Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Ф.А. Березин
Введение в алгебру и анализ с антикол^мутирующими переменными
Ф.А.Березин
Введение в алгебруи анализ
с антикоммутирующимипеременными
Ф.А.Березин
ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ И АНАЛИЗ С АНТИКОММУТИРУЮЩИМИПЕРЕМЕННЫМИ
В книге, составленной на основе рукописи Ф.А.Березина, изложены основные устоявшиеся разделы суперматематики: линейная алгебра и анализ, на суперпространствах, супералгебры Ли и супермногообразия.
Для математиков и физиков-теоретиков.
Содержание
Предисловие
6
Введение. Математические основы суперсимметричных теорий поля
8
Глава 1. Алгебра Грассмана
30
§ 1, Общие сведения об ассоциативных алгебрах
30
§ 2. Алгебры Грассмана
35
§ 3. Алгебры A(t7)
54
Глава 2. Анализ в алгебрах 勺,夕(0
72
§ 1. Производные
72
§ 2. Интеграл
73
Глава 3. Линейная алгебра в ^-градуированных пространствах
85
§ 1, Линейные операторы
85
§ 2. Алгебры и группы операторов в пространствах 仆凡 и ^^(А)
109
Глава 4. Супермногообразия в целом
121
Введение
121
§ 1. Пучки
121
§ 2. Кольцованные пространства
125
§ 3. Супермногообразия
132
§ 4. Конструкции супермногообразий
135
§ 5, Стратификация супер многообразия
141
§ 6. Ретракция и первое препятствие
144
§ 7, Высшие препятствия
150
§ 8. Примеры неретрагируемых супермногообразий
151
§ 9. Z+ -градуировка и условия простоты супермногообразия
153
Глава 5. Су пер ал гебр ы Ли
156
§ 1, Общие сведения
156
§ 2. Примеры супералгебр Ли
165
§ 3, Присоединенное и коприсоединенное представления. Алгебра скобок
194
Пуассона, связанная с супералгебрами Ли
Список печатных работ Ф, А, Березина
207
ПРЕДИСЛОВИЕ
Феликс Александрович Березин трагически погиб 13 июля 1980 года во время водного ^путешествия.
В последние годы своей жизни он интенсивно работал над различными математическими проблемами, связанными с идеей суперсимметрии. Формальное исчисление в грассмановой алгебре, которое было развито Ф. А. Березиным в его первой книге 《Метод вторичного квантования», привело его к убеждению, что существует нетривиальный аналог анализа, в котором на равных правах с обычными переменными выступают антикоммутирующие переменные. Эту идею он настойчиво пропагандировал и тщательно подбирал подтверждающие примеры и конструкции. Важнейшие из них ——интеграл Березина по антикоммутирующим переменным и так называемый《березя- ннан》——аналог якобиана при замене антикоммутирующих переменных.
К середине 70-х годов пионерские идеи Ф. А. Березина стали распространяться и понятия суперпростр анств а, супермногообразия, супергруппы и супер алгебры Ли были приняты на вооружение физиками. Появилась надежда, что на языке суперанализа может быть построена единая теория поля.
Ф. А. Березин начал работать над книгой по суперанализу. Эта работа продолжалась несколько лет и осталась незаконченной. Из рукописей и статей Ф. А. Березина, дополненных его друзьями и коллегами, составлена эта книга.
Вошедший в книгу материал в силу сложившихся обстоятельств носит разнородный характер. Часть глав автор успел написать «начисто» и опробовать их на семинарах по математической физике и по теории представлений в МГУ. Другие главы остались в черновиках. Некоторые важные разделы (например, теоретике-полевые приложения) остались ненаписанными,
Опишем более подробно содержание книги. В качестве введения использован текст статьи Ф. А. Березина в журнале 《Ящерная физика», которая является записью его обзорного
доклада, сделанного в мае 1978 г. на конференции по калибровочной теории поля в Москве.
Первые три главы книги были подготовлены автором для печати и подверглись лишь небольшой правке. В них даются первоначальные сведения об алгебрах Грассмана, дифференцировании и интегрировании функций от антикоммутирующих переменных, развивается аппарат линейной алгебры в Z2-градуированных пространствах. Весь этот материал изложен подробно, с расчетом на читателя, который впервые знакомится с предметом.
Далее должна была по замыслу автора излагаться глобальная теория супермногообразий, теория супералгебр и супергрупп Ли и их представлений.
Вторая часть книги должна была быть посвящена приложениям.
Из всего этого материала в готовом виде в рукописях Ф. А. Березина была обнаружена лишь глава 6, посвященная супер алгебрам Ли, и черновая версия главы 4, посвященной с у п ер м н огоо бр а зи я м. Кроме того, несколько лет тому назад Ф. А. Березин изложил часть будущей книги в виде серии из 5 препринтов ИТЭФ.
Для настоящего издания глава 4 была заново написала В. П. Паламодовым. Содержание ее выходит за рам-ки, намеченные Ф. А. Березиным, и содержит новые результаты. В частности, .строится пример неретрагируемого комплексного супер м ногообрази я размерности (4, 2). Хотя требования к математической подготовке читателя в этой главе несколько выше, чем в предыдущих, надеюсь, что весь изложенный здесь материал понятен и интересен для физиков-теоретиков.
Пятая глава настоящей книги соответствует шестой главе из рукописи Ф. А. Березина. Авторский текст подвергся лишь небольшой редакционной обработке.
А. 4. Кириллов
ВВЕДЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫСУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ТЕОРИЙ ПОЛЯ
Истоки
По-видимому, первой работой по суперматематике следует считать работу Мартина 1959 г. [1]. В этой работе построена алгебра скобок Пуассона для функций от антикоммутирующих переменных
亿 g]=E(2)4r)3，d^g(口)
Здесь 紀 г= 1,…，п, — антикоммутирующие переменные, т. е. образующие некоторой грассмановой алгебры @п：
尤々 +巧爲=0, z, /=lt ...» %,(1.2)
f(x), g(x)三® Элементы f, g разлагаются в ряды по образующим Xi, например
『(%)=£ Е 九Ог 尤厶.(L3)
Сумма по 尼 в (1.3) содержит .конечное число слагаемых, так как х(2 = 0 в силу (1.2), d/dxi, d/dxk в (1.1) означают соответственно правую и левую производные； SIo/aII, в отлич1ие от обычного случая, симметричная ^матрнца: з法=(0点3 (В работе Мартина ①沦一числа, а не элементы алгебры ®. Возможно построение алгебры скобок Пуассона и в случае, когда 电后三％. В этом случае на з»& накладываются дополнительные условия. См. ниже.)
Работа Мартина возникла в связи с дискуссией, начатой Швингером в [2], о классическом л ределе для фермионов. Следует отметить, что Швингер в [2] был достаточно близок к введению антикоммутирующих переменных. Он отмечал, что для классического описания фермионов следует пользоваться величинами, удовлетворяющими условиям (1.2) при г#=/. Случай，=j он не рассматривал вообще: ясно, что для классического случая непригодно равенство 无2=九，где h ——лланков- ская постоянная, с другой стороны, для того чтобы написать
%2 = 0, следовало, по-видимому, преодолеть большой психологический барьер. Чтение литературы, посвященной дискуссии 50-х гг. о классическом пределе для фермионов, позволяет судить о том, насколько высо,к был этот барьер. Решающий шаг был сделан Мартином в [1]. Работа [ 1] — первая известная в настоящее время работа, которую можно с полным правом отнести к суперматематике L
Другим истоком был метод вторичного квантования. В 1961 г. было обнаружено поразительное совладение основных формул операторного исчисления в фермиевском и бозев- ском вариантах метода вторичного квантования [3]. Разница заключалась лишь в определении интеграла: для бозевского случая —■ это обычный интеграл, для фермиевского случая —— это интеграл по антикоммутирующим переменным, в сущности, некоторый линейный функционал на грассмановой алгебре. Впоследствии интеграл по антикоммутирующим переменным был тщательно изучен. Оказалось, что он обладает рядом свойств, поразительно напоминающих свойства обычного интеграла [6, 7]. Это обстоятельство наводило на мысль о возможности такого обобщения всех основных понятий анализа, при котором образующие грассмановой алгебры стали бы играть роль, равноправную с вещественными 'или комплексными переменными. Основными вехами на этом пути являются работы [8, 9]. Параллельно с чисто математической деятельностью на рубеже 60—70-х гг. появились ставшие теперь знаменитыми пионерские работы Гольфанда ~ Лихтмана и Волкова — Акулова—Сороки, проложившие суперматематике дорогу в квантовую теорию поля [6—8]. После работы Becca и Зумино 口2] интерес к суперматематике стал повсеместным. Первый обзор на эту тему был выполнен Корвиным, Нееманом, Стернбергом {13]. В настоящее время наиболее полным математическим изложением суперматематики является работа Костанта [ 15].
Супермногообразия
Основные определения. Многообразия являются одними из основных объектов современной математики. Аналогичную роль играют супермногообразия в супер!математике.
Напомню, что многообразием М называется топологическое пространство, каждая точка которого имеет окрестность, допускающую взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное отоб-
ражение на шар в евклидовом пространстве R" фиксированной размерности 九.Число п называется размерностью М, 〃 = = dimAl; окрестности, упомянутые в О1пределении, называются координатными, так как с помощью отображения на шар на них можно перенести евклидовы координаты, 'имеющиеся в шаре. Получаемые таким путем координаты называются локальными.
Пусть U, V — две координатные окрестности, х‘，у1 — локальные координаты соответственно в 0 н К На пересечении UflU одни из них являются функциями других, например
切=产(/，…，犷). (2.1)
В случае, если функции 尸 左 раз дифференцируемы, многообразие называется k раз дифференцируемым, при ^= оо — бесконечно дифференцируемым.
Супермногообразие является обобщением бесконечно дифференцируемого многообразия. В дальнейшем слово «многообразие» означает бесконечно дифференцируемое многообразие.
Пусть UuM — открытое множество. Обозначим через A(U) коммутативную алгебру, состоящую из бесконечно дифференцируемых функций на U с обычными операциями сложения и умножения. В дальнейшем слово «функция» всегда означает бесконечно дифференцируемую функцию. В случае, если U — координатная окрестность, 4(。)можно считать алгеброй с п образующими, которыми служат координаты в U. В случае, если U. V — два открытых множества и Uu匕 обозначим через ру : Л (V) -> Л (t7) оператор, сопоставляющий каждой функции f^A(V) ее ограничение на U. Очевидно, что ри является гомоморфизмом алгебр:
P%(f + g) = ^uf + Ag, Ри (fg) =(Р匕/)(p%g).
Набор алгебр A(U) и гомоморфизмов р^ является примером объекта, называемого в современной математике пучком; это так называемый структурный пучок многообразия М, его стандартное обозначение б?(Л1). Функции f^A (U) в терминологии теории пучков называются сечениями над U, в частности функции, определенные на всем М, — глобальными сечениями.
С каждой тачкой хеМ связан гомоморфизм рх алгебры А(М) в алгебру чисел К-вещественных, если 厶(М) состоит из вещественнозначных функций, и комплексных, если Л (М) состоит нз комплекснозначных функций:
p/=f(x). (2.2)
Гомоморфизм р* непрерывен: если f(x) =1而％(尤)， то р/=
= lim pxfn. Далее, если f^A (?И) и ZuK — открытое множество в алгебре чисел, то множество точек U(Z, /), удовлетворяющих условию
p/wZ,(2.3)
является открытым множеством в М, причем каждое открытое множество в М представимо в виде объединения
U = U U (Za, fa) множеств вида (2.3) в конечном или беско
нечном числе. Семейство открытых множеств с этим свойством называется базой открытых множеств. Оказывается, что, обратно, каждый непрерывный гомоморфизм алгебры Л (М) в алгебру чисел К имеет вид (2.2). Это обстоятельство позволяет восстановить многообразие М <по алгебре А (М) ： зная 』(М), мы знаем также множество гомоморфизмов А (М) в К, т. е. восстанавливаем 附 как множество точек, с помощью подмножеств U(Z, /) мы восстанавливаем М как топологическое пространство.
Перейдем к определению супермногообразия. Пусть Мо —— некоторое многообразие, dim Л40 = р. Каждому открытому подмножеству U(^MQ сопоставим некоторую алгебру 团(U). В случае, если U, V — открытые множества и Уи〃 предположим, что существует гомоморфизм pg :氧(U)-> 纭(V), удовлетворяющий условиям:
р^ = 1 — тождественный изоморфизм;
если 涉 и V и U, то р£ = р^р9；
если U = U %,"，%e方0)ир弘"=p弘府 ПрИ всех a, то " = %；
если и = UUaJaW^Wa), причем р%п и"а = р吟1咋 ％, то существует такой элемент / е ^ ((/), что /а — puaf.
Система алгебр 靓(U) и гомоморфизмов pg с этими свойствами называется пучком алгебр.
Пусть сверх того для случая, когда U ，——координатная окрестность, алгебра 如(U) совладает с алгеброй функций на U со значениями в грассмановой алгебре 慘女 Эту алгебру мы будем обозначать также через %(〃).
Отметим, что элементы алгебры ^Lpq (U) могут быть записаны в виде
/ = 〃%,? = £ £ 九，…,％(/,…，％J 乱…Е %(2.4)
电>0 f], ■论
где X/ — координаты в U н 占一образующие в %.
Многообразие Mq вместе с пучком алгебр 红(U), который
обладает указанным свойством, называется супермногообразием 1.
Это определение введено в [9]. Многообразие Мо называется базой супермногообразия М. Размерностью супермного- обраэия называется пара чисел, dimM=(p,夕)，где p = dimMo, q — число образующих алгебры % лежащей в основе конструкции. Ниже будет дано определение образующих алгебр 红pq(U). Мы увидим, что р н <? — числа соответственно четных и нечетных образующих этих алгебр.
Элементы алгебр 51(/7) называются сечениями над U, элементы алгебры 3( (Мо) — глобальными сечениями. Алгебры 如(U) в теории супермногообраэий играют ту же роль, что алгебры функций Z(U) в теории обычных многообразий, хотя, в отличие от обычного случая, они могут и не состоять из функций (если U — не координатная окрестность). В частности, как и в случае обычных многообразий, супер многообразие восстанавливается по алгебре $I(Af); т. е. восстанавливаются все алгебры 旣(U) и все гомоморфизмы pg с точностью до естественной эквивалентности. Эта 'конструкция является развитием описанной выше конструкции, восстанавливающей обычное многообразие М по алгебре А\М), однако она существенно сложнее, и я не буду ее здесь касаться (см. [16]).
Координатные преобразования. Пусть 中(修，…, х“)— некоторая функция п вещественных переменных и ®т — грассманова алгебра с m образующими. Рассмотрим четные элементы алгебры ®т:
协=4+ %,%=£ £ Ml…仆玩…占' = 1，
где & — образующие @w, a, — числа. Очевидно, что элементы 1/ нильпонентны: +" = 0. Используя это обстоятельство, определим q)(gi, .... yQwOm с помощью разложения в ряд Тейлора
屮 ®) =(Р (% + %，…，a" + 北)=
(2.5)
(ряд конечен ввиду нильпотентности 幻.屮(р) является функцией от 九 аргументов, которыми являются четные элементы @т, со значениями в ®т. Ее естественно называть грассманов- ■ским аналитическим продолжением исходной функции вещественных переменных(р(х).
Пусть 修，…，％р, &, ..., % — произвольные, соответственно четные и нечетные, элементы алгебры 51Pq (U), обладающие тем свойством, что с <их помощью любой элемент ^pq(U) мо-
Это определение шнре, используемого в гл. 4, где существенна Z2-градуировка. Связь между этими оп；ределениями может быть понятна из теоремы. 1.2. — Прим. рад.
жет быть записан в виде (2.4). (При этом f^，…,厶(％) следует понимать в смысле грассмайовского аналитического продолжения (2.5).) В этом случае элементы Xi, Е/ называются по определению образующими алгебры 队pq(U) (соответственно четными и нечетными). В частности, координаты в U н образующие в 6g служат образующими в 霞pg(0).Пусть U, К, L/QV — координатные окрестности,修，己一 образующие в ^p(l{U),乡“ г|； — образующие в %g(U) и 爲，己, Уг,制一ограничения элементов Xi, &,扒，“/ на U 口 卩：妈■=p%ni/ / и т. д. Оказывается, что как элементы х^,己，так и у・，т]/ служат образующими в ^^((/П^) ■ Поэтому одни из них с необходимостью выражаются через другие, напримерУг =厶«,玩П/ =屯区叡(2.6)fi(x, E),屮/(玄，目 имеют вид, аналогичный (2.4). Формулы (2.6) являются супер аналогом координатных преобразований (2.1).При широких предположениях удается доказать (см. [16]), что во всех алгебрах ^Pq(U) можно согласованным образом выбрать образующие так, чтобы формулы (2.6) максимально упростились:贝=厶(元)，彳尸W电М历复.(2.7)Задание с у п е р м н о г о о б р а з и я уравнениями. Одним из самых удобных способов описания обычных многообразий является задание их с помощью уравнений в пространстве большого числа измерений:33，...,尤v)=0, •••, /l(%i,…，％n)=0.(2.8)В случае, если ранг матрицы частных производных \\dfildXk\\ во всех точках множества, выделяемого уравнениями (2.8), один и тот же, из классической теоремы о неявных функциях ■следует, что это множество является многообразием.Обратно, хорошо известно, что при широких предположениях 1 многообразие может быть задано уравнениями.Аналогично обстоит дело с супермногообразиями. Пусть ft(x,自)，(р/(х,占)——соответственно четные и нечетные элемен- 一■ '' ' '' ~ далее вов RP,(2.9)жет быть записан в виде (2.4). (При этом f^，…,厶(％) следует понимать в смысле грассмайовского аналитического продолжения (2.5).) В этом случае элементы Xi, Е/ называются по определению образующими алгебры 队pq(U) (соответственно четными и нечетными). В частности, координаты в U н образующие в 6g служат образующими в 霞pg(0).Пусть U, К, L/QV — координатные окрестности,修，己一 образующие в ^p(l{U),乡“ г|； — образующие в %g(U) и 爲，己, Уг,制一ограничения элементов Xi, &,扒，“/ на U 口 卩：妈■=p%ni/ / и т. д. Оказывается, что как элементы х^,己，так и у・，т]/ служат образующими в ^^((/П^) ■ Поэтому одни из них с необходимостью выражаются через другие, напримерУг =厶«,玩П/ =屯区叡(2.6)fi(x, E),屮/(玄，目 имеют вид, аналогичный (2.4). Формулы (2.6) являются супер аналогом координатных преобразований (2.1).При широких предположениях удается доказать (см. [16]), что во всех алгебрах ^Pq(U) можно согласованным образом выбрать образующие так, чтобы формулы (2.6) максимально упростились:贝=厶(元)，彳尸W电М历复.(2.7)Задание с у п е р м н о г о о б р а з и я уравнениями. Одним из самых удобных способов описания обычных многообразий является задание их с помощью уравнений в пространстве большого числа измерений:33，...,尤v)=0, •••, /l(%i,…，％n)=0.(2.8)В случае, если ранг матрицы частных производных \\dfildXk\\ во всех точках множества, выделяемого уравнениями (2.8), один и тот же, из классической теоремы о неявных функциях ■следует, что это множество является многообразием.Обратно, хорошо известно, что при широких предположениях 1 многообразие может быть задано уравнениями.Аналогично обстоит дело с супермногообразиями. Пусть ft(x,自)，(р/(х,占)——соответственно четные и нечетные элемен- 一■ '' ' '' ~ далее вов RP,(2.9)ты алгеоры 沙pq^KT, z=i,…，p, /= 1,g, пусть всех точках множества Мо, выделяемого уравнениямиты алгеоры 沙pq^KT, z=i,…，p, /= 1,g, пусть всех точках множества Мо, выделяемого уравнениямиfG, 0)=0.fG, 0)=0.Ранги матрицРанги матриц& =& =&% (х,0)&% (х,0)дх/дх/，"=|1 舒中/（Х，&），"=|1 舒中/（Х，&）Е=оЕ=о
жет быть записан в виде (2.4). (При этом f^，…,厶(％) следует понимать в смысле грассмайовского аналитического продолжения (2.5).) В этом случае элементы Xi, Е/ называются по определению образующими алгебры 队pq(U) (соответственно четными и нечетными). В частности, координаты в U н образующие в 6g служат образующими в 霞pg(0).
Пусть U, К, L/QV — координатные окрестности,修，己一 образующие в ^p(l{U),乡“ г|； — образующие в %g(U) и 爲，己, Уг,制一ограничения элементов Xi, &,扒，“/ на U 口 卩：妈■=p%ni/ / и т. д. Оказывается, что как элементы х^,己，так и у・，т]/ служат образующими в ^^((/П^) ■ Поэтому одни из них с необходимостью выражаются через другие, например
Уг =厶«,玩П/ =屯区叡(2.6)
fi(x, E),屮/(玄，目 имеют вид, аналогичный (2.4). Формулы (2.6) являются супер аналогом координатных преобразований (2.1).
При широких предположениях удается доказать (см. [16]), что во всех алгебрах ^Pq(U) можно согласованным образом выбрать образующие так, чтобы формулы (2.6) максимально упростились:
贝=厶(元)，彳尸W电М历复.(2.7)
Задание с у п е р м н о г о о б р а з и я уравнениями. Одним из самых удобных способов описания обычных многообразий является задание их с помощью уравнений в пространстве большого числа измерений:
33，...,尤v)=0, •••, /l(%i,…，％n)=0.(2.8)
В случае, если ранг матрицы частных производных \\dfildXk\\ во всех точках множества, выделяемого уравнениями (2.8), один и тот же, из классической теоремы о неявных функциях ■следует, что это множество является многообразием.
Обратно, хорошо известно, что при широких предположениях 1 многообразие может быть задано уравнениями.
Аналогично обстоит дело с супермногообразиями. Пусть ft(x,自)，(р/(х,占)——соответственно четные и нечетные элемен- 一■ '' ' '' ~ далее во
в RP,
(2.9)
жет быть записан в виде (2.4). (При этом f^，…,厶(％) следует понимать в смысле грассмайовского аналитического продолжения (2.5).) В этом случае элементы Xi, Е/ называются по определению образующими алгебры 队pq(U) (соответственно четными и нечетными). В частности, координаты в U н образующие в 6g служат образующими в 霞pg(0).
Пусть U, К, L/QV — координатные окрестности,修，己一 образующие в ^p(l{U),乡“ г|； — образующие в %g(U) и 爲，己, Уг,制一ограничения элементов Xi, &,扒，“/ на U 口 卩：妈■=p%ni/ / и т. д. Оказывается, что как элементы х^,己，так и у・，т]/ служат образующими в ^^((/П^) ■ Поэтому одни из них с необходимостью выражаются через другие, например
Уг =厶«,玩П/ =屯区叡(2.6)
fi(x, E),屮/(玄，目 имеют вид, аналогичный (2.4). Формулы (2.6) являются супер аналогом координатных преобразований (2.1).
При широких предположениях удается доказать (см. [16]), что во всех алгебрах ^Pq(U) можно согласованным образом выбрать образующие так, чтобы формулы (2.6) максимально упростились:
贝=厶(元)，彳尸W电М历复.(2.7)
Задание с у п е р м н о г о о б р а з и я уравнениями. Одним из самых удобных способов описания обычных многообразий является задание их с помощью уравнений в пространстве большого числа измерений:
33，...,尤v)=0, •••, /l(%i,…，％n)=0.(2.8)
В случае, если ранг матрицы частных производных \\dfildXk\\ во всех точках множества, выделяемого уравнениями (2.8), один и тот же, из классической теоремы о неявных функциях ■следует, что это множество является многообразием.
Обратно, хорошо известно, что при широких предположениях 1 многообразие может быть задано уравнениями.
Аналогично обстоит дело с супермногообразиями. Пусть ft(x,自)，(р/(х,占)——соответственно четные и нечетные элемен- 一■ '' ' '' ~ далее во
в RP,
(2.9)
ты алгеоры 沙pq^KT, z=i,…，p, /= 1,g, пусть всех точках множества Мо, выделяемого уравнениями
ты алгеоры 沙pq^KT, z=i,…，p, /= 1,g, пусть всех точках множества Мо, выделяемого уравнениями
fG, 0)=0.
fG, 0)=0.
Ранги матриц
Ранги матриц
& =
& =
&% (х,0)
&% (х,0)
дх/
дх/
，"=|1 舒中/（Х，&）
，"=|1 舒中/（Х，&）
Е=о
Е=о
Например, в случае компактности.
одни и те же, rangRi = m, rang/?2 = ^- В таком случае уравнения
力(X,三)=0,叨(%,自)=0(2.10У
определяют супермногообразие М с базой М°, dimM= =(p-m, Q—").
Следует пояснить, каким образом уравнения (2.10) определяют супермногообразие.
В супер математике существует теорема о неявных функциях, аналогичная классической. Согласно этой теореме из условий rangRi =他，rang/?2 = « следует, что каждая точка 尤^三川。 обладает окрестностью, в которой уравнения (2.10) могут быть разрешены：
%，• = 现&, n)， e =+"协哨，
乡==(9i,…，处)， Н= m，…，的)，(2.11)
p = P~~tn, g = Q—/г，
где yt, г|/ — образующие алгебры 觊明(呼)，呼三R「一 некоторая область, которая естественно отождествляется с областью в многообразии Мо. Формулы (2.11) определяют гомоморфизм рн> алгебры 队pq(Rp)в 導q(lF): если /е ^PQ (Rp) имеет вид (2.4); то
(Р")(4, П) = Е 九…./(gi，gp)做，…^ik, (2.12) gi, 3/ — те же, что в (2.11).
Пусть VulT, W 既pq(8), / — прообраз f при гомоморфизме (2.12) и g = p" Можно проследить, что элемент g зависит только от /, а не от выбора его прообраза『. Таким образом, возникает отображение р^ : ^pq (W) -> ^pq (V), g = ^ f. Оказывается, что р岁 является гомоморфизмом алгебр и что гомоморфизмы р$ удовлетворяют всем аксиомам пучка.
Так же как в случае обычных многообразий, при широких предположениях каждое супермногообразие может быть задано уравнениями.
Очевидно, что задание супермногообразия уравнениями, как и аналогичное задание обычного многообразия, неоднозначно. Оказывается, что этой неоднозначностью можно воспользоваться, чтобы придать уравнениям супермногообразия простейший вид
〃⑶=0,工切/(.*)&‘= 0.(2.13)
В случае, если суперм'ногообраэие задано уравнениями (2.10), алгебра его глобальных сечений является факторалгеброй 觊 pq(Rp) по идеалу, порожденному левыми частями уравнений (2.10).
Супермногообразие М с базой MQ естественно назвать тривиальным, если алгебра его глобальных сечений изоморфна алгебре функции на М со значениями в грассмановой алгебре 备.В этом случае его уравнения приводятся к виду (2.13) с ^ц', не зависящими от точки х. Разумеется, дополнительные структуры могут сделать тривиальное супермногообразие весьма интересным объектом для изучения. В частности, супергруппы всегда являются тривиальными с упер'Мно г о обр ази я ми. Вот простейший пример нетривиального супермногообразия：
хУ + Л^ + Хз'н 1, %1Е1+%2占 2 + %зЕз = °・
Топология супер многообразий. В теорнн пучков существует понятие эквивалентности. Применяя его к супермногообразиям, получаем общее определение эквивалентности для суп'ермногообразий. Я не буду воспроизводить это определение, которое можно найти в любом современном учебнике алгебраической геометрии (см., например, [ 17]), Достаточная с практической точки зрения квинтэссенция этого определения состоит в том, что два супермногообразия эквивалентны, если уравнение одного из них может быть приведено к тому же виду, что уравнение второго с помощью замены переменных вида (2.6). Классификация супермногообразий с точностью до их эквивалентности является супер аналогом топологической классификации обычных многообразий, соответствующие инварианты следует называть супертопологическими инвариантами.
Обратим внимание на то, что, как уже отмечалось, каждое ■супермногообразие может быть задано уравнениями вида (2,13). Заметим, что если преобразование (2.6) переводит уравнения вида (2.13) в уравнения того же в'ида, то это преобразование имеет специальный вид
匕= g/®),务=^屮力0川广 (2/4)
Теперь мы в состоянии дать геометрическое определение эквивалентности супермногообразий. Пусть М — некоторое супермногообразие. Зададим его с помощью системы уравнений вида (2.13). Рассмотрим те же уравнения, но переменным Xi и &■ придадим новый смысл； вместо четных и нечетных элементов грассмановой алгебры пусть те и другие будут вещественными числами. В результате^ получатся уравнения, определяющие обычное многообразие М. Это многообразие имеет специ- ■альную структуру, легко усматриваемую из (2,13): оно состоит из коллекций ^-мерных плоскостей (Р-Ь Q)-мерного пространства, каждая из которых помечена точкой % многообразия ■Мо (которое определяется первой группой уравнений (2.13) в пространстве RP). Легко видеть, что Mq совпадает с базисным многообразием супермно го о б раз и я М. Многообразия такой структуры называются линейными расслоениями, М° ——базой
расслоения, плоскость, помеченная точкой х^М0,——слоем над х.
Два линейных расслоения эквивалентны, если существует взаимно-однозначное отображение одного на другое, лереводя- щее слой в слой. Очевидно, что такое преобразование в координатах имеет вид (2.14), где, однако,先厶 ^-——вещественные числа.
Таким образом, мы приходим к выводу:
с каждым супермногообразием М размерности (р, д) и базой Мо однозначно связано линейное расслоение с той же базой и слоем размерности д;
два суперм«огообразия эквивалентны в смысле теории супермногообразий в том и только в том случае, если эквивалентны в обычном смысле соответствующие нм линейные расслоения.
В топологии хорошо известны инварианты линейных расслоений —это так называемые характеристические классы Понтрягина и Черна. Тем самым эти характеристические классы являются одновременно супертопологическими ныварнанта- ми. Они, однако, известны в настоящее время лишь в классической, а не в суперматематической форме. С другой стороны, супертопологическим инвариантом являются суперкогомологии, определение которых см.，в следующем разделе. Они, однако, в настоящее время не вычислены ни для одного нетривиального случая, и их содержательность поэтому не ясна.
Грассмановы аналитические многообразия. Пусть М ——супермногообразие, заданное уравнениями (2.10), и On — грассманова алгебра с N образующими. Число N никак не связано с М. Рассмотрим в % четные и нечетные элементы общего вида
看力成Uh…甘唸,
(2.15)
U/j/2^4-1 -^ • • ■百2々+1，
где &• — образующие %. Подставив 爲，^/ вида (2.15) в уравнения (2.10), мы получим уравнения относительно коэффициентов 出小…,猛，勺八，.…з+i, которне определяют обычное многообразие Mn・ Получаемые таким путем многообразия мы будем называть ассоциированными с супер многообразием М В частности, при N = 0 получается базисное многообразие 儿山 Очевидно, что
dim Mn-*oo при jV->оо.
Многообразия MN обладают важным свойством, которое естественно назвать грассмановой аналитической структурой. Это свойство состоит в том, что:
MN можно покрыть системой координатных окрестностей е локальными координатами {〃貝……脸，匕弘，…，滋+J，
厶V，2V…V?2£, /1 Vj2V…V物+1, k=0, 1, 2,
Это обстоятельство позволяет сопоставить каждой точке 〃三U<x набор из р четных и q нечетных элементов алгебры @岂，：
(2.16)
ga) = £ ёv乳3 + 1 S: …%+1 ,
где {и怨，… 产胤，…}——локальные кординаты точки и и 仇一 образующие %、Элементы 必？獣)мы в дальнейшем называем грассмановыми локальными координатами точки “；
каждая точка пересечения UaflUp имеет два набора грассмановых локальных координат 尤俨,颦 и £吗 己叫 Они связаны соотношением
无产=3(%向，时))，自尸=哈3В),屮))，(2.17)
где % (%, Е),屮j(x,己)三 ^р^иа[}и^.
Соотношения (2.17) являются конденсированной формой обычных координатных преобразований: если подставить в левую часть (2.17) 己俨 из (2.16), а в правую часть ——аналогичные выражения для %?), Е%) через о;, затем разложить обе части (2.17) по о； и приравнять соответствующие коэффициенты, получится обычное координатное преобразование в координатах
{ "?； 11, . . .,"j； , • • •,I}'
{'t：, ♦ • ♦,『2々十 I} •
Таким образом, имеется существенная аналогия между многообразиями Mn и комплексными многообразиями. В связи с этим многообразия Л^^ в дальнейшем иногда называются грассмановыми аналитическими (г. а.) многообразиями. На них могут быть определены грассмановы аналитические (г. а.) функции, во многом аналогичные обычным аналитическим функциям, Г. а. функции играют важную роль в теории представлений супергрупп. Подробно останавливаться на этом понятии мы, однако, не будем (см. [16]).
В заключение следует отметить, что г. а. многообразия могут быть определены без привлечения задания супермногообразия с помощью уравнений. Однако в этом случае конструкция оказывается более сложной.
Содержание этого раздела подробно изложено в [16].
Дополнительные структуры на супермногообразиях
Интегрирование. Напомню определение интеграла по антикоммутирующим переменным. Пусть 蚤，d& — образующие грассмановой алгебры @2屮 Положим
/吗=0, /&•喝=1./吗=0, /&•喝=1.(3.1)(3.1)
/吗=0, /&•喝=1.
/吗=0, /&•喝=1.
(3.1)
(3.1)
Кратный интеграл понимается как повторный. Пусть UuRp — некоторая область,修一координаты в U. Для f(x,自)三 三窥W(U) определен интеграл
」“(/)="(%,自)dx映，
(3.2) dx = dx、…dxp, d^ = d 品…d£.
При этом дифференциалы dxt следует считать антикоммутирующими между собой, но коммутирующими с %/.
Для дальнейшего важно уметь определять интеграл не только в случае, когда 修一координаты в U, но н в случае, когда 修一произвольные четные образующие алгебры ^.pq(U). Пусть Xi = Xi(y,占) 一 четные образующие ^Pq(U),弘 一 координаты в U, f = 0 в окрестности границы U. В этом случае
4g ⑺=Jf (%, Е) 〃奠=Jf (x(y, E),占)det [J 訂 dydl (3.3)
Возможно также интегрирование по части переменных, при этом переменные, не участвующие в интегрировании, рассматриваются как параметры.
Множество обратимы и обозначать если Kw n\N), если СупердетерзначениямиМножество обратимы и обозначать если Kw n\N), если СупердетерзначениямиИнтеграл обладает близкими к обычным свойствам, относящимися к интегрированию по частям, и к замене переменных. Прежде чем их сформулировать, определим важное понятие супер'детерминанта. Пусть д = J ^, ^ I— квадратная матрица, диагональные блоки которой Д и D — квадраты и состоят из четных элементов грассмановой алгебры ⑥n, блоки S и С пря-
Множество обратимы и обозначать если Kw n\N), если Супердетерзначениями
Множество обратимы и обозначать если Kw n\N), если Супердетерзначениями
моугольны и состоят из нечетных элементов @
матриц этого вида, для которых матрицы А ^ D имеют порядки соответственно тип, принято GL(m, n\N). GL(m, "]N) является группой: 三n\N), то К— существует и K~^GL(m, К、, К戸GL〈tn, n\N), то также R%三GL(m,八田). мин антом называется функция на GL (т, п | У) со в ©м, определяемая равенством
(3.4)(3.4)s det ^=det (А — BD~lC) det D-1.
(3.4)
(3.4)
Подобно обычному детерминанту супердетерминант мультипли
кативен:кативен:s det (К1К2) = s det 风• s det Kz.s det (К1К2) = s det 风• s det Kz.(3.5)(3.5)
кативен:
кативен:
s det (К1К2) = s det 风• s det Kz.
s det (К1К2) = s det 风• s det Kz.
(3.5)
(3.5)
Это его важнейшее свойство, оно доказано в [18].Вернемся к интегралу. Пусть функции f, g равны рестности границы области U, тогдаgdxdj,dxiЭто его важнейшее свойство, оно доказано в [18].Вернемся к интегралу. Пусть функции f, g равны рестности границы области U, тогдаgdxdj,dxiW言g)叁座=山計)g%W言g)叁座=山計)g%О в ок-(3.6)(3.7)О в ок-(3.6)(3.7)J f (% ®, n),三(弘 n)) A (招 Му, п) %對=J f (尤,日 dxdt (3.8)J f (% ®, n),三(弘 n)) A (招 Му, п) %對=J f (尤,日 dxdt (3.8)Функция А｛尤,自/y, “)，участвующая в (3.8), является супердетерминантом матрицы частных производных:Функция А｛尤,自/y, “)，участвующая в (3.8), является супердетерминантом матрицы частных производных:А (%, &У, ") = sdetR,欠=А (%, &У, ") = sdetR,欠=
Это его важнейшее свойство, оно доказано в [18].
Вернемся к интегралу. Пусть функции f, g равны рестности границы области U, тогда
gdxdj,
dxi
Это его важнейшее свойство, оно доказано в [18].
Вернемся к интегралу. Пусть функции f, g равны рестности границы области U, тогда
gdxdj,
dxi
W言g)叁座=山計)g%
W言g)叁座=山計)g%
О в ок-
(3.6)
(3.7)
О в ок-
(3.6)
(3.7)
J f (% ®, n),三(弘 n)) A (招 Му, п) %對=J f (尤,日 dxdt (3.8)
J f (% ®, n),三(弘 n)) A (招 Му, п) %對=J f (尤,日 dxdt (3.8)
Функция А｛尤,自/y, “)，участвующая в (3.8), является супердетерминантом матрицы частных производных:
Функция А｛尤,自/y, “)，участвующая в (3.8), является супердетерминантом матрицы частных производных:
А (%, &У, ") = sdetR,欠=
А (%, &У, ") = sdetR,欠=
(3.9)
Существенно отметить, что формула (3.8) остается в силе, если замена переменных зависит от параметров: % = х(у, a, n，g), fe = = Е(У,а,「，2), где У£,а，，П”&"——совокупность соответственно четных и нечетных образующих алгебры ^Р+Р\ q+q' (Ux Uf), Iciwp, l《『《p', lwj《q, l《j'《g* dimU=p, dim U' = p'.
В случае, если f,g，0 в окрестности границы U, в формулах (3.6), (3.8) возникают граничные члены, очевидные в случае (3.6) и довольно сложные в случае (3.8). Формулы (3.7) — (3.9) установлены в [5, 6, 7].
Перейдем к интегрированию на супермногообразиях. Пусть М — супермногообразие с базой Мо, dimM=(p,g), UczM0 — координатная окрестность. Предположим, что каждому набору S образующих Хг, Ej алгебры 31Pq(U) сопоставлен элемент Ри,н(%, Е) этой алгебры, причем при замене образующих Ри,£ (%,占)Изменяется согласно правилу
PS 2- (», Т]) = ри.Е(X (从 п),己炽 哨)Д (%,三心,Т]),
(3.10)
где 2 — система образующих /,邑；2х — система образующих Уг, л；- В этом случае величина р называется локальной плотностью в области U. Согласно формуле замены переменных
」ри,£(%, E)d% 恋=Jpu,£，⑨，叫 dyd”. (3.12)
Пусть в каждой координатной окрестности Uc^Mq задана плотность ри/, причем на пересечении окрестностей 5 и 5 плотности р% 豆 и ps 豆， связаны формулами, аналогичными (3.10)
PsnsW (%, »=Pums£(E(7, 6,g®,办八区京^通(3.13) где xi — ограничение образующей Xi^^pq(U{) на Ui(\U2, £,贝, Лг имеют аналогичный смысл, Si, 2г — системы образующих 无，gi и 贝，％ соответственно в ^,Pq(Ui^\U2).
В таком случае набор локальных плотностей ри# называется глобальной плотностью, ри,л называется ограничением глобальной плотности на U. Определим интеграл глобальной плотности р по супермногообразию. Пусть 〃一координатные окрестности, покрывающие Мо и допускающие разбиение единицы:
1=£§а(%), sa (х) >0, %(х)=0 при 尤录 Ua・ Положим
Jp = 2 J Sra ^)Pua- sa(X- ^ dx d^- (3.14)
Оказывается, что определенный таким образом интеграл не зависит ни от выбора покрытия {U。}, ни от выбора систем образующих в 班pq(Ua)・ Для глобального сечения fw 電(Мо) и плотности р определено произведение fp = p, также являющееся плотностью pu,£ = fupu,E, где fu, ри,х ——ограничения / и р на (7. Таким образом, фиксируя плотность р, можно определить интеграл по этой плотности от любого глобального сечения
J7P =》J Sa(%)%(%, E)PUa，%(%，?d% 龙. (3.15)
Дифференциальная геометрия. Ввиду того что супермногообразие не состоит из точек, понятие касательного пространства для него не является столь же естественным, как для обычного многообразия. Тем не менее понятие тензорного поля переносится полностью.
Определение является формальным, подобно определению плотности. Пусть 出一полный набор образующих алгебры '旣户q(U); при Ic/cp а「 являются четными образующими, при р+ 1 crcp + z7 а? являются нечетными образующими, 6* — другой аналогичный набор образующих.
Локальным тензорным полем gu' 2-^ .. / называется совокупность элементов алгебры 或pg(U), следующим образом зависящая от системы S образующих:
Здесь и далее в cnyqae, когда четные и нечетные образующие алгебр 氧pq(U) обозначаются таким образом, что разница между ними состоит лишь в индексе, мы будем применять тензорные О'бозначения, подразумевающие суммирование по повторяющимся индексам. В отличие от обычного случая в (3.16) существен порядок следования производных.
Набор локальных тензорных полей называется глобальным тензорным полем, если соотношение, аналогичное (3.16), справедливо в пересечении окрестностей:
，&UD吃&/j…•，4，&UD吃&/j…•，4
，&UD吃&/j…•，4
，&UD吃&/j…•，4
где Eu, Sv一системы образующих в 现式⑺》), получающиеся из систем Wu, 2у образующих в 製0g(U) и 額卩〃(卩)в результате ограничения
а1 = punv а"胃 Еи, Ь1 = р祢пу 炉 w Sy,
а‘ 巨 Wu, bc w Sy.
В случае если отсутствие индексов U, £ не может вызвать путаницы, они в дальнейшем опускаются.
В обычной геометрии особую роль играют полностью антисимметричные тензорные поля с нижними индексами. Им естественным образом сопоставляются формальные выражения, называемые внешними формами
со = S(0ц^dc^k Л ... /\da",
где Д означает, что дифференциалы считаются антикоммутирующими. В суперслучае естественно рассматривать аналогичные образования:
s = W①厶，…,，•献%，…,力(%, E) d/…dx"d5…d妙.(3.17)
Коэффициенты з&，.…俗厶，…,“ антисимметричны по первой группе индексов и симметричны по второй. Относительно дифферен-
циалов d^j, dxi и образующих %?, gj предполагаются выполненными следующие соотношения коммутации:
d/d/ + d/dx, = 0,昵為—喉d& = 0, dx,d& — %dx, = 0,次疋左 + ^勺=0, dx^k — xdkxt = 0,
4•晶一/d邑=0, dE占一自館星一。.
Дифференциальные формы (3.17) образуют алгебру с p + q коммутирующими Xi,..., % 吗，…，％ и p + q антикоммутирующими образующими 己[,…，自幻 dxi,..., dxp. В пространстве дифференциальных форм действует оператор
d = W dx^d = W dx^dddxidxi+w昵.+w昵.66
d = W dx^
d = W dx^
d
d
dxi
dxi
+w昵.
+w昵.
6
6
(производные действуют на коэффициенты 屮北,…见『,.,“，〃)• Как и в обычном случае, доказывается, что d2 = Q и что из равенства ds = 0 следует, что локально co^dwi. Форму назовем четной, если в выражении (3.17) после разложения коэффи- центов со^,,..,；z по & присутствуют только четные по совокупности ^, dxi слагаемые, и нечетной ——если только нечетные. Как те, так и другие назовем однородными. Дифференциал d связан с произведением однородных форм обычным соотношением d®s)=dS-З + (-1产31)(01血2, 6(to) =0 для четных форм и д(®) = 1 — для нечетных.
Как и в обычном случае, с помощью форм (3.17) и дифференциала d можно строить теорию когомологий, причем алгебры когомологий являются топологическими инвариантами супермногообразия. В настоящее время, однако, они не вычислены ни для одного нетривиального примера. Поэтому содержательность этого инварианта не ясна.
Помимо сходства существует также и принципиальное различие между обычной теорией дифференциальных форм и теорией суперформ вида (3.17). В обычном случае внешние формы можно не только дифференцировать, но и интегрировать, причем дифференциал и интеграл связаны известной формулой Стокса. В суперслучае — ничего подобного! Дифференциальные формы вообще нельзя интегрировать. Для целей интегрирования здесь служат интегральные формы, главной из них является плотность, остальные указаны в работах [19, 20]. Для них существует частичный аналог формулы Стокса.
Возможно построение аналога римановой геометрии. В ее основе лежит тензорное поле gik, причем gik = gki при гср или 力ср, gik ———g^ при /, k>p. Другими словами, в выражении для элемента длины
(3.18)(3.18)ds2 = gikdaidak
(3.18)
(3.18)
следует считать дифференциалы нечетных элементов антикоммутирующими между со'бой, но коммутирующими с дифференциалами четных, которые ведут себя обычным образом.
Аналогично тензорным полям могут быть с помощью указания закона преобразования определены коэффициенты связности, с 归х помощью — тензоры кривизны и кручения. Существует формула, аналогичная обычной, позволяющая построить связность без кручения при наличии римановой метрики. Эти вопросы изложены в работах [21, 22],
Не менее важной, чем риманова, является симплектическая или гамильтонова геометрия. Она связана с замкнутой внешней формой
з =(Hikda( A dak, dw = 0. (3.19) 0% = (- 1严什%6伏中)吗,.，6(3脑=3⑴+ 6 (以
Здесь и далее 6 означает функцию четности: 5(f) =0 для четных элементов 題困(6/) и б (/) = 1 — для нечетных. Кроме того, для краткости мы полагаем 8(2) =6(加).
Рассмотрим матрицу ||亦勺，где ①”飞=(—1)6⑴+б(»з决 и 口 з『| — матрица, обратная к з,%. С помощью матрицы з,% можно построить алгебру скобок Пуассона, аналогичную обычной:
Элементами этой алгебры служат глобальные сечения супер- многообразия.
В суперслучае алгебра скобок Пуассона (3.20) является ни обычной алгеброй Ли, но супералгеброй. Можно показать, что формула (3.20) определяет супералгебру Ли всегда, когда s柒 удовлетворяет условиям:
1严)63①决、]+ (- 1)6质问i) ^kj /上+ \ да1 / I да^ /
十(—1 严ж)з〃 (鳥-з) = 0, (3.21)
6 ®") = 6 (c + 5但)，(0注=(一1严2电+】8伙
(Эти условия автоматически выполнены, еслиЦ (——i)6(0+6(fe)^*]!= =1®后尸，①论 удовлетворяет условиям (3.19).) На основе формулы (3.20) может быть построен аналог классической механики, квантование которой содержит как бозоны, так и фермионы, В настоящее время возникающие здесь вопросы изучены с той же полнотой, что и аналогичные вопросы в обычном случае. См. [23—26].
С римановой и гамильтоновой структурами супермногообразия связана плотность согласно формулам, естественным образом обобщающим обычную: соответственно
P = (sdet||g,%||)〃2,p =(sdet||3/||»2.
В заключение этого раздела я хочу обратить внимание на одно существенное различие между обычной и супердифферен- циальной геометрией. В то время как в обычном случае плотность является полностью антисимметричным тензорным полем, в суперслучае, как видно из (3.10), она вообще не является тензорным полем! L Появление величин, которые, подобно плотности, преобразуются не по тензорным законам, связано с особенностями представлений супергруппы G£(p, q), которая является супераналогом GL («) ; GL(p, q), в отл.ичие от GL («) обладает не только тензорными линейными представлениями. Появление нетензорных величин является наиболее захватывающей особенностью супердифференциальной геометрии.
С упе'ргруплы и супералгебры Л и. Супергруппу можно определить как супермногообразие G, для которого все ассоциированные с ним многообразия Gn являются группами Ли в обычном смысле, причем групповая операция в локальных грассмановых координатах задается гр ассм ано веки ми аналитическими функциями
X = f(Xb &； %2,自2), ^ = lp(xi｝三 1； %2,三2).
Алгебру Ли группы GN обозначим дм Грассмановская аналитичность групповой операции приводит к тому, что алгебра Ли д” обладает специальной структурой. Чтобы описать ее, введем некоторые понятия, существенные также в дальнейшем. Линейное пространство называется градуированным, если оно представлено в виде прямой суммы двух подпространств:厶= =丄0㊉厶i・ Одно из этих подпространств £0, в дальнейшем называется четным, другое, Л),——нечетным. Элементы 厶° и 厶【 называются соответственно четными и нечетными элементами L. Элемент L называется однородным, если он либо четен, либо нечетен. Для однородных x^L определена функция 3(х) (четность): 6(х) =0 при xwL。，5(х) = 1 при %三乙】.
Пусть L = L0 ㊉ Li ——градуированное линейное пространство, е,・，е； — базисы соответственно в 乙。н Li, ®n — грассманова алгебра с N образующими. Рассмотрим линейное пространство Ln, состоящее из линейных комбинаций &, £/ с грассмановыми коэффициентами:
1 T. e. преобразуется согласно представлению группы GL(p, g|N), матричные элементы которого зависят от элементов матрицы К三GL(p、q\N) неполиномиальным образом.
где аз а/ — соответственно четные и нечетные элементы %. Пространство Ln называется грассмановской оболочкой пространства L.
Дополнительная структура алгебры д^, о к о гор ой говори* лось выше, состоит в том, что Jn является грассмановой оболочкой некоторого градуированного линейного пространства g = So ㊉ 0i- Из того обстоятельства, что грассмановы оболочки 9n пространства g при всех У являются алгебрами Ли, следует, что пространство g само является алгеброй, причем для однородных х, у операция умножения [尤，у] в g обладает свойствами：
[х,川=一(一1)6⑴6(" 也，x],
(3.23) (-1)伙х)6⑶[X,[у, г]] + (- 1)6⑵伙叫z, [% 川+
+(— 1严)6叫gJ2,打]=0.
Алгебра со свойствами (3.23) называется супералгеброй Ли или, по другой терминологии,——/г^радуированной алгеброй Ли.
Обратно, легко видеть, что если 9 является супералгеброй Ли, то все ее грассмановы оболочки д^ являются обычными алгебрами Ли. Отметим, что четное подпростр анство g0 супер- алгебры является алгеброй Ли в обычном смысле. Для супералгебр Ли, как и для обычных алгебр Ли, 'может быть определено понятие простоты. Простые супералгебры Ли классифицированы. Предварительные результаты в этом направлении содержатся в работах [27——30]. Пол>ное описание простых конечномерных супералгебр получено в [31]. Классифицированы также супер алгебры Ли с редуктивной четной частью (без предположения общей простоты) [32], а также описан большой класс бесконечномерных простых супер алгебр [33].
Подробная теория супер алгебр и супергрупп Ли, рассчитанная на применение к теории представлений, развита в [34—38].
В этих работах, в частности, найден критерий существования инвариантного интеграла на супергруппе, вычислена в общем виде плотность инвариантного интеграла в случае существования, а также построена теория оператора Лапласа —— Казимира. При этом обнаружились любопытные особенности, не имеющие аналогов в случае обычных групп Ли. Например, для супергрупп U(p, g), имеющих в качестве & компактную группу U(р) XU(q), оказалось, что /dg = 0, т. е. «суперобъем» О(р,夕)равен нулю! По-видимому, аналогично обстоит дело всегда, когда Go —компактная группа, и поэтому можно говорить о полном суперобъеме.
Теория операторов Лапласа — Казимира оказалась существенно более сложной, чем в обычном случае. Это связано главным образом с тем, что для суп ер алгебр Ли несправедлива так
называемая теорема К. Шевалле, устанавливающая взаимнооднозначное соответствие между инвариантами относительно группы Вейля на картановской подалгебре и инвариантами относительно присоединенного представления на всей супералгебре.
Представления супералгебр и супералгебр Ли
О с н о вм ы е определения. Пусть £ = Л0 ф L[——градуированное линейное пространство и 0 = 90 Ф Й1—супералгебра Ли. Представлением g в 丄 называется реализация алгебры g операторами Тх в L, подчиненная условию: если xwgo, то T.xMuLo, 7\Xiu£i, еслн xw 例，то Тх&и&, 7\〃и〃. Другими словами, четные элементы сохраняют четность в L, нечетные —— меняют.
Пусть Sn,丄n — грассмановы о'болочки супералгебры Ли g и пространства L соответственно. Исходя из представления g в 丄 легко 'Построить представление дл- в LN. Пусть е；, е/ ——базис в д, шричем 々三д°, £『三91, х = 2агег + 5а/е/еgN. Положим
Тх = ЕКе 卢工 5% (4.1)
Очевидно, что операторы Тх образуют представление алгебры Ли Jn в Ln・ Экспоненцируя, мы получаем представление группы Gn в £n：
Tg = exp7\. (4.2)
Полученное представление при N = оо можно считать представлением супергруппы G.
Отметим некоторые результаты теории представлений супералгебр Ли. Кар танов ска я теория старшего веса переносится на су пер случай почти без изменений. Матрица 4(g) оператора Те в базисе {&・，е/}, &三厶，g/eAj имеет клеточный вид:
4 (g) G = 2 (Ли (g))£kek + S (4 (g)),声 j,
4 (g) e； = 2 (4i (g))」％ % 十 £ (% (g)h%・
Элементы матриц 4ц(^),』22(g) являются четными элементами грассмановой алгебры 甌，элементы матриц &2(g), /21(g) — нечетными.
Характеры и операторы Л а л л а с а ■— К а з и м ир а. Характером представления называется его суперслед, яв* ляющийся функцией на G^ со значениями в ®^:
%(g) ==str Tg=tr 41 (g) —tr』22(g) ■ (4.3)
Следует обратить внимание на знак «минус» в травой части (4.3), отличающий этим формулу от обычной. В случае неприводимости %(g) определяет представление с точностью до э.к-
дивалентности, в общем случае — нет, что очевидным образом связано со знаком «минус» в правой части (4.3). Отметим связанную с этим любопытную особенность супергруппы U(p, q). Для нее, как и для обычных групп Ли, можно определить левое регулярное [Представление
(TgJ)(g) = f(g]g)・
Пусть)c(g)=strTg (%(§•) существует как обобщенная функция) .Оказывается, что %(g)三О! (В обычном случае для компактных групп %(g) =5(g)M(G).)
Каждому неприводимому представлению Tg супергруппы Ли соответствует, как и в обычном случае, набор собственных чисел операторов Лапласа — Казимира Дй. Матричные элементы оператора Tg служат собственными функциями операторов 4з В частности, характер удовлетворяет уравнениям
，A左%=説兀 (4.4)
Представление называется невырожденным, если уравнения (4.4) обладают единственным решением с точностью до постоянного множителя, и вырожденным i— в противном случае. Это определение является общим для обычных групп Ли и для супергрупп. Для обычных групп Ли конечномерные представления всегда невырождены, вырожденные встречаются только среди бесконечномерных представлений. Для супергрупп Ли среди конечномерных представлений встречаются вырожденные. Это обстоятельства делает теорию конечномерных представлений супергрупп Ли более похожей на теорию бесконечномерных представлений обычных групп Ли, чем на теорию их конечномерных представлений.
Характеры невырожденных представлений супергрупп Ли при широких предположениях найдены в [34—3^], результат, касающийся супергрупп серии U(p,夕)，анонсирован в [39], там же дан набросок общего метода, использованного в [34— 38]. В этих работах указана также реализация невырожденных представлений как представлений, индуцированных некого' рым представлением группы 伉.
В [40] найдены характеры невырожденных представлений другим методом. Вырожденные представления в настоящее время интенсивно изучаются. С ними связано описание нетензорных геометрических объектов на супермногообразиях, о которых говорилось выше. С наибольшей подробностью в настоящее время изучены представления супергрупп U (р, д) и С (т, п). Первая из них является супераналогом полной унитарной группы, вторая состоит из обобщенных канонических преобразований, перемешивающих ферми- и бозе-операторы рождения и уничтожения.
Первые систематичеокие результаты, касающиеся представлений супер алгебр Ли, получены в работе [41], где описаны все представления супералгебры д【(1, 2) 一 ближайшего супераналога обычной алгебры матриц второго порядка, и в работе [30], где определено обобщение на суперслучай понятия унитарного представления. В [42, 43] детально изучаются представления алгебр серии g{ (р, q) при малых р, q.
Заключение
В настоящее время, когда суперматематика в основных чертах уже построена и освоена, следует еще раз задаться вопросом о том, какую роль она призвана сыграть в физике.
Сейчас суперсимметрии являются по существу вспомогательным аппаратом для получения тождеств Уорда в сложных полевых теориях. Однако если отнестись к ним более серьезно, то они, как мне кажется, содержат намек на существование фундаментальной симметрии между координатами и полями '. В самом деле, преобразования типа (2.6), характерные для суперсимметричных теорий поля, в особенности для супергравитации, в значительной степени лишают координаты их привычного смысла: вместо координат 先 в этих формулах участвуют четные образующие алгебр 21Pq(U), которые имеют вид
看=生•+ 2九・；厶…./(a) Eh…瓦左， (5.1)
где at ——координаты в U, & — образующие грассмановой алгебры ®q. Образующие 畳 принципиально не наблюдаемы, так ■как в силу нильпотентности могут принимать лишь единственное численное значение 3 = 0.
Таким образом, величины, преобразующиеся по формулам (2.6), — это странные гибриды наблюдаемых величин (координат) н ненаблюдаемых. Эта странность сразу же исчезает, если считать 戸 классическими аналогами фермиевских операторов: после квантования правая часть (5.1) превращается в оператор, который при разумных условиях самосопряжен. Однако в этом случае формулы (5.1) и (2.6) показывают, что координаты и поля являются объектами общей природы.
В подтверждение высказанной точки зрения я хочу обратить внимание на существование симметрии между координатами и полями в обычной классической максвелловской электродинамике (никакой суперсимметрии!). В самом деле, потенциал A — ^A^dx^ определен с точностью до полного дифференциала. Положим ①=三百吊.Имеем
0 dф = SrfXg • Хц + 5Дцб/хц. (5.2)
Правая часть (5.2) очевидным образом симметрична относительно замены 儿一辱
Эта идея по существу содержится уже в [7].
ЛИТЕРАТУРА
L Martin /. L.— Proc. Soc, 1959, A251, 536*
Schwinger /.— Phill. Mag., 1953, 44, 1171.
Березин Ф. A,— ДАН СССР, 1961, 137f № 2, 31 匸
Березин Ф. А., Минлос Р. А., Фаддеев 〃. Д.— Труды IV Всесоюзного математического съезда 1961 г., т. II, с. 532.
Березин Ф. А. Метод вторичного квантования — М,： Наука, 1965.
Гольфанд Ю. 4” Лихтман Е. 〃. Проблемы теоретической физики.——М.: Наука, 1972, с. 37.
Volkov D. V., Akulov К Р.— Phys. Lett, I973r B46, 109.
Волков Д. В., Сорока 8. Л. Письма ЖЭТФ, i97В, 18, 529.
Березин Ф. 4—Математические заметки, 1967, 1, 3.
Пахомов В. Ф.— Математические заметки, 1974, 16, 1.
Березин Ф. 4, Кац Г. Я,— Математический сборник, 1970, 82 (124), 343,
Wess G, Zumino В.— Nucl Phys., 1974, B70, 39.
Corwin L., Neeman У.丿 Sternberg S.— Reviews of Modern Physics, 1975, 47, 573.
Березин Ф. Л., Лейтес Д, 4—ДАН СССР, 197 5, 22, № 3, 505,
Kostant В.— Lecture Notes in Mathematics, 1977„ 570, 177.
Лейтес Д. 4—УМН, 1975, т. XXX, 3, 156,
Mansouri F.— Journ. of Math. Phys., 1977, 18^ I, 52.
Berezin F. 4」Marinov H. S. — Annalso of Physics, 1977, 104, N 2. 336.
Casalbuont /?.— Nuovo Cimento, 33A, N 3, 389,
Casalbuoni R—Nuovo Cimento, 33A, N 1, 115.
Barducci A., Casalbuoni R, Lusanna L—Nuovo Cimento, 35A, N 3, 377.
Бернштейн Я. //., Лейтес 力* А.— Функциональный анализ, 1977, 11, № 1, 55.
Бернштейн И. Н” Лейтес Д, Д ~ Функциональный анализ, 1977, 11, № 3, 70.
Pais A.f Rittenberg V.— Journal of Math. Phys., 1975, 10, 206.
Scheunert Л1, Nahm W4 Rittenberg V.— Journ, of Math. Phys., 1976. 17, N 9, 1626.
Scheunert M.t Nahm W^ Rittenberg У — Journ. of Math. Phys., 1976, 17, N 9,7640.
Scheunert AL, Nahm 吃，Rittenberg V.— Journ. of Math. Phys., 1977. 18r N 1, 146.
Кас У G. — Advances in Mathematics, 1977, 26, &
Березин Ф. A,f Ретах В. C.— Вестник МГУ, 1978, № 5, 63.
Лейтес Д. А.— ДАН СССР, 1977, 236, № 4, 804.
3L Berezin F. А.—Preprint JTEP—66, 1977.
Berezin 总 Л.— Preprint JTEP—78, 1977.
Berezin F. A.— Preprint JTEP—77, 1977.
Berezin F. 4—Preprint JTEP—75, 1977.
Berezin F. 4—Preprint JTEP—76, 1977.
Pais A.f Rittenberg К—Preprint Rockefeller University Report, Number COO—2232B—74.
Березин Ф, A.——Функциональный анализ и его применения, 1976, 10, № 3.
Кас V. G,— Communications in algebra., 1977, 5, 88 9.
Hermann 7?.—Preprint HUTP-77/A012, HUTP-77/A003, HUTP/7/A014.
Bednar Sachi V.— Preprint FZU-78-1.
Bednar M, Sachi V.— Preprint FZU-1S/77.
42* Березин Ф. A.——Супермногообразия. Препринт ИТЭФ, 1979.
Шафаревич. Я. Р. Основы алгебраической геометрии.— М,: Наука, 1972.
Глава 1. АЛГЕБРА ГРАССМАНА
§ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБРАХ
Алгебры. Алгеброй называется линейное пространство, в котором помимо обычных операций сложения и умножения на числа определена также операция умножения элементов с обычными свойствами дистрибутивности: a (ab +pc) =aab +Вас, (fib-\-^c)a = dba-]-^ca, где а, 6 ——числа, а, Ь, с ——элементы алгебры. Алгебра называется коммутативной, если для любых двух ее элементов а, b верно, что ab = ba.
Алгебра называется конечномерной или бесконечномерной, если как линейное пространство она соответственно конечномерна или бесконечномерна.
Алгебра называется ассоциативной, если для любых трех ее элементов а, Ь, с верно, что а(Ьс) = (а匕)с.
Пусть 城一некоторая алгебра, К — множество чисел, на которые допускается умножение элементов 弘.В таком случае 虱 называется алгеброй над К. В дальнейшем в этой книге К всегда является множеством вещественных или комплексных чисел: K = R или К = С. В зависимости от того, K=R ИЛИ к=с, алгебра 旣 называется вещественной или комплексной.
Примеры алгебр.
Множество R вещественных чисел с обычными операциями сложения и умножения является очевидным образом вещественной алгеброй. Аналогично множество С комплексных чисел является комплексной алгеброй.
Пусть 戏 Л1 — произвольные множества. Через 洲 обозначается совокупность всех отображений М в 旣，т. е. совокупность всех функций на М со значениями в 尊. В случае, если 氧 является алгеброй над К, ^м также является алгеброй над К с естественными операциями сложения, умножения и умножения на числа: при f(x), g(x)三戏，xwM, awK
(f+g) M^fM+g(^), (f, g)(%)=f(%)g(%), (af) (%) = af(x).
Очевидно, что если алгебра St ассоциативна или коммутативна, то тем же свойством обладает алгебра 戏.
Пусть UuRp — область р-мерного вещественного пространства RK К — алгебра чисел: K=R или К=С. Рассмотрим подалгебру алгебры Ки, состоящую из бесконечно дифференци-
руемых функций. Эту алгебру будем обозначать 處(U). Она в дальнейшем играет очень важную роль.
Всевозможные многочлены на U образуют подалгебру алгебры 幽(U), которую мы обозначим через 乡(U).
Рассмотрим Rp как линейное пространство и обозначим иерез L (pj R) множество всевозможных линейных операторов в Rr. L(p R) является алгеброй по отношению к обычным операциям умножения и линейного комбинирования операторов. Эта алгебра очевидным образом вещественна.
Аналогичным образом определяемая алгебра 丄(р|С) всех линейных операторов в комплексном пространстве О комплексна. Алгебры примеров 1), 3), 4) ассоциативны и коммутативны, алгебры примера 5) ассоциативны, коммутативны при р= 1 и некоммутативны при р>1.
Если в алгебре 杀 имеется элемент с обычными свойствами единицы
е-а = а-е = а для любого а三級，
то такая алгебра называется алгеброй с единицей, элемент е называется единицей алгебры. Алгебры в примерах 1), 3), 4), 5) являются алгебрами с единицами. Алгебра 旣а， (пример 2)) обладает единицей, если этим свойством обладает алгебра 级：единицей 2 служит функция е(х)三е, где е — единица в 旣.
Однако существуют также важные для приложений алгебры без единицы. В частности, алгебры Ли никогда не содержат единицу. (Алгебры Ли не ассоциативны. Существуют, разумеется, и ассоциативные алгебры без единицы, например алгебры треугольных матриц с нулевой диагональю.)
Образующие. Пусть 班一алгебра и £и 班一некоторое множество ее элементов. Обозначим через 類(2) совокупность всевозможных многочленов от элементов £ : ®必(2), если
f =， £ fit,...,ikait ... aik, а产 2,厶…必三 К (LL1) go "…％
(сумма конечная). Очевидно, что 9((Е) является подалгеброй 吐，она называется подалгеброй, порожденной множеством S.. Ясно, что 必(2) содержится в любой подалгебре, содержащей W.
В случае, если 旣(£)=觊，множество S называется системой образующих алгебры §1 или порождающим множеством.
В дальнейшем нам предстоит рассматривать алгебры, для которых определено понятие сходимости последовательности элементов. Такие алгебры называются алгебрами со сходимостью. Для алгебр со сходимостью помимо обычного понятия системы образующих существует важное понятие топологической системы образующих.
Множество Еи瓢 называется топологической системой образующих алгебры 氧，если 奴 является замыканием ?1 (2), т. е.
если любой элемент feSI является пределом последовательности элементов 觐(£).
В случае, если надо будет подчеркнуть разницу, систему образующих в смысле ранее приведенного определения мн будем иногда называть алгебраической.
В конечномерную алгебру можно ввести сходимость обыч- ннм покоординатным образом'. Таким образом, конечномерную алгебру всегда можно рассматривать как алгебру со сходимостью.
Отметим важное свойство топологических образующих конечномерной алгебры.
Пусть 融 ——конечномерная алгебра с покоординатной сходимостью, XuSl — система ее топологических образующих. В 2 содержится конечное подмножество, являющееся системой алгебраических образующих 額
В самом деле, пусть £и§1 — система топологических обра зующих алгебры 霞 и fi,.... fN — базис 耽 как линейного пространства. Согласно определению fa = lim /а>п, где f,x,w^?l(S)
Mf 8
имеет вид (1.1.1). Разложим fa,n по базису /а:
fam =£с<х,а (〃)fp・(1 • 1.2)
Предельноесоотношение ^ = 1 im fа>п означает, что
lim са^(п) = 6aP.Следовательно, det||cap (л0) ||#=0 при доста-
RT8 точно большом «о- В свою очередь, это означает, что элементы Ах,%, подобно элементам %, образуют базис в 旣，как в линейном пространстве. Запишем элемент 拉尸。в виде (1.1.1) и отметим элементы “把)三£, через которые он выражается. Их число конечно при любом а. Объединение а^ при всех i и а обозначим Si，Множество 2и2 конечно и очевидным образом служит системой алгебраических образующих в 旣；каждый эле' мент /е§1 является линейной комбинацией fam。 и тем самым полиномом от а^.
Из доказанного утверждения очевидным образом следует, что для конечномерной алгебры каждая алгебраическая система образующих содержит конечную подсистему, являющуюся также алгебраической системой образующих, и что каждая топологическая система образующих является одновременно алгебраической.
1 Пусть 厶一некоторое конечномерное линейное пространство, е； — базис в L Последовательность fn =2а,(и)е( называется сходящейся покоординатно к f^SaiCi, если a, = lim а^ (п) при всех i. Несмотря на то что в определе- п-»оо
нии сходимости фигурирует базис е,, она фактически от выбора базиса не зависит: если ^ =仃心，— другой базис, тс
/п — S Ь/ (п) е,, f = Е b冏,Ь/ (п) = Е а& (п)册才,瓦• = £ &屍右/ н 瓦=lim 幻(卩)•
В общем случае эти выводы, разумеется, несправедливы. Приведем пример, иллюстрирующий разницу между топологическими и алгебраическими образующими для бесконечномерной алгебры.
Рассмотрим алгебру 阵(U) бесконечно дифференцируемых функций, введенную в примере 3). Определим в ней сходимость: f"ff, если на любом компакте RuU fn сходится к f равномерно и все частные производные fn также равномерно сходятся к соответствующим частным производным 人 В смысле этой сходимости множество многочленов 0(。)плотно в M(U).夕(U) является алгеброй с р алгебраическими образующими, в качестве которых можно рассмотреть декартовы координаты 修 б области U. Тем самым 埼・ служат топологическими образующими в 或(U). Можно показать, что в 整(U) не существует конечной системы алгебраических образующих.
Идеалы, факторалгебры, гомоморфизмы. Подалгебры 呪иМ называется левым идеалом, если, каковы бы ни были а三？I, %三员，с необходимостью а*Е猊.Если при тех же условиях ха三班，то 貌 называется правым идеалом. Идеал называется двусторонним, если он одновременно левый и правый.
Пусть 员и班 ——подпространство 鈑 как линейного пространства. Сопоставим каждому aw氧 множество элементов
«а = {а+х; хм況}.(1.1.3)
В (1.1,3) предполагается, что а фиксировано, а % пробегает идеал 见
Множество (1.1.3) называется классом смежности ?1 по 泣 Очевидно, что два класса смежности либо не имеют общих элементов, либо совпадают и что каждый элемент $1 принадлежит некоторому классу смежности. Множество классов смежности 刎 по 货 называется факторпространством 戮 по 猊 н обозначается 町丸
Пусть 〃 = a+%w/ia, v = b-]-y^nbt a, §wK. Очевидно, что а"+|3и = aa+pb + ax + gpw ^-аа+?ь-
Другими словами, каких бы представителей классов смежности 九а и пь мы ни взяли, их линейная комбинация принадлежит классу &а+Р>
Поэтому в множестве классов смежности можно ввести операцию линейного комбинирования согласно формуле
a九 a+В 九ь = ^aa+ab・(LL4)
Операция (1.1.4) превращает 額/紀 в линейное пространство.
Пусть теперь 员 ——двусторонний идеал 21, и=а-]-х, v = b-\-y —— представители классов ua и 卫ь соответственно. Рассмотрим их произведение
uv = ab-\-ay-\-xb-\-xy^nab.
так как ay-\-xb-\-xy^^. Другими словами, произведение представителей классов смежности па и пь всегда принадлежит классу смежности паь, какие бы представители ни рассматривались, Это обстоятельство позволяет ввести в множество классов смежности умножение согласно формуле
总с总6 =厶ab・(1.1.5)
Легко проверяются свойства дистрибутивности
〃c(a^a + B^b) =а〃с〃а+В 汽c"b
(апа+В〃ь) пс=ипапс^пьпс.
Таким образом, факторпространство алгебры SI по двустороннему идеалу является алгеброй. Эта алгебра называется фактор- алгеброй 必 по 兜
Пусть $1 н S3 ——алгебры. Отображение f :彰一＞35 называется гомоморфизмом, если выполнены следующие условия:
f(aa+他)=af(a)+Bf(6), а, 0巨К, а, b^f(ab)=f(a)f(b).
Гомоморфизм / называется изоморфизмом алгебр 圾 н 導， если отображение f взаимно-однозначно. При 旣=48 изоморфизм ，：觇-＞額 называется автоморфизмом 31. Множество 猊и耽 состоящее из всех элементов, переходящих при гомоморфизме ? в 0, называется ядром гомоморфизма f, обозначается Kerf. Множество элементов алгебры 8, служащих образами элементов алгебры 題，т. е. представимых в виде f(a), а三虱，называется образом гомоморфизма 厶 обозначается Imf.
Легко видеть, что 91 = Kerf является двусторонним идеалом алгебры 必，Imf — подалгеброй 8, причем алгебра Im f изоморфна факторалгебре 甄/丸 Изоморфизм устанавливается следующим образом: обозначим через па множество элементов %, имеющих общий с а образ при гомоморфизме f:f(b)=f(a) при Ье%. Множество па является классом смежности 血 по 负.Отображение g :!mff 霞/丸
g(6) =па при b = f (a)
корректно определено (т. е. g(b) не зависит от выбора прооб， раза b при гомоморфизме /) и является изоморфизмом алгебр Imf и St/丸
Пусть 奠一левый идеал алгебры 恥 Множество Wu飘 называется системой образующих 现，или порождающим множеством, если каждый элемент 呪 представим в виде полинома от элементов S с коэффициентами из 旣，стоящими слева от произведений элементов Е:
* = W砧"扇三Е,a戸旣.
Такой полином будем называть левым. Если 贝——правый идеал, то множество S называется системой образующих, если каждый
элемент хеЭ1 является правым полиномом от элементов Z. (Правый полином определяется аналогично левому.)
Подчеркнем разницу в определении образующих алгебры 既 и ее идеала; в случае алгебры рассматриваются полиномы с численными коэффициентами, в случае идеала — коэффициенты полинома являются элементами алгебры 31.'
Если 瓢 ——алгебра со сходимостью, то появляется возможность определить топологические образующие ее идеалов.
Пусть 猊и§1 — левый идеал алгебры со сходимостью. Множество УиЭ1 называется системой топологических образующих 呪，если совокупность левых полиномов от элементов £ с коэффициентами из 必 плотна в 默.Аналогично определяются топологические образующие правого идеала.
В дальнейшем нам, как правило, будут встречаться лишь двусторонние идеалы. Поэтому слово «двусторонний» мы будем для простоты опускать и под словом «идеал» понимать двусторонний идеал.
Модули. Пусть 21 — некоторая алгебра и L — коммутативная группа с групповой операцией, которую мы будем записывать с помощью знака + .
Группа L называется левым модулем над 竅，если для ее элементов определено умножение слева на элементы 51 с обычным свойством дистрибутивности и ассоциативности:
^(/+^) =^+^, a(bf) = (ab)f; f, gwL, a, b^.
Если для элементов L определено умножение справа, обладающее аналогичным свойством, то L называется правым модулем, если определены умножения и слева и справа, причем а(») = =(af) b, то 厶 называется двусторонним модулем.
В дальнейшем нам встречается главным образом двусторонние модули над коммутативными алгебрами, и слово «модуль» без прилагательных употребляется для обозначения двустороннего модуля с дополнительным свойством af = fa.
§ 2. АЛГЕБРЫ ГРАССМАНА
.0 пределение и простейшие свойства грассмановых алгебр. Ассоциативная алгебра с единицей называется грассмановой (сокращенно г. а.), если в ней существует система образующих, состоящая из элементов со свойствами
邑氏+氏員=0, в частности, ^2=0.(121)
Любое другое соотношение между ^ является следствием (1.2.1) 1.
Т. е. принадлежит идеалу тензорной алгебры с образующими 自；， порожденному левыми частями (1.2.1). — Прим ред.
Образующие 蚤 с этими свойствами будем называть каноническими. Грассманову алгебру будем обозначать буквой Л. В случае, если нам будет важно указать систему канонических образующих в г. а., мы будем пользоваться обозначением А® ...,£). В случае, если важно лишь их число — обозначением Ад. Из (1.2.1) следует, что любой элемент А 因晶)является линейной комбинацией одночленов &, ... Е® 0< г2 <. _ •. . < i& и единичного элемента. То обстоятельство, что все соотношения между 自i следуют из (1.2.1), означает линейную независимость этих одночленов L Следовательно, они в совокупности с единичным элементом образуют базис в Aq, как в линейном пространстве. Так как их число равно числу непустых подмножеств множества из q элементов, то dim AQ = 2^. Отсюда следует, что любая снстема канонических образующих Aq состоит из q элементов.
Для единицы в Л мы не будем вводить специального обозначения, считая, что она совпадает с единицей в алгебре чисел К. Таким образом, каждый элемент Л(^1,..., ^д) записывается в виде
f = f(E)=£ £ 力…..4 Eh(122)
Слагаемое, отвечающее 々 = 0, пропорционально единице. Запись / =，(自)призвана подчеркнуть, что элемент / выражен в виде полинома от образующих 自看.В дальнейшем мы увидим, что полиномы 〃占)обладают многими формальными свойствами обычных функций. Поэтому мы будем их иногда называть функциями от антикоммутирующих переменных. Запись элементов А(&,…，自д) в виде (1.2.2), вообще говоря, не однозначна. Однако она становится однозначной, если наложить на коэффициен* ты 九，…,ik дополнительные условия. Например, можно потребовать, чтобы fiu...,ik = 0, если не выполнено соотношение и</2<С < ... <Jk, или чтобы 九，…,ik были кососимметричны по индексам ",…，询(т. е. меняли знак при перестановке любых двух индексов). Второе условие более удобно, и в дальнейшем, если элемент f записан в виде (1.2.2) и противное не оговорено, всегда считается, что коэффициенты /ц〃 кососимметричны.
Пусть & — канонические образующие алгебры Aq и fwAq, выраженный через 蚩，согласно формуле (1.2.2) с кососимметричными коэффициентами 九，…,％.
Предположим, что “；，…,ik = 0 при й<«, а при k = n существует отличный от нуля коэффициент. Назовем число п степенью элемента / и введем для него обозначение n= deg f.
Это требование — один из вариантов точной формулировки условия 2). Его непротиворечивость нуждается в доказательстве. См. например, Ван дер Варден «Алгебра», гл. 13, § 93.——Прим. ред.
В случае, если в записи (1.2.2) отличны от нуля только коэффициенты с k = n, элемент f будем называть однородным степени п в смысле deg. Очевидно, что свойство элемента f быть однородным в смысле deg зависит от выбора системы образующих.
На первый взгляд кажется, что и degf также зависит от выбора системы образующих, однако, это не так. В самом деле, пусть 柒，r]i — две системы канонических образующих. Обозначим временно степени элемента / по отношению к ним соответственно: degj и degj. Заметим, что если элемент / нильпотен- тен, т. е. fm =。для некоторого т, то degj>l и degj》l. В частности, deg总 >1. Запишем элемент f в виде (1.2.2) с помощью образующих * н в аналогичном виде выразим ^ через g. Подставляя 自尸畳⑺ в (1.2.2), находим выражение f через ip. Из того, что deg总：>1, очевидно, следует, что degj»degj. Меняя ролями системы * и %, находим, что degj = degj.
Обозначим через А(丸)подпространство А, состоящее из элементов, удовлетворяющих условию deg f>fe. Очевидно, что
А = А(У А«)пА(2)п …
и что при feA<4 gwA«), fgwA便+'). Таким образом, А# является идеалом А.
Пусть fwA(J,…，&) имеет вид (1.2.2), причем в стоящей в правой части сумме отличны от нуля лишь слагаемые с четными k. В этом случае элемент f называется четным пс отношению к системе канонических образующих *. В случае； если в сумме (1.2.2) отличны от нуля только слагаемые с нечетными kf элемент / называется нечетным по отношению к системе канонических образующих 电.
Как четные, так и нечетные элементы называются однородными в смысле четности.
Пусть 低} — некоторая система канонических образующих г. а. Д. Как четные, так и нечетные по отношению к {*} элементы образуют линейные подпространства, которые мы обозначим соответственно °А (^i,..., ^д) и 丛(&,…，&). Ниже мы увидим, что пространство 嘖(&,..., &) в действительности не зависит от системы канонических образующих *. Поэтому для него будет употребляться сокращенное обозначение °А. В случаях, исключающих недоразумение, мы будем пользоваться также сокращенным обозначением 'А.
Легко видеть, что °А является не только подпространством, но и подалгеброй.
Для однородных в смысле четности элементов вводится функция a(f), называемая четностью
小 [0 для четных элементов,с с、
= {(1.2.3)
I 1 для нечетных элементов.
а является первой буквой греческого слова арноа ——четный.
Встречающиеся в дальнейшем суммы вида a(f)+a(g) пони' маются по mod 2.
Очевидно, что элементы, однородные в смысле deg, являют ся однородными также в смысле четности и для однородных е любом смысле элементов справедлива формула
a(fg)=a(f)-\-a(g).(1.2.4)
Отметим также важное соотношение коммутации для однород,' ных элементов
1)。⑴ a《g)gf.(1,2.5)
Выясним, в какой степени понятие четности связано с выбором системы канонических образующих.
Пусть 偽｝ — некоторая система канонических образующих г. а. Л. Из (1.2.5) следует, что，£啖&, ...,&) тогда ‘н только тогда, когда fa = af для любого aw А. Тем самым свойство элемента быть четным не зависит от выбора система канонических образующих Ч Иначе обстоит дело с пространством нечетных элементов, как показывает следующий пример.
Пусть 卩偌)一фиксированный нечетный по отношению к & элемент. Положим
帀=*(1 + Н隽)).(1.2.6)
Легко видеть, что элементы 刀》удовлетворяют соотношениям (1.2.1). Кроме того, они являются образующими. Чтобы убедиться в этом, следует выразить ^ через 切.Заметим прежде всего, что т|£ть =己也j. Отсюда следует, что если f(g)——произвольный нечетный элемент и /(т])——элемент, получаемый заменой в выражении (1.2.2) для f образующих 自* элементами п” то f(n) = = /(Ю (^+м(Ю)- В частности, это относится к элементу 卩：卩(刀)=F(g) (1十卩(m))=n(自)， так как в силу нечетности 卩2(g) =0. Поэтому
& = TU(l + F(n))T = Tb(l—lx(n))・
Итак, гн являются каноническими образующими. Как мы внде- лн,丛巾,…,rjq) состоит из элементов вида
『售)(1+模(ё))，，三认&，…詫g).(1-2.7)
Таким образом, при ц,抬0 пространства ^(^i, .... ^) и ^(тц,... …，По) не совпадают. Ниже мы увидим (см. следствие 1.1 из теоремы 1.2), что пространство нечетных элементов по отношению к любой системе канонических образующих состоит из элементов вида (1.2.7) при некотором ц,.
В заключение этого пункта отметим, что пространство ‘А нечетных элементов по отношению к произвольной системе канонических образующих 爱 обладает следующими свойствами:
если f, gw【A, то fg = —g/曰嘖，
если fRiA, gw°A, то 左三丛，
А как линейное пространство является прямой суммой пространств °А и *А.
(Первые два свойства следуют из (1.2.5), третье — непосредственно из определения.)
Ниже, в п. 4, будет показано, что любое подпространство, обладающее этими свойствами, является пространством нечетных элементов по отношению к некоторой системе канонических образующих.'
Системы образующих грассмановой а л - г е б р ы.
Теорема 1.1. 1) Любая система образующих грассмановой алгебры ,\д содержит подсистему, состоящую из q элементов и также являющуюся системой образующих. В частности, не существует систем образующих с числом элементов q'<q.
Пусть 盡，％ ——нильпотентные элементы Aq, i, /= 1, 2,..., q, причем элементы & служат системой образующих. Для того чтобы элементы гр обладали тем же свойством, необходимо и достаточно, чтобы их выражение через 昌 имело вид
巾=£。境j+s, degg>l, det||a访||，6(1.2.8)
Доказательство. Пусть вначале ^ ——канонические образующие. Пусть, далее, 2иАд —• некоторая система образующих.
Как было показано в п. 1, из конечномерности алгебры А, следует, что S содержит конечное подмножество элементов ft, i= 1, 2,…，М, также являющееся системой образующих.
Воспользуемся формулой (1.2.2) и представим каждый элемент fi в виде 3 = h,o+gs, где %,о — иисло н deggtAl.， Очевидно, что совокупность элементов gi также служит системой образующих:& = Pt (",…，，n) =R (厶,o+gi,…
…,fN,o+gN)=Qi(gi,…,gz), где Qi — некоторый полином. Отделяя в каждом полиноме Q,・ линейные члены от членов более высокого порядка, находим: '
星=工c'ikSk + а/, degaz > 1.(1.2.9)
Внразим теперь g& через 蚤 и отделим члены 1-го порядка:
gh=£bhsEs+PA, deg 俄> L(1.2.10)
Подставляя (1.2.10) в (1.2.9), мы должны получить тождество Следовательно, 2cwkbhs = 6ts. Отсюда вытекает, что rang|!6ftS|| >7 и» следовательно,
Предположим для простоты, что первые q строк матрицы "b&s|| линейно независимы. Покажем, что в этом случае элемен-
ты gi,…，gg в совокупности в единицей служат системой образующих. Положим
以=£&sE$,，= 1, 2,…，q.s
Ввиду обратимости матрицы ||6mhs=i элементы 盘，подобно 扇, служат каноническими образующими. Выражая ^ через 装，находим из (1.2.10), что
gh = Wh+YMC), degyfe> 1.(1-2.11)
Покажем теперь, что 装 могут быть выражены в виде полиномов от gk. Предварительно определим 丫月(。)от произвольного набора а二 Q,..., %) элементов Л3. Пусть
(£) = £…4 &丄• • •.
f /!<г2<. ..<iz
Положим
%(。)= ££Y 厶，…,y.
Рассмотрим соотношения (1.2.11) как уравнения относительно Q и воспользуемся методом последовательных приближений. Положим
以。)=0,白俨= g& — YMCST),
(1.2.12)
Покажем с помощью индукции, что deg adn、》n. Начало индукции при /г=1 очевидно* Далее
或)=% 0D) - % ©D) = Y& ©f) — Y比(g"f + 小7).
Ввиду того что degyh》2, отсюда следует, что
deg а£)》min deg 质”一* + min deg a?f.
Из (1.2.12) следует, что deg 装⑻=1 при s》l. Поэтому, учитывая предположение индукции, находим, что deg си(")ж，・ Ввиду нильпотентности gk отсюда следует существование такого п^, что a/t(")= 0 при п>и0- Другими словами, последовательность 纟⑺ стабилизируется: ££)= £?+" при ns>n0- Таким образом, МУ является решением системы уравнений (1.2.11). Очевидно, что g£°) полиномиально выражаются через g^. Покажем, что ЙГ“ = С” Пусть % =逗一贺.Тогда
afe = Ya (切叫—Yfc (С) = Ya & — G — Nk (£)•
Отсюда, повторяя прежнее рассуждение, находим, что если а#。，т。 deg%》1 + mindeg а,, что невозможно. Следо-
вательно, а = 0 и тем самым элементы gk служат системой образующих в Ад. Первое утверждение доказано.
Отметим, что одновременно мы получили следующее важное свойство систем образующих. Пусть & — канонические образующие и S ——некоторая произвольная система образующих. Система S содержит подсистему {%}, состоящую из q элемент тов, которые связаны с 施 соотношениями вида (1.2.8). Отсюда второе утверждение теоремы следует очевидным образом.
Рассмотрим теперь более подробно канонические системы образующих.
Теорема 1.2. Пусть 怎} — система канонических образующих г. а. Справедливы следующие утверждения.
Набор нечетных по отношению к 蚤 элементов тре'А條，…，％), i— 1, 2,q, в том и только в том случае служит системой канонических образующих Aq, если nt связаны с ^г согласно формуле
% = W 屮注矗 + %•, det II 屮法 ||* 0, dega,》3.(1.2.13)
Произвольный набор элементов т]г, i= 1, 2,..., q, в том и только в том случае служит системой канонических образующих Ад, если iji следующим образом связаны с 嬴：
5 =装(]+n)，(1.2.14)
где 倡} — система нечетных по отношению к 扇 канонических образующих Aq и ц ——нечетный по отношению к ^ элемент.
Доказательство. Первое утверждение очевидным образом следует из теоремы 1.1. Перейдем ко второму утверждению *.
Элементы вида (1.2.14) очевидно являются системой канонических образующих. Обратно, пусть {гр} — некоторая система канонических образующих. Запишем их в виде 小=备+已，где JaiAq, &в°Ад, причем deg 仇＞1. Согласно теореме 1.1 элементы 备 составляют систему нечетных образующих по отношению к системе {&}. Ввиду нечетности эти образующие являются каноническими, следовательно для любых i и 7
i]iTlj+,nj1li = 2(^0j+^0i) =°・(1.2.15)
При i—j отсюда следует, что & = £山 с некоторым 阳三'Aq.
Лемма. Существует элемент це^^ такой, что для любого i U=|ii+CAi с некоторым 脑巨Aq.
Так как 仇=窗卩，отсюда вытекает (1.2.14). Поэтому остается проверить лемму. Применим индукцию по д》2. Из (1.2.15) мы
находим, что ^i^j(fii—出力=0, следовательно для любых i#/ мн имеем
ц(一因=第大+方乂(1.2.16)
с некоторыми 九，хеЛд. В частности, имеем что щ—^Л = цг+СгХ- Это доказывает лемму при д = 2.
Пусть(?>2. В силу индуктивного предположения существует элемент ^ такой, что {1'=山+丛入；при i=l,..., q—1. Из (1.2.16) вытекает, что ^—|1口 = £认并0乂“ откуда при любых i, j<q
^Ai-5尸备的一X/) -(1-2.17)
Пусть Xt элемент Ag-i, полученный из 儿 отбрасыванием членов, содержащих Q. Из (1.2.17) вытекает, что ^Xi — ^j при i, jVg. Отсюда следует, что ^i = ^t- ... -^-ь где Ло ——константа, не зависящая от /. Поэтому !.iz—^3 = Хо^ • -. -^-г —Eq*, т. е.
林'一入og，gqT=Mq_QX.
Обозначив этот элемент через ц, мы завершим доказательство леммы и теоремы.
Следствие 1.1. Пусть 位力}——некоторая система канонических образующих г. а. Л, iie^Afgi,..., ^). Рассмотрим пространство ，，“А, состоящее из элементов вида
f(l+M)，felA(^i, ^м).
Пространство "达 совпадает с пространством нечетных элементов по отношению к некоторой системе канонических образующих. Обратно, пространство нечетных элементов по отношению к любой системе канонических образующих может быть получено из【А(氢，…，晶)указанным образом.
Оба утверждения являются очевидными следствиями (1.2.14).
Автоморфизм четности. Пусть °Л, %_ — пространства четных и нечетных элементов г. а. Л по отношению к некоторой системе канонических образующих.
Определим в Л линейное преобразование А, положив для однородных элементов
А『=(_1)а ⑺ J.(1.2.18)
Из (1.2.5) следует, что А является автоморфизмом Л. Автомор-1 физм А обладает следующими очевидными свойствами:
i) А2=1, где 1 ——тождественный изоморфизм, ii) Af = f тогда и только тогда, когда f三喧.
Произвольный автоморфизм, обладающий этими свойствами, будем называть автоморфизмом четности. Докажем следующее важное утверждение.
Теорема 1.3. Пространство собственных векторов автоморфизма четности с собственным значением, равным —1, совпа-
дает с пространством нечетных элементов по отношению к не* которой канонической системе образующих.
Доказательство. Пусть {|J — некоторая каноническая система образующих, п$ = А&. Согласно (1.2.13), (1.2.14)
% = G(1 + D ® = Е&/Л + ”，deg&》3,(1.2.19)
где к，5 — нечетные по отношению к ^ элементы.
Рассмотрим элемент 必=善(J + %). Заметим, что Агр£ = =ipt ввиду того, что А2= 1. Согласно свойству ii ) отсюда следует, ЧТО 1рг = °Л.
С apyroii стороны, согласно (1.2.19)
电—~ (J + W aik 康)Н—~ Р/, deg р,》2.
Так как °Л состоит из четных по отношению к 蔡 элементов, отсюда следует, что aik^—6ik и что р^\. Но 「{ = £山点用十 -{-о?•出十Оз Элемент ое нечетен по отношению к *, в то время как все остальные слагаемые являются четными. Следовательно, в = 0,
小=一扇 U+n)・(1.2.20)
Положим теперь
屮/ = у & 一 Q)=昌卜 + -yj.
Согласно теореме 1.2 элементы (рг- составляют систему канонических образующих. Очевидно, кроме того, что А<р? =—，中工
Обозначим пространство собственных векторов автоморфизма А с собственным значением 储=—1 через Л-. Из включения <Рг^Л~ следует, что ^(cpi, <рд) сгЛ-, С другой стороны, оба этих пространства iA((pi,...,屮 J и Л~ дополняют °Л до Л. Спе- довательно, ^\(411,...,(рд) =А~.
Следствие 1.2. Пространство 】А, обладающее свойствами 1)—3), перечисленными в конце п. 1, совпадает с пространством всех нечетных элементов по отношению к некоторой системе канонических образующих.
В самом деле, определим оператор А ： Af = f при fe°A, Af =——f при f^A. Из свойств 1)—3) следует, что А является автоморфизмом четности.
Автоморфизм грассмановой алгебры. Теорема 1.2 позволяет описать все автоморфизмы г. а. Б самом деле, пусть Т ——некоторый автоморфизм г. а. Л. Очевидно, что Т переводит каноническую систему образующих в каноническую систему образующих. Обратно, если заданы две системы канонических образующих {畳} и {п» г. а. Л, то по ним может быть построен автоморфизм Т, такой, что『占尸酬，причем автоморфизм Т этим свойством однозначно определен. Таким образом, .формулы (1.2.13), (1.2.14), описывающие пары систем канони-
ческих образующих, одновременно описывают также все автоморфизмы грассмановой алгебры.
Автоморфизмы г. а. Л образуют группу, которую мы обозначим Aut(A). Фиксируем автоморфизм четности А. Через А,1Л обозначим подпространство Л, состоящее нз собственных векторов оператора А с собственным значением ” 一1. Напомним, что согласно теореме 1.3 пространство А^Л состоит из нечетных элементов по отношению к некоторой системе канонических образующих. Через Auti (Л) обозначим подгруппу Aut(A), оставляющую пространство А, 'Л инвариантным. Пусть £.巨 ~ 认— канонические образующие Л. Через Autl (А) обозначим подгруппу Aut(A), состоящую из автоморфизмов вида
7Е，= ^(1 +"(三))，卩阳三 a,]a.(1.2.21)
Отметим некоторые свойства этих групп.
Из (1.2.14) следует, что каждый автоморфизм Т巨Aut(A) представим в виде произведения 丁二储厶 厶曰 Aut\ (Л), Т2 е 三 Aut*(A). Легко видеть, что это представление однозначно.
На четные элементы автоморфизм (1.2.21) действует тождественно; это следует из тождества
7 %晶)=£(1 + y)电(1 +m=日爲0 一⑴(1十卩)=时2.
Из того же тождества следует, что на нечетные по отношению к 备 элементы автоморфизм (1.2.21) действует согласно формуле
(")(»=『⑶(1 + 卩阳).(1-2.22)
Группа Aut^ (Л) коммутативна и изоморфна А>1Д как группе по сложению: из (1.2.19) следует, что
ЛЫг= Т1& ( 1 +Н2(^) )=^(1 +М2偌)+山偌))•
Группа AutJ. (Л) является нормальным делителем Aut(A).
Группы Aut^ (Л) и Aut^ (Л), отвечающие различным автоморфизмам четности, сопряжены.
Свойства 5) и 6) следуют непосредственно из определений групп Au% (А) и Aut^ (Л).
Множество элементов Aut (Л) вида
Т& = &+〃(Е), deg 辽》小
образует нормальный делитель Aut (Л), который мы обозначим Autn(Л). В отличие от групп Aut%(A) и Aut^O он не завнснт от выбора автоморфизма четности.
Перейдем к индивидуальным автоморфизмам. Пусть Т三Aut(A) и {电} — некоторая каноническая система образующих. Согласно (1.2.13)
丁痂=£也忐 + %., det II 电％ |[* 0, deg а,》2.(1.2.23)
Автоморфизм 兀：
7\扇=£r虑к
называется главной линейной частью автоморфизма Т, матрица Чг= ll^isll ——матрицей главной линейной части.
В другой системе образующих {г)г} автоморфизм (1.2.23) задается аналогичной формулой с заменой матрицы 屮=口屮"」| матрицей 4f =||屮氾||储 Легко видеть, что матрицы 4fH 中 сопряжены: 中=С4fС-|, где С ——матрица главной линейной части автоморфизма U, переводящего систему 畳 в систему 山：U* = =鹏=£(;注厶+仇，deg pj>2. Если в формуле (1.2.23) элементы а^ = 0, то автоморфизм Т называется линейным в системе образующих {^i}. Автоморфизм Г называется полупростым, если существует система образующих, в которой он линеен. Укажем простой достаточный критерий полупростоты автоморфизма.
Теорема 1.4. Пусть матрица главной линейной части автоморфизма Т приводится к диагональной форме и ее собственные числа At удовлетворяют условиям
儿 ^ 九厶•…九/泌+1’ J； < • • ♦ < ,2&十i,々 = 1,2,...; (1.2.24)
力九/1 ...储泌+i ,，!.<•••< ,2比+i, k = Q, 1, ....(1.2.25)
Тогда автоморфизм Т полупрост.
Если Т三Au t； (А) при каком-нибудь автоморфизме четности А, то для полупростоты достаточно условия (1.2.24).
Доказательство. Так как матрица главной линейной части автоморфизма Г приводится к диагональной форме, то в подходящей системе канонических образующих он имеет вид
Т£・=&■& + ui (^)) (1 + М- (2)), %,卩三丛(±i，…，扇)，deg % > 3.
Рассмотрим образующие
中=*+方(自)，方三1A(兔，…，晶)，deg(2j = deg ийэлементы а； определим явным образом позже. Заметим, что訳=%—а"т])+аз deg ai>deg а：.
Отсюда следует, что в образующих 中 автоморфизм Т имеет вид
T山 =[儿• (% 一 % S))十辽/(n)+ Z (大切 + 咽 а + f)， гДе deg уг> deg 辽 н 九叮 означает набор элементов 筋п〕，Аг^г, ••• Определим аг(т|) из условия
脑 &(т1)—& (М]) =〃£(").(1.2.26)
Уравнения （1.2.26） разрешимы в силу условий （1.2.24）. Таким образом,
^1=（入Et+场）（1十卩），deg и：＞deg «г, продолжая этот процесс, мы через конечное число шагов придем к образующим К таким, что
7友=储备（1+口）.
Положим
® = &（】+、售）），
где v（^）е1Л（£） мы определим из уравнения
V 隽）7 侬）=N也）.（1.2.27）
Уравнение （1.2.27） разрешимо в силу условий （1.2.25）. В системе образующих ＜рг автоморфизм Т линеен:
г（рг = л!фг （^—" （中）+、（九屮）+ m＜（中））=储中3
Антиавтоморфизмы грассмановой алгебры. Антиавтоморфизмом ST называется отображение алгебры в себя со свойствами:
i）矿（廿+卩8）= ^7 + 口/4
ii）矿（fg） = ^g夕7,
iii）夕2 - T,
где 入，卩一числа, Т — обратимое отображение алгебры в себя. Из свойств i）, ii） и обратимости следует, что отображение Т является автоморфизмом алгебры. Легко видеть, что образ канонической системы образующих г. а. при антиавтоморфизме также является канонической системой образующих.
Для нас в дальнейшем особую роль будут играть антиавтоморфизмы с единичным оператором Тис оператором Т, являющимся автоморфизмом четности. Эти антиавтоморфизмы мы будем называть соответственно инволюцией 1-го рода и инволюцией 2-го рода. Для них мы применим специальное обозначение: 歹/ = /*. В случае, если автоморфизм 7=歹2 полупрост, для антиавтоморфизма 歹 существует каноническая система образующих, в которых он записывается линейно.
Теорема 1.5. Пусть 5r — антиавтоморфизм г. а. Л, обладающий тем свойством, что автоморфизм 7=歹2 полупрост. Тогда в Л существует такая каноническая система образующих ｛占3 что
歹短=£а 喈 а.（1.2.28）
Если, сверх того, матрица главной линейной части автоморфизма Т приводится к диагональной форме, то образующие & можно выбрать так, чтобы матрица ||а说|| была вещественной, （По-
следнее утверждение имеет смысл лишь для комплексных г. а.) Доказательство. Пусть {&} — система канонических обра
зующих, в которых автоморфизм Т=^~2 линеен: 陪=£以占. Так как {乡-后} — также каноническая система образующих, то согласно (1.2.14)
歹自『2a 油(^+^)(1 + h),(1.2.29)
где
det ||а,无 И Н °, %,卩三丛阳,deg %〉I.
Рассмотрим в Л вспомогательный антиавтоморфизм f->f, определяемый равенствами
冒=£生" &十 %).(1.2.30)
Роль этого преобразования состоит в следующем: если f — не， четный относительно ^ элемент, то f обладает тем же свойством и, как легко видеть,
歹Ши).
Вернемся к (1.2.29) и воспользуемся соотношением ^2=Т:
7X = W%.& = W£E(1+n)ST/ + %) =
=w/e(1 + m (1 + 卩))[£ 義$ & 十 5)(1 + 卩)+ %(1 + n)]=
=£ a法 £ &s (&s + J 十 W a$r。/) (1 + 卩一卩)，
где Gt, ц имеют смысл, объясняемый равенством (1.2.30) и llast|| = Hahsll-1. Приравнивая члены 1-й степени по 蚤，получаем отсюда, что Uin=ZaiSasn. Учитывая это соотношение, окончательно получаем
Е, =(痂十 % + 2 а“0)(i + 卩-卩).(1.2.31)
Отделим теперь в (1.2.31) четные и нечетные по * члены:
(& + о,. + W а^^ (р — р) = 0,
(1.2.32) 立 + e% /% = 0.
Рассмотрим новые образующие
小=昂+a"(1.2.33)
где * — пока неопределенные нечетные элементы, deg ai>3. Применяя антиавтоморфизм 歹 к 刀“ получаем
尹％ = 5rb 十夕a； =SaM (^rt + aR) (1 + ц) +
十 & (1 + 卩)=2 агп (% 十&) (1 + у).
где
& =色一％• + ^air^n.(1.2.34)
Положим 电=」-。八 Из второго равенства (1.2.32) следует, что о，= 0. Таким образом,
歹 T]i = SainT|n(l + |i).(1.2.35)
Рассмотрим вспомогательный антиавтоморфизм ff £ аналогичный (1.2,30):
r|z = 2а/плл.(1.2.36)
Заметим, что 歹g = g(l十卩)для любого нечетного элемента g. Условие 多2= г приводит к соотношению, которое получается
из 1-го равенства (1.2.32) при 扇=小，at = s = 0,卩=体：
(1.2.37)(1.2.37)Q （卩一口）= 0-
(1.2.37)
(1.2.37)
Так как это соотношение справедливо при всех (, из него сле
дует, что
卩=卩 + oil(1.2.38)
где q — число канонических образующих (с = 0 в случае четного д). Положим теперь 装=用(1十卩/2). Образующие 盘 являются искомыми:
О
夕圆=夕(1 h --j 歹 Ob) = (1 十 ^*(1 + n))2 a法% (1 + n)=
-ea/% (1 + "一"^") = £aik^k ^ + -y-
=2生也卜(1一^) 0 + ^j =E2(1.2.39)
Перейдем ко второму утверждению теоремы. Заметим, что если антиавтоморфизм 炉 имеет вид (1.2.28) в канонической системе образующих {自?}, то он имеет аналогичный вид в любой системе образующих (п»， линейно связанной с {*}. При этом если в системе {*} автоморфизм задается матрицей А = ||а^||, то в системе {nj ——матрицей В =： С^АС, где С ——матрица перехода от системы {&} к системе {小}:員=£，泳巾.Поэтому для завершения доказательства теоремы осталось убедиться в справедливости следующего утверждения.
Лемма 1.1. Пусть 4 ——комплексная квадратная матрица со свойствами: 1) det Л 5^0, 2) матрица U=AA приводится к диагональной форме. Тогда существует такая комплексная невы-
рожденная матрица С и такая вещественная матрица W, что Д = CWC~~.
Доказательство. Рассмотрим матрицу U = ЛД. Она обладает следующими свойствами: 1) согласно условию U = XEX-1, где Е — диагональная матрица; 2) коэффициенты характеристического многочлена матрицы U вещественны; 3) det U= |det А |> >0. Из первых двух свойств следует представимость матрицы U в виде U= УУУ1-, где V—вещественная матрица. Из третьего свойства следует, что det У>0. Из этих свойств матрицы V вытекает, что из V извлекается квадратный корень в классе ве щественных матриц V= 1Г2, где W — вещественная матрица Итак,%4 = У步2y一1. Положим теперь
C=YW^^AYl,(1.2.40)
где 10 J = 1 — комплексное число. Число 0 выберем из условия det С*0. Очевидно, что это всегда можно сделать. Далее：
AC = AYWQ + ИГуТуе = (АУ0 + ЕГО) W = CW, (1.2.41)
что эквивалентно доказываемому утверждению.
Из теоремы 1.5 вытекает ряд следствий, касающихся инволюций.
(1242)(1242)Следствие 1. Пусть Aq — вещественная г. а. с инволюцией 1-го рода. В Ад существует каноническая система образующих *, на которые инволюция действует следующим образом:
(1242)
(1242)
с инволюцией I-го рода. В А。существует система канонических образующих 倡}, инвариантных относительно инволюции:
勺=嘉.(1.2.44)
При четном g в Ад существует каноническая система образующих $з 屮£, \wiwq2 на которые инволюция действует следующим образом:
屮：=屮"屮;П总(1.2.45)
Доказательство. Прежде всего, так же как в вещественном случае, устанавливаем существование канонической системы образующих {*} со свойством (1.2.42). Затем полагаем ^ь = ^ при 克&$,氐=正目 при 木>s, где i=y——l. При четном q полагаем
m=蠢 + ®。,,,恥=J一化(7 ,., 1 <^<g/2.
——十々一*十在
22
Следствие 3. 1) Инволюция второго рода в г. а. Лд существует только при четном q.
2) Пусть Л? — г. а. с инволюцией 2-го рода 歹'.Тогда в Ад существует каноническая система образующих 中月，叩占，I <Л< <д/2, на которые инволюция действует согласно формуле '
，% =我，夕必二一仇•(1.2.46)
Доказательство. Пусть в А。существует инволюция 2-го рода. Обозначим через {&} каноническую систему образующих, на которые инволюция действует согласно формуле (1.2.28) с вещественной матрицей 4 = ||а^||. Заметим, что А2 = 1. В самом деле, матрица В—А2 является матрицей главной линейной части автоморфизма четности А=^. Поэтому 8?=/. Если В*——7, то, следовательно, у В имеется собственный вектор s=(6[, .... $g) с собственным значением 入= + 1: Sk = ^bkiSi. В этом случае элемент J=£s& инвариантен относительно автоморфизма А и, следовательно, четен, что невозможно.
Итак,力2=—/. Следовательно, собственные числа А равны 士，. Ввиду вещественности А кратность собственного числа & = =i должна совпадать с кратностью собственного числа 入=—j. Поэтому число 7 должно быть четным.
Заметим, что из условия Л2=—/ следует, что матрица обладает полной системой собственных векторов. Пусть Т ——клеточно-диагональная матрица порядка q
Матрица Т обладает, подобно матрице Л, полной системой собственных векторов, ее собственные числа равны 士i, причем
кратность собственного числа A=i равна кратности собственного числа 入=—i. Поэтому существует обратимая комплексная матрица С、такая, что
А = СТС~\ (1.2.46')
Ввиду того что матрицы Л и Т обе вещественны, из существования комплексной матрицы С со свойством (1.2.46') вытекает существование вещественной матрицы с тем же свойством L Отсюда, в свою очередь, нужное утверждение следует очевидным образом.
Подалгебры и факторалгебры грассмановой алгебры. Г. А. обладает значительным количеством разнообразных подалгебр. Наиболее существенными являются следующие два типа.
Подалгебры А«), состоящие из элементов /еА, удовлетворяющих условию deg>s. Все они являются идеалами.
Подалгебры, которые сами являются грассмановыми алгебрами, и идеалы, факторалгебры которых являются грассмановыми алгебрами.
Из идеалов 1-го типа важнейшим является идеал А⑴，состоящий из всех нильпотентных элементов алгебры Л. Если Л= =А(К) является алгеброй над К, то факторалгебра А/А。) изоморфна К. Гомоморфизм Л(К)->К обозначим через т. Он играет в дальнейшем фундаментальную роль. Если элемент /еЛ записан с помощью некоторой канонической системы образующих в виде (1.2.2), как функция антикоммутирующих переменных, то гомоморфизм m записывается формулой
伍⑺=f(O)=fo, (1-2.47)
где % — слагаемое в правой части (1.2.2), отвечающее 左=0. Очевидно, что m является единственным гомоморфизмом Л (К) в К, кроме нулевого (т. е. гомоморфизма ф, что 屮(f)=0 при всех 片А). Другими словами, /(0) является единственным численным значением, которое может принимать функция от антикоммутирующих переменных. В этом проявляется принципиальное различие между обычными функциями и функциями от антикоммутирующих переменных.
Перейдем ко второму типу. Введем следующее важное понятие.
Элементы 自^曰人屮 i— 1, 2, ..., swg, называются независимыми, если порождаемая ими и единицей подалгебра изоморфна грассмановой алгебре As.
Очевидно, что любое подмножество системы канонических образующих состоит из независимых элементов. Обратное не
Пусть C=,Ci + iC?. Из (12@&) следует, что ACi = CiT и АС^=С^. Полагая 6(入)=&+入5, находим, что ДС(А) =С(Л)Г при любом Л. Выбирая X вещественным и удовлетворяющим условию det С(Х) =/=0, получаем нужное утверждение.
верно: в грассмановой алгебре Aq при ^^>2 легко указать независимые элементы, которые нельзя включить ни в какую каноническую систему образующих.
Пусть теперь грассманова алгебра As служит гомоморфным образом Ад. Через ср : Л9->Л5 обозначим соответствующий гомоморфизм и через N — идеал, состоящий из элементов, обращающихся в ноль при гомоморфизме <р.
Теорема 1.6. 1) Идеал ^ порожден независимыми элементами T|i,..., т|а_8, которые могут быть включены в каноническую систему образующих.
) Пусть |ь ...» 自s ——элементы, дополняющие r|i, ...,t]7_s до канонической системы образующих. Их образы 储=屮(&) служат каноническими образующими в Л5.
Заметим, что действие гомоморфизма <р на элемент / состоит в следующем: если
f ⑴九. h-k +
+ £££ 加……£(1248)
々Z>o厶ik
то
@力忘)="百,。)=£ e加,…3,…鼠• (1248，) 也 £ I,…•"走
В частности, существует естественный изоморфизм между фак- торалгеброй и подалгеброй, порожденной элементами *. Поэтому эти алгебры могут быть отождествлены.
Доказательство. Пусть {&} — некоторая система канонических образующих Ад,蚤=屮(盲)三А§ — образ ^ при гомоморфизме ф. Очевидно, что набор элементов 3 служит системой образующих в Xs. Согласно теореме 1.1 из него можно выделить s элементов, также служащих системой образующих в Л5. Пусть для определенности это ^, .... ^s.
Ввиду того что <р — гомоморфизм, & удовлетворяют тем же соотношениям (1,2.1), что и *, следовательно, &, ..., & служат каноническими образующими э 0ь 〜
Пусть Ад⑴uAg, AC)suAs — пространства однородных элементов 1-й степени в смысле deg по отношению к образующим &®Ад и &wAs соответственно. Заметим, что 屮(Ад⑴)=Ау⑴ и что dim &『)=‘，dimAsO)=s. Следовательно, в А⑴田 должно существовать подпространство размерности q—s, аннулируемое отображением <р. Обозначим это подпространство N⑴尸，под-
пространство, порожденное образующими 邑，…，Ь» обозначим As⑴.Очевидно, что эти подпространства не пересекаются и, следовательно, их прямая сумма совпадает с Лд(1). Введем в №3-$ каким-нибудь образом базис, обозначим его ”з，=1, 2, q—s. Очевидно, что совокупность элементов gi,...,自$,⑺， Пдт образует каноническую систему образующих в Ад. Поэтому любой элемент Ад представим в виде (1.2.48). Ввиду того что 中(原)=皆，<р(т]/) =0, гомоморфизм ф на произвольный элемент f действует согласно формуле (1.2.48х). Таким образом, элементы 巾 служат образующими идеала N. Первое утверждение доказано.
Пусть теперь 备，i=l, 2, ..., s, — произвольные элементы, которые в совокупности с ” составляют каноническую систему образующих Ад. Запишем элемент f через 备，刀/. Аналогично (1.2.48) и применим гомоморфизм <р. Элемент 屮⑴ выразится через 备=中(装)аналогично (1.2.48). Ввиду того что любой элемент As представляется в виде <p(f), fwAq, отсюда следует, что 备 служат системой образующих в Л5. Так как их число равно .5 и они, подобно ti, удовлетворяют соотношениям (1.2.1), то, следовательно, образующие 書 являются каноническими.
. О понятии «четность». Некоторые терминологические соглашения. Мы будем говорить, что в г. а. Л фиксирована четность, если в ней указано подпространство 'Л, состоящее из нечетных элементов по отношению к некоторой системе канонических образующих.
Как было показано в п. 4, каждое пространство нечетных элементов однозначно связано с некоторым автоморфизмом четности А: оно состоит из собственных векторов А с собственным значением, равным —1.
Таким образом, задать четность можно, фиксировав автоморфизм четности. Четность является важнейшей дополнительной структурой г. а.
В г. а. с фиксированной четностью элементы пространства !Л, определяющего эту четность, называются нечетными, элементы пространства °Л называются четными. Во всех встречающихся в дальнейшем грассмановых алгебрах четность считается фиксированной, канонические образующие всегда нечетны. Оговорок по этому поводу не делается.
Четность грассмановой алгебры является частным случаем более общего понятия четности. Приведем его. Пусть L — некоторое линейное пространство, в котором фиксированы два непересекающихся лодпространства, такие, что L является их прямой суммой: £=% Ф L Линейные пространства с такой До по л ни те льной структурой называются Z2 - гр а дун ров а нн ы м<и, элементы пространств 叱 и 忆 называются однородными. Мы будем говорить, что в Za-rp а дуй ров а н ном (пространстве фиксирована четность, если одно из подпространств объявлено чет-
ным, другое ―1 нечетным. Элементы этих лодпространств называются в таком случае соответственно четными и нечетны* ми. Для однородных элементов вводится функция четности
& 仍если f четен,(1.2Л9)
если / нечетен.
Суммы вида a(f)+a(g) понимаются по mod 2.
С нюмощью функции четности 'вводится линейный оператор А: для однородных элементов
Af=(—1)叫，(1.2.50)
на элементы общего вида оператор А распространяется по линейности. Очевидно, что А2 = 1.
Оператор А, будучи линейным и обратимым, является автоморфизмом 丄 как линейного пространства. В случае, если пространство £ не обладает дополнительными алгебраическими структурами, четность в нем можно ввести двумя способами: каждое из подпространств °L и }L может быть объявлено четным или нечетным. При наличии дополнительной структуры всегда будет требоваться, чтобы оператор А был ее автоморфизмом. Эго требование может уничтожить симметрию между °L и 】L. Случай, когда L=A, служит примером такой ситуации (дополнительной структурой служит умножение в А). В случае, если в 72-градуированном линейном пространстве L=°L ㊉〔厶 фиксирована четность, индекс 0 всегда в дальнейшем будет приписываться четному подпространству, ^индекс 1 — нечетному.
Пусть L, М ——/2-градуированные линейные пространства с фиксированной четностью. Гомоморфизм Г\L-^M называется градуированным, если он сохраняет четность элементов: Жс2°М, FLu'M.
§ 3. АЛГЕБРЫ A(U)
Ф у н к ц и и со значениями в грассмановой алгебре. Пусть Е — (произвольное множество, Л )— грассманова алгебра над К, ЛЕ ——алгебра всех функций на Е со значениями в Л. В дальнейшем нам встречается главным образом, случай, когда Е является бесконечно дифференцируемым многообразием. В этом случае в Ае существует подалгебра, которая состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций на Е со значением в Л. Эту подалгебру обозначим А(Е).
Пусть 伯} — система канонических образующих Л. С ее помощью каждый элемент /еЛЕ может Выть записан ;в виде
『 =『(%,日=£ £ 加％(» &，… 林，(1-3.1). 々N。 А»*г ч^
где xwE, f*〃(х) — вещественно- или комплекснозначные функции на Е, в зависимости от того, вещественной или комплексной является алгебра Л. В случае, если Е .— бесконечно дифференцируемое многообразие и /еА(Е), функции fu,...,ik бесконечно дифференцируемы. Функции fz>,...,；*, если противное не оговорено, будут всегда считаться антисимметричными по отношению к индексам “，…，必
В алгебру Л(Е) естественным образом «водится понятие сходимости: последовательность %мА(£) сходится к 々А(Е), если все коэффициентные функции элементов f“, fn,il,...,ikt вместе со всеми своими производными сходятся к соответствующим коэффициентным функциям и их производным равномерно на каждом компакте FuE. Легко видеть, что хотя сами коэффициентные функции fn,iik, fh,...,ik зависят от выбора канонической системы образующих в Л, определение сходимости от этого выбора не зависит.
Аргумент Е в выражении f(x,己)символизирует систему образующих {gj, использованную для записи f в виде (1.3.1). В дальнейшем, однако, мы придадим этому аргументу менее формальный смысл.
На алгебры Лк переносятся понятия четности и степени элементов, имеющиеся в г. а. Л.
Элемент /еЛЕ называется четным, если f(x) е°Л и нечетным ―■ если f(x)е'Л при каждом xwE.
Другими словами элемент f четен, если в правой части (1.3.1) присутствуют слагаемые только с четными kt и нечетен ——если только с нечетными k. Как четные, так и нечетные элементы называются однородными в смысле четности. Для однородных в смысле четности элементов определена функция четности a(f) в соответствии с общей формулой (1.2.49). Отметим, что множество четных элементов ЛЕ совпадает с (°Л)£, множество нечетных элементов — с ('Л)^, где ® соответствии с общими обозначениями (°Л)£, (丛严 означают множества всех функций на £ со значениями в °Л и *Л соответственно. В случае, есл・н £ — бесконечно дифференцируемое многообразие, подмножества (认产 и ('Л)^ состоящие из бесконечно дифференцируемых функций, будем обозначать °А(£) и 】А(Е) соответственно.
Степенью /еЛ^ будем называть число degf = min degf(x).
Пусть m, n — неотрицательные целые числа. Через (ЛЕ)т>л будем обозначать множество, состоящее из всевозможных наборов т четных .и к нечетных элементов
Л£: (А(х), ..., /т(х), 0(%),…，<рп(х))е(ЛЕ)т+л, а (Л) =0,а (<р；) == 1.
В (Ае)е，п естественным образом определяется операция 'Сложения, а также операция умножения элементов (Л£)m-n на элементы (丛严 со свойством дистрибутивности. Таким образом,
(ЛЕ)т'п является модулем над (°А)Е. В случае, если f — бесконечно дифференцируемое многообразие, подмножество (АЕ严％ состоящее из наборов бесконечно дифференцируемых функций 力(*), ф/(х), будем обозначать Ат>п(Е). Очевидно, что 人^储(£) является модулем над °А(Е).
Пусть КЕ ——алгебра всех функций на Е со значениями в К. Обозначим через т:ЛЕ-*КЕ гомоморфизм
m(f)=m(/) (x)=f(x, 0) =/“％),(1.3.2)
где % (%) — слагаемое в (1.3.1), отвечающее k=Q.
Отметим, что если £ — бесконечно дифференцируемое многообразие, то образом А(Е) при гомоморфизме (1.3.2) служит не вся КЕ, но ее 'Подалгебра 加(Е), состоящая из бесконечно дифференцируемых функций. Зафиксировав в (1.3.2) точку х=а, мы получим гомоморфизм ЛЕ в К:
读。(f) =m (f) (а) = *о(а).(1.3.3)
Можно показать, что если Е — бесконечно дифференцируемое многообразие, то всякий гомоморфизм ц:Л(£)->К имеет вид (1.3.3). Таким образом, существует взаимно-однозначное соответствие между точками многообразия £ и гомоморфизмами А(Е) в К
С гомоморфизмом (1.3.2) тесно связано понятие спектра набора элементов ЛЕ.
Пусть fi, .... f« -— некоторый упорядоченный набор элементов ЛЕ. Спектром этого набора называется множество в пространстве R" в вещественном случае или в С" в комплексном случае, пробегаемое вектором:
f(*) = (m(/i)(x),…，m(f„) (x)),
когда x пробегает Е.
Спектр упорядоченного набора элементов /ь ..., f“ обозначается spec (厶，...» fn).
Гомоморфизмы ограничения. Пусть М — бесконечно дифференцируемое многообразие,匕 U — открытые подмножества Л4, причем 1/uU и функция /(x)^A(Uj, рассматриваемая только при x^V, называется ограничением f на V. Очевидно, что ограничение f на V является элементом А (У). Таким образом, сопоставляя каждому элементу fw・A(U) его ограничение на V, мы получаем отображение A(U) в Л(V). Это отображение обозначим pF• Очевидно, что
囲(a / + 3 g) = a" / + 毗 g,砂他)=词，收(g),
где а, В — числа. Следовательно, pg является гомоморфизмом алгебр. Гомоморфизм р$ мы будем называть в дальнейшем стандартным гомоморфизмом ограничения.
Отметим, что если fwA(U) имеет вид (1.3.1), то pg f имеет аналогичный вид, коэффициентные функции 方工续(х) в обоих случаях одни и те же. Разница состоит лишь в том, что в первом случае аргумент х пробегает все множество U, во втором，一 подмножество V.
Заметим, что гомоморфизмы pg обладают следующими свойствами：
pg является тождественным изоморфизмом;
если 呼 и V и U, то 乐=裾砂；
пусть {Ua} — покрытие U областями U^.U =\}Uа, тогда:
если для некоторых 厶 gwA(U) справедливо равенство
或j=吼8, Tо/ = g；
если в каждой алгебре Л (Ua) имеется такой элемент fa,4TO 。0!
р嚣 nuja =0睡(106布，то в алгебре Л (U) существует такой элемент f, что % =碍 f；
гомоморфизмы р$ сохраняют четность.
Всякое семейство гомоморфизмов алгебр A(U)f А(У), обладающее этими свойствами, называется семейством гомоморфизмов ограничения.
Используя гомоморфизмы pg можно построить много других семейств гомоморфизмов ограничения с помощью следующего приема. Фиксируем для каждой алгебры A(U) некоторый изоморфизм Ту, сохраняющий четность, и положим
ру = 7у1 砚 То.(1.3.4)
Легко проследить, что гомоморфизмы pg удовлетворяют всем требованиям 1)—4).
Пусть but/ и p：A(U)fA(lO — произвольный гомоморфизм.
В случае, если g=pf, элемент g мы будем называть ограничением (относительно р) f на 忆 соответственно элемент f будем называть продолжением (относительно р) g на U. Если 典=pg — стандартный гомоморф>изм ограничения, то g будем называть стандартным ограничением f, соответственно / — стандартным продолжением g.
В случае, если UuRp и алгебра Л=Л<7 имеет q канонических образующих, мы будем наряду с обозначением А(Ь) пользоваться также более детальными обозначениями Хр^ (U) или Л(^7(хь ..., л>, &, ..., %), где 修一декартовы координаты в U н Et — образующие алгебры Л^. Эти обозначения прнзва- иы подчеркнуть важную особенность таких алгебр. Как мы увидим ниже, элементы 1, X/, &・，l《i《p, Ivjwg, составляют систему топологических образующих алгебры A(U), причем элементы 修，& играют равноправную роль.
Грассмановы аналитические ф у н(К ц и и. Пусть 力(％, g)wAp,g(U) — четные элементы, t= 1, 2, ..., и. Отделим в 力 слагаемые нулевой степени
fi(X,三)=a")+无(尤，三), degA》2.(1.3.5)
Пусть, далее, g(*), х= (х：г …，％〃)三R", — бесконечно дифференцируемая функция, в область определения которой входит множество spec(“，.... %). Определим суперпозицию g(fi, •••, f”)wAp闯(U) с помощью разложения в ряд Тейлора:
g (fl, • • • г fri) ~ ё (% + 瓦，。口 + Ю =
——Г；；g@,a)
2fe >о吼！0冲…财儿
'(1.3.6)
Сумма в (1.3.6) является конечной в силу нильпотентности h-.
Пусть теперь g®, п)еАе/(»),力“，堂)，<р/(х, g)wAp,g(U), i— 1, 2, ...» tn, j=l, 2,…,n, причем элементы fi, <р/ являются однородными, а(力)=0, a((p/)=I, spec(fi, .... fmju部. Определим элемент g(fi, ..., fm,恥，....山)三 g(f,屮)с mo мощью равенства
g (f,屮)=工 g&,…4 (f 1> • • • > fm) Ф/j • • • Ф/ft, (1.3.7) где ga,...,%— коэффициенты в разложении (1.3.1) элемента g, g;“…山伉，…，Ап) понимается в смысле (1.3.6). Элемент g (力ср) будем называть суперпозицией g и 力，屮八 Вернемся к формуле (1.3.7). Напомним, что всевозможные наборы вида (&,…，fm,叩，....5), где 力，(p/wAp,g(U) образуют пространство, которое обозначается A；『(U). Те из них, которые обладают дополнительным свойством spec(A,…，fm)u步， образуют множество, которое мы обозначим A》；(U, »),
Формула (1.3.7) сопоставляет каждому элементу gM 三Am,"/) функцию на А£兴U,犷)со значениями ® Лр1?(^)- Эту функцию мы будем иногда обозначать Fg,尸g(力 <p)= =g(f,屮)• Подчеркнем, что Fg в отличие от элемента gw wAm,n(會)является функцией в обычном смысле слава, т. е. отображением.
Функции описанного вида буаем иазывать гр ассм ановски ми аналитическими (сокращенно г. а.). Г. а. функции, определенные ・bA^：(U,取)и 'принимающие значения в Xp,q(U), образуют алгебру, которую мы будем обозначать 皱窥(U, W).
Алгебра 額^? (U, W) является подалгеброй более широкой алгебры 弟£'『(U, W), которая состоит из линейных комбинаций элементов 北£『(U, ТГ) с коэфф|иц.иентами из ЛР1(7 (U). Элементы алгебры 用fJ(U, W) будем называть г. а. функциями с грассмановскими коэффициентами.
Алгебра 怨£『(U,助 как линейное пространство распадается в сумму двух подпространств:
甌厂(4取)-。纷窝"(U,/)^)1弊『0，取)， каждое .из них состоит из линейных комбинаций вида
〃 =Е % g", Ф)
с однородными &е ЛР>(7(/7), g^Kmtn (/), при этом и w °^^ (U,W), если а (&•) = а (gj, we 】紡為"(U, W), если a(a£)=^a(g^. Очевидно, что °怨鑑\и,呼)является подалгеброй алгебры 紡需(U, W).
Все рассматриваемые алгебры и пространства играют важную роль в теории (представлений супергрупп.
В случае, если Am/”) и Ap# (U), суперпозицию (1.3.7) можно рассматривать как продолжение функции g, первоначально определенной на элементах %】，...,хт,三厶...» %, где 修一 координаты в W, на произвольный элемент пространства A窜(U,取).
Получаемое таким образом продолжение будем называть грассмановским аналитическим (сокращенно г.а.) продолжением функции g.
Существует значительная аналогия между г.а. функциями и обычными аналитическими функциями, г.а. продолжением и обычным аналитическим продолжением.
Образующие алгебры Ap#(U). Пусть
协(％, Е), %(%, g)eAp,q(U), i=l,/=1,д' — некоторый набор однородных элементов а(у?)=0, а(т)/) = 1. Совокупность у” т]/ будем называть системой образующих Ap,q(U), если:
spec (у 1，, %,) является областью в R₽ .
любой элемент f^AP1q(U) может быть записан с помощью yi,切 в виде, аналогичном (1.3.1):
f = £ £ А\% (%,…，％’) Лц • • •
где 厶]，…,ik — бесконечно дифференцируемые функции, определенные в области spec (%, ... , %,).
Элементы 协，"/ при этих условиях называются соответственно четными и нечетными образующими алгебры Ap,q(U) .
Вещественные переменные х, и образующие 扇 алгебры 儿， с которых мы начали построение алгебры Ap,q(U), служат примером соответственно четных и нечетных образующих.
Пусть Xi, &, Iwicp', Iwjwg', — образующие алгебры 3U)；
玖=уАх，Е) = &(%) + £ £ (%) Es「.・瓦丸， (1.3.8)
% = 1b (尤,？ = £ W；s,(x)自s + £ E W；S1,电“1("屋*…冬 2/2”
1=1, 2,р〃，/ = 1. 2,q",
некоторый набор четных и нечетных элементов алгебры Ap,q(U)・ Найдем условия, при которых этот набор служит системой образующих алгебры Ap>q(U).
Очевидно, что эти условия суть условия разрешимости си* стемы уравнений (1.3.8) относительно х；, &.
Теорема 1.7. Пусть а*(*), <p/；s(x)wAp,g(U) определяются равенством (1.3.8). Для того чтобы набор элементов у〃 т|/ вида (1.3.8) служил системой образующих в Ap,q(U), необходимо и достаточно:
чтобы множество spec(i/i, .... ур"~) было областью в Rp":
чтобы система уравнений
协=% (%), % =(团修'тхр'), %w spec (%], ... , %р，)，(1.3,9)
относительно х была однозначно разрешима при всех J三 三spec(yi,…，ур〃)в классе бесконечно дифференцируемых функций;~
чтобы матрица <р1;л (х) была обратима при всех хе sspec(X],.
При этих условиях образующие %〃 gj выражаются через yi, г|/ согласно формулам
七・=力3 + £ £ fi^t...,S2k (y)x]Si .r]s2ft,
(1.3.10)
务=£Ws(g)7 + v £/№,....s2fe+1(^)^--. 4ft+1,
々>0 sn .. . >s2^+1
причем Xi = fi(y) — решение системы уравнений (139), I応;s(a (元))II — матрица, обратная ||<pt-；s(x) j|.
Доказательство. Пусть элементы yi, п/ служат образующими. В таком случае spec(gi,..., у» является областью согласно определению системы образующих.
Далее, элементы х(, |/ могут быть выражены через 协・,т]/ по формулам (1.3.10) с пока неизвестными бесконечно дифференцируемыми функциями %,九心1 s?及，取;s,屮t；si s?左十丁 Применяя к обеим частям (1.3.10) гомоморфизм т, находим, что х；= = fi(y), где д=(贝，…,0p") 弟="叫,.=a,(文). Следовательно, уравнения (1.3.9) разрешимы и xi = fi(y) является решением этих уравнений. Далее, подставляя 小 из (1.3.8) в (1.3.10), находим, что слагаемое первой степени по совокупности Е$ в правой части второго равенства (1.3.10) имеет вид £ 屮t； s (р)恥沾(х) *•
s
Следовательно, £ 屮七s ®)屮s；及(％) = 6(,а；. Аналогично, подставляя cs s
из (1.3.10) в (1.3.8), находим, что£(р/*(х)5*(р) = М,/г. Приме-
S
няя к этим тождествам гомоморфизм т, получаем, что матрица il(ps；fe(x) [| обратима и что 口2「内(歹)『=Нб沱(无)IL при р； = а；(х).
Перейдем к доказательству достаточности. Подставим (1.3.10) в (1.3.8) и приравняем нулю коэффициенты при Лн -.. T]ift (右〉1) в обоих равенствах (1.3.8). Зная 力匂)и ip(；s(г/), мы получаем рекуррентные соотношения для fi；S1...., S2fe и 2/；si$2為+1・ Эти функции оказываются очевидным образом
бесконечно дифференцируемыми в области spec (%,...必〃). Найдя их, мы выражаем образующие 尤厶 ^ через у” п，・
Замечание 1. Пусть U, V — области в пространствах R。' и Rp" соответственно и f : U f У — отображение. Отображение f называется диффеоморфизмом, если оно обладает обратным 尸(т. е. взаимно-однозначно) и если оба отображения f и 尸 бесконечно дифференцируемы. (Отображение x-^y = f(x) t xwU называется бесконечно дифференцируемым, если координаты yi(х) точки y = f(x)^.V являются бесконечно дифференцируемыми функциями координат xt точки xwU.)
В случае, если U^V, отображение f называется диффеоморфизмом области U.
Таким образом, условие (1.3.9) теоремы 1.1 состоит в том, что отображение х-^а(х) области spec (/, ... , хр<) в spec (勿，...，у^ является диффеоморфизмом. Так как диффеоморфизм сохраняет размерность области, то р' = р〃. Поскольку координаты в U являются четными образующими и их число равно dim U =^ =р, то р' = р〃 = р. Комбинируя это обстоятельство с 3-м утверждением теоремы, получаем в качестве следствия, что во всех системах образующих алгебры Ap,q(U) число четных образующих равно р, число нечетных образующих равно q.
Замечание 2. Переход от одной системы образующих 协，т|/ к другой системе х(,々 может быть осуществлен в два этапа:
%t = Xi(2, С), ^i = ^i,
Z尸у” + = &・(у, г]).
Доказательство очевидно.
Замечание 3. Теорема 1.7 описывает все автоморфизмы алгебр 八办q(U). В самом деле, если у【,川一образующие алгебры &虱 U), причем yi — координаты в U, 7 — автоморфизм, то элементы Xi = Tу(,三/ = 7切 также являются образующими Ap，g(U), причем spec(xb ..., хр) =spec{f/]}..., ур). (Последнее условие очевидным образом необходимо для того, чтобы автоморфизм Т мог быть продолжен с образующих у” г]/ на произвольный элемент f(y, 7)).) Обратно, пусть х(, &, 〃, R/ произвольные системы образующих, такие, что spec(打，…，％)= =spec(i/i, ..., yp) = U. Каждому f (к, g)三Ap,g(U) сопоставим эле* мент (Tf) (%, U =f (у(х, W), т](х, Е)) wAp,g(U). Очевидно, что отображение fiTf является автоморфизмом алгебры A「,g(U).
Другими словами, характерней особенностью автоморфизма является то обстоятельство, что отображение, определяемое формулами (1.3.9), является диффеоморфизмом области U.
Из замечания 2 следует, что каждый автоморфизм Т алгебры A%g(U) представим в виде Т = П『2, где Ту, Т2 — автоморфизмы специального вида:
xi = T1y-^Xi(y, т]), & = 71切=%,
* — Т2协=玖，& =『21]『=& (协 п) •
Замечание 4. Степень элемента degf не зависит от системы образующих.
Из теоремы 1.6 вытекает ряд важных следствий.
Если области U и Uf связаны диффеоморфизмом, то алгебры Ap,g(U) и Ap,q(U') изоморфны.
При гомоморфизме ограничения вида (1.3.4) образующие переходят в образующие.
В определении сходимости элементов ЛР1(7([/) можно систему образующих 爲，&, где 芻一координаты в U, заменить любой другой системой образующих. В результате получается эквивалентное определение сходимости.
Пусть Xi, Е/ ——система образующих в алгебре А「闯(U) и 5、г)； — элементы, связанные с 修，& соотношениями
yi = Xi + hi, т]/ = £/ + ф/, deg/h》2, deg(p/》2, тогда у：,巾 также составляют систему образующих алгебры Ар 闯(U) •
Доказательство этих следствий очевидно.
Отметим важное обстоятельство. Особая роль первоначальных образующих х», &, где м ——декартовы координаты в U, полностью исчерпывается тем, что с их помощью строятся гомоморфизмы р°у, m и 卩内 Возможно построение теории, при
котором эти гомоморфизмы вводятся аксиоматически. При таком подходе выделенных образующих нет.
Если стоять на инвариантной точке зрения, при которой в алгебре Ap,g(U) не выделяется никакая система образующих, то роль аргумента U в обозначении Ap,g(U) состоит в указании на то, что в этой алгебре существует такая система образующих Xi,玩 что spec(xi,.... хр) =U.
Продолжение систем образу ющих. Пусть U, VuRp — открытые множества и VuU. Рассмотрим алгебры Ap,q(U), Ар,д(У) и гомоморфизм р : APiq(U)~^Ap,q(V). Образ Ap,q(U) при этом гомоморфизме обозначим Ap,q(У). Предположим, что алгебра Лр>9 (V) обладает системой образующих Xi,畠・， каждая из которых продолжим а:先，畠•三 Ар,’(У). Если элементы х；, £/ обладают такими продолжениями, которые составляют системы образующих алгебры Ap,g(U), то систему образующих 務，& назовем продолжимой.
Возникает вопрос: пусть в алгебре Ap,q(V) задана система образующих, состоящая из продолжимых элементов, продолжим а ли эта система?
Ответ не всегда положителен, как показывает следующий пример. Пусть U — круг на плоскости a；i, х2: U = {х]2+х^< 1}, V — кольцо: V = |-—<A：! + X2<lj, р =рУ —стандартный гомоморфизм ограничения,以，& — продолжимая система нечетных образующих в Л2,2(У) и
ili^^i cos{p + c2sin(p,
Т]2 = —^1 sin(р + Ь cos 中，
где <р——полярный угол вектора ("工 |. Элементы т]1( г|2 в силу теоремы 1.7 составляют систему нечетных образующих алгебры Л2,2( V), каждый из них продолжим, однако они не продолжаются до системы нечетных образующих в Л2,2(^)- В са， мом деле, положим
п'1 =口"(х) gi 十&12 (х) Е‘2
t]'2 =a21 (%)自'1 + a22(X)2‘‘2,
где Mi, а% ——продолжения 匕卜 自2 До нечетных образующих в A2,2(U) И
Л (х) = f 旬1(盼，％2(х))
матрица с бесконечно дифференцируемыми элементами. Для того, чтобы элементы 哈，心 служили продолжением 中，g матрица Л (х) должна удовлетворять условию
а 、/ cos ср sifl 屮 \“
Л (х) =при х е У.
\ — sintp cos <р /
В случае, если 巾，巾 продолжаются до нечетных образующих 八2,2(0), их продолжения с необходимостью имеют прежний вид, однако матрица А (х) удовлетворяет более жестким уело виям:
А (%)=А (%)=cos ф sin ф--sin屮0й屮cos ф sin ф--sin屮0й屮при % 三匕 det 4 (%)片 0 при х w U.при % 三匕 det 4 (%)片 0 при х w U.
А (%)=
А (%)=
cos ф sin ф
--sin屮0й屮
cos ф sin ф
--sin屮0й屮
при % 三匕 det 4 (%)片 0 при х w U.
при % 三匕 det 4 (%)片 0 при х w U.
Покажем, что эти условия противоречивы. Рассмотрим функ ции
"7 (аи i%2)% (%)=——-:flll + Ifl12"7 (аи i%2)% (%)=——-:flll + Ifl12& (%)=& (%)=аа汝2汝2(all + 込12)(all + 込12)flll + ta12flll + ta12Ввиду того что det4(%)*0, знаменатели не обращаются в нуль,Ввиду того что det4(%)*0, знаменатели не обращаются в нуль,следовательно ai и аг ме того, очевидно, что нутом контуре CuUследовательно ai и аг ме того, очевидно, что нутом контуре CuUбесконечно дифференцируемы в U. Кро-бесконечно дифференцируемы в U. Кро-приприлюбом замк-любом замк-+ а2此=0.+ а2此=0.
"7 (аи i%2)
% (%)=——-:
flll + Ifl12
"7 (аи i%2)
% (%)=——-:
flll + Ifl12
& (%)=
& (%)=
а
а
汝2
汝2
(all + 込12)
(all + 込12)
flll + ta12
flll + ta12
Ввиду того что det4(%)*0, знаменатели не обращаются в нуль,
Ввиду того что det4(%)*0, знаменатели не обращаются в нуль,
следовательно ai и аг ме того, очевидно, что нутом контуре CuU
следовательно ai и аг ме того, очевидно, что нутом контуре CuU
бесконечно дифференцируемы в U. Кро-
бесконечно дифференцируемы в U. Кро-
при
при
любом замк-
любом замк-
+ а2此=0.
+ а2此=0.
Выбирая в качестве С окружность Xi2 + x22 = 3/4, находим, что
а@] + %к =а@] + %к =2Л2Лоо
а@] + %к =
а@] + %к =
2Л
2Л
о
о
что противоречит предыдущему равенству.
Общие условия продолжимости системы образующих не просты, однако для наших целей достаточно следующего признака.
Теорема 1.8. Пусть V, UeRp — области, I/uU, р： A”q(U)-> ->Др,д”) —— гомоморфизм, имеющий вид р = Т71 pv Тц, где pUy — стандартный гомоморфизм ограничения и Ти, Ту ——изоморфизмы алгебр Np,q〈U) и Хр,д(V) соответственно. Пусть, далее, %i, & ——образующие в ApJ<7 (V), продолжимые до образующих *1,匕 в Ap,g(U) и yi, rj/eAp^fV) — продолжимые образующие в (V), сязанные с %t, S； соотношениями
yt=Xi + hi, % = & + ¥/，
причем deg/i»2, deg у；>2. Тогда образующие у“ 切 продол- жимы до образующих у，，％ алгебры Ар,ч (U).
Доказательство. Пусть 无 1, у]——произвольное продолжение элементов hi, у； на U с сохранением степени. Очевидно, что такое продолжение возможно. Положим
yri = х\ 4-hfI, ц'i = ^i + yri，
где *1, К] — образующие в A.p,q(U)t служащие продолжением
線，&. Из теоремы 1.7 (см. следствие 4) следует, что у，，г|1 являются образующими в М式U).
Теорема о неявных функциях. Пусть 力，屮〃 i = = 1,...,р‘，/= 1,..., qf, — некоторый набор соответственно четных и нечетных элементов вещественной алгебры Ap,q(U), р'《р,
Рассмотрим систему уравнений
%(%,e)=0,切(也自)=0.(1.3.11)
Решением системы (1.3.11) будем называть всякий набор четных и нечетных элементов, соответственно х(,己『алгебры Ap,q(U), удовлетворяющий этим уравнениям. Мы будем говорить, что элементы %“ &• служат решением системы (1.3.11) в области 1/, если spec(%i,…，％р)и!Л Справедлив следующий аналог классической теоремы о неявных функциях.
Теорема 1.9. Пусть выполнены следующие условия: существует набор четных и нечетных элементов вещественной грассмановой алгебры А《：
к(М = %。,，+ £ £%0,隔$2nsi …J炉 1《i《P， s,
£ £%1，…，£ ...包w 1《，《q, 在)0 s.
такой, что:
^) fi (^o> Eo) =。，R (%o, Eo) = 0’
det 而勺①.'=# 0 при x = (%o,i,x0.P),
dxk i,fe=l
функции 0j“，自)представимы в виде
W (х, Е) = £ W；s (%) L +££Ф/；«1s?e+i(X)^S1 ---處犬+['fe>0 s.
причем
detII <p/;s(x) |^s=i *。прн ^ = @0",...,爲,J.
Тогда, если VuRp — достаточно малая окрестность точки х = =(玄о/,…，文о,р), то существует такая область » и R。一， и такие однозначно определенные грассмановские аналитические функции gi, “j от элементов алгебры Ap_p，,q_g，(闪)что:
каждое решение уравнений (i.3.11) в области V представимо в виде
% — g$ (xp，+i，％р； &g，+i , •…，Eg), 1《i《q ,
(1.3.12)
6565畐・=屮 /(Xp'+з ., %p； Eg，+1 , ♦ ♦ ♦ , Eg), 1《/《9 ,
65
65
3 Ф. А. Березин
где %，+ ,・，蟲，+/ ——некоторые элементы алгебры Ар_р，,д_у (戚)；
если %р+，扇，+/ — произвольные, соответственно четные и нечетные элементы Ap_p，,g_g，(取)и 也，畠 при ivp', jwg' связаны c Xp'+t,^^} соотношениями (1.3.12), то набор элементов (xi,хр),自=(&,_,£) удовлетворяет уравнениям (1.3.11).
Прежде чем переходить к доказательству, дадим следующее определение.
В случае, если хр>+(, ^-+/ служат образующими алгебры Ap_p，,g_0 (W) и %/,畐 при i&"‘，i《q' связаны с 打，+1,当，+『 соотношениями (1.3.12), решение %,己 уравнений (1.3.11) будем называть общим.
Доказательство. Положим для удобства хр^^ = uh g“+/ = р/. Разложим функции 力 в ряд по степеням х —х° и отделим слагаемые первой степени, функции ср； разложим в ряд по 蚤 и отделим слагаемые нулевой и первой степеней
w%,&@, L n)％ —Х0爲 +7,(匕 % 自，卩)=0,
(1.3.13)
2 ^j,k (x,五,卩)贏 + 糸(%, м, Ц)+ 而『(％ 辽,€,卩)—0,
где % =, %р，)，E — (£,♦•♦, Wq). _
Согласно условию теоремы матрица Па；^ (м, 0, 0) || обратима при вещественных 〃?，если область V достаточно мала. Пусть и = (%, . . . ,"р_р，)， Ui = m{iii). Заметим, что 仆,左(％ 自，卜i)= = Ui,k («, 0, 0) +biik, причем элементы biik нильпотентны. Отсюда следует, что если матрица aitk («, 0,0) обратима, то матрица di,k (м, р,) обладает тем же свойством.
Аналогичное соображение относится к матрице 中)止(％, % р.).
Пусть |偽,引，||(p；,ftli — матрицы, обратные ||/,"| и ||屮,,М1 соответственно. Применяя эти матрицы к уравнениям (1.3.13), перепишем их в равносильном виде
xk=XQ,k + Fk (х, и, g, ц),(1.3.⑷
<& = %•(%,〃，卩)+Bj(x, 〃, Е, N),
где & = - Wa/ 方,%=一e而心 %,Ф/ = -2 б,尼阪.
Ф； имеет по степень не ниже двух. Заметим, что при вещественных
х, и, и； = Xp'+i, “ (х, и, 0, 0) = £ (x^ — xo^xj — %0,力匆；乙/ (%№),w=i
где a*；<l3 (x, u) ■—непрерывно дифференцируемые ф}гнкции. Аналогичным свойством обладают функции Fk- Поэтому
d尸狗(*, u, 0, 0)_ 0
дх]х/ = *о/'
Уточним условия, налагаемые на область V. Мы будем считать область ，выпуклой, обеспечивающей существование матриц IINf,MI, IIср；,fe|| и такой, что при вещественных х, и и некотором х< 1 справедливо неравенство
£| ""片а <«< 1.(1.3.15)
hdxj
Обозначим через W проекцию области V на Rp-p': (%"十1...,%") е W, если (х1,хр) е V. Вместо исходных уравнений (1.3.11) будем решать уравнения (1.3.14). Воспользуемся методом итераций:
%",月=%0，犬 +尸々(Х〃—1, U, gn—1, ц),
Е",『= ПЗ(Хе-1，% М)+ ①j (尤a—I, ",尿-1, Ц)>( 1.3.1 6)
Положим
^n,k — Гп，к (li) + ^§n,k;ilt,. .,i2s (^) Цц. . . Hi2g>
(1.3.17)
竅 J = £ *₽n./；fl,...,/2s+.1 (w)固1 ...因2S+J
Покажем, что последовательности функций 「小也，中叫％；厶，…/婚， 屮叫/；八 ；2s+i сходятся равномерно вместе со всеми производными.
Для того чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть случай, когда элементы 〃t являются координатами в области W, элементы 則一нечетными образующими алгебры Ар_卩‘“旷”).
Обозначим для краткости Л^ (х, zz) = Fk (^, w, 0, 0). Полагая в (1.3.16) 自=卩=0, получаем рекуррентные соотношения для 小：
Г〃,/г = Х°/+/!&(「"—1, 〃) .( 1 .3.18)
Положим
m = syZi4i・(1-3.19)
Рассмотрим семейство функций xo,k + Ak(r, и) как оператор над вектор-функциями г(〃) и покажем, что он является сжимающим в смысле введенной нормы:
£ 14 亿 〃)一 4aM)i = £ II《
где г ——некоторая точка на отрезке, соединяющем г и г'. Применяя принцип сжатых отображений, находим, что итерации rn,k («) сходятся к единственному решению уравнений 厂左=兄。收 + +4左(г, и).
Отметим, что сходимость в смысле нормы (1.3.19) является равномерной. Сходимость производных rn,k удобно доказать позже.
В дальнейшем часто встречаются функции или элементы грассмановой алгебры со сложными индексами. Для уменьшения громоздкости записи мы будем пользоваться мультииндексами, которые будем обозначать следующим образом：
(’1, Ю - " например, m
Число компонент мультииндекса 2 обозначим через d(i). Пусть f=仇：}. Положим
团二 sup £|%м，…,％(“)l. (1319m) u, i”…，％ 后
Обозначим однородные слагаемые в правых частях первого и
соответственно.соответственно.и ib -> дока- число.при d (i) >2,и ib -> дока- число.при d (i) >2,второго равенств (1.3.17) через J; и ^ Пусть равномерная сходимость функций g ->
соответственно.
соответственно.
и ib -> дока- число.
при d (i) >2,
и ib -> дока- число.
при d (i) >2,
зана при d(i) <2s, d(j)V2s—1, s — натуральное
卜 f, W f иn,fc；7 n,k-，i卜 f, W f иn,fc；7 n,k-，iПользуясь нильпотентностью 才 т ,占 +d(j) >1, разложим правые части (1.3.16) no t
卜 f, W f и
n,fc；7 n,k-，i
卜 f, W f и
n,fc；7 n,k-，i
приравняем коэффициенты одинаковой степени по pj
g/i总-^0.fei7 + 力П-l/ 岗17,，;T+,
=阮后/ '=阮后/ '(1.3.20)(1.3.20)
=阮后/ '
=阮后/ '
(1.3.20)
(1.3.20)
где через 卩 广 обозначен коэффициент при 卩小..固?$+1 в Разложении правой части 2-го уравнения (1.3.16).
Перейдем к первому равенству (1.3.20). Заметим, что b 「 является полиномом с независящими от /г коэффициен- 门，力，j ■ A ■~►1Перейдем к первому равенству (1.3.20). Заметим, что b 「 является полиномом с независящими от /г коэффициен- 门，力，j ■ A ■~►1Рассмотрим равенства (1.3.20) при d(i)=2s, d (/) =2s—1. Очевидно, что 6 -+ является полиномом с независящими от п коэффициентами от g ］产，屮八〔户 при d(i)<2s, d(/)<2s-—1.. Поэтому в силу предположения индукции из второго равенства (1.3.20) следует равномерная сходимость 屮八后吋 при d(/)= =2s — 1.
Перейдем к первому равенству (1.3.20). Заметим, что b 「 является полиномом с независящими от /г коэффициен- 门，力，j ■ A ■~►1
Перейдем к первому равенству (1.3.20). Заметим, что b 「 является полиномом с независящими от /г коэффициен- 门，力，j ■ A ■~►1
тами от g -» при d(i)V2s н 屮 了. при d(/)w2s—1. Поэтому последовательность bn = {^n fe7*j имеет предел в смысле
нормы (L3.19m). Следовательно, ||Ь/|《с<оо. Учитывая это, получаем из 1-го уравнения (L3.20):
II gn lh < \gn-^ 4- С + 1^11.
Отсюда
『盛k / II go II + 冲上g祖《a < 8.
Обозначим через b = {”寸} предел последовательности b* = ={6「} в смысле нормы (1,3.19т). Перепишем 1-е уравнение (1.3.20) в виде
т =『M(r,u)+а? + с 宀 (1.3.21)
%，競 i厶 d〃 6n-l.Z； t 1 明々；''
Z
乙=limrn,z)%；= ”彳 + 綜&『
c - = 6 _" + y1 (吵(%3)—竺3_ 1 g n,k\ i ntk; i ft； i厶J \力门7」dri / n—1 J： t
Заметим, что ||с"|->0. Положим £力 = sup [ст ||. Последователь
НОСТЬ 8/2 монотонно сходится к нулю.
Рассмотрим вспомогательную систему уравнений
з=£号『*宀"(1321，)
z
Оператор в правой части (1.3.21') является сжимающим в смысле нормы (1.3.19т) • Поэтому gn имеет предел в смысле нормы (1.3.19m), не зависящий от начальных данных. Положим
WИз (1.3.21) и (1.3.2Г) следует, что
VT■十匕0Г/门一1 J； i n,&；i
Отсюда
II Уп II < X II Уп-\ II + %, Ibn+mll《2 勿 + 卢一.
Будем решать систему (1.3.21') при начальном условии
& 二=乱 Тогда 厄;十 m ~^+J< —^-.
Таким образом, последовательность gn имеет предел в смысле нормы (1.3.19m), совпадающий с пределом последователь* кости. Отметим, что сходимость в смысле нормы (1.3.19他)оз~ качает равномерную сходимость.
Дифференцируемость. Дифференцируя (1.3.18) по 切，получаем
(1.3.22)(1.3.22)力"，&『@4 (jт,切 d jj + @4 (g, u)ди； О d%_i#d%・dui
(1.3.22)
(1.3.22)
Дифференциру'Я уравнения (1.3.20) no 〃厶 получаем
%上方 _ 3g3审 J yi HAe (%-i, 〃) "giddui dui J 0%_[ a d&£
aa/ 4 (У1,") 勿la抑/ 4 (У1,") 勿la抑g"—l,a7 +g"—l,a7 +
a
a
/ 4 (У1,") 勿la抑
/ 4 (У1,") 勿la抑
g"—l,a7 +
g"—l,a7 +
доказано при d⑴ <2s, d(/) < при d(i)<2s, 电了 =久7 при d(i)=2s, d(j)=2s—1 издоказано при d⑴ <2s, d(/) < при d(i)<2s, 电了 =久7 при d(i)=2s, d(j)=2s—1 из
доказано при d⑴ <2s, d(/) < при d(i)<2s, 电了 =久7 при d(i)=2s, d(j)=2s—1 из
доказано при d⑴ <2s, d(/) < при d(i)<2s, 电了 =久7 при d(i)=2s, d(j)=2s—1 из
(1,3.23)
Рекуррентные соотношения (1.3.22) и первое соотношение (1.3.23) имеют тог же вид, что первое соотношение (1.3.20), 2-е соотношение (1.3.23) имеет тот же вид, что второе соотношение (1.3.20). Поэтому доказательство равномерной сходи- а dg^
моста производных 叫& , ―"*；',—三更 не отличается от dui ди^ ди/
доказательства равномерной сходимости gn,k-,i, ipn,*；7.
Равномерная сходимость высших производных устанавли
вается с помощью очевидной индукции.
Докажем единственность решения системы (1.3.14) при произвольных четных Uf и нечетных 因.Пусть {%/,盲/}, {х/\ &"}— решения системы (1.3.14). Применяя к первому уравнению (1.3.14) гомоморфизм т, находим
xkf=xG,k+Ak(xf, и),工"=爲依十厶后(元"，u),
где, как обычно,爲= /и(修)，щ-=т(щ). Ввиду ToroL что_оператор 4 является сжимающим, отсюда следует, что 元鼠=元/'.
Введем в алгебру Ap_p，,g_g，(步) образующие yi, v., и выразим через них xj, &•', х『，自/'. Коэффициентные функции
,屮方了 . В качестве образую- W. Предположим, что созпа-,屮方了 . В качестве образую- W. Предположим, что созпа-обозначим через 线？，山方了，线.扌 щих уг рассмотрим координаты в дение <；7 = g：7，电7 = Чт
,屮方了 . В качестве образую- W. Предположим, что созпа-
,屮方了 . В качестве образую- W. Предположим, что созпа-
<2s — 1. Положим g^? = g&-г прн d6)<2s—1. Для ，也丁 (1-3.14) следуют уравнения, аналогичные (1.3.20):
g；x =b為；十£/4『“ g:J十"；力
(1.3.24)(1.3.24)
(1.3.24)
(1.3.24)
причем р^.у является полиномом от g^ ,屮妆丁 приd(j)V2s—1. Функции 且丸了 ，屮卜寸 Удовлетворяют темпричем р^.у является полиномом от g^ ,屮妆丁 приd(j)V2s—1. Функции 且丸了 ，屮卜寸 Удовлетворяют темd(£) <2s, же урав- Положимd(£) <2s, же урав- Положимfпри d⑴=2s из- c d(j) w2s — 1; (1.3.24) являетсяfпри d⑴=2s из- c d(j) w2s — 1; (1.3.24) является
причем р^.у является полиномом от g^ ,屮妆丁 приd(j)V2s—1. Функции 且丸了 ，屮卜寸 Удовлетворяют тем
причем р^.у является полиномом от g^ ,屮妆丁 приd(j)V2s—1. Функции 且丸了 ，屮卜寸 Удовлетворяют тем
d(£) <2s, же урав- Положим
d(£) <2s, же урав- Положим
f
при d⑴=2s из- c d(j) w2s — 1; (1.3.24) является
f
при d⑴=2s из- c d(j) w2s — 1; (1.3.24) является
нениям. Следовательно,屮-> =*ф -> при d(j)=2s—1. 也7 =电厂 при d(j)=2s—1. Далее, %；
ляется полиномом от g厄i с d(i)V2s и 屮也.了 оператор в правой части первого уравнения
сжимающим в смысле нормы (1.3.19^). Следовательно, g^ = =g时了 при d(i) =2s.
Из полученных результатов немедленно следуют утверждения теоремы. В самом деле, установлено, что при вещественных Ui и 卩刀 являющихся нечетными образующими в Ар—р，，^-。，(W), справедливы тождества
g左(弘卩)^x^ + F^g(u,w)，〃，屮(以，ц), ц),
5(% N)=i]j(g(x,卩)，% 卩)+①j(g® ")，% 中(以卩)，从)，
причем коэффициентные функции у g&(〃,卩),ip；(u, ц) являются бесконечно дифференцируемыми. Тем же свойством обладают Fk(x, w, ^, ji), т|；(х, и, ц), (Dj(х, и, ^, ц). Следовательно, в этих тождествах возможно грассмановское аналитическое продолжение, т. е. они остаются справедливыми при замене 〃厶 ц； произвольными четными и нечетными элементами Ар—р，,"—。，(呼).
Далее, пусть щ,卩『一произвольные четные и нечетные элементы Ap_p‘,gT，(吩， ％/,自/ — какое-то решение уравнений (1.3.14). Согласно предыдущему, H = gt(u,卩)，邑=屮№，卩)также является решением. В силу единственности %? = %/, ^ = ^/.
Глава 2. АНАЛИЗ В АЛГЕБРАХ Ap,£U)
В этой главе строится элементарная теория дифференцирования и интегрирования элементов алгебр Ap,g(U).
ПРОИЗВОДНЫЕ
Пусть /(%, Е) W/\p,g(U) записан в виде (1.3.1), xif ^-——некоторые образующие Ap,g(U). Положим по определению
詁…1£--а1，…,ik (%)自g…区，(2.1.1)
где九../(%) =/—九….,f/i，xj—производная
九，.…Ik(x) ПО г му аргументу. (Напомним, что ^,，.…力(乙，…，马) есть результат подстановки в (рункнню %一^(а。... ，а「) вместо вещественных переменных & образующих 修，。厶, (xlt
...,%р) аналогичным образом получается из fit(, (^, ...,aD).)
Определим теперь производные по антикоммутирующим переменным. Эти производные имеются двух видов, левые и правые, обе являются линейными операторами в Ap,?(t7), перестановочными с умножением на четные образующие, Поэтому их достаточно определить на произведении нечетных образующих.
Левая производная:
~— El • • •自％ = 6% Eta . . . &卜一6j£2 Ei】 S' •…三^ +
(2.1.2) правая производная:
(&、•••也)~" — 5/Eq …Е仁1 — 8"月一1 三厶… 乱&%+••••
(2.1.3)
Другими словами, если i = is, то для вычисления левой производной следует &$ вынести из произведения &】...三^ налево, воспользовавшись перестановочным правилом (1.2.1), и вычеркнуть. Для вычисления правой производной следует Е% вынести
дднаправо и вычеркнуть. Если же，не содержится среди чисел ，［,…，th, ТО
д
д
(^'i • • •取)=(Eq .. • &/ 比―—о.
Для большей обозначениямиДля большей обозначениямивыразительности@ н -^— Для崛 苑，выразительности@ н -^— Для崛 苑，мы будем иногда левых и правыхмы будем иногда левых и правыхпользоватьсяпроизводныхпользоватьсяпроизводных
Для большей обозначениями
Для большей обозначениями
выразительности
@ н -^— Для
崛 苑，
выразительности
@ н -^— Для
崛 苑，
мы будем иногда левых и правых
мы будем иногда левых и правых
пользоваться
производных
пользоваться
производных
соответственно.
Справедливы легко проверяемые формулы:
d西贰d西贰(fg)=(fg)=00/ g + (一1产⑺ f/ g + (一1产⑺ fg）号="展g）号="展+ (-产)/+ (-产)/g ,g ,g，g，для однородных элементовдля однородных элементов(2-1.4)(2-1.4)
d西
贰
d西
贰
(fg)=
(fg)=
0
0
/ g + (一1产⑺ f
/ g + (一1产⑺ f
g）号="展
g）号="展
+ (-产)/
+ (-产)/
g ,
g ,
g，
g，
для однородных элементов
для однородных элементов
(2-1.4)
(2-1.4)
"心），"，励=e（含3許+"心），"，励=e（含3許+(2.1.5)(2.1.5)/（«（%,占）,」（%,日）/（«（%,占）,」（%,日）
"心），"，励=e（含3許+
"心），"，励=e（含3許+
(2.1.5)
(2.1.5)
/（«（%,占）,」（%,日）
/（«（%,占）,」（%,日）
Поскольку для нечетных элементов левые и правые производные совпадают, мы будем в этом случае пользоваться также обычным обозначением:
Мы будем говорить, что элемент / не зависит от образующей х, или если — 0 или соответственно / = 0.
ИНТЕГРАЛ
Определение интеграла. Пусть 修,自；一образующие алгебры Ap,q(U). Рассмотрим формальные символы А&, dxi, которые мы будем называть дифференциалами переменных 矗 и Xi соответственно. Подчиним их следующим соотношениям коммутации：
豆厂畐=e广曲, 笹厂焚i = %餐f龍厂%j = %厂d&.
Соотношения коммутации, в которые входят dxi, в этой главе для нас не существенны. Однако, имея в виду дальнейшее (см.
гл. 5), мы потребуем, чтобы дифференциалы 恋「и dx； коммутировали между собой. Другими словами, алгебра, порожденная х；, /, dx；, dij, является алгеброй A?+g, ”g(U), причем роль четных образующих у нее играют %», @备，нечетных — ", dxJ.
Определим интеграл по антикоммутирующим переменным：
(2.2.1)(2.2.1)% = °，J E/喝=1, j abd^t = a『匕嘱,
(2.2.1)
(2.2.1)
если а = 0.
Кратный интеграл будем понимать как повторный. Непротиворечивость этого определения очевидна.
Теперь мы в состоянии определить интеграл элемента f(x疋) по всем переменным. Пусть st ——координаты в U, Xt = Xi(s, g), yt = Xi (s, 0) =m(xi). Отметим, что yi, подобно s；, служат координатами в U. Полол<им
〃/) =，/(%, E) d/ dx^4 ...d^^
J /(y，)％ …d%處…成r(2.2.2)
jf€spec(x!,...,xp)
Интеграл по dyi понимается в обычном смысле. В дальнейшем мы часто используем сокращенные обозначения：
dx = dX]... dxp,愈=應^辰 г(2.2.3)
Из определения немедленно следует, что если элемент f (х, 5) имеет вид (1.3.1), то
J (/) = 8 j fig (%,♦•♦, Ур) d% ... d%. (2.2.4) »6spec(*t坛)
Несмотря на то что формула (2.2.2) полностью эквивалентна (2.2.4), она имеет право на самостоятельное существование. Это право основано на алгебраических свойствах интеграла (2.2.2), поразительным образом напоминающих свойства обычного интеграла. При этом интеграл по антикоммутирующим переменным похож на обычный интеграл по всему пространству, Интеграл (2.2.2) естественно ассоциируется с областью U. Аналогично может быть определен интеграл, связанный с границей U. Положим
d{X=dxi... d/_id#i+i... dxp.(2.2.5)
1 Напомним в связи с этим, что в обычном анализе дифференциалы удобно считать антикоммутирующими, но коммутирующими с независимыми переменными х(. Соотношения коммутации между dxi, d^i,写，х； обобщают это свойство обычных дифференциалов.
Пусть 厶(％, Е) wAp,g(U), причем коэффициентные функции 厶；j…/(х) элементов fi (х, ^) непрерывны вплоть до границы U. Определим интеграл Jr (f)> связанный с границей Г области U:
介⑺=j 2 Л （X, Ю d/礎蚪，e厶（弘e）切褫， （2.2.6）介⑺=j 2 Л （X, Ю d/礎蚪，e厶（弘e）切褫， （2.2.6）ггде “=(，，...，外)，yi=m(Xi).2. Интегрирование поdx,・ /J \ dxiггде “=(，，...，外)，yi=m(Xi).2. Интегрирование поdx,・ /J \ dxiУ€ГУ€Гчастям.一小/2〃成 + j厶％/运 (2.2.7)Гчастям.一小/2〃成 + j厶％/运 (2.2.7)Г
介⑺=j 2 Л （X, Ю d/礎蚪，e厶（弘e）切褫， （2.2.6）
介⑺=j 2 Л （X, Ю d/礎蚪，e厶（弘e）切褫， （2.2.6）
г
где “=(，，...，外)，yi=m(Xi).
2. Интегрирование по
dx,・ /J \ dxi
г
где “=(，，...，外)，yi=m(Xi).
2. Интегрирование по
dx,・ /J \ dxi
У€Г
У€Г
частям.
一小/2〃成 + j厶％/运 (2.2.7)Г
частям.
一小/2〃成 + j厶％/运 (2.2.7)Г
f Л （/2言）dx应=（一 1严（（訂勺%办应,f Л （/2言）dx应=（一 1严（（訂勺%办应,где Г ―■ надлежащим образом ориентированная граница области U, интеграл во втором слагаемом правой части (2.2.7) понимается в смысле определения (2.2.6).
f Л （/2言）dx应=（一 1严（（訂勺%办应,
f Л （/2言）dx应=（一 1严（（訂勺%办应,
(2.2.8)
где q — число нечетных образующих &. Формула (2.2.7) сводится к хорошо известному факту из обычного интегрального исчисления. Формулы (2.2.8) легко доказываются для случая, когда fi, ,2 являются произведениями нечетных образующих и переносятся на общий случай по линейности.
Замена переменных. По определению заменой переменных будем называть переход от одной системы образующих алгебры ApJU) к другой с сохранением четности:
七=左(协n), * = &(弘刀)■ (2.2.9)
Сопоставим преобразованию образующих (2.2.9) матрицу
R（%,日g，叫=（^^），R（%,日g，叫=（^^），(2.2.10)(2.2.10)гдеЛгдеЛдх(дх(ik 一 ~；~ d係ik 一 ~；~ d係九=>九=>
R（%,日g，叫=（^^），
R（%,日g，叫=（^^），
(2.2.10)
(2.2.10)
где
Л
где
Л
дх(
дх(
ik 一 ~；~ d係
ik 一 ~；~ d係
九=>
九=>
A(k, В*, …，—элементы матриц А, В,....
Обратим внимание на то, что 自力一нечетные элементы, поэтому £),% = -^четные, Aik ——также четные элементы, Bik, 5卜—нечетные.
Положим一
А(х, Цу, г|) = det (Л — BD~lC)det D~l.(2.2.11)
(Обратим внимание на то, что согласно теореме 1.7 матрица D обратима.)
При замене переменных в обычных интегралах возникает якобиан. Его аналогом в случае интегралов (2.2.2) служит функция А (%,制,“)•
Пусть Г — граница области U = spec⑴，…，％р) и Гв — 6-окрестность Г. Функцию f (х, Е)三Apg(Uj назовем финитной, если f (五自)=0 при хеГв.
Теорема 2.1. Пусть f(x, Е)—финитная функция. Тогда
j f^{y. п), ^(^, п)) Д(^, &У, 11) d 疯ri =，f (%,出 d% 應(2.2.12)
Доказательство этой теоремы в полном объеме помещено в следующем пункте.
Проиллюстрируем теорему 2.1 примерами.
Простейшая линейная замена переменных:
xt = 2 ^^кУk> 占/ = Wd/%%,(2.2.13)
где aik, dik — вещественные или комплексные числа. В этом случае по необходимости 8 = 0 = 0, А", 自/y, n) =det/l (det。尸. Формула (2.2.12) легко следует из основных определений.
Обратим внимание на то, что det D входит в формулу так, как в обычном случае входит якобиан обратного преобразования.
Рассмотрим алгебру ЛР_|_р-(?+?< ((/), UuRH" и в ней две системы образующих
%р, "1，. . . , "р\ ^1， ■ • • > Ед, °1，* • • ' °，
И
Uit ■ • • > У pi "1,"р，, Л1， • • • > Пд, ^1» • • • > С?' •
Пусть эти образующие связаны соотношением специального вида
Xi = Xi (у, у, г|, ^), ^j = ^j (yt у, л» ^) >
心=S, Gj = ^j.(2.2.14)
Матрицы Л, В, C, D в этом случае равны:
где
dykdvk内左救
「 G8 「_。& Г) 一 龙/ r\ @鼻
dyk^dx\k琮
Специфика матриц Л, 5, С, D приводит к тому, что
А (х, и, Е, в/у, и, ”，0 = det (& —B^Cj) det。/ = A (x, &g, %).
разумеется, A(x, 匕/y,冷 至 八叶人什〃(U) и, вообще говоря, зависит от всех образующих у, ”，у, £
Пусть f = f(%, W) зависит только от образующих хь..., хр, &1,…，％, g = g(〃，о) зависит только от образующих иъ ... , up>t 0, ... ,%，. Применяя общую формулу (2.2.12) и учитывая, что Ui = Vi, Oj = J, имеем
『/ (x,自)g 3, о) dxdud^e =
=р(^ (у, u, E о), EW, N, % o))g 仅,о) a (%, Цу,⑺ dydudr\dc.
Так как это тождество справедливо при любом g = g(u, о), то, следовательно,
Jf (х, Е) dxd^.(2.2.15)Jf (х, Е) dxd^.(2.2.15)f f (% (小,Q о), Е (У, 〃, ％ 6) А (%, 3% 叫 dyd^]=
Jf (х, Е) dxd^.
(2.2.15)
Jf (х, Е) dxd^.
(2.2.15)
Формула (2.2.15) отличается от (2.2.14) тем, что в (2.2.15) замена переменных и якобиан зависят от образующих 〃з о), которые играют роль параметров. В качестве первой иллюстрации формулы (2.2.15) рассмотрим преобразование антикомму
переносу:переносу:(2.2.16)(2.2.16)тирующих переменных, аналогичное параллельному ei = Hf 十0" %i = //i 十门(t5),m(%)=0.
переносу:
переносу:
(2.2.16)
(2.2.16)
Из формулы (2.2.15) следует
что г产=0что г产=0,/ (% 十 Г, Е + b) d 尤 d& = ^f(x, W) dxdt Докажем эту формулу непосредственно. Заметим,
что г产=0
что г产=0
при некотором п. Это следует из условия m(г^) =0. Поэтому f/(х + г, Е 十 о) dxdl = f /(%, Е + о) dxdl +
+ £ 3丁f Л——1"g)厶亜.
瓦！…kp\ J д柒…дк*2fef>01 P
Каждый интеграл по dx, входящий во второе слагаемое, равенинтегралу от некоторой производной / по границе Г и, следо-вательно, обращается в нуль благодаря финитности Д Далее,,(%, Е + о) dxdl = J/(x，Е) d尤%Е +
十 £ 哗…%0 f -Z(%，日 dx龙.
Поскольку при 力1十…+ 豳>0 функция r-/(x,占) не за-
阳嗚g
висит хотя бы от одной образующей 爱，интеграл от нее по 万g обращается в нуль непосредственно в силу определения (2,2.1).
В качестве второй иллюстрации рассмотрим линейную замену переменных общего вида:
/=24*£板 + WB,sT]s,
li^'ZCjkyk + ^Djs^s,⑵ 2.17)
где Aik, Ojs — четные элементы Af,叶寸(U), не зависящие от у г,刀力 С汴,BiS ——нечетные элементы Ap+p，，g+g，(⑺,не зависящие от у/, т｝；, det Л =т^0, det Z)т^О. (Последнее требование служит необходимым и достаточным условием обратимости преобразования (2.2.17).)
Вначале рассмотрим частный случай, когда 8话，С沖=0. В результате получается преобразование, отличающееся от (2.2.13) тем, что теперь 4%, DjS не числа, но элементы Ар+р，. g+厂(⑺， не зависящие от yky 口$・ Так же как в случае (2.2.13), формула (2.2,15) в этих условиях легко следует из основных определений.
Перейдем к общему случаю. Преобразуем интеграл, пользуясь попеременно однородными линейными преобразованиями, аналогичными (2.2.13) и параллельными переносами:
£ f (幽+ 8% Су + Dp) dyd^ =
=det УТ】 det D J / ® + 8口一看，СЛ'1 у + n) dydt\ =
=det A-"】 det D “ ® + BD"1 (л — СД-1^),叫 dydt]=
=det УТ】 det Ddet(l — BD~yCJTx) 一 j / (g + 月口一％,⑴ dp而=
=det D det (A — 5D~l Q-1 J / (y,叫 dg而.(2.2.18)
На этом мы разбор примеров, иллюстрирующих теорему 2.1, закончим. Отметим в заключение, что из формулы (2.2.18) вытекает важное следствие.
Обозначим через G〃Mat(p,g|A) множество матриц вида
4 友叫 р,(2.2.19)
D；q
где A, D — квадратные матрицы, состоящие из четных элементов грассмановой алгебры Л, причем матрица D обратима, В, С — прямоугольные матрицы, состоящие из нечетных элементов той же алгебры, р н g указывают на число строк и столбцов. Число образующих алгебры Л никак не связано с р н q.
Сопоставим матрице вида (2.2.19) функцию, которую назовем супердетерминантом:
sdet«^=det(4 — BD-iC)det D~l.(2.2.20)
(Супердетерминант определен только в случае, если Q-i существует.)
Теорема 2.2. Супердетерминант мультипликативен:
sdet (厶]儿2)~ sdetc^i-sdet^.(2.2.21)
Доказательство. Пусть 國==國[例；4 5 …,4, &,... — блоки, из которых состоят матрицы 垓,處订 i=l,2, соответственно. Применяя (2.2.18), получаем
j f{Ay + 8% Су 十。叫 dydr\ = sdet ^Л^Я^ J f (乂 哨也而.(2.2.22)
Положим а(у, т]) =f (4同 + 8Е，&g+01n)■ Очевидно, чта f(Ay + + 6% Cy+Dx\) =fi (X2J/+B2r], C^y + D^. Используя это тождество, имеем
^ f (Ay + Вл. Су + D") dydx\ = , % (為乡 + 旦％。2y +。⑺ dg而=
=sdetM/fi(p, n) d血q = sdetMz J 〃4u + 当刀，&У +
+ Dg) d血П = sdet 〃2, sdet 41 J f{y, t])珈而.(2.2.23)
Сравнивая (2.2.22) и (2.2.23), устанавливаем справедливость тождества (2.2.21) для случая, когда элементы матриц Mt принадлежат Ар+р’м+г (U). Ввиду произвольности р',矿，U это тождество остается справедливым в случае, если элементы матриц %* принадлежат А.
Супер детерминант является одним из важнейших понятий линейной алгебры в 72-градуированных пространствах. В следующей главе приведено два других доказательства его мультипликативности, не использующее понятие интеграла.
Доказательство теоремы 2.1. Из определения (2.2.10) матрицы R(x, 自/y, г|) очевидным образом следует соотношение мультипликативности
R (%,日У, п)穴(协 Т]/«» С) =R (% Е/Ч Е) - (2224)
В силу теоремы 2.2 аналогичным свойством обладает супердетерминант матрицы R(x,修д,「)：
А(х,*1у, 0A(у, т)/〃，С) =А(х,Е/м, ?•(2.2.25)
Эти соотношения позволяют свести теорему 2.1 к частным случаям.
Вначале рассмотрим замены переменных вида
Xi = Xi (у), ^j = T)；Xi = Xi (у), ^j = T)；(2.2.26)(2.2.26)%i=Jt, Ej = Ej(n)・%i=Jt, Ej = Ej(n)・(2.2.27)(2.2.27)
Xi = Xi (у), ^j = T)；
Xi = Xi (у), ^j = T)；
(2.2.26)
(2.2.26)
%i=Jt, Ej = Ej(n)・
%i=Jt, Ej = Ej(n)・
(2.2.27)
(2.2.27)
(В случае (2.2.26) %t(g) не зависит от %, в случае (2.2.27) 旨(П) не зависит от уз) Случай (2.2.26) очевидным образом сводится к хорошо известной из обычного анализа теореме.
Перейдем к случаю (2.2.27). Заметим, что в рассматриваемом случае
…"麻……f
Рассмотрим вначале преобразование Т, которое можно включить в однапараметрическую группу Tt преобразований вида (2.2.27). Введем обозначения
^i(Z) = Ttx\i
g(t) = y^分⑴)A (占⑴川)Mg…瓦.
Ввиду того что преобразование 7\ действует на образующие 修 тождественным образом, аргумент х у / (х, ^) опущен.
Из общей теории групп Ли следует, что g (/) — аналитическая функция параметра t. Используя (2.2.25), запишем g«+s) в виде
g (t + s)= “爲(f + s)，…，J (f + s)) △位(f 十 s)疋(/)) A 低(t)/^ =
=j/&(s), ... ,&(s))A(s)厶偌⑴川)而，(2.2.28)
где для краткости мы положили ^(s) = lj(t + s), A(s) = = A(*(f + s)%(f)). Из (2.2.28) следует, что
g'⑴=g G + s) [s=0 =
m
爭厶代⑴/叫瓦(2.2.29) 由 \ 羽 //ds Js=o
Заметим теперь, что
A(s) = det RT(s) = exp (—spin R(s)),
где R(s) =R(«s)化⑴).Поэтому
—A (s) (s=o = — sp (R‘(s) Ri (s)) exp (—sp In R (s)) |s=0 = as
=7— sp R‘ ⑼=—2=7— sp R‘ ⑼=—2d.%小 %d.%小 %s=0s=0
=7— sp R‘ ⑼=—2
=7— sp R‘ ⑼=—2
d.%
小 %
d.%
小 %
s=0
s=0
Следовательно, выражение в квадратных скобках под знаком интеграла в правой части (2.2.29) 'преобразуется к виду
где & = & (f),务=—-С/ |s=o =留(О-
Вспомним еще раз, что Ttr\j = ^i(t)——однопараметрическая группа преобразований. С помощью стандартных рассуждений устанавливается, что &«)=旨(/|小，..., %) удовлетворяют автономной системе дифференциальных уравнений
3/«)=—①/(Ei,…，&).
Учитывая это, находим окончательно, что
g'⑴=j工言(①/) A (自⑴川)俞.(2.2.30)
Из (2.2.30) следует два важных вывода. Во-первых, что функция g'(f) имеет тот же вид, что g(f), разница состоит лишь в замене f на V—^— (Ф//)-Во-вторых, что g，(0)=0. В самом
比j
деле, при / = 0 имеем 畠=中，A(g(/)/r|) = 1. Поэтому
g'⑼=J£ (訂切⑺屮尸后⑼Q23D
Из (2.2.31) и определения 'интеграла очевидным образом следует, что g'(0) =0.
Так как функция g'(f) имеет тот же вид, что g(£), то, следовательно, g/f (0) =0. Продолжая это рассуждение дальше, находим, что g⑺⑹=0 при любом п>0.
Выше было отмечено, что g(/) — аналитическая функция f. Поэтому из равенств g(")(O)=0 при п>0 следует, что g(/) = =const. Учитывая, что /g(0)dx равен левой части (2.2.12), получаем, что равенство (2.2.12) справедливо для преобразований вида (2.2.27), включающихся в одноп ар ам етрич ескую группу.
Из теории групп Ли следует, что произвольное преобразование Т вида (2.2.27) можно представить в виде произведения конечного числа преобразований Т=ТХ...ТГ, каждое из которых включается в однопараметрическую группу.
С помощью этого разложения равенство (2.2.12) распространяется на случай произвольного преобразования в'ида (2.2.27).
Рассмотрим теперь преобразования более общего вида:
Xi = Xi(y^ т]), & = П/,(2.2.32}
修=歹，ь=畠，(弘n)■(2.2.33)
Случай (2.2.33) легко сводится к случаю (2.2.27).
В самом деле, интеграл (2.2.2) можно рассматривать как повторный, имеющий в качестве внутреннего интеграл по &・，в качестве внешнего — интеграл по х；. П р еобр азов ан и е (2.2.33) является заменой переменных вида (2.2.27) во внутреннем интеграле. Применяя во внутреннем интеграле формулу (2.2.12), мы устанавливаем ее справедливость для преоб|разований вида (2233).
Сложнее обстоит дело с преобразованиями (2.2.32).
Рассмотрим вначале частный случай
七.=乩+切….丸(勿(2.2.34) 自/ =
Преобразования (2.2.34) образуют однопараметричеокую группу по 力 Повторяя во всех деталях рассуждения, использованные при доказательстве формулы (2.2.12) в случае (2227), мы приходим к равенству
g' (0 =，£詣(①力 А ("У)必/,(2.2.35)
где g, Ф( имеют тот же смысл, что выше, А (%/у) == det | dyk I
Интегрируя по частям и вспоминая, что f = 0, на границе области находим, что g，(0) =0. Поскольку g，(f) имеет вид, аналогичный g(/), то g⑺(0)=0 при любом 门〉8 В силу аналитичности g(f) отсюда следует, что g⑺三const = g(0).
Заметим теперь, что суперпозицией конечного числа 'преобразований вида (2.2.34) можно получить любое преобразование в：ида
色 勿+工^九…勿&川厶…九也，(2.2.36)
Наконец, суперпозицией преобразований (2.2.36) и (2.2.26) можно получить любое преобразование вида (2.2.32).
Вопомннм теперь, что согласно замечанию, сделанному после доказательства теоремы 1.7, замена переменных общего вида может быть получена суперпозицией преобразований (2.2.32) и (2.2.33). Используя мульти-пл и к атив ное свойство супердетерминанта, получаем отсюда утверждение теоремы 2.1 в общем виде.
Замена переменных в случае не ф и <н и тн ых функций. В случае, если элемент f(х,自)三Ap,q(U) не является финитным, формула (2.2.12) не верна: появляются граничные члены. Чтобы разобраться в них, поступим следующим образом. Предположим, что область U выделяется неравенством и(х) >0. Соответственно, ее граница — уравнением и(х) =0.
Рассмотрим функцию Э(и(х)), где
е(м)=( 1 при «>0,
О при w < 0.
Аппроксимируем функцию 8 (〃(％)) бесконечно дифференцируемыми финитными функциями 0а(%) в смысле интегральной нормы:
lim £ |9а(%) —9("(%))|dx = 0.(2.2.37)
Предположим теперь, что коэффициентные функции элемента /(х, Е) допускают продолжение до бесконечно дифференцируемых функций в Rp. Рассмотрим элементы % (%,自)= = f(%, W)Ba(%)EAp,g(U). Ввиду финитности элементов %(%, » для них справедлива формула (2.2.12):
ff(x,日凯(х) dxdl =
=j "% @,⑴」0,叫)9» (% (У,喇 Д (% E/弘⑴ dydx\.
Из (2.2.37) вытекает возможность предельного перехода при а+0:
J / (х, 0dxd£ = J f (% (P,叫/ (",砌 9 (“ (％ (У, П))) А (%,占似,叫 dydx\.
(2.2.38)
Формула (2.2.38) является искомой.
Покажем, как возникают поправки к формуле (2.2.12). Разложение х(у, “) по т| приводит к аналогичному разложению и(х(у, т|)) и Q(u(x(y, т|))). Ограничиваясь первым неисчезающим членом, имеем
%, (Р, П) = % ®) + М" 3) ^i + …，
и (х @)) + £。“；；也 Xi,kl (^) Xlk^l +=
=и (у) + E 4/ (g) %川 + …，
6(乂(X (у,砌)=e g &))+ o, ® &))(E vkL @)%口 + .. .)+ …=
=e ®(切)+ 3 e (/) 9 (弘 n) —。(g)).+ …，
где и (g) = n (x (g)), vkl (у) = E修同(y),
многоточие в правой части последнего равенства означает сум” му слагаемых, содержащих производные 6-функции. Учитывая определение интеграла, образующие yt можно считать координатами в Rp. В этих координатах область U выделяется нера-
венством v (у) >0, а граница — уравнением о(д)=0. Таким образом, правая часть (2.2.38) имеет вид
J 〃% (y,哈 Е {y, Л)) a (%,以9,垠必/岳］+
+ j f (%(У, 3, E (У，П)) 3 (。®)) (и(у, п) —и 伍))А (%,自例，叫 dydv^ + , (2.2.39) где многоточие означает сумму слагаемых, каждое из которых содержит 5(幻(и(р)), &21, под знаком интеграла. Первое слагаемое в (2.2.39) имеет тот же вид, что левая часть (2.2.12), остальные содержат граничные члены благодаря наличию 6(。(f/)) и производных 6(и(у)) под знаком интеграла.
Глава 3. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
В 22-ГРАДУИРОВАННЫХ пространствах
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Грассманова о б о л о ч，к a Z?” р а д у и р о в а н н о г о линейного пространства. Напомним, что линейное пространство L называется Z2-градуированным, если оно игре以- ставлено в виде 'Прямой сум'мы двух подпростра'нств
L = °L ㊉厶 (3.1.1)
Элементы пространств °£ и 也 называются однородным1И. В градуированном пространстве задана четность, если дополнительно сказано, что элементы одного из этих пространств называются четными, другого ——нечетным1и.
В Zs- гр аду ированном линейном пространстве с фиксированной четностью определяется стандартным образом функция четности а (%) (см. (1.2.49)), и оператор четно'сти А.
В ^случае, если пространство L не 'имеет другой структуры кро'ме линейности 以 Z2-градуировки, четность в нем может быть введена двумя способами, так как пространства °L и 〔£ равноправны. При наличии дополнительной структуры, например, если £ является ассоциативной алгеброй или супералгеброй Л-и (см. ниже), мы всегда будем требовать, что оператор четности был автоморфизмом этой 'структуры. Такое требование может нарушить рав'ноправие inpocrpaHCTB °А и 'А и сделать введение четности однозначным.
Размерностью Z2 - гр ад уи：р о в а^н но го пространства 'называется пара чисел р, q, где р — размерность четного и q — размерность нечетного подпространства: dimL=(p, g).
В случае, если подобно тому, как это сделано в (3.1.1), одно из однородных подпространств Z2-градуирован кого линейного пространства помечено индексом «О», другое「индексом — «1», всегда в дальнейшем будет предполагаться, что индекс «О» присвоен четному подпростра1нству, индекс《1» — нечетному.
В дальнейшем мы, как правило, рассматриваем только ^2- гр адуир ов а нн ые пространства -с фиксированной четностью, ■не оговаривая этого специально, Z2-rp аду и рованное линейное пространство размерности р, q удобно обозначать №% где, как обычно, K=R в случае вещественного пространства и К = =С —，в случае комплексного 'пространства. (Это обозначение аналогично обычному обозначению «-мерного линейного пространства над К в виде Кл.)
Четное и нечетное подпространства пространства К「# будем обозначать соответственно Кр,° и №#, К?"』Кр，°® К°#. Каждый линейный оператор в пространстве К。" имеет естественное матричное представление:
力 22 /^22 / \ ^2 /
где Ли — оператор ；в Кр-°, Л22 — оператор в К°", Л12 ——оператор из К°，。в Кр,°, 4— — оператор из Кр,° в К°/. В частности, автоморфизм четности в К。闯 имеет вид
(3.1.2)
где 厶 Iq — единичные операторы соответственно в Кр,° и К。". (При перемене четности в К。，。автоморфизм четности меняет знак Ai = —А.)
Пусть ｛々｝——однородный базис в К。#. Нумерацию векторов будем называть стандартной, если е(еКр-° при l《i《p, etwK°，q при p+lwiwp + g. Однородный базис в Кр^ со стандартной нумерацией будем коротко называть стандартным базисом.
Рассмотрим наряду с /г-традуированным пространством К。’*7 грассманову алгебру Л. Единственная связь между К^" и Л состоит в том, что алгебра Л вещественна в случае, если K=R, и комплексна, если К= С. Никакой связи между числами р, q н числом канонических образующих алгебры Л не предполагается.
Рассмотрим следующую конструкцию. Пусть ®｝ — стандартный базис в К。#. Обозначим через К「闯(А) множество всевозможных формальных линейных комбинаций вида
(3.1.3)(3.1.3)рр+。
(3.1.3)
(3.1.3)
% = £%е‘ + £ 期内'
Iр+1
где ai, а/ — соответственно четные и нечетные элементы Л.
В (3.1.3) элементы г. а. Л стоят слева от элементов К"#. Нет математической необходимости определять умножение элементов №川 справа на элементы Л. Однако возможность умножать элементы К。# справа на элементы Л является большим удобством, от которого не следует отказываться. При этом возникает необходимость связать между собой левое и правое умножения. Мы будем пользоваться двумя вариантами такой связи:
а；・& = &а^;а© = е«・,а；・& = &а^;а© = е«・,а# 尸 е$а»а^=—的а”а# 尸 е$а»а^=—的а”
а；・& = &а^;
а© = е«・,
а；・& = &а^;
а© = е«・,
а# 尸 е$а»
а^=—的а”
а# 尸 е$а»
а^=—的а”
В .первом случае пространство Крт(А) мы будем называть грассмановой оболочкой 1-го рода лространства К。，。， во втором случае — грассмановой оболочкой 2-го рода L
Для рода грассмановой оболочки мы не будем вводить специального знака, отмечая его в нужных местах словами.
В тех случаях, когда изложение относится :к обоим родам грассмановой оболочки, мы будем опускать упоминание о роде.
Отметим некоторые простые свойства грассмановых оболочек:
хотя пространство Кр‘°(А) построено с помощью однородного базиса е； в №。，в действительности оно от этого базиса не зависит： при разных выборах базиса получается одно и то же пространство К%。(А);
Кр# (А) является не только линейным пространством над К, но и двусторонним модулем над °Л (т. е. элементы Кр,<?(Л) можно умножать слева и справа не только на числа, но и на элементы °Л);
размерность К^^(Л) как линейного пространства равна 2NT(p + g), где ^ — число образующих г. а. Л;
пространство Кр#(А) наследует Z2-rpадуиро1вку пространства К?# ： Кр#(А) = К。#(А)㊉ K°Q (А), где через №曾(八)обозначено подпространство, состоящее из векторов вида (3.1.3) с равными нулю коэффициентами а；, через К0,9 (Л) — подпространство, состоящее из векторов вида (3.1.3) с равными нулю коэффициентами а；.
Пространства Кр,°(Л) ；и К°ь(А) мы будем называть грассмановыми оболочками пространств Кр,° м К°ь соответственно;
в К? 口 (А) существует подпр остр а нство, естественным образом изоморфное К?’。： оно состоит из векторов (3.1.3) спер
циального вида х— ^х^е^, xzseК.Подпространства, столь же 1
естественно связанного с К°’% в Кр«(А) нет.
Важную роль в дальнейшем играет отображение т: КР,?(Л) ^-Кр'°, определяемое следующим образом： если хе еКр,?(Л) имеет вид (3.1.3), то
р
m (%) = ^т (а,) е, w Кр'°,(3.1.4)
1
где т(&) гомоморфизм г. а. Л в алгебру чисел К, определяемый формулой (1.2.47)2.
В случае, если Кр, д(Л) является грассмановой оболочкой 1-го рода, Кр, q(A)н (А®) р,厶 где Е — множество, состоящее из одной точки. (Определение модуля (ЛЕ) Р' « см. в гл. 1, § 3, п. 1.)
Г. а. Л, рассматриваемая как линейное пространство, является грассмановой оболочкой градуированного пространства К】」・ Очевидно, что отоб- раженне (3.L4) пространства К1?1 (Л) совпадает с гомоморфизмом (1247). Поэтому обозначение этого гомоморфизма и отображения (3.1.4) одним и тем же символом не должно вызывать путаницы.
В дальнейшем нам удобно будет элементы стандартного 「О1
базиса в К「口 изображать столбиками: д= ](1 на i-м
6
месте сверху). Элементы К「闯 и К。#(А) в этом базисе также являются столбиками, % = | : L причем x»wK, если %三
“I:: ；3Pi(A)
Действие линейного оператора на вектор в этом базисе со- сто'ит в матричном умножении: х-^Ах, где xwK"’。или К「闯(А) является одностолбцовой матрицей.
. Линейные операторы в Z2-r р аду(и ро в а н ны х пространствах. Z2-градуировка пространства К。’。влечет за собой Z2-градуировку пространства линейных операторов в К。’％ Оператор А называется четным, если ЛКр>0 сг Кр,°, Л К°，。и К°，。,н нечетным, если Л Кр,° сг К0^, Л К0,9 сг Кр,°. Другими словами оператор А четен, если он не меняет четность однородного вектора, и нечетен, если меняет.
Алгебру В'сех линейных операторов в К。# будем обозначать L(p, g), подпространство четных операторов — °L (р, q), нечетных— 2(р, q). В соответствии с 'разбиением пространства К。’。в прямую сумму подпростра'нств Кр,? = Кр,° ф Ко,?, каждый оператор A^L (р, q) записывается в виде клеточной операторной матрицы
где Ли <и А22 — операторы, действующие соответственно в пространствах Кр,° и К"°,儿2 отображает К"。в №，°, Л21 отображает КР|° в К°#. Первое слагаемое в (3.1.5) является четной составляющей оператора А, второе「——нечетной. Легко видеть, что автоморфизм четности действует в L(〃，q) согласно формуле
Т+АТАт, (3.1.6)
rueAwL(p, q) имеет вид (3.1.2).
Очевидно, что автоморфизм четности (3.1.6) является автоморфизмом 丄(亿 q) не только как линейного пространства,, но и как ассоциативной алгебры. Отметим, что четность в L(p, g) не зависит от выбора четности в Крь： при перемене
четности в К"〃 оператор А заменяется на А】=—А, автоморфизм (3.1.6) не меняется.
Грассманову оболочку первого рода алгебры 丄(卩，夕)обозначим L{p, ^ |Л). Очевидно, что L(p, ^|Л), подобно L{p, q), является не только линейным пр о стр анством, но также и ассоциативной алгеброй.
В стандартном базисе элементы L(p, ^|Л), лодобно элементам L(p, q), записываются матрицами вида (3.1.5); матричные элементы а?『блоков в случае L(p, g) являются числами, в случае L〈p, g|A) — элементаМ'И г. а. Л: четными в случае блоков Лп, Л22 !И нечетными в случае блоков Л12, Л21， Элементы £(р, ^|Л) являются операторами в КР,<7(Л). Действие оператора 4三丄(〃，g[A) на %wKp"(A) состоит в матричном умножении :
Ах, % = %х е КР1'° (Л), х2 s Ко,? (Л).
Совокупность обратимых элементов алгебры L(p, q | Л) образует, очевидно, группу. Эту группу будем обозначать GL(p, ^|Л).
Мы увидим в дальнейшем, что оператор 4ML(р, ^|Л) вида (3.1.5) обратим тогда и только тогда, когда обратимы операторы 41 И Л22.
Обозначим через GZ(", q | Л) 'множество . эл ементов 4w wt(p, ^|Л) вида (3.1.5) с обратимым оператором Ап и через G'Z(p, |Л) — множество элементов A^L{p, ^|Л) вида (3.1.5) с обратимым оператором А22. Мы ув(иди'М ниже, что G'L(p, ^ |Л) и G,fL(p, ^|Л) являются полугруппами. Из сформулированного выше кр1итерия обратимости операторов 若三 wGL(p, g|A) следует, что GL(p, Л) = GrL(p, ^|Л)П DG"(p, д|А).。
Поскольку 厶(р, ^ |Л) служит грассмановой оболоч.кой алгебры L(p, q), существует линейное отображение m:L(p, ^ |Л) ^L(p,夕)，определяемое со гл а ено общей формуле (3.1.4). Очевидно, что отображение m является гомоморфизмом алгебр. Алгебру °£(р, у) удобно считать вложенной в £(0, q|A) в соответствии с общим правилом вложения четного подпространства в грассманову оболочку (см. выше). Очевидно, что ；при вложении % (р, у) оказывается подалгеброй L(P， |Л), состоящей из операторов, имеющих в стандартном базисе (клеточно-диагональные матр-ицы с численными коэф фи-
Л 0 \ циенгами: 4 =[.
л22/
. Алгебры Matjp, q) и Mat(p, q|A). Фиксируем в К「闻 стандартный базис. Запишем в этом базисе каждый оператор A^L(p, g) и .каждый олератор AwL(p, ^|Л). Полученные множества матриц обозначим через Mat(р, у) и Mat(p, g|A) соответственно. Таким образом, Mat (р, q) состоит из всевоз-
можных матриц вида (3.1.5) с элементами из К, Mat(p, g]A>— из аналогичных матриц, но с элементами из г. а. Л: матричные элементы блоков Дп и Д22 являются четными элементами Л, матричные элементы блоков А^(и А21 — нечетными.
Введем в Mat(p, q) четность, по аналогии с четностью в А (р, д): четными назовем клеточно-диагональные матрицы нечетными ‘— матрицы вида (:，^). Следующие утверждения очевидны: отображения з/-*Л, где 工(р, q), 4wMat(p, q) или &wL(p, g|A), 4wMat(R g|A), являются гр адуир ованны м：и изоморфизмами соответствующих алгебр; алгебра Mat(р, д|А) является грассмановой оболочкой алгебры Mat(p, q).
В соответствии с общими соображениями, справедливыми для всех /2-градуированных линейных пространств и их грассмановых оболочек, определим линейный оператор m:Mat(p, q|A)f °Mat(p, g) =Mat(p)㊉Mat(g) и вложение алгебры °Mat [р, 7) в качестве подалгебры в Mat(p, q|A). Оператор т является гомоморфизмом алгебр.
Группу, состоящую из обратимых элементов Mat(p, q | Л), обозначим GMat(", g|A). G，Mat(p, g|A) состоит из матриц операторов 國三GL(j), g|A), записанных в стандартном базисе.
Подмножество Mat (р, q]A), состоящее из матриц
= ( 11 12 с обратимым блоком А”， обозначим 百22丿
G'Mat(亿 q|A), подмножество, состоящее из матриц с обратимым блоком Л22) обозначим G〃Mat(p, g| A) .G'Mat(p, q Л) и G〃Mat(p, q|A) состоят из матриц операторов G2(p, q Л) и G"L(p, 7 |Л) соответственно, записанных в стандартном базисе. Алгебра Mat(р, 7|Л) является важным вспомогательным средством для изучения алгебры операторов 丄(р, д|А). Отметим, однако, что, несмотря на изоморфизм между этими алгебрами не каждое свойство алгебры Mat(p, g|A) переносится на L(p, ^|Л). Дело в том, что в различных стандартных базисах одному и тому же оператору отвечают различные матрицы. Очевидно, что матрицы Л, А одного оператора, соответствующие различным каноническим базисам в К"。，связаны соотношением
-. В 0\
А^ВАВ~\ 8= [° 旦丿，(3.1.7)
где В】，殳一численные матрицы. Таким образом, те и только те свойства алгебры Mat(p, ^[Л) являются одновременно свойствами алгебры 工("，g]A), которые инварианты относительно преобразований (3.1.7).
Установим критерий обратимости матриц 4wMat(p, ^|Л).
Теорема 3.1. 1) Матрица 4wMat(p, g|A) в：ида (3.1.5) обратима тогда и только тогда, когда обратимы матрицы Ди И ^22.
Матрица AwMat(p, (7jA) обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица
mA = [ m'u ° ) w Mat (p) ф Mat (办\ 0 шЛ22.
Доказательство. Разложим матрицу А по образующим алгебры Л и отделим слагаемое нулевой степени по совокупности образующих: A=Aq+T. Предположим, что существует 4-* и поступим с Л"1 аналогичным образом: Л_, =АоЧ- Т. Из равенства ЛД^! = / вытекает, что АЙЛО = /, следовательно, матрица Ло обратима. Предположим теперь, что матрица Ло обратима, и представим Л в виде A~Aq{I+A^T). Матрица AQ~lT очевидным образом нильпотентна, поэтому Д~' существует: /" = (£(—1)" (4「Т~)п Л^1. (Ряд в скобках конечен ввиду о
нильпотентности AQ~lT.) Таким образом, обратимость А равносильна обратимости 4. Заметим теперь, что 4= | 0,11|,
\ 0 4,22丿
где Ло,и, Л0,22 —— нулевые члены в разложении матриц Ли и 厶22 по образующим Л. Повторяя прежние рассуждения, находим, что обратимость Дп равносильна обратимости 人,“ обратимость А22 равносильна обратимости Л0122.
Следствие. Оператор *三厶(р, д|А) ，внда (3.1.5) обратим тогда и только тогда, когда обратимы операторы 必“ и 必22, операторы Mi и 必22 обратимы тогда и только тогда, когда обратимы операторы т^ц и т^22-
В заключение этого пункта укажем операции в Mat(p, ^|Л), являющиеся аналогами транспонирования, эрмитов око го и комплексного сопряжения.
Пусть А = || a w Mat (р, q | Л). Положим
/ = 3(-1产收炒+个，
где а (t) =а(е(). Другими словами,
W(3.1.8)
再22丿 I - /12422丿
где штрих означает обычное транспонирование. В случае, если г. а. Л обладает инволюцией, в Mat(p, 7]Л) могут быть определены операции * и _, аналогичные эр миговскому 以 комплексному сопряжению: если
Л =||^||, то Л* = i!i||, %= |函(一1 严”呐+”
Другими словами
/ 41 412〈41 Л22/ 41 412〈41 Л22(3.1.9)(3.1.9)伍;1伍;1ЛгЛЛгЛ
/ 41 412
〈41 Л22
/ 41 412
〈41 Л22
(3.1.9)
(3.1.9)
伍;1
伍;1
ЛгЛ
ЛгЛ
где * в применении к а^ означает инволюцию в Л, в применении к Aik — то же, что в применении к А, черта в применении к Aik означает замену всех элементов матрицы А^ на инволютивные: если Alk - \\alkt е/||, т。丽=||吟財 ее'II，力,々=12
Укажем ряд свойств этих операций
(ABf = ВТАТ, (АВ)* = В*А\ АВ^АВ,(3.1.10)
(М)Т = А4А, (А)т ^ArA = A*.
В случае, если * является 'инволюцией 1-го рода в г. а. Л, то(АУ = А,画=4
В случае, если * является инволюцией 2-го рода в г. а. Л, то(/*)* = АЛА,而=А/А.
Все эти свойства устанавливаются непосредственной проверкой. При проверке первых двух соотношений (3.1.10) используется легко проверяемое тождество, справедливое для матриц с антикоммутирующими элементами:
{UVY= — VfUr,(3.1.11)
где 7 означает обычное тра'нспонировани'е.
Сопоставим вектору-столбику х = I :］三 R。国(А) вектор-
\ Xp+J
строчку %'= (%1, ..., Хр+д). Если г. а. Л обладает инволюцией, то помимо х7 сопоставим % также вектор-строчкух* = (%,.. , /+/* Введенные ранее операции над 'матрицами связаны с этими операциями с помощью соотношений, аналогичных обычным:
(/%)，=%'『，(/%)* = %*&.
Матрицы с антикоммутирующи ми элементами. В дальнейшем нам часто будут встречаться прямоугольные матрицы, элементы которых суть нечетные элементы некоторой грассмановой алгебры. Элементы этих матриц по- ларно антиком мутируют.
Лемма 3.1. Пусть У, W — прямоугольные матрицы с антикоммутирующими элементами, причем V имеет т строк и п столбцов, W имеет п строк и т столбцов. Тогда
trlW=—tr УГ,(3.1.12)
det(/+呼 b) =det(/+U 取)-L(3.1.13)
Прежде чем доказывать эту лемму отметим, что для матриц с коммутирующими элементами хорошо известны аналогичные тождества, однако без знака «—» в правой части (3.1.12) и без степени «—1» в (3.1.13).
Доказательство. Обозначим через и法，Wik элементы м атриц V и W соответственно. Имеем
ir WV = 2 侬法％== —tr VW.
Далее, используя (3.1.12), находим
In det (/ 十 WV) = tr In (/ +WV) =^ 上二卢L tr ((W)^ WV)=
=一工卜『(fr(V (W)^1 取))=
=一(— 1 尸+i 打”旷广=—In det (/ + VW).
Экспоненцируя, получаем нужное утверждение.
ПустьПустьС у п е р с л е д и с у п е ip д е т е -р м и ^н ант.
Пусть
Пусть
Л =伫"相 s Mat (р, q\ А).
1 &2丿
Супер следом называется функция ；на Mat(p, g|A), равная str A = tr Ан—tr Д22-(3.1.14)
С упердетер мин антом называется функция на GMat(p,夕 |А), равная
sdet4 = det(4i—4 24 22—%2i)det 4 22T.(3.1.15)
От обычного следа супер след отличает знак «―» в правой части (3.1.14), от обычного детерминанта су пер детермин ант отличает показатель «—1» у второго сомножителя в (3.1.15) L
1 Пусть Л1 Пусть Лdet Лdet ЛОО#22#22=det (Лц 1— Л12 4?1 41)det%^*=det (Лц 1— Л12 4?1 41)det%^*——обычная клеточная матрица,
1 Пусть Л
1 Пусть Л
det Л
det Л
О
О
#22
#22
=det (Лц 1— Л12 4?1 41)det%^*
=det (Лц 1— Л12 4?1 41)det%^*
Отметим, что некоторые эл ементы матрицы Л eMat (р, д|А) являются нечетными и поэтому нвкоммутирующими между собой. Поэтому определить ее детерминант обычным образом затруднительно. В то же время матрицы, стоящие под знаком детерминанта в (3.1.15), состоят лишь из четных, следовательно, коммутирующих между собой элементо®. Поэтому детерминанты этих матриц определяются обычным образом и обладают обычными свойствами.
Суп ер след :и супердетерминант очевидным образом инвариантны относительно преобразований (3.1.7). Это дает возможность определить корректным образом суперслед и сулердетер* ми на нт для операторов из L (р, д|А) и GL(p, q|A) соответственно： str ^ = str/1, sdeta = sdetN, где А — матрица оператора 加 в стандартном базисе.
Укажем простейшие свойства супёрследа и супердетерминанта.
Теорема 3.2. Пусть А,月三Mat (р,夕 |А). Тогда
str 48 = str В4(3.1.16)
Доказательство. Пусть
Применяя лемму 3.1 и пользуясь обычным свойством следа матриц с коммутирующими элементами, находим
str 4В = tr (4 1 [В" + 4 12石21)；—tr (-^Zl^12 +-^22^22)=
^tr (йцЛц^2\A 12)—tf ( — B12%2l + 笈22乂22)= St「B4
Супердетерминант обладает свойством, аналогичным обычному детерминанту.
Теорема 3,3. Супердетерминант мультипликативен:
sdet (ДВ) = sdet Д • sdet В.(3.1.17)
Лемма 3.2. Пусть Л —Лемма 3.2. Пусть Л —произвольная кле-произвольная кле-Доказательство теоремы основано ；на леммах, которые будут использоваться также и в дальнейшем.
Лемма 3.2. Пусть Л —
Лемма 3.2. Пусть Л —
произвольная кле-
произвольная кле-
точная обратимая матрица с квадратными обратимыми блоками Ап и 厶22・ Тогда обратная матрица А~1 имеет вид
—^12 4^1 Л21)—*—总工‘ ％2 (厶22 ' 41 4 J 4J 1 )
Ьг1 ^21 011 ~ -^12 ^22*-^2]) 1(从22 ~'』21 厶'<12)*/
(3.1.18)
Доказательство состоит в непосредственной проверке тождества АА~1 = 1. (Существование матриц (厶и—Д^^зз-МгО-1 и (从22—ЛгИц-М^)-1 следует из тождества
так как в его левой части стоит произведение обратимых матриц.)
Формула (3.1.18) справедлива, в часгности, когда
』=(I， I?} w G Mat (р, g I А). В этом случае обратимость Лц '百 21 ^22 ■
и Д22 следует из теоремы 3.1.
Пусть г. а. Л, используемая для построения Mat(р, <?|А), имеет /V образующих Л = Л.у. Рассмотрим ее как подалгебру грассмановой алгебры An+m, порожденную N каноническими образующими этой алгебры. Обозначим через Z прямоугольную матрицу с р строками，н q столбцами, элементы которой 2(;- суть нечетные элементы An+m- Множество всех таких матриц обозначим через Z. В множестве Z действует группа G Mat (р, ^jAjy), согласно формуле
Z^G-Z=(AZ + B)(CZ + D)~\ G= (^ 彳} (3.1.19)
Легко проверяется, что элемент G・Z представим также в виде
G.-Z^ (Л—ZCp1 (ZD —В),(3.1.20)
где Л, В, С, D— блоки матрицы g~〔 一 определяются из (3.1,18). Положим
Л(С, 7) = (С2+Д)-\ 力(G, Z)=a-ZU (3.1.21)
Лемма 3.3. Матричные функции fi(G, Z), %(G, Z) удовлетворяют функциональному уравнению
/1,2(^2^1, Z)=fi,2(Gi, Z)fii2(G2, G「Z).(3.1.22)
Доказательство. Согласно (3.1.20)
% & Gi, Z)= 4 為 + 瓦G—z(ct 4 + 力l c2)=
=(A^ZC^ + (瓦一ZQ) Ca =
=(4 —Z С1)(Л2 + (Л1 — ZCj 1 (当一Z£)J CJ = % (G】,Z) /2 (G2?G1*Z)
Аналогично исходя из (3.1.19) проверяется, что /i(G, Z) удовлетворяет соотношению (3.1.22),
.Заметим, что элементы матриц 厶 являются четными, следовательно, они коммутируют между собой. Поэтому детерминанты матриц ft могут быть определены обычным образом и обладают обычными свойствами. Положим f(G, Z)= = det%(G, Z) - det f2-1(G, Z). Из (3.1.22) следует, что
f(G2Gb Z)=f(Gi, Z)・f(G2, G「Z).
Доказательство теоремы 3.3 завершает лемма 3.4.
Лемма 3.4. f(G, Z)=sdetG и в действительности не зависит от Z.
Доказательство. Используя (3.1.18), лолучаем
/-1 (G, Z) = det (CZ + D) det (A—ZQ -
=det (CZ + 0) det ((Л — BD^ C)-1 十 ZD~} C (A —区^一⑦口)= det (CZ 十 D) det (/ + ZD^ C) det (Д — BQ-】C)—-
=det (CZ + 0) det (/ + CZD* det (Л ~BD~l。厂】=
=det (CZ 十 0) det (0 十 CZ厂】det D det (Л — 5。"⑦一】=
=det D det (Л — BD~l。厂[
Отсюда f(G, Z)=det(4—BD~XC)detD~l = s det G.
(В процессе преобразования использова'но тождество
согласно которому det(/+Z£)TC) = det(/ + CZ£)T)T.) Замечание 1. Пусть
/ = "А 三 GMat(p,q| А), 尸=(乙 刃2].
\^21 /22 丿422丿
Из теоремы 3.3 и тождества (3.1.18) вытекают различные представления для супердетарминанта в виде произведения обычных детерминантов
sdet Л = det (4J— /^ 若^ Л21) det 4^ = det %丁 det A^ =
=(sdet 4T尸=det 4^ det 彳^ = det ЛЦ1 det (Л22 一 Л21 Лй1 Л12).
(3.1.23)
Замечание 2. Обозначим через G'Mat(p, g|A), G〃Mat(", g|A) подмножества Mat(p, g|A), состоящие из матриц 11121 с обратимыми клетками Ли 必 Л22 соответст”
\41/2丿
венно. Формула (3.1.15), определяющая супердетерминант, может быть очевидным образом распространена на G"Mat(p, g|A): .для того чтобы она имела смысл, необходиМ1а обратимость 力22, но не Ли. Очевидно, что каждый элемент G〃Mat(p, g|A) служит пределом поел едов а те ль'ности элемен- то'В из GMat(", 7[Л). Отсюда следует, что G〃Mat(p, q|A)
является полугруппой и что супердетермгин ант на G"Mat(p, g|A) сохраняет свойство мультипликативности.
Аналогичным образом исходя из (3.1.23) находим, что (sdetN)-4 р ас пр остр ан яется с сохранением мультипликати1ВНО' сти 'на G，Mat(p, (7 А) и что G，Mat(p, g|A) также является полугруппой.
В отличие от обычного детерминанта супердетер м ин а нт не может быть распространен на всю алгебру Mat (р, q|A).
В, конце п. 2 были определены множества операторов G'L(p, g|A) и G〃L(p, 71 A). Очевидно, что эти множества состоят из операторов, матрицы которых в стандартном базисе принадлежат Gz Mat (р, q ]А) и G〃Mat(p, g|A) 'соответственно. Поэтому OL(p, ^] А) и G"L (р, (у| А) являются полупрушпами.
В ы 'ч и с л е н .и е с у п е р с л е д а и с у п е р д е т е р м и- нанта в нестандартном баз'нсе. Пусть {/} — однородный, но нестандартный базис в К°闯，垓wL(p, g|A) — некоторый оператор в КР,(?(А) и Л — его 'матрица в базисе {ej. Положим по определению str Л = str ^/, sdet Л = sdet^/. Задача состоит в том, чтобы вычислять strM и sdet 垓，используя непосредственно матрицу А, без перехода к стандартному базису.
Поскольку & — однородные .векторы, базис {е(} отличается от стандартного лишь нумерацией. Обозначим через U матрицу перестановки, превращающую базис {&} в стандартный:
где {Д} — стандартный базис в К。，％ "^ ——элементы матрицы U.
Обозначим через В матрицу оператора 國 в базисе {%}. Очев'ИД'но, что В= U~lAU. Согласно определению str Л = str ^ = = str В sdet Л = sdet <s^ = sdet В. Благодаря тому, что U является матрицей перестановки базисных векторов, Ве 」w，Mat(p, 7]Л), матрица Л обладает характерном свойством: a&)=a(i)+a(j),(3.1.24)
где а[；，一 элементы матрицы Л 'и для краткости положено a ⑴=a(e/).
Теорема 3.4. Пусть Л — матрица некоторого оператора ^三 GL(p, q I Л) в однородном базисе. Разобьем матрицу в А на клетки:厶=[/ л )> где Ли, Л22 — матрицы порядков т 'и п соответственно, 2% и А^ прямоугольные тХп-，н 九X Xm-матрицы, m, п — произвольные числа, удовлетворяющие условию m + n = p + q. Тогда
str Л = str Л! 1 + str Л22-(3.1.25)
В случае, если матрица А22 обратима, то
sdet Л =sdet (Ли—Az^zi/zDsdet А^.(3.1.26)
97974 Ф. A. EeipeaHiH
97
97
Прежде чем доказывать теорему, заметим, что матрицы А11г Л22 и Д12^22-1^21 обладают свойством (3.1.24). Поэтому они служат матрицами некоторых операторов в пространствах К"Ю), Кр"/"(А), где "',"〃 ——количества четных элементов среди е( при l《km и т +1 <cl<cm + n соответственно, q', q"，— количества нечетных элементов среди eit zn = p' + g', n — p^ + q^. Следовательно, суперслед и супердетерМ'Инант 'матриц N“ 灰纟 4i-412422-%21 определены.
Доказательство теоремы 3.4. Ввиду того что U является матрицей перестановки, диагональные элементы ац матрицы A = UBU-i отличаются от диагональных элементов Ъц матрицы MwMat(p, g|A) перестановкой. Поэтому
p+Qр+<7
str = str 6= £ ",.(一1产)=£ w(一1严).
Точно так же
mm+n
str 41 = £ а〃(一 1 产)，Str 儿2 = £ du (一 1)'1m+l
н, таким образом, str Л = str Дц + str А22-
Перейдем к супердетер мин анту. Пусть Кр ,<?，и К^ ^ —подпространства №。，порожденные векторами е； с номерами 1 < 《i«m (И m+1 <ci^p + q соответственно, p'+q'=m, p,r+qrr=n. Заметим, что если формула (3.1.26) справедлива при каком- нибудь одном однородном базисе в К?’。, являющемся объединением базисовК₽，,<7 и К"", то она справедлива и при любом другом таком -базисе. В самом деле, шусть {瓦} ~ базнс,.
аналогичный ®} и 力=(〜"〜— матрица оператора 或 в /22丿
этом базисе. Очевидно, что матрица перехода от базиса ®} к
базису {ej имеет вид ' 一' Поэтому ；из условия А =
=УЛУт следует, что
/22 二p2若22%>
4i 一儿 硯 4]=%(见一见n寸41) VTL Следовательно, sdet A = sdet 才.
Из сделанного замечания следует, что без ограиичения общности базис {&•} можно считать занумерованным так, что а(е£) =0 при 1《£《р', а(е() = 1 при р'+ 1 ^i^p' + q, а(&)=@ при p'+q+l《，《" +，.
В таком базисе блоки А^ матрицы Л, в свою очередь, естественно разбиваются на клетки. Получаемое в результате более детальное клеточное разбиение матрицы А изобразим в виде схемы. Жирные линии в (3.1.27) соответствуют разбне- нню матрицы Л на блоки 4/. Из (3.1.27) ясно, что 4】三 wMat(p', g'|A), 422=Mat(g〃，p/z)Л). Переход от базиса {е§ к
(3.1.27)(3.1.27)
(3.1.27)
(3.1.27)
стандартному может быть осуществлен 'циклической перестановкой с матрицей U вида
U = 11^-1!，躲/ =у 1 У ： Р(3.1.28),^k,i+p'—p р — р +1《，《р + д.
где 3%/ — символ Кронекера.
Рассмотрим частные случаи.
Л]2=Л21 = 0> Л22=/. Используя матрицу (3.1.28), находим матрицу В= U—AU оператора 加 в стандартном базисе
0\
\о 7.7
Разобьем матрицу ЛцеМа1(р, д|А) на клетки стандартным
образом 41 =
/ &
W21
.В соответствии с этим стандартное
клеточное разбиение В имеет ®ид В =
2)ри цы2)ри цы/e22B = U^AU равна 5 = I о/e22B = U^AU равна 5 = I оООООО оО о
2)
ри цы
2)
ри цы
/e22
B = U^AU равна 5 = I о
/e22
B = U^AU равна 5 = I о
О
О
О
О
О о
О о
Согласно определению sdet4 = sdetB. Учитывая (3.1.29), находим:
sdet 8 = det (8口 一月建 8^ B21) det 8^ =
=det (Сц — C\2 c221c2i) det C22 = sdet Лц.
Л12=Л21 = 0, Лц = /. Пусть стандартное разбиение мат-
#22 на клетки имеет вид ^22 ~I • Тогда матрица
/0 卜 т. е, при стандартном кле-
точном разбиении этой матрицыточном разбиении этой матрицы0 cj
точном разбиении этой матрицы
точном разбиении этой матрицы
Отсюда согласно (3.1.23)
sdet В = det (С22—C2i&L&2)det &L =sdet儿?—
Ли = Л22 = Л #2i = 0. Разобьем матрицу 4〔2 на 'клетки в &з &_
соответствии со схемой (3.1.27) ^12 ~соответствии со схемой (3.1.27) ^12 ~„ 「I- Легко видеть, что стандартные блоки матрицы В= U^lAU имеют вид
соответствии со схемой (3.1.27) ^12 ~
соответствии со схемой (3.1.27) ^12 ~
ОтсюдаОтсюдаsdet В = detsdet В = det
Отсюда
Отсюда
sdet В = det
sdet В = det
Ли =Л22 = /, Л12 = 0. Этот случай рассматривается аналогично предыдущему, результат прежний: sdetB=l.
Таким образом, во всех случаях формула (3.1.26) оказывается справедливой.
00Перейдем к общему случаю. Рассмотрим оператор ^#е wGL(p, g|A), имеющий в базисе {&•} матрицу
0
0
М =
Согласно 4) sdet J?= 1.
Далее, пусть К = Г*<. g имеет в базисе {е(} матрицу с = am =力丁 41 儿)=
\ о aJ
10 /丿%八。/丿
где У ——некоторая матрица, явный вид которой не существен. Используя мультипликативность супернетер мин анта и опираясь на разобранные частные случаи, 'получаем (3.1.26).
Т еор е м а Лиувилля.
Теорема 3.5. Пусть A (Z)&Mat(p, g|A), t — вещественный параметр. Пусть, далее, X(t) eMat(p, g|A) удовлетворяет дифференциальному уравнению с начальным условием
旦= 4Х, Х(0) =/.(3.1.30)
dt
Тогда X(f)wGMat(p『 g|A) inpin всех t и
sdetX = exp { ^ str A (s) ds}.{ЗЛ .31)'
6
Доказательство. Пусть 尤 — решение дифференциального уравнения с начальным условием
备=—灭 4 灭(0)=/.(3.1.32)
Тогда
~ХАХ + ХАХ = 0.~ХАХ + ХАХ = 0.d ~ ну 〜dX
~ХАХ + ХАХ = 0.
~ХАХ + ХАХ = 0.
~(XX) -~аГх + x~dT
Учитывая начальные условия, находим что ХХ=/, откуда Хм wGMat(p, g|A).
Пусть
Положим чтоПоложим чтол = Мп А2\ х =〈41』22丿л = Мп А2\ х =〈41』22丿Х12%2Х12%2У=Х“一Х12Х22ТХ21, Z=X22-1. Из (3.1.30) следует,У=Х“一Х12Х22ТХ21, Z=X22-1. Из (3.1.30) следует,d『НdZ dTd『НdZ dT=(4i 一几位以,Y,=(4i 一几位以,Y,=—Z (Л21JC12 Х22' + Л2г)-=—Z (Л21JC12 Х22' + Л2г)-
Положим что
Положим что
л = Мп А2\ х =〈41』22丿
л = Мп А2\ х =〈41』22丿
Х12
%2
Х12
%2
У=Х“一Х12Х22ТХ21, Z=X22-1. Из (3.1.30) следует,
У=Х“一Х12Х22ТХ21, Z=X22-1. Из (3.1.30) следует,
d『Н
dZ dT
d『Н
dZ dT
=(4i 一几位以,Y,
=(4i 一几位以,Y,
=—Z (Л21JC12 Х22' + Л2г)-
=—Z (Л21JC12 Х22' + Л2г)-
Используя классическую теорему Лиувилля, получаем отсюда» что
—det У = tr (&1 — Xi? Хй1 41) det У, dt
亠 detZ= - tr (Д21X12 X^ + Л22) det Z. at
Далее, согласно лемме 3.1
"(Al-%2х22-%21) =tr (^11 + ^21^12^22-1)-
Поэтому
—sdetX= f— det У V det Z + det У — det Z - 出卜出/dt
=tr (力u —■力22)det У • det Z = str A sdet X.
Учитывая начальное условие Х(0)=/, получаем отсюда (3.1.31).
Замечание 1. Пусть V удовлетворяет уравнению, аналогичному (3.1.30):
等=1М,(3.1.33)
и начальному условию V(0) =/. Тогда VwGMat(p, g|A) и
sdet V ⑴=exp {J str 力⑹ ds 卜о
Доказательство вытекает из того, что -если X(f) удовлетворяет условиям (3.1.30), то Х=Хт — условиям (3.1.32).
матрицей:Х(0) = У(0)=/, X (1) = Х,〕1) = У.{(/) = dXQx-i «),5 (/)=肛死尸⑴.dt—(ХУ) = (Л + 修)ХУ, 8] = ХВХ~\матрицей:Х(0) = У(0)=/, X (1) = Х,〕1) = У.{(/) = dXQx-i «),5 (/)=肛死尸⑴.dt—(ХУ) = (Л + 修)ХУ, 8] = ХВХ~\ПоложимПоложимТогдаТогдаЗамечание 2. Мультипликативность супердетерминанта может быть выведена мз теоремы Лиувилля. Пусть X, Ум wMat(p, g]A). Соединим их гладкими кривыми X(f), У(/) с единичной
матрицей:
Х(0) = У(0)=/, X (1) = Х,〕1) = У.
{(/) = dXQx-i «),
5 (/)=肛死尸⑴.dt
—(ХУ) = (Л + 修)ХУ, 8] = ХВХ~\
матрицей:
Х(0) = У(0)=/, X (1) = Х,〕1) = У.
{(/) = dXQx-i «),
5 (/)=肛死尸⑴.dt
—(ХУ) = (Л + 修)ХУ, 8] = ХВХ~\
Положим
Положим
Тогда
Тогда
Отсюда
sdet(Xy)= exp{j str (A + BJdf} = exp{ [ str 4 威十 j strB &}=ооо
=sdet X • sdetY.
Дальнейшие св ойства с уп ^ерс л еда и супердетерминанта. Прежде всего выясним связь между супердетерминантом и суп ер следом матрицы 'и ее транспонирований.
Теорема 3.6.
sir 4 = str/И, sdet Л = sdet Дг.(3.1.34)
Ai 41) 一再12 422丿Ai 41) 一再12 422丿Доказательство. Согласно определеиию, если
Ai 41) 一再12 422丿
Ai 41) 一再12 422丿
А = С" Е Mat (р, g I А), то Ат =
Отсюда strЛг = 1гЛц,—trA22 =^A\\—tr^22 = str^. Далее, согласно тождеству (3.1.11) и равенству det C/=det U't справедливому для матриц с коммутирующими элементами,
sdet 4T = det (41 + 总?】/I22 丨 4z) det <22 =
=det (j4u — Д12 ^22' 4i) det 儿?' = sdet 4
Попутно с доказательством теоремы 3.3 была установлена важная лемма 3.4. Перенесем ее на случай более общего разбиения матриц. Пр ед в арительно обобщим лемму 3.1.
Лемма 3.5. Пусть U, V ■— прямоугольные блочные матрицы; составленные из элементов г. а.:
2 2 " 1 2 EUU1 1 伍a42 2 " 1 2 EUU1 1 伍a4加加\ |/ "1222 nW1 1 ? 1 2 nV V /IVV加加\ |/ "1222 nW1 1 ? 1 2 nV V /IVV
2 2 " 1 2 EUU
1 1 伍a4
2 2 " 1 2 EUU
1 1 伍a4
加加
\ |/ "1222 nW
1 1 ? 1 2 nV V /IV
V
加加
\ |/ "1222 nW
1 1 ? 1 2 nV V /IV
V
(Числа, стоящие сверху и справа, указывают соответст1венно количество столбцов и строк.) Если диагональные блоки Un, VI： состоят，нз четных элементов А, а внедиагональные U〃, У“, ，，/, — из (нечетных, то t/VeMat(n,, nv | A),卩Um &Mat(m,, m^lA),
strUV=str VUt(3.1.35)
sdet (/+ UV) = sdet(/+ VU).(3.1.36)
Если, наоборот, диагональные блоки состоят из нечетных элементов, а внеди агон ал ьные ——из -четных, то по-прежнему
UUwMat(% /г〃|А), 17U曰Mat(/n', m〃]A),(3.1.37)
ноноstr[；V=—str VU,str[；V=—str VU,(3.1.38)(3.1.38)
но
но
str[；V=—str VU,
str[；V=—str VU,
(3.1.38)
(3.1.38)
sdet(/+UU) =sdet (/十 VU)-.
(равенства (3.1.36) и (3.1.38) справедливы при условии существования входящих в них супердетермин антов).
Доказательство. Включения 0VwMat(/Z, »'|A), VU^ eMat(m,, mv| Л) в обоих случаях очевидны. Используя лемму 3.1 и обычные свойства следа для матриц с коммутирующими элементами, находим: в первом случае
Str UV = tr (41匕1 + a2%1) — tr (41%2 + 么w22)=
=红(%Mi+%1%)一七(%2仇1 +%2&2)=价VU, во втором случае
str UV = tr (U/u + U]2%l) 一 什。21匕2 + ^^ =
=tr (■- Vut7n + 匕夕21) + tr (%2u21 + %2u22)" - str UU.
Используя теорему Лиувилля, получаем при достаточно малом а, обеспечивающем сходимость необходимых рядов,
In s det (/ — aUV) = str In (/ — aUV)—
=一工 F str ((UU)i UV)=
—E F str (V U) = — E ?str (UU尸=
~ In s det (/ — aVU) в первом случае,
£ ~- str (V (UV)1 U) = £ ? str (UU)〃 =
——In s det (/ — a VU) во втором случае.
Отсюда
sdet(/-at/V) = {Sdet(Z~aVt/)в "‘Рвом случае, (3д 39) det,(/ — aVU)~{ во втором случае.
Тождества (3.1.39), будучи справедливыми при достаточно малых а, остаются справедливыми 'при всех а в силу аналитичности по а левой л правой части. В частности, они справедл'и-
вы при а=,— 1. Пусть того же типа, что в п. 6. очередь, разбивается на (3.1.27). Пусть An+m —вы при а=,— 1. Пусть того же типа, что в п. 6. очередь, разбивается на (3.1.27). Пусть An+m —Д = Мн 夕2)一 клеточная матрица Каждый блок Ai, матрицы Л, в свою (Клетки в соответствии со схемой г. а., иервые N образующих которой
вы при а=,— 1. Пусть того же типа, что в п. 6. очередь, разбивается на (3.1.27). Пусть An+m —
вы при а=,— 1. Пусть того же типа, что в п. 6. очередь, разбивается на (3.1.27). Пусть An+m —
порождают т. а. Л^c:Л^+м, 1используемую для (построения GL (р, q I Л^). Рассмотрим множество Z прямоугольных клеточных матриц того же типа, какой предписывается :матрице /12 схемой (3.1.27). Матричными элементами матриц ZeZ служат элементы г. a. An+w・
Теорема 3.7.
sdet Л = det (X2i^+^22)-1 det (Ан—Za2i)-1,(3.1.40)
в частности, правая часть (3.1.40) не зависит от Z.
Доказательство состоит в дословном воспроизведении доказательства леммы 3.4 с заменой ссылки на тождество (3.1.13) ссылкой на более общее тождество (3.1.38).
С у П!е р с л е д и с у п е р д е т е р м и н а нт второго р од а. Обозначим через Mat(p|A) подалгебру (Mat(p, р |Л), состоящую из матриц вида
(3.1.41)
(3.1.42)(3.1.43)(3.1.42)(3.1.43)напом-если инапом-если иЧерез GMat(p|A) обозначим множество обратимых элементо® Mat(p|A). Легко видеть» что str4 = 0 для любого А^М(р Л) и sdetА = 1 для любого XeGMat(p|A). Однако на Mat(p Л) существует также нетривиальная функция, обладающая свойствами следа, я на GMat(p[A)【——нетривиальная функция, обладающая 'свойствами детерминанта. Будем называть их соответственно суперследом и с упердетер ми н а нтом 2-го рода. Они определяются с помощью равенств
(3.1.42)
(3.1.43)
(3.1.42)
(3.1.43)
напом-
если и
напом-
если и
sdet (g ^2)= 1 + tr In(/ + ЛГД).
родародаВ связи с определением супердетерминанта 2-го ним, что согласно теореме 3.1 (g £)亡 GMat(р, р| А),
рода
рода
только если Д1 — невырожденная матрица. Отметим, что в то время как обычный супер след является четным элементом г. а. А, суперслед 2-го рода является нечетным элементом А.
Нечетным элементом является также tr In (I+A^As) 1 . Поэтому [tr 1п(/+Л1-1Л2)] = 0 и правая часть (3.1.43) может быть зали'сана такж'е в в'иде
1+tr ln(/+XrM2) =exptrln(/+/「i/2).(3.1.44)
Установим основные свойства суперследа и супердетерминанта 2-го рода.
Теорема 3.8. 1) Пусть A, BwMat(p|A). Тогда
^trXB = str В А.(3.1.45)
Пусть А, В三GMat(p|А). Тогда
sdet(X5) =sdet Д-sdetB.(3.1.46)
Пусть t — вещественный параметр —оо<^<сю, 4(/)三 eMat(рIЛ) при всех / и Х(力)удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальному условию
—-Л (Z) X, Х(0) = /.(3.1.47)
dt
Тогда Х(/)三GMat (р|А) при всех /, м справедлива теорема Лиувилля
〜f〜
In 7det X (0 = J tr Л (s) ds.(3.1.48)
о
Доказательство. Первое утверждение проверяется непо- ср'едст1вен'но очевидным образом. Докажем третье утверждение, затем выведем из него второе.
Доказательство включения X(f)wGMat(p| А) дословно повторяет доказательство аналогичного утверждения в теореме 3.5 ：и поэтому может быть опущено.
Перейдем к доказательству формулы (3.1.48). Пусть 4(f) имеет вид (3.1.41) и Х(£) — аналогичный вид. Положим Z(f) = = Х】т «)X2(9. Исходя из (3.1.47) получаем для Z(Z) уравнение
孚=—X” (4占 + Л2Х2) ХГ1Х2 + ХГ1 (АЛ + А^ =
= ХГ1Л2Х1(/ —Z2).(3.1.49)
Далее матрица Z состоит н，з иечетных элементов, поэтому в силу леммы 3.1 trZ^nO. Кроме того, обычным образом устанавливается, ЧТО 丄-trZ2计 1 = (2左 + 1) tr (匡~z2n .Поэто-
df\ Л /
му согласно (3.1.49)
tr In (/ + Z) = tr — (/ + Z2 + ...)=
=tr (登(/—Z2)—i)=tr4,(3.1.50)
что в совокупности с начальным условием Z(0)=0, следующему из (3.1.47), эквивалентно (3.1.48).
Перейдем ко второму утверждению. Пусть X, У巨 巨GMat(pIА). Соединим эти матрицы гладкими кривыми с еди-
яицей: Х(0)=/, У(0)=/, Х(1)=Х, У(1)=Г. Положим /(f)= В(0 = —У1, W^XY, 。«)=乂一1犬2, v(o =
=У1-1У2, Z(/) = W\~}W2. Заметим, что
—=空.y + x更=(/ + XBX-1) XY.
Отсюда в силу (3.1.50)
—tr In (Z + Z) = tr (Л + XBX-I) = tr 4 + tr 8.
Следовательно,
In sdet (ХУ) = J tr Л (^ dt + J tr В (t) dt = In sdet X + In sdet У,
ооо
о
о
и тем самым sdet (XY) = sdet X■ sdet У.
Замечание. Обозначим через Mat^ (p) алгебру всех матриц порядка р с элементами из г. а. Л. Алгебра Mat(p]A) изоморфна МаЬ(р), изоморфизм qp：Mat(p|A)->Ма1л (р) действует согласно формуле
<р (Л) =Л[ +Лг,(3.1.51)
где XeMat(p|A) имеет вид (3.1.41).
Обратный「изоморфизм. Пусть 3 HBi+ &三 Mat а (р),用1 состоит из четных элементов Л, В2 一 из нечетных. Тогда
L(B)=做室卜
Канонический вид матрицы общего положения. Пусть
/=(訂肥)wMatSMA), 4 = m{ = (即表}
где zn:Mat(p, g|A)->Mat(p)㊉ Mat(g) ― гомоморфизм, опи^ санный в in. 3.
Матрицу 4三Mat (р, g|A) назовем .матрицей общего поло- 冰ення, если все собственные числа матрицы Ло попарно различны.
Теорема 3.9. Пусть 4曰Mat(C||p, g|A) — матрица общего положения. Тогда существует такая матрица Xw 三GMat(C]|p, g[A), что матрица Е = XAX~i является диагональной.
Доказательство. Введем в алгебру А образующие £. Разложим матрицы А, X, Е по 辱，однородные слагаемые обозначим 叮ерез 4,爲 Б； соответственно. Запишем соотношение между матрицами Л, X, Е в виде
(瓦+片+…)(Х0 + Х1 +...)=
=(Xq+X]十…)(儿十 4 十...).(3.1.52)
Соотношение (3.1.52) является уравнением для определения Et, Хз Приравнивая в (3.1.52) однородные слагаемые одинаковой степени по gi, получаем из (3.1.52) серию уравнений:
^o^n+^iXn—1 +... + £'л^о = ^о/^л_Ь ^i^n—1 +... + ХяДо， (3,1.53)
Разрешимость уравнений (3.1.53) устанавливается с помощью индукции
Начало индукции, п = 0. Уравнение (3.1.53) при п = 0 必ме- ет в(ид
产I О产I О(3.1.54)имеет по-(3.1.54)имеет по-^оХо — ^о-^о-
产
I О
产
I О
(3.1.54)
имеет по-
(3.1.54)
имеет по-
Согласно предположению матрица Ло
парно различные собственные числа. Следовательно, тем же свойством обладают матрицы Ац и Л°2. Поэтому согласно 1классическим теоремам линейной алгебры они приводятся к диагональному виду: /?i = XfE；X?i, &2 = 乂犷听疚凱 Таиим образом, уравнение (3.1.54) разрешимо, ^причем матрица X не
вырождена и имеет ：кл еточ но - ди агон а льн ый вид X。=(八" 0
\ О Х22 /
Общий случай. Пусть уравнения (3.1.53) разрешимы при k<n, (Причем Ай三Mat(C||p, g|A). Покажем, что они разрешимы при k = n и X〃三Mat(6||p, q]A). Умножая (3.1.53) справа на XL и учитывая (3.1.54), (приводим уравнение (3.1.53) к виду
Е.Х^х - Х^У^о +Еп= К〃，(3.1.55)
где%
К„ = Xq4“X^ +…+ Хпт4Х『一当爲一1Х「一 …一 EjiX/尸
Матрица Кп известна согласно предположению индукции, причем K〃=Mat(p, g|A). Уравнение (3.1.55) в матричных элементах имеет вид
出。)一 患))(Xd肃〃 + 入？Ч/ = (К)/.
Оно однозначно разрешимо ввиду того, что 储°，九,°：
需)=(К J„ (Х"Х『),/ =при i н /.
Очевидно, что X и Х}"巨Mat(C|jp, g|A). Следовательно, матрицы Хп *и Х = ЕХп обладают тем же 'Свойством. Из обратимости Xq следует обратимость X, и таким образом, X 三 wGMat(C||p, q|A).
Очевидно, никакая матрица 厶三iMat(p|A), рассматриваемая как элемент Mat(p, р|А), не является матрицей общего положения. Однако для алгебры ，Mat("|A) может быть дано свое определение элемента общего положения.
Матрица Л = е Mat (р | А) называется матрицей общего положения, если численная матрица Ах0=т{А\) имеет
попарно различимые собственные числа.Для алгебры Mat(C||p|A) справедлива теорема, аналогичная 3.9.попарно различимые собственные числа.Для алгебры Mat(C||p|A) справедлива теорема, аналогичная 3.9.Теорема 3.10. Пусть Mat(C||p|A)「一■ элемент общего положения. Тогда существует такая матрица ДеМа1(С||р|А), что матрица Е = ХАХ~1 имеет следующий специальный вид
попарно различимые собственные числа.
Для алгебры Mat(C||p|A) справедлива теорема, аналогичная 3.9.
попарно различимые собственные числа.
Для алгебры Mat(C||p|A) справедлива теорема, аналогичная 3.9.
(3.1.56)
где £о, В — диагональные матрицы.
Доказательство этой теоремы повторяет дословно доказательство предыдущей и поэтому может быть опущено.
АЛГЕБРЫ И ГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ“а и К”д(А)
О б щ и е замечания. В этом параграфе изучаются некоторые подалгебры алгебр £(р, д) :н L (р, д|А) и подгруппы групп GL (р, q) и GL(p, g|A). Все рассматриваемые подалгебры и подгруппы предполагаются 1инвариантными относительно автоморфизма четности (3.1.6).
Это свойство эквивалентно тому, что каждая рассматриваемая подалгебра как линейное пространство распадается в прямую <умму 凯=°北㊉ 1 觊，причем 唸 состоит из элементов, инвариантных относительно автоморфизма четности А,】理一из элементов, у которых автоморфизм четности меняет знак: А(Т)=Т, если 'И только если 丁优觐 А (Г) =—Г, если 以 только если Г^'5(. Очевидно, что 。旣 является гтодалгеброй и что если А, В^ ^, то АВ s °3t, ВА е °^, если 幺三呦，ба】"，то АВ^^, ВЛе 1 泣
Свойства ассоциативных алгебр операторов, которые обсуждаются в этом параграфе, переносятся на произвольные множества операторов и в дальнейшем часто используются в применении к совокупностям операторов, отличным от ассоциативных алгебр (^например，к супер алгебрам Ли; см. ниже).
Такое перенесение производится по следующему правилу. Пусть 如一некоторое семейство операторов и 尊 一 порожденная этим семейством ассоциативная алгебра. Пусть, далее, для ассоциативных алгебр определено некоторое свойство X. Мы будем говорить, что семейство ОС обладает свойством X, если алгебра 袁 обладает этим свойством, м не обладает свойством X, если им не обладает алгебра 虱.Например, семейство SI неприводимо тогда и только тогда, 1когда алгебра 氧 не- ■приводима.
Неприводимоеть. Пусть S(uL(p, g) — некоторая ассоциативная алгебра в пространстве К"，％ Алгебра 91 называется неприводимой, или градунрованно щепривадимой, есля в К?，*7 нет собственного градуированного подпространства, инвариантного относительно всех операторов из 5t.
Алгебра 旣 называется абсолютно неприводимой, если в К「，д нет никакого собственного подпространства, инвариантного относительно 51.
Теорема З.П. Пусть алгебра 必uL(K|p, g) 1инвариантна относительно автоморфизма четности и градуированно неприводима ；в К?#. Тогда:
если р#=7，то алгебра 必 абсолютно неприводима в К?";
если p = q и алгебра 窥 не является абсолютно неприводимой, то существует стандартный базис, в котором матрицы операторов 姦三霞 имеют вид
(3.2.1)
Базис, в котором матрицы операторов 處三觊 имеют вид (3.2.1)» ■будем в дальнейшем называть специальным.
Доказательство. Пусть R—собственное инвариантное подпространство, °口=№叩艮 Воспользуемся инвариантностью алгебры 班 относительно автоморфизма четности и представим 职 в виде 5( = °Ш ® 呦，。既 и °Л (р, д),】31 и rL (р, д). Заметим, что если %三。京，么三。北，то Лк е оR, если4三倒，то м无三K°/ Множество всех y^R, лредставимых в виде ^ =垓匕 x^R,必三 三囈 обозначим iR. Очевидно, что 贡=嗯㊉】RuR — ннвармант- ное относительно алгебры 無 градуированное подпространство. Следовательно, либо 長=决月,либо R = 0. В первом случае также R=Kp‘7, что противоречит предположению о том, что подпространство это собственное. 〜
Проанализируем случай, когда R = 0. Обозначим через 尸。и 戶I проекторы на подпространства Кр,° и К°"： Ро =丄+4 , % =
j 一 A
=, где А — оператор четности в L(p, q). Положим,
далее, RQ = P0R, Ri = PR. Заметим, что ни один вектор guR не аннулируется ни оператором Ро, нн оператором Р, если Р°д = ==0, то у = —АуЕК°«, следовательно, г/ = 0, поскольку, как было установлено, 0=Rf]K°q еелн Pyy = Q, то у = Ау^КР<° 'и у = 0 по аналогичной прич1ине.
Таким образом, dim Rq = dim /?i = dim 7?. С другой стороны, очевидно, 'что пространство R。㊉ R инвариантно относительно алгебры §1. Следовательно, либо R = 0, либо p = g = dimR. Таким образом, при "=#д не существует никаких несобственных и нв а р и а нтны х подп р остр анств.
В случае p = q проделанный анализ показывает, что собственное инвариантное подпространство должно обладать свойствами: Kp« = PoR, №'9 = 2凡 dimR = p. Пусть {е;} — базис в R, {&屮=尸0&} — базис в К₽,°, {е»нр&} — базис в К°#.
Пусть 必三噁，甘一сужение оператора 垓 на пространство К, I匕川一матрица оператора 宏 в базисе {&•}. Очевидно, что tJL^ =尸 а«^，・=Ра^е, = Pa Е с th% = S с+Ра% = W Q 成俨，a = 0, 1. Аналогично, если 浆已叱，份一сужение оператора 國 на R, то “е? = Р+а^а ~ Р 1+<х 2 С%% = 2 C/*e；+a,
где a= 1,2 и 1 + a понимается как всегда no mod2. Таким образом, матрица каждого оператора из 51 в базисе {«严} имеет вид (3.2.1).
Замечание. Пусть p = q, алгебра 霞 не является абсолютно неприводимой н R — инвариантное лодпространство относительно 叟，построенное при доказательстве теоремы.
R не. содержит собственных инвариантных подпространств.
В №，р существует дополнительное к R инвариантное подпространство ^ = AR, где А — оператор четности в Кр,р.
Доказательство очевидно.
В стандартном базисе, в котором операторы из 51 задаются матрицами ни да (3.2.1), элементы пространств R си R выглядят следующим образом:
“WK — произвольные числа. Сужения оператора 垓三尊 на пространства R н R задаются в этом базисе формулами 〃-> (А+т%)" и 〃-> (4—А)" 'соответственно, где 4, 4 — те же, что в (3.2.1).
Лемма Шура.
Теорема 3.12. Пусть 尊】一градуированно неприводимая инвариантная относительно автоморфизма четности ассоциативная алгебра операторов ；в 111Poeтранспве К"'“， 如2 —— изоморфная ей 1градуированно неприводимая инвариантная относительно оператора четности алгебра в пространстве 十& и Т : к"”д‘一>К“е—линейный оператор со свойствами:
(р(В)Т=ТВ, 8三好1, (3.2.2)
AzTfTAi, (3.2.3)
где Ai, А2 — операторы четности в пространствах к""' и К"'' соответственно, е :—— число, ранное 1 или ——1,屮：凯1->^2: изоморфизм алгебр.
Тогда либо Т = 0, либо оператор Т является взаимно-однозначным. Во втором случае р\~Р2, ,1 = 02 при е= 1 и р[ = q^ gI — р2 при в = — 1.
Доказательство. Из (3.2.2), (3.2.3) следует, что Ker Т является ййвариантным подпространством относительно алгебры ◎i и оператора четности Ab Im Т — инвариантным пространством относительно алгебры ^2 и оператора четности А2. Следовательно, либо Ker Т = К""', либо КегТ = 0. В первом случае, 7' = 0, во втором случае используем аналогичную альтернативу относительно Im Т, либо ImT = 6, что эквивалентна 7 = 0, либо Im Г = к%'", что в совокупности с КегТ = 0 эквивалентно взаимной однозначности отображения Т. При е= 1 из (3.2.3) следует, что 丁«“°= К%。，ТК°/= К°'°「прн £ = —1, что ТК%° = =К°@, ГК0" = К%? Следовательно, в первом случае pi = p2,
gi = 02, во втором случае pi = «2, p2 = gi・
Следствие. Пусть К=С, алгебра 象 градуированно неприводима в Срь и инвариантна относительно автоморфизма четности, Т — оператор, перестановочный со всеми 以三氮 и с оператором четности, тогда Т = X/, где 入三С м / — единичный опе
ратор.
В самом деле, при любом цеС оператор ц/ обладает теми же свойствами перестановочности, что Т, следсивательно, теми же свойствами при любом rwC обладает оператор 7^= Г——ц/. Пусть 入一собственное число оператора Т. В таком случае оператор 7\=Т——X/ не может осуществлять вза и мно - однознач - ное отображение €?修 на себя, поэтому согласно теореме 3.12 Л = 0.
Отметим, что при р*д в формулировке следствия можно опустить требование, чтобы оператор Т |был перестановочен с оператором четности: Т =九/ в силу теоремы 3.11 и классической леммы Шура.
При p = q в случае, если алгебра 必 градуированно неприводима, но не абсолютно 'неприводима, оператор общего вида, перестановочный со всеми элементами 5(, имеет вид V+ ц.7.
где / ——единичный оператор н » ——оператор, имеющий в специальном базисе матрицу .
Теорема Бернсайда,
Теорема 3.13. Пусть 吸一градуированно неприводимая ассоциативная алгебра операторов в Ср，％ Тогда, если р*д, то 51 = L (СI д), если р = д м алгебра 5< не абсолютно неприводима, то §1 = Л(С||р).
Доказательство. Первое утверждение есть, очевидно, следствие теоремы 3.11 и классической теоремы Бернсайда.
Перейдем ко второму утверждению. Пусть S3 — некоторая
вполне лриводимая алгебра операторов в Сп. Через Э обозначим алгебру, состоящую из всех операторов, коммутирующих с каждым 毋三引.Алгебра 95 назы1вается (коммутаторной по от-
■ношению к 55. Согласно классической теореме Веддер б ер на
В случае р = д и прн отсутствии абсолютной неприводимости алгебра 91 вполне приводима, и, как уже отмечалось, 襲=入/十读9, где 入，цеС, / — единичный оператор, оУ ——оператор, имеющий в специальном базисе матрицу (/о} Очевидно, что §1 = Л (C|jp). Поэтому, в силу теоремы Веддерберна 鈑= =』(С||р).
Грассмановск：ие оболочки неприводимых алгебр. Пусть 班一 градуированно неприводимая алгебра операторов в О#,方(Л) — грассмановская оболочка 必.31 (Л) является, очевидно, алгеброй операторов в Ср"(А). Из результатов предыдущего пункта вытекает, что 觊(A)=L(p, q|A) при p*q и при p = q в случае абсолютной неприводимости. При р — q в с л уч ае отсутствия абсолютной 'неприводимости 類(А) = =L(РI А).
Представляют интерес следующие вопросы. Пусть Sc uL(p, g| А) —— подалгебра L (р, ^] Л). В каком случае 刃 является грассмановой оболочкой подалгебры ?1и£(р, е) ? В каком случае алгебра S3, рассматриваемая -как линейное пространство, является грассмановой оболочкой некоторого подпространства 製uL(p, q) ?
Ответ состоит в следующем. Введем :в г. а. Л образующие Jh разложим по ним произвольный элемент 分：’
4 = 4о+Е4& + 粥，degc®》2. (3.2.4)
Очевидно, что t^0, Jh^ L(p, 9), причем а(威 о)=О; а(威；・)= L Обозначим через °纵，】以 подпространства в L(p, q), порожден- нме всеми гЛ0 = t40(c^) и 必・=4,(4) соответственно, когда 必.пробегает ®. (Очевидно, что °31 является подалгеброй 厶(р, «).) Положим, далее, 31 =呦㊉ 瞰 Ясно, что если алгебра 刃， рассматриваемая как линейное пространство, служит грассмановой оболочкой какого-нибудь подпространства L (р, д), то этим подпространством может быть только 31. В частности, если S служит грассмановой оболочкой подалгебры, то 必 является этой подалгеброй.
Аналоги классических г р у п п. Очевидным аналогом GL(n) и SL (л)——полной линейной и линейной унимо- дулярной — служат группы GL(p, g|A) и SL (р, д|А), состоящие соответственно из всех обратимых операторов в KP,Q(Л) и из всех операторов в Кр#(А) с 'Супердетерм1инантом, равным 1.
При р = д аналогом групп GL(n) и，SL(〃) можно считать также группы GL (р |Л) и SL (р]Л), где G£(p|A) состоит из всех обратимых элементов алгебры L (р|Л), 5Л(р|Л)，— подгруппа GL(p|A), состоящая из всех операторов с супердетерминантом 2-го рода, равным 1. Ранее (в § 1 п. 9 этой главы)
отмечалось, что алгебра 厶(р|А) изоморфна алгебре всех матриц порядка р, элементы .которых суть произвольные элементы г. а. Л. Это обстоятельство наводит на мысль, что группы GL(p\A) служат даже более естественным аналогом классических групп GL(n), чем группы GL(p, <?[Л). Однако, как мы увидим ниже, группы серии GL (р|Л) обладают рядом любопытных особенностей, не имеющих классического аналога н не встречающихся у групп серии GL {р, д|А).
Пусть Л ——комплексная г. а. с инволюцией 1-iro млн 2-го рода. Введем в пространство Ср，。(А) эрмитово скалярное произведение со значениями в °Л. С этой .целью рассмотрим в Срм однородный базис {ej 以 положим для х, у^Ср^(Л) , %м
(%, у) ^х^Ук, (3.2.5)
где * означает инволюцию в Л. Ясно, что (%, у) е°Л. Подгруппу GL{p, g|A), состоящую из всех операторов, сохраняющих скалярное произведение (3.2.5) инвариантным, обозначим U(р, д|А). Подгруппу U(p, q Л), состоящую <из операторов с супердетерминантом, равным 1, обозначим SU(р, /у|Л). Группы ^(р, 7 [Л) и SU (р, д|А) являются супер аналогами классических полной унитарной и унитарной унимодулярной групп U(л) и SU(n).
Сохранение скалярного произведения (3.2.5) эквивалентно матричному тождеству
U*U==/, (3.2.6)
где * ——операция над матрицами, описаиная в этой главе в § 1 п. 3. Груплы U(р, q Л) и SU (р, ^|Л) являются вещественными формами групп GL(C\\p,(?|Л) и S£(C||p, q|A) соответственно .
Предположим р четным числом 皿 рассмотрим в С*，д(А) ■скалярное произведение со значениями в °А:
Р+。Р+。Р/2
Р+。
Р+。
(X, У)=十 £ (匕必/2+£ — xp/2+iy) + £ /Р”(327)
1р+1
■Сохранение ска л яр наго пр оиэведения (3.2.7) эквивалентно мат- рич н о м у тождеств у
BTJB = J, J=(F)，t=(_%)，(3.2.8)
где BiBT — операция тр а нспон и ров ания, вв еде н н ая ib § 1, п. 3 этой главы.
Подгруппа GL(C||p, g|A), состоящая из всех операторов, сохраняющих скалярное произведение (3.2.7), называется ((комплексной) ортогонально-симплектической. Она является супераналогом одновременно ортогональной и 'Симплектичеокой классических групп и обо13начается обычно OSp(C||p, ^|А).
Эта пруппа представляет особый интерес для физических приложений, так как обладает вещественной формой, которая может быть интерпретирована, как группа суперканоБических преобразсиваний, перемешивающих ферми- и бозе-операторы рождения и уничтожения. Поясним это.
Рассмотрим Z^-rpадуирю1вэнную ассоциативную алгебру 21 с единицей и с однородными образующими
区,處,?/, 1 <г< Р/2, 1 < /< ?, а位)=а&) = 0, аQ) = i, которые удовлетворяют соотношениям
五,Pkr]=[仇,版]=0,
[Pk, 9/d =丄％、(329)
向 Ys]=血,Gs]=。，ys w + RQ$ =
Уместно сделать небольшое отсту1пление в сторону по поводу этой алгебры. Образующие р&, д& удовлетворяют лереста- новочным соотношениям, характерным для операторов импульса и координаты, далее мы рассматриваем образующие ak.B, %в, а左,f, a&,F, KOTOipbie обладают перестановючными соотношениями, характерными для бозеВ'Ских и фермиевских операторов уничтожения 必 рождения. Однако я воздерживаюсь от операторной реализации алгебры 31, и в связи с этим образующие Pk, qh и т. 'П. не называю операторами. Причина этого следующая. У алгебры 事 существует естественная инволюция * , определяемая тем, что образующие 热,义々，Y$ являются относнтель- но нее инвариантными:^ = pk, q\ = qk, yj = ys. У алгебры St существует также операторная реализация iB гильбертовом пространстве, при которой инволюция переходит в эрмитовско'е -сопряжение. Таким образом, при этой «реализации р&, g&, Ys являются самосопряженными операторами.
Однако далее нам приход!ится рассмотреть грассманову оболочку 91 (А) алгебры SI. Алгебра 觇(А) обладает инволюцией, которая является продолжением инволюции, имеющейся ，в 51. Однако из-за нилыпотентиости алгебры А алгебра 5((Л) не может быть реализована операторами ;в гильбертовом простра.н-
стве так, чтобы инволюция переходила в эрмитово сопряжение. Это обстоятельство мне кажется очень существенным с точки' зрения физических приложений.
Положим!
с Pk при 1 < ft < р/2, rk = &_р/2 при р/2 + 1《九《р,(3.2.10)
.%_р при р -；- 1 < fe < р + Q.
Соотношения (3.2.9) эквивалентны следующим соотношениям относительно G：
rkrI 一(—1 丿 rirk~~ hi>
где /= WjkiW — та же матрица, что в (3.2.8).
Рассмотрим грассманову оболочку 2-го рода 題(А) алгебры 51. Пусть g ——линейный градуирован.ный автоморфизм алгебры 恵(А):
「々 % = g% = W 仇sG, Ьк$ 三 А,(3.2.12)
To обстоятельство, что 31(A) является грассмановой оболочкой второго рода, означает, что образующие & обладают теми же перестановочными соотношениями по отношению к элементам г. а. Л, что и компоненты векторав пространства Кр,9(Л) в стандартном базисе: г^а =(——l^i1^аг£ для однородных awA. Кроме того, из того, что g — гр адуированный автоморфизм, вытекает, что элементы rk однородны и что 竄(「上=a(rQ. Отсюда, в овою очередь, следует, что элементы bhs также однородны и что a传心)=a(6i)+a(『s). Таким образом, 5= ||卜臃11 三"at(p, gIА), и соотношение (3.2.12) мож'но записать в матричной форме
7 = вЕ(3.2.13)
где г, г — столбики;
Заметим теперь, что левая часть соотношения (3.2.11) является матричным элементом матрицы
"‘一 a(〃У;
где ' н т — операции над векторами и матрицами, введетаные в § 1. Так как г обладают теми же коммутационными соютно- шеннямн, что 户八，то условие тош, что В является матрицей гра-
дуированного автоморфизма алгебры §1 (Л), имеет следующий рид：
J = rr'—N(rr'Y = Brr'BT — А (Вгг'В'т =
=Вг?Вт — ВА(г?)тВт = В(77 — А(77)т)В = BJBT, (3,2,14)
где J — та же матрица, что в (3.2.8). (При шраведеншл преобразований ис：пользо1вано тождество (Вг)т = АВА； см. (3.1.10).) CooTH-onieHiHie J = BJBT эквивалентно1 (3.2.8) ввиду того, что /2 = /. Таким юбразом, группа градуированных линейных автоморфизмов алгебры 窥(Aj совпадает с 0spi(С||р, д|А).
Алгебра 旣 обладает естественной инволюцией, относительно которой образующие pk, %, % инвариантны. Пусть Л — г. а. с инволюцией. В таком случае в 91(A) существует инволюция, порожденная инволюциями в 51 и в А: (аа)* = а*а*, где а, а*三 三史，а, а*三А, * во всех случаях означает инволюцию. Ввиду того что гk = rk, услав'ие перестановочности автоморфизма с инволюцией имеет вид
(g%)* =方泣=2 (- 1严收阳+a⑼е£ = w屏£.
Отсюда bks = (― 1 严间+°а⑻成$, т. е. В —В. Учитьтая (3.2.8), это условие можно переписать в эквивалентной форме BTJB = J, откуда AB*AJB=J. Учитывая, что AJ=—J, окончательно ,получаем
B*JB = L (3.2.15)
Обозначим через OSp r,* (р, д] А) подгруппу OSp(C\\p, g|A), перестановочную с инволюцией. До, сих пор характер инволюции был безразличен.
Покажем теперь, что труппа OSp r,^z(p, 71 А) является 1веще- ственной формой OSp\C\\p, 7|Л) только в случае, еслн является инволюцией nepEUro рода ,в г. а. А. Применим к обеим частям (3.2.15) инволюцию. Учитьивая, что при инволюции любого рода /* = /, получаем B*J(В*)^ = J. Это условие эквивалентно (3.2.15) только, если (8*)* = 5, т. е. если * является инволю
приводит ；к тому, что матрица В является клеточно-диагональ-ной: 8 = (gu ^ 卜 Условия 312 = ^22 = 0 сохраняются при пе-приводит ；к тому, что матрица В является клеточно-диагональ-ной: 8 = (gu ^ 卜 Условия 312 = ^22 = 0 сохраняются при пе-цией 1тго рода в г. а. Л. В этом случае три аналитическом продолжении параметров rpymibi OSp&*(p, g|A) в комплексную область условие (3.2.15) разрушается и группа OSp R,*(p, 9] Л) превращается в комплексную группу OSp(C^p, q|A). В случае, если * является инволюцией 2-го рода, условие (3.2.15) долол- няется условием B*AJB=AJ. В сов'окупности с (3.2.15) оно
приводит ；к тому, что матрица В является клеточно-диагональ-ной: 8 = (gu ^ 卜 Условия 312 = ^22 = 0 сохраняются при пе-
приводит ；к тому, что матрица В является клеточно-диагональ-ной: 8 = (gu ^ 卜 Условия 312 = ^22 = 0 сохраняются при пе-
реходе ；в комплексную область. Поэтому в случае, если * является инволюцией 2-го рода в г. а. Л, группа OSp ^ (р, д|А) не может ^быть вещественной формой группы OSp(C||p, q|A).
В случае, если * является инволюцией (первого рода, группу OSpR,*(p, g|A) будем обозначать также 0sp(R||p, «|А)・ Расс-мотрим !В алгеб|ре 旣 новые образующие
ak,B = -р=- (Ph— Sh),仇用=~у=ak,B = -р=- (Ph— Sh),仇用=~у=Wf =(y2?-1 —iY#，3，F =гдеWf =(y2?-1 —iY#，3，F =где•(以+ SJ, 1《々《p/2,(3216)(Y2/-1 + 油儿 1《Y @2],•(以+ SJ, 1《々《p/2,(3216)(Y2/-1 + 油儿 1《Y @2],
ak,B = -р=- (Ph— Sh),仇用=~у=
ak,B = -р=- (Ph— Sh),仇用=~у=
Wf =(y2?-1 —iY#，3，F =
где
Wf =(y2?-1 —iY#，3，F =
где
•(以+ SJ, 1《々《p/2,
(3216)
(Y2/-1 + 油儿 1《Y @2],
•(以+ SJ, 1《々《p/2,
(3216)
(Y2/-1 + 油儿 1《Y @2],
g2g2£2£2припричетном gjчетном gjq —^ 12q —^ 12припринечетном q.нечетном q.
g2
g2
£2
£2
при
при
четном gj
четном gj
q —^ 1
2
q —^ 1
2
при
при
нечетном q.
нечетном q.
При нечетном q для получения полной системы образующих в $1 к образующим (3.2.16) следует добавить у『
Образующие (3.2.16) обладают перестамовочными соотношениями, характерными для бозевскнх ;и фермиевских операторов рождения и уничтожения:
[^ktBf。才*в]—赧а/, [а网в,跺-в]=[仪財в, ^а：\в]=。，
{除,f，4；尸} = 6M/, {4f，= {以,F,a团f} - 0.
Залишем связь между образующими а^.в,, ^.f 口「左启 виде
(3.2.17)(3.2.17)
(3.2.17)
(3.2.17)
гдегдепри нечетном д*при нечетном д*/4。
где
где
при нечетном д*
при нечетном д*
при четном g н L = [ 0 1/2'О
./[〃2]，Е〃2])"[〃2] —〃[q/2"./[〃2]，Е〃2])"[〃2] —〃[q/2"U. = —L- ( /р/21
./[〃2]，Е〃2])
"[〃2] —〃[q/2"
./[〃2]，Е〃2])
"[〃2] —〃[q/2"
/2 [〃р/2 —〃р/2 丿
Из (3.2.17) 'следует, что если матрица 5 сохраняет 'соотношения коммутации между f® то матрица B = L-】BL сохраняет со- отношення коммутации между а^в, а&,в, a&,F, а財f. Условие сохранения имеет вид
BJ0 =厶，J】=Lj(z/)t =BJ0 =厶，J】=Lj(z/)t =[° S 丿 прн четном q,/т О 0\I 0 Sg О I при нечетном<0 0 1/[° S 丿 прн четном q,/т О 0\I 0 Sg О I при нечетном<0 0 1/Определение Sg см. гл. 5, § 2, п. 5.— Прим. ред.Определение Sg см. гл. 5, § 2, п. 5.— Прим. ред.d・(3.2.18}d・(3.2.18}
BJ0 =厶，J】=Lj(z/)t =
BJ0 =厶，J】=Lj(z/)t =
[° S 丿 прн четном q,
/т О 0\
I 0 Sg О I при нечетном
<0 0 1/
[° S 丿 прн четном q,
/т О 0\
I 0 Sg О I при нечетном
<0 0 1/
Определение Sg см. гл. 5, § 2, п. 5.— Прим. ред.
Определение Sg см. гл. 5, § 2, п. 5.— Прим. ред.
d・
(3.2.18}
d・
(3.2.18}
Усло1вие перестанов'очности с имволюцией лереписывается в виде
В*КВ = К, K = L*JL=部)，0= [j _%• (3.2.19)
Группу 0sp (R|]p, q\A) при четном q мы будем обозначать также С(т, п|Л), при нечетном q—3(m, 〃|А), m = p/2, п=д/2. Такие обозначения призваны подчеркнуть, что эти группы являются супер о бо бщения ми групп бозевских и фе рмиевских канонических преобразований.
У группы OSp(C\\p, 7|Л) существует также интересная вещественная форма, связанная с инволюцией второ го рода. Она получается, если условие (3.2.19) заменить на
腰8 =%京=倡J).
.Эту группу обозначим 而p(R]]p, q| А). Положим C = ]/AB]/2-； где /А = (；^_市/2), 口三 °sp(R||p, g|A). Матрицы удовлетворяют условиям
С77c =『，『=(；》，C*RC = % (3.2.20)
Второе условие (3.2.20) с учетом первого экв|И：валентно тому, что С=С.
Покажем, что группа <5Sp(R||p, q|A) является вещественной формой OSp(C||p, g|A) только, если * является инволюцией второго рода. Учитывая, что 及* = КА при инволюции любого рода, из второго условия (3.2.20) имеем
C*KA(C*)* = RA. (3.2.21)
Очевидно, что это равенство эквивалентно второму соотношению (3220) только, если (С*)* = АСА, т. е. при инволюции второго рода. В этом случае аналитическое продолжение по параметрам разрушает второе соотношение (3.2.20), что же касается первого, то оно в кокшлек1сном случае очевидным сбра- зом эквивалентно (3.2.8).
При инволюции первого рода (С*)* = С и соотношение (3.2.21) в совокупности со вторым соотношением (3.2.20) дает СА = АС. Следовательно, С является клеточно-диагональной матрицей. Это свойство матрицы С сохраняется при аналитическом продолжении по параметрам и не может быть (выполнено, если oSp(R||p, q|A) является вещественной формой OSp(C||p, q|A). Так как матрица J в отличие от матрицы / из (3.2.8) вещественна, условия (3.2.20) локазывают, что группа ^Sp (R||p, q|A) является более (непосредственным суперобобщением вещественных оимплектической и ортогональной трупп, чем OSp(R|lp,
g[A). Таким образом, эти Еруплы имеют -два различных, в patB- ной степени естественных су1перобо'бщения: группу 0sp(R||p, g]A), которая сохраняет их свойство быть линейными канонн- ческими преобразо1ва!ниями, и группу ^Sp(R||p, g|A), которая, ：во всяком случае формально, более полно сохраняет их свойства «вещественности.
В заключение отметим, что при p = q классическая унитарная, унитарная унимодулярная 'ортогональная и симплектичес- кая группы имеют еще один супер аналог: груп.пы U (р\А) ~ = U(p, р|Л)ГК/А(р|Л), SUg|A) =SU(p, р I Л) DSL (р I Л) и 05р(р|Л) =OSp (р, p|A)AGL(2p| А) соответственно. Все эти груплы обладают такими же особенностями строения, не 'имеющими классических аналогов, как и группа GL(p\A).
Глава 4. СУПЕРМНОГООБРАЗИЯ В ЦЕЛОМ
ВВЕДЕНИЕ
Понятие супермногообразия удобно и полезно возводить к более общему определению кольцованного пространства. Язык кольцованных пространств был .предложен А. Гротендиком ради выработки единого подхода к различным геометрическим теориям: теории гладких многообразий, алгебраической, аналитической геометриям и т. д. Каждой из этих теорий соответствует некоторая категория кольцованных пространств. Теория супер многообразна также укладывается в эту схему с той лишь разницей, что оии составляют подкласс (точнее подкате* го'рию) категории некоммутативных кольцованных пространств. Впрочем, степень « некомму тативности » <с упер^многоюб р азий невелика, и, как мы увидим, к их исследованию применимы методы «коммутативных» геометрнческнх теорий.
Мы начнем с изложения понятия общего (не обязательно коммутативного) кольцованного пространства, для чего, нам потребуется небольшое число определений и конструкций из теории шучков. Мы предполагаем у читателя знакомство е определениями (только с определениями!) категории и функтора, включая следующие примеры категорий: 1) категория открытых подмножеств данного тополо1гического пространства, где морфизмами являются включения UuU; 2) категория множеств и их отоб|ражений; 3) категория абелевых (т. е. коммутативных) групп; 4) категория векторных пространств над заданным нолем (R или С) и 5) категория колец и категория алгебр над заданным полем К (алгебра над полем К есть кольцо с единицей, которое имеет также структуру векторного пространства над К; морфизмом алгебр является всякий К-линейный кольцевой гомоморфизм).
ПУЧКИ
Имеется два определения лучка: пучок как предпучок, удовлетворяющий доиолнительным аксиомам, и пучок как расслоенное in ростр ан ство.
Определение пред пучка. Пусть задано топологическое пространство X и некоторая категория С (мож;но считать, что это одна из категорий 3), 4) или 5)). Предпучок на X со значениям'и в С есть конт р ав aip и а нтн ы й функтор F, действу га-
щий из категории открытых подмножеств X в категорию С. Иными словами, предпучок включает:
задание объекта 尸(U) категории С для всякого открытого UuX и
задание морфизма ру ： F ([/)-+■ F(7) ^категории С для всякой пары VuU открытых подм!ножеств X (мы будем иногда называть его структурным морфизмом данного предпучка). При этом должны выполняться следующие «естественные» условия：
a) pg = 1 (尸(U)) (тождественный морфизм)
.б) для любых 'открытых множеств KuVuUuX
Р^ор* = Рг.
Отображения п р е дп у ч к ов. Если заданы лредпуч- ки F и G на одном пространстве X со значениями в С, то отображением m:FfG иазывается ^совокупи ость морфизмпв /п(и):尸(U)f G (U) категории С, подчиненная единственному условию: для всякой пары 『uU коммутативна диаграмма
m(U)
尸(5>G(U)
Py I
I m (1)”
F (V)> G (7)
где Oy。——структурные морфизмы предпучка G. Понятным образом вводится определение тождественного отображения F-> f 尸'и ко мио зиции отображен'ий предпучков FfGfH.
Аксиомы пучка. Предпучок называется пучком, если он удовлетворяет следующим до.полнательным требованиям: пусть U = U 〃，где 〃 открытые подмножества X (мощность
множества Л произвольна);
.а) Элементы /, g^F(U) -совпадают, если для всякого индекса a三力
.б) Если для всякого а задан элемент fa^F(Ua) так, что выполнено условие «согласованности»
Уа,В 曰 4 Р器П^в 启=P^guuJ。，
то существует элемент f三尸(U), такой, что р^а/ = /апри
в'сех а.
На интуитивном уровне эти аксиомы означают, что элементы fwF(U) определяются своими «ограничениями» на областях
сколь-угодно мелкого тО1крытия U. Это ощущение приобретает точный смьисл при обращении ко второму (эквивалеитному) определению пучка.
Определение пучка как расслоенного п ростр а н с тв а. Под расслоенным пространством с базой X (не путать с расслоением) мы понимаем всякое .непрерывное отображение топологических пространств р:Е+Х. Расслоенное пpo^- странство называется пучком на X со значениями в категории множеств, если р есть локальный гомеоморфизм, т. е. любая точка ееЕ обладает окрестностью Е\ которую р гомеоморфно отображает на ее образ р(Е').
Следующие конструкции связывают эти определения.
I. Конструкция расслоенного пространства по предпучку 尸. Для произвольной точки %wX рассмотрим несвязное объединение U{尸(U), Um%} объектов категории С по всем открытым U 三 ％. Введем в нем отношение qkbhib а лентности 〜,полагая, что 。〜匕，где aw尸(U), b^F(V), -если существует окрестность 呼и ^U[]V точки л, такая, что р^ a = р^б. Указанное объединение разбивается ,на классы экв и в а л ентност.и. Совокупность этих классов (т. е. фaKTOipмножество) обозначим через £х. Положим £ = U^x,"(国)=%. Тем самим отображение р определено, причем Ех есть его слой над точкой %. Множество £х называется слоем пучка 尸 и может обозначаться также через F*
Введем топологию в Е Выберем произвольно %巨X и элемент е三七м и зададим некоторую совокупиоють множеств, содержащих е, которая будет служить базой окрестностей точки е в искомой топологии. По определению е есть класс смежности, состоящий из элементов множеств 尸(U), U三х. Выберем некоторого лредставителя aw尸(U) этого класса. Класс называется ростком в точке % элемента а. Этот элемент имеет росткн во всех точках gwU, которые принадлежат слоям Еу. Объединение этих ростков, содержащее исходный элемент е, есть тю определению множество из указанной базы окрестностей. Легко проверить, что р действительно является локальным го'меомор- физмом.
Заметим, что если 尸一предпучок со значениями в категориях 3), 4) или 5), то множество Ех имеет структуру группы, соответственно векторного пространства или кольца (называемую индуктивным пределом групп, пространств и т. д.尸(U) по фильтру окрестностей точки %).
И. Конструкция пучка по расслоенному пространству. Сечением расслоенного пространства р:Е—> X я ад открытым подмножеством UuX называется любое отображение s:UfE, такое, что ps=l(U). Обозначим через F(U, Е) множество всех непрерывных сечений (Е, р) над U. Всякое сечение при ограничении на открытое подмножество VaU, естественно, остается сечением и сохраняет непрерывность. Поэтому определено отображение множеств р^ ： Г (U, £) -> Г (V, £). Легко видеть, что совокуп-
ность миожеств「(U, Е) и отображений pg является л редпуч- ком 'И удовлетворяет аксиомам III.а) и III.б), поскольку «локальность» элементов F(U, Е) задана с самого начала. Таким образом, мы получаем лучок U=>T(U, Е) со знач!ениями)в категории множеств. Он называется пучком (ростков) сечений расслоенного пространства (Е, р).
Нетрудно указать условия, при которых полученный пучок имеет дополнительную структуру, например является пучком групп, т. е. пучком со значениями в категории 3). Для этого необходимо, чтобы каждый слой Ех зананного |расслоенного пространсгва имел -структуру группы и что：бы прупповые операции были напрерывны в тополо1гии Е, т. е. чтобы они лер вводили непрерывные сечения Е в непрерывные сечения. Подобные условия 'Обеспечивают наличие 'структуры пучка векторных пространств или колец.
Конструкция 〃у“ка по предпучку F. Применим к 尸 первую конструкцию, а к полученному пространству (Е, р) — (вторую. В результате мы получим пучок 戶.Он называется 'пучком, построенным по 1предпучку F. Для всякого открытого множества UuX имеет каноническое отображение множеств
屮(U):尸(U)f 戸(U),
которое -преобразует элемент aqF(U) в сечение Е над U, значение .которото в точке % равно ростку а в этой точке. Непрерывность такого сечения 'следует из -определения топологии в Е Указанные отображения складываются в отображение предпуч- ков, поскольку для всякой пары. VuU коммутативна .диаграмма
尸（S尸（S(p(U)(p(U)用U)用U)屮屮（V）屮屮（V）F(QF(Qa戸⑺a戸⑺
尸（S
尸（S
(p(U)
(p(U)
用U)
用U)
屮屮（V）
屮屮（V）
F(Q
F(Q
a戸⑺
a戸⑺
где py —отображение ограничения сечений.
На интуитивном уровне конструкцию III можно' 'описать так: для всякого UuX множество 尸(U) сначала расширяется так, чтобы удо1влет1ворить аксиоме II 1.6), а затем в расширенном множестве проводится факторизация с тем, чтобы добиться выполнения III.а).
Если F есть пучок, то канонические отображения 屮(U) суть изоморфизмы, след сив ательно, ттренпучки 尸 н 戶 изоморфны. Это и означает э.ив ив а ле нтность двух определений лучка.
Если 尸——прои31В1Ольный лректтучок со значениями в категориях 3), 4)，нпн 5), то согласно приведенны!м выше замечаниям F также принимает значения ib этих .категария1Х, a <p(U)——морфизмы соответств'енно групп, векторных пространств и колец.
О т о б р а ж е н и я п у ч к о в. Пусть F н G — пучки на X. Под отображением m：FfG понимается отображение соответствующих 1пр'едпучкав. Если же пучки заданы 'соответствующими (расслоен!НЫМ'И пространствами (Е, р) и (£', р'), то под их отображением следует 'понимать непрерЫ1в.ное отображение топологических 1п：ростран'ств ц:ЕтЕ', такое, что р'•卩=р. Если в слоях этих пространств имеется дополнительная структура, то р. должно быть согласовано^ с этими структурам и, т. е. для всякой ТОЧКИ XWX,卩1：邑->邑'ДОЛЖНО быть -ПОМ OM'Oip ф ИЗ МОМ.
С помощью 1кон>струкции III определяется факторлучок. Пусть F есть пучок на X со значениями в категории коммутативных групп, a G ——подпучок F, т. е. для всякого UuX G(U) есть подгруппа F{U), причем p?(G (U)) и G (V7) для всякой пары YuU. Факторгруппы F(U、］G (U) образуют преЕпучок, поскольку структурные отображения 囲 порождают гомоморфизмы факторгрупп
F(U)/G(U)^F(V)/G(V).
Этот предпучок, вообще говоря, не является пучком. Построенный по нему пучо« называется факторпучком и 0|бюзначает(ся F/G.
Обратный образ п учж а. Пусть f: УтХ ——непрерывное отображение топологических лространств, а 尸一иучок на X. Образуем расслоенное пространство p:EfX с помощью конструкции I. Рассмотрим расслоенное шроизведение YXx^. Оно является подмножеством в прямом произведении Ух£, которое выделяется уравиением f(y)=p(e), (у, е) еУх£, а топология оорождается топологией прямого произведения. Введем отображение q: У xxE-^Y, которое есть огранниенне проекции У文Е на первый сомножитель. Легко 1вндеть, что е есть локальный гомеоморфизм, т. е. является пучком на У. Оно называется обратным образом пучка 尸 лрн отображении f и обозначается- 产(尸).Если У есть открытое подмножество X, а /:У->Х — тождественное вложение, то пучок『*(尸)называется ограничением 尸 на У н имеет обоз!начение 尸 |У. Слой пучка 尸|У в точке %巨 ^Y можно отождествить со слоем F в той же точке.
Операция обратного образа сохраняет наличие структуры лучка групп, вектор1ных пространств или колец.
Более полнее изложение теории пучков можно 'найти в книге Р. Годемана «Ал геб р аи ч еок а я то：гтология ，н теория пучков».
§ 2. КОЛЬЦОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Нало.мним сначала (некоторые общие определения из теории колец. Кольцом 'назьпвается абелева mpymna А (гру1пповая операция записывается аддити1вно( т. е.，с помощью символов 十， ——),в которой имеется мультипликативная операция Л хЛ->Д, которая удовлетворяет условию ассо ци а ти.в н о с ти и дистрибутивности по отношению к групповой операции (правило раскры-
тия скобок). Эту операцию мы записываем обычным образом： (a, b)ia力.Таким образом, всякому элементу а^А отвечает гомоморфизм группы А в себя, действующий по формуле с^ас (левое умножение), и 1гомо<морфизм с—са (правое умножение). Левым идеалом в % называется всякая подгруппа /,必нварнант- -ная 'относительно левого умножемия на любой элемент а^А. Подогбным образом определяется правый идеал. Левый идеал, котО|рый является и правым, называется двусторонним. Если / — двусторонний идеал 旧 Л, то в факторгруппе А// можно корректно ввести 'мультипликативную операцию. Кольцо A/I ,называется факторкольцом.
Гомоморфизмом колец 4+8 называется гомоморфизм соответствующих групп 屮：24fB такой, что qp(a-az) =ф(я) ^(а7). Если / ——двусторонний; идеал А, то определен гомоморфизм колец А-^А/1, действующий по правилу а->я+Л Он называется каноническим.
Левый идеал 耽 кольца А называется максимальным, если он отличен от всего кольца и содержит любой левый идеал /иЗК, обладающий этим свойством. Кольцо А назовем локальным, ес- ли(В нем имеется единственный левый максимальный идеал й единственный правый максимальный идеал и они совпадают. Нетрудно, 1В!Прочем, показать, ：что из треб о® ан и я единственности левого максимального идеала вытекает единственность .правого и >их совпадение. Этот двусторонний идеал называется максимальным и обычно •обозначается 靦.Факторкольцо А/^ является полем (поле вычетов).
Кольцо А называется алгеброй над полем К, если задан го- мом'орфизм колец К->Л. Алгебра является векторным иростран- ством. Наконец, К-алгеброй навивается алгебра А над полем К, снабженная гомоморфизмом колец г：Л-*К, который является также линейным отображением Ктвекторннх пространств. Ясно, чТ0 Kerr есть Д1вусто1ро1Н'Ний максимальный идеал кольца 4 а К изоморфно лолю вычетов Д/Кег г.
Гомоморфизмом К-алгебр А, В называется гомоморфизм колец, который является К-линейным отображением и порождает коммутативную диаграмму
К
/\ '
А>3
где гА и Гв — структурны е гомоморфизмы.
Примеры. I. R-алгебр а ёр ростков гладких「функций в точке OrRp. Она является индуктивным пределом алгебр гладких функций в области UuRp по фильтру окрестностей точки х = 0. Это коммутативен а я локальная алгебра с максимальным идеалом 50J, образованным ростками, кото-рые обращаются в нуль в точке х=0. Структурный гомомюрфизм г: 6 p->R сопоставляет ростку его значение в этой точке.
II. Алгебра 施р сходящихся степенных рядов от р переменных. Она коммутативна и локальна и является С-алгеброй причем структурный морфизм г:3^р-^С преобразует ряд в его свободный член.
Ш. R-алгебр а 圾？《 ростков гладких функций в точке OwRp со значениями в (вещественной грассмановой алгебре А@ (см. гл. 1, § 2). Здесь структурный гомоморфизм「:尋「与一>1< действует по формуле
r(f)=f(O, 0), (421} где f(x,自)запись прю'извольнюго элемента fw旣рт в виде лоли- нома от образующих Ei, ..., Eq алгебры Ад с коэффициентами ：из 6 R Идеал €D?=Kerr порождается ксординатньгми функциями Xi, .... хР пространства 6₽ и образующими J, ..., £. Покажем,, что этот максимальный идеал одшгственпый (как левый и как правый). Для ЭТО1ГО достаточно показать, что если /(0, 0)=^0, то элемент / обратим. Запишем его в виде %+g, где g — элемент идеала / в ?1р^, порожденного &,.•., Ед, а %三6「. Так как росток % обратим в <§р, он обратим также и в 霞我仪.Поэтому мы можем считать, что %=1. Легко также видеть, что /^+1 = 0, следовательно, ряд h~ 1—g+g?—... конечен. Ясно, что hf=fh— (1-|- +g) (1—я+^2一…)=1, что и завершает 'р ассуждение.
С-алгебра 箔р以 сходящихся степенных рядов от р аргументов со значения1ми в праосмано-вой алгебре Лд(С) с к-омп* лексными 'Коэффициентами. Здесь структурннй гомоморфизм: действует по формуле (4.2.1). Так же как в предыдущем щри- мере, доказывается локальность этой алгебры.
Определение. Кольцованное пространство есть топологическое пространство X вместе с пучком .колец Сх на X. Пространство X называется лодстилающим, а лучок Gх ——структурным лучком данного Кольцованного пространства, которое обозначается (X, б?х)・ Отображением (или морфизмом) кольцованного пространства (X, 0х) в кольцованное пространство (У, О у) объявляется пара (/,屮)，состоящая из непрерывного отображения подстилающих пространств /:Х->У и отображения пучков колец 屮：/*(%)-*■ 6х. (Характерно, что отображение пучков направлено в противоположную сторону, т. е. от У к X, что есть проявление общей д(войственйости /между пространствами и соответствующими пучками.) Отображение пучков <р порождает отображения слоев 屮х ： f* (少力工-*" °х.х в любой точке xwX. Согласно определению § 1 слой лучка 尸(Оу) над точкой х изоморфен спою пучка Оу над f(x). Таким образом, для всякого %еХ имеется гомоморфизм колец
弘：Су/З f С>х,х. (4.2.2)
Обратно, если вместе с f задана совокупность гомоморфизмов (4.2.2), то определено отображение кольцованных пространств при условии, что семейство (4.2.2) непрерывно в следующем
смысле. Пусть Ex и Еу — расслоенные пространства, отвечающие пучкам Gх и б?у и(1):ЕгХгХ->Ех — отображение, которое в 'слоях над точкой %三X действует по фюрмуле (4.2.2). Это отображение должно быть непрерывно ((ЕуХуХ) наделено топологией, наведенной из ЕуХХ). Это условие можно выразить иначе: для всякого открытого VuV и сечения sw0y(『) совокупность гомом орфизмов (4.2.2) преобразует s в сечение 外 над 尸(У).
Открытым кольцованным тюд,пространством пространства (X, ⑺ называется любое открытое подпространство УиХ, снабженное пучком ОI У. С таким подлроспран*ством связано отображение (f,屮)：(У, O|Y)f (X, 0), где f есть влюжение, а 屮一 тождественный изоморфизм, /* (。)= О | Y.
Пучком идеалюв 乡 в структурном пучке 炉 кольцованного пространства называется подпучок О, такой, что для всякого открытого подм,ножествa UuX множество 夕(。)есть ндеал в кольце 0U) (мы имеем в виду двусторонние идеалы). Иначе .гавор'Я, для всякой точки хеХ слой 夕区 луч'ка <7 есть идеал в слое С структурного пучка и со以множеспво d7 и <5 открыто. Множеством корней пучка идеалов <7 называется совокупность Z=Z(^) точек % 三 X, таких, что 臥力②.Таким образом, Z есть множество точек, в которых слой факторпучка 〃7 есть ненулевое кольцо. Будем предполагать, что структурной пучок унитарный, т. е. для всякого UuX кольцо G(U) содержит единицу. Нетрудно показать, что в этом случае множество Z(») всегда замкнуто. Множество Z(»), наделенное топологией наведенной из X, снабженное лучком колец 0留,называется замкнутым тюдаространством кольцованного пространства (X, (7). С -ним канонически ©вязано отображение кольцованных пространств (Z, 0/е7)->(Х, 0), состоящее из вложения ZQX и отображения, порожденного естественными г ом о м ор ф и з м а м и колец.
ОХ-^ОХ/^Х^(О/^)Х, x^Z. (4.2.3)
Вообще же ггодатространством кольцованного пространства называется всякое замкнутое п одпр остр ан сив о его открытого пади ро стр ан ств а.
Кольцованные пространства, изучаемые в различных геомет- рнческих теориях, включая и супер многообразия, относятся к классу локальных пространств, определение которых мы сейчас дадим. Пусть фиксировано поле К (в нашей теории это R или С). К-кольцо,ванным 1прю1страиством назьивается топологиче* ское пространство X, снабженное пучком К-алгебр С Таким образом ( для всякого 'открытого UuX, t?(U) есть К-алгебра с единицей, а (для любой пары VuU открытых множеств 'морфизм ограничения 0(t7)->O(У) есть гомоморфизм К-алгебр. Предполагается также, что для .всякой точки 尤®Х фиксирован гомоморфизм К-алгебр「工：<7工一^К (1назььваемый вычетом). Его ядро есть двусторонний максимальный идеал в 炉品；он обозначается 観х・ Данное кольцованное npociTipaHCTiB'O называется локальным,
если каждая алгебра 0Х локальна, т. е.塞上 есть единственный максимальный идеал.
Под морфизмом К-кольцованных пространств (/, ф) понимается отображение кольцованных пространств, подчиненное дополнительному условию: для всякой точки % (4.2.2) есть гомоморфизм К-алтебр, т. е. К-л инейный гомоморфизм колец, образующий коммутативную диаграмму
К
/ 、(4.2.4)
2У/(Х)>■ 。X,х
с вычетами. Отсюда легко вывести, что Ф71 (®?J = ^f(x)-
Если эвристически понимать слой Ох,х как кольцо ростков некоторых «функций» на X, то отображение-вычет гх есть (вычисление значения этой «функции» ,в точке х. С такой точки зрения коммутативность (4.2.4) означает, что ф лереводит «функции» в их обратные образы при отображении f. На самом деле, как мы увидим ниже, элементы кольца Ох,工 нельзя отождествить, вообще говоря, с ростками функций, так как это кольцо может иметь нильпотенты. В таких случаях отображение <р не определяется юднозначно по подстилающему отображению, однако в любом случае связано с f условием коммутативности (424).
Сейчас мы опишем ряд конкретных категорий кольцованных пространств, начиная с хорошо известной категорнн гладких многообразий и кончая категориями суп ермногоо^б раз ий, на основе приема, обобщающего конструкцию гладкого атласа.
Пусть фиксирована некоторая категория К-кольцованных пространств, подчиненная единственному условию： вместе с пространством она содержат любое его открытое подпространство. Объекты и морфизмы этой категории будем называть модельными.
Определение. Если фиксирована категория 及 модельных пространств, то категорией К-кольцованных пространств типа 次 называется совокупность К-кольцо1ванных пространств (X, С) 'и их морфизмов, удовлет.во'ряющих следующим условиям:
Всякая точка %wX обладает окрестностью U, такой, что имеется изоморфизм К-кольцованных лространств
(f,中)：(и,3 60(М统)，
где (Al, б?м) — некоторое модельное пространство. Этот изоморфизм называется картой на X.
Пусть имеется еще одна карта (g,屮)：(V, <?|V)f (N, <?n), причем ее область задания V переоекается с U. Рассмотрим диаграмму
(unv, 0ll/nv)
觴，彳丿
где W = f(UAV), Nf=g(UC\V), косые стрелки суть ограничения карт, а морфизм (八，％) находится однозначно из условия коммутативности. Требуется, чтобы 1этот мор巾нзм был модельным, т. е. принадлежал категории JL Он называется склейкой карт.
Отображение (尸，①)：(X, ЬхНЧУ, Oy) кольцованных .пространств типа Л само называется морфизмом типа 度,если любое его изображение с ломощью карт на X и У является модельным. Пусть (f, ср) — карта на UuX, a (g, 2) — карта с областью задания УиУ. Под изображением (户,Ф) в этих картах мы псннмаем морфизм (а, а) в следующей диаграмме, к。- то<рый определяется из.усло)вия ее коммутативности:
(尸，①)1。
(U, Ox IS>(K ©у IЮ
(f 用)(g，屮)
、，(％ a) 、，
(M, Ом)> (М On)
Мы предполагаем, что 尸(U)uU; в противном случае следует ограничить карту (f,w)на。，=u0尸7(/.
Легко понять, что пространства и морфизмы типа Л образуют категорию, т. е. при (композиции тип сохраняется. Очевидно также, что открытое подпространство пространства типа Ж имеет тот же тип. Для замкнутых подпространств это уже не так.
Рассмотрим небольшое число примеров, приводящих к известным геометрическим теориям.
На Rn рассмотрим пучок в = &п, значение которого на- открытом подмножестве U есть R-алгебр а всех вещественнозначных бесконечно дифференцируемых функций в U. Отображения ограничения действуют очевидным образом. Элементы слоя &х называются ростками в точке 芯 гладких функций. Пара (R% £") есть локальное К-проетранство, лричем вычет гх: ёх-> f R переводит росток гладкой 巾ункцнн в ее значение в точке х. Рассмотрим категорию М\, объектами которой являются открытые под пр остран ста a R-кольцованных 'пространств (Rn, 6П), 〃 = 0, 1, 2, а мо!рфизмам'И — пары (Д 屮)：(U, 6冗|。)->(廿， 6叫 V), в которых подстилающее отображение f: U^V бесконечно дифференцируемо как отображение подмножеств координатных opocTpaHCTiB. Заметим, что отображение 屮：产(<5俏)->6冗|。 находится однозначно из условия коммутативности (4.2.4)： оно действует по правилу подстановки b^a — b(f(-)).
Категория пространств типа Л\ — эго категория (бесконечно) дифференцируемых многообразий и их гладких отображений.
Пусть 徹"——「пучок ростков голоморфных функций в О. Пара (Сп,箔")является локальным С-просгранством, причем вычеты устроены так же, как в случае 1). Подобным же образом введем категорию %: ее объектами являются открытые подлро'странства пространств (С",翁^),九=0, 1, 2, ..., морфнз- мы суть пары (f, <р), где подстилающее отображение f голоморфно, а (р действует по правилу по|дстаио1вки. Пространства типа 必 一 это комплексн1О-аналитические многообразия.
Отметим, что в примерах 1) и 2) ие обязательно требовать заранее гладкости, соответственно аналитичности подстилающего отображения. Это свойство вытекает .из того, что отображение сохраняет гладкость, соответственно аналитичность.
Категория модельных пространств 4. Объект (Z, Оz} этой категории описывается -следующим образом. Пусть на открытом подмножестве UuO заданы голоморфные фужции «1, ..., а&, а Ж； — ограничение на U лучка 非化 Z есть множество общих корней этих функций, a @z=%u/&|Z, где 2 —— лучо« идеал'01в в ^［；, каждый слой которюго порождается функциями а】, ...,。亢.С-кольцо1Вэнное пространство (Z, бz) не зависит от выбора окрестности U множества Z в S.
Пусть (W7, Ow) другое модельное пространство. Модельный морфизм (f,屮)：(之，°z)~>(杯，Ow) по определению включает подстилающее отображение f:Z-^-W, которое продолжается до голоморфного отображения F： U^V из некоторой «окрестности UnZ ,в О в некоторую окрестность VnM в С771; отображение Ф должно замыкать коммутативную диаграмму
中/* (。м)>Oz
广(箔У)—>宛u
в которой вертикальные стрелки суть естественные отображения, а 戶 действует по правилу подстановки. Читатель без труда лровернг, что из коммутативности этой диаграммы 1вытекает коммутативность (4.2.4), так как максимальный идеал в 0z,z есть образ максимального идеала в 非u,z. Для существования такого отображения <р необходимо и достаточно, чтобы 戶 переводило под1пучок 戶* (У) в 夕，где 夕=ker {^v<5旧}. Отобра
жение qp определяется единственным образом по 尸，но не по f. В этом состоит существенное отличие категории 必 от категорий ^i и 战2,・в которых морфизмы однозначно задаются подстилающими отображенными.
Кольцованные пространства типа ^з называются комппекс- «о-аналитическими пр остр анства м и.
СУПЕРМНОГООБРАЗИЯ
Определение. Зафиксируем целые числа р>0, д》0. Пусть △'——вещественная внешняя алгебра & q фиксированными образующими Ei, ..., %. Зададим ® Rp лучок 旣р& значение которого на открытом подмножестве UuRp есть R-алгебр а 城*，彳(。) всех бесконечно дифференцируемых функций в U сю значениями в Aq. Слой 象笈"9 этого лучка есть алгебра ростков гладких функций со значениями в AQ. Зададим на ней отображение —— вычет G：吗P，q—R по формуле rx(f) =f(x, 0), где /(•, Е) — запись лроизвольного элемента алгебры в виде полинома ;по образующим &,& с коэффициентами，нз £戸.Согласно § 2
通工口& есть локальная R-алгебр а, а (R% 象PR) — R-кольцов анное шроскранство. Алгебры SlP，q(U) обладают Z-градуировкой: элемент / имеет градуировку k, если он является полиномом по 与 степени k. Если различать не сами степени, а .их четность или нечетность, то возникает (более грубая) ^2-градуировка в ^Lp^(U) и, следовательно, во всяком слое 城工伊吟
Введем категорию СВ, объектами которой являются открытые (подпростраиства пространств (R% 好也)，р, g = 0, 1, 2,..., а морфизмами ——любые отображения этих R-кольцованных пространств, сохраняющие Z2-ir.pадуировку. Последнее условие для отображения (/, <р) означает, что для всякой точки х отображение R-anre6p
переводит полиномы от антикоммутирующих образующих четной 《нечетной) степени в полиномы, чья степень имеет ту же четность.
Гладким 'супермногообразием называется всякое R-кольцо- ванное пространство типа СВ. Иными словами, супермногообразие может быть получено в результате склеек модельных супермногообразий (U,象口“17) (они называются также суперпро- страиствами)，с помощью отображений, которые совместны со структурами R-кольцованных нространет® (коммутативно.сть (4.2.4)) и сохраняют 22-прадуифовку. Образ модельного супермногообразия при такой склейке есть карта на данном супер- многообразии, а пара чисел (р, д) называется его размерностью, причем р — четная размерность, a g — нечетная.
Отображения склейки могут быть описаны более явным образом. Координатами или образующими на модельном супермногообразии назовем совокупность координат на подстилающем пространстве R" и образующих алгебры АК
Предложение 4.3.L Пусть。,觊"° | U) и (U‘，51p ,9, | U') —модельные супермногообразия,尤，g — координаты на первом из них, а у“х, Е), i=l, ..., р‘,巾(％, Л,…，旷，
сечения пучка 以「仪 | U четной и (нечетной степени такие, что образ отображения
/: U m % — (% (х, 0), ... , %, (х. 0)) е Rp'
принадлежит Ur. Определен морф.изм категории СВ (/, 屮) (U,額"《I ⑺ f (U',耙"’I U'), такой, что для ВСЯКОЙ ТОЧКИ хУи отображение 屮J действует по правилу 1подстан：овки
Ь®, т])~>а(х, E)=b(y(x, Е), г|(х, »)(4.3.1)
(см. (1.3.6)).
Обратно, всякий морфизм категории СВ записывается таким образом.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Проверим второе. Пусть pi, ... , У?，； Л1> • • •,刀。——четные и нечетные образующие в 以"* ]U'. Положим
勿(居8)=屮(勿)，切(招自)=<₽(%)•
В таком случае формула (4.3.1) справедлива для сечений 6 =物 и b — ^j пучка 重"’'.Поскольку по условию 屮工 есть морфизм R-алгебр, формула (4.3.1) верна также для Ь—\ и,'следовательно, также для любого полинома от yi и r|j，с вещественными коэффициентами. Докажем ее для произвольного ростка 匕已 三期％%， где х° — любая точка U. Пусть 脱'一максимальный идеал в 31 ^). Его образ 外。(加)принадлежит максимальному идеалу 貌 алгебры 曜" (коммутативность (4.2.4)). Подберем мйо-гочлен 万 от элементов у» и п； так, чтобы разность 6—6 принадлежала 隱')叶L Тогда 屮*。俭)一R。(力)三竅‘乜 Согласно примеру III § 2 идеал 覩 порождается образами сечений Xi—x^ и 自力 следовательно ^9+1 порождается однородными полином ам，и степени 7+1 от этих сечений. Так как любой полином такой степени от & равен нулю, отсюда следует, что 竅口+^ принадлежит идеалу, порожденному лишь сечениями х；——％弋°. Из сказанного следует, что
%(勿仰，0 = 而3, 9 =*⑨(双e), n(双日).
С другой стороны, всякий однородный (полином степени д+： + 1 от Уг (х, ^—yii^,自)и r|j (х, ^) обращается в нуль при %=> =%± Поэтому из включения 6 —6 曰巒')卄‘ вытекает, что
卜5(у(х°, Е), п(心，9)=力®仰，S,贝(％°, Ю)-
Два последних равенства доказывают (4.3.1).
В частно'сти, мы вправе заключить, что всякое отображение склейки в структуре супермногообразия имеет .вид (4.3.1). Обратно, ,при томощн таких отображений можно сконструировать супермногообразие.
Предложение 4.32 Пусть фиксировано некоторое множеот- во А и для всякого элемента аеЛ выбрано суперпространство
Ха (т. e. объект категории СВ). Пусть, далее, для всякой упорядоченной пары а, р^Л выделено открытое подпространство 儿卩 пространства Х& и морф(изм 屮妝：*«0-> Х^ категории СВ так, что выполняются следующие условия:
L 屮сф 屮0а = 1 (Хаб)； — 一 _
Для любых а, 0, у 三 А,屮詰(％в) и Xva
(черта означает переход к подстилающему пространству или отображению) <и на_от крытом поди ростра нстве Хар7 про1ст：ра.нст- ва Ха, таком, что Х^у =屮詛(Х^в), вылолняется соотношение 屮тб Р§а ~ 屮ya. Тота существует и единственно с точностью до изоморфизма гладкое супермногообразне X, для которого некоторые отображения (ра:служат картами, а морфизмы q)₽a ——отображениями склейки.
Доказательство не требует ：н；ичего, кроме определений. Мы оставляем его читателю..
Рассмотрим также ком.плексно - ана л итическ'ий аналог понятия гладкого 'супермногообразия.
Определение. Пусть р>0, д》0 — целые числа, a Aq — комплексная внешняя алгебра с фиксирО|ванными образующими』，..., …，&. Введем пучок 禿"口 на Ср, значение которого на UuCp есть С-алгебр а всех голоморфннх функций на U со значениями в А» Согласно § 2 слой этого пучка есть локальная С- алгебра с вычетом гг, действующим по формуле 恥(f) =f (z, 0). Подобно предыдущему случаю в алгебрах 鑑"？(U) вводится Z2-rpa- дуировка. Рассмотрим категорию С/(, объектами которой являются открытые подпространства пространств (Ср,舒居口)，а морфизмами ——любые отображения этих С-кольцованных пространств, сохраняющие ^-прадуировку. Ко Min л екс н о - ан ал и тич ес ки м су- лерм'нотообразнем мы назьпваем всякое С-кольцованное пространство типа СК.
Формулировки и до к аза те льство предложений 4.3.1 и 4.3.2 переносятся без изменений ,на категорию пространств типа СК.
В заключение сделаем некоторые общие замечания. Категория гладких супермногооб'разий содержит категорию гладких многообразий (пространства типа 風、、§ 2) ： |последние можно рассматривать как гладкие супер многообразия нулевой нечетной размерности. Подобию этому категория к ом плексно - ана л итиче- ских многообразий может рассматриваться как часть категории комплексно-аналитических <су перм ногообр азий. Особенностью суперм1ногообразия :как гладкого, так и аналитического является наличие Z2- гр аду и р овки <в структурном лучке О, т. е. Z2- градуи1рО1вки в каждой алгебре сечений б?(У), совместной с отображениями ограничения.
Отметим также, что согласно общему подходу § 2 мы располагаем определениями морфизмов как в категории пространств типа СВ, так и в категории пространств типа СК.
КОНСТРУКЦИИ СУПЕРМНОГООБРАЗИЙ
Подпространство, заданное уравнениями. Пусть (U,尋вд) — модельное тладкое с упермнот о образие, ", i=l, ...» р', и ф；, /= 1, ..., д',——и а боры четных и нечетных сечений пучка 5("°. Рассмотрим подмножество ①匚幫‘"，такое, что всякой точки %wU пересечение фх = Ф Q ^x，Q есть идеал в алгебре 象2", порожденный ростками элементов 厶 и <р). Очевидно, что это подмножество открыто в толологии лучка 報" и, следовательно, является пучком. Оно называется пучком идеалов, порожденным указанными сечениями. Множество его корней X совпадает с множеством точек %, таких, что вычет гх : 5l£'°f R обращается в нуль на Фх. Согласно § 2 (пример III) это множество задается уравнениями
А(х, 0) =0, i= 1,…，pf.
Рассмотрим факторшучок колец 91р^/Ф, В каждой точке хеХ отображение гх порождает вычет q ：图"。/①)х 色级？'/①х f R. Таким образом,象“q/①IX есть пучок R-алгебр, а (X, 好屮①|Х) есть R-кольцованное «подпространство пространства (U,好以).
Введем в факторлучке /з-градуировку таким образом, чтобы естественное отображение пучков 51fM-> 31'"/① было согласовано с градуировками. Для этого мы объявляем четным (нечетным) элементом факторпучка образ любого четного (нечетного) элемента 窮р《.Нужно лишь проверить непротиворечивость такой конструкции, т. е. показать, что ненулевой элемент факторпучка не может быть одновременно четным и нечетным. Пред- лоложим, что такой элемент имеется. Тогда 'существуют элементы а,匕三氯р& разной четности, такие, что а——匕三①工 при некотором xw U, т. е.
а—b = Еа由+Е卩冲”
Разлагая коэффициенты %, &• на четные и .нечетные компоненты, мы получим
а = 2&〃 + 2р/фЛ
откуда следует, что а三①* и, следовательно, с = 0, ч. и т. д.
Таким образом,亚戸出/① |Х есть пучок ^-градуированных R- алгебр, но, вообще говоря, ие является структурным пучком супер многообразия. Необходимые и достаточные условия для этого сов1падают с условиями тео(ре-мы о неявной функции (4.1.3). Наломиим, что эти условия заключаются в том, что при некотором способе нумерации четных и нечетных образующих алгебры сечений 窥戸出 выполняются неравенства
det * 旦刍=；£0(4.4.1)
dxk 力比=1
det 两№，叽#0,(4.4,2)
где под ——— мы понимаем коэффициенты при иечетных
образующих в разложении сечений ср；.
Теорема 4.4.1. Предположим, что в каждой точке xwX выполнены условия (4.4.1) и (4.4.2). Тогда кольцованное пространство
(ХЛ0Ф(^)(4.4.3>
является гладким *супермногообр азием.
Аналогичное утверждение справедливо также и в категории： ком1плексно-аналитических супермиогообразий.
Доказательство, которое мы приведем, применимо также к комплексно-аналитическим суитермногообразиям. Мы покажем, что всякая точка x()wX обладает окрестностью X。， такой, что R-кольцованное 1про(стра;нство (X。，Шр,?/ф j Хо) изоморфно модельному гладкому супермиогообразию, причем соответствующий изоморфизм пучков сохраняет 22-градуировку\ Если, воспользовавшись этим изоморфизмом, заменить указанное коль- иованиое пространство модельным, то мы .получим (реализацию всего пространства (4.4,3) ,как результат склейки модельных ‘пространств с помощью морфизмов, сохраняющих 22-градуирО'В- ки. Согласно § 3 это означает, что указанное пространство есть гладкое суперм-нопообразие.
Итак, остается .построить изоморфизм вида
s:(匕必而)f (Х°, ^1Ф\Х^.
Запишем Rp ^ Rp ф Rp, где Rp —■ подпространство, содержащее р‘ первых координатных осей, a R「一 все остальные. Пусть Е：Хо~>У=；(Ло)——-ограничение координатной проекции Rp->Rp. В силу теоремы о неявной функции (гл. 1, § 3), если окрестность Хо достаточно мала, то
匕 есть гомеоморфизм，н(4.4.4)
существуют четные, 'соответственно иечетные, элементы g^ 屮/三 R「(匕期")， такие, что прн подстановке
х, = g, (х, Е), i = 1,, р , ；& =屯(х,自)，/ = I,, qf
(4.4.5) обращаются в нуль все сечения 厶 и 年广；
* = (%р[+1, •, Хр), 自=&，+】，一 •，EJ
Рассмотрим отображения лучков, заданных на Хо,
自*(旣3")上 泸g I x° 三 ^/ф I х°,
где п ——естественное отображен1ие, a i задано формулой iza(y,v^^b (х,三)三 а 区 §.
Ясно, что они сохраняют /2-градуировку и п есть морфизм R-алгебр. Проверим, что последним свойством обладает также Л Пусть zwXo, N = «z). Тогда g* (纵°'') е ^9° и для всякого элемента а этой алгебры гг(а) =r^(a) =a{z, 0), где г означает вычет. В то время
ГгС(а)) =Гг(Ь) =b(z, 0) =а(г, 0),
т. е. rz = rz-i, что доказывает коммутативность (4.2.4).
Лемма 4.1. Отображение 几力 есть изоморфизм.
Отсюда будет следовать, что отображение s= (^, л/) есть изоморфизм R-кольцованных пространств с 22-градуировкой и тем самым теорема будет доказана.
Лемма 4.2. Пусть г^Х0 и h^^^, причем Л обращается в нуль при подстановке Xi — gi(x, g) и 三/ =屯・(気，Е). Существуют элементы а', 4 三網° такие, что
/i = Sdf(x(—gi)十 S&; (^/一屮力.(4.4.6)
Доказательство леммы 4.2. Будем писать х= (х\ £) м 己= =(У, Е), а указанные подстановки запишем в виде %' = g, g = =2. Рассмотрим элемент 无(х,匕)三九(х;㈠，g) и покажем, что он имеет разложение
h = Zai(xi—gi).(4.4.7)
Как элемент грассмановой алгебры 01/" он имеет вид
%(х, Е) = 2 九G% (%) ?11 • • • ^гл.
Пусть 左一минимальный порядок отличных от нуля коэффициентов 饱I，…,in- Согласно условию h(g(xt ^), х, ^) = 0, следовательно, 比…..,％(g(%, 0)) = 0 для любых /!<,.,</^. Отсюда, как известно (лемма Адамара), вытекает, что
р'_
友"…4(Х) = £ 成,…,以(х)(Ь-gJx，°))，矶，…,国三期"• 1=1
Поэтому полином
行(修总=万(名目一£或(Х)",——g,一(三目)国…%
не содержит членов порядка, меньшего или равного k, .причем снова /i(g, х,自)=0. С помощью индукции мы приходим к (4-4.7).
Далее, положим 巧=畠一屮(気，Е) или коротко т] = У—屮. Разлагая по степеням ”，мы найдем, что
九(%, & =九(％; " + 2, & =九(匕2,百)+ 2切力(招Ю =
=h(x,百 + e ("•一叨(三勖 ，/ (Х,占)
с некоторыми 乙三時'.В сочетании с (4.4.7) это влечет утверждение леммы.〜
Лемма 4.3. Элементы 看一g,・(x,目 и & —屮/(%, ъ) суть сечения пучка Ф на Хо.
Достаточно показать, что во всякой точке z^X。ростки этих элементов принадлежат Фг. Согласно (4.4.5) и лемме 4.2 имеются разложения
力=£ а? (/ — g/г) + £ W (目一S)
(4.4.8) 也=E 4 (/ ■- g J + e d；居-屯)，
коэффициенты которых принадлежат ^q. Из них мы находим, что
吗?。). = a? (*,0), ""=d(居 0).
В силу (4.4.1) и (4.4.2) матрицы {йгй(х,己)} и {d/(x,自)} обратимы над 額牛°. Поэтому обратима также матрица коэффициентов (4.4.8), поскольку недиагональные блоки {bi1} и {с产} образованы нечетными элементами, которые, следовательно, принадлежат максимальному идеалу 彌？• Обращая разложения (4.4.8), получаем утверждение леммы.
Остается доказать лемму 4.1. Покажем сначала, что отображение л/ мономорфно. Пусть ni(a)=0, а е ^'^, т. е.
а 区百)=£ 办(%, S fi (%, E)十 £ 犷(%, E)电(%, Ю
с некоторым1И коэффициентами пз 北^'、 Полагая здесь x' = g и Е' = р, мы не щаменим левую часть и обратим в нуль правую. Отсюда следует, что а = 0.
Проверим, что ni есть эпиморфизм. Для произвольного а е ^г,<? положим b (х, ^) =a(g,元；屮，己).Ясно, что & принадлежит образу г. Покажем, что элемент а' = а——b принадлежит Фг. Этого достаточно для завершения доказательства леммы. Мы лмеем a'(g,元；屮，^) =0. По лемме 4.2 элемент az имеет вид (4.4.6), а в силу леммы 4.3 он принадлежат Ф2-
Прямые произведения с у п е р м н о г о о б р а з и й. Пусть С — некоторая 1категория А ^ В ——ее объекты. Прямым произведением этих объектов называется объект АхВ вместе с морфизмами А^АхВ-^В, которые обладают следующим
«универсальным» свойствам: для всякого объекта Г и его морфизмов в Л и В существует и определен однозначно морфизм в АХ В, такой, что коммутативна диаграмма
В
Теорема 4.4.2. В категориях СВ и СК прямое произведение определено для любых объектов.
Доказательство. Пусть (М, &/) и (/V, On) — гладкие или комплексно-аналитические супермногообразия. Образуем прямое 1произведение подстилающих пространств МXN. Наделим его структурой супермногообразия. Пусть
亿屮)：(G 0L|u)f(f(u),*，g),
(g,屮)：(匕。¥屮)+(g(y), sr，s)
карты на исходных супермногообразиях. На открытом подмножестве UXVuMxN зададим гомеом'орф'изм
fXg:Uy< S(U)Xg(V)uRp"(Cp+r)
по формуле (fXg) (х, y) = (f(x), g(y))・ Образ этого отображения, будучи наделен пучком 題p+l g+s (соответственно 為р+* 卄$), является модельным гладким (комплексно-аналитичесйим) супермногообразием. Следовательно, (UxV, (fXg)* (§(p+r，g+s)) есть супермногообразие, а отображение (fXg, 1) есть карта на нем. Структурный пучок 0Mх n мы получим путем непротиворечивой склейки пучков (fXg)* (^р+г> 9+5). Чтобы определить отображения склейки, рассмотрим еще одну карту 什‘，屮')：(Uz, &f 2")-> 俨(力)，加4 на М связанную с (Д <р) отображением склейки 的 х) (см. § 2, II). Зададим отображение склейки для модельных прямых произведений
(HU^^Xg^),袁叶'")"+(f'(UAU')XgW),耙+〃加)，
положив Л = /гХ 1. Согласно предложению 4.3.1 отображение действует в каждом слое путем 1подстановки % (а) =6(%,自)= ма(%'(匕三)，У(х, »), где У(х,三)=(%/(%,自)，...,хрг(х, |)) и 占'(％, i) = -•• !——некоторые четные и нечетные сечения структурного тучка. Положим
X : а (%', у; R % 10 (%, у, Е, н)三 а (%' (х, Е), у,『(％,受侦
Подобным образом строится отображение оклейки между картами на UxR и UxV^. Непротиворечивость таких склеек легко проверяется.
Определим отображение (МхМ CnxN)f (М ^м)- На подстилающем пространстве MXN оно действует как проекция на прямой сомножитель М. Отображение 'структурных пучков строится следующим образом при помощи карт:
团* (，к) \UxV^ml (2°) I U X V f 報+'"+s ] Ux V w Cmxn |卩 X Н
Подобным образом определяется структурное отображение прямого произведения на второй сомножитель. Проверку универсального свойства мы оставляем читателю.
Расслоенные произведения. Пусть снова С —— произвольная категория, 4f А—З — ее объекты и морфизмы, Их расслоенным произведением называется объект, обозначаемый АХаВ вместе с морфизмами в А и В, такнмн, что коммутативен правый треугольник，в диаграмме
обладающий следующим универсальным свойством: для всякого объекта Г и его морфизмов в А и В, делающих внешнн百 квадрат в диаграмме коммутативным, существует и определен однозначно морфиз.м Г ib расслоенное праизведение, сохраняющий коммутативность всей диаграммы. Прямое произведение есть частный случай расслоенного, если в категории присутствует так называемый финальный объект F, т. е. такой, что всякий объект обладает единственным морфизмом ；в F. В «геометрических» категориях финальным объектом является точка, наделенная тем или иным основным полем в качестве структурного пучка. В частности, точка наделенная полем 加喧R или 5^°'°^С, есть финальный объект в категории СВ, соответственно СК.
В этих категориях расслоенное произведение, вообще говоря, не существует. Однако справедлива
Теорема 4.4.3. Для любых морфизмов супермногообразий
М-^L^N определено расслоенное произведение Мх^ принадлежащее категории 22-градуированных R-кольцованных (С-кольцованных) пространств.
Опишем коротко его конструкцию, оставляя подробности до- тотному читателю. Рассмотрим прямое произведение супер-
■многообразий MXN. Структурные морфизмы прямого произведения на С'0мн'0Ж1итеЛ|И в композиции с морфизмами тип задают отображения (及,儿)：MXN^L. Выделим замкнутое подмножество РиМХ乂 уравнением 厶(％, у) = /2(-^ у), т. е. т (х) =n(y)t и в произвольной точке (%, у、三Р рассмотрим идеал 夕(％幻 в кольце 0城 xn,(*, “)， врожденный элементами 入 1(G)‘一Z2(^a), где 厶 — четные и нечетные образующие алгебры OL,m(x). Объединение ^ = \}^{х,У} есть подпучок идеалов р
в пучке Cmxn\P. Кольцованное пространство (Р, <7mxn|P/夕) есть искомое расслоенное произведение.
Из теоремы 4.4.1 )вытекает достаточное (оно же и необходимое) условие того, что расслоенное произ1ведение супермно- гоо'бразнй само является супермногообразием. В каждой точке (%, ・g)wP должно быть выполнено следующее условие трансверсальности； если 2], ..., z& — четные, а 仇，...,& i— нечетные образующие алгебры 0Ll m(x), то ранг матрицы
[风⑵)九(年))&
I dxj 。约，/ 自=0, П=0, f=【
размера k X (p + г) равен k, а ранг матрицы
f现阿 风(仇)J1
размера /X (g + s) равен /.
Слой отображения с у п е р м н о г о о б р а з и й. Пусть m:MfL ——такое отображение, а / — точка А. Наделив ее структурным полем К, мы получим нульмерное супермногооб- разне (/, К) и отображение супермногообразий 九：(/, К) f f (L,力)，где Cl,i^K есть отображение-вычет. Слой отображения т над Z есть по определению расслоенное произведение отображений т и л. Из сказанного выше легко вывести условие, при котором слой отображения сам является супермногообразием.
СТРАТИФИКАЦИЯ СУПЕРМНОГООБРАЗИЯ
Пусть (X, О х} — суп ер много о бр азие гладкое или 'комплекс- но-аналити'ческое. Выберем точку %wX и рассмотрим идеал /* в Ох,х, порожденный всеми нечетными образующими 自i自。 алгебры Ох,х. При другом выборе нечетных образующих 川， “g мы получим тот же идеал, поскольку тр разлагается по нечетным степеням образующих 后 и обратно. Объединение / = = (J^x есть открытое лодмножество пучка 以，(поскольку всякая нечетная образующая в данной точке является таковой и в близких точках. Следовательно, I есть подпучок идеалов пучка Ох- Сказанное относится и к его степеням /后= [_]/*&，々= =2, 3, .... Отметим, что множество корней любого из пучков
Ik есть все подстилающее пространство. Согласно определению § 2 при любом 々 кольцованное пространство
左=(X, Uxlf
есть замкнутое 'подпространство Х&+1 и также супермногообразия Х»=(北 0%). Таким образом, мы имеем цепь «вложений» кольцованных пространств
Х()『Л\и …『Х^= X&+i『 …匚 Xg. (4.5.1)
Пространство X。мы назовем носителем данного су пер многообразия, a Xk ——/г-й инфинитезимальной окрестностью носителя в супермногообразии Хх. Цепь (4.5.1) назовем инфинитезимальной стратификацией этого супермногообразия. Заметим, что Xq = Xs, если число Q больше нечетной 'размерности су пер многообразия в каждой его точке.
Предложение 4.5.1. Пространство X。обладает тривиальной градуировкой и изоморфно гладкому, соответственно ко мп леке- но-аналитичеакому многообразию.
Первое утверждение очевидно. Для проверки второго нужно установить локальный изоморфизм X。и модельного пространства 'из 1категор'ии 贫1, соответственно 協2・ Пусть 什,叫：(U, bx|U)-> ”，虱о，。)一 любая карта на X. Поскольку 中 сохраняет /г-градуировку, оно изоморфно отображает пучок /| U на аналогичный пучок "uStP^/V и, следовательно, порождает изоморфизм R-кольцованных (С-кольцов энных) пространств:
(U, ОХЦI U) => (У,觊叫歹 |1今
Таким образом, мы получаем карту на многообразии 凡.Отметим, что согласно сказанному в § 2 нет необходимости прозе- рять гладкость (аналитичность) отображений оклейки этих карт. Другой способ в этом убедиться дает предложение 4.3.1, по которому склейки задаются отображениями к—д = =(山(X, о), .... ур(х, 0)).
Это шредложение объясняет разницу между понятиями подстилающего пространства и носителем данного супермногообразия: первое есть лишь топологическое пространство, iBTopoe имеет более тонкую структуру.
Более интересную информацию несет первая инфинитезимальная окрестность X】.Для ее описания необходимы дополнительные понятия.
Определение. Пусть (Z, 6?z) — кольцованное пространство, <Ж — пучок на Z. Скажем, что 放 имеет структуру 0Pz-модуля, если для всякого 2巨Z слой Jtz этого пучка имеет структуру С^г^-модуля (левого или правого), т. е. является коммутативной группой, и определено отображение кольца Oz? в кольцо эндоморфизмов этой группы (сохраняющее соответственно, меняющее порядок элементов при композиции соответствующих
эндоморфизмов). При этом требуется, чтобы отображение- Опорожденное дейспвмем колец bz,z на 应之，было непрерывно.'
Естественным образом вводится понятие отображения Ог- модулей, изоморфизма, прямей суммы и т. д. bz-модупь 纟 называется локально свободным, если для любой точки 2Mz имеется окрестность К и целое неотрицательное число k, такие, что существует изоморфизм О z | U7-модул ей ^\W^C^zk\ ^. Число 々 называется рангом этого мод^^ля в точке z.
Предложение 4.5.2. Пусть (X, 0х) — гладкое или ‘комплексно-аналитическое супер многоообр азие. Пучок //Q ：имеет структуру локально свободного б?^//-модуля. Ранг его в точке равен нечетной размерности X в этой точке.
Доказательство. Всякий пучок 'идеалов в 0х есть б?х-модуль, следавательно, ///2 имеет структуру фактор модул я. Всякий элемент а^Ох, принадлежащий / действует в этом модуле тривиально. Поэтому ///2 фактически имеет структуру С?^//-модуля. Покажем, что он локально свободен. Пусть (力 屮)—карта на супермно го о б разии с областью определения U. Рассмотрим отображение пучков
厂(泸力7)。—〃/2|и, действующее по формуле (%, ... , а/W а《(£), где 己匕 *q — суть нечетные образующие пучка 旣「#, а нерта означает класс элемента в фактор пучке 7/72. Легко -проверить, что это отображение есть изоморфизм.
Имеется простой способ образовать векторное расслоение над многообразием X。по локально свободному пучку 纟.Слой этого расслоения над точкой х есть векторное пространство S\/與х玄％ над полем (^х。,丫/城＞ где 强丫 означает максимальный идеал в алгебре Dx。/, а 吗2* есть об(раз отображения SJixX^x-*^. Локальная свобода гпучка 2 обеспечивает локальную тривиальность расслоения. Применив эту конструкцию к пучку 〃/2, мы получим векторное расслоение Vf X» Оно тривиально над всяким подмножеством UuX, и а котором определена карта, а его размерность равна нечетной размерности супермногообразия. Образы 日，...,扇 в пучке ///2| U нечетных образующих с,], ..., ® порождают в каждой точке х巨U базис пространства Nxf= (///2)х/Ф?х(///2)х. При переходе 'к другой системе образующих т)1 /дновые базисные элементы выра
жаются через первый базис по следующему линейному правилу:
品=^山任叱百.(4.5.2)
Эти формулы суть линейные части преобразований от 日 к т]/ в структуре супер многообразна.
Сказанное приводит к следующей геометрической картине: первая инфинитезимальная окрестность носителя, т. е. прост-
ранство Xi, адеиватна многообразию Xq, 'наделенному локально тривиальным конечномерным гладким (1комплексно-аналити- ческ'им) векторным расслоением V. Первые окрестности заданного многообразия изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны соответствующие расслоения.
РЕТРАКЦИЯ И ПЕРВОЕ ПРЕПЯТСТВИЕ
Векторное расслоение №, построенное в предыдущем параграфе, естественно называть конормальным расслоением на носителе суп ер м<н ого обр аз и я ввиду понятной аналогии с конструкцией конормального расслоения в случае обычных много。®- разий (. Рассмотрим теперь в некотором смысле обратную конструкцию： по многообразию X。и локально тривиальному векторному расслоению № на X。построим супермногообразие, для которого X。есть носитель, а ^, — «онормальтаое р а сел о- ение к носителю. Среди всех многообразий, удовлетворяющих это'му условию, имеется в определенном смысле наиболее простое; обозначим его Xo(W). Коротко говоря, структурный иу- чок этого супермногообразня есть пучок ростков функций на Хо со значениями во внешней алгебре, построенной на расслоении Nf. Мы имеем в виду гладкие или комплексно-аналитические функции в зависимости от категории многообразия ：и расслоения. Иными словами, этот структурный пучок можно получить 'путем склейки модельных пучков ?1办。|。，если отображение склейки преобразует четные образующие этих пучков так же, как преобразует отображение склейки многообразия Хо координатные функции, а нечетные образующие заменяются по формуле (4.5.2).
Супермногообраэие вида ^(^) мы считаем простым в том отношении, что оно (Полностью задается объектами X。и Ы\ принадлежащими обычной геометрии. Рассмотрим следующую задачу: при каких условиях 1супермногообразие X изоморфно некоторому простому? На основе сказанного выше можно дать ответ: всякая точка должна обладать окрестностью U, такой, что в пучке (7x|U можно выделить систему координат {Xi, &•}, обладающую следующим свойством： если система координат {勿，1)/} выделена в пересекающейся окрестности, то они связаны формулами
Ук = Ук (^1> • • • > %р),归=1 > ... > Р, (4.6.1) q
Л/ = ^^ а； (%1‘ • • •，％) &，I — 1, ... , ^7， (4.6.2)
На самом деле, это более чем аналогия. Пусть Тх — касательное расслоение к X (т. е. расслоение* слой которого в точке есть пространство дифференцирований О х, х^К). Нормальное расслоение ^ к Хо есть по определению коядро канонического вложения Тх^ТХл Легко проверить, что Nf двойственно N.
где yk(x), ai> (x) —— гладкие (камплексно-аналитичесиие) функции на пересечении, т. е. четные образующие преобразуются независимо от нечетных, а нечетные ：——линейно.
Ответ в такой форме неудобен ,в разных отношениях. Наша задача теперь состоит в том, чтобы дать его ib инвариантной форме .и в терминах геометрии. Сейчас мы займемся отдельно условием (4.6.1). Его инвариантный смнсл есть существование ретракции супер многообразия на его носитель. Напомним, что имеется каноническое вложение i:X0-^X. Ретракцией X на X мы называем (так же как в любой другой геометрической теории) отображение супер многообразий г:Х->Х0 такое, что композиция ri есть тождественное преобразование носителя.
Предложение 4.6.1. Существование четных образующих, удовлетворяющих (4.6.1), н©обходимп <и достаточно для того, чтобы существовала ретракция супермногообразия на его носитель.
Доказательство. Необходимость. Ретракция означает существование отображения сг пучков К-алгебр (С-алгебр), такого, что композиция
^х0 = Ох" --+• Ох 乌+ 统〃
есть тождественное отображение. Пусть UuX。1— координатная окрестность, jq, ..., х@ ——координаты в U. Элементы o(%D суть сечения Ьх над U, причем по (%,) суть координатные функции. Отсюда легко заключить, что сечения。(修)могут служ1ить четными образующими в лунке 6GJU. Другие координатные функции у； связаны с 務 формулой вида (4.6.1). Так как о есть отображение пучков алгебр, то о®/) = =协(。(修)，…，0(кp)), ч. и ?. д.
Достаточность. Нужно построить отображение сг. Пусть {х?} — выделенная система четных образующих в окрестности U. Сечения л (х；) могут служить локальными координатами в окрестности любой точки zwU. Поэтому всякий элемент а 三⑵g,z можно записать в виде ростка функции а (л (xj, ..., л (хр)). Положим
а(а) =2(%1,…，хр).
Ясно, что a：Ox°,zf Ох* есть ото^браж.ение алгебр. Оно не зависит от выбора выделенной системы образующих, так как п(Р/) =У/Е(%1),…，л (хР)), т. е. координатные функции преобразуются по тому же закону, что и образующие.
Теперь наша задача приобрела инвариантное звунанне: когда существует ретракция супирмногоо&разн’я на носитель? Для решения мы воспользуемся -инфинитезималь'ной стратификацией (4.5.1). Будем решать .нашу задачу л ос ле дав а тел ь но для пространств Xk,々=1, 2,.... Этот способ аналогичен решению уравнения путем отыскания тейлоровского разложения неизвестной функции.
С помощью рассуждений, подобных предложению 4.6.1, нетрудно установить, что ретракция X&f X。 существует в том и только том случае, когда 'существуют выделенные системы четных образующих, удавлетворяющие (4.6.1) по модулю пучка /用+1, т. е. с точностью до слагаемых, .не содержащих степеней ниже 々+1. Так как для любой системы четных образующих формула (4.6.1) верна по модулю /2, то ретракция Xj-*^ всегда существует. Этот вывод согласуется с тем, что структурной .пучок X} можно отождествить с тунком сечений расслоения 巨㊉ №, где Е — одномерное трив1иальное расслоение на Хо.
Дальнейший план действий таков： ретракцию X, которую мы 'нашли, попытаемся продолжить до ретракции Х?, затем, если это удастся, продолжим ее на Хз и т. д. После конечного числа попыток мы либо остановимся из-за 1невозможности продолж<ить ретракцию с Xk на Xk+ъ либо -получшим !ретракцию всего суп ерм« о г о об.р ази я (предполагая, что его нечетная размерность ограничена). Сначала рассмотрим первый нетривиальный шаг: продолжение ：ретракции с X】：на Х2. Пусть Т означает касательное расслоение к 'носителю, а А?爾'есть внешний квадрат его конормального расслоения.
Теорема 4.6.2. Для всякого супермногообразия X однозначно определен элемент n{^Hl (Хо, Г®AWA), обладающий следующим свойством: ретракция Х2->Х0 существует тогда и только тогда, .когда /“ = 0.
Этот элемент мы назовем первым .препятствием к построению ретракции X.
Теорема 4.6.3. Пусть (1, р):尤->X。— некоторая ретракция, а р三〃°(Xq, Т®AW). Тогда определена ретракция (1, р + т), действующая по формуле
少(X?)三 s i р (s) + т (s)三 D (Х2),где т понимается как векторное иоле на Хо, переводящее сече-ния пучка G(Xo) в сечения /2//3.
Всякая ретракция X2-*X0 имеет вид (1, р+т) с некоторым те//°(Хо, Т%^№、. Иными славами, множество таких ретракций есть однородное пространство, на котором транзитивно действует группа //°(X0, Г®AW").
Доказательство теоремы 4.6.2, Вьиберем (какой-нибудь атлас °U на супермногообразии X, т. е. совокупность карт, области определения которых .покрывают подстилающее пространство. Он порождает в частности, атлас 2。на многообразна Хо- Пусть (/, ф) и (g,屮)——любые карты из атласа 勿， определенные на U, соответственно UcrX。，а {/, &} 1— образующие модельного пучка 51Pqi/(U). Если (s, а ) — отображение склейки этих карт, а 妳，8=1, ...,卩，一четные образующие на g(U), то о(妳)суть четные сечения 1модель1ного (пучка «ад И^ПЮ，т. е.
。(")=% (%,占)三иB (%，0)+ W y?(尤)占吉， 十
На открытом подмножестве f(UCU)uRp (или в Ср) рассмотрим векторное поле
tu,v = S 州(%) & Л 百-^-.
Напомним, что под & мы 1понимаем образ & в _пучке ///2. В каждой точке xwf(UnV) выражение y^i(х)|；Л^/ есть элемент векторного пространства AWx, следо,вательно, tUrV можно рассматривать как векторное поле юо значениями，в расслоении ^N" или как сечение над UW расслоения Т®坟№.
Таким образом, каждой упорядоченной паре карт из атласа отвечает сечение lu,v указанного расслоения. Эти сечения связаны следующими свойствами:
Если (務 ％)、——еще одна карта 叮з атласа с областью W, то Z'uw =必丫 4- iv,w, где штрихи означают ограничения этих сечений на U(\V{\W. Для доказательства рассмотрим склейки модельных пространств
九(unvR^)
Z \
"Ufivn 呼)f g(uri¥n^),
которые связывают все три карты. Понятно, что эта диаграмма коммутативна. Пусть 马，y=L …，р, — коардинатные функции (четные образующие) в h(W)t и7((/, т]) :— сечения пучка ^p'q\g(V[\W),各(％,三)—сечения пучка 应「修/(。[1环)，которые являются образами г7 под действием указанных связывающих отображений. Из коммутативности диаграммы вытекает равенство
3(%,自)=2[(у(х, ^) , Т) (х, ^)),
где у(х, Е) = (勿(％,占)，...，ур(х, Е)), п(х,三)=….Пренебрегая членами, принадлежащими /4, мы запишем его в виде
~dz^ (х, 0)
Zy (%, 0) + 2 z ^ (х) Е爲=zv (у (%, 0), 0)+2 X
X爆⑴魏,• + 2 гу ® (%0))上甯上 鬻l歸, (mod /4).
Приравнивая члены второго порядка по 三，мы находим, что
2 z造.八畠l=2 /曲Ej A ^/ - +
+ e z『用患2八吃鲁 3职凉G八百备+
откуда вытекает 1).
tv,u = —/у,у. Это соотношение вытекает из 1), если учесть, что tu,u = 0.
Из сказанного 'следует, что "и,у} есть кососимметричный коцикл на покрытии 必 со значениям1и в расслоении Г^Л2^. Рассмотрим элемент Z = cl {tu>v}^Hl (UG, Тб№№).
Элемент £ зависит лишь от атласа ^о- Действительно, если, скажем, карту (g,屮)мы заменяем картой (Л, %) ；с областью определения W=V, то для всякой третьей карты Uq 三以о в силу 1) tu,w = fuw + tv.w, где %” — 'ограничение на UflV сечения tVlw, заданного в К Следовательно, после указанного преобразования атласа 奴о 'коцикл t заменяется на кого- кюлогичный, ч. и т. д.
Искомый элемент 九i мы определяем как образ t -пр'и каноническом отображении 屮(％,夕 ® AW) f Я1 (Х°, Т 0 А?”). Этот элемент не завнонт от выбора атласа 恤.Действительно, если %о'——другой атлас, а £' 「——соответствующий элемент когомологии, то описанная конструкция применения 「к атласу %U%' приводит к элементу f", ограничение 'которого на ^о 'совпадает с /, а ограничение на 奴(/ равно L. Таким образом, препятствующий элемент корректно определен.
Проверим требуемые свойства. Пусть «] = 0. Это означает, что существует такой атлас 弘 на X, что соответствующий коцикл t на °Uq .когомологичен нулю, т. е. на каждом множестве U атласа % определено сечение 岳 расслоения Т&^дг, такое, что на пересечении любых элементов U н К этого атласа
iu,v~tu—/ v. (4.6.3)
Пусть (/, ф) — карта атласа 亥 с областью определения U. С ее помощью представим tu как векторное поле на f(U) со значениями в расслоении А2%' и запишем в виде
Положим ta{x, S=Wfa"(x)a&,历(х, E) = (fi(x,自)，…，％(%,€)) и рассмотрим отображение пучков Z2"Градуирсхванных алгебр
賜，也 I f (U)-旣 Р，"/з J f(⑺， (4.6.4) действующее ио формуле
а(%)—>@(х, g) =a{x+tu{x, ^)) (mod/3).
Ясно, что его композиция с ■ каноническим отображением 必p,q“3 f 以р,“/ на f (U) есть тождественный гомоморфизм. Таким образом, (4.6.4) задает ;на U ретракцию Х2-*Х0. Эти ретракции склеиваются в глобальную ретракцию, ^поскольку отображения (4.6.4) объединяются непротив оречивым образом в единый морфиам пучков алгебр Сх[»。х[0 Это означает, что если элемент awKP叩\f(U) оклеен с ^элементом 匕三 ^[P^IJ^g^^ т. е. если а(х) =Ь(у(х, 0)), то о(6) =2(mod/3).
Это соотношение вытекает из следующей выкладки, основанной на (4.6.3):
痴)三％ 匂(X,日，n (х,目)= b(y (%,自)+ tv (у (х,自)，т］ (х, Е)))
三 b ® (%, 0)) + S ~^~ ［婚(х) Е；& + 户/ (g(X, 0))加(％, 0) I (居 0)］三
三 а (х) + W —M (x) && = a(x ^ tu (%, E))三 a (mod /3).
Остается проверить, что если ретракция (1, р) :Х2-*Х0 существует, то «1 = 0. Выберем атлас W на X н для каждой области Ur%。рассмотрим следующую диаграмму отображения R- ко льцов анных (С-кольцованных) пространств:
(U, Ох〃з I U)今(/ (伉報"〃・з)
(l，p)J"(1，吃)(4・6・5)
(U, 0x〃1 ⑺口 ("⑺，鈑吗/),
где (1, p)Lr ——'ограничение ретракции на U, а морфизм т^ делает эту диаграмму коммутативной. Пусть снова 冗，а= 1,..., р, — координатные функции в f(U). Мы 'имеем тС7(ха)= =ха (mod /2), поскольку (1, * есть ретракция. Таким образом,
В (Ха)=融十 £也(х)三居•(mod /3),
где 厶订 суть сечения пучка 2^口卄(。). Выражение S /а^г- Арассмотрим кзк сечение над U расслоения
Т脸垓№. Это сечение обозначим 花.Поскольку отображения происходят из глобально заданного морфизма, должно выполняться условие склейки
。(“(6 ®))) = % S (У (%, 0))), b 三報闯 I g (V)
для любых двух，及арт. В применении к координатным функциям 办 на g(V) оно влечет соотношения
作(%, 0) + 2 鬼(х) && + 2 4%巾三卯(居 °) ++ W萼廳昌(mo"),
которые означают равенство 行,旷+£'卩=力‘5 Оно показывает, что 修=0-
Доказательство теоремы 4.6.3. Рассмотрим произвольную ретракцию (1, р) и элемент теЯ°(Х.о, Т®A2yz). Последний представляет собой 'сечение расслоения Т^№№ 丛 в любой карте U на Хо может быть записан в виде 工/羯八"-^-. Рас”
смотрим диаграмму (4.6.5) и зададим новый морфизм пучков /2-^радуиро1ванных алгебр 工名:融冉//-^ 以 р，4〃з п；0 формуле
工;(а) = W (а)十粤 廳忌(4.6.6)
Легко проверить, что эти морфизмы склеиваются в глобальный ■морфизм GxRf。х1, который является ретракцией.
Пусть р и р' — любые ретракции X? на 凡. Рассмотрим отображение р<—р 72-градуированнь1х пучков на X。. Его образ при надлежит /, так как р' н р суть ретракции. Образ любой координатной функции ха является четным элементом и, следовательно, ^принадлежит /2. Запишем
(p'—p)(Xa)m£№£E/mod/3.(4.6.7)
Образуем сечение 切=£ f薦•八 & —— расслоения T®A2NZ над U. -Нетрудно усмотреть, что эти сечения образуют 1нуль* мерный коцикл, т. е. отвечают некоторому элементу те е//° (Хо, Т®Л2^). Остается проверить, что отображения р' и р овязаны формулой (4.6.6), коэффициенты которой определены в (4.6.7). Эта формула легко проверяется на полиномах а, а затем переносится на любые элементы пучка 就内。产(。)(или 鑑 P'°|/(U)) с шомощью р асе уж дени я, аналоги1чного доказательству предложения 3.1.
ВЫСШИЕ ПРЕПЯТСТВИЯ
Рассмотрим следующие 'инфинитезималыные шаги ib конструкции ретракции супер мн огеюбрази я на его носитель. Если первое препятствие равно нулю, то ретракцию можно иропол- ж!ить iHe только на Х2, но и на Х3, так как в этом случае выделены iCHCTe'Mbi локальных четных образующих {%(}, {劣}, связанные между собой формулами вида
勿=yi (х, 0) + e办人‘小位^占昌3团+
(членов третьего порядка по 己 не может быть из-за четности образующих). На Х& ретракция сможет не продолжаться из-за наличия членов четвертого порядка ；в этих |разложениях. Повторяя конструкцию теоремы 6.2, можно построить элемент п^Н{ (Хо, Т®AWZ), отвечающий за такое продолжение, и т. д. В результате мы приходим к 'следующему результату.
Теорема 4.7.1. Пусть при некотором /г>1 имеется ретрак- •ция r'.Xik-^XQ. Она всегда продолжается до ретракции Aae—if Х°, и такое продолжение единственно. ‘Определен элемент %w"i (Х(), Т鹤垃履№) (называемый 左-м препятствием), обладающий тем авойством, -что ретракция 尸 продолжается до |ретракции MlXo тогда и только тогда, когда 4 = 0.
Следствие 4.7.2. Для того чтобы супермногообразие X ре- трагировалось на свой носитель, достаточно, чтобы все препятствия л】，«2, ••• (определяемые по индукции) были равны нулю.
Заметим, что это условие не является необхотимнм, так как высшее препятствие зависит от 'выбора ретракции на предыдущем шаге.
Теорема 4.7.3. Пусть 亢X?总->Х。一 некоторое продолжение ретракции г, а те//°(Хо, Г®Л2*^). Определена ретракция г':Х2左一>Хо, действующая по формуле
。凡三s 一 Р (s)十T (s)三Ux毎
которая также является продолжением г. Всякая ретракция Х2左f X。, продолжающая г, имеет такой вид.
Доказательство подобно рассуждениям теоремы 4.6.2. Подчеркнем, что эти результаты аправедливы для обоих категорий СВ и СК, т. е. для гладких <и комлл еиен о - ан ал итичеоки х супермногообразий. Однако они приводят к разным следствиям.
Следствие 4.7.4. В случае гладкого 'супермногообразия X всякая ретракция Хзл-г^^о может быть продолжена до ретракции Х2&, fe= 1, 2, .... В частности, всякое гладкое супермногообразие реирагируется на свой носитель.
Это следует из того, что 旧 любой -положительной размерности когомология пучка ростков гладких сечений любого локально тривиального расслоения равна 'нулю. Этот факт легко доказьивается с использованием гладких разбиений 'единицы на Хо.
ПРИМЕРЫ НЕРЕТРАГИРУЕМЫХ СУПЕРМНОГООБРАЗИЙ
Рассмотрим два примера комплексно-аналитических супермногообразий, не ретрагируемых ；из-за при1сутствия первых препятствий.
Пример 1. Рассмотрим расширенную комплексную плоскость С* с координатой г на ее конечной части, и еще один экземпляр С* с координатой w. Пусть, далее, Н ।— модельное супермногообразие размерности (0,4), т. е. точка, нащелеиная внешней С-алгеброй с четырьмя образующими, которые мы обозначим &,自2, Ль Л2- Образуем прямое .произведение супер- мнотообраз!ий У = С* X С* ХЯ и выдел1им в нем замкнутое подмногообразие X уравнениями
2% —酬& = 0 или — = —, i = 1, 2 (4.8.1)
5Z = 1 + 刍•.旦三 1 + —• —.(4.8.2)
Z Z93
Как легко видеть, дифференциалы левых частей (4.8.1) неза- виоимы в каждой точке, а дифференциал (4.8.2) .не обращается в нуль. Поэтому X есть комп лексно- ан ал итическое супер- многообразие размерности (1,2) (теорема 4.4.1). Носителем его является комплексная 'проективная прямая, на которой г и w являются картами со склейкой wz= 1, Слои ^, над этими картами порождаются элементами 占卜 *2, соответственно Xi, 1]2, причем связь между этими базнсамь в силу (4.8.1) имеет вид
% 』а, ' = 1,2.
Отсюда нетрудно усмотреть, что Nf изморфно прямой сумме двух экземпляров канонического расслоения (т. е. расслоения К на CPi, чей пучок сечений есть 0(——2)). Поэтому AW7 изоморфно квадрату канонического расслоения, а 丁㊈八2%‘ снова изоморфно К.
Первое препятствие к построению ретракции Х->СР〕задается коциклом tu,v, где U и V суть указанные карты на СР, а
丄.
z3 dw
Перейдем к однородным координатам (2°, zj на СР丄 так, что z =——=—. Изоморфизм Т®垃N0K строится с помощью соответствий &iZ」，При этом tu,v соответствует и dw 1
коциклу Си V = —-со значениями в пучке 0(—2). Последним, очевидно, не когомологичен нулю. В силу теоремы 6.2 указанная ретракция не существует.
Пример 2. Рассмотрим компактное комплексное пространство Минковского, которое мы реализуем как невырожденную квадрику Q в СВ. В подходящей однородной системе координат (г0,..., г5) она задается уравнением Sz(-2^0. Покроем СР^ аффинными картами Ua = {z: za^0} и рассмотрим комплексно-аналитические супермногообразия Qa = Qf|UaX"2, где Н2 — модельное супермногообразие размерности (0,2). Для всякой пары (а, * а#В, склеим пространство Qa с пространством Qp над областью Q^UaWa при помощи следующих формул, в которых xv = —у*а; &,自2 ——образующие в первом из этих прост-
г
ранств, а 价=」一,丫六廿；％, %— образующие во втором:
Уу (%, Е) = —+ — • —\ * а, р,
%(%,自)=穆(1 + 馳2 + "^~ • ±)，
恥=i = 1, 2.
刊
Нетрудно проверить, что эти склейки непротиворечивы, следовательно, задают комплексно-аналитическое супермногообразие размерности (4.2) с носителем Q.
Опишем первое препятствие, Конормальное расслоение ^< изоморфно прямой сумме двух линейных расслоений L, отвечающих пучку С⑴ |Q, a T=「q есть касательное расслоение к квадрике. Следовательно, коциклу 依&呻｝ отвечает коцикл со значениями в расслоении Tq 区厶®£. Непосредственная выкладка показывает, что последний коцикл может быть представлен в виде
Нетрудно показать, что он не когомологичен нулю. Это означает, что первое препятствие отлично от нуля и поэтому ретракции *2f Q нет.§ 9. 2+-ГРАДУИРОВКА И УСЛОВИЯ ПРОСТОТЫСУПЕРМНОГООБРАЗИЯНетрудно показать, что он не когомологичен нулю. Это означает, что первое препятствие отлично от нуля и поэтому ретракции *2f Q нет.§ 9. 2+-ГРАДУИРОВКА И УСЛОВИЯ ПРОСТОТЫСУПЕРМНОГООБРАЗИЯСупермяогообразие X, изоморфное Х()(М), где 凡一его носитель, а № — конормальное расслоение к Хо, мы назвали в § 6 простым. Сейчас мы дадим описание простых супермногообразий в иных терминах.Скажем, что К-алгебра 4 имеет 7+-градуировку, если указанСупермяогообразие X, изоморфное Х()(М), где 凡一его носитель, а № — конормальное расслоение к Хо, мы назвали в § 6 простым. Сейчас мы дадим описание простых супермногообразий в иных терминах.Скажем, что К-алгебра 4 имеет 7+-градуировку, если указанизоморфизм К-векторных пространств 若仪㊉班，такой, что оизоморфизм К-векторных пространств 若仪㊉班，такой, что опроизведение любых элементов &已4月 и Ь^А1 принадлежит 4屮 Градуировка называется конечной, если существует число 左心 такое, что 4九=0 при ^>^о- Пусть, далее, (М, Ь”)——кольцованное пространство. Под Z+-rpадуировкой этого пространства мы будем понимать разложение структурного пучка в прямуюпроизведение любых элементов &已4月 и Ь^А1 принадлежит 4屮 Градуировка называется конечной, если существует число 左心 такое, что 4九=0 при ^>^о- Пусть, далее, (М, Ь”)——кольцованное пространство. Под Z+-rpадуировкой этого пространства мы будем понимать разложение структурного пучка в прямуюсумму подпучков См =сумму подпучков См =ОООО,которое о,которое опорождаетпорождаетZ^ - градуиZ^ - градуировку каждого слоя Ом.т^фФм,^ с помощью Z+-градуировки о •можно построить /г-градуировку, образовав прямую сумму пучков (Укм по четным степеням 左 и подобную сумму по нечетным k. Если задано отображение кольцованных пространств (f, ф) : (М, @и)->(М 厶)и каждое из них имеет /^.-градуиров- ку, то мы говорим, что отображение согласовано с этими градуировками, если ф переводит /*(<?%) в оК для всех 力=0, 1,....Теорема 9.1. Супермногообразие X является простым тогда и только тогда, когда оно обладает Z+-rpадуировкой, которая удовлетворяет следующим условиям:ровку каждого слоя Ом.т^фФм,^ с помощью Z+-градуировки о •можно построить /г-градуировку, образовав прямую сумму пучков (Укм по четным степеням 左 и подобную сумму по нечетным k. Если задано отображение кольцованных пространств (f, ф) : (М, @и)->(М 厶)и каждое из них имеет /^.-градуиров- ку, то мы говорим, что отображение согласовано с этими градуировками, если ф переводит /*(<?%) в оК для всех 力=0, 1,....Теорема 9.1. Супермногообразие X является простым тогда и только тогда, когда оно обладает Z+-rpадуировкой, которая удовлетворяет следующим условиям:
Нетрудно показать, что он не когомологичен нулю. Это означает, что первое препятствие отлично от нуля и поэтому ретракции *2f Q нет.
§ 9. 2+-ГРАДУИРОВКА И УСЛОВИЯ ПРОСТОТЫСУПЕРМНОГООБРАЗИЯ
Нетрудно показать, что он не когомологичен нулю. Это означает, что первое препятствие отлично от нуля и поэтому ретракции *2f Q нет.
§ 9. 2+-ГРАДУИРОВКА И УСЛОВИЯ ПРОСТОТЫСУПЕРМНОГООБРАЗИЯ
Супермяогообразие X, изоморфное Х()(М), где 凡一его носитель, а № — конормальное расслоение к Хо, мы назвали в § 6 простым. Сейчас мы дадим описание простых супермногообразий в иных терминах.
Скажем, что К-алгебра 4 имеет 7+-градуировку, если указан
Супермяогообразие X, изоморфное Х()(М), где 凡一его носитель, а № — конормальное расслоение к Хо, мы назвали в § 6 простым. Сейчас мы дадим описание простых супермногообразий в иных терминах.
Скажем, что К-алгебра 4 имеет 7+-градуировку, если указан
изоморфизм К-векторных пространств 若仪㊉班，такой, что о
изоморфизм К-векторных пространств 若仪㊉班，такой, что о
произведение любых элементов &已4月 и Ь^А1 принадлежит 4屮 Градуировка называется конечной, если существует число 左心 такое, что 4九=0 при ^>^о- Пусть, далее, (М, Ь”)——кольцованное пространство. Под Z+-rpадуировкой этого пространства мы будем понимать разложение структурного пучка в прямую
произведение любых элементов &已4月 и Ь^А1 принадлежит 4屮 Градуировка называется конечной, если существует число 左心 такое, что 4九=0 при ^>^о- Пусть, далее, (М, Ь”)——кольцованное пространство. Под Z+-rpадуировкой этого пространства мы будем понимать разложение структурного пучка в прямую
сумму подпучков См =
сумму подпучков См =
ОО
ОО
,которое о
,которое о
порождает
порождает
Z^ - градуи
Z^ - градуи
ровку каждого слоя Ом.т^фФм,^ с помощью Z+-градуировки о •
можно построить /г-градуировку, образовав прямую сумму пучков (Укм по четным степеням 左 и подобную сумму по нечетным k. Если задано отображение кольцованных пространств (f, ф) : (М, @и)->(М 厶)и каждое из них имеет /^.-градуиров- ку, то мы говорим, что отображение согласовано с этими градуировками, если ф переводит /*(<?%) в оК для всех 力=0, 1,....
Теорема 9.1. Супермногообразие X является простым тогда и только тогда, когда оно обладает Z+-rpадуировкой, которая удовлетворяет следующим условиям:
ровку каждого слоя Ом.т^фФм,^ с помощью Z+-градуировки о •
можно построить /г-градуировку, образовав прямую сумму пучков (Укм по четным степеням 左 и подобную сумму по нечетным k. Если задано отображение кольцованных пространств (f, ф) : (М, @и)->(М 厶)и каждое из них имеет /^.-градуиров- ку, то мы говорим, что отображение согласовано с этими градуировками, если ф переводит /*(<?%) в оК для всех 力=0, 1,....
Теорема 9.1. Супермногообразие X является простым тогда и только тогда, когда оно обладает Z+-rpадуировкой, которая удовлетворяет следующим условиям:
она конечна в каждом слое,
Б) порождает исходную /г-градуировку,
пучок О^х есть локально свободный ©х-модуль, ранг которого равен нечетной размерности супермногообразия.
Приведем доказательство, опуская некоторые детали. Необходимость. Структурный пучок Xo(N') есть по определению пучок ростков функций на Хо со значениями в расслоении А*ЛГ/. Через 0K обозначим его подпучок, образованный функциями со значениями в AW. Полученная градуировка, очевидно, удовлетворяет всем условиям. ОО
Достаточность. Пусть задана 7+-градуировка °х х ㊉“ о подчиненная А), Б) и В). Установим равенство
厶 а 揖或 ух е Хо.(4.9.1)
1
Правая часть есть идеал в алгебре Сх,х и согласно Б) содержит все нечетные элементы. Поэтому она содержит идеал Л, который порождается такими элементами. Обратно, в силу А) всякий элемент а правой части нильпотентен. Пусть а ——сечение пучка Ох над некоторой окрестностью х, росток которого в точке 尤 равен а. Некоторая степень этого сечения обращается в нуль в некоторой окрестности Umx. Поэтому г?(а) =0 для z/eU, где гу означает вычет в точке у, т. е. а(р, 0) =0. Поэтому ам/х, что завершает проверку (4.9.1). Из этого равенства вытекает, в частности, что 0° м&х//, следовательно, вложение прямого слагаемого б°->0х задает ретракцию X на Хо, что влечет (4.6.1).
ОО
Из (4.9.1) следует, что /а с= ф Ok. Поэтому определен эпи'2
морфизм (7°-модулей
р :
Согласно предложению 4.5.2 модуль ///2 локально свободен и имеет тот же ранг, что и ◎ (условие В)). Отсюда ввиду локальности пучка О° вытекает, что р есть изоморфизм. Пусть Ei,..., Eg ——образующие Ь°-модуля 01 над некоторым открытым подмножеством "иХ. Согласно сказанному они порождают систему образующих ^-модуля ///2 и, следовательно, порождают / над U как пучок идеалов. Если г)ь ..., г^ ——другая система образующих О°-модуля。1 над U, то 川=2。戸&, где а/，——некоторые сечения C?°/U, т. е. (4.6.2) имеет место.
Предположим теперь, что супермногообразие X ретрагирует- ся на свой носитель. Проанализируем достижимость условия (4.6.2) по методу § 6. Препятствие к выполнению этого условия состоит в том, что нечетные образующие преобразуются, вообще говоря, по нелинейному закону
1 =，а阳 + 2 &J爲&•忌玩 + ....(4-9.2)
С помощью рассуждения предыдущей теоремы можно показать, что существование систем нечетных образующих, для которых в формулах (4.9.2) отсутствуют нелинейные члены степени, меньшей или равной k, эквивалентно тому, что пространство Xk обладает 7+-градуировкой, удовлетворяющей условиям А), Б) и В). Рассмотрим на X。расслоение N, двойственное М (нормальное расслоение к X。в X).
Теорема 4.9.2. Пусть пространство X2k-i, Л, обладает описанной 7+-градуировкой. Тогда определен элемент т^е ^Н1 (Хо, JV®A2fc+1jV,), обладающий следующим свойством: для того чтобы пространство &+i имело Z+-градуировку, удовлетворяющую А), Б), В), такую, что каноническое вложение 乂2友一1+乂2月+1 согласовано с 7+-градуировками, необходимо и достаточно, чтобы т^ = 0.
Доказательство параллельно рассуждениям теоремы 6.2. Искомый элемент mk есть класс, содержащий коцикл
mu,v = W 网…芍• а；…&2走+1，
где 也广} — базис в М двойственный к базису {^}. Элемент mtl естественно назвать 々-м препятствием к продолжению Z+-rpa- дуировки.
Следствие 4.9.3. Если X ретрагируется на Х° и все элементы mt, m2,... обращаются в нуль, то X просто.
Следствие 4.9.4. Всякое гладкое супермногообразие просто. В заключение отметим связь между препятствиями 〃息 и т^. Ограничимся простейшим случаем. Рассмотрим билинейное отображение расслоений
Т ® А?” х % & аз%，т ㊁八4”， которое в каждом слое на разложимых тензорах задается формулой
(方 0 ^八自2)。(自'公⑴=Г凶(Г駕)n八& +g&) £人n).
С его помощью можно определить умножение в когомологиях "О (Х°, Т ® AWZ) X 环(Хо, N ® АЗ”) f 环(х°, Т 0 AW),
которое на коциклах выглядит так:
{/«•}。{$а§} = {『а 0 Sa§}.
Корректность его легко проверяется.
Предложение 4.9.5. Пусть Х-комплексно-аналитическое супермногообразие, для которого 九工=0, р : Х—凡一некоторая ретракция, mt ——первое препятствие к продолжению Z-j.-градуи- ровки, ат —— произвольный элемент Н°(Х0, Т^Л2^). Тогда второе препятствие к существованию ретракции зависит от ретракции р, построенной на первом шаге по формуле
Л2(р+т) =&(Р)+т 0/721.
Напомним, что смысл суммы р + r описан в теореме 4.6.3. Доказательство этого утверждения и его обобщения мы
предоставляем читателю.
Глава 5. СУПЕРАЛГЕБРЫ ЛИ
В этой главе рассматриваются основные определения и конструкции теории супералгебр Ли и приводятся наиболее существенные примеры.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Основные определения. Супералгеброй Ли, или, по другой терминологии, 22-градуированной алгеброй Ли, называется вещественное или комплексное 2г-градуированное линейное пространство с фиксированной четностью g = °д ㊉ ig, в котором определена билинейная операция [х, у], причем для однородных элементов справедливы тождества
а([х, р]) = а(х)十 а(р),(5.1.1)
[х,Р)= (— ir^Hi [Vf х],(5.1.2)
[X, [У, 2]] (— 1)а(х)а⑵ + [2, [X,川(一 1 严)喲十
+ [у, [z, х]] (— 1)а(у)а(х) = 0.(5.1.3)
(Второе и третье слагаемое в (5.1.3) получаются из первого циклической перестановкой элементов %, у, z.)
Пусть бг — однородный базис в g, chij ——отвечающие этому базису структурные константы, [&,朗=2，％^. Тождества (5.1.1) — (5.1.3) эквивалентны следующим соотношениям относительно структурных констант:
a(i)+a(j)+a(龙)=0,(5.1.У)
明=(_[严)*)十1碌，(5.1.2)
曷威M— i产'双⑺十脸g (-炉的喲+或4(一 1严)*=0, (5.1.3') где для краткости положено a(i) =а®).
(В равенстве (5.1.3') второе и третье слагаемое получаются из первого циклической перестановкой £,比 Z.)
Супералгебра Ли называется:
простой, если она не содержит идеалов, отличных от нее самой и от нуля;
коммутативной, если [х, у] =0 для любых х, у三 g；
редуктивной, если она является прямой суммой простой и коммутативной;
нильпотентной, если существует такое целое jV>0, чго
[%, ... [х, у]…]=0 для любых %, у三 g;
разрешимой, если она обладает последовательностью идеалов g = go п % п ... п д“ = °， такой, что факторалгебры Sk/^k+i коммутативны；
полупростой, если она обладает цепочкой идеалов g= gQ …пд& = 0, такой, что факторалгебры dk/dk+i просты.
Все эти определения, кроме последнего, копируют определения, хорошо известные из теории обычных групп Ли. Что касается определения полупростоты, то тут возможно несколько' вариантов. Приведенное определение кажется наиболее естественным.
Отметим некоторые простейшие следствия определения супералгебр Ли.
Подпространство °д является обычной алгеброй Ли.
Автоморфизм четности g как линейного пространства является автоморфизмом g как алгебры (т. е. [Ах, А//] = А Гх, у]).
Пусть 9 — вещественная супералгебра Ли. Множество формальных линейных комбинаций вида x-\-iy, х, у^ g образует комплексную супералгебру Ли с операцией коммутирования, которая определяется формулой (5.1.4). Полученная алгебра называется комплексной оболочкой g . Комплексная оболочка вещественной супералгебры g будет обозначаться [д].
Если комплексная супералгебра Ли g является комплексной оболочкой вещественной алгебры 九 g = [R, то алгебра & называется вещественной формой д.
Пусть g = °д ㊉〔д —— вещественная супералгебра сП и. Обозначим через д'= °д ㊉尸g множество формальных линейных комбинации вида % + iy, хе °g, yRig, i = /——1 , В д'введем операцию коммутирования естественным образом:
[Xi + iyi, Х2+11/2] = [xi, х2] — [У1,坎]+"[%3 %] + [% х2]). (5.1.4)
Легко видеть, что д' также является вещественной супер алгеброй Ли, причем комплексные оболочки супер алгебр Ли д и д' совпадают. Супералгебру Ли д' мы будем называть двойственной по Э. Картану по отношению к исходной супералгебре Ли g ввиду того, что ее конструкция является копией картановской конструкции для двойственных вещественных алгебр Ли.
Вообще следует отметить, что существует очень далекая аналогия между картановской теорией симметрических пространств и теорией супер алгебр Ли. При этом。8 играет роль алгебры Ли стационарной подгруппы симметрического пространства, 1 ^ — роль пространства трансвенций, автоморфизм четности — роль инволютивного автоморфизма, выделяющего стационарную подалгебру. . .
Обозначим через Т ： g->g' линейный оператор, действующий согласно формуле
Т(х-\-у) =x-\-iy, х^°9, у^д，(5.1.5)
Легко видеть, что для однородных х, у三 g
[Тх, Ту] = (-\)а^Т[х, у].
В частности, если е& — однородный базис в g и Q = Те^ = —a依)
=е 2 ek ——однородный базис в д', то структурные константы супералгебр Ли д н д' в этих базисах связаны соотношением
脸=(-1产以5琰.
Связь с ассоциативными алгебрами. Пусть 尋一Хг-градуированная ассоциативная алгебра. Напомним, что ассоциативная алгебра 51 называется Хг-градуированной, если она обладает Х2-градуировкой как линейное пространство, 額=°趴㊉1 方 и автоморфизм четности 31 как линейного пространства является одновременно автоморфизмом четности 霞 как алгебры. В частности, отсюда следует, что °旣 является подалгеброй.
Супер алгебры Ли связаны с Хг-градуированными ассоциативными алгебрами подобно тому, как обычные алгебры Ли связаны с обычными ассоциативными алгебрами, каждая из операций
[X,贝=ху 一(— 1 严)а® ”，(5.1.6)
[%,贝=(―1)咐а(У)ху 一 у»(5.1.7)
где х, у — однородные элементы 觊 превращает 嵬 в супералгебру Ли. Первую из них обозначимg3p вторую — %.
Супералгебра Ли д^ изоморфна д?( в комплексном случае, и к двойственной по Э. Картану супералгебре Ли д；(в вещественном случае. В обоих случаях изоморфизм осуществляется оператором Т, определяемым формулой (5.1.5).
Существует две основные конструкции, связывающие реализацию одной и той же супералгебры Ли формулами (5.1.6) и (5.1.7). Одна из них использует понятие грассмановой оболочки и будет рассмотрена позже. Другая состоит в следующем.
Пусть g ——супералгебра Ли, элементами которой служат матрицы %wMat(p, g). Такие супералгебры в дальнейшем называются для краткости матричными. Предположим, что коммутатор в g задается формулой (5.1.6). Сопоставим каждой матрице хе g матрицу
У=—£,(5.1.8)
где ' обозначает обычное матричное транспонирование. Очевнд-
но, что в результате получается изоморфная g матричная супералгебра Ли с коммутатором (5.1.7). Обратно, если д — матричная супералгебра Ли с коммутатором (5.1.7), то преобразование (5.1.8) переводит ее в изоморфную супералгебру с коммутатором (5.1.6). С операцией транспонирования связан полезный признак изоморфизма, двойственных по Э. Картану супералгебр Ли.
Пусть матричная супералгебра Ли g обладает тем свойством, что если хмд, то также х'三 д. В таком случае супералгебра Ли g изоморфна супералгебре Ли д' , двойственной g из Э. Картану. Изоморфизм устанавливается формулой
Т(х + у) = —x'—iy',无 w°g, у Rig,
коммутатор в g，задается той же формулой (5.1.6) или (5.1.7), что н в д. Доказательство этого утверждения очевидно.
Супердифференцирования и полупрямые п р о и з в е де н и я. Пусть 如——22-градунрованная ассоциативная алгебра или супералгебра Ли. В обоих случаях линейные операторы в 必，как в линейном пространстве, образуют 72-градуи- рованную ассоциативную алгебру L (班)，градуировка в 乙(北) определяется обычным образом (см. гл. 3, § 1, п. 2).
Однородный оператор 4三丄(厶)называется супердифференцированием алгебры 如，если для однородных %, у
Л (хр) = (Ах) g 十(—1 产厶必⑴ х/р(5.1.9)
в случае, если алгебра 虱 ассоциативна, и
Л [х, у] [Лх, у] + (- 1)如岡%)[% &](5.1.10)
в случае, если 觊 является супералгеброй Ли. Множество всех супердифференцирований алгебры §1 обозначим £> (31). 0(凯)является линейным подпространством 上(批)，но, вообще говоря, не подалгеброй. Однако множество D (§1) замкнуто относительно операции коммутирования.
Теорема 5.1. Пусть Л, В — однородные элементы D (5(). Тогда
m，3] = 48 —(— 1 产⑷ ME) BA^D 侬).
Таким образом, £>(班)является супералгеброй Ли.
Доказательство. Пусть §1 ——ассоциативная алгебра. Из (5.1.9) имеем
Aв (切)=a ((8%) у + (一 1严便政⑴%出价)=
=(АВх) 4 + (— 1)а(4)“(Вх) (8%)(力勿十(―1 产В岡х) (AQ (В讣 +
+(一]产(百)十a(в))a(х)%(48g).
Меняя ролями Л и В и учитывая, что а(Вх) =а(В) +а(х), а([Д, В]) =а(Л)+а(б), получаем отсюда, что
[Л, 8](期)=((АВ — (— l)a(Qa(B) ВА)Х)у +
十(—1)а(4)(а(В)+а(*))(В%) (4у) _ (— j)а(Л)а(В)+а(Л)а(х) ^х) 0^ 十
+ (— l)a(B)a(x)(在力(仇力—(―DaWaWHa^HQ+aa))^%) (8切十
十(_ l)(a(A)+a(E))a(x) % (在吕 一(—])a⑷а(6)В4) у =
=([Д, В\Х)У + (一 1)а(Е5])№)х [/,引夕
Случай, когда SI является супералгеброй Ли, рассматривается аналогично.
В обычном случае дифференцирование алгебры является инфинитезимальным аналогом автоморфизма, если А (/) — однопараметрическая группа автоморфизмов ассоциативной алгебры, то
总⑺(冲)= (4 ⑴％) (4(/)у).
Дифференцируя по / и полагая затем 力=0, получаем отсюда, что 力(％У)= (Ах)у + хАу.
Аналогично обстоит дело в случае алгебр Ли.
В следующем разделе мы увидим, что супердифференцирования также тесно связаны с автоморфизмами.
Пусть М — некоторая группа н G — группа (не обязательно всех) автоморфизмов N : g・ху = (gx) (gy), где х, y^N и g・x означает действие автоморфизма gwG на %wM В теории групп существуют важные конструкции, позволяющие объединить группы G и А/ в единую группу Gi, в которой N присутствует в качестве нормального делителя, а G является факторгруппой: G=GJN. Простейшей (и важнейшей) из этих конструкций является полупрямое произведение. Группа G【называется полупрямым произведением групп G и N, если ее элементами являются пары (%, g) xwN, g^G, а умножение задается формулой
(修，gi) (%2, g2)=(也(gl・％2), glg2)・
В случае, если G н N являются группами Ли, группа о очевидным образом является также группой автоморфизмов алгебры Ли tt группы N. Действие элемента g на хе tt определяется формулой
где 元三一优 и х(/)=ехр(/文)——соответствующая однопараметрическая подгруппа. Реализация группы G как группы автоморфизмов алгебры Ли п влечет за собой реализацию ее алгебры Ли как алгебры дифференцирований п.
Группа Gi, являющаяся полупрямым произведением G н Л\ также является в этом случае группой Ли. Ее алгебра Ли gt устроена следующим образом: как линейное пространство gL является прямой суммой алгебр g н 算.Коммутатор в д( определяется формулой
[a+х, & + г/]1= [а, Ь]+а-у—Ь-х-^-[х, у], (5.1.11)
где a, b^s, х, у^п , [а, Ь] и [х, у] — коммутаторы соответственно в дн П, a-у и b -х — действие дифференцирований а н b на элементы у и х. Очевидно, что п является идеалом д【,алгебра g изоморфна факторалгебре 91/". Определенная таким образом алгебра Ли gi называется полупрямым произведением алгебры Ли п и алгебры Ли ее дифференцирований д. Полупрямые произведения групп или алгебр Ли очень часто встречаются в математическом обиходе. Так, например, группа Пуанкаре является полупрямым произведением группы трансляций и группы Лоренца.
Полупрямое произведение алгебр Ли следующим образом обобщается на случай супералгебр Ли. Пусть " н g ——су пер алгебры Ли, причем 9 czZ) (п) состоит из супердифференцирований п. Полупрямым произведением п и g называется су пер алгебра Ли Qi, которая как 22-градуированное линейное пространство является прямой суммой п н д, коммутатор в gt задается формулой
[а+%, b+y]i=[a, 6] +а・у—(—l)«Wa⑹b・％+ [х, у],(5.1.12)
где [а, Ь], [х, у], а-у, b-х имеют тот же смысл, что в (5.1.11). Отметим, что из (5.1.12), (5.1.10) следует, что при aw д* х, У®"
[а,国 y]]i = a- [х, у] = [а-х, у]十(一1尸佃)恥)[尤，a-у].
Проверка того, что операция (5.1.12) удовлетворяет условиям (5.1.1) —(5*1.3), очень проста, и мы ее опустим. Очевидно, что п является идеалом супералгебры Ли gb супералгебра Ли g изоморфна факторалгебре gJ п.
Супералгебры Л и с грассмановой стру кту- р о й. Пусть g ——супералгебра Ли и Л ——некоторая грассманова алгебра.
Сформулируем следующие основые определения.
Супер алгебра Ли g называется супералгеброй с грассмановой структурой, если она является левым модулем над А и если умножение на элементы А связано с коммутатором в g одним из следующих двух способов:
[ах,阳]=сф[х, у](5.1.13>
при любых а, В三А, х, ywg или если в случае однородных а, (3三А %, у三 3
[ах, Ву]=сф[%, у] (― 1)啲g).(5.1.14}
В первом случае супералгебра Ли g называется супер алгеброй Ли с грассмановой структурой 1-го рода, во втором случае —— 2-го рода. Алгебра Ли $ называется алгеброй Ли с грассмановой структурой, если она является четной подалгеброй супер-
алгебры Ли g с грассмановой структурой: 3 =°д. При этом алгебра Ли } называется алгеброй Ли 1-го или 2-го рода в зависимости от рода супералгебры Ли д.
Если j является алгеброй Ли с грассмановой структурой, тс группа Ли L = exp 3 называется группой Ли_ с грассмановой структурой.
Алгебры группы Ли с грассмановой структурой принадлежат к числу основных объектов суперматематики, которые находят применение в современной физике. Однако их общая теория в настоящее время совершенно не разработана.
В лучшем положении находятся алгебры Ли с грассмановой структурой, которые могут быть получены из супералгебр Ли с помощью грассмановых оболочек. Эти алгебры Ли образуют часть всего множества алгебр Ли с грассмановой структурой. Супералгебры, четной- частью которых они являются, исчерпывают класс супералгебр Ли с грассмановой структурой, являющихся свободными модулями. Пример алгебры Ли с грассмановой структурой, не относящийся к этому классу, см. в § 2, п. 22.
Грассманова оболочка супералгебры Л и. Построим с помощью г. а. Л полную грассманову оболочку супералгебры Ли g и введем в нее операцию коммутирования одним из следующих двух способов:
[ах, by] =ab[x, у] (5.1.15) или
[axt by] = (—l)»(¥)a<&)ab[x, у], (5.1.16) где %, у ——однородные элементы д, а,匕 ——однородные алемен- ты Ли, скобка в правых частях формул (5.1.15), (5.1.16) означает коммутатор, имеющийся в д.
Легко видеть, что коммутатор (5.1.15) превращает грассманову оболочку g в супералгебру Ли с грассмановой структурой 1-го рода, коммутатор (5.1.16) превращает ее в супералгебру Ли с грассмановой структурой 2-го рода.
В соответствии с общими обозначениями гл. 3, п. 1, обозначим полученную таким путем супералгебру Ли через g (Л), ее четную часть — через g (Л).
Очевидно, что g (Л) является алгеброй Ли с грассмановой структурой 1-го или 2-го рода в зависимости от того, какой формулой (5.1.15) или (5.1.16) определен в ней коммутатор.
Для упрощения речи, а также с целью согласования терминологии с терминологией, принятой в случае ассоциативных алгебр (см. гл. 3, п. 1), мы будем в дальнейшем называть алгебру Лий (А) просто грассмановой оболочкой супералгебры первого или второго рода.
Рассмотрение грассмановых оболочек выявляет еще один аспект связи между коммутаторами (5.1.6) и (5.1.7).
Пусть 现一72-градуированная ассоциативная алгебра и 91, %— изоморфные между собой супералгебры Ли, состоящие
из ее элементов, причем коммутатор в зг задается формулой (5.1.6), коммутатор в 92 задается формулой (5.1.7).
Обозначим через 額⑴(А),方⑵грассмановы оболоикн. соответственно 1-го и 2-го рода алгебры 觊 и положим для %, pw窥⑴(А) (или %, pw 觊(2)(A)j:
[х, у]^ху—ух.(5.1.16，)
В 旣⑴(А), /= 1, 2, рассмотрим подпространство, состоящее из всевозможных элементов вида
2&帆
где е&⑴一однородный базис в %, а^А и a(aQ =ct(eW)). Это подпространство обозначим через 也.Очевидно, что каждое из пространств 狂 и 麵 замкнуто относительно коммутатора (5.1.1). Легко проследить, что коммутатор (5.1.1) превращает 丸 в грассманову оболочку 1-го рода 9「(А) супералгебры Ли 91.0*2—в грассманову оболочку 2-го рода 9$)(А) супералгебры Ли д2. Далее, алгебры Ли н = д')⑷ и j2 = 9^ (А) изоморфны. Изоморфизм между ними является естественным продолжением изоморфизма, существующего между супералгебрами Ли 91 и д2. Пусть Т : д】-^ 一 изоморфизм и пусть базисы е*， в 仇 выбраны таким образом, что т或D =或).В таком случае изоморфизм U : gf)(A)д§)(А) определяется следующим образом:
еслих = ^ak 曙)巨 gf)(А),
то
Ux = Е% 或)w 9貝 С).
Переход к грассмановым оболочкам сохраняет основные взаимоотношения между исходными супералгебрами Ли: если д^ является подалгеброй или идеалом д?, то то же самое справедливо относительно их грассмановых оболочек одного и того же рода и т. п.
Остановимся более подробно на случае, когда супералгебра Ли g является алгеброй супердифференцирований супералгебры Ли или ассоциативной /2-градуированной алгебры SI. Пусть 靈(A), g (А) — грассмановы оболочки одного и того же рода алгебр 班 н д. Для однородных a,匕三八，х三 方，Де 9 положим.
аАЬх=аЬАх(5.1.17)
в случае, если 霞(A), g (А) являются грассмановыми оболочками 1-го рода, и
аАЬх= (—У^^^аЬАх(5.1.18)
в случае грассмановых оболочек 2-го рода. На произвольные 4wg(A) %三鈑(А) формулы (5.1.17), (5.1.18) распространим по
линейности. Легко видеть, что в результате мы получим реализацию алгебры Ли g (А) как алгебры дифференцирований алгебры 51 (Л).
Тр и основных спо с о ба описания с упера л - ге б р Л и и их грассмановых оболочек. Первый способ состоит в абстрактном описании: супералгебра Ли g задается с помощью набора структурных констант с%)・.В случае, если супералгебра Ли g задана таким образом, мы, как правило, будем рассматривать лишь ее грассманову оболочку 1-го рода, термин «грассманова оболочка» без указания рода в этой ситуации всегда будет означать грассманову оболочку 1-го рода.
Второй способ состоит в том, что супералгебра Ли g реализуется как матричная алгебра. В этом случае в качестве g(V) мы всегда будем рассматривать ее грассманову оболочку 1-го рода. Другими словами, если супералгебра Ли g состоит из матриц вида 。丿 三 Mat (p, q), то ее грассманова оболочка состоит из аналогичных матриц, разница состоит лишь в том, что в первом случае матричные элементы блоков А, В, С, D являются числами, во втором случае — элементами г. а. А, четными в случае блоков At D п нечетными в случае блоков £, С
Третий состоит в том, что супералгебра Ли g реа.тизуется как алгебра дифференциальных операторов 1-го порядка:
(X/)⑵⑵， (5.1.19)
где f (z), X£(z)wAp，q(U), zi — однородные образующие в &p,q〈U). В множестве операторов вида (5.1.19) вводится Z2-rpa- дуировка: однородными называются такие операторы, у которых однородны коэффициентные функции 箝，причем a(XQ =a(z!). Для однородных операторов определяется четность согласно формуле
а(Х)=а(Х，)+а(/).
Легко видеть, что, хотя произведение двух операторов вида (5.1.19) не является оператором этого вида, их коммутатор, как определяемый формулой (5.1.6), так и формулой (5.1.7), снова является дифференциальным оператором 1-го порядка. Возможен вариант этой реализации, когда в качестве f н X* рассматриваются г. а. функции, обычные или с грассмановскими коэффициентами.
В случае, если супералгебра Ли реализована дифференциальными операторами 1-го порядка, у нее будет в дальнейшем рассматриваться лишь грассманова оболочка 2-го рода, соответственно термин «грассманова оболочка» в этом случае всегда будет означать грассманову оболочку 2-го рода.
Наиболее естественная реализация грассмановой оболочки супералгебры Ли д, заданной операторами вида (5.1.19), со-
стоит в том, что она реализуется операторами того же вида в пространстве г. а. функций с грассмановыми коэффициентами. При этом коэффициенты X'(z) также являются г. а. функциями с грассмановыми коэффициентами.
ПРИМЕРЫ СУПЕРАЛГЕБР ЛИ
В этом параграфе описываются супералгебры Ли, представляющие наибольший интерес с точки зрения общей теории или физических приложений.
Полная линейная алгебра 【(р, q). Пусть Кр,д—£2-градуированное линейное пространство, L(K|p, q)—— алгебра линейных операторов в Кр，°. Алгебра L (Kjр, 7) является ассоциативной и 22-градуированной. Поэтому с ее помощью можно построить супералгебру Ли в соответствии с обшей формулой (5.1.6). Эта супералгебра Ли обозначается 【(К|р, 7). Она является супераналогом алгебры Ли всех линейных операторов в пространстве Кп по отношению к обычному коммутированию.
Наряду с алгеброй L(p, <7) мы будем рассматривать изоморфную ей алгебру Mat(p, 7), состоящую из матриц операторов 4三厶(р, 7)в стандартном базисе. Супералгебру Ли, порожденную Mat(p, 7), в соответствии с формулой (5.1.6) обозначим mat (р, 7). Алгебры mat (р, q) и [ (р, д) очевидным образом изоморфны.
Рассмотрим в алгебре Mat(p, q) операцию транспонирования, копирующую операцию (3.1.8) в Mat(р, д|А),
С D) l — О丿
где ' означает обычное матричное транспонирование. Операция (5.2.1) обладает следующими легко проверяемыми свойствами： если / 已 °Mat(p, 7),鹵巨 Mat (p, q), то
(4 僞)т =璃г*' (5.2.2)
[/,制т =—國7, 4口. (5.2.3)
Обратим внимание на то, что в отличие от случая алгебры Mat(p, g|A) свойство (5.2.3) не распространяется на произвольные элементы Mat(p, g). Супералгебры Ли 工(р, q) и mat (р, д) играют особую роль в теории в связи со следующим определением:
гомоморфизм произвольной супералгебры Ли 9 в I (р, q) или mat (р, д) называется линейным представлением супералгебры Ли д.
В следующих ниже примерах всегда, когда речь идет об алгебрах, состоящих из операторов или матриц, имеется в виду,
что эти алгебры являются подалгебрами I (р, q) или mQt(p, g), т. е. что коммутатор в них определяется формулой (5.1.6). Запись элемента супералгебры Ли g в виде 〃+и всегда будет означать, что uw°g, f = ig .
Унимодулярная линейная супералгебра Л и 01 (р, 7). Эта алгебра состоит из операторов, удовлетворяющих условию
(5.2.4)(5.2.4)str 4 = 0.
(5.2.4)
(5.2.4)
Она аналогична алгебре линейных операторов со следом, равным 0, в обычном линейном пространстве.
Алгебра суперкосоэрмитовых матрнци(р, д). Эта алгебра состоит из матриц^/eMat (С|р, q) вида
Q*,(5.2.5)Q*,(5.2.5)
Q*,(5.2.5)
Q*,(5.2.5)
где * означает эрмитовское сопряжение. Супералгебра Ли и (р, q) является аналогом обычной алгебры Ли косоэрмитовых матриц.
Легко видеть, что u (р, д) является вещественной формой mat (С|р,办
Унимодулярная алгебра суперкосоэрмитовых матриц Su (", д). Супералгебра Ли ^u(p, е) является подалгеброй алгебры u (р, е), состоящей из матриц, удовлетворяющих условию (5.2.4).
Ортогонально-симплектические супералгебры о6р(С|2р, g),o®p(R|2p, q). Так называются подалгебры mat (С |2р, д) и mat(R|2p, q) соответственно, состоящие из матриц, удовлетворяющих условию
+=—厶 ° ° ，(526)
же смысл, чтоже смысл, чтов (5.2.1).в (5.2.1).где знак 丁 над матрицей имеет тот Более подробногде знак 丁 над матрицей имеет тот Более подробно\ 0 0 / J
же смысл, что
же смысл, что
в (5.2.1).
в (5.2.1).
где знак 丁 над матрицей имеет тот Более подробно
где знак 丁 над матрицей имеет тот Более подробно
0卩、
0 V В = В', С С', F =—尸 一 m 0/
(5.2.7》
Алгебра oSp(R|2p, g) является, очевидно, вещественной формой обр (С|2р, д). Алгебра n6p(R|2p, q) тесно связана с линейными суперканоническими преобразованиями, которые рассматривались в гл. 3. Преобразуем матрицы 3三o6p，R|2p, q) к виду, удобному для установления этой связи. Рассмотрим матрицу
厶=厶=/е—т/4 厶.о№ Л/е—т/4 厶.о№ Л(5.2.8),(5.2.8),
厶=
厶=
/е—т/4 厶.о
№ Л
/е—т/4 厶.о
№ Л
(5.2.8),
(5.2.8),
и положим ^ = LytA^. Очевидно, что
8/00叭
鐺=(С —А' 0 +6-"4(0 —оV b (5.2.9)
\0 О FJ—if О/
где А, В, С, F, ц, V ——те же, что в (5.2.7). Пользуясь свойством транспонирования (5.2.2), получаем
陽扌1+а1牖 T = 0,(5.2.10)
где
(5.2.11)(5.2.11)/ 0 _40、
(5.2.11)
(5.2.11)
£1=3寸厶/=〃р о о -\ О
Как мы увнднм, соотношение (5.2.10) является инфинитезимальным аналогом соотношения (3.2.8), характерного для суперканонических преобразований вещественных образующих р；,伞， 丫友 алгебры 31(A).
Укажем инфинитезимальный аналог соотношений (3.2.18), определяющих суперканонические преобразования образующих а&,в а^в, а&,尸，а^р алгебры 氣(А), которые являются аналогами бозевских и фермиевских операторов рождения и уничтожения (при нечетном q к образующим а^в, ... , а財尸 добавляется у7). Образующие 自，力，丫月 связаны с образующими а&,в, ... , &,f (и 丫@ при нечетном q) матрицей 厶=при четном
\° Ug/2 /-
q и матрицей
/4/200\
丄3 =0 Uj2 0
〃=合（「）（см・（32】7））・〃=合（「）（см・（32】7））・при нечетном д, гдепри нечетном д, где\ 001/
〃=合（「）（см・（32】7））・
〃=合（「）（см・（32】7））・
при нечетном д, где
при нечетном д, где
В соответствии с этими инфинитезимальными супераналогамн линейных канонических преобразований операторов рождения
и уничтожения являются матрицы вида
(5.2.12)(5.2.12)厶 ^ L^i при четном q, % 癇上丁 при нечетном q.
(5.2.12)
(5.2.12)
Из (5.2.12) следует, что матрицы ^' удовлетворяют условию
野夕 + е孑т = 0, & = L 量、厶‘ —'(5.2.13)
где L=LZ при четном q и Л = А3 при нечетном д;
°\О при нечетном q.1 /°\О при нечетном q.1 /Матрицы имеют следующийМатрицы имеют следующийявный вид:явный вид:+ е - ni/4+ е - ni/4(5.2.14)(5215)(5.2.16)(5.2.14)(5215)(5.2.16)причем блоки М, N, Q имеют видпричем блоки М, N, Q имеют видJ SQp О/J SQp О/
°\
О при нечетном q.
1 /
°\
О при нечетном q.
1 /
Матрицы имеют следующий
Матрицы имеют следующий
явный вид:
явный вид:
+ е - ni/4
+ е - ni/4
(5.2.14)
(5215)
(5.2.16)
(5.2.14)
(5215)
(5.2.16)
причем блоки М, N, Q имеют вид
причем блоки М, N, Q имеют вид
J SQp О/
J SQp О/
/【4 也с、"% @N， — с о//【4 也с、"% @N， — с о/Более подробно,Более подробно,УУООоо,где &，,尸,где &，,尸
/【4 也с、
"% @N， — с о/
/【4 也с、
"% @N， — с о/
Более подробно,
Более подробно,
У
У
О
О
о
о
,где &，,尸
,где &，,尸
N，N，Q=U В А при нечетномa О丿 Р
N，
N，
Ui, Vi ——квадратные матрицы порядков р/2 и [夕/2] соответственно, а, р — прямоугольные рХ{д⑵ матрицы, С и о — одностолбцовые матрицы.
Супералгебру Ли, состоящую из матриц вида (5.2.16) при четном q мы будем обозначать с (т, и), при нечетном — Ci (т；,-л), где m=p/2, n = [q/2\. Эти обозначения призваны подчеркнуть их связь с каноническими преобразованиями.
Алгебра о$р (R|2p, 2g', д"). Эта алгебра является вещественной формой oSp (С|2р, 2g' + q"). Она состоит из вещественных матриц, удовлетворяющих условию
Л 夕p,qr；q" + "p,q，，q"力Г = 0, (5.2.17),
где
А, В — вещественные матрицы, удовлетворяющие условиям
А Т2р 十 ％р А' = °， BSq・，q" + Sg，，g" 8' = 0.
Эти матрицы имеют вид:
В ；ГТ-：В ；ГТ-：/ 旦11^12 813
В ；ГТ-：
В ；ГТ-：
1^21 —В" ^23
\-^23 —813 月33,
причем Д 12 = AZ12, А21=4‘21, В12 = —В'12, В%】=—历1, 'Взз = —В'зз. При д，= 6 супералгебра Ли 06P (R|Op, 2gJ д〃)превращается в рассмотренную ранее супералгебру Ли ogp(R|2p,g), при е" = 0 она тесно связана с гамильтоновой структурой в кокаса- тельном пространстве к супермногообразию, которая наиболее прямолинейным образом обобщает на суперслучай гамильтонову структуру в кокасательном пространстве к обычному многообразию.
Ортогонально-симплектическая с уп ер алгебр а Л и 2-го рода о6р(К|〃)・ Эта алгебра состоит из матриц 垓三Mat(KI〃，/2), удовлетворяющих условию .
》Т" + Т〃儿Т = °，тп》Т" + Т〃儿Т = °，тп
》Т" + Т〃儿Т = °，тп
》Т" + Т〃儿Т = °，тп
Более подробно,'
4 = fв = —в‘, с = с.
9 一4丿
На первый взгляд кажется, что алгебра обр (К|〃，九)является точным аналогом симплектической алгебры Sp(n). Однако она в такой же степени является аналогом и ортогональной. В самом деле, положим 必=В屈S% где S^ = (； ；"). Легко видеть, что матрицы 身 удовлетворяют условию ^Sn+Sn^T=Q и тем самым образуют супералгебру Ли являющуюся точным аналогом ортогональной алгебры О(2л).
Лоренцовская суперконформная алгебра tt (2,2,N). Так называется супералгебра Ли, состоящая из матриц вида
/А В 0\/ О 0 а\
С —Л* О I + I о 0 叶 (5.2.18)
\0 О D)偉 ioc* О/
где А, 5, С — комплексные матрицы 2-го порядка, D — комплексная матрица порядка N, а,卩一комплексные прямоугольные матрицы, имеющие 2 строки и N столбцов. Матрицы В, С и D удовлетворяют соотношениям
В = В*, С=С*, D = —D*.В = В*, С=С*, D = —D*.(5.2.19)(5.2.19)
В = В*, С=С*, D = —D*.
В = В*, С=С*, D = —D*.
(5.2.19)
(5.2.19)
алгебры подалгебройалгебры подалгеброй
алгебры подалгеброй
алгебры подалгеброй
Лоренцовское суперо б-общение д е Ситтера ^ (4, N). Эта алгебра является
т =т =где Л, 8, С, О, а, 0 — блоки матрицы что в обычном случае существует двеS+, состоящая из блочных 4x4 матриц ряющих условиямгде Л, 8, С, О, а, 0 — блоки матрицы что в обычном случае существует двеS+, состоящая из блочных 4x4 матриц ряющих условиям^. Обратим внимание.^. Обратим внимание.алгебрыалгебрыде Ситтера:удовлетво-де Ситтера:удовлетво-=0, В = В*, С = С*, (5.2.22)=0, В = В*, С = С*, (5.2.22)
т =
т =
где Л, 8, С, О, а, 0 — блоки матрицы что в обычном случае существует две
S+, состоящая из блочных 4x4 матриц ряющих условиям
где Л, 8, С, О, а, 0 — блоки матрицы что в обычном случае существует две
S+, состоящая из блочных 4x4 матриц ряющих условиям
^. Обратим внимание.
^. Обратим внимание.
алгебры
алгебры
де Ситтера:
удовлетво-
де Ситтера:
удовлетво-
=0, В = В*, С = С*, (5.2.22)
=0, В = В*, С = С*, (5.2.22)
предыдущей, она выделяется дополнительным условием
/т 0 0 \ /т 0 0 \
J + I 0 т 0 )》т = о, (5.2.20)
\0 0\0 О I，
где 廖一матрица вида (5.2.18),
(5.2.21)(5.2.21)C=fB« р = —/та,。= —Dr = D, trЛ = 0,
(5.2.21)
(5.2.21)
и S~, состоящая из аналогичных матриц, у которых, однако, первое условие (5.2.22) заменено на
（3）（弟）+га（ю=。（3）（弟）+га（ю=。(5.2.23)(5.2.23)
（3）（弟）+га（ю=。
（3）（弟）+га（ю=。
(5.2.23)
(5.2.23)
Остальные условия (5.2.22) остаются неизменными. Супераналогом обладает только первая алгебра. Алгебра Sl(4,W) изоморфна алгебре 98P (R|4,2). Устанавливать изоморфизм удобно в два этапа. Вначале рассмотрим матрицы 4X4 и (ЛЧ4)Х(%+4):
(5.2.24)(5.2.24)
(5.2.24)
(5.2.24)
Положим 毋=W糜取и, где 國三 8工(4, N). Матрица ⑨ имеет вид/U 7 0\/ 00 и、
癇=(卩 U 0 十 е"〃4° о _眾，(5.2.25)
\0 0 D /и* —(/0 /
где
U=}(4-4*)：十亍(В —Вс), V = ~(А^ А^)г +
+砧，)
сг = а — та.(5.2.26)
(При установлении равенства (5.2.25) полезны тождества та = =ат и тЬ =—玩，где а — косоэрмитова, b — эрмитова матрицы, причем tra = trb = O.)
Положим
/т 0 0 \/ О Z2 0 \
冗i= ОтО ，宓=呼加皿т= 一厶 0 0(5.2.27)
\0 0 IN)\ 0 0
Из (5.2.20) следует, что матрицы 扌 удовлетворяют соотношеНИЮ
阕箔+%鐺7 = 0.阕箔+%鐺7 = 0.(5,2.28)(5,2.28)
阕箔+%鐺7 = 0.
阕箔+%鐺7 = 0.
(5,2.28)
(5,2.28)
Рассмотрим теперь 4X4 и (4 + N)义(4-нМ) матрицы
(и 0〔0 In(и 0〔0 In
(и 0
〔0 In
(и 0
〔0 In
и положим 宅=U绩и-，. Из (5225) следует, что матрицы вещественны:
/ги「12。\
餐餐 0 + 00 卩，(5.2.29)
\0 0 D) М 屮 0/
_ / Re U + Re V Im U — Im М )
V2i г22/ 〔一 Im U — Im V Re U — Re V/
где символы Re, Im означают вещественную и мнимую часть соответствующей матрицы. Заметим, что % = U銀U’. Поэтому из (5.2.29) следует, что матрицы 皆 удовлетворяют условиям
g宓+ тт = О,
т. е.穹三 обр (R|4, N). Обратно, легко видеть, что если 皆三 w Мр (R|4,N), то Г-1 U-^UW^ ^L (4, N).
Евклидовская суперконформная алгебра ”е(4, №)• Эта алгебра существует только при четном М Она состоит из матриц вида
(5.2.30)(5.2.30)
(5.2.30)
(5.2.30)
где А, В, С, D ——матрицы 2-го порядка, имеющие специальный вид
(5.2.31)
матрицы а,区 у, 6 состоят из блоков, которыми служат матрицы 2-го порядка вида (5.2.31). Так как матрицы вида (5.2.31)
образуют алгебру кватернионов, то другими словами, можно сказать, что алгебра Uf(4, ^) состоит из кватернионных матриц. По аналогии с введенными ранее пространствами К。％ где K=R или К=С, обозначим через Qp^ — градуированное кватернионное линейное пространство. Элементами Qpt служат
столбики : 卜 где 修三Q — кватернионы. Х2-градуирован-
ную алгебру линейных операторов в этом пространстве обозначим 丄(Q|p, д), соответствующую супералгебру Ли—j (Q|p, g)_ В этих обозначениях Ue (4, N) = *(Q | 2, -у-j .
И. Евклидовское суперобобщение алгебры д е Ситтера ^£ (4, N). Эта алгебра, так же как предыдущая, существует только при четном N. Она состоит из матриц вида (5.2.30), удовлетворяющих дополнительному условию (5.2.20).
Супералгебра Л и mat (р). Эта алгебра состоит из матриц 必曰 mat (р, q), имеющих специальный вид
4 =4 =/А 0〔0 Л/А 0〔0 Л++(0 8、回丿(0 8、回丿(5.2.32)(5.2.32)
4 =
4 =
/А 0
〔0 Л
/А 0
〔0 Л
+
+
(0 8、回丿
(0 8、回丿
(5.2.32)
(5.2.32)
Супералгебра Ли mat (р) обладает идеалом ё mat (р), состоящим из матриц вида (5.2.32), удовлетворяющих дополнительному условию
(5.2.33)(5.2.33)tr8 = 0.
(5.2.33)
(5.2.33)
Супералгебра 8 mat (卩)аналогична супералгебре ^(р, ^): ей отвечает, как мы увидим, подгруппа S Mat (р ［ A) cG Mat (jo | A)» состоящая из элементов GMat(p |А) с супер детерминантом 2-го рода, равным 1.
Супералгебра 8 mat (р) обладает идеалом, состоящим из матриц вида 入(，:} Факторалгебра 6mat(p) по этому идеалу называется (广一d) -супералгеброй Гелл-Л^ана, Михеля, Радикати. Мы будем обозначать ее 皆次死(卩).
Алгебру 乡)我死(р) можно реализовать матрицами вида (5.2.32) с дополнительными условиями tM = tr8 = 0 и коммутатором, отличающимся от обычного:
痂］1 = ［4源］ tr ［/,認］(5234)
где ［必，毋］——обычный коммутатор, определяемый формулой (5.1.6).
Алгебра Гольфанда—Лихтмана ГЛ(^). Эту алгебру проще всего описать как подалгебру алгебры суперконформных преобразований х (2,2,2), состоящую из матриц
вида
/Л В 0\/О 0
Л = I О —4* 0 )+ 00 0 ], tr^ = O (5.2.35)
\0 0 0/\0 —IY о/
(у = е#"4а, Где &—матрица из правой части (5.2.18)). Четная часть алгебры ГЛ (^) является алгеброй Ли группы Пуанкаре.
Алгебра ГЛ(2) обладает группой автоморфизмов, изоморфной U(iV). Полупрямое произведение алгебр ГЛ (iV) и U(^) также является подалгеброй суперконформной алгебры и (2, 2, N). Обозначим его через ГЛ] [N). Супералгебра Ли ГЛ1 (；V) состоит из матриц вида
/Л В 0\/0 0
R0 Oh tr 4 = 0.(5.2,36)
\0 0 D)\0 —y* 0/
Супералгебра локальных векторных пол ей Q?,g(U). Эта алгебра состоит из дифференциальных операторов 1-го порядка действующих в алгебре Ap,q(U) как линейном пространстве:
(X/〃z) = WX，⑵(5.2.37)
где 2% lw，&p + q, — образующие алгебры APiq(U), X士三Np,q(U). В случае, если а(21') = 1, в (5.2.37) имеется в виду левая производная,
Очевидно, что оператор вида (5.2.37) не меняет четности элемента f, если коэффициенты X，однородны и а(Х*)+ a.(z£) =0 при всех I, и меняет четность /, если коэффициенты X? однородны, но аЮ +а3) = 1 при всех /. Таким образом, в соответствии с общим определением четности оператора, действующего в £2-градуированном линейном пространстве, оператор X вида (5.2.37) однороден, если его коэффициенты Х= однородны и сумма а(Х') + а(2*) не зависит от номера 厶 При этих условиях его четность равна
сс(Х)=а(^) + а(^).(5.2.38)
Операция коммутирования в £＞「,《(U) определяется в соответствии с общей формулой (5.1.6). Так же как в случае обычных дифференциальных операторов 1-го порядка, легко проверяется, что коммутатор операторов вида (5.2.37) является оператором того же вида. Таким образом, коммутатор (5.1.6) превращает Qp,q(U) в супер алгебру Ли. В случае однородных X, Y^Dp!(f(U) коэффициенты [X,疗 оператора [X, У] выражаются через коэффициенты X*,卩 операторов X, У согласно формуле
[X,件=2XS м) — (一 i)a(x)a(Y) ys• (5.2.39)
Заметим, что операторы X^DPtq (U) являются дифференцированиями алгебры 入
Х(Л g) = (X/)g 十(一 l)a(x)a⑴/Xg(5.2.40)
для однородных f,g三Ap,q(U), XwDp,q(U). Так же как в обычном случае, можно показать, что DPiQ(U) состоит из всех дифференцирований Ap,g(U)L
Представление алгебры Dp#(U) в пространстве локальных тензорных полей. Напомним, что тензорным полем называется полилинейная функция, зависящая от некоторого количества касательных и кокасательных векторов к супермногообразию: F — F (z\ и, ... , u; v, ... ,v), где z —
门r5 m1 /
точка супермногообразмя М, и = {u1 ... ир^}, у = {f ...护+。}— г г гm т т
соответственно кокасательный и касательный векторы к Af в точке N.
Напомним, что четности компонент этих векторов «；, v^ Г S связаны с четностями локальных координат одним из следующих двух соотношений：
а (%) = а 3) или а (%) = ос (/) + I,
''.^(5.2.41)
а (U) = а (d) или а ®) = а (К) + 1. SS
В случае, если а(/)=а(5), векторы “ни называются родственными, между ними определено скалярное произведение
(u, S=£uQ.(5.2.42)
В случае, если супермногообразие М является локальным, т. е. если z^Kp,q{U), тензорное поле F (z\u, , и; v, tv)
Сg"hm?
является элементом алгебры Tp,q(U) uAgg(UХК” Напомним, что элементами алгебры Tp,«(U) служат произвольные (не обязательно полилинейные) цилиндрические функции от г, и, v.
В случае глобального супермногообразия М роль алгебры Tp^(U) играет алгебра сечений расслоения, базой которого служит М, а слоем — бесконечное произведение касательных и кокасательных пространств.
В алгебре Tp,g(U) существует оператор, который называется упрощением
—У (и, и )
simpl F =[ F (z\ и, v)enZwdq (5.2.43)
где MuZ+, m(r) ——функция на М, принимающая положительные целочисленные значения, причем m(ri) =m(r2) только, если 尸1=尸2；瓦，и — пары родственных векторов.
г m(r)
Таким образом, функция G = simpl 尸 зависит от числа аргументов, на 21All меньшего, чем 尸，где \М\—число точек в множестве М.
Пусть Аг — однородный оператор в Tp)q(U), имеющий вид
f
(5.2.44)(5.2.44)4 =砍，*
(5.2.44)
(5.2.44)
где г ——некоторое фиксированное число, 4為‘三Tp,g(U). Обозначим через Агт, Аг операторы, действующие согласно формулам:
第f=(一］严(叫以石十以的)以分)尸 д 1A^,(5.2.45)
ArF = (- 1严5他(廿十a(«))屋产工_尸.尸 dvL
С помощью соотношений (2.1.4) и (2.2.7), (2.2.8) легко проверяется, что Агт=Аг и что
sirnpl (#£尸)=simpl (Ar^F) = simpl (ArF), (5.2.46) r,rr,Lr,L
где rf ~m (r) eZ+ — произвольное число, такое, что векторы и Г
и у родственны. Перейдем к описанию представления алгебры
Dp,q〈U) в пространстве Tp,q(U).
Каждому X三Dp£U) сопоставим в Tp,q(U) оператор Тх согласно формуле
Тх = Х—£(—1) г+
JГ dzs dus
гг
(5247)(5247)+ £(— ］)a(X)(a(z')+a9b) * ( @ ,工［—J
(5247)
(5247)
где X——оператор в Tp,q(U), действующий на элемент F(z\u,v), как на функцию z. Из ©ормулы (5.2.45) легко следует, что оператор Тх имеет следующую структуру：
Тх = X —£4(Х) + £%：(Х), (5.2.48)
где
8⑵)2(%)4(x)= (—i) г Ku) г8⑵)2(%)4(x)= (—i) г Ku) гдdzsдdzsдdusдdus(5.2.49)(5.2.49)
8⑵)2(%)
4(x)= (—i) г Ku) г
8⑵)2(%)
4(x)= (—i) г Ku) г
д
dzs
д
dzs
д
dus
д
dus
(5.2.49)
(5.2.49)
Оператор 4r вида (5.2.49) обладает важннм свойством, если / =『⑵/, то
(Тх/)' = [X, У]' = № (—产〕一(一 1)а(Х)а(У)产(д х，’ \ дХ /\ dzs
где У =产——： оператор, аналогичный X. Операторы 7芯 вида (5.2.47) являются супераналогами так называемых производных Ли, хорошо известных в обычной дифференциальной геометрии. Мы сохраним этот термин и в дальнейшем будем часто называть эти операторы производными Ли.
Теорема 5.2, 1) Операторы Тх вида (5.2.47) образуют линейное представление супералгебры Ли Dp#(U).
Операторы Тх перестановочны с операторами упрощения.
Операторы Тх являются дифференцированиями алгебры MS.
Доказательство. Третье утверждение очевидным образом следует из того, что Тх является дифференциальным оператором 1-го порядка, причем оператор Тх однороден, если X однороден и а(Тх)=а(Х).
Второе утверждение следует из того, что оператор Тх имеет вид (5.2.48), в то время как оператор X коммутирует с упрощением, а операторы Лг, Аг связаны с оператором упрощения формулой (5.2.46).
Перейдем к первому утверждению. Заметим, что при любых X,YqDp£U) и любых г, r'[Ar (X), Лг (I7)] = 0 при г ^ г'. Также [4 (X), 4, (У)] = 0(Х), 4, (У)] = 0. Поэтому
[Тх, П j = [X, У] —2 [X, Л, (У)] + W [X, Аг (Г)] 一 S [4 (X), V]十十 2 [Л (X), У] + S14 (X), 4, (У)]十 21Х (X),不，(У)].
Заметим, что слагаемое, содержащее 4(Х) или 4(У), является дифференциальным оператором только по переменным 年,
Г слагаемое, содержащее 才，(Х) или 4(У), — только по переменным и'. Поэтому условие [『х, Ту]=7[х,у] эквивалентно следующим двум системам условий:
Ar^X^^^A^Y^Ar^^-lA^X^^riY)],儿([X, У]) = [X,儿(У) ] + 瓦(X), У] + 瓦(X),第(У)].
Эти соотношения проверяются одинаково. Ограничимся проверкой соотношений 2-й группы. Опустим индекс г. Непосредственное вычисление дает
方 ° yi&' оз方 ° yi&' оз[X Л (У)] = (一 ])a(y}(a{J)+a(J))+a®s)a(X)usXf
方 ° yi
&' оз
方 ° yi
&' оз
[彳(X) У] = — (— l)a(X)a(y)+a(X}{a(z')+ad))+a(uS)a(Y)usyf 义
(5.2.50)
XXX(UMX京[Л (X), Д (У)] = (— l)(a(X)+a(l))(a(zi)+a(/)) 乂X(UMX京[Л (X), Д (У)] = (— l)(a(X)+a(l))(a(zi)+a(/)) 乂Заметим, что в силу (5.2.41) сумма a ⑵)+ a (叫 не зависит от Л Поэтому
X
X
X(UMX京
[Л (X), Д (У)] = (— l)(a(X)+a(l))(a(zi)+a(/)) 乂
X(UMX京
[Л (X), Д (У)] = (— l)(a(X)+a(l))(a(zi)+a(/)) 乂
(—1 严⑺他禽十以科卄以声仪⑺二(—l)(a(X)+a(y))(a(z"}+a(i/))+a(X)a(『).
(—[)aW)(a(z')+a(ui))瞑(—[)aW)(a(z')+a(ui))瞑貳'貳'Применяя аналогичное преобразование в правой части 2-го равенства (5.2.50) и складывая затем все три равенства, находим, что сумма правых частей имеет вид
(—[)aW)(a(z')+a(ui))瞑
(—[)aW)(a(z')+a(ui))瞑
貳'
貳'
W£ = Xf {亠 н[ — (— l)a(x)a(y)Н / 冬 X?
w = W^— = [Х, Г].
В заключение сделаем несколько замечаний по поводу определения операторов X, Тх и их свойств.
Замечание 1. Обозначим временно оператор, определяемый формулой (5.2.37), через X/ и рассмотрим аналогичный оператор Хг
(XJ)(z)=f$*.
Теория, которая получается на основе операторов Хг, полностью эквивалентна рассмотренной, ввиду того что
где 0 ——оператор в Ap)q(U) переставляющий нечетные координаты в обратном порядке.
Замечание 2. Определение оператора Тх может быть модифицировано за счет изменения значковых множителей без ущерба для справедливости теоремы 5.2. Выбранные нами знаковые множители в (5.2.47) однозначно определены условиями;
если 尸=『4心7\闻(и)，то TX尸=[X, y]к, где [X,力二 коэффициент коммутатора оператора X с оператом У = У7 ^~ (см. (5.2.39));
оператор Тх должен коммутировать с операторами упрощения.
Замечание 3. Обозначим через °DPiq(U) подмножество Dp,q(U), состоящее из операторов, коэффициенты которых линейно зависят от N?. Из (5.2.50) следует, что °DPiq (U) является подалгеброй Dp,g(U). Если элемент fwAp,g(U), в свою очередь, линеен по образующим 岁，то
(коэффициенты fi являются числами, поэтому знаковые множители не возникают). Следовательно, супералгебра Ли QDPiq(U) изоморфна супералгебре m*t(p, д). Изоморфизм дается формулой
Коммутатор производной Л и и ковариантной производной. Напомним, что однородной ковариантной производной называется оператор в Tp,g(U) вида
V⑷=。嗚+工m極餐一2(一产咁y。旧書，(525DГг гг
где 出一компоненты касательного вектора а,
а (у) = а (о/) + а (#) = а (а*) + а 侬)+ а (公)+ а(「3).
Оператор V(а), подобно оператору Тх, перестановочен с оператором упрощения. Это видно из того, что он имеет структуру, аналогичную оператору Тх：
V (а) = О (а) + £ В, — £ 瓦，(5.2.52)
где
D (а) = q' —77—, Br — ak「乙 u£ ——,
Br = (— l)a(¥)ad)vlakrh(5.2.53)
знак 〜имеет тот же смысл, что в (5.2.45). Сопоставим оператору V (а) элемент ГмТр,д(и), равный
.a(v)a(J)
Г(а,и,и, з,/)=由區％必一(一1) r ulakFkit'£t (5.2.54) где w, i — соответственно касательный и кокасательный векторы, причем
а(и>9 =a(Uj), а«е)=а(叫.(5.2.55)
Таким образом,
М£，(5.2.56)
Теорема 5.3. Коммутатор операторов Тх и V (а) имеет вид
[Tx,v(G] = £h(a,+
гГг
+ EM^WLEM 叮善｝(5257)
Гггг
причем
，Г1 (а, и, и, w, /) =АдаГ^АшГ(а, «, о, ш, /),(5258)
где Aw ——оператор четности по переменной ш,
А©/(а, и,侬，才)=/ (〃，и, w', /),侬"=(―1) г 渺，
элементы 口3 〃，⑬)，口(@, d, /) имеют вид
「2 (а,弘劝=(一 1)аВа (修 а/ -А- (Х&) 叽 (5.2.59)
弓(а, и, f) = (— 1)а(Х) @M + a(J))(加 _J_ 炉 _Л__ хН %.
\Эг5 /
Доказательство. Представим операторы Тх и V (а) в виде (5.2.48) и (5.2.52) соответственно, в сумме (5.2.48) выделим слагаемое, отвечающее 5 = * которое обозначим 力°:
4=(一产(5.2.60)
(Напомним, что &(▽) =а⑵)+а(а').) Учитывая, что операторы, содержащие производные, по различным аргументам коммутируют между собой, имеем:
[TX, V ⑷]=[X, D] + 闻，D] 一 £[4,0]+ £ [X, D] +
гг声0
+ £([X,瓦[一[X,瓦])一 £([4, В,] + [X.瓦]).(5261)
Заметим, что производные d/d" могут содержаться лишь в первой строке. Коэффициент при д/дг1, таким образом, равен
(一1)«W«(V) as /_^_ X') + (一 l)a(X)a(v)as(一1)«W«(V) as /_^_ X') + (一 l)a(X)a(v)asа森а森=°,=°,
(一1)«W«(V) as /_^_ X') + (一 l)a(X)a(v)as
(一1)«W«(V) as /_^_ X') + (一 l)a(X)a(v)as
а
森
а
森
=°,
=°,
Далее, слагаемые содержащие вторые производные ¥； содержатся только во втором, третьем и четвертом слагаемых. Эти слагаемые имеют вид
(—l)a(Y)a(X) ^ — (— i)a(v)a(X) 口儿 +…，(5262)
где многоточие означает однородный дифференциальный оператор 2-го порядка. Операторы (5.2.62) имеют при всех г одинаковый вид, поэтому в дальнейших вычислениях индекс г опускается. Очевидно, что
D/ = Г2 (а, и, —) + • • •,
г2(а, М,侬)=(-1 严з)а(%)d *(XSJ 六储，
dzs
『2 (a, U J) = (— l)a(X)(a5+a(J》ai『2 (a, U J) = (— l)a(X)(a5+a(J》aiddVsVs
『2 (a, U J) = (— l)a(X)(a5+a(J》ai
『2 (a, U J) = (— l)a(X)(a5+a(J》ai
d
d
Vs
Vs
и многоточие имеет тот же смысл, что выше.
Перейдем к последним двум слагаемым. Опуская индекс 尸, имеем
[X, B] = X，(亲小必)«/
(5263)
(X,瓦=—(—l)a(V)a(J)- Vlak П/j
Эти члены имеют очевидным образом нужный вид. Далее,
一园 5] = (- 1 产3)a(%)( X，/ 十)/(出以 «/) / +
(一 1)a(X)a(V)+a(2s)a：(us) / 関勿丄(X，忆一^―, (5.2.64)
0以1 &s / dus
一伍，方]=(一 ])a(X) (a(z*)+a (J))+a(y)a(t/)炉(；$ X，) X
X —纟一 (J М г{/) —jh (—l)a(X)a(v)+a(X〉(a(J)+a(u5)+a(v)ae)‘)乂
i"4i"4дdzsдdzsX*X*д不д不(5.2.65)(5.2.65)
i"4
i"4
дdzs
дdzs
X*
X*
д
不
д
不
(5.2.65)
(5.2.65)
(5.2.64)в виде(5.2.64)в видеПервые слагаемые в правых частях формул (5.2.63) и имеют нужный вид, вторые следует преобразовать.
(5.2.64)
в виде
(5.2.64)
в виде
Запишем второе слагаемое в правой части (5,2.64) с(& % 4г} где
С @, 〃，侬）=（一 1）а（Х）а“）Е（，）а（%）+а（“网Х『）乂
=(-I户篦(限-X，) 击(淤通"/•必).
Показатель у равен
у = a (X) a(V)+ a Qs) a (他)+ a (匕)a (X‘)+
+ a (歩)(a (v) + 1) + (a (X，)+ a (zs)) (a (v) + a (山))+
+ a (侬s) (a (v) + a (Xх) + a (zs) + a (a/)) + a (zs) (a (Xz) + 1). Преобразуем у, пользуясь тем, что a (Х‘)= a (X) + a (/),
a 他•)= a (3), a 侬)+ a (齊=a (歩)+ a (侬后).
Y = a (X) (a (v) + a (wf) + a (v) + a (a/) + a (3)+ a (判)+
+ a(V)(a (a/) + a 0) + a (zs) + a (侬$)) +
+ a (zs) a (u)s) + a (侬)a 侬)+ a (a/) (a (zz) + a Qs)) +
+ a (侬$) (a (/) + a (z$) + a (3)) +：a (zs) (a (zz) + a (*)=
=a(X)(a (觎)+ a (z$)) + a (zs) (a 侬$) + a 侬s) + a (zz)+a (尸))+
+ a(喇(a (/) + a (3)+ a 侬)+ a (不))+ a (ws) (a (k)+a (歩))=
=a (X) (a (沙)+ a (zs)) + a (zs) (a (曲 + a (zs))+
+ a (tt>z) (a (zs) + a (»)) + a (ws)^(a 停)：+ a (健))=
=a (X) (a (域)+ a (zs)) + a(2$)：(а (zQ + a Qs)) +
+ a (山)(a (0) + a (/)) + a (tws) (a 0) + a (3))=
=a (X) (a (S) + a Qs)) 4- a (zs) (a (zz) + a (zs)) + a (2/) (a (如)+ a(侬s))=
=a (X) (a (W) + a (z5)) + (a (zs) + a (zz))2 =
=a (X) (a (0) + a (z$)) + a 侬$) + a (»).
Таким образом,
C (a, u, w) —AwAAw^rhiUjW1,(5.2.66)
где A ——оператор 才,，отвечающий случаю, когда v = ш.
Перейдем ко второму слагаемому в правой части (5.2.65).
Запишем его в виде D (а, и, —~—), где
D(a, и, /) = (— 1 )a(^)a(V)4-a(X) (a(zf)+a (of))+a(V) a(«S x
X (vlak Hr //)X (vlak Hr //)4-d4-d=(—l)v (X“)=(—l)v (X“)dtsddtsddzsdzsX，gX，g决 $dts决 $dts俨a叮Mj).俨a叮Mj).
X (vlak Hr //)
X (vlak Hr //)
4-d
4-d
=(—l)v (X“)
=(—l)v (X“)
dts
d
dts
d
dzs
dzs
X，g
X，g
决 $dts
决 $dts
俨a叮Mj).
俨a叮Mj).
Показатель у преобразуем аналогично предыдущему:
Y = a (X) (a(V)+ a (力 + a (^)) + a(V)a (叫 +
+ a(^) (a(V)+ 1) + 3(/) + a(X，) + a О (a(V)+ a (^)) ++ a(#)(a(X') + a(f,) + l) =
a(X)'(a(v) + a(2‘)+ a&) + a(v) + a(/s) + a(2s)) +
+ a(V)(a(U) + a(/s) + a(zs) + a(z，) + a (/,))： +
+ a(zs)[(a(») 4- a(力)+ a(zs))=
=a (V)a (») + a(2s) a &).
Таким образом,
D(a, v,t) = A (— l)a(wd)济歩必力.(5.2.67)
Объединяя формулы (5.2.66), (5.2.67) с первыми слагаемыми в правых частях равенств (5.2.64), (5.2.65) и с (5.2.63), получаем нужный результат.
Диффеоморфизмы, оставляющие инвариантной интегральную форму. Применим производную Ли к интегральной форме
(o = p(x,自)dN …dx^d^ ...豆守.(5,2.68)
В этом случае Иг = 5г{ == d^p при 卩十 l《i《p + q, u，= dz，( = dX* при Iwiwp),
а(〃0=а(К), a(u，)=a(z*) + L(5.2.69)
Поэтому
T x 9 = X pD1 . . . fP 〃p+l ... 〃₽+q +
(_ l)a(X)+a(J)(a(zS)+a(X‘))+(a(x5+l)a(zS)(* ；§_) .s _£_ 义
(—|^a(2S)+a (upa(2s)(—|^a(2S)+a (upa(2s)P 一P 一J …UP Up-i-l . . . 〃p+q +J …UP Up-i-l . . . 〃p+q +a(z')+a(u,)a(z・)a(z')+a(u,)a(z・)p+1 • • • upy —p+1 • • • upy —При преобразованиях учтено, чтоПри преобразованиях учтено, чтоu3 -^-炉…屮=^2…明s< p, 2u3 -^-炉…屮=^2…明s< p, 2
(—|^a(2S)+a (upa(2s)
(—|^a(2S)+a (upa(2s)
P 一
P 一
J …UP Up-i-l . . . 〃p+q +
J …UP Up-i-l . . . 〃p+q +
a(z')+a(u,)a(z・)
a(z')+a(u,)a(z・)
p+1 • • • upy —
p+1 • • • upy —
При преобразованиях учтено, что
При преобразованиях учтено, что
u3 -^-炉…屮=^2…明s< p, 2
u3 -^-炉…屮=^2…明s< p, 2
“/ -■-"р+1 •…"р+q ~ 仇 ^p+1 • • • "p+q, s〉P・
Окончательно получаем, что Txs = si + s, где ® — форма, аналогичная со, причем
Р1 ⑵=(Хр)⑵ + S(- l)ad)卜，嗫~) Р(2).(5.2.70)
Форма з имеет вид
3= £小严〃叶1 ...Up+g.
S>P
Q(5.2.71)
Положим
%=£就切,%=£就切,a， = e或鸣k<pa， = e或鸣k<p(5.2.72)(5.2.72)
%=£就切,
%=£就切,
a， = e或鸣k<p
a， = e或鸣k<p
(5.2.72)
(5.2.72)
где ||酬犬|| — прямоугольная матрица, l《ftvp, p+l《s《p + g, a(侬友s)= ]. Подставляя 厶彳,u$ из (5.72) в (5.71), получаем, что
дdzsдdzsр (z)(威一磷 5 …и" Up+t …〃р+《—0.
д
dzs
д
dzs
в полном согласии с общей теорией, развитой в гл. 5.
力)Р = °，力)Р = °，Возвращаясь к формуле (5.2.70), находим, что инфинитезимальное условие сохранения суперобъема, задаваемого интегральной формой (5.2.68), состоит в тождестве
力)Р = °，
力)Р = °，
(5.2.73)
Диффеоморфизмы, сохраняющие инвариантной внешнюю дифференциальную форму.
Пусть
с0 =e0…/比力"'(5.2,74)
внешняя дифференциальная 方орма,
vi = dzi, а(Уг) =а(г^) + 1.(5.2.75)
Применяя оператор Гх к форме со, получаем
7\8 = X 3+ (一1)")小=
=Xs + (— 1 产X)加一=Xs + (— 1 产X)加一
=Xs + (— 1 产X)加一
=Xs + (— 1 产X)加一
—(—1)а(Х)+а(『)(а(Х)+1)+а《!/)(С4{хЗ+а(/» 炉(X? 金「—(—1)а(Х)+а(『)(а(Х)+1)+а《!/)(С4{хЗ+а(/» 炉(X? 金「=X 3 +(- 1产("炉 _L_ (X/=X 3 +(- 1产("炉 _L_ (X/(一 l)a(X)+a(zs) (a(X)+l)+a(cs) (a(x')+a(/))(一 l)a(X)+a(zs) (a(X)+l)+a(cs) (a(x')+a(/))
—(—1)а(Х)+а(『)(а(Х)+1)+а《!/)(С4{хЗ+а(/» 炉(X? 金「
—(—1)а(Х)+а(『)(а(Х)+1)+а《!/)(С4{хЗ+а(/» 炉(X? 金「
=X 3 +(- 1产("炉 _L_ (X/
=X 3 +(- 1产("炉 _L_ (X/
(一 l)a(X)+a(zs) (a(X)+l)+a(cs) (a(x')+a(/))
(一 l)a(X)+a(zs) (a(X)+l)+a(cs) (a(x')+a(/))
й)й)（一1产）炉（一1产）炉dd及s及s十*十*д也'д也'ддсосо
й)
й)
（一1产）炉
（一1产）炉
d
d
及s
及s
十*
十*
д
也'
д
也'
д
д
со
со
(при преобразованиях используется условие четности (5.2.75)), Окончательно получаем, что
Txs = 3xds+ (—I)a(x)d5x3,(5.2.76)
где d = vs, 5x = X’：—•Оператор d является внеш-
5zs加‘
ним дифференциалом. В частности, инфинитезимальное условие инвариантности замкнутой формы относительно диффеоморфизма состоит в том, что
dBxs = 0.(5.2.77)
Гамильтоновы векторные поля. Алгебра скобок Пуассона. Пусть и ——замкнутая внешняя 2-форма. В этом случае аннулирующие ее внешние поля называются гамильтоновыми. Из (5.2.77) нмеем
— _^6xs = d〃.(5.2.78)
(Напомним, что мы рассматриваем лишь локальные векторные поля.) Множитель—1/2 введен из соображений удобства. 6х<о
является формой 1-го порядка. Следовательно, Н — функция. Очевидно, что функция Н определяется формулой (5.2,78) однозначно с точностью до постоянного слагаемого. Она называется гамильтонианом или гамильтоновой функцией векторного поля X. Возникает естественный вопрос: всякая ли функция Н является гамильтонианом какого-нибудь векторного поля? Ответ очевидным образом положителен, если форма со невырождена (т. е. если матрица ||з*|| этой формы обратима), и отрицателен, если форма вырождена.
Обозначим через Aa(U) множество гамильтонианов векторных полей. (4s(U) =Ap,<?(U) в случае, если форма со невырождена.)
Пусть X, У — гамильтоновы векторные поля,厶，HyR ^Aa(U)—их гамильтонианы. Коммутатору векторных полей X, У отвечает композиция функций Ях, Ну, которая называется скобкой Пуассона. Скобку Пуассона мы будем обозначать аналогично коммутатору: [Нх, Ну] или, в случае, если возможно недоразумение, [Нх, Ну]р.
Скобка Пуассона, таким образом, определяется равенством ^- 6[x,y] <о = rf [Н%, "у].(5.2.79)
Очевидно, что она превращает множество Лш в супералгебру Ли. Скобку Пуассона естественно называть однородной, если форма однородна. Однородную скобку Пуассона будем называть четной или нечетной в зависимости от того, четной или нечетной является форма sL Пусть со — однородная замкнутая форма 2-го порядка, X ——однородное гамильтоново векторное поле, Нх — соответствующий гамильтониан. Легко видеть, что функция Нх в этом случае однородна, причем
а("х) =а(Х) 4-а(со).
Выразим скобку Пуассона непосредственно через гамильтонианы.
Теорема 5.4. Пусть <о ——однородная замкнутая форма 2-го порядка:
6 = *ь心賣，(5.2.80)
修s = (—l 严声 а"з”，(5.2.81)
||з注II ——матрица, связанная с матрицей ||o)sf|| соотношением 吗,з〃 叫/(_ 1 严)а(川=*(5.2.82)
Напомним, что форма s называется однородной, если однородны ее коэффициенты ①厶.“ и четность числа d((o厶…％ ) = а (z〃)+ • •• +'а (z ^) одна к та же для всех коэффициентов. Четность однородной формы определяется согласно формуле
а (з) = a (吗…%)+a(卢)+ …+aе")，眼В山力 a (吩нa 侬)+ L
X, У — гамильтоновы векторные поля, Н=НХ, G = Hy, соответствующие им гамильтонианы. Тогда
[Я, G] = H[Я, G] = H扌扌9"备&9"备&(5283)(5283)Доказательство теоремы отнесено в следующий раздел. Сделаем по поводу нее несколько комментариев. Прежде всего заметим, что из (5.2.82) следует условие четности для элементов з”：Доказательство теоремы отнесено в следующий раздел. Сделаем по поводу нее несколько комментариев. Прежде всего заметим, что из (5.2.82) следует условие четности для элементов з”：a(o?s)=a。)+а(и$) +a((o).a(o?s)=a。)+а(и$) +a((o).(5.2.84)(5.2.84)Далее, если матрица ||з*|| удовлетворяет уравнению (5282), то матрица с элементами3『_ gjsf (— ])(a(z')+a®))(a(z‘)+a(3)+l)Далее, если матрица ||з*|| удовлетворяет уравнению (5282), то матрица с элементами3『_ gjsf (— ])(a(z')+a®))(a(z‘)+a(3)+l)также удовлетворяет этому уравнению. В ся, подставив з产 вместо о?$ в (5.2.82),также удовлетворяет этому уравнению. В ся, подставив з产 вместо о?$ в (5.2.82),этом можно убедить- переставив затем (osjэтом можно убедить- переставив затем (osjналево, ®н направо и воспользовавшисьналево, ®н направо и воспользовавшисьсвойством симметриисвойством симметрии(5.2.81) матрицы ||(0*||. Соответствующие вычисления мы опустим. Положим теперь ^ == __ ^^* ^_ ^у Очевидно, что матрица ||з'$|| также является решением уравнения (5.2.82).(5.2.81) матрицы ||(0*||. Соответствующие вычисления мы опустим. Положим теперь ^ == __ ^^* ^_ ^у Очевидно, что матрица ||з'$|| также является решением уравнения (5.2.82).Кроме того, она удовлетворяет условию симметрииКроме того, она удовлетворяет условию симметрии一」ч(а(/)+а(и))(а(?(+а(ш)) +1UJ Ш1一」ч(а(/)+а(и))(а(?(+а(ш)) +1UJ Ш1(5.2.85)(5.2.85)Таким образом, скобка Пуассона не изменится, если вместо з" в формулу (5.2.83) подставить s万.Пусть теперь ||(о"|| — произвольная матрица, удовлетворяющая условию симметрии (5.2.85). Построим с ее помощью скобку, заменив в (5.2.83) со" на ①口. Нетрудно проверить, что условие симметрии (5.2.85) влечет за собой свойство симметрии скобки (5.2.83);[Я, G]=(— [严Н)+«(砌x(a(G)+a(s)+l) [G, Я]4(5.2.86)fJДля доказательства следует перенести — G налево, H ―：—dziO#направо, заменить левую производную на правую, правую на левую и воспользоваться свойством (5.2.85). Соответствующие вычисления являются автоматическими, и мы их опустим.Отметим, что если форма з. невырождена, то матрица, удовлетворяющая уравнению (5.2.82), заведомо существует и, более того, определяется однозначно(0〃 СО”(一 l)a(8)a(z‘)工品 •(5.2.87)Следовательно, в этом случае ①”匸^抬 удовлетворяет условию (5.2.85). В случае, если форма s вырождена, существованиеТаким образом, скобка Пуассона не изменится, если вместо з" в формулу (5.2.83) подставить s万.Пусть теперь ||(о"|| — произвольная матрица, удовлетворяющая условию симметрии (5.2.85). Построим с ее помощью скобку, заменив в (5.2.83) со" на ①口. Нетрудно проверить, что условие симметрии (5.2.85) влечет за собой свойство симметрии скобки (5.2.83);[Я, G]=(— [严Н)+«(砌x(a(G)+a(s)+l) [G, Я]4(5.2.86)fJДля доказательства следует перенести — G налево, H ―：—dziO#направо, заменить левую производную на правую, правую на левую и воспользоваться свойством (5.2.85). Соответствующие вычисления являются автоматическими, и мы их опустим.Отметим, что если форма з. невырождена, то матрица, удовлетворяющая уравнению (5.2.82), заведомо существует и, более того, определяется однозначно(0〃 СО”(一 l)a(8)a(z‘)工品 •(5.2.87)Следовательно, в этом случае ①”匸^抬 удовлетворяет условию (5.2.85). В случае, если форма s вырождена, существование
[Я, G] = H
[Я, G] = H
扌
扌
9"备&
9"备&
(5283)
(5283)
Доказательство теоремы отнесено в следующий раздел. Сделаем по поводу нее несколько комментариев. Прежде всего заметим, что из (5.2.82) следует условие четности для элементов з”：
Доказательство теоремы отнесено в следующий раздел. Сделаем по поводу нее несколько комментариев. Прежде всего заметим, что из (5.2.82) следует условие четности для элементов з”：
a(o?s)=a。)+а(и$) +a((o).
a(o?s)=a。)+а(и$) +a((o).
(5.2.84)
(5.2.84)
Далее, если матрица ||з*|| удовлетворяет уравнению (5282), то матрица с элементами
3『_ gjsf (— ])(a(z')+a®))(a(z‘)+a(3)+l)
Далее, если матрица ||з*|| удовлетворяет уравнению (5282), то матрица с элементами
3『_ gjsf (— ])(a(z')+a®))(a(z‘)+a(3)+l)
также удовлетворяет этому уравнению. В ся, подставив з产 вместо о?$ в (5.2.82),
также удовлетворяет этому уравнению. В ся, подставив з产 вместо о?$ в (5.2.82),
этом можно убедить- переставив затем (osj
этом можно убедить- переставив затем (osj
налево, ®н направо и воспользовавшись
налево, ®н направо и воспользовавшись
свойством симметрии
свойством симметрии
(5.2.81) матрицы ||(0*||. Соответствующие вычисления мы опустим. Положим теперь ^ == __ ^^* ^_ ^у Очевидно, что матрица ||з'$|| также является решением уравнения (5.2.82).
(5.2.81) матрицы ||(0*||. Соответствующие вычисления мы опустим. Положим теперь ^ == __ ^^* ^_ ^у Очевидно, что матрица ||з'$|| также является решением уравнения (5.2.82).
Кроме того, она удовлетворяет условию симметрии
Кроме того, она удовлетворяет условию симметрии
一」ч(а(/)+а(и))(а(?(+а(ш)) +1
UJ Ш1
一」ч(а(/)+а(и))(а(?(+а(ш)) +1
UJ Ш1
(5.2.85)
(5.2.85)
Таким образом, скобка Пуассона не изменится, если вместо з" в формулу (5.2.83) подставить s万.
Пусть теперь ||(о"|| — произвольная матрица, удовлетворяющая условию симметрии (5.2.85). Построим с ее помощью скобку, заменив в (5.2.83) со" на ①口. Нетрудно проверить, что условие симметрии (5.2.85) влечет за собой свойство симметрии скобки (5.2.83)
;[Я, G]=(— [严Н)+«(砌x(a(G)+a(s)+l) [G, Я]4(5.2.86)
fJ
Для доказательства следует перенести — G налево, H ―：—
dziO#
направо, заменить левую производную на правую, правую на левую и воспользоваться свойством (5.2.85). Соответствующие вычисления являются автоматическими, и мы их опустим.
Отметим, что если форма з. невырождена, то матрица, удовлетворяющая уравнению (5.2.82), заведомо существует и, более того, определяется однозначно
(0〃 СО”(一 l)a(8)a(z‘)工品 •(5.2.87)
Следовательно, в этом случае ①”匸^抬 удовлетворяет условию (5.2.85). В случае, если форма s вырождена, существование
Таким образом, скобка Пуассона не изменится, если вместо з" в формулу (5.2.83) подставить s万.
Пусть теперь ||(о"|| — произвольная матрица, удовлетворяющая условию симметрии (5.2.85). Построим с ее помощью скобку, заменив в (5.2.83) со" на ①口. Нетрудно проверить, что условие симметрии (5.2.85) влечет за собой свойство симметрии скобки (5.2.83)
;[Я, G]=(— [严Н)+«(砌x(a(G)+a(s)+l) [G, Я]4(5.2.86)
fJ
Для доказательства следует перенести — G налево, H ―：—
dziO#
направо, заменить левую производную на правую, правую на левую и воспользоваться свойством (5.2.85). Соответствующие вычисления являются автоматическими, и мы их опустим.
Отметим, что если форма з. невырождена, то матрица, удовлетворяющая уравнению (5.2.82), заведомо существует и, более того, определяется однозначно
(0〃 СО”(一 l)a(8)a(z‘)工品 •(5.2.87)
Следовательно, в этом случае ①”匸^抬 удовлетворяет условию (5.2.85). В случае, если форма s вырождена, существование
матрицы llw^ll, удовлетворяющей уравнению (5,2.82), следует из теоремы 5.5. Заметим, что формула (5.2.83) может быть применена к любой паре элементов ", Gw Ар 闯(U).
В то же время структуру супер алгебры Лн она задает, вообще говоря, не на всей алгебре Ap>9(i7), а на множестве Лас2 uAp,q(U), которое является более узким, чем Ap,q(U), если форма вырождена. Возникает вопрос: каким условиям должна удовлетворять матрица ||з仃||, чтобы формула (5.2.83) задавала структуру супералгебры Ли во всем пространстве Ар闯(U)?
Прежде чем формулировать эти условия, дадим следующее определение. Пусть А — супералгебра Ли, состоящая из элементов алгебры Ap,g(U). Мы будем говорить, что супералгебра Ли А обладает согласованной (с AP1Q(t7)) /2-градуировкой, если однородные элементы Л являются в то же время однородными, как элементы Ap,q(U).
Формула (5.2.86) показывает, что если супералгебра Ли Л скобок Пуассона построена с помощью однородной формы <о, то она обладает согласованной 72-градуировкой. При этом четность элемента Н, как элемента А, совпадает с его четностью, как элемента A%q{U), если а(з)=0, и не совпадает, если a((o) = 1.
Теорема 5.5. Для того чтобы формула (5.2.83) задавала в Ap,q(U) структуру супералгебры Ли с согласованной Z2-rpa- дуировкой, необходимо и достаточно, чтобы матрица |](о仃|| обладала свойствами:
элементы М однородные, и их четность удовлетворяет условию (5.2.84), где а((о) —число, не зависящее от s, £;
элементы N обладают свойством симметрии (5.2.85);
выполняется тождество
а?-а?-3〃(— ])(a(z')+a(3))(a(z')+a(3)> +
а?-
а?-
+ co"+ co"①"(—1 严(z')+a(3)) (аМ)+а(з))十
+ co"
+ co"
=3力 d 9“ (一 D(a(z，)+a(3))向zb+a®)) = °, dzs
(второе и третье слагаемое получаются из первого циклической перестановкой индексов i, /, /).
Доказательства всех этих утверждений состоят в непосредственной проверке, которая осуществляется с помощью автоматических вычислений и поэтому может быть опущена. Первые два свойства гарантируют согласованность 72-градуировки и свойства (5.2.86), третье ——выполнение тождества Якоби.
В заключение обратим внимание на следующее обстоятельство. Пусть матрица ||①仃|| является невырожденной и постоянной: “ d—(о“ = 0. Очевидно, что в этом случае квадратичные
функции образуют подалгебру алгебры скобок Пуассона (5.2.83).
Пусть з=||①仃|]—матрица, связанная с матрицей iloijl] соотношением (5.2.87). Соответствующие квадратным гамильтонианам векторные поля имеют вид
X = ” 一--,
причем матрица a = Ra/R связана с матрицей з соотношением：a(o +(o£iT = O.
Согласно теореме 5 в случае, если а(з)=0, число 卩 с необходимостью является четным и в подходящем специальном базисе матрица з имеет вид
/ 。〃/2 0\
3 = —/р/2 00 ■
\ О Q
В случае, если а(з) = 1, с необходимостью p = q и в подходящем специальном базисе
Таким образом, в первом случае квадратичные гамильтонианы образуют ортогональную симплектическую алгебру 1-го рода, во втором —2-го рода.
Доказательство теоремы 5.4. Прежде всего выразим частные производные гамильтонианов " н G через коэффициенты соответствующих векторных полей X н У. Исходя из (5.2,78), (5.2.80) находим
dH=— — Xl2dH=— — Xl2д赢д赢со = "Х‘ vt g”со = "Х‘ vt g”
dH=— — Xl2
dH=— — Xl2
д
赢
д
赢
со = "Х‘ vt g”
со = "Х‘ vt g”
с другой стороны,
dzt
Отсюда
Я —L =(一 ])a(X)+a(3)(a0‘)+l) X，S,,.
Аналогично,
-2-G = (— 1产(声 а(У‘)+1 屮①门=(—1)а(/)а(У}+а(声+1 р0>/^
Подставляя найденные выражения в (5.2.83) и пользуясь (5.2.82), после несложных преобразований получаем
出，G]=HXigj(—l)。，(5.2.88)
где
а = а(Х)а(У)+а(Х)а(5)+а(У)+а(5).
Для доказательства теоремы следует установить тождество
d[H, G] = --^-Wl®.(5.2.89)
Исходя из (5.2.88) имеем
d [Я, G] = v^ (备 Wj X，g/ + (- 1产(力以也5(崇r)co,/ +
Для формы(0 вида (5.2.80) условие замкнутости в координатах имеет вид
(-1 产/am+1) (_2_ g' + (- 1严(丿)@(疥+1)(言COjJ +
+ (― l)a(J)(a(/+l) f_A_ 5,) _ 0.
(Второе и третье слагаемые получаются из первого циклическими перестановками индексов i, /, s.) Выражая отсюда (•^ з j , преобразуем d[", G] к виду
' 矶",3] = №(4十%) (一1)。， (5.2.90) где
/i = // {(_ 1)w＞必)(^ X,①" +
十(一 l)a(zS)(a(y，)+a{xF+a+a(声)：(i+a便))^/-^-①打],02f” J
』2 = X/ [(— 1 严(хГ)(а(М)+а，))(^-~Y^ 3〃 十
+ (一 1 产(zS)(a(")+a(xt))+a(xt)a(")+(a9s)+l)(aU)+D+a(力а(и') у/ ( _2_ ❷
Преобразуем 4. Обозначим через 卩「6 показатели при (—1) у первого и второго слагаемых соответственно. Заметим, что
Mi = (a (и®) + 1) (а (У) + a (〃) + 1)
% = (a (叫 + 1) (a (X) + а (У) + a (W) + 1).
Следовательно pi + ni= (a(us) + l)a(X). Таким образом,
% = "卜（吉叫 +（一1m+）好）（**）同（一I）%
Из общейИз общейВоспользуемся теперь гамильтоновостью поля X. формулы (5.2.47) следует, что
Из общей
Из общей
x + (-1)好)/x + (-1)好)/
x + (-1)好)/
x + (-1)好)/
++(—l)a(X)(a")+i ｛备 X，) (О.； = 0.(—l)a(X)(a")+i ｛备 X，) (О.； = 0.4 = Н4 = НX/叫.(_ 1 产+@(X)(a(")+D+a(J)a(J)+l,X/叫.(_ 1 产+@(X)(a(")+D+a(J)a(J)+l,
+
+
(—l)a(X)(a")+i ｛备 X，) (О.； = 0.
(—l)a(X)(a")+i ｛备 X，) (О.； = 0.
4 = Н
4 = Н
X/叫.(_ 1 产+@(X)(a(")+D+a(J)a(J)+l,
X/叫.(_ 1 产+@(X)(a(")+D+a(J)a(J)+l,
В компонентах
(5.2.91)
Таким образом,
отсюда
(5.2.92)(5.2.92)и* (— 1)。= W f-A-хЛ u^Si. (- 1卢,
(5.2.92)
(5.2.92)
где
pi = a + % + a (X) (a (W) + 1) + a ⑺)(a (W) + 1) + a (u$) (a (У) ++ a(X) + a(u9 + 1) + a (us) a (") = a (X) a (У) + a (X) a(c/) +
+ a ”)+ 1 + a (^) + 1 + a &)) + a (У) (1 + a 期)+ 1 + a (吟)十+ a (W) + (a ◎) + 1) (a (W) + 1) + a (炉)a (W) + a (炉)(a(t/) + 1) 4-+ a(0s) a (u‘)+ 1 = a (X) a (У).
Заметим теперь, что если форма (о имеет вид (5.2.80), то
z dvi“z dvi“(5.2.93)(5.2.93)
z dvi“
z dvi“
(5.2.93)
(5.2.93)
Поэтому из (5.2.92) окончательно следует, что
炉4(■ • I)。=炉4(■ • I)。=丄(_ 1)а(Х)а(У)у/丄(_ 1)а(Х)а(У)у/dzidzi(5.2.94)(5.2.94)
炉4(■ • I)。=
炉4(■ • I)。=
丄(_ 1)а(Х)а(У)у/
丄(_ 1)а(Х)а(У)у/
dzi
dzi
(5.2.94)
(5.2.94)
Перейдем к слагаемому Лг. Обозначим через р,2 и а2 показатели при (—1) у первого и второго слагаемых. Преобразуя эти множители аналогично предыдущему н вынося (—1 严 за скобку»
получаем
4 =：*{У/*3门 + （- 1 严y3力+］）也（/岡/）（言 Г/j 3；d（- 1）0，== =X# （券叫 +（一1产У）（a峭+1）（*W）叫（一1产， где
%=a (X) а (у)十 a (X) (а (") + a (g)+ a (у) (a (叫 ++ а (g) + а (и5) а 佇)+ а ⑺ + а (W).
Сравнивая это выражение с (5.2.91), меняя а (5.2.91) X на У и переставляя индексы i и /, находим:Сравнивая это выражение с (5.2.91), меняя а (5.2.91) X на У и переставляя индексы i и /, находим:叫1(- D也叫1(- D也Таким образом,Таким образом,0咽2（-1产=・¥0咽2（-1产=・¥
Сравнивая это выражение с (5.2.91), меняя а (5.2.91) X на У и переставляя индексы i и /, находим:
Сравнивая это выражение с (5.2.91), меняя а (5.2.91) X на У и переставляя индексы i и /, находим:
叫1(- D也
叫1(- D也
Таким образом,
Таким образом,
0咽2（-1产=・¥
0咽2（-1产=・¥
где
pa = а + % + а (小)(а (X)十 а (У) + а (") + 1) + а (炉)а ®) +
+ а(У) (a(g + 1) + а (炉)a(g + 1 =
=а (X) (а (8) + а (小)+ а (W) + а (加))+ а (У) (1 + а (小)4-+ а (U) + а (炉)十 а (vl)十 1)十 а (М) + а (炉)十 а (У)十 а (и*) ++ а (W) + а 的(а (川)+ 1) 4- а (炉)а (8) + а (о*) а 0) + 1 = 1.
Учитывая (5,2.93), получаем отсюда, что
и%2( — 1)。=3 S. (5.2.95)
Комбинируя (5.2.94), (5.2.95) и (5.2.90), устанавливаем тождество (5.2.89).
Контактные преобразования. Пусть ①一произвольная внешняя форма. Обозначим через С» множество векторных полей X, обладающих тем свойством, что соответствующие операторы Тх умножают форму со на функцию
Тхсо = bxds + (— 1)а(х)dbxs =九⑵①(5.2.96)
(см. (5.2.76)). Очевидно, что Ст является супералгеброй Ли. Заметим, что для однородного оператора X элемент 入⑶三 wAp闯(U) также однороден, причем а(А) = а(Х).
Рассмотрим форму ® на единицу большего порядка, чем s, и зависящую от на единицу большего числа переменных:
^ = d⑵з) ^ dz0-о + (— 1产侬)z°ds(5.2.97)
(z° — новое переменное).
Сопоставим каждому векторному полю XwCg новое векторное поле М* действующее в пространстве функций на единицу большего числа переменных
%! = X—A(z)z°-^-.%! = X—A(z)z°-^-.(5.2.98)(5.2.98)
%! = X—A(z)z°-^-.
%! = X—A(z)z°-^-.
(5.2.98)
(5.2.98)
где 入⑵一та же функция, что в (5.2.96). Покажем, что оператор 『к анулирует форму <oi. В самом деле, согласно (5.2.96)
6xm = — Mz) Ао + (— 1 产。)+i)(mx)+i)d/bxGj +
十(一1 严格+a(吗(afX)+]36xds = (- 1 严X)a(z%0 位*% 一入⑶ 3) +
+ (― I)33)+l*a(X)+D *6x8 = (— 1 产X)a(*+a(X)+I 20d6х© +
十(—1 严кжзх+укбхз = (一1 严叫+D(a(x)+】)d(z%吼(5.2.99)
Согласно (5.2.76) из полученного тождества следует, что Тх^г = 0. Приведенная конструкция имеет особо важное значение в случае, когда о — форма 1-го порядка. В этом случае алгебра Сш называется супералгеброй Ли контактных преобразований.
Формула (5.2.99) показывает, что каждое контактное векторное поле X порождает гамильтоново векторное поле Л\ с гамильтонианом
Я = — у (— i^^J+n^^+D^g^^^(5.2.100)
Грассмановы оболочки супералгебр Л и tt(p, q) и 06P (R|2p, g). Особенность этих супералгебр состоит в том, что для построения их грассмановых оболочек естественно использовать грассманову алгебру с инволюцией: только в этом случае алгебры Ли и (р, ^|Л), 6(р, д[А) и соответствующие им группы будут обладать свойствами, похожими на свойства их классических аналогов.
矗=еМ4s.矗=еМ4s.Пусть Л ——комплексная г.а. с инволюцией, сг& ——канонические образующие Л, инвариантные относительно инволюции и
矗=еМ4s.
矗=еМ4s.
(5.2,101)
Обозначим через Л вещественную подалгебру Л, порожденную образующими 品.Алгебра Л очевидным образом не инвариантна относительно инволюции. Поэтому в соответствии с общим правилом (гл. 3 § 2) грассманова оболочка супералгебры Ли и (р, д)‘построенная с помощью Л, обозначается не u (р, gjA), а м(р, q|A). Легко видеть, что “(р, д|А) состоит из всевозможных матриц вида
4 =4 =(с 9(с 9
4 =
4 =
(с 9
(с 9
где Л8, С-где Л8, С-D — квадратные рХр* и дХ^-матрицы соответственно, прямоугольные pXq- и gXp-матрнцн, причем элементы
где Л8, С-
где Л8, С-
матриц A, D суть четные элементы г.а. А, элементы матриц В,
С суть нечетные элементы А и
/ + *• = (). (5.2.102)
(5.2.103)(5.2.103)Перейдем к супералгебрам обр (R|2p, д). Запишем матрицу 皆е oSp (R|2p, g) в виде (5.2.16) и перейдем к грассмановой оболочке точно так же, как в случае супералгебры u (р, 9). В результате мы получим, что алгебра Мр (R|2p, q|A) состоит из матриц, аналогичных (5.2.16):
(5.2.103)
(5.2.103)
SQp N)'
причем матрицы М, ^, Q имеют тот же вид, что в (5216)» с той лишь разницей, что их элементы являются не числа?лиг но элементами г.а. А, четными в случае матриц М н N к нечетными в случае матрицы Q. При этом знак《一》над матрицей имеет следующий смысл: если а=||а泳||, то а= ||а*^|| (т. е. каждый элемент «^ матрицы а заменяется на а*/, перестановки индексов не происходит).
&» + £gT = о, &非 + 冗 g = 0,(5.2.104)&» + £gT = о, &非 + 冗 g = 0,(5.2.104)Нетрудно проследить, что матрицы (5.2.103) характеризуются следующими свойствами:
&» + £gT = о, &非 + 冗 g = 0,(5.2.104)
&» + £gT = о, &非 + 冗 g = 0,(5.2.104)
где
Тр, Sg ——те же матрицы, что в (5.2.16).
Соотношения (5.2.104) являются инфинитезимальными аналогами соотношений (3.2.18), (3.2.19), которые эквивалентны сохранению канонических перестановочных соотношений. Таким образом, соответствующую 网卩(R|2p, q) группу Ли естественно называть группой линейных суперканонических преобразований.
В заключение обратим внимание на следующее обстоятельство. Пусть g —вещественная супералгебра Ли, [ 0] — ее комплексная оболочка, А ——вещественная г.а., [А]——комплексная оболочка Л. Очевидно, что вещественная алгебра Ли g (А) является вещественной формой комплексной алгебры Ли [д]([А]). Однако не следует думать, что каждая вещественная форма алгебры Ли [д]([А]) является грассмановой оболочкой какой* ни будь супералгебры Ли. Приведем соответствующий пример. Пусть А — комплексная г.а. с полуавтоморфизмом □, удовлетворяющим условию
(5.2.105>(5.2.105>（自口尸=—日
(5.2.105>
(5.2.105>
(Напомним, что отображение а-^ап называется полуавтоморфизмом, если (ab) 口 =а 口匕口 для любых а, ЬеА, (Ад) 口 = Ал 口, если 九一комплексное число и амА.) -
Рассмотрим множество матриц вида
(5.2.106)(5.2.106)
(5.2.106)
(5.2.106)
где 〃巨】А, а, &е°А.
Нетрудно проверить, что матрицы вида (5.2.106) образуют вещественную алгебру Ли, комплексная оболочка которой совпадает с обр (С|2, 11А). Однако алгебра (5.2.106) не является грассмановой оболочкой никакой супералгебры Ли. Если бы такая супералгебра Ли существовала, ее четная подалгебра состояла бы из матриц вида
(5.2.107)(5.2.107)is w 0
(5.2.107)
(5.2.107)
-n — is 0о о о
Легко проверить, однако, что алгебру (5.2.107) нельзя дополнить до супералгебры, которая была бы изоморфна вещественной форме о^р (C|2t 1).
ПРИСОЕДИНЕННОЕ И КОПРИСОЕДИНЕННОЕПРЕДСТАВЛЕНИЯ. АЛГЕБРА СКОБОК ПУАССОНА,СВЯЗАННАЯ С СУПЕРАЛГЕБРАМИ ЛИ
Присоединенное и коприсоединенное представления. Пусть g——супералгебра Ли. Сопоставим каждому хм g оператор в д, как в линейном пространстве:
ad(x)t/ = [x, у].(5.3.1)
Из (5.3.1) легко следует, что операторы ad (х) образуют линейное представление супералгебры Ли g относительно коммутатора (5.1.6). Это представление называется присоединенным. Обозначим через g пространство линейных форм на д. Значение линейной формы ymg на элементе %三 g будем обозначать <х, у>.
Пусть & ——однородный базис в g и ё* ——биортогональный ■ему базис в д：
〈％,厘〉=б1.
Существует два естественных способа ввести четность в д： положив
а(2”)= а ®)(5.3.2)
илиили(5.3.3)(5.3.3)а 停)=а®) + 1.
или
или
(5.3.3)
(5.3.3)
Отметим, что в обоих случаях а®)+а(0‘)не зависит от Г. Сопоставим каждому 〃wg оператор ad (и) в，согласно формуле
(ad (и)丛 х) + {у, ad (и) х) = 0.(5.3.4}
Операторы ad (%) образуют также представление супералгебры Ли й > но уже относительно операции (5.1.7). Это видно из того, что матрицы а (%) и а(х) операторов ad (%), ad(x) в биортого- нальных базисах связаны соотношением
а (х) + а' (%) = 0(5.3.5)
(，означает транспонирование, см. § 1 п. 2). Представление супералгебры Ли g операторами ad(x) называется коприсоеди- ненным. Матрицы операторов ad(x), ad(x) в биортогональных базисах просто связаны со структурными константами супералгебры д. Пусть х=£х%“ у = £у%. Тогда
ad(x)g=[x, у] = х1укс^ке5,
Следовательно,
(ad(x))fes = №'csife.(5.3.6)
Согласно (5.3.5)
(ad(x))fes = —xJc5ife.(5.3.7}
Оператор ad (%) действует на вектор z=WzB согласно фор* муле (аЗ(х)г)л= (ad(x))^sz5.
Рассмотрим грассмановы оболочки алгебры Ли g и пространства д. Между элементами g (А) и g (Л) определим скалярное произведение
(5.3.8)
где х\ у；・一компоненты элементов %=2*%厶 y=WyB по биор- тогональным базисам. Отметим, что скалярное произведение (5.3.8) является не числом, но элементом г. а. Л, четным в случае, если четность в g выбрана согласно (5.3.2), и нечетным, если она выбрана согласно (5.3.3). В пространствах g (Л) и g (Л) действуют представления алгебры Ли g (Л), которые определяются аналогично представлениям ad (%) и ad(x) супералгебры Ли д. Эти представления мы будем называть соответственно присоединенным и коприсоединенным представлениями алгебры Ли g (Л) и обозначать аП(*), adA(x).
В биортогональных базисах операторы абд (х), аёл (х) за* даются формулами, аналогичными предыдущим, однако теперь важен порядок следования множителей:
(а(к (%) p)s = (ad (%))沙=%’県次，
(5.3.9)
(adA(X)2)R= -1)叫岡%)х①：后2$ = *%2s.
Обратим внимание на важное обстоятельство. Представимоператоры ad(x), ad (%), adA(%), adA (х) в следующем виде；ad (%) = W atU (%) = W х^Е^,
ad(x) = 2 %’瓦•，adA (%) = £ х1Е^\
Операторы Е( и Е^ в базисе & имеют совпадающие матрицы. В то же время операторы Ei и Е^ имеют в базисе е‘ различные матрицы: из (5.3.7) следует, что матричный элемент оператора £； равен ——cik, из (5.3.9) следует, что соответствующий матричный элемент оператора Е^ равен
(瓦а^ =庵.(5.3.10)
Нетрудно проследить, что операторы Ё^, подобно операторам £, Е^, образуют представление супералгебры Ли относительно коммутатора (5.1.6) (а не относительно коммутатора (5.1.7), как операторы £г).
Пусть 亮А(д), с^л(9)— алгебры грассмановых аналитических функций с грассмановскими коэффициентами на g (Л) и g (Л) соответственно. Представления adA (х) и аёд (%) алгебры Ли g (Л) обычным образом порождают представления этой алгебры в пространствах с^л(9)и 屐人色)
Ил (%) /) (У)(У 一 f а(Ц (%) у) I仁°,
at
(5.3.11)
(Яд (%) /)(2)=二 /(2 — f adA (%) 2)|/=0.at
Операторы Дл (%) и Дд (%) линейно зависят от %；
Лл (х) = 2 хМА, Na (%) = W 必久々，(5.3.12)
где xk — координаты элемента х по однородному базису е&. Укажем явный вид операторов Д* и А
Сопоставим каждому *==£炉e©g операторы Л (%) и А (х) А (х) =SxMi, А(х) =Sx^i.
Очевидно, что операторы 4(х) и А(х) образуют представления супералгебры Ли g в пространствах 慮а®) и в8д(g) соответственно относительно коммутатора (5.1.7) (а не относительно коммутатора (5.1.6), как A? W). Зто обстоятельство связано с тем, что одна и та же алгебра Ли g (А) является грассмановой оболочкой 1-го рода операторов Е，" или Е8)н грассмановой оболочкой 2-го рода операторов At или £з
Представления adA(x), ad&(x), 4A(х), Дд(х) алгебры Ли g (А) обычным образом порождают представления соответствующей группы Ли G (Л). Эти представления мы будем обозначать Ad(д),血(g), 4(g),岂(g) соответственно.
Супермногообразия с гамильтоновым действием супералгебры Л и. Пусть М (Л) — некоторое многообразие с грассмановой структурой,毋а =^а(А〃) ——алгебра г. а. функций на 附(А) с грассмановыми коэффициентами, g — супералгебра Ли. Пусть в 阕厶 действует представление g с помощью дифференциальных операторов 1 -го порядка Lx, хе g . Пусть, кроме того, в 毋а существует скобка Пуассона. Предположим, что для каждого xw g существует такая функция Н⑺巨兔卜 (гамильтониан), что
4=因(%),小. (5-3.14)
для любой функции f巨0A. В этом случае представление супералгебры Ли g операторами Lx называется гамильтоновым. (Напомним, что в применении к функциям /м°蹲а скобка Пуассона образует обычную алгебру Ли, а не супералгебру Ли.)
Переходя от супералгебры Ли g к ее грассмановой оболочке, мы получаем представление алгебры Ли g (Л) в 练. За операторами этого представления сохраним прежнее обозначение L*. Очевидно, что гамильтоновость представления супералгебры g влечет за собой гамильтоновость представления ее грассмановой оболочки: для каждого %wg (Л) существует гамильтониан Н(х) е^д, при котором справедливо равенство (5.3.14). Если представление алгебры g (Л) с помощью операторов Ли в 身а является гамильтоновым, то действие группы G (Л) =ехр g (Л) на многообразии М(Л) также называется гамильтоновым. В случае, если группа Ли действует на многообразии М гамильтоновым образом, скобку Пуассона часто называют инвариантной относительно этой группы. Это название оправдывается следующим обстоятельством:
в случае гамильтонового действия группы сдвига
(Tgf) (%)=〃g%)
являются автоморфизмами скобки Пуассона (т. е. каноническими преобразованиями).
В самом деле, инфинитезимальное условие того, что оператор (Tgf)⑶=f (gz) является автоморфизмом, состоит в том.
что
[订，^]р-+[А Lg]P. = L[f, g]p.,(5.3.15)
где (Л/) (z) =/(g(/) г) |；=0,g(£) — однопараметрическая
at
группа. Равенство (5.3.15) с учетом того, что Lf=[H,丹 р., эквивалентно тождеству Якоби.
Пусть / — однородный базис в супералгебре Ли g L,=丄气, 乩= ”(&•) — соответствующие % оператор Ли и гамильтониан. Укажем несколько основных свойств гамильтонианов Н%
Прежде всего заметим, что
.„ .( а (е.) в случае четной скобки Пуассона, ._ 门
&(%)=jj(5.3.16)
[a (ej + 1 в случае нечетной скобки Пуассона.
Это свойство получается из сравнения четностей левой и правой части (5.3.14) при условии, что Lx—L^, Н(х) =Нг и элемент f однороден. При этом следует учесть, что a (厶)=а(&) в силу определения линейного представления супералгебры Ли.
Пусть х, yw g. Использование тождества Якоби дает, что
[H(X)[H(y)f]P. ]?. 一(一 1产心")因®)財(Х)小.]p.=
=[[Н (%), H (g)]p. /]р.,
как в случае четной, так и в случае нечетной скобки Пуассона. Вспомним, что
厶 ％] =(—产*)aa)s“—
Учитывая (5.3.14), получаем отсюда, что
(-1严(加｛叫"(х), н 3)]р. = 77 ([х,州・ (5.3.17) Из (5.3.17) следует, что
[Hit 团]=W(-1 产州吗)备乩=一工*%, (5.3.18) где 白产一структурные константы супералгебры Ли g. Переходя от супералгебры Ли g к ее грассмановой оболочке g(Л), получаем, исходя из (5.3.18) и учитывая (5.3.16), что ["(х), Н(у)]Р. = Н([х,川).(5.3.19)
Рассмотрим в алгебре 例а подалгебру, состоящую из функций, зависящих от zrM через посредство гамильтонианов Н^ f(2)==F(//i(z)…/Л(2)).Из явной формулы (5.2.83) для скобки Пуассона следует, что в этом случае
[Л g]p.B. = w尸為[Я；, Я/[-~-G =
= —EF*&Hk*-G.(5.3.20)
on Ion /
Функции 尸，(^естественно рассматривать как г. а. функции на пространстве g (Л) линейных форм на алгебре Ли g (Л). Формула (5.3.20) показывает, что в пространстве 擔а@) существует естественная скобка Пуассона
=碌(5.3.21)
дг(dz /
Отметим, однако, что из предыдущего изложения еще не следует, что скобка (5.3.21) действительно заслуживает названия скобки Пуассона, т. е. определяет супералгебру Ли Ч В этом можно убедиться, используя соотношения (5.1.1) — (5.1.3).
Соответствующие вычисления являются автоматическими, и мы их опустим.
В теории обычных алгебр Ли скобка Пуассона, аналогичная (5.3.21), играет весьма важную роль как в теории самих алгебр и групп Ли и их представлений, так и в приложениях. Скобка Пуассона (5.3.21) призвана играть аналогичную роль в теории супералгебр Ли. Отметим, что формула (5.3.20) демонстрирует определенную универсальность этой скобки.
Алгебра скобок Пуассона в пространстве 辎А(д㊉$• Пусть хе 0 (A), ywG (Л), х\ Уг — координаты этих элементов в биортогональных базисах. Определим в пространстве dS д(G Ф б) скобку Пуассона
伉现=£ - 1严»。 j鳥要g Т ±鳥d k
.(5.3.22)
Согласно теореме 5.5, скобка (5.3.22) действительно является скобкой Пуассона, т. е. порождает супералгебру Ли.
Теорема 5.6. Представление супералгебры Ли g в пространстве 癩 а (д ㊉ д) с помощью операторов Л (х) +А(х) является гамильтоновым; гамильтониан, соответствующий базисному вектору д, равен
Hi {у, 2)=csikykzs,(5.3.23)
где у = £寸 & е g (Л), z = W乙彳曰不(А)二
Доказательство. Пусть f 曰 認 a[® ㊉ &
[%,小用=2（一1 严以）aC）忆-[%,小用=2（一1 严以）aC）忆-3dyk3dyk
[%,小用=2（一1 严以）aC）忆-
[%,小用=2（一1 严以）aC）忆-
3
dyk
3
dyk
=W (_ 1产气)疝5热% 3 —展"E
дг^dys
1 Поскольку мы пока еще не знаем, существует ли хотя бы одно многообразие с грассмановой структурой с гамильтоновым действием группы G(A).
v ,[、a(%)a**)+a(%)afP)+a"》a练)s
=—2 (一^i
—£ 最 yk .
Преобразуем знаковый множитель в первом слагаемом:
а 电)а 碎)+ а (%) а (%) + a (分)а (義)=
=а 电)(а(&) + а @) + а 同)=О,
так как а(逛)+а(@$) = a(eQ+а(е$) =а®) в силу (5.1.1), (5.3.2), (5.3.3). Вспоминая (5.3.13), получаем, что
[Hi, f^Aif+A^.
В заключение этого раздела обратим внимание на то, что при %三 g (Л) гамильтониан Н(х) =Н(х; у, 2)=Sx^i может быть записан в бескоординатной форме
Я(х; у, z) = V[x,川，г>,(5.3.24)
где [х, у] — коммутатор элементов х, yw g (Л) и <.,.> — скалярное произведение (5.3.8).
Инвариантные алгебры скобок Пуассона в пространстве 痂А(д). Имеется в виду инвариантность относительно коприсоединенного действия группы G(A) = = ехр g (Л) в g (Л). Одна такая скобка Пуассона описывается формулой (5.3.22). При этом гамильтониан Hi, соответствующий базисному вектору &, равен
Hi=Zi.(5.3.25)
Описание всех инвариантных скобок Пуассона в 趨 А(д) состоит в следующем.
Теорема 5.7. 1) Пусть [•, • ]Р. — четная или нечетная скобка Пуассона в 阑А(д), инвариантная относительно коприсоединенного действия группы G (Л) в g； uz (г) е ^Л (з), z三 g (Л), — гамильтонианы, соответствующие однородным базисным элементам е© д, н 炉一координаты вектора хе 三 9 (Л) по базису &. Тогда функция
Л(х, 2)= (х, %〉=W%i%(z) (5.3.26) инвариантна относительно представления Дл ХЛ" д, группы G (Л) в пространстве 第 а® ㊉ д). 〜
Обратно, пусть г. а. функции u, (z) на g (Л) таковы» что：
а) нри всех i а(иг) =а(е{), либо а(/) =а(е*) +1;
в) функции щ являются грассмановыми координатами (вообще говоря, нелинейными) в g (Л), т. е. каждая функция /(z) S 痂а® представима в виде f(2)=F(〃)；
с) функция (5.3.26) инвариантна относительно представлеНИЯ 力А х Ял.
Тогда скобка Пуассона в 询厶伍)，определяемая равенством
/g]p. =一£尸伍)_^_ 碌G("),(5.3.27)
ди(duj
где F(〃)=f(2), G(“)=g(z), является инвариантной.
Доказательство. Пусть [♦, •]₽.— инвариантная скобка
Пуассона. В силу общих формул (5.3.14), (5.3.18)
AjXj= [zz(t "『]р. = 2。勺为〃g.(5.3.28)
С другой стороны, из (5.3.13) следует, что
4・х『=—с&尤&(5.3.29)
Поэтому
(丸■ + 4) £ = — W (— 1)“"'叫'/ (%,•况/) — (4屮)щ =
=? (一 1 户"叫)X1' ед uk + 4= О
вследствие (5.3.2). Полученное равенство очевидным образом эквивалентно инвариантности функции L (х, z) относительно представления 4A ХАд.
Перейдем ко второму утверждению. Условие а) гарантирует, что скобка (5.3.27) действительно является скобкой Пуассона, т. е. определяет супер алгебр у Ли. При этом скобка Пуассона (5.3.27) является четной в первом варианте условия а) и нечетной — во втором варианте. Далее, из инвариантности функции и относительного представления А л ХЛд следует, что (Af + Xj) А = 0. Учитывая (5.3.29), получаем отсюда, что
О =④十 4) L = _ Е (— 1产中叫)N (N, M + 儿 хЧ- (5.3.30)
Приравнивая коэффициенты при 尤/ и пользуясь соотношением
(5.3.2), выводим из (5.3.30), что
AiUj =Ес%^・(5.3-31)
Вспоминая (5.3.27), получаем
— W碌厶 * /⑵=_ W或厶 d / F⑷=
=s a. U )—-尸=—W 臨 Uk f - F =岡,刃P.(5332)
dapdup
Соотношение (5.3.32) означает инвариантность скобки Пуассо* на (5.3.27).
В заключение сделаем несколько замечаний.
Смысл теоремы 5.7 состоит в том, что отобра Nf и(2) пространства J (А) в себя, не являясь каноническим,
переводит скобку Пуассона (5.3.21) в другую скобку Пуассона (5.3.27). При этом если компоненты 〃t(z) вектора u(z) удовлетворяют условиям теоремы, то получаемая таким образом скобка является инвариантной. Обратимые отображения такого рода образуют группу, действующую на множестве инвариантных скобок Пуассона. Инфинитезимальные операторы этой группы имеют вид
Х =(5.3.33)
где Vi — функции, удовлетворяющие подобно 修 системе уравнений (5.3.31).
Нетрудно проверить, что свойство функций Vt быть решением системы уравнений (5.3.31) эквивалентно перестановочности оператора X со всеми операторами 瓦.Таким образом, задача об описании всех инвариантных скобок Пуассона оказывается тесно связанной (по существу эквивалентной) с задачей об описании векторных полей в g (Л), перестановочных с операторами 万
В случае обычных алгебр Ли скобка Пуассона (5.3.21) очевидным образом допускает бескоординатную запись
【厶 g]p. =〈[▽/，Vg],z〉，(5.3.34}
где градиент ▽『=(▽/) (z) м д определяется равенством
В суперслучае возможна аналогичная бескоординатная запись, однако здесь имеется характерная дополнительная деталь. Дело в том, что в суперслучае градиент Vf должен являться элементом не д но д (Л). Кроме того, легко видеть, что отношение S является инвариантным, т. е. не зависит от выбора несобственного базиса 公 в д (Л) лишь в том случае, если 8 (Л) является грассмановой оболочкой 2-го рода. В этом случае
у/ = W0*-)e, = £&(*■/)• (5.3.35)
В случае грассмановой оболочки 2-го рода меняется вид one раторов ad (х), ad (%) и связанных с ними операторов 鼠
((ad (%)) p)s = / yk 忠(―1 严‘叫)，
(ad (x) z)A = - ».碌 人 (- 1 产ё网").
Отсюда
(adA (x) z)k =—炉 c-fezs, 4 =或卜 zs •
Соответственно модифицируется скобка (5.3.21), она приобретает привычный вид
[f, g]p.=工£ 或(5.3.36) 図 dzk
Аналогично модифицируется инвариантная скобка общего вида (5.3.27). Нетрудно проследить, что скобка Пуассона (5.3.36) может быть записана в бескоординатной форме (5.3.33). Таким образом, в случае грассмановых оболочек 2-го рода для скобок Пуассона получаются по форме в точности те же выражения, что и в обычном случае.
Вернемся к грассмановым оболочкам 1-го рода. Вспомним, что если алгебра Ли д (А) является грассмановой оболочкой 1-го рода супер алгебры Ли д, то она естественным образом изоморфна грассмановой оболочке 2-го рода д' (А) супералгебры Ли д', двойственной по Э. Картану по отношению к д Поэтому скобка Пуассона (5.3.21) записывается в бескоординатной форме следующим образом:
亿 g]p.B. =〈[Vf, Vg】'，£, (5.3.37)
где ▽£ g，(A),卜，-У означает коммутатор в д' (А), д，(А) — грассманова оболочка 2-го рода супералгебры д'. Градиент определяется формулой, аналогичной (5.3.35).
V/ =牙/,
где е/ — базис в д', канонически связанный с базисом % в д, по которому строятся координаты Zj в д (А).
Напомним в связи с этим, что в канонически соответствующих базисах структурные константы ckij и c'%j супералгебр Ли д, д' связаны соотношениями 备=(—1产网"с'^
Пусть в пространстве д (А) существует симметричная инвариантная относительно коприсоединенного представления невырожденная четная билинейная форма
(х, у)^ = х^1. (5.3.38)
Предположим далее, что четность в д выбрана в соответствии с формулой (5.3.2). Невырожденность скалярного произведения (5.3.38) означает обратимость матрицы ||g財 ||, четность и симметрия —то обстоятельство, что (х, у)〜е°А и что (%, р)〜= =(у, х) _ соответственно. В компонентах
a (gik) = а (%) + а 0), g^ = g^ (— 1)аВ)а亦.
При наличии такого скалярного произведения и при указанном выборе четности в д существует взаимно-однозначное отображение пространства д (Л) в алгебру Ли д(А). Элемент г
однозначно определяется формулой
〈2 х) = (?, %)〜(5.3.39)
в координатах z‘ = zkgki (一 1严(7)
Образ элемента xwg'(A) при обратном отображении обозначим х. Он однозначно определяется формулой
(х, z〉= (土, Az)〜，(5.3.40)
в координатах 五・=Mg〃 (一 1产覆/), где ||g〃 |] =〕|g"||[. При наличии инвариантного скалярного произведения в g (Л) возникает возможность описать более явным образом широкий класс преобразований, переводящих инвариантные скобки Пуассона Друг в друга.〜
Теорема 5.8. Пусть P(z)w^A(g) — функция, инвариантная относительно операторов А (д). Тогда функция
L (%, z) =〈％, А ▽ Р ⑵〉,
где А — автоморфизм четности алгебры g (Л), инвариантна относительно представления Д ХА.
Доказательство. Пусть t? = -^—Р, uk = и1 gik.Согласно
(5.3.31), (5.3.13) условие инвариантности функции состоит в том, что
c&z$ — % = CjiUs.(5.3.41)
Запишем условия инвариантности формы (5.3.38) через матричные элементы g". Действуя на квадратичную форму (z, 2)〜 оператором 儿，получаем
0 = —А(2, 2)= c«zs ~-(2/虑切)=
=CkiZsZQgqk + (― 1 严应叫嗝 ZRpgkP = ^Z^kig^. Таким образом,
clig^ + (— 1 户网岡％)國 gse = 0.(5.3.42)
Умножая обе части равенства (5.3.42) на gB и суммируя по /, получаем
圆2二产=卫石沼"=U^i (- 1严用户=
=U^i (- 1)吗)(人)+a%)) = /%gsj (一 1严户)(吟)+人)+叫))+1 =
="%g"(- 1)吗)a㈢+=財小(一 1 严产忆)+1,(5.3.43)
где t?="sgsj.
С другой стороны, дифференцируя по z； тождество
А/гР 曰一CikZs Р = О, находим
或 F1严小气)+*))=0
Так как a(zY) +a(zs) =a(zk), отсюда следует, что функции Р удовлетворяют тем же уравнениям (5.3.43). С другой стороны, и! = usgsl являются компонентами элемента Ай. Поэтому компоненты Vi элемента d = А ▽尸 g g (А) удовлетворяют уравнениям (5.3.41). Не следует думать, однако, что преобразованиями
…XV?(5.3.44)
исчерпываются все преобразования, переводящие скобку Пуассона (5.3.21) в другие инвариантные скобки Пуассона.. Если бы это было так, то операторами вида (5.3.33) при V = Ху Р исчерпывалась бы вся алгебра Ли векторных полей, перестановочных с операторами. Нетрудно проверить,, однако, что операторы вида (5.3.33) при о = А ▽尸 вообще не образуют алгебры Ли. Возможно, однако, что тем не менее скобками Пуассона, получаемыми из (5.3.21) преобразованиями (5.3.44), исчерпывается все множество инвариантных скобок Пуассона в g (А). Такую теорему удается доказать для обычных полупростых групп Ли с помощью более специальных соображений. Останавливаться на этом мы не будем.
Отметим в заключение, что существование инвариантного скалярного произведения с описанными свойствами в g (А) эквивалентно существованию аналогичного скалярного произведения в алгебре Ли g (А)
(%, у) = (五勿 ~.(5345〉
В координатах
(居p)=吗窗(一1产计山九
Заметим, что скалярное произведение (х, у}\— (Ах, Ау), где А — автоморфизм четности алгебры g (А), также инвариантно. В координатах оно имеет вид
(匕 “к = HgnF.
видвидСледовательно, инвариантным является также скалярное произведение (х,弘=-у ((%, у) + (х, у)'. В координатах оно имеет
вид
вид
(%, У% = Ns〃K，
причем
S〃 = у g"(1 + (一 1 严卄吗)=｛貝‘，a(o = a (/)；
I о，a(”a(/)・
В силу теоремы 3.1 невырожденность скалярного произведения (х, у)2 эквивалентна невырожденности исходного скалярного произведения (х, у). Таким образом, мы приходим к следующему важному результату.
Теорема 5.9. Если в алгебре Ли g (Л) существует невырожденное четное инвариантное скалярное произведение, то существует аналогичное скалярное произведение с дополнительным свойством： подпространства ig (Л) и д° (Л) ортогональны.
Учитывая связь (5.3.45) между скалярными произведениями в g (Л) и g (Л), находим, что аналогичное утверждение справедливо и для скалярных произведений в g (Л).
СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ Ф, А, БЕРЕЗИНА
Линейные конечномерные представления групп Ли с коммутативным радикалом.— ДАН СССР, 1953, 93, № 5, с. 759—761.
Однородные расширения комплексного пространства,— ДАН СССР, 1954, 99, № S, с. 8&0—892 (совместно с И. И. Пятецким-Шапиро).
Операторы Лапласа на полупростых группах Ли.— ДАН СССР, 1956, 107, № 1, & 9—12.
Представления комплексных полупростых групп Ли в банаховом пространстве.— ДАН СССР, 1956, ПО, № 6, с. 897—900.
Несколько замечаний к теории сферических функций на симметрических римановых многообразиях.— УМН, 1956, 11, вып. 3(69), с. 211—215 (совместно с И. М. Гельфандом).
Несколько замечаний к теории сферических функций на симметрических римановых многообразиях.— В кн.: Труды Моск, матем. о-ва. Т. 5. М., 1956, с. 311—351 (совместно с И. М. Гельфандом).
Представления групп.— УМН, 1956, 11, вып. 6 (7©)> с. 13~40 (совместно с И. М* Гельфандом, М* И. Граевым, М. А. Наймарком).
Операторы Лапласа на полупростых группах Ли.——В кн.: Труды Моск, матем. о-ва. Т. 6. М., 1957, с. 371—463; Т. 12. М., 1963 с. 453—466.
Операторы Лапласа на полупростых группах Ли и некоторых симметрических пространствах.— УМН, 195*7, 12, вып. 1 (73), с. 152—156.
Зональные сферические функции и операторы Лапласа на некоторых симметрических пространствах.— ДАН СССР, 1958, 118, № 1, с. 9—12 (совместно с ①.И. Карпелевичем).
Представления групп Ли.— В кн.: Труды 3-го Всесоюзн. матем* съезда. Т. 9. М., 1958, с. 244—254 (совместно с И. М, Гельфандом, М. И. Грае- вым, М. А. Наймарком).
Аналог теоремы Лиувилля для симметрических пространств с отрицательной кривизной..— ДАН СССР, 1969, 125, № 6, с. 118 7—1189.
Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом.— ДАН СССР, 1961, 137, № 5孑 с. 1011—1014 (совместно с Л. Д. Фаддеевым) .-
Канонические преобразования операторов в представлении вторичного квантования.—ДАН СССР, 1961, 137, № 2, с. 311—314.
О модели Тирринга.— ЖЭТФ, 1961, 40, № 3, с. 885—894,
О модели Ли.— ДАН СССР, 1962, 143, № 3, с* 811—814.
О модели Ли.— Матем. сб., 1963, 60, вып. 4, с. 425—446.
18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32,33.34.35,36.37.38.39.40.41.42.43.44.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32,33.34.35,36.37.38.39.40.41.42.43.44.О канонических преобразованиях в представлении вторичного квантования.— ДАН СССР, 1963, 15 0, № 5, с. 959Т62.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32,
33.
34.
35,
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32,
33.
34.
35,
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
Об одной модели квантовой теории поля.— УМН, 1963、 18, вып. 5* с. 225—226.
Некоторые математические вопросы квантовой механики систем с большим числом степеней свободы.——В кн.： Труды 4-го Всесоюзн. матем. съезда. Т. 2. М・,196 4, с. 552—541 (совместно с Р. А. Минлосом и Л. Д, Фаддеевым).
Об операторах в представлении вторичного квантования,— ДАН СССР, 1964, 154, № 5, с. 1063—1065.
Уравнение Шредингера для системы одномерных частиц с точечным взаимодействием.—Вести. Моск, ун-та. Сер. матем., 1964, 1, с. 21—28 (совместно с Г. И Похил, В. М. Финкельбер).
Формула следов для многочастичного уравнения Шредингера.—— ДАН СССР, 1964, 157, № 3, с. 1069^-1072.
Асимптотика собственных функций многочастичного уравнения Шредин* гера.— ДАН СССР, 1965, 163, № 4, с. 795—798.
Метод вторичного квантования. М., 1965, 235 с.
Релятивистская двумерная модель самовзаимодействующего фермионного поля с ненулевой массой покоя.— ЖЭТФ, 1965, 48, № 5, с. 1293-—1306 (совместно с В. Н. Сушко).
Применение метода функционалов к некоторым задачам многих тел.— Тезисы сообщений Международного конгресса математиков в Москве. М・，1866, с. 28.
Автоморфизмы грассмановой алгебры.——Матем. заметки, 1967, 1, вып. 3* с. 26A276.
Выражение квантовой статистической суммы через операторы рассеяния.——В кн.: Проблемы многих тел и физика плазмы. М., 1967, с. 3-—10. Несколько замечаний об ассоциативной оболочке алгебры Ли.— Функц. анализ и его применения, 1967, 1, № 2, с. 1—14.
Об одном представлении операторов с помощью функционалов.— В кн.: Труды Моск, матем. о-ва. Т. 17. М., 1967, с. 117 —196.
Системы одномерных частиц с парным взаимодействием,— В кн.: Пробле* мы многих тел и физика плазмы. Мо 1967, с. 11—17.
Существование фазового перехода у решеточного газа с притяжением между частицами,— В кн.: Труды Моск, матем. о-ва. Т. 17, М・,1967, с. 197—212 (совместно с Я- Г, Синаем).
Об одной модели квантовой теории поля.— Матем, сб., 1968, 76, вып. 3\ с. 3—25*
Алгебры Ли с дополнительной структурой.— Матем. сб., 1966* 77, вып. 2,. с. 201—221 (совместно с Ф. И. Карпелевичем).
Несколько замечаний о представлениях соотношений коммутации. УМН, 1969, 24, вып. 4b с. 65^88*
Плоская модель Изинга,—УМН, 1969, 24, вып. 3, с. 3—22.
Соотношения между корреляционными функциями в классической стати* стической физике.— ТМФ» 1970, 3, № 1, с. 115—125.
Всесоюзный симпозиум по теории голоморфных функций многих комплексных переменных, 24 июня―4 июля 1969.— УМН, 1970, 25, вып. 1, с. 219—220 (совместно с С. Г, Гиндикиным, А. А. Кирилловым и В. П, Паламодовым).
Группы Ли с коммутирующими и антикоммутирующими параметрами.— Матем. сбм 1 &70, 82, вып. 3, с. 34З1 ~35 9 (совместно с Г. И. Кацем).
Конспект лекции по анализу III. М., 1970. 62 с.
Symbols of operators. Coloquia Mathem.— Soc. Janos Bolyai. 5 Hilbert space operators. Tihany (Hungary), 1970, p. 21—25 (совместно с M, А. Шубиным).
Число замкнутых несамопересекающнхся контуров на плоской решетке,— Матем. сб., 1971» 85, вып, 1, с. 49—64,
Невинеровские континуальные интегралы — ТМФ, 1971,6, № 2, с. 194一212.
Внковскне н антивнковскне символы операторов,— Матем. сб., 1971, 86* вып. 4, с 578~610*
Выпуклые функции от операторов.— Матем, сб„ 1972, 88, вып. 2, с. 268— 276.
Ковариантные и контравариантные символы операторов,— Изв. АН СССР. Сер. матем” 1972, 3 6, № 5, & 1134—116 7.
4& Лекции по статистической физике. М” 1972, 141 с.
Лекции по квантовой механике. М・,1972, 294 с. (совместно с М. А. Шубиным).
50・ Квантование в комплексных ограниченных областях,— ДАН СССР. 1973, 211, № 6, с. 1263—1266.
Несколько замечаний о распределении Вигнера,— ТМФ, 1973, 17, № 13, с. 305—318.
Гамильтонов формализм в общей задаче Лагранжа.— УМН, 1974, 29, вып. 3, с. 183—184.
Спектральные свойства обобщенных теплицевых матриц.— Матем. сб., 1974, 95, вып. 2, с. 305—325.
Квантование.— Изв. АН СССР. Сер. матем., 1974, 38, № 5, с. 1116—1175.
5. Общая концепция квантования.— УМН, 1974, 29, вып, 6, с, 200—201.
General concept of quantization.— Commun. Math. Phys.* 1975, 40， N 2, p. 153—174.
Квантование в комплексных симметрическихпространствах.— Изв.
АН СССР. Сер, матем” 1975, 39, № 2, & 363~402,
Классический спин и алгебра Грассмана.— Письма в ЖЭТФ, 1975^ 21, № 11, с, 678—680 (совместно с М, С, Мариновым).
Супермногообразия.— ДАН СССР, 1975, 224, № 3, с. 505—508 (совместно с Д. А* Лейтесом).
Об ассоциативных алгебрах функций.— Вести. Моск, ун-та. Сер, матем., мех., 1976, № 1, с. 33—38 (совместно с ①.И. Карпелевичем).
Representation of the infinite direct product of universal coverings of isometry groups of the complex ball.— Repts Math. Phys., 1976, 9, N I, p. 15^30.
Представления супергруппы U(p, q).— Функц. анализ, 1976, 10, № 3, с. 70—71.
Супермногообразия.— УМН, 1977, 32, вып. 1, с. 154.
Particle spin dynamics as the Grassmann variant of classical mechanics.—* 3 Ann, Phys. (USA), 1977, 104, N 2, p. 336—362 (совместно с M. C. Ma・ риновым).
Строение супералгебр Ли с полупростой четной частью.— Функц. анализ, 1978, 12, № 1, с. 64—65 (совместно с В. С, Ретах).
. Представления непрерывного прямого произведения универсальных накрывающих группы движения комплексного шара. — В кн.: Труды Моск* матем. о-ва, Г 36. М., 1978, с 2 75—2 93.
Связь между ко й контравариантными символами операторов на классических комплексных симметрических пространствах.— ДАН СССР, 1978, 241, № 1, с. 15^17.
О строении супералгебр Ли с полупростой четной частью.——Вести. Моск, ун-та. Сер. матем., мех., 1978, № 5, с. 631—67 (совместно с В. С. Ретах), 69. Инстантоны и грассмановы многообразия.— Функц. анализ, 1979, 13f № 2, с. 75—76.
Дифференциальные формы на супермногообразиях.— ЯФ, 1979, 30, № 4, с. 1168—1174.
Математические основы суперсимметричных теорий поля.—只①,1979; 29, № 6, с. 1670—1687..
Теоретико-групповая интерпретация уравнений типа Кортевега ——де Фриза.—Функц, анализ, 19*80, 14, № 2, с. 50—51 (совместно с А. М. Перело- мовым).
Супермногообразия*— В кн.: Элементарные частицы. Седьмая школа физики ИТЭФ. Вып. L М., 1980, с. 119.
Континуальный интеграл по траекториям в фазовом пространстве.— УФН, 1980, 132, вып. 3, с. 497-^548.
Суперсимметричная модель нескольких классических частиц со спином.―■ Письма в ЖЭТФ, 1980, 32, № 1, с. 76—78 (совместно с В. Л* Голо).
1 К сожалению, она мне стала известна лишь в 1976 г., поэтому ссылки на нее отсутствуют в более ранних моих работах на эту тему.
1 Это верно лишь при четном q. При нечетном q элемент |^2 ■•• ?« является нечетным, но перестановочен с любым a三А.— Прим. ред.
ле общего определения, данного в § 1 этой главы.
4 = -К")：К* = —唯里詣