@i?

Т.И. ТРОФИМОВА

也

З.Г. ПАВЛОВА

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ФИЗИКИ ф^шанннннвк ' :с решениями

n in i■■卜，卜，椎式之椎式之Q }Q }

n i

n i

■

■

卜，

卜，

椎式之

椎式之

Q }

Q }

Т.Н. ТРОФИМОВАЗ.Г. ПАВЛОВА

СБОРНИКЗАДАЧПО КУРСУ ФИЗИКИс решениями

Издание третье, стереотипное

РекомендованоМинистерством образования 'Российской Федерациив качестве учебного пособиядля студентов вузов

Москва"Высшая школа*'

2002

УДК 53ББК 22.3Т 70УДК 53ББК 22.3Т 70Оглавление

УДК 53

ББК 22.3

Т 70

УДК 53

ББК 22.3

Т 70

Предисловие

Методические указания

^Физические основы механики

Элементы кинематики

556556Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела 29

5

5

6

5

5

6

Работа и энергия *48

Механика твердого тела72

Тяготение. Элементы теории поля,94

Элементы механики жидкостей114

Элементы специальной (частной) теории относительности131

Трофимова, Т. И.

Т 70 Сборник задач по курсу физики с решениями: Учеб, пособие для вузов/Т. И. Трофимова, 3. Г. Павлова. — 3-е изд., стер. —М.: Высш. шк・，2002. — 591 с.: ил.

ISBN 5-06-004164-6

Предлагаемый задачник с решеяиями составляет единый методический комплект с «Курсом физики» и «Сборником задач по курсу физики^ Т. И. Трофимовой (М.5 Высш. шк.). Он состоит из семи разделов, полностью соответствующих программе курса физики для вузов.

Основное назначение пособия 一 научить студента решать задачи, показать им рациональную запись условия, решения, расчета, ответа. Решение задач дается без каких-либо пояснений, что потребует от студента, в случае необходимости, обратиться к теоретическому материалу, вникнуть в суть рассматриваемых явлений и процессов.

Для студентов и преподавателей вузов и техникумов. Может быть поле- зен учащимся лицеев и колледжей, а также абитуриентам, готовящимся х поступлению в технические институты^

УДК 53 ББК 22.3

ISBN 5-06-004164-6 © ФГУП «Издательство «Высхпая школа», 2002 j

Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства «Вы-: сшая школа», и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без j согласия издательства запрещается. 1

Основы молекулярной физики и термодинамики

Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов145

Основы термодинамики 166

Реальные газы, жидкости и твердые тела186

3. Электричество и магнетизм

Электростатика199

Постоянный электрический ток233

Электрический ток в металлах, в вакууме и газах 247

Магнитное поле251

Электромагнитная индукция279

Магнитные свойства вещества297

Основы теории Максвелла для электромагнитного поля:303

(^Колебания и волны

Механические и электромагнитные колебания307

Упругие волны 360

"3 Электромагнитные волны377

Оптика. Квантовая природа излучения

Элементы геометрической и электронной оптики385

Интерференция света.....401

Дифракция света 413

Взаимодействие электромагнитных волн с веществом431

Поляризация света441

Квантовая природа излучения452

...475 …491 …526539 ...542...475 …491 …526539 ...542547572547572…580...590…580...590

...475 …491 …526

539 ...542

...475 …491 …526

539 ...542

547

572

547

572

…580...590

…580...590

Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел

Теория атома водорода по Бору

Элементы квантовой механики

Элементы современной физики атомов и молекул

Элементы квантовой статистики..

Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц

Элементы физики атомного я/фа

Элементы физики элементарных частиц

Важнейшие формулы, используемые в задачнике Периодическая система элементов Менделеева

Предисловие

При изучении курса физики во втузе большое значение имеет практичес- кое применение теоретических знаний, главное из которых — умение решать задачи. Данное учебное пособие полностью соответствует "Курсу физики' Т. И. Трофимовой (издательство ^Высшая школа", 5-е изд., 1998) и ''Сборнику задач по курсу физики” Т. И. Трофимовой (издательство ^Высшая школа”，1996), образуя, таким образом, с ними единый методический комплект.

Для формирования навыков работы над задачами все решения оформлены однотипно: запись условия, перевод данных в СИ, запись необходимых уравнений, их решение в общем виде, подстановка числовых значений в конечную формулу, запись ответа. Решение задач приводится без каких-либо пояснений, поскольку сначала следует тщательно изучить теоретический материал по данной теме, затем провести собственный анализ задачи, решить ее и только тогда для сравнения результатов обратиться к готовому решению, которое, кстати, не

工 всегда является единственным.

； Все задачи снабжены ответами, которые даны с точностью до трех значащих цифр. Таким же числом значащих цифр выражены величины в условиях

；задач и справочных таблицах, приведенных по мере представления материала, f Значащие цифры ——нули, стоящие в конце чисел,——для упрощения записи опускаются. В условиях задач и в ответах используются кратные и дольные единицы, образованные от единиц СИ. В конце сборника приведен перечень

; важнейших используемых формул.

Авторы

Методические указания

Решая задачи, целесообразно использовать следующие методические указания. Л Вникнув в условие задачи, сделать краткую запись условия, выразить все данные в СИ и, где это только возможно, дать схематический чертеж, по- меняющий содержание задачи.

ЩВыяснив, какие физические законы лежат в основе данной задачи, решить ее в общем виде, т. е. выразить искомую физическую величину через заданные в задаче величины (в буквенных обозначениях, без подстановки числовых значений в промежуточные формулы).

国 Проверив правильность общего решения, подставить числа в окончательную формулу и указать единицу искомой физической величины, проверив правильность ее размерности.'

1. Физические основы механики

Два автомобиля, выехав одновременно из одного пункта, движутся прямолинейно в одном направлении. Зависимость пройденно-

1.1. Элементы кинематики

г0 цми пути задается уравнениями ”

At + Bt2 и » = a + D产 + Ft3. Опреде-

лйте относительную скорость автомобилей.

Скорость течения реки &二 3 км/ч, а скорость движения лодки относительно воды v}-6 км/ч. Определите, под каким углом относительно берега должна двигаться лодка, чтобы проплыть поперек реки.

S1

Дано

At^BC

Решение

〃= U] 一 u2,

u[——~ % + 25/,

S2

Ct + Dt2 + Ft3

Дано

и = 3 км/ч 二 0,833 м/с 沙[=6 км/ч = 1,67 м/с

Решение

u — ?

а —?

V

—二 cosa, 5

v?= — ^C + 2Dt + 3Ft2,

2 df

u = A + 2Bt-C-2Dt-3Ft2=A-C+2(B-D)t-3Ft2.

a = arccos— •

ОтбС/п) U= A-C^2(B-D)t-3Ft2.

V

От8ет)а = 60。.

Велосипедист проехал первую половину времени своего движения со скоростью f 1 = 16 км/ч, вторую половину времени ——со ско-

( L2 ) Капля дождя щш скорости ветра q = 11 м/с падает под углом ст 二 30° к вертикали. Определите, при какой скорости ветра v2

капля воды будет падать под углом 夕 二 45° .

ростью v? = 12 км/ч. Определите среднюю скорость движения велосипедиста.

Дано

Решение

Дано

Решение

V| = 11 м/с

4 = 30。

夕= 45。

"1 ="2 =〃，

5

—= tga,

力——？

—= tg/3,

4=% = 5

V] -16 км/ч = 4,44 м/с

簿2 二 12 км/ч = 3,33 м/с

⑺=；'

s2 = ^2^2，

s 二 $1 + *,$1 二 и"】,

t

Л.=上 и = u 短 z

tga~tg0' 2一」tga，Г Ответ )力=19 м/с.

$ = 4万 + 1125 = ("1 +

<1>

)Велосипедист проехал первую половину пути со скоростью / U] = 16 км/ч, вторую половину пути — со скоростью 力=12 км/ч.

Определите среднюю скорость движения велосипедиста.

(Chneetn) m)=13,7工^~

В течение времени г скорость тела задается уравнением видаи = 4 + & + С『(0 & f W т). Определите среднюю скорость за

промежуток времени г.

〔 [.6、Студент проехал половину пути на велосипеде со скоростью 、 丿 и】=16 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью и?二 12 км/ч, а затем до конца пути шел пешком со скоростью v3 = 5 км/ч. Определите среднюю скорость движения студента на всем пути.

Дано

и 二 А + Bt + С» О & / W т

Решение

2一？

^ = —, s = |v df = |(Л + & + Сг) d^ = го о

тТТ历20T3

р dr + р/ df 十 Jc『df = 4т + ^- + 丁 ооо

Дано

Решение

(S3,

4 =厶

Vi

V2

V3

5=16 км/ч = 4,44 м/с

八

‘2

f2 二 12 км/ч = 3,33 м/с

[s

v3 = 5 км/ч - 1,39 м/с

$1 二 §2 + $3

$1 二 U"1 ,s

二 92t2，

* - 113f3 'S

一 $2 + §3

w〉一 ？

h~h^

8)=心+国, 4+^ + 6

s

т

Вт Ст2л + — + ——23

*6加）⑺=4+生+

делите глубину колодца.

Дано

Решение

/ = 5 с

〃二 330 м/с

九一?

2

'2

号• = "/-/),gf；+2%-2u/ = 0,

г 2и 2и с

/1 f 11 = 0,

g g

f尸h

g V

&+2E£=4,67c, 【g丿g

].8 ) При падении камня в колодец его удар о поверхность воды доно- ，сится через / = 5 с. Принимая скорость звука 力=330 м/с, опре-

"=星L=107 m.2"=星L=107 m.2力=107 м.力=107 м.

"=星L=107 m.2

"=星L=107 m.2

力=107 м.

力=107 м.

J _竺12 勺 + v2 + v3

5 力 + v3

^^^^^ e〉二〔и км/ч.

丿

《 1・9 ) Тело падает с высоты 力=1 км с нулевой начальной скоростью. 、 ' Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, какой путь пройдет тело: 1) за первую секунду падения; 2) за последнюю секунду падения.

Дано

力=1 км = 103м

?% = О

/| = 1 с

1)可—?

2) » —?

'2

Решение

Sj =%,

§2 二力一％ ,

2

二垦 2

Q Ответ ^ 】)石=4)9 м; 2)s? = 132 м.

(J・1°) Тело г1alдает с высоты 力=1 км с нулевой начально访 скоростью.

Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, какое время понадобится телу для прохождения: 1) первых 10 м пути; 2) последних 10 м пути.

вет ) d

Первое тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью и° = 5 м/с. В тот же момент времени вертикально вниз с той же начальной скоростью из точки, соответствующей максимальной верхней точке полета 航^ первого тела, брошено второе тело. Определите: 1) в какой момент времени z тела встретятся; 2) на какой высоте Л от поверхности Земли произойдет эта встреча; 3) скорость vx первого тела в момент встречи; 4) скорость 力 второго тела в момент встречи.

Дано

и。= 5 м/с

г —?

.h —? и】一？ 力一？

W =必/ - *

电+ S2 =踪^ ,

4g

У =必—gf 二必一g

%x

Решение

2g，

也=Uo+gf,

S2 = U°T，

5 = % - g厶h

VQt~ — + VQt + 7" = ^，

3

4g 4

2f,

1°2°4g 16g2.2 32g

% 5

力=%+ g/=必+ g丿=;必•

4g 4

О/Ибе/Л ) 1) ； = 127 мс; 2)力=56 см;

3) q = 3,75 м/с; v2 = 6,25 м/с.

f 7"•:f%4 Тело брошено под углом к горизонту. Оказалось, что максималь- ная высота подъема 力=s/4 (s — дальность полета). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите угол броска к горизонту.

ДаноРешение

Л = s/4У к

Тело брошено со скоростью v0 = 15 м/с под утлом а = 30° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите: 1) высо

ту 〃 подъема тела; 2) дальность полета (по горизонтали) s тела; 3) время его

движения.

Ответ ) 1)力=2,87 м; 2) $ = 19,9 м; 3) f = 1,53 С.

Тело брошено co скоростью v0 = 20 м/с под углом a = 30° к горизонту. Пренебрегая согфотивлением воздуха, определите для момента времени г = 1,5 с после начала движения: 1) нормальное ускорение; 2) тангенциальное ускорение.

(/ — время подъема, 2/ —

-время полета),

2 '*

〃—=vorsina -

2

g» 二 v0Zsina,

Lesina,h — gZ = * sin：

g '122g

2a

7 S

〃二 7 (по условию),

沙6 sin 2 a _ 2z^ cosasina

2g4g

,sina = cosa,

sina

cosa

1,a = arctg 1,.

/ = 1,5 с > /] (спуск),片=?-厶 н 1,5 с~ 1,02 с = 0,48 с,

厶

^£ = 1,02 c. g

vx 二 vox = % cos a,

Vy = g「,

а = 45。.

(0加6咖)a = 45。

% cos a

4=g，

% = gsinr，' an=g cos<p,

an- g cos arctg

% cosa.

v0 cosa

Omeem ) 1)% =9,47 м/с?； 2)勺=2,58 м/с?.

eg С башни высотой 〃 = 40 м брошено тело со скоростью и0 = 20 м/с под углом а = 45° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите: 1) время г движения тела; 2) на каком расстоянии л от основания башни тело упадет на Землю; 3) скорость 卩 падения тела на Землю; 4) угол 勿, который составит траектория тела с горизонтом в точке его падения.

С башни высотой 力=30 м в горизонтальном направлении брошено тело с начальной скоростью v0 = 10 м/с. Определите: 1) урав- нение траектории тела у(х); 2) скорость f тела в момент падения на Землю; 3)угол *, который образует эта скорость с горизонтом в точке его падения.

Ответу 1)t = 4,64 с； 2)$ = 65,7 м； 3)и = 34,4 м/с; 4)夕二 65,7°.

Дано

力=30 м

办0 =10 м/с

Решение

[ 1.16 ) Тело брошено горизонтально со скоростью 必 二 15 м/с. Пренеб- ' 丿 регая сопротивлением воздуха, определите радиус кривизны траектории тела через / = 2 с после начала движения.

№)—

и — ?

* — ?

?

Дано

"о 二 15 м/с

/ = 2 с

R —?

Решение

工二必Е,

/ =-

2h

d = Juj +2gh '

外='V0," v = g‘， ” = E + W = J* + g2f2 ,

〃 = g, %,=gcosq,

)23

力 v V и л ===,

宀 gcosp

P = — ^4

5+g然产

纠0

g

tgl左

W = arctg 运.

Ответ ) п у = -Л-х2； 2)г = 26,2 м/с； з)* = 67,6。.

/2宕

Некоторые физические постоянные

Скорость света в вакууме с = 3 • 108 м/с

Нормальное ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2

отбет )及=102 J~

Гравитационная постоянная

G = 6,67- Ю-11 м3/(кг • с2)

ДаноРешениеs = A-Bt + Ct2 +。戸/ 二 6 м8 = 3 м/сС = 2 м/с2% 二 У% ,注二 s\(=tl,D = 1 м/с34 = 1 сГ2 = 4 с—i)e〉一 ？2)⑷ 一 ?。2 = Ur ,q =(ОтветУ 1)@)=28 м/с; 2)⑷=19 м/с2.ДаноРешениеs = A-Bt + Ct2 +。戸/ 二 6 м8 = 3 м/сС = 2 м/с2% 二 У% ,注二 s\(=tl,D = 1 м/с34 = 1 сГ2 = 4 с—i)e〉一 ？2)⑷ 一 ?。2 = Ur ,q =(ОтветУ 1)@)=28 м/с; 2)⑷=19 м/с2.Дано/二 2 cЕ5 = 16 М"= 3П0Дано/二 2 cЕ5 = 16 М"= 3П00—-？0—-？

Дано

Решение

s = A-Bt + Ct2 +。戸

/ 二 6 м

8 = 3 м/с

С = 2 м/с2

% 二 У% ,注二 s\(=tl,

D = 1 м/с3

4 = 1 с

Г2 = 4 с

—

i)e〉一 ？

2)⑷ 一 ?

。2 = Ur ,q =

(ОтветУ 1)@)=

28 м/с; 2)⑷=19 м/с2.

Дано

Решение

s = A-Bt + Ct2 +。戸

/ 二 6 м

8 = 3 м/с

С = 2 м/с2

% 二 У% ,注二 s\(=tl,

D = 1 м/с3

4 = 1 с

Г2 = 4 с

—

i)e〉一 ？

2)⑷ 一 ?

。2 = Ur ,q =

(ОтветУ 1)@)=

28 м/с; 2)⑷=19 м/с2.

Дано

/二 2 cЕ

5 = 16 М

"= 3П0

Дано

/二 2 cЕ

5 = 16 М

"= 3П0

0—-？

0—-？

(i・；8 ) Зависимость пройденноп) телом пути от времен% задается урав： нением 5 = Я - В/ + Cr2 + Dt3 ( А~6 м; 3 = 3 м/с; С = 2 м/с2;

0 = 1 м/с3). Определите для тела в интервале времени от ^ = 1 с до /2 = 4 с: 1) среднюю скорость; 2) среднее ускорение.

/^ 2\ А Тело движется равноускоренно с начальной скоростью %)• Опре-(一、丿 делиТе ускорение тела, если за время f = 2 с оно прошло путь

§ = 16 м н его скорость v = 3v0.

Решение — at2 q 二 const, v^v^^at, s = v0Z +—

v = 3v0,3v0 ^vQ + at,. "丁，

в

Материальная точка движется вдоль прямой так, что ее ускорение линейно растет и за первые 10 с достигает значения 5 м/с2. Определите в конце десятой секунды: 1) скорость точки; 2) пройденный точкон путь：

[]]9、Зависимость пройденного телом пути от времени задается урав- У 二二丿 нением s = 4 + Bt + a、Dp(C= 0,1 м/с2, D 二 0,03 м/с3). Определите: 1) через сколько времени после начала движения ускорение а тела будет равно 2 м/с2; 2) среднее ускорение〈а) тела за этот промежуток времени.

1) / = 10 с; 2)⑷=1,1 м/с2.

Г 1 ?Л I Объясните, может ли изменяться направление вектора скорости, L—]^ в то время как его ускорение по модулю остается постоянным.

Дано

d —■ kt

厶二 10 e

m 二 5 м/с2

1) q -?

2)L?

Решение

a = kt,

о о

122

kt Iajj

Ответ J 1)q =25 м/с； 22 = 8з,з м.

<B

Г j 23 J Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид 修=4方 + 用»+。1戸 и х2 = А^ 4- В^2 + С^ , где 4=4 м/с2, q = -3 м/с3,修=-2 м/с2, С2 = 1 м/с3. Определите момент времени, для которого ускорения этих точек будут равны.

Ответу / = о,5 с.

Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом г = 4 м, задается уравнением ап = Л + 5/ + Сг ( Л = 1 м7c{ В=§ м/с3, С = 9 м/с4). Определите: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время 厶=5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t2 = 1 с.

ДаноРешениеX] н 4 + 旦/ + с】*x2 =N2 + ^2^ + c2» / =% q=-2 м/с2 С2 = 1 м/с2d/廿2 = "^ = §2 + 2c2f >■.也=u2，3产% ,1)4〃尸2-?4 + 2G才二 5j + 2c2f,2) % -?t == 0,3)。2 -?2(C2-G)ДаноРешениеX] н 4 + 旦/ + с】*x2 =N2 + ^2^ + c2» / =% q=-2 м/с2 С2 = 1 м/с2d/廿2 = "^ = §2 + 2c2f >■.也=u2，3产% ,1)4〃尸2-?4 + 2G才二 5j + 2c2f,2) % -?t == 0,3)。2 -?2(C2-G)Дано尸=4 Mctn ~ А Bt + Ct^А = 1 м/с28=6 м/с3С = 9 м/с4厶=5 сДано尸=4 Mctn ~ А Bt + Ct^А = 1 м/с28=6 м/с3С = 9 м/с4厶=5 сРешениеРешение

Дано

Решение

X] н 4 + 旦/ + с】*

x2 =N2 + ^2^ + c2» / =% q=-2 м/с2 С2 = 1 м/с2

d/

廿2 = "^ = §2 + 2c2f >■.

也=u2，3产% ,

1)4〃尸2-?

4 + 2G才二 5j + 2c2f,

2) % -?

t == 0,

3)。2 -?

2(C2-G)

Дано

Решение

X] н 4 + 旦/ + с】*

x2 =N2 + ^2^ + c2» / =% q=-2 м/с2 С2 = 1 м/с2

d/

廿2 = "^ = §2 + 2c2f >■.

也=u2，3产% ,

1)4〃尸2-?

4 + 2G才二 5j + 2c2f,

2) % -?

t == 0,

3)。2 -?

2(C2-G)

Дано

尸=4 M

ctn ~ А Bt + Ct^

А = 1 м/с2

8=6 м/с3

С = 9 м/с4

厶=5 с

Дано

尸=4 M

ctn ~ А Bt + Ct^

А = 1 м/с2

8=6 м/с3

С = 9 м/с4

厶=5 с

Решение

Решение

Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид хх~ Ax+B^t^ q* и х2 = Л2 + 52f + Q/2, где 4 二 &， G = -2 м/с2, C2 = 1 м/с2. Определите: 1) момент времени, для которого скорости этих точек будут равны; 2) ускорения 例 и а2 дая этого момента.

a】==2C[,& =二 2G •

drdf

Ответ J 1) г = о；' 2) ^ = -4 м/с2, 3) а2 = 2 м/с2.

ап = А + Bt + С» , ап =——'

w = Т^ТТ^Тё^ =〕4(1 + 6/ + 9『)=

du d …、

= 2(1 + 3/) = 2 +63々二 丁二丁(2 + 6/ ,

dr dr

у = Ju d/ 二 J(2 + 6f) df = 2厶 + 3彳,

% — ?0°

$ —?и；(2 + 6/7 )-

/2‘二g，%2=х=—

3)&—?尸 广

«2 = J。% + 片2 = Ra +.

(Ответ ) 1) % 二 6 м/с2;2)片二 85 м; 3) а2 二 17,1 м/с2.

,] ，6、Зависимость пройденного телом пути s от времени / выражается 、 丿 уравнением s = At-Bt? + С/3 (Л = 2 м/с, 8 = 3 м/с2, С = 4 м/с3). Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите доя момента времени z = 2 с после начала движения: 1) пройденный путь; 2) скорость; 3) ускорение.

ОтввШ ^ 1) $ = 24 м; 2) V = 38 м/с; 3) q 二 42 м/с2.

Q j.27^ Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом 尸二3 м задается уравнением 5 = At1 + Bt (4 = 0,4 м/с2,

В = 0,1 м/с). Определите для момента времени / = 1 с после начала движения ускорение: 1) нормальное; 2) тангенциальное; 3) полное.

0М，е7^^ 1)% 二 o,27 м/с2;2) & 二 0,8 м/с2;

3) q 二 0,84 м/с2.

Точка движется в плоскости ху из положения с координатами %]二 ％ = 0 со скоростью ¥ = oi + bx] (а, b — постоянные, i, j — орты осей х и у). Определите: 1) уравнение траектории точки у(х); 2) форму траектории.

Дано

Решение

Дано

Решение

尸卉+ 3T

/二 1 c

Y =半二 g(Ji + 3»j) = 3*i + 6f j , 山 d/

1) V —?

a = ^ = 6，i + 6j,"=m?+才，

2) 4 ?'

vx = 3»,% 二 6/,

U = J(3/2)2+(6f)2 ,a = Jd + *,

ах =6t,% = 6,

a = J(6f)2 + 62 •

Ответ ^ ” = 6,7 м/с; 2) ”8,48 м/с2.

(1 ・29 9 Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону г = Z3i + 3/2j , где i, j ——орты осей х и у. Определите для

момента времени / = 1 с: 1) модуль скорости; 2) модуль ускорения.

»二川二0 v - ей + bxj

）仆）-？

v =

ai-i bx]

外

=a ,

/ vy-bx.

dr

=u* dr,

dy = vy d?,

dx

二a山，

dy = te d/,

dy

bx

二——dx, a

歹二

:--dx = о a

b}b o

2a

Ответ ) ])»二丄工2；2) парабола.

Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону г = 4/2i + 3/ j + 2k. Определите: 1) скорость v; 2) ускоре-

Дано

Решение

r = 4『i + 3/j +2k

dr

/ = 2c

1) V —?.

dv a = — = 8i,

2) a — ?

dr

3) 5 — ?

q = "(&『+32.

Ответ J 1} v = 8ri + 3j； 2)a = 8i； з)办=16,3 м/с.

ние а; 3) модуль скорости в момент времени / = 2 с.

， ] 3[ *) Движение материальной точки в плоскости ху описывается зако- ' / ном х~ At, у = /«1 + Bt), где Л и В ——положительные постоянные. Определите: 1) уравнение траектории материальной точкиХ^)； 2) радиус- вектор г точки в зависимости от времени; 3) скорость и точки в зависимости от времени; 4) ускорение а точки в зависимости от времени.

(至) Материальная точка начинает двигаться по окружности радиусом г 二 12,5 см с постоянным тангенциальным усмирением аТ 二 0,5 см/с2.

Определите: 1) момент времени, при котором вектор ускорения а образует с вектором скорости v угол a = 45° ; 2) путь, пройденный за это время движущейся точкой.

Дано

Решение

х = At

у 二 /f(l + 及)

Л

1）出）一？

2） г⑺—？

х (В 7

у = Xf(l + Bt) = А— 1 + В— = х н—х2 , А \ А)А

3)仇f) — ?

4)a(f)—?

А

г = 12,5 см = 0,125 м

生 н 0,5 см/с2 = 5* 10"3 м/с2 a 二 45。

1)/ —?'

2) s — ?

г = xi + yj = ЛН + 4(1 + 3f)j,

y = -=Ai + (A^-2ABt)],и =丿不 + (4 + 2/3才У =阂1 + (1 +2")? ,I

dv

a 二—=2AB],a = 2AB = const.

(Otneem) 1)片丫+岑; 2)r = 4" + z/(i+Bt)j；

3) o = zJl + Q + 2皮)2 ; 4) a = 2AB = const.

Некоторые математические формулы

ДаноРешение

tg« =—,

du

生=--= const, dr

v= ^aT At = aTt, о

( Q^"'"_) 1) / = 5 c； 2) s = 6,25 cm.

Линейная скорость v} точки, находящейся на ободе вращающе- гося диска, в три раза больше, чем линейная скорость и2 точки, находящейся на 6 см ближе к его оси. Определите радиус диска.

Ответу 衣=9 смОтвету 衣=9 см

Ответу 衣=9 см

Ответу 衣=9 см

sin(a ± Д) = sina cos夕 土 cosa sinQ

cos(« ± 8) = cosa cos/3 + sina sin夕

Колесо вращается с постоянным угловым ускорением £ = 3 рад/с2.

Определите радиус колеса, если через / = 1 с после начала движения полное ускорение колеса а 二 7,5 м/с2..

( 1.36 } Колесо автомашины вращается равнозамедленно. За время / - 2 мин 、 / оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин-1. Определите: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это врем兄.

Дано

Решение

£ = 3 рад/с2

/ = 1 с

а = 7,5 м/с2

а = JU + а：,生 н £&

а 二■— =(D2R = E2t2R,

" R

R —?

R =

£л/1 + Л4

Ответ )及二 79 cM.

Дано

Решение

/ = 2 мин= 120 с 修二 240 MHir1 = 4 с*1 &二 60 минг1 = 1 с-1

1)£—?

2) ^ — ?

g2 二①] 一 £/ ,(Z)2 = 2Л7?2，①1=2万勺，

2九/?2 = 2冗々-£/ ,£ = 2冗(九]一打2),

2Я^ = 2ял/~ ,2几N = 2%叩一九(勺一〜)/,

z5 1 i&"

N = n ' t -.

2

Ответ ) 1)& = 0,157 рад/с2； 2)^ = зоо.

I； Якорь электродвигателя, имеющий частоту вращения и = 50 с-1,

после выключения тока, сделав N = 628 оборотов, остановился.

Определите угловое ускорение £ якоря.

(1.37 ) Точка движется по окружности радиусом К=15 см с постоян- -- ным тангенциальным ускорением аТ. К концу четвертого оборо-

Дано

Решение

% = 50 с-1,

N = 628

3 = 2jzN ,

£ - ?

① 0 = 2я«,

£产

2%N = 2内加—-, 2

а)= a)Q-Et,

0 = 2лт1 - et,

Зжи

■ 4^2m2 282〃2

лл2

2jtN - 2%М £

Ответ j g = 12,5 рад/с2.

та после начала движения линейная скорость точки и】=15 см/с. Определите

нормальное ускорение ап1 точки через % = 16

с после начала движения.

Дано

Решение

&= 15 см = 0,15 м

ап =a)2R =(Et')2 R,

const,厶二」-，

% 二 const

eR

м = 4

(2 V

q = 15 см/с = 0,15 м/с

24叫*«

[4冗n]尺2），

/?二 16 с

7 Ч

%2 — ?

[4加V]A~丿

, 16mn：川・

{Ответ ^ % =

1,5 см/с2.

ДаноДано

Дано

Дано

(,1.38 ) Диск радиусом R = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, 、м / что зависимость угла поворота диска от времени задается уравнением 少=Л * Bt + Ct2 + Dr3 (8=1 рад/с, С 二 1 рад/с2, D = 1 рад/с3). Определите для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение /; 2) нормальное ускорение ап ; 3) полное ускорение а.

^^Ошбет ) 1) аг = 1,4 м/с2; 2) ап 二 28,9 м/с2; 3) а = 28,9 м/с2.

， 、Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла " поворота радиуса диска от времени задается уравнением 夕二 Ar

(Л = 0,5 рад/с2). Определите К концу второй секунды после начала движения: 1) угловую скорость диска; 2) ужовое ускорение диска; 3) для точки, находящейся на расстоянии 80 см от оси вращения, тангенциальное аг, нормальное ап и полное а ускорения.

Дано

Решение

(р= At?

А = 0,5 рад/с2

/ = 2 с

г = 80 см = 0,8 м

G —?

£ — ?

L?

ап —? a — ?

£ 二—= 2A- const,•

df

dr

2

aT 二 2力尸，an~ — =①4 u《/pF» ,

a 二 J% + % •

(Ответ )1)。=

2 рад/с; 2) £ = 1 рад/с2;

0,8 м/с2; ап = 3,2 м/с2; a = 3,3 м/с2.

з)/ -

Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением 9 二 At2 (4 = 0,1 рад/с2). Определите полное ускорение а точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если линейная скорость этой точки в этот момент равна 0,4 м/с.

Решение

<р 二 At~

3 = At2,

cd 二 2At,

А 二 0,1 рад/с2

£ = 2/,

f] = coR 二 2At^R ,

厶=2 с

V] = 0,4 м/с

及亠， 2At

an\ к —у' - 24и/,

% — ?

arl =sR= 2 AR = y-,% = J(24q/])2+(也].

^ Ответ ^

)% = 0,256 м/с2.

Диск радиусом 尺二 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе диска, от времени задается

уравнением v = At + Bt2 (Л = 0,3 м/с2, 5= 0,1 м/с3). Определите угол а, который образует вектор полного ускорения а с радиусом колеса через 2 с от начала движения.

Дано

Решение

R = 10 cm = 0,1 м

аТdu

v = At + Bt2

tga = — ,々二一=/ + 23/,

/ = 0,3 м/с2

_ "2 _ (// + 友2)2

В = 0,1 м/с3

/ = 2 с

"RR

。+2以冰

a--？

{At + Bt2^

[Ответ ^ a = 4°.

<И>

Л L42 ) Диск радиусом К = 10 см вращается так, что зависимость угла 、“ 二 丿 поворота радиуса диска от времени задается уравнением 屮二 А + В『(4 = 2 рад, 8 = 4 рад/с3). Определите для точек на ободе колеса: 1) нормальное ускорение ап в момент времени / = 2 с; 2) тангенциальное ускорение для этого же момента; 3) угол поворота /, при котором полное ускорение составляет с радиусом колеса угол а = 45° .

Дано

Решение

R

=10 см = 0,1 м

(Р 二 А + 5 戸，

CD - 38」，

夕

4

二 Z + &з

二 2 рад

£ = 6Bt,

舊二 iR二(38/2 )2 A

В

二 4 рад/с3

ar ~ sR~ 6BtR ,

tga = l,

/ 二

а

2 с

二 45。

tg« = —, 報

/二%，

1)

ап 一 ？

(3Bt2)2R=6BtR,

9B2t4R=6BtR,

2)

3)

生一？ е —?

戸=2

22

g = A + В — Ал— •

'333

(

Ответ^Х

1) % =

230 м/с2; 2) & 二

4,8 м/с2; 3) <р = 2,67 рад.

Тело массой m = 2 кг движется прямолинейно по закону s - A - Bt + Ct2 - Dt3 (С ~ 2 м/с2, D 二 0,4 м/с3). Определите силу,Тело массой m = 2 кг движется прямолинейно по закону s - A - Bt + Ct2 - Dt3 (С ~ 2 м/с2, D 二 0,4 м/с3). Определите силу,Динамика материальной точкии поступательного движения твердого тела

Тело массой m = 2 кг движется прямолинейно по закону s - A - Bt + Ct2 - Dt3 (С ~ 2 м/с2, D 二 0,4 м/с3). Определите силу,

Тело массой m = 2 кг движется прямолинейно по закону s - A - Bt + Ct2 - Dt3 (С ~ 2 м/с2, D 二 0,4 м/с3). Определите силу,

Дано

Решение

/77 - 2 КГ

s — А ~ Bt + СУ? — Q戸

F ~ та н，

dr「

С = 2 м/с2

D = 0,4 м/с3

v — — ——Вl.Ct df

/ = 1 с

ь一？

a 工~ 2C 一 6Dt,

действующую на тело в конце первой секунды движения.

Ответ J f = 3,2 н.

Десятичные приставки к названиям единицДесятичные приставки к названиям единицТ — тер а (1012) 『一 гига (109) М —мега (106) к — кило (103)Т — тер а (1012) 『一 гига (109) М —мега (106) к — кило (103)Д — деци (10^) с — санти (10 2) м — милли (10‘) мк — микро (10-6)Д — деци (10^) с — санти (10 2) м — милли (10‘) мк — микро (10-6)н — нано (10 9)п — пико (10 12) ф — фемто (10-15) а — атто (1048)н — нано (10 9)п — пико (10 12) ф — фемто (10-15) а — атто (1048)I 1 ・45 ) К нити подвешен груз массой т 二 500 г. Определите силу натя- 、 / жения нити, если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением 2 м/с2; 2) опускать с ускорением 2 м/с2.I 1 ・45 ) К нити подвешен груз массой т 二 500 г. Определите силу натя- 、 / жения нити, если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением 2 м/с2; 2) опускать с ускорением 2 м/с2.Ответ J 1)т = 5,9 н； 2)т = з,9 н.Ответ J 1)т = 5,9 н； 2)т = з,9 н.@4^) Тело массой т движется так, что зависимость пройденного пути J 1 — от времени описывается уравнением s- A cos ①f, где Л и ш — постоянные. Запишите закон изменения силы от времени.

Десятичные приставки к названиям единиц

Десятичные приставки к названиям единиц

Т — тер а (1012) 『一 гига (109) М —мега (106) к — кило (103)

Т — тер а (1012) 『一 гига (109) М —мега (106) к — кило (103)

Д — деци (10^) с — санти (10 2) м — милли (10‘) мк — микро (10-6)

Д — деци (10^) с — санти (10 2) м — милли (10‘) мк — микро (10-6)

н — нано (10 9)

п — пико (10 12) ф — фемто (10-15) а — атто (1048)

н — нано (10 9)

п — пико (10 12) ф — фемто (10-15) а — атто (1048)

I 1 ・45 ) К нити подвешен груз массой т 二 500 г. Определите силу натя- 、 / жения нити, если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением 2 м/с2; 2) опускать с ускорением 2 м/с2.

I 1 ・45 ) К нити подвешен груз массой т 二 500 г. Определите силу натя- 、 / жения нити, если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением 2 м/с2; 2) опускать с ускорением 2 м/с2.

Ответ J 1)т = 5,9 н； 2)т = з,9 н.

Ответ J 1)т = 5,9 н； 2)т = з,9 н.

Два груза (Ш| = 500 г и w2 ~ 700 г) связаны невесомой нитью п

лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К грузу т} приложена горизонтально направленная сила F = 6 Н. Пренебрегая трением, определите: 1) ускорение грузов; 2) силу натя

жения нити.жения нити.Отаепг) 1)о = 5 м/с?； 2)т = з,5 н/

жения нити.

жения нити.

( 1.47 ) Простейшая машина Атвуда, применяемая для изучения законов 、■■и”"”"”"丿 равноускоренного движения, представляет со^ой два груза с не равными массами 叫 и & (например т} > w2), которые подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение грузов： 2) силу натяжения нити Т; 3) силу £ действующую на ось блока.

W] + 加2 加]+ 加2W] + 加2 加]+ 加2m2T - 叫加2g ~ 2叫也2g 一 4加]T , 刀?2T + 4叫Г = 2m、m2g + 加1也2g， 7(^2 + 4乃)=3倒1加2g，3mlm2g , 吗+ 4m]m2T - 叫加2g ~ 2叫也2g 一 4加]T , 刀?2T + 4叫Г = 2m、m2g + 加1也2g， 7(^2 + 4乃)=3倒1加2g，3mlm2g , 吗+ 4m]F = 2T.

W] + 加2 加]+ 加2

W] + 加2 加]+ 加2

m2T - 叫加2g ~ 2叫也2g 一 4加]T , 刀?2T + 4叫Г = 2m、m2g + 加1也2g， 7(^2 + 4乃)=3倒1加2g，

3mlm2g , 吗+ 4m]

m2T - 叫加2g ~ 2叫也2g 一 4加]T , 刀?2T + 4叫Г = 2m、m2g + 加1也2g， 7(^2 + 4乃)=3倒1加2g，

3mlm2g , 吗+ 4m]

0忆6咖)D 4 =创二*2)7 =区鼻；3)f=一e二

На рисунке изображена система блоков, к которым подвешены грузы массами тх 二 200 г и w?2 = 500 匚 Считая, что груз тх поднимается, а подвижный блок с 掰2 опускается, нить и блоки невесомы, силы трения отсутствуют, определите? 1) силу натяжения нити 7; 2) ускорения, с которыми движутся грузы.На рисунке изображена система блоков, к которым подвешены грузы массами тх 二 200 г и w?2 = 500 匚 Считая, что груз тх поднимается, а подвижный блок с 掰2 опускается, нить и блоки невесомы, силы трения отсутствуют, определите? 1) силу натяжения нити 7; 2) ускорения, с которыми движутся грузы.小2g 2T —（吗一2砌鬼小2小2 + 4小］小2g 2T —（吗一2砌鬼小2小2 + 4小］7 一用ig=2(叱一2项嵬方1 ш2 + 4/w]

На рисунке изображена система блоков, к которым подвешены грузы массами тх 二 200 г и w?2 = 500 匚 Считая, что груз тх поднимается, а подвижный блок с 掰2 опускается, нить и блоки невесомы, силы трения отсутствуют, определите? 1) силу натяжения нити 7; 2) ускорения, с которыми движутся грузы.

На рисунке изображена система блоков, к которым подвешены грузы массами тх 二 200 г и w?2 = 500 匚 Считая, что груз тх поднимается, а подвижный блок с 掰2 опускается, нить и блоки невесомы, силы трения отсутствуют, определите? 1) силу натяжения нити 7; 2) ускорения, с которыми движутся грузы.

小2g 2T —（吗一2砌鬼

小2小2 + 4小］

小2g 2T —（吗一2砌鬼

小2小2 + 4小］

В установке (см. рис.) угол а наклонной плоскости с горизонтом равен 20°, массы тел s = 200 ги 吗=150 匸 Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определите ускорение, с которым

В установке углы 以 н 夕 наклонных плоскостей с горизонтом соответственно равны 30 и 45°, массы тел т{ = 0,45 кг и "“二 0,5 кг. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определите: 1) ускорение, с которь1м движутся тела; 2) силу натяжения нити.

Ответ J 1)” 1,33 м/с2；2)т 二 2,8 н.

Г 1 * 、Тело массой т движется в плоскости ху по закону х~ A cosg', 、一* 丿 у - В sinc^Z, где Л, Ви to — некоторые постоянные. Определите модуль силы, действующей на это тело.

/ ' д Тело А массой А/ - 2 кг находится на горизонтальном столе и ' 丿 соединено нитями посредством блоков с телами В (抗】二 0,5 кг) и

С (吗 二 0,3 кг). Считая нити и блоки невесомыми и пренебрегая силами трения, определить: 1) ускорение, с которым будут двигаться эти тела; 2) разность сил натяжения нитей.

Дано

Решение

Дано

Решение

〃？

F -та,г = Л cosw/-i + В sin a)t • j,

X

二力 COSG/

У

=В sin ①/

dr , .. . n一

V =——=一/① Sind)/ T + Aw COSGf j,

/

-const

8

二 const

а = —=cosa)/-i-5w2 sin^r j,

①

=const.

山

F

—?

a = yj(~Aa)2 cosa;/)2 +(-Bw2 sinw/)2 二/‘/十产,

F =加①2 J%2 + у2 ,

(Onteem )f=加02戸点

М = 2 кг

叫=0,5 кг

吗=0,3 кг

1) a —?

2)(看一石)-？

彳―芍= wi(g — a)_加2(g + a)・

Некоторые математические формулы

&0=0一吗g，7^ =加2(a + g)，

Ответ ji)“ = 0,7 м/с2； 2)看一厶=1,4 н.

sin2a = 2 sina cosa

1 cos 2a 二 cos2 a - sin2 以

<s>

2 A-479

(^) Частица массой т движется под действием силы F = Fo cosg/ , где Fo и w — некоторые постоянные. Определите положение

частицы, т. е. выразите ее радиус-вектор г как функцию времени, если в начальный момент времени / = 0 , г(0) = 0 и v(0)二 0.

Тело массой w = 2 кг падает вертикально с ускорением а ~ 5 м/с2/ Определите силу сопротивления при движении этого тела.

^^^^ 冗。пр =9,62 н.

Дано

Решение

m

F = Fo cossf

/ = 0

r(0) = 0

v(0) = 0'

F = Fo cossf,

dv

W—=Fn C0SG/, d/ 0

v(0-v(0)

()—?

v(0)-0,

v⑺』S3

r(f) - r(0)=①才 df

тш

d/

Fo

.dv = — cosg/ d/,m

cosGf dr 二 sin a)t

о

dr = v(r)dz,

о

—7 (coswZ - 1) mo)

=="^y(l-COS ①才),

r(0) = 0,

Fo .

=sin①八 0 то)

г ⑺二(1 _ cosgn).

с1^

С вершины клина, длина которого / = 2 ми высота Л = 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и кли-

ном / = 0,15. Определите: 1) ускорение, с которым движется тело; 2) время прохождения тела вдоль клина; 3) скорость тела у основания клина.

Ответ 1)а = з,бЗ м/с2；2)/ = 1,05 с；

3) v ~ 3,81 м/с.

По наклонной плоскости с углом а наклона к горизонту, равным 30°, скользит тело. Определите скорость тела в конце второй секунды от начала скольжения, если коэффициент трения / = 0,15.

Ответ J v = 7,26 м/с.

<1><1>

<1>

<1>

Ответ Л r(0 = JL (1 _ cos

(^Г^；) На тело массой т = 10 кг; лежащее на наклон- ной плоскости (угол а равен 20°), действует горизонтально направленная сила F = 8 Н. Пренебрегая трением, определите: 1) ускорение тела; 2) силу, с которой тело давит на плоскость.

Ответу 1) a = 4,11 м/с2;2) ^ = 89,4 н.

《1・58)Вагон массой т-1 т спускается по канатной железной дороге с - уклоном а~15° к горизонту. При- %

нимая коэффициент трения / 二 0,05, определите силу натяжения каната при торможении вагона в конце спуска, если скорость вагона перед торможением и0 - 2,5- м/с, а время торможения / ~ 6 с.

Ответ ^ т = 2,48 кН.

f 1：59,叫 Грузы одинаковой массы (W] = m2 = 0,5 кг) соединены нитью и 、 -" перекинуты через невесомый блок, укрепленный на конце стола. Коэффициент трения груза 吗 о стол / = ОД 5. Пренебрегая трением в блоке, определите: I) ускорение, с которым движутся грузы; 2) силу натяжения нити.

Q.6o) Система грузов массами ^ = 0,5 кг и тг = 0,6 кг находится в лифте, движущемся вверх с ускорением а 二 4,9 м/с2. Определите силу натяжения нити, если коэффициент трения между грузом массы тх иопорой / = 0,1 •

Дано

Решение

тх~ т2~ 0,5 кг / = 0,15

Дано

а —?

Т — ?

竹〃 =gg — T, т2а = Т - j 鹏

mla + m2a = mig-fm2g,

加2

а

二 0,6 кг

4,9 м/с2

/ = о，1

T 一？

m}a 二 N - mg m^a' -a)=m2g-T. ntya^T-fN

二―吗次

修1 +用2

(a' — ускорение грузов относительно N 二 mxa + mxg,

T = m^g-a)=mL-如二丿吗次=色加2(l + /)g

加1 +加2

ТМ] + 加2

тха' = Т - f{mxa + m}g),

Решение

Kg

°9П8咖)1) ”4,17 м/с?;2) 7 = 2,82 Н.

吗二-/S + g)-q 二&g-T,

1s丿

Некоторые математические формулы

sin2 a 二 ^(1 - cos2а)

加27 一 WjW2/ a -叫小2/S 一叫现2a=叫股g一用17，

T（加1+加2）=叫加2（加+龙+ 0 + g），

7 =次"2("@竺@

Ш] +吗

cos? а = g (1 + cos 2а)cos? а = g (1 + cos 2а)

cos? а = g (1 + cos 2а)

cos? а = g (1 + cos 2а)

Ответ ) т 二 4,41 н.

^| .6］ ) На гладкой горизонтальной поверхности находится доска массо ； , на которой лежит брусок массой тх. Коэффициент трени ；

бруска о поверхность доски равен /. К доске приложена горизонтальная сила /、 зависящая от времени по закону F = At, где Л ——некоторая постоянная. Опре делите: 1) момент времени 而,когда доска начнет выскальзывать из-под брус ка; 2) ускорения бруска ах и доски а2 в процессе движения.

Дано

Решение

тх

加］a1=

'тр ,

〃?2

吗02 =

F-F

4 Tp，

F тр.тах

=/加 1g,

F = At

А = const

a2》

%

% =龙,

1) s — ？

2) % — ?

q? — ?

X

At-F

—з тр.тах

w2

В установке угол а наклона плоскости с горизонтом равен 30°. массы тел одинаковы (m = 1 кг). Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определите силу давления на ось, если коэффициент трения между наклонной плоскостью и лежащим на ней те- ：юм f ~ 0,1.

(Ответ )口 门,•、(冗

乂丿 F = у cos(7 + sin«)cos^—-yj =13,5 H.

Г L63 j На наклонную плоскость с углом наклона к горизонту а = 35° '“ / положена доска массой тг~2 кг, а на доску ——брусок массой

『％ 二 1 кг. Коэффициент трения между бруском и доской 力=0,1, а между доской и плоскостью /2 = 0,2 . Определите: 1) ускорение бруска; 2) ускорение доски; 3) коэффициент трения ^，при котором доска не будет двигаться.

/二%

尘必£ =龙

用2'

/ w /0

At

片=出=

W［ + 加2

% =龙=const,

0加6e加)D % =(加1 + %)席.

4 一加ig

w2

》fg-

。^бе% ) 1)% 二 g(sina-/j cosa) = 4,82 м/с2;

2)。2 = g| since + /j — cosct - /2coscr I =3,62 м/с2;

l制2吗 丿

办二^^;

A

2) при t》％ 4］二宏=const ；。2 = —一£"18

3) /2

.& sina + f\m\ cosa(加］+ 吗)cosa

》0,5.

Некоторые внесистемные единицы

1 сут 二 86400 с1" = 4,85 • 10~6 рад

1 год = 365,25 сут н 3,16 • 107 с 1 рад 二 57,3°

Г = 1,75 • 10_： рад1 мм рт. ст. = 133,3 Па

Г = 2,91 ■ 10'4 рад1 эВ 工 1,6 • 10~19 Дж

^^] .64)Снаряд массой 加 二 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке - траектории имеет скорость w = 300 м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем больший осколок массой ^ = 3 кг полетел в обрат、 ном направлении со скоростью и】 =100 м/с. Определите скорость 也 второго, меньшего, осколка.

Дано

Решение

加=5 кг

WV = 7H]V] + w22V2 ,

и = 300 м/с

W] = 3 кг

mv 二-m}v} + 吗力，

и】 =100 м/с

1^2 — ?

mv+加15

"加2

(Omeem)力=900 疝C

，].67 ) Платформа с песком общей массой Л/ = 2T стоит на рельсах \— „ на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд мае- сой 加=8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определите, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда и 二 450 м/с, а ее направление — сверху вниз под углом а = 30。к горизонту.

% 68 \ "a железнодорожной платформе, движущейся по инерции со ско- 、_ J ростью v0~3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с ору

дием Л/ = 10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой 加=10 кг вылетает из ствола под углом а- 60° к горизонту. Определите скорость и снаряда (относительно Земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в 冷二 2 раза.

Q I в()5 ^ Лодка массой Л/ -150 кг и длиной / = 2,8 м стоит неподвижно в % - стоячей воде. Рыбак массой 也=90 кг в лодке переходит с носа на корму. Пренебрегая сопротивлением воды, определите, на какое расстояние s при этом сдвинется лодка.

^ Ответ ^ $ = 1,05 м.

( ) Снаряд, вылетевший из орудия со скоростью v0, разрывается на “ / два одинаковых осколка в верхней точке траектории на расстоя-

нии / (по горизонтали). Один из осколков полетел в обратном направлении сс скоростью движения снаряда до разрыва. Пренебрегая сопротивлением возду- ха, определите, на каком расстоянии (по горизонтали) от орудия упадет второй осколок.

Дано

必二 3 км/ч = 0,833 м/с

Л/~ 10 т= 104кг m - 10 кг*

а = 60°

п п=2

и —?

v = 835 м/с.

Решение

MvQ

(加 + M)v0 = mv cos а +,

Mvq

mv cos а = wv0 + MvQ

Mvq mv cosa = ww0 +,

U =

и = 2,

Ответ j s = 4i.

С [・69)Две легкие тележки (массы соответственно 加】н 吗=2m】)соединены между собой сжатой, связанной нитью пружиной. Пережигая нить, пружина распрямляется и тележки разъезжаются в разные стороны. Считая коэффициент трения для обеих тележек одинаковым, определите: 1)沙丿^2 ——отношение скоростей движения тележек; 2) ^//2 ——отношение времени, в течение которого тележки движутся; 3) ^/^ ——отношение путей, пройденных тележками.

Определите положение центра масс системы, состоящей из че- 鷗ЯМУ тырех шаров, массы которых равны соответственно т、2т, Зт л 4w, в следующих случаях: а) шары расположены на одной прямой; б) шары расположены по вершинам квадрата; в) шары расположены по четырем смежным вершинам куба. Во всех случаях расстояние между соседними шарами равно 15 см. Направление координатных осей показано на рисунке.

ДаноРешение

Дано

Решение

佇

wlvl =也2"2，

"=也.

1)v\/v2 一 ？

2)厶 /% — ?

u2加1

/山=加1"1,%l=/sg,

/22=&出，/2 = /&g,

3) S]/$2 — ?

4 _咿1 Gp2 _小他巾2 _ Ui

Si =("1)"=弊'

h /1加2力研制2"2 u2

» =e排2=审，工皿.

2

2$2^2^2

Ответ J n ^/v2 = 2； 2)£也=2； з)%»"

tn

2切

3加

4m.

4 二 15 см = 0J5 м

%с — ? 凡一？ 分 -?

2%

Уе =

Две одинаковые тележки массой М каждая движутся по инерции (без трения) друг за другом с одинаковой скоростью v0. В какой- то момент времени человек массой w, находящийся на. задней тележке, прыгнул на переднюю тележку со скоростью и относительно своей тележки. Определите скорость V] передней тележки.

m 2加 Зт 4т

Z%z,

QOmeem

xc 二 7,5 см, yc 二 4,5 см;

xc 二 1,5 см, yc - 4,5 cm, rc = 3 cm.

)a) xc = 30 cm;

Определите положение центра масс половины круглого диска радиусом R, считая его однородным.

Ответ )тм

丿 V! = v0 +у

(т+ М)

Ответ ) 4K

一丿 хс 二 от центра.

Зя

Определите координаты центра масс системы, состоящей из че

тырех шаров массами 2т, Зт, 4т ит, которые расположены в вершинах и в центре равностороннего треугольника со стороной а = 20 см. Направление координатных осей показано на рисунке.

(О/Мбе“)二 12 см; ус 二 5,77 см.

Нагруженная песком железнодорожная платформа с начальной массой 恤 начинает движение из состояния покоя под воздействи

ем постоянной силы тяги F. Через отверстие в дне платформы высыпается песок с постоянной скоростью “ (кг/с). Определите v(f), т. е. зависимость скорости платформы от времени.

Дано

Решение

F

wa = F + I^,

〃

m=n^-用，Fp = 0,

F,dv

v(f) -

-?

a,a -—,

飞一因df

v(0)=0,

v(/)= [a dr = [~-—dz = — In———.

J、叫一林t" 恤一"

(7电На катере массой 加=4,5 т находится водомет, выбрасывающий * со скоростью и = 6 м/с относительно катера назад ^ = 25 кг/с воды. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определите: 1) скорость катера через Г = 3 мин после начала движения; 2) предельно возможную скорость катера.

(Ответ ) 1) и = 3,8 м/с； 2) Отах = 6 м/с.

(L76 ) Ракета, масса которой в начальный момент времени М = 2 кц 、・丿 запущена вертикально вверх. Относительная скорость выхода продуктов сгорания и = 150 м/с, расход горючего 〃 = 0,2 кг/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите ускорение / ракеты через f = 3 с после начала ее движения. Поле силы тяжести считал» однородным，

Дано

Решение

M =2 кг

〃二150 м/с

ma = Fp-mg,

“二 0,2 кг/с

州=〃〃，

/ = 3 с

g = 9,81 м/с2

о —?

т У М-阳

Ответ j а = 11,6 м/с?.

Некоторые математические формулы

(Ответ Л fVУ v(z)= —in—(Ответ Л fVУ v(z)= —in—

(Ответ Л f

VУ v(z)= —in—

(Ответ Л f

VУ v(z)= —in—

sin 2а = 2 sina cos а

?1

sin а = —(1 - cos2а)

cos 2a = cos2 а - sin2 а

cos а = — (1 + cos 2а)

(1.77 丿 Ракета, масса Мкоторой в начальный момент времени равна 300 г, 、 丿 начинает выбрасывать продукты сгорания с относительной скоростью w = 200 м/с. Расход горючего 〃工 100 г/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха и внешним силовым полем, определите: 1) за какой промежуток времени скорость ракеты станет равной s = 50 м/с; 2) скорость v2, которой достигнет ракета, если масса заряда 恤 二 0,2 кг.

С \ 79 / ^акета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально \i *■丿 вверх. Начальная масса ракеты 小。,скорость истечения газа относительно ракеты постоянна и равна и. Пренебрегая сопротивлением воздуха, выразите скорость ракеты и в зависимости от гм и / (/и — масса ракеты; / — время ее подъема). Поле силы тяжести считайте однородным.

(0/7/ее/м ) г； = 〃 1п(恤/向一g"

Дано

М 二 300 г = 0,3 кг и 二 200 м/с “ =100 г/с = 0,1 кг/с

V] = 50 м/с

力о 二 0,2 кг

1)" —？

2)力一？

■ , М

Г] = w In, 1

Решение

ma= Fp,

外=/ли,

du

(M - ，/)— = qu ,df

M —林t\ и

m = M-^t,

du a =—, 山

M~ fit

M - 林t、

4=里(1-亡"/"

0mбет) i)厶二o,66 м/с； 2)力=220 м/с.

(L78) Ракета с начальной массой w0, начиная движение из состояния покоя, к некоторому моменту времени t израсходовав топливо массой т, развивает скорость v . Пренебрегая сопротивлением воздуха и внешним силовым полем, определите зависимость и от m, если скорость истечения топлива относительно ракеты равна и.

отвеm) 二我 hi®0/(^ -现)).

j ].8O J Ракета с начальной массой 切。=1,5 кц начиная движение из со- 、 / стояния покоя вертикально вверх, выбрасывает непрерывную струю газов с постоянной относительно нее скоростью 覺=600 м/с. Расход газа Н = 0,3 кг/с. Определите, какую скорость приобретет ракета через 1 с после начала движения, если она движется: 1) при отсутствии внешних сил; 2) в однородном поле силы тяжести. Оцените относительную погрешность, сделанную для данных условий задачи при пренебрежении внешним силовым полем.

Дано

Решение

恤-1,5 кг

и 二 600 м/с

1) wa 二 Fp

+ F, m =

dv

// = 0,3 кг/с

/| = 1 с

尸=0,

(w0 - at)——一〃〃，du—a/,

dfm0 - "f

1)5-?

m/)一 J

0j 加0 _"/

-w In,

恤一

2)也一？

3) £ — ?

2) V] - и In.

«0- «4

F = mg,

(w0 - fit)— = ци~ (w0 - ^Og ,—=山一g, v(t)=uln--gt, df山 /)一 〃F勿巾一灰才

V2 = u Ing";

恤一4厶

3)£ = ^1 = -_Л^__

5 “In』一

Ответ J 1)q =134 м/с；

2)力=124 м/с; 3) £ = 7,3 %.

1.3. Работа и энергия

(L81 )

Тело массой /и = 5 кг поднимают с ускорением а 二 2 м/с2. Определите работу силы в течение первых пяти секунд.

(Е83： } Определите работу, совершаемую при подъеме груза массой w = 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона а = 30° к горизонту на расстояние $ = 4 м, если время подъема 才=2 с, а коэффициент трения / = 0,06.

Дано

Решение

/72 = 5 КГ

ma =尸一 mg ,F =

ma + mg = m(a + g),

a = 2 м/с2

力=5 c

2

A = Fh, 〃 =竺，

at2

A —?

Ответ ) 4 二 1,48 кДж.

Ответу / = 1,48 кДж.

Тело скользит с наклонной плоскости высотой h и углом наклона а к горизонту и движется далее по горизонтальному участку. Принимая коэффициент трения на всем пути постоянным и равным / , определите расстояние s , пройденное телом на горизонтальном участке, до полной остановки.

(1・82 ) Автомашина массой 加=1,8 т движется в гору, уклон которой со- ставляет 3 мна каждые 100 м пути. Определите: 1) работу, совершаемую двигателем автомашины на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1; 2) развиваемуто двигателем мощность, если известно, что этот путь был преодолен за 5 мин.

Дано

а

Решение

Дано

Решение

加= 1,8 т= 1,8 • 103 кг 用=3 м

7 = 100 м

s = 5 км = 5 • 103 м /-0,1

N = Rs 十 %s ,G 二 mg sina ,

F%= fN = f mgcosa, sina = ；,弋 N

f = 5 мин = 300 с

cos« = vl-sin2a ,\

1)4—?

2) Р — ?

/ = mgs(sina + / cos a),

s — ?

mgh^ F^l + Fjv2s , 県i = _^gcosa,

sin a

.h

mgh = j mg cosa+ /mgs,

sin a

h

s = 7(l_/ctga).

Ответу 1)л = 11,5 мдж； 2)尸= 38,ЗкВт.

Л1 XS^ Насос мощностью N используют для откачки нефот сглубинь! h.

/ Определите массу жидкости, поднятой за время 厶 если КПД - соса равен 7.—

Дано

Решение

N h

^полезн

mgh

rjNt m-—~

m--？

Ответ Л « = ^

Z gh

Поезд массой 加=600 т движется под гору с уклоном a = 0,3° и за время f = l мин развивает скорость и = 18 км/ч. Коэффициент трения / = 0,01. Определите среднюю мощность〈N〉локомотива.

1.86

Дано

加=600 т = 6 * 105 кг a 二 0,3。

/ = 1 мин = 60 с и 二 18 км/ч ― 5 м/с

f = 0,01

00 _?

Решение

（N）二 ％「н ⑺，

/=/mg cosa,

(ям 二加2 + /〃g cos仪 一 mg sina,

QOmeem )(n)= i95kBt.

GE) Автомобиль массой /и = 1,8 т спускается при выключенном дви- ~^ гателе с постоянной скоростью и = 54 км/ч по уклону дороги (угол к горизонту a = 3°). Определите, какой должна быть мощность двигателя автомобиля, чтобы он смог подниматься на такой же подъем с той же скоростью.

Ответу n=27,7 кВт.

(1.88) Материальная точка массой w = l кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению s = A- Bt + С» - D? (5 = 3 м/с, С = 5 м/с2, D = 1 м/с3). Определите мощность N, затрачиваемую на движение точки за время, равное 1 с.

mg

та = F„rn + 加且 sina 一

2+龙cosa-gsina) •

Дано

Решение

m = l kf

s = А — Bt + СУ? — Dt>

N =一,必二 dT.

dr

8 = 3 м/с.

Td f mv2\du

С = 5 м/с2

D 二 1 м/с3

2d八2丿df

= 1 с

^ —?

и =—二+ 2a — 3Dt , dr

du

- = 2С-6П, dr

N =風-В + 2Cf - 3Q』)(2C - 6П).

Omeetn ) n = i6Bt

Некоторые математические формулы

sin 2a 二 2 sin a coscz

Ss 2a 二 cos2 a - sin2 q

Ветер действует на парус площадью S с силой F= ASp(v0 一 已尸/2 , где Л — некоторая постоянная; р —— плотность воздуха; v0 —

скорость ветра; и — скорость лодки. Определите скорость лодки при максимальной мгновенной мощности ветра.

Тело массой т начинает двигаться под действием силы F = 2z i + 3/2j, где i и j — соответственно единичные векторы координатных осей х и у. Определите мощность N⑺,развиваемую силой в момент времени /.

Дано

Решение

F = ASp(v0-vf/2

N = %max

и —?

N = Fv >F = ASp(v0 - v^/2 ,

% = ^•(痂 - а。。!? +1?), dN c

Дано

Решение

m

F = 2/i + 3/2j

/V (/) — ?

N = Fv,F = 2/i + 3/2j = ma,

a = —(2/i + 3/2j) = —, 用d/

y 二 Ja 山二一j(2/i + 3»j)df 二-^-(/2i + /3j), ；m

¥ =-4”о” + 31?) = 0 ,

du 2

1^ 一 4vqV + 3v2 = 0,3f 2 - 4vqv + i)q = 0,

4必 ± ^16vq -12vq — 4% ± 2v0

6-6

N(/) = (2/ i + 3『j) •—(/2i + 戸力=丄(2 戸 + 3/5)

wm

(°"川咖)n(，)=丄(2八3心

% 二 v0 (не удовл.),

"2=^'

^v2=|

ОтбШП ) и = ^

11.92 丿Тело массой w = 5 кг падает с высоты 厶=20 м. Определите сум- 、/ му потенциальной и кинетической энергий тела в точке, находя

щейся от поверхности Земли на высоте Л(二 5 м. Трением тела о воздух пренебречь. Сравните эту энергию с первоначальной энергией тела.

ОтветуОтветуДаноРешение‘" =5 kгe = 口 =好，g=П]+4，口一咽…/? = 20 м2% = 5 м£| — ?& =加g% +竺2g?-〃])=加且占，E} = E = mgh.\Ответ J Е{=9^ Дж.ДаноРешение‘" =5 kгe = 口 =好，g=П]+4，口一咽…/? = 20 м2% = 5 м£| — ?& =加g% +竺2g?-〃])=加且占，E} = E = mgh.\Ответ J Е{=9^ Дж.

Ответу

Ответу

Дано

Решение

‘" =5 kг

e = 口 =好，g=П]+4，口一咽…

/? = 20 м

2

% = 5 м

£| — ?

& =加g% +竺2g?-〃])=加且占，

E} = E = mgh.

\Ответ J Е{=9^ Дж.

Дано

Решение

‘" =5 kг

e = 口 =好，g=П]+4，口一咽…

/? = 20 м

2

% = 5 м

£| — ?

& =加g% +竺2g?-〃])=加且占，

E} = E = mgh.

\Ответ J Е{=9^ Дж.

Тело массой 加 поднимается без начальной скорости с поверхности Земли под действием силы F, изменяющейся с высотой подье-

мау по закону F 二-2wg(l 一 Ay) (где Л ——некоторая положительная постоянная), и силы тяжести mg . Определите: 1) весь путь подъема; 2) работу силы F на первой трети пути подъема. Поле силы тяжести считать однородным.

1) А = —; 2) % 二 5加g/(9N).

，］ 93 j Тело, падая с некоторой высоты, в момент соприкосновения с Зем、 X и mi,? ,✓ лей обладает импульсом р- 100 кгм/с и кинетической энергией Т 二 500 Дж. Определите: 1) с какой начальной высоты тело падало; 2) массу тела.

Автомашина массой т 二 2000 кг останавливается за / = 6 с, пройдя расстояние s = 30 м. Определите: 1) начальную скорость автомашины; 2) силу торможения.

1) /7 = 5,1 м; 2) м = 10 кг.

Дано

回С башни высотой "二 20 M горизонтально со скоростью и。= 10 м/с брошен камень массой m 二 400 г. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите для момента времени / = 1 с после начала движения: 1) кинетическую энергию; 2) потенциальную энергию.

加二 2000 кг

/ = 6 с

s = 30 м

1）小一？

• 2）尸一？

Решение

2s

2s и о=--

e=過2s

加.

f0 = at

^- = Fs 2

4『2 ms

宀 2s ~ »

Дано

〃 =20 м

?；0 = 10 м/с

〃? = 400 г = 0,4 кг

/ = 1 с

1)Т—?

2)П —?

mv2

П 二 mgh,

Решение

r0 = const,

Ответ ) i)必=10 м/с； 2)f - з,зз кН.

( 1»96 J Материальная точка массой w = 20 г движется по окружности " радиусом К =10 см с постоянным тангенциальным.ускорени- ем. К концу пятого оборота после начала движения кинетическая энергия материальной точки оказалась равной 6,3 мДж. Определите тангенциальное ускорение.

Дано

Решение

uv ^gt ,U 二乩+ (g<)2 , T = 5(君+ g2"),

w = 20 г = 2 ■ 10-2 кг

R = 10 см = 0,1 м

^ = 5

Т 二 6,3 мДж =

二 6,3 ТО-з дж

T = ~

2

2^=т

V w

& =_ = wR,

£=—— Ri

2冗 N ==-,

2Rt 2R

4 冗 АТ?

II 二 〃?g H -

AfNR 2KmNR

Ответ J 1)Т = 39,2Дж;2) П = 59,2 Дж.

Омбет ) & 二 o,i м/с?.

66стояние по горизонтали оно пролетит.стояние по горизонтали оно пролетит.S 二 ,%х 二必 cosa，必у 二 gG 二鏡о Sina，S 二 ,%х 二必 cosa，必у 二 gG 二鏡о Sina，f = 24，f = 24，必 sin a必 sin a4 =吗24 =吗22A2AЛ 2 Л sin aЛ 2 Л sin a5- —sin 2a.mg5- —sin 2a.mgРешениеРешениеmgh-F^s + x) = mgh},Frp = f mg cos a ,—s(sina-/ cosa) sin« + / cosa 'A = ssina，Л] - х sina ,加gs sin a - / mg cos a(s + x) = mgx sin a,[Ответ J x =81,8 м.色^ ) К нижнему концу пружины жесткостью 左 присоединена другая .пружина жесткостью ^, к концу которой прикреплена гиря. Пренеб- регая массой пружины, определите отношение потенциальных энергий пружин.ДаноРешение勺X?二左）尤2 ,垃g土=终，n产史，пx2 占12 '"2-亍，n2 &君后2肝勺{Ответ ) М _比2mgh-F^s + x) = mgh},Frp = f mg cos a ,—s(sina-/ cosa) sin« + / cosa 'A = ssina，Л] - х sina ,加gs sin a - / mg cos a(s + x) = mgx sin a,[Ответ J x =81,8 м.色^ ) К нижнему концу пружины жесткостью 左 присоединена другая .пружина жесткостью ^, к концу которой прикреплена гиря. Пренеб- регая массой пружины, определите отношение потенциальных энергий пружин.ДаноРешение勺X?二左）尤2 ,垃g土=终，n产史，пx2 占12 '"2-亍，n2 &君后2肝勺{Ответ ) М _比2x —?x —?

6

6

стояние по горизонтали оно пролетит.

стояние по горизонтали оно пролетит.

S 二 ,%х 二必 cosa，必у 二 gG 二鏡о Sina，

S 二 ,%х 二必 cosa，必у 二 gG 二鏡о Sina，

f = 24，

f = 24，

必 sin a

必 sin a

4 =吗

2

4 =吗

2

2A

2A

Л 2 Л sin a

Л 2 Л sin a

5- —sin 2a.mg

5- —sin 2a.mg

Решение

Решение

mgh-F^s + x) = mgh},

Frp = f mg cos a ,

—s(sina-/ cosa) sin« + / cosa '

A = ssina，Л] - х sina ,

加gs sin a - / mg cos a(s + x) = mgx sin a,

[Ответ J x =

81,8 м.

色^ ) К нижнему концу пружины жесткостью 左 присоединена другая .пружина жесткостью ^, к концу которой прикреплена гиря. Пренеб- регая массой пружины, определите отношение потенциальных энергий пружин.

Дано

Решение

勺X?二左）尤2 ,

垃g

土=终，n产史，п

x2 占12 '"2-亍，

n2 &君后2肝勺

{Ответ ) М _

比2

mgh-F^s + x) = mgh},

Frp = f mg cos a ,

—s(sina-/ cosa) sin« + / cosa '

A = ssina，Л] - х sina ,

加gs sin a - / mg cos a(s + x) = mgx sin a,

[Ответ J x =

81,8 м.

色^ ) К нижнему концу пружины жесткостью 左 присоединена другая .пружина жесткостью ^, к концу которой прикреплена гиря. Пренеб- регая массой пружины, определите отношение потенциальных энергий пружин.

Дано

Решение

勺X?二左）尤2 ,

垃g

土=终，n产史，п

x2 占12 '"2-亍，

n2 &君后2肝勺

{Ответ ) М _

比2

x —?

x —?

Ядро массой т = 5 кг бросают под углом а = 60° к горизонту совершая при этом работу 500 Дж. Пренебрегая сопротивлением

воздуха, определите: 1) через какое время ядро упадет на землю; 2) какое рас

sincz Vn . _ s~v0 cosa-2—= — sm2a,；

g g

^ Ответ ^ 1)z = 2,5 c； 2)s = 17,6m.

G^j Тело массой /и = 0,5 кг бросают со скоростью и° 二 10 м/с под утлом a = 30° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите кинетическую Т, потенциальную П и полную £ энергии тела： 1) через £ = 0,4 с после начала движения; 2) в высшей точке траектории.

Ошвеш Л 1) Т = 19 Дж; П 二 5,9 Дж; Е 二 24,9 Дж*; Z 2) Т = 18,7 Дж; П = 6,2 Дж; Е = 24,9 Дж.

Тележка проходит расстояние 5 = 300 м под гору с уклоном a = 5° и продолжает двигаться в гору с тем же уклоном. Принимая коэффициент трения/постоянным и равным 0,05, определите расстояние х, на ко- торое поднимается тележка.

Дано

s = 300 м a = 5° /=0,05

(1.101 ) Тело массой 加= 0,4 кг скользит с наклонной плоскости высь той й = 10 см и длиной / = 1 м. Коэффициент трения тела i всем пути / = 0,04 ■ Определите: 1) кинетическую энергию тела у основ ния плоскости; 2) путь, пройденный телом на горизонтальном участке ; ■ остановки.

Подвешенный на нити шарик массой т = 200 г отклоняют на угол а 二 45° . Определите силу натяжения нити в момент прохождения щариком положения равновесия.

Ошбет )/т 二力g(3 — 2 cosa) = 3,11 н.

Omeem^ i)10,24 Дж； 2)юз м.

(1.10。 Тело брошено вертикально вверх со скоростью v0 = 20 м/с.

二-- Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, на какой высоте Л кинетическая энергия тела будет равна его потенциальной энергии.

При абсолютно упругом ударе шаров одинаковой массы всегда отскакивает столько шаров, сколько налетает. Докажите этот результат.

Дано

Решение

Ответ ^ 〃二］о,2 м.

Тело массой т = 70 кг движется под действием постоянной силы 尸二 63 Н. Определите,，на каком пути s скорость этого тела возрастает в 〃 = 3 раза по сравнению с моментом времени, когда скорость тела была равна 必=1,5 м/с. .

М

%2 -?

N*mV\ = N2mv2,

5 =竺

Дано

也=70 кг 尸=63 н

и0 二 1,5 м/с /7 = 3

3?

Решение

Fs

mv2

一 2 5

u=

叫，

Fs

mvl

(£-1),

s =

遐一竺

N： N\

М=%2・

(Ответ

N2 = m .

（L106）

Тело брошено под углом а = 45° к горизонту со скоростью V。二 15 м/с. Используя закон сохранения энергии, определите ско-

рость и тела в высшей точке его траектории.

Ответ ) s = io м.Ответ ) s = io м.

Ответ ) s = io м.

Ответ ) s = io м.

Ответ ) и = % cos а 二 io,6 м/&

(1.107 ) Шайба массой т скользит без трения с высоты Л по желобу, пере- 、"；и”■/ ходящему в петлю радиусом R. Определите: 1) силу давления 斤 шайбы на опору в точке, определяемой углом се (см. рис.)； 2) угол a , при котором произойдет отрыв шайбы.

Дано

Решение

m h

R

D F

2) a

?

?

也

i

mgh

2

mv 7

+,

2

瓦二 R(l + sina),

mg〃 二f mgR(l + sin a)，

mt?二 2mgh - 2mgR(i + sina),

F-；mg smct,R

F

2 mg 刀 一 2/ngR(l + sin a)

R

“2(〃一R(l + sina))

—nig since 二 mg'

R

-sina ,

F = 0

竺-2-3sina = 0,

a 二 arcsin -'

2( 6

3<R

Ответ )〔、口 J

―丿 1)F = mg\

rfc^^-sina ;

2) a 二

R

arcsin I

^■.108 ) Пренебрегая трением, определите наименьшую высоту Л, с которой ИВ^—*^ должна скатываться тележка с человеком по желобу, переходящему в петлю радиусом R = 6 м, и не оторваться от него в верхней точке петли.

Дано

Решение

7?二 6 м

"一？

mgh 二吟+mgk

mv2

% =2R： wg = —

加gRС П

Ответ )右=15 м

h = ~ + 2R = -R.

2

.2

Спортсмен с высоты Л = 12 м падает на упругую сетку. Пренебрегая массой сетки, определите, во сколько раз наибольшая сила давления спортсмена на сетку больше его силы тяжести, если прогиб сетки под действием только силы тяжести спортсмена х0 = 15 см.

Дано

Решение

% = 12 м

% 二 15 см = 0,15 м

打—？

= —1閃二 Н, \mg\ = kxQ ,闻 ах 二Нтах，

АПупр 二 АПТЯГ (в точках, где ДГ- 0),

smax

АПупр

А口тяг ~~ mg(卜斗"max)，

狂2

尸g mg mg

2 丁 6+2 丁尤max,= x0.

2%тах

Хтах = К + & + 2%〃 ,

« = 13,7.

%ax — 2XoXmax — ^0^ 二。，

С вершины идеально гладкой сферы радиусом А = 1,2 м соскальзывает небольшое тело. Определите высоту h (от вершины сфе~ ры), с которой тело со сферы сорвется.

ДаноРешение

Л [. ] [ 2 ) 「нр只 массой w = 10 кг падает с высоты Л = 0,5 м на подставку, '- / скрепленную с пружиной жесткостью 左==30 Н/см. Определите при этом смещение х пружины.

Дано Решение

"7 二 10 kr

h 二 0,5 м

左二 30 Н/см = 3 • 103 Н/м

х — ?

mg(力+ х) =,

mgx - mgh = 0,

2 一咨_F=0, к k

ДаноДано力二力二力u =(次+ М)u, mv и =,m + М力u =(次+ М)u, mv и =,m + М2g 2g(w+ M^2g 2g(w+ M^(万?+ Л/)/2(万?+ Л/)/2=(m + M)gh,=(m + M)gh,

Дано

Дано

力二

力二

力u =(次+ М)u, mv и =,

m + М

力u =(次+ М)u, mv и =,

m + М

2g 2g(w+ M^

2g 2g(w+ M^

(万?+ Л/)/2

(万?+ Л/)/2

=(m + M)gh,

=(m + M)gh,

~mg cosa~N, NB = 0,= wgcosa ,mu^ = 2mgh ,

mvB 二 mgR cosa,2mgh = mgR cosa ,cosa 二一—,

R _ h''D

2h~ R cos« - R= R-h ,3〃 = K,h = — •

R3

QOmeemj h= 0,4 m.

(1.111) *a цилиндра массами mx =150 ги 做 二 300 ц соединенные сжа- х ■ той пружиной, разошлись при внезапном освобождении пружины в разные стороны. Пренебрегая силами сопротивления и учитывая, что кинетическая энергия Т упругой деформации пружины составляет 1,8 Дж, определите:

скорость s движения первого цилиндра; ,「，— |

+1 W] IvVAWf m2 I—►

скорость u2 движения второго цилиндра.

^^^^^^ 1) з = 4 м/с; 2) v2 = 2 м/с.

ое8ет )Х=21,6 ем.

(].[13 ) Пуля массой т = 15 г, летящая с горизонтальной скоростью 、 мм / и = 0,5 км/с, попадает в баллистический маятник М = 6 кг и застревает в нем. Определите высоту h, на которую поднимется маятник, откачнувшись после удара.

Решение

加二 15 г = 15 • 10-3 кг “二 0,5 км/с 500 м/с М = 6 кг

方一？

(Omeem )厶= 7,9 см

(1.114 } Пуля массой 加=15 г, летящая 、““:二，горизонтально, попадает в баллистический маятник длиной / = 1 м и массой

М = 1,5 кг и застревает в нем. Маятник в ре- т зультате этого отклонился на угол д = 30° . Определите скорость пули.

h

^1.116^ Пуля массой т = 12 i; летящая с горизонтальной скоростью 、 ’' и = 0,6 км/с, попадает в мешок с песком массой М~10 кц вися- щий на длинной нити, и застревает в нем. Определите: 1) высоту, на которую поднимется мешок, отклонившись после удара; 2) долю кинетической энергии, израсходованной на пробивание песка.

(Ответ )аг

丿 1) 〃二 2,64 см; 2)亍- = 99,9%.

Ответ ) и = 164 м/с.

(1.11 5 J Пуля массой 加二 15 г, летящая горизонтально со скоростью 、- 丿 и 二 200 м/с, попадает в баллистический маятник длиной / 二 1 м и массой Л/二 1,5 кг и застревает в нем. Определите угол отклонения g маятника.

Зависимость потенциальной энергии П тела в центральном силовом поле от расстояния г до центра поля задается функцией

Дано

Решение

777 二 15 г= 15 • Ю"3 кг и 二 200 м/с

/二 1 m

М 二 1,5 кг

8— ?

加V =(掰+ m)и,

^i^ = (m+M)g〃，

2-

/ _ /(加u)2

7 2g 2g(加+〃)2

口(尸)^~^~— (А = 6 мкДж -м2, В-0,3 мДж ■ м). Определите, при каких значениях г максимальное значение принимают: 1) потенциальная энергия тела; 2) сила, действующая на тйно.

cos 夕二=1 —

(гт)У

Дано

П(г) = 4-- г г

А-6 мкДж • м2

=6 ■ 10*6 Дж • м2 8 = 0,3 мДж ■ м

=3 ТО" Дж • м 1)п = птах 2)尸= &ах

Решение

~~ZZdTI с

口工口max dr

—(—2Л + Вг) = 0, 2А — Br s

尸 dTI

丁 = 0, F = -—-- 2

drdr r r

cosp

](/?w)2

2g/(w+ Л/)?

р = arccos

1-

dF d < Л 丁二一2工 dr dr \ rJ

25 2

——=f(—34 + Br) = 0,

3A = Br,

2g/(w+ Л!)?

В

^ Ответ ^ г=36,9。.

Ql6吟])Т = 4см,2" = ^ = 6см.

3 А-479

口八口八ДаноРешение〃尸 80 см = 0,8 м 出=72 см = 0,72м£ —?£= ，Mg厶 1 =—L,朗 g力Vj22厶2 v2 c2瓦丁『，£=#-.ДаноРешение〃尸 80 см = 0,8 м 出=72 см = 0,72м£ —?£= ，Mg厶 1 =—L,朗 g力Vj22厶2 v2 c2瓦丁『，£=#-.Определите коэффициент восстановления материала шарика.Определите коэффициент восстановления материала шарика.Ответ ) £ = 0,95.Ответ ) £ = 0,95.^ Ответ ^ £ = о,67.^ Ответ ^ £ = о,67.Т — тера (10i2) Г — гига (109) М — мега (106) к — кило (103)Т — тера (10i2) Г — гига (109) М — мега (106) к — кило (103)н —нано(10-9)п — пико (10 ") ф — фемто (10-15) а — атто (10-18)н —нано(10-9)п — пико (10 ") ф — фемто (10-15) а — атто (10-18)

口八

口八

Дано

Решение

〃尸 80 см = 0,8 м 出=72 см = 0,72м

£ —?

£= ，Mg厶 1 =—L,朗 g力

Vj22

厶2 v2 c2瓦

丁『，£=#-.

Дано

Решение

〃尸 80 см = 0,8 м 出=72 см = 0,72м

£ —?

£= ，Mg厶 1 =—L,朗 g力

Vj22

厶2 v2 c2瓦

丁『，£=#-.

Определите коэффициент восстановления материала шарика.

Определите коэффициент восстановления материала шарика.

Ответ ) £ = 0,95.

Ответ ) £ = 0,95.

^ Ответ ^ £ = о,67.

^ Ответ ^ £ = о,67.

Т — тера (10i2) Г — гига (109) М — мега (106) к — кило (103)

Т — тера (10i2) Г — гига (109) М — мега (106) к — кило (103)

н —нано(10-9)

п — пико (10 ") ф — фемто (10-15) а — атто (10-18)

н —нано(10-9)

п — пико (10 ") ф — фемто (10-15) а — атто (10-18)

(1 • 118 ) На рисунке представлена каче- 、 / ственная зависимость потенциальной энергии П взаимодействия двух частиц от расстояния г между ними. Объясните, какому расстоянию между частицами соответствует равновесие, при каком расстоянии оно является устойчивым и при каком —неустойчивым.

ОтбеЙ^^ ^авн = <2 — устойчивое равновесие,

Кавн.二〃 —неустойчивое равновесие.

f

[ 19) Сила, действующая на тело в некотором поле консервативных сил,

——二丿 описывается законом F 二 /(yi + xj), где / ——некоторая постоянная; i и j —— соответственно единичные векторы координатных осейхи^. Определите потенциальную энергию П(х, у) тела в этом поле.

(。加66//I ) П(х, у) = -Аху + С, где С — аддитивная постоянная.

Металлический шарик падает вертикально на мраморный пол с высоты 用尸 80 см и отскакивает от него на высоту 坛二 72 см.

(]・ 121) Шарик из некоторого материала, падая вертикально с высоты 0,9 м, ' :二皿■二，несколько раз отскакивает от пола. Определите коэффициент восстановления материала шарика при ударе о пол, если с момента падения до второго удара прошло время / = 1 с.

Десятичные приставки к названиям единиц

д —дециСЮ4) с — санти (10~2) м — милли (Ю-3) мк — микро (Ю-6)

При центральном упругом ударе движущееся тело массой 加］уда- ряется в покоящееся тело массой & , в результате чего скорость первого тела уменьшается в 2 раза. Определите: 1) во сколько раз масса первого тела больше массы второго тела; 2) кинетическую энергию Т2 второго тела непосредственно после удара, если первоначальная кинетическая энергия Т первого тела равна 800 Дж.

厶 ［23Л()口репелите, во сколько раз уменьшится скорость шара, движу- X X щегося со скоростью 5 , при его соударении с покоящимся шаром, масса которого в и раз больше массы налетающего шара. Удар считать центральным абсолютно упругим.

Дано

Решение

Дано

Решение

"二—-

7］二 800 Дж

л —?

^ — ?

小必二小川+吗必， 2,2,2

唐］0mp?； тэУ2

и =,

w2

M]5 -加1小+加2"2，

咿:加1叫2 些?

2 一 22，

5,

22/2

乂=3,

4

二

4

7"j 一 男，

(Oseem ) i)〃 = з ；2)^ = боо Дж.

J- — ?

"i

■ n

w2 =几叫，

q=%+坦咳，

行=V|2 + nv^2 ,

（S 一叫）2

3 и；-.и『 (q-gQi+M)

л

п

(q-矶)2 (U-uD(q+M)

п~

п

」——L = Vj 4- V；,П

士i = X + l,n

ИХ 4- Л = X - 15

/7Х - X = -И - 1 ,

兑+ 1 _ 1 + /7

n-11

х(и-1) = -(и + 1),

V］ 1 + п

V； 1- и

Ответ J s 二 1 + %

(1.124)

Тело массой Wj - 3 кг движется со скоростью и】=2 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определите количество теплоты, выделившееся при ударе.

Ответ ^ 0 = з Дж.

(].]25^ Два шара массами ^ = 9 кг и & = 12 кг подвешены на нитях длиной / 二 1,5 м. Первоначально шары соприкасаются между со

бой, затем меньший шар отклонили на угол а = 30° и отпустили. Считая удар неупругим, определите высоту Л, на которую поднимутся оба шара после удара.

Дано

Решение

/??]= 9 кг

加ig"尸石-，

S = J2g% ,

吗=12 кг

/ = 1,5 м

h}=l-l cosa = /(1 一cosa),

% =^j2gl(l-cosa);

a = 30°

mlvl 二(加i+ 吗)u,

加Fl V =,

加1 +加2

i.Дано

Решение

J И7| = 3 КГ

m2 = 2 кг

/ = 1 м

a 二 60°

卜，

g(q + 所)(q 一研)=

m2v

mxgh

*〃 = /-

mxvx

加№

,2

2，

2

¥办=同，

-/ cosa = /(1 - cosa), U] = J2g/(1 - cosa); .,

二小U；+加2力，；=2 +

-fp = ^2^2,加Q；-u『)二 m/，，

% +叫 二必，羽科]二加1(咳 一U])+优2咳，

Zj ・]26)Два шара массами ^ = 3 кг и w2 = кг подвешены на нитях длиной / = 1 м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем больший шар отклонили от положения равновесия на угол а 二 60° и отпустили. Считая удар упругим, определите скорость второго шара после удара.

〃&二 _—q = 2做—，2g/(l-cosa). 一

—s +叱(Omeetn ) % = з,7б м/с.

（L127）

w1A/2g/(l-costr)

/И [+ 也2 ，

V2

(7勺 + /7")——=(^1+ 加2)g力，

2 ■2

〃嘖= 7^^ …a)

1 _

Два шара массами ^ 二 200 г и ти2 = 400 г подвешены на нитях длиной I = 67,5 см. Первоначально шары соприкасаются между

собой, затем первый шар отклонили от положения равновесия на угол a 二 60° и отпустили. Считая удар упругим, определите, на какую высоту А поднимется второй шар после удара.

Отеет ) 力=4赭/(i—cosa)см

Ответ

Шар сталкивается с другим покоящимся шаром такой же массы. Докажите, что в случае упругого, но не центрального удара угол

между направлениями скоростей после удара составляет я/2 .

(Ответ ^ ^ = у

1.4. Механика твердого тела

Выведите формулу дая момента инерции полого шара относительно оси, проходящей через его центр. Масса шара равна w, внутренний радиус г, внешний R.

Выведите формулу для момента инерции тонкого кольца радиусом R и массой т относительно оси симметрии.

отеет)/

Дано

т г

R

Решение

(изо)

Выведите формулу для момента инерции тонкого стержня массой т и длиной / относительно оси, проходящей через центр масс

перпендикулярно его длине.

г 222

4 з

加2 - ~лрг , т = т}

4 з

-«2 =§喇犬-г ),

2 42 43 2 2 42 45

J ~冗pKRпрг г нKpR

5 35 35 35 3

Выведите формулу для момента инерции сплошного шара радиусом R и массой т относительно оси, проходящей через центр масс

2 4(川-尸5、2 Л5-г5

шара.

ДаноРешение

Ответ ) , 2 л5-г5

)厶即к.

т

R

丿—?

dJ =

mr2

Q冗尸2必г2 夕九f4 d力 ~-2~ 2 .

J= |dJ = 2 j-y-(^2 -h1)2 =,

(L133 ) Выведите формулу для момента инерции цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с ее осью симметрии. Масса муфты равна т, внутренний радиус г, внешний R.

отбеm )/=沁

<и>

Определите момент инерции сплошного однородного диска ра- “ 11111111/ диусом R = 40 см и массой ти = 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определите, во сколько раз кинетическая энергия шара мень*. те кинетической энергии сплошного цилиндра.

Ответ J 丿=0,12 кг • м2.

Дано

Решение

加产mг = m

Определите момент инерции J тонкого однородного стержня длиной / = 50 см и массой т 二 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на % его длины.

S -v2=v

Т =——+ —

22

а)= — R

7；

—2

乙 .

J. = ~mR2,1 5

,

-2

mv1 2

北=v—mR~ •

I 25、

2*10

1

22

2网4

1,07. QOmeem^ 7^/7；二i,07.

(1.137 ) Полная кинетическая энергия Тдиска, катящегося по горизонталь- '”丿 ной поверхности, равна 24 Дж. Определите кинетическую энер

гию 厶 поступательного и Т2 вращательного движения диска.

《Ответ)厶=16 鼠 石二 8 Дж.

Момент инерции тел правильной геометрической формы

Тело

Положение оси вращения

Момент инерции

Полый тонкостенный цилиндр радиусом R

Ось симметрии

/И*

Сплошной цилиндр или диск радиусом R

То же

—mR2 2

П рям ой тонкий стерж ень длиной /

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину

1

-ml

12

Тоже

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец

1户 3

Ш ар радиусом А

Ось проходит через центр шара

厶及2 5

Полый тонкостенный цилиндр массой т 二 0,5 кг; катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость

цилиндра до удара о стену и】=1,4 м/с, после удара v； -1 м/с. Определите выделившееся при ударе количество теплоты.

Дано

加=0,5 кг

5 = 1,4 м/с

叫=1 м/с

Решение

4 =■~L + ―L,122

£ =

mv^

2

囹2

+ 丁'

о) = — , J = т^, R

0=1飞，

0-？

с м也, 2,2、丿，2,2、

0 =寸+ 丁片-一7——广=不31『)+不®:/)=

222222

Дано

Решение

尺二 10 см = 0,1 м

M=Je,J =

-mR2,

7И= 5 кг

5

(Р = А + В» + С/З

8 = — ,£ =

dw

6 = 2 рад/с2

d/

d/

С = -0,5 рад/с3

①=2Bt + ЗС* ,£ =

2B + 6Cf,

f = 3 с

2

M = -mR2(2B+6Ct).

5

^Ответ ^ м = -од н-м.

С ) Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению ^ = Л + В/2 + С/3 (8=2 рад/с2, С 二-0,5 рад/с3). Определите момент сил Мдля / = 3 с.

加/ 2,2ч1

= 5(U] -U] ) + 丁

= m(v^-v；2),0 = w(q + 叫)(s-叫).

Ответ J q = о,48 дж.

(1.139) К ободу однородного сплошного диска массой 加二 10 кц насажен- ' " ного на ось, приложена постоянная касательная сила 尸=30 Н. Определите кинетическую энергию через время /-4с после начала действия силы.

c^ Вентилятор вращается с частотой п = 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав ^ = 50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна 31,4 Дж. Определите: 1) момент сил М торможения; 2) момент инерции J вентилятора.

Дано

Решение

Дано

Решение

/и = 10 кг

F = 30H

т

вр 2 5

M = FR = Je ,

,mR2

J =,

2

/ = 4 с

FR 2F

2F

Т — 9

▲вр♦

£ ==,

J mR

a)= Et =/,

mR

1 _戶 2»

2 w

и = 600 об/мин = 10 об/с

^ = 50

X = 31,4 Дж

A二昭九

9 = 2 冗N ,

① о — 2 лги,

Ответ ) % 二 1,44 кДж.

м = - = -^- e 2疝V

1) М —?

2)/一？「〜

¥匸二g万

QOmeem ^

①о _ 2%%券

M = J&, 7! df 匸，

切斤一/ 2

'ЧХ £才 (OqI

I . 29_ 2*2定n _ 2N

М

MN 我二

~①о 2яи и 力

1) m = 0,1 h，m; 2)/=1,59 ・10-2 кг. М2.

£ ЯП2 ,7勿М&尸%

Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 150 кг ■ м2, вращается с частотой п = 240 об/мин. Через / = 1 мин после начала действия сил торможения он остановился. Определите: 1) момент Л/сил торможения; 2) число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки.

回

К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила 尸= 100 Н. При вращении

Otneem ) 1)〃 = 62,8 н・м； 2)3v = i20・

(1143)Сплошной однородный диск скатывается без скольжения с наклон'/ ной плоскости, образующей угол а с горизонтом. Определите

линейное ускорение а центра диска.

Дано

Решение

'Дано

Решение

'К=0,5 м

М 二 FR - М^ ,М = Je >

:尸= 100 Н

J =冬，Je = FR-Mw，

(М3 = 2 Н • м

Г- £ = 16 рад/с2

m — ?

mR22(^-4p)

2£*

диска на него действует момент сил трения М^ = 2 Н • м. Определите массу w диска, если известно, что его угловое ускорение £ постоянно и равно 16 рад/с2.

а

ma = mg sina-/,

/R = Je ,

а —?

J 二 2

TP及

т№а2#

та

. та

та 二 mg sma ———

|a = gsina,

"ggsim

wg

4 £一又'

Ответ ^\n = 24 кг.

; ([・ 145^ " 1стота вращения 汽。маховика, момент инерции J которого ра- $ \__pZ вен 120 кг • м2, составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время ^ = я мин. Считая трение в подшипниках по-

р стоянньш, определите момент М сил трения.

i.二 ，二 =…=:

(Me吟 Tgsma.

Дано

% = 240 об/мин = 4 об/с 丿二 120 кг • м2

/二 ％ мин = 60冗 с

Решение

%j А/

м = ^

2夕

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскостибез скольжения

м —?

(Z)q — 2tT/7q ,

T = 3也史+3》2,

где т — масса тела; vc — скорость центра масс тела; Jc — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; со — угловая скорость тела.

g(0忆66、)Л/ 二 16 h М.

<5>

Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 1,5 кг ■ м2, вращаясь при торможении равнозамедленно, за время Г = 1 мин уменьшил частоту своего вращения с и0 = 240 об/мин до

(ГЛ 48 ) С наклонной плоскости, составляющей угол а = 30° с горизон- 、中濟啼^ том, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определите время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см.

И] =120 об/мин. Определите: 1) угловое ускорение £ маховика; 2) момент М силы торможения; 3) работу торможения^.

Дано

Решение

丿=1,5 кг • м2

/ = 1 мин = 60 с

尚=240 об/мин = 4 об/с

^ -120 об/мин = 2 об/с

д 0 —- 2冗??0,

①二 2m,

Дано

a= 30。

h = 0,3 м

Решение

伙J-G 2冗，.、

--=7("厂 *

M = Js

£ —?

М—?

{ — ?

/ = ：^1__^^"(g^ -^2) = 2冗2/(%^ - /)•

СОтвшп

^"^2) М = 0,315H・м;3) N = 355 Дж.

(1.1T7)

Колесо радиусом R = 3G см и массой т-3 кг скатывается без трения по наклонной плоскости длиной / 二 5 м и углом наклона

а = 25° . Определите момент инерции колеса, если его скорость v в конце движения составляла 4,6 м/с.

ДаноРешение

R = 30 см = 0,3 м

/л = 3 кг

/ = 5 м

а = 25。

V 工 4,6 м/с

?

Ответ ) j = 0,259 кг ■ м2.

,/=^加及2,

,wr2mgh = —+

5~

①=一, R

v2

2W

at2

vt

2

2

2/ и

10

2〃 и sin a

Ответ ^ / = о,585 с.

Полый тонкостенный цилиндр катится вдоль горизонтального участка дороги со скоростью о = 1,5 м/с. Определите путь, который он пройдет в гору за счет кинетической энергии, если уклон горы равен 5 м на каждые 100 м пути.

бет ) s = 4,59 м.

) На однородный сплопшой цилиндрический вал радиусом R = 50 см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой

т 工 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением а = 2 м/с2. Опре

делите: 1) момент инерции J вала; 2) массу тх вала.

Дано

Решение

На однородный сплопшой цилиндрический вал радиусом К = 20 см, момент инерции которого 丿=0,15 кг • м2, намотана легкая нить, к

концу которой прикреплен груз массой т = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота А груза над полом составляла 2,3 м. Определите: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол.

R = 50 см = 0,5 м

m 二 6,4 кг

а = 2 м/с2

ma~mg~T,

Т 二加(g-a),

М =TR = w(g - 〃)К,

1))一？M=Je,e = -

2) m, —?

丿=竺=制名二。近=加炉但一力,

£ ala 丿

2J

观产产.

QOmeem1)j = 6,25 кг • м2； 2)办=50 кг.

，］［弓］) На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 5 см \ ::二丿 и массой М = 10 кг намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой 加二 1 кг. Определите: 1) зависимость s(f), согласно которой движется груз; 2) силу натяжения нити Т; 3) зависимость р«), согласно которой вращается вал; 4) угловую скорость ① вала через Г = 1 с после начала、 движения; 5) тангенциальное (аг) и нормальное (а„) ускорения точек, находящихся на поверхности вала.

《От8ет ) D § = °,82力；2)т 二 8,2 н；

3) 8 二 16,4» ；4) G = 32,8 рад/с;

5) % 二 1,64 м/с2, ап = 53,8 м/с2.

'——-■■

Опгбет) 1) "2 с; 2) 7 = 4,31 Н; 3)% = 1,32Дж.

Некоторые математические формулы

sin(a 土夕)匚 sina cos 夕土 cos a sin

cos(a ± £)二 coca cosj8 + sina sin夕

Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой т = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам кото

рой прикреплены тела массами 加]=0,35 кг и 吗 二 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение груза; 2) отношение 石/齊 сил на

тяжения нити.

Дано

т 工 0,2 кг

% = 0,35 кг

т2 二 0,55 кг

Решение

^1J54^ Тело массой т^ 0,25 кг, соединенное невесомой нитью посред- ~ J " ―一 ством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом массой т2 = 0,2 кг, скользит по поверхности горизонтального стола. Масса блока m = 0,15 кг. Коэффициент трения / тела о поверхность равен 0,2. Пренебрегая трением в подшипниках, определите: 1) ускорение а, с которым будут двигаться эти тела; 2) силы натяжения 7] и 石 нити по обе стороны блока.

а —?

Т』Т\ 一 ?

(…)R =

mR‘ a

R

石一看=m2g -服2口 一 "彳"-m\S， ma + 2 7772a + 2mxa = 2加2g - 2 7771g ,

W,«1 =方一切出, < m2a 二加2g—乌， (厶—7j )R = Je .

,mR2

Дано

/77 I二 0,25 кг

加2 = 0,2 кг 团二 0,15 кг / = 0,2

а —?

7； — ?

7； —?

Решение

m\a^T\~F^

⑵—7j )R = J£,

F^^fN^fm^g,

(『3)A =

mR2 ■ а

J = m/?2 ,£ =—

< R

nhg~T2 = m2a,

(吗一加l)g.

q -

m

a =

т2 二 M2（g—а），看二切i（g+q），

石二吗（g-4）

Omeemj 1)а = i,96 м/с2；2)4/4 二 i,05.

g(&-6i)

4 ~fm\g = m}a,

mx+ m2 + m

<^>

T2-Tx= ma,

Некоторые внесистемные единицы

1 сут = 86400 с1" = 4,85 • 10"6 рад

1 год = 365,25 сут = 3,16 • 107 с 1 рад 二 57,3°

1° = 1,75 • 10-2 рад1 мм рт. ст. = 133,3 Па

1' = 2,91 - 10-4 рад1 эВ = 1,6 • 10"9 Дж

Для демонстрации законов сохранения применяется маятник Максвелла, представляющий собой массивный диск радиусом R и массой w, туго насаженный на ось радиусом г, которая подвешивается на двух предварительно намотанных на нее нитях. Когда маятник отпускают, то он совершает возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном движении диска вокруг оси. Не учитывая силы сопротивления и момент инерции оси, определите: 1) ускорение поступательного движения маятника; 2) силу натяжения нити.

Однородный шар радиусом г = 20 см скатывается без скольжения с вершины сферы радиусом 灭=50 см. Определите угловую

скорость со шара после отрыва от поверхности сферы.

Дано

Решение

Дано

т

Решение

尸=20 см = 0,2 м 尺二 50 см = 0,5 м

о)？

1)а —? 2)7—?

nw2 ml^v2

m^h =1丁，

522・2户

777W2血 2

/? = (К + 尸)一(& + у) cosa,

(2 2、

gl+^2/(2r2)

2Tr = Je,

gmgM

2r (1 + e2/(2/))，2(2户+ r2)

V一—D “ 1 + 产/(2/)' т 2(2/ + K)■

17 )9 g(R + r)二—J/,

105

Десятичные приставки к названиям единиц

Т ―- тера (1012) Г — гига (109) М — мега (106) к— кило (103)

д —деци(10-*)

с — санти (10-2) м — милли (10-3) мк — микро (10-6)

н — нано (10~9)

п — пико (10-12) ф — фемто (10-15) а — атто (10~18)

<®>

и = з,

5

/ng(R + г )(1 - cosa) = —-— + у—-—

=7^ ①2户，g(R+r)-a)2f =二0)2/,

10

OttlGCm ) g = 10 рад/с.

1 10 —、 F 力 g(R+)

C^f) Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным

- 'угловым ускорением £ 工 0,4 рад/с2. Определите кинетическую энергию маховика через время /2 = 25 с после начала движения, если через

厶=10 с после начала движения момент импульса 乙 маховика составлял

(1.158) Горизонтальная платформа массой т = 25 кг и радиусом R = 0,8 м - вращается с частотой Mj= 18 мин-1. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определите частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 厶 二 3,5 кг ■ м2 до J2 = 1 кг • м2.

(1.160 ) Человек массой м = 60 кг, сто- 、二丿 ящий на краю горизонтальной платформы массой М = 120 ki; вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой ^ = 10 мин-', переходит к ее центру. Считая платформу круг- льш однородным диском, а человека — точечной массой, определите, с какой частотой и2 будет тогда вращаться платформа.

вет )

(1И+ 2加)

M

1

勺二厶+

«2 =

2 厶 + mW

2厶+加R'

外

Osee/л ) & = 23 мин L

Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной / = 2,5 м и массой ти = 8 кц расположенный вертикально

вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции J = 10 кг • м2 и вращается с частотой 々=12 мин 一1 Определите частоту %2 вращения системы, если стержень повернуть в горизонталь-

ное положение.

0^ё^^\ 二 8,5 мин

勺二 20 мин".

Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определите, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

2 2

导畫崇*力，三A戸

Человек массой /и = 60 кц стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом К = 1 м и массой М = 120 кд вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой м； = 10 мин-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека ——точечной массой, определите работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру.

G .164^ К проволоке из углеродистой стали длиной 7 = 1,5 м и диаметром 、 "' 聞"1 d 二 2,1 мм подвешен груз массой w = 110 кг. Принимая для стали модуль Юнга £ = 216 ГПа и предел пропорциональности оп = 330 МПа, определите: 1) какую долю первоначальной длины составляет удлинение проволоки при этом грузе; 2) превышает приложенное напряжение или нет предел пропорциональности.

Дано

Решение

〃？ = 60 KF

г 2г 2

J2叱4伤

M = 120 кг

А , 22

尺=1 м

乃尸 10 мин" =0,17 c-i .

r W 2, mW

Jj_ 2 +mR ,厶2'

Л —?

G]=2笈々,4S1 ~j2①2，

М+2т

М

•4лт?1,

Дано

/ -1,5 м

Q = 2,l мм = 2,1 • 10^3 м

m = 110 кг

£ = 216 ГПа = 216-109Па

叫

330 МПа = 33-107Па

AZ

?

2) ст — ?

Решение

F^mg,

F 4/л?

--——-

S = —Jtd2,

4

А/4 加g

6/£Г) 1)半= 0,14 %；"

2) o = 312 МПа, сг<ап.

2丿2 К 2

2М (2 丿

(LI 65 ) Медная проволока сечением 5 = 8 мм2 под действием растягиваю- ' ■—/ щей силы удлинилась на столько, на сколько она удлиняется при нагревании на 30 К. Принимая для меда модуль Юнга £ = 118 ГПа и коэффициент линейного расширения а = 1,7-10~5 К~', определите числовое значение этой силы.

(0И6С/Л )幺二 65,8 Дж.

Дайте определение и объяснение гироскопического эффекта.

<E>

(1.166) Резиновый шнур длиной 40 см и внутренним диаметром 8 мм на- ' I …/ тянут так, что удлинился на 8 см. Принимая коэффициент Пуассона для резины равным 0,5, определите внутренний диаметр натянутого шнура.

Дано

Решение

/ = 40 см = 0,4 м

d = 8 мм = 8 T 0-3 m

А/ 二 8 см = 8 Т (Г2 M

Д 工 0,5

4 —？

e =--，£'=--，£'二岭

丁叮，^d=-r,

(Onteent ) & = 7,2MM.

(1.167) Определите работу, которую необходимо затратить, чтобы сжать 、 / пружину на 15 см, если известно, что сила пропорциональна деформации и под действием силы 20 Н пружина сжимается на 1 см.

Ответ ^ л = 22,5 Дж.

Г1 168 I Определите относительное удлинение алюминиевого стержня, 、 / если при его растяжении затрачена работа / = 6,9 Дж. Длина стержня / = 1 м, площадь поперечного сечения 5 = 1 мм2, модуль Юнга для алюминия Е = 69 ГПа.

Дано

Решение

4 二 6,9 Дж

/ = 1 М

S = 1 мм2 = 10 6 м2

Е = 69 ГПа-69* 109Па

/ = П芳（А『

£ —?

(Ответ

)£ = 0,014.

七

<1>

Определите объемную плотность потенциальной энергии упруго-

—" растянутого медного стержня, если относительное изменение дли- ны стержня £ н 0,01 и для меди модуль Юнга Е = 118 ГПа.

Ошбет) ур = 5,9МДж/мз.

Два вагона (масса каждого т~15 т) движутся навстречу друг другу со скоростью 沙=3 м/с и сталкиваются между собой. Определите сжатие пружины буферов вагонов, если известно, что сила пропорциональна деформации, и под действием силы 尸=50 кН пружина сжимается на А/ = 1 см.

Дано

Решение

ти = 15т=15-103кг

г;二 3 м/с

F = 50 кН = 5-104Н

△/ 二 1 см = 10" м

mv2 2〃2, F

22'А广

『2尸叫2厂•

QOmeem ^ / = ц6 см

Рекомендуемая литература

Трофимова Т. И. Курс физики, М., 2001.

Грофимова Т. И. Сборник задач по курсу физики, М., 1996.

Трофимова Т. И. Физика. 500 основных законов и формул. Справочник, М., 2000.

Трофимова Т. И. Оптика и атомная физика: законы, проблемы, задачи (справочник для студентов вузов), М., 1998.

1.5. Тяготение. Элементы теории поля

1・173 ) Считая орбиту Земли круговой, определите линейную скорость и _^ движения Земли вокруг Солнца.

(1.171 ) Определите период обращения вокруг Солнца искусственной 、 N планеты, если известно, что большая полуось ее эллиптической

орбшы больше на 107 KM большой полуоси земной орбиты.

Дано

R 尸 R? + R

& 二1,49・10" m

R = l()7 км 二 1010м 4=12 мес

"—?

Решение

尤=至 宦一鹿'

Вычисления:

(1,49-1011 м + Ю10 м

汇二 12 мес ■ - n

1 N 1,49 Ю11 м ,

Q pmeem^ Ti = ^2 мес.

叵

:Период обращения кометы Галлея вокруг Солнца Т = 76 лет. Минимальное расстояние, на котором она проходит от Солнца,

составляет 180 Гм. Определите максимальное расстояние, на которое комета

Галлея удаляется от Солнца. Радиус орбиты Земли принять равным 飞二 150 Гм.

Дано

Т = 76 лет

&1m =180 Гм=1,8-10"м

& = 150 Гм =1,5 ТО" м

Решение

二巨N=&in + %,

噌抬2

0ax = 24 - &in，工=,欧仲｝=飞庄)，

(OwtGe/n ) %ax = 5,2 109 KM.

Дано

Решение

М = 1,98-1030 кг

Е= 1,49 10“ м

G = 6,67 10-11 м3/(кг • с2)

mv2 тМ『GM

R&2Y火

V 一 ？

^Отбет ) и = 29,8 км/с.

(1.174 )丿 Период обращения искусственного спутника Земли составляет 3 q.

-- Считая его орбиту круговой, определите, на какой высоте от по

верхности Земли находится спутник.

Дано

Решение

Т = 3 ч= 1,08 • 104с 7?= 6,37-10б м

加 и?тМ

尸=R+力,

Л/= 5,98-1024 КГ

G = 6,67 10-11 м3/(кг ; с2)

u =①尸,，

2л Т

/г —?

V 4九2

-к.

^О/пбет ) 〃:= 4,19 Мм.

Некоторые астрономические величины

Радиус Земли

6,37 10б м

Масса Земли

5,98-1024 кг

Радиус Солнца

6,95 1 08 м

Масса Солнца

1,98 1030 кг

ДаноДано

Дано

Дано

(］」75) Планета массой Л/движется по окружности вокруг Солнца со ско- 、“ “им/ ростью ь (относительно гелиоцентрической системы отсчета). Определите период обращения этой планеты вокруг Солнца.

Решение

Две материальные точки массами /и】и 吗 расположены друг от друга на расстоянии R. Определите угловую скорость вращения, с которой они должны вращаться вокруг общего центра масс, чтобы расстоя- нте между ними осталось постоянным.

м

Ч

V

2九及

T =

Му2 _ ЛШС

Дано

Решение

Г—?

2jiGMc

т}

哈G*…,

Ответ ) „ 2яомс

R 二 const

v2 =叫,

门+〃 = &

8--？

I: Определите, во сколько раз сила притяжения на Земле больше силы

притяжения на Марсе, если радиус Марса составляет 0,53 радиуса Земли, а масса Марса — 0,11 массы Земли.

Ответ j

Ответу „ = 2,55.

(1.177) Определите среднюю плотность Земли, считая известными гра- 、/витационную постоянную, радиус Земли и ускорение свободного

падения на Земле.

Дано

Решение

G = 6,67 10-11 м3/(кг ■ с2)

7?=6,37 106 м

mg=G 京，

g==9,81 м/с2

м=pv,兀

р —?

_м ^gR2 33g

P- V 一丁.元/'P 一 4 冗 GR •

(Отбет ) р = 5,51 г/см3.

/（r1+乃）=刍（附1+«2）,

（加1+加2）.

3 = 3^■(加 1+〃2)・

Q.179) Два одинаковых однородных шара из одинакового материала, со- 、 ' прикасаясь друг с другом, притягиваются. Определите, как изменится сила притяжения, если массу шаров увеличить в л = 3 раза за счет увеличения их размеров.

4 А-479

(1.180)

Определите высоту, на которой ускорение свободного падения составляет 25% от ускорения свободного падения на поверхности Земли.

ОтбСт ) h = R, R —радиус Земли.

(1.181 ) Считая плотность Земли постоянной, определите глубину, на ко- 、 / торой ускорение свободного падения составляет 25% от ускорения свободного падения на поверхности Земли.

Ответ ^ 丸=0,75尺，R —радиус Земли.

].182 J I【J какой высоте 〃 ускорение свободного падения вдвое меньше • 丿 его значения на поверхности Земли.

Дано

Решение

g' = g/2

Е=6,37・1()б м

„ тМ mg = G-^，

,「 тМ

^=G (衣+〃尸

〃—？

g _（及 + 〃）2 炉，

—=2, g，

(R+h『=2呼,

h2 + 2Rh-R2 = 0,

〃=№后-1).

Omeem，〃二 2,64 Мм.

Радиус Луны

Масса Луны

Некоторые астрономические величины

1,74-106 м

7,33-1022 кг

Расстояние от центра Земли до центра Солнца

Расстояние от центра Земли до центра Луны

1,49 10й м

3,84 1 08 м

@崂Стационарным искусственным спутником Земли называется спут-、•—皿 X ник, находящийся постоянно над одной и той же точкой экватора.

Определите расстояние такого спутника до центра Земли.

Дано

7j = Т = 24 q Т?=6,37Ю6

=86400 с

м

r--？

gl =

=①2尸,

Решение

тМ mg = G *，

mM mgi=G 7r

g JК'

2冗

2"y

g产尊

O/neezn )4,22-ю4

км.

На экваторе некоторой планеты (плотность планеты р = 3 г/см3) тела весят в два раза меньше, чем на полюсе. Определите период

обращения планеты вокруг собственной оси.

Дано

Решение

р = 3 г/см3 = 3 • 108 кг/м3

8 T

А,=掰 g,

力1?「mM

g = mg, 加g二6声，

т —?

/2

mv mg = 2 mg—

48万2r

-npGR =亍-

М = g%p&,

1 mv2

72 =

GM 42 兀R

g = ~^~ = fpGR,。=万-，

2г2

е 二

6 R

8%2r*3 6Л

4冗pGR pG '

Ответ г = 2,7 ч.

2・毋及2 8标尺

g~ T2R Г2，

7叵

^Принимая, что радиус Земли известен, определите, на какой вы- 1 соте А над поверхностью Земли напряженность поля тяготения /равна 4,9 Н/кг.

Дано

gi = 4,9 Н/кг g=9,81 Н/кг 7? = 6,37-106 м

Л —?

Решение

Имеется тонкий однородный стержень массой т и длиной /. Для точки, находящейся на одаой прямой со стержнем на расстоянии а I от его ближайшего конца, определите: 1) потенциал гравитационного поля стер- I жня; 2) напряженность его гравитационного поля.

1 W (R+力)2

gm g （及+力）2

Ответ ^ 力-2,64 Мм.

Определите, в какой точке (считая от Земли) на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, напряженность поля тяготения равна

нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно R, масса Земли в 81 раз больше массы Луны.

Дано

М 二 8®

R

Решение

X? = 81(Е-х)2,

工= 0,9К.

Ответ

т

а

Дано

/ —?

g — ?

aw = у ax,

Решение

却一®…工上

X

х

Ф — -G— I - = -G--In /J %/ a

g = _grad* =—15

do

% = 9(&-х),

Юх = 97?,

х 二 0,97?.

g

-G 勺11i = G^

Ответ_GHL in

2)g = G』

Связь между потенциалом поля тяготенияи его напряженностью

g = -grad^>, или g

+說+劉，

где i, j, к — единичные векторы координатных осей.

Тонкий однородный диск радиусом R имеет массу т . Определите в точке Л, расположенной на оси диска на расстоянии h от

него: 1) потенциал гравитационного поля; 2) напряженность гравитационного

поля.

) Для тела массой w, находящегося в гравитационном поле Земли над ее поверхностью, выведите зависимость потенциальной энергии тела от расстояния до центра Земли. Считать известными радиус Земли 耳 и ускорение свободного падения g на поверхности Земли.

Дано

Решение

R m h

Дано

Решение

8 —?

g —?

w

仆

g

□ (/?) — ?

- 加 с , 2мх dx

dw = -T2力x ox =z-

加R2a2

「тМ mg = G ^

d展-G迎,r

Г 二 J〃2 +/

М = —G

2 加x dx

2 加: x dx

一力，

■^■(V^ + R?—力)i ~

g = - grad <p = —^~ i = — —— G

f 1一丄 '

^ + I^^-2h-\

1-

G戸

h

川+ W，

R

n=卜"

F = Gr

H = G»?M 件

-GmM—\ = —G,

GmM =加且周,П =

0…)…盛

R

R

mg鳴

Как известно, искусственный спутник Земли движется вокруг нее по круговой орбите. Определите, во сколько раз гравитационная

потенциальная энергия спутника больше его кинетической энергии.

Дано

Решение

R

Ответ J |п|

Т

wv2 тМ

m6彳，

|П| GmM 2 R 勺

T R wr2 R

2

Два алюминиевых шарика (р = 2,7 г/см3) радиусами -二 3 см и 尸2 = 5 см соприкасаются друг с другом. Определите потенциальную энергию их гравитационного взаимодействия.

Дано

р 工 2,7 г/см3 = -2,7 • 103 кг/л?

勺=3 см = 3 • 10-2 м

口 = 5 см = 5 ■ 10-2 м

Решение

4 з т\= Pv\ = Р--^,

r=外+厶，

43

加2 ==Р -ЯГ2 ,

П —?

-G.巴^2止

9" + Г2

(1.193 ) Принимая, что атмосфера на Луне отсутствует, определите ско- Уе*""№弾^ рость падения метеорита на ее поверхность. Скорость метеорита вдали от Луны считать малой.

Chngem) и = 2,37 км/с

% ( 1.194 )/ Спутник поднимают на высоту 力=6370 км и запускают его по

■、 J/ круговой орбите на той же высоте. Определите отношение работ на поднятие (& ) и на запуск (^2) спутника.

Дано

Решение

Отбет ) 口 = - о,зб нДж.

6 = 6370 км = 6,37 • 106м /?3 = 6,37-106 м

4

7?з + h • I &з 丿

(1.192 ) Два одинаковых однородных шара из одинакового материала со： 、■f ”"丿 прикасаются друг с другом. Определите, как изменится потенщ! альная энергия их гравитационного взаимодействия, если массу шаров увел" чить в 3 раза.

R=& + h

1

"3 + '

GmMh

Дано

т} - Ш2= т

г} - г2= г

Р\= Р2 = Р

М = пт /7 = 3

Решение

U=—g* = —g£Zj +<22，

М=пт, т = р -лг3, 3

W M

П2

5

н=0г

п2 _ M2r2 1

(Ответ) п2

У k = 6,24.

ГТ - G 序 2R

4 а

М ~ р-—лк ,

GmM GmM

2 2R 2(&з + 场)

Ответ ) А _

wv2mv2mM

22R R2

4 一力・2(Ез + %)_2力 w一R3(总+万一兄.

В Определите числовое значение первой космической скорости, т. е. горизонтально направленной минимальной скорости, которую надо сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала круговой (тело могло превратиться в искусственный спутник Земли).

(Отеет) 办=7,9 км/с

<®>

(0^66% )力=频= 11,2 KM/с.(0^66% )力=频= 11,2 KM/с.ДаноДано

(0^66% )力=频= 11,2 KM/с.

(0^66% )力=频= 11,2 KM/с.

Дано

Дано

(1.196 ) Определите числовое значение второй космической скорости, т. е. 、・ 丿 наименьшей скорости, которую надо сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической (тело могло превратиться в спутник Солнца).

(1й2(Йт К потолку вагона, движущегося в горизонтальном направлении с 、灣歹 ускорением а = 9,81 м/с2, подвешен на нити шарик массой т = 200 г. Определите для установившегося движения: 1) силу натяжения нити 7; 2) угол 8 отклонения нити от вертикали.

Решение

Определите числовое значение второй космической скорости для

*6叱)『2,37 км/с.

，]]goj Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите на 、.二 丿 высоте h 二 500 км. Определите скорость его движения.

Дано

Решение

a 二 9,81 м/с2

g = 9,81 м/с2

m = 200 г = 0,2 кг

1)T一？

2) 8 —?

凡=_g，

I wg F

T = -F,

о

А 二 500 км = 5 ■ 10s м火=6,37，1"М = 5,98 1024 кгА 二 500 км = 5 ■ 10s м火=6,37，1"М = 5,98 1024 кги —?и —?GM7+1GM7+1Ответ Л 1Ч ^ _ Л1七月;Ответ Л 1Ч ^ _ Л1七月;2) Г! и Е возрастают с удалением от Земли.2) Г! и Е возрастают с удалением от Земли.

А 二 500 км = 5 ■ 10s м

火=6,37，1"

М = 5,98 1024 кг

А 二 500 км = 5 ■ 10s м

火=6,37，1"

М = 5,98 1024 кг

и —?

и —?

GM7+1

GM7+1

Ответ Л 1Ч ^ _ Л1

七月;

Ответ Л 1Ч ^ _ Л1

七月;

2) Г! и Е возрастают с удалением от Земли.

2) Г! и Е возрастают с удалением от Земли.

mv2 тМ[gm /

(О/пбет )。= 7,62 км/с.

厶 ]99^ V^Ba спутника с одинаковой массой движутся вокруг Землм по круго- 、 丿Лым орбитам разных радиусов R】и & (及 > ^i )• Определите:

отношение кинетической энергии второго спутника к первому; 2) как зависят от радиуса орбиты потенциальная и полная энергия спутников.

Q.200) Определите работу, которую необходимо совершить, чтобы тело 、一”"'/ массой 历=1000 кг, находящееся на Земле, смогло превратиться в спутник Солнца (при отсутствии сопротивления среды).

Omeetn ) а = 62,6 гдж.

\F^ = ma,F = J(mg)2 +(加a)2 ,|?| = |尸|,

T =加Jg + a , tg* =——=—,(p= arctg—.

mg gg

Q Omeem ^ i) t 二 2,77 н； 2)勿=45。.

Силы инерции

Fhh二凡+Fu + Fk,

где FH — силы инерции, проявляющиеся при поступательном движении системы отсчета с ускорением % : 耳=-м〃о； F“ 一 центробежные силы инерции (силы инерции, действующие во вращающейся системе отсчета на тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние К): 丸--m(j^R; FK — кориолисова сила инерции (силы инерции, действующие на тело, движущееся со скоростью г/ во вращающейся системе отсчета): FK =2т\у' а)\.

(L202) Вагон под действием силы тяжести катится вдоль дороги, состав- 、—“■/ ляющей угол а =. 30° с горизонтом. Сила трения составляет 〃 =10% от веса вагона. К потолку вагона на нити подвешен шарик массой w = 15 г. Определите: 1) силу R, действующую на нить; 2) угол <р отклонения нити от вертикали.

Дано

а = 30。

〃 = 10%

т = 15 г = 15 • Ю-3 кг

1)e—？

2)夕一？

Решение

(I ) Вагон под действием силы тяжести катится вдоль дороги, составляющей с горизонтом угол а = 30° , а затем переходящей в горизонтальный участок. Силы трения на обоих участках составляют 10% от веса вагона. К потолку вагона на нити подвешен шарик массой 切=15 г. Определите силу 尸,действующую на нить, и угол 8 отклонения нити от вертикали на: 1) наклонном; 2) горизонтальном участках дороги.

^ Ответ j i)‘e = 0,128 н； 9 = 23,5°；2)尸=о,148 н；夕= 5,7。.

(1.2* ) На наклонной плоскости с углом наклона а = 30° лежит тело. ^**~°工 Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью / 二 0,2. Определите наименьшее горизонтально направленное ускорение а, с которым должна двигаться наклонная плоскость, чтобы тело, лежащее на ней, поднималось по наклонной плоскости.

Ma- Mgsma-F^.

/ 二 T]Mg \Ma 二 Mg sin cr - nMg,

” g(sinaF),F = FH + mg,

F = /p^(mg^,

凡=-wa,

F =

7[wg(sin а - ^)]2 + (wg)2

-2(htg)2(sina - 〃) cos(90°-(z)=

mgyl(sina-疗 +1- 2(sina-〃)sina ,

sing sin(90°-a)

S2^T^

.wg(sincr~w)cosa ф = arcsm— F

QOmeem ^ 1)f = o,128 h； 2)° = 23,5。.

mg sina + f(mg cosa + ma sina)-ma cosa = 0, ma cosq — fina sincz = mg sina + fing cosq ,

g(sin& + / cosa)

cosa-/sina

QOmeem ^ a = 8,62 м/с2.

施〉

(1.205)

Самолет, летящий со скоростью v 二 360 км/ч, описывает вертикальную петлю Нестерова радиусом R = 360 м. Определите силу,

прижимающую летчика (/и = 80 кг) к сиденью: 1) в нижней точке этой петли;

2) в верхней точке этой петли.

Дано

и 二 360 км/ч = 100 м/с

R 二 360 м т = 80 кг

G -？

& -?

Решение

mv1 片二

(Otneeni ) 1)片=з кН； 2)& = 1,44 кН.

Модель центробежного регулятора вращается с частотой п~2 с-1. Учитывая только

массу шаров, определите угол отклонения стержней, несущих шары. Длина стержней / = 15 см.

(1.207)

Определите, во сколько раз ускорение %, обусловленное центробежной силой на экваторе Земли, меньше ускорения «2，вызыва

емого силой тяготения на поверхности Земли.

Дано

Т 二 24 ч = 86400 с

G = 6,6710-11 м3/(кг • с2)

№ = 6,37 • 1()6 м

М = 5,98 1024 кг

Решение

a2 _ 4яг

工=ma)2R3,

Отеет )а = б5,5。.

Некоторые внесистемные единицы

1 сут = 86400 с '1" = 4,85 • 10^ рад

1 год 二 365,25 сут = ЗД6 ■ 107с 1 рад = 57,3°

Г = 1,75 • 10'2 рад1 мм рт. ст. = 133,3 Па

Г = 2,91 • Ю^рад1 эВ = 1,6 • 10-,9Дж

тМ

%「= G/Г，

2%

co ——,

。2 _ GmMT? _ G疝2% 爵川. 4储& 4定2居

空一？

例

Q 208)

Мотоциклист в цирке едет вдоль внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом 尸二 15 м. Центр масс мотоцикла с

человеком отстоит на 4 = 1 м от места соприкосновения колес со стенкой. Ко

эффициент трения шин о стенки / ~ 0,5 . Определите: 1) минимальную ско

рость Um® , с которой должен ехать мотоциклист; 2) угол а наклона мотоциклиста к горизонтальной поверхности при данной минимальной скорости.

Ответу 1)Umin=i7,i м/с； 2)а = 26,6°.

Некоторые математические формулы

2(У)二 и^т dx

(1.209)

Teno массой m — \ кг, падая свободно в течение t — А с, попадает на Землю в точку с географической широтой / = 45° . Учитывая

Тело массой w = l кг, падая свободно в течение т = 6 с, попадает на Землю в точку с географической широтой g 二 30° . Учитывая вращение Земли, определите отклонение тела при его падении от вертикали.

Дано

Решение

w = 1 кг

/ = 4 с

/ 工 45°

1. Сила тяготения

Север 艮

「 八тМ

G = 6,67 10^" м3/(кг • с2)

TR a3，

R3 = 6,37-106 м

Л/= 5,98-IO24 кг

Ft = g 寸

“3

尸一？.

вращение Земли, определите и нарисуйте все силы, действующие на тело в момент его падения на Землю.

Дано

m = 1 кг г = 6 с 夕= 30。

т 二 24 ч = 86400 с

s —?

反 с 27r

«к =一 = 2gf}TC0S*, т Г

Решение

琅= 2w[vzco],

耳；=2™^ sin(v‘, s) = 2™^ cosy?,

2冗

2. Центробежная сила инерции

Fu =-加g2r ,

272

#u 二 тю г ,

2兀

G =—— T，

1 二 & cos%

F“ =

力京& cose т~

3. Сила Кориолиса

Fk = 2m[vz со],

& = 2mv'a)sin(Y‘，CO),

“ = g/,

2я Г

sin(v', CO) = cosy?,

2九

& 二 2ши/ — COS99

4m冗gi cos e

(Отбет ) 1)尸=9,83 Н; 2) ” = 23,8 мН; 3)然=4,04 мН.

t

4к = 〃k

0

由 _ 4jrg cosg 0 曲一 2冗gf cos夕

5 = Rk 山=о

Г

27rg 8sp V 2 山—2jrgr3 cosp

37

(Omeem )$ = 4,45 см.

Некоторые математические формулы

——(ех) = ел——(1пх) = ~——(sinx) = cosx

dxdx xJ dx

——(cosx) = —sinx—(tgx) = —z—

dx .dx cos x

磅

Элементы механики жидкостей

Полый медный шар (夕二 8,93 г/см3) весит в воздухе 3 Н, а в воде (/)' = 1 г/см3)——2Н. Пренебрегая выталкивающей силой воздуха, определите объем внутренней полости шара.

Q 213) По трубе радиусом г = 1,5 см течет углекислый газ (р = 7,5 кг/м3).

Определите скорость его течения, если за / = 20 мин через поперечное сечение трубы протекает т = 950 г газа.

Ответ ^ 3 = 0,15 м/с.

Ответ }

gl " 0丿

см3.

В бочку заливается вода со скоростью 200 см3/с. На дне бочки образовалось отверстие площадью поперечного сечения 0,8 см2. Пренебрегая вязкостью воды, определите уровень воды в бочке.

(1.212 I На столе стоит цилиндрический сосуд, наполненный водой до уров- '，ня Н = 20 см от дна. Если в воду (р = 1 г/см3) опустить плавать

тонкостенный никелевый стакан (夕‘ =8,8 г/см3), то уровень воды подымается на А- 2,2 см. Определите уровень Н、воды в сосуде, если стакан утопить.

Дано

Решение

К = 200 см3 = 2 ТО"1 м3

/ = 1 с

8 = 0,8 см2 = 0,8 * Ю^м2

v =』2 gh ,

2g

Дано

// = 20 см = 0,2 м 6 = 2,2 см-2,2* 10~2м р 二 1 г/см3 = 103 кг/м3

р' = 8,8 г/см3 二

= 8,8 ■ 103 кг/м3

区一？

HS = HR -県，

Решение

力-？

St

Л

2gs7

Ответ J 〃 = з 1,9 см.

([.2]^^ В сосуд заливается вода со скоростью 0,5 л/с. Пренебрегая вязко' / стью воды, определите диаметр отверстия в сосуде, при котором вода поддерживалась бы в нем на постоянном уровне 力=20 см.

Omeemj(z = i,8 см.

"g%i = 0gS[X ,(H + h)S = HS + SjX ,S/二〃S ,

P'g%i = PghS,

hSpp'

н =н + ^-=н + ^--Sр'

Формула Торричелли

(Omeent ) 必=20,2 см(Omeent ) 必=20,2 см114114

(Omeent ) 必=20,2 см

(Omeent ) 必=20,2 см

114

114

где h — глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

О

/：_；

（1.216 ） Бак цилиндрической формы площадью основания 10 м2 и объе- 、 и—" мом 100 м3 заполнен водой. Пренебрегая вязкостью воды, определите время, необходимое для полного опустошения бака, если на дне бака образовалось круглое отверстие площадью 8 см2.

Определите работу, которая затрачивается на преодоление трения при перемещении воды объемом V = 1,5 м3 в горизонтальной трубе от сечения с давлением 皿=40 кПа до сечения с давлением р2 = 20 кПа.

Дано

S - 10 м2

К = 100 м3

S]二 8 см2 = 8 • 10-4 м2

Решение

Дано

Решение

т —?

d力=J2g力 d/,

S

т = j d/ = ~ о

-4=（2 何

S応' 丿

н = Т

d〃

S

dP = S^v 山， v-^2gh ,

dr

Я

V = 1,5 м3

р} - 40 кПа = 4 ■ 104 Па

р2 二 20 кПа = 2 • 1Q4 Па

4 =（Pl - Р2）У •

h

▼

d力

о

н

▼

Л —?

Q Ответ ^ ^ = зо кДж

）；В дне сосуда имеется отверстие диаметром & . В сосуде вода под-

注霜营

、、— 丿 держивается на постоянном уровне, равном Л. Считая, что струя не разбрызгивается, и пренебрегая силами трения в жидкости, определите диаметр струи, вытекающей из сосуда на расстоянии й^ 2力 от его дна.

Дано

Решение

г = 1,78-104 с.

（1Л17^ Сосуд в виде полусферы радиусом К = 10 см до краев наполнен водой. На дне сосуда имеется отверстие площадью поперечного сечения 5 = 4 мм2. Определите время, за которое через это отверстие выльется столько воды, чтобы ее уровень в сосуде понизился на 5 см.

4

力

/?!= 2〃

S[U] — З?!??,

^2 = ,2g（力 + 力 1）,

14

Ответ ^ / = ю мин.

S

S2 =

sid^

4，

4h 1

d； W % J2g（力+ %） V^ 力'

d2 =

=曙

Ответ j d2 = 0,764.

Площадь поршня, вставленного в горизонтально расположенный налитый водой цилишф, Si = 1,5 см2, а площадь отверстия S2 - °,8 мм2.

Объясните, почему легкий шарик, помещенный в струю воздуха, выходящую с большой скоростью из

Пренебрегая трением и вязкостью, определите время t, за которое вытечет вода из цилиндра, если на поршень действовать постоянной силой F = 5 Н, а ход поршня / = 5 см. Плотность воды р = 1000 кг/м3.

трубы с узким отверстием, свободно парит в этой струе.

Q.223)

Дано

¥ = 1,5 см2 = 1,5 ТФ м2

52 二 0,8 мм2 = 0,8 ■ 10-6 м2

Е = 5 Н

/ = 5 см = 5 • 10-2 м

р = 1000 кг/м3

/ —?

Решение

Объясните, почему бумажный конус А втягивается в воронку, а не выталкивается из нее при продувании

через воронку воздуха в направлении, указанном стрелкой.

^&JДля точного измерения малых разностей давле- В ~ - ния служат U-образные манометры, которые зак полнены двумя различными жидкостями. В одном из них при ■ использовании нитробензола (р = 1,203 г/см3) и воды

I (р' = 1,000 г/см3) получили разность уровней АЛ = 26 ■ Определите разность давлений.

мм.

Q Ответ ^ др = 51,8 па.

(1.225)

По горизонтальной трубе в направлении, указанном на рисунке стрелкой, течет жидкость. Разность уровней АА жидкости в мано

метрических трубках 7 и 2 одинакового диаметра составляет 8 см. Определите скорость течения жидкости по трубе.

I Для измерения статического давления р используется зонД, для

измерения динамического давления pv1 /1 используется трубка Пито. Нарисуйте, как должен выглядеть прибор, который измеряет гидростатическое давление.

Дано

Решение

4 — 6?2

厶〃 =8 см = 8 • 10-2 м

—=Pg △力，

A 72

и —?

v = -J2g Ah .

(Опгеет )。= .1,25 м/I

<®>

(V/ I 1.226Й П° горизонтальной трубе переменного сечения течет вода. Пло- ▽、' щади поперечных сечений трубы на разных ее участках соответ

ственно равны 5] = 10 см2 и З? = 20 см2. Разность уровней АЛ воды в вертикальных трубках одинакового сечения составляет 20 см. Определите объем воды, проходящей за 1 с через сечение трубы.

Определите разность давлений в широком и узком (4=9 см,% н 6 см) коленах горизонтальной трубы, если в широком колене

воздух (р = 1,29 кг/м3) продувается со скоростью q = 6 м/с.

Ответ J = 94,3 па.

(1.229 J Вдоль оси горизонтальной трубки диаметром 3 см, по которой течет углекислый газ (р = 7,5кг/м3), установлена трубка Пито.

Пренебрегая вязкостью, определите объем газа, проходящего за 1 с через сечение трубы, если разность уровней в жидкостном манометре составляет ЛА = 0,5 см. Плотность жидкости принять равной р' = 1000 кг/м3.

V•《Опгбет)忆= 2,29 1 03 см3.

Определите, на какую высоту 力 поднимется вода в вертикальной трубке, впаянной в узкую часть горизонтальной трубы диаметром d? =3 см, если в широкой части трубы диаметром & = 9 см скорость газа

Дано

р 二 7,5 кг/м3 рг = 1000 кг/м3 d = 3 см = 3 • 10~2 м АЛ = 0,5 см = 5 • 10"3 м / -1 с

V —?

Решение

Ар = p'g А〃，

и〕二 25 см/с.

и = ,2g Дй— ,V = Svt,

(Опбе/П)у = 2,55 103 смЗ. "

①]〉

С 230^ Через трубку сечением 、 / S] =100 см2 продувается воздух со скоростью 2 м3/мин. В трубке имеется короткий участок с меньшим поперечным сечением 52 二 20 см2. Определите: 1) скорость q воздуха в широкой части трубки; 2) разность уровней Л/? воды, используемой в подсоединен

ном к данной системе манометре. Плотность воздуха р = 1,3 кг/м3, воды

《1.232)

В боковой поверхности цилиндрического сосуда, стоящего на горизонтальной поверхности, имеется отверстие, поперечное сече

ние которого значительно меньше поперечного сечения самого сосуда. Отвер

стие расположено на расстоянии % = 49 см от уровня воды в сосуде, который

поддерживается постоянным, и на расстоянии 坛 =25 см от дна сосуда. Пренебрегая вязкостью воды, определите расстояние по горизонтали от отверстия до места, куда попадает струя воды.

Л Ответ

s = 70 см.

р' = 1000 кг/м3.

Ответ ^ 1) q =3,33 м/с; 2) Д/г = 1,8 см.

(1.231)

Пренебрегая вязкостью жидкости, определите скорость истечения жидкости из малого отверстия в стенке сосуда, если высота 〃 уров

На столе стоит наполненный водой широкий цилиндрический сосуд высотой 力=40 см. Пренебрегая вязкостью, определите, на какой высоте от дна сосуда должно располагаться небольшое отверстие, чтобы расстояние по горизонтали от отверстия до места, куда попадает струя воды, было макси- мальным.

СОтвет

)й= 20 см.

ня жидкости над отверстием составляет 1,5 м.

$ » S?>fid 二 и2s2,

Для вытекания струи жидкости из сосуда с постоянной скоростью применяют устройство, приведенное на рисунке (сосуд Мариотта). Определите скорость истечения струи.

Pgh\=号 +pg%, 转=2g(〃厂〃2)=2g〃，•”2 = V^・

Q Ответ ^ ^ ^5,42 м/с.

<®>

(1.235) Площадь соприкосновения слоев текущей жидкости S = 10 см2, коэффициент динамической вязкости жидкости ^ = 10-3 Па • с, а воз

никающая сила трения между слоями F = 0,1 мН. Определите градиент скорости.

Дано

Решение

S = 10 см2 = 10-3 м2

?7 = Ю-3 Па • с

F = 0,l мН= 10ТН

grad V — ?

(Отеет ) gradv =

, du.du

gradv = — i,F = n —.

dxdx

dv _尸

dx t]S'

100 c-'.

(^J^^?ZJ рмесь свинцовых дробинок (плотность р = 11,3 г/см3) диамет- 丿ром 4 мм и 2 мм одновременно опускают в широкий сосуд глуби- 加й~方三工5 м с глицерином (плотность р 二 1,26 г/см3, динамическая вязкость 〃 =1,48 Па • с). Определите, на сколько больше времени потребуется дробинкам меньшего размера, чтобы достичь дна сосуда.

Дано

Решение

D

1.236 ) • 11^рик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность

которой в три раза больше плотности материала шарика. Опреде

p = 11,3 г/см3 = =11,3 ' Ю3 кг/м3

& 二 4 мм = 4 • 10~3 м 厶=2 мм ~ 2 • 10 3 м А = 1,5 м

р1 = 1,26 г/см3 = =1,26 • 103 кг/м3

〃 =1,48 Па • с

и * const ,

mg=FA+F,

h

4 з mg = pgV = ?p@r ,

лите отношение силы трения, действующей на всплывающий шарик, к его весу.

А/ — ?

4 a

F = 6冗T]rV,'

^pgnr3 = 3“韶戸 + бтп7m,

Дано

Решение

?丿= const 0‘=30

F/二加 g + F中，

F

尸 "

Ja

--二

2

底

F^^FA-mg^ Р = mg, FA=JgP, P 二 PgV,

/ 二储— Mg 二 P’gP-pgP 二 p‘ 一 P 二 Зр p = 2

9〃

18〃

и 2gr2(p-p，) _ g/s”,)

尸 mg

pgv

р

р

Некоторые математические формулы

Ответ ) / —

z т=2-

xM dx =5 工 1)

JИ + 1

rdx _ 1

」』 х

每

<®>

В пифоком сосуде, наполненном шицерином (платность р = 1,26 г/см3, динамическая вязкость 〃 = 1,48 Па ■ с), падает свинцовый шарик (плотность р = 11,3 г/см3). Считая, что при числе Рейнольдса Re < 0,5 выполняется закон Стокса (при вычислении Re в качестве характерного размера берется диаметр шарика), определите предельный диаметр шарика.

Пробковый шарик (плотность р = 0,2 г/см3) диаметром J = 6 мм всплывает в сосуде, наполненном касторовым маслом (плотность р1 = 0,96 г/ см3), с постоянной скоростью V = 1,5 см/с. Определите для касторового масла: 1) динамическую вязкость 〃 ; 2) кинематическую вязкость у .

Дано

Решение

Ответ j d = 5,41MM.

Стальной шарик (плотность р = 9 г/см3) диаметром d = 0,8 см падает с постоянной скоростью в касторовом масле (плотность

р 二 0,2 г/см3 = 2 ■ 102 кг/м3

d = 6 мм = 6 • 10-3 м

р' = 0,96 г/см3 二 960 кг/м3

V = 1,5 см/с= 1,5 • 10-2 м/с

1) 〃 —?

2)”？

3 = mg +尸，

4, з 4 з

-яр г 二 §№尸 +,

— 2gJ(P —— gd2s - P')

9u18u

Дано

Решение

p-9 г/см3 = 9 • 103 кг/м3

t/ = 0,8 см = 8 • 10-3 м

v = const

pr = 0,96 г/см3 = 960 кг/м3

〃 =0,99 Па • с

Re® 工 0,5

mg = FA+F, 4з

mg = pgV = -pgJtr ,

4a

储=p'g% = “3,，

F = 6項yrv ,

圉

Re — ?

р' = 0,96 г/см3, динамическая вязкость 〃 = 0,99 Па • с). Учюывая, что критическое значение числа Рейнольдса Re^ = 0,5, определите характер движения масла, обусловленный падением в нем шарика.

Ответ ^ 1)^ = 0,99 na • c； 2)г = 1,озло-3 м2/с.

位

В боковую поверхность сасуда вставлен горизонтальный капилляр с внутренним диаметром d = 2 мм и длиной / = 1,2 см. Через

капилляр вытекает касторовое масло (плотность р = 0,96 г/см3, динамическая

вязкость 〃 = 0,99 Па • с), уровень которого в сосуде поддерживается постоян

ным на высоте 〃 = 30 см выше капилляра. Определите время, которое требуется для протекания через капилляр 10 см3 масла.

,4 з2(р-“)"2 (р-р )g^2

39〃18〃

p'9- P‘)gd3

Re ==5•

71842

Ответ ^ (=

128〃 Р7jcd^pgh

= 107 с.

Q Ответ J Re = 2,2 , Re > ReKp , движение жидкости турбулентное.

Некоторые математические формулы

sinx dr = -cosxJcosx dx = sinx|ex dx = ex

绥

<©>

(J* боковую поверхность цилиндрического сосуда D вставлен ка- ^™1^^^7пилляр с внутренним диаметром d и длиной /. В сосуд налита ^идкб^^ъ с динамической вязкостью 〃 . Определите зависимость скорости и понижения уровня жидкости в сосуде от высоты 〃 этого уровня над капилляром.

fl ?dil*S Определите наибольшую скорость, которую может приобрести свободно падающий в воздухе (р = 1,29 кг/м3) свинцовый шарик

(pf = 11,3 г/ см3) массой m = 12 г. Коэффициент сопротивления Q принять равным 0,5.

D

4 h

Дано

Решение

яг4 卜pt p =

8〃/

и(〃)— ?

л： pght2

8〃/1

2，

S]=加户,

М = pgh,

V =^ S}v^t = nr2v^t,

Дано

Решение

р = 1,29 кг/м3

，43/ 3加

mg = 0 gP = 0 g"；^r ,г = 3 -;,

зу 4 冗

р' =11,3 г/см3 =

-11,3 ' Ю3 кг/м3

U = %ax，哨=凡+f才,

w = 12 г= 12 * 10-3 кг

FA« mg, p « p', mg=Rx, Rx = & 勺 S ,

q = o,5

^max — ?

'-432=

"占 j“ 一j" j"max “ 2k

Ответ ^ t^^ = 53,9 м/с.

qS］二 vS,

1 8〃

《国Парашют (加】工 32 кг) пилота (切? = 65 кг) в раскрытом состоянии имеет форму полусферы диаметром d = 12 м, обладая коэффициентом сопротивления Q = 1,3 • Определите максимальную скорость, раз- виваемую пилотом, при плотности воздуха 1,29 kf/мЗ.

в J В боковую поверхность цилиндрического сосуда, установленного

" на столе, вставлен на высоте /г)= 10 см от его дна капилляр с

внутренним диаметром d = 2 мм и длиной / 二 1 см. В сосуде поддерживается постоянный уровень машинного масла (плотность р 二 0,9 г/см\ динамическая вязкость 〃 工 0,1 Па • с) на высоте 坛=70 см выше капилляра. Определите расстояние по горизонтали от конца капилляра до места, куда попадает струя масла.

Ответ ^ * = ii см.

Дано

Решение

切1 =32 кг

& 二 65 кг d = 12 м q=i,3

p 二 1,29 кг/м3

（n +掰2）g =耳+馬，

伤《（办+殓次,

„_ ls（ml + m2）g

% 2

Rx

7rd2

=（加1 + 加2）g，

"max•

Г Ответ Литах

= 3,17 м/с.

5 А-479

ДаноРешениеS = 2,2 м2尸=尸叱尸=凡+ /,q=o,4尸=45 кВт = 45 • 103 Втpv2f pv2'凡=CxS ,P = CxS + v 5V 二 140 км/ч - 38,9 м/с耳=2 м2/ = const/=?-q哈，6=&空 $+/卜,Vj = 160 км/ч = 44,4 м/ср = 1,29 кг/м3-6 二 У £ + ；&0(Sr； - sJ)].6 _?ДаноРешениеS = 2,2 м2尸=尸叱尸=凡+ /,q=o,4尸=45 кВт = 45 • 103 Втpv2f pv2'凡=CxS ,P = CxS + v 5V 二 140 км/ч - 38,9 м/с耳=2 м2/ = const/=?-q哈，6=&空 $+/卜,Vj = 160 км/ч = 44,4 м/ср = 1,29 кг/м3-6 二 У £ + ；&0(Sr； - sJ)].6 _?( Отбет ) 々 = 58,5®( Отбет ) 々 = 58,5®Ответ JОтвет JДаноРешениеисо(X],x2 =占+ '0，"=弓二方；x2 二x1 + /(J/0 = 1,4 км = 1,4 • 103 мисо2片，办，4，公4 = &仆一wV = —0,6с1) Г —?Y，x^-vt2) А/ —?,Х2 -vt-xx+vtXX[ —/0八 _ t-VxJc2 .2'[Л-V2/c271-V2/? '' 6『/,2，v(x2 -x})叫vVC2^-V2/c2/^—2//c2 'ДаноРешениеисо(X],x2 =占+ '0，"=弓二方；x2 二x1 + /(J/0 = 1,4 км = 1,4 • 103 мисо2片，办，4，公4 = &仆一wV = —0,6с1) Г —?Y，x^-vt2) А/ —?,Х2 -vt-xx+vtXX[ —/0八 _ t-VxJc2 .2'[Л-V2/c271-V2/? '' 6『/,2，v(x2 -x})叫vVC2^-V2/c2/^—2//c2 '^^^^^ 1) Г = 1,75 км; 2) AU = 3,5 мкс.^^^^^ 1) Г = 1,75 км; 2) AU = 3,5 мкс.

Дано

Решение

S = 2,2 м2

尸=尸叱尸=凡+ /,

q=o,4

尸=45 кВт = 45 • 103 Вт

pv2f pv2'

凡=CxS ,P = CxS + v 5

V 二 140 км/ч - 38,9 м/с

耳=2 м2

/ = const

/=?-q哈，6=&空 $+/卜,

Vj = 160 км/ч = 44,4 м/с

р = 1,29 кг/м3-

6 二 У £ + ；&0(Sr； - sJ)].

6 _?

Дано

Решение

S = 2,2 м2

尸=尸叱尸=凡+ /,

q=o,4

尸=45 кВт = 45 • 103 Вт

pv2f pv2'

凡=CxS ,P = CxS + v 5

V 二 140 км/ч - 38,9 м/с

耳=2 м2

/ = const

/=?-q哈，6=&空 $+/卜,

Vj = 160 км/ч = 44,4 м/с

р = 1,29 кг/м3-

6 二 У £ + ；&0(Sr； - sJ)].

6 _?

( Отбет ) 々 = 58,5®

( Отбет ) 々 = 58,5®

Ответ J

Ответ J

Дано

Решение

исо(

X],x2 =占+ '0，"=弓二方；

x2 二x1 + /(J

/0 = 1,4 км = 1,4 • 103 м

исо2

片，办，4，公

4 = &

仆一w

V = —0,6с

1) Г —?

Y，

x^-vt

2) А/ —?

,Х2 -vt-xx+vtX

X[ —/0八 _ t-VxJc2 .

2'[Л

-V2/c271-V2/? '' 6『/,2，

v(x2 -x})叫vV

C2^-V2/c2/^—2//c2 '

Дано

Решение

исо(

X],x2 =占+ '0，"=弓二方；

x2 二x1 + /(J

/0 = 1,4 км = 1,4 • 103 м

исо2

片，办，4，公

4 = &

仆一w

V = —0,6с

1) Г —?

Y，

x^-vt

2) А/ —?

,Х2 -vt-xx+vtX

X[ —/0八 _ t-VxJc2 .

2'[Л

-V2/c271-V2/? '' 6『/,2，

v(x2 -x})叫vV

C2^-V2/c2/^—2//c2 '

^^^^^ 1) Г = 1,75 км; 2) AU = 3,5 мкс.

^^^^^ 1) Г = 1,75 км; 2) AU = 3,5 мкс.

Автомобиль с площадью миделя (наибольшая площадь сечения в направлении, перпендикулярном скорости) S 二 2,2 м2, коэффициентом лобового сопротивления Сх - 0,4 и максимальной мощностью 尸二 45 кВт может на горизонтальных участках дороги развивать скорость до 140 км/ч. При реконструкции автомобиля уменьшают площадь миделя до S)= 2 м2, оставляя Q прежним. Принимая силу трения о поверхность дороги постоянной, определите, какую максимальную мощность должен иметь автомобиль, чтобы он развивал на горизонтальных участках дороги скорость до 160 км/ч. Плотность воздуха принять равной 1,29 кг/м3.

/Ж Объясните, зависит ли разность давлений на нижнюю и верхнюю …尸 поверхность крыла самолета от высоты его подъема.

1・7・ Элементы специальной (частной) теорииотносительности

Покажите, что события, происходящие одновременно в различных точках в одной инерциальной системе отсчета, не одновре- менни в другой инерциальной системе отснета.

，[ 749、В лабораторной системе отсчета в точках с координатами х} и х2 = ^i + /о одновременно происходят события 7 и 2, причем /0 二 1,4 км. Определите: 1) расстояние Г , фиксируемое наблюдателем в системе отсчета, связанной с ракетой, которая движется со скоростью и = 0,6с в отрицательном направлении оси х; 2) время между этими событиями, фиксируемое наблюдателем в системе отсчета, связанной с ракетой.

<®>

(1.250) Две нестабильные частицы движутся в системе отсчета К в од- ' …/ ном направлении вдоль одной прямой с одинаковой скоростью

V 二 0,6с . Расстояние между частицами в системе К равно 64 м. Обе частицы распались одновременно в системе К' , которая связана с ними. Определите промежуток времени между распадом частиц в системе К .

Собственное время жизни частицы отличается на 1% от времени жизни по неподвижным часам. Определите 夕二 v/c.

Дано 1^01

Решение

Дано

Решение

Лх = 64 м

△/二 0

V = 0,6с

2 'Jl-v2/?

A产—?

(少L 厶)+u 加7e2vAx

^^°т°0m ) а/'二о」б мкс.

一？

夕2,

Ответ J , = о,141.

1 一夕 2=(1-Е)2,

△%

В」,

£ = J%(2T).

( L Докажите, что длительность события, происходящего в некото- ^*—н рой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, от- ноеительно которой эта точка неподвижна.

Космический корабль движется со скоростью и 二 0,8с по направлению к Земле. Определите расстояние, пройденное им в системе отсчета, связанной с Землей (системе X), за % = 0,5с, отсчитанное по часам в космическом корабле (системе К)./

Ответ ^ / = 200 Мм.

252J Определите, во сколько раз увеличивается время жизни нестабиль- ——^ ной частицы (по часам неподвижного наблюдателя), если она начинает двигаться со скоростью 0,9с .

Дано

Решение

v = 0,9с

AL &

А/1

“ 6"

М J1 - V2/^2

Ответ ) а/

丿=2,29.

Дано

Решение

и 二 0,995с

/ = 6 км

1 0СО J /0 , Д/о；

,4;

1) % — ?

/0 =/^l-V2/c2 ,

4 =/， V

V

Мюоны, рождаясь в верхних слоях атмосферы, при скорости V 二 0,995с пролетают до распада / = 6 км. Определите: 1) собственную длину пути, пройденную ими до распада; 2) время жизни мюона для наблюдателя на Земле; 3) собственное время жизни мюона.

2)”一？ Л Ответ ) 1) Z0 = 599 м; 2) А/ = 20,1 мкс;

з)м — ? 、/

03) М = 2 мкс.

<®><®>

<®>

<®>

<@>

GnsD

Докажите, что линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.

Определите собственную длину стержня, если в лабораторной системе его скорость и = 0,6с, длина 7 = 1,5 м и угол между ним и направлением движения 2 = 30° .'

«.257 ) Определите относительную скорость движения, при которой реля-

—：" тивистское сокращение линейных размеров тела составляет 10%.

Ответ J g,79 M.

QOmeem ) ^ = i,3i ю5 ^,

(1.258)

В системе К' покоится стержень (собственная длина Zo = 1,5 м), ориентированный под углом 2'= 30° к оси Охг. Система К'

(1.260 ) Пользуясь преобразованиями Лоренца, выведите релятивистский 7落：3 " закон сложения скоростей, если переход происходит от системы К

к системе К'.

движется относительно системы К со скоростью v = 0,6с . Определите в сис

Дано

Решение

теме К : 1) длину стержня /; 2) соответствующий угол 2 .

КтК'

Дано

/q —1,5 м

廿= 30。

V 二 0,6с

1) / —?

2)力一？

/°х - /о cos》，

4 = /0X "二 1/2/С2 ,

Решение

〃'Q) — ?

y二，

z =z

” vx/c2Th?

dx

=47，

=型

,dy‘

—dr，

у dr，

dz

，_&，

“ZU，

,,dx-vdr dx，= /

dzf - dz,

,dx‘ dx-vdt

4/ 二®，

d/-u dx/J

J[-尸

Jl-夕2 _ dx-vdzd/-vdx/c2 dt~vdx/c2

df

'dt，

/ = J/^(COS》)2(1 — 1?//)+点豆П》)2 ,

Q Ответ ^ i)/ = 1,28 м；2)2 = 35,8。.

,UX~V

,4/

d“l_02®J1-尸

d/-vdx/c2 l~vux/c2 5

<S>

<B5>

Космический корабль удаляется от Земли с относительной скоро- стью 弘二 0,8с, а затем с него стартует ракета (в направлении от Земли) со скоростью 力=0,8с относительно корабля. Определите скорость w ракеты относительно Земли.

(Отбет ) 〃 = о,976c.

( 262 ) Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,8с , “.《«аг ИСПуСТИЛ фотон в направлении своего движения. Определите скорость фотона относительно ускорителя.

Релятивистская частица движется в системе К со скоростью и под углом 2 к оси %. Определите соответствующий угол в системе К，, движущейся со скоростью v относительно системы К в положительном направлении оси х, если оси х и х* обеих систем совпадают.

Дано

Решение

便二 0,8e

uf + V

V = C,

" 1+优乃

w —?

0,8с + с

"一1 + 0,8,九2一・

^^^^^ и = с.

1 <

их = и cos^,

u^ = u sin ^ ,

Дано

Решение

片

二力=0,5с

% 二 V] + f 2 = 0,5с + 0,5с - с,

1)

% — ?

“-5+32С

2)

"реп?

рё" 1 + w2/，2 T + 0,25'

(

Отеет )

1)〃кл =

С ；2)〃реп = °，8c .

(1.263 ) Две ракеты движутся навстречу друг другу относительно непод- 、 丿 вижного наблюдателя с одинаковой скоростью, равной 0,5с. Определите скорость сближения ракет, исходя из закона сложения скоростей: 1) в классической механике; 2) в специальной теории относительности.

sin^ Jl-r2/c2

步=arctg

cosv-v/w

С Ответ )

'・-^ 步=arctg

sin^ д/1-v2/^2

cos 0 - v/u

(1.265 ) Докажите, что интервал между двумя событиями является вели- 、 丿 чиной инвариантной, т. е. имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета.

1.266

Воспользовавшись тем, что интервал является инвариантной величиной по отношению к преобразованиям координат, определи

те расстояние, которое пролетел я—мезон с момента рождения до распада, если

Определите релятивистский импульс протона, если скорость его движения и = 0,8с.

Отзет ) p = 6,69/oT9 н • c.

Дано

Решение

/° = 0

Аг = 4,4 мкс = 4,4 • 10-6 с

△% = 2,2 мкс = 2,2 • 10^ с

/ —?

$12 工 С “2 — ‘3 = inv , с?此=J А/2 - /2 , cJa»一此.

время его жизни в этой системе отсчета А/ = 4,4 мкс, а собственное время жизни

М 二 2,2 мкс.

(Отбет ) / = 1,14км.

b Определите скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее ньютоновский импульс в 3 раза.

Ответ )

и 二 с

=0,943с.

《1.2访Определите зависимость скорости частицы (масса частицы т) от ^■,,"'1 ^ времени, если движение одномерное, сила постоянна и уравнение движения релятивистское.

；67 ) Частица движется со скоростью v = 0,8с. Определите отношение

■■ - полной энергии релятивистской частицы к ее энергии покоя.

Дано

Решение

(Ответ ) е

丿= 1,67.

Е。

F 二 const

u(f) — ?

fA,

dr

ф = F dz,

(1.268)

mv

Определите, на сколько процентов полная энергия релятивистской элементарной частицы, вылетающей из ускорителя со скоро

\-V2/c2

= Ft,

стью V = 0,75с, больше ее энергии покоя.

wV = f¥(i-v2/c2),

О/И6咖) на 51,2%.

尸儿2/J+加2V2=尸户,

[],269 ) Определите скорость движения релятивистской частицы, если ее 、一 _丿 полная энергия в два раза больше энергии покоя.

V2

吟2

開2/e2+加

(Отбет) ” = о,866c.

Ответ^ u(z)~

р = J尸 dt = Ft,о

mv

mv = Ft^l~v2/c2 ,

m2v2 = F2t2-FW/c\

v2(F2t2/c2 + m2) = F2t2

Ft .

v = I ^{Ftlcf + w2

Ft/m

J] +伊"те片

Ft/m

尸〃加C/+ 1

С '1

Полная энергия релятивистской частицы в 8 раз превышает ее энергию покоя. Определите скорость этой частицы.

Отбе/П ) “ = 298 Мм/с.

Определите кинетическую энергию электрона, если полная энергия движущегося электрона втрое больше его энергии покоя. От- вет выразите в злектрон-волвтах*

В Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии по- коя. Определите скорость частицы.

Дано

Решение

瓦=тс2

Дано

Решение

“=9,11 .IL кг

Е = 3£0

7 = e-33%-% = 2瓦，

Eq = wec2,Т = 2wec2.

г —?

^ Ответ ^ 丁 二 1,02 МэВ.

" —?

1

—г== = 2, Jj2/c2

Т = Е-Eq, £ =

т 2

1 = тс

1

тс2

Тьч^5

Т ~ Eq = тс2,

С

、Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен/ пройти протон, чтобы его скорость составила 90% скорости света.

-1 ,

1 =

1

0^7

「//J =丄，“2/с2

4

3

7’

V = с J^ = 0,866с.

Дано тр = 1,67-10-27 кг е = 1,6-10"19 Кл V 二 0,9с

Решение

гр2

Т = трс

1

一15

T = eU,

Ответ ) и 二 260 Мм/с.

U — ?

2 mDc

、

-1 .

Ответ ^

и 二 1,22 ГВ.

Определите релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т протона, движущегося со скоростью и = 0,75с.

Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза.

Дано

Решение

тр = 1,67-10~27 кг

V 工 0,75с

р

加卢

р —?

тс22

Дано

Решение

те =9,11-10-31 кг е = 1,6-1049 Кл / = %/2 .

/ = % J1 - jj》，/ = 4)/2

Т2

T = eU,Т = тес

1

"2J

и—?

2

Отеет)戸= 5,68то^9 H ут = 7,69-1 о-11 Дж.

Т2

[/ = £ = ^£_(2-1) =

Ответ J u = sn кв.

<®>

} Определите работу, которую необходимо совершить； чтобы ув& ' личить скорость частицы от 0,5с до 0,7с.”

ДаноРешение

Докажите, что выражение релятивистского импульса

"（7 + 2泪）

р =при V «с переходит в соответствующее вы

и】二 0,5с

f2 = 0,7с

Л —?

ражение классической механики.

（ Опгеет ） 4 = o,245wd.

Дано

Jt（T + 2rc2） p =；

v «с

р = mv — ?

Решение

Т = Е-Е0,

曷=тс2,

Выведите в общем виде зависимость между релятивистским импульсом, кинетической энергией релятивистской частицы и ее массой.

1.281 ） Определите релятивистский импульс электрона, кинетическая

Дано

Решение

me=l,6-10-19 Кл

Г - 1 ГэВ =

= 109-1,6-10^19Дж

р —?

рс = Jt（T + 2“c2）,

ylT（T + 2mec2）'

энергия которого Г = 1 ГэВ.

1_ mu

^Ж=7^Ж

°加6加）р = 5,34・10Т9н・с.

F<< с I Jl-t?/c2 =1,

p-mv,

<®>

Докажите, что для релятивистской частицы величина Е? - р2с2

「 является инвариантной, т. е. имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета.

Дано

Ео = тс1

Решение

（ °^6加）产-Р2c2 =加2c4 = inv .

Определите энергию, которую необходимо затратить, чтобы разделить ядро дейтрона на протон и нейтрон. Массу ядра дейтрона принять равной 3,343 ■ 10~27 кг. Ответ выразите в электрон-вольтах.

Дано

Решение

=3,343-10-27 кг = 1,672-10-27 кг =1,675-10"27 кг

^Е =（勺 + 吗）（？ 一 加“2, 1 эВ = 1,6-10-19Дж.

△Е — ?

（Ответ ） де = 2,25 мэв.

Определите энергию связи ядра '；N • Примите массу ядра азота равной 2,325 • 10^26 ке Ответ выразите в электрон-вольтах.

Ответ J есв =юо мэв.

<®>

Основы молекулярной физикии термодинамики

Молекулярно-кинетическая теорияидеальных газов

Начертите графики изотермического, изобарного и изохорного процессов в координатах р и У, риТ,Тп К

Определите число N атомов в 1 кг водорода и массу одного атома водорода.

Дано

加二 1 kr

М = 2-10~3 кг/моль ^ =6,02-1023 моль-'

^ —?

价一？

Решение

т

т

N

^Ответ^ N = 3 01.102б.^ = з,з2-ю-27 кг.

Основные физические постоянные

Постоянная Авогадро N片-6,02-1023 моль']

Молярная газовая постоянная R = 8,31 Дж/（К • моль）

Постоянная Больцмана k = 1,38-10-23 Дж/К

В закрытом сосуде вместимостью 20 л находятся водород массой 6 г и гелий массой 12 匸 Определите: 1) давление; 2) молярную массу газов。而 смеси в сосуде, еслн температура смеси Т = 300 К.

Дано

Решение

И = 20 л = 2- 10~2м3 т)=6 г = 6 • 10~3 кг

Л/| = 2-10"3 кг/моль

Р = Р1+「2，

_ 加 1 &тw2 RT

円 М у，Pi м^ V '

Wt = 12 г= 12 • 10-3 кг

必=4.10-3 кг/моль

Г = 300 К

R =. 8,31 Дж/(К ■ моль)

RT( Wj吗)RT .*

「=石牙+寸'%=亍-(加1+加2)■

V \MX丿Vp

Р—?

М — ?

Q Ответ ^ i) p = 0,75 мпа；

2) Af = 3-10~3 кг/моль.

9 Определите плотность смеси газов водорода массой 小产 8 г и

-： кислорода массой 吗=64 г при температуре Т 工 290 К и при давлении 0,1 МПа. Газы считать идеальными.

£^7 弓、В баллоне вместимостью 15 л находится азот под давлением 100 кПа Ji：^W^ при температуре 厶=27 ℃. После того как из баллона выпустили азот массой 14 г, температура газа стала равной t2 工 17 ℃. Определите давле- нне азота, оставшегося в баллоне. > 二

(OmeemJ р = 1б,зкПа.

( 2.6 ) Баллон вместимостью К = 20 л содержит смесь водорода и азота У 二丿 прИ температуре 290 К и давлении 1 МПа. Определите массу водорода, если масса смеси равна 150 г.

Ответ ) 掰小=б,з г.

в Азот массой 7 г находится под давлением р = 0,1 МПа и температуре 方 工 290 К. Вследствие изобарного нагревания азот занял объем 力=10 д. Определите: 1) объем 匕 газа до расширения; 2) темпера-

Дано

〃勺=8 r = 8. • 10"3 кг Л/ = 2・10“ кг/моль w2 = 64 г = 64 • 10-3 кг 4/2=32 10-3 кг/моль Г = 290 К

р = 0,1 МПа= W Па R = 8,31 Дж/(К ■ моль)

Р —?

Решение

m р--

Щ- 〃1+m2,

(加1+吗),

Р =

Дано

Решение

M - 28 IO-3 кг/моль m=7 г = 7 • 10^ кг Р=0,1 МПа= 105 Па

В = 290 К

匕=10 л = 10 2 м3

R = 8,31 Дж/(К • моль)

р%= “RA， p^ — ^Rt?,%= “，

МММр

MnV.мт

弓="a= -,p2= -.

1)%—?

2)弓一?

3)Pi —?

Рз '?

(Отеет ) 1)^ = 6,02-ю*3 м3；

7^ =481 К;

/jj =1,16 кг/м3;

02 二 0,7 кг/м3.

туру 石 газа после расишрения; 3) плотность газа до и после расширения.

В сосуде вместимостью 1 л находится кислород массой 1 г. Определите концентрацию молекул кислорода в сосуде.

Дано

К = 1 л = 10-3 м3

М - 3210-3 кг/моль m = 1 г = 10"3 кг

Решение

/^Д^ J В сосуде вместимостью И = 0,3 л при температуре Т 二 290 K на- > - ^ ходится некоторый газ. На сколько понизится давление газа в со- суде, если из него из-за утечки выйдет 7V = 1019 молекул?

р - пкТ,

Дано

Решение

pV =

m

--RT M

p _ m R IFF

К = о,3 л = 3 • Ю^м3

7 = 290 К

м

比，=号尺?,

mR

MkV

(те,-/гм) RT

2 = P\-p『—^t = r

Ответ ^ ”断产 м-з.

夕一?

А加_ N

,NRT NkT

Ар =-=

N产V

В сосуде вместимостью 5 л при нормальных условиях находится азот. Определите: 1) количество вещества к ; 2) массу азота;

Др = 133 Па.

3) концентрацию п его молекул в сосуде.

QОтвет J I) г = о,233 моль; 2)加= 6,24 г; З) и = 2,69-1025 мЛ

0)

Определите давление, оказываемое газом на стенки сосуда, если его плотность равна 0,01 кг/м3, а средняя квадратичная скорость

молекул газа составляет 480 м/с.

Средняя квадратичная скорость некоторого газа при нормальных условиях равна 480 м/с. Сколько молекул содержит 1 г этого газа?

Дано

Решение

р = 0,01 кг/м3

Дано

〈％) = 480 м/с

7 = 273 К т~1 г = 10~3 кг

К 工 8,31 Дж/(моль • К)

Решение

Ав) = 480 м/с

N —?

N«кв )2

3RT

Р —?

P^RT,

т

Ответ ^ = 2,04•1022.

毎

т RT RT р —= р .

RT

"в『

3

Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м3.

При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше их наиболее вероятной скорости на 100 м/с.

% 一？

Дано

Решение

о = 0,35 кг/м3

р = 40 кПа = 4 ■ 104 Па

Дано 伍)-% = 100 м/e М = 32・10“ кг/моль

Т —?

Решение

Q Omeem ^ Ub = 478 м/с.

些

77

石万丿‘

Определите среднюю кинетическую энергию〈％) поступательного движения молекул газа, находящегося под давлением 0,1 Па.

Ответ J т = з81к.

СИспользуя закон распределения молекул идеального газа по ско-

7^^ ростям, найдите формулу наиболее вероятной скорости % •

Дано

Решение

p 二 0,1 Па

р = пкТ,Т =与,

и = 1013 см~3 = 1019 м-3

nk

—

(£о) — ?

' °/ 22 nk 2n

(оебет ^^ (以= 1,5-1О~20 Дж.

Дано

/(u) = 4冗亠目з2仃

Решение

/(v) = 4jr[ ^

\2лкТ.

% 一/科曾2 e 2kT

% — ?

du \2лкТ)

2v e 2"

/(”)= max

=0,

Определите: 1) наиболее вероятную % ; 2) среднюю арифметическую 8); 3) среднюю квадратичную (已侬〉скорость молекул

азота (N2 ) при 27 ℃.

Otnaetn )1) % =422 м/с; 2)(V)= 476 м/с; 3) (гкв) = 517 м/с.

-2/'

+ 3 2"._旦/u

I 2叮 >

<®>

④

Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найдите закон, выражающий распределение молекул по

относительным скоростям и (и - r/vB).

Дано

Решение

恤

% 一飞"

V2 e 2盯

u =—

dNv J、a ""

—^—二 /(v) du ,—^― = /(w) d”，

小）—？

/(〃)= 4d 磊Г

一加 o"*J

2『・％ =

du

Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найдите среднюю квадратичную скорость (икв).

~mG-2kTu2

,2%丁掰0

Q Ответ

(ом%)小)咤/产. ..■ "…■‘".__.'… '' -~*

/、Используя закон распределения молекул идеального газа по скоро-

、" стям, найдите среднюю арифметическую скорость (и) молекул.

Используя функцию распределения молекул идеального газа по энергиям, найдите среднюю кинетическую энергию〈£)молекул.

Дано

Решение

/(£)= ~^(АТ)-з/2у/2е

•〃(⑺

(£)= Jf /(£)d£ =子=(%「)-3/2 卜3/2 Q-e/kT 皮.

Указание: средняя арифметическая скорость определяется по формуле

V = Jv /(v)dv .

о

G) — ?

<®>

Табличный liHrcipaji: ^2 e~fu dx = -\S? u 加

спользуя функцию распределения молекул идеального газа по энергиям, найдите наиболее вероятное значение энергии ев молекул.

GEJ Закон распределения молекул газа по скоростям в некотором молекулярном пучке имеет вид /（и） =. Определите:

） наиболее вероятную скорость vB; 2） наиболее вероятное значение энергии

Дано

Решение

£в молекул в этом пучке.

/（£）=

ё-/（仃）

d/（£）

0,可二

&7冗/

e ——？

Ответ g

二”尸/2 еТ/（%т）|Хт/2-叱3 = о,

夜（2 кТ）

1//21

若—宫=0, Ев=-кТ.

Решение

d/⑺dr

二 0.

f2、

d一叫V

—4?з e 2

du

/2，、

= N3t?e2仃一空.2”. Je 2犷2kT

Используя функцию распределения молекул идеального газа по энергиям, найдите для данной температуры отношение средней кинетической энергии（£）молекул к их наиболее вероятному значению энергии ев.

Дано

Решение

/（£）=二（打尸2"/2 e-/（"）

〈£〉=）£/（£）击= 0

Т 二 const

=套（收严〉/2 eт（⑴壶=①

9

Используя результат задачи 2.22, находим

£^кТ<*3.

^ Ответ ） ^L = ^

二

y- = （2现£尸/2, 击

2.272.27

2.27

2.27

а какой высоте давление воздуха составляет 60% от давления уровне моря? Считайте, что температура воздуха везде одинакова и равна 10 ℃.

пределите отношение давления воздуха на высоте 1 км к давлению на дне скважины глубиной 1 км. Воздух у поверхности Земли и нормальных условиях, и его температура не зависит от высоты.

Дано

Р = °,6ро

/ = 10℃

М - 29-10-3 кг/моль

〃一？

Решение

Mg0)

Р = Р°е а ,

Mgh

逊In旦，公一更In丄.

RT RMg к.

Дано 九二 1 км = 103 м 伪=—1 км = 10-3 м 丁二 273 k

А ° ■ 一 9

〃2'

Решение

n = Ро е RT ,

Mgh、< Л^%)

02

02

0加6^)且二(ш7Pz0加6^)且二(ш7Pz

0加6^)且二(ш7

Pz

0加6^)且二(ш7

Pz

^^^^^ 〃 = 4,22 km.

)Каково давление воздуха в шахте на глубине 1 км, если считать, что температура по всей высоте постоянная и равна 22 ℃, а уско

рение свободного падения не зависит от высоты? Давление воздуха у поверхности Земли примите равным .

Дано

Решение

6 = 1 км - 103 м

f = 22 ℃; Т 二 295 K М- 29-10^3 кг/моль g = const

А)

р = Ро e"KKT),П = -т0gh,

р = р0 efg厶/(")= pgMghKD

р —?

Ответ ) р 二 u2Po.

) На какой высоте плотность воздуха в е раз (е — основание нату- / ральных логарифмов) меньше по сравнению с его плотностью на уровне моря? TeMnepaiypy воздуха и ускорение свободного падения считайте не зависящими от высоты.

( Отее/и )〃 = 7 98 км

Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле

ИЛИ

〃 о e ，

Je м 驳 а 一 концентрация молекул на высоте h и 万二 0; П = %g用 потенциальная энергия моле^лы в поле тяготения.

<@><@>

<@>

<@>

<@>

Используя идею установки Перрена для определения цостояцйой Авогадро и применив к частицам краски, взвешенным в воде, беяь- цмановское распределение, найдите объем частиц, если при расстоянии между двумя слоями 80 мкм число взвешенных частиц в одном слое вдвое больше, чем в другом. Плотность растворенной краски 1700 кг/м3, а температура окружающей среды 300 К.

ДаноРешение

ри каком давлении средняя длина свободного пробега молекул одорода равна 2,5 см, если температура газа равна 67 ℃? Диа- лекулы водорода примите равным 0,28 нм.

А〃 二 80 мкм = 8 • 10-5 м

"二2

«2

р = 1700 кг/м3

Pi = 1000 кг/м3 …

Г = 300 К

^ = 6,02-1023 моль4

-(/n-mjg АЛ

总二农е кт

И]九

3

Дано

(/) = 2,5 см = 2,5 ■ 10'2м

/ = 67 ℃, Т = 340 К

d = 0,28 нм = 2,8 ，107° м

Решение

2'炉万爲

q,

р — ?

R

Na

Р~ 42-nd2 (!)'

3RT\n^RT In-^

，4 。 4%戸8 - Qi)g(出一枚)Vgfp 亠 Pi )~

Ответ j р = 0,539 па.

灯広丛 \Omeemj

NAg\h(p-p^/=5,22.10口 Ml

(£зо) Определите среднюю длину свободного пробега〈/) молекул кислорода, находящегося при температуре 0 ℃, если среднее число (z) столкновений, испытываемых молекулой в 1 с, равно 3,7 ■ 109.

Дано

Решение

А/ = 2 * 10” кг/моль

/ = 27 ℃, 7 = 300 К

Р = 0,5 кПа = 5 • 102 Па

d = 0,28 нм = 2,8 • 10~10 м

«)_?

("=偿'"噜,

еделите среднюю продолжительность (т) свободного пробе- молекул водорода при температуре 27 ℃ и давлении 0,5 кПа. Диаметрмолекулы водорода примите равным 0,28 нм.

⑨= k^i

' '-Qd2p《8RT - 4而d2P

(Q忆6*)⑺=13,3 hе.

о

f 2,33 J Средняя длина свободного пробега (/|) молекул водорода при нор- >ч*~-*--^ мальных условиях составляет 0,1 мкм. Определите среднюю длину их свободного пробега при давлении 0,1 мПа, если температура газа остается постоянной.

Определите: 1) плотность р воздуха в сосуде; 2) концентрацию п его молекул; 3) среднюю длину свободного пробега (/〉молекул, если сосуд откачан до давления 0,13 Па. Диаметр молекул воздуха примите равным 0,27 нм. Температура воздуха 300 К.

Дано

(/J = 0,1 мкм 二 10"7 м р?二 0,1 мПа = 10" Па /?[=1,01Г05 Па Т = const

02〉一 ？

Решение

9_也

О^бе/и )⑹= 101 м.

р 二 пкТ,

Р2

Дано

Решение

р 二 0,13 Па

т

pV = —RT, м

夕=0,27 нм-2,7- 1О',ом т=зоок

р =

М = 29 • Ю-3 кг/моль

р =

рМ ~rt"

р 二 пкТ,

1) Р — ?

2)打一？

3)(/〉一？

п =

р

М.

(Otneetn ) 1)p = i,5i・i()-6 灯庆3； ?)〃=3,i4・i()i9 乂弋 3)@〉= q,i

При температуре 300 К и некотором давлении средняя длина свободного пробега (/) молекул кислорода равна 0,1 мкм. Чему равно сред-

нее число《)столкновений, испытываемых молекулами в 1 с, если сосуд откачать до 0,1 первоначального давления? Температуру газа считайте постоянной.

Дано

7 = 300 К

(/〉= 0,1 мкм = 10" м М = 32-10-3 кг/моль Pi = °,"

Решение

W = A

3 P '

d〉=〈z 埠,

Дано

Решение

Л/ = 28 10~3 кг/моль

7 = 280 К

d = 0,38 нм = 3,8- 10Ч0м

А —?

32 M 11у

трМ / 八1

рУ中Т‘p一而，小伝得一"忆

Определите коэффициент теплопроводности Л азота, находящегося в некотором объеме при температуре 280 К. Эффективный диаметр молекул азота примите равным 0,38 нм.

/z\_N.£l=匣

Ответ J ^ = 4,45. i о8 с

（2.37）

Кислород находится при нормальных условиях. Определите ко、 эффициент теплопроводности Л кислорода, если эффективный

диаметр его молекул равен 0,36 нм.

Q Ответ ^ % = 8,49 мВт/(м • к).

( 2.38 ) Пространство между двумя параллельными пластинами площа- ' I дью 150 см2 каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре 17 ℃, другая — при температуре 27 ℃. Определите количество теплоты, прошедшее за 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород находится при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода считать равным 0,36 нм.

Дано

Решение

^/ = 32 1()-з кг/моль

Т 二 273 К

^^1,013-Ю5 Па d = 0,36 нм = 3,6 • 10-10 м

6伝A，宀仃'

kT '

D —?

c 1 |8RT kT

3 V nM 屜гр/

Ответ ^。* 8 • 1 о~6 м2/с.

G 2・39 ) Определите коэффициент диффузии D кислорода при нормаль-ных условиях. Эффективный диаметр молекул кислорода прими

те равным 0,36 нм.

Дано

Решение

Л/ = 32 • 10“ кг/моль

0 =

1 АТ

1.

S 二 150 см2 = 15 * 10-3 м2

!——

1 Лх

Ах = 5 мм = 5 ■ 10-3 м

厶=17 ℃

Г2 = 27 ℃

а =

z к

3九/

麻

(см. задачу 2.36), V лМ

/ = 5 мин = 300 с

Т = 273 К

d = 0,36 нм = 3,6 ТО"。м

0 =

i后

3%/

V лМ Ах

0—?

(2.*))

Определите массу азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку 50 см2 за 20 с, если градиент плотности в направле

нии, перпендикулярном площадке, равен 1 кг/м4. Температура азота 290 К, а

средняя длина свободного пробега его молекул равна 1 мкм.

Ответ)0 = 7б,4Дж.

Зависимость между коэффициентами теплопроводности,диффузии и внутреннего трения

Дано

S = 50 см2 = 5 ТО з м2 / = 20 с

А/= 28-Ю"3 кг/моль

—二 1 кг/м4 ох

Г = 290 К

〈/) = 1 мкм = Ю^м

加一？

Решение

т= D 业 S/dr

"=pD,к/Г] cv =1.

Ответ ^ m = i5,6 мг.

<®>

<@>

С177}

Определите, во сколько раз

отличаются коэффициенты динами-

азота, если оба газа нахо-

G

Азот находится под давлением 100 кПа при температуре 290 К. Определите коэффициенты диффузии D и внутреннего трения 〃.

Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,38 нм.

ческой вязкости 〃 углекислого газа и

дятся при одинаковой температуре и одном и том же Давлении. Эффективные

Отввт J ° _ 9,74.1 оy м2/с.〃 = 1J 3 • 1 о-5 кг/(м • с).

Ниже какого давления можно говорить о вакууме между стенками сосуда Дьюара, если расстояние между стенками сосуда равно 8 мм, а температура 17 ℃? Эффективный диаметр молекул воздуха принять равным 0,27 нм.

Дано

Решение

/ = 8 мм = 8 • 10~3 м-

/ = 17 ℃, Т = 290 К d = 0,27 нм = 2,7 • 10-10м

Рвак ?

кТ

у кТ

^^"'Ч Определите коэффициент теплопроводности 4 азота, если коэф-

Ч_ 丿 фициент динамической вязкости 〃 для него при тех же условиях равен ]0 мкПа * с.

(Отеет % wi,5411a.

Давление разреженного газа в рентгеновской трубке при температуре 17 ℃ равно 130 мкПа. Можно ли вести разговор о высоки ва>ууме, если характерный pa3Mq? /0 (расстояние между катодом и анодом трубки) составля- gr 50 мм? Эффективный диаметр малек^т воздуха гфимите равным 0,27 нм.

Дано

Решение .

〃二 10 мкПа'С = 10~5Па-с

Л/ = 28-10^3 кг/моль

A = ^cvp{v)(l},

i R

Ий'

1

4二小

2 м

2=%?

4—？

z = 5.

4 = 7,42 мВт/(м ■ К).

Дано

Р = 130 мкПа=13- 10~5Па

'о 匚 50 мм = 5 ■ 10-2 м

"之 0,27 нм = 2,7 • 10-10 м 公17 匕 7 = 290 k

Решение

0"凉，gj^

(О — ?

Омве/и )⑺= 95」м,仍》%•Вакуум высокий.

<®>

2.2. Основы термодинамики

Азот массой 加二 10 г находится при температуре Т = 290 К. Определите: 1) среднюю кинетическую энергию одной молекулы азота; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул азота. Газ считайте идеальным.

^^ де、В закрытом сосуде находится смесь а^ота массой ^ = 56 г и кис- 、 丿 лорода массой 吗=64 匚 Определите изменение внутренней энер- гии этой смеси, если ее охладили на 20 ℃.

Ответ )(т. %) i

I1—AT = 1,66 кДж.

IM М2) 2

ДаноРешение7/2 = 10 Г= 10 2 КГТ = 290 КМ -28 10"3 кг/моль(£〉二丄%Т ,i = 5,' / 2kT.=2,1)⑴ _?2) (%) -?\ вр/ 、匕 вр/丄丫 ,\£вр/%N =噜,同)rp 2 ' врkT 加Na р^к・ДаноРешение7/2 = 10 Г= 10 2 КГТ = 290 КМ -28 10"3 кг/моль(£〉二丄%Т ,i = 5,' / 2kT.=2,1)⑴ _?2) (%) -?\ вр/ 、匕 вр/丄丫 ,\£вр/%N =噜,同)rp 2 ' врkT 加Na р^к・Ответ ^1)g"心0刀 闻州860 дж.Ответ ^1)g"心0刀 闻州860 дж.

Дано

Решение

7/2 = 10 Г= 10 2 КГ

Т = 290 К

М -28 10"3 кг/моль

(£〉二丄%Т ,i = 5,

' / 2

kT.

=2,

1)⑴ _?

2) (%) -?

\ вр/ 、匕 вр/丄丫 ,\£вр/%

N =噜,同)r

p 2 ' вр

kT 加Na р^к・

Дано

Решение

7/2 = 10 Г= 10 2 КГ

Т = 290 К

М -28 10"3 кг/моль

(£〉二丄%Т ,i = 5,

' / 2

kT.

=2,

1)⑴ _?

2) (%) -?

\ вр/ 、匕 вр/丄丫 ,\£вр/%

N =噜,同)r

p 2 ' вр

kT 加Na р^к・

Ответ ^1)g"心0刀 闻州860 дж.

Ответ ^1)g"心0刀 闻州860 дж.

(2 49 ) Считая азот идеальным газом, определите его удельную теплоем-

I ・ 丿 кость: 1) для изохорного процесса; 2) для изобарного процесса.

Отбет^^ 1)% 二 742 Дж/(кг • К);2) Ср = 1,04 кДж/(кг ■ К).

пределите удельные теплоемкости си и с^ , если известно, что некоторый газ при нормальных условиях имеет удельный объем V 二 0,7 м3/кг. Что это за газ?

( .47 ) Кислород массой т = \ кг находится при температуре 7 = 320 К.

У Определите: 1) внутреннюю энергию молекул кислорода; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул кислорода. Газ считайте идеальным.

Дано

W7 = 1 КГ

Т = 320 К

Л/ 二 32 • 10“ кг/моль

Решение

1) U-?

2)(%) -?

и =

т 7 се

RT,

М2

i=5,

/£ \

1. кТ

吋mNR

N =——-

M

(耳П

\ . кТ

\ Вр

/ вр 2

M ' вр

2.

Дано

Решение

v 二 0,7 м3/кг

Т=273 К

т

pV = —RT

p = l,013-105 Па

RT М =,

8

j = 5,

Су — ?

» R

i+2 R

时一？.

2 М

Ср 2 М'

кислород; Су = 649 Дж/(кг • К); ср = 909 Дж/(кг • К).

Q Ответi)и = 208 кДж； 2)(%) = 83,1 кДж.

Связь между молярной Ст и удельной с теплоемкостями газа

Ст=сМ,

口е М— молярная масса газа.

@J Определите удельные теплоемкости си и Ср смеси углекислогогаза массой ^ = 3 г и азота массой 吗 二 4 匸

Определите показатель адиабаты У для смеси газов, содержащей гелий массой ^ = 8 ги водород массой /и2 = 2 г.

Дано

Решение

Дано

Решение

拒尸 3 г = 3 ■ 10~3 кг

М = 44・10~з кг/моль 也2 = 4 г = 4 Т О-3 кг m2 = 28-10~3 кг/моль

△Q =,也 AT, △0=A0 + A02, A02 二 c? 2m2 AT,

用=加］+加2，

A01 二 Cyi掰 1 AT,

cvm АГ = с，】加 1 АГ + Ср2m2 △『，

勿1 叫 + С，2 m2

加尸 8 f = 8 * 10~з кг М = 4 • 10~з кг/моль 济2 = 2 г = 2 ■ 10-3 кг М2 = 2-10-3 кг/моль

Ср

y =上 cv

一 ％1加1+曝2加2

加］+吗

Су?

ср 一 ？

恤+吗

? — ?

_勿［朗］+ Cy2^2

不R

一万万'

方2=

z2 R

2此

/ R

%2 =

2 К

加［+加2

(см. задачу 2.51)

4=3

‘2 = 5

EU

R( (i}+ 2)w1 (% + 2)^2

区=5 I

—СрМ+Ср2m 2

сp 加］+吗 ,

%+2 R

2

М］

m2丿別1+m2

(°Шбет ) * = 667 Дж/(кг • К);% = 917 Дж/(кг ■ К).

Молярная теплоемкость

при постоянном объеме и постоянном давлении

Су =qR，

Cp = ^R, Cp = Cv + R.

<@>

八+2 R

% + 2 R

2 м2

7 =

R

м 1

>2 + 2 К

瓦

2^И1+

‘2

R

2 М2

吗

仏+2）奇+出+ 2）奇

4生+G煙'M 2 м2

Ответ J 片］,55.

Применяя первое начало термодинамики и уравнение состояния идеального газа, покажите, что разность удельных теплоемкостей Ср-су = R/M.

3nзет) с「сцм.

<169>

( 2.54 ) Кислород массой 32 г находится в закрытом сосуде под давлени- 、 / ем 0,1 МПа при температуре 290 К. После нагревания давление в сосуде повысилось в 4 раза. Определите: 1) объем сосуда; 2) температуру, до которой газ нагрели; 3) количество теплоты, сообщенное газом.

Ответ J 】)И = 2,41-10-2 м3; 2) T = l,16 кК; 3) 6 = 18,1 кДж.

При изобарном нагревании некоторого идеального газа (г = 2 моль) на АГ = 90 К ему было сообщено количество теплоты 5,25 кДж. Определите: 1) работу, совершаемую газом; 2) изменение внутренней энергии газа; 3) величину у = ср/сг .

(2.55 ) Определите количество теплоты, сообщенное газу, если в процес- 、/ се изохорного нагревания кислорода объемом Р = 20 л его давле

ние изменилось на z\p - 100 кПа.

^Ответу i)а = 1,5 кДж； 2)ао = о,6кДж； з)у = 1,4. ■

Дано

Решение

И = 20 л = 2- 10-2м3

Др = 100 кПа = 105 Па

0 =

AU + A,

/二 рА『|=0,

LiP=COnSt

0 一？

0 =

AUJ

AU =К AT

"2'

т

9产,

Азот массой м = 280 г расширяется в результате изобарного процесса при давлении р = 1 МПа. Определите: 1) работу расширения; 2) конечный объем газа, если на расширение затрачена теплота 0 = 5 кДж, а начальная температура азота 7] = 290 К.

М

г/ т/ т

тАрУ =——RAT,М

Q 二—一& AT — — V Ар •

М 22

(Otnsem) 0 = 5 к〃ж.

i = 5

Дано

Решение

m 二 280 г = 0,28 кг

т ,

М = 28 • 10~з кг/моль

z =击 №4-厶)， м

。=M),

р = const

AR

р = 1 МПа = 106 Па

0 = 5 кДж = 5 • 103 Дж

Q以

i = 5

7； = 290 К

1) А -?

心=丁r，

2) %—?

(i+2)R i + 2'

…(%-%),

( 2.56 ) Двухатомный идеальный газ (v = 2 моль) нагревают при постоян- 、 / ном объеме до температуры 289 К. Определите количество теплоты, которое необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление в 乂 二 3 раза.

Мее%) о = тк(”1)7； = 24кдж.

"匕=五阳'

毎

， )Кислород объемом 1 л находится под давлением 1 МПа. Опреде- 、 ' ЛИТе5 какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы: i 丿 увеличить его объем вдвое в результате изобарного процесса; 2) увеличить его давление вдвое в результате изохорного процесса.

Азот массой w = 14 г сжимают изотермически при температуре Т = 300 К от давления ^=100 кПа до давления р? - 500 кПа. Определите: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу сжатия; 3) количество выделившейся теплоты.

Дано

Решение

匕=1 Л = 10-3 мз

Pi = constй,

Л/ = 32-10-3 кг/моль

р[二 1 МПа= 106 Па

1) р} = const

%=2匕

P\XV = ^RXT,A" = %-K，

2)匕=const

P2 = 2Pl

R p R221

i = 5

1)а —?

2) 02-？

I Vx = constQi=三 Cy NT,

1M

т

増=后如，

^Ответу i)au = о；2)么=-2,oi кДж； з)Q = 2,01 кДж.

Некоторый газ массой 1 кг находится при температуре Т = 300 К и под давлением р}二 0,5 МПа. В результате изотермического сжатия дав-

т

。2 =

匕M

R

増弋熙,

^p = Pl-P\^

Дано

Решение

M=1 КГ

7 = 300 К

Pi 二 0,5 МПа-5 • 105Па

dA~ р dK,pV = — RT,

M

mRTV\mRT dK mRT , %

С = 2Pl

&4=<1И, Z= =In 丄，

MV£ А/ P А/ 匕

А 二-432 кДж =

= -4,32 • 105 Дж

1) газ — ?

РУ\ - Р2%，Л-In ”，

М Р2

2) q — ?

mRT в匕

М =In — , % 二一,

4P2加

ление газа увеличилось в два раза. Работа, затраченная на сжатие, А 二—432 кДж.

Определите: 1) какой это газ; 2) первоначальный удельный объем газа.

°Ш8е^^ 1)Гелий; 2)= 1?25 м3/кг.

RT u =

rz mRT И =

i = 5

Ответ Ji)& 二з,5 кДж； 2)q2 = 2,5 кДж.

Мр\

Г 2.1 I Некоторый газ массой т = 5 г расширяется изотермически от ^4— ' объема 匕 до объема 力=2匕.Работа расширения А = 1 кДж. Определите среднюю квадратичную скорость молекул газа.

二

(2・£1 Азот массой 加=50 г находится при температуре 7] = 280 К.

ч*~и В результате изохорного охлаждения его давление уменьшилось в 九=2 раза, а затем в результате изобарного расширения температура газа в конечном состоянии стала равной первоначальной. Определите: 1) работу, К^ршенную газом; 2) изменение внутренней знергпи газа.

Ответ ^ (Vkb) = 930 м/с.

О

Работа расширения некоторого двухатомного идеального газа составляет Л = 2 кДж. Определите количество подведенной к газу теплоты, если процесс протекал: 1) изотермически; 2) изобарно.

Азот массой w = l кг занимает при температуре 厶=300 К объем 匕=0,5 м3. В результате адиабатного сжатия давление газа увели

Дано

Решение

А = 2 кДж = 2 • 103 Дж z - 5

Т = const

р = const

1)0一？

2)0—?

A^ — RKT,

p\V = ~R\T,м

Qi = AU +А?

Т = const,

△U = 0,& = 4

р = const, 4 = рАР,

чилось в 3 раза. Определите: 1) конечный объем газа; 2) его конечную температуру； 3) изменение внутренней энергии газа.

т i

3).ДС/ = ---Ж-7]) = 82,4кДЖ.

s МА

Ат = mR '

02 - AU + А = ~А 4- Л = Л^—+ 1

AU - -с} a/ —-—R. =—

M М2 mR 2

Ответ Л й=2 №

"””|"' 2) 02 工 7 кДж.

£2.67) Азот, находившийся при температуре 400 К, подвергли адиабатно- му расширению, в результате которого его объем увеличился в и = 5 раз, а внутренняя энергия уменьшилась на 4 кДж. Определите массу азота.

При адиабатном расширении кислорода (v-2 моль), находящегося при нормальных условиях, его объем увеличился в и-3 раза. Определите: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу расширения газа.

Дано

Решение

V = 2 моль

0=AU + 4,0=0,AU =一A,

7]二 273 K

忆=刁匕

\U = vCv AT, Cr =-/?, i = 5,

и = 3

1) AU —?

Су 75丿

2) А —?

^U^^-T^v^RT,[刃-1 , A = -\U-

1) AU = -4,03 кДж; 2) А = 4,03 кДж.

Дано

М 二 28 • 10“ кг/МОль » = 5

% = 400 К

%二叫

п~5

А[7 二-4 кДж = =-4 • 103 Дж

m — ?

Решение

т RT}

М у-\

1-

^2*68 ^ Двухатомный идеальный газ занимает объем^ = 1 л и находится под у* - давлением р〔二 0,1 МПа. После адиабатного сжатия【壬 характеризу

ется объемом %’и давлением р2 ■ ^ результате последующего изохорного процесса газ охлаждается до первоначальной температуры, а его давление /?з = 0,2 МПа. Определите: 1) объем 彩；2) давление р2. Начерттпе график этих процессов.

Дано

Решение

Hj = 1 л = 10-3 м3

『=5

田=0,1 МПа = 105 Па

. = 0,2 МПа = 2- 105 Па

%—？

?

Р尚=03%，

17 0尚 力=—

赠У =02%

у = —= 1,4,

У

Р1 = Р\

Ответах)吟二 0,5 л;2) ° 二 264 кПа.

Работа 6 случае адиабатного процесса

т

ИЛИ

巫生五

у-1 М

У-1

Дано

Решение

М 二 32 • 10“ кг/моль i= 5

д = 1 МПа = 10бПа 匕=5 л =^ 5 ■ 10-3 м3

V =叫

打二 3

р = const

Т 工 const з)Q = o

Q = \U + A, pj

4 A = p^V,

p = const

1

1

P = P\

%V

A V

4 = Pi АР

=円（展

匕）=仍匕5-1）,

Pl匕

0—？

T = const

Р尚

=pV,P =

л 一?

га

厶

A= JpdP

匕

A=-\U.

=P尚

步?m哈

pVy = const,

i用'

i+2 y=— z

= 1,4,

p=p»y，

AU = E&(f),

A =- 7),

M

pV^ — RT^

М ，

4 = ^(p尚一Р修).

Ответ i)р = \ мпа, л

=1

0 кДж;

Кислород, занимающий при давлении 円 二 1 МПа объем 匕=5 л, расширяется в и = 3 раза. Определите конечное давление и работу, совершенную газом. Рассмотрите следующие процессы: 1) изобарный; 2) изотермический; 3) адиабатный.

2) р = 0,33 МПа, 4 = 5,5 кДж;

3) р = 0,21 МПа, А = 4,63 кДж.

где 小 4 и 匕，％ — соответственно начальные и конечные температура н объем газа.

<®>

<ш>

(2・7()) Кислород массой 10 ц находящийся при температуре 370 К, под- 、 ' вергли адиабатному расширению, в результате которого его давление уменьшилось в 九=4 раза. В результате последующего изотермического процесса газ сжимается до первоначального давления. Определите: 1) температуру газа в конце процесса; 2) количество теплоты, отданное газом; 3) приращение внутренней энергии газа; 4) работу, совершенную газом.

，^ 72 9 0"еа“ьный двухатомный газ (м = 3 моль), занимающий объем ^― ~7 匕=5 л и находящийся под давлением д = Г МПа, подвергли изохорному нагреванию до 弓二 500 К. После этого газ подвергли изотермическому расширению до начального давления, а затем он в результате изобарного сжатия возвращен в первоначальное состояние. Постройте график цикла и определите термический КПД цикла.

Дано

加=10 г = 10-2 кг

Л/ = 32-10-3 кг/моль i = 5

7； =370 К

Р2

и = 4

02 =。

1)石一？2)0一？

3) AU — ?4) / - ？

Дано

勿二 3 моль

i=5

= 5 л = 5 ■ 10~3 m3

В 二 1 МПа = 106 Па

弓二 500 k

〃 一？

A3 咤 R(9),

Решение

V} = const

□EH

夕尚=м7?7］,

Q12 = A°!2

Q = -Q^ = -lfRT^ ^ = ^Un + ^2i,AU}2^~-R(T2-T0,

02:"3R［弓-

A°23 ~ 0

AU =r(石一石)，/ = 42 + /23， 42 二一Аu12 =一Aui3，

卩-> 3 I T2 二 const

△ 〃23 二 0

023 二 Лз

А = -АЦ3 + Q23= ~Щ3 + Q3. QOmeem JI)厶= 249 К; 2) 0 = 896 Дж;

3) AU = -786 Дж; 4) 4 = T10 Дж.

% = vRT2 In—,

%〃，

Рз = Р\，

Идеальный двухатомный газ, занимающий объем 匕二 2 л, подвергли адиабатному расширению. При этом его объем возрос в 5 раз. Затем газ подвергли изобарному сжатию до начального объема. В результате изохорного нагревания он был возвращен в первоначальное состояние.

匕二出士也Рз Pl

023 二 yR& 历扌;

Постройте график цикла и определите термический КПД цикла.

三

Ответ J 〃 = 34,1%.

<@>

Рз% 二 VRT3,

Р］二 const

Л 2引02+%I，

с =13,3%.

z + 2

°"二期^-r(方 -4)，

(2.73 ) Рабочее тело ——идеальньш газ ——теплового двигателя совершае1 '"二i丿 цикл, состоящий лз последовательных процессов: изобарного, адиабатного и изотермического. В результате изобарного процесса газ нагревается от 7； = 300 К до 7^ - 600 К. Определите термический КПД теплового

двигателя.

Дано

Решение

7； = 300 К

乌=600 К

r]——？

〃

Qi - 02 — 012 - Qi

g

012

р 二 const

殳一&

尸；d\ Азот массой 500 г, находящийся под давлением рх = 1 МПа при \- u J температуре 厶=127 ℃, подвергли изотермическому расширению, в результате которого давление газа уменьшилось в и = 3 раза. После этого газ подВергли адиабатному сжатию до начального давления, а затем он был изо- барно сжат до начального объема. Постройте график цикла и определите рабо- 1y совершенную газом за цикл.

^Ответу л = -п,5 кДж.

I Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70% количества теплоты, полученного от нагревателя, отдает холодильнику. Количе- ство теплоты, получаемое от нагревателя, равно 5 кДж. Определите: 1) термический КПД цикла; 2) работу, совершенную при полном цикле.

Дано

Решение

dQ = O

夕广=班й,

& 二 0,7Q

0 二 5 кДж = 5- 103 Дж

〃」二把0

2i 0

i+2

尸—

Т\=Тз

Ql2 = vCpR«2 f)=号 № f),

1)7-?

2) 4 — ?

/二喲•

031 二勿衣看 1口才工 vRT、Iny^- = yRT、in

е用"

i+2*

X咽；К厶手吟,

7=

4 M

Ответ J 〃 = зо,7%.

(0/пбет )i)〃 = зо%：2)л = 1,5 кДж.

Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от нагревателя количество теплоты 5,5 кДж и совершил работу 1,1 кДж. Определите: 1) термический КПД цикла; 2) отношение температур нагревателя и холодильника.

1)〃 = 20%;2)4 = 1,25.

181

Идеальный газ совершает цикл Карно, термический КПД которого равен 0,4. Определите работу изотермического сжатия газа, если работа изотермического расширения составляет 400 Дж.

Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при этом в процессе адиабатного расширения объем газа увеличивается в w 二 4 раза. Определите термический КПД цикла.

Дано

〃 = 0,4 4?二 400 Дж

Решение

Дано

Решение

& -?

4 = & + %34 ,

<12 十也4 = 〃%2，

& =(^-1М12-

0

Ответу & = -240 Дж.

2

Z

%=叫

и = 4

"一？

0 - 0 _ 4 F

з

A

V

Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя 7] = 500 К, холодильника % 二 300 К. Работа изотермического расширения газа составляет 2 кДж. Определите: 1) термический КПД цикла; 2) количестар теплоты, отданное газом при изотермическом сжатии холодильнику.

Ответу 1)〃 = 40% ； 2)0 = 1,2 кДж.

10

Ту

7]^-1 =研r,

i+2 y=—

i - 6

Г 2.80 ) Во сколько раз необходимо увеличить объем (у = 5 моль) идеаль- ' — —，ного газа при изотермическом расширении, если его энтропия увеличилась на AV = 57,6 Дж/К?

竺

л = е”к = 4 .

При нагревании двухатомного идеального газа (v = 2 моль) его термодинамическая температура увеличилась в п= 2 раза. Опре、 делите изменение энтропии, если нагревание происходит: 1) изохорно; 2) изобарно.

Дано

Решение

/=5

V = 2 моль

V = const

AQ = vCvdT,C“=^R,

=j吗^ =吗時'

"=乌=2

/ = const

р = const

g — ?

△5； =v—лш—= v—Alnw, 】27；2

AS2 — ?

p 二 const

dQ = vCpdT,

「 i +2 n

Cp=~R^

倉2.83 ) Азот массой 28 г адиабатно расширили в и = 2 раза, а затем изо- 、■■' барно сжали до начального объема. Определите изменение энт-

AS2 =

vCp}vCp*‘

^23 =

区二员=五工丄区二员=五工丄

区二员=五工丄

区二员=五工丄

z + 2 石 z + 2 Rin—R]nn.

2 口 2

Ответ )1)^= 28,8 Дж/к； 2)配=40,з Джж.

Идеальный газ (v = 2 моль) сначала изобарно нагрели, так что объем газа увеличился в 力^ = 2 раза, а затем изохорно охладили, так что давление его уменьшилось в 胃=2 раза. Определите приращение энтропии в ходе указанных процессов.

р = const

Изменение энтропии при равновесном переходеиз состояния 1 6 состояние 2

Ответу д^ = 11,5 дж/к.

2・3・ Реальные газы, жидкостии твердые тела

( 2.84 ) Кислород (V = 10 моль) находится в сосуде объемом И = 5 л. Оп- ' / ределите: 1) внутреннее давление газа; 2) собственный объем молекул. Поправки аиЬ принять равными соответственно 0,136 Н • м4/моль2 и 3,17 • 10-5 м3/моль.

( 2.86 ) Углекислый газ массой 2,2 кг находится при температуре 290 К в X , КХ сосуде вместимостью 30 л. Определите давление газа, если: 1) газ реальный; 2) газ идеальный. Поправки anb примите равными соответственно 0,361 Н • м4/моль2 и 4,28 ■ 10~5 м3/моль.

( Ответ ) 1) Al =3,32 МПа; 2) р2 = 4,02 МПа.

Дано

Решение

v -10 моль

2

K = 5 л = 5 - 10~3м3

V а

р‘ 二一z-,泌=4Т

о = 0,136 Н • м4/моль2

й = 3,17-10~5 м3/моль

4

1丿p?

2) Т — ?

(Ответ ) 1) 〃 = 544 кПа; 2)『二 79,3 см3.

Г 2.87 ) Плотность азота р = 140 кг/м3, его давление р = 10 МПа. Определи- '* ' те температуру газа, если: 1)газ реальный; 2) газ идеальный. Поправ- ки q и А примите равными соответственно 0,135 Н • л^/моль2 и 3,86 • 10~5 м3/моль.

^Ответ 】)石=26О к； 2)石=241 к.

（2.88）

Анализируя уравнение состояния реальных газов, определите величины поправок аиЬ для азота. Критические давление и темпе

( ；*85 Углекислый газ массой 6,6 кг при давлении 0,1 МПа занимает объем ” з,75 м3. Определите температуру газа, если: 1) газ реальный; 2) газ идеальный. Поправки а^Ь примите равными соответственно 0,361 Н • м4/моль2 и 4,28 ТФ м3/моль.

Дано

Af = 44-Ю-3 кг/моль т = 6,6 кг

р 二 ОД МПа = 105 Па

V 二 3,75 м3

а = 0,361 Н ■ м4/моль2

6 = 4,28-Ю-5 м3/моль

1) 4 —?

2)石一？

Решение

竭,

М р +

4=

mR

mR

т

V =—,

М

(Отеет ) 1)看= зо2 к； 2)弓二 зо1 к.

<s>

Дано

Решение

北二 126 K

厶二 3,39 МПа =

卜+产）（展泌）="R7,

= 3,39- 106Па

руЗ _ (yRT + ррб)忆2 + у%р - n%6 = 0 ,

4 —?

匕，％，匕—корни уравнения.

ь —?

p = pK, T = TK,V}=V2 = V3 = VK "«-几)‘ =0,

ратура азота соответственно равны 3,39 МПа и 126 К.

P^-3pKVKV43pKV^-pK^ = 0,

Рк 片-(vRTK + pKvb)V2 + v2aV - v3ab = 0, 3厶匕=vRTK + 厶泌，

3%喔= Л?, рК吸Н %b, ~^ = vb, 3厶*(3泌)2 = 以%, a = 27pKb2

3% ・ 3泌=vRTK + pKvb,8“泌=vRTk，

q = 0,136 H • м4/моль2;

,RTk27戸窗

b = —^,a =-

8风64A

b = 3,86 • 10-5 м3/моль.

2・89 ) Кислород массой 100 г расширяется от объема 5 л до объема 10 л.

，Определите работу межмолекулярных сил притяжения при зтом

расширении. Поправку q примите равной 0,136 Н • м’/моль?.

Дано

Решение

Угдекислый газ массой 88 г занимает при температуре 290 К объем 1000 см3. Определите внутреннюю энергию газа, если: 1) газ идеальный; 2) газ реальный. Поправку а примите равной "361 Н * м4/моль2.

Л/ = 32-10~3 кг/моль w = 100 г - 0,1 кг 匕二 5 л - 5 * 10-3 м3 吗=10 л - IO 2 м3 а - 0,136 Н - м4/моль2

р +

л —?

dP m2 Г 11 1

QOmeem ) {二］зздж.

} Некоторый газ (v = 0,25 кмоль) занимает объем 匕=1 м3. При расширении газа до объема 彩=1,2 м3 была совершена работа против сил межмолекулярного притяжения, равная 1,42 кДж. Определите поправку а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.

Дано J Решение

加二 88 г = 88 ■ 10~3 кг М = 44 • 10“ кг/моль Т 二 290 К

И = 1000 см? = 10-з мз

а 二 0,361 Н • м4/моль2 6

1)5-？

2)%—?

(о底“咖)J) 5=14,5 кДж;~2) 4=13 кДж.

Ответ ) а = 0」36 Н • м^малУ.

Азот (卩二 3 моль) расширяется в вакуум, в результате чего объем газа увеличивается от 匕二 1 л до % = 5 л. Какое количество теп

h Кислород (г = 2 моль) занимает объем 匕=1 л. Определите изменение температуры кислорода, если он адаабатно расширяется в вакуум до объема ^ = 10 л. Поправ^ а примите равной 0,136 Н • м4/моль2.

Дано

Решение

勿=3 моль

匕二 1 л = 10 3 м3

% = 5 л - 5 • 10~3 м3

а = 0,135 Н • м4/моль2

dQ = dU + dA, dU = 0 1 dA = p' dV =,

Q 一？

0 = 972 Дж

лоты 0 необходимо сообщить газу, чтобы его температура осталась неизменной? Поправку а примите равной 0,135 Н • м4/моль2.

Азот ( у = 2 моль) адиабатно расширяется в вакуум. Температура газа при этом уменьшается на 1 К. Определите работу, совершаемую газом против межмолекулярных сил притяжения.

Дано

”2 моль i = 5

△T = -l К

Решение

Q^\U + A. I 0 = 0 I I Z = o]

Дано

Решение

4二

0

5+ р尚二 U2 + P2% ,

(4

-7])>0 —?

Д^У0『I Покажите, что эффект Джоуля -— Томсона будет всегда отрица- тельным, если дросселируется газ, для которого силами притяже- ния молекул можно пренебречь.

2

必="必

弘="Q看-一^

4一？

U\^v\CvTx —^

了 Q Ответ J R AT.

24 = 83,1 Дж.

vaV

4 = 0

U、= vCvT],

02 = nC必，

} Кислород (v = l моль) (реальный газ), занимавший при 7] - 400 К объем 匕二 1 л, расширяется изотермически до 匕=2匕.Определите: 1) работу при расширении; 2) изменение внутренней энергии газа. Поправки а и 6 примите равными соответственно 0Д36Н- м4/моль2 иЗ,17 • 10-5 м3/моль.

Дано

v-\ моль

T = 400 К = const

^ = 1 л = 10"3 м3

岭=2%

а = 0,136 Н ■ м4/моль2

Ь = 3,17 • 1()т м3/моль

1) N —?

2) AU — ?

Решение

2 1

p + ^-\(V-vb) = vRT,

vRTv2 a

р =

V -vb

A= \P^V ^vRT\n— + V

5 = "Iе"俏,

U2 = V СУТ

△『2"也-"

1)4 = 2,29 кДж; 2) MJ = 68 кДж.

p+才}%-泌)="R4,

"0 I 口匕-vRT： + P\vb,

彩-泌)=vRT2

P2%=vRT2+P2Vb：

vCyT} + vRT} + p^b 二 vCvT2 + vRT2 + p2vb, 歹4(3 + R) + p}vb^vT2(CV2 + R) + p2vb , ^-T^vicy + ICj^vb^-p^,

6(P1 -02)

Су + R

Pl А Р2

⑵-3)>o.

(。忆6«m )(弓-看)> ° , эффект Джоуля — Томсона отрицательный.

Покажите, что эффект Джоуля — Томсона будет всегда положительным, если дросселируется газ, дая которого можно пренебречь собственным объемом молекул.

<0 (%»%)•

®

I При определении силы поверхностного натяжения капельным методом число капель глицерина, вытекающего из капилляра, со-

Дано

Решение

и-50

т-\ г= 10~3 кг d = 1 мм = Г。-? м

F

та 1

n

l =冗d,

<7 —?

Ответ

）о = 62,5 мН/м.

ставляет п= 50. Общая масса глицерина w = l ца диаметр шейки капли в момент отрыва d 二 1 мм. Определите поверхностное натяжение о глицерина.

Определите радиус R капли спирта, вьпекающей из узкой вертикальной трубки радиусом г = 1 мм. Считайте, что в момент отрыва капля сферическая. Поверхностное натяжение спирта а = 22 мН/м, а его плотность р = 0,8 г/см3.

Ответ ） R=L6i мм.

,2 1.（ I Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим, ^*——^' определите работу А , которую надо совершить, чтобы увеличить его размер с & = 6 мм до J2 二 60 мм. Поверхностное натяжение мыльного

Дано

Решение

Т 工 const

4 二 6 мм = 6 • 10-3 м

a = -^, A£ = A）AS = 2s2 - 2sl,

心=60 мм = 6 TO"2 M

a - 40 мН/м = 4 TO"H/m

T = const о 三 const, 4 = о * 2几（成-片）•

A —?

Л = 896 мкДж.

Две капли воды радиусом г = 1 мм каждая слились в одну боль- шую каплю. Считая процесс изотермическим, определите умейь- щение поверхностной энергии при этом слиянии, если поверхностное натяже- ние воды о = 73 мН/м.

Дано г = 1 мм= 10-3 м о 二 73 мН/м = = 73-10~3Н/м

Т = const

Решение

Т = const

S[ = 4亦户,

о = const,

匕=—яг3,

1 3'

\Е —?

V -1У\ =5笈尸，

2%=

R =疗 г,

片=3炉,

3，

S = 4л7?2 = 4%W • /,

^S = 2S「S = 8万户一4冠/? •/=4%户（2 -舒）,

А^ = о AS = о • 4яг2（2 -孤）.

Ответ〉ае = з78 нДж：

Давление воздуха внутри мыльного пузыря на Ар 二 200 Па больше атмосферного. Определите диаметр d пузыря. Поверхностное натяжение мыльного раствора а = 40 мН/м.

Дано

К = 200 Па

о = 40 мН/м = 4- 10"2Н/м

Решение

аР = 2.至吟,

,8。

a =—

мм.

d ~9

@103)@103)ДаноРешениеd = 0,02 мм = 2 • 10"5 мР = Ро + Pi + Ар，Pl = Pg力，力=25 см = 0,25 м▲2。 4。/?о = 1,О1-1О5 Па(7 = 73 мН/м ==73 • IO-Н/мР = P/Pgh + 丁/) = 1 г/см3 = 103 кг/м3p — ?р = И8 кПа.ДаноРешениеd = 0,02 мм = 2 • 10"5 мР = Ро + Pi + Ар，Pl = Pg力，力=25 см = 0,25 м▲2。 4。/?о = 1,О1-1О5 Па(7 = 73 мН/м ==73 • IO-Н/мР = P/Pgh + 丁/) = 1 г/см3 = 103 кг/м3p — ?р = И8 кПа.ностное натяжение воды а = 73 мН/м, а ее плотность р = 1 г/см3.ностное натяжение воды а = 73 мН/м, а ее плотность р = 1 г/см3.(2」^^^) Капилляр, внутренний радиус которого 0,5 мм, опущен в жидкость. 、■ ®^ Определите массу жидкости, поднявшейся в капилляре, если ее поверхностное натяжение равно 60 мН/м.(2」^^^) Капилляр, внутренний радиус которого 0,5 мм, опущен в жидкость. 、■ ®^ Определите массу жидкости, поднявшейся в капилляре, если ее поверхностное натяжение равно 60 мН/м.

@103)

@103)

Дано

Решение

d = 0,02 мм = 2 • 10"5 м

Р = Ро + Pi + Ар，Pl = Pg力，

力=25 см = 0,25 м

▲2。 4。

/?о = 1,О1-1О5 Па

(7 = 73 мН/м =

=73 • IO-Н/м

Р = P/Pgh + 丁

/) = 1 г/см3 = 103 кг/м3

p — ?

р = И8 кПа.

Дано

Решение

d = 0,02 мм = 2 • 10"5 м

Р = Ро + Pi + Ар，Pl = Pg力，

力=25 см = 0,25 м

▲2。 4。

/?о = 1,О1-1О5 Па

(7 = 73 мН/м =

=73 • IO-Н/м

Р = P/Pgh + 丁

/) = 1 г/см3 = 103 кг/м3

p — ?

р = И8 кПа.

ностное натяжение воды а = 73 мН/м, а ее плотность р = 1 г/см3.

ностное натяжение воды а = 73 мН/м, а ее плотность р = 1 г/см3.

(2」^^^) Капилляр, внутренний радиус которого 0,5 мм, опущен в жидкость. 、■ ®^ Определите массу жидкости, поднявшейся в капилляре, если ее поверхностное натяжение равно 60 мН/м.

(2」^^^) Капилляр, внутренний радиус которого 0,5 мм, опущен в жидкость. 、■ ®^ Определите массу жидкости, поднявшейся в капилляре, если ее поверхностное натяжение равно 60 мН/м.

Воздушный пузырек диаметром d - 0,02 мм находится на глуби. не 〃 = 25 см под поверхностью воды. Определите давление воз>

духа в этом пузырьке. Атмосферное давление примите нормальным. Поверх.

Ртуть массой 3 г помещена между двумя параллельными стеклянными пластинками. Определите силу, которую необходимо приложить, чтобы расплющить каплю до толщины d - 0,1 мм. Ртуть стекло не смачивает. Плотность ртути 限 13,6 г/см3, а ее поверхностное натяжение о 二 0,5 Н/м.

Ответ j f = 2,2 н.

(2・ 105 ) Вертикальный стеклянный капилляр погружен в воду. Определи- 、 丿 те радиус кривизны мениска, если высота столба воды в трубке й = 20 мм. Плотность воды。二 1 г/см3, поверхностное натяжение。= 73 мН/м

В стеклянном капилляре диаметром d 二 100 мкм вода поднимается на высоту 力=30 см. Определите поверхностное натяжение о воды, если ее плотность р 二 1 г/см3.

Дано

Решение

d = 100 мкм = IO^m

т 20 cos 2

А = 30 см = 0,3 м

〃=,

pgr

2 = 0

cos^ = l,

夕=1 г/см3 =103 кг/мз

к Pgrh

d r =—,

а ■?

2

2

4

(Мбе/И ) а = 73,6мН/м.

Дано

й = 20 мм = 2 • 10~2 м р = 1 г/см3 = 103 кг/м3 о = 73 мН/м =

=73 ■ 10-3 Н/м

R —?

Решение

,2а cos6

力=

pgR

0 = 0 cos^ = 1

Ответ 尺= 744 мкм.

20

pg"

Поверхностное натяжен иео = F“ или а = ^E/^S,「де 斤一сила поверхностного натяжения, действующая на контур /, ограничи-^цщй поверхность жидкости; ЛЕ — поверхностная энергия, связанная с"ощадью Д5 поверхности пленки.

@108) Широкое колено U-образного манометра имеет диаметр d^ мм, +— узкое— J2 = 1 мм. Определите разность АЛ уровней ртути в обо

их коленах, если поверхностное натяжение ртути о 二 0,5 Н/м, плотность ртути р = 13,6 г/см- а краевой угол 力=138° .

(9

Определите наименьшее расстояние между центрами ионов натрия и хлора в кристаллах NaCl (две одинаковые гранецентриро-

ванные кубические решетки, вложенные одна в другую). Плотность поварен- НОЙ соли 夕二 2,2 г/см3.

/^ [ ] I Используя закон Дюлонга и Пти, определите удельную теплоем- у * кость: 1) натрия; 2) алюминия.

Дано

Решение

色

m№ - 23.10~3 кг/моль

Мм =27-10"3 кг/моль

м

Су =зк,

Изобразите элементарную ячейку ионной кубической объемноцен- чрированной решетки хлористого цезия (CsCl) и определите соот-

ветствующее этой решетке координационное число.

1)%№ — ?

2) Ср Al — ?

3R

Су = М

(OiTMJetn ) Координационное число равно 8.

(Ответ ) 1)勿他=l,08 кДж/(кг • К);""""2) Cpai = о,924 кДж/(кг • К).

Изобразите элементарную ячейку ионной кубической решетки поваренной соли (NaCl) и определите соответствующее этой р"

шетке координационное число.

Пользуясь законом Дюлонга и Пти, определите, во сколько раз удельная теплоемкость железа больше удельной теплоемкости золота.

Ответ ^ Координационное число равно 6.

(^fneetn) “ = з,52：

О

<®>

(4^^НВ Д1^ нагревания металлического шарика массой 10 г от 20 до 50 °q затратили количество теплоты, равное 62,8 Дж. Пользуясь зако.

ном Дюлонга и Пти, определите материал шарика.

3. Электричество и магнетизм

Дано

加=10 Г = 10" KF

厶=20 ℃

/2 工 50 ℃

0 = 62,8 Дж

J? = 8,31 Дж/(моль • К)

Решение

Q=3R,

Cv~ М'

М —?

Q = Cymg —厶)，

С 3R А Q-——加Af， 上M

(Ofltbem ) М = 0Д19 кг/моль5 олово.

"6 л

Q

Изменение энтропии при плавлении 1 моль льда составило 25 Дж/К.

Определите, на сколько изменится температура плавления льда при увеличении внешнего давления на 1 МПа? Плотность льда р｝二 0,9 г/см\ плотность воды о? = 1 "см3.

й

3.1. Электростатика

f 3・ 1 ) Сила гравитационного притяжения двух водяных одинаково заря- 、* / женных капель радиусами 0,1 мм уравновешивается кулоновской силой отталкивания. Определите заряд капель. Плотность воды равна 1 г/см3.

QOmeem^ Q = o,36 аКл.

( 3・2 ) Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой дли- 、 ' ны, опускаются в керосин плотностью 0,8 г/см3. Какой должна быть плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в керосине был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосина £ = 2.

Дано

Решение

Дано

У 工 1 моль

Л/ = 18 ■ 10-3 кг/моль

AS = 25 Дж/К

Ар = 1 МПа = 106 Па

Р] = 0,9 г/см3 二 =9 • 102 кг/м3

02 = 1 г/см3 = 103 кг/м3

△T — ?

АГ = -0,08 К.

Решение

Др £ 而一 ?（彩_匕）'

AQ=L,AS 二竿

т

%=一 。2

m = vM,

Т

АТ于% 一%"=

" = 2^丄一丄

^【02 Р1

[vM vM

I 02 Pl -

рк - 0,8 г/см3 = 8 • 102 кг/м3

а

е = 2

F = mg tga/2,

冗=(wg-伤)tga/2,

о2

p — ?

%£%尸

mg = pVg,

( 33 В В вершинах равностороннего треугольника находятся одинаковые -" —^ положительные заряды 0 = 2 нКл. Какой отрицательный заряд g необходимо поместить в центр треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы отталкивания положительных зарядов?

Два точечных заряда Q = 4 нКл и g2 = -2 нКл находятся друг от друга на расстоянии 60 см. Определите напряженность £ поля в

тоЧКе, лежащей посередине между зарядами. Чему равна напряженность, если второй заряд положительный?

Дано

Решение

Q~2 нКл = 2 Т0一9Кл

F] + F-)+ F^ = 0 ,

01 — ?

4 冗

а = 30。，

6=5 =

1炉

4яе0 尸2，

—=cosa, 2R

Дано

0 二 4 нКл 0=-2нКл /二 60 ем

Решение

2О2

F = 2F\ cosa =丁 cosa . 4яе0г"

鸟=d=A48s2a,

4 冗%六 4яг0г

Ответ ^ 纟=и 5 нКл.

Г 3 .* ^^ Свинцовый шарик (р = 1 i,3 г/см3) диаметром 0,5 см помещен в гии- '/церин {р~ 1,26 г/см3). Определите заряд шарика, если в однородном

электростатическом поле шарик оказался взвешенным в ппщерине. Электростатическое поле направлено вертикально вверх, и его напряженность Е 二 4 кВ/см.

<200>

4

Е] — ?

Е2 一 ？

Е[二 Е+ + Е_ , 耳=纥+ e一,

+ 4^£0 (//2)2

4兀％ (//2)2 '

耳=点誣」+閻，当=4 - E一 =六麺I - a) ■

Qpmeem ^ & = о,6 кВ/м；々=о,2 кв/м.

£ il» Определите напряженность поля, создаваемого диполем с элект- ^L^JBP^ рическим моментом р 二 1 нКл • м на расстоянии г = 25 см от цен

тра диполя в направлении, перпендикулярном оси диполя.

Дано

Решение

Р = 1 нКл • м = 10…9 Кл ■ м 尸=25 см = 0,25 м

+-一-4碩卜2+3~4用户

斗一？ е 户一 1

旦—

Q

Еа

. n —

2 » Г r +——

4

еа =

1 0— 1 р

-=y

4冗％ г 4九％ г

Отеет) е『516 в/м.

Определите напряженность электростатического поля в точке Л, расположенной вдоль прямой, соединяющей заряды 0】=1 ° нКл

.и 02 二-8 нКл и находящейся на расстоянии г = 8 см от отрицательного заряда. Расстояние между зарядами 7 = 20 см.

Определите поток Ф£ вектора напряженности электростатического поля через сферическую .поверхность, охватывающую точеч- н*е 蚪只〃ы & 二 5 нКл и 02 = 一2 нКл*

Дано

2=10 нКл=10-8 Кл 02=-8 нКл = -8'10-9Кл г = 8 см - 8 ■ 10~2 м / = 20 см = 0,2 м

Е-?

2) Е — Е] + Е?,

Решение

1)Е = Е| + Е2，]) Е 二 G — Е],

耳二

|й|

417r£о(/+ 尸)22)

4冗分厂

Е = Ех + Е2, Е]=

亿

6

2Q--

Ia|

4яе0(/-г)2

Ответ Ji)е = юд кВ/м； 2)е = 17,5 кВ/м.

2,

Л Е

Е

А

^Ответ ^ % = 339 в • м.

• Расстояние I между зарядами Q = ±2 нКл равно 20 см. Определите напряженность Е поля, созданного этими зарядами в точке, находящейся на расстоянии “ = 15 см от первого и г = 10 см от второго заряда.

^Ответ ^ е = 2,14 кВ/м.

3抖^

4乃加厂

①j

В вершинах квадрата со стороной 5 см находятся одинаковые положительные заряды 0 = 2 нКл. Определите напряженность эле кт-

ростатического поля: 1)в центре квадрата; 2) в середине одной из сторон квадрата.

[3 8、"' некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряжен- 、I皿一丿 ной плоскости с поверхностной плотностью о 二 0,1 нКл/cm2 расположена круглая пластинка. Плоскость пластинки составляет с линиями напряженности угол 30°. Определите поток Ф£ вектора напряженности через эту пластинку, если ее радиус г равен 15 см.

Дано

а = 5 см = 5 • 10"2 м

0 = 2 нКл = 2- 10 9Кл

Решение

1)Е|—?

2) Е2 —?

Е =。

Г 2- 4% а2 + —

1)耳=0；

2)当=2Е cosa ,

0

5тг£оа2，

€'1€'1

€'1

€'1

( 3.12 ) Кольцо радиусом г = 5 см из тонкой проволоки равномерно заря. 、■"'"'/ жено с линейной плотностью т = 14 нКл/м. Определите напря， женность поля на оси, проходящей через центр кольца, в точке, удаленной на расстоянии 4 = 10 см от центра кольца.

Под действием электростатического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости точечный заряд Q-1 нКл переместился

вдОль силовой линии на расстояние г = 1 см; при этом совершена работа 5 мкДж. Определите поверхностную плотность заряда на плоскости.

Дано

Решение

《^т«еМ ) о = 8,85 мкКл/м2.

尸=5 см = 5 TO 2 M

r = 14 нКл/м 二

=1,4 TO-® кл/м а 二 10 см = 0,1 м

耳4 — ?

0= Jd0 = T・2a,

Z蚂二 0,

亚2 =你 sin« ,

ad0

(『+户)3/2

(3.15 ) Электростатическое поле создается двумя бесконечными парал- ^^«―*^ лельными плоскостями, заряженными равномерно одноименными зарядами с поверхностной плотностью соответственно ох=2 нКл/м2 и

а cosa -——

R

сЩ 二

и?二 4 нКл/м2. Определите напряженность электростатического поля: 1) между плоскостями; 2) за пределами плоскостей. Постройте график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной плоскостям.

^^^^^1) ИЗ В/м; 2) 339 В/м.

Q

ad。

2mat

屋 + /)3/2-4族式/+Г2)3/2

Основные физические постоянные

Ответ ^ еа = 2,83 кв/м.

Элементарный заряд е = 1,6-10~19 Кл

f 3 [3、Определите поверхностную плотность заряда, создающего вбли- \мм・：二丿 зи поверхности Земли напряженность £ 二 200 В/м.

Дано

Решение

Е 二 200 В/м e = 1

0 — ?

&二,а = ££оЕ .

££о

Ответ j 0 = 1,77 нКл/м2.

Масса покоя электрона X =9,1Ь10~3 кг

Удельный заряд электрона e/we = 1,76-1011 Кл/кг

Электрическая постоянная £0 = 8,85-10"12 Ф/м 1/(4я£0) = 9-Ю9 м/Ф

Магнитная постоянная “° = 4% 10“ Гн/м

Электростатическое поле создается двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными равномерно разноименньь ми зарядами с поверхностной плотностью о】=1 нКл/м2 и а2 =2 нКл/м2. Определите напряженность электростатического поля: 1) между плоскостями； 2) за пределами плоскостей. Постройте график изменения напряженности поля вдоль линии, перпендикулярной плоскостям.

^^ *а、Поле создано двумя равномерно заряженными концентрически- I二 丿 ми сферами радиусами 耳=5 см и & = 8 см. Заряды сфер соответственно равны & = 2 нКли g2 二 Т нКл. Определите напряженность электростатического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстояниях: D 八=3 см; 2) 〃 = 6 см; 3)弓=10 см. Постройте график зависимости Е「).

(Отбет )1)耳=169 В/м; 2) £2 = 56,5 В/м.

Дано

凡二 5 см 二 5 Т0~2 м

Решение

3.17 ) ^а металлической сф^эе радиусом 15 см находится заряд Q-2 нКл.

Определите напряженность Е электростатического поля: 1) на расстоянии “ = 10 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на рассто

№

。2

=8 см ~ 8 • 10-2 м

2 нКл = 2 - 10'9Кл

=-1 нК" = -10~9 кл

янии 〃 =20 см от центра сферы. Постройте график зависимости £(г).

/ = 3 см = 3 ТО" м & = 6 см = 6 • 10-2 м

7^ = 10 см ~ 0,1 м

Е[, Е?, Е3 — ?

竺)_?

4=0, 4=5 кВ/м, & = 0,9 кВ/м.

г2 > ^ Ез * 47rd 二纟，％ = —。2 ■

(Otneetn ) 蜀=0 ,々=800 В/м, 当=450 В/м.

<206>

Фарфоровый шар радиусом /?= 10 см заряжен равномерно с объемной плотностью р = \5 нКл/м3. Определите напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии 勺=5 см от центра шара; 2) на поверхности шара; 3) на расстоянии 々=15 см от центра шара. Постройте график зависимости Е(尸).Диэлектрическая проницаемость фарфора £ = 5 .

( 3.21 '*j Длинный прямой провод, расположенный в вакууме, несет заряд, \疝 ' “мА равномерно распределенный по всей длине провода с линейной плотностью 2 нКл/м. Определите напряженность Е электростатического поля на расстоянии г = 1 м от провода.

Дано

Решение

т

'— = 36 В/м. 2〃％

7?工 10 см - 0,1 м

p = 15 нКл/м3 =

-1,5 • 10~8Кл/м3

£ = 5

勺二 5 см = 5 ТО”？ м

5

八< R

0「4端=**,7=号

口工 1$ см = 0,15

м

g3

Х^^З ) Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолиней- 、沿""而词к кого коаксиального провода радиусом R 二 1,5 мм заряжен с линейной плотностью Т]二 0,20 нКл/м. Внешний цилиндрический проводник этого провода радиусом 尺2 = 3 мм заряжен с линейной плотностью q 二-^,15 нКл/м. Пространство между проводниками заполнено резиной (£ = 3). Определите напряженность электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на расстояниях: 1) /)=1 мм; 2)力=2 мм; 3)弓=5 мм.

D ]= £0£耳，

%£ 3£0£

(Огшет ) 1)旦= 5,65 в/м；

2) Er = 11,3 В/м (для г W R); Er = 56,5 В/м (для г》К);

3)々二 25,1 В/м; 4) см. рисунок.

<208>

Решение

Дано

7?! = 1,5 мм= 1,5 • 10 3 м

& =3 мм = 3 ■ Ю-3 м

/二 0,2 нКл/м = =2- 10-10Кл/м

Q = -0,15 нКл/м = = -1,5, 10」°Кл/м

£ = 3

『1 мм= Ю-3 м

尸2 п 2 мм = 2 ТО-з м G==5 мм = 5 • 10'3м

1)Е] 一 ？(ОтветЛ 1)耳=о ；

2)马一？2)々=800 В/м;

3)Ез—?3)Ез = 180В/м.

&=0,

2冗£求也

3 27rqs у 2读仍

<209>

( 3.23 I Электростатическое поле создается положительно заряженной с -- постоянной поверхностной плотностью а = 10 нКл/м2 бесконеч

ной плоскостью. Какую работу надо совершить для того, чтобы перенести электрон вдоль линии напряженности с расстояния 厶=2 см до 巧=1 см?

^И^М^ Одинаковые заряды Q = 100 нКл расположены в вершинах квад- рата со стороной а-10 см. Определите потенциальную энергию эТой системы.

Дано

Решение

Дано

Решение

о = 10 нКл/м2= I^Kji/m2 々=2 см = 2 • 10-2 м /2=1 см = 10~2 м

е = 1,6-10~19 Кл

Л —?

□ео也

4 二 Jf dr --у— jdr =

4 = 9・10 ” Дж.

ал工尸加, F 二-eE,

2%

0 = 100 нКл = 10-7 Кл «二 10 см = 0,1 м

u 一？

"4 二 u23 = %4 H u12 ,

U24 H Ц3,

U 二 “12 + "13 +〃14 + 〃23 + 〃24 +〃34，

4

102

4冗％ а

U - 1 02

13 "4^ а&'

。=丄罢+

亠翠=丄贵(4 + ® 4冗玩 〃J2 4тг£0 〃

('.NJ ) 3лектростатическое1к)ле Создается положительно^заряженной ，бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью г = 1 нКл/см.

Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния 彳=1,5 см до 巧 二 1 см?

о

(дшбет) и = 4,87；麻

В боровской модели атома водорода электрон движется по круговой орбите радиусом 尸= 52,8 пм, в центре которой находится протон. Определите: 1) скорость электрона на орбите; 2) потенциальную энер^ гию электрона в поле ядра, выразив ее в электрон-вольтах.

ВВКольцо радиусом г = 5 см из тонкой проволоки несет равномер но распределенный заряд 0 = 10 нКл. Определите потенциал 份

В

В

элекгрос гатического поля: 1) в центре кольца; 2) на оси, проходящей через центр кольца, в точке, удаленной на расстояние а = 10 см от центра кольца.

(3.30 ) Полый шар несет на себе равномерно распределенный заряд. Оп-\^^^^ ределите радиус шара, если потенциал в центре шара равен

仍仍ДаноДаноРешениеРешениег- 5 см = 5 ТО" м 0=10 нКл - 10 8 Кл4 = 10 СМ = 0,1 мг- 5 см = 5 ТО" м 0=10 нКл - 10 8 Кл4 = 10 СМ = 0,1 м*0 — ?0/ 一?*0 — ?0/ 一?Дано仍=200 В02 = 40 bг 二 50 см = 0,5 мR —?Дано仍=200 В02 = 40 bг 二 50 см = 0,5 мR —?02 R02 RРешениеРешение0=4яе07?л Q伙R=丝,0=4яе07?л Q伙R=丝,*/ 二 805 В.*/ 二 805 В.На кольце с внутренним радиусом 80 см и внешним — 1 м равномерно распределен заряд 10 нКл. Определите потенциал в центре кольца.На кольце с внутренним радиусом 80 см и внешним — 1 м равномерно распределен заряд 10 нКл. Определите потенциал в центре кольца.QOmeem( 3.31 ) Электростатическое поле создается положительным точечным 、 / зарядом. Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого поля, если на расстоянии г = 10 см от заряда потенциал ра-QOmeem( 3.31 ) Электростатическое поле создается положительным точечным 、 / зарядом. Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого поля, если на расстоянии г = 10 см от заряда потенциал ра-)R = 10 см.)R = 10 см.вен з = 100 В.вен з = 100 В.Omeem^\ 屮= 100 в.Omeem^\ 屮= 100 в.ДаноДаноРешениеРешениеIМеталлический шар радиусом 5 см несет заряд 0 = 10 нКл. Определите потенциал 8 электростатического поля: 1) на поверхности шара; 2) на расстоянии п 二 2 см от его поверхности. Постройте график зависимости <р(г).IМеталлический шар радиусом 5 см несет заряд 0 = 10 нКл. Определите потенциал 8 электростатического поля: 1) на поверхности шара; 2) на расстоянии п 二 2 см от его поверхности. Постройте график зависимости <р(г).Q Ответ J 1)仍=1,8 кВ； 2)<p2 = 1,29 кВ.Q Ответ J 1)仍=1,8 кВ； 2)<p2 = 1,29 кВ.三三200 В, а в точке, лежащей от его центра на расстоянии 尸=50 см,(р2 = 40 В.

仍

仍

Дано

Дано

Решение

Решение

г- 5 см = 5 ТО" м 0=10 нКл - 10 8 Кл

4 = 10 СМ = 0,1 м

г- 5 см = 5 ТО" м 0=10 нКл - 10 8 Кл

4 = 10 СМ = 0,1 м

*0 — ?

0/ 一?

*0 — ?

0/ 一?

Дано

仍=200 В

02 = 40 b

г 二 50 см = 0,5 м

R —?

Дано

仍=200 В

02 = 40 b

г 二 50 см = 0,5 м

R —?

02 R

02 R

Решение

Решение

0=

4яе07?

л Q

伙

R=丝,

0=

4яе07?

л Q

伙

R=丝,

*/ 二 805 В.

*/ 二 805 В.

На кольце с внутренним радиусом 80 см и внешним — 1 м равномерно распределен заряд 10 нКл. Определите потенциал в центре кольца.

На кольце с внутренним радиусом 80 см и внешним — 1 м равномерно распределен заряд 10 нКл. Определите потенциал в центре кольца.

QOmeem

( 3.31 ) Электростатическое поле создается положительным точечным 、 / зарядом. Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого поля, если на расстоянии г = 10 см от заряда потенциал ра-

QOmeem

( 3.31 ) Электростатическое поле создается положительным точечным 、 / зарядом. Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого поля, если на расстоянии г = 10 см от заряда потенциал ра-

)R = 10 см.

)R = 10 см.

вен з = 100 В.

вен з = 100 В.

Omeem^\ 屮= 100 в.

Omeem^\ 屮= 100 в.

Дано

Дано

Решение

Решение

IМеталлический шар радиусом 5 см несет заряд 0 = 10 нКл. Оп

ределите потенциал 8 электростатического поля: 1) на поверхности шара; 2) на расстоянии п 二 2 см от его поверхности. Постройте график зависимости <р(г).

IМеталлический шар радиусом 5 см несет заряд 0 = 10 нКл. Оп

ределите потенциал 8 электростатического поля: 1) на поверхности шара; 2) на расстоянии п 二 2 см от его поверхности. Постройте график зависимости <р(г).

Q Ответ J 1)仍=1,8 кВ； 2)<p2 = 1,29 кВ.

Q Ответ J 1)仍=1,8 кВ； 2)<p2 = 1,29 кВ.

三

三

Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, з@、 ряженной равномерно с поверхностной плотностью о = 5 нКл/м^ Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого поля.

Дано

Решение

а -5 нКл/м2 =

= 5-10-9Кл/м2

Е = -grade, Е =三，|grad^| =三.

2%2£о

《Ответ ）照如=282 в/м, 、一— 丿 направлен к плоскости.

gmdg

—?

（3.33）（3.33）Электростатическое поле создается бесконечной прямой нитью, заряженной равномерно с линейной плотностью г = 50 пКл/ем.

（3.33）

（3.33）

Определите числовое значение и направление градиента потенциала в точке на

расстоянии г = 0,5 м от нити.

Ответ ^ grad* = 180 В/м, направлен к нити.

Определите линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля по перемещению заряда 0 = 1 нКл с

расстояния Г] = 5 см до ?2 = 2 см в направлении, перпендикулярном нити, равна 50 мкДж.

Дано

Решение

0 = 1 нКл=10'9Кл 彳=5 см = 5 ТО"? м

dA~ Qdip

「2

々=2 см = 2 • 10-2 м

Л = 50 мкДж = 5 • 10~5 Дж

Е =,d夕=-E dr ,

2 冗 £（/

A 二 ~Q ^E dr

二 ■/ 二=上i上e inL

J 2тГ£0Г 2яе0 J г 2яе0 〃

Qin— 《Ответ ） г = з,оз мкКл/м.

г2、一 J

<2М>'

Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью. Протон, двигаясь от нити под действием поля

6доль линии напряженности с расстояния 勺=1 см до ^ 二 5 см, изменил свою скорость от 1 до 10 Мм/с. Определите линейную плотность заряда нити.

==^"L二=

г = 17,8 мкКл/м.

в

Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, равномерно заряженной с поверхностной плотностью о 工 1 нКл/м2. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии х} = 20 см и х2 - 50 см от плоскости.

ДаноРешениеo 匸 1 нКл/м2 二 10"9 Кл/м2 “20 см = 0,2 м 、々=50 см = 0,5 м仍一82 — ?仍-82 二（Е dx,E =-—,^-^2= /^<Ьс= J—dx = —（Х2-Х,）.ДаноРешениеo 匸 1 нКл/м2 二 10"9 Кл/м2 “20 см = 0,2 м 、々=50 см = 0,5 м仍一82 — ?仍-82 二（Е dx,E =-—,^-^2= /^<Ьс= J—dx = —（Х2-Х,）.Ошбет）弘一夕2 = 16,9 в.Ошбет）弘一夕2 = 16,9 в.d^J Определите поверхностную плотность зарядов на пластинах нлос-一 кого слюдяного（£ = 7） конденсатора, заряженного до разности по-

Дано

Решение

o 匸 1 нКл/м2 二 10"9 Кл/м2 “20 см = 0,2 м 、

々=50 см = 0,5 м

仍一82 — ?

仍-82 二（Е dx,E =-—,

^-^2= /^<Ьс= J—dx = —（Х2-Х,）.

Дано

Решение

o 匸 1 нКл/м2 二 10"9 Кл/м2 “20 см = 0,2 м 、

々=50 см = 0,5 м

仍一82 — ?

仍-82 二（Е dx,E =-—,

^-^2= /^<Ьс= J—dx = —（Х2-Х,）.

Ошбет）弘一夕2 = 16,9 в.

Ошбет）弘一夕2 = 16,9 в.

тенциалов U 二 200 В, если расстояние между его пластинами равно d = 0,5 мм.

(，3b 丿Электростатическое поле создается равномерно заряженной сфе.

■ рической поверхностью радиусом &三 10 см с общим зарядов 0 = 15 нКл. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстояниях 八=5 см и г2 = 15 см от поверхности сферы.

△夕= 360 в.

f , Электростатическое поле создается сферой радиусом R = 5 см. J равномерно заряженной с поверхностной плотностью о = 1 нКл/м： Определите разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях 勺=10 см и 力=15 см от центра сферы.

®1) Электростатическое поле создается шаром радиусом К=8 см, —-"; равномерно заряженным с объемной плотностью 夕=10 нКл/м3..

□пределите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии ^ = 10 см и г2 = 15 см от центра шара. :^1 ——---- —~7 =

бет )厶屮=о,64 в.бет )厶屮=о,64 в.

бет )厶屮=о,64 в.

бет )厶屮=о,64 в.

/ 3,42 ) Электростатическое поле создается шаром радиусом 7? = 10 см, *- 二丿 равномерно заряженным с объемной плотностью р = 20 нКл/м3. Определите разность потенциалов между точками, лежащими внутри шара на расстояниях ^ = 2 см и л^ = 8 см от его центра.

Дано

Решение

R = 5 см = 5 ■ 10-2 м о = 1 нКл/м2 = 10-9 Кл/м2

Г| = 10 см = 0,1 м

々-15 см-0,15 м

例一夕2=伝 dr ,Е =--——Q = o ■ 4я??2,

；4%% *

仍一92 ~?

化一@2 二 0,94 В.

Электростатическое поле создается равномерно заряженным шаром радиусом R 二 1 м с общим зарядом 0 = 50 нКл. Определите

разность потенциалов для точек, лежащих от центра шара на расстояниях：

1) Г] = 1,5 ми г2 = 2 м; 2) Г\= 0,3 м н % = 0,8 м.

二

(Ornsem ) i)△仍=75 в； 2)厶仍= 124 в.

Дано

火=10 см = 0,1 м

p = 20 нКл/м3 =

=2- 10~8Кл/м3

(二 2 см 二 2 • IO" м

q = 8 см = 8 ■ КН м

联 82 — ?

Решение

jEn6S = ^~,

5£0

r<R, En = E，

) Q 4 q

E • 4冗产=лг ,

£o 3

E =

3%

「2

*] -@2 =卜"，

ДаноДано

Дано

Дано

( 3.43 ) Электростатическое поле создается бесконечным цилиндром р@、 、川"•…■■/ диусом 8 мм, равномерно заряженным с линейной плотность^ г = 10 нКл/м. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии 外=2 мм и 〃 = 7 мм от поверхности этого цилиндра.

Решение

/^ 4与、Пространство между пластинами плоского конденсатора заполне- …一^ но парафином (е = 2). Расстояние между пластинами d 二 8,85 мм.

Какую разность потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверхностная плотность связанных зарядов на парафине составляла 0,1 нКл/см?

(ответ ) а® = i кв.

R 二 8 мм = 8 ■ 10 3 м

т - 10 нКл/м = 10"8 Кл/м

勺-2 мм -2*10 3 м

г2~1 мм 二 7 * 10 3 м

3)1 一0 2 ?

1 т

e = 2tT£q

仍 一 *2 =

г , г Г, R +马

IE dr = I —=In

J2тг£п J 厂 2%% R + 乙

及+(U R+八U 一1

( 3.46 ) Расстояние между пластинами плоского конденсатора составляет ' “ ” d 二 5 мм. После зарядки конденсатора до разности потенциалов U 二 500 В между пластинами конденсатора вдвинули стеклянную пластинку (£ = 7). Определите: 1) диэлектрическую восприимчивость стекла; 2) поверхностную плотность связанных зарядов на стеклянной пластинке.

г [ R +尸2

Ответ J 仍-例=73 в.

Л з 44 \ В однородное электростатическое поле напряженностью 、"м・皿 丿 £° = 700 В/м перпендикулярно полю помещается бесконечная плоскопараллельная стеклянная пластина(£ = 7). Определите: 1) напряженность электростатического поля внутри пластины; 2) электрическое смещение внутри пластины; 3) поляризованность стекла; 4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле.

Дано

d = 5 мм = 5 Т0-з м

U = 500 В

£=7

X —?

7 — ?

[Ответу

Решение

К="1,,£0=—，

£ Ed

= p = 乂=.

1) к = 6;

2) o' = 759 нКл/м2.

ДаноРешениеЕо 二 700 В/мЕ =且，D=£%E,£ = 7£e 一 ？D = £оЕ + Р ,Р = D — £gE,"D — ?『二尸.■ДаноРешениеЕо 二 700 В/мЕ =且，D=£%E,£ = 7£e 一 ？D = £оЕ + Р ,Р = D — £gE,"D — ?『二尸.■尸一？尸一？Ответ ) i)е-юо b/m；3)尸=5,31 нКл/м2;Ответ ) i)е-юо b/m；3)尸=5,31 нКл/м2;

Дано

Решение

Ео 二 700 В/м

Е =且，

D=£%E,

£ = 7

£

e 一 ？

D = £оЕ + Р ,

Р = D — £gE,"

D — ?

『二尸.■

Дано

Решение

Ео 二 700 В/м

Е =且，

D=£%E,

£ = 7

£

e 一 ？

D = £оЕ + Р ,

Р = D — £gE,"

D — ?

『二尸.■

尸一？

尸一？

Ответ ) i)е-юо b/m；

3)尸=5,31 нКл/м2;

Ответ ) i)е-юо b/m；

3)尸=5,31 нКл/м2;

3.47 ) Определите поверхностную плотность связанных зарядов на слюдяной пластинке(£ - 7) толщиной d 二 1 мм, служащей изолятором плоского конденсатора, если разность потенциалов между пластинами конденсатора U = 300 В.

0^现6ё加])0 = 15,9 мкил/m2.

<!>

f 3»48 ) Между пластинами плоского конденсатора помещено два сл｛达 、 丿 диэлектрика ——слюдяная пластинка (片二 7 ) толщиной d｝二 1 мм

и парафин(£2 = 2)толщиной d2 二 0,5 мм. Определите: ^напряженностьэлек- тростатических полей в слоях диэлектрика; 2) электрическое смещение, если разностьпотенциалов между пластинами конденсатора U = 500 В.

( Q *) Свободные заряды равномерно распределены с объемной плот- Jностью q = 5 нКл/м3 по шару радиусом 尺二 10 см из однородно-

「о изотропного диэлектрика с проницаемостью £ = 5 . Определите напряжен- ность электростатического поля на расстояниях г, - 5 см и г2 = 15 см от центра Ш^

Дано

Решение

4=1 мм 口 10 з м

£］二 7

& 二 0,5 мм = 0,5

82 ~2

0 = 500 В

10~3 м

D = e（）e目

二打立ё2，

且=丝，

u =g4+

E2d2 ,

E _

f汕

后2 =一一，

D-EqE^ .

Дано

?二5 нКл/m3

R二10 СМ

Решение

а

二 5

二 5 cM

乃二 15 ем

Г) % G —?

2) D —?

耳一

?

QOmeem ^ i)& = 182 kb/m,々=637 кв/м；2) £) -11,3 мкКл/м2.

?

4

PR3

( 3.49 ) Расстояние между пластинами плоского конденсатора составляет V111 и iihiiii^ d 二 1 см, разность потенциалов U = 200 В. Определите поверхностную плотность о' связанных зарядов эбонитовой пластинки (е = 3 ), помещенной на нижнюю пластину конденсатора. Толщина пластины 厶=8 мм

r2> R

Z)? • 4тг乃

3n小p ,

d2 = 2()e2，

%詳

Дано

^ - 1 СМ

U 二 200 В

厶二 8 мм

Е = 3

Решение

^Отзет ) & = i,88 k £2 二 8,37 в/м.

G‘ = P 二 X£0^2

d｝ = d~d2,

U = /4+E2d2，* i

4 =用/£, d

U

e -

£（d一心）+么

力I - О

(3.51 J Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 5 мм, J / разность потенциалов U 二 1,2 кВ. Определите: 1) поверхностную Мотноств заряда на пластинах конденсатора; 2) поверхностную плотность свя- занных зарядов на диэлектрике, если известно, что диэлектрическая воспри- имчивость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами, к = L

（2-1）£t

£（d一心）+ d2

Ответ ^。，= 253 нКл/м2.

Дано

Решение

£ = 7,

d ~5 мм = 5 Т0「з м

U 二 Ed,Л =—,

0 = 1 кВ=103В

1) Е -?

2) о — ?

3) ь —?

а' = р= D-£оЕ = S£qE - £оЕ =(£ 一 1)% 瓦

Пространство между пластинами плоского конденсатора запол- нено стеклом(£ = 7). Расстояние между пластинами d = 5 мм、 разность потенциалов U = 1 кВ. Определите: 1) напряженность поля в стекле； 2) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора; 3) поверхнос- тную плотность связанных зарядов на стекле.

СОтвет

j 1) Е = 200 кВ/м; 2) а = 12,4 мкКл/м2;

3) а, = 10,6 мкКл/м2.

Определите расстояние между пластинами плоского конденсатора, если между ними приложена разность потенциалов U = 150 В,

причем площадь каждой пластины 5 = 100 см2, ее заряд 0 二 10 нКл. Диэлект

Дано

Решение

и = 150 В

S = 100 см2 = IO'm2

Q = 10 нКл-IO-8Кл

£ = 7

d —?

c =——, d

丁=77，

c=2

,%£SU a =.

Q

d =

9,29 мм.

риком служит слюда (£ = 7).

<ж>

К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена раз- ность потенциалов % 二 500 В. Площадь пластин S = 200 см2, расстояние между ними d 二 1,5 мм. После отключения конденсатора от источ- ника напряжения в пространство между пластинами внесли парафин (е = 2). Определите разность потенциалов U2 между пластинами после внесения диэлектрика. Определите также емкости конденсатора Q и С2 до и после внесе- ния диэлектрика.

Дано

Решение

本 500 В

S 二 200 см2 = 2- 10"2 м2 d 二 1,5 мм = 1,5 • 10 3 м £ = 2

u2一？

Q

Й - 2з = Q ~ const, 0 二一=const, % - 一， S£o

E2 = g, G = E0, U2 = E2d, 4=5，

G号，g书=日 aa

& ―? ( Ответ、

)U2 - 250 В, q =118 пФ, C2 = 236 пФ.

[3・55 ) Решите предыдущую задачу для случая, когда парафин вносится 、—，в пространство между пластинами при включенном источнике

питания.

Дано

Решение

4=500 В

S = 200 см2 = 2 ТО" м2 d = l,5 мм = 1,5 • 10-3 м 0

& — ?

U\=U?=U = const, ad

С24 = 500 в, q = 118 пФ, С2 = 236 пФ.

<и>

Определите емкость коаксиального кабеля длиной 10 м, если р@、 диус его центральной жилы 彳=1 см, радиус оболочки г2 二 L5 см

а изоляционным материалом служит резина (£ = 2,5).

Дано

/ = 10 м

勺=1 см = 10~2 м

г2 = 1,5 см = 1,5 • 10~2 м

£ = 2,5

С —?

С Ответ

Решение

)С = 3,43 нФ.

Определите напряженность электростатического поля на расстоянии J = 1 см от оси коаксиального кабеля, если радиус его центральной жилы 八二 0,5 см, а радиус оболочки 々二 L5 см. Разность потенциа-

лов между центральной жилой и оболочкой U = 1 кВ.

Дано

d = 1 см = 10 2 м 外二 0,5 см = 0,5 • 10-2 м & = 1,5 см = 1,5 ■ 10~2 м t/ = l кВ = 103В

Е —?

Решение

Е =,

2jtEQed

27r%£ U

^ Ответ ^ е = 91 кВ/м.

竹，

e3旦

и и

2л£о£/

2 冗 ％£[/

In —立族餌

㈠丿

4

Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сфер радиусами г( = 5 см и ^ = 5,5 см. Пространство между обкладка- мп конденсатора заполнено маслом (е = 2,2). Определите: 1) емкость этого конденсатора; 2) шар какого радиуса, помещенный в масло, обладает такой же емкостью»

вет ^ 1)с = 135 пФ; 2) г = 0,55 м.

) Определите напряженность электростатического поля на расстоянии х = 2 см от центра воздушного сферического конденсатора,

образованного двумя шарами (внутренний радиус 厶=1 см, внешний—- 〃二 3 см), Между которыми приложена разность потенциалов U = 1 кВ.

Дано

Решение

х = 2 см = 2 • 10-2 м 外二1 см = 10~2 M г2~3 см = 3 • Ю-2м U = 1 кВ-103В

Е —?

1 0

4ТГ£О£ X2

Q = cu,

С = 4те0е-^-,.

尸2一外

£ 二4jT£q£ U _z- - ~~5•

4ж0£ r2 -r\ X X 〃一(

(Omeetn ) e = 37,5 kb/m.

Два плоских воздушных конденсатора одинаковой емкости соединены параллельно и заряжены до разности потенциалов U = 300 В. Определите разность потенциалов этой системы, если пространство между Дастинами одного из конденсаторов заполнено слюдой (г = 7).

(3.61) Разность потенциалов между точками 4 и В。= 9 В. Емкость、- J конденсаторов соответственно равна Q = 3 мкФ и С2 - 6 мкд

Определите: 1) заряды 0 и 2з，2) разность потенциалов U】и 4 наобкладк* каждого конденсатора.

Дано

[/ = 9 В

С] =3 мкФ = 3 ■ Ю^Ф

С2 = 6 мкФ = 6 • 10*^ Ф

Решение

и = ut + u2,

Ql = 02 = Q = COnSt ,

2, 02 一？

5,4—？

U =仿+

CQ”％,

q =

q + c2

С, с2

e『纟

6

02 =U—%，01 = 02 = G%.

Ответ J % = 6 в, % = з в, & = 0 = 18 мкКл.

( 3.62 ) Емкость батареи конденсаторов, образованной двумя последова- '，тельно соединенными конденсаторами, С = 100 пФ, а заряд

0 二 20 нКл. Определите емкость второго конденсатора, а также разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора, если Q 二 200 пФ.

Дано

Решение

С = 100 и①=10-1° ①

1 1 1

0 = 20 нКл-2- 10~8Кл

01 二02 二0= COnSt ,

q 二 200 пФ = 2- 10Ч0Ф

C片旦，仿=纟，

с2 —?

2 G 一

Ц- —?

(Ответ ) с? = 200 пФ,

U] = 100 в,

02—？

u2=100 в.

^^ ^Л Определите емкость С батареи конденсаторов, изображенной на \二山：-У^ рисунке. Емкость каждого конденсатора £ = 1 мкФ.

£^64 ) Уединенная металлическая сфера электроемкостью С = 4 пФ за—^ ряжена до потенциала * = 1 кВ. Определите энергию поля, зак

люченную в сферическом слое между сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в 4 раза больше радиуса уединенной сферы.

Дано

Решение

С = 4 пФ = 4 • 10_,2 Ф

с

c = 4痂0&" =,

屮=1 кВ = 103 В

4%%

R产4K

勿一？

Е = ~^, 2 = С/, 4^£0r

勺…偿7*爵喧拄算一心

<g>

Две концентрические проводящие сферы радиусами R}= 20 сми & 二 50 см заряжены соответственно одинаковыми зарядам^ 2-100 нКл. Определите энергию электростатического поля, заключенного между этими сферами./

/^•67”) Сплошной шар из диэлектрика радиусом R = 5 см заряжен рав- 、— 一 А номерно с объемной плотностью р = 10 нКл/м3. Определите энер- ^до электростатического поля, заключенную в окружающем шар пространстве.

"Otneetn ) w = 2,46 пДж.

@68)тар,погруженный в масло (£ = 2,2), имеет поверхностную плот— ность заряда а = 1 мкКл/м2 и потенциал 勿=500 В. Определите:

1) радиус шара; 2) заряд шара; 3) емкость шара; 4) энергию шара.

a

Дано

:1 мкКл/м2 = 10"6 Кл/м2

500 В

Решение

Q-aS-a- 4 九№,

"4%£0£ R £0£

(3 > ) Сплошной эбонитовый шар (г ~ 3 ) радиусом К = 5 см заряжен ^*™ '^^ равномерно с объемной плотностью\р = 10 нКл/м3. Определите энергию электростатического поля, заключенную Внутри шара.

1) R -? 2)0一？

3) C -?

4)犷一？

R = ^,

С = Але^еЯ ,

吟如

2

Ответ Л i) r = 9,74 мм； 2)0 = 1,19 нКл；Z 3) С = 2,38 пФ; 4)少=0,3 мкДж.

Дано

Решение

£ 二 3.

К = 5 см

р = 10 нКл/м3 = 1 (У^8 Кл/м3

W —1

D2 "2 W ==,

2с0£ 18е0£

£пеЛ2 「 Q?.

d% = wdP, w =, Е ,= 4пг d/s

2££()

^£>n AS = ^p^V D-^яг2 = р~7гг3, D 二々'

&2 4 R

W = [wdV = fw・4лт? dr = — [r4 dr =

J J侬庐J

('б

В однородное электростатическое поле напряженностью £0 = 700 В/м перпендикулярно полю поместили стеклянную пла

стинку (£ = 7) толщиной d = 1,5 мм и площадью 200 см2. Определите: 1) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 2) энергию электростатического поля, сосредоточенную в пластине.

赛 1 沿QOmeemJ w = 0^_

— Дано

Решение

Eo = 700 В/м

£ = 7

d = l,5 мм = 1,5 • 10~3m

S = 200 cm2 =2- 10 2m2

Е

=且，D = %eE, D = e0E + P, £

二尸=£o(£ _ 1)E =%(£- ) £

°，( Omeem )

0’ 一？

W

= ^t，Sd = ^-Sd.

o' = 5,31 нКл/м2;

22e

W = 9,29 пДж.

пластин.пластин.1)02 = 1，5 kв;1)02 = 1，5 kв;2) / = 2,5 мкДж.2) / = 2,5 мкДж.ном (£ 二 2). Определите силу притяжения пластин друг к другу.ном (£ 二 2). Определите силу притяжения пластин друг к другу.毎毎

пластин.

пластин.

1)02 = 1，5 kв;

1)02 = 1，5 kв;

2) / = 2,5 мкДж.

2) / = 2,5 мкДж.

ном (£ 二 2). Определите силу притяжения пластин друг к другу.

ном (£ 二 2). Определите силу притяжения пластин друг к другу.

毎

毎

Плоский воздушный конденсатор емкостью С = 10 пФ заряже^ до разности потенциалов Ц 二 500 В. После отключения кондец.

сатора от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатор^ было увеличено в 3 раза. Определите: 1) разность потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению

К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов Ц 二 500 В. Площадь пластин S = 200 см；

расстояние между ними & = 1,5 мм. Пластины раздвинули до расстояния J2 =15 мм. Найдите энергию % и % конденсатора до и после раздвижения пластин, если источник напряжения перед раздвижением: 1) отключался; 2) не отключался.

Дано

Решение

U\ =500 В

q=手，

C2

_ £°S

S - 200 см2

=2 ・ IO- м2

4

4 = 1,5 мм 二

1,5- 10-3м

1)1 Q = const

。№ = c2u2,

d2 =15 мм =

Q - const

U = const

1,5 TO-2 M

12

22

ё戸次 24 '

%sEu； 2d2片

1) %, % —

9

二防于；

2）阳，% 一

?

2)| U = const

J 0

=C山，

02 = g。1，

12

24，

22

外 SU/d、 2d2&

Ответ J 1) % = 14,8 мкДж, 眩=148 мкДж;

2) % =14,8 мкДж, W2 =1,48 мкДж.

(3.72 ) Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора 'i ・“/ U н 100 В. Площадь каждой пластины S = 200 см2, расстояние между пластинами d = 0,5 мм, пространство между ними заполнено парафи-

( 3.73 ) Пространство между пластинами плоского конденсатора запол- 、 нено слюдой (г = 7). Площадь пластин конденсатора составляет 50 см2. Определите поверхностную плотность связанных зарядов на слюде, если пластины конденсатора притягивают друг друга с силой 1 мН.

Дано

Решение

£ = 7”

S = 50 см2 = 5 - 10"3 м2

尸=1 мН 二 lO-з н

о1 一？

Q^oS,例=上=点，

J 2%£S 2e0£

1 2b

V S£0£ Y £q£S

0，= £0(£ - 1)E =(£ - OJ^— •

V eS

@^以0忆)о, = 4,27 мкКп/м?.

Пространство между пластинами плоского конденсатора запол^ нено стеклом (^ = 7). Когда конденсатор присоединили к источнику напряжения, давление пластин на стекло оказалось равным 1 Па. Определите: 1) поверхностную плотность зарядов на пластинах конденсатора; 2) электрическое смещение; 3) напряженность электростатического поля в стекле： 4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 5) объемную плотность энергии электростатического поля в стекле.Пространство между пластинами плоского конденсатора запол^ нено стеклом (^ = 7). Когда конденсатор присоединили к источнику напряжения, давление пластин на стекло оказалось равным 1 Па. Определите: 1) поверхностную плотность зарядов на пластинах конденсатора; 2) электрическое смещение; 3) напряженность электростатического поля в стекле： 4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 5) объемную плотность энергии электростатического поля в стекле.3.2. Постоянный электрический ток3.2. Постоянный электрический токСила тока в проводнике равномерно нарастает от /° 二 0 до / = 2 А в течение времени т = 5 с. Определите заряд, прошедший по проСила тока в проводнике равномерно нарастает от /° 二 0 до / = 2 А в течение времени т = 5 с. Определите заряд, прошедший по проводнику.воднику.ДаноРешение£ = 7р = 1 Н/м22£0sS 2£0£S 2%£'о — ?£> -?3)Е-?4)。'-?5) w — ?D0=/2%叩,D = o,DE =——， £o£o' = 乂 EqE 二 ％(£ "1)£,w =—-—.^ Ответ )1)СТ = 11,1 мкКл/м2;2)D =11,1 мкКл/м ,3)Е = 179 кВ/м;4)9,5 мкКл/м2;5)w = 0,992 Дж/м3.ДаноРешение£ = 7р = 1 Н/м22£0sS 2£0£S 2%£'о — ?£> -?3)Е-?4)。'-?5) w — ?D0=/2%叩,D = o,DE =——， £o£o' = 乂 EqE 二 ％(£ "1)£,w =—-—.^ Ответ )1)СТ = 11,1 мкКл/м2;2)D =11,1 мкКл/м ,3)Е = 179 кВ/м;4)9,5 мкКл/м2;5)w = 0,992 Дж/м3.ДаноДаноРешениеРешениеСила притяжения между двумя разноименно заряженнымиобкладками конденсатораСила притяжения между двумя разноименно заряженнымиобкладками конденсатора/о 二 О/ 二 2 А г = 5 с/о 二 О/ 二 2 А г = 5 с0一？0一？d0=/df,/ = ",d0=/df,/ = ",% ==丄， dQ = ktdt,% ==丄， dQ = ktdt,Ответ j б = 5 Кл.Ответ j б = 5 Кл.7г7гОпределите плотность тока, если за 2 с через проводник сечением 1,6 мм2 прошло 2 • 1019 электронов.Определите плотность тока, если за 2 с через проводник сечением 1,6 мм2 прошло 2 • 1019 электронов.ДаноРешение，二 2 cS = 1,6 мм2 = 1,6 • IO-6 m2^ = 2•1019 :j —?Ne。二 Ne,J"~St'(ОтветЛ 7-ia/mm2.ДаноРешение，二 2 cS = 1,6 мм2 = 1,6 • IO-6 m2^ = 2•1019 :j —?Ne。二 Ne,J"~St'(ОтветЛ 7-ia/mm2.Плотность тока в проводникеПлотность тока в проводнике［用=0?=也=迫至. '

Пространство между пластинами плоского конденсатора запол^ нено стеклом (^ = 7). Когда конденсатор присоединили к источнику напряжения, давление пластин на стекло оказалось равным 1 Па. Определите: 1) поверхностную плотность зарядов на пластинах конденсатора; 2) электрическое смещение; 3) напряженность электростатического поля в стекле： 4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 5) объемную плотность энергии электростатического поля в стекле.

Пространство между пластинами плоского конденсатора запол^ нено стеклом (^ = 7). Когда конденсатор присоединили к источнику напряжения, давление пластин на стекло оказалось равным 1 Па. Определите: 1) поверхностную плотность зарядов на пластинах конденсатора; 2) электрическое смещение; 3) напряженность электростатического поля в стекле： 4) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 5) объемную плотность энергии электростатического поля в стекле.

3.2. Постоянный электрический ток

3.2. Постоянный электрический ток

Сила тока в проводнике равномерно нарастает от /° 二 0 до / = 2 А в течение времени т = 5 с. Определите заряд, прошедший по про

Сила тока в проводнике равномерно нарастает от /° 二 0 до / = 2 А в течение времени т = 5 с. Определите заряд, прошедший по про

воднику.

воднику.

Дано

Решение

£ = 7

р = 1 Н/м2

2£0sS 2£0£

S 2%£'

о — ?

£> -?

3)Е-?

4)。'-?

5) w — ?

D0=/2%叩,

D = o,

D

E =——， £o£

o' = 乂 EqE 二 ％(£ "1)£,

w =—-—.

^ Ответ )

1)

СТ = 11,1 мкКл/м2;

2)

D =

11,1 мкКл/м ,

3)

Е = 179 кВ/м;

4)

9,5 мкКл/м2;

5)

w = 0,992 Дж/м3.

Дано

Решение

£ = 7

р = 1 Н/м2

2£0sS 2£0£

S 2%£'

о — ?

£> -?

3)Е-?

4)。'-?

5) w — ?

D0=/2%叩,

D = o,

D

E =——， £o£

o' = 乂 EqE 二 ％(£ "1)£,

w =—-—.

^ Ответ )

1)

СТ = 11,1 мкКл/м2;

2)

D =

11,1 мкКл/м ,

3)

Е = 179 кВ/м;

4)

9,5 мкКл/м2;

5)

w = 0,992 Дж/м3.

Дано

Дано

Решение

Решение

Сила притяжения между двумя разноименно заряженнымиобкладками конденсатора

Сила притяжения между двумя разноименно заряженнымиобкладками конденсатора

/о 二 О

/ 二 2 А г = 5 с

/о 二 О

/ 二 2 А г = 5 с

0一？

0一？

d0=/df,/ = ",

d0=/df,/ = ",

% ==丄， dQ = ktdt,

% ==丄， dQ = ktdt,

Ответ j б = 5 Кл.

Ответ j б = 5 Кл.

7г

7г

Определите плотность тока, если за 2 с через проводник сечением 1,6 мм2 прошло 2 • 1019 электронов.

Определите плотность тока, если за 2 с через проводник сечением 1,6 мм2 прошло 2 • 1019 электронов.

Дано

Решение

，二 2 c

S = 1,6 мм2 = 1,6 • IO-6 m2

^ = 2•1019 :

j —?

Ne

。二 Ne,J"~St'

(ОтветЛ 7-ia/mm2.

Дано

Решение

，二 2 c

S = 1,6 мм2 = 1,6 • IO-6 m2

^ = 2•1019 :

j —?

Ne

。二 Ne,J"~St'

(ОтветЛ 7-ia/mm2.

Плотность тока в проводнике

Плотность тока в проводнике

2£卢5 2%£2

==

<232>

「де(V)— скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике; п — кон-

З^н^рация зарядов.

<233>

^3.77^ По медному проводнику сечением 0,8 мм2 течет ток 80 мА. Най- ' ,,"'"11I / дите среднюю скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника, предполагая, что на каждый атом меди приходится один сво.

бодный электрон. Плотность меди р = 8,9 г/см3.

Кз =

Определите общее сопротивление между точками 4 и В цепи, представленной на рисунке, если К==1 Ом, &=3 Ом, 及=& 二 2 Ом, g = 4 Ом.

Дано

Решение

S 二 0,8 мм2 = 0,8 • 10-6 м2

7 = 80 мА = 8 • 10-2 А

尸G,j =.

п 二 川

р 二 8,9 г/см3 =

嗑 m

-8,9 ■ 103 кг/м3

М 二 63,5-10~3 кг/моль

丄=迎小〉，

е = 1,6 10~19 Кл

А\ =6,02」产 M0Jlb-i

、/ N^peS

强吗)⑺= 7,4 мкм/с.

Дано

Решение

3.78)

Дано

Решение

/ = 500 м

7 = 20 А

р = Nm® ,

j = ne{v), п = у,

m = 9,ll-10-31 кг

е = 1,6 10"19 Кл

р —?

、/ Ne,

р 二 Nm(y\ = ^^-.

Определите суммарный импульс электронов в прямом проводе длиной / = 500 м, по которому течет ток / = 20 А.

(°用6咖)р = 5,69• 10-8 "м/с.

凡

灭2

1 Ом

3 Ом

Ез =及=® = 2 Ом 及=4 Ом

R —?

r2365 =

%б&

r236 +总

с R12365&4

&12365 + “4

Рисунок 6) — эквивалентная схема.

r36 =

R3&

Кз + 凡，

а)

,«2365 二凡 + &2365，①

Ответ^ 灭=1,20м.

А

R236 = 口2 + R36，

R % Аз В

凡

凡

凡

Rs

■CZb

CZH

Определите сопротивление проволочного каркаса, имеющего форму куба, если он включен в цепь между точками Л и В. Сопротивление каждого ребра каркаса 7 = 3 Ом.

Дано

г = 3 Ом

Решение

а)

R —?

Рисунок б) — эквивалентная схема.

D г г 5г

А ~ 1- 1--二 >

3 6 3 6

QOfneetn ) r=2,5 Ом.

4

6Vо^

7

в

[ 3・81 J Вольтметр, включенный в сеть последовательно с сопротивлени ~ ，ем А】,показал напряжение % = 198 В, а при включении после， довательно с сопротивлением 且 二 2& показал t/2 = 180 В： Определите со.

противление 用 и напряжение в сети, если сопротивление вольтметра г 二 900 Ом

Дано

Решение

5=198 В

U = const 1

厶=П，‘2,

4 =180 В

R] + Г .& + 尸

尸=900 Ом

Ur % = hr =,

&2 +尸

& — 2R]

5 _ 3— D 丄，

j一？ и —?

01（公+，）=。2（&十L），u1（五］十尸）=6（2R1+f）, 招噸片；。/亭j j"

^ Ответ ^

&1=100

Ом, U = 220 В.

(82 ) В цепи на рисунке амперметр показывает силу тока / = 1,5 А. Сила

■■" - тока через сопротивление R〔 равна 厶二 0,5 А. Сопротивление

&二 2 Ом, R3 = 6 Ом. Определите сопротивление R 】，а также силу токов /2

и 厶，протекающих через

Дано

сопротивление g и g.

Решение

R

&

А)°

/ 二 1,5 А

4 二 0,5 А

& = 2 Ом

/"+/2 + 4， U二 const,

JR&马Г

* Г 1 Кз

m二/-

厶，

&з 工 6 Ом

一V2 1 厶丿 D D，'2

咼一？

R ：(/-厶/2R3/ =2=

|厶(以 + r3)' 2一%-

«1

「3 =

厶咼 及з ’

2, Ответ、

/3 — ? 1」

)尺 1 = 3 Ом, 厶=0,75 А,

/3 = 0,25 А.

—

Дано

Решение

/二 0,6 a

.„ Е

/ = уЕ =—,

d = 0；l мм= 10" м

Р

/ 二 2200 ℃

S 二 6 мм2

1)力=¥% =—, Pi

Pi = Po(l + S),

夕° 二 55 нОм • м =

= 5,5 • 10-8 Ом м 以二 0,0045 °C1

//

"丁丽'

4/

&二丿Mi=^lA)(l + af)・

р = 17 нОм ■ м =

=1,7 • 10-8 Ом • м

2)/2 --， P

)2 二 F，^2~ Ph~~-

1) & — ? 2) ^2 — ?

(Отбет )

1) Д - 45,8 В/м;2)当二 1,7 mBAl

Через лампу накаливания течет ток, равный 0,6 А. Температура вольфрамовой нити диаметром 0,1 мм равна 2200 ℃. Ток подводится ^едным проводом сечением 6 мм2. Определите напряженность электрического поля: D в вольфраме (удельное сопротивление при 0 ℃ р0 = 55 нОм。м, температур- 毋应коэффициент сопротивления а = 0,0045 °С~1); 2) в меди (р = 17 нОм • м).

& I По алюминиевому проводу сечением S 二 0,2 мм2 течет ток / 二 0,2 А. Определите силу, действующую на отдельные свободные электроны со стороны электрического поля. Удельное сопротивление алюминия р = 26 нОм • м.

Дано

Решение

S = 0,2 мм2 = 0,2 ТО"6 м2 』2А

Р = 26 нОм * м = =2$ ■ 10-8 Ом ■ м

е = 1,6 1049 Кл

ЕI

F = eE,/ = уЕ = —,丿=不，

Р$、

IEIpIp

-Л -,F - e.

S 0S 's

(ответ )…，⑥^也 h.

<237><237>

<237>

<237>

I Сила тока в проводнике сопротивлением К = 120 Ом равномерно возрастает от /0 = 0 до /тах =5 Аза время т = 15 с. Определите вЬ1делившееся за это время в проводнике количество теплоты.

Дано

Решение

Дано

Решение

P = 1 кВт = 103 Вт

U = 220 В

R=p^ =

Po(l + G$,

d - 0,5 мм = 0,5 • IO-3 м

R

"900 °C

„ nd2

b U2 s =~pp =

p0 = 1 мкОм • м =

S = 丁，

4Pp0(l + aty

二 10-6 Ом * м а = 0,4 10-3 к-1

Электрическая плитка мощностью 1 кВт с нихромовой спиралью предназначена для включения в сеть с напряжением 220 В. Сколь, ко метров проволоки диаметром 0,5 мм надо взять для изготовления спирали если температура нити равна 900 ℃? Уцельное сопротивление нихрома при 0。《 Pq = 1 мкОм • м, а температурный коэффициент сопротивления а = 0,4 • 10~3 K~L

К = 120 Ом

/о 二 0

Апах =5 А г = 15 с

0一？

?

^^^^^ / = 6,99 м.

(W Два цилиндрических проводника одинаковой длины и одинаково- 、f ‘* 歹 го сечения, один из меди, а другой из железа, соединены параллельно .Определить отношение мощностей токов для этих проводников. Удельные сопротивления меди и железа равны соответственно 17 и98 нОм • м.

Дано

Решение

d0=/2Rdf,

I = kt,

Q=^&Q=^Rt2 &t = —Mr/ . о3 '

^ Ответ J 0 = 15 кДж.

任％ NS I Сила тока в проводнике сопротивлением 7?= 100 Ом равномерно У ”询 / убывает от 70 =10 Адо / = 0 за время т = 30 с. Определите вы

делившееся за это время в проводнике количество теплоты.

Q Ответ ^ с = 1 оо к^ё

Определите напряженность электрического поля в алюминиевом проводнике объемом К = 10 см3, если при прохождении по нему постоянного тока за время Г = 5 мин выделилось количество теплоты Q = 2,3 кДж. Удельное сопротивление алюминия р-26 нОм • м.

“ 一” 一4

Sr = S2 — s

Pi =17 нОм • м =

= 1,7-10-8Омм

02 二 98 нОм • м =

-9,8 ТФ Ом • м

U = const

n US

^1 = ^1-,

n U2sA =-Г

02 /

4 二。2 巴Pl

Дано

Решение

л_?

Отеет ) ^=5,76

^ = 10 см3 = 10^5 м3 f = 5 мин = 300 с 2=2,3 кДж = 2,3 103Дж

Р 匚 26 нОм * м =

= 2,6- IO'8 Ом м

W吟，e =脚需

Е -?

Ответ ^ £ = о,141 в/м.

<§>

(3：宓) Плотность электрического тока в медном проводе равна 10 А/см、 Определите удельную тепловую мощность тока, если удельное

сопротивление меди р = 17 нОм • м.

На рисунке &产&二仆=100 Ом. Вольтметр показывает Uy = 200 В, сопротивление вольтаетра Rv~ 800 Ом. Определи- 仅 ЭДС батареи, пренебрегая ее сопротивлением,

Ответ ^ w = no дж/(м3 -с).

Дано

Решение

(3.91 I Определите ток короткого замыкания источника ЭДС, если при ' 丿 внешнем сопротивлении R * = 50 Ом ток в цепи 厶=0,2 А, а при ^2=110 Ом — 4=00 А.

R 尸A2 =R3 = 1°0 0m

Uy

Ry

200 В

800 Ом

Дано

Решение

1у=曳

Rv

1Х~ 1у+12,

厶=

鸟+

Л =

Uy

R2 + R3

步

又"& +r3)'

Кз

R р+ % + &з

& = 50 Ом

/j - 0,2 A

&2 =110 Ом

72 二 0,1 A

人=忘7

Ry及十R3八

R I R* (&2 + R3)Rp+ R2 + R3,

Ответ J 环=325 в.

‘2 =

&2 +尸

人(r1 +r)=厶⑷+Г)，

4з — ?

f 二4а2 -人а1

-厶-厶

/К/=厶(%+Г),

43 -厶(，+1)=厶

代（厶-4）门厶r2 -/田1>

О^ее”) 〃 = IN а

G^J В цепь, состоящую из батареи и резистора сопротивлением К = 8 Ом- включают вольтметр, сопротивление которого Rv= 800 Ом, один раз последовательно резистору, другой раз — параллельно. Определите внутреннее сопротивление батареи, если показания вольтметра в обоих случаях одинаковы.

Ответу г = 0,08 ом.

На рисунке сопротивление потенциометра R= 2000 Ом, внутреннее сопротивление вольтаетра Rv- 5000 Ом, Uq = 220 В. Определите показание вольтметра, если подвижный контакт находится посередине потенциометра.

Дано

R = 2000 Ом Ry= 5000 Ом

и。= 220 В

A= 4 = //2

% — ?

% = IvRy= у

Решение

R 灭产及=万，

R/2 ly

Ry /0-/r

“尺/2+&р

因25®

火/2 +謂霜

(R/2+Ry)

仇

R

一 R/2 + 2R”

Ответ ^ uv = \w в.

(3.95) Определите ЭДС 匿 и внутреннее сопротивление г ^источника ность 10 Вт, а при силе тока 2 А мощность 8 Вт.

Дано

Решение

厶=4 А

P = *I,^=I{R + r),~

4=10 Вт 厶=2 a

4 -各厶1х Г ,Г -尸'号一行/2~/2『，

建=8 Вт

4 二环 /2 -^■(环 /] - 6),?) =笈厶一冬区+6 & .

行一？ г —?

阅儿明 吋十

不=5,5

В; г = 0,75 Ом.

На рисунке &=尺2=50 Ом,危=100 Ом, С = 50 нФ. Определите ЭДС источника, пренебрегая его внутренним сопротивлением.

еслИ заряд на конденсаторе 0 = 2,2 мкКл.

&二 У 50 Ом

&=100 оm

С = 50 нФ = 5 ■ 10~8Ф

q 二 2,2 мкКл =

= 2,2 • 10-6Кл

Решение

?二 0(%+&)

-CRxR2

% = и”з = £ 1+("：?"』・(Omaem、名二 220 в

C lr1尺2丿、/

(3. 丿 Даны четыре элемента с ЭДС 歹二 1,5 В и внутренним сопротивле-

* нием г - 0,2 Ом. Как нужно соединить эти элементы, чтобы получить от собранной батареи наибольшую силу тока во внешней цепи, имеющей сопротивление R = 0,2 Ом? Определите максимальную силу тока.

Дано

Решение

%=4

乡=1,5 В

Р= п卷I -卩—г [пит соответственно число т

у = 0,2 Ом

последовательно и параллельно соединенных элемен-

& = 0,2 Ом

ТОВ]，/=41aX，— = 0,— = «^-2/—Г = 0,

▲max.

东 + /-戸-2?-г н 0, тт

т

(j 98、На рисунке R尸 R, R^ZR、R3~ 3R. T?4= 47?. Определите за- 、-『川 丿 ряд на конденсаторе.

Дано

Решение

СR3

& = R ' '

R2 = 2R

E = 3R

/0 = /] = /2 /4,

厶=/3'

R?3 = R? + 区3 = 5R,

R T R, i™EZJ•~CZZ]

R4 = 4R

2 —?

403 =厶凡，А =-|/2

2 29 K〃一

nN23A4川八“「

234旦з +凡9

c 20R 297?,[/0 _ 9%

% = N+7?234 = R+丁三丁，/。=蔦=荻，

5999 U

厶 + 厶一厶 + /2 = Л = А),/2 =

24 2 44429 尺

17,17

厶耳 + 厶r2 = ^仇，0 = Cuc : ^UqC .

<®>

L/

(3.99 ) В плоский конденсатор, расстояние между пластинами которое d ~5 мм, вдвигают стеклянную пластину (£ = 7) с постоянной скоростью ^ = 50 мм/с. Ширина пластины Ь 二 4,5 мм, ЭДС батареи 庐二 220 В. 0瓜 ределите силу тока в цепи батареи, подключенной к конденсатору.

ДаноРешение

^*^ 1П1、IE рисунке 酋=多=斎，N 二48 Ом, 、二 & = 24 Ом, падение напряжения U2 HH сопротивлении & равно 12 В. Пренебрегая внутрен-

^^ сопротивлением элементов, определите: 1) силу 七％

за во всех участках цепи; 2) сопротивление 咼.

韻

Кз

d = 5 мм = 5 T 0 з м

£ = 7

и м 50 мм/с = 5 • 10-2 м/с b 二 4,5 мм = 4,5 ■ 10~3 м # = 220 В

/ —?

d/ 5 dQ = a'vb dt, o' = % 乂 E,

x=£-l,

(Отбет) i)4 = 0,25 а,厶=о,5 а, /3 = 0,75 а； 2)鸟=16 ом.

/ = £0(£-l) jub.

Ответ ^ / = 526 nA.

(3.100) Два источника тока с ЭДС = 2 В и =1,5 В и внутренними сопротивлениями 八二 0,5 Ом и ^ - 0,4 Ом включены параллельно сопротивлению R-2 Ом. Определите силу тока через это сопротивление.

Дано

Решение

4 二 2 в

芍=1,5 В

Г] - 0,5 Ом

〃 =0.4 Ом

R-2 Ом

/=厶 + /2，

/R+厶厶二彦I，

IR + /2T ~ 多，

R彳+彳生+ Rr?

Дано

Решение а)

Rz

歹=2 В

f=人+厶，

R】二 60 Ом

R2 二 40 Ом

/2十厶=/，，

& 二 /?4 二 20 Ом

|h

色=100 Ом.

卜 1&1十厶r2 方，

—►Л

厶&3 +厶凡h若,

L—二]

，G — ?

厶4 +厶& +（凡=次；

厶

6/|+4厶=0,2,

6/1 + 4(/]-左) = 02

■27з + 274 = 0,2,t

2(74-/g) + 274 = 0,2,'

|6/1+10/g + 2/4 = 0,2;

6厶 + 10厶 + 2厶=0,2;

4——

10/,-47g = 0,2 - 6 = Of & '4Z4-27g=0,2 -> 厶=。纟产,

+ 10，g + 2|

На рисунке 歹=2 В,凡=60 Ом, & - 40 Ом, R3 = R^~ 20 Ом и & = 100 Ом. Определите силу тока IG через гальванометр.

64+10% + 2厶=0,2,6产:；厶

屮=0,2,

/ —?

1,2 + 24%+ 100/g + 1 + 10/g = 2,134% = -。,2, 7G --1,49-10~3 А.

)/ = 0,775 A.

/G = 1,49 мА, направлен в сторону, противоположную первоначально выбранной.

На рисунке ^ = 10 В,团=20 В,国=40 В, а сопротивлений j— Ri = R2 = R3 = r = i。Ом. Определите силу токов, протекающ^ через сопротивления (7) и через источники ЭДС (Г). Внутреннее сопротивле, ние источников ЭДС не учитывать.

3.3. Электрический ток в металлах,в вакууме и газах

Дано

Решение

(3.1 °4 J Определите минимальную скорость электрона, необходимую для\^-——*^ ионизации атома водорода, если потенциал ионизации атома во-

^ = 10 в

^ =20 В

蜀==40 В

R[=R2 =马=R=i° ом

厶，4，，3 — ？

4,4, 4 一？

•厶鸟+4g=%, 4r2=後+着；

Выберем направления токов (рисунок б).

4'^"7b

+ = = + 厶44 ;+ = "厶4%

Дано

Решение

一

и, = 13,6 в

е = 1,6-10-19 Кл

С%— О ，Umm-*•

2V м

ОТ = 9,И-Ю-3' кг

Umin — ?

(^ Ответ ^ vmin = 2,19 Мм/с.

дорода 〃 二 13,6 В.

(3 ]《 I Отношение работ выхода электронов из платины и цезия、-…:…"^pt/4：s ~ 1，58 . Определите отношение минимальных скоростей

7х-10 = 20,7^10 = 30,

厶尸 2 A,Zj = 3 A,

7r10 + 3-10 = 40;

厶=1 A;

теплового движения электронов, вылетающих из этих металлов.

[Ответ

)vpt/ucs=l,26.

失=3 As4 = 0,4 = -2 A,

Работа выхода электрона из металла А 二 2,5 эВ. Определите скорость вылетающего из металла электрона, если он обладает энер-

4 направлен в сторону, противоположную первоначально выбранной.

гией 少= 1()78 Дж

вет ^ 厶=1 а,4 = з а,厶=2 а,

厶'=2 А,4 = 0,4=3 А.

Дано

4 = 2,5 эВ = 4- 10-19Дж 嗅 1L Дж

Решение

^—= W ~ А , 廿二 д/^(% - А)/т .

и —?

Ответи = 1,15 Мм/с.

Ответ ^ г 二 896 к.Ответ ^ г 二 896 к.Определите работу выхода электронов из металла, если плотность тока насыщения двухэлектродаой лампы при температуре 看 рав-Определите работу выхода электронов из металла, если плотность тока насыщения двухэлектродаой лампы при температуре 看 рав-方一石方一石包包Выведите зависимость скорости изменения плотности термоэлектронного тока насыщения от температуры.Выведите зависимость скорости изменения плотности термоэлектронного тока насыщения от температуры.РешениеРешение/g = 0 f 务二（рАВ 二 1Rab（7 - сила тока в потенциометре）,/g = 0 f 务二（рАВ 二 1Rab（7 - сила тока в потенциометре）,Ответ Лтас=$2门，）广川（打）Z дt I %丿Ответ Лтас=$2门，）广川（打）Z дt I %丿Ток насыщения при несамостоятельном разряде /нас = 6,4 пА. Найдите число пар ионов, создаваемых за 1 с внешним ионизатором.Ток насыщения при несамостоятельном разряде /нас = 6,4 пА. Найдите число пар ионов, создаваемых за 1 с внешним ионизатором.Ответ ^ г = 5 ~Ответ ^ г = 5 ~毎毎

Ответ ^ г 二 896 к.

Ответ ^ г 二 896 к.

Определите работу выхода электронов из металла, если плотность тока насыщения двухэлектродаой лампы при температуре 看 рав-

Определите работу выхода электронов из металла, если плотность тока насыщения двухэлектродаой лампы при температуре 看 рав-

方一石

方一石

包

包

Выведите зависимость скорости изменения плотности термоэлектронного тока насыщения от температуры.

Выведите зависимость скорости изменения плотности термоэлектронного тока насыщения от температуры.

Решение

Решение

/g = 0 f 务二（рАВ 二 1Rab

（7 - сила тока в потенциометре）,

/g = 0 f 务二（рАВ 二 1Rab

（7 - сила тока в потенциометре）,

Ответ Лтас=$2门，）广川（打）

Z дt I %丿

Ответ Лтас=$2门，）广川（打）

Z дt I %丿

Ток насыщения при несамостоятельном разряде /нас = 6,4 пА. Найдите число пар ионов, создаваемых за 1 с внешним ионизатором.

Ток насыщения при несамостоятельном разряде /нас = 6,4 пА. Найдите число пар ионов, создаваемых за 1 с внешним ионизатором.

Ответ ^ г = 5 ~

Ответ ^ г = 5 ~

毎

毎

рмопара железо — константан, постоянная китор^

'а = 5,3」0- В/К и сопротивление R = 15 Ом, замкнута на「球儿

ванометр. Один спай термопары находится в сосуде с тающим льдом, а втор0 ； помещен в среду, температура которой не известна. Определите эту темпера-^ ру, если ток, протекающий через гальванометр, / = 0,2 мА, а внутреннее с0

. противление гальванометра г = 150 Ом.

^3. ] 08^ Термопара 乌 железо—константан и соединенный с нею последовательно гальванометр включены, как показано на рисунке,[泯 歹一батарея с ЭД С, равной 1,5 В. Полное сопротивление потенциометра равно 15 кОм. Холодный спай термопары находится в сосуде с тающим льдом. Постоянная термопары а = 5,3-10~5 В/К. Определите температуру горячего спая термопары, если при сопротивлении RAB - ]50 Ом сила тока в цепи гальванометра равна нулю. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.

Дано

^ =1,5 В К/с = 15 кОм =

=1,5 • 104 Ом а = 5,3・10" в/К 7^ = 273 К Rab =150 Ом 左二。

Т —?

<248>

Потенциал ионизации атома водорода Ц =13,6 В. Определи^температуру, при которой атомы имеют среднюю кинетическую

3.4. Магнитное поле

энергию поступательного движения, достаточную для ионизации.

Дано

Решение

3 = 13,6 в

з

eUj 二一кТ,1 2

2叫

/\ [ [ 4 ) В однородное магнитное поле с индукцией 8 = 0,1 Тл помещена '■ I，квадратная рамка площадью S = 25 см2. Нормаль к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 60°. Определите вра- щаюший момент, действующий на рамку, если по ней течет ток / = 1 А.

РешениеРешениеМ = [Рт，В],М = ртВ since,Pm = * , М 二 /SB sin а .М = [Рт，В],М = ртВ since,Pm = * , М 二 /SB sin а .

Решение

Решение

М = [Рт，В],

М = ртВ since,

Pm = * , М 二 /SB sin а .

М = [Рт，В],

М = ртВ since,

Pm = * , М 二 /SB sin а .

Т — ?

QOmeem ^ ? = 105 кК.

б^У Определите температуру, соответствующую средней кинетичес- ' —丿 кой энергии поступательного движения электронов, равной работе выхода из вольфрама, если поверхностный скачок потенциала для вольфра- ма 4,5 В.

Дано

Решение

з

/ 二绅，

(Р 工 4,5 В ，

' / 2

3

—кТ 二 е(р, 2

Т —?

О"，

т 2е@

3kT

Т = 34,8 кК.

Дано

S = 25 см2 = 25 ТО" м? а 二 60°

/ = 1 А

М — ?

(omgem ) л/ = 217 мкН • м.

В однородном магнитном поле с индукцией В 二 0,5 Тл находится 1' прямоугольная рамка длиной а = 8 см и шириной 6 = 5 см, содержащая ^ = 100 витков тонкой проволоки. Ток в рамке / = 1 А, а плоскость рамки параллельна линиям магнитной индукции. Определите: 1) магнитный момент рамки; 2) вращающий момент, действующий на рамку.

QOnteem ) 1)^ = 0,4 а м?；2)л/ = о,2 н • м.

Основные физические постоянные

Постоянная Больцмана А： = 1,38 10"23 Дж/К

Элементарный заряд е = 1,6 10-19 Кл

Масса покоя электрона те = 9Д1-10'31 кг

Основные физические постоянные

Электрическая постоянная % = 8,85 -10"12 Ф/м

Магнитная постоянная = 4я-10-7 Гн/м

Масса покоя протона тр = 1,627 • 10-27 кг

^^Т~- - -- - 亠-=

РешениеРешение8 = ^^-(cosg -cos«2),8 = ^^-(cosg -cos«2),

Решение

Решение

8 = ^^-(cosg -cos«2),

8 = ^^-(cosg -cos«2),

В однородном магнитном поле с индукцией 3 = 1 Тл находи

- квадратная рамка со стороной « = 10 см, по которой течет 丁(^

/ 二 4 А. Плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции. 0口 ределите работу^, которую необходимо затратить для поворота рамки относц тельно оси, проходящей через середину ее противоположных сторон: 1) на 90°- 2) на 180°; 3) на 360°.'

Ответу i)4 = 0,04 дж； 2)л2 = 0,08 дж； з)л3 = о.

Тонкое кольцо массой Юги радиусом К = 8 cM несет заряд, рав. '「 ^^ номерно распределенный с линейной плотностью т = 10 нКл/м. Кольцо равномерно вращается с частотой л = 15 с_| относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Определите： 1) магнитный момент ^т кругового тока, создаваемого кольцом; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса кольца.

阂 Определите магнитную индукцию В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного провода, в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии К = 4 см от его середины. Длина отрезка провода / = 20 см, а сила тока в проводе /= 10 А.

Дано

r=4 cm =4 Т0"м /二 20 см = 0,2 м

/二 10 A

8一？

а2 = 180°-g ・

(0тбШИ ) В 二 46,4 мкТл.

Дано

Решение

т~\^ г = 10'2 кг

ут Q 「2#及

Pm = /S，1*= в =

衣工 8 см ~ 0,08 м

Т т

е = 10 нКл/м

s = “W, т = 1/“，

“15 L

Pm = 2nnTR- ТГТ?2 二 2я2ит7?3 ,

1)аП 一？

2)厶/上一？

/?

2^nrR,

I Определите индукцию магнитного поля в центре проволочной квадратной рамки со стороной а = 15 см, если по рамке течет ток

/ = 5 А.

L = mvR,管二 a)R 二 2mR, pm /£ - 2空%次3/(勿 27r成2) = ятя/т.

Дано

"15 см - 0,15 м /=5 А

Решение

в-?

«2 =180°-^

。加“°施)1)рт =1,52 нА • м2; 2) pm/L =251 нКл/кг.

В = 4В»,

士D Принимая, что электрон в атоме водорода движется по круговой " орбите, определите отношение магнитного момента рт эквивалентного кругового тока к моменту импульса L орбитального движения электрона

40/

В尸募岡 3sa「cosa2),

(Ответ )學= 87,8 гкл/кг.

8=4・〃о / Zcoscq.

4л (а/2)

8=37,7 мкТл.

По двум бесконечно длинным прямым параллельным провоем находящимся на расстоянии R = 10 см друг от друга в вакуу^ текут токи 厶=20 А и /2 = 30 А одинакового направления. Определите маг, нитную индукцию В поля, создаваемого токами в точках, лежащих на прямой соединяющей оба провода, если: 1) точка С лежит на расстоянии 厶=2 см ле. вее левого провода; 2) точка D лежит на расстоянии 〃 = 3 см правее правое провода; 3) точка G лежит на расстоянии 巧=4 см правее левого провода.

По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми d = 15 см, текут токи 厶=70 А и

厶二 50 А в противоположных направлениях. Определите магнитную индукцию В в точке Л, удаленной на ^ = 20 см от первого и т^ = 30 см от второго проводника.

Дано

Решение

力二 15 см = 0,15 м

Дано

厶=20 A

/2 = 30 A

7? = 10 см = 0,1 м 勺尸 2 cm = 0,02 м 〃 ==3 cm = 0,03 м 巧=4 см = 0,04 м

1) Д -?

2)占一？

3)名-?

Решение

8 = "红4%r

В 2 =

С

b _ &+ м0 2 4人

147r 彳4冗(R+a)'

“о 2厶 J 〃口 2,2

4%(R + 〃) 4тг 〃

/=包弘一竺二

4冗弓 4лг (R-r3)

Ответ j 1)当=о,25 мТл；2)旦=о,23 мТл； з)名=о.

§ По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми d 工 20 см, текут токи 乙=4° А

и /2 ~ 80 Ав одном направлении. Определите магнитную индукцию В в точке Л удаленной от первого проводника на ^ =12 см йот второго —開〃二 16 訓

8 = 120 мкТл.

/1

‘2

=70 A

50 А

；■尸 20 см = 0,2 м

〃 =30 см = 0,3 m

8 —?

夕= 180。”

B]=包厶

2冗戸]

5 2二

g &

27r 尸 2

В = Bj + в2,

В =《В；+ В“ 2В也 cos夕,

в1

d2 二г；+尸^+ 2产 J2 cosa ,

cos a = ,

2, J2

в二=爵/乌 + 与物"s；"一 /)■

2加Vn f2 T2

Ответ ^ 8 = 42,8 мкТл.

(3・] )Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка с J -i 黯 магнитным моментом рт = 1,5 А • м2 равна 150 А/м. Определите: 1) радиус витка; 2) силу тока в витке.

Дано

Решение

Н=150 А/м

Рщ =1,5 А ■ м2

1)及=11,7 см; 2) 7 = 35,1 A.

1) R 一？ 2)/_?

h =—— 2火

Pm =笈 S = 〃T?2

火=寸zI = 2RH.

Определите магнитную индукцию в центре кругового прово; ного витка радиусом R 二 10 см, по которому течет ток 7 = 1 а.

QOmeem ^ в = 6,28 мкТл.

яр*

- кого кольца радиусом R 二 10 см, в точке, расположенной на расстоянии d = 20 см от центра кольца, если при протекании тока по кольцу в центре кольца 8 = 50 мкТл.

-、 J • .I :_——二一一二二二二二 一「二—二 二 ^2::^-^^

（； 26、Определите магнитную индукцию на оси тонкого проволочного

"./ кольца радиусом R = 5 см, по которому течет ток /二 1Q А, в точке /, расположенной на расстоянии d = 10 см от центра кольца.

厶=1 А, сила тока в витке

нормалью к плоскости витка. Сила тока в проводе

Круговой виток радиусом К = 15 см расположен относительно бесконечно длинного провода так, что его плоскость параллельна юводу; Перпендикуляр, восставленный на провод из центра витка, является

В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 1л находится прямой гфоводник длиной / = 15 см, по которому течет ток / = 5 А.

《OftlGem ）纭=4,47 мкТл.

Дано

Решение

5=0,2 Тл

/ -15 см = 0,15 м / = 5 А

尸= 0,13 Н

F = /[dl,B],

F sina = -—.

IIB '•

尸=//Bsina, .F a = arcsm^^.

a — ?

На проводник действует сила 尸= 0,13 Н. Определите угол а между направлениями тока и вектором магнитной индукции.

Qom8em ） q 二 6叫

9 A-4799 A-479

9 A-479

9 A-479

(3 [N0)По прямому горизонтально расположенному проводу пропускают欧

-厶工 7 О А. Под ним на расстоянии R 二 1,5 см находится параллель、

ный ему алюминиевый провод, по которому пропускают ток /?二 L5 А. Определите, какой должна быть площадь поперечного сечения алюминиевого провода, чтобы он удерживался незакрепленным. Плотность алюминия р = 2,7 г/см3.

Г? ]32 ) Контур из провода, изогнутого в форме квадрата со стороной、*■/ а = 0,5 м, расположен в одной плоскости с бесконечным прямо-

Дано

Решение

厶二 10 A

尸 〃0〃"2“0厶/2H!S_pVg_ s

& = 1,5 см = 1,5 • 10 2 м

厶= 1,5 A

р = 2,7 г/см3 =

=2,7 • 103 кг/м3

/二 2冗衣 * J 2*//

F —,= pSg

S="0厶a

2;r&g

QОтвет ^ 5 = 7,55」о-9 м2.

(131) Два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с ода-

"""м"/ наковыми токами, текущими в одном направлении, находятся друг от друга на расстоянии R. Чтобы их раздвинуть до расстояния 2R, на каждый сантиметр длины проводника затрачивается работа Л = 138 нДж. Определите силу тока в проводниках.

Дано

Решение

R

2R

4 = 138 нДж 二

=1,38* 10~7Дж

/ = 1 см = 10~2 м

人二4=/

6A = FAx,月=维也/ ="包，

27rx 产] 2лх

2я J х2兀

/ -?

/_ ( 2%4

V 仰"п2 /；；"”"仙・皿・一 f Ответ J / = ю а.

линейным проводом с током 7 = 5 А так, что две его стороны параллельны проводу. Сила тока в кошуре 厶=1 А. Определите силу, действующую на контур, если ближайшая к проводу сторона контура находится на расстоянии 6 = 10 см. Направления токов указаны на рисунке.

Дано

Решение

о 二 0,5 м

/=5 А

人二1 A

6 = 10 см 二 0」м

F —?

F 二 К + F? + F3 + F《,

F2 = ~F4,F 二 К + F3,

尸尸厂

p _ "。/厶 а

/ — / ]丿 3，.

〃丄，

一2比 b j

з 2л(Ь+а)

2% \ b b+a ) 2冗(0+ b)b (ОЛ6С/П )尸二 4,17 мкН.

Десятичные приставки к названиям единиц

Т — тера (10'2)

д —деци (IO4)

н — нано (10-9)

Г-—гига(109)

с — санти (10-2)

п — ПИКО (10-12)

М — мега (106)

м — милли (Ю-3)

ф — фемто (10-15)

к — кило (103)

мк — микро (10-6)

а — атто (10"18)

(3A33J Прямоугольная рамка со сторонами а = 40 см и Ь = 30 см расПоПо тонкому проволочному полукольцу радиусом 灭二 50 cM течет

ложена в одной плоскости с бесконечным прямолинейным 叩0展、УдВВ^^ ток 7 = 1 А. Перпендикулярно плоскости полукольца возбуждено дом с током / = 6 А так, что длинные стороны рамки параллельны провод В однородное магнитное поле с индукцией В = 0,01 Тл. Найдите силу, растяги- Сила тока в рамке Zj = 1 А. Определите силы, действующие на каждую из ст) I :аЮХПУ10 полукольцо. Действие на полукольцо магнитного поля подводящих и взаимодействие отдельных элементов полукольца не учитывать.

Рон рамки, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии " заводов и а с = 10 см, а ток в ней сонаправлен току 7 .

ваютуа : провод03

Дано

Решение

q = 40 см = 0,4 м b = 30 см = 0,3 м / = 6 А

7； = 1 А

с 二！ 0 см = 0,1 м

dF = /[dl,B],

В = Е^,

2лт '

6 - ? 鸟—? 居一？ 居—?

c+b

[М-р

尸=JdF = J/Bd/,

Дано

Решение

r = 50 см = 0,5 м

/二 1 A 5=0,01 Тл

dF = “dl,B], (dl：B) = jr/2,

X

В

X

У1

X dFy x

dFX

dF = IB dh di = R da,

尸一？

X

dF* X

dF = IBR da, 此二 dF cosa , dFy =

= dFsina,

X

X

XX

X

а

"=J4当出二.

о

о

厶№!也=&£/*2тгс 2тгс

冗二 JIBR cosa da = /BR(sina)|； = 0,

о

0 = JIBR sina da = 2В7?(-со8а)|^ = 2IBR, о

"0/人 In c + b2тг с

F3 =

仰％

2тг(с + 6)'

F = Fy = 2IBR.

(0加6加)g=4,8 мкН,

F3 н 1,2 мкН,

巴=1,66 мкН, F4 = 1,66 мкН.

(Onwein ) 尸= o,oi н.

Применяя закон Ампера для силы взаимодействия двух параллельных токов, выведите числовое значение магнитной постоянной /г。.

Закон АмпераdF = /[dl,B],где dF — сила, действующая на элемент dl проводника с током /, помещен-ный в магнитное поле с индукцией В.

装=维_.包^ d?,4%R

厶=厶=1 А,

R = 1 м, ^-= 2 10-7 Н/м,d/

〃 = 1,

dF " 47r

= d/ ― = 4兀.I о" Н/А2= 4я10-7 Гн/м. 2/2

Электрон движется прямолинейно с постоянной скор остью V = 0,2 Мм/с. Определите магнитную индукцию 8 поля, созда，

Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией

8 二 ОД Тл по окружности. Определите угловую скорость враще-

ваемого электроном в точке, находящейся на расстоянии 尸=2

и лежащей на прямой, проходящей через

нм от электр0На

мгновенное положение электрона н

НИЯ электрона.

составляющей угол а = 45° со скоростью движения электрона.

Дано

Решение

Дано

Решение

8=0,1 Тл

и = 0,2 Мм/с=0,2- 106м/с

尸工 2 нм = 2 * 10-9 м

а = 45。

В =

“0阕 V г

4%尸

“ = 1,

0=е,

⑪一？

8 —?

В告na〈Oi）5 = 566 м；

4 = %В],

|0| = е,

егВ

=evB,

2九

еВ

Т =".-—

①=-=

и еВ

T

т

Ответ

со = 1,76 1010 рад/с.

Определите напряженность Н поля, создаваемого прямолинейно равномерно движущимся со скоростью v = 5000 км/с электроном, в точке, находящейся от него на расстоянии г = 10 нм и лежащей на перпендикуляре к v, проходящем через мгновенное положение электрона.

в Электрон, обладая скоростью v-Ю Мм/с, влетел в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции.

Индукция магнитного поля В 二 0,1 мТл. Определите нормальное и тангенциальное ускорения электрона.

Ответ^ я = 6^7

《Отеет） 舊=const二 1,76• 10乂 ^；& = 0・

Согласно теории Бора, электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите радиусом г 二 52,8 пм. Определите магнитную индукцию 8 поля, создаваемого электроном в центре круговой орбите.

Дано

Решение

вВ однородном магнитном поле перпендикулярно линиям магнитной индукции движется прямой проводник длиной 40 см. Определите силу Лоренца, действующую на свободный электрон проводника, если возникающая на его концах разность потенциалов составляет 10 мкВ.

尸= 52,8 пм = 5,28Т0~н м

n 〃O〃0[vrАI ,

в = ―-~Г""1， （v,r） = ^， 〃 = 1, |0| = е,

产21

в —?

& = 4 10 24 н.

3 =

8 =区空 mv2 1 е2 _ / d

4冗产'г 4лT（）户'и 一 у 4%方，加

8£r2yl"%rm

°ШбеП1 ） в = 1,25 • 10-23 Тп.

Модуль силы Ампера

AF - IB И sin а, гДе а — угол между векторами dl и В.

Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,5 кВ, * жется параллельно прямолинейному длинному проводнику Ка расстоянии г = 1 см от него. Определите силу, действующую на электрон, еслц через проводник пропускать ток 7 = 10 А.

Электрон, влетев в однородное магнитное поле с магнитной индукцией В=2 мТл, движется по круговой орбите радиусом R = 15 см.

Определите магнитный момент pm эквивалентного кругового тока.

Дано

Решение

U = 0,5 кВ = 500 В

eU =,

r = 1 см = 10~2 м

2

/ = 10 A

в-М

F —?

2%r5.

F 二 evB -—一尸.

Дано

万匸2 мТл = 2- 10'3Тл r = 15 см = 0,15 м

Pm -？

%1 二

Решение

Pm = В，

S几尺2 ,

/=p

е 2冗R

! =—— V

n mv2 evB =

R

eBR

u = m

Отбет )рх 0,632 па м

ДаноРешениеи 二 0,5 кВ = 500 В0 = 1,6-1О~19 Кл1,67-10~27 кг3=2 мТл = 2・ 10-зтлV-后T，mv л ==QBj2mQU3 •R —?ДаноРешениеи 二 0,5 кВ = 500 В0 = 1,6-1О~19 Кл1,67-10~27 кг3=2 мТл = 2・ 10-зтлV-后T，mv л ==QBj2mQU3 •R —?Отает ) к = 1,61【Отает ) к = 1,61【⑥⑥

Дано

Решение

и 二 0,5 кВ = 500 В

0 = 1,6-1О~19 Кл

1,67-10~27 кг

3=2 мТл = 2・ 10-зтл

V-

后T，

mv л ==

QB

j2mQU

3 •

R —?

Дано

Решение

и 二 0,5 кВ = 500 В

0 = 1,6-1О~19 Кл

1,67-10~27 кг

3=2 мТл = 2・ 10-зтл

V-

后T，

mv л ==

QB

j2mQU

3 •

R —?

Отает ) к = 1,61【

Отает ) к = 1,61【

⑥

⑥

Опшет )尸= 4,241076 н.

Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 0,5 кВ, влетая в однородное магнитное поле с магнитной индукцией 8 = 2 мТл, движется по окружности. Определите радиус этой окружности. …

△.] 45 J Электрон, обладая скоростью 管二 1 Мм/с, влетает в однородное ^——* магнитное поле под углом а 二 60° к направлению поля и начинает двигаться по спирали. Напряженность магнитного поля /7 = 1,5 кА/м. Определите: 1) шаг спирали; 2) радиус витка спирали.

Электрон движется в однородном магнитном поле с магнитно^ индукцией В = 0,2 мТл по винтовой линии. Определите скорость ?

Ионы двух изотопов с массами тх =6,5*10-26 кг и 吗 二 6,8 -10-26 кг; ускоренные разностью потенциалов U = 0,5 кВ, влетают в одно

электрона, если радиус винтовой линии R = 3 см, а шаг /г = 9 см.

V = 1,17 Мм/с.

родное магнитное поле с индукцией В = 0,5 Тл перпендикулярно линиям ин- дукции. Принимая заряд каждого иона равным элементарному электрическому заряду, определите, на сколько будут отличаться радиусы траекторий ионов изотопов в магнитном поле.

(3.147)

Определите, при какой скорости пучок заряженных частиц, двигаясь перпендикулярно скрещенным под прямым углом однород.

ным электрическому {Е- 100 кВ/м) и магнитному (В = 50 мТл) полям, не от

клоняется.

Дано

Е 工 100 кВ/м - 105 В/м

3 = 50 мТл = 5 • 10~2Тл

и — ?

Решение

F—0E,Fn=Q[v,B], 兄=&

QE = QvB「

Дано 加=6,5 I/灯 电= 6,8 • 10-26 кг и = 0,5 кВ В = 0,5 Тл

Решение

wv2

幻8=

R

eU@

2

及-К — ?

(Огшепг) ° = 2Мм/с.

Ответ J 旦-及 i = о,917 MM.

(^

В однородное магнитное поле с магнитной индукцией 0,2 Тл перпендикулярно линиям магнитной индукции с постоянной скорос

(ЗЛ50

Циклотроны позволяют ускорять протоны до энергий 20 МэВ. Определите радиус дуантов циклотрона, если магнитная индук

тью влетает заряженная частица. В течение 5 мкс включается электрическое поле напряженностью 0,5 кВ/м в направлении, параллельном магнитному полю. Определите шаг винтовой траектории заряженной частицы.

Дано

Решение

В=0,2 Тл

t 二 5 мкс = 5 • 1 О*6 с

с n wr2т 2冗К 2лти口

% = 方，? = 丁 =灰，%=礎，

口Ft QEt, т 2%E/

#J = mV】,V]=—二,h = f〔Г

w wВ

Е = 0,5 кВ/м = 500 В/м

〃 一？ ■

(Опгеет ) 〃 = 7,85 £

ция В = 2 Тл.

<266>

<©>

(3・ 151) Определите удельный заряд частиц, ускоренных в циклотроНе й '■■“ ■■/ однородном магнитном поле с индукцией В = 1,7 1л при часто* ускоряющего напряжения у = 25,9 МГц.

Дано

Решение

8 = 1,7 Тл

V = 25,9 МГц = = 2,59- 107 Гц

^ = 1 (уславие синхронизма), V V

^315^у В случае эффекта Холла для натриевого проводника при плотнос- I二：1^У тн тока j = 150 А/см2 и магнитной индукции 8 = 2 Тл напряжен- 0ств поперечного электрического поля Ев 二 0,75 мВ/м. Определите концент- 11Hle электронов проводимости, а также ее отношение к концентрации атомов в этом проводнике. Плотность натрия р = 0,97 г/см3.

Дано

Решение

т~7

бет ) 0

и” / — = 9,57-107 Кл/кг.

ти2 八

丁зВ,

V = 2nvR,

0 _ 簿 _ 2tivR 2g m~ RB~ RB -方

(3.152) Протоны ускоряются в циклотроне в однородном магнитном поле J ' с индукцией В 二 1,2 Тл. Максимальный радиус кривизны траекторий протонов составляет 灭=40 см. Определите: 1) кинетическую энергию протонов в конце ускорения; 2) минимальную частоту ускоряющего напряже-

尸 150 А/см2 =

= 1,5- Ю6А/м2

8=2 Тл

邑二 0,75 мВ/м =.

= 0,75 ■ 10'3В/м р = 0,97 г/см3 = 970 кг/м3 Л/ = 23 ■ 10-3 кг/моль

Q п 一 ■

丿=nev,

県 М]р

п jBM

п' еЕв^хР

3

"丄巫

ev еЕв

N\PМ

2 一 ？

0曜6«^ )厅=2,5 • 1028 лг3, и/пг = 0,984.

Дано

Решение

8 = 1,2 Тл

及二 40 см = 0,4 м

n wv?eBR

evB =,и =

R加，

厶=20 МэВ =

= 3,2- КГ'2 Дж

T wv2 02序尺2瓦

1 ==,5 = J—L

22 一1 V w

7 —?

q =2吗r，

Т = 20 МэВ.

ния, при которой протоны ускоряются до

V] — ?

% = 2冗及

(

Определите постоянную Холла для натрия, если для него отношение концентрации электронов проводимости к концентрации ато-

Ответ ^ т = и МэВ, % =24,6 мгц.

Дано

Решение

п/п' = 0,984

р == 0,97 г/см3 = 970 кг/м3

М = 2310“ кг/моль

R -?

N =—-и ===,

ей，喙 М/ рМ

1М

〃 =0,984〃，R - 0,984必"0,984^А р

(°^бе川^^ r 二 2,5・ 10刁。м?/(А • с).

мов составляет 0,984. Плотность натрия р = 0,97 г/см3.

三

Определите, во сколько раз постоянная Холла у меди больше, <削 у алюминия, если известно, что в алюминии на один атом в сред, нем приходится два свободных электрона, а в меди — 0,8 свободных электро, нов. Плотности меди и алюминия соответственно равны 8,93 и 2,7 г/см3.

——.…，「——7"—一一

^^ £56)Через сечение медной тшастинки толщиной d = 0,2 мм пропус-弋衅麥：м“ 1r кается ток / - 6 А. Пластинка помещается в однородное магиит-

Дано

Реи = 8,93 г/см3 =

=8,93 • 103 кг/м3

Pai = 2,7 г/см3 =

=2,7 ■ 103 кг/м3

"си = 63,5-10-3 кг/моль

Л/А1 = 27-10"3 кг/моль

闾「

必—? &А1

Решение

n1

&u =，

лСи ~ °，8k&，

«Си =

NaPcu

&u 二 ^Ai

&и 二 20А|〃Си

火川 O,80cu"ai

3师)j,78.&AI

1

% = 0,8 心，

Холловская поперечная разность потенциалов

где 8 — магнитная индукция; I —— сила тока; d — толщина пластинки;

R =丄 一 постоянная Холла (咒 ——концентрация электронов). еп

<@>

к

ное поле с индукцией В = 1 Тл, перпендикулярное ребру пластинки и направ- пению тока. Считая концентрацию электронов проводимости равной концент- ^ацйИ атомов, определите возникающую в пластинке поперечную (xojuiobc- ^У^) разность потенциалов. Плотность меда р = 8,93 г/см3.

Дано

К 0,2 мм = 2 ТО" м

/二6 A

§二 1 Тл р 二 8,93 г/см3 = 二 8930 кг/м3

好#

М 二 63,5-10-3 кг/моль

А夕一？

“ =2,21 мкВ.

Ад = vBa,

I = jS - nev ■ ad ,

S - ad,

IBa 1 IB

A展—~7 = —~T

neaa en d

MIB

叩N^ d

) Определите циркуляцию вектора магнитной индукции по окруж-/ ности, через центр которой перпендикулярно ее плоскости прохо-

дит бесконечно длинный прямолинейный провод, по которому течет ток / 二 5 А・

отдаление его обмоткиR = 120 Ом, а напряжение на ее концах U = 60 В.ДаноРешение一—-/ = 0,5 м^Bi<M = nJ^Ij,Bl = MqIN ,№1000r = 120 Оми 二 60 в7о —.R'R/В-?QOmeem J в = 1,2бмт”.отдаление его обмоткиR = 120 Ом, а напряжение на ее концах U = 60 В.ДаноРешение一—-/ = 0,5 м^Bi<M = nJ^Ij,Bl = MqIN ,№1000r = 120 Оми 二 60 в7о —.R'R/В-?QOmeem J в = 1,2бмт”.Соленоид длиной Z = 0,5 м содержит ^ = 1000 витков. Опреде- 屮МИИ11И— лите магнитную индукцию В поля внутри соленоида, если со-Соленоид длиной Z = 0,5 м содержит ^ = 1000 витков. Опреде- 屮МИИ11И— лите магнитную индукцию В поля внутри соленоида, если со-

отдаление его обмотки

R = 120 Ом, а напряжение на ее концах U = 60 В.

Дано

Решение

一—-

/ = 0,5 м

^Bi<M = nJ^Ij,Bl = MqIN ,

№1000

r = 120 Ом

и 二 60 в

7о —.

R'R/

В-?

QOmeem J в = 1,2бмт”.

отдаление его обмотки

R = 120 Ом, а напряжение на ее концах U = 60 В.

Дано

Решение

一—-

/ = 0,5 м

^Bi<M = nJ^Ij,Bl = MqIN ,

№1000

r = 120 Ом

и 二 60 в

7о —.

R'R/

В-?

QOmeem J в = 1,2бмт”.

Соленоид длиной Z = 0,5 м содержит ^ = 1000 витков. Опреде- 屮МИИ11И— лите магнитную индукцию В поля внутри соленоида, если со-

Соленоид длиной Z = 0,5 м содержит ^ = 1000 витков. Опреде- 屮МИИ11И— лите магнитную индукцию В поля внутри соленоида, если со-

Определите циркуляцию вектора магнитной индукции для замкнутых контуров, изображенных на рисунке, если сила тока в обоих проводниках / = 2 А.

(Ответ )丁

VV 1) фВ dl =2,51 мкТл • м;

§В dl = 5,02 мкТл ■ м;

L

По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток / = 10 а. Определите, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В , маг

нитную индукцию В в точке, расположенной на расстоянии г = 10 см от проводника.

В соленоиде длиной / = 0,4 м и диаметром D = 5 см создается магнитное поле, напряженность которого Я = 1,5 кА/м. Опреде- ‘ лите: 1) магнитодвижущую силу Fm ; 2) разность потенциалов U на концах обмотки, если для нее используется алюминиевая проволока (р = 26 нОм • м)

Дано

7=10 А г = 10 см = 0,1 м

Решение

в—?

В'2л:г = ^QI9

^1 ^-^О^Л ,

Отеет) в=20 мкт”

Используя теорему о циркуляции вектора В, рассчитайте магнитную индукцию поля внутри соленоида (в вакууме), если число витков соленоида равно N и длина соленоида равна /.

Дано

Решение

/ = 0,4 м

D= 5 см = 5 • 10~2м

Я = 1,5 кА/м=1,5- КРА/м

р = 26 нОм • м =

=26 • Ю~9Ом • м d = 1 мм = 10-3 м

1)&一？

2) U —?

% н §Н dl = §田 d/ = 2厶・， Fm - Hl.

L

D/c nd2

/i = 2%— N = JtD~S =——,

2d4

n兀D/ ・4 4pDlr /

R = pz- = —x—,I = UR,Hl — I—•>

dnd2 /,d

диаметром d = 1 мм.

<®>

_ApDHl / I-、

~ d2 yOmeemj 1)/^ = бооa； 2)и = 3,12в.

<273>

Определите, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, индук цию и напряженность магнитного поля на оси тороида без се дечника, по обмотке которого, содержащей 200 витков, протекает ток 2 А. в^ шний диаметр тороида равен 60 см, внутренний — 40 см.”

Внутри соленоида с числом витков N = 200 с никелевым сердечником (// = 200) напряженность однородного магнитного поля

*=10 кА/м. Площадь поперечного сечения сердечника 5 = 10 см2. Опреде- питеТ) магнитную индукцию поля внутри соленоида; 2) потокосцепление.

Дано

^ = 200

7 = 2 А

£>1 二 60 см = 0,6 м

D2 = 40 см = 0,4 м

Решение

Дано

Решение

§8/ d/ = 〃о£4,

В-2лг - fiQNl 9

В —?

Н —?

b=F

4о

Х = 200

尸200

Н = 10 кА/м = 104 А/м

5 = 10 см2 = Ю-Зм2

3 —以0林h, Ф = BSN.

Ответ ^ з=0,32 мТл； н = 255 а/м.

1)3-？

2)Ф—?

^Ответ j 1)3 = 2,51 тл； 2)①= 0,502 вб.

Определите магнитный поток сквозь площадь поперечного сече^ ния катушки (без сердечника), имеющей на каждом сантиметре длины п = 8 витков. Радиус соленоида г = 2 см, сила тока в нем / = 2 А.

вВ однородное магнитное поле напряженностью Н = 100 кА/м помещена квадратная рамка со стороной а = 10 см. Плоскость рамки составляет с направлением магнитного поля угол а = 60°. Определите магнитный поток, пронизывающий рамку.

Дано

Решение

и = 8 см-1 = 800 м-1

①[= BS,

S = яг2,

г = 2 см = 2 • 10'2 м

5 = “о〃/,

① 1 = ^nlnr2 .

/ = 2 А

Ф] — ?

Ответ J ф1 = 2,53 мквб.

Дано

Н =100 кА/м 。二 10 см = 0,1 м а = 60。

Решение

Ф 一?

ф = 628 мкВб.

Ф = BS CGsa,

<®>

Поток магнитной индукции через площадь поперечного сечен； соленоида (без сердечника) равен Ф = 1 мкВб. Длина соленоид 口 12,5 см. Определите магнитный момент рт этого соленоида.

Дано

Решение

Ф = 1 мкВб= Ю^Вб

ntN

Ф = 85 = g/—S ,

/ 二 12,5 см =0,125 м

Pm — ?

гФ/

/ ,

pm^ISN = — .

gNS'

1,1&

《Sn叫)Pm = 0,1 А м2.

Прямой провод длиной / = 20 см с током / = 5 А, находящийся в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл, расположен пендикулярно линиям магнитной индукции. Определите работу сил поля, 口0n действием которых проводник переместился на 2 см.

(Ответ ^ A = 2 мДж.

Квадратный проводящий контур со стороной Z = 20 см и током 7 = 10 А свободно подвешен в однородном магнитном поле с маг- ^ипной индукцией В = 0,2 Тл. Определите работу, которую необходимо совер- ШЙТь, чтобы повернуть контур на 180° вокруг оси, перпендикулярной направлению магнитного поля.

9」68丿В одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводом с 、 'током / = 20 А расположена квадратная рамка со стороной, длина которой а = 10 см5 причем две стороны рамки параллельны проводу, а расстояние d от провода до ближайшей стороны рамки равно 5 см. Определите магнитный поток Ф , пронизывающий рамку.

Решение

Дано

Решение

/ = 20 А

4 = 10 СМ = 0,1 м d = 5 см-0,05м

8 =亚

2兀г '

7

Ф —?

d+a

Ф= fBd5=[维 adr

Jj 2лт

g/a * dr g/a . (d + a) 2л j г 2яa

(Ow"_)①二 °'44 мкВб.

dA-М^а,М = [рт,В],

M = pmBsina,Рт = 〃2，

4 = J М da = JIBl2 sina da 二-IBl2 8sq° = 2IB12.

g ； 71^ В однородном магнитном поле с магнитной индукцией В 二 0,2 Тл 、 находится квадратный проводащий контур со стороной / = 20 см и током / = 10 А. Плоскость квадрата составляет с направлением поля угол в 30°. Определите работу удаления контура за пределы поля.

Л 二 0,04 Дж.

<277>

Круговой проводящий контур радиусом г = 5 см и током / == 1 代 находится в магнитном поле, причем плоскость контура перце11 дикулярна направлению поля. Напряженность поля равна 10 кА/м. Определит； работу, которую необходимо совершить, чтобы повернуть контур на 90° вокруг оси, совпадающей с диаметром контура.

3.5. Электромагнитная индукция

Дано

Решение

г = 5 см = 5 ■ 10-2м

/ = 1 А

〃 = 10 кА/м = 104 А/м

7Г а = —

2

А -?

d4 = М da ,

Pm = /S，

S = яг2, л/2

М-pmBsina,

В=цоцН\^=цоН,

几/2

А = J Л/ da = ktr?网 Н J sin a da = fiQnIr2H.

о

о

Ответ ^ л = 98,7 мкДж.

В однородном магнитном поле с магнитной индукцией 5 = 1 Тл находится плоская катушка из 100 витков радиусом г = 10 см, плоскость которой с направлением поля составляет угол ^ = 60° . По катушке течет ток 7 = 10 А. Определите: 1) вращающий момент, действующий на катушку; 2) работу для удаления этой катушки из магнитного поля.

Ответ ^ 1) Л/ = 15,7 Н • м; 2) Л = 27,2 Дж.

Круглая рамка с током (S = 15 см2) закреплена параллельно магнитному полю (5 = 0,1 Тл), и на нее действует вращающий момент М = 0,45 мН ■ м. Определите силу тока, текущего по рамке.

Ответ J /=з а.

Дано

Решение

d = 4 см = 4 * 10~2 м n=500

包=1 мТл/с = 10-3 Тл/с df

a = 45°

d①Г %d2

協=,Ф = NBS cosa ,S =,

н 出，4

■ [ d冗d5

圏=—(NBS cosa) =— cos a.

目一？

(Omeem )為=444mkb.

(3.176)В магнитное поле, изменяющееся по закону B~BQ costo^ (% = 0,1 Тл,①=4 с-1), помещена квадратная рамка со стороной a = 50 см, причем нормаль к рамке образует с направлением поля угол a = 45° . Определите ЭДС индукции, возникающую в рамке в момент времени / = 5 с.

Дано

Решение

8 二线 cossf

绢=0,1 Тл

①=4 в

a = 50 см = 0,5 м

Q = 45。

f = 5 с

d①

屁=——,Ф = BS cosa,

dr

S-a2 ,骂=一*冬〃2 costyf cosa)=

=-BqO2 cosa—(cosco/) = В^а2^ cosa sina)/.

Ответ )篷=64мв.

) Соленоид диаметром d = 4 см, имеющий ^ = 500 витков, поме- щен в магнитное поле, индукция которого изменяется со скорос- тью 1 мТл/с. Ось соленоида составляет с вектором магнитной индукции угол —45° • Определите ЭДС индукции, возникающую в соленоиде.

<@>

<279>

Дано

Решение

р = 26 нОм • м =

R = р~,/ =5為=/К,

=2,6 • 10 8 Ом • м

S4

Z)二 30 см = 0,3 м

d 二 2 мм = 2 ТО" м

1" d/ d? ' if 4 dr '

/=1 А

—

dB| 階 4/R _ 16〃

dB

山1一冗02 由命D.

С Ответ Л <ш;

t丿 亩=0,11 Тл/с.

Кольцо из алюминиевого провода (р = 26 нОм • м) помещено r магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца Q = 30 см, диаметр провода d = 2 мм. Определите скорость изменения магнитного поля, если ток в кольце 7 = 1 А.

В однородное магнитное поле с индующей В = 0,3 Тл помещена прямоугольная рамка с подвижной стороной, длина которой / = 15 см. Определите ЭДС индукции, возникающей в рамке, если ее подвижная сторона перемещается перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью и = 10 м/с.

Плоскость проволочного витка площадью S = 100 см2 и сопротивлением R = 5 Ом, находящегося в однородном магнитном поле напряженностью Н= 10 кА/м, перпендикулярна линиям магнитной индукции. При повороте витка в магнитном поле отсчет гальванометра, замкнутого на виток, составляет 12,6 мкКл. Определите угол поворота витка.

Дано

Решение

S 工 100 см2 = 10-2 м2

R = 5 Ом

"=10 кА/м= 104 А/м

d0 = 12,6 мкКл =

=1,26 • IL Кл

а—?

第=一果，爲=8,蚤=IR = R崇，

尺崇=_票'Rd0 = -d①，Rd0 = -(①2-фЗ Ф2 = RqHS cos а,Ф] = ^qHS ,

,RdQ RdQ- 〃0破(1 一 cosa), cosa = 1— •

Ответ ) “ = 60。.

一 Дано

° = 30 см = 0,3 м

В = 0,1 Тл

切=5 г = 5 • 10-3кг

и = 0,5 м/с

R-?

腸 g Две гладкие замкнутые металлические шины, расстояние между 、 которыми равно 30 см, со скользящей перемычкой, которая может двигаться без трения, находятся в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл, перпендикулярном плоскости контура. Перемычка массой /и = 5 г скользит вниз с постоянной скоростью и = 0,5 м/с. Определите сопротивление перемычки, пренебрегая самоиндукцией контура и сопротивлением остальной части контура.

Rn ВтВа _ B2a2v

На катушку

В катушке длиной / 二 0,5 м, диаметром d = 5 см и числом виткОй W = 1500 ток равномерно увеличивается на 0,2 А за одну секунду надето кольцо из медной проволоки (р-17 нОм ■ м) площадью

сечения 5长=3 мм?. Определите силу тока в кольне.

В однородном магнитном поле ( В = 0,1 Тл) вращается с постоянной угловой скоростью со = 50 с-1 вокруг вертикальной оси стер 二 來ень длиной / = 0,4 м. Определите ЭДС индукции, возникающей в стержне, есЛи ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям магнит- Н0 近以 ндукции.

Дано

/ = 0,5 м d н 5 см = 0,05 м

N = 1500

—=0,2 А/с df

р = 17 нОм • м =

=1,7 • 10-8 Ом/м

5К = 3 мм2 = 3 • Ю-6 м2

Решение

@тбе/и )穹= о,4 в.

В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,02 Тл равномерно вращается вокруг вертикальной оси горизонтальный стержень длиной / 二 0,5 м. Ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям магнитной индукции. Определите число оборотов в секунду, при котором на концах стержня возникает разность потенциалов U = 0,1 В.

_ NSKddI

4 ="。"帀 dr Q Ответ "^ 人=1,66 мА.

j 3.182 I Катушка диаметром d = 2 см, содержащая один слой плотно при- ^*™——*^ легающих друг к другу N = 500 витков алюминиевого провода сечением S = 1 мм2, йомещена в магнитное поле. Ось катушки параллельна линиям индукции. Магнитная индукция поля равномерно изменяется со скоростью 1 мТл/с. Определите тепловую мощность, выделяющуюся в катушке, если ее концы замкнуты накоротт. Удельное сопротивление алюминия р- 26 нОм/м.

Дано

Решение

■

d = 2 см = 2 Т0~2 м

Я = 500

5 = 1 мм2= Ю^м2

—=1 мТл/с = IO"3 Тл/с

骂2 NS（工1 Si初强图［

ш

р = 26 нОм • м =

/ =F- R-冲dN' 16p

=26 * 10 9 Ом • м

尸—?

《Ответ )尸=0,302 мкВт.

財=и,

Дано

Решение

В =0,02 Тл /=0,5 м [/ = 0,1 В'

doX XX X

置= 一'— - ~

drdy、、 В

Ф = BS cosa,X / X/х、\ X

м-?

а/

諸…2я]/2

= — d “

蜃……dg2

а = 0,''

XXXX

办di,

=—ш dr,

d(K1/2

d5и = В—=В

df

'——d) d/ = В—з, d/【2丿2

2

((

(

(

В однородном магнитном поле (В = 0,2 Тл) равномерно с часто, той п = 600 мин4 вращается рамка, содержащая N = 1200 ВИт,

ков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки 5 = 100 см2. Ось вра, щения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индук, ции. Определите максимальную ЭД С, индуцируемую в рамке.

3.188 ) ® однородном магнитном поле равномерно вращается прямоугольная рамка с частотой п = 600 мин"1. Амплитуда индуцируемой ЭДС 窥二 3 В. Определите максимальный магнитный поток через рамку.

①max = 47,7 МВ6.

Катушка длиной / = 50 см и диаметром d = 5 см содержит N = 200 витков. По катушке течет ток / = 1 А. Определите: 1) индуктивность катушки; 2) магнитный поток, пронизывающий площадь ее поперечного сечения.

Дано

Решение

Ответ ^= 15i в.

/ = 50 см = 0,5 м d = 5 см = 0,05 м

^ = 200

7 = 1 А

L = ^~—

4

①='

с >с >Ответ )〃 = 5 /.Ответ )〃 = 5 /.Dz —？ 2)Ф -?Dz —？ 2)Ф -?ДаноРешениеZ = 4 мГн = 4 • IO"3 Гн " = 600、^ = 20 см2 = 2 ■ 10-3м2 / = 6 А.Ф = ы,& = NBS ,в =—.NS NS5 一 ？(Ответ ) в = о,О2 Тл.ДаноРешениеZ = 4 мГн = 4 • IO"3 Гн " = 600、^ = 20 см2 = 2 ■ 10-3м2 / = 6 А.Ф = ы,& = NBS ,в =—.NS NS5 一 ？(Ответ ) в = о,О2 Тл.回:Длинный соленоид индуктивностью £ = 4 мГн содержит ” TV = 600 витков. Площадь поперечного сечения соленоида S = 20 см2. Определите магнитную индукцию поля внутри соленоида, если сила тока, протекающего по его обмотке, равна 6 А.回:Длинный соленоид индуктивностью £ = 4 мГн содержит ” TV = 600 витков. Площадь поперечного сечения соленоида S = 20 см2. Определите магнитную индукцию поля внутри соленоида, если сила тока, протекающего по его обмотке, равна 6 А.

с >

с >

Ответ )〃 = 5 /.

Ответ )〃 = 5 /.

Dz —？ 2)Ф -?

Dz —？ 2)Ф -?

Дано

Решение

Z = 4 мГн = 4 • IO"3 Гн " = 600、

^ = 20 см2 = 2 ■ 10-3м2 / = 6 А.

Ф = ы,& = NBS ,в =—.

NS NS

5 一 ？

(Ответ ) в = о,О2 Тл.

Дано

Решение

Z = 4 мГн = 4 • IO"3 Гн " = 600、

^ = 20 см2 = 2 ■ 10-3м2 / = 6 А.

Ф = ы,& = NBS ,в =—.

NS NS

5 一 ？

(Ответ ) в = о,О2 Тл.

回:Длинный соленоид индуктивностью £ = 4 мГн содержит ” TV = 600 витков. Площадь поперечного сечения соленоида S = 20 см2. Определите магнитную индукцию поля внутри соленоида, если сила тока, протекающего по его обмотке, равна 6 А.

回:Длинный соленоид индуктивностью £ = 4 мГн содержит ” TV = 600 витков. Площадь поперечного сечения соленоида S = 20 см2. Определите магнитную индукцию поля внутри соленоида, если сила тока, протекающего по его обмотке, равна 6 А.

(3.18^^ Магнитная индукция В поля между полюсами двухполюсного 、 I 丿 генератора равна 1 Тл. Ротор имеет 140 витков (площадь каждого витка S = 500 см2). Определите частоту вращения якоря, если максимальное значение ЭДС индукции равно 220 В.

Ответ „=5 с-\

В однородном магнитном поле (8 = 0,2 Тл) равномерно вращается прямоугольная рамка, содержащая N = 200 витков, плотно

прилегающих друг к другу. Площадь рамки 5 = 100 см2. Определите частой вращения рамки, если максимальная ЭДС, индуцируемая в ней,置 1Mx =12,6 Б-

(£^^£^ 1) Z = 197 мкГн; 2) Ф =985 нВб.

Две длинные катушки намотаны на общий сердечник, причем индуктивности этих катушек Z]二 0,64 Гн и 2^ = 0,04 Гн. Опреде. лите, во сколько раз число витков первой катушки больше, чем второй.

Дано

厶=0,64 Гн

厶=0,04 Гн

%2 —?

Ответ ) м

历=4.

Решение

/ ЗЙ$ЯВ 0npeделите индуктивность соленоида длиной / и сопротивлени- 、■「 旷 ем R, если обмоткой соленоида является проволока массой т (принять плотность проволоки и ее удельное сопротивление соответственно за р "

^^一一 _.---- i ]- i -二

生=4

厶

厶=城厶痣'

Дано

R

Р

т

L ■— ?

Решение

MW

N2 s

*1

Г = 2〃N

S 二 лг2

5

(2w2

s，

т = plS

f Ответ ц0 mR

仰 / 3n)2 ^i pp' •J而TF，

Определите, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к другу, диаметром d = 0,5 мм с изоляцией ничтожной толщины надо намотать на картонный цилиндр диаметром D = 1,5 см, чтобы получить однослойную катушку индуктивностью Z = 100 мкГн?

Дано

Решение_

d = 0,5 мм = 5 • IO-4 м D = 1,5 cm = 1,5 • 10"2 м

n2s

£ = 〃o〃一у，

冗02

Z = 100 мкГн= МГн 4 =1

l 二 Nd,

—4d ，

N —?

4dL

Ho”兀D

*

Ответ ^ n = 225.

(^У Сверхпровод ящий соленоид длиной / = 10 см и площадью попе- J1111111111""'i речного сечения S = 3 см2, содержащий N = 1000 витков, может быть подключен к источнику ЭДС ^ = 12 В. Определите силу тока через 0,01 с после замыкания ключа.

Через катушку, индуктивность £ которой равна 200 мГн, про-； кает ток, изменяющийся по закону / = 2cos3(. Определите: 1) кон изменения ЭДС самоиндукции; 2) максимальное значение ЭДС самоии- дукции.

Ответ j & = i,2sin3,，в；4mк = 1,2 в.

Определите, через сколько времени сила тока замыкания достиг- нет 0,95 предельного значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением R -12 Ом и индуктивностью 0,5 Гн.

^ОтветЛ / = 125 мс.

Катушку индуктивно стью £ 工 0,6 Гн подключают к источнику тока. Определите сопротивление катушки, если за время / = 3 с сила тока через катушку достигает 80% предельного значения.

Дано

Решение

N = 1000

ДФ = 1 мВб=10-3 Вб

А/ = 1 с

⑷一？

/ \、г АФ

«2^3 &)=ib

()Имеется катушка индуктивностью L = 0,1 Гн и сопротивлением

R = 0,8 Ом. Определите, во сколько раз уменьшится сила тока в катушке через / = 30 мс, если источник тока отключить и катушку замкнуть накоротко. +

Дано

Решение一

L = 0,1 Гн

R = 0,8 Ом

/二 30 мс = 30 • 10-3 с

ртR

4 — ?

@…）』

(3.196 J В соленоиде без сердечника, содержащем N 二 1000 витков, при У二二мв^ увеличении силы тока магнитный поток увеличился на 1 мВ。 Определите среднюю ЭДС самоиндукции (&〉, возникающую в соленоиде, если изменение силы тока произошло за 1 с.

Дано

£ = 0,6 Гн

/ = 3 с

/ = 80%/р

К —?

К = 322 мОм.

Решение

(、

/=% 1-е 厶

R

0,8 = 1 —e £ ,

f = In 0,2,

L

О,8/о = /0 1-е-^

0,2 =,

7

Бесконечно длинный соленоид длиной / = 0,8 м имеет однослойную обмотку из алюминиевого провода массой w ° 400 г. Определите время релаксации т для этого соленоида. Плотность и Удельное сопротивление алюминия равны соответственно 夕= 2,7 г/см3 и "к 26 нОм • м.

т = 712 мкс.

'° А-479

<289>

Соленоид диаметром 。工3 см имеет однослойную обмотку), плотно прилегающих друг к другу витков алюминиевого провопи

(/> = 26 нОм • м) диаметром 4 = Q3 мм. По соленоиду течег ток 厶二 0,5 д

Определите количество электричества Q, протекающее по соленоиду, если е】( концы закоротить.

Дано

Решение

d = 3 см = 3 • 10-2 м

夕=26 иОм • м =

/ = /о eT,

=2,6 • 10-8 Ом м

4 = 0,3 мм = 3 ТО" м

Q = ^Idt = I^ e工飞=彳h,

/о =0,5 а

0

0

:

r n2s

0一？

£ …〃o4/

1 = Nd、>

s =

£ — “0%2md2 _ 仰顺/

4

4АЦ甸’

a=几dN,

4

Катушка индуктивностью L = 1,5 Гн и сопротивлением R , - 15 Ом и резистор сопротивлением &二150 Ом соединены параллельно

区 подключены к источнику, электродвижущая сила которого * 二 60 В, через 1clкп К. Определите напряжение на зажимах катушки через ^ - 0,01 си /2 = 0,1 с

пОсле размыкания цепи.

Дано

Решение

L 二 1.5 Гн

R］二 15 Ом

役=150 Ом

"60 В■

/［二 0,01 с

/2 二 О」с

5-？

02 - ?

I ~ IqQ L ,

R = R、+ R?,

Ri ~~

厶凡 ^-^S5SW—

U = IR2,* К

U 二R2 e L，4 ;一不一& e

(Ответ )厶二 200 в, иг = o,oi в.

□4"

及 = 0 丁，

0 =

件制加筋出卜_ y.^ddx

4d、p・4dN 16p

4.

Ответ )0 = 42,7 мкКл.

Ток при размыкании “ замыкании цепи/=«/「；/ = /о(1-еТ"),

Дано

Решение

W/df 二 3 A/c 石=0,3 В

A2='

d① ％

3-丁 = f &，

①21 -g1厶,

Г _电

df

乙 2 - ?.

(3•二 ) Две катушки намотаны на один общий сердечник. Определите их ^4^™ / взаимную индуктивность, если при скорости изменения силы тока в первой катушке dljdt 二 3 А/с во второй катушке индуцируется ЭДС ^2 二。3 В.

вет )乙2 二 °」Fh.

где т ~ LjR — время релаксации (£ — индуктивность, R —сопротивление).

Дано

Решение

厶=0,64 Гн "=1 гh

V "о绍

1}-12~1

S] = S?工 S

V =厶2s

2 hз&"-厂

乙2 一？

(0^6加)乙2 = 0,8 1%

Два соленоида (Д = 0,64 Гн,厶二]Гн) одинаковой длины и пра тически равных сечений вставлены один в другой. Определи взаимаую индуктивность соленоидов.

Автотрансформатор, понижающий напряжение с Ц = 6 кВ до 。2 二 220 В, содержит в первичной обмотке N〔二 2000 витков. Со- лр(угивлеш1е вторичной обмотки 且=1 Ом. Сопротивление внешней цепи (в сети пониженного напряжения) К = 12 Ом. Пренебрегая сопротивлением первичной обмотки, определите число витков во вторичной обмотке трансформатора.

I Решение '

3.20

Две катушки намотаны на один сердечник. Индуктивность нерв/ катушки Lj =0,12 Гн, второй —厶=3 Гн. Сопротивление вторе ； катушки 刍=300 Ом. Определите силу тока /2 во второй катушке, если за вр мя А/ - 0,01 с силу тока в первой катушке уменьшить от 厶=0,5 А до нуля.

(^^Qw A.

Дано

Решение

^/^=0,15

U = 220 В

若=5, § = }弱=祟仿，後=/2&+4.

4=6 В /2 - 6 А

R」-以及」2%/%-02

.冬-~~- ?

QOtneem^ R2 = 45Om

(* 2 "6 ) Трансформатор с коэффициентом трансформации 0,15 понижае ! 、/ напряжение с 220 В до 6 В. При этом сила тока во вторичной об-

мотке равна 6 А. Пренебрегая потерями энергии в первичной обмотке, опреда ・ лите сопротивление вторичной обмотки трансформатора.

U] = 6 кВ = 6 • 103 В

и?二 220 В

М 二 2000

多二/2R2 +u2,厶一~^"，

№ = 1 Ом

К 二 12 Ом

n2 -?

% = 79.

、Трансформатор, понижающий напряжение с 220 В до 12 В, со- '^Е^' держит в первичной обмотке ^ = 2000 витков. Сопротивление

вторичной обмотки & =

0,15 Ом. Пренебрегая сопротивлением первичной

обмотки, определите число витков во вторичной обмотке, если во внешнюю

цепь (в сети пониженного

напряжения) передают мощность Р- 20 Вт.

Дано

Решение

U、= 220 В

% 二-—-,Р = J2U2,

& = 12 В

М = 2000

冬=0,15 Ом

Р=20 Вт

典二/2R2 + U2 =77'+u2， n2 = 77~+02 万.

% - ?

(ОтветЛ n2 =ш.

Сила тока / в обмотке соленоида, содержащего W』1500 вит ков, равна 5 А. Магнитный поток Ф через поперечное сечени соленоида составляет 200 мкВб. Определите энергию магнитного поля в соле ноиде.

Дано

/ = 5 А

• 2V -1500

Ф = 200 мкВб = =2 • 10“ Вб

Решение

Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из проволоки диаметром d 二 0,5 мм имеет длину / 工 0,4 м и поперечное сече- н^е 6 - 50 см2. Какой ток течет по обмотке при напряжении U = 10 В, если за 0ремя / 二 0,5 мс в обмотке выделяется количество теплоты, равное энергии 口оля внутри соленоида? Поле считайте однородным.

:::^^^^^^^?^^Г^:^^^!^^^^^^^^^^^——二zrmrzzzzr^-jzz^zz^

W —?.

件=-- 2

Ф 二 nф]=",

昨煙

2

Qmgem ）力= 0,75 ^ё

Дано

d = 0,5 мм = 5 10-4 м

『0,4 м

S 二 50 см2 = 5 • IO-3 m2

U 二 10 В

/二 0,5 мс = 5 • Ю^с

2 =沙

Q^W.

К = 5/,

0="，,

l = Nd,

NI /

d2

w = ―-к

（3； I）Обмотка электромагнита, находясь под постоянным напряжение ^*— ^-^ ем, имеет сопротивление 7? = 15 Ом и индуктивность £ = 0,3 Гн Определите время, за которое в обмотке выделится количество теплоты, равное энергии магнитного поля в сердечнике.

/ — ?

2”

“，，，— ,~

一/.2仰 2d2

,2Utd2

Дано

Решение

& = 15 Ом £ = 0,3 Гн

0 =忆

0=/2&,

2 = %

U 二 const,

w =, 2

LI2 „

L

2

2R *

Ответ ^ / = 995 мА.

Индуктивность соленоида при дайне 1 м и площади поперечного сечения 20 см2 равна 0,4 мГн. Определите силу тока в соленоиде, при которой объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 0,1 Дж/м3.

0m6叫）=0,01 e.

Объемная плотность энергии однородного магнитного полядлинного соленоида

Дано

/ = 1 м

S = 20 см2 = 2 • 10-3 м2

^ = 0,4 мГн = 4 • Ю^Гн

^ = 0,1 Дж/м3

Решение

W = -LI2,

2，

y = Sl,

/ — ?

2//°〃2

2

三

<®>

w w =-

V

1 % w =

2 SI

/ = J*. QOmeem ） / = i A.

<§>

Объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоид：, длиной 50 см и мшюго диаметра равна 0,7 Дж/м\ Определит магнитодвижущую силу этого соленоида.

3.6. Магнитные свойства вещества

Решение

w - 0,7 Дж/м3

/ 二 50 см = 0,5 м

2，

% =fg dZ,L

Y氏"

H尸H,

Докажите, что отношение числового значения орбитального магнитного момента рт электрона к числовому значению его орби- талвного механического момента Le (гиромагнитное отношение орбитальных моментов) одинаково для любой орбиты, по которой движется электрон.

學一？

Принимая, что электрон в невозбужденном атоме водорода движется по круговой орбите радиусом г 二 52,8 пм, огфеделите: 1) магнит-

j之 Тороид с воздушным сердечником содержит 20 витков на 1 см.

Определите объемную плотность энергии в тороиде, если по его обмотке протекает ток 3 А.

ный момент Pm эквивалентного кругового тока; 2) орбитальный механический момент Le электрона; 3) исходя из полученных числовых значений, гиромагнитное отношение орбитальных моментов, доказав, что оно совпадает со значением, определяемым универсальными постоянными.

Дано

Решение

丁 = 20 см" = 2 ТО? м"

7 = 3 А

w

V '

台2

力=一——

2“o“

〃=1

2“o '

w—-？

加/d/ = 〃0M,

Bl 二 /л()М,

《Отеет ) уу = 22,6Дж/м .

3) g = 87,8 ГКл/кг.

<297>

回

В пространство между полюсами электромагнита подвешиваю ся поочередно висмутовый и алюминиевый стержни. Оказало^

3.220

По круговому контуру радиусом

кий кислород, течет ток

尸二 40 см, погруженному в жид-

/ = 1 А. Определите

намагниченность в

что при включении злектромагаита алюминиевый стержень располагается вд0?. магнитного поля, авием^'товый — поперек магнитного поля. Объясните р&з用 чие в их поведении.

центра этого контура. Магнитная восприимчивость у = 3,4/0-3.L

жидкого кислорода

€>

Дано

Решение

В однородное магнитное поле вносится длинный вольфрамовы

стержень (магнитная проницаемость вольфрама 〃 工 1,0176). ог

г-40 см = 0,4 м / = ] А У二3,4.10一3

J = %н,

H 二一-

2尸

Дано

Решение

〃 =1,0176

В Н Мд^Н , J = %&

В' = До J, % = “т.

В ■

В' = "о(〃-1)〃，

в &〃〃

m一1

ределите, какая доля суммарного магнитного поля в этом стержне определяет

ся молекулярными токами.

J一？

/=世 2r

Ответ ^ j 工 4,25 мА/м.

G^Q По обмотке соленоида индуктивностью Л = 3 мГн, находящегося в диамагнитной среде, течет ток / - 0,4 А. Соленоид имеет длину / 二 45 см, площадь поперечного сечения 5 ~ 10 см2 и число витков N = 1000. Определите внутри соленоида: 1) магнитную индукцию; 2) намагниченность.

I 219)Напряженность однородного магнитного поля в платине равна м3丿 5 д/м> Определите магнитную индукцию поля, создаваемого молекулярными токами, если магнитная восприимчивость платины равна 3,6 • 10±

Дано

Решение

77 = 5 А/м

% = 3,6.10-4

В' = ^оХ^ •

日一 ？

(Ответ\ в' = 2,26 нТл.

Дано

Решение

L = 3 мГн = 3; 10-3Гн /= 0,4 А 7 = 45 см = 0,45 м 5 = 10 см? = 10-3 м? N =1000

В — ?

Z = 〃o〃-厂，『б”。，

Н =B・二凤"H、

LI NI LI1

B~ N2S /NS'%'

j = xh = ^-\)hJ~^乎

卜N 丿/

(^Отбет) 8=1,2мТл, J = 66 А/м.

3*222 ) Соленоид, находящийся в диамагнитной среде, имеет дл^н， / = 30 см, площадь поперечного сечения S = 15 см2 и число 日坯丁 ков N 二 500. Индуктивность соленоида £ 二 1,5 мГн, а сила тока, протекаю^ го по нему, / = 1 А. Определите: 1) магнитную индукцию внутри соленоида 2) намагниченность внутри соленоида.

/^^25 ) По обмотке соленоида, в который вставлен железный сердечник Kfc» -^ (график зависимости индукции магнитного поля от напряженно- ^ представлен в задаче 3.223), течет ток / = 4 А. Соленоид имеет длину / ~ 1 м, рдошадь поперечного сечения 5 = 20 см2 и число витков N 二 400. Определи- те энергию магнитного поля соленоида.

Олябе/И )1) 8 = 2 МТ"；~2) J=75 А/м.

Дано

Решение

a^mE^j—w—iSw———^и—W——w——«й^ш^^й^————^—^й————вйм—й^ви—й—m^^^S^-^二 (莎Инд^жция магнитного поля в железном стержне 8 = 1,2 Тл. Опре^ делите для него намагниченность, если зависимость В(Н)⑪笈 данного сорта ферромагнетика представлена на рисунке.

/ 二 4 А .

/二1 m

5 = 20 см2 = 2 • 10-3 м2

n二 400

NI

8二7,

BH

ВН е

W ==S/.

2

Дано

Решение

5=1,2 Тл

8(〃)

J —?

8=1,2 Тл,

Н = 800 А/м (см. рисунок),

f = 0-1)8=1 я.

140K 丿

В,

I

(Э/Ябе/^) 少= 2,24~Дж.

) Обмотка тороида с железным сердечником имеет jV = 151 виток.

Средний радиус г тороида составляет 3 см. Сила тока / через

обмотку равна 1 А. Определите дая этих условий: 1) индукцию магнитного поля внутри тороида; 2) намагниченность сердечника; 3) мапжшую проницаемость сердечника. Используйте график зависимости В от И , приведенный в задаче 3.223.

Qmsem ) j = 954 ^j^.

)1) 8 = 1,2 Тл; 2)丿二 954 кА/м; 3) // = 1Д9-103.

3,224 ) Железный сердечник длиной / = 0,5 м малого сечения (d «/) содержит 400 витков. Определите магнитную проницаемость железа при силе тока / = 1 А. Используйте график из задачи 3.223.

<5оо>

Та железном сердечнике в виде тора со средним диаметром d = 70 мм намотана обмотка с общим числом витков N 工 600. В сердечнике сделана узкая поперечная прорезь шириной Z? = 1,5 мм (рисунок к задаче 3.228). При силе тока через обмотку /= 4 А магнитная индукция в прорези 稣=1,5 Тл. Пренебрегая рассеянием поля на краях прорези, определите

з

(3.228) На железном сердечнике в виде тора со средним диаметров 、一пт/ Q = 70 мм намотана обмотка с общим числом витков N 工 б。。 В сердечнике сделана узкая поперечная прорезь шириной Ь = 1,5 мм. Магнит, ная проницаемость железа для данных условий 〃二 500. Определите при силе тока через обмотку / = 4 А： 1) напряженность Я магнитного поля в железе 2) напряженность % магнитного поля в прорези.

Дано

d 工 70 мм = 7 • 10"2 м

^ = 600

b~ 1,5 мм = 1,5 Т0~з м

“ =500

，=4 А

§・230 ) Длинный цилиндрический конденсатор заряжается от источника ЭДС. Пренебрегая краевыми эффектами, докажите, что ток сме-

Решение

3 =g〃 "，

(乃。i b)H + Ъ^Н 工 NI,

，g dZ- Л7, L

Н —?

% -?

H5d-b)+Hob = NI,

В° 二凤Hq , “о"Н 二 40Ho,

„ NI

H = *,

(冗d - b) + м%

в 二 в。,

Hq= мН,

% =——吧——

{jtd — b) + “6

СЬпбет ) 1) "=2,48 кА/м; 2) Hq = 1,24 МА/м.

,3)29)На рисунке качествен- J二—丿 но представлены гистерезисные петли для двух ферромагнетиков. О&ьясните, какой из приведенных ферромагнетиков применяется для изготовления сердечников трансформаторов и какой ——для изготовления постоянных магнитов.

丝=吆

S = 2 冗/7 ,

2"/吆_吆_/

2лг/ d/ df

(3.231 ) Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной ^^ 丿 и дифференциальной формах и объясните физический смысл каждого из уравнений. Зачем вообще необходима дифференциальная форма урав

нений?

уГ^Г^1"Г；'™^'Я*^к''■' I! —ГТШ1Г! .. „ .Tin I -....■ __ -«.^^

(3.2) Запишите полную систему уравнений Максвелла для стационар.

' ных полей (Е = const я В = const) в интегральной и диффереа, циальпий формах и объясните физический смысл каждото из уравнений.

В Запишите уравнения Максвелла нерез поток вектора электрического смещения Ф^, поток вектора магнитной индукции Фв , за. ряд Q и силу тока / .

I Ток, проходящий по обмотке длинного прямого соленоида радиусом R , изменяют так, что магнитное поле внутри соленоида рас-

тет со временем по закону В - At2, где А ——некоторая постоянная. Определи- те плотность тока смещения как функцию расстояния г от оси соленоида. Постройте график зависимости ;см(г).

Нано I Решение

R

4 二 const

Дано

Решение

В 二 В(/)

rotE — ?

B-B(Z), —/0, rotE = -^wO, rotE^O a/ar

(3.234 ) Докажите с помощью одного из уравнений Максвелла, что пепе- менное во времени магнитное поле не может существовать без электрического поля.

Ответ ) Есть вихревое электрическое поле.

厶м(—?

<R, 2лгЕ^лг2 - 2At.E = Atr,

R2 At. “AR?

r> R2 冗 rE =冗R2 *2At,E = ~，Am - ~ ，

Дано

Решение

1) rotE = -

ю ЭВ

1) rotE =

勿

dt

2) divB = 0

(HR、Q

div rotE = div卜—J = -；(divB),

Совместимы 1) и 2) — ?

div rot E = 0;div В 二 const,

2) div В = 0;1) div В - const.

Докажите, что уравнения Максвелла rotE =—НВ/勿 и divB = 0 совместим*, т. е. первое из них не противоречит второму.

Ответ ) 1) И 2) совместимы.

丫 = R, E = AtR,

Am 二 £o^-

О

В физике известно так называемое уравнение непрерывное^

g j dS 二—~, выражающее закон сохранения заряда. Докажите что уравнения Максвелла содержат это уравнение. Выведите дифференциаль ную форму уравнения непрерывности.

4. Колебания и волны

4 L Механические и электромагнитные колебания

Дано

Решение

9

Гармонические колебания величины s описываются уравнением

s 二 0,02 cos 6тгг + — , м. Определите: 1) амплитуду колебаний;

\3丿

一

sd

ГФ4 5

AS (S — любая поверх-

2)циклическую частоту； 3) частоту колебаний; 4) период колебаний.

Вывести из уравнений Максвелла, записать дифференциальную форму уравнения непрерывности.

ность, опирающаяся на замкнутый контур £),

J 办 dS 二 § 田 d/ - J — d5 . Рассмотрим бесконеч- но малый контур, стянув его в точку, а поверхность оставим конечной. Тогда § 例 d/ = 0 *

Дано

Решение

S 二 0,02 cos 6я/ +

3丿

5 - Л cos(w0/+ </)),

Л = 0,02 м, s° 二 6冗 с

Поверхность замкнута, поэтому можем записать:

у Г

s

1) 4 —?

2)g0 — ？

3“ 一 ？

4) Т — ?

吁也= зг427r

1

T 二一

V

0,33 с.

Используем III уравнение Максвелла и продифференцируем его по времени:

^DttdS = ^pdV ,§ 込 d5 =