(т?) сигнала в окрестности частоты у = ш с помощью функции-окна Н“ш, как определено в (3.1.16). И опять произведение ширин временного окна С®ш и частотного окна н"„ есть
(2AG?J(2A„.J = (2A„.)(2A91/<o) = 2.(3.1.18)
Декартово произведение
>7
CV2
Ш1
Рис. 3.1.3. Окно Габора.
этих двух окон называется прямоугольным частотно-временным окном. Оно часто рисуется в частотно-временной области для того, чтобы показать, как локализуется сигнал. Ширина 2V« временного окна называется шириной частотно-времен-
1
ного окна, и ширина —= частотного окна называется в-ысотой частотно-временного окна. Изображение этого окна дано на рис. 3.1.3. Заметим, что ширина частотно-временного окна не меняется при рассмотрении спектра на любых частотах. То, что это ограничивает использование преобразования Габора для изучения сигналов очень высокой или низкой частоты, будет обсуждено в § 3.3 этой главы.
Кратковременные
преобразования Фурье и принцип неопределенности
Преобразование Габора — это преобразование Фурье с окном, использующее некоторую гауссову функцию да в качестве функции-окна. По различным причинам, таким как вычислительная эффективность или удобства при выполнении, другие функции также могут быть использованы в качестве функций-окон. Чтобы непрерывная функция w 6 b2(R) была функцией-окном, она должна удовлетворять требованию, что
M0g£2(R),(3-2.1)
откуда и l^1/2?^/) Е Z2(R). Из формулы (3.2.1), применяя неравенство Шварца к произведению (l + |i|)-1 на (l + |t|)w(/), получаем, что w Е L^R). Следовательно, по теореме 2.2, ее преобразование Фурье w является непрерывной функцией. Однако, хотя w принадлежит также L2(R), как это следует из равенства Парсеваля, она не обязательно удовлетворяет (3.2.1), и, следовательно, может и не быть (частотной) функцией-окном. Напомним, что в предыдущем параграфе важность функции Гаусса да определялась тем, что ее преобразование Фурье также является гауссовой функцией, так что да и да могут быть использованы для частотно-временной локализации.
Пример 3.2. Обе функции первого порядка: В-сплайн
Ддя(3.2.2)
в других точках,
и функция Хаара
( 1для 0 < i < 1/2,
t/ц (£)= ч^н (/):=/—1для 1/2 < t < 1,(3.2.3)
(О в других точках,
как это было определено в (1.5.7) и (1.1.16), являются функциями-окнами, но их преобразования Фурье Ny и ^y не удовлетворяют (3.2.1) и, следовательно, М и ^i не могут быть использованы для частотно-временной локализации.
Доказательство. Так как Ny и ^1 имеют компактный носитель, они, конечно, удовлетворяют (3.2.1). С другой стороны, в силу теоремы 2.5 и теоремы 2.2(6), так как Ny и ^i не являются непрерывными функциями, то Ny и t/ц не могут принадлежать ZX(R). Следовательно, они не удовлетворяют (3.2.1).□
В общем случае для любой ио 6 L2(R), удовлетворяющей (3.2.1), мы определяем центр и радиус w, как в определении 1.2, формулами
х* :=/ t\w^\2dt(3.2.4)
Iiwll2 J—оо
И
1 f roo> 1/2
д»:=й7Г1/ O-^'ri^COI21 at. (3.2.5)
Мы используем также величину 2Д№ для измерения ширины функции-окна w. В анализе сигналов, если w рассматривается как аналоговый сигнал, то Дш называется среднеквадратичной (СК) длительностью аналогового сигнала, и Д^ называется ее СК шириной диапазона, если только w также удовлетворяет (3.2.1). Преобразование Габора (3.1.3) может быть обобщено на любое «преобразование Фурье с окном» функции / е Z2(R), использующее функцию го, которая удовлетворяет (3.2.1), в качестве функции-окна, следующим образом
/
ОО
(e-iwtJ^Mt-b)dt. (3.2.6)
-ОО
Откуда, положив
мы имеем
/
ОО
ЖЖ (3.2.8)
-оо
таким образом (^/)(ш) дает локальную информацию об / во временном окне
[ж* + b — Дш, х* + Ъ + Дш].(3.2.9)
Теперь предположим, что преобразование Фурье ш функции ш также удовлетворяет (3.2.1). Тогда мы можем определить центр w* и радиус Дд функции-окна ш, используя формулы, аналогичные (3.2.4) и (3.2.5). Положив
1 / ргЬш \
Vb,M := — Wb^ -e-^-q - ш),(3.2.10)
которая также является функцией-окном с центром в ш* + ш и радиусом, равным Дд, мы имеем по равенству Парсеваля
^ьПН = <J,Wb,^ = ХХ (3.2.11)
Следовательно, (£&/)(ш) также дает спектральную информацию об / в частотном окне
[ш* + w — ^д, ш* + ш + Дд].(3.2.12)
В результате, выбрав некоторую w е L2(R) такую, что шиш удовлетворяют (3.2.1), для определения преобразования Фурье с окном в (3.2.6) мы имеем частотно-временное окно
[ж* + b — Aw, ж* + 5 + Aw] х [ш* + ш — Дд, ш* + ш + Ад] (3.2.13)
с шириной 2АШ (определенной шириной временного окна) и постоянной площадью окна
Снова ширина частотно-временного окна остается неизменной для локализации сигналов высокой и низкой частоты.
Определение 3.3. Если w 6 £2(R) выбрана так, что w и ее преобразование Фуръе w удовлетворяют (3.2.1), то преобразование Фуръе с окном, введенное в (3.2.6) с использованием функции-окна w, называется «кратковременным преобразованием Фуръе» (КВПФ).
Как было замечено ранее, так как обе функции w и w удовлетворяют (3.2.1), они должны быть непрерывными. В добавление к функциям Гаусса, любой В-сплайн порядка выше первого может быть использован для определения КВПФ.
Пример 3.4. Базисный В-сплайн m-го порядка
Nm^-.= f Nm_i(t-^dx, (3.2.15) Jo
где т > 2, определенный рекурсивно в (1.5.7) с ТД, заданным формулой (3.2.2), является функцией-окном, определяющим КВПФ. Более того,
® I—гт<а/2 /sinw/2 \..
—: = е Z"(32.16)
гш )\ wp )
Доказательство. Так как Nm есть m-кратная свертка 2V1 и M(w) = (1 — е~гш)/йи, утверждение (3.2.16) следует из применения теоремы 2.7. Отсюда ясно, что Nm удовлетворяет (3.2.1). Очевидно, само Nm удовлетворяет (3.2.1), так как имеет компактный носитель.□
Для точной частотно-временной локализации выбирают функцию-окно w так, чтобы частотно-временное окно имело достаточно малую площадь 4Ди,Дд. Мы уже видели в (3.1.18), что если w - некоторая функция Гаусса gQ,ot > 0, то площадь окна равняется 2. Итак, первый вопрос, на который следует ответить: может ли быть доступна меньшая
площадь окна. В следующей теореме, известной как «принцип неопределенности», мы увидим, что невозможно найти окно размером меньшим или равным, чем у функции Гаусса.
Теорема 3.5. Пусть w 6 ^(R) выбрана так, что сама w и ее преобразование Фурье w удовлетворяют (3.2.1). Тогда
АшАй > ^(3-2.17)
Более того, равенство достигается тогда и только тогда, когда
w(£) = ce^ga^t - b),
где с ^ 0, а > 0 и a,b Е R.
Замечание. В инженерной литературе, если w рассматривается как аналоговый сигнал с t в качестве переменной во временной области, то область определения ее спектра выражается в терминах (переменных) частоты / = ш/2тг (в герцах). Откуда, если мы заменим ш на 2тг/ в определении Ад, то появится множитель 2тг. Более точно, положив
At — Аш,
Л _ 1 Л(3.2.18)
как обычно пишут в инженерной литературе, принцип неопределенности утверждает, что
Д.А/ >(3.2.19)
где равенство имеет место тогда и только тогда, когда сигнал w есть функция Гаусса.
Для упрощения доказательства теоремы 3.5 нам необходимы следующие результаты.
Лемма 3.6. Пусть / нетривиальная, и почти всюду дифференцируемая функция такая, что (1 + |ж|)/ и f'(x) принадлежат I? (R). Тогда
Re [ xf(x)f'(x)dxJ —ООRe [ xf(x)f'(x)dxJ —ОО<^ \xf^\2dx^j |/'(ж)|2с/ж}. °°(3.2.20)
Re [ xf(x)f'(x)dx
J —ОО
Re [ xf(x)f'(x)dx
J —ОО
Более того, равенство имеет место тогда и только тогда, когда f(x) есть функция Гаусса.
Доказательство. Неравенство (3.2.20) с очевидностью вытекает из применения неравенства Шварца. Теперь, если в (3.2.20) имеет место равенство, то из этого следует, что
-Де ж/(ж)/'(ж) = |ж/(ж)/'(ж)| и, 9 ,
\xf^\ = W^\
для некоторой положительной константы а. (Здесь, как мы увидим позже, другая возможность — Rexf(x)f'(x) = \xf(x)f'(x)\ отбрасывается, так как / должна принадлежать Z2(R). Тот факт, что а ^ 0 следует из предположения, что / — нетривиальная функция из L2(R)). Из второго тождества в (3.2.21) мы имеем
xf (ж) = -ZafXxy9^
при некоторой вещественной функции 0(ж). Тогда первое тождество в (3.2.21) означает, что
-ж/(ж)/7(ж) > 0,
так что
-2а|/(ж)|2е^ > 0,
которое в свою очередь означает, что е16^ = — 1. Откуда мы заключаем, что
ж/(ж) = -2а/(ж),
и так как /' непрерывна, то
/(ж) — се~$2^4а
при некоторой константе с ^ 0. Таким образом, / является функцией Гаусса да, определенной в (2.2.9), умноженной на постоянный множитель.□
Прежде чем обратиться к доказательству теоремы 3.5, мы сначала заметим, что
Rexf^xYr^x) = |т-^-|/(ж))2(3.2.22)
ах
и что если каждая из функций /(ж), /'(ж) и xf (ж) принадлежит Z2(R), то
lim т|/(т)|2 = 0.(3.2.23)
рф+оо7
Соображение, по которому (3.2.23) имеет место, состоит в том, что при наших предположениях мы имеем
Доказательство теоремы 3.5.
Предположим сначала, что центры w h w равны нулю. Тогда, применяя теорему 2.2(b), равенство Парсеваля, (3.2.20), (3.2.22) и (3.2.23) последовательно, мы имеем
/А А х2 _
( wllw^R^
l|wH§||w||^
Более того, по лемме 3.6 неравенство в этой формуле переходит в равенство тогда и только тогда, когда w есть функция Гаусса.
В общем случае, если центрами w и w соответственно являются t = b и ш = а, то после простой замены переменных из вышеприведенных рассмотрений следует, что А^Ад = только, если
w(t) = cemtga(t- Ь),
где а > 0 и с ^ 0.□
Отсюда преобразование Габора, введенное в предыдущем параграфе, есть КВПФ с наименьшим частотно-временным окном. В приложениях следует выбирать большее окно для получения некоторых желательных свойств преобразования. Например, В-сплайны второго и более высокого порядка, введенные в примере 3.4, повышают эффективность вычислений и выполнения алгоритма. Наиболее важное свойство, которым не обладает преобразование Габора, это дополнительное условие:
f ф^х^х = 0,(3.2.25)
V —ОО
где ф — функция-окно. Это свойство дает нам большую степень свободы для введения параметра растяжения (или масштабного параметра) с тем, чтобы сделать частотно-временное окно гибким. Локально-временное интегральное преобразование с таким параметром растяжения, которое мы рассмотрим в следующем параграфе, будет называться 'интегральном вэйвлет-преобразованием (ИВП), и любая функция-окно для определения ИВП будет называться «базисным вэйвле- том».
Перед тем как окончить этот параграф, выведем формулу восстановления любого сигнала с конечной энергией по значениям его КВПФ.
Теорема 3.7. Пусть w 6 L2(R) выбрано так, что ЦггЦг = 1, w u w удовлетворяют (3.2.1). Пусть также Wb^t) определено формулой (3.2.7). Тогда
/
ОО рОО
/ U^u^Wb^dbdw = ML9^ (3-2.26)
■ОО J —ОО
для любых f,g g ^W
Доказательство. Для любой / € L2(R), обозначим через / v обратное преобразование Фурье от /; таким образом, / (ж) = ^/(—ж)- Тогда по равенству Парсеваля и формуле (3.2.6) мы имеем
ЛОО __ р оо
'Ш>Жд>)<1ц) = 2л ^ьП^ЖэН^дх
—ооJ—оо
= 2тг / f(t)w(t — Ь) g(t)w(t — b^dt
J — оо
/
оо
/(/)y(Z)|w(t - b^dt.
-оо
Поэтому из предположения ||w||2 = 1 следует, что
UM^^Wb^dbda,UM^^Wb^dbda,(&У)(ы)(0&9)(ш) dbdw(&У)(ы)(0&9)(ш) dbdw= 2я(/,д).= 2я(/,д).f(t)g(f)\tu(t — &)|2 dbdtf(t)g(f)\tu(t — &)|2 dbdt□□
UM^^Wb^dbda,
UM^^Wb^dbda,
(&У)(ы)(0&9)(ш) dbdw
(&У)(ы)(0&9)(ш) dbdw
= 2я(/,д).
= 2я(/,д).
f(t)g(f)\tu(t — &)|2 dbdt
f(t)g(f)\tu(t — &)|2 dbdt
□
□
Взяв в качестве функции д функцию Гаусса да(- — ж) и устремив а —> 0+, мы приходим к следующему утверждению.
Следствие 3.8. Пусть w удовлетворяет условиям теоремы 3.7 и пусть / G Z2(R). Тогда в каждой точке ос, где / непрерывна.
1 /*ОС /*оо
f^ = ±/ \е^бьПММя - bW». (3.2.27)
2тг JJ—оо
Интегральное
вэйвлет-преобразование
Мы видели, что при анализе сигнала с помощью КВПФ частотно-временное окно остается фиксированным в том смысле, что его ширина не меняется при рассмотрении любого диапазона частот (или октавы)
[ш* + ш — Ад, ш* + ш — Ад]
с частотным центром w* + ш. Так как частота прямо пропорциональна числу периодов на единицу времени, то требуется более узкое временное окно для более точной локализации высокочастотных явлений и широкое временное окно для полного анализа низкочастотных свойств сигнала. Следовательно, КВПФ не подходит для анализа сигналов одновременно с очень низкой и очень высокой частотами. С другой стороны, интегральное вэйвлет-преобразование (ИВП), использующее некоторый базисный вэйвлет, который будет определен ниже, имеет гибкое частотно-временное окно, которое автоматически сужается при рассмотрении высокочастотных явлений и расширяется при изучении низкочастотных областей
IV>M|2 :—:dU) < ОО,IV>M|2 :—:dU) < ОО,Определение 3.9. Если ф G jL2(R) удовлетворяет условию «допустимости»:
IV>M|2 :—:dU) < ОО,
IV>M|2 :—:dU) < ОО,
(3.3.1)
то ф называется «базисным вэйвлетом». Относительно каждого базисного вэйвлета ф интегральное преобразование (ИВП) на Z2(R) определяется формулой
(№/>/)№ := japi Г f^ (—Adi, f Е Z2(R),J — oo\ ® /
(3.3.2)
где a, b € R и a ^ 0.
Замечание. Если, кроме того, обе функции ф и ф удовлетворяют (3.2.1), то базисный вэйвлет ф обеспечивает частотновременное окно конечной площади, равной 4Д^Д^. Более того, из этого дополнительного предположения следует, что ^ — непрерывная функция, так что конечность Оф в (3.3.1) влечет ф(0^ = 0, или, что эквивалентно,
[ ф^ = 0.(3.3.3)
По этой причине ф называют «вэйвлетом». Мы увидим позже в этом параграфе, что условие допустимости (3.3.1) необходимо для обращения ИВП.
Положив
Фъ-Д"^ := Н-^ ( -—,(3.3.4)
\ а /
ИВП, определенное формулой (3.3.2), может быть записано как
W^M = U*,a\(3.3.5)
В последующих рассуждениях мы будем полагать, что обе функции — ф и ^ — удовлетворяют (3.2.1). Тогда, если центр
и радиус функции-окна гр, соответственно, равны t* и Д^, то ^б;а есть функция-окно с центром в b + at* и радиусом, равным аД^. Следовательно, ИВП, как это определено в (3.3.5), дает локальную информацию об аналоговом сигнале / с вре
менным окном
\b + at* - a^, b + at*+ аД^.(3.3.6)
Это окно сужается для малых значений а и расширяется для больших а.
Рассмотрим затем
= Г dt (33J)
2тг2тг\ а )
old! 2\
=“гр (aw)
и предположим, что центр и радиус функции-окна гр равны, соответственно, ш* и Д^. Тогда, положив
Т](ш) := гр(ш + ш*),(3.3.8)
мы имеем функцию-окно т/ с центром в нуле и радиусом, равным Д~. Теперь из (3.3.5) и (3.3.7), применяя равенство Пар- севаля, получаем
(HV)(M =(HV)(M =
(HV)(M =
(HV)(M =
Откуда ясно, что функция-окно т] (а (ш — ^)) = т^аш — ш*) = гр(аш) имеет радиус, равный -Д^, выражение в (3.3.9) показывает, что за исключением множителя а|а|-1/2/2тг и линейного сдвига по фазе егЬш, ИВП W^f также дает локальную информацию об / с частотным окном
ааш* 1 л а^1 а + аш* 1 л а^1 а + а(3.3.10)(3.3.10)
а
а
ш* 1 л а^1 а + а
ш* 1 л а^1 а + а
(3.3.10)
(3.3.10)
В последующих рассуждениях предполагается, что центр ш* функции ф положителен. Сделав так, мы можем считать это окно диапазоном частот (или октавой) с частотным центром ш*/а и шириной полосы 2Д^/а. Важность такого отождествления состоит в том, что отношение
частотный центр ш*(а ш* (3 3 И) ширина диапазона 2Д^-/а 2Д~
не зависит от масштабного параметра а. Следовательно, если частотная переменная идентифицируется с постоянной величиной, умноженной на а-1, то соответствующий диапазонный фильтр с полосой пропускания (3.3.10) обладает тем свойством, что отношение частотного центра к ширине диапазона не зависит от расположения частотного центра. Это называется «Q-постоянной фильтрацией».
Если теперь ш*/а рассматривается как частотная переменная ш, то мы можем рассматривать плоскость t-ш как частотно-временную плоскость. Откуда мы имеем прямоугольное частотно-временное окно с временным окном (3.3.6) и частотным окном (3.3.10)
[b+tiZ —оД^, Ь+а^+аД,/,] х[b+tiZ —оД^, Ь+а^+аД,/,] х11ааШ* 1 лV а a fШ* 1 лV а a f(3.3.12)(3.3.12)
[b+tiZ —оД^, Ь+а^+аД,/,] х
[b+tiZ —оД^, Ь+а^+аД,/,] х
1
1
а
а
Ш* 1 л
V а a f
Ш* 1 л
V а a f
(3.3.12)
(3.3.12)
на t-ш плоскости с шириной 2аД^ (определенной шириной временного окна). Следовательно, это окно автоматически сужается в случае высокочастотных явлений (то есть при малых а > 0) и расширяется при исследовании низкочастотных свойств сигнала (то есть при больших а > 0). (См. рис. 1.2.1.)
Далее мы выведем формулу для восстановления любого сигнала конечной энергии по его значениям ИВП. Для полноты мы сначала допустим отрицательное значение масштабного параметра а, затем сосредоточим наше внимание на положительных а с тем, чтобы применить ИВП для частотновременного анализа.
Теорема ЗЛО. Пусть ^ — базисный вэйвлет, определяющий ИВП W^. Тогда
^аЖ^дЖ^ ^db = C^f,g) (3.3.13)
для всех f,g Е L2(R). Более того, для любой f Е L2(R) и х Е R, в которой / непрерывна,
1 лоо ЛООЯл
f^ = ^/ ^П1Ь,аЖь;а^Ж (3.3.14)
где фь.а определяется формулой (З.ЗД).
Доказательство. Применяя равенство Парсеваля и (3.3.7) и введя обозначения
(3.3.15)(3.3.15)мы имеемгоо гмы имеемгоо гa)(W^)(b,a) dba)(W^)(b,a) db( F^ := J^x^WG(x) := ЖЖах\
(3.3.15)
(3.3.15)
мы имеем
гоо г
мы имеем
гоо г
a)(W^)(b,a) db
a)(W^)(b,a) db
—F<x>-ibxdxG^e ibydy S db
|Q| J—OQ ^TTj-ooI J-ooJ
П2-
= -^- / G<xW)d^
27r|(Z| J —oq
где равенство Парсеваля применено снова для получения последнего равенства. Откуда, подставляя (3.3.15) в выше полученное выражение, умножая на da/а2 и интегрируя по интер-
валу (—оо,оо), вспомним определение Сф из формулы (3.3.1) и получим
(3.3.16)
= С*^(.М) = СШ9).= С*^(.М) = СШ9).—г-:—ay ax |y|—г-:—ay ax |y|Ш^)Р. 1 ,। । da zdxШ^)Р. 1 ,। । da zdx
= С*^(.М) = СШ9).
= С*^(.М) = СШ9).
—г-:—ay ax |y|
—г-:—ay ax |y|
Ш^)Р. 1 ,। । da zdx
Ш^)Р. 1 ,। । da zdx
Более того, если / непрерывна в точке ж, то, используя функцию Гаусса да (• - х) в качестве функции д и устремляя а к нулю, мы приходим к равенству
Лж) = 7Г UmС^, а—>0+Лж) = 7Г UmС^, а—>0+[(^7)(^a)W’-^),^Ь;а> "^db[(^7)(^a)W’-^),^Ь;а> "^db
Лж) = 7Г Um
С^, а—>0+
Лж) = 7Г Um
С^, а—>0+
[(^7)(^a)W’-^),^Ь;а> "^db
[(^7)(^a)W’-^),^Ь;а> "^db
1 рОО рООл
= 7г / ^фЛ^а^ь-д^-^Ь.
^ф J —ОО J — ОО^
Это и завершает доказательство теоремы. □
В анализе сигналов мы рассматриваем только положительные частоты ш. Следовательно, если частотная переменная ш идентифицирована с положительной константой, умноженной на обратную величину параметра растяжения а, в виде ш = ш*/а (где ш* — центр ^ — всегда предполагается положительным), то мы должны рассматривать только положительные значения а. Поэтому, восстанавливая / по ИВП от /, мы можем использовать только значения (W^f)(b, а), а > 0. В этом случае, как и следует ожидать, на базисный вэйвлет ч/> должны быть наложены дополнительные ограничения. Таким дополнительным условием является
ОО.ОО.(3.3.17)(3.3.17)
ОО.
ОО.
(3.3.17)
(3.3.17)
Теорема 3.11. Пусть ф — базисный вэйвдет, удовдетворя- ющий (3.3.17). Тогда
Г Г ^ШаЖ^д№а^ъ\ ^ = ^1,9^ (3.3.18)
JO VJ-ooJ °2
для всех f,g G L2(R). Более того, для любой f 6 L2(R) и х ER, в которой / непрерывна,
где фь.а определяется формулой (3.3.4).
Заметим, что для того, чтобы левая часть (3.3.18) равнялась C^f, g} для всех f,gE L2(R), необходимо предположение
а также необходимо, чтобы С = ^^^
Доказательство теоремы 3.11.
Из предположения (3.3.17) легко следует, что
ifMi^ = Г hWа Л УifMi^ = Г hWа Л У$ ^ 0.$ ^ 0.(3.3.20)(3.3.20)
ifMi^ = Г hWа Л У
ifMi^ = Г hWа Л У
$ ^ 0.
$ ^ 0.
(3.3.20)
(3.3.20)
Откуда, проводя те же преобразования, что и в (3.3.16) (с той только разницей, что интеграл по da/а2 берется по интервалу (0, оо) вместо (—оо,оо)), мы получаем (3.3.18). Доказательство (3.3.19) проводится так же, как и доказательство (3.3.14) в теореме 3.10. □
Двухпараметрические вэйвлеты и формулы обращения
В анализе сигналов иногда необходимо разбить (положительную) ось частот на непересекающиеся частотные диапазоны (или октавы). Для численной эффективности мы будем рас-
сматривать только двоичние разбиения, а именно:
ОО
(О, оо)= U ^Д^+^Ь(3.4.1)
3=—оо
где Д^ > 0 — радиус преобразования Фурье ф базисного вэй- влета ф. Здесь мы требуем также, чтобы ф удовлетворяла (3.2.1). Заметим, что для любого базисного вэйвлета ф фазовый сдвиг ф на а эквивалентен сдвигу ф в положительном направлении оси ш на эту же величину а; таким образом
(3.4.2)(3.4.2)ф°^ — ега1ф^ ^ ф°^ = ф^ш — а).
(3.4.2)
(3.4.2)
Откуда, так как Д^о = Д^ и Д^о = Д^, мы всегда без потери общности можем потребовать, чтобы центр ф был в точке w* = ЗД^. Поступив таким образом, мы имеем
a; = i 7 € Z.a; = i 7 € Z.(3.4.3)(3.4.3)при условии, чтопри условии, что(3.4.4)(3.4.4)
a; = i 7 € Z.
a; = i 7 € Z.
(3.4.3)
(3.4.3)
при условии, что
при условии, что
(3.4.4)
(3.4.4)
Частотный центр диапазона частот, описанный в (3.4.3), дается формулой
ш* азш* азЗД7ЗД7= 3 х 2^ДТ.•ф= 3 х 2^ДТ.•ф(3.4.5)(3.4.5)
ш* аз
ш* аз
ЗД7
ЗД7
= 3 х 2^ДТ.
•ф
= 3 х 2^ДТ.
•ф
(3.4.5)
(3.4.5)
Итак, используя ш*(а в качестве частотной переменной из, где а > 0 —параметр растяжения (или масштабный параметр), объединение непересекающихся множеств в (3.4.1) в самом деле дает разбиение (положительной) частотной области (0, оо).
В этом параграфе мы изучаем задачу восстановления любого сигнала с ограниченной энергией / (то есть любой
/ Е L2(R)) по его интегральному вэйвлет-преобразованию (W^,/)(b, а), известному только в дискретном множестве частот:
{wj = 3 х 2^ : з Е Z},
(или используя только масштабные параметры a = aj := 1/2J, j € Z). Для разрешимости этой задачи естественно ожидать от базисного вэйвлета чр удовлетворения дополнительным ограничением по сравнению с условием допустимости (3.3.1).
Определение 3.12. Функция чр Е ^2(R) называется двухпараметрическим вэйвлетом, если сучцествуют две положительные константы A uB,Q<A<B<oo такие, что
А< ^ W"iu)^<B3 п.в. (3.4.6) j=-oo
Условие (3.4.6) называется условием «устойчивости», налагаемым на чр. Для объяснения этой терминологии воспользуемся обозначением (2.3.9) для отражения функции и введем следующее «нормированное» ИВП:
^П^ := 2^2(HV) (b, 1) = 24J*^F№W (3.4.7)
Тогда, мы видим, что (3.4.6) эквивалентно соотношению
ОО
Л||/||В Е ||1Г*Й < Will /ei2(R).(3.4.8)
3=—оо
с теми же константами А и В. Действительно, по равенству Парсеваля и первому равенству в (2.3.10) леммы 2.16, неравенства в (3.4.8) могут быть записаны как
гео 00—
лц/iil < / Е vtuW'W^ < sn/iig,
* 00 j=—ОО
что эквивалентно
ge£2(R).ge£2(R).(3.4.9)(3.4.9)
ge£2(R).
ge£2(R).
(3.4.9)
(3.4.9)
Взяв в качестве g/||g||2 функцию Гаусса gQ(- - си) и устремив а ~> 0+, мы видим, что из (3.4.9) следует (3.4.6). Так как очевидно, что из (3.4.6) следует (3.4.9), то эти неравенства эквивалентны.
В дальнейшем мы увидим, что условие устойчивости на ^> означает, что любой двухпараметрический вэйвлет ф должен быть базисным вэйвлетом.
Теорема 3.13. Пусть ф удовлетворяет условию устойчивости (ЗД.б). Тогда ф является базисным вэйвлетом, удовлетворяющим неравенствам
Л1„2<ГМ4^(ЗА10)
Jo W Jo Ш
Более того, если А и В — соответствующие параметры неравенств (З.4.6), то
(3.4.11)(3.4.11)00 !V>(w)|2
(3.4.11)
(3.4.11)
-ОО М
Доказательство. Заметим сначала, что
rw\±Wdx
Откуда, разделив каждый член в (3.4.6) на ш и проинтегрировав по интервалу (1,2), мы имеем
Г° IV’(w)!2 , f 1 ■■ л дш<В1п2. о w
Подобным образом, разделив на —ш и проинтегрировав по (—2,-1), получим
Л1п2 <^-^S-dw<B\n2.□
Jo w
Условие устойчивости способствует восстановлению любой / е L2(R) по ее ИВП-значениям (W^f^b, 2_J), j Е Z. Подход, который мы выбираем, состоит в рассмотрении другого двухпараметрического вэйвлета -ф*, который мы определяем через его преобразование Фурье:
Из вида функции ф* и из формулы (3.4.7) следует, что для любой / £ L2(R)
ОООО£ / ^пшуфчу^-ьт»£ / ^пшуфчу^-ьт»(3.4.13)(3.4.13)оо J -оооо J -оо= И ^ (wXWP'W"1'"= И ^ (wXWP'W"1'"
ОО
ОО
£ / ^пшуфчу^-ьт»
£ / ^пшуфчу^-ьт»
(3.4.13)
(3.4.13)
оо J -оо
оо J -оо
= И ^ (wXWP'W"1'"
= И ^ (wXWP'W"1'"
^1 Г ОО
27Г J _ry-x
f^e^dw = ^x\
где мы применили формулу hi * h2 = J7-1^^, (3.4.7), лемму 2.16 и (3.4.12). Это приводит к следующему понятию двухпараметрических двойственных.
Определение 3.14. Функция ф Е _L2(R) называ- ется двухпараметрическим двойственным двухпараметри-
ческого вэйвлета ф, если каждая / € £2(R) может быть представлена как
00г°°...
№ = Е / ^ПШУ^Чх-b^db (3.4.14) j--oo _°°
Откуда в (3.4.13) мы установили следующий результат.
Теорема 3.15. Пусть ф — двухпараметрический вэйвлет. Тогда функция ф*, преобразование Фурье которой дается формулой (З.Д12), является двухпараметрическим двойственным ф. Более того, ф* есть также двухпараметрический вэйвлет и
1001
5<El#W<j пв- <ЗЛЛ5) 3=-ао
Заметим, что двухпараметрические двойственные заданного двухпараметрического вэйвлета ф могут быть не единственными. Обсуждение неединственности этих функций откладывается до § 3.6. Оно будет зависеть от следующего характеризующего результата.
Теорема 3.16. Пусть ф — двухпараметрический вэйвлет и ф — любая функция из '-2№, которая удовлетворяет условию
ess sup |^(2-J:r)|2 < сю;(3.4.16)
—оо<х<оо . 3=-оо
ф — двухпараметрическое двойственное ф тогда и только тогда, когда выполняется равенство
ОО.
22 ^"MV^M = 1 п.в. (3.4.17) 3=~оо
Доказательство. Проводя те же преобразования, что и в (3.4.13), заметим, что 1р является двухпараметрическим двойственным 1р тогда и только тогда, когда для любой f Е L2 (R) мы имеем
ОО
(3.4.18)(3.4.18)/М = ^ ^А^Ц^Г^ п.в.,
(3.4.18)
(3.4.18)
j=-OO
где сходимость п.в. бесконечного ряда обеспечивается предположением (3.4.16) и определением двухпараметрического вэйвлета ip. Очевидно, что (3.4.17) и (3.4.18) эквивалентны. □
Каркасы
В предыдущем параграфе мы разбили (положительную) частотную ось на непересекающиеся частотные диапазоны (2J'Д^, 2-?+1 А^], j Е Z, выбрав параметр растяжения а равным aj := 2~^,j Е Z, в то время как параметр сдвига мог принимать любое значение из R. Поступив таким образом, мы рассмотрели полудискретную информацию об ИВП для / € £2(R), а именно
^П^^, bER, j EZ.
Для вычислительной эффективности будем брать дискретным также параметр Ь, ограничив b дискретным множеством точек выборки
к
bj,k-=-^bQl j,keZ,(3.5.1)
где 5q > 0 фиксированная константа, называемая нормой выборки. Отсюда, введя обозначение
К;з,к^ := 1рэ,к;аД^ = 2^1 - kb0),(3.5.2)
(см. (3.3.4) для определения t/^a), будем считать значения ИВП для любой / Е A2(R) заданными формулой
(W^f^bj^, Qj) = (/, ^боу,^) А ^ ^ ^. (3.5.3)
Аналогично случаю полудискретного множества в предыдущем параграфе, поставим вопрос о восстановлении f Е L2 (R) по ее значениям ИВП, определенным (3.5.3). Условие «устойчивости» для такого восстановления состоит в существовании двух положительных констант А и В. О < А < В < со, таких, что
-411/112 < Е 1<А^оул)|2 < B\\f\\i f Е L2(R). (3.5.4) j,kez>
Другими словами, условие устойчивости, наложенное на ф, означает требование того, чтобы ф порождала «каркас» L2(R) с нормой выборки Ьо.
Определение 3.17. Говорят, что функция ф Е A2(R) порождает каркас {^боу,А:} ^2(R) с нормой выборки Ьо > 0, если (3.5-4) выполняется для положительных констант А и В, которые называются границами каркаса. Если А = В, то каркас называется жестким каркасом.
При условии устойчивости (3.5.4), то есть при условии, что ф порождает каркас, любая функция / Е £2(R) может быть восстановлена по значениям ее ИВП в формуле (3.5.3). Чтобы это увидеть, рассмотрим оператор Т на L2(R), определенный как
Tf-^UiKuMop^ f^L^Ry (3.5.5) j,k£Z
Из условия устойчивости (3.5.4) ясно, что Т — однозначный ограниченный линейный оператор. Действительно, ввиду ограничения снизу в (3.5.4), Т отображает £2(R) на свою область значений, и по теореме Банаха об обратном операторе
его обратный оператор Т-1 ограничен. В наших рассуждениях мы можем использовать следующий простой довод. Плуг любой д = Т/, где / 6 L2(R), так как
(3.5.6) j,k€^
мы имеем
ЖЛПЬЖНВЭТ-Л
= (S,T-1!J><M|2||T-I9||2,
таким образом
IIT-^lh < 5WI2,
или ЦТ'-11| < А-1. Следовательно, любая / £ ^2(R) может1 быть восстановлена по ее значениям ИВП (3.5.3) с помощью формулы
/ = T^Tf := £ U*0-,j,k>T"^b0-j,k.(3.5.7)
Положив
^ := Т-^ь^к, зЛ^г(3.5.8)
формулу восстановления (3.5.7) можно записать в виде
7Лд) = Е (Л^оплХ^^д),
*(3-5.9)
/ — zL \f'ФЬор^/Фьо
.j,k£Z
для всех f, д £ £2(R). Мы можем назвать {i/^J двойственным каркасу ^bo;j,kV Однако формулы восстановления (3.5.7) или (3.5.9) не пригодны для использования до тех пор, пока мы не обладаем некоторыми знаниями о двойственном _ К сожалению, в общем случае двойственное {V^} не может быть порождено некоторой ф £ 1>2(R) таким же образом, как {^борл} порождается ф. Мы вернемся к обсуждению этой темы в следующем параграфе.
В дальнейшем мы увидим, что каркас может и не образовывать линейно независимого семейства.
Пример 3.18. Пусть ^—функция Хаара, определенная формулой (3.2.3), и рассмотрим норму выборки бу = 1/3. Тогда семейство линейно зависимых функций S := {^1,1/зу,к : Э>к Z} является каркасом Z2(R).
Доказательство. Будем использовать обозначение
{
1 для четных / G Z, 2 для нечетных j £ Z
и представим семейство S в виде объединения трех непересе- кающихся подсемейств:
Si = ^i-j^x) = 2j/2^2ix -к) :j,k € Z},
St = {2^2^ (23x - к + ^ : j,k 6 Z} ,
S3 = {2^ (2^ - к - ^) : j,k E Z} .
Так как ^—функция Хаара, то Si —это уже о.н. базис в L2(R) (см. §1.5, а также главы 5 и 6 для более детального рассмотрения). Следовательно, S — линейно зависимое семейство. Легко также убедиться в том, что S^ и S3 являются о.н. семействами, так что можно применить (обобщенное) неравенство Бесселя (см. (2.4.14), неравенство Бесселя для тригонометрических многочленов). Действуя последовательно, мы имеем
п/В= X к/.*^>12
J,fc€Z
52 К/’^д/зул)!2
_7,fc€Z
= ii/64-Eicm)i2 + Xi(/,<
ses2S6S3
<зц/й.□
Следовательно, условие устойчивости (3.5.4) слабее требования, чтобы ф порождала базис Рисса, которое определяется следующим образом.
Определение 3.19. Говорят, что функция ф 6 i2(R) порождает базисРисса (или безусловный базис) {фьор,к} с нормой выборки Ьо, если удовлетворяются следующие два условия:
линейная оболочка
^.k j,k^Z}(3.5.10)
плотна в L2W и
существуют положительные константы А и В, 0 < А < В < оо такие, что
2
А|Цс#Л}||?= <А|Цс#Л}||?= <У? ^хФьоуЛ j,fc€ZУ? ^хФьоуЛ j,fc€Z< В||{с^}||22< В||{с^}||22(3.5.11)(3.5.11)22
А|Цс#Л}||?= <
А|Цс#Л}||?= <
У? ^хФьоуЛ j,fc€Z
У? ^хФьоуЛ j,fc€Z
< В||{с^}||22
< В||{с^}||22
(3.5.11)
(3.5.11)
2
2
для всех {с^*,} е £2(Z2). Здесь А и В называются границами Рисса для {^t>oy,fc}.
Если ф порождает базис Рисса с нормой выборки Ьо = 1, то ф называют ^-функцией (см. определение 1.4).
Замечание. Всюду в этой книге мы будем использовать обозначение
Ш^ := to^ = ^Wx - k\ (3.5.12)
Это обозначение нельзя смешивать с обозначением фь-,а, введенным с помощью формулы (3.3.4).
Следующий результат проясняет различие между каркасом и базисом Рисса.
Теорема 3.20. Пусть ф е £2(R) и Ьо > 0. Тогда следующие два утверждения эквивалентны.
\.Фьо;з,к^ является базисом Рисса в L2(R).
{^60;j,A:} является каркасом Z2(R) и образует также 8? -линейно независимое семейство в том смысле, что если ^L cj,k^bo ;j,k = 0 и {с^} € I2, тио Cj^k = 0. Более того, границы Рисса и границы каркаса совпадают.
Доказательство. Из (3.5.11) очевидно, что любой базис Рисса А линейно независим. Пусть bh>o;jjA есть базис Рисса с границами Рисса А и В, и рассмотрим «матричный оператор»
М := [7^m;y,fc](^m),(j,A:)6Z2, где элементы матрицы определяются формулой
T^jmjjfc — (^bo^rni^boPik)-(3.5.13)
Из (3.5.11) мы имеем
■^■||{сдА:}||£2 < ^ ' Gt,m'7£,m;j,kCj,k < .В|[ {с^,^}Ц^з, £,m,j,k
таким образом, М — положительно определенный оператор. Мы обозначим оператор, обратный М, выражением
М := [w,m;j,A:](£,m),(j,fc)€Z2>
которое означает, что выполняются оба соотношения
^ ^W,m;r,s'yr,sy,fc = 8^^8т^к^ ^)?^)J)^ € Z (3.5.14) r,s
и
В 11{С?Л}11£2 — У ' Q^Pt^j^Cjyc <l,m,j,k
< ^-1||{c>.fc}№2, ^^€£2.(3.5.15)
Это позволяет нам ввести
Ф ’ (ж) • ^ , Р,4>тпр,к‘Фьо'3,к^>)-(3.5.16)
Ясно, что ilAm 6 £2(R) и из (3.5.13) и (3.5.14) следует, что
(^ ’ ^^bo'j.k) = ^l,j^m,k-i ^->m)ji^ £ Z,
это значит, что {■0г,т} является базисом в L2(R), двойственным ^'Фьой.кУ Более того, из (3.5.14) и (3.5.15) мы заключаем, что
и что границы Рисса {^,m} равны В~г и А-1. В частности, для любой / G L2(R) мы можем написать
/(ж) = ^MbojjcW’H®)
и
в-^КЛАилМ2 < 1I/II3 < ^TlM^' <3-5Л7> зЛj,k
Так как очевидно, что (3.5.17) эквивалентно (3.5.14), то мы установили, что из справедливости (а) следует справедливость (б).
Чтобы доказать обратное утверждение, мы должны использовать две основные теоремы функционального анализа, а именно: теорему Банаха—Штейнгуаза и теорему об открытости отображения, которые, к несчастью, выходят за рамки этой книги. Мы даем только очень краткое описание доказательства, не приводя его подробностей. Используя (3.5.5), видим, что если ^ipbo;j,k^ есть каркас L2(R), то для любой д 6 L2(R) и / = Т~1д мы имеем
9(®) = ^2<f^b0-,3,kW0-,3,k^-
3,к
Также из ^-независимости {^Ьоу'л} следует, что это представление единственно. Может быть также показано, что при использовании этого «базиса» VkoJ.k^ Для представления функ-
ций из T2(R) ряды
53 Cj,k^bOtj,k(X)
3>к
сходятся в L2(R) тогда и только тогда, когда последовательность {cjjfc} принадлежит £2. Тогда, как это было сказано выше, теорема Банаха—Штейнгуаза и теорема об открытости отображения позволяют сделать вывод о том, что ^b0;j,k^ является базисом Рисса в L2(R).
В завершение этого параграфа покажем, что если Ф 6 T2(R) порождает каркас L2(R), то он должен быть двухпараметрическим вэйвлетом.
Теорема 3.21. Пусть ф 6 -^(R) nopootcdaem -каркас {'Фьо&к} -^2(R) с границами каркаса А и В и нормой выборки Ьо > 0. Тогда его преобразование Фурье ф удовлетворяет неравенствам:
М< 53 W"MP ^ Ьов п.в. (3.5.18) 1=-оо
Неполное доказательство. Пусть / е L2(R). Вводя обозначение
2тг
Ьо
и применяя равенство Парсеваля для {/,-фь0-,з,к) и для интеграла в бесконечных пределах в виде циклической суммы, мы
имеем
/^и)ф(и)ем°шди/^и)ф(и)ем°шди22.0000роо
/^и)ф(и)ем°шди
/^и)ф(и)ем°шди
2
2
53534^2 53/
j,kezj=-ook——co
x k2irw
х-ф\ш + ^т) е т du
2du.2du.002^ ГТ 00
2
du.
2
du.
= 532^/ T,f^4^T)W4-e^ j=-oo UJU k=-oo
Откуда условие каркаса (или устойчивости) (3.5.4) принимает вид
лц/lli <лц/lli <х + Ст^ф^х + 1т)х + Ст^ф^х + 1т)2dx2dx
лц/lli <
лц/lli <
х + Ст^ф^х + 1т)
х + Ст^ф^х + 1т)
2
dx
2
dx
< Bll/lg-
Пусть теперь мы имеем по j конечную сумму, например
—М < j < М, тогда для любого ш € R и достаточно малого £ > О выбор
/(ж)Х[ш—е,ш+е] к^
(Х[а,0] —характеристическая функция отрезка [а, /3]), в вышеприведенных неравенствах легко дает нам
|т/>(ж)|2с?ж < В|т/>(ж)|2с?ж < В1 2^ /*2 Чш+е)Ьо 2£ Л-^(ш-е)
|т/>(ж)|2с?ж < В
|т/>(ж)|2с?ж < В
и, следовательно, неравенства в (3.5.18) могут быть получены при стремлении £ —> 0+. К сожалению, сумма по j —бесконечна. Тем не менее, так как любое конечное усечение оставляет неизменной верхнюю границу, то второе неравенство в (3.5.18), естественно, имеет место. Чтобы получить первое неравенство в (3.5.18), «хвосты» суммы по j должны быть оценены очень аккуратно для того, чтобы были применены предыдущие рассуждения с конечными суммами. Мы опускаем здесь технические детали доказательства. □
3.6. Вэйвлет-ряды
Мы продолжаем наше обсуждение частотно-временного анализа, рассматривая, так же как и в предыдущем параграфе, дискретные масштабно-временные выборки ИВП. Для упрощения наших рассуждений мы будем рассматривать только норму выборки Ьо = 1 и использовать обозначения ф^к = V'ljV:, как это было введено в (3.5.12). Кроме того, мы сосредоточим наше внимание на 77-функциях ф в том смысле, что ^дк) является базисом Рисса в L2(R), согласно определению 3.19. Следовательно, по теоремам 3.20 и 3.21, соответственно, {^дк} образует каркас пространства L2(R) и ^ является двухпараметрическим вэйвлетом. Пусть (фЭ’к^ — двойственный базис относительно базиса Рисса ^j,k^i как это определено в (3.5.13). Когда (ф^к) рассматривается в качестве каркаса i2(R), мы можем считать ф^к _ ^к _ Т""1ф1-з,к двойственным этого каркаса, согласно рассуждениям в (3.5.7) - (3.5.8).
Существует два очень важных подкласса 77-функций, которые составляют главную тему нашего изучения. Ими являются полуортогональные вэйвлеты и более узкий подкласс ортогональных вэйвлетов, которые будут определены ниже. Для этих двух классов функций весьма легко описать их двойственные.
Определение 3.22. Пусть ф € L2(R) является Н-функ- цией, которая порождает ^j,k^, согласно (3.5.12). Тогда
ф называется ортогональным вэйвлетом (или о.н. вэйвлетом), если ^Фз,к^ удовлетворяет условию ортогональности:
^j,k^l,m/ = ^V^m;31^^,171 6 Z; (3.6.1)
ф называется полуортогональным вэйвлетом (или п.о. вэйвлетом), если {V'j,^} удовлетворяет условию:
{Фз,к,Ф1,т} = 0, 3^^ j,kj,me7..(3.6.2)
Очевидно, что о.н. вэйвлет является двойственным самому себе в том смысле, что
^,к = Фз^ j^EZ.
Чтобы определить двойственное п.о. вэйвлета, рассмотрим сначала следующие эквивалентные определения ортогональности.
Теорема 3.23. Для любой функции ф Е L2(R.) эквивалентны следуюгцие утверждения:
{ф(х — к) : к Е Z} является ортонормированным семейством в том смысле, что
(ф(- - кШ - I)) = 5кЛ, k^EZ. (3.6.3)
Преобразование Фуръе ф функции ф удовлетворяет равенству
e-^W^ds = 5jiOl jEZ. (3.6.4) ^ J-oo
Равенство
52 |^(ж + 2тгА;)|2 = 1(3.6.5)
к— —оо
справедливо для почти всех х.
Доказательство. Так как |^(ж)|2 принадлежит T^R), из леммы 2.24 следует, что бесконечный ряд
G(x)-.= 5^ |^(ж + 2тгА;)]2,(3.6.6)
к=—оо
который определяет функцию G, сходится п.в. к G и что G Е Тх(0,2тг). Теперь для любого j Е Z j-й коэффициент
Фурье G есть
с3с3г2тгf e'^G^dx о°°/-2тгг2тгf e'^G^dx о°°/-2тг^тг /пк=—оо и100г2тг(А:+1)1г°°^тг /пк=—оо и100г2тг(А:+1)1г°°0000^dx^dx
с3
с3
г2тг
f e'^G^dx о
°°/-2тг
г2тг
f e'^G^dx о
°°/-2тг
^тг /п
к=—оо и
100г2тг(А:+1)
1г°°
^тг /п
к=—оо и
100г2тг(А:+1)
1г°°
00
00
^dx
^dx
Эти формулы устанавливают эквивалентность (б) и (в). Эквивалентность (а) и (б) следует из непосредственного применения равенства Парсеваля с j = к — £, а именно:
( ф(х)е ^X4>(x)dx — 00( ф(х)е ^X4>(x)dx — 00
( ф(х)е ^X4>(x)dx — 00
( ф(х)е ^X4>(x)dx — 00
Несколько более слабым свойством, чем свойство ортогональности в этой теореме, является условие Рисса (или безусловности), которое мы рассмотрим в следующей теореме.
Теорема 3.24. Для любой ф G L(R) и 'констант 0 < А < В < оо следующие два утверждения эквивалентна:
9-9-A||{cfc}||22 <A||{cfc}||22 <СкФ^ - к)СкФ^ - к)<Я{с*Ш-2<Я{с*Ш-2(3.6.7)(3.6.7)^ф(- — к) : к € Z} удовлетворяет условию Рисса с границами Рисса А и В; это означает, что для любой {q} 6 I2
9-
9-
A||{cfc}||22 <
A||{cfc}||22 <
СкФ^ - к)
СкФ^ - к)
<Я{с*Ш-
2
<Я{с*Ш-
2
(3.6.7)
(3.6.7)
Преобразование Фурье ф от ф удовлетворяет неравен-
ствам
А< У^ \ф(х + 2тгА:)|2 < В н.в. (3.6.8) fc= —ОО
Доказательство. Пусть для любой последовательности {сд} € £2 С(ш) обозначает ее символ, т. е.
ОО
С(ш) := 53 с^^'(3-6-9)
fc=—ОО
Тогда, используя равенство Парсеваля, мы можем записатьТогда, используя равенство Парсеваля, мы можем записатьОО53 скФ1 -fc) к=—ооОО53 скФ1 -fc) к=—оо22ОООО(3.6.10)(3.6.10)22ОО f27r(fc+l)„У / \С^фН\ дшОО /^ТГОО f27r(fc+l)„У / \С^фН\ дшОО /^ТГ
Тогда, используя равенство Парсеваля, мы можем записать
Тогда, используя равенство Парсеваля, мы можем записать
ОО
53 скФ1 -fc) к=—оо
ОО
53 скФ1 -fc) к=—оо
2
2
ОО
ОО
(3.6.10)
(3.6.10)
2
2
ОО f27r(fc+l)„
У / \С^фН\ дш
ОО /^ТГ
ОО f27r(fc+l)„
У / \С^фН\ дш
ОО /^ТГ
k = ~ ОО
Будем использовать обозначение
(3.6.11)(3.6.11)ОО
(3.6.11)
(3.6.11)
— 53 i^+^^i2’
к=—оо
введенное в (2.5.4). Тогда, рассматривая
д^ = |С(ш)|2/||С'||£2(о!27г)и обращаясь к равенству Парсеваля (1.1.7)
Il{ck}llz2 = ^ ^ |С(ш)|2</ш = ||С||22(0)27Г), получим: из (3.6.10) следует, что (3.6.7) может быть сформулировано как
А<~ [ д(х)Ф^Мдх < В. (3.6.12)
Ясно, что из (3.6.8) следует (3.6.12). Для доказательства того, что из (3.6.12) вытекает (3.6.8), мы будем снова использовать функцию Гаусса да(ж — ш) вместо Да) и устремим акО. □
С помощью двух доказанных выше теорем мы можем теперь сформулировать теорему о двойственном п.о. вэйвлета.
Теорема 3.25. Пусть ф 6 ^(R) является п.о. вэйвлетом, определим ф с помогцъю преобразования Фурье
ФМ :=.(3.6.13)
52 VHw + 2irfc)|2
Тогда ф является двойственным ф в том смысле, что к'Фз^Ф^т) = ^j^k,m, j,k,£,m 6 Z,(3.6.14)
где
ф^тк^ := ^ф^ж - т\(3.6.15)
Другими словами, двойственный базис {фд,к} относительно ^j,k^ определяется как ф3,к = фj к-
Доказательство. Так как ф — п.о. вэйвлет, то {"0j,fc} является базисом Рисса в T2(R) с границами Рисса Л и В. Следовательно, рассматривая последовательности {с^^} 6 £2(Z2), где с^к = Ck$jfiAck} Е £2 в (3.5.11), мы видим, что (3.6.7) выполняется, если вместо ф подставить ф. По теореме 3.24 знаменатель в (3.6.13) ограничен п.в. вследствие (3.6.8). Из этого следует, что ф, определенная формулой (3.6.13), принадлежит £2(R) и удовлетворяет равенству
ОО
V’M = 52 ^Ф^-к), {ак}е£2,(3.6.16)
к=—оо
где
1 Г2т1
«»= зт / «"““^—::&•(3.6.17)
,0 S № + 2^)1=j=-OO
Так как 1/>— п.о. вэйвлет, то предположение (3.6.2) с использованием обозначения (3.6.15) непосредственно приводит нас к равенству
{'Фз,ку'Ф1,т} — 0, j ^ Л j,k,£,m G Z.
Для з = £ из формулы (3.6.13) при р = к - m следует, что
fe,<W = 2^ / ф^х - кШ^х - m>dx
J —ОО
рОО~
' Ф^у-рЖу^у
— ОО
— / е грш-^(ш)1/>(ш)с?ш 2тг J-oo— / е грш-^(ш)1/>(ш)с?ш 2тг J-ooе"^е"^ф^ш + 2лк^ф(ш + 2тг&) dwф^ш + 2лк^ф(ш + 2тг&) dwI гоо
— / е грш-^(ш)1/>(ш)с?ш 2тг J-oo
— / е грш-^(ш)1/>(ш)с?ш 2тг J-oo
е"^
е"^
ф^ш + 2лк^ф(ш + 2тг&) dw
ф^ш + 2лк^ф(ш + 2тг&) dw
(3.6.18)(3.6.18)~-L-Ф М~-L-Ф МОО ^52 |V>±(w + 27rfc)PОО ^52 |V>±(w + 27rfc)Pк=—оок=—оо
(3.6.18)
(3.6.18)
~-L
-Ф М
~-L
-Ф М
ОО ^
52 |V>±(w + 27rfc)P
ОО ^
52 |V>±(w + 27rfc)P
к=—оо
к=—оо
,к=—оо
е tpu,dw = 5Р)о = §к,т-
Это завершает доказательство теоремы.и
Вышеприведенный результат указывает, как п.о. вэйвлет переходит в о.н. вэйвлет. Действительно, положим
V^M =
ОО
52 |* + 2тгА:)|2
тогда двойственное ф^- для ф^ дается выражением
таким образом, ф^- = ф"^, или ф^" является двойственным самому себе.
Формула в (3.6.18) обычно называется процедурой ортонормализации. Однако, если ф— любая 7^-функция, которая не является п.о. вэйвлетом, эта процедура ортонормализации не эффективна для построения о.н. вэйвлета. Действительно, как уже говорилось в § 1.4, существуют 7?.-функции, которые не имеют двойственных в том смысле, что двойственный базис {i/^} относительно базиса Рисса ^j,k^ не задается ^j,k^ ДДЯ некоторой ф Е L2(R), где использовано обозначение (3.6.15). Так как каждый базис Рисса является каркасом, двойственное для каркаса может не быть порождено какой- либо одной функцией из £2(R). Это приводит к следующему определению вэйвлетов.
Определение 3.26. 'К,-функция ф Е Ь2№ называется TZ-вэйвлетом (иди вэйвлетом), если она имеет двойственное ф Е L2(R), в том смысле, что {ф],к} u Vi^kV ^ак это определено в (3.5.12) и (3.6.15), удовлетворяют соотношению двойственности (3.6.14).
Так как соотношение двойственности (3.6.14) коммутативно, то ф, двойственное вэйвлета ф, само является вэйвлетом с двойственным ф. Таким образом, за исключением о.н. вэй- влетов, которые двойственны самим себе, когда мы рассматриваем вэйвлеты, то всегда рассматриваем пары выйвлетов.
Если ф — вэйвлет с двойственным ф, то по определению базиса Рисса, каждая / Е T2(R) может быть записана как
/(л) = ' cj,kФj,k(.x) = ^ ' ^'3,kФj,k(x)• (3.6.19) j,№ з,к^г
Эти бесконечные ряды называются вэйвлет-рядами и сходятся в L2(R) (см. определение 3.19). Из соотношения двойственности (3.6.14) следует, что
Г Cj.k — {/,Ф],кф
= (/?^Дк)-
Поэтому мы имеем следующую схему для восстановления сигналов конечной энергии по дискретной выборке их интегральных вэйвлет-преобразований.
Теорема 3.27. Пусть ^ — вэйвлет с двойственным ф. Для, любой f £ Z2(R) рассмотрим ее ИВП, использукуицее фиф
j, k € Z, а именно;j, k € Z, а именно;в качестве базисных вэйвлетов, вычисленное при значениях
j, k € Z, а именно;
j, k € Z, а именно;
(3.6.20)(3.6.20)dj,k — (/, Фук) — ^W^f^ ^ 2> ’ 2? ^ ’
(3.6.20)
(3.6.20)
/ & 1 \
сз,к ~ ^’ Фз.к) = (^^/) ( 2?’ 2? )'
Тогда / может быть восстановлена по значениям {dy,*} или {су^} с использованием одного из двух вэйвлет-рядов (3.6.19). Более того, скалярное произведение любых двух функций из L^CR.) может быть восстановлено из аналогичных дискретных выборок их ИВП с использованием формулы:
<М = ^<Mj.k№,k,gV (3.6.21) зЛех
Сейчас мы вернемся к рассмотрению двухпараметрических двойственных для двухпараметрических вэйвлетов, введенных в § 3.4. Во-первых, мы должны придать особое значение тому факту, что двухпараметрические вэйвлеты не обязательно являются вэйвлетами в смысле Н-вэйвлетов, и двухпараметрические двойственные обычно не являются двойственными для вэйвлетов.
Пусть ф — п.о. вэйвлет с границами Рисса Л и В. Мы видели при доказательстве теоремы 3.25, что ф удовлетворяет неравенствам
Л < У^ \ф^ж + 2тг/с)|2 < В п.в.(3.6.22)
к=—оо
с теми же границами А и В. Когда ^Фз,кУ рассматривается как каркас L2(R)jc нормой выборки bo = 1, из теорем 3.20 и 3.21 следует, что также удовлетворяет условию
А< ^ И2-М|2<В п.в. (3.6.23) 3=-оо
снова при тех же константах Аи В. Неравенства (3.6.22) и (3.6.23) дают нам возможность ввести две функции из L2(R): ф* и ф°, с преобразованиями Фурье
L-(w):=,
*(3.6.24)
:=.
1д£=-оо 1^(ы + 2л А;) |2
Пусть фЛ — о.н. вэйвлет, полученный с помощью ортонормализации -ф с использованием (3.6.18). Тогда фЛ является 7^- функцией с границами Рисса А = В = 1. Поэтому из теорем 3.20 и 3.21 следует, что
У^ |^1(2--7ш)|2 = 1 п.в.(3.6.25)
3=-оо
Так как фф° = |i/>±|2, мы также имеем
У2 ^(2->ш)^°(2~М = 1 п.в. (3.6.26) ^=—00
Таким образом, учитывая тот факт, что
ess sup У2 \ф°^-^х^ < оо,(3.6.27)
-oo<K<ooj=-co
который является следствием взаимной ортогональности всех т/>°(2^ж), з £ Z, из теоремы 3.16 следует, что ф° является двухпараметрическим двойственным ф. Поэтому, обращаясь к теореме 3.15, мы заключаем, что обе функции ф* и ф° являются двухпараметрическими двойственными ^. Так как два знаменателя в (3.6.24) совершенно различны, нельзя ожидать, что эти двухпараметрические двойственные будут одинаковыми, если только, конечно, ф не является о.н. вэй- влетом.
Глава 4
Базисный сплайн-анализ
При использовании базисных вэйвлетов, таких как двухпараметрические вэйвлеты, двухпараметрические двойственные, каркасы и 7?.-вэйвлеты (которые просто называются вэйвлета- ми), для частотно-временного анализа и других применений следует учесть ряд важнейших моментов. Среди них размеры частотно-временного окна, вычислительная сложность и эффективность, простота в использовании, гладкость и симметрия базисного вэйвлета, порядок аппроксимации. Один из основных методов построения вэйвлетов включает в себя использование В -сплайн-функций. Возможно, это самые простые функции с малым носителем, которые наиболее эффективны как при их программной, так и технической реализации. Вдобавок они обладают очень выгодным свойством, называемым вполне положительностью, которое позволяет контролировать пересечения нулей и очертания сплайн-кри- вых. Эта тема будет обсуждена в главе 6, где мы даже увидим, что вэйвлеты с минимальным носителем, которые построены с использованием (конечной) линейной комбинации сдвигов В-сплайнов, имеют частотно-временные окна с «почти минимальными» размерами в соответствии с принципом неопределенности. Эта глава посвящена изучению сплайн-функций,
при этом особое внимание будет уделяться их базисным свойствам, что является решающим при вычислениях, графическом изображении, обработке дискретных данных в режиме реального времени (или «он лайн») и при построении вэйв- летов.
Пространства сплайнов
Когда мы говорим о «сплайнах», мы имеем в виду «полиномиальные сплайн-функции с простыми узлами, расположенными на равном расстоянии». Для удобства будем сначала рассматривать множество Z всех целых чисел как «последовательность узлов». Как и в (1.5.8), 7гп обозначает совокупность всех алгебраических многочленов степени не выше п и Cn = (7n(R)— совокупность всех функций / таких, что /, jV-f^ всюду непрерывны, будем подразумевать, что С = С° и С-1 является пространством кусочно-непрерывных функций, как это было определено в начале §2.1.
Определение 4.1. Для каждого положительного целого т пространство Sm сплайнов порядка т с последовательностью узлов Z состоит из совокупности всех функций / 6 Ст~2 таких, что сужение f на любой интервал [k,k + l),k6Z принадлежит тгт-1> таким образом,
/|[М+1) 6 ^m-l’ к е Z.
Легко понять, что Si — это пространство кусочно-постоянных функций. Наиболее подходящим базисом для использования является {Ni^x — к) : к Е Z}, где М — характеристическая функция [0,1), определенная в (3.2.2). Чтобы задать базис Sm,m > 2, рассмотрим сначала пространство S^n, со стоящее из сужения функций f е Sm на интервал [—^^, где N — положительное целое число. Другими словами, мы
можем рассматривать Sm-^ как подпространство функций f 6 Sm таких, что сужения
/|(-oo-^+l) и /1^-1,оо)
функции / являются многочленами из 7rm-i. Это подпространство легко описать. В самом деле, для произвольной функции / из Sm.Nl положив pmd := /lyj+i) ^ "m-b 3 = —N, —N + 1, ...,N — 1, мы имеем, ввиду того что / 6 Ст~2,
(/m,j - Pmj-1) U) = О, I = 0,..., т — 2; т > 2.
Таким образом, рассматривая «скачки» у(т-1) в узлах последовательности Z, а именно:
lim^o+tf^-^ + e)-^
получаем, что прилежащие куски многочленов функции / связаны тождеством
Рт,з^ = Pmj-i(x) + ■^ (ж - зГ"1-(4.1.2)
Откуда, если ввести обозначения
{
ж+ := тах(0,ж),
- W*"1, ">>2,(41'3)
то из (4.1.2) следует, что для всех ж е [—N, IV]
лг-1
№ = Льк-к+Г)^ + 52TM^-j)?"1- (4-1.4)
Это имеет место для любой / Е Sm,N с константами с^ задаваемыми (4.1.1). Следовательно, совокупность m + 27V — 1 функций
{1,(ж + N - l)^-1,..., (ж - TV + I)™-1}(4.1.5)
является базисом Sm^- Эта совокупность состоит из одночленов и усеченних степеней. Так как мы сосредоточили наше внимание на интервале [—N, JV], можно заменить одночлены 11...,хт-г в (4.1.5) усеченными степенями:
(ж + N + т - l)^-1,..., (ж + N^”1. (4.1.6)
Таким образом, следующая последовательность усеченных степеней, которая порождена целочисленными сдвигами единственной функции х™-\ также является базисом Smjf.
{(ж - к^1 :к = —N - m + 1,..., N - 1}. (4.1.7)
Этот базис более предпочтителен, чем в (4.1.5), по следующим причинам. Во-первых, каждая функция (x—j^-1 обращается в ноль слева от j; во-вторых, все базисные функции в (4.1.7) порождены единственной функцией т^"-1, которая не зависит от N. Сверх того, так как
ОО
Sm = IJ Sm,N
то базис (4.1.7) может быть обобщен на «базис» Т бесконечномерного пространства Sm простым объединением элементов в (4.1.7); таким образом, мы имеем:
Т ~ ^-^ЧкЕТ^. (4.1.8)
Однако следует быть более аккуратным, когда мы имеем дело с бесконечномерными пространствами. В этой книге, так как мы в основном имеем дело с пространством Гильберта L2(R), мы заинтересованы в изучении сплайнов в L2(R). К несчастью, не существует функции из Т, которая принадлежала бы L2(R); действительно, любая (ж — А;)™-1 стремится к бесконечности при х -> +оо. Чтобы с помощью функций из Tn получить пространство Z2(R), мы должны убрать полиномиальный рост (ж — А?)™-1. Единственная операция, которая до-
пустима при работе с векторными пространствами — это взятие (конечных) линейных комбинаций. Например, взятие производных недопустимо, но можно взять «разности». Так как для уменьшения полиномиального роста эффект от разностей тот же самый, что и при взятии производных, мы будем рассматривать разности. Более точно, мы будем использовать разности назад, определяемые рекуррентно равенствами
( Щ№ := /И - № - 1);
,(4.1.9)
[(АП/)М := (A"-W)M п = 2Л... .
Заметим, что так же, как в случае дифференциального оператора m-го порядка, разности т-го порядка от многочленов степени меньшей или равной т — 1 равняются нулю, таким образом
Ат/= О, /етг^.(4.1.10)
Это приводит к следующему определению.
Определение 4.2. Пусть Му := Ny — характеристическая функция (0,1), как это определено в (3.2.3), и пусть для т > 2
M.W = уЛу!^'"^,4Л11)
Из определения ясно, что Мт — линейная комбинация базисных функций из (4.1.8). Действительно, легко проверить, что
М”М = (^ТуТ^-1) ‘(Т)^" W‘-<41л2)
Из (4.1.10) следует, что Мт(х) = 0 для всех х > т. Так как Мт(х), очевидно, обращается в нуль при х < 0, мы имеем
supp Мт С [0,т].
В результате более аккуратного рассмотрения мы можем даже заключить, что
supp Мт = [0, т].(4.1.13)
Итак, Мт принадлежит L2 (R). Но является ли совокупность
В := {Мт(х — к) : к € Z}(4.1.14)
целочисленных сдвигов Мт «базисом» 8т? Вернемся снова к пространствам Sm,N, которые, согласно (4.1.5) и (4.1.7), имеют размерность т + 2N — 1. Используя теперь свойство носителя (4.1.13), каждая функция в совокупности
^Мт^х - к) : к = -N - т + 1, • N - 1}(4.1.15)
отлична от нуля на интервале [—N, АГ] и Мт(х—к) обращается в нуль на [—АГ, N"\ для к < —N — m + 1 или к > N — 1. Так как можно показать, что (4.1.15) линейно независимы, то мы получили другой базис 8^^- Итак, аналогично (4.1.8), если мы возьмем объединение элементов в (4.1.15) при ^ = 1,2,..., мы приходим к В в (4.1.14). Одно преимущество В перед Т в (4.1.8) состоит в том, что мы можем теперь говорить о сплайн- Рядахоо
= £ CfeMm(x - к),(4.1.16)
к=—оо
не беспокоясь об их сходимости. Действительно, для любого фиксированного х A R, так как Мт имеет компактный носитель, все члены в бесконечном ряде (4.1.16), за исключением конечного числа, обращаются в нуль.
Как упоминалось ранее, мы главным образом заинтересованы в тех сплайнах, которые принадлежат £2(R), а именно: Sm A L2(R). Пусть Уот обозначает их L2(R)-замыкание. Таким образом, Уот — наименьшее замкнутое подпространство L2(R), которое содержит Sm П L2(R). Так как Мт имеет компактный носитель, мы видим, что В С Уот. В следующем параграфе мы даже покажем, что В — базис Рисса (или безусловный базис) У™.
Пока мы рассматривали только сплайны с последовательностью узлов Z. В более общем случае мы будем также рассматривать пространства Sm сплайнов с последовательностями узлов 2”-7Z,j € Z. Так как сплайн-функция с последовательностью узлов 2“J1Z является также сплайн-функцией с последовательностью узлов 2_J2Z тогда, когда j\ < у2, мы имеем (бесконечную) последовательность вложенных друг в друга подпространств
-cS^cS” cS^c-
сплайнов, где S^ := Sm. Аналогично определению Vom мы введем обозначения V™ для Т2(К)-замыкания Sm И Z2(R). Откуда мы имеем последовательность вложенных
• • • С С Vom С КГ С • • •
(4.1.17)(4.1.17)замкнутых сплайн-подпространств Z2(R). Будет ясно, что эта последовательность вложенных подпространств удовлетворяет соотношениям
(4.1.17)
(4.1.17)
{2^2Мт(2^ - к) : к € Z}{2^2Мт(2^ - к) : к € Z}(4.1.19)(4.1.19)Кроме того, ясно, что если мы показали, что В является базисом Рисса Уот, то для любого j € Z совокупность
{2^2Мт(2^ - к) : к € Z}
{2^2Мт(2^ - к) : к € Z}
(4.1.19)
(4.1.19)
также является базисом Рисса У™ с такими же границами Рисса как, и в случае В.
В-сплайны и их основные свойства
Вернемся к определению
-^тп(ж) :—(АГт-1 *АГ1)(ж) = / Nm-i(x — t)dt, т > 2, (4.2.1)
В-сплайна m-го порядка, введенного в (1.5.7), где N^ - характеристическая функция интервала [0,1). В определении 4.2 мы положили Mi = М; и в дальнейшем мы также увидим, что Мт = Nm для всех т > 2. Поэтому Nm — базисная сплайн-функция порядка т в Vq71 С Sro. Хотя определение Мт в (4.1.11) является явным, преимущества определения Nm в (4.2.1) таковы, что многие важные свойства Nm могут быть легко из него выведены. Среди них — семь из приведенных ниже восьми свойств .
Теорема 4.3. В-сплайн т-го порядка Nm обладает следующими свойствами:
Для любой f Е С poopl г!
/ /(x^Nm^dx = / •••/(Ж1НVXm^dxx • • • dxm.
J—ооJo Jo
(4.2.2)
Для любой g G Ст
gH^N^dx =<4-2‘3)
А:—0х 7
Nm^x) = Мт(ж) для всех х.
suppNm = [0, т].
NmJx') > 0 для всех 0 < х < т.
ОО,
52 NmJx — k) = 1 для всех х. к=—оо
N^ = (A^-i)^) = Nm_^ - Nm_^x - 1).
В-сплайны Nm и Nm-i связаны тождеством: q*ТУ)
Nm^ =г^-Цж) +TNm-^x - 1). (4.2.4) т — 1т — 1
Nm симметричен относительно центра своего носителя, а именно:
Доказательство, (а) Утверждение (4.2.2), конечно, справедливо для m = 1. Предположим, что оно также справедливо для m — 1, тогда из определения Nm в (4.2.1) и индукционного предположения мы имеем:
= / { / f(y -Vt^Nm-i^dAdtJo kJ-ООJ
= /h^m-i+t)^!-
dx^n.dx^n.Jo Jo Jo
dx^n.
dx^n.
=•• f(xi нVxm^dxi • • •
Jo Jo
Утверждение (4.2.3) следует из (4.2.2), так как в результате прямого интегрирования
Зафиксируем ж 6 R. Выберем
правая часть формулы (4.2.3) совпадает с формулой для Mm(x) в (4.1.12). Так как
g^Wlx-t),
где 5 — дельта-распределение (см.(2.2.12) и (2.2.14)), левая часть (4.2.3) равна Nm(xY Таким образом, Nm^x) = Мт(х) для любого (фиксированного) х Е R. Конечно, можно вывести (в) и не используя дельта-распределение и формулу (4.2.3), а применяя метод индукции.
Утверждения (г), (д), (е) и (и) можно легко вывести по индукции, используя определение Nm из (4.2.1).
Снова используя (4.2.1), имеем
N^M = [ Nm-i(x-t)dt=-Nm-i (x-l)+Nm-i (ж) = (Д^т_1)(ж). Jo
Для доказательства равенства в (з) мы используем определение Мт в (4.1.11). Тем более что в (в) мы уже доказали, что Nm = Мт. Идея состоит в представлении ж™-1 как произведения одночлена и усеченной степени, а именно:
-т-1 — - . -177-2
и в последующем применении «формулы Лейбница” для разностей:
(Д"/9)И = £ (")^ПИ^"-кдИ1: - *)•(4.2.5)
к=0'
Это тождество для разностей может быть легко установлено по индукции. Оно почти такое же, как формула Лейбница для производных. Теперь, если мы положим в (4.2.5) /(ж) = ж и д(ж) = ж™"2 и напомним, что из (4.1.10) Д*/ = 0 для к > 2, то
ад = мт^ = . 1 ^.д^г1
(т — 1)!
= ™-т{жД^ + тД^^ж - I)™"2}
(т 1)!
=*{х^-^У"2 - Д”1"1 (ж - О^-^+тД”1-1 (ж -1)™-2}
\ТП
ж. . т-х_
— - тМт_ 1 (ж) Ч — Мт_х\,х 1)
т - 1т - 1
ж _.. . т — ж __.
~ т Г-^т-1^) + т _ 1 ^т-1(Х ~ !)•
Это завершает доказательство теоремы 4.3.□
Далее покажем, что В-сплайн-базис
тот же самый, что и введенный в (4.1.14), является базисом— Рисса (или безусловным базисом) Уд”1 в смысле (3.6.7). По теореме 3.24 это эквивалентно доказательству существования нижней и верхней границ А,В в (3.6.8). Из (4.2.1) мы видим, что Nm = (М)”1, откуда
№»|2 =№»|2 =। g—гш ^m। g—гш ^mШШ
№»|2 =
№»|2 =
। g—гш ^m
। g—гш ^m
Ш
Ш
(см.(3.2.16)). Заменяя ш на 2х + 2лк, мы имеем
£ 1^ + 2^)!== 2^ Y, ^^ (4.2.7) к——сок=—ооz
оо1
= (s™2m^) Ц
к=—оо
Напомним из комплексного анализа, что тг !
ctgT = Um V ,(4.2.8)
k=—n
что сразу же приводит к равенству
А 11^т-1
& + лк^т~ (2m - 1)! dz2™'1 Ctg X" (4‘2’9)
Поэтому, подставляя (4.2.9) в (4.2.7), мы получаем — sin2mrc d2m-1
£ |7Ут(2ж + 2тгА:)| =_-2m_x ctgx. (4.2.10)
k=—oo'"
Пример 4.4. Для В-сплайнов первого и второго порядков 7V"i и ^2 из (4.2.10) следует, что
^ |М(ш + 27гА:)|2 = 1(4.2.11)
к——оа
и
Е |JV2(y + 2тгА:)|2 = | + - cos2 (-) .(4.2.12)
к——со
Откуда последовательность {ЛТД - — &)} ортонормирована (см. теорему 3.23) и
(4.2.13)(4.2.13)Е №(^ + 2тгА:)|2 < 1,к~—оо
(4.2.13)
(4.2.13)
где обе границы Рисса, нижняя и верхняя, выбраны наилучшим образом.
Хотя формула (4.2.10)—явная и служит инструментом для нахождения оптимальных границ Рисса, применение алгебры для тригонометрических (синус и косинус) многочленов является сложным при больших значениях порядков сплайнов т. Другой подход состоит в применении теоремы 2.28 к /(ж) = Nm(x). Это требует знания значений
/ Nm(y + fc)-Nm(y)dy = N2m(m + k\ (4.2.14) J — ОО
Равенство в (4.2.14) — простое следствие определения (4.2.1), в то время как значения N^m в узлах последовательности Z могут быть легко определены рекуррентно с помощью (4.2.4) в теореме 4.3, а именно:
N^^k) = ^д, к € Z и
' Nn+1(k) = -NM + ——Mk-IY fc = l,...,n. nn,
(4.2.15)
Заметим, что Mi+1(^) = ° для к < 0 или к > n + 1. Откуда, применяя (2.5.19) в теореме 2.28, мы имеем:
ОО771 — 1
52 \Nm^ + 2-Kk)\2= Е N2m^m + kKikbJ- (4-2.16)
к=—оок=—т+1
Применение (д) и (е) из теоремы 4.3 теперь дает
ОО
52 |^т(ш + 2тгА:)|2 <1,(4.2.17)
к——оо
и граница Рисса В = 1 является здесь наименьшей.
Чтобы определить наибольшую нижнюю границу выражения в (4.2.16), мы рассмотрим так называемые многочлены Эйлера—Фробениуса
т—1
S2m-iM := (2m - l)km-1 52 ^«(m + k)zk (4.2.18)
k=—m+1
порядка 2m — 1 (или степени 2m — 2).
В главе 6 мы покажем, что все 2m — 2 корней Лц ..., Л2т_2 многочлена £2m-i — простые, вещественные и отрицательные; более того, когда они упорядочены в порядке убывания
0> Ai > ■■■ > Л2т_2,(4.2.19)
эти простые корни являются попарно обратными величинами, то есть
^1^2т—2 — " " " — Ат—1Ат — 1-(4.2.20)
Следовательно, мы имеем
А -П(1 + Л‘,2;0(4 2 211
|At| >0'(4'2'21)
Теперь из (4.2.16) и (4.2.18) можно написать
оо12m—2
Z i^+2rt)i2 = (2^j п 1^"-^1
к=—оо2 к=1
1 п‘|l-^e‘“l|l-Ate-"l
(2m -1)! И|At|
откуда ясно, что
СЮОО
£ 1/^(0; + 2тгА:)|2 > £ 1^^ + 2тгА;)|2 = Ат. к=—оок=—сю
Таким образом, мы получили следующий результат.
Теорема 4.5. Пусть для любого целого m > 2 Ат — полоэюи- телъное число, определенное в (4-2.21). Тогда В-сплайн-базис В в (4.2.6) является базисом Рисса Vq” с границами Рисса А = Ат и В — 1. Более того, эти границы — наилучшие.
.3. Двухмасштабное соотношение и интерполяционный графически-изобразительный алгоритм
Вернемся сначала к первому параграфу этой главы и изучим соотношение между любыми двумя последовательными подпространствами из последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств L2(R) — {Vy71 : j 6 Z}, как это было рассмотрено в (4.1.17)-(4.1.19). Ввиду того что Mm = Nnt1 мы можем и будем всюду использовать обозначения Nm вместо Мт. Заметим, что следующий результат после простой замены переменных становится тривиальным следствием теоремы 4.5.
Следствие 4.6. Для любой пары целых чисел т и j, где т > 2, семейство
Bj := {2^2Nm(23х -ку. к G Z}
является базисом Рисса У™ с границами Рисса А = Ат и В = 1. Более того, эти границы наилучшие.
Заметим, что базис By определенный выше, переходит в В при з = 0, и при построении вычислительных алгоритмов удобно опустить нормировочную константу 2J/2 в Bj. Это только изменяет границы Рисса на множитель 2_J. Отсюда для любого з, так как 1Ут(2-7ж) е V™ и V™ 6 ^чи мы имеем из следствия 4.6, что
ОО
Nm&x) = £ pm,kNm^+lx-k), (4.3.1) к=—оо
где \jpm,k : к € Z} —некоторая последовательность из £2. Теперь, обозначив 23х через у и взяв преобразование Фурье от обеих частей (4.3.1), мы получаем следующее эквивалентное выражение для (4.3.1):
ОО£ Рт.кв"*^2Л= —ОООО£ Рт.кв"*^2Л= —ООNmNmш\2) ‘ш\2) ‘(4.3.2)(4.3.2)
ОО
£ Рт.кв"*^2
Л= —ОО
ОО
£ Рт.кв"*^2
Л= —ОО
Nm
Nm
ш\
2) ‘
ш\
2) ‘
(4.3.2)
(4.3.2)
Эта формула может быть применена для определения последовательности {pm,fc} в (4.3.1). Действительно, так как
-^т^)-^т^)
-^т^)
-^т^)
(см.(3.2.16)), мы имеем
1 ОО/\\
.е”^/2 - (( гш^
2^ Р^ке - I .ш I I ^^/2 ) к——оо4z'
и это дает
(4.3.3)(4.3.3)12 т+1(Т) Для 0 < к < тп,’[0 в других случаях.
(4.3.3)
(4.3.3)
Следовательно, точная формулировка (4.3.1) принимает вид mz х
Nm(^ = V 2"m+1 7 )ЛГт(2Ж - к\ (4.3.4) /с=0
который называется двухмасштабным соотношением для В-сплайнов порядка т.
Как уже обсуждалось в §1.6, это двухмасштабное соотношение для В-сплайнов (и в более общем случае, в (1.6.2), для любой масштабирующей функции ф-) является одним из двух двухмасштабных соотношений, которые приводят к так называемому алгоритму (вэйвлет-) восстановления, описываемому (1.6.10) и рис. 1.6.2. (Другая формула описывает соотношение между вэйвлетом ф^х) и ф(2х — к), к £ Z, как в формуле (1.6.3).) Заметим, что в вэйвлет-разложении (1.6.1), если все вэйвлет-компоненты д^-м, •••> 9N-1 функции фм равны нулю, нам не нужна формула (1.6.3) для записи любой Jn-m Е Vn-m, как Для In € Vn- Другими словами, «половина» алгоритма восстановления в (1.6.10) может быть использована для выражения любой функции Jn-m на (N — М\м уровне разрешения (с 2N-M пикселами на единицу длины), как и для функции Jn на (высшем) N-м уровне разрешения (с 2N пикселами на единицу длины). Конечно, Jn-m = In тождественно, но мы получаем «лучшую картину» той же функции при высоком разрешении.
Теперь мы сосредоточим внимание на сплайнах и объединим эту процедуру с алгоритмом в (4.2.15) для вычисления в узлах значений В-сплайнов с тем, чтобы получить очень эффективный алгоритм изображения графиков любой сплайн- функции на любом желаемом уровне разрешения точно. Давайте сначала сформулируем цель этого «интерполяционного графически-изобразительного алгоритма» более четко следующим образом.
Рассмотрим сплайн-функцию
№ = £ a^Nm^x - П(4-3.5)
£
f к \^” ( 2Г ) ’ keZ-f к \^” ( 2Г ) ’ keZ-(4.3.6)(4.3.6)порядка m с последовательностью узлов 2 ^Z, где jo —любое (фиксированное) целое число. Предположим, что {а^Д является причинной последовательностью (известных) вещественных чисел, где причинность означает, что а^ = 0 для всех I < Iq- Целью является вычисление точно всех значений последовательности
f к \
^” ( 2Г ) ’ keZ-
f к \
^” ( 2Г ) ’ keZ-
(4.3.6)
(4.3.6)
(4.3.7)(4.3.7)
(4.3.7)
(4.3.7)
для любого заданного целого Д > /о в реальное время, означающее, что последовательность в (4.3.6) вычисляется для возрастающих значений к так же быстро, как может быть записана последовательность «данных», коэффициен
тов {а^0^}, для возрастающих значений £. Заметим, что изо
бражать график / (ж) эквивалентно изображению последовательности /(к^1), к EZ при условии, что (фиксированное) число Д достаточно велико. Конечно, величина Д ограничена совершенством используемого оборудования.
Для каждого j > Д будем использовать обозначения
fj^ = Ha?Nm^$ -£),l
aJ^ta^}, leZ.
Применяя двухмасштабное соотношение (4.3.1), мы видим, что тождество /7+1(ж) = fj^x) эквивалентно тождеству
It
= 52 ^ ^Рт^тпК^Ч -21-к}
Ртл-^к^ мт^*гх - еу
Откуда, так как совокупность ЛГт(2-7+1ж — £Y £ € Z, является базисом Рисса 1^^ тождество /^+1(ж) = /Дж) в точности
описывается формулой
a^ = ^Pm/-2k^\ IgZ,(4.3.8)
к
где а7 = {о^} и aj+1 = {а^+1^} — это последовательности коэффициентов fj(x) и Д+1($) в (4.3.7), соответственно. Теперь по последовательности а71 = {а^71^} мы по-прежнему должны вычислить значения f^kl^Y к G Z. Это возможно в результате свертки последовательности а-71 с последовательностью {МДА:)}, к G Z. Напомним, что значения Nm^k) могут быть вычислены с помощью алгоритма в (4.2.15). Действительно, для любого к G Z мы имеем
& Ш = H4WNm Д А - Л(4.3.9)
= ^а^М^к - f) = ^Wm^-^1,
где
wm,k := Nm(k), к G Z.(4.3.10)
Отметим, что обе формулы (4.3.8) и (4.3.9) используют только формулу скользящего среднего (СС), за исключением того, что последовательность а-7 в (4.3.8) нуждается в разреж.а- ющей выборке. Это означает, что нулевое значение должно быть поставлено между любыми двумя последовательными значениями последовательности а7. Для большей точности положим
Г а7 = ^а^, € G Z с
* ^к := ак и(4.3.11)
i®2fc+lZ-
Тогда формула (4.3.8) становится формулой СС:
а^+1) = ^2,Рт,е-к4к^ ^eZ- (4-3-12) к
Подведем итог вышеприведенным рассуждениям следующим образом.
Алгоритм 4.7 (Интерполяционный графически-изобразительный алгоритм).
Пусть fj0 — сплайн-функция с причинной последовательностью коэффициентов
а^ = {аро): I = £0Д0 + 1,...},
как в формуле (4.3.5). Выберем некоторое д > д. Тогда для j = jOi"-ijl — 1 вычислим
(1°) У, используя (4.3.11), и
(2°) а^+1, используя (1°) и (4.3.12).
В завершение вычислим
(3°) {/>0(2^) : А € Z}, используя (4.3.9) и (2°) для j = д — 1. (Перескакивая (1°) и (2°), если д = д.)
Этот алгоритм может быть описан следующим схематическим рисунком, где t означает разрежающую выборку с применением (4.3.11), X означает СС с весовой последовательностью {pm,fc}, и —> означает СС с весовой последовательностью {^m,fc}- Так как весовые последовательности {pm]k} и {шт^} очень простые, симметричные, конечные последовательности с целыми членами, умноженными, соответственно, на 2""m+1 и l/(m — 1)!, то реализация этих алгоритмов на самом деле очень проста.
У0а^1У1'1
tXtХ--tX
aJ°ал+1a^-1aJ1 -э {Д0(^/2Л)}
Рис. 4.3.1. Интерполяционное графическое изображение.
Пример 4.8. Для графического изображения кривой, задаваемой кубическим сплайном
ОО
(4.3.13)(4.3.13)/о (ж) = ^аДДДх - I)
(4.3.13)
(4.3.13)
1=0
на уровне разрешения в 1024 пикселей на единицу длины без каких-либо ошибок, мы используем m = 4, jo = 0, a^ = a^ jy = 10 (так как 210 = 1024) в алгоритме 4.7. Кроме того, последовательности весов {p4,fc} и {^4^} могут быть легко вычислены по формулам (4.3.3) и (4.2.15). Отличные от нуля значения членов этих последовательностей даются формулами:
(1 4 6 4 1),.
{Р4,о,-,Р4,4} = 1 8’8’8’8’8J(4.4.14)
и
{
14 11
6’6’6 1(4.3.15)
(Заметим, что сумма членов последовательности {р4,А:} равна 2 вместо 1, так как к последовательности данных {а^} должна быть применена разрежающая выборка. Конечно, сумма членов другой весовой последовательности {гщ^} равна 1.) Применяя (4.3.12) и (4.3.9) в (2°) и (3°) в алгоритме 4.7, общие знаменатели 8 и 6 в (4.3.14) и (4.3.15), соответственно, следует опустить для того, чтобы выполнять операции над целыми числами. Конечно, при выходе из программы результат должен быть разделен на
8^° Хб = 81ох6 = 3х 231.
Симметрия последовательностей (4.3.14) и (4.3.15) должна быть также использована при реализации алгоритма, чтобы сэкономить время работы процессора.
Представления с помощью В-сети и вычисление сплайнов
Интерполяционный графически-изобразительный алгоритм, описанный в предыдущем параграфе, может быть применен также для точного определения всех полиномиальных частей сплайн-функции. Для этого требуется одна дополнительная
операция типа обращения матриц. В этом параграфе мы вводим более прямую схему для вычисления этих аналитических выражений, используя представление для многочленов Бернштейна. Значения коэффициентов Бернштейна (больше известных как «В-сети») не меняются от положения и длины интервала, на котором определен многочлен. Это очень важная особенность при работе со сплайн-функциями, так как часто необходимо сдвигать ряды В-сплайнов и масштабировать их для получения различных уровней разрешения.
Пусть п—любое неотрицательное целое число. Заметим сначала, что совокупность многочленов
Фк := 0(1 ” <"кхк' 0<к<п,(4.4.1)
является базисом пространства многочленов тгп. Этот базис используется для определения п-й степени полиномиального оператора Бернштейна:
п /
(В„/)0=):=5> - «к).(4.4.2)
к=0 W
именно:именно:Если / — непрерывная функция на интервале [0,1], то ясно, что Bnf интерполирует / в конечных точках интервала, а
именно:
именно:
(4.4.3)(4.4.3)(Вп/)(0) =/(0),’ (Вп/)(1) = /(1).
(4.4.3)
(4.4.3)
Однако, в общем случае Вп/ не интерполирует / во внутрен- 1 п — 1
них точках —~— интервала. Вместо этого график полиномиальной кривой -у = (Вп/)(ж) лежит на выпуклой оболочке множества
(4.4.4)(4.4.4)
(4.4.4)
(4.4.4)
Более точно, это множество «контролирует» график у = ^nf^xY Мы не намерены углубляться в детали в этом на-
правлении, но хотим только указать на то, что «очертани- е» графика у = (Bnf)^ управляется «контролирующей сетью» (4.4.4), которая в свою очередь управляется графиком у = /(ж). В частности, мы имеем:
если / > 0 на [0,1], то Bnf > 0 на [0,1];
если / Т на [0,1], то Bnf t на [0,1] и
если / выгнута вверх на [0,1], то Bnf выгнута вверх на [0,1].
Две главные причины, по которым имеют место (а)-(в), состоят в том, что
) Вп/ — линейный положительный оператор, который сохраняет все линейные многочлены в том смысле, что
Bnf = h / € 7Г! и
) «Декартово правило знаков» применяется к одночленному базису {1,ж,...,жп} на интервале (0, оо).
В общем случае полиномиальный оператор Бернштейна (4.4.2) может быть заменен некоторым многочленом Бернштейна п
= ^4^(ж)(4.4.5)
А:=0
с последовательностью коэффициентов
an:={a£: fc = 0,...,n}(4.4.6)
без потери каких-либо хороших геометрических свойств Bnf, просто рассмотрением / как кусочно-линейного (или сплайна второго порядка) интерполянта
п
Ых) = Е ^(пж - к + 1)(4.4.7)
к=0
исходных данных в (4.4.6) в точках {fc/n}. График у = /ап(а;) (или, для простоты, сама последовательность коэффициентов
ап = {«„}) называется представлением В-сетъю многочлена Бернштейна Рп в (4.4.5).
В дальнейшем мы будем использовать операции
и
(4.4.8)
для дифференцирования и интегрирования многочленов Бернштейна. Здесь и всюду в дальнейшем пустая сумма всегда означает нуль.
Теорема 4.9. Пусть для каждого п 6 Z, п > 0 Рп — многочлен Бернштейна п-й степени с В-сетъю ага, как это определено в (4-4-5) и (4-4-6). Тогда производная Рп дается формулой
п—1
ЯМ =(4.4.9)
fc=O
и если ^-^(ж) = Рп^, то интеграл от Рп дается формулой
Pn(t)dt = ^№+1fc=OPn(t)dt = ^№+1fc=O+ a4)0?+1W-o;+‘.+ a4)0?+1W-o;+‘.(4.4.10)(4.4.10)
Pn(t)dt = ^№+1
fc=O
Pn(t)dt = ^№+1
fc=O
+ a4)0?+1W-o;+‘.
+ a4)0?+1W-o;+‘.
(4.4.10)
(4.4.10)
Доказательство. Используя обозначения
Ф^1 := 0 и ф^1 := 0,
мы имеем из (4.4.1)
4-Фк^ ={-(и - цж+&(i - ж)}(1 - x)n-k- V-1
ах/
=п1—(П(1—s)l(l—s)n-A~1a;fe_1
^I \ ^ У \aZ“~ 1/ I
b -«{«zfw-^'M}
11 -3954
для к = 0, ...,п. Откуда
ди = £>гмйи - фгч^
к=0
пn—1
= 5>№и -=wrlw = Ewk-'w.
fc=Ofc=O
Это доказывает (4.4.9). Применяя эту формулу к Pn+i и используя предположение Р„+1 = Рт мы имеем
1к-1
аоН += ak+1-
0 n +14-< 3 к
3=0
Отсюда утверждение (4.4.10) следует из интегральной формулы
Г Pn^dt = Рп^т) - Р„+1(0) = Pn+1M -Яо+1, (4.4.И) Jo
что и завершает доказательство теоремы.□
Мы обратимся теперь к изучению представления В-сетью
В-сплайна m-го порядка Nm. Напомним, что Nm состоит из т нетривиальных кусочных многочленов степени т—1, которые мы определим формулой
Pm—1,к ^ Nm |[fc—1,/с), к 1, ...,т.(4.4.12)
Заметим также, что сужением Nm(x — 1) на тот же интервал [Л; — 1, к) является многочлен Рщ-у^-у^У Итак, если мы предположим, что am-1(k) = {а™-1 (А;)}, 0 < Я < т — 1 обозначает В-сеть Pm-i,kt то сужение Л^т(т) — Nm(x — 1) на интервал \к — 1,/г) дается многочленом Бернштейна
т—1
P.-vM-P^^A=T,<aT"4k>-«T4k-0W”4T-hV0- 1=0
(4.4.13)
Поэтому, применяя тождество в (ж) теоремы 4.3 или эквивалентное ему
^.кМ = ^т-тлМ - Pm-i,k-i(x), 1б^к-1,к\ (4.4.14)
мы имеем
52 W"4k) - »7"Чк - W4s - к + 1) =
^аТ^фТ^-к + В ■■
1=0
Теперь, если мы проинтегрируем обе части тождества по интервалу [0, ж], применим (4.4.11) и (4.4.10), то мы получим следующее соотношение между В-сетями Nm и Nm+1, а именно:
a7(Jt) = a^W + ст^а7~\к^ а?-Чк - Vrt (4.4.15)
= а№ + - IlW”^ - ^к - 1)},3=0
£ = 0, ...,m. Для m > 2, так как Nm непрерывна, мы даже имеем а™ (к) = Pm,k^k — 1) = Pm,k-i(k~ 1) = a™(fc -1). Таким образом, мы вывели следующую схему вычисления В-сетей для всех кусочных многочленов Nm для любого целого m > 2.
Алгоритм 4.10. (Алгоритм построения В-сети для В-сплайна.)
Пусть m > 2 — некоторое целое число и пусть
Pm-l,k^ = N^k-^x) = ^ a^"^^-^ - к + 1), £=0(4.4.16)
к = 1,... ,т. Положим также
aJl-1(O)=O и a^-^m + l) = 0, j = 0, ...,т-1 (4.4.17)
и рассмотрим начальные условия
4(1) = 0, 4(1) = 1 = 4(2), 4(2) =0.(4.4.18)
п*
Вычислим (1°) и (2°), приведенные ниже, используя (4.4.17) и (4.4.18) для т = 2, и затем повторим тот же процесс, используя (4.4.17) и предыдущий результат для т = 3,4,..., где
(1°)Ь™^ := a™^ " ^Чк - 1)
для з = 0,... ,т — 1 и к = 1,..., m + 1 и
(2-)^(^^д-ч-ь-Е^-чм
3=0
для £ = 0,... ,т и к — 1,..., т + 1.
Схематический рисунок для алгоритма 4.10 изображен на рис. 4.4.1, где условие (4.4.17) используется на каждом шаге для вычисления значений bj(k\
b1®,...^1®b2(l),...,b2(4)bm-2(l),...,bm-2(rn)
t X t X- t X
a1®,a1®a2(l),...,a2(3)am-2(l),..,am-2(m-1) a-^.-.a^H
Рис. 4.4.1. Вычисление В-сетей для Nm.
Пример 4.11. В-сети для квадратичных (т = 3), кубических (т = 4), четвертого порядка (т = 5) В-сплайнов даются ниже.
1) Г1 2 1)2/’[2’2’2 /1) Г1 2 1)2/’[2’2’2 /Для т = 3, а2(1),...,а2(3)
1) Г1 2 1)
2/’[2’2’2 /
1) Г1 2 1)
2/’[2’2’2 /
0,0,
Для т = 4, а3(1),... ,а3(4)
0,0,0,0,0,0,1 2 4 41 Г4 4 2 11 Г1 б’б’б’б/’[б’б’б’б/’[6’ ’ ’
0,0,0,
0,0,0,
Для m = 5, а4(1),..., а4(5)
, Jo,o.o.olLfl, 1,АЛЛ),ЛЛЛЛ,-L
[24 J [24’ 24 24’ 24’ 24 J ’[24’ 24’ 24’ 24’ 24 / ’
А А А 1 I / 11
[24’24’24’24’ 24 J ’ [ 24’ °’ °’ °’°] ’
Если известны В-сети для Nmi то легко определить В- сети для любой сплайн-функции fj, как это показано в (4.3.7). В результате замены переменных мы можем сосредоточить внимание на сплайн-функциях
/о(ж) = 22 cjNm^ - j)(4.4.19)
j
с последовательностью узлов Z. Пусть к € Z и рассмотрим сужение
/о|[к-1,к)(ж) =: 22 MkW~4$ - к + 1)(4.4.20)
функции /о на интервал [/г-1, к). Применяя (4.4.16) и (4.4.19), мы также имеем
/о|[А:—1,А:)(Ж) = 2 у cj^m{' j) l[fc—!,&)(ж)(4.4.21)
j
I= 2 у ^^m— l,fc-j|[fc-l,fc)(®)
?= ^2,Cj ^a^1^-З^ф^1^ - k + 1).
j t
Поэтому приравнивание (4.4.20) и (4.4.21) дает
к
AtW — 27 с^^^к-зУз, I = 0,... ,т-1 и к е Z, (4.4.22) j=k—m
так как а™-1 (к - j) = 0 для j > к или j < к - т. Подведем итог предыдущим рассуждениям, констатируя, что для любого фиксированного к G Z и I = 0,...,m — 1 формула скользящего среднего (СС) в (4.4.22) с последовательностью весов
{«7-10) : 3 = 0, ...,т}
(значения которых могут быть вычислены в результате применения алгоритма 4.10 и даются в примере 4.11 для т = 3,4,5) может быть использована для вычисления В-сети
d(fc) = {doW, ■ •. ,dm_i(A;)}
при сужении на интервал [fc — 1,/;) сплайн-ряда /о с последовательностью коэффициентов {с?}.
4.5. Построение
сплайн-аппроксимационных формул
Мы начнем, выписав полезную формулу для преобразования Фурье, которая может быть легко проверена путем взятия j-й производной от обеих частей формулы (2.1.6), а именно:
(W(W=W 3 =0,1,...,(4.5.1)
где использовано обозначение
.О^ж)—^(ж).(4.5.2)
Применение этой формулы к одночлену, умноженному на В-сплайн m-го порядка Nm и на сдвиг его отражения N~ на некоторое ж G R, дает
Г е-^[(ж - tyNm№t =Цх- iDyNM (4.5.3) J —оо
/e-^^N^x - t^dt(4.5.4)
J —оо
- e-i$y l°° е^[(х - tyNm№t
= е-^^х-гПу^ту~Ш).
С другой стороны, из формулы
ясно, что Nm удовлетворяет равенствам
'7Vm(0) = 1,
*(4.5.5)
AD3Ыту2лк) = 0, j = 0,...,m — l, O^kEZ.
Так как (4.5.3) и (4.5.4) совпадают друг с другом при ш = О, применение (4.5.5) к этим двум формулам дает:
Л ОО
(4.5.6)(4.5.6)f e-i2^E-tYNm№
(4.5.6)
(4.5.6)
^—гЗлк!^—гЗлк!—оо
^—гЗлк!
^—гЗлк!
\У Nm(x-f)\dt,0 < 3 < т - 1,к EZhx Е Н.
Как следствие (4.5.6) нижеприведенный результат может быть легко выведен с помощью варианта формулы суммирования Пуассона (2.5.11).
Теорема 4.12. Пусть т > 1 — любое целое число. Тогда
ооm—1
52 p(k)Nm^x - к) = 52 Nm(k)p(x - к), р Е irm-i. (4.5.7)
к= —оок=0
Тождество в (4.5.7) говорит, что если последовательность коэффициентов {cjfc} ряда В-сплайнов порядка т является полиномиальной последовательностью степени т — 1 в том смысле, что Ск = р^к) для некоторого р € тгт_1, то сплайн- функция сама является многочленом из тгт_1. Мы замечаем, что нижнее значение индекса в правой части (4.5.7) может быть заменено на 1 для т > 2.
Отвлечемся на некоторое время от этих рассуждений и рассмотрим следующую проблему «сплайн-интерполяции», использующей «центрированные» В-сплайны Nm(x + ф), а именно: для любой «допустимой» последовательности данных {/j} найдем {с^}—решения уравнений
ООckNm (ж + у к=—соООckNm (ж + у к=—со— fp Э 6 Z.х=Э— fp Э 6 Z.х=Э(4.5.8)(4.5.8)
ОО
ckNm (ж + у к=—со
ОО
ckNm (ж + у к=—со
— fp Э 6 Z.
х=Э
— fp Э 6 Z.
х=Э
(4.5.8)
(4.5.8)
Здесь понятие допустимости {/у} означает, что она может иметь не более чем полиномиальный рост. Используя символьное обозначениеЗдесь понятие допустимости {/у} означает, что она может иметь не более чем полиномиальный рост. Используя символьное обозначениеXto -^лЦь+у)?,< C(z):=^ckzk,F^) ^^fkZk..<кXto -^лЦь+у)?,< C(z):=^ckzk,F^) ^^fkZk..<к(4.5.9)(4.5.9)мы можем записать (4.5.8), по крайней мере формально, какмы можем записать (4.5.8), по крайней мере формально, какCNm = F.CNm = F.(4.5.10)(4.5.10)Заметим, что Nro — симметричный многочлен Лорана. Также заметим, что, как следствие теоремы 4.3 (е), многочлен по степеням косинусовЗаметим, что Nro — симметричный многочлен Лорана. Также заметим, что, как следствие теоремы 4.3 (е), многочлен по степеням косинусовD^:=D(zy-l-Nm^, z = е~*и 1D^:=D(zy-l-Nm^, z = е~*и 1(4.5.11)(4.5.11)
Здесь понятие допустимости {/у} означает, что она может иметь не более чем полиномиальный рост. Используя символьное обозначение
Здесь понятие допустимости {/у} означает, что она может иметь не более чем полиномиальный рост. Используя символьное обозначение
Xto -^лЦь+у)?,
< C(z):=^ckzk,F^) ^^fkZk..
<к
Xto -^лЦь+у)?,
< C(z):=^ckzk,F^) ^^fkZk..
<к
(4.5.9)
(4.5.9)
мы можем записать (4.5.8), по крайней мере формально, как
мы можем записать (4.5.8), по крайней мере формально, как
CNm = F.
CNm = F.
(4.5.10)
(4.5.10)
Заметим, что Nro — симметричный многочлен Лорана. Также заметим, что, как следствие теоремы 4.3 (е), многочлен по степеням косинусов
Заметим, что Nro — симметричный многочлен Лорана. Также заметим, что, как следствие теоремы 4.3 (е), многочлен по степеням косинусов
D^:=D(zy-l-Nm^, z = е~*и 1
D^:=D(zy-l-Nm^, z = е~*и 1
(4.5.11)
(4.5.11)
неотрицателен для всех ш. Введение D позволяет нам переписать (4.5.10) как
С = —^F.(4.5.12)
— D
Итак, по крайней мере формально, мы имеем
С = (1 + 5+ 52+ •••)£.(4.5.13)
(Мы заметим здесь без доказательства, что так как мы имеем 0 < H(w) < 1, то «ряд Неймана» в (4.5.13) действительно сходится. Более подробно мы обсудим это в §4.6.) Так или иначе, формальное выражение в (4.5.13) побуждает нас рассмотреть конечные последовательности Лк = {А^}, определенные формулой:
Лк(г) := ^ XTzi ~ 1 + 5 + • • • + 5*.(4.5.14)
У
Каждая из этих последовательностей по очереди определяет оператор свертки на последовательности данных {//}, а именно:
(Лк * Ш^ - Е ^-Л(4-5Л5>
з
символ которого равняется K^F.
Теперь предположим, что последовательность данных {/j} получена в результате измерения некоторой непрерывной функции /; так что fj = fUY Тогда, чтобы упростить обозначение в (4.5.15), удобнее записать
М№ := (Ле . {/(j)})W = J+^/W-(4.5.16)
3
Эта последовательность определяет линейный сплайн-оператор
ОО
(QkH^ := Е (М)№т (z + ^ - А , feC, (4.5.17) l=—oo
который отображает С = <7(R) на пространство сплайнов Sm. Мы должны обратить особое внимание на то, что так как Кк = {А^} — конечная последовательность, то каждый (Лд:/)(^) зависит только от значений f^ в окрестности j — I, и эта окрестность не зависит от £. Другими словами, Qk — ограниченный, линейный, локальный сплайн-оператор, определенный на С. Важность Qk состоит в том, что он сохраняет все многочлены в тгт-1 для любого достаточно большого к. Точнее, мы имеем следующий результат.
Теорема 4.13. Пусть т > 1 — любое релое число. Тогда для любого к > —^ и линейного оператора Qk, определенного в Ц.5.П), справедливо равенство
kQkP^x^ = р(ж), р Е тгт-1.(4.5.18)
Доказательство. Пусть р G тгт-1. Так как {А^} —конечная последовательность, ккР - полиномиальная последовательность степени т — 1. Более точно, (Л^.р)(^) = q^, где q — многочлен
ч^^^^р^-эУ
3
Кроме того, для каждого j G Z, мы имеем
IQkpM := ^ккРК^т ^j-£+^y(4.5.19)
в результате использования символьных обозначений из (4.5.14) и (4.5.11) следует, что
(55 = 55^m(4-5.20)
= ^ + D + ...-vDk)PNm
= (l-VD + -.. + Dk)NmP
= (1 + 5 + ..- + Pft)(l — D)P
= (1 -Ьк+ъ)Р,
где Р — символ VpU)V Теперь напомним из (4.5.11) и (4.5.9), что D есть символ последовательности {dj}, где
dj — ^ЗЙ ^т ( 2^ ^’dj — ^ЗЙ ^т ( 2^ ^’(4.5.21)(4.5.21)
dj — ^ЗЙ ^т ( 2^ ^’
dj — ^ЗЙ ^т ( 2^ ^’
(4.5.21)
(4.5.21)
и Dk^ есть символ (к + 1)-кратной свертки {dy}. Так как Nm ^ + £^ = Nm ^ — I) для всех I Е Z, мы имеем
(W * {p(j)})W = ^dt-jPU)
з
[т/2]
= 52 ^ (у - J') W + J") - ^PW + Р^ - j)L (4.5.22) з=1
где [аг] обозначает наибольшее целое, не превосходящее ж, и ис
пользуется свойствопользуется свойство= 1. Важность формулы= 1. Важность формулы
пользуется свойство
пользуется свойство
= 1. Важность формулы
= 1. Важность формулы
(4.5.22) состоит в том, что свертка {^} с {рО)} записывает
ся как (конечная) линейная комбинация центральных конечных разностей второго порядка p(j). Следовательно, Dk+iP —
символ (конечной) линейной комбинации разностей 2(fc + 1)- го порядка {рО)}, таким образом, для любого р G тгт_1, мы
имеемимеемDk*xP = 0, кDk*xP = 0, кт — 32т — 32(4.5.23)(4.5.23)
имеем
имеем
Dk*xP = 0, к
Dk*xP = 0, к
т — 3
2
т — 3
2
(4.5.23)
(4.5.23)
Подставив (4.5.23) в (4.5.20), мы получим
TTL ”~ 3
(QfcP)W = pW, l е Z, к > —-—, р G 7Tm-i. (4.5.24)
Следовательно, так как Л^р в (4.5.19) является полиномиальной последовательностью степени т — 1, из теоремы 4.12
следует, что ^QkPW3^ является многочленом из тгт-1. Отсюда (4.5.18) сразу же следует из (4.5.24).□
Пример 4.14. Для т = 4 можно взять к = 1. Тогда линейный локальный кубический сплайн-оператор Qi дается формулой
ОО 1
ЮИ)И= £ -(-/(/+i) wW-A«-iW4(* + 2-4 1= —ОО
(4.5.25)
По теореме 4.13 мы имеем
IQiPX®) = р1ж^ Р^ = 1,ж,ж2,т3.
Доказательство. Из (4.5.14) и (4.5.11) следует, что Ai = 2 — N4, таким образом
А^ = 25J;o — А^4(2 + j).
I
Так как 7V4(2) = -, А^(1) = TV4(3) = - и А^(£) = 0 для всех других целых £, мы имеем из (4.5.16)
(Л1ЛИ = ^XVti) = -|/(<+i)+(2 -1) №—Kt-V).
Это дает (4.5.25).
Операторы Qk называются «квази-интерполяционными» операторами. В более общем случае мы будем применять нижеприведенное определение. Повсюду в последующих рассуждениях будет рассматриваться пространство
Cb(R) = {/eC(R): sup |/(ж)| <оо}.(4.5.26)
—оо<а;<оо
Определение 4.15. Ограниченный линейный оператор Q, который отображает C^R) в сплайн-пространство Sm, называется квази-интерполяционным оператором, если, с одной стороны, он сохраняет все лт_1 в том смысле, что (QP^^ = р(х^ для всех р Е тгт_1 и, с другой стороны, он локален в том смысле, что существует такое компактное множество J, что для любых / G С и х € R (<Э/)(ж) зависит только от f(y), где у принадлежит
J + x:={y + x: yEJ}. (4.5.27)
Замечание. В вышеприведенном определении, где Q является линейным ограниченным оператором на C'b(R), подразумевается, что рассматриваются только данные — значения функций. При работе с данными, состоящими из значений некоторых производных, мы должны рассматривать ограниченный линейный оператор Q в соответствующем подклассе гладких функций, таком, как некоторое «пространство Соболева» .
В теореме 4.13 мы имели дело с последовательностью квази-интерполяционных операторов Q^, локальные носители которых J увеличиваются с ростом к. Мы укажем, не останавливаясь на деталях, что {Q^} действительно сходится к сплайн-интерполяционному оператору Qqq, который определяется единственным образом интерполяционным свойством:
8 (Qoo/-/)W = 0, ^eZ, (4.5.28)
для любой f Е С (см. рассуждения в следующем параграфе о базисной сплайн-интерполяции). Смысл изучения квази- интерполяционных операторов состоит в том, что они приводят к простым и вычислительно эффективным схемам построения базисных сплайн-приближений с наивысшим порядком аппроксимации, а именно: достигается порядок т, когда используются сплайны m-го порядка. Сверх того, локальная структура квази-интерполяционных операторов делает
их удобными для использования в режиме реального времени (или «он лайн»).
Чтобы увидеть, как используется квази-интерполяционный оператор для получения оптимального порядка аппроксимации, мы просто пересчитаем S-сплайны с «нулевого уровня разрешения» (т.е. х — к, к Е Z) на «j-й уровень разрешения» (т.е. х = к)^, к Е Z). В пространстве L2(R) это означает, что мы обрабатываем дискретные данные в сплайн-про- странстве V™ с высоким разрешением, где период выборки может быть таким же малым, как h = 2~J. В общем случае мы можем рассматривать любой малый масштабный параметр h > 0 и измерять порядок аппроксимации как m-ю степень h, т.е. O(hmy, это означает, что погрешность приближения ограничена константой, умноженной на hm при h —» 0+, когда данные выборки представляют достаточно гладкую функцию. Будем использовать обозначение
W»‘.= f^(4.5.29)
для описания процесса масштабирования. Тогда любой квази- интерполяционный оператор Q, как описано в определении 4.15, порождает аппроксимационную формулу, состоящую из масштабирования и квази-интерполяции, именно:
Qh := ShoQ°sh-i.(4.5.30)
Теорема 4.16. Предположим, что Q - квази-интерполяци- онный оператор из Сь(И) в Sm, К — некоторое компактное множество в R и О — любое открытое множество, содержащее К. Тогда для любой / Е C^(R) П Cm(Q) существует положительная константа С, зависящая только от / и К, такая, что
max\(QhJ - /)(д)| < Chm(4.5.31)
х£К
для всех достаточно малых h > 0.
Доказательство. Из определения Q легко видеть, что Qhp = р для всех р € 7Гт-1 И Ц^!} = IIQII, h > 0. Пусть
р := т + max
и предположим, что
та^К^/ - П^\ = WQhf - /)(т0)|, т0 € К, так что
max\(Qhf - Л(Л\ = max \(Qhf - /)(т)|. хЕКк—яо|<^Р
Тогда, ввиду локального характера Q и Nm, мы имеем
m^cj(Q^/-/)(ж)| = max KQ^V - р) + (р -/))(т)|
хЕК\х-хъ\<Кр
"< . max |/(z)-p(t)|(H-||Q||),
|я;—ато|<ар
где р —некоторый многочлен из ivm_y Заметив, что / G Ст^) и Q —открытое множество, содержащее то € К, и выбирая многочлен Тейлора степени m — 1 для / в точке то в качестве многочлена р в вышеприведенной оценке, мы получим (4.5.31) с
„т
с = Ц sup |/<-">И|,
где Q0 — некоторое открытое множество, содержащее К такое, что замыкание Q0 лежит в Q.□
Чтобы дать более общую схему построения квази-интерполяционной формулы, вернемся к теореме 4.13, где Q^, определенное в (4.5.17), дается сверткой конечной последовательности Л^ = {А^} с последовательностью данных {/Д. Пусть к фиксировано, и рассмотрим линейный ограниченный функционал Л*, определенный на С формулой
x*f;= ^kfi№ = Y,xff(.-jy
3
1
Для любого фиксированного I € Z, если /(-+1) рассматривается как функция переменной, представленной в виде точки, ясно, что
а‘/(- + <) = (At/)M = Y.xTfV-iY
3
Таким образом, квази-интерполяционная формула (4.5.17) определена единственным линейным функционалом А* на С, именно:
(Qk№) = £X*fV + ^Nm ^+^-£). (4.5.32)
Для обобщения этой формулы посмотрим, можем ли мы использовать семейство линейных ограниченных функционалов А^, I € Z, на С для замены Л*, например, мы постараемся заменить А*/(' + 1) на А^/(- + 1) в (4.5.32). Таким образом, интересно изучить условия, накладываемые на семейство { А^}, при которых линейный сплайн-оператор <2°, определенный формулой
№пи = ЕЛ^ (■+£^т кх*ч~^) (4МЗ)
является квази-интерполяционным оператором. Чтобы Q0 был ограниченным оператором, достаточно предположить, что нормы ]|А^|| этих линейных функционалов удовлетворяют неравенству
sup ^ 11^11 < °°- (4.5.34)
Например, если {А^} — конечное семейство, то (4.5.34), без сомнения, выполняется. С другой стороны, гораздо труднее продемонстрировать локальную природу для общего оператора Q0. Так как для приложений представляют интерес только
инвариантные относительно сдвигов ограниченные линейные функционалы, то мы будем рассматривать только Аг вида
Xefl+^=^cff(£-jY(4.5.35)
з
в которых {с^}, I G Z —конечные последовательности. Отсюда, если объединение носителей этих последовательностей — конечное множество, то <2° также обладает локальными свойствами. Также ясно, что этими свойствами обладает любое конечное семейство {А^}. Наконец, как достигается полиномиальное воспроизведение оператором Q0? Очень простым предположением о А^ для обеспечения этого свойства является требование, чтобы каждое А^ удовлетворяло равенству
Хер = Х*р, р е тгт-1.(4.5.36)
Заметим, что (4.5.35) может быть заменено более общей формулой, включающей производные информационных данных в том случае, если мы хотим рассматривать линейные ограниченные операторы <2° на соответствующем пространстве дифференцируемых функций. Мы окончим этот параграф рассмотрением примера, демонстрирующего эффективность степени свободы, достигнутой возможностью использовать более чем одно А^.
Пример 4.17. Заметим, что любой квази-интерполяционный оператор Q^ в (4.5.17) требует информационные данные об /(I) для всех I 6 Z. Мы уже определили кубический сплайн- оператор Qi в примере 4.14, где
1Я1
A7 = -g/(l) + g/(O)--/(-l).
Выведем кубический квази-интерполяционный оператор <2°, который требует только информационных данных /(21), ^ е Z.
Решение. Мы рассматриваем два линейных ограниченных функционала Ае и Ао, определенных формулами
м -^c^Hy+iy
Затем, положив
А2* := Ае и А2*-1 := Ао, I е Z,
мы имеем
(4.5.38)(4.5.38)a27(- + 2^) = 52c2V(2j + 2^), а2^7(- + 21 - 1) = ^c^J^j + 21).
(4.5.38)
(4.5.38)
Следовательно, требуемыми значениями / в квази-интерполяционной формуле
(Q°F)(x) = 52 ХкД- + k^N^x + 2 - к)(4.5.39)
к
1V4(t —21 + 2)
1У4(т-21 + 3)
являются только /(21), £ € Z. Для определения {с^} и {cj2^} мы применяем (4.5.36). Сначала мы должны вычислить Х*рп, где рп(х^ = хп, п = 0,..., 3. Эти значения равняются
(А*р0,...,А*рз)= (1,0,-|,0
решитьрешитьОтсюда, чтобы удовлетворить (4.5.36), мы должны две системы линейных уравнений:
решить
решить
зззз13’13’£2^=0,3£2^=0,3ззии1,1,42)=о,42)=о,33, з, з2/2) - _1> - з’2/2) - _1> - з’3333(4.5.40)(4.5.40)■^=°-■^=°-(4.5.41)(4.5.41)
з
з
з
з
1
3’
1
3’
£2^=0,
3
£2^=0,
3
з
з
и
и
1,
1,
42)=о,
42)=о,
3
3
, з
, з
2/2) - _1
> - з’
2/2) - _1
> - з’
3
3
3
3
(4.5.40)
(4.5.40)
■^=°-
■^=°-
(4.5.41)
(4.5.41)
Конечно, здесь нет единственного решения, но решения (4.5.40) и (4.5.41) с наименьшими носителями даются формулами:
4^ =^ = 41} = с^ = 0 для I ^ -1,0,1,
(4.5.42)
С<М = 4 с^=0 для ^-2,-1,0,1.
□□(4.5.43)
□
□
Это и есть коэффициенты в (4.5.39).
4.6. Построение
сплайн-интерполяционных формул
Общая схема для построения аппроксимационных формул, введенная в предыдущем параграфе, не дает возможности получить сплайн-функции, которые в общем случае интерполируют заданные дискретные данные. При построении сплайн- интерполяционного оператора также очень важно, чтобы этот оператор воспроизводил многочлены, по крайней мере до некоторой нужной степени. Это требование не только помогает
в достижении требуемого порядка аппроксимации, но также является критическим при сохранении определенных очертаний заданных значений. В конце концов, чтобы проинтерпо- лировать множество постоянных данных, надо использовать (горизонтальную) прямую линию.
Мы, во-первых, коротко обсудим проблему базисной сплайн-интерполяции, поставленную в (4.5.8), и укажем, что если бы даже наивысший порядок аппроксимации достигался в этом случае, то соответствующий сплайн-интерполяцион- ный оператор не мог бы быть локальным. Это ограничивает их применение во многих инженерных проблемах таких, как интерполяция в режиме реального времени (или «он лайн»). Главной целью этого параграфа является рассмотрение конструктивной схемы получения квази-интерполяционных операторов, которые имеют дополнительные интерполяционные свойства.
Центром наших дискуссий является построение так называемых фундаментальных сплайнов, которые интерполируют данные {^д}- Обладая фундаментальным сплайном, интерполяционный оператор может быть легко получен путем использования любой последовательности данных в качестве последовательности коэффициентов сплайн-рядов, образованных целочисленными сдвигами фундаментальных сплайнов.
Давайте сначала исследуем проблему базисной сплайн-интерполяции, поставленную в (4.5.8), для последовательности данных {5j,o}- Решив бесконечную систему
ОО
Е c^Nm(^+j-k) = ^>0, J'ez, (4.6.1) к=—оо
для {с^}, мы имеем «фундаментальную сплайн-функцию»
ОО
Ых) = 22 C^Nm (х+^-кУ(4.6.2)
к— —оо
которая обладает интерполяционными свойствами
^m(j) = 5jtg,(4.6.3)
как это дается формулой (4.6.1). В отличие от В-сплайна Nm. который имеет компактный носитель, мы увидим, что последовательность коэффициентов {с^} не является конечной при любом m > 3, так что фундаментальный сплайн Lm не обращается тождественно в нуль вне некоторого компактного множества. Следовательно, если он применяется для интерполяции последовательности данных {Д}, где fj = /(j) для некоторой / Е С, то надо быть аккуратным в вопросе о сходимости бесконечных сплайн-рядов
ОО
GW)Cr) := 52 ММ1" к).(4.6.4)
к=—<х>
К счастью, как мы увидим немного позже, {с™} убывают до нуля экспоненциально быстро при к —> ±оо. Это значит, что фундаментальная сплайн-функция Lm(x^ также стремится к нулю с той же скоростью при х -> ±оо. Так, если {/(А:)} имеет не более чем полиномиальный рост, то сплайн-ряды в (4.6.4), конечно, сходятся в любой точке ж Е R и, ввиду интерполяционных свойств (4.6.3), мы имеем
Umf-HUW, jez.(4.6.5)
Таким образом, интерполяционный сплайн-оператор Jm задает сплайн-функцию Jmf, которая интерполирует функцию данных / в каждой точке х = j, j е Z.
Для изучения фундаментальных сплайн-функций Lm(x) мы должны вернуться к системе (4.6.1) линейных уравнений, коэффициенты которой даются значениями В-сплайнов Nm ^ + kY Так же как в (4.5.9), мы рассматриваем символ
М^ = У>т(^ + к^ zk
и замечаем, что этот симметричный многочлен Лорана может быть легко преобразован в алгебраический многочлен с целыми коэффициентами путем рассмотрения
Sm_!^) := (m - l)!^™-1^^), (4.6.6)
где, как и раньше, [ж] обозначает наибольшее целое, не превосходящее х. Это понятие обобщает определение многочленов Эйлера—Фробениуса через S-сплайны четного порядка. (См. (4.2.18) и следующие две главы для более подробного и общего рассмотрения.) Наиболее важным свойством многочлена Эйлера—Фробениуса Em_i в (4.6.6) является для нас то, что он не обращается в нуль на единичной окружности |z| = 1 (см. теорему 5.10 в следующей главе как более общий результат). Отсюда следует, что 7Vm(^) ^ 0 для всех г = е~гш, w € R. Теперь, как и в (4.5.10), система линейных уравнений (4.6.1) может быть записана в виде
где C'm(z)—символ {с^}. Используя элементарные дроби,
Г 1
легко видеть, что последовательность (с). } экспоненциально убывает при к —> ±оо, и скорость убывания определяется модулем корня Em-i в круге |z| < 1, ближайшего к единичной окружности |г| = 1.
Применяя формулу суммирования Пуассона (2.5.8), мы можем также написать
ОО
Nm^ = 52 (лЦ- + у))(Ш + 2тгА;), z = e^, (4.6.8) к——<х>
где Nm (- + у) обозначает преобразование Фурье Nm (^ + y) ’ которое в (4.6.8) вычисляется в точках w 4- 2 л к. Отсюда, беря преобразование Фурье от обеих частей (4.6.2) и применяя
(4.6.7) и (4.6.8), мы получаем две формулы для (преобразования Фурье) фундаментальной сплайн-функции, а именно:
Каждая из этих двух формул может быть использована для вычисления L^xY
Пример 4.18. Определим кубический фундаментальный сплайн L^xY
Решение. Применяя рекуррентный алгоритм, описанный в (4.2.15), получим, что отличные от нуля значения ^4 (А;), к € Z, равняются
Г 1 4 11{M(1),JV4(2),^(3)} = к,- А ко о J
как это уже было замечено в (4.3.15). Отсюда соответствующий многочлен Эйлера—Фробениуса дается формулой
Ез^ = l+4z + z2 = (г + 2-Уз)(г + 2 + Уз).
Следовательно, мы имеем
(4-D’zK4-1)/2]6г
- БМ = (Z + 2-V3)(Z + 2 + V3) (4-6'10)
6 / -2 +УЗ -2 - УЗ \
“ (-2 + УЗ) - (-2 - УЗ) \z + 2 - УЗ ” г + 2 + УЗ/
= Уз { £(-2 + УзГ+к”71-1 + ^(-2 - Уз)”пгп ] \п=0п=0/
= Уз ^ (-2 + Уз)1га1г",
п=—ОО
так что последовательность {с^} определяется формулой
= (—l)feV3(2 - л/З)^1, к е Z.(4.6.11)
Это дает нам кубический фундаментальный сплайн
Е4^ = £ (-1)^(2- V3)WN4(x + 2-kY (4.6.12) k= —ОО
Заметим, что скорость убывания L^x) равняется
О((2 — л/З)^') при х —> ±оо(4.6.13)
ввиду того, что supp N4(- + 2 — к) = ^к — 2,к + 2].□
Что касается вычисления сплайн-интерполянта Jmf в (4.6.4), вместо того чтобы вычислять его непосредственно, представляется более эффективным приблизить Jmf с помощью Q^f для больших значений к, где Qk — квази-интерполяционный оператор, введенный в (4.5.17). Чтобы проанализировать результирующую погрешность, вернемся сначала к (4.5.11) и (4.5.21) и рассмотрим выражение
гдегдеШ)№1 =Ш)№1 =yfe^dwyfe^dwк талк тал(4.6.14)(4.6.14)rm = X- minNm(e ^rm = X- minNm(e ^(4.6.15)(4.6.15)
где
где
Ш)№1 =
Ш)№1 =
yfe^dw
yfe^dw
к тал
к тал
(4.6.14)
(4.6.14)
rm = X- minNm(e ^
rm = X- minNm(e ^
(4.6.15)
(4.6.15)
Следовательно, повторяя рассуждения в (4.5.20), мы имеем для каждого I 6 Z и р € тгт-i:
WQkf-JmnW\-WQkf-nW\
ЧШ1-рЖ)-и-рЖА
= КЙ1^±Ц*{/У) -pO’)W)I
Ai 4-1
< r£+1max|/(j) -p(j)|.
Это дает
WQkf - JmHW\ < ^distHMm-l), £ € Z, (4.6.16)
где
dist^(/,7rm_i) := min тах|/(/г)-p(MI-ретгт-i fcez
Пример 4.19. Оценим разность между (QkHW и (^4/)W, £ е Z, кубической сплайн-интерполяцией (то есть m = 4).
Решение. Легко видеть, что
N^) =N^) =е" + 4 + е-"-е" + 4 + е-"-2 + cos ш32 + cos ш3
N^) =
N^) =
е" + 4 + е-"-
е" + 4 + е-"-
2 + cos ш
3
2 + cos ш
3
и это дает
/2 + cosw\ 2r4 = 1 - mm = -.
ш \ о Jo
Отсюда, ввиду (4.6.16), мы имеем
А+1
WQkf - JM < kJ dist^(/,7r3), £ С Z. (4.6.17)
Если, например, {/(fc)}—ограниченная последовательность, то учитывая, что distfoo(/, тг3) < distfoo(/, яо), из (4.6.17) следует неравенство
1 /2\/с+1sup|(Q*/-J4/)(l)| < (sup/(l) + mf/^^.□
Заменяя Jmf квази-интерполянтом Qkf, мы в общем случае не имеем точной интерполяции, хотя хорошая оценка и дается в (4.6.16). Однако одним из главных соображений, которое заставляет выбрать Qkf для Jmf, является локальная природа квази-интерполяционного оператора, которая дает
возможность использовать его для приложений в режиме реального времени. Если мы настаиваем на точной интерполяции, то существует один путь построить локальную интерполяционную формулу, который состоит в использовании сплайн-пространства на мелкой сетке, такого как Sm для некоторого з > 0, вместо 8т (где Sm — пространство сплайнов m-го порядка, узлами которого является последовательность 2 JZ, как это обсуждалось в §4.1). Например ясно, что при интерполяции последовательности данных {/(у) : у € Z} с
5т := наименьшее целое, ограниченное снизу величиной log2m — 1,
(4.6.18) сплайн-функция
<4619)
удовлетворяет требованию
£mU) = <^о, У G Z.(4.6.20)
Отсюда сплайн-оператор
(Rmf)(x) 22 fW^m^-k) (4.6.21)
к=—оо
является одновременно локальным и интерполяционным. К сожалению, Rmf — очень плохое представление /, так как даже постоянная функция им не воспроизводится. Например, когда мы используем кубический сплайн, мы имеем 64 = 1 и
№) = |лг4(2ж + 2),№) = |лг4(2ж + 2),(4.6.22)(4.6.22)
№) = |лг4(2ж + 2),
№) = |лг4(2ж + 2),
(4.6.22)
(4.6.22)
так что для функции /(ж) = 1, ж G R мы имеем (R4/) (5) = |1V4(3) + |TV4(1) = |, но не 1.
Мы теперь имеем два локальных метода: метод построения квази-интерполяционных операторов Q, как это было рассмотрено в предыдущем параграфе, и локальную интерполяционную формулу (4.6.21). Первый метод воспроизводит все многочлены в соответствующем сплайн-пространстве и, следовательно, обеспечивает оптимальный порядок аппроксимации (см. теорему 4.16), в то время как второй метод дает интерполяционный сплайн. Для построения ограниченного линейного локального оператора Р, который бы обладал по- линомиально-воспроизводящими свойствами Q и интерполяционным свойством Нт, мы рассматриваем следующую «смешанную» операцию:
Р := Нт + Q - RmQ.(4.6.23)
Так как Q и Нт — ограниченные линейные операторы в С, то таким же является и Р. Теперь, для любого ж G R и р G Кт-л ввиду того, что (Qp)($) = р(ж), мы имеем
(Рр)(ж) = <RmP^ + IQP^ - (RmQpH^
= (Нтр^х) +р(ж) - (Ртр)(ж) =р(ж),
так что Р также сохраняет все тгт-1. С другой стороны, для любой / G С и j G Z, так как (Нт/КЙ = КЙЬ мы имеем
(РПШ = №п№) + ЙЖЙ - (Нт^ПКЙ
= /bH(Q/)M4Q/)0') = /(^
Следовательно, мы доказали, что действительно Р — квази- интерполяционный оператор, который является интерполяционным на множестве Z. Должны быть рассмотрены еще два важных момента. Во-первых, так как мы заинтересованы в интерполяции данных fd^ j G Z, то локальный оператор Р должен зависеть только от этого множества данных и не от чего больше. Это, конечно, верно для Нт в (4.6.21), но квази- интерполяционный оператор Q также должен обладать этими свойством. К счастью, общая формулировка Q0 в (4.5.33)
с наложением условия (4.5.36) на определяемые линейные функционалы, как было введено в предыдущем параграфе, может быть применена для изменения множества данных. Во-вторых, так как множество Rm — это сплайн-пространство S^", мы должны также ограничить множество Q = Q0 множеством S^. Таким образом, мы установили следующий результат.
Теорема 4.20. Пусть Q° - квази-интерполя ционный оператор из C'b(R) в 8^ в смысле последовательностей данных fU^ 3 ^ Z, / € О>(Н). Тогда оператор Р, определенный в (4-6.23), с Rm, заданным формулой (4-6.21), таксисе является квази-интерполяционным оператором на ^(R) со значениями в 8^- в смысле последовательностей данных JUY з е z, и обладает дополнительным свойством
(Pf-n^ = O, ^Z.
Конечно, квази-интерполяционный оператор Р может быть «масштабирован», что приведет нас к операторам
Ph := sh о Р о Sfl-i, h > 0, (4.6.24)
выбором h = 2~Ja (при любой фиксированной положительной константе а и большом положительном целом j), рассмотрению другой последовательности данных
f(2~^a£), £ е Z, (4.6.25)
и к достижению оптимального порядка аппроксимации O^h™) (см. теорему 4.16). Мы кончаем эту главу рассмотрением примера кубического интерполяционного сплайна и квази- интерполяционных операторов.
Пример 4.21. Построим локальный кубический сплайн- интерполяционный оператор Р®, который зависит только от множества данных f(j), j € Z и сохраняет все кубические многочлены.
Решение. Масштабируя квази-интерполяционный оператор Q0 в (4.5.39) примера 4.17 на 1/2, мы получаем квази-интерполяционную формулу
(^/)М =^l^c^fU^^\N4(2x-2m) (4.6.26)
+ Е 5 Ес^Кз + I) ^(2т -21 + 3),
которая воспроизводит все тгз, где {с^} и {cj2^} даются формулами (4.5.42) и (4.5.43). Откуда, применяя (4.6.23) с Q = Q® и Rm — R4 и используя формулы (4.6.21) и (4.6.22), мы имеем
(Р40/) (ж) = 52 ^№N4 (2т + 2 - 2к) + ^°4П^(4-6.27)
к
к I 3,4
+ 52СТ^ +1)^4(2fc - 21+3) > N4(2x + 2 - 2к)
з,4J
= 52 S Е^2^+ ^) ^4(2т + 2- (2^-1))
к к 3
х N4(2x+2-2k) =ЕЕ4422nfW\N4(2x+2-e),
где
, 29
— дляп = 0
- ДЛЯп = ±1
у№ •= < ип
-8даяп= ±2(4.6.28)
— —ДЛЯп=±3
^дляп=±4
,0для других п.
Заметим, что для определения В-сплайн ряда
Л^Л^Л = ^(Ж^ + 2 - £),(4.6.29)
£
мы просто можем применить формулу СС
£+4
.(n = Е ^Jh й-6*»п=£-4
где {/(«)} получена из последовательности данных {/(«)} в результате разрежающей выборки, а именно: f(2n) = f (п) и /(2n+1) = 0, n е Z. (См. (4.3.11).) □
Глава 5
Масштабирующие функции и вэйвлеты
Любой 7?.-вэйвлет (или просто вэйвлет) дает возможность разложить пространство Гильберта L2(R) в прямую сумму замкнутых подпространств Wj, j G Z в том смысле, что каждое подпространство Wj является замыканием в L2(R) линейной оболочки совокупности функций
фj)k = 2^(2^ -к), ке Z.
Поэтому соответствующие подпространства
Vj := ... +^-2+^-1, 3 € Z, образуют вложенную последовательность подпространств L2(R), объединение которых плотно в b2(R) и пересечение которых является множеством {0}, состоящим из одного нулевого элемента.
Это наблюдение приводит к последующему введению очень полезной техники построения вэйвлета 'ф и соответствующего ему двойственного ф, а именно: исследованию существования и изучению структуры некоторой масштабирующей функции ф, которая порождает пространства Vj, j € Z таким же обра-
зом, как ф порождает пространства Wj, j € Z. В частности, совокупность функций
ф^х — Ц, к £ Z,
образует базис Рисса (или безусловный базис) Го и ф порождает кратномасштабный анализ (KMA) {Vj} в Z2(R). Так как ф Е Го С Vi, то существует единственная последовательность {рп} € ^2, которая связывает ф^х) с функциями ф(2х - к), к Е Z; и структура ф определяется структурой этой «двухмасштабной последовательности» {рп}- Например, конечная двухмасштабная последовательность характеризует масштабирующую функцию ф с компактным носителем. Ввиду этого соображения ф имеет наименьший носитель, если длина этой последовательности является самой короткой.
Мы увидим, что существует много свободы в выборе соответствующего вэйвлета ф и его двойственного ф, поэтому другой целью этой главы является исследование структуры дополнительных пространств Wj (в смысле, что Vjyi = Vj+Wj, j Е Z) и соответствующих «двухмасштабных последовательностей», связывающих Wj с Г^+i, что описывает эту свободу. Обладая полным знанием того, в чем состоит эта свобода, можно построить вэйвлет ф и его двойственное ф, удовлетворяющие некоторым особенностям. Этими особенностями, представляющими специальный интерес, в частности, для инженеров, являются: разложение пространства A2(R) в ортогональную сумму подпространств Wj, ортонормированный базис в L2(R), порожденный ф, конечные последовательности восстановления и разложения как результат компактности носителя ф и ф и симметрия или анти-симметрия ф и ф. В добавление к изучению этих особенностей мы будем также изучать связь между симметричными вэйвлетами и линейнофазовой фильтрацией.
Кратномасштабный анализ
(5.1.1)(5.1.1)Если должен быть построен некоторый вэйвлет ф £ Z2(R), целесообразно изучить структуру порожденного им разложения Z2(R). Обычно ^^ := 2jV2^(2^t — А;) и
(5.1.1)
(5.1.1)
Wj := closL2(R)(^ : к G Z).
Тогда это семейство подпространств Z2(R) дает разложение Z2(R) в прямую сумму в том смысле, что каждая / £ Z2(R) имеет единственное разложение
/(ж) = ... + g-i^ + 9о(х) + 91 (ж) + ...,(5.1.2)
где gj £ Wj для всех j € Z, и мы будем это описывать с помощью формулы
Z2(R) = J2 wi — ...4-H"_i+Wo+H/i4-...(5.1.3)
jez
(см. (1.4.3)-(1.4.5)). Будучи в Wj, gj-компонента / имеет единственное представление в виде вэйвлет-ряда, последовательность коэффициентов которого дает локализованную спектральную информацию об / в j-й октаве (или частотном диапазоне) в терминах интегрального вэйвлет-преобразования / с ф — двойственным -ф в качестве базисного вэйвлета (см. теорему 3.27). Мы вернемся к этой теме в §5.4. Используя разложение £2(К) в (5.1.3), мы имеем также последовательность вложенных друг в друга замкнутых подпространств Vj, j £ Z из Z2(R), определенных формулой
Vj := ...A-Wj^A-Wj-y.(5.1.4)
Обобщим свойства {1^}, которые являются простым следствием (5.1.1), (5.1.3) и (5.1.4), в следующей лемме (см. § 1.5).
Лемма 5.1. Подпространства Vj, определенные в (5.1.4), удовлетворяют следующим условиям:
(1°) ... С V_j С Vo с V С ...;
(2°) closL2 (U^■)=Т2^);
(3°) П^ = {0};
(4°) Vj+1 = VjWj, jEZ и
(5°) /(Ж)еУ^/(2т)Е Vj+1, jGZ.
Теперь предположим, что существует такая функция ф Е Vq, что
Ш" - ^ : к € Z}(5.1.5)
является базисом Рисса Vq с границами Рисса А и В (см. (3.6.7)). Тогда, положив
ф4Дх} := 2^2ф(^х - к),(5.1.6)
из формул (5.1.4), (5.1.1) и вышеприведенного условия (5°) следует, что для каждого jEZ семейство
{Фз,к : к Е Z}
также является базисом Рисса Vj с теми же самыми границами Рисса А и В. Как следствие, подпространства Vj также обладают свойством: (6°) J(x) Е Vj У} f^x + ^j) € Vj, j E Z.
Мы видим, что для построения вэйвлета ф мы все время приходим к заключению о существовании вложенных последовательностей {Vj} подпространств Z2(R), удовлетворяющих условиям (1°)-(5°). Итак, эти свойства могут быть рассмотрены как необходимые условия для существования вэйвлета ф. Техника, которую мы будем изучать, в первую очередь, состоит в построении так называемой масштабирующей функции ф Е £2(R), которая «порождает» последовательность замкнутых подпространств L2(R) (которые мы также будем называть Vj, подразумевая, что эти подпространства больше не определяются (5.1.4) с помощью некоторой ф,
существование которой еще предстоит исследовать). Дадим следующее, более точное определение.
Определение 5.2. Функция ф G Z2(R) называется масштабирующей функцией, если подпространства Vj из L2{R), определенные формулой
Vj := с1о8р2(к)(Фэ,к : к G Z), j 6 Z, (5.1.7)
(где использовано обозначение (5.1.6)) удовлетворяют условиям (1°), (2°), (5°) и (6°), установленным выше в этом параграфе, и если {ф(- — к) : к G Z} является базисом Рисса Vo- Мы также говорим, что масштабирующая функция ф порождает кратномасштабный анализ {Vj} пространства
Замечание. Если ф € L2 (R) — масштабирующая функция, которая порождает KMA {V}} пространства A2(R), то последовательность вложенных подпространств {V}} из КМ А с необходимостью удовлетворяет условию (3°). Доказательство этого факта требует некоторого труда и не будет здесь обсуждаться. (См. (7.2.29) в доказательстве леммы 7.13 главы 7). Кроме того, всегда можно ввести дополняющие подпространства Wj, как в (4°). Однако мы будем всегда предполагать, что эти подпространства выбраны «соответствующим образом» для всех ; G Z. Например, если Wo±Vb> то мы требуем, чтобы Wj±Vj, j G Z В общем случае, если Wq порождено некоторым ф в смысле (5.1.1) для j = 0, то мы предполагаем, что все другие подпространства Wj порождены аналогичным образом тем же ф. В итоге мы будем предполагать выполнение всех условий (1°)-(6°) для любого KMA {V}} пространства £2(R).
Если ф порождает КМА, то так как ф 6 V) принадлежит также Vi и так как {фць : k € Z} является базисом Рисса Vi, существует единственная ^-последовательность {р^},
которая описывает двухмасштабное соотношение
ОО
ФИ = 52 РкФ^ж~^(5.1.8)
к= —оо
для масштабирующей функции ф. (См. (4.3.1) и (4.3.3)-(4.3.4) о двухмасштабном соотношении для базисного В-сплайна т- го порядка.) Эта последовательность называется двухмасштабной последовательностью для ф. В соответствие с этой ^-последовательностью введем обозначение
- ОО
РИ = РФИ ;=- £(5Л'9>
к=—оо
которое тем отличается от обозначения символа в (4.5.9), что здесь при определении Р используется нормирующая константа j. Эта нормировка упрощает следующую формулировку в терминах преобразования Фурье:
ФИ = РИФ (^), г = е-^/2,(5.1.10)
тождества (5.1.8). Мы будем называть Р = Рф двухмасштабным символом масштабирующей функции ф.
Для того чтобы иметь возможность вывести некоторые желательные свойства масштабирующей функции ф пространства L2(R), и позже — соответствующего вэйвлета ф и двойственного вэйвлета ф, мы сделаем следующие предположения о ф и его двухмасштабной последовательности:
U1) ФеьЧН-У
оо
М2)52 Ф^х ~ М = !, п-в-;
к=—оо
М3){р^} el1.
Предположение (А2) называется свойством «разбиения Единицы» для ф. Это стандартная (хотя и не необходимая) гипотеза для вывода свойства плотности подпространств Vj в
(2°). (См. доказательство теоремы 4.16.) Заметим, что любой В-сплайн удовлетворяет (А2). Предположение (А1) означает, что ф - непрерывная функция в R, как это гарантировано теоремой 2.2 (б). Из следствия 2.27 и формулы суммирования Пуассона в (2.5.11) вытекает, что (А2) является результатом следующих условий на ф:
(5.1.11)(5.1.11)М = 1,ф(2лк) = 0, 0 7^ к € Z.
(5.1.11)
(5.1.11)
(См. (4.5.5) для описания с более качественной стороны В- сплайнов m-го порядка.) В общем случае, так как ф порождает базис Рисса Уф то из (5.1.8) и нормировки ф(0) = 1, (А2) уже имеет место. В заключение предположение (АЗ) гарантирует, что Р = Рф есть непрерывная функция на единичной окружности \z\ = 1. Это очень слабое предположение; и в применениях нас будут интересовать конечные последовательности так, что соответствующие Р = Рф будут многочленами Лорана. Добавочное предположение будет сделано в следующем параграфе.
Из непрерывности Р = Рф при \z\ = 1, первого условия в (5.1.11), применяя (5.1.10), мы имеем
<5ЛЛ2)
к
С другой стороны, из предположения, что ^ф(- — к) : к € Z} является базисом Рисса Vo, и из второго условия в (5.1.11) следует, чтО P(z) удовлетворяет также равенству
Р(-1) = 1 ^(-1)^ = 0.(5.1.13)
к
Действительно, по теореме 3.24 и из непрерывности ф мы имеем
^|^(т + 2тгА:)|2 > А> 0, жеН, к
так что ф((2/со + 1)тг) ^ 0 для некоторого ко G Z; и, следовательно, вычисление обеих частей (5.1.10) при ш = 2(2fco + 1)тг дает (5.1.13). Конечно, утверждением, эквивалентным (5.1.12) и (5.1.13), является
^P-ik = J2P2fc+l = 1-^P-ik = J2P2fc+l = 1-(5.1.14)(5.1.14)кккк
^P-ik = J2P2fc+l = 1-
^P-ik = J2P2fc+l = 1-
(5.1.14)
(5.1.14)
кк
кк
Мы замечаем, что при повторном применении (5.1.10) другим следствием непрерывности ф и условия ^i(O) = 1 является утверждение, что при п —> оо
Аш) = (nP(=-“/2*)U(^)(5.1.15)
,к=1
Пр^“/2'ь weR’
к=1
в каждой точке при условии сходимости бесконечного произведения. Мы вернемся к доказательству этой сходимости после рассмотрения следующего примера.
Пример 5.3. Для S-сплайна m-го порядка Nm мы имеем
(1 ।\ т(1 ।\ т(5.1.16)(5.1.16)
(1 ।\ т
(1 ।\ т
(5.1.16)
(5.1.16)
1 / 1 -1 - е"^!21 - е-^/2" 1 \m
^mn I 1 — g—гш/2 j _ g—гш/22J g—гш/2п )
1 / | _ g—»w \ m/ i _ g-гш X m
2771П | _ g—гш/2п Jу iw J
при n —> oo, и этот предел соответствует определению Nm^co)
в (3.2.16).
Ввиду предыдущего сплайн-примера мы сосредоточим наше внимание на двухмасштабных уравнениях с управляющими последовательностями {р^}, заданными формулой
где N — некоторое положительное целое, 5(1) — 1 и 5(z) — достаточно гладкая функция на единичной окружности |z| = 1. Точнее, мы рассматриваем следующее определение.
Определение 5.4. Ряд Лорана Р^ вида (5.1.17) называется «допустимым двухмасштабным символом», если S является непрерывной функцией на единичной окружности, удовлетворямпцей условиям:
5(1) = 1 и
L°°(0,2%)-модуль непрерывности 8(е"гш) как функции ш, в соответствии с формулой (2-4-23), имеет порядок О(р“) для некоторого а, 0 < а < 1, при у —> 0+.
Для любого допустимого двухмасштабного символа Р с множителем 5, как в (5.1.17), рассмотрим границы Bj = Bj(S) и bj = bj(S), определенные формулами
Bj = Bj(S) := sup
(5.1.18)
bj = bj(S) := jlog2Bj = ^—-InBj.
Мы имеем следующий результат о сходимости бесконечного произведения.
Теорема 5.5. Пусть Р—допустимый двухмасштабный символ вида (5.1.17). Тогда бесконечное произведение
ОООО(5.1.19)
ОО
ОО
k=i
сходится в каждой точке к некоторой функции д. Более того, для любого положительного целого по существует положительная константа Спо такая, что предельная функция g удовлетворяет неравенству
\g^\<Cno{l + \m\rN+b^, ^R,
(5.1.20)(5.1.20)где Ьпо определено в (5.1.18). В частности, если существует некоторое по такое, что bno < N — ^, то существует функция ф € I2(R) такая, что ф = д, ^(0) = 1, и ф удовлетворяет двухмасштабному соотношению (5.1.10).
(5.1.20)
(5.1.20)
Доказательство. Для любого фиксированного ш, так как 5(1) = 1 и L°°(0,27r), модуль непрерывности 5(е-гш) есть величина порядка 0(77°),0 < а < 1, мы имеем
Отсюда, так как JSd^l0/^0) < со и
П |6(е-"/2‘)| = exp ( £>g|l - (1 - Ste-™/2*))! )
= exp|o(f;^')),(5.1.21)
следует, что бесконечное произведение
ООООк=1к=1сходится. Поэтому, ввиду примера 5.3, бесконечное произведение в (5.1.19) сходится для любого ш.сходится. Поэтому, ввиду примера 5.3, бесконечное произведение в (5.1.19) сходится для любого ш.Для получения оценки (5.1.20) мы сначала заметим, снова из примера 5.3, чтоДля получения оценки (5.1.20) мы сначала заметим, снова из примера 5.3, что/sinм=<C'(l + M)-\ (5.1.22)у Си/ Z у/sinм=<C'(l + M)-\ (5.1.22)у Си/ Z уЗатем, любому фиксированному ш соответствует единственное n G Z такое, что 271-1 < 1 + |ш| < 2П. Итак, с одной стороны, так как |w/2fc| < 1 для всех к > п, вышеприведенная оценка даетЗатем, любому фиксированному ш соответствует единственное n G Z такое, что 271-1 < 1 + |ш| < 2П. Итак, с одной стороны, так как |w/2fc| < 1 для всех к > п, вышеприведенная оценка даетООООfc=n-hlfc=n-hlгде С" зависит от ш. Отсюда, с Сш := С'С", мы заключаем, используя (5.1.22), чтогде С" зависит от ш. Отсюда, с Сш := С'С", мы заключаем, используя (5.1.22), что|9(Ш)| < С"'(1 + МГ" П |S(e-"/2‘)|.fc=l|9(Ш)| < С"'(1 + МГ" П |S(e-"/2‘)|.fc=l(5.1.23)(5.1.23)С другой стороны, используя (5.1.18), мы имеем для любого положительного целого по и для всех больших п > 0С другой стороны, используя (5.1.18), мы имеем для любого положительного целого по и для всех больших п > 0П |S(^”/2*)I =к=1П |S(^”/2*)I =к=1(5.1.24)(5.1.24)по2попП |S(e-iw/2k)| J] ^(е-^)!П |S(e-^/2A)|к=1А=по+1*=Ы”о+1/ RLnoJ / Гр/по— ^по^по 2^ ^по-°по •по2попП |S(e-iw/2k)| J] ^(е-^)!П |S(e-^/2A)|к=1А=по+1*=Ы”о+1/ RLnoJ / Гр/по— ^по^по 2^ ^по-°по •
ОО
ОО
к=1
к=1
сходится. Поэтому, ввиду примера 5.3, бесконечное произведение в (5.1.19) сходится для любого ш.
сходится. Поэтому, ввиду примера 5.3, бесконечное произведение в (5.1.19) сходится для любого ш.
Для получения оценки (5.1.20) мы сначала заметим, снова из примера 5.3, что
Для получения оценки (5.1.20) мы сначала заметим, снова из примера 5.3, что
/sinм
=<C'(l + M)-\ (5.1.22)
у Си/ Z у
/sinм
=<C'(l + M)-\ (5.1.22)
у Си/ Z у
Затем, любому фиксированному ш соответствует единственное n G Z такое, что 271-1 < 1 + |ш| < 2П. Итак, с одной стороны, так как |w/2fc| < 1 для всех к > п, вышеприведенная оценка дает
Затем, любому фиксированному ш соответствует единственное n G Z такое, что 271-1 < 1 + |ш| < 2П. Итак, с одной стороны, так как |w/2fc| < 1 для всех к > п, вышеприведенная оценка дает
ОО
ОО
fc=n-hl
fc=n-hl
где С" зависит от ш. Отсюда, с Сш := С'С", мы заключаем, используя (5.1.22), что
где С" зависит от ш. Отсюда, с Сш := С'С", мы заключаем, используя (5.1.22), что
|9(Ш)| < С"'(1 + МГ" П |S(e-"/2‘)|.
fc=l
|9(Ш)| < С"'(1 + МГ" П |S(e-"/2‘)|.
fc=l
(5.1.23)
(5.1.23)
С другой стороны, используя (5.1.18), мы имеем для любого положительного целого по и для всех больших п > 0
С другой стороны, используя (5.1.18), мы имеем для любого положительного целого по и для всех больших п > 0
П |S(^”/2*)I =
к=1
П |S(^”/2*)I =
к=1
(5.1.24)
(5.1.24)
по2поп
П |S(e-iw/2k)| J] ^(е-^)!П |S(e-^/2A)|
к=1А=по+1*=Ы”о+1
/ RLnoJ / Гр/по
— ^по^по 2^ ^по-°по •
по2поп
П |S(e-iw/2k)| J] ^(е-^)!П |S(e-^/2A)|
к=1А=по+1*=Ы”о+1
/ RLnoJ / Гр/по
— ^по^по 2^ ^по-°по •
Так как
п-1< log2(l + |ш|) < п,
то
ТЭП/по /n10g2(1+l^l)1^n° _I I, ,пЬпп
Отсюда при СПо = С"'С%0С%'0 утверждение в (5.1.20) является следствием (5.1.22) и (5.1.24).
Если bno < N — |, то из (5.1.20) мы видим, что д G L2(R); и ввиду Т2(Н)-изометрии преобразования Фурье, установленной в теореме 2.17, мы имеем д = ф для некоторой ф € L2(R). Сверх того, ясно из оценок (5.1.21) и (5.1.22), что ф € С, так что ф(0) = д(0) = Р(1) = 1, и
0°
Р^^ф = Р^^ J} P(e"W2i+1) k=i ОО
= Пр(е~“/2,!)к=1
= ФМ-
Это завершает доказательство теоремы.□
Заметим, что вышеприведенная теорема не дает никакой информации о гладкости ф и о том, порождает ли она или нет базис Рисса Vo- Действительно, не накладывая дополнительных условий на двухмасштабный символ Р, очень трудно сделать заключение относительно того, порождает ли масштабирующая функция ф базис Рисса Vq. Обсуждение этой проблемы откладывается до главы 7, где требуется, чтобы {</>(■ — к) : к G Z} было ортонормированным семейством. Ниже нас будет интересовать только гладкость масштабирующей функции ф.
Теорема 5.6. В предположениях теоремы 5.5, если
b := inf{6j : J > 1}(5.1.25)
удовлетворяет неравенству b < N — 1, то предельная функция g в (5.1.19) принадлежит L2(R) П L^R), и функция ф Е £2(R), удовлетворяюгцая равенству ф = д, как это установлено в теореме 5.5, принадлежит ^(R), где 0 — наибольшее целое, строго меньшее, чем N — b — 1. Более того, для любого а > 0 такого, что 0 < 0 + а < N — b — 1, ф^ удовлетворяет равенству:
sup sup \ф^х + h^ — <^(ж)| = О(т/“), у -> 0+.
0<h<r) г£Н
Определение 5.7. Класс всех функций f Е С = C(R), удо- влетворяюгцих равенству
sup sup |/(ж + h) — /(ж)| = О(т?а), у -> 0+,(5.1.26)
0</i<r/ х£Н
где 0 < а < 1, обозначается Lip а; и класс функций f £ Ст = Cm(R); где т — положительное целое такое, что J^ Е Lip а, 0 < а < 1, будет обозначаться как Lipm а.
Доказательство теоремы 5.6. Выберем положительное целое по такое, что
O<0d-ot<N — bno — 1.
Заметим, что по определению 0 мы имеем 0 < а < 1, и, ввиду (5.1.20) в теореме 5.5 мы видим, что
(1 + М)^|^М| < Спо(1 + И)-1-".(5.1.27)
В результате теорема Лебега о сходимости позволяет нам продифференцировать под знаком интеграла формулу
/3 раз, откуда ф € С^ и
ф№^ = ±^е^шф(ш^ц).(5.1.28)
2тг
Теперь из оценки
|е^+О^ -е^| < min(2, 1^1)
< г1-"^"! <2|/г|а(1 + |ш()“,
вместе с (5.1.27) и (5.1.28) следует, что
|^)(Ж + А) _ ф^^<1- Г |^|е’^+^ - e^WAdw2тт J—оо
<с„0^ Г (1 + \ш\У^-к^°дш,^ J—ОО
где интеграл конечен, так как /3 + a — N + bo < — 1. Следовательно, мы доказали, что ф Е Lip^ a.□
Масштабирующие функции
с конечными двухмасштабными соотношениями
В этом параграфе мы ограничиваем наше внимание двухмасштабными соотношениями (5.1.8), описанными конечными суммами. Очень важным следствием такого ограничения является тот факт, что соответствующие масштабирующие функции с необходимостью имеют компактные носители. Поэтому, как мы увидим в этом параграфе, графически-изобра- зительный алгоритм для В-сплайнов в параграфе 4.3 также может быть применен для рисования графика любого причинного ряда
/(ж) = ^агф^х-С),(5.2.1)
£
где ф — любая из таких масштабирующих функций, в реальном времени. Мы также будем изучать класс всех масштабирующих функций с конечными двухмасштабными соотношениями, которые порождают тот же кратномасштабный анализ, и исследовать функции с наименьшим носителем. Это важно при показе базисной структуры исследуемого КМА, и масштабирующие функции с наименьшим носителем будут инструментом для построения вэйвлетов, обладающих таким же свойством. Будет ясно, что масштабирующие функции ф с наименьшим носителем и соответствующие им вэйвлеты ф имеют самые короткие последовательности восстановления, используемые в алгоритмах вэйвлет-восстановления. (Более подробно см. §5.4.)
Пусть ф — масштабирующая функция, описываемая двухмасштабным соотношением
Nф
(5.2.2)(5.2.2)Ф^ =~ к^ Р^Р^Ф ^ °-
(5.2.2)
(5.2.2)
к=0
мы будеммы будемКогда не возникает возможных недоразумений, опускать индексы ф внизу и вверху, а именно:
мы будем
мы будем
(5.2.3)(5.2.3)'Рк -Р^' N-Nф.
(5.2.3)
(5.2.3)
Мы замечаем, что, изменяя индекс в рк, любое конечное двухмасштабное соотношение может быть записано в виде (5.2.2). Конечно, масштабирующая функция также должна быть сдвинута соответствующим образом.
Остановимся сначала на случаях ^ = 0,1 в (5.2.2).
Для Мф = 0 мы имеем, учитывая (5.1.12):
ф(х) = 2ф(2х"),
так что двухмасштабный символ есть Р^ = 1, и бесконечное произведение в (5.1.19) есть д(ш) = 1 для всех ш. Итак, если д = ф, то ф должна быть дельта-распределением.
Для Мф = 1, используя (5.1.14), мы имеем:
ф^х) = <^(2ж) + ф(2х — 1),
то же самое двухмасштабное соотношение, что и для В-сплай- на первого порядка Ni в (4.3.4). Итак, ф = Ny.
Поэтому мы всегда будем предполагать, что Ыф > 2. В последующем будет введена итерационная процедура для построения масштабирующих функций ф. Для этой цели мы будем иметь дело только со всюду непрерывными масштабирующими функциями. Можно показать, что при этом добавочном предположении двухмасштабное соотношение для Ыф = 2 должно иметь вид
Фк^ = ^Ф^) + ф(2х - 1) + ^Ф(2х - 2),(5.2.4)
которое совпадает с двухмасштабными соотношениями для В-сплайна TV2; как в (4.3.4) при m = 2, и, следовательно, ф = N2. Для Кф > 3, однако в главе 7 мы будем иметь некоторые очень интересные разновидности. Например, когда Кф = 3, мы, конечно, будем иметь квадратичный В-сплайн N3 с двухмасштабным соотношением
31
N3^ = -7V3(2t) + -^з(2Ж - 1) + -7Уз(2ж - 2) + -^з(2ж - 3).
(5.2.5) Однако существует другая альтернатива, а именно: масштабирующая функция Добеши ф^. определенная соотношением
I а/33 I а/з
ФШ =_ 1)(5.2.6)
+- 2) + -~-ф^(2х - 3).
Более подробно ф^ будет рассмотрена в главе 7. Здесь мы только укажем две важные особенности двухмасштабной по-
следовательности в (5.2.6). Во-первых, как требует (5.1.14), мы имеем
Ро +Р2 =Pi + Рз =Ро +Р2 =Pi + Рз =(5.2.7)(5.2.7)
Ро +Р2 =
Pi + Рз =
Ро +Р2 =
Pi + Рз =
(5.2.7)
(5.2.7)
и, во-вторых,
1 X А
Р^ = 2^Р№(5-2-8)
А:=0
которое удовлетворяет условию допустимости в определении 5.4 с N = 2 и S(z)—тригонометрическим многочленом по ш таким, что S(0) = 1.
Чтобы лучше понять свойства масштабирующей функции ф, мы рассмотрим рекуррентную схему
Фп^) = ^РкФп-1(2х - к), п = 1,2,...(5.2.9)
к
для некоторой подходящей начальной функции фу. Рассматривая трактовку (5.2.9) в виде преобразования Фурье (см. (5.1.10)) и повторяя тот же процесс, что и в (5.1.15), мы имеем
М») =(^) =М») =(^) =(5.2.10)(5.2.10)
М») =(^) =
М») =(^) =
(5.2.10)
(5.2.10)
Следовательно, если Р— допустимый двухмасштабный символ и если преобразование Фурье фо начальной функции фо — непрерывная функция, при ш = 0 удовлетворяющая равенству фо(О) = 1, то по теореме 5.5 левая и правая части (5.2.10) сходятся при любом ш е R, и
lira фп^ = д^,П->00
где д — бесконечное произведение из (5.1.19). Кроме того, если двухмасштабный символ Р удовлетворяет неравенству b < N — 1, где Ьи N даны, соответственно, в (5.1.25) и (5.1.17), то по теоремам 5.5 и 5.6 мы имеем д = ф, где ф € L1(R)nL2(R) принадлежит Lip^a, 0 < ft < 1 и ^ - наибольшее целое, удовлетворяющее неравенствам 0<^ + a<N — b— 1 (см. определение 5.7). Поэтому при этих условиях масштабирующая функция ф может быть получена как предел фп в рекуррентной схеме (5.2.9). Ниже мы дадим набросок доказательства этого утверждения. Ввиду вышеприведенных рассуждений в случаях (а) и (б) мы видим, что для двухмасштабной последовательности, по крайней мере, с тремя отличными от нуля членами В-сплайн второго порядка Ns, будучи непрерывной сплайн-функцией наименьшего порядка, обеспечивает хороший выбор начальной функции в (5.2.9) для получения масштабирующей функции ф. Так что мы рекомендуем следующую рекуррентную схему:
ф(ж) = Нт фп^х^ где п—>оо
* Фп{х) = 52 РкФп-1(ж - к\ п = 1,2,..., и (5.2.11) fc=0
Фо (ж) = Кг^\
В сущности, при выполнении вышеприведенных предположений о двухмасштабном символе Р эта рекуррентная схема равномерно сходится.
Набросок доказательства. Пусть е >0. Так как
ф G L^R), мы имеем
для всех достаточно больших значений М > 0 и
Jim, ||х[-м,м](0п - 9)IIli(R) = 0
для фиксированного значения М. С другой стороны, так как
22e-w/2"e-w/2"мы имеем, применяя ту же оценку, что и в (5.1.24),мы имеем, применяя ту же оценку, что и в (5.1.24),
2
2
e-w/2"
e-w/2"
мы имеем, применяя ту же оценку, что и в (5.1.24),
мы имеем, применяя ту же оценку, что и в (5.1.24),
где 0<T)<N — Ь—1иМ достаточно велико. Окончательно,
периодичностьпериодичностьР^^)Р^^)
периодичность
периодичность
Р^^)
Р^^)
может быть использована для получения формулы
2-п~1ш + ктг/2-п~1ш + ктг/2</ш->0,2</ш->0,
2-п~1ш + ктг/
2-п~1ш + ктг/
2
</ш->0,
2
</ш->0,
и равномерная сходимость следует из того, что | ^>n (ж) —</>($)] < 2^Йп “ ^IIl»(R)- □
Как следствие процесса (5.2.11) мы видим, что ф имеет компактный носитель, и, в сущности, мы можем найти ее носитель точно при условии, что ф непрерывна. Интересно заметить, что на самом деле supp фп монотонно возрастает с
ростом тг. Более точно, в результате простых вычислений мы имеем
supp фо = [0,2],
supp^i= [0, |(2 + ^)] = [о,^],
< Л Го 1 (^N* . Ы М - [а 2+(22-1)^](5.2.12)
supp фз = [0, 2j =22 J ’
, Г„ 2+(2п-1)^1
supp фп = 10, —,
и отсюда, так как Кф > 2,^^^,
supp фп С [0, ^], n = 1,2,...,
а из (5.2.11) и (5.2.12) следует, что
supp ф = [0,^].(5.2.13)
Знание того, что носителем ф является [0,^], согласно (5.2.13), оказывает огромную помощь при вычислении ф(х), по крайней мере во всех двоичных точках ж = fc/^i где j, k € Z. Это очевидно, если мы обратимся к двухмасштабному соотношению (5.2.2). Действительно, если известны значения </>(1), ....ф^ф - 1), то, так как ф^ = 0 для всех к < 0 или к > Кф, соотношения
единственным образом определяют все значения ^>(т) при ж = к/2\ j,k € Z.
Для определения значений ф^к), к € Z мы снова используем двухмасштабное соотношение (5.2.2) с целыми ж. Таким
образом, в матричном обозначении мы имеем
m = Mm,(5.2.14)
где m— вектор-столбец
m;=W^...^^-l^T(5.2.15)
и М — матрица размерности ^ф — 1) х (^ — 1)
M-=\ptj-kW3M^-i,(5.2.16)
где j — индекс строки, а к — индекс столбца. Напоминая, что ф порождает разбиение единицы (см. (А2) в §5.1), мы можем определить значения ф(к), к Е Z, просто находя собственный вектор m в (5.2.14), соответствующий собственному значению 1 и удовлетворяющий условию нормировки
0(1) + ... + ф^ф-1) = 1.(5.2.17)
Пример 5.8. Определим значения фР^.к Е Z, где двухмасштабное соотношение для ф® дается формулой (5.2.6).
Решение. Из (5.2.6) мы имеем Nф = 3, и матрица М в (5.2.16) принимает вид
(5.2.18)(5.2.18)
(5.2.18)
(5.2.18)
Легко видеть, что пространство решений (5.2.14) состоит из
векторов
m = а[1 + V3 1 - V3]T, a Е R.
Итак, из условия нормировки мы имеем a = - и
0?(1) =^(2) =0?(1) =^(2) =(5.2.19)□(5.2.19)□1 + V32
0?(1) =
^(2) =
0?(1) =
^(2) =
(5.2.19)
□
(5.2.19)
□
1 - Vs2
Вычислив значения ф^к>У к Е 7^ легко вычислить
^L зЛЕ7.(5.2.20)
Действительно, интерполяционный графически-изобрази- тельный алгоритм (см. алгоритм 4.7) может быть применен без изменения для вычисления любого причинного ряда
ОО
fiM^^*^”1"^(5-2-21)
£=0
за реальное время при любом фиксированном jo € Z в точках ж = к)^ для любого к Е Z и Д > ^'о^бтсюда, чтобы вычислить </>(fc/2J1) в (5.2.20), мы просто применим этот алгоритм при Д = 0 и а^ = Дд. Конечно, надо положить
. Рт’к~Рк’(5.2.22)
Wm,k = Ф(к)
в алгоритме 4.7 для вычисления (или рисования графика) До в (5.2.21).
Теперь мы обращаемся к изучению класса Ф всех масштабирующих функций ф с конечными двухмасштабными соотношениями, которые порождают тот же самый KMA {И,} пространства L2 (R). Снова без потери общности мы можем предположить, что двухмасштабное соотношение для любой ф Е Ф берется в виде (5.2.2), и, следовательно, по (5.2.13), носителем ф в точности является интервал [0,^]. Итак, ф* Е Ф имеет наименьший носитель тогда и только тогда, когда
Мф. <Nф, фЕ Ф.(5.2.23)
В соответствии с каждой ф Е Ф будем рассматривать автокорреляционную функцию
Рф^~[ ф(х + y)ф(y)dy,(5.2.24)
J —оо
введенную в определении 2.9, и символ последовательности ^Гф(к^, а именно:
Еф^) := Рф(к)хк.(5.2.25)
kez
Очевидно, что Еф удовлетворяет соотношениям
[ Рф^-х) = Еф^х^ ж € К,
<5.2.26)
(supp Еф С \-Пф1Пф^
откуда следует, что Еф является многочленом Лорана. Пусть кф обозначает одностороннюю степень Еф, то есть ^ — наибольшее целое, для которого Еф(кф^ ^ 0. Тогда
П^(г) := г^Еф^(5.2.27)
есть (алгебраический) многочлен от z степени 2кф, и обратный многочлен для П^ дается формулой
1Рф^ :=г2ктф Qy(5.2.28)
Ввиду первого свойства в (5.2.26) ясно, что
П^(г) = П^(г:) при всех z.(5.2.29)
Мы называем П,£ обобщенным многочленом Эйлера—Фробениуса и Еф — обобщенным многочленом Эйлера—Фробениуса Лорана относительно ф. (Напомним, что умножение на константу нормировки используется для перехода к целым коэффициентам в обычных многочленах Эйлера—Фробениуса для В-сплайнов в (4.2.18) и в более общем случае (4.6.6).)
Мы нуждаемся в следующем определении.
Определение 5.9. Пусть zq — нуль (корень) алгебраического многочлена p(z). Мы называем zq симметричным нулем
(симметричным корнем) p(z), если (a) zo/0 и (б) р(—го) = р(-?о) = 0.
Следующая теорема касается масштабирующих функций ф с конечными двухмасштабными последовательностями; напомним, что Рф^ обозначает двухмасштабный символ ф.
Теорема 5.10. Пусти ф Е Ф — некоторая масштабирующая функция, определяемая (5.2.2). Тогда
обе функции Еф^ и ПДз) не обращаются в нули при \z\ = 1;
для всех си Е R^^^^
ОО
Еф(е~^ = Е 1^ + 2^)|2;(5.2.30)
к= —оо
для всех ш 6 R
Д^е"гш/2)рРДе~гш/2)+|РД^^= Еф^У,
(5.2.31)
для всех комплексных чисел z
РфкЩ^Пф<Ц-Ц-1)н>-^Рф(-^^^
= гмф-к*Пф(г^ и
Рф не имеет симметричных нулей, лежащих на окружности |г| = 1.
Доказательство. Тождество в (5.2.30) следует из формулы суммирования Пуассона (2.5.19). Откуда, применяя теорему 3.24, так как {</>(■ — к) : к 6 Z}— базис Рисса Го, мы имеем Еф^е-^ ^ 0 для всех ш € R. В частности, утверждение (а) следует из (5.2.27). Для вывода (5.2.31) мы начнем с (5.2.30) и, применяя формулировку преобразования Фурье
двухмасштабного соотношения (5.2.2), получим
п г/ гШ+2тгА: ~ /ш + 2тгА:\
^(е) = > , рФ^е 2 Ж 5
,\ У
«= —ООz
7 / ш + 4тгА:4“2~7 / ш + 4тгА:4“2~22ОО
7 / ш + 4тгА:4“2~
7 / ш + 4тгА:4“2~
2
2
= |^(е—/2)|2 £ fc = —ОО
Это устанавливает (в). Для доказательства (г) мы обращаемся к формулам
ед = z^P^) и Еф^ = г^ПДг)
при |z| = 1 и проверяем, что (5.2.31) эквивалентно (5.2.32) для z = е-гш^. Теперь, так как обе части (5.2.32) являются целыми функциями (будучи алгебраическими многочленами от z), то они должны быть тождественно равны при всех z.
В заключение, если zq ^ О— симметричный нуль Рф, то из (5.2.32) мы имеем ПД^) = 0, так что |zo| 7^ 1 из утверждения (а).□
Теперь мы готовы охарактеризовать те ф G Ф, которые имеют наименьший носитель.
Теорема 5.11. Масштабирующая функция ф* Е Ф имеет наименьший носитель тогда и только тогда, когда ее двухмасштабный символ Рф» не имеет симметричных нулей.
Доказательство. Пусть задана произвольная ф* е Ф, и рассмотрим факторизацию ее двухмасштабного символа Рф» в виде
Рф- (z) = тпф« ^г^Пф* (z2), (5.2.33)
где тф» и Пф* — многочлены, удовлетворяющие условиям
ТЛф.^) = пф.(1) = 1
(5.2.34)(5.2.34)П0*(О) 7^ О тф* не имеет симметричных нулей.
(5.2.34)
(5.2.34)
Напомним, что supp<^>* = [0,7V^«] и Кф. = degP^- (здесь и в дальнейшем degP означает степень многочлена Р^У Также заметим, что из (5.2.33) и (5.2.34) следует, что Рф* не имеет симметричных нулей тогда и только тогда, когда
degn^* = 0.
ОО52 гп^”, {гп} е I1.ОО52 гп^”, {гп} е I1.Теперь по теореме 5.10 (д), так как Рф» не имеет симметричных нулей, которые лежат на окружности |zj = 1, многочлен Пф» не имеет нулей на этой окружности, так что п^ — аналитическая функция на окружности |z| = 1 и имеет разложение Лорана
ОО
52 гп^”, {гп} е I1.
ОО
52 гп^”, {гп} е I1.
1
Определим функцию ф** € Vq:
ОО
(5.2.35)(5.2.35)Ф^{х) = 52 тпф*^х-пУ
(5.2.35)
(5.2.35)
П = —ОО
Тогда, используя обозначение z = е М^ Мы можем сформулировать (5.2.35) как
<5-2-36)
"'ф*)
или
ФЧ^=МЧФ*Ч^У(5.2.37)
Теперь, применяя оба эти равенства—(5.2.36) и (5.2.37)—и используя двухмасштабное соотношение для ф*, мы получим
”^2)m*-Wn#'(z2,*'(5)
/ Ъф*\ д /
= тф-^ф*^) =тф>(г)пф.(г)ф**
Это показывает, что ф** € Ф и ее двухмасштабный символ дается формулой
Рф“^ = тф.^Пф*^).
Итак, ввиду (5.2.33), мы имеем
Ае^Рф.. = Ае^тф. + degn0* < degm^* + 2degn^* = deg Рф*
Отсюда, если ф* имеет наименьший носитель, то должны выполняться следующие условия: degP^** = degP^* или Де^Пф» = 0, или, что эквивалентно, Рф» не имеет симметричных нулей.
Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что ф* Е Ф и что Рф» не имеет симметричных нулей. Тогда, ввиду (5.2.13), для того чтобы доказать, что ф* имеет наименьший носитель, достаточно показать, что
degP^degP^(5.2.38)
для любой ф Е Ф. Так как ф* Е Ф, мы можем записать, что для некоторой последовательности {sn} £ Р
ф^ = У^ 8пф*(х — п).(5.2.39)
п= —ОО
Формулировка (5.2.39) в терминах преобразования Фурье имеет вид:
(ФН = с^фч^
1 C(zx у s zn z _ -гс/2(5.2.40)
\71= —ОО
Вычисляя дискретное преобразование Фурье от обеих частей (5.2.39), мы видим, что С(г) является рациональной функцией, которая есть отношение (многочленов) символов {<Х^)} и
^ф*(к)У Кроме этого, так как из (5.2.40) следует, что
№2)р№2)рЕф^Еф^2УЕф^Еф^2У
№2)р
№2)р
Еф^Еф^2У
Еф^Еф^2У
мы видим, применяя теорему 5.10 (а), что рациональная функция С*(г) не имеет нулей и полюсов на окружности Н = 1. Теперь давайте напишем
Nф
(5.2.41)(5.2.41)У^ФМ^ = Е ФМгп = дф^а^, П71 = 0
(5.2.41)
(5.2.41)
E^*W^n = Е ФЧ^2п = ^*(^)ф), п71=0
где d, Цф, дф. — такие многочлены , что ^(0) ^ 0, дф- (0) / 0 и ЧФ, Чф* не имеют общих нулей. Тогда из двухмасштабных соотношений для ф и ф*, а также из (5.2.40) следует, что для z = e-w/2
ФИ = ВМФ (-) = сирФИф* (^)
= с<г)ДИрЕ*'<ш)
ф* )
ОД Рф^С^Рф-^ОД Рф^С^Рф-^ФМ,ФМ,
ОД Рф^С^Рф-^
ОД Рф^С^Рф-^
ФМ,
ФМ,
откуда
w =|г)-w =|г)-(5.2.42)(5.2.42)
w =|г)-
w =|г)-
(5.2.42)
(5.2.42)
С другой стороны, из (5.2.41) и нашего предыдущего замечания относительно С^ мы имеем
(5.2.43)(5.2.43)
(5.2.43)
(5.2.43)
ЧфФ^дф*^
Чф^Чф* (^2)‘
Так как дф(х2) и ^‘(z2) взаимно просты и Рф(г) в (5.2.42) — многочлен, мы можем заключить, что многочлен дф*(г)Рф* (z) делится на дф*(г2), так что
9ф* ИРф- (z) = ф)^. (z2),(5.2.44)
где r(z)—некоторый многочлен.
Предположим, что deg дф. > 1, и пусть {zi,..., zp} — нули дф*. Так как дф* (0) ^ 0, то zi,..., zp ^ 0. Кроме этого, так как
^Wl д^}
ОД =(5.2.45)
^ф*ОДп дф*^ п
где дф и дф« взаимно просты и C(z) не имеет нулей и полюсов на окружности |z| = 1, мы замечаем, что ни один из Zj-j = 1,...,р не лежит на |z| = 1. Отсюда существует некоторое jo, 1 < jo < Р такое, что ни одно значение ±z'o квадратного корня от Zj0 не принадлежит множеству {zi,..., zp}. Таким образом, несмотря на то, что каждый из одночленов (z — z'o) и (z + z'o) не является делителем дф»^У их произведение (z-z'o)(z + z'o) = (z2-zJO) — делитель ^*(z2). Поэтому из (5.2.44) следует, что (z2 — Zj0) является делителем Рф*фг\ Так как zj0 ^ 0, то Рф* теперь имеет симметричный корень, а это противоречит нашему предположению. Откуда дф* должен быть константой. Следовательно, мы имеем из (5.2.42) и (5.2.43), что
Р#И = ^(ДР*'И’
а это значит, что Рф > deg Рф*.□
В нашем доказательстве теоремы 5.11 мы вывели несколько полезных свойств любой ф Е Ф, два из которых приводятся в следующей теореме.
Теорема 5.12. Для любых фъфъ € Ф символ С^ последовательности {зп}, связывающей фх и Ф2 в том смысле, что
ОО
ФА^ = 52 8пФ1^-тг),п=—ОО
есть рациональная функция, которая не имеет нулей и полюсов на единичной окружности |г| = 1. Кроме этого, если фх Е Ф имеет наименьший носители, то C(z) — многочлен; таким образом, любая ф^ G Ф есть линейная комбинация целочисленных сдвигов фх Е Ф с наименьшим носителем. В частности, фх Е Ф с наименьшим носителем — единственна.
Доказательство. Первое утверждение было доказано раньше. Если фх имеет наименьший носитель, то по предыдущей теореме двухмасштабный символ Рфх функции фх не имеет симметричных корней. Поэтому из вышеприведенных рассуждений мы замечаем, что Цфх — константа, другими словами, Уфх^ ~ Чфг^ + 0; итак, ввиду (5.2.45) с ф* — фх, С^ является многочленом, и это устанавливает второе утверждение теоремы. В заключение предположим, что обе функции фх и фг имеют наименьшие носители. Тогда по определению Ф и по формуле (5.2.13) мы имеем
supp^x = supp^2 = [O,W01]
Ир
ф-z^ = ^сзФх^х - Ср^О. (5.2.46) з=о
Предположим, что р > 1. Тогда для х Е [IV^ + р — 1, Nфx + р] мы имеем р
0 = фг^ = ^c-M^ - Д = срфх(х -р).
Так как фх не равна тождественно нулю на [^, — 1, ^J, то это справедливо и для фх (• — р) на [^2 +р — 1, Nф1 +р]. Следовательно, Ср = 0, что находится в противоречии с (5.2.46);
а это значит, что
Мж) = СОф1(х).
То есть со = 1 есть следствие равенств ф2(0) = Ф1(О) = 1. □ Закончим этот параграф следующим примером.
Пример 5.13. Для любого положительного целого т В- сплайн m-го порядка Nm является масштабирующей функцией, которая порождает КМ A {V™ : у € Z} пространства L2(R), как это определено в §4.1. Двухмасштабное соотношение для Nm дается формулой (4.3.4), и границами Рисса для Nm являются А — Ат и В = 1, где Ат определена в (4.2.21). Пусть Фт обозначает класс всех ф € Уот с компактными носителями, которые порождают тот же самый KMA {I^^1}. Тогда, так как двухмасштабным символом Рмт Для Nm является многочлен (1 + z)m/2m, который не имеет симметричных нулей, то Nm - единственная функция в Фт, имеющая наименьший носитель.
Не вдаваясь в подробности, заметим, что Nm — единственная функция класса Фт, хотя в общем случае количество элементов Ф может быть бесконечным.
5.3. Разложение L2(R) в прямую сумму
В последнем параграфе мы только рассмотрели масштабирующие функции с конечными двухмасштабными последовательностями. Для развития более общей теории мы допустим, что двухмасштабные последовательности принадлежат вУ (см. предположение (АЗ) в §5.1), так что соответствующие двухмасштабные символы принадлежат так называемому классу Винера.
Определение 5.14. Говорят, что ряд Лорана принадлежит классу Винера W, если последовательности его коэффициентов принадлежит t1.
Так как дискретная свертка двух ^-последовательностей снова является последовательностью из £\ то ясно, что W образует алгебру. Истина состоит в том, что W даже больше чем алгебра, как это видно из следующей хорошо известной теоремы Н. Винера.
Теорема 5.15. Пусть / € W и предположим, что f^ ^ 0 для всех х на единичной окружности |г| = 1. Тогда у также принадлежит W: у € W.
Доказательство этой теоремы, к несчастью, выходит за рамки этой книги. Читатель, который не хочет пользоваться этой теоремой, вполне может ограничиться рассмотрением подкласса рядов Лорана рациональных функций, которые не имеют полюсов на окружности |г| = 1, так как интересующие нас ряды Лорана являются конечными или, по крайней мере, имеют экспоненциальное убывание.
Пусть ф— масштабирующая функция, двухмасштабный символ которой
1 ООw = 2 Ек~—оо
принадлежит W. Напомним, что Рф управляет связью Vq С V1 в том смысле, что
Ф^ = ^РкФк^ - к)(5.3.2)
к
и ф «порождает» Го- Рассмотрим теперь любую другую ^-последовательность ^q^ и ее «символ»
1 ОО
= 2 Е(5.3.3)
к——оо
(который делится пополам так же, как и символ Р). Тогда Q тоже принадлежит ГУ и определяет функцию
<х^ := ^ ЧкФ^Т - ^)(5.3.4)
к
из Vi. Эта функция также порождает замкнутое подпространство Wq таким же образом, как ф порождает Vo, а именно:
Иф := c1oS£2(rj(i/>(-— &) : к 6 Z).(5.3.5)
Аналогично тому, как это делает
Р := Рф(5.3.6)
символ Q управляет связью Иф С Vi в том смысле, что выполняются (5.3.4) и (5.3.5).
Конечно, связь между двумя подпространствами Уо и Wo из V"i должна зависеть от связи между двумя символами Р и Q. Наша главная задача при построении вэйвлетов состоит, по крайней мере, в том, чтобы убедиться, что Vo и Wo являются дополняющими подпространствами V) в том смысле, что
У0ПИф = {0} и Ц = 1ф + Иф. (5.3.7)
Как и в (1.4.4), два свойства в (5.3.7) вместе объединяются в высказывание, что Vi является прямой суммой Vo и Wo, и обозначение
Vi = Уо+Иф(5.3.8)
используется вместо (5.3.7). В последующем мы увидим, что матрица
Mp^V-= р \\(5.3.9)
играет существенную роль при характеристике (5.3.8). Поэтому мы должны рассмотреть детерминант
Ap.q(z) := detMP,Q(z)(5.3.10)
матрицы (5.3.9). Так как Р и Q принадлежат TV и W-—алгебра, то мы имеем также, что
△р^ € TV.
Кроме этого, если Ap,q(2) / 0 при |г| = 1, то по теореме 5.15 мы также имеем
-— eW.
^РА
Итак, при условии fXp.Q / 0 при |z| = 1 обе функции
G^ :=Н^ :=G^ :=Н^ :=Q(~z)Ap.qU) ’-РН)^p,q(z)Q(~z)Ap.qU) ’-РН)^p,q(z)(5.3.11)(5.3.11)
G^ :=
Н^ :=
G^ :=
Н^ :=
Q(~z)
Ap.qU) ’
-РН)
^p,q(z)
Q(~z)
Ap.qU) ’
-РН)
^p,q(z)
(5.3.11)
(5.3.11)
принадлежат классу Винера W. Соображение, по которому рассматриваются функции G и Н в (5.3.11), состоит в том, что матрица МцН, транспонированная к Mg,Hi является обратной для MptQ, а именно:принадлежат классу Винера W. Соображение, по которому рассматриваются функции G и Н в (5.3.11), состоит в том, что матрица МцН, транспонированная к Mg,Hi является обратной для MptQ, а именно:Mp,q^Mg,h^-MqH^ MP,Q^ =Mp,q^Mg,h^-MqH^ MP,Q^ =(5.3.12)(5.3.12)Первое тождество в (5.3.12) эквивалентно двум тождествамПервое тождество в (5.3.12) эквивалентно двум тождествамP(z)G(z) + Q(z)H(z) = 1,Р№(-г) + Q(z)H(-z) = О,P(z)G(z) + Q(z)H(z) = 1,Р№(-г) + Q(z)H(-z) = О,>1 = 1,>1 = 1,(5.3.13)(5.3.13)в то время как второе тождество в (5.3.12) эквивалентно следующему набору из четырех тождествв то время как второе тождество в (5.3.12) эквивалентно следующему набору из четырех тождеств' P^G^z) + P(—z)G(—z) = 1,P(z)H(z) + P(-z)H(-z) = О,' G(z)Q(z) + G(-z)Q(-z) = 0,>Q(z)H(z) + Q(-z)H(-z) = 1, \z\ = l.' P^G^z) + P(—z)G(—z) = 1,P(z)H(z) + P(-z)H(-z) = О,' G(z)Q(z) + G(-z)Q(-z) = 0,>Q(z)H(z) + Q(-z)H(-z) = 1, \z\ = l.(5.3.14)(5.3.14)
принадлежат классу Винера W. Соображение, по которому рассматриваются функции G и Н в (5.3.11), состоит в том, что матрица МцН, транспонированная к Mg,Hi является обратной для MptQ, а именно:
принадлежат классу Винера W. Соображение, по которому рассматриваются функции G и Н в (5.3.11), состоит в том, что матрица МцН, транспонированная к Mg,Hi является обратной для MptQ, а именно:
Mp,q^Mg,h^-
MqH^ MP,Q^ =
Mp,q^Mg,h^-
MqH^ MP,Q^ =
(5.3.12)
(5.3.12)
Первое тождество в (5.3.12) эквивалентно двум тождествам
Первое тождество в (5.3.12) эквивалентно двум тождествам
P(z)G(z) + Q(z)H(z) = 1,
Р№(-г) + Q(z)H(-z) = О,
P(z)G(z) + Q(z)H(z) = 1,
Р№(-г) + Q(z)H(-z) = О,
>1 = 1,
>1 = 1,
(5.3.13)
(5.3.13)
в то время как второе тождество в (5.3.12) эквивалентно следующему набору из четырех тождеств
в то время как второе тождество в (5.3.12) эквивалентно следующему набору из четырех тождеств
' P^G^z) + P(—z)G(—z) = 1,P(z)H(z) + P(-z)H(-z) = О,
' G(z)Q(z) + G(-z)Q(-z) = 0,>Q(z)H(z) + Q(-z)H(-z) = 1, \z\ = l.
' P^G^z) + P(—z)G(—z) = 1,P(z)H(z) + P(-z)H(-z) = О,
' G(z)Q(z) + G(-z)Q(-z) = 0,>Q(z)H(z) + Q(-z)H(-z) = 1, \z\ = l.
(5.3.14)
(5.3.14)
Для разложения L2(R) мы не нуждаемся в тождествах (5.3.14). Однако этот набор тождеств будет решающим при нашем обсуждении «двойственности» в следующем параграфе.
Так как G,H € W, мы можем записать
-1 ОО
Gto = 5 Е
(5.3.15)(5.3.15)П = —ОО
(5.3.15)
(5.3.15)
1 ОО
ям = - Е
п=—ОО
где {Уп}, {^п} € I1 всякий раз, когда Др,^/) ^ 0 на единичной окружности. Теперь мы готовы сформулировать следующий результат о разложении в прямую сумму.
Теорема 5.16. Необходимое и достаточное условие разложимости в прямую сумму (5.3.8) состоит в том, что (непрерывная) функция Z8p,Q нигде не обращается в нуль на единичной окружности |z| — 1. Кроме того, если ^p^q ^ 0 для всех точек единичной окружности |z| = 1, то семейство {ф(- — к) : к Е Z}, определенное через Q(z) согласно (5.3-4), является базисом Рисса 1То, и «соотношение разложения»
ф(2х - £) = i ^ {92к-£Ф(ж - к) + к2к-е'Ф(х -к)}, £eZ, n="°°(5.3.16)
справедливо для всех х Е R.
Доказательство в одном направлении. Мы рассмотрим только наиболее важную часть доказательства. Будем предполагать, что fXp^z^ ?4 0 для всех z, удовлетворяющих равенству |z| = 1. Как следствие, все рассматриваемые последовательности принадлежат Е1, поэтому не стоит беспокоиться при изменении порядка суммирования.
Заметим, что в качестве эквивалентной формулировке (5.3.13) можно взять тождества
Г P^(G^ + G(-z^ + Q^(H^ + H(-z^ = 1,
- G^ + Q^H^ - H^—z^ = 1, \z\ = 1, (5.3.17)
которые, ввиду (5.3.15), могут быть записаны как
\PU'f^92kZZk^Q^
| PU^g^.^^= 1, |^Н 1.
I kk(5.3.18)
Поэтому, положив z = е-гшР и умножая тождества в (5.3.18), соответственно, на ф (^) и гф (^), мы имеем
( Ф (%) = 52 (з2к^2кР(г)ф (^) + h^z^Qp^ (^)) ,
Jк
U (^) е-гш^=^ ^2к-1^кР^Ф ^ + h2k_vz2kQ(z^ (У)) ,
которые эквивалентны
( ф (?) = 52 (№ z"k ф^+^%2к ф^) ’
Iк
тце использована формулировка преобразования Фурье (5.3.2) и (5.3.4). Следовательно, взяв обратное преобразование Фурье от обеих частей в (5.3.19), мы имеем
Г 2ф(2х) = У^(д2кФ^ - к) + h2k
2ф(2х - 1) = J2(ff2fc-i Ф($ - к) + Н2к_г ф<х - /с)). ^‘3‘20^ .к
Ясно, что (5.3.20) эквивалентно (5.3.16). Как следствие: так как ^дк^ и {/г^} принадлежат Р и так как
У1 = c1osL2(r)(</>(2 ■ -к) : к € Z),
мы теперь показали, что Vi С Pq + Wo, так что
Vi = Vq + Wq.
Чтобы доказать, что это прямая сумма, мы рассмотрим
52 а^ф^х — к) + 52 Ькф^х — к) = О,(5.3.21)
кк
где ^а^ и {6^} принадлежат £2. Тогда, применяя двухмасштабные соотношения (5.3.2) и (5.3.4), мы получаем
ЕЕакР4-2к + 52 ^к St-2k f Ф^ж — I) = О, t \ кк/
так что
52 ак Pt-ik + 52 ^к It-ik = 0, £ Е Z, (5.3.22) кк
ссылаясь на тот факт, что ^ф(2-—^ : £ € Z} является базисом Рисса W. Теперь, взяв символы (или «^-преобразования») от обеих частей (5.3.22), мы имеем
A(z2)P(z) + 5(^2)(9(z) = 0,(5.3.23)
где А и В обозначают, соответственно, символы {ад,} и {5^}. Итак, если также заменить z на —z, то, используя (5.3.23), мы приходим к линейным уравнениям
'p^w^aqizW^ = о,
( Р(-г)А^) + Q<.-^B(z2') = 0
с двумя неизвестными A(z2) и B(z2), где матрицей коэффициентов является Mpsq(z), неособенная при всех z на единичной окружности |г| = 1. Отсюда, A(z2) и В (г2) должны равняться нулю, и ^-последовательности {а^} и {Ь^ в (5.3.21) должны быть тривиальными. Это доказывает, что Vq A Wq = {0}.
Для доказательства того, что {тД- - Д) : k е Z} является базисом Рисса Wo, мы будем использовать теорему 3.24. В частности, так как {</>(• — к) : к Е Z} — базис Рисса Vo, мы имеем
О < Л < ^|<До; + 27гА;)|2 < В < оо, w £ R. (5.3.24) к
Из (5.3.4), сформулированной в терминах преобразования Фурье, следует, что
Е \<ш + 2тгА;)|2 = £ ,Q(e^ ^Р UР
кк27
= ЮЫ12Е К7+2^)Г
к
где z = е~ш/2, так что применение (5.3.24) дает
л{ iq(^) j2 + iq(-^) i2} < e+w2 (5-3-25)
к
<B{|Q(< + |Q(-<}.
Так как Q Е W и он непрерывен на окружности |г| = 1, мы имеем
В':= 2 max |Q(z)| < ос.(5.3.26)
1г1=1
С другой стороны, ввиду того что
△p,q(z) = det△p,q(z) = det' Р^ Q(z). Р^ Q(-z)' Р^ Q(z). Р^ Q(-z)^0, \z\ = 1,^0, \z\ = 1,
△p,q(z) = det
△p,q(z) = det
' Р^ Q(z)
. Р^ Q(-z)
' Р^ Q(z)
. Р^ Q(-z)
^0, \z\ = 1,
^0, \z\ = 1,
мы видим, что обе функции Q(z) и Q(-z) не могут обращаться в нуль при одном z на единичной окружности и, следовательно, снова из непрерывности Q на окружности \z\ = 1, мы имеем
(5.3.27)(5.3.27)А' := min(|Q(z)|2 + |Q(-z)|2) > 0. |z|=l
(5.3.27)
(5.3.27)
Поэтому из (5.3.25), (5.3.26) и (5.3.27) следует, что
АА' <^№^^<<ВВ\ w€R, (5.3.28) к
или {^(^ — к) : к g Z} является базисом Рисса Wq.□
Мы теперь должны немного остановиться и прокомментировать разложение L2(R) в свете теоремы 5.16.
Замечание 5.17. Пусть ^.p,Q + 0 для всех z единичной окружности, определим
W^=c\osL4^W к^Ъ\ jeZ. (5.3.29) Тогда, ввиду определения Vj, ] С Z и утверждения Vj = Vo+IVo в теореме 5.16, мы имеем
Vy+1 = VjPWj ) е Z.(5.3.30)
Отсюда, так как {V)}—KMA T2(R), следует, что семейство {И^} образует разложение Ь2(И) в прямую сумму, а именно:
L2(R) = ...+WC1+W0+....(5.3.31)
Кроме того, соотношение разложения (5.3.16) приводит нас к алгоритму разложения, писанному (1.6.9) с а^ = д~к и bk = h-ь и пара двухмасштабных соотношений (5.3.2) и (5.3.4) — к алгоритму восстановления, описанному формулой (1.6.10). (Вывод этих подробностей относительно алгоритмов разложения и восстановления будет дан в следующем параграфе.) Однако из самого скромного предположения, что ^p,q / 0 при |^| = 1, невозможно сделать никаких заключений для частотно-временного анализа.
Из (5.3.3) следует, что
f ф^Дх = Е Qk / Ф(2х — к^Дх (5.3.32) 4-оок=-оо -о°
1 сю
= 2 Е 9^(0) = Q(1).
к=—оо
Как обычно, пусть
^(ж) := 2^2ф^х- к).
Тогда теорема 5.16 говорит, что для каждого j € Z семейство VPj,k : к € Z} является базисом Рисса Wj. Однако все семейство {фрк : j,k € Z} не обязательно является базисом Рисса L2(R). Действительно, как показано в главе 3, для функции гр, которая порождает базис Рисса в T2(R) такой, что ^ — непрерывна, ее интеграл по (—со, со) должен быть равен нулю, и, ввиду (5.3.32), необходимым условием является
(5.3.33)(5.3.33)Q(l) = 0.
(5.3.33)
(5.3.33)
Даже если гр будет порождать базис Рисса Z2(R), гр может и не быть вэйвлетом (или, более точно, К- вэйвлетом), так как должен быть еще исследован вопрос о существовании двойственного гр для гр. (См. определение 1.5 и пример в (1.4.1) Til-функции, которая не имеет двойственного.) Напомним, что в любом представлении в виде ряда
/ (ж) = 52 с^к’ / е ^2 (R),
зЛ
требуется двойственное гр функции гр для извлечения частотно-временной информации об J из значений коэффициентов Cj^ (см. § 1.4 и теорему 3.27).
5.4. Вэйвлеты и их двойственные
Мы продолжим наши рассуждения о разложении L2(R), и распространим наши усилия с тем, чтобы убедиться, что эти разложения являются вэйблет-разлоаюениями. Как указано в замечании 5.17, для этого функция гр, управляемая рядом
Лорана Q е W, согласно (5.3.4), должна быть вэйвлетом с некоторым двойственным вэйвлетом ф. В частности, Q должен удовлетворять (5.3.33). Напомним, что двухмасштабный символ Р = Рф £ W также должен удовлетворять условиям (5.1.12) и (5.1.13). Отсюда Р и Q с необходимостью удовлетворяют условиям
(5.4.1)(5.4.1)JP(1) = 1 и Р(-1) = 0,(Q(i) = o.
(5.4.1)
(5.4.1)
Пусть G и Н — ряды Лорана, определенные формулой (5.3.11). Тогда мы имеем G,H G W и четыре ряда Лорана P,Q,G,H удовлетворяют тождествам в (5.3.13). Поэтому из этих тождеств и из (5.4.1) вытекает, что G также должен удовлетворять условиям
G*(l) = l и G*(-l)= 0,(5.4.2)
где обозначение
(5.4.3)(5.4.3)G*(z) :=G(z) = gQ) , |г| = 1,
(5.4.3)
(5.4.3)
используется для наших ближайших представлений. Сходство между Р и G*, как это отмечено в (5.4.1) и (5.4.2), наводит на мысль, что
ОО
G*^ = 2 Е 9-пЛ И = Х’ (5А4>
(см. (5.3.15)) также должен быть выбран как двухмасштабный символ некоторой масштабирующей функции, которая порождает по возможности отличный КМ А пространства Z2(R).
Это побуждает к следующей стратегии построения вэй- влетов и их двойственных. Мы начнем с двух допустимых двухмасштабных символов Р = Рф и G* = Оф таких, что обе
функции
^(ш) = П Р(е-гш^к^ и
'(5.4.5)
ФН =С*(е-гш/2 )
к=1
принадлежат Z2(R) (см. определение 5.4 и теорему 5.5). Кроме этого, мы требуем, чтобы ф порождала КМ А {1^} и ф порождала КМА {И,} пространства Z2(R). Тогда, согласно теореме 5.16, выбор двух произвольных рядов Лорана Q и Н, удовлетворяющих неравенствам
^P,Q^ ^ 0 и /кс,н^ ^ 0, |z| = 1,(5.4.6)
даст в результате два совершенно не связанных разложения Z2(R) в прямую сумму. Ввиду рассуждений предыдущего параграфа мы будем использовать первое тождество в (5.3.14), чтобы установить связь между этими двумя разложениями.
Определение 5.18. Говорят, что двухмасштабные символы Р = Рф и G* = G*- «двойственные» друг другу, если они удовлетворяют тождеству
P^G^ + P(-z)G(-z) = 1, \z\ = 1,(5.4.7)
(см. (5.4-3) для установления связи между G* и G).
Следовательно, если два ряда Лорана Q и Н выбраны так, что две неособенные матрицы Мрд^ и Мд н^ обратны ДРУГ другу на окружности |z| = 1, так что
kl = !,kl = !,(5.4.8)тождества(5.4.8)тождестваMp^^z) Мдд^ — MgH(z) Mp^^z) =
kl = !,
kl = !,
(5.4.8)
тождества
(5.4.8)
тождества
то, ввиду (5.3.14) и эквивалентности частей этого (см.также (5.3.12)), мы имеем
Р(г)Я(г) + Р(-г)Я(-г) = О, едо(^) + сыон) = о,(5.4.9)
QlP)H^+Q(-z)H(-z) = l, и = 1.
Конечно, (5.4.8) также эквивалентно
(5.4.10)(5.4.10)' P^G^ + Q^H^z) = 1,
(5.4.10)
(5.4.10)
P^-z^G^HQ^-z^H^ =0, |2| = 1,
(см. (5.3.13)). В этом отношении мы имеем следующую теорему.
Теорема 5.19. Пусть Р u G*, согласно определению 5.18, — двойственные двухмасштабные символы. Тогда ряды Лорана Q и Н usW удовлетворяют (5-4-8) тогда и только тогда, когда они выбраны из класса:
' Q(z) = z~1G(—z)K{z2) и H(z) — zP(—z)K~1(z2), где KeW, с K(z)^0 при \z\ = 1.
(5.4.11) Доказательство. Легко проверить, что любая пара Q и Н из (5.4.11) удовлетворяет (5.4.8). Чтобы доказать обратное, мы будем использовать эквивалентность (5.4.8) и (5.4.10). Итак, применяя правило Крамера, мы можем выразить G и Н через Р и Q, а именно:
=и =|z| = l (5.4.12)
Ap,q(2)^P^z)
(см. (5.3.11)), где ^P,Q^ = P(z)Q^~z) - P<-z)Q(z) ^ 0 при |z| = 1. Так как /Xp^z) = -ZXp,q(-z), мы можем опреде-
К^ := zAP,Q(-z), |zj - 1,(5.4.13)
так что К е W по теореме 5.15 и K(z) ^ 0 при |z| — 1. Теперь (5.4.11) следует из (5.4.12) и (5.4.13).□
Заметим, что по (5.4.2) и по первому тождеству в (5.4.9) пара (G*,H*) удовлетворяет условию
(5.4.14)(5.4.14)G*(l) = 1 и £*(-!) = О,
(5.4.14)
(5.4.14)
Я*(1) =0,
которое является тем же самым набором условий, что и в (5.4.1) для пары (Р, Q). Кроме этого, в нашей стратегии построения вэйвлетов и двойственных вэйвлетов с помощью Q и Н из класса, описываемого формулой (5.4.11), двухмасштабные символы Р = Рф и G* = G^ играют ту же ведущую роль. Следовательно, две пары (Р,Q) и (G*,Я*) являются взаимозаменяемыми. Это называется принципом двойственности и будет обсуждаться позже в этом параграфе весьма подробно.
Поэтому важно изучить во всех деталях два допустимых двухмасштабных символа Р и G*. Согласно определению 5.4, мы можем записать
(5.4.15)(5.4.15)4^) эд.
(5.4.15)
(5.4.15)
И = 1,
где N и N —- положительные целые, S(l) = S(l) = 1 и Р°°(0, 2тг)-модули непрерывности функций ^(е-^) и S(e~iuJ) имеют, соответственно, порядок 0(г)“) и О (?/“), где 0 < о, a < J. В дальнейшем мы будем требовать, чтобы множители S и S в (5.4.15), сверх того, удовлетворяли неравенствам
(5.4.16)(5.4.16)В := maxui=1 |S(z)| < 2N 2
(5.4.16)
(5.4.16)
В := тах|г|=1 |5(г)| < 2N-^,
и будем использовать стандартное обозначения ха для характеристической функции множества А.
Лемма 5.20. Пусть Р u G* — допустимые двухмасшт.абные символы из (54-15), которые удовлетворяют (54-16). Тогда
(5.4.17)(5.4.17)к=1к=1
(5.4.17)
(5.4.17)
к=1
к=1
Доказательство. Так как многие из требуемых оценок похожи на оценки, полученные при доказательстве теоремы 5.5, мы не будем на них останавливаться. Сначала покажем, что
ООz-fк=1ООz-fк=1w G R (5.4.18)w G R (5.4.18)
ООz-f
к=1
ООz-f
к=1
w G R (5.4.18)
w G R (5.4.18)
для некоторого у > 0. Получение этой оценки достаточно просто. Действительно, для любого положительного целого по и всех ш таких, что 2"° < |са|/тг < 2"о+1, из первого предположения в (5.4.16) следует, что
ПоП S(e~"/2‘ПоП S(e~"/2‘/г=1/г=1/|wl\10g2B
По
П S(e~"/2‘
По
П S(e~"/2‘
/г=1
/г=1
< Вп° < Cl 1 + ы
\^ /
< С((1 + |ш|)1082В < С((1 + IcaD^b^
для некоторого тр > 0. Кроме того, для любого К > по мы имеем из условия допустимости
S(e-^)S(e-^)КП Ц + ^е"^)-!)!КП Ц + ^е"^)-!)!Ат=По+1Ат=По+1fc=no + lfc=no + lfe=no + lfe=no + l1 + 01 + 0<с2.<с2.
S(e-^)
S(e-^)
К
П Ц + ^е"^)-!)!
К
П Ц + ^е"^)-!)!
Ат=По+1
Ат=По+1
fc=no + l
fc=no + l
fe=no + l
fe=no + l
1 + 0
1 + 0
<с2.
<с2.
Следовательно,Следовательно,ООООк=1к=1Sle"^2*1) < СхСД! + М)^-^Sle"^2*1) < СхСД! + М)^-^так чтотак чтоДр(е-^‘) к=1Др(е-^‘) к=1sin(w/2)ш/2sin(w/2)ш/2Nа + им-^Nа + им-^
Следовательно,
Следовательно,
ОО
ОО
к=1
к=1
Sle"^2*1) < СхСД! + М)^-^
Sle"^2*1) < СхСД! + М)^-^
так что
так что
Др(е-^‘) к=1
Др(е-^‘) к=1
sin(w/2)ш/2
sin(w/2)ш/2
N
а + им-^
N
а + им-^
< С*(1 + М) ^•
Так как такая же оценка с некоторым ц2 > О справедлива и для G. то мы получаем (5.4.18) с т) = тух + ту2.
Далее мы покажем, что существуют такие С > 0 и ?у > О, что для любого достаточно большого положительного целого п и |ш| < 2птг, мы имеем
ПрД-^/^еД-^)/с=1ПрД-^/^еД-^)/с=1(5.4.19)(5.4.19)
ПрД-^/^еД-^)
/с=1
ПрД-^/^еД-^)
/с=1
(5.4.19)
(5.4.19)
Чтобы получить (5.4.19), мы применим те же аргументы, что и выше, для |w| < 2п7г:
2 8ш(ш/2) 2n+1 sin(w/2n+1)2 8ш(ш/2) 2n+1 sin(w/2n+1)
2 8ш(ш/2) 2n+1 sin(w/2n+1)
2 8ш(ш/2) 2n+1 sin(w/2n+1)
^сд + И-Ьп,
где используются неравенства — |w| < |sinw| < |ш| при усло- 7Г
। । 7Г_
вии, что |ш| < —. Такая же оценка может быть получена и
для G.
Мы теперь перейдем к доказательству (5.4.17). Сначала
заметим, что ввиду (5.4.18) функция
к=1
принадлежит L^R). Пусть е > 0 — произвольно заданное число. Возьмем М > 0 таким, что
[(1 + |ш|)-1-27Мш < е.
J\w\>M
Тогда разобьем интеграл в (5.4.17) на сумму двух интегралов. В интеграле по области |w| < М подынтегральная функция равномерно стремится к нулю, а интеграл по области |w| > М мы ограничиваем суммой двух интегралов, один из которых может быть оценен по формуле (5.4.18), в то время как другой по формуле (5.4.19). Это завершает доказательство леммы. □ Напомним, что два двухмасштабных символа Р и G* приводят нас к двум масштабирующим функциям ф и ф, как в (5.4.5). Хотя ф и ф могут порождать два различных КМА пространства L2(R), они еще могут быть связаны в следующем смысле.
Определение 5.21. Масштабирующие функции фиф, порождающие, возможно, различные КМА {V)} и {V}} соответственно, пространства L^^R), называются «двойственными масштабирующим,и функциями», если они удовлетворяют условию
Ш' - », Ф(" -к)) = / ф(х - ))ф(х - k^dx = 5jik, j, keZ.
J —oo
(5.4.20) Далее мы определим соотношение между двойственными масштабирующими функциями и допустимыми двухмасштабными символами, которые двойственны друг другу.
Теорема 5.22. Пусть Р = Рф и G* = G^ — два допустимых двухмасштабных символа, как определено в (5.4-15). Пусть также фиф — две соответствующие масштабирующие функции, преобразования Фурье которых даются формулой (5.4-5). Если ф и ф — двойственные масштабирующие функ-
ции согласно определению 5.21, mo Р и G* двойственны друг другу в смысле (5.4- 1). Обратно, если Р и G* двойственны друг другу и удовлетворяют (5.4-16), то фиф — двойственные масштабирующие функции.
Доказательство. Пусть ф и ^ — двойственные масштабирующие функции. Тогда для каждого п Е Z мы имеем
1 г00 -— •
^п,о = (Ф, Ф1 - ^)) = — / ф(ш)ф^егтгш6ш^ J —ОО
ОО , л2тг(к-Ц)
= У / ф^Ш^К^
к^оо 27Г
1/*2тг / 00\
= —j I У ф(ш + 2тгк)ф(ш + 2тг&) ) егпшдш,
так что
оо—
У ф(ш + 2тгк^ф(ш + 2тгАт) = 1
п.в.
(5.4.21)
Отсюда, положив z = е гш^ и применяя (5.4.21), мы получаем
1 /*ОО /м\ ~
5п,о =/ PW*W (-) ф (-)eiwdw
^^ J—ооV 2 /\ 2 v
^ + 2тгк^ ф ^ + 2тгк
+ Р(—z^G^—г^ф^-Етср2тгк^ф(^+тгЛ-2кк
етш(1ш
1
[P^G^+P^Gi-z)]
einudcu,
так что ввиду непрерывности Р и G на окружности |z| = 1 мы имеем
P^G^ + P(—z)G(—z) = 1, |z| = 1.
Таким образом, Рф и Сф двойственны друг другу.
Чтобы доказать обратное утверждение, мы зафиксируем
j Е Z и рассмотрим для любого положительного целого п
1 /-2"?г / п\
1„ :=/ П Р(е^ш/2 )G(e^/2 ) e^dw. (5.4.22)
2тг J_2n7r yfc_iу
Затем с помощью замены переменных ж = 2~пш мы имеем
1п = Г (П P(e-ttn~kx)G(e-i2n~kx^ e^dx \fc=i/
= Г ( И P(e-,rtp;^(5.4.23)
27Г/
х PepG^pPUpGH'l^'k-
Теперь, привлекая двойственность Р и G* и совершая замену переменных у = 2т, мы получаем
In = 2"-1— / П P^e-i2"~ ^0<е'йП"к"1^ I eij2n-Xydy
(5.4.24)
=2П-1^ Г ^Пр(е~г2(п1) ^)G(e-i2(ni)”s)^
Отсюда, сравнивая (5.4.24) и (5.4.23), мы имеемIn = In~i- Так как это справедливо для любых целых положительных п, то
In = In_1^...=l0 = L f e^dLu = S3,0.(5.4.25)
Окончательно, применяя лемму 5.20, результат формулы (5.4.25) дает
^Ф^-з)) = Г ФИФМе^аш
“^ J — ОО
= lim In = Iq = 5j о- n—>oo= lim In = Iq = 5j о- n—>ooe-^/2k^G^-iu)/2^ j ^^e-^/2k^G^-iu)/2^ j ^^
= lim In = Iq = 5j о- n—>oo
= lim In = Iq = 5j о- n—>oo
e-^/2k^G^-iu)/2^ j ^^
e-^/2k^G^-iu)/2^ j ^^
□□(5.4.26)(5.4.26)
□
□
(5.4.26)
(5.4.26)
Это завершает доказательство теоремы.
Давайте теперь выберем любые Q и Н из класса функций в (5.4.11). По теореме 5.19 матрицы Mp;q и Mg*,и* обратимы на окружности \z\ = 1 и, следовательно, применима теорема 5.16. В частности, рассматривая функции
где
1 k(5.4.27)
(см. (5.4.3) для аналогичного обозначения G*) и, положив
Фук ^У^да.-кУФук.-куФук ^У^да.-кУФук.-ку(5.4.28)(5.4.28)
Фук ^У^да.-кУ
Фук.-ку
Фук ^У^да.-кУ
Фук.-ку
(5.4.28)
(5.4.28)
так же как
Wj := closj,2(R) (^fc : к € Z),Wj := с^Вьгда^ул : к € Z),
мы имееммы имеемyj+1 = V3 + Wj, jez.yj+1 = V3 + Wj, jez.(5.4.30)(5.4.30)
мы имеем
мы имеем
yj+1 = V3 + Wj, jez.
yj+1 = V3 + Wj, jez.
(5.4.30)
(5.4.30)
Здесь, как обычно,
(5.4.31)(5.4.31)(5.4.32)(5.4.32)Vj := closL2(R)(^ifc : к £ Z),
(5.4.31)
(5.4.31)
(5.4.32)
(5.4.32)
Vj := с1о8^2(К)(^ : к £ Z),
где
' Фз,к := 2з/2фУ--к),\фз,к ^^фУ--к)
с ф и ф — масштабирующими функциями, двухмасштабными символами которых, соответственно, являются Р и G*.
Далее мы покажем, что если допустимые двухмасштабные символы Р и G* двойственны друг другу в том смысле, что удовлетворяется тождество
P^G^ + P(-^)G(-z) = 1, |z| = 1, то {V’j.fc} и {Фз,к) не только двойственны друг Другу, но они также обладают свойством ортогональности.
Теорема 5.23. Пустъ Р = Ра u G* = G* — два до- пустимых двухмасштабных символа, которые удовлетворяют (5-4-16) и двойственны друг другу. Тогда для любых Q,H £ W, выбранных из класса (5-4-И), функции ф,ф,ф и ф, определенные формулами (5.4-5) и (5-4-26), удовлетворяют равенствам
(lpj,k-> ф£,т} ^j,£^k,m ; j-> k, t, ПТ £ Z (5.4.33)
(5.4.34)(5.4.34)^j,k,^3^ = О,
(5.4.34)
(5.4.34)
<4>j,k , ^yt) = О, J, к^ЕЪ,
таким образом VjJ_Wj и VjA-Wj для всех j Е Z.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай j — £ в (5.4.33). В этом случае из третьего равенства в (5.4.9) и из (5.4.21), снова используя обозначение z = е-гш/2, мы имеем
1Г00
Wi.*»^^^V*^(5.4.35)
e-i(k-m^due-i(k-m^du1Г°°/ш\ - /ш\
e-i(k-m^du
e-i(k-m^du
= ТЕ- / Q(^H*W ( ф
е-г^-т^дые-г^-т^ды•2тг•2тг
е-г^-т^ды
е-г^-т^ды
•2тг
•2тг
+ д(-г)Я(-г)^(^ + тг+2^) ^(^+?г + 2^) е ^k
f^ [Q(z)H(z) + Q(~z)H(—z)]e ^к m^dw 2tv Jo
1 f^
1/ e-Wk-m^duj = 5.
2тг Jo
Обращаясь к общему случаю, мы видим, применяя первые два равенства в (5.4.9), что те же преобразования, что были проведены выше, дают также (5.4.34), так что
Отсюда, если j < £, то
^•Л G Wj С Vj+i С Vb
и по первому утверждению в (5.4.36) мы имеем
кФз,к , V^m) = 0, к, m Е Z.
Для j > I могут быть сделаны такие же заключения с использованием второго утверждения в (5.4.36). Это завершает доказательство теоремы.□
Как следствие биортогонального свойства (5.4.33), оба семейства {V’j.fc} и {^дк} ^-линейно независимы. Кроме того, так как
£2(R) =+Ж.1 + 1'У0+И/'1 +(5.4.37)
— ... _р рр_| ф Иф 4- W\ 4- * * * ,
оба семейства ^Фз,к^ и { Vj,/г} — базисы £2(R). В сущности, из условий теоремы 5.23 следует, что оба семейства {i^j.k} и к'Фз^ являются также каркасами £2(R). Мы не собираемся давать доказательство этого факта, так как не имеем в своем распоряжении достаточно простых методов. Применяя теорему 3.20, мы можем теперь заключить, что {^j,/;} и {^у^} действительно базисы Рисса £2(R). Таким образом, мы имеем следующий результат.
Теорема 5.24. Из условий теореми 5.23 следует, что две функции -ф Е Wo и ф Е Wo — бэйвлети, двойственние друг другу.
Следовательно, в соответствии с теоремой 3.27 каждая функция / Е L2[W) имеет два (единственных) представления в виде вэйвлет-рядов:
{
/(ж) = У^’^З^Фрк^ л 1с
~(5.4.38)
/(ж) = ^и^злИзЛ^,
где коэффициенты — это значения ИВП функции / относительно базисных вэйвлетов фиф соответственно, вычисленные в масштабно-временных точках
/ ь 1 \(о, а) =——т
v2-7 /
(см. §1.4 и теорему 3.27).
Поэтому очень важно получить эффективные алгоритмы для нахождения этих значений ИВП от / и для восстановления / по этим значениям ИВП. Оказывается, что двухмасштабные последовательности {g_n} и {/г_п} (двухмасштабные символы которых G* = G^ и Н* даются формулами (5.4.4) и (5.4.27)) могут быть использованы для получения ИВП значений {f^jtk)- Эта вычислительная схема, называемая алгоритмом разложения, есть следствие соотношения разложения (5.3.16) в теореме 5.16. С другой стороны, двухмасштабные последовательности {р„} и {qn} (двухмасштабные символы которых Р = Рф и Q даются формулами (5.3.1) и (5.3.3)) могут быть использованы для восстановления / по ее ИВП значениям (/, ф^к)- Эта вычислительная схема, называемая алгоритмом восстановления, есть следствие двухмасштабных соотношений (5.3.2) и (5.3.4). Если мы хотим использовать ф вместо ф в качестве базисного вэйвлета, то двухмасштабные последовательности {р„} и {gn} используются в алгоритме разложения, в то время как двухмасштабные последовательности {g_n} и {Л_п} — в алгоритме восстановления.
Другими словами, роли пар
«9-ПМЬ_п}) и ({Рп},{9п}) меняются в целях разложения или восстановления, если ИВП информация
заменяется ИВП информацией
{
/ в 1 \ 1 (^Л bj.M : MezJ.
Это называется принципом двойственности в вэйвлет-разло- жении-восстановлении. В результате нет необходимости описывать обе ситуации.
Из этого следует, что мы будем обсуждать только ИВП в (5.4.39), использующее -ф как базисный вэйвлет. Пусть для любой / € L2(R) Jn — некоторая проекция / на Vn для фиксированного N Е Z. Заметим, что эта проекция не обязательно должна быть L2(R) ортогональной проекцией. Мы можем рассматривать Vn как пространство выборки и Jn как данные (или измерения) / в Vn- Так как
Vn = W/v-i + Vy-i
(5.4.40)
= • • • = W/v-i + • • • + WN-m Wn-m
для любого положительного целого М. то Jn имеет единственное разложение:
fN(x) = gN-i(x')+gN-2(x) + - ■■+gN-M(x)+fN-M(x), (5.4.41)
где
(5.4.42)(5.4.42)gAW, j = N — М,... ,N —
(5.4.42)
(5.4.42)
Jn-m(x) Vn-M-
Давайте запишем
fj^ = ^СкФ^^ ” ^) е Vj, с
<к(5.4.43)
, cj := {4)’ к е z
ии9j(x) ™ Т^^Ф^х — к), ск
и
и
<Р := {(/{}, к е Z.
(5.4.44)(5.4.44)Тогда разложение в (5.4.41) единственным образом определяется последовательностями с? и (Р в (5.4.43) и (5.4.44). Важно отметить, что
(5.4.44)
(5.4.44)
(5.4.45)(5.4.45)4 = (Wt/n) (, j,k е Z
(5.4.45)
(5.4.45)
кJ1 *' ( oj * о j / 7‘
— это значения ИВП функции Ду, использующего ф в качестве базисного вэйвлета. Заметим также, что разложение в (5.4.41) зависит от данных. В схемах вэйвлет-разложения и вэйвлет-восстановления, которые будут рассмотрены ниже, мы будем использовать цифровые представления с3, cP для fj(x) и gj^ соответственно.
Для упрощения наших рассуждений (и чтобы избежать возможной путаницы) мы введем обозначения
12^"’12^"’(5.4.46)
1
2^"’
1
2^"’
где {g_n} и {Л-п} —двухмасштабные последовательности, соответствующие двухмасштабным символам G* = G^ и Н*, соответственно (см. (5.4.4) и (5.4.27)). Отсюда соотношение разложения (5.3.16) в теореме 5.16 теперь принимает вид
ф(2ж-£) = ^ {а£-2кФ(х - к) + bt_2ki^x - &)}, leZ. к——оо
(5.4.47)
Теперь давайте построим алгоритмы разложения и восстановления, приведенные в (1.6.9) и (1.6.10) в главе 1.
Алгоритм разложения
'к
С1С1££(5.4.48)(5.4.48)££
С1
С1
£
£
(5.4.48)
(5.4.48)
£
£
d^"1d^"1dN-2dN-2dN-MdN-M
d^"1
d^"1
dN-2
dN-2
dN-M
dN-M
.N.N,7V-1,7V-1cW-2cW-2.N—M.N—M
.N
.N
,7V-1
,7V-1
cW-2
cW-2
.N—M
.N—M
Доказательство. Применяя соотношение разложения (5.4.47), мы имеем
£
££ккu—1u—1ж - к) A b^k Ф^ Yx- к^ж - к) A b^k Ф^ Yx- к^
£
£
к
к
u—1
u—1
ж - к) A b^k Ф^ Yx- к^
ж - к) A b^k Ф^ Yx- к^
к к £
к к £ J
Следовательно, из разложения fj(x) = fj-x^ + <^-1(ж), где Л-1 (ж) и 9j-\^ заданы так же, как в (5.4.43) и (5.4.44), но с заменой з на 3 — 1, вытекает, что
. 1 У ф^ Yx — к)
к к £
-1-1> ф^ Yx — к) = О,> ф^ Yx — к) = О,
-1
-1
> ф^ Yx — к) = О,
> ф^ Yx — к) = О,
££к
£
£
так что (5.4.48) следует, если учесть 12-линейную независимость {^--i^ : к Е Z} и {^-1 к : к Е Z} и тот факт, что У^П^-х^О}. □
Алгоритм, восстановления
4 = 52^-2^ Sk-tt^t Х].(5.4.49)
d^-1
CN-M у CN-M+1 у . . . CW—1 у CN
Доказательство. Применяя двухмасштабные соотношения (5.3.2) и (5.3.4), мы имеем
fj-Y^ +д,-1(ж)=У^[<^ 1 ф^ ^-ty+di 1 ф^3 хж-£)]
=У2 4 1'^2,РкФ^3ж -2£- к)
+ d3e 1 У^ qk ф(23х — 2£ — к)
=5252^ 1Рк-м + 4 1 дк_и)ф(23х - к) I к
=52152^-2^ ^Чк-м^ Х]р(27ж-&)•
Так как /^(яО+ду-Дж) = fj(x), то мы получим (5.4.49), ссылаясь на формулу представления fj(x) .(5.4.43) и /2-линейную
независимость ^фз,к : к £ Z}.
Заметим, что оба алгоритма — алгоритм разложения и алгоритм восстановления — используют схему скользящего среднего (СС) с той особенностью, что для разложения требуется «сгущающая выборка», а для восстановления — «разрежающая выборка ». При сгущающей выборке мы просто сохраняем каждый второй член последовательности на выходе. Более точно, в (5.4.48) сохраняются только члены с
четными индексами и (четные) индексы последовательности на выходе делятся пополам. При разрежающей выборке перед применением схемы СС между каждыми двумя членами последовательностей на входе ставится нуль. Более точно, в (5.4.49) индексы последовательностей на входе {с^-1} и {d^-1} умножаются на 2, и на место членов с нечетными индексами ставятся нули; таким образом, получается новая последовательность на входе (см. (4.3.11), алгоритм 4.7 в главе 4).
Линейно-фазовая фильтрация
Масштабирующие функции и вэйвлеты могут рассматриваться как фильтрующие функции. Если пространство £2(R) представляет пространство всех аналоговых сигналов с конечной энергией и {V)} образует КМА в Z2(R), то выборка аналогового сигнала / 6 L2(R) осуществляется в виде аппроксимации (которая может быть или не быть интерполяцией) из некоторого пространства выборки Vn, где N должно быть выбрано достаточно большим, чтобы избежать неполноценной выборки. Особое значение следует придать тому, что если даже применяется процедура цифровой выборки, то сигнал Jn ё Vn еще является аналоговым сигналом, хотя Jn имеет представление в виде ряда по масштабирующей функции, как это описано в формуле (5.4.43), где последовательность коэффициентов cN = {с^} определена в терминах цифровых выборок. Например, если пространство сплайнов m-го порядка V^ с последовательностью узлов 2~'VZ используется в качестве пространства выборки Vn, то последовательность коэффициентов cN может быть получена с помощью процедуры конечного скользящего среднего и даст нам квазиинтерполянт или интерполянт Jn функции /, как это было изучено в §4.5 и §4.6. В любом случае аналоговая модель Jn € Vn функции / может быть разложена как в (5.4.41), где для каждого j = N — М,..., N — 1 д7(ж) дает локализованную частотно-временную информацию об Jn в
j-й октаве (или частотном диапазоне). Важность такого метода блока фильтров состоит в том, что детали сигнала Jn рассортировываются и хранятся в различных подпространствах Wj пространства Vn для лучшего анализа. Например, при сжатии информации простым переходом к каждой октаве мы можем достичь существенной экономии. Что мы действительно под этим понимаем — это то, что после стирания информации очень малой величины в каждом подпространстве Wj, гораздо меньше информации должно быть сохранено или передано, и при этом алгоритм восстановления, примененный позже, даст хорошее приближение исходного сигнала. Конечно, существует много и других важных применений такого рода. Однако, так как каждая компонента gj должна вносить изменения, мы не будем иметь совершенного восстановления функции, поэтому особое внимание следует уделять возможным искажениям сигнала. Восстановленный сигнал — это не что иное, как вэйвлет-ряд, который в свою очередь означает, что он является результатом линейной фильтрации. Поэтому можно избежать искажений, если фильтр имеет линейную или, по крайней мере, обобщенную линейную фазу.
Определение 5.25. Пусть / € L2(R). Тогда говорят, что / имеет «линейную фазу», если ее преобразование Фурье удовлетворяет равенству
/Н = ±W>-ia“ п.в., (5.5.1)
где а — некоторая вещественная константа и знак 4- или — не зависит от ш. Также говорят, что/ имеет «обобщенную линейную фазу», если
/Н = F^e^'h' п.в., (5.5.2)
где F(uj) — вещественная функция, а и b — вещественные константы. Константа а в (5.5.1) и (5.5.2) называется фазой /.
Пример 5.26. Преобразование Фурье В-сплайна m-го порядка дается формулой
^m(w) —^m(w) —sin(w/2)\m imaj/2w/2 )
^m(w) —
^m(w) —
отсюда Nm имеет линейную фазу при четных m и обобщенную линейную фазу при всех т. Фаза Nm равняется т/2.
Определение 5.27. Пусть {an} е I1 и A(c^) — его дискретное преобразование Фурье (или ряд Фурье). Тогда говорят, что {ап} имеет «линейную фазу», если
А(е-^ = ±\А(е~^\е-™°ш, ш G R, (5.5.3)
где ng € 5Z и знаки + или — не зависят от ш. Также говорят, что {ап} имеет «обобщенную линейную фазу», если
Ate-"^ = FHe_i^°u+b\ w G R (5.5.4) для некоторой вещественной функции F^, hq G |Z и b G R. Значение no в формулах (5.5.3) и (5.5-4) называется фазой имвола {ап}.
Давайте сначала дадим характеристику функциям и последовательностям с обобщенными линейными фазами.
Лемма 5.28.
Функция f G L2(R) имеет обобщенную линейную фазу в смысле формулы (5.5.2), где a,b Е R, тогда и только тогда, когда егЬ/(т) является «кососимметричной» относительно а в том смысле, что
егЬф(а + х) — elbf(a — х), х Е R. (5.5.5)
Последовательность {ап} € ^ имеет обобщенную линейную фазу в смысле формулы (5.5-4), где по Е |Z ub Е R
тогда и только тогда, когда {егЬап} является «кососимметричной» относительно по в том смысле, что
егЬап = etba2no_n, п Е Z.(5.5.6)
Доказательство, (а) Предположим, что / С Т2(Н) удовлетворяет (5.5.2). Тогда
Г°°
/(ж)/(ж)— / FHe-^^e^du
/(ж)
/(ж)
J — ОО
или, что эквивалентно,
егЬ/(а - ж) =егЬ/(а - ж) ='ООF^e-ixu)dm.'ООF^e-ixu)dm.(5.5.7)(5.5.7)
егЬ/(а - ж) =
егЬ/(а - ж) =
'ОО
F^e-ixu)dm.
'ОО
F^e-ixu)dm.
(5.5.7)
(5.5.7)
Так как Р(ш) — вещественная, утверждение (5.5.5) получится в результате приравнивания (5.5.7) своему комплексно-сопряженному значению.
Обратно, если справедливо (5.5.5), то, взяв преобразование Фурье от обеих частей (5.5.5), получим
е*ьДшуаш = e~ib Г Ка- ж^'^жJ —ОО
/(а — x^e^dx = егЬ/(ш)егош.
Отсюда эта величина — вещественная, и мы получаем (5.5.2), взяв эту вещественную функцию в качестве F^.
Предположим, что {an} G ^ удовлетворяет (5.5.4). Тогда мы имеем
е^Пош+6>Л(е-^) = F(w) = FH = е-^01^ А(е"^
или, что эквивалентно,
еЙП0Ше^Л(е~^) = eibA^-^Y(5.5.8)
Следовательно, утверждение (5.5.6) следует из сравнения коэффициентов при егпш в (5.5.8).
Обратно, если выполняется (5.5.6), то мы имеем (5.5.8), и поэтому
gi(nou>4-b)^(g—гш^ _ gi(now+b)^4(g—iw)
и мы обозначаем это вещественное выражение через Еф)\ Это дает (5.5.4).□
Замечание. Обозначение «кососимметричности» в (5.5.5) и (5.5.6) не очень удовлетворительно ввиду необходимости использования комплексной сопряженности. Однако, когда /(ж) — вещественная, ясно, что для выполнения (5.5.5) ег26 также должно быть вещественным, или b = ^irk, где k € Z. Таким образом, (5.5.5) принимает вид
(1°)/(« + ж) — /(а — ж), ж € R (симметрия)
или
(2°)/(а+ ж) = —/(а — ж), жёН (антисимметрия).
Конечно, аналогичное заключение может быть сделано и для вещественных I1 последовательностей.
Теорема 5.29.
Вещественная функция f € L2(R) имеет обобщенную линейную фазу тогда и только тогда, когда она является симметричной или антисимметричной (относительно фазы f).
Вещественная последовательность {а„} € I1 имеет обобщенную линейную фазу тогда и только тогда, когда она является симметричной или антисимметричной (относительно фазы символа {ап}/
Характеристика линейной фазы намного сложнее. Однако, ввиду предшествующих рассуждений (см., в частности, замечание), мы будем рассматривать только вещественные функции и последовательности. Так как фазовое свойство двухмасштабной последовательности непосредственно влияет на фазовое свойство соответствующей масштабирующей функции, мы даем следующую характеристику линейно-фазовых последовательностей.
Лемма 5.30. Вещественная Iх-последовательность {ап} с символом А(е-гш) имеет линейную фазу тогда и только тогда, когда существует некоторое по Е |Z такое, что А(е^ш)е1п°ш — вещественная четная функция, не имеющая смены знака.
Легко доказать этот результат. Однако, если последовательность конечна, то можно сказать несколько больше.
Лемма 5.31. Вещественная конечная последовательность {ап} с носителем [0,7V] имеет линейную фазу тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
ам-п = От п Е 7 и
символ
NA^=yanzn71 = 0
имеет на единичной окружности только нули четного порядка.
Доказательство. По лемме 5.30 вещественная конечная последовательность {ап}, п = 0,..., N имеет линейную фазу тогда и только тогда, когда существует некоторое по Е jZ такое, что функция
РИ := Л(е”^ш)етоШ
— вещественная, четная и не имеет смены знака. С другой стороны ясно, что равенство F(w") = Р^—ш') эквивалентно
N
^ал = Л(е’ш) = е^^А^) п—О
N2по
= Е е^^ = 52 й2гао-п
71—0п—2no — N
что в свою очередь эквивалентно равенствам no = ^N и ам-п = «п Для всех п Е Z. Конечно, вещественная функция Р(си) не имеет смены знака тогда и только тогда, когда ее вещественные нули (если такие имеются) имеют четный порядок; это, в свою очередь, эквивалентно утверждению, что A(z) имеет только нули четного порядка на единичной окружности.□
Теперь мы обратимся к изучению фазовых свойств масштабирующих функций.
Теорема 5.32. Пусть ф масштабирующая функция с двухмасштабной последовательностью {р„} € I1. Пусть также Р ~ Рф обозначает двухмасштабный символ ф. Тогда
ф имеет обобщенную линейную фазу тогда и только тогда, когда
Р(^ = 2”2noP(z), |^| = 1(5.5.9)
для некоторого no G ^Z, и
ф имеет линейную фазу тогда и только тогда, когда
Р(е~^ = |Р(е"^)|е-^°ш,(5.5.10)
где по € |Z.
Доказательство. Если ф имеет обобщенную линейную фазу, то по определению 5.25 мы имеем
ФН = F(w)e-’(aw+b) п.в.
для некоторой вещественной функции Р(ш^ и некоторых а, 5 ё R. Отсюда, ф^ш^ = Р(ш)е^“ш+^ и поэтому
гаш ФУ*^ law p(_—iw/2x
для почти всех ш € R. Это значит, что
по := а ё |z
и выполняется (5.5.9). Если, кроме того, ф имеет линейную фазу, то по определению 5.25 мы имеем b — 0, и F(w^ не меняет знака. Следовательно,
Ф^!^Ф^!^_ —гаш/2 ^У^_ —гаш/2 ^У^F(cj/2)F(cj/2)= е""1т1ош^\Р^ш^\,= е""1т1ош^\Р^ш^\,
Ф^!^
Ф^!^
_ —гаш/2 ^У^
_ —гаш/2 ^У^
F(cj/2)
F(cj/2)
= е""1т1ош^\Р^ш^\,
= е""1т1ош^\Р^ш^\,
что совпадает с (5.5.10).
Обратно, если выполняется (5.5.9), то мы имеем
ОО
(5.5.11)(5.5.11)П Р(е"^/2к
(5.5.11)
(5.5.11)
к=1
оо
е-гш/2к) е~г2пош
U=1
= ^(ш)е-йп°ш
Отсюда функция
FH := е^фН
вещественна и, так как
ФН = Р(шу-^Ш,
ООООООдШ)=Пр(е-"/2‘/с=1ООдШ)=Пр(е-"/2‘/с=1ф имеет обобщенную линейную фазу. Если предполагается справедливость гипотезы (5.5.10), то мы имеем
ОО
ОО
ООдШ)=Пр(е-"/2‘/с=1
ООдШ)=Пр(е-"/2‘/с=1
□□) = ДР^/2*) е~™°ш (5.5.12) fc=i
□
□
так что ф имеет линейную фазу.
Замечание. Как следует из леммы 5.28 (а) и из вышеприведенного рассуждения, для того чтобы масштабирующая функция ф имела обобщенную линейную фазу, необходимо и достаточно, чтобы ф была «кососимметричной» функцией относительно некоторого по £ ^Z в том смысле, что
ф(по + ж) = ф(по — ж) п.в. (5.5.13)
Действительно, чтобы ф имела обобщенную фазу, должно быть выполнено (5.5.9) и, следовательно, (5.5.11), так что ф(ш) = Р(ш)е“гП0Ш для некоторой вещественной функции Р(ш) и некоторого по £ |Z. Следовательно, (5.5.13) следует из леммы 5.28 (а). Обратное утверждение тривиально. □
Если двухмасштабная последовательность {р^} —вещественна и конечна, то, применяя теорему 5.32 и лемму 5.31, мы можем сказать несколько больше, как в следующей теореме.
Теорема 5.33. Пусть ф — вещественная масштабирующая функция, двухмасштабная последовательность {рп} которой является конечной вещественной последовательностью с носителем [0, АД Тогда
ф имеет линейную обобщенную фазу тогда и только тогда, когда pn-п = Рп для всех п ё Z и
ф имеет линейную фазу тогда и только тогда, когда руг—п = Рп для всех п, и все нули двухмасштабного символа Рф на единичной окружности, если такие имеются, имеют четную кратность.
При исследовании фазовых свойств вэйвлетов следует использовать знания об их двухмасштабном символе Q. Например, если масштабирующая функция ф имеет обобщенную линейную фазу, то из двухмасштабного соотношения ф^ш) = Q^e-11*1^2)^^ и определений 5.25 и 5.27 следует, что ф также имеет обобщенную линейную фазу при условии, что последовательность ^q^ имеет обобщенную линейную фазу; аналогичные заключения могут быть сделаны и относительно свойств линейной фазы. Конечно, больше может быть сказано при более тщательном анализе, как и при изучении ф.
Пример 5.34. Рассмотрим В-сплайн первого порядка TVi и соответствующий ему вэйвлет Хаара ф\^ = фн($) := М(2ж) — Ny^x — 1) (см. (1.5.7), (1.1.16) и пример 3.2). Из примера 5.26 мы видим, что 2V1 имеет обобщенную линейную фазу. Так как двухмасштабным символом Q для фу является
Q(^) = |(1 — ^) = ^sin ^ е""г^ш-^\(5.5.14)
где z = е""1^2, мы также видим, что
Ф\Н = Q(z)M(5.5.15)
х Z /10(4
имеет обобщенную линейную фазу, но не имеет линейной фазы.
Заметим, что вэйвлет Хаара фг = фн является ортогональным вэйвлетом с компактным носителем (см. (1.1.16)).
Из следующего результата мы можем заключить, что ф1 является единственным о.н. вэйвлетом с компактным носителем, таким, что соответствующая ему масштабирующая функция имеет линейную обобщенную фазу. (Соотношение между о.н. вэйвлетом ф и соответствующей ему о.н. масштабирующей функцией ф в общем случае будет обсуждено в следующем параграфе, а также в главе 7.)
Теорема 5.35. Пусть ф — масштабирующая функция, управляемая конечным двухмасштабным соотношением
N
^(Ж) = ^2ркф^ - к), ро,Рдг^О,(5.5.16)
fc=0
как в (5.2.2) с N = Пф и pt = Р^- Предположим, что {ф( — к) : к Е Z} является ортонормированным семейством, которое осуществляет разбиение единицы, и ф является кососимметричной в том смысле, что
ф(а + х) = ф(а — х), ж € R(5.5.17)
для некоторого а Е R (см. (5.5.5) в лемме 5.28). Тогда ф должна быть В-сплайном первого порядка.
Доказательство. Как обычно, пусть
РИ = ^и=?
и z = е^гш^. Тогда (5.5.16) эквивалентно
ФН = Р^ф ^, wE R.(5.5.18)
С другой стороны, предположение (5.5.17) эквивалентно
ф(ш)егаш = ^(си)егош, w € R-(5.5.19)
Следовательно, из (5.5.18) и (5.5.19) мы имеем
Лг) = Ж == ?«РЦ)
для \z\ = 1. Так как F(z) — многочлен степени N с отличными от нуля коэффициентами при старшей и нулевой степенях, то следует, что 2о — N и
Р(^) = z”NP^V |z| = 1.(5.5.20)
Давайте теперь рассмотрим гипотезу о том, что {</>(• — /г) : k Е Z} — ортонормированное семейство. По теореме 3.23 это предложение эквивалентно тому, что
|<^ + 2тгА:)2| = 1,(5.5.21)
k= — ОО
так что применение (5.5.18) дает
|Р«|2 + |P(-Z)|2 = 1, И = 1.(5.5.22)
Итак, подставляя (5.5.20) в (5.5.22), мы имеем
+ (-1)” (Р(-г))2 = А |г| = 1.(5.5.23)
Напомним из § 5.2 этой главы: необходимым условием того, чтобы ф была функцией является IV > 0. Следовательно, из (5.5.23) и предположения р^ ^ 0 мы видим, что N должно быть нечетным целым числом. Теперь, положив
'1Л „(5-5-24)
Р°^ = о 22^+1* ’
.к
мы можем написать
P(z) = Ре^ + 2Р0^\P(z) = Ре^ + 2Р0^\(5.5.25)(5.5.25)
P(z) = Ре^ + 2Р0^\
P(z) = Ре^ + 2Р0^\
(5.5.25)
(5.5.25)
и (5.5.22) дает
|Ре« + |Р0« = ^, И = 1.(5.5.26)
Отсюда, применяя (5.5.20) и (5.5.25), мы получаем
Ре(^2) + zP0^ = Р^ = zNP^
= zN[Pe^) + zP0^]
= zNP^+^N-1W), И = 1.
Так как N нечетно, то приравнивание четных и нечетных частей дает
fPe(z2) = ZN-1Po^,
\РоИ =И = 1,
так что
|ре(г)|2 = 1РО«, н = 1.
Применение этого тождества к (5.5.26) позволяет сделать вывод, что
|Р«« = |Р,,« = 1 Н = 1.(5.5.27)
Это возможно только тогда, когда Ре и Ро являются одночленами или
Р^ = ^(ро + Pn zN^ N — нечетное.
(Чтобы проверить справедливость этого утверждения, можно просто перемножить многочлены в (5.5.27) и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях z.) Так как ^ф^- — /г) : к € Z} осуществляет разбиение единицы, мы имеем Р(1) = 1 и Р(—1) = 0 (см. (5.1.12) и (5.1.13)), так что
Р^ =Р^ =22+ ^
Р^ =
Р^ =
2
2
1 _ е-г^iwN1 _ е-г^iwNи, отсюда,
1 _ е-г^iwN
1 _ е-г^iwN
ООфм = пк=1
(см. пример 5.3). Следовательно, ввиду (4.2.9) мы получаем
52 l^4"2^)! -^^2 (ш + 2тгА:)
— ОО
(5.5.28)(5.5.28)sin2(w?//2)
(5.5.28)
(5.5.28)
№ sin2(w/2)
Теперь из (5.5.21) следует, что N = 1. Таким образом, Рф(г) = P(z) = (1 + z)/2, или ф есть В-сплайн первого порядка IVi (см. §5.2). □
Замечание. Хотя мы предположили в (5.5.17), что ф только косо-симметрична, мы показали, что она вещественна и поэтому просто симметрична. Теорема 5.35 говорит о том, что любая масштабирующая функция ф с компактным носителем, которая порождает разбиение единицы и ортонормированное семейство {</>(• — к) : к € Z}, может иметь обобщенную линейную фазу только в том случае, если она почти всюду равняется характеристической функции интервала \к,к + 1) для некоторого целого к.
Вэйвлеты с компактным носителем
Целью этого параграфа является исследование структуры вэйвлетов с компактным носителем. Ввиду необходимости в линейно-фазовой фильтрации при анализе сигналов, как это было рассмотрено в предыдущем параграфе, нас особо интересуют кососимметричные вэйвлеты. (Напомним из §5.5,
что для любой вещественной функции /, ег6/(л:) — кососимметрична для некоторого 6 G R тогда и только тогда, когда / симметрична или антисимметрична.) Следуя стратегии построения вэйвлетов, развитой в §5.5, мы рассмотрим пару допустимых двухмасштабных символов Р = Рф и G* = G*^ которые двойственны друг другу в том смысле, что
Р№^ + P(-z)G(-z) = 1, Н = 1, (5.6.1)
где G*^) = G(z), |г| = 1 (см. определение Ji.18, (5.4.3) и (5.4.4)). Тогда вэйвлет ф и его двойственное ф имеют двухмасштабные символы в том смысле, что
(5.6.2)(5.6.2)Ф^ = Q(e ^‘^Ф^ .ф^ = НЧе-^ф^
(5.6.2)
(5.6.2)
где H*(z) = H^z), \z\ — 1, a Q и Н произвольным образом, но обязательно выбраны из класса, определенного в (5.4.11), а именно:
Н = 1,Н = 1,(5.6.3)(5.6.3)Q(2) = z^G^z) K(z2),
Н = 1,
Н = 1,
(5.6.3)
(5.6.3)
Н^ = zP^-z^K-1^,
где К принадлежит классу Винера W с K(z) ^ О при |z£= 1. Напомним также, что подпространства {V)}, {MJ}, {1^} и {WJ}, порожденные, соответственно, ф, ф, ф и ф^ удовлетворяют соотношениям
(5.6.4)(5.6.4)(5.6.5)(5.6.5)С Ищ С Ио С И сyj+1 = vyw3, jeZ,
(5.6.4)
(5.6.4)
(5.6.5)
(5.6.5)
'•••сИ-хсУоСИс---
\vm = v3 + w3, jez,
и
Гид.И', yez,
< J 35.6.6)
(Vj±H^, j е z.
Кроме того, пары (ф^ ф) и (ф, ф) — двойственные пары в том смысле, что
f((^--fc), ^(--m)) = 5fe m, A:,meZ,
<.(5.6.7)
L ^Фз^1 ^t,m} — ^j^ ^k,m i Ф k, ф TH € Z.
Подробнее это обсуждалось в § 5.4.
Давайте изучим сначала структуру полуортогональных (п.о.) вэйвлетов и, в частности, ортогональных (о.н.) вэйвле- тов (см. определение 3.22). Из теоремы 3.25 ясно, что подпространства Wj и Wj, ) Е Z, порожденные любым п.о., вэй- влетом ф и его двойственным ф, тождественны, а именно: Wj = Wj для всех з Е Z. Следовательно, из (5.1.4) мы также имеем Vj = Vj ддя всех j Е Z, так что масштабирующая функция ф и ее двойственное ф порождают тот же самый КМ А. Действительно, возвращаясь назад к доказательству теоремы 5.22 (см. (5.4.21)), мы видим, что (единственное) двойственное ф для ф дается формулой
,(5.6.8)
£ \ф(ш + 2тгА:)|2к=—оо
(см. (3.6.13) для двойственных п.о. вэйвлетов). Теперь сосредоточим наше внимание на масштабирующих функциях ф с конечными двухмасштабными последовательностями {рп} , а именно:
N
Ф(х) = '^2рпФ(‘2х - п), Ро, Pn О,71=0
где рп = рп и N = Nф, как было определено в § 5.2. Напомним из (5.2.24), (5.2.25) и (5.2.30), что обобщенный многочлен Эй-
лера—Фробениуса Лорана относительно ф
00 Г Г00 1
Е^=Еф^ Е 1 / ^ + У) Ф^У Г <5-6'9)
ООо
Еа / (^\ *
Ф ( 2 + ^к) ,
к=—оо
где г = е~гш/2, не имеет нулей и полюсов на окружности |z| = 1. Поэтому из (5.6.8) следует, что
ФН =(5.6.10)
и, соответственно, двойственное ф масштабирующей функции ф с компактным носителем не имеет компактного носителя, если Е^ не является положительной константой, даже если имеет экспоненциальное убывание. (Конечно, п.о. вэйвлет ф относительно ф еще может иметь конечный носитель.) Сначала мы должны найти двухмасштабный символ G* = G*- для ф. Это может быть легко сделано, применяя (5.6.10) и двухмасштабное соотношение для ф:
а11/Ш\
ФМ == вйРШ ^)
так что
с*и = 1тч\рИ’ 2 = е"“/2-<5-6л1>
Легко также проверить, что для этого G* соотношение двойственности (5.6.1) эквивалентно тождеству (5.2.31) для обобщенных многочленов Эйлера—Фробениуса Лорана. Теперь по
теореме 5.19 и (5.6.11) двухмасштабный символ Q для любого вэйвлета ф относительно масштабирующей функции ф дается формулой
Q^) = z^G^z^K^Q^) = z^G^z^K^(5.6.12)(5.6.12)
Q^) = z^G^z^K^
Q^) = z^G^z^K^
(5.6.12)
(5.6.12)
где К € W с K(z) т^ 0 при |г| = 1 (см. (5.6.3)). Таким образом, у нас есть некоторая свобода в выборе ф. В частности, вэй- влет ф с наименьшим носителем получен выбором допустимого К G W (-^С2) / 0 при \z\ = 1) так, что Q^ — многочлен наименьшей степени. Мы не собираемся продолжать более подробное рассмотрение этого вопроса в общей постановке, но только отметим, что результаты теорем 5.11 и 5.12 относительно двухмасштабных символов масштабирующих функций с минимальным носителем были бы полезны для нашего изучения. Подробное исследование масштабирующих функций, которые являются В-сплайнами, будет дано в § 6.2.
Так как Е — многочлен Лорана, который не имеет нулей и полюсов на окружности \z\ = 1, мы можем выбрать в (5.6.12) К^ = — zE^ так, что двухмасштабные символы Q и Н* для п.о. вэйвлета ф с компактным носителем и, соответственно, для его двойственного ф даются формулами
Q(z) = —гЕ^—г^Р^—гф
(5.6.13)
(См. (5.6.3). Соображение в пользу такого выбора К вместо простого К ~ Е состоит в том, что его нормировка соответствует определению функции Хаара.) Заметим, что если Е не постоянен, то двойственный вэйвлет ф также не имеет компактного носителя, хотя и экспоненциально убывает. Одно преимущество в выборе Q в (5.6.13) состоит в том,
что очень легко определить, имеет или нет вэйвлет ф обобщенную линейную фазу. Действительно, так как конечная последовательность коэффициентов многочлена Лорана S(z) кососимметрична (см. (5.2.26) или (5.6.9)), ясно, что последовательность коэффициентов многочлена Q(z) в (5.6.13) также кососимметрична при условии, что двухмасштабная последовательность {рп} обладает этим свойством. Кроме того, ввиду (5.6.11) и (5.6.13), такое же заключение справедливо для G* и Н*. В частности, для вещественных последовательностей, применяя теоремы 5.32 (а) и 5.33, мы имеем следующий результат.
Теорема 5.36. Пусть (рп} — конечная, симметричная, вещественная двухмасштабная последовательность масштабирующей функции ф. Таксисе пусть ф,ф и ф — п.о. вэйвлет, двойственная масштабирующая функция и двойственный вэйвлет с двухмасштабными символами Q,G* и Н* соответственно, как это дается формулами (5.6.13) и (5.6.11). Тогда ф и соответствующий ей п.о. вэйвлет ф имеют компактные носители, фиф имеют экспоненциальное убывание, и все функции ф, ф, ф и ф имеют обобщенные линейные фазы.
Давайте рассмотрим ортогональные (о.н.) вэйвлеты ф, относящиеся к масштабирующим функциям ф с компактным носителем. Основной подход состоит в построении ортонор- мированной (о.н.) ф в том смысле, что
W - А) : k G Z}
является ортонормированным семейством. Для такой ф из (5.6.9) следует, что обобщенный многочлен Эйлера—Фробениуса Е^ постоянен и равен 1. Поэтому из (5.6.13) мы имеем
Q(z) = -гР(-Д, |Д = 1.
Следовательно, если двухмасштабное соотношение для ф дается формулой
N
Ф(^ = У^Рп Ф^Х - п), ро, pN / О, 71=0
то двухмасштабное соотношение для о.н. вэйвлета ф имеет вид
1
Ф(х) = ^2 (~l)nPi-n <^(2ж — тг).(5.6.14)
п=—Nyl
Заметим, что так как последовательности коэффициентов {рп} и {(—l)npi_n} для ф и ф имеют одинаковые фазовые свойства, то можно ожидать, ввиду теоремы 5.35, что о.н. вэйвлеты с компактным носителем также могут не иметь обобщенных линейных фаз. Переформулируем теорему 5.35 следующим образом.
Теорема 5.37. Пусть ф — о.н. вэйвлет с компактным носителем, определенный формулой (5.6.14), соответствующая которому о.н. масштабирующая функция ф порождает разбиение единицы. Предположим, что ф кососимметрична в смысле (5.5.17). Тогда ф должна быть функцией Хаара фн-
Поэтому, для того чтобы непрерывная вэйвлет-функция ф с компактным носителем имела обобщенную линейную фазу, представляются возможными две альтернативы. Первая — мы можем остановиться на полуортогональности. Это, конечно, дает результаты при условии, что мы готовы согласиться на двойственные, которые имеют экспоненциальное убывание. В последующем мы полностью откажемся от ортогональности и будем рассматривать ф и ф с компактными носителями и обобщенными линейными фазами. Следуя стратегии, сформулированной в § 5.4, мы начнем с двух допустимых двухмасштабных (полиномиальных) символов Р = Рф
и G* — ^> которые двойственны друг другу. (Чтобы Q и Н* также были многочленами Лорана, достаточно выбрать одночлен К.)
Напомним из теоремы 5.32, что ф имеет обобщенную линейную фазу тогда и только тогда, когда ее двухмасштабный символ Р удовлетворяет условию
Р^ = гтР(^), |z| = 1,(5.6.15)
для некоторого целого m (см. (5.5.9) с m = 2no, no G |Z). Для того чтобы иметь возможность построить двойственное ф для ф с компактным носителем, которое также имеет обобщенную линейную фазу, мы должны использовать допустимый двухмасштабный символ для ф, который также удовлетворяет (5.6.15) для некоторого целого значения т. В этом направлении мы имеем следующий результат.
Теорема 5.38. Пусть Р = Рф u G* — G*- — допустимые двухмасштабные символы — многочлены Лорана, двойственные друг другу и такие, что Р удовлетворяет (5.6.15). Тогда
Gx(z) := ^{GM + 2-mG*(2)}(5.6.16)
удовлетворяет тому nice соотношению двойственности
P^GX^ + P(-^)Gj(-z) = 1, |^| = 1,(5.6.17)
что и G(z) и, кроме этого,
G^z) = z-mGx(z), М = 1,(5.6.18)
или, что эквивалентно,
G^z) = 2mG*(^), |z| = 1.(5.6.19)
Доказательство. Ясно, что Сд удовлетворяет (5.6.18). Действительно, для |г| = 1 мы имеем
сдд == |{ад + г-ёдд}
= 1{СДД + zmG(z^ = |{ОД + Z-mG4^zm
= гтоф) = zmG^).
Чтобы проверить (5.6.17), мы просто применим (5.6.15) и (5.6.1) и получим
Р№г)+РИСуН)
= ^VW^PmGWfW^^^ ^-{[РШ+Р^Щ-г)^
= ^(№№) + РЫС(-^ + №W+IW« = |(1 + 1) = 1, |Д = 1.
Это завершает доказательство теоремы.□
В дальнейшем мы будем рассматривать только конечные вещественные двухмасштабные последовательности. Для таких последовательностей свойство (5.6.15) обобщенной линейной фазы принимает вид
Р(е"Н = e~imuP(eiu), ш € R. (5.6.20)
Лемма 5.39. Пусть Р — многочлен Лорана с вещественными коэффициентами, который удовлетворяет (5.6.20) для некоторого т Е Z. Тогда существует другой многочлен Pi
(зависящий от т) с вещественными коэффициентами такой, что
{
е-1тш/2р (cos ш\ДЛЯ четных 771,
е гтш/2 (cos ^) Pi(cosw) для нечетных т.
(5.6.21)
Доказательство. Из предположения (5.6.20) мы видим, что егтш/2р(е”гш) есть четная функция ш. Таким образом, если т — четное целое, то егтш/2Р(е“гш) — 2тт-периодическая функция, и поэтому - вещественный многочлен от cosw. Это дает (5.6.21) для четных т. С другой стороны, если т — нечетное целое, то, положив в (5.6.20) ш = тг, мы имеем Р(—1) = — Р(—1), так что Р(—1) = 0. Итак, мы можем написать
ри=(Ч2)(5-б-22)
для некоторого многочлена Po(z) с вещественными коэффициентами. Подстановка (5.6.22) в (5.6.20) дает
Р0(е"“) = e^-^Po^Y
Теперь, так как т — 1 четное, мы имеем
Р0(е-^) = е-^-^Ртфозш) (5.6.23) для некоторого многочлена Pi с вещественными коэффициентами. Отсюда, подставляя (5.6.23) в (5.6.22), мы получим (5.6.21) для нечетных т.□
В добавление к результату леммы 5.39 мы напомним, что как двухмасштабный символ Р может быть записан в виде
P(z) = ^j Рг(Д(5.6.24)
где Р2 —- многочлен Лорана с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий условиям
Р2(1) = 1 и Р2(—1)^0,(5.6.25)
и £ — некоторое положительное целое число.
Лемма 5.40. Пусть Р — многочлен Лорана с вещественными коэффициентами, который удовлетворяет (5.6.20) и (5.6.24)-(5.6.25). Тогда (т — Р) должно быть четным целым числом, и
Р(е~П = е-^1-1 (cos^ S(cosw),(5.6.26)
где S — многочлен с вещественными коэффициентами такой, что
5(1) = 1 и 5(—1)^0.(5.6.27)
Доказательство. Из (5.6.24) мы имеем
Р(е~^ = е"^/2 (cos ^ Р^е"1^.(5.6.28)
Отсюда, ввиду (5.6.20), мы получаем
Р2(е'") = е-^т-^Р2(егш).(5.6.29)
Покажем сначала, что (m—Р) — четное целое число. Предположим противное, что (т — ^) — нечетное. Тогда, как и раньше, применяя (5.6.29) с ш = тг, мы видим, что Р2(—1) = 0. Это противоречит (5.6.25). Теперь, так как (m — I)— четное, мы можем применить лемму 5.39 и записать
р2(е-^) = е^т^ш/28(со8ш) (5.6.30)
для некоторого многочлена S с вещественными коэффициентами. Утверждение (5.6.26) получается в результате подстановки (5.6.30) в (5.6.28). Кроме того, ввиду (5.6.25) ясно, что многочлен 5 в (5.6.30) удовлетворяет (5.6.27). □
Из леммы 5.40 мы видим, что любой двухмасштабный многочлен (Лорана), символ с вещественными коэффициентами и обобщенной линейной фазой (то есть удовлетворяющей (5.6.20)), имеет вид представления (5.6.26), где S — многочлен с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий (5.6.27). Согласно теореме 5.38 и лемме 5.40 мы будем искать двойственный символ C?*(z) = <7(z), |z| = 1 вида
(5.6.31)(5.6.31)С(е~“) = e™^ (cos ^ S(cos w),
(5.6.31)
(5.6.31)
где 5 — вещественный многочлен, удовлетворяющий условию S(l) = 1 и I —некоторое положительное целое такое, что
N := (/ + £)/2
— также положительное целое. Применяя (5.6.26) и (5.6.31), перепишем тождество двойственности в (5.6.1)
(cos — ) 5(coslj)5(coscj) + (sin — 1 5(—cosu?)5(—coslj) = 1.
(5.6.32)
Положив ж = sin2(w/2), мы имеем cos or — 1 — 2ж. Отсюда,
если мы определим
Я(ж) := 5(1 — 2ж)5(1 — 2ж),
то (5.6.32) запишется в виде
^-жад^+ж^Д^-ж) = 1.(5.6.33)
Итак, наша задача теперь состоит в том, чтобы определить вещественный многочлен R\x\
По алгоритму Евклида существует два многочлена АиВ таких, что
xN А(х) + (1 - x)NB(x) = 1.(5.6.34)
Давайте запишем
А^ = C(z)(l -x)N аА^х),
где degAi < N — 1, и положим
ВДт) — В(ж) + С\х)х^.
Так как
Д^ОДД - xf + АДД} + (1 - x)NB^ = 1,
мы имеем
т;уАДт) = 1-(1-т)ЛГВДт).
Это значит, что также и degBi < N — 1 • Таким образом, существуют многочлены Ai и Bi такие, что
2(5.6.35)
[degAi<7V—1 и degBi<7V— 1.
Многочлены АДД и ВДт) в (5.6.35)—единственные. Действительно, если существует другое решение — пара (Ai,Bi), то разность (А - Ар В - ВД удовлетворяет тождеству
xn(A^ - АДх)) + (1 - x)N№ - В^х)) = О,
где deg (Ai — АД, deg (Bi — ВД < N — 1 и, следовательно, Ai — Ai = 0 и Д - B] = 0 из того факта, что xN и (1 — x)N не имеют общих делителей. Теперь поменяем местами х и (1 — ж) в (5.6.35); единственность Ах и В^ означает, что А Дж) = ВД1 — а?). Таким образом, действительно существует единственный алгебраический многочлен Во с deg Во < N - 1, который является решением (5.6.33). Чтобы определить Во, мы умножим почленно (5.6.33) на (1 - т)-Л и разложим результат по х, что
Ло(я) = (1-я) Л{1 - $NR^e - ж)}
= Е Г ^" Ч
fc=0'
N + к - 1кN + к - 1кЖ^ + R^x),Ж^ + R^x),
N + к - 1к
N + к - 1к
Ж^ + R^x),
Ж^ + R^x),
Так как Ro (ж) состоит из степеней ж порядка N и выше, в то время как До (ж) и конечная сумма по к являются полиномами степени < N — 1, то мы имеем До (ж) = 0 или
^fN + k-l\ кV к 7^fN + k-l\ кV к 7(5.6.36)(5.6.36)к=0к=0
^fN + k-l\ к
V к 7
^fN + k-l\ к
V к 7
(5.6.36)
(5.6.36)
к=0
к=0
Это «частное решение» (5.6.33). Общее решение должно быть суммой До (ж) и члена, который делится на xN. Будем называть этот член xNT^x\ Так как эта функция является решением «однородного уравнения» (1 заменена на 0 в (5.6.33)), то Т удовлетворяет соотношению Т(1 — ж) = —Т\х\ Таким образом, положив
мы имееммы имеему := 1 — 2ж = cos ш,у := 1 — 2ж = cos ш,(5.6.37)(5.6.37)
мы имеем
мы имеем
у := 1 — 2ж = cos ш,
у := 1 — 2ж = cos ш,
(5.6.37)
(5.6.37)
(5.6.38)(5.6.38)о (у Ау А । f 1 у А гр ( \К г~ 7 я° \ 2/ +7 т°^’
(5.6.38)
(5.6.38)
где То(—у) = —То(у). Возвращаясь теперь к (5.6.32), мы при-ходим к общему выражению для Д(у)5(у) = S'(cosw)S(cosш),
а именно:
8^Жу) =8^Жу) =
8^Жу) =
8^Жу) =
[T0(-y) = -Т0(у).
(5.6.39)
Мы заканчиваем эту главу, записав кососимметричный двухмасштабный полиномиальный символ G^ двойственного (с компактным носителем) для В-сплайна £-го порядка.
Пример 5.41. Кососимметричный двухмасштабный символ С*, двойственный
РЖ") -РЖ") -
РЖ") -
РЖ") -
дается выражением ^*^(2) = ^^(2) при |2| = 1 , где
С^Де гш) — ег1ш^ (cos ^ Засовы) = Ж3/2
fN + k- П / . шх^к /
к=ок=о2Д fc )(sm2) +(=Ш2) r(Sm2
к=о
к=о
с N := ^ 4- 1)/2. Это получено в результате применения (5.6.39) и (5.6.26) с S = 1 и m = L□
Базисные сплайн-вэйвлеты
Самые общие основы для изучения масштабирующих функций и вэйвлетов вместе с их двойственными были установлены в предыдущей главе. Одним из главных составляющих в этом подходе является понятие кратномасштабного анализа (КМА), которое не только играет существенную роль в схемах построения, но и необходимо для формулировки алгоритмов вэйвлет-разложения и вэйвлет-восстановления. Например, в таких приложениях, как анализ сигнала в режиме реального времени, сигнал конечной энергии (то есть функция из L2(R^ должен быть спроецирован на некоторое пространство выборки Vn, принадлежащее последовательности вложенных пространств {Vy}, которые составляют КМА перед тем, как он может быть разбит на вэйвлет-компоненты с помощью алгоритма разложения. Учитывая все вышесказанное, последовательность {Vj}, j € Z сплайн-пространств произвольного порядка т — очень привлекательный КМА пространства L2 (R), в котором методы конечных элементов и сплайн-методы могут быть применены для построения проекционных операторов. (Если нас удовлетворяет аппроксимация в реальном времени оптимального порядка, то легко применимы квазиин- терполяционные и интерполяционные алгоритмы, разобран-
ные в §4.5 и §4.6.) Кроме того, как это было изучено в § 4.2- §4.4, структура сплайнов очень простая и обладает многими удобными свойствами. Это позволяет выбрать их в качестве первого кандидата для (непараметрического) моделирования таких произвольных функций, как сигналы.
Цель этой главы состоит в определении вэйвлетов в терминах В-сплайнов и изучении структуры этих сплайн-бэйвле- тов. Особое значение будет придаваться полуортогональным (п.о.) сплайн-вэйвлетам, так как их явное выражение облегчает не только наше изучение их характерных свойств, но также их программное и техническое внедрение.
Интерполяционные
сплайн- вэйв леты
Единственным до сих пор хорошо нам известным вэйвлетом, по крайней мере в явном виде, является вэйвлет Хаара фу = фц. С одной стороны, сопутствующая ему масштабирующая функция ™ В-сплайн первого порядка TVi, а именно
М^ = n^V - х\ (6.1.1)
с другой стороны, интересно отметить, что фн связан с производной базисного сплайна второго порядка N2 в том смысле, что
= (6.1.2)
Интересно выяснить, до какой степени можно обобщить замечание в (6.1.2). Чтобы ответить на этот вопрос, сначала заметим, что В-сплайн второго порядка можно рассматривать, как фундаментальный сплайн, введенный в §4.6. Действительно, фундаментальная сплайн-функция £2? определенная согласно (4.6.2)-(4.6.3), дается формулой
l2^ = М>(я + !)■
Следовательно, эквивалентная форма утверждения (6.1.12) имеет вид
=b№-l).(6.1.3)
Если мы продолжим эту точку зрения, то сможем получить сплайн-вэйвлеты произвольного порядка. Более точно, пусть {VJ71} —КМА пространства L2(R), порожденный В- сплайном m-го порядка, как это было введено в §4.1, и пусть {W^}.j Е Z обозначает последовательность вэйвлет- пространств, являющихся ортогональными дополнениями в смысле
iez,(6.1.4)
где следует напомнить, что окружность вокруг знака плюс обозначает ортогональное суммирование (см. (1.4.8) и (1.5.9)). В последующем для каждого положительного целого m Lm означает фундаментальную сплайн-функцию m-го порядка, введенную в (4.6.2)-(4.6.3).
Теорема 6.1. Пусть т —- любое положительное целое; определим
=(6.1.5)
где L^m — фундаментальный сплайн ^т-го порядка. Тогда Фрт порождает (вэйвлет)-пространства WJn, j Е Z в том смысле, нт,о
wp = closL2(R)(2^2^/,m(24 -k) : kez), jG Z (6.1.6)
Доказательство. Проверим сначала, что фрт принадлежит И^п. Для каждого п е Z, применяя последовательное ин
тегрирование по частям и замечая, что m-я производная от В-сплайна m-го порядка Nm есть линейная комбинация цело-
численных сдвигов дельта-распределения, мы имеем
Nmlx - п)£^(2т - V)dxNmlx - п)£^(2т - V)dx
Nmlx - п)£^(2т - V)dx
Nmlx - п)£^(2т - V)dx
k—0k—0
k—0
k—0
/l\m г 00
=] L^x - 1№ - ^dx
n — k^dx
так как L2m^ = ^,0;^ € Z. Следовательно, -ф^т £ W™.
Затем будем исследовать двухмасштабное соотношение для 'фцт относительно Nm(2x — к), к 6 Z. Таким образом, нас интересует изучение ^-последовательности {%}, для которой
фт^-L^x-V)- £ qkNm^x-k\ (6.1.7)к=—оо
Сохраняя те же обозначения, что и в (4.6.2), мы запишем
Ь2т^= У^ с^N2m^ + т - ку (6.1.8) к=—оо
С другой стороны, повторно применяя тождество (ж) в теореме 4.3 для В-сплайна, имеем
№<™> = (A^Zj’X^)(6.1.9)
= ■.■ = (Д™ЛГт)Мт / \
где △ обозначает оператор разности назад, введенный в (4.1.9). Далее, из (6.1.5), (6.1.8) и (6.1.9) мы получаем
ОО
^1,тп = 4m (2ж - !) = 52 ^^тЧ2® ~ 1 + ™ ~ &)
/с= —ОО
ООГП/ х
= 52
к=—оо1=0' '
оо
" ^ ^ gn7Vm(2j? м),
п= —ОО
m/ \
9n ДИЛД^Й-!-,-(6-1.10)
£=0х 7
Двухмасштабный символ Q, соответствующий двухмасштабной последовательности {^} в (6.1.7), как это дается формулой (6.1.10), равняется
т оо / m/ х\
еи = 5 Е (Еь^ДД'-^^^(6-i.il)
п——оо \/=0^ ^/
rM-L 1ОО
= ^-(1-2Г £ 42т)Л
п=—ОО
где из (6.1.8) и интерполяционного свойства 1<2т(Л = ^,о me" дует, что
ОО1
Е^гП=МЦ (6ЛЛ2)
п=—оо4 7
С
Fm^:-ENm^= £ N2Tn(m + k)zk (6.1.13) к——m+l
= 52 ( / NmVkA-x^Nm^dx\zk1
обобщенным многочленом Эйлера—Фробениуса Лорана относительно В-сплайна m-го порядка Nm (см. (4.2.14), (5.2.24) и
В теории сплайнов, где очень желательны алгебраические многочлены с целыми коэффициентами, многочлены Эйлера-Фробениуса (2m — 1)-го порядка определяются, как в (4.2.18), формулой
Е2т-М - (2m — l)!zm-1Fm(z).
Тогда, подставляя (6.1.12) в (6.1.11), мы получим формулу для двухмасштабного символа Q, а именно
(6.1.14)(6.1.14)7—m+l1
(6.1.14)
(6.1.14)
Q^ = ——(1-гГ—2ГтД
Заметим, что, согласно теореме 5.10(a), Fm нигде на единичной окружности не обращается в нуль.
Теперь, так как двухмасштабный символ для Nm дается формулой
(см. (4.3.3)), мы можем вычислить определитель Др^, описанный в (5.3.9) и (5.3.10), следующим образом.
Др,з(4 = detДр,з(4 = detР^ Q^Р^ Q^P^-z) Qk-z^P^-z) Qk-z^(6.1.15)(6.1.15)z-m+l(! _z)2mz-m+l(! _z)2m= 2m”1= 2m”1kP«kP«(P(-<1(P(-<1
Др,з(4 = det
Др,з(4 = det
Р^ Q^
Р^ Q^
P^-z) Qk-z^
P^-z) Qk-z^
(6.1.15)
(6.1.15)
z-m+l(! _z)2m
z-m+l(! _z)2m
= 2m”1
= 2m”1
kP«
kP«
(P(-<1
(P(-<1
= 2™"1= 2™"1m—1 ^FmA2^
= 2™"1
= 2™"1
где мы применили тождество (5.2.32) из теоремы 5.10 с Nф = ш,кф = т-1, П^ = Пт(г) = гт-уРт^ иР^ = Рф = Р. Так как Fm нигде не обращается в нуль на окружности |z| = 1, мы показали, что
^р,дк^ / 0,|z| = 1.
Итак, обращение к теореме 5.16 показывает, что мы действительно доказали теорему 6.1.□
Ввиду полученного результата давайте рассмотрим подпространство
У™10 := {s е у2т : s^ = 0, к е Z} (6.1.16)
сплайнов порядка 2m с последовательностью узлов -Z, обращающихся в нуль во всех целых точках. Ясно, что функция
^2m(^)9ш-^2ш(2т1)^2m(^)9ш-^2ш(2т1)(6.1.17)(6.1.17)
^2m(^)9ш-^2ш(2т1)
^2m(^)9ш-^2ш(2т1)
(6.1.17)
(6.1.17)
принадлежит у^^^ как и все се целочисленные сдвиги. Фактически мы имеем следующий результат.
Теорема 6.2. Для кааюдого т семейство
№mM): кЕ^(6.1.18)
есть базис Рисса V^2™’0.
Доказательство. Чтобы показать, что линейная оболочка семейства (6.1.18) плотна в у^™^ выберем произвольным образом G 6 у^777,0, Тогда, применяя теорему 4.3 (б), мы имеем
ZOOт
G^^Nm^x - ^dx = ^НТ^к=0
(6.1.19) для всех I Е Z. Следовательно, так как ясно, что G^ принадлежит У™, (6.1.19) показывает, что G^ ортогональна под- пространству Vq77 пространства V^\ и, следовательно, принадлежит ТИ™. По теореме 6.1 мы имеем
ОО
G^^x) = У2 ^'ФтДх-п)
п——ос
для некоторой последовательности {ап} € ^2. Заметим также, что из определения (6.1.17) для Ф2т мы имеем
^SW = М1)-^SW = М1)-(6.1.20)(6.1.20)
^SW = М1)-
^SW = М1)-
(6.1.20)
(6.1.20)
так что
где Dm обозначает оператор дифференцирования m-го порядка, введенный в (4.5.2). Так как ул2™’0 состоит только из функций L2(R), обращающихся в нуль на Z, мы имеем
О(ж) = У^ апФ2т(ж - п), {ап} е I2.
П = —ОО
Чтобы показать, что базис (6.1.18) — безусловный (или базис Рисса), мы просто замечаем, что, так как
Ф2г» = ^Ч^ (^) e^2
2-т-1ег(т-1)ш/2 /' ^(Зт)^—ifcw/2
\ к
Flmk*^ 1+ (Fm(-^))2/’(6.1.21)Flmk*^ 1+ (Fm(-^))2/’(6.1.21)из (4.2.16) и (6.1.12) следует
Flmk*^ 1
+ (Fm(-^))2/’
(6.1.21)
Flmk*^ 1
+ (Fm(-^))2/’
(6.1.21)
5 i^+2^)i2=2—2{<^ к=—соv
где z = е гш^ и
F^ = ВК,„И = (^-ц/”*-1^"-'И<6L22)
c £4^-1, многочленом Эйлера—Фробениуса порядка 4т — 1 (или степени 4т — 2). Отсюда применение теоремы 5.10 (а) завершает доказательство. □
Как следствие теорем 6.1 и 6.2 мы имеем следующий результат.
Теорема 6.3. Для любого целого положительного т дифференциальный оператор т-го порядка Dm взаимно однозначно отображает сплайн-пространство y^mfi ^^ вэйвлет-пространство W™. Кроме того, базис Рисса {Ф2т(- — k) : k Е Z} пространства у^™^ соответствует базису Рисса {фцт^ — к) : к Е Z} пространства W™ через соотношение фцт = Dm4?2m-
Сплайн-вэйвлеты
с компактным носителем
Интерполяционные вэйвлеты фцт, введенные в (6.1.5), экспоненциально убывают, но не имеют компактного носителя. Однако из результатов главы 5 (см. § 5.6) мы уже знаем, что полуортогональные (п.о.) вэйвлеты с компактным носителем всегда существуют при условии, что двухмасштабная последовательность для соответствующей масштабирующей функции ф конечна. Действительно, если Р = Рф означает, как обычно, двухмасштабный символ ф, то, рассматривая двойственное ф для ф, принадлежащее тому же пространству Vb, что и ф, получим, что двухмасштабный символ G* = G * для Ф
ф, где G*(z) = G(z) при |z| = 1, дается формулой
G(4 =W = 1.(6.2.1)
где ^ — обобщенный многочлен Эйлера—Фробениуса Лорана относительно ф (см.(5.6.11)). В результате двухмасштаб-
ный символ Q любого п.о. вэйвлета ф^ соответствующего ф^ имеет вид
Q^^^G^-^K^(6.2.2)
= Z 1Еф^Р^Е^У 1^ = 1
для любого К Е W с К^ ф 0 при |г| = 1 (см. (5.6.12)), так что простым выбором К^ = —гЕф^г) мы получим двухмасштабный многочлен-символ для п.о. вэйвлета ф с компактным носителем. В случае сплайнов из теоремы 5.19 следуют, что общий вид двухмасштабных символов для класса всех возможных п.о. выйвлетов относительно Nm дается формулой
Q(^ -(—) S2m_i( г) Е^т_ф2у (6.2.3)
К ew, с K(z)^0 на |г| = 1,
где #2т-1—многочлен Эйлера—Фробениуса Лорана порядка (2т - 1) (или степени 2т - 2), как определено в (4.2.18). Итак, чтобы обеспечить компактность носителя вэйвлета ф, ряд Лорана К в (6.2.3) должен быть выбран так, чтобы Q был многочленом. Теперь, так как Е^т-у не обращается в нуль при |z| = 1, единственный способ понизить порядок многочлена (1 - z)mE2m-i(-^) состоит в наличии у Е2т-1(г2) общих нулей с Е2т—х^—z), хотя в то же самое время после сокращения общего множителя оставшийся сомножитель от E2m-i(22s) должен зависеть от z2, чтобы сократиться с Кф?^ в (6.2.3). Это невозможно, так как S2m_i(z) не имеет симметричных нулей и на самом деле, как мы увидим в § 6.4, все нули Е2та-\^ отрицательны (см. также (4.2.18) и (4.2.19)). Следовательно, для того чтобы Q в (6.2.3) был двухмасштабным символом п.о. базисного сплайн-вэйвлета ф с наименьшим носителем, необходимо и достаточно, чтобы
К^ = cqz”0 E2m-i(z),К^ = cqz”0 E2m-i(z),(6.2.4)(6.2.4)
К^ = cqz”0 E2m-i(z),
К^ = cqz”0 E2m-i(z),
(6.2.4)
(6.2.4)
где со — некоторая отличная от нуля константа и п0 — некоторое целое число. Другими словами, с точностью до умножения на отличную от нуля константу и до некоторого целочисленного сдвига, п.о. вэйвлет с минимальным компактным носителем, соответствующий В-сплайну m-го порядка Nm) — единственный и определен формулами
{
Фт^ := Е QnNm^x - п)
2m—2
Qm^ = |E^n:=(^) Е W2m(A; + l)(-^,
(6.2.5) где мы выбрали в (6.2.4) со — — [(2m — l)!^”1) и no = 1 для того, чтобы иметь до # 0 и qn = 0 при п < 0. Ввиду того факта, что аналогично Nm фт также имеет наименьший носитель, мы будем для удобства называть ^?т В-вэйвдетом т-го порядка. Так как Qm в (6.2.5) есть произведение двух полиномиальных символов, то последовательность {gn} есть свертка двух последовательностей коэффициентов многочленов. Таким образом
/1 Ул /\
gn = 9m-1 5? L №n(n + l~l), n = 0,...,3m-2. (6.2.6)
Подведем итог полученных результатов в следующей теореме.
Теорема 6.4. Пусть т—любое полож/итедьное целое число. Пусть такж,е Nm — В-сплайн т-го порядка и <фт — В-вэйвлет, определенный в (6.2.5), с коэффициентами, заданными (6.2.6). Тогда
ША^ку keZ}(6.2.7)
есть базис Рисса И^о- Кроме того, фт имеет компактный носитель с
supp^m = [0,2m — 1].(6.2.8)
Это — «единственный» вэйвлет в Wo, имеющий наименьший носитель в том смысле, что если т, € Wo порождает Wq так же, как и фт, и носителем р является интервал с длиной, не превосходящей 2т — 1, то р{х) = Софтах — По) при некоторой константе со т^ 0 u no € Z.
Теперь мы обратимся к двойственному фт для фт. По формуле (5.4.11) двухмасштабный символ Н* для ф относительно ф дается формулой H(z) = zP{—г^к-х^\ гДе Н^ = Н*^ при |г| = 1. Отсюда, ввиду соотношения двойственности для ф и ф (см.(5.6.10)), мы имеем для z = е-1Ш/2:
Фт(^ = H*^NmФт(^ = H*^NmQ=H4^Q=H4^1 N£^^21 N£^^2
Фт(^ = H*^Nm
Фт(^ = H*^Nm
Q=H4^
Q=H4^
1 N£^^2
1 N£^^2
Поэтому, если мы захотим связать двойственный вэйвлет фт с интерполяционным вэйвлетом фцт, введенным в §6.1, то, используя двухмасштабный символ Q^ в (6.1.14) с Fm^ = Е^т(г) (см.(6.1.13)), мы получим
~/2\
9~пг—1
= (zP(-Z^K-4z2Y)-^^^I,mM
K(zz)
Напомним, что в нашей нормировке фт в (6.2.5) мы выбрали с0 = -[(2m - I)!]-1 и п0 = 1 Для К^ в (6.2.4). Это дает
фт^ = (-1)"-‘2-'"+'[<2г,* - 1)!]г-41 .^^
(6.2.9)(6.2.9)
(6.2.9)
(6.2.9)
где Fm — обратная величина символа последовательности коэффициентов {cj.2m^} в определении фундаментального сплайна L^m (6.1.8). Отсюда, замечая, что в (6.2.9) z2 = е-^, мы имеем
<Ы®) = 2^-1 52 ч’ф,^ + m + 1 - к). (6.2.10) к=—оо
Мы заканчиваем этот параграф обсуждением фазовых свойств и исследованием частотно-временных окон В-вэйвле- та
фт и его двойственного фт. Сначала заметим, что В-сплайн Nm и фундаментальный сплайн Lim симметричны при любом т (см. теорему 4.3 (и)). Отсюда последовательность {с^,2т^} также симметрична. Таким образом, из определения ^ т мы видим, что ф^т должен быть симметричным для четных т и антисимметричным для нечетных т, и ввиду (6.2.10) такое же заключение справедливо для фт. Так как ясно, что последовательность {qn} симметрична для четных порядков т и антисимметрична для нечетных порядков т, из (6.2.6) мы можем сделать такое же заключение для В-вэйвлета фт.
Теорема 6.5. Все вэйвлеты фт, фт, и фцт симметричны для четных т и антисимметричны для нечетных т. Следовательно, все они имеют обобщенные линейные фазы.
Особенно интересны графики В-вэйвлетов фт. При т > 3 фт четного порядка почти точно совпадают с
Re ^*ь,ш W = (c°s ш^да (t — б) (6.2.11)
и фт нечетного порядка-—с
1тСъД^ = (smwt)gQ(i - 6) (6.2.12)
при некоторых значениях а, Ь, ш, где да есть функция Гаусса с параметром а (см. (3.1.10)). На рис. 6.2.1 и 6.2.2 показаны графики ф4 и-фз, соответственно. Заметим сходство между этими
Рис. 6.2.1. Кубический сплайн-вэйвлет ^4.
Рис. 6.2.3. I^ - ReG^^2 в dB, а = 0.2925.
Рис. 6.2.2. Квадратичный сплайн-вэйвлет -фз.
Рис. 6.2.4. \фз — 1тС“5 2яР в ^В, а = 0.2300.
графиками и графиками соответствующих функций Гаусса на рис. 3.1.1 и 3.1.2. На рис. 6.2.3 и 6.2.4 даются кривые погрешностей.
Напомним из главы 3, что, когда вэйвлет ф используется в качестве базисного вэйвлета в ИВП, площадь окна равняет
ся 4Д^Д^, и чем меньше величина Д^Д^, тем вэйвлет лучше для применения в частотно-временной локализации. Так как функция Гаусса да не может быть использована в качестве базисного вэйвлета, то по принципу неопределенности
Таблица 6.1. Значения Д^тД^ .
m
Произведения Д^т и Д -
2
0.971715
3
0.535070
4
0.504839
5
0.500929
6
0.500367
для любого базисного вэйвлета А^А^ > |. В таблице 6.2.1 мы даем значения А^А^ для m = 2,3,4, 5,6. Заметим, как близки к оптимальному эти значения для В-вэйвлетов при больших значениях т.
Вычисление базисных сплайн-вэйвлетов
Этот параграф посвящен обсуждению некоторых вычислительных схем для базисных сплайн-вэйвлетов с компактным носителем (или В-вэйвлетов) фт в формулах (6.2.5)-(6.2.6). В § 5.2 был предложен метод вычисления любой масштабирующей функции с компактным носителем. Он состоит из двух главных шагов: первый шаг — нахождение собственного вектора [</>(1),..., ф^Кф - 1)]г матрицы \ptj_kL 1 < j,k < Nф-l, соответствующего собственному числу А = 1 и удовлетворяющего условию нормировки </>(1) 4- • ■ • 4- ф^ф — 1) = 1, в то время как второй шаг-—это применение интерполяционного графически-изобразительного алгоритма, описанного в §4.3 с >о = 0, а^ = ^д, wmk = ф^к) и с заменой рт.к на р^. Этот метод дает значения
для любого желаемого положительного целого j. Теперь из двухмасштабного соотношения
^(®) = ^ЧкФ^ - к)к
для вэйвлета ф мы можем легко построить следующую схему вычисления ф в двоичных точках, а именно:
\ + 27;Ч2п-кФ \к + —тJ
7i Е Z, I = 0,...,23 — 1 и ф1к-Р-^р^\ из (6.3.1).
(6.3.2)
Заметим, что снова эта схема состоит из вычисления скользя
щих средних с разрежающей выборкой.
Обратим внимание на то, что если значения р^ и qk известны точно, то вычислительный алгоритм, описанный выше, дает точные значения ф в двоичных точках. Напомним из (4.3.3) и (6.2.6), что для базисных сплайнов порядка m
ФРк = Pm,к =ФРк = Pm,к =у—m+1(т]оу—m+1(т]оО < к < т,О < к < т,для других кдля других к(6.3.3)(6.3.3)
Ф
Рк = Pm,к =
Ф
Рк = Pm,к =
у—m+1(т]
о
у—m+1(т]
о
О < к < т,
О < к < т,
для других к
для других к
(6.3.3)
(6.3.3)
и
Qm,k :— Qk —Qm,k :— Qk —2-7 ( a / ^2т(& + 1 - £), О < к < Зтп - 2 1=0 Х 7
Qm,k :— Qk —
Qm,k :— Qk —
Одля других к,
(6.3.4) где значения NsmAkY к Е Z могут быть вычислены с помощью рекуррентной схемы
^г(^) — ^А:,1, к Е Z И
Nn^k) = -Nn(k) + n'k + 1Nn(k - 1),(6.3.5)
7177
где к = 1,...,пи п = 2,..., 2т — 1,
рассмотренной ранее в (4.2.15). Отметим, что процедура в (6.3.5) более эффективна, чем нахождение собственных векторов матриц \pm,2j—kV l<j,k<m-U [p^m^j-k], 1 < рк < 2m — 1, соответствующих собственному числу А = 1, как это было описано выше в (5.2.14)-(5.2.17).
Вычислительные преимущества В-сплайнов перед другими масштабирующими функциями — это больше, чем только преимущества рекуррентной схемы в (6.3.5). Первая цель этого параграфа — это введение треугольного алгоритма Паскаля (ТАП) для прямого вычисления двухмасштабных последовательностей {дт,к}, к Е Z, т = 1, 2,... . Как мы увидим, этот алгоритм дает возможность получить не только двухмас- штабые последовательности, но также и последовательности коэффициентов {<7^*1 для представления в виде рядов по В- сплайнам r-х производных
3m—2Цг
■Фт4^= 52 Чт,^т-г^Ж - к')(6.3.6)
к=0
В-вэйвлетов с компактными носителями m-го порядка ^т. Структура этого ТАП будет рассмотрена в § 6.6 вместе с обсуждением «вполне положительности», «полной осцилляции», и «пересечения нулей». С этой целью мы описываем ТАП до некоторой степени в более общем виде.
В дальнейшем мы будем использовать обозначение
Z+ = {0,1,2,...}(6.3.7)
для множества неотрицательных целых чисел, и так же, как в (4.5.9), A(z) будет обозначать символ последовательности {ап} Е к? - Чтобы облегчить изложение этого метода, нам будет нужно также обозначение
£п ^а^ : а^ — 0 для к < 0 или к > п, и аоЩп^О}, (6.3.8)
для любого n G Z+. Отсюда {£"}, n G Z+ образует разбиение на взаимно непересекающиеся множества семейства
L ■= I2 П Q С1(6.3.9)
71=0
класса всех причинных ^-последовательностей. Кроме того, пусть 7" означает оператор сдвига в £2, определенный формулой
(та)п+1 := а„, n G Z а = {an} € I2.(6.3.10)
Определение 6.6. Треугольный алгоритм Паскаля (ТАП) есть отображение Р : Z+ —> £, которое может быть определено следующим образом:
"РН = Ир} и
№ + 1)Д=L(n,j^P^n^j + R(n,j-1)(p(n))j-x,jEZ,nEZ+, где 1(п,0)^0и R(n,n) ^ 0.
(6.3.11) Определение 6.7. ТАПР, описанный в (6.3.11), называется линейным треугольным алгоритмам Паскаля (ЛТАП), если L(n, ■) и R^n,-) оба являются линейными (по второй «переменной» ), а именно:
(6.3.12)(6.3.12)L^n,)) = kb^i + btH,
(6.3.12)
(6.3.12)
RHj) = kRH(n - j) + bR(n), у G Z при некоторых ktHi kR(n), Ьс(п) и bR(n).
Замечание. Для любого ТАП Р ясно, что
(6.3.13)(6.3.13)РИ EL^, ПЕ Z+.
(6.3.13)
(6.3.13)
Если, кроме того, Р есть ЛТАП, то необходимо, чтобы
bLH ^ 0 и bRH ^0, пЕ Z+,(6.3.14)
так как bRH = L(n, 0) ^ 0 и bRH = R(n, п) ^ 0.
Ввиду начального условия Р(0) = {^о} в (6.3.11), ТАП может быть реализован как «дерево-алгоритм» вычисления последовательностей
sn := P(n) Е С, п = 1,2,....
Более точно, если интерпретировать конфигурацию на рис. 6.3.1 как
12 — 0^1 Т bt^
(6.3.15)(6.3.15)U = Ы2 и
(6.3.15)
(6.3.15)
u = at у соответственно,
то дерево конфигурации ТАП может быть описано рис. 6.3.2, где мы использовали обозначение
Ln,к := Цп, к), Rn,k := R^, k), s^ = (sn)k.
Пример 6.8. Рассмотрим ЛТАП Рь, определенный значениями
(6.3.16)(6.3.16)b(nj) = R(nJ) = 1, n Е Z+, 3 Е Z
(6.3.16)
(6.3.16)
(таким образом, кь(п) = /сд(п) = 0 и 61,(72) = Ьн^ = 1). Тогда треугольник Паскаля на рис. 6.3.2 есть хорошо известный алгоритм вычисления последовательности биномиальных коэффициентов
= 7?ь(тг), 72 Е Z+.= 7?ь(тг), 72 Е Z+.(6.3.17)(6.3.17)
= 7?ь(тг), 72 Е Z+.
= 7?ь(тг), 72 Е Z+.
(6.3.17)
(6.3.17)
Пример 6.9. Рассмотрим ЛТАП Ре, определенный значениями
(таким образом, ^(тг) = к^тг) = ЬЦп) = Ьк^ = 1). Тогда треугольник Паскаля на рис. 6.3.2 может быть использован
Рис. 6.3.2. Треугольник Паскаля
Таблица 6.1. Модифицированные многочлены Эйлера—Фробениуса
п
Еп^
1
1
2
1+2
3
l+4z+z2
4
l+llz+llz2+z3
5
1+26г4-66г2-Ь2бг3+г4
6
l+57z+302z2+302z3+57z2+z5
7
1+120z+1191z2+2416z3+1191z4+120z5+z6
8
1+247z+4293z2+15619z3+15619z4+4293z5+247z6+z7
9
1+502z+14608z2+88234z3+156190z488234z414608z6+502z7+zs
для вычисления последовательности коэффициентов модифицированных многочленов Эйлера—Фробениуса Еп порядка п (или степени n — 1) (см. замечание после этого примера), определенных формулой
п—1
Ёп^ :=n!£jVn+1(Hl)zj (6.3.19)
в том смысле, что
7^ - 1) = V^-hU + l)}^1 n = 1.2,....(6.3.20)
Это есть следствие рекуррентной схемы (4.2.15) или (6.3.5) для В-сплайнов. Можно показать, что этот ЛТАП дает
N„+lU +1) = 1 £(-ir(" ++ 1 - «Г-
В частности, мы приводим первые девять модифицированных многочленов Эйлера—Фробениуса в таблице 6.3.1.
Замечание. Напомним из (4.6.6), что многочлены Эйлера- Фробениуса m-го порядка определяются формулой
Em(^ = m! J2 7Vm+i (™ ™ +.
Отсюда для нечетных m мы имеем
E2n_Y^ = (2п - 1)! J2 N2> + А;)^-1kEZ2п —2
= (2^-1)! 22 N2n(k + l)zk,k=Q
что совпадает с (4.2.18). Однако для четных m коэффициенты Ет^ больше не являются значениями В-сплайна Nm_^i в целых точках, и поэтому рекуррентная схема в (4.2.15) или (6.3.5) не применима. Ввиду этого вычислительного соображения в (6.3.19) вводятся модифицированные многочлены Эйлера—Фробениуса E^zY Мы видели, 4T0_B2m-i(^) = E^m-^zY В других применениях использовать Е^т^ невыгодно, так как интерполяция сплайнами нечетного порядка (и с последовательностью узлов Z) «неустойчива» в узлах Z (например, матрица коэффициентов необратима). Это следует из таблицы 6.3.1 с учетом того, что
В2т("1)=0, т-1,2,....
Другое соображение для введения В2т состоит в том, что, имея ввиду рекуррентную схему (6.3.5) для В-сплайнов в целых точках, существует прекрасная взаимосвязь между Еп и Bn+i, а именно:
Ёп^) - ^+nz)EnY^n=l,2,.... (6.3.21)
Доказательство (6.3.21) получается в результате прямого применения (6.3.5). Это тождество будет использовано в §6.5.
Мы обратимся теперь к формулировке ТАП для двухмасштабных последовательностей ^qm^ в (6.3.4) для В-сплайнов m-го порядка -фт. Как отмечалось ранее, при вычислении {qmjYY этот же самый ТАП может быть применен для получения последовательностей коэффициентов {^^} рядов по
В-сплайнам для производных r-го порядкаот ^т,
г = 0,1,... ,m — 1. Для того чтобы избежать перемен знака, введем обозначения
< ^т.к "19m,к I '' ^m,k/g 3
,9m,к "~ l9m,fc| — ( —l)^9m,fc-
Мы имеем следующий результат.
Теорема 6.10. Пусть для каждого положительного целого т Рт — ЛТАП с
_ (j + 1 для= 1 1 для_ (j + 1 для= 1 1 для0 < п < 2т — 2, и > 2m — 20 < п < 2т — 2, и > 2m — 2(6.3.23)(6.3.23)
_ (j + 1 для
= 1 1 для
_ (j + 1 для
= 1 1 для
0 < п < 2т — 2, и > 2m — 2
0 < п < 2т — 2, и > 2m — 2
(6.3.23)
(6.3.23)
и
0 < п < 2т — 2, ■п > 2т — 2.0 < п < 2т — 2, ■п > 2т — 2.(6.3.24)(6.3.24)_ Г (n - j) + 1 для
0 < п < 2т — 2, ■п > 2т — 2.
0 < п < 2т — 2, ■п > 2т — 2.
(6.3.24)
(6.3.24)
■ X 1 для
Тогда
^Рт^т - 2 + гЬ - (2m - l)^—1^,(6.3.25)
для г = 0,... ,т — 1.
Замечание. Отметим, что в (6.3.23) и (6.3.24) мы имеем
в ЛТАП Ь^тг) = Ьд(тг) = 1 для всех п 6 Z+ и
М") = Ып) = |0 №М") = Ып) = |0 №0 < n < 2m — 2, тг > 2m — 2.0 < n < 2m — 2, тг > 2m — 2.
М") = Ып) = |0 №
М") = Ып) = |0 №
0 < n < 2m — 2, тг > 2m — 2.
0 < n < 2m — 2, тг > 2m — 2.
Доказательство. Будем снова использовать обозначения
(6.3.26)(6.3.26)8П := 'PmW^ s^ := ^Б Sn(z) := 52 s^'.
(6.3.26)
(6.3.26)
3
Тогда ввиду (6.3.23) и (6.3.24), применяя последовательно результаты примеров 6.9 и 6.8, мы имеем
on £ 1/®«+1^для 0 < n < 2m - 2
(B2m-i(2r)(l + z^"2m+2 для п > 2т — 2.
(Заметим, что E2m-i = E^-i.) Отсюда символ s3m-2+r дается формулой
S^™-2^ = E2m_1W ^ ^^ r = 0,...,m-l. (6.3.27)
С другой стороны, применяя тождество (ж) в теореме 4.3, мы имеем
Чт,к = ^^-1у(Лдт1к_£.(6.3.28)
1=07
Поэтому, так как символ ^qm^ (который равняется удвоенному двухмасштабному символу Q для В-вэйвлета фт относительно масштабирующей функции N^ есть
20™W = 1 ^„(-zXi - ,г— У •
(см. (6.2.5)), из (6.3.28) следует, что символ {д^} равняется
2-m+r+l 1 ■^2т_1(_г)(1 - ^т, (6 3 29) \2т —
Итак, если мы умножим на (2m — 1)!2гга-г~1 выражение в (6.3.29) и заменим —г на z, то мы получим символ 5'3т”2+’’ в (6.3.27) для Pm(3m — 2 + г). Таким образом, мы действительно вывели (6.3.25). □
Так как В-вэйвлет *фт является сплайном m-го порядка, то его (т — 1)-я производная есть кусочно-постоянная функция ■ф-т^ со скачками в точках j/2, j = 0,..., 4m — 2. Отсюда, чтобы получить -фт, мы могли бы просто проинтегрировать
эту кусочно-постоянную функцию (m — 1) раз. В общем случае, чтобы получить любые В-вэйвлет ряды
д(ж) = 52 d3^rn^ - jV(6.3.30)
з
можно проинтегрировать кусочно-постоянную функцию
3
Конечно, если инженер предпочитает работать с импульсним рядом (т.е. рядом из дельта-функций), то он или она могут использовать ряд
9ктЧх^^й3<Чх-з\
3
который нуждается в дополнительном интегрировании.
Теорема 6.11. Пусть для каснсдого целого положительного т
Тт^т - 3) = S =,
и пусть X[o I) обозначает характеристическую функцию интервала [0, j). Тогда В-вэйвлет т-го порядка фт дается фор- мулой
.4т-3
= (2^1)! Е ("IF^"1-3(6-3.31)
ГТГХ\fTm-l/j\
х / dxx dx2... X[o 1) ( Xm-1 - - I dxm-i- Jo Jo Jo ’2 V )
Другой способ вычисления В-вэйвлета фт (и любого В-вэйвлет-ряда д(ж), как в (6.3.30)), состоит в вычислении представления В-сетью каждой из полиномиальных частей. Это дает значения фт^^З не только в двоичных точках ж = n + l/2J, как это дается общей вычислительной схемой (6.3.2), но также и в любой точке х Е R. Эффективное вычисление может быть выполнено просто взятием скользяще-
го среднего последовательности ^(Зт - 2) с последовательностью В-сети В-сплайна m-го порядка Nm(2x), полученной применением В-сплайн-В-сеть алгоритма в § 4.4. (См. пример 4.11 для В-сетей квадратичного, кубического и четвертой степени В-сплайнов.)
Многочлены Эйлера—Фробениуса
Мы видим, что многочлены Эйлера—Фробениуса Ет^ играют очень важную роль в сплайн-интерполяции (см. § 4.6 и § 6.1), в построении и анализе базисных сплайн-вэйвлетов (см. § 6.1—§ 6.3). В этом параграфе мы будем детально исследовать эти многочлены, уделяя особое внимание структуре их нулей. Эти структуры были уже использованы в (4.2.18)-(4.2.21) для определения точных нижних границ Рисса для Nm и будут снова играть важную роль в следующем параграфе при анализе погрешности сплайн-вэйвлет разложения. Ввиду того что свойства многочленов Эйлера—Фробениуса Ет четных и нечетных порядков одинаковы и выводы этих свойств очень похожи, то для того, чтобы не повторять аналогичные рассуждения, мы будем рассматривать только многочлены нечетного порядка еще и потому, что многочлены четного порядка не используются в нашем изучении сплайн-вэйвлетов.
Аналогично (4.6.8), применяя формулы суммирования Пуассона (2.5.8), многочлен Эйлера—Фробениуса E2m-i(z^ с z = e~luJ может быть записан как
2m—2
S2m-i(^) := (2m - 1)! ^ N^m(k + 1)?(6.4.1)
- (2m - l)!e“ ^N^w + 2тгА;)
к
у12-—' (ш + 2тгА;)2т к-—ооу12-—' (ш + 2тгА;)2т к-—оо= (2m - l)^™-1^ (2 sin-) X 2/
у1
2-—' (ш + 2тгА;)2т к-—оо
у1
2-—' (ш + 2тгА;)2т к-—оо
(см. (3.2.16)). Определяя
«пМ:=(2»т^)"+2 £(6.4.2)
к=—оо
из (6.4.1) получим, что
«>.-« = ,,(6.4.3)
(2m — 1)!
-52 N2nA™ + kV
k=—m+l
m—1
= ^rrAm) + 2 52 N2m(m + к) cosкш.
k=l
Как следует из (6.4.1) и (6.4.3), en(w) полностью характеризуется рекуррентным соотношением
(en+iM = (cos ^) еМ - ^ (s™^) <(ш), ( eo(w) = 1.
Другое определение еп дается формулой
(Pn+1ctg) ^) ,(Pn+1ctg) ^) ,(6.4.5)(6.4.5), шх п+2 (-!)»+! е»(ш)-(8т2) (п + 1)!
(Pn+1ctg) ^) ,
(Pn+1ctg) ^) ,
(6.4.5)
(6.4.5)
которое следует из (4.2.9) и где D — оператор дифференцирования. Ввиду свойств формул (6.4.4) и (6.4.5), удобно ввести новую переменную
ж = cos —, (6.4.6)
так что (6.4.4) принимает вид
^Лг+1(ж) ~ ж17п(ж) + п^_2 ^пим = 1,
гдегде
где
где
(6.4.8)(6.4.8)Un^ := en(w).
(6.4.8)
(6.4.8)
Замечание. Из (6.4.7) очень легко вычислить Un, п € Z+. Например, мы имеем
ЕЛ (ж) = s,
С72(а;) = |(1 + 2а;2),
^з(ж) = |(2s + s3),
иДх) = ^-(2 + Ils2 + 2s4).
Id
Из этого замечания вытекает, что по крайней мере для 0 < п < 4, (/„(s) — многочлен точно степени п с положительным коэффициентом при старшей степени. Более того, СЛ(1) = 1 и Un — четная функция при четных п и нечетная функция при нечетных п. То, что эти свойства выполняются для всех п € Z+, может быть установлено методом математической индукции. На самом деле можно сделать также следующие интересные заключения о нулях Un.
Лемма 6.12. Для камсдого п Е Zy, Un(x^ есть многочлен точно степени п, состоящий только из четных степеней, если п четно, и только из нечетных степеней, если п нечетно, такой что U^ > 0 и (7n(l) = 1. Кроме того, все нули Un —■ простые и чисто мнимые.
Доказательство. Мы приведем только доказательство последнего утверждения. Кроме того, так как легче рассматривать вещественные нули, мы будем изучать
Un(s) = —иДгхУ п Е Z+(6.4.9)
вместо Un. Достаточно показать, что все нули un простые и вещественные. Из (6.4.7) мы также имеем
1 + т2
(6410)
М^) - 1,
и, следовательно, легко показать, что un — четный при четном п и нечетный при нечетном п. Кроме того, из (6.4.9) следует, что
это означает, что коэффициент при старшей степени un также положительный. Теперь мы применим индукцию.
Предположим, что и^к имеет только простые и вещественные корни. Тогда, так как U2k—четная функция, то 0 не может быть его нулем, и все корни разбиваются на симметричные пары, ±^j, где
0 < 6 < • ■ • < ^-
Далее, и'1к не может обращаться в ноль в этих корнях, и, действительно, последовательность
ЬАк^Ы, • • ■ ^^(-6),^(6), • • -АЮ
должна иметь (строго) чередующиеся знаки. Следовательно, так как (6.4.10) утверждает, что
1 + С2
то последовательность
{«2Ан-1(~&:), ■ • ■ , U2k+i(—€1), «2А:+1(Ф), • - • , W+1G5:)}
(6.4.11)
также должна иметь строго чередующиеся знаки. Будучи нечетной функцией, ii2k+i должен обращаться в нуль при £ = 0,
1
6.4.Многочлены Эйлера—Фробениуса307
и из чередования знаков в (6.4.11) он имеет по крайней мере один нуль между ^ и ^+i, j = !,...,& — 1. Итак, u2fc+1 имеет по крайней мере 2(к — 1) + 1 = 2А; — 1 нулей в открытом интервале (—^, ^). Теперь из того факта, что н2к имеет положительный коэффициент при старшей степени, следует, что М2А:(^) > 0 (так как ^ — наибольший нуль). Следовательно, снова из (6.4.10) мы имеем
1 +wife) =—< о.
п + 1
Поскольку коэффициент при старшей степени U2k+i также \ положительный, г^-щ должен иметь по крайней мере один нуль справа от ^, и, будучи нечетным, он также имеет один нуль 'слева от —^. Это показывает, что tz2&+i имеет 2к + 1 простых вещественных нулей.
Предположим, что u2fc+i имеет простые вещественные нули ±pj и 0, где 0 < щ < • ■ • < % . Тогда с помощью такого же рассуждения, что и в (а), мы можем сделать заключение, что и2к+2 имеет нули на каждом из интервалов (0,Ц1), • • ■, (%-i,%), (%, °°)- Отсюда, будучи четным, и2к+2 имеет 2к + 2 простых вещественных нулей.□
Применяя лемму 6.12, мы можем сделать вывод из сопоставления Un с еп:
'к
e2k(w^ =U2k(x) = ск Y\ (х2-А-а2-), 0<а1<---<ак, ск>0,
e^kyiM = U2k+i^ = dkx П (х2 + 32), 0<Д <---</ЗкМк >0.
Ij=i
(6.4.12)
Затем мы должны связать мнимые нули Un с нулями многочленов Эйлера—Фробениуса. Так как z = е-^ и имеет место 20"
соотношение (6.4.6), то для любого a > О
22/в’"/2 +е-^/2\22
2
где
01,02 —
= ^{2 + (2 +4а2) + z х}
= ^-{г2 + (2 + 4a2)z + 1}
= —^"^ ~ а1)У - а2),
-(2 + 4а2) ± У(2 + 4а2)2 - 4
2
= — (1 + 2а2) ± 2аV1 + а2.
Итак, взяв
«1 = — (1 + 2а2) — 2а V1 + а2,
мы имеем
1
Й2 — — и — 1 < 02 < 0.
О1
Отсюда мы заключаем, что для любого a > О
Z
где — 1 < 7 < 0.
(6.4.13)
Чтобы применить этот результат к (6.4.12), положим
Aj — —(1 + 2a2) + 2aj t/1 + dj-
Тогда ясно, что —1 < Aj < 0 и
1 к
С2кН = ск^%""к^^ - 3^
(6.4.14)
'3
где z = е~™. Подставив (6.4.14) в (6.4.3), мы приходим к следующему результату.
Теорема 6.13. Пусть т — любое целое положительное число. Тогда многочлен Эйлера—Фробениуса Е^т-х порядка 2т — 1 (или степени 2т — 2) может быть записан как
2т—2
Е2т—l(z) = J^ (z Amj),(6.4.15)
где
^т,2т—2 < ^т,2т—3 < ■ • • < ^т,т < 1 < ^т,т— 1 < • • • < Атд <0
(6.4.16) и
^■т,Х^т,2т—2' * "^т,т—Х^т,т — !•(6.4.17)
Анализ погрешности сплайн-вэйвлет-разложения
В § 6.2, когда были введены в (6.2.5) сплайн-вэйвлеты (или В- вэйвлеты) с компактным носителем -фт, нормировочные параметры со и по для K(z') в (6.2.4) были выбраны так: 1
Со =7Т7 и no = 1- Следовательно, символы G(z^ и
(2m — 1)!х 7
Н^ в (5.3.15), которые соответствуют соотношению разложения (5.3.16) в теореме 5.16, даются формулами
Е1т-1^ Е^т-Х^У т (2m - 1)!Е^т-х^Е1т-1^ Е^т-Х^У т (2m - 1)!Е^т-х^(11\ 771
Е1т-1^ Е^т-Х^У т (2m - 1)!
Е^т-х^
Е1т-1^ Е^т-Х^У т (2m - 1)!
Е^т-х^
1 *Т £ \
(6.5.1)(6.5.1)/
(6.5.1)
(6.5.1)
п\^/
(см. (6.2.1) и (5.4.11)). Теперь давайте напомним из (5.4.46), что последовательности для алгоритма разложения (5.4.48) выбраны следующим образом:
®П — ^9—п,^П — ^^ —п-
Итак, для сплайн-вэйвлетов, которые не являются функциями Хаара (т.е. m > 2), «весовые» последовательности {а„} и {6П}—это бесконечные последовательности, и они должны быть усечены, чтобы применить (конечную) схему скользящего среднего в (5.4.48).
Замечание. Весовые последовательности для алгоритма восстановления (5.4.49) — конечные последовательности
{
Рп = 2-m+1 (7), п = 0,..., m,
m
qn = (_i)^m+1 £ (7)W2m(n +1- £),n = 0,... , 3m-2, 1=0
(6.5.3)
которые могут быть легко вычислены для любого порядка m с использованием линейных ТАП, как это было обсуждено в § 6.8 и § 6.9. Кроме этого, так как G^ и H(z) — рациональные функции, можно придумать рекуррентный алгоритм для разложения без усечения. Однако мы не будем обсуждать здесь этот подход.
Заметим, что единственный множитель в (6.5.1), который приводит к бесконечным весовым последовательностям разложения {ап} и {&„} в (6.5.1)—(6.5.2), есть i/E2m-i (г2). Мы проанализируем «погрешности», которые возникают в результате усечения этого множителя.
Начнем с рассмотрения фундаментального сплайна 2т-го порядка
ОО
= 52 с^тЛ12т(ж + т- к),(6.5.4)
k= — ОО
который уже обсуждался в параграфах §4.6 и §6.1 (см.(6.1.8)). Напомним из (6.1.12) и (6.1.13), что символ последовательности коэффициентов {с2т} в (6.5.4) есть обратная
величина обобщенного многочлена Эйлера—Фробениуса Лорана Fm := Е^т, а именно:
С2т^ := ^ ^^П= — ООС2т^ := ^ ^^П= — ОО1_ (2m - l)!^-1Fm^1) E2m—l(z)1_ (2m - l)!^-1Fm^1) E2m—l(z)(6.5.5)(6.5.5)
С2т^ := ^ ^^
П= — ОО
С2т^ := ^ ^^
П= — ОО
1_ (2m - l)!^-1
Fm^1) E2m—l(z)
1_ (2m - l)!^-1
Fm^1) E2m—l(z)
(6.5.5)
(6.5.5)
где E^m-i — многочлен Эйлера—Фробениуса порядка 2m — 1 (или степени 2m — 2), изученный в предыдущем параграфе. Итак, усечение l/S2m-i(z2) эквивалентно усечению ряда по S-сплайнам представления (6.5.4) фундаментального сплайна Ь2т- Для удобства давайте объединим множитель (2m — 1)!
г (2m) з
С (Сп ПОЛОЖИВ
=:= (еЛдУ”<6 5.6)
так что (6.5.5) становится
^.m—1Е2т— 1 (^)^.m—1Е2т— 1 (^)соп=—оосоп=—оо(6.5.7)(6.5.7)
^.m—1
Е2т— 1 (^)
^.m—1
Е2т— 1 (^)
со
п=—оо
со
п=—оо
(6.5.7)
(6.5.7)
Теперь мы усечем этот ряд Лорана, вводя для целого положительного N
N
Tm^V-= У2 ^^(6-5‘8)
Подставляя (6.5.7) и (6.5.8) в выражения (6.5.1) для G и Я, мы получим
(СяИ ЧЫ=" := т’П^2т+1Е2т-1№,Щ2),
I n
I HN^ = I E^n ;= -(2m - 1)! Q4^ a"2™ ^^
(6.5.9)
Конечные «усеченные» последовательности разложения —
это
(6.5.10)(6.5.10)aN,n = 9N-H,bN,n = h,N_n.
(6.5.10)
(6.5.10)
Из (6.5.9) ясно, что носители усеченных последовательностей даются формулами
supp {aw,n} = [—2^ — m + 1,2N + 2m — 1] П Z,
"’(6.5.11)
supp {6jv,n} = [—2N + m — 1,2N + 2m + 1] П2.
Когда конечные последовательности {адг)П} и {bw)n} используются вместо истинных последовательностей (ап) и {6„} в качестве весов в алгоритме разложения (5.4.48), то в результатах будет некоторое различие. Чтобы измерить эту погрешность, мы просто сравним точное восстановление по усеченным компонентам разложения с истинной последовательностью конечной энергии. Точнее, пусть
'№) = ^сЦ^Ух -к)
<к(6.5.12)
. cj = (4)
— некоторый В-сплайн-ряд в V™. Последовательность cJ — последовательность конечной энергии представления сигнала fj. Если fj разложен
fj = fN,j—i + 9N,j-i,(6.5.13)
где fN,j-i € t^i и 9nj-i Е ^7^1 с использованием (конечного) алгоритма разложения
^N,k = S aN,£-2kCg,< . ,*(6.5.14)
I
то мы сравним точное восстановление с^ по его компонентам разложения
^N := {^fc-^’ к € Z,
то есть с^ = {с^.}, к Е Z, где
(6.5.15)(6.5.15)^N,k = '^^k-^^N.t + Чк-йг^мД'
(6.5.15)
(6.5.15)
с истинной последовательностью cJ, где щ и q^ даются в (6.5.3). В метрике I2 погрешность усечения —это величина
Ё^')^ Е^-^/Ё^')^ Е^-^/£€2£€2х 1/2х 1/2(6.5.16)(6.5.16)
Ё^')^ Е^-^/
Ё^')^ Е^-^/
£€2
£€2
х 1/2
х 1/2
(6.5.16)
(6.5.16)
Так как В-сплайн Nm порождает базис Рисса пространства Vq71, то погрешность в (6.5.16) эквивалентна величине
гдегдеёУш := !№-/»,,||2,ёУш := !№-/»,,||2,(6.5.17)(6.5.17)fN,j у CN,k^m^ж &),fN,j у CN,k^m^ж &),(6.5.18)(6.5.18)
где
где
ёУш := !№-/»,,||2,
ёУш := !№-/»,,||2,
(6.5.17)
(6.5.17)
fN,j у CN,k^m^ж &),
fN,j у CN,k^m^ж &),
(6.5.18)
(6.5.18)
с {сдг^}, заданной формулой (6.5.15).
Для анализа погрешности нам требуется следующее выражение для коэффициентов разложения фундаментальных сплайнов в В-сплайн-ряды.
Лемма 6.14. Пусть Xmj j = l,...,2m — 2 — нули многочлена Эйлера—Фробениуса (2m — 1)-го порядка E2m-i, как в теореме 6.13. Тогда коэффициенты ряда Лорана в (6.5.7) даются формулой
для всех j Е Z.
Доказательство. Чтобы установить (6.5.19), нам требуется тождество (6.3.21) для модифицированных многочленов
Эйлера—Фробениуса S„, определенных в (6.3.19). Напомним, что
Езт— 1 (•г) = ^2m—1 (^), т = 1, 2,. . . , но для всех т Е^т + Е2т. Теперь из (6.3.21) и (6.4.17) мы имеем
Е^пАХт,^ = Xmj(l — AmjJS^-^Amj) ' ^(^i) = -A-У - К-^В'^Х^.(6-5-20)
Из простого наблюдения, что
и из (6.5.20) следует
В2т-1У^ = -\„Т1Е2™-УХ™,У'<65'21>
Прибегая к разложению на элементарные дроби и использованию последовательно соотношений (6.5.21) и (6.4.17) , мы получим
(6.5.22)
m—1 [\т—^j=l 1-^m-l^mjMlm—1 [\т—^j=l 1-^m-l^mjMlт—2т—2^m-l (^mj)(l Amjz)^m-l (^mj)(l Amjz)
m—1 [\т—^
j=l 1-^m-l^mjMl
m—1 [\т—^
j=l 1-^m-l^mjMl
т—2
т—2
^m-l (^mj)(l Amjz)
^m-l (^mj)(l Amjz)
□□(6.5.23)(6.5.23)
□
□
(6.5.23)
(6.5.23)
Это устанавливает (6.5.19).
Замечание. Положив
m —1
к=\
в (6.5.19) и применяя (6.3.21), мы имеем
^т—2
С = рГ-^ПП = ^^ - W^tXmP, (6.5.24)
где Е^т — модифицированный многочлен Эйлера—Фробениуса порядка 2т. Таким образом, формула (6.5.24) облегчает вычисление к^ и, следовательно, а^ в (6.5.23), так как Ёзт легко вычисляется (см. ЛТАП в примере 6.9 и (6.3.21)).
Для получения оценки величины погрешности в (6.5.16), напомним обозначение
Fm(^ =(6.5.25)
(2m-1)! zm"Y ’v 7
введенное в (6.1.13), и определим
т—1х —27V—227V+2 Л
/№)Нг™-1№„(г2)£4П/х2 + / Л Су
(6.5.26) Мы имеем следующие результаты.
Теорема 6.15. Для любого положительного целого т и любой с € £2
(6.5.27)(6.5.27)^ < тах|Д^(Д| ||с||^.
(6.5.27)
(6.5.27)
|z| = l
Теорема 6.16. Для любого целого положительного т существует целое положительное число Nq = МДтп) такое, что
стAmjстAmj(6.5.28)(6.5.28)т—1
ст
Amj
ст
Amj
(6.5.28)
(6.5.28)
тах|Д^(Д| = 2(2т - 1)! ^
кН13=1
для всех N > No. Кроме того, Ко^пД может быть выбрано равным нулю для т = 2,3,4.
Как результат двух приведенных выше теорем, учитывая, что члены под знаком суммы в (6.5.28) для 2 < m < 4 имеют чередующиеся знаки и по модулю монотонно убывают, мы приходим к следующему утверждению.
Следствие 6.17. Для m = 2,3,4 и любого целого поло- жителъного N
Е?^ < ^jA^-d^^lcl^,(6.5.29)
где
fc(m)
:= 2(2m - 1)!— (6.5.30)
Доказательство теоремы 6.15. Пусть с = с3 и с/у = с^ согласно (6.5.12) и (6.5.15); обозначим, соответственно, их символы С и Cn- Тогда из (6.5.14), (6.5.15) и (6.5.9) мы имеем
CN^ = ^P^Gn^ 4- Q^Hn^C^ ~(6.5.31)
+ {P^Gn(-^ + Q^Hn^-^CI.-^
где Ри Q — двухмасштабные символы В-сплайна m-го порядка Nm и В-вэйвлета V’m соответственно. Отсюда, применяя тождество (5.3.13), мы имеем
+ {P(z)[G(-z) -G„(-z)]
+ Q(z)[K(-z) - H«(-z)J}C(-z).(6.5.32)
С другой стороны, из (6.5.7), (6.5.8), (6.5.23), (6.5.25), (6.5.26) следует, что
R^ = 1 - (2m - 1у.Рт^Т^(z2),(6.5.33)
и тождество в теореме 5.10 (г) принимает вид
(1 + z)2mE2m-AZ) - (1 - гУтЕ2т_А-^ = 22mzE2m_^z2Y
(6.5.34)
Поэтому, применяя (6.5.33) и (6.5.34), величину в (6.5.32) можно упростить следующим образом:
Х .(2m-l)!Fm(22)“T-^] б^
^(l+^l-^F^-H-z)(6.5.35)
-(Т-яПН^Е^-^
Х ^m-l)!^2)-7™^
Теперь утверждение (6.5.27) следует из (6.5.35) с помощью равенства Парсеваля (2.4.18).□
Доказательство теоремы 6.16. Вводя обозначение
Fmj^ :—
(6.5.36)
и замечая, что
к^З
мы имеем из (6.5.24)
(6.5.37)(6.5.37)1/1
(6.5.37)
(6.5.37)
= $т ~ ^Y-Fm.j^mj') I ^mj ~ Т
Kj '\
Затем подстановка (6.5.37) в (6.5.26) дает
С другой стороны, положив z = е гш/2, выражение Fmj, определенное в (6.5.36), может быть записано как
(6.5.39)(6.5.39)т—2
(6.5.39)
(6.5.39)
Fm,j^ = Рт>~гш) = 52 ^mj^COS^.
1=0
Отсюда формула (6.5.38) принимает вид
771—1 771 — 2771—1 771 — 2m,j(^mj)(^mJ “ у^m,j(^mj)(^mJ “ у^(6.5.40)(6.5.40)
771—1 771 — 2
771—1 771 — 2
m,j(^mj)(^mJ “ у^
m,j(^mj)(^mJ “ у^
(6.5.40)
(6.5.40)
х cos tu) cos Nuj +х cos tu) cos Nuj +-cos(7V + l)w lAmj|-cos(7V + l)w lAmj|
х cos tu) cos Nuj +
х cos tu) cos Nuj +
-cos(7V + l)w lAmj|
-cos(7V + l)w lAmj|
Так как 0 < |Ашд| < - < |Am,m-i| < 1, ясно, чтоТак как 0 < |Ашд| < - < |Am,m-i| < 1, ясно, что
Так как 0 < |Ашд| < - < |Am,m-i| < 1, ясно, что
Так как 0 < |Ашд| < - < |Am,m-i| < 1, ясно, что
Но так как Fmj (г) — симметричный многочлен Лорана только с отрицательными нулями, то коэффициенты bmj^ в (6.5.39) должны быть строго положительны. Итак, из (6.5.41)
и (6.5.42) следует, что
Нт 1 у
N">OO ^771,771-1 ^ .у Гт^(Хт^(Хт^ — Д™)
Fm^-l^X^^^— Д^~"
для I — 0,..., т — 2, и поэтому существует целое 7V0 = -^о(^) такое, что для всех N > No
bmj^^mj^bmj^^mj^Fmo^mj)^Xmo x^jFmo^mj)^Xmo x^j(6.5.43)(6.5.43)
bmj^^mj^
bmj^^mj^
Fmo^mj)^Xmo x^j
Fmo^mj)^Xmo x^j
(6.5.43)
(6.5.43)
для £ — 0,..., т — 2. Как следствие, мы видим, что для всех ^ > ^ многочлен по косинусам R^^, который может быть записан в виде
т—2
^т^^ = (-l)^4"1 ^{7^+1) cosNw + ^mjtMN
1=0
имеет положительные коэффициенты (исключая множитель (_ 1)(^+х)) и удовлетворяет равенству
тах|<(;г)М^(1)|, N > N^.(6.5.44)
1^1=1
Поэтому, так как Fm(l) = ^NsmAj) = h из (6.5.44) и (6.5.26)
следует, что
тах|/?£Д)| = |Д^(1)| = 2(2т - 1)! |z|-lтах|/?£Д)| = |Д^(1)| = 2(2т - 1)! |z|-lт—13=1т—13=1А^+1 ЛтоА^+1 Лтоm,jm,j
тах|/?£Д)| = |Д^(1)| = 2(2т - 1)! |z|-l
тах|/?£Д)| = |Д^(1)| = 2(2т - 1)! |z|-l
т—1
3=1
т—1
3=1
А^+1 Лто
А^+1 Лто
m,j
m,j
(6.5.45) для всех N > Заметим, что (6.5.45) совпадает с (6.5.28), так как члены последовательности {А^1} имеют один знак. Для т — 2 ясно, что (6.5.45) выполняется для всех N > 0, и немного больше работы требуется для доказательства того, что (6.5.28) также выполняется для всех N > 0, когда т = 3 и т — 4. □
Мы заканчиваем этот параграф упоминанием, что для погрешности усечения линейных и кубических сплайн-вэйвле- тов справедлива следующая оценка сверху:
/42)(с) < 2.7320509 х (Q.26795)^1 ||с|Ь;^(е) < 7.8373747 х (0.5352805)^+1||с||£2.
Эти грубые оценки получены в результате применения следствия 6.17. Лучшие оценки, особенно для малых N и m = 2,3,4, могут быть получены в результате применения (6.5.28).
Вполне положительность, полная осцилляция и пересечения нулей
Как упоминалось в главе 4, S-сплайны обладают особым свойством, называемым «вполне положительностью». Это свойство является ключевой составляющей частью, которая ярко показывает, что В-сплайн-ряды
^PckNm(к^(6.6.1)
к
— это единственный наиболее подходящий инструмент, применяемый в целях «сглаживания». В этом параграфе мы покажем, что соответствующий В-вэйвлет "фт обладает свойством, которое в некотором смысле противоположно вполне положительности. В то время как В-сплайн-ряды «сглаживают» любые «неровные» данные, В-вэйвлет-ряды
У^^тС - к)(6-6.2)
«выделяют» («детектируют») такие данные. Важная разница между этими двумя рядами состоит в том, что ряды (6.6.1) никогда не осциллируют сильнее, чем их последовательность
коэффициентов {cjt}, в то время как ряды (6.6.2) осциллируют сильнее, чем {d^}. Мы будем говорить, что фт обладает особым свойством, называемым «полной осцилляцией», которое противоположно свойству вполне положительности сопутствующего ему Nm.
Определение 6.18.
Матрица М (конечная или бесконечная) называется «вполне положительной» (ВП), если любой минор М конечной размерности имеет неотрицательный определитель.
Функция двух переменных Fix, у) называется ВП-ядром, если матрица [F^^y^)], где {жД и {уk}-~ возрастающие последовательности чисел, произвольно выбранные из области определения F, есть ВП-матрица.
Последовательность {ап}, п = 0, !,-•• (конечная или бесконечная), с ао ^ 0, называется ВП-последователь- ностью, или Пойя-частотной (ПЧ) последовательностью, если теплицева матрица [а_^4-д;] при условии, что a~i = а_2 = ■ • ■ = 0, есть ВП-матрица.
В случае S-сплайна Nm мы будем рассматривать Nm (х — к) как функцию двух переменных х € R и к 6 Z. Следовательно, говоря, что Nm есть ВП-ядро, мы имеем в виду, что для любого положительного п и любых последовательностей ^Xj} и {4} с
выполняется неравенство
MNm^ - 4)] > 0. (6.6.4)
Доказательство этого важного факта о S-сплайнах не включено в эту книгу, но мы покажем, что, как следствие (6.6.4), последовательность
есть ПЧ-последовательность. В самом деле, беря хj = j + 1 и £к = к, где j,k G Z+, мы видим, что матрица, транспонированная матрице У^тХ^з — ^А:)] = V^mU + 1 ~ к)^ совпадает с верхней треугольной теплицевой матрицей, первой строкой которой является (6.6.5). Интересно отметить, что символ последовательности (6.6.5) есть умноженный на 1/(2т —1)! многочлен Эйлера—Фробениуса и может быть записан в виде
ОО12m—2
V N^j + l)zj = 77—777 П (2 + IW) I6-6-6) 3=0VJ=1
с Xm,3 < 0, j = l,-- ,2т - 2 (см. (6.4.16)). Этот результат следующим образом может быть распространен на любую ВП-последовательность.
Лемма 6.19. Пусть {«j}, j G Z+, — последовательность из I2, удовлетворяющая условию йо + 0- Тогда {й^} есть ПЧ-последовательность в том и только том случае, если ее символ может быть записан как
ОО00 1 i
3^03=1
где 7, ctj^Pj > 0 и
52 н+^) < °°-
Пример 6.20. Рассмотрим двухмасштабную последовательность {9^} В-вэйвлета m-го порядка -фт, как она дана в (6.2.6). В более общем виде, для каждого г = 0, ■ • - , т — 1 рассмотрим последовательность {9^7}, которая управляет его г-ми производными ^т\ как это определено формулой (6.3.6). В (6.3.29) было показано, что символ {9^^} есть
3m-2+rQ-m+r+l
kk=0V
и, следовательно, 9^, к = 0, • • ■ , 3m — 2 + г, имеет чередующиеся знаки, и символ {9^}, q^k := (-1)*9^ = ta^h равняется
, . о-m+r+1
^С? = (2m-l)!^"-1^1-1-*)"1^
что является многочленом только с отрицательными нулями. Отсюда, по лемме 6.19, {9^} есть ПЧ-последовательность. □
Напомним из теоремы 6.10, что {9^,} может быть вычислена применяя ЛТАП. В общем случае мы имеем следующий результат.
Теорема 6.21. Пусть Т — ЛТАП, определенный формулой (6.3.12) скь^п), кц(п) > 0 ubiXn), Ьц(п) > 0 для всехп € Z+. Тогда каждый 'Р(п) есть ПЧ-последовательностъ.
Важной характерной чертой ПЧ-последовательностей и ВП-ядер в общем случае является их так называемое «уменьшающее вариацию» свойство. Это есть «сглаживающий» эффект в том смысле, что «колебания», такие как изменения знака последовательности или функции, постепенно уменьшаются, когда они «фильтруются» путем свертки с ПЧ-по- следовательностями или интегрируются с ВП-ядрами.
Определение 6.22. Число сильных (или настоящих) перемен знака конечной последовательности а вещественных чисел, обозначенное как S'-(а), есть число перемен знака а, после того как вычеркнуты все нулевые значения последовательности. Число совместных сильных и слабых перемен знака этой последовательности а, обозначенное как S+(a), есть число перемен знака, когда каждое (внутреннее) нулевое значение последовательности считается за две перемены знака. (Примечание: Когда рассматривается конечная последовательность, первое и последнее значения последовательности предполагаются не равными нулю.) Число силъ-
ных перемен знака непрерывной функции / с supp / = [а, 6] определяется как
s-Ш
= 8ир{В""({/(ж0), • ■ • J^x^-.a <xQ<-<xn< b,neZ+},
(6.6.8)
и число совместных сильных и слабых перемен знака той же самой функции / определяется как
s+U)
= sup{B+({/(o;o),--- ,/(^n)}):a <x0< - <xn< Ь,пе7Ш.
(6.6.9)
Замечание. При рассмотрении числа В+(/) нас интересуют только те /, носители которых не содержат нетривиальных интервалов, на которых / = 0; таким образом, мы предполагаем Zc(/) = supp /, где
Zc(/) = clos{a; : /(ж) / 0}.(6.6.10)
В противном случае число ^(У) должно быть рассмотрено на каждой составляющей носителя /.
С помощью ВП-свойства может быть установлено следующее уменьшающее вариацию свойство В-сплайнов.
Теорема 6.23. Пусть т > 2 — целое положительное число. Тогда
S"~ км < З'ШкУБ ао,ап^О. (6.6.11)
\fc=o/
Что касается соответствующих В-вэйвлетов фт, мы увидим, что вместо возможного уменьшения числа перемен знаков В-вэйвлет-ряды всегда колеблются более часто, чем их
последовательность коэффициентов. Это свойство полной осцилляции i^, которое противоположно ВП-свойству Nm, делает -фт полезными в применениях по локализации и измерению таких нерегулярностей, как особенности функций.
Теорема 6.24. Пусть т > 2 и do,dn ^ 0. Тогда
S~ | У^d^m{- — к) ) > п + 3m — 2 > S~({<4}) + 3m — 2. \fc=o/
(6.6.12)
Если нули вэйвлет-рядов также считать за перемену знака, то можно ожидать завышенную нижнюю границу этой величины. В этом направлении мы имеем следующий результат, справедливый для линейных В-вэйвлет-рядов.
Теорема 6.25. Пусть do,dn ^ 0. Тогда
(
71\
У2 dkM- - Ш > 2п + 4 - В"({4}).(6.6.13)
к=0/
Более того, если носитель этого В-вэйвлет-ряда — интервал и если S~({dk}) = 0, то
8+ ( ^ dkM - Ш = 2п + 4.(6.6.14)
\fc=o/
Замечание. Результат в формуле (6.6.14) оправдывает термин «полная осцилляция».
Доказательство теоремы 6.24. Напомним из теоремы 6.3 §6.1, что (вэйвлет)-пространство IPq" может быть отождествлено с кратномасштабным подпространством у2тп’° пространства V^m через дифференциальный оператор т-го порядка Dm.
Однако вместо того, чтобы рассматривать здесь соотношение фг m — Dmi/;2m-> давайте введем сплайн 2m-го порядка
-2m—2
»5™ = Е ИЫ) + 1 №„(22 - j),(6.6.15)
j=0
который принадлежит уЗ"1’0. Легко проверить, что
к е Z}
есть базис Рисса у^т’°. Более того, аналогично соотношению ПтФ2т = фцтт мы также имеем
^^2т ~ V'm-
Действительно, m-кратное применение (ж) в теореме 4.3 дает
2m—2
(Б^Ф^ХД = ^ Е (-1№т(.7 + ^тЧ^ - Д
J=0
2т—2т/ х
=Ент™и +1)Е^1^QNm(2x-j~k)
j=0&=0
3m—2 / /m / x\
= E ^E(”1)
£=0 \k=0)
3m—2
=' q(Nm(2x — I) = ^m(ai).
Отсюда,мы можем использоватьФ^т вместо Ф2т
в теореме 6.3. Рассмотрим теперь сплайн-ряд
71
G^ = Е^Ф2т(ж - kY
к=0
Так как d0, dn ^ 0 и внррФзт = [0,2т — 1], мы видим, что
Таким образом, из факта, что
G^ = o, kez,
* G^(0) =G^(n + 2m- 1) =0, ^ = 0,...,2m-2 (6,6Л7^
„f" (I)I
следует, что существует семейство точек \Xj }, j = 1,..., п + 2m + £- 2и£ = 1,...,ш, удовлетворяющих неравенствам
'0 < ж)1^ < 1 < ж?* < 2 < ■■ ■ < n + 2m -2 <, < n + 2m — 1
n (2X (1)(2)(1) „(1)_ (2)O 1
Л 0<ж)Хж)<--ХжЦ2т_1 <жД2т<п + 2т-1
<0<*i Хж) Хж^ Хж^Х--Хж„+3т_3<ж„+зто_2<п + 2т—1
(6.6.18)
такое, что G^ имеет (сильную) перемену знака в каждой точке ж^\ j = 1,..., n + 2m + £ — 2. В частности,
(ж) = ^ ^к Фт (ж - к)
к~0
имеет (сильную) перемену знака в каждой точке
’ • ' " Хп+зт-2-ш
Доказательство теоремы 6.25. Чтобы вычислить наиболее точно 5+, нам требуется результат из теории ВП-матриц, а именно: если А — любая р х (n + 1) ВП-матрица с р > п, то
S~(AV) < min(n, S“(v)) = S“(v)(6.6.19)
для любого вещественного (п 4- 1)-мерного вектора v. Этот факт, по сути дела, является ключевым моментом для установления теоремы 6.23. Вдобавок, если v = (vq, ..., ип) и v := (vq? —v1) ^2; • • • i (~1)" х), то легко проверить, что
S+(v) + S (v) > n.S+(v) + S (v) > n.(6.6.20)(6.6.20)
S+(v) + S (v) > n.
S+(v) + S (v) > n.
(6.6.20)
(6.6.20)
Чтобы доказать (6.6.13), нам нужна матрица
А := (-1)' 2fc+1^2 Н-А := (-1)' 2fc+1^2 Н-(6.6.21)(6.6.21)
А := (-1)' 2fc+1^2 Н-
А := (-1)' 2fc+1^2 Н-
(6.6.21)
(6.6.21)
1
6
10 1
6 6
1 10
1
6
106
1
Легко также проверить, что (2п+5) х (п+1) матрица А является ВП-матрицей. Отсюда, применяя (6.6.19) и (6.6.20) к вектору V = (V0,-..,V2n+4) С
71
:= 52dfc ^2
к=0
мы имеем
S+(v) >2n + 4-S”(v) >2п + 4-В“(№}).
Это устанавливает (6.6.13).
Затем, используя двухмасштабное соотношение для ^2 относительно N2, В-вэйвлет-ряд 52 dk ^(- — к) может быть записан как В-сплайн-ряд по ^(2 • — к). Так как носителем этого ряда является интервал, мы имеем, применяя вдобавок результат о ВП В-сплайнов,
(6.6.22)(6.6.22)S+ [524 ^г(- - к) j < 2п + 4.\fc=o/
(6.6.22)
(6.6.22)
В применениях очень важно оценить осцилляции В-вэйв- лет-ряда. Например, распределение нулей диапазона пропускания частотно-ограниченного сигнала, определяемого «скоростью Найквиста», может быть полностью установлено по его изолированным нулям (называемым «пересечением нулей») в случае выполнения некоторых условий. Однако, когда В-вэйвлет-ряд интерпретируется как сигнал из некоторого диапазона, он не должен иметь ограниченный диапазон, так как он отличается от целых функций экспоненциального типа. Тем не менее, когда используются линейные В-вэйвлеты, мы имеем еще и следующую теорему. Аналогичные результаты для В-вэйвлетов более высоких порядков не приводятся в этой книге.
Теорема 6.26. Пусть
[/(ж) = Е ^^(^-j),
Ij=0
sM = Е CjM$- з)
I5=0
— два линейных сплайн-вэйвлет-ряда с Z^f) = Zc(g) = [0,n + 3], таких что 8~(с) = 0 и g имеет только простые нули. Тогда, если fug имеют одни и те же нули, то f должна быть константой, умноженной на д.
Доказательство. Из наших предположений мы имеем dodn ф 0 и соСд + 0- Выберем с так, что Cq = cdo. Тогда
п
(д - сЛ^ = y^Cj - cd^^x - jf
5=1
Предположим, что разность д — cf не равна тождественно нулю. Тогда без потери общности мы можем предположить, что Zc(g — с/) = [1, п + 3]. Так как (у — с/) € У2, то по так называемой теореме Будана—Фурье число нулей Z^g — с Л с
учетом их кратности функции д — cj в открытом интервале (1,п + 3) не превосходит 2п + 2, то есть
Z(g - cf) < 2п + 2.Z(g - cf) < 2п + 2.(6.6.23)(6.6.23)
Z(g - cf) < 2п + 2.
Z(g - cf) < 2п + 2.
(6.6.23)
(6.6.23)
С другой стороны, так как д на (0,1] есть константа, умноженная на ^2, то она имеет на (0,1] один простой ноль. Поэтому, из теоремы 6.25 следует, что
s'+(9)l(i,n+3) = ^ (9)|(о,п+з) - 1 > 2п + 4 - S (с) - 1 = 2п + 3.
(6.6.24)
Более того, так как д имеет только простые нули и / имеет те же нули, что и д, мы имеем
(6.6.25)(6.6.25)^(9)1(1,п+з) < 2^9 - с/).
(6.6.25)
(6.6.25)
Поэтому из (6.6.23)-(6.6.25) мы получаем
2п + 3 < ^(з)^^) < Z(g)|{ljn+3) < Z^g - с/) < 2п + 2,
что абсурдно. Это и завершает доказательство теоремы. □
Глава 7
Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
Из очевидных соображений ортонормированные (о.н.) базисы — наиболее желательные базисы в гильбертовом пространстве. В частности, если о.н. базис в L2(R) порожден некоторой ^-функцией 0, то, будучи двойственной самой себе, 0 уже является вэйвлетом. Более того, двухмасштабная последовательность {д„} функции 0 относительно масштабирующей функции ф получается из двухмасштабной последовательности {рп} функции ф простым взятием комплексного сопряженного с последующим чередованием знаков и изменением направления на противоположное с единичным сдвигом. Например, как в (5.6.14), мы можем положить
Чп = ( 1) Р—п+1-
Другими словами, по существу только одна двухмасштабная последовательность управляет вместе кратномасштабным анализом (КМА) и соответствующим ему вэйвлет-разложе- нием. Что наиболее интересно — это то, что после применения комбинации {рп} и {(/,, } для получения двухмасштабных соотношений с ф, вэйвлет-пространства Wn могут допускать дальнейшие ортогональные разложения. Семейства новых ортогональных базисных функций, полученные таким образом, на-
зываются вэйвлетп-пакетпами. Эта глава посвящается анализу и построению о.н. вэйвлетов и их вэйвлет-пакетов. В частности, будет обсуждаться построение о.н. вэйвлетов с компактными носителями.
Примеры ортогональных вэйвлетов
Основная структура вэйвлетов и их двойственных была изучена в § 5.4, где предлагаемая стратегия состояла в том, что все начиналось с двух допустимых двухмасштабных символов Р = Рф и. G* — G*^ двойственных друг другу. Для построения о.н. вэйвлетов, как мы видели в § 5.6, ф также с необходимостью должна быть двойственной самой себе, так что G* = Р и соотношение двойственности (5.4.7) принимает вид
|Р« + |Р(-< = 1, М = 1.(7.1.1)
Кроме того, по теореме 5.19 основное определение двухмасштабного символа Q для о.н. вэйвлета ф относительно масштабирующей функции ф дается через
CoZ2^o-1p(_z),|2| = 1,(7.1.2)
где со = ±1 и по — произвольное целое число. Чтобы быть совместимым с выбором в (5.6.13) и (5.6.14), положим со = — 1 и no = 1, так что
Q^ = -zP(^, >| = 1-(7.1.3)
Следовательно, чтобы построить о.н. вэйвлет ф^ мы должны исследовать двухмасштабные соотношения
_7м = р(е-“/2)Д^),
= Q(e~"/2) # (Я ■
Конечно, если ф или Р известно, то ф и, следовательно, ф определяются с помощью применения второго соотношения в (7.1.4) с использованием (7.1.3).
Пример 7.1. Пусть m — любое положительное целое число, и Nm обозначает В-сплайн m-го порядка. Тогда по теореме 3.23 (см. также (3.6.18)) масштабирующая функция фт, преобразование Фурье которой дается формулой
Фт^') —Фт^') —-^т(ш)E|AMw + 27r.k)|2 к/-^т(ш)E|AMw + 27r.k)|2 к/у—гтш/2у—гтш/2sin ш/2 \ тsin ш/2 \ т(Вт(е~^))1/2(Вт(е~^))1/2(7.1.5)(7.1.5)
Фт^') —
Фт^') —
-^т(ш)
E|AMw + 27r.k)|2 к/
-^т(ш)
E|AMw + 27r.k)|2 к/
у—гтш/2
у—гтш/2
sin ш/2 \ т
sin ш/2 \ т
(Вт(е~^))1/2
(Вт(е~^))1/2
(7.1.5)
(7.1.5)
есть о.н. масштабирующая функция в том смысле, что ^Фт(" — к) : к Е Z} является о.н. базисом пространства Уот. Здесь Fm — обобщенный многочлен Эйлера—Фробениуса Лорана относительно Nm, как это определено в (6.1.13), и структура Fm обсуждалась в § 6.4 (см. (6.1.13) и теорему 6.13). Как следствие, применяя (7.1.3)-(7.1.5), преобразование Фурье ф о.н. вэйвлета ф, который порождает {ИЕ} дается формулой
где z = е ^Р. При m = 1 легко видеть, что о.н. вэйвлет ф^ заданный (7.1.6), есть не что иное как функция Хаара фн- □
Конечно, если мы уже имеем п.о. вэйвлет, то процедура ортонормализации, сформулированная в (3.6.18), легко дает о.н. вэйвлет.
Пример 7.2. Пусть ф — один из п.о. сплайн-вэйвлетов фцт, Фт или фт, m > 1, введенных в предыдущей главе. Тогда ф\ преобразование Фурье которой дастся ^формулой (3.6.18), есть о.и. вэйвлет. Для ф = фрт , Фт или фт результаты, полученные в главе 6, легко могут быть применены для определения рядов Лорана
52 l^ + 2яА;)|2.
к
(См. (6.1.11)-(6.1.13), (6.2.5) и (6.2.9).)
В общем случае, так как мы ничего не знаем о масштабирующей функции ф или ее двухмасштабном символе Р = Рф, мы должны очень постараться, чтобы прийти к одному из них. Напомним, что наша стратегия состоит в построении Р, и следующие два параграфа будут посвящены усилиям в этом направлении. В конце этого параграфа мы приводим пример, в котором вместо Р первым построено ф.
Пример 7.3. Пусть 0 < s < тг/З, 0<A<1<S<OO и N — произвольное положительное целое число. Выберем некоторую функцию ц € C^R), которая удовлетворяет следующим условиям:
{
suppf) = [—тг — е , тг + е];
т)(ш) = 1 для |йт| < ТГ — £ и(7.1.7)
А < 52 l5?^ + 2тг/с)|2 < В, ш G R.
к
Тогда мы можем ввести функцию ф, преобразование Фурье которой дается формулой
ФМ(7.1.8)
[ 52|ц(ш + 2тг/с)|2 )
\ к/
Ясно, что ф удовлетворяет условию
(7.1.9)(7.1.9)supp Ф = [—ТГ — Е , Л + е]
(7.1.9)
(7.1.9)
и что функция Р, определенная на единичной окружности
ОО
Ле-/Ш)= 52 Ф(2ш + 4тгА:),(7.1.10)
fc= —ОО
принадлежит CN. Отсюда, интегрируя ряд Фурье
1 ОО
/М:=Р(е—) = ~ £ Рпе-™(7.1.11)
П= —ОО
по частям N раз, мы получаем
11\ г27Г
Рп = ~ /М «и; = - ( -/ f^H етш<Н
Jo\п/ Jo
так что
рп = О(|п|-ЛГ), |п| оо.(7.1.12)
В частности, мы имеем {рп} е I2. Затем, рассматривая два отдельных случая, мы покажем, что
ФИ = РН1ш/2) ф (^) , шен. (7.1.13)
Предположим, что ш ф suppt^. Тогда мы имеем
Р(е-^/2) = 52ф(ш + 4л/с),
к^О
так что или ф (^) = 0, или иначе Р(е~гш/2) = 0. Таким образом, в этом случае обе части (7.1.13) равны нулю.
Предположим, что ш € supp^. Тогда мы можем сделать следующие два заключения. Во-первых, так как 0 < е < тг/З, то для всех неравных нулю к следует, что ^ (^ + 27ГМ = о, так что ф (^) = Т) (^) /17(f) = 1. Во-вторых, мы имеем Р^е-Ш^ = ФН- Поэтому обе части (7.1.13) равны ФИ-
(7.1.14)(7.1.15)(7.1.14)(7.1.15)Из определения 0(ш) в (7.1.8) мы уже знаем, чтоШ'-Л : k G Z}
(7.1.14)
(7.1.15)
(7.1.14)
(7.1.15)
является о.н. семейством (см. теорему 3.23) и что Г ^(0) = 1,
Хп^ф^Л = о, o/fcez, nez+.
Ввиду формулы суммирования Пуассона (см. (2.5.11)) это значит, что (7.1.14) обладает свойством разбиения единицы, а именно:
- k) = 1, хб R.(7.1.16)
к=—оо
Следовательно, чтобы сделать вывод о том, что ф порождает КМА {Ип} пространства Z2(R), остается проверить, что для любой / G L2(R)
\\Рп(П-/Ih^O, тг^оо, (7.1.17)
где Pn(f ) обозначает L2(R) проекцию / на Vn. С этой целью нам нужно знать скорость убывания ф. Это легко, так как TV-кратное интегрирование по частям дает
[ ф^^ш) егхшйш = (,—гх^ Г ф(ш) e^dw = ^тт^—гх^ фЛ)
J—ООJ—ОО
из чего следует
ФИ = 0 (гггр) ■(7'1Л8)
Теперь, используя ядро
ОО
•^(^у)= 52 ФЛ-кШу-Л, (7.1.19) к=—оо
мы можем представить проекцию Рп(Л от / как
Z
OO
к^уШу-
•оо
Так как (7.1.16) означает, чторос/ K(x,y)dy = 1,J —ООто мы можем сделать вывод, чтоТак как (7.1.16) означает, чторос/ K(x,y)dy = 1,J —ООто мы можем сделать вывод, чтож 6 R,ж 6 R,||Рп/-/||2 = 2п||Рп/-/||2 = 2пГСО/ K^^yHBWJ —ООГСО/ K^^yHBWJ —ОО(7.1.20)(7.1.20)К(2^,у)[/(2^у)К(2^,у)[/(2^у)f^Wf^W2211 + |2П • -y\N11 + |2П • -y\Nl/(2~ny) - /(-)|dyl/(2~ny) - /(-)|dy
Так как (7.1.16) означает, что
рос
/ K(x,y)dy = 1,
J —ОО
то мы можем сделать вывод, что
Так как (7.1.16) означает, что
рос
/ K(x,y)dy = 1,
J —ОО
то мы можем сделать вывод, что
ж 6 R,
ж 6 R,
||Рп/-/||2 = 2п
||Рп/-/||2 = 2п
ГСО
/ K^^yHBW
J —ОО
ГСО
/ K^^yHBW
J —ОО
(7.1.20)
(7.1.20)
К(2^,у)[/(2^у)
К(2^,у)[/(2^у)
f^W
f^W
2
2
1
1 + |2П • -y\N
1
1 + |2П • -y\N
l/(2~ny) - /(-)|dy
l/(2~ny) - /(-)|dy
где была использована оценка
К^у) <К^у) <С1 + |ж — y\N ’С1 + |ж — y\N ’(7.1.21)(7.1.21)
К^у) <
К^у) <
С
1 + |ж — y\N ’
С
1 + |ж — y\N ’
(7.1.21)
(7.1.21)
которая следует из (7.1.18). Применяя обобщенное неравенство Минковского (которое является £2(R) аналогом (2.4.3) и может быть легко выведено с использованием (2.1.1)), мы получаем из (7.1.20)
/-00 J
РЛ-А < с /—-^||/(- - 2-"») - J(-)||2 dg. (7.1.22)
J—OO "Г" |У|
Остальная часть доказательства проводится стандартным образом и состоит из разбиения интеграла на две части. Сначала для любого е > 0 выберем такое большое М > 0, что
1\у\>М 1 + 1уГ У
Затем, так как / € L2(R), мы имеем для |у| < М
||/(.-2-иу)-/(.)||2-^0(7.1.23)
равномерно при п -> оо. Это устанавливает (7.1.17).□
Идентификация ортогональных двухмасштабных символов
Техническая проблема построения масштабирующих функций и вэйвлетов состоит в идентификации допустимых двухмасштабных символов Р = Рф (см. определение 5.4; напомним, что наша общая стратегия - это начать с пары двойственных двухмасштабных символов Рф и Gp. После сплайн- вэйвлетов, изученных в главе 6, и трех примеров, касающихся о.н. вэйвлетов, обсужденных в предыдущем параграфе, кажется нет другой доступной процедуры построения ф как бесконечного произведения
ОО
ФМ =(7-2Д)
к=1
Хотя некоторые условия, наложенные на предельные функции таких бесконечных произведений, были определены в теоремах 5.5 и 5.6, эти условия прямо не касаются двухмасштабных символов Р и не обеспечивают всех требований на ф, необходимых для порождения КМА. Этот параграф посвящен изучению рядов Лорана Р Е W, которые являются двухмасштабным символом некоторой ф. Так как полная характеристика Р не представляется возможной, мы будем удовлетворены достаточным условием, которое может быть легко применено. Это является продолжением наших усилий, начатых леммой 5.20. Здесь отличие состоит в том, что особое внимание уделяется ф, которые являются о. н. масштабирую- гцими функциями, поэтому мы имеем в виду, что ф не только порождает КМА пространства L2(R), но также удовлетворяет требованию
WM*-^ =5jik, зЛ^г. (7.2.2)
Давайте сначала напомним из (5.1.12) и (7.1.1) необходимые условия, которым должен удовлетворять двухмасштабный символ Р некоторой масштабирующей функции ф.
Лемма 7.4. Пусть Р — ряд Лорана в классе Винера "W. Если Р — двухмасштабный символ некоторой масштабирующей функции ф, которая является о.н. в смысле (7.2.2), то Р долэюен удовлетворять равенствам
Р(1) = 1 и(7.2.3)
)Р« + |Р(-< = 1, |Д = 1.(7.2.4)
Поэтому, ввиду (7.2.3), мы, как в (5.1.17), заинтересованы в тех Р из W, которые могут быть выражены как
ГИ Д5>г‘= (™^)”s(z),
<к\7(7.2.5)
где N — некоторое положительное целое число и
S EW удовлетворяет условию 5(1) = 1.
Для любого S в (7.2.5) мы можем написать
jк(7.2.6)
I В := тах|5(г)|.
Целью этого параграфа является установление удобного условия для множителя S, который бы обеспечил, что Р является двухмасштабным символом некоторой о.н. масштабирующей функции.
Теорема 7.5. Пусть Р EW удовлетворяет (7.2-4) и (7.2.5) для некоторого N > 1, так что
52Ы|М£<оо(7.2.7)
к
для некоторого е > 0 и
В < 2^,(7.2.8)
где используется обозначение из (7.2.6). Тогда бесконечное произведение
00
сходится к g t C(R) Г) L1(R) П L2(R) всюду. Более того, функция ф G L2(R) с ф — g есть о.н. масштабирующая функция, которая порождает КМ А в L2(R).
Доказательство этой теоремы будет зависеть от последовательности лемм.
Лемма 7.6. В предположениях (7.2.7) и (7.2.5) для некоторого N > 1 бесконечное произведение в (7.2.9) сходится всюду к непрерывной функции д.
Замечание. Эта лемма отличается от теоремы 5.5 тем, что в ней предположение накладывается на S вместо конечного произведения в (5.1.18).
Доказательство. Из (7.2.7) и соотношения (7.2.5) легко видеть, что {р/Д также удовлетворяет неравенству
У>к\М<~-(7.2.10)
к
и из (7.2.10) следует, что для любого h > 0
\P(e~^h^ - Р(е"^)| < ^ Ы \e"ikh - 1| к к
к
(Здесь без потери общности мы рассматриваем 0 < s < 1.) Отсюда, поскольку Р(е~гш) есть функция от ш , то Р(е~1ш) принадлежит классу Lip е (см. определение 5.7). Более того, из тех же выкладок, какие были проведены в (5.1.21), и вышеприведенного заключения (при условии, что S заменено на Р и а на е) мы можем сделать вывод, что бесконечное произведение в (7.2.9) сходится. Чтобы доказать непрерывность
предельной функции g при любом wq, предположим сначала, что g(wo) ^ 0. При этом предположении мы имеем
ffM - д^ = g(w0){g(w)/g(w0) - 1}
= зНК exp= зНК exp£ln[l - (1 - Р^^^Р^-^^^ .fc=i
= зНК exp
= зНК exp
= g(w0K exp= g(w0K exp
= g(w0K exp
= g(w0K exp
= o(l), w -> WQ.
С другой стороны, если д(шо) = 0, то так как Р(1) = 1, то существует достаточно большое целое ко, зависящее от шо, такое, что предельная функция
сю
дИ = П
fc=fco
удовлетворяет неравенству д(шо) / 0. Проведенные выше преобразования показывают, что д непрерывна в точке ищ так что
fco—1
дИ = 5Ы П
к=1
также непрерывна в этой точке.□
Лемма 7.7. В предположениях (7.2.8) и (7.2.5) для некоторого N > 1 предельная функция д(ш) в (7.2.9) удовлетворяет неравенству
/ 1 \ 1+7?
(7.2.11)(7.2.11)IffMI <(7(1, шеН
(7.2.11)
(7.2.11)
для некоторого р > 0.
Доказательство. Вернемся к определению bj в (5.1.18). Ввиду (7.2.8) мы имеем
61 = log2 Bi = log2 В < N - 1.
Итак, выбрав no = 1 в теореме 5.5, заключение в (5.1.20) теоремы 5.5 дает (7.2.11) с
т) := N — bi — 1.□
Замечание. Остановимся на минуту, чтобы обобщить уже доказанное и дать основные принципы оставшейся части доказательства теоремы 7.5.
Как следствие лемм 7.6 и 7.7 заключаем, что бесконечное произведение в (7.2.9) сходится к некоторой функции
р€ C'(R)DL1(R)DL2(R),
которой и будет называться это бесконечное произведение. Отсюда по теореме 2.17 существует единственная ф Е L2(R). преобразование Фурье которой ф есть это бесконечное произведение. Следовательно, ф удовлетворяет равенствам:
ф^ = Р(е~гш^)ф (^) или
* Ф(^ = ^РкФ^х -к\(7.2.12)
к
Таким образом, мы можем ввести
ф^к(х) = 2j^2 ф^У ж - к\ з,кЕЪ(7.2.13)
и
Vj = closL2(R) кФък : к Z).(7.2.14)
Из (7.2.12) ясно, что {1^} —это последовательность вложенных замкнутых подпространств L2(R), и чтобы доказать, что это —КМ А в L2(R), мы должны показать, что объединение
Vj плотно в L2(R) и что ф порождает базис Рисса Vo-
Сначала мы докажем, что ф порождает о.н. базис Vo- Чтобы доказать плотность объединения Vj, j Е Z, мы должны в наших рассуждениях следовать подходу, обсужденному
в главах 1 и 3 при построении о.н. вэйвлет-базиса пространства L2(R). Это будет означать не только
с1О8£2(К) ( [J V) j = Z2(R),(7.2.15)
\jez /
но также и
A Vj = {0}.(7.2.16)
(См. лемму 5.1.) Из исследований § 5.6 мы знаем, что хорошим кандидатом на о.н. вэйвлет является
^М := "^дкФк^ ~ к),(7.2.17)
кех
где
Qk := (-1)*р_А+1.(7.2.18)
Так же, как обычно, мы положим
Фз^^-У^ф^ х-к\ зЛ^Ъ.(7.2.19)
Тогда доказательство теоремы 7.5 будет завершено, если мы сможем показать, что семейство
W : j, к Е Z}(7.2.20)
является базисом L2(R).
Для доказательства того факта, что ф порождает о.н. базис (и,следовательно, базис Рисса) Vq, мы напомним из теоремы 3.23, что это эквивалентно доказательству того, что
— J= jEZ. (7.2.21)
Лемма 7.8. В предположениях теоремы 7.5 бесконечное произведение g = ф удовлетворяет (7.2.21).
gn(w) :=gn(w) :=Доказательство. Доказательство этой леммы подобно доказательству в одном направлении теоремы 5.22. Действительно, положив
gn(w) :=
gn(w) :=
(7.2.22)
k=lk=lмы имееммы имеем
k=l
k=l
мы имеем
мы имеем
которое совпадает с (5.4.22), где G заменено на Р. Следовательно, из (5.4.25) мы получаем
1 el^\gn^\2dco = 5jfi, j Е Z; (7.2.23)
2?Г J—оо
и, снова применяя лемму 5.20, мы имеем
[ ечш |0(w)|2do; = lim In = ^о
для всех j E Z.□
Для того чтобы показать, что семейство (7.2.20) является о.н. базисом L2(R), полезно знать свойства последовательностей {р^} и {<%}, связь которых дается формулой (7.2.18).
Лемма 7.9. Пусть {р^} и {^} определяются (7.2.5) и (7.2.18), где Р удовлетворяет (7.2.3) и (7.2.4). Тогда эти две последовательности имеют следующие свойства:
E?fc = 2;
к
52 Рк—2£ Рк—2m = 25/>т;
к
52 Чк—2£ Qk—2т = 2<5^>т;
к
ILPk^qk-lm = 0 и к
52{Р£—2k Pm—2к Q£—2k Ят—2к} ~ 25^j7n к
для всех €,т G Z.
Доказательство. Утверждение (а) эквивалентно (7.2.3), утверждение (б) — (7.2.4) и, ввиду (7.2.18), (в) есть очевидное следствие (б). Интересно видеть, что свойство «ортогональности» (г) может быть легко выведено простой заменой индексов. Действительно, мы имеем
^2,Рк-2£Чк-2т = ^2,^-^к Рк-2£Р—к+2т+1 кк
= ^ '(~ 1)^"*" P—j+2rn.+lPj~2£~~^^Pk—2£Qk—2m- jк
Окончательно для проверки (д) мы видим после применения (7.2.18) для замены q на р, что две суммы в (д) просто образуют разбиение суммы в (б) на одну сумму по нечетным индексам и вторую сумму по четным индексам.□
Как следствие тождества (д) в вышеприведенной лемме, мы имеем следующий результат.
Лемма 7.10. Для всех х Е R
2ф(2х — т) = ^{pm-2fc Ф(х - fc) + qm-2k Фкх ~ ^, m С Z.
к(7.2.24)
Доказательство. Получается в результате применения (7.2.12), (7.2.17) и (д) в лемме 7.9.□
В дальнейшем будет полезна следующая формула разложения.
Лемма 7.11. Для каждой f Е Ь2(П)
Y^!*.^ = ТЛМ*-'*Р + |</,^-1л>12}, i е z.
*(7.2.25)
Доказательство. Получается в результате применения леммы 7.10, свойств (б), (в) и (г) в лемме 7.9.□
В добавление к их прекрасным свойствам «разложени- я», установленным в леммах 7.10 и 7.11, два семейства ^ФззЛ и ^j,k^ обладают, как ожидалось, следующими свойствами ортогональности.
Лемма 7.12. В пред-полоэюениях теоремш 7.5 два семейства 1Фз,к1 и {Ф^к} удовлетворяют следующим равенствам:
кФз^, Фj,£) = &к,ь YM € Z;
кФз,к! $j,l} = 0, j, кД Е Z и
^j,k, Фе^ = 6j,e5kim, ^к^т е Ъ.
Доказательство. Утверждение (а) следует из леммы 7.8 в результате применения теоремы 3.23 и изменения масштаба. Чтобы проверить (б), мы просто применим (а), (7.2.12), (7.2.17) и лемму 7.9 (г). Такой же вывод, с тем исключением, что применяется (в) леммы 7.9 вместо (г), дает утверждение (в) для случая, когда j = L Для j / ^ пусть j > £, мы замечаем из (7.2.17), что ф£>т Е Уцд. Так как V^+1 С Vj и ■фз^к ортогональна Vj по (б), мы видим, что ^к ортогональна Ф1,т-□
Следовательно, {^д-} является о.н. семейством в L2(R). Как было упомянуто в предыдущем замечании, наш подход к доказательству плотности объединения Vj в I? (R) состоит в проверке того факта, что это семейство является о.н. базисом L2(R). Стандартная процедура в гармоническом анализе —это вывод «равенства Парсеваля» для ^j^kY Это и будет установлено в следующей лемме. Заметим сначала, что любое о.н. семейство удовлетворяет «неравенству Бесселя». Доказательство этого простого факта тождественно доказательству неравенства Бесселя для (тригонометрических) рядов Фурье (см. теорему 2.18).
Лемма 7.13. В предположениях теоремы 7.5. о.н. семейство {фрк}, зЛ € z> определенное формулами (7.2.17)- (7.2.19), удовлетворяет следующему «равенству Парсева- ля»:
Е КЛ-ЫМ/Й, feLW (7.2.26) pkEZ
Доказательство. Пусть Cq° обозначает класс всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. Мы установим сначала (7.2.26) для всех / G С§°. Как было упомянуто выше, так как ^j,k : k G Z) есть о.н. семейство для каждого j, мы имеем «неравенство Бесселя»:
£|(/,^>12<11/П1<^ з е z kEZ
Теперь для любой пары положительных целых чисел L и М, суммируя обе части (7.2.25) в лемме 7.11 по j = —L + 1,..., М и сокращая общие члены, мы имеем
М—1 оооо
Е Е iv,<m2 = Е жыМм.цГу j=—Lk=—ooк=—оо
(7.2.27)
Давайте сначала рассмотрим второй член в правой части (7.2.27). Так как / G С”, то существует некоторое К > О такое, что supp / С [-К, К]. Теперь по неравенству Шварца мы имеем
|(/,^л)|2 =|(/,^л)|2 =
|(/,^л)|2 =
|(/,^л)|2 =
-<йх Ц/Ц1-<йх Ц/Ц1
-<йх Ц/Ц1
-<йх Ц/Ц1
так что оо
(7.2.28)(7.2.28)52 I(/.*-^>12 < li/ш / 10Ы1Ч
(7.2.28)
(7.2.28)
k=-oo
для всех достаточно больших L, где
BL := (J [А: - К/^, k + К^.
k^Z
Так как ф € Т2(Н) и мера Bl П [—N, N] стремится к нулю при L. стремящемся к бесконечности для любого N > 0, неравенство в (7.2.28) дает
ОО
lira Е |(/,0-ьЛ)|2 = О.(7.2.29)
L->+oo '
к—~ ОО
(Результат в (7.2.29) означает, что OVj = {0}; см. замечание, сделанное после утверждения определения 5.2.) Итак, из (7.2.27) мы имеем
М—1 оооо
Е Е КМл)12 = Е К^М^!2, /е^о°- (7.2.30) j=—со к= —оок=—оо
Для оценки величины в правой части (7.2.30) заметим сначала, применяя равенство Парсеваля для преобразования Фурье и ряда Фурье, что
(7.2.31)(7.2.31)52k/.<w2=7Л2 Ек/-^>|2
(7.2.31)
(7.2.31)
кк
оо 2
Е К^ + 2тгт)) ф(ш + 2тгт) егкш(1ш т=—оо
2 dw2 dw00
2 dw
2 dw
т=—оот=—ооЕ /(2м (ш + 2лт)) ф(ш + 2лт)
т=—оо
т=—оо
2тг г
I ^/(2М(ш + 27гт))/(2м(ш + 2тг£))
х ф^ш + 2тгт) ф^ш + 2тг1) j-tZca
^ /(2м(ш + 2тт)) f(2Mw) ф(ш + 2тгп) ф(ш)\с?ш п= —ОО^
^=-оо ^^ -0°
ОО
|^(2-мш)|2|/М|2^ + Дм,
-00
где Rm определяется как сумма по значениям I/O. Теперь, из (7.2.4) и определения ф как бесконечного произведения p^-W2*), мы имеем
|^(ш)| < 1, w Е R.|^(ш)| < 1, w Е R.(7.2.32)(7.2.32)
|^(ш)| < 1, w Е R.
|^(ш)| < 1, w Е R.
(7.2.32)
(7.2.32)
Отсюда следует, что
ш.ш.(7.2.33)(7.2.33)
ш.
ш.
(7.2.33)
(7.2.33)
Рассмотрим
(7.2.34)(7.2.34)FM(^ :=^|/(ш + 2^2м)|.
(7.2.34)
(7.2.34)
Так как f Е С”, ясно, что ^Рм(ш^ - равномерно ограничена на 7? и равномерно сходится к нулю на любом компактном множестве при М стремящемся к бесконечности. Отсюда, учитывая что / Е L^R), легко видеть, что Нм ~> 0 при М -> 4-оо.
Теперь мы возвращаемся к (7.2.31). Сначала напомним, что из лемм 7.6 и 7.7 следует, что ф — g — непрерывная функция. Кроме этого, из (7.2.3) и (7.2.9) мы имеем ф(0) = 1. Рас-
суждая стандартным образом, мы можем сделать вывод, что
М-^+оо Ziv J2тг
(7.2.35)
Поэтому, полагая, что Нм —> 0 и справедливы заключения (7.2.35), (7.2.31) и (7.2.30), мы имеем
У IV-fen2 = и/in ?еС~-(7-2-36>
rfcez
Чтобы распространить (7.2.36) на все L2(R), мы используем тот факт, что С§° плотно в L2(R). Это означает, что для любой / Е T2(R) и произвольного е > 0 существует некоторая /о G С^ такая, что ||/ — /о||2 < е. Отсюда, по неравенству Бесселя
l|{(/-/o,Vy^<ll/-/o||2<^^ откуда
I 1К(Л Фз-к^Р - 1Ш/о, Фз,№\< Н«/ - /о, -Фз,к№ < £.
(7.2.37)
Так как мы также имеем
I П/||2 - H/0II2I < II/- /о||2 < е, (7.2.38)
то получаем (7.2.26) из (7.2.36)-(7.2.38).□
Теперь легко доказать теорему 7.5.
Доказательство теоремы 7.5. Установив равенство Пар- севаля (7.2.26) в лемме 7.13, мы теперь используем стандартный метод для показа того, что о.н. семейство {V-Эл} (см. лемму 7.12 (в)) есть о.н. базис Z2(R). Действительно, для любой / Е L2(R) и любой конечной последовательности {суД мы имеем
II/ - Еэл^лНг = II/II2 - ^Rc+ £ |с,Л|2.
Следовательно, положив Cj^ = (f^j^ для |j|<N и |А:| < W и устремляя N к бесконечности, мы имеем
/ = Е^,^’ /еь2(н),
j,k
где речь идет о сходимости в £2(R). Таким образом, мы доказали, что ^ есть о.н. вэйвлет. Следовательно, применяя лемму 5.1, мы получаем (7.2.15), так что (^ — масштабирующая функция.□
7.3. Построение ортогональных вэйвлетов с компактным носителем
Ввиду соотношения между двухмасштабными последовательностями ^р^ и {%}, приведенного в формуле (7.2.18), для построения о.н. вэйвлета ф достаточно построить соответствующую ему масштабирующую функцию ф. Целью этого параграфа является описание общей процедуры построения о.н. масштабирующих функций и вэйвлетов с компактным носителем. Для простоты мы рассматриваем только вещественно-значные последовательности {р^}. Согласно теореме 7.5 и (5.2.13), все, что нам нужно —это идентифицировать такие многочлены Лорана 5(z), соответствующие некоторому заданному положительному целому числу N, что выполнены условия (7.2.4)-(7.2.8).
Более точно, пусть N — положительное целое число, и рассмотрим
(
17 \
ЭД,(7.3.1)
где 5(2) — многочлен Лорана, удовлетворяющий условию S(l) = 1. Так как любой конечный ряд Лорана уже удовлетворяет (7.2.7), то достаточно идентифицировать такие S, которые удовлетворяют (7.2.4) и
В := шах |5Ц)| < 2ЭД(7.3.2)
j^|—1
Для представления условия (7.2.4), налагаемого на Р^, в такой форме, которая прямо определяет 5(2), мы заметим, что так как S^ — многочлен Лорана с вещественными коэффициентами, то ^(е-^)!2 есть многочлен по косинусам, и, следовательно, мы можем написать
|5(е”гш)|2 = ТДсозш),|5(е”гш)|2 = ТДсозш),(7.3.3)(7.3.3)
|5(е”гш)|2 = ТДсозш),
|5(е”гш)|2 = ТДсозш),
(7.3.3)
(7.3.3)
где R — некоторый (алгебраический) многочлен с вещественными коэффициентами. Как в (5.6.37), замена переменных
1 — cos ш . 9
(7.3.4)(7.3.4)х =-= sin2 )
(7.3.4)
(7.3.4)
R(x) = 7?(cosw) = _R(1 — 2т)
переводит условие (7.2.4) в
12N№~^\2 +12N№~^\2 +1 - е”гш21 - е”гш2IN|S(-e"^)|2 = 1,IN|S(-e"^)|2 = 1,
12N
№~^\2 +
12N
№~^\2 +
1 - е”гш
2
1 - е”гш
2
IN
|S(-e"^)|2 = 1,
IN
|S(-e"^)|2 = 1,
что эквивалентно
Ц-т^ВД+аЛй^-т) = 1.(7.3.5)
Согласно (5.6.33) и (5.6.38), общее решение (7.3.5) дается формулой
< ^(^ = 52 ( ь A- xNT^$Y(7.3.6)
k=0 X7V
щде T — многочлен, такой что Т(1 — я) = — Т(х\
Подведем итог вышеприведенным результатам в следующей лемме, где
Лемма 7.14. Пусть S — некоторый многочлен Лорана, который удовлетворяет обоим условиям (1.3.2) и
для некоторого нечетного многочлена Tq. Тогда многочлен Лорана
(Чр) SW^Em2”’ (7.3.8) к
где 5(1) выбирается равным 1, есть двухмасштабный символ некоторой о.н. масштабируюгцей функции ф с компактным носителем, которая порождает КМА пространства L4RY Соответственно
:= ^-V)k P-k+i Ф^х - к) (7.3.9) к
является о.н. вэйвлетом с компактным носителем.
Замечание. Если S удовлетворяет (7.3.7), то, положив ш = О, мы имеем |5(1)|2 = 1. Итак, выбор S, удовлетворяющего условию S(l) = 1, легко выполняется. Семейство всех нечетных многочленов Tq(x\ |ж| < |, в (7.3.7) дает нам некоторую свободу в построении о.н. масштабирующей функции. Если выбор То = 0 не нарушает (7.3.2), то соответствующая масштабирующая функция имеет наименьший носитель среди всех функций, определяемых формулой (7.3.7). Ниже мы увидим, что действительно условие в (7.3.2) удовлетворяется выбором То = 0.
Нам нужно следующее тождество.
к ,, .к ,, .п + к + 1кп + к + 1к(7.3.10)(7.3.10)Доказательство. Эта лемма легко доказывается повторным применением тождестваДоказательство. Эта лемма легко доказывается повторным применением тождества
к ,, .
к ,, .
п + к + 1к
п + к + 1к
(7.3.10)
(7.3.10)
Доказательство. Эта лемма легко доказывается повторным применением тождества
Доказательство. Эта лемма легко доказывается повторным применением тождества
Лемма 7.15. Для всех k,n G Z+
Действительно, мы имеем
п + к + 1к
Следующий результат есть следствие леммы 7.14.
Теорема 7.16. Пусть N — любое целое положительное число и S^ — любой многочлен Лорана с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий тождеству
(7.3.11)
1=о
и такой, что 5(1) = 1. Тогда многочлен Лорана в (7.3.8) есть двухмасштабный символ о.н. масштабирующей функции ф с компактным носителем и ф, определенная формулой (7.3.9), — о.н. вэйвлет с компактным носителем.
Доказательство. Применяя (7.3.10) с п = к = N — 1, мы
имеем
В2 := maxМ=1В2 := maxМ=1
В2 := max
М=1
В2 := max
М=1
/27V — 1\ _ 1 Г /27V - 1\/27V -ГО
2 t\^V-l/ V N )j
V' pN — 1\ _ 12^-l _ 22^-2
I к / 2'
□□k=0 x z
□
□
так что В <2N 1 и (7.3.2) выполнено.
Таким образом, единственная техническая проблема при построении о.н. вэйвлетов с компактным носителем — это решение (7.3.11) для 5(2). Следующий результат, известный как лемма Рисса, гарантирует нам, что S^ всегда существует. Мы дадим «конструктивное» доказательство этого результата с тем, чтобы показать, как может быть получен 5(г).
Теорема 7.17. Пусть ao,...,aw € R caw ^ 0 такие, что
N
А(ш) := -^ + ^2 ад, cos кш > 0, w G R. (7.3.12) fc=i
Тогда существует многочлен
N
B(z) = ^bkzk(7.3.13)
к=0
с вегцественными коэффициентами и точной степени N, который удовлетворяет равенству
|В(г)|2 = 4Н, ^ = е^ш.(7.3.14)
Доказательство. Рассмотрим алгебраический многочлен
Ра^Ц Y, awzN*k.(7.3.15)
2 k=—N
соответствующий многочлену по косинусам А(ш). Ясно, что Рд удовлетворяет равенствам
Рд^ = zN AM, z = е~^(7.3.16)
и
РдМ = z™ Рд zE С. (7.3.17)
\ z /
Теперь из предположения a^ ^ О мы видим, что Рд(0) 0 О, и из (7.3.17) следует, что все нули Рд разбиваются на пары взаимно обратных чисел. В частности, каждый нуль на единичной окружности должен иметь четную кратность. Более того, так как коэффициенты Рд - вещественны, то все комплексные нули Рд также разбиваются на сопряженные пары. Таким образом, Рд может быть записан как
рА^ = ^QN<рА^ = ^QN<ILz-k=lILz-k=lrk)(z -r^1)rk)(z -r^1)(7.3.18)(7.3.18)
рА^ = ^QN<
рА^ = ^QN<
ILz-
k=l
ILz-
k=l
rk)(z -r^1)
rk)(z -r^1)
(7.3.18)
(7.3.18)
где п,... ,гк € R\{0}, zi,..., zj G C\R и К+ 2J = N. (Здесь знак \ означает вычитание множеств.) Поэтому, ввиду того факта, что
К* - 2^(2 - Zj г)| = |^| М - ^|2,
мы имеем, применяя (7.3.12), (7.3.16), (7.3.18) и (7.3.19),
ЛН = |ЛМ| = |Рл(г)|
КJ2
Пи—^) Пи—^-)(^—^>)
fc=ij=i
где z — е гш. Итак, многочлен
(7.3.20)
имеет точную степень К + 2 J = N и удовлетворяет (7.3.14). □
Замечание. Заметим, что многочлен В(z) не единственный, так как при определении В (z) мы можем выбрать любой корень из каждой пары взаимно обратных нулей P^(z). Применяя теоремы 7.15 или 7.16, необходимо нормировать B(z) так, чтобы было S(l) = 1. В следующем примере мы выберем такие нули, которые не лежат в открытом единичном круге, и отметим, что нормировочная константа должна быть равна — 1.
Пример 7.18. Применяя теоремы 7.16 и 7.17 с К = 1, мы имеем
Л(ш) = |5(е^ш)|2 = 1 + 2 sin2 (5) = " cosu, так что ненулевые коэффициенты в (7.3.12)—это а0 = 4 и «1 = — 1. Теперь из (7.3.15) мы получаем
^U) = |{-1 + 4z - г2} = -^(z - (2 - V3))(z - (2 + х/З))-
Если мы выберем нуль вне единичного круга, то, применяя (7.3.20), мы имеем
S^)=-B^=A= ^±^z-(2 + V3)) (7.3.21) V2 у 2 +V3
= Ч ДТД^ - (2 + Vs))
= -|{(Vs-i)z-(V3 + i)}.
Поэтому вместе с множителем S^ в (7.3.21) двухмасштабный символ дается выражением
/1 + 2
рм = (4^) адр.з.и)
= 1(1 +z)=((l - V3)^ + (1 +V3)) О
Масштабирующая функция с двухмасштабным символом, заданным формулой (7.3.22), называется масштабирующей функцией Добеши ф^ (см. (5.2.6)). □
Чтобы облегчить наши рассуждения, введем следующее обозначение.
Определение 7.19. Пусть для каждого целого N > 2 Sn(z) обозначает решение B(z), данное формулой (7.3.20), уравнения (7.3.11), определенное выбором из каждой пары взаимно обратных нулей Рд^Д нуля, имеющего наибольший модуль, и нормированное так, что В(1) = 1. Тогда масштабирующая функция с двухмасштабным символом
SN^SN^
SN^
SN^
будет обозначаться ф®+1 и будет называться масштабирующей функцией Добеши порядка N + 1.
Сейчас мы будем изучать порядок гладкости о.н. вэйвлетов с компактными носителями Добеши ф^ и соответствующих им масштабирующих функций ф^.
Определение 7.20. Пусть 7 > 0. Говорят, что функция У G L2(R) принадлежит классу СП, если ее преобразование Фурье У удовлетворяет неравенству
ZOO-ООZOO-ОО|УМ|(1 + Н)^|УМ|(1 + Н)^< ОО.< ОО.(7.3.23)(7.3.23)
ZOO
-ОО
ZOO
-ОО
|УМ|(1 + Н)^
|УМ|(1 + Н)^
< ОО.
< ОО.
(7.3.23)
(7.3.23)
Далее мы сравним класс С7 с классом Lipma, где т = [7] — наибольшее целое, не превосходящее 7 и а = 7 — m (см. определение 5.7). Для удобства мы положим
Lipm0 := C™(R).(7.3.24)
Лемма 7.21. Для любого 7 > 0
(7.3.25)(7.3.25)С7 С Ырта
(7.3.25)
(7.3.25)
с т — [7] и а = 7 — т.
Доказательство, (а) Предположим 7 = 1. Тогда для каждого h > 0 мы имеем
°° /Н^(х+^ш - e^^dw. (7.3.26) -00
Так как< |ю|,(7.3.27)Так как< |ю|,(7.3.27)^x-Vh,)iu _ ^гхш/Г^x-Vh,)iu _ ^гхш/Г
Так как
< |ю|,(7.3.27)
Так как
< |ю|,(7.3.27)
^x-Vh,)iu _ ^гхш
/Г
^x-Vh,)iu _ ^гхш
/Г
мы можем, применяя теорему сходимости Лебега, получить
« = У Гнс.
2тг J—оо
Теперь, так как ш/(ш) G L^R), мы имеем f' G C(R).
Если 7 — положительное целое число, то (7.3.25) может быть доказано по индукции.
Пусть о = 7 - [7] > 0. Тогда для / G С7 из (б) следует, что / G Cm(R), где m = [7]. Аналогично (7.3.26) и (7.3.27) мы имеем
+ h) - fH^ <~ Г М™1/М1тЬ(|М, 2)dw^ J — 00
V\fM\du).V\fM\du).
V\fM\du).
V\fM\du).
А это значит, что 1^ G Lip а или / G Lipmo.□
Теперь мы готовы доказать следующую теорему.
Теорема 7.22. Существует некоторое нолозюнтел-ьное число А такое, что ф^и ф^ G LiptM^ tim ._ \т - [Ат] для всех целых т > 2.
Доказательство. Для S = Sm обозначим величину в (7.3.11) через Тт. Тогда мы имеем при у = sin2 (j)
В2 := max|Sm(e to)Sm(e ^/2)|
= max Tm= max TmшеНшеН’ . 9 шSin —’ . 9 шSin —1/21/2
= max Tm
= max Tm
шеН
шеН
’ . 9 ш
Sin —
’ . 9 ш
Sin —
1/2
1/2
= max |Tm(4y(l-y))Tm(y)|V2.
Заметим сначала, что
max Tm(y) < 22<m-1)0<у<1
и что
m—1
Тт^ < 52 2т+к-г ук < 2—1 т тах(1, (2уП-
к=0
Отсюда для 0 < у < ^ мы имеем
Тт(у)Тт(4у(1 - у)) < №2^2^^ =102^-^.
Также для у > |(2 + V2) или 4у(1 — у) < ^ мы имеем
Tm(y)Tm(4y(l -у)) < 22tm"1*m2m'1 = m23^.
Окончательно для | < у < |(2 + д/2) мы имеем
Тт^ Тт(4у(1 -у)) <т2 24m”2 ( max[4у2(1 - у)]т
Vо<у<1
Эта оценка даетЭта оценка дает- т2 24™-2- т2 24™-2m/2m/2тт□ m o2m—1 ±>2 ^ m z□ m o2m—1 ±>2 ^ m z
Эта оценка дает
Эта оценка дает
- т2 24™-2
- т2 24™-2
m/2
m/2
т
т
□ m o2m—1 ±>2 ^ m z
□ m o2m—1 ±>2 ^ m z
Таким образом, из (5.1.20) в теореме 5.5 следует, что
|0т+1(^)1|0т+1(^)1nPn(e"^2J)1=1nPn(e"^2J)1=1<С(1 + И[1пт"т<С(1 + И[1пт"тln(^)]/21n2ln(^)]/21n2
|0т+1(^)1
|0т+1(^)1
nPn(e"^2J)
1=1
nPn(e"^2J)
1=1
<С(1 + И[1пт"т
<С(1 + И[1пт"т
ln(^)]/21n2
ln(^)]/21n2
'2m- A11/2т /'2m- A11/2т /Может быть доказано, что показатель степени в этой формуле меньше, чем —1 при т > 16. Для m < 16 можно оценить
'2m- A11/2т /
'2m- A11/2т /
Bi ;- max |5т(еш)| = w€R
что непосредственно дает
Ilm+1M < С(1 + И"1^
при некотором у > 0. Теперь обращение к лемме 7.21 завершает доказательство теоремы.□
Замечание. Пусть ат — «наибольшее» число, для которого ^+1 G Сат. Тогда мы имеем
lim — = 1 - log2 3 = 0.2075.(7.3.28)
m^oo т2
Доказательство этого результата выходит за рамки этой книги.
7.4. Ортогональные вэйвлет-пакеты
В то время как двухмасштабная последовательность ^р^ о.н. масштабирующей функции ф содержит всю информацию о ф, последовательность {д^}, определенная формулой
Qk = (—l)fc p-jfc+i,
полностью характеризует соответствующий о.н. вэйвлет ф. В дальнейшем мы будем использовать обозначения:
ГмоМ :=^(ж), [щ(т) : = -ф^, и
РМ := Р^Ц^РкЛ
ди := qw = ^Е®2* = ^Еь1)^-^*' „кк
(7.4.2) Отсюда двухмасштабные соотношения для масштабирующей функции ф и соответствующего ей вэйвлета ф даются формулами
{
Мо(ж) = ^РкД0(2ж - к),
((7.4.3)
Mi (ж) = ^QklW-x - к),
к
или, что эквивалентно,
ГдоМ = Ро^е~ги^ ,
{, х(7-4.4)
= Р^е”1"^ Мо(^) .
Это новое обозначение предназначено для облегчения введения следующего семейства функций, называемого вэйвдет- пакетами. Эти функции позволяют создать о.н. базисы, которые могут быть использованы для улучшения применения вэйвлетов при частотно-временной локализации.
Определение 7.23. Функции Цп, п = 21 иди 2£ + 1, £ = 0,1,..., определенные формулами
^(ж) = ^PkPt (2т - Ц,
*, х/(7-4-5)
Д21+1 (ж) = > , Qk Pt № - к),
кк
называются «вэйвлет-пакетами» относительно о.н. мас- штабируюгцей функции до — Ф-
Таким образом, семейство {рга} есть обобщение о.н. вэй- влета pi = ф. Для описания p.^ п Е Z+ через их преобразования Фурье нам потребуются двоичные разложения п Е Z+, а именно:
п = £з £з е {°, О-(7-4.6)
j=v
Заметим, что (7.4.6) всегда представляет собой конечную сумму и что такое разложение единственно. Действительно, если 2$о-1 < n < 2S°, то мы имеем п = 2S°-1 + tii, где 251-1 < П1 < 2s 1 и si < So; тогда, итерируя эту процедуру, мы получим 71 = 2S°-1 + 2S1-1 -IИ 2Sfc-1, где 1 < Sfc < ■ - ■ < So- Таким образом, Ej = 1 для j = Sk, • • ., sq и Ej = 0 для других значений j.
Теорема 7.24. Пусть п — любое неотрицательное целое число, и пусть двоичное разложение п дается формулой (7.4-6). Тогда преобразование Фурье вэйвлет-пакета цп бается выражением
ОО
М»М = ПР'4е“”/2‘). "eR" (7'47)
Доказательство. Выражения в форме преобразований Фу рье, эквивалентные двухмасштабным соотношениям (7. . ,
для вэйвлет-пакетов, даются формулами
(7.4.8)(7.4.8)^иМ = Р0(е гш^р,1 (f) ,№<+1(ш) = Р1(е-гш^)ц£ (f) .
(7.4.8)
(7.4.8)
Ввиду (7.4.4) мы можем провести доказательство (7.4.7), применяя индукцию по п = 21 или n = 2£ + 1. Предположим, что (7.4.7) выполняется для всех п таких, что 0 < n < 25°, и рассмотрим 2®° < n < 2So+1. Из вышепроведенных рассуждений
мы имеем
для j = so + 1 для j > s0 + 1,для j = so + 1 для j > s0 + 1,
для j = so + 1 для j > s0 + 1,
для j = so + 1 для j > s0 + 1,
так чтотак что(7.4.9)(7.4.9)
так что
так что
(7.4.9)
(7.4.9)
So + l
™ = IS 27-1
J=1
Пусть, как обычно, [ж] обозначает наибольшее целое, не превосходящее ж, и заметим что
п = 2 [2J + 61 ’
Поэтому из (7.4.8) мы имеем
•(7-4Л°)
С другой стороны, так как
[ihl^+l2’^2”'’j=l
из индукционного предположения следует, что
ОО
(7-4-И)
Поэтому, объединяя (7.4.10) и (7.4.11), мы получим (7.4.7). □ Далее мы докажем, что вэйвлет-пакеты сохраняют свойство ортогональности о.н. масштабирующей функции д0 = ф.
Теорема 7.25. Пусть ф—любая о.н. масштабирующая функция и {дп} — семейство соответствующих ей вэйвлет- пакетов. Тогда для каждого n € Z
(Мп(' 1), PnV М) ~ ^j,k^ 3i & € Z.(7.4.12)
Доказательство. Так как до = Ф удовлетворяет (7.4.12), то можно провести доказательство (7.4.12) по индукции. Предположим, что (7.4.12) выполняется для всех п, где 0 < n < 2S°, и рассмотрим 2S0 < n < 2so+1. Тогда, так же как при доказательстве теоремы 7.24, применяя (7.4.8) и (7.4.9), мы имеем
Wv~3^ Pnl - k'»
2ТГ J _QQ
1Г°°/г i\ 2
■ = \Рех^^\2Рф№Н
J—оох 2 /
= ^ / е«‘-Л“|Р51(е"”/2)Р £ |р[„/2) (тД М)|
®I——ОО
Следовательно, из индукционного предположения и теоремы 3.23 мы имеем
(Мп("3^1 Рп{' ^))
= — / е^-*|Р£1(е^ш/2)Р^
Jo
= — /ег(^М|Р£Де-^2)|2 + |р£1(_е-^
2л Уо 1J
2тг Jo
где применено одно из следующих двух тождеств
Г|р(г)р + |Р(-л)р = 1,
'7.4.13
[№)P + |Q(-z)p = l, Н = 1,
(см. (7.2.4) и (7.1.3)).□
Свойство ортогональности о.н. масштабирующей функции цо = ^ к соответствующему ей вэйвлету щ = ф распространяется также на вэйвлет-пакеты, как это утверждается в следующей теореме.
Теорема 7.26. Пусть ф—любая о.н. масштабирующая функция и {дп} — соответствующие ей вэйвлет-пакеты. Тогда
•щц^ — ЗУ №<+1(" — к)) = 0, j, A: G Z, I € Z+.(7.4.14)
Доказательство. Перед тем как продолжить, выпишем сначала тождество
ВД ДО) + РоИРИ = Р^Ш + РЬ^Ш-^ = 0, \z\ = 1,
(7.4.15) которое эквивалентно тождеству (г) в лемме 7.9. Отсюда, применяя (7.4.8), (7.4.15) и теоремы 7.25 и 3.23, мы получаем для
всех j, к G Z и £ G Z+
УзУ ~ 3^ Д2Щ-1С - &))
сю
■4тг■4тг2 Р^Рг^У^^йш
■4тг
■4тг
Ро№<Уе1(к~^Ш
4 т=—со•4д4 т=—со•4дe^-^dwe^-^dw
4 т=—со
•4д
4 т=—со
•4д
e^-^dw
e^-^dw
о
e^k-3^dye^k-3^dy/-2тг
e^k-3^dy
e^k-3^dy
Jo
= О,
где z = е ^У
7.5. Ортогональное разложение вэйвлет-рядов
Пусть {дп} — семейство вэйвлет-пакетов, соответствующих некоторой масштабирующей функции до = Ф- Для каждого n £ Z+ рассмотрим семейство подпространств
Uj := closL2(R) (2^2pn^2j • -к) : к £ Z), у G Z, zi G Z+,
(7.5.1) порожденных {д„}. Напомним, что
\u} = Wj, jez,\u} = Wj, jez,(7.5.2)(7.5.2)
\u} = Wj, jez,
\u} = Wj, jez,
(7.5.2)
(7.5.2)
где {V}} — это КМА пространства L2(R), порожденный До = ф и {FT,} — последовательность ортогональных дополняющих (вэйвлет-) подпространств, порожденных вэйвлетом
pi = "ф. Тогда ортогональное разложение
V3^Y = v3®wb jez
может быть записано как
^+1 = ^0®^, JGZ.(7.5.3)
В следующей теореме мы увидим, что это ортогональное разложение может быть обобщенно с п = 0 на любое п € Z+.
Теорема 7.27. Пусть п — любое неотрицательное целое число. Тогда
и1^ = Uf ® U^\ j G Z.(7.5.4)
Доказательство. Из (7.4.5) в определении 7.23 ясно, что и^п и Ujn+1 — подпространства и^х. Кроме этого, по теореме 7.26 мы видим, что эти два подпространства ортогональны друг другу. Поэтому достаточно показать, что
Цп(2J’+1 х -т) = |У^^Pm-2kPin^x-^+qm^kPin+i^x-k)} к(7.5.5)
выполняется при всех т € Z.
Для этого мы применим (7.4.5) к правой части (7.5.5) и упростим выражение, используя тождество (д) в лемме 7.9:
| ^^Рт-2к РЪпС&Х - к) + qm-2k Ц2п+№х - к^
1
~ ^ ^"^{Pm—2fc Pt 4- 9т—2к qt\pn(^ X 2к £) к t
Т ^ ' ^ ^Рт—2к Pt—2k 4" 9т—2к Qt^k^P-n^? X t) к t
Е{;Еь>.—2к Pm—2к 4* Qt—2к От—2/с] ^/^(^ X t)
= У2 5t'm Рп^з+Хх - г) = дп(27+1а; - т). t
Это завершает доказательство теоремы.□
Важность о.н. вэйвлета ^ состоит в том, что он порождает базис ^j,kV зЛ € Z пространства L2(R) таким образом, что для каждого j € Z подсемейство ^ф^к : к G Z} не только о.н. базис
Wj = cIosL2(R)(^jJk : к G Z),
но и временное окно для извлечения локальной информации (как по ее величине, так и по расположению) внутри J-го частотного диапазона (или j-й октавы)
»r=P’+1Aj.2i+2Aj;].(7.5.6)
где Д^—СК ширина диапазона вэйвлета (см. §3.2 и §3.4, в частности (3.4.1)-(3.4.5)). Заметим, что ширина диапазона частот Hj возрастает для высоких значений частоты. Сейчас мы увидим, что вэйвлет-пакеты обладают способностью разбиения высокочастотных октав, что дает возможность получить лучшую частотную локализацию.
Теорема 7.28. Для каждого j = 1,2,...
'w, = и^_,®и^_х,
ф, = и*_геир2еи;_г®и)_2,
тт- тт9к rr?fe4-l— 1(7.5.7)
Wj = u^ ® n2J+1 ® ■ ■ • ®
Кроме того, для каждого т = 0, ... , 2k — 1, к = 1, ... ,j а j = 1,2,... семейство
{2^p2k+m(2J~kx -Г); € е z} (7.5.8)
является ортонормированным базисом Uj^™.
Замечание. При использовании к-ro ортогонального разложения в (7.5.7) j-й диапазон частот Hj, кроме того, разбивается на 2к поддиапазонов :
Нк'т, т = 0,...,2к -1.(7-5.9)
Конечно, о.н. базис в (7.5.8) пространства Uj^m обеспечи- Як.т j ' и объединение семейства
^т : т = 0,..., 2к - 1}
представляет весь диапазон частот Hj.
Доказательство. Доказательство (7.5.7)—это простое повторение применения (7.5.4) в теореме 7.27, положив п = 1 и учитывая что Uj = Wj. То, что семейство в (7.5.8) — о.н. базис Uji").™', - это следствие (7.5.1) и (7.4.12) в теореме 7.25. □
Замечание. Ввиду формулы разложения (7.5.5) разложение любого вэйвлет-ряда
д^ -^^ ф^х -п)^^ (Ух - п) (7.5.10) 7171
в ортогональную сумму с членами из вэйвлет-пакетов
ШЛ^ := Ц^"№*+mPi"tz - n), m = 0,... ,2* - 1
71(7.5.11)
(для любого фиксированного значения к, 1 < к < j^ может быть определено как дерево, где каждая ветвь дерева имеет два ответвления. Тот же алгоритм разложения, что дается формулой (5.4.48) с
1_
йп — ТхРти
.2 т(7.5.12)
^П — Х9т1 —1)ПР-П+1)
22
может быть использован для разложения каждой ветви. Конечно, этот дерево-алгоритм разложения должен быть задуман как адаптивный; в частности, если некоторые вэйвлет- компоненты не так существенны как другие, то они должны быть реализованы с меньшим количеством ветвей путем
выбора меньших значений к. Для восстановления дерево-алгоритм должен быть обратим путем применения алгоритма восстановления (5.4.49) с весовыми последовательностями рп ^Qn = (-l)nP-n+i-
Для «наилучшего» ортогонального разложения каждое к выбирается по возможности наибольшим; таким образом, используется последняя формула в (7.5.7).
Следствие 7.29. Для каждого j = 0,1,2,...
z2(R) = ф Wj = • • - © W-i е w0 © и^ © и^ © • • •. (7.5.13) KZ
Конечно, семейство
^j,b HnV ~к) : з =,-1,0; п = 2,3,... и к € Z}
(7.5.14)
является о.н. базисом пространства L2(R).
(П.1)(П.1)m = 2m = 4кРк9а-цРк+1Як-Н12220 4!6824264 8!212_12 4!4818482 8!32.4!187904 8!41677 8!5124 8!68!m = 2m = 4кРк9а-цРк+1Як-Н12220 4!6824264 8!212_12 4!4818482 8!32.4!187904 8!41677 8!5124 8!68!
(П.1)
(П.1)
m = 2
m = 4
к
Рк
9а-ц
Рк+1
Як-Н
1
2
2
20 4!
6
8
24264 8!
2
1
2
_12 4!
4
8
18482 8!
3
2.
4!
1
8
7904 8!
4
1677 8!
5
124 8!
6
8!
m = 2
m = 4
к
Рк
9а-ц
Рк+1
Як-Н
1
2
2
20 4!
6
8
24264 8!
2
1
2
_12 4!
4
8
18482 8!
3
2.
4!
1
8
7904 8!
4
1677 8!
5
124 8!
6
8!
Приложение
Чтобы иметь возможность применить алгоритмы вэйвлет- разложения и вэйвлет-восстановления, как это описано в (5.4.48) и (5.4.49), нам необходимы последовательности весов {ад}, {6д}, {рд} и {<&}. Кроме того, последовательности восстановления (или двухмасштабные последовательности) {рд} и {дд} могут быть использованы для изображения масштабирующей функции ф и вэйвлета^ (см.(5.2.11), (5.2.14)-(5.2.17) и (5.3.4)). Ниже мы рассматриваем S-сплайны ф = Nm и Б-вэйвлеты ф = фт порядка т. Напомним, что их двухмасштабные последовательности
Рк Pm,kiЯк Ят, к-,
приведенные в (6.3.3)—(6.3.4), особенно просты и их последовательности разложения
Як — ^тД, Ьк = bmj;
могут быть вычислены с использованием (6.5.1)-(6.5.2). Так как эти последовательности симметричны, достаточно вычислить половину значений. Более точно мы имеем
Ящ,к ^771,171 —fc)Ьт,к — Ьтзт_ 2—д
Таблица ПЛ. Последовательности сплайн-вэйвлет-разложения.
m = 2
m = 4
к
Чк
^+1
<Ц+1
ЬЫ-4
1
0.683012701892
0.866025403784
0.893162856314
-1.475394519892
2
0.316987298108
-0.316987298108
0.400680825467
0.468422596633
3
-0.116025403784
-0.232050807569
-0.282211870811
0.742097698477”
4
-0.084936490539
0.084936490539
-0.232924626134
-0.345770890775
5
0.031088913246
0.062177826491
0.129083571218
-0.389745580800
6
0.022758664048
-0.022758664047
0.126457446356
0.196794277304
7
-0.008330249198
-0.016660498395
-0.066420837387
0.207690838380
8
-0.006098165652
0.006098165652
—0.067903608499
-0.106775803373
9
0.002232083545
0.004464167091
0.035226101674
-0.111058440711
10
0.001633998562
-0.001633998561
0.036373586989
0.057330952254
11
-0.000598084983
-0.001196169967
-0.018815686621
0.059433388390
12
-0.000437828595
0.000437828595
-0.019473269356
-0.030709700871
13
0.000160256388
0.000320512777
0.010066747520
-0.031811811318
14
0.000117315818
-0.000117315818
0.010424052187
0.016440944687
15
-0.000042940569
-0.000085881139
-0.005387929819
0.017028029466
16
-0.000031434679
0.000031434678
-0.005579839208
-0.008800839839
17
0.000011505891
0.000023011782
0.002883979478
-0.009114745138
18
0.000008422897
-0.000008422897
0.002986784625
0.004710957034
19
-0.000003082990
-0.000006165980
-0.001543728719
0.004878941541
20
-0.000002256905
0.0000022569054
-0.001598768083
-0.002521687975
21
0.000000826079
0.0000016521587
0.000826326663
-0.002611601542
Таблица П.2. Последовательности восстановления (двухмасштабные последовательности).
ии
и
и
(П-2)(П-2)J Pm,k — Рт,т—к,\Чт,к = 9m,3m—2—к
(П-2)
(П-2)
для всех к € Z. На практике, особенно при сплайн-интерпо- ляции, наиболее часто используются линейные и кубические сплайны. Поэтому в таблицах П.1 и П.2 мы даем значения Ofc = Omfc, 6fc = 6m,fc и Рк = Рт,к' Чк = Чт,к ДЛЯ 777. = 2 И 4. Напомним, что для получения второй «половины» последовательностей следует обратиться к формулам (П.1) и (П-2).
Замечания
Глава 1.
Стандартная ссылка на тригонометрические ряды — это Зигмунд [9]. Другие книги по рядам Фурье, которые были нам полезны при подготовке глав 1 и 2, — это Бари [1], Хель- сон [5], Катцнельсон [6], Штейн и Вайсс [7].
Простейший ортогональный вэйвлет — это функция Ха- ара, изученная А.Хааром в [55]. Понятие интегрального вэйвлет-преобразования (ИВП), (W^f^b, а) впервые было введено Гроссманом и Морле [54], хотя техника, которая основана на использовании сдвигов и растяжений, восходит к Кальдерону [30] при его изучении сингулярных интегральных операторов. Базисный вэйвлет, используемый для определения ИВП, в литературе о вэйвлетах называется также “материнским вэйвлетом”. Формула для восстановления любой / € A2(R) по ее ИВП (И^/)(6, а), а,6 € R может быть найдена в [54].
На важность полудискретного ИВП (И^/)(1), а), где 6 € R и а = 2~J, у € Z при сжатии изображения впервые было обращено внимание С.Малла, и понятие двухпараметрического вэйвлета было также введено Малла в его совместной работе с В.Л.Хвонгом [60] и с С.Зонгом [61, 62]. Условие устойчивости для двухпараметрических вэйвлетов, изученное Малла и Хвонгом [60], может рассматриваться как обобщение тождества Литтлвуда—Пэли. Неравенства такого типа для карка-
сов и вэйвлетов были изучены Добеши [50], Чуи и Ши [37], и, в частности, такое тождество было использовано Чуи и Ши [38] для характеристики вэйвлетов.
Основная ссылка по обработке сигналов — это Оппенгейм и Шэйфер [25], математический анализ этого предмета дан Чуи и Ченом [24]. Другие ссылки на некоторые специальные, но близкие темы по обработке сигналов и изображений, — это Ауслендер, Кайлат и Миттер [22] и Розенфельд [26].
То что ^-функция не всегда 7£-вэйвлет (или вэйвлет), было уже замечено И.Мейёром в первом томе [21] и с некоторыми подробностями обсуждено Добеши в [50], где были использованы результаты Чамичьяна [68, 69]. Доказательство в этой главе было дано Чуи и Ши в [37], следуя идеям Добеши и Мейера.
Понятие кратномасштабного анализа (КМА) было впервые введено Мейером [63] и Малла [58] и в дальнейшем развито Малла в [57, 59]. Также Малла [57-59] были построены алгоритмы вэйвлет-разложения и вэйвлет-восстановления, использующие пространства КМА. Представление этих алгоритмов в этой главе следует [40, 43] таким образом, что константа нормировки V2 включена в базисные функции для облегчения их выполнения. Заметим некоторое сходство КМА и алгоритма пирамиды Лапласа, принадлежащего Барту и Адельсону [29].
Наиболее обстоятельная работа по сплайнам принадлежит Шёнбегру [14], который и развил эту тему. Мейер [63] и Ле- марье [56] заметили, что пространства сплайнов приводят к КМА, хотя специалисты в теории приближений также рассматривали схемы подразбиения пространств. (См. Чуи [11] и ссылки в этой работе.) Соответствующий В-сплайну т-го порядка Nm В-вэйвлет m-го порядка ^>т был введен Чуи и Вонгом [43]. Двойственное -фт вэйвлета -фт было также построено в [43] с точки зрения m-й производной сдвинутого и масштабированного фундаментального сплайна порядка 2m, введенного Чуи и Вонгом в [40].
Алгоритм предиктор-корректор может быть использован для реализации БИО-фильтра и АРСС-фильтра с полюсами, лежащими оба внутри или вне единичной окружности. Такие алгоритмы могут быть оптимизированы путем их объединения с шумовыми процессами (см. Чуи и Чен [23]). Эта процедура может быть применена к разложениям по сплайн- вэйвлетам без усечения.
Глава 2.
Имеется обширная и хорошая литература о преобразовании Фурье. Наиболее полезными для нас при подготовке главы 2 были книги Гольдберг [4] и Титчмарш [8].
Так как функции из LP(R) или 17(0, 2тг) рассматриваются как “эквивалентные классы” функций, то мы допускаем изменение функций на множестве меры нуль. В частности, в утверждениях о поточечной сходимости мы всегда имеем в виду сходимость к некоторому представителю рассматриваемого класса эквивалентных функций.
К тому же книги [1, 5, 6, 7, 9] по гармоническому анализу представляют собой хороший источник для дополнительного чтения. Этот предмет имеет очень богатую историю. Мы даем здесь только очень краткое обсуждение вопроса о поточечной сходимости. Еще в 1876 году Дю-Буа- Реймон показал существование 2тг-периодической непрерывной функции, ряд Фурье которой расходится в некоторой точке. Из этого результата нетрудно доказать существование 2тг-периодической непрерывной функции, ряд Фурье которой расходится на плотном подмножестве вещественной оси R. В 1923 году Колмогоров доказал, что ряд Фурье некоторой функции / € А1 (0,2%) может расходиться почти всюду. Через три года он (совместно с Зигмундом) развил этот результат и доказал существование / G АЧО^тг) с расходящимся всюду рядом Фурье. С другой стороны, Карлесон в 1966 году доказал, что если / € А2(0Дтг), то ее ряд Фурье сходится почти всюду. Этот глубокий ре-
зультат был распространен Хантом в 1967 году на любую / е ^(0,2%), р > 1.
Довольно широкое обсуждение формулы суммирования Пуассона дается в этой главе по той причине, что несколько вариантов этой формулы используются на протяжении всей книги.
Глава 3.
Преобразование Фурье с помощью окон впервые было введено Габором [53], использующим функцию Гаусса в качестве функции-окна. Вот почему это также называется преобразованием Габора. В инженерной литературе такое применение окон, которое не ограничивается использованием функции Гаусса, называется также кратковременным преобразованием Фурье (КВПФ). Мы отсылаем читателей к работам Добеши [20, 50], Малла [57], отдельным главам в книгах [16, 17, 18, 19] и к перечню ссылок в них. Читатель отсылается также к тем же источникам за материалом, содержащим использование среднего квадратичного отклонения для определения радиуса и, отсюда, ширины функции- окна, а также для обсуждения принципа неопределенности. Как было отмечено ранее, когда мы имеем дело с функцией из LP(R), мы, по сути дела, имеем в виду представителя класса эквивалентных функций, который совпадает с этой функцией всюду, кроме множества меры нуль. В частности, мы всегда используем непрерывные функции- окна всякий раз, когда это возможно. Читатель также отсылается к работе Шампеньи [2] для дальнейших обсуждений и ссылок на литературу из области гармонического анализа.
Как упоминалось в замечаниях для главы 1, ИВП было введено Гроссманом и Морле [54], где было определено условие допустимости (3.3.1) на базисные вэйвлеты (называемые также материнскими вэйвлетами). Большая полезность полудискретных ИВП была доказана в работе Малла
по сжатию изображения сначала с использованием пересечения нулей, а затем используя максимум вэйвлета (или локальный экстремум) для ИВП на двухпараметрических масштабных уровнях. Это можно найти также в работах Малла и Зонта [61, 62] и Малла и Хвонга [60]. В этом направлении условие устойчивости (3.4.6) играет решающую роль в формуле обращения (3.4.14), введенной Малла и Хвонгом [60]. Характеристика двухпараметрических двойственных, использующая тождество Литтлвуда—Пэли, дана в работе Чуи и Ши [38].
Понятие каркасов было введено Даффином и Шэйфе- ром [51] и с некоторыми подробностями изучено Добеши [20, 50]. Пример 3.18 также принадлежит Добеши. Принцип внутреннего отображения, использованный в наших рассуждениях об ограниченности обратного отображения, порожденного каркасом, является стандартным в теории операторов (см. т. 1, стр. 57, Данфорд и Шварц [3]). Свойство устойчивости (3.5.18) каркаса было выведено Чуи и Ши [37]. Заметим также, что Фрэйзер и Яаверт [52] использовали растяжение и сдвиги в их работе по (^-преобразованиям.
Полуортогональные вэйвлеты были введены независимо Ошером [27] и Чуи и Вонгом [40, 41, 43], хотя полуортогональные базисные сплайн-вэйлеты были впервые построены Чуи и Вонгом в работах [40, 43]. Процедура ортонормализации (3.6.18) принадлежит Швейнлеру и Вигнеру [66] и поэтому называется о.н. процедурой Швейнлера—Вигнера.
Глава 4.
Сплайн-анализ — установившийся предмет. В случае одномерной теории читатель отсылается к де Бору [10], Нюрнбергеру [13], Шёнбергу [14], Шумакеру [15] и к Чуи [11] — для многомерного исследования. Сплайн-функция с эквидистантными (простыми) узлами называется просто сплайном, и для дальнейшего изучения читатель отсылает-
ся к Шёнбергу [14, 65]. В частности, структура многочленов Эйлера—Фробениуса оформлена в [14, 65].
Графически изобразительный алгоритм (алгоритм 4.7), введенный в §4.3, представляет собой итерацию стандартной схемы подразбиения. Он представлен здесь для того, чтобы побудить нас к введению алгоритма (вэйвлет-) восстановления в главе 5. В-сплайн — В-сетевой алгоритм (алгоритм 4.10) есть одномерная версия бокс-сплайн графически изобразительного алгоритма, развитого в работе Чуи и Лая [36].
Понятие квазиинтерполяции принадлежит де Бору и Фиксу (см. де Бор [10] и Шумакер [15]). Подход, связанный с рядами Неймана, был впервые предложен Чуи и Даймондом в работе [35], где была доказана теорема 4.13. Представленная в этой книге характеристика квазиинтерполян- тов (см. (4.5.35)-(4.5.36)) была дана Чуи и Даймондом [33]. Теория интерполяции базисными сплайнами была развита Шёнбергом (см. Шёнберг [14, 65]). Построение локальной интерполяционной формулы, представленное в §4.6 с помощью “булевских сумм”для полностью локального и квазиинтерпо- ляционного операторов, было введено Чуи и Даймондом в работе [34]. Подробное изучение этой темы дано у Чуи [32] и в более общем виде в работе Чуи [31].
Глава 5.
Понятие кратномасштабного анализа было впервые введено Мейером [63] и Малла [58], а затем развито Малла в [57, 59]. теоремы 5.5 и 5.6 принадлежат Коэну [44]. Результат о величине носителя масштабирующей функции, выраженной через длину ее двухмасштабной последовательности, принадлежит Добеши [49], и масштабирующая функция в (5.2.6) была также дана в [49]. Характеристика масштабирующих функций с наименьшим носителем, использующая отсутствие симметричных нулей, была дана Чуи и Вонгом [41], где было введено понятие обобщенных многочленов Эйлера—Фробениуса
(Лорана) и были изучены их свойства такие же, как в теореме 5.10. Тот факт, что S-сплайн m-го порядка — единственная функция, которая порождает КМ А {17т} и имеет конечную двухмасштабную последовательность, был также доказан в [41]. Представление разложения в прямую сумму в § 5.3 представляется новым, а подход в § 5.4 есть обобщение работы Коэна, Добеши и Фово [46]. В частности, является новым критерий (5.4.11) в теореме 5.19. Принцип двойственности для сплайн-вэйвлетов, и в более общем случае для полуортого- нальных вэйвлетов, был введен Чуи и Вонгом, соответственно, в работах [43] и [41]; неортогональный (биортогональный) вариант также может быть найден у Коэна, Добеши и Фово [46].
Как упоминалось ранее, алгоритмы вэйвлет-разложения и вэйвлет-восстановления были построены Малла в [58]. Формулировки в этой книге следуют работам [40, 43]. Важность линейной фазы при фильтрации и связь между линейной фазой и симметрией хорошо известны в инженерной литературе (см. Оппенгейм и Шэйфер [25]). Наше обсуждение в § 5.5 и § 5.6 является расширением результатов Чуи и Вонга [41].
Общее решение (5.6.39) для соотношения двойственности (5.6.17) было дано Добеши [49] в случае ортонормированного множества и в работе Коэна, Добеши и Фово [46] в общем случае. Вэйвлеты с компактными носителями, двойственные которых также имеют компактные носители и линейную фазу, были также построены Коэном, Добеши и Фово в [46]. Подход с точки зрения набора фильтров был рассмотрен Веттер л и и Херли [70].
Глава 6.
Интерполяционные сплайн-вэйвлеты, данные в теореме 6.1, принадлежат Чуи и Вонгу [40], и сопоставление подпространств КМА у2"1’0 из V^m с вэйвлет-пространствами ТУ™ было проведено в работе Чуи и Вонга [39]. Базисные
сплайн-вэйвлеты (или В-вэйвлеты), данные в (6.2.5), вместе с их двойственными (6.2.10) были введены Чуи и Вонгом в [43]. Однако представление в § 6.2 совсем другое, так как оно использует более общий результат, теорему 5.19 из главы 5. Треугольный алгоритм Паскаля (ТАП) для вычисления В-вэйвлетов и их производных был введен в работе Чуи и Вонга [42].
Представление свойств многочленов Эйлера—Фробениуса соответствует работе Шёнберга [65], в то время как материалы по анализу погрешности сплайн-вэйвлет-разложения взяты из работы Чуи и Вонга [42]. Наиболее исчерпывающая ссылка на вполне положительность — это Карлин [12], и дополнительные сведения о Пойа-частотных (ПЧ) последовательностях могут быть найдены у Шёнберга [14]. Теорема 6.21 о некоторых линейных ТАП, приводящих к ПЧ- последовательностям, была доказана Чуи и Вонгом [39], где впервые было введено понятие полной осцилляции и исследована ее связь с пересечением нулей.
Глава 7.
Первый нетривиальный вэйвлет был построен Стрёмбер- гом [67] с использованием сплайн-функций. Вэйвлеты Мейера [64], как это показано в примере 7.3, — это о.н. вэйвлеты с преобразованием Фурье, имеющим компактный носитель. Ортонормированные (о.н.) сплайн-вэйвлеты, данные в примере 7.1, часто называют вэйвлетами Баттла—Лемарье, так как они были построены независимо Баттлом [28] и Лемарье [56] с использованием различных методов. Однако ни один из этих вэйвлетов не имеет компактного носителя. Основываясь на структуре КМА, Добеши [49] была первой, кто построил о.н. вэйвлеты с компактными носителями. Ее построение было основано на идентификации о.н. масштабирующих функций, как это обсуждалось в §7.2, хотя представление здесь несколько отличается от работы [49]. Построение вэйвлетов Добеши зависит так-
же от леммы Рисса, как установлено в теореме 7.17. Теорема 7.22 была также доказана Добеши [49], в то время как результат в (7.3.28) был установлен Коэном и Добеши в [45].
Вэйвлет-пакеты, называемые также Куафманом и Мейером “волновыми пакетами”, были введены Куафманом, Мейером, Куэйком и Викерхаузером в [47]. Для дальнейшей информации мы отсылаем читателя к работе Куафмана, Мейера и Викерхаузера [48].
Список литературы
Книги
Анализ Фурье и теория операторов
Bari N. К. A Treatise on Trigonometric Series, Macmillan, 1964. [Впервые опубликована на русском языке: Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.]
Champeney D. С. A Handbook of Fourier Theorems, Cambridge University Press, Cambridge, 1987.
Dunford N. and Schwartz J. Linear Operators, Interscience, New York, 1958. [Имеется перевод: Данфорд H., Шварц Дж. Т. Линейные операторы, в двух томах. М.: ИЛ, 1962.]
Goldberg R. R. Fourier Transforms, Cambridge University Press, 1965.
Helson H. Harmonic Analysis, The Wadsworth & Brooks/
Cole Mathematics Series, Addison-Wesley, 1983, reprinted by Wadsworth, 1991.
Katznelson Y. An Introduction to Harmonic Analysis, John Wiley and Sons, 1968, reprinted by Dover, New York, 1976.
Stein E. M. and Weiss G. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. [Имеется перевод: Стейн И., Вейс Г. Вве-
дение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.]
Titchmarsh Е. С. Introduction to the Theory of Fourier Integrals (Second Edition), Oxford University Press, 1948. [Имеется перевод с 1-го издания: Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: ГИТТЛ, 1948.]
ZygmundA., Trigonometric Series (Second Edition), in two volumes, Cambridge University Press, 1959. [Имеется перевод: Зигмунд А. Тригонометрические ряды, в двух томах. М.: Мир, 1965.]
Сплайн-анализ
de Boor С., A Practical Guide to Splines, Applied Mathematical Sciences, Vol. 27, Springer-Verlag, 1978. [Имеется перевод: де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио и связь, 1985.]
Chui С. К. Multivariate Splines, CBMS-NSF Series in Applied Math. #54, SIAM Publ., Philadelphia, 1988.
Karlin S. Total Positivity, Stanford University Press, Stanford, CA, 1968.
Niirnberger G. Approximation by Spline Functions, Springer-Verlag, New York, 1989.
Schoenberg I. J. Cardinal Spline Interpolation, CBMS- NSF Series in Applied Math. #12, SIAM Publ., Philadelphia, 1973.
Schumaker L. L. Spline Functions: Basic Theory, Wiley- Interscience, New York, 1981.
Вэйвлет-теория и применения
Beylkin G., Coifman R., Daubechies I., Mallat S., Meyer Y., Raphael L., and Ruskai B. (eds.), Wavelets and Their Applications, Jones and Bartlett, Cambridge, MA, 1992.
Chui С. К. (ed.), Approximation Theory and Functional Analysis, Academic Press, Boston, 1991.
Chui С. K., (ed.), Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications, Academic Press, Boston, 1992.
Combes J. M., Grossmann A., and Tchamitchian P. (eds.), Wavelets: Time-Frequency Methods and Phase Space, Springer-Verlag, New York, 1989; Second Edition, 1991.
Daubechies I. Wavelets, CBMS-NSF Series in Appl. Math., SIAM PubL, Philadelphia, 1992.
Meyer Y. Ondelettes et Operateurs, in two volumes, Hermann, Paris, 1990.
Обработка сигналов и изображений
AuslanderL., Kailath T., and Mitter S. (eds.), Signal Processing I: Signal Processing Theory, The IMA Volumes in Mathematics and Its Applications #22, Springer-Verlag, New York, 1990.
Chui С. K. and ChenG. Kalman Filtering with Real- Time Applications, Springer Series in Information Sciences #17, Springer-Verlag, New York, 1987; Second Edition 1991.
Chui С. K. and Chen G. Signal Processing and Systems Theory — Selected Topics, Springer Series in Information Sciences #26, Springer-Verlag, New York, 1991.
Oppenheim A. V. and Schafer R. W. Discrete-Time Signal Processing, Prentice Hall Signal Proc. Series, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1989.
Rosenfeld A. (ed.), Multiresolution Image Processing and Analysis, Springer Series in Information Sciences #12, Springer-Verlag, New York, 1984.
Статьи
Auscher Р. Ondettes fractales et applications, These de Doctorat, University Paris-Dauphine, 1989.
Battle G. A block spin construction of ondelettes, Part. I: Lemarie functions, Comm. Math.. Phys. 110 (1987), 601615.
Burt P. J. and Adelson E. H. The Laplacian pyramid as a compact image code, IEEE Trans. Comm. 31 (1983), 482-540.
Calderon A. P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method, Stadia Math. 24 (1964), 113-190.
Chui С. K. Construction and applications of interpolation formulas, in Multivariate Approximation and Interpolation, Haussmann W. and Jetter K. (eds.), ISNM Series Math., Birkhauser Verlag, Basel, 1990, 11-23.
Chui С. K. Vertex splines and their applications to interpolation of discrete data, in Computation of Curves and Surfaces, Dahmen W., Gasca M., and Micchelli C. A. (eds.), Kluwer Academic Publishers, 1990, 137-181.
Chui С. K. and Diamond H. A characterization of multivariate quasiinterpolation formulas and applications, Numer. Math. 57 (1990), 105-121.
Chui С. K. and Diamond H. A general framework for local interpolation, Numer. Math. 58 (1991), 569- 581.
Chui С. K. and Diamond H., A natural formulation of quasi-interpolation by multivariate splines, Proc. Amer. Math. Soc. 99 (1987), 643-646.
Chui С. K. and Lai M. J. Computation of box splines and B-splines on triangulations of nonuniform rectangular partitions, Approx. Th. and Its Appl. 3 (1987), 37-62.
Chui С. К. and Shi X. L. Inequalities of Littlewood-Paley type for frames and wavelets, CAT Report #249, Texas A&M University, 1991.
Chui С. K. and Shi X. L. On a Littlewood-Paley identity and characterization of wavelets, CAT Report #250, Texas A&M University, 1991.
Chui С. K. and Wang J. Z. An analysis of cardinal splinewavelets, CAT Report #231, Texas A&M University, 1990.
Chui С. K. and Wang J. Z. A cardinal spline approach to wavelets, Proc. Amer. Math. Soc., 1991, to appear.
Chui С. K. and Wang J. Z. A general framework of compactly supported splines and wavelets, CAT Report #219, Texas A&M University, 1990.
Chui С. K. and Wang J. Z. Computational and algorithmic aspects of cardinal spline-wavelets, CAT Report #235, Texas A&M University, 1990.
Chui С. K. and Wang J. Z. On compactly supported spline wavelets and a duality principle, Trans. Amer. Math. Soc., 1991, to appear.
Cohen A., Ondelettes. Analyses multiresolutions et traitement numerique du signal, Doctoral Thesis, Univ. Paris-Dauphine, 1990.
Cohen A. and Daubechies I. Nonseparable bidimensional wavelet bases, AT&T Bell Laboratories, 1991, preprint.
Cohen A., Daubechies!., and Feauveau J. C. Bi- orthogonal bases of compactly supported wavelets, Comm. Pure and, Appl. Math., 1991, to appear.
Coifman R., Meyer Y., Quake S., and Wickerhauser M. V., Signal processing and compression with wave packets, in
Proceedings of the Conference on Wavelets, Marseilles Spring 1989.
Coifman R., Meyer Y., and Wickerhauser M. V. Wavelet analysis and signal processing, 1991, preprint.
Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets, Comm. Pure and Appl. Math. 41 (1988), 909- 996.
Daubechies I. The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis, IEEE Trans. Inform. Theory 36 (1990), 961-1005.
Duffin R. J. and Schaeffer A. C. A class of nonharmonic Fourier series, Trans. Amer. Math. Soc. 72 (1952), 341— 366.
Frazier M. and Jawerth B. Decomposition of Besov spaces, Indiana University Math. J. 34 (1985), 777- 799.
Gabor D. Theory of communication, J. IEE (London) 93 (1946), 429-457.
Grossmann A. and Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape, SIAM J. Math. Anal. 15 (1984), 723-736.
Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Math. Ann. 69 (1910), 331-371.
Lemarie P. G. Ondelettes a localisation exponentielles, J. Math. Pure et Appl. 67 (1988), 227-236.
Mallat S. A theory of multiresolution signal decomposition: the wavelet representation, IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell. 11 (1989), 6 74-693.
Mallat S. Multiresolution representation and wavelets, Ph. D. Thesis, University of Pennsylvania, Philadelphia, PA, 1988.
Mallat S. Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of Z2(R), Trans. Amer. Math. Soc. 315 (1989), 69-87.
Mallat S. and Hwang W. L. Singularity detection and processing with wavelets, 1991, preprint.
Mallat S. and Zhong S. Reconstruction of functions from the wavelet transform local maxima, 1990, preprint.
Mallat S. and Zhong S. Wavelet transform maxima and multiscale edges, in Wavelets and Their Applications, Beylkin G., Coifman R., Daubechies I., Mallat S., Meyer Y., Raphael L., and Ruskai B. (eds.), Jones and Bartlett, Cambridge, MA, 1991.
Meyer Y. Ondelettes et fonctions splines, Seminaire EDP, Ecole Polytechnique, Paris, December 1986.
Meyer Y. Principe d’incertitude, bases Hilbertiennes et algebres d’operateurs, Seminaire Bourbaki 662 (1985— 1986).
Schoenberg I. J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions, Quart. Appl. Math. 4 (1946), 45-99, 112-141.
Schweinler H. C. and Wigner E. P. Orthogonalization methods, J. Math. Phys. 11 (1970), 1693 1694.
Stromberg J. O. A modified Franklin system and higher order spline systems on Rn as unconditional bases for Hardy spaces, in Proc. Conf, in Honor of Antoni Zygmund, Vol. II, Beckner W., Calderon A. P., Fefferman R., and Jones P. W. (eds.), Wadsworth, NY, 1981, 475-493.
Tchamitchian Ph. Biorthogonalite et theorie des operateurs, Rev. Math. Iberoamericana, to appear.
Tchamitchian Ph. Calcul symbolique sur les operateurs de Calderon- Zygmund et bases inconditionnelles de Z2(R?i), C. R. Acad. Sc. Paris 303 (1986), 215-218.
Vetterli M. and Herley C. Wavelets and filter banks; theory and design, IEEE ASSP, 1992, to appear.
Хотя вэйвлет-анализ — относительно новый предмет, уже существует обширная литература, посвященная его теории и применениям, а также некоторым связанным с ним областям. Приведенный список литературы отражает только те области, которые затронуты в этой книге и обсуждаются в Замечаниях. Гораздо более обширная библиография включена во второй том книг этой серии «Вэйвлеты — руководство по теории и, применениям».
Список дополнительной литературы по вэйвлетам
Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения. Успехи физических наук. 1998. Т. 166. N. 11. с. 1145-1170.
Астафьева Н. М. Вейвлет-преобразования. Основные свойства и примеры применения. М.: ИКИ РАН, 1994. N. 1891. 56 с.
Бердышев В. И., Петрак Л. В. Аппроксимация функций. Сжатие численной информации. Приложения. Екатеринбург, 1999, с. 127-150.
Берколайко М. 3., Новиков И. Я. Базисы всплесков в пространствах дифференцируемых функций анизотропной гладкости. Докл. РАН, 1992, Т. 323, N 4, с. 615-618.
Берколайко М. 3., Новиков И. Я. Базисы всплесков и линейные операторы в анизотропных пространствах Лизоркина—Трибеля. Докл. РАН, 1995, т. 340, N 5, с. 583-586.
Берколайко М. 3., Новиков И. Я. О бесконечно гладких почти-всплесках с компактным носителем. Матем. заметки, 1994, Т. 55, N 3, с. 3-12.
Берколайко М. 3., Новиков И. Я., Образы всплесков при действии операторов свертки. Матем. заметки, 1994, Т. 55, N 5, с. 13-24.
Вайдьянатхан П. П. Цифровые фильтры, блоки фильтров и полифазные цепи с многочастотной дискретизацией. Методический обзор. ТИИЭР, 1990, N. 3 с. 77-120.
Воробьев В. И., ГрибунинВ. Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб.: Изд-во ВУС, 1999.
Желудев В. А. О вейвлетах на базе периодических сплайнов. Докл. РАН, 1994, N 1, с. 9-13.
Завадский В. Л. Аппроксимация функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной посредством вейвлетов. Препринт ИМ НАНБ, 1997, N 1/529.
Завадский В. Л. Нелинейная аппроксимация функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной посредством вейвлетов. Препринт ИМ НАНБ, 1997, N 15 (538).
Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: АФЦ, 1999 с. 244-296.
Кирушев В. А. Быстрый алгоритм сжатия изображений. Вестник молодых ученых. Прикл. матем. и механика, 1997, N 1, с. 4-10.
Кравченко В. Ф., Рвачев В. A. «Wavelet»-системы и их применение в обработке сигналов. Зарубежная радиоэлектроника, 1996, N. 4, с. 3-20.
Кравченко В. Ф., Рвачев В. А., Пустовойт В. И. Орто- нормированные системы типа «wavelet» на основе атомарных функций. Докл. РАН, 1996, N 1, с. 16-18.
Лукашенко Т. П. Всплески на топологических группах. ДАН, 1993, т. 332, N 1, с. 15-17.
Лукашенко Т. П. О свойствах систем разложения, подобных ортогональным. Изв. РАН, серия матем-, 1998, т. 62, N 5, с. 187-206.
Малоземов В. П., Машарский С. М. Сравнительное изучение двух вейвлетных базисов. Проблемы передачи информации, 2000, т. 36, вып. 2, с. 27-37.
Малоземов В. Н., Машарский С. М. Хааровские спектры дискретных сверток. Ж. вычисл. мат. и матем. физ., 2000, т. 40, N 6, с. 954-960.
Малоземов В. Н., Певный А. Б., Третьяков А. А. Быстрое вейвлетное преобразование дискретных периодических сигналов и изображений. Проблемы передачи инф., 1998, т. 34, Вып. 2, с. 77-85.
Малоземов В. Н., Третьяков А. А. Алгоритм Кули-Тьюки и дискретное преобразование Хаа- ра. Вестник СПбГУ, сер. 1, 1998, вып. 3 (N 15), с. 31-34.
Малоземов В. Н., Третьяков А. А. Новый подход к алгоритму Кули-Тьюки. Вестник СПбГУ, сер. 1, 1997, вып. 3 (N 15), с. 57-60.
Малоземов В. Н., Третьяков А. А. Секционирование, ортогональность и перестановки. Вестник СПбГУ, сер. 1, 1999, вып. 1 (N 1), с. 16-21.
Новиков И. Я. Онделетты И. Мейера — оптимальный базис в С(0,1). Матем. заметки, 1992, т. 52, N 5, с. 88-92.
Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основные конструкции всплесков. Фундаментальная и прикладная математика, 1997, т. 3, N 4, с. 999-1028.
Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков. Успехи математических наук, 1998, т. 53, N 6 (324), с. 53-128.
Новиков Л. В. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учебное пособие. СПб.: Изд-во ООО «МОДУС+», 1999.
Новиков Л. В. Спектральный анализ сигналов в базисе вейвлетов. Научное приборостроение, 2000 т 10 N 3, с. 57-64.
Петухов А. П. Введение в теорию базисов всплесков СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999.
Петухов А. П. Кратномасштабный анализ и всплеск- разложения пространств периодических распределений. Доклады РАН, 1997, т. 356, N 2, с. 303-306.
Петухов А. П. Периодические всплески. Математический сборник, 1997, т. 188, N 10, с. 69-94.
Петухов А. П. Периодические дискретные всплески. Алгебра и анализ, 1996, т. 8, N 3, с. 151-183.
Скопина М. А. О нормах полиномов по системам периодических всплесков в пространствах Lp. Матем. заметки, 1996. т. 59, N 5, с. 780-783.
Харатишвили Н. Н. Пирамидальное кодирование. М.: Мысль, 1997.
Aboufadel Е., Schlicker S., Discovering wavelets, J.Wiley & Sons Inc., 1999.
Alpert B., Wavelets and other bases for fast numerical linear algebra, in Chui C., ed., Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications, Academic Press, New York, 1992, p. 181-216.
Amaratunga K., and Williams J., Wavelet-Galerkin solutions for one-dimensional partial differential equations, International J. Num. Methods in Eng. 37 (1994), p. 2703-2716.
Auscher R., Solution of two problems on wavelets, J. Geometric Analysis 5 (1995), p. 181-236.
Auscher R., Weiss G., and Wickerhauser M., Local sine and cosine bases of Coifman and Meyer and the construction of smooth wavelets, in Chui C-, ed.,
Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications, Academic Press, New York, 1992, p. 237-256.
Benedetto J., and Frazier M., eds., Wavelets: Mathematics and Applications. CRC Press, Boca Raton, Fla., 1993.
Benedetto J., and Teolis A., A wavelet auditory model and data compression. Appl. Comp. Harm. Anal. 1 (1993), p. 3-28.
Beylkin G., On wavelet-based algorithms for solving differential equations, in Benedetto J. and Frazier M., eds., Wavelets: Mathematics and Applications, CRC Press, Boca Raton, Fla., 1993, p. 449-466.
Beylkin G., Coifman R., and RokhlinV., Fast wavelet transforms and numerical algorithms, Comm. Pure Appl. Math. 44 (1991), p. 141-183.
Beylkin G., Coifman R., and RokhiinV., Wavelets in numerical analysis, in Ruskai M. at al., eds., Wavelets and Their Applications, Jones and Bartlett, Boston, 1992, p. 181-210.
Brislawn C., Fingerprints go digital, Notices of the Amer. Math. Soc. 42 (1995), p. 1278-1283.
Burke-Hubbard B., The World According to Wavelets, A. K. Peters, Wellesley, Mass., 1996.
Cohen A., Biorthogonal wavelets, in Chui C., ed., Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications, Academic Press, New York, 1992, p. 23-152.
Cohen A., Daubechies I., and VialP., Multiresolution analysis, wavelets and fast algorithms on an interval, Appl. Comp. Harm. Anal. 1 (1993), p. 54-81.
Coifman R., and Meyer Y., Remarques sur l’analyse de Fourier a fenetre, C. R. Acad. Sci., ser 1 4312 (1991), p.259-261.
Dahlke S. and WeinreichL, Wavelet-Galerkin methods: An adapted biorthogonal wavelet basis, Constr. Approx. 9 (1993), p. 237-262.
Daubechies I., Ten Lectures on Wavelets, CBMS-NSF Reg. Conf. Series in Appl. Math. 61, Soc. Ind, Appl. Math., Philadelphia, 1992.
Daubechies I., Jaffard S., and Journe J.-L., A simple Wilson orthonormal basis with exponential decay, SIAM J. Math. Anal. 22 (1991), p. 554-572.
Donoho D., Interpolating wavelet transforms, Department of Statistics, Stanford University, 1992, preprint.
Donoho D., and Johnstone I., Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage, Biometrika 81(1994), p. 425-455.
Folland G., Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth and Brooks/Cole, Belmont, CA, 1992.
Frazier M., and Kumar A., An introduction to the orthonormal wavelet transform on discrete sets, in Benedetto J. and Frazier M., eds., Wavelets: Mathematics and Applications, CRC Press, Boca Raton, FL, 1993, p. 51-95.
Frazier M., An introduction to wavelets through linear algebra, Springer, 1999.
Geronimo J., Hardin D., and Massopust P., Fractal functions and wavelet expansions based on several scaling functions, J. Approx. Theory 78 (1994), p. 373-401.
Hernandez E., and Weiss G., A First Course on Wavelets, CRC Press, Boca Raton, FL, 1996.
Hilton M., Jawerth B., and Sengupta A., Compressing still and moving images with wavelets, Multimedia Systems 2(1994), p. 218-227.
Jaffard S., Wavelet methods for the fast resolution of elliptic problems, SIAM J. Numer. Anal. 29 (1992), p. 965-986.
Jawerth B., and Sweldens W., An overview of wavelet based multiresolution analyses, SIAM Review 36 (1994), p. 377-412.
Jawerth B., and Sweldens W., Wavelet multiresolution analyses adapted for the fast solution of boundary value ordinary differential equations, in Melson N., Manteuffel T., and McCormick S., eds., Sixth Copper Mountain Conference on Multigrid Methods, NASA Conference Publication 3224 (1993), p. 259-273.
Kaiser G., A Friendly Guide to Wavelets, Birkhauser, Boston, 1995.
Koornwinder T., ed., Wavelets: an elementary treatment of theory and applications, Series in Approximations and Decompositions 1. World Scientific, Singapore, 1993.
Lu J., Healy D., and Weaver J., Contrast enhancement of medical images using multiscale edge representation, Optical Engineering 33 (1994), p. 2151-2161.
Mallat S., A Wavelet Tour of Signal Processing, Sec. Ed., Academic Press, 1999.
Massopust P., Fractal Functions, Fractal Surfaces, and Wavelets, Academic Press, San Diego, CA, 1994.
Meyer Y., Ondelettes sur 1’intervalle, Rev. Mat. Ibero- americana 7 (1992), p. 115-133.
Meyer Y., Wavelets, Vibrations and Scalings, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.
Meyer Y., and Roques, S., eds., Progress in Wavelet Analysis and Applications: Proceedings of the International Conference «Wavelets and Applications»
(Toulouse, France-June 1992), Editions Frontieres, Gif-sur-Yvette, France, 1993.
Ogden R. T., Essential Wavelets for Statistical Applications and Data Analysis, Birkhauser, Boston, 1996.
Paul T., and Seip K., Wavelets and quantum mechanics, in Ruskai M. et al., Wavelets and Their Applications, Jones and Bartlett, Boston, 1992, p. 302-322.
Proakis J., and Manolakis D., Digital Signal Processing, 3rd ed., Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 1996.
Qian S., and Weiss J., Wavelets and the numerical solution of partial differential equations, J. Comp. Phys. 106 (1993), p. 155-175.
Richardson W. Jr., Longbotham H., and Gokhman D., Multiscale wavelet analysis of mammograms, in Meyer Y. and Roques S., eds., Progress in Wavelet Analysis and Applications: Proceedings of the International Conference «Wavelets and Applications» (Toulouse, France, June 1992), Editions Frontieres, Gif-sur-Yvette, France, 1993, p. 599-608.
Rioul O., and Vetterli M., Wavelets and signal processing, IEEE Signal Proc. Mag. (1991), p. 14-38.
Royden H., Real Analysis, 3rd ed., Macmillan, New York, 1988.
Rudin W., Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, New York, 1987. .
Ruskai M., Beylkin G., CoifmanR., Daubechies I., Mallat S., Meyer Y., and Raphael L., eds., Wavelets and Their Applications, Jones and Bartlett, Boston, 1992.
Schumaker L., and Webb G., eds., Recent Advances in Wavelet Analysis, Academic Press, New York, 1993.
Skopina М. A., Multiresolution analysis of periodic functions, East J. on Approx., v. 3 (1997), p. 203 224.
StollnitzE., De Rose A., and Salesin D., Wavelets For Computer Graphics; Theory and Applications, Morgan-Kaufmann, San Francisco, 1996.
Strang G., and Fix G., An Analysis of the Finite Element Method, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 1973. [Имеется русский перевод: Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов.: М.: Мир, 1977.]
Strichartz R., How to make wavelets, Amer. Math. Monthly 100 (1993), p. 539-556.
Sweldens W., and Piessens R., Quadrature formulae and asymptotic error expansions for wavelet approximations of smooth functions, SIAM J. Numer. Anal. 31 (1994), p.1240-1264.
Teolis A., Computational Signal Processing with Wavelets, Birkhauser, Boston, 1998.
Vetterli M., and Herley'C., Wavelets and filter banks: theory and design, IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. 40 (1992), p. 2207-2232.
Wickerhauser M., Acoustic signal compression with wavelet packets, in Chui C., ed., Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications, Academic Press, New York, 1992, p. 679-700.
Wickerhauser M., Adapted Wavelet Analysis from Theory to Software, Peters A. K., Wellesley, MA, 1994.
Wojtaszczyk P., A Mathematical Introduction to Wavelets, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
XuJ.-C., and Shann W.-C., Galerkin-wavelet methods for two-point boundary value problems, Numer. Math. 63 (1992), p. 123-142.
Zheludev V. A., Periodic splines and wavelets. Mathematical Analysis, Wavelets and Signal Processing (Cairo, 1994), Contemporary Math., v. 190 (1995), p.339-354.
Предметный указатель
В-вэйвлет (B-wavelet) 45, 287, 292, 328
В-сети, алгоритм построения (B-nets, algorithm cardinal) 163, 302
В-сеть (В-net) 159, 161-163, 302, 269
В-сплайн (B-spline) 44, 145-152, 154, 158-166, 168, 251, 320, 324
Q-постоянная (Q-constant) 31
7^-вэйвлет (77-wavelet) 39, 135, 139
7^-функция (^-function) 36, 39, 124, 129, 135 112, 114, 200, 295
А
Автокорреляционная функция (autocorrelation function) 65, 212
Алгебра (algebra) 221
Алгоритм восстановления (algorithm reconstruction) 49, 154, 229, 244, 247, 248, 371
разложения (decomposition) 48, 229, 244, 247, 370
Аналоговый сигнал (analog signal) 27-29, 52, 91, 93, ПО, 229
Ассоциативность (associativity) 59
Б
Банаха пространство (Banach space) 54, 72
Банаха—Штейнгауза теорема
(Banach—Steinhaus
theorem) 126
Бернштейна многочлен (Bernstein polynomial) 159-161
полиномиальный оператор (polynomial operator) 159, 160
Бесселя неравенство (Bessel inequality) 75, 123
Биортогональность (bi-orthogonality) 41
В
Вейерштрасса теорема
(Weierstrass theorem) 77
Винера класс (Wiener class) 221, 224, 263, 339
теорема (theorem) 222
Вполне положительная матрица (ВП-матрица) (TP matrix) 321, 327
— последовательность (ВП-последователыюсть) (TP sequence) 321, 322
положительное ядро (ВП-ядро) (TP kernel) 321, 323
- положительность (positivity (ТР)) 139, 320, 321, 328
Временная локализация (time localization) 91, 93, 370
область (domain) 27, 52, 91
Выборка разрежающая (upsampling) 49, 156, 248, 293
сгущающая (downsampling) 49 248
, норма (sampling rate) 120
Вэйвлет (wavelet) 23
базисный (basic) 26, 35, 106, 109, 117
двухпараметрический (dyadic) 35, 116-119, 129, 136
ортогональный (orthogonal) 25, 38, 39, 41, 129, 137, 258, 264, 332-337, 351-361
полуортогональный (п.о.) (semi-orthogonal (s.o.)) 41, 129, 264, 285
Вэйвлет-коэффициент (wavelet coefficient) 25
Вэйвлет-пакет (wavelet packet) 332, 362-367
Вэйвлет-разложение (wavelet decomposition) 47, 231
Вэйвлет-ряд (wavelet series) 25, 26, 37, 135, 243, 320, 329
Габора окно (Gabor window) 98
преобразование (transform) 93-100, 106
Гаусса функция (Gaussian, function) 58, 289, 290
Гёльдера неравенство (Holder inequality) 54, 64, 72, 73
Гильберта пространство (Hilbert space) 55, 73, 142, 191, 331
Группа окружности (circle group) 53
Двоичное разбиение (binary partition) 115
разложение (decomposition) 363
растяжение (dilation) 24, 26
Двойственный (dual) 32 37, 39, 129, 130
Двухмасштабная последовательность (two-scale sequence) 196, 254-257
Двухмасштабное соотношение (two-scale relation) 47, 154, 196, 204-221, 259, 280, 332, 362
Двухпараметрический двойственный (dyadic dual) 118, 119, 138
сдвиг (dyadic translation) 24, 26
Дельта-функция (delta function) 63
Дерево-алгоритм разложения (tree decomposition algorithm) 370
Диапазон частот (frequency band) 23, 28, 30, 42, 108, 369, 370
Дини—Липшица условие сходимости (Dini—Lipschitz test of convergence) 82
Дирихле ядро (Dirichlet kernel) 74, 78
Дирихле—Жордана условие (Dirichlet—Jordan test) 83
Дифференциальный оператор (differential operator) 143, 285, 325
E
Единичная частота (single-frequency) 23
3
Замыкание (closure) 40, 144, 175, 191
И
Изометрия (isometry) 22, 80, 202
Импульсный отклик (impulse response) 49 - ряд (train) 302 Интегральное вэйвлет- преобразование (ИВП)
(integral wavelet transform (IWT)) 26-31, 106, 108-114
Интерполяционный графически- изобразительный алгоритм (interpolatory graphical display algorithm) 157, 158, 212, 292
К
Каркас (frame) 36, 120-128
Квази-интерполяционная формула (quasi-interpolation formula) 176, 178, 189
Квази-интерполяционный оператор (quasi-interpolation operator) 172-178, 187, 188
Квантование (quantization) 50
Коммутативность (commutability) 59 Компактный носитель (compactly supported) 41, 50, 262-276, 285-289, 351-358
Конечная энергия (finite energy) 27, 73, 107, 136, 312
Кратномасштабный анализ (KMA) (multiresolution
analysis (MRA)) 43, 44, 193-204, 340
Кронекера символ (Kronecker symbol) 24
Лейбница формула (Leibniz rule) 148
Линейная фаза (linear phase) 250-258
— обобщенная (generalized) 250-262, 267, 270
Линейный функционал (linear functional) 63 — ограниченный (bounded)
176
Лорана полином (Laurent polynomial) 89, 168, 213, 222, 353, 354
ряд (series) 199, 313, 334, 339
Малая волна (small wave) 23, 29, 33
Масштабирующая функция (scaling function) 44, 191, 194, 204-221, 255, 257, 259, 264-268, 294, 333, 338, 340, 353, 354, 365, 366
— двойственная (dual) 267
— Добеши (Daubechies) 206, 358
Матричный оператор (matrix operator) 125
Минковского неравенство (Minkowski inequality) 54, 72, 73
— обобщенное (generalized) 72
Модуль непрерывности (modulus of continuity) 79, 199, 200, 234
Н
Найквиста скорость (Nyquist rate) 329
Неймана ряд (Neumann series) 169
Носитель (supported) 45, 215, 220, 254, 312, 325, 353, 354
Обратная формула (inverse formula) 32
Обратный многочлен (reciprocal polynomial) 213
Ограниченный линейный оператор (bounded linear operator) 67, 121, 173
— локальный сплайн-оператор (local spline operator) 170
Ортогональная сумма (orthogonal sum) 40, 370
Ортогональное разложение (orthogonal decomposition) 41, 367-370
Ортонормализации процедура (orthonormalization procedure) 135, 333
Ортонормированное семейство (orthonormal family) 130, 259, 260
Ортонормированный базис (orthonormal basis) 25, 369
Отражение (reflection) 70, 166
П
Парсеваля равенство (Parseval identity) 21, 27, 66, 68, 78, 81, 346, 347
Нланшереля теория (Plancherel theory) 71
Полная осцилляция (complete oscillation) 321, 325
Принцип двойственности (duality principle) 234, 245
Пространство выборки (sample space) 245, 249, 277
Прямая сумма (direct sum) 40, 42, 48, 193, 223, 225
Пуассона формула суммирования (Poisson summator formula) 53, 85, 87
Р
Разность назад (backward difference) 143
Рекуррентная схема (recursive scheme) 207, 293
Римана,—Лебега лемма (Riemann—Lebesgue lemma) 56, 60
Риоса базис (Riesz basis)
36 43, 124 -127, 152, 195, 225, 283-285, 287
границы (bounds) 145, 150-152
лемма (lemma) 355
условие (condition) 131
Рисса - Фишера теорема (Riesz—Fischer theorem) 76
С
Свертка (convolution) 44, 49, 59, 63, 74, 78, 169, 222
Символ (symbol) 73, 88, 132, 169, 181, 196, 217, 221, 222, 251, 276
Симметричный нуль (symmetric zero) 213
Синусоидальная волна (sinusoidal wave) 22
Скалярное произведение (inner product) 21, 24, 27, 54, 69, 72, 136
Соотношение разложения (decomposition relation) 48, 225, 246, 247, 309
Спектр (spectrum) 27, 28, 30, 91, 93, 97
Спектральная информация (spectral information) 27, 28, 52, 93, 94, 101, 193
Сплайн-кривая (spline curve) 139
Суперпозиция (superposition) 21
Схема скользящего среднего (moving average scheme) 49, 156, 166, 248
Теорема об открытости отображения (open mapping theorem) 126
Тёплиуева матрица (Toeplitz matrix) 321
Треугольный алгоритм Паскаля, (ТАП) (Pascal triangular algorithm (РТА)) 294-296
линейный (ЛТАП) (linear (LPTA)) 295, 296, 198, 300, 323
У
Устойчивости условие (stability condition) 35, 116, 118, 121, 124
Фату теорема (Fatou’s theorem) 67
Фейера ядро {Fejer kernel) 78
Фубини теорема {Fubini theorem) 60, 64
Фундаментальная базисная сплайн-функция (fundamental cardinal spline function) 180, 183, 184, 279
Фундаментальный сплайн (fundamental spline) 180
Функция с ограниченной вариацией (function of bounded variation) 83
Функция-окно (window function) 28-30, 91, 93, 95, 97, 100-102, 106
Фурье коэффициенты {Fourier coefficients) 20, 75, 76, 81, 88, 130
- ряд (series) 20-22, 71-85
Фурье преобразование {Fourier transform) 26-29, 35, 53-58, 65-71, 73, 91, 93, 101, 127, 130, 132, 133, 137, 166, 250, 251, 359
— дискретное (discrete) 73, 76, 80, 251
— кратковременное (КВПФ) (short-time) 102, 106
— обратное (inverse) 57, 66, 70
Хаара вэйвлет {Haar wavelet) 258, 278
- функция (function) 25, 99, 123
Хэвисайда ступенька {Heaviside unit step) 56
Целочисленное растяжение(integral dilation) 21
Целочисленный сдвиг
(integral shift) 23
Цифровой сигнал (digital signal) 52, 73
- — , локализация (localization) 34, 99, 100, 102
, окно (window) 30, 31, 98, 102, 109, 111
Частотное окно (frequency window) 30, 97, 101, 110
Частотный центр (center-frequency) 28, 30, 108, 111, 115
Чезарово среднее (Cesaro mean) 78
III
Шварца неравенство {Schwarz inequality) 54, 72, 73, 99
Эйлера—Фробениуса полином
{Euler—Frobenius polynomial) 89, 151, 182, 183, 213, 282, 284, 298, 299, 303-309, 311, 314, 315, 322
обобщенный (generalized) 267
Эйлера—Фробениуса Лорана полином
{Eulei—Frobenius Laurent polynomial) 213, 281, 286
обобщенный (generalized) 264, 265, 333
1
Частная сумма (partial sum) 74, 75, 78
Частотная локализация (frequency-localization) 30
- область (domain) 27, 52
Частотно-временной анализ (time-frequency analysis) 19, 30, 32, 91, 111, 129, 139, 229
Предисловие переводчика 5
Предисловие к русскому изданию 13
Предисловие 15
Глава 1. Обзор 19
От анализа Фурье к вэйвлет-анализу 20
Интегральное вэйвлет-преобразование и частотно-временной анализ 26
Формулы обращения и двойственные 32
Классификация вэйвлетов 38
Кратномасштабный анализ, сплайны и вэй- влеты 42
Вэйвлет-разложения и вэйвлет-восстановления46
Глава 2. Анализ Фурье 52
Прямое и обратное преобразования Фурье....53
Непрерывно-временная свертка и дельтафункция 59
Преобразование Фурье функций, интегрируемых с квадратом 65
Ряды Фурье 71
Основы теории сходимости и формула суммирования Пуассона 82
Глава 3. Вэйвлет-преобразования и частотновременной анализ 91
Преобразование Габора 93
Кратковременные преобразования Фурье и принцип неопределенности 99
Интегральное вэйвлет-преобразование 108
Двухпараметрические вэйвлеты и формулы обращения 114
Каркасы 120
Вэйвлет-ряды 129
Глава4. Базисный сплайн-анализ 139
Пространства сплайнов 140
Б-сплайпы и их основные свойства 145
Двухмасштабное соотношение и интерполяционный графически-изобразительпый алгоритм 152
Представления с помощью В-сети и вычисление сплайнов 158
Построение сплайн-аппроксимационных фор
мул 166
Построение сплайн-интерполяционных формул 179
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты 191
Кратномасштабный анализ 193
Масштабирующие функции с конечными двухмасштабными соотношениями 204
Разложение L2(R) Ь прямую сумму 221
Вэйвлеты и их двойственные 230
Линейно-фазовая фильтрация 249
Вэйвлеты с компактным носителем 262
977
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
278
Интерполяционные сплайн-вэйвлеты
Сплайн-вэйвлеты с компактным носителем ...285
АПО
Вычисление базисных сплайн-вэйвлетов
Многочлены Эйлера—Фробениуса 303
Анализ погрешности сплайн-вэйвлет-разложе- ния 309
Вполне положительность, полная осцилляция и пересечения нулей 320
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет- пакеты 331
Примеры ортогональных вэйвлетов 332
Идентификация ортогональных двухмасштабных символов 338
Построение ортогональных вэйвлетов с компактным носителем 351
Ортогональные вэйвлет-пакеты 362
Ортогональное разложениевэйвлет-рядов 367
Приложение 372
Замечания 375
Список литературы 384
Список дополнительной литературы по вэйвле- там 392
Предметный указатель 402
Чарльз К. Чуи
Введение в вэйвлеты
Зав. редакцией академик В. И. АрнольдЗам. зав. редакцией А. С. ПоповВедущий редактор Ю. И. ОсипикХудожник И. И. Куликова
Художественный редактор Н. В. ЗотоваТехнический редактор О. Г. ЛапкоКорректор Е. Н. Клитина
Оригинал-макет подготовлен
Ю. И. Осипик и Л. Г. Васильевой в пакете ЬУГеХ2£с использованием семейства шрифтов Computer Modernс кириллическим расширением LH
Лицензия ЛР № 010174 от 20.05.97 г.
Подписано к печати 08.05.2001 г. Формат 60 х 90/16.
Печать офсетная. Объем 13,00 бум. л.
Усл.-печ. л. 26,00. Уч.-изд. л. 19,82.
Изд. № 1/9731. Тираж 5000 экз. Заказ 3954.
Издательство «Мир»
Министерства РФ по делам печати,телерадиовещания и средств массовых коммуникаций107996, ГСП-6, Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Диапозитивы изготовленыв издательстве «Мир»
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленных диапозитивовв ОАО «Можайский полиграфический комбинат»143200, г. Можайск, ул. Мира, 93.
1 Г2"