А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.СвешниковДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А.Н.Тихонова, В.А.Ильина, А.Г.Свешникова. Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение многих лет на физическом факультете Московского государственного университета. Изложение отвечает современному состоянию теории дифференциальных уравнений в той мере, как это требуется специалистам по физике и математике. Большое внимание уделено численным и асимптотическим методам решения. Воспроизводится со 2-го изд. (1985 г.).

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика».

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к третьему изданию5

Предисловие ко второму изданию5

Предисловие к первому изданию6

Глава 1. Введение7

Понятие дифференциального уравнения7

Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям12

Глава 2. Общая теория23

Элементарные методы интегрирования23

Теоремы существования и единственности решения начальной задачи 31

для одного уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Алгоритм ломаных Эйлера

Уравнение, неразрешенное относительно производной39

Теорема существования и единственности решения нормальной46

системы

Зависимость решений от начальных значений и параметров51

Метод последовательных приближений (метод Пикара)59

Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке63

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения67

Уравнения движения маятника как пример линейного уравнения.67

Основные свойства линейного уравнения с постоянными коэффициентами

Общие свойства линейного уравнения n-го порядка73

Однородное линейное уравнение n-го порядка76

Неоднородное линейное уравнение n-го порядка79

Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами 82

Системы линейных уравнений. Общая теория88

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными 96 коэффициентами

Построение решения линейного уравнения в виде степенного ряда101

Глава 4. Краевые задачи105

Постановка краевых задач и их физическое содержание105

Неоднородная краевая задача110

Задачи на собственные значения123

Глава 5. Теория устойчивости

Постановка задачи

Исследование на устойчивость по первому приближению

Метод функций Ляпунова

Исследование траекторий в окрестности точки покоя

Глава 6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Разностные методы решения начальной задачи

Краевые задачи

Глава 7. Асимптотика решений дифференциальных уравнений по малому параметру

Регулярные возмущения

Сингулярные возмущения

Глава 8. Уравнения в частных производных первого порядка

Линейное уравнение

Квазилинейное уравнение

Список литературы

Предметный указатель

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аналитическаятеория

дифференциальных уравнений 102

Аппроксимация разностной схемы, порядок аппроксимации 158

Асимптотика 180

128128134138144151151167177177183209209218228229128128134138144151151167177177183209209218228229Асимптотическая формула 178

128

128

134

138

144

151

151

167

177

177

183

209

209

218

228

229

128

128

134

138

144

151

151

167

177

177

183

209

209

218

228

229

Асимптотический ряд 180

Асимптотическое представление 178

— разложение 180

Бегущая волна 212

Возмущение правых частей (входных

данных) 158, 159

— регулярное 180

— сингулярное 183

Возмущенная задача 159

Возмущенное и невозмущенное

уравнения 180

Вырожденная система 184

Граничные условия первого, второго

и третьего рода 107

C-дискриминантная кривая 45

p-дискриминантная кривая 45

Задача краевая 107

— на собственные значения (задача

— начальная (задача Коши) 10Импульсная матрица 94— функция 81Интеграл дифференциального уравнения 24Интегральная кривая 9— поверхность 210Интегральное уравнение 11— — Фредгольма второго рода 126Интегрирование в квадратурах 24— дифференциального уравнения 9Интегро-дифференциальное уравнение 19Качественнаятеориядифференциальных уравнений 150Квадратура 24Лемма о дифференциальных неравенствах 29— — — — столбцов 90, 93Линейная зависимость инезависимость столбцов 90, 93— — — — функций 77Ломаные Эйлера 32Матрицант 94— начальная (задача Коши) 10Импульсная матрица 94— функция 81Интеграл дифференциального уравнения 24Интегральная кривая 9— поверхность 210Интегральное уравнение 11— — Фредгольма второго рода 126Интегрирование в квадратурах 24— дифференциального уравнения 9Интегро-дифференциальное уравнение 19Качественнаятеориядифференциальных уравнений 150Квадратура 24Лемма о дифференциальных неравенствах 29— — — — столбцов 90, 93Линейная зависимость инезависимость столбцов 90, 93— — — — функций 77Ломаные Эйлера 32Матрицант 94Штурма—Лиувилля) 107, 123

— начальная (задача Коши) 10

Импульсная матрица 94

— функция 81

Интеграл дифференциального уравнения 24

Интегральная кривая 9

— поверхность 210

Интегральное уравнение 11

— — Фредгольма второго рода 126

Интегрирование в квадратурах 24

— дифференциального уравнения 9

Интегро-дифференциальное уравнение 19

Качественнаятеория

дифференциальных уравнений 150

Квадратура 24

Лемма о дифференциальных неравенствах 29

— — — — столбцов 90, 93

Линейная зависимость и

независимость столбцов 90, 93

— — — — функций 77

Ломаные Эйлера 32

Матрицант 94

— начальная (задача Коши) 10

Импульсная матрица 94

— функция 81

Интеграл дифференциального уравнения 24

Интегральная кривая 9

— поверхность 210

Интегральное уравнение 11

— — Фредгольма второго рода 126

Интегрирование в квадратурах 24

— дифференциального уравнения 9

Интегро-дифференциальное уравнение 19

Качественнаятеория

дифференциальных уравнений 150

Квадратура 24

Лемма о дифференциальных неравенствах 29

— — — — столбцов 90, 93

Линейная зависимость и

независимость столбцов 90, 93

— — — — функций 77

Ломаные Эйлера 32

Матрицант 94

Матричная запись системы линейных уравнений 90

Метод вариации постоянной 27

— ВБК 203

— неопределенных коэффициентов

88

— последовательных приближений (метод Пикара) 27

— стрельбы 167

— усреднения 203

Метрическое пространство 63

Независимость первых интегралов

216

Неподвижная точка 63

Неустойчивость решения 143

Норма равномерная (чебышёвская)

153

— собственной функции 125

— среднеквадратичная (гильбертова)

153

Нормальная система

дифференциальных уравнений

8

Область влияния устойчивого корня

186

Обобщенное решение

квазилинейного уравнения 226

— — обыкновенного

дифференциального уравнения

12, 38

Общее решение линейного неоднородного уравнения 80

— — — однородного уравнения 68,

79

— — — уравнения в частных производных 217

— — системы линейных уравнений

94

Общий интеграл 24

Обыкновенная точка 38

Однородные и неоднородные

краевые задачи 107

Операторный многочлен 84

Определитель Вронского 77, 93

Особая точка 38

Особое решение 45

Остаточный член асимптотической формулы 178

Первый интеграл 215

Пограничные члены 192

Пограничный ряд 192

— слои 190

Поде направлений 10

Порядок аппроксимации 158

— дифференциального уравнения 7

Предельный цикл 149

Принцип максимума 171

— сжатых отображений 64

— суперпозиции 75, 91

Присоединенные векторы 100

Прогонка алгебраическая 174

— обратная 176

— прямая 175

Пространство решении линейного однородного уравнения 76, 79 — — системы линейных уравнений 94

ε-приближение по невязке 34, 49 — — — отклонению 36

Разностная схема «предиктор — корректор» 166

— — Рунге — Кутта 164

— — Эйлера 154

— — явная 154

Регулярный ряд 192

Резонансныйинерезонансный

случайвнеоднородном

линейном уравнении 72, 87

Релаксационные колебания 208

Решение общее 24

— частное 9, 24

Седло 147

Сепаратриса 147

Сетка, сетки узел, сетки шаг 152

— равномерная и неравномерная 152

Сеточная функция 152

Система линейных уравнений 74, 88 — первого приближения 134

Собственное значение, его ранг 108

Собственные колебания 108

— функция 108

Специальные функции 102

Среднее значение 204

Сходимость по невязке 34, 49

— разностной схемы 153

Теорема о неподвижной точке 63

— о неустойчивости 143

Теорема об общем решении линейных уравнений 79, 94 — об устойчивости 141

— об устойчивости асимптотической 142

— Стеклова о разложении по собственным функциям 125

— существования и единственности решения краевой задачи 120

— Тихонова о сингулярно возмущенной системе 188

— Чаплыгина о дифференциальных неравенствах 10

Теоремы существования и единственности решения начальной задачи для нормальной системы уравнений 49

— — — — — — — — уравнения, неразрешенного относительно производной 40

— — — — — — — — — первого порядка 36, 61, 62

Теория возмущений 180

Тождество Лагранжа 109

Точка поворота 203

— покоя 145, 148

Тривиальное решение 78, 107

Ударная волна 226

Узел 146

Уравнение Бернулли 29

— Ван дер Поля 208

— в вариациях 58

— в частных производных 7

— в частных производных, квазилинейное 209

— в частных производных, линейное 209

— колебаний упругого стержня 20

— Лагранжа 43

— линейное, первого порядка 26

——линейное, n-го порядка 67, 73

— маятника 15, 67

—, неразрешенное относительно производной 39

— обыкновенное 7

— переноса 17

— Риккати 29

— с разделяющимися переменными 23

— теплопроводности 22

— Эйлера 88

— Эйри 102

Условие Липшица 31, 46, 60

Устойчивость асимптотическая 129

— по Ляпунову 129

— разностной схемы 160

Устойчивый корень 185

Фазовая траектория 9

Фазовое пространство 9

Фазовый портрет 149

Фокус 148

Формальный ряд 102, 191

Формула Грина 109

Фундаментальная матрица 94

— система решении 78, 93

Функция Грина краевой задачи 112

— — обобщенная 117

— Ляпунова 140—142, 144

— положительно определенная 140

Характеристики квазилинейного уравнения в частных производных 219

— линейного уравнения в частных производных 210, 214

Характеристический многочлен 83

Характеристическое уравнение 67,

71, 84, 96, 163

Центр 148

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

Книга «Дифференциальные уравнения», являющаяся шестым выпуском серии «Курс высшей математики и математической физики», претерпела два издания: первое появилось в 1980 г., а второе — в 1985 г. Был сделан перевод на английский язык издательством *Шпрингер Ферлаг* в 1985 г.

Сейчас прошло уже более десяти лет со времени выхода в свет второго издания, и студенты вузов и университетов, для которых эта книга является одним из основных учебников, испытывают трудности в доступе к книге, поскольку количество экземпляров книги в библиотеках в силу естественных причин значительно сократилось. Поэтому мы приветствуем инициативу нового переиздания серии «Курс высшей математики и математической физики».

Настоящее издание стереотипное. Исправлены лишь некоторые опечатки, на которые в разное время обратили внимание читатели, за что авторы выражают им всем благодарность.

Конечно, в будущем, если дело дойдет до еще одного переиздания, придется внести ряд изменений, так как со времени подготовки второго, переработанного, издания в теории дифференциальных уравнений появились новые факты. С другой стороны, текст в его настоящем виде нам приятно сохранить как память о нашем учителе и соавторе Андрее Николаевиче Тихонове, которого не стало в 1993 г.

Июнь 1998 г. 4 Б. Васильева

А Г. Свешников

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Второе издание курса «Дифференциальные уравнения» представляет собой существенно переработанный текст первого издания. Не меняя основного содержания курса, мы внесли значительные изменения в характер его изложения.

В новом издании изложение узловых положений курса строится на основе общих идей метода дифференциальных неравенств, базирующегося на теореме Чаплыгина. Этот метод наглядно выделяет идейную сторону доказываемых в курсе основных теорем существования и зависимости от параметров решения начальной задачи как для одного уравнения, так и для системы уравнений. При этом во многих случаях значительно снижаются технические трудности при доказательстве соответствующих теорем, а сами доказательства становятся более алпоритмичными.

На идейной основе метода дифференциальных неравенств построено также изложение рассматриваемых в книге вопросов численных и асимптотических

66ПРЕДИСЛОВИЕ

6

6

методов решения дифференциальных уравнений. В главу о численных методах внесены, кроме того, значительные редакционные изменения в целях улучшения изложения с методической точки зрения.

Подвергся переработке и текст гл. 4, посвященной краевым задачам. Дано доказательство теоремы существования решения неоднородной краевой задачи. Более подробно разбирается понятие обобщенной функции Грина. Внесены некоторые изменения в характер изложения задач на собственные значения.

Помимо этих основных изменений в текст книги внесено большое количество более локальных изменений для улучшения стиля изложения, изменен ряд обозначений.

Авторы выражают свою искреннюю благодарность Л.Д.Кудрявцеву, внимательно просмотревшему рукопись настоящего издания, а также всем лицам, приславшим свои замечания по первому изданию книги.

1985 г. Авторы

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Предлагаемая книга представляет собой очередноЛ выпуск серии «Курс высшей математики и математической физики» под редакцией А.Н.Тихонова, В.А.Ильина, А.Г.Свешникова.

В основу книги положен курс лекций, который в течение многих лет читается на физическом факультете Московского государственного университета. Изложение отвечает современному состоянию теории дифференциальных уравнений в той мере, как это требуется будущим специалистам по физике и прикладной математике, и в то же время достаточно элементарно.

Большое внимание уделяется в книге приближенным методам решения и исследования дифференциальных уравнений — численным и асимптотическим, которые в настоящее время лежат в основе изучения математических моделей физических явлений. Читатель получит представление о различных методах численного решения как начальных, так и краевых задач, о таких фундаментальных понятиях теории численных методов, как сходимость разностной схемы, аппроксимация и устойчивость. В главе, посвященной асимптотическим методам, содержатся, в частности, сведения из так называемой теории сингулярных возмущений (метод пограничных функций, метод ВБК, метод усреднения), которая бурно развивается в последние десятилетия в связи с потребностями таких разделов физики и техники, как теория автоматического регулирования, гидродинамика, квантовая механика, кинематика, теория нелинейных колебаний и др.

Рукопись книги была просмотрена Е.А.Гребениковым и Л.Д.Кудрявцевым, сделавшими ряд ценных замечаний. Неоценимую помощь в подготовке рукописи к печати оказал Б.И.Волков. Всем им авторы выражают свою искреннюю благодарность.

1980 г. Авторы

ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Понятие дифференциального уравнения

В настоящей книге рассматриваются дифференциальные уравнения, т. е. соотношения межцу неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными. Уравнения, содержащие производные по многим независимым переменным, называются уравнениями е частных производных. Уравнения, содержащие производные лишь по оцной из независимых переменных, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Изучение свойств и методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и составляет основное содержание цанной книги, лишь последняя глава посвящена некоторым специальным классам уравнений в частных производных.

Независимую переменную, производная по которой входит в обыкновенное дифференциальное уравнение, обычно обозначают буквой х (или буквой % поскольку во многих случаях роль независимой переменной играет время). Неизвестную функцию обозначают через у(н).

Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать в виде соотношения

叩,У,累….叩,У,累….0.0.(1.1)(1.1)

叩,У,累….

叩,У,累….

0.

0.

(1.1)

(1.1)

В уравнение (1.1), помимо неизвестной функции, ее производных по независимому переменному х и самого независимого переменного н, могут входить и дополнительные переменные ци ..., цЛ. В этом случае говорят, что неизвестная функция зависит от переменных 卩匕...,卩％ как от параметров.

(1.2)(1.2)Порядок старшей производной, входящей в уравнение (1.1), называется порядком уравнения. Уравнение первого порядка имеет вид

(1.2)

(1.2)

и связывает три переменные величины — неизвестную функцию, ее производную и независимую переменную. Часто это соотношение

удается записать в виде

嘉=/(£,/(1-3)

Уравнение (1.3) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Изучение теории обыкновенных дифференциальных уравнений мы начнем с уравнения (1.3).

Наряду с дифференциальными уравнениями (1.1)——(1.3) для одной неизвестной функции в теории обыкновенных дифференциальных уравнений рассматриваются системы уравнений. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных

-57 = Л(^, У1, ...,Уп),2 = 1,...,%(1.4)

называется нормальной системой. Вводя векторные функции у0(У1, • — ,Уп), / = (А* • • -, /п),

можем записать систему (1.4) в векторной форме

黑="?,/(1.5)

Легко видеть, что уравнение п-го порядка (1.1), разрешенное относительно старшей производнойЛегко видеть, что уравнение п-го порядка (1.1), разрешенное относительно старшей производной

Легко видеть, что уравнение п-го порядка (1.1), разрешенное относительно старшей производной

Легко видеть, что уравнение п-го порядка (1.1), разрешенное относительно старшей производной

может быть сведено к нормальной системе. Действительно, введем обозначения

У 3)=力(吟 石=У2(*Уп(Е)・ (1.7)

Тогда, вследствие очевидного равенства —уравнению (1 6)

можно сопоставить нормальную систему

(18)(18)吗一1

(18)

(18)

~^Г =Уп,

== /& у” •…Ул).

В уравнениях (1.1) — (1.5) независимую переменную будем полагать действительной. Неизвестные функции могут бьтть как действительными, так и комплексными функциями действительной переменной.

Очевидно, если у(х)~ у(х)~^ iy(x), где у(н) и у(н) — соответственно действительная и мнимая части функции у(7), уравнение (1.3) эквивалентно системе обыкновенных дифференциальных уравнений для действительных функций:

•^ = Re/(z,方,歹)， ^ = Im/(?», 7).

Решением системы дифференциальных уравнений (1.4) называется всякая совокупность функций у；(н) (Z= 1,・・.,п), которые при подстановке в уравнения обращают их в тождества. Как правило, и как это будет видно из последующих примеров (см. § 2), если дифференциальное уравнение разрешимо, то оно обладает бесчисленным множеством решений. Процесс нахождения решений называется интегрированием дифференциального уравнения.

Обычно рассматриваются системы (1.4) с правыми частями, непрерывными в некоторой области D изменения неизвестных функций yt и независимой переменной х. Очевидно, что при этом решения Pi(n) представляют собой непрерывно дифференцируемые функции. Однако в приложениях иногда приходится иметь дело с уравнениями, правые части которых имеют разрывы (например, при описании ударных нагрузок, мгновенно приложенных сил и т. д.), поэтому и сами решения будут иметь разрывы производных. Тогда естественно в качестве решения (1.4) рассматривать непрерывные функции 小⑺ с кусочно непрерывными производными. При подстановке в уравнения они дифференцируются всюду, за исключением точек разрыва (или отсутствия) производных. Такое решение естественно назвать обобщенным решением.

Всякое решение 弘(7) (i=l, • •・,и) системы (1.4) можно интерпретировать геометрически как кривую в (п 4- 1)-мерном пространстве переменных х, у【,...,уп, которая называется интегральной кривой. Подпространство переменных у】,...,уп называется фазовым пространством^ а проекция интегральной кривой на фазовое пространство ——фазовой траекторией.

Уравнения (1.4) определяют в каждой точке области D некоторое направление, задаваемое вектором т = (1, /ь ..., /п). Такая область пространства с заданным в каждой точке направлением называется полем направлений. Интегрирование системы уравнений (1.4) геометрически интерпретируется как нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением т, заданным в данном поле направлений.

Как отмечалось выше, дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, бесчисленное множество решений. Поэтому, интегрируя систему (1.4), мы найдем бесчисленное множество интегральных кривых, лежащих в области определения правых частей системы (1.4). Чтобы из всей совокупности решений выделить отдельную интегральную кривую, представляющую собой так называемое част-

ное решение системы (1.4), надо задать дополнительные условия. Во многих случаях такими дополнительными условиями являются начальные условия

У? (%) = У：, i = 1,・・・，％(L9)

определяющие ту точку (п 4-1)-мерного пространства переменных х, Ji, ,.., уп, через которую проходит данная пптегральная кривая.

Задача интегрирования системы (1.4) с начальными условиями

называется начальной задачей или задачей Коши.

В простейшем случае одного уравнения

■^ = /(2, У)(1-10)

функция /(х, у) определяет поле направлений в той области D плоскости (%,у), где задана правая часть (1.10). Это поле направле

ний в каждой точке области D задается вектором 工(芻 у) с угловым коэффици^ ентом /(z, у) (tga = /(x, у)) (рис. 1).

Решение начальной задачи с заданным начальным условием у (х0) = у0 в этом случае заключается в построении в области D интегральной кривой у = иу(£), выходящей из начальной точки (х0, у" и в каждой своей точке (х, у) касающейся вектора т с угловым коэффициентом /(х, у).

Приведенная геометрическая интер

претация поведения интегральных кривых делает наглядным доказательство следующей теоремы.

黑=/(叼力У (%) =%,黑=/(叼力У (%) =%,(1.11)(1.11)Теорема 1.1 (теорема Чаплыгина о дифференциальных неравен- ствах). Если Rpu^Q 巨[工小 X] существует решение начальной задачи

黑=/(叼力У (%) =%,

黑=/(叼力У (%) =%,

(1.11)

(1.11)

W8几яющеес凡 однозначной функцией х0, и если z{x)—непрерывная и непрерывно дифференцируемая на [х0, X] функция такая, что

雾 V/(z, z), zw[g, X], z (z0) < y0,(1.12)

то имеет место неравенство

z(x)<y(x),二巨(/, X].(1.13)

Доказательство. По условию теоремы неравенство (1.13) выполняется в точке х0. Следовательно, в силу непрерывности у(£) и z(n), оно выполняется также в некоторой окрестности правее точки хп.

Предположим, что 工】® [工о, X]——ближайшая к х0 точка, в которой неравенство (1.13) нарушается, т. е. z(Ni) = y(Nj. Геометрически это означает, что кривые z(n) и ?(n) при х = х^ пересекаются или касаются. Но тогда цолжно быть 含(胃1)》/(胃1, У (^i)), что противоречит (1.12). Теорема доказана.

Сделаем существенные для дальнейшего замечания к доказанной теореме о дифференциальных неравенствах.

Замечания. 1. Мы предполагали z(xQ)< yQl но теорема остается справедливой, если z^Xq)^ у0, В этом случае существование некоторой окрестности правее точки х^ в которой выполнено неравенство (1.13), следует из того, что

詳(％) V / (%, Z (%)) = / (%, %)=罂(％).

Дальнейшие рассуждения совершенно такие же, как для случая Z(No) V i/0.

Если функция z(n) удовлетворяет неравенствам 雾 >/(瑞 z),HW[%, X], Z(R)=yo，

то знак неравенства в (1.13) также изменится на противоположный.

Теорема остается справедливой и в том случае, когда z(n) кусочно дифференцируема на [n“ X] и неравенство (1.12) выполняется для предельных значений производной 戸 в точках ее разрыва.

При решении ряда вопросов бывает удобно сводить задачи для дифференциальных уравнений к некоторым интегральным уравнениям.

Лемма1Л. Пусть /(n, у) непрерывна по совокупности аргументов в некотором прямоугольнике

О =» {|工一Nol £ а, \у — Уй\ Wb}.

Тогда начальная задача

祭=〃н,У), У (^о) = У о(1.14)

эквивалентна интегральному уравнению

УЗ) = % + j /怎 У(&))喝(1.15)

хо

Доказательство. Пусть на сегменте |х — n(J Wa существует решение начальной задачи ——функция у(н), причем у& — b ^ У(^)^ W Уа + b (эти неравенства означают, что при I工一工J Wq интеграль-

ная кривая находится в области 0, где /(х, у) непрерывна). Подставив y(N)в уравнение (1.14), получим тождество. Интегрируя это тождество от х0 до х ^ [х0 — а,工。+ aj и используя начальное условие у(⑦0)= Уо, получим (1.15). Следовательно, решение начальной задачи (1.14) удовлетворяет интегральному уравнению (1.15). С другой стороны, если существует непрерывное решение интегрального уравнения (1.15)— функция у Q), причем у° — b Е У (с) W У。+ Ь, то, в силу непрерывности /(х, у) и следующей отсюда непрерывности функции /(^, у(^)) как сложной функции 三，интеграл в правой части (1.15) является непрерывно дифференцируемой функцией х. Следовательно, и левая часть (1・15), т. е. функция у(с), имеет непрерывную производную, причем эта производная равна /(хт у (с)), а значит, у (х) есть решение уравнения (1.14). Выполнение начального условия проверяется непосредственно. Лемма доказана.

Замечание. Аналогичная теорема об эквивалентности имеет место и для системы дифференциальных уравнений, т. е. для задачи (1.4), (1.9).

Лемма 1.1 остается в силе, когда функция /(х, у) является кусочно непрерывной функцией переменной х. При этом интегральное уравнение (1.15) имеет непрерывное решение у (с), являющееся кусочно дифференцируемой функцией х. Это решение удовлетворяет уравнению (1.14) на участках непрерывности функции /(х, у).

Возможны и другие способы задания дополнительных условий, выделяющих определенное частное решение системы (1.4). К их числу относятся: так называемые краевые задачи, в которых определенное частное решение выделяется требованием, чтобы удовлетворялись дополнительные условия в нескольких различных точках области определения решения; задачи на собственные значения, состоящие в определении некоторых параметров в уравнении, при которых существуют частные решения, удовлетворяющие поставленным дополнительным требованиям; задачи поиска периодических решений и ряд других постановок, позволяющих однозначно выделить требуемое частное решение уравнения.

Физические задачи,приводящие к дифференциальным уравнениям

В настоящем параграфе будет приведен ряд типичных задач физики и механики, изучение которых методом математических моделей приводит к исследованию дифференциальных уравнений.

Радиоактивный распад. Физический закон, описывающий процесс радиоактивного распада, заключается в том, что скорость распада отрицательна и пропорциональна количеству нераспавшегося к данному моменту времени вещества. Коэффициент пропорциональности X, являющийся характерной для данного вещества постоянной, пе зависящей от времени, носит название постоянной распада. Математическое выражение закона радиоактивного распада

имеет следующий вид:

警⑴，(1.16)

где 加“)一 количество нераспавшегося к моменту времени £ вещества. Это соотношение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Непосредственной проверкой легко убедиться, что решение (1.16) имеет вид

m«) = CL,(1.17)

где С ——произвольная постоянная, которая может быть определена из дополнительного условия, например из начального условия 小(厶)=加％ задающего количество исходного вещества в начальный момент £(ь Частное решение соответствующей начальной задачи имеет вид

m (f)=m济"'-’叫(1.18)

Одной из важных физических характеристик процесса радиоактивного распада является период полураспада ——промежуток времени Т, за который количество распадающегося вещества уменьшается вдвое. Из (1.18) найдем

откуда

Т = -i-ln2.(1.19)

Отметим, что уравнение (1.16) является математической моделью не только процесса радиоактивного распада, но и многих других процессов деления или размножения, характеризуемых тем, что скорость деления (размножения) пропорциональна количеству вещества в данный момент времени, причем коэффициент пропорциональности есть некоторая постоянная, характеризующая рассматриваемый процесс. Как мы убедились, типичной постановкой задач для этого класса уравнений является начальная задача (задача Коши).

Движение системы материальных частиц. Математической моделью движения системы N материальных частиц массы т< «==1, .・.,%), принятой в теоретической механике, являются уравнения движения, следующие из второго закона Ньютона:

加? =尸 I(£，г j，ji К / = 1,.…N.(1 - 20)

Здесь mt — массы частиц, постоянные во времени,广一радиус- векторы частиц, Ft — вектор силы, действующей на i-ю частицу и

зависящий, вообще говоря, от времени, координат r-й частицы, взаимного расположения частиц системы и их скоростей. Система (1.20) представляет собой систему N векторных уравнений второго порядка. Если массы частиц не меняются в процессе движения, то, обозначив декартовы координаты радиус-вектора rf через 忆仆 г/„ г, 仁叫dZq

и вводя новые переменные и>%у =-^-, viz = -^-(компоненты

вектора скорости г-й частицы), можем записать (1.20) в виде нормальной системы 67V уравнений первого порядка:

dqdyidZf

В QН = %打F = %z，

Сложность интегрирования системы (1,21) в первую очередь определяется видом правых частей, т. е. функциональной зависимостью компонент вектора силы от переменных £,忆厶 Уа z«, и《*, viv, u〔z・ Во многих случаях получить значения частного решения системы с заданной степенью точности удается лишь численными методами, используя современные ЭВМ. Типичной задачей для системы (1.21) является начальная задача, заключающаяся в определении траекторий частиц по заданным в начальный момент времени £о положениям и скоростям всех частиц системы

门（浦=N, S （幻=u?门（浦=N, S （幻=u?(1.22)(1.22)

门（浦=N, S （幻=u?

门（浦=N, S （幻=u?

(1.22)

(1.22)

при известных правых частях (заданных внешних силах, действую

щих на систему, и силах взаимодействия между частицами). Другой

типичной задачей для системы (1.21) является краевая задача определения траектории, проходящей через заданные начальную и конечную точки в фазовом пространстве. К этой задаче мы, в частности, приходим при расчете траектории космического аппарата, направляемого с Земли па Лупу или какую- либо планету.

В ряде случаев рассматриваются и другие постановки задачи определения частного решения системы (1.21).

Важным частным случаем системы (1.20) является уравнение колебаний физического маятника.

Рис. 2 Обычно физическим маятником называют абсолютно твердое тело, которое может вращаться под действи

ем силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести С (рис. 2).

Рассмотрим сечение данного тела плоскостью, перпендикулярной оси вращения и проходящей через центр тяжести. Точку пересечения оси вращения с данной плоскостью обозначим О. Очевидно, положе-

ние физического маятника в любой момент времени можно характеризовать углом <р, который составляет прямая ОС с вертикальной осью z, проходящей через точку О. Для вывода уравнения движения воспользуемся вторым законом Ньютона в применении к вращательному движению (угловое ускорение пропорционально главному моменту внешних сил). Тогда, пренебрегая силами сопротивления, получим

(1-23)(1-23)—mgd sin q\

(1-23)

(1-23)

где / ——момепт инерции тела относительно оси вращения, ad — расстояние от точки О до центра тяжести С.

Общее уравнение (1,23) колебаний физического маятника является нелинейным. В случае малых колебаний, ограничиваясь первым членом разложения функции sin ф, получим

(1.24)(1.24)■^ + со2(р = О,

(1.24)

(1.24)

где через со2 обозначено отношение mgd/I. Очевидно, размерность [со] = 1/с, что и оправдывает введенное обозначение. Заметим, что в случае уравнения (1.24) возвращающая сила пропорциональна смещению от положения равновесия.

Как легко убедиться непосредственной проверкой, уравнение (1.24) имеет периодические решения частоты со:

(р(^) = Л cos з£ + В sin со%(1.25)

где А и В — произвольные постоянные, определяющие амплитуду периодических колебаний.

При учете сил сопротивления, пропорциональных угловой скорости, уравнение (1.24) перейдет в уравнение вида

祭+時+d中=0.祭+時+d中=0.(1-26)(1-26)

祭+時+d中=0.

祭+時+d中=0.

(1-26)

(1-26)

Как будет показано ниже (см. гл, 3), уравнение (1.26) определяет затухающие колебания.

Уравнения переноса. Пусть по трубе постоянного поперечного сечения, ось которой совпадает с осью х, движется поток воздуха, скорость которого вдоль оси трубы в точке х в момент времени t есть заданная функция и (芻 £)・ Пусть воздух переносит некоторое вещество, линейную плотность которого в сечении трубы с координатой х в момент времени i обозначим u(n, i). В процессе переноса вещество осаждается на стенках трубы. Будем считать, что плотность распределения осаждающегося вещества задается выражением /(n,力)乩(n, £)(/(工,^—заданная функция), т. е. пропорциональна концентрации вещества (это можно рассматривать как линейное приближение к более сложному закону, справедливое при достаточно

малых и). Это значит, что количество вещества, которое осаждается на участке стенки трубы между сечениями х и х + Дх за промежуток времени ［力 f + 厶口，дается законом

х+Дзс t+At

J J /代，工)"&工)筵吏.

Для получения дифференциального уравнения относительно и рассмотрим баланс вещества в области между сечениями z и х + Az. Процесс диффузии не будем учитывать, что естественно, если скорость и достаточно велика.

За время А£ изменение количества вещества в рассматриваемой области равно

а+Дзс、

］也化,t +At)— "(&,/)］屯.

Это изменение определяется, во-первых, разностью потоков вещества: втекающего через сечение х и равного

i+Ai

J V (х, т) и(Z, т) с/т

и вытекающего через сечение х + Дх и равного

t+A(

J и (н + Ан, т) и (/ + Дх, т) di

а во-вторых, убылью количества вещества (за счет осаждения на стенке), равной

х+Дзс t+At

—J J /(E,T)〃(E,T)dWdt.

Таким образом, закон сохранения вещества дает

Х4-ЛЛ

J也怎£ +加)一口(e,小脸=

= J【и (名 т) 口(2, т) — и (а + Az, т) и (х + Лх, т)］ dr 一

х+Дх t+Af

一 J j /(E,T)u&T)<^dT. (1.27)

Пользуясь теоремой о конечном приращении для подынтегральных выражений в предположении наличия непрерывных частных произ-

водных у рассматриваемых функций и вычисляя интегралы по теореме о среднем, получим

(n*, £) lt=【* AnA£ = 一 -^ (и (富,Z**) и (富,t**)) |x=x** Ан At —

一 / (N***, £***) 〃(N***"***) An A力(1.28)

где ", z**,工***, £*, Z**, Z*** — некоторые точки из отрезков [q % + An] 匕 t + A口 соответственно. Деля затем равенство (1.28) на AnA£ и устремляя Az и А^ к нулю, в силу непрерывности всех членов соотношения (1.28) получим окончательное уравнение

嗡 + ^ (М + /и = 0,(1.29)

ИЛИ

警+ №,£)窘+ c(z,f)u = 0,(1.30)

где

c(z,f) = ^ (z, f) +/(z,f).(1.31)

Уравнение (1.30) является уравнением в частных производных первого порядка. Для него можно поставить, например, следующую задачу. Пусть известна концентрация вещества при 工=々

u(x0, »)=%«),(1.32)

где 也0(£)——заданная функция. Требуется определить 口(％, t) для н》％g. Ниже (в гл. 8) мы увидим, что условие (1.32) однозначным образом определяет решение уравнения (1.30).

Задача о просачивании воды сквозь песок. Пусть вода просачивается через песок сверху вниз. Направим ось х вниз. Через □(%, t) обозначим плотность воды в песке (£—время). Скорость движения воды и, очевидно, зависит от ее плотности, т. е. v = ^(u), где f (u) есть заданная (функция, причем у возрастает вместе с и.

Рассмотрим баланс воды в слое [z, х + Да?]. За время А£ изменение количества воды равно J [〃(3 f + А£)——辽(L 力雄.Это изменение происходит за счет разности входящего потока

J V (и (胃,т)) и (芻 т) di

и выходящею потока

и (〃(％ + А%, т)) 〃(上 + А/ т) dt・

Таким образом,

х4-Лх

J [и (三,力 + At) — u & £)] dj =

t + Af

= j [v (u (z, t)) u (名 т) — и (u (z + Az, t)) u(x + △驾 t)] dt.

Предполагая наличие непрерывных частных производных у и и дифференцируемость и (а), применим теорему о конечном приращении и формулу среднего значения для вычисления интегралов. Поделив затем на Ах Д/, устремим Дх и Af к нулю. Получим уравнение

4г + ■£ 备 ез)и)= о, или

■^+Р(а)£—О,(1-33)

где

р(и) = и(и) +"寥(1.34)

есть заданная функция и.

Уравнение (1.33), так же как и (1.30), является уравнением в частных производных первого порядка. Типичными задачами для него являются как задание функции u(xf 力)при фиксированном значении х = х0:

и(х0,力)=口о«)

(т. е. задана плотность воды на границе слоя песка во все моменты времени), так н задание функции и(х,力)для фиксированного момента £ = /():

и(х,力о)== %(%)

(т. е. задано распределение плотности воды по разрезу слоя песка в определенный момент времени /0).

Отметим, что уравнение (1.33), в котором множитель р(и) при производной зависит от неизвестной функции, сложнее уравнения (1.30), в которое как производные неизвестной функции, так и сама неизвестная функция входят линейно. Уравнение (1.33) посит название квазилинейного уравнения. Изучению квазилинейных урав- пений будет посвящена гл. 8.

Колебания упругого стержня. Рассмотрим задачу о малых продольных колебаниях упругого стержпя. Пусть в недеформированном состоянии стержень имеет длину 厶 ось его совпадает с осью х и в процессе его колебаний под действием внешних сил, направленных по оси н, поперечные сечения стержня смещаются как целое, не деформируясь в своей плоскости. Тогда процесс колебаний стержня можно характеризовать одной скалярной функцией 玄(之，力)——

смещением в момент времени £ сечения стержня, имевшего в недеформированном состоянии координату х. Будем рассматривать стержень переменной плотности р(х), подчиняющийся закону Гука: упругая сила, деформирующая бесконечно малый элемент стержня, заключенный между сечениями х п х Л- Ас, пропорциональна относительному удлинению этого элемента. Коэффициент пропорциональности (модуль упругости) также будем считать переменным вдоль стержня и обозначим его через к(х). Подсчитаем относительное удлинение е выделенного элемента. Очевидно, длина этого элемента в момент времени £ равна

△ 2 = (с + Ас) + u(c + Az, t)_工一口(с") = Ас + и(х + ^ t)— u(x, £), откуда относительное удлинение

e = —77

Переходя в выражении (1.35) к пределу при Дх -> 0, предполагая функцию u(x, t) непрерывно дифференцируемой и воспользовавшись законом Гука, получим, что сила упругого напряжения в сечении х, действующая со стороны правой части на левую, равна к(х) ия(х, Е). Заметим, что полученное выражение для силы упругого напряжения справедливо лишь в случае малых колебаний, когда можно применять закон Гука к бесконечно малому элементу стержня.

Чтобы получить уравнение колебаний стержня, применим второй закон Ньютона к выделенному элементу. Будем считать, что внешние силы, приложенные к стержню, распределены с плотностью f(c, Е), так что импульс силы, действующей на элемент Дх за промежуток времени АЕ, равен

t+At х+Дх

А/= J J /怎 t)dXdT.(1.36)

t X

Кроме того, на граничные сечения выделенного элемента действуют определенные выше силы упругого напряжения. Тогда уравнение второго закона Ньютона запишется в виде

х+Дх

J [р (Ю (Е, t + △£) — р (Е) “t 低,力 d& =

=J №(忆 + Аа)必位 + △£, т)—左⑺ 〃х(£,喇 dz +

t+Д/ х+Дх

+ J J /&t)^dt. (1.37) t X

Это ——интегродифференциальное уравнение колебаний упругого стержня. Предполагая непрерывную дифференцируемость функций,

стоящих в квадратных скобках под интегралами выражения (1.37), и непрерывность /(х, £), используя теорему о конечных приращениях и вычисляя интегралы по теореме о среднем, получим

Р(2*) 〃tt (^*» 0 )(=(* Ан △£ и

=^■(” (х) ux (х, f**)) ]х=х** Ан А£ + / (х***, г***) Ан А£, где х*, х**т х***, £*,尸*, t*** — некоторые точки из отрезков [z, н + Ан],卜，t+At] соответственно. Поделив на АнА£ и переходя к пределу при Ан f 0, А£ f 0, в силу введенного выше условия гладкости функций u(x, t), р(х), 〃(н), /(х, £) получим окончательно дифференциальное уравнение продольных колебаний упругого стержня

p(x)uH(xt 力=[〃(工)口式名 £)L + /(h,力(1.38)

Это ——уравнение в частных производных второго порядка, являющееся математической моделью колебаний в пространстве и во времени непрерывной упругой среды. В статическом случае (и( ^ 0) стержень под действием постоянной во времени внешней силы и сил упругого взаимодействия принимает некоторое состояние статического равновесия, которое описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

[А(х)их(х)]х+ /(х) = 0.(1.39)

Типичной задачей для уравнения (1.39) является краевая задача, когда задаются смещения граничных точек стержня

а(0)= %,u(Z)== и(,(1.40)

или напряжения, приложенные к граничным сечениям

"(0)%(0) =九，к ⑴ u<l)=—h.(1.41)

В ряде случаев приходится рассматривать и другие постановки краевых задач.

Общее уравнение колебаний распределенной системы (1.38) переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение и в тех случаях, когда рассматриваются периодически колебания, происходящие под действием периодической внешней силы. Пусть /(х, £)= =/(x)cos cot Будем искать решение (1.38) также в виде и (х, £)= =u(x)cos cot Тогда для и(х)——амплитуды периодических колебаний, установившихся в системе под действием периодической внешней силн, получим обыкновенное дифференциальное уравнение

[A(z)ux(x)]x +(огр(х)й (х)= —f (х).(1.42)

Типичной краевой задачей определения частного решения уравнения (1.42) опять является краевая задача с граничными условиями типа (1.40), (1.41) или более сложного вида.

В ряде случаев интерес представляет определение частот собственных колебаний системы ——частот тех установившихся периодических колебаний, которые возможны в системе при отсутствии внешних сил, как распределенных, так и сосредоточенных в граничных сечениях. Эта задача сводится к краевой задаче для однородного уравнения (1.42):

[左(7)Uh(7)]m+ co2p(x)u(x) = O. (1.43)

Требуется определить те значения параметра о\ при которых уравнение (1.43) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее заданным однородным граничным условиям, например u(0)= и(/) = ==0. Такая задача носит название краевой задачи о собственных значениях.

Уравнение теплопроводности. Одним из типичных уравнений математик ческой физики является уравнение теплопроводности, к выводу которого мы сейчас перейдем. Тепловое состояние тела D можно описать с помощью скалярной функции и{М, /)—температуры в точке М тела в момент времени /. Теплофизические характеристики тела описываются функциями плотности р(М) и теплоемкости с(М), которые в широком интервале температуры можно считать не зависящими от температуры, а также теплопроводностью 比(М), являющейся коэффициентом пропорциональности между плотностью потока теплоты через элементарную площадку AS и градиентом температуры в-направлении нормали к этой площадке:

,, du

Ад = — к (М)訴 AS. (1 44)

Мы считаем поток теплоты направленным от более нагретой стороны площадки к менее нагретой (градиент температуры в этом направлении отрицателен), что определяет знак «минус» в формуле (1.44).

Чтобы построить математическую модель изменения температуры в рассматриваемом теле, составим уравнение баланса. Изменение количества теплоты AQ] в элементе объема АР за промежуток времени от момента，до момента £ + М

AQ1= J с(М)р(М) [u(M, t + At) — u(M, t)]dV (1.45) АУ

определяется потоком теплоты AQ± через боковую поверхность △£ рассматриваемого объема,

t+Att+Att ДЕt ДЕ

t+At

t+At

t ДЕ

t ДЕ

(производная берется по направлению внешней нормали, что определяет знак «плюс» перед интегралом в (1.46)), и количеством теплоты Д^з, выделяемой вяенгними источниками, распределенными в пространстве и во времени с плотностью /(% %

皎3= J J/(M, T)dydT. (1.47)

Имеем

△Qi = AQ2 + АОз・

(1.48)

Преобразовав поверхностный интеграл в выражении для А02 по формуле Остроградского (при этом мы предполагаем необходимую гладкость функций А(М) и u(Jf, i)), получим интегральное соотношение баланса теплоты в виде J с (М) p(M) [u (М, Г + ДГ) — w (М,切 dP = ду

f + Aft+M

= J j div [Л (M) grad и (M, x)] dV dx + J j f (M, t) dV dT. (1.49) ? АУt АУ

Заменив выражение в квадратных скобках в левой части (1.49) по формуле конечных приращений, вычисляя интегралы по теореме о среднем значении и переходя в полученном выражении к пределу при APf О, Д/ -> 0, получим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет температура внутри тела D:

с (М) р (М)訴=div [k (М) grad м (М,力 + / (М, t)・(1.50)

При этом, так же как и при выводе уравнения упругих колебаний (1.38), предполагаем, что неизвестная функция и (Л/, t) и коэффициенты уравнения (1.50) обладают достаточной гладкостью.

Уравнение (1.50) является уравнением в частных производных — мы построили математическую модель изменения температуры и в пространстве и во времени. Стационарное распределение температуры под действием не зависящих от времени источников описывается уравнением

div [A (Jf) grad и(Л/)] + / (-Л/) — 0.(1.51)

Это, вообще говоря, также уравнение в частных производных — температура зависит от нескольких пространственных координат. В частном случае, когда стационарное распределение температуры зависит только от одной пространственной координаты, например, в случае распределения температуры в стержне с продольной осью z, получим обыкновенное дифференциальное уравнение

[A(z)ux(z)], + /(z) =0.(1.52)

Типичными задачами определения частных решений уравнения (1.52) так же, как и в случае уравнения (1.39), являются краевые задачи с заданными граничными условиями.

ГЛАВА 2

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

Элементарные методы интегрирования

Решение дифференциального уравнения, как правило, не удается выразить в виде элементарных функций или квадратур от них и для получения частных решений приходится прибегать к различным численным методам, эффективность которых неизмеримо возросла с появлением и развитием современных ЭВМ. Однако до появления ЭВМ стремление «проинтегрировать дифференциальное уравнение в квадратурах» определяло одно из основных направлений в исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений и привело к появлению многочисленных справочников ) по решению дифференциальных уравнений. В настоящем параграфе мы кратко остановимся на некоторых простейших и наиболее распространенных в приложениях случаях, когда удается получить решение уравнения первого порядка

黑= 〃н，у)(2.1)

в квадратурах. Во многих случаях переменные n и у в (2.1) равноправны. Это дает основание наряду с уравнением (2.1) рассматривать и уравнение

а также уравнение первого порядка, записанное в виде

厶(/ y)dx + fz(x, у)@у = О.

Уравнение с разделяющимися переменными. Так называется уравнение вида

или

/t {x)dx + fi(y)dy = 0.(2.4)

Предположим, что уравнение (2.4) имеет решение в некоторой области Z> = {|х — х0| ^ а, \у — Уо\ ^ &) плоскости (工,у). Функции /, (х) и %(У)определены и непрерывны соответственно на |z — z01 & Wan ly —yj&6・ Подставив это решение в (2.4), получим тождество, интегрируя которое, будем иметь

J А (工)dx +J А (工)dx +J /2(У)弘=const.J /2(У)弘=const.(2.5)(2.5)

J А (工)dx +

J А (工)dx +

J /2(У)弘=const.

J /2(У)弘=const.

(2.5)

(2.5)

（2.6）（2.6）Неопределенные интегралы в (2.5) носят название квадратур, откуда и возник термин «интегрирование уравнения в квадратурах». Выражение (2.5) можно переписать в виде

（2.6）

（2.6）

eg, y)=a

Это означает, что функция Ф (х, у) сохраняет постоянные значения на решениях уравнения (2.4) (различным решениям отвечают различные постоянные).

При каждом фиксированном значении С выражение (2.6) определяет некоторое частное решение у = у(н) уравнения (2.4) как неявную функцию переменного х. Если же С рассматривать как параметр, то выражение (2.6) определяет семейство решений у — = у(н, С). Выражение (2.6) называется интегралом соответствующего дифференциального уравнения. Если выражение (2.6) или в более общем случае выражение вида ①(％ у, С) = 0, в котором С рассматривается как параметр, определяет все множество решений соответствующего дифференциального уравнения, то это выражение называется общим интегралом данного дифференциального уравнения, а полученное из пего выражение у=у(н, С), содержащее все решения данного уравнения, называется общим решением данного дифференциального уравпения.

Выражение (2.5), очевидно, является общим интегралом уравнения (2.4).

Чтобы выделить частное решение уравнения (2.4), определяемое начальным условием

(2.7)(2.7)У(н°) = У。,

(2.7)

(2.7)

достаточно в выражении общего интеграла (2.5), записанного в виде

J 九(н) dx+ \ jt (у) dy = С\,

определить постоянную &. Требование удовлетворения начальному условию дает Ci = 0, откуда искомое частное решение в неявной форме определяется интегралом

J /1 (工)厶 + J %(У)由=0. (2.8) Хо Уо

Легко видеть, что ряд уравнений может быть приведен к уравнению с разделяющимися переменными (2.4). Так, уравнение

/t(N)gi(p)dN + /z(N)gz(y)矶/ =0(2.9)

после деления на gi(y)/z(N) приводится к требуемому виду. Надо иметь в виду, что при этом могут быть потеряны частные решения, обращающие в нуль произведение gKy)h⑺.

Пример 2.1. Простейшим уравнением с разделяющимися переменными является уравнение

^ = /W-(2.10)

Его общий интеграл имеет вид

у- ^ f (х) dx = С,(2.11)

а частное решение, удовлетворяющее начальному условию (2.7)—

У = J f(H)dt + %.(2.12)

хо

В случае уравнения (2.10) с постоянной правой частью

石=a(2.13)

получим частное решение, удовлетворяющее начальному условию (2.7), в виде

£/ = а(х — хо) 4- I/O.(2.14)

Пример 22

M = d)・(2/5)

Сделаем замену искомой переменной, положив z = у/н. Так как при этом

У = ”/ 石=“石 + ”' т0 Уравнение (2.15) переходит в уравнение

н dz + [z — f(z)]dx = 0(2.16)

вида (2.9).

К виду (2.9) приводится и уравнение

dy

石=/ g + by)t(2.17)

где а и b ——постоянные. Введем новую искомую переменную z = ах 4- бу. Тогда

石=a十 8石，

и уравнение (2.17) переходит в уравнение

dz — [аbf (z)}dx — 0.(2.18)

Рассмотрим теперь уравнение

М(х, y)dx+N(x^ y)dy = 0,(2.19)

где M(xt у) и ^(z1 у)——однородные функции переменных х, у одной степени. Функция f(xt у) называется однородной функцией переменных х, у степени к, если имеет место соотношение

fg ty)^thf(x3 у). (2.20)

Заметим, что /(£)является однородной функцией нулевой степени. Записав уравнение (2.19) в виде dy =" (工，У)

dH —N (н, у)'

мы видим, что при сделанных предположениях относительно функций М(工,у) и ^(xl у) правая часть (2.21) является однородной функцией нулевой степени и, следовательно, с помощью замены z = у/х, так же как в примере 2.2, уравнение (2.19) приводится к уравнению типа (2.9).

Линейное уравнение первого порядка. Уравнение называется линейным^ если оно линейно относительно неизвестной функции и ее производных. Линейное уравнение первого порядка имеет вид

M + p(z)y(z) = /(z).(2.22)

Если /(х)= 0, то уравнение называется однородным. Как легко видеть, линейное однородное уравнение

М + Р(2)У⑺=о(2.23)

dy приводится к уравнению с разделяющимися переменными — + 十 Р (工)&% = 0, общий интеграл которого имеет вид

ln|y| + Jp(z)dz = &,(2.24)

а общее решение —

У = СеТ好丝(2.25)

где С#0. Очевидно, что частное решение у(%)=0 уравнения (2.23), которое мы потеряли, разделив (2,22) на у, содержится в формуле (2.25) при С = 0. Поэтому (2.25), где С ——теперь уже любое вещественное число, является общим решением уравнепия (2.23).

Из (2.25), записывая первообразную J р (х) dx в виде определен- кого интеграла J Р(2)也получим частное решение уравнения хо

(2.23), удовлетворяющее начальному условию у(х0)— у0 в виде

-J p(x)dx

У = X。(2.26)

Заметим, что по самому способу построения формула (2.26) является доказательством единственности решения начальной задачи для уравнения (2.23), в предположении, что это решение существует. Действительно, подставляя любое решение начальной задачи в уравнение (2.23) и проводя последовательно преобразования (2.24)— (2.26), мы всегда придем к одному и тому же результату — формуле (2.26). Чтобы доказать существование решения данной задачи, достаточно путем непосредственной проверки убедиться, что для непрерывной функции р(х) функция у (%), определенная формулой (2.26), удовлетворяет всем условиям начальной задачи для уравнения (2.23). Очевидно, подобные рассуя^дения можно провести и в случае начальной задачи для уравнений с разделяющимися переменными, рассмотренных в п. 1 настоящего параграфа.

Решение линейного неоднородного уравнения (2.22) найдем методом вариации постоянной, который состоит в том, что мы используем специальную замену неизвестной функции

у (n) == С ⑺ Г J*3d\(2.27)

где С (х)——функция, подлежащая определению. Подставляя такой вид решения в уравнение, получим

dC -jp(x)dx-fp(x)dx f \ -jp(x)dH 、

五 6—C{x)p{r)e +р(%)С(£)е=〃%),

откуда

dC , z x J*(x)dx石=/(z)eJ•

Интегрируя это равенство, найдем

C(z) = J f(x) J23⑺dz + Clt

и окончательно

у (z) = C^pWdX + e-^P(x)dx J / (z) /2⑺dH &.(2.28)

Из полученного выражения следует, что общее решение линейного неоднородного уравнения (2.22) представляется в виде суммы общего решения (2.25) линейного однородного уравнения (2.23) и частного решения неоднородного уравнения (2.22), в чем легко убедиться, подставив второе слагаемое формулы (2.28) в неоднородное уравнение (2.22).

Решение начальной задачи у(%о) = у()для уравнения (2.22) найдем, определяя из начального условия постоянную Ct в формуле (2.28). При этом в качестве первообразных функций, записанных

в (2.28) в виде неопределенных интегралов, удобно взять определенные интегралы J . Тогда Сг = у0 и

-J现三)八-J r(р^ kjp(0朮

y(z) = %e ” +e %J/(E)e” 理,

т. е.

-Jp&)dEх -Jp(£)d£

?⑷=

=%е *。+ f е 5/&)我.(2.29)

Таким образом, искомое решение определяется как сумма решения однородного уравнения (2.23), удовлетворяющего заданному начальному условию У(Но)==Уо, и решения неоднородного уравнения, удовлетворяющего нулевому начальному условию.

Представление (2.29) получено в предположении существования решения. Оно доказывает единственность решения начальной задачи для неоднороного уравнения (2.22).

Существование решения начальной задачи для уравнения (2.22) при непрерывных функциях р(х) и /(工)устанавливается непосредственно подстановкой формулы (2.29) в уравнение и начальное условие.

Замечание. Единственность решения этой задачи можно установить, пользуясь также следующими рассуждениями, характерными вообще для линейных задач. Предположим, что существуют два различных решения начальной задачи y/工)и ^2(工).Рассмотрим их разность 2(н)==У1(н)—уз(н). Очевидно, функция z(x) является решением начальной задачи для соответствующего однородного уравнения с нулевым начальным условием

^ + р (z) z (z) = 0, z (%) = 0.

Отсюда, в силу единственности решения начальной задачи для линейного однородного уравнения, следует, что z(h)三 0.

Получим важную оценку роста решения начальной задачи для линейного уравнения. Пусть в уравнении (2.22) функции р(工)и 〃n) на рассматриваемом промежутке изменения независимой переменной удовлетворяют условиям

|р")|《R |〃7)| КМ.(2.30)

Тогда для решения начальной задачи из представления (2.29) для 工》仇 следует оценка

IУ (叫 & I + 戸「(…。)_ i).(2.31)

В заключение этого пункта укажем некоторые часто встречающиеся в приложениях уравнения, которые соответствующими подстановками могут быть сведены к линейному уравнению.

Рассмотрим так называемое уравнение Бернулли^. + Р^у = Цх) уп,

где 几峻 1, иначе уравнение уже линейное. Введем новую неизвестную функцию z — yi-n. Тогда уравнение перейдет в линейное уравнение

Г^^+ P(z)z(z) = /(工)，

общее решение которого дается формулой (2.29).

Более сложное уравнение Риккати

^ + Р(2)У(Z)+ <7 (z) У2 (z) = / (z)

в общем случае в квадратурах не интегрируется. Однако оно обладает следующим важным свойством: если известно какое-либо частное решение у==У1(н) уравнения Риккати, то нахождение его общего решения сводится к решению линейного уравнения. Действительно, введя новую неизвестную функцию

z(x) = y(x)-yt(x),

получим для нее уравнение Бернулли

宾 + IP ⑺ + 2g (z) j/i (х)] z (z) + g (z) z? (z) = 0,

что и доказывает высказанное утверждение.

Лемма о дифференциальных неравенствах. В дальпейшем будет использовано следующее утверждение.

Лемма 2.7 (лемма о дифференциальных неравенствах). Пусть функция z(n) непрерывна и имеет кусочно непрерывную при n 巨 巨[工°, X] производную, удовлетворяющую неравенству

圏&N|z| +&(2.32)

ede ^ > 0, а > 0 — положительные постоянные. (В точках разрыва производной неравенству (2.32) удовлетворяют ее предельные значения,) Тогда имеет место о“е斤用口

lz(刀丨 rs(m), n 三(入，XJ,(2.33)

zQe s(n)——решение начальной задачи для линейного дифференциала ного уравнения

^ = Ns + a, s(xo) = b>|?(x0)|>0.(2.34)

Доказательство этой леммы проводится аналогично доказательству теоремы Чаплыгина. Рассмотрим функцию §(/), являющуюся решением начальной задачи

^=布 + 工 s(x0) = Ь>Ь,

次。)V^&),次。)V^&),где N>N、近>а、8>Ь、а в остальном N、а、b — произвольные числа.

次。)V^&),

次。)V^&),

то в некоторойто в некоторойЗаметим, что s(x)> 0. Так как

то в некоторой

то в некоторой

окрестности правее точки х0 имеет место неравенство z(x) < s (z). Пусть z ^ ж( > х0 ——наименьшее значение н, при котором это неравенство нарушается, т. е. z(x,) = s(Xi). Но тогда

窝(％)> £(%)=力％(%)+ a = Nz (%) + a,

что противоречит (2,32). (Если xt——точка разрыва производной, то dz.

вместо 石 в неравенство входит левая производная от z в точке Zt.) Аналогично из неравенства 窮(/) > — ^(0)°лепУет，что в окрест

ности х0 имеет место неравенство z (%) >—§(%), и первое нарушение

этого неравенства при х = х2 > х0, т. е. равенство z (z2) = s (^2), приводит к тому, что — (&) & 一 関(忆2), а отсюда опять следует противо

речие с (2.32).

Таким образом, справедлива оценка

I z （叫 V ⑺=3产1。）+ i （『（I。）- 1）

(для §(n) здесь выписано явное выражение, найденное, например, по формуле (2.29)). Так как ^ = ^ + 61, a = a + е2| 5H 6 +е? (е： > 0, i = 1, 2, 3), то, переходя в последнем неравенстве к пределу

-> 0, получим оценку

I Z(Н)I & Ь”(Х-Х" + 方(』(х-х。)一 1) = s (х),

где s(h)—решение начальлой задачи (2.34). Лемма доказана. Функцию s(n) запишем также в удобном для дальнейшего виде

s(%) = Ai(t) + as/%),(2.35)

где

S]⑺=e^i。)(2,36)

И

^(^) = уРЖ_Ж0)-1)-(2.37)

Замечание. Оценку (2.31) легко получить из доказанной леммы.

Теоремы существования и единственности решенияначальной задачи для одного уравнения первого порядка,разрешенного относительно производной.

Алгоритм ломаных Эйлера

В предыдущем параграфе с помощью явных формул было доказано существование и единственность решения начальной задачи для линейного уравнения (2.22). Перейдем теперь к рассмотрению соответствующих теорем для начальной задачи (задачи Коши)

^-f^ У)，У&) = %(2-38)

при достаточно общих условиях, наложенных на функцию /(о, у). При этом доказательство будет опять проведено конструктивным путем — одновременно с доказательством теоремы существования решения задачи (2.38) будет дан алгоритм построения функции 歹(о), сколь угодно точно аппроксимирующей решение исходной задачи. Идея этого метода принадлежит Эйлеру. Метод состоит в том, что интегральная кривая, являющаяся решением задачи (2.38), последовательными шагами приближенно заменяется некоторой ломаной ——ломаной Эйлера.

Пусть функция /(о, у) задана в области G плоскости (х, у). Построим в этой области замкнутый прямоугольник D = {\х — хй\ W W а, |у —PolWb} с центром в начальной точке (х0, у。) и поставим своей целью определение интегральной кривой y(z), выходящей из данной начальной точки (х0) у。) и идущей в сторону возрастающих х > х0.

Предположим, что в G функция /(х, у) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменной у

1/3, у，)一/(н, y2)\^N\yi-y2\,(2.39)

где N — постоянная, не зависящая ни от н, ни от у. Заметим, что из непрерывности функции f(x, у) в замкнутой области D следует ее ограниченность в данной области:

1/(н, y)IWM, (х, y)^D.(2.40)

Искомая интегральная кривая, если она существует, пересечет либо вертикальную о =仇 + & либо горизонтальную у = yQ~^ b или У = Уо — 6 границу области D. В последнем случае абсцисса точки пересечения меньше а：0 + Д и искомая интегральная кривая определена не на всем отрезке х0 ^ х ^ х0 + а. Однако из простых геометри-

ческмх соображений (Ь/М ^ а — см. рис. Зт ЫМ > л — рис. 4; I — интегральная кривая, проходящая через точку (工。,yQ); II — прямые с тангенсом угла наклона, равным 士М) ясно, что до точки & + 万 она не пересечет горизонтальной границы. Поэтому в дальнейшем

вместо области D будем рассматривать прямоугольник А — =={|х — х0| < Я, \у ~ Уо\ ^Ь}, где Н = min {а, Ь/М}.

Перейдем теперь к построению ломавых Эйлера. Разобьем отрезок [х0, X], X = / + Н на 龍 частей точками х ~ х0,工九 х2, ..., xn = X. Обозначим Xi —工―]=九，м Л — max {无J. На первом шаге «заморозим» /(£, у) в точке (х0, у。)，т. е. заменим правую часть (2.38) значением /(n。，Уо)・ Тогда получим уравнение с постоянной правой частью

祭= /(%,%),(2.41)

интегральной кривой которого служит отрезок прямой у(х)= у0 + f(x0, у„)(х-х0), хе[х0, xj. (2.42)

В точке m это решение принимает значение 屮=勿 + 十 f(к, y0)(Xi—Но). На втором шаге примем за новую начальную точку (xt, yj и опять, заморозив /(х, у) в этой точке, построим следующее прямолинейное звено и т. д.

Полученная таким путем ломаная называется ломаной Эйлера. Нетрудно видеть, что на отрезке [с。, X] ломаная Эйлера не выйдет из прямоугольника А. Действительно, из (2.42) получим, что при 忆已设0, xj у(х) удовлетворяет неравенству

\у(х) — у0\ WM(h — %WMH < b,

т. е. первое звено ломаной не выходит из А. Поэтому 1/(工匕 yj 丨 £ W M. Тогда на следующем шаге х 胃[xlt g] имеем

15(8)一孔1 W ly(N)-yj + 1山- у01 ==

0 l/(g, yi) I (x-*zI)+【打一yj W

M(x — Xi)-V M(Xi — x0)« Af (z — 4)《MH W b, т. e. и второе звено ломаной Эйлера не выходит из А. Продолжая аналогично, получим, что и вся ломаная Эйлера не выходит из Д.

При достаточно мелком шаге разбиения естественно считать ломаную Эйлера приближенной интегральной кривой. Таким образом, мы получаем алгоритм построения приближенного решения начальной задачи.

Для обоснования описанного алгоритма достаточно доказать, что последовательность ломаных Эйлера {^(п) (х)} при 无 f 0 сходится и предельная функция у(н) является решением начальной задачи (2.38). Это одновременно является и доказательством теоремы существования решения начальной задачи.

Определение. Непрерывная на отрезке [х0, X] функция 歹(б) с кусочно непрерывной производной 幫,график которой целиком лежит в А, называется г-приближенным и о невязке ре- ше нием начальной зада ч и (2.38), если 1у(ж0)— у0| ^ е и при подстановке функции у(х) 6 уравнение (2.38) последнее принимает вид

工= /(z,7) + W(z), (2.43)

где невязка 屮(工)удовлетворяет неравенству

(2.44)(2.44)sup ]屮⑺]《£・xG[Xq,X]

(2.44)

(2.44)

Очевидно, точное решение начальной задачи, если оно существует, можно считать Е-приближенным по невязке решением при е = 0.

Пусть для любого е > 0 существуют Е-приближенные по невязке решения начальной задачи (2.38). Тогда имеет место следующая лемма.

Лемма 2.2. Для любого сколь угодно малого е > 0 можно указать такое £t > 0, что все г ^-приближенные по невязке решения задачи (2.38) отличаются между собой на отрезке [工旳 X] ке более, чем на е.

Доказательство. Возьмем два произвольных егприближен- ных по невязке решения задачи (2.38)歹⑴(％) и у(2)(х). Очевид-

но, что

蓊U) = fEil)⑺)+ 屮 1(力，

(2.45)

^7(2) = / (% 7(2)(2)) + 屮2(Z),

(2.46)

где

/⑴(％) — 7(2)(x0)|<2elt

(2.47)

sup 1 屮 1 Q)—屮а (т) 1《2q.

(2.48)

Обозначим

哀 2)(z) —Mi)(z) = z(z),(2.49)

屮2 (工)—屮 1 (z) = <P (±).(2.50)

Вычитая (2.45) из (2.46), получим

^j = /(7, 7(2)(?)) —/(% 7⑴(幼)+ <P w.(2.51)

Так как 贝力⑺ и ут (л:) пе выходят из Д, где функция /(瑞 у) удовлетворяет условию Липшица (2,39), то из (2.51) получим дифференциальное неравенство

圜&N|z| + 2q.(2.52)

В силу леммы 2.1 имеем

|z(z)|Ws(z),(2.53)

где s(z) — решение начальной задачи

^ = Ns + 2%, s (%) = I z (&) [.(2.54)

Воспользовавшись явным выражением функции s (土) (2.35), получим

|Z ⑺区m0)，(1。)+ 职/(1。)_1).

Так как ва основании оценки (2.47) |z(x0) 1 С 2ец то это неравенство принимает вид

IZ (叫=I уМ-у(2) (^) I < 2q [/(1。)+ ^ (е'Ш - 1".(2.55)

Отсюда

ме；Ух J 兀)⑺-7⑴⑺ I & 2q[e"H + ^ (JH _ 1)] = 2qQ, (2.56)

где Q > 0 — не зависящая от % постоянная. Выбирая е( < е/(2Q), мы и получим утверждение леммы*

Пусть {J(n)(N)} — некоторая последовательность е«-приближен- нмх по невязке решений, т. е.

sup J % ⑺ I & %,|了5)(%) — % I《Ем (2.57)

КЕ 俨о”]

Определение, Если lim en = 0t то последовательность {贝“(/)} назовем сходящейся по невязке.

Так как в оценке (2.56) постоянная 0 пе зависит от 名 то из леммы 2.2 следует, что сходящаяся по невязке последовательность сходится равномерно на Е, X].

Имеет место следующая основная теорема.

Теорема 2.Z. Пусть 6 начальной задаче

黑=/(怎 у),У (^0)= У о

функция /(с, у) в области D непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменной у. Тогда последовательность у(п)(х), сходящаяся по невязке на отрезке [忆力 X], сходится равномерно на этом отрезке к функции у (к), являющейся решением начальной задачи.

Доказательство. В силу леммы 2.2 последовательность {况n)G)} удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости на отрезке [х0, X]. Тем самым существует функция у(н), к которой последовательность {亨《门)(二)} сходится равномерно, и эта функция будет непрерывной, поскольку у(п)(х) непрерывны.

Подставим е„-приближенное решение 岁⑺位)в уравнение (2.38) и заменим получающееся при этом тождество эквивалентным интегральным соотношением (см. лемму 1.1)

Мп)(£)= 7m)(%) + J [/ (Е, 7⑺化))+ 必(» 碑* (2.58) х0

Так как №丨 ^ еп и 历(“)(/) —у/ ^ еп, то, переходя в (2.58) к пределу при en f 0, получим

х

у(н) = % +J / 售,y(E))dE・(2.59)

xo

Из последнего тождества следует, что предельная функция у(н) дифференцируема. Дифференцируя, находим

黑= /(%/(2.60)

Кроме того, у(/о) = у()・ Таким образом, предельная функция последовательности {歹⑺(н)} является точным решением начальной задачи (2.38). Теорема доказана.

Для доказательства теоремы существования решения начальной задачи (2.38) нам теперь остается показать, что существует сходящаяся по невязке последовательность еп-приближенных по невязке решений этой задачи. Сейчас мы покажем, что построенные выше ломаные Эйлера образуют такую последовательность.

Теорема 2,2. Если выполнены условия теоремы 2.1, то последовательность ломаных Эйлера при 九 f 0 сходится равномерно на отрезке [х0, X] к функции у(н), являющейся решением начальной задачи.

Доказательство. Так как начальные значения ломаных Эйлера 歹⑺(n) по построению совпадают с у。，то достаточно убе-

диться в том, что при 无-> 0 невязки 2n (%) равномерно па [х0, X] стремятся к нулю.

Подставляя ломаную Эйлера у(п)(^) на произвольном шаге Xs < х С xs+1 в уравнение (2.38), для невязки 屮“(忆)получим Wn(Z)= ^ М”)⑺—/ (% 万⑺(z))=

=/ (^«, yw (^)) — / (^, yw w), ZW【&,&+/. (2.61)

Поскольку In —Nsl W 无 и 歹⑺(n)=贝》(nJ +(n — n,)/(n., (/(n)(xs)), 工 w [x4, Xs+i], то имеет место оценка

历⑺(n)-歹g(kjl WM儿(2.62)

В силу равномерной непрерывности функции /(х, у) отсюда и следует, что для любого сколь угодно малого е > 0 найдется такое /г0(е), что при Л V 瓦(£)

sup 1小(6|《£,(2.63)

3cE 产0，"]

что и доказывает, в силу теоремы 2.1, равномерную сходимость на отрезке [х0, X] последовательности ломаных Эйлера при Л -> 0 к функции у(н), являющейся решением начальной задачи. Теорема доказана.

Из доказанных теорем следует

Теорема 2.3 (теорема существования). Если функция /(х, у) 6 области D непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменной у, то на отрезке [х0, X] существует решение начальной задачи.

При сделанных предположениях относительно функции /(х, у) решение начальной задачи (2.38) едппственно. Имеет место

Теорема 24 Теорема единственности}. При выполнении условий теоремы 2.3 начальная задача (2.38) имеет на [х0, X] единственное решение.

Эту теорему можно рассматривать как следствие леммы 22 Если допустим, что имеются два точных решения задачи Коши, то их начальные значения совпадают, а их невязки равны нулю. Поэтому по лемме 2.2 эти решения полностью совпадают на отрезке [х0, X].

Кроме введенного выше понятия £-приближенного по невязке решения часто используется понятие решения, приближенного по отклонению. Дадим его определение.

Определение. Ограниченная на [х0, X] функция $ (①) называется ^-приближенным по отклонению решением задачи Коши (2.38), если точное решение у(х) задачи Коши существует и

sup В (工)一у (工)| & е.(2.64)

не 俨 о，х)

Из предыдущих рассуждений вытекает, что из сходимости последовательности решений, приближенных по неявке, следует и их сходимость по отклонению.

Заметим, что обратное утверждение неверно: если отклонеыпя приближенных решений от точного стремятся к нулю, то сами решения могут при этом иметь сколь угодно большие невязки, более того, решения, приближенные по отклонению, могут быть не дифференцируемы и даже не непрерывны.

Замечания. 1. Метод ломаных Эйлера не только позволяет доказать существование решения рассмотренной начальной задачи, но и дает непосредственный алгоритм построения приближенного решения, сколь угодно близко аппроксимирующего точное, Этот метод легко реализовать на ЭВМ. Поэтому он является одним из эффективных методов численного решения начальных задач. При его конкретной реализации естественно возникают вопросы точности полученного приближения и ряд специфических вычислительных аспектов общей проблемы численных методов. Эти вопросы подробнее будут рассмотрены в гл. 6.

Мы доказали существование и единственность решения y(z} начальной задачи (2.38) лишь па отрезке [х0, X]. Пусть функция /(х, у) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица (2,39) в исходной области G. Так как прй х = Х интегральная кривая не вышла из области G, то, взяв точку х =- X, у — у (X) за начальную, можно, повторив проведенные выше рассуждения, продолжить решение на новый отрезок [X, XJ. Можно показать, что, продолжая этот процесс, удается построить интегральную кривую, сколь угодно близко подходящую к границе области G.

Мы рассмотрели алгоритм построения интегральной кривой y(z) в сторону возрастающих х > х0. Очевидно, аналогичные рассуждения могут быть проведены и для построения интегральной кривой в сторону убывающих х V х0. При этом соответствующий процесс построения интегральной кривой можно опять продолжать до тех пор, пока интегральная кривая не подойдет к границе области G,

Можно доказать существование решения начальной задачи и при одном требовании непрерывности функции /(х, у) (теорема Пеано). Однако одной непрерывности функции /(х, у) недостаточно для единственности решения начальной задачи. Так, например, задача

2= /7, U (0) = 0 (2.65)

помимо тривиального решения у = 0 имеет еще решение

у = х2/4, (2.66)

удовлетворяющее нулевому начальному условию. (Как легко видеть, правая часть уравнения (2.65) в окрестности точки (0, 0)

имеет неограниченную производную и не удовлетворяет условию Липшица.)

Если через точку (х0, у。) проходит единственная интегральная кривая, являющаяся решением задачи (2.38) для данного дифференциального уравнения, то точка (н。, у。) называется обыкно- венной точкой данного уравнения. Точка (х, у) области G, не являющаяся обыкновенной, называется особой точкой данного дифференциального уравнения. Через особую точку либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходит по крайней мере две интегральные кривые (через особую точку может проходить и бесконечное число интегральных кривых).

Если в окрестности точки (х0, у。) выполнены условия теорем существования и единственности, то точка (х01 у" будет обыкновенной. При этом следует иметь в виду, что нарушение сформулированных выше условий теорем существования и единственности решения начальной задачи служит лишь необходимым, но не обязательно достаточным условием того, что данная точка является особой* Поэтому для окончательного решения вопроса, является ли данная точка особой, необходимо дополнительное исследование.

В начале § 1 гл. 2 указывалось, что во многих случаях следует наряду с уравнением (2.1) рассматривать уравнение (2.2). Если при этом в точке (х0, у о) для (2.1) нарушаются условия теоремы 2.3 в результате обращения /(х, у) в бесконечность, то 1//(х, у) в этой точке обращается в нуль и для уравнения 2.2 условия теоремы существования и единственности выполнены. Таким образом, в этом случае точка (х0, у0) является обыкновенной, но проходящая через нее интегральная кривая имеет вертикальную касательную.

Если функция /(х, у) является разрывной в области G, имеющей разрывы первого рода на прямых х = xh — const (А = 1, 2, ..^), то даже при условии, что /(х, у) удовлетворяет требованиям теоремы 2.3 на участках своей непрерывности, в области G не существует обычного, так называемого «классического» решения начальной задачи (2.38). Однако, как нетрудно видеть, в этом случае можно реализовать алгоритм последовательпого построения ломаных Эйлера {у(п)(х)}. Точки разрыва хл мы каждый раз будем включать в число точек разбиения отрезка [х0, X] и в качестве замороженного значения функции /(х, у) иа шаге, начинающемся в точке разрыва, брать определенное, например правое, предельное значение функции /(х, у). При этом предельная функция у(х) последовательности {у(п} (х)} при 九 f 0, очевидно, окажется непрерывной с кусочно непрерывной производной, имеющей разрывы первого рода на прямых x^xht При подстановке функции у (х) в исходное дифференциальное уравнение невязка на участках непрерывности /(х, у) равна нулю. Эта предельная функция у(н) является обобщенным решением начальной задачи (2.38) на отрезке [z0, X], понятие о котором было дано в § 1 гл. 1.

§ 3. Уравнение, неразрешенное относительно производной

Теорема существования и единственности решения- Перейдем теперь к рассмотрению дифференциального уравнения первого порядка общего вида

F{x, у, у') = 0 (2.67) и выясним достаточные условия существования решений этого уравнения. Функция F в области своего определения задает соотношение между неизвестной функцией у, ее производной У’ =黑 и независимой переменной х. Если это соотношение удается разрешить относительно производной у', то получаем одно или несколько дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной

У' = М% У) (〃 = 1, 2,…). (2.68)

Пусть функции Д(х, у) в окрестности ТОЧКИ (хо, Уо) плоскости (х, у) удовлетворяют условиям теорем существования и единственности решения начальной задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Тогда через точку (/о, yQ) проходит по одной и только одной интегральной кривой у卜⑺ каждого из этих уравнений (" = 1, 2, ...). Все эти интегральные кривые являются решениями исходного дифференциального уравнения (2.67) (при подстановке в уравнение (2.67) функции 办(力)обращают его в тождество). Направление вектора касательной к интегральной кривой ул(н) уравнения (2.68) в точке (х0, у0) определяется значением функции Д(х0, у。). Если эти значения различны, то через точку (х0, у0) проходит несколько интегральных кривых уравнения (2.67) (столько, каково число уравнений (2.68), полученных при разрешении уравнения (2.67) относительно производной), но направления векторов касательных к этим кривым в точке (к, у0) различны. Поэтому, чтобы выделить определенное решение уравнения (2.67), надо не только задать начальные данные — значение решения у (х) в точке х0, т. е.

У(н°) = Уо, (2.69)

но и значение производной решения в этой точке у' (н。) = у。. Очевидно, это значение не может быть задано произвольно: у0 должно быть корнем уравнения

尸(/，У。, У‘) = 0・ (2.70)

Итак, существование решения уравнения (2.67) связано с возможностью разрешить его относительно у' и существованием решений уравнений (2,68). Тем самым достаточные условия разрешимости уравнения (2.67) определяются известными из курса анализа уело-

виями существования неявной функции и ее непрерывности вместе с производной. Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.5. {существования и единственности}. Если 6 некотором замкнутом трехмерном прямоугольнике D3 с центром 8 точке (%(), yQ, у；), где у；—— действительный корень уравнения F(x0, у% yf)~ 0» выполнены условия'.

a) F(x, у, у') непрерывна по совокупности аргументов вместе с частными производными |^ и ^, 6) ^ (xQ^ yj, у^ ^ 0т то в окрестности точки х^ х0 существует решение у — у (х) уравнения (2.67), удовлетворяющее условиям

У(R)= У。，丿(н。)= Уо,(2.71)

причем это решение единственно.

Доказательство. В силу условий а) и б) теоремы, в окрестности точки (с。, у。, у。) выполнены условия существования и единственности неявной “ункцнн

У‘ = 〃怎 У),(2.72)

удовлетворяющей условию

У； = /(%,%),(2.73)

причем найдется такой замкнутый прямоугольник Dz с центром в точке (х0,勿)，в котором функция，/ у) непрерывна вместе с производной 万,вычисляемой по правилу дифференцирования неявной функции

dF

д/ 丽(/У,/У，У))

累=一諧.(2.74)

or'7

制7 (г, у, /(/ у))

Но это означает, что начальная задача у (х0) — ^о для уравнения

(2.72) имеет, и притом единственное, решение на отрезке

lx-xol СЯ,(2.75)

так как выполнены все условия теорем существования и единственности 2.3 и 2.4. Теорема 2.5 доказана.

Если интегральные кривые уравнений (2.68), пересекающиеся в точке (л:。, у", имеют общую касательную в этой точке, направление которой определяется значением у。，то в этой точке, очевидно, будут нарушены сформулированные выше условия единственности решения уравнения (2.67) относительно у'・

Пример 2 3. Рассмотрим уравнепие

(/)2— (2%+ ?)У+ 2ну = 0.(2.76)

Разрешая его относительно производной у', получим два уравнения первого

порядка, разрешенныепорядка, разрешенныеотносительно производной.

порядка, разрешенные

порядка, разрешенные

У'У'У，

У'

У'

У = 2х,

(2.77) ⑵78)(2.77) ⑵78)правые части которых удовлетворяют условиям теорем 2.3 и 2.4 существования и единственности решения начальной задачи в любой точке плоскости (н, у). Общие решения уравнений (2.77) и (2.78) имеют вид

(2.77) ⑵78)

(2.77) ⑵78)

ииУ = 〃 + &,У = 〃 + &,(2.79)

и

и

У = 〃 + &,

У = 〃 + &,

(2.80)

где постоянные С? и С2 определяются из деть, через любую точку плоскости (х, у) проходят как интегральная кри~ вая семейства (2.79), так и интегральная кривая семейства (2.80), причем в точках прямой у = 2工 кривые этих семейств имеют общую касательную у(工о) = 2х0 (рис. 5; i — кривая у = * О — кривая у = х + 1, 3 — кривая у == =(2，е)尸，4 — кривая у = (2/е)2еж, 5 — прямая у = 2с). (В точке (0, 0) интегральная кривая у =工2 касается прямой у w 0, являющейся частным решением уравнения (2.77), которое может быть получено йз формулы (2.79) при С\ — 0. Эта же интегральная кривая у =炉 пересекается в точке х = 2, у = ^ с интегральной кривой у н (2/е)%* семейства (2.79), причем в этой точке обе кривые имеют общую касательную ，— 4.) Прямая у н 2c представляет собой гео

метрическое место точек, в которых

нарушены условия единственности решения уравнения (2.76), (В этих точках

не выполнено условие 6), поскольку 竺^ =0.) dy 1у—2х

Предполагая существование решения у (х) исходного уравнения (2.67), мы можем продифференцировать соотношение (2.82) по независимой переменной х, Тогда получим

犒(2・83)

Полученное соотношение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно ^・ Общее решение (2.83) можно записать в виде однопараметрического семейства

Р(^) = Ф(^。)・(2.84)

Отсюда, используя (2.82), получим семейство решений исходного уравнения (2.67) в виде

y^fix^ix.C))(2.85)

и для решения начальной задачи остается определить значение постоянной С из начальных условий.

Пример 2.4. Рассмотрим уравнение

(旷尸一ну' + у ==0・(2.86)

Очевидно, это уравнение легко переписать в виде (2.82)

у==нр—р，(2.87)

dp

откуда р = р + S — 2р)誅，т. е.

(工 一 2Р)雾=0.⑵88)

Уравнение (2.88) имеет семейство решений

р (工)=С(2.89)

и, кроме того, решение

р(н) = х/2.(2.90)

Отсюда, учитывая (2.87), получим решения исходного уравнения (2.89) в виде

у (工)=Сг —О(2.91)

и

y (工)二炉/4.(2.92)

Легко проверить, что через точку (хОт у。), принадлежащую области существования решения уравнения (2.86), проходят две различные интегральные кривые (2.91), соответствующие двум значениям постоянной С (рис. 6):

Для выделения единственного решения начальной задачи, проходящего через точку (工& у。)，должно быть еще задано значение / (д：0) = yQt определяющее направление касательной к интегральной кривой в этой точке. Нетрудно также усмотреть, что решение (2.92) уравнения (2.86) обладает тем свойст-

вом, что кривая у = 工?/4 в каждой своей точке касается какой-либо кривой (2.91). Это означает, что кривая у = г2/4 представляет собой геометрическое место точек, через которое проходят два решения ураваения (2,86),

имеющие общую касательную в этой точке. В точках кривой у = £“4 нарушается условие б) теоремы 2.5:

Тем самым решение у =工?/4 оказывается в определенном смысле особым решением уравнения (2.86).

Прежде чем переходить к рассмотрению общего случая, отметим, что поскольку в исходном уравнении (2.67) переменные н н у рав- ноправны, то проведенные выше рассмотрения сохраняют силу и в том случае, когда исходное уравнение легко разрешить относительно независимой переменной х. Например, это имеет место в случае так называемого уравнения Лагранжа

£<₽(『) +*(『) =% (У),(2.95)

линейного относительно переменных н н у. Частным случаем уравнения Лагранжа и является уравнение, рассмотренное в примере 2.4.

Перейдем теперь к изложению общего метода интегрирования уравнения первого порядка (2.67), неразрешенного относительно производной, путем введения параметра. Обозначив у' = р, запишем уравнение (2.67) в виде

%/ 弘 Р)= 0・(2.96)

Уравнение (2.96) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве (х, у, р). Как известно, путем введения двух пара-

метров % и, данная поверхность может быть задана в параметрическом виде

(2.97)(2.97)e = X(r, и), у = У(% и), р = Р(и, V).

(2.97)

(2.97)

В нашем случае функции X, У и Р связаны соотношением (2.96) и соотношением dy = р dx. Из последнего соотношения получим

^ du + ^ dv Р (и, и)偌九 + 箓舛 (2.98)

Отсюда следует, что величины и и у не могут быть независимыми. Пусть и = и(в). Тогда из (2.98) получим, что связь параметров и и и представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции и:

dvdudvdup(…)丸一p(…)丸一dYdYdY диdY диax ‘ax ‘(2.99)(2.99)T— — P (u, u) T— dv '/ @uT— — P (u, u) T— dv '/ @u

dvdu

dvdu

p(…)丸一

p(…)丸一

dY

dY

dY ди

dY ди

ax ‘

ax ‘

(2.99)

(2.99)

T— — P (u, u) T— dv '/ @u

T— — P (u, u) T— dv '/ @u

причем это уравнение — разрешенное относительно производной. Семейство решений уравнения (2.99) можно записать в виде

(2.100)(2.100)и =屮(％С).

(2.100)

(2.100)

Тогда в силу (2.97) получим семейство интегральных кривых уравнения (2.67), записанное в параметрической форме

x = X(u, <p(u, С)), у = У(и, <p(u, С)),(2.101)

что и решает задачу интегрирования уравнения (2.67).

Очевидно, что в том случае, когда исходное уравнение легко разрешить относительно переменной у (переменной х):

К/Р),(2.102)

в качестве параметров и, и в параметрическом представлении (2.97) следует выбирать оставшиеся переменные 名 р (или у, р):

в/ y = f(x,p). p = R(2.103)

Как легко проверить, получающееся при этом уравнение (2.99) для определения функции р(н) будет совпадать с уравнением (2.83).

. Особые решения уравнения первого порядка, неразрешенного относительно производной, В рассмотренном выще примере 2.4 мы получили особое решение ^ =炉/4 уравнения первого порядка, неразрешенного относительно производной (2.86), обладающее тем свойством, что во всех его точках нарушена единственность решения начальной задачи Кошп. Рассмотрим теперь в общем случае условия существования особого решения.

Множество точек (х, у), в которых нарушается единственность решения уравнения (2.67), будем называть особым множеством этого уравнения. Ясно, что в точках особого множества не выпол-

нено по крайней мере одно из условий теоремы 2.5. Чаще всего нарушается условие 6), т. е.疗=и. 1огда при выполнении в точках особого множества условия а) и нарушении условия б) в этих точках одновременно имеют место соотношения

尸(z,y,P)= 0, ^(z,y, Р)=0・(2.104)

Исключив р из соотношений (2.104), получим неявное уравнение так называемой р-дискриминантной кривой

Ф(х, у) = 0.(2.105)

Будем называть особым решением интегральную кривую, во всех точках (х, у) которой ^ = ^* Если какая-либо из ветвей р-дис- криминантпой кривой представляет собой интегральную кривую уравнения (2.67), то она является его особым решением. Заметим, что не обязательно всякая р-дискриминантная кривая представляет собой особое решение уравнения (2.67), она может и не являться интегральной кривой этого уравнения. Так, например, как легко проверить, в случае примера 2.3 р-дискриминантная кривая у ~2х уравнения (2.76) не является интегральной кривой, а тем самым и особым решением этого уравнения. Найденное в примере 2.4 особое решение у = х2/4 уравнения (2.86) является его р-дискрими- нантной кривой.

В тех случаях, если множество решений уравнения (2,67) может быть записано в виде однопараметрического семейства

<Р(/ у, С) = 0,(2.106)

в котором значения постоянной С определяют различные интегральные кривые, и семейство функций (2.106) имеет огибающую у=у(к), то, очевидно, эта огибающая также является интегральной кривой уравнения (2.67) и через каждую точку огибающей проходит интегральная кривая семейства (2.106), имеющая в этой точке общую касательную с огибающей. Тем самым огибающая семейства интегральных кривых (2.106) представляет собой особое решение уравнения (2.67). Как известно, огибающая однопараметрического семейства (2.106) может быть найдена путем исключения параметра С из соотношений

①(z,y,C) = 0,誥(z, и,С) = 0.(2.107)

Полученная при этом кривая 屮(工,у)ж0 называется С-дискрими- нантной кривой. Так, найденное в примере 2.4 особое решение у = хг/4 уравнения (2.86) является, как легко проверить, С-дискри- минантной кривой семейства решений (2.91).

В заключение заметим, что система соотношений (2,107) определяет не только огибающую семейства (2.106), но и множество

кратных точек этого семейства, в которых частные производные — и — или не существуют, или одновременно обращаются в нуль. Поэтому условием существования огибающей семейства (2.106), а тем самым и особого решения уравнения (2.67) является существование ограниченных частных производных 而 и —, удовлетворяющих условию

借户備"。・ (2屈)

4. Теоремы существования и единственностирешения нормальной системы

и состав- системы(2.109)D, пред-и состав- системы(2.109)D, пред-Основные идеи метода ломаных Эйлера могут быть использованы для конструктивного доказательства существования решения не только в случае одного уравнения, разрешенного относительно производной, но и в случае нормальной системы. Эти вопросы ляют основное содержание настоящего параграфа.

и состав- системы

(2.109)

D, пред-

и состав- системы

(2.109)

D, пред-

Итак, рассмотрим начальную задачу для нормальной уравнений первого порядка

~^ — fi(八 У1，・• •，Ут),

Pi (%) 鍔 i == 1, 2, ..., т.

Пусть функции 厶(厶 打，...,ym) определены в области ставляющей собой (т + 1)-мерный параллелепипед

0 n {I £ — % I《а, М — У?1《乩(》= 1, 2, ..т)}

с центром в точке (%, у：, ..., ^т). Предположим, что в области D функции fi(t^ у*, ..,, ут) непрерывны (и, следовательно, ограничены) и удовлетворяют условию Липшица по переменным уь ..у^, т. е.

М(& 弘，•・・，Ут)1 &М,

I 厶(力 71,…，7m)—厶(4 弘，…，Ут) I《N X E —力 I, (2.110)

причем постоянные M и. N не зависят от L

Повторяя рассуждения, проведенные в случае одного уравнения, легко установить, что искомая интегральная кривая (если она существует) не выйдет из области D на отрезке [%, Г] изменения независимой переменной t, где Г = t0 + Ht а значение Н определяется как

Для построения ломаной Эйлера на отрезке [%, Т] разобьем этот отрезок на п частей точками деления ^От А, •••,£* = 7 н так же, как и в § 2, обозначим 力一厶_,=儿，无=max 无「На первом шаге «замо- розим» функции 力(% yh ..., уп) В точке (%，У：,・・・,y?i) и, интегрируя полученные уравнения с постоянными правыми частями, найдем значения функций 贡(£) на отрезке [a, tj:

У» (£) = У； + ft &，У；, • • • j Ут) (£ — %)・ (2.112)

Найденные функции определяют в (т +1)-мерном пространстве переменных t, y^ ..., ут на участке 口°,力]некоторый прямолинейный отрезок, который является первым звеном ломаной Эйлера.

Значения функций »；(£) в точке t = h примем за новые начальные значения и, повторяя вышеописанный алгоритм, получим ломаную Эйлера на отрезке [", Т]. При помощи оценок, аналогичных оценкам в случае одного уравнения, проведенным в § 2, можно доказать, что построенная по данному алгоритму ломаная Эйлера на отрезке 口°, Т] не выйдет из области D.

Введем понятие е-приближенпого по невязке решения начальной задачи (2.109), аналогичное соответствующему понятию для случая одного уравнения.

Определение. Непрерывная на отрезке 口(^ Т] вектор-функция y(£) = (Ji(£), —г Jm(£)) с кусочно непрерывными производными 歹, график которой целиком лежит в области О, называется е-приближенным 几。невязке решением начальной задачи (2.109), если

max I 公(%) — у? I & %

и при подстановке функций 负(£) в уравнения (2.109) получим

■^ = Л (^ У「Ут) + 屮i (£), (2.113)

где невязки 4п(£) удовлетворяют неравенству

max sup I 取⑴ I & e.max sup I 取⑴ I & e.(2.114)(2.114)

max sup I 取⑴ I & e.

max sup I 取⑴ I & e.

(2.114)

(2.114)

Чтобы доказать теорему существования, так же, как и в случае одного уравнения, докажем, что последовательность ломаных Эйле- ра {^(я) (^)} при 无 f 0 образует равномерно сходящуюся на отрезке [",Т] последовательность еп-приближенных по невязке решений начальной задачи, а предельная вектор-функция этой последовательности y(t) удовлетворяет всем условиям исходной задачи (2.109). Это делается путем рассуждений, апалогичных проведенным в § 2.

Лемма 23. Для любого е > 0 можно указать такое Fj > 0, что все ^^приближенные по невязке решения начальной задачи (2.109) различаются между собой на отрезке ［奋,Г］ не более, чем на е.

Доказательство. Возьмем два егприближенных по невязке решения задачи (2.109)歹⑴(t) и у(2)(i)* Это значит, что

^•次］"=厶(九У⑴l •一，y⑴m)+屮⑴i "),(2.115)

言 y(2)i = /i 亿 У(2)1,…，y(2)m) + 屮(2)i (力(2.116)

где〜〜

max I 或力(％)-姦》(%) I& 2q,(2.117)

max sup I 屮⑴i (t)—屮⑵i ⑴ I& 2q.(2.118)

Полагая

贝 2)《£)一贝”(£) = 加"),(2.119)

也2)() - 电1){)==@(力(2.120)

и вычитая (2.115) из (2.116), получим

寸=厶(А У(2”，…，玖2)m) — /i «, У⑴ 1, * …У⑴m) + <Pi (^)- (2.121)

Так как 瓦〕”(£) и 贝小«) не выходят из области D, где функция 人(力 У】,••” Ут) удовлетворяет условию Липшица (2.110), то имеет место оценка

慘 I &%£%(，) |+2汨(2.122)

Введем функцию Р«) = ^/ S 2/ (0 и рассмотрим ее производную

dp 1 V « 山 i

Тогда, учитывая, что 丨&| Wp, в силу оценки (2.122) получим

居|《纟图£%Мр + 2叫，(2.123)

т. е.

|^|<Л^т2р + 2met.(2.124)

В силу леммы 2.1 для р справедлива оценка р(£)&$«),

где s(t) — решение начальной задачи для линейного уравнения с постоянными коэффициентами

务=Nm?s + 2m%、s(%) = P(%)・(2.125)

Согласно (2.117) начальное значение s(tj удовлетворяет неравенству s (%) = р 储)=]/ 2 zi (%) & 2 pm %. Поэтому для р (t) окон

чательно получим

P (好 2m储)吗F +急(尸吟一。「k

& 2j [/w еМт + 言(eNm2r-l)] = 2qQ, (2.126)

где постоянная Q не зависит от еь Очевидно, оценка (2.126) справедлива и для \zi(t) I (i = l, ..., т). Выбирая % = e7(2Q), мы и получим утверждение леммы.

Определениел Последовательность гп-приближенных по невязке решений，《砌(/) назовем сходящейся п о н е в я з к et если 8氾 f 0.

Из доказанной леммы следует, что всякая последовательность {y(g(t)}, сходящаяся по невязке, является равномерно сходящейся на отрезке [%, Г].

Последующие теоремы доказываются полностью аналогично соответствующим теоремам в случае одного уравнения.

Теорема 2.6. Пусть в начальной задаче

等=力a,弘，勿“)，!/. (io) = i/i, i = 1,

функции 力(力 ％, ..., у,”) 8 области D непрерывны и удовлетворяют условию Липшица по переменным у“ ..., y« Тогда последовательность {у{пу (0b сходящаяся по невязке на отрезке [备,Т], сходится равномерно на этом отрезке к функции у(£), являющейся решение ем начальной задачи.

Теорема 2・7・ Если выполнены условия теоремы 2.6, то последовательность ломаных Эйлера при 无 f 0 сходится равномерно на отрезке [%, Т] л функции y(t), являющейся решением начальной задачи.

Отсюда следует

Теорема 2・8 (существования)^ Если функции 厶(厶 弘,...,yn) (i = 1, ..., m) в области D непрерывны и удовлетворяют условию Липшица по переменным у^ ..., ?т, то на отрезке [/0, Г] существует решение начальной задачи.

Так ясе как н в случае одного уравнения, имеет место

Теорема 2.9 {единственности}. При выполнении условий теоремы 2.8 начальная задача (2.109) имеет на [%, Т] единственное решение.

Итак, теоремы существования и единственности решения начальной задачи для нормальной системы полностью доказаны. При этом замечания, сделанные в § 2 по поводу теорем существования и единственности решения начальной задачи для одного уравнения, остаются справедливыми и в случае нормальной системы.

В гл. 1 было показано, что уравнение n-го порядка (1.6) эквивалентно нормальной системе (1.8). Отсюда следует, что если правая часть уравнения (1.6) — функция /(£,//，%,・•・，；严_： )- удовлетворяет условиям теоремы 2.8, то решение начальной задачи для (1.6) существует и единственно.

Особо следует подчеркнуть, что рассмотренный метод доказательства теоремы существования с помощью ломаных Эйлера представляет собой теоретическую основу эффективных алгоритмов численного решения начальной задачи для достаточно сложных систем дифференциальных уравнений, приведенных к нормальному виду. В дальнейшем (в гл. 6) будут рассмотрены и другие, более совершенные в практическом отношении алгоритмы численного решения

Вотоарагриробаниеобратной стороны У1днм

7 X7 X【7-Х【7-Х88夕夕£・Х£・Х、^-X/、^-X/2/-Х2/-Х2〃-Х2〃-Х也也ирир办 unqmH-OHga w O2HH3-q 坛KhoE DH *二 у -一nHy9duDK办 unqmH-OHga w O2HH3-q 坛KhoE DH *二 у -一nHy9duDK

7 X

7 X

【7-Х

【7-Х

8

8

夕

夕

£・Х

£・Х

、^-X/

、^-X/

2/-Х

2/-Х

2〃-Х

2〃-Х

也

也

ир

ир

办 unqmH-OHga w O2HH3-q 坛KhoE DH *二 у -一nHy9duDK

办 unqmH-OHga w O2HH3-q 坛KhoE DH *二 у -一nHy9duDK

дифференциальных уравнений (улучшающие, например, быстроту сходимости приближений). Сейчас ограничимся примером численного решения задачи для достаточно сложной нормальной системы, которое практически осуществимо только при использовании современных ЭВМ.

Рассмотрим задачу о движении ракеты в межпланетном пространстве, испытывающей тяготение со стороны Земли, Луны, Солнца. Такая задача возникает при расчете полета ракеты к Луне. Это движение описывается системой уравнений движения четырех тел типа (1.20), где 尸《 (: = 1, 2, 3, 4) — равнодействующая сил ньютоновского притяжения, действующих на i-e тело со стороны всех остальных, причем силами, действующими на небесные тела со стороны ракеты, можно, разумеется, пренебречь. Таким образом, приходим к системе 12 уравнений второго порядка или к нормальной системе 24 уравнений с правыми частями, имеющими сложную аналитическую структуру; формул для правых частей мы здесь не выписываем. Для применения алгоритма Эйлера и других численных алгоритмов достаточно иметь возможность вычислять правые части при различных положениях движущихся тел; при этом конкретный вид аналитических формул для правых частей не имеет значения для метода интегрирования.

На приведенном здесь рис. 7 изображена одна из проекций траектории движения автоматической межпланетной станции, запущенной в СССР 4 октября 1959 г., с помощью которой впервые была сфотографирована обратная сторона Луны.

§ 5・ Зависимость решенийот начальных значений и параметров

В реальных задачах, связанных с решением дифференциальных уравнений, начальные значения обычно известны лишь с некоторым приближением, так как онв определяются экспериментально или вычисляются, а это неизбежно связано с появлением погрешностей. Кроме того, в правые части уравнений могут входить какие- либо параметры, характеризующие физическую природу изучаемой системы (массы, заряды, упругие характеристики и т. и.), и значения данных параметров также определяются приближенно. В связи с этим возникает вопрос о том, как изменяется решение начальной задачи при небольших изменениях начальных значений и параметров и зависит ли оно от этих величин непрерывно. Этот вопрос мы и рассмотрим в данном параграфе. Заметим, что аналогичный вопрос можно поставить и для неограниченного промежутка (力°, °°), если решение на нем определено. Этот вопрос составляет содержание так называемой теории устойчивости, которой посвящена специальная глава (гл. 5).

Будем рассматривать начальную задачу для нормальной системы дифференциальных уравнений

雾= 〃，，片闻， У =(У1, • • ., Ут), / = (/1, ..., /т) (2.127) с начальными условиями

у (%) = у。，丸=(У10» • • • 7 Ут0).(2.128)

Здесь 卩=(卩 1, ..., ца) — вектор, описывающий параметры ць .,. ...,卩外 входящие в правую часть системы.

Нас интересует характер зависимости решения этой задачи от 少io,・・” Уто и jit,...,卩#. Заметим, что исследование зависимости ре- П1ения от начальных значений yiOj ..., ут0 и % можно свести к задаче об изучении зависимости от параметров в правой части системы. В самом деле, сделаем в (2.127) замену

⑺=融0 + Zj (£ = 1,…，т), % = £о + т(2.129)

и запишем уравнение для новых неизвестных функций 鶴：

石=屮i(z, T, N,九，幻，i = 1m,

(2.130) 4>i(z, J Ц, y。，幻三九(Уо+z, % + т, ц).

При / = /о новая переменная т = 0 и начальные значения для z{ теперь оказываются фиксированными:

伪(°)=弘什。)—弘 о = °・(2.131)

Значения у^ и /0 входят в правые части (2.130) как параметры наряду с параметрами ц,, .,., цл. Задача сводится, таким образом, к исследованию зависимости z, от параметров yiQ, %. Имеет место и обратная редукция: изучение зависимости от параметра можно рассматривать как некоторый частный вид зависимости решений от начальных значений. В самом деле, поскольку параметры ць ...,卩. в (2.127) фиксированы и принимают, например, значения цА0 (к — —1, ..., s), то к уравнениям (2.127) с начальными условиями (2.128) можно добавить уравнения вида R ^ ° с начальными условиями 卩а(%)= у%с. Тогда получим новую систему

黑=〃У，Л N),器=。，У^ W У^ На (М = Нао- (2.132)

Теперь вопрос о зависимости у^ от цА сводится к исследованию зависимости решений задачи (2.132) от начальных значений M'lOj • • p-gfl.

Ниже мы исследуем зависимость решений от параметров, а заключение о зависимости от начальных значений сделаем, исходя из установленной эквивалентности.

Рассмотрим сначала скалярное уравнение

^=/(У, t, И)(2.133)

со скалярнымпараметром 卩 и фиксированнымначальным

значением

y(£o)=y(i・(2.134)

Пусть правая часть /(у,厶卩) определена в параллелепипеде О = {|£ — tj & а, \у — Уо\ ^ Ь, |ц — Цо1 ^ с), непрерывна в Р по совокупности переменных и, кроме того, удовлетворяет в D условию Липшица по у

|/(y” t, к)—/®2, Z, ц) I ^ N\y{ - уг\,(2.135)

где N ——одна и та же постоянная для всех 卩 из отрезка 丨卩一“I W с.

При каждом фиксированном ц, согласно теореме существования, на отрезке [^, tQ + Н] (Я == min {а, Ъ/М}. М = sup | / (у, £, ц) |) определена интегральная кривая ——решение начальной задачи (2.133), (2.134). Меняя щ получим в силу независимости констант ЛГ и 2V от ц, что на 岡 叁 + 切 определено семейство интегральных кривых у亿 ц).

Будем исследовать зависимость у(£,卩)от ц. Докажем справедливость следующей теоремы.

Теорема 2.10, Пусть /(у,厶 ц) определена и непрерывна в D и удовлетворяе условию Липшица (2.135) по переменному у. Тогда решение у(% 卩)задачи (2.133), (2.134), определенное на отрезке [藹,£()+ 〃]， непрерывно по 卩 при любом 卩 из отрезка |卩一ц01 W& Доказательство. Теорема будет доказана, если убедимся, что для любого е > 0 существует 6 (е) такое, что при IArI < 6 справедливо неравенство

\y{t. ц +Др,)-z/(i,卩)| < е(2.136)

для любых [х и ц + Дц из отрезка 丨卩—囱| & с Воспользуемся леммой 2.1 о дифференциальных неравенствах. Имеем

^ у (厶 ц + △卩)=/ (у «，卩 + Ar),九卩 + Дц), у (%,卩 + Ar) = %,

^y (九 в) = /(у «, ц), t, ц), У «о，ц) = %•

Вычитая одно соотношение из другого, получим для разности аy = У(…+ △卩)一 Уu")

^ Ay = " (y亿卩+/卩)，九卩+△n)一〃y (力卩)，％卩+ *)] +

+ [〃У (九 © %, I丄 + Ar) — “У", D 厶 N)L Ay|t=t0 = O・ (2.137)

В силу непрерывности /®, t,卩)по совокупности аргументов и в силу того, что 1у(£,卩)一у/ Wb при It—%|&Н, для любого е > О существует 6【(&) такое, что если |ArI < 6Ь то

I/®(厶卩)，厶n+△n)一/(y&卩)"，卩)|V%

равномерно относительно £ е [备,to + Я]. Пользуясь этим фактом и условием Липшица, будем иметь

愕А“V仞如+%.(2.138)

Поэтому, согласно лемме 2.1 и формуле (2.35), получим

№ I V? (е”т。)一 1) & ?(产-1)<е(2.139)

при 61 < б2(8), т. е. при I* —卩」< 6i(62(e))= б(е).

Теорема доказана.

Замечания. 1. Из процесса доказательства нетрудно видеть, что неравенство (2.136) выполняется равномерно относительно £ для It—"I С Я, т. е. функция y(t,卩)непрерывна по 卩 равномерно относительно £; другими словами, при достаточно малом изменении параметра различие двух интегральных кривых будет равномерно малым на всем исследуемом отрезке 同 ％ + Я].

Пользуясь доказанной теоремой и теоремой анализа *), нетрудно получить утверждение о непрерывности у (% 卩)по совокупности переменных 厶 卩 при If — /01 ^ Я, 1卩一у/ &с. В самом деле, непрерывность у по 卩，равномерная относительно 厶 только что доказана, а непрерывность у по Е, равномерная относительно 卩，сразу следует из того, что | 罂 | =丨 /1

Если ц является векторной величиной, /(у, t,卩)определена и непрерывна по совокупности переменных в

0=l|t —%|《4 |у —Уо1《Ь, |щ —》2|《cJ

и удовлетворяет в D условию Липшица ио у с постоянной N、не зависящей от 卩，то доказанную теорему можно применить, подразумевая под 卩 одну из компонент р. Неравенство (2.136) означает непрерывность у по этой компоненте, равномерную относительно t и других компонент % а тогда, согласно замечанию 2, у& р) является непрерывной функцией по совокупности аргументов

№，••・, Нг»

Теорема, Пусть 几卩以 а € Л, 0нВ задана функция у(сс, 0) и пусть у(а, Р) непрерывна при любом а г Л равномерно относительно ^ ^В и непрерывна при любом 卩三» равномерно относительно а^ А. Тогда у(а, 0) непрерывна по совокупности аргументов а, В при a eAt ^ ^ В.

Доказательство. Рассмотрим разность Ду = ^(а + Да,卩 + 節)一 —у (а, »)・ Имеем

I Ар I ] у(а +Да,卩 + 绅)一у(% ? + А₽) I + I У(а” + А») — у(а, 0) |.

Для любого £ > 0 первое слагаемое справа меньше е/2 при | Да | < 61(e) и любом р + А? е ^» а второе меньше е/2 при |Д^| V&(е) и любом а ^ Л, и таким образом |Ар| < е при.|Да| < М(е), |Д^| < 62(e).

Остановимся теперь на исследовании зависимости решения от параметра у*. Пусть этот параметр меняется на отрезке \у0 — у； |《 《△・ Пусть /(у, £) определена и непрерывна в 。屮一％|《а, \у— г/ol <fcb Тогда из геометрических соображений очевидно, что семейство интегральных кривых у (% у。) существует на отрезке [io, i0 + Н\ где Я == min {а, (Ь — ^)/М}, М= sup | /1. Сведем эту за- дачу указанным выше способом к уже рассмотренной задаче о зависимости решения от ц (вводя z = у —у。и полагая у。==卩).Получим тогда как следствие теоремы 2.10, что функция у(£, у0), определенная на [iOf " + Я], непрерывна по у。при любом уй из проме- жутка I% —诚|《А・

Точно так же можно рассмотреть зависимость решения от параметра 备，который меняется на отрезке |% —£；|《6,』 получить, что у(力 力°), определенная на отрезке [吟，£： + 耳],где 笈= —min|a—6, 凳一б}, непрерывна по ^ при 匕一^|«&

Если у является векторной величиной, то справедливы аналогичные результаты, которые могут быть доказаны, если воспользоваться топ же леммой 2.1 о дифференциальных неравенствах и соображениями, имевшими место при доказательстве теоремы существования для системы уравнений.

Синтезируя все сказанное, приходим к следующему утверждению для общего случая (2.127), (2.128). Пусть /0, ^и являются параметрами, меняющимися в области | % —力^ |《6, |у紀——У：о1«А{，а входящий в систему вектор-параметр 林 меняется в области Inr —卩工|《Cr・ Пусть правые части системы (2.127) непрерывны по совокупности аргументов в параллелепипеде

%I 力一£：[«& I 弘一У?о1 «瓦，I Ha 一 Ца I ^a) (2.140)

и удовлетворяют в D условию Липшица по у】,...,沙巾.Тогда функции 弘(% 备,у*。, •・., ут0, 山,..., 山),определенные на отрезке |4，： + 〃], где

(min (bi — Д-)),

* = min 卜_6,一,/=5匿1川，

и являющиеся решением задачи (2.127), (2.128), непрерывны по совокупности аргументов при

|» — £：|«а,卜 о*—£；|«6, |ум —山；|«&, I Вл — Нл|^сл.

Свойство непрерывности по параметрам имеет существенное зна- иенне для возможности использования начальной задачи (2.127), (2.128) в качестве математической модели многих естественно-научных задач. Действительно, как уже отмечалось, на практике на-

чальные данные и параметры, входящие в правые части уравнений, как правило, заданы не точно, а лишь с некоторым приближением. Однако, в силу теоремы о непрерывной зависимости от параметров, малое изменение начальных данных и правых частей уравнений системы приводит соответственно к малым изменениям решения. Это и оправдывает использование полученных решений задачи (2.127), (2.128) для интерпретации того реального процесса, математической моделью которого служит данная система.

Перейдем к исследованию возможности дифференцирования решений по параметрам и начальным значениям. Рассмотрим этот вопрос опять-таки для скалярного уравнения и скалярного параметра 卩.Дополнительно к условиям теоремы 2.10 потребуем, чтобы 7(У,厶 Ц)в области D обладала непрерывными частными производными 府(弘Е,卩)и人(у,力Ц).

Если бы решение у(£,卩)задачи (2.133), (2.134) обладало производной по параметру 禺 то, подставив у© 卩)в (2.133), (2.134) и дифференцируя полученные тождества по 卩，мы имели бы

^^• = /у(У (力卩)> 九 Н)|- + /ц (у (^, Р-), Н)» (2.141) 糸(%, М) = 0. (2.142)

дудуУбедимся, что при наложенных на /(у,立 ц) дополнительных

ду

ду

условияхусловияхдействительно существует и удовлетворяет уравнению

условиях

условиях

(2.141) и начальному условию (2.142). Для этого рассмотрим на

чальную задачу

^ =九(У ( , D f,⑴ z + 九(у (t,卩)，f, Q, (2.143)

(2.144)(2.144)z(fOl ц)== 0

(2.144)

(2.144)

для новой неизвестной функции z (力 卩).Уравнение (2.143) линейно относительно z, и его коэффициенты являются непрерывными функциями t при It —%l W Н, где непрерывна у (厶 ц). Поэтому решение z(E, ц) начальной задачи (2.143), (2.144) может быть выписано в явном виде по формуле (2.29) и является непрерывной функцией £ при 1^ — tQ\ W Н.

Обозначим

黑=小.比土缥一.зn=^佑"，如).(2.145)

Убедимся, что lim з(厶 ц, △n) = z(£,卩). Отсюда следует, что △АО

производная 画 существует и равна z((, ц), т. е. действительно удовлетворяет уравнению (2.141) и начальному условию (2.142),

Пользуясь (2.137), имеем

dw / (у (t, ц 4- Дц),八卩 + 斗)一/(y(t, ц), t, ц 4~Лц)

,/®(t.")，t.n4-△n)一/s(九 r)，t,n)—

=fy(y(t,卩)+ 3Ay, t^ + Дц)^ + h{y{h 卩)，£,卩 + 3厶卩)；(2.146)0 £ 仇 W 1, О C 021.

Очевидно, 小=% = 0.(2.147)

Составим уравнение относительно разности 力一 z. Заметим предварительно, что, в силу непрерывности /у и /м и непрерывности y(t, ц), имеет место представление

力(y(力 卩)+еаy,力 a + аа)=/У(уи,n)，力 卩)+ p(力4а卩)，

где Ipl < Ci при |Дц1 V&®) равномерно относительно 九 И точно так же

G(y«,卩)，& а + &Аа) = /м(у(力 ц), /, Ц)+ q(t. ц, An),

где 丨,| < 61 при 丨厶卩丨 v&(&) равномерно относительно 力 Вычитая (2.143), (2.144) *из (2.146), (2.147), получим теперь следующее уравнение относительно z^ — z:

^(0 — z) = G (у (t,卩)，力卩)(0 — Z)+ p W — z) + pz + q. (2.148)

При этом

(гр — z) у% = 0.(2.149)

Так как переменная z ограничена, то \pz + q\ < е2 при |Дц| < <6з(£2)・ Кроме того, так как |/у! &Q, то |Д + р\ <^ + е2. Поэтому

図 0 —z)|V(Q + q)|0 —z| + q(2.150)

и для оценки w — z можно опять воспользоваться леммой 2.1. В результате получим

V拄^(e(Q+%)H _ [) ve(2.151)

при |Дц1 < 6(e) для всех £ w [%, f0 4- Я], что и требовалось.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2.11. Пусть /(у, % ц) определена и непрерывна по совокупности аргументов 6 области D = {|£ — f0| С а, |у — у/ W А 1卩 一 Цо I ^ с> вместе с частными производными /у (у,力 “)и 九(弘力卩)・ Тогда решение у (% ц) начальной задачи (2.133), (2.134) при каждом 卩 из промежутка I* ——ц01 ^ с имеет производную по 卩,

которая удовлетворяет уравнению (2.141) и начальному условию (2.142), получаемым дифференцированием уравнения (2.133) и начального условия (2.134) по ц.Уравнение (2.141) часто называют уравнением s вариациях по параметру 卩 для уравнения (2.133).Замечание. Коэффициенты уравнения в вариациях (2.141)которая удовлетворяет уравнению (2.141) и начальному условию (2.142), получаемым дифференцированием уравнения (2.133) и начального условия (2.134) по ц.Уравнение (2.141) часто называют уравнением s вариациях по параметру 卩 для уравнения (2.133).Замечание. Коэффициенты уравнения в вариациях (2.141)являются непрерывными по совокупности аргументов 九 卩 в силуявляются непрерывными по совокупности аргументов 九 卩 в силутребований, наложенных на /, и замечания 2 к теореме 2.10. Потребований, наложенных на /, и замечания 2 к теореме 2.10. Поэтому, применяя к задаче (2.141), (2.142) теорему 2.10, получимэтому, применяя к задаче (2.141), (2.142) теорему 2.10, получимутверждение о непрерывностиутверждение о непрерывностиду¥ду¥по и |1.по и |1.Совершенно аналогичным образом может быть исследован вопСовершенно аналогичным образом может быть исследован вопрос о существовании производной по начальному значениюрос о существовании производной по начальному значениюВВрезультате получим, чторезультате получим, что黑-удовлетворяет黑-удовлетворяетуравнениюуравнениюввва-ва-риацияхриациях^飯"у （У伉九），端.^飯"у （У伉九），端.(2.152)(2.152)

которая удовлетворяет уравнению (2.141) и начальному условию (2.142), получаемым дифференцированием уравнения (2.133) и начального условия (2.134) по ц.

Уравнение (2.141) часто называют уравнением s вариациях по параметру 卩 для уравнения (2.133).

Замечание. Коэффициенты уравнения в вариациях (2.141)

которая удовлетворяет уравнению (2.141) и начальному условию (2.142), получаемым дифференцированием уравнения (2.133) и начального условия (2.134) по ц.

Уравнение (2.141) часто называют уравнением s вариациях по параметру 卩 для уравнения (2.133).

Замечание. Коэффициенты уравнения в вариациях (2.141)

являются непрерывными по совокупности аргументов 九 卩 в силу

являются непрерывными по совокупности аргументов 九 卩 в силу

требований, наложенных на /, и замечания 2 к теореме 2.10. По

требований, наложенных на /, и замечания 2 к теореме 2.10. По

этому, применяя к задаче (2.141), (2.142) теорему 2.10, получим

этому, применяя к задаче (2.141), (2.142) теорему 2.10, получим

утверждение о непрерывности

утверждение о непрерывности

ду

¥

ду

¥

по и |1.

по и |1.

Совершенно аналогичным образом может быть исследован воп

Совершенно аналогичным образом может быть исследован воп

рос о существовании производной по начальному значению

рос о существовании производной по начальному значению

В

В

результате получим, что

результате получим, что

黑-удовлетворяет

黑-удовлетворяет

уравнению

уравнению

в

в

ва-

ва-

риациях

риациях

^飯"у （У伉九），端.

^飯"у （У伉九），端.

(2.152)

(2.152)

полученному дифференцированием (2.133) по у0. Свободный член

часть (2.133)某 будут, на-часть (2.133)某 будут, на-в этом уравнении отсутствует, так как 勿 в правую явным образом не входит. Начальные значения для

часть (2.133)某 будут, на-

часть (2.133)某 будут, на-

против, отличными от нуля, а именно, дифференцируя (2.134) по

у” получим

(2.153)

Может быть исследован вопрос о дифференцировании решения по на- чальному значению tQ, Производная — удовлетворяет уравнению в вари- ацнях

正再=/у (У 陋 ％)，')^7；， (2/54)

полученному дифференцированием уравнения (2.133) по %. Чтобы получить начальные условия, заменим исходную задачу (2.133), (2.134) интегральным уравнением

У(3 %) = У()十 J / (У (% %)，т)狂

Дифференцируя по 历,будем иметь

号 У(3 %) = -/("%，％)，｛o)+^fv(y^ %)，力許丸0%°

Отсюда, полагая t = io, получим

Все сказанное сохраняет силу и для общего случая (2.131), (2.132) при условии, что в области D (см. (2.140))厶 обладают непрерывными частными производными по всем у【，...,ут и по тому из параметров, по которому производится дифференцирование. Так, например, производная -— удовлетворяет системе уравнений в ва- риациях

丄电1 =w攻也+"， 吆 =0(2.156)

Вопрос о существовании и непрерывности производных высших порядков исследуется аналогично. Можно показать, что существование непрерывных частных производных до порядка 月 от функций /< по у】,...,ут, gh,...,卩# обеспечивает существование непрерывных частных производных R-ro порядка по параметрам у10, ..., у то, 卩【，•・•，卩.от решения задачи (2.127), (2.128).

Замечание. Имеет место

Теорема Пуанкаре. Если функции 厶 являются аналитическими функциями своих аргументов, то и решение задачи (2.127), (2.128) оказывается аналитически зависящим от параметров.

Метод последовательных приближений (метод Пикара)

Рассматривая в § 2 начальную задачу Коши для одного уравнения, мы доказали существование и единственность решения этой задачи методом ломаных Эйлера, представляющим собой одновременно и эффективный алгоритм численного решения. В настоящем параграфе мы вернемся к проблеме существования и единственности решения начальной задачи и дадим ее доказательство методом последовательных приближений, основные идеи которого восходят к исследованиям Пикара. Не являясь столь же эффективным в алгоритмическом плане, как метод ломаных Эйлера, метод последовательных приближений обладает большой общностью и находит широкие применения при исследовании вопросов существования и единственности решения задач из различных разделов математики. Поэтому знакомство с основными идеями этого метода на примере рассматриваемой в дапном параграфе задачи целесообразно.

Итак, рассмотрим начальную задачу

案=/(工，力 У(0)= !/。，(2.157)

где функция /(с, у) задана и непрерывна в прямоугольнике D = = {|с —n/W% iy —y/Wb}. Тогда найдется постоянная М такая, что

If(/ y)l W〃，(/ у) W0・(2.158)

Кроме того, предположим, что 〃н, у) удовлетворяет в D условию Липшица по у

1/(名弘)-/(名 У?) Iw Myi - {М,(Н, У1)三 4 (н, yjw 〃•(2.159)

Мы покажем, что при выполнении условий, наложенных на /(х, р), существует одно и только одно решение задачи (2.157). Наше доказательство будет основываться па сведении задачи (2.157) к эквивалентному интегральному уравнению,

У (с) = Уо + J / ⑶ У (У)灌(2.160)

и применении к последнему метода последовательных приближений. Указанная эквивалентность задачи (2.157) интегральному уравнению была установлена выше, в § 1 (лемма 1,1).

Перейдем теперь к построению последовательных приближений. В качестве нулевого приближения возьмем произвольную непрерывную на отрезке [工力 X] функцию у(о)(н), график которой на [н。, X], X = с。+ Н, целиком лежит в области D, и определим последовательные приближения у⑺(н) соотношением

as

伙п) К) = Уо + J / 怎伙n-D ⑸)碼.(2.161 丿

«0

Как н в § 2, значение Н определяется из условия Н = —min {а, Ь/М}. Легко доказать, что при выбранном начальном приближении графики функций у(п)(н) на отрезке [^0) X] также целиком лежат в области D. Действительно,

У⑴(7)=Уо +J 〃Е,伙。)(9)庵；(2.162)

х0

так как график у(0} (х) лежит в области D, то, в силу оценки (2.158), получим

1^(1)— Уо\ ^ М(х — Но)《МН W Ъ.(2.163)

Отсюда следует, что график функции ^⑴⑺ на отрезке [4, X] не выходит из области D. Повторяя проведенные выше рассуждения, методом математической индукции установим справедливость высказанного утверждения для любого приближения.

Лемма 2.4. Если непрерывная в области Z? функция f(xt у} удовлетворяет условию (2.159), то построенная по формуле (2.161) последовательность {у(п} (х)} сходится равномерно на [х0, X].

Доказательство. Рассмотрим ряд

S(z)= У(”(7)+ 伍⑴(Z)- "(?)] + [у ⑺(7)- У<”7 (^)J + ... (2.164)

Очевидно, п-я частичная сумма Sn(z) ряда совпадает с n-м членом последовательности {у(п} (^)). Оценим члены ряда. Очевидно,

I У⑴(2)— %(2)I & W⑴(z) — % 丨 + I Ум (z) — % 丨 W 26,

W⑶(n) — i/(i)(^)Kj \f(^ у⑴(S) — /陰 y(o)(E)) I 瓯

Тогда, в силу условия (2.159), имеет место оценка х

I У(2)(н) — У⑴(叫 & " J| У(1)(Е) — У(о) (Е) I 臂 & 2bN (х — &)・(2.165) Аналогично 1y⑶⑺一у(2)(叫《

Л工2

《N J I yw(D~ 力⑥ I 騎 & 26聲 J (E _ %)dg = 2b№ 吃3・ xoxo

Методом индукции получим для n-го члена оценку

I yw^~ У(п-1)Wl< 2&М-1，三壊.(2.166)

Из оценки (2.166) следует, что на отрезке [/, X] члены функционального ряда мажорируются членами сходящегося числового ряда

£У71—1

I y⑺⑺一玖n-D ⑺ I 《26n*1(2.167)

что и является достаточным признаком равномерной сходимости ряда (2.164). Лемма доказана.

Доказанная лемма позволяет доказать следующую теорему:

Теорема 2・72 {существования). Если функция /(х, у) непрерывна в D и удовлетворяет условию Липшица (2.159), то на отрезке [х0, X] существует решение начальной задачи (2.157).

Доказательство. В силу леммы 1.1 достаточно доказать существование на отрезке [х0, X] решения интегрального уравнения (2.160). Согласно лемме 2.4 последовательность {у(п)(я)}, построенная по формуле (2.161), сходится равномерно на [ж0,攵].Так как все члены последовательности {^(п)(^)) zo построению являются непрерывными функциями, то и предельная функция у (工) непрерывна на [土0, X]. Равномерная на [х0, X] сходимость последовательности {у(п)} является достаточным условием возможности предельного перехода в формуле (2.161). Переходя к пределу при 九 f 8, получим, что предельная функция последовательности {”*>(2)}

y(z) = lim y(n)(z)(2.168)

n-*co

удовлетворяет интегральному уравнению (2.160), эквивалентному исходной задаче (2.157). Теорема доказана.

Перейдем к рассмотрению вопроса единственности решения.

Теорема 2・73 (единственности}. Интегральное уравнение (2.160) имеет не более одного непрерывного на [n(), X] решения.

Доказательство. Предположим, что уравнение (2.160) имеет на [n% X] два различных решения ^i(n) и ^2(胃),и составим их разность

2(х)==打⑺一力(力(2.169)

Очевидно,

z(z) =j{7怎力低))一了化，%(9)}雄，z 日r, X]. (2.170) x0

Будем сначала рассматривать (2.170) на отрезке [n°, н], значение с» выберем в дальнейшем.

Воспользовавшись условием Липшица (2.159), получим

I 2 (х) К ^ (л： — Х^ sup \у1(^) — у2 (В) К

[х0'Х1)

《№(/ —%) sup |z(E)|, 工三[%, nJ. (2.171) [x0'xl]

Отсюда

sup I z (н) I《N Qi — ％) sup |z(n)|・(2.172)

[初产 H[r0»xll

Выберем теперь / так, чтобы N® — n())V 1. Тогда (2.172) возможно лишь при условии, что

sup |z(n)| = 0, т. е. z (х) ^ 0 при х е [х0, хх],

и (2.170) можно записать в виде

z ⑺=J {/ 怎 У1 (Е)) - / (Е,力售))}比，7三【％, X]. (2.173)

Повторяя проведенные рассуждения необходимое число раз, убеждаемся, что z(x) = 0 при х ^ [х0, X] что и доказывает теорему.

Сделаем несколько замечаний к доказанным теоремам.

Замечания. 1. Мы доказали теоремы существования, показав, что при любом нулевом приближении уо(н), представляющем собой непрерывную на [т0, X] функцию, график которой не выходит из области D, последовательность {у(п)} сходится к решению исходной задачи. В качестве нулевого приближения у(о)(х) в ряде случаев удобно бывает выбрать начальное значение у。，положив у(0)(х) 0 у。.

Метод последовательных приближений может быть использован не только для доказательства существования, но и для построения решения конкретных задач. При этом эффективность его применения определяется как классом функций /(н, у), для которых разработаны эффективные алгоритмы

вычисления правой части формулы (2.61), так и выбором начального приближения.

Мы рассмотрели применение метода последовательных приближений для доказательства существования и единственности решения начальной задачи для одного скалярного уравнения первого порядка. Аналогичные рассмотрения могут быть проведены и в случае начальной задачи для нормальной системы.

§ 7. Принцип сжатых отображений.

Теорема о неподвижной точке

Рассмотренный в предыдущем параграфе метод последовательных приближений основывается на общем математическом принципе, известном под названием «принцип сжатых отображений», основные идеи которого будут изложены в настоящем параграфе.

Будем рассматривать произвольное полное метрическое пространство М. Пространство М называется метрическим, если каждой паре н, у элементов этого пространства поставлено в соответствие число р(н, у), обладающее следующими свойствами:

р(н,у)*0, причем p(a:, y)—Q только при х = у;

Р(£ "= Р(У, н)；

для любых н,弘 zwM имеет место неравенство треугольника

P(G У)& Р(% z)+ p(z, у).

Число р(дг, у) обычно называется расстоянием между элементами хну.

Последовательность {②由} элементов пространства М называется фундаментальной, если для любого е > 0 существует %(£) такое, что при 孔 >%(&) и любом р>0 справедливо неравенство p(Hm, хт+Р) < е. Метрическое пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность {忆巾} элементов этого пространства сходится к некоторому элементу a w М, т. е. существует х^ М такое, что lim р (宓,Нт) = 0 ^обозначается х == lim хт\.

Примером полного метрического пространства является пространство непрерывных на сегменте н w [а, 6] функций у(®), в котором расстояние р(у, z) между элементами у(н) и %(宓)задается в виде

Р(У, z)= sup |y(N)— zQ)|.(2.174)

xs[a,b]

Выполнение свойств 1) и 2) очевидно. Проверим, что выполнено 3)； Для любого n w[а, Ь] имеем | У (宓)一 ％ (宓)|《|у (%) — и (%) | + \и(х) — —z (н) I《sup I у (②)一и (n) I * sup I и ⑺一z (n) |. Но так как, xe[a,b]xe[a,b]

в силу непрерывности, sup \у{х) — z (л：) I достигается при иекото- xe[a,b]

ром "W [a, 61To sup |у ⑺一Z(N)I = |у(N*) I —乞(宓*)| И поэтому

sup I у (工)一Z ⑺ I W sup I у(2)— U ⑺ I + sup \u{^ — Z(Z)

XW[a,b]xe[a,b]xS[a,b]

Принцип сжатых отображений является мощным методом исследования проблем существования и единственности решения функциональных уравнений в метрических пространствах.

Пусть в полном метрическом пространстве М задан оператор 4, обладающий следующими свойствами:

оператор А отображает пространство М в себя, т, е. переводит точки пространства М в точки того же пространства:

4д: = у (х, у^М);(2.175)

оператор А сближает элементы пространства М, т. е. для любой пары ©1, Hz элементов пространства М имеет место неравенство p(Axt1 /g)Wap(忆,g),(2.176)

где a < 1.

Имеет место

Теорема 2,14 (принцип сжатых отображений). Если в полном метрическом пространстве М задан оператор Л, удовлетворяющий условиям а) и б), то функциональное уравнение

Ах^х(2.177)

g пространстве М имеет единственное решение.

Доказательство. Выберем произвольный элемент xQ^ М и построим последовательность {хп):

£п = Ахп-\,(2.178)

Докажем, что так построенная последовательность {д:п) является фундаментальной. Действительно,

р(/+1, хп) = р(Лхп, Лхп-^С ар(д:я, с…)==

=ар (Лхп-f, Лхп-2)С ... С апр(хь х0).(2.179)

Пользуясь этой оценкой и неравенством треугольника, получим

Р (%п+м,立汽)& р (^п+m» ^п+тп—1) + Р (Nn+m—1， ^n+m—2) + ・•・

・・• + Р (^п+1» ^п) & а р (с】, n()) (a + •♦♦+1)==

=a [ _ 仪 P(4, %) & ] _ « P (%i, %), (2.180)

что при условии a < 1 и доказывает утверждение о фундаментальности последовательности {хп}. В силу полноты пространства М отсюда следует сходимость последовательности {хп), т. е. существует а 巨 М такой, что

с= lim 6n.(2.181)

Рассмотрим теперь элемент у = Ах и покажем, что он совпадает с элементом Действительно,

Р(名 У)&Р(£ ^+t)+p(xn+Il у),(2.182)

где Нп+1 — произвольный элемент последовательности {хп}. Оценим последнее слагаемое:

Р(хп+1, ^)= р(Лхп, Лх)^ ap(xn, X).(2.183)

В силу доказанной выше сходимости последовательности {工兀} для любого е > 0 можно указать такое N, что для всех п > У p(Nn, х) < < е/2.

Тогда из (2.182) следует, что

р(х, у)< е,(2.184)

откуда, в силу произвольности £, получаем р (工,у)== 0, т. е.工=у, следовательно, решение уравнения (2.177) существует.

Доказательство единственности решения уравнения (2.177) проведем от противного. Пусть х и х — два различных решения этого уравнения:

Ах = х, Ах = X.(2.185)

Рассмотрим

р(工，х)в р(Лх, Ах)^ ар(х, х).(2.186)

Но при а < 1 неравенство (2.186) возможно лишь при р(н,元)=0, т. е. при н =元.Итак, теорема доказана полностью.

Доказанная теорема имеет простую геометрическую интерпретацию. Если рассматривать элементы метрического пространства как точки некоторого множества, то сжимающее свойство б) оператора А означает, что расстояние Р(У1, У2)между образами 弘 =Лхь 勿 ==4工2 точек х\ н х2 меньше расстояния p(ti,工2) между исходными точками 工[и х2 Поэтому, когда строим последовательность {工”} по формуле (2 178), расстояния между соседними точками при возрастании номера п неограниченно уменьшаются и в пределе мы получаем неподвижную точку 工,которая оператором 4 переводится сама в себя, Ах =工

Применим теорему о неподвижной точке для доказательства существования и единственности решения начальной задачи

然“工停，！/(&) = %,(2.187)

которая, как мы установили в предыдущем параграфе, эквивалентна интегральному уравнению

У(н) = % +j/怎八Е))痴.(2.188)

х0

Рассмотрим оператор

風三％ + j/(E,y 阳)dg(2.189)

xo

в полном метрическом пространстве М непрерывных на отрезке [то, X] функций y(N). Покажем, что оператор А удовлетворяет условиям а) и б). В предыдущем параграфе было показано, что если

функция /(z, у) непрерывна в прямоугольнике D = {\т — zQ\ ^ а, 丨у —у/Wb} я удовлетворяет в D условию Липшица по у, то применение оператора Л к непрерывной на [xOl X] функции у(н), график которой не выходит из 力，дает также непрерывную функцию Ау(х), график которой не выходит из D, Тем самым оператор Л удовлетворяет условию а). Остается проверить сжимающее свойство оператора А, Для этого рассмотрим

КX

p (阳1，幽2)= sup J /售，打0)我一J М,为阳)吒《

工

& sup J \f^,y^)-i^yM\dl. (2.190) xe[x0,X] x0

Воспользовавшись условием Липшица для функции Цт, у), получим

P (阳1,眼2)《"SUP J也位)一力代)|*4

xG[xQtX] X()

&%|h —%| sup I yx (x) — y2 (г) I < ^Яp (yn y2). (2.191) 吟仔3修

Выберем теперь Я таким, чтобы удовлетворялось условие

NH = а<3(2.192)

Тогда оператор А будет сжимающим и, в силу теоремы 2.14, мы можем утверждать существование и единственность решения начальной задачи (2.187) на отрезке [х0, X]. Распространение решения на больший отрезок производится рассмотренными выше методами.

Замечание. Принцип сжатых отображений был применен для доказательства существования и единственности решения начальпой задачи (2.187) для одного скалярного уравнения. С помощью принципа сжатых отображений легко доказать аналогичную теорему и в случае нормальной системы.

ГЛАВА 3

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнение движения маятника как примерлинейного уравнения. Основные свойствалинейного уравнения с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

aQ(x)y{n} + а《н)“1)+ ・・・ + а“(н)у = 〃н)・(3.1)

Это уравнение обладает рядом замечательных свойств, облегчающих его исследование, а в ряде случаев и решение. Изучение этих свойств и составляет содержание настоящей главы.

В приложениях линейные уравнения естественно получаются, если пренебречь членами более высокого порядка (см. § 2 гл. 1).

Ознакомимся с основными свойствами липейного уравнения на примере уравнения маятника (см. п. 2 § 2 гл. 1)

у" + осу'+ "у =/(力)， а > 0, Аг > 0,(3.2)

которое является линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим сначала случай / = 0. В этом случае уравнение называется однородным. Физически это означает, что маятник движется свободно, на него не действуют внешние (вынуждающие) силы, у" + осу' + "у = 0.(3.3)

Будем искать решение этого уравнения в виде у = е“，где 九一некоторая ие известная заранее постоянная. Подставляя искомый вид решения в (3.3) и сокращая на е* получим

九 2 + сс 九 + Лг = 0.(3.4)

22Это уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (3.3). Ему должно удовлетворять 九 для того, чтобы е“* было решением (3.3). Решая уравнение (3.4), получим 唯 一а + ]/"а2 — Al,2 =-

2

2

Исследуем разные случаи.

а? — 4к > 0. Физически это соответствует достаточно сильному трению (сопротивлению) среды. Оба корня Xi и Х2 в этом случае действительны, различны и отрицательны, и им отвечают два

решения У⑴=£ , У(2)= £ •

Рассмотрим начальную задачу

У (0)=诚，式 (。)У:.У (0)=诚，式 (。)У:.(3.5)(3.5)

У (0)=诚，式 (。)У:.

У (0)=诚，式 (。)У:.

(3.5)

(3.5)

Для любых двух п раз дифференцируемых функций У1(м), Z/2(z) справедливо тождество (& и С2 — константы)

(С1У1(N)+ Gz/2 (工)严=СМ" + СаУ”(3.6)

Основываясь на этом тождестве, нетрудно убедиться, что выражение

у = С】У⑴十 °2y(2)= &£ 1 4- °2© 2 ,(3.7)

где С* и С± ——произвольные постоянные (линейная комбинация Ун) 0 У(2)) является решением уравнения (3.3). Эти постоянные можно однозначно определить из начальных условий (3.5). Действительно, подставляя (3.7) в (3.5), имеем

國н С】+ Q, у； = %入1 4- G入2・

В силу 入,* 入z определитель этой линейной алгебраической системы относительно Ci и С2 отличен от нуля. Полученное таким образом решение начальной задачи

(3.8)(3.8)%2吟 一 ?? m t 上 a?： 一 * 人21

(3.8)

(3.8)

ва~ е <11 © j

не осциллируя, приближается с ростом £ к положению равновесия у «= 0.

Так как любое наперед заданное решение уравнения (3.3) удовлетворяет некоторому начальному условию (3.5), а по заданному начальному условию (3.5) однозначно определяется решение (3.8), то можно сказать, что в формуле (3.7) содержится любое решение уравнения (3.3). С другой стороны, при любых значениях постояи- ных формула (3.7) дает некоторое решение уравнения (3.3). Таким образом, формула (3.7) содержит все решения уравнения (3.3) и только решения этого уравнения. Формулу, обладающую таким свойством, мы будем называть общим решением. Формула (3.7) представляет собой общее решение уравнения (3.3).

а* — 4/с < 0. Физически это соответствует достаточно слабому трению (сопротивлению) среды. В этом случае 入纟 и Х2 являются комплексно сопряженными:入2 =入;и

у(1)= ” =厂"2 卜os g t + i sin 专)y(» = %,

где p = ¥4k — a2.

Пользуясь тождеством (3.6), нетрудно видеть, что y( = Rey⑴, y2 = Imy(i) также являются решениями уравнения (3.2). Действительно,

仇十 i%)" + a (力 + 切2)' + 加 ®i + m)=

=(У： + ау； + 初 J + i(yz + а< + 〃力)=。,

откуда, приравнивая нулю отдельно вещественную и мнимую части, получим требуемое. Возьмем линейную комбинацию у【и у2-

у = См +сгу2 = "-3/2 cos g t + С2е~а(/2 sin 专 L (3.9)

Нетрудно убедиться, что, как и прежде, С* и С2 однозначно определяются условиями (3.5) и, таким образом, (3.9) является общим решением уравнения (3.3). Заметим, что в рассматриваемом случае в качестве общего решения можно по-прежнему взять (3.7), но при этом постоянные &, С\ будут комплексными.

Решение задачи (3.5):

У = yQ^at/2 cos у ^ + -|-(У； + у У* 6一“"' sin у £(3.10)

описывает колебательный процесс. Колебания затухают по закону ехр [—а〃2]. С ростом t это решение также стремится к положению равновесия у = 0.

Если а = 0 (сопротивление отсутствует), то получаем периодические колебания с частотой з。= ¥",

у = у： cos 3(/+ sin 30t.(3.11)

а? — 4" = 0. В этом случае описанный способ дает только одно решение у(п = еЗ где X = —а/2. Нетрудно, однако, непосредственно проверить, что в этом случае решением является также у(2}— ==te'L Беря линейную комбинацию этих двух решений, можно удовлетворить условиям (3.5). Практически Xi и 入？ не бывают в точности равны, но такое решение описывает математическую абстракцию, соответствующую случаю близких 入【и Л2.

Рассмотрим теперь вынужденные колебания под действием периодической вынуждающей силы. Они описываются уравнением (3.2), где /==4cos 3t (Л, з = const). Сопоставим этому уравнению следующее уравнение с комплексной неизвестной функцией z:

z" +az' + A：z = 4e 叫(3.12)

Подставляя в это уравнение z =贝 + i% и приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим, что yi удовлетворяет уравнению (3.2), в котором / = 4 cos st, а у2 — уравнению (3.2), в котором / = Л sin tot Таким образом, для получения требуемого ре-

шения уравнения (3.2) нужно найти решение уравнения (3.12) и взять его действительную часть.

Решение уравнения (3.12) естественно искать в виде

z = ае**(3.13)

где а — не известная заранее постоянная. Подставляя (3.13) в (3.12) и сокращая на eiM(, найдем а = А /(—ш2 + iaco + к) и, следовательно,

兀="(k_：*；a%5 C0S 3* + "(店_з2；；+а%2 Sin 3'偈伍)

представляет собой частное решение уравнения (3.2), в котором / Л co3(of, имеющее периодический характер с частотой, равной частоте о вынуждающей силы. Это решение, однако, не удовлетворяет (3.5). Добавим к нему линейную комбинацию решения однородного уравнения (3.3) (для определенности az —4А<0):

У =贝 + &" + С2yz.(3.15)

Пользуясь (3.6), убеждаемся, что это выражение является решением того же неоднородного уравнения (3.2), а пользуясь произволом выбора & и G, можно подобрать их так, чтобы удовлетворить (3.5), Действительно, & и Сг находятся из алгебраической системы уравнений, отличающейся от той, которая была при получении (3.10), только неоднородными членами. Решение, удовлетворяющее (3.5) т имеет вид

U =兀 + [М — 71 (0)] с-*2 cos g £ +

+ ^【У；—力(。)+ "7 (j/o — У1(0))] с-”" sin -|-力 (3.16)

а (3.15), таким образом, является общим решением неоднородного уравнения (3.2), где / = Л cos <о/. Из (3.15) видно, что общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму частного решения того же неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения,

С ростом 才 в формуле (3.16) все члены, кроме первого, затухают и остаются только вынужденные колебания 歹】・

Обратим внимание на важное явление ——так называемое явление резонанса. Решение 贝 теряет смысл, если в исходной системе нет трения (а = 0) и частота о вынуждающей силы равна частоте Зо = ¥〃, с которой колеблется маятник без воздействия вынуждающей силы (см. (3.14)), так как в знаменателе появляется нуль.

Чтобы найти частное решение в этом случае, т. е. частное ро- шение уравнения

у" + Ay = A cos s山(3.17)

(3.18)(3.18)перейдем снова к комплексной форме z" + fcs = АеХШ°\

(3.18)

(3.18)

z =z =Обратим внимание на то, что корни характеристического уравнения равны А$, а =±1з(ь Попытаемся искать z в виде

z =

z =

ЛЛ(3.20)(3.20)(3.19)

Л

Л

(3.20)

(3.20)

Подставляя (3.19) в (3.18), определим а и получим z = Re z дает частное решение уравнения (3.17):

71 = 4 去Sin 30t.

Так как практически полное отсутствие трения и точное равенство ш и G)o не осуществляются, то решение такого типа практически не реализуется. Реализуется (3.14), но если частота з близка к Шо, а а мало, то знаменатель в (3.14) мал и амплитуда решения велика. Таким образом, физически явление резонанса состоит в том, что при з 〜со。н малом а наблюдается заметное увеличение амплитуды вынужденных колебаний (3.14)*.

Математически же случаем резонанса будем называть такой случай, когда в (3.2) /(i)= S(t)ex\ где S(t)——многочлен, а х совпадает с корнем характеристического уравнения. В рассмотренном выше уравнении (3.18) х = »з(), т. е. совпадает с одним из корней характеристического уравнения.

Итак, па примере уравнения второго порядка выявлен ряд характерных свойств линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Оказывается, эти закопомерности имеют общий характер. Сформулируем их, пока без доказательств, для уравнепия порядка п как естественное обобщение того, что наблюдалось для уравнения второго порядка. Доказательства будут даны ниже, в § 5.

Рассмотрим сначала однородное ^уравнение

аоу(п} +。1员"-“ + ... +&y = 0(а* = const), (3.21)

Сопоставим (3.21) его характеристическое уравнение (ср. (3.4))

а^п + а伉+ ... ~Ь лп ~ 0.(3.22)

Это алгебраическое уравнение порядка п и имеет корпи 九％ == 〃％ + + iqh {к =1,…，n).

Если все 厶八 действительны и различны, то, беря линейную комбинацию

п

У = £ СкУм, где 伙А) = е 雜，(3.23)

Л=1

можно получить любое решение уравнения (3.21), определяя Сь ..Сп из начальных условий

У (%)=贺，У (%)=成,• • •, *т (3 =说 (3.24) (ср. (3.7), (3.5)), т. е. формула (3.23) является общим решением уравнения (3.21).

Если некоторые 入屬 комплексные, то утверждение 1 остается в силе, но определяемые из (3.24) константы Ск будут комплексными и решение будет представлено в комплексной форме. Чтобы получить решение в действительной форме, в наборе решений вместо пары решений у = e{p+iq)t и у* = e(p~ifl,\ отвечающих двум комплексно сопряженным корням к — р dz iq (так как характеристическое уравнение имеет действительные коэффициенты, то вместо с 入=р + ig корнем будет также X* = р — ig), можно взять пару действительных решений Re у = ер( cos gt и Im у = ер( sin q£ (ср. (3.9)).

Если 入一кратный корень характеристического уравнения (3.22) кратности т, то ему отвечает m решений ем, Ее",…，丁7“ (обобщение случая в), где тп ==• 2).

Объединяя все случаи, можно сформулировать следующее правило:

Пусть характеристическое уравнение (3.22) имеет г действительных корней 入* кратности тп», а прочие являются комплексно сопряженными вида Х( e ^ + igi и кратности mh Тогда общее решение уравнения (3.21) можёт быть записано 6 виде

У = 2 &«) J" + 4(Р (t)e""cosgit + Q[(t)eP"sin"), (3.25)

где Н»(£), 2(2), Q【(£) —многочлены степени "瓦一1, mt— 1, m【一1 соответственно, коэффициенты которых произвольны. Эти коэффициенты однозначно определяются начальными условиями (3.24).

Точно так же можно, обобщая факты, полученные для уравнения второго порядка, сформулировать правило построения частного и общего решений неоднородного уравнения -

ад(п, + 46n7)+ ... + any = S(£)叫 (3.26) где S(£)—многочлен степени s, 乂 ——постоянная, вообще говоря, комплексная.

Пусть 6 уравнении (3.26) 乂 не совпадает ни с одним корнем А» характеристического уравнения (3.22) (так называемый нерезо^ нансный случай). Тогда частное решение уравнения (3.26) можно записать 6 виде

У = Т⑴叫 (3.27)

ede Т(2) —многочлен той же степени, что и §(£)• Коэффициенты многочлена Т(£) определяются из алгебраических уравнений, полу-

ченных подстановкой (3.27) в (3.26) и приравниванием членов с одинаковыми степенями t (ср. (3.12), (3.13); в этом простейшем случае S(Z) является константой /, т. е. многочленом нулевой степени, а многочлен Т(£) также является константой: 7 = а).

Если X совпадает с корнем характеристического уравнения 入, имеющим кратность m (так называемый резонансный случай)^ то частное решение (3.26) следует искать 6 виде

у = T{t)tme^\ (3.28)

где Т(Е)——многочлен той же степени^ что и 5(/). Коэффициенты Т(£) по-прежнему определяются подстановкой (3.28) 6 уравнение (3.26) (ср. (3.19), где появляется множитель t в соответствии с кратностью m = i корня ig).

Если х == а + 20 комплексно, то действительная (соответственно мнимая) часть решения (3.28) является решением уравнения с правой частью S(t)eat cos “ (соответственно S(t)eat sin 仇)・

Общее решение неоднородного уравнения (3.26) представляется 6 виде суммы общего решения (3.25) однородного уравнения (3.21) и частного решения (3.27) или (3.28) неоднородного уравнения (3.26) (ср. (3.15)).

Все эти утверждения в дальнейшем будут строго доказаны (см. теоремы 3.12, 3.13, 3.14, 3.15).

Общие свойства линейного уравнения п-го порядка

Обратимся к уравнению (3.1). Если в рассматриваемой области изменения независимого переменного а0(х)^ 0, то, поделив на а0(х) и обозначая полученные коэффициенты и правую часть вновь через &(н), …，％(%), /(n), будем иметь

yg + a】(N)y(i)+ …+ ап(н)у = /(n).(3.29)

Определение. У равнение (3.29) называется однородным, если / (z) п 0, 6 противном случае — неоднородным.

Пусть 〃|(н) (Z = l,...,几)непрерывны на некотором интервале X (X может быть как конечным интервалом, так и бесконечным, например, (—°°, °°)). Общая теорема существования и единственности (см. теоремы 2.8 и 2.9 § 4 гл. 2) гарантирует, что на некотором сегменте Iх — z01 =^ Я, принадлежащем X, существует единственное решение у(н) уравнения (3.29), удовлетворяющее начальному условию

у (%)=此 у' (&) = ?；••,*-”(％)=圆. (3.30)

Для уравнения (3.29) можно доказать более сильное утверждение.

Теорема 3,1. Если &(н) (i = 1, ..., п), /(х) непрерывны на X, то решение начальной задачи (3.29), (3.30) существует и единст- венно всюду на X.

Так как начальная задача для уравнения n-го порядка является частным случаем начальной задачи для системы % уравнений первого порядка (см. § 4 гл. 2), то теорему 3.1 можно получить как частный случай аналогичного утверждения для системы линейных уравнений, которая имеет вид

п

4恥(N)УА + 厶(N), i = 1 (3.31)

а соответствующие начальные условия —

力(％)=務 ，==1,・・・，冷.(3.32)

Теорема 3.2,Если 用小(工),力(n) (i, й — 1, ..., и) непрерывны на X, то решение задачи (3.31), (3.32) существует и единственно на X.

Достаточно доказать, что решение существует и единственно на любом отрезке [х01 工@ + △] и Х・ Теорема существования и единственности гарантирует решение на некотором отрезке Е，/ + Я], как уже указывалось выше. Точку (/+ 方，"(％ + 〃))можно принять за новую начальную точку (см. замечание 2 к теоремам § 2 гл. 2) и получить ред1ение_на большем отрезке [/, х0 + Н^ /Л > Я, и т. д. Пусть [/, с。+ Н), где Н С Д,— максимальный полуинтервал, на котором существует единственное решение задачи (3.31), (3.32). Возьмем произвольную последовательность Нп -> Н. Убедимся, что существует lim у»(& + HQ. Пусть

N == max sup I aik (д:) |, у = max sup |/(т) |.i,h [х0, хо + Д]i [х0,г0+Д]

Тогда на любом отрезке [н。, xQ + %] справедливо неравенство

I誓I《N £也3 I + Y・

Введя p (z) = |/ 2 讨⑷ и повторяя в точности рассуждения, проведенные при доказательстве леммы 2.3 § 4 гл. 2, получим

p⑺кp(砧产豆+志d叮-1) = 5,и, следовательно, для любого Е,仇 + Wn] справедливо неравенство

回⑷Yp&)产豆+読，"咁_1), а тогда справедливо также неравенство

偿 I & nNB + Y = С.

Пользуясь этим и учитывая, что Яя -* Я, получим 1^<(х0 + Нп+т)— —У《(/ + Нп) =^ С\Нп+т — Яп| V е при п > ^(e) и любом т. Отсюда по критерию Коши делаем вывод о сходимости последовательности ^i(x0 + Я„) к некоторому пределу 灰. Будем считать этот предел значением % в точке х0 + Н, т. е. положим у<(х0 + Н)= у^ Таким образом, интегральная кривая оказывается непрерывно продолженной вплоть до точки х0 + Н. В силу самой системы уравнении

тем же свойством обладают производные 疗. Тогда в случае Я == А теорема доказана. Рассмотрим случай 耳 V А. Нетрудно убедиться, что этот случай не реализуется. Действительно, приняв к。+ 反,У«(之о + 反)за новую начальную точку, можно продолжить решение на участок [/, % + Н + 6], б > 0г что противоречит определению %

Итак, Д & Д, т. е. решение существует и единственно на отрезке [hq, Но + А], что и требовалось.

Дальнейшее рассмотрение системы (3.31) отложим до § 6 и вернемся снова к (3.29). Для уравнения (3.29) справедлива следующая теорема, называемая принципом суперпозиции.

Теорема 3・3・ Пусть в уравнении (3.29) правая часть /(х)兄в^л- h

ется линейной комбинацией функций 厶(н), т. е・ /(%) =』а% (н), 7=1

где а* — постоянные числа, и пусть у«(н) являются решениями уравнений,

疗)+ 旬估)yfT + ... +an(x)yl^fi (н).(3.33)

Тогда линейная комбинация 屮⑺ с теми же коэффициентами а<, т. е. функция У (н) = Z «ij/i (^) является решением уравнения (3.29).

Значение этого принципа в том, что правую часть уравнения (3 29) можно представить как линейную комбинацию более простых элементов и свести решение уравнения к решению нескольких более простых уравнений (3.33). С точки зрения физики это означает, что результат сложного внешнего воздействия на некоторый объект, выражаемого функцией /(х)т можно представить как суперпозицию результатов отдельных элементарных воздействий.

Доказательство теоремы 3.3 основано на тождестве, справедливом для к произвольных п раз дифференцируемых функций 〃1, ..., uh и следующем непосредственно из свойств дифференцирования

/ 儿\(п)/ Л\(п-1)А

(W ам (х)+ flj (х) I 5 ам (н)+ ・・•十。门(н) £ a^t (х)=

\i=l/\i=I/i=l

=2 «1 [^in) Q) +。1 (力 и，т)(3：) + . e . + An(N)% Q)]・ (3.34)

Полагая щ = У1(х), где yi(x)— решения уравнений (3.33), получим

Для у (н) = W а.У{ (х) i=l

*)(z) + а^^ (z) + ... + ап (х) у(н) = £ а，》(х) = /(х), что и требовалось.

Замечание. Левую часть уравпепия (3.29) можно рассматривать как оператор £у, определенный на множестве п раз дифференцируемых функций у. Тогда (3.34) означает, что этот оператор ——линейный.

Отметим важные частные случаи теоремы 3.3, формулируя их как отдельные утверждения.

Теорема 34 Линейная комбинация решений однородного уравнения есть решение однородного уравнения.

(Это частный случай принципа суперпозиции, когда /* = / = 0.)

Замечание. На языке линейной алгебры это можно выразить следующим образом: множество решений однородного уравнения является линейным пространством.

Пусть теперь к =2,力=九 S = l, % = —1 и, следовательно, / = 0. Таким образом, имеет место

Теорема 3・5・ Разность двух решений неоднородного линейного уравнения удовлетворяет однородному уравнению.

В теореме 3.3 g могут быть и комплексными.

Теорема 3.6. Пусть ?1(н)、 Уа(工) удовлетворяют уравнениям (3.33) (I = 1, 2). Тогда z(x)^ у^(х)+iyz(x) удовлетворяет уравнению

z”) + а,(工)z(nf + ... + а。(н) z =力 + 办.(3.35)

Обратно-, пусть z(n) = yi(z)+i^2(工) удовлетворяет уравнению (3.35). Тогда 打(工)，山(工)удовлетворяют уравнениям (3.33).

Прямая теорема является частным случаем теоремы 3.3 (а4 = 1, аг — I). Для получения обратного утверждения надо к левой части (3.35) применить тождество (3.34), полагая 口1 = ^匕 u2 = у^ at = lt cz2 = i, после чего приравнять действительную часть полученного выражения величине /ь а мнимую часть — величине /2 согласно правилу сравнения комплексных чисел.

Все перечисленные свойства характерны именно для линейных уравнений и существенно облегчают их исследование и решение.

Однородное линейное уравнение п-го порядка

Обратимся к изучению уравнения

产 + % ⑺ уб7 + …+ % (工)у = 0,(3.36)

коэффициенты которого а((х) (/ — 1,…，п) непрерывны на интервале X. Как было показано в предыдущем параграфе, решение на-

чальной задачи существует и единственно на X, чем будем существенно пользоваться ниже.

Определение. Будем говорить^ что функции и< (х), ..., ир(х) линейно зависимы на интервале X, если существуют постоянные С[, ..., СР| не все равные нулю, такие^ что имеет место тождество

р

£Cm(n) = 0,(3.37)

В противном случае (т. е. если (3.37) выполняется только при Ci = ... = СР ^ 0) будем говорить, что Ut(x), ..., up(x) линейно независимы.

Пусть 打(胃)，…，уп(х)— решения уравнения (3.36).

Определение, Назовем детерминант

%(z)…Pn(z)

A(z) =

?；(上)

…以：(z)

(3.38)

У,-1)о

f)…个7)(工)

определителем Вронского^),

Теорема 3.7. Если решения 〃(％), ..., уя(х) уравнения (3.36) линейно зависимы на X, то Д (х)^0 на X.

В самом деле, согласно (3.37) имеем XGyi(z) = 0. Продиф- ференцировав это тождество п — 1 раз, получим

£ с班 @) = 0£&疗7 (х) = 0.(3.39)

1=11=1

При любом х^ X эти соотношения можно рассматривать как систему линейных однородных алгебраических уравнений отпосительно &, ..., С\, имеющую нетривиальное решение по условию линейной зависимости функций у{. Следовательно, определитель системы △ (н) = 0 при любом z 巨 X, т. е. А (х)三 0 на X.

Замечание. Из доказательства теоремы видно, что она справедлива не только для решений уравнения (3.36), но для любых п — 1 раз дифференцируемых функций.

Теорема 3.8. Если А(н) = 0 хотя бы для одного % 巨 X, то реше- н〃兄 yi (х), ..., уп(н) уравнения (3.36) линейно зависимы на X.

Доказательство. Действительно, возьмем точку х == х0, в которой △ (n°)=0, и составим систему линейных алгебраических

уравнений относительно С】,.<.,Ся с определителем Д (х0):

S С^(^) = 0, S С^п-1)(%) = 0.(3.40)

i—1i=l

Так как Д (х0) = 0, то эта система имеет нетривиальное решение &, «... Сп. Рассмотрим линейную комбинацию У (^) = ^ &勿(初・ Согласно теореме 3.4 у(х) является решением уравнения (3.36), а (3.40) означает, что это решение удовлетворяет в точке х0 нулевым начальным условиям у(£о) = О, ..., y{n~i} (х9) = 0. Так как тривиальное решение уравнения (3.36) у(х)^0 удовлетворяет, очевидно, тем же начальным условиям, то, в силу теоремы единственности, ^(忆)曰亨(工)三 0, т. е. S C?iA(H)三 °， где по построению не i=l

все & равны нулю, а это и означает линейную зависимость 打(2), 。••, уn(Х).

Из доказанных теорем непосредственно вытекает следующая альтернатива.

Теорема 3.9. Определитель Вронского Д (х) либо тождественно равен нулю, и это означает, что решения у*(н), ..., уп (^) линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке X, и это означает, что y/z), ..., уп (^г) линейно независимы.

либолибоСитуацию можно выразить следующей схемой:

либо

либо

А (н)三 0 W у】 (н),…г Уп (忆) линейно зависимы

A(z)

■3^—Д (х) =А0 W 力(£),.••, Уп@) линейно независимы

при любом 2 巨 X.

Определение, Фундаментальной системой решений уравнения (3.36) будем называть любые п линейно независимых решений уравнения (3.36).

Теорема 3・70・ Линейное однородное уравнение имеет фундаментальную систему решений.

Доказательство. Действительно, возьмем произвольный от- личный от нуля определитель А° с элементами а”. Определим решения yt(工)i ..., Уп{х) уравнения (3.1) следующими начальными условиями:

У. (%) = «и,У,т)(%) = а计(3.41)

Составим определитель Вронского Д (х). В силу (3.41) Д (х0) = Д° =/= *0. А тогда, в силу теоремы 3.9, yja：), ・.・, ^п(х) линейно неза- висимы.

Замечание. Так как существует бесконечно много определителей, отличных от нуля, для каждого уравнения существует бесконечно много фундаментальных систем решений. Кроме того, линейное невырожденное преобразование у^ = 2 с^У/ переводит одну фундаментальную систему решений в другую.

Докажем теперь основную теорему данного параграфа.

Теорема 3.11. Если 夕1(工),.・•, уп (х)—фундаментальная система решений^ то любое решение y(z) ура&ке咒〃兄(3.36) представимо в виде

у ⑺=玄 См (т), (3.42)

где С\, .,., Сп ——некоторые постоянные.

Доказательство. Пусть у(R)= у：,…、уп~^ (z0) = у；. Определим постоянные &、..., Сп линейной системой уравнений с детерминантом, равным Д(Хо)¥=О:

S См (%)=贾，…，& сМ”7> (%)=處 (3.43) i=l i=l

〜 n

и построим У (工)=N С\/Л(7)・ Согласно теореме 3.4 у(х) является решением уравнения (3.36), а (3.43) означает, что это решение удовлетворяет тем же начальным условиям, что и у(н). Тогда, в силу единственности (ср. доказательство теоремы 3.8), у(х) = 三 У (%) н Y (胃), что и требовалось.

Замечания. 1. Формула (3.42), где С〕, ..., Сп — произвольные постоянные t является общим решением уравнения (3.36) в том же смысле, как в § 1, т. о. (3.42) является формулой, содержащей все решения уравнения (3.36) и не содержащей ничего, кроме решений. В самом деле, по теореме 34 при любых Си ..., Сп (3.42) является решением уравнения (3.36), а согласно только что доказанной теореме в (3.42) содержится любое решение уравнения (3.36).

На языке линейной алгебры теоремы 3.10 и 3.11 означают, что в пространстве решений линейного однородного уравнения (3.36) имеется базис нз л элементов, т. е. это пространство п-мерно.

Неоднородное линейное уравнение п-го порядка

Рассмотрим теперь уравнение

yw + a^x'jy^-1'1 + ... + ап(х)у = f(x),(3.44)

где &(%) (Z = 1, ...( п) непрерывны на интервале X.

Теорема 3.12. Если ”(工),...,Уп(н) — фундаментальная система решений однородного уравнения (3.36), а у(х) — частное решение неоднородного уравнения (3.44), то любое решение у(£)

неоднородного уравнения (3.44) представимо в виде

у (х) = у (х) + ^ с{yt (z),(3.45)

где Сь ..., Сп — некоторые постоянные.

Замечания. 1. Теорема справедлива при любом выборе частного решения у(х).

Теорему 3.12 можно сформулировать и так: общее решение неоднородного уравнения есть сумма частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Доказательство. Рассмотрим разность у(н) —»(n). Согласно теореме 3.5 эта разность удовлетворяет однородному уравнению (3.36), и, значит, по теореме 3.11

у (Н)-7(H) = 2 a勿(z).

Отсюда и последует (3.45).

Таким образом, для построения общего решения неоднородного уравнения нужно помимо фундаментальной системы решений однородного уравнения знать хотя бы одно частное решение неоднородного уравнения. Покажем сейчас, что, зная фундаментальную систему решений, можно найти квадратурой некоторое частное решение у (х) неоднородного уравнения.

Зададимся целью построить частное решение у(х), удовлетворяющее начальным условиям

У (仇)=0,*т)(4)= 0.(3.46)

С этой целью воспользуемся следующим эвристическим рассуждением. Представим f(x) приближенно как сумму функций (элементарных воздействий), равных /(|) в промежутке (三一厶三，三)и нулю в остальных точках. Решение у, отвечающее каждому такому элементарному воздействию, имеющее при х = х0 равные нулю производные до (л — 1)-го порядка включительно, является тождественным нулем вплоть до ^ — Д^, но

У5T)(e) 4y⑺(三一А自)А三=

= [yg化-纯)ae + a»…依一aDА自 + ... + аПу化一△三)据]=

Н7化一纯)纯, т. е.力"一”(£) равно уже не нулю, а /(^) Д^ 小 таким образом, далее решение также будет не нулем. В силу принципа суперпозиции достаточно построить решение однородного уравнения (ведь вне (^ — А|, Е) правая часть равна нулю), принимающее в точке Е нулевое значение вместе с производными до (п — 2)-го порядка включительно и с производной (п — 1)-го порядка, равной единице (обозначим это решение X(j, Е), указывая зависимость от начальной точки, и назовем его импульсной функцией), а затем умножить

его на 〃Е)А£. Итак, 2(/ Е) строится как решение однородного уравнения, удовлетворяющее условиям

^(5Д) = 0, .... ^п-2)怎 Е) = 0, Л^пт(Е, 9 = 1, (3.47) а решение, отвечающее элементарному воздействию, имеет вид ^(工,Е)/(Е)АЕ・ Суммируя теперь элементарные воздействия на основании того же принципа суперпозиции и переходя от суммы к интегралу, получим решение у (х), удовлетворяющее условию (3.46):

7(Z)= jjHz, Е)〃Е)源. (3.48)

Формула (3.48) получена на основании эвристических соображений, но нетрудно непосредственной проверкой убедиться, что (3.48) есть частное решение уравнения (3.44). В этой проверке и будет состоять доказательство следующей теоремы:

Теорема 3.13. Выражение (3.48), где функция ^(工,己),называемая импульсной функцией^ удовлетворяет однородному уравнению (3.36) и начальным условиям (3.47), является частным решением неоднородного уравнения (3.44), удовлетворяющим нулевым начальным условиям (3.46).

Доказательство, Найдем из (3.48) 歹,…” 员？ Предварительно заметим, что так как 三 является параметром, принадлежащим тому же множеству, что и х, то (3.47) равносильно записи

Jif(z, Z)= 0, ..., *，-» (z, Z)= О, М"-1) (Z, Z) = 1.

Дифференцируя (3.48), имеем

Р(Z)= JX (z J) 〃& 嘴 + * (z, z) / (z) = J X(^, E) / ⑸雄,

严 7)(z) = J*f(Z, У/⑶嘴，

严)(Z) = J *F)(% E) / (E)女 + *，7)(Z, Z) / (z)= xo

=j "吁(z, S/⑹痴+ /(z).

xo

Возможность дифференцирования под знаком интеграла следует из теоремы о непрерывной зависимости решения системы дифференциальных уравнений от z и начального значения переменной с,

т. е. в данном случае от Е (см. § 5 гл. 2). Подставляя 歹，歹，.•・，歹⑺ в (3.44), получим

严 + а2 (z) JD + …+ а/ =

=/[把整)(Z,自)+小(初紀"7(z,?+…

…+ % ⑺ *(Z, 0 ] / (У 雄 + / ⑺=/(Z), так как [•] под интегралом обращается в нуль в силу определения X(X. Е). Таким образом, 〃(н) действительно является решением уравнения (3.44) и, кроме того, очевидно, удовлетворяет (3.46). Замечание. В частности, для уравнения первого порядка формула (3.48) совпадает с формулой (2.29) при t/о = 0. В (2.29) импульсной функцией

-f(Е)若

является множитель е, который, согласно (2.26), удовлетворяет од

нородному уравнению и обращается в единицу при 工=g.

Пример 3.1. Приведем пример построения импульсной функции. Рассмотрим уравнение, представляющее собой неоднородное уравнение типа уравнения Эйлера

91

н у" + 彳 у = / (工)， Л： > 0.

Фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения L In X工

имеет вид % = "工 cos —^-, у? = "工 sin —(Можно непосредственной проверкой убедиться, что yi и у? удовлетворяют уравнению; нетрудно подсчитать также определитель Вронского А(н) и убедиться, что оп равеы 1/2.)

Функцию 力(工，Е) будем искать в виде 須(н, Е) нСм + Зу?. Условия J5J*(5, Е) = 0,須工(Е, Е) — 1 приводят к системе уравнений относительно С\ и С?:

С】"Еcos ~^"十 G "Е sin、^ = 0,

分分I / InE . ln^\ 1 7 . Ing lnE\ , ^д ^cos-^-sin—j+C2jy|^sin—+ cos—j = 1.

分

分

Определив Ct и С?, приходим после несложных преобразований к следующему выражению для 比(工，5):

* (工,* (工,Е) = 2Е) = 2"*sin(ln 了^-уj."*sin(ln 了^-уj.

* (工,

* (工,

Е) = 2

Е) = 2

"*sin(ln 了^-уj.

"*sin(ln 了^-уj.

Линейное уравнение n-го порядкас постоянными коэффициентами

Знание фундаментальной системы решений обеспечивает возможность найти любое решение однородного уравнения, а с применением квадратуры ——также и решение неоднородного уравнения. Существование фундаментальной системы решений было доказано

(см. теорему 3.10), однако вопрос о ее эффективном построении остался открытым.

Пусть в (3.36) ai = const:

у ⑺ +。^(”〜1)+ • •・ + апу = 0.(3.49)

Этот класс уравнений замечателен тем, что для него нахождение фундаментальной системы решений сводится к алгебраическим операциям, а именно к решению алгебраического уравнения п-й степени.

Сопоставим уравнению (3.49) многочлен относительно X, называемый характеристическим многочленом уравнения (3.49):

"(入)=入" + a[入“т + ...+0П.

Лемма ЗЛ^Справедливо тождество

^(工)]+。九":jiT [/”/(%)]+ • • * + and"/ (%)==

=户(M 口)/(х) + "(入)Их) + f'⑴ + ... + "⑺吁!产且｝.

(3.50)

Доказательство. Это тождество доказывается непосредственным вычислением с использованием формулы Лейбница для дифференцирования произведения. Имеем

■^(产•/) = e"(U + П =户(相 + ХУ),

与(e"。/) = eм(炉/ + 2才+ /") = eк(炉/ + 综工+ 吗上)，

轰■(е"./)=

屮/+а» + …+”•竺 +... +”*.

Складывая полученные равенства, умножив их предварительно на соответствующее а“ приходим к (3.50).

Замечания. 1. Если 〃工)=工％ то (3.50) принимает вид

■^ Qd) + 气；_] (е曰Р) + ... + a1t^x^ =

(Л)严 + Рм'仇)尸т + …+ P・・s「+ " М® (Л) zPf + ...

...+”8)(入)].(3.51)

В частности, при р — 0 имеем

е" + J e" + ... + a/E = e"“ (X).(3.52)

Тождества (3.50) — (3.52) можно записать компактнее, если обозначить через D оператор дифференцирования: -^ = Dy. Если воспользоваться правилами сложения и умножения операторов ), то левую часть уравнения (3.49) можно записать в виде

(D。+ а(Рп-1 + ・..+ ап)у == М(D) у.

Оператор M(D) называется операторным многочленом. Оп имеет ту же структуру, что и характеристический многочлен М(А).

Введя M(D), можно тождества (3.50) —(3.52) записать в виде

м (О) е" / (工)=戸{”(九)/ (х) + М ⑴，(工)+ ... + 史"W ⑺}, (3.53) M (D) ekxxp =户{"(簿产 +…+ P …"「+" MM(九)xp-k +…

+М(Р)а)}, (3.54)

"(D) е^ = е^М (入).(3.55)

Отметим также следующее свойство операторных многочленов, которое понадобится в дальнейшем. Рассмотрим наряду с 府(D) некоторый другой операторный многочлен N(D). Пользуясь правилом сложения и умножения операторов, нетрудно убедиться, что операторные многочлены перемножаются по правилу обычных многочленов:

M(D)N{D) = N(D)M{D) = Dn+s + ⑷ + 九)。"…】+ • • • +。口6»

Приравнивая Л/(入)нулю, получим алгебраическое уравнение л-й степени относительно 入——так называемое характеристическое уравнение

炉 + "仇"-1 + …+ % = 0.(3.56)

Предположим, что это уравнение имеет корни llt ...,儿 кратностей т4, ..., mi (力1 + ... + mz — n).

Теорема 3.74.7. Корню ХА характеристического уравнения (3.56) кратности mh отвечают mk частных решений вида

м工 %x 丁h7『产

2* Решении (3.57), где к = \,...,厶 образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.49).

Доказательство. 1. Воспользуемся (3.51) или (3.54). Если 入儿 является корнем характеристического уравнения кратности игм то 八，(九文)=4/'(断)=…=m‘ (XА) 0 *).

Поэтому правая часть (3.51) обращается в пуль для р — 0, 1,... mh — 1, а это означает, что н%"" (р = 0,1» ...,— 1) удовлет

воряет уравнению (3.49), что и требуется.

Предположим противное, т. е. что решения (3.57)(〃 = =1, ..., I) линейно зависимы. Это означает, что справедливо толе- дество

/?! (z) с"* +...+/?( (т) е“* = 0,(3.58)

где через 凡(工)обозначены многочлены степени т) — 1, не все равные нулю. Допустим, что отличным от нуля является 2?^ (этого можно добиться соответствующей нумерацией X), а в 2?^ старший отличный от нуля член имеет степень pt (pt ^ zn< — 1), т. е.

氏1 (工)=&Q + Спх + ... + С”】丿I

причем С1Р1 =# 0.

Умножим (3.58) па °■ Получим

吊(z) *「")'+...+ Е— (z) e("-L"产 + R (z) = 0.(3.59)

Продифференцируем это тождество на единицу большее число раз, нежели степень pi^mt — 1 многочлена R【(z). Предварительно заметим, что для выражения /(z)ea\ где а = const, Л (х)——многочлен, при произвольном к имеет место тождество

小⑺产= B(Z产

где В (z)—многочлен той же степени, что и A (z), причем его старший коэффициент равен старшему коэффициенту Л (z), помноженному на ah. Это тождество легко получить либо из (3.53), полагая М(D)n D* X = a, /(z) = Л (z), либо просто из формулы Лейбница. Итак, дифференцируя (3.59), получим

Qi ⑺ е℃к +...+ Qi ⑺ е( "-Т 尸=0, ИЛИ

Qi (н) е 1 + ... + Q【一1 (с) е 'т == 0,(3.60)

где Qi(h), ..., Qi-i (х) — многочлены той же степени, что 凡,…,К—, причем коэффициент старшего, члена Qt (х) есть С】р[(入】—Xr)₽f+1.

*) И л ь и п В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. I. — 4-е изд.— М.: Наука, 1982, гл. 7, § 3.

Проделывая с (3.60) ту же операцию, что и с (3.58), и продолжая этот процесс, приходиы к тождеству вида

邑(工)е"* = 0 или 邑(工)=0, (3.61)

причем коэффициент старшего члена 5t(х) есть CiP1(Xi ——X/)P/+1 ••• ...(Xi ——12)₽2+1 и в силу (3.61) он должен равняться нулю, а это противоречит тому, что 6\叱=/= 0,入】—儿 #= 0,・・•，九】 ——Z2=#0- Противоречие приводит к выводу, что решения (3.57) линейно независимы, т. е. образуют фундаментальную систему решений, и утверждение 2, таким образом, доказано.

В силу теоремы 3.14 общее решение уравнения (3.49) является линейной комбинацией решений (3.57) (к= 1, ..., Z). Однако в случае комплексных Xh такое представление не всегда удобно. Можно, однако, вместо фундаментальной системы решений (3.57) пользоваться другой фундаментальной системой решений, состоящей из действительных функций.

Пусть 入l Рк + iq、. Тогда двум комплексным решениям вида 成《"二 土7”* (через 厶：обозначен корень характеристического уравнения, комплекспо сопряженный Zfc; такой корень существует в силу действительности коэффициентов характеристического уравнения) соответствуют, в силу теоремы 3.6, два действительных решения:

Re (工7”“) = xrePkX cos qm Im (工7“*) = 土7吁 sin 必;г.

Таким образом, вместо комплексных решений можно построить столько жо действительных решений; они образуют другую фундаментальную систему решений, будучи линейно независимыми в силу того, что матрица перехода от пары комплексно сопряженных решений к их действительной и мнимой частям имеет вид ([ — J и имеет отличный от нуля определитель, равный —2i,

Беря линейную комбинацию полученных действительных решений, приходим к представлению (3.25), которое теперь, таким образом, доказано.

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение

у⑺ + АуЕ-п + .・・ + ОпУ = /(忆)・ (3.62)

Зная фундаментальную систему решений (3.57), можно построить его частное решение по теореме 3.13. Практически это, однако, требует довольно громоздких выкладок, в связи с чем представляет интерес класс /(%), для которого можно построить частное решение, не обращаясь к формуле (3.48), а пользуясь чисто алгебраическими операциями.

Теорема 3.15» Пусть f(x) == S (х) е^, где X — const, S(n) — многочлен степени s. Пусть X не совпадает ни с одним корнем 九* характеристического уравнения (3.56) (так называемый нерезонансный случай). Тогда существует частное решение уравнения (3.62), имеющее вид

у(х)^Р{х)е^, (3.63)

2de P(n)——многочлен той 冗е степени^ что и S(x). Если К совпадает с корнем характеристического уравнения Xft кратности тк {так называемый резонансный случай) 3 то существует частное решение уравнения (3.62), имеющее вид

y(x)^T(x)^eXs, (3.64)

где Т(х) — многочлен той же степени^ что u S(n).

На основании этой теоремы частное решение ищется в указанном виде, где многочлен P(n) или T(n) записывается с неизвестными коэффициентами. Подставляя в уравнение (3.62), сокращая на е" и приравнивая члены с одинаковыми степенями х, получим систему неоднородных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов многочлена P(n) или Т (х) . Эта система будет разрешимой, поскольку существование решения такого вида обеспечено теоремой 3.15.

Доказательство теоремы 3.15 приведем для резонансного случая (3.64), так как (3.63) получается из (3.64) при тпл = 0. Подставим (3.64) в (3.62):

М (D) Т ⑺ £3反=户S (х) (3.65) и убедимся, что отсюда можно определить последовательно коэффициенты многочлена Т(х), начиная с коэффициента при старшей степени х\ Выделим в многочленах Т (х) и S {х) старшие члены:

S (n)=。尸十 S (n), T(n) = bQxs + 7\ (n).

Имеем тогда

M (D) b0 £+m廿н + M(D) £*T\ (z)户=e"gd + e*5 (z).

Распишем первое слагаемое слева, пользуясь формулой (3.54) и учитывая, что М (兀)="'，)=...=启飞 ° (X) = 0, а М^^ (X)声 #= 0* Получим

狂 J,M（f）a）（s + %）…（s + i） s ,

+ M (D) J% ⑺ e^ =

=^айт + ekxS1 (x). (3.66)

Заметим, что в {.} первое слагаемое имеет степень s, а прочие — более низкую. Приравнивая старшие члены и сокращая на e^x\ будем иметь

Отсюда определится Ьй через а0 в силу ТИ17Па)(Х)^0. После этого (3.66) можыо записать в виде

М (D) xmhTx (х) /н = е"瓦(2),(3.67)

где 瓦(н)— многочлен степени не выше s — 1, полученный в результате перенесения вправо всех членов выражения Ьос'“{.} (кроме первого), которые теперь известны.

Соотношение (3.67) представляет собой уравнение, аналогичное (3.65), но степени многочленов Л(дг) и 瓦(с) на единицу ниже 7(工)и 5(х). Из (3.67) аналогично предыдущему определится старший коэффициент многочлена Т^(х)== a^xs~^ + Tt(x), т. е. определятся уже два старших члена многочлена Т(х). Продолжая процесс, определим последовательно все члены Т(х).

Метод отыскания частного решения, основанный на доказанной теореме, будем называть методом неопределенных коэффициентов.

Итак, для уравнения с постоянными коэффициентами фунда- меытальная система решений, а в случае правой части вида e"S (工) также и частное решение неоднородного уравнения могут быть построены в эффективной форме путем алгебраических операций. В заключение укажем один специальный класс уравнений с переменными коэффициентами, для которого фундаментальную систему решений также можно построить эффективно. Это так называемое уравнение Эйлера

хпаоу{п} + хп~^а^у{п~'} + ... + апу =0,& = const. (3.68)

Непосредственной выкладкой нетрудно убедиться, что заменой независимого переменного х — es уравнение (3.68) сводится к уравнению с постоянными коэффициентами, что и решает вопрос об эффективном построении фундаментальной системы решений.

Для отыскания частного решения неоднородного уравнения Эйлера в случае, если правая часть имеет вид xKS(Inx), применим метод неопределенных коэффициентов.

Системы линейных уравнений. Общая теория

Обратимся к изучению системы линейных дифференциальных уравнений

U = i]恤(2)故 + 力(N),^= 1,(3.69)

Система (3.69) называется однородной, если 力(工)=0 (i — 1, .. .t n), в противном случае ——неоднородной. Будем предполагать “瓶(工) и /<(х) непрерывными на интервале X. Как было доказано выше (см. § 2), при этих условиях па X существует единственное решение системы (3.69), удовлетворяющее начальному условию

1Л (%)=必 土 = 1,…，儿(3.70)

Для системы уравнений справедливы теоремы, аналогичные тем, которые были доказаны для одного уравнения n-го порядка.

Матричная запись. В целях максимального упрощения формы изложения нам будет удобно пользоваться матричной записью. Напомним основные факты матричного исчисления, которые понадобятся для этого.

1°. Матрицей размерности n X тп (или (n X ?п)-матрицей) называется таблица чисел aiA вида

Числа а；% называются элементами матрицы.

В настоящем параграфе мы будем использовать квадратные матрицы (иначе (n X п)-матрицы) я так называемые столбцы (или (m X 1)-матрицы)

•Будем обозначать матрицы а, &, с и т. д., а их элементы соответственно а,ъ А” с1; и т. д..

2". Матрицы а и & считаются равными, если а” = Ь”. Матрица а считается равной пулю, если а” = 0.

3°. Над (п X тп)-матрицами определены операции сложения и умножения на число.

Суммой матриц а и & называется матрица с (обозначается с = = а + Ъ) такая, что с0 = а^ + &^.

Произведением матрицы а на число а называется матрица с (обозначается с = оса) такая, что с0 = ал,).

4°. Если а является (/г X т) -матрицей, а b является (тХ р)- матрицей, то произведением матриц а и & называется матрица с размерности пХр (обозначается с = ab) такая, что

Gj = £ @i也加

Умножение матриц обладает сочетательным и распределительным свойствами.

Для квадратных матриц одинаковой размерности определено и произведение ab и произведение Ьа, но коммутативным свойством умножение матриц, вообще говоря не обладает, т. е. ab =# Ьа.

5°. Матрицейт обратной к (n X и)-матрице а, называется матрица с (обозначается с = а-1) такая, что с^ = д Д'；» где Д = Det а, а /口 ——алгебраические дополнения к элементам а”. Имеют место следующие равенства: aL = La = E, где

/1 0

V) 1

так называемая единичная матрица, у которой отличны от нуля и равны единице только элементы, находящиеся на главной диагонали.

Будем рассматривать также матрицы, у которых элементы являются функциями х. Для таких матриц, помимо вышеуказанных операций, определены также операции анализа ——дифференцирование и интегрирование.

6°. Производной a'(z) от матрицы а (с) с элементами 口叮(工)называется матрица с элементами «廿(工)・ Правила дифференцирования суммы и произведения сохраняются и для матриц, только при дифференцировании произведения матриц необходимо сохранять порядок сомножителей:

(&6)，= 〃‘6 + ai\

7°. j a (n) dx определяется как матрица с элементами Но

f &U (忆)dx.

Общие свойства системы линейных уравнений. Обратимся к системе (3.69). Обозначим через у, / н у° столбцы

а через 4(?) обозначим (n X п)-матрицу с элементами а^(н):

/ац (Х) ■ • • а1п (工)\

5(工)丿

Тогда систему (3.69) можно записать в виде одного уравнения

y =4(土)У + /(土)(3.71)

точно так же, как и начальные условия

У(/) = У°・(3.72)

Пользуясь правилом умножения 4°, правилом сложения 3° и правилом равенства матриц 2°, нетрудно убедиться в том, что (3.71) и (3.72) то же самое, что и (3.69) и (3.70).

В силу свойств умножения и дифференцирования матриц для дифференцируемых столбцов имеет место тождество (ср. (3.34)), в котором о:» — постоянные числа,

(S — 4 ( £J(小—厶“⑴)，(3.73)

\1=1/\1=1/1=1

выражающее свойство линейности оператора уг — Ay ^ L[y] на множестве дифференцируемых столбцов.

Здесь п в дальнейшем для нумерации столбцов будем употреблять индекс, заключенный в круглые скобки, оставляя индекс без скобок для обозначения элементов (компонент).

Непосредственным следствием этого тождества является принцип суперпозиции.

Теорема 3・76・ Пусть 8 уравнении (3.71) /(/) является линейной комбинацией /⑴(％),兀 е.

л

/(■^)=5 aR)(z),

i=l

2@e a* ——постоянные числа, и пусть у(“ (n) является решением уразнениа

p ⑴=4(N)P(i)+ /⑴.

Тогда линейная комбинация «(<)(/) с теми же коэффициентами д,

т. е. столбец у (е) = £ а，У&)(%), является решением уравнения i=l

(3.71).

Имеют также место теоремы, аналогичные теоремам 3.4—3.6.

Однородное уравнение. Рассмотрим более детально однородное уравнение

у' =4(/)у・(3.74)

Пусть имеется п столбцов

Составим из этих столбцов матрицу W(х):

”)=・(3.75)

Сопоставим уравнению (3.74), правая и левая части которого — столбцы, аналогичное уравнение

(3.76)(3.76)Wf = A {x)W,

(3.76)

(3.76)

правая и левая части которого — матрицы размерности (п Хп) и в котором неизвестной является матрица W{x),

Теорема 3.17• Пусть ^(1), ..., у{п} есть п решений уравнения (3.74), Тогда (п X п)-матрица W(z), образованная из них по формуле (3.75),兄6{兄ется решением матричного уравнения (3.76).

Обратно', если W(z) является решением уравнения (3.76), то каждый столбец матрицы W(z) является решением урабне咒〃兄 (3.74).

Доказательство. Достаточно расписать (3.76) и (3.74) поэлементно. Действительно, (3.76) означает

п

叫=W(3.77)

или

%爲Н2(切，(3.78)

a (3.74) означает

К = W(3.79)

Поэтому если y(j)являются решениями (3.74), то каждое у(力 удовлетворяет (3.79), т. е. справедливо (3.78) или, что то же, (3,77), а значит, и (3.76), и наоборот, если справедливо (3.76), то и (3.78), а это в сопоставлении с (3.79) означает, что у{力(J = 1,..., п) является решением уравнения (3.74).

Отметим еще следующие факты, проверяемые столь же просто.

Теорема 3.18. Если W(z)——решение уравнения (3.76), то выражение WB является решением уравнения (3.74), если В ——произвольный постоянный столбе% и решением уравнения (3.76), если В — произвольная постоянная (п X п)-матрица.

Определение. Будем говорить^ что столбцы и(1Ь .. „ и(р) линей- к о зависимы w а интервале X, если существуют постоянные Сц ..., Ср, we все равные нулю, такие^ что имеет место тождество

р

2 &и(п 3)曰。丁 忆 w X.(3.80)

Если ме (3.80) выполняется только при С, ==.., = Ср »= 0, то будем говорить, что 〃⑴,...,и(р) линейно независимы.

Рассмотрим п дифференцируемых столбцов у(”, ..., у{п}. Запишем для них равенство (3.80):

£ &у⑴(n)三 0・(3.81)

i=l

Введем в рассмотрение постоянный столбец

ПользуясьПользуясьэтим столбцом и матрицей 屮(工),составленной из у(%)по правилу (3.75), можно (3.81) записать в виде

Пользуясь

Пользуясь

(3.82)(3.82)WC = Q.

(3.82)

(3.82)

Так как, согласно правилу матричного исчисления, 2° считается С = 0, если все G (i == 1, ..., п) равны нулю, то определение линейной зависимости и независимости у”” ..., у(п} можно сформулировать следующим образом.

Определение, Будем говорить^ что столбцы у(1), ..., у(я)лине й- ко зависимы на интервале X, если существует постоянный столбец С#0 такой^ что тождественно на X имеет место (3.82).

В противном случае, т. е. если (3.82) справедливо только при С = 0, будем говорить^ что ут, ..., у(п} линейно независимы.

Определение. Назовем A (^) = Det W (z) определителем Вронского для i/(1), ..., у(п}.

Теперь можно сформулировать и доказать теоремы, аналогичные теоремам 3.7—3.9 из теории уравнения n-го порядка. Все эти доказательства записываются весьма компактно, если пользоваться введенной матричной записью, которая очень удобна и требует лишь некоторого навыка.

Теорема 3.79. Если решения у“), ..., у(п} уравнения (3.74) линейно зависимы на X, то А (л：)^ 0 на X.

Доказательство. Имеем WC = О, С#0. Эта запись является кратким обозначением того факта, что при каждом n величины Ci, ..., Сп удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений с определителем Д(х), и так как решение нетривиальное, то А (н) = 0 при любом х X, т. е. А (н)仝 0.

Теорема 3.20. Если А (х) = 0 хотя бы для одного / 三 X, то решения у⑴,...,у(п)уравнения (3.74) линейно зависимы на Г.

Доказательство. Запишем кратко доказательство этой теоремы, уже не давая дополнительных разъяснений, как в предыдущей. Возьмем Но w X, и пусть А (а：о) = 0. Составим уравнение W(х0)С = 0 относительно С. В силу Д(х0) = 0 существует решение С * 0. Положим у(х)= W(x)C. Согласно теореме 3.18 это решение уравнения (3.74), причем y(xQ) = W(х0)С = 0, а тогда, в силу теоремы единственности, y(z)^ 0 и, таким образом, W(x)C ^ 0, что означает линейную зависимость у(», ..., у(п}.

Теорема 3.27 (альтернатива). Определитель Вронского либо тождественно равен нулю、и это означает, что решения у(», ..., у(п} линейно зависимы^ либо не обращается в нуль ни в одной точке X, и это означает^ что решения у(» ...,. у(п) линейно независимы.

Определение» Фундаментальной системой решений уравнения (3.74) будем называть п линейно независимых решений у(», .. ., у(п} уравнения (3.74), а соответствующую

им по формуле (3.75) матрицу W(x) будем называть фундаментальной матрицей.

На основании теоремы 3.20 можно дать другое (эквивалентное) определение фундаментальной матрицы.

Определение^ Решение W(х) уравнения (3.76), для которого Д(х) отлично от нуля всюду на X, называется фундаментальной матрицей.

Теорема 3.22・ Линейная однородная система уравнений имеет фундаментальную матрицу.

В силу теоремы 3.21 достаточно взять произвольную матрицу а = const с отличным от нуля определителем и задать для W начальное условие W(xQ) = a.

Теорема 3・23・ Если W (х) — фундаментальная матриц% то любое решение у(х) уравнения (3.74) представимо в виде

y(x)^W(x)C,(3.83)

где С ——некоторый постоянный столбец.

Доказательство. Пусть у (д) = у". Определим С уравнением W{xq)C «у0, которое разрешимо в силу А(&)#0. Построим y(x)= W(x)C. Так как у(х0)== W(х0)С = у0, то в силу теоремы единственности у(х) = у(х)= W(t)C^ что и требовалось.

Замечание. На языке линейной алгебры теоремы 3.22 и 3.23 означают, что пространство решений уравнения (3.74) п-мерпо.

Построим решение уравнения (3.74), удовлетворяющее условиям (3.72), выразив с помощью W(х) величину С через у* Имеем

y(x0) = W(x0)C = yQ,

откуда С = W^ (х0)у° и, следовательно, ?⑺=w(工)w一(4)『

Матрицу X(х, Хо) = W(х)叩一‘ (％), являющуюся функцией двух переменных х и 工。,назовем (ср. § 4) импульсной матрице也,пли матрицантом. В силу теоремы 3.18 #(汇,х0) как функция х удовлетворяет уравнению (3.76), Кроме того, очевидно, что

勿(4, %) = Е,

Таким образом, справедлива

Теорема 3.24. Решение задачи (3.74), (3.72) имеет вид

у(х) = Jif (х, /)此(3.84)

zde матрица X(хг х0) удовлетворяет по аргументу х матричному уравнению (3.76) и условию X(хОт х0) = К

Неоднородное уравнение. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (3.71).

Теорема 3・25・ Если W(х) — фундаменталъная матрица^ а у (х)— частное решение неоднородного уравнения (3.71), то любое

решение у(н) уравнения (3.71) представимо в виде

y(x)^W(x)C + y(x).(3.85)

еде С — некоторый постоянный столбец.

Доказательство точно такое же, как в случае уравнения п-го порядка, и мы его опускаем.

Построим частное решение у (х), удовлетворяющее пулевым начальным условиям U(Nu) = 0・ Будем искать его в виде

y(x)=W(T)C(x),

где С (х) — неизвестный столбец. Это фактически просто замена переменных. Подставляя у(х) в (3.71), получим

WfC+WCf =AWC + f.

Так как W удовлетворяет (3.76), то W'—AW — 0 и, следовательно, WC' = f. Отсюда С = W^f, А так как ^(х0)= И/(хо)С(хо)=О1 то С(х0) = 0 и, следовательно,

х

C(z) =_[用Т(Е)/⑶朮.

хо

Таким образом,

XX

歹⑺=J W (х) %т (I) / (S 我=J X (Z, s / 隽)吐хож0

и справедлива

Теорема 3.26. Частное решение 歹(н) уравнения (3.71), удовлетворяющее условию，(仇)= 0, имеет вид

7（n）= I 宏&自）〃&碼,7（n）= I 宏&自）〃&碼,(3.86)(3.86)

7（n）= I 宏&自）〃&碼,

7（n）= I 宏&自）〃&碼,

(3.86)

(3.86)

где 2 (н,自)一импульсная матрица, или матрицант,— решение матричного уравнения (3.76), удовлетворяющее условию 废(自,^) = Е.

Замечания. 1. Изложенный метод построения частного решения системы линейных уравнений фактически является вариантом метода вариации постоянных, который для одного уравнения использовался в гл. 2 (с. 27——28).

В силу принципа суперпозиции решение у(н) задачи (3.71), (3.72) имеет вид

X

</ (^) = ^ (%%) У° + J 废(％ Ю / (Е)瓯(3.87)

Системы линейных дифференциальных уравнениис постоянными коэффициентами

Пусть в (3.74) 4 — постоянная матрица,

у" — Ау, Л = const.(3.88)

В этом случае построение фундаментальной системы решений или фундаментальной матрицы сводится к алгебраическим операциям.

Будем искать частное решение системы (3.88) в виде ае&, где 入一неизвестный параметр, а ——неизвестный постоянный столбец. Подставляя это выражение в (3.88), получим Хаеи = Яае^. Отсюда делаем вывод, что а должно быть решением алгебраической системы уравнений

(Х-ХЕ)а = 0.(3.89)

Для того чтобы а было нетривиальным решением, нужно потребовать, чтобы

Det(4-入 Е) = 0・(3.90)

Это уравнение является алгебраическим уравнением степени п и называется характеристическим уравнением уравнения (3.88).

Пусть 入 1,,..,九п ——простые корни характеристического уравне- пия (3.90). Каждому Х; отвечает а⑴ *0 (собственный вектор матрицы 4), который находится из (3.89), где положено X == X*. В качестве компонент a{i) можно взять, например, алгебраические дополнения к одной из строк определителя Det (Л ——Х>Е),

Теорема 3.27. Пусть 九匕...,九п ——простые корни характеристического уравнения (3.90) и пусть а(ч — решение (нетривиальное) уравнения (4-九田)ос = 0. Тогда столбцы а(:卢"х(方=1,...,几) образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.88).

Доказательство проводится по схеме, которая была использована в § 5. Предположим, что решения а“)е * линейно зависимы:

*a%,/产=0, J 学 0.(3.91)

Отсюда имеем

Qa ⑴ e(”f 户 +…+ Спта(пт)*птТ"尸 + 以а(“)= 0.

Дифференцируя это равенство, приходим к соотношению типа (3.91), содержащему уже п — 1 слагаемых. Повторяя операцию, приходим в конце концов к равенству，。(讣匸0, Так как хотя бы одна из компонент а(» отлична от пуля, то получаем отсюда Ci = 0, что противоречит (3.91).

Обратимся к общему случаю. Пусть характеристическое уравнение (3.90) имеет корни Хь 储 кратностей mlt ..., m： (mi + 一. ….+ mt =孔).Из предыдущего ясно, что а(“е , где a(q ——собст-

венный вектор, отвечающий Xfl будет решением уравнения (3.88). Каждому Х( в рассматриваемом случае может отвечать несколько собственных векторов, но, вообще говоря, их число р,&т. Таким образом, решений вида а(»)е может быть меньше п и онн, следовательно, не образуют фундаментальной системы решений.

Для того чтобы выяснить, откуда взять «недостающие» решения, потребуются некоторые построения, к которым и перейдем. Пусть у ——решение уравнения (3.88). Тогда компоненты у^ этого решения удовлетворяют системе уравнений

必跳 + …+ ®小一。Pt = 0,t=l,…，n, (3.92)

где О ——оператор дифференцирования (см. замечание 2 к лемме 3.1). Определитель Det (А — ED) = М (D) представляет собой некоторый операторный многочлен n-й степени. Если вместо О подставить А, то получится левая часть характеристического уравнения (3.90) или характеристический многочлен системы (3.88). Так как умножение операторных многочленов можно производить по правилу умножения обычных многочленов, то, умножая (3.92) и а алгебраические дополнения Ai}(D) определителя Det(^ — ED) (умножение понимается как умножение операторов) и суммируя по ц получаем

"(0)力=0, j = 1,…，%

а это ——дифференциальное уравнение порядка п относительно у九 характеристический многочлен которого совпадает с характеристическим многочленом системы (3.88). Таким образом, справедлива следующая

Теорема 3,28. Каждая компонента у, решения у системы (3.88) удовлетворяет уравнению п-го порядка^ характеристический многочлен которого равен характеристическому многочлену системы (3.88).'

Рассмотрим корень Xh кратности mk. Индекс Л будем в нижеследующих рассуждениях опускать, так как будем иметь дело только с одним корнем. Этому корню 厶 отвечает решение у системы (3.88), /-я компонента которого у^ в силу теоремы 3.28, имеет вид (см. теорему 3.14)

+ а 声 +...+

где 以=const, н, таким образом,

传丄什分产+…+味产*1、

У = е£(3.93)

\Cln + C2nz+ …+ 県产-?

В этом выражении, однако, поскольку компоненты yf не независимы, а связаны системой (3,92), постоянные Cw не являются независимыми.

Оказывается, 6 выражении (3.93) число независимых констант Ck} равно кратности m корня, X. Обоснованием этого факта мы займемся ниже, а пока выясним, что это дает для построения фундаментальной системы решений уравнения (3.88).

Обозначим свободные постоянные через С^ ..., Ст. Подставим (3.93) в (3.88), сократим на е^ и приравняем члены с одинаковыми степенями х. Тогда получится линейная алгебраическая система m однородных уравнении с тХ п неизвестными Ск„ которые мо/кно выразить линейно через свободные постоянные С(, Ст, После этого (3.93) можно записать в виде

У = [&〃")+・•• + 以西(7)卜“， (3.94)

где Pi(x) — столбцы, компоненты которых являются вполне определенными многочленами относительно z степени не выше тп — 1.

Из (3.94) следует, что корню характеристического уравнения 入 кратности тп отвечают 加 решений вида pi(z)eKx (i=l,…，小)・ Такое построение можно проделать для каждого Хй кратности mk. В результате получим т^ .t. + mt—n решений.

Ниже будет доказано, что полученные описанным способом п решений образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.88).

Практически для нахождения фундаментальной системы решений рекомендуется для каждого А пайисать выражение (3.93)л затем подставить в (3.88) и из полученной указанным выше способом алгебраической системы выразить все постоянные через свободные постоянные. То, что число свободных постоянных заранее известно и равно кратности m корня 九，помогает решению этой алгебраической системы, так как это означает, что заранее известен ее ранг.

Пример 3.2.

У； = 4% — %， У； = 3/ + У2 — % У； = % + Уз* (3 95)

Характеристическое уравнение, отвечающее этой системе, имеет корень 储=2 кратности 加1 = 〃 = 3. Согласно изложенному выше правилу пишем выражение

(3 96)(3 96)AД [% +a产 +а产2% =卜。+ y + 3"

(3 96)

(3 96)

V3/ [co+cF+F

Подставляя его в (3.95), сокращая на е'* и приравнивая члены с одинаковыми степенями 怎 получим следующие 9 уравнений для определения 9 коэффициентов:

气=2。0 一 50,Ь1 = Зао —匕0 — %'‘1 = %—%，气=2。0 一 50,Ь1 = Зао —匕0 — %'‘1 = %—%，(3.97)(3.97)2% = 2% — %,0 = 2% —却

气=2。0 一 50,

Ь1 = Зао —匕0 — %'

‘1 = %—%，

气=2。0 一 50,

Ь1 = Зао —匕0 — %'

‘1 = %—%，

(3.97)

(3.97)

2% = 3al 一 ％ — R， 。= 3% 一 ”2 — C2,

2% =气一e，° = %-%，

Заранее известно, что ранг этой системы равен 6 и свободных неизвестных 3・

Записывая определитель этой системы, расположив неизвестные в порядке а°, д0, со,。1, bi, с(, “2, 〃2, с?, легко видеть, что правый верхний определитель б-го порядка отличен от пуля и равен, очевидно, произведению диагональных элементов, т. е. 8, так как справа от главной диагонали — нули. Следовательно, в качестве свободных неизвестных можно взять а°, Ь°, %.

Первая группа уравнений (3,97) уже дает выражения для аь 九，С[ через а。, 60, с0, а подставляя это во вторую группу уравнений (3.97), получим

11

°2=2'(%-Ьо + со)' %=%-% +с。，，2 =2(%_% + Со).

Третья группа уравнений (3.97) обращается автоматически в тождество.

Подставляя полученные выражения в (3.96) к приводя его к виду (3.94), будем иметь

Здесь а。, б。，с0 — произвольные постоянные (можно их обозначить Сь С2, С3, как о (3.94)), векторы pi(z), p?(z), Рз(н) усматриваются в правой части (3.98). Таким образом, получено решение системы (3.88) в виде линейной комбинации трех линейно независимых решений /ч(工)е2H (( = 1, 2, 3).

Чтобы обосновать указанный прием, нужно фактически обосновать два момента: во-первых, то, что в выражении (3.93) число независимых констант CAJ равно кратности т корня X, и, во-вторых, то, что решения вида 卩館(力)е“* «=1,...,加后 左=1, ..Z) действительно образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.88). Для этого потребуется более точное представление о структуре решений, отвечающих каждому корню характеристического уравнения, чем то, которое дается формулой (3.93). Перейдем к получению такого представления. Будем иначе вести нумерацию корней характеристического уравнения или, что то же самое, характеристических чисел матрицы Л, а именно будем нумеровать собственные векторы. Тем самым каждое значение 九 нумеруется столько раз, сколько линейно независимых собственных векторов ему отвечает. Например, если 储 отвечают собственные векторы Хи), а(12“ • • •，а。％), а Х2 — собственные векторы ct(21), “(22), •…,а(2%)и т. д., то будем говорить, что имеются характеристические числа九и九2， •・・,九％，九卩i+i,・・・，九％+卩2 и т・Д* (при этом 九i== • • •=九卩J 九卩i+i =»・・・== Х₽1+р2).Таким образом, имеются 储,... •--,入门 каждому из которых отвечает собственный вектор.

Дальнейшие построения основаны на следующей алгебраической теореме.

Теорема 3,29 ）. Существует и линейно независимых постоянных векторов （столбцов） （А — 1, $; /л = 1, ..gfc）, удовлетворяющих соотношениям

4е（х）= W（fti）,

4^52）= Xfc^（hs）+ е（х） А = 1，•…s；必 + ・・• + 蚤=%（3.99）

"е（МА）= ^е^ + e（Ag&_i）,

причем сумма ^*, отвечающих одинаковым 入抬 равна т, где m — кратность корня X* характеристического уравнения （3.90）.

В （3.99） через e（kl} обозначен собственный вектор, отвечающий Хк. Векторы е饋2），• • •» e（kqh）называются присоединенными векторами^ порожденными собственным вектором 6旧）. Таким образом, каждому 入а отвечают q^ линейно независимых векторов, среди ко торых один собственный вектор и остальные присоединекные, а всем Xi,...,入$ отвечают п линейно независимых векторов. Напомним, что 入а для разных А могут быть одинаковыми.

Рассмотрим X*. Ему заведомо отвечает решение y（ki）=« egi）e"大* Оказывается, ему отвечает еще g*—1 （и всего, таким образом, q^） решений, как утверждается следующей теоремой.

Теорема 3.30. Каждому 入* отвечает q、решений вида

У（н）= е（打）exph/

У（лг）=伍饋 2）+ хе（Л1））ехр（ХАх）,

/门】 \（3.100）

У"》=（询力 + 2/統l1）+ ... 4-后二^6（内））ехр （入2）,

/内1 、

у（mаnе（网应 + 2ёa,^-1） + .一+（"_］）! е（г）） exp （1ЛX）.

Доказательство. Это нетрудно доказать непосредствеппой проверкой, пользуясь （3.99）. Действительно,

（4 — ED）卜擋力 + xe（A,j-i）+ ・•・ + （工彳犷 e（xjexp （入g）=

"= exp （入a幼{（4 -入济）%；+*・• + .（；二］）| （/一入出）e" J -—卜（3D + ・• • + *（：二 q）j 恤 J exp （入⑴="= exp （入a幼{（4 -入济）%；+*・• + .（；二］）| （/一入出）e" J -—卜（3D + ・• • + *（：二 q）j 恤 J exp （入⑴==（4 —入/jE） {・•・} — ^（ftj-i）+ ・・• +，工2）| e（fti）}exP （入А^）

"= exp （入a幼{（4 -入济）%；+*・• + .（；二］）| （/一入出）e" J -—卜（3D + ・• • + *（：二 q）j 恤 J exp （入⑴=

"= exp （入a幼{（4 -入济）%；+*・• + .（；二］）| （/一入出）e" J -—卜（3D + ・• • + *（：二 q）j 恤 J exp （入⑴=

ехр （入肘）卜（зт）+ ・・・ +（：—?! е（х）｝—

-p(A,i-i) + ■ • • + (:一 27! e擋 j exp (入")

0.

Итак, каждому 入* (左=1, ..., s) отвечает 公 решений вида (3,100), и, таким образом, всего имеется gi + ... + gs = п решений:

У(п),…，У(1、)，…，У($1), •…，弘喉)*(3.101)

Теорема 3.3/. Решения (3.101) образуют фундаментальную си~ стему решений.

Доказательство. Действительно,

Psi) (°) = е(/и), * …У(&д&)⑼ н €^^^" = 1, •…“

а согласно теореме 3.29 столбцы е(х),...,气网百)(Л == 1, ..., 5)в количестве 71 + ... + gs =^ п являются линейно независимыми и5 следовательно, Det W(0)^ 0. В силу теоремы 3.19 отсюда следует, что решения (3.101) линейно независимы, т. е. образуют фундаментальную систему решений.

Вернемся теперь к прежней нумерации норией характеристического уравнения, когда нумеруются различные по величине X. Каждому 入 может отвечать несколько групп решений вида (3.101) по числу отвечающих этому 入 собственных векторов, но общее число решений в этих группах равно кратности m корня Л. Таким образом, действительно, линейная комбинация решений, отвечающих данному 入，имеет вид (3.93), где независимых констант будет т, так как число решений типа (3.101), отвечающих этому Л, есть т. Заметим, что, как видно из (3.100), (3,101), старшая сте~ пень многочленов в (3.93), вообще говоря, меньше, чем m — 1.

При практическом вычислении фундаментальной системы решений можно пользоваться (3.100). предварительно найдя все собственные и присоединенные векторы, но проще поступать, как указано выше, подставляя (3.93) в исходное уравнение (3.88) и выделяя m свободных неизвестных Cw.

§ 8, Построение решения линейного уравненияв виде степенного ряда

Линейное уравнение с постоянными коэффициентами представляет собой некоторый класс уравнений, для которых фундаментальная система решений может быть выписана эффективным образом.

Как же строится фундаментальная система решений в общем случае уравнения с переменными коэффициентами? Цель настоящего параграфа — дать представление о способе построения фундаментальной системы решений, использующем теорию степенных

рядов и применилюм, когда коэффициенты уравнения являются аналитическими функциями, т. е, представимы в виде степенных рядов. Идея метода такова. Решение ищется в простейшем случае в виде ряда £ 口总,затем этот ряд подставляется в уравнение, в котором коэффициенты записываются также в виде степенных рядов, после чего вся левая часть записывается в виде степенного ряда. Приравнивая в полученном степенном ряде коэффициенты при каждой степени х нулю, получим уравнение для определения。氏.

Отметим, что, строя решение в виде степенного ряда, мы во многих случаях получаем так называемые специальные функции^ широко используемые как в теоретических, так и в прикладных вопросах (например, функции Бесселя, гипергеометрические функции и др.).

Не задаваясь целью изложить метод в общем виде ——это является предметом специального раздела теории дифференциальных уравнений, так называемой аналитической теории дифференциальных уравнений ),— продемонстрируем его на примере одного уравнения, нередко встречающегося в приложениях.

Рассмотрим уравнение

y,f + ту = 0,(3.102)

называемое уравнением Эйри. Оно встречается в различных приложениях, например в квантовой механике. Это простейшее уравнение второго порядка с переменным коэффициентом, однако оно не поддается решению элементарными методами.

Будем искать решение уравнения (3.102) в виде так называемого формального ряда

У = £(3.103)

儿=0

Заранее ничего пе известно о сходимости этого ряда, и поэтому все операции, которые мы сейчас будем проделывать с этим рядом, будут носить формальный характер; на эти операции надо смотреть как на алгоритм определения коэффициентов ряда а*. Когда же коэффициенты будут определены, перейдем к этану обоснования того, что ряд (3.103) в самом деле сходится и определяемая им функция у (с) действительно является решением уравнения (3.102).

Итак, дифференцируем формально ряд (3.103) и подставляем в (3.102). Получим

S ahk (" - 1)尸2 + f；爆犷+1 = 0.(3.104)

*=2Л=Ч)

Приравниваем теперь коэффициенты при одинаковых степенях х. Имеем

х°) а2 • 2 ■ 1 = 0;х°) а2 • 2 ■ 1 = 0;отсюда а2 = 0,отсюда а2 = 0,

х°) а2 • 2 ■ 1 = 0;

х°) а2 • 2 ■ 1 = 0;

отсюда а2 = 0,

отсюда а2 = 0,

尸)％ ・3 • 2 + & = 0;尸)％ ・3 • 2 + & = 0;отсюда %отсюда %3・2'3・2'(3.105)(3.105)

尸)％ ・3 • 2 + & = 0;

尸)％ ・3 • 2 + & = 0;

отсюда %

отсюда %

3・2'

3・2'

(3.105)

(3.105)

а?-?) а),-к-(к — 1) + ал_з = 0; отсюда %(：二)“・

Из (3.105) видно, что

коэффициенты вида аЭч выражаются через а0：

@34 3g (3g - 1) “3L3 =…=3q・(3q —1) ...3・2 причем само а。остается неопределенным,

коэффициенты вида азд+1 выражаются через %:

°3升1 = (3q+ l)・3q ... 4.3 旬， причем само a〔 остается неопределенным, и, наконец, 3) коэффициенты вида азч+2 выражаются через а2:

азд+2 -(3, + 2)-(3g+ 1)5-4 力一5

так как a2 = 0.

Положим a0 = 1, at = 0. Получим ряд

У1 (工)=S。3严囤=1 + £ Зд.^дЗ)".. 3・2(3.106)

q=0q=l/

Полагая, напротив, а0 = 0, at = 1, получим ряд

У? 3) = £。3什123Ml = Н + £(3q + ；).3；... 4・3 ±3' + 1・(3.107) g=og=i

Теорема 3.32, Ряды (3.106) u (3.107) сходятся^ u определяемые ими функции yi (х) и (/2(х) образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.102).

Доказательство. Действительно, сходимость рядов (3.106) и (3.107) элементарно устанавливается для любого х, например, по признаку Даламбера *), и, таким образом, Ji(n) и уг(х) определены

всюду па (——8, 8). Так как степенной ряд на интервале сходимости можно почленно произвольное число раз дифференцировать, то, проделывая это дифференцирование, подставляя в левую часть (3.102) (см. (3.104)) и складывая затем оба ряда, получим, в силу самого определения коэффициентов а^ ряд, состоящий из нулевых членов. Тем самым уравнение обращается в тождество.

Линейную независимость 力⑺ и 勿⑺ можно доказать от противного. Пусть C\Pi (胃)+°2^2(七)三 0, причем CJ + С}=^=0. Положим z = 0. Тогда у2(0) = 0,打(0)=1, следовательно, & = 0. Имеем тогда &У2(н)мО, но тогда у2(х)= 0, что противоречит, например, тому, что у； (0) = 1> Таким образом, теорема доказана.

ГЛАВА 4

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

Постановка краевых задач и их физическое содержание

В предыдущих главах изучение дифференциальных уравнений было в основном посвящено решению начальной задачи, в которой в качестве дополнительных условий задаются начальные условия, определяющие значения пеизвестной функции и ее производных при фиксированном значении независимой переменной. Однако, как указывалось в гл. 1, начальные условия не являются единственно возможной формой дополнительных условий, выделяющих определенное частное решение. Во многих случаях в качестве дополнительных условий задаются граничные условия, Определяющие значения неизвестной функции и ее производных (или некоторых выражений от них) при нескольких фиксированных значениях независимого переменного. Задачу определения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным граничным условиям, будем называть краевой задачей. Исследование общих свойств и методов решения краевых задач и составляет содержание настоящей главы, при этом основное внимание будет уделено изучению краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

К краевым задачам для дифференциальных уравнений сводятся многие математические и физические задачи. Так, рассмотренная в гл. 1 задача определения состояния статического равновесия закрепленного в граничных сечениях упругого стержня с коэффициентом упругости к(х) под действием внешней силы /(х) сводится к краевой задаче

^2口暁卜 ТО u(0)= 0' и(2) = 0・(4.1)

Аналогично для амплитуды и(х) установившихся гармонических колебаний частоты со получим краевую задачу

^ 卜(工)對 + 叫(Н)и 估)/(н), и (0) = 0, и (/) = 0. (4.2)

Здесь р(х)—плотность стержня. В случае задания величины смещения граничных сечении или задания действующих на граничные сечения внешних сил однородные граничные условия

следует заменить на неоднородные условия вида

“ (0) = “о или к (0)案(0) = 7(0).(4.3)

К краевой задаче для системы дифференциальных уравнений второго порядка

сводится задача определения траектории материальной точки массы т, выходящей в начальный момент £。 из заданной точки г0 (г (/0) = г0) и попадающей в момент G в точку 尸】(尸(G) = 6)・

В дальнейшем будут рассматриваться краевые задачи па отрезке [0, I] оси х для линейных дифференциальных уравнений второго порядка

У” + g ⑺У’ + h⑺ у =卜⑺,(4.5)

где g(R),九(工)，厶(工)——непрерывные функции на [0, 〃・ Введем функцию

р (z) = е。(4.6)

и заметим, что

Р⑺當+ p⑺g (喂=#Р (時](4.7)

Умножая (4.5) на p(z) (очевидно, р(х)^=0 на [0, 〃), получим

L 加=^ 卜(н)累]—g (z) У (z) = / (z)，(4.8)

где q(x)= ~p(x)h(x), /(n) = P(n)九(工)，а через L[y] мы обозначали дифференциальный оператор в левой части (4.8). Из проведенных рассмотрений следует, что без ограничения общности рассмотрение краевых задач для общего линейного дифференциального уравнения второго порядка (4.5) может быть сведено к изучению краевых задач для уравнения (4.8).

Краевые задачи для уравнения (4,8), как правило, рассматриваются с линейными граничными условиями вида )

аа'(0) +卩居(0)= %,

«2Z/z(0+ ?2(/(/)= u1,.

где а.,必(i == 1, 2), иОт ⑷一заданные числа, некоторые из которых могут быть равны нулю, причем &： + 肾干0 (i = l, 2). Если 6 = 0 (г = 1, 2), то соответствующее граничное условие обычно

называется условием первого рода; если р( = 0 (2=1, 2)——условием второго рода; если а( и ^ одновременно отличны от нуля — условием третьего рода.

Краевые задачи, в которых правая часть уравнения не равна нулю, будем называть неоднородными краевыми задачами. Рассмотрению этих задач посвящен § 2 настоящей главы.

Краевые задачи для однородного уравнения с однородными граничными условиями будем называть однородными краевыми задачами.

Очевидно, что однородная краевая задача, например задача

ОД = 0, 0<х</, у (0) = 0, У (2) = 0,(4.10)

всегда имеет тождественно равное нулю, так называемое тривиальное решение y(N)w0. Может оказаться, что других решений задача не имеет. Это означает, что, решая на отрезке 0WnW2 начальную задачу для уравнения L[y] — 0 с начальными условиями у (0) = 0, у'(0) = У1 (в силу теоремы существования решения начальной задачи — теорема 3.1 ——такое решение существует и при у】声0 пе равно тождественно нулю), мы при всевозможных значениях 勿％0 получим функцию у(г, у", обладающую тем свойством, что у (厶 yj 声0. Аналогичное положение будет и при задании соответствующих начальных условий на правом конце отрезка и построении интегральных кривых справа налево. Например, задача

y〃(N)= 0, 0<х< 1,У(0) = У(1) = 0

имеет только тривиальное решение у(х) — 0.

Если же при некотором значении 歹产 0 построенное указанным способом решение у(/,亨,)начальной задачи при 二=/ удовлетворяет второму граничному условию у(厶 ^i) = 0, то это означает, что данная однородная краевая задача помимо тривиального имеет еще и не равное тождественно нулю решение. Такое решение однородной краевой задачи будем называть нетривиальным. Отметим, что в силу линейности задачи в этом случае и функция Су(芻 ^) при любом значении постоянной С 声 0 является нетривиальным решением данной однородной задачи. Например, задача

У " + У = 0, 0 < х < л, У (0) = У 5) = 0,

как легко проверить, помимо тривиального решения y(w) = 0 имеет и нетривиальное решение у (г) = С sin г.

Приведенные рассуждения справедливы и в случае более общих граничных условий (4.9).

Важным случаем однородных краевых задач являются так называемые задачи на собственные значения, состоящие в определении значений параметров, входящих в дифференциальное уравнение, при которых существуют нетривиальные решения однородной краевой задачи.

Типичной задачей на собственные значения для линейного дифференциального уравнения второго порядка является задача определения значений параметра Л, при которых существуют нетривиальные на [0, 4 решения задачи

〃y] + №(z)y(z) = 0,

а修'(0) + »也(0) = 0, а^' “)+ В缉(Z) = 0,

где L[y] — тот же дифференциальный оператор, что в (4.8), p(z)— заданная функция, непрерывная на [0т /], а а” В. (i = 1, 2)——заданные постоянные, часть которых может быть равна нулю.

К задаче на собственные значения (4.11) сводятся, в частности, задачи определения собственных колебаний материальных систем С распределенными характеристиками ——поперечные колебания струны, продольные колебания упругого стержня звуковые колебания в трубах, электрические колебания в проводах и т. д. Пусть, например, в задаче о гармонических колебаниях упругого стержня (4.2) правая часть равна нулю, т. е. внешняя сила отсутствует, а со является параметром. Требуется выяснить, возможны ли гармонические колебания некоторой частоты (о в отсутствие внешней силы (такие колебания называются собственными колебаниями), т. е. существуют ли такие значения з, при которых имеются нетривиальные решения однородной (/(z) = 0) задачи (4.2).

Значения параметра 儿 при которых задача (4.11) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения ——собственными функциями краевой задачи на собственные значения.

Замечания. 1. Не ограничивая общности, неоднородную краевую задачу можно рассматривать с однородными граничными условиями. Действительно, в случае неоднородных граничных условий решение задачи можно искать в виде

У")= У(е)+ z(h), (4.12)

где функция У(z) удовлетворяет лишь заданным граничным условиям, а в остальном произвольна. Очевидно, такую функцию всегда можно построить. Например, в случае граничных условий первого рода »/(0) — «о, у 〃)=“£ в качестве функции У(z) можно выбрать линейную функцию

У (х) = uQ - 4- iz^ у. (4」3)

Тогда для функции z(z) получим неоднородную краевую задачу с несколько измененной правой частью, но однородными граничными условиями.

2. В общем случае для уравнения n-го порядка приходится рассматривать краевые задачи с грапичиыми условиями более общего вида

Pi(B(0), •…*7(0), У«), •…*7(/))』о,(4.14)

где п — порядок уравнения, a Pt (•)—заданные функции от значений решения и его производных в граничных точках. Например, условиям типа (4,14) удовлетворяет задача определения периодических решений, в которой дополнительные условия имеют вид

у(0) == у(% /(0) = У(!)*т)(о)_ y(n-i)(z)>(4.15)

Отметим важные для дальнейшего свойства решений уравнения (4.8). Пусть у (工)и z(h) удовлетворяют уравнениям

z[川⑺對一g(z)y =/⑺(4.16)

И

Z【z] =^[p ⑶ ^] —g(z)z = g(z).(4.17)

Умножая (4,16) на z(c), (4.17) на у(工)и вычитая почленно, получим

Z 3) ^ [р ⑶閻一У (±) ^ 卜⑶制=/(工)Z (z) — g (z) у (x). (4.18)

Так как

帥⑺^一啕卜

= Z^P (噂]-圖р(時]+р⑺[提一齢],

то (4.18) может быть записано в виде

訂p ⑺(z 北-菱)卜/⑷ Z (工)- g (x) g (z).(4.19)

Это соотношение носит название тождества Лагранжа. Его интегральная форма называется формулой Грина:

j (zZ [у] — м(Z]) dx = {р (х) (z 黑 _ У 當川:= О

=J (/ (Z) Z (z) — g⑺ у (x)) dx. (4.20)

0

Из формулы (4.19) следует, что если у^(工)и у2(х) — два линей* но независимых решения однородного уравнения (/(工尸 g (工)= 0)

川贝=^卜(z)黑]-8(山П0,(4.21)

то они удовлетворяют соотношению

откуда следует, что определитель Вронского этих решений имеет ВИД

(4.22)(4.22)А仇，%）=篇

(4.22)

(4.22)

Замечания. 1. Поскольку решения однородного уравнения определены с точностью до произвольного множителя, константу С в (4.22) можно определить, лишь выбрав множители у решений, т. е. проведя так называемую нормировку решений.

Из соотношения (4.22) следует, что если известно какое-либо решение у/н) однородного уравнения, то любое линейно независимое с ним решение у(н) этого уравнения удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению первого порядка

(4.23)(4.23)

(4.23)

(4.23)

色色p （幻У；（工）p （幻У；（工）Если у/г)# 0 на [0, 2], то, поделив (4.23) на i/i(^), получим

色

色

p （幻У；（工）

p （幻У；（工）

(4.24)

что позволяет записать общее решение (4.23) в виде

(4.25)(4.25)У(')= %У1 ⑷ + СУ1(х)J р 阳力(&)•

(4.25)

(4.25)

Неоднородная краевая задача

Рассмотрим краевую задачу

,№] = №),，(4.26)

jy (0)+ Pi^(0) = 0, а2у ") +02^(2) = 0.

Пусть функция р(х)> 0 положительна и непрерывно дифференцируема на [0, ", а действительные функции д(н) и /(х) непрерывны на [0, /]. Решением краевой задачи (4.26) будем называть непрерывно дифференцируемую на [0, 2] функцию у ⑺ с непрерывной второй производной на (0, 2), удовлетворяющую на (0, I) уравнению и граничным условиям (4.26). В начале наших рассмотрений будем предполагать, что соответствующая однородная краевая задача имеет только тривиальные решения. Другими словами, мы предполагаем, что 入=0 не является собственным значением соответствующей задачи (4.11).

Отметим сразу, что, в силу линейности задачи (4.26), мз этого предположения следует, что если решение данной задачи сущест^ вуетЛ то оно единственно.

Наша ближайшая цель заключается в доказательстве существования решения задачи (4.26) при сделанных предположениях о коэффициентам и правой части уравнения. При этом доказательство существования решения будет одновременно содержать и алгоритм его конструктивного построения.

Начнем с наводящих соображений. Предположим, что существует решение задачи (4.26) при специальном способе задания правой части уравнения, а именно при функции /(z), отличной от нуля лишь в е-окрестности некоторой фиксированной точки 二=三三(0, 2):

О, % & Е — £,

/(х)= /Е ⑺,Е - £ & % & Е + &(4.27)

О, z》E + 7 причем функция /£(н)》0 и

j /е (z) dx = 1.(4.28)

Решение этой задачи будем обозначать функцией yG(xT Е).

Интегрируя уравнение (4.26) с так заданной функцией /(%) по отрезку 隹一£, + е], получим

Р (Е + £)Уе (Е + % Е) — Р (Е — е) Уе 低一％ Е)—

ЦеЕ+с

—J 0(工)勿(4 Е)&= J /E(x)dx=l. (4.29)

Рассмотрим теперь предельный процесс при 8 f 0, предполагая, что (4.29) справедливо при любом е и, следовательно,

lim J /Е (z) dx = 1.(4.30)

Е-0 &-Е

Будем предполагать, что предельная функция

lim%(% g) = G(h, Е)(4.31)

существует и непрерывна на [0, Z], Тогда, совершая предельный переход при е 0 в (4.29), получим, что производная ^ G(n,己) в точке n ==三 должна иметь разрыв первого рода, причем разность правого и левого предельного значений этой производной в точке х == ^ определяется выражением

Е)| *(4.32)

Подводя итог проведенным рассмотрениям, мы можем утвер- ждать, что если функция G (z,三)существует, то она подчиняется следующим условиям:

как функция переменной х, G(t,自)удовлетворяет однородному уравнению (4.26) при 0 < х < ^ и ^ < х < Z;

G(%,占)удовлетворяет граничным условиям (4.26);

G (工，三)непрерывна на [О, Z], а ее первая производная имеет в точке z = ^ разрыв первого рода с величиной скачка предельных значений, равной

卽，曜:二爲(432，)

Функцию^ удовлетворяющую условиям 1), 2), 3), назовем функцией Грина краевой задачи (4.26). Существенное значение функции Грина заключается, в частности, в том, что через нее может быть выражено решение краевой задачи (4.26) с произвольной правой частью /(n).

Действительно, пусть существуют решение задачи (4.26) и функция Грина G(瑞 三).Применяя формулу Грина (4.20) к этим функциям на отрезках [0, ^ — е] и [^ + е, Z], где функции у(н) и G(z, Е) непрерывно дифференцируемы и обладают вторыми непрерывными производными, получим

卜⑺(G (乙時-У (х)期厂+*(矶G (z,唔-y (工)釧口=

=J G (怎 ^) /(X)dx + j G(g ^) / (z) dx. (4.33) оE+e

Так как и у(н) и G (上，三) удовлетворяют однородным граничным условиям (4.26), то подстановки при х = 0 и х = I обращаются в нуль. Переходя в (4.33) к пределу при е -> 0, в силу определения функции Грина получим

y(^^^G(z, ^f(x)dx,(4.34)

О

что и доказывает высказанное утверждение.

Покажем теперь, что функция Грина краевой задачи (4.26) существует, и дадим алгоритм ее построения. Построим функцию У1(н), являющуюся решением однородного уравнения (4.26), удовлетворяющим левому краевому условию

%у； (0) + Р1У1 (0) = 0.(4.35)

Очевидно, в силу сделанных предположений о коэффициентах уравнения, функция jm(n) всегда может быть построена как решение начальной задачи для уравнения (4.26) с начальными условиями

У1(0) = -С%,公(0)=呐，(4.36)

где С ——произвольная постоянная. В случае сделанного предположения о существовании лишь тривиальных решений однородной краевой задачи построенная таким образом функция у《)не удовлетворяет правому граничному условию

^y'Ai) + ^2уЛ1)^^ (4・37)

Аналогичным образом построим функцию z/2(^), являющуюся решением однородного уравнения, удовлетворяющим правому граничному условию

«2^2 (0 + Р2y2 (Z) = 0- (4.38)

Легко видеть, что построенные указанным образом функции у^ (х) и j/2(n) линейно независимы. Действительно, предполагая линейную зависимость функций 打⑺ и t/2(x), например,

у1(х) = Су2(х), (4.39)

получим, что У1(х) удовлетворяет правому граничному условию, что противоречит (4.37). Итак, мы построили два линейно независимых решения однородного уравнения (4.26), каждое из которых удовлетворяет только одному из двух однородных граничных условий.

Будем искать функцию G(x, |) в виде

(4.40)(4.40)，1У1(7), 0《*《Е, С2У2 (к), Е N

(4.40)

(4.40)

Ясно, что при этом функция (4.40) удовлетворяет однородному уравнению (4.26) при х ^ ^ и однородным граничным условиям. Для того чтобы удовлетворить условиям непрерывности функции G(瑞 三)и скачка ее производной (4.32), остается найти постоянные & и С2 из соотношений

Сгуг ^-C.y^^G, && ⑥一С"(Е) = 1/р 代).(4.41)

Определитель этой линейной алгебраической системы, представляющий собой определитель Вронского линейно независимых решений j/i(k) и Уа(к), отличен от нуля и в силу (4.22)

A®, g = C/p⑺'

где постоянная С определяется нормировкой решений у【(к) и ^2(左). Отсюда следует, что система (4.41) разрешима единственным образом. Подставив полученные значения Ci и С2 в (4.40), получим окончательное выражение функции Грина краевой задачи (4.26):

,寸力c）力（2）,E&ZE/,

(4.42)

где постоянная равна

(4.43)(4.43)С —化)А®(Е),山(Е))・

(4.43)

(4.43)

Проведенные рассмотрения являются доказательством существования и единственности функции Грина краевой задачи (4.26) в случае, когда соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение.

Замечания. 1. Из явного выражения функции Грина (4.42) следует, что опа является симметричной функцией своих аргументов

(4.44)(4.44)Ggj) = G(E»)・

(4.44)

(4.44)

Как следует из наводящих соображений, предшествовавших построению функции Грипа, она имеет простой физический смысл, представляя собой решение краевой задачи в случае сосредоточенной нагрузки.

Пример 4.1. В качестве простейшего примера рассмотрим построение функции Грина краевой задачи

У” = /(н), 0 < j < Z, у(0) = О, ，(Z) == 0.

Легко проверить непосредственно, что соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение. В качестве функций pi(t) и p2(t), удовлетворяющих соответственно левому и правому граничному условию, выберем 山⑺=z и !/?(£)= 1. Согласно (4.40) ищем функцию Грина рассматриваемой задачи в виде

04工《3 g<z<Z.04工《3 g<z<Z.

04工《3 g<z<Z.

04工《3 g<z<Z.

Удовлетворяя условию непрерывности функции G(z, J) при е = R н условию на величину скачка ее производной в этой точке, получим Cig =。2, —Ci = 1. Отсюда С] = —1Т & = —/ и окончательно выражение функции Грина рассматриваемой задачи принимает вид

Отметим, что в силу (4.1) построенная функция Грина определяет форму статического равновесия под действием внешней продольной сосредоточенной силы однородного упругого стержня, левый конец которого жестко закреплен, а правый свободен. Функция Грина G(z, g) выражает величину смещения сечения %, если в точке 曰 приложена сосредоточенная сила, сжимающая стержень. Как видно из выражения для G(z,己),при данных условиях смещение сечений стержня, расположенных левее точки приложения силы (t W Е) будет неравномерным и тем большим, чем ближе данное сечение к точке @ приложения силы, а вся часть стержня, находящаяся правее точки приложения силы, переместится как целое.

Перейдем теперь к вопросу о существовании решений исходной краевой задачи. Имеет место следующая

Теорема 4.1, Если однородная краевая задача (4.26) имеет только тривиальное решение, го решение неоднородной краевой задачи существует для любой непрерывной на [0, Z] функции /(z) и

выражается формулой

у@) = Jg(n, Е)/代)您.(4.45)

О

Доказательство. Для■ доказательства теоремы достаточно непосредственной проверкой убедиться, что функция y(w), заданная формулой (4.45), удовлетворяет всем условиям определения решения краевой задачи (4.26).

Действительно, запишем формулу (4.45) в виде

XI

y^^^G^x, l)f(^^ + ^G2 (х, Ь/雋)嘴，

Ок

где Gi(z, I) = 5^! (^) у2 (х), G2 (х, Е) = @У2(Е)У1(н) являются непре- рывными функциями n и Е вместе с производными до второго порядка, причем условие непрерывности G(n, g) в точке х = | можно записать в виде G/Е, ^) = С2(^,三)или

G】(n, n) = G?(n, х), а условие скачка производной (4.32)——в виде

G；x(Z, 2)—G；H (х, х) = 1/р(Z).

Пользуясь этими соотношениями между G^ и G2, получим в результате дифференцирования интегралов по известным правилам )

у' (е) = Gi (%, %) / (%) + J G” (н, J) / (J)您 一 G2 (%, %) / ⑺ + о

IXI

+ J G；x (z, Е) / 化)映=J G；H (N,日 / ⑸您 + J G；工(z, E) / (g)臂, xox

X

y"位)=Gix (q 支)/ ⑺ + J Glxx (瑞 E) / (e)dg - 0

—н) /(N)+ J G；» g, E) / (E)无=

XI

=縮 + J dg ", S /© 砲 + j G^, E) / 化)或.

0%

Отсюда

厶[у (н)】=РУ" + р'у' — 9У =

=J 厶[GJ /⑹无 + J 厶[GJ / (E)吒 + / 3) = / ⑺, 0H

что и доказывает утверждение теоремы.

Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда однородная краевая задача (4.26) имеет нетривиальное решение. Для упрощения последующих выкладок будем рассматривать краевую задачу с граничными условиями первого рода

厶 М = /(Н),1/(0) = О，У ") = 0.(4.46)

По условию существует функция 中式工),являющаяся решением соответствующей однородной краевой задачи

А[ф0(х)] == 0, фо(О) = От 5(Z)r0.(4.47)

Функцию фо(^) можно рассматривать как собственную функцию задачи на сооственные значения (4.11), где ^ = а2 == 0, соответствующую собственному значению X = 0. В дальнейшем будем считать, что однородная краевая задача (4.47) не имеет других решений, линейно независимых с 屮о(т). Функцию (р0(х) нормируем так, что

J У； (н)石=1-(4.48)

о

Отметим сразу, что если решение у(н) краевой задачи (4.46) существует, то правая часть уравнения, функция /(х), должна быть ортогональна на [0, 2] функции ф0(т). Действительно, применив формулу Грина (4.20) к функциям у(х} и ф0(т), получим

J (% ⑺厶团一у (х) L [<р01) rfx = У ф0 (z) f(x)dx = оо

={р (工)(<Ро (工)У (н) — У (н)向(工))} % = 0, (4.49)

откуда и следует наше утверждение.

Другими словами, справедлива следующая

Лемма 4.7. Необходимым условием разрешимости краевой задачи (4.46) является условие ортогональности правой части уравне^ кия (4.46) нетривиальному решению соответствующей однородной краевой задачи (4.47).

В дальнейшем будем считать, что необходимое условие разрешимости краевой задачи (4.46) выполнено. Покажем, что в этом случае решение краевой задачи существует и может быть построено с помощью соответствующим образом определенной функции

Грина. Заметим, что если функция у (工)является решением краевой задачи (4.46), то любая функция у(х) вида

気 z)Hy(z) + C<p°(z),(4.50)

где С ——произвольная постоянная, является решением той же задачи, поскольку функция 屮0(工)——решение соответствующей однородной задачи. Поэтому, чтобы определить единственное решение краевой задачи, его надо подчинить дополнительному условию. В качестве такового поставим условие ортогональности искомого решения собственной функции(р0 (х):

J У(N)<Ро 位)厶=0-(4.51)

о

Покажем, что задача (4.46), (4.51) может иметь только одно ре* шение. Очевидно, что в силу линейности задачи для этого достаточно показать, что соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение.

Лемма 4.2,Однородная задача (4.47)、(4.51) имеет только три- виалыюе решение.

Доказательство. По ^^словию все решения однородной задачи (4.47) представимы в виде g‘o(r)匸，屮乂工)* Условие (4.51) дает

f % (z) Фо W dz = С J ср： (x) dr = 0， оо

откуда С = 0, и лемма доказана.

Перейдем к построению так называемой обобщенной функции Грина задачи (4.46), (4.51). Так как существует нетривиальное решение однородной краевой задачи (4.47), то для построения нужной нам функции Грина ограиичиться только решениями однородного уравнения нельзя. Поэтому определим обобщенную функцию Грина G (х,三)как решение следующей задачи:

G (х,三)удовлетворяет неоднородному уравнению

£」G(z, ^)] == ~фо(^)фо(х)(4.52)

при OVhVE и ^ < х < Z.

G(z,三)удовлетворяет тем же граничным условиям, что и искомое решение

G(0, » = G(厶三) = 0.(4.53)

G(n,三)непрерывна на [0, 2].

Первая производная 石 Gfr,占) имеет разрыв первого рода при X = Е, причем величина скачка равна

^G(z,g)，：： =总.(4.54)

5; 6(н,自)ортогональна ва [0, /] собственной функции (р0(л：):

J G (工『)(р0 (х)厶=0.(4.55)

о

Покажем сразу, что если решение исходной краевой задачи

(4.51) и обобщенная функция Грина существуют, то реше- иие задачи (4.46), (4.51) выражается через обобщенную функцию Грина по формуле, аналогичной (4.34). Действительно, применяя формулу Грина к функциям у(н) и G(w,己)на [0, | — е] и [^ 4- е, Z] и переходя к пределу при 80, аналогично предыдущему получим

Р (?) У 低)累 |二：[：=Rg(% S / (z) + ? (z)中。(三)屮。 (明也(4.56) О

что, в силу условий (4.54) и (4.51), окончательно дает

y^ = ^G(x,l)f^)dz.(4.57)

О

Мы укажем алгоритм явного построения определенной условиями 1—5 обобщенной функции Грина. Тем самым будет проведено и конструктивное доказательство ее существования.

Выберем какое-либо частное решение со(①) неоднородного уравнения

4 s (х)] = —5化)5 ⑺(4.58)

на (О, I) (например, решение начальной задачи для уравнения (4.58) с начальными условиями s(0)==a,(dz(0)= ^).

Наряду с функцией сро(н) рассмотрим линейно независимое с ним решение 吶⑺ однородного уравнения (4.46):

Цф!(х)] = 0,(4.59)

причем будем считать, что 屮乂忆)нормировано так, что

△(Ф1(2), 5(2))= 1/р(н).(4.60)

Отметим сразу, что, в силу линейной независимости функций сри(н) и q)i (z), функция (р! (х) не может удовлетворять тем же однородным граничным условиям, что и сро(н):

6(0)*0,中解)*0.(4.61)

Выбранное частное решение з(н), вообще говоря, также не удовлетворяет однородным граничным условиям (4.53). Однако можно так выбрать линейные комбинации функций о)(х) и 屮/н) на отрезках [0,灯 и [&, 4 чтобы удовлетворить условиям (4.53). Но при этом пе остается достаточных степеней свободы для того, чтобы удовлетворить остающимся условиям 3——5. Это можно сделать, до-

бавив линейно независимое с qp£ решение однородного уравнения — функцию ср。， которая, удовлетворяя однородным условиям (4.53), не может их испортить. Поэтому обобщенную функцию Грина будем строить в виде

&62)&62)〃 г№%(н) + Сз<ро(н), О&н&Е,

&62)

&62)

G (z, J) = з (z) +⑺ + с^ ⑺，Е & у 厶

подбирая постоянные Ct, С* С3, С《так, чтобы удовлетворить всем условиям. Условия (4.53) дают

си (0) + С1ф1 (0) = 0t s(2) + &q)i (2) = 0.(4.63)

В силу (4.61) отсюда однозначно определяются постоянные & и С2. Условия непрерывности функции G(x,三)и скачка ее производной при z == Е приводят к уравнениям

(G — Ci) <Pi (?) +(с\ — О 屮о (Е) = о,〃仁八

,/(4.64)

(G - %)% (Е) + & - с3)Фо (Е) = 1/р (Е).

В силу (4.60) эта система однозначно разрешима относительно & - а н а - a：

& —& = —5(E), С4 — Сз = Ф1(^).(4.65)

Значения Cz и С( были уже найдены из (4.63). Покажем, что они удовлетворяют (4.65). Применим формулу Грина к функциям со(х) И фо(Х)：

J (中0(N)£ [Si — S Q)厶[ф0])彰= о

=(p (z) (<Po (z) 3,(z) — 3 (x) Фо(Z))| I； = — J <Po (z) % ⑹ фо (z) dx; 0

получим

一 p (Z) 3 (Z) ф； (i) + P (0) 3 (0) Ф； (0) = _ 屮。(E).(4.66)

Но в силу (4.60)

P ⑺屮；⑺=1/Ф1 ⑺，P (0)屮;(0) = 1/Ф1(0),(4.67)

и на основании (4.63) формула (4.66) переходит в выражение °z — Ci =—中0(自)，совпадающее с (4.65). Итак, С( и С2 определены однозначно. Выразим С& через С3 из (4.65), получим

G = G + qh(E),(4.68)

и перепишем (4.62) в виде

GKJi ⑶+ e通⑺+ /")+ % ⑸%⑷，дУ，(4・69)

Здесь остается неизвестным лишь коэффициент С3* Подставляя (4.69) в условие (4.55), получим для определения коэффициента & выражение

С3 J фо(£)dz = J = 一 {J(о (х)(р0 (х) dx + о1о

+ e J 屮1 ⑺ % ⑺ dt +e/%(%)中0(七)上+ %(E)J 就⑺ dz .(4.70)

О

Коэффициент 6\ выражается через С3 по формуле (4.68). Итак, обобщенная функция Грина построена.

Проведенные рассмотрения позволяют сформулировать следующую теорему.

Теорема 4・2・ Необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости краевой задачи (4.46), (4.51) является условие (4.49) ортогональности правой части /(х) уравнения (4.46) совет- венной функции @о(7). При этом решение выражается в виде

y⑶=Jg(z))/低)砲.оy⑶=Jg(z))/低)砲.о(4.71)(4.71)

y⑶=Jg(z))/低)砲.о

y⑶=Jg(z))/低)砲.о

(4.71)

(4.71)

Доказательство. Необходимость условия ортогональности (4.49) и единственность решения краевой задачи были доказаны ранее (см. леммы 4.1 и 4.2); доказательство того, что функция у(н), определенная формулой (4.71), при выполнении условия (4.49) является решением краевой задачи, может быть проведено путем непосредственной проверки.

Замечания. 1. Для упрощения выкладок рассматривалась краевая за- дача с граничными условиями первого рода. Аналогичные рассмотрения и построение обобщенной функции Грина могут быть проведены и в случае общих граничных условий.

Мы предполагаем, что однородная краевая задача (4.47) имеет лишь одно линейно независимое решение фо(^). Соответствующие рассмотрения могут быть проведены и в том случае» когда эта задача имеет два линейно независимых решения ф((х),屮式土) (число линейно независимых решений, очевидно, не более двух, так как порядок уравнения равен двум). При этом собственному значению 入■= 0 краевой задачи на собственные значения (4.24) отвечают две линейно независимые собственные функции 中】(工)，中式工).

Для разрешимости неоднородной краевой задачи в этом случав должны выполняться условия ортогональности правой части уравнения обеим собственным функциям;

J / (х) <р. (х) dx = 0, i = l,2・ (4.72) о

Чтобы имела место единственность, решение краевой задачи надо подчинить аналогичным условиям ортогональности всем собственным функциям, а обобщенную функцию Грина строить как решение неоднородного уравнения, в правой части которого выбирается линейная комбинация собственных функций.

Пример 4.2. Рассмотрим краевую задачу

у" + У = 〃工)，0 < х < л, у(0) = 0, у (冗)=0.

Как легко видеть, соответствующая однородная краевая задача имеет нетривиальное решение qpo (工)~ У2/л sin х (коэффициент 丫2/兀 выбран из условия нормировки (4.48)). Поэтому решение неоднородной краевой задачи существует лишь тогда, когда правая часть /(n) удовлетворяет условию ортогональности (4.49)

J /(£)sin х dx = ^t о

и для того, чтобы это решение представить по формуле (4.57), нужна обобщенная функция Грина.

Перейдем к ее построению. Найдем частное решение <о (х) уравнения

2»

з"十 ①=——sin § sin х.

Будем искать его в виде(о = Ах cos х. Непосредственной подстановкой в урав- пение найдем значение постоянной Л = — sin g и получим

(Se 三)上 cos 上.

В качестве частного решения однородного уравнения, не удовлетворяющего заданным граничным условиям, выберем функцию ф| (г) «= cos х.

Согласно (4.62) обобщенную функцию Грина рассматриваемой задача следует искать в виде

G Z Е)G Z Е)—(sin g )х cos х +—(sin g )х cos х +q cos 工十％ sin x, q cos 工十 Q sin x,q cos 工十％ sin x, q cos 工十 Q sin x,0<x<5, E ^^ 工 ^^ h.0<x<5, E ^^ 工 ^^ h.

G Z Е)

G Z Е)

—(sin g )х cos х +

—(sin g )х cos х +

q cos 工十％ sin x, q cos 工十 Q sin x,

q cos 工十％ sin x, q cos 工十 Q sin x,

0<x<5, E ^^ 工 ^^ h.

0<x<5, E ^^ 工 ^^ h.

Требование удовлетворения граничным условиям G(0,匕)=0, G(n, Е) =0 дает уравнения для определения постоянных Ct и С2:

G == 0,—sin Е — С2 = 0, откуда & = 0, G = —sin g.

Условия непрерывности функции G(工.Е) при х = g и скачка ее производной в этой точке с учетом найденных значений С\ и Cj приводят к уравнениям ДЛЯ ПОСТОЯННЫХ Сз и

Q sio Е + sin в соя в — С sin Е ~ 0,

sin2 Е + & cos Е — Сз cos £ == 1, откуда С& == Сз + cos Е и выражение для G(w, Е) принимает вид

1( О,

G (工 Е) = — (sin £)х cosСя sin 上 + /. tt .

' ‘ 3’ 几 '6’31 I—sin g cos x -f* cos Ssin xt

Постоянную Сз найдем из условия ортогональности функции G(h, g) к функции ф0 (н) = j/^ sin 工：

J G (z, E) sin x dx = 0. о

Вычисляя соответствующие интегралы, получим

что дает окончательное выражение обобщенной функции Грина рассматриваемой задачи в виде

G (工，目=^■(工 sin Е cos х + Е cos £ sin х) — ^ sin £sin x —

cos E sin 工，0 W 工 & E,

sin E cos 工，E W 工 & зт.

С помощью найденного выражения обобщенной функции Грина и пред- ставлевия (4.57) легко получить решевие неоднородной краевой задачи в том случае, когда правая часть /(z) уравнения удовлетворяет условию ортогональности л

J 门工)%⑺d工=0. о

Зададим функцию /(т) конкретно, а именно положим /(工)=cos х и будем искать решение краевой задачи

у" + У = cos 上，0 V 土 V л, у (0) — 0, у (л) = 0, ортогональное собственной функции sin 芻 соответствующей однородной краевой задаче

J у (z) sin 工 dz = 0 о

Пользуясь только что полученным выражением обобщенной функции Грина н представлением (4.57), после несложных вычислений элементарных интегралов найдем

У (х) — sin х — n sin x.

Легко проверить, что найденное решение удовлетворяет условию ортогональности собственной функции sin х.

Отметим, что, в силу уравнения (4.2), построенная обобщенная функция Грина определяет амплитуду установившихся гармовических колебаний закрепленного на концах однородного упругого стержня при внешнем воздействии специального вида. А именно, частота внешней силы — резонансная, т. е. совпадает с частотой собственных колебаний стержня, при которой амплитуда собственных колебаний стержня описывается функцией фо(^)- Однако пространственное распределение амплитуды внешней силы таково, что амплитуда вынужденных колебаний, не парастая во времени, остается ограниченной. Это достигается выполнением условий ортогональности: и правая часть уравнения, а также обобщенная функция Грина, и само решение неоднородной краевой задачи ортогональны собственной функции 屮о(н)・

В данном примере обобщенная функция Грина G (工,Е) имеет физический смысл амплитуды у установившихся колебаний закреплепного на концах упругого стержня при периодическом внешнем воздействии с резонансной частотой, которое представляет собой сумму сосредоточенной силы, приложенной в точке Е, и силы, распределенной по всему стержню с плотностью sin х и ам-

•2 .

плитудои— sin

Заметим, наконец, что мы рассматривали идеализированный случай точного выполнения условий ортогональности амплитуды внешнего воздействия амплитуде собственных колебаний. В реальных задачах эти строгие условия, как правило, не выполняются, что может привести к очень большим амплитудам установившихся колебаний при частоте внешнего воздействия, близкой к резонансной, или к несуществованию решения рассматриваемой задачи об установившихся колебаниях. При этом следует иметь в виду, что в случае больших амплитуд рассматриваемая линейная математическая модель, достаточно адекватно описывающая малые колебания, уже не применима и должна быть заменена более сложной нелинейной моделью.

Задачи на собственные значения

В § 1 была поставлена задача на собственные значения, заключающаяся в определении тех значений параметра X, при которых на [О, Z] существуют нетривиальные решения однородного уравнения

4yl+ 九Р(н)У(н) = 0, (4.73)

удовлетворяющие однородным грапичным условиям

jy'(0)+ МУ(°) = °， a2y'(%)+ 卩疆 〃)==0. (4.74)

Будем считать, что функция р(х)> 0 непрерывна на [0, Z], а в отношении коэффициентов, входящих в дифференциальный оператор £, выполнены те же требования, что и в § 2. При этом функция Грина краевой задачи (4.26) существует и является симметричной функцией своих аргументов.

Задачу на собственные значения, т. е. задачу отыскания нетривиальных решений однородного уравнения (4.73), удовлетворяющих однородным грапичньш условиям (4.74), часто называют задачей Штурма ■— Лиувилля, а сами нетривиальные решения ——собственными функциями этой задачи.

Собственные функции задачи Штурма——Лиувилля обладают рядом замечательных свойств, которые широко используются не только при решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, но и при решении краевых задач для уравнений в частных производных, а также для решения многих других математических проблем. Большинство этих свойств можно проще всего доказать путем сведения краевой задачи (4.73), (4.74) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром. Однако изучение интегральных уравнений выходит за пре-

дели материала настоящей книги ). Поэтому мы приведем здесь частично без доказательства основные свойства собственных значений и собственных функций краевой задачи (4.73), (4.74). В конце параграфа будет дано сведение рассматриваемой краевой задачи к интегральному уравнению Фредгольма второго рода.

Имеют место следующие свойства собственных значений и собственных функций краевой задачи (4.73), (4.74)：

Существует бесконечное счетное множество {Хп} собственных- значений и соответствующая им бесконечная последовательность {(/„(х)} собственных функций. Все собственные значения можно занумеровать в порядке возрастания их абсолютной величины

儿1 《 I2J(4.75)

Каждому собственному значению соответствует с точностью до постоянного множителя только одна собственная функция. В этом смысле говорят, что ранг собственных значений равен единице.

Доказательство. Действительно, предположим, что одному собственному значению отвечают две линейно независимые собственные функции t/i(x) и 打(工)(более двух не может быть, так как порядок уравнения равен двум). Из (4.74) следует a^Ut (0)丄 + Pi!/t (0) = 0 (i == 1, 2). Отсюда А (уЕ(0),力前)=0 и, следовательно, 16(工)，y*(z) линейно зависимы.

Замечание. В случае более сложных краевых условий ранг собственного значения мо?кет быть равен двум (но не более двух, так как порядок уравнения равен двум). Собственные значения ранга 2 будут иметь место, в частности, при периодических граничных условиях. В качестве примера рассмотрим краевую задачу /'+入уй0, *(0)0?(2冗)，?‘(0) = /(2门).(4.76)

Как легко видеть, собственные значения Xft 匸"'этой задачи имеют ранг, равный двум. Каждому Хп соответствуют две линейно независимые собственные функции

уп,⑴(工)=sin孔工, уп, о (工)^ cos孔工.

8 случае граничных условий у (0) ^ у (Z) = 0 и при выполнении условия д(х)> 0 все собственные значения краевой задачи (4.73), (4.74) положительны: Хп > 0.

Для доказательства умножим уравнение для собственной функции уп(х)

^[p(N)^J — qg)!M(N)+ Mp(N)yn(z)HO (4.77}

на функцию у“(н) и проинтегрируем результат, по [0, /]. Получим

J言 L ⑺翁]Уп (N) dz— J g (z)成(z) " + %n J P (z)说(z) dz = 0. ооо

(4.78)

Преобразуя первый интеграл по частям, в силу граничных условий окончательно получим

!//

Xn J Р (х)说(z) dz = Jр ⑺[芸]dx + ^q (x)鳍(z) dz, (4.79) оо0

что и доказывает утверждение.

Собственные функции уп(х) образуют на [0, 2] ортогональную с весом р(х) систему {%(工)}：

J Уп(Z)Ут (z) Р (工)dz = 0, п 娱 т.(4.80)

О

Действительно, так как каждому собственному значению отвечает только одна собственная функция, то остается рассмотреть случай, когда собственные функции ^п(х) и Уе(к) соответствуют различным собственным значениям Хп ^ Хт.

Запишем для этих собственных функций уравнения

L[yn] + А,„р (х)уп = 0,Е[ут] + Хтр (%) gm = 0(4.81)

и, применив формулу Грина, получим

j {Уп (?)厶【Ут] — Ут(Z)厶 Wn]}厶= О

=仇n — Xm) J Уп (x) ym (x) p (x) dx =0

=[p (z) (y“(2)i/m (Z) — ym (z)応(z))] I；.(4.82)

Полученное выражение, очевидно, обращается в нуль, так как обе собственные функции уп (х) и Уе(%) удовлетворяют однородным граничным условиям (4.74). Так как Хп =/= Х^, то отсюда и следует наше утверждение.

5・ Теорема разложимости В. А, Стеклова. Если функция /(х) дважды непрерывно дифференцируема на [0, /] и удовлетворяет однородным граничным условиям (4.74), то она разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся на [0, /] ряд по собственным функциям 勿(工)задачи (4.73), (4.74)

〃z)=玄/勿Q).(4.83)

Доказательства теоремы Стеклова мы здесь приводить не будем. Укажем только, что свойство ортогональности собственных функций позволяет легко определить коэффициенты разложения /п в формуле (4.83). Действительно, умножая обе части формулы (4.83) на ут(н)р(н) и интегрируя результат по [0, 2] (почлеппое интегрирование ряда возможно в силу его равномерной сходимости), на основании (4.80) получим

"⑴%⑺p⑶介

爲 _ JL_・(4.84)

j 吟(x) P ⑺ dtо

Выражение, стоящее в знаменателе, называется квадратом нормы собственной функции и обозначается

5m F = A^m = J Ут (z) р (z) dx.(4.85)

о

Так как собственные функции определены с точностью до множителя, то во многих случаях их нормируют так, чтобы Nm <= 1. В этом случае система {yn(N)} является ортонормированной.

В заключение кратко остановимся на сведении рассматриваемой краевой задачи (4.73), (4.74) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром. Согласно сделанным выше предположениям функция Грипа G(n, Е) задачи (4.26) существует и является симметричной функцией своих аргументов. Записав уравнение (4.73) в виде

4!/] = -*(z)!/(z)，(4.86)

на основании результатов предыдущего параграфа получим

y(x)^-K^G(X, ^p^)y^dl.(4.87)

О

Соотношение (4.87) называется однородным интегральным уравнением Фредгольма второго рода. Из приведенных рассуждений следует, что любое нетривиальное решение краевой задачи (4.73), (4.74) удовлетворяет и интегральному уравнению (4.87). С другой стороны, если у(н) является решением уравнения (4.87), то из теоремы 4.1 следует, что у (х) является решением краевой вадачи (4.26), где /(工)=—九p(n)«(n), т. е. у(х) является решением задачи (4.73), (4.74). Тем самым имеет место эквивалентность исходной краевой задачи Штурма —— Лиувилля и интегрального уравнения (4.87). Те значения параметра 九$ при которых существуют нетривиальные решения уравнения (4.87), называются собственными значениями, а соответствующие им решения — собственными функ-

циями уравнения (4.87), Из установленной эквивалентности следует, что краевая задача (4.73), (4.74) и интегральное уравнение (4.87) имеют одни и те же собственные значения и собственные функции.

Так как функция Грина G(n,自)является симметричной функцией своих аргументов, ядро —G(n,自)р(Е) интегрального уравнения (4.87), вообще говоря, несихгметричпо, Однако это уравнение легко свести к интегральному уравнению с симметричным ядром. Действительно, умножив (4,87) на Ур ⑺ и обозначив u(e) = —/p(z)г/(^), получим интегральное уравнение

"(2)=%J能(z，e)以ё)臂 (4.88) О

с симметричным ядром

箔& a = -G(z, Е)УЙ^УУ^У. (4.89)

Очевидно, краевая задача (4.73), (4.74) и интегральное уравнение (4.88) имеют общие собственные значения Хп, а соответствующие этим собственным значениям собственные функции уп (z) краевой задачи (4.73), (4.74) и собственные функции ип(х) интегрального уравнения (4.88) связаны соотношением

yn(N)= un(N)/yp(N)・ (4.90)

Тем самым известные из теории интегральных уравнений свойства собственных значений и собственных функций интегрального урав- пения Фредгольма второго рода с симметричным ядром дают возможность сделать заключение о свойствах собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма ——Лиувилля.

ГЛАВА 5

ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

§ 1. Постановка задачи

Рассмотрим систему уравнений

(5.1)(5.1)翁=尸色y)，

(5.1)

(5.1)

(5.2)(5.2)в которой неизвестной является n-мерная вектор-функция у с компонентами у】,уп・ Зададим начальное условие

(5.2)

(5.2)

У(О) = Уе・

Из § 5 гл. 2 известно, что прп определенных ловиях гладкости на правые части (5.1) решение чи (5.1), (5.2) является непрерывной функцией 力Из § 5 гл. 2 известно, что прп определенных ловиях гладкости на правые части (5.1) решение чи (5.1), (5.2) является непрерывной функцией 力естественных ус- Р = Р(力 勿)задало в точке (厶 у0).

Из § 5 гл. 2 известно, что прп определенных ловиях гладкости на правые части (5.1) решение чи (5.1), (5.2) является непрерывной функцией 力

Из § 5 гл. 2 известно, что прп определенных ловиях гладкости на правые части (5.1) решение чи (5.1), (5.2) является непрерывной функцией 力

где £ — произвольное значение из некоторого конечного сегмента [О, Т]. Геометрически это означает (рис. 8, на котором представлен случай одномерного у), что для любого е > О существует столь малое lAyJ, что интегральная кривая у = у (厶 Уо + + △^0) будет лежать в полосе шириной 2е около интегральной кривой y = y(tt у。)，если £曰[0, Т]. Таким образом, малая погрешность в

начальных условиях не оказывает

существенного влияния на характер процесса, если процесс рассматривается на некотором конечном отрезке [О, Т] времени t.

Однако нередко требуется исследовать процесс на как угодно больших промежутках изменения времени, что математически выражается в том, что решение задачи (5.1), (5.2) следует рассматривать при О С £ < °°. Будем заранее предполагать, что решение задачи (5.1), (5.2) существует ва этом бесконечном промежутке. Возникает вопрос, останется ли кривая gRy(£, Уо + Ау。) в е-поло- се около кривой у = у(£, р。) для всех i > 0, если только |Ау/ достаточно мало или с ростом £ кривые разойдутся?

Примеры показывают, что может реализоваться и тот и другой случай. Рассмотрим простейший пример. Уравнение 黑=©У ——1 обладает решением у (% ^0) = 1/а, начальное значение которого у。= 1/а. Пусть теперь начальное значение равно у0 + Ду0. Отвечающее этому начальному значению решение дается формулой

У «, % + А%) = (% + А% _ 4■尸'+ ； = ^y^at + 4-

Отсюда видно, что если а < 0, то | Ay I = | У (% % + △%) — ^ | = =I А% I е卅 <е для всех t ^ 0, если только I Д(/о1 V е. Если же а > О, то при достаточно больших t значение |Ау| становится сколь угодно большим, как бы мало ни было |Ау()1.

Интегральная кривая, обладающая тем свойством, что все достаточно близкие к ней при i == 0 интегральные кривые остаются близкими к ней и для всех i > 0, называется устойчивой интегральной кривой, а соответствующее ей решение ——устойчивым решением. В противном случае говорят, что решение неустойчиво. В рассмотренном примере решение у = 1/а при а < 0 является устойчивым решением, а при а > 0 ——неустойчивым решением. Решения, рассматриваемые на [0, °°), делятся, таким образом, на два непересекающихся класса: устойчивые и неустойчивые.

Понятие устойчивости решения было введено А. М. Ляпуновым. Им же были заложены основы методов исследования на устойчивость. Идеи А. М. Ляпунова сохранили свое значение до сих пор и широко используются в современных исследованиях вопросов устойчивости.

Дадим теперь строгое определение поннтмя устойчивости. Введем обозначение 1у1=уу1+ ••一 + Уп, где “ (i = 1, ..п) — координаты вектор-функции у.

Определение ). Решение у = у (厶 у。) задачи (5.1), (5.2) называется устой ч*и вым по Ляпунову,, если для любого е > О существует 6(e) такое, что при 11Ду0Н < 6(e) для всех i > 0 справедливо неравенство

lly(t, у0 + ^у^—у^, г/о)II < е. (5.3)

Среди устойчивых решений может встретиться решение, обладающее тем свойством, что все близкие к нему в начальный момент решения не только не удаляются с течением времени, но бесконечно приближаются к нему. Поэтому вводится еще одно

Определение. Решение у==у(», у。) задачи (5.1), (5.2) называется асимптотически устойчив ым^ если 1) оно устойчиво

и 2) существует такое достаточно малое 6° > 0, что при 11Дг/011 < 60

(5・4)(5・4)Jm (у (г, у0 + △%) — у (г, %)) = 0.

(5・4)

(5・4)

Исследование на устойчивость решения y(tt у0) можно свести к исследованию на устойчивость тривиального, т. е. тождественно равного нулю решения некоторой другой системы, связанной с (5.1). Действительно, перейдем от неизвестного у к новому неизвестному н по формуле х = у — у (t, yQ). Тогда система (5.1) примет ВИД

^ = 〃t, z),(5.5)

где / (力 н)=尸(九 н + у (£, %))—五 У 伍 i/o). Решению у (厶 yQ) в прежних переменных отвечает решение 立三0 системы (5.5). Обозначим /ну (0, i/o + Ау°) — у (0, 1/0) = Ау。， н (厶 х0) = у (力 z/o + Ay" - у (i, i/0). Тогда в переменных £, х определения устойчивости и асимптотической устойчивости выглядят следующим образом.

Определение. Тривиальное решение системы (5.5) называется устойчив ым по Ляпунову^ если для любого е > 0 существу- ет 5(е) такое, что при Ил：0!1 < 6(е) для всех £>0 справедливо неравенство

1历(Е,/)II V e. (5.6)

Определение, Тривиальное решение системы (5.5) называется асимптотически устойчивым, если 1) оно устойчиво и 2) существует 6° > 0 такое, что при Un()U V 60

Ктн (力 ％) = 0. (5.7)

Замечание. Иногда в записи 土(厶 玄)опускают зависимость от х0 и пишут н(£), а т0 можно тогда записать как х(0), и тогда устойчивость означает, что

b ⑴口 V е(5.8)

при

Ь(0)口 V6(£),(5.9)

а асимптотическая устойчивость ——что, сверх того,

lim н (£) = 0,(5.10)

если Un (0) I! V б0.

В дальнейшем мы будем знакомиться с методами исследования на устойчивость именно тривиального решения.

Устойчивость тривиального решения допускает удобную геометрическую интерпретацию не только в (п + 1)-мерном пространстве переменных 厶 н, но и в n-мерном фазовом пространстве перемен-

ных х (понятие фазового пространства было введено в гл. 1). Наглядное изображение здесь можно дать для случая и = 2 (рис. 9). Тривиальное решение в фазовом пространстве изображается точкой ——началом координат. Неравенство (5.8) в двумерном случае означает, что фазовая траектория при £ > 0 лежит в круге радиуса £ с центром в начале координат, а не-i ^

равенство (5.9) — что начальная точка，

траектории лежит в круге радиуса 6(e),е

т. е. траектория, начинающаяся в 6-ок-

рестпости начала координат, не выйдет/ С А \

из е-окрестности начала координат при /\

всех / > 0; в случае асимптотической / ? 卜)>

устойчивости траектория при t f 8 Г"""Л"J } I

бесконечно приближается к началу координат.X.丿

Замечание. Вместо того чтобы го-^

ворить об устойчивости тривиального ре-1

теннн, часто говорят об устойчивостиРнс. 9

точки (0,…，0) фазового пространства.

Рассмотрим систему двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

g У(511)

где Л ——постоянная (2 X 2)-матрица:

А = (У ?)・\ 2122 /

Система (5.11) имеет тривиальное решение х = 0. Будем исследовать его на устойчивость. Поскольку решение системы (5.11), удовлетворяющее произвольным начальным условиям, выписывается явно, то устойчивость или неустойчивость тривиального решения можно установить непосредственно. В общем случае этого сделать нельзя. Однако результаты, которые мы получим для (5.11), подскажут направление исследования общего случая.

Получим сначала некоторые вспомогательные неравенства*

Согласно изложенному в §§ 6 и 7 гл. 3 решение 工(厶工о) системы (5.11), принимающее начальное значение х0, представимо в виде 工《，仇)=%7厶0)工 。,(5.12)

где ЛГ(£, 0)=汐⑴汐-'(О); W(t)—фундаментальная матрица, имеющая в качестве столбцов два линейно независимых решения:

н⑴⑴,&=(а(2)2丿 е .(5.13)

Здесь Xi,九2 ——характеристические числа матрицы А (корни харак-

теристического уравнения), а ос⑴* — некоторые числа, если 九入2, и многочлены по t степени не выше первой, если Zi = 12.

Пусть % =仍+句“ Тогда |е"'| = е*# и для элементов 贸、、матрицы X (^ 0) справедлива следующая оценка:

l^o-l v(& + C“)eP‘，(5.14)

где р = шах {р^ рг); С\, С2 — некоторые постоянные, причем С2 = О в случае 九£誨九2. Неравенство (5.14) можно записать (учитывая, что при любом 7 > 0 имеет место неравенство Ее""*' & — е"1 = С3) также в следующей форме:

IK」V (a + е“)eт78m c (а + aa)687匕

Т，&|釐川 VCG+叫(5.15)

Получим еще одно вспомогательное неравенство. Пусть у = = 4(t)z, где у, х — столбцы, Л (0 — квадратная матрица. Пусть элементы А (/) подчиняются неравенству la“(£)l Va(£). Тогда

llyll W 2a⑴任口・(5.16)

Действительно, для двумерного случая имеем у^ — а^х^ + ai2^2 и, следовательно,

УI в ^ц*^1 + ^12^*2 + 2ali旬2忆1&*^^

& a：iH； + fli2^ + I Mil I "121(2； + 式)W 2a2 (工；+ n；).

Учитывая аналогичную оценку для y2l получим у； + У： & 4a?(n； + + н；), что равносильно (5.16).

Применяя неравенство (5.16) к (5.12) и беря в качестве a(t) правую часть (5.14) или (5.15), получим (коэффициент 2 можно включить в & или С)

b(力 /)ПМ (С^С21)е^х^у(5.17)

任(力仇川WCd"T)tb乩(5.18)

Обратимся теперь непосредственно к исследованию тривиального решения системы (5.11). Рассмотрим разные случаи.

Пусть pt = Re Z5 < 0, с и Re A2 Vo. Тогда р — max {pt( р2)*^ < 0 и, следовательно, при достаточно малом т имеем р + *у < 0. Тогда для любого е > 0 получим из (5.18) llx(Z, х0)П ^ СНх0И < е, если 11х0Н < е/С = 6(e), и, таким образом, тривиальное решение си- зтемы (5.11) устойчиво. Из (5.18) видно также, что х(^ х0) О ри / f 8 и, таким образом, решение асимптотически устойчиво.

Пусть среди р^ р3 имеется хотя бы одно положительное, например 卩加 В этом случае, как нетрудно видеть, тривиальное решение системы (5.11) устойчивым не является. Допустим про- дивное, т. е. что для любого е > 0 существует 6(e) такое, что при

llz0H < 6(е) справедливо llzll < е. Дальнейшие рассуждения будут несколько различаться в зависимости от того, являются Х( действительными или комплексно сопряженными. При действительных 储 достаточно рассмотреть решение х — Cx(i}. При достаточно малом К丨，очевидно, l!z0!f < 6(е)т но неравенство (Izll < е не может быть выполнено при всех i > и, так как е L > оо при t f 8. Если же комплексные, то р( = 〃 = р,储=р + iq и рассмотрим решение х = =С Re z(1}. При достаточно малом \С\ по-прежнему liz0!i < 6(e). Возьмем одну из компонент этого решения, отличную от тождественного нуля, например xt = C^i (i) ер\ где 0〕(£)—некоторая внолне определенная линейная комбинация cos qt и sin gt Очевидно, 土 1 не является ограниченным при £->8, 口 поэтому неравенство !lzl! V е также не может быть выполненным при всех £>0.

Осталось рассмотреть случай, когда р； = 0, р2 < 0 или /^ = =〃 =0. Последнее означает, что Xt и Х2 либо чисто мнимые, либо равные нулю и кратные. В случае р{ = 0, р2Vo или чисто мнимых 3 в формуле (5.17) р'= 0, & 匸 0, так что Wx(t, z0)ll < С^хй\\ и решение устойчиво по тем же причинам, что и в 1. Асимптотической устойчивости здесь, однако, уже не будет, так как, очевидно, найдутся решения, не стремящиеся к нулю при £ f 8. В случае pz = 0f 卩2 v 0 таким решением будет, например, решение вида х — Cx(i}1 для которого при достаточно малом \С\ величина UnJI как угодно мала, однако Nzl! = const т^ 0 при 方+8. При чисто мнимых 九％ очевидно, z = С Re 文⑴ 分 0 при i

Если же Xi = Х2 = 0, то е ^ = е 2 = 1, а а⑺(一линейные функции 力 и поэтому неравенство Hz(J n())U < е не может выполняться для всех £ > 0, за исключением того случая, когда все а(；)《 вырождаются в многочлены нулевой степени. Но этот случай реализуется лишь при &擋=0, и решение тогда имеет вид ^『仇匕 z2 = z02 и, очевидно, является устойч且beim, но не асимптотически.

Замечание. Нетрудно видеть, что проведенный анализ в значительной мере остается справедливым и для n-мерного случая. Так сохраняется оценка (5.15) для Ж^ неравенство (5.16), в котором изменится только то, что вместо коэффициента 2 появится некоторая величина, зависящая от п. Останется справедливым неравенство (5.18). Нетрудно видеть также, что рассуждения, приведенные в 1, 2, фактически без изменений переносятся на n-мерный случай.

Подводя итоги, можно сделать вывод, что тривиальное решение однородной системы нелинейных уравнений устойчиво и притом асимптотически, если Re Х( < 0 для всех % и неустойчиво^ если Re X： > 0 хотя бы для одного 厶

При наличии характеристических чисел с равной нулю действительной частью ситуация является более сложной. Дополнительный анализ показывает, что если характеристические числа с равными

нулю действительными частями не являются кратными, то при условии, что прочие 入 удовлетворяют требованию Re 1 < 0, будет иметь место устойчивость, но не асимптотическая. Если же среди % с нулевыми действительными частями имеются кратные, то устойчивости, вообще говоря, пе будет, даже если для прочих % имеет место неравенство Re % < 0.

§ 2. Исследование на устойчивостьпо первому приближению

Обратимся к системе общего вида (5.5) и рассмотрим так называемый автономный случай, когда / не зависит явно от t Запишем систему в координатной форме

= /i (^i* • • •» ^n), i 11 • • •,儿(5.19)

Так как понятие устойчивости тривиального решения связано с малой окрестностью начала координат в фазовом пространстве, то естественно ожидать, что поведение решения системы (5.19) будет определяться главными членами разложения / по х в окрестности 8 = 0. Так как /<(0, ..., 0) = 0 (поскольку х — 0 является решением системы (5.19)), то главными членами будут линейные члены разложения / по 工,или, как их иначе называют, члены первого приближения.

По формуле Тейлора, учитывая, что /,(0, ..., 0) = 0, имеем

厶(％,…，Nn) = S。认小 + E(2)i(5.20)

A=1 где

。谓=垣(0,.•0),

^(2)i = у 2 дх дх(°4，°今)“产!•(5.21)

Если в (5.20) отбросить /?(2)*, то вместо (5.19) получим линейную систему вида

4 。认4,(5.22)

которую будем называть системой первого приближения для системы (5.19). Поведение системы (5.22) в отношении устойчивости или неустойчивости тривиального решения определяется свойствами корней % характеристического уравнения, как было выяснено в конце предыдущего параграфа. Можно ожидать, что те же требования на % обеспечат не только устойчивость или неустойчивость тривиального решения системы (5.22), но и тривиального решения ис-

ходной системы (5.19). Как будет видно ниже, это предположение оправдывается. Однако, прежде чем формулировать соответствующую теорему, докажем лемму, содержащую некоторые вспомогательные неравенства, которые потребуются при доказательстве теоремы. В дальнейшем, как это нередко делается, все встречающиеся положительные постоянные, величина которых не играет существенной роли, будем обозначать одной и той же буквой С (так, в (5.17) можно было бы написать Ь (力/)М《(С + 67)^3/11 и т. д.).

Лемма 5*1. Имеют место следующие утверждения:

1°, Пусть у является вектором с компонентами

h=l

где laiA(Z) I < a(t). Тогда

"“I V Ca(t) llzll.

2°. Пусть у является вектором с компонентами

勿=£ 4外(С) N产

где lflij/(/) I < a(t). Тогда

0(/!l < Ca(t) llzil2,

3°. Для любой пары векторов х и у справедливо неравенство

Hz + yll W С(H/II + Uy").

4°. Для любого вектора у справедливо неравенство

Оо

5°. Для матрицанта <^(С,己)линейной системы (5.22) справедливо неравенство

I忆〃己)I = Ми (С - 3 0) I V Се^^\(5.23)

где р = max (Re 储)，у — положительная постоянная. 4=1 …，n

Доказательство. 1°. Утверждение было доказано для двумерного случая (см. (5.16)). Для произвольного п, как было уже отмечено в предыдущем параграфе, доказательство проводится подобным же образом.

2°. Утверждение доказывается при помощи аналогичных соображений, поэтому доказательство опускаем.

3°. Имеем

(н + y)t = & + у{ => (Q + /产=N； + У： + 2々打忘

《同2 + 团2 + 2||z||||y||=(I罔 I + ||j/||)2=>k + y|F& ^nchii + hiir^h+i/iKcchii + hii) (C = v^.

4°. Имеем

(!“*)=!“延今(!“*)•&

<(jhll^y=^ 卜交卜。力^雄(c = /n).

Замечание. Указанные неравенства легко следуют из теорем линейной алге口ы.

5* Для X(t^ ^) справедливо неравенство (5.15):

1Х)(/, 0)\<Се(^(5.24)

(см. замечание в конце § 1). Убедимся, что ^(^ ^) = ЛГ(^ — 5» 0)- Действительно, Jif (f, ^) удовлетворяет уравнению —X (^ *)=

= АХ (力 Е) (4 ——матрица с элементами а**) и начальному условию Jif卜=自=宣(Е, Е) = Е. Заменяя независимое переменное t на 力一* и учитывая, что А =^ const, получим, что X(t— ^, 0) удовлетворяет тому же уравнению и начальному условию ЛГ|(_5=0 = Л (0, 0) = Е. Поэтому в силу теоремы единственности

光7力 Е) м^«Т 0).

Отсюда и из (5.24) последует (5.23).

Сформулируем теперь теорему, обеспечивающую возможность судить об устойчивости или неустойчивости тривиального решения системы (5.19) по характеристическим числам матрицы первого приближения.

Теорема 5,1, Пусть 8 некоторой окрестности точки Qi = 0,... .・.,％п == 0 厶(小，...,хп) (i = 1, ..., m) непрерывны вместе с производными до второго порядка включительно. Тогда, если все харак- теристические числа Х< матрицы с элементами aik = — (0, ..., 0) dxh удовлетворяют условию Re N V 0, то тривиальнее решение системы (5.19) устойчиво и притом асимптотически.

Доказательство. Пользуясь представлением (5.20) для правых частей (5.19) и рассматривая (5.19) как систему (3.71), в которой / = /?(2” перейдем от дифференциального уравнения (5.19) с начальным условием х(0) = х0 к эквивалентному интегральному

уравнению (см. (3.87))

н = £ (力 0) % + j■須(t, E) E(2)(E)成.(5.25)

0

Рассмотрим некоторую окрестность Q точки х — 0 фазового пространства. Пусть для определенности Q задается равенством UhU 4 WK, где К——некоторая постоянная. Согласно лемме 5.1 в области Q для /?(2)справедлива оценка 117?(2)Н < С^х^г и от (5.25) можно перейти к неравенству

II2 КСеР И % II + С j е-"Т) I, н『嗎(5.26)

о

где —а = р + 7，Так как в рассматриваемом случае р < 0, то при достаточно малом 7 имеем а > 0.

Рассмотрим теперь вспомогательную скалярную задачу

^ = — az + Cz2, z(0) = Zq >СЕ]卜(5.27)

Это уравнение элементарно интегрируется (как уравнение с разделяющимися переменными или как уравнение Бернулли), и решение имеет вид

Это решение, как нетрудно видеть, обладает следующими свойствами:

1) z > 0 при f > 0, если Z。достаточно мало: z0 V a/C; az

для любого е > 0 имеем z <； -7~工尸^zo и» следова-

% 十 a

тельно, z < е, если z0 < е;

z ⑴ f0upn£f 8.

Напишем теперь для z(t) интегральное уравнение по типу (5.25):

Z = Zoe-a‘ + С j е-а«-%2虑(5.28)

о

и сравним ПнП и z. Убедимся, что при £》0 справедливо неравенство

bU Vz.(5.29)

В самом деле, при £ = 0 неравенство (5.29) справедливо, так как, полагая в (5.26) £ = 0, получим "n()IIv z(). Предположим, что при некотором значении ^ = f4 неравенство (5.29) перестает выполняться и имеет место 1历(厶州=z(tj・ Из свойства 2) функции z(t) следует, что при достаточно малом z() имеем llzll & К для f > 0.

При 0《£《九 справедливо (5.29), и поэтому \\х\\ ^ К (т. е.工三0). Таким образом, при 0&方&友 справедливо неравенство (5.26), и при t = ti имеем

Z G1) = zoe-afl + с J ef「％2密=|| 工(幻 |W О

《叩。仁修 +Cf efN"睡Vz“f+ e「一*$2% О о

Сравнивая крайние члены этой цепочки неравенств, получим противоречие в виде 1 < 1, что и доказывает справедливость (5.29) для £ > 0・

А теперь, воспользовавшись неравенством (5.29), нетрудно уже получить утверждение теоремы. В самом деле, пусть задано любое е > 0. Вовьмем 11х0И < е/(2С) = 6, a z。выберем так, чтобы выполнялось неравенство Об < z0 < 2С6 = е. Тогда будет выполнено требование Zo > СкоИ в (5.27), и, в силу (5.29) и свойства 2) функции z, будем иметь Н^И < я < z0 < е при Нх0И < 6, т. е. тривиальное решение системы (5.19) устойчиво. То же неравенство (5.29) вместе со свойством 3° функции z(£) обеспечивает асимптотическую устойчивость тривиального решения системы (5.19).

Замечания. 1. Нами доказана теорема об асимптотической устойчивости. Имеет место также следующее утверждение о неустойчивости: если Re 九^>0 хотя бы для одного it то тривиальное решение системы (5.19) неустойчиво.

Утверждения об асимптотической устойчивости и о неустойчивости остаются справедливыми и для случая, когда / зависит явно от £, если только справедливо представление % (н, ») = £ 。消工冗十兄，где 。门—const, а Ц/?[| V Ve任|卩+气 a > 0 - любое.

Если среди 入 встречаются такие, для которых Re 入=0, то даже если тривиальное решение системы первого приближения (5.22) устойчиво, тривиальное решение системы (5.19) в зависимости от Я может быть как устойчивым, так и неустойчивым. В этом случае, который обычно называется критическим^ зная только характеристические числа матрицы первого приближения, нельзя, вообще говоря, сделать вывод об устойчивости при неустойчивости тривиального решения системы (5.19). В критических случаях. метод исследования на устойчивость по первому приближению теряет силу и нужно использовать свойства последующих членов в разложении (5.20) или другие методы.

§ 3. Метод функций Ляпунова

Метод исследования на устойчивость, изложенный в предыдущем параграфе при всей его естественности не всегда дает ответ на поставленный вопрос.

А. М. Ляпуновым был предложен также и другой метод. В этом методе заданной системе уравнений сопоставляется некоторая функция от аргументов z», ..., хп. называемая функцией Ляпунова, и по ее свойствам можно делать вывод об устойчивости решения.

Проиллюстрируем идею метода на простейшем примере

寸=-①]+ 4 = 号-2/ =卜寸=-①]+ 4 = 号-2/ =卜(5.30)(5.30)

寸=-①]+ 4 = 号-2/ =卜

寸=-①]+ 4 = 号-2/ =卜

(5.30)

(5.30)

(0б, целиком лежащийточка А ⑵,о, д’ о) ле-(0б, целиком лежащийточка А ⑵,о, д’ о) ле-

(0б, целиком лежащийточка А ⑵,о, д’ о) ле-

(0б, целиком лежащийточка А ⑵,о, д’ о) ле-

По предыдущему мы знаем, что тривиальное решение этой системы устойчиво, так как Xi = —1 < 0, Х2 = —2 V 0. Однако, для того чтобы

убедиться в устойчивости тривиального решения, можно рассуждать и по-другому. Рассмотрим функцию У (々，&) = 2н； + g. Эта функция положительна всюду, кроме точки Zi == 0, х2 — 0, где она обращается в нуль. В пространстве переменных xb д, У уравнение У = 2注 + х| определяет параболоид с вершиной в начале координат. Линии уровня этой поверхности на плоскости (дч, 工2) представляют собой эллипсы. Зададим произвольно малое е. Построим на плоскости (土1,工2)круг(о£ радиуса е. Возьмем одну из линий уровня ——эллипс, целиком лежащий внутри круга(0j Построим другой круг внутри эллипса (рис. 10). Пусть начальная

жит внутри 5.

Рассмотрим функцию двух переменных W(хо д) = (grad 匕 /). Легко видеть, что если вместо хь д подставить решение /(£，， 工2(£) системы (5.30), то полученная таким образом функция от t будет представлять собой полную производную 豆 от У(£】«), х2(0) вдоль траектории решения системы (5.30). Если эта производная вдоль любой траектории, начинающейся в з% неположительна, то это будет означать, что такая траектория не сможет покинуть (0е, так как иначе между i = 0 и значением t =友,при котором она попадает на границу со®, найдется значение Е = /*, для которого ^>0, поскольку V(Xi (/(), д(幻)>Р(£1,о, х2,0). То, что ни одна траектория, начинающаяся в Зб, не покидает ни при одном i > 0 круг з“ означает устойчивость тривиального ре

шения.

Итак, мы должны проверить знак 而 вдоль траектории. Для этого надо знать саму траекторию. Хотя в данном примере это можно сделать, но метод должен быть рассчитан на систему общего вида, для которой х^ (/), х2 (i) нельзя выписать явно и тем самым проверить нужное неравенство. Поэтому мы будем требовать, чтобы

функция W(хн х2) была неположительной как функция двух независимых переменных %“ х2 по крайней мере в некоторой окрестности (0, 0). Это условие можно проверить непосредственно по правым частям системы, не зная решения. В нашем примере именно так и будет, поскольку W (々，z2) = — 2 [(々 一 z2)2 + n； + 玻]& 0 всюду на плоскости (工㈠ z2), а тем самым вдоль любой траектории, и устойчивость тривиального решения гарантирована.

Функция ^(工匕二？), участвующая в этих рассуждениях, и есть функция Ляпунова для рассматриваемого примера. Она имеет вид квадратичной формы 2н： + н；, хотя в принципе вместо 2н； + /； можно было бы взять и другую функцию, лишь бы она была положительной всюду, кроме точки (0, 0), где она обращается в нуль, а выражение (grad 匕/)三 W(g, д) было неположительным. Подчеркнем еще раз, что в приведенных рассуждениях важны как положительность функции 広，так и неположительность функции W, значение которой вдоль траектории представляет собой полную производную от V по С вдоль траектории.

Обратимся теперь к формулировке и доказательству некоторых общих теорем, в основу которых положена эта идея. Будем исследовать тривиальное решение системы (5.5):

§=/(«, ^-(5.31)

Все дальнейшие построения будем вести в некоторой й-окрестности начала координат в фазовом пространстве. Пусть для определенности Q задается неравенством Uzil W К, где К ——некоторая постоянная.

Определение. Функция V{х^ хп) (или, короче^ ^(н)) называется положительно определенной s Q, если V (х)^ Q в Q, причем V(н) = 0 лишь при н = 0.

Лемма 5.2. Пусть V(z)——положительно определенная и непрерывная в Q функция. Тогда

для всех z, уЗоепетб。〃兄то今〃н неравенству llz口 N е】> 0, существует е2 > 0 такое, что V(z) > е2；

обратно, из неравенства V (z) ^5 е2 ^ 0 следует существование е( > 0 такого^ что Ь" ^ е.

Доказательство обоих утверждений проведем от противного.

Пусть при выполнении неравенства 〃н" ^ £^ ни для какого е2 неравенство V(r) ^ е2 не выполнено. Тогда для любого е(П2 существует н⑴* удовлетворяющее неравенству 卜⑷"^ et и такое, что V(лгп)) < е(1)2. Возьмем последовательность ⑦⑷2 fo. Ей будет отвечать последовательность точек 工⑴)таких, что 口工^" N е】,а

7(z(nl)<£(n)2-*0.(5.32)

Имеем Е1&【1н(п)"《К・ Поэтому из последовательности т(п} можно выделить подпоследовательность (которую, введя новую нумерацию,

снова обозначим 勺“))，имеющую предел х; при этом

jWUhUWK.(5.33)

В силу непрерывности V(х) имеем lim V (л：(п)) = V (х). Но из неравенства (5.32) следует, что lim V (xw) = 0. Таким образом, 7(х) = 0 х = 0, что противоречит (5.33).

Пусть при выполнении неравенства 厂(％)》％ ни для какого Ei неравенство llzll ^ Et не выполнено. Тогда для любого e(i)1 существует N(t打 удовлетворяющее неравенству Ид：(1)11 < e(1)t, в то время как V(х(1)) ^ е2. Возьмем последовательность e(n)i 0. Ей будет отвечать последовательность точек х(п} такая, что V(х(п)) ^ вг, а 任⑺"W Egi f 0. Но последнее означает, что 勺qf 0. Поэтому, в силу непрерывности V(%), имеем lim V (胃⑺)—V (0) = 0. Но с другой стороны, lim Р(£(п))》^2, т. е. 0 е2 (противоречие).

Теорема 5・2 (об устойчивости). Пусть в Q существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка положительно определенная функция V(z) такая, что функция

W(N") = (grad 匕/«,%)) удовлетворяет неравенству

W (爲才)W0 для i > 0, 土三 Q.(5.34)

Тогда тривиальное решение системы (5.31) устойчиво.

Доказательство. Зададим любое _ е > 0. Лемма 5.2 обеспечивает (положим 61 = е) существование е2(е) такого, что для Hzll ^ е имеем V (z) ^ е2. Далее, в силу непрерывности V(х) (при х = 0) существует 6i(e2) = 6(e) такое, что при Hz!l < 6 имеем V (z) W е2/2.

Возьмем начальную точку 土(0) = / в 6-сфере со6 фазового пространства переменных n (рис. 11 наглядно иллюстрирует ситуацию на двумерном случае), т. е. пусть Нл:(0)11 < 6. Тогда V(x(0))=^ е2/2. Нужно доказать, что траектория останется для всех 才 > 0 в е-сфере 矶(см. (5.8)).

Предположим противное, т. е. что траектория при некотором t = ti покинет (0е (оставаясь в Q). Тогда V(^(^)) ^ е2- Имеем, таким образом,

V (z (Z J) - У(Z (0)) > е2 - I = J > 0.(5 35)

Но с другой стороны,

了(x (幻)一 了(2 (0)) =穿Lj = (grad % 乳=「1 =

=(grad 匕 f(t\ z^t^Wix^), t^t^O (0《"WG), (5.36)

так как (5.34) выполняется всюду в Q, а тем более вдоль траектории. Неравенства (5.35) и (5.36) составляют противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5,3 (об асимптотической устойчивости}. Пусть дополнительно к условиям теоремы 5.2 для £》0, n е С выполняется нера- 倒венство W(x. t)^ —Ж(х), где W(x)~ положительно определенная 6 С функ~ ция. Тогда тривиальное решение систе- ^^мы (5.31) асимптотически устойчиво.

(、^ .Доказательство. Устойчивость

/ ^^^^/^\ \ ' 'тривиального решения следует из пре-

_ I( у4 夕))^.дыдущей теоремы. Убедимся, что

卜У°'limz(t) = O.(5.37)

Используя выражение для полной производной от V вдоль траектории, полу-

^стЧИМ ^ = W(z(t), t)《一部(工 «))《0,

т. е. V(x(t)) с ростом £ монотонно не возрастает. Поэтому существует lim V (х (£)) == а》О. Докажем, что а = 0. Предположим, что а > 0. Так как У(%(£))》0 (У стремится к пределу сверху), то, полагая в пункте б) леммы 5.2 е2 = а, будем иметь 11x(011 > еь а тогда по той же лемме (п. а)) имеем 斤(с(£)) N 0 > 0, т. е. 一^(h⑴了一В<0. Поэтому V (X ⑴)一у(Н(0))=詛i tw W —W(x(t*})t W —0九 Отсюда получим, что V(x(t)) f —8 при £f f 8. Но с другой стороны, так как, в силу устойчивости,工(力)三 С, то V(x(0)>O. Противоречие приводит к выводу, что а = 0,

Итак,

lim 7(x(0) = 0.(5.38)

Докажем, что отсюда следует (5.37).

Допустим противное. Тогда существует е( > 0 и такая последовательность J f 8, что b(J)»j. Но тогда по лемме 5.2 V(x(in))^ е2, что противоречит (5.38). Противоречие доказывает

(5.37), а вместе с тем и всю теорему.

Пример 5.1. В рассмотренной выше системе (5 30) имеет место не только устойчивость, но и асимптотическая устойчивость, так как —W{x^ ^2) не зависит от f и является положительно определенной функцией. Однако на этом примере нельзя убедиться в важности теорем 5.2 и 5.3, поскольку здесь применимы соображения предыдущего параграфа и асимптотическая устойчивость следует из отрицательности 入】и Х2.

Приведем пример системы, когда теорема 5.1 о первом приближении неприменима, а функция Ляпунова дает ответ:

刍;=2重一重：sin2/,上3 = - 3土 一 x!.

de 2112

Возьмем У (工)=3工;十 2工;.Тогда W @, t) = — 6匸；sin2 力—4工:W 0.Следовательно, по теореме 5.2 тривиальное решение устойчиво. Теорема 5.1 здесь ответа не дает, так как характеристические числа матрицы первого приближения являются чисто мнимыми.

Можно использовать аналогичные идеи для доказательства не

устойчивости тривиального решения системы (5.31). Такого рода

теоремы впервые были предложены Н. Г. Четаевым. Мы приведем здесь простейший вариант теоремы о неустойчивости.

Теорема 5.4 (о неустойчивости). Пусть в Q существует непрерывная вместе с частными производными пер- вого порядка функция U(①)такая, что а) в любой 6-окрестности s。начала координат существует точка ①，в которой V (z) >0 (и, следовательно, область, в которой V (z) > а, где а > 0 ——некоторое число),

для любого а > 0 существует 0 > > 0 такое, что из условия ①三①^ (①^ ——

некоторая г-окрестностъ начала координат), 7(х)^ а следует хе- равенство W(①，土) = (grad V, /(/,①))》0, справедливое при всех £ N 0.

Тогда тривиальное решение системы (5.31) неустойчиво.

Доказательству теоремы предпошлем пример. Рассмотрим систе

му вида

Возьмем ^(①)=胃£胃2・ Очевидно, в любой шй существует точка (лежащая, например, в первом квадранте), где V ~ х^хг > 0. Пусть начальная точка такова, что 忆；忆? = а>0. На рис. 12 заштрихована часть а)е круга ①仃 выделяемая гиперболой х^2 = а, в которой Р》а. Очевидно, в со® справедливо неравенство £； + ^；》2а, т. е. bll》У2a. Тогда, в силу леммы 5.2, существует у > 0 такое, что £； + £；》？н, следовательно, W (z, i) > ау = р. По теореме 5.4 можно тем самым заключить о неустойчивости тривиального решения. Теорема 5.1 (см. замечание) в этом случае не работает, так как все элементы матрицы первого приближения равны нулю.

Доказательство теоремы 5.4 проведем от противного. Предположим, что тривиальное решение устойчиво. Тогда для любого е > 0 существует 6(e) такое, что llx(f) II < е для i >0, если llz(0)l! < 6(e). Так как по условию а) теоремы 5.4 в Зб найдется точка к。такая, что 7(z0)>a, возьмем ее за начальную: х(0)==х0. Убедимся, что при всех i> 0 справедливо неравенство V(x(t))> а.

Действительно, пусть при некотором £ 匸力 > 0 имеет место V(x(ti)) = а. Тогда, с одной стороны,

АУ= У(х(^))-Г(х(0))<0,

а с другой стороны,

△卩=對g/]=W(z(t)/*)k

Так как по предположению об устойчивости н⑴曰 s, при i > О, то 工(£*)曰6. Кроме того, У(х (^*)) ^ а. А тогда, в силу условия б) теоремы 5.4, имеем 巾(忆(伊)，尸)^1 卩 и, следовательно, ДУ > > Р^ >0. Противоречие приводит к заключению, что У(х(^))>а для £3 0. Имеем тогда

卩(工"))- u(工(0))=%(工(戸*)")上2 ".

Отсюда следует, что У(х(^))-> <» при £-> 叫 но, с другой стороны, V(x(t)) должно быть ограничено в силу того, что x(t)^(ое. Противоречие завершает доказательство теоремы.

Замечания. 1. Недостаток изложенных в настоящем параграфе методов заключается в том, чго не существует достаточно общего конструктивного способа построения функций V(x). Тем не менее для ряда весьма важных классов дифференциальных систем такое построение возможно.

Одним иэ таких классов является линейная система с постоянными коэффициентами. Теорему 5 1 об устойчивости по первому приближению можно доказать, используя функцию Ляпунова для линейной системы с постоянными коэффициевтами, как это делается, например, в учебнике Л. С. Понтрягина *).

Для дифференциальных ураввений, описывающих некоторые механические системы, роль функции Ляпунова играет потенциальная энергия Р(н). Сама система имеет вид тх = —grad У. Положение равновесия в системе определяется условием grad V = 0 (с математической точки зрения положение равновесия — это решение типа с =工=const; соответствующим преобразованием переменных точку х всегда можно сделать началом координат)^ т. е. положение равновесия является стационарной точкой для потенциальной энергии. Если стационарная точка является точкой минимума потенциальной энергии, то положение равновесия устойчиво Действительно, в этом случае в окрестности начала координат У (с) является положительно определенной функцией, а соогветствующая функция W(x, t), раввая (grad V, /) =—(grad У)?, очевидно, также удовлетворяет условиям теоремы 5.2.

Исследование траекторий в окрестности точки покоя

В ряде вопросов возникает потребность, помимо исследования точки (0, ..., 0) фазового пространства на устойчивость, выяснить также расположение траекторий в окрестности этой точки.

Не ставя целью рассматривать этот вопрос во всей общности, ограничимся случаем п = 2 (фазовая плоскость) и линейной систе^

мой уравнений с постоянными коэффициентами (5.11):

1212(5.39)(5.39)2222

12

12

(5.39)

(5.39)

22

22

Эта система обладает тривиальным решением лч == 0, т2 = 0. С кинематической точки зрения это состояние покоя, поэтому отвечающая этому решению точка (0, 0) фазовой плоскости называется точкой покоя.

Заметим, что фазовую траекторию системы (5.39) можно рассматривать как интегральную кривую уравнения

(5.40)(5.40)忆％产1+%工2

(5.40)

(5.40)

В точке (0, 0) правая часть уравнения (5.40) разрывна, т. е. нарушено условие теоремы существования и единственности. Точка (0, 0) является согласно терминологии гл. 2 особой точкой. Поэтому априори через точку (0, 0) может не проходить нн одной интегральной кривой уравнения (5.40), а также может проходить более одной и даже бесконечно много интегральных кривых.

Как будет показано, расположение траекторий в окрестности точки (0, 0) определяется, как и свойство ее устойчивости или неустойчивости, характеристическими числами матрицы 4

Рассмотрим разные случаи.

Пусть характеристические числа Xt и Х2 действительны, различны и одного знака. Положим для определенности, что 九2 V 入2 V < 0. В этом случае решение системы (5.39) имеет вид (см. § 7 гл. 3)

х = С\а ⑴+ С2a(2)J",(5.41)

где а⑴= J — некоторые постоянные столбцы — собственные \а(1)2 '

векторы матрицы Л, отвечающие собственным значениям 1< (力= ==1, 2). Точка (0, 0) является согласно теореме 5.1 асимптотически устойчивой, н н f 0 при Е f 8. Исследуем характер приближения более подробно. Имеем

巴 =%入产⑴2e 1十。小产(2)2e 2

"1%入严⑴ J 1 十 C2a(2)1。2

Отсюда видно, что если & # 0, то

宀 8 / %)J

т. e. все интегральные траектории, кроме одной, отвечающей Ct = О, входят в (0, 0) с общей касательной, уравнение которой х = х2 =^^ 工工 (обозначим ее /). Заметим, что прямая / сама является

одной из траекторий, а именно той, которая отвечает Сг = 0. Траектория, отвечающая С\ — 0, также является прямой и имеет урав

нение qh」^% (обозначим ее 〃). Прямые Z и // не совпала- а(2)1

ют, поскольку в силу линейнойют, поскольку в силу линейнойРис. 13.Рис. 13.независимости векторов а((, имеем a(1)ta{2)a — a(2)iac}2 # 0. Расположение прямых 7 и // 瓜 прочих траекторий схематически представлено на рис. 13. Стрелками обозначено направление возрастания L

ют, поскольку в силу линейной

ют, поскольку в силу линейной

Рис. 13.

Рис. 13.

Если Х2 > Xi > 0, то характер расположения траекторий полностью сохраняется (можно устремить t к —8 и провести рассуждения, аналогичные проведенным выше для ff 8). Если стрелками по-прежнему указывать направление возрастания £,

то направления стрелок теперь изменятся на противоположные по сравнению с рис. 13. Точка (0, 0) в этом случае неустойчива ).

Точка покоя, отвечающая случаю действительных характеристических чисел 储,厶2, не равных друг другу, но имеющих одинаковый знак, называется узлом, Узел является асимптотически устойчивым при Xi < 0,入2 V 0 и неустойчивым при Xt >0,入2 > 0.

Пусть характеристические числа 3 и 九？ действительны, различны и разных знаков： 3 > 0, Х2 < 0. Точка покоя в этом случае неустойчива. Представление (5.41) сохраняется. Из (5.41) видно, что через (0, 0) проходят две траектории: одна из них (обозначим a⑴2

ее /) отвечает С2 = 0 и имеет уравпепие х2 = -—/,а другая

a(i)i

(обозначим ее И) отвечает Ci~0 и имеет уравнение х2 = £工・

a(2)l

Нт^п^^. Прямая II 『8工工 ^(1)1Расположение траекторийНт^п^^. Прямая II 『8工工 ^(1)1Расположение траекторийНо на этом сходство с узлом кончается. Вдоль траектории II х ~^ 0 при t f 8, а вдоль траектории / н -* 0 при t -* —8, и стрелки, указывающие направление возрастания ?, направлены от точки (0, 0). Нетрудно видеть, что прямая I является асимптотой при £ f 8

Нт^п^^. Прямая II 『8工工 ^(1)1

Расположение траекторий

Нт^п^^. Прямая II 『8工工 ^(1)1

Расположение траекторий

для всех траекторий, кроме 〃，так как играет аналогичную роль при t -► —<». схематически представлено на рис. 14.

Подставляя сюда 入=р + к ния к видуXi «= ep,(2aсоз g£ — 2卩 sin g£),где a = Re (Cat), ^ = Im (Cai), имеемПодставляя сюда 入=р + к ния к видуXi «= ep,(2aсоз g£ — 2卩 sin g£),где a = Re (Cat), ^ = Im (Cai), имеемможно преобразовать эти выраже-g н е>‘(2т cos g£ — 26 sin g£),(5.43)T = Re (Ca2), 6 = Im (Ca2). Отсюдаможно преобразовать эти выраже-g н е>‘(2т cos g£ — 26 sin g£),(5.43)T = Re (Ca2), 6 = Im (Ca2). Отсюда

Подставляя сюда 入=р + к ния к виду

Xi «= ep,(2aсоз g£ — 2卩 sin g£),

где a = Re (Cat), ^ = Im (Cai), имеем

Подставляя сюда 入=р + к ния к виду

Xi «= ep,(2aсоз g£ — 2卩 sin g£),

где a = Re (Cat), ^ = Im (Cai), имеем

можно преобразовать эти выраже-

g н е>‘(2т cos g£ — 26 sin g£),

(5.43)

T = Re (Ca2), 6 = Im (Ca2). Отсюда

можно преобразовать эти выраже-

g н е>‘(2т cos g£ — 26 sin g£),

(5.43)

T = Re (Ca2), 6 = Im (Ca2). Отсюда

Точка покоя, отвечающая случаю действительных характеристических чисел противоположного знака, называется седлом. Седло

является неустойчивой точкой покоя.

Траектории I и II, проходящие через седло, называются сепаратрисами.

Пусть характеристически© числа матрицы Л — комплексные. В силу действительности Л они будут комплексно сопряженными, т. е.入l 入：=入. Соответствующие компоненты собственных векторов а(о будут также комплексно

сопряженными, а так как мы рассматриваем действительные решения, то и произвольны© постоянные должны быть комплексно сопряженными. Таким образом,

% = Са 伊 + С*а；е'",工 & = Са?”' + С*а；户[(5.42)

p2 =工；+ %； = 62Pt [(2a cos qt — 20 sin 奥户 + (2y cos qt — 26 sin gt)“.

Если p = 0 (характеристические числа — чисто мнимые), то ть х: и р являются периодическими функциями 尖It периода 2л/д. Это значит, что каждому С

на фазовой плоскости отвечает некоторая Л "X замкнутая кривая. Эти кривые не пересека- /Iются, так как всюду, кроме точки (0, 0),

/ J^\/для (5.40) справедлива теорема единствен—(丿—V*7 пости (рис. 15).

/'^*^ // Более детальное исследование показыва-

I Ует, что замкнутые кривые, о которых идет

Рис. 15Рис. 15речь, являются эллипсами. В самой деле, Iопределитель

Рис. 15

Рис. 15

施二剔*。,

в противном случае существовало бы решение вида Xi = ахг (а вещественное). Так как % и хх выражаются по формулам (5.42), то из равенства Xi = ахг в силу линейной независимости е" и ©九”

(а“ 一入)а = —а【2.(а“ 一入)а = —а【2.следует соотношение «1 = аа^. Собственный вектор ((/) матрицы Л, соответствующий собственному значению 儿 находится из уравнения

(а“ 一入)а = —а【2.

(а“ 一入)а = —а【2.

(0н — 九)々1 + &2a2 = 0, которое при «1 = оа2 дает что возможно лишь при вещественных 入.

Итак, (5.43) можно разрешить относительно cos q£ и sin qt и, приравнивая сумму их квадратов единице, получить

(b“g + Ъ^Х2)2 + (^21^1 + ^22^2)2 = 1.

Если же р =# 0, то при изменении / па величину периода р уже

не возвращается к прежнему значению, а уменьшается пли уве- личивается в соответствии с р V 0 или р > 0.

На фазовой плоскости получаются уже не замкнутые, а спира

левидные кривые. Если р V 0, то р -* 0 при t f 8, спираль сходит

Мы не будемМы не будемся в точку (0, 0), которая является асимптотически устойчивой (рис. 16). Если же р > 0, то аналогичная картина имеет место при t f f —8, а с возрастанием t спираль расходится из точки (0, 0).

Мы не будем

Мы не будем

Точка покоя, отвечающая комплексно сопряженным характеристическим числам с отличной от нуля действительной частью р, называется фокусом. При р V 0 фокус асимптотически устойчив, а при р > 0 неустойчив.

Точка покоя, отвечающая чисто мнимым характеристическим числам, называется цент- ром. Центр является устойчивой, но не асимп-

ческих чисел *),ческих чисел *),готически устойчивой точкой покоя (см. § 1). останавливаться на случае кратных характеристи- а также на случае, когда имеется характеристи

ческих чисел *),

ческих чисел *),

ческое число, равное нулю.

Замечания. 1. Точка (0, 0) была названа выше точкой покоя для линейной системы (5.39). Дадим общее определение точки покоя, из которого будет ясно, что точка покоя не обязательно является началом координат, а для нелинейной системы точек покоя может быть несколько. Рассмотрим нелинейную автономную систему (5.19) при и = 2. Пусть с《=元* (i = 1, 2) удовлетворяют системе уравнений 力(g, д)н0・ Тогда, очевидно, те же с«=Е, удовлетворяют дифференциальной системе (5.19), поскольку х{ не зависят от t Это решение описывает состояние покоя и на фазовой плоско-

♦) См., например, В. В. Степанов «Курс дифференциальных уравнений» (8-е изд.— М.: Гостехиздат, 1959); Л. С. Понтрягин «Обыкновенные дифференциальные уравнения» (5-е изд.— М : Наука, 1983).

сти изображается точкой. Точки фазовой плоскости, отвечающие решениям вида x^Xi^ const, называются точками покоя. Соответствующей заменой переменных каждую точку покоя можно перевести в начало координат. Тогда, если 厶 представима в виде (5.20), то система первого приближения (5.22) совпадает с (5.39).

точекточекСогласно теореме 5.1 в случае Re 入 0 устойчивость пли неустойчивость точки (0, 0) системы (5.19) обеспечивается теми же самыми требованиями на X, которые обеспечивают устойчивость или неустойчивость точки (0, 0) для системы первого приближения (5.22), т. е. члены Н(2)« не влияют на устойчивость или не}тстойчивость точки (0, 0). Что касается расположения траекторий, то точное исследование *) показывает, что при наличии узла, седла или фокуса у системы (5.22) (во всех этих случаях «е 入耍 0) качественный характер расположения траекторий системы (5.19) в достаточно малой окрестности точки (0, 0) будет тем же самым. Если же в точке (0, 0) система (5.22) имеет центр, то без дополнительного исследования членов Т?(2“ о характере расположения траекторий системы (5.19) ничего сказать нельзя.

точек

точек

покоя дает некоторую информацию относительно расположения фапокоя дает некоторую информацию относительно расположения фаИсследование расположения траекторий в окрестности

покоя дает некоторую информацию относительно расположения фа

покоя дает некоторую информацию относительно расположения фа

зовых траекторий на всей плоскости, нот конечно, полного решения этой сложной глобальной задачи не дает.

Для изучения картины на фазовой плоскости, или, как иногда говорят, фазового портрета системы (5.19), важно исследовать не только точки покоя. Нередко встречаются замкнутые траектории (замкнутая траектория означает периодическое движение), обладающие тем свойством, что в окрестности таких траекторий пет других замкнутых траекторий, а все траектории как бы

«наматываются» па эту единственную замкнутую траекторию, которая получила название предельного цикла, п;п厶 наоборот, «сматываются» с нее. Предельные циклы, таким образом могут быть устойчивыми и неустойчивыми (на рис. 17 изображен устойчивый предельный цикл). Исследование предельных циклов ван^но также с точки зрения существования устойчивых периодических режимов в физических системах.

dx——■=—上 >dx——■=—上 >Например, система

dx

——■=—上 >

dx

——■=—上 >

^22\

%， ~dT =-工2 勺十h2 - 口丿+勺

(5.44)

имеет точку покоя .г. = 0, g = 0 и предельный цикл е； + 若=а2. В существовании такого цикла легко убедиться, перейдя к полярным

координатам Xi = р cos 0, х2 = р sin 0Г в которых система (5.44) принимает вид

黑=一р(р —а), 黑=上

С повышепием размерности п фазовая картина существенно усложняется, возникают новые явления, для изучения которых развиты многочисленные методы.

Исследование фазового портрета системы дифференциальных уравнений является одной из задач так называемой качественной теории дифференциальных уравнений ).

ГЛАВА 6

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

При практическом решении задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, как правило, не удается получить решение в квадратурах, выраженное через элементарные или специальные функции (определенное исключение составляют линейные уравнения, рассмотренные в гл. 3). В то же время интенсивное применение дифференциальных уравнений в качестве математических моделей широкого круга естественно-научных задач требует разработки методов их исследования, позволяющих получить с достаточной точностью числовые характеристики рассматриваемой задачи. Наиболее эффективными здесь оказываются численные методы. Благодаря бурному развитию электронной вычислительной техники численные методы находят широкое применение в различных областях математики и ее приложениях, в частности, и при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. За последнее время появилось достаточно большое количество учебных пособий, посвященных этой проблеме ). В настоящей главе будут изложены лишь простейшие вопросы, относящиеся к численным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

§ 1, Разностные методы решения начальной задачи

Разностная схема. Понятие сходимости. Наиболее распространенными и эффективными численными методами решения многих математических задач и, в частности, начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений являются так называемые разностные методы, в основе которых лежит рассмотрение конечноразностной задачи вместо исходной дифференциальной задачи. Последняя представляет собой задачу относительно большого, но конечного числа неизвестных, являющихся значениями функции дискретного аргумента, определенной в точках разбиения отрезка интегрирования. Если значения этой функции близки к значениям точного решения исходной задачи в соответствующих точках, то

ее можно рассматривать как приближенное решение исходной задачи. Конечно-разностная задача, соответствующая исходной дифференциальной задаче, называется разностной схемой. Максимальное расстояние между точками разбиения отрезка интегрирования является параметром разностной схемы, поэтому исходной дифференциальной задаче сопоставляется семейство разностных схем, зависящих от этого параметра. В теории разностных схем решения дифференциальных уравнений основным является вопрос о сходимости семейства приближенных решений к точному решению исходной дифференциальной задачи при стремлении параметра разбиения к нулю. Здесь будет уточнено понятие сходимости приближенного решения к точному.

Следует подчеркнуть, что разностная схема представляет собой самостоятельный математический объект исследования. Теории разностных схем посвящена обширная учебная и специальная литература ). Мы остановимся лишь на простейших общих понятиях.

Чтобы наглядно проиллюстрировать эти понятия, все рассмотрения будем проводить на примере численного решения начальной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которую запишем в виде

/(N, У)=。， У (%) = %• (6.1)

Как уже отмечалось, в основе применения разностных схем к дифференциальной задаче лежит построение приближенного решения, определенного лишь в конечном числе точек xf отрезка [工о, X] интегрирования исходной дифференциальной задачи. Множество точек (ол = {xj (i = 0, 1, ..., п), на котором ищется приближенное решение, называется сеткой. Отдельные точки этого множества — узлы сетки. Обозначим ht == xi+i — ^ (i = 0, 1, ..., п — 1) расстояние между соседними узлами. Величину h = max hi будем называть ша

гом сетки. Сетка может быть неравномерной (/i, #= const) и равномерной (/ij = /i = const). Очевидно, в последнем случае величина шага сетки на отрезке [工о, X] равна /i = IX — х0\/п. В дальнейшем, если не оговорено особо, будем рассматривать равномерные сетки.

Функция дискретного аргумента и (工，),определенная лишь в узлах сетки, называется сеточной функцией. Значения сеточной функции и на(0л будем обозначать щ (i = 0, 1, ..., п). Для определения сеточной функции и, являющейся приближенным решением исходной дифференциальной задачи (6.1), должна быть задана разностная схема ——система уравнений, связывающих между собой значения сеточной функции 辽刀 заданных дополнительных условий и правой части уравнения в узлах 工i сетки(ол.

Пусть дифференциальная задача имеет вид

Ly =(р(х).(6.2)

Здесь символом 厶 будем обозначать не только задание уравнения, но и задание дополнительных, например, начальных или краевых условий, записанное в определенном порядке. Через (р(х) обозначены как правая часть уравнения, так и правые части дополнительных условий, записанные в соответствующем порядке. Так, задача (6.1) может быть записана в виде

М=(°1 = ф(х).(6.3)

у(0) J 1у"

Соответствующую разностную задачу будем записывать в виде LhUh = фл,(6.4)

где через Ьл обозначается задание разностного уравнения и отвечающих ему дополнительных условий, а через (рл — входные данные задачи, т. е. значения сеточной функции /л — правой части разностного уравнения,——в совокупности с правыми частями дополнительных условий.

Задача определения сеточных функций uh должна быть поставлена так, чтобы при стремлении шага Л сетки к нулю сеточные функции сходились в определенном смысле к точному решению исходной задачи (6.3).

Для определения сходимости семейства сеточных функций к решению исходной задачи в пространстве ｛и» сеточных функций необходимо задать расстояние мелсду отдельными функциями как норму их разности. Понятие нормы в пространстве сеточных функций можно ввести по-разному. Чаще всего используется так называемая равномерная или чебышевская норма, определяемая выражением

II уЛ|| = max| Pj I， i = 0, 1, . . ., п.(6.5)

В ряде случаев применяется среднеквадратичная (гильбертова) норма

/п-i\ 1/2

I®屯=(?谪p/i 丿，(6.6)

где р< — заданные весовые коэффициенты. В некоторых случаях применяются и другие нормы, например энергетические.

Определение. Будем говорить, что семейство сеточных функций ｛以｝ сходится 尚 точному решению y(N)исходной задачи^ если

Н叫^ - ®刷=0,(6.7)

где через [(/]л обозначены значения функции у(н) на сетке он. Если, кроме того, существует такое 无°, что при 7г < Ао

Hua-MJKC^, (6.8)

где С и к ——некоторые постоянные, не зависящие от 力,то будем говорить^ что имеет место сходимость порядка к в соответствующей норме.

Разностная схема Эйлера. Рассмотрим простейшую дифференциальную задачу (6.1) или (6.3), Заменив выражение для производной в точке 2“ приближенным отношением

(xn+i—xn^h),(xn+i—xn^h),学升1 — % — уп+1 "~ Уn 工"+] 一工二 一й

(xn+i—xn^h),

(xn+i—xn^h),

сопоставим (6.3) следующую разностную задачу:

厶а% =厶а% =%+1一%Л%+1一%Л—/ (^nj Un)—/ (^nj Un)(6.9)(6.9)

厶а% =

厶а% =

%+1一%Л

%+1一%Л

—/ (^nj Un)

—/ (^nj Un)

(6.9)

(6.9)

В данном случае значения сеточной функции вычисляются очень просто. Имеем последовательно

ио ~ Уqi

ZZ] = ZZq + 力/ (%,辽о),

wA = UiI + hf (^n-i, wn-i),

Такого типа схемы с последовательным вычислением иОт □【,,..называются явными схемами.

Нетрудно в описанном алгоритме заметить сходство с построением ломаной Эйлера в гл. 2. Разница заключается в том, что теперь в рассмотрение включаются лишь вершины этой ломаной, а шаг является постоянным. Разностная схема (6.9) называется разностной схемой Эйлера с постоянным шагом для задачи (6.3).

Доказанная в гл. 2 теорема 2.2 дает возможность утверждать сходимость семейства сеточных функций, построенных по схеме Эйлера, к решению исходной задачи (6.3), так как в силу этой теоремы, очевидно, выполняется условие (6.7) в норме (6.5).

Замечание. Сходимость сеточных функций, определяемых простейшей разностной схемой Эйлера^ к точному решению явилась следствием результатов гл. 2. Это связано с тем, что в самом доказательстве существования решения задачи (6.1) в гл. 2 использовались ломаные Эйлера, получаемые из сеточной функции соединением точек, отвечающих на графике значениям сеточной функции, прямолинейными отрезками. В более сложных случаях разностных схем нужно убедиться в существовании решения соответствующей разностной задачи, прежде чем выяснять вопрос сходимости.

Оценим теперь порядок сходимости при 无 f 0 последовательности сеточных функций, построенных по разностной схеме Эйлера, пользуясь опять-таки результатами и методами гл. 2. В гл. 2 было доказано, что как решение дифференциальной (6.3), так и решение разностной (6.9) задачи определены на сегменте [х0, X] и не выходят из области D, где задана функция /(х, у). Пусть /(х, у) непрерывна в области D по совокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшица по каждому из переменных, т. е. пусть имеют место оценки ((х, у) D, М и N не зависят от х, у).

l/(x, у)\<М, l/(g, у)-/(д, у)丨 vNlq-gl, 小

В дальнейшем, исследуя другие разностные схемы для задачи (6.3), мы будем предполагать, что решение разностной задачи не выходит из D.

Итак, оценим разность между сеточной функцией, отвечающей точному решению задачи (6.1), и сеточной функцией, построенной по разностной схеме Эйлера. Для этого достаточно оценить разность между точным решением у (土)задачи (6.1) й ломаной Эйлера у(п|(х), которая удовлетворяет уравнению и начальному условию dy / _ х—

"^/ (xi，УМ (xi)) = 0, 修《工《工计1, У(п)(0j) = %・(6.11)

Составим разность z(n) между точным решением у (工)исходной задачи (6.1) и ломаной Эйлера у(п} (х):

z(N)= y(N)- у《п)(%)・(6.12)

В силу (6.1), (6.11), (6.12) получим

^ = / (х, у (х)) — / (xit yw (Xi)),2(%)=о.(6.13)

Оценим правую часть (6.13), пользуясь условиями (6.10). Так как /(N, </(х))-/(х„ ^(П)(Х()) = /(Х, y(z))-/(z“ y(z)) +

+ /(石，у (z))-/(%, »(“№)) + 〃％, y(n}(x))~ f(xt, y(n)(Xi)), то согласно обозначению (6.12) при x( ^ x x(+1 1/(名？(％))-/(%,瓦n)(cj)l V

<N\x-Xi\ +Mz(±) I + W®g(£)—亨⑺(/) 1. (6.14)

Оценим последнее слагаемое в формуле (6.14). Согласно (6.11) Wg(k)-歹⑺(％)丨 0 \x-Xi\\f(xh 丸n)(n))L

откуда, в силу (6.10) и условия \х — хД W Л, получим

历⑺(工)一歹g(£f) I VhM・(6.15)

Подставляя (6.15) в (6.14), получим для производной -—

окончательную оценку

^^N^^ + hNd + M)(6.16)

на любом участке разбиения х\^х^ х(+1. Согласно лемме о дифференциальных неравенствах отсюда следует

I Z (叫 V 九(1 + М) (е^^х^ — 1), R V 工 V Х・ (6.17) Из этой формулы видно, что разность между точпьщ решением и ломаной Эйлера стремится к нулю как h (остальные величины в

(6.17) фиксированы), тем самым выполняется (6.8) при к = i. Это позволяет сделать вывод, что разностная схема Эйлера имеет сходимость первого порядка.

Замечание. Полученные результаты справедливы и в случае неравномерной сетки hi * const, h = max hit

На рис. 18, а приведены интегральная кривая, представляющая решение начальной задачи для линейного уравнения

^ = ay, у (%) = у。， a = const,

и ломаные Эйлера, полученные для различных значений шага 无. Расхолчдение носит экспоненциальный характер, что соответствует оценке (6.17); при 九 f 0 его величина на конечном отрезке [с% X] равномерно стремится к нулю. Однако при достаточно крупном шаге Л приближенное решение, построенное по методу Эйлера, может существенно отличаться от точного. В частности, при a < 0 и

Ла < ——2 приведенная на рис. 18, б ломаная Эйлера ничего общего не имеет с точным решением.

Сеточная функция 以八 и решение дифференциального уравнения у удовлетворяют уравнениям разной природы. Поэтому в общем случае не удается повторить рассмотрения, приводящие для простейшей схемы Эйлера к оценке (6.17). В частности, для сеточной функции uh^ являющейся решением достаточно сложной разностной схемы, трудно предложить такой алгоритм Интерполяции, чтобы полученная кривая являлась интегральной кривой дифференциального уравнения, в определенном смысле близкого к исходному, и можно было бы воспользоваться методом дифференциальных неравенств для оценки разности между решением исходного и полученного дифференциальных уравнений.

В общем случае для оценки сходимости приходится пользоваться другими путями, вводя понятия аппроксимации 迈 устойчивости разностной схемы.

Порядок аппроксимации разностной схемы. Для рассмотрения понятия порядка аппроксимации разностной схемы потребуется ввести норму ①八——правой части разностной схемы (8.4). Как уже отмечалось выше, фл представляет собой правую часть уравнения — сеточную функцию 九 в совокупности с дополнительными условиями для искомой сеточной функции щ. Они могут быть и начальными, и краевыми. Занумеруем их в определенном порядке. Соответствующие правые части пусть будут g“ ..., gg.

Обозначим II Uh ||0 = max | gi |и введем норму 师 М, полагая

师鸣=max {!1/л11,11ил110}. (6.18)

Пусть разностная схема (6.4) однозначно разрешима при всех 力 W/г。. Если значения [у% решения у (工)исходной дифференциальной задачи на сетке ①八 точно удовлетворяют разностной схеме (6.4), то, найдя решение разностной схемы uhf получим значение точного решения в узлах сетки [i/]a =

С таким положением мы встречаемся крайне редко. Как правило, при подстановке значений [у% в разностную схему (6.4) мы не получаем тождества, а (6.4) удовлетворяется с некоторой невязкой

山[办=5 + (6.19)

Величина невязки бфл разностной схемы на решении исходной задачи и является характеристикой аппроксимации разностной схемы исходной задачи.

Замечания. 1. Отметим принципиальное отличие введенного понятия невязки аппроксимации разностной схемой дифференциальной задачи от использованного в § 2 гл. 2 понятия невязки при подстановке приближенного решения в виде ломаной Эйлера в исходное дифференциальное уравнение. Это отличие связано с тем,

что ломаная Эйлера является непрерывной и кусочно дифференцируемой функцией, которую можно подставить в левую часть исходного дифференциального уравнения, в то время как решение разностной схемы есть функция дискретного аргумента, определенная лишь в узлах сетки. Решение исходной задачи определено всюду на отрезке интегрирования, и его значения [у]% в узлах сетки можно подставить в разностную схему (6.4) и, используя информацию о гладкости точного решения исходной задачи, оценить величину невязки разностной схемы на точном решении.

2. Функция дискретного аргумента [у]% очевидно является решением разностной схемы (6.4) с видоизмененной, или, как говорят, возмущенной правой частью(рл + бфл.

Перейдем теперь к определению понятия порядка аппроксимации разностной схемы на решении дифференциальной задачи.

Определение. Будем говорить, что разностная схема имеет к-й порядок аппроксимации на решении исходной задачи^ если существует такое Ао, что при 九忘九о

^Lh[y]h - ^, < Ch\(6.20)

zde С и k ——некоторые постоянные, ке зависящие от Л.

Определим порядок аппроксимации схемы Эйлера (6.9), предполагая, что функция /(к, у) в уравнении (6.1) имеет первые непрерывные частные производные по обоим аргументам в прямоугольнике Р. В этом случае точное решение у(х) исходной задачи, очевидно, имеет вторую непрерывную производную. Это позволяет записать разложение

У (Х1 Л- h) — у (^j) + hyf (xj + ~2~У' (^+ 9^),0&8&1.(6.21)

В силу (6.21) при подстановке точного решения у(х) задачи (6.1) в левую часть уравнения (6.9) получим

y'(修)+ -^ У"(修 + 8九)一 /(勺,у (勺))=^*，(勺 + 8九)(6.22)

(первое и третье слагаемые в левой части (6.22) взаимно уничтожаются, поскольку у (х) является точным решением уравнения (6.1)). Тем самым невязка в уравнении имеет первый порядок. Решение разностной задачи (6.9) удовлетворяет тому же начальному условию, что и решение задачи (6.3). Отсюда следует, что схема Эйлера аппроксимирует задачу (6.3) с первым порядком.

Замечание. Первый порядок аппроксимации схемы Эйлера связан с тем, что в этом методе первая производная у'(лч) аппроксимируется разностным отношением (山+【一yi)!h. Легко видеть, что, выбирая другие приближенные формулы для первой производной, можно повысить порядок аппроксимации. Действительно, заменим первую производную симметричным разностным отношением в соседних точках

(W+1 - 山一1)/2 儿(6.23)

Предполагая непрерывность третьих производных решения (что будет иметь место при соответствующих условиях гладкости функции /(工，у) в правой части уравнения (6.1)), будем иметь

? (勺十h) = y (q)+九У (勺)+ У"(q)+ % У (上i+8用，

23(6*24)

У (q -九)=у (%)一九У(％)十у У" (%) - %『'(勺+勺九).

Аппроксимируем задачу (6.3) разностной схемой (力——значение сеточной функции в первом узле — пока оставим неопределенным, но это значение необходимо задать, чтобы последовательно определить 乜2, ^з, • • ■)

.(6.25)

Проводя рассмотрения, аналогичные предыдущим, получим, что разностное уравнение (6.25) аппроксимирует исходное уравнение (6.1) со вторым порядком. Чтобы определить порядок аппроксимации условия в первом узле, опять воспользуемся разложением точного решения по формуле Тейлора

у(%+ 九)—％ = у (%) + 九У (%) +

+ ^ +/ (% + 飯)-% =Уо + %/ (%，У。) + ^ У" (% + М) - %.(6.26)

Из (6.26) следует, что если выбрать

У1 = I/O + 无/(工о, Уо),(6.27)

то и второе начальное условие в (6.25) аппроксимируется со вторым порядком. Первое начальное условие выполняется точно. Отсюда следует, что при выполнении дополнительного условия (6.27) разностная схема (6.25) аппроксимирует исходную задачу со вторым порядком.

Естественно предположить, что для того, чтобы решение 〃л разностной схемы было близко к решению исходной задачи, невязка 8屮扭 должна быть достаточно малой. Возникает вопрос, является ли малость невязки 6中扭 достаточной для того, чтобы обеспечить близость to, к решению исходной задачи, т. е., иными словами, обеспечивается ли сходимость разностной схемы, если имеет место аппроксимация? Оказывается, одной аппроксимации, вообще говоря, недостаточно, чтобы разностная схема давала приближенной решение дифференциальной задачи. Помимо аппроксимации нужны еще какие-то дополнительные свойства разностной схемы. Таким свойством является так называемая устойчивость разностной схемы.

Устойчивость разностной схемы. Перейдем к определению устойчивой разностной схемы. Рассмотрим разностную схему (6.4) и соответствующую так называемую возмущенную задачу

厶办=6 + 6屮匕(6.28)

где 6(рл называется возмущением входных данных. В дальнейшем

будем рассматривать тот случай, когда возмущенная задача (6.28) однозначно разрешима при достаточно малом возмущении, т. е. существуют такие бв и h^ что при Пб(рл(11 < б0 и Л < Ло задача (6.28) имеет решение, и притом единственное. Погрешностью решения схемы (6.4) по-прежнему назовем выражение бщ = йЛ — щ. Величина бфЛ? как и(рЛ, оценивается в норме

HScpJIi = max {Нб/JI, 口加儿},(6.29)

где Иб/JI ——норма возмущения правой части уравнения, а НбиЛ1!0 —— норма возмущения дополнительных условий. Дадим определение устойчивой разностной схемы.

Определение. Схема (6.4) называется устойчивой 孔 о начальным условиям и правой части уравнения (или просто устойчивой), если существует такая постоянная Ао, что при Л < Ао для нормы погрешности решения выполняется неравенство

llbu/l V СНбсрМ,(6.30)

где постоянная С не зависит от h.

Данное определение, очевидно, означает непрерывную зависимость решения разностной схемы (6.4) от входных данных задачи ——начальных условий и правой части уравнения: малое изменение входных данных приводит к малому изменению решения.

Замечание. В случае линейного оператора £л введенное определение устойчивости разностной схемы (6.4) эквивалентно требованию, чтобы схема (6.28) была однозначно разрешима при достаточно малом возмущении бфл и при 无 V 九о выполнялось условие

||иЛ|| &a©iii,(6.31)

где С — некоторая не зависящая от h постоянная ).

Перейдем теперь к доказательству устойчивости схемы Эйлера (6.9) в случае общей задачи (6.1). Пусть функция /(х, у) непрерывна в области D и удовлетворяет условию Липшица по переменной у, т. е. имеют место оценки

|/(х, у)\<М, 1/(х, у^-Цх, у2)| <N\yi~y2\,(工，y)wD. (6.32)

Возмущенная разностная схема, соответствующая схеме (6.9), имеет вид

L赢 = ^i^~- —Л ' = ”,(6.33)

где % = /(£〃 и.), б/.——возмущение правой части разностного уравнения, £о ——возмущение начального условия. Для погрешности

решения 6ил = йл ——〃打 очевидно, получим

6%+1 J 吗—/ (&,加)+ / (勺，Ut) = M，&0 = %•(6.34)

Отметим, что согласно введенным выше определениям

18力I W U6/JI, Пбил110 = EL(6.35)

Из (6.34) в силу оценок (6.32) и (6.35) получим

|6ui+1| W I6uj + hN\6ui\ + Ail6/hH

==(1 + ^)16^1+^116^11^

W (1 + WV)2|8〃il +Л{(1 + WV)+ 1}呦口 (6.36)

Применяя этот процесс последовательных оценок, после (i+ 1)-го шага найдем

|6ui+11 < (1 + hN)i+11 е01 + Л {(1 + W + ... + 1]||б/лК

《(1 + 无N)'+iI阿||0 + 专(1 + 无N)+||6九Q, (6.37) откуда получим

116tM K(l + hN)n(II 6иЛ ||0 + ^6/л。).(6.38)

Так как X — х0 = пЛ, то, в силу неравенства (1 + hN^X ”"偿《 N(X-xA“

《e ' u , окончательно будем иметь

II 6иЛ ||< 卅*F(II ①八 Ио + $ II6加I)V СII 6Фл Ik(6.39)

при любом Л, что и доказывает устойчивость разностной схемы (6.28).

Теорема о сходимости. Введенные выше понятия порядка аппроксимации и устойчивости разностной схемы позволяют доказать следующую теорему, играющую фундаментальную роль при исследовании сходимости разностных схем.

Теорема 6・7・ Если разностная схема (6.4) устойчива и аппроксимирует задачу (6.2) с порядком А, то решения uh при Л О сходятся к решению у(н) дифференциальной задачи, причем порядок сходимости также равен 左,г. е. имеет место оценка

I% — [y]"l V СЛЛ,(6.40)

где постоянная С не зависит от h.

Доказательство. Обозначим разность значений сеточных функций иЛ и [у% через &:

(6.41)(6.41)zh = uh — [y]h.

(6.41)

(6.41)

В силу определения порядка аппроксимации

(6.42)(6.42)Lf[y]h =恥 + бфл,

(6.42)

(6.42)

где для невязки ^屮八 имеет место оценка Il8(p/L V С〔五)Так как [у]л является решением возмущенной разностной схемы (6.42), то в силу устойчивости разностной схемы (6.4) и оценки (6.30), входящей в определение устойчивости, получим

IEU vCUBshwCG/?.IEU vCUBshwCG/?.(6.43)(6.43)

IEU vCUBshwCG/?.

IEU vCUBshwCG/?.

(6.43)

(6.43)

Сохранив для произведения постоянных CG обозначение С, полу- чим соотношение (6.40). Теорема доказана.

Выше было показано, что схема Эйлера устойчива и аппроксимирует задачу (6.1) с первым порядком. Из доказанной теоремы следует, что семейство решений щ, полученных по схеме Эйлера при /г f 0, сходится к точному решению задачи (6.1) также с первым порядком. Этот факт был установлен в п. 1 с помощью прямых оценок.

Заметим, что в оценках (6.30) и (6.40) не зависящая от h постоянная С может иметь достаточно большое значение. Так, в случае схемы Эйлера постоянная С имеет порядок е "и при а > 0 достаточно велика.

Рассмотрим в качестве примера, показывающего важность понятия устойчивости для сходимости разностных схем, задачу (6.1) для следующего линейного однородного уравнения с постоянным коэффициентом:

累 + ау = 0, у (q) = %. (6.44)

Сопоставим этойСопоставим этойзадаче следующую разностную схему:

Сопоставим этой

Сопоставим этой

L^h =L^h =z ^n + l-~u n-lQ Un+14 2Л；z ^n + l-~u n-lQ Un+14 2Л；h au„h au„00旬〃i旬〃i弘 %弘 %(6.45)(6.45)

L^h =

L^h =

z ^n + l-~u n-lQ Un+1

4 2Л；

z ^n + l-~u n-lQ Un+1

4 2Л；

h au„

h au„

0

0

旬

〃i

旬

〃i

弘 %

弘 %

(6.45)

(6.45)

Нетрудно убедиться, как это было сделано выше для схем (6.9) и (6.25), что разностная схема (6.45) аппроксимирует решение исходной задачи с первым порядком.

А теперь построим точное решение разностной задачи (6.45). Перепишем уравнение из (6.45) в виде

(6.46)(6.46)un+i — (3 十 ah)un + 2un-i = 0.

(6.46)

(6.46)

Найдем частное решение этого разностного уравнения в форме ип = Xя, где X — пока неизвестная постоялная (это делаем по аналогии с отысканием частного решения линейного однородного диф-

ферепциального уравнения с постоянными коэффициентами в форме 6必)・ Имеем тогда 入— (3 + а力)入"+ 2入“一'=6 или

炉一(З + а无)入+ 2 = 0.(6.47)

(6.47)(6.47)Полученное уравнение называется характеристическим (опять же по аналогии с теорией дифференциальных уравнений) для разност-

(6.47)

(6.47)

ного уравнения (6.46). Находя из

入1入13 + a" Ml 十 6ah 十 a?/?23 + a" Ml 十 6ah 十 a?/?2入2入23 十 ah 十 VT+Eah + a*3 十 ah 十 VT+Eah + a*22(6.48)(6.48)получим два частных решенияполучим два частных решенияуравнения (6.46) в виде un(Dуравнения (6.46) в виде un(D入;，un(2)= Хг* Попытаемся удовлетворить условиям в нулевом и в入;，un(2)= Хг* Попытаемся удовлетворить условиям в нулевом и впервом узле, т. е. условиям u0 = j/i, ut = у。, взяв линейную нацию этих решений (являющуюся также решением в силу ности уравнения)первом узле, т. е. условиям u0 = j/i, ut = у。, взяв линейную нацию этих решений (являющуюся также решением в силу ности уравнения)комби- линей-комби- линей-01入：+e2入2.01入：+e2入2.(6.49)(6.49)Имеем & + & в 勿，&3 + С2Х2 = у。. Отсюда6 — % (% — ‘) r _ % & —I)" —% — % ' 02 %一%•Итак, формула (6.49), где & и & определены формуламиИмеем & + & в 勿，&3 + С2Х2 = у。. Отсюда6 — % (% — ‘) r _ % & —I)" —% — % ' 02 %一%•Итак, формула (6.49), где & и & определены формулами(6.50)(6.50).--‘ ”(6.50),дает решение разностной задачи (6.45). Нетрудно убедиться, что.--‘ ”(6.50),дает решение разностной задачи (6.45). Нетрудно убедиться, чтооно является единственным, так как, предполагая, что имеются два решения задачи (6.45), получим, что их разность в силу линейности является решением опять-таки задачи (6.45), где у0 = 0. Отсюда последовательно получим, что все значения сеточной функции, отвечающей разности предполагаемых различных решений, равны нулю.Исследуем построенное решение задачи (6.45) при 九 f 0. Пользуясь известными методами анализа, нетрудно получить, что при достаточно малых Л *)储=1 - a无 +。(犷)，入2 = 2 + 2a无 + 〃 (Л2), 'оно является единственным, так как, предполагая, что имеются два решения задачи (6.45), получим, что их разность в силу линейности является решением опять-таки задачи (6.45), где у0 = 0. Отсюда последовательно получим, что все значения сеточной функции, отвечающей разности предполагаемых различных решений, равны нулю.Исследуем построенное решение задачи (6.45) при 九 f 0. Пользуясь известными методами анализа, нетрудно получить, что при достаточно малых Л *)储=1 - a无 +。(犷)，入2 = 2 + 2a无 + 〃 (Л2), '&&y。（1 +0他））y。（1 +0他）），+0® '，+0® 'При 无 f 0 и a > 0 имеем GПри 无 f 0 и a > 0 имеем Ge入洋一而）"e入洋一而）"гУо (а九 + О (А2))3 = ~1 + OS)~.块，а |х"|<1,и по этому。次：гУо (а九 + О (А2))3 = ~1 + OS)~.块，а |х"|<1,и по этому。次：ограничено при Л -»- 0. В то же время |ад|> 屮аЛ2п =學а/г2(5cL。叱ограничено при Л -»- 0. В то же время |ад|> 屮аЛ2п =學а/г2(5cL。叱爲 > 2П, и爲 > 2П, и(6.51)(6.51)

入1

入1

3 + a" Ml 十 6ah 十 a?/?

2

3 + a" Ml 十 6ah 十 a?/?

2

入2

入2

3 十 ah 十 VT+Eah + a*

3 十 ah 十 VT+Eah + a*

2

2

(6.48)

(6.48)

получим два частных решения

получим два частных решения

уравнения (6.46) в виде un(D

уравнения (6.46) в виде un(D

入;，un(2)= Хг* Попытаемся удовлетворить условиям в нулевом и в

入;，un(2)= Хг* Попытаемся удовлетворить условиям в нулевом и в

первом узле, т. е. условиям u0 = j/i, ut = у。, взяв линейную нацию этих решений (являющуюся также решением в силу ности уравнения)

первом узле, т. е. условиям u0 = j/i, ut = у。, взяв линейную нацию этих решений (являющуюся также решением в силу ности уравнения)

комби- линей-

комби- линей-

01入：+e2入2.

01入：+e2入2.

(6.49)

(6.49)

Имеем & + & в 勿，&3 + С2Х2 = у。. Отсюда

6 — % (% — ‘) r _ % & —I)

" —% — % ' 02 %一%•

Итак, формула (6.49), где & и & определены формулами

Имеем & + & в 勿，&3 + С2Х2 = у。. Отсюда

6 — % (% — ‘) r _ % & —I)

" —% — % ' 02 %一%•

Итак, формула (6.49), где & и & определены формулами

(6.50)

(6.50)

.--‘ ”(6.50),

дает решение разностной задачи (6.45). Нетрудно убедиться, что

.--‘ ”(6.50),

дает решение разностной задачи (6.45). Нетрудно убедиться, что

оно является единственным, так как, предполагая, что имеются два решения задачи (6.45), получим, что их разность в силу линейности является решением опять-таки задачи (6.45), где у0 = 0. Отсюда последовательно получим, что все значения сеточной функции, отвечающей разности предполагаемых различных решений, равны нулю.

Исследуем построенное решение задачи (6.45) при 九 f 0. Пользуясь известными методами анализа, нетрудно получить, что при достаточно малых Л *)

储=1 - a无 +。(犷)，入2 = 2 + 2a无 + 〃 (Л2), '

оно является единственным, так как, предполагая, что имеются два решения задачи (6.45), получим, что их разность в силу линейности является решением опять-таки задачи (6.45), где у0 = 0. Отсюда последовательно получим, что все значения сеточной функции, отвечающей разности предполагаемых различных решений, равны нулю.

Исследуем построенное решение задачи (6.45) при 九 f 0. Пользуясь известными методами анализа, нетрудно получить, что при достаточно малых Л *)

储=1 - a无 +。(犷)，入2 = 2 + 2a无 + 〃 (Л2), '

&

&

y。（1 +0他））

y。（1 +0他））

，+0® '

，+0® '

При 无 f 0 и a > 0 имеем G

При 无 f 0 и a > 0 имеем G

e入洋一而）"

e入洋一而）"

гУо (а九 + О (А2))

3 = ~1 + OS)~.

块，а |х"|<1,и по этому。次：

гУо (а九 + О (А2))

3 = ~1 + OS)~.

块，а |х"|<1,и по этому。次：

ограничено при Л -»- 0. В то же время |ад|> 屮аЛ2п =學а/г2(5cL。叱

ограничено при Л -»- 0. В то же время |ад|> 屮аЛ2п =學а/г2(5cL。叱

爲 > 2П, и

爲 > 2П, и

(6.51)

(6.51)

меньше С№,

тагов, чтобы ?пт < х хп, а для такого п величина 九2俨"“°)小》 》九・2侬 ”" 一> 8 при Л0, так как л: фиксировано; т. е. при фиксированном значении х s [^Oj X] и九f 0 второе слагаемое в формулетагов, чтобы ?пт < х хп, а для такого п величина 九2俨"“°)小》 》九・2侬 ”" 一> 8 при Л0, так как л: фиксировано; т. е. при фиксированном значении х s [^Oj X] и九f 0 второе слагаемое в формулеЧтобы получить посредством разностной схемы решения в фиксированной точке х отрезка [n” X], нужно сделать такое число 孔

тагов, чтобы ?пт < х хп, а для такого п величина 九2俨"“°)小》 》九・2侬 ”" 一> 8 при Л0, так как л: фиксировано; т. е. при фиксированном значении х s [^Oj X] и九f 0 второе слагаемое в формуле

тагов, чтобы ?пт < х хп, а для такого п величина 九2俨"“°)小》 》九・2侬 ”" 一> 8 при Л0, так как л: фиксировано; т. е. при фиксированном значении х s [^Oj X] и九f 0 второе слагаемое в формуле

рованном значении х s [^Oj X] и九f 0 второе слагаемое в формуле (6.49) неограниченно возрастает по абсолютной величине. Тем самым сеточная функция, отвечающая разностной схеме (6.45), не может сходиться к решению дифференциальной задачи (6.3) в смысле (6.7).

L成九L成九Итак, схема (6.45) обеспечивает первый порядок аппроксимации, но не сходится к решению дифференциальной задачи. Легко видеть, что этот результат связан с отсутствием устойчивости данной разностной схемы. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть возмущенную задачу, в которой возмущаются только начальные данные:

L成九

L成九

Уп + Е Uo + &

Тогда для погрешности решения бил = йл — ил получим формулу (6.49), в которой уй следует заменить на е. Из оценки (6.51) сле

дует, что при любом фиксированном е > 0 величина |邑入2丨 неогра

ниченно растет при 九 f 0, что и доказывает неустойчивость данной разностной схемы.

Метод Рунге ——Кутта. Как мы уже отмечали, схема Эйлера имеет лишь первый порядок сходимости, и для получения высокой точности по этой схеме приходится вести вычисления с очепь мелким шагом, что приводит к значительному росту времени счета. Поэтому естественно искать схемы, обладающие более высокими порядками сходимости. Одним из классов таких схем являются схемы Рунге — Кутта. В основе этого метода лежат следующие соображения. Рассмотрим тождество у'(н) = /(н, У(н))・ Согласно формуле Лаграшка о конечных приращениях на отрезке [n〃 xi+l] существует такая точка что

У (内+1) - У(£i)=(抬+1 -右)У(£*)=为/(", У ("))・(6.52)

.)днако значение н* нам неизвестно. В схеме Эйлера положено н* = =х^ что и дает всего лишь первый порядок точности. Основная идея метода Рунге ——Кутта заключается во введении в разностную схему ряда дополнительных параметров, уточняющих приближенное определение значения н*.

Будем по-прежнему рассматривать начальную задачу (6.1) (или (6.3)):

Ly =Ly =У (%)У (%)(6.53)(6.53)

Ly =

Ly =

У (%)

У (%)

(6.53)

(6.53)

Условия гладкости функции /(%, у) будут сформулированы ниже.

-Сопоставим задаче (6.1) разностную схему

(卩阳° ,(6.54)

где

"i = / (丁储 Uj),

K2 = /(勺 + %瓦 иг + %九占)，(6.55)

К = 〃勺 + ОС/т儿 Ui + W—1 无K — i),

a p1T ..., pi, at, ..,, a/-t 一 некоторые параметры, выбором которых можно обеспечить требуемый порядок аппроксимации схемы (6.54) на решении задачи (6.53).

В частном случае при 2 = 1, р = 1 схема (6.54) переходит в схему Эйлера (6.9), имеющую первый порядок аппроксимации. Покажем, что при I = 2 можно так выбрать параметры рь 〃 и что схема (6.54) будет иметь второй порядок аппроксимации. Пусть функция f(xt у) имеет в D непрерывные частные производные до второго порядка по обоим аргументам, что достаточно для существования непрерывной третьей производной от решения. Тогда решение задачи (6.53) может быть представлено по формуле Тейлора a(Nt+i) = У Si) + 无『(曲 + ^У (%) + ^К" (")•(6.56)

Подставляя это выражение в схему (6.54), получим

空■士『® - (рМ + PiK^ = у' (Zj) + |/ (у) +。伍2)—

-P J (勺，У (勺))-?J (勺 + М. У(Q)+ °4无"g, у (叫)).(6.57)

Воспользовавшись разложением

/g + 04无，a(70+ /无/ (乃,у (z；))) = "q, у (z0)+

+ a］无 ^ (%, y (g)) + %无/ (々,у (勺))%(0, у (勺))+0(无2) (6.58) и очевидным соотношением

у" (%) *=宾(0, У (/)) + 款乃,У (/)) у'(0)=

=М 9, и (%)) + "%, У (叫)嘉(勺,У (&)), (6.59)

перепишем (6.57) в виде

收叫丄1 — (р陷+р2K2)=

==у' @) —(Р1 + Р2)/ &, У 3J) + hy"(X,) (1/2 — %Р2)+ 0 (无?)• (6.60) Отсюда следует, что при

Pi + Рг = 1, ад = 1/2(6.61)

схема (6.54) при I = 2 имеет второй порядок аппроксимации. При этом ai может быть выбрано произвольно. Наиболее широко применяются схемы (6.54) с ai = 1 п 6 = 1/2. Заметим, что путем выбора Uj повысить порядок аппроксимации Схемы (6.54) при » = 2 нельзя.

При aj = 1 из (6.61) получим pi = р2 = 1/2, и схема (6.54) принимает вид

鼻_! 一 ^ [/ (g, “О + / (g + h, ”，+ 无/ &, “力]=о.(6.62)

Геометрическая интерпретация этой формулы ясва из рис. 19. Сначала по методу Эйлера находим точку 班+^ = 〃$+力/(/, и,), затем находим среднее значение угла наклона касательной к интегральным кривым на шаге Л: tg a = =次口:+ Ui+l) и по нему уточняем значение и*+1. Аналогичные рассмотрения легко провести и для случая a — 1/2. Подобные схемы обычно носят название «предиктор-корректор».

Мы рассмотрели схемы со вторым порядком аппроксимации. Аналогичные рассмотрения могут быть проведены и для схем более высокого порядка (Z > 2). При этом приходится налагать на функцию /(х, у) все более высокие требования гладкости. Наиболее широкие практические применения находят схемы четвертого порядка. В большинстве библиотек стандартных программ для ЭВМ используется следующая схема:

加"=[+ - ^ 阳 + 2/ + 2/ + 匕)卜｛费，(6.63) где

叱 Л 、К^/^ + ^щ + |^J,(6.64)

& = /(/ + у, "t + 彳目丿，％ = / ⑵ + 九,4 + D・

Легко проверить, что эта схема имеет четвертый порядок аппроксимации.

В силу теоремы 6.1 для определения порядка сходимости схем Рунге ——Кутта достаточно доказать их устойчивость. Это доказательство можно провести в полной аналогии с доказательством устойчивости схемы Эйлера. Действительно, все схемы типа (6.54) имеют вид

LhUh =LhUh =G (勺，Ui)G (勺，Ui)(6.65)(6.65)

LhUh =

LhUh =

G (勺，Ui)

G (勺，Ui)

(6.65)

(6.65)

где функция G (①，у) представляет собой линейную комбинацию функций /(с, у) от промежуточных значений аргумента. Поэтому оценки для функции G(c, у) и ее производных легко выразить через соответствующие оценки функции /(z, у) и ее производных, используемые при доказательстве устойчивости метода Эйлера, откуда и следует сделанное утверждение.

В частности, имеет место следующая

Теорема 6.2. Пусть функция /(с, у) имеет s D непрерывные частные производные четвертого порядка. Тогда схема Рунге ——Кутта (6.63) сходится с четвертым порядком точности, т. е.

^uh~[y]^<Ch\ (6.66)

Отметим в заключение, что схемы Рунге ——Кутта допускают вычисления и с переменным шагом. Начиная с любого индекса i, можно уменьшить или увеличить последующий шаг сетки.

Замечание. В этом параграфе были рассмотрены численные методы решения начальной задачи (6.1) для одного скалярного уравнения первого порядка. Без существенных изменений разобранные методы переносятся на случай начальной задачи и для нормальной системы уравнений первого порядка ).

Краевые задачи

В этом параграфе будут рассмотрены простейшие численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка этих задач и общие свойства их решений были изучены в гл. 4.

Метод стрельбы. Основная идея этого метода заключается в сведении решения исходной краевой задачи к многократному решению вспомогательных задач Коши для заданного дифференциаль-

ного уравнения. Проиллюстрируем эту идею на примере краевой задачи на отрезке [О, Z] для уравнения второго порядка

刍= G，y，妙 (6.67) 屮i(y(0),^(0)) = 0, (6.68) 屮2(У(“ 募⑺)=0, (6.69)

где /, фо ср?——заданные функции своих аргументов. Пусть функции /, фн (р2 являются достаточно гладкими и выполнены условия, при которых решение краевой задачи (6.67) — (6.69) существует и единственно, а также существуют единственные решения начальной задачи для уравнения (6.67) при произвольных начальных условиях, заданных при х ^ 0 или 工=厶 Выберем некоторые начальные условия 歹(0)=歹()，誓(0)==У1, удовлетворяющие левому граничному условию (6.68). Это можно, например, сделать, задавшись значением у0 и разрешая полученное уравнение

⑦伉,^(0))=0 (6.70)

относительно *(°) = Уг В силу сделанного предположения задача определения решения у (х) уравнения (6.67), удовлетворяющего выбранным начальным условиям, разрешима единственным образом. Если бы полученная при этом функция 歹(/) удовлетворяла и правому граничному условию

5(7(2),黑(力=0, (6.71)

то исходная краевая задача была бы решена. Однако в общем случае полученная функция у (z) не удовлетворяет правому граничному условию (6.71). По способу своего построения функция 歹⑺ зависит от значения 双 как от параметра; у(х, у0), причем в силу общих свойств решения начальной задачи, изученных в гл. 2, эта зависимость непрерывная. Меняя значения 歹。и повторяя описанный выше алгоритм, получим однопараметрическое семейство у(х, у0) решений начальных задач для уравнения (6.67), удовлетворяющих левому граничному условию (6.68). Задача заключается в том, чтобы из этого семейства выделить функцию у (с), удовлетворяющую и правому граничному условию (6.69). Этого можно достичь различными способами. Например, можно выбирать наудачу значения у0 до тех пор, пока при некоторых близких значениях ^о,(-1, ^о,i не получатся разные по знаку левые части (6.69). Это

будет означать, что искомое значение 歹。«взято в вилку» и можно вести «пристрелку», уточняя искомое значение 歹山 В силу указанной выше непрерывной зависимости решений начальных задач от начальных даппых искомое значение у0 лежит между 歹％ л и 歹о, t. Этот способ решения краевой задачи (6.67) — (6.69) и носит название метода стрельбы.

Если решение задачи Коши у (х,歹°) находится в квадратурах, то соотношение (6.71) представляет собой некоторое, вообще говоря, трансцендентное уравнение

2(%) = %(7(2方о)，^ (Z，7o)) = 0 (6.72)

относительно искомого значения у0. Тем самым задача сводится к задаче нахождения корпя уравнения (6.72). Решив это уравнение (аналитически или численно), мы получим начальные условия у(0), ^(0), которым удовлетворяет решение исходной краевой задачи.

В общем случае функции 歹(工”歹о) не имеют явного аналитического выражения и могут быть найдены лишь численно для каждого конкретного значения параметра 歹小 Тогда можно воспользоваться численными методами решения уравнения (6.72) — различными модификациями метода Ньютона, метода парабол и т. д. Например, можно по описанному выше алгоритму для значений параметра 歹°, равных 歹％ — и у0. й построить функции 歹(/ у0, i-i) и У(н,歹о, $)• Тогда новое значение параметра 歹％ 什匕 согласно методу секущих, находится из соотношения

(6.73)(6.73)(7o,i-^"_Jw(7o,J

(6.73)

(6.73)

-屮伍,J -屮伍,一).

Отметим, что если начальное значение у0 выбрано вблизи корня уравнения (6.72), то итерационный процесс (6.73) быстро сходится.

Проведенные рассмотрения справедливы в общем случае нелинейной краевой задачи. В случае линейной краевой задачи

(6.74)(6.75)(6.76)(6.74)(6.75)(6.76)上传I = ^卜a)留-a a)У⑺="叫а“(О)+В，у(О)=О,

(6.74)

(6.75)

(6.76)

(6.74)

(6.75)

(6.76)

озд'(2)+ 02У(2) = О

можно предложить модификацию метода стрельбы, позволяющую получить решение исходной краевой задачи, сведя ее к решению сравнительно небольшого числа начальных задач.

Построим функцию У1(н), представляющую собой решение задачи для неоднородного уравнения (6.74) с начальными условиями

У丄(0) = а「力(0) = — РиУ丄(0) = а「力(0) = — Ри(6-77)(6-77)

У丄(0) = а「力(0) = — Ри

У丄(0) = а「力(0) = — Ри

(6-77)

(6-77)

Очевидно, в силу (6.77) функция у{ (z) удовлетворяет левому граничному условию (6.75). Определим функцию у0(х) как решение задачи для однородного уравнения (6.74) с теми же начальными условиями

% (0) = %, yQ (0) = — Р]. (6.78)

В силу линейности задачи и однородных условий функция Су0 (z) также представляет собой решение однородного уравнения (6.74), удовлетворяющее левому граничному условию (6.75). Поэтому решение исходной краевой задачи можно искать в виде

у (/)=勿(n) + Q/o(e), (6.79)

определяя постоянную С из требования удовлетворения функцией (6.79) правому граничному условию (6.76):

%< (Z) + 也％ «) + С 卜叁；(Z) + 02% ⑴]=0. (6.80)

Заметим, что в силу сделанного предположения о единственности решения исходной краевой задачи выражение в квадратных скобках в (6.80) заведомо отлично от нуля; тем самым постоянная С из этого соотношения определяется однозначно. Таким образом, в рассматриваемом случае решение краевой задачи сводится к решению всего двух начальных задач, что может быть осуществлено рассмотренными в § 1 настоящей главы численными методами.

Замечания. 1. Решение краевых задач для уравнений и систем более высокого порядка, чем второго, также может быть проведено методом стрельбы. Основные идеи метода при 9ToM существенно пе меняются, однако вместо одного уравнения (6.72) мы в общем случае получим систему р трансцендентных уравнений типа (6.72) относительно параметров ?卜 у?, ■ • •, Up, где р—число левых граничных условий. Это приводит к зпачительной технической трудности при практической реализации решения систем высокого порядка методом стрельбы. Исключение составляют лишь линейные системы, для которых задача сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений.

В методе стрельбы решение исходной краевой задачи сводится к решению ряда вспомогательных начальных задач. Из полученных выше (§ 1) оценок зависимости ошибки численного решения начальной задачи от ошибок задания начальных данных и вычисления правых частей уравнений следует, что эта ошибка может экспоненциально нарастать с увеличением длины отрезка [0, t], па котором решается краевая задача. Это приводит к необходимости или значительной модификации метода стрельбы (так называемый метод диффереицпалыюй ортогональной прогонки) ), или применепия для решения краевых задач прямых конечно-разностных методов, изложению которых и будет посвящен следующий пункт.

Конечно-разностные методы. Как мы уже отмечали, суть этих методов сводится к замене исходной задачи для дифференциального уравнения системой алгебраических уравнений для значений се-

точной функции, аппроксимирующей на сетке решение исходной задачи. Рассмотрим основные идеи этого метода на примере простейшей линейной краевой задачи для уравнения второго порядка

у" - q(x)y = f(x), (6.81)

У(0)=川) = 0・ (6.82)

Легко видеть, что при q(N)>0 краевая задача (6.81), (6.82) имеет единственное решение. Это утверждение является следствием общего свойства задачи на собственные значения, рассмотренной в гл. 4. Как было показано, при q (^) > 0 все собственные значения Ап соответствующей задачи на собственные значения строго положительны: Хп > 0. Поскольку 入=0 не является собственным значением этой задачи, краевая задача (6.81)——(6.82) разрешима единственным образом.

Единственность решения задачи (6.81), (6.82) можно доказать и непосредственно, опираясь на так называемый принцип максимума. Предположим, что существует нетривиальное решение однородной краевой задачи (6.81), (6.82) — функция yQ(x). Эта функция непрерывна на замкнутом отрезке [0, Z], следовательно, по известному свойству непрерывных функций принимает в некоторой точке No этого отрезка свое максимальное значение М:

Уо(n) W М = Уо(х0), N U [0, 4, (6.83)

причем МАО, поскольку 弘(0) = у°(2) = 0. Точка / может быть либо грапичной, либо внутренней точкой [0, 2] Пусть хй ——граничная точка. Но тогда М = 0, поскольку у0 (0) — у0 (Z) = 0. Допустим теперь, что х0 一 внутренняя точка; тогда в этой точке имеется максимум и д"(/)&0. Но из самого уравнения (см. (6.81) при /(/) = 0) следует

。》Уо (%) = q (^0) у。(％) = q (%) М^0, (6.84)

а это может выполняться лишь при Л/= 0. Итак, М = 0. Аналогичным образом легко показать, что и минимальное т значение функции Уо(е) на замкнутом отрезке [0, Z] равно нулю: тп = 0. Отсюда следует, что у0 (л:)э 0, ни[Ь, 2] что и доказывает утверждение об единственности решения краевой задачи (6.81), (6.82).

Перейдем к построению разностной схемы, аппроксимирующей задачу (6.81), (6.82). Введем на отрезке [0, " сетку(ол и рассмотрим сеточную функцию 勿“ определенную в узлах сетки. Вторую производную y"(N)аппроксимируем разностным отношением

(М+1 — 2yt + Ул)/胪 (6,85)

и сопоставим исходной краевой задаче конечно-разностную схему

现⑺一 ，= & ,(686)

У(Ь)п

где 弘5=9(廟，аA)» = /(^).

Схема (6.86), очевидно, представляет собой систему п + 1 линейных алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции в га + 1 узлах сетки. При исследовании этой схемы мы должны выяснить вопросы, связанные с ее разрешимостью, устойчивостью и сходимостью семейства сеточных функций при 无О к решению исходной задачи, и указать алгоритмы построения сеточных функций.

Начнем с выяснения вопросов разрешимости схемы (6.86). Поскольку эта схема представляет собой систему линейных уравнений, то для существования и единственности решения неоднородной системы достаточно установить отсутствие нетривиальных решений у соответствующей однородной системы. Предположим, что однородная система имеет нетривиальное решение y{h)0 = 0, ..., у储戸 * 0,... ・・•，У(^п^= 0. Наибольшее из этих 几+1 чисел обозначим через М: у(” £М = Ут)肌(6.87)

Так как 弘勺0 0yg紀=0, то Л/ > 0. Будем теперь рассуждать, как при доказательстве отсутствия нетривиального решения у однородного уравнения (6.81). Пусть М достигается в одном из граничных узлов. Тогда М == 0. Если же М достигается во внутреннем узле i = К то в силу однородного уравнения (6.86) имеет место равенство

(2 + "9s值)У{^)к == (2 + h2q{h^M =• y(h)k+i + У w【& 2K (6.88)

Если Af > 0, то отсюда получим противоречие, поскольку, в силу условия 4(/)>0, имеем (2 4- h^q^kjM > 2М. Поэтому и в этом случае Л/ = 0. Итак, Л/ == 0. Аналогичным образом легко показать, что минимальное т значение n + 1 чисел, y(h}Ot i/(a)i, ..., 5《勺紀,также равно нулю:加==0. Следовательно, все значения у(А)0, ys“, ..., у(Л}Л равны нулю, что означает отсутствие нетривиальных решений у однородной системы линейных алгебраических уравнений (6.86). Итак, разностная схема (6.86) однозначно разрешима для любой правой части /(Л) при любом п.

Перейдем теперь к изучению аппроксимирующих свойств схемы (6.86). Пусть функции q{x) и f(ar) имеют вторые непрерывные производные на отрезке [0, 2]. Тогда из (6.81) следует, что решение краевой задачи (6.81), (6.82) обладает на отрезке [0, Z] непрерывными и ограниченными производными до четвертого порядка. Разлагая точное решение краевой задачи по формуле Тейлора и

подставляя это разложение в левую часть уравнения (6.86):

± {y (勺)+ 九У‘(勺)+ у Ун (xi) +*"(勺)+

+ ^丿")(勺 + 仇/z) 一 2y (勺)+ у (勺)一hyt (勺)+ у yf, (g)-

-^ к"(的)+ ^ NV)(乃 — 8也)} - g ⑷)у д)(0 * % & 1, 04&&1),

(6.89)

получим

у"(曲-g (曲 У (叫 + Й gm(勺 + Ю + /V)д 一也五)]=〃s),

(6.90)

откуда следует, что порядок аппроксимации схемы (6.86) равен 2.

отношению к возмущениям граничных условии и правой уравнения. Возмущенная задача имеет видотношению к возмущениям граничных условии и правой уравнения. Возмущенная задача имеет видРассмотрим вопрос об устойчивости разностной схемы (6.86) по части

отношению к возмущениям граничных условии и правой уравнения. Возмущенная задача имеет вид

отношению к возмущениям граничных условии и правой уравнения. Возмущенная задача имеет вид

y(?i)i+i — 2y(h){+ ?储*-1

玖力)0У(Л)П玖力)0У(Л)П(6.91)(6.92)(6.93)(6.91)(6.92)(6.93)厶 Ут> =

玖力)0

У(Л)П

玖力)0

У(Л)П

(6.91)

(6.92)

(6.93)

(6.91)

(6.92)

(6.93)

Обозначив погрешность решения

6y(h}i~y(h}i —弘修

и вычитая (6.91) из (6.86), получим в силу линейности

(2 + 九2gsM) 6у(%)| = 6弘勺宀斗 ^y(h}i~i —胪6/(л)т

6y(h}Q^eQ, 6y(ft}n = еп.

Выберем то значение i =■ A (i = lt ...,几―1), при котором абсолютная величина погрешности нанболыная:

16у《А)」A IMsM， 》==1, ・・・，л —* 1.(6,94)

Из уравнения (6.93) имеем

(2 + A2g(AJA)|6y(A)J & I6ys)jj + iSi/tMfe-J + 五"6/тК・(6.95)

Неравенство (6.95) только усилится, если заменить |6^(A)fc+J и Ibygxi на максимальное значение 1бг/(ЛЙ|, a l6/^)ftl — на максимальное значение |6/(ftJ. Тогда (6.95) дает

公delbygj W hz^fih^.(6,96)

Отсюда получим

16ysMIW 代/硏牆 g(z),k= 1, n — 1,

а так как I6i/(h)fcl ^шах{|е01, 1еп|}(乃=0, п), то окончательно

116y(h> II & max [毋晒,I % I，I I & С |] бф(л)||1,(6.97)

[0,i]

что и доказывает устойчивость схемы (6.86) по граничным условиям и правой части уравнения.

Установленные свойства аппроксимации и устойчивости схемы (6.86) позволяют на основании теоремы 6.1 утверждать справедливость следующей теоремы:

Теорема 6.3. Если функции q(z) > 0 и /(х) дважды непрерывно дифференцируемы на отрезке [0, “, то семейство yg решений разностной схемы (6.86) сходится при Л -> 0 к точному решению задачи (6.81), (6.82), причем порядок сходимости равен 2.

Остановимся теперь на вопросах реализации схемы (6.86). В отличие от рассмотренных выше разностных схем решения начальной задачи (схемы Эйлера, Рунге ——Кутта), данная схема не дает явного алгоритма последовательного вычисления значений сеточной функции в узлах сетки, а представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, в которую входят неизвестные значения сеточной функции во всех узлах сетки. Поэтому для численного решения задачи (6.86) можно воспользоваться общими методами решения линейных алгебраических систем. Однако в случае достаточно большого порядка п эти методы оказываются весьма трудоемкими. Естественно воспользоваться специальными свойствами матрицы, полученной алгебраической системы. В данном случае матрица системы трехдиагональная ——лишь на главной диагонали и двух побочных диагоналях элементы матрицы отличны от нуля. Это позволяет предложить для решения системы (6.86) весьма эффективный специальный метод, к изложению которого мы и перейдем.

Метод алгебраической прогонки решения линейных алгебраических систем с трехдиагональной матрицей. Рассмотрим этот метод для следующей системы, являющейся некоторым обобщением схемы (6.86):

4^Лт - См + В"к = -R, i = 1,…，n - 1, (6.98) 丸==а" + Р, Уе =仙т + 6. (6.99)

Пусть коэффициенты, входящие в уравнения (6.98) и граничные соотношения (6.99), удовлетворяют условиям

А<, В<, С< > 0; C^Ai + Bt} О^а < 1; 0 & 丫 V 1. (6.100)

Очевидно, в рассмотренном выше случае схемы (6.86) условия (6.100) выполнены. Так жет как и в случае схемы (6.86), нетрудно показать, что при выполнении условий (6.100) задача разрешима, и притом единственным образом.

Будем искать такие коэффициенты о^，卩厶 чтобы для всех значений индекса i = 1, 2, ..., п имело место соотношение

%Т = ОМЛ + pi.(6.101)

Подставим искомый вид решения (6.101) в уравнение (6.98); получим

(4g - &) % + 5%+i + (力也 + 凡尸 0.(6.102)

Выражая 川 через yl+i по формуле (6.101), перепишем (6.102) в виде

[(4а* — Ci) a<+i + 8]у什 1 + [ (4s — &) M+i + 4必 + 凡]=0. (6.103)

Для того чтобы (6.103) удовлетворялось тождественно при i = =1, 2, ..., м —1, достаточно потребовать, чтобы каждая из квадратных скобок обращалась в нуль при i = 1, 2, ..., п — 1. Это требование дает рекуррентные соотношения для последовательного определения по заданным значениям а == а】и В = В】 «прогоночных» коэффициентов ai+1 и pi+1 («прямая прогонка»):

₽i+i =₽i+i =4氏+修4氏+修(6.104)(6.104)

₽i+i =

₽i+i =

4氏+修

4氏+修

(6.104)

(6.104)

Легко показать, что при выполнении условий (6.100) знаменатели в формулах (6.104) отличны от нуля и, более того, 0 ^ «i < 1. Действительно, перепишем второе условие (6.100) в виде

С, = А^В^ Д, D{ 2 0.(6.105)

Тогда первую формулу (6.104) можно записать в виде

=片 + % (1 — %) + D「(6.106)

Так как 0 W cci V 1, 4, 8 > 0 и R 2 0, отсюда следует, что и для всех а” вычисляемых по формуле (6.106), выполняется условие 0 ^ а( < 1. Итак, все знаменатели в формуле (6.104) строго больше пуля, что позволяет найти все прогоночные коэффициенты.

Вычислив ап и рп из (6.101), получим

(6.107)(6.107)%Т = ^пУп + В»

(6.107)

(6.107)

С другой стороны, в силу граничного условия (6.99)

уп = ту., + 6 = у (апуп + »п)+ 6,(6.108)

откуда

Уп = (ТВп + 5)/(1 — тап).(6.109)

Выше мы показали, что 0 ^ art < 1. Поэтому в силу условия (6.100) (0《т V 1) знаменатель и этого выражения отличен от нуля. Тем самым уп определено. Теперь по формуле (6.101) можем последовательно вычислить все неизвестные у— (f =几^ и — 1,..., 1) (обратная прогонка).

Замечания. 1. В силу установленного соотношения 0 & а《 V 1 ни при прямой; ни при обратной прогонке не происходит накопления погрешностей вычисления.

Мы рассмотрели схему метода прогонки, в которой сначала определяются прогоночные коэффициенты при переносе левого граничного условия, а затем восстанавливается решение по формуле (6Л01). Очевидно, аналогич- ннм образом может быть рассмотрена схема, в которой прогоночные коэффициенты определяются прогонкой справа налево правого граничного условия, а решение восстанавливается прогонкой слева направо.

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ

Необходимость развития приближенных методов решения дифференциальных уравнений отмечалась выше. Гл. 6 была посвящена так называемым численным методам решения дифференциальных уравнений, которые дают возможность для данного уравнения с конкретными дополнительными условиями получить с произвольной степенью точности таблицу значений решения в узлах сетки. В настоящей главе будет идти речь о другом классе приближенных методов, о так называемых асимптотических методах, которые ставят своей целью получение формулы, описывающей качественное поведение решения на некотором интервале изменения независимого переменного. Точность такой формулы имеет естественное огравичние (подробнее об этом см. ниже). Заметим сразу же, что численные и асимптотические методы не исключают, а взаимно дополняют друг друга,

Регулярные возмущения

К Понятие асимптотического представления. В § 5 гл, 2 подробно исследовался вопрос о зависимости решения начальной задачи от входящих в уравнение параметров. В настоящем параграфе мы положим 力=0, чего всегда можно добиться заменой независимого переменного, и ограничимся скалярным случаем (у — скаляр, р, — скаляр), что не принципиально, а делается лишь в целях краткости изложения. Итак, рассмотрим начальную задачу

g—几,仆)，У(О,^ = У°. (7.1)

При этом будем считать, что 卩 изменяется в некоторой окрестности значения ц = 0, чего тоже можно добиться соответствующим выбором начала отсчета по оси pi.

В гл. 2 (теорема 2.10) было доказано, что при соответствующих условиях на правую часть (7.1) решение у (力 卩)задачи (7.1) существует и является непрерывной функцией £ и ц на множестве fe[0, Г], |ц| V с.

Доказанная теорема заключает в себе следующую возможность построения приближенного решения задачи (7.1). Рассмотрим зада-

чу, которая получается из (7.1), если в ней формально положить ц = 0:

黑= 〃У, %。)，У(О) = У°・ (7.2)

Задача (7.2), вообще говоря, проще исходной задачи (7.1), и ее решение, которое обозначим 歹⑴，исследовать проще, а возможно, даже удастся эффективно построить. Из теоремы 2.10 следует, что на некотором сегменте [0, Т}

У(£,n)=岁(£)+Е(£,卩)， (7.3)

где е(^ ц)=> 0 при ц -»- 0. Таким образом,歹")служит для у (厶 ц) приближенным выражением, а е(£, ц) есть погрешность этого приближения. °

Формула (7.3) является простейшим вариантом так называемой асимптотической формулы (или асимптотического представления) решения «(立 ц) по малому параметру ц. Асимптотическими формулами по малому параметру мы будем называть такие формулы, в которых некоторые члены, называемые остаточными членамщ выписываются не точно, а указываются лишь их свойства при ц 0, например порядок стремления к нулю при 卩 f 0.

В формуле (7.3) £ (厶 ц) является остаточным членом. Теорема 2.11 дает возможность указать порядок стремления е (^ ц) к нулю. В самом деле, существование производной по ц дает возможность написать

У(仆)=虱)+ *«,"», 0&9&1 (7.4)

и установить тем самым, что е(厶 ц) — 67(ц). Здесь и в дальнейшем подобного рода равенство означает, что |е (^ ц) I W/, где С — некоторая постоянная, не зависящая от ц при достаточно малых ц.

Чем меньше ц, тем лучше 歹(才) приближает у(力 ц). Однако в реальных задачах ц является малой, но не бесконечно малой величиной. Поэтому асимптотическая формула произвольную степень точности обеспечить не может и это является ее принципиальным недостатком. Тем не менее асимптотические формулы очень удобны в тех случаях, когда требуется получить качественную картину решения.

Замечание. Сказанное относится к задачам, в которых малый параметр 卩 является естественным физическим малым параметром. Существуют, однако, задачи иного рода, например задачи, возникающие при обосновании вычислительных алгоритмов, когда искусственно вводится векий малый параметр, скажем величина шага, значением которого можно распоряжаться произвольно. В такого рода задачах обеспечивается произвольная степень точности.

Результаты гл. 2 позволяют получить для у (力 ц) асимптотическую формулу с остаточным членом более высокого порядка малости, чем 0(卩)), если /(у,力 ц) удовлетворяет условиям, обеспечивающим существование 孔 +， непрерывных производных по ц. Сформулируем этот вывод из § 5 гл. 2 в виде отдельной теоремы.

Теорема 7,1. Пусть в некоторой области D переменных у, & 仍 функция /(у,厶 ц) обладает непрерывными и равномерно ограниченными частными производными по у и \k до порядка 卩 +1 включительно. Тогда существует сегмент [О, Г], на котором для решения у(£, ц) задачи (7.1) справедливо асимптотическое представление

y (九卩)=y⑴+从%(力0) + ... +%^"亿°)+ 2什1仇卩)，(7，5) где en+1(^, fi)=> 0 при ц 0, 0W£W7\ причем еп+1(/, М)ЯС?(ЦП+1)*

Замечания. 1. Величины ^(力 0) определяются из уравнений в вариациях, выписанных в § 5 гл. 2. Представление (7.5) можно получить и иначе. Подставим в (7.1) выражение для у в виде формального ряда

у =勿(才)+ А弘(£)+・…(7.6)

Раскладывая после подстановки величину /(у。+ рчл + ・・•, Е, ц) также формально в степенной ряд, получим 叫 dy df十H由十.

=/（р。,九0）+瑞仇，力0）（財1+…）+ *（九,九。）卩+...

…（例1 +…居+ "部"%，力°）+…

力（0）+以力（0）+…n儿

Приравнивая члены с одинаковыми степенями ц, будем иметь

穿=了仇,力0),%(0)=职(77)

* =沙%,力0)为 +餡仇,t,0), 力(0) = 0,(77)

Решая последовательно эти задачи, определим члены ряда (7.6).

Задача (7.7‘) для yQ(t) совпадает с задачей (7.2), и, стало быть, в

силу единственности {/。(2)=歹(2)・ Задача (7.7")——с задачей для 器(力 0) (см. (2.141)), и, стало быть,弘《)=誥《, 0) и т. д.

Если /(у,厶卩)обладает в D непрерывными и равномерно ограниченными производными любого порядка, то в (7.5) п является величиной произвольной. Для у (厶 ц) тем самым определен ряд Маклорена с общим членом 卩”^门«) = (力 0) такой, что разность £n+i(t,卩)между частичной суммой этого ряда и решением у (% ц) есть 0(卩"+'). Такой ряд называется асимптотическим рядом^ или асимптотическим разложением по малому параметру ц для у(Д ц). Подчеркнем, что en+i(^ 卩)=。(卩曾+‘) при фиксированном п и ц -*- 0. Если же & фиксировано а п -*-«>, то еп+1(Л 卩)может предела не иметь, т. е. построенный таким образом ряд сходящимся, вообще говоря, не является.

Вместо терминов «асимптотическая формула»^ «асимптотическое представление», «асимптотическое разложение» употребляется краткое название ^асимптотика^.

Теория, развитая в § 5 гл. 2, и следующая из нее теорема 7.1 дают математическое обоснование «обычной» для физики и техники операции отбрасывания малых членов в уравнении. Эти малые члены часто называются возмущениями. В связи с этим уравнение (7.2) называется невозмущенным уравнением, а уравнение (7.1)— возмущенным уравнением. .Теория, имеющая целью обоснование асимптотики по малому параметру ц, часто называется теорией возмущений.

Теорема 7.1 справедлива при условиях достаточной гладкости (или, как говорят, регулярности) правой части (7.1) по ^ и ц. Возмущения, подчиняющиеся- требованиям теоремы 7.1, называются регулярными возмущениями. Этим разъясняется (название настоящего параграфа.

Пример 7.1. Получим справедливую на [О, Г] асимптотическую формулу с остаточным членом。(林?)для решения у (i, ц) задачи

^-=a(t)y + b(t) + ^c (Г) б. у (0) = 0.

Это уравнение Риккати, решение которого эффективно получить не удается. Функции же у。⑴ и у】⑴ строятся квадратурами, а именно,

^.― a (t) yQ + Ь (力 ％ (0) = О,

следовательно,

yQ U) = j & (I) J %；0yQ U) = j & (I) J %；0前=口 ⑴ ％ + c (f) y^t 无(0) = 0前=口 ⑴ ％ + c (f) y^t 无(0) = 0

yQ U) = j & (I) J %；0

yQ U) = j & (I) J %；0

前=口 ⑴ ％ + c (f) y^t 无(0) = 0

前=口 ⑴ ％ + c (f) y^t 无(0) = 0

и, следовательно,

±ja<()dt

% ⑺=J с ⑴需⑴ J dt, у (i,闻=Уо (f) + 卩力⑴ +。(d). о

Существование решения возмущенной задачи. Результаты, полученные в § 5 гл. 2, обладают той особенностью, что справедливость асимптотического представления гарантируется на некотором сегменте [О, Т] определяемом свойствами правой части (7.1), одновременно с существованием и единственностью как невозмущенного, так и возмущенного уравнений.

Можно ставить вопрос иначе. Допустим, что решение невозмущенной задачи (7.2) существует, единственно и принадлежит некоторой области G пространства переменных (у, t) при О W t W Т・ Величину Т в данном случае можно, например, установить непосредственно из явного вида 歹«)• Будет ли при достаточно малых 卩 решение задачи (7.1) также существовать на всем [О, Т] и подчиняться формуле (7.3)? Ответ на этот вопрос дает следующая

Теорема 7.2・ Пусть 6 области G = {О W t W Т, 1у| & “ |ц| ^ р} функция /(у, £, а) непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшица

l/(2/i,力 Ц)- /(力，t, “)I《MjA - “I,_

где N — одна и та же постоянная для всех 卩 из отрезка |у| W 卩• Пусть решение ，(t) задачи (7.2) существует и единственно на [О, Т] и принадлежит 0 = {О W t & Т, lyl V Ь}. Тогда при каждом достаточно малом 从 решение у (厶 从)задачи (7.1) также существует и единственно на [О, Т] и принадлежит D, причем имеет место равномерный относительно t предельный переход

limy(t,(1) =，t).(7.8)

Доказательство. Перейдем в (7.1) к новой неизвестной функции А = у —歹(力),которая является решением начальной задачи (ср. (2.137)); получим

^ = [f(y + ^,力 口)一/@, t,闻 +【/"，t，卩)一〃7, t, 0)], д(0)= о.

(7.9)

Рассмотрим следующую область переменных Д,力

5 = {0<i< Т, I Д|<С}, где С = 6 — ₽, ₽ == sup \y(t)\- [о,г]

При |А| V С имеем \у\ < 1^1 + IДI < р + С = Ь, т. е. при 1ДI < С аргументы /(у, % 从)остаются в области G. Тогда, в силу условия

Липшица,

|/(» + А, t, ^)-f(y,力 口)丨 WNlAl,

а в силу непрерывности /(у,立 ц) заключаем, что /(у, % N)— —/(歹，力 0)f 0 при 卩 f 0 равномерно относительно i, т. е. существует некоторая функция (о (р), зависящая только от ц и стремящаяся к нулю при 卩 f 0, такая, что

1/(и，г, н) — /(у,力 0) I V з(|1).

Воспользуемся теперь теми же соображениями, что и при доказательстве теоремы 3.2. Теорема существования и единственности обеспечивает существование и единственность △(厶 ц) и выполнение неравенства IAI < С на некотором отрезке [0, Я]. Принимая Н, А (Я, ц) за новую начальную точку, можно продолжить решение на больший отрезок [0, %] (*>Н) и т. д. Пусть [0, Н) (Н ^ Т)—максимальный полуинтервал, на котором существует единственное решение △(£, ц) задачи (7.9), принадлежащее 应, а Нп f R — произвольная последовательность. Докажем, что существует lim А (〃п,卩).

Так как для любого п на [0, Яп] имеем I△(力 ц) I < С, то開 &7V|A| + 3(n),

а тогда, согласно лемме 2.1,

A&*(e^ — l) = 3i(D(7.10)

где Si (а) обладает теми же свойствами, что и(о (ц). Следовательно, 岗 I&N313) + со(ц).

На основании этого неравенства доказывается существование предела limA(〃n,卩)точно так же, как при доказательстве теоремы

2. Поскольку IА (Яп, ц) I W ® (卩)< С, то и lim А (Яп,卩)《(о1 (卩)V V С. Дальнейшие рассуждения полностью совпадают с теми, которые были проведены при доказательстве теоремы 3.2, и приводят к выводу, что Н = Т и △(厶 ц) существует и единственно на отрезке [0, Т}. Из неравенства (7.10) следует равномерное стремление А (& ц) к нулю при 卩 f 0, т. е. следует (7.8). Теорема доказана.

Замечания. 1. Теорема доказана для скалярного случая, но аналогичное утверждение справедливо и для случая, когда у — вектор.

Теорема 7.2 остается справедливой, если имеет место возмущение ые только в уравнении, по и в начальных условиях, т. е. если (7.1) имеет вид

蒋=/ (外 h Ц). У (% (m)，")=y + w3 (卩)•

§ 2, Сингулярные возмущения

В приложениях нередко встречаются случаи, когда малый параметр 卩 входит в уравнение таким образом, что теория предыдущего параграфа неприменима. Рассмотрим в качестве простейшего примера движение маятника (см. гл.彳,§ 2),

W + 砌=/ (£),(7.И)

где 7 =卩 является малым параметром. В случае, разобранном в предыдущем параграфе, в целях получения приближенного выражения для решения можно было в уравнении формально положить |1 = 0 и взять решение полученного таким образом упрощенного уравнения. Можно ли поступить так же в случае (7.11) ?

Движение маятника в (7.11) определяется заданием начального положения и скорости у(0)=* К(0)=亦 Полагая в (7.11)卩=0, мы получим уравнение более низкого (первого) порядка, решение которого определяется только заданием у (0). Тем самым заранее ясно, что, поступая так, мы не можем учесть все факторы, определяющие решение (7.1.1), и по крайней мере в окрестности начальной точки правильной модели не получим.

Таким образом, выводы предыдущего параграфа в данном случае несправедливы и, стало быть, условия теорем предыдущего параграфа нарушены. Чтобы понять, какие условия нарушены, запишем (7.11) в форме (7.1) (уравнение уже будет векторным, но, как отмечалось выше, это не принципиально):

Z，= _ az -『-+ /⑷=九(z, у, t,n)，

y' = z = /2(z, у, t,卩).

Отсюда видно, что 人 не является непрерывной функцией 卩 при 卩=0, т. е. не выполнено основное требование теории предыдущего параграфа — требование непрерывности правых частей. Другими словами, можно сказать, что в данном случае правая часть зависит от ц нере2y｛兄рмьем, или син^улярнлям, образом. Поэтому возмущения типа Ng", т. е. когда малый параметр входит как множитель при старшей производной, получили в литературе название сингу- Анрнын возмущений.

Простейшие примеры показывают, что сингулярно возмущенные системы обладают рядом свойств, коренным образом отличающих их от регулярно возмущенных систем, исследованных в § 1.

Рассмотрим уравнение

иу'=ау + Ь; а = const, Ъ =" const, (7.12)

при начальном условии у (0, ц) = у°. Его точное решение имеет вид

у", м)=仍+ ?"/口 Т・(7.13)

Полагая в уравнении (7.12)卩=0, получим (применяя обозначения § 1) у = —b/а. Анализируя (7.13), можно видеть, что близость у к $ имеет место лишь при выполнении некоторых специальных условий, о которых не было речи в § 1. А именно, если рассматривать решение начальной задачи вправо от £ = 0, то у f 歹, если а V 0, а ц -* 4-0 (или а > 0, а ц -> —0). Если же ц 0 произвольным образом, то ни при а < 0, ни при а > 0 решение у предела не имеет и является неограниченным. Кроме того, если даже выполнены условия а V 0, ц -* 4-0 (или а > 0, ц -* —0), предельный переход у f 歹 имеет место для 力 строго больших нуля, так как при ^ = 0 i/(0, ц)== у* а у* вообще говоря, не равно —Ь&

Все эти факты говорят о том, что в сингулярно возмущенных системах пренебрегать малыми членами можно лишь при выполнении особых условий и выяснение этих условий требует специальной теории, к которой мы и перейдем.

Уравнение с малым параметром при старшей производной. Теорема о предельном переходе. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида

時=歹(2, у, t), ^ = /(z, у, t),(7.14)

где ц > 0 является малым параметром. Поставим на” иьную задачу 2(0, ^^. у(0“)=*・(7.15)

Начальная задача для уравнения (7.11), очевидно, содержится здесь как частный случай.

1°. Правые части (7.14) будем предполагать непрерывными вместе с частными производными но z и у в некоторой области

〃匸{®, *)巨力={0 W £ W Т, lyl W Ы, |z| V d}.

Полагая в (7.14) формально 卩=0, получим невозмущенную систему уравнений, или, как ее называют в теории сингулярных возмущений, вырожденную систему^ так как ее порядок ниже, чем порядок системы (7.14):

0 = F(z, у, t), ^ = /(2, У, О-(7.16)

Чтобы определить решение этой системы, надо, прежде всего, разрешить первое из уравнений (7.16), которое является конечным (не дифференциальным), относительно z. Это уравнение нелинейное и поэтому может иметь несколько решений. Мы будем предполагать, что все решения (корни) z =(p(y, i) этого уравнения действительны и изолированы в D, Надо выбрать один из корней z =(р(у, £) и подставить его во второе уравнение (7.16). Вопрос заключается в том, какой кз корней следует выбрать, чтобы обеспечить близость конструируемого нами решения системы (7,16) к решению z(厶 ц), у (% 卩)задачи (7.14), (7.15), Правило выбора корня 屮(у, t) будет

сформулировано ниже (см. 3°, 5°). После подстановки zr 屮(у,，) во второе уравнение (7.16) получится дифференциальное уравнение относительно у и для однозначного определения у потребуется задать начальное условие. Естественно предположить, что из двух начальных условий (7.15) следует оставить лишь одно: условие на у. Итак, мы приходим к задаче

祭=/(屮(О, D, 7, t),力(0)=此(7-17)

где <р(у,，)——один из корней уравнения F(z, у, /)= 0.

2°. Будем предполагать, что функция 屮(у, t) непрерывна вместе с производной по у, когда (у, E)w D

Определение. Корень z =叭у, £) будем называть устойчивым 6 области 力,если при (у, I) ^ D выполняется неравенство

雾(<Р®, % 小)V0.(7.18)

Замечание. Ср. требование а V 0 в рассмотренном выше примере.

3°. Будем предполагать, что в (7.17)屮(у, £) является устойчивым корнем.

4°. Будем предполагать, что решение 炉(£) задачи (7.17) определено на сегменте 0 W £ W Т и принадлежит 力一{0 W £ W 7\ |уI V Ь}.

Прежде чем производить^ дальнейшее исследование задачи, рассмотрим один частный случай, а именно

唸=歹(哈 z(0, p) = z。.(7.19)

Этот случай, во-первых, интересен своей геометрической наглядностью, а во-вторых, соответствующие результаты пригодятся при рассмотрении общего случая (7.14).

Пусть z = ф является устойчивым корнем уравнения F(z)= 0. Ф в данном случае является константой, a D ——любым интервалом вещественной оси. Условие устойчивости (7.18) имеет вид 嘗(屮)V0. Пусть кроме ф уравнение b(z)==0 имеет еще корни 勺匕 勺力...,причем q)i и 勺2 — два ближайших к ф корня соответственно снизу и сверху (рис. 20, на котором представлена полоса 0 W £ W Т, где Т 一 любое положительное число). Проследим за полем направлений уравнения (7.19). При достаточно малом 卩 векторы, касательные к интегральным кривым, расположены почти параллельно оси z (за исключением малой окрестности корней уравнения b(z)=0). «+» и《一》на рисунке указывают знак функции F(z), Заметим, что, поскольку 石(ф) #= 0> корень 屮 является простым и при z =屮 происходит смена знака функции 下(z).

Пусть 屮1 V z° V(р2. Рассмотрим множество точек |z —(р| W % где е произвольно мало (е-окрестность корня (р)・ Характер поля

направлений сразу дает возможность заключить, что интегральная кривая, начинающаяся в точке (0, z") (на рисунке приведены два варианта: ^ <^ и z° > ф), будет резко идти вверх (при z° < ф) или, наоборот, вниз (при z° > ф) и, достигнув е-окрестности ф, далее из нее уже не выйдет, если только р. достаточно мало. Это и означает, что решение z(& 卩)задачи (7.19) при 卩 f 0 близко к решению <р вырожденного уравнения b(z)=*0, если не считать некоторой окрестности f ™ О (см. пример).

Из этого геометрического рассмотрения ясно также, насколько важно, чтобы начальное значение z° лежало в области <pi < 7 < <р < ф2) называемой областью влияния (или областью притяжения) корня ф. Если, например, z° V q^ и 夕 V 0 при z V 屮匕 то интегральная кривая уйдет вниз от q)i и тем самым не может приблизиться к ср, а если # V 取 и F > 0, то кривая приблизится к 屮约 т. е. опять-таки, не к ср.

Результат, полученный нами из геометрических соображений, можно сформулировать в виде следующей теоремы

Теорема 7.3. Если ①一устойчивый корень уравнения F(г) == О, а начальное значение z° лежит 6 его области влияния, то решение z(£, ц) задачи (7.19) существует на сегменте [О, Т] и для него имеет место предельное соотношение

limzQ, ц) = ф при 0 Vt《Т・(7.20)

Доказательство. Приведем аналитическое доказательство утверждения (7.20). Пусть для определенности z° < ф. Рассмотрим прежде всего область ^ ^ z^^— ^. 0W 方 W£, где е > 0 произвольно мало. В этой области рассмотрим задачу (7.19), беря z в качестве независимого переменного: ^^卩^^‘ £(2。) = 0. Если 卩 достаточно мало, то, как следует из теоремы 7.2, на сегменте [z* ф — е] существует единственное решение 力(z) этой задачи и оно сколь угодно близко к вертикали i = 0 (в смысле расстояния вдоль оси £). Кроме того, оно положительно в силу положительности F(z). Таким образом, интегральная кривая, начинающаяся в точке (0, z°), входит в е-окрестность z =中 при t = %, где = со (ц) V в.

Нетрудно убедиться, что, попав в е-окрестность z = ф, интегральная кривая из нее уже не выйдет, пока tQ ^ t ^ Т. Для этого воспользуемся рассуждениями, подобными тем, которые проводились в теории устойчивости (гл. 5). Введем функцию - V(г) = (г——(р)2. Предположим, что интегральная кривая при t =脑> 拆 выходит из е-окрестности прямой z =屮 Тогда имеем --L f >0. Но

с другой стороны,

訊乜= 2[z(小 И)-ф]^^<0

б силу свойства F(z)^ 0 при z 今 <р, обеспеченного условием устой- dF

чивости 石-(屮)V0. Противоречие приводит к выводу, что интегральная кривая останется в е-окрестности z — <р. Так как она попадает в эту окрестность при £ ==备 V е, то в силу произвольной малости е это фактически означает справедливость (7.20).

Утверждение (7.20) можно записать также в следующей удобной для дальнейшего форме. Введем независимое переменное т = ?/|л. Тогда задача (7.19) примет вид

案=尸(哈 z(0) = z。.(7.21)

Утверждение (7.20) означает, что lim z (т) == ф, или, иначе, для любого е существует т0 (е) такое, что при т > тв справедливо неравенство

【z(T)—(p| <е.(7.22)

Замечания. 1. Как видно из проведенных рассуждений, предельный переход (7.20) не является равномерным относительно t w (0, Т], что хорошо иллюстрируется рис. 20.

Термин «устойчивый корень》не является случайным. Нетрудно проследить связь проделанных построений с теорией устойчивости (см. гл. 5). Действительно, я = ф является точным решением уравнения (7.21), причем, в силу —(<р) V 0, ато решение асимптотически устойчиво по Ляпунову. Чтобы убедиться в этом, достаточно сделать замену переменных 工=z — <р и воспользоваться теоремой 5.1 или теоремой 5.3, взяв в качестве функции Ляпунова У = х2. То, что интегральная кривая z = z (т) остается в е-окрестности прямой z = ф, обеспечено устойчивостью решения х = ф уравнения 案=尸(工)・

Вернемся к общему случаю (7.14), (7.15). При рассмотрении этого случая идеи теории устойчивости будут сочетаться с идеями теории регулярных возмущений.

Сопоставим задаче (7.14) (7.15) задачу

H^ = F(z0, /, 0),z°(0)=z。.(7.23)

Эта задача является исследованной уже задачей типа (7.19). В силу 3° Zo = Ф(г/°, 0) является устойчивым корнем уравнения 尸(Zo、lA 0)= 0.

5°. Будем предполагать, что начальное значение z° принадлежит области влияния корня 屮(у* 0) уравнения 歹(z* у* 0)=0.

Теорема 7,4 (теорема Тихонова). При выполнении условий 1°—50 решение z(% ц), “(£, ц) задачи (7.14), (7.15) существует на [О, Т} и имеет место предельный переход

limy(£，N)= y(t) при O《t《T,(7.24)

UTO

lim z (力卩)=屮(у (£), £)三 z (£) при О V 力 & Т,(7.25)

UTO

где y(t) ——решение вырожденной задачи (7.17).

Доказательство разобьем на несколько этапов. 1) Рассмотрим сначала окрестность точки £ = 0. Сделаем в (7.14) замену переменных т = i/ц. Получим

(7.26)(7.26)^ = F(z, у, тц), zk=()= z°,M = M(z, У,中)， У|г=о = J/°-

(7.26)

(7.26)

На любом конечном промежутке изменения т эту систему можно рассматривать как регулярно возмущенную, причем соответствующая невозмущенная система имеет вид

U —尸 ко, %, о), %。，

г0 |t=O в 2°»

Уо |т=о = У°я

(7.27)

Отсюда ja)(t)= у* а

翁=ь阮,y。, 0),

Zo к=о = z".

(7.28)

Эта задача равносильна задаче (7.23) и является задачей типа (7.21). Поэтому согласно теореме 7.3 (см. (7.22)) получим, что для любого е > 0 существует т0(е), при котором справедливо неравенство

比。(a)一中®* 0)1 <е/3. (7.29)

Сравним задачи (7.26) и (7.27). Из 1° следует выполнение условий теоремы 7.2 о регулярном возмущении для т W т, где т как угодно велико и фиксировано. Решение невозмущенной задачи (7.27) определено при всех т и, в частности, на [0, т0]. Поэтому согласно теореме 7.2 (вместе с замечанием 2) получим, что для любого е > 0 при достаточно малых 卩 на 0 W т & т° (или на 0W/&T。卩)существует решение задачи (7.26) (или, что то же самое, решение z(厶 ц), у(厶 ц) задачи (7.14), (7.15)) и справедливы неравенства

|z(\ 卩)一Zq(t) I V е/3, |у (力 ц)~ /I < е/3. (7.30)

Принимая во внимание непрерывность (р(у, £), можно, обеспечив достаточную малость \y(t,卩)一У°1, обеспечить также неравенство

I①匂(力卩)，，)一中(У* 0) I < e/3 при。& t& тоц. (7.31)

Из (7.29) — (7.31) получим, что при t = тоц = ^о (н)

lz(t, N)-<p(y(t,卩)，£)1 V В.(7.32)

Обозначим Д(Z, |i)=z(力 卩)一屮(У(% 卩)，0. Соотношение (7.32) говорит о том, что А(力 卩)как угодно мало при t = ^О(Ц). Неравенство (7.32) будет оставаться выполненным в некоторой окрестности справа от точки 备.Величина этой окрестности заранее не известна. Может случиться, что неравенство (7.32) выполнено для всех f > Zo вплоть до £ = 7, а может оказаться, что найдется значение 厶 W 7\ при котором (7.32) перейдет в равенство. Убедимся, что в первом случае при всех t е [iOj Т] & во втором при всех £ 巨"о,幻 величина у(£,卩)как угодно близка к y(t). Для этого перепишем второе уравнение (7.14) в виде

黑=/(<Р (Ю + А (力 D У, £),Ук=%(“)= * + 6(© (7.33)

и сравним эту задачу с задачей (7.17). Согласно полученному в предыдущем пункте величины 备(卩),16(卩)1 как угодно малы при достаточно малом ц и величина |Д (f,卩)I как угодно мала при достаточно малом 卩 и £w[£q, Т] или f ^ [f0, £j・ Задача (7.33) является регулярно возмущенной задачей по отношению к задаче

при t а и, кроме того,при t а и, кроме того,(см. теорему 7.2 вместе с замечанием 3). Поэтому или £ 巨[%,厶]у(£,卩)существует, принадлежит D

при t а и, кроме того,

при t а и, кроме того,

для любого Ei > 0 справедливо неравенство |у(£,卩)一歹(£)1 V% при £巨口(), Т] или 七巨口。, fi], если только 卩 достаточно мало.

Убедимся теперь, что неравенство (7.32) выполнено для всех t ^ [f0, Т] т. е. пз двух возможностей, указанных в 2), реализуется

только одна, а предположение о существовании точки 友 W 7\ для которой IД (Z, ц) I = е, приводит к противоречию.

Пусть при 力 WT достигается равенство 1A(L, ц) 1 = е. Введем в рассмотрение функцию

P(z, у, О=р-ф(у, £)р・

В силу предположения о точке 厶 имеем 行卜=,》0・ Но

雾=2 [z _中(y, 0] {安4 _芻"z, у, 0-謝.

Так как 歹(z, у,圳t=h=/=O, то знак {•} при достаточно малых ц определяется знаком 户(z,弘 £), а, следовательно, в силу малости А — знаком

豆(中也0» y，t)【z 一中(弘力.

Тем самым знак всего выражения 秆 определяется знаком 0尸

豆(屮(弘 £)，У, 0* Так как согласно полученному в предыдущем пункте у& 卩)принадлежит D, то согласно 3° и (7.18)

駅<Р(У(% 卩)/), У (k N),，) V。

и, следовательно, ^| <==f <； 0.

Противоречие приводит к выводу, что 1А(% ц) I < е при % W WtWT и, следовательно, ly(t,卩)一歹⑴丨 Vq при % W t & T. Учитывая оба эти неравенства, а также то, что ly(t,卩)一y°l V e/3 при OWtWto (см. (7,30)) и 历(£)—y°l VEi при OWtWto, получим утверждение теоремы 7.4.

Замечания. 1. Из доказательства видно, что предельный переход (7.24) является равномерным на [0, Г], а предельный переход (7.25), справедливый на (0, Т], равномерным не является. В окрестности J == 0 имеется область, в которой z-компонента решения задачи (7.14), (7.15) сильно отличается от z-компоненты решения вырожденной задачи, т. е. от ср (歹(t),力)・ Эта область, хорошо заметная на рис. 20 для случая системы (7.21), называется пограничным слоем.

Заметим также (это опять видно из самого доказательства), что на отрезке [%(卩)，Т] (тем более на любом отрезке 历，Т], где tQ как угодно мало, но фиксировано при ц -*- 0) оба предельных перехода (7.24) и (7.25) носят равномерный характер.

dF

Из доказательства теоремы видно, что отрицательность 石 нужна фактически лишь на вырожденном решении, т. е, достаточно, чтобы вылолнялось dF /、

условие 石■(中(у (% 力，у (0» “V。.

Теорема 7.4 распространяется на векторный случай. Некоторые допол- иительные трудности возникают при этом с определением понятия области влияяия. Что касается условия устойчивости, то оно может быть сформулировано как естественное требование, чтобы характеристические числа 入(t) матрицы ^^(中(У, О» У，0 удовлетворяли неравенству Re 入 V 0. Имеется и более общая формулировка условия устойчивости, данная А. Н. Тихоновым *).

Асимптотическое разложение решения задачи (7.14), (7.15). На основании теоремы 7.4 можно написать следующее асимптотическое представление для решения задачи (7.14), (7.15):

У«, “) = и«)+%«, у), z(t, ц)= zfi)+ e2(i, ц)(z(t)=<p(y(t), t)).

♦) Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений.——М.: Наука, 1973.

При этом остаточный член е2(^, ц) в выражении для 名(匕 卩)не яв- ляется равномерно малой величиной. Естественно предположить, что если к £(£) добавить разность 次⑴一屮(у* 0), то получится формула 名也卩)=三⑴ + z°(t)-屮(у* 0)+ e3(i, р), где %«,卩)今。 на [0, Т]. Убедимся, что это действительно так. Величина Ез(力 Ц)= =z(厶 卩)一三⑴一 Zo(t)+<р(у* 0). Разобьем отрезок [0, Т} на два участка [0, %(卩)]и 历(卩)，Г], где ^О(Ц)^ тоц — величина, введенная при доказательстве теоремы 7.4, т0 достаточно велико и фиксировано при ц 0. На [0, %向]представим е3 в виде

6s(t, H)=[z(f, H)-z0(T)]-[z(«)-<p(i/<，, 0)].

Здесь |z(t,卩)一Zo(t) I V е/2 при ц -*- 0 (это то же самое, что (7.30)), а

lz(i) —(p(j/°,O) I = lz (0 — z (0) I < е/2, так как 办(卩)f 0 при ц -> 0. Следовательно, на [0, i0(ц)] имеем 1е31 < е равномерно относительно t при ц -> 0. На [i0(H), Т] представим е3 в виде

%(% n)=[2(% 卩)一三⑴]一回(T)一中(У。，0)].

Здесь \z(t, ц)—三«)1 < е/2 (см. замечание 1 к теореме 7.4 о равномерности предельного перехода (7.25) на [%(卩)，Т]). И точно так же 丨Zo(t)—(р(у* 0) I < е/2, поскольку это то же неравенство, но для частного случая (7.23), т. е. и на [i0(g), Т] имеем |е3| Ve равномерно относительно t при р, -*- 0. Таким образом, q(厶 ц) => 0 при 卩 f 0 на [0, Т].

Заметим, что разность 20(т)— <р(г/°, 0) осуществляет поправку на «потерю» начального условия z(0, ц) — 2°, которому не может удовлетворить z(t). Выражение z (^)+ 20(т)— <p(j/\ 0) уже будет удовлетворять начальному условию при ^ = 0.

Ниже (теорема 7.5) будет доказано, что е((^ 卩)=。(卩)， £з(厶卩)=。(卩).Более того, при достаточной гладкости правых частей (7.14) можно построить асимптотическое представление для решения задачи (7.14), (7.15) с остаточным членом 。(卩”+'), но, в отличие от регулярного случая (см. теорему 7.1), это представление будет, помимо степенных по 卩(или регулярных) членов^ со- деря^ать некоторые функции (так называемые пограничные члены), зависящие от 卩 не степенным образом; пограничные члены имеют заметную величину в окрестности ^ = 0, а далее с ростом t быстро убывают. Введенная выше разность 々(т)—屮(у* 0) представляет собой пограничный член в асимптотической формуле с остаточным членом О (ц).

После этих предварительных замечаний перейдем непосредственно к описанию общего алгоритма построения асимптотики решения сингулярно возмущенной задачи (7.14), (7.15).

Представим 2 и у в виде суммы двух формальных рядов (здесь и в дальнейшем под х будем понимать z и у в совокупности,

т. е. если выписывается некоторое соотношение для 工,то это значит, что имеют место два в точности таких же соотношения для z и у)

х = x(t, ц)+ Пх(т, ц),(7.34)

где

x (i,从)=三。⑴+ 向]⑴+ …(7.35)

—так называемый peay%兄卩乂乩立 ряд (ср. (7.6)), т. е. ряд по степеням ц с коэффициентами, зависящими от /, а

Пх(т, у)= IIqH(t)+卩111土(т)+・・・(7.36)

—так называемый пограничный р兄“ представляющий собой также ряд по степеням ц, но с коэффициентами, зависящими от т. Члены этого ряда называются пограничными членами.

Подставим (7.34) в (7.14), умножив для симметрии второе уравнение на卩；

n^ + ^"^"^ + "z, " + "У")'

一(7.37)

卩雾 + ^"?=p/(' + 1Tz，力 + № ，)■

Введем величины F и UF, полагая

斤=尸(双力卩)，g①卩)”)，

П^ = Г(г(тц,卩)+Hz(t,卩)，у(тц,卩)+Ну(т,卩)，中)一

一尸(元(工%卩)，u(工禹B)，TR)

(аналогичные величины / и П/ введем для /). Тогда (7.37) запишется в виде

"^ +為"=戸+ 11储"雾+ ^口"m了+叫.(7.38)

Разложим теперь F и Л尸 формально по степеням 卩 (коэффициенты этих разложений будут зависеть от и т соответственно): 力=冗 + 卩死 + ..., II尸=立/ + |iIIiF + ..., после чего в (7.38) приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ц, причем отдельно зависящие от f и отдельно зависящие от т:

^ z&t = %,^勿=九；(7.39)

^ Пдз =П左匕 ^П&у==瓜一 J・(7.40)

Тем самым мы получили уравнения для определения членов разложений (7.35) и (7.36).

Выпишем эти уравнения более детально для к = 0. Имеем

0 =冗三斤e,工j),^ = /阮,房").(7.41)

Эта система совпадает, как и следовало ожидать, с вырожденной системой (7.16). Имеем также (учитывая первое из уравнений (7.41))

^ n02 = 口。月三尸(^。(0) + пог,以(0) + 口小 0)一小^ (0), 7。(0). 0)三

曰歹(？。(0) + noz,互(0) + Поу, 0), ^ 口必=0. (7.42)

Начиная с 厶=1, уравнения (7.39) и (7.40) будут линейными относительно zkT 故 и 11*2, 口田.Обратим внимание на то, что система (7.39) не содержит производной от 元儿,а только производную от 厶，а система (7.40) имеет ту особенность, что второе уравнение в ней отделяется, так как его правая часть содержит члены только предыдущих номеров.

Для того чтобы пз полученных уравнений (7.39), (7.40) определить члены разложений (7.35), (7.36), нужно задать начальные условия. Для этого подставим (7.34) в (7.15):

Хо (0) + 卩已(0) + …+ Пох (0)+ цП^ (0) + …=炉 (7.43) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях 卩 в обеих частях этих равенств. Приравнивание коэффициентов при нулевой степени 卩 дает

W。(0)+ H°z (0) = 2°,双(0)+ 口偌(0)=广 (7.44)

Рассмотрим второе из этих равенств. Без каких-либо дополнительных соображений из него нельзя определить j/0(0) и Пог/ (0). Однако на пограничные члены, которые призваны играть роль поправок в окрестности £ = 0, а при £ > 0 стремиться к нулю вместе с ц, следует наложить дополнительное условие □：!： -> 0 прп т f 8. Отсюда приходим к выводу, что 11田(0) = 0, так как иначе (см. (7.42)) Пог/ (т)^ Пог/ (0) = const ^ 0. А тогда из (7.44)

双(0) =八(7.45)

При этом условии решаем систему (7.41) и получаем, что z0(f), 丸(£) совпадают с решением z(f),歹(£), которое уже встречалось в теореме 7.4. Из (7.41) получим /(0)=屮(歹(0), О)=(р(у* 0), а тогда первое из равенств (7.44) дает начальное условие для Пог. Итак, начальные условия для системы (7.42) имеют вид

П^У (0)=0, 11。2(0)=# 一 三。(0)=# 一 中(此 0).(7.46)

Поэтому Пог/ (т)^ 0, а Поз(т) является решением следующей начальной задачи;

^По2 = ^(ф(уО,О) + Пог,у<>, 0),(7 47)

Пог(О)=2°-<р(/, 0).'

Сравнивая задачу (7.47) с задачей (7.28), нетрудно установить, что П02 == 20(т)—(р(^/°, 0). Об этой разности уже шла речь выше перед началом описания общего алгоритма. Полученное выше неравенство (7.29) означает, что По2 (т)0 при Tf

Итак, нулевые члены разложений (7.35), (7.36) полностью определены.

Приравнивая в (7.43) коэффициенты при первой степени 卩，будем иметь

^(OJ+n.^OJ^O, ^(0)+n1V(0) = 0.(7.48)

Кроме того, нужно воспользоваться условием П】у f 0 при т -^ °°. Из второго уравнения (7.40) (при 4 = 1) имеем

口" 00 = n也(0) + J (，公，О

откуда в силу условия на ГЬу при т -* <» следует

口坦(0) = - J U^ds.(7.49)

О

Сходимость появившегося здесь интеграла будет доказана ниже (см. (7.54)) и вообще все выкладки ведутся пока формально. С учетом (7.49) для ILy получим

П1!/ (т) = — J 又/ds.(7.50)

Из второго равенства (7.48) теперь следует

?! (0) = j n/ds.(7.51)

О

Это и будет начальным условием для системы (7.39) при 4 = 1, откуда определятся 认(力),3«)・ После этого из второго равенства (7.48) получим

□/(0)=一為(0).(7.52)

Это условие позволяет найти □/ из первого уравнения (7.40) при 4 = 1, поскольку ILy уже определено.

Совершенно аналогично определяются ГЦу,杀,為，ГЦ% (厶=2, 3,…)из системы (7.39), (7.40) с помощью дополнительных условий

ПА^ -> 0 при 乃 f 8,

№ (0) = J n^Jdr, nftz(0) = - zft (0).(7.53)

0

Тем самым описание построения ряда (7.34) закончено.

В теории сингулярных возмущений доказывается, что для Плх имеет место оценка

I1IW VCL叱厶=0, 1,(7.54)

где С > 0, х > 0 — некоторые постоянные. Эта оценка означает экспоненциальное стремление Плх к нулю при т это же неравенство обеспечивает сходимость интегралов в (7.53).

Основное утверждение, относящееся к только что проведенным построениям, заключается в том, что ряд (7.34) является асимптотическим рядом для решения 工(厶 ц) задачи (7.14), (7.15), а именно, в теории сингулярных возмущений доказывается, что разность между т(£, ц) и n-й частичной суммой ряда (7.34) имеет порядок °(卩"')・ Таково обобщение теоремы 7.1 на сингулярно возмущенную систему. Подробнее с этим можно ознакомиться в книге *).

Приведем доказательство асимптотического представления для решения задачи (7.14), (7.15) с остаточным членом。(卩)，а именно, докажем, что z(t,卩)=就(t) + Ho(z)+ IIo(z) +。(卩)，у(厶卩)=炉о⑴ + О(ц). Доказательство представления с остаточным членом О(M-n+l) сложнее лишь в чисто техническом отношении.

Дадим формулировку соответствующей теоремы.

Теорема 7.6. Пусть выполнены условия:

1°. f(z, у, t) и f(z, у, t) непрерывны по совокупности аргументов в некоторой области Я.

2°. На сегменте [О, Т] определено решение Uo(t), fo(O задачи (7.41), (7.45), и это решение принадлежит Я.

3°.尸z(2o(f), Jo(f), t), существует^ непрерывна и отрицательна при <р(у* 0).

4°. z° принадлежит области влияния 屮(у°, 0).

5°. При 0 £ £ £ Т, |А| V £, |6| < Е (е — некоторое^ может быть, достаточно малое, но фиксированное^ не зависящее от р, число) функции Е传o + IIz + A, Uo + 6, % /(zo + П02 + Д, Jo + 6, t) непрерывны вместе с производными до второго порядка включительно по А и 6.

Тогда на 0 W t £ Т справедливы равномерные относительно t оценки

z& n)一況⑴一11m("卩)=0(卩)，(7.55)

У (А Н)—1^(0 =。也)•(7.56)

Доказательство теоремы основано на нескольких леммах.

Лемма 7.1. Имеет место неравенство

|noz] V Се-^^(7.57)

2de С > 0, 乂 > 0 — некоторые постоянные.

Доказательство. Мы уже видели выше, что noz -> 0 при т f оо. Сейчас требуется лишь уточнить характер этого стремления к нулю. Обратим внимание на то, что (7.57) —это (7.54) при х = г, /с = 0. Из (7.47) имеем (напомним, что(p(z/°, 0) = zo(O), / =杀(0))

^ 口経=匕(％(о)+ enoz, 70(o), о) noz,

откуда

jFj(z0(0)+6n0z,y0(0),0)dT

IIoz = [z° — ф(/, 0)] e°

Выберем To так, чтобы noz для т > т0 было достаточно малым, и фиксируем »то т0. Hqz должно быть малым настолько, чтобы как следствие 3° было выполнено неравенство 尸z(Zo(O) + 0nozf Jq(O), 0) V —x VQ Имеем тогда

""Ji

I nQz I = I 2° — <p (y°, 0)I e° e" <

<|z°-q> GA 0)| Ут

"z dr

так как | z° —屮(у°, 0)| е° еХТ° < С

Подставим в (7.14), (7.15) вместо точного решения главные члены асимптотики, т. е. выражения z0 + noz, J» Подстановка дает

(7.58)(7.58)替+ ^* =网'。⑴+ %，工。⑴，i)一々，第= /(%")+ %，%«)")-&，

(7.58)

(7.58)

где —Hi, —% — соответствующие невязки.

Лемма 7.2. Справедливы оценки

F& 卜)-О®,/?2& 卜)=O(L")

Доказательство. Оценка для R? получается сразу из леммы 7.1, так как если учесть (7.41), то R2 =» /x(z(>+ Olloz,亨如 £)口皿.

ф (口経，9-ф (口产 о)= t j of(noz, 0«)<ю.оф (口経，9-ф (口产 о)= t j of(noz, 0«)<ю.оЧтобы получить оценку для /?：, достаточно убедиться, что Z?i(i)= =F(磊十 口経，J。，^) —^口/ =。(у). Используя (7.47), представим /?1(П в виде 7fl⑴"=尸 Ro «)+ n0z> 亍0 ⑴，t)-尸(К(0)+ П0г> ?о(°)> 0)н

ф (口経，9-ф (口产 о)= t j of(noz, 0«)<ю.о

ф (口経，9-ф (口产 о)= t j of(noz, 0«)<ю.о

Но

ф/ (口d，8*)=

=% (70 (6*) + n。z,。0 期),例尸；(出)+ Fy (•) % (64) + /(•) =

=Fa (% (助 + 久 qz, 口 (St), 8t) Z(0t)и 产

Здесь учтено, что F(加 уо, £) =0, и, следовательно, F2 (70, 1/0, t) *z* -f- 十尸У(•)% + /(・)=6 Отсюда

1лш)|<Ч^1|41|пог1<^-х(/м<см-

так как sup (fe~x/^) = це~*/х. Здесь постоянная Се~|/к вновь обозначена через С. Условимся в дальнейшем все не зависяхцие от 卩 постоянные обозначать одной и той же буквой С, за исключением отдельных случаев, как это уже делалось в § 2 гл. 5.

Доказательство теоремы 7.5. Положим А = з —无一口皿,6 = у —而. Вычитая (7.58) из (7.14), получим

р 不=尸(% + П* + А，亍。+ 6, t)-尸 «о + n°z, ?о, t) + Лр —_(7.59)

五=/(二0 + 口。^ + А, 7° + 6, t) — / С。+ По2, 7, t) + &.

Очевидно д(0, ц)^0t6(0,ц)=0.(7.60>

Систему уравнений (7.59) можно переписать в видеdAdb

^5Г = а11Д + °12б+Л1*dt = °21Д +а22б + Л2'亿6 分

где

% (А, 6$«, н) = У % (% + nQz + ОД, Уо + б, г) 40» о

%(△，6"з) = J Fy (% + п02> Eq + 86") d&

方1 и а22 имеют аналогичную структуру. Равенство правых частей (7.59) и (7.61) легко проверить непосредственно, если заметить, что под интегралом в выра* жении для ац стоит величина д~ ( z0 + П02 + ОД, yQ + о, tj п применить аналогичные соображения к остальным коэффициентам 口^龊

Из первого уравнения (7.61) выразим А через б (будем в дальнейшей употреблять обозначение А(£), 6(f), опуская зависимость от ц):

А ⑴=J ^~(а12б (D + %)必(7.62>

0

Подставим результат во второе уравнение:

ST = %6 + &21 J ^―JI— (%6 (В + %)宛+ % 0

Отсюда получим

6(t)=卜e /dE + jeE a21d^ } ц(a屈⑺ + r J 也 00о

Меняя порядок интегрирования во втором слагаемом, приведем это уравнение к следующему виду:

t

6(t) = J#(t,ii，")6(il)dn + R,(7.63)

О

где q 同=幻2g(& % 卩)，Е

；fwj乒由

q (力 П> Ц)= j %1我~ц武，(7.64)

t 卜 22dtt

RhJ/ /吒 + 卜的.(7.65)

оо

Следует заметить, что в уравнении (7.63) величины 勿伍 т], ц) на самом деле зависит от Д и 6, поскольку а^^ зависят от Д и 6, но входящие в aik величины Диб мы рассматриваем как известные функции L

Оценим теперь величины g и R, пользуясь уже доказанным в начале данного пункта равномерным стремлением к нулю Диб. Сначала оцепим д. В силу равномерного стремления Д и 6 к нулю при 卩 f 0 получим an = F(z0 + Uoz, 亨о, 0 + Т(^)ц), где y(i, ц) => 0 при 11fo. Пользуясь теперь соображениями, аналогичными применявшимся при оценке Пог в доказательстве леммы 7.1, нетрудно получить

е ^ V Се N(7.66)

Действительно, согласно 3° имеем Fz(zo(O,亨о⑴，0 V 0・ Поэтому, как и в доказательстве леммы 7.1, в силу малости Пог при t 力 ТоЦ» где То достаточно ве- лнко, a »f 0, и равномерной малости 丫(彳 ц) при »f 0, имеем а“ V —乂〔 V 0. Дальнейшее является повторением рассуждений леммы 7.1.

Итак, имеет место (7.66). Далее, очевидно^ первый экспоненциальный сомножитель в выражении, стоящем под знаком интеграла в д, ограничен по модулю не зависящей от ц константой 0, и поэтому

I g I ) С 1W<c.(7.67)

Оценим теперь R. В силу леммы 7 2 имеем

I R I < J Ce-^d^ + f Ch dn < 介，(7.68)

00

другими словами, 7?=0(卩).

Обратимся теперь к уравнению (7.63). Пользуясь оценками (7.67) и (7 68), полупим неравенство

I б I < С У I 6 I dll + Сн-(7.69)

О

Введем а = J [ 6 ] d] Тогда ^ = |6|, |-^| = |6| и (7 69) дает о

|jf|<C|u|+Cp.(7、70)

Пользуясь леммой 2 1 о дифференциальных неравенствах, получим отсюда

]м| V H(ect — 1) W 卩(©ст— ])<(7.71)

Следовательно, в силу (7 70) 冇 V，d т- е.

|6| V“.(7.72)

Пользуясь теперь (7.62), оценкой (7.72), тем что |Н/ V С", и оценкой (7.66), получим

j еТ7)

|д|< ?СМЕ<С*.(7.73)

о

Оценки (7.72) и (7.73) и составляют утверждение теоремы 7.5, которая, таким образом, доказана.

3» Построение асимптотики фундаментальной системы решений для линейного уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной. В ряде задач теории колебаний, квантовой механики и др. встречается сингулярно возмущенное уравнение вида

МГ+Q2(z)y = 0,(7.74)

не удовлетворяющее требованиям предыдущего пункта. К типу (7.74) принадлежит, в частности, уравнение движения маятника (7.11) при отсутствии трения, т. е. в случае сс — 0. Чтобы уравнение (7.11) свелось к системе типа (7.14), для которой выполнено условие устойчивости (7.18), лежащее в основе всей теории п. 1, нужно, чтобы а было отличным от нуля. Если же а = 0, то теория п. 1 неприменима. Как известно, в этом случае решение уравнения (7.11) носит колебательный характер (вследствие малости 卩 колебания будут иметь очень большую частоту), т. е. явление качественно отличается от рассмотренного в п. 1.

Пользуясь линейностью уравнения (7.74), мы не будем связывать построение асимптотики с заданием дополнительных условий, как это было сделано в предыдущем пункте, где рассматривалась начальная задача, а поставим целью построить асимптотику фундаментальной системы решений, что даст возможность получать асимптотику решений, определяемых самыми разнообразными дополнительными условиями.

Будем предполагать, что Q(z) ^ 0 на сегменте 〃《比 Wb и является трижды непрерывно дифференцируемой функцией (для определенности будем считать Q(z)>0).

Перейдем в уравнении (7.74) к новой неизвестной функции и,

положив

у = UV,у = UV,гдегдеи = ехри = ехрQ (н) dxQ (н) dx(7.75)(7.75)

у = UV,

у = UV,

где

где

и = ехр

и = ехр

Q (н) dx

Q (н) dx

(7.75)

(7.75)

ехр 住 Q(h — а)] иехр 住 Q(h — а)] и(7.77)(7.77)

ехр 住 Q(h — а)] и

ехр 住 Q(h — а)] и

(7.77)

(7.77)

Заметим, что и в случае Q == const переходит в

выражение у — uv, где u = const, является просто точным решением.

Произведя в (7.74) указанную замену, получим уравнение 卩口" + 2iufQ + iuQ == 0, которое запишем в виде системы

(7.76)(7.76)卩z‘ = —2izQ — iuQ', и = z.

(7.76)

(7.76)

Положив здесь формально ц = 0, получим 2zQ』—〃Q* 〃‘ = z, откуда

Возьмем частное решение этого уравнения, имеющее вид

Оказывается, если и (i) подставить в (7.75) вместо и, то получится приближенное (в асимптотическом смысле) представление для некоторого решения уравнения (7.74), которое назовем 弘(工). Обозначим через 力(工) решение, комплексно сопряженное У1(н)： % = ?；•

Теорема 7Л. Пусть функция Q (工)>0 и трижды непрерывно дифференцируема на [а, Ь]. Тогда на [а, Ь] существует фундаментальная система решений уравнения (7.74) вида

(7.78)(7.78)"[vra+J(% 叫 ехр 仅 j q ⑺立]

(7.78)

(7.78)

"L [vTO + J "' M W [- "q (h)石

причей £i(z,卩)==0(卩)，e2(/ 卩)=0(卩)._.

Доказательство. Положим u — u e 6, z —z = Д, где u определено формулой (7.77), a £ =汇'・ Для Диб получим систему

цАл = —2®А — iQ'6 —血‘，6’ = A(7.79)

и определим эти функции начальными условиями

6(a) =0, Д(а) —0(7.80)

(тем самым мы фактически задаем начальные условия для и и z).

Разобьем доказательство на два этапа.

Докажем сначала, что

6 =0(n)，а=03).(7.81)

(7.81) означает, что существуют решение системы (7.76), имеющее вид и — й Л- О (ц), z =五+ 0(卩)，и, следовательно, решение yv уравнения (7.74), представимое первой формулой (7.78). Что касается второго решения у* то, так как у2 = У*,представление для у2 отдельного доказательства не требует. При этом е2 (х, ц) = £；(工，卩).

Для доказательства (7.81) перейдем от (7.79), (7.80) к зквива、 лентяой системе интегральных уравнений

-Q(t)6(t) — m，(t) е N 也

a“(7.82)

6(z) =，A(E)嘴，

откуда перейдем к уравнению, содержащему только A(z),

3) = j 货11 (j А 代)^e~^Q\ -

x — ~ J Qdoc

-J 7 (т)е "° dr = (1) + (2). (7.83)

Интегрируя по частям второе слагаемое этого выражения, получим

⑵一小飙靓+$"爲（2.

Преобразуем теперь (1) таким же интегрированием по частям:Преобразуем теперь (1) таким же интегрированием по частям:⑴⑴

Преобразуем теперь (1) таким же интегрированием по частям:

Преобразуем теперь (1) таким же интегрированием по частям:

⑴

⑴

需/△（”& +『［（翦）卜代）我+需АС）｝"。А.

Таким образом, уравнение (7.83) принимает вид

А (н) =，В (z, % ①飢 J A (J)臂 +，у (х, % 卩)А (т) dr + a (z,卩)卩，

при этом |a(N,卩)I < a, |0(n, t, ц) I < p,丨 丫 (名 т, ц) 1 < * где а,卩, у ——некоторые, не зависящие от 卩 постоянные. Меняя в первом слагаемом порядок интегрирования, получим

j А ⑶欢 j В (工,т, N)&т = J В(н，К N)А (В)庞，

где р(х, Е, ц)< 6, 6 — не зависящая от 卩 постоянная. Тем самым уравнение (7.83) преобразуется к окончательному виду

A(N)= J К(4 т, у) А ⑴ dr + а (х, у)因(7.84)

гд^А'Сх, т, ц)== p(z, т, ц)+ ^(х, т, ц), и, следовательно, |К(н, т,卩)1 V < К (постоянная R не зависит от ц).

Перейдем от уравнения (7.84) к неравенству

IА (г) I < j ^ IД (т) I dr + йц.(7.85)

Введем новую функцию u? (n) = J | А (т) | dr ения были проделаны при доказательствеВведем новую функцию u? (n) = J | А (т) | dr ения были проделаны при доказательствеdwdwI А|, I创=Sh н из (7.85) следуетI А|, I创=Sh н из (7.85) следует(аналогичные постро-теоремы 7.5). Тогда(аналогичные постро-теоремы 7.5). Тогда

Введем новую функцию u? (n) = J | А (т) | dr ения были проделаны при доказательстве

Введем новую функцию u? (n) = J | А (т) | dr ения были проделаны при доказательстве

dw

dw

I А|, I创=Sh н из (7.85) следует

I А|, I创=Sh н из (7.85) следует

(аналогичные постро-теоремы 7.5). Тогда

(аналогичные постро-теоремы 7.5). Тогда

愕1v反m +丸.

Пользуясь леммой 2.1 о дифференциальных неравенствах, получим отсюда

W V登(声R _ ])《争(/…一 ])V介.

Следовательно, |Д(х)| = |^j |<^Н + ^<C^f что и требу^ ется. Аналогичная оценка для 6(c) получается из второго уравнения (7.82). Таким образом, оценки (7.81) доказаны.

Убедимся теперь, что решения у± и у2 n У\ линейно независимы, доказав, что определитель Вронского 0(у” у?) отличен от

нуля. Имеем

у： ] I и» + г^ и/ + г*»* I

Учитывая, что “ =^*Qu, получим далее

UU*

D 仇,％) = и/ 口卡Q+，_u*^Q + z・=

=*|：+0(肘)，+ 。("卜-芊"* +。(匍=

откуда уже ясно, что эта величина отлична от нуля.

Таким образом,歹八 区 У2 = У： действительно образуют фундаментальную систему решений, и теорема 7.6 доказана.

Замечания. 1. Можно доказать, что аналогичный результат имеет место и для уравнения ру"—。'(工)^^。， с той разницей, что в (7.78) следует I заменить единицей.

Полученные асимптотические формулы (7.78) теряют смысл, если на [а, д] имеются точки, где Q(z) обращаются в нуль. Такие точки называются точками поворота, Термин происходит из квантовой механики, где некоторые задачи для уравнения Шредингера в одномерном случае приводятся к уравнению типа (7.74). При наличии точек поворота асимптотика строится более сложным образом и соответствующая теория выходит за рамки настоящего учебника. Метод построения асимптотики решений уравнений типа (7.74) в физике часто называется ВБК-методом по имени ученых — физиков Венцеля, Бриллюэна и Крамерса, разработавших соответствующий алгоритм.

Метод нами продемонстрирован на примере (7.74). Следует, однако, заметить, что этот метод распространяется на сингулярно возмущенные системы более общего вида *).

Метод усреднения. Рассмотрим уравнение

黑匸附(у, 0, У Q, к) = /•黑匸附(у, 0, У Q, к) = /•(7.86)(7.86)

黑匸附(у, 0, У Q, к) = /•

黑匸附(у, 0, У Q, к) = /•

(7.86)

(7.86)

Из предыдущего известно, что при условии достаточной гладкости правой части (7.86) на некотором сегменте [0, Т] решение задачи (7.86) представимо асимптотически многочленом по степеням 卩 (теорема 7.2). Однако при решении ряда вопросов математической

физики приходится исследовать решение на произвольно большом промежутке изменения * например, для t 〜1/% В этом случае описанные в § 1 методы неприменимы.

Этот случай естественно отнести к классу нерегулярно возмущенных. Обратим внимание на то, что замена переменных g = /ц приводит к конечному промежутку изменения Е, но уравнение принимает вид

^ = У®,開I).

В этой форме нерегулярность возмущения становится особенно хорошо заметной.

В настоящем пункте мы опишем асимптотический метод для нерегулярно возмущенных систем,— так называемый метод усреднения, основы которого заложены Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым *). Этот метод, как будет видно ниже, особенно удобен для описания нелинейных колебательных процессов.

Сформулируем правило построения асимптотики, которое дает метод усреднения. Введем функции

У(г)) = Ит ^Y^t)dt,оУ(г)) = Ит ^Y^t)dt,о(7.87)(7.87)

У(г)) = Ит ^Y^t)dt,о

У(г)) = Ит ^Y^t)dt,о

(7.87)

(7.87)

являющиеся средними значениями правой части по явно входящему переменному t. Переменное т] при этой операции считается фиксированным.

Замечание. В случае ограниченных периодических по t функций (с периодом 2л для определенности)

2Лf⑺=亲]y(% I)丸

о

Действительно, 7 « 2кп + т (0 С т С 2л) и

黑手卜m f)о黑手卜m f)о2ЙЛ4-Т

黑手卜m f)о

黑手卜m f)о

dt = lim^— f У (т], /)必=

E2E(1 +風 W

2k 几Зл

=I吧忌，У (n，f)山=言 J Y(n, 0 出.оо

гJi打詳m，）或,гJi打詳m，）或,疗 石f疗 石f(7.88)(7.88)Предположим, что кроме предельных соотношений (7.87) справедливы также соотношения

г

Ji打詳m，）或,

г

Ji打詳m，）或,

疗 石f

疗 石f

(7.88)

(7.88)

о

т. е. среднее значение производной 箒 равно производной от среднего значения F.

Поставим в соответствие уравнению (7.86) следующее, так называемое усредненное уравнение, которое в принципе проще (7.86):

翳=次(3,^-у^.翳=次(3,^-у^.(7.89)(7.89)

翳=次(3,^-у^.

翳=次(3,^-у^.

(7.89)

(7.89)

Справедлива следующая

Теорема 7.7。Пусть

1°. А некоторой области lyl Wb, 0《t Voo функция У (у, t) непрерывна и равномерно ограничена вместе с производной первого порядка по у.

2°. При lyl Wb существует среднее значение (7.87), а также справедливо (7.88), причем предельный переход в (7.87) и (7:88) имеет место равномерно относительно n w [—瓦 Ь].

3°. Решения у и г\ задач (7.86) и (7.89) существуют, и принадлежат (—b, Ь) при 0 ^ t ^ L/ц, 2@е L — не зависящая от ц постоянная.

Тогда равномерно относительно £ 巨[0, L/ц] имеет место предельный переход

lim (у — п) = 0-(7.90)

Доказательство. Рассмотрим величину

U(r], i) = f [У(Т]. 0-У(П)]Л,(7.91)

О

а также ее производную по 口

= J 詳卜"(7.92)

о

и докажем, что в области |т)| £ Ь, 0 < ^ < L/ц справедливы соотношения

卩u = e（D卩訴=e（卩），卩u = e（D卩訴=e（卩），(7.93)(7.93)

卩u = e（D卩訴=e（卩），

卩u = e（D卩訴=e（卩），

(7.93)

(7.93)

Здесь и в дальнейшем условимся через е (卩)обозначать любую величину, бесконечно малую вместе с 卩 равномерно относительно тех других переменных, например 胃 修 % от которых эта величина зави-

сит. Иными словами, (7.93) означает равномерное относительно .ди

П и t стремление ци и ц— к нулю.

Докажем первое из соотношений (7,93). Второе доказывается аналогично. Имеем

цц (%力=М・4" J【У (%力一Р(喇山=財卩(％ t).О

Пусть 0 < ^ < 1/Уц. Тогда 卩£&7卩,У(% t) равномерно ограничено относительно rj е [— fe, Ь] в силу равномерности предельного перехода (7.87), т. е.卩口 (％ t) =。(¥卩)・'Если же 1/7卩 &£《〃％ то 肚力 W L, а в силу (7.87) для любого б > 0 существует 卩о(6) такое, что при ц < Цо (6) выполнено 1У(% £) I V 6/厶 т. е. 1卩口| V6 для всех |т)| < Ь, Поэтому 卩口(％ t)= е(ц) для 0 С t С L/ц, что и требовалось.

Введем теперь в рассмотрение функцию

У «，卩)=П ⑴ + 口口 (n (f). t) ■(7.94)

Эта функция удовлетворяет уравнению

^ = ИУ(у, «)+Я,虱0, |i)=y。，

где Е = S + 曲)，—卩у m + ru, t) = rP (叫 + Ц ^ — цУ (т] + ци, t). Учитывая, что ^ =爲附(叫 + 券，чт0 |у- = У (л. 0 —У (3 и чт0 ^(П + 晔 t) = У (П,力 +察(И*. 0 叫 получим

Е = N嘴 У ⑺一因力1!*，0 = Не (Ц) = о(ц).

Нетрудно убедиться, что А = у —亨今 0 при 卩 f 0 равномерно относительно £ 曰[0, 〃卩]• В самом деле, величина А удовлетворяет уравнению

^ =卩 |^(У + 8А，力 А + 凡^ =卩 |^(У + 8А，力 А + 凡(7.95)(7.95)

^ =卩 |^(У + 8А，力 А + 凡

^ =卩 |^(У + 8А，力 А + 凡

(7.95)

(7.95)

При этом 0 < Э С 1, 2? = о(卩),А(0,卩) = 0. В силу условия 3° теоремы |у + ОД I < Ъ при 0 W t & L/ц. Поэтому существует не зависящая от 卩 постоянная N такая, что嵌G + M, tJvN, и из (7.95) получим

А =А =R^ V。(n)^6叫R^ V。(n)^6叫г "翳 G+B”)％ J© &

А =

А =

R^ V。(n)^6叫

R^ V。(n)^6叫

о

откуда и следует равномерное относительно t е [0, Д/ц] стремление Д к нулю при 卩 f 0.

Пользуясь этим результатом, соотношением (7.94) и оценкой (7.93), получим (7.90), и теорема 7.7 тем самым доказана.

появятся производные 装.появятся производные 装.В доказательстве встретятся небольшиеВ доказательстве встретятся небольшиеЗамечания. 1. Утверждение теоремы 7.7 остается справедливым для случая, когда в (7.86) величина у является вектор- функцией. В условиях теоремы вместо т— естественным ооразом

появятся производные 装.

появятся производные 装.

В доказательстве встретятся небольшие

В доказательстве встретятся небольшие

технические осложнения при оценке А, которые можно преодолеть, пользуясь соображениями § 4 гл. 2.

Теорема 7.7 была сформулирована и доказана при упрощающем предположении, что не только решение п& 卩)более простой, чем исходная, усредненной системы лежит в (—й, й), но и решение y(t,卩)исходной системы также лежит в (—Ь, &), От этого последнего требования можно избавиться, наложив дополнительное требование на 刀(％ ц): т]三[—6 +6, b — 6] при 0 W f W L/% Отсюда неравенство 1у(£, и) 1 < & можно получить как следствие. В самом

деле, пусть при некотором Т W 厶/卩 имеем 1у(Т, ц) I *= д, т. е. интегральная кривая выходит на границу области. Возьмем Т* < Т, достаточно близкое к Г, чтобы у(Т*,卩)отличалось от у(Т, ц) не более чем на 6/4. Поскольку |у〃，р) I < 6 при 0 & £ & Т*, то при 0 W 土 W Т* справедлива теорема 7.7 и при достаточно малых * П(Т*, и) отличается от у(Т*^ ц) не более чем на 6/4. А тогда 刀(Т*, ц) отличается от у(Т, ц), равного 6 или —Ь, не более чем на 6/2, что противоречит тому, что

П 三[—& + 6, b — 6],

Противоречие приводит к выводу, что |у (左 ^)) < & для OW^WE/r, а тогда, как было доказано, (7.90) справедливо на всем [0,厶/卩].

Можно было бы не предполагать также и существования решения у (% *), а доказать его существование в окрестности 五(力,подобно тому, как это было сделано, например, в теореме 7.2.

Мы привели здесь простейшую теорему метода усреднения. Существует обширная литература, посвященная методу усреднения, в которой приводятся доказательства различных более тонких и сложных теорем и строятся приближения, дающие любую асимптотическую точность *).

Подробнее с этим кругом вопросов можно ознакомиться, например, по книгам:

Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы нелинейных колебаний.— М.: Наука, 1974.

Митропольский Ю. А. Метод усреднения 嚣 нелинейной механике.— Киев: Наукова думка, J971.

Волосов В. М,, Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных системам.: Изд-во МГУ$ 197，.

Пример 7.2. Рассмотрим уравнение ван дер Поля

工"-u(l 一 工2)工，+ 工=0,(7.96)

описывающее ламповый генератор на триоде с колебательным контуром в анодной цепи ). Перепишем (7 96) в виде системы

л/ = и, и"=卩(1 —炉)х — z

к зададим начальные условия 工(0, ц) — х°, u(0t pi) = 0.

Введем новые переменные 打 и у?, положив

工=山 cos (t + у?), u = ~У\ sin (£ + 勿).

В переменных 勿，у? получим систему

У； i 竹('一田)一 C0S 2(' + %)+ # C0S 4 « + /)]，

，?:1

^^''L^x1-^/ sin2(,+M_Tsin4(,+ y2)

при условиях 勿(0, ц) = х°т уг(0, ц) =0, являющуюся системой типа (7,86). Усредненная система (7.89) имеет вид

《=卩扌(，-})‘ 心=0； %(S = * %(0)=0.

Отсюда T]2(f) « 0. Уравнение для тр отделяется. Если построить плоскость 厶 t)i, то, как на рис. 20 (данный случай отличается только масштабом по оси г), нетрудно проследить, что если 土° > 0, то существует решение 」i(t), приближающееся при оо к п( ^ —2. Эти решения можно записать в виде квадратур. Приближенное решение уравнения (7.96), получающееся по методу усреднения, имеет, таким образом, вид

н =[巾匕 N)+ е(н)] соз (t + е(н)).(7.97)

Уравнение для 巾 имеет два стационарных решения 巾=±2. Нм отвечают решения уравнения (7.96) вида х = [±2 + е(ц)] cos (f 4- е(ц)).

Заметим, что разложением по параметру ц в степенной ряд (7.6) представление (7 97) не получится.

ГЛaDA ?

УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХПЕРВОГО ПОРЯДКА

Уравнения в частных производных первого порядка традиционно рассматриваются в курсе обыкновенных дифференциальных уравне^ ний по той причине, что построение их общего решения может быть проведено методами, развитыми в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка имеет вид

где 尸——некоторая заданная функция своих аргументов, а неизвестной функцией является и, зависящая от аргументов хь ..., тп.

Мы остановимся на двух частных случаях (8.1), Это так назы* ваемое линейное уравнение

2饱(々^)§-=0(8.2)

и квазилинейное уравнение

n

(々,• ♦・,工％ ^)^J" =。(4，•・•,工n,辽)，(8.3)

где aj,。——заданные функции своих аргументов.

Линейное уравнение

Обратимся к изучению уравнения (8.2):

旬土n) |j- + < • •十 On (^ii • • •» Zn)^- = °・(8・4)

Пусть z“ ..., xn изменяются в некоторой области G, и пусть в этом области функции а《(工”.・ ” xn) (i = 1, ..., п) обладают непрерывны-

ми частными производными и не обращаются одновременно в нуль, что можно выразить в виде условия

Решением уравнения (8.4) будем называть любую функцию, обладающую частными производными по аргументам ть ..., хП1 которая обращает (8.4) в тождество. Геометрически решение можно интерпретировать как поверхность в пространстве ти ..., 4, и. Будем называть эту поверхность интегральной поверхностью.

Двумерный случай. Рассмотрим сначала случай п — 2 и на нем поясним основные идеи построения решения *)

Выражение сдева можно интерпретировать как скалярное произведение векторного поля {А. В} на grad и =悌，需}, и, таким образом, (8.5) означает, что производная от и по направлению вектора {/, В} равна нулю. Обозначим через Г кривую на плоскости (瑞 у), которая обладает тем свойством, что касательный вектор к этой кривой коллинеарен <4, В}. Ее параметрическое представление (параметром является t) можно получить из системы уравнений

^ = 4(н, у),^ = В(г,у).(8.6)

Фазовые траектории системы (8.6) на плоскости (瑞 у), которые являются интегральными кривыми уравнения

争=+合 К (区口0 уравнения 生=詐(8.7) dx4(工，у) \ лdy В (т, у))1'/

называются характеристиками уравнения 6 частных производных (8.5). Вместо пары уравнений (8.7) часто записывается одно уравнение в симметричной относительно сну форме

^И =譜(8・8)

В силу условий, наложенных па А и В (Л2 + 8? * 0), через каждую точку G проходит одна и только одна характеристика (см. гл. 2, § 2, замечание 7).

Пусть и~ и{хч у) —интегральная поверхность уравнения (8.5). Будем рассматривать ее над характеристикой. При этом и будет сложной функцией £: и = u(x(t)^ у«))・ Нетрудно видеть, что пол-

♦) Доказательство, посвященное многомерному случаю, будет содержаться в п. 2.

ная производная от и по Св силу (8.6) совпадает елевой частью (8.5)：

У^ + ^^У^-(8・9)

Следовательно, в силу уравнения (8.5) ^- = 0, над характеристи

кой аиликата и интегральной поверхности сохраняет постоянное

значение, т. е. характеристика является линией уровня интегральной поверхности.

Рассмотрим некоторую кривую т，не совпадающую с характеристикой (рис. 21). Через каждую точку М{х^ у) области G проведем характеристику. Точка ее пересечения с кривой т однозначно определяет эту характеристику, т. е. характеристики образуют однопараметрическое семейство. В качестве параметра можно взять, например, расстоя

ние 0 по кривой 7 от некоторой фиксирован

ной точки (2о, у。). Положение точки М на каждой характеристике определяется параметром t. Как видно, из (8.6), t можно задать с

точностью до произвольного слагаемого, поэтому будем считать, что точка пересечения каждой характеристики с кривой 7 соответствует значению i =力°.

Таким образом, в области G каждой точке М(х, у) можно поставить в соответствие пару чисел (0, t): 0 определяет характеристику, проходящую через t — значение параметра на характеристике, отвечающее точке М. Тем самым мы имеем взаимно однозначное соответствие (х, у) ^"(8, t) или, аналитически,

(8.10)(8.10)± = Х(8"), у = У(е,力6 = eg, у), t = т(% у)・

(8.10)

(8.10)

В переменных (0, t) уравнение характеристики имеет вид ^| = 0, откуда 6 = С. Таким образом, вдоль характеристики

6(瑞 у) == С.(8.И)

Переменные 0, t удобны в том отношении, что, перейдя к этим переменным, мы можем легко получить решение уравнения (8.5). Обозначим

〃(瑞 у) =〃(Х(8, t), У(仇 t)) = 1?(爲 t).

В силу (8.10) уравнение (8.5) в переменных г, 0, f имеет вид ^ = 0 (решение сохраняет свое значение вдоль характеристики). Так как |^ = U, то V является функцией только 0, т. е. v = F(0)t а тем самым

и(х, у) =F(e(x, у)),(8.12)

где F — произвольная функция своего аргумента.

Мы приходим, таким образом, к выводу: общее решение уравнения (8.5) имеет вид (8.12), где F — произвольная функция аргумента 6(n, у), a ®(n, у) — левая часть (8.11).

С другой стороны, если нам каким-то образом удалось найти функцию <p(N, у), обладающую тем свойством, что она тождественно обращается в постоянную вдоль каждой интегральной кривой уравнения (8.8), т. е. вдоль каждой характеристики, то в переменных (仇 £) эта функция должна зависеть только от 0, но не от 力 т. е. <р(Х(а /), У(8, £))==百(8). Поскольку в (8.12) F — произвольная функция, выражение для общего решения можно писать не только в виде (8.12), но и в виде

u(z, д)=尸(<p(z, д)). (8.13)

Действительно,尸(<р)=尸(学(0))=尸(0), и мы приходим опять к (8.12).

Пример 8L Пусть в (8.5) коэффициенты являготся постоянными： 4 = ~ Ло, В = Яо. Из (8.7) находим у =。脾=const, где р0 = В0/40. Тогда, согласно (8.13), общее решение имеет вид и(工， у) =s F(y — poi).

Функция F(y — рог) называется бегущей волной со скоростью “о и профилем £(у)・ Легко понять смысл этого названия, если 工 интерпретировать как время, заменив г на t. Нарисуем профили волны в моменты 厶 и 勺(рис. 22). При и。> 0 и % > 八 второй профиль сдвинут вправо как единое целое на величину Ад = ==(勺一“)內.Действительно, у + + Ау — ио" = у — uq£[, т・ е. в той- и тот же, a Ay,At = р0, т. е.

скорость сдвига есть р0*

Согласно (8.12) илп (8.13) общее решение уравнения в частных производных зависит от произвольной функции, т. е. содержит еще большую степень произвола, чем в случае обыкновенного дифференциального уравнения. Рассмотрим вопрос о том, каким образом из множества (8.12) можно выделить единственное решение.

Пусть на кривой 七，уравнение которой z = n(s), у ~ y(s) и которая не совпадает с характеристикой ни на одном интервале положительной длннм, задано дополнительное условие

(8.14)(8.14)u(z, y)h = 3(s),

(8.14)

(8.14)

где s(s)——заданная функция переменной s. Это задача называется начальной задачей, или задачей Коши для уравнения (8.5).

Так как *^ не является характеристикой, то в(х, у) вдоль 丫【меняется: 8(£ у)卜1 = Е = 6 (n (s), у($)), т. е・ является функцией s. Тем самым s = 0(g), a s(s) ^(o[S2(5)]« Значение и в точке Е на кривой it есть s[Q(£)]・ Если теперь через точку g кривой т* прове-

сти характеристику, то ее уравнение будет иметь вид 6(瑞 у) = В, а значение решения в точках этой характеристики равно (o[Q(0(xt у))]. А так как через каждую точку G проходит характеристика, то эта формула является выражением для решения в любой точке области G:

"(工，у) = co[Q(®(z, у))]."(工，у) = co[Q(®(z, у))].(8.15)(8.15)

"(工，у) = co[Q(®(z, у))].

"(工，у) = co[Q(®(z, у))].

(8.15)

(8.15)

" n w[g © U=矶a例二夕亦" n w[g © U=矶a例二夕亦

" n w[g © U=矶a例二夕亦

" n w[g © U=矶a例二夕亦

Соответствующая геометрическая картина представлена на рис. 23.

Нетрудно и непосредственно проверить, что формула (8.15) дает

нужное решение: во-первых, это решение, так как содержится в (8.12), а кроме того 〃"，y)\vt~ =①[C(W)] = о)($), т. е. удовлетворяется условие (8.14).

Замечания. 1. Вместо 8(工，у) во всех этих рассуждениях можно пользоваться (р(/ у) (см. (8,13)).

Конечно, следует иметь в виду, что для получения С(Е) нужно, чтобы Е вдоль "ft зависела от $ монотонно, как, например, на участке (密卜 j2) (рис. 24)* Тогда s = С(Е) определено однозначно.

Пример 8.2. Рассмотрим уравнение из примера 8.1 и в качестве (8.14) возьмем условие

口《 0) = а").(8.16)

Здесь 71 есть прямая у = 0, параметром s служит t В этом случае

屮(％ у) = у — %% 屮《, у)卜 1 = — %» = & t = П (g) = — g/%.

Следовательно» искомое решение и (力 у)=卩(山严」))=戸(匕一^-)・ Таким образом, решение является бегущей волной, профиль которой однозначно определяется заданной функцией 卩(£).

Пусть теперь » совпадает с какой-либо характеристикой. Здесь могут представиться разные случаи.

и(н, у) [у】=const = 口°. Тогда решение, очевидно, определяется неоднозначно, так как решением этой задачи будет любая функция 口(雹 у) = /(8(% у)), лишь бы f(8(z, у) h) = % • Например, можно получить 〃6 (н, !/))=尸(8 (d У)) — F(9 (г, 9)h) + % (напомним, что F(6(r, у) к ) = const), где 尸—уже произвольная функция.

и (н, у)|у ^fcconst. В этом случае решение задачи не существует, так как всякое решение уравнения (8.5) постоянно вдоль характеристики и, следовательно, поставлевное на 丫^ условие удовлетворено быть не может.

Многомерный случай. Рассмотрим теперь общий случай (8.4) в предположениях, сформулированных в начале § 1.

Поставим в соответствие уравнению (8.4) систему (ср. (8.6))

衣=修(勺，£п), i =(8.17)

и систему для фазовых траекторий (ср. (8.8))

Интегральные кривые системы уравнений (8.18) называются характеристиками уравнения в частных производных (8.4). В силу условий, наложенных ва коэффициенты а(т для системы (8.18) имеет место теорема существования и единственности, и через каждую точку n-мерной области G проходит одна и только одна характеристика.

Теорема 8.1. Вдоль характеристики решение u(xh .. -, хп) уравнения (8.4) сохраняет постоянное значение.

Доказательство. Действительно (ср. (8.9)), пп

^ = £ 許 £ = £ 謂仰="(8・19)

t. e. u = const.

Идея построения общего решения уравнения (8.4) является естественным обобщением того, что имело место для п ■== 2. Область G покрывается характеристиками, которые образуют семейство, зависящее от п — 1 параметров 6】,...,6n-i. Каждой точке (土】,...,хп) области G может быть поставлена в соответствие система значений &,•••, 6п-1, А при этом 6< = & (с：, • • г 工”)，力=Т(Н[, •・ г хп). Задание б” ..., 8紀一1 выделяет характеристику из семейства, at —— параметр, определяющий точку на характеристике. Имеем и(х1ч..., хп)= = и(8]6n-i, ±). В переменных 仇—…0n-i, £ уравнение (8.4) принимает вид ^ = 0. Таким образом, и =尸(仇,...,0„-j) и, следовательно (ср. (8.12)),

u>(6“ •. .，хп) = F (01 (^1» • • •, Нп), • • •» бпт (н“ • •・，Нп)).(8,20)

Для обоснования формулы (8.20) нам потребуется понятие первого интеграла системы уравнений (8Л8). При этом будем предполагать, что an(xlf ..., хп) * 0 в G. Тогда (8.18) можно записать в виде нормальной системы

= 4 f = l,…，兀一1.(8.21)

а в качестве 8曾・・ ” 0^-1 можно взять начальные значения

н；, ..., ^n-i； £п будет играть роль £. Семейство решений системы (8.21) имеет вид

勺=X(今，n …n：t, с：), г = 1, ..., n — 1.(8.22)

Xi выражает закон соответствия между парой точек интегральной кривой: начальной и текущей. Их можно поменять ролями, и тогда получим

Ni = Xj (?n, N]., ♦・•，N/i-1, %n).Ni = Xj (?n, N]., ♦・•，N/i-1, %n).i i, ..., n — 1,(8.23)i i, ..., n — 1,(8.23)

Ni = Xj (?n, N]., ♦・•，N/i-1, %n).

Ni = Xj (?n, N]., ♦・•，N/i-1, %n).

i i, ..., n — 1,(8.23)

i i, ..., n — 1,(8.23)

так как выражаюттак как выражаютгде X« — те же самые функции, что и в (8.22), тот же закон соответствия.

так как выражают

так как выражают

в (8.23) мы имеем одни и те примере линейной системы с вектор-функцией х с компо- (см. (3.84))в (8.23) мы имеем одни и те примере линейной системы с вектор-функцией х с компо- (см. (3.84))Замечание. То, что справа в (8.22) и же функции, удобно продемонстрировать на независимым переменным хп и неизвестной нентами 工八...,хп-ь Формула (8.22) имеет вид

в (8.23) мы имеем одни и те примере линейной системы с вектор-функцией х с компо- (см. (3.84))

в (8.23) мы имеем одни и те примере линейной системы с вектор-функцией х с компо- (см. (3.84))

н = W (гп) X %Т (吸)г° 三弘(/，W) г°・

разрешая относительно 工* получаем (8.23), т. е. J = W (球)ТУТ (zn)匸= 找(xn* xn)x,

Функции Xf(c[，…工)(球 в (8.23) фиксировано) можно использовать в качестве 0£ в построении общего решения (8.20). Заметим еще, что из взаимной обратимости формул (8.22) и (8.23) следу-

ст, что -7777;в G.

Определение. Первым интегралом системы (8.18) называется функция 屮(а” ..., а”), обращающаяся тождественно s постоянную, когда точка 工騎...,%“ пробегает интегральную кривую системы (8.18)*).

Очевидно, функции Х.(/「 ..., сп) в формулах (8.23) являются первыми интегралами системы (8.21), так как при подстановке (8.22) в правые части (8.23) они обращаются тождественно в %?• Однако первыми интегралами могут быть и другие функции и, что особенно удобно при практическом решении, первые интегралы нередко могут быть получены, например, методом интегрируемых комбинаций (для получения (8.23) надо решать начальную задачу и это менее удобно),

也 dra л

Пример 8.3.一±=ж . Складывая эти уравнения» получим

dq 2，1

3^~(工 1 + %) ~(R + %> Отсюда 工[+ 々=Се%, и первым интегралом будет% = (Т + %) L'

Вычитая уравнения, получим 77(马—&)= 一 (工i 一 %)，откуда найдем другой первый интеграл;

屮2 = (А 一 S) К

Пусть найдены 孔—1 первых интегралов 屮乂工匕・..,％〃) (г = 1,... .л — 1) системы (8.18) и при этом

W，…，х) 农 1，产° G'(8.24)

т. е. интегралы 屮门・•.,(pn-j независимы ) ((8.23) представляет собой пример системы п——1 независимых первых интегралов).

Теорема 8.2.Всякое решение i|)(xb ...,工几)уравнения (8.4) является первым интегралом системы (8.18), и, обратно, всякий первый интеграл ф(хи ..” хп) системы (8.18) является решением уравнения (8.4),

Доказательство. Прямое утверждевие фактически было доказано выше (см. теорему 8.1, цепочку тождеств (8.19), где и =巾).

Для доказательства обратного утверждения заменим в (8.19) и на ф и возьмем в качестве исходного тождество 患三 °, а в качестве конечного получим 5 а» 粵三 О.Зто последнее можно гарантировать лишь по переменному 力,т. е. вдоль характеристики. А для того чтобы ср(£1,,工鶴)можно было считать решением уравнения (8.4), нужно, чтобы это тождество было тождеством по переменным хи …，хп. Однако, поскольку через каждую точку G проходит характеристика, то тождественное равенство нулю вдоль каждой характеристики означает тождественное равенство нулю всюду в G.

Теорема8 .3. Всякое решение и — ^(х^ ,.., хп) уравнения (8.4) представимо 6 виде

〃 =="^ (ф1 (а” ♦・ ” N”),・・・，фп—1 (工t, ♦ ♦ г Nr) ) 1(8.25)

где 屮(屮门 <..,фп-i) — некоторая дифференцируемая функция своих аргументов фь*..фп-4, а ф((хь ../) (^ = 1, •… 几—1) — первые интегралы системы (8.18), удовлетворяющие условию (8.24).

Доказательство. *, а также q)i (по теореме 8.2) являются решениями (8.4), т. е.

4运+…+"Пm=°，

@% I丄西1

旬玩+…+即瓦

0,

西ПТ

+ ... + a” ^1 = 0.

В каждой точке области G эти соотношения можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно di, •・・,an. По условию 2 а；，0, т. е. имеемся нетривиальное решение. Следовательно, определитель этой системы равен нулю всюду в G:

Отсюда по теореме анализа ♦) между ,屮仆...,(pn-i имеется функциональная зависимость и в силу условия (8.24) эта зависимость может быть представлена в разрешенном относительно 屮 виде 屮=屮(ф1, ...,(pn-!), ч/го и требуется.

Замечания. 1. Доказанная теорема дает обоснование приведенной выше формуле (8.20).

Формула (8.25) при произвольной дифференцируемой 屮 обладает тем свойством, что в пей, согласно теореме 8.3, содержится любое решение уравнения (8.4). С другой стороны, легко проверить непосредственно, что при любой дифференцируемой 屮 функция и из (8.25) удовлетворяет уравнению (8.4); тем самым формула (8.25) представляет общее решение уравне- иия (8.4).

Поставим теперь дополпительпое условие, дающее возможность из множества (8.25) выделить одно решение. Для этого нужно задать в области G многообразие п —— 1 измерений и на этом многообразии задать значение искомого решения (в случае 几=2 в и. 1 задавалась кривая 丫】)・ Пусть это многообразие (обозначим его тоже 71) задается параметрически (через параметры s州.••, sn-t) в виде 土i = s，($i, ..., Sn-J (i == 1, ..., л) и искомое решение на нем задается так;ке как функция параметров s^ …，$宀：

〃 ％i = s (”，* • •, Sn-i)(8.26)

(навальная задана, или задала Коши).

Пусть известны п — 1 независимых первых интегралов(р«. Имеем 屮"у】н 屮 2 (д ($1 ,・・•，坛一1), • • • , ЗпSn—1))・

Обозначим ^t п 屮«(ch ($1， .. •， Sn-i)f .•” (0口(&,・.•， s^—J) (2 = 1, . •・ ...,n——1). Предположим, что эта система л——1 уравнений с п——1

неизвестными £“ ...( s^-t разрешима относительно sb .. ” £口_匕 так что s« = Qi(gn ..., &т) (i = l,...,几一1). Тогда решением поставленной задачи будет

〃(工i, •…，*^n) W^i^i (ф1 (*^lf • • *t *^n ) » • • •» фп —1 (^-tr • • •? ^n ) ) t • • <

• • *t QnT(屮 1(胃1, * • Hn), • • ①n —1(%1, ^n))]* (8*27)

Действительно, это выражение является решением уравнения (8.4), так как содержится в формуле (8.25) (см. замечание к теореме 8.3). Кроме того, учитывая, что ср i|V1 = 5it получим 〃卜〔= =3 [^1 (?1? - • •» 厶一1), • • • , Qn—1 (&1，• • •, 5n—1)1 = S (^1( • • • t ^n—I), т. e. удовлетворяется условие (8.26).

Исследованием вопросов однозначной или неоднозначной разрешимости задачи (8.26) мы в общем виде заниматься не будем. Для 孔=2 это было сделано выше, в пе 1.

§ 2. Квазилинейное уравнение

Обратимся к изучению уравнения (8.3):

2 © (勺，•.")絹=a"i,...,上П,u). (8.28)

Будем предполагать, что a, (i= 1,・..,几)и а являются дифференцируемыми функциями своих аргументов н「..., xn, и в некоторой области D (п +1)-мерного пространства переменных х1т . >., *п, и.

Решением уравнения (8.28) будем называть любую функцию от аргументов rit ..., zn, обладающую частными производными по этим аргументам и обращающую уравнение (8,28) в тождество. Как и в случае линейного уравнения, это решение можно геометрически интерпретировать как поверхность в пространстве н“ •. •，хп, и.

Общее решение и начальная задача. Сопоставим уравнению (8,28) следующее линейное уравнение:

£ % (/,…，")黑 + a (q,…，")累=0.(8.29)

Теорема 8.4. Пусть и = I「(*i, •・•, ％м и) — решение уравнения (8.29). Пусть уравнение 7(хн ..., хЯ1 и) = 0 определяет 6 области G переменных 6, хп некоторую дифференцируемую функцию u = q)(Xi,...,工力,“ пусть |^ 卜匸①卢 ° 3 G. Тогда и = q>(xt, ..., хп) является решением уравнения (8.28).

Доказательство. По теореме о неявной функции

и тем самым левая часть уравнения (8.28) равна п

а это в силу (8.29) есть а(上”・・” ср), т. е. уравнение (8.28) удовлетворяется.

Доказанная теорема и результаты предыдущего параграфа приводят к следующему способу построения решений уравнения (8.28). Нужно написать систему уравнений, определяющую характеристики линейного уравнения (8.29):

Интегральные кривые системы (8.30), т. е. характеристики линейного уравнения (8.29), мы будем называть характеристиками квазилинейного у равнения (8.28). Если уравнение (8.29) удовлетворяет условиям, наложенным на линейное уравнение в § 1, то эти характеристики заполняют область D переменных 工㈠...,力n, u, так что через ка?кдую точку D проходит одна и только одна характеристика. Далее, по формуле (8.25) строим общее решение уравнения (8.29) (только теперь независимых интегралов будет п и они будут функциями 力卜.•力龍,и):

у = ^(R(巧，• • •，工п, □),•••, Фп(£1, •…xn, □))・(8.31)

Затем, полагая и = 0, получим уравнение для определения множества решений уравнения (8.28):

屮(R(①，・・•,工п, □),,・••,屮n(g,…，％n, u)) = 0.(8.32)

Замечание. Как было показано, формула (8.31) при достаточ- по общих предположениях содержит все решения уравнения (8.29). Можно ли сказать, что формула (8.32) содержит все решения уравнения (8.28) ? Проанализируем доказательство теоремы 8.4. При проверке тождества (8.28) мы использовали тождество (8.29), и нам достаточно, чтобы (8.29) было тождеством по 工卜...,工门(при этом и = <р(хь ..., хп)). Однако при построении У(工】,工n, u) требуется большее, а именно, чтобы (8.29) было тождеством по с】，•. .，Нп, и. Поэтому априори не исключена возможность, что могут быть такие решения (8.28), для которых (8,29) удовлетворяется пе тождественно по 矶 …，нп, и, а только при 口 =屮(工】，…，хп). Такие решения, вообще говоря, не содержатся в формуле (8.32). Они называются специальными решениями. Можно показать, что специальное решение — случай ис- ключительный, и в дальнейшем рассмотрении мы их принимать во внимание не будем.

В отличие от линейного случая, в квазилинейном случае характеристики лежат не в пространстве Xi, ..хпл а в пространстве к〕, .,., а：”, и, и поэтому геометрический смысл характеристики здесь иной. Докажем следующий факт.

Теорема 8.5. Всякая интегральная поверхность 〃 =/(工匕• •・,а\) состоит из характеристик а том смысле, что через каждую точку

этой поверхности проходит некоторая целиком лежащая на ней ха

рактеристика.“

Доказательство. Рассмотрим систему уравнений

dx1

—:г;гг — . • . — —:77гг, (8.33)

ИЛИ

■^р = 〃i (^11 • • •» ±n, / (^lt • • • I *^n))j(8,34)

определяющую кривые в пространстве n〔, ..., т『Возьмем одну из них: Xi ~ х<(^. В пространстве 工卜.・•；工口, 〃 ей будет отвечать кривая

Xi = Z<(t)T也="m⑴,…，工П⑴), лежащая по построению на интегральной поверхности и = =/(^1, • • •, ^п). Докажем» что это ——характеристика. Действительно, так как имеет место (8.33), то для доказательства того, что удовлетворяются уравнения (8.30), достаточно проверить, что 穿=а. Но

в силу (8.28), чем и завершается доказательство.

Пусть интегральная поверхность нам неизвестна, но известны характеристики; тогда, если мы сумеем «склеить» из характеристик гладкую поверхность, то она будет интегральной поверхностью, так как вектор {аь .,., лпт а}, касательной к характеристике, будет также касательным к поверхности, а следовательно, будет ортогональным к вектору {К，・・・，^?—丄}， нормальному к поверхности, а условие ортогональности как раз и означает выполнение уравнения (8.28).

Эти геометрические соображения приводят к следующему истолкованию формулы (8.32). Система уравнений (8,33) дает п-парамет- рическое семейство характеристик, которое можно, используя п первых интегралов, представить в виде

5(吃,一・,工口, и) = 0(, i = 1, п.(8.35)

Это семейство характеристик заполняет всю область D. Наша задача——выделить из этрго множества (几—1)-мерное подмножество, которое будет образовывать интегральную поверхность. Для этого достаточно параметры 01, ..., 0П связать, наложив произвольную достаточно гладкую связь вида

屮(&%) =0・(8.36)

Подставляя сюда (8.35), получим (8.32).

Эти же геометрические соображения дают возможность предложить следующую процедуру для решения задачи с дополнительным условием (задачи Коши), которая ставится следующим образом: через (п—1)*мерное многообразие Г( в пространстве н” ..., хп, и провести интегральную поверхность. Это многообразие можно задать параметрически в виде

(8.37)(8.37)6 = ®(£[,.…$пт),北^①($1,・•・,SnT)・

(8.37)

(8.37)

Таким образом, задача по существу та же, что и для линейного уравнения.

Теперь мн должны связь (8.36) наложить не произвольным образом, а исходя из (8.37). Для этого подставим (8.37) в (8.35):

${(31($1, ••” Sn—i), ..., (0(S[, .•・,$пт) )9f,»1, • • ♦,小

и, исключая отсюда s^ ,.., s—, получим искомую связь (8.36), в которой 屮 будет уже, вообще говоря, вполне определенной функцией, а (8.32) будет давать решение задачи (8.37).

Не проводя в общем виде анализа того, какие особенности могут представиться при выполнении описанной процедуры, проследим это на трехмерном случае (подобно тому, как было сделано в § 1), которому отвечает уравнение

4 (瑞 У, “) ^ + 8 (工,y,u)^=C(z,y, u).(8.38)

Зададим Г\ (в трехмерном случае это кривая):

х — X(s), у = Y(s), u = U(s)・(8.39)

Выписываем систему (8.30), имеющую вид

dr —电_dw

и находим два первых интеграла ф<(х, у, й) (t= 1, 2). Подставляя (8.39), получим

^i(X(s), y(s), U(s)) =0о i = l, 2.(8.40)

Исключая из этих двух уравнений s, найдем связь

4f (也，仇)=0.(8.41)

Тем самым уравнение искомой поверхности будет

B((Pi(n, у, u), q)2(名 у, и)) = 0.(8.42)

Геометрический смысл процедуры очень простой: из каждой точки заданной кривой Г( выпускается характеристика, и все такие характеристики в совокупности образуют искомую интегральную поверхность (рис. 25).

Вместо представления (8.42) для интегральной поверхности, имеющего форму непосредственной связи между х, у, и, иногда удобно параметрическое представление, если в качестве параметров взять s и, скажем, х. Пусть, например, С(х, у, и) == 0. Тогда один из 〃]первых интегралов равен и, другой —

[屮2 (н, У,卫)и искомую поверхность можно

записать в виде

2 = 7, U = U(s), у = у(х, S),(8.43)

где у (х, s) определяется неявно уравнением J屮2(/ У, U(s)) =S(X(s), У(5), U(s))・

/“ Это последнее уравнение дает проекцию

/на плоскость (х, у) характеристики, проа'ходящей через точку s заданной кривой Гь

Рис. 25a u = U(s) дает значение апликаты и над

этой проекцией.

При выполнении процедуры, приводящей к (8.42), может представиться особый случай, а именно, левые части обоих уравнений (8.40) могут обратиться в константы и (8.40) примет вид

0i == ^ = const.(8.44)

В этом случае связь (8.41) также имеет место, но содержит большую степень произвола, а именно,屮 мо?кет быть любой функцией, лишь бы 屮(q, с2) = 0. Например, можно положить

屮旭，&) =Ф(也,也)一①(Q, G),

где Ф —— уже произвольная функция двух аргументов.

Равенство (8.44) означает, что Г\ является характеристикой, и, таким образом, через характеристику можно провести бесконечно много интегральных поверхностей.

Пример 8.4. Рассмотрим уравнение переиоса (1.30) из гл. lt в котором и — постоянная,

糸+ ”^+c(z, t)u = O

с условием (1.32), где положим 窃=0,

И(0, 0 = Uo(f)・

В этом случае (8.30) имеет вид dt dxdu

1 и — ― c {x, t) u'

Отсюда сразу находим один из первых интегралов: ф] = х — и/. Далее имеем du 不=—с 也，t) и = — с (% 十加，t) и = b (f, %) u.

откуда u= const ©"式3屮“， где bi ——одна из первообразных от b (напомним,

что qpi = const). Таким образом, другой первый интеграл имеет вид

—bjCt.x—vt>% = ue .

При м = 0 имеем (8.40):

久=_vt, % = % (f) e h‘力2.

Отсюда находим связь (8.41):

и формула (8,42) дает

(ЗНЕ) = % , _ g J"(Тхг).

Можно найти также явное выражение для u(x, t):

Пример 8.5. Линейное уравнение можно трактовать как квазилинейное При этом а —0 и заведомо одним из первых интегралов является и. Это соответствует установленному в § 1 факту, что вдоль характеристики u = const (теорема 8.1).

Рассмотрим уравнение

(8.45)(8.45)8“8“ с

(8.45)

(8.45)

?/一”为=°

и решим его «квазилинейным» способом. Соответствующая система (8.32) дает два первых интеграла： cpj = в, <р, == с? + у'. Формула (8.32) дает 屮(и, х + у?) = 0, откуда и ==巾(工？+ у2). Таким образом, решением уравнения (8.45) является произвольная гладкая поверхность вращения.

Рассмотрим теперь различные дополнительные условия:

А. 「!—прямая линия,工《»$, у = s, и = s. Описанный прием дает 01= s, % = 2$2 今 ％ = 28；, и решением задачи будет х2 + У2 =2и2 — конус.

Б. Г1 — окружность: х ^ cos t, у = sin t, u — 1. Таким образом, Г( является характеристикой уравнения (8.45), рассматриваемого как квазилинейное уравнение. В данном случае нмеем 8] = 1, 02 = 1, и решением будет поверхность вида 6(% 工？+ 炉)一Ф(1, 1) »= 0. Геометрически: ясно, что через заданную окружность действительно можно провести бесконечно много поверхностей вращения.

В. Рассматривая (8.45) как линейное уравнение, можно продемонстировать случай, описанный в конце п. 1 § 1, когда решение задачи Коши не существует. Пусть 71 задана в виде н — cos % у = sin 厶 a u| v^ = t Любая поверхность вращения имеет постоянную апликату на заданной окружности 力,и, таким образом, условие uL = £ удовлетворено быть не может.

уравнения в трехмерном пространстве (в переменных 匕 н, и), при этом положим С (% 工，и) = 0. Такой случай уже был описан в предыдущем пункте и на нем была продемонстрирована параметрическая форма записи (8.43) поверхности (8.42). В этом случае имеем два первых интеграла и и ①式“ 名 “)，а семейство характеристик (8.35) имеет вид 〃 = &, 6(% х, 〃)= &. Проекции этих характеристик на плоскость (£,工),вообще говоря, могут пересекаться (в отличие от картины, изображенной на рис. 21, относящейся к линейному уравнению). Это приводит к следующему па первый взгляд парадоксальному результату.

Рассмотрим такой пример:

ба ,2 6а 八

祝+公元=°•

Зададим дополнительное условие и (0, х) =〃о(н). В данном случае кривая Г! — это £ == 0,工=s, u = u0 (s). Первыми интегралами будут

u и ^ 〃气・ Представление для искомой интегральной поверхности можио получить, пользуясь формулой (8.43). Оно имеет вид

1 = £,工=s+ 〃"$)£, u = % (s). (8.46) Уравиение 工=$+ 〃；($)£ описывает проекцию па плоскость (厶工) той характеристики, которая проходит через точку s кривой" Ги a 〃o(s) есть значение и над этой проекцией.

Зададим конкретно u0(s) = 1—s. Рассмотрим характеристику, проходящую через точку「，отвечающую $ = 0. Ее проекция есть х = f (прямая 1 па рис. 26). Точке s = 1/2 отвечает характеристика с проекцией 工=妥 + % % (прямая 2) и точке s = 1— характеристика с проекцией х = 1 (прямая 3). Над прямой 1 имеем u = /(s)=1, над прямой 2 имеем 我=1/2 и над прямой 3 имеем и = 0. Но прямые 7, 2 н 3 пересекаются, и получается, что, например, в точке 4 значение апликаты искомой интегральной поверхности должио быть одновременно равно и нулю и единице (I).

Чтобы разъяснить этот кажущийся парадокс, найдем решение поставленной задачи в явном виде. Имеем 口=1 ——s, х = s + 十(1 ——s)，, откуда, исключая s, получим

(радикал берется со знаком «——», чтобы удовлетворялось условие 〃(0, х) === 1 — х).

以3 выражения (8.47) непосредственно видно, что решение определено левее гиперболы: 4^(1 — х) = 1 (рис. 27, кривая L). В точках гиперболы L подкоренное выражение обращается в нуль, а далее с ростом t становится отрицательным. Таким образом, в точках гиперболы решение перестает существовать. Заметим, что при этом 靠f 8. Нетрудно проверить, что на линии L нарушается условие 五"声。，фигурирующее в теореме 8.4.

Слева от гиперболы пересечения проекций характеристик не происходит и никакой «неоднозначности» в решении нет. Прямая х = t «не доходит» до прямой х == 1, так как прямая х = t сначала обязана пересечь гиперболу, а на ней решение перестает существовать.

Замечание. Гипербола L является местом пересечения бесконечно близких проекций, в данном случае огибающей семейства с = s + (1——б)?九 Ее мояшо найти, воспользовавшись $-днскрнми~ нантной кривой этого семейства.

То, что решение существует лишь в ограниченной области, можно наблюдать н для обыкновенных дифференциальных уравнений, по разобранный сейчас случай интересен тем, что он имеет непосредственную связь с рассмотренными физическими задачами.

Обратимся к задаче п. 4 § 2 гл, 1:

穿+ р(“考=0,“(工,0) = %(z).(1.33)

Функция р(〃), которую можно получить экспериментально, имеет характер, представленный на рис. 28. Таким образом, физически интересный случай ка- ' "| чественно не слишком сильно отличается от примера р = и\ который только что/

был исследован. Естественно ожидать, что/

в рассматриваемой физической задаче реше-/

ние перестает существовать на некоторой/

линии 厶,при этом обратится в бесконеч- ^

ность производная по н, подобно тому,“

как в разобранном примере. Но ведь физи-Рис. 28

чески процесс имеет место и за линией L,

е. для больших f. Возникает вопрос, каким же образом получить отвечающее даппому физическому процессу решение, справедливое за линией 厶？

Для рассматриваемой задачи решение можно записать в виде, аналогичном (8.46):

t = t, х ~ s + р\ий(5)]^, и == u0(s).(8.48)

Линию А можно найти так же, как и в примере, используя s-дн- скриминантную кривую, т. е. исключая s из системы

2 = S + р k (s)] t, 0 = 1 + р' [% (s)] Uo (s) f.

Кривую L удобпо представить параметрически (опять через s) в виде

.夕一г > Р【％(£)]

-p4%W]$5 TI Р」％ W] Uo(S)•

Проекции характеристик в данном случае, как и в примере, представляют собой прямые, причем прямая, выходящая из точки £ = О, 土 = s, имеет наклон /?[и0(5)]. Пусть u0(s) убывает по s. Так как р(и) возрастает по и (см. рис. 28), то наклон характеристики убывает с ростом s, т, е. характеристики «сходятся» к линии L、аналогично тому, как это изображено на рис. 27 для Примера с р = и2.

Если наблюдать процесс при фиксированном х = х0, то при приближении £ к 奇(точка (%, Но) лежит на L) ^ увеличивается, т. е. наблюдается резкое изменение плотности. НаблюдЯя физическое явление, можно в самом деле отметить в определенный момент времени резкое изменение плотности: через точку х0 в момент % проходит так называемая ударная волна. Затем процесс снова идет достаточно плавно, пока не образуется новая ударная волна, но может случиться также, что новой ударной волны не возникает.

Как же описать процесс после прохождения ударной волны? Решение, определяемое как дифференцируемая функция, удовлетворяющая уравнению (8.38), дает возможность описать процесс только до возникновения ударной волны. Естественно, напрашивается мысль о расширении понятия решения уравнения (8.38). Мы будем искать решение в классе разрывных функций» подчиняя характер разрыва определенным требованиям, соответствующим физической природе описываемого явления. Такое решение мы будем называть обобщенным.

Не задаваясь целью построить обобщенное (разрывное) решение для общего случая (8.38), рассмотрим, как оно строится для нашего физического примера.

Слева от кривой Е (в области I) решение строится методом, описанным в п. 1; такое решение мы будем называть классическим. Далее, принимая Е за проекцию некоторой новой начальной кривой, будем снова строить классическое решение методом п. 1. Вопрос заключается в том, какое значение и следует взять вдоль кривой 厶 для построения этого решения.

Для выяснения этого вопроса мы используем физические сообра

жения —все тот же закон сохранения количества вещества, который привел к дифференциальному уравнению (1.33).

Обозначим через 〃【предельное значение и на линии L (ее можно назвать линией разрыва), которое получено из классического реше

ния, определенного начальными данными, т. е. предельное значение

изнутри области I (до разрыва). Для построения следующего гладкого участка нам нужно найти предельное значение а изнутри области II (после разрыва), которое примем за начальное для построения решения на следующем после разрыва этапе.

Уравнение баланса запишем с этой целью в следующем виде (учитывая, что 〃(名 i) = Ui, u(x, t+At) = =厶，u{x — An, t)==必；см. рис. 29,

где изображен бесконечно малый прямоугольник, левая верхняя

вершина которого лежит в области I бесконечно близко к линии Е, а остальные в области II):

——(S — Ui) Ax ^ [v(ui)ui — vfu^UjjAt

Переходя к пределуК производной "ОТ водную естественно получимПереходя к пределуК производной "ОТ водную естественно получим(8.49)(8.49)Дх -*- О, А£ f 0 и учитывая, что 暮 стремится функции, описывающей кривую Е (эту произ- назвать скоростью движения разрыва Up),

Переходя к пределу

К производной "ОТ водную естественно получим

Переходя к пределу

К производной "ОТ водную естественно получим

(8.49)

(8.49)

Зная Ui п vP, можно по этой формуле определить и2.

Зная 以2, можно снова построить гладкий участок решения до новой кривой типа L, Такой кривой может, однако, и не возникнуть. Мы уже видели выше, что возникновение первого разрыва было связано с тем, что характеристики «сходились». Второго разрыва не возникает, если после разрыва характеристики окажутся «расходящимися». Аналитически возникновение или отсутствие разрыва выясняется точно так же, как это делалось выше для решения (8.48).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Е р у г и и Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений.— Минск: Наука и техника, 1972.

К а рташ ев А. П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления,— 2-е изд.— М.: Наука, 1980.

Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.— 7-е изд., М.: Изд-во МГУ, 1984.

Поптрягип Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— 5-е изд.— М.: Наука, 1983.

Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.— 8-е изд.— М:. Гос- техиздат, 1959.

Хартман Ф, Обыкновенные дифференциальные уравнения,— М.: Мир, 1970.

Эльсгольц Л. Э, Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.— 2-е изд.— М.: Наука, 1969,

Аналитическая теория дифференциальных уравнений 102

Аппроксимация разностной схемы, порядок аппроксимации 158

Асимптотика 180

Асимптотическая формула 178

Асимптотический ряд 180

Асимптотическое представление 178

—разложение 180

Бегущая волна 212

Возмущение правых частей (входных данных) 158, 159

—регулярное 180

—сингулярное 183

Возмущенная задача 159

Возкгущенное и невозмущенное уравнения 180

Вырожденная система 184

Гранинньге условия первого, второго и третьего рода 107

С-дискриминантная кривая 45

/)-дискриминантная кривая 45

Задача краевая 107

—на собственные значения (задача Штурма — Лиувилля) 107, 123

—начальная (задача Коши) W

Импульсная матрица 94

—функция 81

Интеграл дифференциального уравнения 24

Интегральная кривая 9

—поверхность 210

Интегральное уравнение 11

— — Фредгольма второго рода

126

Интегрировапие в квадратурах 24

— цифференциального уравнения

9

Интегро-дифференциальное уравнение 19

Качественная теория дифференциальных уравнений 150

Квадратура 24

Лемма о дифференциальных неравенствах 29

————столбцов 90, 93

Линейная зависимость и независи

мость столбцов 90, 93

■функций 77

Ломаные Эйлера 32

Матрицант 94

Матричная запись системы линейных уравнений 90

Метод вариации постоянной 27

-ВБК 203

—неопределенных коэффициентов 88

—последовательных приближений (метод Пикара) 27

—стрельбы 167

—усреднения 203

Метрическое пространство 63

Независимость первых интегралов 216

Неподвижная точка 63

Неустойчивость решения 143

Норма равномерная (чебышевская)

153

—собственной функции 125

—среднеквадратичная (гильбертова) 153

Нормальная система дифференциальных уравнений 8

Область влияыия устойчивого корня 186

Обобщенное решение квазилинейно го уравнения 226

——обыкновенного дифференциального уравнения 12, 38

Общее решение линейного неодно родного уравнения 80

однородного уравнения 68, 79

уравнения в частных производных 217

——системы линейных уравнений 94

Общий интеграл 24

Обыкновенная точка 38

Однородные и неоднородные краевые задачи 107

Операторный многочлен 84

Определитель Вронского 77, 93

Особая точка 38

Особое решение 45

Остаточный член асимптотической формулы 178

Первый интеграл 215

Пограничные члены 192

Пограничный ряд 192

—слои 190

Поле направлений 10

Порядок аппроксимации 158

—дифференциального уравнения 7

Предельный цикл 149

Принцип максимума 171

— сжатых отображении 64

—суперпозиции 75, 91

Присоединенные векторы 100

Прогонка алгебраическая 174

—обратная 176

—прямая 175

Пространство решений линейного однородного уравнения 76, 79

————системы линейных уравнений 94

6-приближение по невязке 34, 49

———отклонению 36

Разностная схема «предиктор — корректор» 166

— — Рунге — Кутта 164

————Эйлера 154

———явная 154

Регулярный ряд 192

Резонансный и перезонансный случай в неоднородном линейном уравнении 72, 87

Релаксационные колебания 208

Решение общее 24

—частное 9, 24

Седло 147

Сепаратриса 147

Сетка, сетки узел, сетки шаг 152

—равномерная и неравномерная 152

Сеточная функция 152

Система линейных уравнений 74, 88

—первого приближения 134

Собственное значение, его ранг 108

Собственные колебания 108

—функция 108

Специальные функции 102

Среднее значение 204

Сходимость по иевязке 34, 49

—разностной схемы 153

Теорема о неподвижной точке 63

—о неустойчивости 143

Теорема об общем решении линейных уравнений 79, 94

——об устойчивости 141

—об устойчивости асимптотической 142

—Стеклова о разложении по собственным функциям 125

—существования н единствепности решения краевой задачи 120

—Тихонова о сингулярно возмущенной системе 188

— Чаплыгина о дифференциальных неравенствах 10

Теоремы существования и единственности решения начальной задачи для нормальной системы уравнений 49

уравнения, неразрешенного относительно производной 40

—первого по

рядка 36, 61, 62

Теория возмущений 180

Тождество Лагранжа 109

Точка поворота 203

—покоя 145, 148

Тривиальное решение 78, 107

Ударпая волна 226

Узел 146

Уравнение Бернулли 29

—ван дер Поля 208

—в вариациях 58

—в частных производных 7

—в частных производных, квазнлн- нейпое 209

——в частных производных, линейное 209

——колебаний упругого стеряшя 20

—Лагранжа 43

——линейное, первого порядка 26

—линейное, n-го порядка 67, 73

—маятника 15, 67

—,неразрешенное относительно производной 39

—обыкновенное 7

—переноса 17

—Риккати 29

—с разделяющимися переменными 23

—теплопроводности 22

—Эйлера 88

—Эйри 102

Условие Липшица 31, 46, 60

Устойчивость асимптотическая 129

—по Ляпунову 129

—разностной схемы 160

Устойчивый корень 185

Фазовая траектория 9

Фазовое пространство 9

Фазовый портрет 149

Фокус 148

Формальный ряд 102, 191

Формула Грина 109

Фундаментальная матрица 94

— система решении 7& 93

Функция Грина краевой задачи 112

——обобщенная 117

—Ляпунова 140—142, 144

—положительно определеииая 140

Характеристики квазилинейного уравнения в частных производных 219

—линейного уравнения в частных производных 210, 214

Характеристический многочлен 83

Характеристическое уравнение С7.

84, 96, 163

Центр 148

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к третьему изданию 5

Предисловие ко второму изданию 5

Предисловие к первому изданию 6

Глава 1. Введение 7

Понятие дифференциальногоуравнения 7

Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 12

Глава 2. Общая теория 23

Элементарные методы интегрирования23

Теоремы существования и единственности решения начальной задачи для одного уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Алгоритм ломаных Эйлера .31

Уравнение, неразрешенное относительно производной .39

Теорема существования и единственности решения нормальной системы46

Зависимость решений от начальных значений и параметров ,.51

Метод последовательных приближений (метод Пикара) .59

Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке 63

Глава 3. Линейные дифференциальные уравненяя ,67

Уравнения движения маятника как пример линейного уравне- пия. Основные свойства линейного уравнения с постоянными коэффициентами67

Общие свойства линейного уравнения л-го порядка .73

Однородное линейное уравнение м-ro порядка76

Неоднородное линейное уравнение n-го порядка79

Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами 82

Системы линейных уравнений. Общая теория88

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами96

Построение решения линейного уравнения в виде степенного ряда 101

Глава 女 Краевые задачи 105

Постановка краевых задач и их физическое содержание ...105

Неоднородная краевая задача110

Задачи на собственные значения123

Глава 5. Теория устойчивости. 128

Постановка задачи128

Исследование на устойчивость по первому приближению ...134

Метод функций Ляпунова138

Исследование траекторий в окрестности точки покоя ....144

Глава 6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений15[

Разностные методы решения начальной задачи【51

Краевые задачи ...167

Глава 7. Асимптотика решений дифференциальных уравнений по малому параметру177

Регулярные возмущения177

Сингулярные возмущения183

Глава 8. Уравнения в частных производных первого порядка ...209

Линейное уравнение209

Квазилинейное уравнение218

Список литературы ••228

Предметный указатель229

*) Иногда бывает удобно обозначение A(yi(x)t ..., yn(z))*

*) Символом О (Л*) обозначается величина, модуль которой где С — не зависящая от Л постоянная.

*) См., например, С. А. Л а м о в «Введение в общую теорию сингулярных возмущений» (М.: Наука, 1981), где приведен подробный анализ основных идей метода, его дальнейшее развитие и связь с вопросом так называемой регуляризации сингулярно возмущенных задач.