У ТАТТ

/теория ГВМЮЕ?4

＜；I AN-CARLO ROTA. Editor

ENC YC LOPEDIA OF MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS

Volume 21

Section: Combinatorics

Gian-Cado Rota» Section Editor

Graph Theory

W. T. Tutte

Faculty of Mathematics

University of Waterloo

Waterloo» Ontario, Canada

Foreword by

Crispin St J. A. Nash-Williams

The University of Reading

1984

Addison-Wesley Publishing Company

Advanced Book Program

Menlo Park, California

Reading, Massachusetts*London«Amsterdam• Don Mills, Ontario • Sydney • Tokyo

УТатт

ТЕОРИЯ ГР4Ф0В

Перевод с английского

Г. П. Гаврилова

Москва «Мир» 1988

ББК 22.17 Т23

УДК 519.17

Татт У.

Т23 Теория графов: Пер. с англ.— М.: Мир, 1988.— 424 с., ил.

ISBN 5-03-001001-7

Монография крупного канадского математика, содержащая перспективные методы н конструкции современной теории графрв (связность, факторизация, раскраска, планарность н др.). Многие Результаты принадлежат автору, активно работающему в области комбинаторной теория. Книга вышла в известной серии «Энциклопедия математики и ее приложеинй>, ряд томов которой издан на русском языке в издательствах «Мнр> и «Наука».

Для математиков различных специальностей, инженеров-исследователей, аспирантов н студентов, спецнализнрующихся в области дискретной математики.

ББК 22.17ББК 22.17т 1702070000-461 ^ 足一

ББК 22.17

ББК 22.17

T -041(01)=88- 41一開,1 1

ISBN 5-03-001001-7 (русск.)ISBN 0-521-30241-2 (англ.)ISBN 5-03-001001-7 (русск.)ISBN 0-521-30241-2 (англ.)Редакция литературы по математическим наукам

ISBN 5-03-001001-7 (русск.)

ISBN 0-521-30241-2 (англ.)

ISBN 5-03-001001-7 (русск.)

ISBN 0-521-30241-2 (англ.)

© Cambridge University Press 1984. This book originally published in the English language by Cambridge university Press of Cambridge, England.

© перевод на русскиб язык» <Мир», 1988

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА

Автора книги Уильяма Т. Татта представлять нет необходимости: его яркие, насыщенные своеобразными идеями исследования комбинаторных проблем известны многим математикам — геометрам, специалистам по дискретной математике, алгебраистам. Его известные монографии по связности графов и теории матроидов продолжают оказывать существенное влияние на молодых исследователей, занимающихся комбинаторной математикой.

Данная книга тоже создавалась с целью оказания действенной помощи начинающим самостоятельные изыскания математикам. В ней доходчиво и с высоким методическим мастерством освещается ряд важных направлений современной теории графов. Делается это с необходимой степенью детализации и строгости, но без стремления «объять необъятное». Тщательно отобраны и библиографические ссылки: указываются только те работы, которые либо являются непосредственными источниками излагаемых результатов, либо тесно переплетаются с излагаемым материалом. Мы не считали нужным пополнять библиографию, так как не хотели нарушать авторский замысел. Те из читателей, которых интересует более широкая панорама теории графов, могут обратиться к обзорам, появившимся за последние семь — восемь лет в «Итогах науки и техники» (см., например, т. 16, 18, 21, 23 в серии «Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика» (М.: ВИНИТИ, 1979, 1981, 1983, 1985)).

Ряд сведений исторического характера содержится в «Предисловии» К. Нэш-Вильямса, во введении и в замечаниях автора, помещенных в конце глав. О содержании книги достаточно подробно говорится во введении, да и сама она находится в руках читателя, поэтому здесь нет необходимости останавливаться на ее содержании.

Книгу можно использовать (об этом говорится и во введении) как справочное руководство по современной теории графов. Она предназначена для математиков различных специализаций, а также для научных работников, инженеров-исследо-

6 От переводчика

вателей, аспирантов и студентов, интересующихся и занимающихся дискретной математикой.

В заключение хотелось бы отметить, что большую помощь при переводе мне оказали А. Э. Русова (гл. V, VI, X и XI), Д. Г. Мещанинов (гл. IX) и С. А. Лавренченко (гл. X и XI), которым я искренне признателен.

Г. П. Гаврилов

ОТ РЕДАКТОРА ЭНЦИКЛОПЕДИИ

Математика состоит главным образом из фактов, которые можно представить и описать подобно любому явлению природы. Эти факты, сформулированные явно в виде теорем или скрытые внутри доказательств, составляют основную часть приложений математики и, вероятно, переживут все изменения математических вкусов и интересов.

Цель настоящей Энциклопедии — постараться осветить все области математики. Непременным требованием к автору является ясность изложения материала, доступность для неспециалистов, а также наличие подробной библиографии. Тома Энциклопедии объединяются в серии, которые соответствуют различным областям современной математики; порядок выхода книг в отдельных сериях не устанавливается. Число томов и серий будет по мере надобности пересматриваться.

Мы надеемся, что наше предприятие будет способствовать £тце более широкому применению математики там, где без нее нельзя обойтись, и сделает возможным ее применение в тех областях, где она могла бы быть полезной, но куда еще не проникла ввиду недостатка информации.

Джан-Карло Рота

Мы рады открыть Комбинаторную серию Энциклопедии. Профессор Татт, один из основателей современной теории графов, представляет здесь жемчужины этого предмета, богатого глубокими результатами, в томе, который долгое время будет оставаться определяющим.

ПРЕДИСЛОВИЕ

То, что автором тома, посвященного теории графов, в серии «Энциклопедия математики и ее приложений», стал ученый, чей вклад в эту теорию является по мнению многих непревзойденным, одновременно и закономерность, и большая удача. В манере изложения и в содержании книги проявляется влияние собственных работ проф. Татта и аромат его собственного подхода к предмету, аромат, хорошо знакомый тем, кто слушал его превосходно составленные лекции по разным вопросам и рад увидеть теперь многое из ранее слышанного представленным в долговременной форме и доступным для более широкой аудитории.

В этой монографии освещается много центральных тем, которые можно рассчитывать найти в книге по теории графов — например, теорема Менгера и потоки в сетях, проблема восстановления, матричная теорема о деревьях, теория факторов (или паросочетаний) для графов (созданная в значительной степени самим профессором Таттом), хроматические многочлены, теорема Брукса, теорема Гринберга, планарные графы, теорема Куратовского. Но это ни в коем случае не «еще одна книга по теории графов», ибо излагаемый материал связывается в единое целое глубоко индивидуальным подходом профессора Татта. Кроме того, самые обычные темы преподносятся с некоторыми «приятными сюрпризами», такими, как принадлежащая автору изящная теория разложения графов на трехсвязные 3-блоки (кроме монографии [5], ее ни в какой книге не найдешь), интересный, замечательный подход к электрическим цепям и —— быть может, самое примечательное — классификационная теорема для замкнутых поверхностей. Обычно эту теорему относят к топологии, но проф. Татт демонстрирует нам, что она отлично подходит для работы по теории графов ——комбинаторная по своей сущности природа рассуждений здесь, действительно, на месте.

Из сказанного ясно, что в этой книге найдется много полезного для любого читателя, интересующегося теорией графов. В ней собрано вместе несколько важных тем, почерпнутых из быстро разрастающейся литературы по данному предмету, причем она ни в коей мере не дублирует описательные

работы, имеющиеся в настоящее время. Она обеспечит также превосходную базу для понимания ряда более специальных тем, включая многое из собственных результатов проф. Татта, например, его обширную теорию перечисления планарных объектов и хроматические многочлены карт, его теорему о гамильтоновых циклах в четырехсвязных планарных графах, гипотезу о 5-потоке (см. разд. IX. 4) и описание взаимосвязи между матроидами и графами (см. разд. VIII. 11). Привлечение миноров создает предпосылки для исследования (среди многих других объектов и проблем) гипотезы о полном квазиупорядочении множества графов посредством отношения быть минором (см. замечание 1 в разд. П. 7). Поиски, ведущиеся в этом направлении Сеймором и Робертсоном (бывшим студентом проф. Татта), по-видимому, обещают интересные результаты. Некоторые из указанных (и других) тем могут дать обширный материал для следующего тома, если профессор Татт или кто-либо, тесно связанный с ним в идейном плане, решит написать такую книгу.

Во введении профессор Татт говорит о своих первых встречах с теорией графов, в частности, когда он учился в Кембридже. Это не может не вызвать и у меня собственных юношеских воспоминаний. В разговорах математиков, занимавшихся теорией графов, излюбленной была тема о том, что впервые привлекло их внимание к теории графов. Я лично отвечал: «Ничего не привлекало ——я ее сам придумал!» Иначе говоря, когда я, еще студентом, стал заниматься научной работой (тоже в Кембридже), то чувствовал, что должна существовать ветвь математики, изучающая объекты такого рода, а если ее нет, то я должен ее создать. (Упоминания о бинарных отношениях в курсах алгебры, возможно, способствовали укреплению этой мысли.) Насколько мало было известно о положении в теории графов в те времена, видно из такого факта: мне потребовалось несколько недель, чтобы установить, что я не являюсь первооткрывателем в этой области, и услышать об одном существующем руководстве по данному предмету, а именно, о монографии Кёнига «Теория ориентированных и неориентированных графов» (Konig D. Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. — Leipzig: Acad. Verl. M. В. H., 1936), опубликованной восемнадцатью годами раньше, в 1936 г. После книги Кёнига я ознакомился с несколькими доступными в то время научными статьями по графам и провел много часов в библиотеке, изучая работу проф. Татта о факторах графов, щедро вооружившись цветными карандашами (особенно, конечно, красными и синими), чтобы рисовать диаграммы, стимулирующие воображение. Советую читателю поступить аналогичным образом, когда он дойдет до гл. VII, если, конечно, он гораздо

раньше не убедился, как это важно при изучении данной или любой другой книги по теории графов.

В ранний период моей научной деятельности занятие теорией графов было редкостью и считалось болезненной одержимостью. Такой человек не мог надеяться встретить «себе подобного» среди своих коллег, а чтобы найти такового в своей стране, должен был затратить массу усилий: он просто не рассчитывал установить научные контакты с другими математиками иначе, как через публикуемые работы. Фактически по этому предмету не было никаких лекционных курсов, ни для аспирантов, ни хотя бы для старшекурсников. Некоторым математикам казалось даже сомнительным, что теория графов вообще является достойным разделом математики. Сомнения, по-видимому, основывались на отсутствии в ней хорошо развитых методов, а также на недостаточной ее унифицированности и на том, что она казалась состоящей в основном из решений разрозненных задач, не связанных тесно ни друг с другом, ни с остальной математикой.

Тем не менее, справедливости ради, я должен сказать, что кроме охваченных такими сомнениями математиков были и другие, которые, по-видимому, симпатизировали теории графов и интересовались ею. Не последним среди них (в то время, когда я стал преподавать в университете) был тогдашний декан факультета профессор Э. М. Райт (ныне — сэр Эдвард Райт), научные изыскания которого в более поздние годы приобрели явно выраженный теоретико-графовый уклон.

Если бы кто-то в те годы предсказал то последующее бурное развитие теории графов и других областей комбинаторики» которое стало наиболее яркой страницей в жизни тех из нас» кто прошел через это, я подумал бы, что он едва ли не сумасшедший. Писатели-фантасты прекрасно продемонстрировали нам, что истина часто представляется более странной, чем выдумка. Показалось бы нелепым предсказание, что такие фамилии, как Дирак, Харари и Татт (в ту пору для меня просто лишенные смысла криптограммы, предваряющие научные статьи) довольно скоро станут фамилиями хорошо знакомых мне лично математиков, что теория графов «перенесет» меня через Атлантику, чтобы связать с Департаментом комбинаторики и оптимизации, где в течение нескольких лет мы с проф. Таттом занимаем соседние кабинеты, что конференций по комбинаторике будет проводиться больше, чем в состоянии посетить один человек, и что литература по комбинаторике достигнет теперешних размеров, что будет выходить по меньшей мере шесть журналов (а может быть, и больше — все зависит от того, как считать), посвященных полностью комбинаторике.

Первым из них появился Journal of Combinatorial Theory. Его главным редактором в течение многих лет был проф. Татт (и только совсем недавно, в связи с увеличением объема материала, произошло разделение и Татт теперь — главный редактор половины журнала). Редактор данной Энциклопедии, проф. Дж.-К. Рота, был одним из его организаторов, которым журнал обязан своим возникновением. Бланш Декарт поведала мне тогда, что она выбрала название журнала как анаграмму следующего словосочетания: OUR FOE JIAN-CARLO ROTA BIMONTHLY1).

Несмотря на это возрастающее признание комбинаторики (включая теорию графов) как части математики, следы полемики о ее значении все еще сохраняются. Во введении к книге [1] Л. Ловас очень правильно реагирует на эту полемику, указывая на увеличивающееся многообразие методов и унифицирующую теорию, приобретаемые данной ветвью математики. Тем не менее, несколько дальнейших замечаний могут оказаться уместными. Как считает другой мой бывший коллега Дж. Шихан [4], могут существовать довольно важные разделы комбинаторики, которые невозможно заключить ни в какие унифицирующие рамки. Есть, несомненно, удовлетворение от решения просто формулируемой, естественной в своей постановке, но «строптивой», неподдающейся задачи, даже если найденное решение представляется, по крайней мере в настоящее время, стоящим особняком. Если (как иногда, кажется, считают) теорема может быть важна только в том случае, когда она полезна при доказательстве или разъяснении других теорем, то следует далее поинтересоваться, чем важны эти другие теоремы, а это может повлечь reductio ad absurdum. Разве для того, чтобы доказать, что некая ветвь математики интересна, обязательно демонстрировать ее полное подобие другим ветвям математики? А может быть, доля привлекательности математики——в разнообразии ее направлений?!

С другой стороны, не вызывает сомнений, что взаимодействие идей, возникших в различных разделах математики, и тщательно разработанные, успешно применяемые методы принадлежат к числу тех черт математики, котовые составляют значительную долю ее очарования. Более того, в математике часто проявляется тенденция к объединению ее областей и созданию хорошо развитой техники. Поэтому можно вполне уверенно предположить (несмотря на мое предостережение

')Наш враг двухмесячник Джана-Карло Роты. (Название журнала Journal of Combinatorial Theory получается из приведенного словосочетания подходящей перестановкой букв. Кстати, замечу, что Blanche Descartes —— псевдоним У. Т. Татта. — Прим, перев.

относительно предсказания будущего), что достигшая зрелости теория графов будет и дальше развивать свои своеобразные методы и что большинство из ее результатов будут еще теснее переплетаться и между собой, и с остальной математикой. Возможно, что данная книга сыграет значительную роль в создании для теории графов прочного теоретического и технического основания.

То немногое, что я мог сказать о некоторых аспектах современного состояния теории графов и огромном влиянии на нее профессора Татта, я уже опубликовал (см. соответственно [3] и [2]). Это обстоятельство и сжатость срока, надеюсь, извиняют меня за сравнительно короткое предисловие, состоящее в основном из случайных воспоминаний и размышлений, которые, возможно, никого, кроме меня, не интересуют. Может статься, что какой-нибудь будущий историк математики найдет здесь несколько полезных для него крупиц информации. А я не хочу дольше задерживать внимание читателя, перед которым все богатство книги.

К. Ст. Дж. А. Нэ1и-Вильямс

Литература

Lovasz L. Combinatorial problems and exercises. 一 Amsterdam: North- Holland Publishing Company, 1979.

Nash-Williams C. St J. A. A note on some of Professor Tutte's mathematical work. — Graph theory and related topics, Proceedings of the conference held in honor of Professor W. T. Tutte on the occasion of his sixtieth birthday, University of Waterloo, July 5—9, 1977. Ed. by J. A. Bondy and U. S. R. Murty. — New York: Academic Press, 1979, XXV—XXVIII.

Nash-Williams C. St. J. A. A glance at graph theory. Parts I, II. — Bull. Lond. Math. Soc. 14 (1982), 177—212, 294—328.

Sheehan J. Review of graph theory: An introductory course by B. Bol* lobas. —Bull. Lond. Math. Soc. 12 (1980), 388—390.

Tutte W. T. Cennectivity in graphs. — Toronto: Univ, of Toronto Press, 1966.

ВВЕДЕНИЕ

С элементами теории графов автор познакомился в начале тридцатых годов, когда учился в средней школе, при чтении известной книги Роуза Болла [5]. Именно тогда он узнал об эйлеровых путях (см. в нашей книге разд. VI. 3), о раскраске карт (двойственная проблематика излагается в разд. IX. 3), о факторах графов (см. разд. VII. 6) и о тейтовой раскраске (см. разд. IX. 5).

Будучи студентом последнего курса в Кембридже, автор примкнул к Р. Л. Бруксу, К- А. Б. Смиту и А. Г. Стоуну в исследовании проблемы разрезания квадрата на попарно различные квадраты [3], которой те увлекались. Вскоре потребовалось более широкое привлечение теории графов. «Диаграммы Смита》 связали эту проблему с изучением трехсвязных планарных графов (см. разд. XI. 7) и с законами Кирхгофа для электрических цепей (см. разд. VI.5), теория роторов (см. замечания в гл. VI) связала ее с симметрией графов (см. разд. 1.2), а понятие сложности графа (см. разд. II.2) — с теорией функций на графах, удовлетворяющих простым рекуррентным соотношениям (см. разд. IX. 1).

Подробно обо всем этом говорится в комментариях, содержащихся в книге [4]. И в этом одна из причин, почему в настоящей книге я не касаюсь задачи квадрирования прямоугольников и аналогичной задачи триангулирования треугольников. А кроме того, я мыслю себе данную книгу как работу по чистой теории графов, без привлечения теоретико-множественной топологии или элементарной геометрии.

В Кембридже я познакомился с рядом работ по теории графов. Прочитал доказательство теоремы Петерсена (см. разд. VII. 6), данное Саинт-Лагё, разыскал классические статьи Хэсслера Уитни, опубликованные в 1931-33 гг., и замечательную книгу Денеша Кёнига — первую монографию, целиком посвященную теории графов. Мое пребывание в Кембридже совпало с появлением теоремы Смита (см. разд. IX. 5 и [7]) и теоремы Брукса (см. разд. IX. 3 и [2]). Стоуновское открытие флексагонов произошло несколько позже】).

I) А именно в 1939 г.; о флексагонах см. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. — М.: Мир, 1971, гл. 1. — Прим., перев.

Я размышлял над этими результатами в течение 45 лет и теперь рискнул представить некоторые из них в данной работе. Эта книга является попыткой создать такое справочное руководство по теории графов, которое мне хотелось иметь в 1936— 40 гг. В электротехнике важно бывает знать, существует ли связь между двумя выводами электрической цепи и что произойдет, если удалить какой-либо электрический элемент цепи. В гл. I описывается теоретико-графовый подход к таким явлениям. Глава II посвящена вопросам, относящимся к стягиванию ребер в графах, или, как иногда говорят, закорачиванию цепей. В гл. IV излагается теория трехсвязности, а находящаяся на пол пути к ней теория двусвязности представлена в гл. III. Глава V о проблеме восстановления с квадрированием квадратов и прямоугольников связана не так уж прямо. К этой проблеме я пришел, применяя специальный метод восстановления рекуррентных формул для некоторых упоминавшихся выше рекурсивных функций на графах [11].

В гл. VI рассматриваются орграфы и обобщенная теория законов Кирхгофа. Она возникла из исследований задачи о триангулировании треугольников, проведенных четырьмя студентами-старшекурсниками. Нас иногда упрекали за то, что наша математическая теория зиждется на физических законах. Мы, конечно, оправдывались, говоря, что для нас законы Кирхгофа являются всего-навсего аксиомами некой чисто математической системы, и были рады, что можем особо подчеркнуть это, введя обобщенные законы, описывающие такой вид электричества, который не встретишь ни на суше, ни на море.

Глава VII основана на статье Саинт-Лагё — были только восполнены некоторые пробелы и проведены некоторые обобщения. В гл. VIII речь идет о циклах, кограницах и обобщениях потоков Кирхгофа. В ней предпринята попытка описать некоторые разделы теории графов алгебраическими средствами; основная часть материала, содержащаяся здесь, взята из моей докторской диссертации [9].

Глава IX посвящена рекуррентным соотношениям для функций на графах и возникла из моей статьи, опубликованной в 1947 г. [8]. В этой главе рассматриваются дихромат и хроматические, дихроматические и потоковые многочлены ——все то, что можно отнести к теории раскраски карт и двойственной ей теории раскраски вершин.

В рассмотрениях, приводимых в гл. I ——IX, имеется одно важное упущение. Оно касается теории планарности. Графы, представляющие интерес в связи с задачами квадрирования прямоугольников и триангулирования треугольников, все являются планарными. Поэтому в гл. X осуществляется необходимая подготовительная работа для введения понятия планар-

ности на базе общей теории карт на поверхностях, причем, поскольку требуется сделать это на чисто теоретико-графовой основе, карты в гл. X определяются с помощью чисто комбинаторных аксиом, а поверхности вводятся как классы карт. Материал данной главы является соответствующей адаптацией классической теории X. Р. Браханы [1]. Планарные карты определяются как карты с эйлеровой характеристикой 2.

В гл. XI излагается теория планарности. Устанавливаются теоремы двойственности для числа остовных деревьев и дихромата, а также комбинаторный вариант теоремы Жордана. Приводятся несколько признаков планарности и непланарности графов и среди них — критерии Маклейна и Понтрягина — Ку- ратовского. Эта глава возникла из моей статьи 《Как нарисовать граф》, опубликованной в 1963 г., однако в действительности ничего здесь не рисуется, ибо рисованием занимается элементарная геометрия, а не теории графов.

Пользуясь представившимся случаем, хочу выразить свою признательность Бруксу, Смиту и Стоуну, без миссионерского энтузиазма которых я сейчас писал бы на какую-нибудь иную тему.

Литература

Brahana Н. R. Systems of circuits on two-dimensional manifolds.— Ann. Math. (2)23 (1921), 144—168.

Brooks R. L. On colouring the nodes of a network. — Proc. Cambridge Phil. Soc. 37 (1941), 194—197.

Brooks R. L., Smith С. A. B., Stone A. H., Tutte W. T. The dissection of rectangles into squares. — Duke Math. J. 7 (1940), 312—340.

McCarthy D., Stanton R. G. (eds). Selected papers of W. T. Tutte. — The Charles Babbage Research Centre, St. Pierre, Manitoba, Canada, 1979.

Rouse Ball W. W. Mathematical recreations and essays. The 12th edition (Univ, of Toronto Press, 1974) is co-authored by H. S. M. Coxeter. [Имеется перевод: Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения.—М.: Мир, 1986.]

Sainte-Lague М. A. Les reseaux (ou graphes). — Memorial des Sciences Mathematiques, Fasc. XVIII, Paris, 1926.

Tutte W. T. On Hamiltonian circuits. — J. Lond. Math. Soc. 21 (1946), 99—101.

Tutte W. T. A ring in graph theory. — Proc. Cambridge Phil. Soc. 43 (1947), 26—40.

Tutte W. T. An algebraic theory of graphs. Thesis, Cambridge, 1948.

Tutte W. T. How to draw a graph. — Proc. Lond. Math. Soc. 13, № 52 (1963), 743—767.

Tutte W. T. On dichromatic polynomials. — J. Comb. Theory, 2 (1967), 301—320.

Глава I

ГРАФЫ И ПОДГРАФЫ

/./. Определения

В настоящем разделе дается формальное определение графа и вводится основополагающая терминология теории графов. Приводятся примеры графов и некоторые простые теоремы.

Граф G определяется множеством вершин Y(G), множеством ребер E(G) и отношением инцидентности, которое каждому ребру сопоставляет одну или две вершины, называемые его концами,

В нашей книге рассматриваются только конечные графы, т. е. графы, у которых множества V(G) и E(G) конечные. Книга о бесконечных графах была бы гораздо интереснее. Но и теория конечных графов настолько обширна, что в однотомном издании ее во всей полноте не охватишь. Слово «графх будет использоваться для обозначения конечного графа (если явно не оговаривается иное толкование этого термина).

Терминология теории графов все еще не стандартизирована. Некоторые авторы предпочитают терминам 《вершина》и «ребро» термины 《точка》 и 《линия》. Однако употребление таких терминов может создать неудобства в задачах, в которые входят одновременно графы и геометрические или топологические структуры. В ряде старых статей можно встретить термины 《ветвь》(вместо《ребро》)и《узел》(вместо《вершина》).

Ребро называется звеном, если у него два конца, и петлей, если конец один. Однако мы обычно будем полагать, что каждое ребро имеет два конца (которые в случае петли совпадают). Говорят, что концы ребра соединены данным ребром или являются смежными. Аналогично будем говорить, что вершина соединена или смежна сама с собой в том и только в том случае, если она инцидентна некоторой петле. Два или более звеньев, имеющие одинаковые пары концов, образуют кратное соединение и называются кратными ребрами. Граф без петель и кратных ребер называется простым.

В теории графов существует много задач, в которых рассматриваются только простые графы. Поэтому некоторые авторы используют термин 《граф》 именно для простых графов. Если же исследуемые структуры могут содержать петли и (или) кратные ребра, то их они называют «псевдографами», смультиграфами» и т. п.

Примеры графов найти несложно. Возьмем ребра и вершины выпуклого многогранника Р в качестве соответственно ребер и вершин графа G. Концами любого ребра графа G будут те вершины, которые являются концами этого ребра в геометрическом смысле. Граф G назовем графом многогранника Р.

Карту дорог тоже можно толковать как граф: перекрестки и развилки дорог являются вершинами, а ребрами будут участки дорог между соседними перекрестками и развилками и каждый петлеобразный участок (т. е. участок, начинающийся и оканчивающийся в одном и том же месте). Электрическая цепь также дает пример графа: ребрами являются электрические элементы цепи, а вершинами — их клеммы.

Нетрудно заметить графовую структуру и в генеалогических таблицах, и в программах, составленных для вычислительных машин. Тот, кто исполнен веры в теорию графов, увидит графы в математике повсюду, ибо большая часть математики может быть описана на языке бинарных отношений. А что такое бинарное отношение, как не граф?

Наиболее привычным представлением графа является его геометрическое изображение на бумаге (в виде так называемой диаграммы). Вершины на диаграмме изображаются точками. Звено с концами хну изображается отрезком прямой (или дугой кривой), соединяющим точки, изображающие концы 尤 и у, причем ни одна из других точек-вершин не должна принадлежать этому отрезку. Петля с концом х изображается как дуга кривой, начинающаяся и заканчивающаяся в точке 尤 н не проходящая ни через одну из других точек-вершин.

При таком изображении графа дуги-ребра (отрезки-ребра) могут пересекаться в точках, отличных от точек-вершин. Обычно эти пересечения ребер игнорируются как ничего не интерпретирующие в структуре исходного графа. Но если нас интересует наименьшее допустимое число «реберных пересечений» при изображении графа, то возникают весьма тонкие и сложные проблемы. (См. [8], с. 122—123.)

Приведем некоторые примеры графов. На рис. I. 1.1 изображен граф куба, а на рис. I. 1.2 нарисован граф с петлями и кратными ребрами.

Ряд графов простой структуры заслуживает, как нам кажется, специальных названий. Для некоторых целей полезно ввести в рассмотрение нуль-граф (или пустой граф), который не имеет ни ребер, ни вершин. Граф-вершина содержит только одну вершину и не имеет ребер (рис. I. 1.3(i)). Граф-петля состоит из единственной петли и ее одного конца (рис. 1.1.3(ii)), а граф-звено состоит из единственного звена и двух его концов (рис. I. 1.3(iii)).

Пусть п ——целое неотрицательное число; п-кликой назы-

Рис. I. 1.6.

вается граф без петель и кратных ребер, имеющий ровно п вершин и п(п—1)/2 ребер, в котором каждая пара вершин смежна. Таким образом, /г-клики являются простыми графами. Очевидно, что нуль-графы являются 0-кликами, графы-вершины являются 1-кликами, а графы-звенья — 2-кликами. На рис. 1.1.4(i)——(iii) показаны 3-клики, 4-клики и 5-клики соответственно.

Предположим теперь, что п — целое положительное число; п-цепью называется граф с п ребрами и 九十 1 вершинами, обладающий следующим свойством: его ребрам можно приписать номера от 1 до п, а вершинам ——от 0 до п таким образом, чтобы концами ребра Д； были вершины 9 а~ и а； (/ = 1, …，п).

1-цепи являются графами-звеньями. На рис. I. 1.5(i)——(iii) показаны 2-цепь, 3-цепь и 4-цепь соответственно.

Пусть п ——целое положительное число. Тогда п-циклом называется граф с п вершинами и п ребрами, обладающий следующим свойством: его вершинам и ребрам можно приписать номера от 1 до п таким образом, чтобы концами ребра Д/ были вершины) а； и а» (/ = 1, ..., п и полагаем а计i=%). 1-циклы являются графами-петлями, а 3-циклы — 3-кликами. На рис. I. L6(i) —— (iii) изображены 2-цикл, 3-цикл и 4-цикл соответственно.

Когда нет необходимости указывать значение числа п, то п-клики, n-цепи и n-циклы можно называть просто кликами, цепями и циклами соответственно. В двух последних определениях число п называется длиной цепи или цикла.

Определим теперь валентность val(G, х) вершины 尤 в графе G. Это число ребер, инцидентных вершине х, причем петля счи-

1) Такую нумерацию вершин и ребер n-цепи в дальнейшем будем называть естественной.——Прим, перев.

тается дважды. Ясно, что

Z val(G, %) = 2|E(G)|.(I. 1.1.)

л е V (G)

Здесь и в дальнейшем мы обозначаем мощность множества S (т. е. число элементов в нем) через |S|. Из соотношения (1.1.1) вытекает следующая теорема.

Теорема 1.1. Во всяком графе число вершин нечетной валентности четно.

(Это один из старейших и широко известных результатов теории графов.)

Термин «валентность» навеян химическими аналогиями. Многие авторы используют для этого понятия термин «степень».

Вершина нулевой валентности называется изолированной. Например, изолированной является единственная вершина графа-вершины. Вершину валентности 1 удобно называть одновалентной (или висячей, или концевой), валентности 2 ——двухвалентной и т. д. Единственная вершина графа-петли двухвалентна, а обе вершины графа-звена являются одновалентными. Каждая вершина цикла двухвалентна; каждая вершина п-клики имеет валентность, равную n— 1.

Рассмотрим n-цепь. Предположим, что ее вершины и ребра занумерованы так, как указано в определении n-цепи. Ясно, что при такой нумерации вершины а。и @九 одновалентны, а любая другая вершина двухвалентна. Одновалентные вершины цепи обычно называют ее концами. Остальные, двухвалентные, вершины называют внутренними вершинами цепи.

Граф, в котором каждая вершина n-валентна, называется однородным (или регулярным) графом валентности п. Таким образом, всякий цикл есть однородный граф валентности 2. Если пг ——целое положительное число, то /n-клика является однородным графом валентности пг——1. Однородные трехвалентные графы представляют особый интерес и их называют кубическими графами.

/. 2. Изоморфизм

Предположим, что даны два графа, являющиеся графами большого и малого кубов. Мы можем считать, что эти графы не имеют существенных различий, и говорить, что у них одна и та же структура или что каждый из них есть копия другого. Это означает, что оба графа могут быть представлены одной и той же диаграммой. Для придания большей определенности этим высказываниям мы введем понятие изоморфизма графов.

Пусть G и Н — графы, f — взаимно однозначное отображение множества V(G) на множество V(〃)и g — взаимно однозначное отображение E(G) на £(//). Обозначим через 0 упорядоченную пару (力 g). Будем говорить, что 0 есть изоморфное отображение (короче, изоморфизм) графа G на граф Н, если выполняется следующее условие: вершина % инцидентна ребру Л в графе G тогда и только тогда, когда вершина fx инцидентна ребру gA в графе Н.

Если такой изоморфизм 0 существует, то будем говорить, что графы G и // изоморфны. Ясно, что в этом случае

\V(G)\ = \V(H)\ и \E(G)\ = \E(H)\.

Мы можем рассматривать 0 как операцию, преобразующую граф G в граф ", и в соответствии с этим писать 0G = Н. Удобно также писать 0у = fv и 0Л = gA (для каждой вершины V и каждого ребра Л графа G). Очевидно, что изоморфные графы G и Я могут быть представлены одной и той же диаграммой. При этом отрезок, представляющий ребро Л графа G, или точку, представляющую вершину % графа G, можно интерпретировать как представления ребра 8% или вершины 0% графа Н.

Возможен случай, когда графы G и Я совпадают. Изоморфное отображение графа G на себя называется его автоморфизмом. Всякий граф G имеет тождественный (или тривиальный) автоморфизм /, такой, что 1х = х для каждого ребра % и каждой вершины % из G.

Отношение изоморфизма между графами рефлексивно, ибо у любого графа существует тождественный автоморфизм. Оно, кроме того, симметрично: если 6=(f,g) — изоморфизм графа G на граф Н, то существует обратный изоморфизм 6"— =(尸，g-i) графа Н на граф G. Наконец, отношение изоморфизма между графами является транзитивным: если 6=(力 g)—— изоморфизм графа G на Я и <р = (fi, gi)—изоморфизм графа Н на К, то существует изоморфизм (р0 =(ЛД ^i^) графа G на граф К. Здесь f\f является отображением, получающимся при последовательном применении отображений f н fi (сначала применяется отображение f, а затем — отображение fi). Аналогично толкуется и запись(р0 ——вначале применяется отображение 0, а потом ——отображение (р. Легко проверяется, что так определенное умножение изоморфизмов обладает свойством ассоциативности.

Итак, отношение изоморфизма между графами является отношением эквивалентности. Следовательно, оно разбивает класс всех графов на непустые и попарно непересекающиеся подклассы, называемые классами изоморфизма или классами изоморфных графов. Два произвольных графа принадлежат одному и

тому же классу изоморфизма тогда и только тогда, когда они изоморфны друг другу.

Чистая теория графов интересуется такими свойствами графов, которые инвариантны относительно изоморфизма (например, числом вершин в графе или числом петель, или числом звеньев, или числом вершин данной валентности). Для специалиста по теории графов естественно отождествлять изоморфные графы. Так как все графы-звенья изоморфны друг другу, он говорит о графе-звене так, как будто существует один граф- звено. Аналогично обстоит дело с нуль-графом, графом-вершиной и графом куба. При использовании такого языка речь на самом деле идет о классах изоморфизма (называемых также абстрактными графами).

Утверждение о том, что все нуль-графы изоморфны, является соглашением, а не теоремой. Его можно обосновать с помощью следующего постулата: для любых двух пустых множеств S н Г существует единственное взаимно однозначное отображение множества S на множество Т. Автор помнит, как его учили, что существует только одно пустое множество. Те, кто придерживается этой мистической доктрины, должны полагать, что существует только один нуль-граф — единственный член соответствующего класса изоморфизма.

При формулировке комбинаторных определений нуль-граф обычно рассматривают отдельно.

Теорема 1.2. Пусть G и Н — простые графы, а / — взаимно однозначное отображение множества P(G) на V(H) обладающее следующим свойством: две различные вершины > и у графа G смежны тогда и только тогда, когда смежны, их образы fx и fy в графе Н. При этих условиях существует однозначно определенное взаимно однозначное отображение g множества E(G) на множество Е(〃)，такое, что (力 g) явля тся изоморфизмом графа G на граф Н.

Доказательство. Пусть 4 — произвольное ребро из G. Оно имеет различные концы х и у, ибо граф G простой. Следовательно, в графе Н существует однозначно определенное ребро Af с концами fx и fy. Таким образом, взаимно однозначное g можно определить формулой gA =Af (для каждого ребра Л графа G). Очевидно, что (f,g) является изоморфизмом графа G на граф Н. Обратно, если отображение g таково, что пара (力 g) есть изоморфизм графа G на граф Я, то g должно удовлетворять соотношению gA =4'. □

При рассмотрении простых графов изоморфизм между ними часто определяют как взаимно однозначное соответствие между множествами их вершин, сохраняющее отношение смежности.

Такое определение изоморфизма можно толковать как следствие теоремы I. 2.

Пусть и——неотрицательное целое число, a G и Н ——некоторые и-клики. Они являются простыми графами. Существует взаимно однозначное отображение f множества 7(G) на множество У (Я), и любое такое отображение сохраняет отношение смежности (в силу определения n-клики). Следовательно, по теореме 1.2 G и Я изоморфны.

Пусть теперь п ——положительное целое число, a G н 〃 ——некоторые n-цепи. Пусть а。, и b°, bi, ..., bn—естественные нумерации вершин в цепях G и Н соответственно. Взаимно однозначное отображение f множества 7(G) на множество У(Я), определяемое соотношениями f® =勿 для / = = 0,1,...,九,очевидно, удовлетворяет условию теоремы 1.2. Следовательно, цепи G п Н изоморфны.

Аналогичные рассуждения позволяют доказать, что если п ——целое число, большее 2, то любые два «-цикла изоморфны. На случай и = 1 и и = 2 этот результат распространяется тривиальным образом. Но так как 1-цикл и 2-цикл не являются простыми графами, то теорема 1.2 для этих графов неприменима. Если G и Н суть 2-циклы (как показано на рис. L l&i)), то всякое взаимно однозначное отображение множества 7(G) на множество V(H) можно «скомбинировать» с любым взаимно однозначным отображением множества E(G) на множество £ (//) и получить изоморфизм графа G на граф Н,

Автоморфизмы графа G образуют группу Л(G), если в качестве групповой операции рассматривать ассоциативное умножение изоморфизмов, определенное выше. Единицей группы 4(G) является тождественный автоморфизм. Обращением автоморфизма 0 в группе Л (G) является обратный изоморфизм 0-1, определенный ранее. Произведение(р0 изоморфизмов 屮 口 8 определялось нами только для случая, когда 0 было «отображением на》некоторый граф G, а 屮一«отображением нз》того же самого графа. Но при рассмотрении автоморфизмов это ограничение всегда выполняется. Группу 4(G) будем называть группой автоморфизмов графа G.

Другие математические структуры имеют свои теории изоморфизма. Так, две группы Р и Q называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение f группы Р на группу Q, такое, что f и /-1 сохраняют групповые произведения. Обратим внимание на следующую теорему.

Теорема 1.3. Изоморфные графы, имеют изоморфные группы автоморфизмов.

Доказательство. Пусть 0 — изоморфизм графа G на граф Н, Тогда, если Е — элемент группы Л (Я), то изоморфизм 8一寺8

есть элемент группы 4(G). Аналогично, если “ принадлежит 4(G), то Q^Q-1 принадлежит Д(Я). Таким образом, имеем взаимно однозначное соответствие “т ^"尸 между группами 4(G) и Л (Я). Оно, очевидно, сохраняет произведения. □

Мы можем теперь утверждать, что группа автоморфизмов графа, рассматриваемая как абстрактная группа, инвариантна относительно изоморфизма графов. Таким образом, ее изучение является законной областью деятельности специалистов по чистой теории графов.

Изучим группы автоморфизмов тех графов, которые были определены выше. Для нуль-графа, графа-вершины и графа- петли существует только тривиальный автоморфизм. Следовательно, группа автоморфизмов каждого из этих графов «тривиальна», т. е. состоит только из единичного элемента.

Рассмотрим теперь n-клику G при 九 > 0. Опираясь на теорему 1.2, заключаем, что всякая перестановка и вершин однозначно определяет соответствующий автоморфизм графа G. Таким образом, группа Л (G) изоморфна группе всех подстановок на множестве из 九 элементов.

Рассмотрим n-цепь G с концамих и у. Пусть а。, а】，...,ал — естественная нумерация ее вершин, а А^ Л2, ..., Ап ——ребер. Предположим, что а()~х и ап = у. Можно указать еще одну естественную нумерацию, называемую обращением первой и получаемую изменением порядка следования вершин и ребер в первоначальных последовательностях на противоположный. Применяя для новой нумерации такие же обозначения, как и для исходной, можем написать: а。= у, а〃 =尤.Из ограничений на валентности вершин цепи вытекает, что естественная последовательность (нумерация) задается однозначно указанием начальной вершины а°. В самом деле, если задана вершина а0, то ребро Л1 находится однозначным образом как ребро, инцидентное вершине а。； затем однозначно определяется вершина а\ как другой конец ребра 力仃 далее, если л > 1, то ребро 4 есть другое ребро, инцидентное вершине s, и т. д. Очевидно, что любой автоморфизм цепи G однозначно задается упорядоченной парой ее естественных нумераций: первый член пары отображается на второй. Отсюда следует, что группа 4(G) имеет в точности два элемента, скажем 7 и 0. Нетривиальный автоморфизм 0 переставляет два конца цепи G; это приводит к изменению нумерации вершин цепи на обратную.

Рассмотрим n-цикл G при и > 1. Возьмем какую-либо естественную нумерацию &厶 &2, &总 и Ль Л2,Лп его вершин и ребер. Очевидно, что существует автоморфизм 0, увеличивающий каждый индекс на 1. (Сложение и вычитание для

индексов рассматривается по модулю п.) Существует также автоморфизм ф, обращающий исходную последовательность вершин и исходную циклическую последовательность ребер. Используя степени автоморфизма 0 и их комбинации с автоморфизмом ф, легко показать, что можно построить естественную нумерацию цикла G, в которой вершина а】 является произвольной заданной вершиной, а ребро Л： — произвольным заданным ребром, инцидентным вершине ai. Но, как следует из ограничений на валентности вершин» всякая естественная нумерация на цикле G однозначно определяется заданием вершины ai и ребра Ль Как и в случае с цепями, можно утверждать, что автоморфизм цикла однозначно задается указанием упорядоченной пары естественных нумераций цикла. Отсюда вытекает, что группа 4(G) содержит ровно 2п элементов, которые можно записать в таком виде:

/, в, в2, ...» е“т, <р, вф, е2<р, ...» з"т<р.

В действительности группа 4(G) является диэдральной группой порядка 2п и ее образующие 6 и ф удовлетворяют определяющим соотношениям 8" = /,(р2 = / и 师匸啖一)

/•3・ Подграфы

Построение теории графов мы можем начать с замечания о том, что одни графы содержат другие. Граф Я, содержащийся в графе G, называется подграфом графа G. Мы будем пользоваться следующим точным определением.

Говорят, что граф Н является подграфом графа G, если

V(H)^V(G), Е(〃)三 E(G)

и каждое ребро графа Н имеет в графе G те же концы, что н в графе Н. При выполнении этих условий мы будем также говорить, что граф Я содержится в G.

Согласно данному определению, граф G является подграфом самого себя. Остальные подграфы графа G называются его собственными подграфами. Можно сказать также, что они строго содержатся в графе G. Запись H^G означает, что Я является подграфом графа G* Если же Н — собственный подграф графа G, то применяют запись 〃и G. Соответствующие обозначения мы используем и для конечных множеств. Так, S 三 Г означает, что 5 есть подмножество множества Г, а запись S и Г указывает на то, что S — собственное подмножество множества Т.

Приведенное выше формальное определение позволяет дать следующее правило построения подграфов.

Правило 1.4. Пусть G — граф, Р — подмножество из У(6) и Q ——подмножество из E(G). Необходимым и достаточным условием для существования в графе G такого подграфа Н, что V (Н) = Р и E(//)=Q, является условие, что концы каждого элемента подмножества Q содержатся в подмножестве Р.

Это условие, очевидно, выполняется, если Р = V(G). При таком Р подграф Н будем называть остовным подграфом графа G. Если у остовного подграфа графа G множество ребер есть 5, то мы будем обозначать его символом G : 5. Остовные подграфы графа G, являющиеся циклами, называются его гамильтоновыми циклами, а те, которые являются однородными одновалентными графами — его 1-факторами. Эти типы остовных подграфов весьма часто встречаются в теоретико-графовой литературе.

Если S — произвольное подмножество ребер графа G, то через /(5) обозначим подмножество всех вершин и графа G, таких, что V инцидентна хотя бы одному ребру из S. Согласно правилу I. 4, существует подграф Н графа G, такой, что V(H) = = J(S) и Е(Н) = S. Назовем подграф Н ограничением графа G на S и будем обозначать его через G・S. Отметим специально, что в подграфе G-S отсутствуют изолированные вершины. В частности, подграф G・E(G) получается из графа G удалением всех изолированных вершин.

Если U — произвольное подмножество вершин графа G, то через J(U) обозначим подмножество всех ребер графа G, оба конца которых принадлежат U. В силу правила 1.4 существует подграф Н графа G, такой, что

P(") = U и £ (Я) = /((/).

Назовем подграф Н порожденным подграфом графа G (или, точнее, подграфом, порожденным множеством U) и будем применять обозначение G [U].

Каждый граф G содержит пустой подграф, который мы будем обозначать символом 0. Этот пустой подграф является одновременно и ограничением графа G, и его порожденным подграфом, но он не является остовным подграфом никакого графа G, кроме нуль-графа.

Пусть Н и К — подграфы графа G, не обязательно различные. В силу правила 1.4 существует подграф L графа G, такой, что

V(L) = V(H)\JV(K) и E(L)=^E(H)\JE(K).

Назовем его объединением подграфов Я и К и будем обозначать через "U К. Согласно правилу I. 4, существует также подграф М графа G, удовлетворяющий условиям

Р(М)= Р(〃)ПР(К) И Е(М) = Е(")ПЕ(К)・

Его мы будем называть пересечением подграфов Я и К и обозначать символом "ПК. Объединения и пересечения подграфов подчиняются по понятным причинам алгебраическим правилам, аналогичным тем, которые справедливы для объединений и пересечений конечных множеств. Например,

("UK)nL = (〃nL)U(KfU)・ (L3.1)

Подграфы Я и К графа G называются непересекающимися, если они не имеют ни общих ребер, ни общих вершин. Условие, что подграфы Н и К непересекающиеся, можно записать так: Н(]К = 0. Аналогичная символическая запись существует и для условия, что граф G не является пустым: 0 и G.

Следующая теорема легко получается из определения подграфа.

Теорема 1.5. Всякий подграф произвольного подграфа графа G является подграфом графа G.

Мы можем пойти и дальше. Любой остовный подграф произвольного остовного подграфа графа G является остовным подграфом графа G; всякое ограничение произвольного ограничения графа G является также ограничением графа G; каждый порожденный подграф порожденного подграфа графа G является порожденным подграфом графа G.

В заключение данного раздела рассмотрим одно понятие, связывающее подграфы двух изоморфных графов. Пусть 6 = =(力 g)—изоморфизм графа G на граф Н.

Если S — некоторое подмножество множества V(G), то / отображает S на подмножество fS множества У(Я), состоящее из всех образов элементов подмножества S при отображении f. Можно обозначать fS через 85. Отображение j・S является ограничением (или сужением) отображения f на множество S, т. е. это взаимно однозначное отображение множества S на fS, согласованное с f на каждом элементе из S (иными словами, образы каждого элемента из S при отображениях f・S и f совпадают). Аналогично, если Т ——подмножество множества E(G), то g отображает Т на подмножество gT из Е(Н). Подмножество gT можно также обозначать через 8Т. Отображение g・T является ограничением отображения g на множество Т. Оно взаимно однозначно отображает Т на gT.

Пусть L — произвольный подграф графа G. Тогда существует подграф U графа Я, такой, что

и E(L) = gE(L)・

Мы можем писать L' = 8L и говорить, что 0 отображает подграф L на подграф U. Таким образом, 0 есть взаимно однозначное соответствие Lf 0L между подграфами графа G и под-

графами графа Н. Кроме того, для каждого подграфа L существует изоморфизм (/• V(L)t g・E(L)) подграфа L на подграф 8L. Этот изоморфизм мы обозначим через 0-L и назовем ограничением изоморфизма 0 на подграф L.

Определим структурное свойство (или структурную характеристику) графа как свойство (характеристику), инвариантное относительно изоморфизмов. Проведенное выше обсуждение показывает, что если Н——фиксированный граф, то число подграфов любого графа G, изоморфных графу Я, является структурной характеристикой графа G. Эта характеристика будет использована нами в гл. V, посвященной проблеме восстановления графов.

/.4. Соединяющие вершины

Подграф соединяется с остальной частью графа в так называемых «соединяющих вершинах》.В настоящем разделе мы дадим формальное определение таких вершин, введем соответствующие обозначения и докажем несколько теорем.

Пусть Н—подграф графа G. Его вершина называется соединяющей вершиной (для Я) 8 графе G, если она инцидентна некоторому ребру графа G, не принадлежащему Н. Множество всех соединяющих вершин для подграфа Н в графе G будем обозначать через W(Gt Н), а их число — через w(G9 Н). Очевидно, что w(Gt G)= w(Gf0)==O.

Нам понадобится несколько утверждений о связи соединяющих вершин для подграфов 〃 и К с соединяющими вершинами для объединения и пересечения этих подграфов. Некоторые простые положения содержатся в следующей теореме.

Теорема 1.6. Пусть Н и К—подграфы графа G. Тогда каждая соединяющая вершина для Н[) К и для "ПК является соединяющей хотя бы для одного из подграфов Я, К. С другой стороны, всякая соединяющая вершина для подграфа Я является соединяющей хотя бы для одного из подграфов "UK, НПК.

Доказательство. Пусть и ——соединяющая вершина для 〃UK・ Тогда у инцидентна некоторому ребру Л из G, не принадлежащему ни Н, ни К. Следовательно, и является соединяющей вершиной для того из подграфов Я и К, которому она принадлежит (может быть, и для обоих).

Далее, пусть г ——соединяющая вершина для "ПК. Как следует из определения, и инцидентна некоторому ребру Л графа G, которое может принадлежать не более чем одному из подграфов Н и К. Значит, V ——соединяющая вершина для того из них, которому не принадлежит ребро 4

Пусть, наконец, и ——соединяющая вершина для подграфа Н или подграфа К, например для Н. Следовательно, она инцидентна некоторому ребру Л графа G, не содержащемуся в Е(//). Если Л не принадлежит и множеству £(К), то вершина и соединяющая для подграфа //UK・ Если же ребро Л принадлежит Е(К), то вершина у принадлежит подграфу Н [)К и является для него соединяющей. □

Пусть Н и К—подграфы графа G; через Q(G;",K) обозначим множество всех вершин % из G, которые содержатся и в W(Gt Я), и в W(G, К), но не принадлежат %Z(G, НЦК)・ Вершины % из множества Q(G;//, К) можно охарактеризовать и иначе: каждая из них инцидентна какому-либо ребру из Н, не принадлежащему подграфу К, а также какому-нибудь ребру из К, не принадлежащему подграфу Я, но не инцидентна ни одному из ребер графа G, не содержащихся ни в //, ни в К. Полагаем

q(G; Н, K) = |Q(G;，，К)|・

В дальнейшем нам понадобится следующая теорема.

Теорема I. 7. Пусть Н 〃 К ―• подграфы графа G. Тогда

w(G, HUK) + 5(G, 〃n«) = @(G, ") + 5(G, К) —令(G; ", K)・

(1.4.1)

Доказательство. Рассмотрим произвольную вершину 尤 из G. Можно предположить, что она принадлежит W(G, Н {] К) или W{G, Я П К), так как в противном случае (в силу теоремы 1.6) она не вносила бы вклад ни в одну из частей соотношения (I. 4.1).

Предположим сначала, что вершина % принадлежит 步(G, "UK)・ Тогда она инцидентна некоторому ребру Л из G, не принадлежащему ни ", ни К. Если % содержится в подграфе Н ] К, то она содержится в каждом из подграфов // и К 口 является соединяющей вершиной для всех четырех подграфов Н, К, "U К и "ПК. Но тогда она не принадлежит множеству Q(G;〃,K), а потому в каждую часть соотношения (I. 4.1) вносит вклад, равный 2. Если % не содержится в подграфе "ПК, то мы можем считат〉без ограничения общности, что она принадлежит //, но не принадлежит К. Тогда она содержится в множестве W(G, Н) и, кроме того, не входит в множество Q(G; Н, К). Значит, ее вклад в каждую часть соотношения (I. 4.1) равен 1.

Осталось рассмотреть случай, когда вершина % принадлежит множеству W {G, Н [\К), но не принадлежит IF(G, "UK)・

В этом случае вершина х содержится (в силу теоремы 1.6) хотя бы в одном из множеств W(Gt Я),取(G, К). Но если она принадлежит обоим этим множествам, то она входит и в множество Q(G; Н, К). Следовательно, ее вклад в каждую из частей соотношения (1.4.1) будет равен 1 (в каждом из трех возможных подслучаев). □

Сформулируем еще одну (очевидную) теорему.

Теорема 1.8. Пусть К — подграф произвольного подграфа Н графа G. Тогда каждая соединяющая вершина для К в подграфе Н является соединяющей для Кив графе G. Кроме того, любая соединяющая вершина для К в графе G является соединяющей либо для К 6 подграфе Я, либо для Н в графе G.

Дальнейшие результаты о соединяющих вершинах можно найти в работе [9].

Пусть Н — подграф графа G. Из правила 1.4 следует, что существует подграф Нс графа G, удовлетворяющий условиям

Е (№) = Е (G) — Е (") и и (〃с) = (У (G) - У (〃)) и ^ (G, Я).

Назовем подграф Яс расширенным дополнением подграфа Н в графе G. Очевидно, что 仆=0 и 0。= G. Рассмотрим еще один пример. Пусть Н — граф-вершина, определяемый вершиной х графа G. Если х — изолированная вершина в G, то подграф Нс получается из графа G удалением этой вершины. А если х не является изолированной вершиной в G, то Нс == G.

Теорема 1.9. Соединяющие вершины для подграфа Яс исчерпываются всеми теми соединяющими вершинами подграфа Н, которые не являются изолированными в Я.

Доказательство. Пусть % — соединяющая вершина для подграфа /Л Она инцидентнг некоторому ребру из Н и, значит, принадлежит Н. Принимав во внимание определение подграфа 〃с, заключаем, что х — соединяющая вершина для Н. Ясно, что она не является изолированной вершиной в Н.

С другой стороны, если % ——соединяющая вершина для Я, то она содержится в подграфе Яс и будет соединяющей вершиной для него тогда и только тогда, когда она не является изолированной вершиной в ". □

Следствие 1.10. Никакая соединяющая вершина для подграфа /Л не является изолированной в нем.

Рассмотрим теперь расширенное дополнение подграфа Яс в графе G, т. е. подграф Ясс. Очевидно, что Е(НСС) = Е(Н) и

丿(〃сс)= {у(G)一 {(丿(G) 一 V (Я)) и 听(G, H)}} u 听(G,歹)= ={(V (G)-取(G, 〃)) - (U (G) - V (〃))} U 听(G, /Г)= = (V(H)-W(G, "))U№(G, /Г).

Из этих соотношений и теоремы I. 9 вытекает

Теорема I. И. Подграф "сс получается из подграфа Я удалением всех соединяющих вершин, являющихся изолированными в Н.

Следствие 1.12. Если ни одна соединяющая вершина для Н не является в нем изолированной, то "^ — н.

Пара {Я, К} подграфов графа G называется комплементарной, если каждый из подграфов " и К является расширенным дополнением другого в графе G. В силу следствий 1.10 и I. 12 комплементарной парой подграфов графа G будет всякая пара вида {Н, Яс}, где подграф Н не имеет соединяющих вершин, которые являлись бы в нем изолированными. В частности, каков бы ни был подграф Н графа G, пара {/7е, Ясс} комплементарна.

Если {//, К}—комплементарная пара подграфов графа G, то в силу теоремы 1.9 W(Gt Н)— W(G, К). Будем называть множество W(G, Я) связывающим множеством комплементарной пары, а число элементов в нем (т. е. w(G, Н))—числом сращивания этой пары. На рис. I. 4.1 и 1.4.2 показаны комплементарные пары подграфов с числами сращивания, равными соответственно 1 и 2.

/• 5. Компоненты и связность

Подграф Н графа G будем называть обособленным в G, если в нем нет вершин, являющихся соединяющими для него в графе G. Таким образом, и сам граф G, и его пустой подграф—обособленные подграфы в G.

Теорема 1.13. Если Н и К — обособленные подграфы, в G, то "UK 〃 "ПК также являются обособленными подграфами

Это утверждение следует из теоремы 1.6.

Теорема 1.14. Если Н — обособленный подграф графа G, то его расширенное дополнение Нс в графе G есть обособленный подграф в G. Кроме того, Яс не пересекается с Н и = н.

Первая часть теоремы 1.14 является следствием теоремы 1.9. Тот факт, что Нс и Н не пересекаются, непосредственно вытекает из определения расширенного дополнения подграфа. Наконец, соотношение ¥，— н получается из теоремы 1.11.

Теорема I. 15. Обособленный подграф обособленного подграфа графа G является обособленным подграфом графа G.

Доказательство следует из теоремы 1.8.

Компонентой графа G называется всякий минимальный непустой обособленный подграф графа G, т. е. непустой обособленный подграф графа G, не содержащий никакого другого непустого обособленного подграфа графа G. Из этого определения и конечности графа G вытекает

Теорема 1.16. Если Н ——непустой обособленный подграф графа G, то существует компонента С графа G, такая, что С^Н.

Теорема 1.17. Разные компоненты графа G не пересекаются.

Доказательство. Пусть Н и К—разные компоненты графа G. Предположим, что их пересечение непусто. Тогда в силу теоремы 1.13 оно будет непустым обособленным подграфом графа G. Принимая во внимание свойство минимальности компонент, получаем Н [\К = Н = К, что противоречит условию теоремы. □

Теорема 1.18. Пусть 尤一произвольное ребро или произвольная вершина графа G. Тогда % принадлежит одной и только одной компоненте графа G.

Доказательство. Ясно, что х принадлежит самому графу G, т. е. непустому обособленному подграфу G графа G. В силу

конечности графа G найдется непустой обособленный подграф И графа G, содержащий % и такой, что никакой его собственный подграф не является непустым обособленным подграфом графа G, содержащим %.

Предположим, что Н не является компонентой графа G. Тогда в нем лежит непустой обособленный подграф К графа G, которому % не принадлежит. Пусть К — пересечение подграфа Н с расширенным дополнением Кс подграфа К в графе G. Тогда К"——собственный подграф в Н, содержащий %. Кроме того, в силу теорем 1.13 и I. 14 К' является обособленным в G. Но это противоречит определению подграфа Н.

Мы установили, что х принадлежит некоторой компоненте Н графа G. Согласно теореме 1.17, другой компоненте графа G % принадлежать не может. □

Теорема 1.19. Пусть % ——изолированная вершина графа G. Тогда соответствующий ей граф-вершина является компонентой графа G.

Для доказательства достаточно заметить, что граф-вершина есть обособленный непустой подграф графа G и что он не имеет непустых собственных подграфов.

Число компонент графа G обозначим через po(G); в терминологии алгебраической топологии это есть «число Бетти размерности нуль графа G》.

Если G — нуль-граф, то po(G) = O, так как компоненты являются непустыми подграфами. Если G ——непустой граф, то в силу теоремы I. 18 p()(G)>0. Если po(G)= 1, то G называется связным графом; если же po(G) > 1, то G называют несвязным графом.

Из этих определений следует, что только нуль-граф не является ни связным, ни несвязным.

Теорема 1.20. Если граф G не имеет ребер, то po(G) = = |U(G)|.

Это утверждение вытекает из теорем I. 17 и I. 19.

Число po(G) относится к структурным свойствам графа G. Это вытекает из замечаний об изоморфизме, приведенных в конце разд. I. 3, и того факта, что, каков бы ни был подграф £ графа G, изоморфизм 0 отображает множество W(G, L) на W(H, 0L). В действительности большинство из свойств графов, рассматриваемых в этой книге, являются структурными и допускают определение с использованием лишь отношения инцидентности. Нам нет надобности затрагивать «структурность» основательнее. Достаточно указать при случае свойство, которое не является структурным.

Приведем несколько примеров связных графов. Любая непустая клика является связным графом, ибо из определения клики следует, что в ней не существует непустого собственного подграфа, который был бы обособленным.

Рассмотрим n-цепь G. Пусть а®@1， ■. •, ап — некоторая естественная нумерация ее вершин. Предположим, что С ——компонента графа G, содержащая вершину а。. (Существование такой компоненты вытекает из теоремы I. 18.) Если в G имеются вершины, не принадлежащие С, то пусть а, — одна из них (с наименьшим возможным индексом). Но тогда вершина а—, инцидентная ребру Л/, является соединяющей вершиной для С в G, что невозможно. Значит, С содержит все вершины цепи G, а потому p0(G)= 1 (в силу теоремы I. 17).

Рассмотрим теперь n-цикл. Предположим, что &卜 а?，-. ...,ап — некоторая естественная нумерация его вершин. Пусть С — компонента, содержащая вершину аь Далее можно применить рассуждения, аналогичные проведенным в случае и-цепи.

Итак, каждая цепь и каждый цикл являются связными графами.

Установим несколько общих теорем о связных графах и подграфах.

Теорема 1.21. Граф G связен тогда и только тогда, когда он непуст и не содержит непустых собственных обособленных подграфов.

Доказательство. Если в G есть обособленный непустой собственный подграф, то G имеет хотя бы две компоненты (в силу теорем 1.16 и 1.18). Проверим достаточность: граф G является минимальным непустым обособленным подграфом самого себя, т. е. представляет собой компоненту; единственность ее вытекает из теоремы 1.17. □

Теорема 1.22. Каждая компонента графа G является связным графом.

Доказательство. Пусть С — компонента графа G. По теореме I. 18 в ней существует некоторая компонента D, которая (см. теорему 1.15) должна быть обособленным подграфом графа G. Ио тогда Д = С и р“С)= 1 в силу минимальности компоненты С. □

Теорема 1.23. Пусть Н — подграф графа G. Тогда Н является компонентой графа G в том 〃 только том случае, если он одновременно и обособлен в G, и связен.

Доказательство, Если подграф Н является компонентой в G, то утверждение очевидно (см. теорему 1.22). Обратно,

если подграф Н является одновременно и обособленным в G, и связным, то он ——минимальный непустой обособленный подграф графа G в силу теорем 1.8 и 1.21. (Из теоремы 1.8 выводим, что подграф Н обособлен в самом себе, так как он обособлен в G.) □

Теорема 1.24. Пусть Н ——связный подграф графа G. Тогда существует единственная компонента С графа G, такая, что Н^С.

Доказательство. Пусть х —вершина подграфа Н. По теореме I. 18 существует компонента С графа G, содержащая х. Пересечение С П Н, очевидно, непусто.

Предположим, что С Г) 〃 一 собственный подграф в ". В силу теоремы 1.21 Cf]Я не является обособленным в Н. Значит, найдется вершина и в С f] Н, инцидентная некоторому ребру Л из Я, не принадлежащему С. Но тогда и ——соединяющая вершина для С в G, что невозможно.

Таким образом, С(]Н совпадает с ", а потому "三 С □

Теорема 1.25. Пусть связные подграфы Н и К графа G имеют непустое пересечение. Тогда подграф "UK связен.

Доказательство. В силу теоремы 1.24 подграфы Я и К содержатся в компонентах С и D соответственно подграфа 〃UK・ Используя теорему 1.17, заключаем, что С = D. Следонательно, с = 〃икнт(”ик)= 1. □

В заключение данного раздела рассмотрим две характери- зационные георемы.

Теорема 1.26. Граф G является цепью тогда и только тогда, когда он связен и две вершины у него одновалентные, а осталь- ные, если они есть, двухвалентные.

Доказательство. Предположим, что G — цепь. Тогда (как мы видели выше в данном разделе) G — связный граф, и (см. разд. I. 1) он имеет только вершины указанного типа.

Обратно, пусть G ——граф, удовлетворяющий трем перечисленным в теореме условиям. Обозначим одну из одновалентных вершин через а。. Пусть А\ — то единственное ребро в G, которое инцидентно вершине а0. Обозначим другой конец ребра 4 через s и рассмотрим второе ребро (ребро А2)г инцидентное вершине а】 (если оно есть); затем берем второй конец ребра 小一вершину а2, и т.氏 Очевидно, что при описанном процессе ни одно ребро не может повториться до тех пор, пока не повторится какая-нибудь вершина, а повторение вершины означало бы, что ее можно «повторить» и еще раз. Но тогда мы приходим к противоречию с ограничениями на валентности

вершин. Таким образом, последовательность вершин повторений иметь не будет, а значит, она «оборвется» на каком-то конечном шаге, причем на одновалентной вершине (скажем, ап). Построенные последовательности а。, а】,...,ап и Ль Аз, • •., Ап являются, очевидно, естественными нумерациями вершин и ребер некоторой n-цепи L, представляющей собой подграф графа G. Но цепь 厶 есть обособленный подграф графа G, так как валентность каждой ее вершины, рассматриваемая в L, совпадает с валентностью этой вершины в самом графе G. Следовательно, G = L (по теореме 1.21). □

Теорема 1.27. Граф G является циклом тогда и только тогда, когда он ——связный однородный граф валентности 2.

Доказательство. Предположим сначала, что G является циклом. Как мы видели выше в данном разделе, G есть связный граф, а из разд. I. 1 следует, что G ——однородный граф валентности 2.

Обратно, пусть G — связный однородный граф валентности 2. Возьмем какую-нибудь его вершину и обозначим ее через оц. Пусть 4 — некоторое ребро, инцидентное а】. Обозначим другой конец ребра 4 через а2 и рассмотрим второе ребро (ребро 4), инцидентное вершине 方；затем обозначим через 〃з второй конец ребра А2 и т. д. до тех пор, пока не повторится некоторое ребро или некоторая вершина. Очевидно, что первое повторение случится для вершины, и в силу ограничений на валентности вершин должно получиться ап^\ = ai (если 厶1 ——петля, то 九= 1). Очевидно, что последовательности &卜 &2,..・,&" н Дь А2,...,厶门 являются естественными нумерациями некоторого п-цикла /, содержащегося в G. Цикл / ——обособленный подграф графа G, так как валентности его вершин в нем и в самом графе G совпадают. Следовательно, на основании теоремы 1.21 G =丄□

16 Удаление ребра

В этом разделе мы займемся исследованием операции удаления ребра Л из графа G, в результате применения которой получается остовыый подграф G :^E{G) — {А}), обозначаемый также более простым символом Ga・ Излагаемая теория базируется на следующем утверждении.

Предложение 1.28. Пусть А ——ребро графа G и С ——компо* нента графа G, содержащая ребро Л. ToaGa компонентами подграфа Од являются & се компоненты графа G, отличные от С, а также компоненты подграфа Сд. Кроме того, каждая кояшо・ нента подграфа Сд содержит хотя бы один из концов ребра А.

Доказательством очевидно, что компоненты графа G, отличные от С, и компоненты подграфа Сд являются обособленными подграфами в бд, содержащими в совокупности все вершины подграфа бд. Следовательно, в силу теорем 1.23 и 1.7 все они ——компоненты подграфа бд. Кроме того, если бы в подграфе Сд имелась ком понента D, не содержащая конца ребра Д, то она была бы обособленным подграфом графа G. А это противоречит минимальности С. □

Имеются две возможности: либо в Сд ровно две компоненты и каждая из них содержит по одному концу ребра А, либо Сд — связный подграф. В первом случае ребро А будем называть перешейком графа G, а компоненты подграфа Сд — торце- выми графами ребра Л в графе G.

Из предложения “.28 непосредственно вытекает

Теорема 1.29. Пусть А — ребро графа G. Если оно не является перешейком зтоао графа, то Pq(G^ = P0(G)« Если же А — перешеек графа G, то 冲(GQ = %(G)工 L

Единственное ребро графа-звена является в нем перешейком. Далее можно убедиться и в том, что в любой цепи каждое ребро является в ней перешейком. Обратим внимание также на следующее утверждение.

Теорема 1.30. Пусть х — одновалентная вершина графа G и А ——инцидентное ей ребро. Пусть, далее, С ——компонента графа G, содержащая х и А, Тогда А является перешейком графа G и один из торцевых графов ребра Л есть граф-вершина X, определяемый вершиной х. Другой торцевой граф ребра А получается из С удалением х и А,

Доказательство. В силу теоремы 1.19 X есть компонента подграфа Сд. Так /сак х ——одновалентная вершина, то ребро А является звеном и его второй конец у не принадлежит X. Следовательно, Л — перешеек графа G и X — один из торцевых графов ребра Л. Второй торцевой граф ребра Л должен быть расширенным дополнением подграфа X в Сд. 口

Теорема 1.31. Цикл не имеет перешейков.

Доказательство. Это утверждение можно непосредственно вывести из определений цепи и цикла. Очевидно, что, удаляя из цикла ребро, мы получаем либо граф-вершину, либо цепь» т. е. в обоих случаях — связный граф.

В другом доказательстве используется теорема 1.1. Предположим, что ребро Л есть перешеек цикла С. Пусть 〃 —ка*

кой-либо торцевой граф ребра 4 в цикле С и х —тот (единственный) конец ребра Л, который принадлежит Н. Далее, так как в С каждая вершина двухвалентна, то в Н вершина % имеет валентность 1, а любая другая вершина — валентность 2. Но в силу теоремы 1.1 это невозможно. □

Всякий перешеек, как следует из определения, является обязательно звеном. Для перешейков справедлива следующая теорема о наследственности.

Теорема 1.32. Если А ——перешеек графа G и Я — подграф графа G, содержащий ребро Л, то А — перешеек и в Н.

Доказательство. Предположим, что ребро Л не является перешейком в Н. Тогда оба его конца лежат в одной и той же компоненте D подграфа Ял. Но D — связный подграф в бд и, значит, содержится в некоторой компоненте С подграфа бд (см. теорему 1.24). Следовательно, оба конца ребра А принадлежат одной и той же компоненте подграфа бд. Это противоречит тому, что 力一перешеек в G. □

Граф, в котором каждое ребро является перешейком, называется лесом. Связный лес называется деревом. Таким образом, в силу теоремы I. 32 каждая компонента леса есть дерево. Заметим, что нуль-граф является лесом, но не деревом; он представляет собой лес, не содержащий деревьев. Следующая теорема является более общим приложением теоремы I. 32:

Теорема 1.33. Всякий подграф леса является лесом.

Цикломатическое число графа G обозначается через Pi(G) и определяется с помощью следующего соотношения:

A (G) = |E(G)|-|V(G)| + po(G). (L6.1)

Это число называют также числом Бетти размерности 1.

Теорема L 34. Пусть Л — ребро графа G. Если оно является перешейком в G, то р, (6】)=р〔 (G), а если не является^ то Pl(G^) = P1(G)-l.

(Утверждение следует из соотношения (L 6.1) и теоремы 1.29.)

Теорема 1.35. Цикломатическое число графа G неотрицательно. Оно равно нулю тогда и только тогда, когда G ——лес.

Доказательство. Предположим сначала, что в G нет ребер. Тогда pi(G) = 0 (в силу соотношения (1.6.1) и теоремы 1.20). Очевидно, что 《безреберный》 граф является лесом.

Далее предположим, что граф О есть лес и в нем содержится хотя бы одно ребро. Удаляем из G ребра до тех пор, пока не получим безреберного графа Н. При удалении каждого ребра цикломатическое число не меняется (см. теоремы I. 32 и I- 34). Следовательно, px{G) = р}(Н)~0.

Наконец, рассмотрим случай, когда граф G не является лесом. Тогда в G содержится ребро %, не являющееся пере* шейком. Удаляя его из G, мы уменьшим цикломатическое число на 1 (см. теорему I. 34). Если результирующий граф не будет лесом, то процесс удаления ребра повторяем. После не・ скольких таких шагов (обозначим их число через п) мы полу* чаем лес F. Очевидно, что и — положительное число, и мы имеем pi(G) = n + p{(F) = n > 0. □

Остовным деревом (или остовом) графа G называется всякий остовный подграф графа G, являющийся деревом. Об остов- ннх деревьях мы много будем говорить в последующих главах, здесь же докажем только одну теорему о них.

Теорема 1.36. Граф G имеет остов тогда и только тогда, когда он связен.

Доказательство. Связность графа G, в котором есть остов, вытекает из теоремы 1.24. Обратно, пусть G ——связный граф. Будем по одному удалять из него ребра, не являющиеся перешейками, до тех пор, пока это возможно. Получим остовный подграф Н графа G, который к тому же будет лесом и (в силу теоремы 1.29) связным графом. Значит, Н — остов графа G. □

Примерами деревьев являются граф-вершина и граф-звено. Ранее мы убедились в том, что каждое ребро цепи есть перешеек. Поэтому (в силу теоремы 1,26) мы можем утверждать, что каждая цепь является деревом.

Укажем теперь два довольно очевидных свойства деревьев.

Теорема 1.37. Если Т — дерево, то | 卩(7) | = |Е(Т) |+L

Доказательство, Имеем ро(Т)= 1. По теореме I. 35 р{(Т) = =0. Остается применить соотношение (1.6.1). □

Теорема 1,38. Пусть Л — ребро дерева Т. Тогда торцевые графы ребра 4 в дереве Т являются деревьями.

Утверждение следует из теоремы I. 33.

Из теоремы I. 37 вытекает, что среди деревьев только граф- вершина не содержит ребер и имеет единственную вершину. Он является также (в силу теоремы 1.19) единственным деревом, содержащим изолированную вершину.

Дальнейшие свойства деревьев можно вывести из некоторой модификации соотношения (I. 1.1). Вычитая из обеих частей формулы (1.1.1) величину 2\V(G) | и используя соотношение (1.6.1), получаем такой результат:

Теорема 1.39. Если G ——произвольный граф, то

£ (val(G, x) — 2) = 2(Pi(G) —Po(G)). (1.6.2)

Теорема 1.40. Если T — произвольное дерево, отличное от графа-вершины, то в нем содержится не менее двух одновалентных вершин. Если дерево Т имеет ровно две одновалентные вершины, то оно является цепью.

Доказательство. Если граф Т ——дерево, то для него правая часть соотношения (1.6.2) равна ——2. Так как у Г нет изолированных вершин, то из (1.6.2) вытекает, что в нем содержатся хотя бы две одновалентные вершины, а если их в точности две, то каждая другая вершина двухвалентна. Остается применить теорему 1.26. □

Следующая теорема легко выводится непосредственно из определения цепи. Однако мы докажем ее, чтобы поупражняться, с помощью теоремы 1.39.

Теорема 1.41, Всякая цепь является деревом. Пусть А — ребро цепи L и концами этого ребра являются вершины х и у. Пусть Н—торцевой граф ребра Л в цепи L, содержащий %. Если 尤一конец цепи L, то Я — граф-вершина, определяемый %; 8 противном случае Н является цепью, один конец которой совпадает с х, а другой — с концом цепи L.

Доказательство. Если граф L ——цепь, то для него левая часть формулы (1.6.2) обращается {в —2 и, кроме того, по теореме 1.26 po(L)=L Значит, р\(L) = 0 (см. соотношение (1.6.2)) и в силу теоремы 1.35 L является лесом. Учитывая связность цепи L, заключаем, что она является деревом.

Если % ——конец цепи Л, то достаточно воспользоваться теоремой 1.30. В противном случае % ——одновалентная вершина графа Я, а любая другая его вершина имеет в Н такую же валентность, как и в графе L. Но Я является деревом (см. теорему 1.38); поэтому (на основании теоремы 1.40) в нем есть еще хотя бы одна одновалентная вершина. Такая вершина может быть только концом цепи L. Граф Н может содержать лишь один конец цепи Л; другой конец цепи должен принадлежать второму торцевому графу ребра 4 (в силу сображе- ний, аналогичных высказанным). Следовательно, Н есть де-

рево, имеющее в точности две одновалентные вершины. Остается применить теорему 1.40. □

Следствие 1.42. Если А — ребро цепи L, то два конца цепи L принадлежат разным торцевым графам ребра Л в цепи L.

В заключение данного раздела приведем несколько теорем, относящихся к таким ситуациям, когда цепи и циклы выступают в роли подграфов.

Теорема 1.43, Пусть х и у — разные вершины графа G. Для того чтобы некоторый подграф графа G был цепью с концами х и у, необходимо и достаточно, чтобы х и у принадлежали одной и той 眦？ компоненте С графа G. Эта цепь тогда является подграфом графа С

Доказательство. Предположим сначала, что такая цепь £ существует. На основании теорем 1.24 и 1.26 она содержится в некоторой компоненте С графа G, и обе вершины х и у принадлежат С.

Обратно, пусть 力 н у лежат в одной и той же компоненте С графа G. По теореме 1.36 в С имеется остовное дерево. Следовательно, мы вправе утверждать, что в С существует подграф Т, являющийся деревом и содержащий вершины х и уг Можно считать, что Т — подграф с наименьшим числом ребер, удовлетворяющий этим условиям (требование минимальности). Предположим, что в Т есть одновалентная вершина z, отличная от х и у. Пусть А — ребро в Т, инцидентное z. Тогда один из торцевых графов ребра Л в дереве Т является деревом, содержащим обе вершины 尤 н у (в силу теорем 1.30 и 1.38). Но это противоречит требованию минимальности дерева Г Далее, применяя теорему 1.40, заключаем, что Т есть цепь с одновалентными вершинами х и у. □

Теорема 1.44. Пусть х и у — разные вершины дерева Г. Тогда в нем содержится в точности одна цепь с концами х и у.

Доказательство. Существование одной такой цепи следует из теоремы 1.43. Предположим, что найдутся две такие цепи L\ и 七2・ Без ограничения общности можно считать, что в цепи 厶 есть ребро Л, не принадлежащее цепи 厶.Пусть концами Л являются вершины и и и. Мы можем выбрать обозначения так, чтобы один торцевой граф ребра Л в цепи 厶(пусть это будет граф 〃)содержал вершины 况 н %, а другой (граф К) — вершины у и у (см. следствие 1.42). Может случиться, что 〃 = % или и = у. В силу теоремы 1.24 существуют компоненты В, С и D подграфа Т& содержащие соответственно графы Я, К и 厶.Но тогда по теореме 1.17 получаем, что В = D — С. Зна-

чит, ребро Л не является перешейком графа Г. Это, однако, невозможно. □

Теорема 1.45. Пусть Л ——ребро графа G. Для того чтобы некоторый подграф графа G имел цикл, содержащий ребро Л, необходимо и достаточно^ чтобы ребро Л не было перешейком в графе G.

Доказательство. Предположим, что граф G содержит цикл К, которому принадлежит ребро А. Если Л — перешеек в G, то в силу теоремы I. 32 он является перешейком и в К. Значит, Л (по теореме 1.31) не может быть перешейком в G.

Обратно, пусть ребро А не является перешейком графа G, т. е. два его конца 尤 и у лежат в одной и той же компоненте С подграфа G；. Если х = у, то ребро Л определяет в графе G 1-цикл, и теорема (для этого случая) установлена. Если же х =/= у, то в подграфе G< существует цепь L с концами х и у (см. теорему I. 43). Добавляя к цепи L ребро Л, мы получим (в силу теоремы 1.25) связный подграф К графа G, содержащий ребро А и являющийся однородным графом валентности 2. Следовательно, на основании теоремы 1.27 К есть цикл. □

Основываясь на теореме 1.45, мы можем охарактеризовать лес как граф без циклов, а дерево—как связный граф без циклов. Исходя из теорем 1.34 и 1.35, мы можем толковать цикломатическое число графа G, т. е. величину pi(G), как наименьшее число ребер, удаление которых из графа G разрывает в нем каждый цикл.

/. 7. Перечни неизоморфных связных графов

Процедура присоединения отростка к графу Н состоит в добавлении одной новой вершины и и одного нового звена Л, соединяющего V с некоторой вершиной х из Н. Если G ——граф, полученный после выполнения описанной операции, то отросток является, очевидно, графом-звеном G• {Л}, и мы поэтому будем говорить, что отросток присоединяется к Н в вершине х (или к вершине х графа Н).

Если Н——связный граф, то и граф G будет связным (см. теорему 1.25). Каков бы ни был граф /Д всегда p0(G) = ро(Н) (в силу предложения 1.28 и теоремы I. 30), а значит, 〃(&) = = pi(方)согласно соотношению (1.6.1). Отсюда следует, что если граф Н является деревом, то деревом будет также граф G. С другой стороны, если Т ——дерево, отличное от графа-вершины, то у него имеется одновалентная вершина (в силу теоремы I. 40), и, следовательно, на основании теорем I. 30 и 1.38

дерево Т может быть построено из некоторого меньшего дерева присоединением отростка к подходящей вершине.

Очевидно, что, присоединяя отросток к заданной вершине х данного графа G, мы получим только один, с точностью до изоморфизма, новый граф.

Применим высказанные положения для построения полного перечня Ln попарно неизоморфных деревьев с л ребрами. Начинаем с Ло и строим последовательно Lb £2， L3 и т. д. Очевидно, что в Lo входит только граф-вершина. При п > 0 в перечень Ln войдут следующие графы: сначала к каждой вершине каждого графа из перечня Ln-\ присоединяем отросток, затем полученную совокупность графов «очищаем» от повторений (оставляя из изоморфных графов только один). Легко видеть, что наиболее трудоемкой частью этого процесса является распознавание изоморфных графов. Описанную процедуру можно несколько упростить, учитывая следующее обстоятельство: если в графе S из перечня Li какие-либо две вершины эквивалентны относительно некоторого автоморфизма этого графа, то операцию присоединения отростка достаточно применять лишь к одной из них.

Существует всего один способ присоединения отростка к графу-вершине. Следовательно, в перечне Li только один элемент—это граф-звено. Так как граф-звено имеет автоморфизм, переставляющий его концы, то при построении достаточно применить операцию присоединения отростка лишь для одного конца. Значит, в перечне 厶 только один граф — это 2-цепь. К 2-цепи отросток можно присоединить либо в концевой вершине, либо во внутренней. Следовательно, в перечне Л3 содержатся два графа; они показаны на рис. 1.7.1. Первый из них — 3-цепь, второй называется 3-звездой. Граф называется п-звез- дой (где п — целое неотрицательное число), если он имеет п 4- 1 вершин а0, а\, .... ап п ребер 4卜 А2, .. Ап п концами каждого ребра А/ являются вершины а。и а〃 Очевидно, что для каждого фиксированного и все n-звезды являются изоморфными графами. Граф-вершина есть 0-звезда, граф-звено — 1-звезда и 2-цепь — 2-звезда.

Из перечня 厶 можно получить перечень 0, изображенный на рис. 1.7.2. В него входят 4-цепь, 4-звезда и еще одно дерево, которое можно построить, присоединяя отросток либо к внутренней вершине 3-цепи, либо к одновалентной вершине 3-звезды. Для каждого перечня Ln следует выяснять, нет ли в нем изоморфных графов. Для L4 это делается легко, ибо у содержащихся в нем трех графов максимальные валентности вершин разные.

Следующий шаг приводит нас к перечню L5, показанному на рис. 1.7.3. Выявлять изоморфные графы с каждым шагом

Рис. 1.7.1. Перечень L3-Рис. 1.7.1. Перечень L3-Рис. I. 7.3. Перечень &.Рис. I. 7.3. Перечень &.

Рис. 1.7.1. Перечень L3-

Рис. 1.7.1. Перечень L3-

Рис. I. 7.3. Перечень &.

Рис. I. 7.3. Перечень &.

становится труднее. В перечне L5 два графа имеют по четыре одновалентных вершины. Но эти графы не изоморфны, ибо в одном из них есть четырехвалентная вершина, а в другом такой вершины нет. В этом перечне содержатся, кроме того, два графа, имеющие по три одновалентные вершины, по две двухвалентные и по одной трехвалентной. Эти графы также не изоморфны, потому что в одном из них есть вершина, смежная с двумя одновалентными вершинами, а в другом такой вершины нет.

—о

Рис. 1.7.4. Перечень М»

△ е

Рис. 1.7.5. Перечень Мз・

Обозначим через Мп полный перечень попарно неизоморфных не имеющих петель связных графов с п ребрами. Ясно, что Ln содержится в М小 Всякий граф из перечня Мп, не принадлежащий перечню £л> имеет некоторое ребро Л, не являющееся перешейком. Значит, такой граф можно построить из некоторого графа Н, входящего в перечень М^—ь путем присоединения звена, т. е. соединяя новым ребром Л какие-то две различные вершины графа Н. Очевидно, что, соединяя ребром в заданном графе две заданные вершины, мы получим только один, с точностью до изоморфизма, новый граф. С другой стороны, если граф построен из некоторого графа, принадлежащего перечню М%т, с помощью операции присоединения звена, то этот (новый) граф является в силу теоремы 1.25 связным графом без петель, содержащим л ребер.

Легко видеть, что перечень MQ состоит лишь из графа-вершины. Так как у этого графа нет двух различных вершин, которые можно было бы соединить новым звеном, то М = £：. Далее, мы можем соединить два конца графа-звена новым ребром, а поэтому перечень М2 содержит два графа — 2-цепь и 2-цикл (см. рис. 1.7.4).

Из 2-цепи с помощью операции присоединения звена можно построить два графа, входящих в перечень Мз・ Один из них — 3-цикл. Еще один граф, называемый 3-звенником9 получается присоединением звена к 2-циклу. Граф называется п-звенникому где л — целое положительное число, если он содержит две вершины и п звеньев, соединяющих эти вершины. Таким образом, 1-звенник — это граф-звено, а 2-звенник — 2-цикл. Для каждого фиксированного л все л-звенники изоморфны.

Через Nr обозначим полный перечень попарно неизоморфных связных графов с л ребрами (с петлями и без петель).

Рис. I. 7.6. Перечень М《.Рис. I. 7.6. Перечень М《.Рис. I. 7.7. Перечень М・Рис. I. 7.7. Перечень М・Рис. I. 7.8. Перечень 雁Рис. I. 7.8. Перечень 雁

Рис. I. 7.6. Перечень М《.

Рис. I. 7.6. Перечень М《.

Рис. I. 7.7. Перечень М・

Рис. I. 7.7. Перечень М・

Рис. I. 7.8. Перечень 雁

Рис. I. 7.8. Перечень 雁

При построении этих перечней можно пользоваться следующим правилом: всякий граф из Nni не принадлежащий перечню Мл, получается из подходящего графа перечня Nn^ с помощью операции присоединения новой петли к некоторой вершине. Присоединяя петлю к графу-вершине, получаем граф-петлю. Значит, перечень М состоит из двух графов — графа-звена и графа-петли (см. рис. I. 7.7).

Перечень №, показанный на рис. 1.7.8, получается из М2 добавлением графов, строящихся из элементов перечня ^l с помощью операции присоединения петли к вершине. Следующий шаг дает нам перечень №, изображенный на рис. 1.7.9.

Эти перечни приводят нас к ряду важных перечислительных задач теории графов. Сколько существует деревьев с и ребрами? Сколько графов в перечнях Мп и N^ Такие задачи рассматриваются в рамках общей теории перечисления, связан-

CO

ной с именем Д. Пойа. Однако это направление теории графов, как и многие другие ее направления, в нашей книге не затрагиваются. Интересующихся такими вопросами мы отсылаем к работе [8].

丄 8. Мосты

Здесь мы займемся обобщением теории обособленных подграфов, представленной в разд. 1.5. Рассмотрим некоторый граф G и какой-либо его фиксированный подграф 丄 Подграф Н графа G назовем J-обособленным в G, если все соединяющие вершины подграфа Н принадлежат подграфу J. Таким образом, если / ——пустой подграф графа G, то / обособленные подграфы—это просто обособленные подграфы графа G. Наше первое утверждение обобщает теоремы I. 13 и I. 14.

Теорема 1.46. Объединение и пересечение любых двух J-обособленных подграфов графа G являются J-обособленными подграфами. Расширенное дополнение J-обособленного подграфа G является J-обособленным подграфом.

Это утверждение вытекает из теорем I. 6 и 1.9.

Мостом относительно подграфа 7 в графе G (или, короче, J-мостом в G) называется подграф В графа G, удовлетворяющий следующим трем условиям:

В не является подграфом подграфа /,

В есть J-обособленный подграф в G,

не существует собственного подграфа в В, удовлетворяющего условиям (i) и (ii).

Условие (iii) можно сформулировать иначе: подграф В является минимальным подграфом графа G, обладающим свойствами (i) и (ii). Из условия (i) следует, что В ——непустой подграф. Понятие моста обобщает понятие компоненты. В самом деле, если J ——пустой подграф графа G, то всякий J-мост в графе G является компонентой этого графа. Мосты относительно J в работе [9] называются «компонентами по модулю /》.

Теорема 1.47. Мост В относительно подграфа J в графе G «е имеет ребер, принадлежащих подграфу J.

Доказательство. Предположим, что Л — ребро из В, содержащееся в J. Тогда подграф 8； удовлетворяет условиям (i) и (ii), что противоречит свойству минимальности моста В. □

Георема 1.48. Пусть В есть J-мост в графе G. Если вершина х принадлежит одновременно В и J, то она инцидентна хотя бы одному ребру из В.

Доказательство. Если х — вершина, изолированная в В, то пусть Bi — подграф графа G, порожденный множеством вершин подграфа В, за исключением вершины х. Тогда Bi удовлетворяет условиям (i) и (ii), что противоречит свойству минимальности моста В. □

Вершина, общая для В и J, не обязана быть соединяющей вершиной для В. Но если она не является соединяющей для В, то в силу теоремы 1.47 она — изолированная вершина в /.

Рассмотрим произвольный J-мост В в графе G. Вершины, общие для Ви/, будем называть наружными вершинами моста В. Всякое ребро моста В, инцидентное некоторой наружной вершине х этого моста, назовем J-пограничным к х. Если такое ребро инцидентно еще какой-либо вершине 协 принадлежащей В, но не содержащейся в /, то мы будем называть его J-пограничным из у к х. Из правила I. 4 следует, что в В существует подграф N，B), получаемый после удаления из В всех наружных вершин и J-пограничных ребер. Этот подграф назовем ядром моста В.

Теорема 1.49. Если Л ——ребро графа G, не принадлежащее J, оба конца которого содержатся в J, то подграф G- {А} (являющийся графом-звеном или графом-петлей) будет J-mo- стом в G.

Утверждение непосредственно вытекает из рассмотрения условий (i) — (iii).

Мосты указанного в теореме 1.49 вида называются вырож- денными. Очевидно, что вырожденный мост имеет пустое ядро.

Теорема 1.50. Пусть С — компонента порожденного подграфа G[V(G)—V(J)] графа G. Пусть подграф В графа G получается из С добавлением всех звеньев из G, у которых один конец принадлежит С, а другой принадлежит J (добавляется и конец звена, содержащийся в J). Тогда В ——невырожденный J-мост графа G и С является его ядром.

Доказательство. Выполнение условий (i) и (ii) вытекает непосредственно из определения подграфа Я. Предположим, что В не является Z-мостом в G. Тогда он не будет удовлетво* рять условию (iii), а значит, в нем найдется собственный под- граф ", обладающий свойствами (i) и (ii). В силу условия (i) подграф Н(]С непустой. Кроме того, Н[\С есть собственный подграф графа С, ибо в противном случае подграф Н содержал бы каждое ребро и каждую вершину подграфа В.

Применяя теорему 1.21 к С, заключаем, что найдется вершина х подграфа Н (] Сt инцидентная некоторому ребру Л из С, не принадлежащему подграфу Н. Но тогда х — соединяющая вершина для Я, не содержащаяся в J. Это противоречит определению подграфа Н. Таким образом, В является /-мостом в G. Из построения В видно, что это невырожденный Мост и что С — его ядро. □

Теорема 1.51. Пересечение любых двух различных J-мостов графа G содержится в J. Мосты относительно / 8 графе G могут иметь только такое строение, которое указано в теоремах 1.49 и I. 50. Всякое ребро графа О, не принадлежащее 7, или всякая вершина графа G, не принадлежащая /, содержится ровно в одном J-мосте графа G.

Доказательство. Предположим, что Н и К — различные J-мосты в G и что подграф //Q К не содержится в /. Тогда, согласно теореме 1.46 и свойству минимальности подграфов Н нК, Н = Н(]К = К. Мы пришли к противоречию.

Для завершения доказательства достаточно лишь заметить, что множество всех мостов, описанных в теоремах I. 49 и 1.50, содержит в совокупности все ребра и все вершины графа G, не принадлежащие J. □

Из теоремы 1.25 вытекает

Следствие 1.52. Каждый J-мост в графе G является связным подграфом.

4 Зак. 878

На рис. 1.8.1 изображены мосты в графе G относительно цикла j, причем J-пограничные ребра мостов показаны пунктиром. Мосты Bi и В2 вырожденные, остальные три моста &, & и & невырожденные.

Две следующие теоремы теперь довольно очевидны. Однако они удобны для приложений.

Теорема 1.53. Пусть Н — произвольный связный подграф графа G, не пересекающийся с подграфом 丄 Тогда Н содер^ жится в ядре некоторого невырожденного 1-моста В графа G.

Утверждение вытекает из теорем 1.24 и 1.50.

Теорема 1.54. Пусть В — невырожденный J-мост в графе G 况 S ——произвольное множество наружных вершин моста В. Пусть, далее, Н — подграф графа G, получаемый из ядра N(В) добавлением всех вершин, принадлежащих S, и таких ребер из В, которые являются J-пограничными к вершинам множества S. Тогда 〃一 связный подграф.

Здесь, возможно, следует заметить, что ядро ^(B) есть связный подграф (в силу теорем I. 50 и 1.51). Тем самым теорема будет обоснована для случая пустого множества S. Пусть, далее, S непусто. Тогда в силу теоремы L 48 и того факта, что В не содержит вырожденных мостов (см. теорему 1.51), каждая вершина из множества S инцидентна одному из добавленных ребер. Остается применить теорему 1.25.

Следствие 1.52, очевидно, является частным случаем теоремы I. 54.

Перейдем теперь к рассмотрению двух теорем, образующих в совокупности аналог теоремы 1.43. Будем говорить, что цепь L, содержащаяся в графе G, уклоняете凡 от подграфа /, если в ней нет ни ребер, ни внутренних вершин, принадлежащих 丄

Теорема 1.55. Пусть L ——цепь в графе G, уклоняющаяся от подграфа J. Тогда L является подграфом некоторого J-моста В графа G.

Доказательство. Если L есть 1-цепь, то на основании теоремы 1.51 ее ребро принадлежит некоторому мосту В и, следовательно, L^B. Значит, можно предположить, что L есть n-цепь и n > 1. Удалим из L те ее концы, которые принадлежат / (вместе с инцидентными этим концам ребрами). В силу теорем 1.26 и 1.30 получившийся подграф будет связным и непересекающимся с подграфом J. Кроме того, по теореме I. 53 он содержится в ядре некоторого невырожденного /-моста графа G. Следовательно, принимая во внимание условие (ii), получаем L 三 В. □

Теорема 1.56. Пусть х и у ——две различные вершины J-моста В графа G. Тогда существует цепь L с концами х и у, являющаяся подграфом графа В и уклоняющаяся от подграфа J.

Доказательство. Если мост В вырожденный, то он должен быть в данном случае графом-звеном. Тогда, очевидно, L =В. Предположим теперь, что мост В невырожденный. Пусть Н — подграф, полученный из В после удаления каждой наружной вершины, отличной от % н у, вместе с инцидентными ей ребрами. Очевидно, что Н содержит вершины х и у и в силу теоремы 1.54 является связным графом. Значит, на основании теоремы I. 43 в Я существует цепь L с концами х и у. Из определения подграфа Н следует, что цепь L уклоняется от J. □

Иногда приходится иметь дело с мостами графа G относительно двух различных подграфов / и К. В такой ситуации может оказаться полезной

Теорема 1.57. Пусть J и К — подграфы, графа G. Пусть, далее, В есть J-мост графа G, не содержащий ребер 〃з К 〃 такой, что каждая вершина из В, принадлежащая К, принадлежит J. Тогда В является подграфом некоторого К-моста В' графа G. Если, дополнительно, каждая вершина из В, лежащая в принадлежит К, т。Bf = В.

Доказательство. Если В ——вырожденный мост, то первая часть утверждения следует из теоремы 1.51, а вторая ——из теоремы I. 49.

Пусть теперь В — невырожденный мост. Воспользуемся теоремой 1.54, взяв в качестве S подмножество таких вершин из В, которые принадлежат /, но не принадлежат К. В силу теорем 1.53 и 1.54 соответствующий подграф Н графа G содержится в ядре некоторого К-моста 5’ графа G. Принимая во внимание условие (ii), заключаем, что мосту Bf принадлежат 4*

все J-пограничные ребра моста В, а значит, В' содержит В. Если подмножество вершин моста В, лежащих в подграфе К, совпадает с подмножеством вершин из В, принадлежащих J, то для моста В относительно подграфа К выполняются условия (i) и (ii). Учитывая свойство минимальности моста В\ получаем 夕=В. □

19 Замечания

Историческая справка

Годом рождения теории графов считают 1736 год, когда Эйлер решил задачу о кёнигсбергских мостах. Обзор достижений теории графов за два столетия можно найти в книге [4].

Замечания, касающиеся литературы

Исторически первым руководством по теории графов явилась книга венгерского математика Денеша Кёнига. Ее появлению предшествовал важный цикл работ Хэсслера Уитни, опубликованных в 1931 — 1933 гг. Собранные вместе они составили бы превосходное руководство, если бы в нем нуждались в то время в Англии. Даже до 1931 г. некоторые сведения о теории графов можно было почерпнуть из полупопулярной книги «Математические эссе и развлечения», о которой шла речь во введении. Некоторые из книг, встречающиеся в настоящее время в библиографических ссылках, указаны ниже ——см. [1], [2], [5] и [7].

Группа автоморфизмов

Много работ посвящено изучению графов, обладающих высокой степенью симметрии, т. е. графов, у которых порядок группы автоморфизмов не меньше числа ребер. (См. [3], [6] и [9].)

Упражнения

Показать, что в графе Томсена (см. разд. IV. 2) все цепи длины 3 являются эквивалентными, т. е. любая из них может быть преобразована в другую с помощью подходящего автоморфизма этого графа. Эквивалентны ли в этом графе все цепи длины 4?

Построить граф, у которого группа автоморфизмов состоит из трех элементов. Найти самый простой граф без пе-

тель и кратных ребер, имеющий только тривиальный автоморфизм.

Доказать следующую формулу для множеств соединяющих вершин:

r(G, H) = W(K, 〃ПК)и{У(Н)П 犷(G, нию}.

Здесь Н и К — произвольные подграфы графа G.

Литература

Berge С. Graphes et hypergraphes. — Paris: Dunod, 1970.

Berge C. Graphs and hyper graphs (translated into English by E. Minieka). — New York, Methuen, London: Wiley, 1973.

Biggs N, L, Algebraic graph theory. — Cambridge University Press, 1974.

Biggs N. L., Lloyd E. K., Wilson R. J. Graph theory, 1736—1936. — Oxford: Clarendon Press, 1976.

Bondy J. A., Murty U. S. R. Graph theory with applications. — New York: American Elsevier, 1976.

Coxeter H. S. M. Self-dual configurations and regular graphs. — Bull. Amer. Math. Soc. 56 (1950), 413—455.

Harary F. Graph Theory. — Mass.: Addison-Wesley, Reading, 1969. [Имеется перевод: Харари Ф. Теория графов.—М.: Мир, 1973.]

Harary F., Palmer Е. М. Graphical enumeration. — New York — London: Academic Press, 1973. [Имеется перевод: Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. — М.: Мир, 1977.]

Tutte W. Т. Connectivity in graphs. — Toronto: Univ, of Toronto Press, 1966.

Глава II

СЖАТИЯ И ТЕОРЕМА МЕНГЕРА

〃.1. Сжатия

В гл. I мы строили теорию графов, базирующуюся на отношении включения одних графов в другие. Допустимо сказать, что в настоящей главе мы продолжаем строить эту теорию, но только более широко толкуя термин «включение».

Пусть G ——некоторый граф, a S и Т ——взаимно дополнительные подмножества множества £(G). Рассмотрим остовный подграф G:S графа G. Существует граф Н, вершинами которого являются компоненты подграфа G : S, а ребрами ——элементы подмножества Т и при этом выполняется следующее условие (или правило) инцидентности: если Л — ребро из Т, то его концами в графе Н являются компоненты подграфа G: S, которые содержат хотя бы один конец ребра 4 в графе G. Граф Н называется сжатием (или сужением) графа G на подмножество Т и обозначается символом G 乂 Т. Мы будем говорить также, что граф Н получен из G сжатием (или стягиванием) подмножества S.

Указанное выше правило инцидентности гарантирует нам, что, как и должно быть, каждое ребро из Т имеет в графе G 乂 Т не менее одного конца и не более двух. Однако следует заметить, что оба конца звена из подмножества Т (лежащие в 6) могут содержаться в одной и той же компоненте подграфа G: S, и тогда такое ребро из Т будет звеном в G и петлей в G >< Т. С другой стороны, петля графа G, принадлежащая Т, остается петлей и в подграфе G\T,

На нижней диаграмме рис. II. 1.1 изображено сжатие GX7 графа G на подмножество Т. На верхней диаграмме этого рисунка сплошными линиями показан подграф G : S, а пунктирными —ребра из Т. Вершины графа G X Т (на нижней диаграмме) изображены точками. Буквами Л, В, ..., F на верхней диаграмме обозначены компоненты подграфа G:S, а на нижней —соответствующие вершины графа G X Т.

Так как вершины графа G X Т сами являются графами, то можно говорить о вершинах и ребрах, принадлежащих вершинам графа G >< 7. В данном разделе такая терминология, пожалуй, даже необходима. Однако часто бывает удобно заменять эти вершины другими, для которых не определена вну-

盟一、、

Е

Рис. II. 1.1.

тренняя структура, например некоторыми из вершин графа G. В связи с этим мы введем понятие вершинного изоморфизма. Графы 〃 н К называются вершинно изоморфными^ если существует такой изоморфизм 8=(f,g) графа Н на граф К, что отображение g множества Е{Н) на множество £(£) является тождественным, т. е. у графов Н и К множества ребер совпадают, но вершины могут быть разными. Вершины графов Н и К сопоставляемые друг другу при отображении f, инцидентны одним и тем же ребрам этих графов. Будем говорить, что 0 — вершинный изоморфизм графа Н на граф К. Заметим, что вершинный изоморфизм графов является отношением эквивалентности.

В формуле вида (1.3.1) знак равенства означает идентичность графов из обеих ее частей. Другими словами, соответствующие графы имеют одни и те же вершины, ребра и одинаковые отношения инцидентности. Для записи вершинного изоморфизма будем применять знак =〃，а обычного изоморфизма—знак 4.

Приведем пример вершинного изоморфизма. Пусть S — пустое множество. Тогда граф G : S не имеет ребер, а его компонентами являются графы-вершины, содержащиеся в G (см. теорему I. 19). Следовательно, существует вершинный изоморфизм 0 графа G X ^ на G. Он отображает каждый граф-вершину из G в соответствующую вершину графа G. Строя формальную теорию графов, мы не будем отождествлять граф-вершину

с соответствующей вершиной, хотя на практике в теории графов различие между ними может не быть важным. В рассматриваемом нами примере мы можем сказать, что графы G и G 义 Т являются по существу одним и тем же графом. Но значительно точнее будет звучать здесь утверждение, что эти графы эквивалентны относительно вершинного изоморфизма (а именно изоморфизма 0). Отметим следующий факт: для всякого графа G

GXE(G) =oG. (II. 1.1)

Вернемся к общему случаю подмножеств S н Т н рассмотрим взаимосвязь между подграфами графа G 义 Т и графа G. Будем говорить, что подграф Н графа G согласуется с S, если каждая компонента графа G:S либо является подграфом в Н, либо не пересекается с Н.

Пусть К — произвольный подграф графа G 义 Т. Его вершины суть компоненты графа G: S. В силу правила 1.4 существует подграф fsK графа G, вершинами которого являются вершины, принадлежащие вершинам подграфа К, а ребрами — ребра из вершин подграфа К и ребра этого подграфа. Очевидно, что подграф fsK однозначно определяется подграфом К и что разным подграфам К из G 义 Т соответствуют разные подграфы fsK графа G. Мы можем, следовательно, рассматривать символ fs как представление взаимно однозначного отображения множества X подграфов графа G 义 7 на некоторое множество У подграфов графа G. Заметим, кроме того, что каждый подграф из У согласуется с S.

Обратно, рассмотрим произвольный подграф Н графа G, согласующийся с множеством S. Компонентами графа //: (S П П Е (Н)) являются компоненты графа G : 5, которые содержатся в Н (см. теорему 1.23). Следовательно,"义(7[]£(〃)) есть некий подграф К из G 义 Т, и при этом, очевидно, подграф fsK совпадает с подграфом Н. Таким образом, можно отождествить множество У с множеством всех подграфов графа G, согласующихся с S. Кроме того, мы можем написать

fsKXE(K) = K・ (IL L2)

Это отношение отражает ту общую взаимосвязь, которая существует между подграфами К из G 义 Т и подграфами fsK из G, согласующимися с множеством £ Суммируя полученные результаты, приходим к следующему утверждению.

Теорема II.1. Пусть S u Т — взаимно дополнительные подмножества из £(G). Тогда существует взаимно однозначное отображение fs множества X подграфов графа G \ Т на множество У подграфов графа G, согласующихся с S. Отображение fs определяется так: если KwX,to fsK есть подграф графа

G, задаваемый ребрами и вершинами, принадлежащими вершинам графа К, и ребрами самого графа К. Отображение fs удовлетворяет соотношению (II. 1.2).

Теорема 11.2. Отображение fs сохраняет отношение строгого включения подграфов, т. е. если К и L принадлежат X и Ku L, то fsK и fsL.

Теорема II. 2 вытекает непосредственно из определения отображения fs・ Следующее утверждение касается соединяющих вершин.

Теорема II.3. Предположим, что К 况 L принадлежат X и К 三 L. Вершина х из К содержится в W(L, К) тогда и только тогда, когда некоторая вершина %’ из компоненты х графа G : К принадлежит множеству W(fsLt fsK)^

Доказательство. Вершина 尤 нз К принадлежит W(Lt К) тогда и только тогда, когда она инцидентна (в К) некоторому ребру Л из E(L) — Е(К), т. е. тогда и только тогда, когда некоторая вершина %’ из компонентыхподграфа G:S инцидентна (в G) ребру Л из Е(£) — Е(К)・ Но всякое ребро из £(L)— —£(К), инцидентное xz (в G), можно также толковать как ребро из E(fsL) — Е(%К), инцидентное той же вершине £ в графе G. Действительно, ребра из подграфа G : 5, инцидентные Xх в графе G, являются ребрами из х, а значит, ребрами подграфа fsK. Следовательно, х содержится в W(Lt К) тогда и только тогда, когда некоторая вершина а/ из компоненты х графа G: S инцидентна в графе G какому-либо ребру Л из E(fsL) — E(fsK), т. е. тогда и только тогда, когда такая вершина 犬 принадлежит множеству W(fsL, fsK). □

Пусть L — произвольный граф из X. Из теоремы II. 3 вытекает, что fs отображает множество подграфов графа L, обособленных в L, на множество подграфов графа fsL, обособленных в fsL и согласующихся с S. Но в силу теоремы 1.24 всякий подграф графа fsL, обособленный в fsLt согласуется с S. Поэтому, используя теорему II. 2, приходим к следующему утверждению.

Теорема IL4. Если L — произвольный граф из X, то fs отображает его компоненты на компоненты графа fsL.

Полагая в этой теореме L = GXT, получаем такой результат:

Теорема II.5. Если Г — подмножество из E(G), то

%9ХТ) = %9)・ (ILL3)

Теорема II.6. Подграфы сжатий графа G являются сжатиями подграфов графа G.

Доказательство. Всякий подграф произвольного сжатия графа G можно взять в качестве графа К, входящего в правую часть соотношения (II. 1.2). Левая часть формулы (II. 1.2) показывает, что рассматриваемый подграф можно понимать и как сжатие подграфа графа G.

Обратно, пусть Н — произвольный подграф графа G, а 〃XU — сжатие этого подграфа. Пусть Q — дополнение подмножества U в множестве Е(Н). В силу теоремы 1.23 компонентами подграфа Н: Q являются все компоненты подграфа G : Q, содержащиеся в Н. Отсюда следует, что Н 义 U есть подграф сжатия GХ(^(О)—Q) графа G. □

Теорема II. 7. Пусть U ^Т 三 £(G). Тогда

(G\T)XU=VGXU- (И. L4)

Доказательство. Пусть дополнениями подмножеств Т и U в множестве Е (G) будут соответственно подмножества S и R. Вершины из (G X Т) X ^ являются компонентами подграфа (GXT) ： (Т—U). Это остовный подграф К графа 6ХЛ и fs отображает его на остовный подграф fsK графа G, который определяется ребрами и вершинами компонент подграфа G: S и ребрами из подмножества Т — U = R — S. Значит, %К = G : R. В силу теоремы II. 4 fs индуцирует взаимно однозначное отображение f вершин графа (G X Г) X t/ на компоненты графа G ： R, т. е. на вершины графа G X ^*

Пусть А — произвольное ребро нз U, а % н у — его концы, лежащие в (G X Г) X ^- Эти концы являются компонентами графа (G\T) \ (Т — U) и содержат соответственно концы Н и уг ребра А в графе G X ^- Но хг и yf — компоненты графа G: S и содержат соответственно концы 尤"и у" ребра Л в графе G. Из определения отображения fs следует, что вершины 尤"и у" принадлежат соответственно подграфам fsx и fsyt являющимся компонентами графа G : R. Значит, fsx и fsy — концы ребра А в графе G X U. Поэтому (f,/и)——вершинный изоморфизм графа (GXT)乂 U на граф G 乂" где /и — тождественное отображение U на себя. □

Подграф сжатия графа G называется минором графа G. Таким образом, всякое сжатие графа G является минором этого графа и, с точностью до вершинного изоморфизма, всякий подграф графа G является минором графа G. Из соотношения (II. 1.1) вытекает, что миноры удовлетворяют следующему простому правилу.

Правило II.8. Минор минора графа G является, с точностью до вершинного изоморфизма, минором графа G.

Доказательство. Минор минора графа G есть подграф сжатия некоторого подграфа какого-то сжатия графа G. Следовательно, по теореме II. 6 он является подграфом какого-нибудь подграфа, содержащегося в подходящем сжатии некоторого сжатия графа G, а потому (в силу теорем 1.5 и II. 7) вершинно изоморфен подходящему подграфу некоторого сжатия графа G. □

Если игнорировать различие между вершинно изоморфными графами, то можно заметить некоторую симметрию между подграфами и сжатиями. Относительно этой симметрии теорема II. 7 соответствует теореме I. 5, а теорема II. 6 — самой себе. Эти симметрии несут в себе первые намеки на существование некой достаточно богатой теории «двойственности» графовых объектов. Позднее мы попытаемся дать строгое определение двойственности. А пока будем использовать это понятие на содержательном уровне, не уточняя его смысла. Мы будем применять его в таких ситуациях, когда нам будет казаться, что имеет место некая симметрия, касающаяся подграфов и сжатий. Таким образом, можно сказать, что теорема II. 7 двойственна теореме 1.5, а теорема II. 6 самодвойственна. «Подграф» и «сжатие» являются двойственными понятиями, а «минор» —самодвойственным. Удобно рассматривать《петлю》и 《перешеек» как двойственные понятия. Пытаясь найти понятие, двойственное понятию «вершина», мы сталкиваемся с существенными трудностями.

//•2・ Стягивание ребра

Пусть А — ребро графа G. Применим теорию, развитую в разд. II. 1, для случая, когда S ={А} и Т = E(G) — {Л}. Обозначим сжатие GX(£(G) — {Л}) через G； и будем говорить, что этот граф получен из графа G стягиванием ребра А. Из теоремы II. 5 вытекает, что

P^ = p.{GY (И. 2.1)

Пусть х — вершина графа G. Если она инцидентна ребру Д, то мы будем обозначать граф G- {А}, являющийся графом-петлей или графом-звеном, символом 尤".Если же вершина х не инцидентна ребру Л, то символом 尤"будет обозначаться граф- вершина в G, соответствующий вершине х. При таких обозначениях компонентами графа G :{А} будут графы 尤",где 尤三 三 V(G). Эти компоненты являются вершинами графа Ga. Подграф G* {Л} мы будем называть А-вершиной графа G^ и обозначать через ит・ Будем говорить, что вершина х графа G и

вершина 力"графа G； эквивалентны, если х не инцидентна ребру А в графе G. Когда различать граф-вершину и соответствующую ему вершину надобности нет, то говорят, что х и xz,— это одна и та же вершина.

Отображение fs будем теперь записывать как %. Оно отображает множество X подграфов графа G： на множество У подграфов графа G, согласующихся с {Л}. Заметим, что для принадлежности подграфа Н графа G множеству У необходимо, чтобы выполнялось одно из двух условий: либо он содержит ребро Л, либо в нем нет ни одной вершины, инцидентной ребру А. Если К — произвольный подграф из X, то мы можем переформулировать определение подграфа 〃К следующим об

разом: вершинами его являются все такие вершины х из G, для которых 尤"三 У (К), а ребрами — все ребра из К и, быть может, ребро Д, причем ребро А принадлежит $аК тогда и только тогда, когда щ е V (К). Можем добавить еще, что, как следует из определения графа G；, ребро нз К с концами х и у в G имеет в К концы к" и у".

На рис. II. 2.1 показаны графы G н G； в случае, когда

Л — звено графа G. Изображены также цикл К = a"b"с"d"е"vа графа G% и соответствующий граф fAK в G. Ребра, не принадлежащие К или 匕К, показаны пунктиром.

Приведем два замечания об отображении fA, сформулиро

вав их в виде теорем.

Теорема II. 9. Пусть К — подграф графа G%, содержащий vA, Тогда

(ПК)? = К・(Н. 2.2)

Это следует из соотношения (II. 1.2).

Теорема II. 10. Пусть К — подграф графа бл, *? содержащий vA. Тогда соответствие 力一* %" между множествами V (G) и V (бл) индуцирует вершинный изоморфизм подграфа fAK &@ подграф К・

А теперь перейдем к некоторым теоремам и примерам о стягивании ребер.

Теорема П. 11. Если А — петля графа G, то соответствие 汇一►%" между множествами V (G) и V (бд) является взаимно однозначным отображением ”&q“ и индуцирует вершинный изоморфизм графа GZ на граф ©%.

Сформулированное утверждение вытекает немедленно из определений. Учитывая эту теорему, мы обычно считаем, что стягиваемое ребро является звеном. Стягивание петель можно естественным образом связать с операцией удаления петель.

Теорема II. 12. Если А —звено графа G, то

Pi(GZ)f(G).(П. 2.3)

Но если 4 — петля в G, то

円(GZ) = Pi(G)-l.(П. 2.4)

Доказательство. В силу соотношений (II. 2.1) и (1.6.1)

凸(G)-円g)=i 一{1卩9)1_w@)1}.

Эта разность равна 0 или 1 в зависимости от того, является ребро 4 звеном или петлей в графе G. □

Теорема II. 13. Пусть А—звено графа G с концами х и у. Тогда

val(G；, ^) = val(G, x) + val(G, у)-2. (II. 2.5)

Но если z — вершина графа G, не инцидентная ребру 4, то

val(G；, n") = val (G, г).(II. 2.6)

Теорема II. 13 вытекает непосредственно из определений. Мы применим ее при доказательстве двух следующих теорем- примеров.

Теорема П. 14. Если G есть п-цикл9 где л > 1, и Л — ребро в G, то Ga есть 仇一\)щикл.

Доказательство. Из соотношения (II. 2.1) и теоремы 1.27 вытекает, что Сд — связный граф. В силу теоремы II. 13 он является однородным графом валентности 2. Следовательно (см. теорему 1.27), это цикл. □

Теорема II. 15. Если G есть п-цепь, где п > 1, и Л — ребро 6 G, то Ga есть (л — \)-цепь.

Доказательство. Из соотношения (II. 2.1) и теоремы I. 26 следует, что граф (?% связен. Его вершины двухвалентны, за исключением двух вершин, соответствующих концам цепи G при отображении %—>%", а эти две вершины одновалентны (см. теорему ПЛЗ). Значит, в силу теоремы I. 26 граф G% есть цепь. □

Перейдем к рассмотрению нескольких теорем, связанных с подграфами графа G2 и соответствующими подграфами графа G.

Теорема II. 16. Пусть А — звено графа G и К — подграф графа Ьд. Тогда

%(〃К) = %(К), (П. 2.7)

Z(%K) = Z(K)・ (П.2.8)

Доказательство. Можно считать, что va содержится в К, ибо в противном случае доказываемая теорема является следствием теоремы II. 10. Соотношение (II. 2.7) вытекает из соотношений (II. 2.1) и (II. 2.2), а соотношение (II. 2.8)—из (II.2.3) и (II.2.2). □

Теорема II. 17. Пусть А — звено графа G. Тогда % индуцирует взаимно однозначное отображение множества X。остовных подграфов графа G% на множество Yq остовных подграфов графа G, которые содержат ребро 4

Доказательство. Предположим, что К е Хо. Тогда ЗК есть остовный подграф графа G и содержит оба конца ребра Л (в графе G). Так как этот подграф согласуется с множеством {Л}, то в силу теоремы II. 1 он должен содержать ребро А. Следовательно, fAк三

Обратно, рассмотрим подграф Н из Уо. Он согласуется с множеством {/} и потому на основании теоремы II. 1 имеет вид %К, где К — некоторый подграф графа дл. Но тогда ^ е Хо> ибо иначе подграф %К не был бы остовным подграфом графа G. □

Определим Т (G) как число остовных деревьев (или остовов) графа J) G. Из теоремы I. 36 следует, что Т (О) отлично от нуля тогда и только тогда, когда граф G связен. Далее, в силу теоремы I. 35 дерево можно определить как граф Н, удовлетворяющий следующим двум условиям: р0 (//) = 1 и Pi (Н) = 0. Принимая во внимание теоремы 11.16 и 11.17, заключаем, что остовы графа Ga взаимно однозначно соответствуют остовам графа G, которые содержат ребро А. Можно еще добавить, что остовы графа G, не содержащие ребра Л, являются остовами

】) Иногда это число называют сложностью графа G. — Прим, перев.

графа Ga. Таким образом, имеем следующую (рекуррентную) теорему.

Теорема II. 18. Пусть А — звено в О. Тогда

T(G) = T(G】)+ T(gZ).(II. 2.9)

Теорема II. 19. Через Q(G; i, /) обозначим число таких остов- ных подграфов Н графа G, что ро(Н)=厶 〃(//) = j. Если А —— произвольное звено графа G, то для любых целых неотрицательных чисел i и / справедливо равенство

Q(G; i, /) = Q(Ga； i, /) + Q(GZ; i, j). (II. 2.10)

Доказательство этой теоремы абсолютно аналогично доказательству теоремы II. 18. Приведем обобщение теоремы II. 19, которое будет использоваться в дальнейшем. Через R(G;h 必为，..)обозначим число остовных подграфов графа G, у которых в точности М компонент с цикломатическим числом, равным 0, fi компонент с цикломатическим числом 1 и т. д.

Теорема 11.20. Если А —звено графа G, то

R(G; %,% …)=R(% 4，芍‘…)+ R(%; % %

(II.2.11)

где i0> й, »2, ... — произвольная последовательность целых неотрицательных чисел, сумма членов которой конечна.

Доказательство. Если К ——остовный подграф графа G%, то он соответствует той же самой последовательности (君，方，厶■ • •)» что и граф ЗК (см. теоремы II. 4 и II. 16). Используя теорему П. 17, получаем, что множество остовных подграфов графа бл, соответствующих данной последовательности, находится во взаимно однозначном соответствии с множеством остовных подграфов графа G, которые отвечают той же самой последовательности и содержат ребро А. Кроме того, остовные подграфы графа G, соответствующие этой последовательности, но не содержащие ребра Л, являются остовными подграфами графа Од. □

Мы должны пояснить, почему теорема II. 20 называется обобщением теоремы II. 19. Для этого нам понадобится следующая вспомогательная теорема.

Теорема 11.21. Цикломатическое число графа равно сумме цикломатических чисел его компонент.

Доказательство. Пусть G — граф с компонентами Gi, G2,... ..., Gm. Для каждой компоненты G/ имеем (см. соотношение

P1 (G/) = |£(G/)|-|V(G;)|+1. Значит, m

Za (G/) = |£(G)|-|V(G)| + p0(G) = p1 (G)

в силу (1.6.1). □

Из теоремы II. 21 легко можно вывести, что Q(G； г, s) есть сумма чисел R(G;君,zb i2, ...), для которых выполняются равенства £»/ =「и Ej" = s. Значит, теорема II. 19 является следствием теоремы II.20 (если учесть теорему 11.21). Поэтому теорему II. 20 можно с полным основанием называть обобщением теоремы II. 19.

Материал данного раздела содержит несколько очевидных проявлений двойственности. Совершенно ясно, что операции удаления и стягивания ребра следует рассматривать как двойственные операции и что теоремы II. 18, II. 19 и II. 20 выглядят, как самодвойственные утверждения. С а модвойственность в них на самом деле не является абсолютной, ибо 《звено》—— несамодвойственное понятие. Для получения истинно самодвойственных теорем следует заменить понятие «звено» понятием «ребро, не являющееся ни петлей, ни перешейком». В получающейся теории двойственности теоремы II. 18 и II. 19 mutatis mutandis будут действительно самодвойственными. Но теорема II. 20 самодвойственной не будет, ибо для понятия «компонента» двойственного нет.

IL 3. Соединяющие вершины

Некоторые общие теоремы о графах можно доказать индукцией по числу ребер. Обычно в таком доказательстве существенным является следующий шаг: берется некоторое звено Л графа G и предполагается, что теорема верна для подграфов Од и Ga, содержащих меньше ребер, чем граф G. Затем из этого предположения пытаются вывести справедливость теоремы для графа G.

В силу сказанного желательно полнее изучить взаимосвязи между подграфами графов О, Сд и G2. Кое-что в этом направлении было сделано в гл. I и предыдущем разделе. Сейчас мы продолжим исследование указанной тематики, установив ряд теорем о соединяющих вершинах.

Теорема 11.22. Пусть А ——произвольное звено графа G, а Н ——произвольный подграф графа Ол. Тогда справедливо одно из следующих трех утверждений-.

w^Ga, H)= w(G, Н),

5 (G, Н U (G • {/})) < w (G, H) и оба конца ребра А 6 графе G принадлежат V (Н),

5(g7, H)= 3(G, Н) — 1 и в точности один конец х ребра А (в графе G) содержится в V (Н); кроме того, вершина % инцидентна 6 графе G помимо А только ребрам подграфа Н.

Доказательство. Вершина из Н инцидентна, за исключением ребра 4 одним и тем же ребрам в графах G и G* Следовательно, каждая соединяющая вершина для Н в графе Ga будет соединяющей для Я и в графе G. Рассмотрим вершину х из Н, которая не является соединяющей для Н в G3 Она будет соединяющей для Н в G тогда и только тогда, когда она инцидентна ребру А.

Предположим, что (i) не выполняется. Тогда в силу приведенных рассуждений некоторый конец х ребра Л (в графе G) будет вершиной подграфа Я, инцидентной в графе G (кроме ребра А) только ребрам из И.

Если и другой конец у ребра 4 лежит в Н、то, добавляя 4 к Н, получаем подграф Н\ = H\J(G- {4}) графа О. Присоединение ребра Л к графу Н превращает вершину х, а возможно, и вершину у, в вершины, не являющиеся соединяющими. При этом все другие соединяющие вершины остаются таковыми и новых соединяющих вершин не возникает. Таким образом, утверждение (ii) справедливо.

Далее, пусть у не принадлежит У(Н). Тогда только х будет соединяющей вершиной для Я в G, не являющейся соединяющей для Н в графе Ga- Значит, утверждение (iii) верно. □

Теорема 11.23. Пусть А——звено графа G, а К ——подграф графа Ga- Тогда справедливо одно из следующих двух утверждений:

⑴ w(G^ K) = 5(G, 〃К),

5(G；, K) = 5(G, 3斤)—1， вершина vA принадлежит К и оба конца ребра А являются соединяющими вершинами для ЗК в графе G.

Эта теорема вытекает из теоремы II. 3, если положить А = Ол.

В следующей теореме рассматриваются оба графа Ga Ga-

Теорема 11.24. Пусть А — звено графа G, Я — подграф графа GZ и ^ — подграф графа Ga，Тогда справедливо одно из следующих четырех утверждений:

⑴ 5(%, H) = 5(G, Н),

5(%, K) = 5(G,

5 Зак. 878

(iii)5(G, "U〃K) + 5(G, Н П fAK) < w (G, H) + w (G, 〃К), (iv) w(G, H U (© • {%})) < w (G, H) 〃 оба конца ребра А в графе G лежат в V (Н).

Доказательство. Предположим, что утверждения (i), (ii) и (iv) неверны. Действуя так же, как при доказательстве теоремы II. 22, устанавливаем, что в множестве V(H) содержится только один конец х ребра А. Кроме того, вершина х инцидентна в G, кроме Л, только ребрам подграфа Н. Используя теорему II. 23, заключаем, что х — соединяющая вершина для 1аК в G. Следовательно, х инцидентна ребру 4 из fAK, не принадлежащему множеству Е(〃), а также инцидентна некоторому ребру из Н, не содержащемуся в ЕЦаК). и не инцидентна никакому ребру графа G, лежащему вне множеств Е(〃)и Е 0аК) • Таким образом, применяя обозначения из разд. I. 4, получаем, что х принадлежит множеству Q(G; Я, fд^) и число q(G; Н/аК) отлично от 0. Утверждение (iii) вытекает теперь из теоремы I. 7. □

//•4. Числа разделения

В данном разделе мы проведем подготовительную работу для доказательства теоремы Менгера. Пусть G — некоторый граф, а Р и Q — фиксированные непересекающиеся подмножества из E(G).

Два подграфа графа G называются реберно непересекаю- щимися, если они не имеют общих ребер. Упорядоченная пара (Я, К) реберно непересекающихся подграфов графа G называется разрезающей (или разделяющей, или отделяющей) парой для подмножеств Р н Q в графе G, если

Р^Е (Н), Q 三 Е (К) и H\]K = G. (II.4.1)

По меньшей мере одна такая разрезающая пара (для подмножеств Р и Q) существует всегда; например, (G:P, G:(£(G)-P)).

Порядком разрезающей пары (Я, К) для подмножеств Р и Q называется число \ V(Н Г\ К)\, т. е. число вершин, содержащихся одновременно в Н н К. Обычно говорят, что вершины из V(H (]К) разделяют (или отделяют) подмножества Р н Q в G.

Теорема II. 25. Пусть (Я, Л) — разрезающая пара для подмножеств Р и Q в графе G. Тогда пары(Н, Нс) и(К°, ^) также являются разрезающими для Р и Q в графе G. Кроме того, V(H[\HC) = W (G, Н) sV {Н Г\К) uV iKz r\K) = W {G, К)三

Доказательство. В силу соотношений (II. 4.1) всякая соединяющая вершина для подграфа Н (или подграфа К) принад-

лежит этому подграфу и инцидентна некоторому ребру, содержащемуся в другом из рассматриваемых подграфов. Следовательно, W(G, Я) и W(Gt К) являются подмножествами множества Р("ПК). Оставшаяся часть утверждения вытекает из определений, приведенных в разд. I. 4. □

Через 入(G;P, Q) обозначим наименьшее число вершин в графе G, необходимое, чтобы разделить подмножества Р и Q в G. Таким образом,

入(G; Р, Q)= min |1/(〃ПК)|,(II. 4.2)

向K)

где минимум берется по всем разрезающим парам (Н, К) для подмножеств Р и Q мз G. В силу симметричности вхождения Р н Q в данное определение

A(G; Р, Q) = Z(G; Q, Р).(II. 4.3)

Число X(G; Р, Q) назовем числом разделения (или, точнее, числом реберного разделения) подмножеств Р и Q в графе G. Разрезающая пара для подмножеств Р я Q, порядок которой равен 入(G; Р, Q), будет называться минимальной.

Теорема II.26. Пусть m——число вершин, общих для подграфов G-P и G-Q. Тогда

加&入(G; Р, Q)<min{|V(G.p)|, |V(G-Q)|}.

Доказательство. Какова бы ни была разрезающая пара (//,&) для подмножеств Р н Q, общие для подграфов G-P и G*Q вершины содержатся в V(H П К). Поэтому левое неравенство следует из соотношения (II. 4.2). Для завершения доказательства достаточно заметить, что пары (G-P, (G-P)c) и ((G・Q)c, G・Q) разрезающие для подмножеств Р и Q в G. □

Теорема 11.27. Пусть (Н, К)一 минимальная разрезающая пара для подмножеств Р и Q в графе G. Тогда W(G, Н} — =W(Gt К)= V(H (]К)卫，значит,(瓦 К)—комплементарная пара подграфов из G с числом сращивания 入(G;P, Q).

доказательство. В силу теоремы II. 25 пара (", Z/с) является разрезающей для подмножеств Р и Q и V(H (] Н^ = =М(G, 〃)三 卩(〃 f] К). Следовательно, учитывая минимальность пары (Н, К), имеем W(G, Н)= V(H(]К). Аналогично обосновывается равенство W(Gt ^= V(H (]К). Оставшаяся часть теоремы вытекает из определений, приведенных в разд. I. 4. □

Теорема П. 28- Л (G; Р, Q) = min w (G, Н), где минимум берется 〃о всем таким подграфам Н графа О, у которых множество ре- 5*

бер Е(") содержит подмножество Р и не пересекается с подмножеством Q.

Доказательство. Обозначим minw(G, Н) через ц. Если Н — подграф из О, то (〃, Н^ — разрезающая пара для подмножеств Р и Q и ее порядок равен w(Gt Н) по теореме II. 25. Значит, и ^ Л (G; Р, Q) (в силу соотношения (II. 4.2)). Обратно, пусть (", К) — минимальная разрезающая пара для подмножеств Р и Q. Тогда (на основании теоремы II. 27) w (G, Н)= =Л (G; Р, Q) и, следовательно, ц Л (G; Р, Q). □

Оставшиеся теоремы данного раздела касаются числа разделения для графов О, GZ и Од.

Теорема II. 29. Пусть А—звено графа G, не принадлежа- щее ни Р, ни Q, Тогда

Л (G; Р, Q) — Л (бд；尸，Q)= 0 или 1.

Доказательство. Пусть (”, Л) ~ минимальная разрезающая пара для подмножеств Р н Q в G. Предположим, что А не содержится в Е(Н). По теореме 11.22 ш (бд, Н} <w (О, 〃). Действительно, используя теорему II. 28 и учитывая минимальность пары (Я, К), заключаем, что утверждение (ii) из теоремы II. 22 не выполняется. Значит, в силу теоремы II. 28

Л (Од； Р, Q)< Л (G; Р, Q).

Если Л принадлежит £(//), то достаточно повторить проведенные рассуждения, заменив Р на Q, Н ——на /С и воспользовавшись соотношением (II. 4.3). Получим такое же неравенство.

Теперь предположим, что (L, М) — минимальная разрезающая пара для подмножеств Р я Q в графе Ол. По теореме II. 27 Z(Ga； Р, Q) = w(Ga, А). Если оба конца ребра Л из G содержатся в 厶 то очевидно, что

S(G1,厶)= g(G,丄 и (G •{/}))》入(G; P, Q).

В оставшемся случае, применив теорему II. 22, получаем w (Од, L) > w (G, L)—1. Значит, в любом из рассмотренных случаев, воспользовавшись теоремой IL28, приходим к заключению, что Л (6д；尸，Q)>A(G; Р, Q) — 1. □

Теорема 11.30. Пусть А — звено графа G, не принадлежащее ни Р, ни Q. Тогда

Л (G; Р, Q) —Л(G* Р, Q)= 0 или 1.

Доказательство. Пусть (Я, /<) — минимальная разрезающая пара для подмножеств Р и Q в G. Тогда на основании тео-

ремы II. 27 九(О; Р, Q) = © (G, Я) = w (G, К)・ Предположим, что 4 принадлежит Е(Н). Тогда Н согласуется с {А}. Следовательно, в Ga найдется подграф L, такой, что fAL = Н. Заметим, что L, подобно Н, содержит все ребра из Р, но не содержит ни одного ребра из Q. В силу теоремы II. 23 w (Сл, L) & ^ (О, fAL) = Л (G; Р, Q). Значит (по теореме II. 28),

^Ga； Р, Q)《入(G; Р, Q).

Если же ребро А не принадлежит £ (Я), то в проведенных выше рассуждениях нужно только заменить Р на Q я Н на К. Используя соотношение (II. 4.3), приходим к тому же неравенству.

Пусть теперь (Л, М)——минимальная разрезающая пара для подмножеств 尸 и Q в графе G2. Тогда i(G3； Р, Q) = w (Ga, L), см. теорему IL27. Применяя теорему II. 23, получаем w(Ga, Z)* ^ w(G, /▲£)——1. Следовательно, в силу теоремы II. 28

Л (Од； Р, Q)》九(G; Р, Q)-l. □

Теорема П. 31. Пусть А — звено графа G, не принадлежащее ни Р, ни Q. Тогда одно из чисел Л (Сл； Р, Q),九(GZ; Р, Q) равно 九(G;p，Q).

Доказательство. Предположим противное. Пусть (Я, Н) — минимальная разрезающая пара для подмножеств Р и Q в графе (?么 и (К, К)——минимальная разрезающая пара для подмножеств Р я Q в графе Од. Используя теоремы II. 29 и П. 30, имеем

侬(Ga, Н)=⑫(Ол, К)=入(G〔； Р, Q)=

=Л (gZ; Р, Q)=九(G; Р, Q) — 1. (II. 4.4)

Заметим, что оба конца ребра Л из G не могут лежать в //, так как иначе в силу теоремы II. 28 w (6л, Н)= — w{G, " U (G •{/}))> 九(G;尸，Q). А это противоречит соотношению (II. 4.4). Из теорем II. 22 и II. 23 теперь выводим, что

5@, Я) = ^ (G, 〃K) = %(G； Р, Q)・ (П. 4.5)

Далее применим теорему II. 24. Как следует из проведенных рассмотрений, утверждения (i), (ii) и (iv) этой теоремы в нашей ситуации не верны. Значит, должно быть справедливо утверждение (iii). Но тогда (в силу соотношений (II. 4.5)) либо w(Gt Н Г) 1аК), либо ⑫(G,方 и〃К) меньше, чем 九(G;P,Q), что невозможно (см. теорему IL28). □

Нам видится оттенок двойственности в теоремах II. 29 и II. 30 и самодвойственности — в теореме II. 31.

//. 5. Теорема Менгера

Существует много равноценных способов обоснования теоремы Менгера. Мы начнем с такого ее варианта, который нам кажется наиболее легко доказуемым с помощью теории, развитой в разд. II. 4.

Теорема 11.32. Пусть Р и Q ——непересекающиеся подмножества множества E(G). Тогда существует подграф Н графа G, удовлетворяющий следующим условиям.

(i) Н не содержит ребер из подмножеств Р 〃 Q;

(И) p()(//)=MG;P,Q)；

в каждой компоненте подграфа Н имеется хотя бы одна вершина из G-P и хотя бы одна вершина из G Q.

Доказательство. Пусть М — множество вершин, общих для G-Р и G・Q. Применим индукцию по числу звеньев графа О, не принадлежащих ни Р, ни Q (обозначим это число через п). Если п,— 0, то разрезающая пара (G-P, (G-P)c) для подмножеств Р и Q в графе G удовлетворяет соотношению

U ((G • Р) П (G ♦ РУ) = М

Применяя теорему II. 26, получаем 九(G; Р, Q) = |M|. В качестве подграфа Н можно взять подграф графа G, не содержащий ребер, с множеством вершин, равным М. Выполнение условий (i) — (iii) вытекает из теоремы I. 20.

Допустим теперь в качестве предположения индукции, что теорема верна для п < 9, где q — целое положительное число, и рассмотрим % = д. Выберем в G звено Л, не принадлежащее ни Р, ни Q. Может случиться, что Л (Сл；尸，Q) = Л (О; Р, Q). Тогда в силу предположения индукции найдется подграф Я графа бл, удовлетворяющий в Ол всем трем условиям теоремы. Ясно, что этот подграф удовлетворяет указанным условиям и в графе О.

В оставшемся случае Л (6д； Р, Q) = %(G; Р, Q) согласно теореме II. 31. В Ga найдется подграф Л, удовлетворяющий в Од всем трем условиям. Но тогда этим трем условиям в G удовлетворяет и граф fAK (см. теорему II. 4).

Шаг индукции обоснован. □

Мы покажем сейчас, что теорема II. 32 устанавливает «наилучший из возможных» результатов.

Теорема 11.33. Пусть Р и Q ——непересекающиеся подмножества из E(G). Пусть Н ——подграф графа G, не содержащий ребер из Р и Q и такой, что каждая его компонента имеет не-

пустое пересечение с графами G-P и G*Q. Тогда р°(Н)& &入(G；P, Q)・

Доказательство. Пусть (К, L) — разрезающая пара для подмножеств Р н Q в графе G и С — компонента подграфа Н. Тогда СПК н Cf]^ — непустые подграфы в С и их объединение равно С. В силу теоремы 1.21 они не могут быть непересе- кающимися. Следовательно, ^ и L имеют общую вершину в каждой компоненте подграфа Н и, значит, p0(Z/)^| V(K(] А) |. Так как все сказанное справедливо для всякой пары (К, L), то истинность теоремы вытекает из соотношения (II. 4.2). □

Наш следующий вариант теоремы Менгера базируется на понятии соединения, которое вводится для пар непересекаю- щихся подмножеств множества E(G). Существуют два вида соединений. Соединение первого рода (или вершинное соединение) представляет собой граф-вершину, содержащийся одновременно в подграфах G P и G*Q. Соединение второго рода (или цепное соединение)——это цепь в графе G, один конец которой принадлежит только подграфу G*P, а другой ——только подграфу G-Q, причем подграфы G・P и G*Q не содержат ребер и внутренних вершин данной цепи.

Теорема 11.34. Пусть Р и Q ——непересекающиеся подмножества из £(G). Тогда наибольшее число попарно непересекаю- щихся соединений между подмножествами Р и Q в графе G равно 九(G; P,Q ).

Доказательство. Рассмотрим подграф //, описанный в теореме П. 32. Пусть его компонентами будут графы &, С2,...

Cm, где m = A(G;P, Q). Заменим (по определенному правилу) каждую компоненту С/ содержащимся в ней соединением Tj. Если в С/ существует вершина %, принадлежащая одновременно G P и G-Q, то в качестве Т『возьмем граф-вершину, соответствующий х. В противном случае мы можем найти в силу теоремы 1.43 цепь L в С/, один конец которой лежит в G P, а другой — в G*Q. Если у L есть внутренняя вершина, принадлежащая G P или G-Q, то L содержит в качестве собственного подграфа другую цепь, удовлетворяющую перечисленным условиям (это следует из определения цепи или из теоремы I. 43). Значит, цепь L можно выбрать так, чтобы она являлась соединением между подмножествами Р и Q.

Таким образом, мы имеем 九(G;P, Q) попарно непересекаю- щихся соединений между Р н Q. По теореме II. 33 это число —— наибольшее возможное. □

Обычная форма теоремы Менгера использует понятие внутренне непересекающихся цепей. Пусть Li, Аг, ■.., L尼——неко-

Рис. II. 5.1.Рис. II. 5.1.торое множество цепей графа G. Эти цепи называются внутренне непересекающимися, если ни одно ребро и ни одна внутренняя вершина какой-либо из них не принадлежат другой цепи рассматриваемого множества. Заметим, что две или более внутренне непересекаю- щиеся цепи могут иметь одни и те же пары концов. Обычный вариант теоремы Менгера звучит так.

Рис. II. 5.1.

Рис. II. 5.1.

Теорема 11.35. Пусть р и q — разные несмежные вершины графа G. Пусть 九——наименьшее число

ществует ровно 九 внутренне непересекающихся цепей, концамиществует ровно 九 внутренне непересекающихся цепей, концамивершин, которые необходимы, чтобы разделить вершины page графе G. Тогда s графе G су

ществует ровно 九 внутренне непересекающихся цепей, концами

ществует ровно 九 внутренне непересекающихся цепей, концами

которых являются вершины р и q.

Для того чтобы связать это утверждение с теоремой II. 34, рассмотрим следующие два подмножества ребер 力 н Q. В Р содержатся все ребра графа G, инцидентные вершине р, а в Q — все ребра, инцидентные q. Число 九 будем понимать как наименьшее число вершин, которые в совокупности разделяют подмножества Р я Q в графе G, т. е. как величину 尤(G;P, Q).

В силу теоремы II. 34 имеется 九 попарно непересекающихся соединений 7\, Т?, Т^ между подмножествами Р я Q. Превращаем каждое соединение Т/ в цепь Л/ с концами png, для чего присоединяем вершину р с помощью ребра Л； и вершину q с помощью ребра В/ к соответствующим вершинам или концам соединения Т； (см. рис. II.5.1). Получаем 九 внутренне непересекающихся цепей Lj с концами р н q. Из теоремы II. 34 следует, что большего количества таких цепей получить нельзя. Из каждой цепи в графе G с концами р н g мы можем построить соединение между подмножествами Р и Q, удаляя из нее два конца с инцидентными им ребрами.

Практическая ценность теоремы Менгера существенно ограничивается трудностями, связанными с нахождением величины 九(G;P, Q). Я не могу припомнить ни одного случая, когда бы я в своих исследованиях использовал ее, исключая чрезвычайно простые и не представляющие существенного интереса ситуации. Понятия, входящие в теорему Менгера и ее аналоги, весьма важны в теории транспортных сетей. В рамках этой теории теорема Менгера обычно заменяется некоей конструкцией, дающей одновременно максимальное множество внутренне непересекающихся цепей с концами рядя минимальную

разрезающую пару для подмножеств Р и Q. На каждом шаге этой конструкции, исходя из некоторого множества X, содержащего k попарно непересекающихся соединений между подмножествами Р м Q, либо доказывают максимальность X, либо строят из него множество, содержащее k + 1 таких соединений.

Мы видоизменим теорему II. 34, чтобы приспособить ее для применения к неполным множествам соединений и последующего их пополнения. Пусть задано множество X попарно непересекающихся соединений между подмножествами Р н Q; его P-базой называется множество Х(Р) всех вершин, являющихся концами соединений из X и принадлежащих подграфу G Р. Аналогично определяется Q-база X(Q) множества X. Видоизменение теоремы IL 34 звучит так.

Теорема II. 36. Пусть Р и Q — непересекающиеся подмножества из Е((?)・ Пусть X — множество попарно непересекающихся соединений между Р и Q с Р-базой Х(Р). Тогда существует множество 匕 состоящее из A = A(G;P, @) попарно не- пересекающихся соединений между Р 〃 Q, такое, что Р-база У(Р) содержит Х(Р).

Множество У предпочтительней называть пополнением, а не замещением множества X, ибо не все «следы» множества X исчезают при формировании множества У. Исходная Р-база остается как часть новой Р-базы.

Мы можем доказать теорему II. 36, повторив с незначительными изменениями доказательство теоремы II. 32. При л = О ничего менять не надо, так как база Х(Р) является просто подмножеством множества М.

Далее выбираем ребро 4 и предполагаем, что теорема справедлива для подграфов Од и Ga. Надо доказать ее истинность для графа G. Здесь допустимо считать множество X максимальным в том смысле, что среди соединений между подмножествами Р и Q не существует таких, которые не пересекаются ни с одним соединением, входящим в X. Можно также предположить, что множество X содержит меньше, чем 九,элементов, так как иначе нечего было бы доказывать. Максимальность множества X гарантирует отсутствие у графов G・P и G-Q общих вершин, не принадлежащих базам Х(Р) и X(Q)・ Занумеруем элементы множества X следующим образом: ^ь Л, • •, Тц, где ц < Л.

Выберем ребро Л, инцидентное некоторой вершине и подмножества Q и не принадлежащее базе X(Q). Это сделать можно, ибо в противном случае у членов разрезающей пары ((O-Q)c, G-Q) для подмножеств Р и Q в графе G общими были бы только вершины множества X(Q), что противоречит соотношению (II. 4,2).

Рис. П. 5.2.

Другой конец V ребра 4 либо содержится в каком-то соединении 7/, либо не принадлежит ни одному из соединений Th 7屮 Если v не лежит в Т/, то полагаем Sj =「. Если V является вершиной х； из Г/, лежащей в Р, то в качестве S； берем соответствующий х, граф-вершину; в оставшемся случае в качестве S, берем цепь в соединении Г/, концами которой являются вершины %, и v. На рис. II. 5.2 приведен пример, в котором V есть вершина из Тр

Может случиться, что A(GZ; Р, Q) = Л (G; Р, Q)・ Тогда справедливость теоремы для графа G вытекает из ее истинности для подграфа GZ (с заданным множеством X попарно непере- секающихся соединений между подмножествами Р и Q).

В оставшемся случае в силу теоремы II. 31 Л (Сл；尸,Q)= =Л (О; Р, Q). Каждой вершине w из G сопоставим вершину ⑫" из ©% так же, как это делалось в разд. II. 2. Отображение 5 f ⑫"преобразует множество подграфов S/ графа G в множество состоящее из 卩 попарно непересекающихся соединений между подмножествами Р я Q в графе Сд. Кроме того, оно индуцирует взаимно однозначное отображение P-базы X (Р) на Р-6азу X"(尸)множества X" в графе Од. Так как мы предположили ранее, что теорема истинна для графа Сд, то приходим к следующему заключению: существует множество У", состоящее из 九 попарно непересекающихся соединений между подмножествами Р и Q в графе Ga и имеющее P-базу У"(Р), содержащую P-базу Х"(Р) множества X".

В графе Ga существует подграф К, компоненты которого являются элементами множества У". Так же как в доказательстве теоремы II. 32, заключаем, что подграф fAK графа G имеет Л компонент, каждая из которых пересекается с подграфами G • Р и G • Q. В подграфе G • Р содержится только по одной вершине из каждой компоненты подграфа 〃К. Кроме того, отображение w^wff индуцирует взаимно однозначное соответствие между

множеством W вершин подграфа f^K, лежащих в подграфе О • Р, и множеством У"(Р). Отсюда следует, что Х(Р) есть подмножество из W.

Ограничим теперь каждую компоненту подграфа fAK на некоторое соединение между подмножествами Р и Q, как это делалось при доказательстве теоремы II. 34. Получаем множество У, состоящее из 九 попарно непересекающихся соединений между подмножеств а ми Р я Q, у которого P-база совпадает с 取 н содержит P-базу Х(Р). Шаг индукции обоснован. □

//.6. Теорема Холла

В еще одном варианте теоремы Менгера рассматриваются два подмножества U и V множества V{G) и ищется максимальное число попарно непересекающихся соединений между U и V. В этом случае «соединением» может быть и граф-вершина в G, соответствующий вершине, принадлежащей одновременно подмножествам U и V^ Кроме того, соединением является цепь в графе G, один конец которой лежит в U я не принадлежит V, а другой содержится в V и не входит в U, причем внутренние вершины цепи (если они есть) не принадлежат ни одному из подмножеств U и V.

Разрезающей парой для подмножеств U м V в графе G назовем всякую упорядоченную пару (Н, К) реберно непересекающихся подграфов // и ^ из G, удовлетворяющих следующим условиям:

U^V (Я), V s V (Л) и ^U^ = G. (п.6.1)

Числом вершинного разделения подмножеств U н V в графе G будем называть число y(G；U, Vj, определяемое соотношением

卩(G； U, V) = min 丨 V (Н П К) I, (П. 6.2) (凡К)

где минимум берется по всем разрезающим парам (Я, Л) для подмножеств U н V в графе G.

Мы могли бы развить теорию, подобную той, которая была изложена в разд. II. 4, взяв вместо соотношений (II. 4.1) и (II. 4.2) соотношения (II. 6.1) и (II. 6.2). Однако в ней прямые прикладные возможности теорем о соединяющих вершинах были бы весьма невысокими.

Существует простой прием, позволяющий 《увязать» старую теорию с новой. В каждой вершине 况 из подмножества U добавим новую петлю BU(U), а в каждой вершине и из V — новую петлю Bv(V), Если вершина х принадлежит одновременно U и U, то в ней появятся две различные новые петли BX(U) и

卩（G;卩（G;U, 10 = 2； Р, Q).U, 10 = 2； Р, Q).(II. 6.3)(II. 6.3)

卩（G;

卩（G;

U, 10 = 2； Р, Q).

U, 10 = 2； Р, Q).

(II. 6.3)

(II. 6.3)

BX(V). Добавление всех указанных петель превращает граф О в новый граф Gb Пусть Р — множество петель 瓦(U), где и пробегает все вершины нз U, a Q — соответствующее множество петель Bu(V), Описанная конструкция иллюстрируется рис. II. 6.1 с U = ={И1,卫2, и^ И V = {s, 3, Уз}.

Разрезающую пару (Н, ^) для подмножеств U н V в графе G можно теперь рассматривать как разрезающую пару для подмножеств Р я Q в графе G］； при этом подграфы Я и К в графе 01 надо, естественно, «пополнить» петлями из подмножеств Р и Q соответственно. Наоборот, если ("i,Ki)—разрезающая пара для подмножеств Р н Q в графе Gi, то, удаляя из подграфов Hi и Ki петли, входящие в Р н Q, приходим к разрезающей паре для подмножеств U и V в графе G. Таким образом, показано, что

Множество попарно непересекающихся соединений между подмножествами U и V в графе G совпадает с множеством попарно непересекающихся соединений между подмножествами Р и Q в графе Gp Применяя теорему II. 34 к графу Gi, получаем следующее утверждение о графе G.

Теорема 11.37. Если U и V——подмножества множества V(G)t то максимальное число попарно непересекающихся со・ единений между U и V в графе G равно 卩(G; U, V).

2-разбиением графа G называется упорядоченная пара (U, V) взаимно дополнительных подмножеств из V(G), таких, что у каждого ребра графа G один конец лежит в подмножестве U, а другой ——в подмножестве V. Граф называется двудольным, если он обладает 2-разбиением. Очевидно, что у двудольного графа петель быть не должно. Займемся приложениями теоремы II. 37 к двудольным графам. Мы будем иметь дело с 1-факторами (соответствующее определение см. в разд. I. 3).

Частичный 1-фактор 尸 графа G представляет собой однородный подграф (графа G) валентности 1. Очевидно, что компоненты такого подграфа F должны быть графами-звеньями. Если У(尸)= V(G), то будем говорить, что 尸 есть i-фактор графа G.

Пусть граф G имеет 2-разбиение (U, U) и 尸一частичный 1-фактор графа О. Назовем U-дефицитом этого фактора F

число би (尸)всех таких вершин из подмножества U, которые не инцидентны ни одному ребру фактора F; V-дефицит бу (尸) фактора F определяется аналогично.

Теорема 11.38. Пусть (U, V) есть 2-разбиение графа G и п — целое положительное число. Для отсутствия у графа G частичного 1-фактора с U-дефицитом, меньшим п, необходимо и достаточно, чтобы в U нашлось подмножество S, удовлетворяющее условию, что число тех вершин подмножества V, которые смежны хотя 6bl с одной вершиной из S, меньше |S| — и.

Доказательство. Из теоремы II. 37 вытекает, что максимально возможное число ребер в частичном 1-факторе графа G равно y(G; U, V). Пусть (〃, Л) — разрезающая пара для подмножеств U и V в графе О, такая, что | Р(" ПК)丨=N (G; U, V). Пусть Х° —множество вершин из U, принадлежащих К, и 先一 множество вершин из V, содержащихся в Н. Тогда

|Xul +【Xy| = |V(HnK)| = N(G; U, V).

Значит, для всякого частичного 1-фактора 戶 графа G справедливы неравенства м(戶)?| U] 一"(G; Ut X) и 6u仍)?1[/| — —IX。丨一丨 Ху |. Положим S = U — Х『Вершина из S может быть смежной только с какими-то вершинами из XVi так как любое инцидентное ей ребро принадлежит Н. Следовательно, вершины из S смежны в совокупности самое большее с |Ху| вершинами, а значит, они смежны не более чем с |S| —配伊)вершинами, принадлежащими V. Отсюда вытекает, что если 8° (戶)>м для всякого F, то вершины из S смежны (в совокупности) с менее чем I SI — л вершинами из V.

Обратно, предположим, что в U есть подмножество S, состоящее из вершин, смежных в совокупности ровно с k вершинами из V, причем 々 v|S| — л. Тогда каждый частичный 1-фактор F графа G содержит не более k ребер, инцидентных вершинам из S. Следовательно, би (尸)> л. □

Если в графе G есть 1-фактор, то очевидно, что подмножества U и V содержат одинаковое число элементов. Этот результат можно рассматривать как следствие теоремы II. 38: надо положить в ней л = 1 и применить ее к двум 2-разбиениям (U, V) и (V, U). Дальнейшее использование теоремы II. 38 приводит нас к следующему утверждению.

Теорема 11.39. Пусть (U, V) есть 2-разбиение графа G. Для существования у G i-фактора необходимо, чтобы, |U| = |V|. А в этом случае граф G имеет ^фактор тогда и только тогда9 когда в U не существует подмножества S, состоящего из вершин, смежных в совокупности с менее чем \S\ вершинами из V.

Теорема IL 39 известна как теорема Холла. Она впервые была опубликована в 1935 году в работе Ф. Холла [1]. Мен- гер свою теорему опубликовал в 1927 году (см. [2]).

Задачу, связанную с теоремой II. 38, часто называют задачей о назначениях. При этом элементы множества U называют «претендентами», а множества V— «должностями» или «видами работ». Наличие в графе G ребра между соответствующими вершинами указывает на то, что данный претендент может быть назначен на данную должность. Частичный 1-фактор графа G с максимально возможным числом ребер дает вариант назначения наибольшего числа претендентов на должности, соответствующие их квалификации.

IL 7. Замечания

П. 7.1. Миноры

Для каждого графа G существует наименьшее число п = ==л(О), такое, что некоторый минор графа G является п-кли- кой. Это число представляет интерес в связи с знаменитой гипотезой Хадвигера, утверждающей, что вершины графа G, не имеющего петель, можно раскрасить в не более чем п (О) цветов. (См. разд. IX. 3.)

Другой хорошо известной гипотезой, связанной с минорами, является следующая: пусть S ——произвольное бесконечное множество графов; тогда в нем найдется такое конечное подмножество Т, что каждый граф из S содержит минор, изоморфный некоторому графу из Т. Для кубических графов это так называемая гипотеза Краскала.

II. 7.2. Рекуррентные формулы

Существует много интересных функций на графах, удовлетворяющих формулам, подобным (II. 2.9), (II. 2.10) и (II. 2.11). Некоторые из таких функций будут рассматриваться в гл. IX.

7.3. Теорема Менгера

Указанную теорему можно обосновывать с помощью методов теории транспортных сетей (см. разд. VI.7). Было предложено много доказательств этой теоремы; возникшая здесь ситуация —это что-то вроде состязания по поиску наиболее короткого доказательства (см. [3]).

Упражнения

Показать, что в графе куба есть минор, являющийся 4-кликой. Существует теорема, утверждающая, что такой минор содержится и в графах всех выпуклых многогранника. Убедиться в справедливости этой теоремы в некоторых простых случаях.

Используя соотношение (II. 2.9) и теорему 1.36, найти число остовов у 4-клики.

Показать, что в графе выпуклого многогранника любые две несмежные вершины разделяются, самое меньшее, тремя другими вершинами.

Показать, что каждый двудольный кубический граф имеет 1-фактор.

Дать формальное доказательство того факта, что любые две различные вершины цикла соединяются двумя и только двумя цепями, причем эти цепи внутренне непересекающиеся.

Какие графы можно преобразовать посредством стягивания одного ребра в: (i) граф куба, (ii) граф октаэдра?

Литература

Hall Ph. On representatives of subsets. — J. bond. Math. Soc. 10 (1935), 26—30.

Menger K- Zur allgemeinen Kurventheorie. — Fund. Math. 10 (1927), 96—115.

Nash-Williams C. St. J. A., Tutte W. T. More proofs of Menger's Theorem. J. Graph Theory 1 (1977), 13—17.

Глава III

ДВУСВЯЗНОСТЬ

III. /. Разделимые и двусвязные графы

Как следует из теоремы 1.21, непустой собственный подграф связного графа О содержит хотя бы одну соединяющую вершину. В настоящей главе излагаются элементы теории таких подграфов графа G, у которых существует в точности одна соединяющая вершина.

Назовем 1-разделением связного графа G упорядоченную пару (Н> К) его подграфов, содержащих хотя бы по одному ребру и таких, что 力 UK=G и Н ] К есть граф-вершина. Вершина нз ”f|K называется точкой сочленения (или разделяющей, вершиной) рассматриваемого 1-разделения.

Связный граф называется разделимым или неразделимым в зависимости от того, имеет он или не имеет 1-разделение. Всякий несвязный граф удобно считать разделимым. Пустой граф мы не будем относить ни к разделимым, ни к неразделимым. Термин «2-связный» (или «двусвязный») используется как синоним термина «неразделимый».

Из данного определения следует, что связный граф, содержащий не более одного ребра, обязательно двусвязен. Значит, двусвязны графы-вершины, графы-петли и графы-звенья.

Теорема 111.1. Пусть G — связж й граф и (〃，К) — его 1-разделение с точкой сочленения v. Тогда подграфы Н и К связны и в каждом из них вершина 口 является соединяющей.

Доказательство. Если Н ——несвязный граф, то в нем найдется компонента С, не содержащая вершину и. Очевидно, что С есть обособленный собственный подграф графа G. Это противоречит теореме 1.21. Значит, Н ——связный граф. Аналогично устанавливается связность и подграфа К・

Отсюда выводим, что вершина v не является изолированной ни в ", нн в К. Так как подграфы " и К не имеют общих ребер, то вершина 口 является соединяющей в каждом из них.

Другой соединяющей вершины у подграфов Я и Л быть не может, иначе она содержалась бы в графе НПК, что невозможно. □

Рассмотрим произвольное 1-разделение (Н, К) связного графа G. Используя терминологию разд. 1.4, можно сказать

(на основании теоремы Ш. 1), что подграфы И и К составляют комплементарную пару подграфов графа G с числом сращивания, равным 1.

Теорема III.2. Пусть G ——связный граф 〃 Н—его собственный подграф, имеющий не более одной соединяющей вершины и содержащий либо ребро, либо вершину, которая не является соединяющей. Тогда пара (Я, Яс) будет 1-разделением графа G.

Доказательство. Как следует из определения подграфа Яс, объединение подграфов Я и Яс совпадает с G. Эти подграфы не имеют общих ребер, а общими вершинами у них являются лишь соединяющие вершины подграфа Н. Далее, подграф 〃 как непустой собственный подграф связного графа имеет хотя бы одну соединяющую вершину. Значит, в силу условия теоремы у него в точности одна такая вершина, скажем и. И следовательно, пересечение подграфов Я и Яс есть граф-вершина, соответствующий вершине и.

Остается показать, что в каждом из подграфов Я и Яс содержится хотя бы по одному ребру. Если бы в Н ребер не было, то в силу условия теоремы в нем нашлась бы вершина х, отличная от и н не принадлежащая Нс. Далее, если бы ребра отсутствовали в подграфе 〃* то в нем содержалась бы вершина у, не входящая в Н, так как иначе подграф Н не был бы собственным подграфом графа G. Таким образом, либо х, либо у была бы изолированной вершиной в графе G. Это противоречит связности графа G. □

Теорема 1П. 3. Двусвязным графом^ содержащим петли, является только граф-петля. Двусвязным графом, содержащим перешеек, является только граф-звено.

Доказательство. Пусть А ——ребро связного графа G. Предположим сначала, что Л——петля. Если G* {Л}——собственный подграф графа G, то в силу теоремы III. 2 G является разделимым графом (с Н = G' {А}). Значит, если G — двусвязный граф, то он должен быть графом-петлей G* {А}.

Теперь предположим, что А — перешеек графа G. Если G не является графом-звеном, то некоторый торцевой граф Н ребра А в графе G отличен от графа-вершины. Но тогда пара (Я,环) будет 1-разделением графа G (по теореме III. 2). □

Теорема III.4. Пусть G — связный граф, имеющий \-разде- ление (", К) с точкой сочленения v. Пусть / — подграф графа G, являющийся либо циклом с ребром, принадлежащим множеству E(H)t либо цепью, оба конца которой лежат 8 множестве V(H). Тогда /三 〃•

Доказательство, Напомним, что циклы и цепи являются связными графами. Заметим также, что если /ПК содержит вершину %, отличную от у, то % должна иметь валентность 2 и в / П /С, и в /.

Предположим сначала, что и не принадлежит / ПК. Тогда, как следует из предыдущих рассмотрений, / П К является собственным обособленным подграфом связного графа /. Значит, /ПК — пустой граф и / 三〃.

В оставшемся случае вершина и принадлежит графу /Г)К. Ее валентность в / ПК не больше 2. Если она равна 2, то / П к является непустым обособленным собственным подграфом связного графа J, что невозможно. Далее, в силу теоремы I. 1 валентность вершины и в / П К отлична от 1. Но если эта валентность равна 0, то граф / П 〃 является непустым обособленным подграфом связного графа /, а значит, совпадает с /. Следовательно, /三".口

Теорема III. 5. Каждый цикл двусвязен.

Доказательство. Предположим, что некоторый цикл G имеет 1-разделение (〃,К). Тогда в G существует ребро, принадлежащее подграфу ", и, значит, по теореме III. 4 G и 〃. Но это невозможно, ибо у G должно быть также ребро, содержащееся в подграфе К. □

Две следующие теоремы важны для приложений результатов из разд. 1.8 и II. 5.

Теорема III. 6. Пусть G — двусвязный граф и Н — непустой его подграф, не являющийся графом-верилиной. Если В является Намостом 8 графе G, то в Н содержатся хотя бы две вершины из В.

Доказательство. Предположим, что в Н содержится не более одной вершины из В. Обращаясь к определению моста, данному в разд. I. 8, видим, что Н принадлежат все соединяющие вершины моста В. Следовательно, В имеет не более одной соединяющей вершины. Далее, так как В не является подграфом в Я, то в В содержится либо некоторое ребро, либо некоторая вершина, не являющаяся соединяющей. Но тогда в силу теоремы III. 2 граф G разделимый. Это противоречит условию теоремы. □

Теорема III. 7. Пусть G ——двусвязный граф, а Р и Q —— непустые непересекающиеся подмножества из E(G). Тогда X(G;P, Q) А.

Доказательство, Предположим, что 入(G;P, Q)v2. Из теоремы II. 28 следует, что существует подграф Н графа G, имею-

щий не более одной соединяющей вершины и такой, что множество £ (Я) содержит подмножество Р и не пересекается с подмножеством Q. Применяя теорему III. 2, заключаем, что граф G разделимый. Это противоречит условию теоремы. □

〃/.2. Построение двусвязных графов

В данном разделе будет продолжена работа, начатая в разд. I. 7. Мы покажем, как можно построить полный перечень попарно неизоморфных двусвязных графов с заданным числом ребер. Начнем с теорем, демонстрирующих, как можно получать некоторые двусвязные графы из двухсвязных графов с меньшим числом ребер.

Теорема IIL8. Пусть G ——связный граф, имеющий 1-разде- ление (〃，К) с точкой сочленения s Пусть J ——двусвязный подграф графа G, содержащий либо ребро из Н, либо вершину, отличую от V и принадлежащую Н. Тогда /三".

Доказательство. Так как граф J Г1К является собственным подграфом графа /, то в / П /С не должно быть соединяющей вершины графа /, отличной от у. Следовательно, по теореме III. 2 в графе / П Л нет ни ребер, ни вершин, отличных от v. □

Теорема III. 9. Пусть Н и К ——двусвязные подграфы графа G, имеющие либо общее ребро, либо две различные общие вершины. Тогда граф 〃U К дву связен.

Доказательство. Связность графа "UK следует из теоремы 1.25. Предположим, что он не является двусвязным. Тогда он имеет 1-разделение (L, М) с точкой сочленения у. Можно считать, что именно подграф L содержит общее для подграфов Н и К ребро или общую для них вершину, отличную от V. Но тогда в силу теоремы III. 8 H{j Lt что невозможно, так как в М есть ребро из "UK, не принадлежащее L. □

Теорема III. 10. Пусть Н — двусвязный подграф графа G и N—цепь из G, оба конца которой лежат 8 Н. Тогда подграф Н U N двусвязен.

Доказательство. В силу теоремы 1.25 подграф "UN связен. Предположим, что он не является двусвязным. Тогда он имеет 1-разделение (L, М). На основании теоремы III. 8 можно считать, что Н ^ L. Применяя теорему III. 4, заключаем, что N 三 L. Значит, H\}N ^L. Мы получили противоречие. □

Теорема III. 11. Пусть G — двусвязный граф, содержащий хотя бы два ребра. Тогда G можно представить в виде объединения двусвязного подграфа Н графа G и цепи L из G, такой» что она уклоняется от Н, но оба ее конца лежат s Н.

Доказательство. Каждое ребро Л из G определяет двусвязный собственный подграф G- {А} графа G. Следовательно, можно утверждать, что существует двусвязный собственный подграф И графа G, имеющий максимально возможное число ребер (скажем, л). Очевидно, что п > 0. Так как Н — собственный подграф в G, то в силу теоремы 1.51 в графе G найдется /7-мост В. Этот мост имеет в Н две различные вершины х и у (см. теорему III.6). На основании теоремы 1.56 заключаем, что эти вершины являются концами некоторой цепи 厶 в В, уклоняющейся от Н.

По теореме III. 10 подграф Н\] L графа G двусвязен. Но он имеет больше чем п ребер, а потому не может быть собственным подграфом графа G. Значит, он совпадает с G. □

Применим теперь конструкцию, в которой граф G строится из графа И с помощью подсоединения к нему цепи L. Концы цепи L являются вершинами в Я, но ее ребра и внутренние вершины в 〃 не входят. В результирующем графе G граф Н будет подграфом, a L — цепью, уклоняющейся от Н* Будем говорить, что граф G построен из графа Н присоединением. цепи А.

Из теоремы III. 10 вытекает, что, присоединяя цепь к двусвязному графу Н, мы всегда получаем двусвязный граф. Кроме того, из теоремы III. 11 следует, что каждый двусвязный граф, содержащий хотя бы два ребра, может быть построен указанным присоединением цепи к некоторому подходящему меньшему двусвязному графу.

Пусть Ln обозначает полный перечень попарно неизоморфных двусвязных графов с п ребрами. Перечень Lo состоит, очевидно, только из графа-вершины, а перечень 厶一из графа- петли и графа-звена. Если m> i п перечни &,厶， • • •» Lm—1 известны, то можно построить перечень 厶加. Для этого надо всевозможными попарно неизоморфными способами присоединить подходящие цепи к графам из перечней Lo> Li, • • •» Lm—\, а затем из получившейся совкупности графов выделить максимальное множество попарно неизоморфных графов. Перечень Lq можно не брать, так как присоединить цепь к одновершинному графу невозможно.

В качестве примера построим все графы из перечня 厶2, присоединяя 1-цепь всеми возможными способами к графам из перечня Л]. Это означает на самом деле, что надо присоединить

Рис. III. 2.1. Перечень Л3.

Перечень &.

1-цепь к графу-звену только одним возможным способом. Следовательно, в перечне 厶2 содержится лишь один граф, а именно 2-цикл.

Для получения перечня L3 надо присоединить 2-цепи к графам из 厶 и 1-цепи к графам из 厶・ Нетрудно видеть, что в 厶 содержатся только два графа — 3-цикл и 3-звенник (см. рис. III.2.1).

Для построения перечня L《надо присоединить 3-цепи к графам из 厶，2-цепи — к графам из & и 1-цепи — к графам из 厶. Результирующий перечень показан на рис. III. 2.2. Перечни 厶 и 厶 приведены соответственно на рис. III. 2.3 и III. 2.4.

Перечень связных разделимых графов с п ребрами можно получить из перечня Мп? рассматривавшегося в разд. I. 7, удаляя графы, входящие в перечень Ln из настоящего раздела. В качестве примера на рис. III. 2.5 показаны все связные разделимые графы с четырьмя ребрами.

Рис. III. 2.5. Связные разделимые графы с 4 ребрами.

IIL 3. Блоки

Блоком в графе G называется максимальный двусвязный подграф графа G, т. е. двусвязный подграф графа G, не содержащийся ни в каком другом таком подграфе.

Теорема III. 12. Пусть Н — двусвязный подграф графа G. Тогда И содержится в некотором блоке графа G. Более того, если подграф Н отличен от графа-вершины, то он содержится ровно в одном блоке графа G.

Доказательство. Первая часть теоремы вытекает из конечности графа G. Для доказательства второй части предположим, что И содержится в двух блоках В】и В2. Так как Н не является графом-вершиной, то в силу теоремы III. 9 объединение Bi U В2 является двусвязным подграфом. Но тогда, учитывая максимальность блоков Bi и В2, имеем Вх\] В2 — В\ = В2- □

Теорема III. 13. Пусть G ——произвольный граф. Тогда каждое его ребро и каждая его верилина принадлежат некоторому блоку графа G. Более тогоу каждое ребро принадлежит только одному блоку графа G,

Доказательство. Так как граф-вершина, граф-петля и граф- звено—двусвязные графы, то утверждение следует из теоремы III. 12. □

Теорема III. 14. Блоки графа G являются блоками его компонент.

Доказательство. Блок графа G, будучи связным подграфом, содержится в некоторой компоненте С графа G (см. теорему 1.24) и, очевидно, является блоком этой компоненты. Обратно, блок компоненты С графа G должен быть блоком графа G, ибо всякий двусвязный подграф графа G, содержащий этот блок, должен быть подграфом данной компоненты (см. теорему I. 24). □

Из теоремы следует, что в дальнейших рассмотрениях, относящихся к теории блоков, можно без потери общности ограничиться случаем связных графов.

Теорема III. 15. Двусвязный граф имеет в точности один блок,——это сам рассматриваемый граф. Разделимый граф содержит не менее двух блоков.

Доказательство. Справедливость первой части утверждения вытекает из определения понятия блока. Справедливость второй части следует из теоремы III. 13, ибо каждый блок разделимого графа G должен быть его собственным подграфом. □

Теорема III. 16. Пусть G — связный граф, не являющийся графом-веригиной. Тогда каждый блок графа G содержит хотя бы одно ребро.

Доказательство, Пусть В — блок графа G. Если в В нет ребер, то он должен быть (так как он связен) графом-вершиной. Пусть его вершиной будет х. По условию теоремы вершина х инцидентна некоторому ребру А графа G. В силу теоремы III. 13 в графе G существует блок 方-содержащий ребро А. Но тогда блок В является собственным подграфом блока В\ что противоречит определению блока. □

Георема III. 17. Если Л — петля или переилеек в графе G, то подграф G- {Л} является блоком графа G.

Доказательство, Из теоремы III. 13 вытекает, что ребро А принадлежит некоторому блоку В графа G. Но тогда в силу теоремы 1.32 А есть либо петля, либо перешеек блока В. Значит, В является графом-петлей или графом-звеном (см. теорему Ш. 3), т. е. В = G- {Л}. □

Теорема III. 18. Пусть /^ 〃 厶2 — разные ребра графа G, Они принадлежат одному блоку графа G тогда и только тогда, когда оби они содержатся в некотором цикле графа G. (См. [2]-)

Доказательст во. Предположим, что А{ и Л2 — ребра цикла Q в графе G. Тогда Q есть подграф некоторого блока В графа G (см. теоремы III. 5 и III. 12).

Обратно, пусть ребра А{ и Л2 принадлежат блоку В графа G. В силу теоремы III. 7 Л (В; {4}, {4})》2. По теореме II. 34 в блоке В найдутся два непересекающихся соединения Т】н Т? между {4} и {4}. Предположим, что конец хх ребра 4 содержится в 7\, а конец 打一 в Т2 H аналогично конец у{ ребра Д2 принадлежит 7\, а конец у2 — соединению 丁2・ Может случиться, что либо %1=У1, либо х2 = //2- Взяв объединение подграфов 7\ и Т2 H присоединяя к нему ребра Л1 и Л2, получим однородный граф Q валентности 2. В силу теоремы 1.25 граф Q является связным. Значит, он есть цикл в блоке В и графе G (см. теорему I. 27). □

В оставшейся части данного раздела изучается взаимосвязь между блоками связного графа G и его точками сочленения, т. е. точками сочленения 1-разделений графа G.

Теорема III. 19. Пусть G — связный граф и и — точка сочленения графа G, соответствующая некоторому 1 -разделению (〃,К). Тогда и принадлежит не менее чем двум разным бло-

кам графа G, причем по крайней мере один из этих блоков содержится в Н и по крайней мере один из них содержится в К.

Доказательство. Вершина и инцидентна некоторому ребру Ля из Я и некоторому ребру 4K из К (см. теорему III. 1). В силу теоремы III. 13 эти ребра принадлежат соответственно блокам Вн и Вк графа G. Но по теореме III. 8 Вн Н и Вк 三 К. □

Теорема III.20. Пусть G — связный граф, В — блок в G и % — вершина из 5. Пусть Н ——та компонента подграфа G:(E(G) — Е(В)), которая содержит вершину х. Тогда либо Н есть граф-верилина, либо (Я, Яс) есть 1-разделение графа G, причем в последнем случае % является точкой сочленения 1-раз- деления (Я, Нс).

Доказательство. Сначала установим, что в И нет вершин из В, отличных от х. В самом деле, если у принадлежит /7 и В и отлична от х, то в Я существует (см. теорему 1.43) цепь L с концами х и у. Тогда подграф B\}L графа G (на основании теоремы III. 10) двусвязен, что невозможно (в силу максимальности блока В).

Предположим, что компонента Н не является графом-вершиной. Тогда по теореме III. 16 каждый из подграфов Я и В, будучи связным графом, содержит ребро, инцидентное вершине х. Следовательно, % — соединяющая вершина для Н. Используя результат предыдущего абзаца, заключаем, что % — единственная соединяющая вершина в Н. Применяя далее теорему III. 2, получаем, что пара (Н, Н^) есть 1-разделение графа G. Наконец, из теоремы III. 1 следует, что х — точка сочленения этого 1-разделения. □

Теорема 111.21. Пусть В — блок связного графа G. Тогда всякая точка сочленения графа G, содержащаяся в В, является соединяющей верисиной для В. Эти точки сочленения можно охарактеризовать как вершины, в которых блок В《встречает》 другие блоки графа G.

Доказательство. Пусть % — точка сочленения графа G, принадлежащая В. Тогда в силу теоремы III. 19 в вершине % блок В встречает другой блок графа G.

Пусть, далее, у ——произвольная вершина, в которой блок В встречает другой блок 6’ графа G. Так как граф G содержит более одного блока, то он не является графом-вершиной. Используя теорему III. 16 и связность блока, получаем, что в блоке Bf есть ребро, инцидентное вершине у. Следовательно, у — соединяющая вершина для В.

Наконец, пусть z ——произвольная соединяющая вершина для В. Тогда компонента Н подграфа G:(E(G) — Е(В)), содержащая N, не является графом-вершиной, а значит, в силу теоремы III. 20, вершина z есть точка сочленения графа G. □

Теорема III. 22. Пусть G — связный граф и (〃，К)—i-раз- деление графа G с точкой сочленения х. Тогда всякий блок графа G является блоком одного из подграфов Н или К. Кроме того, всякая точка сочленения графа G является точкой сочленения хотя 6匕£ одного из подграфов Н и К или совпадает с точкой г.

Доказательство, По теореме III. 8 любой блок графа G содержится либо в Я, либо в К и, следовательно, должен быть блоком в Н или в К. В силу теорем III. 13 и III. 16 подграфы Н и К никаких других блоков не имеют. Применяя теорему III. 21, получаем, что всякая точка сочленения графа О, отличная от вершины х, является точкой сочленения в Н или К □

Взаимосвязь между блоками и точками сочленения связного графа G можно отразить с помощью так называемого графа блоков и точек сочленения графа G (обозначение Blk(G)). Это граф без петель и кратных ребер, имеющий 2-разбиение (U, V); вершины из подмножества U являются образами блоков графа G при некотором взаимно однозначном отображении f, а вершины из V являются образами точек сочленения графа G при некотором взаимно однозначном отображении g. Вершина fB из U смежна с вершиной gx из V тогда и только тогда, когда блок 5 содержит точку сочленения % (в графе G).

Если G ——граф-вершина, то граф Blk(G) тоже будет графом-вершиной (эта единственная вершина лежит в подмножестве U).

На рис. III. 3.1 изображены связный разделимый граф G и его граф блоков и точек сочленения Blk(G). Блоки графа G обозначены большими буквами, а точки сочленения ——малыми.

В разд. I. 3 мы определили объединение и пересечение двух подграфов Н и К графа G. Эти определения легко обобщаются на случай трех и большего числа подграфов. Объединением подграфов /Л, 〃2, ■ - •, Hk графа G называется подграф графа G, который образован ребрами и вершинами, принадлежащими этим k подграфам (берутся каждое ребро и каждая вершина, содержащиеся хотя бы в одном подграфе 〃『). Пересечение подграфов /Л, 〃2, . - •, Hk ——это подграф графа G, который образован ребрами и вершинами, содержащимися в каждом подграфе Н； (/ = 1, ..., k). Подграфы Н, могут не все быть разными. Сейчас мы воспользуемся данными обобщениями.

Теорема III.23. Если G — связный граф, то граф Blk(G) является деревом.

Доказательство. Предположим сначала, что Blk(G)——несвязный граф. Пусть С — одна из его компонент. Обозначим через Н объединение всех тех блоков графа G, которые соответствуют вершинам подмножества U, лежащим в С. Пусть К — объединение всех остальных блоков графа G. В силу теоремы III. 19 всякая компонента графа Blk(G) содержит вершину из подмножества U. Следовательно, каждому из подграфов Н н К графа G принадлежит хотя бы одно ребро (см. теорему III. 16). Более того, каждое ребро графа G содержится точно в одном из подграфов 〃 и К (см. теорему III. 13). Из связности графа G следует, что подграф Н имеет соединяющую вершину х, которая должна принадлежать одновременно некоторому блоку в подграфе Н и некоторому блоку в подграфе К. Но тогда вершина gx графа Blk(G) смежна с какой- нибудь вершиной из 力，лежащей в С, и с некоторой вершиной из U, не принадлежащей С. Это противоречит тому, что С —— обособленный подграф в Blk(G).

Предположим теперь, что не каждое ребро в графе Blk(G) является перешейком. Тогда по теореме 1.45 в Blk(G) существует цикл. Так как в графе Blk(G) нет ни петель, ни кратных ребер, то в G найдутся и различных блоков Вь В?, ...

Вп (п ^ 2) ин различных точек сочленения 修‘打，…,хп, удовлетворяющих условию, что для каждого j (/ = 1, ..., и) вершина х； является общей для блоков B/_i и В『,где Bq = Вп・ Пусть Н — объединение всех блоков В/, отличных от блока 巴. Используя теорему 1.25 (возможно, несколько раз), получаем, что Н ——связный подграф графа G. В силу теоремы I. 43 в // существует цепь L с концами %i и хп. Но тогда Bi[] L является двусвязным подграфом графа G, содержащим В\ в качестве

собственного подграфа (см. теоремы III. 13 и III. 14). Это противоречит максимальности блока В\.

Итак, мы можем утверждать, что граф Blk(G) является связным лесом, т. е. деревом. □

Теперь к блокам можно применить результаты из теории деревьев. Например, концевым блоком связного графа G назовем такой его блок, который содержит ровно одну точку сочленения графа G; тогда концевым блокам графа G соответствуют одновалентные вершины из подмножества U в графе Blk(G). Так как валентность каждой вершины из подмножества V в графе Blk(G) не меньше 2, то, применяя теоремы III. 19 и 1.40» получаем такую теорему:

Теорема III.24. Если G ——связный разделимый граф, то он содержит хотя бы два концевых блока.

Ш. 4. Ответвления

Пусть G ——связный граф, х — вершина в нем и X ——граф- вершина, соответствующий х. Ответвлением в вершине % в графе G называется Х~мост в G.

Теорема III. 25. Ответвление в вершине % в графе G является связным графом, отличным от графа-верилины и содержащим вершину х.

Доказательство. Пусть U — ответвление в вершине % в графе G. Если бы U было несвязным подграфом или не содержало х, то в нем нашлась бы компонента С, которой % не принадлежала бы. Так как только % может быть соединяющей вершиной для U в G (см. определение моста), то компонента С должна быть обособленным подграфом графа G. Но это невозможно из-за связности графа G.

Значит, мы можем утверждать, что ответвление U является связным подграфом, содержащим вершину х. Оно не может быть подграфом графа-вершины X (в силу определения моста) и, следовательно, отлично от графа-вершины. □

Из доказанной теоремы следует, что в графе-вершине ответвлений нет. В остальных случаях всегда существует хотя бы одно ответвление (см. теорему 1.51). Если ответвление у графа G только одно, то (на основании теоремы 1.51) оно совпадает с G. Для случая двух или большего числа ответвлений справедливо следующее утверждение.

Теорема III.26. Если у графа G в вершин? % существуют хотя бы два ответвления и U — одно из них, то пара (U, U°) является 1-разделением графа G с точкой сочленения х.

Утверждение вытекает из теорем IIL 2 и III.25.

Займемся установлением взаимосвязи между ответвлениями и блоками графов.

Теорема 111.27. Пусть U ——ответвление в вершине % в графе G. Тогда в G существует единственный блок В, содержащийся в U и содержащий х.

Доказательство, В силу теоремы III. 25 ответвление U имеет ребро А, инцидентное х. Это ребро принадлежит блоку В графа G, содержащему вершину % (см. теорему IH. 13). Но тогда блок 5 содержится в U. В самом деле, если U——единственное ответвление в вершине х, то указанный факт вытекает из того, что U = G, а в противном случае он следует из теорем III. 26 и III.8.

Если В ——единственный блок графа G, содержащий х, то теорема, очевидно, справедлива. Поэтому предположим, что в G существует еще один такой блок В'. Тогда % инцидентна некоторому ребру Л графа G, принадлежащему блоку В' и не принадлежащему блоку В (см. теорему III. 13). Следовательно, компонента Н подграфа G:(E(G)—Е(В)), содержащая х, отлична от графа-вершины. Используя теорему IIL 20, устанавливаем, что пара (Я, Яс) является 1-разделением графа G с точкой сочленения х. Из определения подграфа Н вытекает, что все ребра подграфа Яс, инцидентные вершине х, принадлежат множеству Е(В).

Далее, "с есть Х-обособленный подграф в G. В силу теорем III. 1 и I. 46 подграф HC(]U является Х-обособленным в G. Но /Л П U не может быть подграфом графа X, так как в нем содержатся все ребра блока В, инцидентные вершине х. Принимая во внимание «мостовую минимальность» ответвления U, получаем включение U 三 Яс. Следовательно, все ребра из U, инцидентные х, содержатся в В. Но Л не является таким ребром; значит, Bf не содержится в [/. □

Теорема III.28. Пусть G — связный граф, отличный от графа-вершины. Тогда его блоки являются блоками его ответвлений в вершине х. Всякая точка сочленения графа G, отличная от х, является точкой сочленения некоторого его ответвления в верилине х. Сама вершина % не является точкой сочленения никакого ответвления в графе G в вершине х.

Доказательство. Пусть В ——блок графа G. В блоке В содержится ребро А, и оно принадлежит некоторому ответвлению U

в вершине % в графе G (см. теорему I. 51). Значит,в силу теоремы III. 8 и того факта, что U = G, если U — единственное ответвление в вершине х, то В 三 U. Принимая во внимание минимальность блока В в графе G, получаем, что В должен быть блоком н в U. Тем самым все блоки всех ответвлений в вершине % в графе G нами выявлены (см. теорему III. 13). Утверждения о точках сочленения теперь выводятся из теорем III. 21 и III. 27. □

Теоремы III. 27 и III. 28 показывают, что между множеством ответвлений в вершине % в графе G и множеством блоков графа G, содержащих х, существует взаимно однозначное соответствие. Каждое такое ответвление содержит ровно один такой блок и, наоборот, каждый такой блок содержится только в одном таком ответвлении. Из теоремы III. 21 следует, что в вершине % существуют два или более ответвлений тогда и только тогда, когда она является точкой сочленения графа G.

Изложенные результаты представляют особый интерес в том случае, когда граф G является деревом. Тогда его блоки представляют собой графы-звенья, определяемые соответствующими ребрами графа G (см. теорему III. 17). Число ответвлений в вершине х равно val(G, х), и каждое ребро, инцидентное х, содержится только в одном из этих ответвлений. Каждое ответвление в вершине % в дереве G, будучи связным лесом, само является деревом (см. теоремы III. 25 и I. 33). Если U—■ ответвление в вершине % в дереве G, то % — одна из висячих вершин в U и, кроме того, единственная соединяющая вершина для U. Всякая другая вершина в U инцидентна такому же числу ребер в U, как и в графе G, и валентности у нее в U и G одинаковые. Из теоремы 1.40 следует, что ответвление U должно содержать по меньшей мере одну одновалентную вершину дерева G, отличную от х.

В частности, дерево G может быть цепью L с концами у и г и внутренней вершиной х. Тогда в L существуют ровно два ответвления в вершине х. Из проведенных выше рассмотрений и теоремы 1.40 вытекает, что одно из этих ответвлений есть цепь LXy с концами х и //, а другое — цепь Lxz с концами :v и z. Пересечением этих ответвлений является граф-вершина К, а объединением ——все дерево G (см. теорему 1.51). Будем говорить, что вершина % разбивает цепь L на две цепи Lxy и Lxz. Это разбиение цепи L нетрудно, конечно, описать с помощью ее естественной нумерации, которая рассматривалась в разд. I. 2.

В качестве примера связного разделимого графа G, не являющегося деревом, можно взять граф, представленный первой диаграммой на рис. III. 3.1. У этого графа в вершине b

существуют три ответвления. Одно из них состоит из блоков Л и В, другое ——из блоков С и Q, а третье ——из блоков Е и F. Из двух ответвлений в вершине а одно является графом-петлей 6- {Л}, а второе — объединением всех остальных блоков.

///. 5. Удаление и стягивание ребра

Пусть G ——связный граф. Нам удастся представить его в виде нити блоков, если мы сможем для некоторого целого числа 左纟2 указать такую нумерацию блоков Вь В2» • • •, Bk графа G и такую нумерацию его точек сочленения и】, и?, ...,что будет выполняться следующее условие: точка сочленения у； принадлежит только блокам В/ и 吕/十】 (/ = 1,...

k——1). Очевидно, что связный граф G представим в виде нити блоков тогда и только тогда, когда соответствующий ему граф Blk(G) является цепью.

В рассмотренной выше нити блоков концевыми являются только два блока В\ и Bk. Выберем в Bi вершину х, отличную от 6, н в & вершину 协 отличную от 〃—卜 и добавим к графу G новое ребро-звено Л с концами х и у. Будем говорить, что ребро А замыкает данную нить блоков.

Теорема III.29. Пусть граф К образован замыканием нити блоков некоторым новым звеном Л. Тогда К ——двусвязный граф.

Доказательство, Воспользуемся введенными выше обозначениями и будем считать, кроме того, что х = vo и у = и也.Из теоремы L 43 следует, что в каждом блоке В, существует цепь Lj с концами u/_i и у/. Применяя несколько раз теорему L 25, приходим к заключению, что объединение цепей L, является связным подграфом L, представляющим собой (в силу теоремы I. 26) цепь с концами хну. После присоединения к ней звена Л получается цикл С (см. теоремы 1.27 и I. 43), который в каждом блоке 8, графа G имеет по одному ребру. Следовательно, на основании теорем III. 5 и III. 9 граф К является двусвязным. □

Теорема II 1.30. Пусть G ——двусвязный граф, содержащий хотя бы два ребра, и Л ——некоторое ребро этого графа. Тогда подграф G】либо является двусязным, либо представляет со- бой нить блоков, из которой граф G получается путем замыкания ее ребром А.

Доказательство. В силу теоремы III. 3 подграф Ga является связным и ребро Л есть звено графа G. Предположим, что

(Ji не двусвязен. Тогда по теореме III. 15 он содержит не менее двух блоков. Пусть В — концевой блок подграфа 6д. В этом блоке найдется вершина, отличная от его точки сочленения и являющаяся концом ребра Л в графе G (ибо в противном случае на основании теоремы III. 2 пара (В, 5е) была бы 1-разделением графа G). Применяя теорему III. 24, заключаем, что подграф Ga имеет в точности два концевых блока, каждый из которых содержит по одному концу ребра Л и эти вершины (концы ребра Л) не являются точками сочленения подграфа Од. Следовательно, граф Blk(G；) есть цепь, ибо он является деревом, имеющим только две висячие вершины (см. теоремы III. 23 и I. 40). Отсюда выводим, что бд ——нить блоков, замыкая которую ребром 4 мы получаем граф G. □

Установим теперь соответствующее утверждение для графа G；. Мы используем обозначения из разд. II. 2.

Теорема III. 31. Пусть Л — ребро двусвязного графа G. Тогда либо граф (?7 является двусвязным, либо он имеет только одну точку сочленения и эта точка — вершина ил. В последнем случае ребро Л есть звено графа G и для каждого блока В графа Од подграф fAB графа G двусвязен.

Доказательство. Граф Од связен в силу теоремы II. 5. Предположим, что он не двусвязен. Тогда в нем существуют не менее двух блоков (см. теорему III. 15) и хотя бы одна точка сочленения (см. теорему III. 21). Применяя теорему III. 16, получаем, что в G； содержится не менее двух ребер. Из теоремы III. 3 следует, что ребро Я является звеном графа G.

Предположим, что в графе Ga есть точка сочленения % и она отлична от вершины vA. Тогда существует 1-разделение (〃，К) графа GZ с точкой сочленения х, и можно считать, что вершина vA принадлежит подграфу Н. Используя теорему II. 3, заключаем, что подграф fAK графа G имеет только одну соединяющую вершину. Однако в силу теоремы III. 2 и двусвязности графа G это невозможно. Так как у графа G； есть хотя бы одна точка сочленения, то из сказанного выше вытекает, что ею является только вершина и^.

Рассмотрим теперь произвольный блок В графа бд. Единственной соединяющей вершиной для В является ид. Следовательно, в подграфе /дВ графа G соединяющими вершинами могут быть только концы хну ребра 4 Предположим, что подграф fAB не двусвязен. Тогда он имеет 1-разделение (〃, К) с некоторой точкой сочленения г, и можно считать, что ребро А

содержится в подграфе Н. При этих условиях вершина 2 будет единственной соединяющей вершиной для К в графе G, что невозможно в силу двусвязности графа G □

Теорема HL 32. Пусть Л — ребро двусвязного графа G. Тогда либо граф G? двусвязен, либо граф G есть объединение двух или большего числа двусвязных графов 〃】,Я2, • • > 〃尼，удовлетворяющих условию, что каждый из них содержит хотя бы два ребра и пересечение любых двух из этих графов является графом-звеном G • {Л}.

Этот результат следует из теоремы III. 31. Графами Н{ являются графы fABt такие, что В — блоки графа G；.

Теорема 111.33. Пусть G — двусвязный граф, имеющий не менее двух ребер, и Л — некоторое ребро из G. Тогда хотя бы один из графов Од или бд является двусвязным,

Доказательство. В силу теоремы III. 3 ребро Л есть звено графа G. Пусть х и у — концы этого ребра. Предположим, что оба графа Ga и G； не двусвязны. По теореме III. 30 в графе не существует блока, содержащего обе вершины хну. Обращаясь к теореме Ш. 32, видим, что каждый из графов (Н0а связен (в силу теоремы III. 3). Значит, вершины хну являются концами цепи L】в графе (Я^д и цепи L2 в графе (〃2)а (см. теорему 1.43). Эти две цепи внутренне непересека- ющиеся и их объединение является циклом (на основании теорем 1.27 и 1.43). Из теорем III. 5 и III. 12 следует, что указанный цикл содержится в некотором блоке графа Ga и обе вершины хну принадлежат этому блоку. Мы пришли к противоречию. □

IIL 6. Замечания

6.1. Двусвязность и планарность

Свойство двусвязности, или неразделимости, представляет особый интерес в связи с исследованием планарных графов. Если связный граф изображен на двумерной сфере, то точки сферы, не принадлежащие нарисованному графу, распадаются на конечное число топологических дисков. В случае когда граф двусвязен, каждый из этих дисков ограничен некоторым циклом графа. Это предложение является топологической теоремой, а соответствующий ему комбинаторный результат приведен в гл. XI (см. теорему XL 22). Одна из классических статей Уитни называется «Неразделимые и планарные графы» (см. [2]).

Упражнения

Пусть а, Ь и с―три различные вершины двусвязного графа G. Показать, что (i) в графе G существует цепь с концами 6 и с, не содержащая вершину a, (ii) в графе G существует цепь с концами b и с, содержащая вершину а.

Пусть у связного графа G число блоков равно № а число точек сочленения равно г. Пусть щ ——число ответвлений в i-й точке сочленения. Доказать формулу Харари ^ — ^ п{ + г — I (см. [1]).

Пусть % и у — различные точки сочленения связного графа G, причем у принадлежит ответвлению U в вершине х в графе G. Описать ответвления в вершине у в графе G с помощью ответвлений в вершине % в графе G и ответвлений в вершине у в графе U.

Литература

Нагагу F. An elementary theorem on graphs.—Amer. Math. Monthly 66 (1959), 405—407.

Whitney H. Nonseparable and planar graphs. — Trans. Amer. Math. Soc. 34 (1932), 339—362.

Глава IV

ТРЕХСВЯЗНОСТЬ

/V. 1. т-связность

Понятие двусвязности, изучавшееся в гл. III, можно обобщить следующм образом.

Пусть G ——связный граф и п ——произвольное целое положительное число; п-разделением графа G называется упорядоченная пара (Я, К) реберно непересекающихся подграфов графа G, удовлетворяющих следующим трем условиям:

"UK = G;

H и К имеют ровно п общих вершин;

в каждом из подграфов Н и К содержится не менее и ребер.

Будем говорить, что граф G является m-связным, где m —— целое положительное число, если он не имеет n-разделений для n < т. Таким образом, говоря, что граф G 1-связен, мы просто утверждаем, что он является связным графом. Введенное нами понятие m-связности согласуется с понятием двусвязности из гл. III.

Широко известны иные варианты данного выше определения. Предположим, например, что условие (iii) заменено следующим:

(iii)' в каждом из подграфов Н и К содержится вершина^ не принадлежащая другому из них.

Пару (〃，К), удовлетворяющую условиям (i), (ii) и (iii)', будем называть вершинным п-разделением графа G. Будем говорить, что граф G является вершинно m-связным, если он не имеет вершинных n-разделений для n V 7k.

Еще один вариант определения связности получается при замене условия (iii) на такое:

(iii)" каждый из подграфов Н и К содержит цикл.

Соответствующая пара подграфов (〃, К) в этом случае называется циклическим п-разделением графа G, а новый вид /п-связности называют циклической т-связностью.

В нашей книге мы обычно будем иметь дело с п-разделе- нием и /и-связностью, определяемыми условиями (i)——(iii), но иногда будут затрагиваться и два других вида /и-связности.

Заметим, что большинство авторов /и-связностью называют вершинную /и-связность. Наша m-связность имеет то преимуще-

ство, что ее можно обобщать самодвойственным образом на матроиды.

Для начала познакомимся с двумя теоремами-примерами.

Теорема IV.1. Пусть G…связный граф, имеющий такой цикл С, что |Е(С) J W |E(G) |/2. Тогда пара (С, Сс) является п-разделением графа G для некоторого 孔 & |Е(С) |.

Доказательство. Число п общих вершин у подграфов С и Сс не превосходит | V(C) | = |£(С) |. Из условия теоремы вытекает, что в каждом из подграфов С и Сс ребер не меньше, чем |Е(С)|. Следовательно, условия (i)——(iii) из определения n-разделения будут выполнены, если положить Н = С и К = S □

Следствие IV. 2. Двусвязный граф, содержащий не менее двух ребер, петель не имеет, Трехсвязный граф, содержащий не менее четырех ребер, является простым графом.

Очевидно, что первая часть этого следствия содержится в теореме III. 3.

Теорема IV. 3. Пусть G — связный граф, отличный от графа- вершины, и х ——такая его вершина, что val(G, х) W |Е(6) |/2. Пусть Н ——подграф графа G, определяемый вершиной х, инцидентными ей ребрами и другими концами этих ребер. Тогда пара (//, 〃с) является п-разделением графа G для некоторого целого положительного n W val (G, х).

Доказательство. Заметим, что в силу связности графа G val(G,x)>0. Пусть п — число общих вершин в 〃 н Нс. Допуская возможность наличия в G петель, можем написать

1 < I Е (77) I ^ val (G, х)・ (IV. 1.1)

Значит, принимая во внимание условие теоремы, получаем, что каждый из подграфов Я и Яс имеет хотя бы одно ребро. Из связности графа G вытекает, что у Н н Н。есть хотя бы одна общая вершина. Следовательно, 〃 > 0.

Далее, п не может превосходить \Е{Н) |. Поэтому, учитывая соотношение (IV. 1.1) и условие теоремы, заключаем, что п не может превосходить и | Е (Нс) |. Значит, выполнения условий (i)——(iii) можно достичь, полагая К = Нс. □

Теорема IV. 4. Если в трехсвязном графе существуют четыре ребра, то у него не меньше шести ребер и не меньше четырех вершин.

Доказательство. Из следствия IV. 2 вытекает, что такой граф не имеет петель и кратных ребер. Значит, в нем более трех

вершин. В силу теоремы IV. 3 валентность каждой вершины этого графа не меньше 3. Следовательно (см. соотношение (1.1.1)), в этом графе не меньше шести ребер. □

GGGGGGGGПусть 左—— такое наибольшее число, что граф G является ^-связным. Это число k будем называть связностью графа и обозначать символом x(G). Если такого числа для графа не существует, то мы будем говорить, что связность графа бесконечна (и писать x(G) = оо). Очевидно, что связный rpa(j

GGGG

GGGG

является /тг-связным для всякого целого положительного числа /и, не превосходящего его связности x(G). Опишем все графы, имеющие бесконечную связность. Можно использовать следующее утверждение.

Теорема IV. 5. Пусть G есть к-связный граф, содержащий не более 2k— 1 ребер. Тогда 乂(G)= оо.

Справедливость теоремы вытекает из весьма очевидного замечания: условие (iii), входящее в определение п-разделения, ни для какого п^ k выполняться не может. Описание графов с бесконечной связностью дано в следующей теореме. При этом нуль-графы не рассматриваются, так как они несвязны, а потому определение й-связности к ним не применимо.

Теорема IV. 6. Графы, с бесконечной связностью являются двусвязными графами, имеющими не более трех ребер. Таким образом, полный перечень таких графов состоит из графа-вершины, графа-петли, графа-звена, 2・цыкла, 3-цикла и З-звенника.

Доказательство. Шесть перечисленных графов являются двусвязными и в каждом из них не более трех ребер (см. разд. III. 2). В силу теоремы IV. 5 все они имеют бесконечную связность.

Предположим, что G ——еще какой-то граф с бесконечной связностью. В нем должно быть не менее четырех ребер. Кроме того, он не имеет ни петель, ни кратных ребер (см. следствие IV. 2), содержит не менее четырех вершин (см. теорему IV. 4), и валентность каждой вершины не меньше 3.

Выберем вершину % с минимальной валентностью. Пусть эта валентность равна Ь. Рассмотрим подграф ", который получается из G после удаления вершины % и инцидентных ей ребер. У подграфа Н не менее трех вершин, и валентность каждой вершины не меньше 6—1. Принимая во внимание соотношение (I. 1.1), заключаем, что в подграфе Н не менее чем 3(Ь—1)/2 ребер. Так как b N 3, то указанное число ребер не меньше Ь. Следовательно (на основании теоремы IV. 3), граф G, самое

большее, 6-свнзен. Это противоречит предположению о его бесконечной связности. ГП

В заключении настоящего раздела рассмотрим несколько теорем, связанных с операциями удаления и стпгнванкн (вершин и ребер графа).

Теорема IV. 7. Пусть G — связный граф с конечной связностью к и Л——ребро в G, «в являющееся перешейком. Тогда "(G*) ^ х — 1.

Локазательство. Так как 6л — связный граф, то величина х(С?л) определена. Предположим, что х(Од) < и — I. Тогда существует «-разделение (Н, К) графа Од с “《％ — 2. Если оба конца ребра Л лежат в подграфе 〃 или в подграфе К, •.-о мы можем получить «-разделение графа G, присоединяя А к II или К соответственно. Но это невозможно. Значит, один конец ребра Л (скажем, х) должен содержаться в Л и не принадлежать К, а другой (нертнна у) — содержаться в К, но не входить в II.

Каждый из подграфов // н К имеет не менее п ребер. Если бы в них было но п ребер, то в силу теоремы IV. 5 связность rpa©a G была бы бесконечной. Это противоречит условию теоремы. Следовательно, мы можем предположить (без ограничения общности). что ①(К) I > п.

Иногда связность гргфа при удалении ребр;Иногда связность гргфа при удалении ребр;Присоединим к подграфу " ребро Л и вершину у. Получим граф Я,. Очевидно, что пара (Н), ^) является (п -|- 1)-разделением графа G. Это иротнвореинт условию теоремы."'

Иногда связность гргфа при удалении ребр;

Иногда связность гргфа при удалении ребр;

шастся. Очсвидп1.1е примеры таких графов возникают, когда граф содержит одну пет.,'1 ю или одно кратное соединение. Если

m-связность определить так, как мы определили вершинную

т-связность, т<> петли и кратпне ребра можно по пинманне не припи.мгтъ и рассматриваемый граф считать простым. В этом

случае обычно делаются специальные оговорки о связности я-клик и о таким упорядочении удапяеммх ребер, чтобы на

"еуменшеннн"еуменшенннвсяком шаге связность «текущего» графа уменьшалась. Но при

"еуменшеннн

"еуменшеннн

нашем определении епязностн нозможность ее после удаления ребер допускается.

Теорема IV. 8. Пусть А — ребро связного графа G, имеющего конечную связность х. Тогда и (Ga)》х — 1.

Локазотечьство В силу соотношении (II. 2.1) граф G； связен. Значит, ве/шчака x(G；) определена. Предположим, что х ((Л) < к — 1 I <>г〃а существу<"1 ”ра ”gtennc (〃，S) графа б" с а ：* g — 2 Взяв наименьшее из таких значений п. мы гаран- Тнруем выполнение следующего уз“>вн，г п общих вертнп под графов Н п Л' являются для каждого из ннх соединлюшими вершинами в графе G, При ином “ ”сз“с*、на. например. 1ак<1* cfrijJuiiH, когда общая д.тя 〃 л К вершина будет изолиройаи- 1юй в полгрифс Н, ” тогда се можно 6м“。бы удалить 1” ". остазмв в К Еспн подграф ЦН имеет po”no к coc'ahi'mioithix вершин в G, то пара (?лй,(厶〃)。)будет п разделением графа G Но л с невозможно Применяя далее теорему IL 2J, получаем, "т。подграф 以Н (и. аналогично, пол раф ,ПК) содержит в тич Н1)ет!1 ,г -, 1 юсденяющних вершин в С к две из tmx являются кпнц.чми 1 II s ребра Л.

Каждый из подграфов 〃 и К имеет не менее " ребер. Если п каком ит ”нх подграфов ровни “ ребер, io связность графа С в силу теоремы IV. Г> бесконечна Это “рстнвореинг \слопаю гсорсмы Значит, мы можем считать без ограничения

фа G, чтофа G, что什*//尸)ест。 <” + I) риззе.тенке гра什*//尸)ест。 <” + I) риззе.тенке грапротхворечнт условию тсорсмипротхворечнт условию тсорсми

фа G, что

фа G, что

什*//尸)ест。 <” + I) риззе.тенке гра

什*//尸)ест。 <” + I) риззе.тенке гра

протхворечнт условию тсорсми

протхворечнт условию тсорсми

Теорема IV.9, 〃y<ru G — связный <р“6, сиОер：каща& “е л(е- м«е ды/х 8е,”“"н, “ х— каках-?。с?。еершнна、“е яилиющия! ■? точкой сочленении " G Пусти 〃一подграф, получа10щийся ;;л G после удаления вершины г “ инцидентных е& ребер Тогда /(〃；》z(G) I

，p?，p?/(о^азательстпо Очспичгю, что подграф Н связстг, лбе в прп ттнвм случае вершпка \ была 6м точкон еочпенення в G С,'1сдопатс?л|,по, величина "仍)определен；, ripcjrio.iowitM. что и(Я) -< л(б)—1. Тогда Н “Meei л иазделеш-ie (L, М) при ка ком нибудь “W”(C) — 2. Если бы в множестве 1<£)—Р(М) не было вершины соединенной некоторым ребром из G с веу- utuHcii л, rfi ii.ji [ia (/,/.') был л йы ^-разд<!'и' н lie м । раф,1 G для ьакуго-гнбудь m sj п Это противоречит условию теоремы Зна- UH1, в м"О*ес:вс VV(М) и, ana.ioruu"。” п мг<>水естне 1'(М)—VIA) существуют вершины, соединенные ребрами из (1 с всртиигтои х I(ус.ть подграф гряфа G, получающийся нз подграфа L прпсоединеинсм вертгны * н ребер, соединяющих >

，p?

，p?

с iicpiiiHHriMii г* множеств；! l'(L) — V(M) Тогда есть zn-разде.тен". графа G при некотором mW" тнворечит условию теореин □

104/л /К Тр^хсвчзноеть

IV 2 Некоторые конструкции дли трехсвязных графов

Теперь мм займемся изложением теории трехсвязных графов Дмя начал;, покажем, что в случае простых графов без

различно, говори” ли мм о трехсЕЯ1ности hjih и нертннион

трехспязгюстн

1еорема IV. 10. Пусть G - п-росюй связный граф. Тогда любое 1-раз"еаение графа G яяняетсч ес。аерцишным Lpoadene- аием Кроме того, если граф G двусвязен, то веялое его 2 разделение являе>г» аерашнным 2-/?аЗе«е““е* Следовательно, граф G двусвязен тогда к только югда, когда гм Вершинин dey- енхзен, к трехгапен тогда и только тогда, когда он вершинке

Дока^атмьано Пусь (Я, Л) се，I разделение графа G Каждыгт из [)од1рафов Н л К содержит хотя бы ”д”о ребре Следовательно, учитывая отсутствие в 1рафе G петель, получаем, что каждыи нл иодграфоа й и Л имеет вершину, нс при- на&чежатую другому нз нпх.

Обратно, "усть (氏 К) есть вершинное 1-разделеипе графа G Каждый из подграфов // и К содержит верткну, не входящую в другой н，них Значит, в сипу связности зтнх подграфов в каждом из них существует ребро

Тем самым первая часи. теоремы доказана.

Докажем теинрь, что граф С авусв^зен тогда н только тогда, когда он вершин"。двусаязец Здесь можни предполагать, ЧТО Гр<1ф G дпусвял'н.

Пусть (Н К)~ некоторое 2-р31делен|ге графа G Каждый нз попгм巾on，н К “мест нс менее авух ребер Так как в G краг- ных ребер нет, эти дпа ребра не могуч 06a соединять две общие вершины трафов 〃 и К. Значит, в Н сутестнугт вершин；!, не припадиехсащая 瓦 и, аналогично, в К содержится вершина, не входящая в 〃

Обратно, пустг, (М,А)- вершинное 2 разделение графа 6 Тогда н Н есть нертнна й, не принадлежащая К, н в К существует вершина 后 пе входящая в // В сил) двусвнзностн грз фа G na.ieirTiK.itTH нерпшн /i п 比 нс менее 2 Следовательно, в каждом из подграфов Н ~ К сскержнтсх не менее」вух ребер □

Принимая во впимапис слсдствне IV. 2, можно утверждать, итс предположение об otc”cibhh в графе петелг. ” кратннх ребер, слдсржлщесся в теореме IV 10, является очень слабым ограничением

/『2 Hezbcpse “。“①汕“,“ для тре»з£3“3V графои 105

Перенаем к рассмотрению некоторых копстр^'кгшй, псзпо аающнх строите трехсвязные графы из таких же графов с мень шпм числом ребер Сначала рассмотрим ''шерацию присоединения звена, описанную в следующей теореме

Теорема IV. 11. Пунь х u w — несмежные вершины трехсвязного графа Н Ирш оединия к Н звено Л с концами хну, з。- лучасм мозм» ера巾 G Он ”ез”0гс“ трем, чизным

(L, М) п можно считать, что ребро А нрннадпе-(L, М) п можно считать, что ребро А нрннадпе-эделсниеэделсниеДоказателы тио. В сипу теоремы [II 10 граф G двусвязен. Предположим, что он гге явпяетсн трехспязпьгм Тогда он имеет

(L, М) п можно считать, что ребро А нрннадпе-

(L, М) п можно считать, что ребро А нрннадпе-

эделсние

эделсние

жнт / Отсюда пывоким, что в // не менее трех ребер, и, значит (на основании спе^ствнп IV 2), в “ем огсутствуга иетлк Но подграф L должен содержать ровно два ребра, поскольку в протипном елунас парс (/：> ,М)бьма бы либо пар。* взаимно дополнительных обособленных подграфов графа Н, ,)ибо 1-раз- делеинем графа Н, .либо его 2 разделением Однако все это противоречит трехсв явности графа Н.

По условию теоремы пары концов у двух ребер подграфа L не совпадают Зпзчит, в /.八озжха содержаться вершина г, не принадлежащая М. Но “”&а * может быть нниидентгга только одному ребру графа Н, что противоречит трехсвязности Н (см 1еирему IV. 3).匚

Следующая операция представляет собой один из вариантов С1браш.ення операции стяг мнения ребра Мы назовем ес вершинным расшеплением Пусть х — вершина простого графа 〃 Замелим х двумя повмми вертннамк q и *?. Каждое ребро из II, соединяющее л с другой вертнпсн у. заменяется тнбе ребром, соелннаюшим у с 4, либо ребром, соединяющим g с *」， либо двумя ребрамн, соединяющими у с г, и л； Кроме того, прнеед11HHeт5 ноное звено А с концами х, и л； Елн ка,к“ие ребро, инцидентное вершине к, заменяется только одним ребром, io имеем Diirpaiinio верЕпннз。расшеиления без удвоешш ребер Следующие три теоремы содержат олттсапия свойств гра・ фон, [Ю.чучлсмыА в результате irpимснсния ииерацнн вершинное расщепления Вне ценная операция прог1Л.лю<.:трировапа на pne IV 2 1.

Теорема IV. 12. Еспи ?раф G получен из простора свлтоео графа Н путем расщепление вершины i, то он “з；1rleтем простым ” связным

Докапа/ельсто Очевидно, чю с Kiqitoci ню до нершипнО1 о изоморфизма граф Сл содержит граф Н в качестве остовного подграфа. Значит, & — связный граф, а потому (в силу соот-

ношения (II.2.1)) связным нвляетсн и граф G. Далее, для установления того, что граф G простой, достаточно отметить, что новыми ребрамн в G (по сраинеиию с графом Н) квпнютсх ребра, инцидентные вершинам м и/или х?, и, как следует из определения операции вершинного расщепления, это ребра- звенья, имеющие различные пары концов. □

Теорема IV. 13. Пусть граф С получен из простого двусвязного графа 〃 путем расщепленил вершины х. Пусть валентности новых вершин Xi « х2 s графе G не меньше 2. Тогда граф G двусвязен.

Доказательство. Из теореми IV. 12 вытекаег, что граф G прост и связен. П^e；7uo,ii ожим, что он не является двусвязным. Тогда в силу теоремы IV. 10 шг имееч пертНнмое 1-разделение (厶Af), и можно считать, что новое ребро 4, соединяющее шины Х| и — принадлежит L. Вершина и, общая для £ i может быть или не быть инцидентной ребру .4.

В Z есть вершина 厶 нс принадлежащая М, а в М содержится вершина т, не вхоАнщан в L. Учитывая связпост11 графа fi, получаем, что каждая нз зтнх вершин инцидентна какому-либо ребру из G. Так как ва.чентности вершин 勾 и 费 не меньше 2, то каждая из вершин lam инцидентна в графе G некоторому ребру из й. Пусть М" — подграф графа 〃，определяемый ребрами и вершинами графа М, по вершины и при этом заменена на *, сели и есть *i или х* Тогда W является собственным подграфом графа Я, содержащим хотя бы одно ребро и не более одной соединяющей вершины. Применяя теорему IIL 2, получаем, что Н ■ - разделимый граф. Это противоречит условию теоремы. Таким образам, граф 6 двусвязеи. □

Теорема IV. 14. Пусть граф G получен из простого трехсвязного графа II путем расщепления вершины х. Пусть валентности новых вершин Xi и x-t в графе G не меньше 3. Тогда граф G трехсвязен.

Доказательство. Из теоремы IV. 13 следует, что граф G прост и двусвязеи. Предположим, что он не является трехсвяз-

нш В силу теорсми IV 10 он имеет пертннпое 2-раздслснис (L,А1). н можно cquidib, uro новое ребри Л, соединяющее вер- шицы & и х?, принадлежит L Пусть а к з- общие верзннз дпп L к М.

U L существует вершина 厶 пе входящая в ，М, а в М есть BepiuiiH<i m, не 11рин<(ллс(кащ>1Я L H<i озованнн теоремы IV 3 каждая “з 91Hx вершин инцидентна хпта бы двум ребрам графа G. Так как валентности вершчн q и нс меньше 3, то каждая из nepnrau J и m инцидент на в С не менее чем н“ум ребрам ”3 〃 Пусть М"——подграф графа //. определяемый реб рамн и вершинами из М причем вершима и или w заменена irJ х, если она штци цептпа ребру А. В гом сн〉чае koi да ребро А соединяет вершины а н з, эти две вершшш графа Af в подграфе М" отождествляются Нетрудно видеть, ч1。подграф М'' содержит ч-Огя бы дна ребра и что таким же свойством обладает его расширенное дополнение — подграф (М"尸一в графе" Но .W" и (М")с имеют пе более “вук общих вершин, прич^ч зт。 либо мертннн и н 叫 /нбо вершины, на которые “из бытн заменены. Это означает, что пара (；W,, (М"}П нв“аетсн либо l-padjc.'icHHCM, либо 2-рнзде.'1е1гт'М 1рафа Н Flpiiпгли к проти- впречию с условием теоремы. П

В кдчестве примеров |рслсвязиих t рафов мы цок,, что можем принести TnJii.KO ie шесть графов, которые были перечислены в теореме IV 6 и имеют бссконечпую связность Операция “рисиспннсмнн，М'"“ ни к одному ит "кх не применима. Операция вершинного расщепления с учетом условия трсхвалснтносги применима только к 3-и；гклу н даст п результате 4・клнку. Опираюсь на этот факт, мы можем утверждать, что 4-н.1Ика является тре^свяэныы графом. Однако этот результат есть часть следую того бовес общего предложения

Теорема IV. 15. Для каждого целого гюложатсльного ” п-кли- к“ является ! рехсиязным графом.

шиппое й-ратньаешге (А. Л1), где bшиппое й-ратньаешге (А. Л1), где bДокспательгтео I|усть G -- некоторая к-к.тнка I {ринимля по вним<шие теорему IV 6. можем положить п ^ 4 В разд. 1.5 было скачано, что такой граф G обязательно связен Если он нс является трсхепязным, то в силу теоремы IV 10 ок имеет вер-

шиппое й-ратньаешге (А. Л1), где b

шиппое й-ратньаешге (А. Л1), где b

вершина /, не принадлежащая М, а в М существует вершина т, не содеря1ащаяс；1 в L Так как »— к шкл, то вер шины / и m соединены некоторым ребром /1 Это ребро должно прннапсе жат» "”6。厶 либо 財 Значит, Bcpofini.i Г н 〃？ содержатся обе Н в 厶，н в .М Попу'in in противоречие. □

Следующую конструкцию мсжно назвать апрпсоединрши' звена 1 подразбиением» Оперйцпя подразбиения ребра Д

ношения |I] 2.1)) связным является и граф G. Далее, д.пн “та・ нов.Юния того, ито граф G простой, “остаточно отметить, что новыми ребрами в G (по «равпенню с [рлфом Н) явлиюгея ребра, пнцидентпые вершинам л, u/нпн х” и, как следует из определения операции вершинного расщепления, зто рсбра- звеньн, имеющие различные пары концов.'二

Теорема IV. 13. Иус/ь граф G получен аз ^рпсюго двуспяз-

”02。?ра中a 〃 питем расцепления вершины х Пусть валенгшктч новых вершин it “ X? а графе G “е m&yw。2 /ояда граф G

Ликалатильпво Из теоремы IV 12 вытекает, что граф G прост и етя^еп П卩ед"адю*нм, что он((С является дпусвязным Тогда в силу теоремы W 10 он имеет вершт“юе I разделепие (L,M). и можно считать, что новое ребро Л. соединяющее вершины X] )т %з принадлежит Л Вершина и, ебтая для L н М,

может быть пли „с быть 111щидентной ребру Л

В L есть вертниа /, не принадлежащая М, п в М солертьтся нершнна т, не вхс〃я”1ап к / Уимп/вх” ('нязносгь гра巾а (?, получаем, пт о каждая из >тнх вершин нниадеитна какому-либо ребру из G Так как na.:ieniiiociii uepuiH" х〔 и \? не меньше 2, то клкдая из вершин ? и m инцидентна в графе G некогорому ребру щ 〃 Пусть М" — подграф графа Н, опре.ЦлясмыП реб рами н вершинами гр.1фа ill, но пертнна н при этом замнтена на х, если и есть 入 или л“ Тогда М" является собственник полрифом графа Н, садержлпим хотя 6м одно ребро и ие бо.чее одной соединяющей вершины Применяя теорему HI 2. по.：|учаем, что И — разделимый граф Это протпворечт vc.'iotiiiio цоремы TjKuki <и'||)；11пмп |р；к|| (： дкусняк и □

Теорема IV. |4. Яцстл，"小力 G получии 〃з “росс。“，ipex- сехзчоро графа Н nyieM расщечления аерч^шы * Пусть ва iex，““，“ г, л пых eepuiim 芍 и *? с грифе 6 *с меньме 3 To^tia

гопф G :рехси<:зен

Доказател11С.18о И; теоремы IV ]3 следует, что rpai|> <7 прост ” двуевззен Предположим, что он ве является трехевнч

В ociaBlhcMCn случае у графа /7 нет звена, соединяющего t с х. оедннмм звено D с этими концами. Результирующий граф является трехсвязным (по теореме IV II) Граф G можно полуинт;, нз /Л, расщепля;г вершину з — надо заменить звено D новым звеном с концами г и z Применяя теорему IV 14, получаем, что граф G трехсвазс”. □

Описан пая выше операция присоединения ребра с подразбиением вамна в свяли с так)(а1ынаемой теорией колес Колесо порядка п (обозпачеиие 切)получается "3 n-цикла & путем добавления одной новой вершины й п соединения ес с каждой першиной цикла С„ погредгтпом одного нового звена. Вершина /| называется втулкой колеса №„, цикл С„ — ободом колеса, а новые ребра называют спицами Заметим, что 4 кпнка может рассматриваться как колесо порядка 3 (надо просто одну из вершин клики выбрав в качестве втулки) Второй слева граф, изобрни'.енпый па рис Ш 2 2, sin.inf 1Ся копссом порядка 2 На р”С IV 2 4 предиавлены колеса №\,廿厶..，叭

Теорема IV. 17. При п > 3 колесо W” яги.че，”，трехсвчзмм графом

Рис IV. 3.5Рис IV. 3.5

Рис IV. 3.5

Рис IV. 3.5

Дгтазтельсгво. Применим индукцию цо п При л = 3 колесо 吃 есть 4-клика и, значит (в силу теоремы [V 15), ив- ляек-я 1рсхсвяяным 1 рифом Пре"ез*「гм, чю утверждение справедливо для всех 〃 V д, где g — целое число, большее 3, и рассмт'р1|М (лучай.)<игд.1 ” = у

По иредположеншо индукции W%_, ecib трехсвязнмП граф В нем ие мепьте шести ребер Примеггнм операцию подразбиении к некоторому ребру А ш обид,」колеса; пусть z — новая вершина Обод колеса W« i преобразуется в g цикл Для полу uenis колеса М% надо к построенному графу присоедингпь н。 вое звено, соединяющее вершину г с вершинок, которая была нтулкой у графа W”-]. Таким образом, ко.тесо Wq построено из колеса 吼7 i помсицью операции, описанной в теореме IV 16 Следовательно. 1% является трексвязннм графом Шаг ннаук- НИИ tjfieiCHOlillH □

Перейдем к。 второй разновндноеч" операции присоединепия ребра с подразбиением Она описывается в следующей теореме

Теорема IV. 18. Пусть 〃一трехсвязныЛ граф,，。决〃mw"u& ”е нснРе че-няррх реСер Пуао А и В - рапные реОра “з Н. Пусть он“ подразбито! новыми вершинами =，и ;s соответственно, а затем зт" вершины соединен а; новым зеином， Тогда рези "Ttipi/ioiquii ,'раф (7 является грехсехзнзм

Процедура построения 1р;1фа G иоказанаПроцедура построения 1р;1фа G иоказанаит ipa中а Я строится i раф /3 реброит ipa中а Я строится i раф /3 реброДо1；ааа)рль1'тви Граф Н, очевидно, простой, 1! ва-1енгпи(.1А каждой его нертинь! не меныне 3 (см теорему IV.3 и епеа-

Процедура построения 1р;1фа G иоказана

Процедура построения 1р;1фа G иоказана

ит ipa中а Я строится i раф /3 ребро

ит ipa中а Я строится i раф /3 ребро

поаразбнвается вершиной ?«, а затем z« соединяется звеном с тех конном ребра 8. котермн чс шгци 1ептеч в Н ребру /1 Гриф % трехсвязен по теореме IV 16 Граф G можно теперь получить из Н|, расщепляя вершкпу “ Прнмеи，т теорему IV И. лак.1н>чаем, чго G — грсксвязный г раф □

Вторая разновидность операции лрисоедипеиия звепа с "ог разбиенпем представляет интерес при пселсдоваггии кубиче-

P"c 八 26

скнх I рафии На рис. IV 2 6 приведен ；1ример, в котором /1 и В являются звеньям” 4-клики, не имеющими общих концов Ре dy.ibTiipj^iuHH граф называют графом :。“，©”。

Граф Томсена является примером полного двудольного графа. Из определения этого графа следует, что он не содержит щель и кратных ребер (г е. является простым) и имеет 2-разбиение (U, V) Более того, каждая вершина из U соед^шепа с кажчой нершиной из V едг|нс.| пенным звеном Если 117] = г и }l'| = s, то соответствующий полный деудольный граф |илп, точнее, его класс изоморфизма) об<лпачастся через £ , Граф Томсема — stc граф К*? «Наружные» ребра графа G ■ = Ks j, изображенного на рис IV 26, определяют 6-пик.ч, вершины из подмножеств U и V п этом цикле нерезуютсн др¥1 с другом Построение графа Л31Э из rpa0a ". проиллюстрировапиое на рис IV 2 6, показывает, что граф К%з трехсвязен

Так как i раф Тимсева простой, то всякий его автоморфизм одтгозна'гно задается соответствующей нодстаноньой па мн()же стве его вершин (см теорему I 2) Каждый автоморфизм, пре ofipa.i；K4ri,nfi подмножества 彳丿 “ V в себя, можно прсдстапить в виде комбинации подходящи» подстаггииок, определенных От д1',и,|10 на гщмиомегтвах (/ u V Всякий автоморфизм, переставляющий U и 7, можно представать п пше комбннаимн взанкно адпозначпого отображения 【；на К и взаимно однозначного отображения У на G Никаких нныч возможностей пет Позтому мы можем заключи । ь, ‘г”> группа автоморфизмов графа К?? состоя I нз 72 элементов

Очевидно, что граф К«з кубический и ” нем пет циклов, содержлцих меньше четырех ребер Можно показать, что К&з- наименьший По числу ребер граф, обладающий згнМН свэйсгиниц В т.етствительпости граф 风巾 является елннствсн- пьтм графом с Девятью ребрами, не имеющим циклон длины меньше “етзрех

Рассмотрим еще одну конструкцию коюу^аи "pnvetmeic” к трехеназным грлфнч, содержащим не менее четырех ребер Мз видел!!, что зтн графы простые и что валентности нх вершин нс меньше 3 Вводимую операцию назовем трашформацчей

вершины я цикл I ность Ь Пусть S：-

Пусть。一 вершина графа Н、

.—множество тех b ребе]

зентнн с Заменим вершину и «-циклом

имеющая валент- Н, которые инцн ，6ав”н" пин этого

нз，мс ребра и вершины (以есь 3W“W&) Кроме того, ка* дое ребро нз мнсжестна Su сде-гаеч инцпденгным некоюро® всрпгинс цикла С (нместо бывшей инцидентности с вершиной и) Указанная инцндетnoert. ребер ит мпимсства S, я иср- Ш11 п цикла С задается произвольным образом, надо лишь соблюсти следующее условие, каждая вершина цикла С толжпа быть инцидентна хотя бы одном; ребру из S” Это ограничение гарантирует нам, что в реаулпирующем простом графе О ва- “ентност" каждой вершины (в rpa>e G} ме меньше 3. На рис IV 2 7 пронллюстрирпвано применение введенной операции к 4 клим и 4 к«"«у

В этих двух примерах результирующие графы С можно также построить из исхидпыч графов Н с помощью операции ирясоедцнения звена с подразбиенпеч (точнее, второй ее разновидности) Более сложный пример показан па рис IV 2.Ь. заесь втулка 5・копеса трансформируется в 5 цикл Результирующий граф, изображенный на этом рисунке, известен под названием грифа Петерсена

Теорема IV. 19. Пу<ти с — вершина трглюязного графа И. имснлце.г.» хотя 员“ “门”屮。р«0ра Uycte ?ра力 G получен нз Н путем транс формации вершины и в ““к/ С, Со(1ержащ1ц'1 не 八 е- мге трех р"ер Тогда G - трг vceniHbiii граф

Доказспелы тсо. Пусть п - число вергини в цикле С. Рас- (мотрич ечачала случай, логда " равна 3 (т е наименьшему

возмежнаму энячрнию) bum валентносгь b нертннз :，н графе "также равна 3, то операция трансформации вершины с в цию[ С может быть осушестнлена с ucuoninonanricv гопько операции присоединепия звена с подразбиением, как это про- демо1гстрировано в первом примере на рис. IV 2 7 Применяя теорам} IV. 18, заключаем, что траф G трехсвязен

Предположим теперь, что 6 > 3 Обозначим вершины цикла С через л,. «2 н % Пусть 7,一подмножество тех ребер из So, которые инцидентны вершине а； (, = 1,2,3) Мы можем выбрать индексы таким образом, чтобы в иодмн。水естве Г, еоиср- малогн не менее лнух ребер Расщепим нсрщнну о в графе 〃

так. чтобы одна новая

тгониму ] с2 была

ребру Л н о”“ом>

инцидентна „тишь

тна ii, была инцидентна только ，ру из 7“ а другая новая вершина ■ру А и ребрам из Г, н Т」В силу

теоремы IV 14 резул!.тируюгции граф 修 является трехсвямым. При этом, очевидно, вапенгность каждой вершины в 丛 будет нс меньше 3 Граф G теперь чожтго получить нз графа 小 nv- тем расщепления вершины с”： на”。ребро 4 заменить “вумн ребрами "3 инкна С Трехсвязность графа О вытекает нз теоремы IV. 14.

И|ак, мы доказали справедливость теоремы для "=З.Преа- попсЖнм теперь (гтрелположепие индукции), что теорема перца д,1я нсех ". метгошнч некоторого uenor。числа g > 3. н рас- смотр им п ~ q

11ам нужно грансформировагь вертнну и в g-инк“ ％. Возьмем какую-либо естественную нумерацию %, и；, . . , % вершин цикла С,, к пусть Я,, 4』....,Aj —соогпегстЕующаи ей нумерация ребер 9то1 о цикла. Обозначим через Т> "ojwigxeci"。 тех ребер нз S” кзррзе 6у“ут сделаны инцидентными вершине a, (1《£WG Сначала осушсствнп трансформацию вершппы и в (g— 1)-uhki，….Мекпо счи-raib, ui。％,的fi,_t н Л,, 4, ., &_] — естественные пучпраиин ци;:ла Су Для

i ^ 9 — 2 деваем ребра “з / ； ннинпен i ними вершпне а> Р('6р” г|3 подмиоместв Т«一] ii /夕 делаем инцидентными вершине d,;_,. Подучаем граф "… По предположеппю индукции он трехевп-

Зен. Требуюсцийея нам граф G мо*"。получить из графа 儿_] расщеплением вершины %_「новое звено обозначаем через Дч;

оно соединяет дне повые пертипы %_〔 и %; вершина &_| инцидентна ребрам 勺 b А^ п всем ребрам из подмножества Т“_1； новая першипл ая шшидеитпа ребрам А,,儿 и всем ребрам из Tq. (Описанная здесь процедура проиллюстрирована д„гп случая g = 5 “а ряс, IV. 2.9 ) В силу теоремы [V 14 граф G трехсвязен. Шаг “hivkuhh обоснован. □

Эта теорема позволяет легко установить трехсвязнос! н. 1 рафа Петерсена. Un можем определи!ь зтот граф “е г помощью стп диа1 раммы, а более формально он строится из объединения двух нсперссекаютихса Э-ииьлов a.aga.% и bib§b&b力з путем добавления n”in попых зиепьев, соединйюи,их вершины а н Ь, для каждого ; = I, , 5

Отметим некоторое сходство межд^ графами Томсена и Пе- ^ерсена Обхваюм 1'рафа G. ire являющегося лесом, называется наименьшее целое число “，такое, что в графе G содержится “-Никл Не приводя полного дока.ча [рльства, отмстим, что гра(|> Томсена есть простейший кубический граф е обхватом 4 Здесь елз，с «"ростеннгнН» зквпвалентпо словосочетанию vc паимспь- ишм числом ребер» Можно показать, что граф Петерсена “н- -1яется простейшим кубическим ipa中。м с обхватом 5

Граф Нечерсеиа тесно связан с однич нз ||рмвил1.ных мио к>гранникон — ,м”|.ека，八р(>м ec.iH [/тждествнть диаметрально

прогивоиоложные точки на поверхности додекаэдра, то получающийся при ,том граф (сосгакпеппын из «гепметрически'х» ребер н вершин) будет графом Петерсена Этот факт говорит 。большой симметрии графа Петерсена. Н действитеи1ьно, мож по показать, что группа аптоморфнзмов этого графа содержит J20 племен к)в

/КЗ. 3-блоки

В разд III 3 мы занпматз зада“е“ о разложении связного гра“а на максимальные ивусвнзные иод| рафы, которые называли блоками В настоящем разделе VE будем рассматрп- ватт, ”е”тс похожее для ^вусвязпых графоп их разложение на так пязьтпаемыс 3-блоки Заметим, что 3-блоки вообще-то не являются подграфами разлагаемого графа. 3 блок должен быть либо трсхсвязним графом, либо н-циклом (” # 3), “”6。п звек ннкзм (здесь тоже n N 3)

Исходный граф G может быть трехсвязннм Toiua мз будем говорить, что он содержи I ровни ОДИН З.&ТОК, который ервиадает с самн* графом О.

В противном случае гра© (/ имеет й разлелег[ие (Н,К), н ” симу ipnpcMbF Ш 3) него пе менее четьгрех ребер “ отсут ствуют петли Две общие вершинi,i у графой Н п К мы будем наззпатп мсбеегкама рассматриваемою 2-разие“еннз Некоторые основные свойства 2-разделсний графа G отражены в следующих теоремах

Теорема IV, 20. Пусть децсвязный граф G является обгеби “е”“ем de夕* реберни кеиер«секак>1цихсп подграфов // “ К, 11МЧК1Щ11.Х ровно дне общие вершины b и с Пусть каждый ”з подграфов Н а К coriepwiiT хотя 6“ одно ребро. Тогда Н “ К — связные графы.

Доказательгию Нрсдио^ожим, чго граф W песвазен. Тогда либо существует компонента С графа Н. ко горой пс прннаи лежат вершины b и с, либо найдется компонента О в Н, со дсрж.ицая хотя бы одно ребро и ровно одну из вершин Ь. с. В первом случае компонента С является обособленным не"У стам собеттеинии подграфом rpa0a G Э10 протнворечнт теореме I 21 Во втором случае в сипу теоремы III 2 граф G дол жен быть разделимым Мы пришли к прогиворенню с условием АиказынасмсЛ теоремы Следовательно, граф ” cnnie" Aua”。 гнчн。■> сганавливастси и спя1|Ю|:ть графа k I J

Теорема IV. 2[. Пусть |Ч, А) ос” 2-ра.“，е〃ек“е двусвязного ■■рифа G и неришны 6 и с — поде если этого 2-разс)елен»я "уст»

графы Н\ u Kt получены сочтастстиенно из графов Н и К путем, присоеЗинения нового ребра А <, концами b и с. Тогда грифы //, “ К| даусия,шы

Длкалательство В силу теорем IV 20 и I 25 i рафы //, и Ki являются связиыми Предположим, что граф Н、разделимый, и пусть (L,M)—его [-разделение с |Очкон сочленения и Мижно считать, что ребро 1 содержится в подграфе М. Тогда L будет непустым собственным подграфом графа G, н кемпинга о 6у“ет “ нем едппствсгтой соединяющей вершиной Отсюда (на основании теоремы Ш.2) получаем, по граф (； разпрл”. м^й Ут о противоречит условию доказываемой теоремы Значит, граф X пнаяется пнуевкзннм. Аналогпчгю обосновывается лвусвязность графа К，□

Удобно говорить, ЧТОграфа G заменой подгрзУдобно говорить, ЧТОграфа G заменой подгрз片 из гесремм IV 21 получен ич экаияал^нтнык ребром А «Экви-

Удобно говорить, ЧТОграфа G заменой подгрз

Удобно говорить, ЧТОграфа G заменой подгрз

ва“е“тн”сть» здест. понимается в том смысле, что ьониамн ребра А являются подвески 2 разделения (Н. К)

Двусвязпнс графы, нс являющиеся трехсвазнммн, мы де

лим на грн гипа в соотпетстпии со спснствами «отуечстптого» ребра 4. Тип I состоит из таких графов G, у которых имеется не менее дн\х С・{4} мостов Тнп II содержит только такие графы G, у которых ровно один G■ {Л； мест “ он *н"егсн раз делимым 1 рафом К типу III относятся все остальные дв;связные (но не трехеннзмые) гра力w G, “ каждом из них содер

жится только один мост и этот мост является авусвязннм граном

быть связным графом, содержащим хотя бы одно ребро (см следствие ] 52) Еспн ноет А имеет “ишь одно ребро, то огг не может быть единственным (；■ {Д}-мостом r графе G (ci ipope му [5" Значит, такие мосты могут встретиться толок。у графов типа I Моста графов типов I] и III сбыть связным графом, содержащим хотя бы одно ребро (см следствие ] 52) Еспн ноет А имеет “ишь одно ребро, то огг не может быть единственным (；■ {Д}-мостом r графе G (ci ipope му [5" Значит, такие мосты могут встретиться толок。у графов типа I Моста графов типов I] и III ссо., падают с подсо., падают с подВ。всех этих случаях обозначим концы ребра А через Ь и с. В си.”, теоремы III. 6 вершннм bucy G ■ {Д)-моста В о графе G аолжнн бь11ь соединяющими. Кроме rorn, мост В лопмен

быть связным графом, содержащим хотя бы одно ребро (см следствие ] 52) Еспн ноет А имеет “ишь одно ребро, то огг не может быть единственным (；■ {Д}-мостом r графе G (ci ipope му [5" Значит, такие мосты могут встретиться толок。у графов типа I Моста графов типов I] и III с

быть связным графом, содержащим хотя бы одно ребро (см следствие ] 52) Еспн ноет А имеет “ишь одно ребро, то огг не может быть единственным (；■ {Д}-мостом r графе G (ci ipope му [5" Значит, такие мосты могут встретиться толок。у графов типа I Моста графов типов I] и III с

со., падают с под

со., падают с под

графами (；4

Будем naa%RaiH 2-рячдмеяие (〃，К) графа G 4-лакси“аа”. нми, если Л — ребро подграфа 〃 и нс существует такого другого 2-разделении (Н‘，К') графя G, что ребро 4 солержшся в подграфе Н' к К является подграфом графа К' Очевидно, что "ккакпе два разпнинзх 2-раздепена” (斤，К} ipag С не могут иметь одинаковые подграфы К, поскольку подграф К в паре (", К) однозначно определне! множество ребер под трафа //. а значит, в силу связности Н и сам подграф 〃(см. тепрсму IV 20) 1аким образом, гребовапне «К является подграфом графа KF из данного выше определения мо>к“。заме

нить на следующее. «К есть собствспгшй подграф графа /С». Огсюда “егкс получаем, что рсан (/.М) про^пвольпое 2-pai деление графа G с ребром А в подграфе L, то существует Л-vaKLKMaJihnoe 2-раз“еленне (Н, К) графа С, такое, что М является подграфом графа К. Нам понадобится следующая теорема об Л максямалшых 2 разделениях

Лмж：”。Лмж：”。，o<q двух об'.цих еоОкесок s ”〃х ^-разделениях быть 〃е，o<q двух об'.цих еоОкесок s ”〃х ^-разделениях быть 〃еТеорема IV.22. Пусть G -двусвязный граф типа П[ w Л — ребро этого графа. Пусть (Hh Л|) “ (Н?, К?) — различные А-мак1имальн^е 2-разде^ения графа G. Тогда подграфа К〔 и К? реберно непересекиющиесх “ любая общин вершина о них явлчася подвеской е каждом из указанных 2 разделений. Бо-

Лмж：”。

Лмж：”。

，o<q двух об'.цих еоОкесок s ”〃х ^-разделениях быть 〃е

，o<q двух об'.цих еоОкесок s ”〃х ^-разделениях быть 〃е

Доказательство. Рассмотрим xeiupe исресенения 儿 П 小， "[ПК* /Л ПК н Ki П Кз Очевидно, что никакие два из них не имеют обшнх ребер и что объедипеггис мех четырех Пересе ченнй дает граф G Первое пересечение содержит хотя бы одно ребро, ибо ему принадлежит ребро 4 Если в 儿 П 冗 ребер пет, то все ребра нз Л5 содержатся * К〔，а чначи；,左仁 К , так как К? — связный граф (по теореме IV 20) Мы пришли к проги- воречию с иредцоло/кснием о том, что заданные 2-рази&ченнн /1-макснмальнь! и различны Спечсватемьнс,才 П К? и по аналогичным причинам ”2 Л ^t содержат хотя бы по одному ребру

Покажем, что n KGK? не; гш одного ребра Предположим, что это нс так, и проанализируем следствия <13 сделанного предположения

теорему IV 20, заключаем, что каждое из четырех наемых напн пересечений является евччнмм графомПересечение % 1 〃？ аопжно быть графом-звеном С {/!},теорему IV 20, заключаем, что каждое из четырех наемых напн пересечений является евччнмм графомПересечение % 1 〃？ аопжно быть графом-звеном С {/!},рассмотри-рассмотри-Применяя теорему III.2, получаем, что у каадого из чегн- рех пересечений есть хотя бы две соединяющие вершины (в графе О) Вопее тог。，таких иеригин в каждом на них ровне две Действительно, в противном случае на основании геореми I 7 п o”"uz из четырех об-ьединсиий */jKi> W, U Ki. 儿 US и 也 U К? имелось бы меньше двух соединяющих вер шип. Но тогда п снс、теоремы III. 2 граф G был бы разчепн- Мьгм (противоречие с условием теоремы]. Далее, используя

теорему IV 20, заключаем, что каждое из четырех наемых напн пересечений является евччнмм графом

Пересечение % 1 〃？ аопжно быть графом-звеном С {/!},

теорему IV 20, заключаем, что каждое из четырех наемых напн пересечений является евччнмм графом

Пересечение % 1 〃？ аопжно быть графом-звеном С {/!},

рассмотри-

рассмотри-

так к«к иначе оно будучи i'bwSiii.im i ра(|)ом, сидержа^о 6м гге менее двух ребер и тогда пара {Н、Pl 1L& KiU KQ 6u.ia бы 2 раллслспием графя G (см теорему I 7) Однако зт。“евоз можно в силу А максимальности запанных 2・раздепенн" и пх несовпадения

Займемся рассмотрением соединяющих вершин, приназче >к“"1нх ч|_ I прем наигнм пересечепиям Если какая либо вершина

является общей ала двух из этих пересечений, то опа в силу их свяакодти будет соединяющей вершиной в каждом из них И, конечно, непкая соединяющая вершина, содержащаяся в каксм・гс из четырех “ересечс- пий, обязательно принадлежитявляется общей ала двух из этих пересечений, то опа в силу их свяакодти будет соединяющей вершиной в каждом из них И, конечно, непкая соединяющая вершина, содержащаяся в каксм・гс из четырех “ересечс- пий, обязательно принадлежитРис IV 3 1 Подциф «IРис IV 3 1 Подциф «Iствовало бы “с менее дв\х G {/1}->юстов н один подграфом гра巾а К,, а другой содержал бы реб] Отсюда следовало бы, чго G — ipa屮 тшм I Этоствовало бы “с менее дв\х G {/1}->юстов н один подграфом гра巾а К,, а другой содержал бы реб] Отсюда следовало бы, чго G — ipa屮 тшм I Это5ро из //, П %•1 протипоречит5ро из //, П %•1 протипоречитотличен от *1 и 川 По аналогичным от у? Но возможность того, что у,=Рассмотрим далее под! раф 乩 свервпнамн & н 外 Пересечение //,отличен от *1 и 川 По аналогичным от у? Но возможность того, что у,=Рассмотрим далее под! раф 乩 свервпнамн & н 外 Пересечение //,соображениям г, отличен =у5, пека еще нс нсклюсоображениям г, отличен =у5, пека еще нс нсклюдвумя его соединяющими П 斤2 состоит из ребра Лдвумя его соединяющими П 斤2 состоит из ребра Лляется вершигюн "。川 ра<|，а К< и ■ надлежит подграфу К」. Вершина "< П К?, так как она принадлежитляется вершигюн "。川 ра<|，а К< и ■ надлежит подграфу К」. Вершина "< П К?, так как она принадлежитаналогично что х> неаналогично что х> несодержится в 1：ОД1содержится в 1：ОД1Н не входит в 〃i П II2Н не входит в 〃i П II2графе G отлична or 1 (см теорему III 3) Отсюдаграфе G отлична or 1 (см теорему III 3) Отсюда

является общей ала двух из этих пересечений, то опа в силу их свяакодти будет соединяющей вершиной в каждом из них И, конечно, непкая соединяющая вершина, содержащаяся в каксм・гс из четырех “ересечс- пий, обязательно принадлежит

является общей ала двух из этих пересечений, то опа в силу их свяакодти будет соединяющей вершиной в каждом из них И, конечно, непкая соединяющая вершина, содержащаяся в каксм・гс из четырех “ересечс- пий, обязательно принадлежит

Рис IV 3 1 Подциф «I

Рис IV 3 1 Подциф «I

ствовало бы “с менее дв\х G {/1}->юстов н один подграфом гра巾а К,, а другой содержал бы реб] Отсюда следовало бы, чго G — ipa屮 тшм I Это

ствовало бы “с менее дв\х G {/1}->юстов н один подграфом гра巾а К,, а другой содержал бы реб] Отсюда следовало бы, чго G — ipa屮 тшм I Это

5ро из //, П %•

1 протипоречит

5ро из //, П %•

1 протипоречит

отличен от *1 и 川 По аналогичным от у? Но возможность того, что у,=

Рассмотрим далее под! раф 乩 с

вервпнамн & н 外 Пересечение //,

отличен от *1 и 川 По аналогичным от у? Но возможность того, что у,=

Рассмотрим далее под! раф 乩 с

вервпнамн & н 外 Пересечение //,

соображениям г, отличен =у5, пека еще нс нсклю

соображениям г, отличен =у5, пека еще нс нсклю

двумя его соединяющими П 斤2 состоит из ребра Л

двумя его соединяющими П 斤2 состоит из ребра Л

ляется вершигюн "。川 ра<|，а К< и ■ надлежит подграфу К」. Вершина "< П К?, так как она принадлежит

ляется вершигюн "。川 ра<|，а К< и ■ надлежит подграфу К」. Вершина "< П К?, так как она принадлежит

аналогично что х> не

аналогично что х> не

содержится в 1：ОД1

содержится в 1：ОД1

Н не входит в 〃i П II2

Н не входит в 〃i П II2

графе G отлична or 1 (см теорему III 3) Отсюда

графе G отлична or 1 (см теорему III 3) Отсюда

двум пересечениям. Более тою, если вершила яплястся общей для двух пересеченна, то она должна принадлежа(ь одновре менио либо 忆 и К” либо 仇 и К? Следовательно, опа должна быть иоивескса в (//,, /С,| и.тН (//2. К?)

Обозначим подвески ит (圧，七)《ерз хну, (i ~ 1,2) Можно утверждать, что каждое пересечеггне содержит ровно две различные вершины из совокупности {х“ Xz,协,勿}・ Более того, эти две вершины нв.гнютс" соедипяюгцимч для данного пересечения н г()дько в них оно может «встретиться» с любим другим из чегьгрех пересечений

Соединяющими вершинами графа Н> П/Л, который совпадает с G (Д}, должны быть два кониа ребра .4 Мы можем выбрать обозначения так, нгобн очин из концов ребра 4 был обезначе” через % 'I orja другой конец ребра А не voxel быть иертнной 劣 Денстпительно, а противнем случае суще-

yc.noTiHiij гсорсмы Выбирая подходящим образом дальнейшие обозначения, мн можем Ao6nihc” того, чтобы второй коней ребра /1 был обозначен через *. Мы заодно ппкача.ги, чго х2

н двух его концов $ и *? более того, х? отличен or .q и у, (см рис IV 3.1) Из сказавното выше следует, что х? не ии-

Пересечение 修(1 К? содержит н вершину 必，】ак как се “апзп

следует, что двумя гос (иняюшимн вершинами в 〃： П К? яв ляютси вернгнны 融 и，|. Аналогично устанавливается, что х( “ 北一соединяющие вершины для ш：д1рафа Н2 П Ki

Из пропедепш.1Х рассмотрений видно, что ни х” ин х2 не могут быть Вершинами rpa“a КПК? Следовательно, coeiH-

иягощими вершинами указанного пересечения нв“аюгсн 川 it у,, коюрые (теперь это очевидно) должны быть разлпчпимп Таким образом, мы приходим к заключению, Что граф <7 имеет гтокатаппый “а рис IV 3 2 В — G； разделимый п имеет два l-ра.чделения (储，Л, Q а % П Ki) с точками Гол.че- у? соответственно. Это oi начает, что G граф тята II Прнт.|"

к противоречию с условием теоремы.

Итак, мы м。冰ем теперь утверждать, чю н графе К^ ] К/ ребер пет Используя хеорему IV 20, получаем, что К 三儿 к 攵2三"| Значит, всакан вершина, общан для % и К?, принад- леаит также графам Н、н Н2, , е она является общей под

веской авух заданных 2-разделений

Осталась ичлько 八оказать, что у исходных 2 pasjeJiCHrift не

А, а дру-А, а дру-Могут быть общими обе подвески Предположим, что подвески у 2 рапделеггий являются общими Обозначим их через х и у. Еспн они — концы ребра Л, то а 1 рафе G есть хотя бы два

А, а дру-

А, а дру-

оставшемся случаеоставшемся случаегра<]> 丛гра<]> 丛-моста, причем один из мостов содержи геи ...в Л2 Но тогла граф G будет i рзфом гипа I, что

оставшемся случае

оставшемся случае

гра<]> 丛

гра<]> 丛

I, инцидент пых тому кешцуI, инцидент пых тому кешцуребра Л,阳 ПН?,ребра Л,阳 ПН?,который птли'тен от j и у. С.тедовательно, паракоторый птли'тен от j и у. С.тедовательно, параворечнт условию теоремы имеет хотя бы два ребра,

I, инцидент пых тому кешцу

I, инцидент пых тому кешцу

ребра Л,阳 ПН?,

ребра Л,阳 ПН?,

который птли'тен от j и у. С.тедовательно, пара

который птли'тен от j и у. С.тедовательно, пара

1 U К» будет З-раздслсниеч графа С Это противоречит -мак1.ималпиос1И исходных 2-разделений и их несоппаде[1ию Доказательство теоремы завершено □

Вернемся к рассмотрению двусвязных графов С, не являю-

5Po перек1и.чк</йI-мажорантныхсо”ск\ nnoci ь5Po перек1и.чк</йI-мажорантныхсо”ск\ nnoci ьтнхеа трехсвязными, таких, что у них выделено некоторое ребро .4 Назовем jto ребро nepnviu.4KtiH

5Po перек1и.чк</йI-мажорантныхсо”ск\ nnoci ь

5Po перек1и.чк</йI-мажорантныхсо”ск\ nnoci ь

Введем понптне 』・мажорантннх 2 раидел^ний. Пусчь {(Н“К>)} — некоторая соипку micic/ib 2-раздел енпн графа 右 ((=1, .., m) В’дем называть “х Л-иажорантными. если

они удовлетворяют следующим условиям:

《)ребро Л содержится «о всех //, (( = 1,, т).

если /, то подграфы. К： а К, рт^рно неп^рр.секаю- щиеся и общие верш ины s м”х яеляютсч сб 码 〃"“ подвесилмп 2 P“зОенен"!； (W, 7<,| и (//,, 7<；)

Если эти усаовн” взтзим'нн, ю пересечение всех подграфов Н, с6“зна“нм "ерез /

ни одному 1И подграфов К (iни одному 1И подграфов К (iс”г> “о npii'iadjiexiM-iс”г> “о npii'iadjiexiM-iI IV. 23. Если BbmMHiioicR условия (1) a (ii|, тс 2 G прицодлр.жит J тогда “ только тогда. ксеОа

ни одному 1И подграфов К (i

ни одному 1И подграфов К (i

с”г> “о npii'iadjiexiM-i

с”г> “о npii'iadjiexiM-i

Кроме юго, / содержит подпески всех А - мажора нт пых 2 少 аз делений

Доказательство. Первая часть утверждения вытекает из хслопия (ii) н определения подграфа J Далее в силу >с„1оиия (ii) Н、содержит К, для вся кого j *，. Следовательно, подвески всех Л мажорантных 2-разделеннй припядлежат каждому подграфу Н. □

Теорема IV. 24. Если изпоскяттся условия (i) “ (ir), то каждое ребро и каждая вершина ерафа G, нс вкобящие a J, содержатся роо”о н одном из подграфов К,

Доказательство Для каждого такого ребра (или каждой такоИ вершины) наАпетс” подграф //„ которому это ребре (НЛП эта вершина) не принадлежит Значит, оно (соответствен но она) содержится в подграфе 居 В дна подграфа К, ребро (вергггина) входить не может в силу ус.товна (ii) □

графа G Мы обозначим их через 4：, Л；,графа G Мы обозначим их через 4：, Л；,В том случае когда выполняются условна (г| и (ir), удойно ввести ”，новых ребер, называемых виртуальными ребрами

графа G Мы обозначим их через 4：, Л；,

графа G Мы обозначим их через 4：, Л；,

гать, 'Iго концы ребра 冉 являются полвескамн 公-разделения (/f”K,), i=l,2, , т. Присоединяя эти ребра к подграф? /. получим граф D. называемый ведущим З-Сшоком 1 рафа С? от- носи・，е；тни ребра А. Ребре А будем называть перемычной графа D, а виртуальные ребра Ai — отдушинами графа D Граф Ki назинсм сттоксм из О через отдушину Д,. Присоединяя ребро Z： к подграфу К, как «наружное» ребро, мы получаем граф £(Л,}, который будем называть замкнутым опико-и из D через Д,. В силу теоремы IV 21 граф f (Л；) является двусвяз- ннм Ребро Д. примем в графе F(4) за псрсинчку.

Дадим “синие описан® А мажорантных 2-разделений для графов каждого из трех введенных выше типов

фом-звеном или графом, (.ог1е|)жаи|нм “е менее двухМожет слутиться, что каждый мост & (i = 1, У.фом-звеном или графом, (.ог1е|)жаи|нм “е менее двухМожет слутиться, что каждый мост & (i = 1, У.Пусть О — rpat]> типа I Перенумеруем его G■ {Л)-мосты: 8|,尾， ，8卜(fe ^ 2) Применяя теорему 1[1.6, заключаем, что концы Лис ребра Л являются спедиплющими иершпнами к каждом Mice В( Далее в силу теоремы IV 20 любой мост В, есть связный граф, а на основании теоремы【.48 в В Qine- ствуют хотя бы одно ребро. 1(нп,идентное 瓦 и хотя бы одно ребри, инцидентное с Таким образом, мост В； может быть гра-

фом-звеном или графом, (.ог1е|)жаи|нм “е менее двухМожет слутиться, что каждый мост & (i = 1, У.

фом-звеном или графом, (.ог1е|)жаи|нм “е менее двухМожет слутиться, что каждый мост & (i = 1, У.

ляетсп графом-звеноч Тогда G есть (R + 1] звенник, и мн го- )ю(шм, что граф <7 совпадает со свонм ведущим 3-блоком D В этом случае Л-мажорантных 2-р.гзделений нет и гцаф О от-

В оставшемся случае мн можем считать, что мостами, отличными иг графов-авеньеи, являются В(, В5. , 8s. где I W W s W 祖 Поскольку ,|юбои такой мост 及 содержит не менее QByx ребер, он является вторым членом некоторого 2 разделения (〃”友)графа G н при атом ребро А иринадлеяст Н, Условия (I)и (и) определения А мажорантности, очевидно, вы-

полняются, и мы можем рассматрн1 V，W s, 2 разделении графа G

JMBaTt, COBOKVIIIrOCTr,

Г, {(乩 в.)},

как совокупность Л-малот-

рентных 2-разделений

Пусть А, — виртуальное ребр。для нарм (//,, В,),

Если / > з, то в качестве Шим 3-блоком /) граф^ нами S и с и ребрами Л,

ребра .4/ берем

G является 仅

В；В^у・

十 l)-3BeuiiHh с верши-

4 Ребра /!(, А»

прелставляю! собой огд>ц(иг(ьт г pa0ja D Onпсанная ними конструкция проиллюстриронана “а рис IV 3 3; виртуальные ребра нзебраженм пунктирными .чинияуи.

Пусть теперь G — граф типа II Едиистпеипый G ■ {Д}-моС1 II = Од является разделимым графом. Из теоремы III. 30 следует, по мое〕В "репст"н“”ет собой ннгь б.вков, замкнутую звеном Л. Перенумеруем блоки и гочки eo'r.ieireniiH мосга В есгествешгым образом В., 6), . , В*, 5, и?c，j и п； принадлежит только блокам В, и В:.ц (，'亠 1,..

Рассмотрим теперь (fe-]- lj-цикл О с вершинами Ь, з 5 и* ■ ■ ■, и&т н ребрами Л, А” Л2, .. .. /». Ребро А в цикле D инцидентно вершинам й и с, ребро Л, —вершинам & и %, ребре

Д； —вертниам “一］ н с, а ребро .4, (при 2^;^fe — j) — вершинам V—I н о,.

Монет случиться, тто каждт.тй блок В, является графом- звеном Тогда граф О идентичен (々十 I)-циклу I) В таком сп>・ чае мы говорим, что граф G (т е О) совпадает со своим вс дущим З-блском. В згой ситуации А-мажораптнмх 2-разде.те- “нА нс: ti граф О отдушин не HKeei

Если дпусвязттый гра巾 й, отличен от графа-чвена к нс со- ▲ержнт петель, то в нем должно быть хотя бы два ребра Он Явпаегсн т01'да вторым членом 2 разделепия (从，仪)графа G и при этом ребро А принадлежит 〃，Условия |г) и (ir) опре- “еленнн 4мах、ора"тностн, очевидно, пьгполняются, и ми можем рассматривать совокупность {面,6,)} 2-разделеиий графа G к«к совокупность А-мажорантных 2-разделений Пусть 4—виртуальное р i а кого 2-раздслсния. Если В, — гр；1ф звено, го в качеств берем ребро графа В； Ведущим З-бло ком графа G относительно ребра 4 булет цикл D Виртуальные ребра Д, являются его отдушинами Описагглая нами конструк ция проиллюстрирована на рис. IV 3 4; виртуальные ребра изображены пунктирными линиями.

Теорема IV. 25. Если <7 — граф типа ///, гоТеорема IV. 25. Если <7 — граф типа ///, гое?。ведущийе?。ведущийЕсли G относится к тнпу III, то в качестве 4-мах、。- раненнх здеаенн百 берутся А максимальпыс 2 разделения, рассмотренные в теореме IV 22 Вшгплнимоств условий (i) и |ii) ичевндна

Теорема IV. 25. Если <7 — граф типа ///, го

Теорема IV. 25. Если <7 — граф типа ///, го

е?。ведущий

е?。ведущий

З-б/юк является трехе/апяым графом, содержащим не иенее шести ребер.

Аоказатепветеи Еслн имеется i иль ко одно А-манснмааькие Й-разделенис графа 人 содержащее два ребра из G, то суще- егвуег uiHinb “人н。виртуальное ребро. Ею и надо избавив" ji~i« получения графа D Если таких Э-рааделепий не меньше двух, ю т'рпф。содержит ребро А н wix Оз/на внртуа.м’нзх ребра Более того, поскольку граф G не является трехсвязным, у него есть (хотя бы одно) 2-раздслспнс. Значит, ведущий 3-блок О должен сииер>Аать не менее трех ребер.

О ье является грехснязнмм ТогдаМ), и можно считать, что ребро АО ье является грехснязнмм ТогдаМ), и можно считать, что ребро АПредположим, что он нмеет 2-разделениПредположим, что он нмеет 2-разделениПрименяя несколько раз теорему IV 21, получаем, что граф О хнахется днусвязным Hc」u・:\ D розно iри ребра, то как с.пе- дуег из результатов разд III 2, имеются только две возможности л ибо D есть Л-цикл, знбо З-змнпнк Но тгда пче- видно, что G — граф типа I или II Это противоречит условию дока^ыпасмой тесремм Значит, v графа I) пе менее четырех ребер

О ье является грехснязнмм ТогдаМ), и можно считать, что ребро А

О ье является грехснязнмм ТогдаМ), и можно считать, что ребро А

Предположим, что он нмеет 2-разделени

Предположим, что он нмеет 2-разделени

Pile I\ J4

принадлежит L Подвески лого 2-раз ie“iennx обозначим через х “ у. В качестве подграфа L' графа G возьмем объедимснис подграфа / Г|/ с подграфами К,, cocimeT'CTByioTn.HMu виртуальным ребрам Л, графа О в Л Аналогично строится подграф АГ (из подграфа М). Используя теоремы IV 23 и TV 24, п<)”уч」ем, что I' и ЛГ—ребернс непересекающиеся подграфы графа G содержащие не меиее чем по два ребра, и что irx объединение совпачвет с графоч О Кроме того, общим!г вершинами у ннх являются только t и у Следовательно, (/.', .ИО есть 2-раздс- .иенне графа G и ребро Д принадлежит L' Далее. <ymec-i нуе-г Л максимальное 2-раз八елепне (/", М") графа G, таксе, что Al'uM" Поскольку М" = К/ ася некоторого ; то подграф М '«“>К8 иметь тст,к。одно ребро и нметше тс, торсе соответствует виртуальному ребру А,. Мы пришли к противоречию с тем, что (А, М) есть 2-раздехепне грифа I)

Итак, мы можем теперь утверждать, тто граф О трехевпзен и содержит “е мепее четырех ребер Применяя те。卩ему IV 4, заключаем, ч)о ребер в нем нс меньше шести □

На рис. IV 3 5 продемопстрировано выделение ведА'нлго 3-блока графа G для случая графа типа III

Полное мноместпс 3-блоков графа G oiHOcwie.irbHo ребра А получается следующим образом: сначала выделяется всдуЕнН

3-6“ск :рафа С, затем выделяются ведущие 3-блоки графов F(A.), потом — ве“у|“Не <5-б;гоки замкнутых оттоков нз графов / G1J и т д '

Для обосноваппя корректности 5той процедуры можно применить следуюшее утверждение

Теорема IV. 26. Пусть А—перемжа деревянного графа G, не являющегося трехсвязныя графом Пусть D — ведущий 3-блок, графа G относительно ребра 4, “ Пусть F(4‘)一замкнд- 1Ы.Й отток, ш графа Д через отдушину Л.. Гогда « F(4,) ребер ли”》и，е, чем л графе G

Доказательство Для всех трех типов графпв G в пекущем 3-блоке С есть хотя бы два ребра, отличные от /1, Если одно из них — виртуальное ребро Л(, то наймется :(одграф К, графа G, содержащий не менее двух ребер, iic вхоаатнх в F(不)(см 1 сорему IV.24) Значит, граф G всегда имеет по ченьшей мере два ребра, ire прииа/тлежащих F(4). С другой (■■трпни, нее ребра нз F(4), кроме ребра ,1” iодержали в G. □

Процедуру нахождении 3-6*оков графа G относительно ребра .4 можно описать на Солее формальном уровне Проде ■лаем 31。Пиочередио для каждого целого неО1р(1иательниго “ составляются два перечне: L“ !1 М“ Перечень Lu нусгой, а /И) ecciotn ns одного злемента -- графа G В общем случае иере- чень L, состоит из нсех 3-блоков, вмхвзеннмх на м + I шагах, процедуры, а М« — нз трехсвязттых графов, удовлетворяющих условнго, что о каждом из пих не менее трех, ребер и одна из них вм-isen。в качестве перемычки этою графа. Если пара

(丄，，MJ уже имеется, то пара (厶,_],М,+|) строится следующим образом，L.] состоит нз элементов “еречнн £= и ве，ушнх -3-блоков тех графил, которые содержался в перечне 吼；neg ченг,附《+1 счсяоиг ит 1амкау”“х оттоков нсдугцих 3 6*сксн всех тех графов, которые прннаапе&аг перечню М” В силу тео ремы IV 26 3Td проиепур」должна припести п конце концов к цусючу перечню М< Начиная с этою значения индекса, пары перечней стабилизируются Следовате.，1ьно, “<，.сныл "ерезмеч 3-i〃CKoa графа G 0THecиге」",но ребра. 4 является перстень /.,

На каждом шаге описанного процесса нам, возможно, надо будет вводить виртуальные ребра Это должны бигь всегда разные ипиые ребра, т е. никакие два из 3 блоков не должны давать общую отдугиипу Все эти пнртуальине ребра можно называть виртуальными ребрамиграфа G относительно ребра А

<>а G отнз'шепьн。“бра Л, мы допускаем<>а G отнз'шепьн。“бра Л, мы допускаемвозможность такойвозможность такойВыбранное множество виртуальных ребер графа G можно, ьопечпо, заменить другим множеством, зядан пилхепнщее взаимно однозначное соответствие между ними Поэтому, кОг“а мы говорим о «данных» 3-блоках, или виртуальных ребрах гра-

<>а G отнз'шепьн。“бра Л, мы допускаем

<>а G отнз'шепьн。“бра Л, мы допускаем

возможность такой

возможность такой

замены

те“ьнс ребра А) мн можем использоватьте“ьнс ребра А) мн можем использоватьрекуренввую (или,рекуренввую (или,11г?н докя^агельгme icopev о З-бясках (берущихся относи

те“ьнс ребра А) мн можем использовать

те“ьнс ребра А) мн можем использовать

рекуренввую (или,

рекуренввую (или,

иначе, индуктивнто| природу ввененнпге нами определенен, ибо из нею следует, что 3-блоками графа G относительно pefpa А являются ведущий 3-блок D н 5 блоки замкнутых оттоков из D (в каждом оттоке, не яв-иизиемс”《ехенн3HzM графом, выбирается своя перемычка] Поскольку любые два из зтнх замкнутых оттоков общих ребер нс имеют |см leopcMN IV 23 н IV. 21) п всякое виртуальное ребре вводится только один раз, то, применяя индукцию, получаем, что никакой ,1 блок в приведенной взше кларификации дважды не появляется

Следующее утверждение легко устанавливается с помощью

ИНДУКЦИИ

Теорема IV, 27. Каждое ребро apatpu G принадлемит е точности одном!/，-6а“ку графа G oriiocineMiHo ребра Л К"倣do, eupiyu.tbHue ребро графа G тносител^но ребри А истончается “ даt/.c 3-6.7ок“т- 6 “dsn как отдушина, а в другом как

Ha pur IV.3.6 иргиедепо полное разложение графа 尸⑷)， изображенного на pre IV 3.1, ка 3-6”икн очнпсительнi ребра А Каждая перемычка помечена нрестнком Лналогнтиое паз- лиже.сис для графа F(/l。)(см рис. IV 3.4) дано на рнс IV 3?

Принимая н(| HFruwaime теорему IV 27, из можем синтачь 3-билоки грифа G, взятие относительно ребра Л, вершинами не-

которого графа Blk,(G, Л), ребер в нем больные ребра гранами произволь- 。ребра Е, принадлежащего графу B[k3 (G, 4) бу- .1}т “ва 3 блока графа <7, в одном нз которых ребро Е является перемычкой, а в другом — отдушиной. Ес- лн 4 — ребро трехсвязногс графа G. то граф Rlk,(G, 4) есть по определению граф-ш'ргпипа, в котором перщина совпадает с G То G является n-циклом пли “-

Используи рис IV 3 6 и IV 3 7, легко построить граф Blks(G,4) для графа G, изображенною на рис IV 3.4 Результирующий (ориентированный) 1раф приведен на рис IV 3 8 Стрелка на каждом ребре исходит из 3-блока, в котором cooi- ветствуютее пнртуамьнсе ребро п[>е,ктанпнет собе" о,душину. и входит в тот 3-блок, в котором оно является перемычкой

Данная Анаграмма на поди i “а мысль о спраиедливостп сб- шего утверждения, что граф В1кэ(С,Л) всегда является дсре- пом В качсстпе подготопительпого зтапа для токачательства 313。угверждении дополним рассмзренные в разд 1.6 результаты о деревьях следующим предложением

Георема IV. 28. Пусть граф “ есть o6-bediineHhe degt деревьев 7 w U. пересечение которых является деревом Гогда Н — дерево.

Доказательство В силу теоремы t 25 граф // св”зен Нс- пользуя сотнотенне (I 6 1), легко проверить, что

凡(切=А (7)+%(")-》(/ W

Отсюда следует, что Я “ваяете” снязным “еем Ccraeien ripu- ысншь leupetny I 3j 二

Теорема IV.29. Пусть А — ребро двусвязного графа G Тогда ераф Blkj (G, Л) является деревом

Доказательство Пусть “срез п* обозначается число 3-бло-

1, то у гаержде-1, то у гаержде-ков графа G относительно ние очини,'iHo, ,ак как В1кз вершиной.ков графа G относительно ние очини,'iHo, ,ак как В1кз вершиной.зтом случае будет графом-

1, то у гаержде-

1, то у гаержде-

ков графа G относительно ние очини,'iHo, ,ак как В1кз вершиной.

ков графа G относительно ние очини,'iHo, ,ак как В1кз вершиной.

Применяем индукцию по ".Применяем индукцию по ".Прстаоложим, что теорема справедлива для Мл < д, где g — ие-

Применяем индукцию по ".

Применяем индукцию по ".

меиьшее 2, и рассмо! рич n“ = Q Пусть 3-блок D 1 рафя G имеет отдун1цны 4, 4" . ., 4, |Де s3? I Пусть / (.4,) —замкнутый отток из " через 4 Нспсль

Рис. iV J ； 3 блоки r(As)Рис. iV J ； 3 блоки r(As)зуа наше рекурсивное опре

Рис. iV J ； 3 блоки r(As)

Рис. iV J ； 3 блоки r(As)

деление 3-блоков и теоремы IV.23 и IV 24, заключаем, что графы В1к3(Р(.4г),Л,) являются “опарно пепересекающимися подграфами графа BIkj(G,A) и он строится из их объединения путем добавлении вершины /J и ребер 厶八，4".,才& сое丿iHHks- uihx О с ведущими 3-6“окамн оттоков F(AJ По предположению индукции каждый 1'р а ф В】кз(尸(А ),・4" представь нет собо” лерепо. С.'1е；(опате,'1 i.eto. в силу теоремы IV. 28 граф В11<з(б, А) тоже является деревом □

В заключение данного раздела приведем некогорое дополнение к теореме IV 27

Теорема IV. 30. Пусть .4 — ребро деусвязнога графа G Пусть х — зериита ершра G, принадл1-жлщия d-ум ризныи 3-6，wku" Л, “ 力、83〃r“M относительно ребра А Тогда х eaaxe/c” & G

концом кожНоео ребра, “enu е depeue Bk(G,4)концом кожНоео ребра, “enu е depeue Bk(G,4)которое принадлежит еОинстеенмоП (г”, теорему I 44), соедиинющсй D,

концом кожНоео ребра, “enu е depeue Bk(G,4)

концом кожНоео ребра, “enu е depeue Bk(G,4)

Докиз/иельсши Восп<1лг.зуемся пйп'игачеппями m ieope\rz

IV 29 и снова применим индукцию по，“. Для “，^ I истин

ность угеерждепня о^евгдиа Если же &, = д. то рассмотрим

слелуюнше три спуча»

Рис IV 3 8 BII.J (伍 А)

Случай /. D, = Q, a D* есть 3-блок некоторого замкнутого оттока F(4).

Из определения ведущего 3-блока следует, что общими вершинами для О и F(4) як.'1яются только подвески соответствующего Л-мажорантного 2-разделения, т. с. концы ребра 4 (см. теорему IV. 23). Значит, нершина х является копцом ребра А；, а также вершиной 3-блока D и ведущего 3-блока D； нз F(A(), которые в дереве Blks(G,Л) соединяются р есть О；, то утверждение доказано. Если же

от Di, то используем предположение индукции: вершина * является в графе G концом каждого ребра, принадлежащего цепи в дереве В1кз(Р(厶；)，Л；), соединяющей D； с D*.

Случай И. D, и D$ являются 3-блоками разных замкнутых оттоков F(4) и F(Aj) соответственно.

цепь, соединяющую D, с Ds,динение цепей, соединяющих Оцепь, соединяющую D, с Ds,динение цепей, соединяющих Опоскольку в дереве можно рассматриватьпоскольку в дереве можно рассматриватьВ этом случае вершина х будет в графе G общим концом ребер Л； и А, (см. условие (ii) в определении А-мажорантнмх 2-разделений). Значит, она является вершиной 3-блока D. Но

цепь, соединяющую D, с Ds,динение цепей, соединяющих О

цепь, соединяющую D, с Ds,динение цепей, соединяющих О

поскольку в дереве можно рассматривать

поскольку в дереве можно рассматривать

с Dr н Ds, то истинность доказываемого утверждения вытекает из уже разобранного случая I.

Случай III. Оставшийся случай.

Теперь D, н Ds являются 3-блока ми одного н тоге же замкнутого оттока F(4().

Надо воспользоваться предположением индукции, согласно которому утверждение справедливо для дерева В1кз(Е(4),4). I」'

В следующем разделе будет приведен ряд других свойств графов Blka(G,X). Наиболее важным результатом является, пожалуй, утверждение о независимости графа BIk3(G,-4) от выбора ребра А.

IV. 4. Расслоения

«Рассюсния», о которых идет речь в настоящем разделе, могут быть определены либо с использозанием за巾нкснрованного ребра, либо в некоторой «абсолютной маисрс», не опирающейся „а понятые ребра. Поэтому расслоения можно применять для доказательства независимостн rpag Blk$(G, А) от выбора

Л. (См. [4].)

сть (〃, К) есть 2-раздслснис дпусвязпого графа G с подпесками х и у. Будем говорить, что подграф Н (или К) есть разветвление в (Я, К) (или относительно вершин х и у), еелн он является объединением двух реберно непересекающихся подграфов графа G, содержащих хотя бы по одному ребру и имею- 1цих в качестве общих вертки только х и у. Графом подвесок

2-разделения (乩/0 будем называть иазроф X гр.гф<1 G, не имеющий ребер “ состоящий только из подвесок хну. Упомя- путме н определении разветвления реберио непересекающиеся подграфы япитяются, очевидно, объединениями 无 мостсп в Н (И5И в Д).

Назовем 2-pauenemre (Н, “)расслоением графа G, если xs” бы один из подграфов Н к К неразделим и хотя 6н один пз них не является разветвлением в (及 К).

Теорема IV. 31. Пусть {//, К) есть 2-разделение даусеязного графа G Если подграф Н (или К) “Н4“т<л разветвлением, с (Я, К)、/о он двусвязен.

Доказательство Пусть подграф Н, построен из Н добавле- писм нового ребра А, концы которого совпадают с подвесками 2-разделелия (Я, К). Тогда в силу теоремы IV. 21 % двусвязен. Предположим, что W — разветвление в (Н, К). Используя теорему II 3, такдючаек, что подграф (//)么 разделим и точкой

сочленения в нем является вершина

т. е. ", /вусвнзен (см. георему Ш.：

Значит, подграф (修必,

Теперь приведем несколько утверждений о свойствах делеЕ1ий Авусвнзнмк i рафов, не являющихся чрехсвязннм дем считать, что некоторое ребро А графа G выделено в капе- <яве иеремтзкн, и через О 6у“ем ”6сана”а1ь ведущий 3 блок графа G относительно ребра 4. Вудем дополвителыю предполагать, что ребро 4 лежи1 в подграфе Н,

Теорема IV. 32. Пусть К «е явлпеня подграфом накакан

оттока из D Тогда D - ■ либо многозвеннш: *)- либо . киН отто/с лч О гмк юдержитсч целиком и К, или пересыпается с К.

Докахатыьство IlycTi, х и у — поднески Й-разделения (〃,/〈). Перенумеруем /1-мажорантные 2 разделения графа G: "/“К), . , ("% 兄 i・ > 力厂―отду'шшта 3-блока О, сопт-

ветствующая оттоку /С,

Л )—замкнутый отток через 4.

юдподожим, что G япляется графом типа III

ребра .4 Тогда существуе)ан'гнос 2-разлслсние (*,противоречит условию

G есть граф тина I и.т типа П, т. либо ЦПК1

Будем iciBopHTb, чго Л0Л1ряф Ki если К содержит ребро из Ki. ио в .

:ет Л-максимальное, а зна ',/С) графа G, такое, что теоремы Следовательно, е. D — .'шбо многозвенник,

г разрушается подграфом ^, К, есть ребро, не принадлс-

жащее К. Елн К, разрутаетсп К, то “епгра® КПК, “мест нс менее двух соединяющих вершин в F(AJ (см. теорему !V 2】) Это соединяющие вершины подграфа К в графе G. Значит, они могут бытг. только вершинами хну.

положения вытекает, что в подграфе К есть теесн в некотором 6・{4}-мссте В, отличном с пяетса огтоком К” разрушаемым подграфом , и у должны бм1ь общими перинкам" графон ?положения вытекает, что в подграфе К есть теесн в некотором 6・{4}-мссте В, отличном с пяетса огтоком К” разрушаемым подграфом , и у должны бм1ь общими перинкам" графон ?Предположим, что G — граф типа I. Сначала рассмотрим случай, когда некоторый подграф К, разрушается подграфом К, т. е когда вершины хну содержатся в /С. Из сделанного пред

положения вытекает, что в подграфе К есть теесн в некотором 6・{4}-мссте В, отличном с пяетса огтоком К” разрушаемым подграфом , и у должны бм1ь общими перинкам" графон ?

положения вытекает, что в подграфе К есть теесн в некотором 6・{4}-мссте В, отличном с пяетса огтоком К” разрушаемым подграфом , и у должны бм1ь общими перинкам" графон ?

мя концами ребра А (см. рис IV. 3.3). Если же мост В немя концами ребра А (см. рис IV. 3.3). Если же мост В незбр。，содержа- К・.Если В яв- то вершины х

мя концами ребра А (см. рис IV. 3.3). Если же мост В не

мя концами ребра А (см. рис IV. 3.3). Если же мост В не

лястся разрушаемым подграфом К,, то он либо совпадает с каким-то подграфом 穴f, либо есть граф-зпеио, содержащийся в D В каждом из зтнх случаев мост 5 представляет собой подграф графа К. а значит, концы ребра % являются соединяющими вершинами для К в графе (7, т. е. они совнаааюг <_ х и у Но если х а у — концы ребра А, то подграф 居 является разветвлением в (Н“ К) он представим в виде объединении не- нустнх подграфов К ПК： я /7 ПК, Н。л。несонместимс с определением ipa巾а типа I. Следовательно, оттока, разрушаемого подграфом К, не существует.

Предположим теперь, что G — граф типа II. Сначала рассмотрим случай, когда некоторый подграф К разрушается подграфом К Из cac.'iatiiroio ггредпо.южении вытекает, что в К найдется ребро, принадлежащее некоторому б.чокл' В графа С，， отличному от подграфа К.. Такой блок В пе миже' быть опо- ком н D, разрушаемым подграфом К, нбо два различных блока в нити G\ имеют пс более одной обшей вершины (см. рис. IV. 3 4). Значит, блок В есть либо неразрешаемый отток, либо граф-звено, содержащийся в 力 В каждом чз этих случаев блок В содержится в К. Но если в подграфе К имеете» хотя 6н один блок из нити GZ, отличпый от К” то в графе G найдутся не менее трех сосдиняютцих вершин для К и хоти бы одна соединяющая вершина для К, "е принадлежащая подграфу К, Это, однако, невозможно Следовательно, оттока К“ разрушаемого подграфом К, нет U

Следующая теорема относится к тем же самым i рафам, но <одс|1жит дальнейшие ишробгюггтт о них

|еорема IV, 33. /7坎 го граф К “з теорем ы IV 32 является объединением двух 卩©6。尸”。непересекающихся подграфов Л « Л1, каждьш из которых содержит хотя бы оОмо ребро а имеет ровно due LO^diiHWUfue пепшины з графе G. Если выполиwicu условия reopeMoi IV. 32, то каждый отток из D либо содержится

8 /, либо спдержитсл в М, либо реберна не пересекается “q с L, «н с М. Кроме roeq /〉является многозвенником, если у подграфов L u М пары соединяющих вершин одинаковые, и является циклом в ином случае.

Диказательстио. Предположим, чк) некогирый отток К. из О содержит ребри подграфа / и ребре, не грннад."е*а"1ее L. Тогла L и/С В самом деле, если в L только одно ребро, та включение очевидно; в противном случае 124。воспо.г1ыопат|.ся теоремой IV. 32, ппложггп н ней К раввым 厶.Далее, применяя есрему IV 32' заключаем, что Л, содержится в К. Отсюда вытекает, что в К, существует ребро, принадлежащее М, и ребро, нс входящее в М Значит, как и в случае с 厶 М и К>. Таким образом, получаем, что 欠 есть подгрнф графа К,. Это противоречит условию теоремпг IV.32

Итак, каждый стюк К; нз D либо содержится в 厶 либо ребернс не пересекается с ним Аналогичное утверждение справеллпво для М. 'Гем самим первая часть теоремы дока-

Предположиы, что у L и М одна и та же “ара сзсннннющнх вершин (OTHOCU'ie.'ibHn графа G). Тогда эти вершины совпадают с вершинами х и у, которые являются соединяющими для /С Значит, в CH.'iy теоремы IV. 31 граф К двусвязе". Если G - граф тма II, то К содержится в некотором блоке подграфа G： т е (см теорему IV 2。)п гекстсрсн блоке какого т。оттока из /) О.тко зте противоречит условию теоремы IV. 32. Поскольку д не может быть 1рафом типа III (см доказательство теоремы IV 32), тс сстаетск единственная возможность: G — граф типа I; следовательно, D яв“нется многозвепннком.

К як,'тя,-от<я I и у ii граф G qny<i соединяющими вери/намн для АК як,'тя,-от<я I и у ii граф G qny<i соединяющими вери/намн для А^удут вершины^удут вершиныОсталось рассмотреть случий, когда пары соедиияюших вершиц 卜 ”одгра《>оа /- н М не сови.адагст. В чтом случае подграфы L л М содержит одну обшую спединлющую вершину (скажем, г), ибо “>аф & с”".зе" (см гесрем卜 IV 2。) Оютда с〃с：1$ет, “то К "меет I-разделение (L,M) с топкой сочленинпя 2 (см. теорему III 2) Поскольку сосдинятгецнмн верзнвамп для

К як,'тя,-от<я I и у ii граф G qny<i соединяющими вери/намн для А

К як,'тя,-от<я I и у ii граф G qny<i соединяющими вери/намн для А

^удут вершины

^удут вершины

.И першпньг у и z (см pirc IV 4 1).

Пусть X — граф подвесок 2-ра<де“ен“я (Н. К). Тогда К eeiz .Y-MOCT в О, ибо в силу теоремы IV 31 К не является риз- вств.тепкем в (W ^). Исиильчуя теорем〉L57, заключаем, что потира巾 К содержится в некотором G ■ {Л}-мосгс в G Следовательно, G не игмиется ipag'i т”“а I (см 〉сповне теоре-

132 Г* /V. Тре^связноста

mi,I IV 32). Но тогда G должен быть ,рафом типа II, a D — циклом □

В связи с двумя последними теоремами наиомннм (см. раз дел IV 3), что ведущий J-блок D является мпогозвеипиком, циклом или грехсвязннм графом, содержащим не менее шести ребер, если G есть граф ткла I, II или Ш соответственно. В последнем нз этик трех случаев граф D в сипу теорем IV. I н IV 3 не является ни многозвенником, ни циклом В авух первых случаях D инее! хотя 6м грн ребра

Перейдем к установлению ряда теорем, относящихся к описанию строения гра®а В1к3((7,Л). (Следующее определение является достагочгго уаобннм Пусть С есть 3 блок траста G oiiro- сительно ребра Л. Объединяя С со всеми оттоками из него и удален перемычку к все отдушин!>г, получаем граф, называемый насыщением графа С. Если же перемычку остапнтп, тп получим замкнутое насыщение графа С. Очевидно, что замкнутое насыщспис ведущего 3-блока О графа G совпадает с G В „иобом ином с.тучае перемнчка 3-блока С я вляется отдушиной некоторого другою 3-блока С графа G (взятого относительно того *е ребра А) Поэтому насыщение 3-блока С будет оттоком из С через 9ту отАуш”пу HacMiuenne 3 блокч С ми будем обозначать символам К。，а его замкнутое насыщение— символом F「.

Теорема IV. 34, Пусть С — произвол&«ый З-блск графа G относительно ребра А и L- произвольный подграф, принадлежащий насыщению Кс Тогда соединяющие ееришны aoOepa^a L е графах Fc и G одни к ге же?

Доказа!ельство Если С = D, го аиказмва1ь нечего. В противном случае Кг оттоком из какого то другого 3-блока С сгнсснтеаьн。ре . Венка” соединяющая вершина для 2, в Fc является соединяк>1и,ей кертиной лийо для /- в К, либо для Кс в F« (см. гсорему 1.8}. Однако вершины последнего типа, будучи л /, иш|ичегтт1|ыми перемычке 3-бпока С, ячля- готся соединяющим!! для L в f<：. Тем самнм мы устансвипн, что соединяют；^ вернянм подграфа L □ графах Fu н Fc одни п тс же. Повторяя проведенные рассуждения, получаем тре- буемнК результат. □

Загнемся снова и^чечиеч 2-раэделений (£К) графа G

Теорема IV 35. Пусть К — собстеенныЛ подграф насыщения Кс некоторого 3-6/ока С спьосптельно ребри Л е графе G Тогда К есть гчорой член пары (У, К), чиляющеися 2-/)“3决- лгнпс.и замкнутого насыщения 凡 3-блока С с подвескам и х и у-

фа Fr, я х и у — соединяющие вершины для К в Афа Fr, я х и у — соединяющие вершины для К в АPiKTIlH-PiKTIlH-Доказательство В силу теоремы IV. 34 К есть подграф гра

фа Fr, я х и у — соединяющие вершины для К в А

фа Fr, я х и у — соединяющие вершины для К в А

PiKTIlH-

PiKTIlH-

репным 八оио.пненнем подграфа X в 丘 является подграф 〃'， имеющий хотя бы два ребра, причем одно из ннх представляет гобои перемычку 3 блока С. □

Определим Д носитель 2-разде.тення (仇 К) (или, короче, д-тя (//. К]) Это 3-G“ok С графа G относительно ребра А, такой, что А является собстпе|Шьгм подграфом насыщения Кс 3-6пока С и каждый отток из С либо содержится в К, либо ре берно “е пересекается с К

Теорема IV, 36. У 2-рачде^ения (Н, К) роемо один А-коситель.

лие число д，что К является собственнымлие число д，что К является собственнымподграфом некоторогоподграфом некоторогограф?几 лз перечняграф?几 лз перечняДля каждого целого i, такого, чтоДля каждого целого i, такого, чтоДоказательство, Восиользуечся перечнями L” п ,М”，рассмотренными в разд. IV 3 Нетрудно видеп., что цементы пе- речиеп Л1„ пвзЯ|О1<” з<1Мкн》1ьшн насыщениями 3-б,'юков графа (I отноентелыго ребра 儿 Д-1я данного п в перечне 必 най- дстся, самое большее, оаин граф, содержаиитй К и качесне своего тигра巾а (см тепрсму IV 24) С другой стороны, К есть собственный подграф одного вполне cinpeae.'ieirrroio iрафа G in перечня .VIс Следовательно, существует такое наибольшее це-

лие число д，что К является собственным

лие число д，что К является собственным

подграфом некоторого

подграфом некоторого

граф?几 лз перечня

граф?几 лз перечня

Для каждого целого i, такого, что

Для каждого целого i, такого, что

0 W i W Q, в nepe，me Al, есть единственный граф Л, содержащий К в качестве coOciвенною подграфа более того, если I < <7，тп граф К+| должен быть замкнутым оттиким нз вполнк определенно]')! ведущего 3-блока С, rpa$a F”

Из определения 4носнтепн c.uejyei, чти Л-нос.итель 2-разделенИя (",人)должен быть ведущим Збюком С； некоторого графа /'；. Приведенные выше рассуждения показывают, что таковым может 6ыт1, таек。граф %. Применяя теоремы IV.32 и IV 35. заключаем, что граф 凡 н в самом деле является Л-по- енгелем 2 рлделепия (//, К) □

В двух следукниих теоремах представлены некоторые свои- ства <1-;юсителей.

Теорема IV,37. Если Н — разветвление в 伊,К), то А-носи- 7мь 2*р“з0е“ения (К,К) является многозвекником

всртинз х н у, а з“а“ят, G есть граф типа I и О является мггого- звешшком Кроме того, каждый отток из D есть Х-мост в Н (см ieopeчу I 46). Таким образом, D явпнется А-носнте- ‘азделення(Н, К)всртинз х н у, а з“а“ят, G есть граф типа I и О является мггого- звешшком Кроме того, каждый отток из D есть Х-мост в Н (см ieopeчу I 46). Таким образом, D явпнется А-носнте- ‘азделення(Н, К)Доказшелоство. Пусть X—^раф подвесок 2-разделения (Н,К). В подграфе. Н мы можем найти два Х・моста Д и Л1, такие, что ребро 4 пр：1иа1леж|1т М Может случиться, чгп в М содержится только одно ребро .4 Тогда концами ребра Л будут

всртинз х н у, а з“а“ят, G есть граф типа I и О является мггого- звешшком Кроме того, каждый отток из D есть Х-мост в Н (см ieopeчу I 46). Таким образом, D явпнется А-носнте- ‘азделення(Н, К)

всртинз х н у, а з“а“ят, G есть граф типа I и О является мггого- звешшком Кроме того, каждый отток из D есть Х-мост в Н (см ieopeчу I 46). Таким образом, D явпнется А-носнте- ‘азделення(Н, К)

Рис I、4.2Рис I、4.2В оставшемся случае Х-мсст 力f содержит хотя бы два ребра и существует 2-раздсление (Н\К、графа G, такое,что К'= KUL ПоАвескамн “ого 2-разделе- ння являются вершины х и у. Пусть С есть уА-носитель 2-разделения (Н', К'} Мзкет случиться, что К' будет оттоком из С через некоторую отдушину £ Iona концами ребра 厶 будут вершины х и у, а потому ведущий 3 блок С' ламкгтутого оттока через Z? должен быть мвогозвен- инком и A-HocHieneM дли (Н, К) см.

Рис I、4.2

Рис I、4.2

приведенные выше рассуждения при рас- смотренпч 3-блска /J (в первом случае). Накопец, в остзптсм- ся подслучае применение теоремы ]V. 33 позволяет заключить, что С есть мггогозпенпик и /1-[гоеитСль для (〃, К). □

Теорема IV,38. Если Я — разделимый граф, го Л-носитвль ^.-разделении (Н, К) являе1ся циклом.

Доказательство В силу теорем IV. 21 и Ш 30 Н является

нитью блоков, которою можно замкнуть ребром, соединяющим вершины х к у Выберем в этой нити б.лок L, содержчпгий одну из вершин х пли у, но не содержащий ребро /, и блок М, в который входит ребре А, М”沁“о считать, что вершина х принадлежит блоку L. Тогаа L не содержит вершину у.

:го гр<1ф G〔 является раздс“нм"\т и имеет:го гр<1ф G〔 является раздс“нм"\т и имеетHcipyaHO внлеи、”HcipyaHO внлеи、”Может студиться, что в А1 имеется только одно ребро А. Тогда А 6уде1 “ереиЗком графа Я (см. ieu 11т и III.5) н, так как граф G двусвязен, торцевые графы а /1 содержат вершины хну (обозначим зтн графы через з 儿 соответственно) Граф Н* не являе1Си 1рафом-вершиной и в силу гео ремы III 8 содержит блок L

:го гр<1ф G〔 является раздс“нм"\т и имеет

:го гр<1ф G〔 является раздс“нм"\т и имеет

HcipyaHO внлеи、”

HcipyaHO внлеи、”

1 разделение (//., Hs U К) с 'и>чкой сочленения х. Если граф Hg не является графом-вершиной, т。 граф Ga также имеет

「разделение (/ 77, U К"! с точкой соч^тснсния у (cv рис. IV. 4 2).

Таким образом, G есть ipacp типа II, a D является циклом. Кроме того, в силу теоремы III ?2 каждой отток кз D представляет собо什 блок едкого из графсв Н“ Н, или К. След^ва. тельно, D есть .4-носнтепь для (Н, К)・

В оставшемся случае блок .VI имеет не менее днух ребер и существует 2-разн&;снне (Н‘ А") графа G, такое, "то К'= =kjL Легко видеть, что у гра巾а К' есть 1-рааас.тсн“с ((/) с TO'ibEiii (.си./ененнн л 口(лдвескамн 2-рзаделения (!Г, К') яв- .чяюгся вершина у и точка сочленения z гра巾а Н, прпнадтежа- шая блоку L. Пусть С с<яь И-ноеителг-, для(〃', К').

Может случиться, чю К' является оттоком нз С через некоторую отдушину Е. Тогда ведущий 3-блок С замкнутей。о,- тока через Е должен быть циклом и /t-носнтелсм для (/7, Л)— см приведенные выше рассуждения при рассмотрении З-блока О (б первом случае) В оставшемся подслучас, применяя теорему IV. 33, получаем, что С яиляется циклом и Л носителем для (〃,К). □

Теорема IV. 39. Пара (Н, К) является расслоением графа G тоеЗа и только тогда, когда К еегь отток из некоторого 3-блока С графа G(11носителы1О ребра /1.

ннем относительно вершин х и ; то С есть ппкл (см тесремуннем относительно вершин х и ; то С есть ппкл (см тесремуу. Если // — разделимый граф, 'IV.38|. Iio тстда Гг —графу. Если // — разделимый граф, 'IV.38|. Iio тстда Гг —графДаказажльстио, Предположим, что К удовлетворяет успо- пню теоремы. Тогда С есть Л носшель для ("，К). Если 〃一 разветвление в (〃,К), то в скпу теоремы IV. 37 С является мнигозвенннким. Эю изначает, что Fc есть граф гкпа I отно- ситепнио его перемычки. Следоиательпо, К гге буле： разветвае-

ннем относительно вершин х и ; то С есть ппкл (см тесрему

ннем относительно вершин х и ; то С есть ппкл (см тесрему

у. Если // — разделимый граф, 'IV.38|. Iio тстда Гг —граф

у. Если // — разделимый граф, 'IV.38|. Iio тстда Гг —граф

является расспос-является расспос-каждом из возможных случаев пара пнем графа G.Обратно, иредиоложим, чю (Л, ^| — расс.'юенне графа G. Еспн К ис будет оттоком из 3 блока С, яиляющссося Л носителем д.1я (#,К), т。в силу теорем IV 32 и IV. 35 С долженкаждом из возможных случаев пара пнем графа G.Обратно, иредиоложим, чю (Л, ^| — расс.'юенне графа G. Еспн К ис будет оттоком из 3 блока С, яиляющссося Л носителем д.1я (#,К), т。в силу теорем IV 32 и IV. 35 С должентипа II, а его отток К — двусвязпый граф. Таким образом, в

является расспос-

является расспос-

каждом из возможных случаев пара пнем графа G.

Обратно, иредиоложим, чю (Л, ^| — расс.'юенне графа G. Еспн К ис будет оттоком из 3 блока С, яиляющссося Л носителем д.1я (#,К), т。в силу теорем IV 32 и IV. 35 С должен

каждом из возможных случаев пара пнем графа G.

Обратно, иредиоложим, чю (Л, ^| — расс.'юенне графа G. Еспн К ис будет оттоком из 3 блока С, яиляющссося Л носителем д.1я (#,К), т。в силу теорем IV 32 и IV. 35 С должен

быть мнзозвенннким нап циклом.

Сначала предположим, что С — многозвенннь. Тогда К 6у- щ объединением не менее чем ,гвух f г•{£}-мостов, где Е — п” ремнчка графа С Но поскольку К — собственный подграф графа Дс, то он не может быть объединением всех таких мои rod. Концы перечички Е яв.1Яготсн сое;|И1гяютцими верцгшгами для К, 3 значит, они сонпадают с t н у. Следовательно, по теорс не IV 34 подграфы Ник. будут рачветв.чепиями в (ff, А). Это противоречит нашем》предположению, что пара (〃，К) есть расслоение графа G

утверждать, что граф (Fc)b есть объединение таким- графами 宜* н К” что общей вершинеутверждать, что граф (Fc)b есть объединение таким- графами 宜* н К” что общей вершинеК с Д"умн и К, явля-К с Д"умн и К, явля-Пусть теперь С являемся циклом с перемычкой /:. Тогда К будет объединениеч не менее чем двух, но не все*, блоков графа (Fc)e・ Значю, К — разАелмянН граф. Блоки, входящие в К, дилжны образовывать нить 5,'iokoe в ipa中е (尸с)2, таккак у К только иве соединяющие вершины. Поэтому мы можем

утверждать, что граф (Fc)b есть объединение таким- графами 宜* н К” что общей вершине

утверждать, что граф (Fc)b есть объединение таким- графами 宜* н К” что общей вершине

К с Д"умн и К, явля-

К с Д"умн и К, явля-

ется только вершнва х, а у К н К, —токько у, причем К* н Ку не являются (р<|фами-вер1ггч11ами н когщы й н с ребра £ принадлежат соответственно К* и Ку (см. рис. IV. 4.3).

Таким образ。”，на основании теоремы 1V 34 граф (FQ 工 есть подграф 1рафа G, имеющий те же самые соединяющие вершины b и г. Отсюда вытекает, что Н - разделимый 1раф, сидержащий хпгя бы озну г” вершин Ь или с в качестве точки соч.пеисння. Эго противоречит нашему предположению о гом, чго (Н, К) является расслоением графа G.

Итак, мы можем утверждать, что если (//, К} — расслоение оттоком из Л-носителя С в (頂

Тесрему IV. 39 можно с формул ировать иначе- существует взаимно однозначное соотвегггиие между множесгним раселое- пий графа G и множеством его виртуальных ребер относительно ребра Я. Вир пое ]>е6ро Л, к"“негся сиауимнин только одного 3-блока афа G относительно ребра Л. Отток К нз С через 4 совпадает сп пторым членом расслоения (斤,К), соответствующего ребру Л,. Если в Некоторых рассмотрениях пара {", К) является расслоеписм графа G, то подграфы Н н К бупем называть крыльями этого расслоения Через /；(К) будет обозначаться замкнутый отток из Л-носителя, соответствую- uiei с птгоку Л,

Значение отмеченного выше спответствия состоит в 1(>м, ч io оно устаггаиливаст пезапненмиаь расслоения【рафа G от выбора перемычки. Мы вправе сказать теперь, что лля фиксированного расслоения при любом выборе перемычки получается одно и то ,ке множество виртуальных ребер Перейдем к доказательству независимости от выбора перемычки множества 3-блоков данного ipa(|)a и сгр/гурн дерева В1кг(<?,Д).

Теорема IV,40. Пусть(a，Kj и (//；, Л"г)— различные pw- слоения графа G. ТиеОа приизволвное крыло расслоения (〃i,K|) является собственнвин подграфом иой(одя:цего крыли расслоении (儿 К?).

Доказательство. Воспс.тьзуепся обозначениями из разд IV. В. Можем считать, что при произвольно пыбранпой перемычке Л граф "(К» принадлежит перечню ,М” а Г(KJ — перечню К、, иричкм г = s. Применяя теорему IV. 24 (как это дапалось при доказательстве теоремы IV 363, получаем, что в перечне Л1, существует только один граф (обозначим его F(K；)), содержа-

щий ^2 в качестве своего подграфа. Если К； = К“ то r<s и Кс есть собственный иодграф графа К〕(см. теорему IV. 26),

В оставшемся с.чучае графы F(KJ и 广(Ю являются разными членами перечни % Используя теорему IV. 24, заключаем, что К； — подграф графа /Д. Воаее того,兄 есть собстнен- НЫ1! пол рнф 1рафа 仇，ибо г должно быть больше 0, а значит Л принадлежит //“ но не содержится в К；・ Таким с6ра・ зом, К2 — собстпепный подграф графа 修.П

Рассмотрим три разных расслоения《儿，К；) графа G « = 1, 2, 3). Может случиться, что 吃 и 峪 и IP,, где W, — некоторое крыло в (忆> KJ. Если зтн включения вьтполниюгсн, то будем гоиорить, ЧТО расслоенна (//3, Кз) лежит между (Н“ К» и (Н2,左?)■ Два разных расслоение будут называться смежными, если не с》)"есгвует третьего расслоения, лежащего между ними Заме- тпм. что что определение смежности нс зависит от выбора пере- мычкн. Однако смежное 1ь мох<но описать и па языке 3-бло- коп отцепитсльно зафиксированной перемычки Л.

Теорема 1V.41. Пусть {Нг. ^i) “ {万2, К?) - разные расслоения графа G. Пусть Л — произвольное ребро графа G. (Будем считать, что А принадлежит подграфам % и Н?) Расслоения (升 1, Ki) и [Н2, К» смежны тогда и только тогда, когда выпол-

нязся 心。из следующих двух условий-.

% и К? — po.we оттоки из некоторое。 J блока С графа G отнисителыо ребра А,

один “，графив Ki к Hi является насыщением некоторого З-олола С графа G относительнп ребри А. a dpyeoi)— оттскс* из С

Доказательанп. Восл<1„гкзуем('я обозначения\ш нз теоремы IV. -10 н будем считать, что 咫 есть крипо расслоения (〃：，К，) 1 рафа G (см. теорему IV. 39).

Сначала пгедполпясим, что К； — К” Ec.nu s > г + 1, 1。некоторое рассж>ен”е (Н", К"), где /ЧК") е= М』，лежит между (%, KJ и (/, К", а значк ни одно из условии (i) и (ii> в“・ “gun 1ьси не может. Поэтому предположим, что s = г + 1, тогда будет иметь место условии |ii). Ес^и теперь некочорсе рассюе- п”е ("‘‘> К") 1сжит между (//,,《)и (仇，KJ и ребро % содер-

А, и К" и % " % и К" и % Но лежать некоторому перечню 也

грчф F(K") должен "рмнад- Позгочу указанные включе-

иия приводят нас к с.теаующнм “ерапенстнам: г -|- 1 > ( > г.

Знаин»,

дза заданных рнсслоегшя яв-мтюя смсжггыми.

В сставшсмея случае подграфы % " К； разные. Ес»и (год- граф 兄 отличеп от Ла, го ни одно из условий (i) и (п) не вы-

полняется. С другой стороны, (Я=, Ю лежит между (//■, KJ и(也，KJ Значит, К? и 抬 и %. Поэтому предположим, что

Если Ki и % являются onоками пз разных 3-блоков графа G относительно ребра Л, то они содержатся в разных графах 尸(К：) и 尸依)гоптве(сгвенно, ирннзьаежамих перечню ,М,_,. Тогда нн одно из условий (i) и (iii не выполняется. С другой

стороны, существует расслоение (У, “2

лежащее между

(牙，4} и (也，к) t. e. к,ик:'u 也.

Остается рассмотреть подслучай, когда К| и К± являются оттоками из одного н того же 3-блока С относительно ребра А. В этом подслучае графы & и Л2 содержагся в одном и том же члене 尸(К) перечня М,_“ где К — насыщение графа С. Следовательно, условие (11 аыполнпегся Ес.чи некоторое расслоение

(〃"，К") Лежит между (小,KJ Н (/^,危)，・ 1аксе крьт.то IF", чго либо К、и IT" и 九>

Подграфы,

входящие в эти цепочки включений, можно за-

менять нх расширенными дополнениям!!, обратив при этом знаки включения. Значит, выбирая соответствующим образом обозначения, можно добиться, чтобы выполнялись включения % и К" и “2 и чтобы ребро Л принад^гежало п>афу Н“ Граф К" должен входигь в некоторый перечень Mi. Поэтому указанные включения приводят к неравенству f V，. Поскольку член

перепня М〃 содержащим Ki, содержит и насыщение

то зтому члену в качестве подграфа прин; Мы приш.чи к прогипоречию с тем, что Vu

1адлежит

графа

〃2 Следовательно,

и в этом подслуиае два исходных расслоения должны быть смежными □

Если V — вершила графа №, го сс бондач назовем множество всех звеньев графа (V, кнЦидеН1ных и. Очевидно,〔та в деС никакие две разные вершины не могут иметь совпадающие ;ы, за исключением того случая, когда дерево является графом-звеном. Займемся рассмотрением бондов в дереве В1кз(5А)

Теорема IV.42. Bondin дарена В!кз(С,4) не зависят。丁 выбора реОра <4,

Доказательаво. Из теоремы IV 11 с“еа>ет, чю н дереве Blk3(<J.-4) ребра произвольного бонда 3 должны соответствовать парам смежных расслоений графа G Рассмотрим внрту- а.1ьн〃е ребро 4 графа G, соответствующее расслоению (//,. KJ. Это ребро содержится n ппух 3-блоках & и & rpa@a G, взн тык относительно ребра А, причем в С, ребро А, является отд1-

шиной, а в С2 — перемычкой В дереве Blk3|G,Л) концами ребра /, служат 3-блоки & и J В силу теоремы IV.41 расслоения, смежные с {〃“ К“)，соответствуют отлнчпим от 4 зпемьям из бондов вершин & и & в дереве BIk$(G,/I). Кроме того, любые дна из рассматриваемых расслоений являются смежными тогда и только тогда, когда они соотиегсп^уют звеньям, принадлежащим одному и тому же из “их двух бондов

Из проведенных рассмотрений следует, ито для нахождения бондов дерена В1кз(<7,Л), содержащих ребро Л；, можно обой- тисг. без рассмогрення ребра А Нужно иметь только расслое- нил графа G и отношение смежности между ними. □

Теорема IV.43. Пусть 5 — бонд дерева В1к3(С,Л), гоответ- ствцк1щий его «ермике С. Занумеруем зоемя из S следующим образом.儿，4Д? Расслоение ^рафа G, соответствующее ребру Л, (i = I, .,,, It),можно представить в виде (U；, 1К;;) для каждого i ?ак, чтобы никакие йей 〃з крбмасн W； не имели

общих ребер н общих вершин помимо общих подвесок соответ апующих расслоений, ho нее т。?。，если й ^ 2, то указанные

условием. кры*;>я 11% опредрляючея оакАзмачкс

Доказательство.Доказательство.Frau 左 N 2, 7。3-блок С ни“учае“х “з пересечения всех крыльев 1% присоединением ме'и>ев, входящих к S Если 6=1, гс С получается из 匕：или 吟 присоесинение^ ss еяа “з S

Доказательство.

Доказательство.

совпадает .переммисовпадает .переммизависичости от топ>, являете" ребрезависичости от топ>, являете" ребре,сть (〃“ К.) — расслоение,А принадлежит Hi. Крыло

совпадает .перемми

совпадает .перемми

зависичости от топ>, являете" ребре

зависичости от топ>, являете" ребре

кой или отдушиной в С. Принимая во внимание определение 3 блока относительно ребра А, данное а раза IV 3, заключаем, “то крылъя Wi y“oH；iei ворнют требуемому усл<>в!гю более того, С является именно таким графом,。котором идет речь в формулировке теоремы

Предположим, что 左★ 2. Пусть Л, к Л; —два разных звена из 5, причем Д, соотвегстиует расслоению (Hi, Кд, а Л, —расслоению (//,, К；). Здесь мы не предпо.-лгаем, что ребро Л при- наапежнт графам Н； и И,. В сн“『 теоремь, JV. 411 можно счи- гать, иг。& являете” собственным подграфом графа К「Тогда в каждом из графов Н, н К； должно найтись ребро, принадлежащее графу W, Значит, необ.чодимп полож!иь 犷，=居 С

Теорема IV,44, Пусть дерево В1КЭ((?,А) ме звляася <，р“- фом-звеном u S — ее。бонд, которому соответстоует 3-блок С графа " относительно ребра А Если “о пр^нияа-п, во внимание расгюяоясе'ше “еремзчк“ в С, то граф С будет одним и ,ew лее при любом выборе ребра Л,

Докалательство. При |S|js2 утверждение вытекает и? теоремы IV. 43. Предположим, у 1. В обозначепиях теоремы IV. 43 С есть либо U” Из условия докаэцвае- мой теоремы следует, что у графя G существует второе рас- сиоеннс и некоторое крыло этого расслоения является собственным под! рафом в Uj или в 旷i Значит, независимо от выбора ребра 4 граф С должен 6“" другим членом пары (5, %) □

Исключенный из этою рассмотрения случай, когда дерево В1кз(<?,/4) является графом-звеном, тривиален: существует только одно расслоение [О', №') и два З-блска цсиучаюгся из U н 犷 присоединением виртуального ребра, т е. конструкция не запнснт от выбора ребра Л.

:ровать теорему IV. 44 иначе, 5локи огниснтельни каждого:ровать теорему IV. 44 иначе, 5локи огниснтельни каждогоG имеет одни и те же ,езн различие мемиуG имеет одни и те же ,езн различие мемиуПринимая во внимание это замечание, мы можем сформу-

:ровать теорему IV. 44 иначе, 5локи огниснтельни каждого

:ровать теорему IV. 44 иначе, 5локи огниснтельни каждого

G имеет одни и те же ,езн различие мемиу

G имеет одни и те же ,езн различие мемиу

перемычкой и отдушинами в нвх игнорируется Теперь мы можем говорить просто。3-блока\ графа G, а не。3 бвока、относительно некоторой конкретной перемычки Л, и вместо В1кц(С,/1) писать Blka(G), наззвая зтот iраф деревом 36?。- коа графа G. В ;ia"u<jM разделе мьг предполагали, чтц рассматриваемые графы G имеют 2 разделения. Если G — трехевнзнз" граф в качестпе его едииствеппого 3・6пока надо вчать сам этот , так что BHWG) будет графом-вершиной.

В заключение этого раздела докажем теорему о строении дерева В1кз(0).

Теорема IV.45. Flj/cib С и С'— два 3 блока графа G,ячлчю- щиеся смежными вершинами е дереве BIk3(G), Тогда они не могут оОкозременмо быи> ни •ши'козвенмпками, “〃 ци.к.та-ли.

Доказательстцо. Можпо знгать, что относительно некоторой перемычкн 4 граф С является ведущим 36'юксм замкнутого оттока из С. §тот замкнутый отток должен быть замкнутым паснтепнемЛ；” графа С Пусть £ ir £'—■ перечычкп в С и С' соответственно.

Е' одинаковые пары кон-Е' одинаковые пары кон-Предположим, что С — многозвенннк. Тома Fc — ipa©

Е' одинаковые пары кон-

Е' одинаковые пары кон-

цов п отток К<‘ пI1 нванегса разветвлением относительно зтнх концов. Значит, Лс- не может быть графом типа I относительно £', а гюзт。工у 3-6,ок С' не является многозвенником. едположпм теперь, чт о С — цик；1, 1'огда Fc — граф тнпа II относительно Е и отток К« Авусвазен Следовательно, Fc，нс авпнеген 1рафол)типа 11 относительно £', а значит, 3-блок С — нс цикл. □

/1Л5. Удаление и стягивание ребер

В этом разделе трафы G npejuo.iiai аются трехсеязными ч содержащим и не менее тпесгн ребер К теорему IV.4). Множество J.4. /!, С}, состоящее из трех ребер графа О, будем называть треугольником, если оно есть мппжесгво ребер некого рого 3 цикла, содержащегося в G. Аналогично, будем называть это множество триадой, если оно является бондом какой-либо грнваменгни* вершины графа G Из теорем IV I и IV. 3 выте-

Теорема IV, 46. Если ребро А принадлежит некоторому треугольнику графа 6, то граф cl яс трехсвизен. Если Л содержится а кикой-либо триаде графа G, го граф G] не трехевязеи.

Пусть .4 — ребро графа G с концами Ъ н с

к подробному pi

)у того случая, когда подграф

сту“нм

1метнм сначала, что (в силу теорема IV. 7(

вусвяаен. Нспо.твзуя метод, описанный в рачд, IV. 3,

мы можем разложить граф G； на его 3 блоки.

Рассмотрим омнечный 3-блок графа G；, т. е. 3 блок, саот- ветствующ!га висячей вертнне дерева Blk., (С；). Он имеет только одно виртуальное ребри Е、а в графе G у пег。не менее

двух ребер. Пусть J — подграф графа О, nonyt оконечного 3 блока после удаиенна ребра Е.

учаемый из этого

Поскольку / не

может 6zih членом никако, о 2-разделения графа G, то у ребра 4 существует такой конец, который принадлежит графу / и ос”нчсн or концов ребра Е.

Из теоремы 1. 40 следует, ”т。в дереве Blkj(G.i) не менее двух висячих вершин. Значит, нх должно быть ровни две — ио очной для каждого конца ребра 4 а потому дерево В1кз((?7) является цепью (см. теорему 1.40). Полученные результаты можно с форму 1ирои(|ть так，граф G i ，н 1яетсч нитью, состоящей из 3-б；гокое 〃 заммутои ребром 4

Используя свойства цепей, по.тучаем, что 3-б.чоки н внрту-

альные

можно занумеровать естесгвенным

G, С* •• +1 н А , 4，. . , 4” (ге> I). При этом Л； содержится только “ 3-6”ок“х & н 以+厂 Мы можем выбрать обозначения так, чтобы вершина b принадлежала 3-блоку С» а вершина с — 3 блоку Сг1+,, Обозначим кинин ребра А, через а(，，1) н в(i, 2} Иногда бывает удобно считать, ито а(II, 1]— — а(0, 2} = Ь и а(п + 1, 1)— и {«+

Через 厶 обозначим подграф гр

который получатся

из С, после удаления всех содержащихся в кем виртуальных

ребер. Назовем от нергнннз 4ребер. Назовем от нергнннз 4乙 сегпентом графа G；; i-и сегменг «считается» а (;;卜 2 — г)-й — ит вершины с.

ребер. Назовем от нергнннз 4

ребер. Назовем от нергнннз 4

На рнс. IV 5 1 изображен граф, в котором 3-блокн С； п С3 являются циклами, а С, является З-звепннком

Используя терминологию из разд II. 5, можем сказать, что

вершины t и с разделяются концами ребра А, Следовательно, в графе (Л существует ни более двух вн>1 ренне неиересекаю-

щихся цепей с концами & н с (см. теорему II 35). С другой стороны, па основании теорем II За и III. 7 заключаем, что хотя бы одна пара 1акн\ внутренне непересекающихся цепей найдется

Теорема IV. 47. Lc-зи ара力 G； ме являйся трехсвяаным, 7。 е нем наибольшее "меп。внутренне непершл-китщихся “”“>/, соединяклцих вершины Ь и с, равно 2.

Пожалуй, L.ieaveT 0TMethis явно,Пожалуй, L.ieaveT 0TMethis явно,что ч сипу теоремы IV 1что ч сипу теоремы IV 1в графе G； нс существует ребра, соединяющего вершины b н <в графе G； нс существует ребра, соединяющего вершины b н <графа G；,графа G；,А н 户0 — две внутренне непересекающиеся ценисоединяющие вершины 6 нс. Их об ьйдиненне ejhА н 户0 — две внутренне непересекающиеся ценисоединяющие вершины 6 нс. Их об ьйдиненне ejhцик.1 F. Назовем ею А-костяком графа G Цепи F, и 5, будемцик.1 F. Назовем ею А-костяком графа G Цепи F, и 5, будемназывать краями зтого костяка Очевидно, что у каждоюназывать краями зтого костяка Очевидно, что у каждоютуа.иного ребраЕсли А-косчяк ?туа.иного ребраЕсли А-косчяк ?один конец лежиг к А, а другой —один конец лежиг к А, а другой —уже имеется, то мы можем так выбрать сбо-уже имеется, то мы можем так выбрать сбо-значения, чтобы конец «(;, /) лежал в F, (; = 1,2).Поперечиной костяка /' называется цепь графа &% упло- няющаяся от 尸 н такая, что один ее конец лежит в Л, но нс принадлежит F?, а другой содержится в /■'), но не шодмт в &. Назовем А костяк F дважды пересеченным, если он имеет две непересекающиеся поперечиныВиртуальное ребро As соогпйтствует такому расслоению (刀 吟)графа Од, в котором 0, есть ибьеднпеине сегментов /* д.я R V，： а М； — объединение сетментсп Д для k > 厶 Из ивук ответвлений цепи F! в ве?ШННС a(i, j) одно является |(спыо в U, с концами 6 и а ((, у), а другое — цепью в W\ с концамизначения, чтобы конец «(;, /) лежал в F, (; = 1,2).Поперечиной костяка /' называется цепь графа &% упло- няющаяся от 尸 н такая, что один ее конец лежит в Л, но нс принадлежит F?, а другой содержится в /■'), но не шодмт в &. Назовем А костяк F дважды пересеченным, если он имеет две непересекающиеся поперечиныВиртуальное ребро As соогпйтствует такому расслоению (刀 吟)графа Од, в котором 0, есть ибьеднпеине сегментов /* д.я R V，： а М； — объединение сетментсп Д для k > 厶 Из ивук ответвлений цепи F! в ве?ШННС a(i, j) одно является |(спыо в U, с концами 6 и а ((, у), а другое — цепью в W\ с концами

Пожалуй, L.ieaveT 0TMethis явно,

Пожалуй, L.ieaveT 0TMethis явно,

что ч сипу теоремы IV 1

что ч сипу теоремы IV 1

в графе G； нс существует ребра, соединяющего вершины b н <

в графе G； нс существует ребра, соединяющего вершины b н <

графа G；,

графа G；,

А н 户0 — две внутренне непересекающиеся ценисоединяющие вершины 6 нс. Их об ьйдиненне ejh

А н 户0 — две внутренне непересекающиеся ценисоединяющие вершины 6 нс. Их об ьйдиненне ejh

цик.1 F. Назовем ею А-костяком графа G Цепи F, и 5, будем

цик.1 F. Назовем ею А-костяком графа G Цепи F, и 5, будем

называть краями зтого костяка Очевидно, что у каждою

называть краями зтого костяка Очевидно, что у каждою

туа.иного ребра

Если А-косчяк ?

туа.иного ребра

Если А-косчяк ?

один конец лежиг к А, а другой —

один конец лежиг к А, а другой —

уже имеется, то мы можем так выбрать сбо-

уже имеется, то мы можем так выбрать сбо-

значения, чтобы конец «(;, /) лежал в F, (; = 1,2).

Поперечиной костяка /' называется цепь графа &% упло- няющаяся от 尸 н такая, что один ее конец лежит в Л, но нс принадлежит F?, а другой содержится в /■'), но не шодмт в &. Назовем А костяк F дважды пересеченным, если он имеет две непересекающиеся поперечины

Виртуальное ребро As соогпйтствует такому расслоению (刀 吟)графа Од, в котором 0, есть ибьеднпеине сегментов /* д.я R V，： а М； — объединение сетментсп Д для k > 厶 Из ивук ответвлений цепи F! в ве?ШННС a(i, j) одно является |(спыо в U, с концами 6 и а ((, у), а другое — цепью в W\ с концами

значения, чтобы конец «(;, /) лежал в F, (; = 1,2).

Поперечиной костяка /' называется цепь графа &% упло- няющаяся от 尸 н такая, что один ее конец лежит в Л, но нс принадлежит F?, а другой содержится в /■'), но не шодмт в &. Назовем А костяк F дважды пересеченным, если он имеет две непересекающиеся поперечины

Виртуальное ребро As соогпйтствует такому расслоению (刀 吟)графа Од, в котором 0, есть ибьеднпеине сегментов /* д.я R V，： а М； — объединение сетментсп Д для k > 厶 Из ивук ответвлений цепи F! в ве?ШННС a(i, j) одно является |(спыо в U, с концами 6 и а ((, у), а другое — цепью в W\ с концами

a", j) и с (см. разд. III.4), Ни одно из этих отвегвлепий не

содержит другого конца ребра 4,.

Предположим, что 1 ^i < п Можо спучнтьса. что “(i, » =f= =а (1 + I, j) для некоторого / То»д» ответвление цепи F,

в верткие a (г, j) содержится в b_i・ Значит, пересененне графи в 厶 и F, будет графом-вершиной, определяемым вершиной a 亿 /). В таком случае будем говорить, гго 厶 ущемляется на F；.

Ня рис. IV. 5 1 в качестве костяка F можно взять внешнюю границу трафа G；, /■； будег верхней "em、g, л /■',— нижней. Тогда Ci ущемляется на обеих цепях R и F? Д«7Я оконечных 3-блоков С, н С„+| такое положение дем невозможио, поскольку вершины 匕 н с не инцидентны шт одному виртуальному ребру т раф<, G}. Предположим теперь, что вершина и (г, /) и п (/ + 1, /) не совпадают Пересечение 厶 с /)^представляет собой цепь L (1,() с концами й (г, j) и а (i + I, j), В зтоп л<ожно удостовериться, взян сначала ответвление L цепи F, r пертпине a (/, /), лежащее в графе 犷“ а затем отнетвл?ние графа L в вершине a(?+ I, /), не содержащееся в 1Г1 + 1. Омриулированние сейчас

утверждение распространяется н тта случаи, ки'да( = 0 или i = л. В самом деле, пересечение грапон Д и F, является от

ветвлением цепи /■； н вершине a(l, j), ^лючающим вершину 6,

а пересечение графов /“+[ и /：/ представляет собой отвечвле- ние цепи 尸,в нершнне a (”，力，содеркащес вершину с. В ка

ждом из рассмотренных случаев пересечение i рафсв 7, и F；

будем обозначать енмво.чем 尸"，/) “ называть бордюром сее・ кеата /( а |или относительно) цепи F. Заметим, что в силу

теоремы I. 26 цепь F； пв&яеген об ьедгаенпем бордюров з + 1 сегментов графа %, причем бордюра берутся оттюсителыто

Теорема IV.48. Если & — цикл, то он яилящсн 3 4UK.2O* a два ее。ребра, инцидентные вершине ;, образуют с ребром 4 триаду е графе G.

Ноказитеапетао. Если С, имеет в«рптину, отличную от 6, a(l, i) и a(1,2), то опа должна быть в G двухвалентной пер- тин"% Это □ротиворсчит теореме IV 3 Остается уиесть еще, иг。иершина 6 не ннинаентна ребру At □

Допопинм теорему IV. 48 сле^уюплм простом утвержде-

Теорема IV. 49. Ег〃” в цепи F, тм：ко два ребра, го они с ребром А образуют е графе G трсуео.ьник.

Нетрудно видеть, что цепь F, должна иметь ребро в 八 н ребре в /«“ Если в ней только пна ребра, то нее “ругне сегменты ущемляются на F,. Значнг, н\ бордюры в цепи F/ со

впадают с единственной внутренней псришиои этой пен

}оказателистпо. Рассмот|}оказателистпо. Рассмот|Теорема t V. 50. Пусть Z, есть 2-“，，％ е графе G] с концами 6 н с. Тогда е графе G существует A-костяк, у которого один из краев совпадает с 厶.

}оказателистпо. Рассмот|

}оказателистпо. Рассмот|

фа G, имеющий края нил так, чтобы край 1'\фа G, имеющий края нил так, чтобы край 1'\、ие содержал зпутрецщою вершину цепи、ие содержал зпутрецщою вершину цепигрим пропзвольный /-носек F 1 ра- [F* Мы можем выбрать обоэначе-

фа G, имеющий края нил так, чтобы край 1'\

фа G, имеющий края нил так, чтобы край 1'\

、ие содержал зпутрецщою вершину цепи

、ие содержал зпутрецщою вершину цепи

L Тогда F] и L внутренне не пересекаются и образуют требуемый А-КОСТЯК. □

Теорема IV. 51. Если С, не является циклом, то J, содержит поперечину некоторого Л-костяка F графа G

Доказательство Пусть Н, — объединение бордюров сегмента /, в цепях Fi и R Граф /，не может совпадать с /,, так как иначе 3 блок С, был бы циклом 3“auni, и /, существует //„-Мост.

В сегменте /, найдется а-пост С, содержащий вершннн р н д, удовлетворяющие следующему условию: вершина р является соединяющей в F(i, 1), но не в F《i,2), а вершина g со- еанияющап в F(i, 2), но не в Г(，，1) Еан бы i.iкого мосга не сутествова/о, ю объединение одного из бордюров F(i. 1) нлн F«>2) с теми мостами, все соеднняютг^с EqjinUHl.i ьогоры'： прина,.ыс；каг угсму бордюру, было бы членом некоторого илн Э-раздеЛения графа G Г1риме!тяя теорему 1.56, получаем, что нужная поперечина расположена в мосте 3 н ее концами являются вершины р к g □

Теорема IV.52. 〃弘，》граф G] нг явлчееса трехмигным £<_{“ F есть A-костяк графа G с краями 尸〔и 广?， причем F) является 2-цеп.ью с ребрами X и Y, то либо ребро А принадлежат триаде графа G, либо граф G； трехсвязен

Доказательство. Предположим, ЕС ребре А не содержится в триаде графа G Тогда в силу теоремы IV 48 ни Ci, ни Сц не являются имк.тамн Пусть х- ппутрепняя вершина цепи F* Мьт можем выбрать обозначения так (обратив, если нужно, нумераиап}, чтобы ребро 攵 было инцидептио веришне b (см рис IV. 5.2)

Так как 3 б.чок & не является ни ннкмем, пи многозвен- пиком, то (см. раза. !V. 3) сн является трехсвязнмм графом н имеет не менее шести ребер. Значит, граф (&)；, подобно графу Сд. дпуевлзеп. Применяя теоремы 11.35 и 111.7, полу-

Рнс IV.52Рнс IV.52

Рнс IV.52

Рнс IV.52

чаем, что в графе (CJ； существуют дне внутренне ненересе-

А[ М к Лэ являкнся внутренне иеперееекадщнмнс” це- UHWH н С； с концами й к г. Следовательно, G； — трехсвязнмЛА[ М к Лэ являкнся внутренне иеперееекадщнмнс” це- UHWH н С； с концами й к г. Следовательно, G； — трехсвязнмЛкающнесн цепи М, и N； с квтамп 6 н х 11о всртпины 6 п х соедичяются в графе G еще и 2-iieni.Kj А%, <у>ст“""1ем из ребер У я /1, П。,тому, 1sH ни %, ни N； не содержат ребр。4,,

А[ М к Лэ являкнся внутренне иеперееекадщнмнс” це- UHWH н С； с концами й к г. Следовательно, G； — трехсвязнмЛ

А[ М к Лэ являкнся внутренне иеперееекадщнмнс” це- UHWH н С； с концами й к г. Следовательно, G； — трехсвязнмЛ

граф (см. теорему IV. 47).

В оставшемся случае мы можем прсдпо.'южить, что ребро Л( припадле；кн[ цени *'； (как показано ти рис. IV 5 2). Нзмш зуп теорему IV. 5|, заключаем, что поперечнна Г косчнка F пежнг в сегменте !nii. Одним концом поперечины 1 должна

быть вершина г, а дру| нм — нертинна « ич бордюра F(/i+ 1, i),

отличная от вершина с. Если и есть а(1. Г), io берез в качестве гр.эфа S |р<|ф-Есри1и1гу, сот нствуюи!,"* верните а (I, I). В противном случае рассматриваем ответвление L uoih F в везкние а(1 ,1), включающее вершину с, н полагаем S ран

ный ответвлению графа L в вертнпе и, содержащему в«р- |“нну “(I, I) In, зна”нт, нс содержащему с) В каждом иа ?1их

двух случаев объединепие графов S，Г и । рафа, получающегося нз А’； после удаления ребра .4., является цепью Vs н графр G；, Соеди1шютей вершипы 6 п х. Пени А； А§ и М

в графе Gj внутренне нс пересекаются. Значит, в силу теоремы IV 47 rpa® G[ ‘рехевнзен. П

I t'nepb обратим внимание на тот случай, когда 2-раз；1О ино сеть у 1рафа 6£ но моА<е, uicj |ствокать у графа

Теорема IV. 53. Пусть Л — ребро графа G, и пусть граф С； является трехсвязным. Тогда граф G\ есть объединение двух

реберм。 непе[реберм。 непе[ровно гри ребра Л еровно гри ребра Л епресекающихся связных подграфов Н и К, имеющих лбщие ееришнн, причем две из мах — кочцы b и с

реберм。 непе[

реберм。 непе[

ровно гри ребра Л е

ровно гри ребра Л е

причем если такихпричем если такихДоказательство. В силу теоремы IV. 8 у графа G，существует 2-разделение (Р, Q). Следовательно, граф 6 есть объединение >【вух iio,'irpdi|)>>B ЗР и %Q, у которых /1 — единственное общее ребро Их общие вершины соответствуют подвескам из (Р, Q) Значш, чнепо общих вершин у fЯР и f4Q не больше 3,

причем если таких

причем если таких

коттами b н г liyerb // =коттами b н г liyerb // =_ вершин ровно три, то две из них являются ребра Л,

коттами b н г liyerb // =

коттами b н г liyerb // =

:仇Р)1 и《 =(『&)；• Графы Н в К реберно не

liepeceitdioTCn, в каждом нз них не меньше двух ребер, и граф 方UK еегь G], Поскольку граф G 1рсхсвя”к, то всякая кем- поиента тобого и.1 графоп Н н К, союржатая хотя 6;* одно ребро, должна иметь и rpaQe 6 не менее Авух соединяющих вершиц, а всякая компонента с более чем одним ребром нс менее грех таких вершнн. Следовательно, графы Н н К связные и у них ровно три общие вершины Ь, с и <1, причем 匕 н с яв.тяются концами ребра / в графе G. □

Теорема IV. Е4. Предположим, что ни один из графов G； у Од не чвляегся грихсвязныы м что ребро А н? еодгржигся ни а каком треугольнике графа G. Если графы II и К такие же, как л теореме IV 53, и общими вершинами у nut япляются вершины 6, с и d. г。не сдщестодег А-косгяка графа G, содержащегося е Н или К Кроме того, е G ест。A-костяк F, “е с。- Oeprw碎％ вершину d “ такой, чти один из е?о краев—сбсзка- ее。К 一"eg” s ", а второй (尺)лежит е К. Этот А-ко- стяк ”е чпляптя。&“/力£ пересеченным.

Доказательство Из теоремы 1.43 следует, что в Н найдется пепь с коттамн b и с. Предположим, что все такие цепи содержат иершину d. Тогда d есть точка сонпенення 1-разделения (也.〃2)графа Н (ибо, удаляя d нз Н имеете с инДиденти1.1МИ ей ребрами, мм иолучим iраф,》когорого нертпиньт 6нс принадлежат разным компонентам) Значит,〉каждою и! под, ра- фов 片 и 及 го」и,к» по дне соединяющие вершины п графе G — у синего Ь н & а у лругог。с н & Принимая во внимание связ- ноетп графа Н н трсхснязиость графа G, заключаем, чт。каждый из подграфов 〃| и На является ом-звеном. Но тоща они вместе с ребром 4 образуют вG греугосьннк Эю

upoTHBopeuin условию доказываемой теоремы

Итак, мн установили, что в графе Н nvcei ся пепь /\ с концами Ь и с, не содержащая вершину d. Подобная цепь существует н в графе К Обозначим ее через 户》Объединение

цепей F, и A em, искомы% Л-костяк F Применяя теорему 11.34 к множествам ребер из F, н, F” получаем, “то F не является дважды пересеченным (Так как (W, К) — разрезающая пара, то ?. (G7； Р, Q) & 3)

〃ля заверцтеини докаяатсльсвр досагочно установмь, что никакой Л-костяк графа G не содержится в // Предполагая противное, видим, что qna края такого костяка вместе с указанной выше цепью 4 являются тремя внутренне непересекаю- щимися цепями в графе G〔，соедпияющичи вершины бис Это противоречит теореме IV 47 □

Ребро Л трехсвязд。rpa"a G будем называть <ущ^стаен- “〃,”，если ни один нт rpajon G； и G； не нвинетсн трехсвяз-

Теорема IV.55. £с/“ А — сухцественное ребро графа G. то оно принадлежит либо неЕОТоромц еео треугольнику, либо нр- коюрой его трииде.

Доказательство. Предположим, чю Л "С юдержигси ин в каком треугопь"”кс графа G Пусть графы 〃，К н 广 такие же, как r теоремах IV.53 и IV.54. Чогда вершина d не инцадептца никакому виртуальному ребру графа 亿.Следователыш, d ирн- надлешнт только одному каком)-то сегменту J, (см конструкцию, описанную в раза IV 3, н“н iсорему IV 30) Мм можем выбрать обозначения ,ак (обратив, если нужно, нумерации,, 4,0 указанный сегмент 厶 будет отличен от J, Но тогда у. гра

八 П0 и JifiK общей вершиной будег только 瓦 а значит, мижс| содержать поперечину костяка F Таким образом, 5 является никлом (см. теорему IV 51) я ребр” 八 пргтпадле- жит некоторой триаде графа 0 (см. теорему IV 48). □

Теорема IV. 56. Пусть d — сущигтиенниа ребро графа G и 6 — грехиалеигная- вершина a G, инцидентная s графе С] ребрам X " У. Тогда либо 1 принадлежит не^-)торо иу треугольнику графи G, “аб。граф Gf трехсвязен.

р!_махр!_махIV 53 и IV. 54. Можно считать, “т。ребра 入"} принадIV 53 и IV. 54. Можно считать, “т。ребра 入"} принад•лежат соответственно F, и F?•лежат соответственно F, и F?Доказате.истио. П”ть i рафы //, К Н F такие же, как в те。-

р!_мах

р!_мах

IV 53 и IV. 54. Можно считать, “т。ребра 入"} принад

IV 53 и IV. 54. Можно считать, “т。ребра 入"} принад

•лежат соответственно F, и F?

•лежат соответственно F, и F?

.._. . , 一 П} сть х “ у — концы ребер X и У соотвстстпепио, отличные oi b. Предположим, ..« ?」？♦, ■' :.二 (ои.ержится нт1 в каком треугольнике графа G п что граф G?

ну 4 и ребра X и У, мм по.т/чим Цепь 厶 соединяет нершины х и(., Удаляя b, X и ¥ из Од, получаемну 4 и ребра X и У, мм по.т/чим Цепь 厶 соединяет нершины х и(., Удаляя b, X и ¥ из Од, получаемне является 1ре<сиязныч.

ну 4 и ребра X и У, мм по.т/чим Цепь 厶 соединяет нершины х и(., Удаляя b, X и ¥ из Од, получаем

ну 4 и ребра X и У, мм по.т/чим Цепь 厶 соединяет нершины х и(., Удаляя b, X и ¥ из Од, получаем

Удалив из & н F? верши соотвотстпенпс цепи L, н 厶“ а цепь 厶—вершины у н с.

граф 6“ содержащий 4HL? В силу теорем IV.45 и IV 5!

существует сегмент /,, в котором лежит некоторая попсреч&на костяка F, принадлижащан графу G” С другой стороны, па основании теоремы IV 54 в F нс мо*ет бвдь двух неперссс- KaiwuxCH поперечин. Применяя теорему 11.34 к множествам ребер цепей 乙 н L2 H Gs, заключаем, что граф Gt является о61.единением дв\х реберн。псиересекающихся пол рафов Н' и К', таких, чю Л] s Н', /° 三 К，н у Н' и К' кроме вершины с есть еще только одна общая вершина / (см. рис. IV. 5.3).

Рассмотрим граф G] В сапу теоремн IV. 3 он не трехсва-

топьк。дне соединяющие вершины / и с п графетопьк。дне соединяющие вершины / и с п графеи, кромеи, кромезеи. Но тогда (см. теорему IV. 54) в графе G существует Х-костнк Г, нс являющийся дважды пересеченным. Пусть V, и И； — края костяка У, причем ребро А не*нт п /, а ребре У-- в 1'2. Ответвление 穴 цепи У, в иершине с, содержащее BepinHuv х, должно быть подграфам 1рафа 〃' 彳 имеет

топьк。дне соединяющие вершины / и с п графе

топьк。дне соединяющие вершины / и с п графе

и, кроме

и, кроме

ответваенне S цепи % в х< должно быть подграфом гр;ответваенне S цепи % в х< должно быть подграфом гр;того, iiepniHira / должна принадлежать цепи %. Аналогично

ответваенне S цепи % в х< должно быть подграфом гр;

ответваенне S цепи % в х< должно быть подграфом гр;

|[ияе /, содержащее вершину х.

С помощью рассуждений, подобных проведеппым в теореме IV 51, ми сейчас покажем, что костяк V имеет в графе Н' поперечину Гг, не приходящую через першицу с Предположим сначала, что 丸。$ = //'. Тогда R eciu 1-цепь (так как иначе в графе G нашлась бы двухвалентная вершина, что ups "воре- чит теореме IV. 3) Следовательно, ребро А принадлежит некоторому греугси“н”ку хрлфа О Пришли к про, иноречию с сделанным выше предположением. В оставшемся случае в гра-

фс "' есть хотя бы один (RUS)-moct. У графа G не макет быть 2-разделения “и”"，в том случае, ьогда в графе Н' существует (RUS)-moct В, у которого не все гоединнющие вершины иежат в R н не все они принадлежат S Если одна g соединяющих вершин моста В будет внутренней вцянитюй графл R, то требуема” поперсина j\ найдется (см. теорему 1.56). Предположим теперь, чю не существует такого моста В, у ко-

горог。имелась бы соединяющая вершина в R, отличная иг вер- шип хне Тогда, поскольку G нс может быть 1-цепью, объединение R со всеми темн </Л15)-чостами в графе 〃〔 \> кото

рых вес соединяющие вершины лежат в R, будет одним из членов некоторого 2-ра1дс.'1С11Ий । рафа G с "。“ всскамн хне. Но

это невозможно

Далее, в графе К' существует цепь, пе пересекающаяся с Г,, у которой один конец лежит в V), но не принадлежит Гг, а другой минеи находится в Г* но не содержится н Уь Такой цепью является, например,厶 Кратчайшая ит цепей, удовлетворяющие этим условиям, есть поперечина % костяка V. Дей- сгвцтсльно, если бы некоторая внутренняя вершина и из Т? принадлежала У, ю мт могли 6m заменить цепь Г2 одним из ее ответвлений в вершине и, так как и отлична о, вершин 6 и * (общих нертнн испей 匕 и 匕) Н>ак, мы показали, что костяк V является дважды пересеченным Это протипоречн! тому, что 6MAо установлено выше □

В следующем разделе полученные нами сейчас результаты будут применены к таким графам, у которых все ребра существенные

/V. 6. Теорема о колесе

Пусть G — трехсвязпып граф, содер?кащип ле мспее трети реберТеорема IV, 57. Для тое。чтобы каждое ребро графа G было существенным, необходимо и достаточно выполнения следующего усАони.х каждое ребро графа О принадлежит (х?нг;врс- менно “ некоторому треугольнику графа G, и некоторой ее。 триаде.До^азйтелистео Достаточность следует из теоремы IV. 4ЬПусть G — трехсвязпып граф, содер?кащип ле мспее трети реберТеорема IV, 57. Для тое。чтобы каждое ребро графа G было существенным, необходимо и достаточно выполнения следующего усАони.х каждое ребро графа О принадлежит (х?нг;врс- менно “ некоторому треугольнику графа G, и некоторой ее。 триаде.До^азйтелистео Достаточность следует из теоремы IV. 4ЬДля (оказате.тьстаа необходимое! и предположим, ребро существенное Тогда, применяя теорем» ГДля (оказате.тьстаа необходимое! и предположим, ребро существенное Тогда, применяя теорем» Гчаем, что каждое yi ельнике графачаем, что каждое yi ельнике графасодержится либо в какомсодержится либо в каком'то каждое заклю-'то каждое заклю-5о в какой-то его триаде. Далее, вся5о в какой-то его триаде. Далее, всякое ребро, прнпа；ые>катсе некоторому треуго.пппнку, паходигсякое ребро, прнпа；ые>катсе некоторому треуго.пппнку, паходигся

Пусть G — трехсвязпып граф, содер?кащип ле мспее трети ребер

Теорема IV, 57. Для тое。чтобы каждое ребро графа G было существенным, необходимо и достаточно выполнения следующего усАони.х каждое ребро графа О принадлежит (х?нг;врс- менно “ некоторому треугольнику графа G, и некоторой ее。 триаде.

До^азйтелистео Достаточность следует из теоремы IV. 4Ь

Пусть G — трехсвязпып граф, содер?кащип ле мспее трети ребер

Теорема IV, 57. Для тое。чтобы каждое ребро графа G было существенным, необходимо и достаточно выполнения следующего усАони.х каждое ребро графа О принадлежит (х?нг;врс- менно “ некоторому треугольнику графа G, и некоторой ее。 триаде.

До^азйтелистео Достаточность следует из теоремы IV. 4Ь

Для (оказате.тьстаа необходимое! и предположим, ребро существенное Тогда, применяя теорем» Г

Для (оказате.тьстаа необходимое! и предположим, ребро существенное Тогда, применяя теорем» Г

чаем, что каждое yi ельнике графа

чаем, что каждое yi ельнике графа

содержится либо в каком

содержится либо в каком

'то каждое заклю-

'то каждое заклю-

5о в какой-то его триаде. Далее, вся

5о в какой-то его триаде. Далее, вся

кое ребро, прнпа；ые>катсе некоторому треуго.пппнку, паходигся

кое ребро, прнпа；ые>катсе некоторому треуго.пппнку, паходигся

талже и н некоторой триаде (в силу теоремы IV 52) и любое ребро, содераатсесн в какой-нибудь триаде, принад-

Теорема IV. 58 (теорема о колесе). Нпя того чтобы /сак-Теорема IV. 58 (теорема о колесе). Нпя того чтобы /сак-некоторому тре- (в сипу георе-

Теорема IV. 58 (теорема о колесе). Нпя того чтобы /сак-

Теорема IV. 58 (теорема о колесе). Нпя того чтобы /сак-

а〃е ребро графа было существенным, необходимо “ достаточно, “тоб" он 5о1л колесом не ниже третьего порядка.

Доказатсл1,ст1Ю Доста|О＜игость следует нз теоречы IV.57 Для доказательства необходимости предположим, что каждое ребро cvmecTBennce, и применим теорем〉IV. 57. Сначала заме- тиу, что G имеет 3-ц.икл С и что каждое ребро нз С инцидентно трехсалситпой вершине Обозначим вертнны цикла % ii 心 причем 6＞」ем считать, чго и, я и； — трсх- верзннн □ G Ребро, соединяюпбее вершины й и а„ обозначим через Si, соединяющее ft с а2 — "ервз S? и соединяющее ot с q; — через А, Так как по предположению вершина 做 трсхвалентна, то она инцидентна еще третьему ребру 4? Пусть аз ——другой конец ребра Ла. Поскольку в графе G нет ни петель, ни кратннх ребер, то вершина аэ отлична or вершип а“ й2 и ft. Далее, так как ребро 生 иринадлежнт треугольнику, то существует ребро $з, соединяющее вершину а, с вершиной k или % (см рис. IV.6 1).

Пусть подграф Н Syqei ограничением графа G на множество ребер {А,, Д2, S,, Si. Sj} Вели ребро 5г инциде/тгтго першипе %, го у подграфа Н будут только две соединяющие вершины а, и h Тогда в силу трехсвязности графа G подграф 邦，т е расширенное дополнение графа Н, должен быть графом звеном. Отсюда следует, что G есть 4 клика, т. е колесо порядка 3 Теперь можем предположить, что ребро S$ соехння" вертннн а3 и й Если /г — трехвалнныая вершина в G, то применима рассуждения, приведенные выше; юе.зияющими вериитамн у подграфа Н буаут и, и а3. Предположим теперь, что val(G,Л)4

Мм можем утверждать, что в графе G существуют цепь 厶 и не принадлежащая ей вершина Л, удовлетворию|цие uie- дуюшим условиям-

в L “е менее двух ребер〉

каждая аиугренняя 8件＞"“《。цепи 厶 трехесментна в G, (iii| каждая вершина цепи L смежна с А и графе G, (iv) val(G,g4

Рис IV 6 2

Такие L и h мн уже построили. Цепь Е у пас является 2 цепью с ребрами Л, ц 小 Однако макет оказаться, что указанным четырем условиям удовлетпоряют цепи большей длины Вы берем 1акие L и А, удовлетверя ющие перечне.пенпым условиям, чтобы цепь L содержала максимально возможное тнс“о ребер.

Последовательности перщнн и ребер цепи L будем аапнен- вать е виде (а,, а;, .. ., и„) и (Л,, Л-；, . Л„_||, н>3. Пусть S, — ребро графа G, соединяющее вертннн ft н а, (1 W/V*

—см. рис. IV. 62

Поскольку 5Я --триада, то вершина 叫 должна быть трехва- леЕи,к)й Значит, а” соединиется новым ребром /1” с некоторой вершиной a”+i 1рафа G, отличной, от вершин «„_, и ft Предположим, ，гго а„+1 не содержится в L Так как рсбр。.4“ прниад- лежит какому-ннбу4b треуго.1ьнику в G, то найдется ребро S”+i графа О, соединяютее вершину “”+1 либо с либо с % Н。в силу 1рсхв4.1ентностн вершины а«- ребро S，r не шщи- ден1Нп ей С.1едан^1е.1ьно, ou<j соединяет вершины а,-,_, и Л. Это означает, что мы можем заменить L более длинной цепью, а»-

кан ребро S] иринаднежит некоторой 1риаде, то вершина а,>е\ва；1ентна в G, т е она инцидентна тзеки ребрам .S].кан ребро S] иринаднежит некоторой 1риаде, то вершина а,>е\ва；1ентна в G, т е она инцидентна тзеки ребрам .S].Ребра 4 к S；, }£丿《"，вместе с пнинлентнмм" нм верпн”Ребра 4 к S；, }£丿《"，вместе с пнинлентнмм" нм верпн”ба.вин ребро .1,, it веритну а„^, и новая цепь буает удовлетворять всем четыоем указанным выше условиям. Мы пришли к прогиворсчию с максимальностью цеш, L Значит, вертнна о“т должцл принал.^ежатт. L Но ребро 4” не может быть нн- цидентно никакой внутренне" вершине в L согласно усмони1О (ii| Следовательно, вершины й„+[ н % совпадаю! Далее, так

кан ребро S] иринаднежит некоторой 1риаде, то вершина а,>е\ва；1ентна в G, т е она инцидентна тзеки ребрам .S].

кан ребро S] иринаднежит некоторой 1риаде, то вершина а,>е\ва；1ентна в G, т е она инцидентна тзеки ребрам .S].

Ребра 4 к S；, }£丿《"，вместе с пнинлентнмм" нм верпн”

Ребра 4 к S；, }£丿《"，вместе с пнинлентнмм" нм верпн”

н5ыи образуют колесо порядка 〃，оно является подграфом графа G, которг,тГ| не имеет соединяющих вершин, отличных от 九 Так как граф G трехсвязный, то указанное колесо допжно сов- падаи. с ним. □

В связн с теоремой с колесе напомним, что все колеса не ниже третьего порядка являются трехсвязннмн графами (см. теорему IV 17).

свазннх графов И он действительно мене” в случае планарных графов [2].свазннх графов И он действительно мене” в случае планарных графов [2].весьма успешно цри-весьма успешно цри-Применяя теорему о колесе, заключаем, ито всякий трелсвяз- пьш гра中，имеющий нс менее тиестт! ребер м не чвлятощнйся колесом, можно получить из некоторого трехсвязнсгс графа, содержащего на одно ребро меньше, либо с помощью операции приюединении звена, либо используя операцию расщепления вершины (см. разд, IV. 2, теоремы IV. 11 и IV. 14). Этот резуль- г,гг может скизатыя “огезнзм при построении каталогов трех-

свазннх графов И он действительно мене” в случае планарных графов [2].

свазннх графов И он действительно мене” в случае планарных графов [2].

весьма успешно цри-

весьма успешно цри-

Начиная строить каталог трехсвязпых , рафов, с^едуе, нмеи〉 в виду, что в силу теоремы IV. 4 трехсвязных графов с пятью ребрами не гущестпует Едипственнт.тм трехспя^ньтм графом с шестью ребрамп является колесо порядка 3, называемое также ■1-кликой Поскольку к копесу 1Гз невозможно применить ни операцию присоединения ребра, ни операцию расщепления вершины (без дублирования ребер}—см. теоремы IV. 11 и IV 14,—

[алее нетрудно выявить все трехсвязные графы с 9 ребрами[алее нетрудно выявить все трехсвязные графы с 9 ребрамиТО МЫ приходим К ВЫВО1У, что трехсвязных

[алее нетрудно выявить все трехсвязные графы с 9 ребрами

[алее нетрудно выявить все трехсвязные графы с 9 ребрами

втулки. Главная трудность при посг| обнаружении изоморфных графоввтулки. Главная трудность при посг| обнаружении изоморфных графов(их ровно три) Один нз н“х является графом треугольной 2-Щ1- рами；|ы, сн iioJiyiaercH нз ксмеса W,、помощью операции присоединения звена Два других графа — граф Томсена п граф ipeyi'O.Ti.biioii ириами — строятся из М путем рнссцеплсннн ею

втулки. Главная трудность при посг| обнаружении изоморфных графов

втулки. Главная трудность при посг| обнаружении изоморфных графов

гроепнп каталога состопт в

/К. 7, Замечания

IV. 7.1. Трехсвязность и планарность

В теории fLiiiuapHuix ,рафов ciinjiiocib “(G) 1|рсдс.1；1«.'1ясг ннгерес как инвариант “ресбразеваиня двойгтпешюстп (см теорему XI 1) Вес шесть непустых графов с бесконечной спязностью являются ii^.iпарными Исиолгпуя теорем〉XI. 1, можно показать, что всякий другой планарный граф имеет связность, he прспосходяптую 3 Теорема Стейцина утверждает что пл а парные графы связности 3 совпадают с точностью до изоморфизма с графами внпуклых многогранников

IV, 7.2. 2-точорфизм

；1ва HCU3OMDP巾hn\ ipajia м5yl n"s，《аннаконые мпоже- ства 3-блоков В терминологии Уитни t;iкие графы называются 2-ii3o.Hoi>ipnhiMi: |5|

разиа связность графа октаэдра?G имеет такое 2-разбненне (и, V), что каждап вер-разиа связность графа октаэдра?G имеет такое 2-разбненне (и, V), что каждап вер-Упражнения

разиа связность графа октаэдра?

G имеет такое 2-разбненне (и, V), что каждап вер-

разиа связность графа октаэдра?

G имеет такое 2-разбненне (и, V), что каждап вер-

показать,показать,3. Используя операции, введенное в разд.3. Используя операции, введенное в разд.шина из U соединена ровно одним ребром с каждой вершиной из V Нани, сиязность, вершинную свячность и т|ик.1ическую евязноегь графа G для случаев, когда 4 W | U・| W

показать,

показать,

3. Используя операции, введенное в разд.

3. Используя операции, введенное в разд.

что графы куба и додекаэдра являются |ре>:свячными.

Каково множество 3-блоков у тэта-графа? (Определение дано перед гсирсм。* XI 32.)

Пусть граф G такой же, как п упр 2, и | U| = 2, а | Vj = 3. Найти 3-блоки и расслоения графа 6.

Дагь описание вие；1чих нершип дерева Blk；(G) на языке строения графа G.

Показать, как можно преобразовать граф куба в колесо, испо.1ьз>я только 1акне удаления и ст5И'ивания ребер, которые сохраняют трехсвязность.

Литература

[1][2][3][1][2][3]Barnette D 3-polytopesBarnette D 3-polytopesGriinbaum В On Steinitz' Theorem concerni ' ar graphs — In：

[1]

[2]

[3]

[1]

[2]

[3]

Barnette D 3-polytopes

Barnette D 3-polytopes

'ips Res. Reports 17 (196S).

Tut；e W T A theory ot 3 connecic” graphs—Komnk Ncdcrl Akad lari W Proc 64 "9hl), 111- 455.

Tulte W. T. Cmiiictlivity in graphs Ch 11 —Torunlo, Univ oi Toronto Press, 1966.

Whitney H 2 isnmorphtr graphs Amer J Math 55 (1933), 245—254

Глава V

ВОССТАНОВЛЕНИЕ

V. /. Проблема восстановления

Существует немало глубоких н Tpjдпых проблем, связанных с изоморфизмом графов, и наиболее известная из них проблема воссгановления.

Пусть чершины графа G занумерованы спедуюшнм образом 5, и” ..，о* Через G； обозначим граф, получающийся ш G после учащения вершины у. и инцидентных ей ребер Все R иод графов G, графа G будем натыкать примириылш.

С, (гипотеза 。восстановлении), Если jadag“ классы изо морфизма еегх & аримарних ncide/iaij)f>u графа G, го 〃“& 左 戸 3 класс изоморфизма графа G определяется однозначно

Допускаемся и такая ентуаинп, копа среди гряфов G, имеются изоморфные В гипотезе предполагается, чти каждый к.шсс нзомор^шзма задается вместе со своей кратностью (указываю Щей число примарных поД1рафон G” соответствующих этому классу изоморфизма). К моменту написании данной книги гипотеза о BocCTaiioii.'ieiiuii осгав；!.1!«сь недоказанной

графом графа G будет пустой граф, KOTopuii информации о числе петель в графи G. Если йграфом графа G будет пустой граф, KOTopuii информации о числе петель в графи G. Если йиз двух мрммарнмх подграфов графя G содержится толькоиз двух мрммарнмх подграфов графя G содержится толькоОграничение на й (что 启 должно быть не меньше 3) обосновывается легко Г'слн k — I. то единственным примерным под-

графом графа G будет пустой граф, KOTopuii информации о числе петель в графи G. Если й

графом графа G будет пустой граф, KOTopuii информации о числе петель в графи G. Если й

из двух мрммарнмх подграфов графя G содержится только

из двух мрммарнмх подграфов графя G содержится только

одной вершине, а потому нам ничего не известно с числе .чиеньеи в графе G Таким образом, действительно нужно предположить, что |V|G)|>3

Если некоторое свойство или характеристку 1рнфа G мо,кн。 выявить, pacfM,iTpHn,in классы изоморфизма всех его примар- пмх подграфов G,, то отю (опа) называется воссганавливаемь/м (воссттааливаемой), а графы, обладающие этим свойством u.ui характеристикой, называются распознаваемы.ик Примером восстанавливаемой характеристики является чнело вершин в графе. Это 'гис.'ю на единицу бопвше числа вертиттп п каклом примар- 1">м 1юдгр<1фе да иного графа н совпадает с числом заданных классов и^оморфичма

Через a(G)ti p(G) обозначим с ответственно чщ.ю uctwh> н число звеньев графа G.

Теорема V. 1, Числа a(G) “ В(С)方&忆咖心 восстанавливае- мьми характеристиками графа G.

Доказательство Каждая петля i рафа G содерл<и1ся ровно в 左一I подграфах G,, а каждое звено—ровно в 京——2 подгра- <рах СледО1!ате.:1).1ю,

他—l)a(G)= §a(G,),(V. 1.1)

他一2)卩9)П岁岬,).(V. L2)

Нет ничею странного в том, что о вершине 办 1рафа G мы говорим как о чем-то известим. Ведь зто вершина, соответствующая j-mv из имеющихся у нас к.пэсюв изоморфизма □

Перез a, (G) и p,(G) обозначим соответственно пиело петель н число звеньев гр”巾a G, иншыснтнijx вершине у,.

Теорема V.2. Числа ”G} a p,|G) яагяются вО1аанавлиаае- мыми характеристиками графа d. С 1едоватояьно, vaI(G,uj — восстанавливаема ч характеристика.

Доказательство. Так как a； (G) = а (G) — а (G；) и §,(<?) = =卩(G)- $ (G,), то v,il(G, f;} = Эи；(G| -j- ₽,(G) — см. теорему V. 1 и разд 1.1. □

Следе, вне V. 3. Однородные графы расчознавиемы

Пустз М((7) 1[Я1[й(1льша；[, а 〃“6)—tiаимеиьшач нз ва.чепт- носгей вершин 1рафа G Оба 3iux числа висс1анавливаемы (см теорему V 2}

Дополним 1еирем》 V 2 с.;|едющич пчевидным нредло- :кекяем

Предложение V. 4. Нщ !ь //； - элемент /зз класса изоморфизма графа G〃 й 0 — изоморфиз м (неизвестный) графа Я, на граф <7(. пусть х 一研加州""6頂2"今"“"%аmj "? u r( (j) — число звеньев графа G, соединяющих 8* с и,. Тогда

М(0) — val{%, Л >r; (x')^m (Gl — val (%, х). (V. 1.3)

Гр；|ф G называете兀 чоссч'анаиливаемы.ч, если воссинивли- насм его k.i;；cc и.чоморфизма, т е сс 丨匕 эгот кппег удовлетворяет гипотезе о roc ст ан ов.гении.

Теорема V. 5. Если G — однородный граф, w ©егетакае 'нецел:.

Доказшельство. Пусть граф 〃/ такой же как в прСА“О*е- пнн V 4 В спл\ теоремы V 2 H стедствця V.3 граф G распоз-

цапаем как однородный граф и валенпюсь его вершин va](G) легко определяется. Так как М(0) н m(О) равны val(G). то, псполыуя соотношения (V 1.3). находим г, (л| Далее, граф G1 ичоморфныи 1рифу G, счронтсн л. Hi путем добавления ноной вершины w, соединения ее с каждой вершиной х из Нх ровно О (х] новими звеньями и п1ювед<_нисм в этин вершине я, (G) петель 口

восстанавливаемы.восстанавливаемы.Теорема V.6. Числа po(6) “ Pi(G)

восстанавливаемы.

восстанавливаемы.

%(G)r po(G,)+ 1%(G)r po(G,)+ 1(V 1-4)(V 1-4)Доказа!йльегво. Предположим, что, используя тесремм V 1 и V.2, мы установили для некоторого / справедливость равен ства [3(G)= p(G). Тогда некоторая компснентп графа С должна состошь из нершиш,； и/ п всех инцидентных ей петель, а все другие компоненты должны совпадать с соответствующими ьом- 11011 ешами графа С/. Следовательно, и этом случае р°(С) находится из формулы

%(G)r po(G,)+ 1

%(G)r po(G,)+ 1

(V 1-4)

(V 1-4)

В оставшечея случае, кякопы бы ни были под। раф G( и компоненга гсафа G, у инх существует общая вершина. Пусть (7； — некоторая компонента, содержашаь вершину “7. н Hj —■ граф, получаемый из С； после удаления всех петель, бче- нн<но, что 力一(пшпый граф и что /% (G) 07» (%1, причем равенство имеет мест。 тогда и только юеда, когда 。/ нс янляется точкой сочтеиеннп графа %.

Если граф 〃/ разделим, то у него найдется коииевой блок Е Этот fi-iox содержит нс менее “вух нертни, и только o\na из его вершин ян«1яетея точкой сочленения в /〃 (см. теоремы Ш. 16 л 1П 21). Значит, в каждом из позчожннх с у паев у графа "/ есть вершнна, отличная от точки сочленения '1'акнм образом,內(G> определяется нз соотношения

%(G) — min%q)%(G) — min%q)(V. 1.5f(V. 1.5f

%(G) — min%q)

%(G) — min%q)

(V. 1.5f

(V. 1.5f

Восстанавливаемость числа 八(6) следует теперь мз looiho тенм” (16 1) и рассмотрений, проведенных в нас!ояшеч раз・

Так как дерево можно характеризовать как грпф, у которого pn(G) = 1 н р, <G) — 0, то мы получаем

Следствие V. 7. Деревья распознаваемы.

Теорема V. 8. Двусвпзмян графы распознаваемы

Докалатрльство. Распознаваемоегь связных графов cjiejjei из георсмьт V 6, Мы можем вннигнть i/кже, есть ли у 1рафа G петли (см. теорему V. I). Если петли имеются, т。।раф, естественно, бу нет разделимым Нсзтсну можно считать, что граф G является связным н не содержит петель. Если бы у (； cviiicctbo- эала точи.) сочленения, то хотя би один нз графов G, 6bli не евазнгм. Однако, если G — двусвязный граф, то в силу теоремы IV. 9 каждой подграф G, связен. □

1 корей можно 6tИ。бы напрммер, что трехсн，13HzeI 口вусвязнн TI нгт один из1 корей можно 6tИ。бы напрммер, что трехсн，13HzeI 口вусвязнн TI нгт один изграфы распознаваемы (такие граф подграфов G/ \ чих нс “мест 2гграфы распознаваемы (такие граф подграфов G/ \ чих нс “мест 2г-цикла, ни 1 -разделения) Мм-цикла, ни 1 -разделения) МмПрипеде1Т1гую nr,c7i сди»а i е. шность продолжить. Мы могли бы доказать, >

1 корей можно 6tИ。бы напрммер, что трехсн，13Hze

I 口вусвязнн TI нгт один из

1 корей можно 6tИ。бы напрммер, что трехсн，13Hze

I 口вусвязнн TI нгт один из

графы распознаваемы (такие граф подграфов G/ \ чих нс “мест 2г

графы распознаваемы (такие граф подграфов G/ \ чих нс “мест 2г

-цикла, ни 1 -разделения) Мм

-цикла, ни 1 -разделения) Мм

могли бы, пополнив рассуждения, приведенные в теореме V G, показать, что несвязные графы тоже восстапавлиеасмы. В теореме П Дк. Келан утверждается восстанавпнваемссть деревьев; существует также несколько более поздних вариантов этого ре- зуаьгата [1. 3].

В следующих разделах будут установлены теоремы, kacag- щнеся графов общего вид? Заметнм, однако, что одна из них воеиез за собоЛ в частном случае восстанавливаемость несвязных графов

V. 2. Теория “ практика

физма либо находитьфизма либо находить(или графы), примарные подграфы(или графы), примарные подграфыВ теории восстаиовлслия сушестнуот, ножa.ivti, две основные задачи. Первая из них—это, естественно, теоретическое обоснование гипотезы о восстановлении, а вторая — поиски хорошего алгоритма, иочподяющего по ча^анным классам изокор

физма либо находить

физма либо находить

(или графы), примарные подграфы

(или графы), примарные подграфы

которого (или которых) лежат в этих классах, либо $ста“ав"н Bait» нес>шествование иких. графов. Следуя Дж Эдчоидсу. мы можем условиться считать хорошими такне алгоритмы, сложное, ь иглopi.ix, измеряемая 1ребуемыч для гх реализацин ма- шипным временем, растет как полином от числа вершин, ни не как экспонента или что-нибудь emu боссе бистро растущее Таким образе”，напрпмер, программа, требующан тцхимотра всех графов с заданным числом вершин, может быть к не длинна, и не c.iiOMiia, по xoporueii не ив |нетсн.

Приводимый ниже алгоритм нахождении компоненты графа 6, содержащей заданную вершину ◎, следует признать хорошим. Записываем сначала вершину ：', затем мнежеоьо S всех вершин, смежных с，затем множество S)всех тек еще не рае・ смотренных вершин, которые смежны с вершинами из S“ н i. д до тех пор, пока не придем, к пустому множеству $“； на зтом ша1 е процесс заканчивается Г7орожценный подграф 方 графа 6,

определясмый выписанаi.imm вершинами, hb“ihcicx> очевидно, об- <>со6/е"мзм под|рафом в G. Значит, в силу теоремы 1.25 подграф // связен и. следовательно, является нскомоМ компонентой графя G по теореме I 23.

Следовательно, мы можем выяснить, является лиСледовательно, мы можем выяснить, является лиАлгоритм нахождения ком)гонент можно использовать для построения Н мостов графа G, применяя метод, описанный в теоремах I 49, 1.50 и 1.51 Точки сочленения и 1-разделения графа G можно найти путем выянлення мостов, сиответствую- ujhk I рафам-вершинам, содержа|Цимся в G (см разд. III. 4).

Следовательно, мы можем выяснить, является ли

Следовательно, мы можем выяснить, является ли

евхзт*". Если он двусвязен, т。можно получить его 2-разделения, рассматривая мосты относительно таких ег。подграфов, у которых нет ребер и только по две вершины. 1 аким образом, мы можем узнать, являегея ли граф G трех связным Если он не трехсвизем, то сппсок его 2-разделений позволяет разложить его на 3-блоки (используя мeiоды нз разд IV 3)

Восстановление снизано с рассмогреннем классов изочир- физма Занимаясь задачами восстановления, ми неизбежно прн- хсынм к проблеме изоморфизма, состоящей в выяснении Tiiro, изоморфны и.пн нет два заданных , рафа Ав-iop н< очень сведущ в алгоритмической тематике, но он знает, чго хорошего алго- рнгма для проблемы |поморф|>эма “ока нснзвест”。，и предполагает, что такого алгоритма вообще не еушеетвует.

Это, однако, не означает, что проблема изоморфизма обя затепвно сложна и в частных случаял. Для，апапнмх двух графов G н Н обычно бывает возможно разбить множества нх вершин пл более мелкие подмножества таким образ。％ чтобы .гвдйой изоморфизм (рафа G на ；раф Н огибра小а” каждое из 1юлу'1енных подмножеств множества U(G) на соответствующее noAruHOiKeciBo мнажестна V(//) Мм можем npe;iii<i.ia( a ib, есте ственн(х что I V(G) j | И(Н) | Сначала разбиваем V(G) и V(Н) в соотиетич'вни с ва."еп1нос1нмн вершин Имея такие ряз- бнеиня, можно осуществить бел ее тонкое "илразбпепне, например, ь^чассифнцируи вершины произвольного подмножеетва в ео- ответствпн с yiic.iow нершип, смежных с ними и стержаш心мгя п других подмножествах Ннтатепв может найти, без сомнения, и другие схемы разбиения. Мы надеемся, что с помощью такхх разбиений проблему иаоморфизмн в каждом понкретим случае .можно свести к задаете приемлемых размеров пли даже сделать ее HiiojHt; тривиальной

Сложные случаи проблемы пзоморфезма возинкают. по-ви- димом^, ' огда, коме число раздичных ва.чентносгей чрсзнзча*1"> мало, в частности если граф С одпородный. В то же время, как сленует нз теоремы V 5, задача посстановлсштя для однородных графов является гривнальной. Оптимист может *хва- гнтьсх *а 1тот фа кт, отстанпан мнение о существовании хири-

шего алгоритма посстапоплепия' возможно, что всякий раз, koi да проблема изоморфизма становится слижнпй, ic vaacrcx обойти

По крайней мере существует возможность дат:, алгоритм восстановления, который будет работать в тех ситуациях, когдн возникающая проблема нзомор巾”зма зохет быть решена. Задаются графы % и 〃“ изоморфные соответстпенно ipa小ам 5 и G- Для применения алгоритма нужно найти все изоморфизмы ирнмарного подграфа //, на прнмариьтн пс.рраф графа Н±. Каждый из них указывает способ, как могут перекрываться подграфы С. н G? в графе С и, тем самым, устанавливает возможное строение графа 6. Падучеиные выводы до.чшпи учц|'1.1в<11ыч при рассмотрении других графов G, Как би оптимист ни хвалил этит ал,оритм, но никакого ключа к обоснованию гииотеэы 。восстановлении в зт。口 проиецуре не прсд-iai аени.

Изло»е1и1Ь1е рмссуждення показывают, что на современном этапе поисков докааа! ельстил 1”иогезы。восстаиои lenwn нет также оснований рассчитывать, чго такое доказательстве」асг, кроме того, хороши" ялгоритм. 1|озгому в следующих разделах будут тассмотрены такие свойства графов, которые нвпхютсн воестапавлинаемыми, но. по всей вероятности, пе выявляются с поиощью хороших алгоритмов

Ее.и Н и К — графы, тс иерез у (用 К) будем обозначатьЕе.и Н и К — графы, тс иерез у (用 К) будем обозначатьV 3. Лемма Калли

Ее.и Н и К — графы, тс иерез у (用 К) будем обозначать

Ее.и Н и К — графы, тс иерез у (用 К) будем обозначать

число иодграфоа графа /7. изоморфных графу К. Кажется не лравдоиод</)н1,1м cyniecTiiOniiHiie хорошего алгоритма, позволявд- !дего находить число у. Однако с "нет。теоретической точки зрения мы вправе предположить, что это пиело известно, если "гтсанМ классы изоморфизма графой // н К

Теорема V. 9 (.темпа Келли) Число \，(G, К) явлчетсч восстанавливаемой харакчериаикчй графа G, ыли граф К удовлетворяет ус todiw I V (S') I 7^-1V (G) |.

Лотза^елытво. Если у К вершин больше, чем v графа G, '10, очевидно, т (J7, К) = 0. Следовательно, можно считать, что |Г^|<|7((7)|

Подграф графа G, изоморфный графу К, встречается как подграф ровно в | 7 (G)1 — | ? (Д') | примарпых подграфах G, Знаипт, Y(C, К) можно наАтп из формулы

{|〕SI —W(K)Dy(G. К)= Xy伶/, К).(V.3 1)

1есрему V I можно толковять как частный случай леммы

Келлн, а именно, случаи, когда К есть граф-иет.чя или 1раф-

Вия1Ним, какую информацию мо,кн。 цо.|учитт, в случае, ксгдг |У(К)| = |口(G)].

SA (// н2,SA (// н2,Рассмотрим набор

SA (// н2,

SA (// н2,

IJy(g,修)=中〃,К)6(К, S).IJy(g,修)=中〃,К)6(К, S).состоящий ns й (Л > i) графов //” Реалилцие" набора S в грлфе К назовем такой набор Ик, К», ..., К“) из Л подграфов графа К, что П戶 ％ для каждого /. Носителем этой ре- амнзацнн является нод| раф графа К, представляющий собой объединение всех А подграфов К,. Если 7— произво.|ытмй по,(- гра巾 ич Л, то через 6(/, S) обозначим чнс“。реализаций набора S в графе К с носителем /. Очевидно, что

IJy(g,修)=中〃,К)6(К, S).

IJy(g,修)=中〃,К)6(К, S).

где симпол (К) означает, что суммирование ведется по полному множеству попарно неизоморфпых подграфов К графа G. Спра・ веапнность этого ссютношеиия обоснивзваегсн 〃eixo: в “евоЛ и правой частях выписано общее число реализаций набора S в графе G 口

еорема V. 10. Пусть S — набор 〃з двух или большего числа графов, у каждом из которых вершин меньше, чел и G Тогда

Zy(g, Q6(K, S)

восста1ывливаема. Jdoc。суммироеакие ведется 〃。полному то- окестз* noiapho неизоморфчых подграфов К графа G, таких чю |l/(K)| = |“G)].

Si о утверждение слелуе । “з соотношения (V. 3 3), ибо в иил v леммы Кеи.чн произведение, расположенное в левой части формулы (V 3.3). является восс1<1нан.шваемым, а значи」，таким же CHCticrnciM обладает и нктал з сумму, стоящую справа, те\ графов К, для которых ет.шолпяотся перапеттство [У(К)|С VW(G)丨

Рассмотрим некоторые пастньтс случаи теоремы V 10 Сиа- чаду предположим, что набор S удовлегиоряет условию

屮冏)| = |КС)|

Релл К есть носитель реализации набора S в графе G, ийсю- ший [ И {G) I вершин, тс он может быть только пеевяяпьту подграфом графа G, состоящим из Л компонент /0, К2, . . -, Ка,

МК, S) = g(喇•МК, S) = g(喇•(V. 3.4)(V. 3.4)таких, uto К；мН〃 /= I, 2,,.,瓦 Следовательно, класс изоморфизма графа Л определяется одноэиачио. Если подграфы Н] вводятся как компоненты несвязного графа Н, то граф К изоморфен Н. В сумме на теоремы V. 10 cyitjectayei только один ненулевой ч“сн Y(G, Л)6(К, S). Кроме того, число 6(К, 6) можно подсчитать. Пусть С\, &, . .., Ст — все классы нзомор- 5нзма, 1'0<лвстС1вующме графам из набора S： и с,—число тех графов из S (н компонент нч К), коюрыо "рнна八“ежат &.

МК, S) = g(喇•

МК, S) = g(喇•

(V. 3.4)

(V. 3.4)

Таким образом, число y(G,K) можно найти. Мы установили

следующее утверждение

Теорема V. 11. Если Н—-такой несвязныи граф, чго I V(//) J — I V(G) I, то чиело v(G, Н} является воа танавлиаае- мой характеристикой графа G.

Теорема V. 12. Неазние графы восстанавлиаае-кы

Доказа/ельство Если граф G несвязный, то, как следует нз теоремы V. 6,"瓦 можем па*гн число компонент в нем и распознать тем самым его неевязпсетв. Взн” “icfioii rpu巾 Н с таким же числом ребер, вершин и компонент, как у графа G, мм мс- жем (в [[рвнципе) восстановить у(О.Н) Если графы Он" изоморфны, то v(G, Н) = 1. В противном случае у (С?, Н) = 0. Значи,, граф С восстанавливаем с помощью перебора всех таких графов Н. □

Теорема V, 13, Гесрема V. 10 ociaeic-я справедливой и е тол случае, когда графы К предпола^ахп(л бвяэкы.ми.

Доказательство Вклад, икосимьгй в сумму, указаннную в теореме V. 10, несвязными графами К, “влнетс” восстапяллипае- мой характеристикой (см. теорему V 11) □

Для дальнейших приложений теоремы V. 10 нам поналибше” следующее утверждение (оно является дополнением к letipmi, изложенной в разд. III. 3)

Теорема V. 14, 〃усгь гвязшлй граф Н npeilcтаким е <?“de объединения ft различных диусвязных подграфов Н：, Н2,.

多 |У(力)| = w ⑺ н Л- 1.多 |У(力)| = w ⑺ н Л- 1..,Нк, каждый ш которое содержит хотя бы о<1но 〃。。。При этом условии подграфы 〃/ явл чют)н блокам” графа Н тогда 〃 только гс?Оа, когда

多 |У(力)| = w ⑺ н Л- 1.

多 |У(力)| = w ⑺ н Л- 1.

Доказательство. Если 斤,一блоки графа Н, то соотношение (V. 3.5) следует ит того факта, qio tpa© ВI k (Н) “впяется дереном (см. теоремы 1.37 и III 23)

Обратно, предположим, что (V.35) сирiiuc；i..iH»o Через R, ибезпаинм объединение подграфов Н, таких, что i V/. Поскольку граф 〃 свазсн, то индексы у подграфов Н, можно выбрать таким сбрачсм, чтобы при 1 W j V В пот,граф 化+〔 имел хотя бы одн> общую вершину с графом R,. Тогда каждый из графов R； будет связным Кроме того, из (V 3 5) следует, что //；+, и R, имеют только одну общую веранр Применяя не

сколько раз теорему III. 22, получаем, что для каждого / блоками j р,1фа R, являются подграфы Я], Н2斤.□

же знамение величины 6(К, S) Из теоремы V 13же знамение величины 6(К, S) Из теоремы V 1322Л), взн【а" но всем [аким евнзмьш гра-Л), взн【а" но всем [аким евнзмьш гра-ТТречпо.тожим теперь, что в наборе S (см (V 3 2)) каждый граф Hi двусвялеи и епдержкт мепт.ше вершнп, чем граф (7 Предположим далее, что графы //； удовмечворхют соотношению (V 3 5) Тогда, если К является связным [юсигслем реализации набора S в 1рафе G, (о он должен бы(ь [аким разделимым графом, у которого блоки соипадают. с точностью то изоморфизма, с графами из итбора S (см теорему V. 14) Формула (V 3 4) остается справедливой и для каждого такси о ipa中а К

же знамение величины 6(К, S) Из теоремы V 13

же знамение величины 6(К, S) Из теоремы V 13

2

2

Л), взн【а" но всем [аким евнзмьш гра-

Л), взн【а" но всем [аким евнзмьш гра-

фам К. у которых блоки являются, с точностью до изоморфизма, *геменгамн набора S, восстанавливаема. Иной путь полу чения зтого результата дает след; ющее утверждение

Теорема V. 15. Уисно olтовньи связных подграфов X графа G, ,1Юбой “3 которых имеет в каждом классе изоморфизма заданное число блоков, мо не имеет остоезгяг блоков, есть васста- нав'Шваемая характеристика графа 6.

Если нсгонныи связный “。八ipa屯 Л графа G имеет остовный блок, то всякий другой блок н К должен бить грзфим-пст.'!ей Требопаннс отсутствия остовного блока исключает, в частности, зуча& когда К япляется чвуспязиим , рпфом

Теорема V, 16. ? рифы, “е имеющие oi юяных 6”окое. распознаваемы Дл.ч каждого такого графа число блоков, содержащихся в любом заданном к〃〃《е нзоморфизми. является еог- етанаипинаемой харакгеригтак。"

Доказательство [|ерв<1я часть утвержденпя следует нз тео ре“ V 1 [I V. 8 При доказательстве иторой части мом“о (читать, что граф G связен (см теорему V 12) и что в нем нет истовннх блоков.

Рассмотрим какой-либо перечень U блоков графа G, солер- жашпн н i ка*八3。 класса идоморфигма определенное число

広広графов. Этот перечень uj.Keu для нахождения числа ребер и вср- 11ШП в графе G. Из теоремы V. 15 вытекает, что число n(U) связнзх остовлых подграфоп графа G с мио*сстпом блоков О нвихетсн воссанавливаемой характерисгикой. Очевидно, что

広

広

если U есть дейпвительно перечень блоков графа G, =0 в ином случае Таким образом, перечень б.ркпн

графа G восстанавливаем □

Теорема V.17. Теорема V. 10 остается справедливой и в том случае, коеда а каждом “з графов К есге сезонный блок

Доказательство. Заметим, 'П'о ес.ш у ipa$a К еоь остовный блок, [о К — связный гр<1ф Зн.ччит, для рассматриваемых в данной теореме ,рафов выполняется условие из теорема V. Н Поэтому для обоснования сформулированного утверждения до- статсчнс прииятп во внимание тот факт, что вклад〉вносимый в сумму из теоремы V. !0 сиязными графами К. не нметошкмн остовныя блоков, является восстанавливаемо自 характеристикой (в.сн.ту leopeMbi V. 15 и намечанпя о 6{К. S), сделанного перед

Результаты настоящего раздела можно “рнменн’гь л. л я “ока- зательства восстанавливаемости некоторых хорошо известных характеристик ” cnciiicTii 1рафоп, например хроматических и ха рактеристических полиномов графов. В свое время утверждения 。восстанавливаемости зтнх характеристик казались пораз”- 1ельными. Сейчас же мы можем uojyunib нх как простые след - ствна из леммы Кеп,тн (см [4])

V.4 Реберное восстановление

Пусть G - граф с запучеропанними ребрами 4, Alt , Л4 Через G； обозначим подграф графа G, giyuamu"dc” поссе удаления нз G ребра Л,

С2 (гипотеза о реберном восстановлении). EtAu заданы классы шоморфизма всех 左 подграфов G,, то при /; ^ 4 класс нзо- морфизма графа G определяется однозначно

Причина, по которой введено ограничение на R (а имение. S ^ 4). ясна из рис. V 4 1. На нем нзображенм два графа G и 儿 такие, что, удаляя из них произвольное ребро, мы лсшу- чаем, с тччиостьк.1 до изоморфизма, одни н тот же подграф

Теорию, подобную представленной н иредкдучдам раа，№»е, можно развить и для гипотезы &, которая, как и гипотеза С” остается все еще недоказанной Ana юг лечмы Келли утиерж- дает, что чнс*о юбственпых остопиих подграфов графа G, при-

надлежащих любому заданному классу изоморфизма, может быть найдено с помощью классов изоморфизма подграфов 6” Мы можем сформулировать 3toi факт иначе, сказав, что число указанных подграфов является реберт посстанаолиоаемым. Кажется, что приведенный результат позволяет получать чрезвычайно бо.тьшой объем информации о графе G, но до сих пор еще не выяснено, достаточно ли этой информация для установления структуры графа G

V. 5 Замечания

V, 5,1, Обобщения

Т из S целое неотрицательное числоТ из S целое неотрицательное числокаждого подмножествакаждого подмножестваБыло бы удобно иметь обобщенную гипотезу о еосстановле ннн с тем, чтобы вершинное и ребериое иосстанооления были ее частными случаями. Опишем одну ишможносгь. Стр\кгуру на конечном множестве S можно определить, например, задав для

Т из S целое неотрицательное число

Т из S целое неотрицательное число

каждого подмножества

каждого подмножества

«(Г) Имея такую структуру / на $ и беря элемент xwS, мн можем определить структуру на множестве S—(х), сопоставляя каждому подмножеству Т из S — {л} то число “{7), которое было приписано 7 в структуре /.

внальных случаев информа- г чо! да язбыточнсН согласновнальных случаев информа- г чо! да язбыточнсН согласносмотренную нами ранеецмя о значении ве.тчвнысмотренную нами ранеецмя о значении ве.тчвныИзоморфизм структур определяется очевидным образом Теперь мы мо次ем спросить. «Если заданы классы иаочорфизма структур /,, где х пробегает S, и известно значение величины n(S), то однозначно ли определяйся класс изоморфизма структуры J?» Соответствующая гипотеза о восстановлении утверж- лае", 41 и если ясе рассмагрнваемне в данной си(уяции прук- туры удовлетворяют определенным условиям, i о ответ па поставленный во[1рос буде( утвердительным. Например, ссп” S множество перипш графа 6, а ”⑺一＞i пело его ребер, оба кон- iia которых принадлежат Г, то приведенный выше вопрос “с рождает обычную гипотезу о восстановлении д.(я графов, рас

внальных случаев информа- г чо! да язбыточнсН согласно

внальных случаев информа- г чо! да язбыточнсН согласно

смотренную нами ранее

цмя о значении ве.тчвны

смотренную нами ранее

цмя о значении ве.тчвны

теореме V. 1 Однако, если такая информация предполагается,

то контрпримера для случая дпух вершни уме нс будет. Для гипотезы о р ом восстановлении множеств。S должно быть мнаксством графа G, а "(Т) — числом вершин, инцидентных ребрам, содержащимся в Т.

Мь^ лашли бы слишком далеко, если 6н сформулировали гипотезу о восстанивлении для произвольных структур, поскольку такая гипотеза порождает гипотезу о восстановлении для млроидоь, а эта последняя опровергается пе1рин1[а.пы1ыми кпнтрпрнмерами, приводимыми в работе [2]. Однако, возможно, что нам удастся выделить такой класс структур, включающий 1 е структуры, коюрве интересны с точки зрения теории графов, что для него гипотеза о восстановлении будет представляться достаточно правдоподобной.

Упражнения

Описать примарцыс подграфы 5 цепи, 5-цикла и 5 хи“еса В каждом и: этих случаев доказать, ч(о имеющееся множество ирнмарннх подграфов может быть построено нз одною граф.з (удалением ребер).

. Можно ли восстановить каждый граф из упр. 1, если имеется по одному ирнм"рпому подграфу из каждого класса изоморфизма?

Можно лп построить хороший алгоритм для восстапоиле ния несвязных графой, пспользующил компопента прнмарннх под| ра巾св?

Литература

ly's congruence theorem for trees—Pr。： Cambodge 387—397

Kellv P.461—0(йKellv P.461—0(йc iiiinrcconstruclibililv of lomuin^tonal geoineiries — ,)9 (1975), 72 76

Kellv P.

461—0(й

Kellv P.

461—0(й

пенсе tiieorem im lys — Paidiiv .1 Meg 7 (1937).

Косау W L 4n extension oi KUh's Lem:“e t。spanning subgraphs — C<)ngre$sus Niimerantium 31 (1981), 109—120

Глава VI

V!. 7, ОрграфыV!. 7, ОрграфыОриентированный граф, короче фа Он определяется мвожеством зываются вершинами, множество!Ориентированный граф, короче фа Он определяется мвожеством зываются вершинами, множество!,Г — нечто вроде гра- лементы которого на}, з/еменчы которого,Г — нечто вроде гра- лементы которого на}, з/еменчы которогоОРГРАФЫ И ПУТИ

V!. 7, Орграфы

V!. 7, Орграфы

Ориентированный граф, короче фа Он определяется мвожеством зываются вершинами, множество!

Ориентированный граф, короче фа Он определяется мвожеством зываются вершинами, множество!

,Г — нечто вроде гра- лементы которого на}, з/еменчы которого

,Г — нечто вроде гра- лементы которого на}, з/еменчы которого

называются ориентированными ребрами или дугам.», и двумя отношениями инцидеп^ности. Эти отношения сопоставляют каждой дуге D вершину t(D), называемую ее началом, и вершину /1(D), называемую ее концом В этой книге мы будем всегда предполагать, что штжестпа V(F) и W(i') конечные

Будем говорить, что дуга О ориентирована из вершины f(D) в вершину 1) й(О). У дуги-петли начало и конец совпадают, а у дуги-звена онн разине. Полувалентноаыа захода вершикы х орграфа Г (обозначение inv(r,х)) называется число дуг ор- трафа Г, для которых вершина ,с является концом. Полувалентность исхода вершины х орграфа Г (обозначение out\ (Г, х))— это число дуг орграфа Г, для которых х является началом. Орграф Г будем называть эйлеровым., если у каждой его веришни иолувалентность захода равна полувалентности исхода.

Мз привецепких определений вытекает степующая формула:

£ mv(r, х)= 2 outv(r, Х)= |й7(г)|. (VI. 1,1) х= Г<г， х f= У{Г>

Каждому орграфу Г соответствует неориентированный граф U(r)> "O.iyuacMiN нз Г после у“а“енна ориентаций на всех дугах. Граф U (Г) будем называть фундаментом орграфа Г

Пусть I' п А — орграфы. А называется ориентире вин ныл подграфом ила орп。 орграфа Г, если V7A)三 三 У(Г), W(A)三俨(「) и каждая дуга на Д имеет в нем те же напало и коней, что к в орграфе Г. Очевидно, ч-io существует взанмно однозначное соответствие между орпадграфами орграфа 1 и под! рафами графа У (Г), при котором каждому орпс,г графу Л орграфа Г соответствует его фундамент, т. е. подграф U(A) графа [/(Г) •

Предположим, что у нас есть дерево Т( выделенной вершиной. г Мы можем построить орграф Г, полагая V(Г) = V(Т), й^(Г) ~

выхоИчт {исходит} из “D) it вложит (заходит) n A(D)

-Е(Т) и определяя ориентацию ребер по смлуютем} ира--Е(Т) и определяя ориентацию ребер по смлуютем} ира-1фам“1фам“вмпу，если ториевыми графами ребра А в дереве t (см разд I 6) являются графы Н н к н вершина г ссас「*”то в Л, то ребро 4 орнеьинруется и: конца, принадлежащего [рафу К, в конец, сидержашийся в графе Н. Так определеппн%вмпу，если ториевыми графами ребра А в дереве t (см разд I 6) являются графы Н н к н вершина г ссас「*”то в Л, то ребро 4 орнеьинруется и: конца, принадлежащего [рафу К, в конец, сидержашийся в графе Н. Так определеппн%орграф Г называется дерево», рапущигл из г (или выводящим depeeom)，а вершина г- -его корнеморграф Г называется дерево», рапущигл из г (или выводящим depeeom)，а вершина г- -его корнем

-Е(Т) и определяя ориентацию ребер по смлуютем} ира-

-Е(Т) и определяя ориентацию ребер по смлуютем} ира-

1фам“

1фам“

вмпу，если ториевыми графами ребра А в дереве t (см разд I 6) являются графы Н н к н вершина г ссас「*”то в Л, то ребро 4 орнеьинруется и: конца, принадлежащего [рафу К, в конец, сидержашийся в графе Н. Так определеппн%

вмпу，если ториевыми графами ребра А в дереве t (см разд I 6) являются графы Н н к н вершина г ссас「*”то в Л, то ребро 4 орнеьинруется и: конца, принадлежащего [рафу К, в конец, сидержашийся в графе Н. Так определеппн%

орграф Г называется дерево», рапущигл из г (или выводящим depeeom)，а вершина г- -его корнем

орграф Г называется дерево», рапущигл из г (или выводящим depeeom)，а вершина г- -его корнем

Теорема V[, I, Пусть Г — выходящее Не卩еео с кор“е<и г Тогда г на .может быть концом накакай дуги “а Г. а всякая другая вершина является концом только одной о*“ орграфа 1

номера ответвлениям дерева 7' в вершине у У,. У?, , У, (ребро Л, принадлежит ответвлению У；) — сч разд 111.4 Здесь м 1.1 Hpeaiio.iai'aeM, что в Т есть хотя бы одно ребро {в против-номера ответвлениям дерева 7' в вершине у У,. У?, , У, (ребро Л, принадлежит ответвлению У；) — сч разд 111.4 Здесь м 1.1 Hpeaiio.iai'aeM, что в Т есть хотя бы одно ребро {в против-口。казателъство Из оиредепекня выходящего дерева следует, что граф С/(Г) является деревом 7. Пусть у — ирошполь- пая вершина орграфа Г Мы можем перенумеровать все ребра дерева Т, инцидентные вершине и, как“м либо образом. &， 4" ■ , А*, у в соответствии с зтей нумерацией приткать

номера ответвлениям дерева 7' в вершине у У,. У?, , У, (ребро Л, принадлежит ответвлению У；) — сч разд 111.4 Здесь м 1.1 Hpeaiio.iai'aeM, что в Т есть хотя бы одно ребро {в против-

номера ответвлениям дерева 7' в вершине у У,. У?, , У, (ребро Л, принадлежит ответвлению У；) — сч разд 111.4 Здесь м 1.1 Hpeaiio.iai'aeM, что в Т есть хотя бы одно ребро {в против-

ном случае утверждение отееидно) Один из торцевых графов ребра /1, в дереве Т является объединением всех тех ответвлении Yi в першнне у, китерме овшчин от К； (если такне ответв •леннн ехидствуют), нли представляет собой iраф-ьершину, он ределяемый вершiinoii :; (<чии таких ответвлений нет) Другой торисной граф получается нз У, удалением нгртинв у и ребра 4,

1ЖДОГО кз G небер J；. *на”нт.1ЖДОГО кз G небер J；. *на”нт.Предположим, что 口一это， Mi припедекпых nuiue рас- см(л рений н опрслслсЕгия вытодящего дерева следует, что вер

1ЖДОГО кз G небер J；. *на”нт.

1ЖДОГО кз G небер J；. *на”нт.

спа является началом каждой инцидентной ей дуги в орграфе Г В "станЕемся случае ncpiuuHa г принадлежит только одному ответвлению У” скажем Тогда вершина и 6у“ет хониом ребря .4“ и началом всякого другого ребра 4, □

На рис VI 1 1 представлены три выходящих дерева З/есь (и в дальнейшем! орграфы и “>6ра*аютсп в виде «орнентн- рснапннх диаграмм», полагающихся из “на^рамм, сиответ ствуюшнх фундаментам рассматриваемых орграфов, прлписы ван нем стрелок всем ребрам, причем стре.тка на каждом ребре направлена из его начала п его коней

Каждое из деревьев, показанных на этом рисунке, растет из варНЕИцы, помеченной буквой г

Теорема VI. 2. Пусто Г — такой орграф, что его фундамент U (Г) представляет с〃6о4 дерево и никакая вершина “ Г ”е

Ркс. VI I I P”cryU"e /еррвн”

яолястся кпни1tjm 6<uee чем одной дуги. Тогда орграф Г，'"” дерево, растущее из некоторой вершины г.

Даказателпство. Так как [раф U(F) является дерепом, то число вершин Г на единицу больше числа дуг в пси (см. теорему I ит, п орграфе Г существует вершина г, не являющаяся концом никакой дуги, а всякая другая вершина должна быть концом только одной дуги

Рассмотрим произвольную дугу 彳 орграфа Г Пусть ее торцевыми графами в дереве и(Г) = Т будут графы " н К, причем г содержится н К. Предположим, qi。нершика, ипцидект- ная дуге Л и принадлежащая графу К, является концом этой дуги в оргра巾е Г Гогда число вершин графа К должко пре- восходнть число ребер в нем на 2. Значит, в силу теоремы 1.31 граф К будет несвязным. Это противоречит тому, что К есть компонента графа Г], Следовательно, конец “угн 厶 “екнт н Н.

Теорема VI. 3. Пусть Г—дерево, растущее “з вершины г. Пусть А - дуга из Г с торцевыми графами Н и К а графе U(f) “ г принадлежи! К. Тогда ириемированный подграф орграфа Г, соответствующий грифу Н, является деревом, растущим из гой вершины, инцидентной dg“ 4 кп-юрая лежи: «乩 а соот- кетствующий графу К — дереном, растущим з г

Это утвер?кденне вытекает непосредственно из теоремы VI 2, если учесть (см. тсоре*『у I ；!8), что графы Н н К являются деревьями

Для обращения орграфа Г надо переопределип. отношеннн нниниентностн так, чтобы начало к конец кажюй дуги поменялись местами Если Г — дерево, растущее из г, то обрат(члй к нему opi”tj> называется Черепом, врастающим в г (или в.ю- дящи.к деревом). Теория входящих деревьев идентична теории выходяткх деревьев надо только «наи&та» и «Конин» дуг поменять местами

Спариванием орграфа Г называется зобра水свис 0 множс- !й *・(「)на себя, удовлетторяюшсе следующим трем усао-

вняй:

для каждой дуги А 三 W(l') дуга ОЛ отлична от А;

(ii| О(0Л) —Л "ра всякой @уее Л из №'(Г),

|iii) для каждой дуги ‘1 三 历(Г) начало и конец ее является соответственно концом и началом dijeu 84

Спарнпаиие имеется не у каждое орграфа. Орграф Г и какое-либо его спаривание 0 образуют спаренней орграф (Г, 0) Спаренно空 орграфу (Г. 6) естественном и&разом соответствует зквивалентный граф G, множество вершнп которого совпадает с множеством вершин орграфа Г, а множестис ребер па ходится во пзаимио однозначном соответствии с множеством неупоря- мэтснимх пар, состоящих из дуг орграфа Г н образующих орбиты подстацоккц (I. Концами произвольного ребра ipaepa G яи,'1 яются начали и конец люботг дуги m соответствующей зтому ребру пары.

I, менающан местами」yia QI, менающан местами」yia QHue 0 есть подстановка наHue 0 есть подстановка наИзвестна н «обратная конструкция», позволяющая по за- д;и.|шму графу G строить эклиналегпчый спаленный орграф (Г, 9). Кажлому ребру Е графа G сопоставляются два различных элемента К и Е_, называемые дугами, ассоциированными г £. Разным ребрам графа G сопоставляются разные дуги Один конец ребра £ является началом дуги Г- и концом дуги £ , а 1ругой коней ребра £ является началом дуги Е и концом дуги L- Полученный объект представляет собой спаренный орграф (Г, 8}, причем множество перитн орграфа Г совпадает < множеством lif-pcuiKi графа (7, множество 〃” орграфа Г со- ct“h> tn п\г, ак.оцнн|юпан[1ых с ребрами графа fi, а спарила-

I, менающан местами」yia Q

I, менающан местами」yia Q

Hue 0 есть подстановка на

Hue 0 есть подстановка на

и Л |по веем ребрам Е графа G).

Мн будем использовать установленное нами соответствие ve,21y Iрафами и ткннвален|ным“ спаренными орграфами」“н вывода теорем и графах нч георнм об орграфах При，том совсем не обязательно каждый раз заново исходить из определения эквивалентного спаренного орграфа. Можно, что мы и будем делать, иа каждом ребре Г. рассмагрнваемог。графа G за лавам, пару протипоположных ориентаций, определяя тем са мнм лве дуги £+ н Е-, ассониированньге с Е (о которых говорилось выше) Это дает нам орграф I' и спаривание 0. Мы на- jobcm орграф Г эквчва.^ен.1ныл1 орграфом графа G, а 6 — <ла ринакием. сапоставяннньм графу G. Эти два объекта || н D) вместе образуют эквнагмечтный спаренный орграф ([\ 6), г。 итветствующий графу G Д\[ц орграфа Г мо*н。называть дугами графа (7, а концы п начала зтнх дут в орграфе Г мс水но так же iiaiMiiajb и в графе О.

Прк изображении i р.|фа G в ни,i,e дмй! раммм дм я Е+ и Е~ соотретствуют двум возможным ориентациям ребра £. Даже для петли сушестпутст ие различимые ориентации— мы так и будем предпол агать. Ребро, соответствующее дуге D грифа G, “винетен просто тем ребром графа С, с котором ассоциирована дуга D Дуги £+ и £ ', ассоциированные с ребром F, на ззвают противоположно ориентированными (или, киротки, про- тивоположныши) Дуга, пришпцгц,данная цуго D, часто обозначается символом Д-1

подграфа Н.Ориентйнтоя (или ориентированной формой) i рафа G i вается произвольный остовный орподграф орграфа I5, содеподграфа Н.Ориентйнтоя (или ориентированной формой) i рафа G i вается произвольный остовный орподграф орграфа I5, содещий poDiio по о1.ной дуге, ассоциироианцой с каждым pt графа 6. Как и в случае с подграфами, прилагательное «<щий poDiio по о1.ной дуге, ассоциироианцой с каждым pt графа 6. Как и в случае с подграфами, прилагательное «<Если Н — wpaQ графа G, го чы, ес^есгвенни, ciHiaew, что дуги, ассоцииронаиныс с ребром £ в подграфе ", ювиа падают с со<лнетствую“кмн дугами из G Поэтому можно говорить, что эквивалентный орграф 1% для подграфа Н ав」"5ся ормоиграфом орграфа Г к что спаривание От, сопоставленное полграфу Н, есть ограничение спаривания 6 на множество дуг

подграфа Н.

Ориентйнтоя (или ориентированной формой) i рафа G i вается произвольный остовный орподграф орграфа I5, соде

подграфа Н.

Ориентйнтоя (или ориентированной формой) i рафа G i вается произвольный остовный орподграф орграфа I5, соде

щий poDiio по о1.ной дуге, ассоциироианцой с каждым pt графа 6. Как и в случае с подграфами, прилагательное «<

щий poDiio по о1.ной дуге, ассоциироианцой с каждым pt графа 6. Как и в случае с подграфами, прилагательное «<

ний» указывает на то, что в соответствующий орпедтраф вхс- “”1 все вершины орграфа Г Очевидно, 'ito если А — орпентянт графа G, то графы L/(A) и G Можно отождестпить Более точно, сумуствуе、изоморфизм графа。⑷ на граф G, отображающий каждую вершнну в себя и каждое ребро из У(Д), т е каждую дугу из А, в то же самое ребро, но рассзатркваемис как ребро графа 6.

Мы завершим этот раздел описанием некоторых гфегтмх соответствий меж ty графами и орграфами

Теорема VI,4, Пусть 7 — дерсчо и г — еео вершина. Тогда Т имее/ ровно один ориентант, являющийся деревом, растущим «з г. 〃 ровно один ориентакт. ав.ыющайся 8cpeз。*、ejwiaio- “!"》о，

Доказательство. Так как “уе.ть в черепе Г ие；, го одно- значностъ выбора ориентации на каждом его ребре следует непосредственно из определения выходящие н входящих де рсвьсв □

Теорема VI.5. Пусть G - граф и г — иго вершина Тогда существует опаадио однозначное cuoineicieue между остовами. графа G и остознылш вбкодящцци “з г (и,1м входящими в г) деревьями эквивалентного орграфа I', примем каждое таксе 〃е- ре«“ являися ориентантом подходящего остона графа (7.

,7ofc«jri7'MMiao Пус/ь S — произволыюе сетовисе выхоля- шее из г (нли входящее п г) аерев。орграфа Г Пусть Т-

тог сдпнетвенный остов в G, для которого S яш'яется ориен- тантом Тогда U($) есть дерево (в силу олределения выхот.я- щих и входящих деревьев), а значит, Т — остов графа 6.

Обратно,

ес.тн 7 остов графа G, то в

утествует еднвствепный оркентанг остова

силу теоремы VI 4 Т, являющийси ны-

ходящим на г (ил и входящим в г) деревом Этот орнентант н есть нужное нам остовное дереве орграфа Г. □

VI 2. Пути

Невьч)ожденны/i путем в орграфе Г называется пронзвопь-

рая [юследоватеяьность

/> = (2, 2,

DJ

где ”》I и D,—дуги орграфа [', не оАяза i ельно различные, удоплстворяющие условию, что конец дуги О, является началом дуги 0/т, 1 W j V а Начало дуги D： называется j-н вершиной пути Р. Конец дуги D„ называется последней или ("-「1)5 верш и пой пути Р Первая и последняя вершины пути А т. е начали д^ти О( и конец нуги D、，называю'； соответственно началом (истоком) и концом (стоком) пути Р. Число п назинактс” длиной “yin 0 м обозизчаетсч через s(P)

Удобно также рассматривать и специальные вырожденные "У“1 и Г. С каждой nepmiiuoif。ил Г сняепнаЕся: единственный вырожденный путь, обозначаемый через Р：・； дуг в этом пути нет, длина его panua пулю, началом и концом пути Р, нзлаетсп вершина 口

Итак, путь может быть либо вырожденным, пнбо невмрож- ценным В любом нз этих с~4«аев мм юворич, чу путь ориентирован из своего nanana s свой конец

Рассмотрим два uyrti 户 “ Q н Г Если к。"。” пут к Р яп ляется началом пути Q, то путь PQ в Г представляет собой послсдоватя.пьностъ дуг, в которой сначала пиписант,, (п пре* нем порядке} дуги пути Р, а за гем (также в первоначальном порядке) выписаны дуги пути Q. Если Р (или Q)- вырожденный путь, то путь PQ совиадлег с Q (соочвечственно с К. Путь PQ мы называем произведение» путей Р и Q (именно в таком

порядке) Если конец иутн Р нс comtauaci

тс г1роичиедепие PQ не определено В случае когда произваде- "не PQ определено,

s(AQ〉一s{P)+ s(Q).

Кроме юго, началом (ivth PQ является нячало пути 户，а концом —конец пути 0.

но, вообще говоря, некоммутативная операция Когда мы пи-но, вообще говоря, некоммутативная операция Когда мы пи-Легко проверить, 'ito умножение путей есть асионизтиппая,

но, вообще говоря, некоммутативная операция Когда мы пи-

но, вообще говоря, некоммутативная операция Когда мы пи-

шем соотношение P(QR) =(PQ)R, выражающее свойство ассс- циатиппосги операции умножения путей, то предполагаем, что

все входящие в него прончведения определены, т е иге конец пути Р сопиапает с началом пути Q, а конец пути Q совпадает с началом пути R Ассоциативные 1|ротапсдепия трех или боль

шего числа сомножителей, взятых в определенном порядке,

можно записывать без скобок (я это tie припедет к ibvcnuc-

ленности). Мы можем говорить 。 произведении Р[Р2 .. Р„ путей Р, (Iw/Wm)； "рн этом “pesgaraerca, что конец пути Р> совпадает с началом пути Р,.^ {I & / V т). Это пренз-

педение япляется путем, получаюп1имся н результате [юследо- ватсльного выписывания всех дуг пути Р, (в их прежнем по ряд атем — всех дуг пути Р2 (также в первоначальном ■и т д. Наиалом пути В尸？ . . Рт ивлкется начале

пути Р[, а концом — конец пути Pg.

Пусть % есть A-к вершина пути。，задаваемого иос..'1едо- вательноегью (VI 2.1), fe — 1". Еспн 1 **</*“ 十 I, го символом Р [г, /] мы обозначаем путь (П(, 2 + “ . . ., D/_J, на

чалом которою ав”аетсн вертнна &” а концом 一иершнна с% Назовем ”от путь частью (или пз，"утем) пути Р, идущей из r-й вершины в 7-ю. Через 立卄，I] обозначается пырождеппий путь, соответствующий ;-й вершине.

Пусть г0, %, АJ (д> 2) —такие целые числа, что I = 1% W h《％ * …*% = n+1, Тогда можно написать

p=单% f-J；

рождается числом Д.)еделим теперь несколько сиецнальпмх типоп путей>,задаваемый последовательностью (VI Э.1), называетсярождается числом Д.)еделим теперь несколько сиецнальпмх типоп путей>,задаваемый последовательностью (VI Э.1), называетсяПу-iПу-iсомножигели перемножаются здесь в порядке позрастаиня i Mu будем называть эту формулу разложением nyru Р, порождаемым набором (",з, , ., %т}. Если g = 2, то Р = =Р[1, ii]P[；i, /г + 1J, н мы можем сказав, что это ра^юле-

рождается числом Д.

)еделим теперь несколько сиецнальпмх типоп путей

>,задаваемый последовательностью (VI Э.1), называется

рождается числом Д.

)еделим теперь несколько сиецнальпмх типоп путей

>,задаваемый последовательностью (VI Э.1), называется

Пу-i

Пу-i

замкнутым, если его качало и конец сонпадают. Таким образом, любой вырожденный путь является замкнутым. Путь 尸 будем называть дубово простым, если в нем “ет иовг叩нк>"1"хсн дуг. Путь Р назовем истсккикснс простым (соответственно стп-

нссколько раз (не пенее двух) i ственпс конца) какнх-.тнбо дуг П\

в качестве начала

он одновременно исгочникови и стоков。простой

Туп, иа.зыпастся простым, если

Источникове простой 1(ли стоков。простой путь обязательно будет дутво простым. Если нсточннков。простой iiy(b не является простым, то его конец должен fiiJrb концом &иу\ его дуг. Вырожденные пути будем считать пропымн. Невырож- денный простой замкнутый путь называется круговым путем.. Lcjih у невырожденного простого нуги начало и конец разлпч- п ые, то он наз ывается линейным путем.

Орграф Г(Р), соответствующий иевыроаденному пути Р в орграфе Г, определяется как орлодграф орграфа Г, содержащий только те дуги, которые принадлежат пути Р, н тыто те вертнпн, которые являются началами и концами 9тнХ луг. Если путь 尸 вырожденный и Р = Рс, то мы считаем, у то орграф Г(Р。)состоит из одной вершины у н не имеет дуг. Орграф, соотвегствующий круговому пути, называется ориентированным циклом |или орцикуюм), а соответствующий линейному пути, имеющему начало х и конец % — ориентированной “епсх (или орцепью) из х в у.

“，"а, •• , и，；)как сстестзатую “умераичю вершинI (Р) и Р как 1юследовате„|ьность ребер. В гом случае..“，"а, •• , и，；)как сстестзатую “умераичю вершинI (Р) и Р как 1юследовате„|ьность ребер. В гом случае..рипзть в пиклерипзть в пиклеФундамент U(P) пути Р п орграфе Г — это фундамент орграфа 1'(Р), соответсгвуюшего пути 户.Если путь 户 задал последовательностью (VI. 2 I) и яиляется линейным с началом х и коииом у, то фундамеН[ U{P) представляет собой цепь в графе С'(Г), имеющую концы < к у Действительно, он удовлетворяет определению цепи, “""(。〃 口2, ■ ■ ■, 口屮)считать заданной пос„|едова1«льностыо вершин, а путь Р заданной ио- следоиательностью ребер 1，сли jkc путь Р KpjiuBuii, то его ф\ндам-нт (丿(Р) ""Ляетсп циклом. Тогда мм можем рассмат

“，"а, •• , и，；)как сстестзатую “умераичю вершинI (Р) и Р как 1юследовате„|ьность ребер. В гом случае..

“，"а, •• , и，；)как сстестзатую “умераичю вершинI (Р) и Р как 1юследовате„|ьность ребер. В гом случае..

рипзть в пикле

рипзть в пикле

орграфе Г, го граф U(P)орграфе Г, го граф U(P)когза Р — линейный путь, пз теоремы VI 2 следует, ч гп орграф I (Р) есть дерево, растущее “з начала пути Р и врастающее в конец иутн 尸.

орграфе Г, го граф U(P)

орграфе Г, го граф U(P)

Теорема VI. 6.々：〃“ Р — пуп гкачем

Доказательство. Можно считать, чго 1：у(ь Р невырожденный, ибо в Противном случае утверждение очевидно I|усть 尸 за цац последовательностью (VI 2 1) Предположим, ”то граф U(P) пеевнзен. Рассмотрим в нем какую-либо комиопенту С, не содержащую конца пути 2 Пусть А — такое наибольшее не лое число, u m 々я вершина пути Р принадлежит компоиенге С Тогда начало дуги D* “ежит в С, а ее конец в С не содержится Значн】，(? не является обособленным подграфом iрафа U'(P) Это противоречит определении компоненты Г]

Как и в спу“ае графов, запись Г1 i= I ? будет означагь, 'но oprpaq, Г1 яп“яегсн орподграфом орграфа Г* Если, кроме того.

орграф Г, отличен от ]、，то мы будем говорить, что Г( — гпб- СтвЕнный орподграф орграфа Г* и применять запись Г, и

Гсорема VI, 7, Пусть х м у—различные вершины орграфа I. Если й Г существует какой-либо путь Q из х в у. 70 в Г найдется линейный путь Р, идущий из х в у Более тем, путь Р можно вобрать гак, чтобы Г(Р)= I (Q) “ s(P)Ws(Q). "р“- “ем равенство будет иметь место тоаько в том случае, если путь Q линейный.

Доказательство. Если путь Q не является линейным, то з нем имеются либо попторяющисся начала дуг, либо повторяющиеся концы. Следовательно, Q =- РГР5Р3, где Р2 — замкнутый псвырояадсиний путь По тогда P,Pj есть путь в Г из .v в у, такой, что Г(Р12卜三 r(Q) и s(PiPs) V s(Q). Если путь PR нелинейный, го описанный процесс повторяем до тех пар, пока нс "оиучнм Пикейный путь Р из t в у. Очев идно, что s(P)V，(Q) Если Q — линейный п;ть, io полагаем Р = Q □

Теорем” VI.8. Пусть Г — дерево, рас/ущее из г, к “ прг；- извомная вершина дерева Г. Тогда s Г существует ровно один *у” P-о. идущий из г в V, и ин является либо вырожденным, либо линейные. 6о.;ее того, всякий путь е Г есть часто некотс- рое。путм Р~.

Доказательство Используя определение выходящего дерева, заклю1тас^, что (j + i) н “ертниа "ргшзно，е”>г<> пут и /' н /с реве Г однозначно определяет /-ю дугу зтого пути (/ = 1.2,.) Значит, Р полиостъю определяется задан нем своего иоиаза и конца (см теорему VI I). Применяя теорему VI 7, иолучаем. что путь Р либо линейный, либо выроадеииый

Пус[ь X--множества всех вершин дерева Г, иля ка“зон

шествует путь, идущий, из г в эту вершину, грз^а L(f}, поро)кденнчлй мн<>水сетном 尤

СН"\ теорем VI. 6 л 1.25 Н есть связный граф Нредпо

ложим, что и U(l') )1айдсгся ребро О, один конец которого (конец а) принадлежит X, а другой коней (назовем сто 力)не припад г,сжит Тогдд (см теорему I 21) какой-то один торце вин ipa屮 ребра О в iрафе 6'(Г) содержит подграф Н п, c.ic- довательно, содержит вершины о и г Принимая во внимание оп[1е,чс..1ение ныходищего мерена, попутаем, “то в орграфе Г

九(С) Зг。противоречит опрецелсттию графа 〃

<Ч： Г1> путь

Имеем Н =

нз г и й) Значит.

содержится u X и uyi

О'(Г) (си теорему I уть В： cj шествует

Пусть Р — произвольный путь в Г, идущие, например, из “ в с Лссспьзуп ирнкпенние вьиме резу.гнгатм, ^ак^ючаум, что произведение Р,；,Р совпадает с путем Р,,, □

При внимательном рассмотрении графа, изображенного на рис IV. 3 8, возникает естественный вопрос, не является ли дерево В1к3(б,Л), введенное в разд IV 3, дереиом, растущим из ведущею ；5-блика i рафа G. Очевидно, чго псякпе ниртуаль-

ное ребро А, представляет собой дугу дерева Blk』(G,.4), при-

чем /1, является отдушиной для начала этой дуги и перемни

кой для ее конца

Для орграфов вводятся несколько видов связности Орграф Г иаззпается сильно свнзны.и (или сильным), если для вснкоН упорядоченной пары (х,") его вершин в Г существует путь, идущий из х в у Если ме дл允 любой такой пары мм молем

гарантирован сущеегиование только одного из двух путей — либо ИЗ X В у, либо " ■ " - ■■■'■ г

< ти/юнне (вязным (нмн

.1, — то орграф Г 1[атыияс-|ся одни-tccTOpOKHUM) Орграф Г будем ка-

змвать слаба сензнам (или слабым), если его фундамент

t，r(r| —связный граф [(ем г) является слаб.

Очевидно, что пыходящее

5с связным

орграфом, котор!

дерево (с кор-)ый, вообще го-

ворн, может не бнгь ин олиосторопие связным, ни, ie” белее.

сильно связным (так hjk если г не является висячей вершиной, то внкакие дес одновалентные вертит” н iрафе U(F) нельзя соединить путем, лежащим н Г. и, кроме того, нс су-

шестнует пути, и(yiuem из произвольной вертнт"，отличной

от г, в корень г) 口алее, легко цидеть, что оринк.т является сильным орграфом, а срцепь — односторонним, ио не сильпич

ирграфом

Рассмотрим т со спариванием

граф <7 и эквивален1НЫЙ ем\ орграф Г вместеI О. Пути в орграфе | будем натынат：! также

путями е грифе G П、ть в С назонем реоерко простым, если

ли не содержит

двух дуг, ассоциирован-

ребром гра巾a G Tai.им образом, реберно простой п)ть являетc；i ибизате.чыю дугово простым Если Р — невырожденный путь

(?, то через GI户)обозкячаеня граф, по-иучающинся из графа

G ограничением его на множество ребер, с

-- с - 1 с，с 1, cooTBeiCTBVWiKHii

|ам пути Р. Граф G(Р ), Р«, предст」в』нет собсн г

нырожденному пути

■раф-вершину, определяемый першипой

нз рассмотренных случаем г)>аф 0(Р) получается

из орграфа Г(Р) в реау.мтате замени дуг теш

тормнн ли дуги ассошшрованы Исли

ж；тсн ровно iio одном дуге, ассоциированной с

I, тс Г(户 1 является ориеитантом ipa小a G(P).

определений пени и цикла вытекают с.дуютне утвер-

Теорема VI.9, Подграф Н ерафа G является qenow с концами х и у тогда и только тогда, когда Н= G(P), аНе Рли- ниИный путь о идущий из х в ц.

Теорема VJ, 10. Подграф Н графа G является циклом тогда и только “>仇，когда Й = G(P), е@е Р — реберно простой круговой путь в G

Требование, накладываемое па путь 户 в теореме VI. |0 и состоящее в том, чтобы Р был реберно простым путем, является избыточным во всех случаях, кроме случая, когда s{P)= 2 Дие дуги О и D-1, ассоциированные с Произвольным звеном графа G, определяю! круговой пуп, (D, коюрый не является реберно простым. Следовательно, такого пути будет не диклом, а графом звеном

Теорема VI, 11, Ес〃м Р — путь в G, го граф G(P) связен.

Это утверждение можно обосновать так же, как гсо- рему VI.6, но только нужно заменить U(Р) на G(P).

Теорема VI, 12. Если 6 — сея^мьМ граф, то эквиналстный ему орграф Г является сильно связныя.

Эта теорема вытекает из теорем VI. 9 и I 43

ванна) пути удовлетворяет следующим ус.товиям (/厂'厂一户，(PQ)- -Qванна) пути удовлетворяет следующим ус.товиям (/厂'厂一户，(PQ)- -QПо заданному пути Р п графе G, нпутему из х в д, им мо жем писгроить путь Р-1 (в 1рафе G), который выходи( из у н заходит в х, — нужно просто ребра пути Р записать в обрат нон порядке и |1оменять ориен-1а1(нк> каждою ребра на и рот н вополоикНую Будем говорить, ”то путь 尸-‘ есть обращение nyi"戸 Легко видеть, что операции обращении |[щнер1 иро-

ванна) пути удовлетворяет следующим ус.товиям (/厂'厂一户，(PQ)- -Q

ванна) пути удовлетворяет следующим ус.товиям (/厂'厂一户，(PQ)- -Q

Мм 6у,1ем часто использован, следуlOinyio комбиплцпю тео рем VI. 9 и I 43.

Теорема VI. 13. /?“е различные. а«рт“н”，i и у графа G при надлежат одной м той :же его компоненте тогда а только тогда, когда в (j существует .ищейный путь, идущий ш х я у.

V/. <3. Теорема BEST

Понщие эйлерова opiрафа было определено в разд VI I. Граф называется эйлеровым, если валентность каждой ei □ вершины 'lei пая ЗА/ерое пути в орграфе Г это такой замкнутый ▲угово простой пуп. Р. что Г(Р) = Г Эйлеровым путем в графе

G называется замкнутый реберно простой путь Р, такой, что G(P)= 6 Таким образом, эйлеровы пути в графе G являются эйлеровыми “утямн ориентантов графа G.

Теорема VI. |4. Если орграф I' содержит эйлеров путь Р, то Г является сильно связным и эйлеровым орграфом.

Доказательство. Пусть * и g — различные вершины в Г Мм можем выбрать обозначения так, чтобы Р = Р[Р；Рз, где Р2 — путь нз * в у. Но югда Р3Р( будет иугем нз у в * Спедова- тепьнс. Г — сильно свячный орграф

Нетрудно видеть, что ннспо дуг в пути Р, у которых вср- [инка и является концом, равно числу дуг в Р, у которых и является началом. Значит, inv(r, и)= outv(r, и), т. с орграф Г эйлеров □

Теорема VI. 15. Если а графе G суща твует зйле/юв ""ь Р, то <j является се&чкмл и .чйлеровым ерафом

Доказательство Связность графа G следует на тсоремм Vl. i 1. Далее, путь Р является эйлеровым путем в орнентанте

А графа G. Значит, Л — эйлеров оргра." (см теорему VI 14) и val(G, tf) = inv(A, о) + outv(A, г>) — 2 inv (А, а) для каждоВ вершины V графа G Таким образом, G — эй.геров граф. С

Теоремы VI 14 н VI. 15 можно обратить Обращение теоремы VI 14 являемся основной теоремой да иного раздета Об

ращение теоремы VI 15 было установлено Эйлером в статье [6], которая nnH.'iaib первой работой пи теории гра巾0n

Теорема VI. 16. "уст。С — эйлеров граф, сид^ржащиИ ха，п йы odw ребро 广。《)« подграф О 片(G) яалятя объединением

реберно непересекающихся циклов

Доказательство Если компонента С графа G содержит

ребро, 10 она ие является деревом (см теорему I 40) Значит, в графе G сутцестнуег пнкл 厶 (см. теорему I 45} Граф G” (юлучаемын из графа G после удаления ребер, принадлежащие инкпу 厶,является эйлеров им Ес-in в С] и>аер.*”тсн xoia бы одно ребро, то в нем найдется цикл /2 Продолжая эту про

цедуру. мы получим послеловательносн.厶，/；, , J1s реберно неперсссмющихся цик.юп графа G', ебвенкекне которых со- ппадает с подграфом G-E(G). □

Теорема VI. 17. Каждый эйлеров граф имес SiUop。© ориентант

бы одна peGp。， так как н противном случае убы одна peGp。， так как н противном случае утверждение оче- /., построенныхтверждение оче- /., построенныхДоказательаво. Можно считать, что в г»з<ре G есть хог”

бы одна peGp。， так как н противном случае у

бы одна peGp。， так как н противном случае у

тверждение оче- /., построенных

тверждение оче- /., построенных

ВИДНОВИДНОРассмотрим послсдовател1,|гость циклов

ВИДНО

ВИДНО

в теореме VI. 16 Каждый из них является графом некого рото ребернс простого Kpjroroio путл Р< н 〔ра巾е G (см icc- pevy VI. 10) Дуги всех зтнх круговых п> гей определяет эйлеров орнеигапт графа G 匚

Теорема VI, 18, Пусть Горграф и г —какая-то его вер шина. Если для каждой вершины орграфа Г, отличной or г, “ нем существует путь, идущий ш г в эту вершину, то орграф Г имеет растущее кз г uciaanoe depee。.

Доказательави. Будем говорить, что иоспеииват&иьность

S ^(t'o, аюйечво^. /',

..,。/ различных вершин орграфа Г обладает

если ьо = г и 4“н каж,';ой

дется дуга D, орграфа Г, такая, что

вершины о, ич S пай-l(D,)=。，н f(D,)=3,

“рнчем I < / Предположим, что мм имеем 〈акую uoc“cuc"a тельность S и что некоторая вершина и нз Г не принадлежи

ей Из условия

U1H" из г г рой конец надлежит.

)смн следует, что в Г существует путь, иду-

пугь должен садерхсатб дугу

/i(D#+t) не принадлежит $ аПрисоединяя вершину /i(Ds+i)

а начало

и качестве новоА вер-

шины у,+1 к [ЮСииедовательности S, иопуиаем [lOCJiejiOBaie.ib- ность S', состоящую нз 启 + 2 различных вершин орграфа Г и гак*е обладающую свойством 2

Напиная с 5=(г) и повторяя описанную выше процедуру [[одходящее число раз, мы построим [юследоиательиость，-= = (*), 口 1，.. , и”)，обладающую свойством Р и включающую все вершины орграфа Г. Соответствующис дуги О , 〃， . D определяют остсвный ориентрованный подграф А ирграфа Г Кроме того, граф U(A) связен (см теорему I 25) и является мереном (см соотношение (I 6 1)). Следователнно, в ну ieo- ремн VI 2 орграф А представляет собой дерево, растущее нз вершины г □

Теорема VI. 19, Пусть г—-некоторая вершина орграфа Г и Р ——эйлеров путь « нем, адущий “j г “ г. 〃，乂 каждой вершины х из I', отличной от г, обозка/щм через /% “eps91n “。 порядку дугу пути Р, концом которой является х. Тогда d”“ /* являются дугами растущего из г остовного дерева Л орграфа Г

Докамтелисто. Рассмотрим последовательность Z вершин орграфа Г, в которой первой вершиной является г, а осгалькыс перЕКНн—концы дуг D„, идущие в порядке их следования в пути Р. 1огдя, очевидно, Z содержит все вершины орграфа I , обладающие свойстпоч Р (см. доказательство теоремы VI 18) Зиапнт, как и в 'помянутом доказательстве, дуги Dt определяют нужное на* “ерено D

Рассмотренное остовное дерево А назовем остаючным *ре вол эйлерова пути Р.

Пусть Г — эйлеров орграф, г — его вер! шее нз г осювное деревоа Г. 3al

орграфа I' так: о(, = г, %,

Занумеруем

ГЬ invfuy, r)=uutvl

Л — расту-6 вершины3, Г)=м

J = 0, Iq. Для каждой вершины 。, зададим некоторое упорядочение всех 力 дуг, входящих в нее, причем если I ¥=0,

то последней в Згом

А. Число Г равно

упорядочении будет дуга, принадлежа- N псих способов такого упорядочения

n =徇用丐

Построим теперь последоваiельность R = (D[, ?%,仇， .} ，уг орграфа Г пс следующему правилу Д;га D, является первой дугой при задатшом упорядочении дуг, входящих в вершину г Если дуги Di, . , !)■ уже выбратгы, 1。цуга Dfhl пм- бирается так, чтобз она была первой из еще невыбраиных дуг (если такие 心i” существуют] при задагтом упорядочении ^yг, входящих в вершнпу f(D,). Заметим, что если вершина "必 отлична 5 г, то дуга 力屮 обязагельнс найдется, ибо на каж дом тенушем шаге по строен и!1 иоспеаовагепьностн R вплоть до нмбора дуги D” число тех дуг из R, которые выходят из вершины i(D), па с iRHwiy больше ин心ta дуг из R, входящих в t(D}, а орграф Г эйлеров Из наших: рассмотрений следует, что последним элемешом в 及 буде, дуга /).„ ( началом，， Что все дуги в R разные н uro в R содержится ка?к“ан дуга, инцидентная перлине г Последовательность R не явпаетек лу- ，ем в Г, так как иачапз к коды дуг п пей идут в «непр.апн.тп ном» иорядке. Но она, однако, образует п\ть в орграфе, об ратнем opi раф; Г

Вуден ronupHib, что вершина a opipaq)a Г увляеггя шиы- щенной, если вес инцидентные ей дуги содержатся в последовательное! п /?; в про ч инном луаае перпгнну х будем назы.илть н^насыцтной 11рсдположим, что сутесгвует хотя 6н одна ненасыщенная верютпа Теза п дереве А плидегся кратчан ший путь S, начинающейся в г к кончающийся в ненасытен- ной вершине г (см теорему VI 8). Рассматривая подпуги из S с насадом в вершине г, видич, чю в S все вершены, кроме исс.1е.дней (вершины (), насыщенные Мз правила построения псепе^свательнсетн R h,jiека^т, ”т。п“с."с,.ннн 八％а uyrn S н

R нс содержится Значит,

S прс'Шоследняя вершина невзеы

щенная Прпшти к протиГ1О|>ечик> Следовательно, ” 唄 рафе Г

каждая перзнна насыщенная Вера дуги рядке, получаем эйлеров путь в орграфе

обратном no-

содержащий Л в качестве остачочного дерева

г. идущий из г в г и

Для каждого мабора упорядочений дуг о”нсап"ое построе ние дает единстиевный эйлеров путь, к разные наборы упорядочений порождают разные эйлеровы пути С другой стороны, для произвольно заданного эйлерова пути Р с остаточным деревом А можно указать набор уп<>ря“ииен"й дуг, определяющий этот "уть, -—упорядочение дуг, входящих в каждую вершину орграфа 1', должно бнть обратным к тому порядку, в ко тором эти дуги встречаются в пути Р. Тем самым доказана еле- дующая теорема.

Теорема VI. 20. Пусть г — вершина эйлерова ирерафа Г “ А — остовное дерево е Г, растущее 〃з г Тогда число эйлеровых путей в Г, идущих из г я г и содержащих А я качестве оста точного дерева, задается соотношением (VI. 3.1)

связного эйлерова орграфа Г, го а Г сущ<и.тоц(п хотя ./йлерив a”f>, идущий из г и г.связного эйлерова орграфа Г, го а Г сущ<и.тоц(п хотя ./йлерив a”f>, идущий из г и г.бы одинбы одинТеорема VI. 21. Если г — произвольная вершина сильно

связного эйлерова орграфа Г, го а Г сущ<и.тоц(п хотя ./йлерив a”f>, идущий из г и г.

связного эйлерова орграфа Г, го а Г сущ<и.тоц(п хотя ./йлерив a”f>, идущий из г и г.

бы один

бы один

Это утверкаенне является обращением теоремы VI 14 и следует нз теорем VI 18 и VI 20

Для произвольного орграфа Г, эйлерова или нет, через Т'(Г) обозначим число оетовннх дсрспьев в Г, пыхидящих из вершвнм г, а через Т,0')—число остовннх деревьев в Г, входящих в г.

Используя теорему VI 20, можем запнеагь чис.ю эйдероиыя путей в эйлеровом орграфе Г. идущих из г в f, в виде №，7，(Г) Более нзятиое выражение можно получить, вно“я понятие з&перова кон гура.

Ксм/уром в ou[p;i(|ie Г натыпаекя произвольная цнклнпе скан последовятельттост!, С, состоящая из разных дуг орграфа I , удовлетворяющих условию, что конец каждой дуги й из С является нячялом цуги D', идущей в С за дугой О. Контур называется эйлеровым, если в нем содержатся все дуг” из Г.

ровнх путей, „ринацлежащих контуру Сровнх путей, „ринацлежащих контуру Си виходятнх из пер-и виходятнх из пер-Нз сказанНз сказангиины г. равно полувалентности исхода последнейгиины г. равно полувалентности исхода последнейПусть Г - эйлеров орграф, в котором иет вертнн с нулевыми полупалептпостями исхода (и в котором мцожестно У(Г) непусто). Тогда нз каждого 疝крова пути Р и Г межио по лучить эйлеров контур, в котором первая дуга из Р следует за последней 八утсЯ чтого пути Обратно, если в Г задай эйлеров контур С и *т<1 优 т。ii Г существует единственный зЗперов нуги 户，паинпающнйса с дуги D, идущий по аутам контура С в направлении их ориентации и закацчипаюшийся дугой, которая в С предшествует дуге D Будем говорить, чтп такой иуть принадлежа контуру С. Очевидно, что число различных si5e・

ровнх путей, „ринацлежащих контуру С

ровнх путей, „ринацлежащих контуру С

и виходятнх из пер-

и виходятнх из пер-

Нз сказан

Нз сказан

гиины г. равно полувалентности исхода последней

гиины г. равно полувалентности исхода последней

него кыше следуе!, что каждый эйлеров путь в |' принадлежит

некоторому эйлерову контуру Применяя теорему VI 20. при ходим к следующему утверждению

Теорема VI.22. Hycih г — произвольная вершина эйлерова орграфа Г, не имеющего вершин с кулевыми полувалентно- с?к”а исхода Через С(Г) обозначим число эйлеровых контуров- “ Г Тогда (и обозначениях nj соотношения (VI. 3.1))

С(Г)= П(п,- Ц! Г(Г).(VI. 3.2)

Теорема VI. 23. Если Г - непустой эйлеров орграф, то существует целое число Т(Г). равное У (Г) “ Т,(Г) для каждой еео вершины г

вссиопьзуемсн формулой (VI 3 2) Ее левая часть отвссиопьзуемсн формулой (VI 3 2) Ее левая часть отДокаяательстио Сначала предпололким, что некоторая вершина г из Г имеет нулевую иолунале(ттттос1и исхода (а значит, и "улепую полупа.чептпость захода). Если в Г есть еще какая- то вершина, то в нем нс может быть пи одного ориентирован- наго астовиото дерева Следовательно, У(Г) = 0 н утверждение очевидно. Если же в Г нет вершин, отличных от г, то Т(Г) = 1 и утверждение опять-таки справедливо. В оставшемси случае

вссиопьзуемсн формулой (VI 3 2) Ее левая часть от

вссиопьзуемсн формулой (VI 3 2) Ее левая часть от

висит; поэтому Т'(Г) имеет одно н то *е значение для каждо" веригннн г. Далее, так как эйлеровы контуры орграфа, обратного к Г, получаются “з соответствующих контуров орграфа Г обра- ихением ориентаций)<yi и порядка нх сле.доиания, то, применяя формулу (VI. 3 2) к Г и к его обратному, по.тучаем 7"Г(Г)= =У,(Г) дли всякой вершины，□

Теорема VJ.24. Пусть I - непустой зйлерои орграф.Теорема VJ.24. Пусть I - непустой зйлерои орграф.Величину 7(Г) назовем древесной- сложностью (или просто сложностью} орграфа Г. Теорему VI 22 можно нерефорчулиро- вать теперь следующим образом

Теорема VJ.24. Пусть I - непустой зйлерои орграф.

Теорема VJ.24. Пусть I - непустой зйлерои орграф.

имеющий псришн с нуленьмн иолучалеюнистями исхода. Пусть 口,；，ti., ..., и« — есе вершины орграфа Г и полувилентнисть исхода вершины и, ран ио л, (/ = 0, 1, , п) Тогда

С（г）=我 s,-wr（r）.С（г）=我 s,-wr（r）.

С（г）=我 s,-wr（r）.

С（г）=我 s,-wr（r）.

Данный результат известен как теорема BEST. В этой аббревиатуре буквы В н Е «означают» соответственно де Брёй- иа (N. (j de Bruijn) и ван Ардене-Эренфест (Т.、an Aardenne- Lhrcnfest), koiopuc опублнковакн приведенную теорему в 1951 i (см 11]) Буквы S и Т указынаюг на Смита (С. А В Smith) п Татга (W Т. Tulle), получивших частный с пучлй зтсг<> vruep-

кгення (для п, = 2) в 1941 г, (см 111]) Перечисленные имена связаны также с ма)рмчнпй теоремой с зереньнх. которая дает формулу для величины Т(Г)

Нам ссталсси докаэа'ь обращение теоремы VI 14

Теорема VI. 25. В любом связном эйлеровом графе G суще- ствур，хотя бы один эйлеров путь.

Стнует ребро, а значит, в силу 'i enpt цикл и реберио простой круговой .Стнует ребро, а значит, в силу 'i enpt цикл и реберио простой круговой .путь Следовательно, в 6путь Следовательно, в 6Доказательство. В нетривиальном

Стнует ребро, а значит, в силу 'i enpt цикл и реберио простой круговой .

Стнует ребро, а значит, в силу 'i enpt цикл и реберио простой круговой .

путь Следовательно, в 6

путь Следовательно, в 6

есть реберн。простой замкнутый путь Р наибо.1ьшей длины $<Р) Пусть граф Н получается из С после удаления тех ре бер, которые созвечствукн дугам пути Р. Fc”n возможно, то выберем компоненту С графа Н, содержащую хс〔я бы одно ребро.

В силу связности графа G n С найдется вершина !.', ими， делтная некоторой луге пути Р Очевнпно, что С—эйлеров 1 раф, а потому (ми осиовалии теорема VI 16) n С существует реберно простой круговой путь J. идущий из в в и. Поскольку путь Р можно прсдстапить в пиде 0R, где Q путь, оканчи Бающийся в нершине и, ю QJR является реберни простым замкнутым путем в графе G. имеющим длину, большую, чем

Полученное протиоречие творит о том, что в гра©е Й нет Следовательно, Р есть эйлеров путь в гр?фе О □

Объединение теорем VI. 14 а VI 25 называют тео^спой SiUepo.

VI. 4. Матричная теорема о деревьях

Теория, прсдстаплспная в угон разделе, базируется на еле д)ющей характеризации выходящих деревьев

Теорема VI, 26. Пусть г — вышина орграфа Г, а А — его остозный, орно&раф Для того чтоб1：1 орпидграф А 6〃〃 дерево ч panущим. "з г, a«，6iod”““ н достаточно <“《 дующих условий： круговые пути е A orcyrcTeyior 〃 /кмуеахе”- ность захода вершины г о орподграфе А рщиш нулю, а “сбсА другой septatiHZ рае“а 1

Диказательстип. Пусть Д осювное дерево орграфа Г, рас тущее из г. Тогда, применяя теоремы VI I и VI 8. nonyuaev, что А де!тстпит€лыю удовлетворяет указанным условиям

Обратно, пусто А является осговным орподграфом орграфа Г, 5довлетворяк>щим перечисленным успонннм. Пусть 口一произвольная першииа в Г, отличная от г Стронм последователь-

носе (Di.Da, . ) луг opiрафа △ так, чюоьт с — MDt) it / (O(_ ) = h{D:), j>i I ели эт<( iioc.'iCAOBriTCJiMTOcrb чожег быть «дотянута до» першины г п точ смысле, что началом некоторой дуги Du в ней будет перш ина г, то, обращая порядок дуг в последовательности (Db Ds. . , DQ, покупаем путь в Л, идущий из г в и Если асе ja | V (Г) | тагов «дотянуть» до вер- шннн г не удалое!., то н построеннод последонательпости должиа найтись дуга 。“，у которой начало совпадае! с началом нско【оро& iipcAiiiccrjiyioineii дуги 〃；. Пусть Di — первая по порядку дуга рассматриваемой ноеледовате-тыюсти, обладающая опнсанннм свойство^! Гогда путь ("?,/*_〔， ., О,-,) является Крутовым п〉тем в А, что невозможно

Из теорем VI 6 и 1.25 слсцуег, что граф 0〈А} евнзен, a ni приведенных выше условий Burekaei равенство =］犷(А)|+1. Значш. U(A) — дерево Применяя теор( _ заключаем, что А есть остовиое дерево opi рафа Г, растущее

Пусть Г непустой орграф Каждой его дуге D можно cd- потапнть tipwoduuoab с|О). Обычно мы бу&ем оитать, что c(D} — действигельная или комплексная величина Используя алгебраический язык, мн чожеч определить <.(/)) как независимую переменную над кольцом ие.пнх чисел. Если А — орпол- граф орграфа Г, то иерез П|А) будем обозначать произведение проводимое,'ей всех дгт из Л Ееш в Л дуг нет, то полагаем 110)=1'

Пусть 5, о?, . , о”一перенумерованные каким-либо образом вершины орграфа Г Матрицей Кирхгофа opi рафа Г называется nX «-матрица К(Г), определяемая следующим образам t й диагональный элемент 々“ равен сучме цроводимисгей всех ауг-звеньев, входящих п вершину 场；цемент /г；-,., стоящий па пересечении (-Й cipoKH и /-ю столбца (при i =А/|, равен взятой со знаком минус сумме проводимостей всех дуг орграфа Г, выходящих цч вершины ；；.■ к «ходящих в вершину 〃 Очс видно, что при посгроепии матрнпм К(「)дугич^тли не рас- сматривнются Из лрииечеписи а опредепепня непосредственно следует, «ю

detK(r)= O.

Нели г — чертнна орграфа Г, то через К-Т) будем обозначать подма1рцц> чатрипн К(Г)> получающуюся из нее после вычеркивания совбца и строки, соответствующих зт。* чер- шине г. Положим г = о,, и выясним, как разлагается det Л (Г)

Если е ；> 1, то нз свойств определ итслей следует, что detK；•⑴一(?、N ® bs)&i/2a …々s-»s, (VI. 1 3)

где (а, 6, .., s) — произвольная перестановка множества {1,2, ., zi— 1} н N(a,bs) равно 1 или — I в зависимости от того, ЧЁ1НОЙ или печетиой является перестановка <а, 6, . , s), ГГроизпеденис h、*li2b ..財“т” назовем ишщиалъ ”“м произведением данного разложении. Всякое гакое произведение строится из л—I членов матрицы К,(Г), взятых по од hqmj на каждой ее строки и каждого ее столбца

Любое инициальное произведение можно записать в виде PQ, где Р — произведение сомножителей 电》, являющихся диагональными элементами матрицы К,(Г), a Q — произведение остальных (недиагональных) злементсв Если в произведение Q “хо】"т хотя би один сох, ножи тель, ю оно единственным образом может быть разложено на так называемые циклы Цикл представляет собой произведение вида к*昧盹£«

..hg1M, где индексы а, р, ..,, (i, v все разине Для произвольного инициального произведения X через ?(Х) и g(X) обозначим соответственно число всех циклов и число циклоп четной длины, содержащихся в X. Лю ко устанавлнваегсн, чю коэффициент N(a,b, .. , s}, стоящий перед Л, равен 1 или --1 и зависимости or того, четно или нечетно число д(,(Х)

бипации произведепий проводимостей. Тогда det К, (Г) = £ М (△) Н (А),бипации произведепий проводимостей. Тогда det К, (Г) = £ М (△) Н (А),Предположим, пто каждый элемент /,/ записан через прс・ водим ости п что detK,(r) представлен в виде линейной ком

бипации произведепий проводимостей. Тогда det К, (Г) = £ М (△) Н (А),

бипации произведепий проводимостей. Тогда det К, (Г) = £ М (△) Н (А),

соотвегствуютаясоотвегствуютаяподграфу 厶 целочисленная величина, знапе-подграфу 厶 целочисленная величина, знапе-мы должны пай1 имы должны пай1 игде Д — произвольный остовный ор1)одграф орграфа 1', a ,V(A)——

соотвегствуютая

соотвегствуютая

подграфу 厶 целочисленная величина, знапе-

подграфу 厶 целочисленная величина, знапе-

мы должны пай1 и

мы должны пай1 и

Если величина W (Л) отлична от нуля, то произведение ГТ (А) соответствует одному или иесколъюш ииициальным произведе нннм X. &то значит, что произведение П(Л) можно полуинт», беря ровно по одной проводимости нз кажазо сом ножителя 总；；， принадлежащего ироизнедепию X Для осуществимости i а кой ситуации полувалентность захода вершины г в подграфе А долж),а бит“ рашта нулю, а любой другой першины - единице Значит, мы можем считан,, что суммирование в соотношении (VI 4 4) ведется только но гакнм остовным ориодграфам Л. Если П(Д) соответствует в указанном выше смысле иннциаль- ному произведению X. то мы будем говорить, итс П(А)的卩〃比・ дается X

Через X。обозначим инициальное произведение, равное произведению диагональных элементов из Л,(Г). Покажем, что всякое П(Д), входящее в соотношение (VI.4.4), может быть порождено Хо. Если П|А) порождается каким-либо другим X, то проводимости, взятые из произнольвого цикла произведения X, должны соответствовать дугам некоторого кругового пути в орграфе Л. Применяя теорем》VI 26, получаем, чти если Д —дерево, растущее из г, то П(Д) порождается только ,¥и. Отсюда следует, что N{A}= 1.

В оставшемся случае А содержит хотя бы один кругоной путь Значит, П(Д) можег быть порождено таким и только ia- кнм инициальным произведением X. в котором каждый цикл соотнетствует какому-либо круговому пути в А. Круговые пути в орграфе Л определяют ； различных контуров (f>0) с попарно непересекающимися множествами вершин Тем самым опредсл ястся мпожестао 7", состоящее из f таких циклов, что П(А) может быть порождено произведением X тогда н только- тогда. когда циклы из X образуют подмножество множества 7 В частности, X может совпадать с Хо Предположим, что в таком X содержится j циклов Поскольку проводимости, берущиеся из недиагональных зпементов матрицы К,(「)，имеют знак минус, то вклад, нносимий произведением X в коэффициент М(А) из соотношения (VJ 4.4), равен (—1)' Принимая во внимание, что существует только одп(> X, у которого циклы янляются произвольными заданными у элементами из 7, имеем

м ⑴-£(：)lD' =(1 —1)' = °・

Таким образом, мы приходим к заключению, что соотношение (VI. 4.4) остается справедливым и тогда, когда в качестве Л

берутся лишь остовнме деревья орграфа Г, растущие из г.

каждое Д'(Л) полагается равным 1.

изменятся, а следов ательно, нстип-изменятся, а следов ательно, нстип-Выясним теперь, не влияет ли на величину (let S,(Г) ”н- бор нумерации зершцп орграфа Г. При новой щмерации вершин в каждой матрице Л(Г) и К，(Г) произойдет только псрс- становка строк и такая же перестановка сюлбиои Значит, еп

изменятся, а следов ательно, нстип-

изменятся, а следов ательно, нстип-

в его новой форме, когда суммнр。- деревьям, растушнм из г, действи- совпадет г с и“ или нет. Суммируяв его новой форме, когда суммнр。- деревьям, растушнм из г, действи- совпадет г с и“ или нет. Суммируяределители этих матрн，1 пе ность cool ношения (VI. 4.4) ванне ведется по о стопным тельци нс зависит от того,

в его новой форме, когда суммнр。- деревьям, растушнм из г, действи- совпадет г с и“ или нет. Суммируя

в его новой форме, когда суммнр。- деревьям, растушнм из г, действи- совпадет г с и“ или нет. Суммируя

полученные результаты, приходим к следующему утверждению.

теорема。деревьях) Есш г 一К(Г) построена для произвольмгтеорема。деревьях) Есш г 一К(Г) построена для произвольмг

теорема。деревьях) Есш г 一К(Г) построена для произвольмг

теорема。деревьях) Есш г 一К(Г) построена для произвольмг

Теорема VI, 27 (матричная вершина орграфа Г и матрица

выбранной нумерации вершин, то

det К,(г) = Г 11 (А),

где суммирование еоОе/сл ло всем остовныч деревьям А орграфа Г, растущим "3 г

Если I оиорить точнее, т。мы доказали эту теорему ю.иько

для случая “А 1 Однако мы можем распросгранить ее

случай n = 1, ПО71ОЖИ1： определи гели О X О-матрнцы ранным I

Посмотрим, каков будет результат, когда каждая проводимость г(〃)рагша I Матричная теорема о деревьях утперж^ает,

厂 T) = dctK,a‘).(VI.4.6)

Далее, применяя эту формул； к орграфу 1", являющемуся обращением орграфа Г, получаем

厂(r)= detK,T').(VI. 4.7}

Таким образом, числа 7(} и Г,(Г) межио найти, bkuhceiu определители

Между матрицами К(Г) и КТ) даже в случае "роизвопь- ннх пронодимос1е1, сущестнуе! несома большое сходстве Пер

вая из ннх может отличаться от матрицы, транспонированной ко второ% е.чьк。диагмтальпыми здемепча^п В Maipnuc К(Г) диагональные элементы выбираются так, чтобы суммы элемен

тов, стоящих в любой строке матрицы, были равни нулю (ем. соотношение (VI. 4.1)). У матрицы, транспонированной к матрице К(Г'}, должны быть раины нулю суммы элементов, стоя-

щих и ир<>изк(1и1ыюм стопбис Maipnuaрицей, транспонированной к матрице

тогда, когда проводимости 4Vi орграфа Г удовлетворяют сле-

дующему условию для каждой вершины 厶 сумма "рсвсднмс- стей 丄yr-звенье% ьходятци' в и(, ра“”а сумме проводимостей

,1}，зпеньев, пыходящпх из。“

В случае единичных проволнмоетеН у всех “}г орграфа Г

сформулиропаиное у(аф Г эйлеров. В

4.7) следует, ■1.6) и (VI -

такой ситуации из соотпошепнй

что /'■(Г)= У(Г) На <а，

легко выводится вся теорема

тных свойств опрелелпгелей3 Таксе доказательство тео-

ремы VI 23 при1!едено. например в работе [12|. Объединяя матричную теорему о /!ерепг,пч с теоремой VI 2.1, получаем следующее утверждение

ема VI, 28. Пупь Г - непустой ^илерои <>р,：ра巾.7“<i"? сад нескую сложность Т(Г) можно найти, fcnoAbatin следующую прсмеВурд，сначала строится .”“rpu“〃 K“pw。◎“ K(D

с единичными npoeocliijuonями dye, .затем из нее у@“〃”5<'“ произвольная строка и столбец с таким же номером % наконец, вычисляется определителе получившейся матрицы.

>" — 0，X 々尸 °>" — 0，X 々尸 °Разовьем соответствующую теорию и для графов, Сопоставим каждому ребру 4 непускцо графа G ировадичость “А}. Пусть Ир и2 уя — занумерованные каким-либо образом вершины графа (i. Матрица Каркеофа K(G} графа G оцреде- ляется так. i-й диагональный элемент &； рапен сумме проводимостей всех звеньев, инцидентнмх вершине е,; элемент В* стоящий на пересечении 7-й строки н 卜го столбца (i W J], равен взятой со знаком минус сумме проводимостей всех ребер, соединяющих нершипи 口, и。/. Очевидно, ue uaipuna К(С) симметрическая, Кроме того,

>" — 0，X 々尸 °

>" — 0，X 々尸 °

detK(G) = O.

Для произвольной вершины г графа G иерез KjG) будем обозначать подматрицу матрицы K(G), получающуюся после удаления строки и столбца, соотпстствутщих перш ине г

Рассмотрим граф G совместно с эквивалентным ему орграфом Г. Каждой дуге орграфа Г. зссоциированной с ребром 1 графа G, припишем проводимость с⑷ Toja матрицы K(G) и К (Г) совпадут

Если Н—под]раф графа G, 1。иерез 11(H) обозначим произведение проводимостей всех ребер из 〃 Объединяя тес- рсмы VI.5 ii VI 27, иолучпсм следующее yiue]i)K«eiine

длч произзсАьн。выбранной нумерации вершин, то def Kr(G)=?IW).длч произзсАьн。выбранной нумерации вершин, то def Kr(G)=?IW).Теорема VI. 29 (матричная теорема о деревьях для случая графов). Е<〃“ г — вершина графа G к матрица K(G) построена

длч произзсАьн。выбранной нумерации вершин, то def Kr(G)=?IW).

длч произзсАьн。выбранной нумерации вершин, то def Kr(G)=?IW).

ede гуммирование ведется ;и вегм остоиам Т графа G. Тикам айраном, для единичных проводимостей detK,(G) = 7(G). (См разд II 2.)

Следующий результат представляет собоЛ знаменитую те。- рему Ка"н 网

Теорема VI. 30, Ес nt G- некоторая п-ыика, 2dо "》2, т。

7 (G) = “"-2.

Доказат^лъстии В vaipnue K，(G) каждый диагональный злеменч равен п——I, « каждый псдиаюнальи/.ш з.темснт есть

—1. Вычитая первую строку из всех остальных, а затем деля каждую из п — 2 строк, кроме первой, на число ”，приходим к матрице М, имеющей следующее строение: первая ее строка совпадает с первой строкой матрицы К,(<2), а в камдай из остальных строк первый элемент равен —I, диагональный равен 1, а любой другой — нулю Прнбавин к первой строке матрющ М все остальные строки, получаем матрицу, определитель которой равен 1. □

VI. 5. Законы Кирхгофа

Снова будем рассматривать непустые орграфы с приписанными нх дугам проводимостлми Орподграфы графа Л, ссог- ветствующие компонентам графа Ь(А), будем пазыватг. компонентами орграфа А. Орграф Д пазннаетсх кратным растущим (или кратным выходяи^им} деревом, если каждая его компонента является растущим из некоторой вертннн деревом. Если число компонент равно 2 или 3. то мн будем говорить о двойном или тройном дереве

Будут использоваться обезначення, аналогичные с.течук>

можно упорядочить таи, чтобы при。можно упорядочить таи, чтобы при。Заесс в угповнх скобках расположена разделенные запятыми группа букв Если число таких групп равна R, то 3 означап «разверн》тую» сумму ироичнедрций Ц (Д), составленных ич проводимостей и взятых по всем остовным 自-кратнзм растутнм деревьям Л ортрафа Г буквы, 1'одер?кащнеся в угловых скоб ках. обозначают вершины орграфа Г. Такое дерево Л вносит вклад в сумму S тогда и только тогла, когда его компоненты

можно упорядочить таи, чтобы при。

можно упорядочить таи, чтобы при。

нента вк.чючала все вершины, вхоа^ыше в g 1。группу Сукв из S, и являлась деревом, растущим гз вершины, обозначенной первой буквой дайной группы Мн обычяо Пу“ем ишересопагь- <я лишь jbvm4 простыми сличаями — такими, как 〈а, Ь〉и 〈“>:,{>"〉 В первом из них S является суммой прои.!ведеггий, составленных из преппммостен и вз，иих но всем о стопным дпойпым деревьям орграфа Г, растущим из я и 6 Во вторим cnvqae S определяется абсолютно ana,'ioi ицно, но только компонента двойною дерена растущая из вершины % должна содержать вершину х, а р<ктущаи ，п 5 должпа включать вершину у.

Оп!1|Исм теперь некоторые правила опеонровання с снив”- лами S задавасмычн выражениями вилл (VI 5 1)

Теорема VI.31. Если в S некоторая першина и содержится е двух различных группах буке, го S = 0 Если н S какая-либо яершина а> “хоЗг" не менее двух раз а некоторую группу букв, 1。все вхождения буквы да в 37g группу, кроме первого, можно удалить и значение S при этом не и,1ченитсч.

Теорема, VI.32, Пусть и -произвольная вершина орграфа Г. У срез 5, (и) обозначим выражение, которое получается из S после добавления буквы и в качестве последней буквы j d группы букв. Тогда

$ К工，(0).

Оба этих утверждения следуюг немедленно из введенного определения н того факта (для теоремы VI 32), что зершипа и принадлежит какой-нибудь компоненте каждого остовного ор- под1рафа орграфа Г.

Д.1Я произвольных вершин a. t>. х и у орграфа Г положим

Эту величину будем и азывать транспедансом орграфа Г. Трапс- псдянс выражения [ab, ab] называется импедансом,. Из теоремы VI 31 и соотношения (VL5 3) вытекают следующие тождества.Эту величину будем и азывать транспедансом орграфа Г. Трапс- псдянс выражения [ab, ab] называется импедансом,. Из теоремы VI 31 и соотношения (VL5 3) вытекают следующие тождества.[а&, ху\ — (ах, Ьу} — {ау,匕丫〉.(VI. Б.З)

Эту величину будем и азывать транспедансом орграфа Г. Трапс- псдянс выражения [ab, ab] называется импедансом,. Из теоремы VI 31 и соотношения (VL5 3) вытекают следующие тождества.

Эту величину будем и азывать транспедансом орграфа Г. Трапс- псдянс выражения [ab, ab] называется импедансом,. Из теоремы VI 31 и соотношения (VL5 3) вытекают следующие тождества.

[аа, ху\ = [«6, х" = 0,

[ab, ху\ = - [6% ху] = - [ай,"],

[3, аЬ] =〈а, &),

Г|рименяя теорему VI. 32, получаем

〈ал, Ь) = (ахц, 6〉+〈а巧 by)

色/, *) —<аед &) •!-〈砌 be〉.

Значит, выражение (VI, 5.3) можно переписать так: [ab, ху\ = {ах, 6〉一〈旳.圾

Теорема VI.33 (второй закон Кирхгофа). Трансподансы орграфа Г удовлетворяют условию транзитивноенс.

[ий, ч/] + [а瓦闷—[а瓦 xz|,(VI. 5 8)

Утверждение следует из соотношения (V! 5 7)

Теорема VI.34 |первый закон Кирхгофа), Транспедант орграфа Г удовлетворяют следующему тождеству

W [曲，f (D)川 c(D)==⑷6(瓦 у) -е〉6(а, у), (VI. 5,9)

где суммирование ееВетсм п。всем таким дугам D орграфа Г, для которых h (2?) = у.

Здесь〈а〉и〈〃〉一символы типа (VJ 5 I) «Вкладчиками® символа <й> являются остовные деревья орграфа Г. растущие ич нершины а. Выражение 0(&, у) равно I, если D < 〃，н равна О н противном случае. Нз тождества (VI.5/1) следует, что вклад, вноснмь14 в сумму всякой дугой петлей, равен О

Доксиательаво теоремы VI 34. Можно счи-iaib, чго а ¥= 6,

так как в противном случае справедливость соотношения (VI 5.9} очевидна

Принимая во внимание

сае -геную uzsb выражай

5.3), мн можем запи-виде разпссм Р Q,

Р = £®6,Ьу"6 Q= >@J»(D)〉c(D). (VL5.M))

Сначала рассмотрим случай, когда

ремы VI 31 левая часть соотношения |V1 5 9) равна Р = E〈a“D)"〉c(D)

В силу тео-

Если к двойному дереву Л, вносящему вклад в〈af(D),»〉，мн прнсоеднинм дугу D (см. рис VI 5 1), то получим остовиое дерево opi рафа Г, растущее нз вершины а (см теоремы VI 2 и VI 28) Обратно, если мы имеем такое оеговное дерево, то в нем cymcci'Hyei топг’ко оика дуга, входящая в иермни» b (в силу теоремы VI 26), и удаление из него дуги D дает дерево Л, шюсяике вклад r (at(D), &> Гаким образом, в данном cjy”ac левая часть соотношения (VI 5.9} равна〈а〉.

Для обоснования доказываемого утверждения в ел; чае 乡=а достаточно в приведенных рассуждениях и и 6 поменять

местами, ибо, как следует из сцречепенкя снмпла S,

(ay, W(O))^(W(D), “D

В этом случае левая часть соотношения (VI 5 9) равна —Q

В оставшемся случае у птлиинп ег а н Ь. Всякое дерево Г, □иосяшее вклад в <a/(D), by), имеет две компоненты -оама

мпонента

X).

а другая (компонента

растет из вершины а и содер*Н1 вер-

еу"(ествует только одна дуга

У) растет из b и содержит уа Е, входящая и вершину у.

Уда 1|яя £ из У, мы «разбиваем» У на два “ерева —с“н。，ле-

рево Уь растет из й i >2, растет из у (см i дугу О, то деревья X

и включает вершину г(Е), другое, дерево теорему VI. 3). Если геиер：, прщоедииигь

匕 соединятся в одно дерево, растущее

из а и содержащее у (см рис. VI 5 2) Итак, мы лреобрало-

вкладчика Т во вкладчика

вносящего вклад

〉，т с, ниыми словами, «складчика Г в сумму Р»мнревапн во «вкладчика 厂 п сумм、Q». Лиалт ич

можно преобразовать вкладчиков в сумму Q во

вхпаннксь н сумму /'. Нами уоанонлено “，м самым сутестви-

ванне такого взаимно однозначного соответствия между вкладчиками в Р и вкладчиками в Q, при котором соответствующие друг другу двойные деревья вносят адшнаковие икладь, и Р н Q. Следовательно, в рассматриваемом случае левая часть выра-

жения (VL5.9) равна Р — Q = 0 Теорема “сказана □

Теоремы VI. 33 и VI 34 — это не совсем законы Кирхгофа для cifiibiuHtJX электрических цепей, хотя мы надеемся вскоре пред ставить эти георемы как их простое обобщение. Тем не менеа

сейчас удобно ввести некоторую «электрическую» гермнн。

Логню.

Вулем говорить, ЧТО вершины а и 6 орграфа Г пибраны в

качестве лолисое. соответственно w южите^ьнога и отрици-

тельного (здесь аВЬ) Из теоремы VI. 33 следует, ito при таком выборе полюсов с каждой вершиной г мн можем евн-

зять некоторый потенциал У{х) так, чтобы 伍瓦 ед| = V (х) - V (у)

для гюбых' вершин х, g нз Г. Потенциал можно задать произвольно только в одной вершине нз каждой компоненты opipa- фа. В оеталыгых першинах 11отенци<1лы определяются однозначно соотнетствующими трансиедансамн (в сипу (VI 5 11)|.

паданиих полюсах мн можем толковать транспечанс

каклййение напряжения между х и у

При фиксированных полюсах а и & ： ляется следующим ннражеинем:

[аб, *D)/i(D)Jc(Dh

"НСС, ОТ V ft у).初ее D опреде-

Если D — дуга-петля, то ток в ней равен 0. Первый закон гласит- сумма токов во всех дугах, входящих в любую заданную вершину X, отличп}-ю от а и &, равна 0. Соответствующая сумма в вертннс а равна —〈3〉，а в аертнне & равна (.;> Для

«выравнивания токоп» r

этих псршинах мы будем говорить, что

втекает в орграф 1’ через вершину “ и 1ок <«) пыге- Г через вершит1 6 Заметим, что ток, втекающий в Г

через а, н:и)йще iсворя, не равен току, пнтекаютему через 6： •это нв.чяется отклонением от обычных законов а.чектрическнх цепей

Известно некоторое обобщение матричной теорема。деревьях, пошоляющсе вмразит!, транспсдансы через определители. Из (VI.5.9}, учитывая соотношение (VI 5 11), полуиасм следующие лилейные уравнения для потенциалов:

£ (У (f (D)) — У (у)) с (D| =⑷ 6 (仇切-⑹ б (a, у}.

Запишем их в обозначениях из разд VI 4・

2 %V (Uj)=(6)6(u, %)—⑷6s.办)，i = 1, 2n. (VI 5.12)

Для упротенн” рассмотрений положим а

Кроме того, мы можем сразу же понизить число неизвестных, полагая V(u,) = 0, н отбрость м-е сравнение Получаем систему из 〃一1 линейных уравнений с л—1 неизвестными ио- ченциаламн Ее матрицей является матрица КЬ(Г). Данная си

стема имеет единственное решение тогда и юдько пя-да, когда detK»(l')#O Это условие выполняется (см. теорему VI 27), в Г существует о сгонное дерево, растущее ит 6 (пне за

висимости от того, какие взяты проводимости произвольные или единичные) Следовател1.но, указанное условие будет иметь

Рис VI 5 3Рис VI 5 1

место, если в Г существую] uyiH, идушне из вершины ft в любую другую вершину (см теорему VI 18} По правплу Кра・ мера V(v,) при i # п равно ajii ебраическому дополнению зпе- мента &, в матрице К“Г}

возьмем соответственно вершины Iвозьмем соответственно вершины IРассмотрим, например, орграф, изображенный на рис VI 5 3

возьмем соответственно вершины I

возьмем соответственно вершины I

и 4; проводимости всех дуг единичные. Тогда

Примсняя матричную теорему о деревьях, находим, что

I I '• О III ') (И

<<?}= -12 0 ' = 4,(й>= -1 I 0 =2.

II -t -1 2)

Так как〈力 отлично от нуля, то иогенииалы можно bi.imiil.ihi i. по правилу, сформулираваптюму выше. Имеем

1/(%)=-|

，®з) = |「；」| = 2, Hi

реввпх проверяется непосредственно. Сооткетствуюп(ссреввпх проверяется непосредственно. Сооткетствуюп(ссраспрераспреТрапспедапсы при выбранных полюсах можно найти, но пользуя формулу (VI.5.11).Для такого простого орграфа сира педливоегь cooTimmermij (VI.5.3) и матрпчной теоремы о де-

реввпх проверяется непосредственно. Сооткетствуюп(сс

реввпх проверяется непосредственно. Сооткетствуюп(сс

распре

распре

Здесь через вершин》а = равна 2, а через вершину ЬЗдесь через вершин》а = равна 2, а через вершину Ь5 втекаег ток, пелнинма которого =口, вытекай! гок величины 4 При5 втекаег ток, пелнинма которого =口, вытекай! гок величины 4 Приделение т“К0" 1，чадаппом орграфе показало

Здесь через вершин》а = равна 2, а через вершину Ь

Здесь через вершин》а = равна 2, а через вершину Ь

5 втекаег ток, пелнинма которого =口, вытекай! гок величины 4 При

5 втекаег ток, пелнинма которого =口, вытекай! гок величины 4 При

рассмотрегши токов, приведенных на рис VI. 5.4, естественно позннкает жеманне hy нее разтелнтв на общий множитель 2

Тонн, которые мы определяли выше

часто называю，юками, образу

(при выбранных полюсах),

//ос。а а поаюе &. Если все зтн (полные] токн умножаются на одну и ту же константу, и> "случается некоторый поток “з а 0 й При этом произнеденне каждого полного гока на взятую константу иазывают током релу.пьтир/инцего потока В тем случае, кзда полные юки являются целыми числами, деление каждою нз ннх на их наибольший общин делите.чь дает 卩士包- Чарованный поток из а в Ь.

Пусть Г — эйлеров орграф с единичными

Если “penecua" сложность 7 (Г) отлична

проводимостями

от нули, го c”rnei-

ствующая система линейных уравнений (VI.5.12) имеет единстве,шое решение при любом выборе полюсов Ьолес того, ток, втекающий через положительный полюс, равен току, вьпекаю- щему через отрицательный полюс (см теорему VI. 23). Заметим, что древесная сложиооь Т(Г) отлична от 0 югяа и только тогда, когда орграф Г сильно связен (см. 1еоремы VI 14, VI 18 U VI. 20) Существует несколько интересных взаимосвязей ме- жд}- полными потоками в орграфе 1' и в обратном к нему орграфе Г' В силу теоремы VI. 23 Г (Г7) = Г (Г) Так как матрица К(1") я Rd яется 1'ранс1ю1тированиой к матрице K(I), 1о имледансы [at>, а/>| у орграфов I' н Г" совпадают.

Зажмемся построением анааогнчноН теории для графов Пусть какдому ребру А графа 6 сопсставзена проводимость с| 1). Пусть 5, ., и — каким либо образом перенумеронан ные вершины графа G. Снмвоп S иида (VI 5 1), содержащий 先 групп букв, 6yaei генер» означать еумм, мронзззенмА проводимостей, взатнх по нсем таким остовным подграфам графа G, которые состоя, ровно из 左 компонент 1 акий подграф вноси; вклад в сумму S тогда и только тогда, когда его компоненты можно упорядочи!I. 1ак, ”го6н д” комгюнента вкнзиа/а нее

вершины кз g 立 группы букв, входящей, в S (д

&)•

Рассмотрим эквипалситний оргряф Г графа G. Каждой дуге Оргвафа Г, ассоциированной с ребром А графа 6', принитем проводимост!. с (А) как в разд VI 4 Связь между теориями для орграфов Г и ipa小。в G усчананннваетсн с^едчощей тео ремой

Теорема VI. 35. Значения символа S вида (VI.5.1)，”" орграфа Г w графа G сое лазают

Докмательстпо Вкладчиками в S для орграфа Г являются ориентанты выадчикок в S 4nH 1рафа G. При атом всякие два соответствующих др》г другу вкладчика (для Г и G) имеют сгшиада ющие проичведечпя прочодимлетей. Более того, v любого вкладчика в S для графа G существует сдинстпеипый

орнентант, нпляющийсл вкладчиком в S для орграфа Г (см. теорему VI.4). □

Теперь мн можем определить траиепедансы и потенциалы доя графа G' опн такие же, как у орграфа Г. Мы уже видели, что матрицы Кирхгофа у графа G и орграфа Г одинаковые Одна и та же у них и алгебра, базирующаяся на соответствую- тих енмнолах S. Различны ю„|ько интерпретации зтнх символов

Можно cuhi&u，, что дне ду!н, ассоциированные с ребром А графа (?, определяют на это у ребре 」ве противоположные ориентации. При заданных полюсах ток, текущий но ребру н одном наиранленнн. яплястся отрицательным по отношению к тоху, текущему в противоположном направлении (см ссотпо- шенне (VI 5 5)п опреаеленпс тока) Теорема VI. 31 теперь превращается в обычный первый закон Кирхгофа. Она г.часит- сумма токов по всем ребрам, шщидентым произвольной вер- ш^не х графа G, отличной от по.чюса, равна нулю. Очевидно, что символ〈“〉имеет ot.hu и го же значение для всякой вер- wi：iп.ы а 1рафа G. С.1едовател1>но, в силу теоремы VI 34 ток, втекающий в G через положитечьиып “о“юс, равен току, вытекающему из G через отрниательный полюс

Приведем теперь "еско.чько теорем о транспедансах для графов, которые на орграфы, вообще говоря, не переиоеят< я.

Теорема VI, 36, Л случаи трофее символ 5, определяемый формулой (VI 3 1), «е меняет своего значения ”р“ ператаноею: букв “ 1ю1>ий ее。группе

Сприведливость этого утверждения слсдует из определенпя символа S для графа первая буква в любой группе букв уже ”е рассматривается как корень растущего дерева

\аЬ, ху\ = [xi/.砌.Утверждение шлекает и， формулы |V1.5.3) ремы VI 36\аЬ, ху\ = [xi/.砌.Утверждение шлекает и， формулы |V1.5.3) ремы VI 36Теорема VI, 37, Транспедансы графа удовлетворяют следующему тиМ'деству

\аЬ, ху\ = [xi/.砌.

Утверждение шлекает и， формулы |V1.5.3) ремы VI 36

\аЬ, ху\ = [xi/.砌.

Утверждение шлекает и， формулы |V1.5.3) ремы VI 36

Теорема Vi. 38. Тринст-дансы графа удовлетворяю! следую- «<"му тождеству

2 [ab, л/у| - [ay, aii\-\-\bx, &г] — [ах, ат) — [by, by}. (VI. 3.14}

Доказатеабстпс Используя теоремы VI. 33 и VI 37, приходим к равенству

[“А йх] — |а瓦 Sa] + [ab, ax],[ab, &x] = [ax,匕*]十[tfi, Ax],

:* V/。0，p0力g ц nvi"

Ск“"“ы"ая >1” равенства н умнтивая еошношение (VI 55), получаем

2[аЛ, 6х] •= “ orj +]<гх, йс] — [«&, аЬ\ [&х, &х].

Применяя еще раз теоремы VI 33 и VI 37, имеем

2[а〃，Ьх] = |</х, ах] — [nb, об]—也г, 〃х]. (VI.5.15)

Заменив зчесп х на у, вычтем из левой н припой частей полу чившегося равенства соответственно левую м правую части формулы (VI.5 15) После этот п;жио носиользоватц-я ieopc мой VI. 33 □

Мы видим, что 1рансиедансы графа можно выразить через его импедансы, а значит (см формулу (VI.S.6)), через соот- ве1ству2Шне ему символы вида《“ и〉

V7.6. Отождествление вершин.

Пусть 5 =(й1, «2. . ,。《｝—подмножество из t различных вершин opi рафа . Г (А > 1). Мы можем построить новый орграф Г', отождествляя между собой вее элементы из $ Орграф Г* состоит по определению из тех же самых дуг, которые содержатся в орграфе Г. и из iex же самых вершин, кроме вершин, входящих в S и заменяемых на одну новую вершину а У каждой дуг” и орграфе Г' начало и коне” гакме ле, 2K п орграфе Г. кроме тем начал и концов, которые принадлежат 5.- пин заменятся на вершину а

Если Л — остоввыи орподграф орграфа Г, то ппсле отол- дестпления веришь, образующих множество S> пол\'чаетея осговный ириодграф \' орграфа「'

дая компонента орграфа А является деревом, растущим из ответствующей вершины множества S.дая компонента орграфа А является деревом, растущим из ответствующей вершины множества S.Предположим, что А есть ft кратное растущее дерево, у ко юрою кардан компонента содержит ровно одну нершину из S и растет именно нз этой вершины Тогда в силу георемз IV. 2Й граф Е/(А') является деревом Следовательно, на основании теоремы VI 2 орграф А' сеть дерено, растущее на нершикы и Обратно, сели А' — такое растущее дерево, то из соотношения (1.6.1) вытекаем, “го граф G(A) "меет не мспее 用 komi.ioiiciit, причем каждая из ннх обязательно содержит вершину нз S, так кап в противнем случае опа (компонента) являлась бы компонент^ в ipa^e U(A') Значки, 1раф S.A) состоит ровно н" А компонент и в клждой HJ них — в точности однл верш НН<1 из S ИспОиЧьзуя форму.и (1.6 1), заключаем, чго "(А)—лес я п нем « тереп|,св Следовательно, в силу теоремы VI 2 клж-

дая компонента орграфа А является деревом, растущим из ответствующей вершины множества S.

дая компонента орграфа А является деревом, растущим из ответствующей вершины множества S.

Пусть всякая дуга D имеет в орграфе Г' такую же прово- знмость с(/))> как и п орграфе Г (огда приведенннй только qro результат можно выразить с помощью формулы

4〉3〉',4〉3〉',

4〉3〉',

4〉3〉',

где штрих указывает на то, qio символ относится к орграфу Г'.

Продвинем теорию, развитую в разд. VI. 5, несколько да тыне. Пусть К(/, /) — матрица, по“уиаю"(а"сн из К(Г) вычеркиванием i-й строки и /-го сго.тбна, K"j, ta| — матрниа, получающаяся из К (Г) после удаления г-й и j-й строк (i Ф /) и (-го и m-ro столбцов |/ т) и i. д. Тогда

detK(i, j) = (-1 产«%〉,detK(i, j) = (-1 产«%〉,

detK(i, j) = (-1 产«%〉,

detK(i, j) = (-1 产«%〉,

В самом деле, при j = i это утверждение совпадает с теоремой VI. 27. Если же / # i. то прибавим к i-MV столбцу матрицы К((,/), т е. к столбцу, соответствующему вершине % все остальные ее столбцы Полуннтся матрица, у которой вместе стоявших раньше элементов 纟“ будут стоять (в силу равенства (VI 4.1)) величины —屍；Совершая в этой матрице |/ — f|- I «последовательных» перестановок соседних столбцов, мы мс жем прецбразовагь ее в матрицу X|<. г). Для получс(тия соотношения (VI 62) теперь А“сгатоинс причеттить теорему VI.27

HB“xeiex алгебраическим дополнением элемента S К» (Г), г. е. матрицы К (и,及).Итак, если i ^ л, то[。队，и,。”] =(-- l)+ detK(l"/&.Э^а формула может быть обобщена так:匕%, 0,口力-=(-1)…"*|dctKU〃. ")，HB“xeiex алгебраическим дополнением элемента S К» (Г), г. е. матрицы К (и,及).Итак, если i ^ л, то[。队，и,。”] =(-- l)+ detK(l"/&.Э^а формула может быть обобщена так:匕%, 0,口力-=(-1)…"*|dctKU〃. ")，При решении системы (VI 5 ⑵ допустимо считать, что l'(u,J = Q Значит, в сипу соотношения (VI.5.11) 也％, у,-ия)

HB“xeiex алгебраическим дополнением элемента S К» (Г), г. е. матрицы К (и,及).Итак, если i ^ л, то

[。队，и,。”] =(-- l)+ detK(l"/&.

Э^а формула может быть обобщена так:

匕%, 0,口力-=(-1)…"*|dctKU〃. ")，

HB“xeiex алгебраическим дополнением элемента S К» (Г), г. е. матрицы К (и,及).Итак, если i ^ л, то

[。队，и,。”] =(-- l)+ detK(l"/&.

Э^а формула может быть обобщена так:

匕%, 0,口力-=(-1)…"*|dctKU〃. ")，

величинывеличиныгде ,V『 При / = г; смтяошеяне (VI 6 +) просто еовааааег с (VI 6 3) Если же /方"，то формулу (VI 6.4) можно доказать следуюитм образом. К последнему столбцу матрицы K("i.〃)Прибавим вес остальные ее столбцы Получии-я мат- рниа, у которой вместо сто；1вших ранхие з.теменгов 克％ будут стоять (и си» равенства (VI 4 1)) величины -友” —&• Зна-

величины

величины

det К (It, tj) = — del 4 — del 4/,

где матрица 4 (магрица Л() строится из матрицы К (in, /;) заменой каждого элемента 耳“ п последнем Столбце на соот- ветств^-ющий элемент 月“(на элемент 瓦力.Псрестанпяя подхо-

дя11|им образом столбцы, находим, чтодя11|им образом столбцы, находим, что

дя11|им образом столбцы, находим, что

дя11|им образом столбцы, находим, что

det 4, = (— Ijf ' del К (I “，“U，

det .% = (— 1 严+idetK(l〃. /п).

Отсюда следует, “то

(-1 严+'+'detK(m, 〃)=

=(—1У det K(l”，m) 'I- (-- 1/ 1 lde[ Д (Ira, in) ： n -【5。“，。产，J + l^^^л■—

=[口1%，0闷

(см. соотпоигения (VI 6.3) н (VI. 5 Н))

Таким образом, формула (VI 6 4)〔сказана Мз можем распространить ее на случай, когда t А/； вводя символ “(р, д), где р н g — различные целые числа Полагаем o(p,q) = 0 при f>Vg и о(р, I?) = 1 при р > д. Обобщение формулы (VI. G.1) достигается путем прибавления величины а(；, /) к показателю степени у —[. Можно предложить более широкое обобщение формул (VI. 6 3) и (VI 6.4)

о闻=(一，detK依儿 〃)，(VI.6.S)

где & * 九 “ j и

« = g + h + i-^ i + olg,h) + a(i, /).(VI.6.G)

Для обоснования этого соотношения заметим, что при изменении здексоп у двух послсдователып,1х вершин может, самое большее, измениться только знак в обеих частях 巾ормут” (VI. 6 5) Значит, соотношение (VI. 6 5) вытекает нз (VI. 6.4).

Соотно；иение (VI 6.5) можно сформулиронаг'. так: величина &%,。卢力 равна умноженному на I— |)"' алгебраическому дополнению o.'iewefiia % матрицы К(/г, J), Или (как пишут в некоторых статьях}' транспеданс равен алгебраическому доио.пиенито элемента 以,в алгебраическом дополнении з.т^- мента 統 матрицы К (Г)

Поскольку транспедансы можно выразить через определи- сс“н, то мы вправе ожидать, что некоторые взаимосвязи между ними описываются с исиользовзнирм тождеств для определи телей. Рассмотрим, например, матрицу Ks(l'), получаюп(уюся нз К{Г) вычеркиванием строк и столбцов, соответствующих вершинам, входяш.им в 3. Применяя соотношение (VI. G 1) и матричную теорему о деревьях, получаем

detKs(「) = @, &&〉=®У. (VI.6.7)

Матрица Ks(l) есть подматрица матрицы К，(Г). где，= %. Исл” 〈г〉 отлично от нуля, то det К\ (Г) можно вирязить через ⑺ и алгебраические дополнения матрицы К, (Г), используя теорему Якоби о минорах присоединенной матрицы:

detKs(r)= g '%е|М.detKs(r)= g '%е|М.

detKs(r)= g '%е|М.

detKs(r)= g '%е|М.

где М — такая (А — 1) X1^ — I卜матрица, v к。горой 团 /}т”емеит равен а闷 д)1я любых / и /

Рассмогрнм граф G, н когором каждому ребру А приписана проводимость с (А). Пусть Г — эквивалентный орграф графа G н каждой дуге в Г сопоставлена проводимость, равная (фоцо- димости соответствующего ей ребра из G. Мы можем построить новыВ граф G", атождествляг все вершины а, из S и обозначая згу новую вершину через а. По определению граф G' состоит из тех же самых ребер, которые содержатся в графе G, и из тех же самых веришн, кроме вершин, входящих в S н заменяемых на вершину а Концы каждого ребра в графе G' гакие же, как в I рафс G, кроме тех концов, которые принадлежат S, — они заменяются на вептнну а Ясно, что ^кпиваленгньтм орграфом графа G，является орграф Г' Теперь можно воспользоваться теоремой VI. 35. Она утверж(jici, иапример, что формула (VI 6 1), хотя и выведена как соотношение, отражающее взаи- мсспязь между орграфами Г и Г,. может быть интерпретирована как соотношение межд> графами G и G'. Поскольку матрицы Кирхгофа у Г и G одинаковые, то формулы (VI 6 7} и (VI 68)мы можем рассматривать и как от'носящиеси к iра- ф；1 \i G н。

ОАнсдииия форму.IV (VI 6 8) с теоремой VI ИВ, ио.^учасм утверждение, справедливое для графов, но, вообше говоря, неверное “ля орграфоп:

Теорема VI, 39. Пуст/, G — связный граф и G' строится из б отождествление.» всех вершин, принадлежащих множесшу

$={。：，“2, , а*}, 3, которые бают новую вершину а. Обпаначим а« через оизведение〈а〉'"»-2 можно ныризип " виде многочлена от символов〈а“ а〉 (IW；V/VA| с коэффици^чтами, являющимися целвми числами. ” “е зачися- щи;м “ структуры графа G

Здесь〈，〉отлично от нуля ,в силу связности графа G — см 'Iеорсму 1.36). Значит, можно воспользоваться формулами (VI. G.7) и (VI 68). Так как в теореме VI 39 рассматривается полиномиальное тождсстпо относительно проводимостей, то ес нетрудно распространить и на случай, когда <г> = 0.

При единичных проводимостях <г> равно T(G) и〈а，> равно Т(О). В силу соотношении (VI.6 1) величина 3, а,〉есть дре- веснах сложность графа, получаемого из G при отождествлении вершнн а, и а,.

V/. 7. Теория транспортных сетей

Пусть х и у- различные вершины орграфа Г. Всякое множество X дугово простых путей в орграфе Г, идущих нз х н у и попарно не пересекающихся по дугам, называется связкой “у т”& из х в у орграфа Г. Число |Л|, равное количеству путей в связке X, назовем се мощностью

В данном разделе мы рассмотрим задачу о нахождении в орграфе Г связки иуте〃 из * в “ максимально возможнон мощности, Д.чя дальнейшего удобно внести рнд определении

Орграфом Г(А) спячки X называется ор1[Одграф орграфа i', состонщнН "а дуг всех путей, содержащихсн в X, it всех вершил, инцидентных этим дугам Очевидно, что Г(Х)является обьедииеннем всех орграфов, соответствующих путям из Л' Если и — вершина нз Г(Х), отличная от гну, ти ее no.'isua- лентиостн нсхо^а и захода в орграфе Г(Х) одинаковые Эту acjiit'iину мы 6у“ем называть мтенсианистыо спи <кц Л' “ "屮 шине。Если вершина и нз Г ire принадлежит Г (Л), то мы будем гонор 1ць, что 1П1ТС11СИВ1ЮСТ1, спнзкп X в вершине и раппа пулю. Если все пути, входящие в X, являются линейными, то интеисипнпсть евнзк" Y в вершине и равна, оиевщНо, числу путей в X, [1роходящих “врез зту вершину. Мн будем пазыпать сиизку X рогатинкой, если в орграфе Г(Х) существует орнен- тприваниый и"к“ В противном случае связка X будет называться ирротативной.

Теорема VI. 40. Если связка Л' “〃р“гат“““"，тс каждый пути о чей является линейным

Цоказательстип Предположим, что некоторый пут;. Р н енхзке X Е1слинейиый Тпгда в нем найдется невырожденный замкнутей иидпут!,, нмекиинб наименьшую длину, т. е являю- iHttiicx круговим путем п, следовательно, определяющий срцнкл в орграфе Г(Х) □

н“и 2-цикл А, 7 в у, такал, что 0а 门 X) удаленн“и 2-цикл А, 7 в у, такал, что 0а 门 X) удаленто s оргра(> |Х，| = |Х]то s оргра(> |Х，| = |Х]1фе Г существует связка1фе Г существует связкаорграф Г(Х') получается из пргра-орграф Г(Х') получается из пргра-Теорема VI. 41. Если орграф Г(Х} содержит

н“и 2-цикл А, 7 в у, такал, что 0а 门 X) удален

н“и 2-цикл А, 7 в у, такал, что 0а 门 X) удален

то s оргра(> |Х，| = |Х]

то s оргра(> |Х，| = |Х]

1фе Г существует связка

1фе Г существует связка

орграф Г(Х') получается из пргра-

орграф Г(Х') получается из пргра-

^нием двух Оде, образующих 2-цикл А.

Доказательство. Пусть £),—дуга 2-цнкла А, началом которой является вершина и, а концом — вершина и Пусть Da —

VJ. 7 Теория трампиргны! гтттП 201

дуга пэ А, противоположная дуге D, (см. рис. VI.7.1). Через /', обозначим путь из си”зкн X, проходящий по дуге D, (1 = =1,2) Пути Pi и Рг мы можем следующим образом разложить на подпутп

Р( = Я, (O|)S|, Pj — ftjfD；)S;.

Искомая связка X' получается из снвзкн X заменой пут it Р, на путь &&, а путч Р2 — ни путь RS・□

Назовем с”нзку X путей из х н 〃 орграфа Г приводимой, сс“н в Г существует другая связка X' путей ”з * в у, такая, что IX' I I X I, 1'(X') s Г (X)и iihc.io дуг н Г (X') меньше, чеч в Г(Х}. Замена в этом случае связки X и" связку X' будет “азнватьсн pei)i/m(ueii (ci”⑶з X).

Теорема VI.42. Если связка X рагативна,，“ ""“ яв.1яе:ся

3以изитеАисте。 П|>едл('ложим сначала, что в 1、(Х) нан・ “егс" дугачктля D Тогда в X есть путь Р, такой, чго Р = •=R(0)S Оченидно, "то X можно pe,!iyiin[n)uaib, замеггнн 尸

ПреАПссожнм leiiepi,,

в Г |Л| ее, орнипгпрсшанныП

2-иикл. Тогда во」мо*ность "рммеие"”” репукинн к X взтекает 11ч теоремы VI 41. Итак, мн можем ьтгатн, что и「(X) пег ин Ьииклов, н>| 2-циклон. Значит, н нем найдепя ориентирован

irhbi ；;-цикл А с п 学 3

Выберем в А некоторую 八угу Г) liven. Р путь glxtiLini по D Мижно 11ре,1ио.1<1ЖИть, ""> “уса D *t

из А, ирохо-

ной по порядку дугий “"к”а А, 11стре'1аю|цсися ц нутir Р при .и，",кеннн по нему от % к g (изменив, возможно, выбор дуги D). В цикле А есть некоторый кругопой энлероп путь Q — (Dh Di..

,D”)с = D. ОГозиа1[им коней лугп /Ji через з“. & = 1, 2, . , " Р можно преистаинть и вн“е RPj, где иодпуги “ и Р, удов,1е1ъормюг следующему ус;“>""ю конечной верзн- пол гюдиути R я влнется вершина о”，а первой дугой в uo.'iuyiH /'1 нвпнется “yra I) — D, (см рис VI 7 2)

Рис. VI. 72Рис. VI. 72Предположим, что вершина' /(2) в 2 встречается несколько раз. Тогда Р = RTP2, где подпути R и 巳 таковы, что вершина f(l)i) служит концом подпути R и началом подпути Р2, а дуга D] содержится в подпути Т. Следовательно, связку X можно редуцировать, заменяя Р на RP2. В дальнейшем считаем, что вершина f(Di) в Рх встречается только один раз. Отсюда, в частности, вытекает, что дуга Dn в путь Р】не входит.

Рис. VI. 72

Рис. VI. 72

изизСуществует наибольшее целое г, такое, что г < п и vr есть что ни одна из дуг Dr, Dr^\,...

из

из

...,Dn не может содержаться в Рь а значит, и в Р. Тогда Pi = P2*S, где подпуть S выходит из вершины %.

Добавим к орграфу Г новые дуги £г+ь £7+2, Еп (их п — г штук), руководствуясь следующим правилом: началом и концом дуги £/ являются соответственно конец и начало дуги D), / = г + 1, г + 2, ..., п. Получившийся орграф обозначим через Гь Преобразуем связку X в связку Х\ в орграфе Гь заменяя путь Р на путь R (Еп, £п-1, .. ■, £r+i) S. Применяя п — г раз теорему VI. 41, строим из Х{ в орграфе Г\ связку X', такую, что |Х'| = |Х1 | = |Х| и орграф 1\ (Х‘)получается из орграфа 1\(Х[) удалением всех дуг D； и £；, где / — г + I, г + 2, ..., п. Но тогда, очевидно, X’ будет связкой путей из % в у в орграфе Г. Значит, связка X может* быть редуцирована. □

Применяя теорему VI. 42 несколько раз, легко выводим следующее утверждение.

Теорема VI.43. Если X — произвольная связка путей из х в у в орграфе Г, то в нем существует ирротативная связка путей из х в у, такая, что \Xf\ = \X\ 〃 F(Х‘)三 Г(Х).

Рассмотрим теперь задачу о нахождении связки путей из х в у, имеющей максимально возможную мощность. Сначала, однако, займемся обобщениями. На множестве вершин орграфа Г зададим функцию 力 которая каждой вершине и сопоставляет неотрицательное целое число /(и), называемое ее пропускной способностью. Будем искать такую связку X путей в орграфе Г,

чтобы полувалентность исхода каждой вершины v в орграфе Г(Х) не превосходила величины f(v). Связки, удовлетворяющие этому условию, будем называть f-ограниченными.

Разрезом орграфа Г между вершинами хну называется любая упорядоченная пара (Ux, Uiy)t состоящая из взаимно дополнительных подмножеств множества V (Г), таких, что %w U# и у е иу. Пусть и — произвольная вершина из Ux. Через 6(〃) будем обозначать число всех дуг орграфа Г, выходящих из и и входящих в вершины, принадлежащие подмножеству Ug. Если 6(〃)>0, то вершину и будем называть стоком подмножества Ux. Пропускная способность разреза (U*, Uy) обозначается через C(UX, Uy) и определяется следующим соотношением:

с (", %) = “ & min (f ⑷，р (〃)). (VI. 7.1)

Теорема VI. 44. Если (UXt Uy) — разрез орграфа Г между вершинами х и у и X — произвольная f-ограниченная связка путей из х в у, то |Х| & С(九,4).

Доказательство. Каждый путь из X должен иметь хотя бы одну дугу с началом в % и концом в Uy. Но среди р(〃)дуг, выходящих из вершины и^ Ux и входящих в вершины подмножества 4，путям из X принадлежат не более чем，(〃) дуг. □

Предположим теперь, что в орграфе Г найдется /-ограниченная связка X путей нз % в у, имеющая мощность k. Мы допускаем, что 力 может быть равно нулю. В силу теоремы VI. 43 можно считать, что связка X ирротативна. Тогда по теореме VI. 40 каждый путь из X является линейным.

Удобно представить орграф Г как ориентант некоторого графа G. Граф G строится из Г посредством замены каждой дуги D на ребро Ад с теми же самыми инцидентными вершинами. Эквивалентный орграф графа G обозначим через Л. Для каждого ребра Ад из графа G возьмем в орграфе Л ту из двух дуг, ассоциированных с 4°, которая соответствует дуге D орграфа Г. Другая дуга может быть обозначена через D~{ (см. разд. VI. 1); она в Г не содержится.

Рассмотрим все дугово простые пути Q в Л, которые выходят из вершины % и удовлетворяют следующим условиям:

в Q нет дуг, принадлежащих орграфу Г(X);

6 Q не существует двух дуг, содержащихся в Г и имеющих одинаковые начала}

если дуга D пути Q не входит в Г, то дуга D~l принадлежит орграфу Г(Х);

если дуга D пути Q содержится в Г, то либо она в Q следует непосредственно за дугой, не входящей в Г, либо полувалентность исхода ее начала и в орграфе Г (X) меньше f(u).

Семейство всех таких путей Q обозначим через /(%). В /(х) содержится, в частности, вырожденный путь в вершине х.

Рассмотрим случай, когда в /(%) существует путь Q, идущий из % в у. В силу условия (i) мы можем присоединить Q к X. Получим в орграфе Л связку X】путей нз % в у, имеющую мощность Л + 1- Если и — произвольная вершина орграфа А(Х[) связки X], то на основании условия (ii) полувалентность исхода вершины и в орграфе A(Xi) не превосходит f(u) + + 1- Кроме того, если полувалентность исхода равна /(u)+ 1, то какая-то одна дуга D пути Q, заходящая в вершину 〃, не принадлежит орграфу Г (в силу условия (iv)). Значит (см. условие (iii)), дуга 力一】является одной из дуг орграфа Р(Х), выходящих из вершины и.

Применяя теорему VI. 41 ко всем таким парам (D, Df, у которых обе дуги содержатся в A(Xi), получаем (в силу условия (iii)), что в орграфе Г связка X путей из х в у имеет мощность 左+L Кроме того, связка X’ является /-ограниченной.

Займемся рассмотрением оставшегося случая: в /(х) нет путей, идущих из х в у. Возьмем в качестве Ux множество всех таких вершин и из Г, для которых в /(%) существуют пути, идущие из х в V. Множество Uy определяем как дополнение подмножества Ux в 卜(「)・ Тогда х UXy у Uy и (UXf Uy)— разрез орграфа Г между вершинами х и у.

Если путь Q из /(%) представим в виде QiQ2, то ясно, что подпуть Qi удовлетворяет приведенным выше условиям (i)—— (iv), а значит, принадлежит /(%). Следовательно, каждая вершина любого из путей, содержащихся в /(%), должна входить В их.

Вершину V орграфа Г(Х) назовем насыщенной, если ее полувалентность исхода в Г(Х) равна f(v). Сток и подмножества Ux называется заполненным, если каждая дуга орграфа Г, выходящая из и и входящая в Uy, принадлежит некоторому пути из связки X. Следующие три теоремы устанавливают взаимосвязь между разрезом (Ux, Uy) и путями, содержащимися в связке X.

Теорема VI. 45. Пусть Р — произвольный путь из X. Тогда в Р существует ровно одна дуга DP с началом в Ux и концом в Uy. Кроме того, если путь 户 представим в виде Pi(Dp)P2, то все вершины подпути Pi принадлежат Ux, а все вершины подпути 户2 содержатся в Uy.

Доказательство. В качестве DP берем первую по порядку дугу пути Р, у которой конец принадлежит подмножеству Uy. Ее начало должно содержаться в Ux. Путь Р представим в виде P[(Dp)P2, причем все вершины подпути Р принадлежат и”.

Предположим, что в подпути Р2 есть вершина, содержащаяся в Ux. Тогда у некоторой дуги Е из Р2 начало лежит в подмножестве 4，а конец — в подмножестве Ux. В семействе /(х) существует путь Q, идущий из % в й(Е). Значит, в /(х) имеется путь Q(E~i), идущий из % в /(£). Это противоречит выбору подмножества Ux.

Таким образом, все вершины подпути 巳 принадлежат Uy- 口

Теорема VI. 46. Пусть и ——произвольный незаполненный сток, подмножества Ux. Через у(〃) обозначим число дуг орграфа Г(Х), выходящих из и и входящих в Uy, Справедливо равенство 7(u)= f(u).

Доказательство. Поскольку сток и является незаполненным, то в орграфе Г существует дуга D、не принадлежащая орграфу F(X) и такая, что «О)= и и 无(。)三 Uy.

Предположим, что вершина 〃 ненасыщенная. В семействе /(х) имеется путь Q, идущий из % в 〃. Мы можем считать, что в Q нет дуги, выходящей из и (так как в противном случае можно было заменить Q на подходящий его подпуть). Добавляя к пути Q дугу Q, получаем путь Q(£>), содержащийся в J{x) и идущий из х в /г(£>). Это противоречит выбору подмножества Ux. Значит, и является насыщенной вершиной.

Предположим далее, что у(и) < f(u). Поскольку вершина 〃 насыщенная, то в связке X существует путь Р, содержащий дугу。1, такую, что t(Di) = и и /i(Qjw Ux. Возьмем в семействе J (х) путь Q, идущий из х в h(D\).

Допустим, что путь Q содержит дугу Е орграфа Г, выходящую из и. Тогда Q представим в виде QQ, причем дуга Е принадлежит подпути Q?・ В силу приведенного выше условия (iv) подпуть Qi является невырожденным и его последняя дуга не входит в Г. Но тогда путь Qi(D) содержится в /(%) и идет из х в h(D). Пришли к противоречию. Значит, можно считать теперь, что у пути Q таких дуг, как Е, нет.

Рассмотрим путь Q(Q」,£>). Он принадлежит /(%) и входит в вершину h(D). Это противоречит выбору подмножества IJX. Следовательно, у (〃)》/(〃). Поскольку связка X является f-ограниченной, у (〃) = /(〃). □

Теорема VI.47. \X\^C(UXf Uy).

Доказательство. Из соотношения (VI. 7.1) и теоремы VI. 46 следует, что C(UXl Uy) есть число таких дуг из Г(Х), начала которых содержатся в UXi а концы — в。刀 т. е. (см. теорему VI.45) это число совпадает с |Х|. □

Теорема VI.48 (теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе). Пусть f ——произвольная целочисленная функция пропускных способностей вершин орграфа Г. Наибольшая из мощностей f-ограниченных связок путей в орграфе Г, идущих из х в у, равна наименьшей из пропускных способностей разрезов между вершинами х и у.

Доказательство, Пусть X ——произвольная /-ограниченная связка путей из % в у в орграфе Г. Как было показано выше, мы можем, не меняя мощности связки X, редуцировать ее к ирротативной связке. Если соответствующее семейство путей /(х) содержит путь из % в у, то из связки X можно построить в орграфе Г связку X’ путей из % в у, имеющую большую мощность.

Начиная с тривиальной связки путей из % в у, имеющей мощность нуль, будем выполнять описанную выше процедуру до тех пор, пока не придем к ирротативной связке X, такой, что в соответствующем семействе /(х) не существует путей, идущих из х в у. Пусть мощность связки X равна k. Выбирая подмножества Ux и Uy, как указывалось выше, получаем в орграфе Г разрез (Ux, Uy) между вершинами хну, имеющий пропускную способность, равную 力(см. теорему VI. 47). Используя теорему VI. 44, видим, что эта величина k является одновременно и минимально возможной пропускной способностью разрезов между вершинами х и г/, и максимально возможной мощностью /-ограниченных связок путей, идущих из % B弘□

Мы можем утверждать, что приведенное доказательство является конструктивным. Оно дает способ построения конкретной /-ограниченной связки путей из х в г/, имеющей наибольшую мощность. Значительно труднее задача нахождения семейства путей /(х). Но искать все пути, принадлежащие J(x), необходимости нет. Достаточно для возможно большего числа вершин V найти в семействе /(х) только по одному пути, идущему из % в ?. Сделав это для некоторой совокупности вершин, мы можем затем либо распространить такое построение на другие вершины, либо описать подмножество U*, используя аргументацию, базирующуюся на теоремах VI. 45 и VI. 46.

Обычно в теореме о максимальном потоке и минимальном разрезе речь идет не о связках путей, а о потоках в орграфах (сетях). Такую форму этой теоремы мы рассмотрим позднее

(в разд. VIII. 9) в связи с теорией алгебраических 0- и 1-цепей и установим ее эквивалентность теореме VI. 48 (см. также [7] И [8]).

В двух следующих теоремах выделены некоторые частные случаи развитой нами теории.

Теорема VI. 49. Пусть х и у — различные вершины орграфа Г. Максимально возможная мощность связок путей в орграфе Г, идущих из х в у, равна наименьшему целому числу 左,такому, что для некоторого разреза (U*, Uy) между вершинами х и у в орграфе Г число дуг из Г с началом в Ux и концом в Uy равно k.

Для доказательства этого утверждения достаточно выбрать пропускную способность каждой вершины так, чтобы она была не меньше полувалентности исхода этой вершины в орграфе Г, а затем применить теорему VI. 48.

Множество линейных путей в орграфе Г, идущих из % в у, называется внутренне непересекающимся, если у любых двух путей, содержащихся в нем, нет ни общих дуг, ни общих вершин, отличных от х и у.

Теорема VI.50 (теорема Менгера для орграфов). Пусть % “ у ——различные вершины орграфа Г и в Г не существует Оуе〃, идущей из х в у. Тогда наибольшее число попарно внутренне непересекающихся линейных путей в орграфе Г, идущих из х в у, равно наименьшему целому числу 局,такому, что для некоторого разреза (U*, Uy) между вершинами х и у в орграфе Г число стоков подмножества Ux равно k и вершина % стоком для Ux не является.

Доказательство. Для всякой вершины и, отличной от х и у, положим f(v)= 1. Но для вершин хну пропускную способность выберем так, чтобы она была не меньше полувалентности исхода этой вершины в орграфе Г. Из теоремы VI. 48 следует, что если h ——наибольшая мощность /-ограниченных связок путей в орграфе Г, идущих из х в г/, то в Г существует разрез (U#, Uy) между вершинами 尤 и у, имеющий пропускную способность 瓦 и таких разрезов, обладающих меньшей пропускной способностью, нет. Применяя теорему VI. 43, получаем, что в Г найдется ирротативная /-ограниченная связка X путей из х в у, мощность которой равна h. В силу теоремы VI. 40 все пути в X линейные.

Пусть Т — подмножество множества %, состоящее из всех вершин f, которые являются концами дуг орграфа Г, выходящих из вершины х. Из условия доказываемой теоремы следует.

что вершина у подмножеству Т не принадлежит. Перебрасывая подмножество Т из множества Uy в множество мы пропускную способность разреза не увеличим, ибо пропускная способность каждой вершины, содержащейся в Т, равна 1. Пропускная способность разреза, естественно, и не уменьшится. Значит, разрез (%, Uy) можно выбрать так, чтобы вершина х не была стоком множества Ux. Следовательно, h = k.

Из определения связки путей непосредственно вытекает, что никакие два пути в X общих дуг не имеют. Нет среди них благодаря специальному выбору функции f и двух путей с общими вершинами, отличными от % и у. Для завершения доказательства теоремы надо вспомнить определение величины h. □

Следует заметить, что теорему Менгера для графов, которая рассматривалась в разд. II. 5 (см. теорему II. 36), можно доказать, применяя теорему VI. 50 к эквивалентному орграфу подходящего графа G (см. теорему VI.9).

L 8. Замечания

I. 8.1. Замечания, касающиеся литературы

Большинство книг по теории графов уделяет некоторое внимание и орграфам. Одной из монографий, посвященных в основном ориентированным графам, является книга [9].

I. 8.2. Альтернированные карты

Существует интересная теория планарных эйлеровых орграфов. Если такой орграф изобразить специальным образом —— чтобы дуги, входящие в произвольную вершину, и дуги, выходящие из нее, чередовались, то получится так называемая «альтернированная карта». Альтернированные карты разбиваются на множество троек подобно тому, как неориентированные планарные карты образуют двойственные пары. Соответствующая теория представлена в работах [12] и [4]. Альтернированные карты, входящие в одну и ту же тройку, имеют одинаковую древесную сложность.

В работе [12] рассматривается задача о триангулировании треугольников. В ней показано, что строение одной из подходящих триангуляций можно описать с помощью некоторой альтернированной карты и системы уравнений Кирхгофа для соответствующего этой карте орграфа.

I. 8.3. Законы Кирхгофа для орграфов

Выкладки, аналогичные проведенным для орграфа, изображенного на рис. VI. 5.3, но относящиеся к другим орграфам, можно найти в работе [14]. Дальнейшее развитие теории законов Кирхгофа для орграфов представлено в статье [13].

I. 8.4. Роторы

Теорема VI. 39 появилась впервые в работе [2], разд. 72 Правда, доказательство этой теоремы предлагалось провести читателю, а в работе был рассмотрен только частный ее случай. Довольно простые рассуждения показывают, что если «ротор» в графе《обратить》，то древесная сложность при этом не изменится. Ротором графа называется такой его подграф, который обладает осевой симметрией и у которого все соединяющие вершины эквивалентны относительно этой симметрии. «Обращение» ротора состоит в замене его зеркальным отражением. Теория роторов представлена в работах [2], [3] и [13].

Упражнения

Построить эйлеров ориентант для графа октаэдра. Найти эйлеровы контуры результирующего орграфа и рассмотреть соответствующие растущие деревья.

Используя матричную теорему о деревьях, найти древесную сложность орграфа из упр. 1. Убедиться в справедливости полученного результата, изобразив соответствующие растущие деревья этого орграфа.

Используя матричную теорему о деревьях, найти число остовов 4-клики и 5-колеса.

Найти общую формулу для древесной сложности колеса с п спицами. (См. [10].)

В орграфе из упр. 1 каждой вершине сопоставим единичную пропускную способность. Указать несколько f-ограниченных связок путей, идущих из какой-либо вершины в другую.

Литература

van Aardenne-Ehrenfest Т., de Bruijn N. G. Circuits and trees in oriented linear graphs. — Simon Stevin 28 (1951), 203—217.

Brooks R. L., Smith С. A. B” Stone A. H., Tutte W. T. The dissection of rectangles into squares.— Duke Math. J. 7 (1940), 312—340.

Brooks R. L., Smith С. A. B., Stone A. H., Tutte W. T. A simple perfect square. — Proc. Nederl. Akad. Wetensch, 50 (1947), 1300—1301.

Brooks R. L., Smith С. A. B., Stone A. H„ Tutte W. T. Leaky electricity and trianguleted triangles. — Phillips Res. Reports 30 (1975), 205—219.

14 Зак. 878

Cayley A. A theorem on trees. — Quart. J. Pure. Appl. Math. 23 (1889), 376—378.

Euler L. Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis. — Comment. Academiae Sci. Imp. Petropolitanae 8, 1736 (Opera omnia (1), vol. 7, 1766, 1—10.)

Ford L. R., Fulkerson D. R. Maximal flow through a network. — Canad. J. Math. 8 (1956), 399—404.

Ford L. R., Fulkerson D. R. Flows in networks. — Princeton Univ. Press, 1962. [Имеется перевод: Форд Л. Р” Фалкерсон Д. Р. Потоки в сетях.一М.： Мир, 1966,]

Нагагу F., Norman R. Z., Cartwright D. Structural models: an introduction to the theory of directed graphs.一 New York: Wiley, 1965.

SedlaCek J. Lucas numbers in graph theory. (Czech. English summary.)— Mathematics (Geometry and Graph Theory) (Czech.), 111—115.- Prague: Univ. Karlova, 1970.

Smith С. A. B., Tutte W. T. On unicursal paths in a network of degree 4. — Amer Math. Monthly 48 (1941), 233—237.

Tutte W. T. The dissection ef equilateral triangles into equilateral triangles.—Proc. Cambridge Phil. Soc. 44 (1948), 463—482.

Tutte W. T. The rotor effect with generalized electrical flows.—Ars Com- binatoria 1 (1976), 3—31.

Tutte W. T. Dissections into equilateral triangles. — In: The Mathematical Gardner, D. A. Klarner, ed. Wadsworth International, Belmont, California, 1981, 127—139. [Имеется перевод: Татт У. Т. Разбиения на равносторонние треугольники.——В кн.: Математический цветник (сост. и ред. Д. А. Кларнер). — М.: Мир, 1983, с. 161—180.]

Глава VII

ЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ ПУТИ

VIL /・ Курсальность дуг и ребер

В первой части этой главы мы рассматриваем граф G вместе с заданным разбиением его множества ребер £(G) на взаимно дополнительные подмножества £\ и £2- Элементы подмножества Ei будем называть синими ребрами, а элементы из £2一 красными ребрами. Каждой дуге эквивалентного орграфа Г мы приписываем такой же цвет, какой имеет соответствующее ей ребро графа

Путь Р в графе G называется чередующимся, если любые две смежные дуги в Р окрашены в разные цвета. Все вырожденные пути, а также все пути длины 1 будем считать чередующимися.

Пусть г — фиксированная вершина графа G. Рассмотрим в графе G семейство /(г) всех реберно простых чередующихся путей Р, таких, что они выходят из вершины г и первая дуга в каждом из них, если она есть, красная. Мы ищем необходимое и достаточное условие существования в /(г) пути, идущего из г в другую заданную вершину s, которое выражалось бы в терминах структурных свойств графа G и раскраски его ребер. Во второй части данной главы мы применим это условие для построения теории факторизации графов.

Заметим, что если произведение путей Р]Р2 принадлежит семейству /(г), то первый сомножитель Pi также содержится в J(r).

Сначала, ориентируясь на семейство /(г), установим классификацию дуг и ребер графа G. Дугу будем называть кур- сальной, если она принадлежит некоторому пути из /(г); в противном случае дуга будет называться нонкуреальной. Ребро называется нонкурсальным, уникурсалъным или бикурсальным в зависимости от того, сколько курсальных дуг ассоциировано с ним ——нуль, одна или две.

Теорема VII. 1. Если ребро Л является петлей графа G, то оно либо нонкурсальное, либо бикурсальное.

Доказательство. У двух дуг, ассоциированных с ребром-петлей А, начала и концы совпадают. Значит, если одна из этих дуг содержится в некотором пути из семейства /(г), то мы

можем заменить ее в указанном пути на другую ассоциированную с ребром Л дугу и получим новый путь, входящий в семейство /(г). □

Заметим, что уникурсальное ребро является обязательно звеном (т. е. его концы х и у различные). Следовательно, каждая дуга, ассоциированная с таким ребром Л, однозначно определяется своими началом и концом. Если у ассоциированной с ребром А курсальной дуги началом является вершина х, а концом — вершина у, то мы будем говорить, что Д—уникурсальное ребро из х и в у.

Теорема VII. 2. Если А и В — унику реальные ребра s вершину и, то они имеют одинаковый цвет. Если и = г, то уникурсальное ребро в вершину v синее.

Доказательство. Предположим, что ребра А и В разных цветов. Меняя местами, если нужно, обозначения этих двух ребер, можно утверждать, что в семействе /(г) существует путь Р, оканчивающийся в вершине и, последняя дуга которого ассоциирована с ребром А и который не содержит дуг, ассоциированных с ребром В. Но тогда путь Р(О), где D — нонкурсальная дуга, ассоциированная с 8, принадлежит семейству /(г). Мы пришли к противоречию.

Для доказательства второй части теоремы предположим, что некоторое ребро С, уникурсальное в г, красное. Тогда соответствующая ему нонкурсальная дуга определяет путь длины 1 из семейства / (г). Получили противоречие. □

Вершина и графа G называется бикурсальной, если она инцидентна некоторому бикурсальному ребру. Вершина и называется нонкуреальной, если она отлична от г и каждое инцидентное е访 ребро нонкурсальное. В оставшемся случае вершина V называется уникурсальной. Таким образом, если вершина г не инцидентна бикурсальному ребру, то она является уникурсальной. Всякая другая вершина уникурсальна только в том случае, когда она инцидентна какому-нибудь уникурсаль- ному ребру и не инцидентна ни одному бикурсальному ребру.

Если вершина v отлична от г и в семействе /(г) есть путь Р, содержащий дугу О, выходящую из и, то в Р должна существовать дуга, непосредственно предшествующая дуге D (и, значит, заходящая в вершину и). Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема VII. 3. Если и ——уникурсальная вершина, то либо и = г, либо некоторое ребро уникурсально в и.

Уникурсальная вершина и называется синим пунктом, если либо и = г, либо существует синее ребро, уникурсальное в и.

Она называется красным пунктом, если некоторое красное ребро уникурсально в и. В силу теоремы VII. 3 каждая уни- курсальная вершина является либо синим пунктом, либо красным, а по теореме VII. 2 никакая уникурсальная вершина не может быть одновременно и синим пунктом, и красным. Множество всех уникурсальных вершин графа G будем обозначать через U, подмножество всех синих пунктов — через 仏，а подмножество всех красных пунктов — через 仇・ Синий цвет будем считать «цветом 1», а красный — «цветом 2》.

Теорема VII.4. Пусть вершина и из подмножества Ui инцидентна ребру Д, цвет которого отличен от I. Тогда 4 ——уникур- сальное ребро из и.

Доказательство. Если v — г, то i = 1, а значит, ребро А красное. Дуга, ассоциированная с ребром А и выходящая из г, определяет в семействе /(г) путь длины I. Следовательно, Л должно быть уникурсальным ребром из и.

В оставшемся случае вершина v отлична от г. В силу теоремы VII. 3 в 〃г) существует путь Р, содержащий дугу D, заходящую в вершину V. Беря такой путь Р, имеющий наименьшую длину, мы тем самым добьемся того, что дуга D будет последней дугой выбранного пути, причем единственной дугой в нем, заходящей в вершину v. Ясно, что дуга D имеет цвет i, так как ?w G Значит, если О' — дуга, ассоциированная с ребром А и выходящая из вершины и, то путь P(D') содержится в семействе /(г). Следовательно, А—уникурсальное ребро из V. □

Теорема VII.5. Пусть вершина и из 6\ инцидентна ребру А цвета i. Тогда ребро А либо нонкурсально, либо уникурсально в V.

Доказательство. Предположим, что теорема для ребра А не верна. Тогда А должно быть уникурсальным из v. Пусть D —— курсальная дуга этого ребра. В J(r) существует путь Р, содержащий дугу D. Поскольку ребро А имеет цвет i, то дуга D не может быть первой дугой пути Р. Пусть £)'——дуга, непосредственно предшествующая дуге D и ассоциированная с некоторым ребром А Тогда цвет ребра В отличен от i. Более того, ребро В, не являясь бикурсальным, обязательно должно быть уникурсальным в и. Однако это противоречит теореме VII. 4. □

VIL 2. Бикурсальные подграфы

Бикурсальные ребра и вершины графа G определяют в нем некоторый подграф W. Назовем его бикурсальным подграфом графа G (относительно семейства J(r)). Из определения бикур-

сально访 вершины следует, что подграф W является ограничением графа G.

Пусть К—произвольная компонента подграфа W. Поскольку каждая дуга в К является курсальной, то в семействе J(r) существует путь, конец которого лежит в компоненте К. Среди таких путей выберем путь наименьшей длины. Обозначим его через Р и назовем путем, проникающим в компоненту К. Последнюю вершину пути Р будем называть входом в компоненту К и обозначать через в.

Если вершина г принадлежит компоненте К, то Р должен быть вырожденным путем в вершине г. Значит, е — г.

Если г не содержится в К, то последняя дуга пути Р является проникающей в К дугой De и соответствующее ей ребро Ае графа G есть ребро, проникающее в компоненту К. Следовательно, путь Р представим в виде произведения R(De), где подпуть R не имеет в компоненте К ни ребер, ни вершин. Заметим, что ребро 4е в К не содержится. В самом деле, одним его концом является вершина е, принадлежащая К, а другим——вершина 厶 представляющая собой конец подпути R и, значит, не лежащая в ТС Из сказанного вытекает, что ребро Ае бикурсальным быть не может. Оно должно быть уникур- сальным в е.

Если путь Р вырожденный, то полагаем t(K)=l. В противном случае ^(^) считаем равным 1 или 2 в зависимости от того, синим или красным является проникающее в К ребро Ае.

Через /(К, е) обозначим семейство всех реберно простых чередующихся путей Q, которые выходят из вершины е, целиком лежат в компоненте Кив каждом из которых первая дуга, если она есть, имеет цвет, отличный от i(K). Очевидно, что для каждого такого пути Q путь PQ определен и содержится в семействе /(г). Заметим также, что если произведение путей QiQ2 принадлежит семейству /(К, е), то в нем лежит и путь Qi.

Теорема VII.6. Пусть Q — невырожденный путь из /(К, е), оканчивающийся вершиной v и дугой D, ассоциированной с ребром А, лежащим в компоненте К. Пусть, кроме того, некоторое ребро В графа G, инцидентное вершине и, либо нонкурсально, либо уникурсально в и. Тогда оно либо является проникающим в компоненту К, либо имеет такой же цвет, как и ребро А.

Доказательство. Предположим, что ребро В не является проникающим в К н его цвет отличен от цвета ребра А. Пусть О'——дуга, ассоциированная с В и выходящая из v. Тогда путь PQ(D') принадлежит /(г), что противоречит выбору ребра В. □

Теорема VII.7.Компонента К содержит хотя бы одно ребро, инцидентное вершине е и имеющее цвет, отличный от “К)・

Доказательство. Нам уже известно, что в К существует ребро, инцидентное вершине е. Предположим, что все такие ребра имеют цвет f(К). Пусть А — одно из них. Рассмотрим дугу £), ассоциированную с Я и выходящую из е. Она принадлежит некоторому пути S семейства /(г) и не является первой дугой в S, так как ее цвет есть «К). Значит, в пути S содержится дуга непосредственно предшествующая дуге D. Концом дуги Q' является вершина е. Дуге Df в графе G соответствует ребро 8, цвет которого отличен от »(К). Следова- гельно, ребро В либо бикурсально, либо уникурсально в е. Но первая из этих возможностей противоречит нашему предположению о цвете ребер, инцидентных вершине е, а вторая — теореме VII. 2. □

Теорема VIL& Пусть Q ——путь из семейства /(К, е), заходящий в вершину V. Тогда в К существуют красное и синее ребра, инцидентные вершине v.

Доказательство. Предположим, что все ребра в К, инцидентные вершине и, имеют один и тот же цвет i. Пусть А—то из них, которое соответствует последней дуге D пути Q. Дуга £)-1 принадлежит некоторому пути S из семейства /(г) и в S есть дуга Q- непосредственно предшествующая дуге 力Т (Если и = г, то V = е.) Ребро В графа G, соответствующее дуге D\ инцидентно вершине и и имеет цвет, отличный от l Значит, оно либо бикурсально, либо уникурсально в v. Первая возможность влечет за собой принадлежность ребра В компоненте К, что противоречит нашему предположению о дуге Dr. А вторая возможность исключается в силу теоремы VII. 6. □

Теорема VII. 9. Если дуга D из компоненты К принадлежит какому-либо пути Q из семейства /(К, е), то и дуга £)-1 содержится в некотором пути из / (К, е).

Доказательство. Пусть дуге D соответствует ребро А из К. Можно считать, что D ——последняя дуга пути Q. Если А —— петля, то дугу Q в Q можно заменить дугой Q-L Получится путь из /(К, е), содержащий Di Предположим теперь, что Л — звено с концами х и у и что О — дуга из х в у (см. рис. VII. 2.1 и VII. 2.2).

В /(г) существует путь S, у которого D— является последней дугой. Если S целиком лежит в К, то обязательно е = г, “К)=1, а значит, S принадлежит семейству /(К,е)・ Поэтому можно считать, что в S имеются дуги, не содержащиеся в К. Пусть D\ — последняя из таких дуг. Очевидно, что вершина h(D\) находится в компоненте К. Более того, путь S можно

представить в виде произведения Si(Oi)S2, где S? — путь в К с последней дугой Q-L Ребро Аь соответствующее дуге Qi, является уникурсальным в 无(力i).

Предположим, что 九(力j=e. Если e = г, то Qi — синяя дуга, а в противном случае цвет ее совпадает с цветом дуги, проникающей в компоненту К (см. теорему VII.2). В каждом из этих двух случаев подпуть S2 принадлежит семейству /(К, е), а значит, теорема справедлива. Предположим теперь, что вершина 九(5) отлична от е.

В пути Q существует первая дуга D2i такая, что либо D2i либо ОГ1 содержится в S2 (поскольку D принадлежит пути Q, a D"1 — подпути S?)・ Разложим Q в произведение Qi (О2) Q2> a S2 —— B произведение S3 (£>2) или S3 (ДГ1)^. Если для 52 осуществимо первое разложение, то путем из / (К, е), содержащим дугу D~\ является произведение Qi(/52)S4 (см. рис. VII. 2.1). Предположим, что для 52 имеет место второе раз-

ложение. Тогда путь Qi(5)S『(£>/) принадлежит семейству /(г). Однако это невозможно, так как ребро 4 уникурсально в h(D^ (см. рис. VIL2.2). □

Теорема VII. 10. Каждая дуга компоненты К принадлежит некоторому пути из семейства / (К, е).

Доказательство, Из теоремы VII. 9 следует, что мы можем разбить множество Е(К) на два взаимно дополнительных подмножества X и У таким образом, чтобы каждая дуга, ассоциированная с произвольным ребром из X, принадлежала некоторому пути из семейства /(К, е) и чтобы никакая дуга, ассоциированная с ребром из У, не содержалась ни в каком пути из /(К, е).

Применяя теорему VII. 7, заключаем, что подмножество X непустое.

Предположим, что подмножество У также непусто. Из связности компоненты К вытекает существование вершины и, инцидентной какому-либо ребру из X и какому-нибудь ребру из У. В семействе /(К, е) найдется путь из е в и, тако访，что его последняя дуга ассоциирована с ребром, принадлежащим подмножеству X (и, естественно, инцидентным вершине и). Поскольку ни один из таких путей не может быть продолжен по ребру из подмножества У, инцидентному вершине и, то мы приходим к выводу, что все ребра компоненты К, инцидентные вершине и, имеют один и тот же цвет. Следовательно, в силу теоремы VII. 8 v = е. Используя теорему VII. 7, получаем, что в Л не существует ни одного ребра, инцидентного вершине е и имеющего цвет，(К). Значит, все ребра из К, инцидентные вершине и = е, содержатся в подмножестве X. Но это противоречит выбору вершины у.

Таким образом, подмножество У пустое. □

Пусть "—подграф графа G. Соединяющим ребром для подграфа Н называется ребро графа G, не принадлежащее ", но инцидентное хотя бы одной вершине из Н. Таким образом, концы соединяющих ребер для подграфа Н, содержащиеся в нем, являются соединяющими вершинами этого подграфа. Если Н ——порожденный подграф графа G, то каждое ребро, являющееся соединяющим для Н, представляет собой звено, один конец которого содержится в V(H), а другой — в V(G)——V(H).

Теорема VII. 11. Пусть К ——произвольная компонента би- курсального подграфа W графа G. Тогда К есть порожденный подграф графа G. Кроме того, всякое соединяющее ребро для К либо является проникающим в компоненту К, либо уникур- сальным из своего конца, содержащегося в К.

Доказательство. Пусть А — произвольное ребро из £(G)— —Е(К), у которого один конец (обозначим его через %) принадлежит К и которое не является проникающим в К. Ребру А соответствует дуга D, заходящая в х. Очевидно, что А не бикурсально, так как иначе бы оно содержалось в К

Используя теорему VII. 10, получаем,что в семействе /(К, е) существует невырожденный путь из е в %, последняя дуга Df которого ассоциирована с некоторым ребром компоненты К, инцидентным х. Если ребро А не уникурсально из х, то в силу теорем VII. 1, VII. 2 и VII. 3 х = е и цвет ребра А отличен от £(К). Но тогда в /(г) есть путь Р(О~Х), такой, что подпуть Р является проникающим в К・ Следовательно, ребро А должно быть уникурсальным из х. Пришли к противоречию.

Нам уже известно, что ребро А не является петлей (см. теорему VII. 1). Остается показать, что оба конца хну звена А не могут одновременно лежать в К. Если бы х и г/ принадлежали К, то из приведенных выше рассуждений следовало бы, что ребро А уникурсально одновременно из % и у. А это невозможно,

В заключение заметим, что ребро, проникающее в К, если оно есть, является (в силу данного выше определения) звеном, только один конец е которого лежит в К- □

Из теоремы VII. 11 вытекает, что мы не обладаем свободой выбора ребра и дуги, проникающих в компоненту К. Если г содержится в К, то дуги, проникающей в К, нет и каждое соединяющее ребро для компоненты К уникурсально из своего конца, принадлежащего К. Если же г в К не входит, то все соединяющие ребра для К, кроме одного, уникурсальные из тех своих концов, которые лежат в К- А одно «исключительное» ребро является проникающим в К и уникурсальным в свой конец, содержащийся в К

Теорема VII. 12. Валентность каждой вершины, принадлежащей компоненте К бикурсального подграфа W, не меньше 2 (в компоненте К).

Доказательство. Для вершины, отличной от е, утверждение вытекает из теоремы VII 8.

Вход е инцидентен ребру А из компоненты К, соответствующему некоторой дуге D, выходящей из е. В силу теоремы VII. 10 дуга I)-】 содержится в каком-нибудь пути Q из семейства /(/С, е). Если начало дуги О^1 совпадает с е, то валентность вершины е относительно компоненты К не меньше 2. В оставшемся случае дуга D~x отлична от первой дуги пути Q. Пусть В — ребро из К, соответствующее первой дуге пути Q. Ребро В инцидентно вершине е и не совпадает с ребром А, так как путь Q реберно простой. □

VIL 3. Бикурсалъные секции

Будем продолжать развивать теорию, представленную в разд. VIL2. Через Z обозначим множество всех таких ребер графа G, не принадлежащих бикурсальному подграфу 取，у каждого из которых оба конца содержатся в W.

Из теоремы VII. 11 следует, что если А е Z, то концы х и у ребра А лежат в разных компонентах подграфа W (скажем, % w Ki и у е К2) • Кроме того, в силу все той же теоремы VII. 11 ребро А является уникурсальным, например, из х в г/ и проникающим в одну из этих компонент (при наших предположениях—в компоненту К2).

Добавляя все ребра из Z в подграф W, получаем порожденный подграф Wf графа G. Компоненты подграфа Wf называются бикурсальными секциями графа G относительно семейства /(г).

Пусть В — произвольная бикурсальная секция графа G. Ее конституантой называется всякая содержащаяся в ней компонента подграфа W. Очевидно, что бикурсальная секция В получается из объединения своих конституэнт добавлением ребер, образующих некоторое подмножество Zb множества Z* Обозначим через т(В) число конституэнт секции В. Оно отлично от нуля.

Теорема VII. 13. У секции В существует хотя бы одна конституэнта, для которой нет проникающего в нее ребра, принадлежащего подмножеству Zb.

Доказательство. Пусть К — конституэнта секции 8, имеющая наименьший по длине проникающий в нее путь Р. Если s(p)= 0, то утверждение очевидно: компонента К содержит вершину г и не имеет проникающих в нее ребер. В оставшемся случае последняя дуга пути Р выходит из вершины, не принадлежащей секции В. Значит, ребро, проникающее в К, в Zb не содержится. □

Поскольку каждое ребро из Zb является проникающим лишь в одну конституэнту секции В, то

\ZB\<m(B). (VII. 3.1)

Теорема VII. 14. У бикурсальной секции только одна конституэнта не имеет проникающего в нее ребра, принадлежащего Zb. Кроме того, каждое ребро из Zb является перешейком секции В.

Доказательство. Рассмотрим объединение всех конституэнт секции В. Оно является графом, состоящим из т(В) компо*

нент. Будем присоединять к нему по одному ребру из Zb・ Число компонент на каждом шаге будет уменьшаться не более чем на единицу (см. теорему 1.29), а осуществив последний шаг, мы получим связный граф (т. е. только одну компоненту). Следовательно, используя неравенство (VII. 3.1), имеем

\ZB\^m(B)~l. (VII. 3.2)

Первая часть теоремы доказана. Далее, из теоремы 1.29 вытекает, что ребро, присоединяемое последним в описанном выше процессе, должно быть в секции В перешейком. Остается принять во внимание, что ребра из Zg можно присоединять в произвольном порядке. □

Теорема VII. 15. Пусть В— бикурсальная секция графа G. Каждое соединяющее ребро для В, кроме, быть может, одного, является унику реальным из своего конца, принадлежащего В, в некоторую унику реальную вершину графа G. Исключительный случай имеет место тогда и только тогда, когда г не содержится в В. Соответствующее данному случаю соединяющее ребро уникурсально из некоторой уникурсальной вершины графа G в конец этого ребра, лежащий в секции В.

Доказательство. Пусть А — произвольное соединяющее ребро для В. Поскольку Wf ——порожденный подграф графа G, то один конец ребра А (обозначим его через %) находится в В, а другой (конец у) в В не содержится. Но в силу теоремы VII. 11 ребро А уникурсальное. Следовательно, у есть уни- курсальная вершина графа G (в противном случае ребро Д принадлежало бы множеству Z, а значит, и секции В).

Если ребро А уникурсальное в х, то на основании теоремы VII. 11 оно является проникающим ребром в ту единственную конституэнту секции В, которая не имеет проникающих ребер, принадлежащих подмножеству Z& Следовательно, если г не содержится в В, то существует только одно такое ребро А; если же г находится в В, то таких ребер нет. □

В случае когда г не принадлежит В, ребро, которое является единственным уникурсальным в вершину из В, естественно называть ребром, проникающим в В, а курсальную дугу, ассоциированную с ним,——дугой, проникающей в 8.

Вернемся снова к множеству U всех уникурсальных вершин графа G. Подграф G [U] графа G назовем уникурсальным. Компоненты порожденного подграфа G[V(G)——U] являются ядрами G [U] -мостов в графе G. Среди них есть бикурсальные секции графа G (см. теорему VII. 15); все остальные компоненты подграфа G[l (G)— U] состоят из нонкурсальных ребер

и вершин и мы будем называть их нонкуреальными секциями графа G. Любое соединяющее ребро каждой такой секции нон- курсально и один его конец лежит в множестве U.

VII. 4. Чередующиеся барьеры

В этом разделе будет доказана теорема о чередующемся соединении, о которой говорилось в разд. VII. 1. Полезно обобщить определение подмножеств Ui и 。2・ Будем теперь считать, что это произвольные непересекающиеся подмножества множества V(G), и упорядоченную пару ((/ь U^ будем обозначать буквой х-

Подмножество U, являющееся объединением Ui и [/2, называется множеством внутренних вершин пары у. Дополнение подмножества U в множестве V(G) назовем множеством внешних вершин пары %. Подграф, порождаемый подмножеством V(G)—— U, называется внешним графом пары у. Компоненты этого графа будем называть компонентами пары %.

Пусть М — некоторая компонента пары % и 4 — соединяющее ребро для М. Один конец этого ребра (обозначим его через х(А)) лежит в М, а другой (конец у(А)) — в U. Назовем ребро Л проникающим в М относительно пары %, если 4 —— красное ребро и вершина у(4) принадлежит U\ либо если 4 — синее ребро и вершина у (А) содержится в U*

Пару х назовем чередующимся барьером графа G с центром г, если выполняются следующие три условия:

если г U, то г (Л;

если каждый конец ребра 4, принадлежащего графу G, содержится в U, то один из них лежит в (Д, а другой ——в U?；

всякая компонента пары % имеет не более одного проникающего в нее ребра, а компонента пары, у, содержащая г, таких ребер не имеет.

Компонента чередующегося барьера 心 имеющего центр 几 называется достижимой, если она либо содержит г, либо обладает проникающим ребром. В противном случае компонента называется недостижимой. Таким образом, соединяющие ребра для недостижимой компоненты М удовлетворяют следующему условию： у каждого красного соединяющего ребра один из концов принадлежит подмножеству U2t а у каждого синего—— подмножеству J.

Теорема VII. 16. Пусть х =(^ь ^2), где подмножества Ut такие же, как в разд. VII. 1. Тогда у есть чередующийся барьер

графа G с центром г. Достижимые компоненты пары % являют- ся бикурсальными секциями графа G (относительно г).

Доказательство. Условие (i), очевидно, справедливо (см. определения из разд. VII. 1). Для доказательства выполнения условия (ii) заметим сначала, что ребро 4 должно быть уни- курсальным, а значит, оно не является петлей (см. теорему VII. 1). Истинность условия теперь следует из теорем VII. 4 и VII. 5.

Принимая во внимание теорему VII. 15 и определение подграфа 取',заключаем, что бикурсальные секции являются компонентами пары %, удовлетворяющими условию (iii). Очевидно, что все они — достижимые компоненты (см. теорему VII. 15). У всякой другой компоненты М пары % все вершины нонкур- сальные. Следовательно, и все соединяющие ребра для М нон* курсальные. Каждое такое ребро инцидентно некоторой внутренней вершине, имеющей тот же цвет, что и данное ребро (см. теорему VII.4). Таким образом, компонента М удовлетворяет условию (iii) и, значит, является недостижимой. □

Чередующиеся барьеры, описываемые теоремой VII. 16, будем называть курсальными барьерами с центром г.

Теорема VII. 17. Пусть х =(^ь (7г)— чередующийся барьер графа G с центром г. Пусть s ——вершина из некоторой недостижимой компоненты, М, содержащейся в %. Тогда а семействе /(г) не существует пути из г в s.

Доказательство. Предположим, что в /⑺ есть путь Р, идущий из г в s. Дугу D пути Р назовем нерегулярной, если она исходит из внутренней вершины барьера %, имеющей такой же цвет, как и дуга D. Это значит, что вершина f(D) содержится в (Л или。2 в зависимости от того, синей или красной является дуга D. Например, первой дугой пути Р будет обязательно такая дуга, конец которой принадлежит М, и эта дуга должна быть нерегулярной (в силу недостижимости компоненты М).

Пусть D ——первая по порядку нерегулярная дуга в Р. Она отлична от первой дуги пути 尸，ибо Р содержится в J(r). Пусть D' — дуга пути 尸，непосредственно предшествующая дуге D. Предположим, что вершина £(£)') внутренняя. Тогда в силу условия (ii) ее цвет отличен от цвета вершины t(D). Но так как Р — чередующийся путь, то дуги £) и £)' имеют разный цвет. Следовательно, дуга Df нерегулярна. Это противоречит выбору дуги D.

В оставшемся случае f(Q') принадлежит некоторой компоненте ^ барьера %. Кроме того, £)' является дугой, ассоциированной с ребром А, проникающим в М Значит, ^ — достижи-

мая компонента, и она не содержит г (см. условие (iii)). Далее, в пути Р имеется первая по порядку дуга D", конец которой лежит в N. Эта дуга предшествует в Р обеим дугам D и Dr. Поскольку дуга D" не является ассоциированной с ребром 4, проникающим в ^^ то она должна быть нерегулярной в Р. Это противоречит выбору дуги D. □

Теорема VII. 18 (теорема о чередующемся соединении). Пусть г и s ——различные вершины, графа G. Семейство J(r) не имеет путей, идущих из г в s, тогда и только тогда, когда 6 графе 6 существует чередующийся барьер с центром г, одна из недостижимых компонент которого содержит вершину s.

Доказательство. Предположим, что в /(г) нет путей, идущих из г в s. Пусть х ——курсальный барьер с центром г. Вершина s является нонкурсальной относительно /(г) и, следовательно, принадлежит некоторой нонкурсальной секции, а значит, и какой-то недостижимой компоненте барьера х-

Обратно, предположим, что граф G содержит чередующийся барьер х с центром г и вершина s лежит в некоторой недостижимой компоненте этого барьера. Тогда в силу теоремы VII. 17 в J(r) не существует путей из г в 5. □

Вершина чередующегося барьера графа G называется достижимой, если она не содержится ни в какой недостижимой компоненте этого барьера. Рассмотрим курсальный барьер с центром г. Его достижимые вершины образуют совокупность таких вершин, до которых можно дойти из вершины г по путям, принадлежащим семейству /(г). В силу теоремы VII. 17 все эти вершины являются достижимыми и относительно любого другого чередующегося барьера графа G с тем же самым центром г. Следовательно, курсальный барьер минимален относительно числа достижимых вершин.

VIL 5. f-факторы и f-барьеры

Сейчас мы займемся приложениями теории чередующихся барьеров. Рассмотрим граф G и функцию Д которая каждой вершине х графа G сопоставляет целое число f(x), такое, что

О</ (х)< val (G, х). (VII. 5.1)

Остовный подгпаф F графа G называется f-ограниченным, если

val (F, x)<f(x) (VII. 5.2)

для всякой вершины 力 w V(G). Для такого подграфа 尸 мы полагаем

6 (尸,х) = / (х) — val (F, х),(VII. 5.3)

6仍)= e 6(尸(х)).(VII. 5.4)

л e V (G)

Заметим, что величина 6(尸,尤)всегда неотрицательна. Будем говорить, что вершина 尤 является насыщенной (или ненасыщенной) относительно 尸,если 8(F,x) — 0 (соответственно 6(尸,х) > 0).

Величину 6(尸)назовем дефицитом подграфа F. Если дефицит равен нулю, т. е. каждая вершина из G является насыщенной относительно 尸,то подграф F будет называться f-фактором графа G. В иной терминологии /-ограниченные остовные подграфы называют /-паросочетаниями, а /-факторы—совершенными /-паросочетаниями.

Дальнейшие наши шаги направлены на поиск необходимых и достаточных условий существования /-фактора в графе G. Одно довольно тривиальное необходимое условие мн сформулируем сейчас.

Теорема VII. 19. Если граф G имеет f-фактор, то

Е 〃%)三 0 (mod 2).(VII. 5.5)

л е V (G)

Для доказательства этого утверждения достаточно применить соотношение (I. 1.1) к f-фактору F.

На множестве V(G) удобно ввести новую функцию 广：

у (х) = val(G, х) 一 f(x).(VII. 5.6)

Очевидно, что неравенства (VII. 5.1) выполняются и для функции 『.Каждому f-фактору F графа G однозначно соответствует ^-фактор 尸'，ребрами которого являются все ребра графа G, не принадлежащие f-фактору F. Соответствие 尸->尸 задает один из видов двойственности в теории факторизации графов.

Приведем теперь весьма простую теорему о факторах.

Теорема VII. 20. Если G ——связный эйлеров граф и f (х)= = (l/2)val(G, х) для каждой вершины х, то граф G имеет f-фактор тогда и только тогда, когда число |E(G)| четное.

Доказательство. Если |E(G) | нечетно, то /-фактора быть не может (на основании теоремы VII. 19 и соотношения (I. 1.1)). Далее, по теореме VI. 25 в графе G существует эйлеров путь Р. Если \Е(G) I четно, то возьмем в Р каждое второе (т. е. четное) ребро. Получим множество ребер f-фактора F. □

Иногда в графе G удается выявить специальные образования, называемые f-барьерами, которые позволяют получить

нижнюю оценку дефицита /-ограниченных остовных подграфов. Для введения понятия /-барьера воспользуемся следующими определениями.

Пусть У — подмножество из V(G) и х — вершина графа G. Если х не содержится в У, то через А(У,%) обозначим число всех звеньев из G, соединяющих вершину х с вершинами из У. Если х принадлежит У, то Х(У, х) будет обозначать сумму числа звеньев из G, соединяющих х со всеми другими вершинами подмножества У, и удвоенного числа петель, инцидентных вершине х. Если X и У——непересекающиеся подмножества из V(G), то через А(Х, У) обозначим число звеньев графа G, у каждого из которых один конец лежит в X, а другой — в У.

Понятие f-барьера похоже на понятие чередующегося барьера, введенное в разд. VII.4. Пусть B=(S, Т)——упорядоченная пара непересекающихся подмножеств из V(G). Положим U = V(G) — (SU Т). Множество U порождает подграф G[U] графа G, называемый внешним графом пары В. Все компоненты этого внешнего графа будем называть компонентами пары В. Разделим эти компоненты на четные и нечетные.

Пусть К—произвольная компонента пары В. Положим

/(к)= £ f(6) + A(U(K), 7) (VII. 5.7)

и будем называть компоненту К четной или нечетной в зависимости от того, четным или нечетным является число /(К).

Число нечетных компонент пары В обозначим через й(В). Положим

д(В) = й(В)- X f(s)- X Г(/) + Л(5, 7) (VII. 5.8)

и назовем величину 5(B) дефицитом пары В. Пару В будем называть f-барьером, если 6(B) > 0.

Теорема VII. 21. Если у графа G есть f-барьер, то у него нет [-факторов.

Доказательство. Предположим, что у G имеются и /-фактор 尸 и /-барьер В = (S, Т).

Пусть К — нечетная компонента /-барьера В. Ясно, что число звеньев /-фактора 尸,соединяющих вершины из К с вершинами, не принадлежащими К, сравнимо по модулю 2 с

2 И%),

尤 w Р (К)

а значит, оно отлично от 九”(К),Т) (см. соотношение VII.5.7). Таким образом, либо существует ребро из 尸,соединяющее некоторую вершину, содержащуюся в V(K), с вершиной, входя-

15 Зак. 878

щей в S, либо найдется ребро, не принадлежащее F и соединяющее какую-нибудь вершину из 卜(К) с вершиной из Т. Пусть первая из этих возможностей выполняется для а нечетных компонент барьера В, а вторая возможность — для Ь. Тогда

a + b^h{B).(VII. 5.9)

Если /и — число ребер из 尸，у каждого из которых один конец лежит в S, а другой — в Т, то

£ f(s)^a + m.(VII. 5.10)

Число ребер f-фактора 尸 с одним концом в U, а другим в Г не превосходит величину Х(Т, U)—Ь. Наконец» удвоенное число петель, инцидентных вершинам из 7\ не больше суммы чисел Л(Т, /), взятой по всем 力 содержащимся в Т. Следовательно,

т> £ f(/) — A(T,。)一 £ % (Г, 0 + 6 = frTt е Г

=6+ X /Ю -- X val (G, /) + Л (S, Т), f vTt еГ

т. е.

m》b- Z Ю + “S,T), (VII. 5.11)

Из соотношений (VII.5.9), (VII.5.10) и (VII.5.11) получаем 0>А(в)- £ f(s)— X 厂(/)十工岱，Т), 0>6(B).

$ w Sf и Т

Это противоречит тому, что В есть f-барьер. □

В заключение данного раздела приведем две несложные теоремы об /-барьерах.

Теорема VII. 22. Если В —(S, Т) — произвольная упорядоченная пара непересекающихся подмножеств из V(G), то

6 (В)三 £ f(x) (mod 2). (VIL5J2)

x^V (G)

Доказательство. Используя соотношения (VII. 5.7) и (VII.5.8), получаем

6仍)三 £ f(") + A(T,S+ £ f(S)+ £ 〃/) + “三UswSfwT

+ X val(G, f) + A(S, 7)三

三 Z f (盼十 X val(G,/) + A(SUU, 7) (mod2). 口 x г V(G)t eT

В силу теоремы VII. 19 мы обычно имеем дело со случаем, когда функция f четно суммирующая, т. е. когда сумма, стоящая в правой части соотношения (VII.5.12), является четной. И тот факт, что величина 6(B) в этом случае четная, очень часто бывает полезным.

Приведем ряд замечаний о двойственности функций / и『. Обозначим через h/(В) и 6,(В) функции, получаемые из й(В) и 6(B) соответственно при замене в них функции f на『.Вместо пары В будет пара 8’ =(Т, S).

Теорема VII. 23. Если К—нечетная компонента пары. В = = (S, Т) относительно функции Д то К будет также нечетной компонентой пары В，=(T,S) относительно /Л

Доказательство, Пары В и В' имеют одно и то же множество U. Следовательно, если К является компонентой пары В, то она будет компонентой и пары В'. Пусть величина /'(К) определяется аналогично величине /(^) (из соотношения (VII. 5.7)), но с заменой f на 片 S —на 亍 и Т — на S. Тогда (см. (VII. 5.7))

〃К)三 £ val(G, 6)+ X f'® + A® (К), 7)三

b^V (К) b^V(K)

三大"(k),SU7)十 2 У3)+九w(K),7)三

b 巨 P (K)

WA”(K), S) + X л'(K) (mod2), 口 b 日 V (К)

Поскольку (片)，=力 то для каждой упорядоченной пары В =(S, Т) непересекающихся подмножеств из V(G) выполняются равенства

"(夕)=Л (В), 6’ (£) = 6 (В). (VII. 5.13)

VII. 6. Теорема об f-факторе

Алгоритм поиска f-фактора в графе G можно описать следующим образом: найдя какой-либо /-ограниченный остовный подграф F графа G, будем пытаться преобразовать его в другой такой же подграф, имеющий меньшее число ненасыщенных вершин. Повторяя этот процесс, мы надеемся довести число таких вершин до нуля.

В качестве начального остовного подграфа 尸 можно выбрать подграф, не содержащий ни одного ребра. Предположим, что на некотором шаге применения алгоритма мы получили /-ограниченный остовный подграф F и стараемся улучшить его. Ребра, принадлежащие подграфу F, назовем синими, а все

остальные ребра из G будем называть красными. Будем использовать терминологию из теории чередующихся путей.

Выберем ненасыщенную вершину 尸 подграфа F (если он не является f-фактором) и рассмотрим семейство /(г) чередующихся путей, выходящих из г. Предположим, что какой-то путь Р из этого семейства заходит в некоторую ненасыщенную вершину s, отличную от г. Удалим из F все синие ребра, принадлежащие пути Р, и присоединим к 尸 все красные ребра, содержащиеся в Р. Тем самым подграф F будет преобразован в новый остовный подграф 尸i графа G. Очевидно, что подграф 尸i является /-ограниченным и удовлетворяет следующим условиям:

6(Л，г) = д(Г, r)-l,(VII.6.1)

6(F],s) = 6(Rs)±l,(VII. 6.2)

6 (尸/) = 6(尸，f),(VII. 6.3)

если / отлична от г и s.

При переходе от 尸 к 尸i число ненасыщенных вершин не увеличивается, а величина 6(尸,г) уменьшается. Такое положение дел мы расцениваем как требуемое улучшение.

Если подходящего пути Р нет, то каждая уникурсальная и бикурсальная вершина графа G, отличная от г, будет насыщенной относительно F. Но и в этом случае может существовать одна возможность получения нужного нам улучшения, а именно если вершина г бикурсальна и 6(尸")2 2. Тогда 尸 будет входом в некоторую бикурсальную компоненту ^. Используя теоремы VII. 7 и VII. 10, заключаем, что в семействе /(К,г) существует невырожденный замкнутый путь Q, у которого первая и последняя дуги красные. Удаляя из подграфа F все синие ребра, принадлежащие пути Q, и присоединяя к F все красные ребра, содержащиеся в Q, мы получаем новый остовный подграф 户2 графа G. Этот подграф является /-ограниченным и удовлетворяет таким условиям:

6(&, г) = 6(£ г) —2, (VII. 6.4)

6 (尸2, /) = 6 (尸，/) = 0, если /耍 г. (VII. 6.5)

Мы снова добились улучшения подграфа 尸,ибо величина 6(尸，尸)уменьшилась, а число ненасыщенных вершин не возросло. Оказывается, что если какое-либо улучшение приводит к уменьшению величины 6(尸，尸)до нуля, то при этом число ненасыщенных вершин обязательно понизится.

Рассмотрим случай, когда никакое улучшение не возможно. Тогда вершина г является ненасыщенной относительно 尸，но всякая другая уникурсальная или бикурсальная относительно /(г) вершина насыщенна. Кроме того, если г — бикурсальная

вершина, то мы можем иметь только соотношение 6(尸，尸)=1. Удобно писать о(г) = 0 или о(г)=1 в зависимости от того, уникурсальной или бикурсальной является вершина г. Через S и Т обозначим множества уникурсальных вершин, соответственно красных и синих. Положим B=(S, Г). Пусть а — число бикурсальных секций с красными проникающими ребрами, а b—с синими.

Бикурсальные секции являются компонентами пары В. Покажем, что они нечетные. Пусть К—бикурсальная секция. Предположим сначала, что она имеет проникающее ребро. Тогда число синих соединяющих ребер для К либо больше Х(У(Ю, Г), либо меньше в зависимости от того, является проникающее ребро синим или красным. Это следует из теоремы VII. 15. Поскольку F насыщает каждую вершину из К, то число /(К) нечетное. Предположим теперь, что у К проникающего ребра нет, а значит, вершина г содержится в К・ Тогда число синих соединяющих ребер для К равно 九(卜(К),Т)・ Следовательно, 6(F,r)=l и г — единственная ненасыщенная вершина в ^. Снова /(К) является нечетным числом. Итак,

h(B)^a + b + o(r). (VII. 6.6)

Пусть /и — число синих ребер, у каждого из которых один конец лежит в S, а другой — в Т. Всякое синее ребро, инцидентное какой-нибудь вершине из S, является уникурсальным либо в некоторую вершину из Г, либо в некоторую вершину, содержащуюся в какой-то бикурсальной секции К (см. теоремы VII. 4 и VII. 5). В последнем случае рассматриваемое ребро будет проникающим в К・ Кроме того, каждая вершина из S является насыщенной относительно 尸(так как если г — унику реальная вершина, то она синяя по определению). Мы пришли к следующему соотношению:

X f(s) = /n + z>. (VII. 6.7)

Аналогично, все красные ребра, инцидентные вершинам из Т и не являющиеся проникающими в бикурсальные секции, уникурсальные в соответствующие вершины из S. Следовательно, число синих ребер, у каждого из которых один конец находится в Т, а другой — в U=y(G) — (S U Л, равно А(7, U)— а. Таким образом,

俏=£ val (尸，f) 一 £ А (Т, /) - 3 (7, U) — а)= f w Т t е Г

=£ 〃/)—1 + о(г) + а - £ val(G,/)十 A(S, 7),

т. е.

他=。一1+。(力一 £ f (0 + ^(S, т). (VII.6.8) Т

Используя формулу (VII. 6.7), получаем

1=а + & + а(г)_ £ f(s)_ X ff(t) + ^(S, 7).s 三 S t w T

Из соотношений (VII. 5.8) и (VII. 6.6) следует, что 6(B) ^ L Значит, В является /-барьером.

Итак, предложенный алгоритм либо приводит к /-барьеру, либо позволяет улучшить подграф F. Если у графа G /-барьера нет, то мы можем, не вводя никаких новых ненасыщенных вершин, снизить дефицит вершины 尸 до нуля. Затем то же самое можно сделать для другой ненасыщенной вершины и т. д., до тех пор, пока не будут исчерпаны все такие вершины. Тогда мы получим f-фактор. Теперь мы можем утверждать, что у графа G есть либо /-фактор, либо f-барьер. Объединяя этот результат с теоремой VII. 21, приходим к следующему утверждению.

Теорема VII.24 (теорема об f-факторе). Для заданной функции /, удовлетворяющей неравенствам (VII. 5.1), у графа G существует либо только f-фактор, либо только f-барьер [12].

При решении задач часто бывает полезно применять теорему VII. 24 вместе с дополнительной информацией о семействе f-барьеров графа G (при этом, естественно, предполагается, что /-барьеры у этого графа существуют). Например, один из f-барьеров можно считать курсальным барьером (правомочность этого предположения следует из приведенных выше рассмотрений, относящихся к алгоритму поиска /-фактора).

Еще один пример. Можно отобрать только максимальные /-барьеры, т. е. имеющие максимально возможный дефицит. Такие барьеры обладают рядом специфических свойств, которые можно легко извлечь из следующих далее теорем.

Пусть B = (S, Г)——произвольная упорядоченная пара непересекающихся подмножеств из V(G). Положим U = P(G) —— ——(S|JT)・ Если х — вершина из S или Г, то через ц(х) будем обозначать число нечетных компонент К пары В, таких, что в G существует ребро, инцидентное х и с концом в компоненте К. Посмотрим, что происходит при присоединении вершины х к подмножеству U, осуществляемом посредством замены пары В новой упорядоченной парой Вь совпадающей с (S — {х}, Г) или (S, Т — {х}). Очевидно, что ц(х) нечетных компонент пары В войдут в одну компоненту L пары 8卜 содержащую вершину х. Положим т] (х) = 0 или т| (х) = 1 в зависимости от того»

четной или нечетной является эта компонента L, Другие компоненты пары В, отличные от четных компонент, вошедших в 厶 станут компонентами пары В、без изменения четности. Из сказанного и определения величины 6(8) вытекают следующие утверждения.

Теорема VII. 25. Если х^ St то

6(5) - 6(吕)=nа)一汽灯十九(7\ x)-n(X).

Теорема VII. 26. Если х^Т, то

6 出)一6(吕)=n⑴一f(%) + 厶($ x)-ц(X).

Эти два результата являются отражением двойственности между / и /Л Принимая во внимание теорему VII. 22, мы можем ох а ра ктеризова ть т|(х) как величину, которая равна 0 или 1 и делает правую часть каждого из рассматриваемых соотношений четной. В обоих случаях правые части не отрицательны, если В ——максимальный f-барьер, и не положительны, если максимальным /-барьером является Вь Если справа в указанных соотношениях стоит нуль и какая-нибудь из пар В или Bi есть максимальный ^-барьер, то и другая пара должна быть максимальным f-барьером. Одним из приложений теорем VII. 25 и VII. 26 является следующее утверждение.

Теорема VII. 27. Если у графа G есть f-барьер, то у него существует и максимальный f-барьер B=(S, 7), такой, что f(x)^2 для х^Т 〃 /(%)》1 для x^S.

Доказательство. Пусть 8 = (S, 7)—максимальный /-барьер графа G с возможно меньшим числом вершин х, не удовлетворяющих указанным выше условиям.

Предположим, что для некоторого х^Т выполняется нера- венство /(х) ^ 1. Тогда『(％)》val(G, %)—1. Так как val(G, %)》 ^ ц(х)+ %(S, х), то правая часть соотношения из теоремы VII. 26 не положительна. Следовательно, Bi также является максимальным f-барьером, что противоречит определению пары В.

Будем теперь считать, что，(/)》2 для каждого t ^Т. Предположим, что при некотором 力wU выполняется равенство f(x) = 0. Добавим х к S. При этом пара В преобразуется в новую упорядоченную пару В2- Применим теорему VII. 25, полагая, что все выражения, находящиеся в правой части равенства, представлены《в терминах» пары 殳・ Тогда левая часть будет иметь вид 6(旦2)— 6(B). Поскольку правая часть полученного соотношения неотрицательна, то пара 8? является макси^ мальным /-барьером графа G. Это противоречит определению

пары В. Итак, мы установили, что пара В удовлетворяет сформулированным условиям. □

Особый интерес представляет случай, когда f(x)= 1 для всякой вершины х. Тогда /-фактор называют 1-фактором. Пусть S ——подмножество из V(G). Через h(S) обозначим число всех компонент подграфа G[b(G)—S] с нечетным числом вершин.

Теорема VII.28 (теорема об 1-факторе). Граф G либо содержит 1-фактор, либо имеет подмножество S из V(G), такое, что |S| V 九(S), причем эти свойства не могут выполняться одновременно [11].

Доказательство. Из теоремы об /-факторе следует, что граф G имеет либо 1-фактор, либо f-барьер В =(S, Г), но не то и другое одновременно. (Здесь f(x)= 1 для всех х.) Если существует /-барьер В, то мы можем считать в силу теоремы VII. 27, что Т ——пустое подмножество. Тогда всякая нечетная компонента f-барьера В содержит нечетное число вершин. Используя определение величины 6(8), получаем, что \S\ < h{S). Обратно, если для некоторого S выполняется неравенство |S|V V 无(S), то очевидно, что пара (S, 0) есть f-барьер графа G. □

Следует заметить, что если функция f не является четно суммирующей, то пара (0,0) представляет собой f-барьер. Мы уже видели, что в этом случае /-фактора нет.

В заключение данного раздела приведем одну классическую теорему о факторе [10].

Теорема VII.29 (теорема Петерсена). Пусть G ——связный кубический граф, у которого перешейков либо нет, либо все они принадлежат одной цепи. Тогда у G существует 1-фактор.

Доказательство. Из соотношения (I. 1.1) следует, что число вершин у графа G четное. Значит, функция / является нуль- суммирующей (как в соотношении (VII. 5.5)).

Предположим, что у графа G 1-фактора нет. Тогда в силу теоремы VII. 28 в множестве 7(G) существует подмножество S, такое, что |S| < h(S). Поскольку число | V(G) | четное, то разность 九(S)——\S\ также четная. Следовательно,

h(S)^\S\ + 2t (VII. 6.9)

Рассмотрим нечетные компоненты ^ подграфа G [V(G)—S]. Очевидно, что числа А(卜(K),S) нечетные. Предположим, что у а компонент К эти числа равны 1 н у b — не меньше 3. Тогда 九(S) = а + 6.

Пусть /и — число ребер графа G,y каждого из которых один конец принадлежит подмножеству S, а другой содержится в

какой-либо нечетной компоненте подграфа G [卜(G)— S]. Из приведенных выше определений и рассмотрений с учетом трехвалентности графа G получаем

3\S\^m^a + 3b = 3h(S)-2a^3\S\ + G~2a.

Значит, а》3・

Итак, у графа G есть три различных перешейка: Дь 4? и 4з, и торцевые графы этих перешейков ——это Ki, ^2 и Кз соответственно —являются различными нечетными компонентами подграфа G [V(G)——S]. Если все перешейки графа G принадлежат одной цепи L графа G, то каждый из графов Ki, ^2 и Кз должен содержать конец цепи L, что, очевидно, невозможно (см. теоремы 1.41 и 1.24). □

VIL 7. Подграфы с наименьшим дефицитом

Пусть G н f будут такими, как в разд. VII. 5. Даже если у G нет /-фактора, можно попытаться найти минимально возможный дефицит для /-ограниченного остовного подграфа графа G. Введем такое обозначение:

。⑺= 2 НД (VII. 7.1)

Справедлива следующая

Теорема VIL 30. Пусть F — произвольный f-ограниченный остовный подграф графа G. Тогда 6(F) сравнимо по модулю 2 e。行).

Это утверждение вытекает из формулы (VII. 7.1) и соотношения (I. 1.1), примененного к подграфу F.

Пусть k ——целое положительное число, сравнимое с u(f) по модулю 2. Попытаемся найти условие, обеспечивающее существование в графе G такого остовного подграфа 尸，что 6(户)W W k. Для достижения этого построим из графа G специальный граф Н.

Возьмем целое положительное число /и》々/2 и еще одно целое положительное число д, которое не меньше, чем f(x), при всяком х е V(G). Для построения графа " добавим к G новую вершину w и соединим ее с каждой вершиной графа G q новыми звеньями. Кроме того, в самой вершине w проведем /и петель. Положим f(w)= k. Очевидно, что получившаяся функция f является четно суммирующей для графа Н.

Теорема VII.31. Граф G тогда и только тогда имеет (-ограниченный остовный подграф 尸 с 6(尸)W 力，когда у графа " существует f-фактор.

Доказательство, Предположим сначала, что у Н есть /-фактор 尸1・ Число звеньев в 尸】，соединяющих вершину w с вершинами из G, не превосходит А. Удаляя из 尸i вершину w и инцидентные ей ребра, получим /-ограниченный остовный подграф 尸 графа G, такой, что 6(尸)W k.

Предположим теперь, что у графа G есть /-ограниченный остовный подграф F с 6(尸)W 后.Соответствующий /-ограниченный остовный подграф 尸2 графа " строится следующим образом. Сначала к F присоединяем вершину ш, а затем для каждой вершины хе V(G) ровно 6(尸，尤)ребер, содержащихся в Н и соединяющих х с w. Результирующий остовный подграф 尸2 графа Н насыщает каждую вершину из G. Кроме того, принимая во внимание формулу (VII. 7.1) и специальный выбор числа 力,заключаем, что число 6(尸2, 5) четное. Значит, присоединяя некоторое число петель (быть может, равное нулю) в вершине w графа Н, подграф 尸？ легко преобразовать в /-фактор Fi графа Н. □

Теорема VII. 32. Пусть k — произвольное целое положительное число, сравнимое с o(f) по модулю 2. Тогда у графа G существует либо только f-ограниченный остовный подграф 尸 с 6(尸)W 力，либо только f-барьер В с 6(B) > k.

Доказательство. Предположим сначала, что в G соответствующего подграфа F нет. Тогда в силу теоремы VII. 31 описанный выше граф Н f-фактора не имеет. Значит, у Н существует f-барьер В = (S, Т) (см. теорему VII. 24). Из всех /-барьеров графа " выберем некоторый f-барьер В, руководствуясь следующими правилами:

если возможно, вершина w должна находиться s S;

если вершина w принадлежать S не может, то она должна содержаться, если это возможно, в подмножестве U = = V(G)——(SUT)；以 тогда по данному правилу f-барьер В должен выбираться так, чтобы величина |Т| была минимально возможной.

Предположим сначала, что ни одно из сформулированных правил реализовать невозможно, т. е. о; е Т. Посмотрим, что происходит при добавлении вершины w к подмножеству U, в результате чего пара В заменяется другой упорядоченной парой Вь Применяем теорему VII. 26 к графу ", учитывая, что

У (х) = val (", х) — f (х).

Поскольку у вершины w имеется m петель, val(//, х) не меньше, чем f(5)+A(S,侬)+卩(侬).Значит, правая часть соотношения из теоремы VII. 26 неположительна и поэтому Bi —— еще один f-барьер графа Н. Это противоречит нашему предположению.

Предположим теперь, что w ^ U. Выясним, что будет при добавлении к U вершины t из Т. Очевидно, что В имеет теперь только одну компоненту. Следовательно, в В не более одной нечетной компоненты. Поэтому ft(B)^ 1 и ц(/)^ 1. Далее

val(G, t)>q + K (S, /)》〃/) + % (S, /).

Значит, правая часть формулы из теоремы VII. 26 не положительна (в силу нашей характеризации величины п(%))， а поэтому добавление /к U означает замену пары В другим /-барьером графа Н. Однако это невозможно, ибо В выбирается в соответствии с правилом (ii). Следовательно, остается одна возможность——подмножество Т является пустым. Но тогда, поскольку h(B) ^ 1, из (VII. 5.8) вытекает равенство 6(8)= 1, которое (см. теорему VII. 22) выполняться не может, так как f ——четно суммирующая функция для графа ".

Теперь мы вправе утверждать, что w ^S. Удаляя w из S, получаем /-барьер В1 = (S — {г^}, Т) графа G, такой, что 6(&)> 瓦 ибо 九(S, Т) и Ef'(Z), f w Т, при переходе от " к G уменьшаются на одну и ту же величину. □

Объединение .теорем VII. 27 и VII. 32 можно сформулировать в минимаксной форме: минимально возможный дефицит для /-ограниченного остовного подграфа графа G равен максимально возможному дефициту для упорядоченной пары (S, Т) непересекающихся подмножеств множества V(G). В этой связи заметим, что 6(S, Т) ^ 0, если подмножества S и Т пустые.

Теорему VII. 32 можно применять и тогда, когда f(x)= 1 для любой вершины х. В этом случае предпочтительно говорить не об /-ограниченности, а об 1-ограниченности. Из теоремы VII. 27 следует, что необходимо рассматривать только такие f-барьеры, у которых подмножество Т пустое. Получаемый при этом результат называют обобщением Бержа теоремы об 1-факторе (см. [1]).

Теорема VII. 33. Пусть k — целое положительное число, сравнимое по модулю 2 с | V(G) |. Тогда граф G имеет либо только \-ограниченный остовный подграф F с 6(尸)W 力,либо только подмножество S множества V(G), такое, что h(S) > |S| + ft.

VII. 8. Двудольный случай

В этом разделе мы будем предполагать, что граф G имеет 2-разбиение ((/, V). Через E(U) и соответственно 2(V) будем обозначать сумму значений f(x) по всем % w U и соответственно по всем х е V. Функцию f будем называть сбалансированной, если E(U)= 2”).

Теорема VII.34. Если у графа G есть "фактор, то f — сбалансированная функция,

Это утверждение вытекает из того очевидного факта, что каждая сумма 2(U) и S(V) равна числу ребер, содержащихся в『-факторе.

Пусть B = (S, Т)——произвольная упорядоченная пара непе- ресекающихся подмножеств из V(G). В двудольном случае вместо 6(B) удобнее рассматривать более простую функцию

р 仍) = A(S, Т)— £ f(s)- Z『(/). (VII. 8.1)

s w Sf w T

Очевидно, что

p(u, b) = £ ⑺一工(U).(VIL 8.2)

Из (VII. 8.1) легко выводятся следующие два соотношения:

Р (S — {s}, Т)-p(S, T) + f (s) — 九(T, s),(VII. 8.3)

P (S, T — {/}) = p (S, T) — f (f) + A " (G) 一 S, /), (VII. 8.4)

где s и / — произвольные вершины из подмножеств S и Г соответственно.

Эти два равенства могут выполняться и для недвудольного графа.

Теорема VII. 35. Пусть / — сбалансированная функция. Тогда граф G имеет либо только 卜фактор, либо только упорядоченную пару В = (S, Т), такую, что S Uf Т ^V и р (В) > 0.

Доказательство. Предположим сначала, что G имеет указанную в условии теоремы пару B = (S, Т). Если у графа G был бы f-фактор F, то, полагая, что число ребер из 户,соединяющих подмножества S н Т, равно /и, мы получили бы, что

£ f(s)^m> X (f(t)-k(U-S, /)) = s и Sf 已 T

= A(S, Л- I f'(f)

и, значит, p(B) ^ 0. Это противоречит сделанному нами предположению.

Будем считать теперь, что в графе G не существует пары В, указанной в условии теоремы. Применяя алгоритм из разд. VII. 6, мы придем в конце концов к /-ограниченному остовному подграфу F графа G, не допускающему дальнейшего улучшения. Предположим, что 尸 не имеет f-фактора. Тогда, так как f ——

сбалансированная функция, то в V найдется вершина г, не являющаяся насыщенной относительно F. Рассмотрим семейство путей /(г) ——см. разд. VII. 6. У каждого невырожденного пути Р из J(r) первая дуга красная, и ее конец лежит в U. Вторая дуга, если она есть, синяя, и ее конец содержится в V. Третья дуга опять красная с концом, принадлежащим U, и т. д. Значит, бикурсальных ребер нет. Более того, если S и Т ——подмножества уникурсальных вершин, состоящие соответственно из красных и синих пунктов, то S 三 U н Т 三忆 Рассуждая так же, как в разд. VII. 6, приходим к следующему соотношению:

1=a+ 6 +0("一 2 f(s)- 2 f^)+ K{s,T).s е S f 三 7

Ho 。+匕十 o(r) есть число бикурсальных секций, и, значит, в данном случае оно равно нулю. Поэтому р(8)= 1. Таким образом, В удовлетворяет условиям доказываемой теоремы, т. е. мы пришли к противоречию с принятым выше предположением. □

Рассмотрим случай, когда f (х) = 1 для любой вершины х. Если существует некоторая пара В = (S, Т) с р (В) > 0, то (в силу соотношения (VII. 8.4)) найдется пара, удовлетворяющая условию, что в подмножестве Т нет ни одной вершины, смежной с какой-либо вершиной, не принадлежащей S. Тем самым из доказательства теоремы VII. 35 извлекается еще одно обоснование теоремы Холла (см. теорему II. 39).

Задачи, относящиеся к /-ограниченным остовным подграфам общего вида, могут быть сведены к задачам об /-факторах. Предположим, например, что мы ищем условие существования в двудольном графе G /-ограниченного остовного подграфа F с {/-дефицитом, не превосходящим некоторого целого положительного числа й. Здесь под U-дефицитом 6(尸，U) понимается сумма величин 6(尸,尤),взятая по всем вершинам 尤 из U. Можно считать, что S (t/) ^ S (V) + ft, так как иначе соответствующего подграфа F не существует.

Из графа G строим новый граф Н: присоединяем новые вершины 〃* и и* соответственно к U и V; затем достаточно большим числом ребер соединяем вершину и* с каждой вершиной из У и вершиной v*, а вершину и* ——с каждой вершиной из U; далее полагаем f(u*)=^ и выбираем значение f(〃*) таким, чтобы функция f была сбалансированной в Н. Если указанные выше «достаточно большие числа» превышают определенный уровень, то можно утверждать, что граф G имеет подграф F требуемого вида тогда и только тогда, когда у графа Н существует f-фактор (см. [13]).

У〃.9. Теорема Эрдёша — Галлаи

Будем рассматривать разбиения (fi,，2, • ■ •, /Р) целого положительного числа 2q на р частей. Считаем, что 厶 ^ % .… 2 fp• Такое разбиение Р называется строго графическим (или, короче, графическим), если существует простой граф G с р вершинами и】, и?，• •., Up, такими, что валентность вершины vt равна 力(I = 1, 2, ..., р). Эрдёш и Галлаи установили следующий результат (см. [3]):

Теорема VII.36. Разбиение Р является графическим тогда и только тогда, когда

£ 力 &r(r—l)+ £ min (г, Л) (VII. 9.1) i=lZ=r+1

для каждого целого числа г, удовлетворяющего неравенствам 1 W г W — 1.

Чтобы применить методы, изложенные в данной главе, рассмотрим р-клику К с занумерованными вершинами vb и2, * • • ...,Up. Положим 貿力)=力 для каждой вершины и；. Очевидно, что разбиение Р является графическим тогда и только тогда, когда у К есть /-фактор.

Предположим, что соотношение (VII. 9.1) для некоторого г не выполняется. Тогда в качестве Г возьмем множество {иь ...,и/, а в качестве S — подмножество из {力+i, …，ир}, состоящее из всех таких вершин х, что f (х) V г.

Полцгая, как обычно, С7 = V (G) — (S U Л» имеем;

X f(/)> £ х(т,/)+ X f(s)+ r-\u\= Z е ГfwTswS

=X vaI(K,/) — A(S, 7)十 £ f(s).

/ е Гs v S

Значит, 6(S, T)> 0, а потому в силу теоремы VII. 24 /-фактора у К нет и, следовательно, разбиение Р графическим не является.

Обратно, пусть разбиение Р не графическое. Тогда у К найдется f-барьер B = (S, Т). Так как &—клика, то h(B)W 1 для всякого такого В. Значит, величина ц(х) из теорем VII. 25 и VII. 26 равна либо 0, либо 1. Выберем В таким, чтобы его дефицит был максимально возможным. Полагая \Т\ — г и применяя теорему VII. 25, получаем

Н (х) - / (х) + % (Г, %) - П (х) > О, (VII. 9.2)

если 尤 w S, н

Н (х) - f (х) + 九(Г, %) — т] (х) & О, (VII. 9.3)

если 力三 U. Следовательно, в первом случае f (х) ^ г, а во втором / (х) ^ г. Здесь учитывалась четность левых частей выписанных соотношений (так что, если f (%) = А (Г, х) = г, то |л (х) = т] (х) = 0 или 1). Далее

i=l fwT

>6(s, 7)+ £ f(s)+ £ val(K,/) — A(S, Т)s w St w 7

(в силу соотношения (VII.5.8)), а поэтому

£ Л > £ f (s) + г (г — 1) + r 1171 = г (г — 1) + £ min(r, fj). i=l $ v Sf=r+l

Таким образом, если разбиение Р не является графическим, то неравенство (VII. 9.1) для некоторого г не выполняется. □

IL 10, Замечания

II. 10.1. Курсальность вершин и ребер

Теория, изложенная в первых четырех разделах данной главы, может быть обобщена на любое число цветов (красок). Подробно об этом говорится в статье автора, опубликованной в журнале《Combinatorica》(см. [13]).

II. 10.2. Алгоритмы

Известен хороший алгоритм, который позволяет находить 1- и f-факторы либо доказывать их несуществование (см. [2]).

II. 10.3. Пфаффианы

Пусть G — граф без петель, ребрам которого приписаны проводимости (как в разд. VI.4), а вершинам — номера: Ui, 02,…,Um・ Сопоставим графу G квадратную матрицу [иц], где 〃讶—взятая со знаком плюс или минус сумма проводимостей всех ребер, соединяющих вершины Vi и и『.Знаки перед этими суммами выберем так, чтобы 〃订=——и戸,т. е. чтобы матрица [иц\ была кососимметрической. При четных 孔 определитель матрицы [иц] является квадратом некоторого многочлена Р от заданных проводимостей и называемого пфаффианом матрицы [иц]. Этот пфаффиан можно определить и явно：

尸==£ 6UfjU^/Umrt ... urst

где ，V 厶月 V / и т. д., причем i <i k < m < ... < г и (/, /, kt Z, ..., r, s) есть перестановка соответствующего подмножества множества {1,2, ..., л}. Коэффициент е равен 1 или —1 в зависимости от того, четна или нечетна указанная перестановка. Можно показать, что слагаемые пфаффиана Р, являющиеся произведениями 孔/2 различных проводимостей, взаимно однозначно соответствуют 1-факторам графа G (у одних слагаемых коэффициент положительный, а у других ——отрицательный).

Теория 1-факторов, представленная в работе [11], базируется на свойствах пфаффианов. В статье [9] Монселл показал, что использование пфаффианов можно заменить простыми теоретико-графовыми рассуждениями. Позднее Кастелейн установил, что для планарных графов с единичными проводимостями знаки перед слагаемыми можно подобрать так, чтобы значение пфаффиана совпадало с числом 1-факторов графа. Используя этот результат, он нашел число 1-факторов некоторых планарных графов, представляющих интерес для физики (см. [7]). Его метод можно распространить и на кое-какие непланарные графы (см. [5], [6] и [8]).

Упражнения

Пусть ребра у графа куба имеют красный и синий цвет. Выбрав вершину г, расклассифицировать относительно нее ребра на уникурсальные, бикурсальные и нонкурсальные.

Взяв какой-либо 9-цикл в графе Петерсена и считая ребра этого цикла синими, а остальные ребра графа — красными, найти чередующийся невырожденный путь, начинающийся и оканчивающийся в вершине г, не принадлежащей выбранному 9-циклу. Используя этот путь, заменить дополнение 9-цикла на 1-фактор.

Выяснить непосредственно, являются ли графическими следующие наборы целых чисел: (3, 2, 2, 1) и (5, 5, 4, 2, 2, 2). Сравнить эти результаты с теми, которые получаются с помощью теоремы Эрдёша ——Галлаи.

Показать, что всякий 4-связный 5-однородный!) граф с четным числом вершин имеет 1-фактор.

Литература

Berge С. Graphes et hypergraphes (р. 154). — Paris: Dunod, 1970.

Edmonds J. Paths, trees and flowers. — Canad. J. Math. 17 (1965), 449—467.

О To есть валентность каждой вершины равна 5.——Прим, пере в.

Erdos Р„ Gallai Т. Graphs with prescribed valencies. — Mat. Lapok 11 (I960). 264-274 (Hungarian).

Gallai T. Neuer Beweiss eines Tutte'schens Satzes. - Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl. 8 (1963), 135—139.

Gibson P. M. The Pfaffian and 1-factors of graphs. — Trans. New York Akad. Sci. (2) 34 (1972), 52—57.

Gibson P. M. The Pfaffian and 1-Factors of Graphs — II. — In: Graph theory and applications. — Berlin: Springer, 1972, 89-98.

Kasteleyn P. Dimer statistics and phase transitions—J. Math. Phys., 1963, 287—293.

Little С. H. C. An Extension of Kasteleyn's Method of Enumerating the 1-Factors of Planar Graphs. — Combinatorial Mathematics. — Berlin: Springer, 1974.

Maunsell F. G. A note on Tutte's paper «The factorization of linear graphs».— J. Lond. Math. Soc. 27 (1952), 127—128.

PeUrsen J. Die Theorie der regularen Graphs. — Acta Math. 15 (1891),

Tutte W. T. The factorization of linear graphs.— J Lond. Math. Soc. 22 (1947), 107-111.

Tutte W. T. The factors of graphs. — Canad. J. Math 4 (1952), 314—328.

Tutte W. T. Graph factors. — Combinatorica 1 (1981),79—97.

16 Зак. 878

Глава VIII

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ

VIII. /. Группы цепей

В этой главе мы применим к теории графов язык и методы линейной алгебры. Мы исходим из конечного множества S, элементы которого назовем клетками, и коммутативного кольца R, содержащего единичный элемент. Нулевой и единичный элементы кольца R будем обозначать через 0 и 1 соответственно. В наших приложениях множество S будет либо множеством вершин, либо множеством ребер некоторого графа.

Цепью в S над кольцом R называется произвольное отображение f множества S в R. Если х е S, то элемент f(x) кольца R будем называть коэффициентом при х в f. Если множество S непустое, то существуют нулевая и единичная цепи s S. У первой все коэффициенты ——нули, а у второй ——единицы. Если S — пустое множество, то мы говорим, что существует только одна цепь в S над кольцом R, и называем ее нулевой цепью.

Если f — цепь в S над кольцом R н 入三 R, то через 入f обозначается цепь в S над R, называемая произведением / «а % и определяемая следующим правилом: коэффициент (%/)(%) при х в %/ равен %-/(х) для каждого х ^ S. Если 厶 и % — цепи в S над R, то сумма 厶 + % представляет собой цепь в S над R, определяемую следующим правилом: коэффициент (八 + + %)(%) при х в fi + f2 есть 厶(％)+%(%) для всякого 力巨 У. Так определенное сложение естественным образом распространяется на число слагаемых, большее двух, и удовлетворяет законам коммутативности и ассоциативности. Кроме того, умножение на элементы из R дистрибутивно относительно сложения. Разность 厶——,2 определяется как сумма вида 九+(—1),2・

Рассмотрим некоторую непустую совокупность F ={/ь ^,… ...,/л} цепей в S над кольцом R. В 尸 могут встречаться и одинаковые цепи. Предположим, что некоторая цепь f в S над R удовлетворяет соотношению

f=玄 %力=%" + 儿2% + …+%”， (VIII. 1.1) /=1

где Aj ——элементы из R. Тогда мы будем говорить, что / представлена в виде линейной комбинации цепей из F с коэффи-

циентами А/. Если нулевая цепь может быть представлена как линейная комбинация цепей из F, где не все коэффициенты равны нулю, то говорят, что элементы (или цепи) из F линейно зависимы. Это будет, например, в том случае, когда одна из цепей, входящих в F, нулевая или когда в F имеются одинаковые цепи. Если нулевая цепь не представима в виде такой линейной комбинации, то элементы совокупности F называются линейно независимыми. В этом случае все они разные и отличны от нулевой цепи.

Носителем цепи f в S над R (обозначение Sp(f)) называется множество всех тех 力巨 S, для которых /(х) =# 0. Если fug — две цепи, удовлетворяющие включению 6p(g)^Sp(f), то мы будем говорить, что / окаймляет g (или g окаймляется /). Если, кроме того, Sp(g) строго содержится в Sp(f), то мы скажем, что / строго окаймляет g (или g строго окаймляется /).

Группой цепей множества S над кольцом R называется непустое множество ^ цепей в S над R, замкнутое относительно сложения цепей и относительно умножения их на элементы из R. Рассматривая произведение произвольной цепи из ^ на нуль кольца R, заключаем, что группе ^ принадлежит нулевая цепь. Далее, вместе со всякой цепью /, входящей в группу N, в ней должна содержаться цепь ——/ =(——1)力 удовлетворяющая равенству / + (—/) = 0. (Здесь и дальше символ 0 используется для обозначения нулевой цепи.) Справедливо более общее утверждение: любая линейная комбинация элементов из группы ^ является элементом этой группы.

Элементарной цепью группы N называется ненулевая цепь из ^, не являющаяся строго окаймляющей ни для какой другой цепи из N.

Теорема VIII. 1. Если цепь / из группы ^ имеет такой же носитель, как и некоторая элементарная цепь g из ^, то / —— элементарная цепь.

Это утверждение вытекает из определения элементарной цепи.

Теорема VIII. 2. Каждая ненулевая цепь из группы ^ окаймляет некоторую элементарную цепь из N.

Доказательство. Среди ненулевых цепей группы ^, окаймляемых цепью /, находится сама цепь /. Выберем из них цепь с минимальным носителем. Она и является элементарной. □

Клеточной базой группы N называется такое подмножество D множества S, которое пересекается с носителем каждой ненулевой цепи из ^ и является минимальным подмножеством с этим свойством.

Теорема VIII.3. Каждая группа цепей N множества S над кольцом R имеет хотя бы одну клеточную базу.

Доказательство. Пусть F ——класс всех подмножеств Т множества S, которые пересекаются с носителем каждой ненулевой цепи из N. Очевидно, что F ——непустой класс, так как в него входит само множество S. Выберем в F минимально возможное подмножество D. Оно и является клеточной базой группы М □

Теорема VIII.4. Пусть D — клеточная база группы цепей N множества S над кольцом R. Пусть х ——произвольная клетка из D. Тогда существует элементарная цепь g из ^J такая, что Sp (g) пересекается с D только по х.

Доказательство. В силу минимальности D найдется ненулевая цепь f в группе ^, такая, что Sp(f) не пересекается с D ——{%}. На основании теоремы VIII.2 цепь / окаймляет некоторую элементарную цепь g. Носитель цепи g должен пересекаться с D. Они могут пересекаться только по элементу х. □

Рассмотрим произвольное подмножество Т из S. Если / — какая-то цепь в S над R, то ее ограничение f-T на подмножество Т определяется как цепь в Т над R, у которой коэффициент при каждой клетке %wT совпадает с коэффициентом при той же клетке в /. Очевидно, что если ^ — произвольная группа цепей множества S над кольцом R, то ограничения на Т всех цепей из ^ образуют группу цепей подмножества Т над кольцом R, которая будет обозначаться через N-T и называться редукцией группы, N на подмножество Т. Нетрудно видеть также, что ограничения на Т всех тех цепей / из N、для которых Sp(f)三 7\ образуют специальную группу цепей подмножества Т над кольцом R. Эту группу мы обозначим через ^ X ^ и назовем сжатием группы ^ на подмножество Т. Из приведенных определений вытекают следующие соотношения (здесь U三Т三S):

(N ・T)・U = N ・U, (VIII. 1.2)

@XT)XU = NXU, (VIII. 1.3)

(N X 7) • U = (N • (S — ⑺ 一 U))) X U・ (VIII. 1.4)

Последнее из них, возможно, менее очевидно, чем два других. Для его доказательства достаточно заметить, что множества, стоящие в нем слева и справа, состоят из ограничений на U всех тех цепей из ^, у которых носители не пересекаются с S ■— Т.

Группу цепей вида (N \Т) • U будем называть минором группы N. Очевидно, что группы N XT и N • Т являются

соответственно минорами (N X Т) • Т и (Л^ X S) • 7 группы М Сама группа ^ есть свой же минор вида (NXS)・W. Кроме того, в силу соотношения (VIII. 1.4) каждый минор группы ^ можно записать как (^•7^)X U-

Теорема VIII. 5. Минор минора группы N является минором группы ^.

Это утверждение следует из соотношений (VIII. 1.2), (VIII. 1.3) и (VIII. 1.4). Ср. с доказательством теоремы II. 8. □

Если / и g ——цепи в S над R, то их скалярное произведение (f・g) определяется следующей формулой:

(f・g)= X f(x)g(x)・(VIII. 1.5)

Справедливы тождества

(f・g) = (g・f),(VIII. 1.6)

九(f・g) = (步 g)，(VIII. 1.7)

(f + g)-h = (f-h) + (g-h).(VIII. 1.8)

Если (f・g) = O, то цепи f и g называются ортогональными.

Пусть N—произвольная группа цепей множества S над кольцом R, а ^* — множество всех тех цепей в S над R, которые ортогональны каждой цепи из N. Очевидно, что нулевая цепь принадлежит №. Используя соотношения (VIII. 1.6), (VIII. 1.7) и (VIII. 1.8), заключаем, что № есть группа цепей множества S над кольцом R*

Теорема VIII. 6. Если N — группа цепей множества S над кольцом R, то N АГ* w = АГ**.

Доказательство. Каждая цепь из ^ ортогональна любой цепи из АГ, а значит, принадлежит АГ*. Таким образом, ^ У**.

Аналогично устанавливается включение N* ^N***. С другой стороны, каждая цепь из АГ** ортогональна всякой цепи из ^**, а следовательно, и любой цепи из ^ (ибо N ^N”). Поэтому W. □

Если N** = ^, то группа ^* называется двойственной (к) группе ^. Тогда и сама группа N двойственна группе АГ. Применяя теорему VIII. 6, получаем, что группы АГ и АГ* двойственны друг другу. Здесь мы как раз встретились с той „алгебраической двойственностью11, которая указана в названии настоящей главы.

Теорема VIII. 7. Если T^S. то (N ・К = № 资Т.

Доказател 6 ст во. Рассмотрим произвольную цепь f в Т над R, принадлежащую группе (N・T)L Пусть 厶一такая цепь в S над X, что f{ • T = f и коэффициенты при всех %, не входящих в Т, равны нулю. Тогда % ортогональна всякой цепи из ^, а значит, f r N* XT.

Обратно, если цепь f содержится в ^* X ^, то она является ограничением на 7 некоторой описанной выше цепи 厶 из №・ Следовательно, f ортогональна ограничению на Т каждой цепи из М, т. е. f 三(N・ Т)*. □

VIII. 2. Примитивные цепи

Через R' обозначим множество всех обратимых элементов из R, т. е. элементов, имеющих обратные.

Теорема VIII.8. Произведение обратимого элемента А 〃 ненулевого элемента 卩,принадлежащих R, является ненулевым элементом.

В самом деле, если предположить, что Лц = 0, то ц = =(九九)у,=九(Лц) = 0. □

Теорема VIII. 9. Произведение двух обратимых элементов А и \i из R есть обратимый элемент.

Для 九卩 обратным является элемент A"prL □

Пусть N ——произвольная группа цепей множества S над кольцом R. Цепь из N называется примитивной, если она является элементарной цепью в ^ и все ее коэффициенты принадлежат

Если цепь / может быть получена из цепи g умножением на ненулевой элемент кольца R, то мы будем называть ее цепью, кратной цепи g.

Теорема VIII. 10. Пусть g ——примитивная цепь группы АЛ Цепь / группы, ^ кратна цепи g тогда и только тогда, когда Sp(f) = Sp(g).

Доказательство. Если ц — ненулевой элемент из R, то, очевидно, |ig — ненулевая цепь группы М с носителем, равным Sp(g) (см. теорему VIII. 8).

Обратно, пусть Sp(f)=Sp(g). Выберем % в Sp(g) и положим v = f (х) (^ (х))-1. Тогда носитель цепи / — v^ содержится в множестве Sp(g) —{%}• Следовательно, f = wg, так как g — элементарная цепь. □

Теорема VIII. 11. Пусть g — примитивная цепь из N и х —— клетка из Sp(g). Тогда произведение цепи g на любой элемент

из R' является примитивной цепью из N. В одной из таких цепей коэффициент при х есть 1.

Доказательство. Указанное произведение есть элементарная цепь группы N (в силу теорем VIII. 1 и VIII.8). На основании теоремы VIII. 9 заключаем, что все такие цепи являются примитивными. Остается воспользоваться тем, что (g(x))-1—обратимый элемент кольца R. □

Клеточная база D группы ^ называется примитивной, если для всякого 力告Q в М найдется примитивная цепь g, такая, что ^nSp(g)={x}. В силу теоремы VIII. 11 цепь g можно выбрать так, чтобы g(x) = 1. Обозначим эту цепь через g(O,%)・ Очевидно, что цепь g(£), %) определяется однозначно. В самом деле, если бы существовало две таких цепи, то носитель их разности не пересекался бы с D.

Множество цепей {g(O, %)}, где х пробегает все D, назовем базой цепей, соответствующей примитивной клеточной базе О, и будем обозначать ее через B(D).

Теорема VIII. 12. Пусть D — примитивная клеточная база группы N. Тогда элементы, базы цепей B(D) линейно независимы. Более того, каждая цепь из N представима единственным образом в виде линейной комбинации элементов из B(D).

Доказательство. Предположим, что

где A* w R. Тогда коэффициент, стоящий в указанной сумме при х, равен А*. Значит, А* = 0 для каждого х. Этим обоснована первая часть теоремы.

Пусть теперь f — произвольная цепь из М Носитель цепи f— X f (%) g (。, ％)

не пересекается с D, и, следовательно, эта цепь нулевая. Таким образом,

/= X f(%)g(。，％),(VIII. 2.1)

т. е. цепь / представлена в виде линейной комбинации элементов из B(D).

Предположим, что существует еще одно такое представление цепи f:

f = X kg (。, ％)•

Тогда

Z (“X —f (%))g(£), х) = 0

и, значит, ц« = /(х) (как было установлено выше). Итак, представление (VIII.2.1) для цепи / единственное. □

Следствие VIII. 13. Если носитель цепи / из группы N пересекается с D только по одной клетке х, то цепь f кратна цепи g (〃,％)•

Теорема VIII. 14 (теорема о замене). Пусть D — примитивная клеточная база группы N, а х — клетка из D. Пусть у —— клетка из Sp(g(£), %)), отличная от х. Тогда множество D\ = =(Q——{х}) U {у} является клеточной базой группы N.

Доказательство. Из следствия VIII. 13 вытекает, что ненулевыми цепями группы М носители которых не пересекаются с множеством £>—{%}, являются только цепи, кратные цепи g(Dt X). Следовательно, носитель каждой ненулевой цепи из ^ пересекается с 5, т. е. множество £Ь удовлетворяет первому условию из определения клеточной базы. Остается доказать минимальность £)ь

Заметим, что носитель цепи g(Dt х) не пересекается с О】 — —{"}, т. е. с D — {х}. Далее, пусть z^D — {х}, g (£), х) = Л и g(Dt z) — k. Поскольку цепи Лий примитивные, то можно построить цепь

f = k-k(y)(h(y))~lh.

Она отлична от нулевой цепи и удовлетворяет условию f(z)= 1. Носитель цепи f не содержит у н не пересекается с 力i—{%}• Таким образом, можно утверждать, что не существует собственного подмножества множества D\, пересекающегося с носителем любой ненулевой цепи из ^. □

Операция построения базы D\ из примитивной базы D называется заменой (или операцией замены). Если база D\ будет также примитивной, то операцию замены можно применить еще раз и получить третью клеточную базу D?・

Теорема VIII. 15. Пусть все клеточные базы группы N являются примитивными. Пусть D и Е ——какие-то две из них. Тогда базу D можно преобразовать в базу £ посредством конечного числа замен.

Доказательство. Рассмотрим класс клеточных баз группы М состоящий из базы D и всех баз, которые можно построить посредством конечного числа замен из базы D. Выберем в этом классе базу Р\ имеющую наибольшее число общих элементов

с базой Е. Если Dr ^ £, то в силу свойства минимальности Dr = Е. В оставшемся случае база Df содержит клетку х, не принадлежащую базе Е. Тогда носитель цепи g(D\ х) пересекается с £ по некоторой клетке у, не входящей в О'. Применяя теорему о замене, заключаем, что множество (О—{%})U{“} является клеточной базой группы АЛ Это противоречит выбору базы Df. □

Теорема VIII. 16. Пусть все клеточные базы группы ^ примитивные. Пусть g — элементарная цепь из N. Тогда N имеет такую клеточную базу Q, что цепь g кратна некоторой цепи из 5(Q).

Доказательство. Выберем клеточную базу D группы М имеющую наименьшее число общих элементов с Sp(g). (Хотя бы один такой элемент должен существовать.) Пусть %三。0 f]Sp(g). Предположим, что в Sp(g(£), %)) есть клетка у, не входящая в Sp (g). Тогда (D — {х}) U {у} будет клеточной базой группы N (в силу теоремы о замене). Это противоречит выбору базы D. Таким образом, Sp(g(D, %))三 Sp(g). Но поскольку g — элементарная цепь, то Sp (g(£), %))= Sp (g). Остается применить следствие VIII. 13. □

Группа цепей N называется примитивной, если каждая входящая в нее элементарная цепь кратна некоторой примитивной цепи.

Теорема VIII. 17. Группа N примитивна тогда и только тогда, когда каждая ее клеточная база примитивна.

Доказательство. Пусть ^ — примитивная группа и D — какая-либо ее клеточная база. В силу теоремы VIII. 4 для всякого х w D существует элементарная цепь g из ^, удовлетворяющая условию 力 П Sp (g) = {х}. Поскольку каждая такая цепь g кратна некоторой примитивной цепи из ^, то база D является примитивной.

Обратно, предположим, что всякая клеточная база группы ^ примитивна. Тогда на основании теоремы VIII. 16 группа М является примитивной. □

Теорема VIII. 18. Если N——примитивная группа, то каждая ненулевая цепь из N может быть представлена в виде суммы цепей, кратных подходящим примитивным цепям, окаймляемым цепью f.

Доказательство. Если возможно, то пусть / — ненулевая цепь из М, для которой теорема не верна. Выберем f так, чтобы число |Sp(f)| было минимально возможным. В силу тео-

ремы VIII. 2 цепь f окаймляет некоторую примитивную цепь g из N. Если х ——какая-либо клетка из Sp(g), то мы можем считать (на основании теоремы VIII. 11), что g(%)=L Положим

h = f-f(x)-g. (VIII. 2.2)

Тогда Sp(ft) является собственным подмножеством в Sp(g), ибо х ^ Sp(A). Значит, при таком выборе цепи f теорема справедлива для цепи Л. Используя теорему VIII. 2.2, заключаем, что доказываемая теорема верна и для цепи £ Это противоречит нашему предположению. □

Если ^ — примитивная группа, то существует такое число r(N), что каждая клеточная база группы ^ и каждая соответствующая база цепей имеют ровно r(N) элементов. Это следует из теорем VIII. 15 и VIII. 17. Число r(N) будем называть рангом группы ^. Из данного определения вытекает, что

0&r(M&|S|. (VIII. 2.3)

Теорема VIII. 19. Если группа У примитивна, то 〃 каждый ее минор примитивен.

Доказательство. Рассмотрим элементарную цепь g из N \ Tt где Т 三 S. Существует цепь gx из М такая, что Sp(gi)=Sp(gj и g = g\*T. В силу теоремы VIII. 18 цепь gi окаймляет некоторую примитивную цепь h{ из М Ограничение h{ • 7 является такой цепью Л нз N X 7\ что Sp(ft)三 Sp(g) и все ненулевые коэффициенты в Л принадлежат Rf. Кроме того, Л ——ненулевая цепь. Поскольку g — элементарная цепь в N X 7, то Sp(ft)= = Sp(g). Значит, Л — элементарная цепь в ^ X ^ и> следовательно, примитивна в ^ X 7 (см. теорему VIII. 1). Используя теорему VIII. 10, заключаем, что цепь g кратна цепи Л.

Рассмотрим теперь элементарную цепь g из N-T. Существует цепь gi из ^, такая, что gi • Т = g・ Применяя теорему VIII. 18, получаем, что в N T найдется ненулевая цепь й, у которой все ненулевые коэффициенты принадлежат R', а носитель содержится в Sp(g). Как и в случае с N *Т、цепь g кратна примитивной цепи Л из NT

Если U 三 Т 三 S, то нз приведенных результатов следует, что (NXT)・U — примитивная группа. □

Теорема VIII. 20. Пусть N — примитивная группа, Т и U — взаимно дополнительные подмножества из S, a D\ и £>2 — клеточные базы в ^ X ^ и N' U соответственно. Тогда D = D\\} D^ является клеточной базой группы N.

Доказательство. Пусть / — произвольная ненулевая цепь группы М Если цепь f・U ненулевая, то Sp(f) пересекается с

£)2, а значит, и с D. Если f・U — нулевая цепь, то f-T — ненулевая цепь из NX 7. Следовательно, Sp(f) пересекается с 力丁 и D. Таким образом, D пересекается с носителем каждой ненулевой цепи группы М

Возьмем %wD Если х 三 5, то в B(U) содержится цепь из группы NXT, носитель которой не пересекается с D\—{%}. Она соответствует ненулевой цепи из ^, носитель которой не пересекается с D — {х}. Если 力三 Q, то в ^ существует ненулевая цепь 力 такая, что Sp (/) не пересекается с £>2—{%}• Вычитая из / цепи группы ^, соответствующие подходящим кратным элементов из NXT, содержащихся в 5(£)i), мы можем преобразовать f в ненулевую цепь из N、носитель которой не пересекается с D—{х}. Отсюда следует, что в D нет собственного подмножества, пересекающегося с носителем каждой ненулевой цепи из группы М Значит, D есть клеточная база группы N. □

Теорема VIII.21. Пусть ^ ——примитивная группа 〃 D — подмножество множества S, состоящее из r(^) элементов, обладающих следующим свойством: если х^ D, то существует цепь / из ^, такая, что D f] Sp (/) = {%}. Тогда D является клеточной базой группы N.

Доказательство. Очевидно, что D — клеточная база, причем единственная, в группе N-D. В силу теоремы VIII. 3 в группе ^ X (S — D) существует клеточная база Df. Множество D{JDr является клеточной базой группы ^ (см. теорему VIII.20). По* скольку каждая клеточная база группы ^ имеет ровно r(N) элементов, то Dr должно быть пустым множеством. Значит, D — клеточная база группы М □

Теорема VIII. 22. Если группа N примитивна, то 〃 группа N* примитивна. Кроме того, клеточные базы группы № являются дополнениями в множестве S клеточных баз группы N：

Доказательство. Пусть D — клеточная база группы М а D* — ее дополнение в S. Для каждого у ^ D* определим цепь g(£)*,y) в множестве S над кольцом R, руководствуясь следующим правилом: коэффициент при у равен 1, а при любом другом элементе из D*—нулю; если же х ^ £), то коэффициент при х в цепи g(£>*,y) равен взятому со знаком минус коэффициенту при у в цепи g (力,х).

Очевидно, что каждая цепь g(Q\y) ортогональна всякой цепи из 2(力),а значит, и любой цепи группы ^ (см. теорему VIII. 12). Следовательно, цепи вида g(D*t у) принадлежат группе №.

Далее, носитель произвольной ненулевой цепи из группы ^* пересекается с £)*, ибо в противном случае эта цепь не была бы

ортогональна каждой цепи из B(D). Значит, D* является клеточной базой группы №.

Легко видеть, что все ненулевые коэффициенты в g(D*, у) принадлежат R'. В силу теоремы VIII. 2 цепь §(£)*, у) при всяком у окаймляет некоторую элементарную цепь g из группы ^*. Поскольку Sp(g) пересекается с О* (как было показано выше), то коэффициент g(y) отличен от нуля. Рассмотрим цепь

h = g(g)g(D*, y)-g

из №. Она является нулевой, ибо ее носитель не пересекается с Q*. Так как g — элементарная цепь, то g(D\ у) является элементарной, а значит, примитивной цепью группы № (см. теорему VIII.8). Таким образом, дополнение всякой клеточной базы группы N есть примитивная клеточная база группы N*.

Рассмотрим теперь произвольную клеточную базу Е группы №. Пусть D — клеточная база группы ^, имеющая наименьшее число общих элементов с Е. Если возможно, то выберем в D П Е какую-нибудь клетку х. Тогда в Sp(g(Df х)) найдется клетка у, не входящая ни в £), ни в £ (в противном случае цепь g(Q, %) была бы не ортогональна цепи / из ^*, носитель которой пересекается с Е только по одному элементу х, — см. теорему VIII. 21). Используя теорему о замене, получаем, что множество {D——{%})U{?} является клеточной базой группы N. Это противоречит выбору D. Таким образом, £) и £ не пересекаются. Значит, Е есть подмножество из клеточной базы О* группы ^*, а поэтому в силу свойства минимальности клеточных баз £ = D*.

Для завершения доказательства остается установить, что группа № примитивна. Это следует из теоремы VIII. 17. □

Теорема VIII.23. Если группа ^ примитивна, то ^** = ^, т. е. N и ^* двойственны друг другу.

Доказательство. Пусть D — клеточная база группы N. Она является клеточной базой и группы ^** (см. теорему VIII. 22). При заданном х^ D цепи g(D4 х) в двух примитивных группах N и N^ должны быть идентичными, так как в противном случае их разность была бы цепью из №**, носитель которой не пересекается с D (см. теорему VIII. 6). Применяя теорему VIII. 12, заключаем, что цепи в группах ^ и ^** одни и те же. □

Теорема VIII. 24. Если N — примитивная группа 〃 Т 三S, то (N • ТУ = ДГ X Т 〃(N 义 Г)* = АГ • 7.

Доказательство. Первое соотношение установлено в теореме VIII. 7. Применяя его к ^*, получаем (N^ T)* = ^ X 7,

что эквивалентно второму соотношению (в силу теорем VIII. 19, VIII. 22 и VIII. 23). □

В заключение данного раздела приведем два тождества, связанные с рангами групп и справедливые для любых примитивных групп цепей:

г (N) = г (% 义 Т) + г (% • (S — 7)), 7 三 S; (VIII. 2.4)

I S| = r(N)+「(”). (VIII. 2.5)

Эти тождества вытекают из теорем VIII. 20 и VIII. 22 соответственно.

Заметим также, что из теоремы VIII. 24 выводится следующее утверждение: если N ——примитивная группа цепей, то миноры группы ^* двойственны минорам группы М

VIII. 3. Регулярные группы цепей

В этом разделе через / обозначается кольцо целых чисел, а через /п—кольцо вычетов по модулю п, где п - целое положительное число. Заметим, что у кольца / только два обратимых элемента, а именно 1 и —1. Регулярной группой цепей называется примитивная группа цепей над кольцом / (см. [1]).

Пусть / и g ——две цепи в S над /. Будем говорить, что цепь / согласуется с цепью g, если Sp(f)三 Sp(g) и для каждого х е Sp(/) числа /(х) и g(%) одного знака. Для цепей в S над кольцом / справедливы следующие два легко устанавливаемых утверждения.

Теорема VIII. 25. Если f согласуется с g, a g—— с h, то f согласуется с h.

Теорема VIII.26. Если Sp(f)三 Sp(g) 〃 коэффициенты цепи f принадлежат множеству {0, 1,—1}, то цепь g ——f согласуется с g.

Такое ограничение на коэффициенты выполняется, например, в случае, когда / является примитивной цепью регулярной группы цепей.

Теорема VIII. 27. Пусть N ——регулярная группа цепей множества S. Тогда в ^ для каждой ненулевой цепи существует примитивная цепь, согласующаяся с ней.

Доказательство. Если возможно, то выберем / так, чтобы теорема для этой цепи была не верна и чтобы число |Sp(/) | было минимально возможным. Пусть %wSp(f)・ В силу теорем VIII. 11 и VIII. 18 цепь / окаймляет некоторую примитив-

ную цепь g из М такую, что g(%)= 1. Полагаем число о равным 1 или —1 в зависимости от того, положителен или отрицателен коэффициент /(х). Рассмотрим цепь h\ — f — ag (из N)・ Она согласуется с / (в силу теоремы VIII.26). Очевидно, что l^i(х) I < |/(х) |. Если Sp(fti) = Sp(f), то рассмотрим цепь Лг = Л1 ——og, и т. д. Каждая из цепей Ai,比，力з, ... согласуется с f (см. теоремы VIII. 5 и VIII. 26). После не более чем f (х) шагов мы придем к цепи йг, носитель которой является собственным подмножеством множества Sp(/).

Если hr = 0, то цепь f кратна цепи og, причем получается из eg умножением на целое положительное число. Значит, для цепи / теорема верна. Это противоречит выбору цепи /. В оставшемся случае в группе ^ найдется примитивная цепь k, согласующаяся с цепью hr (в силу выбора цепи /), а следовательно, и с цепью / (см. теорему VIII.25). Снова пришли к противоречию. □

Теорема VHI. 28. Пусть N ——регулярная группа цепей множества S. Тогда любая ненулевая цепь f из N может быть представлена в виде суммы примитивных цепей из ^, согласующихся с /.

Доказательство. Для всякой цепи ^ из ^ через М(д) обозначим сумму абсолютных значений ее коэффициентов.

Если возможно, выберем цепь f так, чтобы теорема для нее была не верна -и чтобы число M(f) было минимально возможным. В силу теоремы VIII. 27 существует примитивная цепь g, согласующаяся с цепью /. Цепь f — g согласуется с / (см. теорему VIII. 26) nM(f —g)vM(f)・

В силу выбора цепи / цепь / — g либо представима в виде суммы примитивных цепей из ^, согласующихся с f — g, а значит, и с /, либо является нулевой цепью. Но / =(/ — g)+g・ Следовательно, для цепи / теорема верна. Это противоречит выбору цепи /. □

Пусть п — целое положительное число, не меньшее 2. Пусть f ——цепь в S над /. Приведение цепи f по модулю п состоит в замене каждого ее коэффициента соответствующим классом вычетов по модулю п. В результате получается цепь fn в множестве S над кольцом /л. Эту цепь мы будем называть вычет- ной цепью по модулю п цепи f.

Если ^ — группа цепей множества S над кольцом /, то, заменяя каждую цепь из ^ ее вычетной цепью по модулю м, мы получим цепи из группы цепей Nn множества S над кольцом /п. Группа Nn называется вычетной группой цепей по модулю п группы N. Данная цепь из группы Nn может соответствовать бесконечному множеству цепей группы М

Теорема VII. 29. Пусть N ——регулярная группа и q ——цепь из Nn- Тогда в ^ существует цепь 厶 удовлетворяющая следующим двум условиям-.

цепь q является вычетной цепью по модулю п цепи /;

каждый коэффициент цепи，меньше по абсолютной величине числа п.

Доказательство. Существование в ^ цепи Д удовлетворяющей условию (i), следует непосредственно из определения группы Nn. Для каждой такой цепи / через Z(f) обозначим число клеток из Sp(f), при которых коэффициенты в / не меньше по абсолютной величине числа п. Если Z(f) = 0, то доказывать нечего. Поэтому предположим, что в Sp(f) существует клетка х, удовлетворяющая неравенству |f(%) |》п.

В силу теоремы VIII. 28 в группе N найдется примитивная цепь g, согласующаяся с / и такая, что %wSp(g)・ Рассмотрим цепь /1 = / — zzg (из группы ^). Цепь q является вычетной цепью по модулю п и для цепи 厶・ Если /(^) = 0, то /\(у)=0. Кроме того, если Ov|f(y)|v% то |fi(y)| либо равно \f{y) |, либо равно п — \f(y) I，и, значит, в любом из этих случаев выполняются неравенства 0 < |fi (^) | < п. Но |fi(%) | = |f(%) | —九. Следовательно, при замене / на 九 условие (i) остается справедливым, ни один новый коэффициент с абсолютной величиной, большей или равной п, не появляется и абсолютная величина числа /(х) уменьшается на п. Повторяя указанную процедуру достаточное число раз, мы можем добиться того, чтобы Z(f) = O. При этом условие (i) будет выполняться на каждом шаге процедуры. □

При изучении регулярных групп цепей заданного множества удобно бывает использовать матрицы. Предположим, что S — непустое множество, ^ — группа цепей этого множества и r(^) > 0. Пусть (xi, Х2, ..., %$) — упорядоченный набор, состоящий из всех s клеток множества S (все %» разные). Для всякой цепи / в множестве S над кольцом / определим ее представляющий вектор

%) = (〃/)"的)，…，〃/))•

В предыдущих рассмотрениях, используя произвольное кольцо R (см. разд. VHL 1), мы не предполагали у читателя никаких предварительных знаний, относящихся к теории линейной зависимости. Однако при оперировании с кольцом /, особенно, если оно рассматривается как вложенное в поле рациональных или поле действительных чисел, теория линейной зависимости должна быть хорошо знакома читателю. В частности, в случае регулярной группы ^ величину r(^) можно истолковать как

наибольшее число линейно независимых цепей этой группы (см. теорему VIII. 12).

Рассмотрим матрицу М, состоящую из r(^) строк и s столбцов. Пусть ее строки будут представляющими векторами каких-то цепей группы N. Если они линейно независимы, то назовем матрицу М представляющей матрицей (@4兄)группы N.

Пусть D — произвольная клеточная база группы N. В качестве строк представляющей матрицы М группы N можно взять представляющие векторы r(N) цепей из базы B(D). Строки в М можно упорядочить так, чтобы столбцы матрицы, соответствующие клеткам из D, образовывали единичную подматрицу порядка r(^). Такую матрицу М будем называть стандартной представляющей матрицей группы N относительно клеточной базы D.

Если М — представляющая матрица группы ^ и Т — произвольное подмножество из S, то через М(Т) будем обозначать подматрицу матрицы М, состоящую из столбцов, соответствующих элементам подмножества Т.

Теорема VIII.30. Пусть М ——стандартная представляющая матрица группы N относительно клеточной базы D. Пусть Т —— произвольное подмножество множества S, состоящее из r(^) клеток. Тогда detM(T)=±l, если Т — клеточная база группы М и det М (Т) = 0 6 противном случае.

Доказательство. Пусть Т — произвольная клеточная база группы N и М\ — стандартная представляющая матрица группы ^ относительно Т. В силу теоремы VIII. 12 существует целочисленная квадратная матрица Q порядка r(^), такая, что QMi == М. Рассматривая единичную матрицу Mi(T), заключаем, что Q = M(Tj. Затем, рассматривая матрицу M(D)t получаем det(QtWj(£)))= 1. Следовательно, det Q, т. е. detM(T), равен 4-1 или —1.

Предположим теперь, что Т не является клеточной базой. Если подмножество Т пересекается с носителем каждой ненулевой цепи из М то в нем существует минимальное собственное подмножество Ть обладающее этим свойством. Но тогда Т\ есть клеточная база группы N, имеющая меньше чем r(^) элементов, а это невозможно. Отсюда следует, что в N есть цепь f, носитель которой с Т не пересекается. В силу теоремы VIII. 12 представляющий вектор цепи / является линейной комбинацией строк матрицы М. Значит, строки матрицы М{Т) линейно зависимы, а потому det Л4 (7) = 0. □

Теорема VIII. 31. Пусть Afi — произвольная представляющая матрица группы N и Т — произвольное подмножество множества S, состоящее из r(N) клеток. Тогда существует целое по-

ложительное число т\, удовлетворяющее следующему условию: detMi (7)= 士/ль если Т ——клеточная база группы ^^ 〃 det Afi (7) = 0 в противном случае.

Доказательство. Пусть D — клеточная база группы ^, а М — стандартная представляющая матрица относительно D. В силу теоремы VIII. 12 существует целочисленная квадратная матрица Q, такая, что QM = Л4Ь Так как строки матрицы Afi линейно независимы, то det Q #= 0. Возьмем т\ =|det Q\. Остается учесть, что М\{Т) = QAf(r) для каждого Т, и применить теорему VIII. 30. □

1.4. Циклы

Пусть G — граф, a Q ——один из его ориентантов. Если D —— дуга из Q, то соответствующее ей ребро графа G будет обозначаться через £)'• Множество всех дуг ориентанта Q будем обозначать символом S. Если Т 三 S, то 7V есть множество всех ребер графа G, соответствующих дугам из Т. В частности, S，= 2(G).

Для каждой дуги £) из Q и любой вершины о графа G определим число инцидентности 刀(£), о), руководствуясь следующим правилом; если ребро Df ——петл兄 или не инцидентно вершине и, то т](£), и) = 0; в противном случае, т. е. если Qz — звено графа G, полагаем 刀(力，и)= 1 или —1 в зависимости от гого, является вершина и концом или началом дуги D.

Цепь в S над кольцом R в смысле разд. VIII. 1 будет называться 1-цепью ориентанта Q над кольцом R. Цепь в множестве V(G) над R назовем 0-цепью ориентанта Q над кольцом R (или 0-цепью графа G над кольцом 丸).

Пусть f — произвольная 1-цепь ориентанта Q над кольцом R. Ее границей df называется 0-цепь графа G, определяемая следующим правилом: для каждой вершины и

(行)(。)=Е n(D, ”)〃D). (VIII. 4.1)

Таким образом, если величину f(Q) толковать как《ток》 (или《поток》)в дуге Q, то (df) (и) можно интерпретировать как разность между полным (суммарным) током в дугах, заходящих в вершину и, и полным током в дугах, выходящих из и, или, проще говоря, как чистый ток в вершине и при ориен- танте й.

Из формулы (VIII. 4.1) вытекают следующие очевидные тождества:

d(H) = A・df, (VIII. 4.2)

d(f + g) = df + dg； (VIII. 4.3)

здесь f и g — произвольные 1-цепи ориентанта Q над кольцом R в 卜三 R.

Если f есть 1-цепь ориентанта Q над кольцом R н df = 0, то f называется циклом ориентанта Q над R. Циклом, например, является нулевая цепь в S над R. Используя соотношения (VIII. 4.2) и (VIII. 4.3), легко установить, что множество всех циклов ориентанта Q над кольцом R является подгруппой группы цепей в S над R. Эта подгруппа обозначается через r(Q, R), или, короче, через Г, и называется группой циклов ориентанта Q относительно кольца R.

Дадим теоретико-графовое толкование элементарных цепей группы Г и ее клеточных баз. Это лучше сделать на языке графа G, а не на языке ориентанта Q. В самом деле, замена ориентанта графа G, например переход от ориентанта й к ориентанту Qb существенных изменений в результаты не вносит, так как при этом просто в некотором подмножестве U из S каждая дуга D замещается противоположной дугой Q-* а значит, число инцидентности т)(£), и), соответствующее любой такой дуге, заменяется на ^(Р-1, v), т. е. на —“(О, и). Следовательно, каждая дуга из U замещается противоположной как клетка рассматриваемой группы цепей, а это влечет за собой умножение соответствующих коэффициентов во всех цепях из Г на —1. Будем говорить, что группа Г(Й1,7?) строится из группы T(Q, R) переориентацией подмножества ребер

Иногда в кольце R выполняется соотношение 1 =——1 (например, если 7? =，2). В этом случае изменение ориентации не приводит к изменению коэффициентов и нет необходимости

устанавливать различие между противоположными дугами, а также между любой дугой и соответствующим ей ребром графа G. Цепи в S мы можем рассматривать тогда как цепи в 巨(G) и говорить о 0-цепях, 1-цепях и циклах 《графа G》,не ссылаясь при этом ни на какой конкретный ориентант.

Рассмотрим п-цикл С графа G (здесь цикл понимается, как в разд. I. 1). Для каждого ребра А/ соответствующую ему дугу из множества S обозначим через Д. На рис. VIIL 4.1 изображен 7-цикл; ориентация ребер указана стрелками (каждая стрелка идет из начала соответствующей дуги в ее конец).

Определим цепь рс в S, руководствуясь следующим правилом: если дуга D из множества S не соответствует никакому ребру в цикле & то полагаем pc(D) = 0; если D = D「т. е.

соответствует ребру А； цикла С, то рс(»)= 1 или —1 в зависимости от того, является вершина а/ концом или началом дуги Dj. На рис. VIII. 4.1 эти коэффициенты указаны внутри цикла. При n = 1, т. е. когда 4】—петля, цепь рс является, очевидно, циклом ориентанта Q. Если п > 1, то

П(Рр a^p^D^h (VIII. 4.4)

п (А, %1) Рс (А) = 一 L (VIII. 4.5)

Из этих соотношений и формулы (VIII. 4.1) вытекает, что дрс = 0. Суммируя полученные результаты, приходим к следующему утверждению.

Теорема VIII.32. Для каждого цикла С графа G цепь рс является ненулевым циклом ориентанта Q над кольцом R. Коэффициенты этой цепи принадлежат множеству {0, 1,——1}, а ее носитель состоит из дуг цикла С, принадлежащих множеству S.

Заметим, что при обращении дуг цикла Т (т. е. при изменении их ориентации) новая цепь рс получается из《старой》 умножением на —1.

Теорема VIIL33. Пусть f ——произвольная ненулевая цепь из группы F(R, R). Тогда существует цикл С графа G, такой, что цепь рс окаймляется цепью £

Доказательство. Валентность каждой вершины и в подграфе G・Sp(f) не меньше 2, так как в противном случае (df) (и) было бы отлично от нуля. Значит, в силу теоремы I. 39 pi (G* Sp(/)) > >0. Используя теоремы 1.35 и 1.45, заключаем, что в подграфе G-Sp(/) существует цикл С. Но тогда С есть цикл графа G и, следовательно, цепь рс окаймляется цепью /. □

Теорема VIII. 34. Цець / из группы Г(й, R) является элементарной тогда и только тогда, когда f = ирс, ade С — некоторый цикл графа G, а о ——ненулевой элемент кольца R.

Доказательство. Пусть / = прс. Предположим, что цепь / не является элементарной. В силу теоремы VIII. 33 в графе G существует цикл U) такой, что цепь ру строго окаймляется цепью Рс. Отсюда следует, что цикл U является обособленным собственным подграфом цикла С. Это противоречит связности цикла С (см. теорему I. 27).

Обратно, предположим, что цепь f элементарная. В силу теоремы VIII. 33 в графе G существует цикл С, такой, что цепь рс окаймляется цепью f. Поскольку цепь / элементарна, то Sp (/)= = Sp(pc)・ Следовательно, цепь рс элементарна, а значит, и

примитивна (см. теорему VIII. 32). Остается воспользоваться теоремой VIII. 10). □

Теорема VIII. 35. Группа F(Q, R) является примитивной группой цепей.

Доказательство. Из теоремы VIII. 34 следует, что всякая элементарная цепь f из F(Q, R) представима в виде орс, где С ——подходящий цикл графа G. Но в силу теоремы VIII. 32 цепь рс является примитивной. □

Цепи рс будем называть элементарными циклами ориен- танта Q.

Костяком графа G назовем его остовный подграф, у которого пересечение с каждой компонентой Н графа G является деревом (и, естественно, остовом компоненты 方).

Теорема VIII.36. Подмножество Т из S является клеточной базой группы F(Q, R) тогда и только тогда, когда подграф G :(S，—厂)есть костяк графа G.

九GL0九GL0Доказательство. Предположим, что подграф F = G:(S‘一 —Т‘) является костяком графа G. Он не содержит циклов. Следовательно, в силу теоремы VIII. 33 носитель каждой ненулевой цепи из F(Q, R) пересекается с Г. Пусть D ——какая-либо дуга из Т и й — ее конец, a t — начало. Если D соответствует петле в G, то на основании теоремы VIII. 34 дуга D образует носитель элементарной цепи из Г®, R). В оставшемся случае и / являются различными вершинами компоненты Н графа ,а значит, в подграфе F {\Н они соединены некоторой цепью (см. теорему 1.44). Добавляя ребро, соответствующее дуге ,к цепи Z, получаем цикл С, такой, что Sp(pc) пересекается

九GL0

九GL0

с Т только по D. Следовательно, подмножество Г является клеточной базой группы Г(й, R),

Обратно, пусть 7 — клеточная база группы Г (Q, R). Рассмотрим подграф F = G:(S‘一厂).В силу теоремы VIII. 32 циклов в F нет. Предположим, что у него существуют две или более компонент, содержащихся в некоторой компоненте Н графа G. Тогда в V(H) найдутся непустые взаимно дополнительные подмножества U п W, соединяющиеся друг с другом только звеньями из 7V. Поскольку Н——связный граф, то хотя бы одно такое звено Л имеется. Значит, в силу теорем VIII. 4 и VIII. 34 существует цикл С графа G, удовлетворяющий условию £(С)Г| Tf ={А}. Так как С — связный граф, то он целиком лежит в Н. Цепь, являющаяся дополнением ребра Л в цикле С, представляет собой связный граф, а поэтому в ней содержится ребро, соединяющее подмножества U п W, которое не принадлежит 7V. Пришли к противоречию. Следовательно, пе-

ресечение подграфа 尸 с каждой компонентой графа G является связным графом, не имеющим циклов, т. е. F есть костяк графа G. □

Заметим, что если граф G связен, то число всех клеточных баз группы F(R,R) равно древесной сложности графа G.

Теорема VIII. 37. Ранг группы, F(QR) равен Pi(G).

Доказательство. Пусть Т — произвольная клеточная база группы r(Q, R) (см. теорему VIII. 3). Если " — какая-либо компонента графа G, то число ребер из ", не принадлежащих множеству X, равно \V(H) |—1 (см. теоремы VIII. 36 и I. 37). Значит, используя формулу (I. 6.1), получаем

丨 S；『| = WG)丨一％(G)

И r(r)= |r| = |£(G)|-|V(G)| + p0(G) = P1 (G). 口

. 5. Кограницы

Пусть g есть 0-цепь графа G (и ориентанта Q) над кольцом R. Ее кограницей 6g называется 1-цепь ориентанта Q над кольцом R, определяемая следующей формулой:

(6g) (О) = £ n(O, u)g(u)， (VIII. 5.1)

о е V (G)

где D ——произвольная дуга из Q. Эта формула аналогична формуле (VIII. 4.1). Ее можно записать в более простой форме:

3g) (О) = g (力(О)) — g (f (О)), (VIII. 5.2)

где h(D) и t(D)——соответственно конец и начало дуги D.

Из формулы (VIII. 5.1) вытекают следующие очевидные тождества:

6(九g) = A・6g,(VIII. 5.3)

6也 + 力)=必 + m，(VIII. 5.4)

где g и Л ——произвольные 0-цепи ориентанта С над кольцом R н 入 w R. Заметим, что кограница нулевой 0-цепи есть нулевая 1-цепь.

Используя соотношения (VIII. 5.3) и (VIII. 5.4), легко установить, что множество всех кограниц 0-цепей ориентанта С над кольцом R является подгруппой группы цепей в S над R. Эта подгруппа обозначается через A(R, R), или, короче, через А, и называется группой кограниц ориентанта Q относительно кольца R.

Как и для группы циклов, замена ориентанта является простейшей операцией над группой кограниц: переход от Q к новому ориентанту Qi состоит в переориентировании подходящего подмножества из £(G).

Займемся изучением элементарных цепей и клеточных баз группы Д (Q, R).

Пусть множество вершин графа G разбито на взаимно дополнительные подмножества X и У. Через /(X, У) обозначим множество всех ребер графа G, у каждого из которых один конец лежит в X, а другой ——в У.

Если граф G и порожденные подграфы G [X] и G [У] связны, то множество /(X, У) называется бондом (или минимальным разрезом, или сечением) графа G. Подграфы G [X] и G [Y] называются торцевыми графами этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд / (X, У) должен быть непустым множеством. Если граф G несвязен, то его бонд определим как бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бонда.

Теорема VIII.38. Пусть X и У — взаимно дополнительные подмножества из V(G) и множество /(X, У) непусто. Тогда существует бонд В графа G, такой, что В 三 /(X, У).

Доказательство. Из всех пар (Х。, Уо) взаимно дополнительных подмножеств множества V (G), удовлетворяющих условию 0 и J(X°, У。)三/(X, У), выберем такую пару, чтобы величина ]/(Х0, Уо) I была минимально возможной.

Предположим, что граф G связен. Если подграф G [X。] несвязен, то его компоненты обозначим через К】，厶 …，Km (m > 1). Из связности графа G следует, что каждое множество J (V (/(f), U(G) —— V(KJ) является непустым собственным подмножеством множества /(Х。，Уо)- Это противоречит выбору множества /(几丫)Значит, подграф G [Х°] и, аналогично, подграф G [Уо] связны. Таким образом, J(X(), %) является бондом В.

Если граф G несвязен, то пусть Н — какая-либо его компонента, включающая ребро из /(X, У). Используя приведенные выше рассуждения, заключаем, что множество / (X П V (//), У П U (")) содержит бонд В компоненты Н. Но тогда В является также бондом графа G. □

Для заданного разбиения (X, У) множества V (G) можно определить 0-цепь g ориентанта Q, положив g(%) = 0, если %wX, и g(%)=l, если х е У. Тогда Sp (6g) = J(X, У). Кроме того, ненулевые коэффициенты кограницы 6g являются элементами подмножества {1,——1} кольца R・ Если /(X, У) — бонд

Рис. VIII. 5.1.

графа G, то кограницу 8g будем также обозначать через «з, где B = J(X, Г).

Теорема VIII. 39. Если f — ненулевая цепь из A(Q, R), то найдется бонд В графа G, такой, что 夕吕 окаймляется цепью £

Доказательство. Очевидно, что существует 0-цепь g с кограницей 6g = £ Поскольку f ——ненулевая цепь, то в S имеется дуга D с концом 力 и началом £, удовлетворяющая условию g(九)=# g«) (см. соотношение (VIII. 5.2)). Пусть X — множество всех таких вершин % графа G, что g(x) = g(h). Подмножество остальных вершин графа G обозначим через У. Легко видеть, что подмножество J(X, У) непусто и содержится в Sp(f). Применяя теорему VIII. 38, заключаем, что в /(X, У) существует подмножество В, являющееся бондом графа G. Значит, кограница qB окаймляется цепью £ □

Теорема VIII. 40. Ненулевая цепь группы Д (Q, 7?) элементарна тогда и только тогда, когда она представима в виде GqBi где В ——некоторый бонд графа G, а о ——ненулевой элемент кольца R.

Доказательство. Пусть цепь f есть одз. Если она не элементарна, то в бонде В должен строго содержаться другой бонд Bz (см. теоремы VIII. 38 и VIII. 39). Однако это невозможно, так как иначе компонента " графа G, включающая ребра бонда В, является графом, состоящим из двух непере- секающихся подграфов Н[Х] и H[Y], соединенных ребрами из В, причем один конец каждого такого ребра лежит в X, а другой —в У (см. рис. VIII. 5.1).

с 6f-T. Тем самым первая часть теоремы доказана. Обоснование второй части можно получить, применяя соображения двойственности и теорему VIII. 42. □

Теорема VIII. 48. А0 • Т, R) = А&, R) • Т и А0ХТ, R)= = A(Q R)X7\

Доказательство. Рассмотрим произвольную 0-цепь f ориен- танта Q. В силу соотношения (VIII. 5.2) кограница этой цепи в С : 7 является ограничением на Т ее кограницы в Q. Значит, A(Q : Т, R) = A(Q, R)・Т и первая часть доказываемого утверждения следует теперь из теоремы VIII. 47.

Далее, возьмем произвольную 0-цепь h в ориентанте £2 X Т. Пусть // —— такая 0-цепь ориентанта Q, у которой коэффициент при каждой вершине и равен коэффициенту в цепи 力，стоящему при вершине из G X 厂，соответствующей вершине и. Очевидно, что Sp(6/i‘)三 Т. Кроме того, 6力 в ориентанте Q X ^ является ограничением цепи 8hf на подмножество Т. С другой стороны, если g есть 0-цепь в Q и Sp(6g)三 Т, то для каждой компоненты подграфа G:(S‘ ——7”)при всех ее вершинах в цепи g должны стоять одинаковые коэффициенты (см. соотношение (VIII.5.2)). Следовательно, в ориентанте Q X Т существует такая 0-цепь Л, что g =力'.

Приведенных рассмотрений достаточно для обоснования второй части нашей теоремы. □

Теорема VIII. 49. Г (Q • Т, R) = Г (Q, R)义 7 〃 I1 (Q 义 Т, R)= =r(Q, R) • 7.

Для доказательства этого утверждения нужно в теореме VIII. 48 перейти к двойственным группам, используя теорему VIII. 24, а затем применить теорему VIII. 42.

Распространим обозначения бд и Ga на ориентанты и группы цепей общего вида. Пусть D ——дуга из S. Положим

Qj = Q:(S-{〃}),(VIII. 6.1)

qZ = CX(S-{。}).(VIII. 6.2)

Эти орграфы являются ориентантами подграфов бд и G； соответственно.

Для любой группы цепей N в множестве S над кольцом R полагаем

NJ = M・(S — {D}),(VIII. 6.3)

齊=NX(S-{。}).(VIII. 6.4)

Применяя установленные выше теоремы, получаем следующие тождества:

(A(Q% = A(Q^), (A(Q))% = A(Q%), (Г (Q% = r(Q^), (Г (Q))2 = T(Q^).

(VIII. 6.5)

(VIII. 6.6)

(VIII. 6.7)

(VIII. 6.8)

VIII. 7. Алгебраическая двойственность

Построив теорию Z примитивных групп цепей ^, рассматриваемых в множестве S над кольцом R, мы можем применять ее к любой группе Г(й, R), где Q ——произвольный орграф с множеством дуг S・ Орграф R можно толковать как ориентант соответствующего графа G. Тогда определения и теоремы теории Z становятся утверждениями об Q и составляют «частную теорию» Zp орграфов Q. Аналогично можно получить другую частную теорию орграфов Q, используя вместо групп Г(Й, R) группы A(QR). Обозначим эту теорию через Z% Между определениями и теоремами теорий Z「и Z& существует взаимно однозначное соответствие; его называют алгебраической двойственностью. Утверждения из Zr и Za, соответствующие друг другу относительно этой двойственности, порождаются одним и тем же утверждением теории Z. Может случиться, что некоторые соответствующие друг другу утверждения теорий Zr и Z& совпадают. Тогда мы скажем, что рассматриваемое утверждение (или понятие) является самодвойственным в теории орграфов.

Дуги ориентанта Q выступают в роли клеток в каждой из групп Г(й, R) и A(R,R). Значит, понятие 《дуга》 является самодвойственным (при любом кольце R). Рассмотрим, далее, 1-цепь Id над кольцом R, у которой коэффициент при дуге D равен 1, а все остальные коэффициенты (при дугах из S)— нули. Из формулы (VIII. 4.1) следует, что dfD = 0 тогда и только тогда, когда D есть дуга-петля ориентанта Q, т. е. когда она соответствует петле графа G. Таким образом, множество {£)} является носителем цепи из группы F(R,R) тогда и только тогда, когда D соответствует петле графа G. С другой стороны, множество {£)} будет носителем некоторой цепи из группы Д (й, 7?) в том и только том случае, если D ——дуга-перешеек ориентанта Q, т. е. если она соответствует перешейку графа G. (Это вытекает из теоремы VIII. 40.) Итак, мы можем утверждать, что в теории орграфов понятия《дуга-петля» и «дуга-перешеек» двойственны друг другу.

где а(х)——ненулевые элементы кольца R. Кроме того, для каждой компоненты К положим @(у) = 0, если у = и(К).

Рассмотрим 0-цепь f= g а (и) gvt Используя формулы и е V (G)

(VIII. 5.3) и (VIII. 5.4), получаем, что 6f = 0. Значит, в силу теоремы VIII. 45 каждый коэффициент a(v) равен нулю. Пришли к противоречию.

С другой стороны, каждая кограница би (К) может быть представлена в виде линейной комбинации элементов из X (см. теорему VIII. 45) и, следовательно, каждая цепь f из группы А тоже представима в аналогичной форме (см. теорему VIH.44).

□

В заключение заметим, что в силу теорем VIII. 37 и VIII. 42 r(A) = |£(G)|-P1 (G) = |V(G)|-p0(G). (VIII. 5.8)

Значит, величину pi(G) мы можем назвать циклическим рангом графа G, а величину | V(G) | — p()(G)——его кограничным рангом.

VIII. 6. Ограничения и сжатия

Пусть G, £2 и S такие же, как в разд. VIII. 4 и VIII. 5. Понятия остовного подграфа, ограничения и сжатия, введенные ранее для графов (см. разд. I. 3 и II. 1), распространим на ориен- танты. Пусть Т—произвольное подмножество из S. Орграфы Q : Т и Q・7 суть ориентанты подграфов G : 7V и G7 соответственно, причем дуги, содержащиеся в них, являются элементами подмножества Т н у каждой дуги начало и конец такие же, как в ориентанте Q Аналогично Q X ^ — это ориентант графа G X 7VH его дуги принадлежат подмножеству Т. Если D — дуга из й X 71, то ее конец и начало являются теми компонентами подграфа G:(E(G)—Г), т. е. подграфа G:(S，—厂)， которые содержат соответственно конец и начало дуги £) в Q.

При переходе к группам циклов и кограниц различие между ориентантами Q : Т и Й-Т исчезает.

Теорема VIII. 47. А(£2 ： 7, R) = A(Q • Т, R) 〃 F(Q：7\R) = = Г(£2-Т, R).

Доказательство. Пусть W—множество вершин подграфа GT. Из соотношения (VIII. 5.2) следует, что если f является 0-цепью в Q, то ее кограница в R : Т совпадает с кограницей в Q・T ее ограничения на множество W и» значит, совпадает

с 6f-T. Тем самым первая часть теоремы доказана. Обоснование второй части можно получить, применяя соображения двойственности и теорему VIII. 42. □

Теорема VIII. 48. A (Q • Т, R) = A (Q R) • 7 〃 A (R X Т, R)= = A(Q R)X7\

Доказательство. Рассмотрим произвольную 0-цепь f ориен- танта Q. В силу соотношения (VIII. 5.2) кограница этой цепи в Q : 7 является ограничением на Т ее кограницы в Q. Значит, A(Q : Т, R) = A(Q, R)・Т и первая часть доказываемого утверждения следует теперь из теоремы VIII. 47.

Далее, возьмем произвольную 0-цепь h в ориентанте £2 X Т. Пусть // —— такая 0-цепь ориентанта Q, у которой коэффициент при каждой вершине и равен коэффициенту в цепи 力，стоящему при вершине из G X 厂，соответствующей вершине и. Очевидно, что Sp(6/i‘)三 Т. Кроме того, 6力 в ориентанте Q X ^ является ограничением цепи 8hf на подмножество Т. С другой стороны, если g есть 0-цепь в Q и Sp(6g)三 Т, то для каждой компоненты подграфа G:(S‘ ——7”)при всех ее вершинах в цепи g должны стоять одинаковые коэффициенты (см. соотношение (VIII.5.2)). Следовательно, в ориентанте Q X Т существует такая 0-цепь Л, что g =力'.

Приведенных рассмотрений достаточно для обоснования второй части нашей теоремы. □

Теорема VIII. 49. Г (Q • Т, R) = Г (Q, R)义 7 〃 I1 (Q 义 Т, R)= =r(Q, R) • 7.

Для доказательства этого утверждения нужно в теореме VIII. 48 перейти к двойственным группам, используя теорему VIII. 24, а затем применить теорему VIII. 42.

Распространим обозначения бд и Ga на ориентанты и группы цепей общего вида. Пусть D ——дуга из S. Положим

qJ = q：(S-{£)}),(VIII.6.1)

aZ=ax(s-{。}).(vin. 6.2)

Эти орграфы являются ориентантами подграфов бд и G； соответственно.

Для любой группы цепей N в множестве S над кольцом R полагаем

NJ = M・(S — {D}),(VIII. 6.3)

齊=NX(S-{。}).(VIII. 6.4)

Применяя установленные выше теоремы, получаем следующие тождества:

(A(Q% = A(Q^), (A(Q))% = A(Q%), (Г (Q% = r(Q^), (Г (Q))2 = T(Q^).

(VIII. 6.5)

(VIII. 6.6)

(VIII. 6.7)

(VIII. 6.8)

VIII. 7. Алгебраическая двойственность

Построив теорию Z примитивных групп цепей ^, рассматриваемых в множестве S над кольцом R, мы можем применять ее к любой группе Г(й, R), где Q ——произвольный орграф с множеством дуг S・ Орграф R можно толковать как ориентант соответствующего графа G. Тогда определения и теоремы теории Z становятся утверждениями об Q и составляют «частную теорию» Zp орграфов Q. Аналогично можно получить другую частную теорию орграфов Q, используя вместо групп Г(Й, 7?) группы A(QR). Обозначим эту теорию через Z% Между определениями и теоремами теорий Z「и Z& существует взаимно однозначное соответствие; его называют алгебраической двойственностью. Утверждения из Zr и Za, соответствующие друг другу относительно этой двойственности, порождаются одним и тем же утверждением теории Z. Может случиться, что некоторые соответствующие друг другу утверждения теорий Zr и Z& совпадают. Тогда мы скажем, что рассматриваемое утверждение (или понятие) является самодвойственным в теории орграфов.

Дуги ориентанта Q выступают в роли клеток в каждой из групп Г(й, R) и A(Q, R). Значит, понятие 《дуга》 является самодвойственным (при любом кольце R). Рассмотрим, далее, 1-цепь Id над кольцом R, у которой коэффициент при дуге D равен 1, а все остальные коэффициенты (при дугах из S)— нули. Из формулы (VIII. 4.1) следует, что dfD = 0 тогда и только тогда, когда D есть дуга-петля ориентанта Q, т. е. когда она соответствует петле графа G. Таким образом, множество {£)} является носителем цепи из группы F(R,R) тогда и только тогда, когда D соответствует петле графа G. С другой стороны, множество {£)} будет носителем некоторой цепи из группы Д (й, 7?) в том и только том случае, если D ——дуга-перешеек ориентанта Q, т. е. если она соответствует перешейку графа G. (Это вытекает из теоремы VIII. 40.) Итак, мы можем утверждать, что в теории орграфов понятия《дуга-петля» и «дуга-перешеек» двойственны друг другу.

Пусть Т — произвольное подмножество из S. Рассмотрим ограничение N • Т как элемент теории Z. Соответствующими понятиями в теориях Z「и Z& являются Г (Q, R) • Т н А (й, R，• 7, т. е. Г (Q X Т, R) и А(£2:7\ R) (см. теоремы VIII. 47, VIII. 48 и VIII. 49). Аналогично, элементу У X ^ теории Z соответствует в Zr группа Г (Й: Т, R), а в Z^ — группа A(QX「，R)・ Значит, мы вправе утверждать, что операция сжатия ориентанта Q на подмножество Т двойственна операции построения остовного орподграфа £2:7. В частности, если D ——произвольная дуга ориентанта Q, то операции взятия орподграфов RJ и £2% двойственны друг другу. Напомним, что ориентанты Q：T и Q • Т с точки зрения строения их групп циклов и групп кограниц неразличимы (см. теорему VIII. 47).

Иногда отношением двойственности связаны пары утверждений об й, допускающих формулировку в терминах только графа G (и, возможно, кольца R). В таких случаях можно говорить о двойственных понятиях и теоремах в рамках теории неориентированных графов. Например, двойственными понятиями в указанном смысле являются [петля》и «перешеек». Таковы и понятия «цикл» (или, точнее, «множество ребер цикла») и 《бонд》，которым в теории Z соответствует понятие «элементарная цепь» (см. теоремы VIII. 34 и VIII. 40). В качестве примера пары двойственных теорем можно привести утверждения об отсутствии в графе G множества ребер, образующих цикл, и о несуществовании бонда, содержащего собственное подмножество ребер, являющееся бондом. Связь этих утверждений с определением элементарной цепи в теории Z вытекает из теорем VIII. 34 и VIII. 40.

Приведенные нами замечания о сжатиях и остовных орпод- графах можно с орграфов перенести на графы. Построение графов G X ^ и G: Т из графа G мы можем толковать как алгебраически двойственные операции. В частности, отношением двойственности связаны графы G] и G^ при всяком ребре Л. Этот вид двойственности наметился еще в разд. II. 1.

Для описания другого примера нам понадобится несколько новых понятий. Пусть N — произвольная группа цепей множества S над кольцом R. Подмножество 7 из S назовем обособленным относительно N, если выполняется следующее условие: каждая цепь f из N представима в виде суммы 厶 + 近 где 厶 и % — такие цепи из N, что Sp(fi)三 7, a Sp(%)三 S — Т. Заметим, что при выполнении сформулированного условия обе цепи 八 и 『2 окаймляются цепью / и окаймление будет строгим, если каждая из цепей 厶 и 万 ненулевая.

Нетрудно видеть, что множество S и его пустое подмножество являются обособленными, что любое объединение и пере-

сечение обособленных подмножеств из S обособленное и что дополнение в S всякого обособленного подмножества из S также является обособленным.

Блок-множеством в S относительно N назовем любое минимальное непустое обособленное подмножество из S (минимальность здесь понимается в том смысле, что оно не содержит меньшего непустого обособленного подмножества). Очевидно, что каждое непустое обособленнное подмножество из S содержит некоторое блок-множество. Из проведенных рассмотрений следует, что блок-множества в S относительно N попарно не пересекаются и объединение всех этих блок-множеств совпадает с S. Значит, если S непусто, то в нем существует хотя бы одно блок-множество относительно группы У. Если такое блок- множество единственное, то группа N называется неотделимой} в противном случае N ——отделимая группа.

Теорема VIII.50. Если N ——примитивная группа, то подмножество Т из S является обособленным относительно N тогда и только тогда, когда каждая примитивная цепь f группы ^ удовлетворяет одному из следующих условий: Sp(f)三 7 или Sp⑺三S — T.

Доказательство. Предположим, что Т — обособленное подмножество. Пусть / — примитивная цепь из группы М В силу обособленности подмножества Т цепь f представима в виде суммы 九 + 反 где /] и /2 — такие цепи из У, что Sp(/\)三 7 и Sp(%)^S —工 Но тогда одна из цепей f{ и % должна быть нулевой, так как иначе цепь f, будучи примитивной, а значит, элементарной, строго окаймляла бы каждую из цепей 九 и /2- Следовательно, либо / = %, либо f = f2- Необходимость доказана.

Обратно, предположим, что носитель каждой примитивной цепи из группы N содержится либо в Т, либо в S — Т. Тогда в силу теоремы VIII. 18 каждая цепь g нз N представима в виде суммы g{ + g2, где gx и g2 — такие цепи из М что Sp(gi)三 Т и Sp(g2)三 У — Т. □

Теорема VIII.51. Пусть N ——произвольная группа цепей множества S над кольцом R. Подмножество Т из S является обособленным относительно N тогда и только тогда, когда

N ・T = NXT. (VIII.7.1)

Доказательство. Заметим, что N 乂Т ^ N ・Т (это следует из определения понятий ограничения и сжатия).

Предположим, что Т — обособленное множество. Рассмотрим произвольную цепь g нз М • Т. Существует цепь / е ^, такая, что g = f-T. Имеем / = % + %，где % и /2 — цепи из N,

Sp(fJ 三7 Hsp 仇)三 S-7. Значит, g = h*TeNXT. Необходимость доказана.

Обратно, предположим, что соотношение (VIII. 7.1) выполняется. Пусть / — произвольная цепь из ^. Тогда f・7wA『XT, и, следовательно, цепь / • Т является ограничением на Т некоторой цепи % из У, такой, что Sp(/\)三 Т. Имеем / = % + + (f —fi), Sp(%)三丁 и Sp (f — %)三* — Т. Значит, подмножество Т обособленное. □

Теорема VIII. 52. Пусть N и ^* — двойственные примитивные группы цепей множества S над кольцом R. Они определяют в множестве S одну и ту же совокупность обособленных подмножеств, а значит, одну и ту же систему блок-множеств.

Доказательство. Пусть подмножество Т из S будет обособленным относительно группы N. Тогда (в силу теоремы VIII. 51) оно удовлетворяет соотношению (VIII. 7.1). Следовательно,

(% X 7)* = (ЛГ Г)* и N* ・T = N”T

(см. теорему VIII. 24). Применяя снова теорему VIII. 51, заключаем, что подмножество Т является обособленным относительно группы ^.

Заменяя в приведенных рассуждениях N на № н используя теорему VIII. 23, получаем, что если Т ——обособленное подмножество относительно №, то оно будет обособленным и относительно N. □

Если Т—блок-множество в S относительно группы цепей ^, то будем говорить, что ^ • Т является блоком группы N. Принимая во внимание теорему VIII. 51, мы можем записывать этот блок и в виде ^ X ^- Если множество S пустое, то блоков у группы ^ нет. В остальных случаях группа ^ имеет либо только один блок, совпадающий с ней самой (если она неотделимая), либо более одного блока (если она является отделимой группой).

Теорема VIII.53. Если группа N примитивна, то блоки группы № двойственны блокам группы N.

Это утверждение легко выводится из теорем VIII. 51 и VIII. 52 с использованием теоремы VIII. 24.

Теорема VIII. 54. Пусть Q — ориентант графа G и S — множество его дуг. Подмножество Т из S явлется блок-множеством в S относительно группы F(R,R) тогда и только тогда, когда Тг совпадает с множеством ребер некоторого блока графа G.

Доказательство. Сначала предположим, что G・ 7V——блок графа G. Пусть D и Е ——две произвольные дуги из Т. Тогда

в G найдется такой цикл С, что {D\ Ef}^E (C)^Tf (см. теоремы III. 12 и III. 18). Значит (в силу теоремы VIII. 34), в группе F(R,R) существует примитивная цепь, носитель которой включает в себя обе дуги D и Е. Применяя теорему VIII. 50, видим, что подмножество Т содержится в некотором блок-мно- жестве U относительно группы Г(£2,R).

Предположим, что Т не совпадает с U. Тогда на основании теоремы VIII. 50 в группе Г(£2, R) найдется примитивная цепь, носитель которой пересекается с Т н с U ——Т. Значит, соответствующий этой цепи цикл графа G содержит ребро из Tf и ребро, не принадлежащее Т. Но это противоречит (в силу теоремы Ш. 12) выбору подграфа GT (как блока графа G). Таким образом, Т совпадает с блок-множеством U.

Обратно, предположим, что Т есть блок-множество в S относительно группы Г(£2, R). Тогда Т содержит некоторую дугу D. Соответствующее ей ребро £>' графа G входит в какой-то блок G ・U： Из предыдущих рассмотрений следует, что U является блок-множеством. Так как пересечение U с блок-множеством Т не пусто, то U = Т. □

Теорема VIII. 54 устанавливает взаимно однозначное соответствие между блоками группы Г(й, R) и теми блоками графа G, которые имеют ребра, т. е. блоками подграфа G-E(G). Принимая во внимание теорему VIII. 53 и двойственность групп Г(£2, /?) и A(QR), мы можем утверждать, что понятия «блок подграфа G*E(G)^ и «двусвязность подграфа G・E(G)》являются самодвойственными понятиями теории неориентированных графов.

Заметим, что группа цепей N множества S над кольцом R однозначно определяется своими блоками: каждому блоку соответствует единственная цепь из N, носитель которой совпадает с этим блоком, и всякая цепь из N является суммой цепей такого вида (см. теорему VIII. 51). Отсюда следует, что любая клеточная база группы N есть объединение клеточных баз блоков ——по одной клеточной базе из каждого блока. Таким образом, имеет место следующее утверждение.

Теорема VIII.55. Ранг примитивной группы цепей равен сумме рангов ее блоков.

Заметим далее, что, базируясь лишь на свойствах групп циклов и кограниц, определяемых ориентантами, невозможно установить различие, даже с точностью до вершинного изоморфизма, между двумя разделимыми графами с одним и тем же множеством блоков. Теорема VIII. 54 позволяет только идентифицировать совокупности блоков соответствующих графов, но ничего не говорит о расположении блоков в графах. Может

оказаться, что один граф связный, а другой является несвязным. Очевидно, что связность не относится к тем понятиям теории графов, к которым можно применить концепцию алгебраической двойственности. Поэтому не стоит задавать вопрос об алгебраически двойственном понятии к понятию «компонента».

VIII. 8. Связность

Установив самодвойственность понятия двусвязности (в теории неориентированных графов), естественно спросить, является ли понятие «л-связность» самодвойственным для каждого целого 〃 戸 2. Случай п = 1 отброшен потому, что понятие 1-связности совпадает просто с понятием связности, а значит, алгебраическая двойственность к нему не применима.

Сначала определим связность примитивных групп цепей, а затем выявим взаимоотношение между связностями графов и примитивных групп цепей.

Теорема VIII.56. Пусть N ——примитивная группа цепей множества S над кольцом R, а Т ——произвольное подмножество из S. Тогда справедливо неравенство

r(MXT)《r(N・T),(VIII. 8.1)

причем равенство имеет место в том и только том случае, если Т ——обособленное подмножество относительно группы N.

Доказательство. Пусть D ——произвольная клеточная база группы N \Т. Очевидно, что D является также клеточной базой группы М£>, т. е. группы (^•7') -D (см. соотношение (VIII. 1.2)). Принимая во внимание формулу (VIII. 2.4), получаем

r(NXT) = r(N-D) = r(N ^T)-r((N-T)X(T-D)).

Если г((МТ)Х(Т — D)) отлично от нуля, то в (VIII. 8.1) будет строгое неравенство. В оставшемся случае носитель каждой ненулевой цепи из N-Т пересекается с D. Но тогда D, будучи клеточной базой группы ^ X ^, удовлетворяет условиям из определения клеточной базы группы N T (ибо %义7三 三N・T). Значит, соответствующая база цепей группы 7Vx Т является базой цепей группы N T, а потому в силу теоремы VIII. 12 N XT = N ・Т. Остается воспользоваться теоремой VIII. 51. □

Если Т и U — взаимно дополнительные подмножества из S, то полагаем

自(％； Т, u)= r(N)-r(%xT)-r(NXU)+ (VIII.8.2)

Справедливы соотношения

Е(М Т, S = E(M а Т),(VIII. 8.3)

Е(М Т, U)》l,(VIII. 8.4)

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда Т и U — обособленные подмножества относительно группы N.

Для обоснования неравенства (VIII. 8.4) и следующего за ним замечания достаточно, используя формулу (VIII. 2.4), переписать соотношение (VIII. 8.2) в виде

S(M Т, U) = r(N ^T)~r(NXT)+ 1, (VIII. 8.5)

а затем применить теорему VIII. 56.

Теорема VIII. 57. Е(ЛР; Т, U) = W(M Т, U).

Доказательство. Подставляя в (VIII. 8.5) ^* вместо ^ и воспользовавшись теоремой VIII. 24, получаем

Е("*; Т, U) = г ((У X Л*) ~r((N- ТГ) + 1.

Значит, в силу равенства (VIII. 2.5)

三(ДР； т, U) = r(N・U) — r(NXU)+ 1.

Остается применить соотношения (VIII. 8.3) и (VIII. 8.5). □

Пусть А ——целое положительное число. Примитивная группа цепей N (множества S над кольцом R) называется k-отделимой, если существуют взаимно дополнительные подмножества Т и U множества S, такие, что

自(М т, u)i(VIII. 8.6)

и

mindn, \U\)^k.(VIII. 8.7)

Если найдется наименьшее число 力，такое, что группа ^ является A-отделимой, то назовем его связностью группы N (и будем обозначать символом x(^)). Если такого А не существует, то скажем, что связность 乂 (К) равна бесконечности. Из теоремы VIII. 57 следует, что для всякой примитивной группы цепей N справедливо равенство

x(У*) = %(^.(VIII. 8.8)

Пусть Q — ориентант графа G с множеством дуг S. Предположим для простоты, что граф G связен и содержит хотя бы одно ребро, т. е. что G-E(G) = G. Если Т ^S, то, как и раньше, через 7v будем обозначать подмножество ребер графа G, соответствующих подмножеству дуг Т. Заметим, что 乂(G)N 1.

Если Т и U — взаимно дополнительные подмножества множества S, то через g(G; Т', U') обозначим число общих вершин в подграфах G^Tf и G^Uf.

Теорема VIII.58. Если существует наименьшее целое положительное число 右，такое, что при некотором выборе подмножеств Т и U

E(G; 7Л U、= h(VIII. 8.9)

и

min(|7|, |U|)＞財(VIII. 8.10)

то h ^ *(G), В противном случае 乂(G) = 8.

Доказательство. Предположим, что А ——целое положительное число, удовлетворяющее соотношениям (VIII. 8.9) и (VIII. 8.10). Поскольку граф G не имеет изолированных вершин, то для него выполняются условия (i), (ii) и (iii) из разд. IV. 1 с л = А, Н = GT и К = G• Ut Значит, у графа G существует A-разделение, а потому А x(G).

С другой стороны, если величина 乂(G) конечна, то в графе G найдутся подграфы 〃 н К, удовлетворяющие условиям (i)—— (iii) из разд. IV. 1 с п = x(G). Если бы у подграфа И были изолированные вершины, то мы могли бы удалить их из Н и, естественно, оставить в подграфе К・ При этом множества Е(Н) и Е(К) не изменились бы, а число общих вершин у подграфов 〃 н К уменьшилось бы. Это противоречит определению величины x(G). Отсюда делаем вывод, что " и К являются соответственно подграфами GT и G-U' графа G и удовлетворяют условиям (VIII. 8.9) и (VIII. 8.10) с А = x(G).

Из полученных результатов следует, что если величина x(G) конечна, то наименьшее целое положительное число 月，для которого выполняются соотношения (VIII. 8.9) и (VIII. 8.10), обязательно найдется, а если %(G) = со, то такого положительного числа k нет. □

Теперь займемся выявлением связи между величинами g(r； Т, S и UG；厂，U'), где Г = Г(£2, R).

Теорема VIII.59. Е(Г; 7, U) = E(G; Т‘，U') —凡(G •厂)一 —Po(G • Uf) + 2.

Доказательство. Полагая в (VIII. 8.2) ^ = Г и применяя теоремы VIII. 48 и VIII. 49, получаем

иг； т, U) = r(T (Q, RD-r^g/, R))-rK(R・a R)) + 1 = =仍 9) 一 z (G 7) — 仍(G • U‘)+ 1

(см. теорему VIII. 37). Далее,

^(Г; Л U) = (\E(G)\^\V(G)\+l)^(\T\^\V(G^r)\ +

+ Po(G7))-(|U|-|I/(G・U')I + %(G・U'))+1 =

=自(G； Г, g — ％(G •厂)一 ％(G • ” + 2. □

Из этой теоремы следует, что для любых взаимно дополнительных непустых подмножеств Т н U множества S справедливо неравенство

Ur； 7, U)WW(G;厂，U). (VIII. 8.11) Значит,

%(r)<x(G).(VIIL8 •⑵

Докажем теперь обращение этого неравенства. Сделаем это с помощью следующего утверждения.

Теорема VIII. 60- Пусть Т и U ——взаимно дополнительные непустые подмножества из S. Пусть k — такое целое положительное число, что

UG； Г UfXk + p0(G - Г) + p0(G • ^) - 2 (VHI.8.⑶ и

min(|7|, |。|)>瓦(VIII. 8.14)

Тогда k ^ %(G).

Доказательство. Предположим, что 乂(G)>^. Выберем Т и U такими, чтобы величина g(G; F, U') принимала минимально возможное значение, удовлетворяющее указанному выше условию.

Поскольку Т и U ——непустые подмножества, то граф G содержит хотя бы два ребра. Кроме того, в G не должно быть петель, ибо в противном случае он обладал бы 1-разделением и выполнялось бы соотношение x(G)= 1 А.

Каждая из величин р0 (О • 7‘) и p0(G * Ur) не меньше 1. Если они обе равны 1, то в силу (VIII. 8.13) &(G; Tz, fZ)《瓦 Но тогда %(G) ^ k (см. теорему VIII. 58 и неравенство (VIII. 8.14)). Это противоречит нашему предположению. Таким образом» можно считать, что

%(G • Г) + pQ(G- U')》3. (VIII. 8.15)

Так как в каждой компоненте подграфов GT и G・U‘ есть хотя бы одно ребро, то в каждой из них не менее двух вершин (поскольку петель в графе G нет). Значит,

I V(G)|>4.(VIIL8J6)

Если Н — произвольная компонента из GT или из G・U\ то через %(") будем обозначать число вершин в ", принадле-

жащих подмножеству 取，состоящему из общих вершин подграфов G Т и G，UL Так как граф G связный, то х(Н) =# 0. Кроме того, используя формулу (1.6.1) и теорему 1.35, получаем

1 & %(")《 ]V(//)|<|£(//)|+ 1. (VIII. 8.17)

Если IЕ (//) 1 > х (//) — 1, то будем говорить, что Н — компонента типа I; в противном случае, т. е. если \ Е(Н)\ = х(Н)— 1, назовем ее компонентой типа II.

Если Н — компонента типа II, то она является деревом (в силу (I. 6.1) и теоремы I. 35).

Лемма VIII.61. Если Н — компонента подграфа GT, то I 厂一Е(〃)| V^・

Доказательство. Предположим, что 17V ——Е(Н) | ^ А. Тогда %«•(『一£ (〃))) = % (G 7) — 1》L (VIII. 8.18) Любая компонента подграфа G・U\ не пересекающаяся с Н, является компонентой подграфа G- (Uf \JE(H)). Кроме того, объединяя с Н все компоненты из G・U‘，пересекающиеся с Н (их не более чем %(〃)), получаем еще одну компоненту подграфа G-(Uf \} £'(//)). Следовательно,

% (G • (U‘ U Е (〃)))》Ро (G • U、-x(H)+l. (VIII.8.19)

Далее, так как

自(G;『一£("), U^EiH))^^ Г, S)-%(〃)，

то, используя неравенства (VIII. 8.13), (VIII. 8.18) и (VIII. 8.19), получаем

UG；厂一 £(〃)，U'-£(〃))&

《尼 + % (G •(厂 一 Е (Н))) + % (G • (U U E (〃))) - 2・(VIII. 8.20)

Но каждая из величин 17V — E(")| и | Uf [)E(H) | не меньше k. Значит, неравенство (VIII. 8.20) противоречит выбору подмножеств Т в U. Лемма доказана. △

Лемма VIII.62. Если | Т| > А, то в подграфе G7 существует компонента типа I.

Доказательство. Предположим, что все компоненты подграфа GT относятся к типу II. Тогда они являются деревьями, а потому (см. теорему 1.40) в G7 есть одновалентная вершина и (относительно G7). Пусть Л — ребро из 7\ инцидентное вершине и, a w — другой конец этого ребра.

Вершина w не может быть одновалентной в GT, так как в противном случае подграф G • {Д} был бы компонентой под-

графа G Т, а это противоречит лемме VIII. 61. Далее, все компоненты подграфа G* (Р—{Л}), кроме одной, совпадают с соответствующими компонентами подграфа G7, а одна получается из компоненты К подграфа G・7‘，содержащей ребро Л, и является единственным имеющим ребра торцевым графом перешейка Л в компоненте К. Поэтому

% (G -(Г - {4})) = р° (G • Т‘). (VIII. 8.21) Очевидно также, что

A)(G・(U'U{4})) = Po(G・U‘) или p^G-U^—l (VIII. 8.22) в зависимости от того, принадлежат оба конца ребра А одной и той же компоненте подграфа GU или содержатся в разных его компонентах. Поскольку ^(G; Tf — {Д},沙 U{A}) = £(G;厂, Uf)—1, то, используя соотношения (VIII.8.13), (VIII.8.21) и (VIII. 8.22), получаем

UG； Г-{Л}, U'U {用)&

& 右 + %(G •(厂一 {用))+ %(G • (U U {&)) 一 2. (VIII. 8.23)

Но в каждом из множеств 7v— {Д} и Uf UM) не менее чем k ребер. Значит, неравенство (VIII. 8.23) противоречит выбору подмножеств Т n U. Лемма доказана. △

Лемма VIII. 63. В одном из подграфов G Т или G・U‘ есть компонента типа I.

Доказательство. Предположим противное. Тогда в силу леммы VIII. 62 \Т\ = k и аналогично (см. равенство (VIII. 8.3)) \U\ = k. Поскольку все компоненты имеют тип II, то средняя валентность у каждого из подграфов G7 и G・U' меньше 2. Следовательно, у графа G средняя валентность меньше 4.

Пусть w ——вершина графа G, имеющая наименьшую валентность. Очевидно, что val(G, w) ^ 3. Более того, принимая во внимание неравенство (VIII. 8.16) и соотношение (I. 1.1), получаем, что |£(G) ]^ 2-val(G, uj). Значит, в силу теоремы IV. 3 %(G) ^ val (G, w) ^ 3. Учитывая наше первоначальное предположение, заключаем, что А = 1 или 2.

Так как \T\ — \U\ = k, то соотношение А = 1 противоречит неравенству (VIII. 8.15). Следовательно, А = 2 и (в силу неравенства (VIII. 8.16)) каждый из подграфов G •厂 и G ・U должен быть объединением двух непересекающихся графов-звеньев. Но тогда G, будучи связным графом, является 4-циклом. Поэтому x(G) ^ val(G, w) = 2, что противоречит нашему первоначальному предположению. △

Лемма VIII.64. Если подграф GT имеет компоненту Н типа I, то она совпадает с ним.

Доказательство. Предположим противное. Тогда в GT существует компонента К, отличная от Н, Имеем

\E(G)\^x(H)^l, \E(G)-E(H)\>\U/\^ki

E(G; Е (切，E(G)— £(")) = %(")•

Если x(H) W h, то из этих соотношений и теоремы VIII. 58 выводим, что 乂(G)W%("), а значит, 乂(G)W 尼.Пришли к противоречию с нашим первоначальным предположением. Если же х(Н) и, следовательно, |Е(")| больше А, то компонента К противоречит лемме VIII. 61. △

Вернемся к доказательству теоремы VIII. 60. Из равенства (VIII. 8.3) и лемм VIII. 63 и VIII. 64 следует, что мы можем выбрать обозначения так, чтобы подграф G・ 7V был связным и являлся компонентой типа I. Тогда в силу неравенства (VIII. 8.15) и леммы VIII. 64 подграф G・U‘ состоит не менее чем из двух компонент и все они типа II. Более того, \U\ = k (см. лемму VIII.62). Используя неравенства (VIII.8.17), получаем, что

自(G; Г, U^ = \V(G-Uf) |.

Значит,

E(G;厂，U/) = \U\ + p0(G-U,) =

= ^ + Po(G・T') + po(G・U')—l.

Это противоречит условию (VIII. 8.13). Тем самым теорема VIII. 60 доказана полностью. □

Теорема VIII.65. Если граф G связный, то 乂(G) W х(Г).

Доказательство. При х(Г)= оо утверждение очевидно. В оставшемся случае найдутся такие взаимно дополнительные подмножества Т п U множества S, что

Е(Г; 7, U) = 乂(I1) и min(|74 丨⑺)》乂(门・

Применяя теорему VIII. 59, имеем

UG；厂，^) - х (Г) + ро (G • Г) + Ро (G • ^Э - 2.

Отсюда, используя теорему VIII. 60, получаем требуемое неравенство x(G)х(Г). □

Теорема VIII.66. Пусть G — связный граф, имеющий хотя бы одно ребро, Q ——какой-либо ориентант этого графа 〃 R —— кольцо, удовлетворяющее условиям из разд, VIII. 1. Тогда связности графа G и групп F(R,R) и Д (Q, 7?) равны друг другу.

Доказательство, Из неравенства (VIII. 8.12) и теоремы VIII. 65 следует, что 乂(G) = x(F(R, R)). Остается учесть двой-

ственность групп F(R,R) и A(QR) и воспользоваться соотношением (VIII.8.8). □

Эта теорема показывает, что в теории связных графов связность является алгебраически самодвойственным свойством.

VIII. 9. О теории транспортных сетей

Рассмотрим орграф Q с множеством дуг S и двумя выделенными вершинами % н у. Пусть g — такая 1-цепь орграфа Q над кольцом /, что (dg)(u) = 0 для каждой вершины и из Q, отличной от х и у. В силу (VIII. 4.1)

(%)(%) = —(%)&)• (VIII. 9.1)

Назовем эту 1-цепь g потоком в Q, имеющим величину (dg) (х) и идущим (текущим) из х в у. («Потоки» из разд. VI. 5 подчинялись иным правилам.) Мы можем, естественно, называть также 1-цепь g потоком величины (dg) (у) из у в х. Обычно, если 1-цепь g не является циклом, мы выбираем такое описание, чтобы величина потока была положительна.

Оттоком d(g, и) из вершины и в 1-цепи g называется выражение вида 2 n (A ^)g(D)t где суммирование ведется по всем таким дугам D орграфа 0, для которых т)(£), v)g(D) > 0. Из этого определения следует, что отток всегда неотрицателен. Будем говорить, что 1-цепь g орграфа Q неотрицательна, если каждый коэффициент в ней неотрицателен. Очевидно, что если g ——неотрицательная 1-цепь, то отток d(g, и) равен сумме величин g(£>), взятой по всем дугам Q, заходящим в вершину и.

В типичной задаче из теории транспортных сетей каждой дуге D и каждой вершине и приписываются целочисленные величины c(D) и f(u) соответственно, называемые пропускными способностями. В этой ситуации можно говорить о наибольшей возможной величине потока g в орграфе Q, идущего из х в у и удовлетворяющего следующим двум условиям:

0 ^ g (D) ^ с (£)) для каждой дуги D w S,

d(g, u)《f(u) для каждой вершины v.

Поток g, удовлетворяющий этим условиям, назовем (с. /)- ограниченным. Если c(D) = 1 для всякой дуги D, то вместо «(с, f) -ограниченный» будем употреблять термин «/-ограниченный». Максимальным потоком называется (с, f)-ограниченный поток, имеющий наибольшую возможную величину.

Любой (с, f) -ограниченный поток можно толковать как транспортный поток в сети дорог с односторонним движением. При этом пропускные способности показывают, какое максимальное количество интересующего нас груза можно перевезти за еди-

ницу времени по данной дороге или через данный стык дорог. Хотя предположение о целочисленности пропускных способностей является несколько искусственным, существуют стандартные приемы продолжения рассматриваемой теории с кольца / на кольцо рациональных, а значит, и действительных, чисел. Если в сети есть дороги с двусторонним движением, то их адекватным образом можно изображать как пары противоположно ориентированных дорог с односторонним движением.

Будем теперь предполагать, что c(D)= 1 для каждой дуги D. Общий целочисленный случай можно свести к этому частному случаю с помощью следующей простой процедуры: каждая дуга D заменяется c(D) дугами с единичной пропускной способностью, имеющими такие же начало и конец, как и у дуги D. Пропускные способности f(v) можно считать неотрицательными. Тогда f-ограниченный поток g будет тоже неотрицательным, поскольку все его коэффициенты в этом случае принадлежат множеству {0, 1}.

Пополним орграф Q новой дугой Е, выходящей из х и заходящей в у. Результирующий (пополненный) орграф обозначим через Qi* Очевидно, что если 良一цикл в Qi с 々(£)=/п, то его ограничение на S (множество дуг орграфа Q) является потоком в Q, имеющим величину m и протекающим из х в у.

В следующей теореме используется терминология из разд. VI. 7.

Теорема VIII.67. В орграфе Q тогда и только тогда существует f-ограниченный поток g величины т, протекающий из х в у, когда в Q есть f-ограниченная связка путей, идущих из х в у, состоящая из m путей.

Доказательство. Если X ——такая связка путей, то пусть g есть 1-цепь в орграфе Q, у которой коэффициенты при дугах, принадлежащих путям из связки X, равны 1, а при всех остальных дугах из S равны 0. Легко убедиться в том, что g является /-ограниченным потоком в й, идущим из х в у и имеющим величину т.

Обратно, предположим, что g удовлетворяет условию теоремы. Добавляя к g дугу £ с коэффициентом т, получаем цикл k из группы r(Qi,/). Из теоремы VIII.28 следует, что цикл Л можно представить в виде суммы примитивных цепей из F(Qi,/), согласующихся с А и имеющих только коэффициенты 0 и 1, причем любая дуга множества S входит с коэффициентом 1 не более чем в одну из этих примитивных цепей. Дуга Е принадлежит носителям в точности т примитивных цепей (в каждую она входит с коэффициентом 1). Обозначим эти цепи через 九卜 九2,.…，九旅・ В каждой вершине и таких цепей не более чем /(у) (в силу /-ограниченности потока g)・

Принимая во внимание теорему VIII. 34 и определение цепи рс (из разд. VIII.4), видим, что каждая цепь hi соответствует некоторому круговому пути Q： в орграфе Qi, причем в качестве последней дуги этого пути можно взять дугу Е. В цепи hi все коэффициенты при дугах, принадлежащих пути Qi, равны 1, а при остальных дугах из S равны 0. Та часть пути Qi, которая лежит в орграфе Q, представляет собой линейный путь из х в у. Таким образом, цепи hi (i = 1,2, ..., /и) определяют в орграфе Q /-ограниченную связку путей нз 尤 в у мощности т, □

Из этой теоремы следует, что максимальная величина /-ограниченного потока в орграфе Q, протекающего из х в у, равна максимальной из мощностей /-ограниченных связок путей орграфа Q, идущих из 尤 в у. Если такая связка путей с максимальной мощностью известна, то соответствующий максимальный поток можно получить, применив способ, указанный в начале доказательства теоремы VIII. 67. Таким образом, задачу нахождения f-ограниченного потока максимальной величины можно решать, опираясь на методы из разд. VI. 7, в частности, используя теорему о максимальном потоке и минимальном разрезе (теорему VI. 48).

VIII. 10. Матрицы инцидентности

Рассмотрим ориентант Q графа G с множеством дуг S. Пусть вершины и дуги в Q занумерованы: иь V2, • • ^ vn и £)ь 02, • • • ...,Dm, Через "(Q) обозначим матрицу [Л£/] с /г строками и m столбцами, у которой элемент 九订 равен n(Z)〃 口，・ Матрицу "(Q) назовем матрицей инцидентности (орйентанта Q), соответствующей заданным нумерациям вершин и дуг.

Если D,——дуга-звено, то в /-м столбце матрицы "(Q) в точности два ненулевых элемента. Один из них есть +1, а другой равен —1. Если же D( — дуга-петля, то в /-м столбце стоят только нули. Строки матрицы "(◎) являются векторами, соответствующими вершинным кограницам ориентанта Q (над кольцом /). Если в каждой компоненте графа G выбрать по одной вершине и затем удалить из матрицы "(Q) строки, соответствующие этим вершинам, то получится представляющая матрица М группы A(Q, /) (см. теорему VIII. 46).

Теорема VHI.68. Предположим, что г (A (Q, /)) > 0. Пусть Т — такое подмножество из S, что | Т | = г (A (R, /)) = г (М), где М — представляющая матрица группы A(Q, /). Тогда deiAf(T) = =+ 1 или ——1, если Т является клеточной базой группы A(Q, /), и det М (7) — 0 8 ином случае.

Доказательство. Воспользуемся теоремой VIII. 31. Нужно только показать, что число 他卜 входящее в формулировку этой теоремы, в нашем случае равно 1. Рассмотрим произвольную клеточную базу 7. Имеем det М (Т) = т\ или —/щ.

Обозначим матрицу М(7) через Qo. Если в Qo есть строка, содержащая ровно один ненулевой элемент, то удалим из Qo одну такую строку и столбец, соответствующий ненулевому элементу удаленной строки. Получим квадратную матрицу Qi меньшего порядка. Если в Qi имеется строка с одним ненулевым элементом, то описанную процедуру повторим. Получим квадратную матрицу Q2, порядок которой меньше порядка матрицы Qi, и т. д. Предположим, что, действуя таким способом, мы пришли к матрице Q左(О V & V г(М)). Тогда

det М (Т) = 土 det Qk 千 0.(VIII. 10.1)

Очевидно, что в матрице Q在 нулевых строк нет. Предположим, что каждая строка матрицы Qk содержит не менее двух ненулевых элементов. Поскольку Qk — подматрица матрицы 〃(◎), то в каждом ее столбце не более двух ненулевых элементов. Значит, в каждой строке и каждом столбце матрицы Qk по два ненулевых элемента и, кроме того, сумма элементов в каждом столбце равна нулю. Отсюда следует, что detQ^ = O. Это противоречит соотношению (VIII. 10.1).

Таким образом, строя последовательность матриц Qo, Qi, Q2, ..., мы придем в конце концов к матрице Q左 порядка 1. Единственный элемент этой матрицы отличен от нуля (в силу соотношения (VIII. 10.1)). Значит, он либо 1, либо —1, а поэтому detM(7) равен 1 или —1 (см. (VIII. 10.1)). Следовательно, g = L □

Через Р обозначим матрицу, транспонированную к матрице Р. Можно убедиться, что

"(Q)・"'(C) = K(G),(VIII. 10.2)

где K(G)—матрица Кирхгофа графа G.

Теорема VIII.69. Пусть М ——представляющая матрица регулярной группы, цепей ^, имеющей ненулевой ранг, Пусть число ш\ (см. теорему VIII. 31) равно 1. Тогда det(MMz) равен числу клеточных баз группы, ^.

Доказательство, Из теории определителей следует, что

det (ММ‘) = £ (det М (Т) • det (М (Т))‘) = £ (det М ⑺产，

VIII. 12. Замечания

VIII. 12.1. Неориентированные кограницы

У кограниц, введенных в разд. VIII. 5, имеются аналоги в теории неориентированных графов. Рассмотрим «0-цепи» в множестве R(G) и «1-цепи» в множестве £(©)• В когранице 0-цепи f коэффициент при ребре 4 равен сумме двух коэффициентов, стоящих при концах этого ребра в цепи f. Цикл можно определить как 1-цепь, ортогональную любой когранице. Теория таких кограниц изложена в работе [3]. В ней показывается, что эти кограницы тесно связаны с f-факторами графов. (См. также [4].)

Упражнения

Группа цепей ^ над кольцом / определяется следующей матрицей:

м = Г2 : 3 31

|_3 3 2 3」

В множестве четыре клетки: %ь х2» %з» %4・ Каждая строка матрицы М представляет цепь из ^: коэффициент при /-й клетке указан в строке на /-м месте. Группа N состоит из двух цепей, определяемых двумя строками матрицы, и всех линейных комбинаций этих двух цепей над кольцом /. Найти элементарные цепи и клеточные базы группы N.

Повторить упр. 1, взяв в качестве кольца /5 и рассматривая все элементы из М как вычеты по модулю 5.

Показать, что число 7 (N) клеточных баз примитивной группы цепей ^ удовлетворяет равенству Т (N) = Т ("】)+「("7)， где А ——произвольная клетка, принадлежащая носителю некоторой цепи, но сама не являющаяся носителем никакой цепи.

Пусть Л1 — стандартная представляющая матрица некоторой регулярной группы цепей N. Показать, что М ——вполне унимодулярная матрица, т. е. что определитель каждой ее квадратной подматрицы равен либо 1, либо —1, либо 0.

Транспедансы [ab, ху] орграфа Q, где а и 力 фиксированы, можно интерпретировать как коэффициенты некоторой 1-цепи К (с точностью до знака). Сформулировать для них законы Кирхгофа, используя «язык циклов и кограниц».

Пусть Т — блок-множество примитивной группы циклов N. Пусть 4 и В — две клетки из Т. Показать, что в ^ существует элементарная цепь, носителю которой принадлежат и А, и В. (Это утверждение является обобщением теоремы III. 18.)

где суммирование ведется по всем подмножествам Т из S, удовлетворяющим условию ]7]=厂(乂). Остается воспользоваться теоремой VIII. 31. □

Пусть Q — ориентант связного графа G, имеющего не менее двух вершин. Чтобы получить представляющую матрицу М, надо из матрицы Н(Q) удалить какую-либо строку. Предположим, что удалена строка, соответствующая вершине s・ Тогда М-М1 = Ki(G). Из теорем VIII. 68 и VIII. 69 вытекает, что detKi(G) равен числу клеточных баз группы Д(Я,/). Используя теорему VIII. 43, получаем еще одно доказательство теоремы о том, что detK(G) равен числу остовов графа G (см. теорему VI. 29).

УИ1.11. Матроиды

Предположим, что задана примитивная группа цепей N множества 5 над кольцом R. Рассмотрим класс Q носителей всех примитивных цепей группы N. Этот класс обладает следующими свойствами:

⑴ если X и У принадлежат Q, то У не может быть собст- венным подмножеством множества X;

(11) если X и Y принадлежат Q, a^X()Y u ЬеХ —У, то существует множество Z в Q, такое, что b w Z 三(X U У) 一 ｛。｝・ воиство (i) вытекает из определения элементарной цепи. 4〃я доказательства свойства (ii) достаточно подобрать подхо- 聲以Ую линейную комбинацию примитивных цепей лодмно- еств / м 匕 чтобы получилась цепь f из группы N、носитель peM^VI11К18°ЧаеТ ' Н° Не содержит ”, и затем применить тео-

Еолее общий подход таков： рассматривается семейство Q непустых подмножеств некоторого конечного множества S, обладающих свойствами (i) и (ii); Q называется множеством циклов матроида, заданного на множестве S; каждое подмножество из S, не содержащее циклов, называют независимым множеством матроида. В традиционном определении матроида условия (1) и (ii) заменяются эквивалентными аксиомами, постулирующими некоторые свойства независимых множеств. На ：^^”“" можно смотреть как на обобщение графов и групп

Существует развитая теория матроидов, называемая также абстрактной теорией линейной зависимости. Мы не можем из- ложить ее в данной книге, но считаем, что упомянуть о ее существовании следует. (См. [2], [5].)

Литература

Tutte W. Т. A class of Abelian groups. — Canad. J. Math. 8 (1956), 13—28.

Tutte W. T. Introduction to the theory of rnatroids. — New York: American Elsevier, 1971.

Tutte W. T. On chain-groups and the factors of graphs. — Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, 25); Algebraic methods in graph theory.— Szeged (Hungary), 1978, 793—818.

Tutte W. T. Les facteurs des graphes. — Annals of Discrete Mathematics 8 (1980), 1—5.

Welsh D. J. A. Matroid theory. — New York: Academic Press, 1976.

Глава IX

ГРАФЫ И МНОГОЧЛЕНЫ

IX. /. V-функции

Пусть R — такое же кольцо, как в гл. VIII. В дальнейшем R обычно будет кольцом / целых чисел или некоторым кольцом многочленов над /.

Пусть f — соответствие, сопоставляющее каждому графу G единственный элемент f(G) кольца R. Если f(G) = f(H) для изоморфных графов G и ", то f будем называть графовой функцией. Таким образом, графовая функция является функцией классов изоморфизма.

Графовая функция называется V-функцией, если она удовлетворяет следующим условиям:

если G — пустой граф, то f(G)= \\

если G является объединением двух непересекающихся подграфов Н и К, то

f(G) = f(〃)f(K)；(IX. 1.1)

если Л — звено графа G, то

f(G) = f(G；) + f(G；).(IX. 1.2)

Отметим, что условия (i) и (ii) согласованы, поскольку каждый граф можно рассматривать как объединение его с пустым графом. Следствием условия (ii) является

Теорема XI. 1. Пусть / есть V-функция. Тогда f(G) является произведением значений функции f на компонентах графа G,

Некоторые встречающиеся в достаточно общей ситуации графовые функции являются V-функциями. Древесная сложность Т(G) графа G удовлетворяет условию (iii), но не удовлетворяет (см. теорему II. 18) условию (ii).

Введем одну весьма общую 匕функцию с помощью чисел R(G;io,ii,，2, ••• ), определенных в разделе II.2. Для произвольной бесконечной последовательности

S =(So, Sj, S2» • • •)(IX. 1.3)

определим графовую функцию f (G; S) следующим образом:

f(G; S)=£(R(G;君,％ …)立 s%). (IX. 1.4)

(in, t(…)\m=0/

Суммирование здесь ведется по всем наборам целых неотрицательных чисел го,厶,%, . -. . Формально справа в этом соотношении стоит бесконечная сумма бесконечных произведений. В силу конечности графа G отличные от нуля числа R(G;瓜必 …)образуют конечное множество, поэтому сумма в правой части формулы (IX. 1.4) является конечной для любого графа G.

Теорема IX. 2. Графовая функция /(G; S), определенная формулой (IX. 1.4), является V-функцией.

Доказательство. Пусть G — пустой граф. Тогда R(G; /0, гь ...) = 0, если не все z； равны 0; в противном случае A(G;君，厶，…)=1. Таким образом, условие (i) для f(G; S) выполнено.

Справедливость условия (ii) следует из того очевидного факта, что R(G;小，zb 灰，• • ■) является суммой всех таких произведений

R ("； /о> Л，拉…)，R(K；岛，岛，左2,…)，

что jq + % = iq для каждого' q. Справедливость условия (iii) вытекает из теоремы 11.20. □

Иногда символы S/ в (IX. 1.3) и (IX. 1.4) будут интерпретироваться не как элементы кольца R, а как переменные над R, т. е. кольцо R будет заменяться некоторым своим расширением.

Обозначим через Хп граф, состоящий из одной вершины и п петель (п = 0, 1, 2, ...). Тогда каждый подграф графа Хп состоит из одной компоненты и число подграфов графа Хп с цикломатическим числом / равно (；)• Из (IX. 1.4) получаем

S) = E(：)S/. (IX. 1.5)

Докажем теоремы существования и единственности для V-функций.

Теорема IX. 3. Пусть Т = (/0,厶，/2, ...) — произвольная бесконечная последовательность элементов кольца R. Тогда существует V-функция f, удовлетворяющая условию f (Х^； S) = tm для всех m 0.

Доказательство, Последовательность S, определяемую формулой (IX. 1.3), мы можем выбрать так, чтобы для всех п вы-

полнилось соотношение

% = Е(3”.(IX. 1.6)

Мы добьемся этого, положив

s〃 = E(-l 尸⑺价(IX. 1.7)

Подставляя эти величины в формулу (IX. 1.4), получаем V-функцию f(G; S); см. теорему IX.2. Из (IX. 1.5) и (IX. 1.6) следует, что f (Xm; S) = tm для всех т》0. □

Теорема IX. 4. V-функция f с заданными значениями на каждом графе Хт определяется единственным образом.

Доказательство. Пусть граф G имеет I (G) звеньев. Если / (G) = 0, то f (G) однозначно определяется условием (ii). Пусть / (G) > 0 и Д — звено графа G. Тогда в силу (iii)

f(G) = f(G；) + f(G^).

Но /(G；) и / (Од) меньше / (G). Поэтому достаточно применить индукцию по / (G). □

Теорема IX. 5. Пусть Д — перешеек графа G с торцевыми подграфами Н и К, причем К ——граф-вершина. Тогда для всякой V-функции f выполняется соотношение

f(G) = (l + f(X^)f(H).(IX. 1.8)

Доказательство. Так как граф G】 является объединением непересекающихся подграфов Н и XQ = К, а граф G； вершинно изоморфен Н (см. рис. IX. 1.1), то достаточно воспользоваться формулой (IX. 1.2). 口

Теорем戏 IX. 6. Пусть двухвалентная вершина х графа G инцидентна звеньям А и В, соединяющим ее с вершинами у и z соответственно. Пусть граф Gi получен из G удалением х, А и В, а граф G2 получен из Gi присоединением нового ребра С с концами у и z. Тогда для всякой V-функции f справедливо равенство

f (G) = (1 + f (X。)) f (d) + ftG^. (IX. 1.9)

Доказательство. Отметим, что возможен и случай, когда y = z и С — петля. В случае y*z фрагменты графов G, G】и G2 изображены на рис. IX. 1.2.

Пусть Н — компонента графа бд, содержащая В. Тогда В ——перешеек в Н. Один из торцевых графов перешейка В со-

19 Зак. 878

Рис. IX. 1.1.

Рис. IX. 1.2.

стоит из единственной вершины х; другой обозначим через Яо. Очевидно, что расширенное дополнение К графа 〃 в G] является расширенным дополнением графа Яо в Gi- Поэтому, используя условие (ii) и теорему IX. 5, получаем

f (G】)=f (") f (К) = (1 + f (X。)) f (%) f (К)=

= (l+f(X°))f&).

Остается заметить, что G^ = oG2, и применить условие (iii). □

Назовем графовую функцию топологически инвариантной, если она инвариантна относительно операции подразбиения, определенной в разд. IV. 2. Если граф X получен из графа У подразбиением ребра, то беря в теореме IX. 6 в качестве графов G и Ga графы X н У соответственно, получаем следующий результат.

Теорема IX. 7. Пусть / ——такая V-функция, что f(XQ) = — 1. Тогда f топологически инвариантна.

Справедливо и обратное утверждение:

Теорема IX. 8. Пусть / — топологически инвариантная V-функция. Тогда либо f(Xo) = —1, либо f(K) = O для всякого непустого графа К.

Доказательство. Пусть f(K)=#O для некоторого графа К、 Возьмем в теореме IX. 6 в качестве графа G{ граф К. Тогда / (G) = f (G2) в силу топологической инвариантности функции f. Применяя (IX. 1.9), получаем f (Хо) = ~ 1 • □

Итак, примером тривиальной топологически инвариантной функции, удовлетворяющей условию (i), является функция, равная нулю на всех непустых графах. Другая достаточно простая V-функция определяется формулой

h(G) = 2iE(叽(IX. 1.10)

Она удовлетворяет условиям (i), (ii), (iii), но не является топологически инвариантной (см. теорему IX. 8).

В формуле (IX. 1.4), задающей V-функцию f(G; S) общего вида, положим для каждого k

Sh = tzkt(IX. 1.11)

где t и z — фиксированные элементы из R. Результирующую V-функцию обозначим через Q(G;f, z). Из (IX. 1.4) с помощью теоремы II. 21 получаем

Q(G; /, z)= X 产9：s)zP,(6：s)(IX. 1.12)

S 三 E(G)

Под £ н z будем обычно понимать переменные над R. Это означает, что в определении графовой функции мы заменим кольцо R его подходящим расширением. Тогда Q(G;f, z) будет многочленом от двух переменных / иг, который мы назовем дихроматическим многочленом графа G. Очевидно, что наибольший показатель степени у / в этом многочлене равен | V(G) | и соответствует пустому множеству S, а наибольший показатель степени у z равен pi(G) и соответствует множеству S = £(G).

Помимо обычных характеристик, присущих V-функциям, дихроматический многочлен обладает следующим важным свойством.

Теорема IX. 9. Пусть граф G является объединением двух подграфов Н и К, пересекающихся лишь по одной вершине. Тогда

ZQ(G; f, 2)= Q(〃；力 z)Q(K; /, z). (IX. 1.13)

Доказательство. Для данного множества S ^E(G) обозначим через S] и S? его пересечения с Е (〃)и £(К) соответственно. Тогда G: S является объединением графов 〃： S】и К: S2, пересекающихся лишь по одной вершине. Имеем

l+po(G：S) = Po(^：S1) + po(^：S2). (IX. S4)

Отсюда, используя соотношение (1.6.1), выводим равенство

Pi(G:S) = px (Н:8х) + Рг (K：S^t (IX. 1.15)

Значит, в силу (IX. 1.12)

，Q(G； f Z)=££ fPo(H：Si)+po(K：S?)义 zPi(H：Si)+pi(K S)=

''Si 金(H) Szs£(x)—

= Q("; f, Z)Q(K； 2, N). □

Заметим, что непосредственное применение формулы (IX. 1.12) для нахождения дихроматических многочленов удоб- 19*

но лишь при оперировании с весьма простыми графами. Легко проверить, что

Q(Xm； f, z) = f(l+z)m(IX. 1.16)

для каждого /и > 0 (см. (IX. 1.5)). Нетрудно убедиться также, что справедлива

Теорема IK. 10. Если G есть граф-звено, то Q(G;f, ?)= = /(1+0.

Вычисляя Q(G; /,z) для более сложных графов, следует отправляться от простых графов и многочленов и использовать рекуррентные формулы (IX. 1.1), (IX. 1.2) и (IX. 1.13). Вероятно, следующий вариант формулы (IX. 1.13) следует отметить особо.

Теорема IX. 11. Пусть в связном графе G имеется перешеек 4 с торцевыми графами Н и К- Тогда

/Q(G; Л n) = (1 +f)Q(〃； f, z)Q(K; /, 2). (IX. 1J7)

Для доказательства надо применить теоремы IX. 9 (дважды) и IX. 10.

/X. 2. Хроматический многочлен

Пусть R — кольцо многочленов от одной переменной с целыми коэффициентами. Положим

P(G;厶)= (—1)"g)|q(g； —儿-1). (IX. 2.1)

Принимая во внимание формулу (IX. 1.12), можно это соотношение записать в иной, эквивалентной, форме:

P(G；%)= £ (_i)|S|/(6：s).(IX. 2.2)

Из (IX. 2.1) видно, что (―1)1丿(°)1Р(С;厶)есть V-функция. Из условий (i), (ii), (iii) разд. IX. 1 получаем следующие свойства функции P(G; к).

Теорема IX. 12. Если G — пустой граф, то Р (G; %)= 1.

Теорема IX. 13. Если граф G является объединением непере- секающихся подграфов Н и К, то

尸(G;簿= Р(〃；九)尸(К； %)・(IX. 2.3)

Теорема IK. 14. Если А — звено графа G, то

P(G; K) = P(G^ ^-P(G^ %). (IX. 2.4)

В качестве следствия теоремы IX. 9 получаем такой результат:

Теорема IX. 15. Если граф G является объединением таких подграфов Н и К, что ЯП ^ есть граф-вершина, то

九P(G;九) = Р(〃； ％)Р(К； %)•(IX. 2.5)

Из этих результатов и определения можно вывести дальнейшие свойства функции P(G;A). Рассмотрим ряд простейших примеров.

Из (IX. 1.16) вытекает

Теорема IX. 16.「(Х^; %)=厶 при /п = 0, а если /п > 0, то Р(Хт； Х) = 0.

Теорема IX. 17. Если в G есть петля, то P(G; %) = 0.

Это утверждение следует из (IX. 2.5) и теоремы IX. 16 (при m = 1).

Теорема IX. 18. Если граф G не содержит петель, то P(G; X) является многочленом степени | V(G) |.

Для доказательства достаточно применить формулу (IX. 2.2), заметив, что число компонент в графе G : S равно |V(G)|, если множество S пустое, и меньше | V(G) | в противном случае.

Теорема IK. 19. Пусть граф G имеет звенья А и В с одинаковыми концами х и у. Тогда Р (G; X) = Р (G^;九).

Для доказательства применяем формулу (IX. 2.4) и теорему IX. 7, рассматривая В как петлю в G；.

Из теорем IX. 17 и IX. 19 вытекает, что, исследуя многочлены 尸(G;九)，мы можем в основном ограничиться рассмотрением графов, не имеющих петель и кратных ребер, так как распространение результатов на общий случай осуществляется достаточно просто.

Если X принимает положительные целые значения, то P(G;A) можно интерпретировать на языке n-раскрасок графа G.

Пусть Sn — множество целых чисел от 1 до п, которые мы будем называть цветами} п-раскраской графа G назовем такое отображение множества V(G) в S几,при котором вершины, являющиеся концами одного ребра, окрашиваются в разные цвета (т. е. таким вершинам сопоставляются разные элементы из 扌〃).Через ^(G; и) обозначим число n-раскрасок графа G. Очевидно, что ^(G; п) является графовой функцией. Ясно также, что если G имеет петли, то ^(G; п) = 0.'

Будем считать, что для пустого множества существует лишь одно его отображение в 5Л. Значит, если G — пустой граф, то полагаем ^(G; n)= 1.

Пусть G ——объединение непересекающихся графов Я и ^. Тогда /г-раскраска графа G является комбинацией какой-либо n-раскраски графа Н и n-раскраски графа К, т. е.

^ (G; /г) = N (Я; /г) ^ (К； л).

Пусть граф G имеет звено Л с концами 尤 и у Тогда множество всех n-раскрасок графа G можно отождествить с подмножеством n-раскрасок графа G；, у которых вершины % и у окрашены в разные цвета. Далее, рассматривая «сращивание» вершин хну, заключаем, что множество всех п-раскрасок графа Од можно отождествить с подмножеством тех п-раскрасок графа Од, в которых вершины хну окрашиваются в один цвет. Таким образом,

N@4 = N"、几)一"(從；九).

Теперь ясно, что (—1)1 V^°^N (G* п) является V-функцией. Далее, поскольку ^ (Хо; п) = п и N (Х^；孔)=0 при /и > 0, то в силу теорем IX. 4 и IX. 16 V-функции (—1)17<°И ^ (G; п) и (—1)1 p(g)i Р (G; /г) совпадают. Нами получена

Теорема IX. 20. Для произвольного графа G и любого положительного целого и число п-раскрасок, графа G равно 尸(G; и).

Теорема IX. 21. Пусть G — граф без петель. Тогда P(G; п) ^ 》0 для всех положительных целых /г и при л ^ | V (G) | это неравенство является строгим. Если Р (G; п) = 0, то и Р (G; т)= =0 для положительных целых m <п.

Первое утверждение этой теоремы следует из теоремы IX. 20 и того факта, что при п ^ | V(G) |, приписывая каждой вершине свой цвет, получаем n-раскраску графа G. Для завершения доказательства теоремы заметим, что m-раскраска является и л-раскраской (при /и < п).

На основании теоремы IX. 20 P(G; X) можно назвать хроматическим многочленом графа G. Из теоремы IX. 21 следует, что для каждого непустого графа G без петель существует наименьшее положительное целое число п, такое, что граф G имеет n-раскраску. Оно называется хроматическим числом графа С. Граф с хроматическим числом п называется п-хрома^ тическим. Принимая во внимание теорему IX. 12, удобно будет считать пустой граф О-хроматическим*

Результаты, касающиеся проблем раскраски, занимают значительное место в теории графов. Хроматические многочлены

представляют интерес для теории графов главным образом благодаря интерпретации, данной в теореме IX. 20. Исторически начало их изучения связано с рассмотрением задачи перечисления n-раскрасок. С этой точки зрения формула (IX. 2.2), взятая нами в качестве исходной формулы при определении многочлена P(G;A), является важным результатом: она дает точное значение для величины ^(G; /г). В таком качестве эта формула была получена Уитни [17]. Многие из следующих далее теорем данного раздела естественно и легко обосновываются на языке n-раскрасок, а для их обобщения на случай произвольного 1 можно использовать полиномиальные тождества. Однако, в наших доказательствах 九 будет рассматриваться всюду как формальная переменная.

Укажем некоторую модификацию интерпретации многочлена P(G; п), данной в теореме IX.20.

Рассмотрим цепь в множестве S над кольцом R (см. разд. VIII. 1). Назовем ее всюду ненулевой, если ее носителем является S. Рассмотрим произвольный ориентант Q графа G с множеством дуг S. Будем предполагать, что кольцо R конечно и состоит из л элементов (например, R = 1п), Подсчитаем число всюду ненулевых кограниц над R ориентанта Q

Ясно, что 0-цепь f ориентанта Q над R имеет всюду ненулевую кограницу тогда и только тогда, когда для каждой дуги £> из Q выполняется условие, что коэффициенты при вершинах цепи Д являющихся концами дуги D, различны. Легко видеть, что число таких 0-цепей f равно ^(G; п) или в силу теоремы IX.20 P(G; п). Но каждый элемент группы A(Q,R) является, согласно теореме VIII. 45, кограницей ровно пр°{0^ различных 0-цепей. Следовательно, справедлива

Теорема 1Х.22. Пусть кольцо R состоит из п элементов, а Q ——произвольный ориентант графа G. Тогда число всюду ненулевых кограниц ориентанта Q над R равно

尸(G； п).

В связи с этим результатом отметим, что многочлен P(G; %) всегда делится на "。⑹(см. формулу IX. 2.2)).

Ориентант R графа G назовем ациклическим, если в нем нет кругового пути. Стенли показал [9], что число ациклических ориентантов графа G равно Р (G; —1).

Далее нетрудно видеть, что P(G; %) = % для графа-вершины, Р (G; X) = 0 для графа-петли и, согласно теореме IX. 10, P(G; %) = %(% —1) для графа-звена. При нахождении многочленов P(G;九)для других графов мы используем рекуррентные формулы (IX. 2.3), (IX. 2.4) и (IX. 2.5). Приведем два примера.

Теорема IX.23. Для дерева Т с k ребрами

Р(т- М = ^(^- l)ft.(IX.2.6)

Доказательство. Если ^ = 0 или ^ = 1, то Т есть граф-вершина или граф-звено, и формула (IX. 2.6) верна. В остальных случаях Т является объединением графа-звена и дерева с k——1 ребрами, пересечение которых есть, согласно теоремам 1.38 и 1.40, граф-вершина. Значит, истинность сформулированного утверждения можно установить, применяя необходимое число раз формулу (IX. 2.5).

Теорема IX.24. Для цикла Ck с k ребрами

р(5；入)=(入一被+ (—及 6—1).(ix. 2.7)

Доказательство. При 左=1 цикл является графом-петлей, и формула (IX. 2.7), очевидно, верна. При k > I рассмотрим произвольное звено Д в Ck. Тогда (С/】 есть цепь с ^ — 1 ребрами, a (CJ； является циклом С在一】с ^ — 1 ребрами. Если теорема верна для С— то, согласно (IX. 2.4) и (IX. 2.5), справедливо равенство

P(ck；簿=% 3 一 1)1 一(仇 一 1)1 + (一 1)"1 (% - 1)),

которое эквивалентно, как нетрудно видеть, (IX.2.7). Значит, теорема может быть доказана индукцией по k. □

Определим вершинное расширение графа Н как граф G, полученный присоединением к Н новой вершины % и соединением ее с каждой вершиной графа Н хотя бы одним новым звеном.

Теорема IX. 25. Пусть G ——вершинное расширение графа Я. Тогда

P(G;九)=九尸(〃；X- 1).(IX. 2.8)

Доказательство. В терминах n-раскрасок теорема очевидна. При произвольном 九 доказательство проведем индукцией по

При \Е(Н) | = 0, согласно теоремам IX. 19 и IX. 23,

P(G;九)= %(%- 1)1 八切I

и в соответствии с теоремами IX. 13 и IX. 16

Р(〃； ％- 1)=(九一1)1мн)|.

Таким образом, в этом случае соотношение (IX. 2.8) справедливо. Пусть теорема верна, если | £*(//) | меньше некоторого положительного целого числа q. Рассмотрим случай, когда |£(")1=д・

Возьмем произвольное ребро 4 графа Н, Если А — петля, то равенство (IX. 2.8) следует из теоремы IX.17. Если Л — звено, то, очевидно, GfA и G/ являются вершинными расширениями графов Н'а и 〃么 соответственно. Значит, используя соотношение (IX. 2.4), получаем

P(G; ^}^P(G^ K)~P(G^ Л).

В силу предположения индукции правая часть этой формулы равна

九「(％； ^-^-^Р{Н^ 九一1),

т. е. согласно (IX. 2.4), равна ЛР (Я; Л — 1). □

Теорема 1Х・26・ Если G является п-кликой, то

Р (G; X) = % (% — 1)(% — 2) ... (Л. — п + 1). (IX. 2.9)

Доказательство. При п = 0 пустое произведение в правой части формулы (IX. 2.9) условимся считать равным 1, что согласуется с теоремой IX. 12. Если и — 1, то G есть граф-вершина, и формула (IX. 2.9), очевидно, верна. При /г > 1 утверждение доказывается (п—1)-кратным применением теоремы IX. 25. □

Теорема IX. 27. Пусть G есть объединение подграфов Н и К, пересечением которых является п-клика Q. Тогда

%3-1)..・3 —孔+D 尸(G; %)=尸(”；％)尸(К； %)• (IX. 2.10)

Доказательство. При п = 0 и п = 1 утверждение сводится к теоремам IX. 13 и IX. 15 соответственно. Пусть п> I и w есть число ребер графа 居 имеющих не более одного конца в Q. Докажем теорему индукцией по w.

При 5 = 0 граф К имеет ровно одну компоненту Ко, содержащую Q, все остальные компоненты в К являются графами-вершинами. Пусть число таких вершин равно т. Тогда, согласно теоремам IX. 13 и IX. 19,

尸(％; %)=尸(Q; %), Р(К;九)=九冲9; %).

Аналогичным образом

P("UAo； %)=尸(”；％), P(G;厶) = 2ЛР (”； ％).

Эти результаты вместе с формулой (IX. 2.9) обосновывают справедливость соотношения (IX. 2.10) при w — 0.

Пусть теорема верна при 5 V е，где q — некоторое положительное целое число. Положим w = q. Рассмотрим ребро 4 графа К, имеющее в Q не более одного конца. Если А ——петля,

то (IX. 2.10) следует из теоремы IX. 17. Если Л — звено, то

где 〃] = 口". Далее, поскольку "ПК】и Н{ f] 7<д являются /г- кликами, то в силу теоремы IX. 14 и предположения индукции

P(Q;簿尸(G;九)= P(Q;簿(P(G£ %) — P(G* %)) =

=P("；九)尸(K1； %) 一尸("；^)P^ 九)= = P(〃； ％)尸(К；九).□

Обозначим через Ру (G) коэффициент при 7 в многочлене 尸(G; Л). Тогда

W(G)|

P(G; Л)= X Л (G) V.(IX.2.11)

Теорема IX. 28. Пусть граф G имеет п вершин и не содержит петель. Тогда коэффициент P,(G) отличен от нуля е том 以 только том случае, если р0 (G) ^ / ^ и. При выполнении этого условия Р； (G) имеет знак (― 1)"一'・ Кроме того, P„ (G) = 1.

Доказательство. Если G — граф без ребер, то Ро⑹=几 н, согласно теоремам IX. 12, IX. 13 и IX. 16, Р(@;九)=犷.Значит, в этом случае утверждение справедливо. Пусть ^ > 0, | £ (G) | = =д н теорема верна при | £ (G) | < ^.

Пусть А — ребро графа G. Если А — элемент кратного соединения, то, согласно теореме IX. 19, P(G; X) = Р (G^; %) и по теореме 1.29 Po(G) = р。(G】). Поскольку теорема верна для G；, то она справедлива и для G.

Пусть 4 не является элементом кратного соединения. В этом случае петли в графах G] и G^ отсутствуют. В силу теоремы IX.14

Pj(G) = P/(Gl) — P/(GZ).(IX. 2.12)

Поскольку для G[ и G^ теорема справедлива, то отличны от нуля коэффициенты Pt (G^) при Po(G])WjW/i, а также коэффициенты P/(G?) при /?o(G；)《jV/i——1. Далее, ненулевые коэффициенты Р/(G1) и — Р/((?7) имеют знак (—1)п-/. Остается воспользоваться теоремами 1.29 и II.5. □

Для произвольного графа G определим многочлен U(G;九) от % степени | V (G) | — р0 (G) следующим соотношением:

尸(G;九)=Vм。)U (G; X).(IX. 2.13)

Рассмотрим U (G; %) как многочлен от % — L Его коэффициент при (X — 1/ обозначим через U/(G).

Для коэффициентов U/(G) докажем аналог теоремы IX. 28. При этом Po(G) заменится на блоковое число р (G) графа G, определяемое как количество блоков, имеющих хотя бы одно ребро. Отметим, что р (G) = 0 только для графов без ребер.

Теорема IX. 29. Пусть ребро 4 графа G не является н〃 пет* лей, ни перешейком. Тогда

min{₽(G；), ₽(G^)} = p(G). (IX. 2.14)

Доказательство. Пусть 4 содержится в блоке В графа G. Если других ребер в В нет и А не является петлей, то в силу теорем 1.45 и III. 5 Д — перешеек графа G. Таким образом, блок В содержит не менее двух ребер.

Ясно, что с точностью до вершинного изоморфизма блоки графа G, отличные от В, являются блоками графов G] и G；. Поэтому

min{₽{G^), P(G^)}>₽(G),

и равенство достигается, если хотя бы один из графов BfA или В； не является разделимым. Следовательно, наша теорема вытекает из теоремы III. 33. □

Следствие IX. 30. Если ребро Д — элемент кратного соединения 6 графе G, то 0(%) = 0(G).

В данном случае блок 5么 из приведенного выше доказательства содержит петлю. Следовательно, он двусвязен тогда и только тогда, когда |£(В)| = 2. А при этом условии двусвязным является и граф □

Теорема 1Х.31. Пусть граф G имеет п верш н. Тогда коэффициент Uj (G) отличен от нуля в том и толь о том случае, если р (G) ^ / ^ и — Ро (G). При выполнении этого условия U/(G) имеет знак (——[尸一小①)一/. Кроме того, старший коэффициент (с номером j = ti — ро (G)) равен 1.

Доказательство. Если G является лесом, то, согласно теоремам IX. 13, IX. 23 и 1.37,

P(G; Л) =М"°)3— 1)п~Р^а\

Поскольку в данном случае ^ (G) = \ Е (G) \ = п — pQ (g), то теорема справедлива.

Осуществим, далее, индукцию по |£(G) | таким же образом, как и при доказательстве теоремы IX. 28, с той лишь разницей, что выбираемое ребро Д не будет перешейком графа G, а вместо po(G) возьмем p(G). Если Д — элемент кратного соединения, то применяем не теорему 1.29, а следствие IX. 30. В противном случае вместо теорем 1.29 и II. 5 используем теорему IX. 29. □

Часто предполагается, что переменная X принимает вещественные значения. Результаты, приводимые в теореме IX. 32, легко получаются из теорем IX. 28 и IX. 31 и представляют самостоятельный интерес.

Теорема IX. 32. Пусть G ~ связный п-вершинный граф, не содержащий петель. Тогда если ——8 V % V 0, то величина Р (G; %) отлична от нуля и имеет знак ( —1)\ а если Ь V A1VL то Р(G; * отлична от 0 и имеет знак (—1)п-1. При % = 0 получаем P(G; Х) = 0, а производная многочлена P(G; %) отлична от 0 и имеет знак (—1)л+1. Если G является двусвязным графом, то P(G; X) = 0 при Х = 1, и в этом случае его производная отлична от 0 〃 имеет знак (—1)".

Существует гипотеза, что для любого графа G последовательность абсолютных значений коэффициентов P/(G) является унимодальной у т. е. нет ни одного Ру (G), который был бы меньше по абсолютной величине, чем | Р；_! (G) | и I 尸j+i(G)[ одновременно. Аналогичная гипотеза высказывается и для по* следовательности величин | U/(G)|. Ни доказательства, ни опровержения ни одного из этих двух утверждений не найдено.

IX. 3. Раскраска графов

Хроматические многочлены были введены нами с целью подсчета числа n-раскрасок графов. Было бы уместно привести здесь дальнейшие результаты о раскрасках. Но, к сожалению» способы получения этих результатов немногочисленны и, обычно, весьма сложны (за редким исключением, когда они тривиальны), особенно если, как в нашем изложении, не используется свойство планарности. Приведем два примера, один из которых тривиален, а другой, напротив, достаточно сложен.

Теорема IX. 33. Пусть G ——простой граф, максимальная валентность вершин которого равна k. Тогда G допускает (й + 1)- раскраску.

Получить такую раскраску можно, перебирая все вершины и приписывая очередной из них тот цвет, в который не были окрашены смежные с ней вершины.

Теорема IX.34 (теорема Брукса). Пусть G ——простой связный граф, максимальная валентность вершин которого равна 々>2. Тогда либо G является (й + \ )~кликой^ либо он имеет k-раскраску.

Доказательство. Пусть G — такой граф с наименьшим числом вершин, для которого теорема не верна. Рассмотрим его (^ + 1)-раскраску, упомянутую в теореме IX. 33. Цвета 1,...,右 будем называть обычными, цвет (々 + 1) — критическим.

Лемма IX. 35. Пусть L — цепь графа G с концами х и у. Тогда указанную выше (々 + 1)-раскраску графа G можно, изменяя цвета лишь на вершинах из £, преобразовать таким образом, что критический цвет не будет приписан вершинам из отличным от х.

Доказательство. Расположим вершины цепи L в последовательность

(Q。， 。1， @2， • • ' , °s)，

в которой aQ = у и as — x. Перекрасим вершины этой последовательности в соответствии со следующими правилами:

вершине а0 приписывается тот обычный цвет, в который не окрашены смежные с ней вершины, отличные от 旬；

перекрасив вершину а； (0 < / < s — 2), вершине а/+1 приписываем тот обычный цвет, в который не окрашены смежные с ней вершины^ отличные от а」+2；

перекрасив вершину а5_и приписываем вершине as тот цвет (возможно критический), в который не окрашены смежные с ней вершины,.

Указанный процесс может быть осуществлен в силу ограничения на валентность вершин графа G. Это даст требуемую новую (й + 1)-раскраску. △

Какова бы ни была вершина х графа G, можно (достаточное число раз применив лемму IX. 35) построить такую (々 + 1)-рас- краску графа G, при которой в критический цвет окрашивается только вершина х (отказаться от критического цвета нельзя в силу выбора графа G). Эту раскраску мы назовем критической раскраской графа G с критической вершиной х.

Лемма IX. 36. Граф G является однородным графом валентности

Доказательство. Предположим, что валентность некоторой вершины х меньше 々.Построим критическую раскраску графа G с критической вершиной х. Затем, изменив цвет вершины х на обычный, мы можем построить Л-раскраску. Это противоречит выбору графа G. △

Лемма IX. 37. Граф G является двусвязным.

Доказательство. Предположив противное, приходим к выводу, что G допускает 1-разделение (Я, К) с точкой сочленения V. Каждый из графов Я и К, согласно теореме III. 1, связен и имеет в соответствии с теоремой IV. 10 вершины, отличные от V. Ни один из них не является (々 + 1)-кликой, так как оба содержат ребра, инцидентные а Очевидно, что максимальная валентность вершин каждого из них равна 々.Следовательно, в силу выбора G и число ^(Я; Л), и число N(K;盼 отличны от нуля. Тогда, применяя теоремы IX. 15 и IX. 20, получаем N(G;Z)耍 0. Это противоречит выбору графа G. △

Лемма IX. 38. Граф G является трехсвязным.

Доказательство. Предположим противное, т. е. что G допускает 2-разделение (Я, К). Подвески этого 2-разделения обозначим через х и г/. В силу теоремы IV. 20 графы Я и К связны. Построим графы Gi, 〃i и Ki, присоединяя к графам ©, Н н К соответственно новое ребро Л с концами х и у. Согласно теореме IV. 10, каждый из графов Я и Л содержит вершины, отличные от х и у. Поэтому максимальная валентность вершин в каждом из связных графов 必 и Ki равна k.

Пусть оба графа Н{ и Ki не являются (Л + 1)-кликами. Тогда в силу выбора графа G числа ^(Я1； й) и N(КО отличны от нуля. Следовательно, в соответствии с теоремами IX. 20 и IX. 27 ^(G1； й)=# 0. Учитывая, что й-раскраска графа Gi является также й-раскраской графа G, получаем противоречие с условием выбора графа G.

Предположим теперь, что один из графов /Л и R, скажем Нь является (^ + 1)-кликой. Тогда граф Н допускает й-рас- краску (назовем ее Qi), при которой вершины хну получают одинаковый цвет. Кроме того, х и у должны иметь в графе К валентность 1. Построим из К новый граф Ко, отождествляя вершины х и у. Поскольку вершина х в графе Ко имеет валентность 2, то максимальная валентность вершин в этом графе не превосходит 右 и, значит, граф Ко в силу выбора графа G допускает й-раскраску. Следовательно, граф К допускает й-рас- краску (назовем ее Q2), при которой вершины 尤 н р получают одинаковый цвет. Комбинируя Qi с Q2, получаем 々-раскраску графа G, что противоречит его выбору. △

Продолжим доказательство теоремы IX. 34.

В силу теоремы IX. 21 граф G имеет не менее й + 1 вершин. Рассмотрим несмежные вершины / и и (если бы их не нашлось, то граф, согласно лемме IX. 36, являлся бы (А + 1)- кликой). В соответствии с леммой IX. 35 существует критическая раскраска графа G с критической вершиной 2 Поскольку вершине и и смежным с ней вершинам приписаны обычные цвета, то должны существовать две смежные с и вершины, скажем V и wt окрашенные в одинаковый цвет. Пусть Т н U — множества ребер, инцидентных вершинам f и и соответственно. Граф G в силу леммы IX. 38 и теоремы IV. 10 является вер- шинно трехсвязным. Поэтому A(G; Tt U)^3 (определение величины 入(G; Т, U), см. в разд. II.4). Значит, согласно теореме Менгера (11.34 или 11.35), в графе G существуют три внутренне непересекающиеся цепи, соединяющие вершину t с вершиной 以.Следовательно, одна из этих цепей, назовем ее £, не содержит ни и, ни w. В соответствии с леммой IX. 35, изменяя цвета только у вершин цепи L, из данной критической раскраски графа G получим другую, с критической вершиной и. Вершинам, смежным с м, теперь приписаны лишь обычные цвета, причем не более k——1 из них. Приписывая вершине и оставшийся обычный цвет, получаем й-раскраску графа G. Пришли к противоречию. Теорема доказана. □

Рассматривая 2-раскраски графов, теорему IX. 34 можно заменить следующей теоремой IX. 39. Нетрудно видеть, что 2-рас- крашиваемые графы — это двудольные графы, определенные в разд. II. 6.

Теорема IX. 39. Граф G является двудольным (2-раскра1ии- ваемым) тогда 〃 только тогда, когда он не содержит циклов нечетной длины.

Доказательство. Очевидно, что граф с нечетным циклом двудольным не является.

Обратно, пусть граф G недвудольный. Если в G есть петля, то она является циклом нечетной длины 1. В случае отсутствия петель можно удалить, одно за другим, все звенья графа G, получив в результате граф без ребер, т. е. двудольный граф. На некотором промежуточном шаге процесса удаления звеньев из графа G мы получаем граф Я, не являющийся двудольным» с таким звеном Л, что граф Н\ двудольный. Тогда при любой 2-раскраске графа Н^ концам 无 и g звена Л в графе Н должен быть приписан один и тот же цвет. Но это возможно только тогда, когда хну находятся в одной компоненте графа Н； (в противном случае вершины одной из компонент можно было бы перекрасить). Вершины х п у соединены в НГА некоторой

цепью L. Тогда L имеет четную длину, так как вершины двух цветов чередуются в ней. Добавляя к L звено 4, получаем цикл нечетной длины в графе G. □

Добавим к сказанному выше (для полноты картины), что граф является 1-раскрашиваемым тогда и только тогда, когда он не содержит ребер, и что О-раскрашиваемым является только пустой граф.

Рассмотрим примитивную группу ^ цепей в множестве S над кольцом R. Определим гамильтонову цепь группы N как примитивную цепь 良 из ^, носитель которой содержит ровно |Z|——r(N)+l клеток. Согласно теореме VIII. 16, ни у одной примитивной цепи группы N число клеток в ее носителе не может превышать этого числа.

Пусть G — связный граф и Q — некоторый его ориентант. Согласно теореме VIII. 35, гамильтоновой цепи Л группы Г (Q, R) соответствует цикл Н графа G, имеющий | £ (G) | — —/?! (G) + 1 ребер, т. е. (в силу соотношения (1.6.1) и теоремы VIII. 37) длина цикла Н равна | V (G) |. Таким образом, Н — это цикл, проходящий через все вершины графа и называемый обычно гамильтоновым циклом.

Пусть теперь Л — гамильтонова цепь группы A(Q, /?). Ей соответствует, согласно теореме VIII. 40, бонд Н графа G, содержащий в силу (VIII. 5.8) I £(G) I — I V (G) I + 2 ребер. Два торцевых графа X и Y бонда Я содержат в совокупности все вершины графа G и только |P(G)| —2 ребер. Следовательно, каждый из этих торцевых графов должен быть деревом (см. теорему I. 35). Теперь мы можем ввести понятие гамильтонова бонда, алгебраически двойственное понятию гамильтонова цикла. Гамильтоновом называется бонд графа G, торцевыми графами которого являются деревья, т. е. бонд, состоящий из Pi(G)+ 1 ребер.

Теорема IX. 40. Связный граф, имеющий гамильтонов бонд, допускает 4-раскраску.

Доказательство. По теореме IX. 39 деревья являются двудольными графами. Следовательно, один из торцевых графов бонда можно раскрасить двумя из четырех цветов, а другой —— оставшимися двумя. Это дает 4-раскраску графа G. □

Теорема IX. 41 (теорема Гринберга). Пусть связный граф G имеет гамильтонов бонд Н с торцевыми графами X и Y. Пусть /:〃 f^ — шсло вершин графов X и Y соответственно, имеющих в G валентность п(л = 1, 2, 3, ..,). Тогда

£(n-2)(^-^) = 0. (IX. 3.1)

Рис. IX. 3.1.

Доказательство, Используя теорему I. 37, находим, что

玄抬= |E(X)|+1.(IX. 3.2)

П = 1

Ясно также, что

Z nf^ = \E(H)\ + 2\E(X)\.(IX. 3.3)

П = 1

Поэтому

f (п-2)^ = |£(Я)|-2.(IX. 3.4)

П=1

Аналогичную формулу получаем для графа У. Вычитая ее из (IX. 3.4), приходим к (IX. 3.1). □

Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа G, кроме одной, имеют валентности, сравнимые с 2 по модулю 3. Тогда левая часть формулы (IX. 3.1) не делится на 3 и, следовательно, гамильтонова бонда в графе G не существует. Рис. IX. 3.1 иллюстрирует этот простой пример.

На этом же рисунке указана 4-раскраска графа. Из данного примера ясно, что утверждение, обратное теореме IX. 40, неверно.

Немало сил было затрачено математиками на отыскание условий существования n-раскраски связных графов. Кульминацией этих изысканий явилось полученное недавно Аппелем и Хакеном [1, 2] доказательство гипотезы четырех красок для планарных графов. Однако, думается, это чрезвычайно длинное доказательство еще нуждается в серьезной проверке. Для гра-

20 Зак. 878