Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Chaotic Vibrations
An Introductionfor Applied Scientistsand Engineers
Francis C. Moon
Theoretical and 库plied MechanicsCornell UniversityIthaca, New York
A Wiley-Interscience PublicationJohn Wiley & Sons
New York Chichester Brisbane Toronto Singapore
Ф.Мун
Хаотическиеколебания
Вводный курсдля научных работникови инженеров
Перевод с английского
Ю.А. Данилова иА.М. Шукурова
Москва «Мир» 1990
ББК 22.317 М90
УДК 53.072.11
Мун Ф.
М90 Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 312 с., ил.
ISBN 5-03-001413-6
Кввга юкстного американского ученого знакомит читателя с идеями я мстодша бурно развивающегося раздела современной физики млннейных явлений — с теорией хаотачеолх колебаний. Приведены примеры систем различной прмролы, допускающих хаотическое поведеяве, лавы кратцжя и мжте- мжтичажие модели хаоса, его количественные харагтернстнкн, шпкаиня я результаты физических ■ чвелеяных экакримситов с хаотячесжими снстемамн. Кинга насышеяа рясункамв; прилагается словарь термввов нелвнеЯяой динамики. Может служить учебным пособием.
Для научных работников, ияжеверов, аспирантов и студентов старшкх кура», ивтересуюшихся проблемами млниейной физики.
ББК 22317ББК 223171604030000 — 208 /_
ББК 22317
ББК 22317
041(01) — 90041(01) — 90М41 — 90
041(01) — 90
041(01) — 90
Редакция литературы по физике « астрономии
ISBN SO3-001413-6 (pyccx.) ISBN 0-471-85685-1 (англ.)
1987 by John WUey & Sons, Inc. All Rights Reserved. Authorized, translation from English language edition published by John Wiley & Sons, Inc.
перевод ва русский язык, Данилов Ю.А., Шукуров А.М., 1990
От редакции
Предлагаемая вниманию читателя книга профессора и декана факультета теоретической и прикладной механики Корнеллского университета Фрэнсиса Муна — заметное явление в довольно обширной литературе по стохастическим колебаниям. Небольшая по объему, она ориентирована в первую очередь на читателя, делающего первые шаги в понимании тех сложных режимов, которые возникают при определенных условиях в нелинейных системах различной природы и не связаны с действием на эти системы случайных шумов. Предъявляя весьма скромные требования к математической подготовке читателя, автор выстраивает основные идеи, понятия и методы нелинейной динамики стохастических систем в такой тщательно продуманной последовательности, которая позволяет начинающему легко войти в курс дела и активно овладеть новой для себя областью, глубоко прочувствовать ее универсальный характер. Излагая критерии хаоса, сопоставляя и сравнивая результаты физических и численных экспериментов, автор подводит читателя к выводу о границах применимости той или иной модели, неизменно подчеркивая физику описываемого явления.
Помимо единства и изящества изложения внимание более подготовленного читателя привлекут обширный — более 40!——перечень систем различной природы, допускающих хаотические колебания, их математические модели, а также подробные описания численных и физических экспериментов.
Книга Фрэнсиса Муна завершается словарем терминов нелинейной динамики и описанием нескольких красивых демонстрационных экспериментов.
Перевод выполнили А.М. Шукуров (предисловие, гл. 1 —4) и Ю.А. Данилов (гл. 5, 6 и приложения).
Моим дочерям Кэтрин, Патриции и Элизабет, которые к моей жизни добавили немножко счастливого хаоса
Предисловие
Если бы кто-то сказал, что через триста лет после публикации Principia Ньютона в динамике будут сделаны новые открытия, его бы посчитали наивным или неумным. Тем не менее в последние десять лет во всех областях нелинейной динамики были обнаружены новые явления, главное из которых — хаотические колебания. Хаотические колебания — это возникновение неупорядоченных движений в совершенно детерминированных системах. Такие движения и раньше обнаруживались в механике жидкостей, но недавно их заметили в несложных механических и электрических системах и даже в простых задачах с одной степенью свободы. Вместе с этими открытиями пришло понимание того, что нелинейные разностные и дифференциальные уравнения могут иметь ограниченные непериодические решения, которые ведут себя случайным образом, хотя в этих уравнениях нет случайных параметров. Это способствовало развитию новых математических идей, новых подходов к динамическим решениям, проникающих сейчас в лаборатории.
Цель этой книги как раз и состоит в том, чтобы помочь перевести эти математические идеи и методы на язык, который инженеры и экспериментаторы могли бы использовать в своих исследованиях хаотических колебаний. Хотя я и экспериментатор в области динамики, мне пришлось разобраться до определенной степени в этих новых математических идеях, таких, как странный аттрактор, отображение Пуанкаре, фрактальная размерность, для того, чтобы экспериментально изучать хаотические явления. Недавно появился ряд прекрасных математических исследований хаотической динамики. Я попытался прочитать эти труды и выделить с помощью моих коллег-теоретиков по Корнеллскому университету суть новых представлений. Книга, лежащая перед Вами, — попытка объяснить важность этого нового языка динамики инженерам, особенно тем, кто намерен изучать колебания в эксперименте. Я полагаю, что но-
вые геометрические и топологические представления в динамике станут такой же непременной частью лабораторных методов анализа колебаний, какой стал фурье-анализ.
Помимо того что исследования хаотических колебаний приносят с собой новые идеи, они важны для инженерных исследований еще по нескольким причинам. Во-первых, хаос или шум в механических системах затрудняет предсказание времени работоспособности или анализ старения материала, поскольку оказывается неизвестной точная зависимость напряжений в твердых материалах от времени. Во-вторых, осознав, что простые нелинейности способны привести к хаотическим режимам, мы сталкиваемся с вопросами о предсказуемости в классической физике и о ценности численного моделирования нелинейных систем. Обычно полагают, что чем больше и мощнее станут суперкомпьютеры, тем точнее можно будет предсказывать поведение систем. Однако в нелинейных задачах с хаотической динамикой поведение системы чувствительно к начальным условиям и точный расчет будущего поведения может оказаться невозможным даже в случае периодического движения.
Авторы многих новых книг по хаотической динамике предполагают, что читатель уже имеет некоторое представление о современной динамике, нелинейных колебаниях и соответствующих математических методах. В этой книге я старался исходить из тех знаний, которые должен иметь студент старших курсов политехнического института, — это теория обыкновенных дифференциальных уравнений, некоторые представления среднего уровня о динамике, теории колебаний или динамике систем. Я также старался приводить конкретные примеры систем с хаотическим поведением и указывать экспериментаторам способы измерения, предсказания и количественного описания хаотических колебаний в физических системах.
В гл. 2 я описываю некоторые характеристики хаотических колебаний и обсуждаю их характерные признаки и способы их выявления в физическом эксперименте. Классы физических моделей и экспериментальных систем, в которых обнаруживается хаотическое поведение, приведены в гл. 3. В гл. 4 обсуждаются некоторые экспериментальные методы регистрации хаотических явлений; в их числе — отображение Пуанкаре. Это глава о том, как следует ставить эксперимент, и те, кому интересен общий взгляд на проблему, могут ее пропустить. Гл. 5 и 6 более насыщены математикой и посвящены изучению критериев, которые сейчас применяются для предсказания хаотических колебаний, а также обзору новых идей математики фракталов. Представления о фракталах сейчас занимают центральное место во многих новых направлениях развития не-
линейной динамики. Красивые изображения фрактальных геометрических объектов публикуются популярными изданиями, привнося в динамику хтетический аспект. В гл. 6 я попытался связать идеи теории фракталов с конкретныкш прикладными проблемами нелинейной динамики.
Читатель может спросить, стоило ли писать эту книгу сейчас, когда исследования нелинейных колебаний испытывают такие быстрые изменения. Во-первых, это время оказалось подходящим потому, что я получил приглашение подготовить и прочитать восемь лекций о хаотических колебаниях в Институте фундаментальных проблем техники в Варшаве (Польша) в августе 1984 г. Из этих лекций выросла книга. Во-вторых, в 1984 и 1985 годах меня приглашали прочитать лекции о хаотических колебаниях почти в тридцати университетах и исследовательских лабораториях. Многие мои коллеги высказывали желание получить книгу о хаосе, написанную для экспериментаторов. Я также чувствовал, что многие экспериментаторы и инженеры, занимающиеся колебаниями, не были осведомлены об интереснейших новых результатах динамики. Не сомневаюсь, что, вооруженные новыми подходами к динамическим системам, экспериментаторы придут к дальнейшим достижениям в этой новой области на пути изучения новых приложений и разработки более удобных методов регистрации и описания этих новых явлений.
Я хотел бы поблагодарить моих коллег по факультету теоретической и прикладной механики Корнеллского университета, в особенности Филипа Холмса и Ричарда Рэнда, которые терпеливо пытались объяснить мне эти новые математические идеи. Мне были также полезны беседы с Джоном Гукенхеймером, который раньше работал в Калифорнийском университете в Санта-Крус, а сейчас — в Корнелле. Однако намеренный недостаток строгости в описании некоторых новый идей геометрии и топологии ——целиком моя вина. Работая над книгой, я исходил из того, что она достигнет своей цели, только если сможет возбудить интерес к этой новой области науки. При таком интересе читатель, я надеюсь, просмотрит более математизированные работы из списка литературы, где найдет более детальное и точное обсуждение этих новый идей.
И наконец, я хотел бы отметить вклад дипломников и аспирантов, которые с таким энтузиазмом работали со мной над проблемами хаоса, — это Джозеф Кузумано, Мохаммед Голнараги, Ли Гуаньцзянь, Ли Чикунь, Бимал Поддар, Габриэль Раччо и Стефан Шоу (ныне в Университете штата Мичиган). Особого упоминания заслуживает техническая помощь Стефана Кинга и Вильяма Холм-
са, которые помогли сконструировать часть электронного оборудования для наших опытов с хаотическими колебаниями.
Что касается списка литературы в конце книги, то я не пытался включить в него все исторически заметные статьи по исследованию хаоса и прошу прощения у тех исследователей, чьи прекрасные вклады в эту область не упомянуты. Включение большего числа ссылок на мои собственные работы, чем на работы какого-либо другого автора, следует толковать как меру авторского тщеславия, а не их относительной важности.
Фрэнсис МунФрэнсис МунЗа финансирование хочу поблагодарить Национальный научный фонд (в рамках программы по механике твердого тела, руководимой д-ром Клиффордом Астиллом), Отдел научных исследований военно-воздушных сил (в лице д-ра Энтони Эймоса из Аэрокосмического отдела), Отдел научных исследований военно-морских сил (в лице д-ра Майкла Шлезинджера из Физического отдела), Исследовательский отдел армии (в лице д-ра Гэри Андерсона из Отдела инженерных наук) и корпорацию IBM.
Фрэнсис Мун
Фрэнсис Мун
Итака? штат Нью-Йорк, май 1987 года
Введение.
Второе дыхание динамики
... поучавший свой народ Возникновенью Неба и Земли Из Хаоса...
Джон Мильтон, Потерянный рай, 1667 г. (пер. Арк. Штейнберга).
ЧТО ТАКОЕ ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА?
Для многих изучение динамики началось и закончилось вторым законом Ньютона F = mA . Нам говорили, что если заданы силы, действующие между частицами, а также начальные положения и скорости частиц, то с помощью достаточно большого компьютера можно предсказать движение или развитие системы для любого сколь угодно позднего момента времени. Однако появление больших и быстрых компьютеров не привело к обещанной бесконечной предсказуемости в динамике. Напротив, совсем недавно было обнаружено, что движение некоторых очень простых динамических систем не всегда можно предсказать на большой интервал времени. Такие движения бнлн названы хаотивескими, и их исследование привлекло в динамику некоторые новые математические идеи. Приближается трехсотлетний юбилей Principia Ньютона (1687), где в динамику введено дифференциальное исчисление. Кажется неслучайным, что по прошествии трех веков в динамике открыты новые явления, и в эту почтенную науку из топологии и геометрии проникают новые математические идеи.
Бытовое понятие хаоса0 очень древнее и часто ассоциируется с беспорядочным или неуправляемым физическим состоянием или поведением людей. Хаос пугает. Чувство страха вызывают такие
° Слово «хаос» происходит от греческого глагола, означающего «зиять», который часто использовался при описании первобытной пустоты Вселенной до возникновения вещества (Encyclopaedia Britannica, vol. 5, р. 276). Стоики под хаосом пони- малн воду и жидкое состояние, которое следует за периодическим уничтожением земли огнем. Овидий в «Метаморфозах» использует это понятие для обозначения бесструктурной и бесформенной массы, не наделенной никаким порядком, из которой возникает упорядоченная Вселенная. Современные словари (Funk, Wagnalls) приводят два значения: I) абсолютный беспорядок и 2) первоначальное неразвитое состояние Вселенной.
Рис. /」.Турбулентный след в течении за круговым цилиндром (воспроизводится с любезного разроиения Р. Дюма).
ситуации и события, когда перестают что-то регулировать законы и традиции,——тюремный бунт, гражданская или мировая война. Правда, всегда остается надежда узнать потаенные силы или причины этого хаоса или объяснить, почему оказываются непредсказуемыми события, на вид случайные.
В контексте физики образцом хаотического явления остается турбулентность. Например, столб поднимающегося дыма и вихри за судном или крылом самолета0 дают наглядные примеры хаотического движения (рис. 1.1). Однако специалисты по механике жидкостей полагают, что эти явления не случайны, потому что можно выписать уравнения физики, описывающие движение каждого жидкого элемента. Кроме того, при низких скоростях структуры в жидкости вполне регулярны и предсказуемы на основе этих уравнений. Впрочем, при скоростях, превышающих некоторую критическую, течение становится турбулентным. Большая часть усилий в области современной нелинейной динамики связана с надеждой, что этот переход от упорядоченного течения к беспорядочному можно объяснить или моделировать с помощью относительно простых уравнений. В этой книге мы надеемся показать, что подобные новые подходы к турбулентности также применимы к твердотельным и электрическим непрерывным средам. Именно осознание того, что хаотическая динамика свойственна всем нелинейным физическим явлениям, вызвало ощущение революции в современной физике.
Мы должны различать так называемые случайные и хаотические движения. Первый термин относится к ситуациям, когда мы действительно не знаем действующих сил или знаем только некоторые статистические характеристики параметров. Термин «хаотический» применяется в тех детерминированных задачах, где отсутствуют случайные или непредсказуемые силы или параметры. О существовании хаотических или непредсказуемых движений, описываемых уравнениями классической физики, было известно еше Пуанкаре2〉. Вот выдержка из его очерка «Наука и метод»:
"Читателю следует просмотреть прекрасную коллекцию фотографий турбулентных явлений в жидкостях, собранную Ван-Дайком [204].
2> Анри Пуанкаре (1854—1912) — французский математик, физик и философ, который был свидетелем как великого века классической механики, так и века революционных идей теории относительности н квантовой механики. Работа в области небесной механики привела его к вопросам динамической устойчивости и задаче нахождения точных математических выражений для описания динамической эволюции сложных систем. В процессе этих исследований он открыл «метод сечений», ныне известный как сечение, или отображение, Пуанкаре.
Превосходное обсуждение неопределенности и детерминизма н идей Пуанкаре об этом можно найтн в очень доступно написанной книге Л. Бриллюэна [14, гл. IX].
Рис. /.Z а ——Движение шарика после нескольких соударений с бортами бильярдного стола эллиптической формы. Это движение можно описать дискретным набором чисел (4, Ф), называемым отображением; 6 — движение частицы в паре потенциальных ям под действием периодического возбуждения. При определенных условиях частица периодически перескакивает слева (L) направо (R) и обратно: LRLR…или LLRLLR…и т. д. При других условиях перескоки хаотичны, т. е. последовательность символов L и R иеупорядочеиа.
«... иногда небольшая разница в первоначальном состоянии вызывает большое различие в окончательном явлении. Небольшая погрешность в первом вызвала бы огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным...»
В современной литературе термин «хаотический» применяется к таким движениям в детерминированных физических и математических системах, траектории которых обнаруживают сильную зависимость от начальных условий.
На рис. 1.2. показаны два примера механических систем, динамика которых хаотична. Первый пример — это мысленный эксперимент с идеализированным бильярдным шаром (мы пренебрегаем твердотельным вращением шара), который ударяется и отскакивает от сторон эллиптического бильярдного стола. Если соударения упругие, то энергия сохраняется, но для эллиптических столов определенной формы шар блуждает по столу, никогда не повторяя в точности свою траекторию.
Другой эксперимент читатель может воспроизвести сам, если у него есть доступ в лабораторию. Это шар в потенциале, состоящем из двух ям (рис. 1.2, 6). Когда стол, на котором стоит прибор, не колеблется, такой шар имеет два состояния равновесия. Однако, если стол колеблется, совершая периодическое движение достаточно большой амплитуды, шар начинает беспорядочно перепрыгивать из одной ямы в другую; таким образом, периодическое воздействие на одной частоте вызывает неупорядоченный отклик с широким спектром частот. Возбуждение непрерывного спектра частот, расположенного ниже частоты воздействия, является одной из примечательных особенностей хаотических колебаний (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Спектр мощности (преобразование Фурье) хаотического движения в паре потенциальных ям (по Й. Уэде, Университет Киото).
Другое свойство хаотических систем ——потеря информации о начальных условиях. Предположим, что мы способны измерить координату с точностью Ах, а скорость — с точностью △〃• Разделим теперь плоскость координата-скорость (называемую фазовой плоскостью) на ячейки площадью Ах△内 показанные на рис. 1.4. Если начальные условия заданы с конечной точностью, то мы знаем, что система находится где-то в заштрихованной области на фазовой плоскости. Но если система хаотична, то эта неопределенность со временем растет, увеличиваясь до размера ^(/) ячеек, показанных на рис. 1.4, 6. Увеличение неопределенности, описываемое законом
N = (1.1.1)
является вторым характерным свойством хаотических систем. Постоянная Л связана с понятием энтропии в теории информации (см., например, [170, 171]); ниже мы ее также свяжем с другой величиной, показателем Ляпунова (см. гл. 5), мерой скорости разбегания близких траекторий системы.
Читатель может спросить: «Если в хаотических системах невозможны предсказания, то разве в них может присутствовать какой- либо порядок?» Для диссипативных систем ответ на этот вопрос утвердителен; хаотическая динамика развивается в рамках определенной структуры. Эту структуру нелегко усмотреть с помощью обычных методов изучения динамики, например откладывая зави-
Рис. 1.4. Иллюстрация увеличения неопределенности, нлн потерн информации, в динамической системе. Заштрихованный квадрат в момент времени / = /0 показывает неопределенность знания начальных условий.
симость отклика от времени или получая частотный спектр. Этот порядок следует искать в фазовом прсхггранстве (по осям которого отложены координата и скорсхггь). Здесь можно обнаружить, что хаотические движения обладают новым геометрическим свойством, называемым фрактальной структурой. Одна из целей этой книги — научить выявлять фрактальные структуры в хаотических колебаниях, а также количественно описывать потерю информации в этих движениях, так похожих на случайные.
ЗАЧЕМ ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ИНЖЕНЕРАМ?
С недавних пор исследования хаоса — в особенности их математические аспекты — стали предметом внимания прессы. Многие научно-популярные журналы, и даже «Нью-Йорк тайме» и «Ньюсуик», опубликовали статьи о новых математических результатах в области хаотической динамики. Но инженеры давно знали о хаосе, называя его шумом, помехами или турбулентностью, а фактор неопределенности или фактор надежности использовались для учета в проектах этих внешне случайных неизвестных величин, которые неизменно возникали в каждом техническом устройстве. Так что же нового стало известно о хаосе?
Во-первых, выяснив, что хаотические колебания могут возникать в нелинейных детерминированных системах низкого порядка, мы обрели надежду понять источник неупорядоченного шума и
как-нибудь управлять им. Во-вторых, новые открытия нелинейной динамики принесли новые идеи и методы регистрации хаотических колебаний в физических системах и количественного анализа этого «детерминированного шума» с помощью таких новых мер, как фрактальная размерность и показатели Ляпунова.
Еще с начала века математики тоже знали, что определенные динамические системы обладают нерегулярными решениями. Как явствует из приведенной выше цитаты, Пуанкаре осознавал возможность хаотических решений, об этом в начале века знал и Бирк- гоф. Ван дер Поль и Ван дер Марк [203] сообщали о «нерегулярном шуме» в статье об экспериментах с электронным осциллятором, опубликованной в журнале Nature. Так что же нового стало известно о хаосе?
Новым в хаотической динамике стало открытие внутреннего порядка, который обещает сделать возможным предсказание определенных свойств зашумленных систем. Вероятно, наибольшие ожидания связаны с возможностью понять турбулентность в жидкостях, термогидродинамических и термохимических системах. Турбулентность —одна из немногих нерешенных проблем классической физики, и недавнее открытие детерминированных систем, совершающих хаотические колебания, вызвало большой оптимизм среди тех, кто занят загадками турбулентности. Но этот оптимизм уже умерен сложностями хаотической динамики в термогидродинамических системах. Впрочем, исследования хаотических явлений в системах с меньшим числом степеней свободы могут быстрее привести к результатам, существенным для несложных нелинейных механических устройств и нелинейных электрических цепей.
ИСТОЧНИКИ ХАОСА В ФИЗИКЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СРЕД
Хаотические колебания возникают в присутствии сильной нелинейности. Вот примеры нелинейных элементов в механических и электрических системах:
нелинейные упругие элементы, пружины;
нелинейное затухание типа трения;
мертвый ход, зазоры или ограничители и билинейные пружины; силы, создаваемые жидкостями;
нелинейные граничные условия;
силы, создаваемые нелинейными обратными связями в системах управления;
нелинейные сопротивления, емкости или индуктивные элементы электрических цепей;
диоды;
большие комплексы транзисторов и других активных элементов; электрические и магнитные силы.
В непрерывных механических средах нелинейные эффекты возникают по различным причинам, в числе которых следующие.
Кинематика: например, переносное ускорение, кориолисово и центробежное ускорения.
Материальные соотношения, например зависимость напряжений от деформаций.
Граничные условия, например свободная поверхность жидкости, или ограничения, определяющиеся деформациями.
Нелинейные массовые силы, например магнитные или электрические.
Геометрические нелинейности, связанные с сильными деформациями в конструкционных твердых элементах, таких, как балки, плиты перекрытия и оболочки.
Чтобы понять, как эти нелинейности входят в законы механики, рассмотрим уравнение сохранения импульса в механике сплошной среды:
а V
▽ • t + I =訴 + V • Vv,(1.1.2)
где t — тензор напряжений, f — массовая сила, а в правой части стоит ускорение. Нелинейности могут входить в это уравнение посредством зависимости напряжений от деформаций или скорости деформаций в первом члене в левой части. Нелинейные массовые силы, встречающиеся в магнитной гидродинамике или физике плазмы, могут входить в силовой член f. И наконец, в правой части уравнения (1.1.2) мы видим явно нелинейный член — переносное ускорение. Этот член появляется во многих задачах о движении жидкости и является одним из источников турбулентности в жидкостях.
Хотя хаотические явления наблюдались в термогидродинамических, механических и электрических системах, из-за широкой распространенности турбулентности хаос в жидкостях иногда считался фундаментальным примером хаоса. Однако в классическом уравнении Навье — Стокса механики жидкостей, которое является следствием уравнения сохранения импульса (1.1.2), нелинейность содержится в переносном ускорении, т. е. в кинематическом члене:
Му _ VP = ^* + v • Vv,(1.1.3)
где p ——кинематическая вязкость, а Р ——давление. Вязкий член в левой части линеен и обычно рассматривается в приближении ньютоновской жидкости.
Можно ожидать, что, если выйти за рамки уравнения Навье —— Стокса и включить в рассмотрение нелинейно-вязкие (неньютоновские) жидкости или упругопластичные среды, мы обнаружим обширное поле нелинейных и хаотических явлений механики, электромагнетизма и акустики. Поэтому нет никаких оснований утверждать, что переносное ускорение представляет собой фундаментальную нелинейность классической физики.
ГДЕ НАБЛЮДАЮТСЯ ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ?
Из проведенного обсуждения можно заключить, что хаотические явления возможны во многих физических системах. В научной и технической литературе ежемесячно сообщается о новых таких явлениях. Неполный список механических и электрических систем, в которых известны хаотические колебания, включает:
колебания изогнутых упругих структур;
механические системы с зазором или мертвым - ходом;
аэроупругие системы;
динамику системы колесо—рельс;
магнитомеханические приводы;
сильные трехмерные колебания таких структур (и конструкционных элементов), как балки и оболочки;
системы с трением скольжения;
системы с вращением или гироскопами;
нелинейные акустические системы;
простые цепи с источниками тока и диодами;
цепи с гармоническими источниками тока и р — л-транзистора- ми;
цепи с гармоническими источниками тока и нелинейными емкостными и индуктивными элементами;
контрольные устройства с обратной связью;
лазеры и нелинейные оптические системы.
Это всего лишь некоторые из тех систем, в которых обнаружен хаос. Описание отдельных примеров приведено в гл. 3. Начиная занятия в области хаотической динамики, многие спрашивают, поче-
му хаос не обнаружили в экспериментах раньше, если он столь распространен. На этот вопрос есть два ответа. Во-первых, если порыться в библиотеке и почитать ранние статьи об экспериментах с нелинейными колебаниями, мы уже натолкнемся на беглые упоминания о непериодических явлениях, погребенные в обсуждении более традиционных аспектов нелинейных колебаний (см. примеры в гл. 3). Во-вторых, Джозеф Келлер, занимающийся прикладной математикой в Стамфордском университете, отвечая на этот вопрос на лекции, сказал, что раньше ученые и инженеры были воспитаны почти исключительно на идеях линейной математики, например на линейной алгебре и линейных дифференциальных уравнениях. Поэтому, заключает Келлер, естественно, что при постановке динамических экспериментов они искали только те явления, которые удовлетворяли линейным математическим моделям.
Что же касается вопроса о том, почему теоретики не наткнулись на эти идеи раньше, то есть свидетельства, что некоторые из них — как Пуанкаре и Биркгоф — осознавали эти возможности. Однако конкретные проявления хаотического поведения не могли быть выявлены до появления мощных компьютеров, которые позволили рассчитывать длинные временные ряды, необходимые для наблюдения и измерения хаотических явлений.
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ. КРАТКИЙ ОБЗОР
Этот раздел посвящен краткому обзору классической теории колебаний, как линейных так и нелинейных. Мы намерены лишь дать определения и перечислить некоторые идеи нелинейной динамики, касающиеся периодических колебаний, с тем чтобы позже сопоставить их с хаотическими колебаниями. Читателям, которые хотели бы познакомиться с более подробным обсуждением нелинейных колебаний, следует обратиться к таким книгам, как [180, 135, 148]. Начнем с краткого обзора идей теории линейных колебаний.
ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Классическая парадигма теории линейных колебаний —— это система из массы и пружины, показанная на рис. 1.5 рядом с ее электрическим аналогом. Если отсутствуют возмущающие силы и трение, то система колеблется с частотой, независимой от ампли-
Рис. 1.5. а — Классический механический осциллятор с пружиной, массой и демпфером; 6 ——электрическая цепь, свойства которой аналогичны свойствам осциллятора с затуханием.Рис. 1.5. а — Классический механический осциллятор с пружиной, массой и демпфером; 6 ——электрическая цепь, свойства которой аналогичны свойствам осциллятора с затуханием.туды колебаний:Зотуды колебаний:Зо(3 J &广(3 J &广(1.2.1)(1.2.1)
Рис. 1.5. а — Классический механический осциллятор с пружиной, массой и демпфером; 6 ——электрическая цепь, свойства которой аналогичны свойствам осциллятора с затуханием.
Рис. 1.5. а — Классический механический осциллятор с пружиной, массой и демпфером; 6 ——электрическая цепь, свойства которой аналогичны свойствам осциллятора с затуханием.
туды колебаний:
Зо
туды колебаний:
Зо
(3 J &广
(3 J &广
(1.2.1)
(1.2.1)
В таком состоянии энергия попеременно переходит из упругой энергии пружины (электрической энергии конденсатора С) в кинетическую энергию массы (магнитную энергию индуктивности £), и наоборот. Включение затухания (с 工 0, R #0) делает свободные колебания затухающими, так что амплитуда колебаний массы (или заряд в цепи) имеет следующую временную зависимость:
x(f)8"储 一)2)1々 + %],(1.2.2)
где
cR
7 = —,или7 = —.
Говорят, что затухание докритическое, когда 72 V з^? критическое, когда 72 = з^, и сверхкритическое, когда 72 > з^.
Одно из классических явлений в линейных колебательных системах — резонанс при гармоническом возбуждении. Дифференциальное уравнение, описывающее систему в этих условиях, имеет вид (см., например, [190]):
х + 2)文 + з^х = J^cosRf. (1.2.3)
Если при постоянной амплитуде/0 изменять вынуждающую частоту R, то абсолютная величина стационарного смещения массы (после затухания переходных возмущений) достигает максимума вблизи естественной частоты ш0, а более точно — при R = (з^ - 72)1/2. Это явление изображено на рис. 1.6. Эффект вы-
Max(xft>]Max(xft>]
Max(xft>]
Max(xft>]
рис. /•£ Классические резонансные кривые (зависимость амплитуды отклика от частоты) для вынужденного движения линейноео осциллятора с затуханием при разных коэффициентах затухания 7.
ражен ярче при слабом затухании. В структурированных системах это явление широко распространено, и инженеры хорошо знакомы с проблемой усталостного разрушения конструкций и машин при сильных резонансных колебшиях. Если линейная механическая система имеет много степеней свободы, ее часто моделируют системой связанных осцилляторов из пружин и масс, обнаруживая при г^фмоническом возбуждетии появление множества резонансных частот. Такое поведение часто наталкивало на предположение, что каждый максимум в спектре колебаний соответствует по меньшей мере одной степени свободы. В нелинейных колебательных системах это не так. В отличие от своего линейного аналога, нелинейная система с одной степенью свободы может возбудить много частот, как это показано на рис. 1.3. В любом случае математическая теория линейных систем хорошо разработана и запрограммирована в мощных пакетах математического обеспечения для компьютеров. Другое дело — нелинейные задачи.
ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Нелинейные эффекты могут проявиться многими разнообразными способами. Классический пример — это нелинейная пружина, в которой восстанавльвающая сила нелинейно зависит от растяжения. В случае симметричной нелинейности (одинаковый отклик при сжатии и растяжении) уравнение движения принимает вид
х + 2ух + а* + 6*3 =/«)•х + 2ух + а* + 6*3 =/«)•(1.2.4)(1.2.4)
х + 2ух + а* + 6*3 =/«)•
х + 2ух + а* + 6*3 =/«)•
(1.2.4)
(1.2.4)
Если затухание отсутствует ”/(<) = 0, имеются периодические ре-
Рис. 7.7. Классическая резонансная кривая нелинейного осциллятора с жесткой пружиной в случае, когда колебания периодичны и имеют тот же период, что и вынуждающая сила (а к 6 определяются в уравнении (1.2.4)).
шения, в которых при 6 > 0 естественная частота увеличивается с амплитудой. Эта модель часто называется уравнением Дуффинга по имени изучавшего ее математика.
Если на систему воздействует периодическая сила, то в классической теории полагают, что и отклик будет периодическим. Резонанс нелинейной пружины при частоте отклика, совпадающей с частотой силы, показан на рис. 1.7. Как показано на этом рисунке, при постоянной амплитуде вынуждающей силы существует диапазон вынуждающих частот, в котором возможны три различных значения амплитуды отклика. Можно показать, что штриховая линия на рис. 1.7 неустойчива, и при росте и уменьшении частоты происходит гистерезис. Это явление называется перебросом, и оно наблюдается в экспериментах со многими механическими и электрическими системами.
Существуют и другие периодические решения, такие, как субгармонические и супергармонические колебания. Если вынуждающая сила имеет вид /0cosoj/, то субгармонические колебания могут иметь вид x0cos(cj//n + «) плюс более высокие гармоники (л — целое число). Как мы увидим ниже, субгармоники играют важную роль в предхаотических колебаниях.
Теория нелинейного резонанса зиждется на предположении, что периодическое воздействие вызывает периодический отклик. Однако именно этот постулат оспаривает новая теория хаотических колебаний.
СамовозНуждающиеся колебания — другой важный класс нелинейных явлений. Это колебательные движения, которые происходят в системах без периодических внешних воздействий или периодических сил. На рис. 1.8 показаны несколько примеров. В первом
Рис. 7.8. Примеры самовозбуждаюпшхся колебаний: а — сухое трение между массой и движущимся ремнем; 6 — аэроупругие силы, действующие иа тонкое крыло; в — отрицательное сопротивление в цепи с активным элементом.Рис. 7.8. Примеры самовозбуждаюпшхся колебаний: а — сухое трение между массой и движущимся ремнем; 6 — аэроупругие силы, действующие иа тонкое крыло; в — отрицательное сопротивление в цепи с активным элементом.примере к колебаниям приводит трение, создаваемое относительным движением массы и движущегося ремня. Второй пример иллюстрирует целый класс аэроупругих колебаний, при которых стационарные колебания вызывает стационарный поток жидкости за твердым телом на упругой подвеске. В классическом примере из области электричества, показанном на рис. 1.9 и исследованном Ван дер Полем, в цепь включена электронная лампа.
Рис. 7.8. Примеры самовозбуждаюпшхся колебаний: а — сухое трение между массой и движущимся ремнем; 6 — аэроупругие силы, действующие иа тонкое крыло; в — отрицательное сопротивление в цепи с активным элементом.
Рис. 7.8. Примеры самовозбуждаюпшхся колебаний: а — сухое трение между массой и движущимся ремнем; 6 — аэроупругие силы, действующие иа тонкое крыло; в — отрицательное сопротивление в цепи с активным элементом.
Во всех этих примерах в системе присутствуют стационарный источник энергии и источник диссипации, или нелинейный демпфирующий механизм. В случае осциллятора Ван дер Поля источником
Рис. 7.9. Схема цепи с вакуумной лампой, в которой происходят колебания иа предельном цикле того же типа, который исследовал Ваи дер Поль.
энергии является постоянное напряжение. В математическую модель этой цепи источник энергии входит в виде отрицательного сопротивления:
х - 7х(1 - рх2) + з/ = 0. (1.2.5)
Энергия может поступать в систему при малых амплитудах, но при увеличении амплитуды ее рост ограничивается нелинейным затуханием.
В случае маятника Фруда (см., например, [135, гл. 28]), подвод энергии осуществляется стационарным вращением оси. При малых колебаниях нелинейное трение играет роль отрицательного затухания; между тем при сильных колебаниях амплитуда колебаний ограничивается нелинейным членом 0京 з：
京 + asinJ = Т()+ 7ё(1 - 0/). (1.2.6)
Колебательные движения таких систем часто называются предельными циклами. На рис. 1.10 показаны траектории осциллятора Ван дер Поля на фазовой плоскости. Малые колебания раскручиваются по спирали, приближаясь к замкнутой асимптотической траектории, а движения большой амплитуды стягиваются по спирали к тому же предельному циклу (см. рис. 1.10 и 1.11, где у =文).
При изучении подобных проблем часто возникают два вопроса. Какова амплитуда и частота колебаний на предельном цикле? При каких значениях параметров существуют устойчивые предельные циклы?
Рис. /./0. Решение с предельным циклом для осциллятора Ван дер Поля, изображенное на фазовой плоскости.
Рис. 1.11. Релаксационные колебания осциллятора Ван дер Поля.
В случае уравнения Ван дер Поля удобно нормировать пространственную переменную на V0, а время ——на з£* так что уравнение принимает вид
х - £Х(1 - х2) + х = 0,(1.2.7)
где £ = )/3°, При малых £ предельный цикл представляет собой окружность радиуса 2 на фазовой плоскости, т. е.
х = 2 cos / + ...»(1.2.8)
где через + …обозначены гармоники третьего и более высоких порядков. При больших £ движение приобретает вид релаксационных колебаний, показанных на рис. 1.11, с безразмерным периодом около 1.61 при £ > 10.
Более сложна задача с периодической силой в системе Ван дер Поля:
х - ?х(1 - 6工2) + З^х = 4 cos3］，.(1.2.9)
Поскольку эта система нелинейна, неприменим принцип суперпозиции свободных и вынужденных колебаний. Вместо этого возникающее периодическое движение захватывается на вынуждающей частоте, когда последняя близка к частоте предельного цикла. При слабом внешнем воздействии имеются три периодических решения, но лишь одно из них устойчиво (рис. 1.12). При больших значениях амплитуды силы /0 существует только одно решение. В любом случае с увеличением расстройки з。— з】при фиксированном/0 захва-
Рис. /./2. Амплитудные кривые для вынужденного движения осциллятора Ван дер Поля (1.2.9).
ценное периодическое решение оказывается неустойчивым и становятся возможными другие типы движения.
При больших отличиях вынуждающей и собственной частот в системе Ван дер Поля появляется новое явление — комбинационные колебания, иногда называемые почти периодическими или ква- зипериодическими решениями. Комбинационные колебания имеют вид
X =Ь]8$3]Г + b2cQs^2t. (1.2.10)
Когда частоты з】и з? несоизмеримы, т. е. з/з? — иррациональное число, решение называется квазипериоди чес к им. Для уравнения Ван дер Поля (1.2.9) з?三 з°, где з° — частота предельного цикла свободных колебаний (см., например, [180, с. 166]).
Ниже мы еще поговорим о квазипериодических колебаниях, но, поскольку они не периодичны, их можно спутать с хаотическими решениями, каковыми они не являются. (Для них спектр Фурье решения (1.2.10) состоит из двух пиков при з = 3], з?, в то время как хаотические решения имеют широкий, непрерывный спектр.)
Когда 3] и з? несоизмеримы, фазовый портрет решения (1.2.10) представляет собой незамкнутую траекторию, и для графического представления квазипериодических функций используется другой способ. Для этого делается стробоскопическая выборка х (/) с интервалом 2?г/3]； положим
〃 2тг3]〃 2тг3](1.2.11)
〃 2тг
3]
〃 2тг
3]
и обозначим х (tn) = хп , х (tn) = vn . Тогда соотношение (1.2.10)
Рис. /. /?.Стробоскопическое изображение на фазовой плоскости квазипериодических решений для осциллятора Ван дер Поля (1.2.9).
сводится к
х〃 =力]+ 力2cos , % = -woi2sin —у .(1.2.12)
3]3]
С ростом л точка (хл, vn) смещается вдоль эллипса, лежащего в стробоскопической фазовой плоскости (называемой сечением Пуанкаре), как показано на рис. 1.13. Если з。® иррационально, то множество точек [ х^ и〃} при л — оо заполняет замкнутую линию, уравнение которой имеет вид
(1.2.13)
Квазипериодические колебания происходят также и в системах с более чем одной степенью свободы.
ЛОКАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИКИ
Идеи современной нелинейной динамики часто представляют в геометрической форме или в виде рисунков. Например, движение осциллятора без затухания, х 4- з" = 0, можно представить на фазовой плоскости (х, х) в виде эллипса (рис. 1.13). На таком рисунке время представлено неявно и временная эволюция описывается движением вдоль эллипса по часовой стрелке. Размер эллипса зависит от задания начальных условий для (х, х).
В общем при исследовании нелинейных задач сначала следует найти точки равновесия системы, а затем рассмотреть движение вокруг каждого положения равновесия. Локальное движение харак-
теризуется свойствами собственных значений линеаризованной системы. Таким образом, если динамическую модель можно представить в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка
(1.2.14)(1.2.14)X = f(x),
(1.2.14)
(1.2.14)
(1.2.15)(1.2.15)где х —— вектор, компоненты которого — параметры состояния, то точки равновесия определяются равенством х = 0, или
(1.2.15)
(1.2.15)
М{) = 0.
Например, в случае гармонического осциллятора имеется только одна точка равновесия, расположенная в начале координат: х = (х, V = х),хе = 0, fe = 0. Для выяснения характера поведения вблизи х = Хр следует разложить функцию f(x) в ряды Тейлора вблизи каждой точки равновесия % и рассмотреть линеаризованные задачи.
Для иллюстрации этого метода рассмотрим систему двух уравнений первого порядка:
(1.2.16)(1.2.16)£ =/(% У),У = g (" )•
(1.2.16)
(1.2.16)
Если время не входит явно в функции / ( ) и g ( ), то задача называется автономной. Координаты точек равновесия должны удовлетворять двум уравнениям: /(хе, je) = 0 и g (хе, уе) = 0. Вводя малые отклонения от каждого из положений равновесия, т. е.
X = “ + 7? ну =几 + &,
перепишем систему в виде
мЭхagЭхмЭхagЭха/ дуag дуа/ дуag ду(1.2.17)(1.2.17)
м
Эх
ag
Эх
м
Эх
ag
Эх
а/ ду
ag ду
а/ ду
ag ду
(1.2.17)
(1.2.17)
где производные вычисляются в точке (хе, уе).
(1.2.18)(1.2.18)Некоторые авторы обозначают матрицу производных в уравнении (1.2,17) символами V F или D F, где F = (Л g). Характер движения вблизи каждой из точек равновесия выясняется с помощью собственных решений
(1.2.18)
(1.2.18)
УУ
У
У
Рис.上".Классические фазовые портреты окрестностей четырех различных типов точек равновесия системы двух дифференциальных уравнений, не содержащих явной зависимости от времени.
где а к 8 — постоянные. Движения классифицируются на основе свойств двух собственных значений матрицы QF (т. е. на основе того, действительно или комплексно 5, и в зависимости от знака Re(s).
Траектории на фазовой плоскости при разных собственных значениях показаны на рис. 1.14. К примеру, седловая точка возникает, когда оба собственных значения5 действительны, но% v 0, а $2 > 0・ Спираль соответствует случаю, когда5j hs? комплексно-сопряженные.
Устойчивость решения линеаризованной системы (1.2.17) определяется знаком Re(s). Когда действительная часть одного из чисел S] или52 положительна, движение вблизи этой точки равновесия неустойчиво. Существуют теоремы, показывающие, что если корни не являются чисто мнимыми, то локальное движение, описываемое линеаризованной системой, подобно движению исходной нелинейной системы (1.2.16). Чисто колебательное движение линеаризован* ной системы (s = ±，з) делает необходимым дальнейший анализ для выяснения вопроса об устойчивости нелинейной системы. Эти идеи, изложенные для системы второго порядка, можно обобщить на случай фазового пространства большей размерности (см., напри* мер, [3] или [57]).
БИФУРКАЦИИ
По мере изменения параметров динамической системы может меняться число точек равновесия и их устойчивость. Такие изменения нелинейных систем, связанные с изменением параметров системы, являются предметом теории бифуркаций. Те значения параметров, при которых изменяются качественные или топологические свойства движения, называются критическими или бифуркациоиными значениями.
В качестве примера рассмотрим решение, описывающее идеальный осциллятор Дуффинга:
£ + ах + 如3 = ° (1.2.19)
Для начала построим зависимость положения точек равновесия от а. С изменением а от положительных до отрицательных значений единственная точка равновесия распадается на три. На языке динамики: единственный центр преобразуется в седловую точку в центре координат и два центра (рис. 1.15). Бифуркация такого типа называется бифуркацией типа вил. Физический смысл этого явления понятен из того, что силу — (ах 4- 6炉)можно описать с помощью потенциальной энергии. Когда а становится отрицательным, потенциал с одной ямой заменяется потенциалом с двумя ямами. При этом происходит качественное изменение динамики системы, и поэтому а = 0 является критическим бифуркациоиным значением.
Другой пример бифуркации — появление в физических системах предельных циклов. В этом случае по мере изменения некоторого управляющего параметра пара комплексно-сопряженных собственных значений 5卜 s? = ±/з +)переходит из левой части плоскости (7 < 0, устойчивая спираль) в правую часть ()> 0, неустойчивая спираль) и возникает периодическое движение, называемое предельным циклом. Такой тип качественного изменения динамики системы, показанный на рис. 1.16, называется бифуркацией Хопфа.
Только что описанная теория называется локальной, потому что она описывает динамическое поведение лишь в окрестности каждой точки равновесия. Основная цель классического динамического анализа заключается в составлении мозаики локальных картин и описания глобальной картины траекторий между точками равновесия.
Такой анализ возможен, когда пучки различных траекторий, соответствующих разным начальным условиям, движутся более или менее когерентно, как ламинарный поток жидкости. Это происходит, если фазовое пространство имеет только два измерения. Одна-
Рис. /./5. Траектории осциллятора с нелинейной возвращающей силой (уравнение Дуффинга (1.2.19)) на фазовой плоскости: а — случай жесткой пружины, а, 3 > О； 6 — случай мягкой пружины, а > 0, 8 V 0； 6 — потенциал с двумя ямами, а < 0, 3 > 0.
Рис. 1.16. Бифуркационные диаграммы: а — бифуркация типа вил для уравнения Дуффинга (1.2.19), отвечающая переходу из состояния с одним устойчивым положением равновесия в состояние с двумя устойчивыми равновесными точками; 6 — бифуркация Хопфа, отвечающая переходу от устойчивой спирали к колебаниям на предельном цикле.Рис. 1.16. Бифуркационные диаграммы: а — бифуркация типа вил для уравнения Дуффинга (1.2.19), отвечающая переходу из состояния с одним устойчивым положением равновесия в состояние с двумя устойчивыми равновесными точками; 6 — бифуркация Хопфа, отвечающая переходу от устойчивой спирали к колебаниям на предельном цикле.
Рис. 1.16. Бифуркационные диаграммы: а — бифуркация типа вил для уравнения Дуффинга (1.2.19), отвечающая переходу из состояния с одним устойчивым положением равновесия в состояние с двумя устойчивыми равновесными точками; 6 — бифуркация Хопфа, отвечающая переходу от устойчивой спирали к колебаниям на предельном цикле.
Рис. 1.16. Бифуркационные диаграммы: а — бифуркация типа вил для уравнения Дуффинга (1.2.19), отвечающая переходу из состояния с одним устойчивым положением равновесия в состояние с двумя устойчивыми равновесными точками; 6 — бифуркация Хопфа, отвечающая переходу от устойчивой спирали к колебаниям на предельном цикле.
ко если присутствуют три или более уравнений первого порядка, то пучки траекторий могут разбегаться и запутываться, создавая то, что мы теперь называем хаотическим движением.
Наш короткий обзор пояснил, что существует три классических типа динамического движения:
равновесие;
периодическое движение, или предельный цикл;
квазипериодическое движение.
Эти состояния называются аттракторам и, поскольку в присутствии какого-либо затухания переходные отклонения подавляются и система «притягивается» к одному из трех перечисленных состояний. Цель нашей книги ——описать другой класс движений, характерных для нелинейных колебаний, который не сводится ни к одному из этих классических аттракторов. Этот новый класс движений —движения хаотические в том смысле, что они непредсказуемы, если присутствует малая неопределенность начальных условий; этот класс движений часто связан с состоянием, называемым странным аттрактором.
Классическим аттракторам соответствуют классические геометрические объекты в фазовом пространстве: равновесному состоянию —точка, периодическому движению или предельному циклу —замкнутая кривая, а квазипериодическому движению соответствует поверхность в трехмерном фазовом пространстве. Как мы увидим в последующих главах, «странный аттрактор» связан с новым (по отношению к классической геометрии) геометрическим объектом, называемым фрактальным множеством. В трехмерном фазовом пространстве фрактальное множество странного аттрактора выглядит как набор бесконечного числа слоев или параллельных плоскостей, причем расстояние между некоторыми из них приближается к бесконечно малому. Для описания этого нового аттрактора нелинейной динамики требуются новые математические идеи и язык, а для его обнаружения и количественной характеристики ——новые методы эксперимента. Связь между бифуркациями и хаосом обсуждается в недавно изданной книге [193].
1.3. ОТОБРАЖЕНИЯ И ПОТОКИ
Математические модели динамики в общем случае могут иметь один из трех видов: дифференциальные уравнения (или потоки), разностные уравнения (называемые отображениями) и символические динамические уравнения.
Понятие потока описывает пучок траекторий в фазовом пространстве, который начинается на множестве близких начальных условий. Для тех, кто занимается колебаниями в инженерных системах, наиболее близок пример потока, связанный с непрерывным движением частицы. Однако определенную качественную и количественную информацию о системе можно получить, анализируя эволюцию параметров системы на дискретно выбранных моментах времени. В частности, в этой книге мы обсудим, как получить разностные эволюционные уравнения для непрерывно эволюционирующих систем с помощью сечения Пуанкаре. Отображения Пуанкаре иногда помогают отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например периодические, квазипериодиче- ские и хаотические. В некоторых задачах не только время принимает дискретные значения, но и информация о параметрах системы оказывается ограниченной конечным набором значений или категорий, как, например, красный или синий, нуль или единица. Например, в задаче с парой потенциальных ям (см. рис. 1.2, б) нас может интересовать только, в какой яме находится частица, правой (R) или левой (L). Тогда траектория может описываться последовательностью символов LRRLRLLLR,….Периодическая орбита может иметь вид LRLR ... или LLRLLR ... . На современном новом этапе развития нелинейной динамики для описания эволюции физических систем применяются модели всех трех типов (см. обсуждение символической динамики в [26] или [211]).
В колебательных системах с периодической вынуждающей силой отображение Пуанкаре можно получить, стробоскопически измеряя динамические переменные в моменты, соответствующие определенной фазе вынуждающего движения. В задаче с л переменными сечение Пуанкаре получается в результате измерения л — 1 переменных в те моменты, когда л-я переменная принимает некоторое определенное значение или когда траектория в фазовом пространстве пересекает некоторую произвольную плоскость, как показано на рис. 1.17 (см. также гл. 2 и 4). Если известен закон эволюции в промежутке между двумя пересечениями выбранной плоскости, то можно связать положение траектории в моменты /л + [ и /п с помощью известных функций. Например, в случае, показанном на рис. 1.17:
(1.3.1)(1.3.1)+ 1 = / (&，% ) н % + I = g (&,%).
(1.3.1)
(1.3.1)
Математические методы исследования таких отображений подобны методам исследования дифференциальных уравнений. Можно найти равновесные или неподвижные точки отображения и произвести классификацию этих точек с помощью анализа отображе-
Рис. 1.17. Сечение Пуанкаре — составление разностного уравнения (отображения) для динамической модели с непрерывно меняющимся временем.
ния, линеаризованного вблизи данной точки покоя. Если (+ 1 = f(xn) есть отображение общего вида для, скажем, л переменных, составляющих вектор х, то точка покоя удовлетворяет уравнению
(1.3.2)
Итерацию отображения часто записывают в виде f(f(x)) = ^2)(х). При такой записи уравнение для "m-цикла" или /п-периодической орбиты, т. е. точки покоя, повторяющейся после m итераций отображения, имеет вид
(1.3.3)(1.3.3)х° = «)%).
(1.3.3)
(1.3.3)
Эти рассуждения подразумевают, что при непрерывной эволюции периодические движения соответствуют точкам покоя разностных уравнений, полученных с помощью сечения Пуанкаре. Итак, объекты, наиболее часто исследуемые при изучении перехода от периодического движения к хаотическому, — это простые одномерные и двумерные отображения.
ТРИ ОБРАЗА ХАОСА
Простейшим примером динамической модели, обнаруживающей хаотическое поведение, по-видимому, является логистическое уравнение, или уравнение роста популяции (см., например, [130]):
(1.3.4)(1.3.4)乙 + I = "〃一 ЬхЗ
(1.3.4)
(1.3.4)
Первый член в правой части описывает рост или рождение, а нелинейный член ответствен за ограничение роста, связанное, напри-
мер, с ограниченностью энергетических или пищевых ресурсов. Если пренебречь нелинейным членом (Ь = 0), то можно выписать явное решение получающегося линейного уравнения:
(135)(135)0Х〃,・ X” = х。#.
(135)
(135)
Это решение устойчиво при I а I < 1 и неустойчиво при I а I > 1. В последнем случае из линейной теории следует нереалистичное предсказание неограниченного роста.
Нелинейную модель (1.3.4) обычно переписывают в безразмерном виде
X” + 1 =也〃(1 — X”).X” + 1 =也〃(1 — X”).(1.3.6)(1.3.6)
X” + 1 =也〃(1 — X”).
X” + 1 =也〃(1 — X”).
(1.3.6)
(1.3.6)
При 入 > 1 имеются две точки равновесия (т. е. х = Хх (1 — х)). Для выяснения устойчивости отображения ^п + ^ = f (^п) следует вычислить величину наклона 1/'(х)1 в точке покоя. Если I/' I > 1, точка покоя неустойчива. При 1 < Л < 3 логистическое уравнение (1.3.6) имеет две точки покоя: х = 0, (Л — 1)/Л; при этом начало координат ——неустойчивая точка, а вторая точка покоя устойчива.
Однако при 入=3 наклон прих = (Л - 1)/Л превышает единицу (/' = 2 -入)н обе точки равновесия становятся неустойчивыми. При значениях параметра 入,заключенных между 3 и 4, это простое разностное уравнение описывает множество многопериодических и хаотических движений. При Л = 3 становится неустойчивым стационарное решение, но остается устойчивым бицикл или двупериодическая орбита. Эта орбита показана на рис. 1.18. Величина хп повторяется через каждую итерацию.
При дальнейшем увеличении 入 двупериодическая орбита становится неустойчивой и возникает цикл с периодом 4, который вследствие бифуркации быстро заменяется циклом с периодом 8 при еще больших значениях Л. Этот процесс удвоения периода про- должаетя до тех пор, пока Л не достигает значения Л^ = =3,56994 .... Вблизи этого значения последовательность значений параметра, при которых происходят удвоения периода, подчиняется точному закону
%土丄一〜一 4,66920 ....%土丄一〜一 4,66920 ....入"一入,入"一入,(1.3.7)(1.3.7)
%土丄一〜一 4,66920 ....
%土丄一〜一 4,66920 ....
入"一入,
入"一入,
(1.3.7)
(1.3.7)
Это предельное отношение называется числом Фейгенбаума ——по имени физика, который обнаружил эти свойства рассматриваемого отображения.
При значениях Л, превышающих Л^, могут возникать хаотиче-
Период -1Период -1Период - 2ZvWПериод - 2ZvWПериод - 4^vVVv\Период - 4^vVVv\Puc. 1.18. Возможные типы решений логистического уравнения (1.3.6) (квадратичного отображения). Вверху — стационарное движение с периодом 1; посередине — движения с периодом 2 и периодом 4; внизу — хаотическое движение.
Период -1
Период -1
Период - 2
ZvW
Период - 2
ZvW
Период - 4
^vVVv\
Период - 4
^vVVv\
ские итерации, т. е. поведение модели на больших временах не укладывается в рамки простого периодического движения. В интервале 入8 V 入 V 4 также присутствуют определенные узкие интервалы △入,для которых существуют периодические орбиты. Хаотическая орбита логистического отображения показана на рис. 1.19 с помощью зависимости хл +)от хл .
Роль этого отображения не только в том, что оно дает образец хаоса. Было показано, что и другие отображения вида хп 十 1 =/(х〃), где / R) — квадратичная или более сложная функция, ведут себя примерно так же, удовлетворяя тому же закону (1.3.7). Поэтому явление удвоения периода или регулярного изменения бифуркационного параметра называют универсальным свойством определенных классов одномерных разностных моделей динамических процессов.
Удвоение периода и отношение Фейгенбаума (1.3.7) обнаруживаются во многих физических экспериментах (см. гл. 3). Это означает, что во многих непрерывных эволюционных процессах сведение к разностному уравнению с помощью сечения Пуанкаре приводит к квадратичному отображению (1.3.4); отсюда следует важная роль
Рис. 1.19. Графическое решение разностного уравнения первого порядка, пример квадратичного отображения (1.3.6).Рис. 1.19. Графическое решение разностного уравнения первого порядка, пример квадратичного отображения (1.3.6).Показан
Рис. 1.19. Графическое решение разностного уравнения первого порядка, пример квадратичного отображения (1.3.6).
Рис. 1.19. Графическое решение разностного уравнения первого порядка, пример квадратичного отображения (1.3.6).
отображений в исследовании дифференциальных уравнений. (Дальнейшее обсуждение логистического уравнения (1.3.4) см. в гл. 5.)
ОТОБРАЖЕНИЕ ЭНОНА И «ПОДКОВА»
Не удивительно, что состояние большинства физических систем описывается более чем одной переменной и необходимо исследовать отображения более высокого порядка. Одним из обобщений задачи Фейгенбаума (1.3.6) является двумерное отображение, предложенное французским астрономом Эноном^ [68]:
4 + 1=1- °汇 +兄，(1.3.8)
У“ + 1 = б/ •
Заметим, что при 3 = 0 мы возвращаемся к квадратичному отображению. При I 3 I с 1 отображение уменьшает площади в плоскости ху. Кроме того, оно вытягивает и изгибает области на фазовой плоскости, как это показано на рис. 1.20. В результате этого растяжения, сжатия и изгиба или складывания областей фазового пространства получаются области, напоминающие подкову. Последовательные итерации таких отображений типа подковы приводят к появлению в фазовом пространстве сложных орбит, потере информации о начальных условиях и хаотическому поведению.
ь русской литературе часто используется неправильная транскрипция «Хенон». — Прим, перев.
Рис. 1.20. Преобразование прямоугольной области начальных условий под действием системы разностн ых уравнений второго порядка, называемой отображением Энона (1.3.8), состоящее в вытягивании, сжатии и складывании, которые приводят к хаотическому поведению (а = 1,4, 8 = 0,3).
На рис. 1.21 приведена иллюстрация способности простых отображений моделировать сложные движения. После итерации использованного отображения прямоугольная область растягивается в вертикальном направлении и сжимается в горизонтальном и скла-
Рис. /.2/. Отображение «подкова»: вытягивание, сжатие и складывание после большого числа итераций отображения приводят к фрактальной структуре.
luuiu числа и i сраиии и i ииражсних ирнви厶xi а фрап.1 альнии 11 руш УР^-
Рис. /.2/. Отображение «подкова»: вытягивание, сжатие и складывание после большого числа итераций отображения приводят к фрактальной структуре.
Рис. /.2/. Отображение «подкова»: вытягивание, сжатие и складывание после большого числа итераций отображения приводят к фрактальной структуре.
Рис. /.2/. Отображение «подкова»: вытягивание, сжатие и складывание после большого числа итераций отображения приводят к фрактальной структуре.
ния можно получить критерий возникновения хаотических колебаний динамической системы, при которых предсказание будущей эволюции становится чувствительным к начальным условиям. Это метод Мельникова, который успешно применяется для получения критериев хаоса в определенном классе задач о нелинейных колебаниях с одной степенью свободы (см., например, гл. 5).
АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА И ХАОС В ЖИДКОСТИ
Что касается непредсказуемости эволюции реальных физических систем, то проведенное нами обсуждение отображений и хаоса многим читателям может показаться неубедительным. И если бы не нижеследующий пример из области механики жидкостей, связь между отображениями, хаосом и дифференциальными уравнениями, описывающими физические системы, могла бы до сих пор не выйти за рамки математических журналов. В 1963 г. специалист по физике атмосферы по имени Э.Н. Лоренц из Массачусетсского технологического института предложил простую модель тепловой конвекции в атмосфере^. Жидкость, подогреваемая снизу, становится легче и всплывает, а более тяжелая жидкость опускается под действием гравитации. Такие движения часто организуются в конвективные валики, подобные движениям жидкости в трехмерном торе, показанном на рис. 1.23. В математической модели конвекции, которую предложил Лоренц, используются три переменные (х, у, z), описывающие состояния системы. Переменная х пропорциональна амплитуде скорости, с которой жидкость циркулирует в жидком кольце, а переменные у и z отражают распределение температуры по кольцу. Так называемые уравнения Лоренца можно формально получить из уравнения Навье — Стокса, уравнения в частных производных механики жидкости (см., например, гл. 3). В безразмерном виде уравнения Лоренца записываются следующим образом:
х = a(F - х),
У = рх - у 一 xz ,(1.3.9)
2 = ху - 0z.
Параметры аир связаны соответственно с числами Прандтля и Рэлея, а третий параметр S описывает геометрию системы. Отме-
” Приоритет в открытии непериодических решений в задаче о конвекции Лоренц отдает Зальцману [167], который рассматривал систему из пяти уравнений первого порядка. А математики предпочитают анализировать более простую систему Лоренца (1.3.9), состоящую из трех уравнений. Вот как складываются судьбы в науке.
рис. 1.23. Вверху ——схема линий тока жидкости в конвективной ячейке при стационарном движении; внизу — одномерная конвекция в кольцевой трубке под действием силы тяготения и градиента температуры.
тим, что единственные нелинейные члены ——это xz и ху во втором и третьем уравнениях.
При а = 10 и /3 = 8/3 (набор параметров, предпочитаемый специалистами в этой области) и при р > 1 имеется три положения равновесия, из которых то, которое расположено в начале координат, является неустойчивой седловой точкой (рис. 1.24). При
Рнс. L24. Локальные схемы движения вблизи трех точек равновесия для уравнений Лоренца (1.3.9).
Чтобы привести (1.3.10) к виду, подходящему для исследования в фазовом пространстве, положим у = х. Далее, если на массу действует периодическая вынуждающая сила, то неавтономную систему второго порядка (1.3.10) можно свести к автономной системе уравнений третьего порядка. Итак, предположим, что
尸(х, t) = т [f (xt у) g (Г)],g (f + 丁)= g (f )•
Вводя обозначения % = зГиз = 2?г/т, мы приведем уравнения к виду
X = у,
У = /(X, у) + g(z),(1.3.11)
2 = 3.
Частный случай с сильно хаотичным поведением ——осциллятор Дуффинга — получается при F = - (ах + йх3 + су) (см. гл. 2 и 3).
Следует заметить, что если фазовое пространство двумерно, то решения автономных систем не могут быть хаотичными, потому что линии тока «потоков» не могут пересекаться. Однако при вынужденных колебаниях, т. е. в трехмерном фазовом пространстве, эти линии могут «перепутываться» и становятся возможными хаотические движения.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Динамика ——старейший раздел физики. И тем не менее через 300 лет после публикации Principia Ньютона (1687) появляются все новые открытия. Появившиеся за это время идеи Эйлера, Лагранжа, Гамильтона и Пуанкаре, родившись в небесной механике, проникли теперь во все области физики. Так же как новая наука, динамика, породила в XVII в. дифференциальное исчисление, в наше время нелинейная динамика ввела в обиход такие новые идеи геометрии и топологии как фракталы, без освоения которых ученому XX в. не удастся полностью понять предмет исследований.
Идеями хаоса западная мысль обязана еще древним грекам. Сами эти идеи сводились к объяснению порядка в том мире, который возник из первобытного мира — бесформенного, хаотичного и неупорядоченного. Но уже в восточной мысли, в частности, в даосизме (по словам Г. Майер-Кресса [131] из Лос-Аламосской национальной лаборатории), хаос ассоциируется со структурами, вложенными в структуры, вихрями, вложенными в вихри, как это проис-
Рис. /.26. Рисунок на японском кимоно подобен фрактальной структуре (воспроизводится с любезного разрешения Mitsubishi Motor Corp.).
ходит, например, в течении жидкостей (см. также рисунок на японском кимоно, показанный на рис. 1.26).
Вплоть до последнего десятилетия XX в. в динамике преобладало представление, что порядок возникает из окружающего бесформенного хаоса, и этот порядок узнается лишь по предсказуемой периодической структуре. Теперь эту точку зрения вытесняет другая концепция хаотических явлений. Они возникают согласно регулярным законам и за ними стоит не бесформенный хаос, но хаос с сокрытым порядком, фрактальными структурами. На пути этого изменения парадигм мы руководствуемся новыми математическими представлениями нашего «упорядоченного» мира.
В последующих главах мы обсудим более сложные методы, в том числе измерение двух характеристик движения, именно фрактальной размерности и показателя Ляпунова.
Ниже мы разберем все пункты представленного списка и опишем признаки хаотических колебаний. Чтобы конкретизировать обсуждение, для иллюстрации признаков хаотической динамики выбраны колебания изогнутого стержня (задача с парой потенциальных ям).
Для диагностики хаотических колебаний необходимо ясное определение такого движения. Однако по мере того, как новые исследования раскрывают новые сложности нелинейной динамики, строгие определения оказываются ограниченными определенными классами математических задач. Это создает трудности для экспериментатора, поскольку его цель — выяснить, какая математическая модель наилучшим образом описывает данные. Поэтому на данном этапе развития этой науки мы используем одновременно ряд диагностических критериев и рассматриваем различные классы хаотических
Таблица 2./. Классы движений в нелинейных детерминированных системах
Предсказуемое регулярное движение: периодические колебания, квазип ери одическое движение; нечувствительно к изменениям параметров и начальных условий
Непредсказуемое регулярное движение: множественные регулярные аттракторы (допустим более чем один тип периодического движения); длительное движение чувствительно к начальным условиям
Переходный хаос: движения, которые кажутся хаотическими и имеют характерные для странного аттрактора свойства (обнаруживаемые по отображению Пуанкаре), но в конце концов вырождаются в регулярное движение
Перемежаемый хаос: периоды регулярного движения, прерываемого переходными вспышками хаотического движения; длительность периодов регулярного движения непредсказуема
Ограниченный^или узкополосный хаос: хаотические движения, орбиты которых проходят в фазовом пространстве вблизи от орбит некоторых периодических или регулярных движений; их спектры часто обнаруживают небольшое или ограниченное уширение определенных частотных компонент
Слабый крупномасштабный или широкополосный хаос: динамические процессы можно охарактеризовать с помощью орбит в фазовом пространстве малого числа измерений 3 < п < 7 (от 1 до 3 мод в механических системах) и обычно удается измерить фрактальную размерность, которая оказывается меньшей 7; хаотические орбиты охватывают обширные области фазового пространства; спектры состоят из широкого набора частот, особенно меньших частоты возбуждения (если последнее присутствует)
Сильный крупномасштабный хаос: динамические свойства можно описать только в фазовом пространстве очень большого числа измерений; присутствует большое число существенных степеней свободы; трудно получить надежную оценку фрактальной размерности; до сих пор не существует динамической теории явления
движений (см. табл. 2.1). Экспериментаторам рекомендуется применять по два и более тестов, чтобы получить адекватную картину хаоса.
Чтобы помочь разобраться в растущем числе определений и классов хаотических движений, мы перечислим наиболее распространенные признаки без математических формул, но с указанием в скобках наиболее приемлемого диагностического метода.
ПРИЗНАКИ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Чувствительность к изменению начальных условий (часто измеряемая показателем Ляпунова (гл. 5) и границами фрактальной области (гл. 6)).
Широкий фурье-спектр движения, возбуждаемого на одной частоте (получаемый быстрым преобразованием Фурье, БПФ, с помощью современных электронных спектр-анализаторов).
Фрактальные свойства движения в фазовом пространстве, которые указывают на присутствие странного аттрактора (и характеризуются отображениями Пуанкаре и фрактальными размерностями (гл. 6)).
Растущая сложность регулярных движений по мере изменения некоторого параметра эксперимента, например удвоение периода (часто можно получить число Фейгенбаума (гл. 1 и 5)).
Переходные или перемежаемые хаотические движения; непериодические всплески нерегулярного движения (перемежаемость) или первоначально неупорядоченное движение, которое в конце концов релаксирует к регулярному (методы экспериментального исследования бедны, но включают измерение средней длительности хаотических всплесков или переходных режимов в зависимости от значения какого-либо параметра. Автомодельная зависимость может подсказать верную математическую модель ——см. гл. 5).
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Любая хаотическая система должна иметь нелинейные элементы или свойства. В пикейной системе не может быть хаотических колебаний. В линейной системе периодические внешние воздействия вызывают после затухания переходных процессов периодический отклик того же периода (рис. 2.1). (Исключением являются параметрические линейные системы.) В механических системах возможны следующие нелинейные компоненты:
нелинейные упругие элементы;
Линейная системаЛинейная системаВыходной сигналВыходной сигналНелинейная системаНелинейная системаПериодический,квазипериодическийСубгармоническийХаотическийПериодический,квазипериодическийСубгармоническийХаотический
Линейная система
Линейная система
Выходной сигнал
Выходной сигнал
Нелинейная система
Нелинейная система
Периодический,квазипериодический
Субгармонический
Хаотический
Периодический,квазипериодический
Субгармонический
Хаотический
Рис. 2,1. Схема возможных преобразований сигнала в линейных и нелинейных системах.
нелинейное затухание, подобное трению покоя и скольжения;
мертвый ход, зазор или билинейные пружины;
большинство гидродинамических явлений;
нелинейные граничные условия.
Нелинейные упругие эффекты могут быть связаны либо со свойствами веществ, либо с геометрическими особенностями. Например, соотношение напряжений в образце из резины и его деформации нелинейно. Однако, хотя соотношение напряжений и деформаций стали обычно линейно вплоть до предела текучести, сильные изгибы балки, плиты или оболочки могут быть нелинейно связаны с приложенными силами и моментами. Подобные эффекты, связанные с сильными смещениями или поворотами, в механике обычно называются геометрическими нелинейностями.
Нелинейные свойства электромагнитных систем обусловлены следующими факторами:
нелинейными сопротивлениями, емкостями или индуктивными элементами;
гистерезисом в ферромагнитных материалах;
нелинейными активными элементами, подобными вакуумным лампам, транзисторам и диодам;
эффектами, характерными для движущихся сред, например электродвижущей силой V х В, где V ——скорость, а В — магнитное поле;
электромагнитными силами, например F = J х В, где J — ток, или F = М ■ V В, где М ——дипольный магнитный момент.
Примерами нелинейных устройств являются такие обычные эле
/6丿
рис. 2.2. Нелинейные задачи с несколькими положенийми равновесия: а — продольный изгиб тонкого упругого стержня под действием осевой нагрузки на торце; 6 —— Продольный изгиб упругого стержня нелинейными магнитными массовыми силами.
менты электрических цепей, как диоды и транзисторы. Такие магнитные материалы, как железо, никель или ферриты характеризуются нелинейными материальными соотношениями между полем намагничивания и плотностью магнитного потока. С помощью операционных усилителей и диодов некоторым экспериментаторам удается собрать отрицательные сопротивления с билинейной вольт- амперной характеристикой (см. гл. 4).
Не во всякой системе легко выявить нелинейности, во-первых, потому что мы часто приучены рассуждать на языке линейных систем, а во-вторых, потому что основные компоненты системы могут быть линейными и нелинейность является тонким эффектом. К примеру, отдельные элементы фермы крепления могут быть линейно упругими, но они собраны так, что имеются зазоры и присутствует нелинейное трение. Таким образом, нелинейность может скрываться в граничных условиях.
В примере с изогнутым стержнем нелинейные элементы выделяются без труда (рис. 2.2). В любом механическом устройстве, имеющем более одного положения статического равновесия, присутствуют зазор, мертвый ход или нелинейная жесткость. В случае стержня, изогнутого нагрузкой на конце (рис. 2.2, а), виновником является геометрическая нелинейность жесткости. В стержне, изгибаемом магнитными силами (рис. 2.2, 6), источником хаотического поведения системы являются нелинейные магнитные силы.
СЛУЧАЙНЫЕ ВНЕШНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
В классической линейной теории случайных колебаний обычно рассматривают модели, в которых случайно меняются внешние си-
лы или параметры, например:
[т0 + m{(t )]х + [с0 + с】")]£ + [統 + к x(t )]х =/«) +/«), где предполагается, что 小[(工)，C[(f), k[(f) и £(f)—— случайные функции времени с заданными статистическими свойствами, такими как среднее или стандартное отклонение. Затем вычисляются статистические свойства функции х(Г) в зависимости от заданных статистических параметров внешних факторов. При исследовании хаотических колебаний не делается предположений о случайных внешних воздействиях, т. е. внешние силы и возбуждения считают ся детерминированными.
По определению, хаотические колебания возникают в детерми нированных физических системах или детерминированных диффе ренциальных и разностных уравнениях. Хотя шум всегда присутст вует в эксперименте и даже при численном моделировании, предпо лагается, что сильный непериодический сигнал не может возник нуть из-за слабого шума на входе системы. Таким образом, если мы намерены приписать непериодический отклик детерминирован ному поведению системы, отношение выходного сигнала * шуму на входе должно быть большим.
НАБЛЮДЕНИЕ ВРЕМЕННОЙ ЭВОЛЮЦИИ
Обычно первые указания на присутствие в эксперименте хаотических колебаний выявляются при наблюдении зависимости амплитуды сигнала от времени с помощью самописца или осциллографа (рис. 2.3). Движение не обнаруживает признаков упорядоченности или периодичности. Однако этот тест не надежен, поскольку па риод движения может быть очень большим и его нелегко обнару* жить. К тому же некоторые нелинейные системы совершают ква*
Рис. 2.3. Запись движения продольно изогнутого упругого стержня, иа которой з» метиы перескоки между двумя устойчивыми положениями равновесия.
зипериодические колебания, в которых присутствуют два или больше периодических сигнала с несоизмеримыми частотами. Тогда суммарный сигнал может казаться непериодическим, но его можно разложить на сумму двух или большего числа периодических колебаний.
ЭВОЛЮЦИЯ НА ФАЗОВОЙ плоскости
Рассмотрим одномерное движение массы, смещение которой обозначено через х(/), а скорость — через 〃(/)• Как следует из второго закона Ньютона, уравнение ее движения можно записать в виде
£ = 7 (2.1)
0 = — /(х, ", Г), т
где т — масса, а / — приложенная сила. Фазовая плоскость определяется как множество точек (х, 〃). (Иногда вместо скорости у используется импульс т〃.) Когда движение периодично (рис. 2.4, а), его орбита описывает в фазовой плоскости замкнутую кривую, которую лучше всего наблюдать с помощью аналогового осциллографа. Например, вынужденные колебания системы из линейной пружины ,массы и демпфера описываются орбитой эллиптической формы. Вынужденные колебания нелинейной системы с кубичным упругим элементом могут иметь орбиту с самопересечениями, но тем не менее замкнутую. В этом случае следует ожидать присутствия субгармоник.
Системы, в которых сила не зависит от времени явно, например / = /(х, V)в уравнениях (2.1), называются автономными. Периодические движения в автономных системах (в отсутствие гармонических внешних воздействий) называются предельными циклами; на фазовой плоскости они также изображаются замкнутыми орбитами (см. гл. 1).
Напротив, орбиты хаотических движений никогда не бывают замкнутыми, не повторяются. Такие орбиты стремятся заполнить некоторую область фазового пространства, как показано на рис. 2.4, 6. Хотя подобное блуждание орбит указывает на хаос, непрерывные графики на фазовой плоскости малоинформативны, и следует использовать более совершенный метод исследования фазовых портретов, называемый отображением Пуанкаре (см. ниже).
Часто имеются измерения только одной величины 〃(/). Если 〃(/) — это скорость, то ее можно проинтегрировать, чтобы получить х(г) и составить фазовый портрет из точек [ j^ vdr. 〃(/)]•
СкоростьСкоростьПоложениеПоложениеXX
Скорость
Скорость
Положение
Положение
X
X
Рис. 24 0 — Вынужденное движение с периодом 2 продольно изогнутого стержня, изображенное на фазовой плоскости (скорость деформации как функция изгибной де* формации); б — хаотическая траектория вынужденного движения продольно изогну
того стержня.
С другой стороны, если приходится дифференцировать сигнал х(/), имеющий смысл смещения или деформации, то часто появляется высокочастотный шум. Тогда мы советуем экспериментатору перед дифференцированием пропустить сигнал х(г) через хороший фильтр пропускания нижних частот (см. гл. 4).
Методы псевдофазового пространства. Другой метод, который используется, если измерена только одна переменная,—— это метод псевдофазового пространства с временной задержкой (также называемый методом объемлющего пространства). Для системы с одной степенью свободы, в которой измерена величинах (/), строится зависимость сигнала от его же величины в другой момент времени, отстающий или опережающий данный момент на постоянную величину: [х (/), х (/ + Т)]. Идея заключается в том, что сигнал х (/ + Т) связан сх(/) и результат должен иметь те же свойства, что и при использовании истинной фазовой плоскости [х (/), x[t)]. На рис. 2.5 показаны орбиты осциллятора Дуффинга на псев- дофазовой плоскости при различных временных задержках. Если
Р〃с. 2.5 а. Траектория осциллятора Дуффинга (1.2.4) на фазовой плоскости при а = — 1 и 3 = 1.
Рис. 2.56. Траектория того же периодического движения, изображенная на псевдо- фазовой плоскости для двух значений времени задержки.
движение хаотично, то траектории не замыкаются (рис. 2.6). Выбор величины Т несуществен, следует только избегать естественного периода системы. Когда в системе больше двух переменных, описывающих состояние (координата, скорость и время или фаза внешней силы), с помощью нескольких задержек можно построить траектории в псевдофазовом пространстве большего числа измерений. Например, трехмерное пространство можно построить с помощью вектора с компонентами | х(Г), x(f + Т), x(f + 2Т)}・ Мы еще вернемся к этому методу в гл. 4.
СПЕКТР ФУРЬЕ
Один из признаков хаотических колебаний — появление широкого спектра частот, когда на входе поддерживается одночастотное гармоническое движение или постоянный ток (рис. 2.7). Этот признак хаоса особенно важен, когда система имеет малую размерность (скажем, от одной до трех степеней свободы). Если изначально имеется одна преобладающая частотная компонента %, то часто предвестником хаоса является появление в частотном спектре
рис. 2.6а. Траектория хаотического движения частицы в паре потенииальных ям (продольно изогнутый стержень) при периодическом возбуждении (см. (1.2.4)), изображенная на фазовой плоскости, а = — 1, 3 = 1.
Arc. 2.66. Траектория того же движения на псевдофазовой плоскости.
Рис, 2.7. а — Частотный спектр колебаний продольно изогнутого упругого стержня прн возбуждении с малой амплитудой (линейный периодический отклик); 6 —— частотный спектр колебаний продольно изогнутого упругого стержня прн более сильном возбуждении (широкополосный спектр отклика объясняется хаотичностью колебаний).
субгармоник з% (см. ниже). Кроме частоты %/〃 возникают также гармоники на частотах /иш0/л (/и, 〃 = 1, 2, 3,…).Иллюстрация этого теста приведена на рис. 2.7, а, 6. Верхний спектр имеет единственный пик на совпадающих частотах вынуждающей силы и отклика изогнутого стержня. На нижнем рисунке показан широкий спектр, указывающий, что движение, по-видимому, хаотично.
Следует предостеречь против интерпретации отклика, содержащего много гармоник, как указания на присутствие хаотических колебаний, поскольку исследуемая система может иметь много скрытых степеней свободы, неизвестных экспериментатору. В системах с большим числом степеней свободы построение фурье-спектров может принести мало пользы для выявления хаотических колебаний, если только экспериментатор не может исследовать перестройки спектра при изменении какого-либо параметра, например амплитуды или частоты внешнего воздействия.
ОТОБРАЖЕНИЕ ПУАНКАРЕ
При математическом исследовании динамических систем отображением называют временную выборку данных I х (г)), х (г2), ...»
* «“),..., *«川)}, для которой вводят обозначение хп в х(гя). В простом детерминированном отображении величину хп + 】можно найтн по значению хл. Это часто записывают в виде
X…=/(х”). (2.2)
В такой записи можно узнать разностное уравнение. Понятие отображения обобщается и на большее число переменных. Так, хя может быть вектором с М компонентами; хя =(九，匕，...» 厶“)，и тогда уравнение (2.2) будет системой из М уравнений.
Предположим, например, что мы анализируем движение части- цьь отображенное на фазовой плоскости [х(г), х(/)]. Мы уже знаем, что если движение хаотично, то траектория стремится заполнить некоторую область фазового пространства. Если, однако, вместо того, чтобы непрерывно следить за движением, мы будем фиксировать динамические характеристики только в отдельные моменты, то движение будет представлено последовательностью точек фазовой плоскости (рис. 2.8). Если хп 胃*(〃)ну〃 ■£«“)，то эта последовательность точек фазового пространства представляет собой двумерное отображение
/(*紋几)’ (2.3) 尸…=g(x”，％)•
Если моменты выборки tn подчиняются определенному правилу, обсуждаемому ниже, это отображение называется отображением Пуанкаре.
Отображение Пуанкаре для систем с вынужденными колебаниями. Когда присутствует вынуждающее движение с периодом Г, для получения отображения Пуанкаре естественно выделить выборку с /я = л7' + т0. Это позволяет отличить периодические движе-
А уЮ-хЩ
Рис. 2.8. Схематическая иллюстрация временной эволюции точек Пуанкаре нз выборки ии* I фровых измерений.*傍
WWHli；CS£&iMHil^・Hli；CS£&iMHil^・Рис, 29 а — Отображение Пуанкаре на фа< зовой плоскости, соответствующее субгармоническому движению с периодом 3 продольно изогнутого стержня, возбуждаемого периодическим сигналом; 6 ——хаотическое движение вблизи третьей субгармоникн.
W
W
Hli；CS£&iMHil^・
Hli；CS£&iMHil^・
ния от непериодических. Например, если выборку гармонического движения, показанного на рис. 2.4, % синхронизировать с его периодом, то «отображение» будет представлено двумя точками на фазовой плоскости. Если же, однако, отклик содержал бы субгармонику с периодом 3, то отображение Пуанкаре состояло бы из трех точек, показанных на рис. 2.9, а. (Пользуясь жаргоном математической теории динамики, говорят» что отображение (2.3) с функциями / и g имеет три точки покоя.)
Еще одно нехаотическое отображение Пуанкаре показано на рис. 2.10, где движение представляет собой колебания на двух несоизмеримых частотах:
х(Г) = CjSinCwj/ + d^ + C2sin(w2/ + %), (2.4)
где Wj/w2 — иррациональное число. Если делать выборку с периодом, соответствующим одной из частот, то траектория станет непрерывной замкнутой фигурой или орбитой на фазовой плоскости. Такое движение иногда называют почти периодическим, или квази- периодическим, или «движением на торе»; оно не хаотично.
И наконец, если отображение Пуанкаре не состоит ни из конечного множества точек (см. рис. 2.9, а), ни из замкнутой орбиты (см. рис. 2.10), то соответствующее движение может быть хаотичным (рис. 2.11). На этом этале следует провести грань между системами с затуханием и без него. В системах без затухания или со слабым затуханием отображения Пуанкаре хаотических движений часто имеют вид неупорядоченного скопления точек на фазовой
亠隹必b一
ад.
■вя隅仪%■■ l■■я国隙登■■ ■■(■я臨隱 01|・
Q
рис. 2」0. Отображение Пуанкаре на фа* эовой плоскости, соответствующее ква・ эиперноднческому движению возбуждаемого периодическим сигналом стержня с двумя степенями свободы, который колеблется в паре потенциальных ям, создаваемых магнитными силами.
Рис、2d!, а — Отображение Пуанкаре для хаотического движения продольно изогнутого стержня при слабом затухании; б, в — отображения Пуанкаре для хаотического движения продольно изогнутого стержня при более сильном затухании обнаруживают фракталь* ную структуру странного аттрактора [136] (The American Society of Mechanical Engineers, © 1980).
плоскости (рис. 2.11, а). Такие движения иногда называют стоха- стическими (смм например, [ПО]). В системах с затуханием отображения Пуанкаре иногда представляют собой бесконечные строго упорядоченные множества точек, концентрирующихся на подобии параллельных линий, как это показано на рис. 2.11, 6, & При численном моделировании можно увеличить часть отображения Пуанкаре (рис. 2.12) и обнаружить более тонкую структуру. Если такая структура множества точек сохраняется после нескольких увеличений, то говорят, что движение ведет себя как странный аттрактор. Множества с подобным вложением одной структуры в другую часто называют канторовскими множествами (см. гл. 6).
Появление в отображении Пуанкаре, отображающем временную эволюцию колебаний, структур, которые подобны канторовскому множеству, является сильным индикатором хаотических движений.
Рис, 2.12. Отображение Пуанкаре для хаотических колебаний возбуждаемого нелинейного осциллятора, сохраняющее автомодельную структуру все меньших и меньших масштабов.
Классы структур, встречающиеся в отображениях Пуанкаре, перечислены в табл. 2.2.
Таблица 2.2. Классификашш отображений Пуанкаре
Конечный набор точек: периодическое или субгармоническое колебание
Замкнутая кривая: кваэипериодическое движение в присутствии несоизмеримых частот Незамкнуты кривая: имеет смысл попытаться моделировать одномерным отображением; постройте х(0 как функцию х(г + 7)
Фрактальный набор точек: странный аттрактор в трехмерном фазовом пространстве бесформенный набор точек: 1) динамическая система со слишком сильным случайным сигналом или шумом на входе; 2) странный аттрактор, ио диссипация в системе очень слаба — для проверки используйте показатель Ляпунова; 3) странный аттрактор в фазовом пространстве с более чем тремя измерениями — попытайтесь применить множественное отображение Пуанкаре; 4) кваэипериодическое движение с тремя или большим числом доминирующих несоизмеримых частот
рцс 2.13. Примеры самовозбуждающихся колебаний: а — течение жидкости над упругой пластиной; 6 — течение газа нал поверхностью жидкости.
Отображения Пуанкаре для автономных систем. Стационарные колебания могут возбуждаться без периодических или случайных воздействий также и в том случае, если движение порождается динамической неустойчивостью, как, например, индуцированные ветровым потоком колебания упругой структуры (рис. 2.13) или создаваемое градиентом температуры конвективное движение жидкости или газа (например, конвекция Бенара— см. рис. 1.23). В электрических системах или системах управления с обратной связью самовозбуждающиеся колебания могут возникать благодаря элементам с отрицательным сопротивлением или отрицательной обратной связи. Тогда возникает вопрос о том, в какие моменты времени следует проводить измерения, чтобы получить отображение Пуанкаре. Обсуждение этого вопроса мы проведем на несколько более абстрактном языке.
Рассмотрим хаотическую систему нижайшего порядка, описываемую тремя дифференциальными уравнениями первого порядка (например, уравнения Лоренца из гл. 1). В случае электромеханической системы переменные х (t)9 у (t) и z (О могут иметь смысл смещения, скорости и управляющей силы, если это система управления с обратной связью. Движение можно представить в виде траектории в трехмерном фазовом пространстве (рис. 2.14). Отображение Пуанкаре можно определить, построив в этом пространстве двумерную ориентированную поверхность и следя за точками (хя, уп, z„), в которых траектория проходит сквозь эту поверхность. Выберем, например, плоскость л tx + п2у + n3z = с с нормальным вектором п « (л р л 2, л3). Как частный случай можно выбрать пло-
Рис, 2./4・ Схематическое изображение траекторий системы уравнений третьего порядка и типичная плоскость Пуанкаре.
скость х = 0. Тогда отображение Пуанкаре состоит из тех точек плоскости, через которые траектория проходит в одном и том же направлении, т. е. если 8(Г) — единичный вектор, касательный к траектории, то скалярное произведение 8(ГЛ) • п все^а должно иметь один и тот же знак.
Определение отображения Пуанкаре распространяется и на случай, когда на систему действует периодическая внешняя сила. В качестве примера рассмотрим вынужденные нелинейные колебания,
описываемые уравнениями движения:
х = л(2.5)
У =尸(％ У) + 4cos(wZ + г。).(2.6)
Эту систему можно привести к автономному виду, вводя определение
Z = з£ + г。+ 2〃才，(2.7)
что дает
攵=乂(2.8)
j =尸(％J) + /J)cos z,(2.9)
2 = 3.(2.10)
Теперь можно естественным образом выбрать те моменты выборки, при которых z = 0. У этой системы фазовое пространство имеет цилиндрическую форму с ограниченными значениями z: 0 W Z W 2т. Построение отображения Пуанкаре показано на рис. 2.15.
Рис. 2」5. Схематическое изображение странного аттрактора для вынужденных колебаний нелинейного осциллятора — «произведение» плоскосга Пуанкаре н фазы возбуждающего сигнала.
Сведение динамических моделей * одномерным отображениям. В гл. 1 мы убедились, что простые одномерные отображения или разностные уравнения вида 二十丨=/(/) могут содержать бифуркации удвоения периода и хаос, если функция /(х) имеет хотя бы один максимум (или минимум), как показано на рис. 1.19. Явления удвоения периода наблюдались во многих разнообразных сложных физических системах (жидкостях, лазерах, электронных р—w- переходах); и часто динамика этих систем хорошо описывается одномерными отображениями. Такая возможность особенно характерна для систем с существенным затуханием. Чтобы проверить эту возможность, следует сделать выборку какой-либо динамической переменной с помощью сечения Пуанкаре, обсуждавшегося выше, скажем хп = x(t = /л). Затем можно построить зависимость каждого хп от последующего значения хп + г Чтобы можно было объявить систему хаотической, необходимо выполнение двух критериев. Во- первых, точки на графике с отложенными по осям величинами хп + г и хп должны группироваться, создавая некую функциональную зависимость; во-вторых, эта функция /(х) должна быть немонотонной, т. е. иметь максимум или минимум. Если эти требования выполнены, то следует подобрать полиномиальную аппрокси-
мацию полученных точек и использовать найденное отображение для дальнейших численных экспериментов или анализа, подобного анализу квадратичного отображения (гл. 1 и 5). Примерами использования этой методики являются исследование протекающего крана [171] и эксперимент с варикапным диодом в электрической цепи [162] (см. также обсуждение этих задач в гл. 3). В гл. 4 мы продол* жим обсуждение этой методики.
ПУТИ К ХАОСУ
От периодических движений к хаотическим через изменение па^ раметров. Ставя любой из упомянутых тестов на хаотические ко> лебания, следует попытаться изменить один или большее число па* раметров, определяющих состояние системы. Например, в случае изогнутой структуры (см. рис. 2.2) можно менять амплитуду вынуждающей силы или ее частоту, а в нелинейной цепи можно варь* ировать сопротивление. Цель этой процедуры — выяснить, не обнаруживает ли система стационарного или периодического поведения в некоторой области пространства параметров. Таким образом, можно убедиться, что система действительно детерминированная и не содержит скрытых внешних или внутренних источников истинно случайного шума.
Меняя параметр, надо следить за появлением периодического отклика. Одним из характерных предвестников хаотического движения является появление субгармонических периодических колебаний. Вообще говоря, предхаотическое состояние может принимать самые разные формы. Как численные, так и физические эксперименты обнаруживают несколько моделей предхаотического поведения (см., например, [42, 89]).
Путь к хаосу через удвоение периода. Когда наблюдается явление удвоения периода, в начальном состоянии система совершает основное периодическое движение. Затем, по мере изменения какого-либо параметра эксперимента — назовем его 入一происходит бифуркация или изменение движения на периодическое с периодом, в два раза превышающим период исходных колебаний. С дальнейшим изменением 入 система подвержена последовательным бифуркациям, при каждой из которых период удваивается. Замечательное свойство этого процесса в том, что критические значения 入，при которых происходят последовательные удвоения периода, подчиняются при л — оо следующему автомодельному соотношению (см. также гл. 1):
组二 ％. 口 - 6 = 4,6692016. (2.11)
Xn + 1 - Xn
(Число называется числом Фейгенбаума — по имени физика, который обнаружил это автомодельное поведение.) На практике это отношение сходится к 6, уже при третьей или четвертой бифуркации.
Процесс удвоения периода имеет точку сгущения вблизи некоторого критического значения параметра, после которого движение становится хаотическим.
Это явление наблюдалось в ряде физических систем, а также при численном моделировании. Простейшее математическое уравнение, с помощью которого можно пояснить такое поведение,— это одномерное разностное уравнение (см. гл. 1)
х〃+1 = 4入х“(1 - х“). (2.12)
Когда параметр системы становится больше критического значения, в определенных диапазонах значений параметра движение становится хаотическим. Однако такие диапазоны могут иметь конечную ширину; другими словами, при изменении параметра могут встречаться окна периодического движения. В этом режиме периодические движения могут вновь проходить через бифуркации удвоения периода, вновь приводя к хаотическому движению (см. разд. 5.3).
Модель появления хаоса через удвоение периода элегантна и изящна, и ее не раз описывали в популярных статьях. Однако, хотя многие физические системы обнаруживают свойства, подобные свойствам отображения (2.12), многие системы ведут себя по-другому. Тем не менее, если вы подозреваете, что в системе присутствуют хаотические колебания, стоит проверить, не происходят ли в ней удвоения периода.
Бифуркационные диаграммы. Широко используемым способом исследования предхаотических или послехаотических изменений динамической системы при вариации ее параметров является построение бифуркационных диаграмм (пример которой показан на рис. 2.16). На таких диаграммах некоторая мера движения (например, максимальная амплитуда) откладывается как функция какого- либо параметра системы, например амплитуды вынуждающей силы или коэффициента затухания. Если выборка данных сделана с помощью отображения Пуанкаре, то без труда выделяются удвоения периода и субгармонические бифуркации, что иллюстрируют экспериментальные данные для нелинейной цепи, приведенные в статьях Брайанта и Джеффриса [17, 18], сотрудников Калифорнийского университета в Беркли (см. также рис. 2.16). Однако разрывы бифуркационных диаграмм могут означать возникновение квазипе- риодического либо хаотического движения, и для точной классификации динамического режима необходимы дальнейшие тесты.
ххххс - и 二s--:a2arruе<二：-:;anzc&^«-x~xххххс - и 二s--:a2arruе<二：-:;anzc&^«-x~xУправляющий параметрУправляющий параметрРис. 2.16. Полученная в эксперименте бифуркационная диаграмма для периодически возбуждаемой нелинейной цепи с р—л-переходом: зависимость тока от напряжения возбуждающего сигнала, построенная по периодической выборке измерений [202J (The American Physical Society, © 1985).Рис. 2.16. Полученная в эксперименте бифуркационная диаграмма для периодически возбуждаемой нелинейной цепи с р—л-переходом: зависимость тока от напряжения возбуждающего сигнала, построенная по периодической выборке измерений [202J (The American Physical Society, © 1985).
ххххс - и 二s--:a2arruе<二：-:;anzc&^«-x~x
ххххс - и 二s--:a2arruе<二：-:;anzc&^«-x~x
Управляющий параметр
Управляющий параметр
Рис. 2.16. Полученная в эксперименте бифуркационная диаграмма для периодически возбуждаемой нелинейной цепи с р—л-переходом: зависимость тока от напряжения возбуждающего сигнала, построенная по периодической выборке измерений [202J (The American Physical Society, © 1985).
Рис. 2.16. Полученная в эксперименте бифуркационная диаграмма для периодически возбуждаемой нелинейной цепи с р—л-переходом: зависимость тока от напряжения возбуждающего сигнала, построенная по периодической выборке измерений [202J (The American Physical Society, © 1985).
Квазипериоди ческий путь к хаосу. Хотя удвоение периода ——самый знаменитый путь к хаотическим колебаниям, обнаружено и изучено еще несколько схем. В одной из них, предложенной Ньюха- узом и др. [150], авторы рассматривают систему, которая, прежде чем перейти в хаотическое состояние, испытывает последовательные динамические неустойчивости. Пусть, например, система сначала находится в стационарном состоянии, но после изменения какого-нибудь параметра становится динамически неустойчивой (например, аэродинамические колебания — флаттер). С раскачкой движений вступают в действие нелинейности, и движение выходит на предельный цикл. Такие переходы математики называют бифуркациями Хопфа (см., например, [1]). Если при дальнейших измене* ниях параметра в системе происходят две или более бифуркации Хопфа, так что одновременно присутствуют три связанных предельных цикла, то становится возможным хаотическое движение.
Итак, предвестником таких хаотических движений является при-
Рис. 2.18. а — Отображение Пуанкаре для квазипериодического движения в тепловой конвекции Рэлея — Бенара при отношении частот, близком к、公 =2,99; б —— разрушение тороидальной поверхности перед появлением хаоса [9].Рис. 2.18. а — Отображение Пуанкаре для квазипериодического движения в тепловой конвекции Рэлея — Бенара при отношении частот, близком к、公 =2,99; б —— разрушение тороидальной поверхности перед появлением хаоса [9].
Рис. 2.18. а — Отображение Пуанкаре для квазипериодического движения в тепловой конвекции Рэлея — Бенара при отношении частот, близком к、公 =2,99; б —— разрушение тороидальной поверхности перед появлением хаоса [9].
Рис. 2.18. а — Отображение Пуанкаре для квазипериодического движения в тепловой конвекции Рэлея — Бенара при отношении частот, близком к、公 =2,99; б —— разрушение тороидальной поверхности перед появлением хаоса [9].
pyCt 2.17. Схематическое изображение движения пары связанных осцилляторов и плоскость Пуанкаре, которая позволяет проследить квазипериодический путь К хаосу.
сутствие двух одновременных периодических колебаний. Когда частоты этих колебаний 叫 и ш2 несоизмеримы, наблюдаемое движение само по себе непериодично, его называют квазипериодическим (см. (2.4)). Как обсуждалось выше, отображение Пуанкаре квазипе- риодического движения представляется замкнутой кривой на фазовой плоскости (рис. 2.17). Такие движения можно представить происходящими на поверхности тора, а отображение Пуанкаре образуется пересечением тора плоскостью (см. рис. 2.17). Если з〔 и ш2 несоизмеримы, то траектории полностью покрывают поверхность тора. Если же з^/з? — рациональное число, то траектория в конце концов замкнется на торе, хотя до этого она может сделать много оборотов по обеим угловым координатам. В этом случае отображение Пуанкаре распадается на набор точек, в общем выстраивающихся вдоль окружности. В такой системе хаотические движения часто характеризуются разрушением квазипериодической тороидальной структуры при изменении параметра системы (рис. 2.18).
Признаки такого трехчастотного перехода к хаосу наблюдались в течении между двумя вращающимися цилиндрами (течении Тейлора — Куэтта), в котором с изменением скорости вращения
Рис. Z/2 Свидетельства перехода к хаосу через трехчастотный режим в течеига между вращающимися цилиндрами (течение Тейлора — Куэтта); разность угловых скоростей вращения возрастает сверху вниз [183].
появляются вихри. На рис. 2.19 показаны три спектра Фурье, полученные в одном из таких экспериментов. На верхнем рисунке, несо мненно, присутствует одно периодическое движение, а на среднем заметны уже два основных движения. На нижнем рисунке видны следы увеличившегося широкополосного шума, характерного для хаотического поведения.
Перемежаемость. На третьем пути к хаосу длительные интервалы периодического движения перемежаются со вспышками хаоса. Эта схема называется перемежаемостью. По мере изменения параметра вспышки хаоса становятся все более частыми и длительными (см., например, [125]). Сообщалось об указаниях на эту модель предхаотического состояния в экспериментах с конвекцией в ячейке (замкнутом прямоугольном объеме) с градиентом температуры (на-
/>Ы. 2.20. Вил эвопюции при хаосе перемежаемого типа.
зываемой конвекцией Рэлея — Бенара) (см. рис. 2.20). Как предсказывают некоторые модели перемежаемости, средняя длительность хаотичной или турбулентной фазы движения < т> определенным образом меняется с изменением некоторого параметра системы; например, эта зависимость может иметь вид
где 入с — значение, при котором периодическое движение становится хаотическим.
Следует заметить, что в некоторых физических системах при разных значениях параметров можно наблюдать все три типа пред- хаотических колебаний и даже больше. Преимущество отождествления конкретной структуры предхаотического движения с одной из этих «классических» моделей заключается в том, что каждая из них подробно исследована математически, а это может помочь лучше понять изучаемое хаотическое физическое явление.
КРИЗИС
Один из признаков проникновения революционных идей в динамику и теорию колебаний — путаница новых названий, даваемых новым явлениям. Одно из новых слов, предложенных Гребоджи и др. [49], — это термин «кризис», который используется для описания резкого изменения хаотического состояния при изменении некоторого параметра системы. К примеру, первоначально хаотическая система может неожиданно стать периодической. Или же хаотическое движение сначала ограничено узким интервалом изменения х(/), но внезапно он резко расширяется.
ПЕРЕХОДНЫЙ ХАОС
Иногда хаотические колебания, возникнув при определенных изменениях параметров, через недолгнй промежуток времени вырождаются в периодическое или квазипериодическое движение. Согласно Гребоджи и др. [50], этот переходный хаос — следствие кризиса
или внезапного исчезновения установившегося хаотического режи ма. Поэтому эксперимент или численное моделирование необходи мо продолжить еще некоторое время после того, как вы пришли к выводу, что в системе появился хаос, даже если отображение Пуанкаре явно отпечатывает фрактальную структуру, характерную для странного аттрактора. Как долго нужно ждать, прежде чем на звать состояние хаотическим? В настоящее время ответ на этот во прос может подсказать только здравый смысл. В нашей лаборато рии мы требуем, чтобы в отображении Пуанкаре аттрактора, в котором мы подозреваем фрактальную структуру, накопилось 400 точек, прежде чем назвать наблюдаемое состояние хаотическим Дальнейшее обсуждение переходного хаоса можно найти в гл. 5.
КОНСЕРВАТИВНЫЙ ХАОС
Хотя в последнее время активность в области нелинейной динамики связана преимущественно с хаосом в диссипативных системах, уже немалое время известна возможность хаотического поведения в бездиссипативных, или так называемых консервативны х системах. По сути дела, именно поиск решений уравнений небесной механики привел в конце XIX в. некоторых математиков, например Пуанкаре, к предположению, что решения многих задач динамики чувствительны к начальным условиям и поэтому детали движения тел по орбитам оказываются непредсказуемыми.
Изучение хаотической динамики в системах с сохранением энергии, которое, впрочем, не является основным предметом этой кни» ги, занимает много места в научной литературе. Это направление иногда помещают в разделы, озаглавленные «Динамика гамильто новых систем», что указывает на методы Гамильтона (и ЯкобиХ используемые для решения нелинейных задач для бездиссипатив- ных систем с большим числом степеней свободы (см., например, превосходную монографию [ПО]).
Наша цель состоит в том, чтобы дать чисто описательную картину хаоса в таких задачах и противопоставить свойства непредсказуемой динамики в неконсервативных и консервативных системах.
Физические примеры консервативных систем связаны с проблемами расчета орбит в небесной механике и поведения частиц в электромагнитных полях. Понятно поэтому, что большая часть работы в этой области была проделана теми, кто занимается физикой плазмы, астрономией и астрофизикой.
Впрочем, хотя в большинстве земных динамических систем происходят некоторые потери энергии, в некоторых из них, как, например, в структурированных конструкциях или микроволновых резо-
}^ак ООНару^кн 1 ь паи 1 ojjcnj ckz・・w«*・・・一.
наторах, затухание очень слабо, и на конечных интервалах времени они могут вести себя как консервативные или гамильтоновы систе- мн・ В качестве примера можно привести технологическую конструкцию, находящуюся на околоземной орбите. Кроме того, ди- кимика консервативных систем представляет собой предельный случай динамического анализа при слабом затухании0. Поэтому, даже если мы не намерены привести строгий или подробный синопсис гамильтоновой динамики, имеет смысл обсудить общие свойства этих задач.
Системы, в которых сохраняется энергия, в типичных случаях обнаруживают те же типы ограниченных колебательных движений, что и системы с потерями. К числу таких движений относятся периодические, субгармонические, квазипериодические и хаотические. Одно из основных отличий между колебаниями в системах с потерями и без них состоит в том, что хаотические орбиты в системах с потерями обнаруживают фрактальную структуру фазовых портретов, в то время как в бездиссипативных системах такая структура отсутствует.
В консервативных системах хаотические орбиты стремятся однородно заполнить все части некоторого подпространства в фазовом пространстве; другими словами, они характеризуются однородной плотностью вероятности в ограниченных областях фазового пространства. Поэтому без диссипативные системы имеют другие отображения Пуанкаре, чем системы с диссипацией. Тем не менее по-прежнему применима такая мера расхождения близких орбит, как показатели Ляпунова. Примером без диссипативной системы является шарик, подскакивающий на упругом столе, причем стол движется и предполагается, что при соударениях не теряется энергия, т. е. они упруги. Эта задача подробно разбирается в гл. 5.
ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА И ФРАКТАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ
Признаки хаотических колебаний, описанные в этой главе, носят в основном качественный характер и требуют от исследователя применения доли здравого смысла и опыта. Имеются и количественные признаки хаоса, использование которых приносит определенный успех. Два наиболее распространенных критерия — это показатель Ляпунова (см. гл. 5) и фрактальная размерность (см.
"Такой предельный переход возможен не всегда; в широком классе систем даже слабое затухание приводит к существованию целого класса специфических решение. В качестве примера можно привести дифференииальиые уравнения с малым параметром (вязкостью) при старшей производной. — Прим, перев.
гл. 6). Если не вдаваться в подробности, эти два индикатора сейчас используются следующим образом:
положительный показатель Ляпунова указывает на хаотическую динамику;
фрактальная структура орбиты в фазовом пространстве указывает на присутствие странного аттрактора.
Проверка с применением показателя Ляпунова может использоваться как в диссипативных, так и в бездиссипативных (консервативных) системах, а фрактальные размерности имеют смысл только в диссипативных системах.
С помощью показателей Ляпунова проверяется чувствительность системы к вариациям начальных условий. Идея такой проверки заключается в том, чтобы мысленно выделить в фазовом пространстве небольшой шар, в котором со^доточены начальные точки траекторий, и проследить за его деформацией в эллипсоид в ходе динамической эволюции системы. Если d — максимальный размер эллипсоида, а 备一начальный размер сферы начальных условий, то смысл показателя Ляпунова 入 явствует из соотношения
d = d^ - zo).
Заметим, что единичного измерения недостаточно и результаты расчета следует усреднить по разным участкам фазового пространства. Такое среднее может иметь вид
入=lim g V -— ； log2 §■ •
Более подробное обсуждение и ссылки приведены в гл. 5.
Понятие фрактальной размерности связано с обсуждением отображения «подкова», приведенным в гл. 1. Мы видели, что в системах с хаотической динамикой области фазового пространства вытягиваются, сжимаются, складываются и отображаются обратно на исходную область. При этом отображении в фазовом пространстве остаются лакуны. Это значит, что орбиты стремятся заполнить менее чем целое подпространство фазового пространства. Фрактальная размерность ——мера степени заполнения орбитой определенного подпространства, и нецелая размерность — визитная карточка странного аттрактора. Имеется много определений фрактальной размерности, но основное следует из процедуры подсчета числа сфера размера £, необходимых для покрытия орбиты в фазовом пространстве. Функция N (с) существенным образом зависит от подпространства данной орбиты. Если эта орбита перио-
днчна, т・ е. принадлежит предельному циклу, toN(£) = £~L Если же движение происходит на странном аттракторе, то N (с) =「％ т. е・
.InN
а = lim.
с- О
Дальнейшее обсуждение можно найти в гл. б.
Хотя оба этих количественных теста можно автоматизировать с помощью компьютера, от исследователя по-прежнему требуются опыт и здравый смысл, чтобы достичь убедительного заключения о хаотичности движения, т. е. о присутствии странного аттрактора. И наконец, почти все физические примеры странных аттракторов оказались хаотическими, т. е. нецелое значение d указывает на то, что X > 0. Однако были найдены и изучены несколько математических моделей, где из одного утверждения не следует другое (см., например, [51]).
Обзор системс хаотическими колебаниями
Мир наш такой, какой он есть, и я такой, каким живу ... Все вие меня и все во мне порождено игрой необъяснимых сил. Порядок, тот, что в хаосе таится, превыше разуменья, недоступен человеку.
Генри Миллер, Черная весна (Black Spring).
НОВЫЕ ПАРАДИГМЫ ДИНАМИКИ
Томас Кун в книге «Структура научных революций» [97] утверждает, что крупные изменения происходят в науке в общем не тогда, когда выдвигаются новые теории, а когда меняются простые модели, с помощью которых ученые формулируют и осваивают теорию. Концептуальная модель или задача, которая охватывает основные свойства целого класса задач, названа им «парадигмой». Модель, состоящая из массы и пружины, является такой парадигмой теории колебаний. В области нелинейной динамики классическими парадигмами стали движение маятника и задача трех тел небесной механики.
Нет лучшего примера теории, новые модели и парадигмы которой обещают значительные перемены в естественнонаучном и математическом мышлении, чем нелинейная динамика, испытывающая сейчас революционные изменения. Двумя главными парадигмами здесь являются аттрактор Лоренца (см. уравнения (1.3.9)) и логистическое уравнение (1.3.6). Эти два примера заключают в себе многие особенности хаотической динамики, такие, как разбегающиеся траектории, субгармонические бифуркации, удвоение периода, отображения Пуанкаре и фрактальные размерности. Как для освоения теории линейных колебаний необходимо изучить все тонкости модели из массы с пружиной, без которых нельзя понять колебания сложных систем, так же и каждому, кто ищет свой путь в современной нелинейной динамике, не обойтись без понимания явлений, скрытых в модели Лоренца и логистическом уравнении. Другие, менее яркие парадигмы также важны для понимания и развития теории динамических систем. Среди них вынужденные движения осциллятора Ван дер Поля (уравнение (1.2.5)), модели осциллятора
Дуффинга (1.2.4), разработанные Уэдой и Холмсом (см. ниже в этой главе), и двумерное отображение Энона (1.3.8).
Читателям, заинтересовавшимся моделью тепловой конвекции Лоренца, следует прочитать ее подробное обсуждение в посвященной этой проблеме монографии Спэрроу [178]. Гукенхеймер и Холмс [57] написали современную математическую книгу, основанную на четырех парадигмах современной динамики, уравнении Ван дер Поля, модели Дуффинга изогнутого стержня, системе Лоренца и аттракторе Энона. Еще одна классическая модель хаотической динамики — масса под действием внешних соударений, например шарик, подскакивающий на колеблющемся столе или отскакивающий от пары стенок. Эта модель находит применение в теории ускорения электронов в электромагнитных полях, и ее иногда называют моделью ускорения Ферми. Она описывается двумерным отображением, аналогичным отображению Энона. Хорошее обсуждение модели Ферми и системы Лоренца можно найти в книге Лихтенберга и Либермана [ПО].
Впрочем, большинство перечисленных здесь книг почти полностью посвящены математическому анализу соответствующих моделей хаоса. В этой главе мы проведем обзор разнообразных математических и физических моделей, которые обнаруживают хаотические колебания. Мы попытаемся описать физическую природу хаоса, возникающего в этих примерах, и указать как точки соприкосновения, так и отличия физических примеров от их более математизированных парадигм, упомянутых выше. Эти примеры взяты из механики твердых тел и жидкостей, теории электрических цепей, теории управления и химической технологии. Особое внимание мы уделим имеющимся на сегодняшний день экспериментальным доказательствам существования хаотических колебаний.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКИХ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Мы будем отличать математические моделиt построенные для физических процессов с хаотической динамикой, и физические эксперименты, в которых непосредственно наблюдаются хаотические движения. Читатели, имеющие в распоряжении небольшой компьютер, могут наблюдать хаотические решения для многих из этих моделей с помощью численного интегрирования методом Рунге —Кутта. Примеры задач с рекомендуемыми наборами значений параметров приведены для некоторых моделей в приложении Б.
ТЕПЛОВАЯ КОНВЕКЦИЯ В ЖИДКОСТИ
По-видимому, самой знаменитой сейчас моделью является система Лоренца, которая возникла в результате попытки моделирования динамики атмосферы. Представим себе слой жидкости, находящийся под действием силы тяготения, который подогревается снизу, так что поперек слоя поддерживается разность температур (рис. 3.1). Когда эта разность становится достаточно большой, возникают циркуляционные, подобные вихрям, движения жидкости, в которых теплый воздух (жидкость) поднимается, а холодный ——опускается. Верхушки параллельных рядов конвективных валов можно иногда увидеть, пролетая над слоем облаков. Двумерное конвективное течение можно описать с помощью классического уравнения Навье— Стокса (1Л.З). Это уравнение раскладывается по фурье-гармоникам вдоль двух пространственных направлений, а на поверхности и на дне слоя жидкости задаются граничные условия. При малых разностях температур АГ жидкость неподвижна, но при некотором критическом значении АГ возникает конвективное, т.е. циркуляционное течение. Это движение называют конвекцией Рзлея ——Бенара.
Рис. 3,1. а — Схематическое изображение конвективных валов в подогреваемой снизу жидкости： 6 — три неустойчивые сингулярные точки в фазовом пространстве уравнений Лоренца (3.2.3).
Лоренц [115] изучал разложения Фурье, в которых оставлено всего три гармоники. Несколько раньше Зальцман [167] использовал ряды с пятью гармониками. При принятых упрощениях скорость жидкости (匕，％) следующим образом выражается через функцию тока W：
aw aw
В модели Лоренца безразмерные функции тока и возмущенная температура записываются в виде (см. вывод в [ПО], с. 443—446)
屮=V2 х(0 sin тгах sin ту,(3.2.1)
9 = V2 у (х) cos тах sin ту — z(f)sin2irj, (3.2.2)
где толщина слоя жидкости принята равной единице. В результате получаются следующие уравнения для (х, у, z)：
х = a(j - х),
У = рх - у - xzt(3.2.3)
z = -6z + ху.
Параметр а — безразмерное отношение коэффициентов вязкости и теплопроводности (число Прандтля), р — безразмерный градиент температуры (связанный с числом Рэлея), а 6 = 4(1 + q2)-】一геометрический множитель, причем а2 = 1/2.
При наборе параметров а = 10, р = 28 и /3 = 8/3 (использованном Лоренцем) имеются три точки равновесия, и все они неустойчивы (рис. 3.1, б). В начале координат расположена седловая точ- *% а две другие — неустойчивые фокусы, т.е. спиральные точки равновесия (см. рис. 1.24). Тем не менее можно показать, что движение глобально ограничено. Поэтому траекториям не остается ничего другого, кроме как оставаться внутри эллипсоидальной области в фазовом пространстве. Пример таких блуждающих траекторий, полученный при численных расчетах, показан на рис. 1.25.
МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ МУРА И ШПИГЕЛЯ
Часто случается, что важные открытия делаются не одним исследователем — несколько человек в разных местах примерно одновременно обнаруживают новое явление. Так случилось и с моделями динамики тепловой конвекции, имеющими небольшое число степеней свободы. Выше мы обсудили ныне знаменитые уравнения Лоренца [115] (3.2.3), которые через некоторое время после их по-
лучения вызвали громадный интерес математиков. Но примерно в то же время Мур и Шпигель [147], сотрудники соответственно Института им. Годдарда и Нью-йоркского университета, предложили модель неустойчивых колебаний жидкости, которая вращается, содержит магнитное поле или является сжимаемой и в которой присутствует тепловая диссипация. Как и уравнения Лоренца, полученные в их статье уравнения эквивалентны трем дифференциальным уравнениям первого порядка. Пусть через z обозначено вертикальное смешение массы сжимаемой жидкости в горизонтально стратифицированной среде (рис. 3.2, а). Силами, восстанавливающими исходное состояние, являются упругость пружины и сила плавучести, которая возникает благодаря тяготению. Кроме того, жидкий элемент может обмениваться теплом с окружающей средой. Таким образом, динамика модели описывается связанными уравнением второго порядка (закон Ньютона) и уравнением переноса тепла, имеющим первый порядок. В результате возникает уравнение третьего порядка. В безразмерном виде оно записывается как
2+Z + (T-R+ Rz^z + 7i = 0,(3.2.4)
где использовано предположение о нелинейном профиле температуры вида
，=帀1 - G)2]-
В уравнении (3.2.4) Г и Я — безразмерные комплексы, имеющие следующий физический смысл:
Т _ ( Время тепловой релаксации\Период свободных колебаний
Рис. 3.2. а — Система из пружины и массы (аналог модели тепловой конвекции Мура и Шпигеля [147]); 6 — область непериодических движений в пространстве безразмерных параметров модели тепловой конвекции Мура и Шпигеля [147], уравнение (3.2.4).Рис. 3.2. а — Система из пружины и массы (аналог модели тепловой конвекции Мура и Шпигеля [147]); 6 — область непериодических движений в пространстве безразмерных параметров модели тепловой конвекции Мура и Шпигеля [147], уравнение (3.2.4).
Рис. 3.2. а — Система из пружины и массы (аналог модели тепловой конвекции Мура и Шпигеля [147]); 6 — область непериодических движений в пространстве безразмерных параметров модели тепловой конвекции Мура и Шпигеля [147], уравнение (3.2.4).
Рис. 3.2. а — Система из пружины и массы (аналог модели тепловой конвекции Мура и Шпигеля [147]); 6 — область непериодических движений в пространстве безразмерных параметров модели тепловой конвекции Мура и Шпигеля [147], уравнение (3.2.4).
r _ /Время тепловой релаксацииХг\ Время свободного падения / *
При численном исследовании этого уравнения Мур и Шпигель обнаружили целую область апериодического движения, показанную на рис. 3.2, 6. В последовавшей затем статье Бейкер и др. [6] исследовали устойчивость периодических решений в апериодическом режиме.
Этими авторами показано, что уравнение (3.2.4) можно приве
сти к виду
(3.2.5)(3.2.5)S = -(1 - 6)5 + 6,
(3.2.5)
(3.2.5)
& = -RT〃6 + (1 _ 6s2)5.
Предел R 一 8 соответствует случаю нулевой диссипации. Как показали Бейкер и др.9 в этом предельном случае больших R периодические решения (3.2.5) в области периодических движений становятся локально неустойчивыми. Это сочетание глобальной устойчивости и локальной неустойчивости9 по-видимому9 характерно для хаотических дифференциальных уравнений. В более поздней работе [126] изучен более общий класс уравнений третьего порядка вида
х =у,
"3, X)•—^——-£冲， dx"3, X)•—^——-£冲， dx(3.2.6)(3.2.6)
"3, X)
•—^——-£冲， dx
"3, X)
•—^——-£冲， dx
(3.2.6)
(3.2.6)
X = -£伍 + g(*)L где V (х, X) имеет смысл потенциальной энергии. Здесь показано, что как уравнения осциллятора Мура — Шпигеля (3.2.4), так и система Лоренца (3.2.3) (после замены переменных) могут быть приведены к виду (3.2.6). Для частных случаев системы (3.2.6) численно найдены решения со странным аттрактором.
Приведенная система уравнений описывает также осциллятор второго порядка с управляющей обратной связью (параметр X).
Историков науки ждет интересная задача понять, почему системе Лоренца посвяшено так много исследований, а модель Мура — Шпигеля практически игнорируется математиками. В обеих работах моделируется конвекция. Лоренц опубликовал свою статью в Journal of Atmospheric Sciences, а Мур и Шпигель — в Astrophysical Journal.
КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Кобаяши [93] на год раньше Лоренца провел исследование, обнаружившее хаотические колебания с помощью аналитических ме-
тОДов и аналогового моделирования. В этой работе рассмотрены колебания изогнутой пластины, по одну сторону которой поддерживается сверхзвуковой поток. Это явление, известное как «флаттер пластины», было важно не только для сверхзвуковой авиации, н0 и для появлявшейся тогда ракетной техники. Кобаяши разложил нзгнб пластины, поддерживаемой простой подвеской, в ряд Фурье и рассмотрел движение, которое определяется комбинацией двух связанных гармоник. Если обозначить безразмерные амплитуды этих мод черезх hj, то уравнения, исследованные на аналоговом компьютере, имеют вид
戈 + ” + U-q+"+ 令2]* -0=0,
j + 6j + 4[4 - Q + х2 + 勺弓丁 + Qx = 0, где q — мера напряжений в плоскости пластины (которые могут превышать порог изгиба), a Q пропорционально динамическому давлению сверхзвукового потока перед пластиной. В аннотации к статье 1962 г. Кобаяши заключает: «Кроме того, получены следующие необычные результаты, а) В некоторой неустойчивой области наблюдаются только нерегулярные колебания умеренно выгнутой пластины» (курсив мой.——Ф.М.). Он также упоминает более ранние эксперименты 1957 г., проведенные в Соединенных Штатах агентством НАКА, которое было предшественником НАСА в до- спутниковую эпоху (см. также [39]).
При чтении некоторых из этих ранних статей становится ясно, что хаотические колебания наблюдались в прошлом, но в то время для их анализа не было подходящих моделей.
ЗАДАЧИ С СОУДАРЕНИЯМИ
Задачи с соударениями приводят непосредственно к разностным уравнениям или отображениям, которые при определенном выборе параметров часто обнаруживают хаотические колебания. Классическое отображение такого типа описывает движение частицы между Двумя стенками. Если одна из стенок неподвижна, а другая колеб- "ется (рис. 3.3, а), то задача называется моделью Ферми ускорения космических лучей и описывает поведение заряженных частиц в движущихся магнитных полях. Эта модель очень подробно обсужДается Лихтенбергом и Либерманом [110] в их доступно написанной монографии о стохастическом движении. Исследовано несколько систем разностных уравнений, описывающих эту модель. Одна из таких систем, в которой колеблющаяся стенка передает имПульс» не меняя положение частицы, имеет вид
1о
Л/с. 3.3. о — Модель динамики частицы, отскакивающей от периодически колеблющейся стенкн; б — отображение Пуанкаре; % как функция 3%(mod2ir) для задачи с соударениями, показанной на рис. 3.3, о и описываемой уравнениями (3.2.8).
%1 = U + 乙$询 зГ/,2Д%1 = U + 乙$询 зГ/,2Д(3.2.8)(3.2.8)
%1 = U + 乙$询 зГ/,2Д
%1 = U + 乙$询 зГ/,2Д
(3.2.8)
(3.2.8)
гДс 屮一скорость после соударения, tn — момент соударения, Ио —
импульс на единицу массы, который может передать стенка, а А — расстояние между стенками.
Численные исследования этой и аналогичных задач обнаружива ют существование решений стохастического типа, в которых тыся чи итераций отображения (3.2.8) заполняют области фазового про странства (%, J), как показано на рис. 3.3, 6. В некоторых случаях траектории не попадают в определенные «острова» на плоскости (%, /я). Внутри этих островов находятся регулярные орбиты. Подобные системы часто можно анализировать с помощью классической динамики Гамильтона. Они типичны для хаоса в задачах со слабой диссипацией или вовсе без диссипации. Если диссипация умеренна или сильна, то хаотическое отображение Пуанкаре концентрируется в структуру с фрактальными свойствами, подобную показанной на рис. 2.11, 6, в. Но в задачах со слабой диссипацией отображение Пуанкаре заполняет обширные области фазового пространства, не обнаруживая фрактальной структуры.
□г□гМодель ускорения Ферми аналогична модели одного из механи ческих устройств с зазором, показанного на рис. 3.4. Некоторая масса свободно скользит с трением вдоль осн, пока не наталкивается на жесткие пружины, расположенные по обе стороны (см. [172,
□г
□г
Рис. 3.4. Модель эксперимента с колебаниями массы с фазами отключения восстанавливающей силы.
173]). Более близкий физический смысл имеет другая математич» ская модель, в которой шарик подскакивает на колеблющейся поверхности (рис. 3.5). Эта задача изучалась Холмсом [75]. Сделав некоторое предположение о потерях энергии при каждом соударении, можно получить следующие разностные уравнения:
5■ 7 cos (学 + 斗).5■ 7 cos (学 + 斗).(3・29(3・29也1 =学+ %]=ot仆
5
■ 7 cos (学 + 斗).
5
■ 7 cos (学 + 斗).
(3・29
(3・29
Здесь 6 — обезразмереннмА момент времени соударения, а и — скорость после него. Как явствует из рис. 3.5, % стационарное синусоидальное движение стола может привести к непериодическому движению шарика. Хаотическая орбита этого отображения, имек> щая вид фрактального множества, показана на рис. 3.5, 6.
В работе [196] описаны эксперименты с хаотически подскакива* ющим шариком; другие исследования соударений или билинейного осциллятора можно найти в [88, 191, 192].
Движение шарика
Движение столаВремя
ОI23456
Фаза внешнего воздействия, 3t
Рис, 5.5. 0 — Хаотическая эволюция движения шарика, подскакивающего на периодически колеблющемся столе (75]; б — отображение Пуашофе для движения, показанного иа рисунке «а»: скорость при ударе как функция момента времени (modZx).
ЗАДАЧИ С ПОТЕНЦИАЛОМ В ВИДЕ ДВОЙНОЙ ЯМЫ
Модель вынужденных колебаний изогнутого стержня была построена Холмсом [73] на основе уравнения типа Дуффинга. С помощью аналогового моделирования им доказана возможность хаотических колебаний этой системы. В безразмерном виде полученное
Колебания на "стрмиюм" аттракторе в лар* потенциальных ям
Рис. 3.6. Хаотические колебания периодически возбуждаемого изогнутого стержня ——сравнение аналоговых численных расчетов и экспериментальных данных [141].
Холмсом уравнение таково:
戈 + 7% — ^х(1 — х2) =/о cos зГ, (3.2.10) гдех — поперечное смещение стфжня, который описывается простой одномодовой моделью. Это уравнение может также служить моделью частицы в потенциале из двух ям (см. рис. 1.3). Эта модель использовалась и при исследовании плазменных колебаний (см., например, [122]). Аналоговые хаотические решения показаны на рис. З.б. Экспериментальная реализация этой модели обсуждалась в гл. 2. Фурье-преобразования решений этого уравнения (см. рис. 2.7) имеют непрерывный спектр частот, что характерно для хаотического движения. На рис. 3.7 показано отображение Пуанкаре соответствующего странного аттрактора. Фрактальные размерности хаотических решений обсуждаются в последующих главах. Результаты численных исследований задач с двумя потенциальными ямами опубликованы также в работах [31, 143, 144, 201].
К этим примерам близка задача о провале арки с шарниром, вызванном колебаниями (рис. 3.8) [23]. Это явление описывается уравнением
ту + Уу + 2к р - » ；产产]У = "п3t. (3.2.11)
Если сохранить только кубичные нелинейности, то это уравнение принимает вид (3,2/0), характерный для осциллятора Дуффинга с двумя потенциальными ямами.
Рис, 3.7. Отображение Пуанкаре для хаотического решения урдвиения (ЗД.1О), описывающего вынужденные колебания в двух потенциальных ямах; на рисунке 15 000 точек.
Рис. 3.艮 Схема арки с шарниром. Вынужденные колебания, сопровождающиеся провалами арки, могут происходить в хаотическом режиме (23].
Хаотические движения упруго-пластичной арки исследованы в работе [155].
ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МАЯТНИКА
Движение частицы в силовых полях, которые периодичны как в пространстве, так и во времени, служит моделью ряда процессов в физических системах. Среди них классический маятник, заряженная
частица в движущемся электрическом поле, синхронные роторы ц переход Джозефсона. Например, нелинейная динамика частицы, движущейся в бегущем электрическом поле, описывается уравнением (см., например, [214])
х + бх + asin х = g(kx — з。，(3.2.12)
где g — периодическая функция. Изучение вынужденных колебаний маятника, описываемых уравнением
х + бх + a sin х = /coswZ(3.2.13)
также выявило сложные динамические процессы и хаотические колебания (см. [58, 72]).
Параметрическими колебаниями называют колебания системы при периодических изменениях во времени одного из нескольких параметров системы. Например, стержень на простой подвеске, на который действует осевое доиэгЛбное сжатие, в одномодовом приближении описывается уравнением
х + 田(1 + 6 cos Of) х = 0.(3.2.14)
Это линейное дифференциальное уравнение в обыкновенных производных является хорошо известным уравнением Матье. При определенных значениях 田，6 и 0 это уравнение имеет неустойчивые колебательные решения. Влияние нелинейностей превращает эти колебания в предельный цикл. Аналогичный пример — маятник с колеблющейся точкой подвеса (рис. 3.9). Численное исследование хаотических колебаний в этой задаче проведено в [104, 120]. Математическое описание такого маятника приводит к уравнению
в + /Зв + (1 + /Icos OZ) sin0 = 0.(3.2.15)
В этих численных решениях наблюдаются удвоения периода, и для
Лс. З.Я. Маятник с параметрическим возбуждением.
шестой субгармонической бифуркации оценка числа Фейгенбаума П&ла 6 = 4,74.
Хаотическое движение двойного маятника исследовалось Рихтером и Шольцем [160J.
СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Сложные динамические процессы в сферическом маятнике с дву- ]4Я степенями свободы проанализированы Майлсом [132]. В численных экспериментах им найдены хаотические решения этой задачи, возникающие, когда точка подвеса совершает вынужденные периодические движения (рис. 3.9). Уравнения движения можно получить из лагранжиана, имеющего вид
^ = -т (х2 +^2 + z2) - mL(i _ z),(3.2.16)
где/ — длина маятника, а координаты Qcty tz) подчиняются связи
8 - xj + у2 + Z2 = I
Координата точки подвеса есть & = е / cos ш/, а тяготение действует вдоль оси z・
Майлс использует методы теории возмущений и преобразует полученные уравнения движения с помощью соотношений
(3.2.17)(3.2.17)х =[仍⑺ cos 6 + %(力 sin 0] / £”з, у = [р2(т) cos 6 + % ⑺ sin в) /е1/3,
(3.2.17)
(3.2.17)
где в = ш/ и г = - *з1. В результате получается следующая система четырех уравнений первого порядка для (рр 厶，％, %), в которую добавлено слабое затухание (описываемое коэффициентом а):
"РЯ 「-а 一0 -5 0"1 рП Г О"
ЛЛ6 ОО 66 ОО 6-5-0-5-01 О 11 О 1,(3.2.18),(3.2.18)
Л
Л
6 О
О 6
6 О
О 6
-5
-0
-5
-0
1 О 1
1 О 1
,(3.2.18)
,(3.2.18)
где а, 0 и S зависят от переменных (pvqv pv g2). Определение этих коэффициентов читатель может найти в [132]. Дивергенция этою потока в четырехмерном фазовом пространстве имеет вид ▽ •f= -4а. Точки равновесия системы уравнений (3.2.18) соответствуют периодическим плоским либо пространственным движе-
ниям. Численное решение этой системы уравнений обнаруживает переход от замкнутых орбит и дискретных спектров к сложным орбитам и широким спектрам, характерным для хаотического движения.
ПОДТАЛКИВАЕМЫЙ РОТАТОР
Как мы убедились в гл. 1 на примере отображения «подкова» (см. рис. 1.21) или логистического уравнения (1.3.6), хаотическая природа динамических процессов лучше всего выявляется с помощью сечения Пуанкаре непрерывного временного потока в фазовом пространстве. Однако большинство дифференциальных уравнений, моделирующих физические системы, нельзя решить аналитически. Исключением из этого правила является класс задач с импульсными силами, крутящими моментами или напряжениями. В обсуждаемом здесь примере рассматривается ротатор с моментом инер» ции 丿 и затуханием с, на который действует как постоянный крутящий момент сз。，так и периодическая серия импульсных толчков (см. также [169]). Уравнение движения, описывающее изменение углового момента ротатора, имеет вид
ЛЬ + сз = с% + Т(е)£ 5(/ — лт), где 厶=仇(3・2・1汾
Выражение d(r - лт) обозначает дельта-функцию, которая равна нулю повсюду, кроме значений t = пт9 и площадь под которой равна единице. Таким образом, в промежутки времени пт - е < t < V 〃т + £, где £ V 1, изменение углового момента описывается соотношением
〃з+ - от) = “&(”))・ (3.2.20)
Если, например, ротатор подталкивается вертикальной силой, как показано на рис. 3.10, то импульсный крутящий момент пропорци
онален Т(&) = Fq sin 仇
При Т(6) = 0 уравнение (3.2.19) имеет стационарное решение
Рис. 3」0. Ротатор с вязким затуханием и периодическим крутящим моментом, исследованный Заславским [213].
Чтобы получить отображение Пуанкаре, выберем сечение непосредственно перед каждым импульсом. Итак, определим % = =6« == п丁一 £), £ 一 + 0. Чтобы связать (%, ,) с (%.], з#.]), необходимо решить линейное дифференциальное уравнение для периода между импульсами и использовать условие скачка углового момента (3.2.20) в момент импульса. Между импульсами скорость вращения ведет себя следующим образом:
w = w0 + ае
С помощью этой процедуры можно получить следующее точное отображение Пуанкаре для рассматриваемой системы (3.2.19):
3"+1 = f 纬 + з. _ ； (Ая+1 一％) + } т^,
(3.2.21)
4 + 1 = з“ + % +；(1 -е-"〃)& + 孑(%) - з°].
Эти уравнения были впервые получены советским физиком Заславским [213] при изучении нелинейного взаимодействия двух осцилляторов. В рассматриваемом механическом аналоге этой задачи величина 恤 аналогична частоте отдельного осциллятора (см. также вывод уравнений в [1S1]).
Это двумерное отображение часто обезразмеривают посредством соотношений
% =总(mod 1),
Тогда при Т(6) = /^ sin б и е = FJJ% уравнения (3.2.21) принимают вид
%” = е-"% + £ sin 2тхя)»(3.2.22)
*"+1 = {*" + ^ + 袭 а - °т)% + ^(1 - е-r)sin 2<xJ, где фигурные скобки (. . .] обозначают, что берется только дробная часть выражения (т.е. mod 1 или 0《6 V 2т). Кроме того, здесь введены обозначения К = е0/2ту Г = ct/J и О =纬丁. Величиной уп
1 V1 V(3.2.23)(3.2.23)
1 V
1 V
(3.2.23)
(3.2.23)
Рис 3.〃. Странный аттрактор отображения Заславского (3.2.22) для подталкиваемого ротатора, изображенного на рис. 3.10; х — нормированный угол поворота, / — угловая скорость.
измеряется отклонение скорости вращения от невозмущенного равновесного значения з = з。. Отметим, что это отображение сжимает площади при Г > 0 и сохраняет их при Г = 0.
Можно показать, что при малых £ эта система двух разностных уравнений имеет хаотические решения только при выполнении следующих условий:
На рис. 3.11 показано типичное решение, полученное для значений параметров Г = 5,/Г = 9, Q = 100 и е = 0,3.
Задача о подталкиваемом двойном ротаторе, системе с двумя степенями свободы, была рассмотрена в [94, 95].
ОТОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА СЕБЯ
Упрощенный вариант отображения Заславского для двух связанных осцилляторов получается, когда затухание выбрано более сильным, Г > 1. В этом предельном случае можно пренебречь изменениями з илиу (отметим, что на рис. 3.11 Q мало). Это приводит к одномерному отображению, известному как отображение окружности на себя
х” + | =卜” + ^ + £ Sin 2txJ.(3.2.24)
Это уравнение было подробно исследовано, например, в [159].
ДРУГИЕ ЗАДАЧИ С ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ
Трехмерные хаотические движения тво)дого тела исследовались в работах [103, 185, 207] с помощью уравнений Эйлера (4.2.4). В по-
бледней из перечисленных статей предсказано хаотическое вращение Рипериона, спутника Юпитера.
Другой класс задач с твердыми телами касается динамики корабля под действием волн [149, 206].
АЭРОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ
Примером хаоса в автономной механической системе являются колебания (флаттер), вызванные течением жидкости над упругой пластиной. Это явление известно как «флаттер пластины»; более подробное обсуждение механики этой системы можно найти в книге [28]. Такие колебания наблюдались во время первых полетов во внешних оболочках ракетоносителей «Сатурн», которые доставили человека на Луну в начале семидесятых годов. В работах Кобаяши [93] и Фунга [39], опубликованных до этих полетов, были обнаружены непериодические движения. В одной серии задач, рассмотренных ими, анализировалось совместное действие сжатия в плоскости пластины и течения жидкости. Более поздние численные результаты показаны на рис. 3.12, где видны устойчивые траектории в фазовом пространстве при одних параметрах потока жидкости и сжимающей нагрузки и хаотические колебания при других условиях
ft/с Л12. Течение над изгибающейся упругой пластиной. Слева — периодические аэроупругие колебания; справа — хаотические колебания пластины [29].
(см. также статью Дауэлла [29]). Этот пример иллюстрирует еще один тип отображения Пуанкаре. Поскольку в задаче отсутствует собственное время, приходится выбирать в фазовом пространстве гиперплоскость и следить за точками, в которых траектория прохо. дит сквозь эту плоскость. Применив этот прием в задаче о колебаниях пластины, Дауэлл показал, что отображения Пуанкаре имеют вид, типичный для странного аттрактора.
Рис. 3*13. Отображение Пуанкаре хаотических колебаний цепи с нелннееной нцдук・ тявностью, построенное по результатам аналоговых численных расчетов [197].
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Один из первых примеров хаоса в электрических цепях был от・ ц)ыт Уэдой [197] в цепи с нелинейным индуктивным элементом. Цепь с нелинейной индуктивностью и линейным сопротивлением, возбуждаемая гармонической электродвижущей силой, описывается уравнением
х + кх + х3 = В cos Gх + кх + х3 = В cos G(3.2.25)(3.2.25)
х + кх + х3 = В cos G
х + кх + х3 = В cos G
(3.2.25)
(3.2.25)
которое является еще одним частным случаем уравнения Дуффин- га. С помощью аналогового и численного моделирования Уэда, сотрудник университета Киото в Японии, получил изякцные изображения отображений Пуанкаре, описывающие хаотическую динамику этого уравнения (рис. 3.13).
Еще одна модель, изученная Уэдой,——генератор колебаний с отрицательным сопротивлением, показанный на рис. 3.14. Эта система описывается модифицированным уравнением Ван дер Поля
(3.2.26)(3.2.26)戈 + 3? — 1)£ + 炉=в cos з1.
(3.2.26)
(3.2.26)
Интересно отметить, что и уравнение Дуффинга, и уравнение Ван дер Поля изучаются уже несколько десятков лет, и тем не ме- яее ни в одном из распространенных изданий по нелинейным колебаниям не упоминается об их хаотических решениях. В следующем разделе мы рассмотрим другие нелинейные хаотические цепи.
МАГНИТОМЕХАНИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Значительный интерес вызвала физическая модель, состоящая из диска, который вращается в магнитном поле. Такая система представляет интерес для геофизиков как возможная модель обращений магнитного поля Земли. Это дисковое динамо показано на рис. 3.15. Угловая скорость вращения Q и токи/] и/2 подчиняются уравнениям
(3.2.27)(3.2.27)而=—кН — “2 ‘1仏 + ‘2)+ Т， 人=-%/1 - / 厶 + "僧 /"
(3.2.27)
(3.2.27)
厶2 ‘2 = — &【2 + “2。Л»
где Т —— это приложенный постоянный крутящий момент (см. (161]). Временные развертки, приведенные на рис. 3.15, показывают, что ток (и следовательно, магнитное поле) могут вполне беспорядочно менять направление.
Ямс. 3・/"・ Отображение Пуанкаре вынужденных хаотических колебаний в цепи типа Ван дер Поля по результатам аналоговых численных расчетов [199].
Рис. 3,13. Вверху — модель дискового генератора постоянного тока, предложенная Роббинсом [161] для объяснения обращений магнитного поля Землв; внизу — хаоти* ческие обращения тока по численному решению уравнений дискового генератора по* стоянного тока (3.2.27).
ХАОС В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ
Рассмотрим механическое устройство с нелинейной силой, восстанавливающей равновесие, и предположим, что в системе действует также управляющая сила, которая переводит систему из одного положения равновесия в другое в соответствии с некоторым заданным опорным сигналом хг (Г). Моделью такого устройства служит следующая система уравнений третьего порядка:
(3.2.28)(3.2.28)тх 6х F(x) = -z,
(3.2.28)
(3.2.28)
之 + az = GJ* - x;(/)J + G2x
Здесь z описывает силу, создаваемую петлей обратной связи, a Gj и G2 — соответственно коэффициенты усиления обратной связи по положению и скорости. Этой системе уравнений можно сопоста-
Рис. 3•以 Вверху — изменение границы области хаоса в зависимости от коэффициента усиления обратной связи и частоты сигнала на входе; внизу — траектории периодического и хаотического динамического движения массы с петлей обратной связи м нелинейной восстанавливающей силой с фазами отключения (см. рис. 3.4).
МП, блок-схему рис. 3.16 с нелинейным механическим устройством 0 линейным законом обратной связи.
На примере такой системы можно исследовать два типа задач о хаотических колебаниях. В задачах первого типа, если система автономна, т.е. если опорный сигнал равен нулю, x,(f) = 0, имеет сМысл изучить пространство коэффициентов усиления (Gp G^ в поисках областей покоя и периодических или хаотических колеба- лий. В задачах второго типа сигнал / (f) периодичен. Иначе говоря, мы будем вновь и вновь перемешать массу по заданной траектории, как в автоматическом станке. Тогда можно искать те значения частоты н коэффициента усиления, при которых система ведет себя по периодическому закону или же хаотично (рис. 3.17).
Хаотические колебания автономной системы вида (3.2.28) были исследованы Холмсом и Муном [79] и Холмсом [77]. К примеру, при尸(х) = х(х2 - 1)(х2 - В) эта механическая система имеет три положения устойчивого равновесия. Было показано, что в ней возможны как периодические колебания на предельном цикле, так и хаотическое движение.
Система с обратной связью под действием внешнего возбуждения рассматривалась в работе [45]. Кроме того, хаотические колебания изучались в системе с кусочно-линейной функцией обратной связи [177]. Имеется еше ряд работ, где исследуются подобные примеры [5, 15].
ФИЗИЧЕСКИЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ХАОТИЧЕСКИМИСИСТЕМАМИ
ПЕРВЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Раньше исследователи электрических и механических колебаний редко упоминали о незатухающих непериодических колебаниях, если не считать задач о турбулентности в жидкости. Это не значит, что хаотических движений не было. Дело в том, что экспериментаторы не были готовы увидеть их. Под влиянием теоретиков0 инженера или физика-экспериментатора учили искать в физическом эксперименте резонансы и периодические колебания, а все остальные движения обозначались словом «шум».
Рассуждая о причинах явной близорукости экспериментаторов прошлого века по отношению к хаотическим явлениям, Джо Кел-
)Вернее было бы сказать, «сообразно общему уровню развития науки».— Прим перев.
лер» математик из Стамфордского университета, отмечает, что полнота и изящество теории линейных дифференциальных уравне ний объясняют преобладание связанных с ними представлений в об учении большинства ученых и инженеров.
Тем «с менее в литературе можно найти примеры наблюдения непериодических колебаний. Здесь мы упомянем три таких приме ра. Во-первых, Ван дер Поль и Ван дер Марк [203] в конце статьи колебаниях в цепи с электронной лампой делают следующее заме чание: «Часто перед скачком частоты в телефонном приемнике слышен нерегулярный шум». Объяснение этому явлению предложи но не было, и в классических исследованиях осциллятора Ван дер Поля больше не упоминалось о «нерегулярных шумах».
Еше об одном наблюдении нестационарных колебаний сообща* лось Эвенсоном [34] в техническом докладе НАСА о колебаниях оболочек. Хотя основной целью его исследования вначале были нелинейные колебания упругих цилиндрических оболочек, и аналоговое моделирование и эксперимент обнаружили, что при достаточно сильном возбуждении возникают нестационарные колебания. Веро- ятно это наблюдение не единственно и в литературе можно найти еше много примеров хаоса, описанных парой строчек» погребенных в статьях о периодических колебаниях.
В более поздней работе [195] рассматриваются нелинейные колебания изогнутого стержня. Этот стержень был жестко закреплен обоих концов и сжимался до изгиба. Возникала арочная структура. Когда затем стержень заставляли колебаться поперек своей длины и сила воздействия увеличивалась, происходил его резкий прогиб. В этом режиме наблюдался субгармонический отклик, а также перемежаемые колебания. Впрочем, в статье рассматривались только периодические колебания.
Многие читатели, возможно, вспомнят примеры похожих явлений из собственных экспериментов или инженерной практики. Хаотический шум всегда присутствовал в промышленных или экспериментальных установках, но до недавнего времени мы не располагали моделями и математическими методами его описания и анализа.
СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Маятник представляет собой настолько утвердившийся символ классической динамики, что было бы любопытно выяснить, не может ли этот образец детерминированного поведения совершать хаотические колебания. Чтобы ответить на этот вопрос автор данной книги и его сотрудники [146] сделали магнитный дипольный ротатор с восстанавливающим крутящим моментом, который ме-
Рис, 3」& Схема магнитного дипольного ротатора в скрещенных статическом и переменном магнитных полях — «магнитный маятник».
няется пропорционально синусу угла между осью диполя и наложенным магнитным полем (рис. 3.18). Восстанавливающий момент, периодически меняющийся со временем, создавался синусоидальным напряжением, приложенным к двум полюсам поперек статического магнитного поля. Математическая модель вынужденных колебаний этого магнитного маятника описывается уравнением
Рис 3./9. Вверху — периодическое движение магнитного ротатора (рис. 3.18); внизу —хаотическое движение магнитного ротатора.Рис 3./9. Вверху — периодическое движение магнитного ротатора (рис. 3.18); внизу —хаотическое движение магнитного ротатора.W + М + MBS sin 8 = MBd cos 6 cos 0/, (3.3.1) где 丿一момент инерции ротатора, с — постоянная вязкого затухания, М — магнитный момент ротатора-диполя, а 纥 н 反—соответственно индукция статического и переменного магнитного поля. На рис. 3.19 сравниваются угловые скорости ротатора при периодическом возбуждении в периодическом и хаотическом режимах.
Рис 3./9. Вверху — периодическое движение магнитного ротатора (рис. 3.18); внизу —хаотическое движение магнитного ротатора.
Рис 3./9. Вверху — периодическое движение магнитного ротатора (рис. 3.18); внизу —хаотическое движение магнитного ротатора.
Дальнейшее обсуждение этого эксперимента можно найти в гл. 4 и б. Теория хаоса использовалась также для возбуждения непериодических колебаний в движущейся скульптуре с набором маятников [205].
МАГНИТНАЯ СТРЕЛКА КОМПАСА
Еще один пример магнитомеханического устройства со стохастической динамикой ——стрелка компаса в колебательном или вращающемся магнитном поле (рис. 3.20). Вращающееся магнитное поле можно создать с помощью двух катушек Гельмгольца, в которых поддерживаются синусоидальные токи, сдвинутые по фазе. Эксперименты с этим устройством были проведены Крокетом и Пуату [25], которые описали динамику системы уравнением
J0 = -g [sin (8 - зЕ) + sin (8 + зЕ)] — у0 (3.3.2) и обнаружили бифуркации удвоения периода. В этой модели затухание очень слабо ()//з * 10~2). Такая система является примером систем с почти нулевой диссипацией (у = 0), которые называются гамильтоновыми системами. Как мы говоршш при обсуждении ускорения Ферми, хаос в системах без диссипации часто называют стохастичностью. Отображения Пуанкаре таких систем заполняют некоторые области фазового пространства, в то время как для диссипативных систем со странными аттракторами характерна структура канторовского множества.
УСТРОЙСТВА НА МАГНИТНОЙ ПОДУШКЕ
Системы подвески наземных транспортных средств должны создавать вертикальную и боковую восстанавливающие силы, когда машина отклоняется от прямой траектории. Как традиционные си-
еикхп OJOMquauxu ns^xccx<еикхп OJOMquauxu ns^xccx<Момент закруткиМомент закрутки
еикхп OJOMquauxu ns^xccx<
еикхп OJOMquauxu ns^xccx<
Момент закрутки
Момент закрутки
0ТСМЫ подвески типа пневматических шин или стальных колес и рельсов, так и перспективные системы на воздушной или магнит- Вой подушке содержат элементы нелинейной жесткости и затухания, и поэтому в них могут поддерживаться хаотические колебания. В качестве примера мы опишем некоторые опыты с устройством на магнитной подушке, проведенные в Корнеллском университете. (См. книгу Муна [138], в которой описана механика транспортных средств на магнитной подушке.)
В этих опытах на жесткой платформе устанавливаются постоянные магниты, а под платформой непрерывно движутся алюминиевые направляющие в форме буквы L, прикрепленные к ободу вращающегося колеса диаметрсш 1,2 м (рис. 3.21). Вихревые токи, индуцируемые в алюминиевых направляющих, взаимодействуют с магнитным полем постоянных магнитов, создавая подъемную силу, торможение и боковые направляющие силы. Магнитная сила торможения неконсервативна и может перекачивать энергию в колебания модели. Таким образом, при определенных условиях модель может совершать колебания на предельном цикле. По мере увеличения скорости затухающие колебания сменяются растущими (нижняя часть рис. 3.21). Нелинейность сил, создаваемых подвес-
Pg 3.21. Вверху — схема модели на магнитной подушке над врашаюши* мися алюминиевыми направляющи* мн; внизу — бифуркация предельного цикла для модели на подушке.
кой, ограничивает колебания и возникает предельный цикл. (Эта смена устойчивого состояния известна математикам как бифурка* ^^ Хопфа (гл. 1). Механики называют такие колебания флапипе* ром»)
Помимо флаттера или колебаний на предельном дикле в модели на магнитной подвеске возможны статические бифуркации. Так, при определенных скоростях вертикальное состояние равновесия может смениться парой устойчивых наклонных состояний, показанных на рис. 3.21. Эта неустойчивость известна в динамике лета* тельных аппаратов как расхождение колебаний; она аналогична выпучиванию упругой колонны. В наших экспериментах хаотические колебания обнаруживались, когда система была подвержена расхождению колебаний (множественности состояний равновесия) и флаттеру одновременно. Флаттер обеспечивает перебрасывание модели с одной стороны направляющих на другую, как это происходит и в задаче с изогнутым стержнем, обсуждавшейся в гл. 2. Но математическая модель этой неустойчивости имеет две степени свободы. Динамические свойства боковых и продольных движений изучались с помощью киносъемки хаотических колебаний (рис. 3.22). Эти коле- банки довольно сильны, и если бы они происходили на настоящей машине, движущейся со скоростью 400—500 км/ч, она бы, вероятно, сошла с рельсов и разрушилась.
ХАОС В УПРУГИХ НЕПРЕРЫВНЫХ СРЕДАХ
Автором этой книги и его сотрудниками было проведено много экспериментов с хаотическими колебаниями упругих стержней (см., например, [136, 137, 141, 142, 145]). Исследованы проблемы двух типов. В задачах одного класса уравнение в частных производных, описывающее движение стержня, линейно, но нелинейны массовые силы или граничные условия. В других задачах движения достаточно сильны, чтобы в уравнениях движения стали существенными нелинейные члены.
При малых изгибах и отклонениях уравнение движения упругого
fuc. 3.22. Хаотические боковые движения модели иа магнитной подушке.
сТержня имеет вид
(3.3.3)(3.3.3)8% 將 _ / dv 、D苏' + m秆=仆，而，少
(3.3.3)
(3.3.3)
门2 и — поперечное смещение стержня, D — коэффициент упругой жесткости, ат— масса на единицу длины. Правая часть уравне- 0gя описывает распределенные массовые силы или внутреннее зату・ ^ание. Во многих опытах, проведенных в Корнеллском университете, для создания нелинейных массовых сил использовались постоянные магниты.
Когда смещение и наклон оси стержня велики, горизонтальное и вертикальное смещение и наклон характеризуются переменными (% и, &), связанными соотношениями
(1 +〃’)？+ (J )2 = 1. tg & = р^уг. (3.3.4)
где ()' = 8/8$, as — длина, измеряемая вдоль деформированного стержня (рис. 3・23)・ Тогда уравнения сохранения импульса приобретают вид
гдегде(3.3.5)(3.3.5)Mi =4 -G〈mu =/w +弘
где
где
(3.3.5)
(3.3.5)
G = РГ (1 + / ) - 加，
Я =。俨，+ T(1 + W)・
В этих уравнениях (£, £) — компоненты массовой силы, а Г — осевая сила, создающая напряжения в стержне. Нелинейные члены отличаются от характерных для механики жидкостей тем, что сюда не входят переносные, или кинематические, нелинейности. Кроме того, локальная зависимость напряжений от деформации линейна. Нелинейные члены возникают из-за изменения геометрической формы и называются геометрическими нелинейностями. (См. обсуждение нелинейной теории стержней в [117).)
Ямс* 3.23. Плоская деформация упругого стержня.
Магнитоупругий изогнутый стержень. В этом примере упругий стержень, закрепленный с одной стороны, изгибается магнитами которые помещены вблизи его свободного конца (см. гл. 2 и 4 и [136, 137, 139, 141]). Магнитные силы делают неустойчивым пря мое, неизогнутое состояние стержня и создают несколько положе Ний равновесия, одно из которых показано на рис. 3.24а. В наших экспериментах с помощью четырех магнитов создавалось до четырех положений устойчивого равновесия. После того как такой изгиб создан, система аналогична частице в потенциале из двух или более ям (см. рис. 1.2, б). Все устройство помещается на вибро стенд н колеблется с постоянной амплитудой и частотой. При спа- бых колебаниях стержень остается вблизи одного из положений равновесия. Однако с ростом амплитуды стержень может выскочить из потенциальной ямы и начинаются хаотические движения, при которых стержень переходит из одной ямы в другую (см« рис. 3.6). Отображение Пуанкаре для этого процесса показано на рис. 3.246. (Мы называем это отображение «цветком Пуанкаре».)
Для описания этой системы используется многомодовое приближение уравнения (3.3.3), в котором учтены нелинейные магнитные силы, действующие на свободный конец стержня.
Для стержня с затуханием, закрепленного с одной стороны, хо рошие результаты дает одномодовое приближение. Соответствующее уравнение можно записать в виде системы трех уравнений первого порядка. Обратите внимание, что здесь переменная х является безразмерной амплитудой гармоники, а не расстоянием вдоль стержня:
£ = У,
У = -W +；х(1 - ^2) - Aqw2cosz9 (3,3,6) 2 = з・
Эта задача аналогична задаче о частице в паре потенциальных ям 7 = -(х2 - х〃2)/4・ Этот эксперимент мы будем обсуждать на
Рис. 3.24а, Упругий стальной стержень, изогнутый магнитными массовыми силами и прикрепленный к периодическм движущемуся основанию.
♦《йх"х复 U XOHV9^ XSASU xssxhxxu^s ouohxxuomx OHquolrodu *5x&t KXXUX34 OUOXUVTXbos K§ XBMHBAU иххих&юоьо ubxusxauEQXn n 8XXU7XE.OE sE.ud
протяжении всей книги. Отображение Пуанкаре (рис. 3.246) имеет вид, характерный для двумерных точечных отображений. В типичных случаях эксперименты не обнаружили удвоений периода перед переходом к хаотическому движению. Предвестниками хаоса часто оказывались нечетные субгармоники.
Видоизменением этого эксперимента является перевернутый маятник с пружиной, о котором сообщает из Китайской Народной Республики Зу [215], сотрудник Пекинского университета. Если пружина слабая, то, как и в задачах с двумя потенциальными ямами, перевернутый маятник имеет два положения устойчивого равновесия.
Изогнутый стержень с двумя степенями свободы. Чтобы изучить роль дополнительных степеней свободы, мы создали упругий аналог сферического маятника (см. рис. 3.9), в котором использован стержень кругового сечения [137]. Для изгибания стержня по- прежнему использовались магниты, но теперь его конец мог двигаться в двух направлениях. В результате появились несоизмеримые естественные частоты и квазипериодические колебания, которые в конце концов превратились в хаотические (рис. 3.25).
Эта экспериментальная модель описывается уравнениями для двух связанных осцилляторов:
£ +)£ - ^ х(1 - N) + бл^2 = f29 (3.3.7а) у бу а(1 + гу2)у + 6/у =儿 + /] cos 3f. (3.3.76)
Члены/J)и f2 описывают действие тяготения, если начальное положение стержня не вертикально, а члены, связывающие эти уравнения, потенциальны. Если связь слаба, можно решить уравнение (3.3.7,б) относительно y(f), и уравнение для х(г) приобретает вид уравнения параметрических колебаний.
Майлс [133] провел численные эксперименты с парой осцилляторов с затуханием и квадратичной связью, обнаружив области хаотического движения, вызванного синусоидальным возбуждением. Он рассмотрел частный случай, когда линейные собственные частоты и, и ы2 связаны соотношением w2 2wr
Упругий стержень с нелинейными граничными условиями. Для того чтобы получить хаотические колебания в механической системе, не обязательно иметь несколько положений равновесия. Любая сильная нелинейность также, скорее всего, вызовет хаотический шум при периодическом внешнем воздействии. Одним из примеров системы с одним положением равновесия является упругий стер-
(a)
Рис. 3.25. 0 — Схема упругого прута, совершающего трехмерные движения в паре потенциальных ям, созданных двумя магнитами; 6 — наложенные друг на друга траектория движения в фазовом пространстве н отображение Пуанкаре для кваэнперноднческого движения (<8верху)\ отображение Пуанкаре для хаотического движения (внизу).
(б)
Vo COSwt
Рис* 3.26. Хаотические колебания упругого стержня с нелинейным граничным условием.
жень с нелинейными граничными условиями (145]. Нелинейными называются такие граничные условия, которые зависят от движения. Например, предположим, что конец стержня может свободно двигаться в одном направлении, а движение в другом направлении запрещено. Хаотическое поведение такого стержня показано на рис. 3.26. Модификацией этого примера является двустороннее ограничение с зазором, при котором изгиб стержня может происходить в трех различных режимах. Эксперименты, проведенные в нашей лаборатории, обнаружили хаос и при таких нелинейных граничных условиях. Шоу [172] провел анализ этих механических колебаний в присутствии зазора или мертвой зоны.
ТРЕХМЕРНЫЕ УПРУГИЕ СТЕРЖНИ И СТРУНЫ
При определенных условиях вынужденное плоское движение нелинейного упругого стержня (балки, полоски) описываемое уравнением (3.3.5), становится неустойчивым и возникают трехмерные движения. Похожее явление известно и для плоского движения натянутой струны [133]. В Корнеллском университете мы провели несколько экспериментов с толщиномерами — очень тонкими, гибки- мн, упругими стальными стержнями прямоугольного сечения (например, 0,25 мм х 10 мм х 20 см) (рис. 3.27). Их слабое боковое движение (по отношению к неизогнутому стержню) почти невозможно без продольного изгиба или перекоса локальных поперечных сечений. Однако при сильном изгибе в «разрешенном» направлении становятся возможными и боковые смешения, сопровождающиеся перекосом поперечных сечений. Мы показали, что плоские колебания стержня в «разрешенном» направлении на частоте, близкой к
Рис, 3.27, Схема упругой структуры, совершающей движения как в плоскости вынуждающего колебания, так н в ортогональном направлении.
рис. 3*28. Фурье<пектры вынужденных колебаний тонкого упругого стержня. Широкополосный хаотический спектр является следствием трехмерности колебаний.
одной из многих собственных частот, становятся не только неустойчивыми, но и хаотическими. Это видно из рис. 3.28, где в спектре мощности полученном быстрым преобразованием Фурье, см. гл. 4) присутствует широкий диапазон частот, в то время как внешнее возбуждение происходит на одной частоте. Похожие явления происходят с очень тонкими листками бумаги. По сути дела, мы показали, что хаотические движения очень тонких листков бумаги вызывают широкополосный акустический шум в окружающем их воздухе.
ХАОС В МАТРИЧНОМ ПЕЧАТАЮЩЕМ УСТРОЙСТВЕ
Задачи с соударениями составляют целый класс наглядных примеров хаотических колебаний в механике. Подпрыгивающий шарик (3.2.9), модель ускорения Ферми (3.2.8) и стержень с нелинейными граничными условиями принадлежат к этому классу. Практической реализацией вызванных соударениями хаотических колебаний является эксперимент с бойками (иглами) печатающего устройства, поставленный Хендриксом [67J (рис* 3.29). В таком печатающем устройстве молоточек ускоряется магнитной силой, и его кинетическая энергия расходуется на перенос краски с ленты на бумагу. Хендрикс использует эмпирическую зависимость возникающей при ударе силы от относительного смещения после удара; переменная и равна
отношению смещения к суммарной толщине ленты и бумаги:
(3.3.8)(3.3.8)戶=-AEpu2tl9 u > О,=-АЕр0ип9и < О,
(3.3.8)
(3.3.8)
где А ——площадь контакта бойка и ленты, Ер выступает в роли жесткости ленты и бумаги, а 3 — постоянная, которая зависит от максимального смещения. Важно отметить, что эта сила в высшей степени нелинейна.
Если боек возбуждается периодическим напряжением, он и двн~ жется по периодическому закону, пока частота тока невелика. Но с ростом частоты бойку не хватает времени, чтобы успокоиться, и удары становятся хаотичными (рис. 3.30). Таким образом, хаотические колебания ограничивают скорость работы печатающего уст-
2500 Гц
5263「U5263「U■ Времп
5263「U
5263「U
Рис. 3.30. Смещение иглы матричного печатающего устройства как функция време* ни при различных частотах инициирующего сигнала. Заметно, как отклик становт ся непредсказуемым [67] (International Business Machines Corporation, © 1983).
ройства. Один из выходов из этой ситуации, который сейчас исследуется, состоит в добавлении обратной связи, которая подавит хаос.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
Цепи с периодическим возбуждением: хаос в цепи с диодом. Идеальный диод — это элемент цепи, который либо проводит ток, либо нет. Такое поведение с резким отключением представляет собой сильную нелинейность. Ряд экспериментов по хаотическим колебаниям был проведен с помощью конкретного диодного элемента, называемого варикапным диодом [113, 162, 189]; использованные электрические цепи подобны показанной на рис. 3.31. Сообщалось как об удвоениях периода, так и о хаотическом поведении такой системы. Возможность удвоений периода указывает, что явление математически описывается одномерным отображением, кото- 0ое связывает абсолютные значения максимального тока в цепи во время (л + 1)- и л-го циклов:
%<Л+1 =尸(Ik»(3.3.9)
Одни из интересных вопросов, связанных с этой системой,— это физическая природа нелинейности. В первой работе [113] предлагалось моделировать диод сильно нелинейной емкостью, что дает
с = с0(1 - аИ)г,
(3.3.10)(3.3.10)^ с(И) К = /,
(3.3.10)
(3.3.10)
= —RI — Р + % sins/, где 7 н 0,44. Однако позже была предложена совершенно другая модель [162], в которой рассматриваемая цепь эквивалентна одной
Рис. 3.31. 0 — Схема цепи с варикапным диодом; 6 — вид элемента цепи в фазе проводимости диода; в — вид элемента цепи, когда диод заперт [162] (The American Physical Society, © 1982).
из двух линейных цепей, показанных на рис. 3.31, б, в. Каждый цикл состоит из проводящей и непроводящей стадий. Нелинейность возникает из-за условий перехода от проводящей цепи с напряжением смещения Vf к непроводящей с постоянной емкостью. Момент перехода зависит от максимального тока l/maxl. В этой модели на каждой стадии известны точные решения дифференциальных уравнений, описывающих цепь; неизвестные постоянные определяются из условий непрерывности тока и напряжения в момент смены стадий. Этот метод использован в работе [162] для численного расчета функции, определяющей отображение и показанной-на рис. 3.32. Дальнейшие эксперименты показали, что эта модель лучше описывает физику протекающих процессов, чем модель с нелинейной ем・ костью.
Эта ситуация служит примером известной проблемы в нелинейной динамике. Стремление немедленно объяснить хаотичность динамики нелинейной системы вызывает соблазн построить математическую модель, которая повторяет классические парадигмы хаоса в гораздо большей степени, чем сама физика системы. Это было простительно во время первых открытий и исследований. Но со взрослением нелинейной динамики следует больше внимание обращать на математические и физические основы изучаемых явлений Новые объяснения хаотических явлений могут быть приняты только в том случае, если они проясняют связь физических законов (например, законов Ньютона и уравнений Максвелла) и математических моделей.
Рис. 3.32. Сравиеиие рассчитаииого (а) и получеииого в эксперимеите (б) одиомер иых отображений для цепи с варикапиым диодом, показаииой иа рис. 3.31 (162) (The American Physical Society, © 1982).Рис. 3.32. Сравиеиие рассчитаииого (а) и получеииого в эксперимеите (б) одиомер иых отображений для цепи с варикапиым диодом, показаииой иа рис. 3.31 (162) (The American Physical Society, © 1982).
Рис. 3.32. Сравиеиие рассчитаииого (а) и получеииого в эксперимеите (б) одиомер иых отображений для цепи с варикапиым диодом, показаииой иа рис. 3.31 (162) (The American Physical Society, © 1982).
Рис. 3.32. Сравиеиие рассчитаииого (а) и получеииого в эксперимеите (б) одиомер иых отображений для цепи с варикапиым диодом, показаииой иа рис. 3.31 (162) (The American Physical Society, © 1982).
Итак, мы обсудили нелинейную цепь с варикапным диодом и несколько экспериментальных работ, в которых сообщалось о хаосе в этой цепи. Теперь мы расскажем еще об одном эксперименте |19] с последовательно включенными диодом, индуктивностью и ^противлением, которые находятся под действием сунусоидально- 2 напряжения. Соответствующая математическая модель имеет вид
di
4-/(/, \ldt) = K0cos з/,(3.3.11)
где свойства нелинейного диода /(/) уже обсуждались выше. Авторы этого эксперимента изучили плоскость параметров (%, з) и выделили области субгармонического и хаотического отклика. Эти результаты показаны на рис. 3.33. На рис. 3.33, а частота возбуждения меняется в диапазоне 0,5 < з/2常 < 2,0 МГц. Как видно из этих данных, можно подобрать такую траекторию в пространстве параметров, вдоль которой реализуется переход к хаосу через удвоения периода. Но можно выбрать и другие траектории, вдоль которых, очевидно, не происходят удвоения периода. На рис. 3.33, а также видны острова хаотичности; после увеличения, показанного на рис. 3.33, б, внутри них обнаруживаются более мелкие такие же острова. Этот пример показывает, что, когда модель описывается тремя дифференциальными уравнениями (3.3.11), отображение Пуанкаре, которое характеризует динамику системы, является двумер- мьш и в такой системе не обязательно проявляются удвоения периода, характерные для одномерных отображений.
Однако при определенных законах вариации параметров двумерное отображение может вести себя как одномерное и соответственно система, скорее всего, будет описываться одномерным необратимым отображением. Для экспериментатора из этого вытекает следующая мораль: если физическая задача существенно характеризуется более чем одной безразмерной комбинацией параметров, то следует исследовать соответствующее пространство параметров, чтобы выявить весь диапазон возможных нелинейных динамических режимов.
Нелинейная индуктивность. Брайант и Джеффрис [18] исследовали цепь с отрицательным сопротивлением и нелинейной индуктивностью с гистерезисом, возбуждаемую синусоидальным сигналом. В этой работе исследовались соединенные параллельно четыре элемента — источник напряжения, отрицательное сопротивление, конденсатор и катушка, намотанная на тороидальный магнитный сердечник. Характерные значения параметров таковы:
3030Рис. 3.33. 0 — Области субгармонических и хаотических колебаний в цепи с последовательно соединенными индуктивностью, сопротивлением и дкодом, показанные на плоскости напряжение — частота возбуждающего сигнала; б — увеличенная часть рисунка «д» [19] (Elsevier Science Publishers, © 1984).Рис. 3.33. 0 — Области субгармонических и хаотических колебаний в цепи с последовательно соединенными индуктивностью, сопротивлением и дкодом, показанные на плоскости напряжение — частота возбуждающего сигнала; б — увеличенная часть рисунка «д» [19] (Elsevier Science Publishers, © 1984).
30
30
Рис. 3.33. 0 — Области субгармонических и хаотических колебаний в цепи с последовательно соединенными индуктивностью, сопротивлением и дкодом, показанные на плоскости напряжение — частота возбуждающего сигнала; б — увеличенная часть рисунка «д» [19] (Elsevier Science Publishers, © 1984).
Рис. 3.33. 0 — Области субгармонических и хаотических колебаний в цепи с последовательно соединенными индуктивностью, сопротивлением и дкодом, показанные на плоскости напряжение — частота возбуждающего сигнала; б — увеличенная часть рисунка «д» [19] (Elsevier Science Publishers, © 1984).
С = 7,5 мкФ, R = —500 Ом, а частота возбуждающего сигнала — 200 Гц и выше. Отрицательное сопротивление создавалось операционным усилителем. Если N — число витков в индуктивности, А — эффективная площадь сечения сердечника, / — длина магнитного пути, то плотность магнитного потока В в сердечнике описывается уравнением
к NA /
NACB + —В + -Я(В) = /(f),(3.3.12)
где Н(В) — нелинейное соотношение магнитного поля и магнит-
包(б)
*. 3.34. Цепь с туннельным диодом, в которой возможны автономные хаотнче- 0ale колебания (44] (Plenum Publishing Corp., © 1980).
рой индукции в материале сердечника. В описываемом эксперименте было N = 100 витков, Л * 1,5-10-5 м2 и / * 0,1 м.
В такой цепи наблюдаются квазипериодические колебания, бло- нровкн фазы движений, удвоение периода и хаотические колеба- 0Я.
Автономные нелинейные цепи. Автономные хаотические колебания обнаружены в цепи с туннельным диодом, показанной на ряс. 3.34, а [44].
Нелинейными элементами этой цепи являются два туннельных диода. Вольт-амперная характеристика, показанная на рис. 3.34, 6, явно нелинейна, и при циклических изменениях тока /D возникает петля гистерезиса. Авторы этой работы с помощью возвратных отображений построили отображения Пуанкаре на псевдофазовой плоскости. Другими словами, они составили выборку измерений тока
ХП М /%«0 + 〃7)‘ (3.3.13)
где л •-- целое, и построили зависимость хл отхл + 1. Выборка производилась в те моменты времени, когда напряжение Р。] проходило, убывая, значение 0,42 В. Кроме того были построены спектры Фурье и вычислены показатели Ляпунова, характеризующие скорость разбегания близких траекторий.
Как мы уже упоминали в разделе, посвященном математическим моделям, Уэда [197] исследовал хаос в цепи с отрицательным сопротивлением. Отрицательные сопротивления создаются в эксперименте новым методом с использованием операционных усилителей- Эксперименты Мацумото и др. [128, 129] и Брайанта и Джеф-
Рис. 3.35. Цепь с грилинейным активным элементом, в которой возможны автономные хаотичсекнс колебания [129J (Institute of Electrical and Electronic Engineers, 1985).'Рис. 3.35. Цепь с грилинейным активным элементом, в которой возможны автономные хаотичсекнс колебания [129J (Institute of Electrical and Electronic Engineers, 1985).'
Рис. 3.35. Цепь с грилинейным активным элементом, в которой возможны автономные хаотичсекнс колебания [129J (Institute of Electrical and Electronic Engineers, 1985).'
Рис. 3.35. Цепь с грилинейным активным элементом, в которой возможны автономные хаотичсекнс колебания [129J (Institute of Electrical and Electronic Engineers, 1985).'
фриса [17,18] также являются примерами исследований хаотических колебаний в нелинейных цепях, использующих эту методику.
Цепь, исследованная Мацумото и др., показана на рис. 3.35, Она состоит из трех связанных петель с нелинейным сопротивлени ем. Эта цепь автономна, т.е. в ней нет источников стороннего напряжения. Поэтому в этой системе колебания возможны только в случае, если нелинейное сопротивление отрицательно в некотором диапазоне напряжений. В модели Мацумото и др. используется трилинейная вольт-амперная характ^истика, показанная на рис. 3.35, б, которая описывается выражением
g(匕)=飞 I； + 2 (m - m0)l 匕 + bl + g (恤-/И[)1 匕-Ы.
(3.3.14)
Уравнения, моделирующие эту цепь, получаются с помощью суммирования тсков в узлах А и В на рис. 3.35, а и напряжений в левой петле:
(3.3.15)(3.3.15)С* =^ 匕一/)一g 匕),
(3.3.15)
(3.3.15)
CJ：=穴（°] 一 叱）_ /， Li = -%
где У】н。2 — напряжения на конденсаторах С t иС2, а/ — ток в индукционной катушке. Трилинейное сопротивление (3.3.14) получено с помошьь? операционного усилителя на диодах (детали см. в гл. 4). При мпых напряжениях нелинейное сопротивление отришн тельно, положение равновесия (И]( И2, /) = (0, 0, 0) неустойчиво и возбуждают^ колебания. Хаотические колебания были обнаружены
№. 3.36. Хаотическая траектория цепи с трилинейным сопротивлением (см. рис. 3.35), полученная численным моделированием. Этот аттрактор, возникающий в це- он, которая показана на рис. 3.35, называется двойным свитком [129] (Institute of Electrical and Electronic Engineers, © 1985).
при следующих значениях параметров: 1/С, = 9, 1/С2 = 1, 1/L = =7, G = 0,7,加° = —0,5,加]=—0,8 н b = 1 в согласованной системе единиц. Хаотическая эволюция системы иллюстрируется рис. 3.36, который аналогичен картине аттрактора Лоренца (см. рис. 1.25).
ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА В ЖИДКОСТЯХ
Основная тема этой книги — механические и электрические системы низкого порядка, но новые взгляды на динамику сыграли такую существенную роль в динамике жидкостей, что мы не можем не упомянуть по крайней мере некоторые эксперименты с хаотическими движениями в жидкостях. Вспомним гл. 1, где говорилось, что главная нелинейность в задачах о жидкости связана с переносным ускорением (v • V) v, которое присутствует в уравнении движения (1.1.3). Впрочем, определенную роль могут играть и другие
нелинейности, например условия на свободных поверхностях или поверхностях раздела и неньютоновские вязкие эффекты. Можно выделить пять типов экспериментов с жидкостями, в которых наб людались хаотические движения:
системы с замкнутыми течениями: конвекция Рэлея—Бенара течение Тейлора—Куэтта между цилиндрами;
открытые течения: течение в трубе, пограничные слои, струи 3)жидкие частицы: протекающий кран;
волны на поверхности жидкости: гравитационные поверх ностные волны;
реагирующие жидкости: перемешиваемый резервуар химиче ского реактора.
Одна из причин неослабевающего интереса к хаотической дина мике в жидкостях — возможность раскрыть на этом пути секреты турбулентности. (См., например» обзор [181] и сборник статей о хаосе в жидкостях [187].) Некоторые считают, что это слишком много для теории, основанной на нескольких уравнениях в обынно венных производных и отображениях. Полагают также, что теория динамических систем приведет к работоспособной модели перехода к турбулентности (которую иногда называют «слабосильной»), но для решения более трудной проблемы турбулентности, полностью развитой в пространстве и времени (сильной турбулентности), по требуются принципиально новые Достижения. Каким бы ни был путь дальнейшего развития, нелинейная динамика прибавила новые методы в экспериментальную механику жидкости.
Системы с замкнутыми течениями — тепловая конвекция Рзлея—Бенара. Как мы помним по гл. 1, градиент температуры в жидкости, находящейся в поле тяготения, создает силу плавучести, которая вызывает вихревую неустойчивость и приводит к хаотическим и турбулентным движениям. Системой, экспериментально изученной лучше других, в настоящее время является тепловая конвекция жидкости в замкнутом прямоугольном объеме. Именно эту систему пытался моделировать Лоренц своими знаменитыми уравнениями (3.2.3).
Экспериментальные исследования тепловой конвекции Р> лея—Бенара в замкнутом объеме обнаружили, что предвестниками хаотического состояния являются последовательности удвоения периода. Эти эксперименты проводились с гелием, водой и ртутью для широкого диапазона значений безразмерных чисел Прандтля я Рэлея. Время проведения этих опытов приходится на конец 70-х годов. Например, Либхабер и Маурер [108] наблюдали колебания с удвоением периода при конвекции гелия. Ряд экспериментальных статей опубликовала группа из Французской национальной лабора-
арнн в Сакле, Франция ([9—11], см. также [32]). Этот эксперимент подобен изображенному на рис. 3.1 с силиконовым маслом в прямоугольной ячейке размером 2 см х 2,4 см х 4 см. В этих экспери- ММ" обнаружены как переход к хаосу через квазипериодические холебания [150], так и перемежаемый хаос. В первом случае по мере повышения градиента температуры наблюдалась следующая последовательность динамических явлений:
Статическое состояниеСтатическое состояние—Одночастотное движение—Одночастотное движение— Двупериодическое — Хаотическое или кваэипериодиче* движение ское движение
Статическое состояние
Статическое состояние
—Одночастотное движение
—Одночастотное движение
Градиент температуры —
Частоты, наблюдаемые в этих экспериментах, очень низки (например, 9—30-10-3 Гц. Французская группа одной из первых получила отображения Пуанкаре в опытах с жидкостями. Этому способствовало то, что они обнаружили в жидкости области, где преобладала одна частота, т. е. один осциллятор. Эту частоту можно было использовать для временной привязки отображений Пуанкаре. Два таких отображения показаны на рис. 2.18. Первое квазипериодично, и отношение частот близко к 3. Второе содержит 1500 точек отображения и показывает разрушение тороидального аттрактора перед установлением хаоса. Для измерения параметров течения использовались лазерный доплеровский анемометр и метод дифференциальной интерферометрии. Захват мод и хаос в конвекции исследуются также в более поздней работе [62].
Течение Тейлора-Куэтта между цилиндрами. Классической гидромеханической системой, в которой обнаруживается предтурбу- лентный хаос, является течение между двумя вращающимися ци-
линдрами (называемое течением Тейлора-Куэтта), изображенное на рис. 3.37. Этой системе посвяшено множество работ (см., например, обзор [181]). Свойства этого течения определяются числом Рейнольдса R = (Ь - а) оЯ/у и отношениями b/明 Ц/& (отношением скоростей вращения внешнего и внутреннего цилиндров), а также граничными условиями на торцах. В этой системе перед установлением широкополосного хаотического шума наблюдаются квазипериодические колебания. Течению Тейлора——Куэтта посвящена также работа [13].
Замкнутый термосифон. Как ни странно, при всем внимании к аттрактору Лоренца как парадигме хаоса в конвективном течении было сделано немного попыток поставить эксперимент, который повторил бы все предположения модели Лоренца. Таким экспериментом, вплотную приближающимся к модели Лоренца, является опыт с течением жидкости в кольцевой трубке в поле силы тяжести. Связь этого эксперимента с моделью Лоренца была замечена Хартом [61]. Конвективные течения представляют интерес как модели геофизических течений, подобных теплым восходящим потокам или течению подземных вод сквозь проницатые слои земной коры; важны также приложения к системам нагрева с помощью солнечной энергии или к системам охлаждения активной зоны реакторов.
\е\еПервые опыты проводились с термосифоном с трубкой прямоугольного сечения [7]. В этой работе получены уравнения, описывающие течение в замкнутой круговой трубке с силой тяготения, лежащей в плоскости петли, как показано на рис. 3.38. По сути дела, все переменные предполагаются не зависящими от радиальной координаты. Основными зависимыми переменными являются окружная скорость и«) и температура Т (б, /). Рассматривается действие на жидкость вязких напряжений на стенках. Задается температура стенки 丁屮(6), и предполагается линейный закон охлаждения со скоростью, пропорциональной Т -
\е
\е
Рис. 3.38. Тепловая конвекция в вертикальной одномерной замкнутой трубке с жидкостью — это модель термосифона.
Основными уравнениями являются закон сохранения углового момента элемента объема жидкости и уравнение в частных производных, описывающее сохранение энергии или перенос тепла.
Выталкивающая сила или ее момент вводятся в предположении, чТо плотность жидкости зависит от температуры по закону
Р = Ро 口一 6(丁 - Го)],(3.3.16)
так что суммарный крутящий момент, действующий на жидкость, пропорционален
g0a\ Т(0) cos (0 + a)d仇(3.3.17)
где определение угла 6 показано на рис. 3.38.
Так же как при получении уравнений Лоренца (3.2.3), температура раскладывается в ряд Фурье. При этом уравнение в частных производных переноса тепла сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Следуя работе [61], запишем
7(6)= ^ Cn(t) cosn0 +S“(f)sin〃优 (3.3.18)
Можно показать, что динамика определяется только гармоникой температуры с л = 1. После переобозначения переменных х = и, у = С】н z = S| + 凡，где Ra — аналог числа Рейнольдса, получаются следующие связанные уравнения первого порядка:
X = PJ-F(x) + J cos а - (Z - Ra) sin а],
j = -xz - у +&x,(3.3.19)
z = xy - zt
где F(r)——нелинейный закон трения. Эти уравнения сводятся к уравнениям Лоренца, когда а = Он 尸(х) = Сх. Такой предельный случай соответствует нагреву, несимметричному относительно вертикали. В экспериментах Бау и Торранса [7] исследовалась устойчивость течения, но не рассматривался хаотический режим. Ввиду близкого соответствия уравнений (3.3.19) и уравнений Лоренца (3.2.3) было бы естественным попытаться исследовать на опыте хаотические режимы в термосифоне. О другом примере анализа связи уравнений Лоренца и жидкости в подогреваемой петле см. в [212].
После nq>Bbix экспериментов с конвективной петлей [24] о хаотических движениях не сообщалось. Однако более поздние опыты [46] воспроизвели некоторые признаки аттрактора Лоренца. Рабо-
чей жидкостью в этих опытах была вода, а установка состояла из стеклянной (пирекс) трубки диаметром 2,5 см, согнутой в петлю диаметром 75 см. Нижняя половина петли нагревалась с помощью ленты с высоким электрическим сопротивлением, а верхняя часть находилась в термостате при постоянной температуре.
Хаос течения в трубке. Хотя основное внимание теория динамических систем уделяет течениям с замкнутыми линиями тока, в инженерных разработках важное место занимают открытые течения. Среди них течения над воздушным крылом, пограничные слои, струи и течения в трубках. Недавно на приложения теории нелинейной динамики к проблемам перехода от ламинарного к турбулентному течению в открытых течениях стали обращать больше внимания. Один из примеров — опыт Сринивасана [179] из 振ль ского университета по исследованию перемежаемости течения в трубе. В этой задаче течение ламинарно и стационарно при малой скорости, но становится турбулентным при достаточно больших средних скоростях. Переход от ламинарного к турбулентному течению, происходящий при определенной критической скорости, по* видимому, осуществляется через перемежаемые вспышки турбулентности. По мере увеличения скорости увеличивается доля времени, которое система проводит в хаотическом состоянии до тех пор, пока течение не турбулизуется полностью. Некоторые наблюдения этого явления восходят к Рейнольдсу (1883 г.). Основной предмет исследований сейчас состоит в попытке связать параметры этой перемежаемости, например распределение длительности вспышек, с динамическими теориями перемежаемости (см., например, [157]).
Хаос капель жидкости. Простая система, с помощью которой читатель может пронаблюдать хаотическую динамику у себя дома, — это протекающий кран. Этот опыт описан Р. Шоу из Калифорнийского университета в Санта-Крус в монографии о хаосе и теории информации [171]. Эксперимент и пример результатов измерений показаны на рис. 3.39. С помощью источника света и фотоэлемента измеряются интервалы времени между каплями, а управляющий параметр ——это скорость вытекания воды из крана. В своем эксперименте Шоу фиксировал последовательность моментов времени {Гл, Гл + 1, Гл + 2), но не измерял размер капель и другие их параметры, например форму. Ему и его студентам удалось получить периодическое движение, явления удвоения периода, а также хаотическое движение. При разных скоростях вытекания получаются разные отображения Тп + }(Гп). Отображение, показанное на рис. 3.39, имеет вид классического одномерного квадратичного ото-
ИсточниксветаИсточниксвета巨=巨=о о о о п + 2 о п + 1 о л о п -1 оо о о о п + 2 о п + 1 о л о п -1 оПриемник светаПриемник светаТп (Измерение времени)Тп (Измерение времени)历丿历丿Рис. 3.39. Одномерное отображение, полученное в эксперименте по измерениям нн> тервалов времени между каплями, которые падают из протекающего крана (171J (Ariel Press, © 1984).Рис. 3.39. Одномерное отображение, полученное в эксперименте по измерениям нн> тервалов времени между каплями, которые падают из протекающего крана (171J (Ariel Press, © 1984).
Источниксвета
Источниксвета
巨=
巨=
о о о о п + 2 о п + 1 о л о п -1 о
о о о о п + 2 о п + 1 о л о п -1 о
Приемник света
Приемник света
Тп (Измерение времени)
Тп (Измерение времени)
历丿
历丿
Рис. 3.39. Одномерное отображение, полученное в эксперименте по измерениям нн> тервалов времени между каплями, которые падают из протекающего крана (171J (Ariel Press, © 1984).
Рис. 3.39. Одномерное отображение, полученное в эксперименте по измерениям нн> тервалов времени между каплями, которые падают из протекающего крана (171J (Ariel Press, © 1984).
бражения, подобного логистическому отображению Фейгенбаума [37]. Наблюдалось также более сложное отображение, которое лучше всего может быть представлено в трехмерном пространстве как зависимость Т“ от Гл + 1 и Гл + 2. Этот пример использования дискретных измерений для составления псевдофазового пространства, который подсказывает, что следовало бы измерять еше одну динамическую переменную (например, размер капли) (см. гл. 4).
Хаос поверхностных волн. Хорошо известно, что по поверхности раздела двух несмешиваюшихся текучих сред (пример — воздух над водой) в поле тяготения могут распространяться волны. Такие волны можно возбудить, потряхивая жидкость в вертикальном направлении так же, как при возбуждении параметрических колебаний маятника. Субгармоническое возбуждение волн на мелкой воде было получено еше Фарадеем в 1831 г. Анализ этого явления с точки зрения удвоений периода был проведен группой, работающей на линейном ускорителе Калифорнийского университета [91]. В этих экспериментах исследовались волны на соленой воде в кольце сред-
него радиуса 4,8 см, сечение которого составляло 0,8 х 2,5 см. Система возбуждалась в вертикальном направлении с помощью помещаемого под ней акустического громкоговорителя. Измерения зависимости высоты волн от времени в нескольких местах в кольце позволили зарегистрировать перед установлением хаотического режима последовательность субгармоник, которая не подчиняется классическому закону удвоения периода. Наблюдались, например, резонансные частоты pf/m, где / — частота возбуждения, a m = 1, 2, 4, 12, 14, 16, 18, 20, 24, 28, 36; эта последовательность не совпадает с последовательностью 2", типичной для логистического уравнения.
В другом исследовании вынужденных поверхностных волн наблюдался цилиндрический объем воды радиусом 6,35 см и глубиной около 1 см [22]. Для изучения областей периодического и хаотического изменения высоты волн также использовалось возбуждение громкоговорителем. Например, хаотическое волновое движение было получено при частоте возбуждения около 16 Гц и амплитуде вертикальных возбуждающих колебаний около 0,15 мм. Авторы этой работы попытались объяснить свои результаты в рамках теории нелинейного взаимодействия двух линейных пространственных мод. Теоретический анализ этой задачи проведен Холмсом [78].
Хаос в химических реакциях. Рвсслер [163, 164] и Хадсон и др. [81] наблюдали хаотическую динамику в небольшом диффузионном химическом реакторе. Кроме того, Шрибер и др. [168] обнаружили аналогичные процессы в паре связанных реакторов с перемешиванием. Если (х“У[) — концентрации химических компонентов в одном реакторе, а〈小，У 2)— в другом, то динамическое поведение системы описывается следующими уравнениями:
攵1 = / - (Я + 1)х, + х\ух + 0^2 - X,),
j, = Я,х, -х^, + О2О2 - J,),
Х2 = А - (Я + 1)Х2 + X疗2 - О,(х, - Х2),..
，2 =以2 - x»2 +02g1 - y2)■
Классическим примером химического хаоса теперь стала реакция Белоусова—Жаботинского в реакторе с перемешиванием. Здесь наблюдались субгармонические колебания и удвоение периода [175]. При постоянных концентрациях компонентов на входе реактора концентрация бромид-иона, одного из реагирующих компонентов, обнаруживает сложное субгармоническое поведение, зависящее от скорости потока через реактор.
Хаос световых волн. В физической литературе опубликовано множество работ, посвященных хаотическому поведению лазерных систем, а также хаотическому распространению света в нелинейных оптических устройствах. Подробный обзор хаоса в оптических си- стемах сделали Харрисон и Бисвас [60]. Причиной нелинейности в простейшей лазерной системе является ее попеременное нахождение на одном из по меньшей мере двух энергетических уровней. Самая простая математическая модель подобной системы состоит из трех уравнений первого порядка для электрического поля в активной об- ласти, степени неравновесности заселенности уровней и индуцированной атомной поляризации. Структура этих уравнений, называемых уравнениями Максвелла—Блоха, подобна структуре уравнений Лоренца (3.2.3), обсуждавшихся в гл. 1 и 3. Хаотические явления в лазерах наблюдались как в автономном режиме, так и при внешней модуляции.
В упомянутом выше обзоре [60] обсуждается еще один класс задач, связанных с пассивной нелинейной оптикой. В этом случае коэффициент преломления (скорость света в среде) зависит от интенсивности света, например, благодаря эффекту Керра.
Биологический хаос. Новые математические модели нелинейной динамики обладают заманчивым свойством — они имеют широкие приложения во многих разнообразных областях науки. Неу диви- тельно поэтому, что динамические явления в биологических систе- мах, обнаруживающих периодические и хаотические движения, объясняются с помощью тех же уравнений, которые справедливы для электрических и механических систем. Здесь мы упомянем лишь два примера.
Хаотическое биение сердца. Гласс и др. [40] поставили экс- перименты по динамике спонтанных биений групп клеток из сердца эмбрионов цыплят. В отсутствие стороннего стимулирования пери- од этих колебаний заключен между 0,4 и 1,3 с. Однако, когда в эти группы клеток с помощью микроэлектродов посылались периодические импульсы тока, наблюдались захват мод, квазипериодич- ность и хаотические движения.
Обсуждение связи нелинейной динамики и хаотических моделей со свертыванием крови в венах можно найти в недавней работе [41]. Там же приведен ряд ссылок по динамике сердца.
Нервные клетки. В похожем эксперименте признаки хаотического поведения появлмись при синусоидальной стимуляции ги- гантского нейрона морского моллюска [64].
Экспериментальныеметоды изученияхаотических колебаний
Совершенная логика и безошибоч* иые рассуждения составляют привлека* тельную теоретическую структуру, но она может быть и неверной: только экспериментатор решает это, и ои всегда прав.
Л. Бриллюэн, Научная неопределен* иость и информация, 1964.
ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛИ ЭКСПЕРИМЕНТА
В гл. 3 был приведен обзор физических систем, обнаруживающих хаотические колебания. В настоящей главе мы обсудим некоторые методы эксперимента, успешно применявшиеся для наблюдения и описания хаотических колебаний и странных аттракторов. Эти методы в большой степени определяются конкретным физическим объектом, на котором ставится эксперимент, — является ли он, например, твердым телом, упругой средой, жидкостью или реагирующей смесью. Впрочем, многие типы измерений, характерные для исследования хаотических явлений, такие, как определение отображений Пуанкаре или показателей Ляпунова, применимы к широкому классу задач.
На рис. 4.1 показана схема основных частей экспериментальной установки. В показанном примере колеблющимся объектом является упругий стержень с нелинейными граничными условиями или несколькими положениями равновесия. Кроме того, присутствует источник колебаний ——электромагнитный вибростенд. В случае автономной системы типа конвективной ячейки Рэлея——Бенара источником неустойчивости является разность температур, поддерживаемая в сечении ячейки, а нелинейности заключены в переносной части ускорения элементов жидкости.
В числе других важных деталей установки ——преобразователи, превращающие физические переменные в электрические напряжения, система обработки и хранения данных^ система графического представления данных (например, осциллограф и компьютер для их анализа).
Техника эксперимента, которую необходимо освоить для изучения хаотических колебаний, до некоторой степени зависит от целей
Рис. 4. Л На схеме показаны компоненты экспериментальной установки, предназначенной для получения отображения Пуанкаре для хаотической физической системы.
работы. Такими целями могут быть:
обнаружение хаотических колебаний в данной физической системе;
определение критических значений бифуркационных параметров;
установление критериев хаоса;
выделение различных хаотических режимов;
построение качественных характеристик хаотического аттрактора, например отображения Пуанкаре;
измерение количественных свойств аттрактора, например спектра Фурье, показателя Ляпунова, распределения плотности вероятности, фрактальной размерности.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Если система линейна, в ней невозможны хаотические колебательные явления. Поэтому при проведении опытов по хаотической динамике следует понять природу нелинейностей в изучаемой системе. Чтобы освежить память читателя, напомним, что линейны те системы, в которых выполняется принцип суперпозции. Так, если х [(f) ”*2(‘)— два допустимых движения некоторой системы, то она линейна, если сумма j xRr) + с2 々(0 также является допустимым движением. Другую формулировку принципа суперпозиции легче дать на математическом языке. Предположим, что динамика некоторой физической системы моделируется системой дифферент цнальных или интегральных уравнений вида
L [X] = f(f),(4.2.1)
где X = Ri，*?’ • • -»^(О» ・• гХ#) — набор независимых динамических переменных, описывающих систему. Допустим, что на входе системы действуют две различные функции возбуждения fj) и ，2«), которые вызывают отклики Х((/) и Х2(/). Если система линейна, то нетрудно найти отклик на два одновременно действующих входных сигнала:
Uq Xj + qXJ = qf](f) + c2f2(/).(422)
Единственная возможность реализации этого свойства возникает, когда все члены дифференциального уравнения (4.2.1) содержат только первые степени Xt или Xt и других аналогичных членов,— отсюда и возникает термин «линейная система». В нелинейных системах неизвестные функции фигурируют в других видах помимо первой степени, напримерх2,х3, sinxtxat 1/(/ + 匕)или же в подобных комбинациях для их производных или интегралов типах2, [jx小尸.
Источником нелинейностей в эксперименте могут быть многие эффекты, в том числе и довольно тонкие. В механических и электромагнитных системах нелинейности могут принимать следующие формы:
нелинейные материальные соотношения, или функции состояния (зависимости напряжений от деформации, напряжения от тока);
нелинейные ускорения или кинематические эффекты (напри- мер, центростремительное или кориолисово ускорения);
нелинейные массовые силы;
геометрические нелинейности.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ СОСТОЯНИЯ
Среди примеров нелинейных материальных соотношений в механических и электрических системах можно назвать следующие.
Твердые тела. Нелинейные зависимости напряжений от дефор- маиин: 1) упругой (например, в резине) и 2) неупругой (например, в стали за порогом текучести, пластичнось, ползучесть).
Магнитные материалы. Нелинейная зависимость плотности магнитного потока В от напряженности магнитного поля Н:
В = f(H)
(например, в ферромагнитных веществах — железе, никеле, кобальте с присущим им гистерезисом).
Диэлектрические материалы. Нелинейность электрической индукции D как функции напряженности электрического поля Е:
D = f(E)
(например, в сегнетоэлектрических веществах).
Элементы электрических цепей. Нелинейные вольт-амперные характеристики:
Р =/(/)
(например, в стабилитронах и туннельных диодах, нелинейных сопротивлениях, полевых транзисторах, структурах металл—оксид—полупроводник). Нелинейные зависимости напряжения от заряда:
，=g(Q)
(например, в конденсаторах). В числе других примеров нелинейных функций состояния — нелинейность оптических материалов (например, в лазерах), зависимости потока тепла от градиента температуры, нелинейная вязкость в жидкостях, вольт-амперные характеристики электрических дуг и сухое трение.
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ
Этот тип нелинейности характерен для механики жидкостей, где уравнение Навье—Стокса содержит ускорение с нелинейным оператором, зависящим от скорости:
би
V -—, ИЛИ (V*V) V,
которое описывает переносные эффекты.
В динамике частиц для описания движения относительно нека торой инерциальной системы отсчета часто используют локальные системы координат. Когда такая локальная система вращается с угловой скоростью П по отношению к исходной, абсолютное уск<х рение приобретает вид
А = а + А0 + Яхр+ЯхЯхр+2Пх*, (4.2.3) где Ао — ускорение начала координат относительно инерциальноц системы отсчета, ар и V — соответственно лок&льныс рздиус* вектор и скорость частицы. Два последних члена называются центростремительным и кориолисовым ускорениями. Последние три члена нелинейны по переменным伊，v, Я.
При чисто вращательном движении твердого тела нелинейные члены содержатся в уравнениях Эйлера, описывающих динамику вращения:
М* =厶皆-& - 4)j3z，
М =- Q* -厶)吗％,(4.2.4)
A/? = /窑-4-()9 j，
где (% Му、М)— момент приложенных сил, г Ix. Iy. Iz — главные вторые моменты распределения массы относительно центра масс.
НЕЛИНЕЙНЫЕ МАССОВЫЕ СИЛЫ
Электромагнитные силы включают следующие разновидности: токовые F = а!х *:. или В IB;
намагничивания F = (M-V) В, сила Лоренца F =(/V х В
(здесь / ——ток, В — магнитная индукция, М ——магнитный момент, о — заряд, а V — скорость движущегося заряда).
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ
В механике геометрические нелинейности связаны с системами, в которых напряжение и деформации связаны линейным соотноше-
Рис. 42 Примеры механических систем с геометрическими нслинейностямн.
нием9 но геометрия которых меняется в зависимости от деформации. Один из примеров показан на рис. 4.2, где ограничение на смещение свободного конца консольной балки зависит от ее прогиба.
Другой классический пример — контакт двух гладких упругих тел (называемый контактом Герца). Для искривленных поверхностей сила зависит от смещения по нелинейному степенному закону 尸=с》”
Е 6 — относительное сближение двух тел.
Еще один классический пример геометрической нелинейности — рфугне тела, изображенные на рис. 4.3. В этом случае вещество
Л/с. 43. Примеры геометрических нелинейностей в упругих структурах.
линейно-упруго, но сильные деформации приводят к нелинейным соотношениям между силой и смещением или моментом и углом
М = Л к,
К = [1 + к )2产2,
где М — изгибающий момент, к — кривизна нейтральной оси стержня, а〃а)— его поперечное смещение. Этот пример интересен для изучения хаотических колебаний потому, что такие упругие структуры могут иметь несколько положений равновесия (см. гл. 2). Цилиндрические и сферические оболочки также обнаруживают геометрические упругие нелинейности (см., например, [34]).
ЭКСПЕРИМЕНТ. НАСТРОЙКА И УПРАВЛЕНИЕ
Прежде всего — и это самое главное — при постановке эксперимента по хаотическим колебаниям необходимо держать под контролем шумы — как механические, так и электронные. Если экспе риментатор намерен доказать хаотичность поведения детерминиро ванной системы, то шум на входе системы должен быть сведен к минимуму.
К примеру, при механических экспериментах, как в задачах о колебаниях структур или автономной конвекции в жидкости, установки должны быть защищены от внешних (лабораторных или уличных) вибраций. Этого можно достичь, применяя массивный стол с низкочастотными воздушными демпферами. Недорогим решением является ночная работа, когда вибрации здания минимальны.
Далее, следует предусмотреть возможность управления существенными физическими параметрами эксперимента, такими, как амплитуда возбуждения или градиент температуры. Это особенно важно, если предстоит наблюдение последовательностей бифуркаций типа явлений удвоения периода. Если это возможно, необходимо использовать элементы непрерывной регулировки и избегать устройств с шаговым изменением параметров. В некоторых задачах при одних и тех же значениях параметров возможно более чем одно динамическое движение. Поэтому может оказаться существенным контроль над начальным состоянием.
Еше одна забота — о контроле над числом степеней свободы. Например, если предстоит наблюдение низкочастотных колебаний какой-либо структуры, то следует позаботиться о том, чтобы не
1036yждались другие гармоники колебаний. Лишние колебательные 11ftды могут проникнуть в эксперимент из-за граничных условий на ЗОре или зажиме структуры. Это может потребовать прикрепле- 0Л структуры к массивному основанию.
Еше один фактор — число значимых цифр, необходимое для ефого измерения. Например, при построении отображений Пуан- 岬€ по цифровым регистрациям данных 8-битовое представление jioxer оказаться недостаточно тонким, и придется перейти на зпек- фонику с 12 или большим числом разрядов. В некоторых наших 加ернментах с отображениями Пуанкаре мы получили лучшие ре- зудьтаты с помощью аналоговых приборов, подобных хорошему ^налоговому запоминающему осциллографу, чем с 8-разрядным цифровым осциллографом; это особенно касается разрешения тонкой структуры отображений.
ШИРИНА ПОЛОСЫ ЧАСТОТ
В большинстве экспериментов с жидкостями, твердыми телами .реагирующими смесями результаты измерений можно рассматри- ■гь как бесконечномерные непрерывные множества. Однако для объяснения основных особенностей хаотических или турбулентных ■иж包ий системы часто пытаются получить математическую модель с небольшим числом степеней свободы. Обычно это делают, проводя измерения лишь в нескольких местах объема, занятого непрерывной срепой, или ограничивая полосу частот, в которой исследуется хаос. Это особенно важно, когда данные о скорости, необходимые для построений в фазовом пространстве, должны быть ■звлечены из наблюдения эволюции поля деформаций. При этом электронное дифференцирование усиливает высокочастотные сигналы, которые не могут представлять интерес в данном эксперимен* те. Поэтому часто возникает необходимость в электронных фильтрах очень высокого качества, особенно таких, которые в рассмат* риваемом диапазоне частот создают малый (или нулевой) сдвиг
ИЗМЕРЕНИЯ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Мы отмечали в гл. 2, что хаотические динамические процессы легче всего распознать и изучить, наблюдая за ними в фазовом пространстве. В динамике частиц это пространство, координатами которого являются положение и скорость для каждой независимой степени свободы. В задачах с внешним возбуждением еще одним
измерением фазового пространства становится время. Так, при периодическом возбуждении осциллятора с двумя степенями свободы, обобщенные координаты которого (q#), ^?"))，Фазовое пространство представляет собой набор переменных д】%]#?%?，则)， где з — частота возбуждения.
Если проводятся измерения только перемещения q (/), возникает необходимость в дифференцирующем устройстве. Если измеряется скорость, то фазовое пространство строится как совокупность (и, judf), требующая использования интегрирующего устройства Уже отмечалось, что при изготовлении интегратора или дифференцирующей цепи следует позаботиться, чтобы в рассматриваемом диапазоне частот не искажались ни фаза, ни амплитуда.
В задачах с электронными или электрическими цепями переменными, описывающими состояние, могут быть ток и напряжение. В задачах о конвекции жидкости существенными переменными являются температура и скорость.
ИЗМЕРЕНИЯ В ПСЕВДОФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Во многих экспериментах удается измерить только одну переменную 卜(厶),х«2),・• J, где/] и/2 — моменты времени измерений (не следует путать их с итерациями отображения Пуанкаре Когда приращение времени постоянно, т.е.厶=厶 + 丁 н т.д., по строения в псевдофазовом пространстве можно провести, пользуясь значениями х (/) и измерениями в прошедший (или последующий) момент времени:
(х(/), х(/ — т)) или (х«), x(f + т)) — двумерное фазовое пр> странство,
(х(Г), х(/ - т), х(/ — 2т)) — трехмерное фазовое пространство.
Можно показать, что если траектория замкнута в фазовом пространстве переменных (х,Н), то она будет замкнутой и в перемея* ных (х (/), х (/ - т)) (при цифровой регистрации переменных следует соединять последовательно получаемые точки), как показано на рис. 4.4. Аналогично и траектории, хаотические в пространстве (г, х), сохраняют это свойство в переменных (х (г),х(/ - т)). Построения в псевдофазовом пространстве можно провести либо после эксперимента, используя компьютер, либо в ходе эксперимента, используя цепь опроса и задержки.
Одна из сложностей возникает при построении сечения Пуанкаре в псевдофазовом пространстве. Если, например, в системе присутствует естественный масштаб времени, как при вынужденном
рис, 44 Периодическая траектория динамической системы третьего порядка, изображенная в псевдофаэовом пространстве.
периодическом движении с частотой з, то интервал времени между измерениями т обычно выбирается намного меньшим периода возбуждения, т.е. т < 2ir/w м Т. Если т не является целой долей Т, то отображения Пуанкаре могут потерять часть своей тонкой фрактальной структуры.
БИФУРКАЦИОННЫЕ ДИАГРАММЫ
Как обсуждалось в гл. 2, одним из признаков приближения динамической системы к хаотическому режиму является серия измерений характера периодического движения по мере изменения некоторого параметра. В типичном случае осциллятора с одной степенью свободы, при приближении управляющего параметра к значению, критическому для хаотического движения, возникают субгармонические колебания. В «логистическом уравнении», ставшем теперь классическим примером, возникают ряды колебаний с периодом 2 (см・ (1.3.6)). Явление внезапной перестройки движения при изменении параметра называется бифуркацией. На рис. 4.5 приведен пример экспериментальной бифуркационной диаграммы. Такие диаграммы получаются в эксперименте с помощью временной выборки измерений движения, как при построении отображения Пуанкаре, и отображения этой выборки на осциллографе, как показано на рис. 4.5. Здесь по горизонтальной оси откладывается величина управляющего параметра, например амплитуда или частота возбуждения, а по вертикальной ——значения координаты из временной выборки. По сути дела эта диаграмма описывает целую серию экспериментов, каждый из которых проводится при определенном значении управляющего параметра. Такую диаграмму можно получить довольно быстро, если есть возможность автоматического изменения управляющего параметра, например с помощью компьютера и преобразователя цифрового сигнала в аналоговый. Необхо-
/^, 4.5. Экспериментальная бифуркационная диаграмма колебаний продольно изо- myrvB стержня — выборки Пуанкаре иэгибного смшения как функция амплитуды воэвуждаюшего колебания.
димо, однако, проявить достаточную осторожность и убедиться, что после каждого изменения управляющего параметра успевают затухнуть переходные процессы.
На бифуркационной диаграмме рис. 4.5 непрерывные горизон^- тальные линии соответствуют периодическому движению различных субгармоник. Значения внутри областей, очерченных штриховыми линиями, соответствуют хаотическим режимам. На этой диаграмме ясно видна граница между хаотическим и периодическим дпнЖСНИЯМИ.
Г1ри автоматизации таких измерений нужно позаботиться» что бы не принять квазипериодическое движение за хаотическое. Отображения Пуанкаре остаются очень полезным инструментом отделения квазипериодических и хаотических движений.
4 5 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПУАНКАРЕ
Построение отображения Пуанкаре — один из основных методов выявления хаотических колебаний в системах с небольшим числом степеней свободы (см. табл. 2.2). Напомним, что динамика вынужденных колебаний механического осциллятора или LRC-цепи с одной степенью свободы может быть описана в трехмерном фа-
〃с 46 Вверху — моменты регистрации данных для отображения Пуанкаре прихо* датся на постоянную фазу возбуждающего сигнала; внизу — геометрическая интер* цретация сеченнй Пуанкаре в трехмерном фазовом пространстве.
зовом пространстве. Таким образом, еслнх(Г) — смещение, то (х, i, зГ) представляет собой точку в фазовом пространстве с цилиндрической системой координат, где 6 = зГ есть фаза периодического возбуждения. Отображение Пуанкаре такой системы состоит из цифровой выборки точек в трехм^ном пространстве, например 优 «〃),£(〃)，3rli = 2тл). Как обсуждалось в гл. 2, это отображение можно рассматривать как разрез тора (рис. 4.6).
Есть несколько способов таких построений в эксперименте. Если используется запоминающий осциллограф, то отображения Пуанкаре получаются посредством повышения яркости изображения на экране при определенных значениях фазы напряжения возбуждающего сигнала (иногда этот метод называется модуляцией по оси z) (рис. 4.1). В нашей лаборатории удавалось генерировать импульсы напряжения амплитудой 5—10 В и длительностью 1—2 мкс в те моменты, когда возбуждающий сигнал проходил определенные значения фазы, а именно:
3Gl = Фо + 2тл. (4.6.1)
Затем эти импульсы использовались для повышения яркости изображения на фазовой плоскости (х (z), х (/)) с помощью пары усилителей по вертикали, что позволило получить рис. 4.7.
импульсного сигнала, который использовался в аналоговом осциллографе. Подобный метод можно использовать, применяя преобразователь аналогового сигнала в цифровой и храня результаты измерений в памяти компьютера для их отображения на более по зднем этапе. При этом важно, чтобы сигнал включения опроса был в точности сфазирован с возбуждающим сигналом.
Отображения Пуанкаре: изменение фазы. Мы уже говорили в гл. 2, что хаотические траектории в фазовом пространстве частот можно распутать с помощью отображения Пуанкаре, строя набор изображений при разных фазах 仇 в соотношении (4.6.1) (рис. 4.8.) Это равносильно повороту плоскости Пуанкаре на рис. 4.6. Хотя для обнаружения фрактальной структуры аттрактора можно обойтись и одним отображением Пуанкаре, для получения полной характеристики аттрактора, на котором происходит движение, иногда приходится получать полный набор отображений с фазой ф0> изменяющейся от 0 до 2х.
Серия изображений различных сечений хаотического движения на разрушенном торе в трехмерном фазовом пространстве показана на рис. 4.8. Обратите внимание на симметрию отображений, полученных в частном случае изогнутого стержня (см. рис. 4.5) для фаэ ф = 0 и 180°.
Отображения Пуанкаре г эффекты затухания. Если затухание в системе недостаточно сильно, точки хаотического аттрактора будут стремиться однородно заполнить некоторую область фазового пространства и структура канторовского множества, характерная для странного аттрактора, не проявится. На рис. 2.11 показан пример такой ситуации при колебаниях изогнутого стержня. Сравнение отображений Пуанкаре, полученных при слабом и сильном затухании, показывает, что иногда усиление затухания может вызвать по явление фрактальной структуры.
Рис. 4.8, Отображения Пуанкаре на хаотическом аттракторе изогнутого стержня при разных фазах возбуждающего сигнала.
В то же время если затухание слишком сильно, слои канторов- ского множества могут оказаться стягивающимися в линию. Влияние затухания на отображения Пуанкаре и фрактальную размерность обсуждается в гл. 6.
Отображения Пуанкаре^ квазипериодические колебания. Часто то, что кажется хаотичным, вполне может быть просто суперпозицией двух гармонических движений с несоизмеримыми частотами, например
x(f) = A cos (a), t + ф^ + В cos (ш2Г + б?)， (4.6.2)
Рис. 4.9. Отображение Пуанкаре для движения, состоящего из двух гармонических колебаний с разными частотами.
где wj/w2 — иррациональное число. Выборка для построения отображения Пуанкаре может быть задана по одной из этих частот, например 3】J = 2m. Тогда точки фазового пространства 夕“舟), £«〃)) заполнят замкнутую линию эллиптической формы (рис. 4.9). Если отношение з/з? рационально, то отображение Пуанкаре будет иметь вид конечного набора точек. Случай иррационального з/з? можно рассматривать как движение на торе, т.е. фигуре в форме бублика в трехмерном фазовом пространстве.
Если в движении присутствуют три или более несоизмеримых частоты, то мы можем не увидеть аккуратной замкнутой кривой отображения Пуанкаре, и следует обратиться к спектру Фурье. С помощью фурьеспектра сигнала можно также обнаружить разницу между хаотическим и квазипериодическим движениями. Квазипери- одическому движению будет соответствовать несколько хорошо выраженных пиков, подобных показанным на рис. 4.10. Хаотиче-
•60-70-80•60-70-800 12 3 4 50 12 3 4 5Рис. 4.10. Спектр Фурье электрического сигнала, полученного в эксп^именте с цепью с нелинейной индуктивностью [18] (The American Physical Society, © 1984). Частотные компоненты представляют собой линейные комбинашки двух частот.Рис. 4.10. Спектр Фурье электрического сигнала, полученного в эксп^именте с цепью с нелинейной индуктивностью [18] (The American Physical Society, © 1984). Частотные компоненты представляют собой линейные комбинашки двух частот.
•60
-70
-80
•60
-70
-80
0 12 3 4 5
0 12 3 4 5
Рис. 4.10. Спектр Фурье электрического сигнала, полученного в эксп^именте с цепью с нелинейной индуктивностью [18] (The American Physical Society, © 1984). Частотные компоненты представляют собой линейные комбинашки двух частот.
Рис. 4.10. Спектр Фурье электрического сигнала, полученного в эксп^именте с цепью с нелинейной индуктивностью [18] (The American Physical Society, © 1984). Частотные компоненты представляют собой линейные комбинашки двух частот.
ские сигналы часто имеют широкий спектр фурье-компонент, показанный на рис. 2.7.
ОТОБРАЖЕНИЯ ПУАНКАРЕ, ПОСТРОЕННЫЕ ПО ПОЛОЖЕНИЯМ
Когда экспериментатор не располагает естественными часами системы, подобными периодическому возбуждению, для получения отображения Пуанкаре приходится применять более сложные методы (см. также [69]).
Пусть движение представлено траекторией в трехмерном пространстве с координатами R,y*z)・ Для построения отображения Пуанкаре мы пересекаем траекторию плоскостью, уравнение которой имеет вцд
ах by cz = d9 (4.6.3)
как показано на рис. 4.11. Отображение Пуанкаре состоит из тех точек этой плоскости, в которых траектория проходит сквозь нее с определенной стороны (т.е. если мы определим лицевую и заднюю стороны плоскости (4.6.3), то следует фиксировать только те точки траектории, в которых она проходит с лица на обратную сторону, или наобороту но не в обоих направлениях).
В эксперименте это можно сделать с помощью механического или электронного индикатора уровня. Примеры отображений Пуанкаре, построенных по положению, обсуждаются ниже.
В случае осциллятора с соударениями, изображенного на рис. 4.12, имеются три удобные переменные, описывающие его состояние: координата 占 скорость и, а также фаза возбуждающего сигнала ф = з1・ Если измерения проводятся в том положении, когда масса наталкивается на упругий ограничитель, то отображение Пуанкаре составляется набором значений (喷 з〃)，где 片一скорости до или
Рис 次〃.Сечение Пуанкаре общего положения для движения динамической системы третьего порядка.
УпругийУпругийотображения Пуанкареотображения ПуанкареFZc 4.12. Схематическое изображение экспериментальной установки для построения сечения Пуанкаре по положению.
Упругий
Упругий
отображения Пуанкаре
отображения Пуанкаре
после соударения, a J — момент времени соударения. В этом случае точки отображения можно откладывать в цилиндрическом пространстве с О V 叫 V 2т.
На рис. 4.12 показан пример экспериментальной установки для получения отображения Пуанкаре для (%,婦.Когда масса наталкивается на ограничитель движения, тензодатчик или акселерометр выдают резкий сигнал. Этот сигнал можно использовать для включения устройства запоминания данных (подобного запоминающему или цифровому осциллографу), которое запоминает значение скорости тела. (В случае, показанном на рис. 4.12, для измерения положения используется линейный диффергациальный трансформатор,
3%3%Рис, 4/3. Отображение Пуанкаре, построенное по положению осциллирующей массы с упругими ограничителями движения (см. рнс. 4.12).
3%
3%
g его сигнал дифференцируется электронным устройством для получения скорости.) Для определения фазы фп9 изменяющейся между О и 2т, мы генерировали периодический пилообразный сигнал, находящийся в фазе с сигналом возбуждения, причем минимальное рулевое значение соответствовало 0 = 0, а максимальное напряжение ——Ф = 2т. Генерируемый столкновением резкий импульс напряжения используется для включения запоминающего устройства, которое фиксирует значение пилообразного напряжения, а также величину скорости до или после удара. Отображение Пуанкаре для массы, отскакивающей от двух упругих стенок, которое получено с помощью техники (ия, “)，показано на рис. 4・13.
Еще один пример установки такого же типа для построения отображения Пуанкаре хаотических вибраций двигателя показан на рис. 4.14. В этом примере двигатель характеризуется нелинейным
Цифровой осциллоскоп
синусоидального сигнала
Ас < /< Схема экспериментальной установки для получения отображений Пуаика- ре по положению для периодически возбуждаемого ротора с нелинейным соотношением крутящего момента и угла поворота.
соотношением крутящего момента и угла поворота, которое создается постоянным током в одном из полюсов статора, а ротор с постоянным магнитом вращается благодаря синусоидальному моменту, который создается переменным током в соседней катушке. Это устройство описывается уравнением
J6 + -ув + х sin в = Fo cos 6 cos 3. (4.6.4.)
Для получения отображения Пуанкаре мы выбрали плоскость в трехмерном пространстве (6, в, з£), на которой в = 0 (рис. 4.14). Экспериментально это осуществляется с помощью щели в тонком диске, насаженном на ось ротора, и светодиода с детектором, которые генерируют импульс напряжения каждый раз, когда ротор пересекает плоскость в = 0 (см. рис. 4.14). Затем этот импульс используется для регистрации скорости и фиксирования времени. Полученные данные можно вывести непосредственно на запоминающий осциллограф или же с помощью компьтютера их можно перевести в полярные координаты, как показано на рис. 4.15.
Рис. 4.15. Отображение Пуанкаре, построенное по положению для хаотического режима нелинейного ротатора (см. рис. 4.14).
Рис, 4.16. Отображения Пуанкаре, построенные по максимуму магнитного потока для электрической цепн с нелинейной индуктнвностью (18] (The American Physical Society, © 1984).
Другой вариант метода сечений Пуанкаре заключается в регистрации данных в те моменты, когда какая-либо переменная достигает максимального значения. Этот способ применяли Брайант и Джеффрис [18] из Калифорнийского университета в Беркли. Они изучали динамику показанной на рис. 4.16 цепи с нелинейной индуктивностью, железный сердечник которой обнаруживал гистерезис. (Нелинейные свойства создаются ферромагнитным материалом индуктивности.) Ток через индуктивность IL(t) и возбуждающее напряжение Vs(t) измерялись в те моменты, когда 勿=0. Это равносильно измерению пикового значения потока р через катушку индуктивности. Действительно, VL = —ф, где 修 ——магнитный поток в индуктивности, ар = 0(/), так что при ф = 0 поток максимален или минимален. Тогда отображение Пуанкаре составляется из набора пар точек (VSn9 %), который можно вывести на запоминающий или цифровой осциллограф.
ПОСТРОЕНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ АТТРАКТОРОВ
В ряде экспериментальных и численных примеров притягивающее множество имеет вид набора слоев в некотором трехмерном
PuCt 4jz Построение одномерного возвратного отображения в трехмерном фазовом пространстве*
фазовом пространстве, как изображено на рис. 4.17. (Одним из таких примеров являются уравнения Лоренца (1.3.9).) Часто это означает, что отображение Пуанкаре, получаемое путем регистрации последовательности точек, в которых траектория проходит сквозь некоторую плоскость поперек аттрактора, будет иметь вид набора точек, располагающихся вдоль некоторой линии. Поэтому если удастся параметризовать эти лежащие на линии точки с помощью некоторой переменной х, то, возможно, окажется, что существует функция, которая связываетхл + 1 схл:
х” + 1 =/(х”).
Эту функцию (называемую возвратным отображением) можно найти без труда, откладывая хл + 1 в зависимости отх. Пример такого построения можно найти в опытах Шоу [171] с протекающим краном (см. рис. 3.39) или в опытах с нелинейной цепью, показанной на рис. 3.32 (см. также [175]). Существование такой функции/рс) указывает, что такие математические свойства одномерных отображений, как удвоение периода и автомодельность Фейгенбаума, шюгда могут использоваться для объяснения^ предсказания и постановки экспериментальных наблюдений более сложных физических систем.
В некоторых случаях график функции/(х), когда она существует, оказывается самопересекающейся или довольно запутанной линией. Это может указывать на то, что функцию этого отображения можно упростить, описывая динамику в объемлющем пространстве большего числа измерений с использованием трех последователь-
ных измерений на сечении Пуанкаре, [х (/л), х (/л + j), х (/л + 2)]. Трехмерную структуру искомого соотношения иногда можно выявить, изменяя угол проекции трехмерной кривой на плоскость экрана компьютера. Может оказатк»ся подходящим частный случай двумерного отображения вида
Х” + 2 =/(■*„ +1.^„)
или
х” + 1 =f(xn,yn), Л + 1 = Zx“.
Такое отображение подобно отображению Энона (1.3.8). Этот метод успешно использовался при изучении цепей ср — л-переходом (202] и цепи с варикапным диодом, сопротивлением и индуктивностью, возбуждаемой синусоидальным сигналом (16].
ДВОЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПУАНКАРЕ
До сих пор мы говорили об отображениях Пуанкаре только для систем третьего порядка, например с одной степенью свободы и внешним возбуждением. Какими же свойствами обладают системы более высокого порядка, движение которых происходит в четырех- или пятимерном фазовом пространстве? Примером может служить автономная аэроупругая система с двумя степенями свободы, движение которой описывается в четырехмерном фазовом пространстве (хр ирх2, и2) или, полагая^! ■ х, в пространстве (г (/), х (/ - -т),х(/ - 2т), х (/ - Зт)). Отображение Пуанкаре, полученное заданием одной из переменных состояния, представляется совокупностью точек в трехмерном пространстве. Фрактальные свойства такого отображения — если они присутствуют — могут не проявляться явным образом в трех измерениях и наверняка не будут заметны в проекции этого трехмерного отображения на плоскость вдоль одной из оставшихся переменных.
В нашей лаборатории разработан метод обнаружения фрактальных свойств трехмерных отображений Пуанкаре, который мы называем двойным сечением Пуанкаре (рис. 4.18). Этот метод позволяет выделить в трехмерном отображении слой конечной толщины с тем, чтобы выявить фрактальные свойства аттрактора и тем са* мым понять, является ли он «странным» (см. [142]).
Поясним этот метод на примере вынужденного движения изогнутого стержня. Для этого рассмотрим систему с двумя возбуждающими воздействиями на несоизмеримых частотах. Соответствую*
ШШЛАА
PUc. 4.18. Вверху — простое отображение Пуанкаре динамической системы (показа* но сечение конечной толщины для второго сечения Пуанкаре); внизу — напряжсям для построения отображения Пуанкаре осциллятора второго порядка, возбуждаемого двумя гармоническими сигналами.
щая математическая модель0 имеет вид
X =У,
У = 一” + 尸(х) + /1COS01 + /2 cos (% - Зо)，〃 < 八
6] = 3],
@2 =з2，
Экспериментальная установка для получения двойного отображения Пуанкаре показана на рис. 4.19. Возбуждающие сигналы со-
D Одним нз важных путей к хаосу в многомерных динамических системах, подобных термогидродинамическим, является возникновение колебаний на двух предельных циклах бифуркация Хопфа), которое приводит к квазнпернодическому движению. Этот процесс обсуждался в гл. 2. Динамика такого движения моделируется течением на торе, н возникающие сечения Пуанкаре имеют вид замкнутых круговых дуг. Несмотря на важнсхлъ квазипернодических колебаний для хаотической динамики, они мало исследованы в других системах, кроме гидродинамических. Именно по этой причине мы решили изучить квазнпернодическне колебания в такой нелинейной структуре, как изогнутый стержень.
Рис. 4/9. Схема экспериментальной установки для получения отображения Пуанкаре осциллятора с двумя возбуждающими частотами [142] (Elsevier Science Publishers, © 1985). J — тензодатчики, 2 — стальной стержень.
здавались одинаковыми генераторами и складывались электронным устройством. Результирующий квазипериодический сигнал затем подавался на усилитель мощности, подключенный к электромагнитному вибростенду.
Первое отображение Пуанкаре генерировалось с помощью запускающего импульса длительностью 1 мкс, синхронизованного с одним из гармонических сигналов. Как видно на рис. 4.20, % отображение Пуанкаре (/,屮)，полученное с помощью одного триггера, имеет размытый вид без какой-либо структуры. Для получения второго сечения Пуанкаре мы включали регистрирующие устройства синхронно с фазой второго возбуждающего сигнала. Однако если ширина импульса слишком мала, то очень низка вероятность совпадения с точками^ выделенными первой последовательностью импульсов. Поэтому мы установили длительность второго импульса в 1000 раз большей^ чем первого, т.е. 1 мс. Длительность этого импульса составляет менее 1% периода второго возбуждающего колебания. Значения (х, и) запоминались^ только когда первый импульс совпадал со вторым, как показано на рис. 4.18. Это делалось
Рис. 4.20а. Обычное отображение Пуанкаре нелинейного осциллятора с двумя возбуждающими частотами.
豆 OIMBdxx"OUOXXAOhu KEri. XHdRxedBX •х&ьжхаьо оМжиеххвбф boss^xaAXOO voaohoM .uaAMXAXE°HH°}Kedgd.LO 8He0eu .gwIMCZ
qioodoxn
с помощью цифрового устройства с логическим элементом НЕ— И. Из-за редкости совпадений этих событий на получение отобра* жений из 4000 точек уходило более чем по 10 ч, в то время как для получения обычного отображения Пуанкаре хватало 8—10 мин, если частота возбуждения не превышала 10 Гц.
Экспериментальные результаты, полученные этим методоц приведены на рис. 4.20, где сравниваются простое и двойное отображения Пуанкаре для задачи с двумя возбуждающими частотами. Простое отображение размыто, а двойное сечение выявляет структуру, подобную фрактальной, характерной для странного аттрактора.
Конечно, этот метод можно обобщить на задачи с фазовым пространством с пятью и бдльшим числом измерений. Однако вероятность совпадения трех или более событий будет очень мала, и они будут редки, если только частоты не превышают по порядку величины 1—10 Гц. Такие отображения высоких порядков могут быть полезны в задачах с нелинейными электрическими цепями.
Описанный метод можно использовать и при численном моделировании, как это сделал Лоренц [116] для исследования странного аттрактора в системе обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка. С помощью этого метода также изучалась динамика подталкиваемого двойного ротора [94], где ои назывался методом «сечения Лоренца» (см. также [95]).
КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МЕРЫ ХАОТИЧЕСКИХКОЛЕБАНИЙ
Если можно получить отображения Пуанкаре и фазовые портреты, они часто дают наглядные свидетельства хаотического поведения и фрактальной структуры странных аттракторов. Однако также важны количественные меры хаотической динамики, и во многих случаях только они дают твердые указания на хаос. Это особенно справедливо для систем с сверхвысокими частотами 106—10 Гц (например, лазерных систем), где получить отображе* ния Пуанкаре бывает трудно или невозможно. Кроме того, существуют системы с множеством степеней свободы, для которых отображение Пуанкаре не обнаружит фрактальную структуру аттраж- тора на двойном или множественном сечении, или системы со столь слабым затуханием, что отображение Пуанкаре не имеет вы* раженной структуры, а представляется аморфным облаком точек.
На настоящем этапе развития этой области в нашем распоряжении имеются три основные меры хаоса, а четвертая только прн*
Ругает существенное значение:
распределение частот в фурье-спектрах;
фракт&льная размерность хаотического аттрактора;
показатели Ляпунова;
инвариантное распределение вероятности на аттракторе.
Необходимо отметить, что фазовые портреты и отображения Пуанкаре можно получать непосредственно на лабораторных элек- 1Poиных устройствах, в то время как перечисленные меры хаоса — * исключением, возможно, измерений частотных спектров — требуют численного анализа результатов измерений. Имеются и электронные анализаторы спектров, но они обычно дороги, и, вероят- Н0, лучше вложить деньги в лабораторный микро- или мини-компьютер, который поможет осуществить и другие процедуры обработки данных, помимо преобразования Фурье.
Если вы намерены предпринять цифровую обработку измерений хаотического движения, то, скорее всего, потребуется преобразователь аналогового сигнала в цифровой а также какие-нибудь средства хранения данных. Напрнмер, отцифрованные данные могут храниться в буфере аналого-цифрового устройства, а затем передаваться на компьютер непосредственно или по телефонным ли- rm・ Другая возможность — цифровой осциллографу который цюизводит аналого-цифровое преобразование, графически отображает данные на осциллографе и запоминает их на гибком диске. Последняя возможность часто ограничивается возможностью записи только восьми 4000-битовых массивов.
И наконец, если вам хватает средств, можно запоминать результат аналого-цифрового преобразования непосредственно на жестком диске и прямо передавать его в лабораторный компьютер.
ЧАСТОТНЫЕ СПЕКТРЫ — БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
До сих пор этот метод распространен наиболее широко, поскольку идея разложения непериодического сигнала в набор синусоидальных, или гармонических, сигналов широко известна среди ученых и инженеров. В этом методе делается предположение, что периодический или непериодический сигнал можно представить в виде комбинации синусоидальных или косинусоидальных колебаний:
/(/)= 白尸(3)或留3,(4.7.1)
гдеМ" = cos + / sin з人
Поскольку функция F (ш) часто оказывается комплексной, в гра-
фических представлениях часто используется ее абсолютная величина 1Г(з)1 ・ Практически для вычисления IF (з)1 по результатам эксперимента в ходе изменения какого-либо экспериментального параметра (см. гл. 2) используется некоторое электронное устройство или компьютер. Когда движение периодично или квазипериодично, функция IF (ш)1 имеет ряд узких пиков или спектральных линий, указывающих, что сигнал можно представить дискретным набором гармонических функций [е±'**1 ск = 1, 2, . . . . Однако при приближении к хаотическому режиму появляется непрерывное распределение частот, подобное показанному на рис. 4.21, а, а в полностью развитом хаотическом режиме непрерывный спектр может преоб. падать над дискретными пиками.
В общем случае 尸(з) является комплексной функцией з, и для спектрального разложения определенных классов сигналов/(/) интегрирование в (4.7.1) следует проводить вдоль некоторых путей Г на плоскости комплексного з・ Даже на быстродействующем компьютере численное вычисление/7 (ы) по данному/(/) часто занимает много времени. Впрочем, большинство современных спектр* анализаторов используют дискретный аналог соотношения (4.7.1) в сочетании с эффективным алгоритмом, называемым быстрым пре« образованием Фурье (БПФ). Если задан набор измерений, снятых в
Рис. 4.21. а — Фурье<пектр хаотического сигнала; 6 — автокорреляционная функция хаотического сигнала.
дискретные равномерно распределенные интервалы времени у(〃)=『о」〉/?,.…九，.・・,Fn], то БПФ в дискретном времени определяется как
ТУ) = £ f(I)€-^^-^J-^t(4.7.2)
где/ и/ — целые числа.
Следует сделать несколько замечаний, которые могут показать- 5 очевидными. Во-первых, измерения/ (/) проводятся через фиксированный интервал времени %, поэтому теряется информация о частотах, превышающих 1/2т0. Во-вторых, в расчетах используется только конечный набор точек, обычной = К, к некоторые встроенные схемы БПФ учитывают массивы только cN = 512 или 1028 элементами. Поэтому теряется информация об очень низких частотах ниже 1^т0. И наконец, представление (4.7.2) не включает информацию о значениях/(/) до момента/ = /0 и после/ = J, к, по сути дела, функция/(/) воспринимается как периодическая. В об- щ^м случае это неверно, и, поскольку/(Гq) #/(j), при преобразовании Фурье эта непериодичность воспринимается как разрыв, привнося в 尸(з) фиктивные особенности. Они называются ошибками обрезанияи существуют методы минимизации их вклада в 尸(з). Однако читатель, использующий БПФ, должен помнить об этом при интерпретации спектров Фурье непериодических сигналов, и ему следует подробнее познакомиться с БПФ по руководствам по обработке данных.
Автокорреляционная функция. Другим методом обработки сигнала, связанным с преобразованием Фурье, является получение автокорреляционной функции, определяемой как
Л (т) = j x(f)x(t + T)df・о
Когда сигнал хаотичен, информация о его истории теряется. Это означает, что Л (т) — 0 при т -* оо, т.е. сигнал обнаруживает корреляцию только со своим недавним прошлым. Рис. 4.21, б поясняет это на примере хаотических колебаний изогнутого стержня. Спектр Фурье обнаруживает широкую полосу частот, а автокорреляционная функция тем временем имеет максимум в начале координат т = 0 и быстро затухает со временем.
ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Я не буду вдаваться в излишние подробности о фрактальных размерностях, поскольку гл. 6 полностью посвящена этой теме.
Скажу только, что основная идея — это оценить степень «странно, сти» хаотического аттрактора. Если взглшуть на отображение Пу анкаре типичного странного аттрактора малой размерности типа изображенного на рис. 4.8, мы увидим множество точек, располо» женных вдоль параллельных линий. Эта структура сохраняется, ли увеличить малую область аттрактора. Как упоминалось в гл. 2# такая структура странного аттрактора отличается от картины, ха* рактерной для периодических движений (просто конечный набор точек Пуанкаре) или квазипериодических колебаний, когда отображение Пуанкаре представляется замкнутой кривой. Характеризуд такие отображения Пуанкаре, можно сказать, что размерность пе> риодического отображения равна нулю, а размерность квазиперио дического отображения ——единице. Идея расчета фрактальной размерности заключается в приписывании некоторой размерностной меры канторовским множествам точек, составляющим странный аттрактор. Если бы эти точки равномерно заполняли некоторую область на плоскости, мы могли бы сказать, что размерность этой области равна двум. Поскольку хаотическое отображение на рис. 4.8 имеет бесконечный набор пустых интервалов, его размерность заключена между единицей и двойкой — отсюда и термин «фрактальная», т.е. дробная размерность.
В общем случае множество точек Пуанкаре на странном аттракторе не покрывает подпрсхггранство целой размерности (на рис. 4.8 зто подпространство — плоскость).
Другим применением фрактальной размерности является оценка наименьшей размерности фазового пространства, в котором можно описать данное движение. Например, для некоторых предтурбу- лентных конвективных течений в ячейке Рэлея ——Бенара (см. рис. 3.1) фрактальную размерность хаотического аттрактора можно найти как некую меру движения |х(『“)& хл] (см. [123]). Из последовательности 同｝ можно составить псевдофазовые пространства разных размерностей (см. разд. 4.4). Численные расчеты показывают, что фрактальная размерность d приближается к асимптотическому значению d = 3,5, если размерность псевдофазового пространства равна по меньшей мере четырем. Это указывает на то, что приближения низкого порядка в уравнении Навье — Стокса нельзя использовать для моделирования такого движения.
Дальнейшие детали читатель найдет в гл. 6. Возможности! вычисления фрактальных размерностей аттракторов, превышающих четыре или пять, вызывают вопросы, но в применении к маломерным хаотическим аттракторам эта методика приобретает все большую популярность у экспериментаторов. Если эта тенденция продолжится, то, возможно, в будущем можно будет приобрести элек-
fpoHHbie вычислительные устройства, которые будут автоматиче- 两 находить фрактальные размерности, подобно тому как это де тется сейчас с БПФ.
ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА
Хаос в динамике означает чувствительность результата динамической эволюции к изменениям начальных условий. Если представить себе набор начальных условий, заполняющий в фазовом пространстве сферу радиуса % то траектории хаотического движения, начинающиеся в этой сфере, отобразят ее на эллипсоид, большая полуось которого растет какd = се", где постоянная 入 > 0 нз・ рестна как показатель Ляпунова. [Ляпунов (1857—1918) был великим русским математиком и механиком.]
Ряд экспериментаторов, имеющих дело с хаотической динамикой, разработали алгоритмы вычисления показателя Ляпунова X. Для регулярных движений X ^ 0, но в хаотических режимах X > 0. Таким образом, знак 入 является критерием хаоса. Измерение показателя Ляпунова требует обработки данных с помощью компьютера. Были разработаны алгоритмы вычисления 入 по измерениям од- вой динамической переменной х «) с помощью построения псевдо- фазового пространства (см., например, [208]).
Более точное определение показателей Ляпунова и методов их измерения приводится в гл. 5.
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ, ИЛИ ИНВАРИАНТНЫЕ, РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Если нелинейная динамическая система находится в хаотическом состоянии, становится невозможным точное предсказание ее временной эволюции, поскольку малые неопределенности в начальных условиях оборачиваются сильным расхождением орбит в фазовом пространстве. Если присутствует затухание, то мы знаем, что хаотическая орбита лежит где-то на странном аттракторе. Когда отсутствует точное знание положения орбиты, повышается интерес к нахождению вероятности пребывания орбиты в определенной части аттрактора. Напрашивается мысль определить в фазовом пространстве плотность вероятности как статистическую меру хаотической динамики. Имеются некоторые математические и экспериментальные указания на то, что такое распределение вероятности существует и что оно не меняется со временем.
Чтобы получить эту функцию распределения, надо создать временную выборку измерений движения, которая достаточно велика, чтобы считать, что хаотическая траектория уже прошла через
большую часть аттрактора. Этот минимальный размер выборки можно оценить, наблюдая за отображением Пуанкаре и убеждаясь, что аттрактор уже сформировался, а точки отображения заполнили все его части. Затем фазовое пространство разбивается на ячейки н с помощью компьютера подсчитывается число точек-измерений в каждой ячейке.
S^QOZbKoas эиох&ссS^QOZbKoas эиох&сс2000 измерений2000 измерений
S^QOZbKoas эиох&сс
S^QOZbKoas эиох&сс
2000 измерений
2000 измерений
Смещение
Рис. 4.22. Найденные в эксперименте функции распределения вероятностей прн хаотических колебаниях изогнутого стержня, усредненные по интервалу времени в несколько тысяч периодов возбуждающего сигнала. Вверху — распределение скоростей конца стержня; внизу — распределение положений конца стержня.
На рис. 4.22 показан пример распределения плотности вероятно- Е для хаотических колебаний изогнутого стержня. Здесь мы по- grponnH проекции этого распределения на оси смещения и скоро сти.
Распределение скоростей имеет форму, подобную классической 声уссовской колоколообразной кривой (рис. 4.22, а). Распределение решений, напротив, обнаруживает два максимума вблизи двух по- ©циальных ям (рис. 4.22, 5). Это распределение подобно характерному для случайно возбуждаемого осциллятора с двумя потенциальными ямами [176]. Это указывает на вероятную возможность расчета распределений плотности вероятности для детерминированных хаотических систем методами теории случайных колебаний.
Распределения вероятностей играют в описании хаотических колебаний столь же полезную роль, что и для случайных колебаний (см” например, [176] или [112]). Если удалось определить распределение вероятностей хаотической системы, то можно найти среднеквадратичную амплитуду, среднее время между пересечениями нуля g вероятности того, что смещение, электрическое или механическое вапряжение превысят некое критическое значение. Однако в этой области многое еще предстоит сделать как с математической, так и с экспериментальной стороны.
Вероятностные методы анализа хаотических колебаний разрабатывали Хсу и его сотрудники из Калифорнийского университета в Беркли [83—85, 96] (автор последней работы сейчас работает в Штуттгарте). Этот метод, предполагающий деление фазового пространства на множество ячеек, использует некоторые идеи теории марковских процессов. Вероятностные методы, по-видимому, окажутся к месту в наступающем веке суперкомпьютеров, и их популярность может стать шире, если реализовать их в схеме параллельных численных расчетов.
Критерии возникновенияхаотических колебаний
Но вы спросите, каким образом однородный хаос мог сгуститься, сначала нерегулярно, в неоднородные жилы или массы, дабы образовать холмы.— Укажите мне причины этого, и ответ, возможно, послужит для хаоса.
Исаак Ньютон. О Сотворении (из письма, написанного около 1681 г.).
ВВЕДЕНИЕ
В этой главе мы исследуем, каким образом параметры динами* ческой системы определяют, будет ли ее движение хаотическим 日皿 регулярным. Задача нахождения критических значений параметров» при которых происходит смена режимов движения, аналогична н* хождению критической скорости вязкого течения жидкостей, выше которой ламинарное течение переходит в турбулентное. Эта ско» рость, нормированная умножением на пфактерную длину и делена ем на кинематическую вязкость жидкости, известна под названием числа Рейнольдса Re. Инженерам и физикам более столетия не уда* вал ось получить надежное теоретическое значение Re, и для многих задач гидромеханики (Re)KpiIT приходится определять эксперимент тально. Точно так же, экспериментально или с помощью численного моделирования, устанавливают критерии возникновения хаоса i механических и электрических системах. Для таких систем поил критических парамеров возникновения детерминированного хаоса требует усилий как экспериментаторов, так и теоретиков.
Хотя экспериментально подтверждаемых теорий возникновенш хаотических колебаний существует не так много, все же теоретикам удалось добиться некоторых значительных успехов и наметить несколько общих направлений дальнейших исследований.
Критерии возникновения хаоса в физических системах подразделяются на два типа: на прогностические правила, позволяющие предсказывать возникновение хаоса, и на диагностические средства, позволяющие устанавливать наличие или отсутствие хаоса.
Прбгностическим правилом для предсказания возникновения хаотических колебаний мы называем такой критерий, который опре* деляет совокупность входных или управляющих параметров, приводящую к хаосу. Способность предсказывать возникновение хаоса
в физической системе означает, что мы располагаем либо прибли- аннМ математической моделью системы, из которой может быть выведен критерий, либо экспериментальными данными, полученными на основе многочисленных испытаний.
Диагностическим критерием возникновения хаотических колебаний мы называем тест, который по результатам измерений или обработки данных позволяет определить, находилась или находится ди конкретная исследуемая система в состоянии хаотической динамики.
Мы начнем с обзора экспериментально установленных критериев для конкретных физических систем и математических моделей, в которых возникают хаотические колебаний (разд. 5.2). Эти критерии были установлены с помощью физических и численных экспериментов. Мы рассматриваем такие случаи по двум причинам. Во- первых, для того, кто делает первые шаги в излучении хаотических колебаний, полезно ознакомиться с несколькими системами, допускающими хаотическое поведение, и выяснить, при каких условиях возникает хаос. Такие простые случаи позволяют разобраться в условиях возникновения хаоса в более сложных системах. Во-вторых, при разработке теоретических критериев важно иметь некий тест для сравнения теории с экспериментом.
В разд. 5.3 мы дадим обзор основных прогностических моделей, позволяющих предсказывать возникновение хаоса. К их числу относится критерий удвоения периода, критерий существования гомоклинической траектории и критерий Чирикова перекрытия резонансов для консервативного хаоса, а также критерии перемежаемости и переходного хаоса. Кроме того, мы перечислим несколько частных критериев, которые были разработаны для определенных классов задач.
Наконец» в разд. 5.4 мы рассмотрим одну важную диагностическую характеристику, а именно показатель Ляпунова. Другую диагностическую характеристику — фрактальную размерность — мы опишем в гл. 6.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ ХАОСА
Во многих вводных лекциях по хаосу, которые довелось прочитать автору этой книги, время от времени всплывал вопрос: следу- ет ли считать хаотические движения исключительными случаями в реальных физических задачах или они встречаются в широком диапазоне значений параметров! Для инженеров этот вопрос очень важен. При проектировании машины или сооружения необходимо и—161
уметь предсказывать поведение системы. Выбрав параметры, при которых возникает хаотический режим, инженер лишается возможности предсказывать поведение системы. В прошлом многие строительные сооружения, электрические цепи и управляющие системы проектировались с таким расчетом, чтобы рабочие значения параметров оставались всецело в области линейной динамики. Но ц& требности современных технологий привели к тому, что рабочие значения параметров переместились в область нелинейных режимов (например, в область больших деформаций и отклонений в строительной механике), что увеличило возможность возникновения явлений хаотической динамики.
Чтобы ответить на вопрос, являются ли хаотические режимы особыми случаями поведения реальных систем^ мы рассмотрии диапазон изменения параметров, в котором хаос возникает в нескольких различных задачах. Беглый просмотр кривых, прилагав мых к каждому примеру, позволяет прийти к заключению о том, что хаотическая динамика не является каким-то особым или нсклт чительным классом движений и что хаотические колебания еоз晔 кают во многих нелинейных системах в широком диапазоне значений параметров.
Мы рассмотрим критические параметры возникновения хаоса в следукнцих случаях:
цепь с нелинейной индуктивностью: уравнение Дуффинга;
частица в потенциале с двумя ямами или продольный изгиб упругой балки: уравнение Дуффинга;
модель конвективной турбулентности малой размерностш уравнения Лоренца;
колебания нелинейных связанных осцилляторов;
вращающийся магнитный диполь: уравнение маятника;
цепь с нелинейной емкостью;
поверхностные волны в жидкости.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ:УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА
В гл. 3 (рис. 3.13) мы ознакомились с хаотической динамикой цепи с нелинейной индуктивностью. Обширная работа по аналоговому и цифровому моделированию этой системы была проведена И. Уэдой [197, 198] из университета в Киото. В безразмерном виде уравнение может быть записано как
х + Агх + х3 = В cost.(5.2.1)
где х — ток в индуктивности. Время обезразмерено вынуждающей
Ас. 5.7. Диаграмма, показывающая области хаотических и пфнодических движений дня нелинейной цепи как функции безразмерного коэффициента затухания и амплитуды вынуждающего напряженш [198].
частотой, поэтому вся динамика определяется двумя параметрами к и В и начальными условиями (х(0), х(0)). Здесь к — мера сопротивления цепи, В — мера вынуждающего напряжения. Уэда обнаружил, что, варьируя эти два параметра, можно получить множество самых различных периодических, субгармонических, ультра- субгармонических и хаотических движений. Области хаотического поведения на плоскости ( к. В) показаны на рис. 5.1. Области субгармонического и гармонического движений имеют очень сложную конфигурацию и на рис. 5.1 показаны далеко не все. Области, заштрихованные двумя различными способами, соответствуют либо чистому хаосу, либо таким значениям параметров, при которых в зависимости от начальных условий возможен как хаос, так и периодическое движение. Теоретический критерий возникновения хаоса для этого относительно простого уравнения пока не найден.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЧАСТИЦЫ В ПОТЕНЦИАЛЕС ДВУМЯ ЯМАМИ: УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА
Этот пример был очень подробно рассмотрен в гл. 2 и 3. Впервые он был исследован в работе Холмса [73] и в последующей се-
рии работ автора этой книги и сотрудников. С математической точки зрения речь идет об уравнении вынужденного движения ча- стицы между двумя состояними равновесия — минимумами потенциала с двумя ямами:
£ + 6£ - ；х(1 - *2)= / cos ш/. (5.2.2)
Это уравнение может описывать движение частицы в плазме, дефекта в твердом теле или, в большем масштабе, динамику продольного изгиба балки (см. гл. 3). Динамикой управляют три без— размерных параметра (6t /, з), где 6 — безразмерный коэффициент затухания, аз — вынуждающая частота, обезразмеренная с помощью частоты собственных малых колебаний системы в одной из потенциальных ям.
Области хаоса, полученные двумя группами исследователей представлены на рис. 5.2 и 5.3. На рис. 5.2 представлены экспери ментальные данные для продольно изогнутой консольной балки (см. гл. 2). Ломаная граница соответствует экспериментальным данным, гладкая — теоретическому 1фитерню (см. разд. 5.3). Не- давно была экспериментально установлена верхняя граница, за которой движение снова становится периодическим. Эксперименталь ный критерий определялся по отображениям Пуанкаре для движения (см. гл. 2 и 4).
Результаты численного моделирования уравнения (5.2.2) прс^
ю8642ю864204 3CXU ^«35«9K>Z3C B^xccz<04 3CXU ^«35«9K>Z3C B^xccz<
ю
8
6
4
2
ю
8
6
4
2
04 3CXU ^«35«9K>Z3C B^xccz<
04 3CXU ^«35«9K>Z3C B^xccz<
Частота вынуждающей силы и (Гц)
Л/с. 5・2・ Области хаоса на диаграмме, построенной по данным эксперимента — ко* лебаниям продольно изогнутой балки при различных амплитудах и частотах вынух* дающей силы [137]. Воспроизводится с разрешения из сб.: New Approaches Nonlinear Problems in Dynamics, ed. by P. S. Holmes, © 1980 by SIAM.)
□ Периодическое движение □ Хаотическое движение□ Периодическое движение □ Хаотическое движение1.0 IJ1.0 IJ3CS «0?2язх>хза 3>ЬХСС2Я К«хао2пяап«ш3CS «0?2язх>хза 3>ЬХСС2Я К«хао2пяап«шБезразмерная частотаБезразмерная частота* 53. Диаграмма, показывающая области хаоса для колебаний материальной МШ в потенциале с двумя ямами (уравнение Дуффинга (5.2.2)}. Гладкая граница З^гветствует критерию гомоклинической траектории фазд. 5.3.).* 53. Диаграмма, показывающая области хаоса для колебаний материальной МШ в потенциале с двумя ямами (уравнение Дуффинга (5.2.2)}. Гладкая граница З^гветствует критерию гомоклинической траектории фазд. 5.3.).
□ Периодическое движение □ Хаотическое движение
□ Периодическое движение □ Хаотическое движение
1.0 IJ
1.0 IJ
3CS «0?2язх>хза 3>ЬХСС2Я К«хао2пяап«ш
3CS «0?2язх>хза 3>ЬХСС2Я К«хао2пяап«ш
Безразмерная частота
Безразмерная частота
* 53. Диаграмма, показывающая области хаоса для колебаний материальной МШ в потенциале с двумя ямами (уравнение Дуффинга (5.2.2)}. Гладкая граница З^гветствует критерию гомоклинической траектории фазд. 5.3.).
* 53. Диаграмма, показывающая области хаоса для колебаний материальной МШ в потенциале с двумя ямами (уравнение Дуффинга (5.2.2)}. Гладкая граница З^гветствует критерию гомоклинической траектории фазд. 5.3.).
ставлены на рис. 5.3. Диагностическим средством для определения хаоса был выбран показатель Ляпунова, вычисляемый с помощью алгоритма, разработанного Вулфом и др. [209] (см. разд. 5.4). Из 产・ 5.3 видно, что на плоскости (/ з) при заданном коэффициенте затухания б существуют области хаотических колебаний очень сложной конфигурации. Можно ожидать, что при очень большой вынуждающей силе / ► 1 динамический режим будет конкурировать с режимом, который наблюдал Уэда.
Теоретическую границу, полученную Холмсом [73J, мы обсудим в следующем разделе. Она имеет особое значение, так как ниже ее предсказуемы периодические движения, в то время как выше предсказать, на какую из многих периодических или хаотических мод выйдем движение, становится невозможно. Выше теоретического критерия (основанного на существовании гомоклинических орбит) движение, даже если оно периодическое, очень чувствительно к вы- б(фу начальных данных.
КОНВЕКЦИЯ РЭЛЕЯ — БЕНАРА: УРАВНЕНИЯ ЛОРЕНЦА
Если не считать логистического уравнения, то модель Лоренца конвективной турбулентности (см. гл. 1 и 3), по-видимому, является наиболее исследованной системой уравнений, допускающей хаотические решения. Тем не менее большинство математиков сосре・ Доточили свои усилия на очень ограниченном множестве значений •>раметров. Система Лоренца имеет вид
х = а(( у - х),у гх — у — xz.(5.2.3)
i = ху - bz.
Рис. 54 Диаграмма, показывающая 05k. ласти хаоса для динамики тепловой конвекции [уравнения Лоренца (5.2.3)].
Спарроу [178] в своей книге об аттракторе Лоренца анализирует систему (5.2.3) при значшиях параметров о = 10, b = 8/3, г > 14 Однако он строит умозрительные заключения о диапазонах значений параметров, в которых могли существовать устойчивые хаотические движения (рис. 5・2)・ На рис. 5・4 область, заштрихованная вертикальными линиями, соответствует устойчивому хаотическому движению, а ниже ее располагается предтурбулентная область, в которой могут существовать переходные хаотические движения Эта область ограничена снизу кривой, вычисляемой на основе критерия, использующего существование гомоклинических траекторий (см. следующий раздел). Над хаотической областью располагается область удвоений периода.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИСВОБОДЫ В ПОТЕНЦИАЛЕ С ДВУМЯ ЯМАМИ
В качестве обобщения движения частицы с одной степенью свободы в потенциале с двумя ямами автор провел эксперимент, схема которого представлена на рис. 5.5.
Моделью задачи могут служить два связанных нелинейных оо> циллятора (3.3.7):
X + ?х + ^ = 0,дх
(520
j + 7J + — = /cos w/,
Движение, периодическое
— Движение, _ 2 —периодическое "
относительно 】— одного магнита — 01~1—1~1— 5678910
Вынуждающая частота (Гц)
Рис. 5.5. Области хаотических и периодических движений для двумерной динамики матфиальной точки в потенциале с двумя ямами на плоскости амплитуда — частота вынуждающей силы [137]. (Воспроизводится с разрешения из сб.: New Approaches to Nonlinear Problems in Dynamics, ed. by P. S. Holmes, © 1980 by SIAM.)
где V{ x, 7)— потенциал для магнитов и постоянной жесткости. Хаотические области на плоскости амплитуд — частота вынуждающей силы показана на рис. 5.5. Сравнивая этот режим с режимом, представленным либо на рис. 5・2, либо на рис. 5.3, мы видим, что включение дополнительной степени свободы уменьшает протяженность хаотической области по крайней мере в окрестности частоты собственных колебаний материальной точки в одной из потенциальных ям.
ВЫНУЖДЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИПОЛЯВ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ: УРАВНЕНИЕ МАЯТНИКА
В этом эксперименте ротор из постоянного магнита возбуждается скрещенными магнитными полями — постоянным и гармонически изменяющимся со временем [146], как было показано на рис. 3.18. Безразмерное уравнение движения для угла поворота 0 напоминает уравнение движения маятника в гравитационном потенциале:
6 + М + sin0 = /cos fl cos ш/. (5.2.5)
Области хаотического вращения на плоскости (/, з) при фиксированном коэффициенте затухания представлены на рис. 5.6. Это один из немногих опубликованных примеров, когда с теоретиче-
Рис. £6. Области хаотических и периодических движений на экспериментальной два» грамме для вынужденных движений ротора с нелинейной зависимостью крутящим момент — угол поворота. Для сравнения на диаграмму нанесена кривая, вычисдея» мая на основе критерия существования гомоклинической траектории по методу Мельникова (разд. 5.3.) [146]. (North>Holland, © 1987).
ским критерием хаоса сравниваются и экспериментальные данные» и результаты численного моделирования. Соответствующая теория основана на критерии существования гомоклинической траектории. Она изложена в разд. 5.4. Как и в случае потенциала с двумя ямами, хаотические движения встречаются в окрестности собственной частоты при малых колебаниях (на рис. 5・6 з = 1, 0).
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В /КОЦЕПИ
Ряд экспериментальных исследований хаотических колебаний был проведен на нелинейных цепях (см., например, гл. 3). Один из таких экспериментов был поставлен на /?£С-цепи с диодом. На рис. 5.7 показаны области субгармонических и хаотических режимов на плоскости вынуждающее напряжение — частота (92]. В этом примере области удвоения периода предшествуют хаотическим движениям. Однако внутри заштрихованной области хаотического режима наблюдалась субгармоника с периодом 5. Периодические «островки» в хаотических областях характерны для многих экспериментов по хаотическим колебаниям (см., например, аналогичное исследование Буко и др. [19], а также рис. 3.33).
■IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII■IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIВынуждающая частота (МГц) рис. S.Z Экспериментальная диаграмма» на которой показаны области хаоса, для RLC-цепи с внешним возбуждением н варакторным диодом, действующим как нели* яейная емкость. Заштрихованные области соответствуют хаотическим движениям, а числа указывают порядок субгармонмки. Прерывистой линией показан гистерезисный переход [92]. (North*Hollandt © 1984).Вынуждающая частота (МГц) рис. S.Z Экспериментальная диаграмма» на которой показаны области хаоса, для RLC-цепи с внешним возбуждением н варакторным диодом, действующим как нели* яейная емкость. Заштрихованные области соответствуют хаотическим движениям, а числа указывают порядок субгармонмки. Прерывистой линией показан гистерезисный переход [92]. (North*Hollandt © 1984).> Iz«xcac«z sds«4K>z3a> Iz«xcac«z sds«4K>z3a
■IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
■IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
Вынуждающая частота (МГц) рис. S.Z Экспериментальная диаграмма» на которой показаны области хаоса, для RLC-цепи с внешним возбуждением н варакторным диодом, действующим как нели* яейная емкость. Заштрихованные области соответствуют хаотическим движениям, а числа указывают порядок субгармонмки. Прерывистой линией показан гистерезисный переход [92]. (North*Hollandt © 1984).
Вынуждающая частота (МГц) рис. S.Z Экспериментальная диаграмма» на которой показаны области хаоса, для RLC-цепи с внешним возбуждением н варакторным диодом, действующим как нели* яейная емкость. Заштрихованные области соответствуют хаотическим движениям, а числа указывают порядок субгармонмки. Прерывистой линией показан гистерезисный переход [92]. (North*Hollandt © 1984).
> Iz«xcac«z sds«4K>z3a
> Iz«xcac«z sds«4K>z3a
ГАРМОНИЧЕСКИ ВОЗБУЖДАЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ В ЖИДКОСТИ, НАЛИТОЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ СОСУД
В качестве последнего примера приведем экспериментально установленные гармонические и хаотические области в пространстве параметров амплитуда — частота для поверхностных волн на воде, налитой в цилиндрический сосуд, из работы Чилиберто и Гол луба [22]. Слой воды глубиной 1 см, налитой в цилиндрический сосуд с внутренним диаметром 12,7 см, подвергался воздействию гармонической вынуждающей силы в диффузоре громкоговорителя (рис. 5.8). Амплитуда поперечных колебаний относительно плоской поверхности невозмущенной жидкости модулирована функциями Бесселя, т. е. форма линейных мод определяется выражением
4m = 4(3)Sin(〃0 + %,)•
На рис. 5.8 показана плоскость амплитуда — частота вынуждающей силы в той области, где две моды могут взаимодействовать: (л, т) = (4, 3) и (7, 2). Ниже нижней границы поверхность жидкости остается плоской. Небольшие области хаотических режимов пересекаются. По-видимому, существуют другие хаотические режимы, возникающие при взаимодействии других мод.
Подведем итоги. Эти примеры показывают, что при воздействии на физическую систему данной периодической вынуждающей силы, существуют и, по-видимому, могут быть предсказаны с по-
/Ь(Гц)
Рис, 5.Л Экспериментальная диаграмма, на которой показаны хаотические области для поверхностных волн в цилиндре, наполненном водой. На диаграмме видно, где вМимодействуют две линейные моды из работы [22].
мощью классических методов нелинейного анализа большие области периодических или субгармонических движений. Но те же примеры показывают, что хаос — отнюдь не какое-то особенное или исключительное состояние, т. е. он может существовать в достаточно широком диапазоне значений параметров задачи. Кроме того (и это, возможно, самое важное), в некоторых областях перио дические и хаотические движения могут сосуществовать, и характер возникающего движения становится непредсказуемым.
5・3・ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРОГНОСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ
Поиск теоретических критериев для определения того, при каком наборе условий данная динамическая система войдет в хаотический режим, до сих пор велись лишь в каждом конкретном случае отдельно. Это означает, что теоретики в основном придерживались следующей стратегии: они находили критерии для конкретных ма* тематических моделей и затем, используя эти модели в качестве аналогов или парадигм, пытались сделать какие-то выводы относительно того, когда более общие или более сложные физические системы становятся непредсказуемыми. Примером такого рода может служить последовательность бифуркаций удвоения периода.
рассмотренная Мэем [130] и Фейгенбаумом [37] для квадратичного отображения (см・, например, гл. 1). Хотя эти результаты были обобщены для более широкого класса одномерных отображений с помощью так называемой ренормгрупповой теории, критерий удвоения периода не всегда выполняется для отображений более высокой размерности. В случае механических и электрических колебаний сечение Пуанкаре решения в фазовом пространстве часто приводит к отображениям в пространстве двух и большего числа измерений. Тем не менее сценарий удвоения периода является одним из возможных путей перехода к хаосу. В более сложных физических системах понимание модели Мэя — Фейгенбаума может оказаться очень полезным при определении того, когда и почему встречаются хаотические движения.
В этом разделе мы кратко рассмотрим несколько основных теорий хаоса и исследуем, как они приводят к критериям, которые могут оказаться полезными для предсказания или диагностики хаотического поведения в реальных системах. Эти теории включают в себя следующее:
удвоение периода;
гомоклинические траектории и отображения типа подковы;
перемежаемость и переходный хаос;
критерии перевсрытия резонансов для консервативного хаоса; д) частные теории для задач с потенциалом, имеющим несколько ям.
КРИТЕРИЙ УДВОЕНИЯ ПЕРИОДА
Этот критерий применим к динамическим системам, поведение которых точно или приближенно может быть описано разностным уравнением первого порядка, известным на новом жаргоне как одномерное отображение:
х”+1 = кх“(1 一 х“).(5.3.1)
Динамика этого уравнения была исследована Мэем ]130], Фейгенбаумом [37, 38] и другими авторами. Ими были открыты решения, период которых при изменении параметра 入 удваивается (периодом в данном случае называется целое число р9 при котором /+" совпадает с /)・ Одно из важных свойств уравнения (5.3.1), открытое Фейгенбаумом, состояло в том, что последовательность критических значений параметра (Хт], при которых происходит удвоение периода траектории, удовлетворяет соотношению
lim М : I == 4,6692...(5.3.2)
Это важное открытие дало в руки экспериментаторов конкрет» ный критерий, позволяющий определять, что система находится на пороге хаотического режима, просто путем наблюдения предхаоти» ческого режима. Критерий Фейгенбаума был применен к различ» ным физическим системам, в том числе к гидродинамическим, электрическим и лазерным экспериментам. Хотя эти задачи часто моделируются математически с помощью «континуальных» диф» ференциальных уравнений, отображение Пуанкаре позволяет свести их динамику к системе разностных уравнений. Более того, для многих физических задач наиболее существенную динамику удается моделировать с помощью одномерного отображения
= /( хл). (5.3.3)
Важность работы Фейгенбаума состояла в том, что он показал типичность удвоения периода для всех одномерных отображений с одним «горбом», или с одной гсфизонтальной касательной, как на рис. 5.9 [такие отображения необратимы: существуют два значения которые, если их подставить в /( /), дадут одно и то же значение j^+1]. Фейгенбаум также показал, что если задающая отображение функция / зависит от некоторого параметра Л, т. е.
Рис. 5.2 Необратимые разностные уравнения (отображения), задаваемые функцией с одним «горбом», в которых происходит удвоение периода.
/( хп; Л), то последовательность критических значений этого параМетра {&}, при которых происходит удвоение периода, удовлетворяет тому же соотношению (5.3.2), что и квадратичное отображение. Именно поэтому удвоение периода получило название универсального явления, а 6 была названа универсальной постоянной (теперь 6 принято называть постоянной Фейгенбаума).
Здесь автор считает своим долгом предупредить читателя о необходимости соблюдать осторожность. Термин «универсальный» используется применительно к одномерным отображениям (5.3.3). Существует много хаотических явлений, которые описываются двумерными отображениями или отображениями более высокой размерности (см., например, задачу о продольно изогнутом стержне в гл. 2). В такого рода случаях удвоение периода может быть одним из возможных путей к хаосу, но существует и много других последовательностей бифуркаций, приводящих к хаосу другими путями, минуя удвоение периода (см., например, работу Холмса [76]).
Читателю, интересующемуся очень подробным математическим изложением квадратичного отображения и удвоения периода, мы рекомендуем обратиться к монографиям Лихтенберга и Либермана [ПО] или ГУкенхеймера и Холмса [57]. Ниже мы излагаем в кратком пересказе рафинированный вариант теории Лихтенберга и Либермана, особенно в части, касающейся критического параметра 储 при котором движение становится хаотическим, для тех читателей, кто хотел бы ощутить вкус математики удвоения периода.
Перенормировка и критерий удвоения периода. Две идеи играют важную роль в понимании явления удвоения периода: первая — понятие бифуркации решений, вторая ——идея перенормировки. Наглядное представление о том, что такое бифуркация, дает рис. 5.10. Термин «бифуркация» используется для обозначения внезапного качественного изменения поведения системы при изменении некоторого параметра. Например^ на рис. 5.12 стационарное периодическое решение / становится неустойчивым при некотором значении параметра 入,и амплитуда начинает осциллировать между двумя значениями х才 и х£, совершая полный цикл за вдвое большее время, чем до потери устойчивости. При дальнейшем изменении параметра 入 амплитуды х才 и также теряют устойчивость, и решение претерпевает ветвление, переходя в новый цикл периода 4. В случае квадратичного отображения (5.3.1) также бифуркации решения продолжаются неограниченно при возрастании (или убывании)入二 Однако критические значения параметра 入 стремятся к точке накопления, т. е. Jim I 入/1 = I 入8 I v 8, при переходе через которую система допускает хаотическое непериодическое решение. Таким обра-
ЗД)А“
Рис, £10・ Бифуркационная диаграмма для квадратичного отображсяия (5Л.З). Удво ение периода наблюдается в зависимости «стационарный режим как функция упра» ляюшего параметра».
зому если 入一некоторая безразмерная функция физических переменных (как, например, число Рейнольдса в гидромеханике), то 入=I становится удобным критерием для предсказания того, когда наиболее вероятно возникновение хаоса.
Доступное изложение метода ренормгруппы применительно к удвоению периода можно найти у Фейгенбаума [38]. В основе этого метода лежит осознание того, что существует каскад бифуркаций и что каждую бифуркацию можно отобразить в предыдущую с помощью изменения масштаба физической переменной х и преобразования управляющего параметра. Чтобы продемонстрировать метод ренормгруппы в действии, наметим его приближенную схему для квадратичного отображения (см. также [110]).
Квадратичное отображение представимо в виде х“+| = /(*„).
где /(х)= 入 х(1 - х)・ Циклы периода 1 ——это просто постоянные значения переменного х, задаваемые неподвижными точками ото-
бражеиия, т. е・ / = /( /), или
(5.3.4)(5.3.4)*0 =人 /(1*0)，
(5.3.4)
(5.3.4)
откуда % = 0, % = (X - 1)/Х・ Неподвижная точка, или точка равновесия, может быть устойчивой и неустойчивой. Иначе говоря, итерации точки х могут и приближаться к %, и удаляться от 々・ Устойчивость отображения зависит от наклона кривой /(х) в точке /. Критерии следующие:
I縹gI縹g—отображение устойчиво,—отображение устойчиво,(5.3.5)(5.3.5)
I縹g
I縹g
—отображение устойчиво,
—отображение устойчиво,
(5.3.5)
(5.3.5)
陪|>|陪|>|
陪|>|
陪|>|
—отображение неустойчиво.
Так как таигеис угла наклона к кривой /* = Х(1 - 2 х) зависит от 人，неподвижная точка % становится неустойчивой при X,= = ± 1/11 — 2 %1 • При X > X, устойчивое периодическое движение имеет период 2. Неподвижные точки, в окрестности которых возникают циклы с периодом 2, определяются уравнением
巧=/(/(Jf2))« и™
砲=X2j^(1 - х2)[1 一入砲(1 - х2)].(5.3.6)
График функции /(/( х)) показан иа рис. S.11.
Рис. 5. /2 Две ветви на бифуркационной диаграмме вблизи точки удвоения периода.
И снова решения подразделяются на устойчивые и неустойчивые. Предположим, что решение xQ претерпевает бифуркацию и начинает совершать колебания между х+ и как показано на рис. 5.12. Тогда
х+ =入*一(1 - Х-) н х- = Хх+ (1 - х+)・(5.3.7)
Чтобы найти следующее критическое значение 入=% при котором возникает траектория с периодом 4, произведем замену переменных
勺=х± + %・(5.3.8)
Подставляя (S.3.8) в (5.3.7), получаем
%+i = №Д(1 - 2х+)-叫，
%+2 =入％+JQ -2дг) - ％+J・(5.3.3)
Выразим “n+2 через “八，сохраняя лишь члены порядка не выше 哈 У нас получится приближенное соотношение
力+2 =入ЧДА - %),(5.3.10)
где А и В зависят от х+, х~ и X. Подвергнем_переменную “ преоб* разованию подобия и введем новый параметр X с помощью соотношений_
х = _оп/,入==_Х2Л, а = В/А>Х+2 = X Ха - 7”).
Последнее соотношение имеет такой же вид, как наше исходное уравнение (S.3.2). Следовательно, когда решение претерпевает пря 入 = % бифуркацию и переходит в периодическое решение 5 периодом 4, критическое значение параметра X равно X, (т. е. X = X)). Так мы приходим к соотношению
% =必 А(%)・(5.3.11)
Если начать с точки % = 0, то существует последовательность бифуркаций при X < 0. В этом случае, как показали Лихтенберг и Ли-
5cpMан, соотношение (5.3.11) имеет вид
Х| = —* + 2% + 4.(5.3.12)
Можно показать, что % = — 1, поэтому % = (1 -乃)= я： - 1,4494... . Если принять достаточно смелое предположение о том, что рекуррентное соотношение (5.3.12) выполняется и для бифуркаций высшего порядка, то
% = -Х+1 + 2Хп+| + 4.(5.3.13)
В критической точке для хаоса мы имеем
入8 = -0 + 2& + 4, откуда
入8 = (1 - 旧)/2 = -1,562.(5.3.14)
Можно также показать, что при X > 0 возникает другая последовательность бифуркаций (рис. 5.10) с критическим значением
入=L = 2 —入в = 3 r56 ….(5.3.15)
Точное значение Х^ близко к、= 3,56994. Мы видим, таким образом, что аппроксимационная схема с перенормировкой не так уж ялоха.
Ренормгрупповой аналаз приводит» помимо прочего, к соотношению
儿胃入8 +(5.3.16)
возникающему из закона подобия (5.3.2). Оно позволяет по двум последовательным бифуркационным значениям получать оценку критерия хаоса
人8 =注y卜儿-儿｝(5317)
Одно слово в заключение этого раздела: параметр 入 может превышать критическое значение (1X1 > IX^ I), но это еще не означает, что решения непременно должны быть хаотическими. Хаотические решения возможны, но при 1X1 > 1X^1 существуют много периодических окон, равно как и хаотических решений.
Из-за недостатка места мы не в состоянии воздать должное всему богатому разнообразию сложностей, характерных для динамики квадратичного отображения. Оно, несомненно, является одной из главных парадигм в понимании хаоса, и заинтересованный читатель сможет найти недостающие детали в упоминавшихся выше работах. (См. также приложение Б, где приведены результаты численных экспериментов.)
ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ ТИПА ПОДКОВЫ
Один из теоретических методов, который привел к созданию частных критериев хаотических колебаний, основан на поиске ото* бражений типа подковы и гомоклинических траекторий в математических моделях динамических систем. Такая стратегия и математическая процедура, известная под названием метода Мельникова привели к критериям хаоса типа числа Рейнольдса, связывающим параметры системы. В двух случаях эти критерии были проверены с помощью численных и физических экспериментов. Действуя в духе этой книги, мы не будем выводить формулы или чрезмерно вда・ ваться в математическую теорию метода, а вместо этого попыта* емся изложить наиболее важные идеи и отошлем тех читателей, кого заинтересуют более тонкие детали, к литературе. Метод Мельникова мы продемонстриуем на двух приложениях: на колеба* ниях продольно изонутой балки и вращательной динамике магнитного дипольного двигателя.
Критерий гомоклинической траектории является математнчз ским приемом получения прогностического соотношения между безразмерными группами переменных физической системы. Он да* ет необходимое, но недостаточное условие возникновения хаоса» Критерий гомоклинической траектории может также порождать необходимое и достаточное условие предсказуемости поведения ди* намической системы (см. разд. 6.5 — «Фрактальные границы области притяжения»). Если отбросить его сложную, несколько таинственную математическую инфраструктуру, то по существу речь идет о методе, позволяющем определить, обладает ли модель в форме обыкновенных дифференциальных уравнений или дифференциальных уравнений в частных производных свойствами отображения типа подковы или преобразования пекаря.
В случае отображения типа подковы (см. также гл. 1) основное внимание сосредоточивается на множестве начальных условий для траекторий, заполняющем некоторый шар в фазовом пространстве. Если система ведет себя как отображение типа подковы, то этот начальный объем в фазовом пространстве под действием динамики системы принимает новую форму: первоначальный шар вытягивается и складывается (рис. 5.13). После многих итераций эти складывания и растяжения порождают фракталоподобную структуру, и точная информация о начальных условиях траектории утрачивается. Для установления соответствия между начальным и последующим состояниями системы требуется все большая точность. При конечной точности постановки задачи (в большинстве случаев речь идет о численных или лабораторных экспериментах) предсказание становится невозможным.
рис. 5./3. Эволюция сферы начальных условий во времени.
Один из путей к пониманию критерия гомоклинической траектории (см. блок<хему на рис. 5.14) состоит в том, чтобы попытаться ответить на следующие вопросы:
Что такое гомоклинические орбиты?
Как возникают гомоклинические орбиты в математических моделях физических систем?
Как они связаны с отображениями типа подковы?
Наконец, как метод Мельникова приводит к критерию возникновения хаоса?
Гоммлинические п^ткпюрии. Подробное обсуждение гомоклинических траекторий можно найти в книгах Лихтенберга и Либермана [ПО] и Гукенхеймера и Холмса [57]. Мы уже знаем, что, хотя решения многих динамических задач представимы в виде непрерывной кривой в фазовом пространстве (с координатами х к и = £) или в пространстве решений (с координатами х и г), загадки нелинейной динамики и хаоса часто удается разгадать, глядя на дискретную численную выборку из движения, известную под названием сечения Пуанкаре. Мы видели также, что в сечении Пуанкаре точки, хотя в действительности они образают последовательность точек в л-мерном пространстве, могут располагаться вдоль некоторых непрерывных кривых. Эти кривые называются многообразиями. Говоря далее о гомоклинических траекториях, мы имеем в виду последовательность точек. Эта последовательность называется траекторией. Например, если речь идет о периодической траектории с периодом 3, то последовательность точек поочередно посещает три состояния на фазовой плоскости (рис. 5.15, а). С другой стороны, квазипериодическая траектория соответствует последовательности точек, перемещающихся по некоторой замкнутой кривой фис. 5.15, 6). Квазипериодические колебания часто встречаются срепн движений двух связанных осцилляторов с двумя несоизмеримыми частотами.
Ata. 5,14, Блок-схема, показывающая взаимосвязь между гомоклиническими орбитами, отображениями типа подковы н хаосом в фнэн- чесжих системах.
Рис. "5. в — Периодическая траектория в сечении Пуанкаре; 6 — квазипернодическая траежто- рия; в — гомоклиническая траектория.
В динамике отображений встречаются особые точки, при прохождении через которые траектории по одним направлениям движутся от них, а по другим направлениям — к ним. Примером может служить седло. У этой особой точки существуют две кривые — многообразия, вдоль которых траектории приближаются к ней, и две кривые — многообразия, вдоль которых последовательность точек Пуанкаре удаляется от седла, как показано на рис. 5.15. Такая точка напоминает особую точку типа «седло» нелинейных дифференциальных уравнений.
Что такое гомоклиническая траектория, мы продемонстрируем на динамике маятника, колеблющегося с затуханием под действием вынуждающей силы. Прежде всего напомним, что для маятника, колеблющегося с затуханием в отсутствие вынуждающей силы неустойчивые многообразия седловой точки закручиваются вокруг особой точки на фазовой плоскости (0, @) наподобие вихря, как показано на рис. 5.16.
рис.，/6. Устойчивое (IF3) н неустойчивое (W4) многообразия для движения маятника с затуханием в отсутствие вынуждающей силы.
Хотя это не очевидно, отображение Пуанкаре, сихнронизован- ное с частотой вынуждающей силы, также имеет седловую особую точку в окрестности 8 = ±лг (л — нечетное число), как показано на рис. 5.17 для случая маятника, колеблющегося под действием вынуждающей силы. При достаточно малой амплитуде вынуждающей силы устойчивое и неустойчивое многоо^эазия седла не каса-
Рис, 5,17. Общий вид устойчивого (W) н неустойчивого (吋)многообразий отображения Пуанкаре для маятника с затуханием под действием вынуждающей силы, гармонически зависящей от времени.
ются друг друга. Но при возрастании вынуждающей силы эти два многообразия пересекаются. Можно показать, что если они переев каются хотя бы один раз, то они пересекутся бесконечно много “з. Точки пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий называются гомоклиническими точками. Точка Пуанкаре вблизи одной из этих точек отображается на окрестности всех остальных точек пересечения. Совокупность таких точек Пуанкаре называется гомоклинической траекторией (рис. 5.15, 6). Почему гомоклинические траектории столь важны для хаоса?
Пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий при отображении Пуанкаре порождает в окрестности каждой гомоклинической точки отображение типа подковы. Как было показано в гл. 1, отображения типа подковы приводят к непредсказуемости, а непредсказуемость или чувствительная зависимость от начальных условий ——отличительный признак хаоса.
Почему гомоклинические траектории порождают отображения типа подковы, станет ясно, если мы вспомним, что в случае диссипативной системы площади отображаются в меньшие площади. Но вблизи неустойчивого многообразия площади растягаваются. Так как общая площадь должна убывать, площадь должна сжиматься быстрее, чем она растягивается. В результате площадь вблизи гомоклинических точек складывается, как показано на рис. 5.18.
Динамическую систему можно рассматривать как преобразова-
Рис. 5./8. Развитие во времени отображения типа подковы для точек в окрестности гомоклинической траектории.Рис. 5./8. Развитие во времени отображения типа подковы для точек в окрестности гомоклинической траектории.
Рис. 5./8. Развитие во времени отображения типа подковы для точек в окрестности гомоклинической траектории.
Рис. 5./8. Развитие во времени отображения типа подковы для точек в окрестности гомоклинической траектории.
0ие фазового пространства, т. е. объем точек, представляющих различные возможные начальные условия, преобразуется со временем в какой-то деформированный объем. Регулярный поток в фазовом пространстве возникает, когда трансформированный объем имеет достаточно гладкие очертания. Хаотический поток возникает, когда первоначальный объем растягивается, сжимается и складывается, как при преобразовании пекаря или отображении типа подковы.
(5.3.18)(5.3.18)Метод Мельникова. Функция Мельникова используется как мера расстояния между неустойчивым и устойчивым многообразиями, когда это расстояние мало (математически строгое изложение метода Мельникова см. в книге Гукенхеймера и Холмса [57]), Этот метод был применен к задачам, в которых диссипация мала и уравнения для многообразий в задачах с нулевой диссипацией известны. Например, предположим, что мы рассматриваем вынужденное движение нелинейного осциллятора, где (% 〃)一 сопряженные переменные (обобщенная координата и обобщенный импульс). Будем считать, что затухание и вынуждающая сила малы, и запишем уравнения движения в виде
(5.3.18)
(5.3.18)
"斫+%'
р =р =-而+吗-而+吗
р =
р =
-而+吗
-而+吗
где g = g(. % f) = (g「g2), £ — малый параметр, /7(% 〃)一 гамильтониан для задач без затухания и в отсутствие вынуждающей силы(£ = 0). Кроме того, мы предполагаем, что вектор-функция д( г) периодическая, т. е.
(5.3.19)(5.3.19)0( + Г) = д( г).
(5.3.19)
(5.3.19)
и что движение происходит в трехмерном фазовом пространстве (% р, зГ), где 3f — фаза периодической вынуждающей силы и берется по модулю периода Т.
Во многих нелинейных задачах седловая особая точка существует при невозмущенном гамильтониане [при £ = а в уравнениях (5.3.18)]. К числу таких задач относится, например, задача о колебаниях частицы в потенциале с двумя ямами [уравнение Дуффинга (5.2.2)], При £ 工 0 можно провести сечение Пуанкаре трехмерного тороидального потока, синхронизованное с фазой з九 Показано (см. книгу Гукенхеймера и Холмса [57]), что в таком сечении Пуанкаре также существует седло с устойчивым и неустойчивым многообразиями Ws и Wu (рис. 5.19).
Рис. 5.19, Седло в сечении Пуанкаре и связанные с ним устойчивое и неустойчивое многообразие до формирования гомоклинической траектории.Рис. 5.19, Седло в сечении Пуанкаре и связанные с ним устойчивое и неустойчивое многообразие до формирования гомоклинической траектории.
Рис. 5.19, Седло в сечении Пуанкаре и связанные с ним устойчивое и неустойчивое многообразие до формирования гомоклинической траектории.
Рис. 5.19, Седло в сечении Пуанкаре и связанные с ним устойчивое и неустойчивое многообразие до формирования гомоклинической траектории.
Функция Мельникова задает меру отклонения 俨 от 产 как функцию от фазы отображения Пуанкаре. Эта функция определяет ся интегралом
"仇)=j g* VH(q*"*)力,"仇)=j g* VH(q*"*)力,(5.3.20)(5.3.20)
"仇)=j g* VH(q*"*)力,
"仇)=j g* VH(q*"*)力,
(5.3.20)
(5.3.20)
где g* = g(q*, p*, / + /0); q*( /) и p*( /) — решения, соответствующие невозмуи1енной гомоклинической траектории, начинающейся в седловой точке гамильтоновых уравнений. Переменная /0 есть м> ра расстояния, измеряемого вдоль первоначальной невозмущенной гомоклинической траектории на фазовой плоскости. Рассмотрим два примера.
Магнитный маятник. Удобной экспериментальной моделью маятника может служить вращательная динамика магнитного диполя в скрещенных магнитных полях — стационарном и периодиче* ском, как на рис. 3.18 (см. также работу Муна и др. [146]).
Уравнение движения при надлежащей нормировке имеет вид
0 + у@ + sind = /jcosflcosw/ + 儿・ (5.3.21)
Член $in& порожден стационарным магнитным полем, а член с 力― периодическим полем. Уравнение (5.3.21) учитывает также линей* ное затухание и постоянный крутящий момент fQ. Следуя предпо-
ложениям теории, мы полагаем_7 = еу, fQ = €j^ и f^ = efv где О « £ v 1, а величины 彳，办 н 刃 порядка 1.
Гамильтониан для задачи без затухания и в отсутствие вынуждающей силы имеет вид
Н = ； М + (1 — cos0),
где ^ ^ 0 и р е и =仇 На гомоклинической траектории, выходящей из седла © = и = 0), энергия Н постоянна (Н = 2). Невозмущенная гомоклиническая траектория определяется выражениями
外=2arctg(shO.(5.3.22)
и* = 2sech 九
В возмущенных гамильтоновых уравнениях (5.3.18) g】= 0 и g2 = = ^ + /jcosdcos3f. Необходимое интегрирование может быть проведено точно с помощью контурного интеграла (см., например, (57], где рассмотрен аналогичный случай). Интегрируя, получаем
"(，())=-8? + 2“ + 2"Jsech 管)cos3fo.(5.3.23)
Два возмущенных многообразия имеют простое касание, когда М( 4)имеет простой нуль, или когда
/ > 佟-d叫产,(5.3.24)
где множители £ опущены. При /^ = 0 критическое значение вынуждающего крутящего момента определяется выражением
力叩=务曲(劣.(5.3.25)
График этой функции представлен на рис. 5.6 вместе с результатами физических и численных экспериментов. Критерий (5.3.25) дает очень точную нижнюю границу областей хаоса на плоскости амплитуда—частота вынуждающей силы.
Движение частицы в потенциале с двумя ямами. Задача о вынужденном движении частицы в потенциале с двумя ямами находит многочисленные приложения, такие как, например, поведение продольно изогнутой упругой балки после выпучивания [141] или некоторые задачи динамики плазмы [122]. Затухающие колебания под действием пфиодической вынуждающей силы можно описать с помощью уравнения типа Дуффинга
х + 7Х - х + х3 = /сз3f.(5.3.26)
Гамильтониан для невозмущенной задачи записывается в этом слу. чае следующим образом:
w( X, и) = ； (М - 炉 + ；尸).
При 4=0 две гомоклинические траектории начинаются и оканчиваются в седле, расположенном в начале координат. Переменные х* и и* принимают значения, соответствующие кривой в правой полуплоскости, задаваемой уравнениями
х* = T2sech /, и* = -V2sech / th /.
В этой задаче gt = 0 и g2 = /cosw/ - yu, где у = еу и / = e/i как в предыдущем примере. Функция Мельникова (5.3.20) принимает поэтому следующий вид:
+ •+8
М( /0) = -V2/ J sech / th / cos ш( / + /0) d/ - 2у j sech2/th2/d/;
она может быть точно проинтегрирована методом контурных интегралов. Такое решение было первоначально найдено Холмсом РЗ], но в его работу вкралась ошибка. Правшъный анализ провели Гукенхеймер и Холмс [57] и получили следующий результат:
М( /0) = _? 一 ^2/xwsech 偿)sin з/0.(5.3.27)
Для того чтобы выражение (5.3.27) имело простой нуль, должно выполняться неравенство
/> 学嚟丝(5.3.28)
Эта нижняя граница хаотической области в пространстве (А з, у) была проведена экспериментально Муном [136] (см. также рис. 5.2 и 5.3).
ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ И ПЕРЕХОДНЫЙ ХАОС
До сих пор мы обсуждали то, что можно было бы назвать «стационарными» хаотическими колебаниями. Двумя другими формами непредсказуемых, нерегулярных движений являются перемежаемость и переходный хаос. В случае перемежаемости всплески хаотического движения, или шума, чередуются с периодами регулярного движения (рис. 5.20). Такое поведение наблюдал еще Рей-
вольдс в своих экспериментах по изучению предтурбулентного режима в трубах (1883 г.) (см. работу Сринивасана [169]). Переходный хаос наблюдается также в некоторых системах как предвестник стационарного хаоса. При определенных начальных условиях система может вести себя квазислучайным образом, т. е. ее траектории могут двигаться в фазовом пространстве, как если бы они находились на странном аттракторе, но через некоторое время движение выходит на регулярный аттрактор, как в случае периодических колебаний. Иногда для экспериментального определения критического параметра для перемежаемости и переходного хаоса используются свойства подобия нелинейного движения. В случае пе- ремежаемостн, когда поведение системы близко к периодическому движению, но время от времени претерпевает короткие всплески переходного хаоса, объяснение такого поведения в терминах одномерных отображений, или разностных уравнений, была дано Ман- вевилем и Помо [125].
Как показали численные эксперименты с отображениями, средняя продолжительность периодического движения <т> между двумя последовательными хаотическими всплесками составляет величину
⑺ ~ ТГ二先酔， (5329) где 入一управляющий параметр (например, скорость жидкости, амплитуда вынуждающей силы или вынуждающее напряжение), \ — критическое значение параметра 入，при котором возникает хаотическое движение. С увеличением отстройки X - Хс продолжительность хаотического интервала увеличивается, а продолжительность периодического интервала сокращается. Такое явление можно было бы назвать ползучим хаосом.
Для экспериментального определения параметра % необходимо измерить два средних времени,《丁》】и <т>2, при соответствующих значениях управляющего параметра 入]н %• Это позволит определить коэффициент пропорциональности в соотношении (5.3.29), а
также величину * Но, установив «кандидата» в %，необходимо за тем измерить другие значения «т>,入),чтобы подтвердить зако# подобия (5.3.29).
Случай переходного хаоса был исследован Гребоги и др. [49, 50, 52] из Университета штата Мэриленд в серии работ по численным экспериментам с двумерными отображениями. В работах [49, 50] эти авторы рассмотрели двумерное обобщение одномерного квадратичного разностного уравнения, получившего название «отображение Энона» (см. также разд. 1.3):
х”+1 = 1 - ах： + уп, л+1 = -X，
где J — определитель якобиана, служащий коэффициентом сжатия площадей при отображении. В исследованиях мэрилендской группы коэффициент J был выбран равным —0,3, а параметр а варьировался в определенных пределах. Например, при а > % = =1,062371838 наблюдалось рождение из траекторий с периодом 6, состоящего из 6 отдельных частей странного аттрактора, который существует в диапазоне
% V а V % = 1,080744879.
При а > ас траектория при итерациях отображения Энона блуждает вокруг «призрака» странного аттрактора на плоскости (иногда на протяжении более чем 103 итераций); после чего в системе устанавливается п^иодический режим с периодом 4.
Гребоги и др. обнаружили, что средняя продолжительность <т> переходного хаоса удовлетворяет закону подобия
《丁》~ (а — %〉"2， (5.3.30)
Среднее было найдено путем выбора 102 начальных условий при каждом выборе а. Начальные условия выбирались в первоначальной области притяжения прекратившего существование странного аттрактора. Продолжительность таких переходных хаотических режимов может быть очень велика. Например, в случае отображения Энона Гребоги и его сотрудники обнаружили, что <т> = 104 при а — ас = 5-10~7 и《丁〉= 103 при а — % = Ю~5.
Та же группа исследователей обнаружила отображения, порождающие суперпереходный хаос, в котором продолжительность переходного периода удовлетворяет закону подобия [53]
<Т>》к}ехр[Л2(а - %尸勺・ (5.3.31)
Эти результаты позволяют предположить, что время жизни некоторых переходных хаотических режимов может превосходить про-
должительность любого эксперимента. Математика, затрагиваемая в этих исследованиях, связана с гомоклиническими точками переселения устойчивого и неустойчивого многообразий при отображенных. Возникновение гомоклинических точек пересечения мэриленд- скал группа называет кризисами. Подробное обсуждение математических тонкостей и проблем, связанных с переходными хаотически- 14И режимами, выходит за рамки этой книги. Интересующиеся чи- ^тели могут почерпнуть необходимые сведения из упоминавшихся вь1ше оригинальных работ мэрилендской группы.
К сожалению, до сих пор известно лишь очень немного физических примеров или экспериментов, связанных с исследованием переходного хаоса. Однако нет никакого сомнения в том, что переходный хаос представляет собой благодатную почву для будущих ис- слецований.
КРИТЕРИЙ ЧИРИКОВА ПЕРЕКРЫТИЯ РЕЗОНАНСОВДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОГО ХАОСА
Исследования хаотических движений в консервативных (без затухания) системах имеют более давнюю историю, чем привлекающие ныне всеобщий интерес исследования хаотических режимов в диссипативных системах. Но поскольку практическое приложение консервативных динамических систем ограничено такими областями, как небесная механика, физика плазмы и физика ускорителей, инженеры берут на вооружение успехи, достигнутые в динамике консервативных систем, не с такой готовностью, как успехи, достигнутые в других областях нелинейной динамики.
В этом разделе мы сосредоточим внимание на хаосе, возникающем при движении прыгающего шарика, упруго отражающегося от горизонтальной плоскости. С таким движением мы уже встречались в гл. 3 (рис. 3.5). Но возникающие разностные уравнения описывают также поведение связанных нелинейных осцилляторов (см., например, книгу Лихтенберга и Либермана [ПО]) и поведение электронов в электромагнитном поле. Уравнения (3.2.9) удара гравитирующей массы о поверхность колеблющегося при замене переменной принимают вид
%+1 = % + "sin%,
(5.3.32)
* = % + %+i，
где vn — скорость перед ударом, а % — момент времени, когда происходит удар, нормированный на частоту колебаний стола (т. е. г ■ w/(mod2ir)). Величина К пропорциональна амплитуде колеб-
лющегося стола на рис. 3.5. Уравнения (5.3.32) отличаются g уравнений (3.2.9) в силу предположения о том, что при ударе не происходит потери энфгии. Из него следует, что области началь ных условий в фазовом пространстве (也 ⑴ сохраняют свою площадь при повторных итерациях отображений (5.3.32).
На рис. 5.21 показаны траектории на плоскости (и, з) при двух различных значениях К.
Рассмотрим случай К = 0,6. Точки при и = 0,2т соответствуй ют траекториям с пфиодом 1, т. е.
q = 4 + К sin 仍，/=仍+ q.
Решение этой системы уравнений имеет вцд ^ = 0, т; Vj = о (и 夕卩 и q берутся по mod 2т). Решение вблизи ^ = т устойчиво при 12 - К\ < 2. Но решение вблизи г = 0, 2х неустойчиво прв 12 + К\ < 2 и может соответствовать седловым точкам отображения.
Вблизи у = х можно вцдеть траекторию с пфиодом 2, задав» мую решением системы уравнений
"2 = "1 + #sin仍，色=/ + 收，
Vj = v2 + Ksin色，^ = ^2 + Up
Puc. 5.21 а. Отображение Пуанкаре для движения шарика, упруго подпрыгивающего на колеблющемся столе (стандартное отображение) при ^ = 0,6 в уравнениях (5.3.32). Видны периодические н квазнперноднческие траектории.
рис. 5・2/ 6. То же при К = 1,2. Видно, что появились стохастические траектории.
И в этом случае можно показать, что существуют и устойчивые, и неустойчивые точки периода 2. Можно также показать, что устойчивые точки существуют при условии К V 2・
Остальные траектории, кажущиеся на рис. 5.21 непрерывными, соответствуют квазипериодическим решениям, когда частота соударений шарика о стол несоизмерима с частотой колебаний стола. Наконец, на рис. 5.21, б (К = 1, 2) представлены движения третьего типа: вблизи тех мест, где при меньших значениях параметра К существовали седла и сепаратрисы, идущие из седла в седло, мы вцдим облако точек. Это облако точек соответствует консервативному хаосу. При К V 1 оно локализовано в окрестности седловых точек. Но при К 胃 1 блуждающая траектория становится глобальной — «размазывается» по всему фазовому пространству.
Как нетрудно заметить, на рис. 5.21, а (К = 0,6) все типы движения можно получить, просто выбирая различные начальные условия (так как нет затухания, нет аттракторов).
Критерий глобального хаоса в этой системе был предложен советским физиком Чириковым [21]. Он заметил, что при увеличении параметра К расстояние по вертикали между сепаратрисами, связанными с периодическими движениями периода 1 и периода 2, убывает. Если бы не вмешательство хаоса, то сепаратрисы пере- крылись бы (рис. 5.22), отсюда название —— критерий перекрытия.
Разложив стандартное разложение (53.32) вблизи одного из таких периодических резонансов по малым К, мы получим, что раз-
Рис 5.22. Схематическое изображение траекторий с периодом 1 и периодом 2 и сопутствующих квазипериодических траекторий для стандартного отображение используемого при выводе критерия Чирикова.
мер области, ограничиваемой соответствующей сепаратрисой, составляет величину
А】=4№/2,
备=«•(5.3.3$
В каждом из разложений не учитываются влияние остальных резонансов. Условие перекрытия состоит в том, что △】+ 0 = 2甯,или
4a2 + 凡=2m(5.3.34)
Из уравнения (5.3.34) находим: Кс = 1у4б. Это значение является оценкой сверху критического значения К — Кс для глобального хао сау которое численно равно Кс » 1у0. Остальные подробности относительно критерия перекрытия читатель найдет в книге Лихтенберга и Либермана [ПО].
Читатель с более практическим складом ума может задать себе вопрос: а что произойдет, если ввести слабое затухание? В этом случае некоторые из мультипериодических субгармоник станут аттракторами, а овалы, окружающие эти аттракторы, перейдут в спирали, ограничивающие периодические движения. Что произойдет при этом с консервативным хаосом? Из начальных условий в тех областях, где был консервативный хаос, развиваются долгопериодические переходные траектории, которые сначала блуждают по фазовому пространству и лишь затем выходят на периодическое движение. А как обстоит дело с реальными хаотическими движе* ноями? При наличии затухания для возникновения их необходимо гораздо большая сила (К > 6), при которой появляется фракталоподобный странный аттрактор (рис. 3.5). Таким образом, рассмотренный в этом разделе критерий перекрытия полезен только для строго консервативных гамильтоновых систем.
КРИТЕРИИ ДЛЯ ДВИЖЕНИЙ В ПОТЕНЦИАЛАХ С МНОГИМИ ЯМАМИ
В этом разделе мы опишем частный критерий для хаотических колебаний в задачах с потенциалом, имеющим много ям. К числу таких задач относится продольный изгиб балки (гл. 2) и магнитный дипольный двигатель с многими полюсами. В физике твердого тела междоузельный атом, внедренный в регулярную решетку, мо- jeer иметь несколько положений равновесия. Нередко силы, действие которых приводит к такого рода движениям, являются потенциальными. Пусть (%) — набор обобщенных координат, а 夕(%)— потенциал, связанный с консервативной частью силы, такой, что -dV/dqi есть обобщенная сила, соответствующая /-й степени свободы (координате %). Для одной степени свободы частный случай уравнений движения имеет вид
g “ +務=/cosw/g “ +務=/cosw/(5.3.35)(5.3.35)
g “ +務=/cosw/
g “ +務=/cosw/
(5.3.35)
(5.3.35)
(учтены линейное затухание и периодическая вынуждающая сила). Как показано на рис. 5.23, потенциал 夕(％) имеет много локальных минимумов, соответствующих устойчивым положениям равновесия. При малых вынуждающих силах система совершает периодические колебания в одной из потенциальных ям. При большей вынуждающей силе движение «расплескивается» и «заполняет» другие ямм, отчего нередко возникает хаос. Критерий, о котором сейчас идет речь, позволяет определить, при какой амплитуде вынуждаю-
Л/с. 5.23. Потенциал с многими «мами н соответствующее ему разбиение фазовой плоскости.
щей силы периодическое движение в одной потенциальной яме з牛 хватывает другую лиу.
Для иллюстрации этого критерия рассмотрим частицу в снм・ метричном потенциале с двумя ямами (например, задачу о продольном изгибе балки из гл. 2):
q + yq - ^q(\ - g?) = /cos3t.(5.3.30
Так как нас интересует критерий перехода от периодического дви. жения к хаотическому, воспользуемся стандартной теорией возмущений и выведем соотношение между амплитудой вынужденного движения <^2> « > означает усредненне по времени) и параметра» ми 7, / и ш, а затем попытаемся найти критическое значение 《q2〉s Ас9 не зависящее от вынуждающей амплитуды, т. е.
<^2> = g6, з,/) = 4(з).(5.3.37)
Левая часть соотношения (5.3.37) получена с помощью классической теории возмущений, а правая основана на эвристическом посту, лате.
Чтобы реализовать эту программу для потенциала с двумя ям»- мн, запишем уравнение (5.3.36) в координатах, центрированных g носительно одного из положений равновесия:
D =，- L
Чтобы получить параметр возмущения, запишем “ =卜 X. Тогда уравнение движения примет следующий вид:
31г
% + 7% + %(1 + -^Х + - “2*2)= lcos(3f + 处).(5.3.38) 22д
Фазовый угол % выбран так, что в первом порядке теории воз му* щения движение X было пропорционально cos з L Результирующее периодическое движение при малых / имеет вид
X = C0cosw/ + MG + GcossZ) + д2%!( 0.(5.3.39)
Используя либо метод Дуффинга, либо метод возмущений Линд- штедта (см., например, [180]), получаем соотношение между амплитудой вынуждающей силы и другими параметрами задачи:
(мС0Я[(1 - d) - ^ 32У卩 + 卄宗｝=尸. (5.3.40
Опираясь на результаты численных экспериментов, мы постулируем существование критической скорости. Мы предполагаем, что хаос близок, когда максимальная скорость движения близка к мак-
^имальной скорости на сепаратрисе в фазовом пространстве (на фазовой плоскости) незатухающего осциллятора в отсутствие вынуждающей силы. В исходных переменных этот критерий (см. ряс. 5.24) имеет вид соотношения
“Q =二 (5.3.41)
где а — величина, близкая к единице. Подставляя соотношение (5.3.41) в (5.3.40), получаем нижнюю границу на основе критерия хаотических колебаний:
£咤№7一圜，~『 "42)
Это выражение было экспериментально проверено автором той книги [136] и, как видно из рис. 5.2, а * 0,86, по-видимому, дает превосходное согласие с экспериментальными границами хаоса. При слабом затухании этот критерий дает гораздо лучшую границу, чем критерий с гомоклинической траекторией, использующий функцию Мельникова.
Как показано на рис. 5.24, этот критерий аналогичен критерию ■ерекрытия, предложенному Чириковым, а именно: хаос возникает, когда регулярное движение становится слишком интенсивным.
Метод, кратко изложенный в этом разделе, был также использован при решении задачи с потенциалом, имевишм три ямы, и был успешно подтвержден в экспериментах с колеблющейся балкой, имевшей три положения равновесия [106].
Дауелл и Пезешки [31] предложили другой эвристический критерий для задач о потенциале с двумя ямами (5.3.36). Вместо того
Рис. 5.24, Критерий перекрытия резонансов для задачи с потенциалом, имеющим много ям, на основе полукласснче* ских методов анализа.
Рис* 5.2工 Области притяжения для различных начальных условий в задаче об осшиь ляторе в потенциале с двумя ямами [31] (American Society of Mechanical Engineer, © 1985).
чтобы о>авнивать размеры периодических траекторий с размерам! траекторий в задаче без затухания и в отсутствие вынуждающей силы, эти авторы сравнили размеры предхаотических, периодвч^ ских субгармонических траекторий для осциллятора под действием вынуждающей силы с размерами границы области притяжения для задачи с затуханием, но без вынуждающей силы (рис. 5.25). Эта граница представляет собой множество начальных условий (/(Q), А (0)), при которых траектории идут к левому или к правому положению равновесия, не пересекая геометрического места точек А = 0. Дауэлл и Пезешки, используя численное моделирование, заметили также, что вынужденное движение становится хаотическим, когда амплитуда fQ вынуждающей силы больше того значения, при котором периодическая орбита касается границы области притяжения. (Более подробно о границах областей притяжения см. гл. 6.)
Критерии, полученные на основе классического анализа возмущений. У тех, кто делает первые шаги в области нелинейной динамики, под влиянием сложившихся сейчас направлений в исследованиях может создаться неверное представление о том, что до открытия детерминированного хаоса эта область пребывала в состоянии глубокой спячки. Однако существует обширная литература, описывающая математические методы теории возмущений для вычисленных первичных и субгармонических резонансов, а также ха-
рактеристик устойчивости решений нелинейных систем (см., например» монографию Найфаха и Мука [148]). Неудивительно поэтому, Е стали появляться работыг авторы которых пытаются использовать для нахождения критериев хаотического движения более ^ассические методы анализа. Например, Найфах и Хдейр [149] используют теорию возмущений для предсказания бифуркаций удвоения и утроения периода как предвестников хаотических колебаний морских судов на регулярном волнении.
В другой работе Шемплинска — Ступницка и Байковский [186] исследовали осциллятор Дуффинга, с которым проводил эксперименты Уэда (3.2.25). Используя теорию возмущений, эти авторы нашли субгармонические решения и с помощью классического анализа устойчивости установили связь между возникновением хаоса и потерей устойчивости субгармониками. Свои выводы эти авторы проверили на численном эксперименте. По их мнению, в аттракторе Дуффинга — Уэды (3.2.35) хаотическое движение является переходной зоной между субгармоническими и резонансными гармоническими решениями.
Хотя автор настоящей книги глубоко убежден в том, что хаотическое движение по самой своей природе более тесно связано с такими математическими образами, как отображения типа подковы, фракталами и гомоклиническими траекториями, использование по- луклассических методов теории возмущений может давать для некоторых классов нелинейных систем более удобные с практической точки зрения аналитические критерии хаоса.
ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА
До сих пор мы рассматривали в основном прогностические критерии хаоса. В этом разделе мы опишем способ, позволяющий диа- гносцироватъ^ находится ли исследуемая система в хаотическом состоянии или нет. Хаос в детерминированных системах подразумевает чувствительную зависимость от начальных условий. Это означает, что две траектории, близкие друг к другу в фазовом пространстве в некоторый начальный момент времени, экспоненциально расходятся за малое в среднем время. Если 备一мера начального расстояния между двумя исходными точками, то, спустя малое время г, расстояние между траекториями, выходящими из этих точек, становится равным
d(r)=备妙. (5.4.1)
Если система описывается разностными уравнениями или отобра-
жением, то
dn = d^n. (5.4.2)
[Основание 2 выбрано в соотношениях (5.4.1), (5.4.2) из соображений удобства, а в остальном произвольно.] Величины X и Л называются показателями Ляпунов^.
Превосходный обзор по показателям Ляпунова и их использова*- нию в экспериментах для диагностики хаотического движения опуб* ликованы Вулфом и др. [209]. В этом же обзоре помещены две по. лезные компьютерные программы для вычисления показателей Ля. пунова.
Экспоненциальная расходимость хаотических траекторий может быть только локальной, так как если система ограниченна (а большинство физических экспериментов ограниченно), то d(f) не может возрастать до бесконечности. Следовательно, для того чтобы определить меру расходимости траекторий, необходимо усреднить зкз поненциальный рост по многим точкам вдоль траектории, как по» казано на рис. 5.26. Вычисление показателя Ляпунова начинается q выбора реперной траектории [Вулф и др. [209] называют ее опор^ ной траекторией], точки на соседней траектории и измерения величины d( £)/%・ Когда расстояние d( /) становится слишком боль шим (т. е. рост его отклоняется от экспоненциального поведения), экспериментатор находит новую «соседнюю» траекторию и опрепа ляет новое начальное расстояние %(/). Показатель Ляпунова мож-
Р〃с. 5.26. Общий ход изменения расстояния между двумя соседними траекториями, используемый для определения наибольшего показателя Ляпунова.
"Обозначения для показателей и чисел Ляпунова не унифицированы. Например, Лихтенберг и Либерман [ПО] обозначают показатель Ляпунова через 明 Шустер [169] (так же, как Вулф и др. {209]) — через X. Гукенхеймер и Холмс [57] обозначают показатель Ляпунова через 从,а Фармер и др. [36] обозначают через 入 число Ляпунова. А. М. Ляпунов (1857—1918) — русский математик, который ввел понятие показателя в своих исследованиях по общей теории устойчивости в конце прошлого столетия.
но задать выражением
入=("・з) 3，04(4-1)
Критерий хаоса в терминах показателя Ляпунова принимает следующий вид:
X > 0 — хаотическое движение,
(5.4.4) 入《 0 — регулярное движение.
Должно быть, читатель уже понял, что без компьютера при вычислении показателя Ляпунова не обойтись ни в том случае, когда данные берутся из численного моделирования, ни в том, когда их источником служит физический эксперимент.
Вычислить 入 в явном виде удается лишь в очень немногочисленных учебных примерах. Рассмотрим один из них, связанный с обобщением понятия «показатель Ляпунова» на одномерные отображения:
=/(/)・(5.4.5)
Там, где функция /(х) гладкая и дифференцируемая, расстояние между соседними траекториями измеряется величиной \df/dx\. Чтобы убедиться в этом, введем два начальных условия: % и % + £• Тогда в соотношении (5.4.2)
dq = £,
4 = /(% + £)- /( *0)=関 £•(5.4.6)
Следуя соотношению (5.4.3), определить показатель Ляпунова (или характеристический показатель) как
А = JS=£ 關甯 |・(547)
SO
В качестве иллюстративного примера воспользуемся отображением Бернулли
хя+1 = 2хп (modi)(5.4.8)
(рис. 5.27). Здесь (mod 1) означает дробную часть, т. е.
x(modl) = х — целая часть ( х).
Рис. 5.2Z Хаотическая траектория при отображении Бернулли /.] = 2^(modi).
Это отображение многозначно и, как известно, рождает хаос. За исключением разрыва в точке х = 1/2, всюду в остальных точках I/' I = 2. Из определения (5.4.7) получаем Л = 1. Следовательно, в среднем расстояние между соседними трчками растет как
4 = 42“.
Единицами измерения показателя Ляпунова Л служат биты на одну итерацию. Одна из интерпретаций Л состоит в том, что при каждой итерации отображения теряется Л битов информации о начальном состоянии. Чтобы убедиться в этом, запишем хп в двоичной системе. Например, хп = (1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/128)= м 0,1101001, a x(modl) означает lt101001(modl) = 0,101001. Таким образом, отображение 2 хп (mod 1) сдвигает запятую на один знак вправо и отбрасывает целую часть. Следовательно, если мы начинаем с т значащих знаков после запятой, то при каждой итерации теряем по одному, т. е. теряем по одному биту информации.
После т итераций мы полностью утрачиваем информацию。 начальном состоянии системы.
Ранее в этой главе мы узналиt что логистическое, или квадратичное, отображение становится хаотическим, когда управляющий параметр а > 3,57:
х”+1 = ах“(1 - X").(5.4.9)
Параметр а
* 5,28. Показатель Ляпунова как функция управляющего параметра а для логи- епнсского отображения (5.4.9).
В этом можно убедиться, вычисляя показатель Ляпунова как функ- цвю пфаметра а (рис. 5.28). При а > 3,57 показатель Ляпунова становится отрицательным в окнах периодичности 3,57 < а < 4. 庙眼 0 = 4, как было показано,入=In2 (см., например, Шустер 口❸D.
Другой пример отображения, для которого показатель Ляпунова удается вычислить в явном виде аналитически, — отображение «домшс»:
U+1U+12гхя2гхяпри хп V 1/2при хп V 1/22г — 2гхп при /》1/22г — 2гхп при /》1/2
U+1
U+1
2гхя
2гхя
при хп V 1/2
при хп V 1/2
2г — 2гхп при /》1/2
2г — 2гхп при /》1/2
Как и в случае отображения Бернулли (5.4.8) I 尸(х)1 = 2г есть постоянная величина, и показатель Ляпунова оказывается равным [ПО, с. 416-417]
人=10囹2匚
Мы видим, что X > 0 при 2г > 1, и движение становится хаотическим, но X < 0 при 2г < 1, и траектории регулярны; все точки О < х < 1 притягиваются к х = 0 [169, с. 22].
ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА
Для каждого динамического процесса, будь то траектория, непрерывно зависящая от времени или дискретная эволюция во времени, существует спектр показателей Ляпунова, или характеристических показателей, который говорит нам, как меняются в фазовом Чюстранстве длины, площади и объемы. Представление о спектре
таких чисел мы обсудим в следующем разделе. Что же касается критерия хаоса, то для этого необходимо вычислить только наи« больший показатель Ляпунова, который говорит, расходятся ли (入 > 0) или сходятся (入 V 0) в среднем соседние траектории. До сих пор никем не создан аналоговый компьютер для измерения показателя Ляпунова, хотя не исключено, что какой-нибудь хитроукь ный инженер изобретет нечто такое, коль скоро эта мера хаотического движения по-прежнему будет считаться полезной. А пока вы* числения показателей Ляпунова приходится проводить с помощью цифровых ЭВМ, предпочтительно лабораторных компьютеров средних масштабов, таких, как Micro Vax фирмы Digital Equipment Corporation или аналогичных компьютеров. В нескольких работах сообщались результаты, полученные с помощью быстродействую. щего персонального компьютера PC.
Существуют два общих метода вычисления показаталей Ляп卜 нова: один для данных, порожденных известной системой “>｛力必 ренциальных или разностных уравнений (потоков или каскадов^ второй —— для данных из экспериментальных временных рядов. В работе Вулфа и др. [209] обсуждаются оба эти метода, но, как показывает наш собственный опыт, создание надежного алгоритма для определения показателя Ляпунова по экспериментальным данным требует проведения дополнительных исследований. Мы кра» но рассмотрим метод вычисления показателя Ляпунова для системы дифференциальных уравнений вида
х = f(x; с), (5.4.18 где х — набор из л переменных состояния, а с — набор из л параметров. Более полное изложение этих методов можно найти в ра* боте Симады и Нагасимы [174], в серии работ Беннетина и др. (полная библиография которых приведена в работе [8]) и в работе Уэды [197].
Основная идея вычислений, использующих соотношение (5.4.3), состоит в определении отношения расстояний между траекториями d(tk)/d(tk^^). Один из методов состоит в численном интегрировании системы уравнений (5.4.10) с тем, чтобы получить опорное решение х*(г; %), где % — начальное условие. Затем на каждом временном шаге tk система (5.4.10) интегрируется снова с какой-нибудь соседней точкой х*(〃) + )/ в качестве начального условия. Но более прямой метод состоит в использовании уравнений (5.4.10) для нахождения вариации траекторий в окрестности выделенной (опорной) траектории х*(/). При таком подходе мы на каждом временном шаге tk решаем уравнения в вариациях
方=Ав 1/, (5.4.11)
где А — матрица частных производных Vf(x*(〃)). Подчеркнем, что элементы матрицы А, вообще говоря, зависят от времени. Но если бы матрица А была постоянной, то решение 寸")в интервале “ V 工 V 4+1 зависело бы от начального условия. Если это начальное условие выбрано случайным образом, то 寸(|) с ненулевой вероятностью имеет составляющую в направлении наибольшего положительного собственного значения матрицы А. Изменение расстояний между соседними траекториями в этом направлении и есть то, что характеризует наибольший показатель Ляпунова.
Схема вычислений выглядит следующим образом. Интегрируя уравнение (5.4.10), находим х*(/). Чтобы избавиться от всякого рода переходных процессов, мы выжидаем некоторое время и лишь затем вычисляем d(f) (ведь по предположению, мы находимся на устойчивом аттракторе). Когда все переходные процессы по нашему мнению затухают и становятся малыми, мы приступаем к интегрированию уравнений (5.4.11), чтобы найти 寸(f). Можно выбрать M(6)l = 1, но произвольное начальное направление. Затем мы численно интегрируем уравнения 力 = А(х*(/)) •寸,учитывая изменения в А из-за х*(/). [На практике уравнения (5.4.10) и (5.4.11) можно интегрировать одновременно.] По истечении заданного интервала времени 〃+i — 〃 =才 мы получаем
，(“+1)= g(T； “)1 .(5.4.12)
d(〃)1Ч(0; 4)1
Чтобы начать новый шаг в (5.4.3), выберем за новое начальное условие направление вектора 寸(т; 〃)，т. е. положим
где начальное расстояние нормировано на единицу.
Пример такого рода вычислений показан на рис. 5.29, где результаты численного интегрирования уравнения Дуффинга (1.2.4) в хаотическом состоянии представлены как функция времени, прошедшего с начала счета (числа циклов). Интегрируемые уравнения имели вид
£ = 乂 у = — ку — ху Л- Sco$z,(5.4.14)
之=L
Вычисляем матрицу производных правых частей
ГГо1 ] О 1
А =|_-3/ — к\ — S$inz •(5.4.15)
L0о о _
Циклы
Рис. 5.29. Наибольший показатель Ляпунова для хаотаческого движения в потеациа- ле с двумя ямами (6.3.26) как функция времени (В = 10; Аг = 0,1).
Так как в действительности мы имеем дело с осциллятором, на который действует периодическая вынуждающая сила, изменения расстояний между траекториями в фазовом пространстве вдоль оси z = Г равны нулю, что находит свое выражение в строке нулей матрицы А. Следовательно, для того чтобы найти в этой задаче наибольший показатель Ляпунова, можно работать в проекции фазового пространства (х, 乂 z) на фазовую плоскость (х, у), используя матрицу, стоящую в прямых скобках в левом верхнем углу матрицы А в (5.4.15).
Для данных, приведенных на рис. 5.29, шаг по времени при чио ленном интегрировании выбирался равным Аг = 0,01, а число ш» гов по времени при интегрировании 弓«) — равным 10, или 丁 = 0,1. Внутренняя матрица в А (5.4.15) вычислялась заново на каждом временном шаге △/ метода Рунге — Кутта.
Из рис. 5.29 видно, что 入一статистическое свойство движения» т. е. для получения надежного значения 入 необходимо усрепнять и> менения расстояний между траекториями в течение длительного времени. Кроме того, необходимо с большой осторожностью вы* бирать и шаг по времени Аг при интегрировании уравнений по методу Рунге — Кутта, и шаг т для показателя Ляпунова.
Сравнение показателей Ляпунова при различных значениях параметров в уравнении Дуффинга проведено в табл. 5.1. Изложенный
Таблица 5./. Сравнение вычисленных значений показателя Ляпунова для уравнения
Дуффннга jc + кх + х3 = В cost при различных значениях к я В
Уэда [197] (Эта книга)
в
в
X.
Xi
入2
0.1
9.9
0,012
0.065
-0,166
0.1
10
0,094
0,102
-0,202
0,1
11
0.114
0,114
-0.214
0,1
12
0,143
0.149
-0.249
0.1
13
0,167
0.182
-0.282
0.1
в.з
0,174
0,183
-0,284
Шаг по времени при
интегрировании по методу
Рунге — Кутта Д/
=0,01; время, через
которое выбираются новые начальные данные —
10Д/; полное время
счета — 400 циклов
800т.
выше алгоритм вычисления показателей Ляпунова оказался весьма полезным при построении эмпирических критериев хаоса и диаграмм. Имея доступ к быстродействующим компьютерам (так называемым суперкомпьютерам), можно вычислить 入 как функцию параметров задачи [вектора с в (5.4.10)]. Например, можно выбрать с = (к9 В) в уравнении Дуффинга и найти 入 для 100х 100 пар значений к и В, Если 入 > 0, то компьютер печатает какой-нибудь условный символ, если 入 V 0 ——оставляет пробел. Такие численно построенные диаграммы полезны лри поиске возможных областей в пространстве параметров, в которых могут существовать хаотические движения (см. рис. 5.3). Но с учетом всякого рода «капризов» численных методов при установлении хаотического характера той или иной области не следует целиком полагаться на изложенную выше процедуру. Для подтверждения хаотического характера движений в исследуемой области следует привлекать и другие методы: спектральный анализ, отображения Пуанкаре, вычисление фрактальной размерности.
Показатели Ляпунова и функции распределения. Вычисление показателя Ляпунова (5.4.3) можно рассматривать как усреднение по времени, или итерацию, отображения (5.4.5). Если известна функция плотности вероятности, позволяющая находить вероятность того, что определенные траектории окажутся в заданной области фазового пространства, то усреднение по времени можно заменить усреднением по пространству (в фазовом пространстве). Эту идею использовали несколько исследователей: Эверсон [35]; Хсу [84]. По・ кажем, в чем здесь дело, на примере двумерного отображения (следуя работе Эверсона [35]).
Напомним, что, когда система хаотична, по крайней мере один показатель Ляпунова у нее больше нуля. Начнем с расстояния между соседними траекториями хл и ул. Это расстояние определяется величиной dn = 1хл - ]^I, и показатель Ляпунова равен
a=愿三2货・("」6)
л = 0
Если существует инвариантная функция распределения вероятности р(х), то показатель А может быть вычислен по формуле
Л = j jlog^^pCu, v) dudv,(5.4.17)
где фазовое пространство предполагается двумерным с х = (и, и). Функция плотности вероятности удовлетворяет условию нормировки
jjp(u, V)dudv = 1, где интеграл берется по всему фазовому пространству.
Эверсон применяет подход, основанный на использовании функции плотности вероятности, к отображению, связанному с задачей о прыгающем шарике (3.2.9) и со стандартным отображением (5.3.32)
»л+1 = вл + BVn (mod2x),
(5.4.18) 匕+】=£匕 + О + £)(1 + 疝％ + 1).
Эта задача аналогична задаче, рассмотренной Холмсом (75), где 0 < с < 1 учитывает диссипацию, a BVn соответствует скорости шарика, отскакивающего от платформы после л-го соударения (см. рис. 3.5, а).
Эверсон использует два обстоятельства, для того чтобы применив к отображению (5.4.18) определение показателя (5.4.17), вычислить наибольший показатель Ляпунова. Во-первых, он замечает, что, судя по данным численного экперимента, инвариантная функция распределения не зависит от фазы 0, поэтому в полярных координатах
^pdV= ^.(5.4.19)
о
Во-вторых9 ему удается вывести приближенное выражение для отношения 4+J4, показав, что при
^±1 - |в(1 + e)cos0l,(5.4.20)
4
т. е・ не зависит от скорсти. С помощью соотношений (5.4.19) и (5.4.20) Эверсон вычисляет
Л = log,(5.4.21)
что дает очень хорошее согласие с результатами численных расчетов.
Используя тот же подход в другой задаче, Хсу [84] исходит из определения (5.4.17), но находит функцию плотности вероятности численно с помощью так называемого отображения ячейки в ячейку (см. работы Хсу [83, 84] и Крейцера [96]). Дальнейшее развитие методов построения инвариантных функций распределения вероятности, возможно, приведет к более широкому применению их для нахождения показателей Ляпунова.
СПЕКТР ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА
До сих пор мы говорили только о растяжении расстояния между траекториями в хаотическом процессе. Однако в случае трех и большего числа измерений, как известно, области фазового пространства могут не только растягиваться, но и сокращаться в ходе динамического процесса. В частности, в случае диссипативных систем малый объем начальных условий отображается на еще меньший объем в более поздний момент времени. Схематически это показано на рис. 5.30, где малая сфера начальных условий радиуса 6 отображается при / > /0 в эллипсоид с главными осями (д,6,步抄，
Рис. 5.30. Расходимость траекторий, выходящих из малой сферы начальных условий, при хаотическом движении.
д^б). Таким образом, для каждой динамической системы существу, ет спектр показателей, или чцсел, Ляпунова (XJ, \ = ]og/i『・
С вычислительной точки зрения этот спектр может быть найдец по траектории в фазовом пространстве, если мы будем знать, кам эволюционируют в ходе дйнамического процесса длины, площади, объемы и гиперобъемы. Вулф и др. [209], используя эту идею, разра. ботали алгоритм для вычисления 闻.Если \ упорядочены так, что % > % > ・・・ > %, то, как показали Вулф и дрм длины (расстояни* между траекториями) изменяются по закону d(r) * 4公"，площадв (треугольников, одна вершина которых находится на опорной траек> тории, а две другие в соседних с траекторией точках) — по закону А( г) * dp 孙+№〃，малые объемы— по закону И(г) » %#】 + №+МУ‘ И Т. Д.
Фщ)мер и др. [36] дают аналитическое определение полноген спектра показателей Ляпунова и приводят пример, когда спектр (XJ может быть вычислен явно. Оставшуюся часть этой главы мы по» евпям краткому изложеншо схемы вычисления показателей Ляпунова для двумерного отображения. Многие из деталей мы опускаем. Те из читателей, для которых эти подробности представляют интерес, могут найти их в статье Фармера и др. [36]. Начнем с рассмотрения общего N-мерного отображения
х»+1 = Fg),(5.4.2
где { — вектор в Ммерном фазовом пространстве. Изменение формы малой гиперсферы зависит от производных функции F(4) по различным компонентам вектора хя. Соответствующая матрица называется матрицей Якоби. Например, если
F = (/(х, У, z), g(x, у, z), Л(х, у, z)),
ТО
"а/ а/ V ■
Эх Sy dz
J =
8g dg 8g
Эх Qy dz
=NF].(5.4.23)
Bh dh dA
.dx斤/.
(5.4.24)(5.4.24)После л итераций отображения локальная форма исходной гиперсферы зависит от
(5.4.24)
(5.4.24)
[Jn] = [VF(x„)][VF(x„_1)]...[VF(xI)].
В общем случае можно найти собственные значения матрицы Jn и расположить их в порядке У,(л) > j^n) > ... > 无(〃)，где Д(л)— |бсолютные величины собственных значений. Тогда показатели Ляпунова определяются с помощью предельного перехода
% =/皿 30g2/・(〃).(5.4.25)
Это определение Фармер и др. проиллюстрировали на примере двумерного отображения, известного под названием «преобразова- 晔 пекарям (рис. 5.31) (такое название связано с тем, что операции, фоизводимые над квадратом при этом отображении, напоминают Е которые производит пекарь» раскатывая кусок теста). Преобразование пекаря аналогично описанному в гл. 1 отображению типа «подкова». Преобразование пекаря задается следующими формула-
i「у” при у < 1/2,
/+1=(5.4.26)
V- + \ХП при у > 1/2, I1
Рис. 5.3/. Преобразование пекаря.
С 2% при у < 1/2,
'"* '12(у — g ) при у > 1/2.
Преобразование пекаря можно рассматривать как обобщение отображения Бернулли (5.4.8), с которым мы познакомились в преды* душем разделе. Для преобразования пекаря матрица Якоби имеет следующий вид:
где S| =入q при у < 1/2 н S] = % при у > 1/2.
При итерациях отображения собственные значения переходят в
Л (л) = 2я,厶(〃)=ММ，к I = п.
где к — число итераций в левой полуплоскости, а / — число итераций в правой полуплоскости. По определению показателя Ляпунова (5.4.25),
a =細》。囹2",
% =丿惚{勺嚥% +力%%}
Здесь мы используем предположение о том, что после многих итераций траектория проводит в левой полуплоскости столько же вр> мени, сколько в правой полуплоскости, или
к _ 1/ _ 1
п = 29 7 = 2，
поэтому
X)= 1, Хг =^log2XeXd < 0.(5.4.28)
Зная эти два показателя Ляпунова, можно вычислить для преобразования пекаря фрактальную размерность. Связь между показателями Ляпунова и фрактальными размерностями была исследована Фармером и др. [36] и кратко обсуждается в гл. 6.
Спектры показателей Ляпунова для некоторых динамических потоков и отображений представлены в табл. 5.2, заимствованной из работы Вулфа и др. [209].
В качестве заключительного замечения о критериях хаоса автору
•^блица 5.2. Пожазатели Ляпунова для динамических моделей [209]
Значения
Спектр
Размерность
Система
параметров
показателей
Ляпунова
Ляпунова (бнт/с)
(см. гл. 6)
астема Эиоиа
А.】=1 - oxj + у“
0 = 1,4
笳=0,603
1.26
b = 0,3
耳=-2,36 (бит/итераиия)
Хаос Ресслера
*=-J +幻
a = 0,15
Xi = 0,13
+ ay
b = 0Д0
N = 0.00
2,01
j s d + z (х - с)
c = 10,0
Хэ = -14,1
Свстема Лоренца
*匸0J - x)
a = 16,0
笳=2,16
2,07
f^x(r - z) - у
К = 45,92
N = 0,00
xy - bz
b = 4,0
Хэ = -32,4
МИН ниМИН ни
МИН ни
МИН ни
хотелось бы привести следующее стихотворение итальянского по> та Ф. Луна:
УДВОЕННЫЙ ВЕСТЕРН
Фейгенбаум, ковбой, Мчался с ранчо домой, Велоконь был весь в миле, и вдруг Что-то где-то стряслось в городке или в мире И колес у коня стало целых четыре, И всего стало вдвое вокруг.
Смейл*, шериф, неулыбчив и строг:
«Раз период удвоил, отправляйся в острог!» Холмс, судья, воплощеньем был рвенья, Мигом штраф наложил он за удвоение И спросил у ковбоя: «Вы вполне ли здоровы? Вижу, конь у вас есть, ну а где же подковы?» ... Славный городишко тот Хаосом народ зовет.
D Стивен Смейл ——математик, который в 1962—1963 гг. продолжил работу, начатую Пуанкаре и Биркгофом, и доказал теоремы, связывающие отображения типа подковы с гомоклиническими траекториями и хаосом (более подробно о работе Смейла см. в книге Гукенхеймера и Холмса [57]).
Фрактальные понятияв нелинейной динамике
Видите, мон братья н сестры? Это не хаос, не смерть — это порядок, единство, план — это вечная жизнь, это Счастье.
Уолт Уитмен. Листья травы
ВВЕДЕНИЕ
Для описания непериодических движений, напоминающих по сложности случайные (а именно таким движениям посвящена наша книга), мы использовали термины «хаотический» и «странный» аттрактор. Называя аттрактор хаотическим, мы подчеркиваем потерю информации или предсказуемости. Называя аттрактор стран ным, мы прежде всего стремимся подчеркнуть необычность геометрической структуры, по которой движется траектория в фаэо вом пространстве. В гл. 5, используя показатели Ляпунова, мы описали количественную меру хаотичности, или потери информации. В этой главе мы опишем количественную меру странности аттрактора. Эта мера называется фрактальной размерностью. Но прежде чем мы займемся фрактальной размерностью, нам необходимо ввести понятие фрактала в таком виде, чтобы его было удобно использовать для наших целей.
Выяснилось, что фрактальные понятия применимы не только в описанию структуры динамического аттрактора: в ходе исследований хаоса было установлено, что и другие геометрические объекты, такие, как граница между хаотическими и периодическими движениями в пространстве начальных условий или параметров, также обладают фрактальными свойствами. Учитывая это, мы посвятили специальный раздел фрактальным границам области притяжения,
В начале этой книги мы отмечали, что революция в нелинейной динамике была вызвана введением новых геометрических аналитических и топологических идей, вооруживших экспериментаторов (к числу которых мы относим не только тех, кто проводит физические эксперименты, но и тех, кто занимается численным экспери-
“ Уитмен М Листья травы. — М.: Художественная литература, 1982, с. 9>. Песня о себе. Пер. К. И. Чуковского.
Рис. 6・/. Фрагмент построения фрактальной кривой Кох.
(рис. 6.1). Таким образом, мы остаемся с 4 звеньями длиной 1/3 каждое, поэтому общая длина ломаной составляет 4/3. Чтобы построить фрактальную кривую, повторим этот процесс на каждом звене ломаной еще и еще раз. После многих повторений ломаная станет очень извилистой. В пределе при бесконечно большом числе шагов мы получаем непрерывную, нигде не дифференцируемую кривую. В некотором смысле эта кривая напоминает «каракули» которыми маленький ребенок покрывает лист бумаги, если даггь ему карандаш. Перед нами парадокс: непрерывная кривая с ненуле вой «площадью». Не удивительно поэтому, что для такой кривой можно определить фрактальную размерность, и эта величина оказывается заключенной в интервале от 1 до 2.
КАНТОРОВСКОЕ МНОЖЕСТВО
Канторовское множество было названо в честь Георга Кантора (1845—1918), открывшего его в 1883 г. Это понятие играет очень важную роль в современной нелинейной динамике. Построение кривой Кох можно рассматривать как процесс добавления к первоначальному отрезку все более мелких деталей (отрезков). Построение канторовского множества сводится к дополнительной операции — выбрасыванию из первоначального отрезка все более мелких отрезков.
Построение, как и в предыдущем примере, начинается с отрезка длины 1, который подразделяется на 3 равные части (рис. 6.2). Однако вместо того, чтобы добавлять 2 новых подотрезка, как в кривой Кох, необходимо отбросить среднюю часть, после чего число отрезков возрастает до 2, а полная длина их понизится до 2/3. Затем процесс повторяется на каждом из оставшихся отрезков и т. д. На каждом этапе отбрасывание средней трети удваивает число отрезков, но уменьшает общую длину отрезков до 2/3 ее величины перед отбрасыванием. В пределе полная длина канторовского множества стремится к нулю, хотя его размерность, как мы увидим ниже, заключена между 0 и 1.
рус. 62 Сверху вниз: последователь- нне этапы построения канторовского множества.
Рис. 6.3. Функция «чертова лестница».
ЧЕРТОВА ЛЕСТНИЦА
Разрывное фрактальное канторовское множество можно использовать для построения непрерывной фрактальной функции, интегрируя заданную на канторовском множестве подходящую функцию распределения. Предположим, например, что мы каким-то образом распределили на интервале 0 < х < 1 единичную (в каких-то единицах) массу. Если эту массу перераспределять на остающихся интервалах, то на каждом этапе предельного перехода плотность массы возрастает на убывающих по длине канторовских отрезках, но полная масса остается равной 1. На л-м этапе число интервалов длиной (1/3尸 равно 2", поэтому плотность равна (3/2)л. Интегрируя плотность массы, получаем массу как функцию координаты х:
х%(х) = \P"(x)dx,О
где ря = (3/2)" на канторовских отрезках и ря = 0 на дополнении к ним. В пределе при л -* оо мы получаем функцию, которая называется чертовой лестницей — с бесконечно большим числом ступеней. На рис. 6.3 показана одна из промежуточных функций 此(х)； в пределе М(х) = lim Мп(х). Выражение dM(x)/dx есть не что иное, как бесконечный набор дельта-функций.
ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Мы успели ознакомиться с 2 примерами фрактальных множеств, но не располагаем пока ни одним критерием для того, чтобы определять, фрактально ли то или иное точечное множество. Для классификации природы отображения Пуанкаре некоторых не-
линейных систем нам также необходима какая-то количественная мера фрактальной природы аттрактора.
Размерность точечного множества можно определить многимц способами. Мы опишем весьма наглядное, или геометрическое, определение размерности, называемой емкостью. Другие определе» ния, связанные с более глубокими математическими тонкостями, читатель может найти у Мандельброта0 [124], Фармера и др. [3® или в следующем разделе. Начнем с размерности множества точек, расположенных вдоль некоторой линии или распределенных по какой-то части плоскости.
Прежде всего рассмотрим равномерное распределение 乂 точек вдоль некоторой линии, или одномерного многообразия в трехмер» ном пространстве (рис. 6.4). Спросим себя» каким образом можно покрыть это множество точек малыми кубами с ребром длиной е. (Вместо кубов можно взять сферы радиуса с.)
Если говорить точнее, то мы хотим вычислить мшшмальное число таких кубов М* покрывающих наше множество (N(£)< М)・ Если число М велико, то число кубов, покрывающих линию» будет изменяться в зависимости от с как
N ⑹ « -.
Аналогично» если точки распределить равномерно по двумерной поверхности в трехмерном пространстве, то минимальное число ку»
Рис. 6.4. Покрытие для линейного и плоского распределения точек.
“ Бенуа Мандельброт — математик, работающий в фирме IBM (г. Йорктаун* Хайтс, шт. Нью-Йорк).
Одна из возможных интерпретаций фрактальной размерности кри. вой Кох сводится к утверждению о том, что распределение точеж покрывает больше чем линию, но меньше чем двумерную фигуру.
Двумя другими примерами множеств, для которых удается точно вычислить фрактальную размерность, служат множества, возникающие при отображении «подкова» и преобразовании пекаря.
Отображение типа подковы было подробно рассмотрено в гл. 1 и 5. Наглядно оно представлено на рис. 6.5. По-видимому, это простейший пример итеративного динамического процесса на плоскости, который ведет к потере информации и фрактальным свойствам.
Вычисление емкостной фрактальной размерности для отображения типа подковы производится по аналогии с тем, как это было сделано в случае канторовского множества, за исключением того, что вертикальное направление дает вклад в размерность, равный 1. Используя определение (6.1.2), можно показать, что
(6.1.5)(6.1.5)磊+1，
(6.1.5)
(6.1.5)
где £ — параметр сжатия и 0 < е < 1/2; см. работу Берже и др. [11], где подробно обсуждается этот пример.
Другим примером, в котором фрактальные свойства удается рассчитать аналитически, служит двумерное отображение, известное под названием преобразование пекаря. Описание его можно найти у Фармера и др. [36]. Это отображение аналогично отображению типа подковы (рис. 6.5). Свое название двумерное отображение, о котором идет речь, получило потому, что оно напоминает
операции, производимые пекарем с куском теста: раскатывание, растягивание, разрезание и перекладывание (рис. 6.6). В этом при
мере удается выписать в явном виде разностное уравнение, связывающее старое положение (хп, уп) «куска теста» с его новым положением через одну итерацию:
при уп V а,
при Уп > а,
(6.1.6)
1
где 0《X”《1 н 0《％ W 1.
при уп < а,
при уп > а,
фрактальной размерности. Они ввели следующую функцию:
Рис, 6.6, Преобразование (или отображение) пекаря.Рис, 6.6, Преобразование (или отображение) пекаря.
Рис, 6.6, Преобразование (или отображение) пекаря.
Рис, 6.6, Преобразование (или отображение) пекаря.
Н(а) = a log — + а
+ (l-a)log」~. (6.1.7)
Используя определение емкости множества, показали, что
4=1+%,(6.1.8)
где dc удовлетворяет трансцендентному уравнению
入 f + 入:，=1.(6.1.9)
при 入° = % =入 имеем
Величина dc не зависит от а и совпадает с аналогичной размерное- тью для отображения типа подковы (6.1.5).
Художники, по-видимому, интуитивно понимают природу фрактальных множеств. Это в особенности относится к импрессионистам, которые с помощью цветных мазков-точек создают различные эффекты заполнения евклидова пространства. Можно привести н более свежий пример: фрактальные свойства отчетливо видны на рекламном рисунке ткани для кимоно работы одного японского художника, помещенном в популярном журнале (рис. 1.26).
МЕРЫ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Существуют два возражения против использования емкости в качестве меры фрактальной размерности странных аттракторов — одно теоретическое и одно вычислительное. Во-первых, емкостная размерность — геометрическая мера, т. е. она не учитывает частоту, с которой траектория посещает элемент покрытия (куб или Шар). Во-вторых, подсчет гиперкубов, образующих покрытие множества в фазовом пространстве, требует очень больишх затрат вычислительного времени. В этом разделе мы рассмотрим три аль- тернативнь1х определения фрактальной размерности, которые вое： полняют недостатки емкости. Следует отметить, однако, что для многих странных аттракторов эти различные размерности дают примерно одно и то же значение.
ПОТОЧЕЧНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Рассмотрим какую-нибудь траекторию в фазовом пространстве на протяжении продолжительного интервала времени (рис. 6.7). Произведем, во-первых, некоторую выборку точек с тем, чтобы полечить на траектории достаточно большое число представляющих точек. Во-вторых, опишем вокруг какой-нибудь точки на траектории сферу радиуса г (или куб с ребром г) и подсчитаем число выборочных точек NO попавших внутрь сферы. Вероятность того, что выборочная точка окажется внутри сферы, мы получим, разделив N(r) на полное число выборочных точек на траектории:
Р(，)=券• (6.2.1)
Для одномерной орбиты, например для замкнутой периодической орбиты, вероятность 戶(г) линейна по г при г — 0, М — 8： Р( г) » Ьг. Если бы траектория была квазипериодической н, на-
Рис. 6.7. Траектория движения в фазовом пространстве за большой промежуток времени с выборочными точками и сферой, внутри которой производится подсчет выборочных точек.
пример, лежала бы на некоторой двумерной тороидальной поверхности в трехмерном фазовом пространстве, то вероятность найти точку траектории в малом кубе или сфере радиуса г составляла бы величину 尸(г)之 dr2. Это наводит на мысль об определении размерности траектории в точке х『(где х『一вектор в фазовом пространстве) путем измерения доли времени, проводимого траекторией внутри малой сферы, т. е.
dp = lim "g 门'；％). (6.2.2) r-0 lOg Г
Для некоторых аттракторов это определение не зависит от точки х『・ Но для многих других аттракторов dp зависит от xz, и поэтому лучше пользоваться усредненно办 поточечной размерностью. Кроме того, для некоторых множеств, таких, как канторовское множество, в распределении точек имеются щели, или пробелы, поэтому и 尸(г) при г — 0 перестает быть непрерывной функцией от г (вспомним хотя бы дьявольскую лестницу, изображенную на рис. 6.3).
Чтобы получить усредненную поточечную размерность, выбирают случайным образом множество точек Л/ V 乂 н в каждой его точке вычисляют 厶0(『)・ После того как это сделано, усредненная поточечная размерность вычисляется по формуле
办=^ £ dpg)・ (6.2.3) м 1
В качестве альтернативы можно усреднять вероятности 尸(尸；х『)・ Для этого мы выбираем случайное подмножество из М точек, рас-
положенных вокруг аттрактора (М « %), и предполагаем, что lim JL £ Р(г; х,) =
ИЛИ
do = lim” г - Оdo = lim” г - Оk)g(l/M)EP(r)log гk)g(l/M)EP(r)log г
do = lim
” г - О
do = lim
” г - О
k)g(l/M)EP(r)log г
k)g(l/M)EP(r)log г
На практике NQ * 105—10* точек, поэтому М 图 10-2—105.
Другой метод вычислшия фрактальной размернсюти состоит в УП)еднении по радиусам сфер (или размерам кубов) в фазовом пространстве, содержащих одно и то же число точек (например, N точек). Выбирая различные точки отсчета [xj (центры сфер или кубов), вычисляют 夕(N) и берут среднее по л точкам отсчета:
7( N)吋 £ r^N).
i = 1
Предполагаетсяy что для фракталов выполняется закон подобия
N = с»・
Этот метод исследовали Термониа и Александрович [188].
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Этот вариант фрактальной размерности успешно использовали экспериментаторы (например, Мальрезон и др. [123], Суинни [182], Чилиберто и Голлуб [22], Мун и Ли [143]). Между поточечной размерностью и корреляционной размерностью существует определенная связь. Обширное исследование этого варианта размерности было проведено Грассбергером и Прокачча (47].
Как и при определении поточечной размерности, непрерывная траектория дискретизируется — заменяется множеством из N точек {х.} в фазовом пространстве. (Можно также создать псевдофа- зовое пространство; см. гл. 4 и следующий раздел). Затем вычисляют расстояния между парами точек % = lxz - x^l, используя либо обычную евклидову меру расстояния (квадратный корень из суммы квадратов компонент), либо какую-нибудь эквивалентную меру (например, сумму абсолютных величин компонент вектора). Корреля- нионнаг функция определяется как
八=.. число пар (/, J), \
《丿一'巴 尸〈ея которых расстояние % v /■丿，(624)
Для многих аттракторов эта функция зависит от г при г -* 0 по степенному закону, т. е.
lim С( /•) = а»,
г—О поэтому фрактальную, или корреляционную, размерность можно определить по наклону прямой на графике (In С, In г):
d = lim 2g С( " .(6.2.5)
г-0 log Г
Выяснилось, однако, что С( г) можно вычислить более эффективно, описав в фазовом пространстве сферу (или куб) вокруг каждой точки X, и подсчитав число точек в каждой сфере, т. е.
C(r)= Нт ^ £ £ Я(г - 1х,. - ху1),(6.2.6)
N—8/ s 1 у = 1
где Н( s) = 1 при s > 0 и Я(5)= 0 при s V 0. Эта величина отличается от поточечной размерности тем, что суммирование проводится вокруг каждой точки.
ИНФОРМАЦИОННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
Многие исследователи предлагали другое определение фрактальной размерности, аналогичное емкости (6.1.2), но учитывающее в той или иной форме частоту, с которой траектория попадает в элемент разбиения — сферу или куб. Как и в случае емкости, устраивают покрытие множества точек, размерность которого требуется определить, N кубами с ребром длины £・ В свою очередь множество точек рассматривается как равномерная дискретизация непрерывной траектории. (Предполагается, что траектория выбрана достаточно длинная и что она эффективно покрывает аттрактор, размерность которого подлежит измерению. Например, если движение квазипериодическое, то траекторию следует рассматривать на достаточно продолжительном временном интервале, чтобы она успела «посетить» все области на тороидальной поверхности аттрактора.)
Для вычисления информационной размерности мы находим число точек Nj в каждой из N ячеек покрытия и оцениваем вероятность 巴 найти точку в /-й ячейке:
N N
е ■答，£ е = 1，(6.2.7)
где N\ — общее число точек в множестве. Подчеркнем, что № * N.
Информационная энтропия определяется выражением
N/(£)= - £ Л log Л.N/(£)= - £ Л log Л.(6.2.8)(6.2.8)
N
/(£)= - £ Л log Л.
N
/(£)= - £ Л log Л.
(6.2.8)
(6.2.8)
[Если логарифм берется по основанию 2, то /(£)измеряется в единицах, которые называются битами.] Известно, что при малых £ информационная энтропия ведет себя как
/ * dJogCl/e),
поэтому при малых £ информационную размерность можно определить как
% =% =lim с—Оlim с—Оlog (1/£)log (1/£)吃”吃”(6.2.5)(6.2.5)
% =
% =
lim с—О
lim с—О
log (1/£)
log (1/£)
吃”
吃”
(6.2.5)
(6.2.5)
Информационная размерность связана с емкостью. Убедиться в- этом мы можем, заметив, что если бы вероятности 号 были равны для всех ячеек, т. е. если бы выполнялсюь соотношение
Р,=备Г， (6.2g
ТО
I = £ Pi log Pi = — N • ^ log ^ = log N
и 4 = * Можно показать [36], что в общем случае
4 W %(6.2.11)
Белее подробный анализ понятия информационной размерности можне найти в работах Фармера и др. [36], Грассбергера и Прокач- ча (4*1 и Шоу [171].
Мерой непредсказуемости в системе служит информационная знтрепия. Иначе говоря, в случае, когда все ячейки равновероятны, или、= 1/М величина / максимальна. Если же все точки сосредоточены в одной ячейке (максимальная предсказуемость), то Z = 0. В этом нетрудно убедиться с помощью вычислений. Действительно,
если 戶『=l/N9 то Z = log TV;
если 戶]=lt Pi = 0 при / Ф 1,то Z = 1 • log 1 = 0.
О1феделение (6.2.8) и обозначение /(£)приводят к путанице в литературе. Шоу [171] использует символ А для обозначения энтропии и символ / для обозначения негэнтропии (— Я), или инфор- моции. По Шоу, более предсказуемая система (с более «острым» — менее расплывшимся — распределением вероятности 巴)обладает большей информацией.
СВЯЗЬ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ ОПРЕДЕЛЕНИЯМИ РАЗМЕРНОСТИИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ ЛЯПУНОВА
Итак, мы ввели определшия следующих фрактальных размерностей:
емкости dc (6・1・2),
поточечной размерности dp (622),
корреляционной размфности dG (6.2.5), информационной размерности % (6.2.9).
Грассбергер и Прокачча [47] показали, что информационная раз- мфность и корреляционная размерность ограничивают емкость снизу, т. е.
dG^dt^ dc.(6.2.12)
Однако для многих стацдартных странных аттракторов все три размфиости очень близки (см. табл. 61).
TMK/wW £ 丄 Фрактальиые размерности некоторых динамических систем
Нюмняе актсмы
ВелгашЪшИстошк
(мэмериостаразмерноствдавных
Ото^ажсяве Эвоаа (1.3.8)(4 = 1,4； b = 03)
Логистическое отображение (1.3.6) (X = 3,5699456)
Система Лоренца
(1.3.9)
1Д6ЕмкостьПмюсбергер и Проига・
1Д1 ± 0,001 Корреляционнаяча (47]
размпжость
0,538Емкость
0,500 ± 0,005КоррсляциоянаяЦюссбергер иПрокач-
размерностьча (47]
2,06 ± 0,01Емкость
2,05 ± 0,01КоррсляциоянаяГрассбергер нПрокач-
размерностьча [47]
Потенциал с двумя ямами (6.3.7) (Г =0,16;
з = 0,8333)
2,14КоррсляционваяМун н Ли (143)
6 = 0,15)размерность
2,61
6 = 0,06)
Цепь Чуа
2,82Показатель Ля- Мацумото и др.【129]
пунова
Те же авторы отметили связь между емкостью, кощэеляционной функцией и информационной энтропией. В статистической механике и в теории информации можно определить серию мер информационной энтропии, называемых информацией порядка q [48]:
(6.2.13)(6.2.13)
(6.2.13)
(6.2.13)
Где Pj — вероятность найти точки в множестве N накрывающих кубов. Если £ — длина ребра накрывающих кубов, то можно определить размерности порядка q:
gglimг-0limг-04(E)log (l/£)4(E)log (l/£)(6.2.14)(6.2.14)
g
g
lim
г-0
lim
г-0
4(E)log (l/£)
4(E)log (l/£)
(6.2.14)
(6.2.14)
При q = 0, 1, 2 можно связать соответствующую размерность dq с емкостью, информационной и корреляционной размерностями.
При q = О
/0 = log £ 呼=logN.j = i
При q = 1 (полагая q = 1 + q н устремляя 刀—0) получаем
/[ = lim 丄 log E P^ = - E ^. log 斗
При q = 2
/2 = - log £ P? = lim log 2 Nq C(£)・
I = 1N。一0
Таким образом, емкостная размерность не учитывает распределения точек между покрывающими множество ячейками, в то время как информационно-энтропийная размерность порядка 1 измеряет вероятность найти точки в ячейке. Наконец, корреляционная размерность учитывает вероятность найти в одной и той же ячейке две точки.
Еще одно соотношение между фрактальной размерностью, информационной энтропией и показателями Ляпунова была установлена Капланом и Йорке [90J. Напомним (см. гл. 5), что показатели Ляпунова характеризуют для траекторий на аттракторе скорость их разбегания друг от друга, а для траекторий вне аттрактора — скорость их приближения к аттрактору (см., например, рис. 5.30). Сказанному можно придать наглядный смысл. Малая сфера начальных условий, описанная вокруг некоторой точки на аттракторе в фазовом пространстве со временем под действием динамического
процесса деформируется в эллипсоид. Например, в случае двумерного хаотического отображения
3=g(62.15)
окружность начальных условий (радиуса е) через М итераций деформируется в эллипс с большой и малой полуосями, равными со- ^ветственно 厶任 и 厶葬.Величины Lx и Lv усредненные по всему 0Tтрактору, называются числами Ляпунова, а величины \ = log Li — показателями Ляпунова.
Каплан и Йорке [90] (см. также работу Фармера и др. [36]。) предложили способ вычисления размерности аттрактора по показа- f«nHM Ляпунова. Для двумерного отображения такая размерность определяется по формуле
%=1 + I =1 - 4 •(6216)
log (1%)%
Для отображений более высокой размерности в N-мерном фазо- юм пространстве связь между числами Ляпунова и размерностью Ляпунова более сложная. Прежде всего необходимо упорядочить ”ла Ляпунова, т. е. расположить их в убывающую последовательность
Lx > L2 ... > Lk > 厶川，(6.2.17)
I затем найти %, такое, что
Тогда ляпуновской размерностью по определению называется величина
% = % +.(6.2.18)
Каплан и Йорке [90] высказали предположение о том, что dL является нижней границей для емкостной размерности, т. е. что
dL W 4・(6.2.19)
В качестве примера рассмотрим трехмерное множество точек, порожденное отображением Пуанкаре системы четырех дифференциальных уравнений первого порядка с диссипацией.. Если аттрактор странный, то
> 1, L】—1, L3 V 1 •
"Следует иметь в виду, что в этой работе 入 означает число, а не показатель Ляпунова.
Это означает, что одна главная ось эллипсоида начальных условий растягивается, другая остается неизменной, а третья ось сжимается. Кроме того, так как система диссипативная, объем эллипсоида должен быть меньше объема исходной сферы начальных условия, в силу чего Lj L2 L3 < 1< Это заставляет нас выбрать в соотношении (6.2.18)衣=2, после чего мы получаем
乙=2 + I =2 + 碧• (6 2.20) 丄 log (l/£3) IX3I
Полезность этой формулы для обработки эксп^иментальных данных пока остается неясной из-за трудности получения числа Ля пунова J характеризующего сжатие (см., например, работу Вулфа и др. [209]).
Сравнение различных определений фрактальной размернехгги для преобразования пекаря (6.1.6) было произведено Фармсом и др. [Зб]. Преобразование пекаря — одна из немногих динамических систем, для которых свойства хаотической динамики удается вычислить аналитически.
Используя определение (5.4.13), Фармер и др. показали, что ля- пуновская размерность (6.2.20) равна информационной размернехгги (629) и определяется выражением
……anUz …
где 6 = 1 - а・ Если 入“=入不 то, как можно показать, ……黑• 3
Кроме того, если а = 1/2, то Н(а) = log 2 и
% = % =《.
Мы видим, что а и、/、некоторым образом характеризуют неоднородность отображения. При а = 1/2 и %/、= 1 отображение похоже на подкову или канторовское множество, и все определения размернехгги d卜 dLl《совпадают. Из сказанного следует, что различные определения фрактальной размерности, по-видимому, могут приводить к различным результатам, когда динамический процесс приводит к «неоднородному» отображению Пуанкаре.
НАСКОЛЬКО ПОЛЕЗНА ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ДЛЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ?
Практическое использование всех введенных выше размерностей для количественной и качественной характеристик хаотических ко-
дебаний пока все еще остается делом будущего. Во многих случаях оказывается достаточным установить, что размерность — нецелое @сло и что аттрактор действительно странный. Однако фракталь- В размерность некоторых аттракторов близка к целому числу (например, для аттрактора Лоренца (1.3.9) d = 2,06], поэтому фрактальная размерность сама по себе еще не свидетельствует о хаотической природе движения. Как отмечалось в гл. 2У в динамических экспериментах лучше не полагаться на какой-нибудь один критерий хаоса, а использовать для большей надежности два, три и 九 д. признака, например отображение Пуанкаре, спектр Фурье, показатели Ляпунова или фрактальную размерность, прежде чем провозглашать систему хаотической или странной.
В следующем разделе мы обсудим использование фрактальной размерности для характеристики странных аттракторов.
6・3・ ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ СТРАННЫХАТТРАКТОРОВ
Фрактальная математика применяется в нелинейной динамике равным образом для двух целей: характеристики странных аттракторов и измерения фрактальных границ в пространствах начальных цнных и п即аметров. В этом разделе мы обсудим использование фрактальной размерности в численных экспериментах и физических ■эмерошях движений, связанных со странными аттракторами.
Пока еще не существует приборов, электронных или каких- внбудь других, которые давали бы на выходе сигнал, пропорциональный фрактальной размерности, хотя в будущем электрооптические методы, возможно, позволят построить такой прибор (см. разд. 6.5). Ныне и в численных, и в физических экспериментах фрактальную размерность и показатели Ляпунова находят, дискретизируя сигналы последовательностью равноотстоящих (по времени) точек и обрабатывая полученные данные на компьютере. Существует 3 основных метода:
временные дискретизации переменных в фазовом пространстве;
вычисление фрактальной размерности отображений Пуанкаре；
построение псевдофазового пространства по измерениям одной переменной (иногда называемой методом вложения пространства).
В первом и третьем методах переменные измеряются через оди- «аковые интервалы времени [х( /0 + лт)], где л ——целые числа, и
записываются. Временной интервал г выбирается с таким расчетом, чтобы он составлял определенную долю периода вынуждающей силы или характерного времени траектории. Если сечение Пуанкаре в методе «б» проводится по временной переменной, то т — период траектории. Если же сечение Пуанкаре проводится по каким-нибудь другим переменным в фазовом пространстве, то собранные данные соответствуют различным моментам времени в зависимости от конкретного типа выбранного сечения Пуанкаре (см. гл. 4).
Существуют основные определения фрактальной размерности используемых сейчас: усредненная поточечная размерность, корреляционная размерность и ляпуновская размерность. В большинстве современных работ, где реально вычисляется фрактальная размерность, используется от 2000 до 20 000 точек, хотя некоторые авторы утверждают, что обладают надежными алгоритмами, позволя ющими вычислять размерность по 500 точкам (см., например, работу Абрахама и др. [2]). Прямые алгоритмы для вычисления фрактальной размерности по Nq точкам обычно содержат № операций и требуют для реализации использования суперминикомпьютеров или крупных компьютеров. Но при более рациональном использовании возможностей, заложенных в компьютерах число операций удается понизить до М In % н тем существенно ускорить вычисления (см. [47]).
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Предположим, что мы знаем (или подозреваем) о существовании у хаотической системы аттрактора в трехмерном фазовом пространстве с физическими переменными [ х( г), у( г), z(f)}・ Например, в случае вынужденного движения балки или частицы в потенциале с двумя ямами (см. гл. 2) х — положение, и = £ — скоростц z = 一 фаза периодической вынуждающей силы. При дискретизации речь идет о выборке временных значений [ х( г), у( г), z(tt через интервал, который должен быть меньше периода вынуждак> щей силы. Каждому интервалу времени соответствует точка хл = {х(〃т), у(〃т), z(〃t)} в фазовом пространстве.
Для вычисления усредненной поточечной размерности выбирают случайным образом несколько точек хл. Для каждой выбранной точки вычисляют расстояния до ближайших окружающих точек хй. (Обращаем внимание читателей на то, что речь идет о точках, ближайших во времени, а не в пространстве.) Использовать евклидову меру расстояния не обязательно. Например, можно воспользовапг ся суммой абсолютных величин компонент вектора (хл - xw), т. е.
snm = 1х(лт) - х(тт)\ + \у(пт} - у(тт)\ + Iz(m) - г(тт)1. (6.3.1) Затем подсчитывают число точек в шаре, кубе или другом геометрическом теле (или фигуре) размера £ и находят вероятность как функцию параметра £：
尸”(€)=靑 鼻 А(е - S'(6.3.2)
где % — общее число точек в выборке, Я — функция Хевисайда (Я( г) = 1 при г > 0, Н(г) = 0 при г < 0). Усредненная поточечная размерность по определению (6.2.3) есть величина
4 = lim 3 尸网,(6.3.3)
一 о log e
где предел в формуле для dn существует. Для некоторых аттракторов вероятность Рп зависит от € не по степенному закону, а разрывно или имеет изломы. В этих случаях можно вычислять модифицированную поточечную размфность, предварительно усредняя («сглаживая») % Например, можно выбрать
^ л = 1
и(6.3.4)
.「 10g С(£)d = lim —一~—.
…log(e)
Эта размерность аналогична корреляционной размерности, которую мы рассматривали в предыдущем разделе.
На рис. 6.8 а, б представлена зависимость корреляционной размерности от £ на примере потенциала с двумя ямами (5.2.2). Размерность определялась по результатам численного эксперимента с уравнениями £ = у, у = - sy + (1/2) х(1 - х2) + Jbosz, Z = з； значения б, / и w были выбраны в хаотической области. На рис. 6.8а показана зависимость логарифма корреляционной функции, а на рис. 6.8 б — локального углового коэффициента от логарифма поперечника элемента покрытия. При средних значениях £ локальный угловой коэффициент колеблется вблизи значения 25. Это согласуется с тем, что аттрактор существует в трехмерном пространстве (х, у, z)・
Рис. 6・М・ log Сш фуикшм от loge дм хаотического двнжапш в потенциале с юь мя ямами (3.3.6). Двш1ые получены при численном иитегрцхюанви.
А/с. 6.86 Локальный угловой коэффициент кривой рис. 6.8а обнаруживает фрактальную размерность в окрестности значения 2,5.
На практике % » 3-105 - 3-104 точек, М ■ 0,20%. Число подбирают опытным путем, начиная с какого-нибудь малого значения и поп епенно увеличивая его до тех пор, пока d не достигает предела.
Выбор £ также требует известной осмотрительности. Верхний предел значений £ гораздо меньше максимальной величины аттрак- ■ тора, но достаточно велик, чтобы «ухватить» крупномасштабную структуру в окрестности точки хп. Наименьшее значение £ должно быть таким, чтобы сфера радиуса £ или куб с ребром £ содержали по крайней мере одну выборочную точку. Например, в трехмерном фазовом пространстве, если я)едний глобальный масштаб аттрактора равен L, то средняя плотность точек составляет величину
М • 6
°2，
поэтому объем, связанный с масштабом £, должен быть больше, чем или
(6.3.5)(6.3.5)L
(6.3.5)
(6.3.5)
两.
Другим ограничением на минимальную величину £ является уровень «реального шума% или неопределенность в измерениях переменных состояния (х у, z). В любом реальном эксперименте существует сфера неопределенности, окружающая каждую измеренную точку в фазовом пространстве. Когда е становится радиусом этой сферы, рассмотренная выше теория фрактальной размерности, строго говоря, становится неприменимой, так как при меньших £ нельзя ожидать самоподобной структуры.
ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЙ ПУАНКАРЕ
В системах с периодическим внешним воздействием, таких, как странный аттрактор Дуффинга—Уэды (3.2.25) или странный аттрактор в задаче о движении в потенциале с двумя ямами (3.3.6), время, или фаза ф = зГ, становится естественной переменной в фазовом пространстве. В большинстве случаев эта временная переменная лежит в том подпространстве, которое содержит аттрактор, и время можно рассматривать как одну из составляющих размерности аттрактора. В случае нелинейного осциллятора второго порядка с периодической вынуждающей силой отображение Пуанкаре, состоящее из периодической выборки временных точек, порождает некоторое распределение точек на плоскости. Для вычис-
ления фрактальной размерности полного аттрактора иногда удобно сначала вычислить фрактальную размерность отображения Пуанка» рс 0 < D < 2. Если D не зависит от фазы отображения Пуанкаре (напомним, что 0《з/ W 2т), то размерность полного аттрактора есть просто
d = 1 + D.(6.3.6)
В качестве примера мы рассмотрим данные численного и физи» ческого эксперимента для потенциала с двумя ямами или аттрактсь ра Дуффинга—Холмса (гл. 2):
х + ух - ^ х(1 - /) = /cos 3九(6.3.7)
В этом примере нас интересуют два вопроса:
Изменяется ли фрактальная размерность странного аттрактора в зависимости от фазы отображения Пуанкаре?
Как изменяется фрактальная размерность в зависимости от коэффициента затухания у?
Фрактальная размерность была вычислена для нескольких экспериментальных сечений Пуанкаре. Результаты вычислений представ^ лены в табл. 6.2. Из этой таблицы видно, что вблизи аттрактора размерность D почти постоянна, поэтому приближение d = 1 + D (6.3.6) представляется достаточно хорошим.
Результаты численного моделирования движения частицы в потенциале с двумя ямами под действием периодической вынуждаю-
Т^лшю，6.2. Размерность экспериментально построенного отображения Пуанкаре как функция фазы для колебаний продольно изогнутой балки0
0(1,4产Р(1,7)э,
о45903580о459035807 8 7 72 2 3 3 3 ^и ^и7 8 7 72 2 3 3 3 ^и ^и
о45903580
о45903580
7 8 7 7
2 2 3 3 3 ^и ^и
7 8 7 7
2 2 3 3 3 ^и ^и
° Безразмерный коэффициент затухания 卞=0,013; частота вынуждающей силы 8,5 ГЦ； собственная частота колебаний относительно изогнутого состояния 9,3 Гц; из работы Муна и Ли [143].
” По четырем точкам при самых малых log г на графике log С как функция log г.
” По се*.и точкам при самых малых log г на графике log С как функция log г.
1.0
-08 3 一 ■…■ ■ ■ ■ ■ ‘■ ■，…一 ■…■ ■ ■ I ‘ ■ fT ・
-2,0 -1,0 0.0 IQ 2.0 X
Рис. &9. Фрактальное распределение точек в сечении Пуанкаре в задаче о движении частицы в потенциале с двумя ямами (3.2.10). По тем же данным, которые представлены на рнс. 6.8.
щей силы показаны на рис. 6.9. Зависимость корреляционной функции С(£)от £ представлена в дважды логарифмическом масштабе на рис. 6.10а. Как и предполагает теория, зависимость оказывается линейной.
На рис. 6.10 использованы те же данные, что и на рис. 6.8. Из рис. 6.106 видно, что D » 1,5, или d = 2,5, что согласуется с размерностью, вычисленной непосредственно для полного аттрактора в фазовом пространстве (х,此 3f) (рис. 6.8).
Влияние затухания на фрактальную размерность аттрактора в задаче о потенциале с двумя ямами определялось с помощью численного моделирования по методу Рунге—Кутта. Полученная зависимость показана на рис. 6.11. Мы видим, что при слабом затухании аттрактор заполняет фазовое пространство (D = 2t d = 3), как гамильтонова система (с нулевым затуханием). Но при увеличении затухания отображение Пуанкаре становится одномерным, и размерность аттрактора убывает no d = 2, как в уравнениях Лоренца.
Рис. &lg Зшкямость logC от loge для точек в сечснвв Пуашофе, прслставпея- ных яа рас. 6・9・
Ас. 6.106, Локальный угловой коэффшнсит кривой рис. 6Л0а. Фрактальная раз- мчжость линейнрго участка близка к 1,5.
Коэффициент затухания 7
Рис. 6.〃. Зависимость фрактальной размерности от затухания для частицы, колеблющейся в потенциале с двумя ямами (3.2.10).
Фрактальная размерность хаотической цепи (диод» индуктивность и сопротивление» соединенные последовательно, возбуждаются генератором) была измерена Линсеем [113]» построившим отображение Пуанкаре. Линсей измерял ток в выборочные моменты времени через интервалы, равные периоду генератора, и построил псевдофазовое пространство (/( /), /( / + 丁), /( / + 2丁)) (см. следующий раздел). Полученная фрактальная размерность отображения Пуанкаре оказалась равной D = 1,58, поэтому размерность аттрактора равна 2,58.
ВЫЧИСЛЕНИЕ РАЗМЕРНОСТИ ПО ОДНОРАЗОВОМУ ИЗМЕРЕНИЮ ВРЕМЕННОГО РЯДА
Методы, которые мы обсуждаем до сих пор, предполагают (1) известной размерность пространства, в котором лежит аттрактор, и (2) возможным измерение всех переменных состояния. Однако во многих экспериментах удается проследить или измерить временную эволюцию только одной переменной состояния. Кроме того, в непрерывных системах, содержащих жидкие или твердотельные среды, число степеней свободы или минимальное число «значащих» мод, дающих вклад в хаотическую динамику, может быть априори не известно. Одно из важных приложений фрактальной математики как раз и состоит в том, что она позволяет определить наименьшее число дифференциальных уравнений первого порядка, позволяющих передать качественные особенности динамики непрерывных систем. На этом пути удалось добиться некоторых успехов в задачах термогидродинамики, например в конвекции Рэлея—Бенара (см. [123]).
В первых теориях турбулентности (например, в теории Ландау [98]) считалось, что хаотический порок возникает в результате взаимодействия в жидкости очень большого или бесконечного множества мод или степеней свободы. Согласно современным представлениям, хаос, связанный с переходом к турбулентности, может быть моделирован конечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Предположим, что число дифференциальных уравнений первого порядка, необходимых для моделирования динамики некоторой диссипативной системы, равно М Тогда фрактальная размерность аттрактора должна удовлетворять неравенству d < N. Следовательно, определив каким-то способом величину d, мы тем самым определили бы минимум для N.
Не располагая числом N, мы не можем знать, сколько физических переменных (х( г), у( г), z( /)) подлежат измерению. Вместо этого мы строим псевдофазовое пространство, или пространство вложения, используя значения какой-нибудь одной физической переменной, взятые со сдвижкой по времени, например (х( г), х( Г + т), х( г + 2т),...) (см. гл. 4 и работу Паккарда и др. [152]). Например, векторы трехмерного псевдофазового пространства мы вычисляем, используя три последовательные компоненты дискретизированной величины х( г) (рис. 6.12), т. е.
х“ =【х( % + лт), х( " + ( 〃 + 1)т), х( % + ( 〃 + 2)т). (6.3.8) Располагая этими радиус-векторами, можно воспользоваться корреляционной функцией (6.2.4) или усредненной вероятностью (6.2.3) и вычислить фрактальную размерность.
*. 6,12. Общий вид траектории в трехмерном псевдофазовом пространстве, реконструированной по одноразовому измерению временно* го ряда.
Чтобы определить минимальное N, мы строим псевдофазовые пространства все более высокой размерности, используя для этого выборочные измерения х(г), до тех пор пока фрактальная размерность не достигнет своего асимптотического значения d = Л/ + 从, где д < 1. Тогда минимальную размерность фазового пространства для исследуемого хаотического аттрактора можно принять рав- кой N = М + 1.
При реконструкции динамического аттрактора по хронологически упорядоченным измерениям одной переменной возникает вопрос: какой размерности должно быть пространство вложения для того, чтобы ухватить все топологические особенности исходного аттрактора? Ответ на этот вопрос дают теоремы, сформулирован- ■ые и доказанные математиком Такенсом. Если исходный аттрактор «живет» в Ммерном фазовом пространстве, то при реконструкции нам придется построить пространство вложения (наше псевдофазовое пространство) размерности 2N + L
Для иллюстрации этих идей применим метод пространства вложения для нахождения размерности аттрактора в задаче р движении в потенциале с двумя ямами (или о колебаниях продольно изогнутой балки) (5.2.2). Ранее мы видели, что этот аттрактор «живет» в трехмерном фазовом пространстве (% 尤 зГ) н имеет фрактальную размерность d = 2,5 (рис. 6.8). По тем же данным мы можем теперь вычислить фрактальную размерность d из отображения Пуанкаре (рис. 6.9, 6.10). По тем же численным данным, интегрируя по методу Рунге—Кутта, мы можем восстановить движение в псевдофазовом пространстве, используя дискретизованное значение х( г) и выбирая пространства вложения размерности m = 2 — 8. Графики на рис. 6.13а, 6 показывают корреляционную функцию и вычисленную размерность аттрактора в каждом пространстве вложения.
На рис. 6.136 видно, что размерность достигает асимптотического значения d = 2,5 после т ~ 4—5, что согласуется с теоремой Такенса.
Рис 6J3a. logC каж функщи от loge дли задачи о движении в потенциале с двумя ямами при различных размерностях пространства вложения. Хронологическая последовательность данных соответствует хроиолоппеакИ1 последовательности точек иа рис. 6.8 и 6.10.
2.62.62.42.42.22.22.02.02.03.04.65.06.07.С2.03.04.65.06.07.С
2.6
2.6
2.4
2.4
2.2
2.2
2.0
2.0
2.03.04.65.06.07.С
2.03.04.65.06.07.С
Рис. &136、Фрактальная размерность аттрактора как функция размерности пространства вложения.
В качестве примера использования экспериментальных данных мы приведем работу, выполненную группой при французской научно-исследовательской лаборатории в Сакле (см., например, работы Мальрезона и др. [123], Берже и др. [11]). Члены этой группы произвели измерение фрактальной размерности конвективной ячейки в жидкости под действием градиента температуры (конвекция рэлея—Бенара, см. гл. 3). Они вычислили фрактальную размерность, используя усредненную поточечную размерность (6,2,3) для псевдофазовых пространств различной размерности. Как показано на рис. 6.14у фрактальная размерность достигает насыщения при значении d = 2,8, когда размерность фазового пространства вложения становится равной 5 и больше. Французские исследователи использовали 15 000 точек и усредняли 匕⑹ по 100 случайным точкам.
Исследователи обнаружили также и области хаотического течения, в которых зависимость С(£)от log £ не имела четко выраженного наклона.
Об аналогичных результатах для течения между двумя цилиндрами (течения Тейлора—Куэтта) сообщила группа исследователей из Советского Союза (Львов и др. [118]). По их утверждению, им удалось измерить информационную размерность. На рис. 6.15 показан угловой коэффициент зависимости log С(£)от log £ как функция параметра е. Изображенная на рис. 6.15 ситуация характерна для таких измерений. При малых £ значения углового коэффициента отражают инструментальный шум, при больших е размеры покрывающих кубов или гиперсфер достигают масштаба аттрактора.
Rw. 6.14. Фрактальная размерность как функция размерности псевдофазового пространства вложения для измерений электрогидродннамнческого течения жидкости РГД), течения Рэлея — Бенара (гл. 3) н белого шума [123J.
bzostfsAXXOV* aoaocuxbzostfsAXXOV* aoaocuxbzttstfssvnov* XOSOEAbzttstfssvnov* XOSOEA44з m = 4 m = 5 m = 68з m = 4 m = 5 m = 68Рис. 6./5. Вычисление фрактальной размерности для хаотического течения жидкоста между двумя вращающимися цилиндрами — течения Тейлора — Куэтта (см. гл. 3) [118] (Elsevier Science Publishers, © 1981).Рис. 6./5. Вычисление фрактальной размерности для хаотического течения жидкоста между двумя вращающимися цилиндрами — течения Тейлора — Куэтта (см. гл. 3) [118] (Elsevier Science Publishers, © 1981).
bzostfsAXXOV* aoaocux
bzostfsAXXOV* aoaocux
bzttstfssvnov* XOSOEA
bzttstfssvnov* XOSOEA
4
4
з m = 4 m = 5 m = 6
8
з m = 4 m = 5 m = 6
8
Рис. 6./5. Вычисление фрактальной размерности для хаотического течения жидкоста между двумя вращающимися цилиндрами — течения Тейлора — Куэтта (см. гл. 3) [118] (Elsevier Science Publishers, © 1981).
Рис. 6./5. Вычисление фрактальной размерности для хаотического течения жидкоста между двумя вращающимися цилиндрами — течения Тейлора — Куэтта (см. гл. 3) [118] (Elsevier Science Publishers, © 1981).
Такой подход позволяет определить, как изменяется фрактальная размерность при вариации в ходе эксперимента какого-нибудь управляющего параметра. Например, в случае течения Тейлора—
рис, 6.16. Зависимость информационной размерности от числа Рейнольдса для потока в системе Тейлора — Куэтта [182] (Elsevier Science Publishers, © 1985).
Куэтта (см. рис. 3.37) Суинни и его сотрудники [182] измерили изменения фрактальной размерности d как функции числа Рейнольдса (рис. 6.16).
В другом гидродинамическом эксперименте Чилиберто и Голлуб [22] исследовали хаотическое возбуждение поверхностных волн в жидкости. Хаотические поверхностные волны возбуждались на частоте 16 Гц (вертикальные колебания); для выборки было отобрано 2048 точек с интервалом 1,5 с (около 300 траекторий). Используя метод пространства вложения, Чилиберто и Голлуб измерили корреляционную размерность (《 = 2,20 士 0,04) и информационную размерность % = 2,22 士 0,04. Обе размерности достигают асимптотических значений, когда размерность пространства вложения становится равной 4 или больше (см. также рис. 5.8).
Хольцфусс и Майер-Кресс [80] исследовали возможные ошибки при оценивании размерностей по временным рядам данных. Были изучены три метода: вычисление корреляционной размерности, усредненной поточечной размерности и метод усредненного радиуса Термониа и Александровича [188]. Хольцфусс и Майер-Кресс проверили каждый из трех методов на выборке из 20 000 точек, взятых из траекторий квазипериодического движения по 5 торам, порожденного 5 несоизмеримыми частотами. Используя метод псевдофа- зового пространства с размерностями вложения от 2 до 20, Хольцфусс и Майер-Кресс обнаружили, что усредненная поточечная размерность имеет наименьшее стандартное отклонение из всех трех исследуемых характеристик. Усреднение производилось по 20% выборочных точек, и кривые, не обнаруживавшие свойств самоподобия в значительном диапазоне значений параметра г, отбрасывались.
ОПТИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Все рассмотренные выше методы вычисления фрактальной раз мерности странных аттракторов требуют использования мощные цифровых микро- или мини-компьютеров. Однако с точки зрения экспериментатора естественно спросить, нельзя ли измерять фрактальные размерности динамических систем непосредственно, используя аналоговые устройства так же, как мы измеряем другие динамические свойства, например скорость и ускорение. В общем случае для динамической системы с многими степенями свободы ответ неизвестен; но в некоторых простых задачах фрактальная размерность двумерного отображения Пуанкаре может быть измерена оптическими методами (см. [102]). В основе такого подхода лежит оптическая интерпретация корреляционной функции (62»
Схема* иллюстрирующая этот подход, представлена на рис. 6.17. Напомним* что вычисление корреляционной функции включает подсчет числа точек в кубе или сфо)е9 описанных вокруг каждой точки фрактального множества. Оптический метод использует параллельную обработку информации, позволяющий находить число точек в окрестности всех точек фрактального множества сразу. Свет, идущий от одной пленки, создает на другой пленке освещен ный кружок. Если каждая пленка представляет собой точную копию сечевия Пуанкаре странного аттрактора, то полный световой поток, испускаемый второй пленкой, пропорционален корреляционной функции. Изменяя расстояние между пленками на рис. 6.17, мы
Рис, 6・/7・ Схема, иллюстрирующая основной принцип параллельного оптического измерения корреляцидйкюй функции и фрактальной размерности плсккого распреДО* ления точек.
тем самым изменяем радиусы небольших кругов и получаем возможность определить зависимость корреляционной функции от радиуса г. График зависимости log С( г) от log г позволяет найти фрактальную размерность D отображения Пуанкаре.
Если исследуемое отображение есть отображение Пуанкаре с временем в качестве параметра, то размерность аттрактора равна 1 + D.
ОПТИЧЕСКИЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕССОРДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
Принципиальная схема экспериментальной установки, приведенная на рис. 6.18, показывает, какой путь проделывает свет. Предлагаемый метод использует две особшности классической оптики. Во-первыхг если свет проходит через малое отверстие диаметра D я выполняется условие дифракции Фраунгофера (D А 入，где 入 —— длина волны света), то на плоскости, расположенной на расстоянии L за отверстием, свет образует круглое пятно («зайчик») радиусом г. Величина радиуса г определяется из соотношения г = lf22 L\/D. В описываемом нами методе отверстием служит светлое пятнышко («точка») на негативе плоского отображения Пуанкаре, и небольшой кружок света падает на точную копию негатива, расположенную на расстоянии 丄 от первого негатива (рис. 6.18). Во-вторых, для некогерентного излучения количество света, испускаемого вторым негативом, пропорционально числу
Рис. 6.18, Схема экспериментальной установки для оптического измерения фрактальной размерности [102] (Elsevier Science Publishers, © 1986).
Таким образом, общее количество света, проходящего через обе пленки, пропорционально корреляционной функции С(г). Чтобы вычислить С( г) или проварьировать г, мы просто измеряем или варьируем £ — расстояние между двумя негативами.
В более точной форме наши утверждения сводятся к следующее му. Пусть Ф(х, г) — световой поток за 2-м негативом, обусловленный потоком Ф/Л(х), проходящим через круглое отверстие в точке х на 1-м негативе:
ф(х, г) = 〃(Х, г) Л ?^ , (6.4.1)
где л(ху /*) = £ Я(г — 1х — xj) есть число отверстий в круге света, создаваемом потоком, проходящим через отверстие в точке х, Л — площадь светлой «точки» на 1-й пленке. Нетрудно видеть, что Ф в явном вцде зависит от л и г. Однако мы хотим измерить только л. Используя линейное соотношение между г и L, определим приведенный световой поток Ф* = (г/^Ф, где г — радиус освещенной площадки при £ = Lo( £0 — расстояние, выбранное за эталонное). Суммируя по всем точкам на 1-й пленке, получаем
2£ф(х, г) =£ ЕФ.л(х)л(г).2£ф(х, г) =£ ЕФ.л(х)л(г).N
2£ф(х, г) =£ ЕФ.л(х)л(г).
2£ф(х, г) =£ ЕФ.л(х)л(г).
(6.4.2)(6.4.2)Е Ф*(х, г)= к = 1
(6.4.2)
(6.4.2)
Если интенсивность падающего света распределена по 1-й пленке равномерно, то
Е %(х*,，)= Е «(/•) = с(г). (6.4.3)
Отображения Пуанкаре могут быть получены либо с помощью численного решения системы трех уравнений, либо из экспериментальных данных. Свет, проходящий через 2-ю пленкуу фокусируется на фотоэлементе для измерения светового потока. Свет от источника проходит через светофильтр (янтарно-оранжевого цвета), что позволяет оптимизировать отклик фотоэлемента на волну в окрестности 6328 А. Размеры светлых точек на негативе не превышают 0,2 мм, поэтому D/Х * 300, и условие дифракции Фраунгофера выполнено.
Выходное напряжение от фотоэлемента содержит немало шума. Чтобы выделить сигнал на фоне шума, в схеме предусмотрен механический прерыватель света и усилитель с синхронизацией. Прерыватель работает на частоте около 100 Гц, чтобы исключить шум в линиях спектра мощности.
?онос ^offioHSO ^SXX^SXQC^-?онос ^offioHSO ^SXX^SXQC^-2,002加2,402,602,803,003,203,40In (расстояние -厶[см])2,002加2,402,602,803,003,203,40In (расстояние -厶[см])Рис. 6J9. Световой поток как функция расстояния между двумя негативами отображения Пуашофе в дважды логарифмическом масштабе по данным о колебаниях продольно изогнутой балки [102] (Elsevier Science Publishers, © 1986).Рис. 6J9. Световой поток как функция расстояния между двумя негативами отображения Пуашофе в дважды логарифмическом масштабе по данным о колебаниях продольно изогнутой балки [102] (Elsevier Science Publishers, © 1986).
?онос ^offioHSO ^SXX^SXQC^-
?онос ^offioHSO ^SXX^SXQC^-
2,002加2,402,602,803,003,203,40
In (расстояние -厶[см])
2,002加2,402,602,803,003,203,40
In (расстояние -厶[см])
Рис. 6J9. Световой поток как функция расстояния между двумя негативами отображения Пуашофе в дважды логарифмическом масштабе по данным о колебаниях продольно изогнутой балки [102] (Elsevier Science Publishers, © 1986).
Рис. 6J9. Световой поток как функция расстояния между двумя негативами отображения Пуашофе в дважды логарифмическом масштабе по данным о колебаниях продольно изогнутой балки [102] (Elsevier Science Publishers, © 1986).
Световой поток за 2-м негативом измеряли с помощью фотоэлемента как функцию расстояния между негативами, и график зависи- мсхгги приведенного светового потока (642) от расстояния L в дважды логарифмическом масштабе представлен на рис. 6.19. Теоретически угловой коэффициент этой линии должен давать фрактальную размерность (6.2.5).
Вычисления фрактальных размерностей с использованием корреляционной функции С( г) показали, что для измерения углового коэффициента существует оптимальный диапазон значений радиуса 匚 При малых г мы сталкиваемся с погрешностью, обусловленной шумом, которым сопровождается порождение отображения (эта погрешность приводит к увеличению углового коэффициента). При больших г мы достигаем размера самого аттрактора, и поэтому С(л) выходит на насыщение (что приводит к уменьшению углового коэффициента). График зависимости углового коэффициента от г представлен на рис. 6.20. Нетрудно видеть, что в некотором диапазоне значений г, или расстояний L между негативами, кривая выходит на плато. Значение, соответствующее этому плато, было выбрано за фрактальную размерность. Данные были получены путем моделирования по схеме Рунге—Кутта уравнения (6.3.7) вынужденного движения в потенциале с двумя ямами; 4000 точек были полу-
Рис. 6.20. Угловой коэффициент как функшш расстояния L между негативами или радиуса г по данным, аналогичным тем, которые приведены на рис. 6.19 [102] (Ek sevier Science Publishers, © 1986).Рис. 6.20. Угловой коэффициент как функшш расстояния L между негативами или радиуса г по данным, аналогичным тем, которые приведены на рис. 6.19 [102] (Ek sevier Science Publishers, © 1986).q!9OHd*ned £хл§ку&0q!9OHd*ned £хл§ку&0
Рис. 6.20. Угловой коэффициент как функшш расстояния L между негативами или радиуса г по данным, аналогичным тем, которые приведены на рис. 6.19 [102] (Ek sevier Science Publishers, © 1986).
Рис. 6.20. Угловой коэффициент как функшш расстояния L между негативами или радиуса г по данным, аналогичным тем, которые приведены на рис. 6.19 [102] (Ek sevier Science Publishers, © 1986).
q!9OHd*ned £хл§ку&0
q!9OHd*ned £хл§ку&0
чены путем построения сечения Пуанкаре, синхронного с частотой вынуждающей силы. Приведенный световой поток на выходе нзма рялся примерно при 200 значениях £. На рис. 6.19 представлен только линейный участок зависимости log С(г) от log £. Угловые коэффициенты на рис. 6.20 получены на основе усреднения локальных угловых коэффициентов кривой log С( г) по 30 точкам.
Сравнение оптически измеренной фрактальной размерности с размерностью, вычисленной по результатам численных экспериментов Муна и Ли [143], проведено в табл. 6.3 при нескольких значениях коэффициента затухания. Согласие, как мы видим, исключительно хорошее.
В той же таблице проведено сравнение оптического и численного методов для отображений Пуанкаре, построенных по экспериментальным данным для колебаний продольно изогнутой балки. В этой серии экспериментов фаза проведения сечения Пуанкаре изменялась. Оптическое измерение фрактальной размерности подтверждает результаты численных расчетов, а именно независимость размерности от фазы отображения Пуанкаре. Отсюда следует, что размерность самого странного аттрактора равна 1 + D, где D — размерность плоского отображения.
отображсвий Пушьотображсвий Пушь^блица £3. Оптически изм^енная фрактальная размерность для
отображсвий Пушь
отображсвий Пушь
по эксперименталышмпо эксперименталышмкам построенных по результатам численного моделирования н данным
по эксперименталышм
по эксперименталышм
Отображение Пуанкаре» построенное по результатам численного моделнроваши! Гушв. некие (6.3.7)]
Коэффициент затушим
Вычисленная размерность0
Измеренная размерность
0,075
1,56 尹
1,558
0,105
1,393
1,417
0,135
1,202
1,162
Отображение Пуанкаре» построенное по экспериментальным данным
Фазовый угол
Вычисленная размерность0 Измеренная размерность
0е 45е 90е
135е 180°
1,74 产1,628》1,678
1,7511,6271,671
1,7421,6381,631
1,7481,6371,676
1,7301,6371,635
° Мун ■ Лв {143].
& На осяове зависимости log С (f) от log г при четырех наимсяыша log л
» На осяове эамсимоста log С (г) от log г при семи наимсяыша log л
ГРАНИЦЫ ФРАКТАЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ.ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ
В большинстве физических линейных систем при данном воздействии на входе существует только один режим движения. Например, откликом линейной системы масса — пружина — демпфер на начальный импульс силы служит затухающее движение, в результате которого масса приходит в состояние покоя. У такой системы всего лишь один аттрактор, а именно точка равновесия. Однако у нелинейных систем может быть несколько положений равновесия или, как в случае некоторых самовозбуждающихся систем, может существовать несколько периодических или непериодических движений.
Положения равновесия и периодические движения, или движения по предельным циклам, называются в математической теории динамических систем аттракторами. Диапазон значений входных или управляющих параметров, при которых движение стремится к
(«о. У0>(«о. У0>АттракторАттракторГраница области притяженииГраница области притяжении
(«о. У0>
(«о. У0>
Аттрактор
Аттрактор
Граница области притяжении
Граница области притяжении
Рис. 6.21. Схематическое изображение двух аттракторов в фазовом пространстве и границы между их областями притяжения в про страистве начальных условий.
данному аттрактору, называется его областью притяжения в пространстве параметров. Если существуют два или более аттракторов, то переход из одной области притяжения в другую называется границей области притяжения (рис. 6.21). Принято считать, что в классических задачах граница области притяжения представляет со* бой гладкую непрерывную линию или поверхность, как на рис. 6.21. Это означает, что, когда входные параметры далеки от грэ» ницы, небольшие отклонения в их значениях не влияют сколько- нибудь существенно на характер движения. Выяснилось, однако, что во многих нелинейных системах граница областей притяжения негладкая. Более того, она фрактальная. Отсюда и термин — фрак- тшъная граница области притяжения. Существование фрактальных границ областей притяжения сказывается, причем весьма ощу» тимо, на поведении динамических систем: при наличии фрактальных границ небольшие вариации начальных условий или других № раметров системы могут приводить к значительным изменениям в ее поведении. Тем самым поведение систем с фрактальными границами областей притяжения становится не всегда предсказуемым [50, 52, 55].
ЧУВСТВИТЕЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ:ПЕРЕХОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЕ С ДВУМЯ ЯМАМИ
Прежде чем мы займемся изучением задачи с фрактальной границей области притяжения, полезно рассмотреть случай, когда граница области гладкая, но движение чувствительно к выбору начальных условий. С такой ситуацией мы встречаемся, например, в пере* ходной динамике частицы с затуханием. Этот одномерный примф служит простой моделью поведения упругой балки после выпучивания или частицы в потенциале с двумя ямами. Уравнение движения в этом случае имеет вид:
х + 7 х - -^х(1 - х2) = 0.(6.5.1)
В отличие от аналогичной задачи с периодической вынуждаю-
шей силой полная динамика может быть описана на двумерной фазовой плоскости (% у = 土). Перемещение и время можно отнорми- ровать так, чтобы два устойчивых положения равновесия располагались на фазовой плоскости в точках (±1,0), а собственная частота в отсутствие затухания составляла 1 рад/с. Управляющими параметрами служат коэффициент затухания у и начальные условия х(0) = х0, £(0) = %・ Хотя всего существуют три положения равновесия (при х = 0, 士 1), устойчивы только два последних, поэтому мы имеем в данном случае две конкурирующие области притяжения.
Дауэлл и Пезешки [31] исследовали области притяжения в рассматриваемой нами задаче (рис. 5.25 и 6.22). Эти авторы классифицировали области притяжения по тому, сколько раз траектория частицы пересекает ось х = 0, прежде чем устремится к х = ±1. Нетрудно видеть, что при достаточно «больших» начальных условиях существуют чередующиеся полосы, из которых траектория направляется в конце концов к левому (или к правому) аттрактору. Хотя границы полос остаются гладкими, их ширина стремится к нулю, когда коэффициент затухания )— 0. Таким образом, если началь-
Рис. 6.22. Области прнтяження для движения частицы в потенциале с двумя ямамн с затуханием в отсутствие вынуждающей силы [31]. Числа показывают, сколько раз траектории пересекают ось х = 0 до того, как приходят к одному нз двух положений равновесия х = ± 1.
ные условия заданы с конечной погрешностью (на рис. 6.22 им со» ответствует окружность радиуса £), то мы не можем с определен* ностью предсказать, к какому из аттракторов устремится траекто* рия частицы при £ > с0(7), где lim с0 -* 0 при)— 0. При отличном от нуля коэффициенте затухания мы можем с определенностью предсказать конечное состояние только в том случае, если распола» гаем точной информацией относительно начального состояния.
В следующем примере мы продемонстрируем фрактальную гра» ницу области притяжения. Конечное состояние в этом случае всегда неопределенно независимо от того, сколь мал радиус % т. е. ео = °・
ФРАКТАЛЬНАЯ ГРАНИЦА ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ:ВЫНУЖДЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЕ С ДВУМЯ ЯМАМИ
В этом разделе мы рассмотрим движение частицы в потенциале с двумя ямами под действием периодической вынуждающей силы：
£ = 乂
у = 一)尸=；х(1 一 /)+ ^ 8S з L (6.S.&
Как уже говорилось в предыдущих главах, динамика частицы может быть описана в трехмерном фазовом пространстве (х, у. z = зГ). Но ранее мы сосредоточивали свое внимание на хаотич* ских движениях такой системы. Теперь же нас интересуют только движения, периодические относительно либо левого, либо правого положения равновесия (х = 土 1). Таким образом, в качестве аттракторов в этой задаче можно рассматривать предельные циклы. [Взяв отображение Пуанкаре асимптотического движения, мы получим конечное множество точек вблизи одного из положений равновесия (土 1,0).] Здесь мы не отличаем субгармоники с периодом 1 от субгармоники с периодом 3. Мы предполагаем, что вынуждающая сила 厶 достаточно мала и не вызывает хаотических колебаний и длиннопериодических субгармоник.
В нашем примере мы зафиксируем ?, /J)и w и будем изменять начальные условия. Результаты представлены на рис. 6.23—6.25 и получены при численном моделировании с помощью алгоритма интегрирования Рунге—Кутта четвертого порядка (подробности см. в работе Муна и Ли [144]).
Результаты, представленные на рис. 6.23, показывают, что при достаточно малой амплитуде вынуждающей силы 厶 граница области гладкая, но когда f0 превосходит некоторое критическое знача
Рис. 6.23. Гладкая граница области притяжения для частицы, совершающей колебания в потенциале с двумя ямами под действием вынуждающей силы малой амплитуды. Аттракторами служат периодические орбиты вокруг правого и левого положения равновесия [144J (The American Physical Society, © 1985).
Рис 6.24. Фракталоподобные области притяжения для движения частицы в потенциале с двумя ямами в случае, когда амплитуда выиуждаюшеА силы превосходит критерий Мельникова (5.3.28) [144] (The American Physical Society, © 1985).
Рис. 6.25. Увеличенное изображение небольшой прямоугольной области пространства начальных условий на рис. 6.23 показывает фракталоподобную структуру в более мелком масштабе [144] (The American Physical Society, © 1985).
ние, граница становится фракталоподобной, как показано на рис. 6.24. (Этот рисунок построен по результатам интегрирования 160-103 начальных условий.) Нам было необходимо удостовериться в том, что граница области притяжения фрактальна. Для этого мы выбрали небольшой участок пространства начальных условий и увеличили его. Результат этой операции представлен на рис. 6.25. Мы видим, то при переходе ко все более мелкому масштабу мы обнаруживаем все признаки фрактальной структуры. Эти результаты имеют важное значение для классической динамики в части, касающейся предсказуемости движения.
ГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ: КРИТЕРИЙ ФРАКТАЛЬНОСТИГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ
Наша книга посвящена в основном хаотической динамике, но, как следует из предыдущего раздела, некоторые характерные особенности хаотической динамики, а именно чувствительность к изменениям параметров и непредсказуемость поведения, иногда мо-
гут быть присущи и нехаотическим движениям. Такая перспектива повергает в ужас инженеров, занимающихся численным моделированием нелинейных систем на компьютерах. Их чувства вполне понятны: в подобного рода системах конечный результат вычислений может оказаться чувствительным к малым изменениям переменных, таких, как начальные данные, управляющие параметры, ошибки округления и выбор шага по времени в численном алгоритме. Такого рода отсутствие «жесткости» может встречаться даже в том случае, когда речь идет о переходном или периодическом режиме на выходе системы.
Для численного анализа весьма важно располагать критерием, позволяющим распознавать, обладает ли данная конкретная нелинейная система чувствительностью к небольшим вариациям параметров или не обладает. Пока нет общего критерия предсказуемости в нелинейной динамике, но, как показывает динамика в задаче о движении частицы в потенциале с двумя ямами, кое-какие соображения уже имеются.
Во-первых, мы ожидаем, что системы, наиболее восприимчивые к поведению фрактальной границы области притяжения, обладают неоднозначностью конечных режимов: у них существует несколько состояний равновесия или периодических движений. Например, в задачах об ударе упруго-пластической арки (см. [155, 184]) или о периодическом воздействии на ротор или маятник существуют по крайней мере два возможных конечных режима. В случае арки упруго-пластическая балка в конечном состоянии может быть обращена выпуклостью вверх или вниз. В случае ротора вращение может происходить как по часовой стрелке, так и против нее.
Второе соображение относительно возможности существования фрактальных границ областей притяжения более тонкое и требует более изощренной математической интуиции. В гл. 1 и 5 было показано, что нелинейные системы, определенным образом растягивающие и складывающие некоторые области фазового пространства, порождая так называемое отображение типа подковы, в какой-то мере обладают чувствительностью к начальным данным и допускают множество субгармонических решений. Как было показано в гл. 5, свойства, присущие отображению типа подковы, возникают, когда у диссипативных нелинейных систем отображение Пуанкаре, индуцируемое потоком в фазовом пространстве, порождает гомоклинические точки. Холмс, используя метод Мельникова (см. уравнение (5.3.20)), предложил критерий (см. [57}). В случае вынужденного движения частицы в потенциале с двумя ямами этот критерий служит очень надежным признаком существования фрактальных границ областей притяжения даже в тех случаях, ког-
0,100,10Хаотическая областьХаотическая областьГладкаяГладкая^Периодические • 'непредсказуемые^Периодические • 'непредсказуемыеПепиодическ ие лредсказуемь«е движенияПепиодическ ие лредсказуемь«е движенияФрактальная ' границаФрактальная ' границаО\О\КритерийХолмса—Мельников*КритерийХолмса—Мельников*0,080,080,060,06Рис. 6.26 Критерий гомоклинической траектории (5.3.28) для задачи о движешш частицы в потенциале с двумя ямами прт фракталоподобиой и гладкой границе области притяжения. По данным численных экспериментов [144] (The American Physical Society, © 1985).Рис. 6.26 Критерий гомоклинической траектории (5.3.28) для задачи о движешш частицы в потенциале с двумя ямами прт фракталоподобиой и гладкой границе области притяжения. По данным численных экспериментов [144] (The American Physical Society, © 1985).
0,10
0,10
Хаотическая область
Хаотическая область
Гладкая
Гладкая
^Периодические • 'непредсказуемые
^Периодические • 'непредсказуемые
Пепиодическ ие лредсказуемь«е движения
Пепиодическ ие лредсказуемь«е движения
Фрактальная ' граница
Фрактальная ' граница
О\
О\
Критерий
Холмса—Мельников*
Критерий
Холмса—Мельников*
0,08
0,08
0,06
0,06
Рис. 6.26 Критерий гомоклинической траектории (5.3.28) для задачи о движешш частицы в потенциале с двумя ямами прт фракталоподобиой и гладкой границе области притяжения. По данным численных экспериментов [144] (The American Physical Society, © 1985).
Рис. 6.26 Критерий гомоклинической траектории (5.3.28) для задачи о движешш частицы в потенциале с двумя ямами прт фракталоподобиой и гладкой границе области притяжения. По данным численных экспериментов [144] (The American Physical Society, © 1985).
Хаотическиенепредсказуемыедвижения
да движение не хаотично. Для уравнения движения (6.5.2) этот критерий сводится к соотношению
了。＞ 警出(贵)• (653)
Данные, подтверждающие правильность критерия (6.5.3), приведены на рис. 6.26 (смм например, работу Муна и Ли [144]). Они включают в себя результаты многих расчетов границ областей при тяжения, аналогичных представленным на рис. 6.23—6.25. Ниже кривой, соответствующей критерию Холмса—Мельникова, найдея- ные численными методами границы областей представления гладкие, выше — фрактальные (по крайней мере, если судить по внешнему виду).
Связь между гомоклиническими траекториями и фрактальнымв границами областей притяжения не столь загадочна, в особенноств если взглянуть на рис. 6.27. На этом рисунке мы наложили друг на друга результаты двух вычислений. Во-первых, вычислили границу областей притяжения для движения в потенциале с двумя ямами, когда амплитуда вынуждающей силы чуть ниже кривой Холмса—Мельникова. Сравнив полученную границу с изображенной на рис. 6.23 (которая соответствует меньшей вынуждающей силе), мы обнаружили, что на границе образовался длинный выступ
Рис. 6.2Z Области притяжения в задаче о движении частицы в потенциале с двумя ямами с наложенными на них устойчивым и неустойчивым многообразиями в сече- вии Пуанкаре при критической амплитуде вынуждающей силы (5.3.28) [144] (The American Physical Society, © 1985).
(«палец»). Во-вторых, вычислили и нанесли на рис. 6.27 устойчивые и неустойчивые многообразия, выходящие из седловой точки вблизи начала координат. Первое, что бросается в глаза, — это совпадение границы области притяжения с устойчивым многообразием отображения Пуанкаре. Второе, что привлекает внимание, — неустойчивые многообразия, показанные штриховыми линиями, только касаются устойчивых многообразий. Этого следовало ожидать, так как, согласно критерию, устойчивое и неустойчивое многообразия касаются и порождают гомоклинические точки. По теории, выходящей за рамки критерия Холмса——Мельникова, устойчивое и неустойчивое многообразия должны касаться отображения Пуанкаре бесконечно много раз, что приводит к бесконечно многим складкам устойчивого многообразия, а тем самым и к бесконечно многим складкам границы области притяжения и, как следствие,——к фрактальным свойствам. Эти результаты пока еще не получили подтверждения для других, систем, но такого рода
идеи находятся сейчас в стадии проверки (см., например, работу Макдональда и др. [119]).
Резюмируя, мы можем утверждать, что, судя по некоторым до статочно веским соображениям, для многих динамических систем множественность решений и существование гомоклинических траекторий или свойств, аналогичных свойствам отображения типа подковы, могут служить критерием фрактальности границ областей притяжения и предсказуемости поведения нелинейных систем.
РАЗМЕРНОСТЬ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ
Йорке и его сотрудники из Мэрилендского университета предприняли численное исследование границ областей притяжение фракталов и хаоса. В одной из своих работ они показали, что доля 0 неопределенных начальных условий в фазовом пространстве как функция радиуса неопределенности £ связана с фрактальной размерностью границы области притяжения (см., например, работу Макдональда и др. [119]) соотношением
где О — размерность фазового пространства, a d — емкостная фрактальная размерность границы области притяжения. Если граница гладкая, то d = D — 1, или
Например, если относительная неопределенность в начальных условиях составляет £ = 0,05, то неопределенность в конечном состоянии как доля всех начальных условий достигает 0 * 22% пря d = 1,5 и D = 2.
Метод вычисления размерности d для границ областей притяжения описан в серии работ мэрилендской группы. Их метод отличается от метода вычисления d для траектории, так как граничные точки не заданы, а формируются из множества точек, не принадлежащих ни одному из притягивающих множеств. Такие фрактальные множества получили название жирных фракталов. (Подробности о жирных фракталах и их приложениях к вычислениям границ областей притяжения см. в работе Гребоги и др. [54].)
ВРЕМЕНА ПЕРЕХОДА: ЧУВСТВИТЕЛ ЬНОСТЬК НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ
В предыдущих разделах мы описали, каким образом развитие фрактальной границы области притяжения приводит к неопреде-
Рас, 6.2& Фракталоподобные отображения со сдвигом по времени в задаче о движении частицы в потенциале с двумя ямами пол действием вынуждающей силы. Каждый способ штриховки соответствует другому периоду “внження, выходящего на стационарную периодическую орбиту [154].
ленности относительно того, к какому аттрактору стремится система при г — 8. Однако нас может интересовать и время, за которое траектория выходит на аттрактор. Дауэлл и Пезешки [154] вычислили длительность перехода от начальных условий к аттрактору для движения частицы в потенциале с двумя ямами. Результаты их вычислений представлены на рис. 6.28. На этой схеме с помощью цвета или штриховки показаны времена, необходимые для перехода от данной точки к периодической траектории вокруг либо правой, либо левой потенциальной ямы. К какой из ям переходит траектория — безразлично: учитывается только время перехода. Когда амплитуда вынуждающей силы превысила порог^ задаваемый критерием гомоклинической траектории (6.5.3), Дауэлл и Пезешки наблюдали возникновение картины, напоминающей по своей структуре фракталы. Это означает, что при некоторой неопределенности в начальных условиях время перехода и конечный аттрактор в определенных нелинейных задачах становятся непредсказуемыми.
ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
В гл. 3 мы рассматривали динамику ротора, подталкиваемого отдельными импульсами (3.2.19). Костелих и др. [95] исследовали динамику двойного ротатора, подталкиваемого отдельными импульсами. В этой задаче с двумя степенями свободы (рис. 6.29, а) движение между периодическими импульсами линейно, и задача в промежутках между толчками может быть проинтегрирована. Используя это обстоятельство, Костелих и др. построили четырехмерное отображение и нашли области притяжения двух периодических аттракторов. При некоторых амплитудах вынуждающего импульса область начальных условий (协(0) = 0, %(0) = 0) на плоскости (4, %) имеет «весьма фрактальный» вид (рис. 6.29, б).
В других работах Янсити и др. [86] и Гуинн и Вестерфельт [58] использовали уравнение маятника с периодической вынуждающей силой для моделирования электронного устройства, основанного на одном явлении, известном под названием джозефсоновского перехода. Эти авторы также получили при различных начальных условиях границу области притяжения, выглядящую как фрактальная.
В докторской диссертации [106], зашишенной в Корнеллском университете в 1987 г., Ли исследовал динамику системы с двумя степенями свободы в потенциале с четырьмя ямами под действием периодической вынуждающей силы. Эта задача аналогична задаче (3.3.7), рассмотренной нами в гл. 3, но с четырьмя потенциальными ямами вместо двух. При малых амплитудах вынуждающей си-
(а)
力
Рис. 6.29. a — Схема двузвенного ротатора с импульсной вынуждающей силой; 6 — фрактальные области притяжения для двузвенного ротатора, находящегося под действием периодической импульсной вынуждающей силы. Двумя аттракторами служат периодическое движение (с периодом 4) и состояние равновесия [95] (Elsevier Science Publishers, © 1986).
лы вокруг одного из четырех положений равновесия возникает долгопериодическое движение. При нулевых начальных скоростях каждое начальное положение (xRO), х2(0)) было окрашено в одни из четырех цветов или отмечено одной из четырех различных штриховок. Ли показал, что граница между четырьмя областями притяже-
Рис. 6.30. Границы с фрактальной структурой областей притяжения четырех пс(мк>> днческнх аттракторов. Данные получены путем численного моделирования плоского движения частицы в потенциале с четырьмя ямами под действием пернодическо* внешней силы. Начальные скорости равны нулю. (Из докторской лнссертахшн Дж. К. Ли, защищенной в Корнсллском университете в 1987 г.) Осн соответствуют начальным положениям на плоскости.
ния может становиться фрактальной, когда амплитуда вынуждающей силы приближается к критическому уровню, задаваемому критерием гомоклинической траектории (рис. 6.30).
ФРАКТАЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ХАОСАВ ПРОСТРАНСТВЕ ПАРАМЕТРОВ
Как мы уже убедились, небольшие изменения в начальных условиях могут существенно изменить характер поведения динамической системы. Естественно задать вопрос: существует ли аналогичная чувствительность к другим параметрам, управляющим динами-
工0办，таким, как амплитуда или частота вынуждающей силы, коэф- финиент затухания или сопротивления в цепи. Мы рассмотрим здесь один пример: построенную по экспериментальным данным фрактальную границу между хаотическими и периодическими вынужденными колебаниями системы с одной степенью свободы.
Если система допускает несколько (не менее двух) типов движения, то обычно определяют диапазон значений параметров, в котором существует тот или другой тип движения. В случае вынужденного движения частицы в потенциале с двумя ямами (см. гл. 2 и 5) было бы весьма интересно заранее знать, какое — хаотическое или периодическое ——движение установится под действием периодической вынуждающей силы. Уравнение, описывающее такие колебания, уже известно читателю, — это уравнение (6.5.2). В этой задаче для исключения всех параметров, кроме трех (у, $、з), мы использовали метод обезразмеривания. Как упоминалось в гл. 5У и Холмс рЗ], и Мун [136] вывели критерии, связывающие параметры (у,工 з) соотношениями для случая, когда возникает хаотическое движение. Эти соотношения, (5.3.28) и (5.3.42), имеют вид неравенств
/ > 尸(з,))・ (6.5.4)
Если безразмерный коэффициент затухания > фиксирован, то оба критерия задают гладкие кривые на плоскости 夕,з), как показано ва рис. 6.31. Однако при сравнении этих критериев с эксперимент
Хаотическиедвижения
£w 4Q>^XGCS4£w 4Q>^XGCS4Уравнение (5 3.42)Уравнение (5 3.42)ЭкспериментЭксперимент
£w 4Q>^XGCS4
£w 4Q>^XGCS4
Уравнение (5 3.42)
Уравнение (5 3.42)
Эксперимент
Эксперимент
Периодические движения
78Частота (Гц)78Частота (Гц)
78
Частота (Гц)
78
Частота (Гц)
Рис. 6.31. Фракталоподобная граница между хаотическими и периодическими движениями на плоскости амплитуда — частота вынуждающей силы. Экспериментальные данные взяты нз работы по изучению колебаний продольно изогнутой балки [139] (The American Physical Society, © 1984).
тальными данными (Мун [139]) становятся заметными два отличия. Во-первых, теоретические критерии задают нижние границы данных и, во-вторых, экспериментальный критерий дает часто колеблющуюся нерегулярную кривую, которая вполне может ока* заться фрактальной.
Эксперименты были выполнены на уже хорошо знакомой нам продольно изогнутой консоли, помещенной между двумя постоянными магнитами (рис. 2.2, 6)・ Упругая балка (стержень), магниты и опора помещались на электромагнитный качающийся вибратор, воздействовавший на систему с вынуждающей силой заданной ам« плитуды Aq и частотой з・ Безразмерная сила в уравнении (6.5.2) связана с амплитудой Л 0 соотношением
/о =-力 ow2.
При выполнении эксперимента мы фиксировали частоту вынуждающей силы и медленно увеличивали амплитуду колебаний вибратора. Если балка совершала первоначально периодические колебания вокруг одного из положений равновесия в продольно изогну» том состоянии, то амплитуда возрастала до тех пор, пока «верхушка» былки не выскакивала из потенциальной ямы.
Для определения характера движения (хаотическое оно или периодическое) было использовано отображение Пуанкаре. Движение измерялось датчиками деформации, прикрепленных к защемленному концу балки, а в качестве фазовой плоскости была выбрана плоскость деформация — скорость деформации. Отображение Пуанкм ре таких сигналов были синхронизованы с частотой вынуждающей силы. Наступление хаоса определялось по тому, что конечное мно жество точек в сечении Пуанкаре (за которым можно наблюдать с помощью осциллоскопа; см. гл. 4) становилось неустойчивым и на экране возникала картина, напоминающая по виду канторовское множество.
При различных вариантах расположения магнитов и балки (длинной пластины) испытанию подвергались по крайней мере пять наборов данных, соответствующих хаотическим границам, и во всех случаях было обнаружено негладкое поведение. В данных, приведенных на рис. 6.31, использовано около 70 частот в диапазоне от 4 до 9 Гц.
Чтобы определить, фрактальна ли граница между хаотическими и периодическими движениями, нами была измерена фрактальная размерность множества экспериментальных точек. Для этого мы, во-первых, соединили точки отрезками прямых. Во-вторых, придав определенный раствор циркулю, принялись измерять длину границы как функцию раствора циркуля. Именно такой метод по описанию Мандельброта [124] был применен для измерения фрактально#
размерности береговой линии различных стран. Итак, мы аппроксимируем экспериментальную границу N прямолинейными отрезками длиной £・ При уменьшении раствора циркуля £ число отрезков, необходимых для того, чтобы аппроксимировать кривую, возрастает. Обшая длина аппроксимирующей ломаной равна
L =N№ (6.5.5)
Для нефрактальной кривой N = £一1 или ^ =入/% поэтому 入 становится мерой длины границы. Но для фрактальных кривых, таких, как кривая Кох, ^ = М", где параметр £ мал, a D — не целое число. Следовательно, измеряя зависимость L от £, мы получаем
L = К"。 (6.5.6) и, измеряя угловой коэффициент log L как функции loge, находим фрактальную размерность
D = а о + ет) • (657)
Можно показать, что такой способ вычисления фрактальной размерности эквивалентен покрытию множества точек малыми квадратами, т. е. способу, которы мы обсуждали, когда вводили определение емкостной фрактальной размерности (6.1.2).
Результаты этой серии измерений представлены на рис. 6.32 для двух групп данных. Мы видим, что длина граничных кривых возрастает с уменьшением раствора циркуля и что фрактальная размерность заключена в интервале от 1,24 до 1,28. Следовательно, имеются достаточно веские основания считать, что граница между периодическими и хаотическими режимами в пространстве параметров (/, з) фрактальна. Следует заметить, однако, что, хотя
Рис. 6.32. Вычисление фрактальной размерности границы хаотической области на рис. 6.31.
приведенное выше одномодовое описание хаотических колебаний упругой балки (6.5.2) дает очень хорошее согласие с экспериментальными данными, если судить по отображениям Пуанкаре, реальный эксперимент затрагивает бесконечно много степений свободы, которые, как мы надеемся, не влияют на низкочастотное поведение. Однако вполне может быть, что высшие моды влияют (и даже сушественно) на фрактальную природу границы на рис. 6.31. Чтобы со всей определенностью ответить на вопрос о том, влияют ли (и на что именно) высшие моды на низкочастотные режимы, необходимы дальнейшие исследования.
Во всяком случае, приведенные выше результаты показывают, что четкий критерий хаоса, возможно, и не существует. Явно фрактальная природа границы, устанавливаемой критерием, может быть присуща многим системам. Возникновение фрактальной границы моно рассматривать как верхнюю и нижнюю границы существования хаотических режимов.
КОМПЛЕКСНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯИ МНОЖЕСТВА МАНДЕЛЬБРОТА
Многим читателям, вероятно, уже приходилось видеть красивые цветные картины, построенные и связываемые с названием «множество Мандельброта», которые появились в августовском номере журнала Scientific American за 1985 г. и в некоторых других публикациях (см., например, книгу Пейтгена и Рихтера [153]). Эти картины являются примерами фрактальных границ областей притяжения аттракторов в фазовом пространстве и фрактальных границ в пространстве параметров и основаны на двумерном отображении комплексного переменного z = х + iy:
q+i =场 + с,(6.6.1)
где С = q + ib — комплексная постоянная. В вещественных пере* менных это отображение примет вид
Л+1 =+ Ь.(662)
В отличие от теории, излагаемой в книге Пейнтгена и Рихтера, наши отображения Пуанкаре представимы в виде
(6.6.3)(6.6.3)х”+1 = /(X”，％),
(6.6.3)
(6.6.3)
Л+1 = g(x”，％),
но / + ig не является аналитической функцией в смысле теории функций комплексного переменного. Мандельброт [124] и другие авторы (см., например, книгу Пейтгена и Рихтера [153]) исследовали комплексную плоскость С при таких значениях, что многократ-
Рис. 6.33. Фрактальная область притяжения комплексных параметров комплексного отображения (6.6.1) для ограниченных траекторий — множество Мандельброта (с разрешения Джона Хаббарда из Корнеллского университета).
ные итерации отображения (6.6.1) остаются ограниченными при л — оо. Множество точек С, при которых Zn остаются ограниченными, изображено нарис. 6.33 черным цветом. Показано, что граница этого множества обладает фрактальными свойствами.
Можно исследовать также точки равновесия, или Апериодические точки отображения, такие, что
Z〃 + N = Z^ + С
При заданной постоянной С можно исследовать область притяжения начальных значений (х, j), приводящих к тому или иному поведению системы. Показано, что граница этой области притяжения также обладает фрактальными свойствами.
Результаты исследования нелинейных разностных уравнений (например, уравнения (6.6.1)) или нелинейных дифференциальных уравнений (например, уравнения (6.5.2), показывают, что динамическое поведение системы чувствительно не только к начальным условиям, но и к небольшим изменениям или погрешностям в параметрах задачи.
Приложение А
Словарь терминовпо хаотическими нелинейным колебаниям
Аттрактор Множество точек или подпространство в фазовом пространстве, к которому приближается траектория после затухания переходных процессов. Классическими примерами аттракторов в динамике могут служить точки равновесия или неподвижные точки отображений, предельные циклы или поверхности торов для квазипериодических движений.
Бифуркация Изменение характера движения динамической системы на большом временном интервале при изменении одного или нескольких параметров. Например, при сжатии стержня происходит выпучивание, и одно состояние равновесия, потеряв устойчивость, сменяется двумя новыми устойчивыми состояниями равновесия.
Бифуркация Хопфа0 Рождение предельного цикла из состояния равновесия при изменении некоторого названия. Свое название зта бифуркация получила в честь математика, сформулировавшего точные условия ее существования у динамической системы.
Гамильтонова механика Формально метод, позволяющий записывать уравнения движения динамической системы с N степенями свободы в виде 2N дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [Гамильтон (1805—1865)]. На практике под гамильтоновой механикой часто понимают теорию недиссипативных систем с потенциальными силами.
Гетероклиническая траектория Траектория, возникающая при пересечении устойчивого и неустойчивого многообразий различных седловых точек отображения.
Глобальные/локальные движения Под локальными движениями принято понимать траектории динамических систем, не
"В отечественной литературе принято название «бифуркация Андронова — Хопфа». — Прим* лерее.
уходящие далеко от точек равновесия. Под глобальными движениями обычно понимают движения в промежутках между точками равновесия или от одной точки равновесия до другой, а также траектории, не остающиеся в какой-нибудь малой области фазового пространства.
Гомоклиническая траектория Траектория, возникающая при пересечении устойчивого и неустойчивого многообразий одной седловой точки.
Детерминированная система Динамическая система, уравнения движения, параметры и начальные условия которой известны и не являются стохастическими или случайными. Некоторые движения детерминированных систем могут казаться случайными.
Емкость Одна из многих фрактальных размерностей множества точек. Основная идоя емкостной размерности состоит в подсчете минимального числа кубов с ребром 即 необходимых для покрытия данного множества точек. Если это число при £ — 0 ведет себя как £-", то показатель d называется емкостной фрактальной размерностью.
Инвариантная мера Функция распределения, описывающая вероятность при f — 8, найти траекторию системы в данной области фазового пространства.
Канторовское множество Формально множество точек, остающееся после выбрасывания из единичного интервала средней трети и неоднократного повторения этой операции над остающимися интервалами. В пределе такая операция приводит к фрактальному множеству точек на прямой с размерностью, заключенной между 0 и 1 (1п2/1пЗ).
Квазипери одические колебания Колебания с двумя или более несоизмеримыми частотами.
Комбинационные тоны (см. также Квазипериодические колебания) В теории колебаний и акустике, частоты, представимые в виде суммы или разности двух основных частот; более общо, частоты вида л Ш] + m^v где л нт — целые положительные или отрицательные числа,吗 н 吗一основные частоты.
Конвекция Рэлея — Бенара Циркуляционное движение жидкости, возникающее под действием градиента температур и гравитационных сил. Модель хаотического движения Лоренца была предложена для моделирования некоторых особенностей динамики тепловой конвекции.
Линейный оператор Любая математическая операция (например, дифференцирование, умножение на константу), действие которой на сумму двух функций совпадает с суммой ее действий на
каждую из функций слагаемых. Линейный оператор тесно связан с принципом суперпозиции.
Многообразие Подпространство фазового пространства, в котором остаются под действием дифференциальных или разностных уравнений их решения, если начальные условия были выбраны в данном подпространстве.
Множество Мандельброта. Еслиг — комплексное перемен* ное, то квадратичное отображение z ^ z2 + с имеет более чем один аттрактор. Фиксируя начальные условия и изменяя комплексный параметр с, можно определить область притяжения как функцию параметра с. Возникающая при этом граница области притяжения оказывается фрактальной, а сама область известна под названием множества Мандельброта в честь математика, работающего ныне в фирме IBM.
Нелинейность Свойство системы с входом и выходом или математической операции, у которых сигнал на выходе (результат операции) не пропорционален сигналу на входе. Например, операции^ =схп (л * 1) или у = xdx/dt^ или у = с ©x/dt? нелинейны.
Неподвижная точка см. Точка равновесия.
Область притяжения Множество начальных условий в фазовом пространстве, из которых траектории выходят на какое-нибудь конкретное движение или аттрактор. Обычно это множество точек связано и образует непрерывное подпространство в фазовом пространстве. Но граница между различными областями притяжения может быть, а может и не быть гладкой.
Отображение Математическое правило, ставящее в соответствие одному множеству точек в некотором п «мерном пространстве другое множество точек. При итерации такого правила отображение аналогично системе разностных уравнений.
Отображение окружности на себя Отображение или разностное уравнение, ставящее в соответствие точкам окружности точки той же окружности. В теории двух связанных осцилляторов некоторые траектории в фазовом пространстве можно рассматривать как движение по поверхности тора. Сечение Пуанкаре, проходящее по меридиану (меньшему диаметру) тока, порождает отображение окружности на себя.
Отображение пекаря Преобразование плоскости (отображение плоскости на плоскости), которое растягивает прямоугольную площадку в одном направлении, сжимает ее в поперечном направлении, разрезает пополам и помешает одну половину поверх другой.
Аналогично преобразованию типа подковы. Повторные итерации отображения пекаря превращают исходное множество точек во
фрактальную структуру. Названо по сходству с операциями, производимыми пекарем, месящим кусок теста.
Отображение Пуанкаре см. Сечение Пуанкаре.
Отображение типа подковы Отображение плоскости на плоскость, сводящееся к следующему. Нижняя половина прямоугольной области растягивается в одном направлении, сжимается в поперечном направлении и отображается на вертикальную полоску в некоторой части левой полуплоскости, а верхняя половина той же прямоугольной площадки растягивается в одном направлении, сжимается в поперечном направлении и отображается на вертикальную полоску в правой полуплоскости. Весь процесс напоминает преобразование исходной прямоугольной площадки в подковообразное множество, отсюда и название. По своим свойствам отображение типа подковы аналогично отображению пекаря. Повторные итерации отображения типа подковы могут порождать фракталоподобные множества точек.
Отображение Энона Система двух связанных разностных уравнений с одним квадратичным нелинейным членом. Если параметр отображения Энона положить равным нулю, то уравнения напоминают логическое, или квадратичное, отображение. Названо в честь французского астронома Энона.
Перемежаемость Тип хаотического движения, при котором длительные временные интервалы регулярного, периодического или стационарного движения сменяются короткими всплесками движения, напоминающими по своим свойствам случайное движение. Временные интервалы между хаотическими всплесками не фиксированы, а непредсказуемы.
Перенормировка (метод ренормгруппы) Математическая теория из области функционального анализа, в которой свойства некоторой системы уравнений в одном масштабе могут быть с помощью подходящей замены переменных связаны со свойствами этой системы уравнений в другом масштабе. Разработана лауреатом Нобелевской премии физиком К. Вильсоном (Корнеллский университет). Используется в теории квадратичных отображений при выводе чисел Фейгенбаума.
Перестройка (смена устойчивости, выход на новый устойчивый режим) Термин математической теории устойчивости, описывающий серию задач, близких к одной идеализированной задаче, возникающий при введении малой асимметрии в задачу с симметрией или слабого затухания в недиссипативную динамическую систему. Изменение устойчивости или динамических свойств идеализированной задачи при введении в нее некоторых неидеализированных членов и называется перестройкой.
Переходный хаос Движение, которое на конечном временном интервале выглядит как хаотическое, т. е. траектория как бы движется по странному аттрактору, но затем выходит на периодическое или квазипериоднческое движение.
Показатели Ляпунова Числа, служащие мерой экспоненциального сближения нлн разбегания со временем двух соседних траекторий в фазовом пространстве с различными начальными условиями. Положительный показатель Ляпунова свидетельствует о существовании хаотического движения в динамической системе с ограниченными траекториями. Названы в честь русского математика Ляпунова (1857—1918).
Положение равновесия В непрерывной динамической системе точка в фазовом пространстве, к которой приближается траектория после затухания переходных режимов (при/ — 8). В механических системах под положением равновесия обычно имеют в виду состояние с нулевым ускорением и нулевой скоростью. В отображениях положениями равновесия могут быть конечные множества: при итерациях отображения или разностного уравнения система последовательно переходит от одной точки такого множества к другой. (Положение равновесия называется также неподвижной точкой.)
Почти периодическая траектория Траектория, временная зависимость которой состоит из нескольких дискретных несоизмеримых частот.
Предельный цикл В технической литературе периодическое движение, возникающее в самовозбуждающейся или автономной системе (например, аэроупругий флаттер или электрические автоколебания). В литературе по динамическим системам предельный цикл относится и к вынужденным периодическим движениям.
Размерность Хаусдорфа Математическое определение фрактальных свойств, связанных с емкостной размерностью.
Самоподобие (автомодельность) Свойство множества точек, геометрическая структура которого в одном масштабе подобна его геометрической структуре в другом масштабе. (См. также Фрактал, Перенормировка.)
Седло (седловая точка) В геометрической теории обыкновенных дифференциальных уравнений точка равновесия с вещественными собственными значениями, из которых по крайней мере одно положительно и одно отрицательно.
Сечение см. Сечение Пуанкаре.
Сечение (отображение) Пуанкаре Последовательность точек в фазовом пространстве, порождаемая пересечением непрерывной траекторией с поверхностью общего вида или плоскостью в
пространстве. Для нелинейного осциллятора с периодической вынуждающей силой, задаваемого обыкновенным -дифференциальным уравнением второго порядка, отображение Пуанкаре может быть получено стробоскопированием положения и скорости в определенной фазе вынуждающей силы [А. Пуанкаре (1854—1912)].
Символическая динамика Динамическая модель, в которой дискретизовано не только время, но и переменные состояния принимают только конечное множество значений, например (— 1, 0, 1). Так как допустимое множество значений, конечно, можно сопоставить им любой набор символов, например (L, С, R). Тогда динамической траектории будет соответствовать некоторая последовательность символов. Методы символической динамики используются также в теории клеточных автоматов.
Стохастический процесс Тип хаотического движения, встречающийся в консервативных, или недиссипативных, динамических системах.
Странный аттрактор Притягивающее множество в фазовом пространстве, по которому движутся хаотические траектории. Любой аттрактор, который не является положением равновесия, предельным циклом или квазипериодическим аттрактором. Аттрактор в фазовом пространстве с фрактальной размерностью.
Теория КАМ Теория существования периодических или квази- периодических движений в нелинейных гамильтоновых системах (т. е. в системах без диссипации с потенциальными силами), развитая Колмогоровым, Арнольдом и Мозером. Теория КАМ утверждает, что при добавлении к линейной системе небольших нелинейностей регулярные движения продолжают существовать.
Теория катастроф Во многих физических системах положения равновесия находят исходя из потенциала: приравнивая нулю производные потенциала по обобщенным координатам. Теория катастроф занимается изучением зависимости числа положений равновесия от параметров задачи, например от нагрузок в упругих системах. Теория катастроф предсказывает, что вблизи некоторых критических значений таких параметров число положений равновесия изменяется заранее известным образом и что эти изменения носят универсальный характер для некоторых классов потенциалов. Основателем теории катастроф принято считать французского математика Рене Тома. В строительной механике независимо развивался свой частный вариант теории катастроф, занимавшийся изучением чувствительности критических нагрузок с дефектами структуры.
Течение Тейлора — Куэтта Течение жидкости между двумя вращающимися концентрическими цилиндрами. 18—161
Тор (инвариантный) Движение двух связанных осцилляторов без затухания в воображаемом конфигурационном пространстве, происходит по поверхности тора. Круговое движение по окружности меньшего радиуса (меридиану) соответствует колебаниям одного осциллятора, круговое движение по окружности большего радиуса (параллели) — колебаниям другого осциллятора. Если движение периодическое, то траектория на поверхности тора после нескольких витков замыкается. Если движение квазипериодическое, то траектория проходит сколь угодно близко от любой точки на торе.
Удвоение периода Обычно имеется в виду последовательность периодических колебаний, в которой при изменении некоторого параметра происходит удвоение периода. В классической модели бифуркации удвоения периода (половинной частоты) происходят через монотонно уменьшающиеся интервалы управляющего параметра. После прохождения критического значения параметра (точки накопления) возникают хаотические колебания. Такой сценарий перехода к хаосу наблюдался во многих физических системах, но не является единственным маршрутом, ведущим к хаосу. (См. Число Фейгенбаума.)
Универсальное свойство (универсальность) Свойство динамической системы, остающееся неизменным в пределах некоторого класса нелинейных задач. Например, число Фейгенбаума для последовательности бифуркационных параметров при удвоении периода является одним и тем же для некоторого класса нелинейных необратимых одномерных отображений.
Уравнение Ван дер Поля Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с линейной восстанавливающей силой и нелинейным затуханием, обладающее предельным циклом. Классическая математическая модель автоколебаний. [Названо в честь Б. Ван дер Поля (около 1927 г.).]
Уравнение Дуффинга Обыкновенное дифференциальное уравнение с кубической нелинейностью и гармонической вынуждающей силой: £ + а + bx + ах3 = f^cos a)t. (Названо в честь г. Дуффинга (около 1918 г.).)
Уравнения Лоренца Система трех автономных дифференциальных уравнений, обладающая хаотическими решениями. Выведена и исследована Э. Н. Лоренцем в 1963 г. как модель конвекции в атмосфере. Эта система уравнений ——одна из основных моделей хаотической динамики.
Уравнения Навье—Стокса Система трех дифференциа.пьных уравнений в частных производных, описывающая поле скоростей в
потоке несжимаемой линейной вязкой жидкости [Навье (1785—1836), Стокс (1819—1903)].
Фазовое пространство В механике фазовое пространство — абстрактное математическое пространство, в котором координатами служат обобщенные координаты и обобщенные импульсы. В динамических системах, задаваемых системой эволюционных уравнений первого порядка, координатами служат переменные состояния, или компоненты вектора состояния.
Фрактал Геометрическое свойство множества точек в л -мерном пространстве, обладающего самоподобием при различных масштабах и нецелой фрактальной размерностью, меньшей чем л.
Фрактальная размерность Количественная характеристика множества точек в л- мерном пространстве, показывающая, насколько плотно точки заполняют подпространство, когда их число становится очень большим, (см. Емкость.)
Функция Мельникова Одна из теорий хаотического движения сосредоточивает внимание на седловых точках отображений Пуанкаре, порождаемых непрерывными потоками в фазовом пространстве. Вблизи таких точек имеются подпространства, по которым траектории сходятся к седловой точке (устойчивые многообразия), и подпространства, по которым траектории расходятся от седловой точки (неустойчивые многообразия). Функция Мельникова задает меру расстояния между такими устойчивыми и неустойчивыми многообразиями. Теория, о которой идет речь, считает, что хаос возникает, когда устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются или когда функция Мельникова имеет простой нуль. [Функция названа в честь советского математика (около 1962 г.).]
Хаотическое движение Тип движения, чувствительный к изменениям начальных данных. Движение, при котором траектории, задаваемые незначительно отличающимися начальными данными, экспоненциально расходятся. Движение с положительным показателем Ляпунова.
Центральное многообразие В теории динамических систем движения в окрестности положения равновесия допускают классификацию по собственным значениям и подразделяются на устойчивые, неустойчивые и колебательные, или осцилляторные. Подпространство фазового пространства, образуемое чисто осциллятор- ными решениями, иногда называют центральным многообразием.
Число вращений Если система содержит два осциллятора с частотами 吗 и ш21 то число вращений на основе частоты 毋 есть среднее число траекторий с часютой 竺，приходящихся на одну траекторию с частотой з「
Число Рейнольдса Безразмерная комбинация параметров в гидромеханике» пропорциональная скорости течения и характерной длине и обратно пропорциональная кинематической вязкости. Переход от ламинарного течения к турбулентному во многих задачах гидромеханики происходит при критическом значении числа Рейнольдса [О. Рейнольдс (1842—1912)].
Число Фейгенбаума Свойство динамической системы» связанное с последовательностью удвоения периода. Отношение последовательных разностей параметров бифуркации удвоения периода стремится к числу 4,6б9・• . • Это свойство и число Фейгенбаума были обнаружены во многих физических системах на стадии» предшествующей хаосу.
Шум В экспериментах под шумом обычно понимают небольшие случайные возмущения (фон) механического» теплового или электрического происхождения.
Эргодическая теория Раздел гамильтоновой механики» который изучает движения» по свойствам напоминающие случайные» связанных нелинейных систем частиц й эволюцию коллективных свойств систолы в целом.
Языки Арнольда Колебания связанных нелинейных осцилляторов при некоторых значениях частот оказываются захваченными некоторым значением p/q 3 q — целые числа). Области сиюфони- зации в пространстве параметров имеют форму выступов» или языков. Свое название такие языки получили в честь открывшего их советского математика В. И. Арнольда.
Приложение Б
Численные экспериментыпо хаосу
В этой книге мы придерживались эмпирического подхода к хаотическим колебаниям и изложили целую серию различных физических явлений, в которых хаотическая динамика играет важную роль. Разумеется» не все читатели имеют доступ к лаборатории или обладают склонностью к экспериментированию, хотя большинство из них могут воспользоваться цифровыми компьютерами. Учитывая это, мы приводим в настоящем прилояюнии ряд численных экспериментов, осуществимых либо на персональном компью- тфе, либо на микрокомпьютере» в надежде, что они помогут читателю исследовать динамику ставших ныне классическими моделей хаоса.
Б.1. ЛОГИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ: УДВОЕНИЕ ПЕРИОДА
Одной из простейших задач, с которой следовало бы начинать знакомство с новой динамикой, должно быть, является модель роста популяции, или логистическое уравнение
爲+ 1 = "〃(1 - "J
Явления, связанные с удвоением периода, наблюдались различными исследователями (см., например, работу Мэя [130]) и, разумеется, Фейгенбаумом [37], который открыл знаменитые законы подобия параметров (см. гл. 1 и 5). Персональный компьютер позволяет необычайно легко воспроизвести два численных эксперимента.
В первом эксперименте мы имеем график зависимости хл +1 от х〃 в диапазоне 0 & х 《1. Режим удвоения периода наблюдается при значениях 入 ниже 入=3,57. Начав с X < 3,0, вы сможете увидеть траекторию с периодом 1. Чтобы увидеть более длинные тра-
ектории, пометьте первые 30—50 итераций точками, а последующие итерации — другим символом. Разумеется, построив график зависимости^ от л, вы сможете наблюдать переходные и стационарные режимы. Хаотические траектории можно обнаружить при 3,57 V 入& 4,0. В окрестности 入=3,83 можно обнаружить траекторию с периодом 3 [130].
Следующий численный эксперимент связан с построением 61b фуркационной диаграммы. Для этого следует построить график зависимости^ при больших/! от управляющего параметра. Выберите какое-нибудь начальное условие (например, х0 = 0,1) и проделайте 100 итераций отображения. Затем отложите значения хл, полученные в результате следующих 50 итераций по вертикальной оси, а соответствующее значение 入 по горизонтальной оси (или наоборот). Шаг по 入 выберите около 0,01 и пройдите диапазон 2,5 < V 入& 4,0. На диаграмме в точках удвоения периода должны получиться классические бифуркации типа вил. Можете ли вы по данным численного эксперимента определить число Фейгенбаума?
Мэй [130] приводит также перечень численных экспериментов с другими одномерными отображениями, например с отображением
х” + 1 =4 ехр [г(1 - хл)].
Он описывает это отображение как модель роста популяции одного вида, регулируемого эпцдемической болезнью. Исследуйте область 2,0 < г < 4,0. Точка накопления удвоений периода и начало хаоса соответствуют г = 2,6824 [130]. В статье Мэя содержатся также данные по некоторым другим численным экспериментам.
Б.2. УРАВНЕНИЯ ЛОРЕНЦА
Замечательный численный эксперимент, несомненно, заслуживающий повторения, содержится в оригинальной работе Лоренца [115]. Лоренц упростил уравнения, выведенные Зальцманом [167] на основе уравнений тепловой конвекции в жидкости (см. гл. 3). Приоритет в открытии непериодических решений уравнений конвекции, по признанию Лоренца, принадлежит Зальцману. Для исследования хаотических движений Лоренц выбрал ставшие ныне классическими значения параметров о = 10, 6 = 8/3, г = 28 в уравнениях
х = а(у - х), j = ГХ - / - XZ. 之=-bz + ху.
Данные, приведенные на рис. 1 и 2 статьи Лоренца [115], можно воспроизвести, выбрав начальные условия 3,у《)=(09 19 0) и шаг по времени Af = 0,01 и спроектировав решение либо на плоскость (z,x), либо на плоскость (z,y)・
Чтобы получить одномерное отображение, индуцируемое этим потоком, Лоренц рассмотрел последовательные максимумы переменной z, которые он обозначил М^ График зависимости Мп + j от показал, что в данном случае отображение задается кривой, напоминающей по форме крышу домика. Затем Лоренц исследовал упрощенный вариант этого отображения, получившего название «отображение типа домика», — билинейную разновидность логистического уравнения
м ( 2МЛ, если Мп < 1/2,л + 1 一〔2 - 2МЛ, если Мп > 1/2.
Б.З. ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ И УРАВНЕНИЯ ЛОРЕНЦА
С наглядным прнмфом переиежа^ости можно познакомиться, численно интегрируя с помощью компьютера уравнения Лоренца:
£ = <г(у - х),
у = -xz + /х - у, i = ху - bz
с параметрами а = 10t b = 8/3 и 166 ^ г $ 167 по методу Рунге—Кутта. При г = 166 вы получите периодическую траекторию z (/), но при г = 16б91 и больше появятся «всплески», или хаотические шумы (см. работу Манневиля и Помо [125]). Измеряя среднее число N периодических циклов между всплесками (ламинарная фаза), вы должны получить закон подобия
N -N -1& - 分严1& - 分严
N -
N -
1
& - 分严
1
& - 分严
где гс = 166,07.
Б.4. АТТРАКТОР ЭНОНА
Обобщение квадратичного отображения на прямой для двумерного случая (на плоскости) было предложено французским астроно-
мом Эноном:
При 6=0 отображение Энона сводится к логистическому отображению, исследованному Мэем и Фейгенбаумом. К значениям а и Ь, при которых возникает странный аттрактор, относятся, в частности,а = 1,4 ид = 0,3. Постройте график этого отображения на плоскости (х, j)r ограничив его прямоугольником —2 < х《2 и -0,5 О《0,5. Получив аттрактор, сосредоточьте свое внимание на каком-нибудь малом его участке и увеличьте этот участок с помощью преобразования подобия. Проследите за существенно большим числом итераций отображений и попытайтесь выявить мелкомасштабную фрактальную структуру. Если у вас хватит терпения или у вас под рукой окажется быстродействующий компьютер, то произведите еще одно преобразование подобия и повторите все сначала для еще меньшего участка аттрактора (см. рис. 1.20, 1.22).
Если у вас имеется программа для вычисления показателей Ляпунова, то полезно иметь в виду, что в литературе приводится значение показателя Ляпунова 人]= 0,2, а фрактальная размытость аттрактора в отображении Энона равна </£ = 1,264. Варьируя параметры а н b, можно попытаться определить область тех значений, при которых аттрактор существует, и найти область удвоения периода на плоскости (%Ь) [57, с. 268; 151].
Б.5. УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА: АТТРАКТОР УЭДЫ
Эта модель электрической цепи с нелинейной индуктивностью была рассмотрена в гл. 3. Уравнения этой модели, записанные в виде системы уравнений первого порядка, имеют вид
j = -ку 一 *з +5 cos Г.
Хаотические колебания в этой модели были весьма подробно исследованы Уэдой [197]. Воспользуйтесь каким-нибудь стандартным алгоритмом численного интегрирования, например схемой Рунге—Кутта четвертого порядка, и рассмотрите случай к = 0, 1； 9,8 W 5 《13,4- При В = 9,8 у вас должна получиться периодическая траектория с периодом 3. (Сечение Пуанкаре проводите при г = 2тл, л = 1,2,.. ..) В окрестнсюти значения В = 10 траектория
с периодом 3 должна после бифуркации переходить в хаотическое движение. При В > 13,3 периодичность снова восстанавливается с переходным хаотическим режимом (см. рис. 3.13).
Сравните фрактальную природу аттрактора при убывании затухания, полагая В = 12,0 н % = 0,2; 0,1 и 0,05. Обратите внимание, что при к = 0,3 остается только небольшая часть аттрактора, а при к = 0,32 движение становится периодическим.
Б.6. УРАВНЕНИЕ ДУФФИНГА С ДВУМЯПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ ЯМАМИ: АТТРАКТОР ХОЛМСА
Этот пример был рассмотрен в нашей книге. Несколько численных экспериментов заслуживают того, чтобы их повторить. Безразмерные уравнения имеют в этом случае вид
х =),
У = -® + %(1 - х2) + / COS <Д>Г.
(Полагая z = W н вводя дополнительное уравнение z = з, их можно записать в виде автономной системы третьего порядка.) Множитель 1/2 делает собственную частоту малых колебаний в каждой потенциальной яме равной единице. Критерий хаоса при фиксированном коэффициенте затухания д = 0,15 и переменных/, з был рассмотрен нами в гл. 5. Областью, представляющей интерес для исследования, является з = 0,8; 0」《/ W 0,3. В этой области должен наблюдаться переход от периодического режима к хаотическому, периодические окна в хаотическом режиме и выход из хаотического режима при / = 0,3. Имеется и другая интересная область: 6 = 0,15; ш = 0,3 и / > 0,2. Во всех исследованиях мы настоятельно рекомендуем читателю пользоваться отображением Пуанкаре. При использовании персонального компьютера высокой скорости обработки информации можно достичь за счет специальных ухищрений при составлении программы (см. рнс. 5.3).
Еще один интересный численный эксперимент состоит в том, чтобы зафиксировать параметры, например положить / = 0,16; з = 0,833 и 6 = 0,15, и варьировать фазу отображения Пуанкаре, т. е. наносить точки (х, у) при 厶=(2х/ш) л + 死,изменяя ^0 от 0 до %. Обратите внимание на обращение отображения при ^0 = 0 и % = тг・ Связано ли это с симметрией уравнения? (См. рис. 4.8.)
КУБИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ (ХОЛМСА)
Многие понятия теории хаотических колебаний мы проиллюстрировали на примере аттрактора в модели с двумя потенциальными ямами. Динамика такой модели описывается обыкновенным нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка (см. гл. 2 и 3), но явная формула для отображения Пуанкаре такого аттрактора неизвестна. Холмс [73] предложил двумерное кубическое отображение, которое обладает некоторыми свойствами осциллятора Дуффинга с отрицательной жесткостью:
Х# + 1 = Уп^
4 + 1 =+，沙м -尸•
Хаотический аттрактор может быть найден вблизи значений параметров b « 0,2 и d = 2,77.
Е・8. ОТОБРАЖЕНИЕ ПРЫГАЮЩЕГО ШАРИКА(СТАНДАРТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ)
(См. статью Холмса [75] и книгу Лихтенберга и Либермана [ПО].) Как отмечалось в гл. 3, отображение Пуанкаре для шарика» прыгающего на вибрирующем столе, может быть точно записано в терминах безразмерной скорости соударения 屮 шарика о стол и фазы 今 = 叫 (mod 2т) движения стола
% + i = (1 一 £)% + « sin 伤，伤(mod 2т), 伤 + i = % + % + i，
где £ — потеря энергии при соударении.
Случай /: е = 0 (консервативный хаос). Этот случай исследован в книге Лихтенберга и Либермана [НО] как модель ускорения электронов в электромагнитных полях. Проитерировав отображение, нанесите полученные точки на плоскость 伤).Для вычисления 夕(mod 2т) воспользуйтесь выражением
£ 一 ABS 偿)
в усовершенствованном варианте БЕйсика. Чтобы добиться хорошей картины, вам придется варьировать начальные условия. Например, выберите 夕=0,1 и проследите за несколькими сотнями итераций отображения при различных и иэ интервала — ж < v < г.
Интересные случаи вы обнаружите при 0 v К < 1,5. При К < 1 можно наблюдать квазипериодические замкнутые траектории вокруг периодических неподвижных точек отображения. При К 之 1 должны появиться области консервативного хаоса вблизи точек сепаратрис (см. рис. 5.21).
Случай 2; 0 < £ < 1. Этот случай соответствует диссипативному отображению, когда энергия теряется при каждом соударении шарика и стола. Начните с К « 1,2 и £ « 0,1. Обратите внимание на то, что, хотя первые итерации выглядят хаотическими, как в случае 1, движение выходит на периодический режим. Чтобы получить фракталоподобный хаос, значения К необходимо повысить до -5,8——6,9. Странный аттрактор, еще более напоминающий фрактал, вы получите, полагая е « 0,3—0,4 н К = 6,0.
Б.9. ОТОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА СЕБЯ:СИНХРОНИЗАЦИЯ ЧИСЛА ВРАЩЕНИЙ И ДЕРЕВЬЯ ФЭРИ
Точка, движущаяся по поверхности тора, может служить абстрактно-математической моделью динамики двух связанных осцилляторов. Амплитуды движения осцилляторов служат малым и большим радиусами тора и часто предполагаются фиксированными. Фазы осцилляторов соответствуют двум углам, задающим положение точки вдоль малой окружности (меридиана) и большой окружности (параллели) на поверхности тора. Сечение Пуанкаре вдоль малых окружностей тора порождает одномерное разностное уравнение, называемое отображением окружности на себя:
%+1 = % +/(%),где/(^)——периодическая функция.
Каждая итерация этого отображения соответствует траектории одного осциллятора вдоль большой окружности тора. Популярным объектом исследования является так называемое стандартное отображение окружности (нормированное на 2тг)
Кхп + \ — хп + Я — sin 27rx” (mod 1).
Возможные движения, наблюдаемые при этом отображении, являются: периодические, квазипериодические и хаотические режимы. Чтобы увидеть периодические циклы, постройте точки на окружности с прямоугольными координатами ип = cos 27rxz,,屮 =sin 27r x”
При К = 0 параметр Q есть не что иное, как число вращений ——
отношение двух частот несвязанных осцилляторов. При ^ ^ 0 отображение может быть периодическим и когда 0 — иррациональное число. В этом случае говорят, что осцилляторы синхронизованы или что произошло затягивание мод. При 0 < ^ < 1 можно наблюдать синхронизованные или периодические движения в областях О < Я* Я ЯА + 1 < 1 конечной ширины вдоль оси R, которые, разумеется, содержат иррациональные значения параметра Я. Например, при К = 0,8 цикл с периодом 2 может быть найден в интервале 0,48 < Я < 0,52, а цикл с периодом 3 — в интервале 0,65 < Я < 0,66. Чтобы найти эти интервалы при 0,7 < ^ < 1, вычислите число вращений W как функцию параметра П при 0 W W R W 】• Число вращений мы вычислим, если отбросим действие сравнения по mod 1 и перейдем к пределу
На практике, чтобы получить число вращений с достаточной точностью, нужно взять N > 500. Построив график зависимости W от R, вы увидите серию плато, соответствующих областям синхронизации. Чтобы увидеть больше областей синхронизации, следует, выдать малую область AR и построить W для большого числа точек в этой малой области.
Каждое плато синхронизации на графике W да) соответствует рациональному числу p/q — отношениюр циклов одного осциллятора kq циклам другого осциллятора. Отношения p/q упорядочены в последовательность, известную под названием дерева Фэрии. Если заданы две области синхронизации мод『/$ мр/q при значениях параметров П, и П2, то между ними в интервале П)< П < П2 заведомо найдется еще одна область синхронизации с числом вращений
屮= s + q
Начав с 0/1 при □ = 0 и 1/1 при □ = 1, можно построить всю бесконечную последовательность областей синхронизации. Большинство из них очень узкие. Обратите внимание на то, что ширина AR
"Эта последовательность возникает в задаче об упорядочении рациональных чисел. В отлнчне от многих других способов упорядочения дерево Фэрн (илн, в более архаичной транскрипции, Фарея) дает только несократимые рациональные числа. Названа в честь геолога Джона Фэрн, обнаружившего естественнонаучные приложения последовательности. Дереву (нлн числам) Фэрн посвяшена обширная литература. —Прим, перев.
этих областей стремится к нулю при К — 0 н становится больше првК — 1. Области синхронизации в плоскости (АГ, 0) имеют форму длинных выступов, и иногда их называют языками Арнольда.
Б.10. АТТРАКТОР РЁССЛЕРА: ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ,ОДНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ
СИСТЕМ
Каждая из основных областей классической физики создала свою модель хаотической динамики: гидромеханика — уравнения Лоренца, строительная механика — аттрактор Дуффинга—Холмса с двумя потенциальными ямами, электротехника — аттрактор Дуффинга—Уэды. Еще одна простая модель возникла в динамике химических реакций, протекающих в некоторой емкости с перемешиванием. Предложил ее Ресслер [163]:
£ = -& + z),
У = х ^ ау.
Z = а + Z (х — д).
Эти уравнения часто исследовалась при а = 1/5. Периодические движения с периодами 1, 2 и 4 могут быть обнаружены при 从=2,6; 3,5 и 4,1. При 从 > 4,23 могут встретиться хаотические движения.
Модель Ресслера обладает свойствами линейного осциллятора с отрицательным коэффициентом затухания и обратной связью
У - ау + у = -Z.
Она служит примером многомерных систем, динамика которых допускает аппроксимацию одномерным отображением. Проведите сечение Пуанкаре при^ = 0 и постройте на плоскости G,z) одномерное отображение из точек хя, т. е. постройте график зависимости хя + 1 от х丁 Обратите внимание на сходство полученной кривой с квадратичным, или логистическим, отображением. Неудивительно, что в модели Рёсслера наблюдается удвоение периода.
Б.11. ФРАКТАЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ:ОТОБРАЖЕНИЕ КАПЛАНА—ЙОРКЕ
Пример двумерного отображения с фрактальной границей области притяжения был исследован Капланом и Йорке [90] и Макдо-
нальдом и др. [119]:
/ + 1 = А/ (modi), 〃 + i = &〃 + cos 2т хл, где А — целое число. При \ = 2 и 1X^1 < 1 это отображение обладает странным аттрактором, который читатель может исследовать с помощью компьютера. [Известно [166], что при & = 0,2 фрактальная размерность этого аттрактора равна 1,43.]
В качестве простого численного эксперимента с границами областей притяжения попробуйте рассмотреть случай % = 3, & = 1,5- При этих значениях % н & существуют два аттрактораj = ±оо. Выберите подходящий масштаб для прямоугольника 0 W х W 1, -2,0 W У W 2,0. Чтобы достичь границы, задайте какое-нибудь начальное значение х и перебирайте одно за другим начальные значения г. При каждой паре начальных значений х0 и ^0 итерируйте отображение до тех пор, пока \у I не превзойдет 10 или какое- нибудь другое большое значение. Если у — +», в точке «“J оставьте пробел; если у — -оо, поставьте точку. Если щ)и считы- ванииУо снизу вы добрались до верхней границы прямоугольника, а величина \у I не превзошла установленного порядка, то дальнейшее продвижение ту можно прекратить и перейти к другомух0.
Рассматриваемый нами пример — один из немногих, в которых удается получить явную формулу для границы:
y = - e X/丿 eз (2开入,-仅)
(см. [119]).
Макдональд и др. [119] получили также емкостную размерность этой границы d = 2 - (In &/%) = 1, 63. . . . Граница области притяжения непрерывна, имеет бесконечную длину и нигде не дифференцируема.
Б.12. ОТОБРАЖЕНИЯ ТОРА
Движение связанных нелинейных осцилляторов иногда удобно представлять на поверхности тора. Когда число осцилляторов равно двум, сечение Пуанкаре тора порождает отображение окружности. Но когда число осцилляторов равно трем, динамическое взаимодействие фаз осцилляторов происходит на поверхности абстрактного —трехмерного — тора. Сечение Пуанкаре этого трехмер-
ного тора порождает двумерное отображение на двумерном торе. Гребоги и др. [52] исследовали такие отображения и получили красивые картины хаотических аттракторов. Система уравнений, задающих двумерное отображение, принимает вид
必+ 1 =卜.+ 3] + ^Р№，也)](mod 1),
也+ i =[吃 + 32 + ^P *"也)](mod 1).
Функции尸]иР? — периодические функции, задаваемые выражениями
PM，W)= £ 4黑 sin [2т(冷 + 外 + в容,
Г. $
где а = 1,2, и пара (г,$) принимает значения (1, 0), (0, 1), (1, 1) и (1, — 1). Значения коэффициентов Л Д1), Л ^ В^) иВ" Гребоги и др. [52] выбирали случайно. Подробности 而введены в табл. 1, поме- щетной в их работе. Итерации отображения порождают красочные картины странного аттрактора на торе. При достаточно сильном разрешении такие картины вполне заслуживают того, чтобы их заключить в раму (см. рис. 7, 9—11 в работе [52]).
Отображения такого рода встречаются также в теории Ньюхауса—Рюэля—Такенса квазипериодического пути к хаосу.
Приложение В
Игрушечные моделис хаотическим поведением
На многочисленных лекциях о хаосе, с которыми мне довелось выступать в различных аудиториях, я демонстрировал хаотические колебания с помощью простой и недорогой модели колеблющейся балки. И эта игрушка неоднократно превращала Фому неверующего в ревностного сторонника теории хаотических колебаний и служила вполне убедительным обоснованием необходимости изучения подчас достаточно сложной математической теории, лежащей в основе хаотических явлений. В этом приложении я опишу несколько игрушечных моделей или общедоступных экспериментов, не требующих особых затрат или сложного оборудования, и приведу для специалистов, склонных к более серьезному экспериментированию, некоторые существенные подробности эксперимента с хаотическими колебаниями продольно изогнутого стержня (о котором неоднократно упоминалось в нашей книге). На одной из лекций один иэ слушателей с невинным видом предложил назвать мою экспериментальную установку chaotic Moon beam1^ Этот эксперимент имел большой успех, позволив провозить и качественно, и количественно многие теоретические идеи относительно хаоса.
Другая игрушечная модель с хаотическим поведением представляет собой вариант маятника, на который действует вынуждающая сила. Иногда ее можно встретить в игрушечных отделах магазинов, продающих игрушки для взрослых, под названием «космический шарик». Описание такой игрушки также приводится ниже.
Наконец, я привожу краткое описание простой цепи с неоновой лампой, дающей хаотические вспышки света. Тем, кого заинтересует простая схема, позволяющая наблюдать удвоение периода, я рекомендую электрическую цепь из работы Мацумото и др. [129]. Из-
"(Англ.) — игра слов: «хаотическая балка Муна» и «хаотический луч лунного света».
вестная под названием «аттрактор в виде двойного свитка», она была изобретена Л. Чуа из Калифорнийского университета в Беркли. Эта цепь описана в гл. 3.
ХАОТИЧЕСКАЯ УПРУГАЯ ЛИНИЯ (ЭЛАСТИКА):НАСТОЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ХАОТИЧЕСКИМКОЛЕБАНИЯМ
Эта механическая игрушка стоит очень дешево и позволяет демонстрировать три различных хаотических явления:
аттрактор в случае потенциала с двумя ямами (или колебания продольно изогнутого стержня);
билинейный осциллятор;
неплоские хаотические колебания тонкого стержня.
Схема устройства игрушечной модели, о которой идет речь, показана на рис. В.1 для задачи о продольно изогнутом стержне. Модель состоит из небольшого игрушечного моторчика, работающего от батарейки, с эксцентрическим грузиком, создющим вынужден-
Рис. В.1. Игрушка, позволяющая наблюдать хаотическую эластику в разобранном виде. 1 — Опора из поликарбоната; 2 — маховичок с эксцентрическим отверстием; 3 — игрушечный электромоторчик постоянного тока; 4 — алюминиевая пластина (толщина 1,1 мм, длина 7,0 см); 5 — стальная пластина (толщина 0,38 мм, длина 21 см); 6 — гаечки для регулировки частот; 7 — магниты из редких земель; 8 — стальная пластина (державка для магнитов); 9 — основа из поликарбоната.
ные колебания, и тонкой стальной консольной «балки» с двумя магнитами у свободного конца, создающими нелинейные изгибающие силы. К балке прикреплены две массы, позволяющие регулировать частоту вынуждающей силы (4——8 Гц) так, чтобы она совпадала с частотой одного или двух собственных колебаний балки. Прочная пластина из поликарбоната служит опорой, а основание можно закрепить на столе липкой лентой или прижать чем-нибудь тяжелым. Все устройство легко разбирается, и перевозить его можно в плоской коробке, умещающейся в портфель.
Действует устройство следующим образом. Если приложить к моторчику низкое напряжение от двух или трех батареек постоянного тока через потенциометр, то алюминиевая бал очка в верхней части модели возбуждается эксцентрическим грузиком, приводимым во вращение моторчиком. В нижней части на основании закреплены два магнита из редких земель, и стальная балочка совершает периодические колебания относительно одного из двух устойчивых положений равновесия (разумеется, можно взять и более двух магнитов). С двумя прикрепленными к ней массами (гаечками) стальная балочка резонирует в окрестности второй моды, и свободный конец ее сильно отклоняется от положения равновесия. При увеличении скорости вращения моторчика стальная балка скачком переходит из одного положения равновесия к другому. При надлежащих условиях (расположении магнитов, скорости вращения моторчика, расположении масс), на поиск которых обычно уходит около 5 мин, стальная балка совершает хаотические колебания.
Чтобы достичь еше большего эффекта, приклеил на свободный конец стальной балки небольшое зеркальце и проектировал отраженный от него лазерный луч на стену или на потолок. При переходе от периодического движения к хаотическому зрелище было впечатляющее!
Если магниты заменить каналом из тонкого металла, как показано на рис. В.2, то это позволит демонстрировать хаотические ко-
Рис. В.2. Эластика и граничные условия для хаоса в билинейной балке.
лебания балки с нелинейными граничными условиями (см. гл. 3). Если металлический ограничитель свободного конца стальной балки сделать очень тонким, то аудитория сможет услышать непериодическое или периодическое постукивание балки по ограничителю.
БАЛКА МУНА, ИЛИ ЭКСПЕРИМЕНТС ХАОТИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИПРОДОЛЬНО ИЗОГНУТОЙ БАЛКИ
Как уже сообщалось в гл. 2—4, вынужденные колебания изогнутой консольной балки в поле двух сильных магнитов допускают совершенно адекватное описание с помощью нелинейного дифференциального уравнения типа уравнения Дуффинга
£ + £ - ах + Зх3 «/cos зТ・
Успешные эксперименты с хаотическими колебаниями могут быть проведены с двумя различными балками, если подвергнуть тряске защемление балки и магниты с помощью касающегося электромагнитного вибратора, как показано на рис. В.З. Стандартные
尸〃с. В.З. Схема экспериментальной установки для исследования хаотической эластики балки с помощью электромагнитного качающегося вибратора. 1 — Импульсный генератор; 2 — генератор сигнала и усилитель; 3 — качающийся вибратор; 4 — магниты из редких земель; 5 — датчики деформации; 6 — мостик датчика деформации и усилитель; 7 — аналоговое дифференцирующее устройство; 8 — аналоговое запо- минашее устройство или цифровой осциллоскоп; 9 — запуск отображения Пуанкаре.
электромагнитные вибраторы (по ценам 1986 г.) стоят от 2000 до 4000 долларов, но изобретальный экспериментатор вполне может собрать самодельный вибратор, воспользовавшись магнитом и силовой обмоткой от громкоговорителя за 200 долларов.
Список характеристик двух упругих балокчггержней приведен в табл. В.1. В качестве магнитов лучше всего брать круглые постоянные магниты из редких земель диаметром 2,5 см.
Располагая такой установкой, можно получать отображения Пуанкаре хаотических движений (гл. 4), измерять критическую силу для хаотического движения как функцию частоты (гл. 5) или фрактальную размерность движения по экспериментальным временным рядам (гл. 6)・
Таблица &/. Параметры для экспериментов с хаотическими колебаниями продольно изогнутых балокй>
Модель А
Модель В
Размеры упругого стального стержня Длина
18,8 см
12,4 см
Ширина
9,5 мм
2,17 ”
Толщина
0,23 мм
0,38 мм
Толщина поглощающего слоя (для затухания)
0,05 мм
0,025 мм
Частота собствеяных колебаний Консоль без магнитов
4,6; 26,6;
18 m
Консоль с магнитами
73,6 П1
9,3 П1
38 m
Затухание
Без поглощающего слоя
0.0033
Со стальной нашлепкой н поглощающим слоем
нз липкой ленты н фольги с двух сторон балки
0,017
Отклонение свободного конца с магнитами
±20 мм
±15 мм
Диапазон частот в эксперименте
6—12 П1
21—35 П1
Диапазон амплитуд вынуждающей силы
±2—5 мм
±5 мм
Магниты нз редких земель диаметром 2,5 см; 0,2 Тп с одной стороны
•> См. также статью Муна (136).
Чтобы получать электрические сигналы, пропорциональные отклонению от равновесия, мы использовали два датчика деформаций, приклеенных вблизи защемленного конца балки: с каждой стороны по одному датчику, соединенные через два резистора с двумя плечами мостика Уитстона.
Сигнал, получаемый на выходе мостика, усиливался и подавался на электрический фильтр. Нетрудно сконструировать недорогую схему, которая позволяла бы дифференцировать отфильтрованный сигнал. В обоих устройствах следует следить за тем, чтобы достичь минимального искажения и по амплитуде и по фазе на частотах, по крайней мере вдвое превышающих частоту собственных колебаний балки вблизи одного из двух магнитов.
Затухание имеет решающее значение для описываемого эксперимента. Большинство металлов обладает низким затуханием, и отображение Пуанкаре свидетельствует скорее о гамильтоновом, или консервативном, чем о фрактальном, или диссипативном, хаосе. В нашем эксперименте для усиления затухания мы вводили специальный поглощающий слой. Проше всего это сделать, обклеив колеблющуюся балку липкой с двух сторон целлофановой лентой и покрыв ее сверху металлической лентой (толщиной 0,1 мм). Если такие покрытия нанести с двух сторон балки, то можно добиться существенного усиления затухания и получить очень красивые отображения Пуанкаре, напоминающие по виду фракталы.
Остальные подробности относительно экспериментов с хаотическими колебаниями читатель может почерпнуть из гл. 4.
В・3・ ХАОТИЧЕСКИЙ ДВОЙНОЙ МАЯТНИК,ИЛИ «КОСМИЧЕСКИЙ ШАРИК»
Эта игрушка существует в нескольких вариациях, две из которых показаны на рис. В.4. Коммерческие варианты (тайваньского производства) изготовлены очень тщательно, но мне не удалось обнаружить на игрушках ни фамилии изготовителя, ни каких-либо данных о патентах. Действие игрушки основано на вынужденных колебаниях маятника, взаимодействующего с магнитной цепью, которая скрыта в подставке. С первым маятником скреплено еще одно вращающееся плечо. Как показано на рис. В.4, возможно несколько конфигураций. Во всех конфигурациях на ось второго плеча действует вынуждающая сила со стороны первого маятника. В некоторых вариантах этой игрушки небольшие магниты, закрепленные на первичном и вторичном маятниках, взаимодействуют, когда вторичное плечо проходит вблизи рамки первичного маятника.
Рис. ВЛ, Игрушки для демонстрации хаотических режимов: двойной маятник и «космический шарик».
Для подачи импульсов тока в силовой магнит используется про- стая， но остроумная цепь, схема которой приведена на рис. В・5・ Когда нижний маятник колеблется, магнитное поле в притягивающем магните создает напряжение в обмотке, входящей в состав цепи, скрытой в подставке. Это напряжение приложено к транзистору, который начинает проводить, когда индуцированное движением напряжение достигает критического значения. За время проводящей фазы ток из батареи напряжением 9 В течет по второй обмотке магнита, создавая действующий на маятник импульсный вращательный момент. В большинстве случаев колебания первичного маятника почти периодические, тогда как вторичный маятник совершает хаотические колебания. Профессор Алан Вулф из Куперовско- го объединения, Нью-Йорк, и его коллеги проанализировали действие этой игрушки и показали, что движение вторичного маятника действительно хаотично (к сожалению, их работа не была опубликована к тому времени, когда была написана эта книга).
ИГРУШКА С НЕОНОВОЙ ЛАМПОЙ,ДЕМОНСТРИРУЮЩАЯ ХАОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
Мой последний пример предназначается тем читателям, которые питают склонность к электротехнике. Он описан в 1977 г. Рольфом Ландауэром из отделения фирмы ИБМ в г. Йорктаун- Хайтс в отчете под названием «Хаос бедняка». Аналогичное исследование было опубликовано Голлубом, Браннером и Дании [43]. Цепь, о которой идет речь, изображена на рис. В.б и состоит цз двух цепей с неоновыми лампами, связанных между собой. В каждой цепи в отдельности могут происходить релаксационные колебания (смм например, Минорский [135]). В связанных между собой цепях динамика может быть стационарной, периодической или хаотической, и наблюдатель может следить за ней по характеру вспышек неоновых ламп. В работе Голлуба и др. [43] вместо неоновых ламп использованы туннельные диоды, и в цепи дополнительно включены индуктивности.
Рис. В.б. Цепь из экспери
мента с неоновой лампой (99].
Ландауэр построил эту игрушку по воспоминаниям об аналогичном упражнении, которое ему довелось выполнять в 1945 г. на курсах по подготовке технических специалистов среднего звена по электронике для ВМС США. Это еще раз подтверждает высказанную мною гипотезу о том, что хаотические колебания наблюдались и в прошлом, но как своего рода курьез, так как не было теоретических основ для их серьезного изучения.
Литература
Abraham, R. H., and Shaw, C. D. (1983). Dynamics: The Geometry qf Behaviour, Aerial Press, Santa Cruz, CA.
Abraham, N. B., Albano, A. M., Das, B., DeGuzman, G., Yang, S., Gioggia, R. S.f Pucckmi, G. P・,and Tredicce, J・ R. (1986). wCalculating the Dimension of Attractors From SmaU Data Sets J Phys. Lett. 114A(5), 217—221.
Arnold, V. I. (1978). Ordinary Differential Equations, МГГ Press, Cambridge, MA.
Babitsl^, V. L, Landa, P. S・,Oi'khovoi, A. F., and Perminov, S. M. (1982). MStocha#ic Behavior of Auto-Osdllating Systems with Inertial Setf-Excitation,** Z・ 銀加孔 MatM МкА. *2), 73TL
ВаШ1еи1, J・,and Brockett, R. W・,and Washburn, R・ B. (1980). MChaotic Motion in Nonlinear Feedback ^sterns,M IEEE Tims, on Circuits and Systems CAS>27, (11), 990-997.
Baker, N. H・,Moore, P. W., and Spiegel, E. A. (1971). wAperiodic Behavior of a Nonlinear OftUlator,M Q・ J. M0 4陋・ Math. 24(4), 391—422.
Bau, H. H・,and Torrance, К. E. (1981). *On the Stability and Row Reversal of an Asymmetrically Heated Open Convection Loop J 丄 Fluid Meeh. 106, 412—433.
8・ Benettin, G.f Galgani, L・，OiogUli, A., and Strelcyn, J. M. (1980). wLyapunov Characteristic Exponents for Smooth Dynamical Systems and for Hamiltonian Systems; A Method for Computing All of Them. Part 2: Numerical ApplicationfM Meccanica 19, 21—30.
Bergi, P. (1982). MStudy of the Phase Space Diagrams Through Experimental Poin- сагё Sections in Prechaotic and Chaotic Regimes J Phys. Scr. Tl, 71—72.
Bergi, P.t Dubois, M., Manneville, P., and Pomeau, P. (1980). Mlntermittency in Rayleigh-Benard Convection,** J・ Phys. (Paris) Lett. 41(15), L341-L345.
Berge, P.. Pomeau, Y., and Vidal, Ch. (1985). UOrdn dans № САаз, Hermann, Paris.
Brandstater, A., Swift, J., Swinney, H. L.» Wolf, A” Farmer, J. O.t Jen. E・，and Crutchfield, J. P. (1983). **Low-Dimensional Chaos in a Hydrodynamics Astern,** Phys. Rev・ Lett, 51(6), 1442—1445.
Brandstater, A., Swift, J., Swinney, H. L.,and Wolf, A. (1984). WA Strange Attractor in a Couette-Taylor Experiment,** in Turbulence and Chaotic Phenomena in Fluids, Proceedings of the 1UTAM Symposium (Kyoto), T. Tatsumi (ed.), Nonh-Holland, Amsterdam.
Brillouin, L. (1964). Scientific Uncertainty and Information. Academic Press, N.Y.
Brockett, L. (1982). wOn Conditions Leading to Chaos in Feedback Systems J IEEE Proc. 21st Conf- Decision Control, 932—936.
Brorson, S. D., Dewey, D., and Linsay, P. S. (1983). wThe Self-Replicating Attractor of a Driven Semiconductor Oscillator,** Phys, A”. A. Rapid Comm.
Bryant, P., and Jeffries, C. (1984a). uBifurcations of a Forced Magnetic Oscillator Near Points of Resonance," Phys. Kev. Lett. 53(3), 250-253.
Bryant, P・，and Jeffries, C. (1984b). “Experimental Study of Driven Nonlinear Oscillator Exhibiting Hopf Bifurcations, Strong Resonances, Homoclinic Bifurcations and Chaotic Behavior," Lawrence Berkeley Laboratory report, LBL>16949, January.
Bucko, M. F., Douglass, D. H., and Frutch, H. H. (1984). MBounded Regions of Chaotic Behavior in the Control Parameter Space of a Driven Nonlinear Resonator," Phys. Lett. 104(8), 388-390.
Campbell, D. K., and Rose, H. A. (eds.) (1982). M Order in Chaos," Proceedings of a Cortference Held at Los Alamos National Lab, May, North-Holland, Amsterdam.
Chirikov, В. V. (1979). °A Universal Instability of Many-Dimensional Oscillator Systems," Phys, Rep. 52, 265.
Ciliberto, S., and Gollub, J. P. (1985). uChaotic Mode Competition in Parametrically Forced Surface Waves,"丄 Fluid Мкй. 15S, 381-398.
Clemens, H., and Wauer, J. (1981). **Free and Forced Vibrations of a Snap-Through Osdllator," Report of the Institute far Technische Mechanik, UniversitAt Karlsruhe.
Creveling» H. F., dePaz, J. F., Baladi, J. У., and Schoenhals, R. J. (1975). ^Stability Characteristics of a Single-Phase Free Convection Loop,"丄 Fluid Meeh, 67, 65-84.
Croquette, V., and Poitou, C. (1981). MCascade of Period Doubling Bifurcations and Large Stochasticity in the Motions of a Compass,"丄 Phys, (Paris) Lett. 42, L537-L539.
Crutchfield, J. P., and Packard, N. H. (1982). “Symbolic Dynamics of One- Dimensioiial Maps: Entropies, Rnite Precursor, and Noise," Int,丄 Пеог, Phys, 21(^, 433465.
Cvitanovic, P., and Predrag, P. (1984). Universality 仇 Chaos, Heyden, Philadelphia, PA.
Dowell, E. H. (1975). Aeroelasticity of Plates and Shells, Noordhoff International, Groningen.
Dowell, E. H. (1982). MRutter of a Buckled Plate as an Example of Chaotic Motion of a Deterministic Autonomous System,"丄 Sound Vib, 85(3), 333-344.
Dowell, E. H. (1984). “Observation and Evolution of Chaos for an Autonomous System,"丄 Appl. Meh., paper no. 84-WA/APM-15.
DoweU, E. H., and Pezeshki, C. (1986). “On the Understanding of Chaos in Duffing's Equation Including a Comparison with Experiment,"丄 Appl. Meeh. 53(1), 5-9.
Dubois, M., Berg6, P., and Croquette, V. (1982). MStudy of Nonsteady Convective Regimes Using Poincare Sections,"丄 Phys. (Paris) Lett. 43, L295-L298.
Eckmann, J. P. (1981). uRoads to Turbulence in Dissipative Dynamical Systems/ Лек Mod, Phys. 53(4), part 1, 643-654.
Evenson, D. A. (1967). Nonlinear Flexural Vibrations qf Thln-^alled Circular Cylinders. NASA Technical Note, NASA TN D-4090, August.
Everson, R. M. (1986). MChaotic Dynamics of a Bouncing Ball," Physlca 19D, 355-383.
Fanner, J. D., Ott, E., and Уогке, J. A. (1983). MThe Dimension of Chaotic Attractors," Physica 7D, 153-170.
3Z Feigenbaum, M. J. (1978). “Qualitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations,"丄 Stat, Phy& 19(1), 25-52.
Feigenbaum, M. J. (1980). “Universal Behavior in Nonlinear Systems," Los Alamos Set. (Summer), 4-27.
39・ Fung, Y. C. (1958). “On Two-dimensional Panel Hutter,"丄 Aero/^act ScL 25(3), 145-159.
Glass, L.t Guevau, X.t and Shrier, A. (1983). uBifurction and Chaos in Periodically Stimulated Cardiac Oscillatortn Physica 7D (1983), 89-101.
Goldberger, A. L・，Bhargava, V., West, B. J., and Mandell, A. J. (1986). MSome Observations on the Question: Is Ventricular Rbrillation *Chaos*?,w Physg 19D, 282-289.
Gollub, J. P., and Benson, S. V.(198O). “Many Routes to Turbulent Convection,** ^ Fluid Meeh. 100(3), 449-470.
Gollub, J. P., Brunner, T. O., and Danly, B. G. (1978). -Periodicity and Chaos in Coupled Nonlinear Oscillators J Science 200, 48-50.
Gollub. J. P., Romer, E. J” and Socalar, J. E. (1980). -Trajectory Divergence for Coupled Relaxation Oscillators: Measurements and Models J 丄 Stat, Ph衿 23(3), 321-333.
Golnaraghi, M・，and Moon, F. C. (1985). uChaotic Dynamics of a Nonlinear Servo Device," 24th IEEE Cortf. on Decision and Control December 1985, Cornell University Report, Department of Theoretical and Applied Mechanics, July 1985.
Gorman, M.t Widmann, P. J., and Robbins, K. A. (1984). -Chaotic Row Regimes in a Convection Loop,” Phys、Kev. iMt. 52(25), 2241-2244.
Grassberger, P., and Proccacia, 1. (1983). -Characterization of Strange Attractors,n Phys. Rev. Lett. 50, 346-349.
Grassberger, P. and Proccacia, L (1984). “Dimensions and Entropies of Strange Attractors from a Ructating Dynamics Approach," Physica 13D, 34-54.
Grebogi, C., Ott, E・，and Yorke, J. A. (1983a). -Crises, Sudden Changes in Chaotic Attractors and Transient Chaos," Physica 7D, 181-200.
Grebogi, C., Ott, E-, and Yorke, J. A. (1983b). “Fractal Basin Boundaries, Long Lived Chaotic Transients and Unstoble-Unstoble Pair Bifurcation J Phys. Rev, Lett. 50(13), 935-938.
Grebogi, C-, Ott, E・，Pelikan, S” and Yorke, J. A. (1984). uStrange Attractors that Are Not Chaotic,n Physica 13D, 261-268.
Grebogi, CM Ott, E.t and Yorke, J, A, (1985a). “Attractors on an MTorus: Quasiperiodicity Versus Chaos J Physica 15Dt 354-373.
Grebc^i, C., Ott, E・,and Yorke, J. A. (1985b). uSuperpersistent Chaotic Transients,n Ergod. 7%eor. Dynam. Syst. 5t 341-372.
Grebogi, C., McDonald, S. W., Ott., E・,and Yorke, J. A. (1985c). -Exterior Dimension of Fat fractals," Phys. Lett. 110A(l)» J-4.
Grebogi, C., Ott, E・,and Yorke, J. A. (198Q. “Metamorphoses of Basin Boundaries in Nonlinear Dynamical Systems J Phys. Rev. Lett, 56(10), 1011-1014.
Guckenhdmer, J. (1982). “Noise in Chaotic Systems,** Nature 298, 358.
Guckenheimer, J” and Holmes, P. J. (1983). Nonlinear Oscillations» Dynamical Systems and ^furcations 切 Vector Fields^ Springer-Verlag, New York.
Gwinn, E. G” and Westervel, R. M. (1985). uIntermittent Chaos and Low-Frequency Noise in the Driven Damped Pendulum/' Phys. Uev. Lett. 54(15), 1613-1616.
Haot B.・L, (1984), Chaos, World Scientific Publishers, Singapore.
Harrison, R. G. and Biswas, D. J. (1986). uChaos in Light」Nature 321, 22, May, 394-401.
Hart, J. E. (1984). “A New Analysis of the Closed Loop Thermosyphontn InCJ. Heat Mass Transfer 27(1), 125-136.
Haucke, H； and Ecket R. E. (1987). uMode-Locking and Chaos in Rayleigh-Benard Convection," Physica D (in press), Los Alamos National Lab. Report LA-UR-86- 1257.
Hayashi, C. (1953). Forced Oscillations in Nonlinear Systems、Nippon Printing and Publishing Co., Osaka, Japan.
Hayashi, H., Ishizuka, S., Ohtat M.t and Hirakawa, J* (1982). “Chaotic Behavior in
the 'Onchidium' Giant Neuron under Sinusoidal Stimulation,9' Phys* Lett. 88A(8), 5 April, 435^38.
HeUeman, R. H. G. (1980a). MSelf-Generated Chaotic Behavior in Nonlinear Mechanics,w FUnd. Probl. Stat, Meeh. 5, 165-233.
Helleman, R. H. G. (ed.) (1980b). MNonlinear Dynamics,w Ann. N. К Acad. &7・ 3S7.
Hendriks, F. (1983). MBounce and Chaotic Motion in Print Hammers,w IBM J. Res* Dev. 27(3), 273-280.
Henon, M. (1976). MA Two-Dimensional Map with a Strange Attractor," Commun. Math. Phys, SO, 69.
Henon, M. (19Ю). MOn the Numerical Computation of Poincare Map," Physica 5D, 412-414.
Henon, M., and Heiles, C. (1964). MThe Applicability of the Third Integral of Motion: Some Numerical Experiments,n Astron. J 69(1), 73-79.
Henon, M・，and Wisdom, J. (1983). "The Benettin-Strelcyn Oval Billiard Revisited,w Physlca 8D, 157-169.
Hockett, K., and Holmes, P. J. (1985). MJosephson Junction, Annulw Maps, Birkhoff Attractors, Horseshoes and Rotation Sets J Center for Applied Math Report Cornell University.
Holmes, P・ J. (1979). MA Nonlinear Oscillator With a Strange Attractor," Philos. Thou. Я Soc. London A 292, 419-448.
Holmes. P. J. (ed.) (1981). №w Approaches to Nonlinear Problems in Dynamics, SIAM. Philadelphia, PA.
Holmes. P. J. (1№). “The Dynamics of Repeated Impacts With a Sinusoidally Vibrating Tabled J・ Sound Vib. 84, 173-189.
Holmes* P. J. (1984b). MBifurcation Sequences in Horseshoe Maps: Infinitely Many Routes to Chaos J Phys. Lett. A 104(6,7), 299-302.
Holmes. P. J・(1985)・ “Dynamics of a Nonlinear Oscillator with Feedback Control,* Z of Dynamics Systems, Measurements and Control МП. 159-165.
Holmes. P. J. (1980. MChaotic Motions in a Weakly Nonlinear Model for Surface Waves." J. FtMMech. 162, 365-388.
Holmes. P. J., and Moon, F. C. (1983). uStrange Attractors and Chaos in Nonlinear Mechanics^ J. Appl. Meeh. SO, 102Ы032.
Holzfuss. J. and Mayer-Kress, G. (1986). MAn Approach to Error-Estimation in the Application of Штепшоп Algorithms,w Dimnsions and Entropies in Chaotic Systems, G. Маусг-Kress (ed.), Springer-Verlag, Berlin.
Hudson. J. L., Mankin, J. C., and Rossler, О. E. (1984). MChaos in Continuow Stirred Chemical Reaction ,w in Stochastic Phenomena and Chaotic Behavior in Complex Systems, P. Schuster (ed.), Springer-Verlag, Berlin, pp. 98-105.
Hunt, E. R., and Rollins, R. W. (1984). MExactly Solvable Model of a Physical System Exhibiting Multidimensional Chaotic Behavior,w Phys, Kev. A 29(2), 1000-1002.
Hsu, C. S. (1981). “A Generalized Theory of Cell-to-Cell Mapping for Nonlinear Dyiuunical &Sas「J・ Appl. Meeh. 48, 634-642.
Hsu, C. S. (1987). Cell g Cell Mapping, Springer-Verlag.
Hsu, C. S., and Kim, M. C. (1985). MStatistics for Strange Attractors by Generalized Cell Mapping,w J. Stat, Phys.
lansiti, M.,Hu, Q., Westervelt, R. M.,and Tinkham, M. (1985). uNoise and Chaos in a Fractal Basin Boundary Regime of a Josephson Junction J Phys. Rev. Lett, 55(7), August 12, 746-749.
looss, G., and Joseph, D. D. (1980). MElementary Subility and Bifurcation Theory, Springer-Verlag, New York.
Isomaki, H. M., von Boehm, J., and Raty, R. (1985). wDevirs Attractors and Chaos of a Driven Impact Oscillator," Phys. Lett. 107A(8), 343-346.
Kadanoff, L. Р. (1983). "Roads to Chaos」Phys. Today (Dec.), 46—53.
Kaplan, J., and Yorke, J. A. (1978). Springer Lecture Notes in Mathematics. No. 730, p. 228.
Keolian, R” Turkevkh, L. A., Putterman, S. J., Rudnick. 1.. and Rudnick, J. A. (1981). MSubhannoiuc Sequences in the Faraday Experiment: Departures from Period Doubling.” Phys, Rev, Lett. 47(16), 1133—1511.
Klinker, T., Meyer<llsef X., and Lauterborn, W. (1984). “Period Doubling and Chaotic Behavior in a Driven Toda Oscillator," Phys. Lett. A 101(8), 371—375.
Kobayashi, S. (1962). HTwo-dimensional Pand Hutter 1. Simply Supported Panel," Trans, Japan Society Aeronautical Space Sciences 5C8), 90—102.
Kostelich, E. J., and Yorke, J. A. (1985). иLorenz Cross Sections and Dimension of the Double Rotor Attractor," Dimensions and Entropies in Chaotic Systems, G. Mayer-Kress (ed.). Springer-Verieg, Berlin, pp. 62—66.
Kostelich, E. J., Grebogi, C., Ott, E., and Yorke, J. A. (1987). -The Double Rotor Chaotic Attractor." to appear in Physica D.
Kreuzer, E. J. (1985). HAnalysis of Chaotic Systems Using the Cell Mapping Ap- proach," Ingeniw-Archh 55, 285—294.
Kuhn, T. (1962). The Structm ofSc&nUflc Jtgvohaitw, The University of Chicago Press, Chicago.
Landau, L. D. (194^. "On the Problem of Turbulence.* Akad. Nauk, Doklady 44, 339, Russian original reprinted in Chaos Hao, Bd-Un (ed.) 107, World Scientific Publishers, Singapore.
Landauer, R. (1977). "Poor Man's Chaos," Internal МепюДВМ Corp.
Lauterborn, W. (1981). "Sabhannonic Route to Chaos in Acoustic J Phys. Kev. Lert 47(20), 1445—1448.
10L Lauterborn. W., and Cramer. B. (1981). "Subhannonic Route to Chaos Observed in Acoustics J Phys. Кек Lett. 47(20), 1145.
Lee, C.-К.; and Moon. F. C. (1MQ. HAn Optiod Technique for Measuring Fractal Dimensions of Planar Poincart Maps." Phys. Lett A TM(5), 222—226.
Ldpnik, R. B. and Newton. T. A. (1981). HDouUe Strange Attractors in Rigid Body Motion with Linear Feedback Control,* Phys, Lett М(2), 2, November, 63—67.
Levin, P. W., andJCodi, В. P. (1981). HChaotk Behavior ofa Parametrically Excited Damped Pendulum J Phys. Lett. A 86(2), 71—74.
Li, О. X. (1984). Chaotic Vibrations 勿 a Nw^mar Мйт wirA fhv ЕдиШМшп States. M.S. Tbesis. Cornell University, Ithaca, N.Y., August.
Li, О. X. (1987). Doctoral dissertation, Dqrartincm of Theoretical and Applied Mechanics. Cornell Univereity, Ithaca, NY.
Libchaber, A. (1982). HConvections and Turbulence in Liquid Helium IJ Physica 109 & HOB, 1583—1589.
Libchaber, A. and Maurer (1978). Z Phys. Lett., 39, 369.
Libchaber, A., Fauve, S., and Laroche, C. (1982). MTwo-Paranieter Study of the Routes to Chaos," in Order in Chaos, X. Campbell and X. Rose (eds.), North- Holland, Amsterdam.
Lichtenberg, A. J., and Liebennan, M. A. (1983). Regular and Stochastic Motion, Springer-Verlag, New York. [Имеется перевод: Лихтенберг А., Либерман M. Регулярная и стохастическая динамика, — М.: Мир, 1984..]
Lieberman, М. A., and Tsang, К. Y. (1985). “Transient Chaos in Dissipatively Perturbed Near-Integrable Hamiltonian Systems," Phys. Rev. Lett. 55(9), 26, August, 908—911.
Lin, Y. K. (1976). Probabilistic Theory of Structural Dynamics, Krieger, Huntington, NY.
Linsay, P. A. (1981). "Period Doubling and Chaotic Behavior in a Driven, Anhar- monic Oscillator," Phys、№v. Lett. 47(19), 1349—13 52.
Linsay, Р. S. (1985). The Structure of Chaotic Behavior in a PN Junction Oscillator, MIT, Department of Physics Report.
Lorenz, E. N. (1963). MDeterministic Non-Periodic Flow,” 丄 Atmos. Sci. 20,130^141.
Lorenz, E. N. (1984). °The Local Structure of a Chaotic Attractor in Four Dimensions," Physica 13D. 90-104.
Love, A. E. H. (1922). A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, 4th Ed., Dover, New York.
fvov, V. S., Predtechensky, A. A., and Chernykh, A. 1. (1981). ^Bifurcation and chaos in a system of Taylor vortices: a natural and numerical experiment," Soviet Physics JETP S3、562.
McDonald, S» W., Grebogi, C, Ott, E., and Yorke, J. A. (1985). MFractal Basin Boundaries,” Physica 17D, 125-153.
McLaughlin, J. B. (1981). MPeriod-Doubling Bifurcations and Chaotic Motion for a Parametrically Forced Pendulum J 丄 Stat. Phys. 24(2), 375-388.
Maganza, C. Causse, and LaloK, F. (1986). “Bifurcations, Period Doubling and Chaos in Clarinetlike Systems," Europhys. Lett. 1(6), 295*30^.
Mahaffey. R. A. (1976). Phys. Fluids 19 1387-1391
Malraison, G., Atten, P., Bergi, P., and Dubois, M. (1983). ^Dimension of Strange Attractors: An Experimental Determination of the Chaotic Regime of Two Convective Systems,** 丄 Phys. Lett. 44, 897-902.
Mandelbrot, В. B. (1977). Fractals, Form» Chance» and Dimension, W. H. Freeman, San Francisco, CA.
ManncviBe. P., and Pomeau, Y. (1980). MDifferent Ways to Turbulence in Dissipative Dynamical Systems,** Phy^ca Ш, 219-226.
Marzec, C. J., and ^йеде!* E. A. (1980). MOrdinary Differential Equations with Strange Attracton J SMM 丄彳典班 AfoM. 38(3), 403Y2L
Matsumoto, T. (1Й4). MACiaotic Attractor from Chua's Circuit,** IEEE. Trans. Circuits Sysi. CAMKIZ). 1055-1058.
Matsumoto, T., Ош, I. O., and Tanaka, S. (1984). uSimplcst Chaotic Nonautonomous Circuit,** Phys. Rev. A, 30(2), 1155-1157.
Matsumoto, T., Chua, L. O., and Komuro, M. (1985). uThe Double Scroll J IEEE 7hvu. draiits Mt CAM2(8). 798418.
May, R. M. (1976). MSimple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics,** Nature 261, 459-467.
Mayer-Kress, G. (1985). “Introductory Remarks,” in Dimensions and Entropies 加 Chaotic Systems, G. Мвуег-Kress (ed.), Springer-Verlag, Berlin.
2. Miles, J. (1984a). wResonant Motion of Spherical Pendulum/* Physica 11D, 309-323.
Miles, J. (1984b). wResonantly Forced Motion of Two Quadratically Coupled Oscillators," Physca 13D, 247-260.
Miles, J. (1984c). MResonantt Nonplanar Motion of a Stretched String,** 丄 Acoust. &x\ Am. 75(5), 1505-1510.
Minorsky, N. (1962). Nonlinear Oscillationst Van Nostrand, Princeton, NJ.
Moon, F. C. (1980a). “Experiments on Chaotic Motions of a Forced Nonlinear Oscillator: Strange Attractors,” A SME J. Appl. Meeh. 47, 638-644.
Moon, F. C. (1980b). wExperimental Models for Strange Attractor Vibration in Elastic Systems,** in New Approaches fc Nonlinear Problems in Dynamics^ P. J. Holmes (ed.), pp. 487-495.
Moon, F. C. (1984a). Magneto-Solid MechanicSi Wiley, New York.
Moon, F. C. (1984b). MFractal Boundary for Chaos in a Two State Mechanical Oscillator," Phys. Rev. Lett. 53(60), 962-964.
Moon, F. C・(1986). “New Research Directions for Chaotic Phenomena in Solid Mechanics," in Perspectives in Nonlinear Dynamics^ R. Cawley and M. Shlesinger (eds.). World Scientific Publishers, Singapore.
Moon, F. C, and Holmes, P. J. (1979). MA Magnetoelastic Strange Attractor,** J. Sound Vib. 65(2), 275-296; “A Magnetoelastic Strange Attractor,** J. Sound Vib. ^^2), 339.
Moon, F. C., and Holmes, W. T. (1985). HDouble Poincart Sections of a Quasi- Periodically Forced, Chaotic Attractor,** Phys, Lett. 4 111(4), 157-160.
Moon, F. C., and Li, G.-X. (1985a). MThe Fractal pimension of the Two-Well Potential Strange Attractor,** Physica 17D, 99-108.
Moon, F. С.» and Li, G.-X. (1985b). MFractal Basin Boundaries and Homoclinic Orbits for Periodic Motion in a Two-Well Potential ,n Phys. Rev. Lett. 55(14), 1439*1442.
Moon, F. C., and Shaw, S. W. (1983). "Chaotic Vibration of a Beam with Nonlinear Boundary Conditions J J. Nonlinear Meeh, 18, 465-477.
Moon, F. C., Cusumano, J., and Holmes, P. J. (1987). “Evidence for Homoclinic Orbits as a Precursor to Chaos in a Magnetic Pendulum,*' Physica D (in press).
Moore, D. W., and Spiegel, E. A. (1966). “A Thermally Excited Non-linear Oscillator,*' Astrophys, Л 143(3), 871-887.
Nayfeh, A. H., and Mook, D. T. (1979). Nonlinear Oscillations, Wiley, New York.
Nayfeh, A. H. and Khdeir, A. A. (1986). wNonlinear Rolling of Ships in Regular Beam Seas J Int. SMpbuUdg E・科 No. 379, 40-49.
Newhouse, S・,Ruelle, D・,and Takens, F. (1978). “Occurrence of Strange Axiom A Attractors Near Quasiperiodic Flows on 户，m w 3 J Commun. Math. Phys. 64, 35-40.
Ott, E. (1981). wStrange Attractors and Chaotic Motions of Dynamical Systems,** Ke. Mod. Phys, S3(4), Part 1, 655-671.
Packard, N. H., CrutchMd, J. P., Farmer, J. D., and Shaw, R. S. (1980). “Geometry from a Time Series,” Phys, Aev・ Lett, 49, 712.
Pehgen, H.-О., and Richter, P. H. (1986). 7%e Beauty qf F^actah、Springer-Verlag, Berlin.
Pezeshki, C., and Dowell, E. H. (1987). wAn Examination of Initial Condition Maps for the Sinusoidally Excited Buckled Beam Modeled by Dufflng's Equation,” J. Sound and Vibration (in press).
Poddar, B“ Moon, F. C., and Mukherjee, S. (1986). wChaotic Motion of an Elastic- Plastic Beam J 丄 AppL Mtch, (in press).
Poincart, H. (1921). The Foundation。Science: Science and Methodt English Translation, The Science Press, N.Y.
Pomeau, Y., and МаппеуШе, P. (1980). wIntermittent Transition to Turbulence in Dissipative Dynamical Systems,** Commun, Math, Phys. 74, 189-197.
Prigogine, 1. and Stengers, I. (1984). Order Out of Chaos% Bantam Books, Toronto.
Rand, D・,Ostlund, S・,Sethna, J・,and Siggia, E. D. (1982). wUniversal Transition From Quasiperiodicity to Chaos in Dissipative Systems,** Phys, Rev. Lett, 49(2), 387-390.
Richter, P. H., and Scholz, H.-J. (1984). MChaos in Classical Mechanics: The Double Pendulum,*' in Stochastic Phenomena and Chaotic Behavior in Complex Systems^ P. Schuster (ed.), Springer-Verlag, Berlin, pp. 86-97.
Robbins, K. A. (1977). MA New Approach to Subcritical Instability and Turbulent Transitions in a Simple Dynamo,** Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 82, 309-325.
Rollins, R. W., and Hunt, E. R. (1982). "Exactly Solvable Model of a Physical System Exhibition Universal Chaotic Behavior,” Phys. Rev. Lett. 49(18), 12954298.
Rossler, О. E. (1976a). wChemical Turbulence: Chaos in a Small Reaction-Diffusion System," Z. Naturforsch. a 31, 1168-1172.
Rossler, О. E. (1976b). MAn Equation for Continuous Chaos," Phys. Utt. 4 57,397.
Roux, T. CM Simoyi, R. H., and Swinney, H. L. (1983). MObservation of a Strange Attractor,** Physica 8D, 257-266.
Russel, D. A., Hanson, J. DM and Ott, E. (1980). MDimension of Strange Attractors,n P妙事.Rev. Lett. 45(14), 1175-1178.
Saltzman, B. (1962). “Finite Amplitude Free Convection as an Initial Value Problem—I," 丄 Atmos. Sci. 19, 329-341.
Schreiber, 1., Kubicek, M., and Marak, M. (1980). иОп Coupled Cells," in New Approaches /0 Nonlinear Problems in Dynamics, P. J. Holmes (ed.), SIAM, Philadelphia, PA, pp. 496-508.
Schuster, H. G.. (1984). Deterministic Chaos, Physik-Verlag GmbH, Weinheim (F.R.G).
Shaw, R. (1981). MStrange Attractors, Chaotic Behavior and Information Flow," Z. Natwforsch. A 36, 80-112.
Shaw, R. (1984). 7%e Dripping Faucet as a Model Chaotic System t Aerial Press t Santa Craz, CA.
Shaw, S. W. (1985). MThe Dynamics of a Harmonically Excited System Having Rigid Amplitude Constraints, Parts 1, 2 J Z Applied Mechanics 52(2), 453-464.
Shaw, S・，and Holmes, P. J. (1983). MA Periodically Forctd Piecewise Linear Osciilalcr J J. Sound Vlb. 90(1), 129-155.
Shimada, I., and Nagashima, T. (1979). “A Numerical Zproach to Ergodic Problem of Dissipative Dynamical Systems J Prog, qf Theoretical Phys. (1(6), 1605-1616.
Simoyi, R. H., W№ A., and Swimiey» H. L. (1982). MOne-Dimensional Dynamics in a Multi-Component Reaction," Phys. Kev. Lett. 49, 245.
Soong, T. T. (1973). Random Differencial Equations in Science and Engineering, Academic press. New York.
Sparrow, С. T. (1981). MChaos in a Three-Dimensional Single Loop Feedback System With a Piecewise Linear Feedback Function J J. Math. Anal. Appl. 83, 275-291.
Sparrow, C. (1982). The Lomz Equations: ^furpations. Chaos, and Strange Attractors, ^ringer-Veriag, New York.
Sreouvasan, K. R. (1986). MChaos in Open Flow Systems J in Dimension and £n- tn^ies, in Chaotic Systmst G. Mayer-Kress (ed.), Springcr-Verlag, New York.
Stoker, J. J. (1950). Nonlifiear Vibrations, Interscience, New York.
Swinney, H. L. (1983). “Observations of Order and Chaos in Nonlinear Systems J in Order and ChMSt СапфМ! and Rose (eds.), North-HoUand, Amsterdam, pp. 3-15.
Swinney, H. L. (198S). “Observations of Complex Dynamics and Chaos,n in Fundamental Problems 加 Statistical Mechanics ИГ, E. G. D. Cohen (ed.), Elsevier Science Publishers, New York, pp. 253-289.
Swinney, H. L., and Gollub, J. P. (1978). MThe Transition of Turbulence," Physics Today 31(8), 41 (August).
Symonds, P. S., and Yu, T. X. (1985). uCounterintuitive Behavoir in a Problem or Elastic-Plastic Beam Dyl^anlicsJ J. Appl. Meeh. 52, 517-522.
Szczygielski, W., and Schweitzer, G. (1985). "Dynamics of a High-Speed Rotor Touching a Boundary," lUTAM/lFT^M Symposium ол the Dynamics qf Multibody Systems, CISM, Udine, Italy.
Szemplinska-Stupnicka, W., and Bajkowski, J. (1986). “The !6 subharmonic Resonance and its Transition to Chaotic Motion in a Non-Linear Oscillator,n Int. Z Non-Linear Mechanics (in press).
Tatsumi, T., (ed.) (19M). Turbulence and Chaotic Phenomena in Fluids, North- Holland, Amsterdam.
Termonia, Y., and Alexandrowicz, Z. (1983). Phys. Rev. Lett. 51(14), 1265.
Testa, J., Perez, J” and Jeffries, C. (1982). “Evidence for Universal Chaotic Behavior in a Driven Nonlinear Oscillator J Phys. Kev. Lett* 48, 714.
Thomson, W. T. (1965). Vibration Theory, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
Thompson, J. M. T. (1983). “Complex Dynamics of Compliant Off-Shore Structures,n Proc.凡 Soc. Land. A387, 407-427.
Thompson, J. M. T., and Ghaffari, R. (1982). MChaos After Period-Doubling Bifurcations in the Resonance of an Impact Oscillator," Phys. Lett. A 91(1), 5-8.
Thompson, J. M. T., and Stewart, H. B. (1986). Nonlinear Dynamics and Chaos, Wiley, Chichester.
Tousi, S., and Bajaj, A. K. (1985). MPeriod-Doubling Bifurcations and Modulated Motions in Forced Mechanical Systems," J. Appl. Meeh. 52(2), 446-452.
Tseng, W.-Y., and Dugundji, J. (1971). “Nonlinear Vibrations of a Buckled Beam Under Harmonic Excitation,** J. Appl. Meeh. 38, 467-476.
Tufillaro, N. B. and Albano, A. M. (1986). MChaotic Dynamics of a Bouncing Ball J Am. J. Phys. 54(10), 939-944.
Ueda, Y. (1979). “Randomly Ttanshional Phenomena in the System Governed by Duffing's Equation," J. Stat. Phys. 20t 181—196.
Ueda, Y. (1980). “Steady Motions Exhibited By Duffing's Equation: a Picture Book of Regular and Chaotic Motions," №w Approaches to Nonlinear Problems in Dynamics^ P. J. Holmes (ed.) SIAM, Philaddphia, PA.
Ueda, Y., and Akamatsu, N. (1981). MChaotically Transitional Phenomena in the Forced Negative Resistance Osdllator," Roc. IEEE ISCA8 '80. Also IEEE Trans. Circuits Syst CAS-28(3), March.
Ueda, Y., Doumoto, H., and Nobumoto, K. (1978). *An Example of Random Oscillations in Three-Order Self-Restoring System," Proceedings of the Electric and Electronic Communicotion Joint Meeting, Кшшй District, Japan, October.
Ueda, Y., Nak^jinui* H., Hikihara, T., and Stewart, H. B. (1980. Forced Tw-W^l Mential Duffing Oscillator,
Van Buskirk, R., and Jeffries, C. (198Sa). wOb8ervation of Chaotic Dynamics of Coupled Nonlinear Oscillators," Phys. Aev. A 31(5), 3332—3357.
Van der Pol, B., and Van der Mark, J. (1927). ^Frequency DemultipUcation," Nature 120(3019), 363-364.
Van Dyke, M. (1982). An Album qf Fluid Motion、Parabolic Press, Gty. [Имеется перевод: Альбом течений жидкости / Составитель и автор текста М. Ван-Дайк.
—М.: Мир, 1986.]
Viet, О., Westfreid, X., and Guyon, Е. (1983). “Art cinetique et chaos mechanique," £to■.丄 Phys. 4, 74—76.
Virgin, L. N. (1986). “The Nonlinear Roiling Response of a Vessel Including Chaotic Motions Leading to Capsize in Regular Seas," Applied Ocean Research.
Wisdom, J., Peale, S. J. and Mignard, F. (1984). «The Chaotic Rotation of Hyperion,** Icarus, 58, 137—152.
Wolf, A. (1984). ''Quantifying Chaos with Lyapunov Exponents," Nonlinear Sci. Theory Appk Ed. A. V. Holden, Manchester Univ. Press.
Wolf, A., Swift, J. B., Swinney, H. L., and Vasano, J. A. (1985). MDetermining Lyapunov Exponents from a Time Series," Physica 16D, 285—317.
Wolfram, S. (1984). “Universality and Complexity in Cellular Automata" Physica №D, 1-35.
Wolfram, S. (1986). Theory and Applications of Cellular Automata, World Scientific Pub!., Singapore.
York% J. A., Yorke, E. D.. and Maller-Paret, J. (1985). **Lorenz-like Chaos in Partial IMtferential Equations for a Heated Fluid Loop,** University of Maryland Report.
Zaslavsky, G. M. (1978). “The Simplest Case of a Strange Attractor,** Phys. Led. A 69(3), 145—147.
Zaslavskty, G. M., and Chinkov, В. V. (1972). MStochastic Instability of Nonlinear Oscillations^ Sov. Phys. Usp. 14(5), 549—672.
Zhu, Z.-X. (1983). MExperiment on the Chaotic Phenomena of an Upside Down Pendulum," Report of Laboratory of General Mechanics, Beijing University.
Предметный указатель。
Автомодельность (самоподобие) 272 Арка упруго-пластичная 85 Атпштор 32, 2& —«сдвойвой святок» 117 —Дуффинга — Холмса 281 — Лоретю 74 —285 —странный ЗХ 59, 63, 73, 229. 273 —ЗМы280
Б^урпцщ 30, 173» 268 —«мл» 30 -ЛЬл^ЗО, бб, 102, 269
Вестерн улюсяш* 211
Волны воверхвосгаые 123, @ поттвежяе 123, 243 Выборка стробосвошпесш 27
Пмвльтошш 183
Пеяфатсф колебаний с отрицательным сопротивлеяием 93, 116
Пшй|а областн притеши 249 в потевциале с двумя ямами
2S3, 254 с чегыршя ямамв 260, 261 двойного ротатора 261 отображения Каплана — Йорке 285 фражгальшш размерность 258 Пмшицы фрактальные в пространстве параметров 262
Движение глобальное 268
—локальвое 27
—хаотическое 12, 13, 73, 2乃 Дфево Фзри 284 Диаграммы бифуркационные экспериментальные 136
квадратичного отображения 174
° Номера сграшщ, выделшные курсивом, относятся к «Словарю терминов» (пркложевие А).
Динамика Пшилыпона 70, 82, 100, 269
—корабля 91
—символическая 32, 273
Диод варнкапный 64, 111, 147
—туннельный 115
Ишшкатор уровня 141
Индуктивность нелинейная 113, 162, 280
Информация 224
—пефядка “ 226
Колебания квазиоервошпескве 26, 58, «7, 269
—ком^шашкжные (товы) 26, 269
—параметрическве 86» 106
—плазменные 84
—релаксациовные 25
—самовозбуждающнеся 22, 23, 61
—случайные 12» 49, 159
—субпфмошнеские 22
Конвекция 40, 41, 76
—Рмея — Бенаро 76» 118, 165, 269
фрактальяая размерность 238
—тепловая 76, 77
Контакт Прца 131
Кривая Ках 213, 217
Кризис 69
Критерии хаоса 160
диагностические 161
для потенциала с многими ямами 193, 195
Мельникова для границ области притяжения 255
перекрытие резонансов Чирикова 189
прогностические 160, 170
существование гомоклинической траектории 166, 256, 262
удвосяие пе|жода 171
эмпирические 161
Лампа электронная 98
Лестница чертова 215
Материалы днэлектрнческне 129
—мапштные 129
Маятник 99, 167
—двойной 293
—магнитный 99, 184
—сферический 87
—фрактальная граница области притяжения 260
—Фруда 24
Мера инвариантная 269
Метод ①^нм?а 194
Линдштедта 194
—Мельникова 40, 183
Многооб|)азие 183, 270
— центральное 275
Множество канторовское 59, 138, 214, 217, 269
—Мандельброта 266, 270
Модели магннтомеханнческие 93, 100, 167 хаотические 288
упругая линия 289
электрическая схема для маггаика 294
Модель Ферми 80
Нелинейность 16, 47, 128
—геометрическая 130
—кинематическая 129
Непредсказуемость (потеря ннформа- шт) 37, 224, 254
Область притяжения 249, 270
в потенциале с двумя ямами 251—254, 256
с четырьмя ямами 261, 262
фрактальные границы 254
Оболочжа цилиндрическая 98
Оква периодические 177
Олотор линейный 269
Отображение 32, 270
—Бернулли 199, 200
—двумерное 57, 89
—для подталкиваемого ротатора 88
—для прыгающего шарика 82, 83, 189 — 191, 282
—«домик» 279
—Заславского 89
—Каплана — Йорке 285
—квадратичное 174
—комплексное 266
—кубическое 282
—одномерное 63, 65, 145, 171
—окружности само на себя 90, 27“ 283
—пекаря 209, 270
—«подкова» 37, 38, 72, 178, 180, 255, 271
—Пуанкаре 33, 56, 156 двойное сечение 147, 149
для автономных систем 61
для аттрактора Уэды 92 для колебаний вынужденных 57 кваэип^жодических 140 с соударениями 142 для магнитного ротатора 144 для нелинейной индуктивности
145
для осциллятора Ван дер Поля 94 изменение фазы 138
полученное в эксперименте 59, 67, 85, 105
построенное по положению 141
фраггальная размерность 233
эффекты затухания 138
—стандартное 282
—тора 286
—Энона 37 — 39, 188, 271, 280
—ячейки в ячейку 207
Парадигма 74
Переброс 22
Перемежаемость 47, 68, 186, 27厶 279
Пфенормировка 173, 271
Переход джозефсоновашй 86, 260
Плоскость фазовая S1
Подушка магшггная 100, 101
Показатель Ляпунова 14, 71, 157, 197, 2勿
движеяш в потешшале с двумя ямами 204
отображения «домик» 201
логистического 201
одном^жого 199
пекаря 210
стандартного 206
—Энона 280
уравнения Дуффинга 204
Портрет фазовый 29
Потенциал с двумя ямами 13, 163, 185 243, 260, 281
Потоки 32
Преобразование Фурье быстрое 153
Принцип суперпозиции 128
Пространство псевдофазовое 53, 115, 134, 238
—фазовое 133, 275
Процесс стохастический 100, 273
Размерность фрактальная 71, 155, 215, 275
в гидродинамических эксперимен* тах 241 — 243
в потенциале с двумя ям^н как функция затухания 237
для отображения пекаря 218, 228
«подкова» 218
Пуанкаре 245
емкостная 217, 269
информационная 223
канторовского множества 217
корреляционная 222
Ляпунова 227
оптическое измерение 244, 245, 249
порядка g 226
поточечная 220
усредненная 221, 230
пространства вложения 239 — 241
параметров 265
связь с показателями Ляпунова 227
точность оценки 243
Хаусдорфа 272
Распределение плотности вероятности 157
Реакции химические 124, 285
Резонанс в линейных системах 20, 21
—в нелинейных системах 22
Ротатор двойной 260, 261
подталкиваемый 88, 90
—магнитный 98— 100/ 167
Сечеше Лоренца 152
—Пуанкаре см. Отображение Пуанкаре
Силы масссюые велинейвые 130
Система детерминирежанная 269
— лазерная 125
—электромагиитная 48, 129, 130
Соцроппление неливейное [ [6
Соудареяия 80, 142, 190
Спектр показателей Ляпунова 207
Ммерного ото^южеш! 208
—Фурье 14, 45, 54, 56, 153
для квазнперводического движения 140
Стержень плоский изогнутый 84, 98, 104
(балка) Муна 291
с двумя степенями свободы 106
эксперимоггалыше данные 104, 289, 291
Структуры упругие 18, 102
нелинейные граничные условия 106
трехмерные 106, 108, 131
фурье-спостр хаотических колебаний 109
Теория возмущений 194
—геометрическая 27
— КАМ 2%
—катастроф 273
—эргодическая 276
Термосифон 120
Течение в трубке 122
—Тейлора — Куэтта 68, 119, 273
фрактальная размерность 241
Тор (инвариантный) 274
Точка неподвижная 33, 270
—(положение) равновесия 28
—седловая 29, 272
7)?аекторня в фазовом пространстве 31, 54, 55, 181
—гетероклиническая 268
—гомоклиническая 166, 178, 182, 269
Турбулентность 11, 12, 16, 17, 118, 238
Удвоение периода 35, 64, 86, 111, 122, 173, 274, 277
Универсальность 36, 274
Уравнение Ван дер Поля 25, 93, 274
-Дуффинга 22, 30, 43, 83, 93, 162, 163, 197, 274, 281
для траектории на фазовой плоскости 31
—логистическое 34, 277
—Матье 86
—разностное 57
Уравнения Лоренца 40, 74, 121, 165, 274, 278, 279
для траектории 42
—Навье — Стокса 17, 76, 274
—Эйлера 130
Устойчивость 29
Флаттер 79, 91, 102
Фрактал 15, 32, 47, 151, 212, 275
Функции состояния 129
Функция автоковфеляцновш 155
—корреляционная» оптическое измерение 245
—Мельникова 184, 275
Хаос бвологнческий 125
—в жидкостях 117
—в системах управления 95 с туниельным диодом 295
—консервативным 70, 282, 289
—переходным 47, 69, 186, 272
—повйрошостных волн 山，243
—суперпереходный 188
—эксперименты 97, 126
Цветок Пуанкаре 105
Цикл предельный 24, 51, 272
Частоты несоизмеримые 58
Число вращений 2Z5, 283
—Прандтля 40, 77
—Рейнольдса 161, 276
—Рзлея 40, 77
—Фейгенбаума 35, 64, 171, 276
Ширина полосы частот 133
Шум 97, 132, 276
Эксперименты численные 277
Энтропия 14
Языки Арнольда 276, 285
1.3.1.3.2. КАК2. КАК610101S1618191921273032343740434S474950sl54%6469e707174”757677610101S1618191921273032343740434S474950sl54%6469e707174”757677
1.3.
1.3.
2. КАК
2. КАК
610101S1618191921273032343740434S474950sl54%6469e707174”757677
610101S1618191921273032343740434S474950sl54%6469e707174”757677
Оглавление
От редакции
Предисловие
ВВЕДЕНИЕ. ВТОРОЕ ДЫХАНИЕ ДИНАМИКИ
Что такое хаотическая динамика? Зачем хаотическая динамика инженерам?
Источники хаоса в физике мел^рыехых сред /Эе наблюдаются лпотичеоше колебания?
Классическая теория нелинейных колебаний. Краткий обзор Теория линейных колебаний Теория нелинейных колебаний Локалмая гтлтричккяя теория дшммшш
Бифуркации
Отображеаия и потоки ф« образа хаоса
Омоложения Энона к «подкова»
Аттрактор Лоренуа к люс в жидкости
Заключительные замечания
ОБНАРУЖИТЬ ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Нелинейные элементы
Случайные внешние воздействия Наблюдение временной эволюции Эволюция на фазовой плоскости
Спектр Фурье
Отображение Пуанкаре Пути к хаосу
Кризис
Переходный хаос Консервативный хаос Показатели Ляпунова и фрактальные размерности
ОБЗОР СИСТЕМ С ХАОТИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ •••••
Новые парадигмы динамики
Математические модели хаотических физических систем
Тепловая конвекция в жидкости Модель тепловой конвекции Мура и Шпигеля
309тоюи»етммм^»»м этэтмгогогатгепп309тоюи»етммм^»»м этэтмгогогатгепп126^ш^^^^шшшшш^ш W^шш^шW ^№126^ш^^^^шшшшш^ш W^шш^шW ^№
309тоюи»етммм^»»м этэтмгогогатгепп
309тоюи»етммм^»»м этэтмгогогатгепп
126^ш^^^^шшшшш^ш W^шш^шW ^№
126^ш^^^^шшшшш^ш W^шш^шW ^№
Предметный указательКолебания пмтияы • сверхзвуковом лотмеЗадачи с соудар^ямиЗадачи с потенциалом . .Зе двойной лмыХаотические колебания маятникаСферический маятникПодталкиваемый ротаторОтображение окружности на себяДругие задачи с твердыми телами<Э!РОЭ*М^м колебанияНелинейные электрические ия“Магнитомеханические моделиХаос • системах управления
Физические экспвимеяты с хаотическими системами Первые наблюдшшя хаотических колебаний Системы твердых тел Магнитная стрелка компаса Устройства мв магнитной подушке Хаос • упругих непрерывных средах Цмхм^ные EO^w т^юкни “ струны Хаос • матричном печтиои^м устройстве Нелинейные Хаотическая дшюлшля • ммдмостх
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ЖМ1ЕБАНИЙ
Введеяие Цела экперамента
Нешпейные злемекты дввамвческих систем Нелинейные функции состояния Кинематические нелинейности Нелинейные массовые силы
ГЬома^ичкж нелинейности
Экспе|жмеят. васгройха и управление Ширина полосы частот
Измерения в фазовом прострайстве Измерения • лемдо^озовом проспуххнстве
Бифуркационные диаграммы
Экспериментальное отображение Пуанпре Отображения Пуанкаре посп^юенные ло положениям Построение одномерных отображений для многомерных аттракторов Двойное отображение Пуанкаре
Количественные мо)ы хаотических колебаний
Частотные спектры — быстрое преобразование Фурье Фрактальная размерность Показатели Ляпунова Вероятностны^ шш инвариантны^ распределения
КРИТЕРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Введение
Экспериментальные критерии хаоса
Вынужденные колебания нелинейной индуктивноашл: уравнение Дуффинга 10
Вынужденные кшкбания частицы • попжнциам с двумя ямами: равнение 川好имм 162
Конвекция Рмея — Бекара: уравнения "c^mw 165
Вынужденные колебания осциллятора с двумя степенями свободы в потенциале с двумя ямами 166
Вынужденные движения вращающегося дишмя в магнитных палях: уравнение маятника 167
Вынужденные колебания в Л2Х?-ц«ш 168
Гармонически возбуждаеллые поверхностные волны в жидкости, налитой § цилиндрический сосуд 169
Теоретические прогностнческне критерииПО
Критерий удвоения периода 171
Пшоклинтеские траектории н отображения типа подковы 178
Перемежаемость и переходный хаос 186
Критерий Чирикоеа перекрытия резонансов d/u консервативного хаоса189
Критерии для движений в потенциалах с многими ямами 193
1Т<жазтлв Ляпувова197
Вычисление наибольшего показателя Ляпунова201
Спектр показателей Ляпунова207
6・ ФРАКТАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙДИНАМИКЕ212
Введение 212
裁Хм №г213
Хантороеское множества214
Чертом лестница215
Фрактальная размерность215
Меры фрактальной размерности 220
Поточечная размерность220
Корреляцитшая размерность222
Инф^лищштная размерность223
Связь между различными определениями размерности “ показателями Ляпунова225
Насколько полезна фрактальная размерность для задач теории колебаний?228
Фрактальная размерность странных аттракторов229
Дискретизация переменных в фазовом пространстве230
Фрактальная размерность отображений Пуанкаре233
Вычисление размерности по одноразовому измерению временного ряда238
Оптическое измерение фрактальной размерности244
Оптический параллельный процессор для вычисления корреляционной функции245
пййшцы фрактальных областей притяжения. Области притяжения249
Чувствительная зависимость от начальных условий: переходное движение в потенциале с двумя ямами250
^октальная граница области притяжения: вынужденное движение в потенциале с двумя ямами252
Гомоклинические траектории: критерий фрактальности границ областей притяжения254
Размерность границ областей г^штяжешля к неопределенность258
Времена исхода: чувствительность * начальным условиям258
Другие приложения260
Фрактальные границы хаоса в проапранстве параметров262
66 Комплексные отображения и множества Мандельброта265
ПРИЛОЖЕНИЕ А. СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ ПО ХАОТИЧЕСКИМ И НЕЛИНЕЙНЫМ КОЛЕБАНИЯМ268
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ХАОСУ
Б.1. Логистическое уравнение: удвоение периода
Б.2. Уравнения Лореяца
Б.З. Перемежаемость и уравнеяия Лореяца
Б.4. Аттрактор Энона
Б.5. Уравнение Дуффивга: аттрактор Уэды
Е6 Уравнение Дуффввга с двум! потенциальнымй ямами: аттрактор Холмса281
Б.7. Кубическое отображеяве %лмса) 282
Б.8. Отображеяие витающего шартка (стандартное отобрвженне)282
Б.9. Отображеаие окружиоста на себя: синхронизация числа врапкяий н деревья Фэри283
Б.10. Аттрактор Рбсслера: хншюские реакции, одвомерш аппрогапошм многомерных систем285
Б.11. Фрактальиые гранты облает притяжения: отобйкжение Каплана—Йорке285
Б.12. Отображения тора286
ПРИЛОЖЕНИЕ В. ИГРУШЕЧНЫЕ МОДЕЛИ С ХАОТИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМ 288
Хаотическая упругая линия (эластика): настольный зкеперимеят по хаотичеошм колебаниям289
Балка Муна, иля эксперимент с хаотическими колебаниями продольно изогнутого стержня291
Хаотичеошй двойной маятник, нлн «космический шарик»293
Игрушка с неоновой лампой, демонстрирующая хаотическоеповедение295
ЛИТЕРАТУРА 296
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ305