Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
X. МИНК
ПЕР МАРЕНТЫ
Х.Минк
ПЕРМАНЕНТЫ
В книге известного американского математика X. Минка впервые дано достаточно полное изложение теории перманентов — развивающейся области комбинаторной математики. Приводится обзор результатов, связанных с приложениями перманентов к решению теоретико-вероятностных, комбинаторных и физических задач. Включены упражнения, дополняющие излагаемый материал.
Для специалистов, использующих комбинаторику в практической деятельности, для студентов, изучающих эту область.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода5
От редактора Энциклопедии7
Предисловие редактора серии8
Предисловие автора11
Глава 1. Теория перманентов в ее историческом развитии13
Введение13
Основоположники: Бине и Коши14
Продолжатели: Борхарт, Кэли и Мастер из Эдинбурга — сэр Томас 17 Мюир
Ренессанс теории перманентов: теорема Мюирхеда, проблема Пойа, 20 неравенство Шура и гипотеза Ван дер Вардена
Новая эра: Марвин Маркус и К°24
Задачи26
Глава 2. Свойства перманентов28
Элементарные свойства28
Функция перманента как скалярное произведение32
Задачи39
Глава 3. (0,1)-матрицы40
Матрицы инцидентности40
Теоремы Фробениуса и Кёнига42
Структура квадратных (0, 1) -матриц45
(0, 1) -циркулянты55
Задачи59
Глава 4. Нижние границы для перманентов62
Теорема Маршалла Холла62
(0, 1) -матрицы64
Вполне неразложимые (0, 1) -матрицы68
Неотрицательные матрицы72
Положительно полуопределенные эрмитовы матрицы76
Задачи80
Глава 5. Гипотеза Ван дер Вардена83
Теория Маркуса — Ньюмена83
Свойства минимизирующих матриц91
Некоторые частные результаты. Теорема Фридленда95
Гипотеза Маркуса и Минка100
Нижние границы для перманентов дважды стохастических матриц 104
Задачи108
Глава 6. Верхние границы для перманентов110
От Мюира к Юркату и Райзер110
(0, 1)-матрицы113
Неотрицательные матрицы116
Комплексные матрицы119
Задачи122
Глава 7. Вычисление перманентов124
Метод Бине — Минка124
Метод Райзера127
Сравнение методов вычисления129
Задачи131
Глава 8. Еще о перманентах133
8. 1 Другие результаты133
О применениях перманентов139
Гипотезы и нерешенные проблемы — «урожай» 1965 г.151
Гипотезы и нерешенные проблемы — новый список157
Задачи162
Список литературы164
Послесловие210
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Перманенты представляют собой объект математического исследования, в настоящее время весьма распространенный, прежде всего, в комбинаторике и линейной алгебре. Теория перманентов дважды стохастических матриц и (0,1)-матриц стала сейчас существенной и неотъемлемой частью комбинаторной математики, а именно того ее раздела, где рассматриваются матричные комбинаторные задачи. Интересные сами по себе проблемы, связанные с перманентами, приобрели актуальность также в связи с многообразными их приложениями — как математическими (например, в алгебре и теории вероятностей), так и в других отраслях знания (в квантовой теории поля, физической химии, статистической физике).
Особенно интенсивно исследования по перманентам развивались в течение последних 20 лет. Был накоплен большой материал по самым разным вопросам, относящимся к перманентам, в первую очередь по оценкам сверху и снизу перманентов матриц разнообразных классов. Среди этих классов: (0,1)-матрицы, неотрицательные, дважды стохастические, комплексные эрмитовы матрицы, а также ряд их подклассов. Естественно встала задача упорядочения и систематизации накопленного материала; решению этой задачи и посвящена настоящая книга.
Написанная видным специалистом по теории матриц, она соединяет в себе черты подробного, обстоятельного обзора современного состояния теории перманентов и доступного введения в эту теорию. Такого сочетания автору удалось добиться продуманным и четким изложением, а также использованием исторического подхода, что позволяет представить всю картину развития теории перманентов от ее зарождения до самых последних достижений. Немаловажную роль играет приведенная в книге библиография, содержащая резюме всех работ по перманентам, опубликованных до конца 1977 г. (она дополнена также более поздними работами — как самим автором, так и переводчиком).
Касаясь содержания книги, следует отметить, что в центре внимания автора оказались действительно наиболее важные, узловые вопросы о перманентах, прежде всего задача нахождения их верхних и нижних границ. Несомненным достоинством является сочетание элементарных методов и подхода с точки зрения полилинейной алгебры, оказавшегося весьма эффективным при исследовании перманентов матриц с комплексными элементами. Вместе с тем следует заметить, что автор уделяет мало внимания задачам о перманентах случайных матриц (в этой связи см. книгу В. Н. Сачкова [317]). Изложение материала в книге весьма обстоятельное и сопровождается немногочисленными, но полезными примерами. Изучению перманентов будет способствовать решение задач, помещенных в конце каждой главы и тесно связанных с ее основным текстом.
Нельзя не пожалеть о том, что ряд важных и интересных теорем приводятся в книге без доказательства (например, теорема о разложении перманента в произведение матриц из разд. 6.1 или теорема Тинсли о перманенте (0,1)-циркулянта из разд. 3.4). Это лишь отчасти компенсируется всегда четкими ссылками на первоисточник каждой из таких теорем.
Эта книга вышла в серии «Энциклопедия математики и ее приложения», которую с 1976 г. выпускает издательство «Addison-Wesley».1) Характер издания и его направленность освещены в предисловиях редактора Энциклопедии Дж. К. Роты и редактора серии «Линейная алгебра» М. Маркуса.
Содержательная, ярко написанная книга Минка будет интересна многим читателям, в первую очередь всем тем, кто интересуется дискретной математикой и ее приложениями.
В. К. Захаров
9 Перевод этой серии осуществляют издательства «Мир» и «Наука». В настоящее время выпущены следующие книги: Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности.—М.: «Наука», 1981 (т. 1), Эндрюс Г. Теория разбиений. — М.,: «Наука», 1981 (т. 2), Миллер У. мл. — М.: «Мир», 1981 (т. 4).
ОТ РЕДАКТОРА ЭНЦИКЛОПЕДИИ
Математика состоит главным образом из фактов, которые можно представить и описать подобно любому явлению природы. Эти факты, иногда сформулированные явно в виде теорем, иногда употребляемые по ходу доказательств, составляют основную часть приложений математики и будут существовать всегда, несмотря на изменчивость направлений и интересов в данной науке.
Цель настоящей Энциклопедии—постараться осветить все области математики. От каждого автора требуется ясное и четкое изложение материала, доступное для понимания широкого круга читателей, а также подробная библиография. Тома Энциклопедии объединяются в серии, которые соответствуют различным областям современной математики; порядок выхода книг в отдельных сериях не устанавливается. Число томов и серий время от времени будет пересматриваться и корректироваться.
Мы надеемся, что наше смелое предприятие будет способствовать еще более широкому применению математики не только там, где без нее нельзя обойтись, но даже в тех областях, где ее следовало бы применять и где из-за недостатка информации это пока почти не делается.
Вполне естественно желание, чтобы столь специальной книге, как эта, предшествовала книга, посвященная детерминантам. Мы надеемся, что в свое время Энциклопедия пополнится соответствующим томом. А сейчас монография профессора Минка, исчерпывающим образом трактующая перманенты, по остроумному замечанию автора, так и останется, по всей вероятности, единственной.
Джан-Карло РотаДжан-Карло РотаПерманенты представляют собой довольно искусственную конструкцию, которая лет пятьдесят назад казалась почти нежизнеспособной. Однако многочисленные случаи их использования в физике и теории вероятностей показали удивительную (и загадочную) полезность понятия перманента. Оказалось, что к этому понятию приходится обращаться в самых разнообразных случаях, и благодаря усилиям профессора Минка все они теперь собраны воедино.
Джан-Карло Рота
Джан-Карло Рота
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ
Говоря о сэре Томасе Мюире и его фундаментальном труде «Теория детерминантов в ее историческом развитии», Минк называет его «мастером из Эдинбурга». Будучи сам питомцем того же достойного учебного заведения, Минк своими «Перманентами» продолжает высокую традицию изложения, сочетающего мастерство и эрудицию. Функция перманента изучается уже более столетия. Слово «перманент» впервые появилось в работе Коши 1812 г., хотя, как с иронией отмечает Минк в разд. 1.1, он получил от рецензента одной из своих ранних работ упрек в дерзости за изобретение столь нелепого термина.
В своей известной монографии «Комбинаторная математика» Райзер говорит о том, что перманент «постоянно появляется в литературе по комбинаторике в связи с некоторыми перечислительными и экстремальными проблемами». Например, если D— матрица порядка п и имеет 0 на главной диагонали и 1 вне ее, то per(D) есть общее число беспорядков, т. е. перестановок множества {1,2, . .., п} без неподвижных точек. Теорема Лапласа о разложении работает одинаково хорошо как для детерминантов, так и для перманентов, а для последних она даже проще, так как не надо заботиться о знаках. Отсюда непосредственно следует, что
рег(Л + В)= X X рег(Л[а|р])рег(В(а|р)), (1) г=0 а, [5
где внутреннее суммирование производится по всем (гХг)- подперманентам !) Л, лежащим в строках а = (аь ..., аг), столбцах Р = (Рь ..., Рг), и дополнительным подперманентам В. Если взять А = I, где J— матрица, составленная из единиц, В = —1п, где 1п — единичная матрица порядка п, то D = А + + В, и число беспорядков определяется замечательным соотно-
') Подперманент для перманента определяется аналогично минору для детерминанта. — Прим, перед.
шением: п
per U — к^^^ per (7 [а I а]) (— 1)п~г =г=0 а
п
Г = 0
Пусть Un — число решений задачи об п супружеских парах, т. е. Un — число таких перестановок о на {1, 2, ..., п}, что <r(i)^ ^ i, I + 1 (modгг), i=lп. Аналогично задаче о беспорядках имеем
(7„=per U — 1п — Р\
где Р имеет 1 на местах (1,2), (2, 3), ..., (п — 1, п), (п, 1) и 0 — на всех других. Таким образом, как полагает Райзер, функция перманента есть «правильное» средство рассмотрения многих сложных перечислительных задач о перестановках с ограничениями. Минк в самом деле мастер производить вычисления, требуемые для таких задач (см. разд. 3.4). Я лично наблюдал, как он буквально «штамповал» совершенно замечательные перманенты циркулянтов с помощью одного довольно примитивного арифмометра начала 60-х гг.
Хотя ряд глубоких и интересных результатов о перманентах был достигнут прямыми методами, существует еще и окольный подход к этой функции, оказавшийся довольно продуктивным в течение последних 20 лет. Пусть V есть ri-мерное пространство со скалярным произведением. Тогда Z-градунрованное контраварнантное тензорное пространство над V, т. е. пространство 7,o(K)=C4-V+V®IZ+V®I7;g)V4- ... наследует от V скалярное произведение, определяемое формулой
р
Ui® ■®ХР, yt® ... Ур) = Д (х,, у^
<-1
для однородных степени р разложимых элементов. Симметрическое пространство V есть область значений определенного на T0^V) оператора симметрии
р = 0
Sp = -^ ^ ст, и суммирование производится по элементам симметрической группы степени р (действие а на разложимом тензоре определяется как a(xi® . .. ®xp) = xa(i)0 ... ®хо(р)). Каждый Sp эрмитово ндемпотентен, так что, если Xi ... хр =
— SpX\ ^^i .,, ^^) Хр, то
(М • • • хр) ух ... Ур) = (хх® ... ® Хр, Spyx ® ...® у р) =р
= рГ Jj И (Xf уо (б) =а <=1
= -i-per((x„ у^.
Таким образом, функция перманента естественно возникает как аналитическое выражение для скалярного произведения в y(p) = imSp точно таким же образом, как детерминант в р-м внешнем произведении XPV. Это означает, что унитарную геометрию V(p) можно применить для исследования per (А), и это наблюдение привело к значительному прогрессу в обращении с этой функцией. Минк на протяжении всей книги искусно сочетает комбинаторный и полилинейный подходы.
«Перманенты», безусловно, являются исчерпывающим трактатом. История, теория и применения перманентов излагаются достаточно подробно, а библиография снабжена краткой аннотацией каждой книги или статьи, написанной об этом предмете. Нет сомнений в том, что настоящая книга привлечет еще больший интерес к этой сложной и привлекательной матричной функции.
Марвин Маркус, главный редактор серии «Линейная алгебра»
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Перманенты впервые появились в 1812 г. в знаменитых мемуарах Бине и Коши. С тех пор 155 других математиков опубликовали 301 работу по этому предмету, причем более трех четвертей публикаций появилось в последние 19 лет. Настоящая монография явилась результатом этого необычайного пробуждения интереса к функции перманента.
Цель книги — дать полное изложение перманентов, их истории и применений в форме, доступной не только математикам, но также специалистам в различных прикладных областях и студентам, обучающимся чистой и прикладной математике. Это — первое полное изложение теории перманентов. По замыслу книга представляет собой обзор типа «Теории матриц» Мак-Даффи и «Обзора теории матриц и матричных неравенств» Маркуса и Минка. Однако есть и много различий: стиль свободнее, больше теорем приводится с доказательствами, шире охват материала. Книга, по существу, исчерпывает предмет, с полнотой, на которую ни один обзор по теории матриц не может и претендовать.
Кроме многих детально доказанных теорем в книге имеется ряд результатов, приведенных без доказательства. Из-за ограниченности объема в тексте упоминаются далеко не все известные результаты. Выбор теорем, включенных в книгу, отражает, конечно, авторские предпочтения.
Первая глава содержит исторический обзор теории перманентов, начиная с ее возникновения в 1812 г. Здесь подробно разбираются лишь некоторые классические результаты. В главе 2 рассматриваются общие свойства перманентов. Глава 3 посвящена комбинаторным и структурным свойствам (0,1)-матриц. Следующие три главы составляют ядро книги. В них речь идет о неравенствах для перманентов и их оценках сверху и снизу. Последние особенно важны ввиду отсутствия эффективных методов вычисления перманентов. Одна из этих глав, глава 5-я, содержит обзор литературы по знаменитой гипотезе Ван дер Вардена, доведенный до наших дней. В главе 7 обсуждаются некоторые методы вычисления перманентов и сравнивается их эффективность. В заключительной главе один из разделов посвящен некоторым важным вопросам, не подпадающим под
рубрики предыдущих глав, другой — применениям перманентов к комбинаторике, теории графов и статистической механике; в двух остальных обсуждается современное состояние предположений и задач из списка Маркуса — Минка, составленного в 1965 г., и приводится новый список нерешенных задач и гипотез о перманентах.
Каждая глава завершается задачами различной трудности. Благодаря этому книга может быть использована как учебное пособие для студентов и аспирантов. Предварительные знания требуются в объеме стандартного учебного курса по теории матриц; необходима также некоторая математическая подготовка.
Специфической чертой монографии, а на самом деле ее фундаментом служит библиография, охватывающая все статьи и книги о перманентах, опубликованные до конца 1977 г. или подготовленные к публикации к тому времени. Библиография включает также некоторые работы по смежным вопросам, если есть возможность интерпретировать их в терминах перманентов (даже, когда о перманентах нет явного упоминания). Так, приведены некоторые классические работы по проблеме «супружеских пар». Работы о функциях Шура включены в том случае, когда их специализация для перманентов дает новые значительные результаты. Статьи по графам и комбинаторным свойствам матриц не включены, если только они не связаны с перманентами или не используют их. В библиографии резюмируется, вообще говоря, лишь наиболее существенный результат каждой из работ. Если статья или книга относится к нескольким областям, то рассматривается лишь часть, относящаяся к перманентам.
В ссылках используется обычная двойная нумерация. Так, «раздел 3.2» означает раздел 2 в главе 3. На четвертую теорему в разделе 3.2 ссылаемся как на «теорему 2.4, глава 3», на примеры и пронумерованные формулы — аналогичным образом. Внутри главы ссылка на главу опускается: например, в пределах главы 3 упомянутая выше теорема цитируется просто как «теорема 2.4».
Мне хотелось бы выразить свою признательность г-же Барбаре Фидермен за помощь в создании книги, директору и сотрудникам Института по применениям алгебры и комбинаторики (U. С. S. В.) за организацию перепечатки и оформления рукописи, в частности г-же Мишель Данн за превосходную перепечатку. Работа по книге частично поддерживалась Научно-исследовательским управлением Военно-воздушных сил (по контрактам AFOSR-72-2164 и AFOSR-77-3166).
Хенрик Минк
Глава Г
ТЕОРИЯ ПЕРМАНЕНТОВ
В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
Введение
Современные математики имеют склонность изобретать легкомысленные названия для вновь вводимых математических объектов и понятий. Они с удовольствием толкуют о мобах, радикалах, вырожденных матрицах, соприкасающихся плоскостях, несобственных идеалах и т. п. Может показаться, что термин «перманент» также был изобретен шутником-алгебраистом. Действительно, несколько лет назад один благожелательный рецензент упрекал автора за дерзость — выдумать столь нелепое название для функции, которую ввел сам Шур, не обозначив ее никаким специальным термином. На самом же деле функция перманента уже изучалась и называлась именно так еще до того, как Шур родился.
В своем знаменитом мемуаре 1812 г. Коши [2] развивал теорию детерминантов как специального вида знакопеременных симметрических функций, которые он отличал от обычных симметрических функций, называя последние «перманентными симметрическими функциями». Он ввел также некоторый подкласс симметрических функций, которые были позднее Мюиром названы перманентами [14] и теперь известны под этим названием. Эти функции в современных обозначениях можно определить следующим образом.
Пусть Д = (а<;)—матрица размера пгХп над коммутативным кольцом, m ^ п. Перманент матрицы А, обозначаемый Рег(Д) или просто Per Л, определяется как
(1.1)(1.1)Per (Л)£ а10 (1)а2о (2) ... ama (m)j
(1.1)
(1.1)
О
где суммирование распространяется на все взаимно однозначные отображения из {1, 2, ..., т} в {1, 2, ..., и}. Последовательность (tZia(i), •.., Ятаи) называется диагональю, а произведение aia(D • •• ата<т)— диагональным произведением матрицы А. Таким образом, Per Л есть сумма диагональных
произведений матрицы А. Например, если
А = [3 2 4],
В =В =
В =
В =
то Per А = 9, Per В = 44 и Per С = 18.
Особенно важен случай т = п. Перманент квадратной матрицы А обозначается через per (А) вместо Per (А). Большинство авторов употребление термина «перманент» фактически ограничивает случаем квадратных матриц.
Основоположники: Бине и Коши
Перманенты были введены в 1812 г. почти одновременно Бине [1] и Коши [2]. В своем мемуаре Бине также дал формулы для вычисления перманентов матриц размера т X п при т ^
4.
Перманент матрицы А размера тХ», т ^ п, есть сумма всех диагональных произведений матрицы А. Другими словами, Per А есть сумма всех произведений m таких элементов А, что никакие два из них не находятся в одной строке или одном столбце. Отсюда следует, что все члены Per А наряду с другими содержатся в множестве членов, получающихся при перемножении сумм по строке матрицы А. Например, если А есть матрица размера 2Хщ то
Per А= ^ а^д»,
в то время как произведение строчных сумм, матрицы А есть
Ц 52 аИ= 52 Cllsa2t = 52 &ls^2t + У, d\sa2s- i-\f-\s,t-\s^tS=1
Следовательно,
nn
Per A = П 52 «Z/—52(2.1)
(=1j-ls-l
— формула Бине для m = 2.
Пусть Qt, к обозначает множество всех строго возрастающих последовательностей целых чисел со = (ац, ..., ан), для которых 1 cot < а>2 < ... < ан А. Для матрицы А = (а//) раз-
мера тХп и последовательности (й, ..., iAeQs,m определяем
В частности,В частности,^ ^i 4i lst
В частности,
В частности,
ri = I <^1i-i
обозначает сумму элементов в i-и строке матрицы А. Формулу Бине (2.1) можно записать в виде
Per A =?y2 — rli2.
Рассмотрим теперь матрицу Д = (а//) размера ЗХ^, п^З. Произведение Г1Г2Г3 содержит все члены Per А и, кроме того, ц3— /г (/г—1)(п— 2) «нежелательных» членов, таких, как ОцО21О3/, 01202203/, . . . , ОцОг/Озь . . . , О1/О21О31, . ..(/=1, . .., п) , т. е. члены произведений г, 12r3, r1<3r2 и г2,3гь Поэтому кажется, что если мы вычтем г,,2r3 + г,,3r2 + г^зИ из П^Гз, то оставшиеся члены дадут как раз РегД. К сожалению, это не так. Получается, что, хотя мы и удаляем все «нежелательные» члены, некоторые из них мы вычитаем более одного раза, а именно члены вида 01/02/03/, / = 1, ..., п, появляются в каждом из трех произведений Г| 12г3, г113г2 и г2,3гь и, следовательно, каждый из них вычитается три раза вместо одного. Но сумма всех таких О1/а2/О3/ есть П.г.з, и мы получаем вторую формулу Бине:
РеГ А = ^Дг^З (И * 2^*3 + Г1 *3Г2 + Й>*зП) + ^П . 5.3.(2.2)
Введем теперь следующие упрощающие обозначения. Для матриц размера 2 X о пусть
S(l, 1) = Г1Г2,
S(2) = r,,2;
для матриц размера ЗХо
5(1, 1, 0 = ^2^,
5(1, 2) = г ^213 + г2гх, 3 + г3Г], 2,
.S (3) = г,, 2,3;.
для матриц размера 4 X я
5(1, 1, 1, 1) = г1г2г3г4,
5(1, 1, 2) = rlr2r3.4 + rlr3r2.4 + r1r/2.3 +
+ Г2Г3Г1 • 4 + Г2Г4Г1 . 3 Г3Г4ГI * 2,
5 (2, 2) = fj ф /3. 4 + fj , 3r2t4 -,- r,, 4r2.3)
-5(1, 3) = Г^ ф 3 ф 4 + Г/ J , 3 , 4 + Г.^ ,2*4 + OH * 2 • 3>
-5(4) = r,,2t314
и т. д. Вообще, если A — матрица размера mX n. и ti, ..., th — целые числа, 1^й^ ... is, t\ + /2 + • ■ . + th = m, to 5(й, ..., th^ есть симметризованная сумма всех различных произведений величин г, , s = tx(ь такая, что для каждого произведения последовательности (й, ..., is)eQs, m> s = t\, ..., th, образуют разбиение множества {1, 2, ..., m}.
В этих обозначениях равенства (2.1) и (2.2) принимают вид:
Per А = 5(1, 1)-5(2),(2.1')
РегЛ = 5(1, 1, 1) —5(1, 2) + 25(3).(2.2')
Обе эти формулы были доказаны Бине весьма сложным способом. Он также дал без доказательства формулу для перманента матрицы размера АХ":
РегЛ = 5(1, 1, 1, 1) —5(1, 1, 2) + 5(2, 2) + 25(1, 3)-65(4).
(2.3)
Эту формулу можно установить с помощью принципа включения— исключения, использованного при доказательстве формул (2.1) и (2.2).
Пусть А есть матрица размера 4Х«. Функция 5(1, 1,1,1) есть сумма всех членов РегД и нескольких «излишних» членов, которые все входят в 5(1, 1,2). Поэтому вычтем 5(1, 1,2) из 5(1, 1,1,1). Однако мы «перестарались». Некоторые из членов, такие, как ОцО21«з2О42, ОцО21О31О42 и ОЦО21О31О41, появляются в 5(1, 1,2) с кратностью, большей 1. Например, «11021032042 входит как в ru//v так и в г//3,4. Для компенсации прибавим 5(2, 2). Теперь подсчитаем число членов вида 01102/03/04/, i ^ /, в
5(1, 1, 1, 1)-5(1, 1, 2) + 5(2, 2).
Каждый из них встречается один раз в 5(1, 1, 1, 1), трижды в 5(1, 1,2) (например, 011022032042 появляется по одному разу в г1г2гз.4> г1гзг2«4 и г1г4г2.з)и не встречается в 5(2,2). Для ком-
пенсации мы должны поэтому прибавить 25(1,3):
5(1, 1, 1, 1) —5(1, 1, 2) ;- 5(2, 2) + 25(1, 3).(2.4)
Остается сбалансировать члены а1/а2/аз/а4/> / = 1о. Каждый из них появляется один раз в 5(1, 1,1,1), шесть раз в 5(1, 1,2), трижды в 5(2,2) и восемь раз в 25(1,3). Следовательно, мы должны 1—6 + 3 + 8 = 6 раз вычесть 5(4) из (2.4), и тогда придем к формуле (2.3).
Пример 2.1. Подсчитаем перманент матрицы
Л101Г
01111
10101-
_11010_
Вычисляя, получим
5(1, 1, 1, 1)= 144, 5(1, 1, 2)=151,5(2, 2)=13, 5(1, 3)= 13, 5(4) = 0.
Следовательно,
Per Л = 144 - 151 + 13 + 2 X 13- 6 X0 = 32.
Бине не объяснил, как он вывел коэффициенты в (2.3); не дал он также общей формулы для перманента матрицы размера m X о при т > 4.
Недавно формула Бине была обобщена на любые матрицы размера т X Щ т ^ п [301]. Эту формулу и более эффективную формулу Райзера [87] мы приведем в главе о вычислении перманентов.
Продолжатели: Борхарт, Кэли и Мастер из Эдинбурга — сэр Томас Мюир
В течение столетия, последовавшего за появлением мемуаров Бине и Коши, было опубликовано около 20 работ по перманентам. В большинстве из них речь шла о тождествах, включающих детерминанты и перманенты. Результаты, представляющие наибольший интерес, — это тождества Борхарта [4], Кэли [6] и Мюира [14]. Все они представляют собой формулы для произведения перманента на детерминант матрицы.
Пусть А = (ац)— матрица порядка п. Тогда
per (Л) det (Л) =
Е ае? 1 =
П+щХ (ЗЛ)
Хаг? 1=1/
где Е и F — множества всех четных и нечетных перестановок соответственно. Проблема состоит в том, как в более привлекательном виде выразить разность в правой части (3.1); ясно, например, что она равна
X n"Lu)— ^ n^(,) + /M) = det^)) + /(71), . (3.2) несi=laeFi=l
где A(2> = A«A— матрица с элементом а^ на месте (t,/), а /(А) — сумма остальных членов. Если п = 2, то /(А)=0. При л = 3 Кэли выразил ДА) в терминах детерминанта некоторой родственной матрицы.
Теорема, 3.1 (Кэли [6]). Пусть А — (ац) — матрица 3-го порядка, ац N= О, А^-1’— матрица порядка 3, у которой на месте (i, j) стоит а?/. Тогда
per (A) det (А) = det (А(2)) + 2 (П ац^ det (А(~ °).(3.3)
Доказательство непосредственно следует из (3.1) и (3.2).
Следствие. Дели В = (Ьц)— вырожденная матрица, Ьц=#О, то
per (S(- n) det (S(~!)) = det (s(~2)).(3.4)
Здесь S(~2) обозначает матрицу (БГ)2) порядка 3.
Борхарт получил формулу, подобную (3.4), для любого п, но лишь для матриц специального вида.
Теорема, 3.2 (Борхарт [4]). Пусть А—матрица порядка п, у которой на месте (i, j) стоит (si— Б)-1. Тогда
per A det А = det (А(2))-(3.5)
Мы не предлагаем отдельного доказательства результата Борхарта, так как он есть непосредственное следствие обобщения теоремы Кэли, данного Карлицем и Левином [63], — оно будет приведено в конце раздела.
Сэру Томасу Мюиру принадлежит особое место не только в истории перманентов, но также и в истории детерминантов. В своей монументальной «Теории детерминантов в ее историческом развитии» [25, 26, 35, 36, 40] он наряду с другим материалом приводит обзор всех работ о перманентах, опубликованных до 1920 г.; треть из них — его собственные. Работы Мюира посвящены главным образом различным тождествам, включающим перманенты и детерминанты. Мы приводим ниже один результат такого рода из его первой работы о перманентах.
Теорема, 3.3 (Мюир [14]). Пусть А =Цац) и X — (ху)— квадратные матрицы порядка п. Тогда
per (Д) det (X) = £ е (a) det (Д * АД(3.6)
aeSn’
где Хо— матрица, i-я строка которой есть а(1)-я строка матрицы X, А *Ха— произведение Адамара, а е(о) обозначает знак подстановки а из симметрической группы Sn.
(Произведение Адамара двух матриц Р = (ри) и Q = (qif) порядка п есть матрица (.Рица).)
Каждая часть (3.6) содержит (п!)2 членов; паре перестановок (ф, ip) мы можем сопоставить член
е№(1фМ]кФ(()1=1i=l
из левой части, а паре перестановок (ф, о) — член
е (<т) (е (ф) ft (^ * АД ф (Д = е (аф) П ^, ф wxa ф (г) =
лп
= е(фа--Щагл(|)П^-'№1=1/=1
из правой части. Замена ф *-> фст-1 устанавливает теперь взаимно однозначное соответствие между одинаковыми членами справа и слева.
Через 100 лет после появления работы Кэли Левин [61] обобщил тождество (3.4) на матрицы 4-го порядка, а годом позже Карлиц и Левин [63] получили следующее обобщение на матрицы порядка п;
Теорема, 3.4. Если В = (6,/) есть матрица порядка п без нулевых элементов и ее ранг не превосходит 2, то
per (В(-1)) det (S(" ”) = det (В^'Д(3.7)
(Напомним, что В^ и В^ обозначают соответственно матрицы ОД) и (^).)
Доказательство. В тождестве Мюира (3.6) заменим ац и Xij на by1. Тогда левая часть (3.6) переходит в левую часть (3.7), а член справа, соответствующий тождественной перестановке, есть правая часть (3.7). Остается показать, что все остальные члены справа обращаются в нуль. Рассмотрим разложение перестановки а в произведение непересекающихся циклов. Если любой цикл длины, большей 1, есть транспозиция,
то правая часть (3.6) имеет две одинаковые строки; следовательно, соответствующий детерминант обращается в нуль.
Предположим (без ограничения общности), что строки В можно представить как линейные комбинации первых двух строк и что наибольший из циклов в разложении о есть (1 2 ... А), где 3 ^ h ^ п.
Пусть С = (сц)— матрица размера А X л, состоящая из первых А строк матрицы В'~1} * В1^^. Тогда
Сц = bij b^j,
где Г = i + 1 при i=l, ..., A — 1 и г'=1, если i = h, Пусть К = diag(At, .. •, М, где
^/=П^/-
5=1
/=1п. Тогда D = {da) = СК — матрица размера hXn, у которой на месте (/, /) стоит
= П Ь=Ь5 = 1S^i»
i=l, ..., А; /= 1, ..., п. Ранг D, очевидно, равен рангу С. Но строки В — линейные комбинации первых двух строк, т. е.
bsi = KsbXj + ^sb2j,
j = 1n. Таким образом, ftft—2
dij = JJ (x.sblj + Hsb2j) = 2 ^itblj 2 ^Ь^Ь
5 = 1t-0
s=#=i, V
так что пространство, определяемое строками D, натянуто на А—1 векторов, и, следовательно, ранг С меньше А. Отсюда следует, что матрица, соответствующая о, вырождена. Теорема доказана.В
Тождество Борхарта есть непосредственное следствие теоремы 3.4, так как ранг Л(-Р не превосходит 2.
Ренессанс теории перманентов: теорема Мюирхеда, проблема Пойа, неравенство Шура
и гипотеза Ван дер Вардена
Результаты о перманентах Борхарта, Кэли, Мюира и других авторов в девятнадцатом столетии суть тождества, содержащие перманенты и детерминанты. Все эти результаты прямоли-
нейны и элементарны, хотя некоторые из них доказать нелегко ввиду сложности, присущей любой полилинейной функции. Поворотный пункт в истории перманентов наступил в начале этого столетия — с появлением красивой теоремы Мюирхеда. Другие выдающиеся явления, ознаменовавшие новую эру, — это проблема, поставленная Пойа, понятие обобщенной матричной функции, введенное Шуром, и гипотеза, выдвинутая Ван дер Варденом.
Пусть а = (аь ..., ап) есть п-выборка действительных чисел, а* = (ар . .., а*) — те же числа, расположенные в порядке невозрастания, а* ^ ... ^сГ.
Определение 4.1. Говорят, что неотрицательная п-выборка а = (аь .. . , ал) мажорируется неотрицательной п-выборкой Р = (Рь ..., РД, если
<+ ... +а;<р;+ ... +р;
для к = 1, ..., п— 1 и
«1 + ••• +ал^Р1+ ••• + Рл
это обозначается а<(р.
Теорема, 4.1. (Мюирхед [24]). Пусть с = (щ, ..., сД— положительная п-выборка, и пусть а = (аь ..., аД и р = (Рь ... ..., РД— некоторые п-выборки неотрицательных целых чисел. Пусть далее Л = (с“/), B = ^JY Тогда необходимым и достаточным условием для того, чтобы
per (Л)< per (В),(4.1)
является-
а<р.(4.2)
Равенство в (4.1) достигается тогда и только тогда, когда либо а = р, либо щ = ... = сп.
Харди, Литлвуд и Пойа [44] распространили теорему Мюирхеда на произвольные неотрицательные n-выборки а и р и показали, что (4.2) эквивалентно следующему условию: существует такая дважды стохастическая матрица S порядка п, что
a = Sp.(4.3)
Доказательство теоремы Мюирхеда см. в [44]. Набросок доказательства эквивалентности условий (4.2) и (4.3) можно найти также в [92].
Интересные сами по себе элегантный результат Мюирхеда и его обобщение Харди — Литлвудом — Пойа имели многочисленные важные приложения во многих областях математики.
Следующий вехой в истории перманентов явился вопрос, поставленный Пойа [29]. Как мы увидим в следующих главах, большинство задач о перманентах значительно сложнее, чем соответствующие проблемы для детерминантов. Поэтому было бы интересно найти преобразование, которое превращало бы перманенты в детерминанты; точнее, для заданного множества S матриц порядка п нужно найти такое линейное преобразование Т на S, чтобы
per (7 (Л)) = det (Л) (4.4)
для любой Л eS. В проблеме Пойа речь идет о преобразованиях, заключающихся лишь в приписывании знаков + или — каждому из элементов матрицы. Например, если S есть М2 (множество матриц 2-го порядка) и
ТТ«п а12«21 «22«п а12«21 «22«И —«12^21^22«И —«12^21^22
Т
Т
«п а12
«21 «22
«п а12
«21 «22
«И —«12
^21^22
«И —«12
^21^22
то (4.4) выполняется для всех матриц из М2. Аналогично, если S— множество матриц 3-го порядка с нулем на месте (1.3), то определим Т равенством
«п«п«12 О«12 О«11«11Т «21Т «21«23«23«21«21L«31L«31«32«32«33 J«33 J«31«31«12 0 "«22 «23«32 «33 J«12 0 "«22 «23«32 «33 J
«п
«п
«12 О
«12 О
«11
«11
Т «21
Т «21
«23
«23
«21
«21
L«31
L«31
«32
«32
«33 J
«33 J
«31
«31
«12 0 "
«22 «23
«32 «33 J
«12 0 "
«22 «23
«32 «33 J
Тогда вновь per (7 (Л)) = det (Л) для всех А из S.
Пойа [29] утверждал, что если S есть множество всех матриц порядка п, то при и ^ 3 не существует такого преобразования 7, заключающегося в одновременном приписывании знаков ± элементам матриц, что per (7(Л)) — det (Л).
Доказательство этого утверждения совсем простое. Заметим прежде всего, что достаточно доказать утверждение для п — 3; если п > 3, то рассмотрим прямые суммы матриц 3-го порядка и единичной матрицы /л-3. Предположим теперь, что п = 3 и такое преобразование существует. Тогда число минусов, приписываемых элементам каждой диагонали, соответствующей четной перестановке, должно быть четным, и тем самым общее число минусов должно быть четным. С другой стороны, число минусов на каждой диагонали, соответствующей нечетной перестановке, должно быть нечетным, и, следовательно, общее число минусов, равное сумме трех нечетных чисел, должно быть нечетным — противоречие.
Результат Пойа был существенно обобщен Маркусом и Минком [70], которые показали, что при п>3 не существует такого линейного преобразования 7 множества всех матриц порядка п, что рег(7(Л)) = det(A). Этот результат окончательно
и бесповоротно разрушает надежду, что проблемы о перманентах могут быть легко решены с помощью детерминантов.
Как мы видели выше в одном из примеров, в некоторых множествах матриц перманент может быть обращен в детерминант путем одновременного приписывания знаков ± одинаково расположенным элементам матриц. Гибсон [192] показал, что если (0, 1)-матрица А порядка п имеет положительный перманент и если перманент А можно обратить в детерминант, приписывая элементам А знаки ±, то число единиц в А не превосходит (п2 + 3п—2)/2.
Инициатором совершенно нового подхода к перманентам и детерминантам был Шур, который в 1918 г. ввел понятие обобщенных матричных функций (часто называемых функциями Шура) на квадратных матрицах (см. [34]). Пусть А = (ац) принадлежит ЛК (С)— множеству комплексных матриц порядка п (или матриц над произвольным коммутативным кольцом с единицей). Пусть Н— подгруппа симметрической группы Sn, ap.H^C — функция на Н. Определим функцию d”: Мп (С) -> С соотношением■
d»(A)= £ Х^Д^,.(4.5)
oeH< = 1
Особенно интересен случай, когда х есть характер степени 1, т. е. нетривиальный гомоморфизм Н в С. Именно в этом случае мы будем называть d^ функцией Шура. В частности, если н = Sn и х = 8 (функция знака), то d^— просто детерминант. Если же Н = Sn, х = 1, то приходим к перманенту.
В последние десять лет достигнут значительный прогресс в изучении функций Шура. Сам Шур получил следующий элегантный результат, который приводится здесь в его специализации для перманентов.
Теорема, 4.2 (Шур [34]). Если А — положительно полуопре- деленная эрмитова матрица, то
det (Л) ^ per (Л).(4.6)
Равенство выполняется в (4.6) тогда и только тогда, когда А диагональна или имеет строку из нулей.
Этот результат мы докажем в следующей главе.
Основной причиной существующего в настоящее время большого интереса к теории перманентов является так называемая гипотеза Ван дер Вардена. Начало этому было положено «невинной» проблемой, поставленной Ван дер Варденом [37]: каково минимальное значение функции перманента на Йп— множестве всех дважды стохастических матриц (т. е. неотрицательных
матриц с суммами по строке и столбцу, равными 1)? Предположительный ответ на этот вопрос известен как гипотеза Ван дер Вардена. Пусть Jn— матрица, все элементы которой равны \/п. Если S е Qn и S #= Jn, то предполагается, что
per (S) > per (J^ = п\[п\
Эта гипотеза до сих пор не доказана. Современное состояние проблемы мы обсудим в гл. 5.
Новая эра: Марвин Маркус и К°
Годы с 1926-го по 1959-й для теории перманентов были периодом «спячки». Правда, многие комбинаторные результаты, полученные в это время, можно выразить в терминах перманентов, однако их авторы неизменно использовали комбинаторные методы, не упоминая о перманентах.
Интерес к теории перманентов вновь проявился в 1959 г., когда почти одновременно были получены следующие результаты: Бреннер [58] показал, что перманенты матриц с доминирующей диагональю не могут обращаться в нуль, Каяньелло [59], [60] использовал перманенты, чтобы выразить разложения пертурбаций (perturbation expansions) в компактной алгебраической форме, Левин [61] распространил тождество Кэли (теорема 3.1) на матрицы 4-го порядка, а Маркус и Ньюмен [62] опубликовали свою историческую работу о гипотезе Ван дер Вардена. Последняя работа, несомненно, явилась первопричиной наблюдающейся в настоящее время в области теории перманентов той удивительной вспышки активности, в результате которой в этой области математики появилось свыше 200 работ более чем 100 авторов. Существенная часть этой работы была проделана Маркусом, его сотрудниками, учениками и бывшими учениками1).
Что касается гипотезы Ван дер Вардена, то Маркус и Ньюмен, помимо своей первой работы [62] (содержание которой мы обсудим в гл. 5), доказали эту гипотезу для положительно полуопределенных матриц [79]. Сассер и Слейтер [134] распространили этот результат на нормальные матрицы некоторого типа. Результат Сассера и Слейтера был затем несколько улучшен Маркусом и Минком [144] и распространен Фридлендом [243] на более широкий класс матриц.
Маркус и Ньюмен [62] также доказали гипотезу Ван дер Вардена для всех дважды стохастических матриц 3-го порядка. Эберлейну и Мудхолкару [139] удалось доказать ее для мат
*) Гипотеза Ван дер Вардена доказана. См. стр. 210. — Прим, перев.
риц порядка 4. Этот результат был также установлен Глисоном [177]. Затем Эберлейн [152] доказал гипотезу для матриц 5-го порядка, и на этом дело пока приостановилось.
Для Q„— множества всех дважды стохастических матриц порядка п — Маркус и Минк [77] показали, что перманент любой матрицы из Й,г не меньше, чем ггп. Ротхаусом [253] эта граница была улучшена до tv~n, а Фридленд [319] получил существенно лучшую оценку \/п\. Недавно Банг [274] объявил о существовании границы, имеющей фактически тот же порядок, что и граница Ван дер Вардена.
Значителен прогресс также во многих других направлениях теории перманентов. В направлении, относящемся к подперманентам1), наибольший интерес вызвала функция аДЛ)—сумма всех подперманентов Л порядка I. Тверберг [88] доказал, что для дважды стохастической матрицы Л порядка п справедливо оДЛ)^ ot(J„) при / = 2 и 3, где Jn обозначает матрицу порядка п с элементами \]п. Джекович [123] выдвинул предположение о нижней границе отношения оДЛ)/о#-ДЛ) для дважды стохастической Л и доказал его при t = 3. Маркус и Минк [144] доказали это предположение при любом t, однако лишь для некоторых нормальных дважды стохастических матриц (разд. 8.1).
Как упоминалось в разд. 1.3, Маркус и Минк [70] показали, что не существует такого линейного преобразования Т на множестве Мп всех матриц порядка п, что per (7ДЛ)) = det (Л). Маркус и Мэй [76] определили вид линейных преобразований, оставляющих перманент без изменения. Оба этих результата были передоказаны Ботта [122, 137], а к результату Маркуса — Минка было сделано Гибсоном [192] интересное добавление. Минк [279] нашел вид линейных преобразований Мп, оставляющих перманент без изменения и сохраняющих либо след, либо вторую элементарную симметрическую функцию собственных значений.
Начиная с 1935 г. во многих комбинаторных исследованиях стали появляться перманенты (0, 1)-матриц, однако часто под другим названием. Фронт исследований перманентов (0, ^-матриц был открыт в 1960 г. Райзером [67,68], Николаи [66] и Тинсли [69], изучавшими главным образом перманенты матриц инцидентности комбинаторных конфигураций. Мендельсон [73], Минк [94] и Метрополис, Стейн и Стейн [160] получили формулы для перманентов (0, 1)-циркулянтов. В 1963 г. Минк [84] сделал предположение о верхней границе для перманента (О, 1)-матрицы в терминах ее строчных сумм и доказал более слабый вариант этого предположения. Юркат и Райзер [112]
’) См. примечание на стр. 8.
использовали свое замечательное выражение перманента через произведение матриц для улучшения верхней границы Минка. Другие усиления были предложены Минком [132] и Ниенюи- сом и Уилфом [182, 183]. Наконец, Брэгману [219] удалось доказать гипотезу Минка.
Синкхорн и Кнопп [170] нашли каноническую форму для почти разложимых матриц. Это дало возможность Синкхорну [169], Минку [162], Гибсону [206], Хартфилу [229] и другим получить нижние границы перманентов (0, 1)-матриц.
Много интересных неравенств для функции перманента было получено Маркусом [89, 100], Маркусом и Гордоном [91], Маркусом и Минком [93, 101], Перфект [95], Бруальди и Ньюменом [97], Бруальди [107], Либом [114], Баумом и Игоном [120], Бреннером и Бруальди [121], Джёковичем [124] и другими. О некоторых из них будет идти речь в последующих главах.
Одним из наиболее важных явлений в теории перманентов было привлечение методов полилинейной алгебры к изучению функций Шура. Действительно, доказательство гипотезы Ван дер Вардена для положительно полуопределенных матриц [79], теорема Адамара для перманентов [89], верхняя граница для перманентов нормальных матриц [93] и многие другие неравенства были получены этими методами. Полилинейная алгебра и даже общая теория функций Шура выходят за пределы этой книги. Мы сообщим в следующей главе лишь некоторые сведения из полилинейной алгебры, достаточные для того, чтобы дать представление об использовании ее техники в теории перманентов.
Задачи
Покажите, что если А— неотрицательная матрица порядка п, то
| det (А) к per (А) ^ Пи-
Справедливо ли это неравенство для всех действительных матриц порядка и?
Пусть
'120 1"
А — 2-1-13
1210.
013 1.
Вычислите per (А), используя формулу Бине.
Пусть t), ..., tk— целые числа, 1 ^/] ^ ... ^ Д, t\ + ... + tk = т. Пусть кратность h есть m,, i = L 2, ..., к, mi + ... -Vmh = к. Покажите, что число членов в S(/i, ..., Д) равно
тУП^Цта)'^.
t=i
Используйте комбинаторные соображения для получения формулы типа Бине для перманентов матриц размера 5 X п.
Используя теорему Мюирхеда, докажите, что среднее геометрическое неотрицательных чисел не превосходит их среднего арифметического. Вывести условие равенства.
Покажите, что неверно следующее обобщение теоремы Гибсона [192] (см. разд. 1.4); пусть А— вещественная квадратная матрица порядка п с ненулевым перманентом. Если перманент А можно обратить в детерминант, приписывая знаки ± элементам А, то у А не больше (ц2 + Зи— 2)/2 неотрицательных членов.
Покажите, что условие рег(Л)^0 в теореме Гибсона [192] существенно.
Покажите, что обращение теоремы Гибсона [192] неверно.
Докажите, что если % — характер на Н и Н = Sn, то либо % = е, либо х—1- Другими словами, покажите, что функция Шура, определенная на всех перестановках в S„,— либо детерминант, либо перманент.
Глава 2
СВОЙСТВА ПЕРМАНЕНТОВ
Элементарные свойства
Ввиду сходства в определении перманентов и детерминантов многие свойства детерминантов имеют свои аналоги для перманентов. Иногда свойства перманентов устанавливаются легче, чем аналогичные свойства детерминантов, как это имеет место для первых из следующих ниже теорем. К сожалению, перманентами не наследуются два ключевых свойства детерминантов: мультипликативное свойство и инвариантность при некоторых элементарных операциях над матрицами. Это существенный дефект, который сказывается в том, что доказательство теорем о перманентах и их вычисление — задачи существенно более сложные, чем соответствующие задачи для детерминантов.
Нам потребуются следующие упрощающие обозначения. Пусть Г,, п— множество всех// последовательностей а = («щ ... ..., а) целых чисел, 1 ^ а, ^ п, i = 1, 2, ... , п. Пусть Gr, п — подмножество Г,, п, состоящее из всех неубывающих последовательностей:
Gr,n = K®t, -. .,сог)еГг ,г|1<ы,< ... <ar^n),
a Qr,n — множество всех возрастающих последовательностей:
Qr.» = {(“ь ■ • •, “г) е Гг, „ | К а, < ... < аг < «}.
Пусть mt^ — число появлений t в последовательности те е Г,, Например, т\((2,4,4,4,5,5)) = 0, т2( (2,4,4,4,5,5)) — 1, т3 ((2,4,4,4,5,5)) = 0, т4 ((2,4,4,4,5,5)) = 3 и т5 ((2,4,4,4,5,5)) = 2. Далее, пусть р(ш) есть произведение факториалов кратностей различных целых чисел в а, т. е.
^(С0) = П (со)!.t=i
Например, ц( (2,4,4,4,5,5)) = 312! = 12.
Нам потребуются следующие матричные обозначения (см. [92]). Пусть Мт, n(S), или просто Мт, п, обозначает множество всех матриц размера m X п с элементами из S. Если т = п, то
вместо Мп, п пишем Мп. Пусть теперь А = (а,/) е Мт, п,аг Gh, ,п, ^гОк-п. Тогда через Д[а|р] обозначим матрицу («а^у) размера h X k- Если aeQh, m и PeQ6i,„ то Д[а|Р] есть подматрица А, При а — р мы просто пишем А [а]. Если снова а е Qh, т и р е Q*, п, то Д(а|Р) обозначает подматрицу А размера (т— /1)Х(м — й), дополнительную к Д[а|Р], т. е. подматрицу, полученную из А вычеркиванием строк а и столбцов р. В частности, подматрица размера (т — h^Xn, полученная из А вычеркиванием строк а, обозначается через Д(а|—); аналогично Д(—|Р) есть подматрица размера тХ(п— й), полученная из А удалением столбцов р.
Теорема 1.1. (а) Функция перманента на матрицах размера тХп при т п есть полилинейная функция строк каждой из матриц. При m = п она также полилинейная функция столбцов.
Если А — размера mXn, а Р, Q — матрицы перестановки порядков соответственно m и п, то
Per (PДQ) = Per(Д).
Для квадратной матрицы А порядка п
per (Дг) = per (Л).
Все эти свойства непосредственно следуют из определения перманента.
Следующая теорема есть аналог теоремы Лапласа о разложении детерминантов:
Теорема 1.2. Если А есть матрица размера тХп, 2 ^ m ^ ^ п и aeQ,, т, то
Рег(Д) = У, Per (Д [а |и]) Per (Д (а |й)).(1.1)
В частности, для любого i, 1 i ^ т.
Per (Д) = У аи Per (Д(/|/)).(1.2)
Если m = п и G Qr, П) то также
рег(Д) = У рег(Д [и |р]) per (Д (со |р))(1.3)
и для любого j, 1 п,
per (Д) = £ atl per (Д(/|/)).(1.4)
Доказательство (1.1) получается непосредственно из определений; оно намного легче, чем соответствующая теорема для детерминантов. Мы оставляем его читателю в качестве упражнения (задача 2). Формула (1.3) есть следствие теоремы 1.1 (в).
Прежде чем формулировать следующую теорему, которая представляет собой аналог теоремы Бине — Коши для детерминантов, докажем одну комбинаторную лемму.
Лемма 1. Пусть f— скалярная функция на m-выборках целых чисел. Тогда
2£ 7^ Ef^..-^ <L5)
®еТт,пtoGGm,n 0GSm
где о — (toi, ..., toOT).
Доказательство. Разобьем множество Гт, п на классы эквивалентности; две m-выборки эквивалентны, если они содержат одни и те же целые числа. Тогда каждый класс содержит в точности одну m-выборку из О™, п. Переставляя mj, ..., ют в т- выборке и = (tottom^eGm.n всеми возможными т! способами, мы получаем все т-выборки из класса эквивалентности, которому принадлежит и, и каждая m-выборка появляется в точности ц(м) раз. Используем это замечание для суммирования в правой части (1.5). Оно осуществляется путем суммирования /(toi, ..., tom) в каждом классе эквивалентности отдельно и затем сложением этих частичных сумм.®
Теорема, 1.3 (Теорема Бине — Коши для перманентов). Если В и С суть матрицы размеров тХ^ и пХт соответственно, m п, то
рег(5С) = У ^y-per(Z?[l, .... т|м])рег(С[м|1, ..., т]).
Доказательство. Удобно рассматривать перманент как функцию на совокупностях m векторов. Если Л<1), ..., А(т)— строки матрицы А порядка т, то определяем
per (At)Am)) = Per^)-
Справедливо
п
поэтому по теореме 1.1 (а)
per (ВС) = per ((ВС)(П, ..., (ВС)(т)) =
, пп^
= per|^6mt^(t)j =
\/=iм/
т
= Е Il4Per(<W • • с(“т)) =
“еГт, л Z=1
= Е 77^ Е П bitoai РеГ (Сю<71’ • ■ ■ ’ С%т) asQm,nasSm i = 1
(последнее равенство справедливо ввиду леммы). Но по теореме 1.1(6)
рег(С„а1, ...,С(Юат)) = рег(С(Ю1), ...,C(Wm)) =
= per (С [ю|1, -m]); следовательно, т
рег(ВС)- £ 77у-рег(С[<оЦ, ...,т]) ^ ПЧ/ = toGGm,n™W = ;
= Е T^per^t1, ■•■,™|и])рег(С[и|1, ...,m])_ g р. \UJ /
юеСт, п
Наше следующее тождество для перманентов менее известно, чем предыдущие результаты. Впервые оно было отмечено, как будто, Каяньелло [59] как аналог тождества для детерминантов, принадлежащего, по-видимому, Арнальди (см. также [144] и [156]).
Теорема, 1.4. Пусть А = (щ,) и В = (6,/)— матрицы порядка п. Тогда
per (А + В) =22 per (А [а ||3]) per (В (а |р)),
г = 0 а, ₽sQr п
где рег(А[а|р]) = 1 и det (В (а | р)) = det (В), если г = 0 и det (В (а| р)) = 1, если г = п.
Следующее ниже доказательство было предложено Марвином Маркусом. Справедливо, во-первых, тождество
пппп
Пг^ + ^ — В X П^а, П (!-6) r-Qa^Qrjn i"l L* / = г+1 О;
где а = (а1о.) е Qr п, а а'= (а[+1, ..., oQ есть последова
тельность, дополнительная к а в (1, ..., п). Следовательно,
рег(Л + В) = X П(а«.ч + bt, oi) =
Далее, выражение в скобках — это перманент такой матрицы, у которой t-я строка есть строка а, матрицы А при i = 1г и строка а г матрицы В при t = г + 1п. Разлагая перманент этой матрицы, согласно теореме 1.2, по строкам с индексами из а, получаем, что он равен
X per (Л [а [3]) per (В(а 13)),
откуда следует утверждение теоремы.
Функция перманента как скалярное произведение
Большим событием в теории неравенств, включающих перманенты, был развитый Маркусом и Ньюменом [72,79] в 1961 г. новый подход к функции перманента, при котором она рассматривается как скалярное произведение на классе симметрии вполне симметрических тензоров и к ней применяется неравенство Коши — Шварца. Мы не намереваемся давать здесь полного изложения теории тензорных пространств; ее можно найти во многих стандартных руководствах (см., например, [233]). Но в целях удобства мы остановимся на некоторых основополагающих принципах.
Пусть V есть n-мерное унитарное пространство со скалярным произведением (и, и); Mm(V)— пространство т-полилиней- ных функционалов на V. Другими словами, Мт(У) есть пространство комплекснозначных функций ср на V X V X ••• XV—- множестве совокупностей т векторов из V, удовлетворяющих условию:
ф(«Р . ..,u._p си, + сХ, ит, .... ит) = сф(и„ . ..
ии и№ХО + с'ф^р • Ut_vu'L, Uwuj
ДЛЯ любых tip ..., Up Up ..., um из V, любого i и любых комплексных чисел с и с'. Например, если V есть Vn(C), т. е.
пространство /i-выборок комплексных чисел, а щ = (ан, ..., а,п). i = 1, ..., /и, то полилинейный функционал ср
ф(«!, . .., и^ = Per ((az/))
принадлежит Mm(V). Если пг = п, У= У„(С), то ф, определяемый как
Wb . .., uJ = det((a1V))
для всех п-выборок «1, ..., ип, принадлежит Mn(V).
Определение 2.1. Если V есть /i-мерное унитарное пространство, то двойственное пространство для Mm(V) называется пространством m-контравариантных тензоров (или просто тензоров). Оно обозначается через У(т). Другими словами, У(т) есть пространство всех комплекснозначных линейных функционалов на Мт (У). Если и, eV, i=l, ..., m, то определяем f = = U\ 0 ... 0 Um как элемент У("Д значение которого на любом ф = Л4т(У) есть
Нф) = ф(«1, . . ., Um).
Тензор «10 ... 0 Um называется разложимым. Он также называется тензорным произведением щ, ..., um.
Не все тензоры в Е(т) разложимы, но все они представляются как линейные комбинации разложимых тензоров. Действительно, легко показать, что если е,, ..., вп — базис V, то пт тензорных произведений
еЮ1 ® . . . ® е„т
(где со, независимо пробегают числа 1, ..., п) образуют базис
Введем теперь скалярное произведение в Е(т), индуцированное скалярным произведением в V. Определим его через значение на парах разложимых тензоров: т
(«1® . .. <8 ит, 01® • •• ®0т) = П(Мь О,)-(2.1)
Пример 2.1. Пусть А и В — матрицы порядка т. Полагаем в (2.1) ui = Ац), Ui = Bw, i = 1, ..., tn (здесь B(;) обозначает i-й столбец В). Тогда пгт
(Ар,® ... ®AW, Bw® ... ®В<т)) = П(Ао, В(<)) = П(АВ)гг. г=1. (=1
(2.2)
Применяя к (2.2) неравенство Коши — Шварца, получаем
Й
тпгт
I № f < п и А, П (в"в)„ - П II A,, if | в1" |’.
1 = 1/ = 1i ■* 1I =• 1
Определение 2.2. Пусть о— перестановка из 5т. Определим линейный оператор Р(о( на V(m):
Р(а)(Ы1® ... ®um) = ua-1(1)® ... ®uo-aw (2.3)
Вполне симметрический оператор на Ит) определяется как
Область значений Тт обозначается через У(т) и называется классом симметрии вполне симметрических тензоров. Введем также следующее обозначение:-
«1* ••• *um = Tm(ux® ... ®um\
Тензор ui * ... *um называется симметрическим произведением U\, ..., um.
Теорема, 2.1. Если и-, е V, i = 1, ..., m, то
Р^^щ* ... *um) = ui* ... *um;
^T'm = Tm;
(в) Tm = Tm, t. e. Tm эрмитов no отношению к скалярному произведению (2.1).
Доказательство, (а) Справедливо
Р (а).. * um = Р (о) Тт (и^ ® ... ® ит^ =
= iP^ £ Р(<рЖ® ••• ®um) = cpeSm
= —г Р (о) У U 1 ® . . . ® U ,=
= V и ,1®® и 11—
т!о (1)а ф~ (т)
= Д-У'и_1®...®и1 =т\ Z—i т 1 (1)т ' (т)
= -^7 У Р ^ («1 ® • • • ® И J = «1 * . . . *ит. TGSm
Достаточно доказать, что Тт идемпотентен, когда действует на разложимых тензорах. Если и^, ..., ит — любые век-
торы в V, то
7*т («1 ® ■ • . ® Um) = Тт (и, * . . . * Мт) =
=£ ^(^)(«1**«J = i 2 их * *ит =
аг8тaGSm
= UX* ... *um = Tm(ux® ... ®Mm).
Снова достаточно показать эрмитовость для разложимых тензоров:
(Гт(«1 ® ... ® мт), у, ® ... ® ут) =
= W 2 (^"'т® ®ио-ЧтУ У, ® • • • ®Ут) = OGSm пп .
= 2 Пс^-чо’ ^)=i 2 П(“1’ у^=
= "2 (“1® ®Um> Wo(D® ® ^(т^
sSm
= («! ® . .. ®ит, Тт(ух® ■ ■ ■ ® ут^.■
Теорема, 2.2. Пусть их, ..., ит, Уь •Ут— векторы из V, и пусть А = (а//) = ((и,, у/)). Тогда
(их* ... *um, v х * ... * у^ = ^ per ^иь у,)) = -^р per (Л).(2.5)
Доказательство. Используя теорему 2.1 и формулу (2.1), вычисляем (»!*... *мт, у,* ... *ут) = . =kTmkuX® ... ®Um), Тт(Ух® ... ®Ут^ =
= (jmTm(uX^) ... ^Um, У1® . .. ®Ут)) =
= (Tm(ux® ®Um, УХ® ®Ут)) =
= -^7 2 (^(^“l® ®Um, UX® ®Ут) =
2 (“»-’«) ®®Ua-'w yt ® ®Ут) =
0GSm tn.m
^'Йл 2 II (Uo-'w ut)=="m\ 2 H(Ui’ aGSmi=1a^smi = 1
m!zn! 1
oes„ i = l
Теорема 2.3. [79].
Симметрическое произведение щ * ... *ит равно нулю, если и только если и; = 0 для некоторого (.
Пусть игит, t»iUm — ненулевые векторы в V. Тогда
. Uy* ... *Um=Ui* ... *um.
если и только если
yt = diuoW 1=1m-
где а — перестановка из Sm, a didm — скалярные величины, di ... dm= 1.
Доказательство, (а) Предположим, что щ* ... *ит = 0, т. е. Tm(ui^ ... ^ит) = 0. Если теперь weV— произволь' ный вектор, то
(T(uL® ... <8>Um), w® ... ®w) =
= («1 ® ... ® um, T(w® ... ® w)) =
= (U1® . .. ®Um, w® ... ®®) = П(^, ®\(2.6)
Следовательно,
П(«/. ®) = 0(2.7)
z=i
для любого та e W. Но тогда Ut = 0 для некоторого i. В самом деле, если и, =/= 0, i = 1т, то dim (ui)1 = n — 1 t = 1, ... ..., m, t. e.
m
U (^ ^ E;
Z-l
но тогда для любого та ^ J (р,^ произведение (2.7) не было бы равно нулю.
Если U1 * . . . * Um = 01 * . . . * Um, ТО ДЛЯ ЛЮбоГО !У Е V ло (2.6) тт
H(wz, ®) = II(yz. ®).(2.8)
Z = 1Z = 1
Пусть теперь та — произвольный вектор в (ui)1. Полагаем также и, = Xi + yt, х, е <zzi>, yi е (ui)1. Тогда
O = II(vz, ту) = П(^. w).
Z=1Z=1
Следовательно, какой-либо из yi, скажем у\, равен нулю, Но тогда v\ = х\ = d\U\, и (2.8) записывается как
/ т_т. \
(«1, П(“ь ®) —^1П(Уь ®)) = О
XZ-2Z = 2/
для всех w е V. Так как и, ^ 0, отсюда получается, что
П(и,, ф) = ^1П(у<, ®) = (dp2, ф)(у3, ф) ... (ит, ф) Z=2Z-2
для всех ше У. Индукция по пг завершает доказательство.
Мы теперь в состоянии доказать фундаментальное неравенство Маркуса и Ньюмена [79], которое приведем в двух формулировках, фактически эквивалентных одна другой.
Теорема, 2.4 (Маркус — Ньюмен).
Если их, ..., Um, щ, ..., От — векторы в унитарном пространстве V, то
I per ((uz, и,)) |2<рег((и,, и,)) per ((yz, у,)).(2.9)
Равенство в (2.9) получается в том и только том случае, когда либо один из и\, ..., Um, У1, ..., Um равен нулю, либо существует такая перестановка о, что щ = divat.i), i = 1, •••, m, где d\, ..., dm — скалярные величины.
Если Л есть матрица размера тХп, а В — матрица размера пХ т, то
| per (ЛВ) |2 ^рег (ЛЛ*) per (ВВ*).(2.10)
Равенство в (2.10) достигается в том и только том случае, когда либо у А найдется нулевая строка или у В — нулевой столбец, либо А = DPB* для некоторой диагональной матрицы D и матрицы перестановки Р.
Доказательство, (а) Из неравенства Коши — Шварца получаем
I («1 * . . • * Um, У1 * . • - * У^) Р < II Щ * • • • * «^ II2 II У| * • • . * Ут ||2,
(2.Н) и по теореме 2.2
I («1 * . . . * Um, Щ * . . . * ym) |2 = -^yrl per ((«z, У/)) P,
|| u, * . . . *um||2 = -^ per((uz, u^,
II «1* ... * ym ||2 = -^ per ((o„ у,)),
что вместе с (2.11) приводит к неравенству (2.9). Равенство в (2.11) справедливо тогда и только тогда, когда тензоры U] * ... * Um и ui » ... *ит линейно зависимы. Поэтому условия для равенства в (2.9) получаются по теореме 2.3. _
Полагаем Ui = Л(о, i = V, ..,, т, Vj — В^, ; = 1, ... ..., т. Результат теперь следует из (а).
Следствие 1. Если А— квадратная матрица порядка п, то
| per (Д) р < per (ДД*).(2.12)
Равенство в (2.12) получается в том и только том случае, когда А имеет нулевую строку или А есть обобщенная матрица перестановки."
Доказательство. Полагаем в (2.10) В = /„.■
Следствие 2. Если U — унитарная матрица, то
|per(t/)|<l.(2.13)
Неравенство из теоремы 2.4 позволяет очень просто доказать классическую теорему Шура [34] (см. теорему 4.2 в гл. 1).
Теорема 2.5. (Шур). Если А—положительно полуопределен- ная эрмитова матрица, то
per (Д)^ det (Д)(2.14)
с равенством в том и только том случае, когда А диагональна или имеет нулевую строку.
Доказательство. Так как А положительно полуопределена, существует такая треугольная матрица Т, что А = ТТ*. Тогда
det (Д) = det (ТГ) = det (Г) det (Г).
Но так как матрица Т треугольная, det (Т) = per (Г) и det(T*) = = per (У*). Следовательно,.
.det (Д) = per (Т) per Т*.
Но по теореме 2.4
per (Г) < | per (П„) | ^ Vper (ТГ) = per (Ац
per (Г) <1 per ^ТЧ^ I < Vper(Tr) = Урег (Д),
откуда легко получается утверждение теоремы.- ■
Задачи
Пусть
Используя теорему Бине—Коши, вычислите перманент АВ.
Докажите теорему 1.2.
Пусть А есть матрица размера тХн, D и G — диагональные матрицы порядков тип соответственно. Покажите, что, вообще говоря,
Per фАС) =£ Per ф) Per (Л) Per (G).
Пусть А = фц^е Мп есть (0, 1)-матрица, т. е. матрица, составленная из 0 и 1. Пусть В = (Ьр)—матрица «перманентных дополнений» для Л, т. е. Ьц = per (Л (/] i)). Покажите, что
(per (Л))2 ^ a tr фВ*),
где а = X aijin2.
Докажите, что для А е Мп
per (Л7„ — Л) = V + X
k = l
где Сй = (—l)fc X рег^И)- (Замечание: ретфк — Л) на
га
зывается перманентным характеристическим многочленом Л.)
Дана С ;= А + IB, где А и В — действительные матрицы 3-го порядка. Используйте теорему 1.4 для вычисления действительной и мнимой частей per (С).
Пусть АеМпфФ А = HU, где U — унитарная, а Н— положительно полуопределенная эрмитова матрица. Покажите, что
| per (Л) К (per (772))1/2.
Для комплексной матрицы А со строчными суммами /у, ..., гп покажите, что
per (ЛЛ*) > -4- ]71 r{ I2.
Докажите следствие 2 теоремы 2.4.
Глава 3
(О, 1)-МАТРИЦЫ
Матрицы инцидентности
Матрицы с элементами 0 и 1, т. е. (О, 1)-матрицы, играют важную роль в линейной алгебре, комбинаторике и теории графов. В некоторых приложениях бывает иногда удобно рассматривать 1 как максимальный элемент булевой алгебры или единичный элемент в поле из двух элементов. Мы, однако, под символом 1 понимаем целое положительное число 1, так как будем главным образом заниматься перечислением систем различных представителей и связанными с этим задачами в теории перманентов.
Для многих проблем в теории неотрицательных матриц существенно лишь распределение нулевых элементов. В таких случаях речь идет лишь о свойстве элемента быть или не быть нулем, и проблема часто упрощается путем замены данной матрицы (0, 1)-матрицей с точно таким же расположением нулей.
Определение 1.1. Говорят, что две матрицы А = (ац) и В = = (bij) размера тХп имеют одинаковое расположение нулей, если из а^ = 0 следует, что Ь^ = 0, и обратно.
Предположим, что А, В, С и D — неотрицательные матрицы порядка п и что А имеет одинаковое расположение нулей с В, а С — с. D. Ясно, что тогда А + С имеет одинаковое расположение нулей с В A- D, а А * С — с в * С.
Многие проблемы комбинаторного характера можно представить как проблемы о конфигурациях подмножеств конечного множества, которые в свою очередь удобно формулируются с помощью (0, 1)-матриц.
Определение 1.2. Пусть Xi, Х2Хт суть подмножества (не обязательно различные) «-множества S= Ць х2, ,,., хп). Определим (0, 1)-матрицу A = (а//) г
( 1, если Xi е Хг,
[ 0, если Xj <^ Хр
Матрица Л называется матрицей инцидентности для подмножеств X], Х2, ..., Хт «-множества S.
Понятие матрицы инцидентности в различных частных случаях позволяет получить представления для разнообразных отношений, функций, графов, пересечений множеств и т. д. (см. далее задачи 1—9 и «проблему танцев»).
Определение 1.3. Вновь пусть Xi, ..., Хт суть подмножества n-множества S. Последовательность (si, s2sm) из т различных элементов S называется системой различных представителей (сокращенно СРП), если s/eX;, г = 1, ..., пг.
Конфигурация подмножеств может не иметь СРП. Весьма интересна комбинаторная задача; определить, имеет ли данная конфигурация СРП, и если имеет, то сколько.
Например, в известной «проблеме танцев» требуется ответить на следующий вопрос. Пусть на танцевальном вечере в школе присутствует п юношей и п девушек и каждый юноша знаком точно с к девушками, а каждая девушка в точности с к юношами. Можно ли составить пары для танца так, чтобы партнеры были уже ранее представлены друг другу? Сколькими способами это можно сделать?
Пусть Xi — подмножество девушек, которые знакомы с г-м юношей, 1 = 1, ..., п. Нам фактически надо знать, имеет ли эта конфигурация СРП, и если имеет, то сколько. В терминах матриц инцидентности конфигурацию можно описать с помощью квадратной (0, 1)-матрицы порядка п, имеющей в точности к единиц в каждой строке и каждом столбце, где 1 стоит на месте (i, /), если i-й юноша знаком с j-й девушкой. Вопрос состоит в том, можно ли выбрать п мест, на которых стоит 1, так, чтобы никакие два из них не лежали в одной строке пли одном столбце. Мы увидим, что ответ на этот вопрос положителен. Второй вопрос: сколькими способами это можно сделать? Ответ на него неизвестен. Нет даже разумной гипотезы о нижней границе этого числа.
Пусть Л = (а,/) есть матрица инцидентности для подмножеств Xi, Х2, ..., Хт «-множества {xi, ..., х„). Если эта конфигурация имеет СРП, то ясно, что т ^ п и существует такая взаимно однозначная функция о: {1, ..., т}->{1, ..., «}, что
i = 1, ..., т. Из определение матрицы инцидентности тогда получается, что
а1а (») ^ ^’
г = 1, ..., т. Следовательно, конфигурация имеет СРП тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначная функ-
ция а, такая, что авд = а2<т<2) = ... = amoW = 1, т. е.т
П^(о=1-(1.1)
Число СРП равно числу взаимно однозначных отображений а, для которых выполняется (1.1). Поэтому оно равно
-т
Рег(Л)= X П^(0.
Пример 1.1. Найти число СРП в следующей конфигурации подмножеств {хь х2, х3, х4}: Х]={хь х3}, X2 = {xi, х2}, Х3 = = {х2> хз, х4]. Матрица инцидентности этой конфигурации есть
г 1 0 1 0-1
Л = 1100.
.0111.
Число СРП есть РегМ) = 5. Фактически СРП—это {хь х2, х3}, {хь х2, х4}, {х3, Хь х2), {х3, хь х4} и {х3, х2, х4}.
Теоремы Фробениуса и Кёнига
Наиболее важным результатом комбинаторной теории матриц и теории перманентов неотоицательных матриц является так называемая теорема Фробениуса — Кёнига. Она была впервые получена Фробениусом, затем «передоказана» Кёнигом с помощью элементарных теоретико-графовых методов и снова «передоказана» Фробениусом одним элементарным методом. По поводу этой теоремы и ее связи с другими результатами Кёнига между Фробениусом и Кёнигом возникла полемика (см. [48]). Мы не намереваемся быть арбитрами в этом деле и будем ссылаться на этот результат как на теорему Фробениуса — Кёнига; это название общепринято.
Теорема, 2.1 (Фробениус—Кёниг). Пусть Л— матрица порядка п. Для того чтобы каждая диагональ матрицы Л содержала нуль, необходимо и достаточно, чтобы в Л существовала нулевая подматрица размера sX t с s + t — п + 1.
Доказательство теоремы 2.1 можно найти во многих книгах (см., например, [117]). Здесь мы докажем результат, эквивалентный теореме 2.1.
Теорема, 2.2. Пусть Л—неотрицательная матрица порядка п. Тогда рег(Л) = 0 в том и только том случае, когда Л содержит нулевую подматрицу размера s\t с $ + t = п-^-1,
Доказательство. Необходимость докажем индукцией по п. Пусть рег(Д)=0. Если п = 1, то А = [0]. Предположим, что условие необходимо для всех квадратных (0,1)-матриц порядка, меньшего п. Если А составлена из нулей, то доказывать нечего. Предположим, что а^ь > 0. Тогда
0 = per (Д) = X ам per (Д (h | j));
j=l
так как все произведения а^ per (Д (А |/)) неотрицательны, а аки положительно, должно быть
per (Д (й | й)) = 0.'
Следовательно, по индуктивному предположению в AQi\k^ можно найти нулевую подматрицу размера я X Л с я + Д = = (л—1)+ 1. Переставим строки и столбцы А так, чтобы эта нулевая подматрица заняла правый верхний угол:
П-ty ty
0
B = PAQ =
ZZп — ^
Z
Z
(Эта перестановка производится только лишь для удобства обозначений и не является существенной частью доказательства.) Ни п— я, ни п — /] не могут быть равны нулю, так как я и ty положительны и я + Л = я. Так как п— s\ = t\ и л — ty = я, то X, У— квадратные матрицы порядков соответственно si, /ь Таким образом,
0 = per (Д) = per (X) per (У),
и либо рег(Х), либо per (У) должен обратиться в нуль. Без ограничения общности предположим, что рег(Х) = 0. Тогда по предположению индукции X содержит нулевую подматрицу размера «Хи с иД-и = я+1- Предположим, что X[ai, ... . . . , au|Pi, . . . , pv] = 0, т. е. В[аь ..., au|pb ..., рв] = 0. Рассмотрим подматрицу
С = В[аь ..., а„ |рь ..., ро, st + 1, я + 2, ..л].
Это нулевая подматрица матрицы А с л строками и и + (п— я) столбцами. Более того,
и Д- и + (л — я) = (ы + у) + л — si = si + 1 + л — я = л Д- 1.
Доказательство необходимости завершено. Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что А содержит нулевую подматрицу размера sXt с s + / = n+l. Переставим строки
и столбцы А так, чтобы
J о ! к
(2.1)(2.1)В^РА^ = 1]
(2.1)
(2.1)
L । М
По теореме Лапласа о разложении (теорема 1.2 гл. 2)
per (Л) = per (В) = У per (В [1, .. ., s jco]) per (В (1, . .., s | со)).
(2.2)
Но В[1, ..., s|co]—подматрица порядка s матрицы В[1, ...- ... ,s 11, ..., /г], а эта последняя имеет не более
n — t = s-Vt — 1 — t = s — 1
ненулевых столбцов. Поэтому каждая подматрица вида В[1, ...
..., s | со] должна иметь по крайней мере один нулевой столбец; следовательно, рег(В[1, ..., 8|со])=0для любой со е Qs, „.
Отсюда по (2.2) получается, что рег(Л)=0.Я
Следующая теорема — это несколько расширенный вариант теоремы 2.2:
Теорема 2.3. Пусть Л — неотрицательная матрица размера тХа, т п. Тогда Per (Л) = 0 в том и только том случае, когда Л содержит нулевую подматрицу размера s X (^ — s + 1) •
Доказательство. Если m < п, то пусть
где С-—матрица из единиц размера (/г — т^Хп. Тогда по теореме 2.2 рег(В) = 0 в том и только том случае, когда В (а значит, и Л) содержит нулевую подматрицу размера sX^ — s + + 1). Следовательно, per (В) = (п— т)! Per (Л) есть нуль тогда и только тогда, когда Рег(Л)=0. В
Существенным понятием в комбинаторной теории матриц является понятие терм-ранга (0, 1)-матрицы.
Определение 2.1. Пусть Л есть (0, 1)-матрица размера тХ^. Терм-рангом матрицы Л называется максимальный порядок ее квадратной подматрицы с ненулевым перманентом. Иными словами, терм-ранг — это максимальное число единиц в диагонали матрицы Л.
Второй вариант определения можно очевидным способом распространить на матрицы над любым полем.
Ключевой теоремой о терм-ранге является теорема Кёнига — Эгервари [41,42,48]. Напомним, что линией называется строка или столбец матрицы.
Теорема 2.4. (Кёниг — Эгервари). Пусть А есть (0,\)-мат- рица размера тХ п. Терм-ранг матрицы А равен минимальному числу линий, содержащих все единицы А.
Доказательство этой классической теоремы совершенно прямолинейно (см., например, [87]).
Другой вариант этого результата представляет собой обобщение теоремы Фробениуса — Кёнига, принадлежащее Кёнигу [48].
Теорема, 2.5. Пусть А есть (0, I)-матрица размера тХщ пг ^ п. Терм-ранг матрицы А равен р в том и только том случае, когда А содержит нулевую подматрицу размера s X t с s + t = n + tn — p, но не содержит нулевой подматрицы размера рХ q с р + q > п + m — р.
Структура квадратных (0,1)-матриц
Перманент (0, 1)-матрицы зависит от расположения нулей в матрице. В этом разделе мы изучим структурные свойства квадратных (0, 1)-матриц. Мы увидим, что одним из характерных свойств (0, 1)-матрицы является существование или несуществование дважды стохастической матрицы с тем же, что и у исходной матрицы, расположением нулей. Начнем с основных свойств дважды стохастических матриц.
Напомним, что неотрицательная матрица называется дважды стохастической, если все ее строчные и столбцевые суммы равны 1. Множество всех дважды стохастических матриц обозначается через Qn.
Определение 3.1. Неотрицательная матрица порядка п называется частично разложимой, если она содержит нулевую подматрицу размера hX^n— й). Другими словами, матрица А частично разложима, если существуют такие матрицы перестановки Р и Q, что
г в с 1
L о £) J
где В и"D — квадратные матрицы. Если матрица не содержит нулевой подматрицы размера кХ^п— й) ни при каком к^ = 1, ..., п—1, то она называется вполне неразложимой.
Теорема, 3.1. Если А— частично разложимая, дважды стохастическая матрица, то существуют такие матрицы перестановки Р и Q, что PAQ есть прямая сумма дважды стохастических матриц.
Действительно, предположим, что
где D— квадратная матрица порядка к. Так как PAQ— дважды стохастическая матрица, то сумма элементов, находящихся в первых п— к столбцах PAQ, равна п — к, т. е.
s (В) = п — к,
s (В) = к.s (В) = к.где s(A) обозначает сумму элементов в матрице X. Аналогично, рассматривая элементы последних к строк в PAQ, заключаем, что
s (В) = к.
s (В) = к.
Но
n = s (PAQ) = s (В) + s (С) + s (D) = n - к + s (С) + к = n + s (C);
следовательно,следовательно,5 (C) = 0.5 (C) = 0.
следовательно,
следовательно,
5 (C) = 0.
5 (C) = 0.
Поскольку С неотрицательна, должно быть С = 0, и PAQ = = BA-D-, очевидно, что матрицы В и D дважды стохастические.
Теорема, 3.2. Перманент дважды стохастической матрицы положителен.
'В С -I. 0 D J’'В С -I. 0 D J’PAQ =PAQ =Действительно, если рег(Л) = 0, то по теореме Фробениуса— Кёнига существуют такие матрицы перестановки Р и Q, что
'В С -I
. 0 D J’
'В С -I
. 0 D J’
PAQ =
PAQ =
где нулевая подматрица в левом нижнем углу имеет размер /iX^cA + ^ = n+ l. Но если А е Qn, то
п = s (PAQ) ^ s(B) + s (D).
Все ненулевые элементы первых к столбцов содержатся в В, поэтому s(B)=k. Аналогично s(D)=h. Следовательно,
п X S (В) + s (D) X к + к,что невозможно, так как h + к = п + 1.
Следствие. Всякая дважды стохастическая матрица имеет положительную диагональ.
Заметим, что отсюда вытекает положительный ответ на вопрос, возникший в «проблеме танцев» (разд. 3.1). Если S = = (s,/) есть матрица инцидентности соответствующей конфигурации (т. е. so = 1, если i-й юноша знаком с /-й девушкой, и so = 0 в противном случае), то ^S — дважды стохастическая матрица. Следовательно, в S имеется положительная диагональ. Иными словами, возможно составить требуемые пары юношей и девушек.
Мы перейдем теперь к одному из основных результатов теории дважды стохастических матриц.
Теорем а, 3.3 (Биркгоф, 1946), Множество Qn всех дважды стохастических матриц образует выпуклый многогранник, вершины которого — матрицы перестановки. Иначе говоря, если А е Q„, то
A^fQ/Р/,
где Ру, ..., Ps— матрицы перестановки, а 9ь ..., 9S— неотри-
S цательные числа, 20/=1--
/-1
Доказательство. Применим индукцию по числу л (Л) положительных элементов в А. Если л(Л) = п, то А — матрица перестановки, и утверждение теоремы справедливо (s ■= 1). Предположим, что л(Л)> п и что теорема справедлива для всех матриц в Qn с меньшим, чем л (Л), числом положительных элементов. В силу следствия теоремы 3.2 матрица А имеет положительную диагональ (aa(i), i, са(2), 2, . . ., ао^/.пУ Пусть аСТ(о,/ = min, (аа<,•>,;)= а и Р =Дро) есть матрица инцидентности перестановки о (т.е. Р — матрица перестановки с p0i.o,i — = 1, i = 1л). Ясно, что 0 < a < 1, так как а = 1 озна
чало бы, что а0(о, i = 1 для всех t = 1, ..., п, т. е. А была бы матрицей перестановки. Кроме того, А—аР неотрицательна (ввиду минимальности а). Мы утверждаем, что матрица
В-ф^-^^ДА-аР)(3.1)
дважды стохастическая. В самом деле,
£ bii = т4т £ <аи - аР^ = 7-17-1
1=1, ..., п, и так же можно показать, что
Z = 1
/ = 1, ..., п. Далее, л(5)^л(А)—1, так как В имеет нули на всех тех местах, что и А, а кроме того, Ь^, t = 0. По индуктивному предположению
3-1
в = У ^Pi,
где Pj — матрицы перестановки, ф/^ 9, /=1, .... s— 1, и
S — 1
У Ф/=1. Но тогда по (3.1)
7 = 1
А = (1 — а) В + аР = ( У (1 — а) Ф,/’,) + аР = У
V 7 = 1' V7 = 1 ‘ 1
где 9/ = (1 — а)ф/, / = 1, • • •, s — 1, 9S = а и Ps = Р. Ясно, что 9/ неотрицательны. Остается показать, что У9; =1. Действи- 7 = 1
тельно,
У 9/ = ( Ё (1 — о) ф/ J + а = (1 — а) У ф/ + а = 1 — а + а = 1.
Обозначим через А„ множество всех (9, 1)-матриц порядка п с k единицами в каждой строке и каждом столбце. Множество А*, конечно, не выпуклое. Однако если А е Ап, то -^ А е ЕЙ,,; таким образом, матрицы из А„ фактически обладают свойствами дважды стохастических матриц, поэтому их обычно называют дважды стохастическими (9, 1)-матрицами. Следующий результат аналогичен теореме 3.3, хотя исторически он предшествовал теореме Биркгофа.
Теорема 3.4 [48]. Если А е Ап, то
кА-^РЬ/-1
где Р, суть матрицы перестановки.
Доказательство этой теоремы в значительно упрощенном виде повторяет доказательство теоремы 3.3. Оставляем его как упражнение (задача 12).
Если А — матрица инцидентности некоторой конфигурации, то перестановки строк и столбцов матрицы соответствуют перенумерованию соответственно подмножеств и элементов. Перманент матрицы А не изменяется при перестановках строк и столбцов. Другими словами, существенные комбинаторные свойства конфигурации не изменяются при умножении А справа или слева на матрицы перестановки.
Напомним, что неотрицательная матрица А порядка п вполне неразложима, если не существует таких матриц перестановки Р, Q, что
где размер нулевой матрицы — sX(n— s). Понятие вполне неразложимой матрицы играет в комбинаторной теории матриц роль, подобную понятию неприводимой матрицы в спектральной теории неотрицательных матриц.
Теорема 3.5. Неотрицательная матрица А порядка п, где п^ 2, вполне неразложима в том и только том случае, когда
рег(Д(/1/)) > 0 для всех I и j.
Доказательство. По теореме 2.1 per (Л (Л | Л)) = 0 при некоторых h и к, если и только если подматрица А^к\к?) и, следовательно, матрица А содержат нулевую подматрицу размера sXt с s + / = (n—1)+Е Другими словами, рег(Л(й[Л)) = 0 для некоторых h и к тогда и только тогда, когда А частично разложима.В
Пусть Ец обозначает матрицу порядка п с 1 на месте (г, /) и нулями на остальных местах. Следующий результат есть непосредственное следствие теоремы 3.5:
Теорема 3.6. Если А — вполне неразложимая матрица и с =# 0, то для любых i и j'
per (Л + сЕц) > per (Л)
илиилиper (Л + сЕм) < per (Л)per (Л + сЕм) < per (Л)
или
или
per (Л + сЕм) < per (Л)
per (Л + сЕм) < per (Л)
при с > 0 и с <2 0 соответственно.
Действительно, per (Л + cEi^ = per (Л) + с per (Л (i|/)), а по теореме 3.5 per (Л (/1 /)) > 0.
В случае вполне неразложимой (0,1)-матрицы верно более сильное утверждение.
Теорема, 3.7. Если Л— вполне неразложимая (0,1) -матрица, то.
per ( Л + £ Et j ) > per (Л) +
Доказательство. Поскольку Л есть (0, 1)-матрица, теорема 3.5 показывает, что
per (Л (/1 /)) > 1
для любых / и /. Поэтому
per (Л + Е^ = per (Л) + per (Л (z\ |/\)) > per (Л) + 1.
Очевидно, что Л + ElL вполне неразложима, и результат получается индукцией по пг.
Теорема, 3.8. Пусть
Вх о •■• о о Ах в%:
Д= ;.. оД= ;.. о(3.2)(3.2)
Д= ;.. о
Д= ;.. о
(3.2)
(3.2)
00Аг_х Вг_х
В, 0■ • ■0 Аг
есть неотрицательная матрица поряДка п, причем At — вполне неразложимая матрица порядка nt, a Bi=#0, z = 1, ..., г.Тогда Л вполне неразложима.
Доказательство (Эдгар (G. Edgar), не опубликовано). Предположим, что Л частично разложима, т. е. Л[а|Р]=0 для не-, которых а. г Qs.n, Р е Qt, п, где s -\-1 = п. Пусть 8/ строк а и t; столбцов р проходят через подматрицу Aj,j= 1, .. . , г. Тогда S1 + S2+ ... +sr = s>.l, так что по крайней мере одно из 8/
положительно. Аналогично по крайней мере одно из /; должно быть не равно нулю. Поскольку каждая из А/ вполне неразложима и содержит нулевую подматрицу размера sjXtj (если только к, или tj не равны нулю), мы получаем, что $/ + // ^ п/, с равенством только в том случае, когда $/ = 0 или tj = 0. Однако
ГГгг
П = s + t = X SJ + 2 ^У = 2 (sy + ^') ^ S 11, = П,i-1 J /-1/-1*i=\
и тем самым s, + tj = гц для любого /. Отсюда следует, что либо 8/= 0, либо /у = 0, / = 1, ..., г. Однако не все s, и не все tj равны нулю, поэтому найдется такое число к, что Sh = ги и /^j = п^х (индексы складываются по модулю г). Отсюда следует, что Вь— нулевая подматрица вопреки предположению.
Определение 3.2. Говорят, что неотрицательная матрица имеет дважды стохастическую модель, если расположение ее нулей совпадает с расположением нулей некоторой дважды стохастической матрицы.
Например, матрица
г! 1 1"
1 1 0
.10 1.
имеет дважды стохастическую модель, так как расположение нулей у нее и у дважды стохастической матрицы
~1 1 2."
244
одинаково. С другой стороны, матрица
г1 1 1-
(3.3)(3.3)1 1 0.0 0 1.
(3.3)
(3.3)
не имеет дважды стохастической модели. Действительно, любая дважды стохастическая матрица с тем же расположением нулей, что у (3.3), должна была бы иметь 1 на месте (3,3). Но тогда элемент на месте (1,3) не мог бы быть положительным.
Теорема, 3.9. Вполне неразложимая матрица имеет дважды стохастическую модель.
Доказательство. Пусть А = (ац)— вполне неразложимая матрица порядка п. Тогда по теореме 3.5 per (Л (i|/)) > 0 для любых i, j. Определим матрицу S = (sz/) порядка п;
8ц = ац per (А (I | /))/рег (Д),
I, j = 1, ..., п. Ясно, что S неотрицательна и имеет одинаковое с А расположение нулей. Тогда для i — 1, ..., п выполняется
пп
Zs‘i=^СлТ 2 a=iper (л (/1 ^= Д^ж per < л> =1
и для / = 1, ..., n nП
2 sd~2 ачper (л <z i^=1 • tel/=1
Итак, матрица S дважды стохастическая, и А имеет дважды стохастическую модель.
Мы видели в теореме 3.7, что замена 0 на 1 во вполне неразложимой (0, 1)-матрице приводит к возрастанию ее перманента по крайней мере на 1. Ясно, что если обратное преобразование, т. е. замена 1 на 0, приводит ко вполне неразложимой матрице, то перманент уменьшается по крайней мере на 1.Мы рассмотрим (0,1)-матрицы, предельные относительно этого процесса. Такие матрицы имеют довольно простое строение, и с их помощью получаются оценки для перманента неразложимых (0, 1) -матриц.
Определение 3.3. Неотрицательная матрица А = (а,у) называется почти разложимой, если она вполне неразложима и имеет то свойство, что для каждого ее положительного элемента ац матрица А — ацЕц частично разложима.
Следующая фундаментальная теорема о строении почти разложимых матриц принадлежит Синкхорну и Кноппу [170].
Теорема, 3.10. Если А—почти разложимая неотрицательная матрица, то существуют такие матрицы перестановки Р и Q и
целое число г
> 1, что
Ах
Е\
0•
•0
0
0
А?.
Ex ‘
•0
0
0
0
As '
■0
0
PAQ =
0
. 0
Q
Л-1
Er-x
,(3.4)
Е,
0
0 •
•0
Ar
где каждая Ei имеет в точности один положительный элемент, а каждый блок Аг почти разложим.
Доказательство. Пусть матрица А почти разложима. Тогда по теореме 3.9 существует дважды стохастическая матрица S = (s,-/) с тем же расположением нулей, что у матрицы А. Пусть с = Shk — наименьший положительный элемент в S. Так как S почти разложима, то S — ShkEhk частично разложима, т. е. существуют такие матрицы перестановки Р\ и Qi, что
У
Рх^-^Е^О^Рх^-^Е^О^ZZ
Рх^-^Е^О^
Рх^-^Е^О^
Z
Z
где нулевой блок имеет размер sXt с s + t = п. Иными словами,
X , Ур^ г ---;-- - ,^1 F , Z
F имеет в точности один ненулевой элемент, равный с. Поскольку PiSQi—дважды стохастическая матрица, получаем
п = 5 ^Р^ = s (X) + s(F) + s(Z) + s (Y) =
= (s — с) + С + (/ — с) + 8 (У) = п — С + 8 (У),
где s(A4) обозначает сумму элементов в матрице М. Таким образом, 8(У) = с, и ввиду минимальности с матрица У должна содержать лишь один положительный элемент. Если как X, так и Z вполне неразложимы, то доказательство окончено, так как P\SQx и fHQi имеют одинаковое расположение нулей. Если же
X или Z частично разложима, то, переставляя строки и столбцы, матрицу S можно представить в виде
^1впВи■ • •в1р 1
0^2у2з' ’'Вгр ।
о0Щ•••В)р\Г2
•I
..... |
о о о■
j ^р + УВр+1,р+2Вр+1р + з•••Bp+ir
I ^^т + 2Вр+21Р^-з" ’ ’Вр+2Г
* 0Ар+з'' ■Вр+з1Г
Y,1•
р;
' [о О О •••А,
где Р и Q— матрицы перестановки, Л,- — почти разложимые матрицы порядка п,, каждая из У) и У2 содержит один положительный элемент, равный с. Ясно, что положительный элемент матрицы У1 должен лежать в нижнем левом блоке размера «ГХ«1, так как в противном случае либо первые п\ столбцов содержали бы нулевую подматрицу размера (я— Ц1)Х«ь либо последние пГ строк содержали бы нулевую подматрицу размера пг X (п— пг), и PSQ, а следовательно, и S были бы частично разложимыми. По той же причине единственный положительный элемент У2 должен лежать в строках, содержащих Ар, и столбцах, содержащих ДР+ь Так как PSQ дважды стохастическая, то одна из столбцевых сумм матрицы Д1 равна 1—с, а другие равны 1. Но тогда ввиду минимальности с в точности одна строчная сумма Д1 должна равняться 1—с, а остальные!. Кроме того, из-за минимальности с все, кроме одного, блоки
S12, 513, •••> ВуР суть нулевые подматрицы, а один содержит единственный положительный элемент, равный с. Легко видеть, что этим ненулевым блоком должен быть Ву2, так как иначе PSQ содержала бы нулевую подматрицу размера (п — п^Х'п.2 и была бы частично разложимой. Рассуждая аналогично, получаем, что В23 содержит в точности один положительный элемент, а блоки S24В2р нулевые. Продолжая далее таким же образом, мы покажем, что PSQ, а следовательно, и PAQ имеют вид (3.4).■
Хартфил [178] показал, что Р и Q можно выбрать так, что At — матрицы порядка 1, 1= 1г—1.
(О, 1)-циркулянты''
Обозначим через Рп или просто Р матрицу перестановки порядка л с 1 на местах (1,2), (2, 3), ..., (л — 1, л), (л, 1). Матрица
П-1
CiP1,
1 = 0
где С/= 0 или 1, а Рй = 1п, называется (0, 1) -циркулянтом. Такие циркулянты встречаются в некоторых классических комбинаторных задачах: «задаче о беспорядках» и «задаче о супружеских парах».
В первой из них спрашивается: сколькими способами можно организовать танец с участием л супружеских пар так, чтобы ни один из мужей не танцевал со своей собственной женой? Другими словами, мы интересуемся числом беспорядков на п элементах, т. е. перестановок без неподвижных элементов. Ясно, что это число равно перманенту J — 1п, где J — матрица, составленная из единиц. Пусть Dn = 1 — 1п. Тогда
П•
per(Dj= X per (£>„ (11 /)).
/-2
Каждая из матриц Z)„(l |/) порядка л— 1 содержит в точности л— 2 нулей, причем никакие два из них не лежат в одной строке или одном столбце. Следовательно,
per фп (1 | /)) = per (/)„_,) + per (Dn_2)
для / = 2, ..., л. Отсюда следует, что•
'per (/)„) = (л— 1) (per (/)„_,) +per (Z)„_2)).(4.1)
Можно доказать по индукции, используя (4.1), что
рег(Оп) = П|(|--Г + У-^++(— П"Ш)^(4.2)
Значительно более трудна «задача о супружеских парах»: сколькими способами можно рассадить за круглым столом л пар так, чтобы мужчины и женщины чередовались и ни один муж не сидел рядом со своей женой? Пусть жены уже заняли места. Тогда число способов рассаживания мужей равно
Un = per Ц — In — Р) = per I X pl
х i-i
Числа Un называются числами супружеских пар. Тушаром [45] получена следующая формула:
perf^^^E (- t Ч^-О!. (4.3) \ i-2 J 1=04Z
Доказательство см. в [50].
Единственные другие перманенты (0, 1)-циркулянтов, для которых найдены формулы, — это перманенты матриц
Qin, ^=1>!(4.4)
/-о для малых значений к.
Мы начнем с перманентов некоторых теплицевых (0, ^-матриц, которые родственны циркулянтам вида (4.4). Пусть F(n,k) при n^k—1^2 обозначает матрицу порядка п, в которой элемент на месте (Z, /) равен 1, если / — :е{—1, 0, 1, 2, ... ..., k — 2}, и 0 в противном случае. Например, подматрица, полученная из Q(n, 3) вычеркиванием первого столбца и последней строки, есть F^n— 1,3).
Легко видеть, что если и^2(Д — 1), то разложение перманента Fin, к') по элементам первой строки приводит к формуле
А —1
per(F(n, &)) = У, per (F (n — i, к)).(4.5)
Все теперь готово для разбора случаев k = 3 и 4.
Лемма 1. При п ^ 4
per(Q(n, 3)) = per (F (n — 1, 3)) + 2 per IF In — 2, 3)) + 2.
Доказательство. При n ^ 5 разлагаем перманент по первым двум столбцам:
per (Q (п, 3)) = 1 + per (F (п — 3, 3)) + 2 per (F (п — 2, 3)) +
+ per (F (п — 4, 3)) + per (F (п — 3, 3)) + 1 —
= per(F(n—1, 3)) + 2per(F (п — 2, 3)) + 2
(по (4.5)). При п = 4 формула проверяется непосредственно. Н
Мы можем вывести следующие формулы [94] :
Теорема 4.1. Для п^. 5
per(Q(n, 3)) = per (Q (п — 1, 3) + per(Q(n — 2, 3) —2=(4.6)
=(-т)"++2-<4-?)
Доказательство. Для и ^ 6 по лемме и формуле (4.5) получаем, что
per(Q(n — 1, 3)) + per (Q(n —- 2, 3)) — 2 =
= (per(F(n-2, 3)) + 2 per (F (n - 3, 3)) + 2) +
+ (per (F (n — 3, 3)) + 2 per (F (n - 4, 3)) + 2) — 2 =
= per (F(n — 1, 3)) + 2 per(F (n — 2, 3)) + 2 =
= per (Q (n, 3)).
Непосредственно подсчитываем, что per(Q(3, 3)) = 6, per (Q (4, 3)) = 9, per (Q(5, 3)) = 13, и (4.6) выполняется также для п = 5.
Формула (4.7) получается путем решения линейного разностного уравнения (4.6) с использованием начальных значений для per(Q(n, 3)).В
Случай к = 4 получается аналогично.
Лемма 2. Для п^б
per (Qin, 4)) =
= 2 (per (F(n~ 1, 4)) + 2 per (F (n — 2, 4)) + 3 per (F (n — 3, 4)) + 1).
Доказательство. При n ^10 разлагаем per(Q(n, 4)) по первым трем столбцам. После упрощений получаем
per(Q(n, 4)) =
= 8per(F(n —3, 4)) + 12 per (F (п — 4, 4)) + 14 per (F (n - 5, 4)) + + 8 per (F (n — 6, 4)) + 2 per (F (n — 7, 4)) + 2 =
= 2 per (F (n — 1, 4)) + 4 per (F (n — 2, 4)) + 6 per (F (n — 3, 4)) + 2.
Для n = 6, 7, 8 и 9 формула проверяется непосредственно, g
Теорема, 4.2. При п^Ч
per (Q (п, 4)) =
= per (Q (п — 1, 4)) + per (Q (п — 2, 4)) + per (Q (п — 3, 4)) — 4 =
(4.8)
= 2(а? + а^ + ct" + 1),(4.9)
еде
а1 = (л/19 +3 V33 + V19 —3 д/ЗЗ" + 1)/3 = 1,839286 ...,
«8, «8 — другие корни уравнения х3 — х2 — х — 1 = 0.'
Доказательство. Из предыдущей леммы и из (4.5) следует, что для га ^ 9
per (Q (га — 1, 4) + per (Q (га — 2, 4)) + per (Q (га — 3, 4)) — 4 = = 2per (F (и — 2, 4)) + 4 per (F (п — 3, 4))+6 per (F (п — 4, 4))+2+ + 2 per (F (п — 3, 4)) + 4 per (F (п — 4, 4))+6 per (F (п — 5, 4))+2+ + 2 per (F (п— 4, 4))+4per(F(ra—5, 4))+6per(F(ra—6, 4))+2 — 4 = = 2 per (F (га — 2, 4)) + 12 per (F (га — 3, 4)) +
+ 6 per (F (п — 4, 4)) + 4 per (F (n — 5, 4)) + 2 =
= 6per (F(n — 2, 4))+8per(/7(ra —3, 4)) + 2 per (F (n — 4, 4))+2 = = 2pert/7 (га — 1, 4))+4per (F (n — 2, 4))+6 per (F(n — 3, 4)) + 2 = = per(Q(ra, 4)).
Случаи га = 7 и 8 проверяются непосредственно (см. таблицу ниже).
Формула (4.9) получается обычным способом путем решения разностного уравнения (4.8).В
Казалось бы, в силу теорем 4.1 и 4.2, что справедлива формула вида
А-1
per (Q (п, к)) = ^ per(Q (га — i, &)) +const (4.10) Z = 1
для любого к. К сожалению, это не так. В работе [94] было показано, что формула (4.10) не может быть верна для любого к ^ 5. Метрополис, Стейн и Стейн [160] получили следующий результат:
Теорема, 4.3. Если п ^ 15, то
10.
per (Q (га, 5)) = 24 + X ai Per (Q(ra " С 5)),(4.11)
1 = 1
где а\ = а^= а9 = —а4 = —а7 = 2, а3 = а8 = 0, а5 = —8, а6 = —6, аю= 1; если п ^ 21, то
"15
per (Q (га, 6)) = 96 + £ 6Z per (Q (га - i, 6)),(4.12)
‘i = l
где Ь\ = b^ = b\^ = b\^ — 2, 63 = 615 = 1, 64 = 0, 65 — 610 — = —b 11 = —4, b^ = —18, b7 = — 16, b^ = — 12, &g === —10, b 12 == 3.
Мы воспроизводим таблицу значений per(Q(n, 6)) для к ^ 7 и п 15 из [94]:
Л
k = 3
4
5
6
7
3
6
4
9
24
5
13
44
120
6
20
80
265
720
7
31
144
579
1.854
5 040
8
49
264
1265
4,738
14833
9
78
484
2783.
12 072
43,387
10
125
888
6208
30818
126,565
11
201
1632
13 909
79,118
369,321
12
324
3,000
31.337
204 448
1081,313
13
523
5 516
70 985
528 950
3 182.225
14
845
10144
161 545
1 370.674
9 411 840
15
1366
18.656
369 024
3 557 408
27.888 139
Более обширные таблицы можно найти в [160].
Мы приведем в конце этого раздела следующий замечательный результат Тинсли [69]. Пусть С есть (0, 1)-циркулянт 1п +
+ Р + Р3 порядка 7. (0, 1)-матрица Л = 2 Qb где Qt — мат
рицы перестановки, называется абелевой, если QiQi = QjQi для каждой пары I, j.
Теорема, 4.4. Пусть А есть абелева (0, \у матрица порядка п с s единицами в каждой строке и каждом столбце, s ^ 3. Тогда
per (Л) = | det (Л) |
в том и только том случае, когда $ = 3, п = 7г и существуют такие матрицы перестановки Si, Sa, что 5]Л5г есть прямая сумма г раз взятой матрицы С.
Задачи
Пусть S= (si, ..., sn}, Т= (Б, ..., tm\ и R—отношение между S и Г. Определим матрицу инцидентности Л (R) — (ац) размера m X я для R;
( 1, если ($/, t^ е R,
ait t 0, если (Sj, /z) R.
Постройте матрицу инцидентности для отношения
^ —{(s, /3), (s2, /1), ($2, ^2), (S3, ^1)}
между S = {sb s2, s3) и 7 = {/ь /2, /3, /4).
Пусть 5 = {1,2,3,4), 7 = {1,4,6, 12); скажем, что seS и 1е ?' находятся в отношении R, если s делит t. Постройте матрицу инцидентности для R.
Каково необходимое и достаточное условие того, чтобы (0, 1)-матрица была матрицей инцидентности некоторого отношения эквивалентности?
Пусть X, У, Z— конечные множества и заданы функции f: У-*-Х, g-. X —>-У, Докажите, что матрица инцидентности /g есть произведение матриц инцидентности для f и g;
A(fg) = A(f) A(g).
(Функция fg определяется как суперпозиция f и g: fg(x) = — f (g (x)) Для всех x e X.)
Пусть S = {xi, x2, x3, x4, x5), и пусть Xi={xi,x2}, X2 = = {xi, x4, Xg) и X3 = {x2, x3, x4)—подмножества 5. Выпишите все СРП этой конфигурации.
Постройте матрицу инцидентности конфигурации из задачи 5 и вычислите ее перманент.
Интерпретируйте понятие вполне неразложимости в контексте матриц инцидентности для конфигурации подмножеств Si, ..., Sn п-множества 5.
Назовем неотрицательную матрицу А размера m X л с т ^ п вполне неразложимой, если Per (Л (t |/)) > О для 1 = = 1, ,.., т, / = 1, ..., п. Интерпретируйте это определение в контексте матриц инцидентности для конфигураций подмножеств. Распространите результат теоремы 3.3 на прямоугольные неотрицательные матрицы.
Распространите определение почти разложимости на неотрицательные матрицы размера т X я с tn ^ п. Обобщите теорему 3.10 на класс таких матриц.
Назовем неотрицательную матрицу А порядка п к-не- разложимой, если per (Л (а|Р)) > 0 для всех а и р из Qa, п. Докажите, что если А вполне неразложима (т. е. 1-неразложима), то ААТ 2-неразложима.
Покажите, что если А вполне неразложима, то ААТ и ЛГЛ вполне неразложимы. Верно ли обратное?
Приведите подробное доказательство теоремы 3.4.
Покажите, что свойство неотрицательной матрицы Л быть дважды стохастической равносильно тому, что А и Ат имеют собственный вектор (1, 1, ..., 1) с характеристическим числом 1.
Используйте результат теоремы 3.1 для доказательства теоремы 3.2.
Пусть Д = (а,/) есть положительно полуопределенная дважды стохастическая матрица. Покажите, что все строчные и столбцевые суммы матрицы Д1/2 должны равняться 1. Всегда ли Д1/2 дважды стохастическая?
Пусть Ул = (цц)— тёплицева (0, 1)-матрица порядка п с иц = 1, если |г— /| ^ 2, и иц = 0 в противном случае. Докажите, что если п > 5, то
per (/„) = 2 per (Vn_t) + 2 per (Vn_3) — per (l/„_5)
(cm. [94, теорема 5]).
Глава 4
НИЖНИЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ ПЕРМАНЕНТОВ
Теорема Маршалла Холла
Неравенства для детерминантов, перманентов и других скалярных функций действительных матриц представляют значительный интерес для линейной алгебры. Границы для перманентов, выражающиеся через такие легко вычислимые функции, как строчные суммы, чрезвычайно важны ввиду серьезных трудностей, возникающих при вычислении перманентов.
В этой главе речь будет идти о нижних границах главным образом для перманентов неотрицательных матриц. Вначале мы займемся перманентами (0, 1)-матриц. Перманент (0, 1)- матрицы равен числу СРП в соответствующей конфигурации (разд. 3.1), Следовательно, границы для таких перманентов имеют комбинаторное значение.
Теорема Фробениуса — Кёнига (разд. 3.2) дает некоторую нижнюю границу для перманентов (0, 1)-матриц: если (0, 1)- матрица А не содержит нулевой подматрицы размера sX(n — s+ 1), то Рег(Л)^1. Первое существенное улучшение этой границы было получено Маршаллом Холлом [52].
Начнем с одного предварительного результата (см. [251]).
Теорема, 1.1. Если А есть (0, 1)-матрица размера тУ^п с т^п и если каждая строчная сумма А больше или равна т, то
Per (Л) > 0.
Доказательство. Если каждая строчная сумма А больше или равна т, т. е. каждая строка содержит не менее m положительных элементов, то число нулей в строке не превышает п— т. Если при этом А содержит нулевую подматрицу размера sXt, то тогда /^п — т. Но общее число строк в А равно т, поэтому s т. Таким образом,
s + / ^ т + (п — т) = п. ■
Следовательно, по теореме Фробениуса — Кёнига Per (4) не обращается в нуль.И
Следующая теорема была получена Маршаллом Холлом [52]. Способ доказательства и расширение на случай От принадлежат Манну и Райзеру [55].
Теорема, 1.2. Пусть А есть (0, 1)-матрица размера тХа с т ^ п, у которой в каждой строке не менее t единиц. Если t^m, то
Per (Л) >/!/(/ - ту. (1.1)
Если Кт и Per (Л) >Если Кт и Per (Л) >О, тоО, то
Если Кт и Per (Л) >
Если Кт и Per (Л) >
О, то
О, то
(1.2)(1.2)Per (Д) ^ В.
(1.2)
(1.2)
Доказательство. Теорему доказываем индукцией по т. В силу теоремы 1.1 можно предположить, что Рег(Д)>0 для всех значений I, 0 < t ^ п. Если т = 1, то t К т, a Per (Л) = = 1 = 1\/Ц—1)!. Предположим теперь, что m> 1 и что теорема справедлива для всех матриц с числом строк меньше т. Перманент А положителен, поэтому по теореме 2.3 гл. 3 всякая подматрица Д [coi, ..., сщ| 1, ..., n], со е Qk> т, k = 1, ..., т, содержит не менее к ненулевых столбцов. Рассмотрим две альтернативы. Пусть сначала для некоторого к, 1 ^ к ^ т— 1, и некоторой последовательности со е Qk, т подматрица Д[сО1, ... ..., сол | 1, ..., и] имеет в точности к ненулевых столбцов; другими словами, *
PAQ =PAQ =В j оС ' DВ j оС ' D(L3)(L3)
PAQ =
PAQ =
В j о
С ' D
В j о
С ' D
(L3)
(L3)
для некоторых матриц перестановки Р и Q. В каждой из первых к строк PAQ должно быть не меньше t положительных элементов; следовательно, в каждой строке В имеется не меньше / таких элементов и 1</1<т — 1. Кроме того,
Per (Д) = Per (РДО) = Per (В) Per (В) > 0, -
поэтому Per (В) > О и Рег(В)>0. Но матрица В порядка к удовлетворяет предположениям теоремы. Тогда по индукции Per (В) ^ В. Следовательно, .
Per (Д) = Per (В) Per (О) ^ t\Per (О) > t\.
Если же А не может быть преобразована к виду (1.3), то каждая ее подматрица размера к Ха, 1 ^ к ^ т— 1, содержит не менее к + 1 ненулевых столбцов. Разложим перманент А по
первой строке:первой строке:(1.4)(1.4)Per (А) = fa,/ Per (А (1|/))./-1
первой строке:
первой строке:
(1.4)
(1.4)
Так как всякая подматрица размера кХп матрицы А имеет не меньше А+1 ненулевых столбцов, каждая ее подматрица размера кХкп—1) имеет не меньше к ненулевых столбцов, и Per (А (11/)) > 0, / = 1, ..., п, по теореме 2.3 из гл. 3. Каждая строка А(1 ]/) содержит не меньше t— 1 единиц; следовательно, по индукции
— 1)!, если t — 1
рег(А(1|/)Ы’(1.5)
I (/ — !)!/(/ — т)!, если t — 1 ^ т — 1.
Но t — 1 ^ m — 1, если t ^ т, и t — 1 ^ т — 1, если / ^ т. Таким образом, если t ^ т, то по (1.4) и (1.5) имеем
Рег(А)> f аХ1 kt - 1)! = kt — 1)! f axl > t\,/=i/=i
так как £ axj ^ t. Аналогично при t^ m /=i
Z!kt - my 1Z!kt - my 1Регм)>уа„4еыд =ya >
Z!
kt - my 1
Z!
kt - my 1
u (Z — m)!(/ — m)!/
/=1/=1
(0,1)-матрицы
Рассмотрим теперь перманенты квадратных (0, 1)-матриц. Всякий результат о перманентах квадратных (0,1)-матриц можно распространить на прямоугольные матрицы, окаймляя матрицы строками из единиц. В предыдущем разделе мы показали, что перманент квадратной (0, 1)-матрицы, имеющей не менее t единиц в каждой строке, больше или равен Л, если только этот перманент не равен нулю. Без такого дополнительного предположения нижние границы для (0,1)-матриц в терминах строчных сумм или других простых функций нельзя указать достаточно точно, так как значение перманента (0, 1)-матрицы сильно зависит от расположения нулей, а не только от строчных сумм или числа единиц в матрице. Так, перманент (0, ^-матрицы порядка п может обратиться в нуль, даже если п2— п ее элементов равны единице. В разд. 4.3 мы получим границы для перманентов вполне неразложимых матриц. Для общего случая Юркат и Райзер [112] указали оценку снизу. Приведенное здесь ее доказательство и рассмотрение случая равенства были даны автором [131]. Нам потребуются следующие определения.
Для «-выборки действительных чисел a = («iа^ пусть а* = (а*а*^обозначает упорядоченные в порядке
невозрастания элементы а: а*^а*^ .. . ^а*, а а' = (а(а'^
обозначает ту же а, в которой элементы расположены в порядке неубывания: а^-^а^^. ... ^ап. Если А есть (0,1)-
матрица порядка п со строчными суммами Г\гп, то через А обозначим (0, 1)-матрицу, у которой в Ей строке первые г* элементов равны 1, а остальные—0, i— 1, 2п. Матрица А называется максимальной матрицей, соответствующей А [87]. Если, например,
~0 1 0 0 1~
111111110
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
тото11А= 1А= 111111110"110 0110 010 0 010 0 01110"110 0110 010 0 010 0 0
то
то
1
1
А= 1
А= 1
1
1
1
1
1110"
110 0
110 0
10 0 0
10 0 0
1110"
110 0
110 0
10 0 0
10 0 0
Теорема, 2.1. Если А есть (0, 1) -матрица порядка п со строчными суммами ri, ..., гп, то
per (Л) > П Vi + 1 — «},(2.1)
i = i
где {г,+ 1—«} = max (0, гг-+ 1—п). Если рег(Л)#=0, то равенство в (2.1) выполнено в том и только том случае, когда существует такая матрица перестановки Р, что АР = А.
Доказательство. Если гп = 0, то доказывать нечего. При гп Ф 0 мы можем предположить без ущерба для общности, что «Ш = 1, /= 1, 2, ..., Гп. Применим индукцию по п. Разлагая перманент А по последней строке, получаем
per (Л) =2 per (Л(п|/))^
(2.2)(2.2)/=1
(2.2)
(2.2)
> Е П <(п — аа) + / — («—1)}> j = 1 i = 1
так как 1 — ац ^ 0. Следовательно,
per (Д)>г„Д Vi + ' — и} = П(г, + z — n}.z=iz=i
Рассмотрим теперь случай равенства. Предположим, что '
per (Л) = П (г; + z — п) > 0(2.4)
i=i
и anj — V, / = 1, • • •, rn, anj = 0, / = гп + 1, ..., п. Равенство (2.4) означает равенство в (2.3), т. е. что ац = 1, z = 1, ..., п, J — 1, ..., гп. Иначе говоря, если выполнено (2.4), то все элементы в первых гп столбцах А должны равняться 1. Отсюда следует, что .4 (/г | 1) = ... = А (/г| гп). Поэтому
0 < per (Д) = £ рег(Д (n |/)) = r„ per (Л (n | 1)),/-1
и. тем самым per (Д (п | 1)) > 0. Также по (2.4)
per (Д) = г„Ц (г, + Z — п\
i=i
Следовательно,
п-1п-1
per (Д (п I 1)) = П (rz + i — п) = Ц ((с — 1) + z — (n — 1)), i=l1=1
и по предположению индукции матрица Д(п]1) есть максимальная матрица, в которой, быть может, переставлены послед- ниё'п— г„ столбцов, но все элементы первого столбца, а также первые гп элементов последней строки равны 1 (остальные элементы этой строки — нули). Следовательно, АР = А для надлежащей матрицы перестановки Р.
Получим обратное утверждение, показав, что
п
per (Д) = П {г; + z — п}(2.5)
z=i
для А=А (предположение рег(Д)>0 здесь не нужно). Если Гп = 0, то обе части (2.5) обращаются в нуль. Пусть гп > 0. Так как из А — А вытекает, что Д(п]1)= ... — Д(п]г„), получаем
гп
per (Д) = £ per (Д (п |/)) = rn per (Д (П 11)) =
/-1
п—1
= сП {(С- — 1) + i — ^ — 1)}z-i
и по индукции — равенство (2.5).■
Легко видеть, что теорема 2.1 не дает, вообще говоря, хорошей оценки снизу. Действительно, если в первой строке матрицы есть нуль или если в i-й строке не меньше i нулей, то оценка теоремы 2.1 становится совершенно тривиальной — рег(Д)^0. Однако границу в теореме 2.1 можно сделать более приемлемой с помощью следующего наблюдения. Ввиду инвариантности перманента относительно перестановок строк граница в (2.1) улучшается, если произвести надлежащую перестановку строк. Наилучшие границы фактически получаются при расстановке строк в порядке возрастания строчных сумм. Чтобы оправдать это утверждение, мы приведем формулировку теоремы об упорядочении из [202]:
Теорема, 2.2. Если а = ^, ..., ап) и b = (b1, ..., ЬЕ) суть п-выборки действительных чисел, причем а, -j- Ь; ^ 0, i = = 1п, то
П « + ^ < II (а. + Ь^ < П« + Ь^.(2.6)
пп
Более того, Ц (а[ + ^)= П (й« + М ^ ^ в том и только том t = 1/ = 1
п
случае, когда а' + Ь' есть перестановка а-\-Ь, а П (д +М “ п
=Ц (а* + Ь*\ =/= 0 в том и только том случае, когда а-\-Ь есть перестановка а* + Ь*.
Воспользуемся этим результатом для доказательства следующей теоремы:■
Теорема, 2.3. Если г}гп — положительные числа, не превосходящие п, то
П {ч + i - «} > П Vi +z ~ nY М /=1/=1
Равенство в (2.7) достигается тогда и только тогда, когда либо левая часть (2.7) есть нуль, либо Е^Гр 1 = \п.
Доказательство. Если левая часть (2.7) положительна, го результат (вместе с условиями для равенства) справедлив по (2.6). Остается показать, что если [г* + /—л} = 0для какого- либо I, то правая часть (2.7) обращается в нуль. Тем самым будет установлена необходимость условий равенства; их достаточность очевидна. Итак, предположим, что {гл + Л — л}=0,
т. е. Гд + h — п ^ 0 для некоторого /г, 1 ^ h ^ п. Тогда должно
быть г к + k— га ^ О для некоторого к, 1 ^ к ^ h. Действительно, если Гн + h — га > О, то rh> r*hi а потому существует целое число к, 1 ^ к < h, для которого гк ^ r*h. Отсюда сле
дует, что г к + h— п ^ 0 и тем самым гк + к — га < 0. Таким образом, если {Гд + А — л-} = 0, то обе части (2.7) обращаются в нуль. ■
Из теоремы 2.1 получается [202], что
(2.8)(2.8)per (Л) > П {г[ + ^ — га}.
(2.8)
(2.8)
По теореме 2.3 граница в (2.8) лучше, чем в (2.1).
Вполне неразложимые (0, 1)-матрицы
В разд. 3.3 мы видели (теорема 3.5), что перманенты всех подматриц порядка п— 1 вполне неразложимой матрицы порядка га положительны. Отсюда вытекает следующее неравенство [236]:
Теорема, 3.1. Если А— вполне неразложимая (0,1)-матрица порядка га со строчными суммами гх, ..., гп, то
per (Л) ^ max rt.(3.1)
Равенство в (3.1) достигается в том и только том случае, когда не менее п — 1 строчных сумм равны 2.
Справедливо, конечно, вполне аналогичное утверждение для столбцевых сумм вместо строчных. Заметим, что условие равенства не налагает ограничений на расположение нулей в матрице (даже с точностью до перестановок строк и столбцов) или, например, на ее столбцевые суммы.
Доказательство. По теореме 3.5 из гл. 3 per (Л (Z|/)) ;> 1 для всех I и j, так как 1 есть наименьшее ненулевое значение пер манента (0, 1)-матрицы. Следовательно,
per (Л) = У аИ per (Л (/| /)) > £ аа = ri
для любого L Тем самым получаем (3.1). Доказательство условия равенства мы отложим до тех пор, пока не установим следующий результат [162], дающий значительно более сильную оценку, чем (3.1):
Теорему 3.2. Если А = (az/) есть вполне неразложимая (0,1)- матрица порядка п, то
per (Д) ^ s (Д) — 2п + 2,(3.2)
где з(Д) обозначает сумму всех элементов А.
Доказательство. Предположим сначала, что А почти разло-
жима. Тогда по теореме 3.10 из гл. 3 существуют
такие мат-
рицы перестановки Р и Q, что
‘а, Ех 0•••00 *
0 Аг Ег •••00
00 А3 ..
paq=
•*•*
,(13)
ООО ••• А,_х Е^х
Е, 0 0•••0 А,
где каждая Ai почти разложима, a Ei содержит в точности один элемент, равный 1, и г ^ 2. Применим индукцию по п. Если п = 1 или 2, то (3.2) есть на самом деле равенство. Пусть (3.2) выполняется для всех почти разложимых матриц порядка I, t<.n. Порядок Ai обозначим через nt, 1= 1, 2, ..., г. По теореме 3.5 из гл. 3 и индуктивному предположению получаем, что
per (Д) = per (PAQ) > Д per (Д,) + 1 > Д (SW — 2щ + 2) + 1. .z=iz=i
(3.4)
Яс'но, что если aiап — целые положительные числа, то
Цщ^Е ^-(г- 1)(3.5)
i = 1z = 1
(см. задачу 8). Полагаем а1 = з(Д,) — 2щ + 2, i=l, ..., п, где очевидно, что з(Д,) ^ 2пг, если щ ^ 2, и 8(Д,)=1, если щ = 1. Тогда из (3.4) и (3.5) следует, что
per (Д) ^ ^ (s (А) — ^i + 2) — г + 2 — ^ s (Д;)—2/г+2г—г+2= z=iz=i
= s (Д) — г — 2/г + 2г — г + 2 = s (Д) — 2/г + 2.
Предположим теперь, что А — любая вполне неразложимая матрица. Если А не есть почти разложимая, то в Д должен
найтись такой положительный элемент auji, что А — Euji есть вполне неразложимая (0, 1)-матрица. Если А — Eiih не почти разложима, то в ней найдется такой положительный элемент alij? что А — Eit/i — Ehj2 вполне неразложима. Продолжая так же далее, мы приходим к почти неразложимой матрице В;
По теореме 3.7 из гл. 3 справедливо неравенство
.per (Л) ^ per (S) + т,
откуда, применяя неравенство (3.2) к почти разложимой матрице В, получаем, что
per (Л) ^ s (S) — 2га + 2 + т.
Но s(B) + т = $(Л) и, таким образом,
per (Л) ^ s (Л) — 2/г + 2;
теорема 3.2 доказана.■
Необходимое и достаточное условие равенства в (3.2) было получено Бруальди и Гибсоном [283).
Доказательство теоремы 3.1 (продолжение). Установим теперь условие равенства в (3.1). Мы можем предположить без ущерба для общности, что ri ^ г2 ^ ... "^ гп\ покажем, что
per (Л) = Г!(3.6)
тогда и только тогда, когда г2 = ... = гп = 2.
По теореме 3.2
per (Л) > з (Л) — 2/г + 2 = rx + £ Vi — 2).
Следовательно, если справедливо (3.6), то
= per (Л) ^ ^ + £ (г, — 2)i=i
и, так как г,— 2^0 для любого /, должно быть
г2 = .. . = гп = 2.
Обратно, пусть А — вполне неразложимая (0,1)-матрица и Гх^Гг^ ... = гп = 2. Нам нужно доказать, что per (Л (11 /)) =' = 1, как только 01/= 1. Фактически мы придем к несколько более сильному заключению:
per (Л (1 ,/)) = 1,(3.7)
/ = 1, ..., п. Покажем, что для этого достаточно установить (3.7) для почти разложимых матриц. Действительно, предположим, что Л вполне неразложима, но не почти разложима. Тогда в первой строке Л обязательно найдется такой элемент aVj t равный 1, что А — Е1Ь вполне неразложима. Снова, если А — Е^ не почти разложима, существует такой элемент а1/2= 1, что А — E1J — Elj, вполне неразложима, и т. д. Таким образом, мы должны наконец получить почти разложимую (0,1)- матрицу
В = А — £ t-i
со строчными суммами Гх— m ^ г2 = ... = гп = 2. Далее,
В(1 [/) = Л (1 [/),
/ = 1, ..., п, поэтому условие (3.6) эквивалентно
per (В(1 |/))=1,.
/= 1п. Итак, без ущерба для общности мы можем предположить, что А почти разложима со строчными суммами ri ^ ^ г2 = ... = гп = 2. Пусть Q и R — такие матрицы перестановки, что QAR есть матрица вида (3.3), где г ^ 2, Ах— почти разложимая матрица порядка Пх,Ах= 1 при i = 2, ..., г и каждая Ех имеет в точности один положительный элемент (см. уточнение Хартфила теоремы Синкхорна — Кноппа в разд. 3.3). Пусть Q и R выбраны так, что единицы в Ех и Ег находятся соответственно на местах (l,«i + l) и (n, 1). Заметим вначале, что если rY = 2, т. е. п\ = 1, то QAR есть сумма единичной матрицы 1п и матрицы перестановки Рп с единицами над главной диагональю (разд. 3.4). Легко проверить, что в этом случае перманент каждой подматрицы порядка п— 1 матрицы 1п + Рп равен 1. В случае г, >-2 мы применим индукцию по п. Ясно, что сумма элементов первой строки матрицы QAR равна г\\ следовательно, у Л1 она равна гх — 1, а другие строчные суммы равны 2. По предположению индукции
регИД! |/))=1,(3.8)
/ = 1, ..., Пх. Из строения матрицы QAR (даже не принимая во внимание структуры Л1) легко усмотреть, что
. per ((<2Л/?) (1 !/)) = per (Л, (1 I/)),
/ = 1, . . . , ni, и
per (ГОЛ/?) (1.|/)) = per (Л! (1 |1)),
j‘ = «i-f-l, ..., п. Результат теперь следует из (3.8). S
Следствие [236]. Если А— вполне неразложимая (0,1)-матрица с максимальным характеристическим числом г (Л), то
per (Л) ^ г (Л),
и равенство справедливо в том и только том случае, когда все строчные суммы Л равны 2.
Следствие вытекает непосредственно из теоремы 3.1 и классического результата Фробениуса г(Л)^шахг/ с равенством i
в том и только том случае, когда все строчные суммы равны.
Гибсон [206] использовал неравенство Холла (теорема 1.2) для получения следующего результата, улучшающего теорему 3.2.
Теоремд 3.3. Если Л — вполне неразложимая матрица порядка п со строчными суммами гь . . ., тп, и п t >- \, i = = 1, ..., п, то (-1
per (Л) ^х(Л) — 2п + 2 + X (m! — 1).
т=1
Неотрицательные матрицы
В этом разделе речь пойдет о нижних границах неотрицательных матриц общего вида.
Если матрица А = (оу) порядка п положительна, т. е. minaz/ = а > 0, то
per (Л) ^п!а"(4.1)
с равенством в том и только том случае, когда ац = а для любых / и j. При наличии дальнейшей информации оценку (4.1) можно улучшить. Очевидно, например, что
per (Л)per (Л)п! Ц <„1 = 1п! Ц <„1 = 1(4.2)(4.2)
per (Л)
per (Л)
п! Ц <„
1 = 1
п! Ц <„
1 = 1
(4.2)
(4.2)
с равенством в том и только том случае, когда каждая строка есть кратное (1,1, ..., 1). (Напомним обозначения из разд. 4.2: если Л(1-) есть i-я строка А, то (а‘р ..., а\^ (a'iV ..., а[п) обозначают Л(;), упорядоченную соответственно в порядке невозрастания и в порядке неубывания. Таким образом, а*1п есть наименьший элемент i-й строки.)
Следующий результат Юрката и Райзера [112] дает оценку, существенно лучшую, чем (4.2). Приведенное здесь доказательство и часть теоремы, относящаяся к случаю равенства,
принадлежат автору [161]. В следующих ниже двух теоремах мы указываем как верхние, так и нижние границы; в силу их идентичности доказательства проводятся лишь для одной из границ.
Теорема, 4.1. Пусть А = (а,-,) есть неотрицательная матрица порядка п. Тогда
п iп I
II Х</<рег(Л)<П Цаа.(4.3)
/=1 *-i/=1 t=i
Если А положительна, то равенство в (4.3) получается, если и только если первые п—1 строк матрицы А кратны (1,1, ... .... 1).
Теорема утверждает, что рег(Д) не меньше, чем произведение наименьшего элемента первой строки на сумму двух наименьших элементов второй, трех наименьших элементов третьей и т. д.; аналогично — для верхней границы. Ясно, что подобный результат справедлив для столбцов матрицы А.
Доказательство. Установим нижнюю границу в (4.3) индукцией по п. Легко видеть, что (4.3) и утверждение о равенстве справедливы при п = 2. Пусть п ^ 3, и предположим, что результат справедлив для всех матриц порядка п— 1. Разложим перманент по последней строке и применим индуктивное предположение:.
ппп-1 I
per (Д) = X a»/per <А<п |/)) > X ап1 П X М(п |^Уа. (4.4) / = 1/ = 11 = 1 /=1
Очевидно, что'
^А(п\ПУи>^а'.ь(4.5)
i = 1, ..., п — 1, j = 1, ..., п; следовательно, п n-1 i/п-1 i \ / п \ п Z
(4.6)
Оценка сверху доказывается аналогично.
Достаточность условия теоремы для равенства в обоих неравенствах (4.3) очевидна (см. задачу 10). Предположим теперь, что А положительна и знак неравенства в левой части (4.3) заменен на равенство. Это может произойти только тогда, когда равенство выполнено как в (4.4), так и в (4.5). По предположению индукции в (4.4) равенство достигается только тогда,
когда каждая из первых п— 2 строк Л(ц|/) кратна (л—1)- выборке (1,1, .... 1). Поскольку п ^ 3, это означает, что
°zi — аи — • • • — а1п°zi — аи — • • • — а1п(4.7)(4.7)
°zi — аи — • • • — а1п
°zi — аи — • • • — а1п
(4.7)
(4.7)
для i=l, ..., п— 2. Предположим далее, что равенство имеет место в (4.5). Тогда, в частности,
Е М(п I /))„_[, ( X an-l, t,
j = 1, ..., п; таким образом, п\п-1
У а . » I — а .
1 /п-1, j^n-l.t
(4.8)(4.8)для / = 1, ..., п. Следовательно, ап-\, 1 : ап-\, 2 = ••• =ап-\, п>
(4.8)
(4.8)
и результат теперь получается по (4.7) и (4.8).
Доказательство необходимости условия равенства в правой части (4.3) проводится совершенно аналогично.•
Так как per (Л) инвариантен при перестановках строк матрицы Л, каждую из оценок в (4.3) можно улучшить путем надлежащей перестановки строк Л.
Следствие 1. Пусть Л —неотрицательная матрица порядка п. Тогда
п Iп I
max П Е < z < per (Л) < min П X % w t. (4-9)
aeSnl=l 1=1' ’o^Sni=i Z=1' ’
Если Л положительна, то равенство в (4.9) получается в том и только том случае, когда строки Л кратны (1,1 1).
Заметим, что условие достижимости равенства в теореме 4.1 (или в ее следствии) не является, вообще говоря, необходимым, если не предполагать Л положительной. Например, если
4.1 есть4.1 есть'1 1 1 Г11101110’2 0 0 0
4.1 есть
4.1 есть
то нижняя граница по теореме
1 X (0 + 1) X (о + 1 + 1) X (о + о + 0 + 2) = 4
и совпадает с per (Л). Точно так же, если
"111Г
в= 1 1 1 1001-2,..2 1 0 0_*
то верхняя граница в теореме 4.1 есть
1 X (1 + 1) X (2 + 1 + 0) х (2 + 1 + о + 0) = 18
и равна per (В). Однако ни Л, ни В не имеют вида, требуемого условием равенства в теореме 4.1.1
Каждая из границ в теореме 4.1 зависит от единственного элемента в первой строке А. В следующей теореме мы улучшим эти границы, введя поправочные члены, зависящие также от суммы элементов в первой строке матрицы:
Теорема, 4.2 [161]. Пусть А = (aij) есть неотрицательная матрица порядка п. Тогда
п Iп j -1
рег(Л)>П E^ + ^i- «<1)П 2 ajs(4.10)
per (Л) С П 2 аи — (па^ — г,) П 2 a'js,(4.11)
/ = 1 (=1 “ v/-2s=l'
где г\ обозначает сумму элементов в первой строке матрицы А, а'^ и а], — соответственно наименьший и наибольший элементы в первой строке А.
Доказательство. Докажем сначала (4.10). Определим матрицы В = (6ц) и С = (сц) порядка п\ ■ {6iy = avj — а'И для / = 1, ..., п, Ьц = ац в остальных случаях; ( сх; = а^ для / = 1, ..., п, <0^ = 0^ в остальных случаях.
Тогда per (Л) = per (В) + per (С).(4.12)
Далее, по теореме 4.1 я int
р=ло»П«аз)
Разлагая перманент матрицы В по первой строке и применяя теорему 4.1 к В (11 /), получаем
per (В) = X bu per (S (1 10) = Д (аи — a'^ per (Д (1 Ю) >
< Z (a„ - «п) Д ZИ (1 1^ > Z («и-ail) Д Z a'= 4 = 1/=1 S=14 = 1/ = 2 S=1
n j-i
-(г.-яя^Д ^a's.
*(4.14)
Неравенство (4.10) следует теперь из (4.12), (4.13) и (4.14).
Оценка (4.11) доказывается аналогично индукцией по п (см. задачу 14).И
Следствие 2. Пусть А = (я;,) есть неотрицательная матрица порядка п со строчными суммами г\, ..., гп. Тогда
per (Л) > max ( Ц Z < w, t + (ra (1) - па'а (1).,) Д Z < s
U
/ п Iп / —1
per (Л) < min f Д Z < (/), t - (паеа (1),, - га (1)) Д Д а'о s
Oteo^ \ 1 — 1 4 ^® 1J — 4 о 1
4.5. Положительно полуопределенные эрмитовы матрицы
В этом разделе мы сформулируем и докажем неравенства для перманентов положительно полуопределенных эрмитовых матриц, элементы которых не обязательно действительные числа. Эти результаты получены Маркусом и Минком [102].
Теорема 5.1. Если А = (я,/) есть положительно полуопреде- ленная эрмитова матрица со строчными суммами гх, ..., гп, то
per (Л) ^^рг-Д! rz Р,(5.1)
/=1
если только з(Л)= X rt ^= 0- Равенство в (5.1) получается тогда и только тогда, когда либо А содержит нулевую строку, либо ранг А равен 1.
Доказательство. Так как А — положительно полуопределен- ная эрмитова матрица, то она есть матрица Грама для неко-
торых векторов хь ..., х„, т. е. ац = (х,, х^, i,j=l, ..., п. По теореме 2.2 из гл. 2
(5.2)(5.2)^рег(Д) = ||х1 * . .. * х„|р.
(5.2)
(5.2)
Полагаем и = 2 ^z/V $(Д). Тогда
1=\
,(х/, X/)аЧ ,
(и, и)—$(Л) =Д8(Д)—11
т. е. и — вектор единичной длины. Полагая у = м* ... * и, замечаем, что по теореме 2.3 из гл. 2 у—не нулевой вектор. Применим неравенство Коши — Шварца:
(5.3)(5.3)|(Х|* ... *хп, у) f^Jjx! * ... * х^ ]|2]| у |]2;
(5.3)
(5.3)
из (5.2) тогда следует, что -
Др per (Д^-^Кх^ ... *х„, и* ... *u)p=jlr| Дррег((х„ и))|2.
Но
(xz,
\ yt1 V s (Д) ) ^ 4TW -VTW
1 =1 =7н Рег(Л)Далее,7н Рег(Л)Далее,ГТ . a, V s (Д)ГТ . a, V s (Д)221з(Д)"1з(Д)"пп]|и * ... * и ||2 =-Д-per ((и, и)) = -Д-п! = 1,]|и * ... * и ||2 =-Д-per ((и, и)) = -Д-п! = 1,(5.4)(5.5)(5.4)(5.5)..., п. Следовательно,
1 =
1 =
7н Рег(Л)
Далее,
7н Рег(Л)
Далее,
ГТ . a
, V s (Д)
ГТ . a
, V s (Д)
2
2
1з(Д)"
1з(Д)"
п
п
]|и * ... * и ||2 =-Д-per ((и, и)) = -Д-п! = 1,
]|и * ... * и ||2 =-Д-per ((и, и)) = -Д-п! = 1,
(5.4)
(5.5)
(5.4)
(5.5)
и, комбинируя (5.4) и (5.5), получаем неравенство (5.1).
аИ = С<С/,аИ = С<С/,Чтобы (5.1) обращалось в равенство, должно быть равенством (5.3), представляющее собой результат применения неравенства Коши — Шварца, т. е. xi * ... »х„ и у должны быть линейно зависимы. Так как и#=0, то отсюда по теореме 2.3 из гл. 2 следует, что 1) либо X/= 0 для некоторого I, 2) либо X/= щи для некоторого ненулевого скалярного Ci, I = 1, ..., п. Если справедливо утверждение 1, то ясно, что матрица имеет нулевую строку, а если — утверждение 2, то ранг матрицы Д равен 1. Обратно, если А имеет нулевую строку, то очевидно, что обе части (5.1) обращаются в нуль. Если же А имеет ранг 1, то ~
аИ = С<С/,
аИ = С<С/,
I, / — 1, ... , И, И
per (Л) = и! Д | ct |2.
Г1 =^ С],мГ1 =^ С],мДалее,
Г1 =^ С],
м
Г1 =^ С],
м
Тем самымТем самымм!7Wм!7Wследовательно,
Тем самым
Тем самым
м!
7W
м!
7W
пп
ДI П |2 = п\ ДI Ct I2 = per (Л),
z=i(=1
и доказательство завершено.■
Следствие 1. Если А— дважды стохастическая положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка п, то
(5.6)(5.6)per (Л) ^ nl/rt".
(5.6)
(5.6)
Равенство в (5.6) получается в том и только том случае, когда А = Jn, где Jn— матрица порядка п, все элементы которой равны. \/п. '
Условие на равенство следует из того факта, что Jn есть единственная дважды стохастическая матрица порядка п и ранга 1. -
Теорема, 5.2. Если А—положительно полуопределенная эрмитова матрица с характеристическими числами Кь ..., Кп, то
per(A)>nl^^t^, (5.7)
где gt — произведение координат единичного собственного вектора, соответствующего Kt.
Доказательство. Полагаем А = U*DU, где U унитарна, а О = diag(Xi, ..., Кп\. Используя теорему Бине —Коши (тео-
рема 1.3 из гл. 2), получаем -
рег(Л) = ^ 777 Рег(^*[1 |coj) per ((/)(/) [со |1п^=
^Gn, п.
п.
= Z 7^|рег№11«di2!!^^-(5.8)
®*=вп п^
Если мы оставим только последовательности (t, ..,, /), t = = 1, ..., п, и отбросим остальные со из Gn, „, то по (5.8) получается, что п
per (Я) > £ -^ | per (U [Л ..., t11n]) |2 X? =
л л 2л
=i£n!n^/ ^=«1^1^14?.■
(=1/-1/ = 1
Следствие 2. Если все строчные суммы положительно полу- определенной эрмитовой матрицы А порядка п равны к, то
7) -(5.9)
Границу в теореме 5.2 можно улучшить, оставляя еще один член в (5.8). В нашем следующем результате как бы сочетается граница из теоремы 5.2 с границей из теоремы 2.5 гл. 2.
Теорема, 5.3. Если U — унитарная матрица и А = = t/*diag(Xi, ..., kn^U, где Ль ..., Хп неотрицательны, то
рег(Я)^п! £||,|2Л? + 1 per(^)pdetM) (5.10)
(It определены в теореме 5.2).
Доказательство. В дополнение к последовательностям VО, t= 1п, мы оставим в правой части (5.8) последовательность (1, ..., п); другие последовательности из Gn,n мы отбрасываем, как и в доказательстве теоремы 5.2. Тогда из (5.8) следует, что
per (Я) >п\ У |1 per (t/) |2 П Ч
.Г=11=1
и теорема доказана.
Пример 5.1. Подсчитаем границы в (5.1), (5.7) и (5.10) для
перманентов матриц
А =А =з 54 }з 54 }4"Г 35 Г 500] з— 2 I 0 25 45J54"Г 35 Г 500] з— 2 I 0 25 45J55Г34 12]-|[12 41]5Г34 12]-|[12 41]
А =
А =
з 5
4 }
з 5
4 }
4"Г 3
5 Г 500] з
— 2 I 0 25 4
5J5
4"Г 3
5 Г 500] з
— 2 I 0 25 4
5J5
5Г34 12]
-|[12 41]
5Г34 12]
-|[12 41]
ии‘ 1233‘ 12332_1332_1333 Г95 О2 О3 Г95 О2 О33О 0]36 0 з° 3] _i 3О 0]36 0 з° 3] _i 332 32 332 32 33П 0 2*5=05222 2 63П 0 2*5=05222 2 6
и
и
‘ 12
33
‘ 12
33
2_1
33
2_1
33
3 Г9
5 О
2 О
3 Г9
5 О
2 О
3
3
О 0]3
6 0 з
° 3] _i 3
О 0]3
6 0 з
° 3] _i 3
3
2 3
2 3
3
2 3
2 3
3П 0 2*
5=052
22 2 6
3П 0 2*
5=052
22 2 6
111111111111Воспользуйтесь теоремой 2.1,Воспользуйтесь теоремой 2.1,для per (А).для per (А).чтобы получить нижнюю границучтобы получить нижнюю границу
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Воспользуйтесь теоремой 2.1,
Воспользуйтесь теоремой 2.1,
для per (А).
для per (А).
чтобы получить нижнюю границу
чтобы получить нижнюю границу
Границы для per (Л):
Х 462 Х 532 « 1213,
2X(4x4)!5o=+(-Xs)!25i)-1440
1440 + (-Д-)2 X 1250 = 1538.
Фактически per (А) = 1538.
Аналогично подсчитываем три границы для per (5) и получаем ~ 136, 128 и 130. На самом деле перманент В равен 258.
Задачи
1. Не излишне ли условие Рег(А)>0 в теореме 1.2 (случай
Покажите, что оценки в теореме 1.2, вообще говоря, наилучшие из возможных.
Пусть
11111
1 1101
10 110
110 0 1
10 110
11110
Пусть А— матрица из задачи 3. Примените формулу (2.7) для улучшения границы в задаче 3.
Пусть А— матрица из задачи 3. Получите оценку снизу для per (Л), применяя теорему 2.1 и формулу (2.7) к столбцам А.
Пусть
1111О1О11 1 О О 1 11 1 О О 1 10 111 10 1010 0 1 1110 0 111 0 10 00 111 10 1010 0 1 1110 0 111 0 10 0
1
1
1
1
О
1
О
1
1 1 О О 1 1
1 1 О О 1 1
0 111 10 10
10 0 1 1110 0 111 0 10 0
0 111 10 10
10 0 1 1110 0 111 0 10 0
Используйте теорему 3.2 для получения нижней границы для рег(в).
Пусть В — матрица из задачи 6. Примените теорему 3.3 для улучшения границы в задаче 6. Какая оценка снизу получается по теореме 2.1?
Докажите неравенство (3.5).
Пусть А = (а,/) есть неотрицательная матрица порядка п и a = minaZy. Предположим, что А содержит подматрицу по- i- j
рядка к, меньшего п, перманент которой равен р. Каково наименьшее возможное значение для per (Л)?
Покажите, что если каждая строка матрицы А = (ац) порядка п кратна (1, 1, ..., 1), то левое неравенство (4.3) обращается в равенство, т. е.
per (Л) = П Е а'и,
Воспользуйтесь теоремой 4.1 для нахождения нижней границы перманента матрицы
"2112"
»3 13 1
2 2 2 2
_2 2 1 2_
Примените следствие 1 теоремы 4.1 к нахождению нижней границы для рег(Д) из задачи 11. ........
Повторите упражнения 11 и 12ржиюльзуя результат теоремы 4.2.
Докажите неравенство (4.11).
Пусть А = U*DU, где U и D — соответственно унитарная и диагональная матрицы. Используйте метод доказательства
теоремы 5.2 для установления неравенства
per (Л) ^ | per (17) Р det (Л).
(Замечание: этот результат слабее, чем теорема 2.5 из гл. 2, так как j per (f7) | ^ 1 по следствию 2 теоремы 2.4 из гл. 2.)
Выведите из теоремы 5.2, что если Л— положительно определенная симметрическая дважды стохастическая матрица, то•
per (Л) ^ п\1пп.
Объясните, почему в примере 5.1 граница из (5.10) дала точное значение per (Л).
Пусть Л~ — множество всех (0,1)-матриц порядка п, у которых в точности к единиц в каждой строке и каждом столбце. Примените теорему 3.2 к нахождению нижней границы для per (Л), Ле Л^.
Докажите, что если Л е Л^, то
t-i
per (Л) >(« — 1)(/г — 2) + £ т\.
т=0
Глава 5
ГИПОТЕЗА ВАН ДЕР ВАРДЕНА
5.L Теория Маркуса — Ньюмена
Основной причиной недавнего оживления интереса к перманентам послужило появление в 1959 г. классической работы Маркуса и Ньюмена [62] о предположении Ван дер Вардена. Напомним эту гипотезу: если S— дважды стохастическая матрица порядка п, то
per(S)^n!/n'!(1.1)
и равенство в (1.1) может выполняться в том и только том случае, когда S есть Jn — матрица, все элементы которой равны 1 /п.■
Несмотря на многие попытки доказать это утверждение, оно все еще остается гипотезой1). В данной главе мы обрисуем современное состояние проблемы.
Маркус и Ньюмен надеялись доказать гипотезу Ван дер Вардена, устанавливая свойства матриц из йл с минимальным перманентом, а затем показав, что этими свойствами обладает лишь матрица Jn. Хотя эта программа и не была выполнена, Маркус и Ньюмен своей работой значительно продвинули исследования, проведенные до настоящего времени в области гипотезы Ван дер Вардена. В данном разделе будут изложены наиболее существенные их результаты.
Назовем дважды стохастическую матрицу А порядка п, для которой
per (А) = min per(S),(1.2)
минимизирующей матрицей.
Теорема, 1.1 [62]. Минимизирующая матрица вполне неразложима. '
Доказательство. Пусть А е йп— минимизирующая матрица, и предположим, что А частично разложима. Тогда по теореме 3.1 из гл. 3 найдутся такие матрицы перестановки Р и Q, что PAQ = В 4- С, где В s QA, Се Qn-. Мы покажем, что суще
ствует дважды стохастическая матрица с меньшим перманентом, чем рег(Д). Так как рег(Д)>0, то мы без ущерба для общности можем предположить, что 6^per((7MQ) (fe|fe))> 0 и Гц per((P^Q) (к -|- 1|fe -|- 1)) > 0. Пусть в — любое положительное число, меньшее min(&^, Гц), и пусть
G (в) = PAQ е (Екк + Ек+1 fe+1) + е (Ек ft+1 + Ek+V ft).
Тогда G (в) е Пл и-
per (G (е))=рег (P^Q)—в per ((/MQ) (к | fe))+e per ((MQ) (к | fe + 1))— -eper((P^Q)(fe + 1 |fe + 1)) + в per ((P^Q) (fe + 1 |fe)) + O(s2) =
= per (Д) - в [per ((РДО (fe | fe)) + per ((PAQ) (fe + 1 | fe + 1))] +
+ O(e2), поскольку per((A4Q) (fe|fe + 1)) = per((PAQ) (fe + 1 |fe)) = 0 no теореме Фробениуса — Кёнига. Ho per((+4Q) (fe|fe)) + + per((MQ) (k + l]fe+ l))>0; следовательно, для достаточно малого положительного в
per(G (е)) < per (Д).
и Д не может быть минимизирующей матрицей.■
В следующей теореме будет доказано фундаментальное свойство минимизирующей матрицы:
Теорема, 1.2. [62]. Если А—минимизирующая матрица, то из ань > 0 следует, что рег(Д (к\к)) = рег(Д).
Доказательство. Пусть С(Д) — грань наименьшей размерности Пл, содержащая А в качестве внутренней точки. Другими словами,
С (Д) = {.У = (х;/) е Qn |х;/= 0, если (I, ])eZ), где Z = ((i, j) |ay = 0}. Тогда С(Д) определяется следующими условиями: п
У, хц = 1, i — 1, ..., п\ i-v
Е+/=1, /=1п\
Ху^О, i, /' = 1п;
xti = 0,(i, j) е Z.
Так как Д представляет собой абсолютный минимум функции перманента на всем Н„ и принадлежит внутренности С(Д), она
должна давать относительный минимум для этой функции на С(Л). Мы можем, следовательно, ввести множители Лагранжа и построить функцию на С (Л):
п / п-Ем Е xki — 1/=1\й-1п / п-Ем Е xki — 1/=1\й-1(1.8)(1.8)п / П
п / п
-Ем Е xki — 1
/=1\й-1
п / п
-Ем Е xki — 1
/=1\й-1
(1.8)
(1.8)
Л (У) = per (У) - Е xJ Е хи- 1 /-1 \fe=i
Если теперь (Z, /)^ Z, то
ЭР (Х)/дхИ = per (X (i | /)) — Xt — р,.
Следовательно,
per (Л (Z |/)) = Л.; + р/,(1.4)
поэтому
per (Л) = Е аИ per (Л (i | /")) = Е «а G4 + У/) = А< + Е «цУф /-1/-1y-i
(1.5)
i= 1, ..., п; аналогично
рег(Л) = £ п</рег(Л (/1/)) = р, + X Мф (16) <=1i=i
/=1п. Положим теперь X = (Хь ..., Хл), р = (рь ... ..., ц,,), е = (1, ..., 1). Из (1.5) и (1.6) мы получаем, что
per (Л)е = Х + Лр,
(1-7)
per (Л) е = ЛГХ + р.
(L8)
Умножим обе части (1.7) на Лг:
per (Л) е = ЛГХ + ЛгЛр,
(1.9)
так как Ате = е. Вычтем (1.8) из (1.9) i
ЛгЛр = р.
(1.10)
Аналогично'
ДЛГХ = X.
(1.Н)
Далее, как АТА, так и ААТ вполне неразложимы (см. задачу 11 из гл. 3) и 1 есть простое характеристическое число каждой из них. Следовательно, как X, так и р кратны е; скажем, X = се, р = de. Из (1.4) получаем, что
per (Л (/1 /)) = с + d
для всех (i,j)^Z. Таким образом,
per (А) = Е ац per (А (/1 /)) = Е ац (с + d) = с + d = per (A (t | /)) /=i/-1'
для всех (t, /) Z.■
Вооруженные теоремой 1.2, мы перейдем теперь к доказательству следующего крупного частного результата по гипотезе Ван дер Вардена, принадлежащего Маркусу и Ньюмену [62].
Теорема, 1.3. Если минимизирующая матрица А порядка п положительна, то
per (А) = per (/„) = n\jnn.
-Доказательство. По теореме 1.2 per (A (t |/)) = per (А) для любых i и /. Полагаем G = 12Ц- 1п_2. Тогда
per (GA) = у per (А)+ -| per (А(1), А(1), А(3)А(п)) +
+ Т Р6Г(^(2)> ^(2)’ Аз)’Лп))>
где per(ai, у2, ..., vn) обозначает перманент матрицы, строки которой составляют векторы щ, и2> ..., ип. Но, разлагая per(A(i), A(d, А(з), ..., А(п)) по второй строке, получаем
per(A(i), А(1), А(3), ..., А(п)) = Еаи per (А (2 |/)) = per (А),
так как per (А (21 /)) — per (А (1[/)), / = 1, ..., п. Точно так же можно показать, что рег(А(2>, А<2), А(3), ..., A(n)) = per (А). Отсюда следует, что per (GA) = per (А). Тем самым GA есть минимизирующая матрица и per ((GA) (t|/) ) = per (А) для любых i и /.
Пусть теперь Р\, ..., Ра-2 — такие матрицы перестановки порядка п, что
PiGP^EA-J. + Ins,
P2GP2 = /2 + ^2 + I п-4»
^п-зОРп-з = I п-з + /г + /1, Pn-lGPTn_2 = 1п-2 + ^2-
Тогда легко видеть, что
К = P^GP^P^GP^. • • P2GP^PxGPfG
“(Л-а+^Х^з+Л+Л^'Ч^+Л+Л-^ХЛ+Л+^-зХ^+Л-?)
||ооо••• оо
?iIоо оо
2я-1 2"-1 2Ч~2 '<2
111,
2^-1 2'*"* 2'1”2^5
Матрица Мп дважды стохастическая и примитивная (она фактически вполне неразложима) с максимальным характеристическим числом, равным 1; модули остальных характеристических чисел строго меньше 1 *). Отсюда следует, что
Лп = Игп< = 7п,
<-»оо
так как Ln — дважды стохастическая матрица ранга 1.
Выше мы показали, что умножение слева положительной минимизирующей матрицы на матрицу G дает снова положительную минимизирующую матрицу. Ясно, что умножение на матрицу перестановки приводит к тому же результату. Отсюда получается, что МпА — положительная минимизирующая матрица. Рассуждая таким же образом относительно матрицы МпА, мы убеждаемся, что
per (М^А) = per (Л)
для любого натурального Л Следовательно,
per (Л) = lim per (ЖА) = per (( Нт Л1^) Л) = per (LA-) = t->co Хxt->co
= per(/„) = n!/n". ■
Мы покажем далее, что может быть только одна положительная минимизирующая матрица. Для этого нужно предварительно доказать одно утверждение, интересное также само по себе.
’) Определение и свойства примитивной матрицы см., например, в книге Ф. Р. Гантмахера «Теория матриц» (М., «Наука», 1967), гл. XIII, § 5. Утверждения о матрице М„ можно доказать индукцией по п, воспользовавшись теоремой 4 гл. XIII этого источника. — Прим, перев.
Теорема 1.4 [62]. Для любой положительной дважды стохастической матрицы А =# Jn, достаточно близкой к Jn, справедливо
per (Л) > per (/„).
Другими словами, функция перманента имеет в Jn строгий локальный минимум.
Доказательство. Пусть Т(Л) обозначает линейный отрезок, проходящий через Jn и Л и пересекающий границу Q„ в В. Таким образом, если asf = minai(- и 90=1—nast > 0, то
i
В = ^(Л-(1-9о)/п)
есть дважды стохастическая матрица, содержащая нулевой элемент, и
£(Л) = (В|5 = 9В-(1-9)/„, 9<9<1}.
Ясно, что Л = 90В + (1—9о)/пеТ(Л). Определим функцию р на отрезке [9, 1] следующим образом:
р9 = рег(9В + (1-9)/„).
По теореме Маклорена
per (Л) = р (90) = р (0) + 90р' (0) + у9др" (0) + О (9]) =
,,(1.13)
= per (/„) + 90р (9) + 9^ (9) + О (903).
Мы покажем, что р'(9) = 9 и что р"(9)> 9. Отсюда получится, что per (Л) > рег(/п) для достаточно малых 90. Произведем вычисления по формуле
Р' (9) = 2 (Ьи - 4) Рег ^В + (1 - 9) ^rt) 0 I ПУ.(1.14)
/ следовательно,
Р' (0) = £ (bt) -1) per (/„ (11 j)) = (^з^#) 2 (ba - 4) = °-
м(1.15)
Из (1.14) получаем, что
Р"(°) = £(6г/-7) Е kbhk ”4) Рег^О- ^Ю кП = I, ih*i.
(i.i6)
так как по крайней мере одно из Ьр равно нулю и потому £ (^/— 1/п)2 ^ 1/п2. Итак, р"(0)>0, и результат следует из
13) и (1.15).■
Мы теперь используем теорему 1.4, чтобы получить утверждение о единственности положительной минимизирующей матрицы, если такая существует.
Теорема 1.5 [62]. Если А — положительная минимизирующая матрица, то А = 1п.
Доказательство. Пусть Мп— матрица (1.12). Рассмотрим последовательность матриц
А, МпА, М2пА, ... .(1.17)
Мы покажем, что если А #= 1п, то все члены последовательности (1.17) отличны от Jn. Предположим, что A=A=Jn и М^Д = 1п. Пусть s — наименьшее из целых положительных чисел h с таким свойством. Положим Msn~YA = В. Тогда МпВ = = 1п, и все строки МпВ равны (1/п)е, т. е.
Т Bm + Т В№ Т Bw + Т В^ + 1" В№
= 2"-l BW + 2""1 5<2) + 1 1 1 + 2 ВИ — п е
Но отсюда вытекает, что
Т (S(D + Ве^ В® BW • • ■ Bw =де-
Далее, В — положительная минимизирующая матрица; следовательно, по теореме 1.2 все ее подперманенты порядка п—1 равны между собой. Имеем
рег(В(1 [/))= ^ per (5(1, 2 |/, А)) =
k^i
(«-2)1 V h («-2)1 п h х
k-Aj
j = 1, ..., n. Таким образом, b^ = b22 = ... = b2n = \/n и потому также bu = bx2= ... =bln=V/n. Итак, B = Jn, что
противоречит минимальности числа s. Отсюда заключаем, что все члены последовательности (1.17) отличны от /л.
Тем самым (1.17) есть бесконечная последовательность положительных минимизирующих матриц, отличных от /л. Из Mtrl-*Jn следует, что в любой сколь угодно малой окрестности /л = jnA найдутся матрицы, отличные от /л, перманент которых совпадает с рег(/п), что противоречит теореме 1.4. Следовательно, предположение, что А ^ Гп, ложно. Теорема доказана.-в
Сассер и Слейтер [168] показали, что на самом’деле /„ — единственная внутренняя точка йл, в которой достигается относительный минимум функции перманента.
По общему мнению, гипотеза Ван дер Вардена справедлива, хотя и нет никаких сильных доводов в пользу такого заключения. Она не может рассматриваться как «интуитивно ясная»: совершенно не очевидно ни то, что абсолютный минимум не может достигаться на границе йп, ни то, что такой минимум должен быть единственным. В самом деле, ни одно из этих утверждений не верно в некоторых многогранниках, содержащихся в йп. Например, пусть Р\, Р^, Рэ и Р4 суть четыре матрицы перестановки порядка 3, соответствующие перестановкам (123), (1 32), (1 2) и (1 3), и пусть
f44
Г = ] 4ей3 |Л=Хб/А, 6,^0, 2б/=1
I-• /=1/=1
Иными словами, Г состоит из всех дважды стохастических матриц порядка 3 с нулем на месте (1, 1). Легко показать (см. задачу 2), что ■
per(A)>j
для любой А из Г и чтодля любой А из Г и чтоминимум достигается на всех матриминимум достигается на всех матрицах видацах видаТ 6 Т-е4 |-е еТ 6 Т-е4 |-е е(1.18)(1.18)
для любой А из Г и что
для любой А из Г и что
минимум достигается на всех матри
минимум достигается на всех матри
цах вида
цах вида
Т 6 Т-е
4 |-е е
Т 6 Т-е
4 |-е е
(1.18)
(1.18)
О<0< 1/2, включая матрицы на границе (при 6 = 0 и 6 = = 1/2). Заметим, что все подперманенты порядка 2 матрицы (1.18) равны 1/4, за исключением перманента подматрицы, об-
разованной последними двумя строками и последними двумя столбцами, который может принимать все значения между 1/8 и 1/4.
Свойства минимизирующих матриц
Мы видели, что если А е й„ есть положительная минимизирующая матрица, то А = /„ (теорема 1.5). В этом разделе мы изучим свойства минимизирующих матриц, отличных от Jn (предполагая их существование). Есть надежда, что такого рода исследование приведет либо к построению минимизирующей матрицы, отличной от /„ (что опровергло бы по крайней мере часть гипотезы Ван дер Вардена, утверждающую единственность минимизирующей матрицы), либо к доказательству того, что в минимизирующей матрице не может быть нулей (что доказало бы гипотезу). В настоящее время результаты слишком фрагментарны, чтобы надеяться на решение вопроса таким способом.
Теорему 1.2 и технику, развитую в предыдущем разделе, можно использовать для получения значимой информации о расположении нулей в минимизирующей матрице (если они в ней найдутся).
Теорема 2.1 [62]. Если А =А= 1п есть минимизирующая матрица, то все ее нули не могут лежать в одной строке (в одном столбце).
Доказательство. Покажем, что предположение о том, что все нули минимизирующей матрицы А=^ац)=А=1п лежат в одной строке (или в одном столбце), ведет к противоречию. Пусть «и = 012 = . ■. = oir = 0 и ац > 0 в остальных случаях. Ясно, что г ^ п — 2, так как А вполне неразложима. Полагаем N = = /1 4- Мп-1, где Al„_i— матрица (1.12). Тогда, поскольку per (Д (z | /)) — per (Д), z = 2, ..., п, / = 1, ..., п, мы можем показать рассуждением, подобным проведенному при доказательстве теоремы 1.3, что
per (^Д) = per (Д),
так что NA—вновь минимизирующая матрица с той же первой строкой, что и у Д. Таким образом, NfA есть минимизирующая матрица с первой строкой, равной Д(1), для всех целых положительных t. Так как Нт N1 = lx -j- Jn_x, то же заключе-
t->oo
ние справедливо для матрицыние справедливо для матрицы" 0.. •0^1,г+1• ••1.1«=л-1л-1л-1 1л-1<111 ~ОЛГ+!п-1л-1л-1Л-1 _" 0.. •0^1,г+1• ••1.1«=л-1л-1л-1 1л-1<111 ~ОЛГ+!п-1л-1л-1Л-1 _ппДалее, per(L(l ]/'))== per(L), / = г+1п. ПоэтомуДалее, per(L(l ]/'))== per(L), / = г+1п. ПоэтомуйА.п<—)йА.п<—)per (L).per (L).Отсюда следует, чтоОтсюда следует, что1-1-= 1 — at= 1 — atт. е.т. е.Итак,Итак,1а1. г+1 = а1. г+2— •••=^ln— п — Г1а1. г+1 = а1. г+2— •••=^ln— п — Г"ег(ц-^"ег(ц-^1 у-'-1 п — г )1 у-'-1 п — г )рег(/„)(1 —-^й_рег(/„)(1 —-^й_п-1п-1(2.1)(2.1)Функция [($) = (!— l/s)s—1 монотонно убывает с ростом s, поФункция [($) = (!— l/s)s—1 монотонно убывает с ростом s, поэтому 1 -> 1 ■
ние справедливо для матрицы
ние справедливо для матрицы
" 0
.. •
0
^1,г+1
• ••
1
.1
«=
л-1
л-1
л-1 1
л-1
<
1
1
1 ~ОЛГ+!
п-1
л-1
л-1
Л-1 _
" 0
.. •
0
^1,г+1
• ••
1
.1
«=
л-1
л-1
л-1 1
л-1
<
1
1
1 ~ОЛГ+!
п-1
л-1
л-1
Л-1 _
п
п
Далее, per(L(l ]/'))== per(L), / = г+1п. Поэтому
Далее, per(L(l ]/'))== per(L), / = г+1п. Поэтому
йА.п<—)
йА.п<—)
per (L).
per (L).
Отсюда следует, что
Отсюда следует, что
1-
1-
= 1 — at
= 1 — at
т. е.
т. е.
Итак,
Итак,
1
а1. г+1 = а1. г+2— •••=^ln— п — Г
1
а1. г+1 = а1. г+2— •••=^ln— п — Г
"ег(ц-^
"ег(ц-^
1 у-'-1 п — г )
1 у-'-1 п — г )
рег(/„)(1 —-^й_
рег(/„)(1 —-^й_
п-1
п-1
(2.1)
(2.1)
Функция [($) = (!— l/s)s—1 монотонно убывает с ростом s, по
Функция [($) = (!— l/s)s—1 монотонно убывает с ростом s, по
Цп) V п — г) / \ п)
Из (2.1) теперь следует, что
per(L)> per (/„),
что невозможно, так как L — минимизирующая матрица. Отсюда заключаем, что у А все нули не могут лежать в одной строке или в одном столбце.■
Пример 2.1 [62]. Применим теоремы 1.3 и 2.1 к доказательству гипотезы Ван дер Вардена для п = 3.
Пусть А— минимизирующая матрица, отличная от /3. Она должна быть тогда вполне неразложима, и все ее нули не могут находиться в одной строке или одном столбце. Таким образом.
существуют такие матрицы перестановки Р и Q, что
где 0 < а < 1, 0 < 6 < 1 и а + b ^ 1. По теореме 1.3 per (PAQ (2 13)) = per (PAQ (3 12)) = per (Л).
Следовательно,
(2.2)(2.2)(2.3)(2.3)а (1 — b) = b (1 — а) = per (Л), откуда а — Ь. Предположим, что а + b — 1 > 0. Тогда per (/MQ (3 13)) = per (Л), т. е.
(2.2)
(2.2)
(2.3)
(2.3)
ab = а2 = per (Л).
Из (2.2) и (2.3) мы заключаем, что а = Ь = 1/2, что противоречит предположению о том, что а 4- b — 1 > 0. Но если а + + 6—1=0, то мы снова получаем, что а = 6 = 1/2. Таким образом, если А — минимизирующая матрица, отличная от 73,
то
00222222222 20 т7 02 20 т7 0(2.4)(2.4)
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
0 т
7 0
2 2
0 т
7 0
(2.4)
(2.4)
Однако тогда рег(Л) = 1/4 > рег73 = 2/9, что противоречит предположению о минимальности per (Л). Следовательно, 73— единственная минимизирующая матрица в Q3.
Следующая теорема, принадлежащая Лондону [199], улучшает результат Эберлейна [152], который в свою очередь обобщал теорему 2.1. Установим сначала три предварительных результата.
Лемма 1 [199]. Пусть ЛеЙ„ есть минимизирующая матрица. Если строки Л(1) и Л(2) имеют одинаковое расположение нулей, то
рег(Л) = рег ^у(Л<1) +Л(2>), у (Л(ц + Л(2)), Л(3), ..., Л(П)).
Это доказывается аналогично первой части теоремы 1.3.
Лемма 2 [199]. Пусть ЛеЙ„ есть минимизирующая матрица. Если строки Л(1)А^ имеют одинаковое расположе-
ние нулей и остальные строки Д<л+1)Д<Л) также имеют одинаковое расположение нулей, то
гдегдеper (Д) = per (В),per (Д) = per (В),( Дщ + • • • + А№I п — k( Дщ + • • • + А№I п — ki=lк, (2.5)1 = к + 1, ..., п.i=lк, (2.5)1 = к + 1, ..., п.
где
где
per (Д) = per (В),
per (Д) = per (В),
( Дщ + • • • + А№
I п — k
( Дщ + • • • + А№
I п — k
i=lк, (2.5)
1 = к + 1, ..., п.
i=lк, (2.5)
1 = к + 1, ..., п.
Доказательство. Лемму можно вывести из леммы 1 с помощью той же техники, что была использована при доказательстве теоремы 1.5, исходя из теоремы 1.2 (см. задачу 4).
Лемма 3 [152]. Пусть ВеЙ„ есть матрица вида (2.5), т. е. B<d = ... = В(А) и В^+ту — ... = Вцц. Тогда В не может быть минимизирующей матрицей, если только она не совпадает С Jп. '
Доказательство. Лемму можно доказать почти тем же способом, как теорему 2.1 (см. задачи 5 и 6), или как доказывается теорема 7 в [139].
Теорема 2.2 [199], Если Д е Пп есть минимизирующая матрица Д ^= Jn, то нули в ее строках (столбцах) расположены не менее чем тремя различными способами.
Доказательство. Предположим, что имеется только два различных вида расположения нулей у строк (столбцов) Д. Без ущерба для общности можно предположить, что Д(i>, ..., Д<*> имеют одинаковое расположение нулей, и то же самое имеет место для Д(й-ц), ..., Д(Л). По лемме 2 per (Д) = per (В), где В — матрица из (2.5). Но тогда по лемме 3 Д не может быть минимизирующей матрицей. ■
В [62] было показано, что если Д— минимизирующая матрица, то per (Д (/[/)) = per (Д) , если ац > 0, и утверждалось, что per (Д (j|j)) = per (Д) Д-р, если ац = 0, где р— неотрицательная константа, не зависящая от i и j. (См. примечание в [128].) Следующий результат Лондона [199] является несколько более слабым вариантом этого недоказанного утверждения:
Теорема 2.3 [199]. Если Д— минимизирующая матрица в Qn, го per (Д (i\j)) ^ per (Д) для любых I и j.
Доказательство [269]. Для любой матрицы перестановки Р = (рц) и числа 6 из отрезка [0, 1 ] положим
^(е)=рег((1-е)Д + еР).
Так как А— минимизирующая матрица, то
для любой матрицы перестановки Р. Однако п
fpW = $Е((—ast + pst)per (Л (s |^)) =
= Е Pst per (Л (s | /)) — и per (Л) = s, t = l
= E per (Л (s I a (s))) — n per (Л), s=l
где о — перестановка, соответствующая Р. Следовательно,
Е per (Л (s| a (s)))> и per (Л)(2.6)
3=1
для любой перестановки о. Но матрица А вполне неразложима (см. теорему 1.1), и потому по теореме 3.5 из гл. 3 любой элемент матрицы А лежит на некоторой диагонали, все остальные элементы которой положительны. Иными словами, для любой пары (i,/) найдется такая перестановка о, что / = o(i) и я$, а($) > 0 при s = 1, ..., i — 1, i + 1, • • •, п. Но это в силу теоремы 1.2 означает, что
рег(Л($ | о (§))) = per (Л)(2.7)
при s= 1, .... i—1, i+L ..., /г. Из (2.6) и (2.7) теперь получается, что
per (Л (/(/))> per (Л),
так как / = o(t).
Некоторые частные результаты.
Теорема Фридленда
Маркус и Ньюмен [79] показали, что гипотеза Ван дер Вардена справедлива для положительно полуопределенных, дважды стохастических матриц (см. следствие 1 разд. 4.5). Этот результат был следующим образом улучшен Маркусом и Минком;
Теорема 3.1 [144]. Если А — положительно определенная симметрическая дважды стохастическая матрица порядка п с наименьшим характеристическим числом Хп, то
рег(Л)>рёг(7п) + Х"(1 — рег(7п)).
Результат Маркуса — Ньюмена был распространен Сассером и Слейтером на больший класс дважды стохастических матриц.
Теорема, 3.2 [134]. Если А— нормальная дважды стохастическая матрица с характеристическими числами Xi, ..., Х„, для которых
— л/2п ^ arg X, ^ л/2п,
I = 1, ..., п, и А ч^ Jn, то
per (А) > per (Jn).
Этот результат также был улучшен Маркусом и хМинком.
Теорема, 3.3 [144]. Если А удовлетворяет условиям теоремы 3.2, то
per (А) > per ^ + -^-—^Н А - Jn ||2,2 п “
где ||А — Д|| обозначает евклидову норму матрицы А— Jn.
Теорема 3.2 была распространена Фридлендом [243] на множество всех дважды стохастических матриц порядка п, не обязательно нормальных, у которых числовая область1) содержится в замкнутом секторе [—л/2п, л/2п].
Доказательства теорем 3.1, 3.2 и 3.3 мы опускаем. Теоремы 3.1 и 3.3 требуют довольно изощренной техники, связанной с полилинейной алгеброй; в то же время теоремы Маркуса— Ньюмена и Сассера — Слейтера следуют непосредственно из результата Фридленда. В оставшейся части раздела мы подробно изложим работу Фридленда [243].
/ m + г — 1 \/ п + г — 1 \зывается матрица размера II X II с элементами/ m + г — 1 \/ п + г — 1 \зывается матрица размера II X II с элементамиОпределение 3.1. Если А е Мт, л (С) и 1 ^ г ^ min(m, п), то r-й индуцированной матрицей для А, обозначаемой РДА), на-
/ m + г — 1 \/ п + г — 1 \
зывается матрица размера II X II с эле
ментами
/ m + г — 1 \/ п + г — 1 \
зывается матрица размера II X II с эле
ментами
per (А [а |0] Wn (а)ц(0),
упорядоченными лексикографически по aeGr,m и 0 е Gr, п. Если А е Мт, п (С), а В е Мп, р (С), то■
(см. [92]).(см. [92]).Pr (АВ) = Рг (А) Рг (В)Pr (АВ) = Рг (А) Рг (В)(ЗА)(ЗА)
(см. [92]).
(см. [92]).
Pr (АВ) = Рг (А) Рг (В)
Pr (АВ) = Рг (А) Рг (В)
(ЗА)
(ЗА)
*) Числовой областью матрицы АеМ„(С) называется множество всех комплексных чисел вида 2 = (4х, х), где х пробегает единичную сферу II х || = 1 (см. книгу Маркуса и Минка «Обзор по теории матриц и матричных неравенств», М., «Наука», 1972, ч. III, § 5), — Прим, перев.
Пусть и = (иь ..., urt) есть ненулевая выборка комплексных чисел. Определим матрицу Ни условиями
Нии = и и
Huv — 0 для всех у е (и)"1".
Ясно, что Ни — положительно полуопределенная эрмитова матрица с характеристическими числами 1, 0, ..., 0. Верно также обратное: если А— эрмитова матрица с характеристическими числами 1,0, ..., 0, то Л = Нц, где и определяется однозначно, с точностью до скалярного множителя (см. задачу 7).
Пусть 2Ип(и) — подмножество Мп(Су.
М„(и) = (АеМп(С)1Аи = А*и = и}.(3.2)
Лемма 1. Для А^.МДи) полагаем В = (Л + Л*)/2. Если В положительно полуопределена, то тем же свойством обладает В-Ни-
Доказательство. Ясно, что ВеЛ4п(и), а также что
(В - Ни) и = 0 и
((В — Hu)v, у) = (Ву, у)^0
для любого у е(и)1. Следовательно, В — Ни положительно полуопределена.■
Если иь ..., Uu суть «-выборки, то их симметрическое произведение ui « ... *ип (разд. 2.2) можно определить следующим образом. Пусть G— матрица размера гХп с i-й строкой ui, i — 1, ..., г. Симметрическое произведение щ* ... *иГ есть /« + г-1\
I1-выборка с а-й координатой
per (0(1, ..г |а])/л/ц (а), упорядоченная лексикографически по a^Gr,n. Тогда для матрицы С размера тХп
Рг(С)щ* ... * ur = (Cut) * ... * (Cur) (см. [92]).
Лемма 2. Если АеМДи) и РДА)-{- РДА*) положительно полуопределена, то тем же свойством обладает
Р, (Л) + Р, (Л*) р ,,
2~rWu)*
4 X. Минк
Доказательство. Матрица Рг^ принадлежитМц(и* ... «и), / П + г — 1 \
где 6 = 1L В самом деле,
Рг (Л) и * ... * и = (Аи) * ... * (Л») = и * ... * и и
Рг (Л*) и * ... * и = (А*и) * ... * (А*и) = и* ... * и.
Кроме того, РДНи) имеет в точности одно ненулевое характеристическое число 1 и
Рг (Н^ и* ... * и = (Нии^ * ... * (Нии^ = и * ... * и.
Таким образом, Рг(Ни) = Ни,...,и, и результат следует из леммы 1.■
Пусть е = (1, ..., 1). Ясно, что He = Jn и Ж(е) есть множество всех комплексных матриц порядка п, у которых все строчные и столбцевые суммы равны 1. В частности, Мп(е) содержит все дважды стохастические матрицы. Из леммы 2 вытекает следующий результат:
Теорема, 3.4. Пусть в матрице А порядка п все строчные и столбцевые суммы равны 1 и а — некоторая последовательность из Gr,n. Если РДА) + РДА*) эрмитова и положительно полуопределена, то
Re (per (Л [а |а])) ^ т\]пг.(3.3)
Доказательство. Так матрица Рг(Л) + РГ(Л*)— 2РГ(/Л) по лемме 2 положительно полуопределена, элементы ее главной диагонали неотрицательны. Следовательно,
per (Л [а | а]) + реТ(Л [а | а]) — 2 (г!//гг) ^ 0.g
Следствие 1 [124]. Если А—положительно полуопределенная симметрическая дважды стохастическая матрица порядка п и а е Gr, п, то.
per (Л [а |а])^г!//гг.
Введем в рассмотрение более широкий класс матриц, удовлетворяющих предположению теоремы 3.4.
Для положительного числа г пусть Хг и Х°г означают множества комплексных матриц порядка п, числовые области которых лежат соответственно в секторах [—л/2г, л/2г] и (—л/2г, л/2г), т. е.
ХГ = {Л еЛ4„(С) Ще(Лх, х)^| 1ш(Лх, х) |ctgn/2r} и
Х°г = {Л е Мп (С) | Re (Лх, х) > |Im (Ах, х) | ctg л/2г}.
Очевидно, что X, и Х°г можно описать следующим образом: Хг есть множество всех таких комплексных матриц А порядка п, что А + А* ± i(A — A*)ctgn/2r положительно полуопределена; Х°г есть подмножество Хг, состоящее из таких матриц А, что А+А*±/(А— A*)ctgn/2r положительно определена.
Теорема, 3.5. Пусть АеЛМС). Тогда Р, (А) + ^(А*) положительно определена в том и только том случае, когда ©А е Х°г для некоторого корня © степени г из единицы.
Доказательство. Пусть /<еЛ1г(С); через D(K) обозначим числовую область К, т. е.
D(K) = {zeC |z = ^x, х), ||х|| = 1}.
Пусть далее
Ог(Ю = {г|г = Г, ^eD№
Заметим, что D(K) компактна и связна. . Имеем ВДЮсз cz D (РГ(К)У так как-
(Рг (К) х* ... *х, х* ... * х) = (Кх, хУ.
Предположим теперь, что РДА) + РГ(А*) положительно определена. Это означает, что О'" (А) содержится в открытой правой полуплоскости, а так как 0(A) связна, она должна содержаться в секторе
(г | — л/2г < arg (г®) < л) 2г},
где со — корень степени г из 1. Таким образом,
Re (to Ах, х) > | Im (®Ах, х) 1 ctg (л/2г)
для любого х N= 0, т. е. ®А е Х°г.
Чтобы доказать достаточность, положим
В = ®А + ©А* и С — i (©А — ©А*).
Поскольку ©А е Х°г, матрица В эрмитова и положительно определена. Следовательно (см. задачу 9), существует такая невырожденная матрица Y, что
В = ГУ и C = Y*DY, .
где D = diag(tZi, ..., dny Так как В ±ctg(n/2r)C положительно определена, получаем, что
tg(n/2r) > |c/J-
для / = 1, ..., п. Полагаем G = diag(gb ..., gn) = ^ (In — iD). Тогда
©А == Y'GY
I arg (gz) | < л/2г,/ = 1п. Следовательно, если а = («1ar)sG,. „, то
аг^П^ <^.
Отсюда следует, что Pr(G) + Pr(G*) положительно определена. Но тогда тем же свойством обладает
Р, Н) + Рг (6Л*) Рг (П kPr (G) + Pr (G*)) Рг (У),и потому положительно определена РГ(Л)+Л(Л*) = Рг(соЛ) +
'+Рг (йА*).
Следствие 2. Если Л принадлежит множеству Хг, то РГ(Л) + + Р, (Л*) эрмитова и положительно полуопределена.
Утверждение получается по теореме 3.5 из соображений непрерывности. Непосредственно из теоремы 3.4 и следствия 2 вытекает следующий результат: '
Теорема 3.6. Если Л — дважды стохастическая матрица порядка п, числовая область которой содержится в замкнутом секторе [—л/2г, л/2г], и если a е Gr, п, то
per (Л [а, а]) ^ г\]пг.
В частности, если г = п и а = (1п),то
per (Л) ">п\/пп.
Рассмотрение случая равенства мы опускаем.
Гипотеза Маркуса и Минка
В этом разделе мы сформулируем гипотезу Маркуса и Минка [128] и докажем ее для двух классов дважды стохастических матриц, в которых справедлива гипотеза Ван дер Вардена.
per (S) > per ^_ р) .per (S) > per ^_ р) .(4.1)(4.1)Гипотеза. Если S — дважды стохастическая матрица порядка п^2, то
per (S) > per ^_ р) .
per (S) > per ^_ р) .
(4.1)
(4.1)
При п^4 равенство в (4.1) получается в том и только том случае, когда S = Jn-
Для п = 3 это условие единственности не выполняется (см. задачу 19).
Заметим, что из этой гипотезы следует справедливость гипотезы Ван дер Вардена. В самом деле, определим отображение из Qn в Qn:
Если S =# Jn, то по (4.1)
per (S) > per (/ (S)), и потому
per (S) > per (/ (S)) > per (/* (S))
S-Jn \1(»-!)* /JS-Jn \1(»-!)* /Jдля k = 2, 3, .... Таким образом,
S-Jn \1(»-!)* /J
S-Jn \1(»-!)* /J
per (S) > lim per (/* (S)) = per [ lim f/„ + (— I)6
= per (4) = n\K-
Покажем теперь, что гипотеза верна для дважды стохастических матриц в достаточно малой окрестности Jn и для всех положительно полуопределенных симметрических дважды стохастических матриц порядка п (ср. с теоремой 1.4 и следствием 1 из разд. 4.5). Но сначала установим один предварительный результат [128]:
Теорема, 4.1. Сумма всех подперманентов порядка 2 действительной матрицы А порядка п, у которой все строчные и столбцевые суммы равны нулю, положительна, если А ^ 0.
Доказательство. Обозначим через оь сумму всех подперманентов А порядка к. Тогда■
а2= X S (azsa/z+ «/$«//) =
а.ПеО2, nis,neQ2> п.
£ Qis £ ац£ Qis £ ацп пп
£ Qis £ ац
£ Qis £ ац
(Z, heQ2n n(Z, heQ2n nS=1S=1Z Z QisQjs,(Z, /) e Q2, n s=l
(Z, heQ2n n
(Z, heQ2n n
S=1
S=1
QisQ/s 2 52 52 52QisQ/s 2 52 52 52T S а^>°>T S а^>°>так как ^ajt = 0, /'=1n. Таким образом,
QisQ/s 2 52 52 52
QisQ/s 2 52 52 52
T S а^>°>
T S а^>°>
^=-52 52
s-l (i, ne Q2 n
n n
и равенство выполнено, если и только если все a:s равны нулю, что эквивалентно А =О,
Следующие две теоремы получены Маркусом и Минком [128].
Теорема, 4.2. Если S = (s;/) есть дважды стохастическая матрица в достаточно малой окрестности Jn, то
per (S) > per (^j5) .per (S) > per (^j5) .(4.2)(4.2)
per (S) > per (^j5) .
per (S) > per (^j5) .
(4.2)
(4.2)
Если п = 2, то (4.2) — равенство. При п^З равенство в (4.2) получается, если и только если S = J п.
Доказательство. Пусть A=UuU = S— Jn. Тогда А удовлетворяет условиям теоремы 4.1. Поэтому о2 > 0, если А ^= 0, т. е. при S =т^ Jn. Далее, cri = 0; следовательно,
per (S) = per (Jn + Л) =
(п-1)!(п-1)!"1 +"1 +(и-2)!..2!. 1!.
(п-1)!
(п-1)!
"1 +
"1 +
^Т2~(Т2+ ••• Нi°n-24an-l + tfn= п 4пп
п\ . (п — 2)!(п — О!
t = 3
С другой стороны,
Поэтому, если я^З, .4 ^0 и все элементы А настолько малы по абсолютной величине, что
(^-2)1 (то(^-2)1 (то1(« - I)21(« - I)21(—1)' 1 (« — 0! _ А ,, ОХ1(—1)' 1 (« — 0! _ А ,, ОХper (S) — per ( ”(”_ ,S ) > 0.per (S) — per ( ”(”_ ,S ) > 0.
(^-2)1 (
то
(^-2)1 (
то
1
(« - I)2
1
(« - I)2
1(—1)' 1 (« — 0! _ А ,, ОХ
1(—1)' 1 (« — 0! _ А ,, ОХ
per (S) — per ( ”(”_ ,S ) > 0.
per (S) — per ( ”(”_ ,S ) > 0.
Если S =^ Jn есть дважды стохастическая матрица в столь малой окрестности Jn, что выполняется (4.3), то (4.2) не может быть равенством. Конечно, если S = Jn, то
5 nJп Sп — 1
и (4.2) — просто тождество.
Теорема 4.3. Если S — положительно полуопределенная симметрическая дважды стохастическая матрица, то
per (S) > per (""„Г ) •per (S) > per (""„Г ) •(4.4)(4.4)
per (S) > per (""„Г ) •
per (S) > per (""„Г ) •
(4.4)
(4.4)
При п^ 3 равенство в (4.4) равносильно тому, что S = Jn.
Доказательство. Пусть 1 = Xt ^ Х2 ^ ... ^ Хп ^ 0 суть характеристические числа матрицы S. Так как S и /„ перестановочны друг с другом, то характеристические числа (nJn— — S)/(n— 1) равны
1,1,Лг п — 1 ’Лг п — 1 ’Л„ п — 1 "Л„ п — 1 "
1,
1,
Лг п — 1 ’
Лг п — 1 ’
Л„ п — 1 "
Л„ п — 1 "
Пусть &! = (!, ..., 1)/Vrt> угу» есть ортонормальное множество собственных векторов, общих для S и \nln—S)/(n—1) и пусть U — унитарная матрица с t-й строкой ui, z = 1, ..., п. По формуле (5.8) из разд. 4.5
ye Gt—1ye Gt—1
ye Gt—1
ye Gt—1
где cv =| per (С7 [у 11, ..., п])Р, ц (у) = П ^ (у)! и /и,(у) обозначает число появлений / в у. Ясно, что
(4.5)
для любой у; следовательно, (4.4) выполняется.
Если (4.4) обращается в равенство, то и (4.5) — равенство при любой у. Мы покажем путем надлежащего выбора у, что отсюда вытекают равенства Х2 = ... = Хп = 0. Пусть и2 = = (xiхп\. и предположим, что все х^, ..., х(^ не равны нулю, a Xj = 0 при /^{h, .... z*}. Полагаем у = (уь ..., у„),
(4-6)(4-6)
(4-6)
(4-6)
где 71=где 71=— 7л—k — 1, а 7^—л-н — • •. — 7л =х= 2. Тогда
где 71=
где 71=
(4.6), разлагая его по последним к(4.6), разлагая его по последним кк\ (га — кук\ (га — куПодсчитаем перманент в строкам:
(4.6), разлагая его по последним к
(4.6), разлагая его по последним к
к\ (га — ку
к\ (га — ку
1_
CY - Пп-к
Следовательно, cY ^ 0, и равенство в (4.5) означает, что
т. е. Xj = 0. Но тогда Хг = ... = Хл = 0 и дважды стохастическая матрица S имеет ранг 1, поэтому S = Jn. Обратное утверждение очевидно. ■ Я
Уонг [287] доказал неравенство (4.1) для всех дважды стохастических матриц 3-го порядка и сделал предположение:
для всех S е Qn.для всех S е Qn.per (S) > per (^р-р)per (S) > per (^р-р)
для всех S е Qn.
для всех S е Qn.
per (S) > per (^р-р)
per (S) > per (^р-р)
Нижние границы для перманентов дважды стохастических матриц
Маркус и Ньюмен [62] показали, что гипотеза Ван дер Вардена верна при га = 3 (см. пример 2.1). Эберлейн и Мудхолкар [139] другим методом получили утверждение гипотезы для га = 3 и 4. Затем Эберлейн [152] установил ее справедливость при п = 5. Глисон [177] передоказал этот результат для случаев п = 3 и п = 4, использовав совершенно новый подход, который, как он полагает, может решить вопрос о гипотезе Ван дер Вардена с помощью ЭВМ для га = 5, а также, вероятно, и больших размеров матриц. Для произвольного га полученные границы значительно меньше, чем п!/п",
Всякую дважды стохастическую матрицу Л порядка п можно представить (теорема 3.3 гл. 3) в виде
л-2е,р„
где Рх, ..., Ps суть матрицы перестановки, а 61, ..., 6» — по-S-
ложительные числа, £б/=1. Следовательно, /-1
per (Л) ^ тахб" ^ 1/s".(5.1)
На самом деле, как легко видеть, неравенство в (5.1) строгое (см. задачу 16). Далее, размерность полиэдра Qn равна (п—I)2 (см. задачу 17); тем самым каждую дважды стохастическую матрицу можно представить как выпуклую линейную комбинацию не более, чем (п—1)2+1, матриц перестановки. Таким образом,
per (Л) >!/((»-1)2+1)"(5.2)
для любой Л из Qrt, п ^ 2.
П. Эрдёш заметил: если гипотеза Ван дер Вардена справедлива, то для любой Л е Qn
рег(Л)= 2 f[at w>nl/nn;
о е srt i = l.
следовательно, п
тоаХПаоа(«^^-1 = 1
Другими словами, из гипотезы Ван дер Вардена вытекает, что каждая дважды стохастическая матрица порядка п содержит диагональ, у которой произведение элементов не меньше, чем 1/пл. Этот факт доказывается в следующей теореме:
Теорема, 5.1 [77]. Для любой дважды стохастической матрицы S = (s,-/) порядка п найдется такая перестановка о, что
Равенство в (5.3) равносильно тому, что S = ]П,
Доказательство. Полагаем
Ht) = tlogt,
если <>0 и f(Q)=O. Функция f строго выпуклая на отрезке [0,1]. Поэтому функция F на Qn:
строго выпукла на Qn, т. е.
F (9S + (1 - 9) Л < 6F (S) + (1 - 9) F (Т),
0 < 9 < 1, при S #= Т. Для матрицы перестановки Р с единицами на местах (1,2), ..., (/г — 1, /г), (/г, 1) и SeQ„ мы имеем Р^Р13) = F(S), и тогда
= F ynS) = F (Jn) = /г log (1/n), причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда PlS = S для любого t, т. е. S = Jn.
По теореме 3.2 из гл. 3 в матрице S найдется положительная диагональ. Пусть X— множество всех перестановок а, для которых диагонали («1,оц>, Яд, aw) положительны, и пусть Y— соответствующее множество матриц перестановки. Обозначим через И выпуклую оболочку Y. Тогда
max £ log s,. (i)= max £ рц log stl = max £ ^/logs,,^
^.2 f(s1/) = f (S)>n log (1/n).
i, /=■!
Отсюда следует, что'
n‘
Пл.а»>тг(5.4)
с равенством в том и только том случае, когда S = /„. Действительно, если в (5.4) — равенство, то F(S) = п log(l/n) и S = /„. Обратное утверждение очевидно.■
Как следует из [101], теорему 5.1 можно улучшить.
Теорема, 5.2. Пусть S = (s;/) есть дважды стохастическая матрица порядка п с h характеристическими числами, равными по модулю 1. Тогда
™лх„П(5-5)
с равенством в том и только том случае, когда PSQ = /л—i 44- Jn-h+\ для некоторых матриц перестановки Р и Q. Если S оказывается неприводимой, то
Доказательство мы не приводим.
Очевидно, неравенства (5.3), (5.5) и (5.6) дают оценки снизу для per (5). Эти оценки были фактически наилучшими до тех пор, пока Ротхаус [216] не анонсировал в 1972 г. следующую границу:.
Теорема, 5.3. Для дважды стохастической матрицы S порядка п справедливо
per (S) ^ 1/пп-1.(5.7)
Фридленд предложил простое доказательство (не опубликовано) теоремы 5.3 путем применения неравенства (5.3) к минимизирующей матрице. Пусть'
per (Д) = min per (S).
SeQn
Без ущерба для общности мы можем предположить, что по теореме 5.1
Далее по теореме 1.2 per (Д (Z|/)) = per (Д),
i = 1п. Ясно, что
per (Д (/1 /)) > (П °« = Оц П
Следовательно,
(per (Д))л = П per (Д (z | z)) >
=1/тг"'"-1).
Z=1 X Z-1/ XT —1/1
Недавно Фридлендом [311] была получена существенно более сильная оценка:
■per(S)^l/nl. (5.8)
для любой SeQ„. В 1976 г. Банг [274] анонсировал неравенство
per(S)> 1/е^-1(5.9)
для любой S е Q„. Эта граница имеет фактически тот же порядок величины, что и граница Ван дер Вардена. К моменту выхода книги в свет доказательство (5.9) не было опубликовано.
Задачи
Назовем Аейл локально минимизирующей матрицей, если per (А) ^ per (S) для любой дважды стохастической матрицы S порядка п в некоторой окрестности А. Покажите, что теоремы 1.1, 1.2 и 2.3 справедливы для локально минимизирующих матриц.
■ 2. Пусть Г — подполиэдр Q4, описанный в конце разд. 5.1, Покажите, что
per (А) >4
для любой А из Г.,
per (А)per (А)Пусть А — подполиэдр Qn, состоящий из матриц А = (а^ с ata = Он — 022 = «24 = О31 = o4i = 0. Покажите, что
per (А)
per (А)
(*)
для любой А из А и найдите все матрицы в А, для которых (*) обращается в равенство.
Приведите подробное доказательство леммы 2 из разд. 5.2.
Пусть В — дважды стохастическая матрица порядка п; предположим, что у В равны между собой к первых строк и равны между собой п — к последних строк. Не используя леммы 3 из разд. 5.2, покажите, что либо ненулевые элементы первых к строк равны между собой, либо ненулевые элементы последних п— к строк равны между собой. (Указание. Если В ^ ^= In, мы можем без ущерба для общности предположить, что Вщ = (хь ..., xs, 0, ..., 0), i = 1, ..., к, где X/ > О, / = 1, ... . .., s. С помощью результата теоремы 1.2 докажите, что Xi = = . . . = Х$.)
Пусть Вейч и В^ = ... = В№ = (у > • • •»у • Оо) > В(£+и = • •• =А«)- Покажите, что per (В) > рег(/п).
Пусть А — эрмитова матрица с характеристическими числами 1, 00. Покажите, что А = Ни, где Ни — матрица, оп-
ределенная в разд. 5.3, для некоторого вектора и, определенного однозначно, с точностью до скалярного множителя.
Докажите, что если Н эрмитова и положительно определена, то теми же свойствами обладает РГ(Н).
Пусть Н и /( — эрмитовы матрицы. Покажите, что еслиД положительно определена, то Н и К одним унитарным преобразованием приводятся соответственно к 1п и диагональной матрице.
Пусть
' X, = (Л е Мп (С) | Re (Ах, х) ^ | Im (Ах, х) | ctg л/2г}
(разд. 5.3). Покажите, что Хг — множество всех таких комплексных матриц А порядка п, что A-\-A*±i(A— Л*)ctgл/2r положительно полуопределена.
Дайте подробное доказательство следствия 2 из разд. 5.3.
Покажите, что теорема 3.6 влечет за собой теорему 3.2.
Исследуйте гипотезу Маркуса — Минка из разд. 5.4 в случае п = 2.
Докажите гипотезу Маркуса — Минка для дважды стохастических матриц вида
' 0 al — а'"
— а 0 а .'
- а 1 — а 0 -
Докажите гипотезу Маркуса — Минка для дважды стохастических матриц вида
- 0а1 — а -
b01-6.
.1—6 1 — a a + 6 — 1 .s
Докажите, что если А = ^ 9}Р}, где Р,— матрицы перестановки, а 6,—такие положительные числа, что У, 6/= 1, то per (Л) ^ l/s^1.
Докажите, что размерность Qn равна (п—I)2.
Докажите, что если верно следующее предположение, то справедлива и гипотеза Ван дер Вардена:
Гипотеза. Если Лей„ есть минимизируютцая матрица, то per (Л (г | у)) = per (Л) для любых I, j.
'19. Найдите отличную от Ja матрицу Se93, для которой
per (S) = per (^у^)-
Глава б
ВЕРХНИЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ ПЕРМАНЕНТОВ
От Мюира к Юркату и Райзеру
Мюир [14] заметил, что если А = (а^) есть матрица 3-го порядка, то-
3
per (Д) = JJ tosik "Г as2z2 + tiS3Z3),s=l-
где /Цг/э = 1 и z"i, /2, /3 суть «символы, подчиняющиеся обычным алгебраическим законам, за исключением того, что/^=/|= = /2 = 0». Далее он поясняет: «Это почти то же самое, что сказать: рег(Д) есть коэффициент при хуг в произведении
з
П <asXx + айу + а^.». S=1
Нет ни малейшего сомнения в том, что Мюир взял матрицу 3-го порядка лишь в качестве иллюстрации, но при этом знал, что его формулу можно обобщить на любую квадратную матрицу. Действительно, пусть 1Х, ..., in— базис ассоциативной линейной алгебры над полем F, такой, что.
LL ... / #= О, iL = Li. и /2 = 0 •12П *’ St ISS
для всех s и /; если А — матрица порядка п с элементами из F, то
per (Д)/,/2 .. . /П = П £ «Stif(1-1)
s-lZ-l
Юркат и Райзер [112] предложили следующую реализацию равенства (1.1) в терминах матриц порядка 2". Пусть
Г 1 01ГО 01
/ =Е =I
Lo 1 ]’Lio]
и
£, = / 8 ... 8 I 8 Е 8 I 8 ... 87
есть кронекерово произведение п матриц 2-го порядка с £ на t-м месте. Ясно, что Е{Е =EjEi и Е^О для любых I, j, а также что EVE2 ... Еп — Е2п , есть матрица порядка 2П с единицей на месте (2Л, 1) и нулями на остальных местах. Таким образом, если А— произвольная матрица порядка п, то
-per (Л) Е{ ... Е„ = Й £ аиЕ(.(1.2)
! = 1 /=1 '
Пусть по определению
Тогда .п
X (ц,!, • • ■ > ^tn) Qi \Е\ “Ь 52 ^< /£/ ./-2.
= aiVE®I® ... ® 7 + Z ® Jf (ai2ain\
где ^(0,2, ..., a,n) —матрица порядка 2я-1, определенная, как в (1.3). Следовательно,'
Г О 01
^<a->=Lail о!
и для /г 2
x(aiV...,ai„)=x(aiV...,ai„)=a>J J X(ato.a>J J X(ato.Лп^Лп^
x(aiV...,ai„)=
x(aiV...,ai„)=
a>J J X(ato.
a>J J X(ato.
Лп^
Лп^
где I и 0 обозначают соответственно тождественную и нулевую матрицу порядка 2л-1. Ясно, что матрица X(a,i, ..., а^ нижняя треугольная, а также что•
рег(Л)Е2и ^П^СЛо)-d-4)
Пример 1.1. Если п = 2, то
per(A)E41 = XUW)XW
ОО IОО I!0 dH d22 + dI2 ^1°|!0 dH d22 + dI2 ^1°|
ОО I
ОО I
!0 dH d22 + dI2 ^1°|
!0 dH d22 + dI2 ^1°|
Если п = 3, то
рег(Л)£'д1 = X (Л^А" (Л(2))Х (л(3))
Из (1.4) следует, что при любой матричной норме
1рег(Л)|<П||Х(Л(/))||.1рег(Л)|<П||Х(Л(/))||.(1.5)(1.5)
1рег(Л)|<П||Х(Л(/))||.
1рег(Л)|<П||Х(Л(/))||.
(1.5)
(1.5)
Уилф (не опубликовано) использовал неравенство (1.5) и (спектральную) норму Гильберта для того, чтобы несколько улучшить оценку Минка [84] для перманентов (0,1)-матриц. Юркат и Райзер [112] путем хитроумных комбинаторных манипуляций вывели из (1.4) следующее ниже «экономное равенство», которое выражает per (Л) — элемент на месте (2П, 1) в матрице из левой части (1.4) — через произведение матриц, составленных из надлежащим образом размещенных блоков матриц X(Д(0) из правой части (1.4).
Теорема 1.1 [112]. Если A=(aij) есть матрица порядка п, то п
определеннаяопределеннаяper Д = П^гИщ),(1.6)
определенная
определенная
где Pi^A^ — матрица размера
следующим образом-.
р\ (Ап) = [аи 11' “ini’ Рп (Ал) — V.atn • • • «н]Г,
и для 2 ^t ^ п — 1
pAajv->a«) =
i 0*
1 ^(^—.«Jj
следующим примером:следующим примером:Доказательство теоремы опускаем, но проиллюстрируем ее
следующим примером:
следующим примером:
Пример 1.2. Пусть Л = (а,/) есть матрица порядка п. Если п = 2, то
per Л = [апа12]•
L «21 J
При п = 3
МДН^пДАз]МДН^пДАз]«22«21«22«21оо«23: о_0 : а33«21 ; «22«23: о_0 : а33«21 ; «22«33 «32 «31«33 «32 «31
МДН^пДАз]
МДН^пДАз]
«22
«21
«22
«21
о
о
«23: о_0 : а33
«21 ; «22
«23: о_0 : а33
«21 ; «22
«33 «32 «31
«33 «32 «31
При п = 4
«зз«340]0
«44 «43 «42 «41 ,«44 «43 «42 «41 ,«320«34IО
«44 «43 «42 «41 ,
«44 «43 «42 «41 ,
0«32«33;О
«31ООIя34
О<г310'д33
О0«31,<т32
«Экономное равенство» (1.6) дает следующую оценку сверху:
1рег(Л)|<ПИЛ(Л(п)11.(1.7)
i=i
Юркат и Райзер при помощи (1.7) получили верхние границы для перманентов (0, 1)-матриц, неотрицательных матриц и т. д. Некоторые из этих результатов мы приведем в следующих разделах этой главы.
(0,1)-матрицы
В 1960 г. Райзер [68] предположил, что в классе (0, 1)-матриц порядка ий со строчными и столбцевыми суммами, равными й, максимум перманента достигается на прямой сумме матриц порядка 4 составленных из единиц. Минк в 1963 г. [84] сделал
предположение о том, что если А есть (0, 1)-матрица порядка п со строчными суммами ri, ..., гп, то
рег(ЛХП(гг!) \(2.1)
z=i
и доказал, что
+ 1
per (Л) ^Ц -^—(2.2)
(см. задачи 3 и 4). Ясно, что предположение Райзера является следствием предположения Минка. Из последнего следует также (2.2), поскольку (rfl) 1 есть среднее геометрическое первых г, натуральных чисел, в то время как (п + 1)/2 — их среднее арифметическое.
Юркат и Райзер [112], Минк [132], Уилф [147], Ниенюис и Уилф [182, 183] получили различные оценки, представляющие собой ослабленные варианты (2.1), но более сильные, чем (2.2).
Минк [84,250] доказал (2.1) для всех матриц, строчные суммы которых не превосходят 8. Наконец, в 1973 г. Брэгману [219] удалось доказать предположение Минка и гем самым предположение Райзера. Ниже мы приводим доказательство (2.1),‘ принадлежащее Шриверу [360], которое проще, чем доказательство Брэгмана. Нам потребуются следующие вспомогательные результаты.
Лемма 1. Если tx, ..., t, суть неотрицательные действительные числа, то
№ ++ОАУ1+-+,^ф ... ^(2.3)
(в этой формуле 0° полагаем равным 1).
Лемма следует непосредственно из выпуклости функции х log х. Действительно,'
6 + • ■ • A- tr jOg 6 + • • • A- tr ./ 6 log 6 + • • ■ A- tr log tr.
умножая на г и беря экспоненту обеих частей, приходим к (2.3).
Лемма 2. Пусть А = (ац) есть (0, I)-матрица порядка n,S— множество всех таких перестановок а, что П^1аг = 1- Тогда
П П (per Л (Z j А))рег А(М fe) = П П per (Л (г | а/))(2.4)
t=l к■aeSM
aUTV
и
Шг^ П Пп.
i=laeSi-1
(2.5)
Доказательство. Для данных I и к число сомножителей per(X(Z|Z?) в левой части (2.4) равно per (Л (/1/г)), если an, = 1, и нулю в противном случае. Число таких сомножителей в правой части (2.4) равняется числу перестановок о из S, для которых at '= к, оно есть рег(Л((|й)) или нуль при а», = 1 или 0 соответственно..
Легко видеть также, что при данном I число сомножителей в обеих частях (2.5) равно per(Л).
Теорема 2.1. Пусть A=(alk} есть (0,1)-матрица порядка п со строчными суммами гх, ..., Гц. Тогда
рег(Л)^Пг;!1/Г'.(2.6)
Доказательство [303]. Применим индукцию по п. По лемме 1
(per Л)" рег А=П (per Л)рег А=П ( Ё »№ per A (i | k) 1<
<ПбтгА П per A(i |6)perA|Z |У\i—i\/
4 0^=17
и, таким образом, по лемме 2
(per Л)"рег А ^ II ((Й ч) (П per A (i |oZ) ) ).
Применим теперь предположение индукции к каждой из X(Z|at):Применим теперь предположение индукции к каждой из X(Z|at):
Применим теперь предположение индукции к каждой из X(Z|at):
Применим теперь предположение индукции к каждой из X(Z|at):
Первое из равенств — результат изменения порядка умножения, а второе получается путем подсчета сомножителей гр. * и (г/—1)1*^ 1 \Ясно, что при фиксированных ан / числоиндексов
I, ДЛЯ которых i^j И О/, ае = о, рЭВНО П— Г), а число тех i, для которых t^j и af,ai= 1, равно г/ — 1 (так как aj,aj = 1). Следовательно,.
(per Л)" ”1 < Д [(Й г,) (Й („-.)()]-
O
n, х / п V рег Л
=1/ \1=!/
и теорема доказана.■
Из неравенства (2.6) следует справедливость предположения Райзера. Однако неизвестно, каков максимум перманента в классе (0,1)-матриц порядка п с k единицами в каждой строке и каждом столбце, когда п не делится на к.
Очевидно, что граница из (2.6) не действительна для произвольных матриц с целыми неотрицательными элементами. Фо- реггер [262] получил следующую оценку для перманентов таких матриц:
Теорема, 2.2. Если А — вполне неразложимая матрица порядка п с неотрицательными целыми элементами, то
рег(Д)<2*(Л)~2п +1,(2.7)
где з(Л) обозначает сумму элементов в А.
За доказательством отсылаем читателя к [262], где даются также условия равенства в (2.7).
Границы в (2.6) и (2.7) не сравнимы. Если все строчные суммы вполне неразложимой (0,1)-матрицы больше чем 2, то теорема 2.1 дает лучшую оценку; если же некоторые из строчных сумм равны 2, то лучшую оценку может дать теорема 2.2 (см. задачу 6).'
Неотрицательные матрицы
В разд. 4.4 мы указали нижние и верхние границы для перманентов неотрицательных матриц (теоремы 4.1 и 4.2). Для удобства ссылок приведем здесь эти верхние границы. Их можно доказать, применяя с надлежащими изменениями метод, использованный в разд. 4.4.
Если a = (ai, ..., ап) есть л-выборка действительных чисел, то пусть а[ а* ^ ... ^ а* и а[ а'2а'п суть те же
числа, расположенные соответственно в порядке невозрастания и неубывания.
Теорема, 3.1 [112, 161]. Пусть Л = (а^) есть неотрицательная матрица порядка п. Тогда
п i
(3.1)(3.1)per (Л) < min Ц Е a*ai t.
(3.1)
(3.1)
Если Л положительна, то равенство в (3.1) получается в том и только том. случае, когда А содержит подматрицу размера (п—1)Х«, все строки которой кратны (1,1, ..., 1).
Доказательство условия равенства см. в [161].
Теорема 3.2 [161]. Если А = (ац) есть неотрицательная матрица порядка п, то п iп h—1
per (Л) < П Е aik - (па^ - г,) Д Е a'hk.
1=1я=1
Пример 3.1. ПустьПример 3.1. ПустьА =А ="21-1"21-11 1 '2 11 2 -1 1 '2 11 2 -
Пример 3.1. Пусть
Пример 3.1. Пусть
А =
А =
"2
1
-1
"2
1
-1
1 1 '
2 1
1 2 -
1 1 '
2 1
1 2 -
Тогда границы теорем 3.1 и 3.2 равны соответственно 24 и 20, а перманент А равен 16.
Если А = (а//) есть неотрицательная матрица со строчными суммами ri, ..., гп и столбцевыми суммами щ, ..., сп, то очевидно, что п
per (Л) < Д г,(3.2)
и аналогично п
регЦХПс,.(3.3)
Следовательно,
Гь II Сг).(3.4)
/ = 1 /
Юркат и Райзер [126] получили следующий результат, улучшающий оценку (3.4):
Теорема, 3.3. Если А — неотрицательная матрица со строчными суммами гх ^ гг ^ .... ^ гп и столбцевыми суммами Ci 5^ Cg Сп» ТО
п
рег(Л)Д min(r[, с[).
(3.5)
Нам нужна следующая лемма: если а^а„ и Ь\Ьп суть неотрицательные действительные числа, то
Лемма без труда доказывается индукцией по п.Лемма без труда доказывается индукцией по п.(3.6)(3.6)
Лемма без труда доказывается индукцией по п.
Лемма без труда доказывается индукцией по п.
(3.6)
(3.6)
Переходим к доказательству теоремы. Без ущерба для
общности можем предположить, что п^ ... ^rn, Ci^ ...
... ^ сп и Г] ^ Сь Для любого /, 1 ^ j ^ п, через Лу обозначим Л(1|/), а строчные и столбцевые суммы Лу— соответственно через r^Af), .... гп(Л,) и сДЛу), ..., су-ДЛу), су+ДЛу), ... ..., cn(Aj). Пусть (si,s2, ..., sn-i) — такая перестановка (2,3п),что
Г$1 (Лу) < Г$2(А,) < ... <rSn_x (Лу),
a Дь <2, ..., ^-i)—такая перестановка (1, ..., j—1, /4-1, ,,. ..., п), что
c?1(^/)^c<2('4i)^^СД_,(^/)-
Применим индукцию по строке и используя тот для любого /, получаемПрименим индукцию по строке и используя тот для любого /, получаемп. Разлагая перманент А по первой факт, что гSfe(A,)<гSfe и с^А^с^
Применим индукцию по строке и используя тот для любого /, получаем
Применим индукцию по строке и используя тот для любого /, получаем
пп П—1
per (Л) = £ «1, per (Л,) < £ аХ1 П min (rSfe (A,), ct{$ (Л,)) <
П-1 «„grain (г,*, с,^.П-1 «„grain (г,*, с,^.
П-1 «„grain (г,*, с,^.
П-1 «„grain (г,*, с,^.
Но в силу леммы
■ п—1/п
liming, ^Cllmin^, с^) <JI min (гр ct
Так как min(n,, c<_i) ^ min(r(, с,) для всех I, то отсюда следует, что.
п пп
per(Л)< ^ «иП min(г/( с,) = Цmin(rb ct\ ./ = 1t=2i = \
n
так как ^ a1/ = r1 = min(ri, cj.■
y-i
Теорема 3.3 улучшает границу в (3.4). Примечателен тот факт, что подобное улучшение невозможно при других оценках. Например, -
рвг(Л)<тт(п^1. П^1)
(см. неравенство (2.2)). Однако оценка
П
/ f i + 1 ct + i А min^ 2 ’ 2—)'"
i = l вообще говоря, не верна (контрпример см. в [126]; см. также задачу 12).'
Комплексные матрицы
Некоторые из полученных в предыдущем разделе верхних границ для перманентов неотрицательных матриц имеют свои аналоги для комплексных матриц. Действительно, из неравенства треугольника ] per (А) | ^ per (] Л |), что можно использовать для вывода верхних границ перманентов комплексных матриц. Например, из неравенства (3.4) получается, что
|рег(А)|<тшГП^, П qX(4.1)
\t = lj = l /
пп
где pt = 2 I ais I, qi= £ I aa L <> /=1, •••, n, а из (3.5) еле- s=l
дует, что
I per И)|<Й min (Pp q'^.(4.2)
Аналогично из (3.1) вытекает, что
п 1■
I per (А) |< min П £,|*.(4.3)
a^Sn i = l t = l 1■
В этом разделе мы представим более интересные и менее прямолинейные неравенства: оценки сверху перманентов нормальных, а также общего вида комплексных матриц в терминах их характеристических чисел и сингулярных чисел соответственно. Все эти результаты принадлежат Маркусу и Минку [93, 102,116].
Теорема, 4.1. Если А— нормальная матрица порядка п с характеристическими числами МХп, то•
|рег(А)|<^-£|М".(4.4)
г-1
Для п > 2 равенство в (4.4) может достигаться тогда и только тогда, когда А — скалярное кратное унитарной матрицы, имею-
ицей в точности один ненулевой элемент в каждой строке и каждом столбце.
Нам потребуются два предварительных результата. Первый из них нам уже встречался (см. формулу (5.8) в разд. 4.5).
Лемма 1. Если А = U*DU, где U — унитарная матрица порядка п, a D = diag(XiХп), то
рег(Л) = £ ^^у I Рег (^/[У 11„ПфГ^ (4.5) YG6n пi=l
где mt (у) обозначает число появлений t в последовательности
■{ЕС^а v (у) = IX т, (у)!.
i = l
Формулу (4.5) можно использовать для вывода соотношения между перманентами некоторых матриц, конструируемых из строк унитарной матрицы. Рассматривая XiХ„ как переменные, дифференцируя по Xs обе части (4.5) и подставляя в полученное равенство значения Х<=1, /=1, ..., п, получаем следующий результат:
Лемма 2. Если U — унитарная матрица порядка п, a s — целое число, 1 <2 s п, то'
£ -^-|рег(Щу|1п])|2=1.(4.6)
Доказательство теоремы 4.1. Пусть А = U*DU, где U унитарна, a £> = diag(X1Хп). Для последовательности у из Gn, п полагаем
cY = | per (t7 [у 11n])|2.
Тогда по лемме 1.
1рег<-4)(-^П^"" < X ^П1^Г'М<
> п, п' п, п
< £< £ T%r^£m^v)iMn=
П/ X1 n
■4E^r E ^4E^“-
f=I 4GGn nf=I
Первое неравенство — следствие неравенства треугольника, второе следует из соотношения между средним арифметическим и
средним геометрическим, а третье справедливо в силу более общей теоремы о взвешенном среднем (см. [44], теорема 16). Последнее равенство получается из леммы 2.
За доказательством случая равенства, который несколько сложнее, читатель отсылается к [116].■
Если А— эрмитова положительно полуопределенная матрица с характеристическими числами Xi ^ ... ^ Х„ и со g Qk> ч, то из теоремы 4.1 и неравенств Коши (см., например, [92, гл. II, разд. 4.4.7]) следует, что
рег(А[со|со])<±£х?.(4.7)
/=1
С другой стороны, если А — нормальная дважды стохастическая матрица, то теорема 4.1 показывает, что
рег(А)<р(А)/п.(4.8)
Это действительно так, потому что характеристические числа матрицы А по модулю не превосходят единицы и в точности р(А) из них отличны от нуля.
Можно расширить результат теоремы 4.1 на случай произвольных квадратных комплексных матриц. Напомним, что сингулярными числами комплексной квадратной матрицы А называются квадратные корни характеристических чисел матрицы АА*. Комбинируя теорему 4.1 и следствие 1 теоремы 2.4 из гл. 2, получаем следующую верхнюю границу для перманентов комплексных матриц, не обязательство нормальных.
Теорема 4.2. Если А — комплексная матрица порядка п с сингулярными числами аь ..., an, то
|рег(Л)|2^£а2".(4.9)
£ =-1
Равенство в (4.9) справедливо тогда и только тогда, когда A — DP, где Z) = diag(di, ..., dnV |^1| = • .. = |dn|, a P— матрица перестановки.
Рассмотрение случая равенства мы оставляем в качестве упражнения (задача 15).
Пример 4.1. Покажем, что если А — произвольная дважды стохастическая матрица порядка п, то
рег^С^^/п^.(4.10)
По следствию 1 теоремы 2.4 из гл. 2 и неравенству (4.8) получаем
(per (А))2 ^ per А А* ^р (ДД*)/п = р (Д)/п.
Задачи
Пусть At — матрица размера mtXnt для t — 1, ..., к. Покажите, что строчные суммы Ai<3> ... ®Л* равны
к
где г(-ДА) обозначает it-ю строчную сумму At, а индексы it независимо пробегают все целые числа 1 ^ it ^ mt, t = 1, ..., k.
Пусть А = (az/) есть матрица порядка п. Покажите, что из неравенства (1.5) следует неравенство
I per (Л) К П E|az/|.
Пусть ri, ..., гс — положительные целые числа. Покажите, что
Е^Йт^то /-1 ' t-1 ‘
(см. [84]) с равенством в том и только том случае, когда с ^ 2 и либо г\, либо г 2 равны 1.
Используя теорему 2.1, докажите, что если А есть (0, 1)- матрица порядка п со строчными суммами пгп, то
рег(Д)^
(Указание: разложите перманент по первому столбцу, используйте индукцию по п и примените неравенство задачи 3.)
Покажите, что оценка в теореме 2.1 не справедлива для матриц с неотрицательными целыми элементами.
Найдите вполне неразложимую (0,1)-матрицу с перманентом, большим 2, для которой теорема 2.2 дает лучшую оценку, чем теорема 2.1.
Покажите, что верхняя граница в теореме 2.2, вообще говоря, не справедлива для частично разложимых матриц.
Покажите, что верхняя граница в теореме 2.2 не справедлива для произвольных неотрицательных матриц.
Докажите теорему 3.1 (см. теорему 4.1 из гл. 4),
Докажите теорему 3.2 (см. теорему 4.2 из гл. 4).
Докажите неравенство (3.6).
Пусть А обозначает (0, 1)-матрицу порядка п со строчными суммами и, ..., гп и столбцевыми суммами сь ..., сп. Покажите, что замечание, сделанное в конце разд. 6.3, приме-
нимо также к теореме 2.1, т. е. неравенство
per (Л) < П rnin (гД1^,,
г-=14z
вообще говоря, не выполняется.
г/ /1 Г 1 °
(Указание: рассмотрите матрицуЛ = |. И, где ^ = Iq ।
Г 1 11 Л
a,=Ll 1J J
(4.4), (4.8) и (4.9) для мат-(4.4), (4.8) и (4.9) для мат-Вычислите верхние границы риц /3, y(Z3 + P), /3 и
(4.4), (4.8) и (4.9) для мат-
(4.4), (4.8) и (4.9) для мат-
Сравните полученные границы со значениями перманентов матриц.
Пусть Л—нормальная матрица второго порядка с характеристическими числами М и Хз. Найдите необходимое и достаточное условие того, чтобы | per (Л) | = у (| ^ Р +1Л212).
Выведите условие равенства в теореме 4.2.
•16. Дайте подробное доказательство леммы 2 из разд. 6.4.
Глава 7
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРМАНЕНТОВ
Метод Бине — Минка
Вычисление перманента матрицы порядка п исходя просто из определения или с помощью разложения Лапласа требует О((л + 1)!) умножений. Это большое число операций не может быть сокращено триангуляризацией (как в случае детерминантов), поскольку элементарные преобразования, оставляющие инвариантным детерминант матрицы, изменяют, вообще говоря, ее перманент. В этой главе мы изложим методы, требующие значительно меньшего числа умножений, чем О((л + 1)1). Сравнение достоинств этих методов будет произведено в конце главы.
Пусть А — (ац) есть матрица размера m X ^ над произвольным коммутативным кольцом. Через г^, обозначим сумму элементов в произведении Адамара строк it, ..,, is матрицы А, т. е. п
Г. ,) л, лл
*1IsV
Определим G (m) как множество неубывающих последовательностей таких целых положительных чисел (ti, ..., t^, что Ч + • •• + ^ = т. Для (G, ..., yeG(m) назовем S-функцией симметризованную сумму S(ti, ..., is) всех различных произведений элементов rz it , s = lx, ..., ty так что в каждом произведении последовательности (1\, ..., is)^Qs, m, s = = /i, ..., tk, образуют разбиение множества (1, ..., m} (разд. 1.2).
Бине [1] дал следующие формулы:
Если А — матрица размера 2 X л, то,
Per(A) = S(l, 1) —S(2);(1.1)
если А — матрица размера 3 X п, то
Per(A) = S(l, 1, 1) — S(l, 2)+S(3);(1.2)
если А — матрица размера 4 X и, то
Рег(Д) = 5(1, 1, 1, 1) — S(1, 1, 2)4-25(1, 3)4-S(2, 2)-6S(4).
(1.3)
Мы выведем сейчас рекуррентную формулу для перманентов матриц размера тХщ т ^ п. Эта формула найдена Минком [303] и основывается до некоторой степени на доказательстве Иоахимсталя [5] формул Бине.
Теорема, 1.1. Пусть A=(ail') есть матрица размера пгХщ 2 m п. Тогда
Рет (Д) = Рет (Д (m | —)) rm 4-
4-£ (—Dfc&! 2 Рег(Д(®, /п|-))гш.т,(1.4)
где Per(Д (со, т\—)) равен 1 при со = (1, ..., т—1) игю<т — сокращенное обозначение длят.
Доказательство. Каждый из членов разложения Рег(Д) появляется в первом слагаемом Рег(Д(/п|—) )гт правой части (1.4) с коэффициентом 1 и не появляется ни в каком другом слагаемом. Остальные члены в различных слагаемых правой части (1.4) имеют вид
т-1
а. а. , д , ТТ .(1.5)
где 1 ^ s ^ т—1, (ti, ..., lm-й есть перестановка (1, ... ..., т—1), а /, /4+1, ..., /т-1 — различные целые числа из {1, ..., п}. Остается показать, что сумма коэффициентов при каждом члене (1.5) в слагаемых
(-1 f^.m Per (Д (®, лп|—)),(1.6)
toeQb.m-h k = 0, 1, ..., т—1, равна нулю. [Для /г = О выражение (1.6) интерпретируется как rm Per (Д(т]—)).] Каждый член (1.5) появляется в точности один раз в rtoim Per (А (со, /п | —)), где со = (<р ..., <s)eQs m_p и по одному разу в каждом из s слагаемых rto,т Per (А (со, m |—)), если coeQs-i, m-i есть подпоследовательность (t'i, ..., ts). Итак, член (1.5) входит в правую часть (1.4) с коэффициентом
(-l)ss!4-s((-ir1(s-l)D = 0.а
Формулу (1.4) можно использовать для вывода в явном виде формулы для перманента матрицы А размера тХ^ че-
рез функции S(co). Коэффициенты в формуле, конечно, зависят от разбиений т.
Теорема 1.2 [341]. Пусть А— матрица.размера т^п, 2^ ^ т ^ п. Тогда
Рег(Л) = 2 с (со) S (со),(1.7)
со е G (/и)
где коэффициент с (со) для со = (соь ..., cofc) из G(tri) определяется как
с (со) = (—l)m+fe Д (сог — 1)1.(1.8)
Доказательство. Формула (1.7) утверждает, что Рег(Л)есть линейная комбинация S-функций. Но это — непосредственное следствие теоремы 1.1 в силу симметричности функции перманента относительно строк матрицы. Остается доказать формулу (1.8), которая дает коэффициенты с (со). Пусть jo = (соь ... ..., со*)е G(m). Если k=\, то S (со) = r{,„ m и по (1.4)
с(со) = (—l)m-1 (т — 1)!. Применим теперь индукцию по k. Пусть сс е Qai -I, m-i; рассмотрим члены ra , nt Per (A (a, m | —)) [или rm Per (Л (т|—)) в случае coj = 1], принадлежащие S(со). Это — члены ra „ mS (со2, ..., coj [или rmS (со2со/,)], и они появляются с коэффициентом (— jp-1 (со, — 1)! с (со2cot), который в силу симметрии есть коэффициент при S(co) в (1.7). Следовательно, по предположению индукции мы получаем
с-(<о) = (—I)"1'1 (со, — 1)! с(со2®Л) =
= (-1Г1"1 (со, - 1)! (-^-^-i Д (ю< _ ]), _ 1-2 k
f = l
Пример 1.1. Мы получим тождество, связывающее коэффициенты с (со) с |S(co)|— числом членов в S(co) (см. задачу 3 из гл. 1).'
Рассмотрим матрицу At порядка т, у которой все строки состоят из t единиц с последующими т — t нулями. Тогда по (1.7)
рег(Д/)= 2 c(co)S(co) = £ с (со) | S (со) |/! ®’, у е О (т)и>Е 6 (т)
где |со| обозначает число целых чисел в последовательности со. Но per (Л/) обращается в нуль при t = 0, 1, . .., m—1, поэтому
уе 0 (т).6=1,
где Em-k обозначает (т — й)-ю элементарную симметричную функцию от 1, 2т — 1, Ео= 1. Отсюда-следует, что
' Ц с^\8^\ = <.-ХГ"кЕт_ь. |ы>1=ь
не О (я;
Пример 1.2. Вычислим перманент матрицы
"2 12-1 -2"
л=
1 2020
-1 1 -1 -11
Здесь
И
= 2, г2 = 5, г3 =
= 1
Г2 • 3
1’ Г1 « 3^’ Г1 • 2
= 2
Г1 « 2 « 3
= 6.
Следовательно, .
5(1, 1, 1) = 10,
5(1, 2) = 4,
5(3) = 6, и
Per (Л) = 10 — 4 + 2 X 6 = 18
Метод Райзера
Формула Райзера [87] для вычисления перманентов основывается на принципе включения — исключения. По сути дела исходной точкой метода Райзера, как и метода Бине — Минка, являются произведения строчных сумм матрицы, из которых затем отбрасываются лишние члены. Однако сами процедуры включения и исключения в этих двух методах различны.
Пусть Л— матрица размера тХп, т ^ п, и пусть Л* обозначает совокупность всех подматриц Л размера тХ^, т. е.
ЛЙ = {Л(-|Р)1РЕО„_Й,„}.
Формула Райзера утверждает [87]:
рецл»- X 1Ьт-( Ч ) S Ibw+-
XeAmi = lieAm_Ii-l
+ (-V
+(-1)т
(2.1)
Доказательство (2.1) совершенно прямолинейно; мы переносим его в упражнения (см. задачу 1).
(2.2)(2.2)Формулу Райзера можно модифицировать так, чтобы первое слагаемое заменилось на произведение строчных сумм:
(2.2)
(2.2)
Рег(Л)=ПгДЛ) + I>t t=i<-1
где с, = — 1, a ct = — I — V ( П т сп / = 2т — 1. t - Г ;
Докажем формулу (2.2). Первое слагаемое в правой части, Ц гг (Л), содержит все диагональные произведения, входящие i=i
в Per (Л), и, кроме того, произведения, включающие два и более элементов одного и того же столбца. Другие слагаемые, Ц Г[ (X), X <= Am_t, t=lт — 1 содержат лишь произве- i=i
дения второго типа, т. е. а1ш а2о ... а^ с (онcom) из Gm,n — Qm,n. Покажем, что сумма коэффициентов при каждом таком произведении в правой части (2.2) равна нулю. Пусть со = (toi, ..., o)m)eGm, п есть неубывающая последовательность, в которой со, принимают в точности к различных значений, 1 ^^^т — 1. Произведение а\щс1^г • ■ • а mto появляется один раз в IIП И) и по одному разу в каждом из тех слагаемых
т
Ц ту (X), для которых матрица X содержит к столбцов с номе
t= 1, ..., т— к. Следовательно, сумма коэффи-t= 1, ..., т— к. Следовательно, сумма коэффи-рами из toiо)т; число таких матриц X в Am_t равно и — к '
t= 1, ..., т— к. Следовательно, сумма коэффи-
t= 1, ..., т— к. Следовательно, сумма коэффи-
— t — к
циентов при а^^а^ . .. а^ в правой части (2.2) равна
Но
п — m+(m—k) X(m — k) — г / rп — m+(m—k) X(m — k) — г / r
п — m+(m—k) X
(m — k) — г / r
п — m+(m—k) X
(m — k) — г / r
= 1 + cm-h + (— 1 — Cm-fe) = О,
по определению Ct в (2.2).
При т = п обе формулы (2.1) и (2.2) принимают вид
(2.3)(2.3)п—1и
(2.3)
(2.3)
рег(Л)=Е (-1/ Е По^).
t-0XGAn_tl-l
Пример 2.1. Возьмем матрицу А из примера 1.2. Вычислим Per (Л), используя формулу (2.1):
Е г1(Х)г2(Х)г3(Х)=12,
X s Аз
Е г1(Х)г2(Х)гз(Х)=10,
Хе Ai
Е r1(^)r2Wr3w=6.
XeAi
Следовательно,
Per (Д) = 12 - 3 X Ю + 6 X 6 = 18.
В то же время, применяя формулу (2.2), получаем
Per (Л) = 10 — 10 + 3 X 6= 18.
Следует подчеркнуть, что ряды в формулах (2.1) и (2.2) не сходятся к Per (Л): сумма первых т — 1 членов не есть, вообще говоря, приближенное значение перманента А, Например, для только что рассматривавшейся матрицы суммы первых двух членов равны соответственно—18 и 0, в то время как перманент равен 18.
Сравнение методов вычисления
Эффективность того или иного метода вычисления перманентов можно измерить числом требуемых умножений. Так, для вычисления перманента матрицы размера тХ^ исходя непосредственно из определения с использованием разложения Лапласа или без него, необходимо произвести (т—1)п!/(п — т)! умножений. Для квадратных матриц порядка п это число составляет (п — 1)п|, т. е. чрезвычайно велико.
Вне всякого сомнения, наилучший метод вычисления перманента матрицы А порядка п — найти для нее такую матрицу X, что
per (Л) = det (Л).
Если такая матрица найдется, то для вычисления детерминанта А и тем самым перманента А требуется примерно г? умножений. Однако Маркусом и Минком [70] было показано, что перманенты нельзя обратить в детерминанты посредством линей-
Я X. Минк
ного преобразования, т. е. не существует такого линейного преобразования Т на множестве матриц порядка п, чтобы
per (Л) = det (7 (Л))
для всех Л е Мп, п ^ 3. Тем не менее этот метод для некоторых классов матриц оказывается действенным. Если, например, Л = (a,v) есть матрица Гессенберга порядка п (т. е. а,/ = 0 при /— /^2), тоЛ = (а;/) строится следующим образом [153]: ац = —ац, если / — 1 = 1, и ац = ац в противном случае. Легко видеть, что тогда per (Л) = det (А) (см. задачу 3). Этот метод применим и к матрицам Якоби (тридиагональным матрицам — см. задачу 4).
Алгоритм для решения задачи о совершенном паросочета- нии, построенный Гэлом и Брейтбартом [244], также можно использовать для вычисления перманентов (0, 1)-матриц. Этот метод требует О (Ап3) шагов, где К — перманент матрицы; таким образом, он эффективен при больших п, если перманент невелик, например если строчные суммы матрицы не превосходят 3.
Каммингс и Уоллис [285] предложили алгоритм для вычисления перманентов циркулянтов.
В общем случае мы имеем в своем распоряжении три метода наряду с их вариантами: разложение Юрката— Райзера перманентов в произведение матриц (разд. 6.1), метод Бине — Минка (разд. 7.1) и метод Райзера (разд. 7.2).
Напомним «экономное равенство» Юрката — Райзера:
п
рег(Л) = ПЛ(Л(<)),(3.1)
<-1
где Л— матрица порядка п, a Pi^A^— матрицы размера / п X ( п\
L_1 JXlz. L t=l, . . . , п, определенные в теореме 1.1 из гл. 6. Общее число умножений в правой части (3.1) равно
п
У( " )(")_( 2"(3.2)
X / — 1 / X / / X П — 1 )
т. е. числу порядка 4". Вероятно, работу можно было бы несколько сократить, если принять во внимание специфическую структуру Р^Ац^, имеющих много нулей на заданных местах. Однако этот метод совершенно неприемлем для ЭВМ ввиду больших размеров матриц Р^Ац^, требующих непомерно большого объема машинной памяти. Например, экономное уравнение для матрицы порядка 15 включает матрицы порядка 6435, а для порядка 25 — матрицы порядка 5 200 300.
Формула Бине — Минка (теорема 1.2) для перманента матрицы порядка п заключает в себе более, чем
(п-1) I |S(®)L
а е О (п)
умножений (см. обозначения разд. 7.1, в частности примера 1.1), так как на каждую S(<o) приходится не менее п—1 умножений. Далее,
I |S(®)I
равна числу разбиений множества (1,2, ,.., п] на подмноже- п
ства, т. е. сумме чисел Стирлинга второго рода 2 S (п, г), которая превышает (п/2)"/2. Таким образом, метод Бине — Минка требует большого числа умножений и не подходит для вычисления перманентов на ЭВМ.
Формула Райзера п—1п
рег(Л) = £(- 1/ £ Цг;№(3.3)
t=0Xe.Vn_ti-\
заключает в себе (п —1)(2"—1) умножений. Действительно, каждое из 2П — 1 непустых подмножеств {Zi1^ множества {1п} соответствует в точности одной матрице X в правой части (3.3), а именно Л[1, ..., п|/ь ..., i^, и для каждой такой матрицы требуется п—1 умножений с сомножителями ri^Xy Ниенюис и Уилф [272] открыли метод, сокращающий вдвое число умножений и в п/2 раз число сложений. Они также дали подробную программу на ФОРТРАНе для вычисления перманентов по этому видоизмененному методу Райзера.
Подытожим: за исключением преобразования с самого начала перманентов в детерминанты и методов, применимых к специальным классам матриц, наиболее эффективным методом вычисления перманентов на ЭВМ является метод Райзера.
Задачи
Докажите формулу (2.1).
Оцените число умножений, требуемых для вычисления -перманента матрицы размера mXn по формуле (2.2).
Пусть А = (а,/) есть матрица Гессенберга порядка п, и пусть А = (й//) определяется условиями: at, ,-ц = — at, ,+1) i =
ь*
= 1п—1, и ац = ац в противном случае. Докажите, что per (Л) = det (Л).
Пусть Л—матрица Якоби (тридиагональная матрица) и А = (йц) определяется условиями: &st = iast, если s ф t, &ss = = а55длявсех s h/(i = V—1 ). Докажите, что per (Л) = det (Л).
Пусть Л = (а,/) есть матрица порядка п, у которой все элементы вне первой строки, первого столбца и главной диагонали равны нулю (т. е. из ацфО вытекает, что либо 1 = 1,либо /=1, либо (==/); пусть также ап=0. Покажите, что per (Л) = —det (Л).
Пусть А есть (0, 1)-матрица порядка 30 с тремя единицами в каждой строке. Используя теорему 2.1 из гл. 6, оцените число шагов, требуемых для вычисления per (Л) по алгоритму Гэла—Брейтбарта. Сравните с числом, требуемым методом Райзера.
Пусть
ГЗ —41 2 11
А = 11032
L1 2 -3 0 4J
Вычислите Рег(Л), применяя: а) теорему 1.2; б) формулу 2.1; в) формулу 2.2. '
Сколько операций (умножений и сложений) заключает в себе вычисление перманента матрицы размера 3X5 при использовании: а) определения перманента; б) теоремы 1.2; б) формулы 2.1; г) формулы (2.2)?
Глава 8
ЕЩЕ О ПЕРМАНЕНТАХ
Другие результаты
В этом разделе заключительной главы книги мы будем заниматься некоторыми вопросами из теории перманентов, которые не подпадают под рубрики предшествующих разделов, но породили значительный интерес к себе и были всесторонне изучены.
Примерно десятая часть всех работ, перечисленных в нашей библиографии, имеют своим предметом подперманенты, т. е. перманенты подматриц. Помимо непосредственного перенесения на перманенты классических результатов о детерминантах, таких, как разложение Лапласа и теорема Бине — Коши для перманентов (теоремы 1.2 и 1.3 из гл. 2), подперманенты появляются главным образом в
результатах, связанных с множеством подперманентов данного порядка или, в частности, их суммой;
результатах, связанных с главными подперманентами или их суммой;
результатах о расчлененных матрицах, индуцированных матрицах, перманентных дополнениях и т. п.
Сумма всех подперманентов порядка к матрицы А порядка п, обозначаемая через ад(Л), впервые изучалась Твербергом [88], который предположил, что если А е йп, то
<4 И) > о< (Jn\(1.1)
t= 1, ..., п, и доказал это для п = 2 и 3. Неравенства (1.1), обобщающие гипотезу Ван дер Вардена, были доказаны Сассером и Слейтером [134] для случая, когда А — нормальная дважды стохастическая матрица, спектр которой лежит в секторе [—л/2/, л/2/] комплексной плоскости. Этот результат был усилен Маркусом и Минком, которые доказали также, что если А — матрица, удовлетворяющая условиям теоремы Сассера — Слейтера, то
а/И)> ^^.^(д),(1.2)
и в частностии в частности-^■а„-1 ИХ per (Л).-^■а„-1 ИХ per (Л).(1.3)(1.3)
и в частности
и в частности
-^■а„-1 ИХ per (Л).
-^■а„-1 ИХ per (Л).
(1.3)
(1.3)
Равенство в (1.2) может выполняться, если и только если Л = = Jn. Неравенство (1.2) подтверждает для специального класса матриц, описанного выше, предположение Джековича [123], утверждающее, что (1.2) справедливо для всякой Л е Qn с равенством в том и только том случае, когда Л = Jn.
Значение неравенства (1.2) состоит в том факте, что .
^ a, (9/„ + (1 - 9) Л) 1е-о = (п-^ ^ а^ (Л) - tat (Л).
Действительно,
^МО/„ + (1-9)Л)|в=о-
= Е Е К - О Рег «Л [а ।Р] >(Z’ ^= а, Ре „ iea /’п /ер
= 4Е Е per «л [а ![}])(/1/))-МЛ)-
=а,_1(Л)_МЛ).
Таким образом, неравенство (1.2) означает, что производная от Qt^Jn — (1—9)Л) отрицательна в точке 9 = 0, т. е. что функция at от Л убывает на отрезке, соединяющем Л с Jn. Следовательно, из предположения Джековича следует справедливость гипотезы Ван дер Вардена. По теореме 1.4 из гл. 5 предположение Джековича справедливо для всех Л е Qn в достаточно малой окрестности Jn.
Интересный результат, родственный гипотезе Ван дер Вардена, был получен Сассером и Слейтером [168], которые доказали, что в Jn находится единственный локальный экстремум стДЛ) (следовательно, и per (Л)), принадлежащий внутренности йп. .
Другую вариацию на тему гипотезы Ван дер Вардена представляет собой проблема характеризации дважды стохастических матриц, у которых равны все подперманенты некоторого заданного порядка. Мы видели (задача 18 гл. 5), что если бы для каждой минимизирующей матрицы Л удалось доказать равенство каждого ее перманентного минора *) перманенту матрицы, то можно было бы сделать вывод о равенстве рег(Л) =
1) Здесь подперманента порядка п — 1. — Прим, перев.
= рег(/„). Это заключение не верно, если взять просто какую- то дважды стохастическую матрицу. Например, все перманентные миноры матрицы -^Un + P) равны per (у Un + Р)} = = 1/2"-1, что превышает per Jn при п ^ 3. Однако автор [270] получил следующий результат:
Теорема, 1.1. Пусть А е Qn. Если для некоторого k, 1 ^ к ^ ^ п — 2, все подперманенты А порядка к равны между собой, то А = Jn.
Доказательство. Покажем сначала, что если все рассматриваемые подперманенты А равны с и к делит п, то
рег(Л) = /(п, к, c)==nl(-J-) ! .(1.4)
Применим индукцию по п/к. Разлагая перманент А по первым строкам, получаем
рег(Л) = ^ per (Л [1, ..., к |<о]) per (Л (1&|<о))=
®г»к,п
= X Cf (п - к, к, с) = I к (п - 6)! (ур) = ^Qfe.nХ У
= »!(дг) =Нп, к, с).
Далее полагаем n s m (mod А), 2^m^A+’l, и пусть а = (tb ..., tm—i), Р = (/i/m-i) суть последовательности
из Qm-i,п- Если s — любое целое число в отрезке [1,п], не принадлежащее а, то
рег(Л(а|р))= Е ast per (Л (tb ...,/m_b sip/m_b 0) =
1 — E asL (1-5) r-1 V
Если si и S2 — два различных числа из дополнения а в (1, ..., п}, то из формулы (1.5) вытекает, что
т-1т-1"
Е asv!r == Е dsair.
т-1
Но а произвольна, и поэтому У, о^ постоянна для всех s, 1< ^s^n, т. е.
где е = (1,11), a dp— положительное число, зависящее
лишь от Р = (/ь ..., /m-i). Если мы теперь заменим одно из /г в р, скажем /ь на t, где / ^ р, то получим
т-1
Г = 2 и, следовательно,
A^-A^ — ^-d^e.(1.6)
Поскольку р произвольна, равенство (1.6) справедливо для всех t, t#=p. Следовательно,
пА^- У А (,{') = de
для некоторого числа d. Но У Aw = e, поэтому Аи'^ есть кратное е, а так как jx — любое целое число в отрезке [1,л] и А— дважды стохастическая матрица, то должно выполняться равенство
А = 1п.■
Подобный результат для (0, 1)-матриц размера тУ,п был получен Бруальди и Фореггером [260]. Они предположили также, что если перманентные миноры порядка л —1 (0,1)- матрицы А порядка п имеют обцее ненулевое значение, то либо А = J, либо А=1пА~Р, и показали это в ряде случаев. Синк- хорн [286] выдвинул предположение: если А е П„ и per (Д (([/)) ^ per (Л) для всех i и j, то либо А = /п, либо А = -^ (ZR + Р). Это предположение, из которого в силу теоремы 2.3 гл. 5 вытекает справедливость гипотезы Ван дер Вардена, кажется трудно доказуемым.
Бруальди и Ньюмен [97, 109] получили оценку сверху Ф(Д) для субстохастической матрицы А порядка п (т. е. неотрицательной матрицы со строчными суммами, не превосходящими!);
/ п \
(1.7)
Для комплексных матриц общего вида Маркусом и Гордоном [91] были получены верхние границы сумм квадратов модулей всех подцерманентов порядка к.
Маркус [Пб] расширил неравенство Маркуса — Ньюмена (теорема 2.4 (б) гл. 2) на прямые произведения: если А—матрица порядка п, а В — матрица порядка пг, то
| per (Л ® 3) |2 < (per (ЛЛ*))т (per (В* В))".(1.8)
Границы для per (Д 0 В) в случае неотрицательных А и В получены Бруальди [107]. Неравенство Маркуса — Ньюмена было обобщено также следующим образом:
|<тДДВ)|2<(7ДДД*)(7ДВ*В)(1.9)
(см. [158]).
Обратимся теперь к результатам о главных подматрицах. Маркус [82] получил границы для перманента положительно полуопределенной эрмитовой матрицы А = (а,/) порядка п в терминах ее главных подперманентов:
паи per (Д (z |z')) ^ per (Д) ^ ait per (Д (z |z)), (МО)
z" = 1, ..., п. Нижняя граница представляет собой не что иное, как перманентную копию теоремы Адамара для детерминантов:
рег(Д)>11аи.(Ml)
I == 1
Маркус [100] получил оценку снизу для перманента Д [<о], где А — положительно определенная эрмитова матрица и со е Gk, п (не обязательно в Qk, J), а после он доказал [180], что если положительно определенные эрмитовы матрицы А и В порядка п коммутируют, ае Qk,n и 1 ^ г ^ к ^ п, то
рг ((Д + B)Vr [а]) > рг (Д,/г [а]) + рг (В,/г [а] ),(1.12)
где рг(Х) обозначает сумму всех главных подперманентов X порядка г.
Джекович [124] обобщил классический результат Маркуса — Ньюмена (следствие 1 разд. 4.5): если Д е Qn есть положительно полу определенная матрица и ае Gk, п, то
per (Д [а]) ^ г! ]пг.(М3)
Фридленд [243] распространил неравенство (1.13) на все матрицы из Qn, числовая область которых лежит в секторе [—п./2г, ^/2^ (теорема 3.6 гл. 5). Бруальди и Ньюмен [97] доказали, что если А е Qn, то
п
£(l-a,Jper(A(z|z))<l-per(A). (1.14) Z-1
Маркус и Минк [102] получили следующие границы для главного подперманента положительно полуопределенной эрмитовой матрицы в терминах характеристических чисел:
Теорема 1.2. Если А — положительно полуопределенная эрмитова матрица с характеристическими числами Xi ^ ... ^ Х^
U ос 6= Qr, п, ТО гг
П ^-/+1 < Рег И И) <7 Z xi- (L15> /-1/-1
Доказательство. По теореме Шура (теорема 2.5 гл. 2)
per (Д [а]) ^ det (Д [а]).(1.16)
Пусть бь ..., еп есть стандартный базис n-мерного векторного пространства. Тогда (Д [a] )z/ = (Aeaj, еа[) = (Деар еа/). Следовательно,
det (Д [а] ) = (Сг (Д) eOi Д ... Д^, е^Л ••• Л е„г) > П ^-/+ь
так как Ца„_/+1 есть наименьшее характеристическое число ассоциированной матрицы1) СГ(Д). Это доказывает нижнюю границу. Для доказательства оценки сверху применим к Д[а] теорему 4.1 из гл. 6:
Г
per (Д [а] )<у 2^,
с-i
где Ц1 ^ ... ^ щ суть характеристические числа матрицы Д[а]. Отсюда и следует оценка сверху, так как в силу неравенств Коши щ^ Xi (см., например, [92, гл. 2, разд. 4.4.7]), 1 = 1, ..., г.■
Результаты о перманентах расчлененных матриц будут подробно рассмотрены в разд. 8.3 (гипотезы 8 и 9, теорема 3.2).
Мы завершаем этот раздел некоторыми результатами, включающими как детерминанты, так и перманенты. Мюир [14, 27, 30] получил ряд соотношений между детерминантами и перманентами. Приведем его результат из [18]: если Д—матрица порядка п, то
^ у (— 1 )r per (Д [со J о]) det (Д (со ]о)) = 0,
г-0 сое Qr п
где per (Д [со|со]) и det (Д (со | со)) полагаем равными соответственно 1 и det (Д) при г = 0 и рег(Д) и 1 при г ~ п
Мюир [20] представил детерминант матрицы Д порядка run как сумму перманентов матриц порядка пг, элементами которых служат миноры А. Маркус [74] получил оценку снизу для детерминанта положительно определенной эрмитовой матрицы в терминах произведения ее главных подперманентов,
*) См. [92, стр. 40].— Прим, перед,
Маркус и Меррис [234] показали, что если А — положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка п, D(A') и Р(А)— матрицы порядка п, в которых элементы на месте (t, /) равны соответственно рег(Л(/|/)) и (—1)/+/det (Л (/]/)), z, / = = 1, ..., п, То матрица
п (det (Л))"1 D (Л) - (per (Л))"1 Р (Л)
положительно полуопределена.
О применениях перманентов
В области приложений перманенты не могут состязаться с детерминантами, которые совершенно незаменимы в теоретической и прикладной математике, а также в других науках. Перманенты не столь тесно связаны с фундаментальными свойствами матриц, но все же они имеют много применений, в частности в комбинаторике и прикладных задачах перечислительного характера. Даже перманенты дважды стохастических матриц и гипотеза Ван дер Вардена, которые, казалось бы, имеют чисто теоретический интерес, находят приложения в теории вероятностей, комбинаторике и статистической механике (см. ниже).
Харпер (см. [147] предложил следующую вероятностную интерпретацию перманента дважды стохастической матрицы порядка п. Пусть каждая из п урн содержит один шар, и пусть вероятность шара в z-й урне переместиться в /-ю урну равна ац. Тогда вероятность того, что после одновременного перемещения всех шаров в каждой урне вновь окажется по одному шару, равна per ((а,/)).
Некоторые применения перманентов в теории вероятностей были исследованы Дьирешем [227]. Он получил также ряд равенств и неравенств для перманентов, исходя из вероятностных моделей.
Перечисление латинских прямоугольников и квадратов и неизоморфных систем троек Штейнера данного порядка — две из наиболее известных классических комбинаторных проблем. В обоих случаях справедливость гипотезы Ван дер Вардена или установление более сильных нижних границ для перманентов (0,1) -матриц в А„ привело бы к значительному улучшению известных оценок снизу.
Пусть L(r, л) обозначает число латинских прямоугольников размера гХп, г ^ п, базирующихся на «-множестве S. Пусть А— латинский прямоугольник размера tXn, базирующийся на S, I ^ ^ г, и S, обозначает множество элементов S, не ветре-
чающихся в его /-м столбце. Построим матрицу инцидентности А' для подмножеств Si, ..., Sn. Ясно, что per (Д') равен числу способов, которыми А может быть расширен до латинского прямоугольника размера (f+l)Xn. Имеем Л'еАГ*. Пусть т(А, п) и M{k, п) обозначают соответственно верхнюю и нижнюю границы функции перманента в Ап- Тогда
m(n — t, п) ^ per (Д') ^ М (п — t, п),
t = 1, ..., г—1; таким образом, г—1Г—1
п1Дт(п — !, n)^L(r, п) ^п! Ц М (п — f, п).(2.1)
/=1/=1
Используя, например, теорему 2.1 из гл. 6, получаем
Г—1
L (г, п)< п! П (п - ОГ7'""0-(2.2)
f=i
Аналогично мы можем применить оценки снизу из разд. 4.2 для нахождения нижней границы для L^r.nY Наилучшая нижняя граница £(г, п) получается, конечно, с помощью гипотезы Ван дер Вардена:
Г-1
Иг, п»-^П(2.3)
"t-1
так как матрица А'/ (п— /) дважды стохастическая для любого t, 1 ^ / <г, применяя к ней гипотезу, имеем
per (Д') ^An-tf.
Границы в (2.1), (2.2) и (2.3) можно уточнить, беря вместо М^п— 1,п) и т^п—1,п) известные значения per (Д') при / = 1. Тогда неравенство (2.1) обращается в
n\dn П т (n — t, nX.L(r, n) <.n'.drt Ц M (n — t, n),(2.4)
(=2t-2
n
где dn = n\ 2 (— 1)7«! (см. формулу (4.2) в разд. 3.4). Гра- z-o
ницы для числа латинских квадратов находятся из приведенных выше неравенств, если положить г = п. Например, справедливость гипотезы Ван дер Вардена означала бы, что
L (n, n) ^ (n^jn11.(2.5)
Пример 2.1. Используя теорему 1.2 из гл. 4 и формулу (2.1), получаем следующую оценку снизу числа латинских квадратов
порядка п;порядка п;а
порядка п;
порядка п;
(2.6)(2.6)Эту границу можно несколько упростить [259]. Так какЭту границу можно несколько упростить [259]. Так какL(fl, п)^ Ц/Lt-1
(2.6)
(2.6)
Эту границу можно несколько упростить [259]. Так как
Эту границу можно несколько упростить [259]. Так как
и, таким образом,
/I > е~пп1, то мы приходим к
L^n, »)> n(^V) = e-nV+2+ - t=i
т. e.
1Дп, n)> ^nf'2.(2.7)
Пример 2.2. С помощью того же технического приема, что и в предыдущем примере, упрощаем формулу (2.5):
L Ч, п) > nW > (е~ппп)2п1пп' = (e^nf- (2.8)
Системой троек Штейнера порядка и, и ^ 3, называется такое множество троек элементов из v-множества S, что каждая пара элементов из S входит как подмножество в точности в одну из троек. Не трудно показать, что матрица инцидентности системы троек Штейнера есть (0, 1)-матрица А размера ЬХу с тремя единицами в каждой строке и г единицами в каждом столбце, где г = (и — 1)/2 и Ь = и(и — 1)/6, удовлетворяющая соотношению ААТ = 21п 4- J. Отсюда следует, что система троек Штейнера существует лишь тогда, когда иг 1 или 3 (mod 6). Известно, что это условие также достаточно. Две системы троек Штейнера изоморфны, если их матрицы инцидентности совпадают с точностью до перестановок строк и столбцов. Обозначим через N (и) число неизоморфных систем троек Штейнера порядка и. Уилсон [259] использовал оценку (2.7) для получения нижней границы числа неизоморфных троек Штейнера:
N^^e*5^2.(2.9)
Он показал также, что если справедлива гипотеза Ван дер Вардена (т. е. неравенство (2.7) можно заменить на (2.8)), то (2.9) улучшается до
У (и)>(е-би)у2/6-
К наиболее важным приложениям перманентов относятся их применения к теории графов. Эти применения сводятся фактически к перечислению некоторых подграфов графа или ориентированного графа (кратко — орграфа).
Пусть D— орграф с п вершинами щ, ..., ип. Линейным подграфом D называется такой его остовный подграф (т. е. под* граф, содержащий все п вершин), что каждая вершина имеет в нем полустепень захода и полустепень исхода, равные 1. Задача состоит в нахождении числа линейных подграфов в D. Построим для этой цели матрицу смежности D, т. е. (0,1)-матрицу порядка п, у которой элемент на месте (/,/') есть 1, если D содержит дугу из Ui в vi, и 0 в противном случае. Эту матрицу обозначим через A (D) = (ац). Так как полустепень захода в вершину vi равна ее t-й столбцевой сумме, а полустепень исхода— i-й строчной сумме, то каждому линейному подграфу соответствует п положительных элементов 4(0), по одному в каждой строке и каждом столбце, т. е. положительная диагональ 4(0). Следовательно, число линейных подграфов равно числу положительных диагоналей, т. е. перманенту 4(0) [154].
Более сложную проблему, имеющую многочисленные применения, представляет собой перечисление 1-факторов графа. 1-фактором графа G на 2m вершинах называется его остовный подграф, в котором каждая вершина имеет степень 1. Пусть 4(0) = (а,,) есть матрица смежности графа G и р(0) обозначает число 1-факторов в G. Каждый 1-фактор представляется диагональю 4(0), соответствующей перестановке, разлагающейся в произведение m независимых транспозиций. Таким образом, число 1-факторов графа О равно
2m
n(G)= 2 По/ащ,(2.10)
где суммирование происходит по множеству Т всех (2m) \Ц2тт\1 перестановок, разлагающихся в произведение т независимых транспозиций. Функция в правой части (2.10) называется гаф- нианом 4(0). Гафнианы — полезные матричные функции, введенные Каяньелло [54,57]; их родство с пфаффианами такое же, как перманентов с детерминантами. Если, например, С = = (с,,) есть матрица порядка 4, то
haf (С) = 6^621634643 + 61зб24бз!б42 + С14С23С32С4Ь
Если С — матрица смежности, т. е. симметрическая матрица, то имеем
haf (С) = б^б2, + С236224 + 6]4623.
По (2.10)
И (О) = haf (4(G)).(2.11)
К сожалению, эффективные методы вычисления гафнианов неизвестны. Гибсон [176] заметил, что квадрат гафниана симметрической неотрицательной матрицы не превосходит ее перма-
нента, поэтомунента, поэтомуn(G)<Vper(X(G)).n(G)<Vper(X(G)).(2.12)(2.12)
нента, поэтому
нента, поэтому
n(G)<Vper(X(G)).
n(G)<Vper(X(G)).
(2.12)
(2.12)
Конечно, вычисление перманента большой матрицы представляет значительные трудности. Мы можем, однако, скомбинировать неравенство (2.12) с любой оценкой сверху перманента (О, 1)-матрицы и получить верхнюю границу ц(О). Так, используя теорему 2.1 из гл. 6, приходим к
2т
(2.13)(2.13)НОС П (г J)1/2^>1-1
(2.13)
(2.13)
где ri есть i-я строчная сумма Л(О), т. е. степень вершины ut, i = 1, ..., 2m.
Пример 2.3. Пусть G есть граф
Здесь m = 3, г, = 4 при i= 1, ..., 6; следовательно, по формуле (2.13)
ц(С)^ 10,84 т. е.
Ц (6)^10.
На самом деле
ц(6) = 8,
так как
”0 1 1 0 1 Г
10 1 10 1
А^ =
110 110
0 110 11
10 110 1
_ 1 1 0 1 1 0_
и
haf (Л (G)) = а^^ + а^^ + a^a^-V a^zi^ +
+ 4^46 + ^15^26^34 + ^16^23^45 + VA
другие семь диагональных произведений гафниана равны нулю. Таким образом,
haf (Л (G)) = 8.
Заметим также, что
per (Л (G)) = 80;
следовательно, из неравенства (2.12)
ц (G)< V80"= 8,94 . т. е.
р (G)<8.
Рассмотрим теперь 1-факторы двудольного графа; так называется граф, множество вершин которого может быть разбито на два подмножества с тем свойством, что всякое ребро имеет один конец в одном из подмножеств, а другой — в другом. В контексте 1-факторов необходимо, чтобы каждое из подмножеств содержало половину вершин. Перечисление или построение в явном виде 1-факторов двудольных графов (или совершенных паросочетаний, как их иногда называют) имеет многочисленные приложения, например в проблеме максимального потока, в задачах о назначении и задаче о составлении расписания, возникающих в исследовании операций.
Пусть G— двудольный граф с 2пг вершинами, и предположим, что нет ребер, соединяющих вершины из {щ, ..., ит}, а также из {ит-цU2mV Тогда матрица смежности G имеет вид
л (G) Lb(Gf о J’
где B(G)— подматрица Л(О) порядка т. Легко видеть (задача 13), что
haf (Л (G)) = per (5(G)),
и, таким образом (см. [154]),
Н (G) = per (В (G)) = Vp^MW
(см. условие равенства в теореме 3 работы [176]). Гэл и Брейтбарт [244] построили алгоритм для конструктивного нахождения 1-факторов двудольного графа. Этот алгоритм дает также метод вычисления перманента (0, 1)-матрицы (разд. 7.3).
Пионером в использовании перманентов в физике явился Каяньелло (см. [59], [60] и ссылки в этих работах), применивший их к проблеме перенормирования в квантовой теории поля. Он использовал перманенты и гафнианы, чтобы выразить алгебраически разложения пертурбации теории поля, а именно для Описания бозонных пропагаторов таким же образом, каким при
разложениях, связанных с фермионными пропагаторами, используются детерминанты и пфаффианы.
Наиболее важны приложения перманентов в тех областях физики и химии, где статистические методы применяются для изучения явлений, представляющих собой результат совместного действия очень большого числа однородных агентов. Подобные проблемы в статистике порядка — беспорядка, в химии твердого состояния и в физической химии можно сформулировать как перечислительные задачи на решетках. Эти последние, в свою очередь, иногда допускают решение в терминах перманентов соответствующих матриц инцидентности. На этом месте чистый математик считает проблему, по существу, решенной, в то время как физик или химик сочтет, что такие формулы никоим образом не относятся к его проблеме до тех пор, пока не сможет эффективно вычислить перманенты матриц инцидентности. К сожалению, это редко удается, так как получающиеся матрицы, как правило, слишком велики. Правда, в некоторых случаях, например в проблеме димеров (см. ниже), искомая ключевая константа представляется как предел некоторой функции, включающей перманент, когда его порядок стремится к бесконечности. Так или иначе, но о прямом вычислении перманентов по методу Райзера речи нет. Иногда оказывается возможным так преобразовать матрицу, чтобы детерминант преобразованной матрицы оказался равным перманенту исходной матрицы. В противном случае задачу можно решать лишь приближенно, пользуясь оценками перманентов. Нам встретятся в дальнейшем оба случая.
Проблемы структурного типа, такие, как модель Изинга для ферромагнетизма, физическая теория кристаллов и адсорбция двухатомных молекул на различных решетках, можно выразить в терминах перечислений покрытий димерами. Проблема димеров имеет следующую математическую формулировку.
Рассмотрим d-мерный прямоугольный решеточный граф G, т. е. граф, вершинами которого служат точки (хь ..., х^) d- мерного евклидова пространства с целочисленными координатами, удовлетворяющими условиям 0 ^ х; ^ щ, z = 1, ..., d, где at — целые положительные числа. Полагаем а = (zii, ... ..., а^. Две вершины G соединяются ребром, если и только если оно имеет длину, равную единице. Задача состоит в определении fa — числа 1-факторов G. Димер, служащий моделью двухатомной молекулы, есть одномерный решеточный граф с двумя вершинами и одним ребром длины 1. В терминах димеров fa равно числу способов такого покрытия графа G димерами, что каждый димер покрывает две соседние вершины, а каждая вершина покрывается в точности одним димером.
Проблему можно сформулировать также следующим образом [142]. Под п-кирпичом будем понимать d-мерный прямоугольный параллелепипед (d ^ 2) объема п с ребрами, равными «ь ..., аа, где щ— целые числа. Тогда димеру соответствует 2-кирпич. Если п четно, проблема состоит в нахождении числа способов расчленения n-кирпича на димеры. Сначала мы дадим общее решение Хаммерсли [142] в терминах перманентов. Так как, за исключением случая d = 2, мы не знаем, как вычислять эти перманенты, решение при d ^ 3 следует рассматривать как приближенное.
Разобьем n-кирпич на п единичных кубиков, которые обозначим Л, ..., tn. Раскрасим кубики поочередно в белый и черный цвета. Пусть А = (а,/) есть матрица инцидентности для конфигурации кубиков: ац = 1 или 0, смотря по тому, имеют кубики ti и tj общие грани или нет. Все строчные и столбцевые суммы в этой матрице равны 2d, за исключением тех, что соответствуют кубикам на поверхности. Пусть а — перестановка, для которой'
п
Ца/аЦ)= 1. 1 = \
Кубики ti и tO(p соседние, i = 1, ..., п. Ставим на кубик ti и кубик taw белый или черный димер в соответствии с цветом ti. Так как всего имеется п/2 белых кубиков, «белыми» димерами покрываются все п кубиков, и мы имеем тем самым расчленение на димеры. Аналогично «черное» покрытие также дает расчленение на димеры (см. ниже пример 2.4). Таким образом, каждая положительная диагональ приводит к двум расчленениям n-кирпича на димеры, одно из которых соответствует окраске в белый, а другое — в черный цвет. Обратно, каждую пару расчленений можно рассмотреть как «белое» и «черное» раскрашивание и определить тем самым некоторую положительную диагональ А. Итак, существует взаимно однозначное соответствие между парами расчленений n-кирпича и положительными диагоналями А. Отсюда следует, что
fa = per (А).(2.14)
Пример 2.4. Рассмотрим двумерный 12-кирпич размера 3X4:
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
Чо
Чу
Ч)
Черные кубики обозначим черточками над буквами. Матрицей инцидентности этого кирпича служит
0
1
0
0 1
1
0
0
0 1
0
0
0
0
1
0
1
°!
0
1
0
°!
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0,
0
0
0
1!
0
0
0
0
1
0
0
0 I
0
1
0
0 1
1
0
0
0
А = (ay) =
0
0
1
0
0
1
°!
0
I 0
0
1
I 0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
11
0
0
1
01
0
0
0
1
0
0
0
0 1
1
0
0
0 1
0
1
0
0
0
0
0
°!
0
1
0
°!
I
0
1
0
0
0
0
0|
0
0
1
0,
0
I
0
1
0
0
0
0 1
0
0
0
11
0
0
I
0
Мы находим непосредственно, что диагональ, соответствующая подстановке
12345678910И12\
562317114109128/ '
положительна.положительна.Соответствующим «белым» покрытием будет
положительна.
положительна.
13689 П\
5 2 7 4 10 12?
и соответствующим расчленением —
Расчленение, соответствующее «черному» покрытию, задается с помощью подстановки
24571012\
6311198?
т. е. получаем
Обратно, если «белое» и «черное» расчленениеОбратно, если «белое» и «черное» расчленение
Обратно, если «белое» и «черное» расчленение
Обратно, если «белое» и «черное» расчленение
12345678910И12),
517362114109128/
и мыи мыубеждаемся, что соответствующая диагональ положи
и мы
и мы
тельна.
В общем двумерном случае n-кирпича со сторонами «1 и а2, «102 = п, матрица инцидентности имеет вид (см. задачу 15)
(2.15)
I
В
где В — тридиагональная матрица порядка «2--
[° 1
1010
101
о
1
0
1
1 О
а / — единичная матрица порядка аг. Перкус [165] показал, что per (Л) = det (Л), где
В и'
и в и О
~ п ' .
А=1 ..,
О * в п
п в
Таким образом,
Ac. ал = Vper (Л) = Vdet (Л).
Следовательно, число покрытий двумерного решеточного графа димерами можно выразить через легко вычисляющийся детерминант.
При d ^ 3 мы не можем вычислить перманент матриц инцидентности, но можем лишь оценить значение fa с помощью неравенств для перманентов (0, 1)-матриц. Известно, что для больших значений п функция fa с ростом и возрастает примерно экспоненциально. Хаммерсли [142] показал, что если a,->oo, i— 1, ..., d, то «“Hogfd стремится к пределу Ха. Как оценить Xd? Известно [142], что
■ Х2 = 0,29156090 ... и что
0<Xd<ylogd.(2Л6)
Точное значение Ха для d ^ 3 неизвестно. В весьма важном трехмерном случае правое неравенство в (2.16) дает
Х3 ^0,54931.(2.17)
Хаммерсли [142] получил для Х3 оценку снизу
Х3> 0,418347(2.18)
как частный случай общей оценки
Xd^ —Jy (ZOj (Z02 ... d^a log | 4 ^ sin2 0г |.(2.19)
4л о о ОI Z-I J
Он заметил также, что если справедливо предположение Ван дер Вардена, то
Xd>llog(2d)-1.(2.20)
Для d ^ 4 граница в (2.20) точнее, чем в (2.I9)1). Вместе с (2.16) она дает
|logd-0,153<^<41ogd.|logd-0,153<^<41ogd.(2.21)(2.21)
|logd-0,153<^<41ogd.
|logd-0,153<^<41ogd.
(2.21)
(2.21)
Ни одна из известных оценок снизу для перманентов (0, ^-матриц (гл. 4) не приводит к нижней границе Хи, как в (2.18) и (2.19).
Оценка сверху в (2.16) была недавно улучшена автором [342] путем соединения (2.14) с границей из теоремы 2.1 гл. 6. Упростим рассуждения, рассматривая вместо n-кирпича соответствующий тороидальный кирпич, который получается склеиванием противоположных граней исходного кирпича. Матрица инцидентности А' тороидального кирпича имеет 2d единиц в каждой строке и каждом столбце. Обозначим для А' через /' константу, соответствующую /«. Из (2.14) получаем, что
fa Vper (Л'),
а по теореме 2.1 из гл. 6
рег(Л')>(2</)1п/м.
Тогда
Х4 — Игл n-1 log fa < lim n~v log (2d)\nlid = log(2d!)1/4d/. а^->ооа^->оо
Таким образом,
<2-22)
При d = 3 неравенство (2.22) означает, что
Ад <0,548271,
что точнее, чем граница в (2.17). На самом деле оценка в (2.22) лучше, чем оценка сверху в (2.16) для d ^ 3, так как
(2d)lI/M < d.
Основной трудностью в применениях перманентов является отсутствие эффективного метода вычисления перманентов матрицы инцидентности. Даже известные в настоящее время границы для перманентов, в частности оценки снизу, не имеют большой ценности, так как недостаточно точны. Но принимая во внимание особенности матриц инцидентности, встречающихся в проблеме димеров и родственных задачах, вычисление перманентов этих матриц или по крайней мере улучшение границ
0 Оценка (2.20) доказана автором [344]. Более того, им установлена асимптотическая эквивалентность правой части (2.20). —• Прим, перед.
не кажется столь же безнадежной задачей, как в общем случае. Это и есть направление, в котором должны будут развиваться исследования по перманентам.
Гипотезы и нерешенные проблемы — «урожай» 1965 г.
В 1965 г. Маркус и Минк [ЮЗ] перечислили 13 гипотез и две нерешенные проблемы о перманентах. Список вызвал большой интерес, и некоторые из поднятых тогда вопросов были решены. Вот современное состояние каждой из гипотез и проблем.
Гипотеза 1 (гипотеза Ван дер Вардена). Если 4eQ„ то per (Л) ^ п\!пп
с равенством в том и только том случае, когда А — Jn. Вопрос не решен (см. гл. 5)1).
Гипотеза 2. Если A s Q„, то
per (ЛА7) ^ per (Л).
Гипотеза не подтвердилась. Контрпример найден Ньюменом
(М. Newman): если
'1100"
0 110
А-
2
0 0 11
_ 1 0 0 1_
то рег(Л) = -§-, a per (АЛ7) = -^ > у.
Гипотеза 3 (Райзер). Если Л есть (0, 1)-матрица порядка mk.c к единицами в каждой строке и каждом столбце, то
✓ m
per (Л) < perl 2 1
\ 1
Гипотеза доказана — непосредственное следствие теоремы 2.1 гл. 6 (см. гипотезу 4).
Гипотеза 4 (Минк). Если А — квадратная (0,1)-матрица порядка п со строчными суммами г\гп, то
п
'per (Л)< ^(г,!)^.
Гипотеза доказана Брэгманом [219] (см. теорему 1 гл. 6).
*) Гипотеза Ван дер Вардена доказана. См. стр. 210. — Прим, перед,
Гипотеза 5 (Райзер). Если совокупность всех (0, 1)-матриц порядка v с k единицами в каждой строке и каждом столбце содержит матрицы инцидентности (о, кД)-конфигураций, то перманент достигает минимума в этой совокупности на одной из этих матриц инцидентности.
Вопрос не решен. Некоторые факты наводят на мысль, что гипотеза может быть не верна. С одной стороны, в Ais существуют три (15, 7, 3)-конфигурации, матрицы инцидентности которых имеют неодинаковые перманенты. С другой стороны, в Л? есть матрицы, не представляющие никакой (7,3, 1)-конфигурации, с перманентами, равными перманенту матрицы инцидентности некоторой (7,3, 1)-конфигурации.
Гипотеза 6 (Минк). Пусть Л„ обозначает класс, состоящий из всех (0, \ )-матриц порядка nek единицами в каждой строке и каждом столбце. Если п фиксировано, то
монотонно убывает с ростом к.
Вопрос не решен. Никакого прогресса не достигнуто.
Гипотеза 7 (Маркус и Ньюмен). Если А — дважды стохастическая матрица порядка п, то
рег(7„ — А)>0.
Гипотеза была доказана Бруальди и Ньюменом [ПО] для любой неотрицательной матрицы А, у которой радиус спектра не превосходит единицы. Мы приведем простое доказательство частного случая этого утверждения, принадлежащее Гибсону [1Н].
Теорема, 3.1. Если А — субстохастическая *) матрица порядка п, то
per (/„ — А) 0.(1.3)
Доказательство. По формуле Райзера (разд. 7.2, формула (2.3)) п—1п
рег(/„- А)=У(-1/ У Пт, СП
XGA-n-t , = 1
') Напомним, что субстохастической называется матрица с неотрицательными элементами, все строчные суммы которой не превосходят единицы. — Прим, перев.
где
Л„_< = {(/„ — Л) (— | со) | со s Qt) „},
т. е. Л.п-е есть совокупность всех подматриц 1п— Л, состоящих из п— / различных столбцов Л— А. Для coeQ/, „ обозначим Цп — Л) (—]со) через Вт. Здесь i-я строчная сумма матрицы Вш неотрицательна или неположительна, смотря по тому, входит ли i-й столбец и — А в Вю или нет. Следовательно, в Вт не менее п — t строчных сумм неотрицательны и не менее t неположительны. Поэтому
п
1/ПпШ^О,
= 1
и, таким образом,
рег(/„-Л)>0.■
Гибсон доказал [141], что
per (/„ - Л) > det (/„ - Л) > О(3.2)
для субстохастической матрицы А.
Гипотеза 8 {Маркус и Ньюмен). Если А — положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка п и 1 ^ р ^п, то
per (Л) > per (Л [1, ..., р]) per (Л [р + 1п]).(3.3)
Эта гипотеза, представляющая собой перманентный аналог неравенства Фишера для детерминантов, была доказана Либом [114] как следствие приведенного ниже замечательного результата.
Теорема, 3.2. [114]. Пусть А = {ац) есть положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка п, и пусть
еде порядок В равен р, а порядок D равен п — р. Полагаем
[с* яГ
где X— неизвестная. Тогда все коэффициенты полинома рег(Л(Х)) суть неотрицательные действительные числа.
Следующее ниже доказательство принадлежит Джековичу [151].
Доказательство. Пусть а и Р — перестановки на множестве (1, ..., р), а а и т — перестановки на множестве <Р + Ь ...,п)
Обозначим a(t) и p(i) через а, и р,, t=lр, a a(t) и т(/)— соответственно через az-p и тг-р, i = p~V\, .... п. Для целого числа t, 1 t р, положим
а' = ^ах, ...
■ , ««)■
a"
— (af+b • • •■
■ aP).
Р' = (Pl • • •
, ра.
Р"
= (Pt+i> • • •>
Pp),
-, Gp-t).
а"
= (®р_<+1, . ■
• • > °n-p)l
T' = (Tb .
xp_t),
т"
= (Tp-t+i> • •
T„_p).
Пусть
p
per (Л (Л)) = X ср^* t=Q
Коэффициент ct есть сумма всех диагональных произведений, включающих / элементов из В, р— / элементов из С, p — t элементов из С* и п— 2р + t элементов из D. Тогда
тс» = V„
а, Э» 0» т
где т = t\ (р —- /)112 (п 2р + /) 1 и
а^ = П%>(>
p-t
а „ , = ТТ аи т. д.
Грама. ПустьГрама. Пусть^ = (^ь ..., xtn\^ = (^ь ..., xtn\Так как Л положительно полуопределена, то она —матрица
Грама. Пусть
Грама. Пусть
^ = (^ь ..., xtn\
^ = (^ь ..., xtn\
i = 1п, суть векторы, для которых
«„ = (/, х1) = Д х1кх1к,
I,; = 1, ..., п. Тогда
mCt Zj^■a'lYyi^a"I^Vl^o'H^6>"H^a"K^VK.‘
Q.1 Р, U, 1 1, «1 Н. 4\
t
где ХпМ обозначаетТТхп , и т. п., а IJ,H, К — соответственно
последовательности / = (ii, ..., it), J = (/i, ..., JP-t), H = = (йь ..., hp-t), K — (ki, ..., kn-ip+t); каждый индекс пробегает значения 1, ..., п. Изменяя теперь порядок суммирования,
получаем
"“.-£( 2 (2 V..,) (2^„Л«))х
Следовательно, ct вещественны и неотрицательны.■
Гипотеза 8 является непосредственным следствием теоремы 3.2. Действительно, полагая X = 1, имеем р
per (Л) = £ ct > с- = per (В) per (В).
t=o
Маркус и Соулз [130] усилили результат Диба (гипотезу 8): если А — матрица в теореме 3.2, то
per (Л) > per (В) ре г (В) + а""2|| С ||2,(3.4)
где || • ||— евклидова норма, а ал обозначает наименьшее характеристическое число А.
Гипотеза 9 (Маркусу Пусть А — положительно полуопре- деленная эрмитова матрица порядка тр, расчлененная на блоки;
л =
А1
Л21
л12 ..
Л 22 • •
• AVm
• А2пг
,(3.5)
^ml
А m2 •
• Amm
и каждая Ац имеет порядок р. Пусть далее G— матрица порядка m с per (Л;у) на месте (t, /). Тогда
per (Л) > per (G).(3.6)
Если А положительно определена, то равенство в (3.6) дости- tn■
гается тогда и только тогда, когда Л = ^ Аи.
i-i
Для m > 2 вопрос все еще не решен. Для m = 2 гипотеза доказана Дибом [114] как следствие его теоремы 3.2. В обозначениях этой теоремы получим
р
per (Л) = £ ct ^ ср + с0 = per (В) per (О') + per (С) per (С*).
Джекович [151] показал, что для ш = 2 равенство в (3.6) выполняется, если Дц и Д22 (т. е. В и D) положительно определены, даже в случае, когда сама А вырождена.
Гипотеза 10 {Маркус). Пусть A={a,j) и а^ "> 0, I, j = п
= 1, ..., п. Если п\ членов Ца; ... принимают не более г раз- i-l ' 1
личных значений, то р(Д) ^ г.
Эта гипотеза доказана Эллиотом [175].
Гипотеза 11 {Маркус и Ньюмен)1). Не существует такой дважды стохастической матрицы А, что
per (Д (/1 /)) = per (Д), если ati 5^ 0,
per (Д (t j/)) ^ per (Д), если аи = 0, со строгим неравенством по крайней мере для одной пары {i,j).
Эта гипотеза — исправленный вариант первоначальной гипотезы 11 (см. примечание в [128] и теорему 2.3 гл. 5). Вопрос остается открытым.,
Гипотеза 12 {Маркус). Группа невырожденных обобщенных матриц перестановки {т.е. матриц вида PD, где Р— матрица перестановки, a D — диагональная матрица) есть максимальная группа, на которой функция перманента мультипликативна.
Бисли [150, 171] доказал гипотезу 12 для матриц с комплексными элементами. Бисли и Каммингс [218,289] распространили этот результат на другие поля и области целостности (с некоторыми ограничениями на характеристику и число элементов).
Гипотеза 13 {Маркус). Если матрица А дважды стохастическая и f {z)= per {zln— Д), то корни f{z) лежат внутри или на границе круга |z|^ 1.
Для действительных корней гипотеза была доказана Бру- альди и Ньюменом [НО]. В общем случае она подтверждена Бреннером и Бруальди [121], доказавшими следующее утверждение:
Теорема, 3.3. Если А — субстохастическая матрица, то корни уравнения per(z7— Д) = 0 удовлетворяют соотношению 0^ 1.
Доказательство основывается на результате Бреннера [58], утверждающем, что перманент матрицы с доминирующей диагональю не может обращаться в нуль. Если теперь А дважды
’) Гипотеза доказана. См. стр. 211. — Прим, перед.
стохастическая и если [z|> 1, то матрица г! — А имеет доминирующую главную диагональ и per(z/— ДЭ^О, т. е. z не может быть корнем per(z/ — Д) = 0. Кстати, из той же теоремы Бреннера вытекает также теорема 3.1 (задача 19).
Проблема 1. Найти максимальное значение per(U*AU), когда U пробегает все унитарные матрицы порядка п. Здесь А — фиксированная положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка п.
Никакого продвижения нет, помимо верхней границы Маркуса— Минка (теорема 4.1 гл. 6; см. [93, 102, 116]).
Проблема 2- Пусть Н — подгруппа Sn и % — характер степени 1 группы Н. При каких условиях на % и Н неравенство
п
Е х(у)Ца,.а(1)<рег(Д)<зеН i = l W
справедливо для всех положительно полу определенных эрмитовых Д?
Проблема не решена.
Итог; из 15 гипотез и проблем семь гипотез подтвердились, одна опровергнута и семь вопросов остались открытыми. Новый список гипотез и не решенных к настоящему времени проблем о перманентах предлагается в следующем разделе.
Гипотезы и нерешенные проблемы — новый список
Чарльзу Ф. Кеттерингу принадлежит высказывание о том, что хорошо поставленная задача — уже наполовину решена. Это изречение, кажется, неприменимо к перманентам. В самом деле, как мы отмечали в 1965 г. [ЮЗ], предположения о перманентах, похоже, разделяются на два совершенно неудовлетворительных класса: к одному принадлежат различные утверждения, которые звучат правдоподобно, но в данный момент находятся вне пределов досягаемости, а другой состоит из гипотез, казавшихся в течение некоторого времени, вне всякого сомнения, справедливыми, но для которых вдруг обнаружились контрпримеры. Как бы то ни было, мы чувствуем, что подобает завершить эту монографию новым списком хорошо поставленных гипотез и проблем, ни одна из которых не решена даже наполовину. Они расположены таким образом, что вопросы, унаследованные из списка 1965 г. (см. разд. 8.3), сохраняют свои первоначальные номера.
Гипотеза 1 (Ван дер Варден)'). Если А— дважды стохастическая матрица порядка п, то
рег(Л)^п!/п"(4.1)
с равенством в том и только том случае, когда А — ]п [ЮЗ].
Гипотеза 2. Если As^, 3^fe^n — 1, то
per (Л) > n\(hln)n.(4.2)
Гипотеза 3 (Маркус и Минк). Если S — дважды стохастическая матрица порядка п и п ^ 2, то
per(S)>per(^^-).(4.3)
При п ^ 4 равенство в (4.3) достигается в том и только том случае, когда S — 1п [128].
Гипотеза 4 (Уонг). Если S — дважды стохастическая матрица порядка п и п 2, то
per (S)> per (-"^i") •(4.4)
При п^З равенство в (4.4) выполняется в том и только том случае, когда S = 1п [287].
Гипотеза 5 (Райзер). Если множество (0,\)-матриц порядка v с k единицами в каждой строке и каждом столбце содержит матрицы инцидентности (и, кД)-конфигураций, то перманент на этом множестве достигает минимума на одной из этих матриц инцидентности [103].
Гипотеза 6 (Минк). Для фиксированного и min per (Л))
монотонно убывает с ростом к [103].
Гипотеза 7 (Скотт)2). Пусть xt, .. различные корни соответственно хп — 1 : А—матрица порядка п, у которой \/(xt — у;), 1, j = 1, ..., п. Тогда [12]
,(п(1-3-5 ... (п-2)№,
|рег(А)| = |0
*) См. стр. 210. — Прим, перев.
г) Доказана автором [343]. — Прим, перев.
., Хп и yv, ..., уп суть = 0 и уп + 1 = 0. Пусть на месте (1, j) стоит
если п нечетно,
(4.5) если п четно.
Гипотеза 8 (Эрдёш и Реньи). Если к— фиксированное целое число, к^ 3, то
lim inf (per (Л))’/л > 1(4.6)
для А из An [140]'1.
Гипотеза 9 (Маркус). Пусть А— положительно полуопре- деленная эрмитова матрица порядка mk, расчлененная на блоки:
Аи А^.•••At„
^21 A2a■•■Alm
Amt Am2 A^
где каждая из Лу имеет порядок к. Пусть G— матрица, у которой на месте (i, j) стоит per (Лу). Тогда
per (Л) ^ per (G).(4.7)
Если Ан положительно определены, то равенство в (4.7) достигается тогда и только тогда, когда А = Лц + .•• A-Amm [103].
Первоначальное условие равенства включало предположение, что А положительно определена. Теперь известно [151], что в случае m = 2 условие необходимо и тогда, когда положительно определены Лц и Л22, а сама матрица может быть вырожденной. В соответствии с этим мы изменили предполагаемое условие равенства.
Гипотеза 10 (Тверберг). Для дважды стохастической матрицы А порядка п, не равной Jn, справедливо
Ot(A)>Ot(Jn),(4.8)
где оч (Л) обозначает сумму всех подперманентов А порядка t [88].'
Гипотеза 11 (Маркус и Ньюмен)2). Не существует такой дважды стохастической матрицы А, что
per (Л (i |/)) = рег(Л) для всех i, j с ац=^=0,
per (Л (11/))^ per (Л) для всех Z, j с а^ — О ' и
per (Л (s |f)) > per (Л)для некоторых s, t с ast = 0 [103].
*) При к = 3 это предположение доказано Ворхувом [365].— Прим, перев..
• 2) См. стр. 211. — Прим, перев. '
Гипотеза 12 ^Джековичу Если А— дважды стохастическая матрица порядка п, А #= /п и 1 ^ А ^ и, то [123]
^^▻-^^^(Л).(4.9)
Гипотеза 13 (Синкхорну Если А — дважды стохастическая матрица и рег(Л (i| j)) ^ рег(Л) для всех i, j, то либо A — J4, либо с точностью до перестановок строк и столбцов А = = зУпА-Р') [286].
Гипотеза 14 (Бруальди и Фореггеру Если А есть (0, 1умат- рица порядка п, у которой все подперманенты порядка п — 1 имеют одинаковое ненулевое значение, то А = J или In-V Р [260].
Гипотеза 15 (Фореггеру Для почти разложимой дважды стохастической матрицы А порядка п справедливо
рег(Л)> 1/2"-1,
с равенством в том и только том случае, когда А = х/ДДп + РУ с точностью до перестановок строк и столбцов [242].
Гипотеза 16 (Минк). Если А е Л^ 3 ^ к ^ п, то существует такое не зависящее от п положительное число z — e.(ky что per (Л) > (1 + е)"-
Гипотеза 17 (Фореггеру Для любого п существует такое целое число k = Цп), что
per (Л6) ^рег(Л) для всякой А из Йп.
Гипотеза 18 (Меррис). Если А — дважды стохастическая матрица порядка п, то [235]
и per (Л) > min 2 per (Л (/11)).(4.10)
' /=1
Гипотеза 19 (Уона). Если перманенты двух матриц Адамара порядка п равны, то каждая матрица может быть получена из другой с помощью: 1) перестановки строк и столбцов, 2) умножения строк или столбцов на —1 и, быть может, 3) транспонирования матрицы [257].
Гипотеза 20 (Дьиреш). Пусть А ей„; тогда
£(peiW> «У(411) per АА* + per А* А + 2 per А2пп ‘
Равенство в (4.11) достигается в том и только том случае, когда А — Jn [276]1),
Проблема 1. Найти максимальное значение рег((7*А(7), когда А — фиксированная положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка п, a U пробегает все унитарные матрицы порядка п [103].
Проблема 2. Пусть Н — подгруппа 8п, а % — характер степени 1 группы Н. При каких условиях на % и Н неравенство
£ хМПа.а^регИ)
asH <=1 выполняется для всех эрмитовых положительно полуопределен- ных матриц А [103]?
Проблема 3. (Гринштейн). Найти все значения, которые per (А) может принимать для А из Л®.
Проблема 4. Найти максимальное значение рег(А) в Л^ когда п не делится на к.
Проблема 5 (Уонг). Может ли перманент матрицы Адамара порядка п обращаться в нуль при п>2 [257]?
Проблема 6 (Уонг). Найти нетривиальную верхнюю границу для [per(А) | в множестве (—1, 1)-матрицпорядка п [257].
Проблема 7 (Уонг). Для всякого ли /г ^ 4 существует такая невырожденная (—1, V)-матрица А порядка п, что ]per(A)| = ]det(A)| [257]?
Проблема 8 (Фридленд и Минк). Найти матрицы А на границе Q„, отличные от матриц перестановки Р и матриц (J — Р)/(п—1), для которых перманент монотонно возрастает на отрезке (1 — 0) Jn + 0А, 0 ^ 0 ^ 1 [297].
Проблема 9. Найти такое положительное число b = b(n), что per (А) > п\(пп для любой А е Q« с ||А — /л|| ^ Ь.
Проблема 10. Найти такие числа m и М, что
2,31" < per (A)<Mn< 2,99"(4.12)
для всех А е Л® и достаточно больших п. Или найти m и М, удовлетворяющие (4.12) при достаточно больших п, для всех циркулянтов из ЛД
Неравенства (4.12) улучшили бы известные оценки в трехмерной проблеме димеров [142, 302].
■) См. также [319]. — Прим, перев,.
*/g6 X. Минк
Задачи
Покажите, что теорема 2.3 гл. 5 вместе с неравенством (1.3) разд. 8.1 подтверждает гипотезу Ван дер Вардена для класса дважды стохастических матриц, удовлетворяющих (1.3).
Покажите, что если А е Йл, то
а2(Д)=4(/г-(/г-2) + ||Д||2),
где ||Д||2=^й^. (Указание: примените технику, использован- i;i
ную при доказательстве теоремы 4.1 гл. 5.)
Из результата задачи 2 вывести, что если Д е йл и А =/= Л?, то
'^(^ > ^UnY
Пусть А есть (0,1)-матрица порядка п, у которой все подперманенты порядка п—1 имеют одинаковое ненулевое значение. Покажите, что А вполне неразложима и Ле Л£ т. е. что А—ненулевое кратное вполне неразложимой дважды стохастической матрицы.
Докажите неравенство (1.13) в случае aeQ%, л.
Докажите неравенство Холла
L(r, п)>П(п+ 1 —/)!.
Найдите верхние границы для £(6,6), L(7, 7) и £(8,8): а) используя формулу (2.2); б) используя формулу (2.4) совместно с теоремой 2.1 гл. 6. Сравните полученные оценки с истинными значениями [259]:
£(6,6) = 61X5! (9408); £(7,7) = 71X6! (16 942 080);
L (8, 8) = 8! X 7! (535 281 401 856).
Найдите нижнюю границу для £(8,8), используя формулы (2.7) и (2.8).
Найдите нижние границы для £(6,6), £(7,7) и £(8,8), используя формулы (2.5) и (2.6). Сравните найденные оценки и оценку, полученную в задаче 8, со значениями, указанными в задаче 7.
■ 10. Пусть G— полный граф с шестью вершинами. Примените неравенство (2.12) к вычислению верхней границы для числа ц(О) 1-факторов G.
Пусть G — граф из задачи 10. Получите верхнюю границу для ц(О) с помощью неравенства (2.13).
Пусть G — граф из задачи 10. Вычислите гафниан матрицы / — /в путем построения всех 1-факторов G.
Пусть
ГО В1
L Вг О J -
где В — квадратная матрица. Покажите, что haf(/l) = рег(В).
Пусть G есть 12-кирпич из примера 2.4, а <р — подстановка
fl234 567 89101112)
\2173 6108 45912ИГ
Убедитесь, что диагональ матрицы инцидентности G, соответствующая <р, положительна. Найдите пару расчленений G на димеры, определяемую подстановкой <р.
Пусть G есть двумерный /г-кирпич со сторонами длин а и b, п = ab. Покажите, что матрица инцидентности G имеет вид, указанный в (2.15).
Пусть Лп есть (0, 1)-матрица порядка п с единицами на местах (/,/) при / = /+1, i = j и j = i + ^ Для некоторого фиксированного к и нулями на остальных местах. Покажите, что
рег(Л„) = рег(Л„_1) + рег(Л„_6_!)
(см. [325]).
Пусть Ап — матрица, определенная в задаче 16. Покажите, что если п достаточно велико, то
рег(Л„) > сп
для любого с, 1 < с < d, где d— наибольший корень уравнения х*+1 — хк — 1=0.
Покажите, что для каждого с, 1 < с < h, где h — наибольший корень уравнения х1 — xt-x— 1 = 0, имеет место
рег(7„ + Г + Г,)>с"
для достаточно больших п.
Бреннер [58] показал, что перманент матрицы с доминирующей диагональю не может равняться нулю. Докажите, что отсюда вытекает теорема 3.1.
Покажите, что из справедливости гипотезы 4 разд. 8.4 следует справедливость гипотезы Ван дер Вардена.
Список литературы
1812'
Бине (J. Р. М. Binet). Memoire sur un systeme de formules analytiques, et. leur application a des considerations geometriques, J. Ёс. Polyt. 9 (1812); Cah. 16, 280—302.
В работе содержатся тождества для перманентов матриц размера m X я при т = 2, 3, 4. Доказательства не приводятся, общих формул нет.
Коши (A. L. Cauchy). Memoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs egales et de signes contraires par suite des transpositions operees entre les variables qu’elles renferment, /. Ёс. Polyt. 10 (1812); Cah. 17, 29—112, Oeuvres (2)i.
Важная работа о детерминантах. Вводятся перманенты как класс «перманентных симметрических функций».
1843'
Буль (G. Boole). On the transformation of multiple integrals, Cambridge Math. J. 4 (1843), 20—28.
Детерминант порядка n определяется через перманент матрицы (слова «детерминант» и «перманент» не употребляются) с изменением затем знаков у некоторых членов.
1855
Борхарт (С. W. Borchardt). Bestimmung der symmetrischen Verbindungen vermittelst ihrer erzeugenden Funktion, Monatsb. Akad. Wiss. Berlin (1855), 165—171; Crelle’s J. 53 (1855), 193—198; Gesammelte Werke, 97-105.
Пусть A - (a^ =(j^) и В = №=^1-^.
Тогда
per (A) det (A) = det (B).
1856
Иоахимсталь (F. Joachimstal). De aequationihus quarti et sexti gradus quae in theoria linearum et superficierum secundi gradus occurunt, Crelle’s 1. 53 (1856), 149-172.
Без точного доказательства устанавливается, что тождества Бине для матриц размера тХп порождаются теми же тождествами для матриц размера (m-l)Xn. Перманент описывается указанием на то, что он «тем отличается от детерминанта, что его члены положительны».
1859
Кэли (A. Cayley), Note sur les normales d’une conique, Crelle’s J. 56, (1859), 182—185; Collected Mat. Papers IV, 74—77.
Пусть A =(aif), at, ф 0 есть матрица 3-го порядка, В и С —матрицы 3-го порядка, у которых элементы на месте (1, /) равны соответственно а^ и а"ц. Тогда
per (Л) det (Л) = det (В) + 2 / JJ а.Л det (С).
1865
Хорнер (J. Horner). Notes on determinants, Quart. J. Math. 8 (1865), 157—162.
Пусть заданы матрицы Л и В 3-го порядка. Тогда det (Л) det (В) = У, det (Р^ per (А * (Р/В)), ч
где суммирование производится по всем матрицам перестановки Pi порядка 3, а * обозначает произведение Адамара. Перманенты называются «контерминантами».
1872
Споттисвуд (W. Spottiswoode). On determinants of alternative numbers, Proc. London Math. Soc. 7 (1872), 100—112.
Соотношения между детерминантами и перманентами матриц 2-го н 3-го порядков, элементы которых суть «альтернирующие числа» (т. е. удовлетворяют условию ab = — Ьа).
.1876
Фаа ди Бруно (F. Faa Di Bruno). Theorie des formes binaires, Turin, 1876.
Содержит принадлежащее Кэли доказательство равенства Борхарта.
1879
Хэммонд (J. Hammond). Question 6001, Educ. Times 32 (1879), 179.
n n
Коэффициенты многочлена nza^.x, выражаются как «альтерни- 1-1 /=1 1 1
рующие детерминанты» (т. е. перманенты).■
6 X. Мини
Скотт (R. F. Scott). Notes on determinants, Messenger of Math. 8 (1879), 182—187.
Пусть А и Л(л> — матрицы порядка п с элементами соответственно si — // и (si — /;)л на месте (i, jf. Тогда
det (Л^) = А. Д ( Пг ) Д (s, - sy) П (^ - t^ per (Л).
r-1 KiKi
1881
Скотт (R. F. Scott). Mathematical notes, Messenger of Math. 10 (1881), 142—149.
Пусть A — ((xi — у/)-1), где xt, ..., xn и yx, ...,y„ суть различные корни уравнений хп — 1=0 и уп + 1 = 0 соответственно. Автор приводит без доказательства тождество
| per (Л) | = I| per (Л) | = Iп (1 ■ 3 • 5 ... (п — 2))2, если п нечетно,
| per (Л) | = I
| per (Л) | = I
0,если п четно.
Мюир (Т. Muir) A Treatise on Determinants, London, 1881.
См. издание, пересмотренное Мецлером [39].
1882
Мюир (Т. Muir). On a class of permanent symmetric functions, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 11 (1882), 409—418.
Для квадратных матриц вводится термин «перманент» и устанавливаются свойства перманентов, подобные свойствам детерминантов. Кроме того, показано, что детерминант произведения двух матриц порядка п выражается через совокупность п\ перманентов того же порядка, а произведение перманента матрицы порядка п на детерминант матрицы порядка п выражается через совокупность п! детерминантов того же порядка.
Ржегоржовский (V. Rehofovsky). О vytvornjici funkci Borchardt-ove, Casopis pro pestovdni math, a fys. 11 (1882), 111—120.
Вывод тождества Борхарта и соответствующей производящей функции.
'1890
Мюир (Т. Muir). The Theory of Determinants in the Historical Order of Development, Vol. I, Part 1, London, 1890.
Резюме публикаций по теории детерминантов до Кэли (но исключая его).
1893
Лерх (М. Lerch). Kratky dflkaz Borchardtovy vety determinantni, Casopis pro pistovani math, a fys. 23 (1893), 76—78.
Еще одно доказательство тождества Борхарта.
1897
Мюир (Т. Muir). A relation between permanents and determinants, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 22 (1897), 134—136.
Пусть A — матрица порядка n. Тогда
22(—1)грег (A [co [co]) det (A (co[co)) =0,
г=0и c Qr_ n
где per (A [or | co]) = 1 и det (A (w |co)) = det (А), если r = 0, и per (А [го | го]) = per (А) и det (Afro | co)) = 1, если r = n.
1899
Фербер (F. Ferber). Stir un symbole analogue aux determinants, Bull. Soc. Math. France 27 (1899), 285—288.
Рассматриваются перманенты матриц Вандермонда.
Мюир (Т. Muir). On a development of a determinant of the mnth order, Trans. Roy. Soc. Edinburgh 39 (1899), 623—628.
Детерминант матрицы А порядка mn выражается как сумма перманентов матриц порядка т, элементы которых — миноры А.
1900
Фербер (F. Ferber). Application du symbols des determinants positifs, Bull. Soc. Math. France 28 (1900), 128—130.
Два примера использования перманентов.
Мюир (Т. Muir). On Jacobi’s expansion for the difference-product when the number of elements is even, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 23 (1900), 133—141.
Разложение Якоби для произведений разностей (Werke III, 439—452) выводится с использованием пфаффианов и перманентов.
1903
Янг (A. Young). The expansion of the nth power of a determinant, Messenger of Math. 33 (1903), 113—116.
Выражение для общего члена (per А)", когда А — матрица 3-го порядка.
Мюирхед (R. F. Muirhead). Some methods applicable to identities and inequalities of symmetric algebraic functions of n letters, Proc. Edinburgh Math. Soc. 21 (1903), 144—157.
Пусть A = (a^) и B = (a^) — матрицы порядка n, где ai суть положительные числа, hj и h; — неотрицательные целые числа. Имеем рег(А)^ ^ рег(В) тогда и только тогда, когда последовательность (h,, .... h„) мажорирует (hihn^.
1906
Мюир (Т. Muir). The Theory of Determinants in the Historical Order of Development, Vol. I (2nd ed.), London, 1906.
Включает часть I [16], опубликованную в 1890 г.
1911
Мюир (Т. Muir). The Theory of Determinants in the Historical Order of Development, Vol. II, London, 1911.
Содержит раздел о перманентах (стр. 445—448).
1912
Мюир (Т. Muir). Note on double alternants, Trans. Roy. Soc. S. Africa 3 (1912), 177—185.
Одно соотношение между детерминантом и перманентом.
Мюир (Т. Muir). Question 6001, Educ. Times 65 (1912), 139, Math, from Educ. Times (2) 22 (1912), 49—50.
tl n
Коэффициенты разложения ПЕdijXj выражаются через перманенты.
1913
Пойа (О. Pdlya). Aufgabe 424, Arch. Math. Phys. (3) 20 (1913), 271.
He существует способа приписать одновременно элементам матрицы порядка п, п ^ 3, знаки + и — так, чтобы ее Перманент обратился в детерминант.
1915
Мюир (Т. Muir). Question 18015, Educ. Times 68 (1915), 238; Math, from Eauc. Times (2) 29 (1915), 58—60; Math. Quest, and Sol. 1 (1915), 16.
Одно неравенство между перманентом и детерминантом.
Мюир (Т. Muir). Determinants whose elements are alternating numbers, Messenger of Math. 43 (1915), 21—27.
Изложение следует работе Споттисвуда [8].
1916
Кёниг (D. Konig). Ober Graphen und ihre Anwendung auf Determinanten- theorie und Mengelehre, Math. Ann. 77 (1916), 453—465; Math. 6s Ter- mesz. Ertesltd 34 (1916), 164—119.
Перманент дважды стохастической матрицы положителен. Перманент (0,1)-матрицы с к единицами в цаждой строке и каждом столбце ив может быть меньшим к.'
1917
Фробениус (G. Frobenius). Ober zerlegbare Determinanten, Sber. Preuss. Akad. Wiss. (1977), 274—277.
Перманент неотрицательной матрицы порядка а обращается в нуль тогда и только тогда, когда она содержит нулевую подматрицу размера &Х(п — к-VW Перманент дважды стохастической матрицы положителен.
■ '1918
Шур (I. Schur). Ober endliche Gruppen und Hermitesche Formen, Math. Z. 1 (1918), 184—207.
Детерминант положительно полуопределенной матрицы не превосходит ее перманента.
1920
Мюир (Т. Muir). The Theory of Determinants in the Historical Order of Development, Vol. Ill, London, 1920.
Содержит резюме статей [7], [8], [10], [11] и книги [9].
1923
Мюир (Т. Muir). The Thepry of Determinants in the Historical Order of Development, Vol. IV, London, 1923.
Содержит резюме статей [12], [14], [15], [17], [18], [19], [20].
•1926
Ван дер Варден (В. L. van der Waerden). Aufgabe 45, Jber. Deutsch. Math. Verein. 35 (1926), 117.
«Гипотеза Ван дер Вардена»: найти минимум функции перманента ча множестве всех дважды стохастических матриц порядка п.
Тернбул (Н. W. Turnbull). The Theory of Determinants, Matrices, and Invariants, London, 1926.
Содержит определение функции перманента и формулу, включающую перманенты.
1928
Мюир (пересмотрено Мецлером) (Т. Muir). A Treatise on the Theory of Determinants, London, 1928.
Пересмотренное и расширенное издание книги [13]. Содержит несколько формул, включающих детерминанты н перманенты. Вводятся перманенты трехмерных матриц.
1930
Мюир (Т. Muir). Contributions to the History of Determinants 1900—1920, London, 1930.
Содержит резюме работ [21], [22], [23], [27], [28], [29], [30], [31], [32].
1931
Эгервари (Е. Egervary). Matrixok kombinatorius tulajdonsagairol, Mat. Fiz. Lapok 38 (1931), 16—28.
Содержит теорему Кёнига — Эгервари: минимальное число линий в (0, 1)-матрице, содержащих все ее единицы, равно терм-рангу матрицы.
Кёниг (D. Konig). Graphok es matrixok, Mat. Fiz. Lapok 38 (1931), 116—119.
Обобщение теоремы Фробениуса — Кёнига. Теорема Кёнига — Эгервари.
1933
Кёниг (D. Konig). Uber trennende Knotenpunkte in Graphen (nebst An- wendungen auf Determinanten und Matrizen), Acta Litt, ac Sci. (Sec. Sci. Math.), Szeged 6 (1933), 155—179.
Продолжение [42] (см. книгу Кёнига [48]).
1934
Харди, Литлвуд и Пойа (G. Н. Hardy, J. Е. Littlewood, G. Polya). Inequalities, London, 1934. [Имеется перевод: Неравенства. — Л., Гос. изд-во иностр, лит., 1948.]
Содержит обобщение теоремы Мюирхеда [24] на любые неотрицательные действительные показатели и доказательство этой обобщенной теоремы.
Тушар (J. Touchard). Sur un probleme de permutations, C. R. Acad. Sci. Paris 198 (1934), 631—633.'
Формула в явном виде для «чисел супружеских пар», т. е. для рег(п/„ — 1„ — Р).
Веддерберн (J. Н. М. Wedderburn). Lectures on Matrices, Providence, 1934.
Определяются перманенты, излагаются их свойства как полилинейных функций, вводится понятие индуцированной матрицы (стр. 75—76),
1935
Холл (Р. Hall). On representatives of subsets, /. London Math. Soc. 10 (1935), 26—30..
Дается необходимое и достаточное условие того, чтобы конфигурация конечных подмножеств имела СРП, или, равносильно, чтобы неотрицательная матрица имела положительный перманент.
1936
Кёниг (D. Konig). Theorie der endlichen und unendlichen Graphen, Leipzig, 1936.
В разделе, посвященном приложениям графов к матрицам и детерминантам (гл. XIV, § 3), речь идет фактически о перманентах. В частности. он содержит теорему Фробениуса — Кёнига, теорему Кёнига — Эгер, вари и формулировку гипотезы Ван дер Вардена.
1939
Айткен (А. С. Aitken). Determinants and Matrices, Edinburgh, 1939.
Определение и разложение перманентов. «Задача о встречах», т. е. вычисление per(п/л — Л).
1943
Капланский (I. Kaplansky). Solution of the «probleme des menages», Bull. Amer. Math. Soc. 49 (1943), 784—785.
Решение задачи о супружеских парах, т. е. вычисление 2п!рег(пЛ — -U-P).
1945
Венкатарайуду (Т. Venkatarayudu). Immanents of a matrix associated with a finite abelian group, Proc. Indian Acad. Set., Sect. A 21 (1945), 103—104.
Все имманенты некоторой матрицы, ассоциированной с конечной абелевой группой, обращаются в нуль, за исключением перманента.
1948
Маршалл Холл, мл. (Marshall Hall, Jr.). Distinct representatives of subsets, Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 922—926.
Если А есть (0, 1)-матрица размера mXn e ненулевым перманентом и строчными суммами, не меньшими k, к ^ т, то Рег(А) ^ &!.
1950
Халмош и Воган IP R. Halmos, Н. Е. Vaughan), The marriage problem, Amer. J. Math 72 (1950). 214—215.
Содержит простое комбинаторное доказательство теоремы Ф. Холла [47].
1953
Каяньелло (Е. R. Caianiello). On quantum field theory, I. Explicit solution of Dyson’s equation in electrodynamics without use of Feynman graphs, Nuovo Cimento (9) 10 (1953), 1634—1652.
Вводятся гафнианы, используемые затем в алгоритме.
Манн и Райзер (Н. В. Mann, Н. J. Ryser). Systems of distinct representatives, Amer. Math. Monthly 60 (1953), 397—401.
Краткое доказательство теоремы M. Холла [52], основанное на методе из [53].
1954
Гарсиа (Р. J. Garcia). On properties and applications of permanents (Spanish), Gaseta Mat. (1) 6 (1954), 8—14.
Включает применение к выводу формулы для элементарных симметрических функций.
1956
Каяньелло (Е. R. Caianiello). Proprieta pfaffiani е hafniani, Ricerca, Napoli 7 (1956), 25—31.
Теорема о разложении для гафнианов, включающая перманенты.
1959
Бреннер (J. L. Brenner). Relations among the minors of a matrix with dominant principal diagonal, Duke Math. J. 26 (1959), 563—568.
Матрица с доминирующей диагональю имеет ненулевой перманент.
Каяньелло (Е. R. Caianiello). Regularization and renormalization, I, Nuovo Cimento (10) 13 (1959), 637—661.
Гафнианы и перманенты используются для представления средних значений произведений свободных коммутирующих полей. Приводится формула разложения для перманентов.
Каяньелло (Е. R. Caianiello). Theory of coupled fields, Nuovo Cimento Suppl. 14 (1959), 177—191.
Перманенты и гафнианы используются в разложениях пертурбаций.
Левин (J. Levine). Note on an identity of Cayley, Amer. Math. Monthly 66 (1959), 290-292.
Тождество Кэли [6] расширяется на матрицы порядка 4 и ранга, меньшего трех.
Маркус и Ньюмен (М. Marcus, М. Newman). On the minimum of the permanent of a doubly stochastic matrix, Duke Math. J. 26 (1959), 61—72.
Важные частные результаты по гипотезе Ван дер Вардена. Основной результат: если А — дважды стохастическая положительная матрица порядка п с минимальным перманентом, то Л = ]„.
1960
Карлиц и Левин (L. Carlitz, J. Levine). An identity of Cayley, Amer. Math. Mounthly 67 (1960), 571—573.
Обобщение теоремы Кэли [6]: если А = (щ,) есть матрица порядка п и ранга, меньшего 3, и если В = (а^1), а С = (а^2), то per (В) det (В) = = det (С).
Маркус (М. Marcus). Some properties and applications of doubly stochastic matrices. Amer. Math. Monthly 67 (1960), 215—221.
Содержит небольшой раздел, посвященный гипотезе Ван дер Вардена.
Маркус и Ньюмен (М. Marcus, М. Newman). Permanents of doubly stochastic matrices, Proc. Symp. Appl. Math., Amer. Math. Soc. 10 (I960), 169—174.
Краткое изложение результатов, полученных в [62].
Никола! (Р. J. Nikolai). Permanents of incidence matrices, Math. Comput. 14 (1960), 262—266.
Приводятся две матрицы инцидентности неизоморфных (15,7,3)-схем с неодинаковыми перманентами.
Райзер (Н. J. Ryser). Compound and induced matrices in combinatorial analysis. Proc. Symp. Appl. Math., Amer. Math. Soc. 10 (1960), 149—167.
Последняя страница содержит краткий обзор задач о перманентах неотрицательных матриц.
Райзер (Н. J. Ryser). Matrices of zeros and ones, Bull. Amer. Math. Soc. 66 (1960), 442—464.
Высказывается гипотеза: в классе (0, 1)-матриц порядка ok со строчными и столбцевыми суммами, равными h, функция перманента достигает максимума на прямой сумме матриц порядка h, составленных из единиц.
Тинсли (М. F. Tinsley). Permanents of cyclic matrices, Pacific J. Math. 10 (1960), 1067—1082.
Если А есть (0, 1)-матрица, представляющаяся как сумма з попарно коммутирующих матриц перестановки, з ^ 3, и если |det(^) | = per (Л), то Л с точностью до перестановок строк и столбцов равна прямой сумме циркулянтов 7-го порядка вида /7 + Р + Р3.
1961
Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). On the relation between the determinant and the permanent, Illinois L Math. 5 (1961), 376—381.
He существует линейного преобразования на множестве матриц порядка п, п ^ 3, обращающего детерминант любой матрицы в ее перманент. Это — обобщение результата Пойа [29].
Маркус, Минк и Мойлс (М. Marcus, Н. Mine, В. Moyls). Some results on nonnegative matrices, J. Res. Nat. Bur. Standards 65B (1961), 205— 209.
- Оценки снизу для перманентов дважды стохастических матриц в терминах чисел Биркгофа.
Маркус и Ньюмен (М. Marcus, М. Newman). The permanent function as inner product, Bull. Amer. Math. Soc. 67 (1961). 223—224.
Анонсируются результаты из [79].
Мендельсон (N. S. Mendelson). Permutations with confined displacements. Canad. Math. Bull. 4 (1961), 29—38.
Формулы для перманентов (0, 1)-циркулянтов вида Р + Р2 + ... + Р6 для k = 1, 2, 3, 4, п— 2, п—1, п. Формулы для k = 3, 4, п— 2 неверны (см. [94]).
1962
Маркус (М. Marcus). An inequality connecting the P-condition number and the determinant, Numer. Math. 4 (1962), 350—353,
Неравенство дает нижнюю границу для детерминанта положительно определенной эрмитовой матрицы в терминах произведения ее главных подперманентов.
Маркус (М. Marcus). Linear operations on matrices, Amer. Math. Monthly 69 (1962), 837—847.
Содержит раздел о перманентах: формулировки результатов из [29], [70] и [76].
Маркус и Мэй (М. Marcus, F. С. May). The permanent function, Canad. J. Math. 14 (1962), 177—189.
Определяется вид линейных преобразований матриц порядка п, не изменяющих перманента каждой из матриц.
Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). Some results on doubly stochastic matrices, Proc. Amer. Math. Soc. 76 (1962), 571—579.
Если A—дважды стохастическая матрица порядка п, то рег(А)^ 9= W-
Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). The Pythagorean theorem in certain symmetry classes of tensors, Trans. Amer. Math. Soc. 104 (1962), 510—515.
Если A = (ay) есть положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка п, то
Рег ^П^
1=1
Маркус и Ньюмен (М. Marcus, Н. Newman). Inequalities for the permanent function, Ann. Math. 675 (1962), 47—62.
Перманент выражается как скалярное произведение в подходящем классе симметрии тензоров. Показано, что гипотеза Ван дер Вардена справедлива для положительно полуопределенных дважды стохастических матриц.
Мойлс, Маркус и Минк (В. N. Moyls, М. Marcus, Н. Mine). Permanent preservers on the space of doubly stochastic matrices, Canad. J. Math. 14 (1962), 190—194.'
Определяется вид отображений, описанных в заголовке.
1963
Эрдеш и Реньи (Р. Erdos, A. Renyi). On random matrices, Magyar Tad. Abad. Mat. Kutato Int. Kozl. 8 (1963), 455—461.
О вероятности того, что (0,1)-матрица с заданным числом единиц имеет положительный перманент.
Маркус (М. Marcus). The permanent analogue of the Hadamard determinant theorem, Bull. Amer. Math. Soc. 69 (1963), 494—496.
Если A = (аг;) есть положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка п, то
паи per (A (Z | Z)) > per (А) > аи per (А (Z [ Z)),
i = 1, п, и, следовательно,
per (Л) > Д ац.
t=i
Минк (Н. Mine). A note on an inequality of M. Marcus and M. Newman, Proc. Amer. Math. Soc. 14 (1963), 890—892.
Небольшое обобщение и новое доказательство результата из [79] (гипотеза Ван дер Вардена для положительно полуопределенных дважды стохастических матриц).
Минк (Н. Mine). Upper bounds for permanents of (0,1)-matrices, Bull. Amer. Math. Soc. 69 (1963), 789—791.
Если А есть (0, 1)-матрица co строчными суммами r^r„, то
тт 1 рег(Л)^П~-2~‘ i=l
Гипотеза:
per (A) Д (rj)1^.
i=l
Мирский (L. Mirsky). Results and problems in the theory of doubly stochastic matrices, Z. Wahrschein. 1 (1963), 319—334.
Содержит краткий обзор результатов о перманентах.
Резерфорд (D. Е. Rutherford). Inverses of Boolen matrices, Proc. Glasgow Math. Asoc. 6 (1963), 49—53.
Вводится понятие булева перманента (под названием «булев детерминант»),
Райзер (Н. J. Ryser). Combinatorial Mathematics, Math. Assoc. Amer., 1963. [Имеется перевод: Комбинаторная математика. — М.: Мир, 1966.] Содержит формулу Райзера для вычисления перманентов и, кроме того, материал по «задаче о встречах», «задаче о супружеских парах», гипотезе Ван дер Вардена, перманентам (0, 1)-матриц и т. д.
Тверберг (Н. Tverberg). On the permanent of a bistochastic matrix, Math. Scand. 12 (1963), 25—35.
Пусть <Ti(A)—сумма всех подперманентов порядка t матрицы А порядка п. Если А — дважды стохастическая матрица и А =# Jn, то Oi(A) ^ ^ Gt (Л) для t = 2 и 3.
'1964
Маркус (М. Marcus). The Hadamard theorem for permanents, Proc. Amer. Math. Soc. 15 (1964), 967—973.
Доказывается результат, анонсированный в [82]: если А = (а,/) есть положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка п, то
per (А) > Д ац.
Маркус (М. Marcus), The use of multilinear algebra for proving matrix
inequalities, Recent Advances in Matrix Theory Wisconsin, 1964, pp. 61— 80.
Демонстрируется применение полилинейной алгебры к доказательству некоторых полученных ранее неравенств.
Маркус и Гордой (М. Marcus, W. R. Gordon). Inequalities for subpermanents, Illinois J. Math.. 8 (1964). 607—614.
Оценки сверху для сумм квадратов абсолютных величин всех подперманентов порядка к некоторой матрицы.
Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities, [Имеется перевод: Обзор no теории матриц и матричных неравенств.—М.: Наука, 1972.]
Содержит материал по элементарным свойствам перманентов и индуцированных матриц, различные неравенства, включающие перманенты, список частных результатов по гипотезе Ван дер Вардена и т. д.
Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). Inequalities for general matrix functions, Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964), 308—313.
Если N — нормальная матрица порядка n с характеристическими числами Г1гп, то
-I per (М) | < 1 ^ | г, I".
i-1
Приводятся также другие неравенства для перманентов, включая обобщение гипотезы Ван дер Вардена иа множестве положительно полу- определенных эрмитовых матриц порядка п.
Минк (Н. Mine). Permanents of (0, l)-circulants, Canad. Math. Bull. 7 (1964), 253—263.
Формулы для перманентов (0, 1)-циркулянтов In + Р + Рг и /„ + + Р + Р3 + Р3.
Перфект (Н. Perfect). An inequality for the permanent function, Proc. Cambridge Philos. Soc. 60 (1964), 1030—1031.
Если A — субстохастическая матрица, то
per (l(/ + |A))<l(l+per (A)).
Слейтер и Томпсон (M. L. Slater, R. J. Thompson). A permanent inequality for positive functions on the unit square, Pacific J. Math. 14 (1964), 1069—1078.
Упомянутое в заголовке неравенство применяется к доказательству неравенства для максимального диагонального произведения в дважды стохастической матрице, полученного в [77].
1965
Бруальди и Ньюмен (R. A. Brualdi, М. Newman). Inequalities for permanents and permanental minors, Proc Cambridge Philos. Soc. 61 (1965), 741—746.
Если А = (а;/) есть дважды стохастическая матрица порядка м и 0 ^ ^ а ^ 1, то
per (а/ + (1 — а) Л) ^ а + (1 — а) per (Л),
У, (1 — а„) per (Л (Z ] ОХ 1 — per (Л).
У per (Л (/1 /)) < п и т. д.
i
Бруальди и Ньюмен (R. A. Brualdi, М. Newman). Some theorems on the permanent, J. Res. Nat. Bur. Standards 69B (1965), 159—163.
Для целого положительного к пусть f(£) обзначает наименьший порядок (0, 1)-матрицы с перманентом, равным к. Тогда log f (^) ~ log log к. В работе содержатся также результаты о перманентах неотрицательных циркулянтов.
Эверетт (С. J. Everett). An inequality on doubly stochastic matrices, Proc. Amer. Math. Soc. 16 (1965), 310—313.
Гипотеза Ван дер Вардеиа справедлива для дважды стохастических матриц порядка псп — 1 одинаковыми строками.
Маркус (М. Marcus). Matrix applications of a quadratic identity for decomposable symmetrized tensors, Bull. Amer. Math. Soc. 71 (1965), 360—364.
Нижняя граница для per(A[co]co]), где матрица К эрмитова и положительно определена, а ш е Gm, п, в терминах характеристических чисел К.
Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). Diagonal products in doubly stochastic matrices, Quart. I. Math. Oxford Ser. (2) 16 (1965), 32—34.
Если A—дважды стохастическая матрица порядка п с h характеристическими числами, равными по модулю 1, то
per (Л) >(п - h + 1)-(»-л+П
Если А неприводима, то рег(Л) ^ ^hfn^n.
Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). Generalized matrix functions, Trans. Amer. Math. Soc. 116 (1965), 316—329.
Доказательства результатов, анонсированных в [93].
Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). Permanents, Amer. Math. Monthly 72 (1965), 577—591.л
Подробный обзор теории перманентов, список из 13 гипотез и 2 проблем, библиография, состоящая из 16 книг и 56 статей.
Маркус и Ньюмен (М. Marcus, М. Newman). Generalized functions of symmetric matrices, Proc. Amer. Math. Soc. 16 (1965), 826—830.
Если S — дважды стохастическая матрица и Л —такая положительно цолуопределенная симметрическая матрица, что А — 5 неотрицательна, tq
■ per (1) > п /пп.
1966
Бейнеке и Харари (W. Beineke, F. Нагагу). Binary matrices with equal determinant and permanent, Studio Sci. Math. Hungar 1 (1966), 179—183.
Теоретико-графовые условия равенства детерминанта перманенту для бинарной матрицы.
Бруальди (R. A. Brualdi). On the permanent and maximal characteristic root of a nonnegative matrix. Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), 1413— 1416.
Если A — неотрицательная неприводимая матрица порядка п с максимальным характеристическим корнем г и если рег(А)> 0, то
lim (per (Ат))1/т =гп.■т->оо
Бруальди (R. A. Brualdi). Permanent of the direct product of matrices, Pacific J. Math. 16 (1966), 471—482.
Пусть А и В — неотрицательные матрицы порядков тип соответственно. Тогда
(per (A))" (per (B))m < per (А ® В) < Кт, п (per (A))" (per (B))m,
где Кт, п — число, зависящее только от т и п.
Бруальди (R. A. Brualdi). Permanent of the product of doubly stochastic matrices, Proc. Cambridge Philos. Soc. 62 (1966), 643—647.
На вопрос, когда per(AS) = per(A)per(S), ответ дается для дважды стохастических матриц и для неотрицательных матриц, одна из которых вполне неразложима и имеет положительный перманент.
Бруальди и Ньюмен (R. A. Brualdi, М. Newman). Inequalities for the permanental minors of nonnegative matrices, Canad. J. Math. 18 (1966), 608—615.
Сумма всех подперманентов порядка г неотрицательной строчно субстохастической матрицы порядка п не превосходит ( ” ) •
ПО. Бруальди и Ньюмен (R. A. Brualdi, М. Newman). Proof of a permanental inequality, Quart. 1. Math. Oxford. Ser. (2) 17 (1966), 234—238.
Если радиус спектра неотрицательной матрицы А не превосходит 1, то perf/ — А) ^ 0.
Гибсон (Р. М. Gibson). A short proof of an inequality for the permanent function, Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), 535—536.
Краткое доказательство неравенства из [НО] для субстохастических матриц, использующее разложение Райзера из [87].
Юркат и Райзер (W. В. Jurkat, Н. J. Ryster). Matrix factorizations of determinants and permanents, J. Algebra 3 (1966), 1—27.
Замечательная формула, выражающая перманент матрицы как произведение матриц, каждая из которых образована с помощью лишь одной строки исходной матрицы. Формула используется для получения границ перманентов.
ИЗ. Лемпел и Седербаум (A. Lempel, I. Cederbaum). Minimum feedback arc and vertex sets of a directed graph, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-13 - (1966), 399—403.
Минимальные множества определяются с помощью разложения некоторого перманента.
Либ (Е. Н. Lieb). Proofs of some conjectures on permanents, /. Math. Meeh. 16 (1966), 127—134.
[
A ।1। о "1
-4г1 -422 J где Ди, A^— квадратные матрицы, то
per (А) > per (Ав) per (А22)
(гипотеза 8 [103]). Это доказывает также гипотезу 9 [103] в случае т = 2.
Маркус (М. Marcus). Permanents of direct products, Proc. Anter. Math. Soc. 17 (1966), 226—231.
Если А и В суть комплексные матрицы порядков п и т соответственно, то
| per (А ® В) |2 < (per (АА*))т (per (В*В)р.
Если А и В эрмитовы и положительно полуопределены, то
per (А ® В)("^г) (per (A))m (per (В))".
Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). A permanental inequality — the case of equality, Canad. J. Math. 18 (1966), 1085—1090.
n
Необходимое и достаточное условие того, чтобы | per (А) | = п-' У, | ct, |п
/-1 где А — нормальная матрица с характеристическими числами аь ... ..., а„.
Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). Modern University Algebra, New York, 1966.
Содержит некоторый материал по перманентам: элементарные свойства и «проблема танцев».
Мирский и Перфект (L. Mirsky, Н. Perfect). Systems of representatives, /. Math. Anal. Appi. 15 (1966), 520—568.
Подробный обзор результатов о системах представителей. Многие результаты в конечном случае можно сформулировать в терминах перманентов, которые в явном виде не упоминаются.
Уилф (Н. S. Wilf). On the permanent of a doubly stochastic matrix, Canad. J. Math. 18 (1966), 758—761.
/ »\
Оценки и асимптотические результаты для среднего per I У P^s I когда Pi независимо пробегают множество матриц перестановки.
1967
Баум и Итон (L. Е. Baum, J. A. Eagon). Ап inequality with applications to statistical estimation for probabilistic functons of Markov processes and to a model for ecology, Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967), 360—363.
Это неравенство в применении к перманентам дает следующий резуль. тат. Пусть S — множество стройно стохастических матриц размера тХа с ненулевым перманентом. Пусть f: S->-S есть функция
У (A))z/=az/Per (А (/1 j))/Per (А),
i = 1, ..., т, / = 1, ..., п, для любой А = (ац) е S. Тогда Per(f (А)) > > Per (А), если только [(А)=й= А.
Бреннер и Бруальди (J. L. Brenner, R. A. Brualdi). Eigenschaften der Permanentefunktion, Arch. Math. 18 (1967), 585—586.
Если A — субстохастическая матрица, то все корни многочлена per(z/ —А) лежат в круге 0^|z|^ 1 (гипотеза 13 [103]).
Ботта (Р. Botta). Linear transformations that preserve the permanent, Proc. Amer. Math. Soc. 18 (1967), 566—569.
Новое доказательство теоремы Маркуса и Мэя [76].
Джёкович (D. 2. Dokovid). On a conjecture by van der Waerden, Mat. Vesnik (19) 4 (1967), 272—276.
Пусть p*(A) обозначает сумму всех подперманентов порядка к матрицы А. Гипотеза: если А е fin, 1 ^ к ^ п, то
, (п — к + I)2. ..
Рк М ^„£Рй-1И)-
Эта гипотеза доказана для к = 3.
Джёкович (D. 2. Dokovid). Some permanental inequalities, Publ. Inst. Math. (Beograd) (N. S.) (21) 7 (1967), 191—195.
Если А и В — матрицы размеров соответственно m X " и п X к и ci е G,, „, ре Gr, ь, то
per ((АВ) [а | р] )2 < per ((АА*) [а | а] ) per ((В*В) [р | р]). '
Если А — положительно полуопределенная дважды стохастическая матрица порядка п и а е Gr, п, то per (А [а] а]) ^ г'.1пг.
Гройб (W. Н. Greub). Multilinear Algebra, Berlin, 1967.
Содержит формулу, выражающую перманент как скалярное произведение симметризованных тензоров.
Юркат и Райзер (W. В. Jurkat, Н. J. Ryser). Term ranks and permanents of nonnegative matrices, J. Algebra 5 (1967), 342—357.
Пусть A — неотрицательная матрица, и пусть rj^...^r„, Cj < ...
... ^c„ обозначают соответственно ее строчные и столбцевые суммы, расположенные в порядке неубывания. Тогда
рег(А)< Д min (г', с'Л.
1-1.
Маркус (М. Marcus). Lengths of tensors, Inequalities (Proc. Sympos. Wright-Patterson Air Force Base, Ohio 1965), 163—176, New York, 1967.
Если A = (ащ) есть положительно определенная эрмитова матрица порядка п с минимальным характеристическим числом л„, то
РегМ)> Д ацА-Х^Г £ I^JY
1 = 1\п > j > I "> \/
Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). On a conjecture of В. L. van der Waerden, Proc. Cambridge Philos. Soc. 63 (1967), 305—309.
Гипотеза: если S — дважды стохастическая матрица порядка п ^ 2, то per (S)> per (^^у).
Доказывается, что предположение справедливо в достаточно малой окрестности /„, а также для положительно полуопределенной S. Из этой гипотезы следует справедливость гипотезы Ван дер Вардена.
Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). Permutations on symmetry classes, J. Algebra 5 (1967), 59—71.
Матрица A — обобщенная матрица перестановки порядка п в том и только том случае, когда каждой со е От, „ для некоторого т < п соответствует в точности одна у е От, п, такая, что рег(Л [со |у]) ^ 0.
Маркус и Соулз (М. Marcus, G. W. Soules). Some inequalities for combinatorial matrix functions, I. Combinatorial Theory 2 (1967), 145—163.
Улучшаются неравенства Маркуса [82] и Либа [114].
Минк (Н. Mine). A lower bound for permanents of (0,1)-matrices, Proc. Amer. Math. Soc. 18 (1967), 1128—1132.
Простое доказательство неравенства, полученного в [112]: если А есть (0, 1)-матрица со строчными суммами г^ ^ ... ^ гп, то
п
per (А) > Д max (r; + i — п, 0).
i=l
Обсуждается случай равенства.
Минк (Н. Mine). Ап inequality for permanents of (0,1)-matrices, /, Combinatorial Theory 2 (1967), 321—326.
Улучшается результат из [84]: если А есть (0, 1)-матрица со строчными суммами ri, .,., гп, то
П
г , + л/2
i = i 1 + V2
133„ Моцкин (Т. S. Motzkin). Sings of minors, Inequalities (Proc. Sympos. Wright-Patterson Air Force Base, Ohio 1965) 225—240, New York, 1967.
Обобщаются результаты о матрицах с доминирующей главной диагональю, вкдючця сюда один результат о перманентах,.
Сассер и Слейтер (D. W. Sasser, М. L. Slater). On the inequality 2 xiU i ^ ^1^ 2 xi S Уi ап^ ^e van der Waerden conjecture, I. Combinatorial Theory 3 (1967), 25—33.
Если A—нормальная дважды стохастическая матрица порядка п и А ф In, причем все характеристические числа А лежат в клине, определенном неравенством |argz|^n/2& для некоторого й, 2 ^ к ^ а, то сумма всех подперманентов порядка к матрицы А больше, чем такая же сумма для /п.
1968
Баум и Селл (L. Е. Baum, G. R. Sell). Growth transformations for functions on manifolds, Pacific I. Math. 27 (1968), 211—227.
Улучшается результат из [120]:
Per (А) C Per ((1 - t) A + tf (A))
для любого t из интервала (0, 1]. Равенство получается, если и только если f(A) = А.
Бисли и Бреннер (L. В. Beasley, J. L. Brenner). Bounds for permanents, determinants, and Schur functions, J. Algebra 10 (1968), 134—148.
Оценки сверху и снизу для перманента матрицы с доминирующей главной диагональю.
Ботта (Р. Botta). On the conversion of the determinant into the permanent, Canad. Math. Bull. 11 (1968), 31—34.
Передоказывается результат из [70].
Kpano (H. H. Crapo). Permanents by Mobius inversion, J. Combinatorial Theory 4 (1968), 198—200.
Техника обращения Мёбиуса применяется для установления формулы Райзера вычисления перманентов, а также для получения другого метода вычисления.
Эберлейн и Мудхолкар (Р. J. Eberlein, G. S. Mudholkar). Some remarks on the van der Waerden conjecture, J. Combinatorial Theory 5 (1968), 386—396.
Два элементарных доказательства гипотезы Ван дер Вардена в случае п = 3 и доказательство в случае п = 4.
Эрдёш и Реньи (Р. Erdos, A. Renyi). On random matrices, II, Stadia Set. Math. Hangar. 3 (1968), 459—464.
Гипотеза: lim inf (per(A))1/'1 > 1 для А из A^ и фиксированного к ^ 3.
Гибсон (Р. М. Gibson). An inequality between the permanent and the determinant, Proc. Amer. Math. Soc. 19 (1968), 971—972.
Если A — субстохастическая матрица, то
per (Z - A) > det (Z - A) >0.
Хаммерсли (J. M. Hammersley). An improved lowen bound for the multidimensional dimer problem, Proc, Cambridge Philos. Soc. 64 (1968), 455-463,
Перманенты используются для получения оценки снизу в проблеме димеров. Если справедлива гипотеза Ван дер Вардена, то получается более точная граница.
Хвал (V. Hval). On the permanent of a space matrix (Russian), Mat. Vesnik (20) 5 (1968), 173—176.
Одно тождество для перманента пространственной матрицы.
Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). Extensions of classical matrix inequalities. Linear Algebra and Appl. 1 (1968), 421—444.
Оценки снизу для перманентов и сумм всех подперманентов порядка т нормальных дважды стохастических матриц. В частности, улучшается один результат Сассера и Слейтера [134].
Маркус и Пирс (М. Marcus, S. Pierce). On a combinatorial result of R. A. Brualdi and M. Newman, Canad. J. Math. 20 (1968), 1056—1067.
Неравенство для перманентов Бруальди и Ньюмена [109] получается как частный случай одного неравенства для некоторых функций Шура.
Симоэш-Перейра (J. М. S. Simoes Pereira). Boolean permanents, permutation graphs and products, SIAM J. Appt. Math. 16 (1968), 1251—1254.
Булевы перманенты используются для изучения вопроса о существовании перестановочных подграфов.
Уилф (Н. S. Wilf). A mechanical counting method and combinatorial applications, /. Combinatorial Theory 4 (1968), 246—258.
Производящая функция для принципа включения — исключения применяется к получению верхней границы для перманентов неотрицательных матриц и верхней границы для перманентов (0, 1)-матриц.
Уилф (Н. S. Wilf). Divisibility properties of the permanent function, J. Combinatorial Theory 4 (1968), 194—197.
Устанавливается, что перманент матрицы инцидентности (и, к, X) -конфигурации, где к и X четны, v ^ 3, делится на 2^d+3^4L
1969
Амир-Моэз (A. R. Amir-Moez). An Introduction to Elements of Multilinear Algebra, Lubbock, 1969.
Содержит материал о перманентах как скалярном произведении на симметрических пространствах.
Бисли (L. В. Beasley). Maximal groups on which the permanent is multiplicative, Canad. I. Math. 21 (1969), 495—497.
Положительный ответ на вопрос Маркуса и Минка [103]: множество всех обобщенных матриц перестановки порядка п есть максимальная группа невырожденных матриц порядка п, на которой перманент мультипликативен.
Джекович (D. 2. ©okovid). Simple proof of a theorem on permanents Glasgow Math. I. 10 (1969), 52—54.
Доказательство теоремы Либа [114].
Эберлейн (Р. J. Eberlein). Remarks on the van der Waerden conjecture П, Linear Algebra and Appl. 2 (1969), 311—320.
Доказательство гипотезы Ван дер Вардена в случае п = 5. Помимо этого доказывается: если А е Йл и per(A) ^ per(S) для всех SeQ„, то любые две строки (два столбца) в А либо равны, либо имеют различное расположение нулей.
Гибсон (Р. М. Gibson). An identity between permanents and determinats, Amer. Math. Monthly 76 (1969), 270—271.
Пусть A = (a,v), В = (by) суть матрицы порядка n. Если ay = 0 при j > i + 1, by = ay при i ^ j и by = — ay при i < j, to per (A) = = det(B).
Харари (F. Harary). Determinants, permanents and bipartite graphs, Math. Mag. 42 (1969), 146—148.
Перманенты используются для нахождения числа линейных подграфов ориентированного графа и числа 1-факторов двудольного графа.
Кинг и Паркер (В. W. King, F. D. Parker). A Fibonacci matrix and the permanent function, Fibonacci Quart. 7 (1969), 539—544.
Другое доказательство формулы для перманента циркулянта 7„ + Р + Р2 [94]. Доказывается также, что
[п/2][|п-2)/2]
рег(/„ + ? + />=)-2+£ (";‘)+ j ("~‘-2)-fe-06-0
Маркус (М. Marcus). Inequalities for matrix functions of combinatorial interest, SIAM I. Appl. Math. 17 (1969), 1023—1031.
Обзор, содержащий многие результаты о перманентах.
Маркус (М. Marcus). Spectral properties of higher derivations on symmetry classes of tensors, Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), 1303—1307.
Пусть A — нормальная матрица порядка n с характеристическими числами XiХл, а В — главный минор порядка р в А. Тогда сумма всех главных подперманентов порядка г матрицы В есть выпуклая оболочка чисел Ег (Х^, . ■ -Аа у « e Gp> „.
Маркус (М. Marcus). Subpermanents, Amer. Math. Monthly 76 (1969), 530—533.
Пусть P k(X) обозначает сумму всех подперманентов порядка к матрицы X. Если А и В — любые комплексные матрицы порядка п, то
\Рк (АВЦ<Рк (АА*)1/2Рк (В*В)1,2_
Маркус и Николаи (М. Marcus, Р. J. Nikolai). Inequalities for some monotone functions, Canad. J. Math. 21 (1969), 485—494.
Если А и В — положительно полуопределенные эрмитовы матрицы, то per (А + В) ^ per (А).
Метрополис, Стейн и Стейн (N. Metropolis, М. L. Stein, Р. R. Stein). Permanents of cyclic (0, 1)-matrices, J. Combinatorial Theory 7 (1969), 291—321.
Рекуррентные формулы для перманентов циркулянтов / + Р + ... ... + Рк-1 порядка п для 6^6 (для ^ ^ 4 см. [94]), а также некоторые результаты для & = 7, 8, 9. Числовые таблицы для значений 4 ^ к ^ 9, п < 80.
Минк (Н. Mine). Bounds for permanents of nonnegative matrices, Proc. Edinburgh Matfi. Soc. (2) 16 (1968/69), 233—237.
Простым методом устанавливаются границы Юрката и Райзера для перманентов неотрицательных матриц [112]. Получены также более точные границы.
Минк (Н. Mine). On lower bounds for permanents of (0, l)-matrices, Proc. Amer. Math. Soc. 22 (1969), 117—123.
Если A = (ay) есть вполне неразложимая (0, 1)-матрица, то
per (Л) > ( У ац ) — 2п + 2.
Николаи (Р. J. Nikolai). Mean value and limit theorems for generalized matrix functions, Canad. J. Math. 21 (1969), 982—991.
Отрицательный ответ на вопрос Маркуса и Ньюмена [79]: функция (per (/V))‘^ ПРИ положительно определенной А не есть, вообще говоря, выпукло-вогнутая по отношению к произвольному значению t.
О’Нил (Р. Е. O’Neil). Asymptotics and random matrices with row-sum and column-sum restrictions, Butt. Amer. Math. Soc. 75 (1969), 1276— 1282.
Асимптотические формулы для перманента разреженной (sparse) ) (0, 1)-матрицы и для среднего значения перманента на множестве разреженных (0, 1)-матриц, у которых все строчные и столбцевые суммы равны между собой.
Перкус (J. К. Percus). Combinatorial Methods, New York, 1969.
Производящие функции для перманентов. Использование перманентов в различных перечислительных задачах, включая проблему димеров.
Рохлиц (S. Rochlitz). Uber die Permanente des verallgemeinerten tenso- riellen Produkts der Matrizen, Publ. Math. Debrecen 16 (1969), 229—237.
Перманент обобщенного тензорного произведения двух множеств неотрицательных матриц не может быть меньше, чем произведение перманентов матриц.
Райзер (Н. J. Ryser). Permanents and systems of distinct representatives, Combinatorial Mathematics and Its Applications (Proc. Conf. University of North Carolina, 1967), Chapel Hill, 1969.
Обзор комбинаторных свойств перманентов с акцентом на нерешенные вопросы.
Сассер и Слейтер (D. W. Sasser, М. L. Slater). On a generalization of the van der Waerden conjecture, Portugal. Math. 28 (1969), 91—95.
Пусть Рк (А) обозначает сумму всех подперманентов порядка к матрицы А. Единственный локальный экстремум РДА), 2 ^ k ^ п, находящийся во внутренности Ял, — это Jn.
Синкхорн (R. Sinkhorn). Concerning a conjecture of Marshall Hall, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1969), 197—201.
Если А есть (0, 1)-матрица с тремя единицами в каждой строке и каждом столбце, то рег(А)^п. Это доказывает предположение Маршалла Холла.
Синкхорн и Кнопп (R. Sinkhorn, Р. Knopp). Problems involving diagonal products in nonnegative matrices, Trans. Amer. Math. Soc. 136 (1969), 67—75.
Для почти разложимых неотрицательных матриц вводится некоторая каноническая форма.
1970
Бисли (L. В. Beasley). Maximal groups on which the permanent is multiplicative: corrigendum, Canad. J. Math. 22 (1970), 192.
Поправка к [150] в части, касающейся единственности группы.
Бруальди и Ньюмен (R. A. Brualdi, М. Newman). Ап enumeration problem for a congruence equation, J. Res. Nat. Bur. Standards 74B (1970), 37—40.
Дается число различных членов в разложении перманента циркулянта с неизвестными (коммутирующими) членами.
Де Лука, Риччарди, Васудеван (A. de Luca, L. М. Ricciardi, R. Vasude- van). Note on relating pfaffians and hafnians with determinants and permanents, J. Mathematical Phys. 11 (1970), 530—535.
Выражение для перманента через сумму двух гафнианов.
Де Оливейра (G. N. de Oliveira). A conjecture and some problems on permanents, Pacific J. Math. 32 (1970), 495—499.
Доказывается существование матриц с заданными элементами на главной диагонали и заданными перманентными характеристическими числами. Гипотеза о перманентных характеристических числах неприводимой дважды стохастической матрицы.
Эллиот (J. Е. Н. Elliott). On matrices with a restricted number of diagonal values, Pacific J. Math. 35 (1970), 79—82.
Доказательство гипотезы Маркуса [103, гипотеза 10].
Гибсон (Р. М. Gibson). Combinatorial matrix functions and 1-factors of graphs, S/AM L Appl. Math. 19 (1970), 330—333.
Одно неравенство между гафнианом и перманентом используется для получения оценки сверху числа 1-факторов графа.
Глисон (А. М. Gleason). Remarks on the van der Waerden permanent conjecture, J. Combinatorial Theory 8 (1970), 54—64.
Из теоретико-вероятностных соображений выдвигается гипотеза о стохастических матрицах размера пХо которая эквивалентна гипотезе Ван дер Вардена. Последняя доказывается для п = 4.
Хартфил (D. J. Harfiel). A simplified form for nearly reducible and nearly decomposable matrices, Proc. Amer. Math. Soc. 24 (1970), 388—393.
Дается упрощенная каноническая форма для почти разложимых матриц. Если А есть (0, 1)-матрица порядка п, имеющая в точности три единицы в каждой строке и каждом столбце, то рег(А)^и + 3.
Хедрик и Синкхорн (М. Hedrick, R. Sinkhorn). A special class of irreducible matrices — the nearly reducible matrices, J. Algebra 16 (1970), 143—150.
Взводятся почти приводимые матрицы. Если А — почти приводимая (0, 1)-матрипа, то рег(А)^ 1.
Маркус (М. Marcus). Inequalities for submatrices, Inequalities II (Proc. Second Sympos. U. S. Air Force Acad. Colo., 1967), 223—240, New York, 1970.
Пусть p,(X) обозначает сумму всех главных подперманентов порядка г матрицы X. Если А и В суть коммутирующие между собой положительно определенные эрмитовы матрицы порядка и, а е Qm, „и 1 гД г гД сД т -Д п, то
рг ((А + В^'г [а]) > рг (А1* [а]) + рг (В1^ [а]).
Даются также неравенства для рг(А), когда А нормальна.
Маркус и Гордон (М. Marcus, W. R. Gordon). The structure of bases in tensor spaces, Amer. I. Math. 92 (1970), 623—640.
Перманенты используются в доказательствах существования А-нормаль- ных базисов.
Ниенюис и Уилф (A. Nijenhuis, Н. S. Wilf). On a conjecture in the theory of permanents, Bull. Amer. Math. Soc. 76 (1970), 738—739.
Анонсируется результат: если А есть (0, 1)-матрица порядка п со строчными суммами rt, ..., гп, то
per (/1)< П ((г,!)'^ + т),i=i
где т = 0,1367 ... есть универсальная констан:
Ниенюис и Уилф (A. Nijenhuis, Н. S. Wilf). On a conjecture of Ryser and Mine, Nederl. Akad. Wetensch., Proc. Ser. A 73 = Indag. Math. 32 (1970), 151 — 157.
Доказательство результата из [182].
О’Нил (Р. Е. O’Neil). Asymptotics in random (0,1)-matrices, Proc. Amer. Math. Soc. 25 (1970), 290—296.
Асимптотическое поведение средней величины перманента (0, 1)-матрицы порядка п как функции от п.
Остренд (Р. A. Ostrand). Systems of distinct representatives II, J. Math. Anal. Appl. 32 (1970), 1—4.
Пусть А есть (0, 1)-матрнца размера mXn со строчными суммами ri ^ ... ^ гт и положительным перманентом. Тогда
Per (А) JJ max (1, г; — / + 1)./=1
Робертс (Е. J. Roberts). The fully indecomposable matrix and its associated bipartite graph — an investigation of combinatorial and structural properties, Ph. D. Dissertation, NASA Technical Memorandum, TM X-58037, 1970.
Даются оценка снизу для перманентов вполне неразложимых (0, 1)-матриц, а также частные результаты о верхних границах перманентов почти разложимых (0, 1)-матриц.
Шарп (Н. Sharp, Jr.). The permanent of a transitive relation, Proc. Amer. Math. Soc. 26 (1970), 153—157.
Перманенты матриц инцидентности транзитивных отношений.
1971
Абрамсон (М. Abramson). A note on permanents, Canad. Math. Bull. 14 (1971), 1—4.
Обобщение перманентов прямоугольных матриц и некоторые его комбинаторные приложения.
Кснма (J. Csima). Л class of counterexamples on permanents, Pacific J. Math. 37 (1971), 655—656.
Контрпримеры к предположению де Оливейры [174] о перманентных характеристических числах дважды стохастической матрицы.
Де Оливейра (G. N. de Oliveira). Note on the function per (X/— A), Unto. Lisboa Reoista Fac. Ci. A (2) 13 (1970/71), 199—201.
Простое доказательство результата из [174].
Эрдёш (Р. Erdos). Problems and results in combinatorial analysis, Combinatorics, Proc. Sympos. in Pure Math., XIX, 77—89, 1971,
Содержит формулировку гипотезы Ван дер Вардена.
Гибсон (Р. М. Gibson). Conversion of the permanent into the determinant, Proc. Amer. Math. Soc. 27 (1971), 471—476.
Пусть А есть (0, 1)-матрица порядка n с положительным перманентом. Если перманент А можно превратить в детерминант приписыванием элементам А знаков ±, то А имеет не более (п2 + Зп— 2)/2 положительных элементов.
Гнрко В. Л. О неравенствах для случайных детерминанта н пермаиев* та. — Теория вероятн. и мат. стат., вып 4, (1971), 48—57.
Неравенства, связывающие вероятностное распределение per (А), где элементы А — элементы независимые случайные величины, с некоторыми характеристическими функциями и преобразованиями Лапласа.
Граф (М. L. Graf), On the van der Waerden conjecture — an automated approach, M. S. thesis, Wright State University, 1971.
Определяются некоторые области в Ол, n = 6, 7, 8, в которых справедлива гипотеза Ван дер Вардена.
Хартфил (D. J. Hartfiel). Counterexamples to a conjecture of G. N. de Oliveira, Pacific J. Math. 38 (1971), 67—68.
Контрпримеры к предположению де Оливейры [174].
Хартфил и Кросби (D. J. Hartfiel, J. W. Crosby). On the permanent of a certain class of (0, 1)-matrices, Canad. Math. Bull. 14 (1971), 507—511.
Если А есть (0, 1)-матрица порядка n с тремя единицами в каждой строке и каждом столбце, то per(A)^ 3(n — 1).
Ливоу (R. В. Levow). A graph theoretic solution to a problem of Marshall Hall, Proc. Second Louisiana Conf, on Combinatorics, Graph Theory and Computing (1971), 367—374.
Пусть A — матрица порядка n ^ 2 с неотрицательными целыми элементами. Если все ее строчные и столбцевые суммы равны к, то
per М) > ( 2 ) "/3 + к‘
Лондон (D. London). On matrices with doubly stochastic pattern, J. Math. Anal. Appl. 34 (1971), 648—652.
Пусть A — неотрицательная матрица образца1) дважды стохастической матрицы, н ее строчные суммы равны ft, ..., г„. Тогда существуют такие матрицы О, = diag(d^i, ..., d,/*), i = 1, 2, что £>iA£>2 дважды стохастическая и
пп
Г-11 = 1
Лондон (D. London). Some notes on the van der Waerden conjecture, Linear Algebra and Appl. 4 (1971), 155—160.
Пусть per (A) = min (per (S)) Тогда: 1) per (A (i [/)) 5; per (A); 2) если S e
А не положительна, то строки (столбцы) А имеют не менее трех различных вариантов расположения нулей.
Маркус (М. Marcus). Linear transformations on matrices, j. Res. Nat. Bur. Standards, 75B (1971), 107—113.
Обзор. Приводятся результаты из [29], [70], [76] и [122].
Маршалл (С. W. Marshall). Applied Graph Theory, New York, 1971.
Содержит формулу Райзера для вычисления перманентов. Перманенты используются для перечисления СРП.
Минк (Н. Mine). Rearrangements, Trans. Amer. Math. Soc. 159 (1971), 497—504.
Уточняются границы для перманентов (0, 1)-матриц из [112].
Пирс (S. Pierce). Multilinear functions of row stochastic matrices, Canad. J. Math. 23 (1971), 833—843.
Неравенства Бруальди и Ньюмена [109] обобщаются на класс функций, включающих перманент, и определяются случаи равенства, которые прилагаются к результатам Бруальди — Ньюмена.
1972
Бисли и Каммингс (L. В. Beasley, L. Cummings). Permanent groups, Proc. Amer. Math. Soc. 34 (1972), 351—355.
Описываются группы невырожденных матриц, на которых функция перманента мультипликативна.
Де Оливейра (G. N. de Oliveira). On the multiplicative inverse eigenvalue problem, Canad. Math. Bull. (2) 15 (1972), 189—193.
Результаты по проблеме обратных перманентных характеристических чисел.
Гибсон (Р. М. Gibson). A lower bound for the permanent of a (0,1)- matrix, Proc. Amer. Math. Soc. 33 (1972), 245—246.
Пусть A—вполне неразложимая (0, 1)-матрица порядка п, имеющая не менее к единиц в каждой строке. Тогда
per (Л) а (А) — 2д + 2 +(m! — 1),
т = 1
где а(Л) обозначает сумму всех элементов А.
Гибсон (Р. М. Gibson). Localization of the zeros of the permanent of a characteristic matrix, Proc. Amer. Math. Soc. 31 (1972), 18—20.
Показывается, что многие границы для характеристических чисел комплексной матрицы А являются также границами корней рег(М — Л).
Хартфил и Кросби (D. J. Harfiel, J. W. Crosby). A lower bound for the permanent on U„(k,k), J. Combinatorial Theory 12 (1972), 283—288.
Пусть А есть CO, 1)-матрица порядка n с точно к единицами в каждой строке и каждом столбце. Тогда
per (Л) ^ (/г — 2) t,k — 1) я/2.
Ливоу (R. В. Levow). Lower bounds for permanents of incidence matrices, 1. Combinatorial Theory (A) 12 (1972), 297—303
Оценки снизу для per (Л) — | det (Л) |, где А — матрица инцидентности (у, к, X) -конфигурации.
Маркус и Гордон (М. Marcus, W. R. Gordon). On projections in the symmetric power space, Monatsh. Math. 76 (1972), 130—134.
per (A + 5) ^ per (Л)per (A + 5) ^ per (Л)В неравенстве
per (A + 5) ^ per (Л)
per (A + 5) ^ per (Л)
из [159], где /1 и В — эрмитовы положительно полуопределенные матрицы, исследуется случай равенства.
Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). An inequality for Schur functions, Linear Algebra and Appl 5 (1972), 19—28.
Если Ai — положительно определенная, а Аг—положительно полуопре- деленная матрица и цг, цз — комплексные числа, то
I Рег (Ц1 -41 + Ц2А2) | ^ per ( | ц, | А, + | ц2 I Аг).
Меррис и Пирс (R. Merris, S. Pierce). Monotonicity of positive semidefinite hermitian matrices, Proc. Amer Math. Soc. 31 (1972), 437—440.
Если А, В и A—В суть положительно полуопределенные эрмитовы матрицы и per(A) = per(B)=j^ 0, то А = В.
Минк (Н. Mine). On permanents of circulants, Pacific 1. Math. 42 (1972). 477—484.
Формулы для перманента циркулянта a.ln + PR + У’Р2. В множестве дважды стохастических циркулянтов вида а/п + РР + уР2 минимум перманента лежит в интервале (1/2л, 1/2"—’).
Минк (Н. Mine). Nearly decomposable matrices. Linear Algebra and Appl. 5 (1972), 181 — 187.
Сумма элементов в почти разложимой (0, 1)-матрице порядка п не превосходит 3(и—1). Если А есть вполне неразложимая (0, 1)-матрица со строчными суммами rt, ... , гп и столбцевыми суммами ci, ..., сл, то
per (А) > max frtrn, с,cnY
Ниенюис и Уилф (A. Nijenhuis, Н. S Wilf). Induced Markov chains and the permanent functions, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 75-Indag. Math. 34 (1972), 93—99.
Одно обобщение перманентов в вероятностном контексте.
Ротхаус (О. S. Rothaus). Study of the peimanent conjecture and some generalizations, Bull. Amer. Math. Soc. 78 (1972), 749—752.
Анонсируются следующие результаты: 1) если .4е9,„ то рег(А)^ ^ \jnn-1; 2) существует такое г, зависящее от п, что рег(Аг) для А е е Пп достигает минимума только в 1Л.
Синкхорн (R. Sinkhorn). Continuous dependence on A in the D\AD2 theorems, Proc. Amer. Math. Soc. 32 (1972), 395—398.
Используется техника, связанная с перманентами.
1973
Бисли и Каммингс (L. В. Beasley, L. Cummings), Permanent groups II, Proc. Amer Math. Soc. 40 (1973), 358—364.
Результат Бисли [150] о матрицах порядка п обобщается на любое бесконечное поле характеристики 0 или большей, чем п.
Л. М. Брэгман. Некоторые свойства неотрицательных матриц и их перманентов. — ДАН СССР, 211, № 1 (1973), 27—30.
Доказывается гипотеза Минка [84] о верхней границе для перманентов (О, 1)-матриц.
Каммингс (L. J. Cummings). Elementary-maximal permanent semigroups, Proc. 4th S.-E. Conf. Combinatorics, Graph Theory and Computing (1973), 233—236.
О некоторых полугруппах треугольных матриц, на которых перманент мультипликативен.
Де Оливейра (G. N. de Oliveira). Generalized Matrix Functions, Oeiras, 1973.
Книга, составленная из записей лекций по обобщенным матричным функциям (функциям Шура). Включено несколько результатов о перманентах.
Энгель (G. М. Engel). Regular equimodular sets of matrices lor generalized matrix functions, Linear Algebra and Appt. 7 (1973), 243—274.
Пусть A = (ац) есть комплексная матрица порядка п и 5(Л) обозначает либо множество таких комплексных матриц В = (Ь,/), что |а>/| = = |Ь,,| для всех i, j. либо множество всех таких В= (Ьц), что Ьц = = ait и | bi, | дТ | а-,, | для всех I, j. Тогда
min | det (S)| ^ min | per (В) |.
В е S (Л)В е S (Л)
Энгель и Шнейдер (G. М. Engel, Н. Schneider). Cyclic and diagonal products on a matrix, Linear Algebra and Appl. 7 (1973), 301—335.
Неотрицательная матрица А вполне неразложима, если и только если из условий |В|^Л и |рег(В) | = рег(Л) для комплексной матрицы В следует, что существуют такие диагональные комплексные матрицы Di, Di, что DiBDi = А.
Энгель и Шнейдер (G. М. Engel, Н. Schneider), Inequalities for determinants and permanents, Linear and Multilinear Algebra 1 (1973), 187—201..
Пусть M = (m,/) есть действительная матрица порядка п с та ^ 0, i = 1, ..., п, и та гД 0, если i =# j. Тогда
det (М) + per (М)2 JJ тц.
1=\
Если S = ($,у) есть такая стохастическая матрица порядка п, что su ^ у, i = 1, ... , п, то per(S) 5$ 1/2"-1.
Эверетт и Стейн (С. J. Everett, Р. R. Stein). The asymptotic number of (0, 1)-matrices with zero permanent, Discrete Math. 6 (1973), 29—34.
Число (0,1)-матриц с нулевым перманентом асимптотически равно ^n-n+i.
Гриффитс (R. С. Griffiths). An expansion for the permanent of a doubly stochastic matrix, J. Austral. Math. Soc. 15 (1973), 504—509.
Разложение в бесконечный ряд рег(хЛ +(1 — x)Jn), где Л е 52л и 0 < х < 1.
Дьиреш (В. Gyires). Discrete distribution and permanents, Publ. Math. Debrecen 20 (1973), 93—106..
Некоторые приложения перманентов в теории вероятностей. Равенства и неравенства для перманентов, происходящие из вероятностных моделей. Метод приближенного нахождения характеристических чисел положительно полуопределенных матриц, основанный на вычислении перманентов.
Дьиреш (В. Gyires). On the permanent-derivatives of doubly stochastic matrices, Demonstration Math. 6 (1973), 657—663.
Если гипотеза Ван дер Вардена справедлива и все подперманенты порядка п — 2 дважды стохастической матрицы А порядка п равны между собой, то А = /„.
Хартфил (D. J. Hartfiel). A lower bound on the permanent of a (0,1)- matrix, Proc. Amer. Math. Soc. 39 (1973), 83—85.
Оценка снизу для перманента вполне неразложимой (0,1)-матрицы порядка п со строчными суммами, большими 2. Уточняются нижние границы из [162] и [206].
Джонсон (J. J. Johnson). The permanent function and the problem of Montfort, Math. Mag. 46 (1973), 80—83.
Элементарными матричными методами получена известная формула для per(/ —J„) (см., например, [87]).
Ливоу (R. В. Levow). Counterexamples tp conjectures of Ryser and de Oliveira, Pacific J. Math. 44 (1973), 603—606.
Контрпримеры к предположениям Райзера [68] (о том, что условие перестановочности в теореме Тинсли [69] может быть опущено) и де Оливейры [174].
Лондон (D. London). On a connection between the permanent function and polynomials, Linear and Multilinear Algebra 1 (1973), 231—240.
Пусть cci, ..., an суть комплексные числа, лежащие в круговой области С, a Pi, ..., |3„ принадлежат дополнению С. Положим М=(т,,'), где тц = ai — р,, i, j = 1, ..., п. Тогда per (Л1) ^= 0. Пусть А е Пл. Тогда р(А — J„) = р(А) — 1, где р(Х) обозначает ранг матрицы X.
Маркус (М. Marcus). Finite Dimensional Multilinear Algebra, Part I, New York, 1973.
Содержит изложение теории функций Шура. Специализация для перманентов по большей части отнесена в упражнения; некоторые из них сложны, но указываются решения.
Маркус и Меррис (М. Marcus, R. Merris). A relation between permanenta! and determinantal adjoints, I. Austral, Math. Soc. 15 (1973), 276—271.
Пусть A — положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка п, Р(А), D(A) обозначают матрицы, у которых элемент на местё (i, j) равен соответственно per (А (/ |Z)) и (—l)z+/ det (А (/[/)). Тогда матрица п (det (А)) 1 D (А) — (per (А)) 1 Р (А) положительно полуопредв- лена..
Меррис (R. Merris). The permanent of a doubly stochastic matrix, Amer, Math. Monthly 80 (1973), 791—793.-
Выдвигается предположение: если А — дважды стохастическая матрица порядка п, то
п per (Д) 5= min £ per (Д (/)/));
/ = 1
дается контрпример к аналогичному неравенству с max вместо min.
Минк (Н. Mine). (О, 1)-matrices with minimal permanents, Israel J. Math. 15 (1973), 27—30.
Перманент вполне неразложимой (ОД)-матрицы равен ее наибольшей строчной (столбцевой) сумме тогда и только тогда, когда все ее остальные строчные (столбцевые) суммы равны 2.
Перфект (Н. Perfect). Positive diagonals of ±l-matrices, Monatsh, Math, 77 (1973), 225—240.
Результаты о существовании ±1-матриц порядка п, имеющих в точности k положительных диагональных произведений, т. е. с перманентом, равным 2А — п!.
Сенета (Е. Seneta). Norinegative Matrices, New York, 1973.
Упоминается гипотеза Ван дер Вардена.
Синкхорн (R. Sinkhorn). Doubly stochastic matrices whose squares leave the permanent invariant, Linear and Multilinear Algebra 1 (1973), 103— 118.
Решаются уравнения Д2 = PAQ1 и Д2 = PATQ' для дважды стохастической матрицы А и матриц перестановки Р и Q. Это дает частичное решение вопроса об уравнении рег(Д2) = рег(Д) для дважды стохастической матрицы А.
1974
Каяньелло (Е. R. Caianiello). Combinatorics and Renormalisation in Quantum Field Theory, New York, 1974
Обзор работ Каяньелло и его сотрудников. Перманенты и гафнианы применяются к бозонным полям.
241 Дюбуа (J. Dubois). A note of the van der Waerden permanent conjecture, Canad. J. Math. 6 (1974), 352—354.
Речь идет о невозможности некоторых видов расположения нулей для дважды стохастической матрицы с минимальным перманентом.
242 Фореггер (Т. Н. Foregger). On facial minimizing matrices for the permanent function, Notices AMS 21 (1974), A—434.
Пусть F — подполиэдр Qn, натянутый на некоторое множество матриц перестановки, и предположим, что F содержит вполне неразложимую матрицу. Если А е F и per (Д) = ^nin per t.X\ то А вполне неразло
жима.
Фридленд (S. Friedland). Matrices satisfying the van der Waerden conjecture, Linear Algebra and A ppi. 8 (1974), 521—528.
Любая дважды стохастическая матрица порядка п, числовая область которой лежит в секторе, ограниченном —л/2п и л/2м, удовлетворяет гипотезе Ван дер Вардена. Тем самым улучшаются результаты Маркуса и Ньюмена [79] и Сассера и Слейтера [134].
Гэл и Брейтбарт (S. Gal, Y. Breitbart). A method for obtaining all the solutions of a perfect matching problem, IBM Israel Scientific Center Technical Report 016 (1974).
Эффективный метод вычисления перманента (0, 1)-матрицы в случае, когда перманент невелик.
Гордон, Моцкин и Уэлч (В. Gordon, Т. S. Motzkin, L. Welch). Permanents of 0,1-matrices, I. Combinatorial Theory Ser. A17 (1974), 145—155.
Для любого целого положительного к существуют (0, 1)-матрицы с перманентом, равным к. Минимальный порядок (0, 1) -матрицы с перманентом, равным к, не превосходит [logafA—1)] +2 для к = 2, 3, ... .
Гриффитс (R. С. Griffiths). Permanents of random doubly stochastic matrices, Canad. J. Math. 26 (1974), 600—607.
Гипотеза Ван дер Вардена и некоторое ее обобщение рассматриваются с вероятностной точки зрения.
Хартфил (D. J. Hartfiel). A lower bound for the permanent on a special class of matrices, Canad. Math. Bull. 17 (1974), 529—530.
Если А есть (0, 1)-матрица порядка n с г единицами в каждой строке и каждом столбце, то per (А) 5г (г — 1)! + п(г — 2) I + ... + n(2!) + n + 1.
Хедрик (М. В. Hedrick). The permanent at a minimum on certain classes of doubly stochastic matrices, Bull. Amer. Math. Soc. 80 (1974), 836—838.
Передоказывается и несколько обобщается один результат из [62] и [199] (см. также [269]).
Джонсон (J. J. Johnson). Bounds for certain permanents and determinants, Linear Algebra and Appl. 8 (1974), 57—64.
Нижняя граница для перманентов действительных матриц с неотрица- ■ тельной доминирующей главной диагональю.
Минк (Н. Mine). An unresolved conjecture on permanents of (0, l)-matri- ces, Linear and Multilinear Algebra 2 (1974), 115—121.
Если А есть (0,1)-матрица порядка n co строчными суммами ri, ..., r„, n ^8, i = 1, ..., n, to
per(A)< Д Vi'-i'^-
Минк (H. Mine). A remark on a theorem of M. Hall, Canad. Math. Bull. 17 (1974), 547—548.
Есть А есть (0, 1)-матрица размера m X ^> где т ^ п, и если каждая строчная сумма А больше или равна т, то перманент А положителен.
Нойбергер (J. W. Neuberger). Norm of symmetric product compared with norm of tensor product, Linear and Multilinear Algebra 2 (1974), 115— 121.
Неравенство между тензорным и симметрическим произведениями полилинейных функций. Это неравенство родственно результатам Либа [114] и Маркуса и Соулза [130].
Ротхаус (О. S. Rothaus). Study of the permanent conjecture and some of its generalizations, Israel J. Math. 18 (1974), 75—96.
Для любого выпуклого многогранника определяется функция, обобщающая перманент. Доказываются результаты, анонсированные в [216].
Ван Линт (J. Н. van Lint). Combinatorial Theory, Seminar ETdhoven University of Technology, Berlin, 1974.
Содержит материал no общим свойствам перманентов, и в частности по перманентам (0, 1)-матриц. Помимо этого, имеется материал по неравенствам, содержащим перманенты, включая подробное обсуждение состояния гипотезы Минка [84] (прежде доказательства Брэгмана [219]).
Уонг (Е. Tzu-Hsia Wang). A new class of finite cyclic permanent groups, /. Combinatorial Theory Ser. A 17 (1974), 261—264.
Циклические группы матриц порядка п, на которых функция перманента мультипликативна.
Уонг (Е. Tzu-Hsia Wang). Diagonal sums of doubly stochastic matrices, Linear Algebra and Appt. 8 (1974), 483—506.
Неравенства для перманента дважды стохастической матрицы, включающие максимальную и минимальную диагональные суммы матрицы.
Уонг (Е. Tzu-Hsia Wang). On permanents of (1, —l)-matrices, Israel I. Math. 18 (1974), 353—361.
Верхняя граница для |per(A)|, когда А есть (—1, 1)-матрица. Если Н— матрица Адамара, то |рег(//) [ $5 |det(//)|.
Уоткинс (В. Watkins). Convex matrix functions, Proc. Amer. Math. Soc. 44 (1974), 31—34.
Если А, В и A—В суть эрмитовы положительно полуопределенные матрицы и 0 ^ X ^ 1, то
per (ХА + (1 — X) В) ^ X per (А) + (1 — X) per (В).
Уилсон (R. М. Wilson). Nonisomorphie Steiner triple systems, Math. Z. 135 (1974), 303—313.
Нижние границы для числа латинских квадратов и числа неизоморфных систем троек Штейнера могут быть существенно улучшены, если предположить справедливость гипотезы Ван дер Вардена.
1975
Бруальди и Фореггер (R. A. Brualdi, Т. Н. Foregger). Matrices with constant permanental minors, Linear and Multilinear Algebra 3 (1975), 227—243.
Свойства (0, 1)-матриц с постоянными перманентными минорами. Гипотеза: если А есть (0, 1)-матрица порядка п, у которой все перманентные миноры порядка п — 1 имеют общее ненулевое значение, то А = / или Л + Р.
Джёкович(О. 2. Djokovic).On Neuberger’s identity for symmetric tensors, Linear and Multilinear Algebra 2 (1975), 305—309.
Передоказывается тождество Нойбергера [252] для симметрических тензоров и выводится неравенство Либа [114].
Фореггер (Т. Н. Foregger). An upper bound for the permanent of a fully indecomposable matrix, Proc. Amer. Math. Soc. 49 (1976), 319—324.
Если A — вполне неразложимая матрица с целыми неотрицательными элементами, то
per (А) ^ 2° *л’-2п + 1,
где а (А) обозначает сумму всех элементов А.
Гордон, Моцкин и Уэлч (В. Gordon, Т. S. Motzkin, L. Welch). Errata: «Permanents of 0, 1-matrices» (/. Combinatorial Theory Ser A 17 (1974), 145—155), /. Combinatorial Theory Ser. A19 (1975), 367..
Сообщается, что некоторые из результатов в [245] не являются новыми.
Хартфил (D. J. Hartf’el). A canonical form for fully indecomposable (0, l)-matrices, Canad. Math. Bull. 18 (1975), 223—227.
Получена каноническая форма для вполне неразложимых (0,1)-матриц; она используется для доказательства одного результата из [196].
Хедрик (М. В. Hedrick), p-minors of a doubly stochastic matrix at which the permanent achieves a minimum, Linear Algebra and Appl. 10 (1975), 177—179.
Комбинаторное доказательство результата Лондона [199].
Хендерсон (J. R. Henderson). Permanents of (0, 1)-matrices having at most two zeros per line, Canad. Math. Bull. 18 (1975), 353—358.
Минимальное значение перманента в множестве (0, 1)-матриц порядка п, имеющих не более двух нулей в каждой линии, равно U„, если п четно, и Un — 1, если п нечетно, где UA обозначает п-е «число супружеских пар».
Лихи, Херндон и Фан (W. J. Leahey, W. С. Herndon, V. Т. Phan). A note on permanents, Linear and Multilinear Algebra 3 (1975), 193—196.
Перманент симметрической матрицы, удовлетворяющей некоторым условиям, равен квадрату гафниана матрицы.
Меррис (R. Merris). Two problems involving Schur functions, Linear Algebra and Appl. 10 (1975), 155—162.
Оценки сверху для перманентных характеристических чисел нормальных матриц. Если А эрмитова, то ее вещественные перманентные характеристические числа лежат между ее наибольшим и наименьшим характеристическими числами.
Минк (Н. Mine). Doubly stochastic matrices with minimal permanents, Pacific J. Math. 58 (1975), 155—157.
Простое доказательство результата Лондона [199].
Минк (Н. Mine). Subpermanents of doubly stochastic matrices, Linear and Multilinear Algebra 3 (1975), 91—94.
Если все подперманенты порядка к дважды стохастической матрицы порядка п равны между собой при некотором к ^ п — 2, то все элементы матрицы должны равняться 1/п.
Николсон (V. A. Nicholson). Matrices with permanent equal to one, Linear Algebra and Appl. 12 (1975), 185—188.
Неотрицательная матрица M нильпотентна в том и только том случае, когда per (At + /) = 1.
Ниенюис и Уилф (A. Nijenhuis, Н. S. Wilf). Combinatorial Algorithms, New York, 1975.
Содержит главу о функции перманента, включающую обзорную часть, вариант формулы Райзера [87] и программу на ФОРТРАНе для вычисления перманента квадратной матрицы.
Пай и Джитер (W. С. Руе, М. W. Jeter). A minimal permanent-like function. Linear Algebra and Appl. 12 (1975), 171—178.
Изучается матричная функция co свойствами, подобными свойствам перманента.
1976
Банг (Т. Bang). Matrixfunktioner som med et numerisk lille deficit viser v. d. Waerdens permanenthypothese, Proc. Scandinavian Congress, Turk- ku, 1976.
Набросок доказательства того, что per(S) ^ 1/е"-1 для любой дважды стохастической матрицы S.
Грэхем и Лемер (R. L. Graham. D. Н. Lehmer). On the permanent of Schur’s matrix, J. Austral. Math. Soc. Ser. A 21 (1976), 487—497.
Исследование перманента матрицы Шура М„—(е!Г), 0 ^ s, t < п, где е = exp(2nz/n).
Дьиреш (В. Gyires). On permanent inequalities, Coll. Math. Soc. J. Bolyai, 18 (1976), Combinatorics.
Если A e й„, to
(per (As) + Vper (AA*) per (A*A)/2 > n!/nn.
Кнопп и Синкхорн (P. J. Knopp, R. Sinkhorn). Permanents of special classes of nonnegative matrices, Linear and Multilinear Algebra 4 (1976), 129—136.
Изучаются матрицы на границе Q„, наиболее близкие к 1п в смысле евклидовой нормы.
Лондон (D. London). On derivations arising in differential equations, Linear and Multilinear Algebra 4 (1976), 179—189.
Решение У(г) матричного дифференциального уравнения У (z) = AY (г) удовлетворяет аналогичному уравнению, включающему r-ю индуцированную матрицу для F(z) и первую производную, ассоциированную с А, действующей на r-м вполне симметрическом пространстве.
Минк (Н. Mine). The invariance of elementary symmetric functions, Linear and Multilinear Algebra 4 (1976), 209—215.
Определяется вид линейных преобразований матриц, не изменяющих перманента каждой из матриц и сохраняющих либо ее след, либо вторую элементарную симметрическую функцию характеристических чисел.
Ниенюис (A. Nijenhuis). On permanents and the zeros of rook polynomials, J. Combinatorial Theory Ser. A 21 (1976), 240—244.
Изучаются корни ладейного многочлена матрицы А размера тХ п, т. е. многочлена ^ rk (Л) (— x)fc, где г^М) обозначает сумму всех перманентных миноров порядка к матрицы A, го(А) = 1.
Синкхорн (R. Sinkhorn). Doubly stochastic matrices whose squares decrease the permanent, Linear and Multilinear Algebra 4 (1976), 123—128.
Если A—такая дважды стохастическая матрица, что PAQ — Jn^ ... +/„ для некоторых матриц перестановки Р и Q, то рег(Л2)^ «5 рег(Л).
1977
Ашиль (Е. Achilles). Permanents of doubly stochastic matrices with fixed zero pattern, Linear and Multilinear Algebra 5 (1977), 63—70.
Перманент достигает локального минимума на множестве, описанном в заголовке, на матрицах, наиболее близких к /п, при условии, что нули сосредоточены на одной линии.
Бруальди и Гибсон (R. A. Brualdi, Р. М. Gibson). The convex polyhedron of doubly stochastic matrices: I. Application of the permanent function, J. Combinatorial Theory Ser. A 22 (1977), 194—230.
Функция перманента используется для нахождения геометрических свойств Пя.
Ротхауз (О. S. Rothaus). Study of the permanent conjecture and some of its generalizations. II, Trans. Amer. Math. Soc. 232 (1977), 143—154.
Продолжение [253]. Изучаются свойства некоторой функции, обобщающей перманент.
Каммингс и Уоллис (L. J. Cummings, J. S. Wallis). An algorithm for the permanent of circulant matrices, Canad. Math. Bull. 20 (1977), 67—70.
Алгоритм для вычисления перманента циркулянта с элементами из произвольного поля.
Синкхорн (R. Sinkhorn). Doubly stochastic matrices with dominant p-mi- nors, Linear and Multilinear Algebra 5 (1977), 107—117.
Гипотеза. Если Л e Q„ и per (Л (i|j)) ^ per (Л) для всех I, j, то Л равна либо 7„, либо "^Un + Pi с точностью до перестановки линий. Показано, что гипотеза справедлива при некоторых ограничениях на А.
Уонг (Е. Т. Н. Wang). On a conjecture of Marcus and Mine, Linear and Multilinear Algebra 5 (1977), 145—148.
Гипотеза Маркуса и Минка [128] доказывается для п = 3.
Дополнение
Айткен (Aitken А. С.). A note on the «ргоЫёгпе des rencontres». — Edinburgh Math. Notes, 1949, № 37, p. 9—12.
Вычисляется перманент матрицы Mn + п/„ и выводятся формулы для «задачи о встречах» и ее обобщения.
Баласубраманиан (Balasubramanian К-). Determinant and permanent with respect to group complexes. — Pure Appl. Math. ScL, 1977, № 5, p. 13—18.
Изучается функция на матрицах порядка п:
прег0(Л)= ^ П агс {г),aeG г=1
где G — непустое подмножество 3„.
Баласубраманиан (Balasubramanian К.). Muir algebra and its applications.— Linear and Multilinear Algebra (to appear).
Алгебра, введенная Мюиром [14], используется для вывода известных формул для вычисления перманентов.
Банг (Bang Т.). On matrix-functions giving a good approximation to the v. d. Waerden permanent conjecture. — Kobenhavns Universitet Mate- matisk Institut. Preprint Series, № 30, 1979.
Исправленный вариант [274]. Доказывается, что per(S) ^ e1-” для любой S е Q„.
Бакстер (Baxter D. К.). The existence of matrices with prescribed characteristic and permanental polynomials.— Linear Algebra Appl., 1978, № 22, p. 175—189.
Даются необходимые и достаточные условия существования матрицы с заданными характеристическим и перманентным характеристическим полиномами над алгебраически замкнутым или действительным полем.
Бисли и Каммингс (Beasly L. В., Cummings L. J.). Permanent semigroups.— Linear and Multilinear Algebra, 1978, № 5, p. 297—302.
Всякая перманентная полугруппа матриц над конечным полем (при некоторых ограничениях на характеристику) состоит из матриц, имеющих, самое большее, одну ненулевую диагональ.
Бреннер и Уонг (Brenner J. L., Wang Т. Н.). Permanental pairs of doubly stochastic matrices. — Linear Algebra Appl., 1979, № 28, p. 39—41.
Продолжение [366]. Доказывается, что не существует перманентных пар дважды стохастических матриц, которые содержали бы матрицу вида Л = ■%+••• + !Пк.
Бруальди (Brualdi R. A.). On 1-factors of cubic bipartite graphs (to appear).
Пусть A=(au^e k^, ra ^ 10. Из ay = 1 следует, что рег(Л (/]/)) > n.
Следовательно, per (A) ^ Зга.
Бруальди (Brualdi R. A.). Book review: Permanents by Henric Mine.— Bull. Amer. Math., 1979, № 1, p. 965—973.
Включает исторический обзор исследований по перманентам, аналогичный приведенному в гл. 1..
Кэрролл и Левин (Carroll С. L, Levine J.). A theory of permanents, Department of the Navy, Office of Naval Research, Contract No. Nonr. 870 (00).
Рассматриваются (I) основы теории перманентов, (II) перманенты циркулянтов, (III) вычисление перманентов специального вида с применением к теории перечисления, (IV) некоторые задачи о перестановках, связанные с перманентами циркулянтов, (V) тождества для чисел Стирлинга, полученные с помощью разложений перманентов циркулянтов.
Картье и Фоата (Cartier Р., Foata D.). Problemes combinatories de commutation et rearrangements. — Berlin, 1969.
Перманенты используются в главе о вероятностных приложениях.
Клаузен (Clausen М.). A straightening formula for bipermanents.— Linear and Multilinear Algebra (to appear).
С каждой битаблицей можно ассоциировать многочлен, названный биперманентом, который представляет собой произведение некоторых подперманентов. Биперманенты тесно связаны с главными характерами симметрических групп и аналогичны бидетерминантам. Доказывается главная теорема для биперманентов.
Крэмлет (Cramlett С. М.). Applications of the determinant and permanent tensors to determinants of general class and allied tensor functions.— Amer. J. Matti., 1927, № 49, p. 87—96.
Содержит теорию перманентных тензоров.
Маркес де Са (Marques de Sa). Multiple roots of a diagonal multiple of a square matrix (to appear).
Даются условия на квадратную матрицу А с элементами из поля характеристики, отличной от 2, чтобы DA имела кратный перманентный корень для любой диагональной матрицы D.
Дюбуа (DuBois J.). A note on the van der Waerden permanent conjecture.— Canad. J. Math., 1974, № 26, p. 352—354.
Егорычев Г. П. Полиномиальное тождество для перманентов. — Математические заметки, 1979, № 26, с. 961—964.
Выводится формула для перманента комплексной матрицы, полученная с помощью операций с формальными степенными рядами. Как частные случаи из нее получаются формулы Райзера [87] и Уилфа [147].
Егорычев Г. П. Семейство тождеств для перманента. — Докл. АН Арм.ССР, 1979, № 69, с. 3—7.
Приводится несколько формул для перманентов прямоугольных матриц. Для частных значений параметров они дают известные формулы включения-исключения Райзера [87] и Уилфа [147].
Егорычев Г. П. Новые формулы для перманента. — Докл. АН СССР, 1980, № 254, с. 784—787.
Если А и В — комплексные матрицы размера m X л, n ^ m, то
Рег(А) = £^^(;)рег(В-ИА).
fe=0
Даются также другие формулы полиномиального типа для перманентов.
Егорычев Г. П. Решение проблемы Ван дер Вардена для перманентов. — Институт физики им. Л. В. Киренского СО АН СССР, Препринт ИФСО—13М, Красноярск, 1980.
В этой исторической работе автор доказывает гипотезу Ван дер Вардена о перманентах (см. гл. V). Доказательство основывается на двух результатах: (а) теореме Лондона [199] и (б) следующем неравенстве, выведенном из теоремы А. Д. Александрова (Матем. сборник, 1938, 3(45), с. 227—251): если А— есть действительная матрица, все столбцы которой, кроме одного (скажем, п-го), неотрицательны, то (per (А))2 per (А*1*, А(2)А*""1*, А^"1*) per (Am, А(у, . . ., A(n>, A,n)).
Если первые п — 1 столбцов положительны, то равенство достигается в том и только том случае, когда А<"—*> и А<"! линейно зависимы.
Фореггер (Foregger Т. Н.). On the minimum value of the permanent of a nearly decomposable doubly stochastic matrix. — Linear Algebra Appl., 1980, № 32, p. 75—85.
При 2 ^ n ^ 9 минимальное значение перманента почти разложимой матрицы в fin равно 1/2"-1.
Фореггер (Foregger Т. Н.). Identities related to permanents of doubly stochastic matrices and series—reduced trees. — Linear and Multilinear Algebra, 1979, № 7, p. 37—41.
Для n ^ 5 гипотеза Ван дер Вардена была доказана с помощью некоторых линейных тождеств. Доказывается, что при п ^ 9 известные сейчас линейные тождества порождают все возможные линейные тождества.
Фореггер (Foregger Т. Н.). A note on matrices with constant permanental minors. — Linear and Multilinear Algebra, 1979, № 7, p. 127—128.
Если все перманентные миноры порядка / матрицы А размера m X п имеют общее ненулевое значение, причем f^min(m — 2, п—1), то все элементы матрицы А равны между собой.
Фореггер (Foregger Т. Н.). Remarks on a conjecture of М. Marcus and H. Mine. — Linear and Multilinear Algebra, 1979, № 7, p. 123—126.
Доказывается гипотеза Маркуса и Минка [128] для п = 4.
Фридленд (Friedland S.). A study of the van der Waerden conjecture and its generalisations. — Linear an Multilinear Algebra, 1978, № 6, p. 123—143.
Если А есть дважды стохастическая матрица порядка п, то рег(А)^ ^ 1/П1
Фридленд (Friedland S.). A lower bound for permanent of a doubly stochastic matrix. — Ann. Math., 1979, № 110, p. 167—176.
Перманент дважды стохастической матрицы порядка п не меньше, чем е-п
Фридленд (Friedland S.). A proof of a generalized van der Waerden conjecture on permanents (to appear).
Доказывается гипотеза Тверберга [88].
Фридленд и Минк (Friedland S., Mine Н.). Monotonicaty of permanents of doubly stochastic matrices. — Linear and Multilinear Algebra, 1978, № 6, p. 227—231.
Для любой матрицы перестановки Р порядка п функция рег((1 — 6)/л + 6Р) строго убывает в интервале — 1/(л— 1)^6 ^0 и строго возрастает при 0^6^ 1.
Гибсон (Gibson Р.). Real permanental roots of doubly stochastic matrices.— Linear Algebra Appl., 1978, № 21, p. 289—291.
Для всякого /г^7 существует неприводимая дважды стохастическая матрица порядка п с п действительными перманентными характеристическими числами.
Гибсон (Gibson Р.). Permanental polytopes of doubly stochastic matrices.— Linear Algebra Appl., 1980, № 32, p. 87—111.
Исследуются геометрические свойства выпуклых многогранников, содержащихся в Q„, на которых функция перманента постоянна. Для каждого /г^З существуют такие многогранники размерности ,(п2 — Зп + 4)/2.
Гирко В. Л. Теория случайных матриц. — Киев, 1975.
Перманенты используются в главе о случайных детерминантах.
Гуд (Good I. J.). A new formula for cumulants.—Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1975, № 78, p. 333—337.
. Содержит неправильные формулы для перманента матрицы Шура (см. [25]) и ее обобщения.
Дьиреш (Gyires В.). On inequalities concerning the permanents of matrices, — J. Combinatorics, Information @ System Sci., 1977, № 2, p. 107—113.
Неравенства для перманентов типа Ван дер Вардена.
Дьиреш (Gyires В.). On permanent inequalities. — Combinatorics (Proc. Fifth Hungarian Colloq. Keszthely, 1976).
Если A = (ay) есть действительная матрица порядка п, а х, у — действительные числа, то
х2 per (ААГ) + у2 (per АГА) + Ixy per (А2) , п пп п ,2
X Z = 1 А=1/ = 1 6=1/
Дьиреш (Gyires В.). On inequalities concerning matrices of permanents.— Linear and Multilinear Algebra, 1978, № 5, p. 279—282.
Тождества Маркуса и Ньюмена [79] обобщаются на матрицы порядка т, у которых элемент на месте У, П равен per (А;аТ), где At, . .. ..., Ат суть действительные матрицы со строчными и столбцевыми суммами, равными 1.
Хаммерсли, Фейервергер, Айзенман и Макани (Hammersley J. М., Feuer- verger A., Izenman A., Makani К.). Negative finding for the threedimensional dimer problem. — J. Math. Physics, 1969, № 10, p. 443—446.
Проблему димеров можно решать путем вычисления перманента матрицы инцидентности Р = (ру) решетки. Такое решение было найдено в двумерном случае построением матрицы Q = (</у) с тем свойством, что Pi/=|</i/l и per(Q) = |det(Q) |. Доказывается, что в трехмерном случае такой матрицы Q найти нельзя, как бы мы ни выбирали дц в области действительных чисел, комплексных чисел или кватернионов.
Джонсон и Ньюмен (Jonson С. R., Newman М.). A surprising determi- nantal inequalities for real matrices. — Math. Ann., 1980, № 247, p. 179—186.
Если А—такая действительная матрица порядка я, что в каждой строке сумма положительных элементов, а также сумма отрицательных элементов не превосходят 1, то |рег(Л)^ 2л/г.
Ким (Ki-Hang Butler Kim). On the van der Waerden conjecture. — J. Mat. Sci. (to appear).
Матрица А называется регулярной, если существует такая дважды стохастическая матрица X, что А = АХА. Показывается, что для множе
Z^-Z^-ства регулярных дважды стохастических матриц справедлива гипотеза Ван дер Вардена. (Синкхорн (не опубликовано) показал, что регуляр
Z^-
Z^-
где Р и Q —где Р и Q —ность матрицы равносильна соотношению PAQ =
где Р и Q —
где Р и Q —
матрицы перестановки.)
Ким и Рауш (Ki-Hang Kim, Roush F. W.). On a conjecture of Erdos and Renyi.— Linear Algebra Appl,, 1979, № 23, p. 179—189.
Частные результаты по гипотезе Эрдёша и Реньи [140].
Китаппа (Kittappa R.). Proof of a conjecture of 1881 on permanents.— Linear and Multilinear Algebra (to appear).
Доказывается гипотеза Скотта [12], первоначально доказанная автором [343].
Кнопп и Синкхорн (Knopp Р., Sinkhorn R.). Minimum permanents of nonpositive doubly stochastic matrices (to appear).
Минимальное значение функции перманента на множестве матриц из Й„, имеющих нулевой элемент, достигается на матрицах, ближайших к In в смысле евклидовой нормы.
Кнут (Knuth D.). Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. — М.: Мир, 1977.
Содержит два упражнения с решениями на вычисление перманентов методом Райзера [87] и методом Юрката — Райзера [126].
Кононенко Л. М., Феденя О. А. О перманенте многомерных матриц.— Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н., 1978, № 4, с. 5—8.
Обобщение перманента на случай многомерных матриц.
Ли и Уонг (Lih K-W., Wang Е. Т. Н.). Monotonicity conjecture on permanents of doubly stochastic matrices. — Proc. Amer. Math. Soc. (to appear).
из 1/t, a Z— матрица s + t = n.из 1/t, a Z— матрица s + t = n.Перманент 0A+(1—0)7л строго возрастает на интервале [0,1] (см. проблему 8 разд. 8.4), если либо л = 3, либо А = Js 4- It, s-\-t=n.
из 1/t, a Z— матрица s + t = n.
из 1/t, a Z— матрица s + t = n.
где У есть матрица размера sX t составленная порядка f, составленная из (f — s)/^, 0 < s ^ t,
Ли и Уонг (Li K.-W., Wang Е. Т. Н.). Permanental affine subspaces of generalized doubly stochastic matrices. — Bull. Inst. Acad. Sinica (to appear).
Строится семейство из (я —2)-мерных аффинных пространств обобщенных дважды стохастических матриц порядка я, на каждом из которых функция перманента постоянна.
Лим (Lim М. Н.). A note on the relation between the determinant and permanent. — Linear and Multilinear Algebra, 1979, № 7, p, 145—147,
Доказывается, что при n 2s 3 не существует линейного преобразования Т пространства симметрических матриц Л порядка п над любым подполем поля действительных чисел со свойством det(A) = рег(Т(Л)) для всех Л.
Лим и Онг (Lim М. Н., Hock Ong). Linear transformation that preserve the permanent. — Linear Algebra Appl., 1978, № 21, p. 143—151.
Если линейное преобразование T пространства симметрических матриц порядка п ^ 3 над любым подполем поля действительных чисел сохраняет перманент, то Т(Л) = ±РАРТ, где Р есть фиксированная обобщенная матрица перестановки с перманентом ±1.
Литтл (Little С. Н. С.). A characterization of convertible (0, 1)-matri-, ces. — J. Combinatorial Theory (B), 1975, № 18, p. 187—208.
Характеризуется (0, 1)-матрица M, которая может быть приписыванием знаков ± ее элементом обращена в такую матрицу М', что det(ATZ) = = per(At).
Лондон (London D.). On the van der Waerden conjecture for matrices of rank two. — Linear and Multilinear Algebra, 1980, № 8, p. 281—289.
Доказывается, что если гипотеза Ван дер Вардена справедлива для всех дважды стохастических матриц порядка к и ранга 2 при каждом к ^ п, то для того же множества матриц справедлива гипотеза. Твер- берга [88].''■ ■ ■ -
Лондон (London D.). On the Dokovic conjecture for matrices of rank two. — Linear and Multilinear Algebra, 1981, № 9, p. 317—327.
Пусть Pk(X') обозначает сумму подперманентов порядка к матрицы X. Если per(S) > p<-i(S)/t2 для всех S е Qj ранга 2, t = 2,.,.,n—\ с равенством тогда и только тогда, когда S = Л, то
, (n-f + I)2Pt—-Pt-\W’
t = 2, ..., n — 1 для всех Л e Q„ ранга 2, с равенством в том и только том случае, когда Л = /п.
Макдональд (McDonald J. N.). On some zero configurations associated with the van der Waerden conjecture. — Linear Algebra Appl., 1980, № 32, p. 137—165.
Обсуждается вопрос о максимальном числе нулей в строке или столбце минимизирующей матрицы. Полученные результаты используются для повторного подтверждения гипотезы Ван дер Вардена в случаях п ^ 4.
Макмагон (MacMahon Р. A.). Researches in the theory of determinants.— Trans. Cambridge Philos. Soc., 1924, № 23, p. 89—139.
Содержит параграф о связи детерминантов и перманентов с комбинаторным анализом. Обсуждается вопрос о выражении перманента через детерминанты и о разложении детерминанта с помощью перманентов.
Малек-Шахмирзади (Malek-Shahmirzadi М.).— On a conjecture by D. 2. Dokovlfi. — Linear Algebra Appl., 1980, № 30, p. 177—182.
Если дважды стохастическая матрица А порядка п удовлетворяет гипотезе Джековича [123], то рег(0Л + (1 — 6)/„) строго возрастает на интервале (0, 1).
Мериэлл (Merriell D.). The maximum permanent in A*. Linear and Multilinear Algebra, 1980, № 9, p. 81—91.
Максимум значений перманента для матриц в Л2(+1 есть 2', максимум в Л^+1 есть 6<-1, максимум в Л^+2 — [б'~2 ■ 92], где t— целое положительное число.
Минк (Mine Н.). ^valuation of permanents. — Proc. Edinburgh Math. Soc., 1979, № 22, p. 27—32.•
Формулы Бине [1] для перманентов матриц размеров 2 X л, ЗХп и 4 X ^ расширяются на перманенты матриц размера т X п при любом т 5^ п.
Минк (Mine Н.). An upper bound for the multidimensional dimer problem.— Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1978, № 83, p. 461—462.
Комбинируя результат из [219] с оценкой из [242], автор получает более точную верхнюю границу для многомерной проблемы димеров.
Минк (Mine Н.). On a conjecture of R. F. Scott (1881). — Linear Algebra Appl., 1979, № 28, p. 141 —153.
Дается формула для перманента матрицы Коши ((xi — у^-'У Доказывается формула, справедливость которой предполагал Скотт [12], для перманента матрицы Коши одного частного вида.
Минк (Mine Н.). An asymptotic solution of the multidimensional dimer problem. — Linear and Multilinear Algebra, 1980, № 8, p. 235—239.
С помощью результата Фридленда [312] доказывается, что ^^
> -у tog (2d) — -^ и, фактически, Я^ ~ у log (2d) — у.
Мюир (Muir Т.). The generating function of the reciprocal of a determinant.— Trans. Royal Soc. Edinburgh, 1902, № 40, p. 615—629.
n n
Коэффициент при x., x2 ... x в JJ JJ a,. x. есть per ((a .)).
i-1 /=1
Нассау (Nassau J. J.). Some extensions of the generalized Kronecker symbol. — Annals of Math., 1925—1926, № 27, p. 465—470.
Перманент некоторой матрицы выражается с помощью обобщенного символа Кронекера, введенного Мурнаганом (Amer. Math. Monthly, 1925, 32, 233—241), и с применением этого представления доказываются две теоремы Мюира о перманентах [14].
Немет, Себери и Шу (Nemeth Е„ Seberry J., Shu М.). On the distribution of the permanent of cyclic (0, l)matrices, Utilitas Math., 1979, № 16, p. 171—182.
Гипотеза: число различных значений, которые принимают перманенты циклических (т. е. циркулянтных) (0, 1)-матриц порядка р tp— простое число), есть величина порядка р. Гипотеза подкрепляется несколькими результатами.
Олдс (Olds Е. G.). A moment generating function which is useful in solving certain matching problems. — Bull. Amer. Math. Soc., 1928, № 44, p. 407—413.'
Перманенты применяются в теоретико-вероятностной проблеме Фрая (Fry Т. С., Probability and Its Engineering Uses, 1928, 41—77) и в ее обобщении.
Фуонг (Vu Anh Phuong). Behavior of the permanent of a special class of doubly stochastic matrices. — Linear and Multilinear Algebra, 1980, № 9, p. 227—229.
Если A — матрица на границе Qn и находится на минимальном расстоянии от /„ (в смысле евклидовой нормы), то перманент монотонно убывает на сегменте (1 — 6) А + 67«, 0 ^ 6 < 1.
Рагавахари (Raghavachari М.). A geometric programming approach to the van der Waerden conjecture on double stochastic matrices. — Math. Programming, 1977, № 13, p. 156—166.
Проблема нахождения минимума перманента дважды стохастической матрицы формулируется как реверсивная геометрическая программа с единственным ограничением, и дается эквивалентная двойственная программа.
Рейх (Reich S.). Another solution of an old problem of Polya. — Amer. Math. Monthly, 1971, № 78, p. 649—650.
Простое решение проблемы Пойа [29].
Райс (Rice L. Н.). Some determinat expansions.— Amer. J. Math., 1920, № 42, p. 237—242.
Теорема Мюира [335] обобщается с целью выразить детерминант в терминах миноров, образованных четырьмя блоками матрицы. Аналогичный результат устанавливается для перманентов.
353 Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — М.: Изд-во МГУ, 1972..
Содержит определение перманента и краткий обзор некоторых его свойств.
Сачков В. Н. Системы различных представителей для случайных множеств. — Матем. сб., 1975, № 97 (139), с. 397—402.
Получены результаты, дающие вероятность того, что случайная система подмножеств обладает системой различных представителей.
Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной математики. — М.: Наука, 1977.
Содержи! главу о трансверсалях (СРП) и перманентах. Приводятся основные свойства перманентов. Даются формулы для перманентов выпуклых комбинаций двух и трех матриц перестановки, матричная факторизация Юрката и Райзера [112], общая формула Райзера [87] для вычисления перманентов и некоторые их оценки.
Сачков В. Н. Вероятностные методы в комбинаторном анализе. — М.: Наука, 1977.
Содержит главу, посвященную комбинаторным свойствам случайных неотрицательных матриц. Рассматриваются перманенты случайных (0, 1)-матриц, случайных (0, 1)-матриц с заданным числом единиц (асимптотические условия совпадения перманента с его средним значением [184] и вероятность отличия перманента от нуля), а также асимптотика среднего значения перманента в одном классе случайных дважды стохастических матриц [119].
Сачков В. Н. Комбинаторные свойства неотрицательных матриц. — Проблемы кибернетики, 1978, № 26, с. 37—50.
Обзор результатов по комбинаторным свойствам неотрицательных матриц. Рассматриваются вопросы, связанные с перманентами случайных (0,1)-матриц и случайных дважды стохастических матриц.
Сачков В. Н., Носов В- А. и Тараканов В. Е. Комбинаторный анализ (матричные проблемы, теория выбора).—М.: ВИНИТИ, серия «Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика», 1981, т. 18, с. 53—93.
Обзорная статья. Содержит раздел о перманентах с рассмотрением результатов за последние 25 лет.
Шнейдер (Schneider Н.). The concepts of irreducibility and full indecomposability of a matrix in the works of Frobenius, Konig and Markov. — Linear Algebra Appl., 1977, № 18, p. 139—162.
Квадратная матрица А приводима тогда и только тогда, когда (X-J-A) имеет собственную факторизацию, где X = diag(x4, ..., хл) и Xi, ... ..., х„ — независимые неизвестные.
Шривер (Schrijver A.). A short proof of Mine’s conjecture. — J. Combinatorial Theory, Ser. A 25, 1978, p. 80—81.
Краткое и элегантное доказательство гипотезы Минка [84], впервые доказанной Брэгманом [219].
Шривер и Валиант (Schrijver A., Valiant W. G.). On lower bounds for permanents. — Proc. Kon. Ned. Akad. Wet. A 83 = Indag. Math., 1980, № 42, p. 425—427.
Доказывается, что
Ч (та) = min {per (A) | A e A^} < й2"/( ^ )
и делается предположение
lim (А (та))1'"--^^.
П-»оо х я
Известно, что оно справедливо при к = 3 (см. [365]).
Синкхорн (Sinkhorn R.). Concerning the question of monotonicity of the permanent on doubly stochastic matrices. — Linear and Multilinear Algebra, 1980, № 8, p. 323—328.
Доказывается, что per((l — Q)Kn + 0/„) строго убывает на отрезке [0,1], где К„ = Чг(1п + Рп).
Синкхорн (Sinkhorn R.). A neighborhood in which the van der Waerden conjecture is valid.— Linear and Multilinear Algebra (to appear).
Решается проблема 9 разд. 8.4.
Вэлиант (Valiant L. G.). The complexity of computing the permanent.— Theoret. Comput. Sci., 1979, № 8, p. 189—201.
Функция перманента (0, 1)-матриц — полная проблема для класса вычислительных задач, которые связаны с вычислениями, не выполнимыми за полиномиальное время.
Ворхув (Voorhoeve М.). A lower bound for the permanents of certain (0, l)-matrices. — Proc. Kon. Ned. Akad. Wet. A 82 = Indag. Math., 1979, № 41, p. 83—86.
,/4 x «-3
Если A e A„, to per (A) > 6 I -у I .
Уонг (Wang E. T. H.). Permanental pairs of doubly stochastic matrices,— Amer. Math. Monthly, 1978, № 85, p. 188—189.
Две различные матрицы А и В из Q„ образуют перманентную пару, если рег(9А + (1 — 9)В) постоянен, где 9 изменяется в отрезке 0, 1. Доказывается, что при любом м ^ 3 существует бесконечное множество перманентных пар и не существует перманентной пары, в которой одна из матриц есть матрица перестановки.
Уонг (Wang Е. Т. Н.). When is the permanent function convex on the set of doubly stochastic matrices? — Amer. Math. Monthly, 1979, № 86, p. 119—121.
Матрица BeQ, называется звездой, если рег(В +(1 — а) А) ^ ^ а рег(В) + (1 — а) per (А) для любой A s Q„ и любого а е [0, 1]. Было сделано предположение, что В при п ^ 3 есть звезда в том и только том случае, когда она — матрица перестановки (см. [97]). Доказывается, что если В — звезда, то рег(В)^ 'А"-1-
Фаликман Д. И. Доказательство гипотезы Ван дер Вардена о перманенте дважды стохастической матрицы. — Матем. заметки, 1981, т. 29, вып. 6, с. 931—938.
Решается проблема Ван дер Вардена (без доказательства единственности минимизирующей матрицы Д). Доказательство, как и в [306], основано на идеях геометрического характера.
Послесловие
После выхода английского оригинала теория перманентов претерпела существенные изменения. Так, например, автором книги [343] была доказана гипотеза 7 из списка нерешенных задач в § 8.4, остававшаяся недоказанной с 1881 г. Им же было получено [344] асимптотическое решение проблемы димеров. Интересные результаты, хотя еще и далекие от окончательных, были достигнуты при изучении гипотез 3 ([310]), 8 ([325], [361], [365]), 12 ([336]), 15 ([307]), а также проблемы 4 ([340]) из упомянутого списка. Появились сообщения о доказательстве гипотезы 10 ([313]) и решении проблемы 8 ([330]).
Но самое основное, наиболее впечатляющее недавнее достижение в теории перманентов — это доказательство знаменитой гипотезы Ван дер Вардена (гипотеза 1 § 8.4). Решение задачи, приковывавшей на протяжении нескольких десятилетий пристальное внимание многих математиков, само по себе представляет большой интерес. Кроме того, этот факт имеет многочисленные следствия в целом ряде комбинаторных задач, ведущие к известной перестройке связанной с ними теории. Правда, следует заметить, что такая перестройка иногда уже подготовлена и нужно в некоторых случаях условные высказывания типа «если справедлива гипотеза Ван дер Вардена» просто заменить вполне категорическими предложениями. Это относится, в частности, к оценкам снизу чисел латинских прямоугольников и квадратов (неравенства (2.3), (2.5), (2.8) в § 8.2) и числа неизоморфных троек Штейнера (неравенство, следующее за (2.9) в § 8.2), к неравенству для константы Zd в проблеме димеров ((2.20) там же). Упомянем также, что доказательство гипотезы Ван дер Вардена делает излишними исследования по нескольким связанным с ней задачам, решение которых получается теперь автоматически. Таковы, например, гипотезы 2 и 16, проблема 9 из списка в § 8.4. Можно не сомневаться в том, что решение задачи Ван дер Вардена будет иметь также многие другие последствия для комбинаторной математики.
Гипотеза Ван дер Вардена в полном объеме была доказана советским математиком Г. П. Егорычевым в 1980 г. [306]. При доказательстве гипотезы решающую роль сыграло обращение к теории смешанных дискриминантов А. Д. Александрова, развитой им еще в 30-е годы и использованной для изучения объема выпуклых тел в евклидовом пространстве. Представление перманента в виде смешанного дискриминанта позволило применить к нему частный случай неравенства, полученного А. Д. Александровым для дискриминантов, что довольно быстро привело к решению поставленной задачи. Попутно в [306] была решена задача Маркуса и Ньюмена (гипотеза 11 § 8.4).
Следует отметить в заключение, что решение проблемы Ван дер Вардена в части, касающейся неравенства (без доказательства единственности матрицы Jn^, было независимо получено советским математиком Д. И. Фаликманом [368] также на основе соображений геометрического характера.
В. Е. Тараканов
Москва, сентябрь 1981 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловиередактора перевода5
От редактора Энциклопедии7
Предисловиередактора серии 8
Предисловиеавтора И
Глава 1. Теория перманентов вееисторическом развитии13
Введение 13
Основоположники: БинеиКоши14
Продолжатели: Борхарт, Кэли и Мастер из Эдинбурга — сэр
Томас Мюир17
Ренессанс теории перманентов: теорема Мюирхеда, проблема
Пойа, неравенство Шура и гипотеза Ван дер Вардена . ... 20
Новая эра: Марвин Маркус и К°24
Задачи 26
Глава 2. Свойства перманентов28
Элементарные свойства28
Функция перманента как скалярное произведение32
Задачи 39
Глава 3. (0,1)-матрицы . .40
Матрицы инцидентности 40
Теоремы Фробениуса и Кёнига42
Структура квадратных (0, 1)-матриц45
(0, 1)-циркулянты55
Задачи 59
Глава 4. Нижние границы для перманентов62
Теорема Маршалла Холла62
(0, 1)-матрицы 64
Вполне неразложимые (0, 1)-матрицы68
Неотрицательные матрицы 72
Положительно полуопределенные эрмитовы матрицы . ... 76
Задачи 80
Глава 5. Гипотеза Ван дер Вардена83
Теория Маркуса — Ньюмена83
Свойства минимизирующих матриц91
Некоторые частные результаты. Теорема Фридленда95
Гипотеза Маркуса и Минка100
Нижние границы для перманентов дважды стохастических
матриц 104
Задачи 108
Глава 6. Верхние границы для перманентовПО
От Мюира к Юркату и Райзер,ПО
(0, 1)-матрицы . ИЗ.
Неотрицательные матрицы 116
Комплексные матрицы119
Задачи 122
Глава 7. Вычисление перманентов124
Метод Бине — Минка124
Метод Райзера127
Сравнение методов вычисления 129
Задачи 131
Глава 8. Еще о перманентах . , . , 133
Другие результаты133
О применениях перманентов139
Гипотезы и нерешенные проблемы — «урожай» 1965 г151
Гипотезы и нерешенные проблемы — новый список157
Задачи 162
Список литературы , . . , 164
Послесловие . , 210