Та-пей Ченг, Линг-фонг Ли

Калибровочные теории в физике

элементарных частиц

Т.-П.Ченг, Л.-Ф.Ли

КАЛИБРОВОЧНЫЕ ТЕОРИИ В ФИЗИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

Книга американских физиков Т.-П.Ченга и Л.-Ф.Ли представляет собой фундаментальное и современное введение в калибровочные теории элементарных частиц. Подробно излагаются как уже сформировавшиеся теории, так и новые направления и тенденции в теоретической физике элементарных частиц.

Предназначена для студентов и аспирантов, изучающих теорию элементарных частиц, а также для специалистов (теоретиков и экспериментаторов) в качестве справочного пособия по физике элементарных частиц,

Книга американских физиков Т.-П. Ченга и Л.-Ф. Ли, русский перевод которой предлагается читателю, является введением в современную теорию элементарных частиц и их взаимодействий. Элементарными составляющими материи в настоящее время считаются кварки и лептоны. Мы говорим «в настоящее время», так как не исключено, что в будущем будет открыта сложная структура кварков и лептонов и они перейдут в разряд «составных» частиц. Открытие сложной структуры у объектов, считавшихся ранее элементарными, в физике происходило неоднократно. Последнее событие такого рода — установление кварковой структуры адронов. Однако, хотя возможность существования сложной структуры у кварков и лептонов рассматривается теоретиками вполне серьезно, экспериментальных оснований у этой гипотезы пока нет.

Принцип локальной калибровочной инвариантности является одной из основ теории взаимодействия частиц. Можно сказать, что осознание основополагающей роли принципа локальной калибровочной инвариантности предопределило бурное развитие теории элементарных частиц в последнее двадцатилетие. Создана и убедительно подтверждена в экспериментах единая теория слабых и электромагнитных взаимодействий; создана квантовая хромодинамика, играющая роль главного претендента на роль теории сильных взаимодействий. Убеждение в том, что создание калибровочной теории, объединяющей все взаимодействия, является первоочередной задачей и ее решение может быть най- цено в обозримом будущем, разделяют многие исследователи.

Бурное развитие теории элементарных частиц неизбежно привело к необходимости создания учебников, содержащих наряду со стандартным набором сведений по квантовой теории поля (каноническое квантование, диаграммная техника, перенормировки и т. д.) также и методы теории неабелевых калиб-» ровочных полей, такие, как функциональное (континуальное)' интегрирование, размерная регуляризация. Настоящая книга является руководством такого типа. При отборе материала авторы стремились изложить в первую очередь те разделы квантовой теории полей, которые уже прочно вошли в арсенал физики

элементарных частиц. Книга иллюстрируется многочисленными примерами и конкретными расчетами.

Описание структуры книги, помогающее читателю ориентироваться при чтении, дано в предисловии авторов. С точки зрения советской системы подготовки специалистов книга в первую очередь предназначена для студентов старших курсов и аспирантов, специализирующихся в области физики элементарных частиц.

В переводе добавлены ссылки на литературу (они отмечены звездочкой). Это потребовалось, в основном, чтобы отразить важный вклад, внесенный советскими физиками в развитие теории элементарных частиц (например, открытие цветовых состояний, разработка аппарата ренормализационной группы и др.).

Перевод выполнен С. И. Азаковым (предисловие/ гл. 5—16 и приложения) и Ю. А. Кубышиным (гл. 1—4).

Р. М. Мир-Касимов

За последние десять лет в физике элементарных частиц был достигнут значительный прогресс. В настоящее время мы впервые располагаем общей теорией взаимодействия частиц. Есть основания полагать, что она дает полное и правильное описание всей негравитационной физики. Эта теория основана на принципе калибровочной симметрии. Сильные, слабые и электромагнитные взаимодействия являются калибровочными взаимодействиями. Вряд ли можно переоценить важность знания калибровочной теории для всех, кто интересуется современной физикой высоких энергий. Независимо от того, окажутся ли в конечном итоге правильными отдельные ее детали, именно в рамках этой теории в обозримом будущем будут интерпретироваться новые теоретические и экспериментальные достижения.

Цель настоящей книги — ознакомить студента и исследователя с некоторыми основными идеями калибровочных теорий и с их приложениями к физике элементарных частиц. Всюду, где это возможно, мы избегаем громоздких математических доказательств, основываясь на эвристических соображениях и иллюстрируя характерными примерами. При выводе различных формул мы приводим все промежуточные выкладки, обычно отсутствующие в более специализированной литературе. Некоторые хорошо известные результаты выводятся заново способами, более доступными для неспециалистов.

Книга не претендует на роль исчерпывающего обзора. Однако она содержит все сведения, необходимые каждому, кто серьезно решил специализироваться в области теории элементарных частиц. Мы надеемся также, что отдельные части книги окажутся полезными физикам-экспериментаторам, интересующимся общими аспектами калибровочной теории.

Книга основана главным образом на записях лекций, которые один из нас (Л. Л.) читал аспирантам на протяжении последних шести лет в Университете Карнеги — Меллона и в 1981 г. на Летней школе по физике частиц в Хэфэе (Китай) [269]. К ним добавлен материал, который обсуждался на семинарах, руководимых вторым автором (Ч. Т.), в Университете штата Миннесота и в других местах. Все эти записи были до-? полнены, приведены в порядок, их рамки были значительна

расширены. Мы предполагаем, что читатель имеет некоторое представление о квантовой теории поля и в определенной степени знаком с феноменологией физики высоких энергий. Практически эта книга предназначена для аспирантов, специализирующихся в области теоретической физики. Мы также надеемся, что некоторые исследователи будут использовать ее в качестве удобного введения в те области, которые они хотят изучить.

Современная теория калибровочных полей может быть описана как «радикально консервативная теория» в смысле Уилера (см. [424]), а именно несколько фундаментальных принципов экстраполируются настолько, насколько это возможно. При этом допускается наличие некоторых парадоксов, которые не удается разрешить. Здесь в качестве аксиом принимаются принципы локальности, причинности и перенормируемости. Обнаруживается, что определенный класс релятивистских квантовых теорий поля, а именно калибровочные теории, обладают необычайным разнообразием свойств (явление Хиггса, асимптотическая свобода, удержание кварков, аномалии и т. д.), необходимых для понимания природы взаимодействий элементарных частиц. При этом не возникает необходимости пересмотра основных принципов теории относительности и квантовой механики. Таким образом, необходимой основой для изучения калибровочной теории является традиционный курс квантовой механики повышенного типа и квантовой теории поля, в особенности квантовой электродинамики (КЭД)—прототипа калибровочной теории.

Книга состоит из двух частей. Часть I содержит материал, который можно охарактеризовать как «докалибровочную теорию». В гл. 1, 2 и 3 рассматриваются основы релятивистской квантовой теории поля (квантование и перенормировка), причем в качестве иллюстративного примера используется простая теория Хф4. В гл. 4 и 5 мы излагаем элементы теории групп, модель кварков и киральную симметрию. Взаимосвязь отмеченных выше ключевых свойств теории — перенормировок и симметрии — изучается в гл. 6. Утверждение, что кварки являются основными составляющими адронов, в дальнейшем подкрепляется открытием бьёркеновского скейлинга. Скейлинг и кварк-партонная модель описываются в гл. 7. Эти результаты подготавливают почву для всеобщего объединения теорий взаимодействия частиц в рамках неабелевых калибровочных теорий, которое рассматривается в части II. После построения в гл. 8 и 9 классического и квантового вариантов калибровочной теории все готово для перехода к основным главам книги — гл. 10—14, где изложены калибровочные теории — квантовая хромодинамика (КХД) и квантовая ароматодинамика (КАД) — и теория великого объединения (ТВО). В качестве дальнейшей иллюстрации богатства структуры калибровочной теории в гл. 15

и 16 мы приводим решения, полученные вне рамок теории возмущений и соответствующие магнитным монополям и инстантонам.

В конце книги даны два приложения. В приложении А можно найти используемые условные обозначения и нормировки. Приложение Б содержит практическое руководство по выводу правил Фейнмана, а также выражения для пропагаторов и вершин наиболее часто используемых теорий — Хф4, теории Юкавы, КХД и стандартной модели электрослабых взаимодействий (в А\-калибровке).

В оглавлении некоторые главы и разделы отмечены звездочками и крестиками. Звездочками отмечены разделы, которые можно опустить при первом чтении; крестиками отмечены главы и разделы, содержащие введение в такие проблемы повышенной сложности, которые несколько выходят за рамки основного направления этой книги. Согласно нашему опыту, материал, изложенный в неотмеченных разделах, составляет содержание односеместрового курса калибровочных теорий в физике частиц. Если не опускать отмеченные разделы, то книга в целом соответствует двухсеместровому курсу. Следует также заметить, что, хотя мы расположили разделы в соответствии с их логической взаимосвязью, читателю нет необходимости (на самом деле это даже нерационально) изучать материал в точности в том порядке, в котором он приведен. Например, изучение разд. 1.2 по квантованию с помощью функциональных интегралов можно отложить до гл. 9, где они впервые будут использоваться для квантования калибровочных теорий. Так как мы предполагаем, что у читателей нашей книги будут различные интересы и подготовка, то настоятельно призываем каждого из них тщательно ознакомиться с оглавлением, прежде чем приступить к изучению книги. Для облегчения чтения отдельных разделов часть материала повторяется. Читатель, интересующийся больше экспериментом, а не формальными аспектами релятивистской квантовой теории поля, может пропустить гл. 1, 2, 3 и 6 по квантованию и перенормировкам. После предварительного изучения теории групп и модели кварков в гл. 4, 5 и 7 он может перейти непосредственно к гл. 8, 10, 11, 12, 14 и т. д., где можно найти общее введение в теорию калибровочных полей и ее приложения.

Библиография и список цитированной литературы содержат некоторые обычно цитируемые работы, которые нам знакомы. Эти списки не являются полными. Мы приносим извинения нашим коллегам, на работы которых мы соответствующим образом не сослались. Мы надеемся, что процитировали достаточное количество литературы, чтобы заинтересованный читатель мог, используя ее, найти дальнейшие обзоры и исследовательские статьи. ,

Нам приятно поблагодарить наших коллег и студентов за оказанную помощь; многие сделали полезные замечания, касающиеся первоначального варианта книги. Мы очень признательны профессору Махико Судзуки, который критически прочел рукопись, а также профессорам Джеймсу Бьёркену, Сиднею Дреллу, Джонатану Рознеру и Линкольну Волфенстейну, поддержавшим нас в нашем стремлении преобразовать записи лекций в книгу. Один из нас (Ч. Т.) благодарит Национальный научный фонд, Комитет по летним исследовательским стипендиям и Фонд Уэлдон Спринг за поддержку; во время различных этапов работы он с удовольствием пользовался гостеприимством групп по теоретической физике Лоуренсовской лаборатории в Беркли, Стэнфордского центра линейных ускорителей и Миннесотского университета. Л. Л. благодарит Институт теоретической физики при Калифорнийском университете в СантаБарбара за гостеприимство, а Министерство энергетики и Фонд Алфреда П. Слоуна за поддержку. Наконец, мы выражаем признательность нашим женам за помощь на протяжении всей работы над книгой. Мы очень обязаны мисс Сьюзэн Свайерс за трудоемкую работу по напечатанию рукописи, а также высоко ценим техническую помощь со стороны мисс Тины Рамей и мистера Джерри Макклюра.

Добавление к корректуре. Когда рукопись этой книги готовилась к публикации, мы получили известие о том, что группы UA1 и UA2 в ЦЕРН’е наблюдали в до-соударениях события, которые можно интерпретировать как испускание промежуточного векторного У7-бозона с массой приблизительно 80 ГэВ1). Кроме того, объединенная группа Ирвайн — Мичиган—Брукхейвен объявила о предварительном результате, устанавливающем значение нижней границы времени жизни т (р е+л°) > 6,5-1031 лет.

Сент-Луис и Питсбург Ч. Т. Сентябрь 1982 г. Л. Л.

*) В настоящее время твердо установлено существование векторных бозонов W и Z с массами 83,5 ± 2,9 ГэВ и 93,0 ± 3,3 ГэВ соответственно.—• Прим. ред.

Часть I

Глава 1

ОСНОВЫ КВАНТОВАНИЯ ПОЛЕЙ

Динамика классического поля ф (х) описывается лагранжевой плотностью S^, д^ф) в соответствии с принципом наименьшего действия:

6S = О,(1.1)

где S— функционал действия:

S=^d4xS$, д^ф).

Это условие экстремума приводит к уравнению движения Эйлера — Лагранжа

О (Оц0) офv '

Чтобы проквантовать физическую систему, мы можем воспользоваться одним из двух эквивалентных подходов. Канонический формализм квантования предполагает изменение смысла истинных динамических переменных системы. Они считаются операторами, и постулируется, что эти операторы удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям. Затем строится гамильтониан системы,' который используется для определения ее временной эволюции. Это позволяет вычислить амплитуду перехода из состояния в начальный момент времени в состояние в конечный момент времени. Альтернативный подход состоит в использовании для описания квантовой системы формализма фейнмановских функциональных интегралов. В этом подходе амплитуда перехода выражается непосредственно через сумму вкладов (функциональный интеграл) по всем возможным траекториям между начальным и конечным состояниями, взятых с весовыми множителями в виде экспоненты от действия, умноженного на I (в единицах постоянной Планка Й), для каждой конкретной траектории. Таким образом, в классическом пределе (Й-^-О) подынтегральное выражение сильно осциллирует, так что вклады от всех траекторий, за исключением стационарной, определяемой принципом наименьшего действия (1.1), становятся пренебрежимо малыми.

В настоящей главе мы изложим элементарные сведения о квантовании полей. Сначала мы рассмотрим более знакомую

процедуру канонического квантования и ее реализацию в рамках теории возмущений в виде правил Фейнмана. Так как в дальнейшем мы увидим, что теории калибровочных полей наиболее просто квантуются с помощью формализма функциональных интегралов, мы дадим введение в этот метод (и его связь с правилами Фейнмана) в разд. 1.2. В качестве примера мы будем использовать в основном простейшую теорию с самодействующим скалярным полем. Формализм функциональных интегралов для фермионов изложен в разд. 1.3.

Так как формализм функциональных интегралов не понадобится нам до гл. 9, посвященной квантованию калибровочных полей, читатель при желании может отложить изучение разд. 1.2 и 1.3 до этого времени. Нужно заметить, что даже для калибровочных теорий мы будем использовать оба этих формализма квантования. Имеется в виду следующее: мы будем использовать тот язык, который более удобен для рассмотрения данной конкретной задачи, независимо от того, подразумевается ли каноническое квантование или квантование с помощью функциональных интегралов. Например, при обсуждении физических явлений на малых расстояниях в гл. 10 мы используем язык «операторных разложений», хотя для строгого обоснования требуется каноническое квантование. Мы рекомендуем также читателю ознакомиться с приложением Б в конце книги, представляющим собой практическое руководство по выводу правил Фейнмана в формализме функциональных интегралов.

1.1. ФОРМАЛИЗМ КАНОНИЧЕСКОГО КВАНТОВАНИЯ

Предполагается, что читатель знаком с тем, как осуществляется переход от классической нерелятивистской системы частиц к соответствующей квантовой системе. Заменив канонические переменные операторами, а скобки Пуассона — коммутаторами, мы придем к уравнению Шредингера. Операторы действуют в гильбертовом пространстве квадратично-интегрируемых функций (волновых функций) и удовлетворяют уравнениям движения, которые формально совпадают с классическими уравнениями движения.

С помощью аналогичной процедуры можно проквантовать релятивистское поле. Для системы, описываемой лагранжианом 3^ф, д^), поле ф^х) удовлетворяет классическому уравнению движения (1.2). Чтобы перейти к соответствующей квантовой системе, потребуем выполнения одновременных канонических коммутационных соотношений

[л (х, О, ф (х', /)] = —гд3 (х — х'), [л(х, 0, л(х', 0] = [^(х, /), ф^, 01 = 0,

где сопряженный импульс определяется формулой

Гамильтониан

Н = ^xV^xW^-S?^(1.5)

задает динамику системы соотношениями

доф(х, /) = /[//, ф<х, 0],

дол(х, /) = /[//, л(х, /)]."

Пример 1.1. Свободное скалярное поле. Пусть задана лагранжева плотность

Тогда из (1.2) следует уравнение Клейна — Гордона

(ПиШ) = 0.(1.7)

В квантовой теории поле ф^х') и оператор сопряженного ему импульса, определяемый формулой (1.4), л(х) = доф(х) удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям

Vd^^x, t), ф(х\ /)] = — td3 (х — xz),

[д0^>(х, /), доф^х', /)] = [^ (х, 0, ф(х', /)] = 0.('

Гамильтониан имеет следующий вид:

H0 = -L^d3xVW + №+№(1-9)

Уравнения временной эволюции (1.6), которые по существу являются уравнениями Гамильтона, можно привести к виду (1.7). Следовательно, оператор поля ф (х) формально удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона. В случае когда нет взаимодействия, решение может быть найдено точно:

^(х,(мо>

J Ц2л) 2соН '

где tok = (к2 + ц2)1^. Коэффициенты в разложении а (к) и а+ (к) являются операторами. Из канонических коммутационных соотношений (1.8) следует

[a(k\ a4H] = 63(k-k'),

[а (к), а (к')] = [а+ (к), а+ (к')] = 0,('

и гамильтониан (1.9) можно записать в виде

Но — ^/гсо^а1" (к) а (к)(1-12)

(здесь мы опустили несущественные постоянные слагаемые). По аналогии с гармоническим осциллятором а (к) и а+(к) можно интерпретировать как операторы уничтожения и рождения. Тогда одночастичное состояние с импульсом к можно получить действием оператора рождения на вакуумное состояние:

| k> = [(2n)32toA]i/2a+(k) |0>.(1.13)

При этом условие нормировки имеет вид

(к' | к) = (2л)3 2шА63 (к - ко-

произведение а^а обычно интерпретируется как оператор числа частиц. Из формулы (1.12) видно, что Но есть гамильтониан системы невзаимодействующих частиц.

Зная решение (1.10) и (1.11), легко вычислить фейнмановский пропагатор, т. е. вакуумное среднее хронологического (упорядоченного по времени) произведения двух полей:

УД (х, - х2) = (01Т (^ (х.) ф (х2)) 10) =

= 9 Gi - У (0 IФ (х.) ф (х2) 10) + 9 (/2 - О (01 ф (х2) ф (х.) 10) =

— С . ^^1it-(Xl-X2) /,

J (2л)4 ^-Ц2 + /8

Пример 1.2. Скалярное поле с взаимодействием Хф\ Лагранжева плотность определяется выражением

=4- v<d^ w) -

а уравнение движения имеет вид

^+^)Ф^ = -^ФЧх\(1.15)

Сопряженный импульс и канонические коммутационные соотношения те же, что и для свободного поля в примере 1.1. Гамильтониан можно представить в виде

H = Htt-VH',(1.16)

где Но дается выражением (1.9), а

Н' = J (№, где

^' = 4^(1.17)

есть плотность гамильтониана взаимодействия. Так как свободная теория является точно решаемой, мы можем вычислить амплитуды перехода и матричные элементы физически интересных моделей путем последовательного разложения по степеням параметра X. Ниже мы дадим краткое описание этой схемы приближений теории возмущений.

В представлении Гейзенберга операторы зависят от времени и временная эволюция динамических переменных системы задается гамильтонианом следующим образом:

^>(х, /) = elHtф (х, 0)е~‘я*,л(х, 0 = elHtя (.х, 0)e~lHt.

При этом вектор состояния |а> не зависит от времени. В представлении Шредингера, наоборот, операторы не зависят от времени, а векторы состояний зависят от времени. Связь между представлениями Шредингера и Гейзенберга дается соотношениями ■

ф \х) = е ф(х, 1)5 , л (х) = е л(х, t)e ,

(1.21)сводится к нахо- U следующим со- (1.22) 1 и выполняются(1.23)(1.21)сводится к нахо- U следующим со- (1.22) 1 и выполняются(1.23)

(1.21)

сводится к нахо- U следующим со- (1.22) 1 и выполняются

(1.23)

(1.21)

сводится к нахо- U следующим со- (1.22) 1 и выполняются

(1.23)

Для вычислений по теории возмущений удобно другое представление — представление взаимодействия, в котором операторы и состояния определяются следующими формулами:

,1 , a iHdiS , X -iH6t -iH»t -iHt, ,iHt —iHot

Ф (x, t) = e ф \x)e =e e ф (x, /) e e =

= [/(/, 0)Ях, С^-х^ 0).(1.18)

Для л7(х, /) имеем аналогичные соотношения; кроме того,

|а, О'^е^Ха, tY = U<t, 0)|а>,(1.19)

где

UV, ^ = e™ote”iHt(1.20)

есть унитарный оператор временной эволюции. Поскольку операторы в представлении взаимодействия удовлетворяют уравнениям для свободного поля (которые решаются точно)

д0ФЧх, n = iVHQ, ФЦх, /)], долу(х, /) = /[Д0, л/(х, 0], в этом случае решение динамической задачи ждению решения для [7-матрицы.

Определим оператор временной эволюции отношением:

| a, (У = 1Ци ^о) 1а» П'-

более общим, чем (1.20), причем (7(/оДо) = следующие правила умножения:

и <и W, П = Щ(, П,Ще, O)u-4to, п = иу. п.

Уравнение движения для оператора U легко получить, пользуясь выражениями (1.19) и (1.20):

i^Ud, t^ = H'-^U^ t^.(1.24)

где

Н', = е1н«‘н,е-,н«‘

есть гамильтониан взаимодействия в представлении взаимодействия, т. е.

Н" = НЧФЧ.(1-25)

Уравнение (1.24) имеет следующее решение:'

г t

U V> ^ = Т exp I dt^H'1 (t{)

[

t-I

— i ^ dtx ^ й3х1Ж/(х1, t^ I, (1.26)

которое можно разложить в степенной ряд

U4. г0)= 1 + £ J d^! J d42 ...

Р=1t, to

^d4pT^'4xvW4x4 ... Зё'ЧхР>\ (1.27)

<0

Функции Грина в теории Х^>4. Представим теперь формальное решение, полученное по теории возмущений, в виде величин, имеющих прямой физический смысл.

В теории поля важно уметь вычислять функции Грина, которые определяются формулой

Gw Ч\» .... xJ^OITtf^) ... ^(аг„))10>(1.28)

и из которых можно построить элементы S-матрицы. Пользуясь соотношениями (1.18), (1.23) и (1.26), легко получить

<1^Чххx^=U U-4G (ЧТU'M ... ФЧхЧХ

X exp — IX exp — I-t-tU^-t, 0)U^-t, 0)(1.29)(1.29)

X exp — I

X exp — I

-t

-t

U^-t, 0)

U^-t, 0)

(1.29)

(1.29)

где /— произвольный момент времени, который мы устремим к бесконечности. В этом пределе вакуумное состояние становится собственным состоянием оператора U, и произведение

собственных значений двух операторов U в (1.29) равно

Результатом действия этих двух операторов U на вакуумные состояния является сокращение «несвязных частей» в вакуумном среднем (см., например, [50]). Подставив разложение (1.27) с учетом (1.25), n-точечную функцию Грина представим в виде

G^tXn ...» х^ =

= X••• ^рФтФ'мх

X^^J^^to)) ... Ж<ФЧуР№\. (1.31)

Здесь индекс с обозначает «связную часть». Эта терминология отражает свойства графического представления функций Грина.

В качестве простого примера рассмотрим первый член (р = 1) для четырехточечной (п = 4) функции Грина в теории с =(1.17):

G^toх^ =

= --^VyWкФ'to), ...,Ф‘to)[^(у)]4)Iо).(1.32)

Произведем нормальное упорядочение в этом хронологическом (упорядоченном по времени) произведении, переставляя операторы рождения налево от операторов уничтожения и опуская слагаемые, в которых после этих перестановок на крайнем правом месте будет стоять оператор уничтожения и (или) на крайнем левом — оператор рождения. Результат таких перестановок описывается теоремой Вика [419], согласно которой связная часть выражения (1.32) разлагается в произведение двухточечных функций:

Gi4xb ..., х^ =

= <-i^ J d'y (01 Т (ф' (х,) ф' (у)) 10) (01 Т (Ф1 (х2) ф' (у)) 10) X

X <01 Г № to) ф' (у)) 10) (01 Г(ф' to) ф' (у)) 10).(1.33)

Множитель 4! в знаменателе исходного выражения (1.32) сокращается, так как существует 4! способов спарить операторы ФЧх1А с каждым полем в [^'(у)]4. Поскольку поля в представлении взаимодействия удовлетворяют свободным уравнениям.

пропагатор z'A (х, у) = <01 Т ($'(x)<f>' (z/)) |0> нам уже известен и дается формулой (1.14). На рис. 1.1 дано графическое изображение выражения (1.33).

Рис. 1.1. Графическое представление формулы (1.33).

Рассмотрим теперь член второго порядка для четырехточечной функции, т. е. член с р = 2, ц = 4 в (1.31):

G^ (х,х4) = ^ (^У i WUi X

X (01 Т № (х,) '... ф' (х J tf' ад [^ (р2)Р) |0).(1.34)

Применяя теорему Вика и сохраняя лишь связные части, получаем

G^(x„ .... х4) =

= -^(—zT,)2 ^^^[/Д^, Z/2)]2{[AU1> Р1)Д(х2, Z/1)]XXDM^s. 1/2)AU4, Р2)] + [Д(М> У1)Л(х3, z/i)][A(x2, z/2)A(x4, z/2)] +

+ [A(x„ z/i)A(x4, z/i)][A(x2, z/2)A(x3, z/2)]} + 4f(—аУ j ^Ух X Х^УДМУ!, У1)][гД(У1> У2)]{А(аГ1, z/i)A(x2, y^ A(x3, z/2) X

ХЛ(я4, z/2) + A(x„ р2)Д(х2, z/!)A(x3, z/2)A(x4, z/2) ++ A(X!, р2)Д(х2, z/2)A(x3, z/i)A(x4, z/2) +

+ A(xb z/2)A(x2, z/2)A(x3, z/2)A(x4, z/P).(1.35)

Причину появления в знаменателе первого члена правой части (1.35) множителя 2! можно объяснить следующим образом. Множитель (1/2!) (1/4!)2 в исходном выражении (1.34) сокращается факторами, обусловленными тем, что у\ и z/2 можно переставлять местами, и тем, что существует несколько способов спарить поля, выходящие из каждой вершины. Но при этом возникает двойной -учет свойств перестановочной симметрии. Поскольку у нас две одинаковые внутренние линии, соединяющие пару вершин, первый член в (1.35) надо разделить на величину 2!. Множитель 1/2 во втором члене выражения (1.35) имеет другое происхождение. Он связан с тем, что внутренняя линия начинается и кончается в одной и той же вершине. Выражение (1.35) представлено графически на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Графическое представление формулы (1.35).Рис. 1.2. Графическое представление формулы (1.35).

Рис. 1.2. Графическое представление формулы (1.35).

Рис. 1.2. Графическое представление формулы (1.35).

ЛЬ^Z у ^2

Рис. 1.3. Графическое представление формулы (1.36).

Аналогично для первого члена (р = 1) двухточечной Хп = 2) функции имеем

G?4xi, x^^^-^d^yl^^i, у)][/А(у, y)][zA(x2, ^L (1-36)

что графически изображено на рис. 1.3.

Как правило, удобнее работать с функциями Грина в импульсном представлении:

(2л)4д4 (р, + ... + р„) Gw (р„ ..р„) =

П d4xie-ip^G(n) (Х1, .... х^,(1.37)

а также с усеченными функциями Грина, которые получаются из G^^px, ..., рп) удалением пропагаторов, соответствующих внешним линиям:

С^ЧР1, ...» ?„),(1.38)С^ЧР1, ...» ?„),(1.38)

С^ЧР1, ...» ?„),(1.38)

С^ЧР1, ...» ?„),(1.38)

где pi + pi + ... +рп = 0. В действительности для частиц без спина усеченная функция Грина является обычной амплитудой перехода (эде^ентож Т-матрицы^, с помощью которой непосредственно вычисляются сечения.

Правила Фейнмана в теории к^4. Результаты рассмотрения по теории возмущений удобно представить в виде совокупности правил Фейнмана для амплитуды перехода. Для взаимодействия 36х = (Х/4!)04(х) имеем следующие правила вычисления /У-то- чечной усеченной функции Грина:

Сначала нужно нарисовать все возможные связные топологически различные графы с N внешними линиями.

Каждой внутренней линии нужно сопоставить в качестве множителя пропагатор

•• /Л р (р) = -5V . ■- .

г ' р2 — [I2 Z8

а каждой вершине — множитель

По каждому внутреннему импульсу I, не фиксированному законами сохранения импульса в каждой вершине, нужно проинтегрировать d^lj^ny.

Выражение для каждого графа нужно разделить на фактор симметрии S, соответствующий числу возможных перестановок внутренних линий при фиксированных вершинах.

1.2. ВВЕДЕНИЕ В ФОРМАЛИЗМ

ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

В первом разделе изложены основы процедуры канонического квантования в рамках операторного формализма. Кратко описаны главные этапы вывода правил Фейнмана, позволяющих построить решение квантовополевой модели с взаимодействием методами теории возмущений. В настоящем разделе мы вновь получим тот же набор правил Фейнмана, но теперь уже в рамках формализма функционального интегрирования [113, 134, 351]. Преимущество этого альтернативного способа квантования состоит в том, что он позволяет проследить связь с классической динамикой. Кроме того, при таком подходе мы оперируем только с обычными функциями. Это позволяет более просто проводить любые нелинейные преобразования основных динамических переменных, а также непосредственно видеть возникающие при таких преобразованиях эффекты. Поэтому формализм функционального интегрирования особенно удобен в случае систем со связями, в частности в калибровочных теориях.

Квантовая механика в одном измерении

Опишем сначала формализм функционального интегрирования для простейшей квантовомеханической системы в одном измерении. В последующих частях настоящего раздела мы рассмотрим обобщение этого формализма на случай теории поля как системы с бесконечным числом степеней свободы, а также изложим метод теории возмущений.

. Фундаментальной величиной в квантовой механике является матричный элемент перехода между начальным и конечным состояниями:

</; f|9; ^(q'^-^-^q),(1.39)

где |<7> — собственное состояние оператора Q координаты частицы в представлении Шредингера с собственным значением q:

-Q\q) = q\q),(1-40)

а символы | <7; /) в левой части (1.39) обозначают состояния в представлении Гейзенберга, |<у; t> = eiHt\q>. Необходимо иметь в виду, что состояния в представлении Гейзенберга не зависят от времени. Обозначения, использованные здесь, означают, что |<?;О и \q'-,f> в формуле (1.39) совпадают с двумя различными шредингеровскими состояниями |<7(0> и \q4t^> в моменты времени / и /' соответственно. В формализме функционального интегрирования матричный элемент перехода (1.39) представляется в виде функционального интеграла:

(q'; f\q; t) = N [dq] exp Si L (q, <7)dT(,(1-41)

где N — нормирующий множитель, L(q,q)—лагранжиан. В выражении (1.41) интегрирование ведется по функциональному пространству q^, т. е. это выражение представляет собой сумму вкладов по всем путям, соединяющим точки (<?; /) и ^q'",t'Y, эти вклады берутся с весами, равными экспонентам от действия на траекториях, умноженного на мнимую единицу. Ниже мы дадим вывод выражения (1.41) с помощью уже знакомого нам канонического операторного формализма. Мера интегрирования \dq\ дана в выражениях (1.50) и (1.51), которые проясняют смысл функционального интеграла.

Разделим сначала интервал (/', /) на п отрезков длиной 6/ = (f— Y/n каждый. Тогда амплитуда перехода в (1.39) мажет быть представлена в виде

(q'Xe^^'-tAq^^dqx ... dqn_v (/| e"iH6t\qn_^ X

X^-ile-^l^) ... (<7116-^1 q),(1.42)

где мы подставили полные наборы собственных состояний оператора Qs в представлении Шредингера. Для достаточно малых б/ имеем

(/|е-'™^)=(/|[1 -Ш^Р, фЫШОШ (1.43)

Если гамильтониан имеет вид

НкР, Q) = t+ ПО).(1-44)

то

WHIP, Q)|,>-(/|i|,) + V (x+^)6to_^ =

- $ # <»' । ИI -£ I»)+17 (^А S S- ^ “'■’' -

— ( dPР2 I V Г р + ч' \з

J 2л L 2m "Т" И к 2 Л'

При выводе этого выражения использованы равенства (q' |<7) = = 6(<?' — q) и (р \р) = etpq и предполагается симметричное упорядочение операторов в V (Q). Тогда

<q'\e-i™\q)~ С -^-^'-Л {1 - Z6/UL + V (Ц^)!} -

~ ^^_elplq'-q\e-i6tH 1рЛд+д'№^_(1.45)

Здесь H(p,q') — классический гамильтониан. Подставляя это выражение в (1.42), получаем

W\e-iWVf)_ ^ ... ^S^ ... dqn_xX

Хсхрр У [pz(<?z — qt_i) — 6/Д (рг, ^'V^')]}'<L46)

Тогда амплитуда перехода может быть символически записана в виде

<д' | e-iH «'-й 10 = J [^^-] ехр < i J dt [pq — Н (р, <7)] j =(1.47)

X«p|ig6'[p.(?C«X1)-/,('’- <'‘+2-‘-)]}'(1-48>

Второе из этих равенств определяет функциональный интеграл. Мы уже почти получили требуемый результат — формулу (1.41); остается выполнить импульсное интегрирование по

[dp/2n] = Ц dp^n. Поскольку подынтегральное выражение i = l

является осциллирующей функцией, продолжим его аналитически в евклидово пространство, считая формально (г'6/) вещественной величиной. Пользуясь теперь формулой для гауссова интеграла

f dx ^ахЧЬх 1 сЬ2 4а(1.49)

J 2л4Ла’

получим

S

dpiГ —/6/ 2 IП

2Г еХР Р1 + ^ ^ ~=

_ Г-^Г-У^ехо Г im1

— к 2л/6/ ) L 26/ J •

Таким образом, выражение (1.48) можно привести к виду

d'-P Ю = lim (^У'2 J П dqt X

X exp {/ £ 6/ [^- (^ ""^-^ - v],(1.50)

или

(q; t\q'; t') = (q'| e~^^ \q) =

= ^ ^ [dq] expp d-c [-тг<72 — V (<7)]k(1-51)

Поскольку L = (mqi/2)— V^, это выражение совпадает с выражением (1.41), к которому мы стремились.

Функции Грина одномерной квантовой механики. Приведем теперь наш основной результат — выражения (141) и (1.47) — к такой форме, обобщая которую можно получить представления для функций Грина в виде функциональных интегралов в теории поля.

Начнем с простейшей двухточечной функции Грина — матричного элемента хронологического произведения операторов между основными состояниями: -

G^, ^-(onQ^/JQ^Io),

где |0> — основное состояние. Подставляя полные наборы состояний, получаем

G (^1. У = \dq dq' (0 | q'; f'jX

X(q; t'\T(QH MQH^)\q-, t)(q; i\0).(1.52)

Матричный элемент

(1.53)(1.53)(0|<7; О = ф0^е-‘Е«‘ = ф0(,д, 7)

(1.53)

(1.53)

является волновой функцией основного состояния. Затем выведем представление в виде функционального интеграла для величины <q'; t'\T(QH (t^Qn (t2)) |^; f). Для tv > t2 (t. e. t' > > 7i > 72 >■ 7) имеем

</; t\TkQH MQ" <tMq; t) =

= ( q I e"iH {t'~ti}Qse~iH ^~^е-1н ^Ч q ) =

■ X (<721 QSe-iH ^’^ \q)dqt dq2,

"Учитывая собственные значения в представлении Шредингера и используя основное представление в виде функционального интеграла (1.47), находим

</;/|7(0W*7) =

= $[-^-]<71(Л)<72 (72)ехр <7 jdr[p^ — Щр, <7)] к (1.54)

Нетрудно понять, что та же формула справедлива и для случая 72 > /[ (т. е. t' > 72 > 7i > 7). Следовательно, формула (1.54) ■есть общий результат. Подставляя выражения (1.54) и (1.53) в (1.52), получаем

■6(71, /2)= ^ dqdq^0 (q , 7') ф*0^, t) ^ [-^-]<7i МЧг^) X

X exp <7 ^dT [pq — H (p, <7)] k (1.55) или

6 (Д /2) = J [-^-] Фо U> Л ф*0 (q, 0 4v (^) <72 (/2) X

X exp 17 ^dr[p<7 — H (p, <7)]k(1.56)

Однако практическое использование формулы (1.55) затруднено из-за наличия волновых функций основного состояния ^*о(<7 ’ 7) и ^о(<7> 7). Чтобы избавиться от них, рассмотрим матричный элемент

<q'-, 1^0(1,, Q\q; f) = J dQdQ' (q'; 7'| Q'; Г) X

X^; r\C(tt, 72)|Q; D(Q; T\q; t),(1.57)

где C(tv 1^ = 1^ (t^Q11 (/2)) и t' >Т'^(1Х, t2)^T^L Пусть |л) — собственное состояние оператора энергии с собственным значением Еп, а фn(q')—соответствующая волновая функция:

Н | ri) = Еп | п), (q\n) = фп (q).

Тогда имеем

(q-.t'W; T') = (q'\e-lH^\Q')= Е </|«X«|e-^^r'>|Q') =

= ШШУ^^ (1.58>

Чтобы выделить в этом выражении волновую функцию основного состояния, учтем тот факт, что Еп > Ео для всех /г =/= О, и перейдем к пределу f-y —ioo. Получим

lim (q; t'\QZ-. T,) = 4‘o(q^o(Q,)e-EaU'VE1T'.(L59>

t' -> — i oo

Аналогично

Hm (Q; T\q-, t)= ф0(д) ф^д)(1.60)

t-> Zoo

Тогда выражение (1.57) можно записать в виде

lim (q'*, I' | О (tv Ц | q-, t>=\dQ dQZ фо (q) фо (</) X

Ц-> —iooJ

X<Q'; т'\С(Ц, 4)|<Э; T^QWqV"E'UV-VEVE^ = Ш)фо^е~Е''*''е~^^/2).(1.61)

Здесь мы воспользовались формулой (1.52). Из соотношений (1.59) и (1.60) легко находим

lim (/; /^91 ^) = ^о(/) ^o(?)e-£o|f,e-£o1^(1-62)

Zz-> —Zoo

Z^Zoo

Комбинируя равенства (1.61) и (1.62), получаем следующее представление для функции Грина:

с«„ lim

vL(q ; t |?; f)J

.t -> too

ioo

. X exp li dx \pq — H (p, <7)]!.(1.63)

При выводе этой формулы мы использовали выражение (1.54). Фактор <_q'; f\q;f> в знаменателе может быть записан через

функциональный интеграл с помощью равенства (1.51). Представление (1.63) просто обобщается на случай «-точечных функций Грина:

GV1. ..., t^WlqMq^ ... »ОЮ) =

= lim .—- 771 тг Г-?—-1 q (t^ ..

<q ; t 14; 0 J L 2л v

X exp р dx \pq — Н (р, <7)] k (1.64)

Все эти функции Грина могут быть получены с помощью сле- дующай формулы:

U —(1.

где

Г [/] = limк ( рЩ X

t-> loo

X exp j i dx \pq — H (p, q) + J (x) q (x)] k(1.66)

Сравнивая это выражение для ^[7] с представлением для функций Грина (1.64), мы видим, что производящий функционал W7[7] соответствует амплитуде перехода между основным состоянием в момент / и основным состоянием в момент t' в присутствии внешнего источника 7(х):

r[7]=(0|0)z.(1.67)

При этом условие нормировки следующее: №[0] = 1. Таким образом, вычисление функций Грина сводится к вычислению ^И- Позже мы увидим, что в случае квантовой теории поля не зависящий от 7(/) фактор <q;t\q';t'> в равенстве (1.66) несуществен при вычислении связанных функций Грина, и поэтому его можно опустить.

■^(tl .... x„) = tnGw(-7T1. ....■^(tl .... x„) = tnGw(-7T1. ....Евклидовы функции Грина. Вследствие нефизического граничного условия /'—♦—loo, tloo функции Грина, представленные интегралами (1.63) и (1.64), следует интерпретировать как «евклидовы» функции Грина, которые определяются следующим образом:

■^(tl .... x„) = tnGw(-7T1. ....

■^(tl .... x„) = tnGw(-7T1. ....

(1.68)(1.68)—/х„).

(1.68)

(1.68)

Тогда производящий функционал для S-функций можно представить в виде

^еИ =

= lim Ydq\ exp ] dx" Г— -у. (4^rY — V(q) + J (т") q (т")1 > . t-> —оо*

(1.69> При этом

О СИ, . .х„)6/(Т1)•ы^^ |/=0-

Нефизические пределы /'->—too, t-+loo имеют смысл в «евклидовом пространстве», где время / заменено на —/т. Кроме того, функциональный интеграл в таком пространстве (формула (1.69)) является хорошо определенным объектом для потенциалов V (_q^, ограниченных снизу. Это связано с тем, что мы всегда можем переопределить значение V(^) при q, равном нулю, так, что

-т №У +у ^ > °.(L7°>

Тогда экспоненциальный множитель в формуле (1.69) будет обеспечивать сходимость функционального интеграла. Заметим, что условие (1.70) выполняется для физически стабильных систем.

Итак, функциональные интегралы хорошо определены только в евклидовом пространстве (пространстве с мнимым временем). Чтобы вычислить физические величины в реальном пространстве, необходимо выполнить аналитическое продолжение. При конкретных расчетах мы будем проводить все операции в реальном пространстве, имея в виду, что их справедливость может быть обоснована в евклидовом пространстве.

Подведем итоги обсуждения формализма функционального интегрирования для одномерных квантовомеханических систем. Основные результаты — представления (1.41) и (1.47) амплитуды перехода в виде функциональных интегралов. Основываясь на этих формулах, мы получили выражение (1.64) для «-точечной функции Грина, имея в виду в дальнейшем обобщить его на случай квантовой теории поля. Все эти функции Грина G^^ti, ..., t^ могут быть получены из производящей функции П7[7] — амплитуды перехода между основными состояниями в присутствии внешнего источника J. Эта основная величина может быть вычислена по формуле (1.66), которая допускает следующее очевидное обобщение на случай системы

с N степенями свободы:

N

W [/р • • •. ^] ~ Д™. м J Ц Vdqt dp J X t-> loo *

XexpXexp

Xexp

Xexp

или N

i^o 7„]~ lim Ш^1Х

Zoo J Х.Х Z->Zoo 1

X exp( iX exp( i(1.71)(1.71)

X exp( i

X exp( i

(1.71)

(1.71)

Теория поля

Рассмотрим теорию поля как квантовомеханическую систему с бесконечным числом степеней свободы. Объектам, введенным ранее для квантовой механики, мы сопоставим следующие:

П Vdqi dpt] -* Vdф (х) dn (х)], i-1

L (Д,. qi\ H kqb p^ -> J d3x$ tf, d^, J d« tf, л),(1.72)

где л(х), ^(x) и Зё(х]—импульс, канонически сопряженный полю, лагранжева плотность и гамильтонова плотность соответственно. Основное состояние в теории поля обычно называется вакуумным состоянием. Таким образом, производящий функционал И? [7] есть амплитуда вакуум-вакуумного перехода в присутствии внешнего источника J (х). Тогда обобщением формулы (1.71) является формула

U7 [7] ~ \Дф dn] exp р Дх [л (х) д0 ф(х) — 2ё (л, ф) + J (х) ф (х)]|,

(1-73) или

W [7] ~ J Vdф] ехр {/ ^d^V^^WHJU^U^y (1-74)

Далее из наличия предела t —»ioo в (1.71) следует, что мы должны сначала вычислить величину П7£[7], где хц = (/, х) заменено на хи = (т = it.x), которая относится к евклидову пространству и является аналитическим продолжением №[/]:

WE [7] - Vdф] exp { J d4 \$ (ф (х)) + 7 (х) ф (х)]}.(1.75)

В теории поля обычно представляют интерес связные функции Грина, определяемые через производящий функционал следующим образом:

Gw(x„ . . ., х„)=[Gw(x„ . . ., х„)=[16П1Г£[У]1-

Gw(x„ . . ., х„)=[

Gw(x„ . . ., х„)=[

-^тиг ... 6/(rjJ(1 -76)

Таким образом, чтобы удалить несвязную часть функции Грина, необходимо выражение (1.69) разделить на величину ^[7]. Напомним, что то же самое мы делали при анализе функций Грина (формулы (1.30 )и (1.31)). Важным практическим следствием такого деления является то, что не зависящий от J нормировочный множитель величины Ц7[7] оказывается несущественным при последующих вычислениях функций Грина.

Обратимся снова к нашему иллюстративному примеру — теории Хф';

где

S’o № = y^ ^ * 7 ^2- ^ № = - £ ^

Евклидов производящий функционал

W] = $ Vdфl exp {- 5 Ух [1 (^У + ^ (V ФУ +

+ ~W + -^4 + ^]}(L7?)

может быть записан в виде

17[7] = exp[^4xS’I(A)]tt70[/],(1.78)

где■

W] = Vdф^ ехр[ Ух (S’o + ]фД

есть производящий функционал свободной теории. (Для упрощения обозначений мы опустили индекс Е и черту над х, обозначающие принадлежность к евклидову пространству.) Выражение — (дф/дтУ — ^ФР в формуле (1.77) может быть заменено выражением ф(д2/дх2 + V2)^, так как они различаются на полную четырехмерную дивергенцию. Поэтому мы имеем ^о [7] = ^ \dф^ ехр [— -^ ^ Ух У уф (х) К (х, у) ф {у) +

+ Уг] (z) ф (z)j,(1.79)

где

№ y) = 6№(x-y)(-^r-V2 + p2).(1.80)

Поскольку переменные х и у можно рассматривать как «непрерывные индексы», выражение (1.79) для Ц70[7] аналогично бес-

конечномерному (У->оо) гауссову интегралу вида

\d4>v ... йфк ехр Г -1 £ ф^КиФ/ + £ 1кфЛ ~

-^MiE'^'M' (1.81) L I. /J

Правая часть этого соотношения является обобщением формулы (1.49). Таким образом, мы можем вычислить функциональный интеграл по ф в (1.79) и получить с точностью до несущественного множителя следующий результат:

U70[7] = exp[yUw^ у) 7 (у)] ,(1.82)

где А(х, у)—оператор, обратный оператору 7((х, у), определенному выражением (1.80), т. е. выполняется соотношение

^dAyKkx, y)N{y, z) = 6^ (х — z).(1.83)

Легко показать, что

д х, г/) = )т ,(1.84)

'J (2л)4 м2 + р.2'7

где х = (1#о, к)— четырехмерный евклидов вектор импульса. Разлагая экспоненту в формуле (1.78) в ряд теории возмущений по степеням $х, получаем

Г[7]=Г0[7]{1 + ЛЮ1[7] + Л2а)2[7]+(1-85)

где

И = - ^ 1Г.-1 [/1 { ( 4-х [^jy Г.и-

- - ^1Г Т"'1 И { ( 4-х [^l*} »,[/].(1.86)

Пользуясь явным выражением (1.82) для функционала Ц70[7], можно вычислить cot [7] и со2 [7] :

®1 И = — ^ [д U У1) A U- У.^ А (^- Уз) А (х, у^ 7 ку^ I (Уг) X

Х/(Уз)/(У4) + 3!А(х, z/!)A(x, у2)А(х, х)7(z/j)7(у2)],(1.87)

(о2[7] = у(о2[7] +

4-"2^2 А(х„ z/JA^!, ^AUp Уз)А(х„ х2)А(х2, у^Х

X А (х2, z/5) А (х2, y^j^y^j (у2) I (Уз) J (у4) J (Уз) J кУй) +

+ ША^' ^^Л^'’ ^)A2(xi, х2)Д(х2, г/3)Д(х2, у^Х

Х1кУ\) НУз) I кУз) НУа) + -^- A(*i. г/1)Д(х1, х^Д^, х2) X

X Д (^2, У2) А (*2> Уз) А (*2> Уа) I кУ\) I кУ2) I кУз) I кУА) +

+ уД(хь у^/Цхх, х1)Д(х1, х2)Д(х2, х2)Д(х2, у2) J кУх) Цу2)+

+ уД(х„ г/,) Д2(л:1, х2)Д(х2, х2) Д (Х|, у2) JкУх)НУ2) +

+ -^Д(хь г/1)Д3(хь х2)\кх2, y2)J кУх)1 ку2\ (1-88)

Здесь опущены члены, не зависящие от I. Кроме того, в формулах (1.87) и (1.88) предполагается, что по всем аргументам (xz, у;) ведется интегрирование (рис. 1.4 и 1.5).

Рис. 1.4. Графическое представление слагаемых, входящих в coi (формула (1-87)).Рис. 1.4. Графическое представление слагаемых, входящих в coi (формула (1-87)).

Рис. 1.4. Графическое представление слагаемых, входящих в coi (формула (1-87)).

Рис. 1.4. Графическое представление слагаемых, входящих в coi (формула (1-87)).

У1 •>Уч

хг /Уг*- А У5

Уз **№

Первый член в правой части выражения (1.88) */г ®2 соответствует несвязным диаграммам. В связные функции Грина, определенные равенством (1.76),

G^^x,.G^^x,.(1.89)(1.89),6п1п<[7] I

G^^x,.

G^^x,.

(1.89)

(1.89)

«1— Ы^^ ... Ы^п) Lo

такие члены вклада не дают. Покажем это в явном виде, применив формулу (1.78):

In Г [7] = In Го [/] + 1п (1 + Г"1 [/] (Г [/] _ Го [7])} =

= In Wo [7] + In (1 + Го’1 [7] (eW - 1) Го [7]}.(1.90)

Так как величина Г^1 (е^ — 1) Го мала при малых к, логарифм в (1.90) можно разложить в ряд теории возмущений. Тогда из выражения (1.85) следует

In Г [7] = In Го [7] + (ЛЮ1 + Л2со2 + ...)- у ^Ю1 + ЛЧ + .. .)2 + ...

... =1пГ0[7] + ЛЮ1 + ^(ю2-уа>2) + ... .(1.91)

Итак, вклад несвязных диаграмм '/2®^, входящий в а>2, действительно сокращается. Несложно обобщить этот результат, доказав, что вклады всех несвязных диаграмм сокращаются в выражении для In Г [7].

Заметим, что теорема Вика следует из простого правила функционального дифференцирования:

\j(z)6 (2 — y)dz = 6 (у — х).(1.92)

о/(х)(х) J ' ' 'х ’

Различные (евклидовы) функции Грина получаются из определения (1.89). Например, члены с четырьмя множителями 7 в (1.87) и (1.88) дают четырехточечную функцию в первом и втором порядках теории возмущений. Эти выражения совпадают с выражениями (1.33) и (1.35) (с пропагатором, заданным формулой (1.14)) с тем лишь отличием, что теперь они записаны в евклидовом пространстве.

Аналитическое продолжение хц-*хц и хц-*^ц функции А(х— у^ в (1.84) приводит к хорошо известному фейнмановскому пропагатору (1.14):

С Ц4£е-«(*-»)

- А (х - у) /Аг (х - у) = Z (2л)4_-2 е-.

Член /е в знаменателе указывает на характер граничных условий, которые следует наложить на пропагатор. Он соответствует дополнительному слагаемому А/11еф2 в лагранжиане, которое обеспечивает сходимость функционального интеграла (1.77) в пространстве Минковского.

Очевидно, что в рамках формализма функционального интегрирования получается тот же самый набор правил Фейнмана, который мы кратко рассмотрели в разд. 1.1. Мы отсылаем читателя к приложению Б, представляющему собой практическое руководство по выводу правил Фейнмана.

1.3. КВАНТОВАНИЕ ФЕРМИ-ПОЛЕЙ

В этом разделе мы опишем процедуру квантования для фермионных систем. После краткого изложения канонического формализма мы покажем, как можно сформулировать схему квантования с помощью функционального интегрирования (см., например, [44]). Для этого потребуются некоторые сведения об алгебрах Грассмана.

Каноническое квантование для фермионов

В разд. 1.1 мы изложили процедуру канонического квантования для скалярного поля. Статистика Бозе — Эйнштейна естественным образом следует из коммутационных соотношений (1.11) для операторов рождения и уничтожения частиц, или, что то же самое, из коммутационных соотношений (1.3) для операторов скалярного поля. Для того чтобы выполнялся принцип запрета Паули для систем с несколькими фермионами, операторы поля должны удовлетворять антикоммутационным соотношениям. Рассмотрим случай свободного поля Дирака:

$ (х) = ф (x)(Zyu5u — m) ф (х).(1.93)

Из (1.2) получаем уравнение Дирака

(zy^dp, — т) ф (х) = 0.(1-94)

В квантовой теории мы постулируем, что поле ф(х) и сопряженный ему импульс л (х) = /ф4 (х) являются операторами, удовлетворяющими каноническим антикоммутационным соотношениям

{ф(х, /), ф+(х', /)} = 6(3) (х — х').

{ф(х, /), ф(х', /)} = {ф+(х, /), ф+(х', /)} = 0,

где {Л, В} s АВ + ВА. Проделав выкладки, аналогичные тем, которые мы проводили в разд. 1.1 для скалярного случая, можно формально решить уравнение Дирака и вычислить фейнмановский пропагатор:

iSp (х, — х2)ар = (0 | Т (фа (х,) фр (х2)) 10) =

= t '——)№-Х2>(1 -95)

J (2л)4 \ ^ — m + ie 7ар"

Повторяя почти дословно рассуждения для скалярного случая (разд. 1.1), можно построить правила Фейнмана и решение по теории возмущений для взаимодействующих ферми-полей. Мы не будем проводить эти выкладки, а заметим лишь, что следствием антикоммутационных соотношений является наличие знака минус для каждой замкнутой фермионной петли в фейн-i мановской диаграмме.

Квантование фермионов с помощью функционального интеграла

Систему фермионов можно также проквантовать, выразив амплитуду перехода непосредственно через сумму по всем возможным мировым линиям, соединяющим начальное и конечное состояния. Производящий функционал в этом случае имеет вид

IE Ьъ Л1 = ^ [^Ф W1 [^Ф (х)] ехр р‘ ^ d^x \3? (ф, ф) + ФЛ + ЛФ1} >

(1.96)

где ф(х), ф (х), л (х) и л (х) — (классические) фермионные поля и поля источников соответственно. Если сумма по путям для бозе-системы является функциональным интегралом по обычным с-числовым функциям (классическим скалярным полям), то функциональный интеграл (1.96) должен вычисляться по антикоммутирующим с-числовым функциям («классическим» фермионным полям):

{ф (х), ф (х')} = {ф (х), ф (х')} = {ф (х), ф (х')} = О,

{л (Д л (О) = {л (х), л U')} = {л (х), л (*')} = 0.

Следовательно, эти функции являются элементами алгебры Грассмана. В следующем пункте мы дадим краткое введение в теорию алгебры Грассмана.

Алгебра Грассмана

n-Мерная алгебра Грассмана задается п образующими 01, 02, ■ ■ ■, 0л, удовлетворяющими условиям

{0Z, 0^ = 0,/,/=1,2п,(1.97)

и любой элемент алгебры может быть записан в виде конечного ряда

р(0)=ро + р(?Х+р^^^ ... + р(Х.<Л..-Ч.

где каждый индекс суммирования принимает значения от 1 до п. Это разложение обрывается благодаря условиям (1.97).’ Рассмотрим теперь дифференцирование и интегрирование в такой алгебре. Прежде чем сформулировать общие результаты для n-мерной алгебры, мы сначала обоснуем их для простейшего случая с одной переменной Грассмана

{0,0} = 0 или 02 = О.(1.98)

р(6) = Ро + 0Р1.р(6) = Ро + 0Р1.Таким образом, любой элемент этой алгебры имеет следующее простое разложение:

р(6) = Ро + 0Р1.

р(6) = Ро + 0Р1.

(1.99)

Если в качестве р^ взять обычное число, то Ро и Рх будут обычным и грассмановым числами соответственно. (Мы можем считать, что эта одномерная алгебра Грассмана вложена в алгебру большей размерности так, что имеется более чем один антикоммутирующий элемент.)

Дифференцировать можно справа и слева в соответствии с основным определением

^ = 9^=1.(1.100)

Для элемента р(0) «левая производная» равна

4^Р^ = Рх.(1-101)

а «правая производная»

Р^-^ = -р^’<1J02)

так как (dPo/d0) = O и (d/d0) антикоммутирует с Р\.

Введем теперь операцию интегрирования, которая обычно определяется как обратная по отношению к операции дифференцирования. Но в алгебре Грассмана для производной любого типа выполняется равенство

-^гР(0) = 0,(1.103)

и определить операцию, обратную дифференцированию, не удается. Поэтому определим операцию интегрирования формально так, чтобы она обладала некоторыми общими свойствами, которые, согласно нашим интуитивным представлениям, должны быть присущи интегралу. Потребуем, чтобы интеграл был инвариантен при сдвиге переменной интегрирования на константу. Тогда

Jd0p(0) = JdO/?(0 + a).(1.104)

Используя явный вид р(0) (1.99), получаем

^d0P[a = O или ^d0 = O,(1.105)

где a — другой элемент алгебры Грассмана, не зависящий от 0 и антикоммутирующий с 0. Мы можем нормировать остающийся интеграл следующим образом:

(1.106)(1.106)(1.107)(1.107)J d00= 1.

(1.106)

(1.106)

(1.107)

(1.107)

Из равенств (1.105) и (1.106) следует

j dep (0) = рх.

Сравнивая с формулой (1.101), мы видим, что интегрирование приводит к тому же результату, что и (левое) дифференцирование:

^d9p^=A-p^ = PY.(1.108)

Рассмотрим теперь проблему замены переменных интегрирования 0-> 0 = а + Ь9, где а и b— антикоммутирующее и обычное число соответственно. В случае обычных с-чисел мы имеем известное соотношение

^dxj^=^dx(^f<xto\(1.109)

Как будет выглядеть аналогичное соотношение для грассмановых переменных? Учитывая равенства (1.108), находим

\deP^ = -^p^ = pY.(1.1Ю)

С другой стороны,

Jd0p (9) = ^dQbQPY = ЬРХ.(1.111)

Следовательно,

^6/7(6)= ^о(^)"1/7(6(9)).(1.112)

Таким образом, в формулу для замены антикоммутирующих переменных вместо якобиана перехода, как в обычном случае (1.109), входит обратная величина.

Обобщим теперь наши формулы (1.101), (1.102), (1.105) и (1.106) для одной переменной на случай «-мерной алгебры Грассмана. Здесь мы имеем «левую производную»

-^- (б^г ... 0„) = 6Zi02 • • • 6» — 6Z20i03 • • • 6„ + ...

... +(-1Г*Й^о,... 9„_, и «правую производную»

(0102 ...е„)-^г=б/„о1... о„_,- ... +(-1Г16п92 ... е„.

Чтобы вычислить левую (правую) производную (d/dO,) выражения 0102 ... 0П, надо переставить с учетом правил антикоммутации переменную 0; на крайнее левое (правое) место, а затем вычеркнуть 0,-. Символы d9\, dQ2d9n определяются соотношениями

(d0z, de^ = 0, j d^ = 0, j d0z0/ = b4,(1.113)

что позволяет ввести операцию интегрирования в n-мерном случае. При замене переменных

6г = М/(1-114)

формула (1.112) обобщается следующим образом:

^6„ ... 610^(0)= Jd0„ ... deY [det 4|-f‘ P(0(0))- (1.П5)

Чтобы вывести эту формулу, надо повторить те же рассуждения, что и в случае одной переменной. Сравним выражения ^ d9n ... d9|/j(0) и \^Зп ... dBYp{Q(Q)), аналогичные (1.110) и (1.111). Единственные члены в р(0), дающие вклад в эти интегралы,— это члены с п множителями 0/

01 ... 0Л = 61/, ... Ь»^ ... 0V(1.116)

Правая часть равенства отлична от нуля лишь в том случае, если все индексы к1п различны; при этом мы можем написать

... 0„ = 6н, ... Ь^^ ... t9x ... 0„ = (det6)0! ... 6„.(1.117)

Но чтобы имели место нормировочные условия (1.113), должно выполняться равенство

d9x ... d0„ = (det 6)"* ^ ... d9n,(1.118)

которое и приводит к формуле (1.115). Подчеркнем еще раз, что для антикоммутирующих величин интегрирование эквивалентно дифференцированию, поэтому в формулу замены переменных входит [det(d0/d0)]-1, а не [det(d0/d0)].

Как мы уже видели в разд. 1.2, гауссовы интегралы играют важную роль в формализме функционального интегрирования. Нам нужно уметь вычислять интегралы вида

GU)=\d9„ ... </0! ехр ^ (0, Д9)),(1.119)

где А — антисимметричная матрица, а (0, Л0) = 0Лц0/. Рассмотрим сначала простой случай п = 2:

д _ (0^12 )

Тогда

G (Д) = d92 d9x exp (ОДДы) = j ^02 ^0i (1 + ВДДы) =

= Д12 = УШ. (1-120)

В общем случае, когда А — антисимметричная матрица размера пХп, приведем ее сначала к стандартному виду с по-

мощью унитарного преобразования (мы считаем здесь п четным числом, так как для нечетных п интеграл обращается в нуль):

(1.121)(1.121)UAU^ = Aa,

(1.121)

(1.121)

где

(1.122)

Матрицу U можно построить следующим образом. Поскольку матрица 1А эрмитова, существует унитарное преобразование V, приводящее ее к диагональному виду;

V(M)V+ = Xd. (1.123)

Здесь Ла— вещественная диагональная матрица, причем диагональные элементы являются корнями следующего секулярного уравнения:

det|/Л — V | = 0. (1.124)

Так какЛг= — Л, то имеем det 11А — V|т = det | — 1А — М| = 0. Следовательно, если X— решение уравнения (1.124), то и (—Я) является его решением, и матрица Ad имеет вид

(1.125)

Чтобы привести Xd к стандартному виду (1.122), используем унитарную матрицу 2 X 2:

е 1 z 1

S2=vr(i(!-126)

обладающую свойством

Следовательно, S (—zXd)S+ = Xs, где

и унитарная матрица в равенстве (1.121) должна быть произведением вида U = SV, так как (ЗИ) А (ЗИ)+ = S (— Md)3+ = Л5. Далее, пусть

а-*/2

(1.129)(1.129)6-1/2

(1.129)

(1.129)

6-*/2

Таким образом,Таким образом,det (т-1) = VdetXdet (т-1) = VdetX(1.130)(1.130)и справедливы равенстваи справедливы равенства" 0 1-1 О" 0 1-1 Оt(uau^t = tast=as =t(uau^t = tast=as =О 1-1 оО 1-1 о(1.131)(1.131)

Таким образом,

Таким образом,

det (т-1) = VdetX

det (т-1) = VdetX

(1.130)

(1.130)

и справедливы равенства

и справедливы равенства

" 0 1

-1 О

" 0 1

-1 О

t(uau^t = tast=as =

t(uau^t = tast=as =

О 1

-1 о

О 1

-1 о

(1.131)

(1.131)

Гауссов интеграл (1.119) может быть записан в виде

G (Л) = $ d0„ ... dO, exp (у (0, U^T-1 AsT'C^ . (1.132)

Выполняя замену переменных интегрирования

0 = (Г-1^)0(1.133)

и пользуясь формулой (1.115), получаем

С(Л)=^0„ ... d0iexp(y(0, A0))[det(4|)] = det (^-).

(1.134)

Из равенств (1.133) и (1.134) следует соотношение

det ^) = det (l^lf) = det (г-1) = VdeTx, (1.135)

и в результате находим

О(Д) = ^den ... d0iexp(y(0, Л0)) = VdetA (1.136)

Эта формула существенно отличается от формулы для гауссова интеграла в случае коммутирующих вещественных переменных.

...-^expf-(х, ЛхЙ = 2—(1.137)

J V2nV2лV 2 ') уЭёГд

или в случае обычных коммутирующих комплексных переменных (z = х + iy):

dz1

^exp(-(z-, Дг)) = ^, (1.138)

где j dzdz* = dxdy. Нетрудно показать, что гауссов интеграл для комплексных грассмановых переменных равен

^d^d^ ... d9„d9„exp(9, X9) = deM. (1.139)

Здесь 9z и 9, — независимые образующие алгебры.

Будем считать теперь классические фермионные поля ф(х) и ф(х) элементами бесконечномерной алгебры Грассмана. Все

Рис. 1.6. Амплитуда вакуум-вакуумного перехода, представленная как последовательность диаграмм с одной замкнутой петлей.Рис. 1.6. Амплитуда вакуум-вакуумного перехода, представленная как последовательность диаграмм с одной замкнутой петлей.

Рис. 1.6. Амплитуда вакуум-вакуумного перехода, представленная как последовательность диаграмм с одной замкнутой петлей.

Рис. 1.6. Амплитуда вакуум-вакуумного перехода, представленная как последовательность диаграмм с одной замкнутой петлей.

результаты, полученные выше для п переменных, можно непосредственно обобщить на случай полей.

Поскольку фермионные поля обычно входят в лагранжиан квадратично, З’ = (ф, Дф), функциональный интеграл (1.96) можно считать обобщением гауссова интеграла. Тогда, пользуясь формулой (1.139), получим

^ = ^ №Ф (*)] 1^Ф W] ехр{ j ^фДф| = det Д. (1.140)

Здесь мы опустили члены с внешними источниками. Величина W является амплитудой вакуум-вакуумного перехода, и (связные) диаграммы Фейнмана, порожденные In W, образуют набор графов с одной замкнутой фермионной петлей (рис. 1.6). Когда мы переходим от обычного функционального интеграла (1.138) к функциональному интегралу по антикоммутирующим переменным (1.140), (det Д)—1 заменяется на detd, что приводит к изменению общего знака In W. Отсюда следует хорошо известное правило Фейнмана: каждой замкнутой фермионной петле необходимо приписать множитель ( — 1).

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПЕРЕНОРМИРОВОК

Согласно гл. 1, если задана любая квантовая теория поля, то для нее можно построить правила Фейнмана, позволяющие вычислять функции Грина и элементы S-матрицы по теории возмущений. Но в релятивистской теории поля при вычислении диаграмм, содержащих петли, мы сразу же сталкиваемся с бесконечностями. Они возникают из-за того, что интегрирование по петлевому импульсу всегда производится от нуля до бесконечности. Другими словами, для релятивистской теории нет естественного обрезания по импульсу. Эти бесконечности делают наши вычисления бессмысленными. Теория перенормировок дает рецепт, позволяющий систематически выделять и устранять все такие бесконечности из физически наблюдаемых величин. Разработка теории перенормировок имела решающее значение в развитии релятивистской квантовой теории поля.

Важно подчеркнуть, что перенормировки имеют общий характер и присущи не только релятивистской теории поля. Потребность в перенормировках вызывается глубокими физическими причинами, а не только необходимостью удалить бесконечности. Даже в полностью конечной теории мы должны перенормировать физические величины. Следующий пример иллюстрирует это утверждение. Рассмотрим электрон, движущийся внутри твердого тела. Поскольку он взаимодействует с кристаллической решеткой, его эффективная масса, определяющая реакцию электрона на внешнее воздействие, равна т* и, конечно, отличается от массы свободного электрона т, измеренной вне решетки. Масса электрона меняется (перенормируется) от т до т* в результате взаимодействия с решеткой твердого тела. В этом простом примере в принципе можно измерить как т*, так и иг, включая или выключая взаимодействие (т. е. помещая электрон внутри или вне тела). Очевидно, что разность между ними конечна, так как обе величины, т и т*, конечны и измеримы. В случае релятивистской теории поля ситуация аналогична, за исключением двух важных моментов. Во-первых, перенормировки, связанные со взаимодействием, обычно бесконечны (что обусловлено расходимостью интегралов, соответствующих петлевым диаграммам). Во-вторых, у нас нет способа выклю-;

чить взаимодействие, поэтому нельзя измерить неперенормиро- ванные (.голые) величины, т. е. величины в отсутствие взаимодействия. Например, в квантовой электродинамике разность между голой массой электрона т и его перенормированной массой т* бесконечна, и голую массу нельзя измерить, так как электрон постоянно взаимодействует с полем виртуальных фотонов и это взаимодействие невозможно выключить.

Идея перенормировок, т. е. удаления бесконечностей из физически измеримых величин, состоит в том, чтобы переместить все бесконечности в голые величины. Другими словами, с самого начала предполагается, что неперенормированные величины содержат расходимости нужного вида, а бесконечная перенормировка, обусловленная взаимодействием, сокращает эти расходимости и приводит к конечным перенормированным величинам. Подчеркнем еще раз, что в релятивистской теории поля перенормированные величины физически измеримы, в то время как голые величины измерить нельзя. Такая программа перенормировок первоначально была сформулирована для квантовой электродинамики (КЭД) Фейнманом [135], Швингером [348, 349], Томонагой [390] и Дайсоном [119] и оказалась весьма успешной: в КЭД было достигнуто поразительное согласие между теорией и экспериментом.

Теория перенормировок довольно сложна с технической точки зрения. Детальное и полное изложение этого вопроса не входит в задачи данной книги. В настоящей главе мы поясним идеи, лежащие в основе теории перенормировок, и приведем примеры, показывающие, как она работает.

СТАНДАРТНЫЕ ПЕРЕНОРМИРОВКИ В ТЕОРИИ Хф4

Сначала в качестве простого примера, иллюстрирующего процедуру перенормировок, рассмотрим теорию Хф4. Лагранжева плотность разбивается на свободную часть и часть, описывающую взаимодействие:

$ = $<A$b (2.1) где

^0=4[(w-^]> (2.2) ^=-4^0- (2.3)

Пропагатор и вершина в этой теории показаны на рис. 2.1.

Мы будем в основном рассматривать одночастично-неприво- димые (1 ЧН) диаграммы. Так называют диаграммы, которые нельзя разбить на несвязные части, разрезая одну из внутренних линий. Соответственно введем понятие одночастично-непри- водимой функции Грина, содержащей вклады только от 1 ЧН'

диаграмм; обозначим ее Г(п)(/?1pnY Например, граф на рис. 2.2, а является одночастично-неприводимым, в то время как граф на рис. 2.2,6 таковым не является. Причина того, что мы

IP^o+IeIP^o+Ie

I

P^o+Ie

I

P^o+Ie

Рис. 2.1.

рассматриваем лишь 1 ЧН-диаграммы, состоит в том, что любую одночастично-приводимую диаграмму можно разложить на 1 ЧН-диаграммы без дополнительных интегрирований по петлям. Поэтому если мы научимся устранять расходимости в

аа66

а

а

6

6

Рис. 2.2.

Рис. 2.3. Пропагатор как сумма диаграмм с одночастично-неприводимыми собственно-энергетическими вставками.Рис. 2.3. Пропагатор как сумма диаграмм с одночастично-неприводимыми собственно-энергетическими вставками.

Рис. 2.3. Пропагатор как сумма диаграмм с одночастично-неприводимыми собственно-энергетическими вставками.

Рис. 2.3. Пропагатор как сумма диаграмм с одночастично-неприводимыми собственно-энергетическими вставками.

1 ЧН-диаграммах, то сможем работать и с приводимыми диаграммами. Например, двухточечная функция Грина (полный пропагатор)

/А (р) = $ ДЧе'^ <0 | Т (Vo (х) (х) Vo (0)) | 0) (2.4)

может быть представлена через 1 ЧН-функцию собственной энергии £(р2), как показано на рис. 2.3. Тогда этот пропагатор можно записать в виде

/А ^ = -2\-— + -2‘(- Д (р2)) 215- .

р2 — Но + 'вр2 — Но + 'в1 + ^ (р2)1 + ^ (р2)Р — Ро + 18 Р — Po+teр2 — Щ-Не

р2 — Но + 'в

р2 — Но + 'в

1 + ^ (р2)

1 + ^ (р2)

' р2 — Но — 5 (р2) + /е p2-H^ + ie J(2.5)

Ясно, что если собственную энергию 2 (р2) можно сделать конечной, то и полный пропагатор А(р) также будет конечным.

Поскольку древесные (беспетлевые) диаграммы не содержат расходимостей, мы начнем наши вычисления с однопетлевых 1 ЧН-диаграмм. Нетрудно проверить, что на рис. 2.4 и 2.5 представлены все однопетлевые расходящиеся 1 ЧН-диаграммы

-ZS(p2)=--^-ZS(p2)=--^(2л)4 /2 - ц2 + ie ‘(2л)4 /2 - ц2 + ie ‘(2.6)(2.6)теории Хф4. На рис. 2.4 изображен граф собственно-энергетического типа, дающий вклад

-ZS(p2)=--^

-ZS(p2)=--^

(2л)4 /2 - ц2 + ie ‘

(2л)4 /2 - ц2 + ie ‘

(2.6)

(2.6)

Множитель 1/2 есть фактор симметрии, примеры вычисления подобных факторов приведены в разд. 1.1. В нашем случае его также можно вычислить следующим образом: существует 4-3=12 способов «спаривания» полей ^(Х1)й(х2) в члене взаимодействия ^4(х). Учитывая множитель 1/4! в (2.3), получаем требуемый фактор 12/4! =1/2. Интеграл в выражении

(— г'Л0)2 С ДЧiI2' (2л)4— р)2 —4- /в /2 — Ил + (в ’ (— г'Л0)2 С ДЧiI2' (2л)4— р)2 —4- /в /2 — Ил + (в ’расходится квадратично. На рис. 2.5 показаны диаграммы, соответствующие поправкам к вершинной функции; их вклады равны

(— г'Л0)2 С ДЧiI

2' (2л)4— р)2 —4- /в /2 — Ил + (в ’

(— г'Л0)2 С ДЧiI

2' (2л)4— р)2 —4- /в /2 — Ил + (в ’

Га=Г (ц2) = Г

(2-7)

Г6 = Г(/), Г9 = Г(«), (2.8) где

s = ^ = <P\-¥ Рй?> t = <pv — p^, и = <рх — р^У (2.9) — переменные Мандельстама. Интегралы в (2.7) и (2.8) расходятся логарифмически.

Программа перенормировок предполагает, что в качестве первого шага в теории вводится некоторая подходящая регуляризация, делающая все расходящиеся интегралы конечными. После этого мы можем (формально) свободно манипулировать выражениями, которые будут становиться бесконечными лишь при снятии регуляризации в конце вычислений (например, если

регуляризация осуществляется обрезанием импульсных интегралов на верхнем пределе, то при стремлении параметра обрезания к бесконечности). В разд. 2.3 мы рассмотрим наиболее распространенные способы регуляризации. Необходимо принять во внимание, что в дальнейшем под расходимостями мы будем понимать регуляризованные расходящиеся выражения, которые на промежуточных этапах вычислений конечны и зависят от параметра регуляризации (например, от параметра обрезания).

Сначала выражение для любой расходящейся диаграммы мы разделим на расходящуюся и конечную части, а затем включим расходящуюся часть в массу, константу связи и операторы поля путем соответствующего переопределения этих величин. Чтобы осуществить такое разделение, воспользуемся одним важным свойством интегралов (2.6) и (2.7): каждое дифференцирование расходящегося интеграла по внешнему импульсу увеличивает степень внутренних импульсов в знаменателе и делает интеграл «менее расходящимся». (Мы имеем дело здесь с так называемыми «примитивно расходящимися» диаграммами; более подробно этот вопрос обсуждается в разд. 2.2.) Таким образом, если продифференцировать выражение достаточное число раз, то оно станет полностью сходящимся. Например, продифференцировав функцию Г(р2) по р2, получим

-^ Г (р2) =рц -^- Г (р2) =

др22р dp^ v

Ха ГG~P)P1

р2 ' (2л)4 [(/ — р)2 — ц2 + ге]2 /2 — ^ + /8 "‘

Последний интеграл конечен. Этот результат означает, что все расходимости сосредоточены в нескольких первых членах разложения в ряд Тейлора по внешнему импульсу для фейнмановского интеграла. Например, разложение Тейлора для функции Г(р2) в окрестности точки р2 = 0 имеет вид

Г (р2) = а0 + aYp2 + ... + -^- ап (р2)п + ..., где

(2.11)

Коэффициенты ап при п ^ 1 конечны, и лишь а0 содержит логарифмическую расходимость. Просуммировав все конечные члены, мы можем записать

Г (s) = Г (0) + f (s),(2.12)

где Г(0)—расходящаяся величина, a T(s) конечна и обладает свойством

Г(0) = 0.(2.13)

Функции Г(0) и Г(«) вычисляются в явном виде в разд. 2.3. Заметим, что величина Г(«) есть не что иное, как первоначальная функция F(s), из которой вычтено ее значение в точке s = 0. Поэтому описанную выше процедуру часто называют вычитанием. '

Ниже мы воспользуемся разложением в ряд Тейлора для выражений (2.6) и (2.7), чтобы отделить расходящуюся часть от конечной, а затем включим расходящуюся часть в голые величины путем их переопределения.

Перенормировки массы и волновой функции

Вклад в собственную энергию, определяемый выражением (2.6), расходится квадратично. Но этот однопетлевой интеграл обладает особым свойством, а именно: он не зависит от внешнего импульса р. Следовательно, разложение в ряд Тейлора для него тривиально, т. е. 2 (р2) = 2 (0). Но это свойство справедливо лишь для однопетлевого приближения в теории Л^4. Так, уже двухпетлевая собственно-энергетическая диаграмма, показанная на рис. 2.2, а, расходится квадратично и нетривиально зависит от р2. Таким образом, разложение в ряд Тейлора по степеням внешнего импульса в окрестности некоторой точки ц2 для собственной энергии в общем случае имеет дза расходящихся члена:

2 (р2) = 2 (ц2) + (р2 - ц2) 2' (ц2) + 2 (р2), (2.14) где 2(ц2)—квадратично, а 2'(ц2)—логарифмически расходящиеся члены, так как каждое дифференцирование по внешнему импульсу д/др^ понижает степень расходимости на единицу. Величина 2'(ц2) может быть записана в виде ЧЧд/др^Х Х(д/дрц)2 (р2) | рг=Ц2. Заметим, что, вообще говоря, в разложение квадратично расходящегося выражения должны входить три расходящихся члена с квадратичной, линейной и логарифмической расходимостями. Но функция 2(р2) не содержит линейно расходящегося члена, так как он был бы пропорционален pu, а это нарушает лоренц-инвариантность. Последнее слагаемое в (2.14) конечно и удовлетворяет условиям

2 (ц2) = 0, (2.15)

2/(ц2) = 0. (2.16)

В однопетлевом приближении 2'(р2) = 2 (р2) = 0 для всех р2. Но в общем случае эти функции не равны нулю. Подставляя разложение (2.14) в выражение для полного пропагатора (2.5), получаем

/Л (Р) = р2 - ц2 - 2 (ц2) - (р2 - ц2) Ч (ц2) - 2 (р2) + /в • (2'1?)

Физическая масса определяется как положение полюса пропагатора. Параметр ц2, который до сих пор был произвольным, можно выбрать так, чтобы он удовлетворял уравнению

p2 + S(p2) = p2.(2.18)

Тогда

г Д (р2) ==з.(2.19)

(p2-p2)[l-24^)]-2(p2)+/8v ’

В силу условия (2.15) функция Д(р) имеет полюс в точке р2 = ц2. Следовательно, ц2— физическая масса, связанная с голой массой уравнением (2.18). Итак, мы осуществили перенормировку массы. Поскольку величина 2 (р2) является расходящейся, голая масса ц2 также должна быть расходящейся, чтобы физическая масса была конечной. Теперь мы избавимся от расходящегося члена £'(ц2). Для этого заметим, что функции 2'(ц2) и S(p2) являются величинами порядка Ло (подчеркнем еще раз, что все расходящиеся выражения регуляризованы и конечны). Тогда

S(p2)^[l-S'(p2)]S(p2),(2.20)

и пропагатор может быть записан в виде

^ (Р ) = ~2 у, 2X1* -(2-2 1)

р2 —— 5 (р2) + Z8

где

= [1 - (ц2)]-1 =1+2' (ц2) + О ^\(2.22)

Расходимости входят в мультипликативный фактор и могут быть удалены переопределением полевого оператора ф0. Точнее, если мы определим перенормированное поле ф выражением

Ф=7;Х1Х(2.23)

то перенормированный пропагатор будет иметь вид

ZAr (р) = J йЧе-^№<ф (х) ф (0))| 0) =

= Z/ $ d4e-ipx <0 1Т (ф» (х) ф0 (0)) J 0) =

= ~2 'у, 2^- = ^ф ‘Д (Р)(2-24)

р2 — Ц2 — 5 (р2) + Z8

и будет полностью конечным. Здесь 2^ обычно называют константой перенормировки волновой функции. Итак, расходимости собственной энергии могут быть устранены перенормировкой массы (2.18) и волновой функции (2.23).

С помощью перенормированного поля ф, определенного выражением (2.23), задаются перенормированные функции Грина G$, связанные с неперенормированными функциями соотно-

шениями

Gr)(x1,х„) = (О |Г (^ (xj ^(х„))Ю> =

= z;n'2 <0 IT tf0 (х,) ...ф0 (х„)) I 0) = Z^'W (*i> • • •, X„).(2.25)

В импульсном пространстве соответствующие соотношения имеют вид

Gr ' (р,Р„) = Z;nR G^' (р„ ..., рп\ (2.26)

где

(2яГ6<«(р1++ pn)G^(pv .... р„) =

(М^(р,+ ... + рп^(рх, ...» Рп) =

Чтобы перейти от связной функции Грина, входящей в формулу (2.26), к 1 ЧН (усеченной) функции Грина, необходимо вычесть вклады одночастично-приводимых диаграмм, а также удалить пропагаторы, относящиеся к внешним линиям, т. е. удалить &R(p^ из Г<">(р1, . .., рп) и А (р,) из Г^р,, . .., рп\ Поскольку функции Ак(р) и А(р) связаны соотношением

AR(pa = Z;‘A(p,),(2.29)

перенормированные и неперенормированные 1 ЧН-функции Грина удовлетворяют равенству

Г^ (р„ .. ., р^ = ZW (р„ .. •, рп\(2.30)

Перенормировка константы связи

Перейдем теперь к перенормировке одночастично-неприво- димой четырехточечной функции Грина, в которую дают вклад диаграммы, представленные на рис. 2.5. С учетом равенств (2.7) и (2.8) эту неперенормированную функцию Грина с точностью до членов порядка Ло можно записать в виде

Г0(а, t, Ы) = -/Ло+Г(5) + Г(/) + Г(Ы), (2.31) где первый член в правой части есть вклад древесной диаграммы, а последние три члена — расходящиеся однопетлевые вклады. Мы должны устранить эти расходимости переопределением константы связи.

Как можно измерить константу связи теории Л^>4? Поскольку в основной вершине присутствуют четыре частицы, было бы естественно определить константу связи через амплитуду двухчастичного рассеяния, которая физически измерима. Но при обсуждении вопросов перенормировки удобнее определять константу связи через перенормированную одночастично-неприво- димую (усеченную) четырехточечную функцию Гд^Рр ..., р4), тесно связанную с этой амплитудой. Так как Tr' является функцией кинематических переменных s, t и и (а не постоянной величиной), то, чтобы определить физическую константу связи, необходимо выбрать некоторую точку в кинематической области. Вспоминая, что для частиц, находящихся на массовой поверхности (р2 = ц2), эти переменные удовлетворяют условию s + t + и = 4ц2, можно выбрать симметричную точку

s0 = t0 = u0 = №.(2.32)

Тогда

Г<№Ч««о) = -^>(2.33)

где Л— физическая константа связи.

Разделим теперь неперенормированную функцию (2.31) на расходящуюся и конечную части, разлагая ее в ряд Тейлора в окрестности симметричной точки (2.32):

Г<4> ($, t, и) = - /Ло + ЗГ (s0) + f (s) + Г (/) + Г (ц), (2.34) где величина T(s)=T(s) — T(s0) конечна и обладает свойством f(so) = O.(2.35)

Определим константу перенормировки вершины Z\ соотношением

— tZx Ло = — /Ло -ф- ЗГ (so).(2.36)

Равенство (2.34) принимает вид

Го4) (s, /,«) = - iZ; ‘Ло + Г (s) + Г (/) + Г <и\(2.37)

причем в симметричной точке имеем

d4)(s0, /о, Uo) = -^rX(2.38)

Из соотношения (2.30) между неперенормированными и перенормированными 1 ЧН-функциями Грина следует

r(R4)(s, t, u> = Z^4s, t, и).(2.39)

Наконец, из равенств (2.33), (2.38) и (2.39) видно, что перенормированная (физическая) константа связи Л, определенная формулой (2.33), связана с не перенормированной константой

связи Хо следующим образом:

X = Z;Zr'Xo.(2.40)

Теперь легко показать, что перенормированная 1 ЧН четырехточечная функция конечна. Из соотношений (2.37), (2.39) и (2.40) имеем

Г«>(Р1,..., ^/^(р,. .... р4) =

= - zzr’z^o + zi [Г (s) + Г (/) + Г (ц)] =.

= -ZA + Z2/[Hs) +Г (/) + ?(<(2.41)

Поскольку Z0=l + O(Xo), Г = 0(Ло), а Х = Л0 + 0(Хо), с точностью до членов порядка Л2 можно записать

Г£> (Р1, ..., р4) = _ ZX + Г (S) + Г (/) + Г (и) + О (Л3). (2.42)

Это выражение конечно.

Чтобы перенормировать связную четырехточечную функцию Грина с учетом однопетлевого приближения, мы должны добавить вклад однопетлевой диаграммы, показанной на рис. 2.6,

+3 другие диаграммы+3 другие диаграммы

+3 другие диаграммы

+3 другие диаграммы

Рис. 2.6.

и приписать по одному полному пропагатору каждой внешней линии. Следовательно, неперенормированная функция Грина G^ (ptр^ дается формулой

Gi" tot - [Й („’Gs-h-J ] {- to+зг to)+r to+

+ f(o + rM + (-aQ)f [-а^-^-Ш-—)}. (2.43)

Первый и последний члены в формуле (2.43) удобно объединить следующим образом:

(-а.)[П(7^)]['

”(-ад[П(^™)?77)] + ОЮ' (2Л4)

Поскольку Г~0(Ло), Г~О(Лд), справедливо также соотношение

[П (""--V. ) СЗГ (so) + Г (s) + Г (/) + Г («)] =

= Г П Г ~2 ' Г 2Щ - Н [ЗГ ^ + Г (S) +ЩхР7-Но-2(Р/) + ге/и

+ Г(/) + Г(«)1 + О(^).(2.45)

Используя соотношения (2.44) и (2.45), формулу (2.43) можно представить в виде

4

WvР^) = П [^Л^] [- /Ло + ЗГ (So) + Г (s) +

J^»^Р4),(2.46)J^»^Р4),(2.46)+ Г(0 + Г(«)] -[П^Ру)

J^»^Р4),(2.46)

J^»^Р4),(2.46)

где учтены также соотношения (2.5) и (2.31). Согласно равенству (2.26), перенормированная четырехточечная функция Грина определена следующим образом:

(^(р,- .... p^ = z;2g^4pР^ (2.47)

Тогда из формулы (2.46) и соотношений (2.29) и (2.39) между перенормированными и неперенормированными величинами получаем

а™(р.^“^^пум^ргг^р,Р)=

-П[(Мр,)]Ц>р).(2.48)

Функция G(r4) (рр4) также конечна, поскольку, как было показано выше, конечны AR (р) и Г*4' (р,р^.

Итак, мы убедились, что перенормировки массы, волновой функции и вершины устраняют все расходимости в двух- и четырехточечных функциях Грина в однопетлевом приближении. В других 1 ЧН-диаграммах нет расходимостей, хотя одно- частично-приводимые диаграммы, входящие в функции с большим числом внешних концов, содержат расходящиеся однопетлевые подграфы. Например, показанная на рис. 2.7 диаграмма, дающая вклад в шеститочечную функцию Грина, расходится. Ясно, однако, что в данном случае расходимость целиком порождается расходимостью четырехточечной функции и поэтому

будет устранена после перенормировки четырехточечной вершинной функции.

Подведем итоги. Функции Грина можно сделать конечными, если выразить голые величины через перенормированные с помощью соотношений (2.18), (2.23) и (2.40):

Ф = г;'Ч.(2.49)

Л = гГ‘2Х(2.50)

p2 = a' + V,(2.51)

где 5ц2 = Х(ц2). Сформулируем это утверждение более строго. Если в любой «-точечной функции Грина мы выразим голую

Рис. 2.7.

массу go и голую константу связи Хо через перенормированные массу ц и константу связи X и, кроме того, согласно формуле (2.26), умножим выражение на Z*'11 столько раз, сколько имется внешних полей, то результат (перенормированная «-точечная функция Грина) будет полностью конечным:

Gr' (р„ ..., рп; К, ц) = Z;nX' (Pi, - • •, Рм ^о. Но> Л),(2.52)

где Л — параметр обрезания, необходимый для того, чтобы придать смысл расходящимся интегралам. Свойство теории, состоящее в том, что после того, как Хо и ц0 выражены через X и ц, все расходимости собираются в некоторые мультипликативные константы (Z^rt/2 в равенстве (2.52)), называется мультипликативной перенормируемостью. Эквивалентно, 1 ЧН-функ- ции Грина могут быть сделаны конечными, если, согласно формуле (2.30), мы умножим их на Z^1 и выразим голые параметры Хо, цо через физические величины X, ц:

Г^ <рхРпЛ,^ = Zn^ г^ (Рхрп; хо, ц0, Л).(2.53)

Процедуру устранения расходимостей, описанную в настоящем разделе, мы будем называть стандартной схемой перенормировок. Она тесно связана с той схемой, которая исторически была сформулирована первой.

БПХ-ПЕРЕНОРМИРОВКИ В ТЕОРИИ Х^4

Схема БПХ-перенормировок, развитая в работах Боголюбова и Парасюка [55], Хеппа [218] и Циммермана [444], полностью эквивалентна стандартной схеме перенормировок. Эта альтер-

нативная формулировка программы устранения расходимостей часто бывает более удобной в многочисленных приложениях теории перенормировок. В настоящем разделе мы просто проиллюстрируем связь между этими двумя схемами перенормировок. Краткое и ясное изложение этого вопроса дано в работе Коулмена [91].

В исходном (неперенормированном) лагранжиане (2.1)

^. = 4[(W-l«-4«(2.54)

можно заменить голые величины перенормированными, используя соотношения (2.49), (2.50) и (2.51). При этом мы получим зй = з + кз, где

3 = 1 [(<Э^)2 - ц2^2] - 4 ^,(2.55)

КЗ = ^^ VW - РУ] + ^-Ф2- ^V 1} Ф'-(2.56)

Функция 3, называемая перенормированной лагранжевой плотностью, имеет точно такой же вид, как Зо, но с тем отличием, что вместо неперенормированных величин содержит перенормированные. Слагаемое КЗ содержит расходящиеся константы перенормировок. Члены (Z^—1), (Z^ —1) и 6р2 все порядка X, и, следовательно, Д^ того же порядка, что и ХЗ. Мы будем называть КЗ лагранжианом контрчленов.

Процедура БПХ-перенормировок состоит из следующих этапов.

С помощью перенормированного лагранжиана (2.55) строим пропагаторы и вершины.

Выделяем расходящиеся части однопетлевых 1 ЧН-диа- грамм с помощью разложения в ряд Тейлора. Затем строим набор контрчленов Д^(1) таким образом, чтобы эти однопетлевые расходимости сокращались.

Новый лагранжиан 3W = 3 + K3W используем для определения двухпетлевых диаграмм и построения контрчленов КЗ^, сокращающих все расходимости вплоть до двухпетлевых. Последовательность этих операций применяется итеративно.

Результирующий лагранжиан имеет вид

= 3 +КЗ,

где лагранжиан контрчленов является суммой

Д^ = д^"’ + Л^(2>+ ... Ч-Д^Ч- ... .(2.57)

Для того чтобы показать, что такая схема перенормировок эквивалентна стандартной, которая непосредственно связана с неперенормированной теорией возмущений, необходимо убе-

диться в том, что контрчлены (2.57) имеют ту же структуру, что и выражение (2.56). Для этого мы исследуем контрчлены, используя метод подсчета степеней расходимостей.

Метод подсчета степеней расходимостей

Чтобы проанализировать структуру расходимостей произвольной диаграммы Фейнмана, введем для нее понятие условной степени расходимости D. Она равна общей степени петлевых импульсов в числителе минус общая степень петлевых импульсов в знаменателе подынтегрального выражения, соответствующего данной диаграмме. Например, для графа, показанного на рис. 2.8, О = 4 — 4 = 0. Следовательно, можно ожидать,

Рг ^2 Ps

Рис. 2.8.

что диаграмма будет расходиться логарифмически. Чтобы вычислить число D для произвольного графа в теории кф4, определим следующие величины:

В — число внешних линий,

IB — число внутренних линий, п — число вершин.

Так как из каждой вершины выходят четыре линии, оба конца внутренней линии входят в вершины, а у внешней линии лишь один конец входит в одну из вершин, то имеет место соотношение

4л = 2 (/В) + В.(2.58)

Нам необходимо связать отдельные члены этого соотношения с числом петлевых импульсов. Обычные правила Фейнмана предписывают нам интегрировать по всем внутренним импульсам, которые не фиксированы законом сохранения импульса, выполняющимся в каждой вершине. Таким образом, естественно ожидать, что число петлевых импульсов L будет равно числу внутренних линий IB минус число вершин п. Но одна из 6-функций, обеспечивающих сохранение импульса в вершинах, выражает общий закон сохранения импульса для всей диаграммы и поэтому не зависит от внутренних импульсов. Например, граф на рис. 2.8 имеет две вершины. Следовательно, выражение для него содержит две 6-функции: 6(4>(pi + p2— к — /г)Х X 6(4)(/i + /2 — рз — pt). Но это выражение эквивалентно следующему: 6(4)(Pi + р2 — pa — р^б^ЧРх + р2 — к — к). В этом случае мы можем исключить только один внутренний импульс, а не

два. Следовательно, имеем

L = 1B -п 4-1.(2.59)

Пропагатор, соответствующий внутренней линии, дает вторую степень петлевого импульса в знаменателе. Каждое интегрирование по петле дает четвертую степень петлевого импульса в числителе. В теории Х^4 выражение, соответствующее вершине,

Рис. 2.9. Вершины, соответствующие лагранжиану контрчленов (2.62).

не содержит факторов, зависящих от импульсов, и, следовательно, условная степень расходимости диаграммы равна

D = 4L - 2 UBY(2.60)

Мы можем исключить величины L и IB из этого выражения, выразив их через В и п с помощью соотношений (2.59) и (2.58):

0 = 4 -В.(2.61)

Так как теория Хф4 инвариантна при отражении ф-*—ф, то число В должно быть четным. Из равенства (2.61) следует, что, согласно подсчету условной степени расходимости, расходятся только двухточечная (В = 2) и четырехточечная (В = 4) функции.

С помощью такого подсчета степеней расходимостей, справедливого во всех порядках теории возмущений, можно изучать структуру контрчленов. Для двухточечной функции Грина, согласно формуле (2.61), имеем D = 2. Таким образом, эта функция расходится квадратично, и нужное нам разложение в ряд Тейлора имеет вид

W) = 2(O)4-PW) + 2(P2),

где слагаемые 2(0) и 2х(0) расходятся, а 2(р2) конечно. В этом разложении нет члена, линейного по р^, так как2(р2) является лоренцевым скаляром. Поэтому, чтобы сократить расходимости, необходимо добавить два контрчлена 1/22(0)$24- 4-‘ДЕДО) (dv^>)2. По правилам Фейнмана им будут соответствовать вершины, изображенные на рис. 2.9, а и б. Для четырехточечной функции Грина условная степень расходимости D = 0 и разложение в ряд Тейлора имеет вид

Г^Г^^Н-

где Г(4>(0)—логарифмически расходящийся член, который должен сокращаться контрчленом вида (tT(4) (0) /4!) ^4. Ему соответствует вершина, представленная на рис. 2.9, в.

Таким образом, общий лагранжиан контрчленов имеет вид

AS = ^- ^ +Ф4.(2.62)

Очевидно, что он совпадает с выражением (2.56), причем 2,(0) = 2ф- 1,

2 (0) = - (^ф - 1) Р2 + др2 = - S' (0) р2 + др2,(2.63)

r<4)(0) = -/X(l-ZJ.

Эти выражения согласуются с выражениями (2.22), (2.51) и (2.36), так как здесь перенормированная константа связи X определена в точке, где импульсы равны нулю, и Г(4)(0) = = ЗГ(0). Таким образом, мы продемонстрировали эквивалентность стандартной схемы и схемы БПХ-перенормировок.

Некоторые замечания о расходимостях поддиаграмм

Мы не будем приводить здесь доказательства того, что схема БПХ-перенормировок устраняет все расходимости в функциях Грина во всех порядках теории возмущений. Ограничимся лишь рядом замечаний относительно некоторых общих особенностей процедуры перенормировок в применении к диаграммам высших порядков, а также свойств сходимости фейнмановских интегралов.

Сформулируем без доказательства следующую теорему о сходимости [398]. Фейнмановский интеграл общего вида сходится, если как условная степень расходимости всего графа, так и условные степени расходимости всех его подграфов отрицательны. Поясним это утверждение. Рассмотрим диаграмму Фейнмана с п внешними линиями и I петлями. Введем обрезание в импульсном интеграле, чтобы оценить порядок расходимости (Л — параметр обрезания):

л

Г^Чр,Рл-1) = $ ^\ ... d^qil^pv ..., pn_v\ qvqt).

0(2.64)

Здесь I—произведение вкладов вершин и пропагаторов, зависящее от внешних импульсов pt и внутренних импульсов qi. Выберем подмножество S = {9], ..., ^J множества петлевых импульсных переменных {71, ..., а^ и одновременно устремим их к бесконечности (точнее, все qt->N_, где Л-»-оо). Будем считать, что все импульсы, не входящие в подмножество S, фик-

сированы. Пусть 0(5)—условная степень расходимости, связанная с интегрированием по данному подмножеству, а именно

ооd4q\d4q\< Л° <s> {In Л},< Л° <s> {In Л},(2.65)(2.65)

о

о

d4q\

d4q\

< Л° <s> {In Л},

< Л° <s> {In Л},

(2.65)

(2.65)

где {In Л}—некоторая функция выше теорема утверждает, чтогде {In Л}—некоторая функция выше теорема утверждает, чтоIn Л. Тогда сформулированная интеграл по {^i, ..., ^} схо-In Л. Тогда сформулированная интеграл по {^i, ..., ^} схо-

где {In Л}—некоторая функция выше теорема утверждает, что

где {In Л}—некоторая функция выше теорема утверждает, что

In Л. Тогда сформулированная интеграл по {^i, ..., ^} схо-

In Л. Тогда сформулированная интеграл по {^i, ..., ^} схо-

Рис. 2.10.Рис. 2.10.Рис. 2.11.Рис. 2.11.

Рис. 2.10.

Рис. 2.10.

Рис. 2.11.

Рис. 2.11.

дится, если величины 0(5) для всех возможных подмножеств S отрицательны. Например, диаграмма, изображенная на рис. 2.10, дающая вклад в шеститочечную функцию, имеет О = —2. Но интеграл, соответствующий подграфу, заключенному внутри прямоугольника, имеет 0 = 0 и расходится логарифмически. Последовательная схема перенормировок должна систематически устранять все расходимости, в том числе и те, которые относятся к внутренним интегрированиям, соответствующим подграфам. В процедуре БПХ-перенормировок расходимости поддиаграмм в действительности устраняются контрчленами более низких порядков. Например, диаграмма на рис. 2.11, содержащая вершину, отвечающую контрчлену, сокращает расходимость поддиаграммы в диаграмме на рис. 2.10.

Рассмотрим другой аспект процедуры перенормировок, связанный с диаграммами, содержащими расходящиеся подграфы. Оказывается, что не все расходимости в многопетлевой диаграмме могут быть устранены вычитанием нескольких первых членов разложения в ряд Тейлора по степеням внешних импульсов. Проиллюстрируем это утверждение на следующем примере. Рассмотрим двухпетлевую диаграмму, показанную на рис. 2.12,а. Соответствующий фейнмановский интеграл имеет вид

Г'4)(р)~Л3[Г(р)]2,(2.66)

где

г (п) = -L ( d4 Т21 2 , ,1(2.67)

и р = рх-^ръ Каждый из множителей Г(р) расходится логарифмически. Но сколько бы раз мы ни дифференцировали величину Г(а4), ее не удастся сделать конечной, несмотря на то, что условная степень расходимости равна нулю. Но у нас есть

контрчлен —Х2Г(0), отвечающий вычитанию расходимостей на однопетлевом уровне. Он порождает дополнительные вклады, пропорциональные X3, которые изображены на рис. 2.12,6 и в, причем Г^Х3Г(р)Г(0), а Гд4’Х3Г (0) Г (р) соответственно.

Суммируя вклады трех диаграмм на рис. 2.12, а, бив, находим

Г(4,(р) = Г(а4) + Г^ + Г^ =

= - X3 [Г (О)]2 4- X3 [Г (р) - Г (О)]2 = Г(4> (0) 4-(р).(2.68)

Только первый член в правой части расходится, и эта расходимость может быть устранена контрчленом порядка X3 вида

Рис. 2.12. Диаграммы порядка X3, дающие вклад в четырехточечную функцию в s-канале. Темный кружок соответствует контрчлену —Х2Г(0).

1Г(4>(0)^4/4! Этот пример позволяет понять, как после учета контрчленов низших порядков расходимости приобретают вид полинома по внешним импульсам. Для диаграмм с более чем одной петлей оказывается полезным ввести понятие примитивно расходящейся диаграммы. Мы будем называть примитивно расходящимися такие диаграммы, для которых общая условная степень расходимости неотрицательна, но все интегрирования по подмножествам импульсов сходятся, т. е. диаграммы, которые расходятся только при стремлении одновременно всех петлевых импульсов к бесконечности. Вообще говоря, только для примитивно расходящихся графов (один из них показан на рис. 2.13) можно выделить расходимости непосредственно с помощью разложения в ряд Тейлора. Для диаграмм, не являющихся примитивно расходящимися, расходящиеся выражения принимают форму полинома по внешним импульсам лишь после учета контрчленов низших порядков.

В приведенном выше примере двухпетлевой диаграммы, имеющей четыре внешних линии, мы видели, что расходимость графа как целого может быть выделена, если учесть диаграммы с контрчленами низших порядков. Очень просто показать, что

это имеет место для любых одновершинно-приводимых диаграмм, в которых интегралы, соответствующие расходящимся подграфам, факторизуются. Несложно проверить, что подобным свойством обладают и диаграммы с вложенными расходимостями, т. е. диаграммы, в которых один из каждой пары ее расходящихся 1 ЧН-подграфов полностью содержится внутри другого (см. пример на рис. 2.14, а). После того как расходимости

Рис. 2.13. Примитивно расходящаяся диаграмма с четырьмя внешними линиями.Рис. 2.13. Примитивно расходящаяся диаграмма с четырьмя внешними линиями.Рис. 2.14. Вложенные расходимости и диаграмма с контрчленом низшего порядка, сокращающая расходимость подграфа.Рис. 2.14. Вложенные расходимости и диаграмма с контрчленом низшего порядка, сокращающая расходимость подграфа.

Рис. 2.13. Примитивно расходящаяся диаграмма с четырьмя внешними линиями.

Рис. 2.13. Примитивно расходящаяся диаграмма с четырьмя внешними линиями.

Рис. 2.14. Вложенные расходимости и диаграмма с контрчленом низшего порядка, сокращающая расходимость подграфа.

Рис. 2.14. Вложенные расходимости и диаграмма с контрчленом низшего порядка, сокращающая расходимость подграфа.

подграфа устранены за счет диаграмм, содержащих вклады контрчленов низших порядков (рис. 2.14,6), расходимость диаграммы как (целого вычитается контрчленом порядка X3. Таким образом, как для одновершинно-приводимых диаграмм, так и для диаграмм с вложенными расходимостями процедура перенормировок формулируется относительно просто. Сложный этап в доказательстве сходимости перенормированных выражений (во всех порядках теории возмущений) связан с анализом перекрывающихся расходимостей, которые не являются ни одновершинно-приводимыми, ни вложенными. На рис. 2.2, а приведен пример диаграммы с такими расходимостями. В этом случае трудность состоит в том, чтобы увидеть, как можно систематическим образом устранять расходимости перекрывающихся подграфов, несмотря на то, что они не факторизуются простым образом. Тем не менее эта проблема была успешно решена, и мы отсылаем читателя, интересующегося подобными вопросами, к соответствующей литературе [218, 225, 444]. Целью настоящих замечаний было показать, что доказательство перенорми- руемости в общем случае опирается на сложную теорию классификации графов и комбинаторный анализ.

2.3. МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

В этом разделе мы проведем детальные вычисления различных констант перенормировок в рамках перенормированной теории возмущений, описанной в предыдущих разделах. Для того чтобы проводить какие-либо математические выкладки с расходящимися интегралами, мы должны регуляризовать их. Например, можно обрезать интеграл по внутренним импульсам

на верхнем пределе. Тогда расходящаяся часть будет функцией параметра обрезания Л, в то время как конечная часть не будет зависеть от него в пределе Л-»-оо. Процедура регуляризации должна быть осуществлена так, чтобы сохранялись лоренцева инвариантность и симметрии теории. Обычно используют один из следующих двух методов: ковариантную регуляризацию или размерную регуляризацию. Рассмотрим эти два метода.

Ковариантная регуляризация

При этом методе регуляризации [316] пропагатор модифицируют следующим образом:

(2.69)(2.69):>‘+ ) /2 — Ц2 + Z8 /2 — Ц2 + Z8 1— Л; + ze

(2.69)

(2.69)

где Ai^p2, а коэффициенты а, выбраны таким образом, что в асимптотической области (/2->-оо) модифицированный пропагатор имеет внутренний импульс в знаменателе в степени, достаточной для сходимости интеграла.

Обратимся сначала к четырехточечной функции. Диаграмма, показанная на рис. 2.5, а, дает вклад (2.7)

р р /п2\ ( /X)2 Г d4Iz*

2 j (2я)4 (Z _ р)2 _ ц2 +Z2_^ + Ze.

Ясно, что достаточно произвести замену

111 ц2 — Л2

/2_р2 + /е -* /2 _ Ц2 _|_ и — /2 _ Д2 _|_ /е ~ Ц2 _ ц2 _|_ /е) (/2 _ Д2 + /в)*

чтобы интеграл стал конечным. Тогда выражение (2.70) принимает вид

Х2Л2 Г 441

12 J (2л)4 (((-p)2-n2 + i8)((2-n2 + z8)((2-A2 + ze) '

(2.71)

Мы будем разлагать эту величину в ряд Тейлора в окрестности точки р2 = 0 (или производить вычитание в точке р2 = 0):

(2.72)(2.73)(2.74)(2.72)(2.73)(2.74)Г (р2) = Г (0) + Г (р2), где

(2.72)

(2.73)

(2.74)

(2.72)

(2.73)

(2.74)

г VA2 f d4 !

W —2 j (2jt)4(Z2 _ Ц2 _|_ Zg)2 (p _ Д2 + /e) .

ГC d4!X

a’2 J (2л)4 (/2 — Ц2 + ze) ((2 — A2 + /e)

A L (Z — P)2 — Ц2 + ze Z2 — ц2 + ze J

X2 Г 4421-p — p2

2 J (2л)4 (Z2 - ц2 + zb)2 ((/ - p)2 - Ц2 + ze)

В последней строке мы перешли к пределу Л-► оо в подынтегральном выражении; это законно, так как функция Г(р2) не содержит расходимостей. Опишем стандартный метод вычисления таких интегралов. Сначала воспользуемся следующим тождеством:

1-241-241

1-24

1-24

= ш (dz' dZi 11 • dz,t

аха2 ... ап ''" J (^г, + а2г2 + ... + апгп)п

о

(2.75)

позволяющим комбинировать множители, входящие в знаменатели подынтегральных выражений. Переменные г, называются фейнмановскими параметрами. Можно также продифференцировать равенство (2.75) по а, и получить тождество вида

Последняя формула обладает тем преимуществом, что в случае, когда в знаменателе имеются два одинаковых множителя, требуется на один фейнмановский параметр меньше, чем число множителей. Используя тождество (2.76), можно объединить знаменатели в выражении (2.74) следующим образом:

(/2 — ц2 + is)2 (/- р)2 - ц2 + ze — Z J Я3 • о

Здесь

Д = (1 — а) (/2 — ц2) + a [ (/ — р)2 — ц2] + ze = (/ — ар)2 — а2 + ze,

где

а2 = ц2 — а (1 — а) р2.

Следовательно,

= dlQdl\dkdU и

/2 - а2 + ze = /2 - Г - а2 + ze = ft - [(I2 + аТ - /е]2.

Отсюда видно, что подынтегральное выражение в (2.78) имеет полюса в комплексной /0-плоскости, расположенные так, как

показано на рис. 2.15. Из теоремы Коши следуетпоказано на рис. 2.15. Из теоремы Коши следуетгдегде§dlQf (/О) = 0, сf (/о) = рЧ^+^Т^ •§dlQf (/О) = 0, сf (/о) = рЧ^+^Т^ •(2.79)(2.79)Так как f (Zo) —>-Zo 6 при /о->°°, вклад от криволинейных участков контура С равен нулю. Из равенства (2.79) следует, чтоТак как f (Zo) —>-Zo 6 при /о->°°, вклад от криволинейных участков контура С равен нулю. Из равенства (2.79) следует, что$ dl№.$ dl№.Таким образом, первоначальный контур интегрирования, идущий вдоль вещественной оси, можно повернуть, направив его вдоль мнимой оси. Если произвести замену переменной /0 = iU, где Ц вещественна, тоТаким образом, первоначальный контур интегрирования, идущий вдоль вещественной оси, можно повернуть, направив его вдоль мнимой оси. Если произвести замену переменной /0 = iU, где Ц вещественна, то

показано на рис. 2.15. Из теоремы Коши следует

показано на рис. 2.15. Из теоремы Коши следует

где

где

§dlQf (/О) = 0, с

f (/о) = рЧ^+^Т^ •

§dlQf (/О) = 0, с

f (/о) = рЧ^+^Т^ •

(2.79)

(2.79)

Так как f (Zo) —>-Zo 6 при /о->°°, вклад от криволинейных участков контура С равен нулю. Из равенства (2.79) следует, что

Так как f (Zo) —>-Zo 6 при /о->°°, вклад от криволинейных участков контура С равен нулю. Из равенства (2.79) следует, что

$ dl№.

$ dl№.

Таким образом, первоначальный контур интегрирования, идущий вдоль вещественной оси, можно повернуть, направив его вдоль мнимой оси. Если произвести замену переменной /0 = iU, где Ц вещественна, то

Таким образом, первоначальный контур интегрирования, идущий вдоль вещественной оси, можно повернуть, направив его вдоль мнимой оси. Если произвести замену переменной /0 = iU, где Ц вещественна, то

dl№ = i \dlj^ =dl№ = i \dlj^ =— i— idl4dl4

dl№ = i \dlj^ =

dl№ = i \dlj^ =

— i

— i

dl4

dl4

(2.80)

Вводя евклидов импульс ^ = (/ь /2, /з, /4), где /г2 = ft + 4 + Z3 + /4. мы можем записать равенство (2.80) в виде

С !; С *^4^! /о qi\

J (2л)4 (Z2 - а2 + ze)3 “ j (2л)4 (й2 + а2—Ze)3 ’'

где dAk = dlxdl2dladl4. Переходя к сферическим координатам в четырехмерном евклидовом пространстве, запишем

ОО2Л ЛЛ

(2.82)(2.82)j d4k = j к5 dk j d^> j sin 6 dQ j sin2 x d^.

(2.82)

(2.82)

0000

Тогда

Г d^k1Q 2 C ^3 dk1

) (2л)4 (F + a2 - Ze)3 — J (2л)4 (F + a2 — /в)3 = о

1 c16л2 J01 c16л2 J0k2 dk2(k2 + a2 — Ze)3 'k2 dk2(k2 + a2 — Ze)3 '(2.83)(2.83)

1 c

16л2 J

0

1 c

16л2 J

0

k2 dk2

(k2 + a2 — Ze)3 '

k2 dk2

(k2 + a2 — Ze)3 '

(2.83)

(2.83)

Пользуясь известной формулой для бета-функции

Г tm~x dt =1 Г (zn) Г (га — zn)„

J (/ + <?)"<а2^-т Г (га) ’V ’

можно вычислить остающийся интеграл

f }{ ?2 ос\

J (2л)4 (k2 + a2 — Ze)3 32л2 (a2 — Ze) *

Вершинная функция (2.78) запишется в виде

Г(р2) = ^^- ((2.86)

732л2 J [ц2 — а (1 — a) р2 — ze]''

о

Так как 0 < a < 1, то ц2 — а(1 — а)р2 > 0 при р2 < 4ц2, и мы можем опустить слагаемое /е в знаменателе. Прямым вычислением получаем следующий результат:

Г (р2) = г (S) = ^L {2 + (^fp)1/21П [{(4ц2 - s)i/2 -

при s < 0, 0 < s < 4ц2, при s > 4ц2.(2.87)при s < 0, 0 < s < 4ц2, при s > 4ц2.(2.87)-(|5|)1/2}/{(4ц2-s)l/2 + (Is 1)1/2}]}(^)1/2arctg(^)-} пр^Е1у/21п[ VJ- Vs-^2! + .л

при s < 0, 0 < s < 4ц2, при s > 4ц2.

(2.87)

при s < 0, 0 < s < 4ц2, при s > 4ц2.

(2.87)

s / L V s + Vs - 4ц2 J ,

Таким же способом можно выполнить интегрирование по импульсу в расходящемся члене Г(0), определяемом формулой (2.73):

Г (0) = t•(2.88)

х 732л2 J а (ц2 — А2) + А2х '

о

(2.89)(2.89)При больших Л2 находим

(2.89)

(2.89)

Г ^ ~ 32л2 n |12 '

Таким образом, однопетлевой вклад в четырехточечную функцию равен

Г^етля (S, /, и) = ЗГ (0) + г (s) + Г (Z) + Г (и),(2.90)

где член Г(0), зависящий от параметра обрезания, определяется формулой (2.89), а конечный вклад f(s)—формулой (2.87). Мы должны еще прибавить контрчлен (3/Г(0)/4!) ф4, сокращающий расходимости в этом выражении. Согласно (2.36), он соответствует следующей константе перенормировки:

1+ 3(Г№ =1(2.91)

После сокращения расходимостей полная четырехточечная функция в однопетлевом приближении дается формулой (2.42):

Г^ (s, I, и) = — IX + Г (s) + Г (/) + Г (и).(2.92)

Двухточечная функция, определяемая формулой (2.6) и соответствующая диаграмме на рис. 2.4, равна

- а № = - 4■(2-93)

Этот интеграл расходится квадратично, и его можно регуляризовать, выбрав константы di и а2 в формуле (2.69) таким образом, что

1।Ч|.Ч21.о

S5Г SО155* при Г ->ОО.

/2 — ji2 + Ze /2 —Л2 + /е /2 —Ag + Ze /8

Нетрудно проверить, что для этого нужно положить

д2_л2 ’^“д^-Л2’

Тогда модифицированный пропагатор имеет вид 1,щ_

/2 — ц2 + Ze /2 —A2 + Ze /2 — Л; +/е

(Л2-ц2)(Л2-ц2)Л4

(/2 _ И2) (/2 _ Л2) (/2 _ Л0 "* (/2 _ ц2) (/2 _ Л2)2 .

если оба параметра Л1 и Л2 стремятся к большому значению Л. Регуляризованная собственная энергия равна

•V/ 2ч_ A f d4Л4_

lLVP )2 J (2л)4 (Z2-n2 + Ze)(/2-A2 + /e)2

ZZA4 Г a daiX Г ,221 Л2 1

~32л2 J aA2 4-(1 — a) |i2 "32л2' И n-j?"J'(2-94)

0

Так как она не зависит от внешнего импульса р, разложение в ряд Тейлора для нее тривиально:

2(р2) = 2(0)~ ^Л2.(2.95)

Как мы уже отмечали выше, независимость 2(р2) от р— особое свойство однопетлевого приближения в теории Хф*. Для собственно-энергетических диаграмм общего вида 2(р2) нетривиально зависит от р и разложение в ряд Тейлора в окрестности точки р2 = О имеет вид

5(р2) = 5(0) + р2Г(0) + §(р2),(2.96)

где 2(0) и 2'(0) зависят от параметра регуляризации, а 2(р2) конечно. Чтобы сократить эти расходимости, мы должны добавить в лагранжиан контрчлены */22(0)</>2 и */22'(0) (дуф)2.

Таким образом, полный лагранжиан с учетом однопетлевых контрчленов имеет вид

^(i) = gm + д^(1)>(2.97)

где

^(0) = |[(^</>)2-Ц2</>2]-4</>4,

д^(1) = ^Ж ^ +12 (0) ^2 +1 г (0) (а^)2

Объединяя члены одинаковой структуры, мы можем записать (2.97) в виде

(и2 — 6ц2) XZ.

= -f ^ - ^ 2 И Ф2^ Ф\ (2.98) где

Z*—1+^(0), XZr' = X + 3zT(0), дц2 = 2(0). (2.99)

Константы перенормировок в однопетлевом приближении имеют следующие значения:

2Ф = \, так как 2'(0) = 0,

71 । ЗА . Л2

ZX — 1 + 32л2 *П ц2 ’

^2 = ®Л2-<2-100)

Если выразить все параметры через голые величины, используя соотношения (2.49)— (2.51), то получим

^"-([(W-Kfl - Т «■(2.101)

Как и следовало ожидать, это выражение совпадает с непере- нормированным лагранжианом (2.1).

В заключение сделаем несколько замечаний по поводу соглашения о выборе точки разложения pi = 0 для рядов Тейлора (2.72) и (2.96), с помощью которых мы фиксировали конечные части функций Грина. Эквивалентный способ формулировки того же соглашения состоит в том, чтобы наложить на функции Грина определенные условия нормировки. Из (2.96) видно, что конечная часть собственной энергии обладает свой-

ствами

ад

1р==0®’

(2.102)

эх (р2) др2

= 0.

р2 = 0

(2.103)

Отсюда следует, что полный пропагатор

zAR(p2) = — Р2

i

- ц2 - S (р2) + i»

(2.104)

удовлетворяет нормировочным условиям

(2.105)

5Ar‘ др2

= 1.

р2=0

(2.106)

Аналогично из соотношения (2.72), означающего, что Г(0) = 0, и из формулы (2.92) следует нормировочное условие для вершинной функции:

Г^(0, О, 0) = -/Л. (2.107)

(Замечание. Хотя формула (2.104) первоначально была получена для случая, когда функция S(p2) разлагалась в ряд Тейлора в окрестности точки р2 = ц2, она справедлива и для случая, когда разложение ведется в окрестности точки р2 = 0. Чтобы показать это, достаточно провести выкладки, аналогичные (2.14)-(2.22).)

Короче говоря, для того чтобы фиксировать конечные части функций Грина, мы можем использовать условия (2.105) — (2.107) вместо предписания, основанного на разложении функции в ряд Тейлора в окрестности точки р; = 0.

В этой связи заметим, что перенормированная константа связи, определяемая равенством (2.107), отличается от той, которая определялась формулой (2.41), где разложение в ряд Тейлора производилось в окрестности симметричной точки So = to = «о = 4ц2/3. При этом получалось соотношение (2.33)

Г^о, to, иа) = -1Х, (2.108)

Отличающееся от (2.107). Таким образом, различные разложения в ряд Тейлора или различные точки вычитания приводят к раз-

ным определениям константы связи. Это подводит нас к понятию бегущей константы связи (см. гл. 3). Очевидно, что физические результаты не должны зависеть от выбора точки вычитания, который определяется только соглашением. Но как быть на практике с этим очевидным различием в определении константы связи? Пусть мы имеем два выражения для сечения двухчастичного рассеяния, полученные при двух различных определениях константы связи. Такие сечения могут отличаться на общий постоянный множитель (угловые распределения у них одинаковы). Но это несущественно, поскольку константу связи мы должны определять из опыта как значение сечения рассеяния в некоторой точке кинематической области. Поэтому упомянутое различие лишь кажущееся, и два расчета, которые выглядят различными, на самом деле приводят к одному и тому же результату.

Размерная регуляризация

Основная идея метода размерной регуляризации состоит в следующем [24, 57, 88, 389]. Так как ультрафиолетовые расходимости фейнмановских диаграмм возникают при интегрировании по петлевым импульсам в четырехмерном пространстве, эти интегралы можно сделать конечными, понизив размерность пространства-времени. При этом фейнмановские интегралы можно определить как аналитические функции параметра п — размерности пространства-времени, а ультрафиолетовые расходимости будут проявляться как сингулярности при л -> 4. Как и прежде, конечная часть интеграла может быть получена вычитанием нескольких первых членов разложения в ряд Тейлора. Метод размерной регуляризации обладает тем преимуществом, что он не нарушает алгебраических соотношений между функциями Грина, если эти соотношения не зависят от размерности пространства-времени. В частности, такие соотношения, как тождества Уорда, отражающие симметрию теории, сохраняются при введении размерной регуляризации. Описание этого метода дано в обзоре [265].

Мы проиллюстрируем метод размерной регуляризации на одном примере. Рассмотрим четырехточечную функцию Грина (2.7) в однопетлевом приближении, соответствующая диаграмма приведена на рис. 2.5, а. Она пропорциональна логарифмически расходящемуся интегралу

/ =1 2 , • 7г•(2-109)

J (/ — р)2— H2+ZS Р —Ц2+/8''

Чтобы определить интеграл по n-мерному пространству, будем считать, что внутренний импульс имеет п компонент 1№= = (/о, /1/п-1),в то время как внешний импульс имеет

лишь четыре ненулевые компоненты р^ = (рь, Рь Рг, рз, 00).

Тогда интеграл по n-мерному пространству определяется следующим образом:

Нп) = \ dnl—2-т-т-.(2.110)

Он сходится при п < 4. Чтобы придать смысл этому выражению при нецелых значениях п, преобразуем сначала знаменатель, введя фейнмановские параметры, и произведем поворот Вика (формула (2.75)):

11

Г СdnlС С dnl

I (п.)= \ da\ -гг.г»2- , \ ■ .ь = i \ da \ -гд-.—;—- (2.111) v J J [U — арУ — а + ze]2 JJ [У + а2 — ze]2 v ’

оо

где а'=\г—а(1—а)р2.

Подынтегральное выражение не зависит от угловых переменных, и по ним можно проинтегрировать

оо2ллл

dnl = ^ ln-x dl j dOj j sin 02d02 sin203 d03 ... 0000

00

где мы воспользовались формулой

)™”ме-^+2-Л(2“3)

0Ч 2 J

(2.115)(2.115)Тогда равенство (2.111) можно записать в виде

(2.115)

(2.115)

где мы воспользовались формулой

гГ (г) = Г (г + 1).(2.116)

Полученный интеграл хорошо определен при —2<Re(n)<4. Если мы повторим эту процедуру v раз, то область аналитичности расширится до —2v < Re(n) < 4 и далее до Re(n)->—оо. Следовательно, интеграл (2.114) можно считать аналитической функцией в области Re(n)<4. Чтобы увидеть, что происходит при л->4, мы воспользуемся формулой (2.84) и вычислим интеграл при л < 4:

'(") = «-=Г (2(2.117) О 11

Из равенства (2.116) следует

ГГ(3-^")2

г(2-1-) = -—*4^ ПРИ

2

мы видим, что сингулярность при п = 4 является простым полюсом. Если мы разложим в ряд все величины в окрестности точки п = 4:

Г (2 —-у) = ^-^ + Л + (п-4)5+ ....(2.118)

а""4= 1+(п-4)1па+(2.119) где А и В — некоторые константы, то в пределе получим

1

/ (л) —-^ ^п гл-2 ^ ^а *п [Р2 — а (1 — а) Р2] + гл2Д. (2.120) о

Функция (2.7) в однопетлевом приближении равна

ги = "^ = ^)т1пг- ^</а1п[112-а(1 -сМ + мк

(2.121)

Разлагая это выражение в ряд Тейлора в окрестности точки р2 = 0, находим

Г (р2) = Г (0) + Г (р2),(2.122)

где

Г(О)=^-Г-^/1пр2 + /А) ~(2.123)

4 '32л2 V 4 — п)16л2 (4 — n) v 7

/ 9\f j 1 Г Ц2 — ct (1 — а) р2 1

Г ) = "3257- J da 1п I"] = о■

— IV С <^«(1 — а) (2а— 1) р2 , 9..

32л2 J [ц2-а(1-а)р2] '

Последнее выражение получено интегрированием по частям. Видно, что конечная часть точно та же, что и конечная часть (2.86), полученная при ковариантной регуляризации. Таким образом, конечная часть функции Грина, как и следовало ожидать, не зависит от метода регуляризации, а зависит лишь от точки вычитания. Расходимость слагаемого Г(0) связана с простым полюсом при п=1, соответствующим члену с 1п Л в (2.89) при ковариантной регуляризации.

Собственная энергия в однопетлевом приближении (соответствующая диаграмма приведена на рис. 2.4) дается выражением (2.6). При размерной регуляризации оно принимает вид

к t dnt1

' (2л25)

Поскольку, согласно формуле (2.116), гГз-—) г (1 -(2.126)

квадратично расходящемуся члену в (2.95) соответствуют полюса при п = 4 и п = 2. При п—>- 4 получаем

(2.127)

Чтобы сравнить два метода регуляризации, в табл. 2.1 приведены выражения для расходящихся членов. Расходимости

Таблица 2.1

КовариантнаяРазмерная

регуляризациярегуляризация

Г (0)2(0)Г (0)2(0)IX2 232л2 4 —лX / -2ц2 \ 32л2 к 4 — л )IX2 232л2 4 —лX / -2ц2 \ 32л2 к 4 — л )IX2Л2

Г (0)

2(0)

Г (0)

2(0)

IX2 232л2 4 —л

X / -2ц2 \ 32л2 к 4 — л )

IX2 232л2 4 —л

X / -2ц2 \ 32л2 к 4 — л )

32л2ц2

— дг32л2

фейнмановских интегралов, вычисленных в n-мерном пространстве, проявляются как полюса Г-функции при п = 4, ... и т. д. При этом надо иметь в виду, что квадратично расходящийся интеграл имеет также полюс при п = 2 (см. формулу (2.126)).

2.4. ПОДСЧЕТ СТЕПЕНЕЙ РАСХОДИМОСТЕЙ И ПЕРЕНОРМИРУЕМОСТЬ

В предыдущих разделах подробно рассматриваются перенормировки в теории Хф\ Здесь будет описана процедура не-

ренормировок для взаимодействий более общего вида. В этом разделе мы будем следовать схеме БПХ-перенормировок. В последней части раздела мы изучим также вопрос о перенормировках составных операторов.

Теории с фермионами и скалярными частицами

Для простоты мы сначала обратимся к теориям, содержащим только частицы со спинами 1/2 и 0. Пусть лагранжева плотность имеет вид S’= S’o+2 ^z. где S’o— свободный лагранжиан, квадратичный по полям, а 3? i— члены, описывающие взаимодействие (например, S’, = ^фуцфд^, ^(ФФ)2, £зФФ0, ^4^3, 5б^4, ■•■)• Для данной диаграммы определим следующие величины:

nz — число вершин типа I,

bt — число скалярных линий в вершине типа I,

f{ — число фермионных линий в вершине типа I,

1128)

di —число производных в вершине типа t,

В — число внешних скалярных линий,

F — число внешних фермионных линий,

IB — число внутренних скалярных линий,

IF — число внутренних фермионных линий.

Например, в случае, когда S^ = £1фуцфд^, имеем bi = 1, fi = 2, d\ = 1. Анализируя структуру графов, можно получить соотношения, аналогичные (2.58):

В + 2(1В) = £ ntbi,(2.129а)

F + 2 (ZF) = S «JZ-(2.1296)

Можно вывести формулу для числа петель L диаграммы, обобщающую (2.59):

L = (7B) + (7F)~n+l,(2.130)

где.

п= X Mi-(2.131)

Тогда условная степень расходимости D определяется выражением

D = 4L -2(IB) - (IF) + £ ntdt =

= 4 + 2 (IB) + 3 (IF) -VHtii (dt - 4).(2.132)

i

Пользуясь формулами (2.129), исключим IB и IF из этого выражения и получим

£> = 4-В-|г + ^мД,(2.133)

где

6z = 6z + |fz + dz-4.(2.134)

Величина 6, называется индексом расходимости взаимодействия Si. Для теории Хф4 6 = 0, и формула (2.133) принимает вид (2.61). В общем случае индекс 6Z можно связать с размерностью константы связи, выраженной в единицах массы.

Рис. 2.16.

Зная, что лагранжева плотность имеет размерность 4, а скалярное поле, фермионное поле и производная имеют размерности 1, 3/2 и 1 соответственно, нетрудно найти, что размерность константы связи равна

dim(gz) = 4-6z-|fz-C/1.= -6z. (2.135)

Из формулы (2.133) видно, что при фиксированном числе внешних линий условная степень расходимости диаграммы может иметь три различных режима поведения, соответствующие следующим трем случаям.

gi имеет положительную размерность (или 6, < 0). Тогда D уменьшается с увеличением числа вершин типа I. В этом случае взаимодействие, описываемое Si, называется суперпе- ренормируемым взаимодействием, и имеется лишь конечное число расходящихся диаграмм. В качестве примера приведем диаграммы, дающие вклад в двухточечную функцию Грина в суперперенормируемой теории Хф3. Однопетлевая диаграмма расходится (рис. 2.16, а), но двухпетлевая (рис. 2.16,6) конечна.

gi безразмерна (или 6z = 0). Индекс D не зависит от числа вершин /-го типа. Расходимости присутствуют во всех порядках теории возмущений, но число функций Грина, содержащих расходимости, конечно. Такие взаимодействия называются перенормируемыми. К ним относятся, например, $1 = §хф4, g-МФ-

gi имеет отрицательную размерность (или б,- > 0). В этом случае D возрастает с ростом числа вершин /-го типа в диаграммах, и все функции Грина расходятся при достаточно больших п.

Такие взаимодействия называются неперенормируемыми. Среди них $i = ^фУцфд^, ^(ф 1]) )2, §зф5 ит. д.

Индекс расходимости 6, связан также с канонической размерностью полевого оператора. Это понятие определяется через асимптотическое поведение пропагатора свободного поля при высоких энергиях, которое, очевидно, тесно связано с подсчетом степеней расходимостей. Запишем пропагатор свободного поля в следующем виде:

Da(p^= J ^хе-^<0|Т(Л (х) Л(0))|0>.(2.136)

Если его асимптотическое поведение имеет вид

(2.137)

то каноническая размерность оператора поля по определению равна

d (Л) = (4 - <оа)/2.(2.138)

Следовательно, для скалярных и фермионных полей и их производных имеем

d^=\, dW)=Hn,

d^ = 3j2, d(d^) = 3/2 + n.(2.139)

Для составных операторов, являющихся полиномами по полям, каноническая размерность есть алгебраическая сумма канонических размерностей составляющих полей. Например, d^^ = = 2d^ = 2, б?(фф^) = 2с?(ф)+ d(^) = 4. В случае теорий, содержащих лишь скаляры и фермионы, каноническая размерность оператора совпадает с тем, что мы получили бы при наивном подсчете размерности в единицах массы. Но, как будет видно ниже, для массивных векторных полей ситуация иная. В принятых нами обозначениях и с учетом (2.128) каноническая размерность для отдельного члена взаимодействия в лагранжиане равна

d^^bi + ^fi + d,.(2.140)

При этом индекс расходимости б; = d(3?t) — 4. Таким образом, если слагаемое имеет каноническую размерность, равную 4, то оно описывает перенормируемое взаимодействие, если меньше 4, то суперперенормируемое, если больше 4, то неперенорми- руемое.

Контрчлены

Поскольку контрчлены строятся таким образом, чтобы сократить расходимости функции Грина, их структура тесно связана со структурой расходящихся членов. Например, как мы

уже видели, в теории Хф4 для устранения квадратично расходящихся слагаемых в двухточечной функции нужны контрчлены типа (<?v^) (<5V^) с размерностью 4 и типа ф2 с размерностью 2; для логарифмически расходящихся членов четырехточечной функции требуется контрчлен типа ф4 размерности 4. В общем случае мы должны включить в лагранжиан контрчлены, сокращающие все слагаемые в функциях Грина с условной степенью расходимости D ^ 0 (см. формулу (2.133)). В целях удобства для выделения расходимостей мы будем использовать разложение в ряд Тейлора в окрестности точки pi = 0. Структура контрчленов зависит от числа расходящихся членов в этом разложении. Например, если функция Грина расходится квадратично, то в ее разложении в ряд Тейлора

Г(п) (рЭ = a-V b^p^ + c'tj’pinPis + Г(п> (pi) (2.141)

первые три члена расходятся. Контрчлены, призванные сократить член а, не будут содержать производных по полям, контрчлены, которые должны сократить член Ь, будут содержать одну производную и т. д. В обозначениях (2.128) контрчлен будет иметь вид Окч = (дц,)а(ф)г (ф)в, где а = 0, 1, . .., D. Например, в теории Хф4 мы имеем контрчлены, соответствующие F = 0, В = 2 с а = 0 и а = 2 и В = 4 с а = 0. Каноническая размерность Окч дается формулой

cU—^F + B + a.(2.142)

С помощью равенства (2.133) индекс расходимости контрчлена может быть записан в виде

бкч = dK4 — 4 = (а — D) + X ni^f(2.143)

Так как а ^ D, то справедливо неравенство

6Кч^£«А-(2.144)

Следовательно, контрчлены, индуцированные некоторой диаграммой Фейнмана, имеют индексы расходимости бкч, не превышающие сумму индексов расходимостей всех взаимодействий, входящих в диаграмму.

Перенормируемые взаимодействия, соответствующие случаю б,- = 0, порождают контрчлены с бкч ^ 0. Если при этом все члены с б; ^ 0 присутствуют в исходном лагранжиане, т. е. контрчлены имеют ту же структуру, что и члены исходного лагранжиана, то можно считать, что контрчлены переопределяют параметры, такие, как массы и константы связи. Эти перенормированные величины задаются в теории с самого начала, И для их определения необходимо произвести измерения конец-

ного числа физических процессов. Зная эти параметры, мы можем произвести расчет всех других физических процессов в рамках рассматриваемой теории. Например, в теории Хф4 имеются два свободных параметра: константа связи X и масса ц. Для их определения мы можем использовать значения сечения двухчастичного упругого рассеяния при двух различных углах рассеяния. После этого мы можем вычислять значения сечений при других углах и (или) при любых энергиях (а также

фФ

Рис. 2.17.

сечения неупругих процессов). То же самое в основном справедливо и для суперперенормируемых теорий. В отличие от этого в случае неперенормируемых взаимодействий, когда б, > О, возникают контрчлены со сколь угодно большими 6КЧ в достаточно высоких порядках теории возмущений. Очевидно, что они не могут быть включены в члены исходного лагранжиана путем переопределения параметров. Например, неперенормируемое взаимодействие Хф6 с 6 = 2 порождает контрчлены со всеми четными степенями ф и их производные: ф2п и д2тф2п, п, т = = 1, 2, ..., оо. Необходимо бесконечное число измерений для определения этих членов. Таким образом, неперенормируемые взаимодействия не обязательно должны быть бесконечными. Но бесконечное число контрчленов, вызванное неперенормируе- мостью, сильно ослабляет предсказательную силу такой модели и, следовательно, делает ее непривлекательной, по крайней мере в рамках теории возмущений.

Мы примем теперь более узкое, чем прежде, определение перенормируемости. Будем говорить, что лагранжиан условно перенормируем (перенормируем, согласно подсчету условной степени расходимости), если все контрчлены, индуцированные процедурой перенормировки, могут быть включены в лагранжиан путем переопределения его параметров. Согласно этому определению, теория взаимодействия одного фермиона с одним скалярным полем через юкавскую связь фубф^ неперенорми- руема, несмотря на то, что константа связи безразмерна. Причина состоит в том, что однопетлевая диаграмма, показанная на рис. 2.17, логарифмически расходится и необходим контрчлен типа ф4. Но такого слагаемого нет в исходном лагранжиане. Та же теория после того, как мы добавим в нее член

самодействия ф4, станет перенормируемой. С другой стороны, если мы можем заранее исключить слагаемое того или иного типа в лагранжиане из соображений симметрии, то перенорми- руемость теории не нарушится, так как вклады высших порядков никогда не приведут к контрчленам этого типа. Например, пусть имеется лагранжиан с одним скалярным полем:

Он перенормируем, так как содержит все члены с 6^0 (или с размерностью, меньшей или равной 4), которые симметричны относительно замены ф—^ — ф. Контрчлен типа ф3 запрещен этим условием симметрии относительно отражения. С учетом вышесказанного можно по-другому взглянуть на формулу (2.133) или ее частный случай (2.61) для теории Хф4. Вклады высших порядков, например в шеститочечную функцию, должны быть конечными в (перенормируемой) теории ^ф4. Если бы это было не так, то понадобился бы контрчлен типа ф6 для устранения расходимостей. Но он имеет индекс 6=2, что нарушает перенормируемость теории.

Теории с векторными полями

Поскольку асимптотическое поведение пропагаторов свободного векторного поля для массивного и безмассового случаев сильно различается, мы проанализируем эти случаи в отдельности.

Безмассовое векторное поле. В теориях с локальной калибровочной инвариантностью, таких, как квантовая электродинамика, векторное поле является безмассовым. Свободный пропагатор имеет убывающую асимптотику на бесконечности. Например, в квантовой электродинамике пропагатор фотона в калибровке Фейнмана имеет вид

(2.145)

Отсюда следует, что каноническая размерность фотонного поля й(Д) = 1, как для скалярного поля. Следовательно, весь анализ с подсчетом степеней расходимостей для безмассового векторного поля тот же, что и для скалярного поля. Теории с безмассовым векторным полем будут перенормируемы, если они содержат члены взаимодействия с размерностью не выше четырех и не нарушают локальную калибровочную инвариантность. Например, размерность 4 имеют следующие операторы:

фу^фД*1, ф^А», (д^ фА^,

где Дц—безмассовое векторное поле. Эти примеры в действительности почти исчерпывают все возможные перенормируемые взаимодействия (т. е. размерности 4 или 3) полей со спином О и 1/2 с безмассовым векторным полем. Кроме перечисленных возможен еще только оператор (дуф^А^ размерности 3, билинейный по полям; он является частью свободного лагранжиана.

Массивное векторное поле. Свободный лагранжиан массивного векторного поля Vy обычно выбирается в виде

^о = - | (<5Ц|/. - dvI/J (^Kv - ^'И + -| ^Гу^^. (2.146)

Пропагатор в импульсном представлении равен

о<2J47)

h —. Му + ze

и имеет асимптотическое поведение:

(2J48)

Отсюда следует, что каноническая размерность векторного поля равна 2, что отличается от размерности 1, которую мы получили бы из (наивного) подсчета. Анализ подсчета степеней в этом случае приводит к следующей условной степени расходимости:,

д = 4-В-|а-21/+ £«z(Az-4)(2.149)

i

И

b^biA-^fiA-Syi + di,(2.150)

где V — число внешних векторных линий, щ— число векторных полей в вершине типа i, а А,— каноническая размерность члена взаимодействия S’,. Для того чтобы взаимодействие было перенормируемым, необходимо выполнение условия А, ^ 4. Но, согласно (2.150), единственный такой член взаимодействия, трилинейный по полям, имеет вид фаАу Он явно не обладает лоренц-инвариантностью. Таким образом, нетривиальных перенормируемых взаимодействий с массивным векторным полем не существует. Однако необходимо упомянуть о двух важных исключениях из этого правила.

А. В калибровочной теории со спонтанным нарушением симметрии векторный (калибровочный) бозон приобретает массу таким способом, что перенормируемость не нарушается. Этот механизм подробно обсуждается в гл. 8.

Б. Теория, включающая нейтральный массивный векторный бозон, взаимодействующий с сохраняющимся током, также перенормируема. Эвристически это утверждение можно пояснить

следующим образом. При всех вычислениях пропагатор О^(£), описываемый формулой (2.147), умножается на сохраняющиеся токи /ц(й) и JV(A). Но в силу закона сохранения тока кЧр = О, или <3^/n(x) = 0 в координатном представлении, член крк^Мч не будет давать вклада. Следовательно, подсчет степеней расходимостей по существу производится так же, как в безмассо- вом случае.

Перенормировка составных операторов

До сих пор мы изучали только функции Грина, включающие элементарные полевые операторы. Однако во многих практических приложениях представляют интерес также функции от составных операторов, т. е. от локальных мономов полей и их производных типа фуцф, ф2, фд2ф и других.

В качестве примера, который позволит нам проиллюстрировать перенормировки таких составных операторов, мы снова используем теорию Хф4. Рассмотрим составной оператор ^/гФ2^)- Функция Грина с одной вставкой ЧгФ2^) имеет вид

G^(x; х„ .... хп) = (О 1Т ^-ф2 (х) ф (xi) ... ф(х„))\0>, (2.151)

или в импульсном представлении

(2л)4 д(4) ^р + р,.+ ... + Рп) G^ (р; р1г .... рп) =

= ^4хе~'р^хь ..., хп\ (2.152)

<-i

В рамках теории возмущений с помощью теоремы Вика представим эту функцию Грина в виде диаграмм Фейнмана. Например, для 0$ (х; Хь х2) в нулевом порядке по X имеем 0$ (х; хь х2) = (0 | Т (1ф2 (х) ф (xi) ф (х2)) 10) =

= iA (х — Х[)/А (х — х2),(2.153)

или в импульсном представлении

' О^Цр; рь — р —pi) = tA(pi)/A(p + pi). (2.154)

Если мы отбросим пропагаторы, соответствующие внешним линиям, то получим

Г^(р; Pi, -P-Pi)=l.(2.155)

Этому вкладу соответствует диаграмма, приведенная на рис. 2.18, а. Та же функция Грина в первом порядке по X имеет

ВИД

G® (Х-, Хь Х2) =

= $ d4y <0 | Т (1Ф2 (х) ф (х,) ф (х2) ^- ф' (у)) 10) =

= j) d'y '-^^ [<А (х — у)]2 ZA <хх — у) iA (х2 — у).

Соответствующая (усеченная) одночастично-неприводимая функция Грина равна .

Г® <р; Рх, —р — Рх^ =

— У^ С ^4Z( ( /л 1 ка\ 2 J (2л)4 Z2 — ц2 + Ze (Z — р)2 — ц2 + Ze ‘' ‘’

Диаграмма, отвечающая этому вкладу, показана на рис. 2.18,6.

Мы видим, что составной оператор порождает вершину,

Рис. 2.18. Диаграммы, отвечающие нулевому и первому порядкам функции Грина Г^(р; р„ — р - рх\

очень похожую на ту, которая порождается членом в лагранжиане. Отличие состоит в том, что составной оператор уносит часть импульса. Это обстоятельство подсказывает метод систематического вычисления функций Грина с составными операторами. Как мы уже видели в разд. 1.2, чтобы вычислить функции Грина элементарного поля ф^с), удобно ввести в лагранжиан слагаемое /(х)^>(х), где J(х)—произвольная с-числовая функция. Аналогично для составного оператора Q(x) мы можем ввести член х(х)Щх), где %(х)—с-числовая функция источника:

^M^loi + xQ. (2.167)

Несложно построить производящий функционал IF [%], являющийся амплитудой вакуум-вакуумного перехода в присутствии внешнего источника х(х). Дифференцируя теперь In W[%] по % и полагая затем источник х равным нулю, получим связные функции Грина. Если й(х) = х/г ф2 (х), то мы имеем вершину, показанную на рис, 2,19, а. Она может, например, входить 9

однопетлевую диаграмму с четырьмя внешними линиями, соответствующими полю ф (рис. 2.19,6):

Vp; pi,2 J (2л)4+(/+ p)2 _ цг +/8 A

X T,T2FT- •(2-158)

U — Pi — РгУ— g2 + ze v '

Теперь мы подготовлены к тому, чтобы обсудить процедуру перенормировки этого нового класса функций Грина ГоЧр; Pi, • ••> рп\Она почти такая же, как и для функций Грина

Г(л)(Рь ..., р^ без Q(x). Поскольку вставка составного оператора эквивалентна введению дополнительной вершины, из формулы (2.133) следует, что условная степень расходимости Dq для функции Гы* отличается от условной степени расходимости D для Г(п> на индекс расходимости 6ц составного оператора:

Dq = D-V dQ = £> + №-4),(2.159)

где da—каноническая размерность Q. Это означает, что введение (перенормируемых или суперперенормируемых) составных операторов с с^^ 4 не ухудшает свойств сходимости для функции Грина. Но вставка оператора с da > 4 усиливает расходимость диаграммы. В случае Й = 72^2 размерность d(^2) = 2, и для «-точечной функции 0,^ = 2 — п. Следовательно, только функция Г^ расходится логарифмически и требует перенормировки. Соответствующая однопетлевая диаграмма, показанная на рис. 2.18,6, имеет следующее разложение в ряд Тейлора:

Г^(р; pi, -р-рО-Г^О; 0, О)+Г^(р; pi, - р - рх\ (2.160) где Г^ конечна и нормирована условием

Г^(0; 0, 0) = 0.(2.161)

Устраняющий эту расходимость контрчлен

- уГ^СО; 0, 0)х(х)^(х)

объединяется с исходным членом в лагранжиане и приводит к члену

- у - т ^ (0; о, о) Хф2 = - 4 ZM\

где_

Z^= 1+^(0; 0, 0).(2.162)

Таким образом, выражение для V$r с учетом однопетлевого вклада имеет вид

Гф^ (р; Pi, — р — pi)=l + Т% <р; pi, —р — Pi) (2.163) и удовлетворяет условию нормировки

Г(^(0; 0, 0)=1.(2.164)

В общем случае в (2.157) мы должны добавить контрчлен Ай, т. е.

^->^ + /(Й +АЙ).(2.165)

В частности, если контрчлен пропорционален самому составному оператору Ай = Сй, как в случае й = ЧгФ1! то

^ [Х] = ^ [0] + Х^оЙ = ^ [0] + хОо,(2.166)

где

Йо — ZqQ — (1 4- С) й.

Такие составные операторы называют мультипликативно перенормируемыми. Это означает, что функция Грина, содержащая неперенормированный оператор й0, связана с функцией Грина для перенормированного оператора соотношением

Сй> (х; хь ..., хп) = <0 |Т (й0 (х) фо (xi) ... фо(х„)) 10) =

= ZQZnVWR^x; xiх„).(2.167)

Составной оператор й=72^2 мультипликативно перенормируем, так как это единственный оператор размерности два. В более общем случае Ай =# Сй, и для перенормировки составного оператора могут потребоваться контрчлены, пропорциональные другим составным операторам. Таким образом, из-за перенормировок возникает смешивание между составными операторами. Например, если й = ф\ то понадобятся контрчлены Ай =(<?^)2> Ф2 и Ф4- Для определенности мы ограничимся случаем, когда имеются два составных оператора А и В, которые смешиваются при перенормировке:

$ М = $ [0] + Хл М + АЛ) + Хв (5 + АВ). (2.168) Контрчлены АЛ и АВ являются некоторыми линейными комбинациями Л и В:.

(2.169)(2.169)АЛ СддА + СддВ,^В = СддА + СддВ.

(2.169)

(2.169)

Мы можем представить $ [%] в виде

^Ы^М-НХд. Хв)С(в}(2.170)

где

С=(Х"^Саа\(2.171)

X ^ВА 1 "Г ^ВВ /

Матрица С может быть диагонализована биунитарным преобразованием (см. разд. 11.3), т. е.

UCV^ = (^A' ° 1(2.172)

\ 0/в1)

где U и V— унитарные матрицы. Лагранжиан может быть переписан в следующем виде:

$ lx] = $ [0] + Za^a-A' + Zb^'B', где ■

(

Д' X/ д х

о') = ИпЬ(2.173)

(Х-4'. Хв') = (Хд> Хв) и\

Этот результат означает, что линейные комбинации А' и В', определенные равенством (2.173), являются мультипликативно перенормируемыми:

^^(А'^В'^Ф^ ... ^(^п))|0> =

-Z^Z^Zr^OIT^WB;^ &(хп))|0>.(2.174)

В качестве примера смешивания двух составных операторов рассмотрим теорию с лагранжианом

$ = ^ GY^ — /п) 1]) — у кд^ФУ —

-1^_А_ф^-§^ф_^-,(2.175)

где А = ф3 и В = i])i(). Эти два составных оператора могут смешиваться при перенормировке в силу расходимости диаграмм, показанных на рис. 2.20.

Рис. 2.20. Однопетлевые расходящиеся диаграммы, включающие составныеоператоры А = Ф3 и В = i|n|). Штриховые линии отвечают полю Ф, сплош-ные — полю ip.

Глава 3 РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА

Теория перенормировок, рассмотренная в гл. 2, содержит некоторый произвол, связанный с выбором точки в кинематической области при определении физических параметров, таких, как массы и константы связи. Например, в методе БПХ-пере- нормировок требуется лишь, чтобы расходящаяся часть одно- частично-неприводимой диаграммы сокращалась контрчленами, построенными с помощью разложений в ряд Тейлора. Но точка, в которой производится разложение, произвольна. Различные способы выбора точек разложения, т. е. различных точек вычитания, приводят к разным определениям физических параметров в теории. Однако все точки вычитания равноправны: физика не должна зависеть от выбора условий нормировки. Мы приходим к понятию ренормализационной группы (или ренормгруппы): физическое содержание теории должно быть инвариантно при преобразованиях, изменяющих только условия нормировки. Хотя это утверждение на первый взгляд кажется тривиальным, на самом деле оно приводит к далеко не тривиальным ограничениям на асимптотическое поведение функций в теории. В системах с бесконечным числом степеней свободы (таких, как квантовая теория поля) перенормировка может быть построена таким образом, что она будет эквивалентна ряду переопределений физических параметров в пределах соответствующих масштабов длины или энергии. Между физическими величинами, определенными таким образом, должна существовать связь. Можно сказать, что уравнения ренормгруппы описывают эффект изменения шкалы величин в теории или, более точно, выражают связь перенормируемости и масштабных преобразований.

Впервые метод ренормгруппы был применен Гелл-Манном и Лоу в 1954 г. [166] для изучения асимптотического поведения функций Грина в квантовой электродинамике. Ренормализа- ционная группа была открыта Штюкельбергом и Петерманом в 1953 г. [369]. Ее роль в анализе асимптотического поведения, проведенном Гелл-Манном и Лоу, была понята и изучена в работах Боголюбова и Ширкова [56]. В последнее время интерес к ренсрмгрупповому анализу значительно возрос благодаря работе Вильсона [427]. Наше изложение в основном следует лек-

циям Коулмена [90]. Существует несколько способов построения ренормгрупповых уравнений. В разд. 3.1 мы изучим следствия ренормгрупповой инвариантности с помощью уравнения Каллана — Симанзика [68, 377], связанного со схемами вычитаний в импульсном пространстве. В разд. 3.2 мы кратко обсудим «не зависящие от массы» перенормировки или схему минимальных вычитаний [386, 404] и соответствующее ей уравнение ренормгруппы. В разд. 3.3 мы получим решение этих уравнений, выраженное через «эффективную константу связи», и изучим его свойства *).

СХЕМЫ ВЫЧИТАНИЙ

В ИМПУЛЬСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

И УРАВНЕНИЕ КАЛЛАНА —СИМАНЗИКА

Как уже говорилось выше, существование ренормализацион- ной инвариантности связано со свободой в выборе точки,в которой строится разложение в ряд Тейлора, что в свою очередь ведет к различным определениям физических параметров в теории. Эта свобода выбора может быть переформулирована в виде произвола в нормировке 1 ЧН амплитуд. При этом физические параметры зависят от выбора нормировочного условия. В качестве иллюстрации рассмотрим теорию Х^>4. Мы приведем два характерных примера условий нормировки зависящих от масс (или схем вычитаний в импульсном пространстве).

Промежуточная перенормировка

Эта схема соответствует разложению в ряд Тейлора в окрестности нулевых внешних импульсов. Для собственной энергии имеем

S(p2) = S(0) + S'(0)p2 + S(p2).(3.1)

Конечная часть S(p2) обладает свойствами

2(0) = 0,(3.2)

’) Необходимо отметить, что в 1955 г. Н. Н. Боголюбов и Д. В. Ширков [448], исходя из группового характера конечных перенормировок, вывели функциональные уравнения для квантовополевых функций, установив тем самым связь между работами [369] и [166], а также впервые получили групповые дифференциальные уравнения в явном виде. Программа частичного суммирования вкладов диаграмм и эффективного улучшения обычной теории возмущений была реализована в работе [449]. — Прим. ред.

Полный пропагатор А Др2) связан с собственно энергетической функцией S (р2) соотношением

а 1 ЧН двухточечная функция Г#1 (р2) равна

.Tg' № = а» № [а, (р2)1 -2г [л, У)]-1 -

= —<[р« —и3 —£(р=)].(3.5)

Условия нормировки для S(p2) (3.2) и (3.3) могут быть переформулированы для Г^1 (р2):

Г^2) (0) = р2,(3.6)

-^^-|<3-7)

°Р р’=0

Для четырехточечной функции конечная часть вкладов высших порядков дается равенством

Г<д4) (р„ Р2, Рз) = г(4) (рь р2, рз) - Г<4> (0, 0, 0).(3.8)

Следовательно,

Г(д(Р1, р2, Рз) = 0 при р, = р? = рз = 0.(3.9)

Учитывая также вклад древесного приближения, получаем

ГдЧрь Р2, Рз) =— z^ + rR^pj, р2, рз). (3.10)

Условие нормировки для полной четырехточечной функции имеет вид

Г^(р|, р , р3) = — IX при Р1 = р2 = р3 = 0.(3.11)

Так как точки р, = 0 не лежат внутри физически допустимой области, в этой схеме вычитаний ц2 не является физической массой, а X не является физической константой связи. Но все физически измеримые величины могут быть выражены через эти два параметра. В этом смысле они являются физическими параметрами.

Схема вычитаний на массовой поверхности

В этой схеме вычитаний разложение в ряд Тейлора производится в точке, которая отвечает внешним импульсам, лежащим на массовой поверхности, т. е. р?=ц2. Для собственной энергии оно имеет вид

2 (р2) = ад + (р2 - Р2) S' (р2) + 2 (р2).(3.12)

Следовательно,

2(И2) = 0,(3.13)

=0.(3.14)

дР2 1р»_^

Для функции Г® (р2), определяемой равенством (3.5), соответствующие условия имеют следующий вид:

Г^>(ц2) = 0,(3.15)

В случае четырехточечной функции в качестве точки разложения в ряд Тейлора удобно выбрать симметричную точку в импульсном пространстве:

ГдЧрь Pi> Рз) = — ^ при р2 = ц2, s = t = и = 4ц2/3, (3.17) где s, t и и — переменные Мандельстама. Здесь параметры ц2 и Л являются соответственно физической массой и с точностью до некоторых кинематических факторов физическим дифференциальным сечением при s = t = и = 4ц2/3.

Приведенные выше два примера являются частными случаями общей схемы вычитаний. Условия нормировки R, вообще

говоря, могут характеризоваться несколькими точками в им-

пульсном пространстве gi, £2, ..., в окрестности строится разложение в ряд Тейлора:

которых

Гд1 (1-П = ц2, ^(р2),

(3.18а)

(3.186)

Г(ж U

(3.18в)

Ренормализационная группа. Рассмотрим две различные процедуры перенормировки R и R'. Так как в обоих случаях исходный голый лагранжиан, записанный через неперенорми- рованные поля, один и тот же:

$ = $r (/^-величины) = $к (^'-величины), (3.19) то мы имеем (см. формулу (2.23))

Фк=г;мЧвШ Фк- = г;1,г^ф0.(3.20)

Следовательно,

Z* (R', R) = Z, (R')/Z, (R).Z* (R', R) = Z, (R')/Z, (R).(3.21)(3.21)^ = z;1/2(/?\ r^r, где

Z* (R', R) = Z, (R')/Z, (R).

Z* (R', R) = Z, (R')/Z, (R).

(3.21)

(3.21)

Это означает, что перенормированные поля в различных схемах вычитаний связаны друг с другом мультипликативной константой. Поля фк и фя- конечны. Поэтому величина Zф (R',R) также должна быть конечной, хотя она и является отношением двух расходящихся величин. Можно получить аналогичные соотношения между константами связи, массами и функциями Грина:

Xr, = zv (R', R) г2ф (R', R) Xr,(3.22)

R).(3.23)

Здесь все константы

ZX(R', R) = ZX(R')/ZK(R),(3.24)

dp2 (R', R) = dp2 ЦП - dp2 (R)(3.25)

являются конечными. Операцию, переводящую величины, относящиеся к схеме перенормировок R, в величины в схеме перенормировок R', можно рассматривать как преобразование от R к R'. Множество всех таких преобразований образует ре- нормализационную группу. Теперь мы запишем свойство инвариантности теории относительно ренормгрупповых преобразований в аналитическом виде.

Уравнение Каллана — Симанзика

Прежде всего заметим, что дифференцирование неперенор- мированной функции Грина по голой массе эквивалентно вставке составного оператора Qo = 1/2^о, несущего нулевой импульс:

^1^й. = - /Г^ (0; pi).(3.26)

Это равенство справедливо, поскольку величина Г<п)(р;) зависит от параметра р^ только через голый пропагатор

7=^777(3'27)

и поскольку.

А Г-97) = -27 (- 0 -9 Ч • (З-28)

дц2 VP — ^о + ‘е/ Р ~ Но+‘8р2—p2 + Ze ■

Для неперенормированных (1 ЧН) функций Грина справедливы соотношения

Г^Чрн X, ^г^Чрн Ло, Цо),(3.29а)

Г^ кр, РН К р) - Z^ZW (р, рн Ло ро). (3.296)

Подставляя (3.29) в (3.26) и используя соотношение

(3.30)(3.30)д г(п) /1\ Г ^Ц2 д . дХ д

(3.30)

(3.30)

—у IV (р,; ^ Н) = VV ~Т + —г"—дЩLM <?Р <?Ро ^

получаем уравнение Каллана — Симанзика для теории Хф\ [^ ^Г + Р ^ - "y] Г#1 (рг; X, р) = - /р2аГ^ (0, рц X, р). (3.31)

Здесь а, р и у — безразмерные функции:

<5р /дРо

др2/др2 ’

(3.32)

(3.33)

6р2/дРо '

(3.34)

Между функциями а и у существует связь. Чтобы установить ее, вспомним, что при п = 2 выполняются условия нормировки (3.6) и (2.164):

Г®(0; Л, р) = /р2, Г(Ф2Ш 0; X, р)=1.(3.35)

Полагая в уравнении (3.31) /г = 2 ир; = 0, получаем

а = 2(у-1).(3.36)

Так как перенормированные величины Гд* и T^r не зависят от параметра обрезания во всех порядках по X, то можно ожидать, что и функции а, р и у также не зависят от него. Чтобы строго доказать это утверждение, положим /г = 2 в уравнении (3.31) и продифференцируем его по р2:

D-^+f^-^r^,,; “)=

= - ^«-^т г& (0, р; >.. I*).(3.37)

Теперь положим р2 = 0 и воспользуемся условием нормировки

Тогда соотношение (3.37) примет вид

у = р2 (1 - у) [^ Г(Л (0, р2; X, р)] _^.(3.39)

Из равенства (3.39) видно, что у не зависит от параметра обрезания. Мы установили, что все функции в уравнении (3.31), кроме р, не зависят от параметра обрезания; следовательно, и р не зависит от него, Так как величины а, р и у безразмерны, из независимости от параметра обрезания следует, что они являются функциями только безразмерной константы X, т. е. а = = а (А), р = р (Л) и у = у (Л).

Для практических расчетов величин а, р и у удобно следующим образом использовать зависимость констант перенормировки Zx, 7Ф от параметра обрезания Л. Если мы проводим вычисления в рамках неперенормированной теории возмущений с параметрами Ло и цо, то перенормированные параметры Лиц, согласно (2.50) и (2.51), равны

+бц2,(3.40)

Л = 2Л0,(3.41)

где_

Z = ZxX-(3.42)

и являются функциями Ло, цо и Л. Из соображений размерности константы Л и Z, могут зависеть лишь от безразмерных величин Ло и Л/ц0. Если мы далее выразим Цо через ц = = ц(Л0, Цо, Л), то получим Л = Л(Л0, Л/ц) и Z, = 2)(Л0, Л/ц). Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции

А Л (Ло, Л/ц) |=Л (Ло, Л/ц) |л w (3.43)

дцо•л дЦу дц’

получаем

р = Ц ^- [Л (Ла, Л/ц)]л ^ = ц^ [Z (Ло, Л/ц) ло]л Хо =

= - Л°Л W ^ (Л0’ Л/^и ь >(3.44)

или

0 = - A TFA П" f (Л0’ ^Ь(3-45>

Аналогично выводится формула

v = - Т^л Пп 2ф (Zo, Л/ц)].(3.46)

Из этих формул следует, что для вычисления р- и у-функций, входящих в уравнение Каллана — Симанзика, достаточно знать лишь члены, содержащие In Л в выражениях для констант Zu В однопетлевом приближении имеем (си. формулу (2.100))

z1=1+®-|-T + °№

1 + 0(1").

Следовательно,

PW = -^ + O(V),(3.47)

N(k) = O(X2).(3.48)

Уравнение Каллана — Симанзика непосредственно обобщается на случай функций Грина, включающих несколько составных операторов А, В, С ... . Выберем сначала соответствующие линейные комбинации операторов, такие, чтобы они были мультипликативно перенормируемыми (см. разд. 2.4):

№.3r = ZaxZbx ... г;п,2Ш.Л.(з.49)

или

та ...}Л = Za ‘Zb1 ... Z^' та .Jo- (3.50) Тогда легко показать, что уравнение Каллана — Симанзика имеет вид

^v+^-^+^Jra...},—<w.*! л...щ O-Su где

Nab... = —"2 din Л ln [Z4Zb • • ]•

Теорема Вайнберга об асимптотическом поведении функций Грина

Очевидно, что поведение функций Грина при больших импульсах или на малых расстояниях представляет большой интерес. Оно связано со свойствами перенормируемости теории. Вайнберг [398] доказал важную теорему, описывающую асимптотическое поведение функций Грина для неисключительных значений импульсов в евклидовой области. В евклидовой области все импульсы пространственноподобны р; < 0. Эту ситуацию проще всего реализовать, если считать пространственные компоненты вещественными, а временную — мнимой. Конфигурация импульсов pt, рг, ..., рп называется неисключительной, если ни "одна нетривиальная частичная сумма не обращается в нуль, т. е. р + Р: + • • • + Pt ^ 0 при 1\, иU, принимающих все значения 1, 2п. (Тривиальной частичной суммой, обращающейся в нуль, является сумма pt + рг + ... + Рл = 0, отражающая общий закон сохранения импульса.)

Мы сформулируем без доказательства теорему Вайнберга. Пусть импульсы являются неисключительными и параметризованы следующим образом; pt = аки Тогда 1 ЧН-функция Грина Г^’ в глубоко евклидовой области (соответствующей а-*оо, ki — фиксированы) растет в любом конечном порядке по константе связи X как полином по In а, умноженный на а4-п. Аналогично Г % растет как полином по In а, умноженный на а2~п«

Заметим, что степени числа о для Г#1 и Г% есть просто их условные степени расходимости (см. гл. 2), которые совпадают также с их размерностями в единицах массы.

Эта теорема интуитивно понятна для сходящихся диаграмм. Если внешние импульсы велики и образуют неисключительную конфигурацию, то эти большие импульсы проходят по внутренним петлям и устанавливают шкалу петлевых импульсов, по которым ведется интегрирование. (Для исключительной импульсной конфигурации ситуация может быть иной.) Это объясняет, почему одна и та же степень расходимости возникает как при анализе предела больших внутренних импульсов, так и при анализе предела больших внешних импульсов. Для расходящихся диаграмм справедливость теоремы Вайнберга не столь очевидна. Можно ожидать, что область интегрирования, дающая основной вклад, будет определяться параметром обрезания Л даже при больших внешних импульсах. Но члены, зависящие от Л, сокращаются при учете необходимых контрчленов. Остающийся ведущий вклад опять соответствует той области интегрирования по петле, в которой внутренний импульс по порядку величины сравним с большими внешними импульсами. Чтобы проиллюстрировать эти замечания, рассмотрим диаграмму с четырьмя внешними линиями, приведенную на рис. 2.5:

<3152)

В трех характерных областях интегрирования имеем: Г ~ In Л при I » р\ Г ~ In р при I ~ р\ V ~ р-2 при / <С р. После учета контрчлена (соответствующая ему диаграмма показана на рис. 2.19, в) слагаемое с In Л сокращается и заменяется на член, постоянный по р. Следовательно, асимптотическое поведение в основном определяется областью интегрирования, где I ~ р. Поэтому степень а в асимптотике совпадает с условной степенью расходимости. В рассматриваемом частном примере D = 4 — п = 0. Из теоремы Вайнберга следует, что асимптотическое поведение имеет вид Г = а0 Х(полином по In а). Этот результат согласуется с приведенными выше оценками.

Сделаем еще одно замечание. В глубоко евклидовой области частицы далеки от массовой поверхности р2. 3> ц2. Тем не менее, как показано в гл. 7 и 10, в случае глубоконеупругого рассеяния лептонов оказывается возможным получить полезную информацию с помощью операторного разложения.

Согласно теореме Вайнберга, асимптотика функции Грина в рамках теории возмущений имеет вид

Г^Чорь А, ц) ^ а4"^ (In <т)ь»+ «: (In а)ь-Х + ...], (3.53)

где константы at и bi не определены. Остается открытым вопрос, чему равен результат суммирования полиномов по In а. Если они суммируются к некоторой степени а, например а-"», то величина у называется аномальной размерностью, так как она меняет каноническое поведение а4-п на a4-n-Y. Без сомнения, нам хотелось бы знать как можно больше об аномальной размерности у. ’

Асимптотическое решение ренормгруппового уравнения

Если можно отбросить неоднородный член в правой части равенства (3.31), включающий массовые вставки, то из уравнения Каллана — Симанзика можно получить информацию об асимптотическом поведении функции Грина. Так как это уравнение связывает величины различных порядков по константе связи (ц(<5/<5ц) ~ 0(1), р(д/<5Л) ~ О (Л), а функция у еще более высокого порядка), то его можно рассматривать как своего рода рекуррентное соотношение для коэффициентов at и Ьц входящих в (3.53). Следовательно, асимптотическое решение уравнения Каллана — Симанзика должно иметь отношение к реальному поведению функции Грина при больших импульсах или на малых расстояниях. Другими словами, это ренормгруп- повое уравнение позволяет просуммировать ведущие логарифмические члены во всех порядках теории возмущений.

Из теоремы Вайнберга следует, что Г^ » 1 ^ в любом конечном порядке по Л в глубокоевклидовой области (а-э-оо). Если мы предположим, что это неравенство справедливо даже после суммирования всех порядков теории возмущений, то можно опустить правую часть уравнения Каллана— Симанзика (3.31) и получить следующее однородное дифференциальное уравнение ():

[ц А + р W -^ - "Y W] Г'? (Рр X, ц) = 0, (3.54) где Г^ — асимптотическая форма Г("\ Таким образом, в глубоко евклидовой области малые изменения массового параметра (член ц(<5/<5ц)) всегда могут быть компенсированы соответствующими малыми изменениями константы связи (член Р(<5/<ЗЛ)) и масштабными изменениями полей (член —цу).

•) Может сложиться впечатление, что дифференциальные ренормгрупповые уравнения, рассматриваемые в этом разделе (начиная с (3.54)), являются следствием уравнений Каллана — Симанзика вида (3.31), (3.51) и могут быть получены лишь в асимптотическом случае. Последовательный и логически более простой путь вывода ренормгрупповых уравнений, восходящий к работам [166, 448], использует функциональные уравнения и следующие из них дифференциальные уравнения для функций Грина и эффективного заряда вида (3.60), (3.64), которые могут быть записаны и в неасимптотической области,— Прим. ред. '

Сначала мы сопоставим изменению массового параметра соответствующее изменение масштабного параметра. Используя анализ размерностей, можно записать

Г^с (Рр X, Р) =X),(3.55)

где Г#’ — безразмерная функция, удовлетворяющая уравнению

Р ^г + ° 4)т? ("р./^ Ч = °-<3-56>

Из соотношений (3.55) и (3.56) имеем

[с ^г+° ~k+<" - 4>] г2 <W' к- Ч=°-<3-57>

Теперь уравнение Каллана — Симанзика может быть записано в следующей асимптотической форме:

[» ^- - Р W ^ + /гу (А) 4- (п - 4)] ГМ (арг X, Р) = 0. (3.58)

г№> ^ H) = a4-"г№> ^ H) = a4-"ехр" $ "VSdx FW vaPvp)- - 0ехр" $ "VSdx FW vaPvp)- - 0(3.59)(3.60)(3.59)(3.60)Для решения этого уравнения мы сначала исключим члены, не содержащие производных, с помощью преобразования

г№> ^ H) = a4-"

г№> ^ H) = a4-"

ехр" $ "VSdx FW vaPvp)- - 0

ехр" $ "VSdx FW vaPvp)- - 0

(3.59)

(3.60)

(3.59)

(3.60)

Тогда

["^-PW-^Jf*^. ^ I*)-°-

Чтобы упростить дальнейшие выкладки, перейдем к переменной / = In а. Нужно решить уравнение

[4-pw^]^^’ л’ р)=°-(3-61)

Для этого введем функцию, называемую эффективной или бегущей константой связи X, как решение уравнения

дХ (t, X) а м \/о

57=PW(3.62)

с граничным условием Х(/ = 0, Х)=Х. Уравнение (3.62) можно записать в другой форме. Для этого проинтегрируем его по t:

X (Л X)

(3-63)

X

а затем продифференцируем обе части по X:

1 dX 1

Р (X) dX 0 (X) ’

ИЛИИЛИPW -^]Ш W = 0.PW -^]Ш W = 0.(3.64)(3.64)

ИЛИ

ИЛИ

PW -^]Ш W = 0.

PW -^]Ш W = 0.

(3.64)

(3.64)

г А ехр п. ог А ехр п. оdx FW(p., X(Z, Л), р.). (3.65)dx FW(p., X(Z, Л), р.). (3.65)Следовательно, если функция FW зависит от t и X через ком-, бинацию X(t, Л), то она удовлетворяет уравнению (3.61). Тогда Г(а"> должна иметь вид

г А ехр п

. о

г А ехр п

. о

dx FW(p., X(Z, Л), р.). (3.65)

dx FW(p., X(Z, Л), р.). (3.65)

г^ (аРг ^, И) = о4”"

С v toехр nrmdx. оС v toехр nrmdx. оМожно записать

С v toехр nrmdx

. о

С v toехр nrmdx

. о

ехр n\t^dx"Vn\"¥wdx

L ох ■

= Н (X) ехр — п= Н (X) ехр — пdx = Н (X) ехрdx = Н (X) ехр

= Н (X) ехр — п

= Н (X) ехр — п

dx = Н (X) ехр

dx = Н (X) ехр

гдегде(3.66)

где

где

- X-

Н Щ = ехр п. У dx .

L оJ

Итак, мы получили результат

П"’ (°Pi’ Л’ Ю =

= а4-11 ехр= а4-11 ехрН(Ш X))F^(p., X(t, Л),Н(Ш X))F^(p., X(t, Л),Н).Н).

= а4-11 ехр

= а4-11 ехр

Н(Ш X))F^(p., X(t, Л),

Н(Ш X))F^(p., X(t, Л),

Н).

Н).

(3.67)

Если положим _в этой_ формуле Z = 0 (а=1), то увидим, что комбинация Н(Х) F^ (Л) равна Г^’- Следовательно,

г(">(^> ^- и) =

= а4-пехр —п= а4-пехр —пt.^ Y (^ (^', X^dx'оt.^ Y (^ (^', X^dx'ог^^, Ш х\ ц).г^^, Ш х\ ц).(3.68)(3.68)

= а4-пехр —п

= а4-пехр —п

t.

^ Y (^ (^', X^dx'

о

t.

^ Y (^ (^', X^dx'

о

г^^, Ш х\ ц).

г^^, Ш х\ ц).

(3.68)

(3.68)

Записанное в такой форме асимптотическое решение Г^ имеет простую интерпретацию. Эффект масштабного изменения импульсов pt в функции Грина Г<"> эквивалентен с точностью до мультипликативных факторов замене константы связи X на эффективную константу X. Первый множитель а4-" в выражении (3.68) связан с канонической размерностью и отражает тот

факт, что Г^ имеет размерность 4 — п в единицах массы. Экспоненциальный множитель в (3.68) есть поправка к канонической размерности, являющаяся результатом суммирования ведущих логарифмов по теории возмущений. Этот множитель определяется у-функцией. Именно поэтому у часто называют аномальной размерностью [428].

Подведем итоги нашего обсуждения. Почти очевидно, что в пределе больших импульсов массами можно пренебречь и теория должна быть масштабно-инвариантной. Но даже при отсутствии физических масс в перенормируемой теории есть некоторый энергетический масштаб, так как мы всегда должны накладывать условие нормировки при определенном значении импульса. Следовательно, наивный подсчет размерностей, вообще говоря, неприменим и масштабная инвариантность нарушается. Но зависимость теории от нормировочного масштаба масс дается ренормгрупповым уравнением, отражающим эффект малого изменения масштаба. В благоприятных ситуациях, когда неоднородный член в уравнении Каллана — Симанзика можно опустить, из решения видно, что асимптотическое поведение имеет определенный универсальный характер. При этом операторы приобретают аномальные размерности.

СХЕМА МИНИМАЛЬНЫХ ВЫЧИТАНИЙ

И ЕЕ РЕНОРМГРУППОВОЕ УРАВНЕНИЕ

В этом разделе мы рассмотрим другие формы ренормгруп- пового уравнения. Проанализируем еще раз условие мультипликативной перенормируемости (3.29а), которое можно записать в виде

Г™ (Рр \- Ло) = ^"Х* (Ро Л’ ^’ *>(3-69)

Если мы будем считать голые параметры Хо, щ, фо независимыми переменными, то перенормированные величины будут функциями этих голых параметров и нормировочного масштабного параметра х. В соотношении (3.69) правая часть зависит от х как явно, так и неявно через определения X и щ Но левая часть не зависит от х. Следовательно,

[-*^+Р^г+^^-"7]гр-0,(3.70)

где

Жн/х) = х-^,(3.71)

УЖ ц/х) = х^-,(3.72)

Y(Z, ц/х)=-х^А(3.73)

В отличие от уравнения Каллана — Симанзика (3.31) это ре- нормгрупповое уравнение не имеет неоднородного члена. Мы постараемся решить его с помощью процедуры, аналогичной той, которая использовалась при решении асимптотического уравнения Каллана — Симанзика (3.54). Но теперь коэффициенты Р, ут и у являются безразмерными функциями двух переменных X и ц/х, что затрудняет решение. Однако в противоположность схеме импульсных вычитаний, рассмотренной в разд. 3.1, существует массово-независимая схема перенормировок, в которой зависимость от массы в ренормгрупповом уравнении исчезает. Мы опишем основные черты этой схемы вычитаний, разработанной т’Хофтом [386] (см. также обсуждение некоторых вопросов в книге Рамона [336]).

Схема минимальных вычитаний

Эта схема перенормировок особенно удобна при размерной регуляризации. При этом расходимости проявляются как полюса выражений, когда размерность п->4. Схема минимальных вычитаний состоит в добавлении контрчленов, сокращающих эти полюса, причем контрчлены не имеют конечных частей.

В качестве примера рассмотрим собственную энергию в однопетлевом приближении (рис 2.4) в теории Хф4. В схеме вычитаний в импульсном пространстве, обсуждавшейся в разд. 3.1, очевидно наличие произвольного масштаба масс х (например, задаваемого точкой нормировки). В схеме размерной регуляризации также возникает необходимость ввести масштаб масс х, чтобы сохранить правильную размерность константы связи и масс: Л->(х)4-”Л и ц->хц. Имеем

— ZXxE f dnl I

—)—2) (2л)п Z2 — ц2 “

— ZXxE лп'2Г (1 — гг/2)—7Д1

где

e = 4-n.(3.75)

При разложении в ряд по е в окрестности точки е = 0 мы будем пользоваться формулами

Г(-п + 8)==-Ц^-[4-+Ф(л+ 1) + О(е)],(3.76)

а8 = е81па = ! + е|па + О(е2),(3.77)

где

Ф (n + 1) = 1 + 2" + •••+— — Y'

а у = 0,5772 ... — константа Эйлера. При е —> 0 выражение (3.74) имеет вид

- /2 (р2) -> ^£_ [| + ф (2) + 2 In (%/р) + 2 In 2 д/л + О (е)].

(3.78)

Следовательно, контрчлен 2(0)^>2/2, который необходимо добавить в лагранжиан в соответствии с формулой (2.62), в схеме минимальных вычитаний имеет вид

<3'79>

Он отличается от контрчлена (Ац2/32л2) р/е + у ф (2) + In (х/ц) + + 1п2д/л]^2> добавляемого в схеме вычитаний в импульсном пространстве. Таким образом, лагранжиан контрчленов в минимальной схеме вычитаний содержит только расходящиеся члены разложения в ряд Лорана по е. Соотношения между физическими А, ц и ф и голыми параметрами имеют вид

Ао = хе | А + ^ аг (А)/ег|,(3.80)

L r=iJ

|10 = х[1 + E&rW],(3.81)

Фо = Ф [1 + Z сг (А)/ег] = фг;1'2.(3.82)

Коэффициенты в этих суммах, а значит, и контрчлены, не зависят от произвольного параметра х и (так как все они безразмерны) от массы частицы щ Поэтому схему минимальных вычитаний называют также «безмассовой», т. е. процедурой перенормировки, не зависящей от масс. Это свойство нетрудно понять, если вспомнить, что контрчлены не имеют конечных частей. Они содержат просто «скелетную» структуру, необходимую для сокращения расходимостей при больших импульсах, когда теория не чувствительна к массам (конечно, если амплитуды имеют хорошее поведение при р-э-оо).

Для вычисления ренормгрупповых параметров (3.71) — (3.73) мы воспользуемся тем, что голые величины не зависят от х; Тогда из соотношения (3.80) имеем

'1 +(“'+’•#) + Z 7г[-ЭГ “ > + “«,] = 0- (3-83}

Так как выражение х(<ЭА/дх) аналитично при е = 0, то можно записать

х17 = ^ + ^е + ^2+ ••• •(3'84>

Из (3.83) очевидно, что dr = 0 при г > 1 и

е (А + d^ + (щ + d0 + ^i ~^-) +

+ 2тНа'*' + *Тг + 'г'^г] = 0- <3'85>

Г

Отсюда следуют равенства

(А + ^) = 0,

a, + d,^-=-d0,

(1+d^V^=~d«T- .<3-86>

Следовательно, dX, « dct\ л

X -3— = — Qt "Г Л —т:Ле,

dx 1 1 dX или'

Р^-а. + Л^Г-' (3.87)

Мы также получаем соотношение

(1 -^^)^+iW-«.Wl=^dr(A).(3.88)

Аналогично из формулы (3.81) имеем

==(3-89)

; ^ = у ^(3.90)

а из (3.82) получаем

д Inde,

V = ^-^ = ^>(3'9D

л т- ^r (1 - a* W- (3-92)

Таким образом, формулы (3.87), (3.89) и (3.91) позволяют вычислить величины р, ут и у непосредственно по вычетам простых полюсов ai, bi и Ci. С помощью рекуррентных соотношений (3.88) и (3.90) можно вычислить вычеты полюсов высших порядков по вычету простого полюса. (Аналогично ведущие логарифмы, логарифмы, следующие за ведущими, и т. д. могут быть вычислены во всех порядках теории возмущений с помощью ренормгруппового уравнения, если известно лишь несколько членов низшего порядка.) Здесь мы ограничимся простой проверкой того, что результат для p-функции совпадает с нашими

предыдущими вычислениями. Из соотношений (2.50), (2.63) и (2.123) имеем

Аз = ^хА, где

2Ф = I,

Агх = А-гТ(0) = А + -^4.(3.93)

Следовательно, так как ах имеет второй порядок по А, то A (daJdX) = 2а] и

Р = а' = 1^-(3.94)

что совпадает с (3.47).

Тот факт, что в этой схеме вычитаний р, у и ут являются функциями только переменной К, существенно упрощает решение ренормгруппового уравнения (3.70). Способ решения аналогичен тому, который использовался выше (см. (3.55) — (3.68)). Используя анализ размерностей, уравнение (3.70) можно записать в виде

ддХддХ

ддХ

ддХ

+ (п — 4)^| Г^1 (ар,, Ц, А, х) = 0.(3.95)

Для решения уравнения (3.95) введем помимо эффективной константы связи А(/) также эффективную массу ц(/) (как и раньше, t = In а)

^Г=№ (3.96).

^Г-=[утй)-1]Ц(0.(3.97)

Граничные условия имеют вид

Х(/ = 0) = А,(3.98)

д(/ = 0) = ц.(3.99)

Теперь можно записать решение уравнения (3.95), которое очень похоже на решение (3.68):

Г^(ар,, ц, X, х) = а4-"ехр —пГ^(ар,, ц, X, х) = а4-"ехр —п^(АО^ Г<")(р., Д(/), А(/), х). оJ

Г^(ар,, ц, X, х) = а4-"ехр —п

Г^(ар,, ц, X, х) = а4-"ехр —п

В такой формулировке возможность перехода к пределу больших импульсов (3.54) и справедливость асимптотического решения (3.68) зависят от того, обращается в нуль или нет эффективная масса цЩ в глубокоевклидовой области /~>оо.

Нужно заметить, что в схемах с вычитанием в импульсном пространстве, рассмотренных в разд. 3.1, можно также ввести произвольный массовый масштаб ц, играющий роль точки вычитания, чтобы получить однородное ренормгрупповое уравнение [404]. Но тогда функции у, р, ут помимо зависимости от константы связи Л будут содержать зависимость от /л/ц. Это несколько усложняет решение уравнения ренормгруппы. Однако при конкретных расчетах точку вычитания ц обычно выбирают достаточно большой, чтобы зависимостью от /л/р в функциях у, р и ут можно было пренебречь.

ЭФФЕКТИВНАЯ КОНСТАНТА СВЯЗИ

Помимо тривиального множителя о4-", обусловленного размерностью, функция Грина Г^* (ар^ к, ц) в глубокоевклидовой области а-*оо (или е' -> оо) зависит от а только через эффективную константу связи К^Д). В дальнейшем при анализе асимптотического поведения функции Грина мы сосредоточим внимание именно на этой зависимости.

Как уже отмечалось в разд. 3.1, определение константы связи Л зависит от точки вычитания. Например, в схеме промежуточной перенормировки четырехточечная функция теории кф4 дается формулой (2.42):

Г?> (s, /, и) = - IX, + Г (s, Л7) + Г (/, Л7) + Г (и, Л7), (3.100)

где величина Г(з, Л) задается выражением (2.86), а Л7— константа связи, определенная в этой схеме. Сечение двухчастичного упругого рассеяния связано с четырехточечной функцией соотношением

=— |Г(4Ч2.(3.101)

dQ, 64л2 s 1х '

В схеме перенормировок на массовой поверхности константа связи определяется по-другому — из разложения четырехточечной функции в симметричной точке s = t = и = 4р2/3:

Г'4) (s, Л и) = — iXs + Ts (s, As) + fs (/, AJ + fs (u, AJ, (3.102) где

Г, (s, AJ |s== 0, Г'4) (s = t = и = 4h2/3) = - iXs.

Поскольку сечение (3.101) должно быть одним и тем же в этих двух схемах, мы имеем

d4)(s, t, U) = r‘4)(s, t, и).(3.103)

Вычисляя обе части этого равенства в симметричной точке So = to = uo - - 4ц2/3, получаем

— i^-s = — i^i + f (s0, А,) -ф Г (/0, Л7) + Г (u0, A7).

Мы получили соотношения между константами связи, определенными в различных схемах перенормировок. Очевидно, что мы можем производить вычитания в любой точке физической или нефизической области. Константа связи в любой схеме перенормировок будет функцией точки вычитания. В этом смысле константа связи зависит от энергии; она называется эффективной или бегущей константой связи.

Возможна и другая точка зрения на бегущую константу связи. А именно, она описывает эффекты, порожденные главными радиационными поправками. В теории возмущений эффективным параметром разложения в действительности является константа связи, умноженная на некоторые логарифмические

Рис. 3.1. Пример 0-функции Каллана — Симанзика, имеющей ультрафиолетово-стабильную точку Xi и инфракрасно-стабильные точки 0 и Хг. Стрелки показывают направление изменения константы связи при увеличении импульса.

факторы. Точку нормировки обычно выбирают того же порядка по величине, что и характерный масштаб импульсов задачи. Тогда аргумент логарифма, являющийся, как правило, отношением этих двух размерных величин, будет порядка единицы. Но в задачах, где диапазон энергетических масштабов очень велик, радиационные поправки, содержащие эти логарифмические члены, становятся существенными. В решение ренормгруппо- вого уравнения главные логарифмические факторы входят в просуммированном виде с учетом всех порядков теории возмущений._"

Бегущая константа связи X удовлетворяет дифференциальному уравнению (3.62):

-^-^ = Р(А).(3.104)

Его можно также записать в виде (3.64), т. е. как ренормгруп- повое уравнение:

ч-о-(3.105)

Таким образом, изменение эффективной константы связи X, вызванное изменением энергетического масштаба, описывается ренормгрупповой p-функцией. Чтобы изучить асимптотическое поведение X, предположим, что р(Х) имеет вид, показанный на рис. 3.1. Точки 0, Xi и Х2, в которых p-функция обращается в

нуль, называются фиксированными точками. Если константа связи Л находится в одной из этих точек при / = 0, то она останется в этой точке при всех значениях импульса. Надо различать два вида фиксированных точек. Рассмотрим окрестность Ль Поскольку р(Л)>0 при 0 < Л < Ль эффективная константа связи Л, согласно уравнению (3.104), растет с ростом импульса (т. е. d\/dt = р (/) > 0) и приближается к Л1 при t-^oo. Так как р(Л)< 0 при Л] < Л < Л2, то Л уменьшается с ростом импульса и также приближается к Ль Таким образом, в интервале 0 < Л < Л2 константа связи Л всегда стремится к Л] при возрастании импульса. Точка Л1 называется ультрафиолетово-стабильной фиксированной точкой. Аналогично нетрудно показать, что в окрестностях точек 0 и Л2 константа связи стремится к этим точкам при малых значениях импульса, т. е. при /->0. Следовательно, начало координат и Л2 являются примерами инфракрасно-стабильных фиксированных точек.

Исследуем теперь асимптотическое решение уравнения Каллана— Симанзика. Предположим, что 0 < Л < Л2. Тогда

НтЛ(/, Л) = Л,(3.106)

f -> СО

и

^(Рр Ш Л), Ю^Г^Др., Л,, р).(3.107)

В качестве иллюстрации рассмотрим случай, когда функция р(Л) имеет простой нуль в точке Л1, а величина у(Л^ отлична от нуля. Тогда в окрестности Л]

р(Л)=«а(Л] — Л) при а > 0.(3.108)

Из уравнения

^ = а^х_^(3.109)

получаем

Л = Л] + (Л —Л^е-^..(3 ПО)

Следовательно, для функции (3.108) величина Л приближается к Л] экспоненциально по переменной t. В рамках этого приближения имеем

( у (Л (х, Л)) dx = (=

0АА

= _JL^ln(_A^)=Y(Ai)/ = Y(A1)^(3.111)

Таким образом, в нашем частном случае выражение (3.68)^ имеет вид

lim Г^(арР Л, р) = о^пц+т^гм^,., Л|; р).(3.112)

"а-> со"- '•■

Отсюда следует, что в глубокоевклидовой области изменения полей при масштабных преобразованиях характеризуются аномальной размерностью y(Ai), а поведение функции Грина определяется значениями при К = Аь

В общем случае нахождение нулей p-функции представляет собой сложную задачу, так как для ее решения нужно выйти за рамки теории возмущений. Но р (X) имеет тривиальный нуль в начале координат К = 0. В этой точке аномальная размерность также обращается в нуль. Кроме того, что вычисление у (А) для малых А является практически важным, оказывается также, что точка А = 0 в некоторых случаях представляет интерес с феноменологической точки зрения. В гл. 7 мы обсудим процессы глубоконеупругого лептон-адронного рассеяния, из которых можно извлечь информацию об асимптотическом поведении произведений адронных электромагнитных (или слабых) токов. Явление бьёркеновского скейлинга, наблюдаемое в экспериментах, можно интерпретировать как указание на то, что произведение этих токов обладает сингулярностью в пределе свободных полей. Следовательно, если бы нам удалось найти теорию поля, которая обладала бы ультрафиолетово-стабильной точкой в начале координат А = 0, то ее можно было бы рассматривать как кандидата на роль теории, описывающей взаимодействия частиц (кварков), составляющих адроны. Другими словами, если бы эффективное взаимодействие кварков убывало с уменьшением расстояния между ними, го мы могли бы объяснить явление бьёркеновского скейлинга в глубоконеупругом лептон-адронном рассеянии. Отсюда следует, что теория взаимодействий кварков должна обладать следующим свойством: поля должны становиться свободными в ультрафиолетовом пределе (асимптотическая свобода'). Чтобы определить, обладает ли та или иная модель этим свойством, надо вычислить ^-функцию и проверить, выполняется ли неравенство р(А)<0 при А ;>, 0.

Из формулы (3.47) видно, что теория Хф4 не является асимптотически свободной в ультрафиолетовом пределе. А именно, мы можем проинтегрировать уравнение (3.104)

(3.113)(3.114)(3.113)(3.114)dX _ ЗА2 dt 16л2 и получить

(3.113)

(3.114)

(3.113)

(3.114)

где А = А(/ = 0, А). Конечно, соотношения (3.113) и (3.114) справедливы лишь при малых А, так как мы отбросили поправки высших порядков по А. Если бы эти соотношения имели смысл и при больших константах связи, то из (3.114) следовало

бы, что сила взаимодействия обращается в бесконечность в точке / = 16л2/ЗА, обычно называемой «полюсом Ландау».

В гл. 10 мы рассмотрим p-функции для других теорий. В частности, будет показано, что все теории, не содержащие неабелева калибровочного поля, не могут быть асимптотически свободными.

Подведем основные итоги нашего введения в теорию ренорм- группы и эффективных констант связи. Задача ренормгруппо- вого подхода — описать изменение динамики системы при изменении характерного масштаба величин в наблюдаемом явлении. Обычно интересуются поведением системы либо при очень малых масштабах (ультрафиолетовый предел), либо при очень больших масштабах (инфракрасный предел). Часто в этих случаях ренормгрупповые преобразования (эффективных теорий при различных масштабах) обладают свойством приближаться к фиксированной точке после нескольких итераций. При этом важно, что поведение эффективной теории в окрестности фиксированной точки почти не зависит от деталей этой теории при обычных масштабах. Кроме того, в некоторых случаях вычисления в таких эффективных теориях с фиксированной точкой оказываются намного проще.

Глава 4

ТЕОРИЯ ГРУПП И КВАРКОВАЯ МОДЕЛЬ

Со времен Эйнштейна симметрия играет фундаментальную роль в теоретической физике. В этой и следующих главах мы рассмотрим более знакомый большинству читателей вопрос — глобальную симметрию; Понятие локальной калибровочной симметрии с ее преобразованиями, зависящими от пространственно-временной точки, будет введено в гл. 8. Обычно, требуя, чтобы теория обладала такой калибровочной симметрией, получают вид взаимодействия. Естественным математическим языком для описания симметрий является теория групп. Для того чтобы изучить кварковые модели и неабелевы калибровочные теории сильных и электрослабых взаимодействий, необходимо познакомиться с основами теории групп Ли. В настоящей главе мы даем небольшое введение в этот предмет, преследуя в основном практические цели. Разд. 4.1, являющийся математическим введением, в основном состоит из определений и иллюстрирующих их примеров. Вводимые здесь понятия охватывают теорию групп в том объеме, в каком она практически используется в физике частиц. В разд. 4.2 мы с помощью несложной техники изучим основные свойства групп SU(2) и 5(7(3), а также изложим графические методы их анализа. В разд. 4.3 мы познакомимся с тензорным методом, который применим и для произвольных групп 5U(л). Наконец, в разд. 4.4 дано краткое изложение основных идей кварковой модели, описывающей симметрию ароматов 5(7(3) в сильных взаимодействиях.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП

Группой G называется множество элементов (а, Ь, с, ...) с законом умножения, обладающее следующими свойствами:

Замкнутость. Если а и Ь принадлежат группе G, то и элемент с = ab также принадлежит G.

Ассоциативность. a(bc) = (ab)c.

Существование единичного элемента. Существует элемент е такой, что еа = ае = а для любого а из группы G.

Существование обратного элемента. Для любого а из группы G найдется такой элемент а-1, что аа~' = а~'а = е.

Если умножение коммутативно, т. е. ab = Ьа для любых а и b из группы G, то G называют абелевой группой. Если число

элементов в множестве G конечно, то оно называется конечной группой. Подмножество группы G, которое само является группой, называют подгруппой.

Приведем несколько примеров. Циклическая группа порядка п Zn состоит из элементов вида а, а2, а3, ..., ап = е (единичный элемент). Она является конечной абелевой группой. Симметрическая группа (или группа перестановок) 8п, представляющая собой множество перестановок п объектов, есть конечная неабелева группа. Унитарная группа U (п) является множеством матриц размера пХ п, удовлетворяющим условию UU^ = U^U = 1. Эта группа неабелева при п > 1. Абелева группа U(1) состоит из унитарных матриц размера 1 X 1, т. е. фазовых преобразований вида е‘6. Группа унитарных матриц п X п, детерминант которых равен единице, называется специальной унитарной группой SU(n). Аналогично 50 (п) — группа ортогональных матриц п X п с единичным детерминантом, удовлетворяющих условию ААТ = АТА = 1. Следовательно, 50(3) есть обычная группа вращений.

Пусть даны две группы G =(gi, g2, ...} и Н =(hv, h2, ...}. Если элементы g, коммутируют с hj, то можно определить прямое произведение групп G X Н = (gtkj), являющееся группой со следующим законом умножения:

gk^i • gmhn = gkgm • hihn. (4.1)

Примером прямого произведения групп является группа 5У(2)Х^(1). Элементы этой группы — прямые произведения матриц группы S(7(2) на фазовые факторы из U(\). Другой пример — группа SU(3)Х SU(3), образованная прямыми произведениями матриц из двух различных групп SU(3). Эти примеры играют важную роль в приложениях теории групп к физике частиц (см. гл. 5 и 11). Если можно представить группу в виде прямого произведения меньших групп, то задача изучения ее структуры существенно упрощается. Чтобы выяснить, когда возможно такое разложение, полезно ввести понятие инвариантной подгруппы, т. е. такой подгруппы N, что для любого элемента / из N элемент rtr-i также принадлежит N для любого г из G. Таким образом, любой фактор в прямом произведении групп является инвариантной подгруппой. Если группа не содержит нетривиальной инвариантной подгруппы, т. е. не может быть представлена в виде прямого произведения, то она называется простой группой. Примером простой группы является SU(n), но не группа U(n), так как ее можно записать в виде SU(n)XU(\). Группа называется полупростой, когда она является прямым произведением простых групп, не содержащим абелевых сомножителей.

Представление группы есть конкретная реализация закона умножения групповых элементов с помощью матриц. Таким

образом, это отображение абстрактных элементов группы в множество матриц а->О(а), такое, что если ab = с, то Z) (a) Z)(b) = D(c), т. е. отображение, сохраняющее закон группового умножения. Строго говоря, приведенные выше определения групп £7(п) и SU^n) даны в терминах определяющих представлений. Заметим также, что операции перестановок Sn можно представить в виде конечного числа 'матриц размера п\п. Пусть представление О (а) может быть приведено к блочнодиагональной форме, т. е. существует несингулярная матрица М, не зависящая от групповых элементов, такая, что

0 10 1MD (а) М~1 =MD (а) М~1 =для всех а из G. (4.2)для всех а из G. (4.2)"D^a)

0 1

0 1

MD (а) М~1 =

MD (а) М~1 =

для всех а из G. (4.2)

для всех а из G. (4.2)

В этом случае О (а) называется приводимым представлением и записывается в виде прямой суммы D\(а) Ф D2 (а) Ф ... . Если О (а) привести к такой форме нельзя, то его называют неприводимым представлением. Матрицы О (а) можно рассматривать как линейные преобразования на множестве базисных векторов (или векторов состояний). Размерность представления— это размерность векторного пространства, на котором оно действует. Если представление неприводимо, то все состояния могут быть получены одно из другого с помощью групповых преобразований. Если же представление приводимо, то существует подмножество состояний, которые нельзя перевести в остальные состояния групповыми преобразованиями. -

В физических приложениях особый интерес представляют группы Ли, которые мы будем здесь понимать как непрерывные группы (элементы которых характеризуются непрерывными параметрами, например углами Эйлера в случае группы вращений SO(3)), представимые унитарными операторами. Пусть а(0)=а(6ь ..., 6Л)—элементы группы, зависящие от п непрерывных вещественных параметров. Единичный элемент полагается равным е = а(0). Закону группового умножения а(О)а(0) = а(£) соответствует отображение пространства параметров на самого себя:

f(0. Ф^=^ (4.3)

которое удовлетворяет условиям

f (0, 0) = f (0, 0) = 0, f (0, f (0, g)) = f (f (6, ф\ g) (4.4)

и f(0, O') = 0, если а (О)-1 представляется как a (O'). Если функция f в (4.3) является аналитической (или непрерывно дифференцируемой) функцией своих переменных, то.данная группа называется группой Ли. Поэтому при изучении таких групп мы

можем пользоваться обычными аналитическими методами в абстрактном групповом пространстве. Кроме того, так как преобразования в квантовой механике задаются унитарными операторами в гильбертовом пространстве, то для нас наиболее интересны группы Ли с унитарными представлениями

а(0) = ехр{/0 • X} = а(0) +/0^ + ....(4.5)

где величины

^ = -‘^r|<4-6>

19=0

называются (инфинитезимальными) генераторами группы. Если у (6) унитарны, то Хк образуют набор линейно-независимых эрмитовых операторов. Например, для случая, когда а(0)— элемент группы двумерных вращений SO (2), генератором является просто матрица Паули

х = ^“(? “о)- (47>

Определим коммутатор двух групповых элементов а(ф) и а(0), близких к единице, как а^а^афУМОГ1. Это произведение является элементом группы, обозначим его а(§). Величина § должна быть функцией 0 и^:

li = §i (6, ф, g (0, $S) = g (6, 0) = 0.(4.8)

При малых 0 и ф мы можем разложить ^ (0, ф) в ряд по степеням 8; И фр

У-а' + в,о, + ед, + с-д* + с;-ед+с-у^, + ... .

Из граничных условий (4.8) следует

л‘ = в' = в;' = с;'=с"' = о,

или

^l = cWk+ ••• •(4-9)

Приравняем выражения

а(1) = е + М+ ...(4.10а)

и

а^фШЗШФГМбГ^е + еЫХ,. XJ+ ... . (4.106)

Отсюда вид'но, что величины Хк образуют алгебру Ли1.

И/. ХД^С^.(4.11)

Константы с\к называются структурными константами группы и образуют набор вещественных чисел, удовлетворяющих условию

Цк=-С1к-(4.12)

Например, генераторами группы вращений в трехмерном пространстве SO(3) являются операторы углового момента Ji, J2 и /3. Они удовлетворяют коммутационным соотношениям .

Ui. JA = ielfJk.(4.13)

где Etjk — полностью антисимметричный тензор Леви-Чивиты с 6123 = 1.

Если О (а) —представление группы, то О* (а) —комплексносопряженное представление, так как из равенства Z)(ai)Z)(a2) = = Щщаг) следует D*(ai)D*(a2) = D*(aia2). Соотношение (4.6) позволяет определить матрицы представления генераторов; Т(Х,^ТГ.

Д (а (в)) = exp {/6 • Т},(4.14)

причем

W(4-15)

Очевидно, что (—7)) также образуют представление генераторов. Если Tj и (—Г)) эквивалентны, т. е. если существует несингулярная матрица S, такая, что

ST/S-1 = — Т; для всех /,(4.16)

то Tj называют вещественным представлением. Как мы увидим, в разд. 4.2, все неприводимые представления SU (2) вещественны. В разд. 4.2 мы рассмотрим также некоторые общие свойства вещественных представлений.

Из тождества Якоби ■

[X/, \Хк, АЛ+Пь [X/, АЛ + №, №, *Л = 0(4.17)

и равенства (4.11) можно вывести следующее соотношение между структурными константами::

CTkClm + CTiCkm + CklClm = 0.(4.18)

Определим набор матриц Tj, удовлетворяющих коммутационным соотношениям (4.15), равенством

CTk = i(Tj^.(4.19)

Отсюда видно, что структурные константы также порождают представление алгебры, называемое присоединенным представлением. Его размерность равна числу вещественных параметров, необходимых для задания элемента группы.

Для полупростой группы (т. е. не содержащей инвариантной подгруппы (7(1)), условие нормировки величин Tj, совместное с нелинейным коммутационным соотношением (4.15), выбирают в виде

(4.20)

так как 1г(Т;Т/)— вещественная симметричная матрица, которая может быть диагонализована выбором соответствующих линейных комбинаций генераторов с вещественными коэффициентами. Диагональные элементы этой матрицы положены равными к При таком выборе базиса в векторном пространстве генераторов структурные константы могут быть представлены в виде

С'^-^г^ГТ/, TJ), (4.21)

откуда следует, что они полностью антисимметричны по всем трем индексам.

Поскольку матрицы представления элементов группы и матрицы представления генераторов этой группы связаны экспоненциальным соотношением (4.14), многие свойства одних могут быть выведены из свойств других. Например, они имеют одинаковую размерность. В дальнейшем, если это не будет приводить к недоразумениям, термин «представление» будет Относиться либо к элементам группы, либо к их генераторам. Кроме того, набор базисных состояний представления иногда для краткости мы также будем называть представлением.

ГРУППЫ 5(7(2) И 5(7(3)

В теориях частиц мы постоянно имеем дело со специальными унитарными группами 5(7 (л). Группа 5(7(2) используется при описании изоспиновой симметрии, группа 5(7(3) лежит в основе теорий, называемых «восьмеричным путем». Стандартная калибровочная модель сильных и электрослабых взаимодействий использует группу 517(3)Х 517(2)Х Г(1); простейшая теория великого объединения основана на группе 5^(5). В этом разделе мы рассмотрим группы 5(7(2) и 5(7(3). В разд. 4.3 мы рассмотрим тензорный метод для групп 5(7(л).

Группа 5(7(л)—это группа унитарных матриц размера пХ п с единичным детерминантом: IX U = UlX = 1 и det U = = 1. Любая унитарная матрица (7 может быть записана с помощью эрмитовой матрицы Н в виде (7 = еш. Из тождества det(e4) = etr А и условия det U = 1 следует tr Н = 0. Так как всего существует л3— 1 независимых эрмитовых матриц пХп с нулевым следом, то элемент группы SU(л) можно записать в виде

(7 = exp(z (4.22)

где еа (вещественные) групповые параметры. Генераторы группы Ja являются эрмитовыми матрицами с нулевым следом. Из общего числа (л2— 1) генераторов диагональны только (л — 1). Поэтому мы говорим, что ранг группы 5(7(л) равен л — 1. '

Группа SU (2)

Элементы группы зависят от трех групповых параметров. Унитарные унимодулярные матрицы размера 2X2 можно записать в виде

^ (ei> е2, е3) = exp {/еаоа},(4 23)

где оа — эрмитовы матрицы 2X2 с нулевым следом. В качестве базиса выберем стандартные матрицы Паули

/ 0 1 \/ 0 — i \/ 1 ОХ

—11 о)- °2-Viо)’ Стз~(о

Генераторы, определенные формулой Ji = ai/Ч, удовлетворяют коммутационным соотношениям

[/а, Л] = ^аЬсК.(4.24)

где баьс — полностью антисимметричный тензор Леви-Чивиты, ei23=l. Абстрагируясь от конкретного вида матриц, мы будем считать, что соотношения (4.24) определяют алгебру Ли группы S£7(2) и все представления генераторов удовлетворяют этим коммутационным соотношениям.

Представления группы SI/(2). Алгебра (4.24) совпадает с алгеброй (4.13). Поэтому можно говорить об изоморфизме алгебры Ли группы SU^) и алгебры Ли группы вращений SO(3). Здесь мы будем следовать стандартному методу построения собственных состояний оператора углового момента с целью получить все неприводимые представления группы SU^.

Определим сначала величину

f^I^j^jX,(4.25)

которая является инвариантным оператором, а именно оператором Казимира, коммутирующим со всеми генераторами группы:

[/2,/а] = О, а= 1,2,3.(4.26)

Определим также повышающий и понижающий операторы

J± = Ji±iJ2-(4.27)

Тогда

J2 = ^V+J- + J-J+) + Jy(4.28)

Из соотношения (4.24) следует

[/+, /_] = 2/3,(4.29)

17±> ^з] = + ^±1(4.30)

Рассмотрим собственные состояния операторов /2 и /3 с собственными значениями Хит:

Р | Л, т) = Л | X, т),

/31 Л, m) = ml X, т).(4-31)

В силу равенств (4.30) состояния J+}X,m> также являются собственными состояниями оператора Ja с собственными значениями т ± 1 и, как следует из (4.26), с тем же значением Л:

7± I X, т) = С± (X, т) | Л, m ± 1).(4.32)

Константы С+(Х, т) будут определены ниже. Так как Р — Р3 = Рх + Р^ 0, то значения т при данном Л ограничены условием

Л —т2^0.(4.33)

Пусть наибольшее значение т равно /:

J+\X,j) = O.(4.34)

Тогда из равенств (4.34), (4.28) и (4.29) получаем

о = JJ+ I х, j) = (Р -рз- J^ I X, j) = (Х- Р -П\Х, j), (4.35)

или

X = jU+W(4.36)

Аналогично, если j' — наименьшее значение т, то

J_\X, j') = 0.(4.37)

Тогда получаем

Х = ]ЧГ-П.(4.38)

Таким образом, /(/ + 1)=/'(/'— 0- Это уравнение имеет два решения: j' = —j и j' = j -j- 1. Поскольку второе решение противоречит предположению о том, что j — наибольшее значение т, имеем

/=-/.(4.39)

Оператор J_ понижает значение т на единицу. Следовательно, величина j — j' = 2j должна быть целой. Отсюда следует, что j может быть либо целым, либо полуцелым числом. Определим теперь константы С+(Х, т), входящие в (4.32). Из свойства J_ = /+ следует равенство (X, m\J_ = C*+(X, т)(Х, m + 1 |, позволяющее записать соотношение

(X, m\J_J+\X, т) = \СДХ, т) |2.(4.40)

С другой стороны, из (4.35) имеем

<Х, т | JJ+ \Х, т) = (X, т | (Р - Р3 - 1^ \Х,т> =

= ЩА-^ — тг — т. (4.41)

Следовательно,

С* (Л, т) = [(/ - т) (/ + m + I)]"2.(4.42)

Аналогично

С_ (Л, т) = [(/ + «)(/-т+1)],/2.(4.43)

Эти состояния |/, т> с т '^Д, j—l —/ образуют базис неприводимого представления труппы SU^), характеризуемого числом /, которое может быть Хибо целым, либо полуце- лым. Размерность такого представления равна 2/+ 1. Для построения матриц представления можно воспользоваться соотношениями

73|/, m> = m\j, т),

7±|/, m') = VU + mHj + m+ 1)]1/2|/, m ± 1).(4.44)

Пример 1. 7 = 1, т=±1;

1|т’ ± "2") = ± "2"| Т’ ± "2 У(4.45)

Если обозначить

li 1U1}

I 2 ’ 2 / Vo 7’

14.

-4)

(0 \ \1)

,(4.46)

ТО.1 /

•'з — 2 (

Из формул 7+|у, у^ = о и 7

" 1

х0 -

и_ + 1 2 ’

-1)

-4

>=14.

(4.47)

1^ получаем

1

+ Vo о

Далее .. _ .+/ 0

v 1

7i = (7++ 7_)/2 = "2" Г q^,72 =

0\ о)’

и+-

/.)/2i-

(4.48)

(4.49)

If0 —1А 2 V/ о/

(4.50)

Пример 2. 7=1, т=1, 0, — 1. Обозначим А х/Ох/Ох

I 1, = ( о) |1, 0) = (1), |1, -1) = о ). (4.51)

Vo/Vo/Vi/

Тогда ,10 Ох

73 = ( 0 00 ).(4.52)

Vq 0 -1 /

Из соотношений 7+ ] 1, 1) = 0, 7+ | 1, 0) = V2| 1, 1) и 7+ | 1, —1) = = V2| U 0) находим_

/0 V2 0\

7+=1 00 V2 •(4-53>

Vo о о/

Тогда

/О 0 0\

7_= V2 0 0 ,(4.54)

V О V2 О/

/О 1 0\/0 — /Ох

71 = —L| 10 1),=0(4.55)

\0 1 О/Vo iо/

Нетрудно убедиться прямой проверкой, что матрицы И образуют алгебру Ли (4.24).

Произведения представлений группы S(/(2). В приложениях часто приходится иметь дело с произведениями представлений. Например, пусть имеются две частицы со спином 1/2, и нужно найти полный спин J системы, описываемой произведением их волновых функций. В этом простом случае ответ нетрудно угадать: 7 = 0 или 1. Попытаемся решить эту задачу методами теории групп. Обозначим через Г; и г2 волновые функции первой частицы, соответствующие состояниям со спином вверх и спином вниз. Аналогично через sz и s2 обозначим такие же состояния второй частицы. При преобразованиях группы SU^

r'i = ut%rr s'k = и (eV/ sn(4-56>

где (7(e) = exp{zea7a} и 7а = оа/2. Тогда произведение волновых функций преобразуется по формуле

= и <^а и <aKi (Л8^ = D ^ik, a (risiV (4-57>

Вообще говоря, представление 0(e) приводимо. Чтобы выяснить, на какие неприводимые представления оно разлагается, удобнее работать непосредственно с генераторами, считая ez < 1:

< = (1 + ieja\f Г/ = (1 + ^)И г,, s'=(l+Zea/a)6Zsz-(l+/ea7®)6zSz,(

где оператор 7® действует только на rz, но не действует на в;, а оператор 7® действует лишь на в;, не затрагивая rz. Определим оператор полного углового момента соотношением

J = J(D+J(2),(4.59)

Перейдем теперь к более привычным обозначениям. Пусть at — волновая функция z-й частицы в состоянии со спином вверх, а рг — со спином вниз. Для волновой функции двух частиц возможны четыре комбинации: aia2, aiP2, ₽ia2, ₽i₽2- Возьмем сначала функцию с наибольшим значением J3:

^ (9^J = (А'^) a2 + МАЪ) = (9^ _(4(М

Очевидно, что это состояние с J3 = 1. Чтобы найти соответствующее значение J, воспользуемся равенством -

J2 = (J(D)2 + (J(2))2 + 2JU) . J(2) =

= (J">)2 + (J®)2 + 2[y (7^7® + 797®) + JWJ^. (4.61) Тогда получим

J2 (a,a2) = 2 (a,a2).(4.62)

Это означает, что 7 = 1, и мы можем отождествить

| 1, l)=(a,a2).

Чтобы получить все остальные состояния неприводимого представления с 7 = 1, воспользуемся понижающим оператором 7_ = 79 + 79:

7_ (a,a2) = (79«,) a2 + a, (7®a2) = (₽,a2 + a,02).(4.63)

С другой стороны, согласно (4.44), имеем

7_ I 1, 1) = V2| 1, 0).(4.64)

Следовательно,

И, °) = ^(а:р2+р,а2).(4.65)

Очевидно,что

| 1, -1) = (р,р2).(4.66)

Остающеесянезависимое состояние следуетотождествить

с |0,0>:

|0, 0) = -L(a1p2-p,a2).(4.67)

Справедливостьпоследнего утверждения можнопроверить, как

и прежде, пользуясь формулой (4.61). Итак, волновые функции двухчастичной системы построены следующим образом:

| 1, l) = a,a2,

I °> = ^(aip2+ Pi«2),(4.68)

|1, -1)=Р,Р2

(эти функции симметричны относительно замены частиц 1 *-* 2).

Ю, 0> = -^(а1р2-р,а2)(4.69)

(эта функция антисимметрична относительно замены 1-<->-2).

В общем случае произведения состояний |/i, mi>X |/2, тг> могут быть скомбинированы в собственное состояние |7,М> оператора полного момента J = JW + J(2):

П, М> = £ (iimli2m2\JM)\ilmi')\ j2m2).(4.70)

ть пъ

Величины <ivmli2m2\JM> называют коэффициентами Клебша— Гордана. В рассматриваемом случае (формулы (4.68) и (4.69)) имеем

Процедуру разложения произведения представлений на неприводимые представления можно сформулировать следующим образом:

Выберем сначала комбинацию состояний с наибольшим 7з. Она также является состоянием с наибольшим значением полного момента J. ■

Действуя понижающим оператором J_ = J'^-VJ®> получим все остальные состояния этого неприводимого представления.

Найдем комбинацию состояний, ортогональную к pm, 7m — 1>, где Jm — максимальное значение J в произведении. Она будет соответствовать состоянию \Jm—1, Jm—1). Затем с помощью понижающего оператора построим остальные СОСТОЯНИЯ С J = Jm — L

Будем повторять эту процедуру, пока не достигнем значения J =|/1 — /2|.

Представления группы SU^ можно также изобразить графически. Ранг этой группы равен 1, т. е. она имеет один диагональный генератор. Каждому неприводимому представлению / можно поставить в соответствие отрезок прямой линии с точками, соответствующими значениям т (рис. 4.1). В произведении представлений собственные значения диагональных генераторов J^ и 7^2) складываются. Мы можем представить это сложение графически, помещая центр (т = 0) одного из представлений, скажем /1, последовательно над каждой точкой другого представления /2 (примеры приведены на рис. 4.2). Как мы увидим в дальнейшем, этот графический метод может быть обобщен на случай группы SU(3) ранга 2, когда результаты не столь тривиальны и их не так легко получить без помощи, таких диаграмм.

Вещественность представлений группы 5(7(2). Мы будем обозначать матрицы представлений генераторов через 7(/а) = = Та. Как уже отмечалось в разд. 4.1, группа 5(7(2) обладает тем свойством, что все ее представления вещественны, т. е. существует (фиксированная) матрица 5, такая,что

5Та5”' = -Т*а.(4.71)

Например, в случае определяющего представления Та = аа/2 имеем — о’= — ор —°*2 = О2* —стз= — стз- Условию вещественности (4.71) можно удовлетворить с помощью матрицы j=7 -jxх| .-Г0+ 7

3 = 1хик

Рис. 4.1. Графическое изображение мультиплетов группы 5(7(2). Повышающий (понижающий) оператор /+(/_) смещает состояние вправо (влево).Рис. 4.1. Графическое изображение мультиплетов группы 5(7(2). Повышающий (понижающий) оператор /+(/_) смещает состояние вправо (влево).

Рис. 4.1. Графическое изображение мультиплетов группы 5(7(2). Повышающий (понижающий) оператор /+(/_) смещает состояние вправо (влево).

Рис. 4.1. Графическое изображение мультиплетов группы 5(7(2). Повышающий (понижающий) оператор /+(/_) смещает состояние вправо (влево).

X

= хи—* = О © 1

2 ®/2 ®/~7 7 -1 0 1

2 ®/

2 ®/

= Xк ® XX—к =

XXXX 2^2

Рис. 4.2.

5 = о2. В общем случае при переходе от Та к — 7* собственные значения диагональных генераторов изменяют знак, так как матрицы Та эрмитовы и обладают вещественными собственными значениями. Собственные значения генераторов — 7* равны собственным значениям Та с обратным знаком. Для всех неприводимых представлений группы 5(7(2) собственные значения генератора /з присутствуют попарно, т. е. пг = +], + (j—1), ... . Поэтому все эти представления вещественны: — 7* можно построить из Та, заменяя базис \]‘,ш> на |/,—т>. Например, для представления / = 1 преобразование

(4.72)(4.72)/О 0 1

(4.72)

(4.72)

5 — 1 0-10у 1 оо

переводит состояния 11, 1> и 11, —1> (см. (4.51)) друг в друга и не меняет состояние | 1, 0). Легко проверить, что при этом выполняется соотношение (4.71). Можно сформулировать следующий общий признак для представления любой группы: если собственные значения хотя бы одного из диагональных генераторов не группируются в пары чисел с противоположными знаками, то такое представление не является вещественным.

Резюмируем некоторые свойства группы St7(2), которые полезно иметь в виду при изучении менее привычной группы SU^.

Поскольку группа SU^) имеет ранг 1, только матрица представления генератора /3 диагональна.

Неприводимое представление, характеризуемое числом j (размерности 2/+ 1), имеет базисные векторы |/, т>:

/2|/, т)=/(/+1)1/, т), /3| /> т) = т\ j, т).

Состояния с разными значениями т можно получить одно из другого с помощью понижающих и повышающих операторов:

/± | j, щ) = [(/ + m) (/ ± m + 1)]1/2| /, т + 1).

В силу первого свойства каждое неприводимое представление можно изобразить в виде одномерного графа с равноудаленными друг от друга точками, соответствующими 2/ + 1 состояниям. Операторы Т+ перемещают эти точки вдоль графа:

*-Т_7+-*

XXXX

-j "3 + 13-1 i

Произведение двух представлений /1 и /2 можно разложить на неприводимые, просто помещая отрезок, соответствующий первому представлению, 2/2 + 1 раз над отрезком второго представления так, чтобы центр щ = 0 совпал поочередно с каждым из состояний представления /2.

Группа SU (3)

Элементы этой группы задаются восемью параметрами. Для определяющего представления мы запишем унитарные унимо- дулярные матрицы размера 3 X 3 в виде

(4.73)(4.73)U (ер ..., е8) = ехр {ieaZa}, а= 1, ..., 8.

(4.73)

(4.73)

Здесь Ха — эрмитовы матрицы 3X3 с нулевым следом, которые можно выбрать следующим образом [160]:

/0

^1 = 1 1

Vq

/0

1

0

0

0

0 \

0

0 /

1 x

/0

X2 = 1 i

Vo

/0

— i

0

0

0 -

0 \

0 )’

0 /

- i x

/ 1

^3= 1 0

Vo

0

-1

0

0 s

0

0/

M = l 0

V1

0

0

0

0 /

^5 = ( 6 V I

0

0

0

0 /

(4.74)

/0

0

0 \

/0

0

Ox

/1

0 Ox

^6=1 0

0

1 I-

z7 = l 0

0 -

— i‘ I,

I 0

10 L

Vo 1 0/Vo

Они нормированы условием

i

0/

уз

Vo

0-2/

tr(W = 26a6(4.75)

и удовлетворяют коммутационным соотношениям

[^, ^ = iLbc2^.(4.7б)

где fabc — полностью антисимметричный символ, ненулевые члены которого имеют вид

fl23=l> f И7 = у, ^156=2’^246 —У' ^257 = "2" >

Генераторы Fa группы St/(3) образуют алгебру Ли, задаваемую равенством

IFQ, Fb^ifQbcFc.(4.78)

Для построения неприводимых представлений группы St/(3) можно следовать схеме, использованной в случае группы SU(2). В нашем изложении мы будем следовать работе Газиоровича [154].

Ранг группы 5(7(3) равен 2; поскольку матрицы Л3 и л8 диагональные и

[Гз, Г8] = 0,(4.79)

генераторы F3 и F& могут быть диагонализованы одновременно. Введем следующие повышающие и понижающие операторы:

Т± = Fv + iF2, U± = F6zkiF7, V± = F^ ± 1F5.

Определим также

T3 = F3) Y = -^Fs.(4.80)

В терминах этих операторов коммутационные соотношения 44.78) принимают вид

Гз, Г±] = ± Г±,[Г, Т±] = 0,

[Т3, м = + 72^±>[К, U^ = + U±-,(4.81)

Из, Е±]=±72И±,[К, К±] = ±У±;

[Т+, Г_] = 2Г3, \и + , ид = 42¥-т3 = 2и3)(4.82)

[И+, УД=а№ + Г3 = 2И3;

[Т+, к+] = [т+, ид = \и+, И+] = 0, \T+,V_\ = -U_, \T^U^ = V+,(4.83)

[t/+, V_\ = T_,[Г3, n = o.

Представления группы 56/(3). Так как генераторы 77 и Y можно одновременно привести к диагональному виду, состояния неприводимого представления группы 56/(3) должны нумеро- .ваться двумя собственными значениями ta и у. При этом представление изображается в виде двумерной фигуры на плоскости ta, у, аналогично тому как представление группы SU(2) изображалось одномерным отрезком (рис. 4.2). Пользуясь коммутационными соотношениями (4.81) — (4.83), можно выяснить, как повышающие и понижающие операторы действуют на состояния:

Т+ увеличивает ta на 1, но оставляет у неизменным;

U+ уменьшает ta на 1/2 и увеличивает у на 1; (4.84) У+ увеличивает ta на 1/2 и увеличивает у на 1 и т. д.

Если диаграмма представлена при подходящем выборе масштабов по осям ta и у, то повышающий и понижающий операторы связывают точки, расположенные на прямых, образующих друг с другом углы, кратные 60° (рис. 4.3).

Каждое неприводимое представление группы 56/(3) характеризуется парой целых чисел (р,<7). Оно изображается графически на плоскости ta, у в виде фигуры, ограниченной шестиугольником: три стороны имеют длину р единиц, а другие три — длину q единиц (рис. 4.4, а). Шестиугольник вырождается в равносторонний треугольник, если р или q равно нулю (рис. 4.4,6, в). Граница фигуры симметрична относительно отражения в оси у. Напомним, что неприводимое представление группы 56/(2) характеризуется одним целым числом /; графически оно изображается прямым отрезком длиной 2/ единиц. На нем расположено 2/ + 1 точек, каждая из которых соответствует одному состоянию. Для представления (р,q^ группы 567(3) кратность состояния, отвечающего точке на плоскости

/з, у, определяется следующим правилом: точке, лежащей на границе, соответствует одно состояние; точке, принадлежащей второму (если считать от границы внутрь) слою, — два состояния; третьему слою, — три и т. д. до тех пор, пока не будет достигнут треугольник. После этого кратность перестает увеличиваться и остается равной q + 1 при р > q (или р + 1 при? q> PV

Эти свойства неприводимого представления можно вывести стандартными методами из коммутационных соотношений. Мы*

Рис. 4.4. Границы представлений группы SU^^p, q), (р, 0) и (0, q1).Рис. 4.4. Границы представлений группы SU^^p, q), (р, 0) и (0, q1).

Рис. 4.4. Границы представлений группы SU^^p, q), (р, 0) и (0, q1).

Рис. 4.4. Границы представлений группы SU^^p, q), (р, 0) и (0, q1).

приведем для примера некоторые выкладки такого рода с целью проиллюстрировать общую алгебраическую технику. Чтобы показать, что точка на граничном слое соответствует одному состоянию, выберем два соседних состояния |Л) и |В> на границе, как показано на рис. 4.5. Следовательно,

U_ | Л) = | 5).(4.85)

Нужно показать, что при данном |Л> состояние |В) единственно независимо от пути, по которому мы переходим от |Л) к |5). Рассмотрим альтернативный путь АСВ. Пользуясь соотношением V—|Л> = 0 и формулой (4.83), можно записать цепочку равенств

Р_Т+| Л) = ([/_, Т^Т^РЛ Л> = 6/_|Л) = | .В>.(4.86)

Нетрудно убедиться, что этот результат не зависит от пути, соединяющего |Л> и |В>. Следовательно, при заданном |Л>

состояние |В) единственно. Так как состояние с максимальным собственным значением Т3 единственно и лежит на границе, то любая точка на границе соответствует лишь одному состоянию.

Если нам известны кратности состояний, отвечающих различным точкам фигуры, то, сложив их, мы получим размерность неприводимого представления. Сначала рассмотрим внутренний

хX

Рис. 4.5. Типичное представление с (р, у) = (5, 1). Кратность состояния в каждой точке показана числом крестиков; трмакс — состояния с / = /3 = = (р + ф/2 = 3.

треугольник, сторона которого содержит (р — </+ 1) точек, и вычислим число точек на границе и внутри этого треугольника:

р-1,+1-

£ l = l(p-q + Щр-я + ^У(4.87)

/ = 1

В данном случае кратность состояний, соответствующих этим точкам, равна (</ + 1). На слое, внешнем по отношению к этому треугольнику и соседним с ним, находится 3(р— q + 2) точек с кратностью q; на следующем за ним слое — 3(р— q + 4) точек с кратностью ^q— 1), и т. д. Следовательно, размерность равна

4 {q + 1) (Р ~ Я + 1) (Р — Я + 2) +

q

+ £ З^-уИр-^ + гт + г),(4.88)

v=0

ИЛИ'

d{p, р) = (р + 1)(р + 1)(р + р + 2)/2.(4.89)

До сих пор мы характеризовали неприводимое представление парой чисел (р, я)- Другой общепринятый способ обозначения— указать размерность представления. Так, неприводимое представление размерности ш обозначают символом т, а комплексно-сопряженное ему представление обозначают ш*. Гра-

фические схемы некоторых наиболее важных представлений приведены на рис. 4.6.

Сделаем еще одно замечание, касающееся графического изображения представления (р, q). Поскольку, вообще говоря, имеется несколько состояний с данным значением (^з, у), необходимо ввести дополнительные обозначения, чтобы различать разные состояния. С этой целью мы будем указывать представление подгруппы ЗЩ^, к которому они относятся. Удобнее

(р,<7)=(О,7), $ (триплет}(р,<7)=(О,7), $ (триплет}(p,q}=(1,0}, 3 (триплет}(p,q}=(1,0}, 3 (триплет}(р, q)=U,1\ 8 (октет}(р, q)=U,1\ 8 (октет}(р, q}=(3,0}, 10 (декаплет}(р, q}=(3,0}, 10 (декаплет}Рис. 4.6. Примеры представлений группы SL/(3), определяемых парой (7з, у}. Точке соответствует одно состояние. Исключением является центр представления 8: здесь одно состояние отвечает t = 0, а другое, с 7з = О, есть член триплета с t = 1.Рис. 4.6. Примеры представлений группы SL/(3), определяемых парой (7з, у}. Точке соответствует одно состояние. Исключением является центр представления 8: здесь одно состояние отвечает t = 0, а другое, с 7з = О, есть член триплета с t = 1.

(р,<7)=(О,7), $ (триплет}

(р,<7)=(О,7), $ (триплет}

(p,q}=(1,0}, 3 (триплет}

(p,q}=(1,0}, 3 (триплет}

(р, q)=U,1\ 8 (октет}

(р, q)=U,1\ 8 (октет}

(р, q}=(3,0}, 10 (декаплет}

(р, q}=(3,0}, 10 (декаплет}

Рис. 4.6. Примеры представлений группы SL/(3), определяемых парой (7з, у}. Точке соответствует одно состояние. Исключением является центр представления 8: здесь одно состояние отвечает t = 0, а другое, с 7з = О, есть член триплета с t = 1.

Рис. 4.6. Примеры представлений группы SL/(3), определяемых парой (7з, у}. Точке соответствует одно состояние. Исключением является центр представления 8: здесь одно состояние отвечает t = 0, а другое, с 7з = О, есть член триплета с t = 1.

всего приводить значение t величины Г-спина. Так, на верхнем отрезке схемы расположена (р + 1) точка, каждая из которых соответствует одному состоянию с t = р/2. На следующем отрезке находятся два Г-спиновых мультиплета с Л=(р4-1)/2 и 1г = (р— 1)/2 и т. д. Так как наиболее широкий отрезок, расположенный в шестиугольнике, имеет ширину (p-\-q}, то

^макс = (р + 9)/2. (4.90)

Для анализа произведения представлений можно воспользоваться техникой, аналогичной той, которая применялась в случае группы SU(2}. Зная свойства повышающих и понижающих операторов, можно не только разложить произведения представлений на неприводимые, но и вычислить коэффициенты Кдебша— Гордана. Но в случае группы SU(3) имеется несколько повышающих и понижающих операторов, и проведение этой процедуры является довольно трудоемкой задачей. Если мы интересуемся лишь разложением на неприводимые представления, то можно воспользоваться простым графическим методом.

Для этого, как и раньше, нужно помещать фигуру, отвечающую одному представлению, в вершину каждого состояния второго представления так, чтобы центр ^ta = У = 0) первого совпадал

с точкой, соответствующей каждому состоянию второго представления. Простейший случай разложения 3 X 3* = 8 + 1 показан на рис. 4.7. Более систематический подход, так называемый тензорный метод, будет изложен в следующем разделе.

ТЕНЗОРНЫЙ МЕТОД ДЛЯ ГРУПП SU (п)

Изучение групп SU(2) и 5ЩЗ) в предыдущем разделе показывает, что по мере усложнения группы элементарная техника, используемая для анализа структуры представлений и их произведений, становится непригодной. В случае группы SU(4), имеющей ранг 3, неприводимые представления должны изображаться в виде трехмерных объектов, и нужно обладать хорошим пространственным воображением, чтобы разлагать произведения представлений. Такой подход оказывается безнадежно сложным при анализе групп ранга 4 и выше. Очевидно, что нужен более эффективный подход. Оказывается, что для изучения неприводимых представлений и разложения произведения представлений произвольных групп 5Щп) особенно удобен тензорный метод.

Закон преобразования тензоров

Группа St/(n)—это группа унитарных матриц размера nX п с единичным детерминантом. Мы можем считать эти матрицы линейными преобразованиями некоторого n-мерного комплексного векторного пространства Сп. Тогда любой вектор Ф<=(Ф1, ф2фп) из Сп отображается преобразованием t/ц группы St/(n) в элемент ф^:

^1-*^ = и1!^!-(4-91)

Вектор фС также принадлежит Сп, a UU^ = U^ U = Y и det U = = 1. Для любых двух векторов можно определить SU (п)-инвариантное скалярное произведение

^ф^^ф^(4.92)

Сопряженный вектор ф* преобразуется по следующему закону:

^->^ = ед = №(4.93)

Удобно ввести верхние и нижние индексы:

ф‘ = ф* Ui = U.. и =(4.94)

Тогда комплексное сопряжение приводит к замене нижних индексов на верхние и наоборот. В этих обозначениях соотношения (4.91) и (4.93) имеют вид

'i’z ^ = Ц%

ф; —> "ф= U1^.(4.95)

При этом SU(n) -инвариантное скалярное произведение равно (Ф, f^Wn(4.96)

а условие унитарности принимает вид

Uyjk = б‘,(4.97)

где б-символ Кронекера определяется формулой

( 1, если i=j,п(4.98)

( 0 в остальных случаях.

Заметим, что в принятых нами обозначениях суммирование всегда ведется по паре индексов, один из которых нижний, а другой верхний. Эту операцию мы будем называть сверткой индексов. Из векторов ф, можно построить базис тля определяющего представления группы SU(п) (его называют также фундаментальным или векторным представлением и обозначают символом п); векторы ф’ дают базис сопряженного представления п*.

Тензоры высших рангов определяются как объекты, преобразующиеся так же, как прямые произведения векторов. В общем случае тензоры имеют как верхние, так и нижние индексы и преобразуются по закону

Cfc'M0*,^ ■•■ °9Х№: ■■■ ">№■■■>:■ (4-99)

Они образуют базисы представлений высших размерностей.

Дельта-символ Кронекера и тензор Леви-Чивиты инвариантны относительно SU(п)-преобразований. Они играют важную роль при изучении неприводимых тензоров..

Из условия унитарности (4.97) легко получить

6* = (/^б^.(4.100)

Следовательно, 6)— инвариантный тензор. Свертывая индексы некоторого тензора с 6-символом Кронекера, получаем тензор меньшего ранга. Например,

6'1Ц)6'1Ц)Ч12 ЛУ2Ч12 ЛУ2(4.101)(4.101)

6'1Ц)

6'1Ц)

Ч12 ЛУ2

Ч12 ЛУ2

(4.101)

(4.101)

Правую часть этого равенства можно считать следом, взятым по паре индексов, в данном случае U и /ь Тензор, свернутый по всем своим индексам ф‘1‘2“" zp, является скаляром, инвариант- *Г2-

ным относительно преобразований группы SU(п).

Тензор Леви-Чивиты определяется как величина, полностью антисимметричная по всем индексам:

eV'-

если (ivi^ есть четная перестановка

(1п\,

(4.102)(4.102)— 1, если (z,z„) есть нечетная перестановка

(4.102)

(4.102)

(1пУ

0 в остальных случаях.

Он является инвариантным тензором:

6lt t• • • Ufa ,, =

ЧТ*' ln 4 l2ln 7 1'2 'n

= (detn)eM , =6,,, .(4.103)

T2 ••• 1П 4l2"’ ln

Здесь мы воспользовались определением детерминанта и свойством det U = 1 для группы SU^n.y Аналогично свертке индексов с помощью б( мы можем суммировать с использованием символа Леви-Чивиты. Например,

е'1'2"" Ч^ =^'1.(4.104)

Таким образом, тензоры с верхними индексами могут быть построены из тензоров с нижними индексами и наоборот:

ф*1'1 = ^ЧЧ-- Ч^;; ^6ЧЧ••• Ч^ ^.(4.105)

Следовательно, чтобы выяснить трансформационные свойства тензора, достаточно изучить тензор только с верхними (или нижними) индексами.

В этой связи заметим также, что величина

(4.106)(4.106)

(4.106)

(4.106)

является 5(7 (п)-инвариантным скаляром. Из равенства (4.103) и (4.106) следует, что полностью антисимметричный тензор ранга п инвариантен при преобразованиях из группы ЗЩп).

Неприводимые представления и таблицы Юнга

Тензоры, о которых шла речь выше, в общем случае образуют базисы приводимых представлений группы SU^n). Чтобы разложить их на неприводимые представления, мы воспользуемся следующим свойством этих тензоров. Операция перестановки верхних или нижних индексов коммутирует с групповыми преобразованиями, так как последние производятся с помощью одних и тех же матриц Uij (или C/t). Это утверждение мы проиллюстрируем на следующем примере. Рассмотрим тензор второго ранга фц, преобразующийся по закону

^и = UifeUi^ki(4.107)

Так как матрицы U в этой формуле одинаковы, мы можем переобозначить индексы:

ф',г = и^и1^111 = Uyj'^к.(4.108)

Следовательно, перестановка индексов не меняет закон преобразования. Если Р12 — оператор перестановки, меняющий местами первый и второй индексы Р^ф1' = ф^, то Лг коммутирует с групповыми преобразованиями:

. Р12ф'г'= (/‘(/'Р12ф*'.(4.109)

Этим свойством можно воспользоваться для разложения фгЛ Построим сначала собственные состояния оператора перестановки Р12 с помощью симметризации и антисимметризации:

Sl/ = у(ф// + Ф/‘)> Л^^ф"-^').

Тогда

PV2Sii=S‘1, PV2Aif = -Alf.(4.110)

Ясно, что S‘i и А11 не будут перемешиваться при групповых преобразованиях

$</ = UikU{Skl, № = UikU!lAkl.(4.111)

Таким образом, тензор второго ранга фч разлагается на S11 и АЧ таким образом, что групповые преобразования никогда не смешивают части с различными симметриями. Оказывается, что величины S1' и А1' не могут быть дальше разложены, поэтому они образуют базисы неприводимых представлений группы SU^n). Эту процедуру можно обобщить на случай тензоров высших рангов (при этом будут присутствовать и величины со

смешанной симметрией). В результате получим, что базисы неприводимых представлений группы St/(n) соответствуют тензорам с определенной симметрией относительно перестановок положения индексов. Решение задачи о нахождении неприводимых тензоров произвольного ранга f (равного числу верхних индексов) включает в себя построение полного набора операторов, переставляющих эти индексы. Проблема построения неприводимого представления группы перестановок может быть

Рис. 4.8.Рис. 4.8.

Рис. 4.8.

Рис. 4.8.

полностью решена с помощью таблиц Юнга. Последние представляют собой графическое изображение операции перестановок f объектов и состоят из / клеток, каждой из которых приписан индекс. Например, в случае тензоров второго ранга операция симметризации индексов i и j, дающая S;;, изображается

как | £ | j | . Операция антисимметризации, приводящая к тен-

зоруЛц, изображается в видезоруЛц, изображается в видеТТТТ. В случае тензоров треть-. В случае тензоров треть-

зоруЛц, изображается в виде

зоруЛц, изображается в виде

Т

Т

Т

Т

. В случае тензоров треть-

. В случае тензоров треть-

его ранга имеем следующие таблицы: 11 | j I * I для полностью

симметричного тензора Sijh,симметричного тензора Sijh,для полностью антисиммедля полностью антисимме

симметричного тензора Sijh,

симметричного тензора Sijh,

для полностью антисимме

для полностью антисимме

тричного тензора Ацк и Р" Р для тензора со смешанной сим

метрией:

Таблица Юнга общего вида показана на рис. 4.8. Она представляет собой совокупность f клеток, образующих строки и столбцы так, что длина строк не возрастает при движении сверху

вниз; fi ^/2 ^ •и fi+fz+ •а f. Каждая клетка снабжена индексом /й = 1, 2, .. , п. Такой таблице сопоставляется

тензортензор^^i^ - if,: zf,+i</,+/,: •••’^^i^ - if,: zf,+i</,+/,: •••’(4.112)(4.112)

тензор

тензор

^^i^ - if,: zf,+i</,+/,: •••’

^^i^ - if,: zf,+i</,+/,: •••’

(4.112)

(4.112)

построенный по следующим правилам:

сначала проводится симметризация по индексам, расположенным в одной строке;

затем проводится антисимметризация по индексам, входящим в один столбец.

Таблица, в которой значения индексов не уменьшаются при движении слева направо и монотонно возрастают при движении сверху вниз, называется стандартной таблицей. Например,

имеет слеимеет следля п = 3 тензор со смешанной симметрией

имеет сле

имеет сле

дующие стандартные таблицы:

Такие таблицы,Такие таблицы,иикаккакАЗ , неАЗ , неявляютсяявляются33

Такие таблицы,

Такие таблицы,

и

и

как

как

АЗ , не

АЗ , не

являются

являются

3

3

стандартными. Нестандартные таблицы соответствуют тензорам, которые при симметризации или антисимметризации либо обращаются в нуль, либо сводятся к стандартным. Таким образом, для таблиц Юнга заданного вида число независимых тензоров равно числу возможных стандартных таблиц. Нетрудно убедиться, что в простейшем случае тензора с к антисимметричными индексами это число равно

(4.113)(4.113)л\ л(л-/)... (л - А: + 7) kj1.2...к

(4.113)

(4.113)

а для тензора с к симметричными индексами

□-1 J /'л + ^-/)_^+7)...(л+/<-7) (4Ш)

У \ 7</1.2...к

Следует заметить, что из-за антисимметризации в любой таблице Юнга должно быть не более п строк. Кроме того, если

в схеме имеется п строк, то с помощью символа е, , , можно свернуть индексы в столбцах с п клетками. Отсюда следует, что можно просто вычеркнуть на схемах все столбцы с п строками (см., например, соотношения (4.123) и (4.125)).

Основная теорема. (См., например, [211].) Тензор, соответствующий таблице Юнга заданного вида, образует базис неприводимого представления группы SU(n). Более того, если мы перечислим таблицы Юнга всех возможных видов, содержащие не более п — 1 строк, то соответствующие им тензоры образуют полный набор в том смысле, что все конечномерные неприво-. димые представления будут учтены только один раз.

Приведем теперь две формулы для размерности неприводимых представлений. Пусть таблица Юнга характеризуется совокупностью длин ее строк (fb f2fn-i). Обозначим разности длин соседних строк через Хх = fx — f2, Х2 = f2 — /з, ... ..., Хп_х = fn_x. Тогда размерность неприводимого представления группы SU(n) равна числу стандартных таблиц заданного вида:.

d (^-1 ^2' • • • > ^л-1) = (1 + М 0 + М • • • 0 + *л-1) X

х(1 +^)(! + Ы21)... (1 +^=4^)х

1 + ^..±.^ + ^3^! + W-H.y .. ^ + Vs+VV,^

Х...Х(1+МЬ±__Д2^).(4.115)

Легко проверить, что равенства (4.113) и (4.114) для таблиц 0, 01, 0, 0, ...) и (А, 0, 0, ...) являются частными

случаями формулы (4.115).

Пример 1. Группа SU (2). Таблицы Юнга могут иметь лишь одну строку (/(%!) = (! + %!). В этом случае %1=2/. Отсюда

следует, что дублетное представление изображается в виде I I,

триплетное — в виде | | | и т. д.

Пример 2. Группа 577(3). Таблицы Юнга имеют не более двух строк и rf(%i, %2) = (1 + ^-i) (1 + Л,2) (1+(%i + %2)/2). Из сравнения с формулой (4.89) видно, что Xi = р, К2 = q; •

□ (7,0)3, ГП (2,0) 6, |||| (3,0) 10,П (0,7)3*, ГП (0,2)6*, ГП (1,1)8. (41116)

Если значения п велики, то пользоваться формулой (4.115) довольно сложно. В этом случае часто удобнее оказывается вторая формула. Чтобы написать ее, нужно ввести два понятия — «длина крючка» и «расстояние до первой клетки». Для любой клетки таблицы проведем два перпендикулярных луча в форме «крючка», один из которых идет направо, а другой — вниз. Полное число клеток, через которые проходят эти лучи, включая и ту, из которой они выходят, назовем длиной крючка (hi), связанного с 1-й клеткой. Например,

hi = 3,hi = 3,^.hL = 7.^.hL = 7.(4.117)(4.117)

hi = 3,

hi = 3,

^.hL = 7.

^.hL = 7.

(4.117)

(4.117)

Расстояние до первой клетки D; определим как алгебраическую сумму поклеточных шагов, которые нужно сделать, чтобы пройти из верхнего левого угла таблицы (первая клетка) в 7-ю клетку. При этом каждый шаг вправо учитывается как +1, а каждый шаг вниз — как —1. Например,

1 о1 о(4.118)(4.118)О

1 о

1 о

(4.118)

(4.118)

-1

-г

Размерность неприводимого представления группы 5Щп), соответствующего таблице Юнга, дается формулой

d= n^ + ^j/Ai.(4.119)

Произведение берется по всем клеткам таблицы. Например, если

имеется таблица вида I '.то для нее длины крючков равны

^.3 а расстояния до первой клетки 7^.3 а расстояния до первой клетки 7(7 I 7 | — 7(7 I 7 | — 7.Тогда.Тогдаразмерразмер

^.3 а расстояния до первой клетки 7

^.3 а расстояния до первой клетки 7

(7 I 7 | — 7

(7 I 7 | — 7

.Тогда

.Тогда

размер

размер

ность d = n^n—1) (м —f- 1)/3. При п = 3 получаем d = 8.

Разложение произведения представлений

Соответствие между неприводимыми представлениями группы SU (п) и таблицами Юнга находит применение в задаче о разложении произведения представлений. Нахождение неприводимых представлений в произведении двух сомножителей производится следующим способом.

В таблице, соответствующей первому сомножителю, припишем один и тот же символ, скажем а, всем клеткам первой строки, один и тот же символ b всем клеткам второй строки и т. д.:

(4.120)

Присоединим клетки, помеченные символом а, всеми возможными способами к таблице, соответствующей второму сомножителю. При этом будем соблюдать следующие правила: 1) в одном столбце не должны появляться два символа а и 2) получаемый в результате граф должен быть таблицей Юнга (т. е. длина строк не должна возрастать при движении сверху вниз, не должно быть более чем п строк и т. д.). Повторим затем эту процедуру с символами Ь, с и т. д.

После того как все символы присоединены к таблице, прочтем эти присоединенные символы справа налево в первой строке, затем во второй строке и т. д. Эта последовательность символов aabbac ... должна образовывать решеточную перестановку, т. е. слева от любого символа число символов а должно быть не меньше чем число символов b, b не меньше чем с и т. д.

Рассмотрим два примера, относящихся к группе SU^.

Пример 1.

(4.121)(4.121)

(4.121)

(4.121)

что соответствует

(4.122)(4.122)3X3 = 3* +6.

(4.122)

(4.122)

Пример 2.

Первый шаг:Первый шаг:]=8xS.]=8xS.хх

Первый шаг:

Первый шаг:

]=8xS.

]=8xS.

х

х

Второй шаг:Третий шаг:Второй шаг:Третий шаг:(4.123)(4.123)

Второй шаг:

Третий шаг:

Второй шаг:

Третий шаг:

(4.123)

(4.123)

Как мы уже объясняли, любой столбец с п клетками в таблице для группы SU (п) может быть «вычеркнут» (это показано вертикальными линиями, проведенными по таким столбцам). Следовательно, последние три таблицы соответствуют двум октетам и синглету.

Заметим, что такие таблицы, как

запрещены правилами, так как в них символы не образуют решеточную перестановку. Таким образом,

8X8 = 1+8 + 8 + Ю + Ю’ + 27.(4.124)

Таблицы Юнга для сопряженных представлений. Пусть гр < и гр1' — базисные векторы определяющего представления п и комплексно-сопряженного ему представления п*. Величина тргтр1 очевидно является SU(n)-инвариантом. Из разложения произведения представлений нетрудно заметить, что таблица Юнга

для сопряженного представления выглядит как столбец из

В общем случае, если к таблице Юнга, соответствующей представлению ф£ц"» добавить клетки так, чтобы получилась прямоугольная таблица с п строками, то добавленные клетки после поворота на 180° представляют собой стандартную таблицу для комплексно-сопряженного представления (ф^-'-у = ф^---. Например, в случае группы SU^y представлению 6 соответствует

таблица) |, |, которая может быть дополнена до прямоуголь

ника следующим образом:таблица Юнга для 6*.ника следующим образом:таблица Юнга для 6*.Следовательно, естьСледовательно, есть

ника следующим образом:

таблица Юнга для 6*.

ника следующим образом:

таблица Юнга для 6*.

Следовательно, есть

Следовательно, есть

Генераторы группы в тензорных обозначениях

Рассмотрим сначала (определяющее) векторное представление, а затем обобщим наш анализ на случай, когда генераторы действуют на тензоры высшего ранга.

Эрмитовы и вещественные матрицы генераторов. Любую унитарную унимодулярную матрицу U размера n X и можно представить в виде

U = eiH,(4.126)

где Н— эрмитова матрица с нулевым следом. Как обычно, групповые параметры выберем вещественными. Еслиеа = е‘, а = = 1, 2, ..., п2 — 1, то

'Н = баХа,(4.127)

где Ха — эрмитовы матрицы генераторов размера пХ п- Для группы 8(7(3) они имеют вид (4.74). Учитывая коммутационные соотношения

[^, ^ = ifabc2^,(4.128)

можно построить алгебру Ли, выбрав в качестве генераторов Еа=у V

IFa, Рь\ = 1исРс,(4.129)

где fabc — структурные константы. В тензорном подходе эрмитову матрицу Н удобно представить не в виде (4.127), а следующим образом:

H’^e^W^i.(4.130)

где все индексы (а, р, I, j) принимают значения от 1 до п. Мы можем выбрать вещественные матрицы генераторов в виде

(ИХ = 6щ6Р/-^-6^-(4.131)

Условие эрмитовости матриц Н будет выполняться, если будет эрмитовой матрица групповых параметров:

Пользуясь (4.131), можно вычислить коммутатор

[IFL Г®] = 6?1^ - б^-(4.132)

Генераторы группы по определению удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям (алгебра Ли)

\Ft Гу] = 6?Га - 6аГ?.

Здесь структурные константы являются просто комбинациями символов 6а- Нетрудно установить соотношение между вещественными генераторами Га и эрмитовыми генераторами F°:

Fa = l-MFt(4.133)

Равенство (4.133) можно обратить с помощью тождества п2-1

£= 2 (da6dpv - 1-боД6) ,(4.134)

а = 1

вывод которого мы сейчас приведем. Так как эрмитовы матрицы пХ« с нулевым следом V, а = 1 (n2—1) и еди

ничная матрица n X п образуют полный набор эрмитовых матриц пХ п, то произвольную эрмитову матрицу М можно разложить по ним:

а?-1

A4 = /n01„+£ таГ.(4.135)

a = l

Здесь U„— единичная матрица размера пХп- Нормируем V условием

tr (ГА?) = 26аЬ.

Коэффициенты то и та в разложении (4.135) могут быть вычислены умножением обеих частей на матрицы базиса и взятием следа:

тй=-Хг М, та = ^\.т^МХау. _

Тогда формула (4.135) принимает вид

n2—1

м = -^ (tr М) и„ + £ 1 (tr MV) V, a=l или в компонентном виде

Мар = ~ f £ ^vXs'j $a₽ + У £ £ (^ )“Р (^ Кв ^бу-

Ху, б/а у, 6

Так как матрица Мар произвольна, то получаем

баббру = 4 Mv6 + у £(ГКб>

а это и есть тождество (4.134). Используя его и учитывая равенство tr Fa = 0, вещественный генератор можно записать в виде

Вещественные генераторы в векторном представлении. Недиагональные вещественные генераторы Fa (а ^ £) есть просто повышающие и понижающие операторы. Для определяющего векторного представления !!?« имеет ненулевой элемент только на пересечении строки с номером а и столбца с номером р. Из инфинитезимальных 5П(п)-преобразований базисных векторов ф‘ ->ф/; = ф' Д- 6ф', где 6ф‘ = ер (и^/ф', находим

(^ф)' = б'фр.(4.136)

Таким образом, оператор Fa, действуя на компоненту а вектора ф, переводит ее в компоненту р, а действуя на все остальные компоненты, дает нуль. Диагональные генераторы Fa образуют набор взаимно коммутирующих операторов. Их собственные значения могут быть использованы для характеристики базисных функций (состояний) неприводимых представлений. Например, в определяющем векторном представлении любой выбранный диагональный генератор Di, являющийся некоторой линейной комбинацией операторов Wa, можно записать в виде

(4.137)

где (dz)j — собственные значения состояния ф'.

Действие вещественных генераторов на тензоры высших рангов. Действие генератора группы Fa на любой тензор определяется соотношением

6ф = ф'— ф = zep (^аф).(4.138)

Если задан закон преобразования тензора (4.99) и общий вид матрицы преобразования группы SU (п)

Ui=bi+i6^W&a)i.(4.139а)

U't — ^-i^lWb(4.1396)

где индексы I, Дк, I) относятся к непреобразованным (преобразованным) тензорам, то имеем

- S(4.140)

Знак минус отражает тот факт, что тензоры с верхними индексами соответствуют представлениям, комплексно-сопряженным по отношению к тем, которым соответствуют тензоры с нижними индексами (см. соотношения (4.94) и (4.95)). В частности, для диагонального генератора F = Di (4.137) имеем

ед-- -?=ед-- -?=' рq тL 771 = 1m П= 1 Я J 1' рq тL 771 = 1m П= 1 Я J 1’.q.‘р’.q.‘р(4.141)(4.141)

ед-- -?=

ед-- -?=

' рq т

L 771 = 1m П= 1 Я J 1

' рq т

L 771 = 1m П= 1 Я J 1

’.q.

‘р

’.q.

‘р

(4.141)

(4.141)

Следовательно, квантовое число тензора равно просто алгебраической сумме соответствующих квантовых чисел векторных компонент, образующих этот тензор.

В заключение изложения тензорного метода обсудим более подробно в качестве примера представление группы SU (2) с j = 1. Выше мы использовали состояния с т = 1, 0, —1, определяемые формулами (4.51), а в качестве эрмитовых генераторов— матрицы 3X3 (4.52) и (4.55). В тензорном подходе в качестве базиса мы возьмем функции ф;/ ~ ф/ф^. Индексы i, /=1, 2 симметризованы (см. (4.68)). Верхние индексы А и В различают два вектора. Вещественным генератором определяющего представления группы SU (2) является матрица размера 2X2

Ц71 = — Ц72= f V2 ох12 к 0 -1/2?

т. е. диагональный генератор, имеющий собственные значения ^(Ф1)= I/2 и ^(фг) =—1/2, соответствующие двум состояниям ■фь Мы можем вычислить квантовые числа триплетных состояний следующим образом:

^(Фи)=4+у=1, ^(Ф12)=у-4=о,

(4.142)

^(Ф22) = -у-| = - 1.

Оператор

является понижающим. Таким образом, 1 /О ОХ л в

\ 1 и /Л

+ 1 Оув ^i ^i —^2^‘ +^!^2'(4.143)

Последнее замечание: присоединенное представление, которое мы определили соотношением (4.19) с помощью структурных констант группы, в тензорных обозначениях записывается

особенно просто. Базис присоединенного представления состоит из функций ф^ обладающих свойством ф? = 0, а его таблица Юнга — последняя схема в равенстве (4.125), которая, очевидно, является самосопряженной. Можно доказать справедливость этих отождествлений. Для этого надо перейти от ф' к вектору фа с (п2 — 1) компонентами, используя соотношение

фа = ^ ^а)/ ^ (4.144) а также метод, аналогичный тому, который применялся при анализе равенства (4.133). С помощью закона преобразования (4.140) можно показать, что матрицы соответствующих генераторов (Fa) ьс действительно равны структурным константам fabc

4.4. КВАРКОВАЯ МОДЕЛЬ

Теория групп находит применение в физике, так как различные преобразования симметрии, оставляющие физическую систему инвариантной, образуют группу. Следствия этой симметрии могут быть выведены с помощью теоретико-группового анализа без использования информации о конкретной динамике системы. Например, если квантовомеханическая система, описываемая гамильтонианом Я (г), не имеет выделенного направления, то все операторы вращения 7?(0) будут оставлять гамильтониан инвариантным:

R (0) Я (г) R-Цв^ Н (г). (4.145) Так как R(6) = e‘9J, то с помощью генераторов вращений условие инвариантности можно записать в следующем виде:

[Я, Я] = 0. (4.146)

Вследствие этой симметрии имеем

ЯиДп» = Д„(^|я», (4-147) если

Н\п) = Еп\т. (4.148)

Таким образом, все состояния, связанные друг с другом преобразованиями вращений, вырождены. Эти состояния являются базисными векторами неприводимых представлений / группы. Из нашего анализа размерностей неприводимых представлений группы SO(3) следует, что кратность вырождения энергетического уровня равна 2/ + 1.

Состояния группы внутренних симметрий отождествляются с различными частицами. Преобразования группы внутренней симметрии переводят одну частицу в другую, но не меняют систему координат, и неприводимые представления группы проявляют себя как вырожденные мультиплеты частиц. В этом разделе мы кратко рассмотрим ранние модели внутренних сим-

метрий сильного взаимодействия. Сначала разрабатывалась идея инвариантности изотопического спина, или изоспиновой инвариантности относительно группы SU (2). Позднее было обнаружено, что эта симметрия является частью более широкой симметрии относительно группы SU^. Теория, основанная на SU (3) -симметрии и получившая название восьмеричный путь, была создана Гелл-Манном [159] и Нееманом [305]. Это в свою очередь привело Гелл-Манна [163] и Цвейга [445] к предположению, что составными частями адронов являются кварки. Цель настоящего раздела — дать краткое историческое введение в эти вопросы и описать, так сказать, кинематику кварковой модели; все это подготовит нас к изучению динамики кварков как фундаментальных полей материи.

Изоспиновая инвариантность: 5(/(2)-симметрия

Еще в ранних исследованиях ядерных реакций было обнаружено, что ядерные силы (сильные взаимодействия) с хорошей степенью точности не зависят от электрического заряда нуклонов. Сильные взаимодействия инвариантны относительно преобразования, меняющего местами протон р и нейтрон п. Точнее, сильное взаимодействие обладает изоспиновой симметрией относительно группы ST7(2), при которой состояния р и п образуют изоспиновый дублет. Поэтому групповая структура изоспиновой симметрии очень похожа на групповую структуру обычного спина. Изоспиновые генераторы Tt удовлетворяют соотношениям алгебры Ли группы 517(2):

[Г„ ТД = №ПкТк, (4.149)

где индексы пробегают значения от 1 до 3. Утверждение, что р и п образуют дублет ( ^ ) • означает следующее (см. формулу (4.45)):

7’з1р> = у1р>. 7’3|«) = -4l«>,

7’+|п) = |р), 7’_|р) = |п). (4.150)

Тот факт, что сильное взаимодействие не отличает п от р, приводит к следующему свойству гамильтониана сильного взаимодействия Нз.

[^,^1 = 0, i = 1,2,3. (4.151)

Концепцию изоспина можно распространить и на другие адроны. Например, (л+, л°, л~), (S+, 2°, £-) и (р+, р°, р-) являются изотриплетами с Т = 1; (К+, К0), (К0, К-) и (0°, 0-)—изодублетами с Т =1/2; т), го, ф и Л—изосинглетами с Т = 0. Поскольку различные члены одного изоспинового мультиплета имеют разные электрические заряды, очевидно, что изоспиновая симметрия не сохраняется в электромагнитных взаимодей-

ствиях. Следовательно, сохранение изоспина не может быть точной симметрией. Но насколько сильно нарушается эта симметрия? Если симметрия точная, то для полного гамильтониана системы выполняется равенство

[Г,., Я] = 0.'(4.152)

При этом все члены изомультиплета точно вырождены по массе. Поэтому разности масс частиц, входящих в один мультиплет, являются хорошей мерой степени нарушения симметрии. Эксперименты показывают, что обычно эти разности составляют несколько процентов от самих масс. Например, т — тт , — т „

- « 0,7 • 10~3, - я+ --4L « 1,7 ■ IO"2 и т. д. (4.153) т + тт , + т п'

п рл+ ли

Поэтому можно сделать вывод, что изоспин — довольно хорошая симметрия, и записать полный гамильтониан в виде

Н = Но + НI, где

[Яо, Л] = 0,[#ь Т^О,(4.154)

причем

HO»HV(4.155)

Таким образом, нарушающий симметрию член Н\ можно рассматривать как малое возмущение. Выше уже говорилось о том, что электромагнитные взаимодействия описываются членом Н\. Оказывается, что слабые взаимодействия также нарушают изо- спиновую инвариантность. В связи с этим возникает интересный вопрос: не содержит ли слагаемое в гамильтониане, описывающее сильное взаимодействие, члены, нарушающие изоспиновую инвариантность? Мы еще вернемся к этому вопросу о возможном слабом нарушении изоспина в сильных взаимодействиях в разд. 5.5.

5(/(3)-симметрия и кварковая модель

После открытия Л- и 7<-частиц было обнаружено, что они обильно рождаются, но имеют большое время жизни. Была выдвинута гипотеза, что эти «новые» частицы обладают новым аддитивным квантовым числом, странностью S, которое сохраняется в сильных взаимодействиях ^ассоциативное рождение), но нарушается при распадах этих частиц за счет слабого взаимодействия. Например, пионы и нуклоны имеют нулевую странность, но 5(Л°)= —1, 5(7<°)=+1- Таким образом, Л- и ^-частицы рождаются в результате сильного взаимодействия, сохраняющего странность, л- + р -> Л° + №, а затем распадаются за счет слабого взаимодействия, меняющего странность, А° -> л- + р, К° -> л+ + л-. Странность S, так же как электри-

ческий заряд Q, связана с Щ 1)-симметрией. Было замечено, что существует линейная связь, так называемое соотношение Гелл-Манна — Нишиджимы, между S, Q и диагональным генератором Тз группы изоспина SU(2) [158, 307]:

гдегде9 = 7-3 +у, (4.156)

где

где

Y = В + S;

здесь В — барионное число, a Y — гиперзаряд. Таким образом, изоспин и странность (или гиперзаряд) сохраняются лишь приближенно, но определенная их линейная комбинация — электрический заряд — сохраняется точно во всех взаимодействиях.

После этого делались попытки найти «высшую симметрию», которая могла бы объединить изоспин Tt и гиперзаряд Y в одну группу путем расширения мультиплета, т. е. найти более широкую простую группу, которая содержала бы SU(2) т X Щ 1) y в качестве подгруппы. Гелл-Манн [159] и Нееман [305] показали, что все мезоны и барионы с одинаковым спином и четностью можно так сгруппироватсь в виде таблицы (Тз, У) (рис. 4.9), что полученные схемы будут очень похожи на представления группы 5ЩЗ) (рис. 4.6,в, г). При этом мезоны О-, 1~ и барионы 1/2+ прекрасно укладываются в схему октетного представления (р = q = 1), в то время как барионы 3/2+ — в схему декаплетного представления (р = 3, <? = 0). Функции частиц тру, входящих в октеты, являясь тензорами с двумя индексами, могут быть записаны в виде матриц

л° । п°V5 д/бК°Р+р° ■<0°д/2 л/бК*3S+л° । п°V5 д/бК°Р+р° ■<0°д/2 л/бК*3S+К0 , — 2т)°VgГ+ лК'3_ 2<в°Vg .РК0 , — 2т)°VgГ+ лК'3_ 2<в°Vg .Р(4.157)(4.157)

л° । п°

V5 д/б

К°

Р+

р° ■<0°

д/2 л/б

К*3

S+

л° । п°

V5 д/б

К°

Р+

р° ■<0°

д/2 л/б

К*3

S+

К0 , — 2т)°

Vg

Г+ л

К'3

_ 2<в°

Vg .

Р

К0 , — 2т)°

Vg

Г+ л

К'3

_ 2<в°

Vg .

Р

(4.157)

(4.157)

S° Л°V5 VgS° Л°V5 Vgп2Л° д/бп2Л° д/б

S° Л°

V5 Vg

S° Л°

V5 Vg

п

2Л° д/б

п

2Л° д/б

Конечно, в то время, когда был предложен этот восьмеричный путь, существование всех мезонов и барионов, предсказываемых этой схемой, не было твердо установлено. Открытие й--частицы [34] с предсказанной массой и с правильными свойствами распада [161] окончательно убедило значительную часть физиков в правильности классификационной схемы SU(3). Конечно,

вг

Рис. 4.9. Адроны в представлениях группы St7(3). Октеты: а — 0~-мезонов; б— 1 “-мезонов; в — 1/2+-барионов и г — декаплет 3/2+-барионов.

St/(3)-симметрия не столь точна, как изоспиновая SU (2) -симметрия. Мерой нарушения SU(3) -симметрии является расщепление масс в пределах одного мультиплета, например Qnx — тдг)/(тх + m^ ~ 0,12.

Отличительной чертой адронного спектра в схеме восьмеричного пути является то, что фундаментальному (определяющему) представлению группы 5ЩЗ) (рис. 4.6, а, б) не соответствуют какие-либо известные частицы. В то же время фундаментальное представление любой группы 5Щп) играет важную роль, так как все представления высших размерностей могут быть построены из тензорных произведений фундаментального представления. Это свойство наиболее ясно видно в тензорном подходе (см. разд. 4.3). С другой стороны, экспериментаторы продолжали открывать все новые и новые сильно взаимодействующие «элементарные частицы». Было трудно поверить, что все эти адроны действительно элементарны и не имеют внутренней структуры. На этом фоне и была предложена кварковая модель. Согласно этой модели, все адроны состоят из кварков

со спином 1/2, которые преобразуются как члены фундаментального представления (р = 1, q = 0) группы 51/(3). (Ясно, что даже если не верить в физическую реальность кварков, необходимо признать, что они представляют собой полезный мнемонический прием для понимания классификационной схемы, основанной на группе 51/(3).)

(4.158)(4.158)Имеются три типа (аромата^ кварков: «верхний» (up), «нижний» (down) и «странный» (strange), преобразующиеся по фундаментальному представлению 3:

(4.158)

(4.158)

q\

и

qt =

q^

=

d

qa

8 j

Этому представлению соответствует таблица Юнга [~~|. Члены

мультиплета имеют следующие квантовые числа;

Q Т Т3 Y SBи2/31/21/21/301/3

d-1/31/2-1/21/3о1/3

s—1/300—2/3— 11/3

Античастицы, называемые антикварками, преобразуются по сопряженному представлению 3*:

/qx\ /“\

ql = q2 = d ,(4.159)

Xq3 /\s /

которому соответствует таблица Юнга н . Аддитивные кван

товые числа антикварков противоположны по знаку квантовым числам кварков:

QТ Т3 YS В

й —2/31/2—1/2—1/30—1/3

d1/31/21/2-1/30- 1/3

s1/3002/31— 1/3

Мезоны (В = 0) являются связанными состояниями кварка и антикварка qq. Из равенства 3X3* = 1+8 следует, что мезоны образуют синглеты и октеты группы 51/(3). Для 0~-мезонов имеем

л+ ~ ди, л° ~ (йи — ad)/^2, л- ~ nd,

K+~su, KQ ~ sd, KQ~ds, K'~us,

т)° ~ (йи + dd — 2ss)/V6-(4.160)

Аналогично 1--октет векторных мезонов имеет тот же кварковый состав. При этом 0~-мезон т/ и 1--мезон «ф» (более подробно о нем будет, сказано ниже) можно отождествить с SL/(3)- синглетом qlqi = (uu + 3d + ss).

Барионы (В = 1) являются связанными состояниями qqq. Из правил перемножения представлений получаем

т. е. 3X3 = 3*+ 6,т. е. 3X3* = !+ 8,т. е. 3X6 = 8 + 10т. е. 3X3 = 3*+ 6,т. е. 3X3* = !+ 8,т. е. 3X6 = 8 + 10

т. е. 3X3 = 3*+ 6,

т. е. 3X3* = !+ 8,

т. е. 3X6 = 8 + 10

т. е. 3X3 = 3*+ 6,

т. е. 3X3* = !+ 8,

т. е. 3X6 = 8 + 10

Отсюда следует

(4.161)(4.161)3X3X3 = ! +8 + 8 + 10.

(4.161)

(4.161)

Октеты барионов имеют те же квантовые числа (7+ У), что и октеты мезонов, хотя и имеют различное кварковое содержание. Это связано с тем, что Т3 и У (а также полный изоспин Т) являются генераторами группы St/(3) и их собственные значения для данного представления определены однозначно. Мезонные октетные состояния и барионные октетные состояния имеют разные барионные числа, так как В не является генератором группы 8ЩЗ). В частности, для 1/2+-барионов имеем

р ~ udu, п ~ udd,

2+ ~ sun, 2° ~ s(ud + du^[^2, Уг ~ sdd,

(4.162)

2° ~ ssu, 2~ ~ ssd,,

Л° ~ s (uu + dd — 2ud)lл/2,

а для 3/2+-барионов | | I I

N*** ~ иии,2'+ ~ suu,N*** ~ иии,2'+ ~ suu,N** ~N** ~2*о2*оuud, sud,uud, sud,N*°2*-N*°2*-~ udd, ~ sdd,~ udd, ~ sdd,2’° ~ ssu, LX ~ sss.2’° ~ ssu, LX ~ sss.2* ~ ssd,2* ~ ssd,N*- ~ ddd,(4.163)N*- ~ ddd,(4.163)

N*** ~ иии,

2'+ ~ suu,

N*** ~ иии,

2'+ ~ suu,

N** ~

N** ~

2*о

2*о

uud, sud,

uud, sud,

N*°

2*-

N*°

2*-

~ udd, ~ sdd,

~ udd, ~ sdd,

2’° ~ ssu, LX ~ sss.

2’° ~ ssu, LX ~ sss.

2* ~ ssd,

2* ~ ssd,

N*- ~ ddd,

(4.163)

N*- ~ ddd,

(4.163)

Массовые формулы Гелл-Манна— Окубо

Рассмотрим спектр адронов в присутствии члена Ну <С Нй, аналогичного (4.154), нарушающего St/(3)-симметрию. Как указывалось выше, изоспиновая симметрия является довольно точной симметрией, поэтому разностями масс в изоспиновом мультиплете можно пренебречь при обсуждении нарушения St/(3)-инвариантности. Дальнейшие выводы можно получить с помощью чисто теоретико-групповых рассуждений. Делая предположение о трансформационных свойствах Нх (~У или, эквивалентно, ~F8) относительно группы St/(3), можно получить соотношение между массами различных изоспиновых мультиплетов [159, 309]. Мы продемонстрируем это с помощью простых вычислений на примере кварковой модели, предположив, что энергия связи кварков не зависит от их ароматов (обоснование этого будет дано ниже) и разности масс в представлении группы 5ЩЗ) полностью обусловлены разностью масс кварков. Эти утверждения являются частными следствиями гипотезы о том, что Ну ~ Fa. В приближении, в котором изоспиновая SU (2) -симметрия является точной, имеем ти = та. Рассмотрим сначала массы 0_-мезонов. Выражая их через массы кварков, из (4.160) получим

^ = m2 + 2m2, тк = то + ти + т1>(4.164)

^ = mo+f№+2m9,

где то — общая часть массы, не зависящая от аромата. Мы записали соотношения между квадратами масс мезонов. В основном это связано с тем, что такие соотношения лучше описывают экспериментальные данные (чем линейные соотношения для масс). Возможным обоснованием является то, что массы 0--мезонов обращаются в нуль в пределе St/(3)-симметрии (см. гл. 5) и расчет энергии по теории возмущений в окрестности такого значения автоматически приводит к соотношению между квадратами масс. Из равенства (4.164) имеем

4m2=m2 + 3m2.(4.165)

Согласно экспериментальным данным, левая часть «0,98 ГэВ2, а правая «0,92 ГэВ2. Таким образом, это соотношение для масс выполняется с точностью до нескольких процентов. Аналогично для 1/2+-барионов из (4.162) имеем

mN = m0 + 3mo, ms = m0 + 2mu + ms, ' m9 = m0 + mu + 2ms, mA = m0 + 2mu + ms.

Исключая три параметра mQ, ти и т3, получаем соотношение для масс барионов

которое очень хорошо описывает экспериментальные данные. Левая часть этого соотношения «2,23 ГэВ, а правая часть «2,25 ГэВ. Кварковая модель позволяет определить отклонения масс частиц от среднего значения то. Кроме того, мы имеем дополнительное соотношение

тх = тх.(4.167)

Для декаплета 3/2+-барионов (4.163) легко получить правило эквидистантности масс

ma — ms* = me* — ms* = ms* — mw*. (4.168)

В действительности масса бариона й- сначала была предсказана (правильно) с помощью этого соотношения.

со — ^-смешивание

Что касается массовой формулы Гелл-Манна — Окубо для мультиплета векторных 1~-мезонов, то возникает впечатление, что она не работает. Действительно, по аналогии с соотношением (4.165) для 0--мезонов мы имели бы

Зт^ = 4т^, — т^. (4.169)

Так как т^*=890 МэВ, а тр = 770 МэВ, то, согласно этому равенству, тш = 926,5 МэВ, в то время как экспериментальное значение равно тш = 783 МэВ. Затем был открыт векторный 1~-мезон ф с теми же квантовыми числами, что и у и (т. е. 7 = 0 и S = 0), ис масой 1020 МэВ. Это навело на мысль, что со не является чистым состоянием SU(3)-октета, а содержит примесь 5Д(3)-синглета [344]. Обозначим через Vs член 5Д(3)-октета с Т = У = 0, а через Vi— SU(3)-синглет. Тогда со является линейной комбинацией V8 и Vi, в то время как ф является другой ортогональной комбинацией. Запишем массовую матрицу в пространстве состояний V8 и Vi в виде

(4.170)

Волновые функции для Vs и Vi имеют вид

(4.171)(4.171)V8 = (ии + dd — 2ss)/V6>

(4.171)

(4.171)

V l = (uu + dd + ss)/ V 3.

Собственными значениями матрицы М будут mto и тф;

/т2

RTMR = ^

° )

m2 / ’

(4.172)

где

/ cos 9

^ V — sin 9

sin 9 \ cos 9 )"

(4.173)

Следовательно,

со = cos 9 I/g — sin 9 Ep ф = sin 9 E8 + cos 9 Ep

(4.174)

Так как, согласно формуле (4.169), должно быть т88 = = 926,5 МэВ, то можно вычислить угол смешивания 0. Из равенства (4.172) следует:

/т2 0 \

M = R\ п 2 Я7,(4.175)

\ 0 m2 /v

откуда находим

sin 9 = [(ш88 - m2)/(m2 - т^ = 0,76.(4.176)

Тот факт, что величина sin 0 близка к д/2/3 = 0,81, важен по следующей причине. Если sin 0 точно равен V2/3 (эта ситуация называется «идеальным смешиванием^, то справедливы формулы

го = (uu + ^)/V2’(4.177)

Ф = зз.(4.178)

Точнее, в случае идеального смешивания ф состоит лишь из странных кварков, a и— лишь из нестранных кварков. Следовательно, при значении sin 9 (4.176) основной вклад в ф дает компонента ss, но имеется очень малая примесь компонент йи и 3d.

Правило Цвейга и открытие «очарования»

Поскольку мезоны го и ф имеют одни и те же квантовые числа Т = О, У = О, можно было бы ожидать, что они обладают одинаковыми свойствами при сильных взаимодействиях. Но эксперименты показывают, что это не так. Мезон го, как и следовало ожидать, в основном распадается по Зл-каналу, в то время как процесс ^>->Зл сильно подавлен по сравнению с ф^-RK, несмотря на то, что фазовый объем последнего распада очень мал (тф лишь немного больше, чем 2тк « 998 МэВ) . Это показывает, что мезон ф преимущественно распадается по каналам, включающим странные частицы, а не по каналам, не содержащим таких частиц. Чтобы объяснить это явление, Цвейг

[446], а также независимо некоторые другие авторы [224, 310] предположили, что процессы сильных взаимодействий, в которых конечные состояния могут быть получены только через аннигиляцию q и q, подавлены. Следовательно, так как основной вклад в ф дает ss-компонента, то распад на пионы должен происходить в соответствии с диаграммой на рис. 4.10, а, в то время

Рис. 4.10. Диаграммы распада Ф-мезона: а—запрещенная и б — разрешенная правилом Цвейга.

Рис. 4.11. Разрешенные правилом Цвейга распады, такие, как ^->-0*0- (б), запрещены из энергетических соображений.

как распад по КК-каналу не включает аннигиляции s и s, как показано на рис. 4.10,6.

В 1974 г. была открыта частица J/^ (3100) [25, 26]. Она обладает одним довольно необычным свойством: ее ширина (порядка 70 кэВ) много меньше ширины распадов типичных адронов (например, Гр ~ 150 МэВ, Гш ~ 10 МэВ). Кроме того, ширина должна возрастать при увеличении массы частицы, так как при этом увеличивается фазовый объем процесса распада. Это обычно интерпретируют следующим образом: частица J/ф является связанным состоянием нового тяжелого кварка, очарованного кварка с, и его античастицы с, т. е. ф ~ сс. Масса этой частицы ниже порога разрешенных правилом Цвейга распадов в очарованные мезоны (связанные состояния, содержащие хотя бы один очарованный кварк) (рис. 4.11).

Детальное обсуждение свойств очарованных частиц приведено в работе Гайар, Ли и Рознера [153]. Здесь мы лишь ограничимся следующим замечанием: существование этого но-

вого кварка с зарядом 2/3 было предсказано сначала на основе кварк-лептонной симметрии [51] и, что более убедительно, на основе требования подавления процессов с нейтральными токами, меняющими странность [188]. С учетом нового кваркового числа симметрия ароматов расширяется от группы St/(3) до группы St/(4). Конечно, S//(4)-симметрия сильно нарушена, так как кварк с тяжелый (тс ~ 1,5 ГэВ). Обсуждение такой сильно нарушенной симметрии не имеет большого смысла. Необходимо переходить непосредственно к динамическому рассмотрению кварковых моделей адронов, несущих новые квантовые числа. Например, имеются дополнительные 0--мезонные состояния

D+ ~ de, D- ~ cd, DQ ~ йс, DQ ~ си,

_ (4.179)

. F* ~ sc, F~ ~ cs, цс ~ сс.

В действительности одним из наиболее достоверных свидетельств в пользу кварковой модели является детальная проверка структуры уровней и переходов между различными состояниями «кваркония» (сс).

В 1977 г. был открыт еще один набор узких резонансов У [219, 253], которые были успешно интерпретированы как связанные состояния еще одного тяжелого кварка b (от beauty — красивый или bottom — нижний), имеющего заряд ( — 1/3) и очень большую массу ть ~ 5 ГэВ.

Как мы увидим дальше (особенно в разд. 11.3), исходя из идеи кварк-лептонной симметрии в теории электрослабых взаимодействий, можно ожидать существование по крайней мере еще одного сверхтяжелого кварка. Этот кварк t (от truth — истинный или от top — верхний) должен иметь заряд 2/3. Он объединяется вместе с кварком b в пару, аналогичную парам (и, d) и (с, s).

Первые исследования свойств тяжелых кваркониев были проведены Аппельквистом и Политцером [21]. (Среди более поздних работ, содержащих обсуждение кваркония (56), и обзоров отметим [22, 120, 334, 358].)

Трудности простой кварковой модели

Под простой кварковой моделью мы подразумеваем первоначальную модель с тремя или большим числом типов кварков без каких-либо скрытых степеней свободы. Но эта простая модель приводит к следующим трудностям.

■ 1. Кварки имеют дробные электрические заряды, в то время как наблюдаемые адроны имеют целые заряды. Отсюда в силу закона сохранения заряда следует, что по крайней мере один из кварков абсолютно стабилен. Предпринимались попытки об-

наружения этого дробно-заряженного стабильного кварка, но до сих пор не существует общепризнанных доказательств его существования (см., однако, [251]).>

Все адроны являются лишь связанными состояниями кварков qq и qqq (и им сопряженными). Нет никаких экспериментальных указаний на существование связанных состояний qq или qqqq. Трудно понять причину отсутствия подобных адронов с массами, сравнимыми с массами наблюдаемых частиц.

Наиболее серьезная проблема состоит в следующем. Согласно кварковой модели, для декаплета барионов Jp = 3/2+ волновые функции нарушают связь спина со статистикой. Рассмотрим, например, N*++ ~ иии. Так как эта частица является наинизшим состоянием системы из трех кварков и, пространственная волновая функция имеет нулевой полный угловой момент и полностью симметрична. Но N*++ имеет спин 3/2, и спины всех кварков и выстроены в одном направлении (причем третья компонента спина s3 = +3/2), так что спиновая волновая функция также полностью симметрична. Следовательно, полная волновая функция симметрична по отношению к перестановке любой пары составляющих кварков. Но это не совместимо со статистикой Ферми — Дирака, так как кварк и является фермионом со спином 1/2.

Цветовая степень свободы

Постепенно был найден способ обойти все эти трудности [197, 212, 299]. Выход состоит в том, чтобы постулировать существование для каждого кварка скрытой степени свободы, названной цветом1). Точнее, предполагается, что кварк каждого типа может существовать в трех различных цветовых состояниях, образующих триплет относительно цветовой группы SU(3). Так, для известных кварков мы имеем

u„ = (ub u2, и3),

da = (d], d2, d^),

аромат sa = (s,, s2, s3),(4.180)

ca = (cl> c2> сз)>

•• ba = (bx, b2, b3).

-<цвет >

Пять типов (ароматов) кварков соответствуют пяти различным цветовым триплетам. Операторы цветовой группы переводят

') Квантовое число, отвечающее дополнительной степени свободы, позднее получившее название «цвет», было независимо введено в работе: Боголюбов Н. Н., Струминский Б. В., Тавхелидзе 4. Н.—Препринт ОИЯИ, Д-1968, 1965. — Прим. ред.

кварк одного цвета в кварк другого цвета, но оставляют аромат неизменным: и^ и2, и2 -<-*■ и3, и3 -<->- Ui или d, -<->- d2, d2 -<->- d3, d3 -<-> dx и т. д. Кроме этого предположения о дополнительной степени свободы постулируется, что физически наблюдаемы лишь состояния, синглетные относительно цветовой группы.

Так как в произведениях представлений 3X3* и 3X3X3 содержатся цветовые синглеты (см. (4.161)), лишь конфигурации qq и qqq могут объединяться в физически наблюдаемые адроны, в то время как состояния q, qq или qqqq не могут быть обнаружены экспериментально. Волновая функция :V*++ теперь антисимметрична:

М Цр (х2) и. (.r3) e“₽v, (4.181).

где а, Р, у — цветовые индексы, принимающие значения 1, 2, 3.

Важно заметить, что эта цветовая группа симметрии Sf/(3) не имеет ничего общего с первоначальной группой симметрии ароматов SU^) восьмеричного пути. Действительно, в отличие от SU(n)-симметрии ароматов с п = 2, 3, 4 ... цветовая симметрия 5^(3) предполагается точной.

Теперь мы имеем довольно любопытную ситуацию: адроны- состоят из частиц, которые сами по себе ненаблюдаемы. Кварки могут существовать лишь внутри адронов и никогда не могут существовать в свободном виде. Это свойство обычно называют конфайнментом кварков. Любая реалистическая теория адронов как связанных состояний кварков должна описывать это свойство.

В последние годы физики остановили свой выбор на калибровочной теории, называемой квантовой хромодинамикой (КХД), в которой цветовое квантовое число играет ту же роль, что и электрический заряд в квантовой электродинамике. В КХД цветные кварки взаимодействуют друг с другом через обмен глюонами подобно тому, как заряженные частицы взаимодействуют путем обмена фотонами. Эти взаимодействия приводят к (зависящему от цвета, но не зависящему от аромата) объединению кварков в адроны. Хотя КХД имеет много привлекательных черт (см. гл. 10), но до сих пор в рамках этой теории не получено убедительного доказательства конфайн- мента кварков. Однако существует много указаний (см., например, разд. 10.5) на то, что конфайнмент должен описываться кхд.

КИРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ СИЛЬНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

В разд. 4.4 мы изучили симметрию по ароматам сильных взаимодействий и ее физическую реализацию, основанную на кварковой модели. Полагают, что симметрии SU^), SU^) и т. д. отражают вырождения масс кварков ти = md, а также в менее точном приближении mu = md = ms. Оказывается, однако, что причина существования этих равенств состоит не столько в том, что массы трех кварков оказались равными друг другу, сколько в том, что все они являются легкими в характерной энергетической шкале сильных взаимодействий. Таким образом, пределами, в которых симметрии выполняются точно, следует на самом деле считать ти = md = 0 и в меньшей степени т$ = О с соответствующими симметриями по ароматам SU (2") LX SU (2s) R и SU(3) lX SU (3) r, называемыми карильными симметриями. Но мы не наблюдаем какого-либо вырождения частиц, которое можно было бы сопоставить указанным симметриям. Разрешение этого парадокса основано на том факте, что физический вакуум неинвариантен (не является синглетом) по отношению к киральным симметриям и, как принято говорить, симметрия спонтанно нарушена. Физическим проявлением такой реализации симметрии служит существование набора бозонов с массами, близкими к нулю: трех пионов, а также всего октета 0--мезонов. Здесь мы изложим основы подхода, за которым закрепилось название алгебра токов. Матричные элементы для этих легких псевдоскалярных мезонов в определенных кинематических пределах вычисляются непосредственно с помощью коммутационных соотношений и законов сохранения для токов, соответствующих киральной симметрии.

Настоящая глава построена следующим образом. В разд. 5.1 мы обсуждаем связь между симметрией и законами сохранения в теории поля, а также устанавливаем важный результат, состоящий в том, что коммутационные соотношения для зарядов справедливы даже при наличии членов, нарушающих симметрию. В разд. 5.2 мы обращаем внимание читателя на то, что в теории поля токи, соответствующие симметриям, являются в действительности физическими (электромагнитными и слабыми) токами. Рассматривается предложенная Адлером проверка ал-

гебры токов (киральной симметрии) в экспериментах по рассеянию нейтрино при высоких энергиях. В разд. 5.3 мы изучаем спонтанное нарушение глобальных симметрий и теорему Голдстоуна. Это вводит нас в круг вопросов, относящихся к частичному сохранению аксиально-векторного тока (ЧСАТ), изложению которых посвящен разд. 5.4. В пределе безмассовых пионов, отвечающих киральной симметрии, мы можем, используя ЧСАТ и алгебру токов, вывести ряд низкоэнергетических теорем: соотношение Голдбергера — Треймана, условия согласованности Адлера для амплитуды лА-рассеяния, правила сумм. Адлера — Вайсбергера и т. д. В разд. 5.5 исследуем случай, (явного) нарушения киральной симметрии, приводящего к возникновению ненулевой массы мезона и a-члена для лА-рас- сеяния.

Проведенный в настоящей главе анализ показывает, что' адронные взаимодействия обладают приближенной киральной симметрией, которая реализуется голдстоуновским способом. Таким образом, любая удовлетворительная теория сильных взаимодействий должна подчиняться указанным требованиям симметрии по ароматам (см. также замечания в конце разд. 5.5). Как мы увидим, калибровочная теория КХД естественным образом обнаруживает такие глобальные симметрии.

ГЛОБАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ

В ТЕОРИИ ПОЛЯ И КОММУТАТОРЫ ТОКОВ

Законы сохранения в физике можно сопоставить соответствующим принципам симметрии. Из инвариантности физической системы относительно определенных преобразований симметрии вытекают отвечающие им совокупности законов сохранения. В классической механике хорошо известны следующие примеры:

Инвариантность относительно Сохранение энергии трансляций во времени

,, ,dE „

Инвариантность относительно Сохранение импульса трансляций в пространстве

r^r^bi~^=й

Инвариантность относительно Сохранение углового момента вращений

И -> Нцгр где RRT=\ЧГ=°

В квантовой механике наблюдаемым сопоставляются опера- раторы. Эволюция во времени данных операторов в представлении Гейзенберга определяется их коммутатором с гамильтонианом

^ = 1\Н,С\. (5.1)

Таким образом, закон сохранения эквивалентен утверждению, что соответствующий оператор коммутирует с гамильтонианом. Например, сохранение углового момента dJi/dt = Q означает, что

Vo НА = О. (5.2)

Отсюда следует, что уровни энергии системы (2/+ 1)-кратно вырождены, где / — собственное значение оператора углового момента. На языке теории групп оператор Гамильтона инвариантен относительно группы вращений 0(3), генераторы которой /ь J2 и J3 удовлетворяют коммутационным соотношениям

Up JfA = l6MkJh, Z,/, 6=1, 2,3. (5.3)

Следовательно, состояния с определенной энергией образуют представления группы 0(3). Кратность вырождения уровней энергии связана с размерностью неприводимых представлений.

Теорема Нётер

В теории поля симметрии и законы сохранения связаны между собой аналогичным образом. Точный смысл этой связи составляет содержание теоремы Нётер [308]. Для системы, описываемой лагранжианом

(5.4)(5.4)L = ^ d3x$ (фг (х), д^ (х^

(5.4)

(5.4)

и соответствующим уравнением движения

любому непрерывному преобразованию симметрии, оставляющему действие S = ^ Ldt инвариантным, отвечает сохраняющийся ток:

дЧу. (х) = 0.(5.6)

При этом заряд, определяемый выражением

Q^ = ^d3xJ0^,(5.7)

является динамическим инвариантом:

поскольку поверхностный член на бесконечности пренебрежимо мал: ■

d3xd0J0 = ^ ^хд*]^ = 0.(5.9 h

Теорему Нётер легко проиллюстрировать в случае внутренней симметрии. Пусть лагранжева плотность $ инвариантна относительно некоторой группы симметрии G, т. е. относительно инфинитезимальных преобразований вида

§t to ~> Ф\ to = Ф^ to + ^i to;(5-10>

здесь

6^ (x) = ieat°^f to,

где ea — малые параметры (не зависящие от х), a ta — набор- матриц, подчиняющихся коммутационным соотношениям алгебры Ли группы G:

\ta,tbA = iCabctc(5.11)

^abc — структурные константы группы G). Соответствующая, вариация лагранжевой плотности имеет вид

Используя уравнение (5.5), а также тождество

6 W) - д^ - д^ = д^ (М^,(5.13>

мы можем записать б^ в виде

~ [ Wa ^']=«Ч Ы& Ч,^ ■<5-14>

Ясно, что если лагранжиан инвариантен относительно преобразования (5.10), т. е. 6^ = 0, то соотношение (5.14) выражает закон сохранения тока

(WJ = 0, где

Сохраняющиеся заряды, имеющие вид

Qa = ^^xJo to,(5.16);

являются генераторами группы симметрии.

Симметрии такого типа, которые характеризуются параметрами еа в (5.10), не зависящими от точки пространства-вре-

мени, называются глобальными симметриями. Поля ^(х) преобразуются строго одинаковым образом во всех точках х пространства-времени.

Пример 1. Абелева 1ИДУ симметрия. Лагранжева плотность, имеющая вид

2 = ч KVD2 + 0Ш1 —^2 Ж + #Э —г № + #Э2. <5- Ж

инвариантна относительно преобразования

■ ^! —> ^>[ = ^>1 cos а — <j>2 sin а,

,.(5.18)

^2^-^2= ^, sin а + ^>2cosa.

Это О (2)-симметрия, отвечающая инвариантности относительно вращений в плоскости (^>1,^2). Для бесконечно малого вращения a <^ 1 имеем

^ = ^ —°^2’^2=^2+а^Р(5Л9)

т. е. ф'1 = Ф1 + 1а<цФр гДе

' = (-" о)-<5'20>

Согласно (5.15), сохраняющийся ток имеет вид

^ = — (д11фх)ф2А-(.д11ф2')фх.(5.21)

Вводя комплексные поля

^ = -^-(^1 + ^2),^'=^=-(^1 — ^2),(5.22)

мы можем переписать лагранжиан (5.17) в виде

$ = W) ^Ф) - ц2 (ф-ф) - К кФ'ФУ. (5.23)

Последнее выражение инвариантно относительно ^(^-преобразования:

ф—>ф' = е‘аф(5.24)

и приводит к сохраняющемуся току

J№ = £W^-(d^m(5.25)

Заметим, что вследствие симметрии 0(2) (или 0(1)) фу и ф2 (или ф и ф*) вырождены по массе.

Пример 2. Изоспиновая симметрия SU^). Рассмотрим теперь простой пример неабелевой симметрии. Пусть ф— изодублет вида

(5.26)

Лагранжева плотность

$ = № W) - ц2 (ф*ф) ~ 4 W(5-27)

инвариантна относительно инфинитезимальных изоспиновых вращений вида

^^^ = ^ + <еа^-^,.,(5.28)

где та — стандартные матрицы Паули. Сохраняющийся изоспи- новый ток задается выражением

^=- 4 №иФ! - Ф^л> (5-29) а его временная компонента имеет простой вид

= - 4\л^иФг - №/л/L(5-3°)

где л,-— канонические импульсы, сопряженные полям фь Используя канонические коммутаторы

[л; (х, /), ф( (х', /] — — z6z/63 (х — х')>(5.31)

можно показать (см. ниже соотношение (5.37)), что заряды, определяемые выражениями

Qa=^d?xlUx\ а= 1,2,3, удовлетворяют коммутационным соотношениям SU(2)-симметрии

[Qa> Qb] — ‘le-abcQc-(5.32)

Это означает, что Qa являются генераторами группы SU(2). В данном примере также вследствие SU^) симметрии поля ф^ и фч имеют одинаковые массы.

Алгебра токов

Выше мы видели, что точные симметрии приводят к сохраняющимся токам, а соответствующие заряды порождают групповую алгебру, отвечающую данной симметрии. Эти простые коммутационные соотношения могут быть использованы для классификации состояний частиц. Например, с St/(2)-преобразованиями в примере 2 связаны заряды Qa, a = 1, 2, 3, которые являются генераторами преобразований изоспиновой St/(2)- симметрии (5.32). Как уже указывалось в разд. 4.2 и 4.4, они преобразуют данную частицу в другие частицы, входящие в тот

же самый изоспиновый мультиплет. Ниже мы покажем, что коммутационные соотношения, такие, как (5.32), выполняются даже при наличии членов, нарушающих симметрию. Рассмотрим лагранжиан вида

S^.S’o + S’p(5.33)

где ^0 инвариантен относительно группы симметрии G, а $\ неинвариантен. Мы можем по-прежнему определить ток J" для инфинитезимальных преобразований (5.10) выражением (5.15), но теперь этот ток не будет сохраняться, а заряды, определяемые выражениями

Qa (0 = 5 Ja0 (х) d3x =-i\ y^y ^d3x,(5.34)

будут зависеть от времени. Тем не менее величина 6^/6(<3°</>(), несмотря на присутствие члена ^ь по-прежнему является импульсом, канонически сопряженным фр

и удовлетворяет каноническим коммутационным соотношениям при равных временах:

[nz(x, /), ^(у, /)] = —zd3(x —y)dz/.(5.36)

Используя эти соотношения, а также тождество [ЛУ, CD] = = А [В, C]D — С[О, А] В, справедливое при [Л, С] = [D, У] = 0, мы можем, не зная явный вид члена ^ь нарушающего симметрию, вычислить коммутатор зарядов (при равных временах): [<2а (/), Qb (/)] = — ^^х d3 у [л, (х, /) 1цф, (х, /), л6 (у, /) tb^i (у, /)]= = — ^d?x d3y {л; (х, /)///[^>/(х, /), л* (у, Z)]^z(y, /)+

+ л6(у, 0^/[л((х, /), ф^у, /)]/;,^>/(х, /)} =

= — ^3х(лА(х, С)1^а. ЬмФ}^, /)). Учитывая (5.11), получаем

[Qa(/), Q4t)l = iCabcQ4t).(5.37)

Таким образом, даже если величины Qa(/) изменяются со временем, в любой заданный момент времени / коммутационные соотношения групповой алгебры будут выполняться. Эти соотношения обычно называют алгеброй зарядов.

Пример. Нарушенные симметрии в свободной кварковой SU^-модели. Здесь мы будем интересоваться группой ароматов SC(3) (но не цветовой!). Кварковые поля составляют три-

плетное представлениеqto =плетное представлениеqto =Ч\ to <?2 to Яз to .Ч\ to <?2 to Яз to .и to Ato stoи to Ato sto(5.38)(5.38)

плетное представление

qto =

плетное представление

qto =

Ч\ to <?2 to Яз to .

Ч\ to <?2 to Яз to .

и to Ato sto

и to Ato sto

(5.38)

(5.38)

с трансформационными свойствами

ql^q\ = qi + *аа ^-\^р аа«1,(5.39)

(5.40)(5.40)где Ха— восемь матриц Гелл-Манна, удовлетворяющие коммутационным соотношениям

(5.40)

(5.40)

имеет вид

2 = Ж0 + ^у,

(5.41)

где

3?0 = 1^д^,

(5.42)

$v = тийи + mddd + msss.

(5.43)

2

^ 1 -tabc >L

2 J'2 '

где 1°Ьс — структурные константы группы SUto- Лагранжиан

Лагранжиан ^0 инвариантен относительно группы симметрии 317(3), а $\ неинвариантен. Токи, соответствующие 317(3)- преобразованиям, задаются выражениями

л1 а X

(5.44)(5.44)^М = -7Муц (-2-) qto-

(5.44)

(5.44)

Заряды, определяемые выражениями

Qa^=\ Votodto

удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры группы SU^)

VQato Q4m = irbcQ4n(5.45)

вследствие канонических коммутационных соотношений

^mto о. q^fy, /)} = 6;/.dagd3(x-у),(5.46)

где I, / — индексы ароматов, a a, р — индексы Дирака. Чтобы симметрия SU^ была точной, требуется выполнение равенств m.u. = md = rns. В пределе ^1=0 лагранжиева плотность $0 инвариантна относительно преобразований группы, более широкой, чем 317(3). Кроме преобразования (5.39), $0 остается неизменной при аксиальном преобразовании

q -^q\ = qt + z0a (х2 Х^р PacL (б-47)

Соответствующие токи имеют вид

^ М = Я to (^) Nv^q W-(5-48)

Эти токи называют аксиально-векторными. Таким образом, даже в присутствии члена 271, нарушающего симметрию, мы можем определить аксиальный заряд Q5a:

Q5a(/) = J Ao(x)d3x.(5.49)

Вместе с векторными зарядами Qa(/) аксиальные заряды порождают следующие коммутационные соотношения при равных временах:

кт Q4m=ifabcQ4n,

[Qa(/), Q5b(/)] = zfabcQm(5.50)

[Q5a(/), Q5b^ = ifbCQ4tY

Эти коммутационные соотношения соответствуют киральной алгебре SU(3)LX SU(3)r. Чтобы увидеть это, определим левые и правые заряды с помощью соотношений

<Й=^(<У-<Л>(5.51а)

Q^ = 4toa + Q5a)'(5.5! б)

Тогда соотношения (5.50) можно записать в виде

№Ш QlU)] = ifabcQl(t),

[<2Ж QbR^ = irbcQR^,(5.52)

Q«(0] = 0.

Таким образом, величины Qt генерируют алгебру SU^l, а величины Qr генерируют алгебру SU^r.

Можно расширить алгебру зарядов (5.37), рассматривая коммутаторы зарядов и соответствующих им токов при равных временах. С помощью точно такого же вычисления, как то, которое привело к соотношению (5.37), мы можем показать, что

[Qa(/), Jb(x, t^ = iCabcJUx, t).(5.53)

Далее, используя лоренц-ковариантность, можно включить также другие компоненты токов:

[Q°W, ^(х, 01 = iCaiX(x, /).(5.54)

Можно пойти еще дальше и рассмотреть наряду с (5.53) соотношение"

[ Jo (X, /), Jb (у, /)] = 1СаЬсЛ кх, О 63 (х - у).(5.55)

Эти соотношения, а также аналогичные расширения соотношений (5.50) называются алгеброй токов, см. ниже соотношения (5.80).

Если попытаться включить в алгебру токов (5.55) пространственные компоненты, то возникнут дополнителные члены, исчезающие при пространственном интегрировании. Например, [/о(х, О, Л (У, ^ = 1СаЬс]Цх, /)d3(x-y) + s#(x)^-d3(x-y), '(5.56)

где 5(Ь (х) — некоторый оператор, зависящий от явного вида величины Л (х). Этот член обращается в нуль при интегрировании по пространству:

S^kx)\^b4x-y)d3y = 0(5.57)

и не меняет поэтому алгебру зарядов и токов (5.54). Члены такого типа называются швингеровскими членами [354]. Простое рассуждение показывает, что они, вообще говоря, не могут быть равными нулю. Рассмотрим простейший случай ^(^-симметрии, когда групповые индексы не нужны, а структурные константы отсутствуют. Если предположить, что швингеровские члены отсутствуют, то коммутатор (5.56) имеет вид

Vokx, О, /Ду, /)] = 0,(5.58)

откуда следует

[/о(х, О, <ШУ- /)] = 0.(5.59)

Из сохранения тока duJu = O получаем

[Jo (х, /), д0]0 (у, /)] = 0.(5.60)

Беря вакуумное среднее и вставляя полную систему собственных состояний оператора энергии, находим

<O|[Jo(x, /), М(у. 0][0>= £«O|Jo(x, /)|п)(п|М(У, ОЮ)-

-<0|М(у. tHtW\jokx, /)|0» =

= i £ keip^x"^ + e"ipn^ Еп I (01 Jo (0) | n> |2.(5.61)

Таким образом, в пределе х->у соотношение (5.60) дает

X КО | Jq (0) | «> |2 = 0.(5.62)

Из условия положительности энергии мы должны заключить, что

(О 170 (0) | ц) = О для всех | ц).(5.63)

Таким образом, JQ = 0 тождественно и соотношение (5.60) тривиально. Следовательно, должен существовать отличный от нуля швингеровский член.

Отметим также, что для свободной кварковой модели существуют еще две (7(1)-симметрии. Первая (/(1)-симметрия отвечает инвариантности $ (формула (5.41)) относительно изменения общей фазы всех кварковых полей

<7,(х)->е%(х)(5.64)

и сохраняющемуся току

I» kA~Qi кА N^i кА-(5.65)

(Этот ток связан с барионным зарядом.) Вторая (7(1)-симметрия отвечает инвариантности 2?0 (формула (5.42)) относительно преобразования

<7,(х)->е'^1(х)(5.66)

и (частично) сохраняющемуся току

^ кх) ~ qt кх) N^^t кА-(5.67)

(Этот ток связан с «аксиальным барионным зарядом».) Вопросы, относящиеся к этой аксиальной (7(1)-симметрии, обсуждаются в разд. 16.3.

ТОКИ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ СИММЕТРИИ, КАК ФИЗИЧЕСКИЕ ТОКИ

В предыдущей главе было показано, насколько важную роль играют группы симметрии в классификации частиц. Выше мы видели, что в теории поля соответствующие симметриям токи (нётеровские токи) и заряды удовлетворяют определенным коммутационным соотношениям, которые остаются справедливыми даже при наличии членов, нарушающих симметрию. Другой важный результат теоретико-полевого анализа состоит в том, что токи, соответствующие симметрии, являются в точности теми физическими токами, которые входят в электромагнитное и слабое взаимодействие, т. е. сами нётеровские токи или некоторые их линейные комбинации входят в лагранжиан взаимодействия. Таким образом, алгебра токов, которая воспроизводит симметрии сильных взаимодействий, может быть непосредственно проверена в электромагнитных и слабых взаимодействиях, включающих адроны. Приложения алгебры токов рассматриваются в книгах [8, 106].

Электромагнитные токи

Из физических токов лучше всего изучен электромагнитный ток Л^ (л), который связан с фотонным полем А(х) в лагранжевой плотности взаимодействия следующим образом:

$эм = еЛкмА\(5.68)

где заряд е является константой электромагнитного взаимодействия. Мы можем разделить ток на лептонную и адронную части:

Гх=Лк+Пх.(5.69)

Лептонный ток может быть выражен непосредственно через заряженные лептонные поля

Л” = —ё^ке — ЙУ^Н + • ■ • -(5.70)

где фермионные полевые операторы обозначены символами соответствующих частиц. Поскольку лептоны не испытывают сильных взаимодействий, а электромагнитное взаимодействие можно рассматривать по теории возмущений, мы можем измерять Лх непосредственно в физических процессах. В этом отношении адронный электромагнитный ток J™ сильно отличается от лептонного. Адронный ток нельзя записать прямо в терминах адронных полей, таких, как л, К, N и т. д., поскольку последние не являются элементарными составляющими. Хотя нам известно выражение для Лг“ через кварковые поля

С = 4 »Yx« - 4 ^ - 4 ^ + ...,(5.71)

его нельзя использовать так, как используется лептонный ток. У нас нет выражения для адронной волновой функции в терминах кварковых полей. Кварки участвуют в сильном взаимодействии, которое должно быть учтено во всех порядках. Пока мы не можем этого сделать, и нам приходится при изучении структуры матричных элементов этого тока основываться на экспериментальных измерениях. С другой стороны, электромагнитный ток является также током, соответствующим симметрии. Он сохраняется во всех известных взаимодействиях. Оператор адронного заряда

Q™ = J 7дм d3x(5.72)

удовлетворяет соотношению Гелл-Манна — Нишиджимы (см. разд. 4.4)

9Г = Тз + 4-

Это означает, что аналогичное соотношение справедливо для соответствующих токов:

Jhx = jx + ^JL(5.73)

В кварковой модели данному соотношению отвечает следующее соотношение:

/™ = 2U+«-yd+d-yS+s+ ...=

= у (ц+ц — d^ + -|- ^и + d^d — 2s+s) + ... = 7о + у 7о ■ (5.74)

Слабые токи .

В теории слабых взаимодействий роль токов аналогична той роли, которую играет ток 7™ в электромагнитном взаимодействии. Мы увидим (ср. гл. 11), что эти два взаимодействия «объединяются» в современных калибровочных теориях и что слабый и электромагнитный токи являются членами одного мультиплета, следовательно, они действительно имеют аналогичный теоретический статус. В настоящей главе мы ограничимся рассмотрением только заряженного слабого тока, т. е. той части К, которая не рождает ни одно из новых квантовых чисел («чарм», «боттом» и т. д.). Аналогично (5.68) он взаимодействует с заряженным промежуточным векторным бозонным (ПВБ) полем Wx следующим образом:

ЕЕ^ = gJxWK + эрмит. сопр.,(5.75)

где g— константа взаимодействия. Мы получаем отсюда при низких энергиях эффективный лагранжиан взаимодействия типа ток — ток:

^эФФ =A JxJK + эрмит. сопр.,(5.76)

где g2lMw~GFl^2, поскольку пропагатор массивного ПВБ дает массовый множитель Mw в знаменателе. Здесь величина Gf ~ Ю~5 — константа Ферми, измеренная в обратных квадратах массы протона. Слабый ток также можно разделить на лептонную и адронную части

/ = 7^+^;(5.77)

здесь

Л = VeY^ (1 — уз) е + VuY^ (1 — Ye) Н + ■ ■ ■ >(5.78)

где ve(x) и vu (х)— операторы нейтринных полей. Адронный ток можно записать в V — А-виде:

А — [(^ + ^2) — (А^ + /Аг)] cos 6С +

+ К^ + /V^) - (А^ + /Аз)] sin 6С,(5.79)

где 6С «0,25— угол Кабиббо [64]. Нижние индексы у операторов вектора и аксиального вектора соответствуют ароматическому 5U (3) -октету. Различные правила отбора и соотношения симметрии, вытекающие из SU (3)- и 5(7(2)-трансформационных свойств адронных токов, хорошо проверены в полулеп- тонных слабых процессах. Например, сохраняющий странность векторный ток Vt + iVa и сопряженный ему ток К^ —/Кг являются партнерами изовекторного электромагнитного тока в изоспиновом триплете. Соответствующие заряды являются генераторами изоспиновой подгруппы 5(7(2) группы 5(7(3). Эти изоспиновые токи приближенно сохраняются. Данную схему принято называть гипотезой о сохранении векторного тока (СВТ) [139]. Таким образом, зная матричные элементы электромагнитного тока (формфакторы), мы можем, используя изоспиновые вращения, вычислить значение формфакторов, соответствующих слабому векторному току, сохраняющему странность. Аналогично можно получить слабые формфакторы, соответствующие векторным токам, изменяющим странность. Для этого следует учесть, что все рассматриваемые векторные токи принадлежат одному и тому же 5(7(3)-октету и т. д. Кроме этого постулировано [162], что эти векторные и аксиально-векторные токи удовлетворяют SU (3) L X SU (3) ^-алгебре:

[Va(x, Z), К» (у, /)] = /Д6сКс°(х, Z)63(x —у),

[ Ka (х, Z), А» (у, t^iUcA'Ux, Z)63(x —у), (5.80) [ Аа (х, Z), А°6(у, f)\ = iUcV°c(x, t^4x-^.

Отметим, что эти соотношения, в левые части которых токи входят квадратично, а в правые — линейно, приводят к нелинейным связям между токами. Тем самым данные нелинейные соотношения коммутации фиксируют условия нормировки для токов.

Блестящим успехом кварковой модели адронов было успешное и простое объяснение всех указанных выше свойств симметрии слабого адронного тока. Подобно лептонному току (5.78), адронный слабый ток в (5.79) может быть записан непосредственно в терминах кварковых полей:

Л = йуХ (1 — Ys) d cos 6с + цух (1 — Ys)s sin 6С, (5.81)

и, как мы видели в разд. 5.1, алгебра (5.80) SU(3)£ X SU(3) R также выполняется в свободной кварковой модели. Ключевой проблемой остается, конечно, построение полной теории взаимодействий кварков, в которой сильное взаимодействие естественным образом обладает приближенной глобальной кираль- ной симметрией SU (3)l X SU (3) r.

Алгебра токов и правило сумм

В качестве иллюстрации того, какого рода результаты могут быть получены из алгебры токов (5.80), выведем правило сумм Адлера для рассеяния нейтрино [4].

Рис. 5.1.Рис. 5.1.Рассмотрим (рис. 5.1) рассеяние нейтрино на нуклонной мишени, в которой рождается заряженный лептон I- и некоторое адронное состояние Хп (п частиц с общим импульсом рпУ-Рассмотрим (рис. 5.1) рассеяние нейтрино на нуклонной мишени, в которой рождается заряженный лептон I- и некоторое адронное состояние Хп (п частиц с общим импульсом рпУ-ОпределимОпределимq = k — к',V — р • q(M,q = k — к',V — р • q(M,(5.82)(5.83)(5.82)(5.83)где М — масса нуклона. В лабораторной системеРц = (М, 0, 0, 0), ^ = (£, к), к; = (Е\ к')где М — масса нуклона. В лабораторной системеРц = (М, 0, 0, 0), ^ = (£, к), к; = (Е\ к')мы имееммы имеемq~ = —4ЕЕ' sin2-|-,v — E — Е',q~ = —4ЕЕ' sin2-|-,v — E — Е',(5.84)(5.84)где 0 — угол между к и к', а энергия велика настолько, что мы можем положить приближенно массу заряженного лептона mt равной нулю. С учетом (5.76) и (5.78) амплитуду этого процесса можно записать в видегде 0 — угол между к и к', а энергия велика настолько, что мы можем положить приближенно массу заряженного лептона mt равной нулю. С учетом (5.76) и (5.78) амплитуду этого процесса можно записать в видеТ^ = ^ut (к', Г) уЛ (1 - у5) «v (к, Л) (п | | р, о). (5.85)Т^ = ^ut (к', Г) уЛ (1 - у5) «v (к, Л) (п | | р, о). (5.85)Дифференциальное сечение рассеяния без учета поляризации выражается следующим образом:Дифференциальное сечение рассеяния без учета поляризации выражается следующим образом:^ =^ =I I I d3E т-т- Г d3pt|v| 2M 2£ (2л)32/гд[ (2л)32р;оI I I d3E т-т- Г d3pt|v| 2M 2£ (2л)32/гд[ (2л)32р;оxj£ WN'SHP-k'-p»), omVxj£ WN'SHP-k'-p»), omV(5.86)(5.86)

Рис. 5.1.

Рис. 5.1.

Рассмотрим (рис. 5.1) рассеяние нейтрино на нуклонной мишени, в которой рождается заряженный лептон I- и некоторое адронное состояние Хп (п частиц с общим импульсом рпУ-

Рассмотрим (рис. 5.1) рассеяние нейтрино на нуклонной мишени, в которой рождается заряженный лептон I- и некоторое адронное состояние Хп (п частиц с общим импульсом рпУ-

Определим

Определим

q = k — к',

V — р • q(M,

q = k — к',

V — р • q(M,

(5.82)

(5.83)

(5.82)

(5.83)

где М — масса нуклона. В лабораторной системе

Рц = (М, 0, 0, 0), ^ = (£, к), к; = (Е\ к')

где М — масса нуклона. В лабораторной системе

Рц = (М, 0, 0, 0), ^ = (£, к), к; = (Е\ к')

мы имеем

мы имеем

q~ = —4ЕЕ' sin2-|-,v — E — Е',

q~ = —4ЕЕ' sin2-|-,v — E — Е',

(5.84)

(5.84)

где 0 — угол между к и к', а энергия велика настолько, что мы можем положить приближенно массу заряженного лептона mt равной нулю. С учетом (5.76) и (5.78) амплитуду этого процесса можно записать в виде

где 0 — угол между к и к', а энергия велика настолько, что мы можем положить приближенно массу заряженного лептона mt равной нулю. С учетом (5.76) и (5.78) амплитуду этого процесса можно записать в виде

Т^ = ^ut (к', Г) уЛ (1 - у5) «v (к, Л) (п | | р, о). (5.85)

Т^ = ^ut (к', Г) уЛ (1 - у5) «v (к, Л) (п | | р, о). (5.85)

Дифференциальное сечение рассеяния без учета поляризации выражается следующим образом:

Дифференциальное сечение рассеяния без учета поляризации выражается следующим образом:

^ =

^ =

I I I d3E т-т- Г d3pt|v| 2M 2£ (2л)32/гд[ (2л)32р;о

I I I d3E т-т- Г d3pt|v| 2M 2£ (2л)32/гд[ (2л)32р;о

xj£ WN'SHP-k'-p»), omV

xj£ WN'SHP-k'-p»), omV

(5.86)

(5.86)

где а, X и X' спиновые индексы нуклона, начального и конечного лептона соответственно и

Pn=L Pi-i=\

Суммируя по всем возможным адронным конечным состояниям, получаем инклюзивное сечение рассеяния;

г,2

(5.87)(5.87)“°_taSw/W

(5.87)

(5.87)

d\q2\dv 32л£2 “э

Входящие в это выражение лептонный тензор /а@ и адронный тензор IC^p имеют следующий вид:

Ц = tr [(£') ya (1 — Yo) (£) Yp О — Yo)] =

— 8 (Op + kak^ — k ■ k'ga& + iea^sk^k6), (5.88)

^ (p, q) — 4M ^ 2 $ П _ (2л)32р.о ] X

x<p. CF | Jhp (0) | n) (n | Jha (0) Ip, а) (2л)364 (prt — p — q) =

= w £ $ 5 <?- a । Jb M ^ (°) ip> »>ei4-u- (5-89)

Отметим, что величина И7^ отлична от нуля только при р0 = = Е— Е' > 0. Поскольку это тензор второго ранга, зависящий только от импульсов р и q, его можно записать в виде

П^ = _ Г)^^ + WwPaP^M._lW^X^q6IMH W^q^/МЧ + П’ (Ра^ + Р# + iW^' (р^ - Р^М\ (5.90) где И?^ — лоренц-инвариантные функции р2 и v (см. (5.84)), которые называют структурными функциями. Сечение рассеяния в (5.87) принимает вид

d2o^ g2f ( e'\v о е

.— =2U7(v> sin2- +

d I q21 dv 2л \ £ 7 L 12 1

+ r(v)cos24--^t£lSin24^].(5.91)

В пределе mi = 0 величины l^^Ve не дают вклада.

Аналогично для рассеяния антинейтрино

v + A->/* + X(5.92)

имеем

d2o№ G2P рЕ'\ г„ 0

+ И^,cos24+^:^sin24^,],(5.93)

где структурные функции W^ задаются формулой

^ар (Р- <?) = 17и Е S 4^ е‘Ч И ^Р’ ° 1 /hP ^а 1Р’ а) =

= - ^«р + ^P# - iW^^INP + W^qaq^M2 +

+ ^ U^s + Р^(Мг + IW^ (р^ - р^МЧ (5.94)

Эти величины также отличны от нуля лишь при q0 > 0. Мы можем несколько видоизменить (5.94), используя трансляционную инвариантность:

^(р, q) = -^M^\^ei4'4p, °\Ы<Н\р. о) = а

=^и^е-г<,"й^ ° ^(°)^“^1Р' °р (5-95>

Рассмотрим теперь тензор U7ag, определяемый равенством

Wa$M Я^-^мТД^^'Чр, al№(y), Ла(0)]|Р,^.(5.96)

а

Сравнивая это выражение с (5.89) и (5.95), будем иметь

Was = ^«Р (р, q) при q^ > 0,

™(5.97)

= — И^ар (р, — q) при q0 < 0.

Чтобы вывести правило сумм, проинтегрируем величину U700 по qo:

$ Гоо (р, q) dqa = J (Г^ (p, q) - ^ (p, q^ dqa = — oo0

W E $ d3Pe"i4"V <p* ° I № (y> °)’ J№ (°)11 P’ a>-(5-98>

a

(5.99)(5.99)Коммутатор при равных временах можно вычислить, используя алгебру токов (5.80). Наиболее просто это можно сделать, используя тот факт, что указанные соотношения коммутации выполняются также в свободной кварковой модели, в которой ток задается выражением (5.81). Используя канонические антиком- мутационные соотношения

(5.99)

(5.99)

{^(У. °). 9/(0)} = 63(У)6у,

где индексы I, / относятся как к матричному пространству Дирака, так и пространству ароматов (5.38), мы получаем

[Ло (у, 0), До (0)] = [(cos 0С Л (у, 0) + sin 0cs+(у, 0)) X

X (1 — Vs)« (У> 0) ц+ (0) (1 — у5) (cos 0С d (0) + sin 0cs (0))] =

= 2 (cos 6C d+(у, 0) + sin 0cs+(у, 0)) (1 — Ys) {« (У> 0), u+(0)}XX(cos0cd(O) + sin0cs(O))-2«+(O)(l -у5)(^0), d(0)} +

4-sin20c{S+(y, 0), s(0)})«(y, O) = 2d3(y)(cos20c^(O)(l -Ys)d(0)+

+ sin20cs+ (0) (1 — Ys) s (0) + sin 0C cos 0C (Л (0) (1 — Ys)s (0) +

+ s+ (0) (1 - Ys) d (0)) — u+(0) (1 — Ys) и (0)) =

= - 63 (у) [4 cos2 0C (У3 (0) - Ду (0)) +

+ sin20c(3 (^ (0) - Лоу (0)) + 2 (у3 (0) - Ло (0))) +

+ 4 sin 0C cos 0C (У® (0) - Л® (0))],(5 Л 00)

где

У о = (“+“ + d^d — 2s+s)/3,Ло = (и\5« + d^d — 2s+Yss)/3,

У3 = («+« - Л^)/2, Лу = (и\5« - ^з^)/2,(5Л 01)

Уо = (d^s + sW. Л® = (ЛузЗ + s+Ysd)/2.

Поскольку операторы У® и Л® изменяют странность, их матричные элементы между нуклонными состояниями равны нулю. Усредняя также по спину нуклона, мы имеем

^"^кр* ° MolP> <т) = 0 при всех I. (5Л02) а

В результате соотношение (5.98) принимает вид

У ^о’(Р» q^-W^kp, ,?)]^о = -5-[4ГзСО520с+(ЗУ+2Гз) sin20c],

(5.103)

где Т3 и Y обозначают изоспин и гиперзаряд нуклонного состояния:

у^<Р> er I Уо 1р. о) = 2Т3р0,

, Л(5.104)

Выразим левую часть соотношения (5.103) через структурные функции:

W$ ^о = ^ I — ^^ +(?о/< +

°+ Г^ (q0JMf + Г^ (ро<7о/М2) ] dq0. (5.105)

Его можно упростить, выбрав подходящую систему отсчета. Рассмотрим вместо системы покоя нуклона систему бесконечного импульса [148], в которой нуклон имеет бесконечный импульс, ортогональный к q:

| р | —> оо при условии p-q = O.(5.106)

В этой системе имеем

Ро = (р2 + М2УР « I р 1 -> ОО, v = p • q/M = poqoJM,(5.107)

92 = 92 — q2 = ^Mjpoy — q2 — q2.

Наибольшим членом в правой части соотношения (5.105) оказывается lE^*:

lim I ^ dqa=^-\ dvW^ (q2, v),(5.108)

причем мы предположили, что можно поменять порядок интегрирования и перехода к пределу. В итоге правило сумм (5.103) приобретает вид

J W kq\ v) - U7<v> (72, v)] dv = 4Г3 cos20c + (ЗУ + 2Г3) sin20c = о

( 2 cos20c + 4 sin20c для протонной мишени,

(—2 cos20c + 2 sin20c для нейтронной мишени. (5.109)

Это правило сумм Адлера для рассеяния нейтрино, вытекающее из алгебры токов. Несмотря на то что оно выведено в системе бесконечного импульса, окончательный результат, выраженный через лоренцевы инварианты, справедлив в произвольной системе отсчета. Замечательное свойство данного правила сумм состоит в том, что зависимость левой части от q2 исчезает в результате интегрирования по v. Это правило сумм можно использовать для любой мишени с соответствующими Т3 и У. Обобщение на другие аддитивные ароматические квантовые числа (кроме странности) можно провести непосредственно.

СПОНТАННОЕ НАРУШЕНИЕ ГЛОБАЛЬНОЙ

СИММЕТРИИ. ТЕОРЕМА ГОЛДСТОУНА

Алгебра SU(3)L X SU(3) R (5.80), генерируемая различными ■физическими токами, наводит иа мысль, что гамильтониан сильных взаимодействий Н имеет вид

H = H0 + ^Ht,(5.110)

где оператор Яо — инвариантен относительно SU (3)LX SU(3) R- преобразований, а Н\ неинвариантен. В пределе К = 0 все генераторы киральной алгебры сохраняются. Мы должны были бы ожидать, что частицы образуют вырожденные мультиплеты, соответствующие неприводимым представлениям группы SU(3)lX SU(3)R. Например, октету псевдоскалярных мезонов должен был бы сопутствовать октет скалярных мезонов, a Jp = = (1/2)+-барионы должны были бы иметь партнеров с противоположными четностями. Однако в действительности нет никаких указаний на существование такой более широкой мультиплетной структуры. Это приводит нас к идее о том, что SU^lX X SU (3) fl-симметрия спонтанно нарушена и что эта симметрия гамильтониана Но не реализуется в спектрах частиц.

Неинвариантность основного состояния

как условие нарушения симметрии

Пусть U — элемент группы симметрии, относительно которой гамильтониан Но инвариантен. Тогда выполняется равенство

инои* = но(5.111)

и существует связь между состояниями, образующими неприводимое представление (базис) группы

Я|А) = |Й).(5.112)

Непосредственно из (5.111) и (5.112) следует соотношение

£л = (А|Я0|А) = (В|Я0|й) = £в.(5.113)

Таким образом, симметрия гамильтониана Но проявляется в вырождении собственных состояний оператора энергии, соответствующих неприводимым представлениям группы симметрии. Однако соотношения (5.112) и, следовательно, (5.113) неявно опираются на предположение об инвариантности основного состояния. В самом деле, поскольку состояния |А> и |3> должны быть связаны с основным состоянием |0> с помощью соответствующих операторов рождения

M> = V>aI0>, |В) = ^*в|0),(5.114)

причем

ифАи*=фВ)(5.115)

то соотношение (5.112) справедливо, только если

С7|0> = |0>.(5.116)

Если условие (5.116) не выполняется, то нарушается соотношение (5.113), а вместе с ним и вывод о симметрии вырожденных уровней энергии. Такое положение обычно называют спонтанным нарушением симметрии. Следует подчеркнуть, однако, что хотя симметрия не проявляется явно в вырождении уровней энергии, однако соотношения симметрии, вытекающие из того факта, что гамильтониан или лагранжиан по-прежнему инвариантны относительно преобразований симметрии, продолжают оставаться справедливыми.

Ферромагнетизм как пример спонтанного нарушения симметрии

Отсутствие вырождения в спектре частиц в симметричной теории может показаться неожиданным, однако имеется ряд известных ситуаций, когда основное состояние не является симметричным. Широко известный случай такой ситуации — это ферромагнетизм вблизи температуры Кюри Тс. При Т > Тс все диполи ориентированы случайным образом, основное состояние ротационно-инвариантно. При Т<ТС все диполи выстроены вдоль некоторого произвольного направления (спонтанная намагниченность) и ротационная симметрия скрыта. Рассмотрим, как описывается это явление теорией Гинзбурга — Ландау [184]. Предположим, что вблизи точки Кюри намагниченность М мала, можно произвести разложение плотности свободной энергии в степенной ряд и пренебречь высшими степенями М:

« (М) = (d,M)2 + V (М),(5.117}

где’

V № = а, (Т) (М ■ М) + а2 (М • М)2.(5.118)

Плотности энергии и и V, очевидно, инвариантны относительно вращений. Мы предположили также, что поле меняется медленно, и удержали в разложении только первые производные. Член (М-М)2 с положительным коэффициентом аг > 0 включен в (5.118), поскольку в точке Кюри величина а, обращается в нуль:

а, = а(Г — Тс) при а > 0.

Поскольку член (д,М)2 неотрицателен, мы получаем намагниченность в основном состоянии, просто минимизируя К(М):

6К/6Мг = 0,(5.119)

ИЛИ

М (а, + 2а2М • М) = 0.

При Т>ТС (т. е. а, > 0) решение имеет вид М = 0. При Т <ТС (т. е. а, < 0) решение М = 0 является локальным максимумом, минимизация дает величину намагниченности (параметр порядка), равную

|М | = (-а,/2а2),/2. (5.120)

Однако теория не определяет направление вектора намагниченности. Основное состояние, в котором М имеет определенное направление, является членом бесконечно вырожденного набора состояний. Это состояние фиксируется граничным условием и не инвариантно относительно вращений. Для температур ниже точки Кюри ротационная симметрия магнетика спонтанно нарушена. Таким образом, условием, нарушающим симметрию, является неинвариантность вакуума (основного состояния) :

(У|0)^|0). (5.121)

Если U = exp(z'e"Qa), где еа — непрерывный групповой пара- раметр, то (5.121) равносильно тому, что заряд, отвечающий симметрии, не уничтожает вакуум:

Q° 10)^0. (5.122)

Утверждение, эквивалентное (5.121) и (5.122), состоит в том, что определенные полевые операторы имеют отличное от нуля вакуумное среднее

<0|^| 0)^=0. (5.123)

В этом можно легко убедиться, поскольку преобразование симметрии вида (5.115) или (5.10) можно выразить с помощью генераторов в виде

[Q°, фД = ^фь (5.124) где t°j соответствующая матрица представления. Таким образом, (5.122) означает, что по крайней мере некоторые из матричных элементов <0|^>/|0> отличны от нуля. Отметим также, что вследствие трансляционной инвариантности вакуумного состояния данные матричные элементы не зависят от точки пространства-времени:

(0 | ф (х) 10) = (0 | е*рхф (0) е-=Рх | 0) = (0 \ф (0) 10). (5.125)

Теорема Голдстоуна

Спонтанное нарушение симметрии связано с существованием безмассовых бесспиновых частиц. Изучение этой связи было начато Намбу [298, 302, 303]. В дальнейшем доказательства на различных уровнях строгости и общности были даны Голдстоуном [194] и другими авторами [195]. Такие скалярные частицы

называют бозонами Намбу — Голдстоуна или бозонами Голдстоуна. Мы приведем формальное доказательство теоремы Голдстоуна [207] и сопроводим его рядом иллюстрирующих примеров.

Согласно теореме Нётер, любая непрерывная симметрия лагранжиана приводит к существованию сохраняющегося тока:

д^(х) = 0.(5.126)

При обычных условиях из этого уравнения следует закон сохранения заряда dQ^/dt = 0, где Q (/) = ^ d?xla (х, /). Но при спонтанном нарушении симметрии (5.123) величина Q(0 не является хорошо определенной, поскольку полевой оператор в подынтегральном выражении недостаточно быстро убывает на бесконечности. Даже слабый предел, соответствующий матричному элементу <0|Q2(/)|0>, не существует. Трансляционная инвариантность вакуума приводит к выражению

(O|Q2(/)|O)=^x(O|7o(O)Q(O)|O), которое расходится, поскольку подынтегральное выражение отлично от нуля и не зависит от х. Тот факт, что величина Q не существует, на самом деле роли не играет, поскольку в реальных расчетах фигурируют лишь коммутаторы с Q. Для преобразования произвольного полевого оператора ф^х) мы имеем

Ф (х) Ф' to = е^ф (х) e~isQ = ф(х) + it [Q, ф (х)] + ... .

Мы предположим здесь, что коммутатор существует, и проведем доказательство, опираясь только на его свойства. Из закона сохранения тока (5.126) следует•

О = ^ d3x [<А^ (х, /), ф (0)] =

= d°^d3xU4x, 0, ^(0)]+ \dS • [J(x, /), (0)].

Для достаточно большой поверхности, т. е. для больших пространственноподобных расстояний, второй член в правой части обращается в нуль. Следовательно,

4lQW> ^(°)] = °-(5.127)

Если этот коммутатор, представляющий собой комбинацию полей, имеет отличное от нуля вакуумное среднее

(0|[Q(/), ^>(0)]|0) = т]^0,(5.128)

то мы говорим, что симметрия спонтанно нарушена. Вставляя полную систему промежуточных состояний и используя опера-

тор трансляций, мы можем записать (5.128) в виде

2 (2л)363 (р„) {(0 1/0 (0) | п) (п | ф (0) 10) е-1Е^ -

- W (0) | л) <п 170 (0) 10) eiE^ = т].(5.129)

Правая часть этого выражения отлична от нуля и не зависит от времени вследствие (5.128) и (5.127). Поскольку части, соответствующие положительным и отрицательным частотам, не сокращают друг друга, равенство (5.129) может выполняться только в том случае, если существует промежуточное состояние, для которого

Еп = 0 при р„ = 0.

Таким образом, это — безмассовое состояние (голдстоуновский бозон). Эта частица обладает следующим свойством:

(ц|</>(0)|0)^ 0, (О|7о(О)|ц)^ 0.(5.130)

Данное состояние может быть связано с вакуумом с помощью тока 7о(О) или оператора ^>(0). Настоящая теорема справедлива независимо от теории возмущений. Мы проиллюстрируем ее на ряде примеров.

Случай дискретной симметрии

Мы не предполагаем, что голдстоуновские бозоны присутствуют в случае дискретной симметрии. Наша цель — привести пример ситуации, при которой может иметь место условие нарушения симметрии (5.123). Лагранжева плотность, задаваемая выражением

^=ум2-4^2-т^(5Л31)

обладает дискретной симметрией

ф->ф' = -ф.(5.132)

Поскольку величина доф является импульсом, сопряженным полю ф, гамильтониан имеет вид

Л = у № + | № + -1 ^ + А ф».

Таким образом, классический потенциал (плотность энергии) можно отождествить с выражением

«№ = у№ + ^№, где

^№ = 4^2 + т^4-(5Л33)

Так как член (Vф)2 неотрицателен, в точке минимума величины ц(^>) выполняется равенство ^ф = 0, где ф— постоянное значение поля, соответствующее минимуму выражения для У^ф1). Поскольку константа связи Л положительна (так что энергия ограничена снизу), имеется два возможных случая

Рис. 5.2. Эффективные потенциалы, соответствующие разным знакам квадра-тичного члена.

ц2 > О и ц2 < О, которые показаны на рис. 5.2. При ц2 < О поле, отвечающее основному состоянию, не равно нулю:

ф = ±(_^у!2.(5.134)

На языке теории квантованных полей основное состояние является вакуумом, и классические поля, отвечающие основному состоянию в (5.134), соответствуют вакуумному среднему (ВС) оператора ф:

(О | ф 10) = V, где

У = ±(-Ц2А)1/2.(5.135)

Два возможных значения в (5.135) соответствуют двум возможным вакуумам. Чтобы построить теорию, следует выбрать один из них (и только один). При любом выборе, скажем у = + (—ц2/Л)|/2, очевидно нарушается первоначальная симметрия теории относительно отражений ф —*-—ф. (Поскольку пространства Фока, построенные исходя из двух возможных ва- куумов, ортогональны друг другу, не имеет смысла строить теорию, основанную на какой-либо суперпозиции двух вакуумов.) Итак, мы получили условие нарушения симметрии.

' = ф — и' = ф — иПоскольку симметрия в данном случае дискретная, мы не предполагаем, что существуют безмассовые голдстоуновские бозоны. Чтобы убедиться в этом, надо рассмотреть небольшие осцилляции около истинного вакуума. Таким образом, мы определяем новое квантованное поле с нулевым ВС. В терминах этого «сдвинутого поля»

' = ф — и

' = ф — и

(5.136)

лагранжиан приобретает вид

$ =^WY - (-It2) Ф'2 - Хиф'а - ± ф'\(5.137)

где ф' описывает частицу с массой (—2р2)|/2.

Случай абелевой симметрий

Лагранжиан, определяемый выражением

^ = у (5^)2 + у М2 - V (а2 + л2),(5.138)

где

V ^ + л2) = - ^- (а2 + л2) + | (а2 + л2)2,(5.139)

обладает (непрерывной) симметрией (7(1), или 0(2):

( C°Sa slnaVCTY(5.140)

\л/ \л /\ — sina cos a / \л /v '

Экстремум потенциала V определяется условиями

уу = а [— It2 + X (а2 + л2)] = О,

(5.141)

— = л [— р2 + А (а2 + л2)] = 0.

Для р2 > О минимум достигается при

о2 + л2 = и2,(5.142)

где

v = (p2/A)1/2.(5.143)

Потенциал представлен графически на рис. 5.3. Минимумам со-

Рис. 5.3. Потенциал (5.139) в случае р2 > 0.

ответствуют точки, лежащие на окружности радиуса о в пло-' скости (о,л). Эти точки связаны друг с другом посредством

О(2)-вращений. Следовательно, все эти точки эквивалентны, и существует бесконечное число вырожденных вакуумов. Любая точка на указанной окружности может быть выбрана в качестве истинного вакуума. Мы можем выбрать, например, точку

<0|о|0) = и, <0|л|0) = 0.(5.144)

При этом О(2)-симметрия нарушена вакуумным состоянием.

Чтобы найти спектр частиц в теории возмущений, рассмотрим небольшие осцилляции около истинного минимума и определим сдвинутое поле

а' = а — и.(5.145)

Лагранжиан можно записать в виде

S' =у [(д^о')2 + (дхл)2] — pV2 — Хис (а'2 + л2) ~ ^ (о'2 + л2)2.

(5.146)

Здесь отсутствует член, квадратичный по л-полю, а перед членом, квадратичным по о'-полю, стоит правильный знак. Следовательно, л является безмассовым голдстоуновским бозоном, а о' — частицей с массой (2р2)1/2. В действительности это можно увидеть на рис. 5.3. Малые осцилляции около любой точки, расположенной на окружности, на которой достигается минимум, могут быть разложены на радиальную компоненту и компоненту, отвечающую полярному углу. Полярные осцилляции происходят вдоль эквипотенциальной траектории, и им не соответствует какая-либо энергия, поэтому их следует сопоставить безмассовой частице. При нашем выборе вакуума (5.144) полярные осцилляции происходят вдоль направления л, т. е. л оказывается голдстоуновским бозоном.

[7(1)-симметрии (5.140), дается выражениемА(х) = [(^л)о-(^о)л],(5.147)а соответствующий заряд имеет вид■~ Р° ^ ^Х = S ^°л) ° — (дост) л] d3x. (5.148)Из канонических коммутационных соотношений[дол(х, [), л (у, [)] = —/б3 (х — у),(5.149а)Р0о(х, 0, о (у, [)] = — Z63 (х — у)(5.1496)можно получить следующие выражения для коммутаторов:[Q, л (0)] = — Zo (0),(5.150а)[Q, о(0)] = 7л(0).(5.1506)[7(1)-симметрии (5.140), дается выражениемА(х) = [(^л)о-(^о)л],(5.147)а соответствующий заряд имеет вид■~ Р° ^ ^Х = S ^°л) ° — (дост) л] d3x. (5.148)Из канонических коммутационных соотношений[дол(х, [), л (у, [)] = —/б3 (х — у),(5.149а)Р0о(х, 0, о (у, [)] = — Z63 (х — у)(5.1496)можно получить следующие выражения для коммутаторов:[Q, л (0)] = — Zo (0),(5.150а)[Q, о(0)] = 7л(0).(5.1506)Изучим также эти свойства более формально с помощью теоремы Голдстоуна и проследим связь с доказательством соотношений (5.128) и (5.130). Сохраняющийся ток, отвечающий

[7(1)-симметрии (5.140), дается выражением

А(х) = [(^л)о-(^о)л],(5.147)

а соответствующий заряд имеет вид

■~ Р° ^ ^Х = S ^°л) ° — (дост) л] d3x. (5.148)

Из канонических коммутационных соотношений

[дол(х, [), л (у, [)] = —/б3 (х — у),(5.149а)

Р0о(х, 0, о (у, [)] = — Z63 (х — у)(5.1496)

можно получить следующие выражения для коммутаторов:

[Q, л (0)] = — Zo (0),(5.150а)

[Q, о(0)] = 7л(0).(5.1506)

[7(1)-симметрии (5.140), дается выражением

А(х) = [(^л)о-(^о)л],(5.147)

а соответствующий заряд имеет вид

■~ Р° ^ ^Х = S ^°л) ° — (дост) л] d3x. (5.148)

Из канонических коммутационных соотношений

[дол(х, [), л (у, [)] = —/б3 (х — у),(5.149а)

Р0о(х, 0, о (у, [)] = — Z63 (х — у)(5.1496)

можно получить следующие выражения для коммутаторов:

[Q, л (0)] = — Zo (0),(5.150а)

[Q, о(0)] = 7л(0).(5.1506)

Согласно формальному доказательству (см. (5.128) — (5.130)) теоремы Голдстоуна, из условия нарушения симметрии (5.144) следует существование безмассовой частицы. При этом для квантов л-поля выполняются соотношения

<"| "(0)|0>^0.,515П

Чтобы убедиться явно в справедливости неравенств (1.151), заметим, что выражение (5.129) в данном случае принимает вид

X (2л)3 б3 (р„) {(01 /о (0) | П) (n | Л (0) 10) е"1^ -

.— <0|n(0)|rt)(rt|/0(0)|0)eiE«'} = -zy. (5.152)

В левой части этого равенства отличный от нуля вклад дает только безмассовое л-состояние: |л> = |л>. Таким образом, приходим к равенству

5 ^ 63 ^ «° 1У° (°)1 Л ^<Л ^ М°) I °> ~

°— <0 | л(0) |л(р)><л (р) |/0(0) |0>} = — Zu, (5.153)

которое выполняется при

(0 |/0 (0) | л (р)) =/ур0,(5.154)

если принято условие нормировки <0| л (0) | л (р) > = 1. Отметим, что из условия ковариантности вытекает требование

<0|/ц(0)|л(р)) = /урц.(5.155)

Следовательно, матричный элемент дивергенции тока имеет вид

( 0 | д^/^ (0) | л (р) > = утл,(5.156)

и из сохранения тока следует, что либо

v = <0 |ст (0) |0) = 0,(5.157)

либо

щ„ = 0.(5.158)

Тем самым в данном примере отличное от нуля значение вакуумного среднего у = <0|о|0> связано с константой распада пиона (см. формулу (5.178)).

Случай неабелевой симметрии: о-модель

с SU^l X 517(2)к-симметрией

Рассмотрим теорию [165, 326, 354], в которую входят следующие поля: изотриплет пионов л = (ль л2, лз), изоскалярное о-поле и изодублет нуклонов N =(_р, п). Лагранжиан, имею-

щий вид

^ = 4 К V)2 + (<W1 + Ni^ d^N + gN^ + /т . лY5) N - -Г(о2+я2),.(5.159)

где

V (а2 + я2) = - -^ (а2 + л2) + j (о2 + л2)2,(5.166)

инвариантен относительно преобразований группы SU(2y.

а —> а' = а,

л-> л'+ а X л,(5.161)

N -> N' + <а • -у N

при а, <С 1. Сохраняющийся ток дается выражением

^ = Л^уц "^"N + е^л^л6, где а=1, 2, 3.(5.162)

Генераторы группы SU(2) имеют вид

Qa = J J° (х) d3x.(5.163)

Лагранжиан (5.159) инвариантен также относительно аксиальных SU (2) -преобразований:

а —> а' = а + р • я,

л—>л' = л —Ро,(5.164)

N->N' = N + ^-^-N5N, которым соответствует сохраняющийся ток

<=^уцУ5-^ ^ + адла-(^ла)о(5.165)

и генераторы

Q50 = J Ло(х) d3x.(5.166)

Заряды (5.163) и (5.166) задают алгебру SU (2) LX SU (2) R: [Q°, Q6] = №QbcQ%

[Q°, Q56] = Zea6cQ5c,(5.167)

[Q5a, Q56] = Zea6cQc.

Спонтанное нарушение симметрии имеет место при ц2 > 0, а минимум потенциала достигается при

а2 + л2 = п2, где а = (ц2/Л)1/2.(5.168)

Мы можем выбрать <0|л|0> —О и

(0|о|0) = и.(5.169)

Если определить сдвинутое поле как □' = а— у, то легко видеть из выражения для Е(о2 + л2), что л-частицы являются безмас- совыми голдстоуновскими бозонами. Следуя процедуре, намеченной в предыдущем примере, мы можем получить выражения для коммутаторов, например

[Q5a, л6] = —шба6.(5.170)

При этом выбор (5.169) означает, что аксиальные заряды Q5° не аннигилируют вакуум; в действительности

(0|Л“(0)|ла) ^0.(5.171)

Таким образом, симметрия SU(2) L X SU(2) R спонтанно нарушена и сужена до 5(7(2)-симметрии, генерируемой зарядами Qa (5.163), поскольку

Q“|0> = 0 при а=1, 2, 3.(5.172)

Отметим, что в исходном лагранжиане (5.159) отсутствует нуклонный массовый член m^NN, так как он неинвариантен относительно аксиального преобразования (5.164). Однако из ки- рально-симметричной связи Юкавы gN(a + ix-iv^N в результате спонтанного нарушения симметрии возникает массовый член нуклона

gN (а + zr • лу5) N -*gvNN + gN (</ + it ■ лу5) N, (5.173) где изодублетная масса нуклона равна

mN = gu.(5.174)

Мезонные массы равны ma = V2 Ц (изоскалярная) и тл=0 (изотриплетная). Таким образом, симметрия лагранжиана S(7(2)lX St7(2)R не реализуется в спектре частиц, в котором отражена только SU(2) -симметрия. В случае р2 < 0 симметрия не была бы скрытой: о и л вырождены по массе и образуют неприводимое представление (2,2) группы SU^) L X SU^) R.

ЧАСТИЧНОЕ СОХРАНЕНИЕ АКСИАЛЬНО-ВЕКТОРНОГО

ТОКА И ТЕОРЕМЫ О МЯГКИХ ПИОНАХ

Симметрия лагранжиана всегда отражается в алгебре токов. Но при спонтанном нарушении симметрии спектр частиц реализует только ту часть симметрии, которой также обладает и основное состояние. Так, в SU(3^L X 5(7(3)к-алгебре электромагнитных и слабых токов (разд. 5.2) мы хотим, чтобы при спонтанном нарушении симметрии вакуум был только SU(3V

инвариантным. Тогда из теоремы Голдстоуна следует, что должно существовать восемь безмассовых псевдоскалярных мезонов, ассоциированных со спонтанно нарушенными аксиальными зарядами Q5a, a = 1, ..., 8. Очевидно, что в действительности таких безмассовых частиц не существует, а имеется восемь относительно легких мезонов л, К и тр Мы заключаем отсюда, что ароматическая SUIS') L X SU(3) «-симметрия должна быть также явно нарушена, причем это нарушение киральной симметрии должно сказываться на массах 0*-мезонов [104]:

^ = ^0 + ХЖ, (5.175а)

где гамильтониан 5^0 инвариантен относительно SU^lX XSU(SK а 36' неинвариантен. Изотриплет пионов намного легче, чем К- и ц-мезоны. Это наводит на мысль разбить далее гамильтониан, нарушающий симметрию, на две части:

= 7^36; + К2362, (5.1756)

где гамильтониан 36\ SU ^2) L X SU (2) «-инвариантен и Xi 5> Х2. Таким образом, 5U (2) L X SU(2) «-симметрия выполняется гораздо лучше, чем SU{3) L X SU(3) «-симметрия. Примером может служить свободная кварковая модель, в которой киральная симметрия нарушена явно кварковым массовым членом (5.43) при ms 3> ти, та, и мы полагаем Х\36\ = msss и Х23б2 = = гпийи + madd. Таким образом, мы считаем, что массы пионов пропорциональны массам нестранных кварков, а массы каонов и ц-мезона пропорциональны массе странного кварка (более подробно об этом сказано в следующем разделе). В данном разделе мы выведем ряд теорем о мягких пионах, которые справедливы в пределе, когда выполняется киральная симметрия (Х2 = 0) и пионы считаются безмассовыми частицами. В следующем разделе будут рассмотрены теоремы о мягких мезонах, чувствительные к структуре члена Х\Э6у + ^Збг, нарушающего симметрию.

Частичное сохранение аксиально-векторного тока

Как показывают рассуждения, приведенные в разд. 5.3, существует прямая связь голдстоуновских бозонов ла(х) с нарушенными аксиальными зарядами Q5a и токами АЦ (см. (5.171)):

<0К(0)|л6(р)> = /ГЧ. ^ Ь = 1,2,3, (5.176)

где ^аЬ — некоторая константа, не равная нулю. Если предположить, что изоспиновая SU (2)-симметрия не нарушена, эту константу можно записать в виде

pb = f^ab, (5Л77)

где /л— постоянная распада пиона, измеряемая в процессе n+->/+ + vz. Из эксперимента имеем /А ^ 93 МэВ. Беря дивергенцию аксиально-векторного тока, получаем

( 0 1дМ“ (0) | л6 (р)) = да6/лтл. (5.178)

Таким образом, если в выражении (5.1756) параметр Х2 = 0, то гамильтониан строго симметричен относительно 5(7(2)/. X X SU (2) ^-преобразований и

дМр = С, (5.179)

откуда следует, что в выражении (5.178) т^ = 0 в соответствии с требованием теоремы Голдстоуна. Но в случае, когда симметрия явно нарушена (Л2У=0), мы можем переписать (5.178) в виде

( 0 | дХ (0) I л6 (р)) = М < 0 | ^ (0) | л6 (р)), (5.180) где фа— оператор пионного поля, удовлетворяющий условию нормировки

(0 | ^>а (0) | л6 (р)) = б°6.

Предположение о том, что справедливо более общее операторное соотношение

дХ=/лт^а, а=1,2, 3, (5.181)

известно как гипотеза о частичном сохранении аксиально-векторного тока (ЧСАТ) [85, 165, 298]. Может показаться, что данное соотношение, связывающее слабые токи Ар с сильно взаимодействующими пионными полями фа, должно иметь множество экспериментальных следствий. Но на практике, как это видно из приведенного ниже примера, чтобы получить из гипотезы ЧСАТ соотношения, связывающие между собой физически измеримые величины, приходится делать дополнительные предположения.

Низкоэнергетические теоремы в случае одного мягкого пиона

Соотношение Голдбергера — Треймана. Рассмотрим измеряемый в нейтронном p-распаде матричный элемент слабого аксиально-векторного тока между нуклонными состояниями ( р (X) | Ар + /Ар | п (k) ). Из лоренц-ковариантности следует соотношение

<р(Х)|А* +1А^\п№') =

= йР VNpNsSa to2) + ^pYs^n to2)] ип to), (5-182) где q = k — k' — передача импульса между пир. Формфакторы gA и hA являются функциями инвариантной переменной q2. Эке-

перимент дает £д(0)^ 1,26. Матричный элемент дивергенции тока имеет вид

<Ж)|И4 + *Х)1«(*)>=

= 1йр (£') у5ц„ (fe) \2mNgA to2) + q2hA to2)],(5.183)

где mN — масса нуклона. Гипотеза ЧСАТ (5.181) при

^ = (^+OV2'(5-184)

дает

( р to') 15й (Ai + М2) I п № ) = V2"/лт2 ( р (k') I ^+ I ц (fe)) =

=гЧг g^N № ^Р to') Naun to), (5.185) .-qp

где gnNN to2) — вершинная функция, отвечающая лММ-взаимо- действию. Физическая пион-нуклонная константа связи gnNN определяется как

gnNN=gnNN(m2n),(5-186)

причем из эксперимента следует значение gnNN/^n ~ 14,6. Сравнивая (5.185) с (5.183), имеем

ЛЕ2

ЧЧ gnNN to2) = 2mNgA (q2) + q2hA ^.(5.187) -q +mn

Полагая в этом соотношении ^2 = 0, получаем

UaNN^ = mNgAW(5.188)

Это соотношение связывает аксиально-векторную константу связи нуклона ^д(О) с лММ-вершинной функцией gnww(O) в точке, лежащей вне массовой поверхности. Чтобы превратить это соотношение в физическое, необходимо дополнительно предположить, что при переходе из точки ^2 = 0 в точку ^2 = т2 изменение величины gaNN^A^ мало, т. е. что gaNN^A^ —«гладкая» функция:

gaNN (6) ” gaNN (тя) = SaNN1(5.189)

Только в этом случае мы получаем соотношение Голдбергера — Треймана [192]

fagaNN = mNgA (6) >(5.190)

которое выполняется с точностью до 10 % для приведенных выше данных измерений.

Следует заметить, что только формфактор hA (q2) имеет пионный полюсный член, соответствующий диаграмме, показанной на рис. 5.4:

ПИОННЫЙ ПОЛЮС кл (^2) = -^Ч" V2 gaNN (5-191) ma-q

На массовой поверхности пиона q2 = m^ соотношение (5.187) приводит к тривиальному тождеству

^^NN № =№)■

Как показывает этот пример, чтобы из гипотезы ЧСАТ получить соотношения, связывающие физические величины, необходимо дополнительное предположение о гладкости функции

Рис. 5.4.

g^NN^q2'). В частности, мы должны экстраполировать пионное поле из точки, лежащей вне массовой поверхности q2 = 0, на массовую поверхность q2 = m^. Мы полагаем, что эта экстраполяция вносит лишь небольшую погрешность, поскольку масса пиона т2 мала по сравнению с массами адронов. Соотношение Голдбергера—Треймана (5.190) служит масштабом точности, типичной для экстраполяций такого рода. Это означает, что если гипотезу ЧСАТ распространить на другие псевдоскалярные мезоны, т. е. на К- и ц-мезоны, то экстраполяция должна быть произведена в гораздо более широкой кинематической области (от 0 до т2. или пг^. Поэтому соотношения, вытекающие из ЧСАТ для каонов и ц-мезона, не должны быть столь же хорошими, как для пионов.

Можно также вывести соотношение Голдбергера—Треймана в пределе киральной SU (2) L X SU (2) ^-симметрии (Х2 = 0 в (5.175)). В этом симметричном пределе токи сохраняются:

д% = 0, (5.192) в силу чего (5.183) дает

2^л(^) + ^л(^) = 0, (5.193)

причем пионы являются безмассовыми голдстоуновскими бозонами. Следовательно, полюсный член в Ал(^2) имеет особенность при q2 = 0. Из (5.191) мы имеем соотношение

lim hA (q2) = , (5.194) q' -> 0 9

подставляя которое в (5.193), вновь получаем (5.190). Таким образом, отклонение от соотношения Голдбергера — Треймана является мерой гамильтониана 7,2^2, нарушающего симметрию. Аналогично отклонение от соотношений, вытекающих из ЧСАТ для каонов и трмезона, которое должно быть более значитель-

ным, является мерой гамильтониана XiS^i + "КгЗб-ь нарушающего киральную SU (3) l X SU^ ^-симметрию.

Условие согласованности Адлера для амплитуды nN-рассеяния. Рассмотрим амплитуду пион-нуклонного рассеяния

< ла ^ N (р2) | л6 (q^ N (р^) =

= i (2л)4б4 (а + q, - р^ - q^ А(5.195)

для которой имеется инвариантное разложение вида

Т& = й (р^ ^АаЬ + у • ^■1-+— ВаЬ ] и (pj.

Инвариантные амплитуды А и В являются функциями обычных переменных Мандельстама s и / или более симметричных переменных:

v = 91 • (Pi + Р^ = 9г • (Pi + Рг)/2, vB = — qx • ^г/2.

Заметим, что v—-О и vb->0, если какой-либо из пионов становится мягким, т. е. pi->0 или р2->0. Легко получить выражение для полюсного члена, т. е. однонуклонного вклада в инвариантные амплитуды. Можно показать, что комбинация инвариантных амплитуд (совпадающая с амплитудой рассеяния вперед при q"^ = q1^

Т — АА-чВ(5.196)

является несингулярной при 7, —Ои (или) р2^-0. Кроме того, справедливо разложение на четные и нечетные по изоспину амплитуды:

Ла6 = да6Л<+) + 4[та, т6]Л<-)

и аналогичные разложения для В^ и Т^-\

Чтобы вывести теорему в случае одного мягкого пиона, используем в (5.195) стандартную редукционную формулу (см., например, [50]) для одного пионного полевого оператора: тяи =z (- Pi + m^ < N (Р2) | Фа (°) |л6 (9i) N (р,) ) =

= q^-q^m"l < N (p2) I A: (0) I л6 (pj N (pj >,(5.197)

где использовано соотношение ЧСАТ (5.181). При переходе к пределу р2^-0 несингулярная часть амплитуды (5.196) 7(v, vB, р^ ^ обращается в нуль:

^’(О, 0, т^, 0) = 0.(5.198а)

Это условие согласованности Адлера в рамках ЧСАТ [2]. Равенство нулю амплитуды 7<-> в этом пределе является тривиальным, поскольку она нечетна по отношению к перекрестной

симметрии и должна быть пропорциональна переменной v. При переходе к пределу ^i->0 получаем аналогичное соотношение

Т^ (0, 0, 0, ni^ = 0.(5.1986}

Низкоэнергетические теоремы в случае двух мягких пионов

• Низкоэнергетические теоремы для матричных элементов,, содержащих более одного тока, можно вывести, используя ЧСАТ и алгебру токов. При этом физические соображения и математические методы аналогичны тем, которые используются в хорошо известных теоремах о мягких пионах (см., например, [282]), отражающих калибровочную U (1) -инвариантность, соответствующую закону сохранения заряда.

Рассмотрим двойную дивергенцию хронологически упорядоченного произведения двух аксиальных токов:

дШ (А“ (х) Ах (z/)) = д^ (6 (х0 - z/o) А“ (х) Ах (у) +

+ 6 (z/o — х0) Ах (у) А^ (х)) =

= ^ (6 (хо - z/o) А" (х) дхАх (у) + 6 (z/o - хо) дх Ах (у) Aw (х) -— 6 (хо — z/o) А^ (х) Аа (у) + 6 (z/0 — х0) Aq (у) А^ (х)) == Т W (х) дх Ах (z/)) + 6 (х0 - z/o) [ А^ (х), дх Ах (z/)] --^d(xo-z/o)№x), Ао6(у)].(5.199)

Беря матричный элемент этого тождества между нуклонными состояниями и производя преобразование Фурье

d* xd*yety'xe~iy2y, получаем

q^ ^xeiqi’x(N (j^T (А“ (х) А?. (0)) | N (р,)) =

= J d4elq'x {( N (р.) | Т (дцА“ (х) дхАх (0)) | N (Р1)) -

- iq^ < N (р^ 16 (хо) [ Ао6 (0), А? (х)] | N Ы ) +

+ ( N (р2) 16 (хо) [А? (х), дх Ах (0)] | N (pi))},(5.200)

где мы воспользовались трансляционной инвариантностью и выделили множитель (2л)46(р1 + q\ — р2 — q^. Данное соотношение, связывающее матричные элементы токов и матричные элементы дивергенций, является примером тождеств Уорда. Оно служит отправным пунктом при выводе низкоэнергетических теорем. Вопрос о существовании тождеств Уорда в высших порядках теории возмущений рассмотрен в разд. 6.1 и 6.2.

ЧСАТ означает, что первый член в правой части соотношения (5.200) является матричным элементом (между нуклонными состояниями) хронологического произведения двух пионных операторов, т. е. амплитудой лМ-рассеяния. Второй член можно вычислить с помощью соотношений SU(2) l X SU (2) ^-алгебры токов (см. (5.80)):

6 (х0) [Ао (0), Ац (х)] = - /б (х) еа6с Усц (х).(5.201)

В принципе в этом коммутаторе следует учитывать также вклад швингеровского члена. Оказывается, однако, что определенное в (5.199) хронологическое произведение нековариант- но из-за наличия сингулярностей в произведении Т (Ац (х) Av (р)) при хо^Ро и, чтобы сделать его ковариантным, необходимо добавить еще один член. Этот дополнительный член взаимно сократится с швингеровским членом в коммутаторе (5.201) (см., например, [8]). Таким образом, при выводе тождеств Уорда нет необходимости учитывать вклад швингеровского члена.

Третий член в правой части соотношения (5.200) является одновременным коммутатором тока и дивергенции. Этот коммутатор, называемый о-членом, не подчиняется алгебре токов и зависит от гамильтониана (5.1756), нарушающего симметрию. В рассматриваемых ниже приложениях мы будем в конечном итоге переходить к пределу pi -> р2 = Р, q\—>- qi = q -> 0. Можно показать из общих соображений, что в такой кинематической ситуации ст-член симметричен по индексам а и Ь. Для этого' запишем .

lining6 (р, q) = oaNb =

q -> 0

= i J d4b (x0) (N ^ | [Aq (x, x0), dxA^ (0, xo)] | N ^ ).(5.202)

Учитывая трансляционную инвариантность и производя з.амену переменных х->—х, мы можем записать выражение (5.202) в виде

а^ =, j d3x <N (p) | [ AS (0, xo), dx Ax (x, x0)] | N (p)) =

= i J d3x (N ^ | [A? (x, xo), d°Aa (0, xo)] | N (p)),(5.203)

где мы использовали тот факт, что пространственная часть дивергенции обращается в нуль при интегрировании по всему пространству. Далее имеем

on = Йо d3x (N (р) | [ AS (х, х0), Ао (0, х0)] | N (р)) -

— z d3x {N (р) | [доАо (х, х0), Ао (О, х0)] | N (р)),(5.204)

ИЛИ

o°Nb - obN° = id0 \d3x{N (p) I [Л? (x, x0), Ло (0, x0)] | A (p)).

Коммутатор в правой части после интегрирования дает значение некоторого изоспинового заряда, который не зависит от времени, если мы пренебрегаем эффектами нарушения изоспи- новой симметрии. Таким образом, получаем

оамь = оь».(5.205)

Из соотношения (5.203) видно также, что ст-член, будучи пропорциональным величине дхАх, описывает эффекты, связанные с нарушением киральной симметрии.

Соотношение Адлера — Вайсбергера. Чтобы вывести низкоэнергетические теоремы для амплитуд лА-рассеяния с двумя мягкими пионами, воспользуемся редукционной формулой для обоих пионов в (5.195) и применим формулу ЧСАТ (5.181). В результате получим

TnN = I dWq'x (q2 - m£) <qX - m2^ X

X < N (p2) I T (Г (x) Фь (0)) I N (pj) = i (^ - m^ ^ - m2^ m^2 X

X $ dWqiX <N (p2) I T №“ (x) dl Ax (0)) I N (pj >•(5.206)

Аналогично рассмотрим амплитуду, отвечающую слабому аксиально-векторному току:

(2л)4д4(Р1 + ^-р2-^)^ =

= ^ d*x diyeiq'xe~iqia <N (p2) | T (Л “ (x) Л^ (z/)) | N (pj >.(5.207)

Амплитуды (5.206) и (5.207) связаны тождеством Уорда (5.200). Для рассеяния вперед р[ — р2 = р, q{ = q2 = q, и мы получаем соотношение

q^q^T^x = — i V — пг^ 2 m^T^N + zv [т°, т6]/2 —- ioNb (р, q),

(5.208)

где мы воспользовались определениями (5.206), (5.207) и (5.202). С помощью коммутационного соотношения (5.201) преобразуем второй член в выражении (5.200) к виду

- iq^ J d4etqx <N (р) 16 (х0) [Л? (0), А^ (х)] | N (р)) =

= e,abcqv-u (р) уцтс1г (р)/2 = 2р • рео6стс/2 = — zv [т°, т6]/2. (5.209)

Как показано выше, ст-член симметричен по индексам а, Ь. Поскольку изоспин пиона равен 1, симметричное по изоспину состояние в /-канале должно обладать изоспином 0 или 2. Поскольку изоспин нуклона равен 1/2, вклад может давать только состояние с изоспином 0. Таким образом, имеем

oQb = babON,(5.210)

Левая часть соотношения (5.208) весьма сложна, поскольку она содержит вклады всех возможных промежуточных состояний.

Рис. 5.5.

которые могут быть связаны с нуклоном через аксиально-векторные токи. Положение можно упростить, перейдя к низкоэнергетическому пределу ^ц-*0. При этом в амплитуде Т^х останутся лишь члены, сингулярные в этом пределе. Легко видеть, что такие члены соответствуют однонуклонным полюсным диаграммам, показанным на рис. 5.5:

/ Ц Хт&ЬХ , \Я Я * ЦХ/полюс —

= 2/^ {[т6, t°]v - da V} (v2 - mWW - 4v2),(5.211)

где gA — величина, определенная в (5.182). Поскольку q2 <§; v — = p-q, при малых q имеем

(^^Г^)полюс - igAy [т°,т6]/2.(5.212)

Таким образом, в низкоэнергетическом пределе тождество Уорда (5.208) принимает вид

i&y [т°, т6]/2 = - /?И + /V [т°, т6]/2 - ibaboN. (5.213)

Амплитуда рассеяния вперед Тлу является комбинацией вида Л + vB (см. (5.196)). Мы имеем следующие теоремы о мягких пионах для нечетной и четной по изоспину амплитуд лМ-рас- сеяния Tw(v, ув, q-v q^:'

lim (v, 0, 0, 0) = (1 - gW^,(5.214)

^(О, о, О, 0) = -^(5.215)

Чтобы связать это с физическими амплитудами (^ = ^_т2^ мы можем экстраполировать полученный результат до физического порога (длины расеяния), расположенного при

V = Vo = тят„, vB = - т^:

^T^o, ~тЖ ml, m^ = R4^-SaHO^,(5.216)

Tw (v0, - m2/2, m2, т^ = О (Ь2),(5.217)

где мы использовали тот факт, что величина т^ и G-член возникают в результате нарушения киральной симметрии и имеют в (5.1756) порядок О(Х2) [399]. В качестве альтернативы можно преобразовать низкоэнергетическую теорему в правило сумм, используя дисперсионные соотношения. Например, поскольку амплитуда 7(-) (v, ^2) нечетна относительно замены v->v, мы можем написать для величины v-17(-)(v, 0) дисперсионное соотношение без вычитаний:

=(5 2 8)

VЛ J v ' —'

Vo

Полагая затем v = 0 и учитывая (5.124), получаем

о00.1

■1 ~ 8а 2 С Im Р • (у, 0) dv

•(5.219)

Vo

Мы можем воспользоваться соотношением Голдбергера — Треймана (5.190) и исключить величину fn:

2m^ Г Im Т^ (v, 0) dx

— = 1 Н 2— \ 2.(5.220)

а^nn J vV '

Vo

Предполагая, что выполнено условие гладкости

Im 7(-) (v, 0) те Im Г(-) (v, m2), мы можем с помощью оптической теоремы связать амплитуду на массовой поверхности Im 7(-) (v, т^ с сечением лМ-рас- сеяния:

Im Т^ (v, m2) = vg^ (v) = v [g^p (v) - a^ (v)]. (5.221) Правило сумм (5.220) принимает вид

Sa ^sInn Jv•( •)

Vo

Это соотношение Адлера — Вайсбергера [3, 415]. Используя

экспериментальные данные о полных сечениях лр-рассеяния, мы получаем значение слабой аксиальной нуклонной константы связи §а ~ 1,24, что хорошо согласуется с экспериментальным значением 1,259 + 0,017.

Четная по изоспину амплитуда связана с нарушающим ки- ральную симметрию ст-членом, который исследуется в следующем разделе.

МЕХАНИЗМ НАРУШЕНИЯ

КИРАЛЬНОЙ СИММЕТРИИ

Теоремы о мягких пионах, такие, как соотношение Голд- бергера — Треймана и правило сумм Адлера — Вайсбергера, являются следствиями точной киральной SU^l X SZ7(2)r-chm- метрии. Они нечувствительны к структуре членов, нарушающих симметрию в (5.1756). С другой стороны, ст-член описывает эффекты, связанные с нарушением киральной симметрии. Рассмотрим этот коммутатор аксиального тока с его дивергенцией, входящий в выражения (5.199) и (5.203), и возьмем его матричный элемент между некоторыми произвольными адронными состояниями с импульсом р\'

а°4 = i J d3x < Р (р) I [ А? (X, 0), д°Ло (0)] I а (р)) =

= — ^^ < Р (р) I [Q5°> [^(у, 0), Л5(О)П |а (р)> =

= -^3z/(p(p)|[Q^, [^(0), Л»(у,0)]]|а(р)) =

= < Р (Р) I [Q5°. [Q56. ^ (0)]] I а (р) Y(5.223)

Таким образом, ст-член является просто двойным коммутатором гамильтониана 36 с двумя аксиальными зарядами. Если в 36 отсутствует член, нарушающий киральную симметрию, то аксиальные заряды сохраняются. Они коммутируют с гамильтонианом, и ст-коммутатор обращается в нуль. Поэтому мы можем заменить величину 36 в (5.223) на член (5.1756), нарушающий киральную симметрию.

Измерение нуклонного и вакуумного о-членов

Мы уже видели в (5.215), что четная по изоспину амплитуда лМ-рассеяния в пределе мягких пионов пропорциональна матричному элементу о-коммутатора между нуклонными состояниями. Следует соблюдать осторожность, связывая это выражение для 7W (0, 0, 0, 0) с амплитудой на массовой поверхности 0^ = 0^= пг^ поскольку данная экстраполяция включает поправочный член того же порядка, что и сам ст-член. Но можно провести последовательное разложение по степеням параметра Л2 в (5.1756), отвечающего нарушению SU(2)lX SZ7(2)r-chm-

метрии [76]:

7(+) (0, 0, m^, т2] = 7<+)(0, 0, 0, 0) +

+ т«22" + т*Ч^ + 0^тй' (5'224) “41“42

Используя условия согласованности Адлера (5.198), записанные в виде

Tw (о, 0, ml 0) = Tw (0, 0, 0, 0) + т^ + О (ml) = О,

получаем

TW (о, 0, т^, m2) = - ?W (0, 0, 0, 0) + О (т^) = -^+ О (т4).

"(5.225)

В этом разложении по степеням параметра Х2 (т. е. тД, нарушающего симметрию, мы игнорируем возможные проблемы, связанные с неаналитичностью [270]. Следует заметить, что даже для амплитуды рассеяния на массовой поверхности точка v = vb = 0 все же находится вне физической области. Но значение амплитуды в этой точке может быть надежно экстраполировано от физических значений с помощью обычных дисперсионных соотношений.

До сих пор мы концентрировали внимание на киральной SU(2)L X SZ7(2)R-cnMMeTpnn. Обобщение на SU(3)LX SU(3)R- симметрию производится непосредственно. Соотношение ЧСАТ для октета аксиально-векторных токов имеет вид

= famU”’ а = 1,2 8,(5.226)

где фа — полевые операторы октета псевдоскалярных мезонов. Аналогично предыдущему случаю можно вывести обобщенные соотношения Голдбергера — Треймана и теоремы о мягких мезонах для амплитуд мезон-барионного рассеяния.

Мы можем также получить низкоэнергетические теоремы в пределе мягких мезонов, рассматривая другие матричные элементы токов. В частности, из соотношения (5.226) имеем

<0\d'1A^\pb(k)') = babm2afa.(5.227)

Используя редукционную формулу и ЧСАТ, мы можем записать это равенство в виде

6оЬт^а = ‘( й*хв"1кх < 01Г (<ЭиА^ (0) г/л" W) 10 > =

=U ( d4e-lkx < 01 Т^А^ (0) А$ (х)) 10) -

- Jd4xe“to<O|d(xo)[Ao6W, ^Л2(0)]10>}. (5.228)

Следовательно, низкоэнергетическая теорема записывается в виде

да6т^ = ^Л<о|д(хо)[Ло (Д ^Л“(0)]|0) = Оиа6, (5.229) где

Oo6 = <0|[Q5°, to56,(0)]] I 0>.

Таким образом, массы псевдоскалярных мезонов связаны с вакуумными матричными элементами ст-члена. (Соотношение (5.229) можно получить непосредственно, вычисляя вакуумное среднее для выражения (5.199).)

(3, 3*) + (3*, 3)-теория нарушения киральной симметрии

С помощью соотношений (5.225) и (5.229) мы связали матричные элементы ст-коммутатора между вакуумными и нуклонными состояниями с экспериментально измеримыми величинами. Теперь необходима теория нарушения киральной симметрии. Какова структура члена 2.5+ в (5.175)?

Простая возможность состоит в том, что киральная симметрия нарушается только кварковым массовым членом:

ХЖ = тийи + md dd + msss,(5.230)

или

X,96,=msss и X2S^2 = тийа + md dd, (5.231) поскольку кварковые поля преобразуются по представлениям

qL = т0 — Ys)^ ~(3, 0),

^д = 4'(1 + Ys)^ ~(0, 3)

группы SI/(3)lX 51/(3)/?. Величина ХЖ, которая записывается в виде qLqR + QrAl, преобразуется по представлению (3,3*) + + (3*, 3). Это теория нарушения киральной симметрии, предложенная Гелл-Манном, Оуксом и Реннером [168] и Глешоу и Вайнбергом [189]. Пользуясь теоретико-групповым языком, можно записать

ХЖ = coUo + сзиз + csu8>(5.232)

где иа — набор скалярных плотностей. В терминах кварковых полей (5.38) и матриц Гелл-Манна их можно представить в виде

Ul = qXiq, z = 0, 1, 2, ... , 8,(5.233)

где

+ = (2/3)1/21.(5.234)

Аналогично определим псевдоскалярную плотность в виде

и, = — [qX^q.(5.235)

Пользуясь представлениями (5.233) и (5.235) для щ и ut и (5.44) и (5.48) для Q° и Q50, можно вычислить их коммутаторы, используя канонические антикоммутационные соотношения для кварковых полей:

{^(х, 0. 99 (у. 0} = 6а@й3 (х — у), (5.236) где а, р обозначают индексы Дирака и ароматические индексы. В качестве примера рассмотрим коммутатор [Q5o(^), и6(х, ^)], Не выписывая явно пространственно-временную зависимость, имеем выражение

[^ 4~ VoYs^i q^bq\ = [^«^, ?М (^°Y5)ap (^6Y°)Vs/2 =

= (- чх {^- ^} + чХ {%• ^ ?б - ^ К q^ % +

= ?+ [Гу5, XV] q^ = - ^Ys {V, X6} ^/2. (5.237) Мы можем определить полностью симметричный символ йаьс с помощью равенства

{т"’ ч-\=1й°Ьсч;- (5-238)

Выпишем отличные от нуля элементы:

^118 = ^228 = ^338 = VV^ > ^448 = ^558 = ^668 = ^778 = — V3 /2,

(5.239)

^344 — ^355 — — ^366 —^377 — ^146 — ^157 — — ^247 — ^256 — V2-

Добавляя к этим величинам (5.234), а также

d»nb= л^Ь^(5.240)

имеем

б (х0) [Qa (х0), »/(х, х0)] = —/</а/&и& (0) д4 (х).(5.241а)

Аналогично можно получить равенства

б (х0) [Qa (х0), V/(X,Хо)] = idajkUk (0) д4 (х),(5.2416)

6(x0)[Qa(x0), U/(x,х0)] = ifaikuk (0) д4 (х),(5.241 в)

й (х0) [Qa (х0), и, (х,Хо)] = ifaikuk (0) б4 (х),(5.241г)

где а = 1, 2, ..., 8, j, к = 0, 1, .... 8, а fabc — обычные структурные константы группы SU^, причем fabo = 0.

На языке модели кварков имеем

Uq == ,\j"g" (^^ Ч- i^d Ч* ss)>

u8 = a/"j Ч-— 25s),(5.242)

и3 = (uu — dd).

Коэффициенты в (5.232) выражаются через массы кварков сле

дующим образом:

с0 = —^- (m„ + md + ms),

(5.243)(5.243)

(5.243)

(5.243)

Гз = у (т« — mdV

Ниже мы всегда будем предполагать сначала, что имеется изо- спиновая инвариантность, т. е. ти = md или Сз = 0. Вопрос о нарушении изоспиновой инвариантности вследствие неравенства масс кварков та + та будет рассмотрен в конце настоящего раздела. Оператор ХЗ^' принимает вид

Х3€ = CqUq —(- с8щ.. (5.244)

Таким образом, нарушение SU(3) -симметрии происходит только благодаря члену с8и8.

Массы токовых кварков

Двойной коммутатор, входящий в о-член, можно вычислить, используя соотношения (5.241а) и (5.2416). В реальных расчетах проще считать операторы ХЗ^' и Fa матрицами 3X3 и вычислять антикоммутатор (5.237) непосредственно. Мы находим (см. (5.229))

«=—ц4 <° ।йи + ad । °),

%т£ = -^^^(0|йи +ss|0>,(5.245)

f^ = ^-t^ (0\uu + ad\0) + ^ms(0\ss\0U

Поскольку St/(3)-симметрия не является спонтанно нарушенной, будем считать, что вакуум SU (3)-симметричен, т. е.

(0|uu|0) = (0|dd|0) =(0|$$|0)=ц3.(5.246)

Кроме того, из определения констант распада (5.176) и условий спонтанного нарушения киральной симметрии (5.169) и (5.154) следует

k = fK = ftH-(5.247)

Наряду с массовой формулой Гелл-Манна — Окубо, 4m2K = 3m^-\-т^, мы получаем также формулу для отношения кварковых масс:

Учитывая значения масс псевдоскалярных мезонов, приходим к выводу, что масса странного кварка s много больше масс нестранных кварков и и d. Это означает, что SU^l X SU(2)R- симметрия является гораздо более точной, чем SU^lX X S^(3) R-симметрия. В терминах параметров, входящих в (5.244), это выражается в том, что отношение

— «—1,25(5.249)

Со

не сильно отличается от значения — V^ , которое дает SU^l X SU (2) R-симметрия.

о-член для лЛ^-рассеяния

Вычислим ст-член для нарушающего симметрию гамильтониана (5.244) в случае лУУ-рассеяния в рамках кварковой модели:

oN = ^-(mu + mdKN\au-V dd\NY(5.250)

Мы не имеем пока надежного теоретического метода вычисления этого матричного элемента. Поскольку предполагается, что содержание странных кварков в нуклоне мало (см. замечание, следующее за соотношением (7.85)), этот матричный элемент можно оценить с помощью правила Цвейга (см. [75]):

(M|ss|M)«0.(5.251)

Выражение (5.250) можно записать тогда в виде

cr iV « у (ти + та) (N \йи + dd — 2ss IМ) =

3 (т + тЛ

<5-252)

где использованы соотношения (5.242) и (5.243). Изменение массы нуклона, связанное с частью гамильтониана с8и8, нарушающей SU (3)-симметрию,

SmN = (N \с8иа\!^(5.253)

можно связать с общим выражением для расщепления масс в барионном октете:

\тв = (В | с8и8| В) = a tr (Bu8B) + 0 tr (ВВи^. (5.254)

В правую часть входит барионный октет и и8, записанные в виде матриц 3X3 (см. (4.157)). Присутствие двух членов в правой части отражает тот факт, что в произведение представлений 8X8 октетное представление входит дважды (см. (4.124)); следовательно, в произведение 8X8X8 входят два 5Ц(3)-ска'

ляра. Выписывая соотношение (5.254) в явном виде, мы можем связать коэффициенты аире массами барионов:

(5.255)(5.255)mN = тй + (а — 20), та = т0 — (2а — р), т2 = т0+(а+р), тл = т0 —(а+р),

(5.255)

(5.255)

где несущественный общий множитель V^ включен в параметры аир. Мы вновь получаем массовую формулу Гелл-Манна — Окубо (4.166); кроме того, мы можем записать

(N |с8«8 \N) = (а — 2р) = тх — та.(5.256)

Следовательно, выражение (5.252) принимает вид

OnOn3 (mu + md)ти + md 2ms3 (mu + md)ти + md 2ms(тл — та\(тл — та\(5.257)(5.257)

On

On

3 (mu + md)ти + md 2ms

3 (mu + md)ти + md 2ms

(тл — та\

(тл — та\

(5.257)

(5.257)

Для отношения (5.248) мы получаем значение а^ « 30 МэВ. Очевидно, что данная оценка весьма неточна, но в настоящее время о-член, отвечающий лМ-рассеянию, является одним из немногих объектов, на котором можно с достаточной степенью надежности проверить схему нарушения киральной симметрии.

Случай т^тр нарушение

изоспиновой симметрии сильным взаимодействием

В заключение рассмотрим также возможность нарушения изоспиновой симметрии, связанную с неравенством масс ти =£ =7^ md. Поскольку нам уже известно, что электромагнитное взаимодействие нарушает данную симметрию, мы должны различать эти два независимых механизма нарушения изоспиновой симметрии. Член, нарушающий SU^l X SU(3) ^-симметрию, можно записать в виде

ХЖ = ^m + ^v;(5.258)

здесь

36 т = тийи + mddd + msss,(5.259)

^v = е2 J d4T (/ц (x) p (о)) D^ (Д(5.260)

где /^(x)—оператор электромагнитного тока, £>MV(x)—пропагатор фотона.

Масса псевдоскалярного мезона содержит два вклада; один связан с a-членом, соответствующим 36™, а второй — с сг-чле- ном, соответствующим 36Ц. Выражение (5.229) записывается в виде

^Й = СЗ^,(5.261)

где

<С = <° । [Q5°- [$56- ^п] ] । %(5-262)

^ = <0 | [Q50, [Q56, ^]] 10).(5.263)

Но для электрически нейтрального оператора QSa имеем

[Q5°, ^Y] = 0.(5.264)

Таким образом, [104]

а0? (л°) = aOv (К0) = Оо7 (л°) ~ 0.(5.265)

Кроме того, из SU(3)-симметрии, точнее из инвариантности по отношению к 17-спину, следует

%(л+) = %(К+)гр3.(5.266)

Проводя выкладки, полностью аналогичные тем, которые привели нас к соотношениям (5.245), и используя следствия S 1/(3)-симметрии (5.246) и (5.247), получаем [409] fm1 (л+) = (ти + т^ р3 + ц3, f2m2 (л°) = (mu + т^ ц3,

/2т2(/Г) = (ты + т^ р3 + р3,(5.267)

fW (К°) = (md + т^ р3,

Pm2 (л°) = 4 (mu + md + 4ms) р3.

— Окубо,(5.268)(5.269)— Окубо,(5.268)(5.269)Мы получили (улучшенное) соотношение Гелл-Манна а также соотношения т2 (л°) ти + md т2 (К0)ms + md

— Окубо,

(5.268)

(5.269)

— Окубо,

(5.268)

(5.269)

И

т2 (К+) — т2 (К0) — т2 (л+) mdт2 (К0) — т2 (К+) + т2 (л+) — 2m2 (л°) ти

Наряду с отношением масс кварков (5.248) мы получаем также md(mu = 1,8.(5.270)

Данное соотношение показывает, что кварки и и d в действительности не являются вырожденными по массе. Это позволяет разрешить ряд существовавших долгое время трудностей в картине изоспиновой инвариантности, нарушенной только электромагнитным взаимодействием: головоломку со знаками разностей масс протон — нейтрон и К+—/С°, а также проблему распада т] —>-Зл. Если рассматривать распад г]->3л, не сохраняющий изоспин, как происходящий через виртуальное электромагнитное взаимодействие второго ‘порядка, то непосредственный расчет в рамках алгебры токов показывает, что в пределе киральной SU^lX SU(2)^-симметрии этот распад строго запрещен. (Дальнейшее обсуждение этой проблемы см. в разд. 16.3.) Конечно, в течение длительного времени было хорошо известно [141], что эта картина нарушения изоспиновой симметрии приводит к «неверному» знаку разности масс п—р.

Кроме того, если единственной причиной нарушения изоспино- вой симметрии является электромагнитное взаимодействие, то мы можем получить (с помощью соотношений (5.265) и (5.266)) правило сумм Дашена:

m2 (К+) - т2 (К0) = т2 (л+) - т2 (л°),(5.271)

что вновь приводит к неверному знаку для разности масс К+—К0. Однако из соотношения (5.270) следует, что в действительности имеется существенное нарушение изоспиновой симметрии, источником которого служит само сильное взаимодействие.

Если ти и тй так сильно отличаются друг от друга, то как объяснить незначительность наблюдаемого нарушения изоспиновой симметрии? Это возможно, если разность масс кварков и и d сравнима с самими массами ти и md и все эти величины малы в характерной шкале сильных взаимодействий. В самом деле, недавний расчет разности масс п — р [156] дает

,пи 4 МэВ, md^l МэВ.(5.272)

Нам известно также (см. гл. 10), что присущий сильному взаимодействию масштаб равен от 200 до 400 МэВ. Таким образом, изотопическая спиновая S7/(2)-симметрия является хорошей симметрией вследствие того, что хорошей симметрией является киральная S7/(2)LX SU(2) ^-симметрия!

Подобная ситуация (но в меньшей степени) имеет место для ароматической 57/(3)- и киральной Si7(3)LX 57/(3)^-симметрий. Из соотношений (5.248) и (5.272) получаем

ms ~ 25 (т„ + тД(2 ~ 130 МэВ.(5.273)

Следует подчеркнуть, что кварковые массы, которые здесь рассматривались, являются кварковыми массами алгебры токов, или массами токовых кварков. Они служат параметрами нарушения киральной симметрии. В квантовой теории поля (например, в модели свободных кварков (5.41)) эти параметры входят непосредственно в лагранжиан. Они отличаются от масс составляющих кварков т, которые входят как параметры в (нерелятивистские) расчеты адронов как связанных состояний: ^„ротона ~ 3m, mp « 2m. Поскольку даже в полной теории сильных взаимодействий — квантовой хромодинамике (КХД)—не удается решить проблему связанных состояний, исходя только из основных принципов, связь между массами этих двух типов строго не установлена. Но имеется эмпирическое правило, согласно которому массы составляющих кварков m и массы токовых кварков т, различаются на общую постоянную массу: тг = тг + т0.(5.274)

При этом масса т0 связана с характерным масштабом сильных взаимодействий и равна примерно 300 МэВ.

Глобальная ароматическая симметрия сильных взаимодействий — резюме

Содержание настоящей главы показывает, что жизнеспособная теория сильного взаимодействия, по-видимому, должна обладать приближенной киральной SU^l X SU(3) ^-симметрией. Полезная теория свободных кварков (5.41) действительно обладает такой глобальной симметрией. В эту теорию должно быть включено взаимодействие, которое формально (т. е. на уровне лагранжиана) также обладает такой симметрией. Но динамика должна быть такой, чтобы данная симметрия была спонтанно нарушена вакуумным состоянием, которое содержит кварковый конденсат <0|^|0> и поэтому не является кираль- ным синглетом. Это динамическое нарушение должно характеризоваться импульсом, величина которого сравнима с fa. Оно должно быть симметричным по отношению к диагональной подгруппе SU^v, чтобы адронные спектры и взаимодействия обладали обычной SU(3) -симметрией восьмеричного пути и существовал октет псевдоскалярных голдстоуновских бозонов. Данная киральная симметрия также нарушена явным образом (следовательно, голдстоуновские бозоны не являются строго безмассовыми) по схеме, в которой три массовых члена в лагранжиане, отвечающие легким кваркам, приводят к мягкому нарушению симметрии. Как мы увидим в гл. 10, калибровочная теория сильного взаимодействия (КХД) обладает всеми указанными свойствами.

Глава 6 ПЕРЕНОРМИРОВКИ И СИММЕТРИИ

Вопросы перенормировки и симметрии тесно связаны между собой. Вытекающие из симметрии соотношения между функциями Грина известны как тождества Уорда [379, 397]. В теории с нетривиальной симметрией перенормируемость критически зависит от сокращения расходимостей из разных секторов теории, которое диктуется тождествами Уорда. Это справедливо в еще большей степени для калибровочных теорий, где часто приходится вводить фиктивные степени свободы (например, состояние продольной поляризации фотона и т. д.) и должна быть уверенность в том, что благодаря тождествам Уорда эти нефизические состояния сокращаются в элементах физической S-матрицы. С другой стороны, приходится иметь дело с влиянием перенормировок на сами симметрии. В настоящей главе наше внимание будет сконцентрировано именно на этом последнем аспекте связи между перенормировкой и симметрией.

В разд. 6.1 мы увидим сначала, как тождество Уорда для векторного тока в теории Х^4 выполняется с точностью до однопетлевых диаграмм. Но аналогичные соображения в разд. 6.2 приводят к заключению, что тождества Уорда в квантовой электродинамике, включающей аксиально-векторные токи, нарушаются перенормировкой в треугольной фермионной петле. В уравнении для дивергенции аксиально-векторного тока должны присутствовать «аномальные члены». Это позволяет вывести в рамках алгебры токов правильную низкоэнергетическую теорему для распада л° -»- 2у.

В последних двух разделах рассматриваются взаимосвязь между спонтанным нарушением симметрии и перенормировкой. Мы вновь сосредоточиваем внимание на влиянии перенормировок на симметрию. В разд. 6.3 мы рассматриваем ряд задач, иллюстрирующих перенормировки в теориях со спонтанно нарушенной симметрией. Наконец, в разд. 6.4 показано, что классический потенциал, который мы многократно использовали при изучении спонтанного нарушения симметрии, может рассматриваться как первый член разложения по степеням константы Планка, а также что при определенных обстоятельствах сами радиационные поправки приводят к спонтанному нарушению симметрии.

ТОЖДЕСТВО УОРДА ДЛЯ ВЕКТОРНОГО ТОКА И ПЕРЕНОРМИРОВКА

Соотношение (5.200) является примером тождества Уорда. Такие соотношения между функциями Грина вытекают из свойств симметрии лагранжиана (т. е. сохранения зарядов, выражений для коммутаторов зарядов и т. д.). Они играют определенную роль при выводе низкоэнергетических теорем в алгебре токов, и, как показано ниже, на них опирается программа перенормировок для любой теории с нетривиальными симметриями. Следовательно, важно убедиться, что тождества Уорда не нарушаются поправочными членами в высших порядках теории возмущений. В настоящем разделе мы покажем сначала на простом примере теории Х^4, как тождество Уорда в случае векторного тока выполняется с точностью до однопетлевых диаграмм.

Тождество Уорда для векторного тока

Теория Хф^ (5.23) обладает t/( 1)-симметрией с соответствующим сохраняющимся (векторным) током (5.25). Из канониче-

/РМ

q

Рис. 6.1. Функция Грина для двух скалярных полей, взаимодействующих свекторным током.

ского коммутационного соотношения для комплексных полей (5.22)

[д0^+ (х, /), ф (х', /)] = — td3 (х — х')(6.1)

получаются коммутационные соотношения

[/о(х, /), ^(х', /)] = / [^+(х, /), ф^х', /)]^(х, /) =

= 63 (х — х') ф (х, /),(6.2)

[JO(X, 0, ^(х', /)] = —63(х —х')^+(х, 0-

Рассмотрим трехточечную функцию Грина, показанную графически на рис. 6.1:

G^ (р. q) = J d^ сРуе^*-^ (0 | Т Ц^ (х) ф (у) ф* (0)) 10). (6.3)

Произведем стандартные в алгебре токов выкладки

уЧ^ (p,q)= — i^ d4 d^e-i^-ipva^ <0 | Т (Ju (х) ф (у) ф^ (0)) 10) =

= - i J d4 d^ye-^-ip» {(0 | T (дЧ^ (х) ф (у) ^+ (0)) 10) +

+ <0 IТ (д (хо - уА [/0 (Д ф (у)] ф* (0) 10) +

+ <0 I д (х0) [Jo (х), ф* (0)] ф (у) 10)}.(6.4)

Первый член в правой части этого равенства обращается в нуль вследствие сохранения тока дЧ^ = 0; остальные члены можно упростить, используя (6.2):

рЧ^ (р, q)=-i^ d4e-i (р+Я-* (О\Т(ф (х) ф* (0)) 10) +

+ ^^уе->Р»(0\Т(фЧ0ИШ\У).(6-5)

В правой части получаем выражения для пропагаторов скалярного поля:

А (р) = J d4e-ip* 1^\Т(ф (х) ф^ (0)) 10).(6.6)

Соотношение (6.5) можно записать в виде

*— iq^GyAp, q)^^(p+q) — ^(p).(6.7)

Оно является примером тождества Уорда для векторных токов.

Z7 = 1 и тождества Уорда

Сделаем отступление, чтобы проиллюстрировать одно приложение тождеств Уорда. Их можно использовать для демонстрации того, что сохраняющийся ток 7ц(х) не перенормируется как составной оператор. Тождество (6.7) справедливо для неперенор- мированных полей, удовлетворяющих каноническому коммутационному соотношению (6.1). (В случае перенормированных полей в правую часть коммутационных соотношений входит множитель Z7*-)B терминах перенормированных величин, используя соотношение (2.167), получаем

G^p, q^ = Z;xZ7XG^p, q\b*(p) = Z;lb(p).

Мы можем записать тождество Уорда (6.7) в виде

iZ^G* (р, q) =^(p + q)- A* (pY

Поскольку правая часть не зависит от точки обрезания, величина Zj в левой части также не должна зависеть от обрезания, и нам не нужно вводить контрчлен для перенормировки

7и(х). Другими словами, сохраняющийся ток /Дх) не перенормируется как составной оператор, т. е. Zi = 1. Таким образом, тождество Уорда (6.7) также справедливо для перенормированных величин: -

zpuG* (р, q^ = Л* (р + q) - Л* (р). (6.8)

В дальнейшем мы будем опускать индекс R в (6.8), подразумевая, что рассматриваются перенормированные функции Грина.

Подобное отсутствие перенормировки имеет место для всех сохраняющихся величин в абелевом (как показывает рассмотренный пример) и неабелевом случаях. В действительности, в случае токов, связанных с неабелевыми симметриями, можно дать прямое объяснение полученному результату. Эти токи должны удовлетворять фундаментальным коммутационным соотношениям, таким, как (5.55). Нелинейный характер коммутаторов фиксирует нормировку токов так, что никакая перенормировка невозможна.

Векторное тождество Уорда на однопетлевом уровне

Поучительно рассмотреть, каким образом однопетлевые диаграммы удовлетворяют тождеству Уорда (6.7). В терминах усеченной функции Грина Гц(р, q) и 1ЧН собственной энергии 2, определенных равенствами (см. (2.48) и (2.24))

Гц (р, q) = [zA (р + р)Г’ G^ (р, q^ [zA (р)]"1,

,~(6.9)

[А(р)]-, = р2-ц2-2(р),'

тождество Уорда (6.7) принимает вид

W (р, р) = (р + qY - р2 - 2 (р + р) + 2 (р).(6.10]

Для вклада вершинной функции Г Др, р) в древесном приближении, показанного на рис. 6.2, а, имеем

/р^Г^ (р, р) = zp»1 (- z) (2р + qY = (р + qY - р2,(6.11)

что совпадает с тождеством Уорда в низшем порядке.

Используя размерную регуляризацию для однопетлевой диаграммы (рис. 6.2,6), получаем

^^ Др, р) = zpu (2л)4 ^ к2 _ ц2 (_ 0 l^k + qY "(ь^Г^ттр =

.. f dnk Г 1111

1 J (2л)4 [(й + р)2-^ к2-ц2Г ('

При п < 2 первый интеграл в правой части сходится, и мы можем совершить сдвиг переменной интегрирования, заменяя к

Рис. 6.2. Древесные и однопетлевые диаграммы для вершинной функции, отвечающей взаимодействию векторного тока и скалярных полей.Рис. 6.2. Древесные и однопетлевые диаграммы для вершинной функции, отвечающей взаимодействию векторного тока и скалярных полей.

Рис. 6.2. Древесные и однопетлевые диаграммы для вершинной функции, отвечающей взаимодействию векторного тока и скалярных полей.

Рис. 6.2. Древесные и однопетлевые диаграммы для вершинной функции, отвечающей взаимодействию векторного тока и скалярных полей.

на k — q. При этом получим

//Г™ („, ,) - IX J ^[у^у - у^] - 0.(6.13)

Это равенство остается справедливым при аналитическом продолжении на область п > 2, в частности п = 4. Вклад диаграммы рис. 6.2, в имеет вид

^ЦГ^ (р, q) =

= iq* ^ ^ (2р + q^ ^^-^ [2 (р + 9) — 2 (0)],(6.14)

где величина

-Л(р+») = -^ “ „Л,,(6.15)

не зависит от внешнего импульса. Получаем

2(р) = 2(р)-2(0) = 0.2(р) = 2(р)-2(0) = 0.(6.16)(6.16)

2(р) = 2(р)-2(0) = 0.

2(р) = 2(р)-2(0) = 0.

(6.16)

(6.16)

Следовательно, правая часть равенства (6.14) обращается в нуль, и мы имеем

iq^^p. q^ = 0.(6.17)

Аналогично имеем также

iq%d4p. Р) = 0.(6.18)

Таким образом, складывая диаграммы на рис. 6.2, а, б, в и г, с точностью до однопетлевого порядка имеем

^Гц (р, р) = (р + р)2 — р2,(6.19)

что с учетом равенства (6.16) совпадает с тождеством Уорда (6.10).

Отметим, что приведенное доказательство тождества Уорда (6.7) (или (6.10) в теории возмущений) опирается на два важных момента: 1) алгебраическое соотношение (6.11) и 2) сдвиг переменной интегрирования при переходе от (6.12) к (6.13). Вообще говоря, для того чтобы выполнялось тождество Уорда, которое является следствием симметрии, следует выбирать ре- гуляризационную схему, которая не нарушает исходную симметрию. (Ясно, что размерная регуляризация удовлетворяет этому требованию.)

6.2. АНОМАЛИЯ АКСИАЛЬНО-ВЕКТОРНОГО

ТОЖДЕСТВА УОРДА И РАСПАД л° -> 2у

Следуя в основном тем же путем, что и в разд. 6.1, мы видим, что (аксиальное) тождество Уорда не является автоматически справедливым в теории, в которой имеются фермионы, даже после того, как она симметричным образом регуляризована. Это происходит вследствие того, что определенные однопетлевые диаграммы вносят аномальные члены, препятствующие рекуррентному воспроизведению тождеств Уорда в высших порядках теории возмущений. Такие аномалии были обнаружены Адлером [5, 6] и Беллом и Джакивом [41] (аномалии АБД) при изучении алгебры токов. Ниже мы дадим элемент тарное введение в данный предмет.

Тождества Уорда на уровне древесных диаграмм и выражения для дивергенции токов как следствие уравнений движения

Рассмотрим трехточечные функции в электродинамике

Т^к^!, ^2- ^) =

= t J d4xx d42(0 IT (Уи (хх) Vv (х2) Ах (0)) 10) е«^‘+;^,(6.20)

Тuv (^р ^2' ^) =

= i J d4xx d4x2(0 | Т (^ М yv (х2) Р (0)) 10)е^-+^,(6.21)

где Иц, Ац и Р— векторный, аксиально-векторный и псевдоскалярный токи соответственно:

Vц (х) = ф (х) 7ц V (*)>

Лц (х) = ф (х) уцу5ф (х),(6.22)

р (х) = ip (х) у5ф (х), a q = кх + fe2-

Чтобы получить тождества Уорда, связывающие Т ^х и Т^, необходимы выражения для дивергенций токов Иц и Лц, которые вычисляются с помощью уравнений движения

дцр/и(х) = О, д^А^ (х) = 2imP (х),(6.23)

где m—масса фермионного поля ф(х). Применяя элементарные соотношения, вытекающие из алгебры токов, такие, как а^ии^ Мош =

= Т (д^ (х) О Ш + [/0 (л), О (у)] 6 (х0 - у^ (6.24) для тока /ц(х) и локального оператора (7 (у), и учитывая, что в данном случае одновременные коммутаторы обращаются в нуль:

№), Ло (у)] 6 (х0 — у0) = 0,(6.25)

мы можем формально получить следующие тождества Уорда для векторного и аксиально-секторного токов:

^Т^х = кХТ^х = й,(6.26)

q4^x = 2mT^.(6.27)

Аномалии, возникающие при перенормировке

Однако, вычисляя вклады наинизшего порядка в Т^ и Т^ (рис. 6.3 и 6.4), мы находим, что тождества Уорда (6.26) и (6.27) не выполняются:

Т^х = 1 $ 72^ (— ^ (tr [^-m ^5 (0 - 4) - m Yv

-1S W'-1’{,r[^rYs <o-Z)-mv-l +

+ (k«‘!)}-<6-29>

Для того чтобы проверить тождества Уорда, в частности (6.27), мы используем соотношение

4^5 = V5 (у — У — т) + (у — т) у5 + 2ту5 (6.30)

Рис. 6.4. Вклады низшего порядка в выражение (6.21) для 7\,ц.

и получим равенство

/T'^ = 2m7'(lv + A^ + A^>(6.31)

где

= \ tr hYA4 —ГаYm — J (2л)4 Ip — m (f> — kt) — m

7a"TaT ^ Ta7m Y4 ’(6-32a)

Vp — K2) — mVp — ф — m )

. (2) f d'p , f ii

A^ = \ —— tr ] Y5YU ——T-yv -

J (2л)4 Vp — m Vp — k2) — m

AYsYu — ~Y J •(6.326)

(p — Ri) — m (p — q) — m )

Если интегралы А$ равны нулю, то мы имеем тождество Уорда (6.27). На первый взгляд кажется, что это действительно так. Если бы мы могли произвести сдвиг переменной интегрирования р —*- р + ^2 во втором члене, то два интеграла в A^v взаимно сократились бы. Аналогичное сокращение пары интегралов произошло бы в (6.326). Однако интегралы линейно расходятся, и сдвиг переменной интегрирования приводит к возникновению дополнительных конечных членов, причем Ац-i ^ 0 и А® ^= 0. Вследствие этого тождество Уорда не выполняется.

Сдвиг переменной интегрирования в линейно расходящихся интегралах

В одномерном случае легко продемонстрировать, что сдвиг переменной интегрирования может оказаться незаконным для расходящегося интеграла (см., например, [226]). Рассмотрим интеграл

А(а) = ^ dx [/(х + а) — / (х)].(6.33)

Чтобы увидеть, что величина А (а) может быть отлична от нуля, разложим подынтегральное выражение в ряд:

А (а) = J dx\< (х) + 4 t" to + • • •] =

= а[/(оо)-/(-оо)] + 4[/,(оо)-/,(-оо)] +(6.34)

где штрихи обозначают дифференцирование. Если интеграл f(x)dx сходится (или по крайней мере расходится логарифмически) , то мы имеем 0 = /(±оо) = /'(+00) = ..., и интеграл А (а) равен нулю. Но в случае линейно расходящегося интеграла 0 =/= f(ztoo), 0 = f (±00)= ..., и величина А(а) не обязательно равна нулю:

Д(а) = а[/(оо)-/(-оо)].(6.33)

Это соответствует «поверхностному члену» («поверхностью» в одномерном случае являются граничные точки промежутка интегрирования). Этот вывод непосредственно обобщается на случай линейно расходящегося интеграла в п измерениях: Д(а)—(^"г[/(г + а) — /(г)| —

- S “"' ["’ 4; f М+“т ^7 “" ^ f м + ■ • • ] • <6-36> Используя теорему Гаусса, мы видим, что все члены, кроме первого, обращаются в нуль после интегрирования по поверхности г = R-> оа;

\(a) = a^f(R)SM ’(6.37)

где Sn(R)—площадь поверхности гиперсферы радиуса/?. В случае четырехмерного пространства Минковского имеем

А (а) — ат t d'r dj (г) = 2/л2ат lim R2RJ (R).(6.38)

J^->00

Неоднозначность в определении Т^х

Однопетлевая амплитуда Т^х (условно) линейно расходится; следовательно, она не определена единственным образом. Выражение (6.28) связано с частным выбором протекания импульса в петле р\ фермионная линия между векторной и аксиальновекторной вершинами обладает импульсом р. Мы могли бы выбрать его другим способом, так, чтобы импульс этой фермионной линии был равен р + а, где а — некоторая (произвольная) линейная комбинация ку и ^:

а = aky + (а — 0) &2.(6.39)

Из линейной расходимости интеграла следует, что амплитуда Т^х определена с точностью до величины

Apvx (а) — Twx (°) Т^х (6)

С d4p Г 1111

= — \—~ s tr Vi у5yv;Yu —

' (2л)41 L(0 + d) — m Y (p + d — p) — m (p + d — fey-) — m u J

L p — m YxY5 p-^-m Yv (p — &J — m YuJjv )

^A^+A^x.(6.40)

Применяя формулу (6.38), получаем

.(1) С d4p д , Г 111"1

А^= - \ тутГ^— tr YxYs-— Yv~—7-Yu =

J (2л)4 dpx Lp — m (,p — p) — m (p — Ry) — m J

= — ^Sf Д™ р2рт tr (VaYxYsYpYvYeYu) p^p^p* =

=пё^^т 4z,w' (бл1)

После замены рар^1рг на gpa/4 имеем

Арк = ePuvxaP/8 л2.(6.42)

Поскольку величина Арк получается из (6.42) с помощью замен ку -<-»- &2 и H-^v, из соотношений (6.40), (6.42) и (6.39) получаем

Apvx = Auvx + А®а. = ^г ®puvX (^1 — ^)Р •(6.43)

Таким образом, имеется неоднозначность в определении величины Tpvx, описываемая произвольным параметром 0:

Т^х («) = Т^х (0) — -^2- eu^p (^i — к2У = Т^х (Р)- (6.44)

Определение аномального члена

Попытаемся определить параметр 0, потребовав выполнения тождеств Уорда. Мы увидим, что значения 0, при котором амплитуда ruvx(a) удовлетворяет как векторному, так и аксиально-векторному тождествам Уорда (соотношения (6.26) и (6.27)), не существует.

Рассмотрим сначала аксиальное тождество Уорда (6.27). Как и в случае равенства (6.40), можно вычислить два поверхностных члена в (6.31), используя (6.38):

(DА2 С ,4 д ( tr 1^ + m> VsYv (£ — ^i + m) уц] A

- - J d P dp? x Vp^-m^Ykp-k^-m^ )~

=(^" 2/л2р ™ V tr (VaYsYWpYu) Paki =

= --^2<W^(6-45)

A$ = A^.(6.46)

Таким образом, из (6.44) и (6.31) получаем

ЯКТ^Х (Р) = ^тТ^ (0) - -У- e,wlfeM(6.47)

Для векторного тождества Уорда (6.26) имеем

k^Тцмх (0) = — ( -dp ■ (tr Г—-— YxYsYv7 uJ (2л)4 I Lp — m ^Yp — ^ — m (f> — ^i) — m

(6.48)(6.48)+ tr Г —-— YxY5 -yr77^i TT—AYvll ■

(6.48)

(6.48)

Lp—m YP—qY — m (p — k2) — m

Используя тождество

^ = (p — m) — [(^ — ^) — m] =

= t(P — ^2) — m] - f(^ — ^) — ml, (6.49)

мы можем переписать (6.48) в виде

к' г« <°> — S wtr ["= 7№7-

(6.50)

В правой части вновь имеется поверхностный член, который можно вычислить с помощью (6.38):

И_ к] Г ,45 / tr [уху5 (р — &2 + т) yv (0 + т)] \ _

1)(2л)4 J Р дрт\ [(р — й2)2 — т2] (р2 — т2)/

= Т^р 2/л2 Д™ "$"tr (VsYxYaYvYp) hV =

= -^£^Ж-(6.51)

Далее, учитывая (6.44), получаем

^Т^х (3) = %ХаЖ-(6-52>

Таким образом, представить (6.47) в виде (6.27) и (6.52) в виде (6.26) одновременно при каком-либо значении параметра р невозможно. Поскольку оказывается, что в тождествах Уорда для амплитуды <01 Т(VVV) 10> аномальные члены отсутствуют, а для амплитуды <01 Т(ААА) |0> они существуют, логично сопоставить аномалии аксиально-векторному току. Тем самым мы фиксируем способ протекания импульса в петле таким образом, чтобы выполнялось векторное тождество Уорда (6.26), т. е. р = —1. При этом аксиальное тождество Уорда принимает вид

яХ^х = ШТ^ - ^^.Ж.(6.53)

Это соответствует следующей модификации уравнения для дивергенции аксиально-векторного тока (6.23):

сМх (х) = 2imP (х) + (4л)-2 s^°F^ (х) Fpa (х),(6.54)

где Ррх(,х)—обычный тензор электромагнитного поля. Таким образом, входящий сюда дополнительный член, аномалия АБД, возник благодаря перенормировке. Он обладает следующими свойствами:

Аномалия АБД не зависит от фермионных масс и должна присутствовать также в безмассовой теории.

Адлер и Бардин [7] показали, что радиационные поправки высших порядков не изменяют величины коэффициента перед аномальным членом, т. е. треугольные диаграммы, содержащие более чем одну петлю, не дают вклада в аномальный член. Эвристически это можно понять, основываясь на следующем замечании. Треугольные диаграммы высших порядков имеют условные степени расходимости меньше единицы, и для этих диаграмм отсутствует неоднозначность, связанная с выбором способа протекания импульса по петле.

Поскольку наши рассуждения проведены в терминах способа протекания импульса в петле и обычной регуляризации

методом обрезания, читатель может задаться вопросом: как эта проблема аномалии выглядит в схеме с размерной регуляризацией? Там эта проблема проявляется как трудность, связанная с определением у5-матрицы Дирака в пространстве-времени с числом измерений, отличным от четырех.

Фудзикава [149] отметил, что АБД-аномальное тождество Уорда может быть сформулировано более непосредственным образом в рамках формализма функционального интегрирования. Он показал, что мера в функциональном интеграле для калибровочно-инвариантной фермионной теории не инвариантна относительно ys-преобразования. Дополнительный якобиан, отвечающий этому преобразованию, приводит к аномалии АБД.

Аномалии АБД в случае неабелевых теорий. В неабелевых теориях функции Грина, отвечающие нечетному числу аксиально-векторных связей, включая пятиточечные функции, дают вклад в аномальные члены в дивергенции аксиально-векторного тока [32]. Но треугольная аномалия может рассматриваться как основная, поскольку она является простейшей, и ее отсутствие означает также отсутствие всех других аномальных диаграмм. В дальнейшем мы будем по-прежнему ограничиваться рассмотрением треугольной аномалии. Рассмотрим амплитуду

Т^№, fe2; q^ =

= I J d4xtox2 (0 IT (^ to) У? (x2) Ax (0)) | о^61*'4"^’,(6.55)

где_

^ to = Ф to Г'уцф(x),

...(6.56)

Ax (x) = ф (x) T уху5Ф (x), a Ta — матрицы, отвечающие внутренней симметрии. Рассмотрим также амплитуду

r^v to, &2; 7) =

= J ^х^^ф 1Г (Уц(х,) y£to)^(0)) |0)егы‘™2,(6.57)

где*

(6.58)

Аномалия в аксиально-векторном тождестве Уорда имеет вид

q'T^x = SmT^ — 2-^ е^р01гРх1г°ВаЬс + коммутаторы, (6.59) где

Dabc = у tr ({Г0’ т^ Т^-(6-6°)

В неабелевом случае тождество Уорда обычно также включает одновременные коммутаторы (см., например, ниже соотношение (6.65)).

Распад л°->2 у

Важным приложением аномалии АБД в алгебре токов является вывод теоремы о мягких пионах для распада л°->-2у. Амплитуда этого процесса определяется в виде

<Y (^161) Y (^е2) I л° (^)> =

= i (2л)4 6< (q - k, - fe2) 8^ (fe,) 82 (fe2) Г^ (fep fe2, q),(6.61)

где величина

ГцЛ^1> ^2, ^) =

= e2 J d^z d'ye 1к'г+ iklU (0 | T (j™ (z) J^M (у)) | л° (у))(6.62)

обладает следующей лоренц-ковариантной структурой:

Г^ (^, к„ q) = /е^ар^Г (у2).(6.63)

Чтобы вывести низкоэнергетическую теорему, рассмотрим амплитуду

Гц-ух (к\, k-n Ч^ =

= dWyelfc2ti-iqx<0\T(AUxU^(6.64)

удовлетворяющую тождеству Уорда

Ч^^х^х- ^> у) =

= - i \d'x dVfea~i4X {<0 IT (№ (x) J™ ^ 7™ (0)) | 0) ++ <o | T (6 (x0 - y0) [W <хУ J^ (у)] 7™ (0)) 10) +

+ <0 | T (6 (xo) [ Ao (x), 7^' (0)] J™ (y)) | 0)}.(6.65)

Из соотношений алгебры токов (5.80) следует, что члены, содержащие коммутаторы, обращаются в нуль. Рассуждая элементарно, можно отождествить первый член в правой части с амплитудой распада л°->-2у, следующей из ЧСАТ (5.181):

X $ d\ d^yelk2U-lqx (0 | Т {дкА{ (х) Пм (у) 7^м (0)) 10).(6.66)

Далее в пределе мягких пионов мы должны были бы получить соотношение Г(у2 = 0) = 0 [375, 395]. Это связано с тем, что

левая часть (6.65) обращается в нуль при qx-^0, поскольку rUvx не содержит промежуточных состояний, вырожденных с вакуумом, и не связана с вакуумом через аксиально-векторный ток Лх(х). Но в тождество Уорда следует включить аномальный член (т. е. ЧСАТ модифицируется в данном случае):

^^(fep k2, q) =

= -J^ 2X r^;, ^ q) -(6.67)

где D— аномальный коэффициент (6.60) (см. (6.72)). Мы получаем, таким образом, низкоэнергетическую теорему

lim ruv (fe„ fe2, q) = ^- ^ap№(6.68)

ИЛИ

Г(0) = -^.(6.69)

Следовательно, в пределе мягких пионов амплитуда процесса л°^2у полностью определяется аномалией [5]. Чтобы вычислить коэффициент D, рассмотрим сначала простую кварковую модель (без цветовых степеней свободы), в которой токи имеют

вид

(6.70)(6.71)(6.72)(6.70)(6.71)(6.72)/Г to = q to ^vQq to*3_A,3

(6.70)

(6.71)

(6.72)

(6.70)

(6.71)

(6.72)

2

0

0 1

1

0

О'

q=4

0

— 1

0 ’

Z-з =

0

—1

0

0

0

— 1 |

0

0

0

Ац (x) = q to YuYs -y q to* где

Аномальный коэффициент (6.60) равен

что приводит к значению Г (0) = 0,0123m-’, примерно в 3 раза меньшему, чем экспериментальное значение Г ^т^ ^ 0,0375m-’. Этот результат является аргументом в пользу того, что кварки обладают цветовой степенью свободы. Аномальный коэффициент D пропорционален следу фермионных петель, и должен присутствовать дополнительный множитель, равный 3, возникающий в результате суммирования по трем цветам:

Г (0) = 0,037'т-’. (6.73)

Заметим, что в приведенном расчете один из ароматов — странность— не дает вклада, поскольку Л3 отлична от нуля только

для первых двух компонент. С физической точки зрения это соответствует тому, что пион состоит из нестранных кварков. Очевидно, что соотношение (6.73) не меняется, когда включены другие ароматы (с, Ь, ...).

ПЕРЕНОРМИРОВКА В ТЕОРИЯХ

СО СПОНТАННО НАРУШЕННОЙ СИММЕТРИЕЙ

В данном разделе мы рассмотрим два свойства перенормировок в теориях со спонтанным нарушением симметрии. Сначала мы изучим однопетлевую перенормировку в простейшей теории Х^4 (5.131) со спонтанно нарушенной дискретной симметрией, существующей в этой теории. Мы покажем, как диаграммы типа «головастик» дают вклад в сдвиг величины вакуумного среднего (ВС) скалярного поля и что контрчлены имеют тот же вид, что и в симметричной теории. Затем мы изучим случай спонтанно нарушенной непрерывной симметрии и покажем, что голдстоуновские частицы остаются безмассовыми даже при учете радиационных поправок высших порядков.

Однопетлевая перенормировка и сдвиг вакуумного среднего

Вернемся к теории с лагранжианом (5.137). Первоначальный лагранжиан (5.131)

^=|(w+4^2-4-^(б-74)

обладает дискретной симметрией относительно преобразований ф-^ф' = —ф. При ц2 > 0 эта симметрия нарушается вакуумом, причем ф имеет ВС, равное

W|0) = «, v = Wy12.(6.75)

Производя разложение в окрестности этого вакуума, мы определяем сдвинутое поле:

■ ф' = ф — и.

Потенциал (5.137) выражается через это поле следующим образом:

V (ф') = № + М'3 + 4 ^(6.76)

что соответствует скалярной частице с квадратом массы 2р2 и с отвечающими самодействию вершинами, показанными на рис. 6.5.

Рассмотрим теперь перенормировку одной петли.

Одноточечная функция (диаграмма типа «головастик», показанная на рис. 6.6). Мы имеем

гдегде(6.77)(6.78)(6.77)(6.78)Т = (_б/2.и)1 -т?тг тг 1= -3zW2,'' 2 J (2л)4 й2 — 2ц22

где

где

(6.77)

(6.78)

(6.77)

(6.78)

Г d4* i

72 — J (2л)4 k2 — 2ц2 '

Чтобы. сократить эту расходимость, необходимо ввести в лагранжиан контрчлен вида —Оф', где

(6.79)(6.79)О = —ЗХи12.

(6.79)

(6.79)

Двухточечная функция (рис. 6.7). Диаграммы на рис. 6.7, а и б соответствуют следующим собственно-энергети-

^У^61Хи^У^61Хи

^У^61Хи

^У^61Хи

Рис. 6.5. Вершины, отвечающие взаимодействиям, входящим в лагранжиан (6.76).Рис. 6.5. Вершины, отвечающие взаимодействиям, входящим в лагранжиан (6.76).а 6Рис. 6.7.а 6Рис. 6.7.Рис. 6.6.

Рис. 6.5. Вершины, отвечающие взаимодействиям, входящим в лагранжиан (6.76).

Рис. 6.5. Вершины, отвечающие взаимодействиям, входящим в лагранжиан (6.76).

а 6

Рис. 6.7.

а 6

Рис. 6.7.

ческим членам:

(0) - (-бадХ j (^ ^у = -за/,,(6.80)

2» (0) - (-6Я»)Д ) ^ ( бГ^гУ - №=Ч., (6.81) где

7 4 = 7 5 "ДлД ( к2 - 2р.2) 't6,82)

Имеем

2 (0) = 20 (0) + 2.,, (0) = -3zV2 + 1 Ш?иЧ4. (6.83) Здесь требуется контрчлен вида —Аф'2, где

Д = -4 V2 + 9Vu2/4.(6.84)

Трехточечная функция (рис. 6.8).

Г3 (0) = 3 (-6/Ху) (-6Л) ^ $ д^г (д^Д)2 = 54zVy/4.(6.85)

Рис. 6.8.Рис. 6.8.Рис. 6.9.Рис. 6.9.

Рис. 6.8.

Рис. 6.8.

Рис. 6.9.

Рис. 6.9.

Здесь требуется контрчлен вида —Вф'3, где

В = - -^ (54zX2y/4) = 9Х2у/4.(6.86)

Четырехточечная функция (рис. 6.9).

Г4(0) = 3 (-6zX)21 J -^ (-^^r)2 = 54zX2/4.(6.87)

Здесь требуется контрчлен —j Сфм, где

С = - ^- (54zX2/4) = 9Х2/4.(6.88)

Таким образом, контрчлены для одной петли имеют вид

617 ^ = Аф'2 + вф'3 + 4 ^,4 + Оф', (6-89)

а эффективный потенциал в однопетлевом приближении дается выражением

Vxvn = Vtmwm =

= (Р2 + Л) Ф'2 + (^ + В) Ф'3 + 1 (X + С) f4 + Оф'. (6.90)

Пусть величина би равна сдвигу ВС, отвечающему однопетлевому вкладу:

ЬУ^ФА I =0бф'’

ИЛИ

(щ + Л) 6у + 3 (Ху + В) (бу)2 + (X + С) (6у)3 + 0 = 0. (6.91) Поскольку 6у — малая величина, мы можем пренебречь членами высших порядков, что дает

бу = -И(6.92)

2 (р.2 + Д) 2ц2v '

Таким образом, чтобы исключить линейный по Ф' член, необходимо ввести сдвинутое поле ф":\

ф" = ф' — бу,(6.93)

(0|^>"|0) = 0 в однопетлевом приближении. (6.94)

Потенциал выражается через это новое поле в виде

У, (ф" + бу) = аф"2 + Ьф"3 + -{- ф"\(6.95)

где

с = Х + С = Х + 9Л2/4,

b = Хи + В + Лбу = Хи + 9Л2у/4 + -^- /2,(6.96)

а = ц2 + А + 36уЛу = ц2 + 3V2 + 9Х2у2/4.

Легко убедиться, что из (6.96) следует равенство

Ь2 — ас = 0.(6.97)

Во всех приведенных выше расчетах мы опускали высшие степени 6у. С учетом соотношения (6.97) мы можем записать

И, т = V, (ф" + бу) = аф"2 + И'2 Ф"3 + -^ Ф"' =

-т-т- fG"+VD2+т(^"+^1- <6-98)

Отсюда следует, что, несмотря на присутствие контрчленов (6.89), эффективный потенциал остается симметричным относительно изменения знака величины:

Ф = Ф"^^^-(6-99)

Иными словами, контрчлены продолжают обладать первоначальной симметрией, поскольку они отражают ультрафиолетовые свойства теории, не чувствительные к мягкому нарушению симметрии. Следовательно, даже в теории с нарушенной симметрией требуются лишь контрчлены, отвечающие симметричной теории. Мы продолжим обсуждение этого вопроса ниже, при изучении теории с С/ (1) -симметрией.

Голдстоуновские бозоны остаются безмассовыми в высших порядках

Перейдем теперь к теориям с непрерывными симметриями, в которых спонтанное нарушение симметрии связано с присутствием голдстоуновских бозонов. Мы покажем, что голдстоуновские частицы остаются безмассовыми даже при учете радиационных поправок высших порядков. Будем вновь рассмат- рив'ать простейший пример £7(1)-симметрии в однопетлевом случае.

Инвариантный лагранжиан (см. (5.138))

$ = ^^ + т м2 + ^г^2 + л2) + г ^2 + л2)2> (6-10°)

Л Jt О' 0’

Рис. 6.10. Вершины, отвечающие взаимодействиям, входящим в лагранжиан (6.103).

записанный в терминах сдвинутого поля, о' = о — и,(6.101)

где вакуумное среднее равно

(0 | о |0) = у = (у-)’/2,(6.102)

принимает вид (см. (5.146))

2” = у [(^о')2 + (^хл)2] — Н2®'2 — ^Уа' (°'2 + л2) —

-у(о'2 + л2)2.(6.103)

В это выражение входят безмассовое поле л и массивное поле с' с квадратом массы 2ц2. Эти поля взаимодействуют через вершины, показанные на рис. 6.10. Мы убедимся, что л-поле остается безмассовым при учете однопетлевых поправок, проверив, что контрчлен, отвечающий перенормировке массы 6m2, обращается в нуль. Это должно иметь место, поскольку указанный контрчлен не может быть поглощен за счет какого-либо переопределения физической массы л-поля. Напомним, что для собственно-энергетических диаграмм справедливо разложение 2(p2) = 2(0) + 2'(0)p2 + f(p2),(6.104)

где 6m2 отождествляется с 2(0). Однопетлевые диаграммы, показанные на рис. 6.11, можно вычислить с помощью правил Фейнмана, приведенных на рис. 6.10;

(0)=(-2а»)(-ба») 4 J=- 3xz (2^>,

(0) = (-2а) | (- xz №=),

(0) = (-2а»)-Ьр (- 2а») 1J ^ = - xz (о),(6.106)

S.(0)-(-6a)4^£-3XZ(0),

X» (0) - (-2a»)’ J ^r^p. = 2X [Z (2ц’) -1 (0)1,

Я '3t 3131 3t itа 68Я '3t 3131 3t itа 68Рис. 6.11. ДиаграммыРис. 6.11. Диаграммысобственной энергии для л-частицы.собственной энергии для л-частицы.

Я '3t 3131 3t it

а 68

Я '3t 3131 3t it

а 68

Рис. 6.11. Диаграммы

Рис. 6.11. Диаграммы

собственной энергии для л-частицы.

собственной энергии для л-частицы.

где величины 2 соответствуют диаграммам на рис. 6.11, а

(6106)

Таким образом, /(2ц2) = t/2, где величина /2 определена выражением (6.78). Здесь также имеются обычные факторы симметрии 1/2. Очевидно, что сумма вкладов всех пяти диаграмм в величину 2(0) равна нулю:

2 (0) = 2а (0) + 26 (0) + 2С (0) + 2, (0) + 2Й (0) = 0. (6.107)

Этот результат мы предвидели заранее: л-частицы остаются без- массовыми в соответствии с требованием теоремы Голдстоуна.

Мягкое нарушение симметрии и перенормируемость

Заметим, что правила Фейнмана, приведенные на рис. 6.10, показывают, что имеется пять вершин, которые зависят только от двух параметров А, и у. Это означает, что имеются три соотношения между пятью константами связи (пятью функциями Грина). Эти соотношения — тождества Уорда — являются следствиями первоначальной 7/(1)-симметрии. Контрчлены для указанных вершин должны удовлетворять тем же соотношениям, чтобы можно было включить их в переопределение ст и и [254]. Это можно проверить явно в однопетлевом приближении аналогично предыдущему примеру с дискретной симметрией. Мы снова убеждаемся в том, что контрчлены в теории со спонтанно нарушенной симметрией имеют ту же структуру, что и в соответствующей симметричной теории. В действительности это ключевой момент, объясняющий, почему спонтанное нарушение симметрии в конечном счете не нарушает перенормируемости теории.

Мы обращаем внимание читателя на важное обстоятельство, состоящее в том, что перенормируемость теории со спонтанно нарушенной симметрией зависит только от того, была ли перенормируема симметричная теория. Фактически это несколько более сильная версия теоремы [376], которая утверждает, что добавление членов, мягко нарушающих симметрию, не нарушает перенормируемость симметричной теории. Под мягким нарушением симметрии мы понимаем добавление асимметричных членов размерности, меньшей чем четыре, т. е. соответствующих

вершинам с отрицательным индексом расходимости (см. (2.134)):

6i^=di-4<0.(6.108)

Из выражения (2.144) для индекса расходимости контрчлена

6Кч<£пД(6.109)

и из того факта, что контрчлены, нарушающие симметрию, могут давать вклад только благодаря диаграммам, включающим хотя бы одно взаимодействие, нарушающее симметрию, мы заключаем непосредственно, что индекс расходимости для асимметричных контрчленов должен быть отрицательным:

б"ч<0.(6.110)

Мы можем проиллюстрировать эту теорему двумя простыми примерами из £7(1)-теории (6.100).

Лагранжиан $№ = со имеет размерность единица, или 6„с = —3. Таким образом, единственный контрчлен, удовлетворяющий условию 6^^—3, имеет вид З'кч = — Ао (л-член можно исключить благодаря симметрии по отношению к отражениям л->-—л). Это не нарушает перенормируемости теории.

Лагранжиан 2д№ = с(о2 — л2) имеет размерность два, или 6НС = —2. Поскольку взаимодействия с размерностью меньше двух, или бкч ^ —2, могут быть только вида (а2 + л2) или (о2 — л2) (линейные по полям члены исключаются благодаря симметрии по отношению к отражениям), то перенормируемость вновь сохраняется.

Спонтанное нарушение симметрии, очевидно, принадлежит к числу мягких, поскольку сдвиг полей меняет только члены размерности меньше четырех. Замечательным обстоятельством является то, что эти нарушающие симметрию члены не только не индуцируют появление асимметричных членов с размерностью, большей или равной четырем, но и члены низшей размерности сохраняют алгебраические соотношения, присущие исходной теории. Таким образом, процесс перенормировки не вносит дополнительного нарушения симметрии в том смысле, что симметричных контрчленов достаточно, чтобы устранить из теории бесконечности, независимо от того, как реализуется симметрия: «обычным» образом или согласно Голдстоуну.

6.4. ЭФФЕКТИВНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ

И СПОНТАННОЕ НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ, ИНДУЦИРОВАННОЕ РАДИАЦИОННЫМИ ПОПРАВКАМИ

В приведенных выше рассуждениях о спонтанном нарушении симметрии (СНС) в теории поля мы использовали потенциальную часть классического лагранжиана, чтобы решить в

каждом порядке теории возмущений, что является истинным вакуумом. Нам приходилось производить сдвиг поля в каждом порядке (см. вычисления в разд. 6.3). Требуется более систематический метод анализа СНС, который позволил бы рассматривать сразу все возможные вакуумы и вычислять поправки высших порядков, прежде чем решить, какой из вакуумов в итоге выбирает теория. Таким формализмом является метод эффективного потенциала [195, 229, 350, 351], а соответствующей аппроксимационной схемой служит петлевое разложение [300]. Здесь мы следуем изложению Коулмена и Вайнберга [97].

Метод эффективного потенциала

Чтобы описать этот подход в рамках формализма функционального интегрирования, рассмотрим сначала простой случай одного скалярного поля. Производящий функционал для функций Грина дается выражением (1.74):

Г [/]= J [^]exp{z J ^х [^ (^ (х)) + / (х) ф (х)]} . (6.111)

Мы можем также рассматривать данное выражение как амплитуду перехода вакуум — вакуум в присутствии внешнего источника / (х) :

r[7] = (0|0)z.(6.112)

Когда мы разлагаем величину 1п№[7] в функциональный ряд Тейлора по степеням 7(х), коэффициенты разложения представляют собой связные функции Грина (1.76):

In Г [/] =

= ^-^-^<1^xnUM ... J^nV (6.H3)

Определим классическое поле фкл как вакуумное среднее (ВС) оператора ф в присутствии источника J (х):

ф(6Ц4)

ткл\х) 6/(x)[<0|0)j,.

Эффективное действие классического поля Г^кл) определяется функциональным преобразованием Лежандра

Г(фкл) = \nW \Д—^d'xJ(х)фкл(х\(6.115)

Из этого определения следует

Мы можем также разложить величину Г(^кл) в ряд по степеням фкл:

Г (&л) = £ 4т $ ^xi 1 • • ^Г"11 (*!’ • • • > -U фм (X]) ... фкл (х„)).

"(6.117)

Можно показать, что величина Г(п) (хь ..., хп) является суммой всех диаграмм Фейнмана с п внешними линиями. Альтернативно мы можем разложить эффективное действие Г($Кл) по степеням импульса. В конфигурационном пространстве это разложение имеет вид

Г(М = Jrf4x[-ГШ + уЯК02тл)+ -^(6.118)

Член, не содержащий производных величин И^кл), называется эффективным потенциалом. Чтобы выразить V через одночастич- но-неприводимые функции Грина, запишем сначала Г(л) в импульсном пространстве:

Г(л> (х,х„) =(2л)4 64 (^ + . .. + £„) X

уеЧ^^+'-'+^^г^1^,, ...,knY(6.119)

Подставляя это выражение в (6.117) и производя разложение по степеням kt, получаем

Xх еЦк1х1+---+кпхп) х

Х[Г(л)(0, ... , 0)^кл(х,) ... &л(х„)+ ...] =

-^/4х^{Г'л,(0,’ °)[^л«'+(6.120)

Сравнивая выражения (6.118) и (6.120), мы видим, что п-я производная величины Г(^л) совпадает с суммой всех одночастич- но-неприводимых диаграмм с п внешними линиями, несущими импульс, равный нулю:

v^=-^^4o, w™wr- (6.121)

(6.122)(6.122)Стандартные условия нормировки, существующие в теории возмущений, могут быть выражены через функции, входящие в выражение (6.118). Например, в теории Хф4 мы можем определить квадрат массы как значение обратного пропагатора при нулевом импульсе:

(6.122)

(6.122)

Г(2)(0) = -ц\

Это дает

^2=S- •(6Л23)

^кл фкл-0■

Аналогично если мы определим константу связи как значение четырехточечной функции при нулевом внешнем импульсе

Г<4)(0) = -Х,(6.124)

то

'■(6а25)

^*кл #кл-0

Стандартное условие перенормировки волновой функции принимает вид

2Ш|,кл=0=1.(6.126)

Рассмотрим теперь спонтанное нарушение симметрии в теории с некоторой внутренней симметрией. Оно имеет место, если вакуумное среднее квантованного поля ф отлично от нуля даже тогда, когда источник 7(х) обращается в нуль. На нашем языке (см. соотношения (6.114) и (6.116)) это означает, что СНС происходит, когда выполняется равенство

6Г (Фил) = 0(6127)

о*кл

при некотором ненулевом значении фкл- Более того, поскольку нас обычно интересуют случаи, когда ВС трансляционно-инвариантно, мы можем упростить (6.127) следующим образом:

= 0 при ^кл^0.(6.128)

Значение фКл, при котором достигается минимум функции Р(^кл), мы будем обозначать через <ф"). Это среднее значение поля ф в новом вакуумном состоянии.

Петлевое разложение

Для вычисления Р^кл) необходима схема приближений, которая сохраняла бы главное преимущество формализма эффективного потенциала — возможность рассматривать все вакуумы одновременно, прежде чем решить, какой из них является истинным основным состоянием. Очевидно, что обычная теория возмущений с ее разложением по степеням константы связи не подходит для этой цели, поскольку там приходится выбирать в каждом порядке истинное вакуумное состояние и производить сдвиг поля.

Вместо этого мы сформулируем здесь теорию возмущений в виде петлевого разложения, т. е. разложения по возрастаю-

шему числу независимых петель в связных диаграммах Фейнмана. Таким образом, графами низшего порядка будут борнов- ские или древесные диаграммы. Следующий порядок составляют однопетлевые диаграммы, содержащие одно интегрирование по внутреннему импульсу, и т. д. Для эффективного потенциала (6.121) каждый петлевой уровень включает бесконечное суммирование, соответствующее всем возможным внешним линиям. Обычный классический потенциал, с которым мы работали, является просто первым членом (древесные диаграммы) петлевого разложения величины И^кл). В действительности петлевое разложение можно отождествить с разложением по степеням константы Планка Й. Это можно показать следующим образом. Пусть I — число внутренних линий, а V— число вершин в данной диаграмме Фейнмана. Число независимых петель L равно числу независимых внутренних импульсов, остающихся после того, как учтен закон сохранения импульса в каждой вершине. Поскольку объединение этих законов сохранения импульса отвечает сохранению полного внешнего импульса, число независимых петель в данной диаграмме Фейнмана дается выражением

L = l-(v- 1).(6.129)

Чтобы связать L со степенью Й, нужно проследить, как входит й в стандартную процедуру квантования. Во-первых, Й входит в каноническое коммутационное соотношение

№(х, /), л (у, /)] = zW(x —у).(6.130)

Поэтому множитель Й входит в выражение для свободного пропагатора в импульсном пространстве;

<о|Г(#(,)#(0))IО> = (6._2 + „- (6-131)

Во-вторых, Й входит в выражение для оператора эволюции ехр [—lHt/h\, благодаря чему в представлении взаимодействия фигурирует оператор ехрр/Й ^ S'mt W d4x j. Отсюда следует, что в каждой вершине имеется множитель 1/й. Таким образом, в данную диаграмму Фейнмана входит величина Й в степени Р:

P=I — V = L—\.(6.132)

Следовательно, число петель и степень Й непосредственно связаны между собой. Утверждение, что петлевое разложение соответствует разложению по константе Планка, в действительности эквивалентно утверждению, что данное разложение ведется по некоторому параметру а, который является множителем при полном лагранжиане:•

(6.133)

Приведенный подсчет степеней Й (т. е. величины Р) отражает тот факт, что, в то время как каждая вершина дает множитель а-1, пропагатор дает множитель а, так как он является величиной, обратной по отношению к дифференциальному оператору, входящему в квадратичные члены в .2. Поскольку Й, или а, является множителем при полном лагранжиане, он остается неизменным при сдвигах полей и при переопределении или разбиении 2" на свободную часть и часть, соответствующую взаимодействию, связанном с такими сдвигами. Короче говоря, он позволяет вычислить потенциал К^кл) ДО того, как произведен сдвиг. Таким образом, мы имеем пертурбативную схему, подходящую для наших целей.

Отметим, что петлевое разложение представляет собой схему, которая, конечно, не хуже разложения по степеням константы связи обычной теории возмущений, поскольку петлевое разложение на каждом заданном петлевом уровне содержит разложение по константе связи как составную часть. В самом деле, если мы фиксируем число внешних линий (чего мы не делаем при вычислении К(^>Кл)), то в простом случае одной константы связи эти два разложения совпадают. Например, в теории Хф^1 (см. (2.58)) для функций Грина с Е внешними линиями имеем соотношение

41/= £4-2/, (6.134)

которое можно преобразовать в соотношение между степенью константы связи V и числом петель L, если воспользоваться выражением (6.129), чтобы исключить /:

V = ^E-L-V 1. (6.135)

Эффективный потенциал в теории Х^4

Для иллюстрации вычисления эффективного потенциала рассмотрим простой случай теории Хф4 в однопетлевом приближении. Лагранжиан имеет вид

(6.136)

гдегде^=4 w - ^ ^=- 4- ^-^=4 w - ^ ^=- 4- ^-

где

где

^=4 w - ^ ^=- 4- ^-

^=4 w - ^ ^=- 4- ^-

Мы исследуем три случая, соответствующие ц2 > 0, ц2 < 0 и [т2 = 0.

Случай ц2 > 0 (СНС отсутствует). Чтобы вычислить эффективный потенциал (6.121), необходимо произвести суммирование по всем однопетлевым диаграммам с четным числом внешних линий, обладающих нулевым импульсом (рис. 6.12).

Одночастично-неприводимая функция Грина дается формулой

г(^(о°) = г"М-4М<-^)г(^(о°) = г"М-4М<-^)&2 — Ц2 + Z8 J&2 — Ц2 + Z8 J(6.137)(6.137)

г(^(о°) = г"М-4М<-^)

г(^(о°) = г"М-4М<-^)

&2 — Ц2 + Z8 J

&2 — Ц2 + Z8 J

(6.137)

(6.137)

где Sn — симметрийный фактор:

2n2tt *2n2tt *(6.138)

2n2tt *

2n2tt *

отвечающий тому обстоятельству, что имеется (2п)! способов сопоставить 2п частиц с внешними линиями диаграммы и что перестановки любых двух внешних линий в данной вершине или

Рис. 6.12.Рис. 6.12.

Рис. 6.12.

Рис. 6.12.

отражения и повороты п вершин вдоль окружности не дают новых вкладов. Тогда эффективный потенциал, соответствующий беспетлевому и однопетлевому вкладам, имеет вид

1Л ,с d4^1 Г (Л/2)0^"I"

V (^кл) = т ^кл + If ^ + ? J (2л)4 12 2Й |_Т2 — Ц2 + Z8 J =

п = 1

1X i Г d4 Г1

= у Н^кл + ^кл + т J (2л)4 ln L 1 + й2 — ц2 + ге J •(6.139)

Интеграл расходится. Если обрезать его при некотором большом импульсе, то получим

v щ.) - 4 ^’.л+1,^+^^+^^ +

1 Г 9 Х( Р2 + А*кл/2 + ге \11

+ "64^1^ + VW [nV A22j‘(6.140)

Появление выражения ц2 + A.1^^ связано с суммированием:

—*1— а<аз !г =!

(6.141)

е. член X^J’Z фактически является массовой вставкой (в этой связи см. соотношение (6.147)).

Чтобы устранить зависимость от параметра обрезания, введем контрчлены, которые имеют ту же структуру, что и исходный потенциал:

^чш=4^+4^л’<6-142>

так что перенормированный эффективный потенциал, определяемый выражением

Vr (W = V (^кл) 4- Кч (&J,(6.143)

конечен и не зависит от параметра обрезания. Коэффициенты А и В в (6.142) можно определить из нормировочных условий (6.123) — (6.126). Мы получаем

V (ф +^ф> + ^ГД-Д#Д1П(е1±)^М- ^г\'кл12^ ' кл ж 4| ткл ж 64л2 L\^2 'кл/ \ ц2 /

<6-|44>

Мы видим, что поведение К^кл) при больших значениях фкл изменяется за счет радиационных поправок.

аб

Рис. 6.13.

Случай р2 < 0 (.имеется СНС). Для иллюстрации мы произведем здесь другое разбиение лагранжиана

3? =^(д^?-С(ФУ(6.145)

где

(7№=4^2+^г^4,(6.146)

и будем рассматривать U (ф') как возмущение. Имеются две вершины ц2 и М^/З, которые показаны на рис. 6.13, а. Их сумма равна второй производной и"(ф), которая совпадает с квадратом массы скалярной частицы при ф = <^>. Мы будем использовать обозначение

т^ = ^А-^Хф\(6.147)

Эффективный потенциал, вычисленный с помощью суммирования диаграмм, приведенных на рис. 6.13,6, с безмассовым пропагатором и вершинами т2(^>), имеет вид

п=\

= у I L^t + "41" ^1л *Г "2 ( (2л)4 м[1 TFTTT1 =

-Д^. + |^л + -tS^I'-^+.-.I. (в-148»

Мы видим, что с точностью до несущественной константы это тот же результат, что и в первом случае, где ц2 > 0. Таким образом, если мы выберем то же нормировочное условие, что и в первом случае, то придем к тому же перенормированному потенциалу (6.144). В данном случае величина ц2 имеет другой физический смысл и не является массой частицы в нулевом приближении. Тем не менее это конечная величина, параметризующая теорию.

Вычисления в первом и втором случаях иллюстрируют преимущество рассматриваемого пертурбативного подхода: один и тот же результат можно получить независимо от того, имеет место СНС или нет, — не надо производить заранее сдвиг поля. Кроме того, этот подход нечувствителен к тому, каким способом мы разбиваем лагранжиан — как в формуле (6.136) или как в (6.145). Более важным обстоятельством является то, что даже при СНС контрчлены остаются теми же, что и в симметричной теории. Иными словами, ультрафиолетовые расходимости не нарушают симметрию лагранжиана, даже если вакуум ее нарушает. Здесь находит отражение тот факт, что спонтанное нарушение симметрии возникает благодаря отличному от нуля вакуумному среднему <ф>, которое имеет размерность массы, а конечные массы не влияют на ультрафиолетовые расходимости.

Случай ц2 = 0 (СНС возникает благодаря радиационным поправкам^. В этом случае величина К(^>) мало отличается от постоянной в окрестности значения ф = 0, и обычная процедура, основанная на использовании классического потенциала, не является адекватным методом решения вопроса о том, индуцируется СНС или нет. Чтобы уяснить себе картину реализации симметрии, надо перейти к высшим порядкам теории. Коулмен и Вайнберг [97] впервые отметили это интересное явление — возбуждение СНС радиационными поправками. Из-за инфракрасных расходимостей мы не можем перейти к пределу ц2~>0 в выражении (6.144). Чтобы обойти эту трудность, выберем для константы связи нормировочное условие, отличное от (6.125). Вместо (6.125) при фм = 0 положим

=’<6-149>

где М — некоторый произвольный параметр размерности массы. Эффективный потенциал при ц <S М принимает теперь вид

,1 я , , л Y, Г ^'+^кл/21

- Т w„ - ^ V«. + 4 У^ In (^г)}.(6.150)

Это выражение при ц2 = 0 имеет предел

\1,^0клГ,*кл25 1/Й1С1Х

V (ф \ = -—М>А 4- — ,„ , I 111—гт,(6.151)

гркл! 4! гкл 1 256л2 L М26 J’

Поскольку второй член в (6.151) отрицателен при малых фм, он приводит к тому, что минимум нулевого порядка, расположенный в нуле, превращается в локальный максимум и возникает новый минимум в некоторой точке, отличной от нуля. Иными словами, однопетлевая поправка явилась причиной СНС. Но этот вывод не является безоговорочным, поскольку новый минимум локализован в точке, определяемой равенством

А1п^ = -^-л2 + О(А).(6.152)

Тот факт, что величина А 1п (<^>>2/Л42) больше единицы (т. е. петлевой вклад больше вклада от древесных диаграмм), означает, что новый минимум лежит вне области применимости однопетлевого приближения. В данной простой теории с одной константой связи такой результат неизбежен. Поскольку мы хотим, чтобы однопетлевой вклад был сравним с вкладом древесных диаграмм, величина А 1п<^>)2 должна быть большой, но А — единственный параметр теории. Это означает, что для того, чтобы избежать этой трудности, следует рассмотреть теорию с более чем одной связью

Безмассовая скалярная КЭД (размерная трансмутация)

Лагранжиан имеет вид

^ = - т F^ + Т Н^ - ^) ф |2 - A- ОТ)2;(6.153)

здесь Дц — фотонное поле, причем Fuv = <5UXV — <ЛЛЦ, а ф— комплексное скалярное поле:

^ = ^1 + ^2,(6.154)

где ф1, г вещественны. Мы имеем теперь две константы связи А и е и можем построить малый параметр разложения.

Вычисление заметно упрощается в калибровке Ландау, где фотонный пропагатор имеет вид

W = - i У^УУ.(6.155)

Поскольку мы всегда считаем, что внешние импульсы равны нулю, и поскольку /гчДцу(&) = 0, все графы типа показанного на рис. 6.14 не дают вклада. Заметим также, что эффективный потенциал может зависеть только от величины Ф2КЛ = ф*кл фкл = = ф2 + ф2. Нам необходимо вычислить только диаграммы, • 1кл *кл

имеющие внешние линии, отвечающие полю Ф1", имеются три основных класса графов с различными частицами, пробегающими по петле (рис. 6.15). Таким образом, получаем

V (ti - 4Г ^1. + да Кт) [1+(т)J + 34 х

(6.156)(6.156)

(6.156)

(6.156)

Вычисление полностью аналогично предыдущему случаю. Необходимо только заметить, что константа ^>^|-связи составляет 1/3 константы ^J-связи,так как виковские спаривания различаются между собой, а дополнительный множитель 3 в

0202ААРис. 6.15.Рис. 6.15.

02

02

А

А

Рис. 6.15.

Рис. 6.15.

фотонной петле возникает в результате взятия следа фотонного пропагатора в калибровке Ландау. Если предположить, что А порядка е4, то можно пренебречь членом, пропорциональным А2, в выражении (6.156). Поскольку М— произвольная величина, примем, что она определяет положение нового минимума, М = = <ф'>. Эффективный потенциал принимает тогда вид

1Зе4 / Ф2 25 \

V (ф— А4 (in—£5- —— I.(6.157)

\'кл/4! 'кл । 64л2 ' кл \ ^фу 6 /'’

Мы имеем также соотношение

о=г«#»=(4

или

А = ^е4.(6.158)

Удивительно, что существует соотношение, связывающее между собой две независимые константы связи. Это можно понять следующим образом. Сначала мы имели два безразмерных параметра е и А. В результате мы получили также два параметра е и <</>>. Иными словами, мы заменили безразмерный параметр А на размерный параметр <0>. Это явление было названо размерной трансмутацией [97]; оно присуще любой теории, в которой нет масштаба размерности массы. Изменение М всегда требует нового определения константы связи. С учетом соотношения ^6.158) для потенциала (6.157) можно записать более простое

выражение

v (К,) = да Л, In (^--4).(6.159>

которое имеет минимум при фКл = (ф), и симметрия спонтанно нарушена. В данном случае петлевое разложение применимо, поскольку вклад однопетлевого приближения может быть сделан меньшим, чем вклад древесного приближения. Кстати, поскольку масса «фотона» после СНС равна mD = е<^>>, мы можем использовать обозначение

тс^ф>) = еф(6.160)

и записать (6.157) в виде

V \(Фкл) / Фкл *п । п । х

64л22/'(6.161)

Полезно сравнить это выражение с выражением (6.148) для скалярной петли.

Заметим также, что если в теорию входят фермионы, то кроме скалярных и векторных петель имеются также фермионные петли. Мы можем вычислить их вклад аналогичным способом. Если воспользоваться тем же методом, что и в рассмотренном выше втором случае, и работать с безмассовыми пропагаторами, то мы получим вершину общего вида тг(^>) = = т + Иф, где т — масса голого фермиона, a h — константа взаимодействия Юкавы. Поскольку след произведения нечетного числа у-матриц Дирака равен нулю, необходимо иметь четное число фермионных пропагаторов. При этом можно сгруппировать члены следующим образом:

1 • тАФ^ТтА^А • • • = • • • ~4 ^^ 1 1 1 •(6.162)

f й f йк2 '

Тогда вычисления становятся такими же, как в скалярном случае, за одним важным исключением: общим знаком минус при интеграле вдоль петли. Мы имеем следующий вклад от фермионной петли:

4Г Ф21

6к №л) = - да (ФКД) [in + ... J .(6.163)

Множитель 4 возник в результате взятия следа матриц Дирака. Таким образом, в теории, содержащей векторные, скалярные и фермионные петли, мы можем объединить выражения (6.161), (6.148) и (6.163) и получить однопетлевой вклад в виде

1Ф2

«Г W J = да [3mJ №J + ^ у„) - to; (UI in V + ■ ■ ■ •

{6.164)

Глава 7

ПАРТОННАЯ МОДЕЛЬ И СКЕЙЛИНГ

В процессах лептон-адронного рассеяния при высоких энергиях и больших передачах импульса имеет место замечательное явление, известное как бьёркеновский скейлинг. Этот пример корреляции между энергией и угловым распределением рассеянных лептонов в рассматриваемых глубоконеупругих процессах находит простое объяснение в рамках партонной модели Фейнмана 1137]. На малых расстояниях адроны можно рассматривать как составные частицы, построенные из (почти свободных) точечноподобных составляющих, обладающих спином 1/2, так называемых партонов. Естественно отождествить их с кварками. После описания кварк-партонной модели и некоторых ее приложений в первых двух разделах главы мы излагаем затем формальный теоретико-полевой аппарат, необходимый для описания поведения на малых расстояниях. Это операторное разложение Вильсона [427] с коэффициентами, удовлетворяющими ренормгрупповым уравнениям. Таким образом, закладывается основа для создания полевой теории сильных взаимодействий, в которой роль фундаментальных полей материи играют кварки.

ПАРТОННАЯ МОДЕЛЬ ГЛУБОКОНЕУПРУГОГО ЛЕПТОН-АДРОННОГО РАССЕЯНИЯ

Кинематика и бьёркеновский скейлинг

Лептоны, участвующие в глубоконеупругих процессах, являются либо заряженными лептонами (электронами или мюонами), либо нейтрино, которые рассеиваются на нуклонах мишени посредством электромагнитных или слабых взаимодействий соответственно.

Электрон-нуклонный случай. Импульсы частиц, участвующих в реакции

e^HNW^e<k'HX(pny(7.1)

показаны на рис. 7.1, где X—некоторое адронное конечное состояние с полным импульсом рп.

Определим кинематические переменные соотношениями

q = k — k', v — pq/M, W2 = Рп= кР "V рУ- (7.2)

В лабораторной системе имеем

^=(^,0,0,0), ^ = (£k), <=<Е', к');(7.3)

величина v равна потере энергии лептона

v = Е — Е',(7.4)

и, если пренебречь массой лептона mi, то справедливо соотношение

q2 — kk — k'y = — ^ЕЕ' sin2-|-<0, Q2—-?2,(7.5)

где 6—угол рассеяния лептона. Амплитуда рассеяния дается выражением

Тп = е2й кк', К) ^и kk, X) -^ (п 1/и" (0) | р, о),(7.6)

где /цМ — адронный электромагнитный ток. Дифференциальное сечение рассеяния для неполяризованных частиц имеет вид

111 dW Д- Г d3p, T

don =37- ГТ 5 X

\v\ 2М 2Е (2л)32^„[ (2n)32/7i0 J

х 1 £ I гл р кМ пр-У к-к'- р„У (7.7) а, X. X'

где рп — 2"=i Pi- Если просуммировать по всем возможным конечным адронным состояниям (это означает, что они не детектируются), то мы получим инклюзивное сечение рассеяния

где а = е2/4л—постоянная тонкой структуры. Лептонный тензор имеет вид

^v = Д tr (к\Д^ = 2 (к^ + к'^ + -^- guv) ,(7.9)

а адронный тензор дается выражением

^uv (Р- Р) = 4М Е Е S П [ (2л)32р;о ] *

Х(р, о | /цм (0) | п ) (п | /Г (°) I р, о ) (2л)3 64 (pn — p — q) =

= 15йЕ$^е^’ <^\^4xU^W\p, а).(7.10)

а

Иногда удобно записывать его в виде коммутатора. Заметим, что

"IF6^ ^тДОПуДхПР, а) =

= Е$ ^7е^Рп-р+^Чр, о\^(0)\п)(п\^(0)\р, а) =

= £(2л)3М(рп-р + р)(р, oU^OHnXnU^OHp, о).(7.11)

В лабораторной системе qQ = v > 0 нет промежуточных состояний |п> с энергией Еп = М — v ^ М, которые могли бы давать вклад; таким образом, выписанное выше выражение обращается в нуль. Следовательно, мы можем записать

^v(p, q) =

= ^гЕ^^<^Лм(0)]|р, а).(7.12)

*T2FjJ

а

Из закона сохранения тока д'1]'” = 0 следует

Я*^ (фЛ^О, или

рМ^ = р^^ = 0.(7.13)

Из соотношения (7.13) и того факта, что №uv является лорен- цевым тензором второго ранга, зависящим от импульсов р^ и q^, можно вывести для него ковариантное разложение вида ^UV (Р- Р) = [- ^1 (g.v - ^) +

4-^^-^-q^^-^-q^Y (7J4)

где l^i,2 — лоренц-инвариантные структурные функции нуклона мишени, зависящие от инвариантных переменных q1 и v (см. (7.2) и (7.5)). Мы можем записать выражение (7.8) в виде

^“ЩЩЩГ^'^"^*^^-^)-<7J5>

Измерение инклюзивного сечения дает информацию о структурных функциях U7i, 2 (</2, v), которые являются величинами, связанными с сильными взаимодействиями. Они характеризуют отклик нуклона мишени на электромагнитное зондирование (а следовательно, его структуру).

Чтобы получить некоторое представление о структурных функциях, рассмотрим сначала частный случай, когда конечное адронное состояние Х^р,,) также является нуклоном. Матричный элемент электромагнитного тока между протонными или нейтронными состояниями может быть записан в виде

< N (р') | J™ (0) \N^) = u (р') [у/, V) + io^F2 ^М^ и <р\

(7-16)

где q = р—р'. Величины Т1г2(<72) являются лоренц-инвариант- ными формфакторами. Для протона величины F^O) = 1, /^ (0) = = 1,79 (нуклонные магнетоны) равны полному заряду и аномальному магнитному моменту соответственно. Для нейтрона /г?(0) = 0 и F2(0)=—1,91 соответственно. Проверим, что из соотношения Fpv^=l следует значение полного заряда протона, равное -)-1. Для этого заметим, что если оператор заряда Q действует по формуле

QIP) = IP),(7.17)

то справедливо соотношение

< р' IQ IР) = (Р' I Р ) = 2Е (2л)3 д3 (р' - р).(7.18)

С другой стороны, из (7.16) следует

< Р' I QI Р) =\d3x (р' | /оэм (х) | р) = daxel И 1 (р' | J^ (0) | р) =

= (2л)3 д3 (р' - р) й (р') уо и (р) Fv (0) = 2£ (2л)3 d3 (р' - р) Fv (0).

(7.19)

Таким образом, из (7.17) следует, что /4(0)=!, что и требовалось доказать. В выражении (7.10) можно непосредственно перейти к упругому пределу р2 = М2; при этом мы получим

ТГ № v) - 6 V + 2«v)^ Й

тг№ v) = 6(,’ + 2Mv) [Й№ - w S к2)].

где величины

GB^ = FV^W SpF^.

GMlq^F^ + F^(7'21)

являются электрическим и магнитным формфакторами соответственно. Тогда сечение упругого электрон-нуклонного рассеяния

равно

daynp a s/

dQ — 4£2

['^-41-4' * *

Таким образом, измерение дифференциального сечения упругого ^-рассеяния дает информацию об электрическом и магнитном формфакторах. Экспериментальные данные для протона описываются следующими эмпирическими выражениями для GB и GM (см. обзор [382]):

GE (<?2) ~ -М — ~ -:2;п-,(7.23)

/ Хр (1 — ^2/0,7 (Гэв)2)2 ’''

где хр = 2,79 — магнитный момент протона. Если бы протон был точечноподобной (бесструктурной) частицей, мы имели бы Gм (.q2) = GЕ(д2) = L Таким образом, нетривиальная зависимость от q2 в (7.23) указывает на наличие структуры у протона. При этом упругое сечение быстро убывает, поскольку Ge ~ ~ Gm ~ q-4.

Если бы сечения неупругого рассеяния, соответствующие конечным состояниям, отличным от нуклона, вели себя подобно сечению упругого рассеяния, они должны были бы быстро убывать при больших q2. Неожиданно оказалось, что экспериментально измеренные сечения в области больших инвариантных масс в конечном состоянии W ^ М обнаруживают гораздо более умеренную зависимость от q2 (см. обзор [313]). Это наводит на мысль, что внутри нуклона должны существовать некоторые точечноподобные составляющие. Данная ситуация во многом напоминает эксперименты Резерфорда, когда результаты экспериментов по рассеянию a-частиц на большие углы приводили к заключению, что заряд атома мишени сконцентрирован в «точечноподобном ядре». Указанные бесструктурные частицы внутри нуклона назвали партонами. Мы последовательно изучим партонную модель после того, как будет дано более подробное описание глубоконеупругого рассеяния на основе бьёр- кеновского скейлинга [47].

Определим безразмерную скейлинговую переменную в виде х = — ?2 = - ^2(7 24)

2Mv Ш<

Область изменения х

0 ^ х ^ 1(7.25)

определяется тем, что инвариантная масса ненаблюдаемого конечного адронного состояния больше массы нуклона:

W2 = (р + дУ = д2 + 2Mv + М2 ^ М2.(7.26)

Отметим, что упругое рассеяние соответствует значению х = 1. Определим также переменную

У = ^=^-^.(7.27)

которая представляет собой долю первоначальной энергии, переданную адронам. Поскольку 0 Е' Е, переменная у меняется в пределах

(7.28)

Удобно выразить сечение рассеяния через переменные х и у. Используя соотношение , , Е' dQ dE' dxdy = —E-—z—тт-(/.29)

и определения

MWxkg\ ^ = gvu, </W2).

vlT2 (<?2, v) = G2 (х, д2,М2у(7'30)

мы можем записать (7.15) в виде

"dxdy = МЕх2у2 [x^2Gi + О — — "zT^) Ga]' (7.31)

Бьёркеновский скейлинг состоит в утверждении, что в пределе больших Q2 при фиксированном х величины Gi являются функциями только переменной х. Таким образом,

Ит оДх,^Л=ЕАх\(7.32)

х фиксировано

Безразмерные структурные функции становятся независимыми от какого-либо массового масштаба. Величины Е^х) называют скейлинговыми функциями. Экспериментально бьёркеновский скейлинг в ер-рассеянии был, по-видимому, установлен при довольно низких значениях Q2 2 (ГэВ)2.

Нейтрино-нуклонное рассеяние. Перейдем теперь к процессу ^^kHN^^r^HX^,(7.33)

который идет через заряженный слабый ток. Поскольку здесь используется та же основная идея, что и выше при описании электромагнитного /TV-рассеяния, и поскольку данная реакция уже рассматривалась при обсуждении правила сумм Адлера в алгебре токов в разд. 5.2, мы приведем здесь лишь сводку результатов. Предположим, что взаимодействие ток — ток описы-

вается слабым эффективным лагранжианом

^эфф = — -^Г, Г' + эрмит. сопр.,(7.34)

где Gf — константа Ферми. Слабый (заряженный) ток Jx можно разделить на лептонную и адронную части:

7х = 7? + Д.(7.35)

Для лептонного слабого тока имеется явное выражение

Л = veYX(l ~ Ys)e + v/O — Vs)И + • •. .(7.36)

Сечение рассеяния нейтрино и антинейтрино можно записать в виде

Г АА

(7.37)

Г?2 Г А -А -

F n'2 I о „:„2 iiyfv) । „„„2 нуМ । dadE7-L2sm у +cos т +

^^llsin2^^ (7.з8) где W^ — структурные функции, определяемые соотношением w^ = ^yV^eiqx<P’ °1[-М^ Л«(0)]|р, g) =

= - ^ga6 + W^ PaP^M2 - IW^ EaWP^q^M2 +

+ ^V)^L + ГГ* ^ + Р^Ж + iW^ Ip^ - psqaW.

(7.39)

Величины Я^можно получить из (7.39), совершая замену Jha-^Jha (см. также разд. 5.2). Определим также безразмерные структурные функции

MW^4q\ ^) = GV4x, qW\

vW^ {q2, v) = G^ (x, q2/M2\(7.40)

W^4q\ v) = G^U, q2(M2\

Для этих структурных функций также выполняется бьёркенов- ский скейлинг

lim G^ (х, qllM2) = F^ (х).(7.41)

I <7! I -> “>

х фиксирована

Часто удобно пользоваться структурными функциями с определенной спиральностью. Их можно получить следующим образом. В лабораторной системе выберем ось z так, чтобы импульсы ру и ру имели вид

Ру = (М, 0, 0, 0), Ру = (90, 0, 0, р^*(7.42)

При этом вектор продольной поляризации имеет вид

e(S) = -^r((73, о, 0, <70).(7.43)

Соответствующая структурная функция равна

Ws (<72, v) = ^* w^4 = _ Ц7, - ^- U72 = (1 - У U72 - Wp

(7.44)

где мы опустили индекс, обозначающий нейтрино (v). Векторы правой и левой поперечной поляризации имеют вид

6^ = ^ (°, 1, Л °),(7.45)

-^-^(О, 1, -i, 0),(7.46)

а соответствующие им структурные функции равны

^=IFi +^(v2-?2)1'2^,

(7.47) WL = Wv—^^-pTwa.

Заметим, что эти структурные функции с определенными спиральностями Wl, W R и Ws должны быть положительными.

В пределе, когда выполняется скейлинг, следующие спиральные структурные функции зависят только от одной переменной х:

2MWS^FS=^F2-2FX,

MWL^FL = Fx-^Fa,(7.48)

mwr^fr = fx-v^-f„

Дифференциальное сечение можно записать в виде

= G2F-^- [(!-</) Fs1 + ^ + (1 - У)2 ^1, (7.49)

^1 = С2^Д[(1 _у^ + ^_ууР^ + р^\. (7.50)

Из этих соотношений следует, что полные сечения линейно растут с энергией. (Такое поведение типично также для рассея-

ния нейтрино на точечном лептоне.) Тот факт, что данное поведение наблюдается экспериментально, служит дополнительным подтверждением существования точечноподобных составляющих нуклона.

Партонная модель

Вычислим теперь лептон-нуклонные структурные функции в партонной модели [52, 137], которая является субъядерным вариантом обычного импульсного приближения в теории высокоэнергетического рассеяния составных частиц со слабосвязанными составляющими. Процесс инклюзивного рассеяния,

Рис. 7.2. Неупругое рассеяние лептонов на нуклонах как некогерентное упру-гое рассеяние на партонах.

рассматриваемого как некогерентное упругое рассеяние на точечноподобных составляющих нуклона — партонах, показан на рис. 7.2. Партоны в конечном состоянии далее рекомбинируют (фрагментируют) в адронные состояния. Таким образом, мы делаем следующие физические предположения: 1) в течение времени взаимодействия тока и партона мы можем не принимать во внимание взаимодействия между самими партонами, и 2) взаимодействия в конечном состоянии (необходимые для фрагментации в адроны) происходят в течение такого относительно большого промежутка времени, что их можно не учитывать при вычислении инклюзивных сечений. Более детальное изложение дано в книге [89].

Конкретно предполагается, что каждый из партонов со спином 1/2 несет часть первоначального импульса нуклона, равную ^р, где 0^^ 1, т. е. мы пренебрегаем любой составляющей импульса партона, поперечной по отношению к импульсу нуклона. Следовательно, вклад от такого партона со спином 1/2 в адронный тензор (7.10) мы можем сразу записать в виде

(У = 4рГ £ (2л)з/72 ' X спини

X (1р, ОI ^ (0) | р', o') (р', о' I 7™ (0) I ^р, о) (2л)3 d4 (р' _^p_q) = = ipr Xй ^р) уц“ ^ “(р') ^и ^ 6 <Ро - ^0 - ?о)/2^- (7.51)

Множитель £ в знаменателе появляется вследствие замены относительного импульса р на ^р. Дельта-функцию можно записать в виде

(Ро - ^о - ч^М =6 М) W - (^о + ^о)2] =

= 6 ^ 6 [/2 - ^Р + 9)2] = 6 (^о + q^ д ^1 4- q^ =

= 0(^о + <7о)-Ц^-(7.52)

Для суммы по спиновым состояниям имеем выражение

т 2 “ ^у^м ^р+^й ^р+^ ^и ^=4tr ^ ^+^ Yvi=

= 2Е [рц 0>р + qK + ^р + qk Pv-p (£р + q) ^1 =

= ша2 kPvPW - 2Mv^gtlv + ... ,(7.53)

где мы пренебрегли массой партона. Следовательно, партонный тензор (7.51) имеет вид

К^ ® = 6 (6 - х) (4 ^ - ^ ^v + ■ • -) •(7.54)

Пусть fa^d^, — число партонов с импульсами, значения которых заключены в промежутке между £ и £ + dg (умноженное на квадрат заряда). Тогда мы можем выразить адронный тензор через интеграл от К^аУ-

f а) к^ а) са=^v +....(7.55)

о

При этом вследствие присутствия дельта-функции, определяющей массовую поверхность конечного партона, структурная функция зависит только от величины х = —</2/2Mv:

Wl^F,(x) = yf(x),(7.56)

^^Р^х^хЦх).(7.57)

Таким образом, скейлинговые функции (7.32) определяют распределение импульса партона в нуклоне мишени.

Заметим также, что из (7.56) и (7.57) следует равенство

2xFi (х) = F2 (х),(7.58)

которое известно как соотношение Каллана — Гросса [72]. Оно является прямым следствием предположения, что спин партона равен 1/2. Если бы мы использовали партоны со спином 0, то получили бы выражение

T^v ~ < хр I /ц I хр + q) < хр + q 17V | хр) ~ <2хр + q^ <2хр + q\.

Поскольку здесь нет члена, пропорционального gp^, мы полу

чаемчаемГДх^О.ГДх^О.(7.59)(7.59)

чаем

чаем

ГДх^О.

ГДх^О.

(7.59)

(7.59)

Существует простая интерпретация соотношений (7.58) и (7.59) в терминах спиральных структурных функций. Если определить векторы поляризации фотона как в (7.43) и (7.46),. то мы придем к равенствам (см. (7.48))

Fs = ~ F2 — 2FV,(7.60)

FT = FL + FR = 2FV(7.61)

Таким образом, соотношения (7.58) и (7.59) можно записать в виде

Fs — 0 для партонов со спином 1/2,(7.62)

FT = 0 для партонов со спином 0.(7.63)

Убедимся в том, что эти соотношения являются следствием сохранения углового момента. Для этого перейдем к брейтовской системе отсчета, в которой импульс партона при столкновении с виртуальным фотоном только изменяет направление на противоположное, но не меняет своей величины. Тогда получим:

<7ц = (0, 0, 0, — 2хр\

хр„ = (хр, 0, 0, хр\(7.64)

Р'№ = ^ХР- °’ °’ — xpV

Если партон имеет нулевой спин, то вклад может давать только виртуальный фотон с нулевой спиральностью (es), в то время как для состояний (е£, е^) со спиральностью ±1 составляющая углового момента, параллельная направлению движения, не сохраняется. С другой стороны, для партона со спином 1/2 (с пренебрежимо малой массой) компонента спина также меняет направление на противоположное при столкновении, поэтому необходимо, чтобы виртуальный фотон находился в состоянии со спиральностью + 1; следовательно, Fs = 0. Соотношения (7.58) или (7.62) достаточно хорошо подтверждаются экспериментами в области скейлинга, и мы можем заключить, что нуклоны действительно содержат точечноподобные составляющие со спином 1/2.

ПРАВИЛА СУММ И ПРИЛОЖЕНИЯ

КВАРК-ПАРТОННОЙ МОДЕЛИ

Эти заряженные партоны со спином 1/2 естественно отождествить с кварками, которые были впервые введены для расчета спектроскопических свойств адронов. В конечном счете мы

разовьем полевую теорию сильных взаимодействий — квантовую хромодинамику (КХД), которая является неабелевым обобщением хорошо известной квантовой электродинамики (КЭД). В КХД кварки, подобно электронам в КЭД, выступают в качестве основных полей материи. При этом взаимодействия переносятся электрически нейтральными векторными полями — глюонами аналогично тому, как фотоны переносят электромагнитное взаимодействие между электронами. Основываясь на этой картине, мы можем также качественно представить себе вид партонной функции распределения Цх). Из эксперимента следует, что график этой функции имеет вид, показанный на рис. 7.3. Чтобы показать это, мы будем следовать изложению Клоуза [89] и сначала рассмотрим простую модель нуклона, ■состоящего из трех свободных кварков (рис. 7.4), для которого партонная функция распределения является практически дельта-функцией, сосредоточенной в точке х = 1/3, т. е. f (х) ~

Рис. 7.6.Рис. 7.6.

Рис. 7.6.

Рис. 7.6.

~6(х —1/3). Включим взаимодействие кварков с глюонами. Тогда данное распределение будет сглажено вследствие обмена глюонами между кварками (рис. 7.5). Далее, так же как в случае КЭД, где виртуальный фотон (спектр импульса которого dk/k соответствует тормозному излучению) может излучать пары е+е”, глюоны (излучаемые с вероятностью ~dx]x) могут рождать пары qq. Эти процессы внутренней конверсии и тормозного излучения создают «море qq» при малых х, что приводит к окончательной форме распределения, показанной на рис. 7.6.

Мы хотим выяснить, согласуются ли данные по лептон-ну- клонному рассеянию при высоких энергиях с теми значениями квантовых чисел, которые получены для кварков из спектроскопической феноменологии. В рамках модели, включающей только легкие кварки и, d и s, адронный электромагнитный ток имеет следующий явный вид:

/Г = ^йу^и — у^Уц d — 4 syus,(7.65)

а адронный (заряженный) ток ниже порога рождения очарованных частиц имеет вид

/% = йуц (1 — у3) (d cos 0С + s sin 6С).(7.66)

Мы будем работать в приближении, в котором угол Кабиббо равен нулю (0с ~ 0); следовательно,

l^ll-^d.(7.67)

Мы используем здесь символы кварков для обозначения полевых операторов соответствующих частиц. Но в дальнейшем мы будем использовать эти символы для обозначения кварк-пар- тонных функций распределения. Если факторизовать квадрат электрического заряда, то, согласно соотношениям (7.56) и (7.61), будем иметь

Ftp (х) = fP (х) = ^(«г + йр) + ±-(dp + dp) + ^(sp + sp), (7.68) Ft (x) = f n (x) = 4 (u„ + йп) + ±(dn + dn) + ±(sn + sn), (7.69) где qN^x) — вероятность обнаружить в нуклоне мишени М партон в состоянии с долей х продольного импульса и с квантовыми числами кварка q. Величины Ftp, Ft1 ограничены значениями квантовых чисел нуклона. Например:

изоспин

1

4 $ ( [uP W - йр (х)] - \dp (х) - dp (х)] } dx = 4,(7.70)

о

странность

$[sp(x)-sp(x)]dx = 0,(7.71)

заряд

^ у кр (х) - йр (х)] dx — 4 Vdp М — dp (х)] dx —

— $ 4 [sp w - ^р <x>idx=1 • о

Используя изоспиновую симметрию (т. е. инвариантность относительно замен р -<->- п и и ■<-> d), мы будем иметь

ир (х) = dn (х) = и (х),

dp(x) = un(x) = d(x),(7.72)

Sp (х) = sn (х) = S (х).

Таким образом, выражения (7.68) и (7.69) можно записать в виде

Ftp (х) = fp (х) = 4 ^ + и) + 4 {d + d) + 1 (s + s).(7.73)

^(x) = fn (x) = ^{d + Я) + ^u + u) + 4 (s + 5).(7.74)

Отношение протонной структурной функции к нейтронной равно

(и + й) + 4 (d + d) + (s + s)(и + й) + 4 (d + d) + (s + s)FeTp (х) 4 (и + й) + (d + d) + (s + s)

(и + й) + 4 (d + d) + (s + s)

(и + й) + 4 (d + d) + (s + s)

положительны, имеют местоположительны, имеют местоограниченияограниченияFpn (х)

положительны, имеют место

положительны, имеют место

ограничения

ограничения

Поскольку все ^(х) [248, 249]

(7.76)(7.76)1F^ (х)

(7.76)

(7.76)

—4,

с экспериментальными данными.с экспериментальными данными.4F^W

с экспериментальными данными.

с экспериментальными данными.

которые согласуются

Кроме того, анализ кварк-партонной модели, проведенный в начале настоящего раздела, наводит на мысль (см., например, [248, 249]), что кварковую функцию распределения целесообразно разделить на две части, соответствующие валентным и морским кваркам:

^(^) = ^ЦМ +^(х). (7.77) Присутствие валентных кварков связано с исходной кварковой моделью. Так, в состав протонов и нейтронов входят валентные кварки ^uud) и (udd) соответственно. Морские кварки соответствуют парам кварков, рождаемым глюонами: они симмет-

ричны по отношению к ароматической группе ЗЩЗ) и, как показывают предшествующие рассуждения, должны быть сосредоточены в области малых х. Для протонной мишени имеем

uv (х) = 2d0 (х),

sD (х) = uD (х) = du (х} = sD (х) = 0,(7.78)

Us (х) = й$ (х) = ds (х) = ds (х) = ss (х) = Ss (х) = G (х).

Таким образом, выражения (7.73) и (7.74) можно записать в виде

(7.79)(7.79)РТ^ = ^и^-Цс(А

(7.79)

(7.79)

f^x^I-^xH^gw.

Разность этих величин дает распределение валентных кварков:

Ftp (х) - FT (х) = |uv (х),(7.80)

которое должно иметь пик вблизи х = 1/3 в соответствии с рис. 7.5. Кроме того, поскольку мы предполагаем, что вклад функции G (х) существен только в области х-*0, получаем

FeTp (х) _FTWFeTp (х) _FTW1 при х—>0, 3/2 при х ~> 1.1 при х—>0, 3/2 при х ~> 1.(7.81)(7.81)

FeTp (х) _

FTW

FeTp (х) _

FTW

1 при х—>0, 3/2 при х ~> 1.

1 при х—>0, 3/2 при х ~> 1.

(7.81)

(7.81)

Эти предсказания кварк-партонной модели также подтверждаются экспериментальными наблюдениями.

Для нейтрино-нуклонных структурных функций, отвечающих (7.73) и (7.74), мы приведем лишь основные результаты:

FT^ = 2d (х), ^(х) = 2й(х), FT ^ = 0, F1p^ = 2u (х), F^(x) = 2d(x), fT^-O,FT^ = 2d (х), ^(х) = 2й(х), FT ^ = 0, F1p^ = 2u (х), F^(x) = 2d(x), fT^-O,РТ^ = 2и^.fTU) = ^UY.fTW=o, FT(x) = 2d(xY FTM = 2u(xY FT(x) = 0.РТ^ = 2и^.fTU) = ^UY.fTW=o, FT(x) = 2d(xY FTM = 2u(xY FT(x) = 0.(7.82)(7.82)

FT^ = 2d (х), ^(х) = 2й(х), FT ^ = 0, F1p^ = 2u (х), F^(x) = 2d(x), fT^-O,

FT^ = 2d (х), ^(х) = 2й(х), FT ^ = 0, F1p^ = 2u (х), F^(x) = 2d(x), fT^-O,

РТ^ = 2и^.

fTU) = ^UY.

fTW=o, FT(x) = 2d(xY FTM = 2u(xY FT(x) = 0.

РТ^ = 2и^.

fTU) = ^UY.

fTW=o, FT(x) = 2d(xY FTM = 2u(xY FT(x) = 0.

(7.82)

(7.82)

Функции в правых частях этих равенств являются функциями- распределения для протонной мишени; множители 2 отражают присутствие как векторной, так и аксиально-векторной частей слабого тока. Мы можем выделить функцию распределения; странного кварка. Для этого, используя равенства F2 = x^Fl-T + Fr + Fs) и (7.82), получаем

(7.83)(7.83)FT (х) + FT (х) = 2х (и + й + d + d).

(7.83)

(7.83)

Из равенств Fi = xFT, (7.73) и (7.74) найдем

FT (х) + FT (х) = х [5 (и + й + d + d)/9 + 2 (s + s)/9J. (7.84)

Отсюда окончательно получаем

FT (х) + FT (х) - 4- [^ (х) + FT (х)] = ^ [S (х) + s (х)].(7.85)

Эта формула согласуется с экспериментальными данными в случае, когда правая часть равна нулю, за исключением области малых х (меньше 0,2). Иными словами, содержание странных кварков и антикварков в нуклонах очень мало. Кроме того, если мы предположим, что функции распределения морских кварков имеют 5(7(3)-симметрию, то вклад функций й(х) и й(х) также мал.

Ниже мы рассмотрим ряд правил сумм; их подтверждение является сильным аргументом в пользу описанной выше кварк- партонной картины.

Правило сумм Адлера

Это правило сумм выведено выше при изложении алгебры токов. В скейлинговом пределе —^2-^-оо, v—-оо и при фиксированном х соотношение (5.109) принимает следующий вид (0с = 0):

1

\^-VF?<x)-FT<x^ = 2.(7.86)

о

Мы можем получить этот результат непосредственно в рамках кварк-партонной модели. Поскольку

F2 = x(Fl-VFr-^-Fs),(7.87)

комбинация структурных функций, входящая в левую часть соотношения (7.86), может быть выражена через кварковые функции распределения с помощью (7.82):

FT (х) — FT (х) = 2х {[и (х) — й (х)] — [d (х) — d (х)]} = 4х7’3 (х),

(7.88)

где Тз — третья компонента изоспиновой плотности. Используя тот факт, что изоспин протона равен 1/2 (см. 7.70)), мы получаем снова соотношение (7.86):

1।

$ ^ [FT (х) - FT (х)] = 4 $ Т3 (х) dx = 2.(7.89)

оо

Правило сумм Гросса — Льюеллина Смита

Сумма скейлинговых функций

FT (х) + FT (х) = -2 (« (х) + d (х) - й (х) - Я (х)],(7.90)

где F3 = Fr — Fl, может быть записана в виде комбинации функций плотностей, отвечающих барионному числу и странности:

FT (х) + FT (х) = -6 [в (х) + у S (х)],(7.91)

где

В (х) = у [u (х) + d (х) + s (х) — й (х) — d (х) — s (х)], (7.92)

S(x)=-[s(x)-s(x)].(7.93)

Поскольку для протона барионное число равно 1, а странность равна нулю, мы приходим к правилу сумм Гросса — Льюеллина Смита [202]:

1

^x[r3VP(x) + r3Vrt(x)] = -6.(7.94)

о

Импульсное правило сумм

Если бы кварки переносили весь импульс нуклона мишени, то мы имели бы правило сумм

1

[u (х) + d (х) + s (х) + й (х) + а (х) + s (х)] х dx = 1.(7.95)

о

Поскольку область х « 0 дает незначительный вклад в этот интеграл, мы можем пренебречь вкладом всех морских кварков:

1

[u (х) + d (х)] х dx = 1.(7.96)

о

Выражая кварковые функции плотности в левой части этого, соотношения через измеримые структурные функции (7.84), получаем

1

J [FT (х) + FT (х)] dx = у.(7.97)

о

Аналогично

1

$ [FT (х) + FT (х)] dx = 2.(7.98)

о

Однако эксперимент дает для суммы интегралов в (7.97) приближенное значение 0,28. Это показывает, что почти 50 %.

импульса нуклона переносятся составляющими, которые не взаимодействуют ни с электромагнитным, ни со слабыми токами [277]. Это также согласуется с предсказаниями КХД-партонной модели, в которой указанные нейтральные составляющие отождествляются с глюонами.

Другие приложения кварк-партонной модели

В остающейся части данного раздела мы кратко коснемся двух других аспектов кварк-партонной модели — ее приложений к описанию процесса е+е~-аннигиляции при высоких энергиях и процесса Дрелла — Яна рождения лептонных пар в адрон- адронных столкновениях. Мы будем следовать изложению, приведенному в работах [10,89].

е+ е~"-аннигиляция

1. Процесс е+е- рр". Мы будем использовать е+е~-ан- нигиляцию в пару р+р” через однофотонное промежуточное состояние (рис. 7.7, а) в качестве «эталонной реакции» при описа

нии аннигиляции в другие конечные состояния. Полное сечение процесса е+е~->-р+р~, вычисленное в КЭД, равно

о(е+е ->р+р ) =(2щ2 + ^((7 99)

где q— импульс промежуточного фотона:

р = (р++ р_)2 = s^ 0.(7.100)

При высоких энергиях s5>m^ получаем

a(e+e-_>p+p-) = ^L.(7.101)

Тот факт, что сечение убывает как s-1, типично для аннигиляции е+е” в точечноподобные частицы.

синг-симметрии. Вычисление дает для сечения этого процесса выражение

->рр^ =

=-^-)1/2[2^GM^) + №(^)],(7.102)

04 х Ч '

где Ge(^2) и Gm(^2)— электрический и магнитный формфакторы соответственно (см. (7.21)) при ^2 ^ 0. При больших q2 Ge^2) ~ GM^q2) ~ q~. Таким образом, при высоких энергиях s^Mp сечение а(с^е"—-рр) ~ S" быстро уменьшается, что типично для аннигиляции в любое данное адронное конечное состояние, обладающее структурой.

3. Процесс е+е~—> адроны. Рассмотрим теперь инклюзивный процесс аннигиляции пары е+е- во все возможные адронные конечные состояния. В кварк-партонной модели мы предполагаем, что на первом этапе идет процесс е+е”-* q^i, а затем кварки фрагментируют в свободные адроны (рис. 7.8, а). Индекс

Данные измерении, по-видимому, подтверждают это скейлинго- вое поведение с тремя цветами (см. рис. 7.9 из обзора [131]).

Следует заметить, что имеется много других деталей в поведении е+е_-аннигиляции, которые хорошо описываются кварк- партонной моделью. Например, обнаруживается бьёркеновский скейлинг в дифференциальном сечении инклюзивной реакции е+е-^НХ (т. е. детектируется один из конечных адронов), которая связана соотношением кроссинг-симметрии с неупругим ер --> еХ-рассеянием. Кроме того, эксперимент дает веские основания считать, что конечные адроны в е+е--аннигиляции образуют струи, т. е. имеют тенденцию вылетать в направлениях, заключенных внутри конусов с малым углом раствора. В промежутке 4 ГэВ < Vs < 7,5 Гэв наблюдаются двухструйные события [213] (рис. 7.8,6), причем угловое распределение для осей струй имеет вид ~ (1 + cos2 6), где 6 — полярный угол оси струи по отношению к направлению пучка е+е-. Такое распределение характерно для конечного состояния е+е--рассеяния с точечноподобными частицами со спином 1/2. Очевидно, что это согласуется с предсказанием кварк-партонной модели с ее неявным предположением об обрезании поперечного импульса. Наконец, при еще более высоких энергиях (Vs >7,5 ГэВ), соответствующих в партонной модели КХД тормозному излучению глюонов, появляются указания на существование трехструйных событий [30, 45, 60].

Рис. 7.9. Значения R, полученные в различных экспериментах по е+е_-аннигиляции. Указаны только статистические ошибки. Приведено также значение R

предсказываемое кварк-партонной моделью; Ry = 3 /Q< =

,4—«и, 4, s, с, Ь

Процесс Дрелла — Яна

Как мы увидим в следующем разделе, можно построить более формальную схему для описания в рамках партонной модели процессов глубоконеупругого W-рассеяния и е+е_-анниги- ляции при высоких энергиях, основанную на операторном разложении на световом конусе и на малых расстояниях. Однако этот

метод неприменим к другим процессам при высоких энергиях и больших передачах импульса. Партонная формулировка может быть использована для описания процессов там, где непосредственное формальное применение операторного анализа невозможно. Наиболее важным примером является процесс Дрелла — Яна [117] (рис. 7.10, а)

/7/7-> p^p-yY,(7.107)

в котором пары |х+|х~ рождаются в адрон-адронных (обычно про- тон-протонных) столкновениях вместе с ненаблюдаемым адронным состоянием X. В рамках партонной модели естественно ожидать, что в пределе больших s = (р!-|-Р2)2-*-оо и больших значениях виртуальных фотонных масс ц2^-оо при фиксированном отношении q2/s реакция идет через аннигиляцию партона и антипартона, каждый из которых выходит из одного из исходных адронов, в массивный виртуальный фотон с последующим распадом последнего в наблюдаемую пару |х+|х_ (рис. 7.10,6). В системе центра масс, пренебрегая массами всех частиц, имеем

р^ = (р, о, 0, р), р^ = <р, о, О, — р), s = 4p2.(7.108)

Если пренебречь также массами партонов и их поперечными импульсами, то импульсы партонов запишутся в виде

k^ = xYp^, k* = x2p*,(7.109)

что приводит к следующему значению импульса фотона:

q* = ((х1 + х2) р, 0, 0, ^xv — x^pY(7.110)

Следовательно, мы имеем

^2 = 4xvx2p2 = xvx2s.(7.111)

Вероятности существования пар кварк—антикварк /-го типа с фракциями импульса %i и х2 в первоначальных протонах даются выражением

<7;(.rI)d.r1<7z(.r2)d.r2 + ^(х,)^(7.112)

Умножая это выражение на сечение основного партонного процесса q^t^- ц+ц-, равное

-^- kAiAt Ц + Р“) = -^ е^ (q-2 — x^s),(7.113)

получаем сечение процесса Дрелла — Яна в виде

1

^ (РР Н + Р“*) = "^ ^ ^ S ^ ^ ^ ^2^ + i О

Таким образом, в рамках партонной модели величина q^da/dq2) является функцией отношения q2/s, т. е. обнаруживает скейлин- говое поведение. Эксперимент убедительно подтверждает это предсказание. Заметим, что эти же кварковые функции распределения измеряются в процессах глубоконеупругого лептон-про- тонного рассеяния, так что можно также предсказать их абсолютную величину.

СИНГУЛЯРНОСТИ СВОБОДНЫХ ПОЛЕЙ

НА СВЕТОВОМ КОНУСЕ И БЬЁРКЕНОВСКИЙ СКЕЙЛИНГ

В данном разделе мы исследуем бьеркеновский скейлинг в рамках теории поля, дающий более формальное обоснование некоторым из результатов партонной модели. Общее введение в данную проблему см., например, в работах [121, 200].

Глубоконеупругий предел и световой конус

Сначала покажем, что глубоконеупругие W-процессы при —q'2->-со, v^-oo и фиксированном значении —q^SMv, рассмотренные в разд. 7.1, зондируют поведение коммутатора токов на световом конусе. Напомним (см. (7.12)), что адронный тензор, входящий в выражение для дифференциального сечения рассеяния, может быть выражен через коммутатор токов:

^v (Р- р) = 4^ J J ^ ^ ^’ ° 1 ^^ «^ 1 Р- ^ (?-1 15^

Скалярное произведение в показателе экспоненты можно записать в виде

v (<7о + 7',) (хо — х3) । (<7о — <7з) (*о + х3)/7 1 1 Щ

q.x_—+ __ qr.Xr,

где qr = (^1, ^2) и хг = (хь х2). В системе покоя нуклона мишени импульсы имеют вид

рц = (М, 0, О, 0), q№ = (v, 0, 0, (v2 - q^Y (7.117)

В глубоконеупругом пределе (—^2^-оо, v^oo при фиксированном —q2/2MV) мы видим, что

<7o + <73~2v и qQ — q3 ~ q^v.(7.118)

Мы предполагаем, что доминирующий вклад в интеграл (7.115) дают области, где осцилляции менее быстрые, т. е. q-x = O(l); следовательно,

х, —x3~O(l/v) и х0 + х3 ~ О (1/хМ),(7.119)

или

х2-х2~О(1/(-^)).(7.120)

Таким образом, величина х- = х2 — х2 — х^ ^х2 — х| ~ О(1/(—^2)) стремится к нулю при —^2->оо. Иными словами, в скейлинго- вом пределе мы зондируем структуру произведения токов вблизи светового конуса. Это сводит изучение бьёркеновского скейлинга в теории поля к изучению поведения произведения токов на световом конусе.

Сингулярности свободных полей на световом конусе

Как оказалось, бьёркеновский скейлинг отвечает утверждению, что поведение коммутатора на световом конусе такое же, как в теории свободных полей [144]. Чтобы проложить путь, мы сначала изучим поведение на световом конусе некоторых произведений в свободной теории.

Произведения полей. В свободных теориях произведения полей, такие, как коммутаторы и пропагаторы, сингулярны на световом конусе (х2«0), и главные сингулярности не зависят от масс. Рассмотрим, например, пропагатор скалярного поля:

S

z/ 4 7>р — I kx

(7.121)

В (7.121) можно провести преобразование Фурье [56]. Это дает

Af to = —6 (х2) + ■0 (х2) [У, (m V*2) — iN 1 (m V^2) 1 —

4л8л Vx2

2),(7.122)

где Jn, Nn^ Кп— функции Бесселя. При х2 « О имеем

г V / 4Л \ / I 4Л2 х2 дл2 216л2 х' 7

-^T^r + OW- (7-123)

Главная сингулярность не зависит от масс, поскольку область х2 « 0 соответствует в импульсном пространстве большим к2. Таким образом, мы можем также вычислить эту не зависящую от масс сингулярность непосредственно для более простого объекта — безмассового пропагатора:

А= \ elk-x \ -9 0 9. (7.124)

(2л)4 к2 + ("в J (2л)4£> к2 — к2 +/е

Интегрирование по /г0 можно выполнить стандартным контурным методом:

\ -^Д^^ = ^[6Сго)е-г|к'х" + 0(-Хо)ег1^^^ (7.125) k2-k2 + te |к|

Тогда получим

Ар (х) = — -A^y ^ dk ^еНг — е-‘иг) [0 (х0) е_ i2x° + 0 (— х0) etox°],

°(7.126)

где х = | к | и г = | х |. Используя тождество

Оо

мы получаем

Д| W = top" [61,1,1 (,-« + <« + , + J,-„) +

+e(-ti(7T^T7i + 7^r7r)] =

— —{ Г 6 (Xo) I 6 Хо) 1 Z 11

4л2 г2 —х2 + /ех0 г2 — х2 — 1гХд J 4л2 х2 — ie ’

что согласуется с (7.123). Аналогично можно вычислить главную сингулярность для коммутатора двух скалярных полей:

[^(^), </>(O)] = ZA(x)=-^J^e-^e(feo)6(^-/n2),(7.129)

что дает следующий результат:

А (х) « dZ_L е (Хо) £ (х2) при х2 » 0.(7.130)

Таким образом, для сингулярных функций имеем тождество

i d4he-ik x е(/г0) б (/г2) = (2л)2 е (х0) б (х2).(7.131)

Формулу (7.130) можно рассматривать и под другим углом зрения: сингулярности на световом конусе коммутатора А(х) и пропагатора Af(x) непосредственно связаны между собой:

А (.г) = 2е (х0) Im (z AF (х)).(7.132)

Последнее соотношение вытекает из тождества для сингулярных функций

—XL^ - _XL i6 = - 2шв (х0) б (х2),(7.133)

которое является частным случаем более общего тождества

(^А7г)"-(^^)”-(7-134)

В дальнейших расчетах мы будем получать сингулярности коммутаторов из сингулярностей пропагаторов с помощью замены:

(— х2 — 1йУп —> 2л/е (х0) d^-1* (x2)/(rt — 1) 1(7.135)

Сводка результатов для фермионов имеет следующий вид:

{Фа (х), ф3 (у)} = IS^ (х — у),

Sa9 (х) = (/у 5 + Nap А (х),

< о | Т (фа (х) фр (у)) | О) = /Sap (х - у\1

Sap (х) = (zy д + m)op AF (х).

При х2 ~ 0 имеем

Sap(x) ~(z'Y<9)ap[^e(z0)d(x2)],(7.137)

Sap (х) ~ (zy d)ap [^ ^l/e)"] •(7-138)

Произведение скалярных токов. Мы можем распространить этот анализ на случай составных операторов. Рассмотрим, например, скалярный ток

7(х) = : ^>2(х):.(7.139)

Заметим, что благодаря нормальному упорядочению устраняются сингулярности, имеющие место в произведении ^(х + ^)^»(х— — £) при £ц->0. Сингулярности произведения Т(7(х)7(0)) можно выявить, используя теорему Вика:

Т (J (х) I (0)) = Т (: ф2 W:: Г (0) 0 = 2 [ (0 | Т (ф (х) ф (0)) 10 >]2 + + 4(017 (^(х)^.(0))|0>:</.(х)^.(0): + :</.2(х)^2(0): =

- = —2 [Af (х, пг^У + 4z AF (х, щ2): ф (х) ф (0): -ф : ф2 (х) ф2 (0):.

(7.140)

Следовательно, при х2 ~ 0 мы получаем

7 №)/(«)) ~ 8„,(,,_,е|,7 №)/(«)) ~ 8„,(,,_,е|,: 0 (х) 0 (0):Л2 (х2 — Z8): 0 (х) 0 (0):Л2 (х2 — Z8)+ : ^2(х) ^2(0):. (7.141)+ : ^2(х) ^2(0):. (7.141)

7 №)/(«)) ~ 8„,(,,_,е|,

7 №)/(«)) ~ 8„,(,,_,е|,

: 0 (х) 0 (0):

Л2 (х2 — Z8)

: 0 (х) 0 (0):

Л2 (х2 — Z8)

+ : ^2(х) ^2(0):. (7.141)

+ : ^2(х) ^2(0):. (7.141)

Если взять матричный элемент выражения (7.141) между двумя произвольными состояниями |А> и |В), то получим

_MygtM8>+(4|:f(,)f(|l):H),(7.142)

что соответствует диаграммам, приведенным на рис. 7.11.что соответствует диаграммам, приведенным на рис. 7.11.Рис. 7.11. Диаграммы, сингулярные на световом конусе: а — имеются две линии, соответствующие свободным безмассовым пропагаторам; б — имеется одна такая линия; в— нет ни одной такой линии. Заметим, что если |А) = = |В) = 10>, то отличный от нуля вклад дает только диаграмма а.Рис. 7.11. Диаграммы, сингулярные на световом конусе: а — имеются две линии, соответствующие свободным безмассовым пропагаторам; б — имеется одна такая линия; в— нет ни одной такой линии. Заметим, что если |А) = = |В) = 10>, то отличный от нуля вклад дает только диаграмма а.

что соответствует диаграммам, приведенным на рис. 7.11.

что соответствует диаграммам, приведенным на рис. 7.11.

Рис. 7.11. Диаграммы, сингулярные на световом конусе: а — имеются две линии, соответствующие свободным безмассовым пропагаторам; б — имеется одна такая линия; в— нет ни одной такой линии. Заметим, что если |А) = = |В) = 10>, то отличный от нуля вклад дает только диаграмма а.

Рис. 7.11. Диаграммы, сингулярные на световом конусе: а — имеются две линии, соответствующие свободным безмассовым пропагаторам; б — имеется одна такая линия; в— нет ни одной такой линии. Заметим, что если |А) = = |В) = 10>, то отличный от нуля вклад дает только диаграмма а.

Для вычисления сингулярностей коммутатора [7(х), 7(0)] надо лишь воспользоваться тождеством (7.135).

Сингулярности свободных полей и скейлинг

Теперь мы можем продемонстрировать, как возникает бьёр- кеновский скейлинг в теории свободных полей. Рассмотрим электромагнитный ток

7ц(х) = :^(х)У^(х):,(7.143)

где Q— оператор заряда. Будем следовать методу, использованному нами в предыдущем случае при рассмотрении скалярных плотностей токов. Вычислим сначала не коммутатор [7ц(х), 7v(0)], а хронологическое произведение токов, используя теорему Вика:

Г(7ц(х)7V(0)) = Т(: ^(х)уМ (х)::-ф(0) уЖ(0):) =

= tr [t'SF (— х) ^ISp (x) YvQ2] + = ^ (x) NnQiSp (x) YvQ^ (0): +

+ : W) yvQt'Sf (— x) YpQ^ (x) : + : ^) (x) у^Ж (x) ф (0) YvQ^ (0):.

(7.144)

где SfU)—величина, определенная в (7.136). Используя соотношение (7.138) и тождество

YuYvYx = (S^p + ze^^pYg) yp,(7.145)

где S^Xp = g^gxp + gwgt>x — g^xg^p- мы можем записать выражение (7.144) в пределе х2 « 0 в следующем виде:

т Up {X) J. (0)) ~ (tr Q2) ' J "V - +

+ -^ч?-^ {S^ [V₽ Iх’ 0) - W (0’ х)] +

+ ^uavp [Л₽ и. 0) - ЛР (0, х)]} + : $ (х) y^Q^ (х) ^ (0)YvQ^ (0):,

(7.146) где_

1/9 (х, у) =: ^ (х) ypQ2^ (У):,(7.147)

ДР(х, у) = : тр (х) Y^YaQ2^ (1/):•(7.148)

Используя равенства ~ 2x„xv 211

(х2 — iey 3 (х2 —ее)3 12 И v (х2 —ie)2 ’

и совершая подстановку (7.135), мы получим главные сингулярности коммутатора токов на световом конусе;

[/ц м. Л (0)1 - -^ {4 gpvd" (х2) е (х0) + 4 <Э А [6' (х2) в (х0)]} +

+ {5^р[^(х, О)-УР(О, х)] +

+ ^avp [ЛР (х, 0) - Л₽ (0, х)]} 5“ ..^^^l +

+ : ф (х) YhQ4> (^) Ф (0) YvQ^ (0): •(7.151)

Мы можем затем использовать это явное выражение для коммутатора токов в соотношениях для сечений е+е~-аннигиляции и неупругого /TV-рассеяния.

е+е--аннигиляция. Следуя методу, изложенному в разд. 7.1, можно непосредственно показать, что полное сечение е+е~-анни- гиляции в адроны можно записать в виде коммутатора токов: о U*e~ —► адроны) =

= 4w $dW^ < 01 [7,, (х), /Р (0)] I 0 >.(7.152)

Наиболее сингулярный на световом конусе вклад в это выражение дает первый член разложения (7.151) (таким образом, мы

имеем возможность зондировать поведение коммутатора токов на малых расстояниях):

о (е+е -> адроны) ~ -y^ff" J d4eiqx {| У ^ е (х0) +

+ 452[б'(х2)е(х0)]}.(7.153)

Используя тождество (7.131), мы получаем

о (е+е -> адроны) ~ ^(q^ (у "Т ~ у) 6 № в (^о) =

= y^trQ2, (7.154)

или

(7.155)(7.155)с (е+е -> адроны) , ^2а (е+е-->ц+ц~)

(7.155)

(7.155)

Это соотношение подтверждает результат (7.104), полученный в рамках партонной модели, в случае, когда главная сингулярность на малых расстояниях совпадает с главной сингулярностью в свободной теории. Рассмотрим теперь глубоконеупругое лептон-адронное рассеяние—процесс, существенно связанный с поведением на световом конусе.

Лептон-адронное рассеяние. В случае глубоконеупругого /TV-рассеяния первый член выражения (7.151) не дает вклада в адронный тензор (7.115), поскольку он является с-числом. Поэтому нетривиальный главный сингулярный вклад дает второй член:

М)М4)1" Ми МО YW (- у) : -

- •• ^ (-у) yW (у)] + ^^ [: ^ (7) Y^ (- у) : -

- : ^ ( - у) YW МММ ММ] • (7-156)

Используя разложение для билокального оператора

Ч’(-у) (—-у) = ^(°)[! Н-

[

y^l ->1 y^l У^21

- ^ dV1 + -^^-^д^ — . - - J^ (0) =

получаем выражениеполучаем выражение2222м! 22м! 22ные пные пЦ] ч2Ц] ч22^1 ^-и)1 2 ^РН^---^2^1 ^-и)1 2 ^РН^---^..^^Ж..^ (о)х..^^Ж..^ (о)х

получаем выражение

получаем выражение

22

22

м! 22

м! 22

ные п

ные п

Ц] ч2

Ц] ч2

2^1 ^-и)

1 2 ^РН^---^

2^1 ^-и)

1 2 ^РН^---^

..^^Ж..^ (о)х

..^^Ж..^ (о)х

гдегдеХ^да[^^],(7.158)

где

где

<Х-- ^ (0) = Ф (0) d^ ...Хп № (0),(7.159а)

^Х-- (°) = (°) К^ • • • ^ ySQ4 (0).(7.1596)

Чтобы вычислить структурные функции, запишем выражение

у £ М^Х1--Х°)1рст) = Л<^••• ^„ + свертки,

°(7.160)

где Д^+Ч — некоторые константы, а свертки, содержащие один или более множителей £цгц., дают х в некоторой степени при сворачивании х^'х^2 ... хЦп в выражении (7.158) и играют менее важную роль вблизи светового конуса х2 « 0. Кроме того, член 0^+') не дает вклада вследствие свойства антисимметрии тензора Ецау0. Следовательно, для адронного тензора (7.115) получаем следующее выражение:

нечет-

XS^d^^^^-].(7.161)

Определим величину f(g) с помощью соотношения

находим

^v « J ^ ® 6 ^ + 2Ж^ teuagvp + gWgW - g^ga^) X

X (q + Wp^ = ЖГ 5 dy © 6 ^ + PW^ X

X(-Mv^v + 2^pv+ ...) = Ha;)[-.^

(7.165)

при x =—^2/2Mv. Таким образом, мы вновь получили результаты партонной модели (7.56) и (7.57) :>

(7.166)(7.166)MW^F^^fto,W2^F2^ = xt {х).

(7.166)

(7.166)

Отсюда следует, что предположение о канонической структуре для свободных полей на световом конусе эквивалентно партонной модели.

Часть II

Глава 8

КАЛИБРОВОЧНЫЕ СИММЕТРИИ

Симметрии, которые обсуждались до сих пор, являются глобальными симметриями. Параметры еа преобразования симметрии в (5.10) не зависят от точки пространства-времени, т. е. предполагается, что поля преобразуются во всех точках одинаково. Рассмотрим теперь теории, в которых преобразования симметрии зависят от пространственно-временных точек, т. е. ea = ea(x). Такие симметрии называются локальными или калибровочными симметриями [418]. Мы увидим, что они могут быть использованы для построения динамики, т. е. определяют так называемые калибровочные взаимодействия. Прототипом калибровочных теорий является квантовая электродинамика. В настоящее время распространено убеждение, что все фундаментальные взаимодействия описываются некоторой формой калибровочной теории. В разд. 8.1 после предварительного обсуждения КЭД с ее абелевой локальной U (1) -симметрией исследуются значительно более содержательные по своей структуре неабелевы калибровочные теории — теории Янга — Миллса [438]. После изложения элементарной геометрической интерпретации калибровочной инвариантности в разд. 8.3 рассматриваются вопросы спонтанного нарушения симметрии в калибровочной теории.

ЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ В ТЕОРИИ ПОЛЯ

Абелева калибровочная теория

Как уже говорилось, КЭД является абелевой калибровочной теорией. Весьма поучительно продемонстрировать, как эта теория может быть «выведена» из теории свободных электронов Дирака, если потребовать, чтобы последняя была калибровочноинвариантной и перенормируемой.

Рассмотрим лагранжиан свободного электронного поля ф(х)$

S’0 = ^WGWh —т)ф(х).(8.1)

Легко видеть, что он обладает глобальной Д( 1)-симметрией, соответствующей инвариантности теории относительно изменений

фазы:

ф (х) ~> ф' (х) = е-гаф (х),

ф(х)^ф'(х) = егаф(х).(8,2)

Мы должны превратить эту симметрию в локальную, т. е. «калибровать» ее, заменяя а на а(х), чтобы построить теорию, инвариантную относительно изменений фазы, зависящих от пространственно-временных точек:

ф (х) —> ф' (х) = е_/а и)ф (х), ф(х) —>ф' (х) = е,а,*)ф (х).

Член с производной теперь преобразуется довольно сложно:

ф (х) 5цф (х) —> ф' (х) 5цф'(х) = ф (х) е'а(х)5ц (е~'а w ф (х)) =

= Ф to 5ЦФ to — *Ф W 5ца (х) ф to- (8.4)

Наличие второго члена показывает, что члены с обычными производными калибровочно-неинвариантны. Необходимо заменить 5ц на калибровочно-ковариантную производную D^ с простым законом преобразования для /)цф(х);

£>иФ W РЦФ to]' = e-ia ^ £>цф (х),(8.5)

чтобы комбинация ф(х)/)цф(х) была калибровочно-инвариантной. Другими словами, действие ковариантной производной на поле не должно менять его трансформационных свойств. Это может быть достигнуто, если мы расширим теорию, введя в нее новое векторное поле Лц(х)— калибровочное поле. Тогда ковариантная производная будет иметь вид

ДцФ = (5Ц + 1еА^ ф,(8.6)

где е — свободный параметр, который затем мы отождествим с электрическим зарядом. Закон преобразования ковариантной производной (8.5) будет выполняться, если калибровочное поле Дц(х) обладает следующим трансформационным свойством:

Дц (х) Лц to = Лц (х) + у 5цй (х).(8.7)

Из (8.1) мы теперь имеем

So = ф/у*1 (5ц +/еДц) ф — тфф.(8.8)

Чтобы сделать калибровочное поле истинной динамической переменной, необходимо к лагранжиану добавить член с ее производными. Простейшим калибровочно-инвариантным членом размерности четыре или меньше (в обычной нормировке) является

9?A = -^F^\(8.9)

где

^цу = ^Ау — ^Ац.(8.Ю)

Совершая преобразование (8.7), мы видим, что А^ само по себе калибровочно-инвариантно. Это полезно продемонстрировать, исходя и из других соображений. Антисимметричный тензор F^ связан с ковариантной производной следующим образом:

(О A — D^D^ ф == ieF^.(8.11)

Из (8.5) легко видеть, что

[(D^DV — ДД)Д ф]'= е"^(ДД\ — DVD^ ф],(8.12)

или

^, = (V)e-ia,(8.13)

т. е.

=(8.14)

Объединяя (8.8) и (8.9), мы приходим к лагранжиану К.ЭД:

S' = фгу^ (дц + UA^ ф — тфф — -| F^F^-(8.15)

Следует отметить следующие свойства лагранжиана (8.15):

Фотон — безмассовая частица, так как член АЦА^ не является калибровочно-инвариантным.

Минимальное взаимодействие фотона с электроном содержится в ковариантной производной D^, которая может быть построена на основе трансформационных свойств электронного поля. Другими словами, взаимодействие фотона с любым полем материи определяется его свойствами при преобразованиях из группы симметрии. Обычно это называют универсальностью. Другие калибровочно-инвариантные взаимодействия (более высокой размерности), такие, как фо^ф/7^, отбрасываются вследствие требования перенормируемости.

Лагранжиан (8.15) не содержит члена, соответствующего самодействию калибровочного поля, так как фотон не обладает зарядом (или /7(1) квантовым числом), т. е. без полей материи теория является теорией свободного поля.

Мы увидим, что неабелевы калибровочные теории обладают первыми двумя свойствами, но не обладают последним. Присутствие самодействия калибровочного поля делает такие неабелевы теории сильно нелинейными и приводит к тому, что они обладают рядом свойств, фундаментально отличающих их от абелевых теорий.

Неабелева калибровочная симметрия — поля Янга — Миллса

В 1954 г. Янг и Миллс распространили принцип калибровочной симметрии на неабелевы симметрии. (С последующим развитием теорий Янга — Миллса можно ознакомиться в работах

[164, 394].) Мы проиллюстрируем эту конструкцию на примере простейшей группы симметрии изоспина 3(7(2).

Пусть фермионное поле является изоспиновым дублетом

/ФЛ

Ф= , •(8.16)

При SU(2)-преобразованиях имеем

ф(х)^ф,(х) = ехр|=^^^ф (х),(8.17)

где т = (т1,т2, т3)—обычные матрицы Паули, удовлетворяющие коммутационным соотношениям

\4’ 4\ = i6^4’1,2,3,(8.18)

а 6 = (61, 02, 6з)—параметры преобразования из группы 3(7(2). Свободный лагранжиан

^о = ф (х) ((у^ — т) ф (х)(8.19)

инвариантен относительно глобальных SU(2) -преобразований, когда {OJ не зависят от точек пространства-времени. Но при локальных преобразованиях симметрии

ф (х) -> ф' (х) = U (0) ф (х),(8.20)

где

U (0) = ехр {^^^}.(8.21)

свободный лагранжиан З’о не инвариантен, так как член с производной преобразуется как

Ф (х) с^ф (х) -* ф' (х) дцф' (х) = ф (х) дцф (х) +

+ ф(х)^-1(0)[<Э/7(0)]ф(х).(8.22)

Чтобы построить калибровочно-инвариантный лагранжиан, мы поступим так же, как в абелевом случае. Сначала введем векторные калибровочные поля Лц, 1=1, 2, 3 (по одному на каждый генератор группы), чтобы построить ковариантную производную с помощью минимального взаимодействия

^Ф^ц-^^Ц^Ф.(8.23)

где g— константа связи, аналогичная е в (8.6). Мы требуем, чтобы £>цф имело те же трансформационные свойства, что и само поле ф, т. е.

D^^^Y^U^D^.(8.24)

Отсюда следует

(<Эц-^^)(£7(е)Ф) = ^(е)(<эц-г£^(8.25)

или

[д^ (в) - ig ^ и (6)] ф = - igU (в) ^- ф,

т. е.

^ = и (в) ^ W (6) - j [ди^ (6)1 U"V (6)-(8.26)

Последнее соотношение определяет закон преобразования для калибровочных полей. При инфинитезимальных преобразованиях 0(х)< 1 имеем

ИЛИИЛИ(7(6) « 1 -i^l^L, (8.27) и (8.26) принимает вид

ИЛИ

ИЛИ

-^+т«"‘'‘е'^-7(т'^6)'

Ч = ^ + 6'ме/^ - 7 д^‘-(8-28)

Второй член в правой части (8.28) не что иное, как преобразование для триплетного (присоединенного) представления группы S^(2). Таким образом, поля А* в отличие от абелева калибровочного поля несут заряды.

Чтобы получить из калибровочных полей антисимметричный тензор второго ранга, мы можем взять за образец соотношение (8.11) и рассмотреть комбинацию

^D. - D.D^ ф = ig (^- Fz v) ф,(8.29)

где

т • F^vт • Avт • Ац Г т • Ац т • Av "I

2 ^ц 2 ^v 2 Z^ L 2 ’2 J ’ (8-30)

ИЛИ v=-и -л$-(8-3i)

Так как £>цф имеет те же трансформационные свойства, что и ф, мы видим, что

[(Z)u£>v - ,DV.DU) Ф]'= Щ0) (Z)/\ - .Dv^ ^(8.32)

т.р^(6)ф = ^(6)т.р^ф,т.р^(6)ф = ^(6)т.р^ф,Подставляя определение (8.29) тензора F1^ в обе части (8.32), имеем

т.р^(6)ф = ^(6)т.р^ф,

т.р^(6)ф = ^(6)т.р^ф,

ИЛИ

т-^=^(6)(т-^)^"'(0).(8.33)

При инфинитезимальных преобразованиях 0, С 1 это соотношение принимает вид

+(8.34)

В отличие от абелева 1 случая при преобразованиях группы SU(2)F£V преобразуются не тривиально, а как триплет. Но произведение

tr {(т . Fuv) (т . F^)} -F^F^

калибровочно-инвариантно.

Можно подвести итог проведенному обсуждению, приведя явное выражение для полного калибровочно-инвариантного лагранжиана, описывающего взаимодействие между калибровочными полями Л^ и полями, составляющими S(7(2)-дублет:

S£ = — 4" ^^'^ + ф1уц^Ф — rnW (8.35) где

^v =~ ^Л + S^W(8-36)

0^ = ^- ig^-)^.(8.37)

Калибровочные SU (2) -преобразования полей имеют следующий вид:

ф (х) -> ф' (х) = exp {— i Т- у ^ } Ф U) = (7 (0) ф (х), (8.38) ^ ^ = U (6) (-^) ^ <6> “ 7[^ (6)] ^"‘ (®)’(8139)

или в инфинитезимальной форме:

Ф -* Ф' = Ф — i -^ Ф,(8.40)

А^ "* < = ^ + ^^А» - ^0'.(8.41)

Обобщение на группы более высокой размерности и на произвольные представления для полей ф очевидно. Пусть G — некоторая простая группа Ли, генераторы которой образуют алгебру

[F°, F6] = iCabcFc,(8.42)

где Cabc — полностью антисимметричные структурные константы. Предполагается, что ф принадлежит некоторому представлению, в котором генераторы представлены матрицами Т°, т. е.

■[Г", ть1 = iC^F.(8.43)

Тогда ковариантная производная имеет вид

D^ = (^ — igTaA^ тр,(8.44)

а тензор второго ранга для калибровочных полей

^ = др^-^Л" + §Са6слХ(8.45)

(Т • F)uv = дц (Т • Av) - dv (Т • Ац) - ig [Т • Ац, Т ■ AVJ. (8.46) Лагранжиан

^ = - Т ^^ + ф (гуцГ>ц - m) i|)(8.47)

при этом инвариантен относительно преобразований из группы G:

^ (х) -> ^' (х) = U (Т • О (х)) ^<x^ = U (0J тр (х),(8.48)

т. а, « т • а; « - и (е,) т ■ A„v- ■ (ej -1 [<у/ (е,)] с/-' (о,), (8.49) а бесконечно малые преобразования имеют вид

^ (х)-ф' (х) = ip (х) — z7a0a (х) тр (х),(8.50)

Ар (х) Аа; (х) = Ар (х) + Cabc^b (х) Ац (х) - ^ ^0° (х). (8.51) Чисто янг-миллсовский член —х]^ F^F^ содержит слагаемые, трилинейные и четырелинейные по Ар:

- gC^AU^ - £- CobcCadeAUUdvlAm, (8.52) которые соответствуют самодействиям неабелевых калибровочных полей. Они возникают из-за нелинейных членов в F“ (8.45), так как сами калибровочные поля Ар преобразуются нетривиальным образом как генераторы калибровочной группы или как элементы ее присоединенного представления. Хотя неабелев случай значительно отличается от абелева (обладает более богатой структурой), свойства универсальности и безмассо- вости калибровочных полей остаются по существу теми же. Отметим, что число безмассовых калибровочных полей равно числу генераторов группы калибровочной симметрии. Что касается универсальности, то следует сделать два замечания относительно силы взаимодействия.

В случае абелевых калибровочных теорий на силу взаимодействия между калибровочным полем Ац и другими полями не накладывается никаких ограничений. В частности, электрон несет заряд е, а какая-либо другая частица может в принципе обладать зарядом Хе, где X — произвольное число (например Х = л). В неабелевой Калибровочной теории, такой, как, например, рассмотренная выше 57(2)-теория с дублетом тр, имеют

место более жесткие ограничения. Например, если попытаться рассмотреть взаимодействие калибровочного поля с каким-нибудь другим дублетом ф с константой взаимодействия Lg, то в коммутационном соотношении (8.18), обеспечивающем калибровочную инвариантность, каждый генератор придется умножить на X и потребовать выполнение равенства X,2 = X, или Х= 1. По существу в неабелевых теориях нормировки генераторов фиксированы коммутатором, который является нелинейным соотношением; следовательно, масштаб g не может быть произвольным.

Возможны ли различные калибровочные взаимодействия, ассоциированные с различными калибровочными полями? Если группа простая, как в рассмотренном случае, то может быть только одна константа взаимодействия. Но если группа является произведением простых групп, как, например, SU(2) X SU(3), где набор генераторов, соответствующий любому сомножителю, замыкается при коммутировании и перестановочен с набором генераторов, соответствующим другому сомножителю, то каждой группе в произведении соответствует своя независимая константа взаимодействия.

КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И ГЕОМЕТРИЯ

Успешная формулировка Эйнштейном общей теории относительности в 1916 г. обнаружила глубокую связь между гравитацией и геометрией. Это побудило Вейля [416, 417], основываясь на зависящем от пространственно-временной точки (локальном) масштабном преобразовании, объединить с геометрией и электромагнетизм. А именно, он предложил считать, что в некоторой точке, находящейся на расстоянии dx* от данной точки, масштаб изменяется (от единицы) до (1 + Sudx^), и, таким образом, зависящая от пространственно-временной точки функция изменяется согласно правилу

f W -* (И ад dx^ (1 + 5Ц dx^ ~ / + [(дц + 5Ц) /] dx^. (8.53)

Вейль пытался вывести электромагнетизм, исходя из требования инвариантности относительно локальных масштабных преобразований, отождествляя масштабный множитель с векторным потенциалом: 5ц-<-^-Ац. Его первоначальная попытка оказалась неудачной. В 1925 г. возникла современная квантовая механика, основным моментом в которой было отождествление импульса с оператором (—1д^, а канонического импульса в присутствии электромагнитного поля с (—гдц + еАц). Затем было установлено, что правильное отождествление вейлевского масштабного множителя имеет вид 5ц-*->Мц и что в действительности необходимо требовать инвариантности теории относительно преобразований фазы, зависящих от пространственно-времен-

ной точки (см. (8.3)). Но когда Вейль [418] сформулировал этот подход, он сохранил первоначальную терминологию «калибровочной инвариантности», т. е. инвариантности относительно изменения масштаба или калибровки. Подробную историю развития представлений калибровочной теории читатель может найти в лекциях Янга [437].

Последовательная геометрическая интерпретация калибровочных теорий может быть дана в рамках современной теории расслоений. Но это требует использования дифференциальной геометрии и выходит за рамки данного изложения. Нам достаточно отметить только тот факт, что существует глубокое геометрическое обоснование понятий теории калибровочных полей. Здесь мы излагаем элементарную геометрическую точку зрения на калибровочную инвариантность. Мы покажем, как калибровочные поля ЛЦ описывают параллельный перенос в зарядовом пространстве, тензором кривизны которого является напряженность поля F^.

Сформулируем кратко некоторые основные геометрические понятия в случае искривленного пространства. Прежде всего это понятие параллельного переноса. Чтобы сравнить два вектора (или тензора), определенные в двух различных точках пространства Кц (х) и Уц(х'), необходимо сначала передвинуть (параллельно перенести) Кц из точки х в точку х', т. е. прежде, чем находить разность между двумя векторами, нужно их поместить в одну систему координат. Таким образом, сравнение двух векторов осуществляется в два этапа: •

0^ = 6^ + ^, (8.54)

где 6VU — изменение, связанное с переносом этих двух векторов в начало одной системы координат, a dVц — их разность, измеренная в этой системе координат. Параллельный перенос определяется как операция, во время которой угол между переносимым вектором и касательной к траектории остается фиксированным. Конечно, параллельный перенос является тривиальной операцией в плоском (евклидовом) пространстве, так как в этом случае вектор не изменяется, 6Кц = 0, и ковариантное дифференцирование является просто обычным дифференцированием:

DV^ = dV^ = (д^Иц) dxx в плоском пространстве. (8.55)

Но в искривленном пространстве при параллельном переносе вектор явно изменяется, так как в этом случае при переходе от точки к точке происходит изменение координатных осей (т. е. метрика зависит от выбора точки в пространстве). Для точек х и х', разделенных бесконечно малым промежутком dx\ предполагается, что величина б/ц линейно зависит от dxx и ^Щ

61/ц=-Г!Ж d^.

ааМ^ГЖ dx\М^ГЖ dx\(8.56)(8.56)

а

а

М^ГЖ dx\

М^ГЖ dx\

(8.56)

(8.56)

так как б(РцРД = О. Коэффициент Г^ называется аффинной связностью, или символом Кристоффеля; можно показать, что он представляет собой некоторую комбинацию производных от метрического тензора (и поэтому обращается в нуль в пространстве с постоянным метрическим тензором). Сравнение вектора, заданного в точке х', с вектором, параллельно перенесенным из точки х в точку х', дает

DV* = Кц (/) - [Рц (х) + 6КЦ] = (дХ + Г^П dx\ (8.57) где комбинация в круглых скобках представляет собой ковариантную производную. Это различие между плоским и искривленным пространствами показано на рис. 8.1.

Другим важным объектом неевклидовой геометрии является тензор кривизны, который лучше всего ввести, анализируя параллельный перенос вектора вдоль замкнутого контура (см. рис. 8.2, где дано сравнение). Рассмотрим изменение вектора, перенесенного вокруг малого параллелограмма РР1Р2Р3, состоящего из двух векторов а>1 и Ь11 и их параллельных сдвигов

а о

Рис. 8.1. Изменения, вызванные параллельным переносом: а — в плоском пространстве (вектор не меняется) и б — в искривленном пространстве.

Рис. 8.2. Изменения, вызванные параллельным переносом: а—вдоль замкнутого контура 1—2—3—4 на плоскости и б — на сферической поверхности.Рис. 8.2. Изменения, вызванные параллельным переносом: а—вдоль замкнутого контура 1—2—3—4 на плоскости и б — на сферической поверхности.

Рис. 8.2. Изменения, вызванные параллельным переносом: а—вдоль замкнутого контура 1—2—3—4 на плоскости и б — на сферической поверхности.

Рис. 8.2. Изменения, вызванные параллельным переносом: а—вдоль замкнутого контура 1—2—3—4 на плоскости и б — на сферической поверхности.

Д УбЬр _Рг

а“/ _

Р 6^ Рз

Рис. 8.3,

(рис. 8.3). Пусть дУц и дУц— изменения вектора при перенесении его вдоль путей РР1Р2 и РРзР2 соответственно. Тогда полное изменение вектора при перемещении его вдоль всего замкнутого пути равно

Д^ = дИц-дИи,(8.58)

где

6УЦ = (r^Vv)^0 + (r^/Ja. (^ + 6^),(8.59а)

6 Кц = (r^Vj^0 + (Г^)Р1 (aa + daa).(8.596)

Разлагая величины, взятые в точках Pv и Р3, можно представить их таким образом, чтобы все тензоры были отнесены к одной точке Р:

(T^PJp. = (Г^ + dar^aa) (Kv + Г^Л (8.60) аналогичное выражение можно получить для (Гца^)р,- Подставляя эти выражения в (8.58) и (8.59) и используя соотношение

аа + 6аа = аа - T^aV(8.61)

и аналогичное соотношение для (Ь₽ + дй₽), получим

ДУц=--7?иа0^аа3.(8.62)

Изменение вектора при переносе его вдоль замкнутого контура пропорционально ему самому, площади (тензору), ограниченной этим контуром, а“₽ = аа№, и тензору кривизны

R^ = <Ш - д^ + T^TL - Г^Г^.(8.63)

В довольно простом случае сферического треугольника, каждый угол которого равен 90° (рис. 8.2), изменение, очевидно, равно л/2. Этот результат согласуется с соотношением (8.62), так как в данном случае тензор кривизны сводится к кривизне R = Х/г1, где г — радиус сферы. Умножая ее на площадь треугольника лг2/2, получим изменение л/2.

Непосредственное сравнение (8.57) с калибровочной ковариантной производной £)цф (8.44) показывает, что величину Т-Ац с геометрической точки зрения можно интерпретировать как «связность» (т. е. символ Кристоффеля) во внутреннем зарядовом пространстве. Так же как в (8.56), при параллельном переносе поля ф(х), вследствие локального изменения координатных осей происходит изменение поля

ф (х) -> ф (х + (/х) = ф (х) + дф (х); здесь

дф (х) = zgT • Ацф dx^,(8.64)

где Т — матрицы представления для генераторов группы симметрии, а ф — базисный вектор.

При параллельном переносе на конечное расстояние из точки х в х' выражение (8.64) можно экспоненциировать, и мы получим Д

/ х'\

Р (х', х) = exp pg ^ Т ■ Аи (g) dy г,(8.65)

X'

где интеграл берется вдоль траектории, соединяющей точки х и х'. Таким образом, с каждой траекторией можно связать элемент группы. Проверим, что такая интерпретация совместна с трансформационными свойствами калибровочных полей. Для простоты рассмотрим бесконечно малый параллельный перенос (8.64)

ф (х + dx) = (1 + zgT • N^dx*) ф (х).(8.66)

При другом выборе системы отсчета в каждой точке мы произведем калибровочное преобразование—поворот осей в каждой точке с помощью Т-О(х) в соответствии с формулой (8.48):

ф (х)-> ф'(х) = Д (6J ф (х),(8.67)

ф (хД -> ф' (хО = U (6x0 ф (х').(8.68)

Чтобы произведение ф(х + dx^P^x + dx, х)ф(х) было инвариантным, «связность» параллельного переноса должна преобразовываться в соответствии с выражением

l + ZgT-A^x^ =

= и (6Х+dх) (1 + ZgT . Ац dx») и-Ч^ =

= <U (О,) + d^U (Ox) dx^ (1 + ZgT • Аи dx») IT1 (Ox),(8.69)

или

T . а; (х) = и (Ох) Т . А^"1 (Ох) - -у V^U (Ох)] Д-1 (Ох),(8.70)

что представляет собой требуемый закон преобразования для калибровочных полей, приведенный в (8.49). Этот результат, очевидно, имеет место и тогда, когда точки разделены конечным промежутком. Таким образом, оператор параллельного переноса (8.65) при калибровочных преобразованиях изменяется следующим образом:

Р(х', х)->Р'^х', x) = U (0x0 Р (х', х)Д-1(0х).(8.71)

Непосредственное сравнение величины Т-Р^ (8.46) с тензором кривизны R^x (8.63) показывает, что Т-Рцу можно интерпретировать как кривизну во внутреннем зарядовом простран

стве. Это можно проверить непосредственно, рассматривая параллельный перенос вдоль замкнутого пути С. Для простоты выберем в качестве С параллелограмм с вершиной в точке хм и двумя образующими dxy. и 6х/

Рп = Р (х, х + dx) Р (х + dx, х + dx + dx) X

ХР кх -V dx -V ^х, х + dx) Р (.г + dx, х),(8.72)

где Р—матрицы параллельного переноса (8.65). Используя матричное тождество

екАеХВ = еХ \A+BHV)2 И, В] _|_ 0 ^(8 73)

получим

Р (х, х + dx) Р (х + dx, х + dx + dx) =

= exp [ZgAu (х) dx^ exp [t'gAv (x + dx) dxv] =

= exp |zg (Ац dx^ + Avdxv + dvA^dx'1&xv) —

-^[Ац, AJdx^} (8.74) и

P (x + dx + dx, x + dx) P (x + dx, x) =

= exp [—igA^ (x + dx) dx^ exp [—igA^ (x) dxv] =

= exp {—ig (A^dx^- + Avdxv + ^A^dx^dx41) —

—-у-[Ац, Av]dx^dxv}. (8.75)

Таким образом, выражение (8.72) можно представить в виде

Ри = exp Vg (дцЛ — dvAu — ig [Ац, AJ) dx^dx^. (8.76)

В соотношениях (8.74) — (8.76) мы упростили обозначения, записывая Ац вместо Т-Ац. Проведенные вычисления убеждают нас в том, что величину

Т • Fuv = dj • Av - dvT • Аи - ig [T • Ац, T • AJ (8.77) действительно можно отождествить с тензором кривизны во внутреннем зарядовом пространстве.

В заключение отметим, что существенным моментом всего вышеизложенного является то, что во всяком (физическом или внутреннем) пространстве, где координаты зависят от выбора точки, сравнение двух векторов (или любых двух тензоров), взятых в различных точках, не имеет смысла. Стандартный способ решения этой проблемы состоит во введении понятия параллельного переноса, или аффинной связности. В случае искривленного физического пространства-времени вводится символ Кристоффеля, а в случае внутреннего зарядового простран-

ства вводятся калибровочные поля. Они «компенсируют» изменение локальной системы координат в каждой пространственновременной точке.

СПОНТАННОЕ НАРУШЕНИЕ

КАЛИБРОВОЧНОЙ СИММЕТРИИ; ЯВЛЕНИЕ ХИГГСА

В разд. 8.1 мы видели, что требование локальной симметрии приводит к возникновению в теории безмассовых векторных частиц. Если мы не хотим иметь дело с такими частицами, а желаем получить массивные векторные бозоны, необходимо как-то нарушить калибровочную симметрию. Введение членов, соответствующих произвольным массам калибровочных бозонов и явно нарушающих калиброгочную инвариантность, приводит к такому изменению высокоэнергетического поведения теории, что она перестает быть перенормируемой (см. обсуждение в разд. 2.4). Можно более подробно рассмотреть возможность спонтанного нарушения симметрии, которая обсуждалась в разд. 5.3. В этом случае мы имеем дело со скрытой симметрией; лагранжиан остается инвариантным относительно преобразований симметрии, но динамика такова, что основное состояние, т. е. вакуум, не является синглетом относительно группы симметрии. Выбор одного из всех возможных вырожденных основных состояний в качестве вакуума нарушает симметрию. Это приводит к тому, что обычное вырождение уровней энергии, вытекающее из симметрии, не имеет места. Но, согласно теореме Голдстоуна (см. разд. 5.3), это приводит к существованию некоторого набора безмассовых скалярных бозонов. Таким образом, казалось бы, любой путь приводит к необходимости рассматривать нежелательные безмассовые частицы.

Однако оказывается, что в калибровочных теориях теорема Голдстоуна не справедлива, так как при ее доказательстве требуется выполнение аксиом обычной теории поля: явной лоренц- ковариантности, положительности нормы и т. д. Не существует такого условия, фиксирующего калибровку, для которого калибровочная теория удовлетворяла бы всем указанным аксиомам. В ковариантных калибровках имеются состояния с отрицательной нормой (продольные фотоны); в радиационной и аксиальной калибровках отсутствует явная лоренц-ковариантность. Если мы считаем, что присутствие в теории безмассовых калибровочных бозонов и безмассовых голдстоуновских бозонов является недостатком теории, то, рассматривая их совместно, можно избавиться от этого недостатка. И те и другие частицы исчезают из физического спектра теории, объединяясь друг с другом и образуя массивные векторные частицы. При этом не нарушается хорошее высокоэнергетическое поведение симметричной теории. Этот замечательный факт был обнару-

жен Андерсоном [17, 181, показавшим, что некоторые явления в физике конденсированного состояния могут быть объяснены, если рассматривать массивные фотоны. В частности, в сверхпроводимости имеет место явление вытеснения магнитного потока (эффект Мейсснера), что соответствует электромагнитному полю с конечным радиусом действия, т. е. «массивному фотону». Дополнительная продольная компонента на самом деле связана с флуктуациями коллективной плотности электронной системы — плазменными осцилляциями. Последовательное обобщение этого явления на случай релятивистской теории поля было дано Энглертом и Браутом [127], Гуральником и др. [206], а в более полном виде Хиггсом [220, 222]. В литературе обычно это явление называется явлением. Хиггса. Т’Хофт [384] впервые показал, что калибровочные теории перенормируемы даже в случае спонтанного нарушения симметрии.

Абелев случай

Рассмотрим простой случай абелевой калибровочной теории с группой симметрии Д(1):

$ = Ф^ ФЧ) + VW - А (<№ - 4 V^ (8.78)

где

Орф = (др — igA^^, Fp^dpA^ — d^Ap. (8.79)

Лагранжиан (8.78) инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований:

ф (х) Ф' И = е-1а w ф (х),

Ар (х) -► Ар (х) = Ар (х) — уАа ^‘

(8.80)

При р2 > 0 минимум потенциала

KW = -nW+MW

(8.81)

находится в точке_

|^| = u/V2,

(8.82)

где

и = (р2^)1'2.

(8.83)

Это означает, что полевой оператор ф имеет вакуумное среднее | <01 <А1 0> | = u/V2 -(8.84)

Если поле ф выразить через вещественные поля фх и ф2:

^ = -^г№ + ^2)>(8-85)

то последние можно выбрать так, что

z0 f «Ai 10> = у, <01 <Аг 10> = 0.(8.86)

Лагранжиан (8.78) и потенциал (8.81) обладают U( ^-симметрией, и, решая задачу о минимуме потенциала, можно найти только модуль поля ф. Выбор (8.86) в качестве физического вакуума из бесконечного числа возможных минимальных значений поля нарушает симметрию. (Это по существу один из примеров, приведенных в разд. 5.3, если провести замену о->-^1 и л->-^2.) Если теперь перейти к полям

ф' = ^i — и и фг = ф,(8.87)

то можно убедиться, что ф2 соответствует безмассовому голд- стоуновскому бозону. Важной особенностью рассматриваемого случая является, конечно, то, что теория обладает локальной калибровочной симметрией и обычная производная заменена на ковариантную. Член с производной может быть записан в виде

W f=|(^-&WI2 =

= — (дрф; + gA^)2 + -^ (дрф2 — gA^?)2 —

- gv Лц (дрф'2 + gA^'v) ^ ^- АрА11. (8.88)

Последнее слагаемое в этом выражении можно интерпретировать как массовый член для поля Ар. Таким образом, калибровочный бозон приобретает массу М = gv.

Унитарная калибровка (абелев случай). Присутствие в (8.88) члена

gvA1^(8.89)

приводит к смешиванию полей Ар и ф2 и делает нашу интерпретацию менее очевидной. Чтобы устранить этот член, мы введем полярные переменные для комплексного поля и произведем сдвиг только модуля этого поля:

^ ^ ='^Т ^ + n mi ехр ^ ^^ =

= -^[ц + л(х) + ^(х)+...].(8.90)

Для малых осцилляций поля г)(х) и ^(х) совпадают с полями ф^ (х) и ^2 (х) соответственно. Свободный лагранжиан, выраженный через поля т](х) и ^(х), сохраняет прежний вид:

^0 = 4" K<W - Ш)2] - 4М + ^)-(8.91)

Условия канонического квантования не изменяются; г)(х) и ^(х) имеют ту же интерпретацию в терминах частиц, что и поля Ф1 и ^2.

Нежелательный член (8.89) можно теперь устранить, проведя преобразование, исключающее поле ^W или ^(х), или, точнее говоря, фиксируя калибровку (которая называется унитарной калибровкой). С этой целью введем новые поля

Ф“ (х) = exp (-i^v) ф (х) = —4 (и + 1] (х)),

V(8.92)

By (х) = Ay (х) — -^-ду.^ (х).

Используя свойство калибровочного преобразования (8.80), получим

Пуф = ехр<—И/и)(дуфи — igByфu) =•_

= ехр (—/^/и) (5цn — igBy (и + n))/V2 и

IMI2 = -rldun-^su(^ + n)l2>(8.93)

а также

В gv дуВ. д^Ву.

Лагранжиан (8.78) теперь может быть записан в виде

2” = 4l 5цТ] — igBy (и + п) |2 + -^(и + п)2 — 4*(и + п)4 —

- 4" W - <W=Sy + Sh где

^=4 ад2 - 4 9 v - 4- <w+

+4(§у)2мц> (8-94)

$1 = 4 g2ByB^ (2и + n) — Ь V — 4 Х114-

Ясно, что Sy является свободным лагранжианом массивного векторного бозона с массой М = gv и скалярного мезона с массой m = V2p. Поле £(х) исчезло из лагранжиана. Это покажется менее неожиданным, если подсчитать степени свободы. До спонтанного нарушения симметрии у нас было два скалярных поля фх и ф2 и одно калибровочное поле Ау, соответствующее безмассовому бозону (имеющему только два состояния поляризации). После нарушения симметрии мы имеем только одно скалярное поле т] и одно калибровочное поле By, соответствующее массивному бозону (с тремя состояниями поляризации). Таким образом, безмассовое калибровочное поле Ау объединяется со скалярным полем £ и становится массивным векторным полем By в (8.92). Таков механизм Хиггса для абелева случая. Поле £(х) называется несостоявшимся голдстоуновским бозоном.

Неабелев случай

Механизм Хиггса непосредственно обобщается на случай теорий с неабелевой калибровочной симметрией. Рассмотрим случай St/(2)-калибровочной теории с комплексным дублетом

скалярных полей ф — I , I:

$ = ф^ (D^) — Р (^) — 4(8.95)

где

Ор.ф = (дц - tg^1) ф,F^v = дцд“ - ^Х + geabcAX.

V W = -Ц2 W) + ^ W-(8.96)

При р2 > 0 классический потенциал имеет минимум в точке

(^+^)о= и2/2, где и = (p2/Z)1/2.(8.97)

Физический вакуум можно выбрать так, чтобы вакуумное среднее имело вид

(ф^-2-Л °Y(8.98)

V 2 \ и /

Если определить новое поле

Ф' = Ф-<Ф')О.(8.99)

то <ф'>о = О. Член с ковариантной производной порождает массу векторного бозонного поля, так как выражение

Ф^ФУ ОТ) = ((д, - Zg1^) (Ф' + Wo)/ X

(8.100)(8.101)(8.102)(8.103)(8.100)(8.101)(8.102)(8.103)X ((<3^ — ig ^-) ^ + ^^°9 содержит слагаемое

(8.100)

(8.101)

(8.102)

(8.103)

(8.100)

(8.101)

(8.102)

(8.103)

-|-Y Wot • Ацт • А^<^)0 = 4-(^-)2АцА^

соответствующее массовому члену поля Ац с массой

В скалярном секторе имеем

ФЧ = ф'^ф' + (ф^0 ф' + ^ (ф^ + Wo (^0)(ф^фу = uW' + №оф' + ф'^ W + ... .

Представляя ф' в виде д' =() запишем член, квадратичный

\фи

по ф', в виде

-^ (^ + ф^У = 4 ^ +(8.104)

Это означает, что только комбинация (ф'2-F фг^л/^ является массивной (физическая хиггсова частица). Остальные три поля ф'^ Ф? и (^2 —^2+)/V2 являются несостоявшимися голдстоу- новскими бозонами, которые объединяются с первоначальными тремя безмассовыми калибровочными бозонами и образуют три массивных векторных бозона.

Унитарная калибровка (неабелев случай). Чтобы убедиться в этом явно, перейдем к унитарной калибровке. Введем для скалярного дублета следующую параметризацию:

/ ° \

Ф (х) = exp Ь 4 • ё (х)! и + п (Ч L (8.105)

\7

где <£а)о = <ri)o = 0. Можно определить далее новые поля

1 / 0 \

ф“ (х) = U (х) ф (х) =+ J,(8.106)

^=и^4- М"х ^ -тХду*и (х)] и"х ^’(8-107)

где

[/(х) = ехр {—/ 4 ‘ ^ (*)} •(8.108)

Используя свойства калибровочных преобразований, получаем

D^ = t7-4x)D^u,(8.109)

F^F^ = 0^0“^,(8.110)

где

D^^-ig^-B* )фи,(8.111)

G^ = (д^ - дХ + 8еаЬсвХУ(8.112)

Тогда лагранжиан в унитарной калибровке принимает простой вид:

+4 (^+п)2 -

-4<и+чУ-4°й^- ^-п^

Первый член лагранжиана содержит слагаемое, квадратичное по полю В/

^(0, ^)(т.Вцт.В^)^)=4(-^)2В^.(8.114)

Частица, соответствующая векторному полю Вм, имеет массу Мв = gv/2. Таким образом, первоначальная калибровочная SU(2)-симметрия полностью нарушена; все три калибровочных поля стали массивными.

Способ нарушения симметрии

Важно иметь в виду, что способ нарушения симметрии не произволен, а зависит от структуры теории, в частности от того, каким представлениям группы соответствуют мультиплеты скалярных полей [233, 267]. Например, если вместо комплексного дублета имеется триплет вещественных скалярных полей ^,то калибровочная симметрия SU^) будет нарушена до калибровочной симметрии 0(1) и останется один безмассовый векторный бозон. Чтобы показать, что это действительно так, выберем потенциал скалярного поля в виде

у(^) = _ц^ + ^2)2.(8.115)

Вновь минимизация W) определяет величину

K^)ol = y/V2, где и = (р2/^)1^.(8.116)

Пользуясь имеющимся произволом, мы можем выбрать вакуумное состояние следующим образом:

(8.117)

Основное состояние поля ф направлено вдоль третьей оси, и симметрия спонтанно нарушена. Член с ковариантной производной

[ЗД2 = Рц#-^(^ + ШХАц]2 (8.118)

не содержит слагаемого, квадратичного по полю А^.. Следовательно, поле Ац продолжает описывать безмассовый векторный бозон. Заметим, что такая форма нарушения симметрии связана с тем фактом, что вакуумное среднее (ф^ в (8.117) остается инвариантным относительно группы вращений 0(2) (или 0(1)) в плоскости (1,2) пространства внутренней группы симметрии.

Число массивных калибровочных бозонов

Так как число безмассовых калибровочных бозонов соответствует числу генераторов группы (ненарушенной) калибровочной симметрии, число калибровочных бозонов, которые стали массивными (или число несостоявшихся голдстоуновских бозонов), равно разности чисел генераторов начальной и конечной групп симметрии. Мы приведем доказательство этого утверждения; это также позволит нам ввести некий общий формализм.

Рассмотрим лагранжиан общего вида

^ = 4 M<h + igTuA^j)] VWl - iglV^ -

(8‘119)

где ф^— набор вещественных полей, преобразующийся по некоторому (возможно, приводимому) представлению группы G калибровочной симметрии с п генераторами:

^; W Ф^ М = ф£ (х) + 1ь (х) Т^фj (х),

а = 1, 2, ..., п.(8.120)

Считая, что потенциал в (8.119) инвариантен относительно той же группы преобразований (если потенциал инвариантен относительно более широкой группы, то появятся скаляры, которые приобретут массу только в результате учета радиационных поправок; их часто называют псевдоголдстоуновскими бозонами [402]), имеем

0 = &у = -^-&ф1 = еа-^-ТуфР

или

-^М-0’ а=1, ..., п.(8.121)

Дифференцируя последнее равенство, получаем

-^W-^rV-^T^.(8.122)

Если V имеет минимум при ф( = и[, то второй член в (8.122) обращается в этой точке в нуль, значит,

I T^v, = Q.(8.123)

дФидФк U1-d1'

Следует заметить, что в случае глобальной симметрии равенство (8.123) означает безмассовость некоторых скалярных частиц. То, что матрица вторых производных от потенциала соответствует массовой матрице скалярных частиц, можно увидеть из разложения V^t) в окрестности минимума:

т)=гм+-гт^|,,^#'-”-)№‘-"‘>+'-- • (8J24>

Таким образом, массовая матрица имеет вид

(AJ2),(8.125)

v ин ЭФ^дФк |*z-oz

Предположим теперь, что G имеет подгруппу Gf с tV генераторами, относительно которой вакуум инвариантен:

T^Vj = 0 при 6 = 1, 2, ..., п',(8.126а)

Тсци Ф 0 при с = и'+1, .п.(8.1266)

Если мы выберем Та линейно независимыми, то (8.123), (8.125) и (8.126) определенно указывают на то, что матрица М2 имеет п — tV нулевых собственных значений и, следовательно, в теории имеется п—п' голдстоуновских бозонов. В случае калибровочной симметрии эти п — rV безмассовых частиц соответствуют несостоявшимся голдстоуновским бозонам. Для того чтобы откалибровать их, мы выберем следующую параметризацию для полей фг.

^z = exp{zTi/6c(x)/u}(u/ + П/М),(8.127)

где с = п'-V 1, ..., п, т. е. мы суммируем по всем генераторам преобразований, относительно которых вакуум не инвариантен; и в показателе экспоненты — модуль вектора с компонентами щ. Поля щ^х)—остальные скалярные поля, ортогональные полям gc. После калибровочного преобразования Лц-»Дц с калибровочной функцией 6(х) =—iTcV(x)/v лагранжиан уже не зависит от полей £с (х) и содержит член, квадратичный по полям д'=.

-^(Ги, Tdu)(8.128)

Диагонализуя матрицу ЩТ^п, 7'du)||, мы получим теорию с п — п' массивными векторными бозонами. Таким образом, число несо- стоявшихся голдстоуновских бозонов равно разности чисел генераторов начальной и конечной групп калибровочной симметрии.

В настоящем разделе мы выбрали условия, фиксирующие калибровку (унитарная калибровка), таким образом, чтобы было очевидно, какие частицы описывает теория. В конце разд. 9.2 следующей главы мы рассмотрим другой класс условий, фиксирующих калибровку (перенормируемые калибровки, или /^-калибровки), где несостоявшиеся голдстоуновские бозоны явно не исключаются, но пропагаторы калибровочных полей имеют хорошее высокоэнергетическое поведение и певеновми- руемость теории оказывается более очевидной.

Глава 9 КВАНТОВЫЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ТЕОРИИ

Мы переходим теперь к квантованию калибровочных теорий, процедуре получения решений уравнений поля в рамках теории возмущений и рассмотрению обобщенных тождеств Уорда.

КВАНТОВАНИЕ КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ

С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Калибровочная инвариантность теории отражает тот факт, что на динамические переменные рассматриваемой системы наложены связи, т. е. среди этих переменных имеются такие, которые не соответствуют истинным динамическим степеням свободы. Процедура квантования таких теорий более сложна, чем та, которая обсуждалась в гл. 1 для случая теории скалярного поля. Наиболее прямым способом квантования калибровочных теорий является формализм функциональных интегралов.

Трудности квантования калибровочных теорий

Мы уже познакомились с проблемой квантования электромагнитного поля Ац(х). В рамках канонического формализма канонические переменные Ам(х) и сопряженные им импульсы Лц(х) = 6S7(x)/6(doA^(x)) считают операторами и постулируют для них коммутационные соотношения. Легко установить, что величины ло(х) и V-n(x) обращаются в нуль. Это приводит к тому, что операторы ^о(х) и V-A(x) коммутируют со всеми каноническими операторами, т. е. являются на самом деле с-числами. Четыре-векторное поле Ац(х) фактически описывает две независимые динамические степени свободы. Канонические коммутационные соотношения для поперечных полей Ai (х) и л± (х), соответствующих этим степеням свободы, необходимо определить так, чтобы они были совместны с упомянутыми выше связями. Например, мы можем выбрать связи в виде V-A(x) = 0 {радиационная калибровка) или А3(х) = 0 {аксиальная калибровка). При таких формулировках теряется явная лоренц-инвариантность. С другой стороны, можно сохранить

явную лоренц-инвариантность, вводя для этого в теорию фиктивные степени свободы. При этом в качестве пространства состояний необходимо рассматривать гильбертово пространство с индефинитной метрикой (формализм Гупты — Блейлера). Последовательную физическую теорию мы получим только в том случае, если будем считать допустимыми лишь состояния, удовлетворяющие условию дМц|Чг)=0 (лоренцева калибровка). Основным моментом во всех этих формулировках является то, что фиктивные степени свободы (присутствующие из-за калибровочной инвариантности) необходимо устранить надлежащим выбором условия, фиксирующего калибровку. В формализме квантования с помощью функциональных интегралов это проявляется в том, что интегрирование производится с учетом ограничений, соответствующих калибровочному условию. Последовательный учет этих ограничений в неабелевых теориях является в высшей степени нетривиальной задачей, которая была полностью решена в работах [109, 128, 136] и во многих других [285, 330, 383, 384, 396].

Трудности квантования калибровочных теорий можно непосредственно сформулировать в терминах функциональных интегралов. Рассмотрим для определенности случай полей Янга — Миллса с калибровочной группой SU^):

3 = - 4 Ба^Ба^, а=1, 2,3,(9.1)

где

F^ = д^А" - dvA“ +geabcA^Acv.(9.2)

Если производящий функционал записать в виде

№[/]=$ [dAJ exp {/ J d4 \3 (x) + Ju (x) • A"- (x)]},(9.3)

то его часть, связанную co свободной теорией, можно предста ■ вить как

Го[7] = ^ [dAu]exp|z ^ d4x[2’0(x) +Ju(x) • A^(x)]j,(9.4)

где■

J d430 U) = - 4- d4 (дц A" - <M2) (d^A^ - dvAau) =

= 4 $ d^xA^ (x) (^V - №v) A" (x).(9.5)

Теперь ситуация очень похожа на ту, которая имела место в случае скалярной теории, и мы могли бы попытаться взять гауссов интеграл по полю Ац, как это сделано в (1.79) и (1.81):

[d^] exp [- -I" №) + УФД ~ -^—ехрЦК-Ч).(9.6)

Но это оказывается невозможным, так как оператор

K^ = gy.vd2 — д^(9.7)

в выражении (9.5), как мы сейчас покажем, не имеет обратного. Предполагая, что GvX(x— у)—ядро оператора, обратного К^, имеем

(g^O2 - д^ GvX (х - у) = ^д4 (х - уУ (9.8) Используя фурье-преобразование

С^х^-^е-^С^ЦгУ(9.9)

получаем

(-k^ + k^G^k)^.(9.10)

Произведя инвариантное разбиение

G^^k^a^k2) g^ + b^k2) кЧ\(9.11)

мы видим, что левая часть уравнения (9.10) равна —а {к2} ^g^. — кукК^ и не может быть равной его правой части. Таким образом, оператор /С^ не ймеет обратного. В этом можно убедиться по-другому, если учесть, что оператор К^, определенный в (9.7), удовлетворяет соотношению К^ (х) Кх (х) ~ ~Kp.xUy Это означает, что он является оператором проектирования (на поперечные степени свободы калибровочного поля) и, очевидно, не имеет обратного. По тем же причинам в этом случае det К обращается в нуль и соотношение (9.6) неприменимо. Такой сингулярный характер функционального интеграла, т. е. такая добавочная бесконечность связана с калибровочной инвариантностью теории. В выражениях (9.3) и (9.4) мы суммируем по всем возможным полевым конфигурациям, в том числе и по тем, которые связаны друг с другом калибровочными преобразованиями, т. е. составляют «орбиты» калибровочной группы. Учет этих лишних конфигураций и является причиной расходимости функционального интеграла. Необходимо найти способ, позволяющий выделять этот бесконечный (функциональный) объем орбиты. Для квантования калибровочной теории необходимо фиксировать калибровку.

Выделение объемного множителя при функциональном интегрировании

Иллюстрация на примере двумерного интеграла. Прежде чем приступить к вычислениям, которые позволят выделить объемный множитель из функционального интеграла (в бесконечномерном пространстве), для иллюстрации нашей стратегии

рассмотрим двумерный интеграл

(9.12)(9.12)Г = J dxdyelSto’ 8) = J dretsw,

(9.12)

(9.12)

где г=(г, 6) — полярные координаты точки. Мы предполагаем, что функция S(r) инвариантна относительно вращений в двумерном пространстве:

S(r) = S(r^)(9.13)

при

г = (г, е)^г* = (г, 0 + ^),(9.14)

т. е. S(r) постоянна на орбите (являющейся окружностью). Если в этом простом случае мы хотим учитывать вклад в ин

теграл только от неэквивалентных значений S(r), то нужно выделить «объемный множитель», соответствующий интегрированию по угловой переменной ^б?9=2л. Чтобы это сделать, рассмотрим следующую процедуру, которая может быть обобщена на более сложные случаи. Прежде всего подставим соотношение

1 =1 =dф& (6 — ф)dф& (6 — ф)(9.15)(9.15)

1 =

1 =

dф& (6 — ф)

dф& (6 — ф)

(9.15)

(9.15)

в первоначальное выражение для W".

^=^ф^ dresw^^-ф^ = J dфWф, (9.16)

где ^=^drd(6 — ф) es (г| вычисляется для данного значения угла ф. Таким образом, мы сначала вычисляем величину W при фиксированном значении угла 6 = ф, а затем интегрируем по вкладам, соответствующим всем значениям ф (рис. 9.1, а). Используя свойство инвариантности (9.13) функции S, имеем

(9-17)(9-17)W* = Wy.

(9-17)

(9-17)

Следовательно, объем орбиты можно выделить в виде множителя:

W = ^ф^ф=^ф^ф = 2л^Ф.(9.18)

В общем случае можно выбрать более сложную связь, чем 6 = ^, которую мы представим уравнением кривой

£(г) = 0,(9.19)

пересекающей каждую орбиту только один раз, как это показано на рис. 9.1,6, т. е. уравнение ^(г^,)—О должно иметь единственное решение ф для данного значения г. Рассматривая связь общего вида (9.19) вместо простого уравнения (9.15), мы должны определить функцию Ag(r), такую, что

[Мг)Г'= $ W^Ml-(9.20)

Следовательно,

a Ag(r) инвариантна относительно двумерных вращений (9.14), так как

[Ag(r^)]"i = ^ ^^(г^^)] = ^ dф"Ь ^(r^)J = (Ag(r)]-1.(9.22)

Повторяя этапы (9.16)—(9.18), мы можем выделить объемный множитель из интеграла

W=^dфWф,(9.23)

где

^Ф = dreiS (r,Ag (г) б (^ (г,)].(9.24)

Величина ^ф инвариантна относительно вращений:

Wy = ^dreiS (r,Ag (г) б [^ (г^)] =

= ^ dr'eLS (r,)Ag (/) б [g (г^)] = ^Ф ,(9.25)

где мы ввели переменную г'= (г, ^>') и воспользовались тем, что S(r), Ag(r) и мера интегрирования dr инвариантны относительно вращений. Таким образом, для выделения «объемного» множителя мы можем ввести под знак интеграла ограничивающую 6-функцию и умножить ее на функцию Ag, определенную равенством (9.20).

Объемный множитель в функциональном интеграле в калибровочных теориях. Вернемся теперь к нашей задаче выделения объемного множителя при функциональном интегрировании в производящем функционале в калибровочных теориях. Процедура здесь в точности та же, что и в рассмотренном простом случае. Действие инвариантно относительно калибровочного преобразования

где

А® • т/2 = (/ (0) [Ац • т/2 + ^ U'1 (0) duU (0)] 1Г1 (0),

(/(0) = ехр [—(0 (х) • т/2].(9.26)

Величины 6 являются параметрами группы, зависящими от точки пространства-времени. Матрицы т—матрицы Паули. Действие постоянно на орбите калибровочной группы, состоящей из всех А®, полученных из некоторой фиксированной конфигурации Ац преобразованием U(6), пробегающим по всем элементам группы 5(7(2). При правильном квантовании функциональное интегрирование должно осуществляться только по «гиперповерхности», которая пересекает каждую орбиту лишь один раз. Таким образом, если мы запишем уравнение гиперповерхности в виде

/а(Ац) = 0, а = 1,2,3,(9.27)

то уравнение

f«№ = 0(9.28)

должно иметь единственное решение 9 при данной полевой конфигурации Ац. Соотношение (9.27) представляет собой условие, фиксирующее калибровку.

Необходимо также определить интегрирование по группе. Пусть 6 и 6' — элементы группы 5(7(2) ). Если (7(0) —матрица некоторого представления этой группы, то групповое умножение можно представить в виде

U (0) U (0') = (7 (00').(9.29)

В окрестности единичного элемента можно записать

(7 (0) = 1 + 10 • т/2 + О (02).(9.30)

Меру интегрирования по группе можно выбрать следующим образом:

з

[^0] = П №а."(9.31)

а = |

Эта мера инвариантна в том смысле, что

d (00') = d0'.

Мы теперь можем выделить объемный множитель, вводя функцию Af [Ац]:

Af-I[AJ = J [й0(х)]б[/а(А®)].(9.32)

Следовательно,

Af [AJ = detMf,(9.33)

где

=(9.34)

Таким образом, матрица Mf связана с бесконечно малыми калибровочными преобразованиями функции fa[AJ. Точнее говоря, при бесконечно малых калибровочных преобразованиях, которые в соответствии с (9.30) имеют вид

Л®“ = Д“ + 8а6с06Л= - -1- due°,(9.35)

изменение fa [Au] определяется соотношением

fa [А® (х)] = L [Au (х)] + 5 d'y [Mf (х, y)]a&e& ^ + О (О2).(9.36)

Из требования единственности решения уравнения (9.28) следует, что (detMf) отличен от нуля.

Функция Af[Au] обладает важным свойством калибровочной инвариантности. Чтобы увидеть это, запишем соотношение (9.32) в виде

Ar'rA^H^o'wld^CA®')]; (9.37) тогда

АГ1 [Ац] = J [de' (х)] б [f„ (А®6' (х))] =

= ^(б(х)е' (х))] б [fa (А®6' (х))] =

= 5 [de" (х)] б [fa (А®" (х))] = АГ1 [AJ (9.38)

Подставим теперь (9.32) в выражение для амплитуды перехода из вакуума в вакуум, записанное в виде функционального интеграла:

$ [dAJ exp {i J d4$ (x)} = J [d9 (x)] [dAu (x)] Af [AJ X

X 6 [f„ (A®)] exp {/ 5 d4x^(x)} = 5 [de (x)] [dA, (x)] Af [AJ X

X 6 [fo (AU)J exp {i J d4$ (x)}.(9.39)

При получении последнего равенства мы воспользовались инвариантностью выражений для А^АЦ] и ехр |/ ^ d^xS (х)} относительно калибровочных преобразований А®—*-Аи. Но подынтегральное выражение не зависит от 0(х), и интегрирование по П^е(х) дает бесконечный объем орбиты, который мы и стремились выделить. Поэтому производящий функционал калибровочного поля Ац (с учетом (9.33) и (9.39)) можно записать

в виде

HMJ1=$ [^AJ(detMf)6[L(AJ]X

X exp ^i d'x \3 (x) + Ju • A1*]}.(9.40}

Это анзац Фаддеева — Попова (ФП) [128]. Другими словами, мы можем устранить все лишние интегрирования в процедуре квантования, введя в функциональную меру множитель де1|б//бе|б[/(Лц)]_

Проверка анзаца ФП в аксиальной калибровке

Прежде чем продолжить изложение формализма квантования, мы рассмотрим анзац ФП в некотором частном случае. Выберем в качестве условия, фиксирующего калибровку, так называемую аксиальную калибровку [23]

fa = A3 = 0.(9.41)

При калибровочных преобразованиях (9.35) преобразование (9.36) с учетом (9.41) имеет вид

fa (А®) = А3 + eab%bAc3 - ^-д36° = - ^-дз6°.(9.42)

Отсюда следует, что матрица ЛД = (—l/^dsSa» не зависит от калибровочного поля. При таком выборе (аксиальной) калибровки мы можем опустить множитель (det МД в W7/[J]:

U7f [J] = [dAJd (АД exp {iS [J]},

S [J] = J d4x [1- (РаЛ + J^°u] •(9.43)

Удобнее работать с другой формой производящего функционала:

W'f [J]= J ]dFuv] [г/А(1]д(А3)ехр{1У[<(9.44)

где

s' [j]=j d4x [- 4- №2+(<M“ -

- д.A^ + grea6^^;) + /“A**"].(9.45)

Если проинтегрировать no F^v, то выражение (9.44) для Wf [J] сведется к (9.43)."

Необходимо проверить совместность формулировки ФП, т. е. выражений (9.43) и (9.44), с каноническим квантованием. Иными словами, нужно убедиться, что рассматриваемые ограничения в функциональном интеграле приводят к тем же дина-

мическим переменным, что и процедура канонического квантования.

Сначала мы идентифицируем независимые канонические переменные в аксиальной калибровке Л“ = 0. Лагранжиан в (9.45) имеет вид

- Т (^v)2 + ^-Flia <dtAi - д^ + ^8а6сД?Д?) +

+ FOia (d0 Л? - dtAo + g^AUt) +

+ Fi3° (—д3Л“) + F03a ^—d3A“\(9.46)

где i, / = 1, 2.

Уравнения Эйлера — Лагранжа

»(^v)

6Fa ’

(9.47)

6 И)

ЬЗ'

Ч

(9.48)

приводят к следующим уравнениям связи (не содержащим производных по времени):

F"; =6^“—djA“-V-g8abcAbAcj, F^=-d3Aa(,

F“3 = -д3До, d‘F^ - d3F^ = —geobcFbiAtc (9.49) и динамическим уравнениям

F^=d0A<?-diA^ + geabcAUb(9.50а)

^F"t = —geabc <FbMA!c + Fb3lA3c\(9.506)

Следовательно, A“, F^, F^ и F“3 — зависимые переменные; с помощью уравнений связи (9.49) их можно исключить из выражения для S' (которое сводится к S"), выразив через остающиеся переменные Д“ и Р«. Такая идентификация независимых канонических переменных приводит нас к следующему выражению для производящего функционала:

^; [J] = ^ [dF01] [dF02] [dAJ [dA2] exp {rS" [J]}.(9.51)

Совместимость анзаца ФП с процедурой канонического квантования будет установлена, если показать, что этот функциональный интеграл эквивалентен (9.44), а значит, и (9.43). Для этого необходимо доказать, что, если динамическая переменная входит в действие по крайней мере квадратично (с постоянным коэффициентом), то интегрирование по ней равносильно исключению ее из действия с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа. Справедливость этого утверждения можно проиллю-

стрировать следующим образом. Рассмотрим (гауссов) функциональный интеграл

№]exp(zS№} =

= [d^] exp р ^ d4 [-5- а^2 (х) + f (х) ф (х)]} =

= exp{-4-^4x^Wl2}- <9-52)

Уравнение Эйлера — Лагранжа, полученное из выражения для S, содержащегося в (9.52), имеет вид

Жх)-Н(х) = 0.(9.53)

Исключая ф^х) из S, получим равенство

S = - -^ $ d4 [f(x)]2,(9.54)

которое вновь приводит к (9.52). Это завершает демонстрацию того, что анзац ФП действительно приводит к правильным (т. е. тем же, что и каноническая процедура) ограничениям на меру интегрирования. Как мы проиллюстрировали во введении в функциональное интегрирование в гл. 1, гамильтонов формализм, основанный на производящем функционале

W [Л] ~ ^ф du\ exp {z d^x [лд0^> — 36 (л, ф') + 7^>]|,(9.55)

записанном в виде функционального интеграла, эквивалентен лагранжеву формализму, в котором

W [7] ~ J VW exp {z J d4 \$ (ф, д^ф) + 7^]} .(9.56)

Нетрудно убедиться, что функционал (9.51) отвечает гамильтоновой формулировке, в которой F“t — поперечные канонические импульсы.

Поскольку в этой аксиальной калибровке детерминант ФП можно опустить, процедура квантования в ней выглядит особенно просто. Но в этой калибровке мы теряем явную лоренц- инвариантность, а правила Фейнмана достаточно сложны.

Абелева калибровочная теория

Следует отметить, что весь формализм, развитый в этом разделе, может быть применен и в более простом случае абелевой калибровочной теории. Для калибровочных преобразований группы 1/(1) выражение (9.35) принимает вид

4(х) = Ди(х)-^-<Эц0(х).(9.57)

Понятно, что при любом выборе калибровочного условия (9.27), линейного по полю Лц(х), матрица Mf в (9.34) или (9.36), так же как и в только что рассмотренном частном случае аксиальной калибровки в неабелевой теории, не зависит от Ли(х). Множитель ФП (detMf) не существен с физической точки зрения, и его можно опустить в производящем функционале:

X exp р’ d'x \$ (х) + Zu (х) Ли (х)]}.(9.58)

ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА

В КОВАРИАНТНЫХ КАЛИБРОВКАХ

При практических расчетах удобнее работать в ковариантных калибровках, в которых в отличие от аксиальной калибровки необходимо рассматривать нефизические «духовые поля». В качестве отправного пункта возьмем производящий функционал (9.40), записанный в виде

Г[Л]= J [dAJ exp {/5эфф + i J dW • A J.(9.59)

Таким образом, мы представили множитель det M.S [fa (Л^) ], возникший в результате модификации ФП, в виде экспоненты, добавив тем самым к действию дополнительный член и получив новое действие £эфф- На этом языке удается решить проблему квантования калибровочного поля, так как новые слагаемые в действии приводят в прототипном гауссовом подынтегральном выражении в (9.6) к новому оператору К с отличным от нуля детерминантом и обратимому.

Духи Фаддеева — Попова

Величину detAIf можно непосредственно записать в виде экспоненты:

detAff = exp {tr (In AIf)}.(9.60)

Представляя матрицу Mf в виде

Mf=\ + L,(9.61)

приходим к соотношению

exp {tr (In Мf)} = exp ^tr L + ^- tr L2 + .. . + -^- tr Ln + ...} = = exp |^ d4Laa (x, x) +

+ -^ d4x d*yLab (x, y) Lba (y, x) + ...},(9.62)

которое приведено на рис. 9.2.

Этот ряд можно рассматривать как ряд по петлям, соответствующим фиктивному изотриплету комплексных скалярных полей с(х). Эти поля и их взаимодействия можно описать производящим функционалом det Mr ~ J [de] [dc+] X

X exp fi ( d^xd^y £ Ca (x) [Aff (x, y)]ab cb (z/)l.(9.63)

( Ja. 6J

Поскольку гауссов интеграл пропорционален не (detAIf)-1, а detAlf, как в случае интегрирования по грассмановым переменным, скалярные поля с(х) должны удовлетворять статистике

LbL

О

ааа

Рис. 9.2. Графическое представление детерминанта Фаддеева — Попова.

Ферми (см.обсуждениевразд.1.3,особенно уравнения

— (1.141)). Эти поля называют духовыми полями Фаддеева — Попова.

Члены, фиксирующие калибровку

Попытаемся теперь превратить также дельта-функцию б[/а(Ац)] в экспоненциальный множитель. Это можно сделать, обобщая условие, фиксирующее калибровку, т. е. переходя от fa (Au) = 0 к условию

L[Au] = Ba(x),(9.64)

где Ва(х')—произвольная функция пространственно-временной точки, не зависящая от калибровочного поля. Определение (9.32) функции Af соответственно обобщается и принимает вид

J [d6 (х)] Af [AJ б [fa (А®) - Ва (х)] = 1.(9.65)

Это определение, очевидно, приводит к той же функции Af, что и (9.32). Как и прежде, можно выделить бесконечный объем орбиты и записать производящий функционал в виде

[J] = S W [^В1 (det Mf) б Vfa (Au) - Ba] X

Xexpp ^ d4x^S” (x) — Ju • Au — ^-B2(x)jj,(9.66)

причем мы включили в подынтегральное выражение константуconst ~ [dB] exp ( —d4xB2 (х)|,

где £—произвольный постоянный коэффициент — калибровочный параметр. Производящий функционал (9.66) отличается от производящего функционала (9.40) на несущественный нормировочный множитель. Теперь с помощью дельта-функционала можно снять интегрирование по [t/B (х) ]. Учитывая (9.63), мы получаем

Г [J] = ([dAJ [de] [dc+] exp {/5эфф [J]}, где

5эМ,[Л] = 5[Л] + 5Фк + 5дфп,(9.67)

а дополнительными членами в действии являются фиксирующий калибровку член

5фк=-^-^4х{/а[Аи(х)]}2(9.68)

и член, содержащий духи ФП,

5дфп = \ d4x d'y £ Са (х) [Mf (х, у^аЬсь (У)-(9.69)

Jа. Ь

Ковариантные калибровки в калибровочных теориях

Здесь мы рассмотрим специальный выбор калибровочного условия (9.27) или (9.64) {ковариантная, или лоренцева, ка

либровка')

1а(Ац) = д^ = 0, а = 1,2,3.(9.70)

При инфинитезимальных калибровочных преобразованиях

У(0(х))= 1+Z9(x) • т/2 + О(02),(9.71)

А^ (х) = А“ (х) + ео6с06 (х) А= (х) - -^ д^а (х)(9.72)

имеем

Г (А®) = Г (Аи) + [еа6с06 (х) а; (х) - ^ дц0а (х)] =

= Г (Аи) + 5 ^у [Mf (х, ^О» {у),(9.73)

где

W(^ ^а^-^рЧб^-^^бЧх-^(9.74)

С помощью выражений (9.70) и (9.74) мы можем вычислить дополнительные члены (9.68) и (9.69) в эффективном действии:

S*K=-^d4x(^AJ2,(9.75)

5дфп = \ДЧ 2 4 (х) д" [да6дц — £еа6сЛц] сь (х).(9.76)

8 J а, b

Вводя ИСТОЧНИКИ rf, Т]а ДЛЯ духовых полей Са И Са, МОЖНО записать производящий функционал в виде

W[ [J, я> if ] = $ [dA^dcdc+] exp p ^ d4 ^ (x) — -^ (d^A^)2 +

+ Ca^ [da6du — gea'JCASl cb + J^A^ + rfV + ^c0^},(9.77)

где мы переопределили поля с и с'\ включив в них множитель 1/g.

А. Разложение по теории возмущений в ковариантной калибровке. Чтобы произвести разложение в ряд теории возмущений, сначала представим эффективное действие в чистой теории Янга — Миллса в виде суммы S^ = S0 + Sj, где свободное действие So квадратично по полям:

So = J d4x [- 4- (d, Aa - М£)2 - -^ (dLAS)2 +

++ JXa + <cG + naca+], (9.78)

a S; — член, отвечающий взаимодействию:

S, [Ац, с, с1 = J d4 [- 4 (^А“ - д.А^ g6abcA^A” +

+ 4 gWA^ AU^A” - ig^W^A^. (9.79) Производящий функционал можно записать в виде Hj, П, <] =

- {-s- [w ■ тяг- щт]} ^ lJl ^ h. Л (9.80) где

W°A [J] = J [dAJ exp {i ^4x [J- (M? - dvA“)2 -

-4(^)4 Z^]}, Wc h> П+] = [^c+] [^c]exp |—i d^x lco+d2c° —

-^V-nV1"]}.(9.81)

Б. Пропагаторы. Чтобы найти пропагатор поля AK, перепишем Й7д в виде

W°a [J] = J [dAJexp {/ J d4x[4 AS (^d2-

= J \d Ац] exp {i J d4 [4 AXM + 7“ Aua]}, (9.82)

где оператор

обладает обратным. Проинтегрировать по [dAu] можно, воспользовавшись соотношением (9.6):

W°A [J] = exp { - 1 ^ dWyj“ (х) Gat (х - z/) Jb (z/) } ,(9.83)

где ^UV/ \ x C d^k ik(X-y)\ („uvt AUF "I 1

Gab(x-g^ = &ab\we

Легко проверить, что

J d^yK^at (x - z/) G^ (z/ - z) = да4 (x - z).(9.84)

Аналогично найдем

Wc [л> лЛ = exp { — z ^ d^xd^yv^ (x) Gab (x — z/) i/ (z/) } .(9.85)

где

G (x — z/) = — ^ (2я)4" a2 + /8 6°6 ‘

Таким образом, мы имеем следующие правила Фейнмана:

пропагатор векторных бозонов

Л“» (А) = - babi [g^ - (1 - Ю ^^;^xv^

пропагатор духов ФП

iKab (k) = —i&ab £2 + /е •■ аь

Линия, соответствующая духовому полю, так же как линия для фермиона, имеет направление, т. е. дух отличается от своей античастицы.

Взаимодействия калибровочных полей. В неабелевых теориях имеются самодействия калибровочных полей, которые с помощью векторов поляризации 8^(6) записываются в виде гккх^Ч^гх^Га^^, k2, к^,(9.86)

8u(/z1)8V(/z2)8X(/z3)8P(/z4)r^p(/z1, к2, кз, к.\(9.87)

Правила Фейнмана для вершинных функций Г вытекают из выражения (9.79) для Si. Их можно установить непосредственно, применяя процедуру, изложенную в гл. 1 (для теории Х^>4). Но они легко выводятся и из свойств симметрии относительно пе-

рестановок калибровочных полей. Такой вывод помогает также запомнить их структуру. В импульсном пространстве первый член в выражении (9.79) имеет вид

^Д^^дЬ^А0^?^ А2, А3),(9.88)

где функции А являются фурье-образами калибровочных полей, a Г^л— вершина (9.86) в правилах Фейнмана, которая должна быть полностью антисимметрична при перестановках полей А. Структура, связанная с калибровочной группой SU^), уже фиксирована:

Г^ (Аь А2, А3) = е^Т^ (A,, А2, А3), (9.89)

а лоренцеву структуру этой функции можно вывести. Из (9.79) ясно, что Гц¥х(^1, А2, А3) состоит из членов вида k2vigvx- Точную комбинацию этих членов можно установить из требования антисимметричности TpvHAi, А2, А3) относительно перестановки индексов: ц -«-► v, 1 -«-► 2, и т. д., так как тензор еаЬс полностью антисимметричен. Поступая таким образом, найдем

3) iT^ = igea6c[(Al-A2)x^v +3) iT^ = igea6c[(Al-A2)x^v +гдегде+ (Аг А3)ц gvX + (А3 AJV £цХ],+ (Аг А3)ц gvX + (А3 AJV £цХ],Aj + А2 + А3 = 0.Aj + А2 + А3 = 0.

3) iT^ = igea6c[(Al-A2)x^v +

3) iT^ = igea6c[(Al-A2)x^v +

где

где

+ (Аг А3)ц gvX + (А3 AJV £цХ],

+ (Аг А3)ц gvX + (А3 AJV £цХ],

Aj + А2 + А3 = 0.

Aj + А2 + А3 = 0.

Аналогично для четверного самодействия калибровочного поля в (9.79) имеем вершинуАналогично для четверного самодействия калибровочного поля в (9.79) имеем вершину4) iT%p — ^2[е 6eecde (§ц^р — gvXg^p)++ йаСЧМе <gwgXp - gxvgpp) ++ йайЧсЬе (gpXgpv - gpXgpV)]-. гдеAi + A2 + A3 -|- A4 = 0.4) iT%p — ^2[е 6eecde (§ц^р — gvXg^p)++ йаСЧМе <gwgXp - gxvgpp) ++ йайЧсЬе (gpXgpv - gpXgpV)]-. гдеAi + A2 + A3 -|- A4 = 0.Для вершины, связывающей в ковариантной калибровке поля духов и калибровочное поле с вектором поляризации еч(А1+А2), имеемДля вершины, связывающей в ковариантной калибровке поля духов и калибровочное поле с вектором поляризации еч(А1+А2), имеем

Аналогично для четверного самодействия калибровочного поля в (9.79) имеем вершину

Аналогично для четверного самодействия калибровочного поля в (9.79) имеем вершину

4) iT%p — ^2[е 6eecde (§ц^р — gvXg^p)+

+ йаСЧМе <gwgXp - gxvgpp) +

+ йайЧсЬе (gpXgpv - gpXgpV)]-. где

Ai + A2 + A3 -|- A4 = 0.

4) iT%p — ^2[е 6eecde (§ц^р — gvXg^p)+

+ йаСЧМе <gwgXp - gxvgpp) +

+ йайЧсЬе (gpXgpv - gpXgpV)]-. где

Ai + A2 + A3 -|- A4 = 0.

Для вершины, связывающей в ковариантной калибровке поля духов и калибровочное поле с вектором поляризации еч(А1+А2), имеем

Для вершины, связывающей в ковариантной калибровке поля духов и калибровочное поле с вектором поляризации еч(А1+А2), имеем

а.а.*тл®Ьс аЬс«5) гГц = ge к^.*тл®Ьс аЬс«5) гГц = ge к^.

а.

а.

*тл®Ьс аЬс«

5) гГц = ge к^.

*тл®Ьс аЬс«

5) гГц = ge к^.

Заметим, что эта вершина имеет антисимметричный вид. Необходимо установить согласованное правило, сопоставляющее импульс духовым линиям, входящим слева и справа в каждую вершину. Духовые линии входят в диаграммы только в виде петель. Наряду с каждой диаграммой, содержащей замкнутую петлю калибровочного поля, существует топологически эквивалентная ей диаграмма с замкнутой духовой линией в том же месте. Очень важен тот факт, что, как и в случае фермионных петель, каждая духовая петля должна умножаться дополнительно на —1.

Заметим также, что от калибровочного параметра £ зависит только пропагатор калибровочного поля, и значения этого параметра можно подбирать соответствующим образом в зависимости от решаемой задачи. В классе ковариантных калибровок случай ^ = 1 называют калибровкой т’Хофта— Фейнмана, а случай £ = 0— калибровкой Ландау.

Г. Фермионы. Введение фермионов в чистую теорию Янга — Миллса, рассмотренную выше, не связано с какими-либо трудностями: достаточно добавить к лагранжиану все возможные калибровочно-инвариантные члены, размерности которых не выше четырех:

^ = ф(гуцДц — т)ф, (9.90)

где

О^ф = 5цф — igT°A^.

Матрица Та соответствует генератору в данном представлении. Например, если ф является SU(2)-дублетом, то Та = т°/2. Таким образом, имеются дополнительные правила Фейнмана для фермионов (с групповыми индексами п, т, ...) :

фермионный пропагатор

+ ie ’» - 777

вершина, соответствующая взаимодей- лк zm ствию фермиона с калибровочным бозоном,.X

iT^ = tg(Ta)„mY<

Калибровка /?р в калибровочных теориях со спонтанным нарушением симметрии

Наконец, мы подошли к формулировке правил Фейнмана для калибровочных теорий в ковариантной калибровке и со спонтанным нарушением симметрии. Рассмотрим сначала слу-

чай абелевой симметрии. Учитывая обсуждение в разд. 8.3, следует устранить смешивающий член в (8.89)

gvA^d^-(9.91)

где ^г — несостоявшееся голдстоуновское бозонное поле. В разд. 8.3 мы выбрали унитарную калибровку, в которой поле ^2 отсутствует в теории. Таким образом, ф2 можно отождествить с фазой комплексного скалярного поля, и эта фиктивная степень свободы может быть устранена калибровочным преобразованием. Преимущество унитарной калибровки состоит в том, что в ней явно видно, какие частицы описываются теорией. Все состояния, имеющиеся в теории, суть физические состояния хигг- совской частицы и массивного калибровочного бозона с пропагатором, естественным для теории массивного векторного поля (с массой М = gv):

(9.92)

Мы уже отмечали в гл. 2, что теория с таким пропагатором для полей со спином 1 окажется неперенормируемой с точки зрения простого подсчета индекса расходимости, если не обнаружено взаимное сокращение определенных функций Грина. Тем не менее, исходя из того факта, что теория с первоначальным лагранжианом до спонтанного нарушения симметрии была перенормируемой с точки зрения подсчета индекса расходимости, т’Хофт [383, 384] доказал, что она остается такой и после спонтанного нарушения симметрии. Ключевым моментом в этом доказательстве является то, что в калибровочной теории можно выбрать другие калибровки — перенормируемые калибровки, в которых теория обладает хорошим высокоэнергетическим поведением. Дело в том, что, хотя интерпретация в терминах частиц в унитарной калибровке достаточно проста, перенормируемость не столь очевидна, так как конечные элементы S-матрицы получаются только в результате взаимного уничтожения различных расходящихся функций Грина. Но эта теория должна быть эквивалентна теории в перенормируемой калибровке, где мы получаем пропагаторы с хорошим высокоэнергетическим поведением ценой введения фиктивных частиц (несостоявшихся голдстоуновских бозонов). Таким образом, в перенормируемой калибровке унитарность не является явной, и необходимо убедиться, что фиктивные степени свободы действительно не дают вклада в физические амплитуды. Такие теории относят к «криптоперенормируемым».

Общий класс перенормируемых калибровок можно описать, выбрав фиксирующее калибровку условие (9.64) в виде

f Иц> Ф) = (Мц + Шфг) = 0,(9.93)

где g — произвольный параметр. Тогда член, добавляемый к первоначальному лагранжиану и связанный с условием, фиксирующим калибровку, также обобщается и принимает вид

^Фк = - ^ (5МЦ + UW-(9.94)

В этом случае смешанный член (9.91) не появляется, и нет необходимости делать преобразования, устраняющие поле ф2. Приведем явный вид свободного лагранжиана, не выписывая явно члены, содержащие духи ФП:

=4 iW)2 - wj+4 iw2 - ^ф'?\ -

- |(^Av - 5V Дц)2 + 4 М2АЛ - -^ (<?Ч)2.(9.95)

где ф' и ф^,— сдвинутые скалярные поля (8.87). Отсюда сле

дуют

пропагатор хиггсовского скаляра

tAl (Al) .о л 2 I •1 ' 7 к2 — 2ц + ;е

пропагатор несостоявшегося голдстоуновского бозона

г'Д2(^)fe2_^M2 + le ;

Фг"*

пропагатор калибровочного бозона в /^-калибровке

/t-X/X/WX/W/t-X/X/WX/W<Дцу (^) ~ й2_^2+/е [^V(1^А2— gA/aJ —

/t-X/X/WX/W

/t-X/X/WX/W

_ -Г 8цм —кц^/М2 кук^Мг

— Ч й2 - М2 + и + А2 — £М2 + Ze J •

Лагранжиан взаимодействия дается выражением

^ = 8 A W; - 8*^ +1^,^ № + Ч -

— Т № + ^а’У + ^’,А*А»<'\ — W', № + #,!)(9.96)

и приводит к следующим

вершинам:

11) </>[</>'Д-вершина

.g(Pi+Pz)^

РгХ

ДД^>[-вершина

ДД^>^>-вершина

^«/•-вершины

^</></>-вершины

Pt

Этот класс калибровок, называемых R^-калибровками [150, 439], характеризуется калибровочным параметром £. При любом конечном значении параметра £ пропагатор векторного бозона имеет следующее асимптотическое поведение:.

A^v (/г)-> О (/г-2) при к —> ОО.

Если теперь учесть, что константы взаимодействия имеют размерность 0 или 1 в единицах массы, то теория является перенормируемой с точки зрения подсчета индекса расходимости. Например, в частном случае |= 1 пропагатор имеет вид

<Л^ Ui)<Л^ Ui)k2-M2-pi6 *k2-M2-pi6 *

<Л^ Ui)

<Л^ Ui)

k2-M2-pi6 *

k2-M2-pi6 *

С другой стороны, в пределе ^-*-оо пропагатор поля ^>' (правило 9) обращается в нуль, и несостоявшиеся голдстоуновские бозоны выпадают из теории. Пропагатор векторного мезона (правило 10) принимает вид (9.92), стандартный для массивных частиц со спином 1. Таким образом, мы приходим к унитарной калибровке, в которой нефизические поля отсутствуют.

При любом конечном значении £ пропагаторы поля ^>' (пРа" вило 9) и калибровочного бозона (правило 10) имеют нефизические особенности при А2 = ^М2. Для сохранения унитарности

Рис. 9.3

необходимо, чтобы эти нефизические полюса уничтожались в элементах S-матрицы, включающих только физические частицы: Д^ и ^[. На самом деле так и происходит. Мы можем проиллюстрировать это на следующем примере [150]. На рис. 9.3 показаны некоторые древесные диаграммы, соответствующие процессу

(наряду с ними имеются диаграммы, в которых конечные Д-ли- нии перекрещиваются). Диаграмме на рис. 9.3, а, изображающей обмен квантом поля Д, соответствует выражение

= 6ч (А3) W^ (А4) (- 0 [^_у^1 + ^^].

В нефизическом полюсе q2 = ^М1 оно может быть записано в виде

^^люс = ^Е^ 1М“ (*з)] [*2^ (*<)]•(9.97)

Но диаграмма на рис. 9.3,6, изображающая обмен квантом поля </>', дает вклад

ЦШ = 6ч (А3) g (kY + qX ev (A4) g (A2 — q\ ql2^ =

= -^^[V(A3)] W (A4)P который уничтожает вклад нефизического полюса, соответствующий обмену квантом поля А^ в (9.97). Такое уничтожение

нефизических полюсов носит общий характер и может быть доказано во всех порядках теории возмущений с помощью обобщенных тождеств Уорда, являющихся следствием калибровочной инвариантности теории. На практике хорошей проверкой калибровочной инвариантности некоторого вычисленного элемента физической S-матрицы является отсутствие в конечном результате зависимости от произвольного параметра £. Пример вычислений в /?^-калибровке приведен в разд. 13.3.

Обобщение на случай неабелевых симметрий очевидно. Например, в SU(2)-калибровочной теории с комплексным дублетом ф член, добавляемый к лагранжиану и соответствующий /?^-калибровке, имеет вид

^фк = - У^ - ig^ « у ^ - ^4 Wo)]2. (9.98)

Правила Фейнмана в /^-калибровке для стандартной SU^X X П(1)-теории электрослабых взаимодействий приведены в приложении Б.

9.3. ТОЖДЕСТВА СЛАВНОВА — ТЕЙЛОРА

Изложив в разд. 9.1 и 9.2 процедуру квантования и сформулировав правила Фейнмана для калибровочных теорий, мы можем теперь перейти к вычислениям по теории возмущений. При этом можно воспользоваться процедурами регуляризации и перенормировок, рассмотренными в гл. 2. Из правил Фейнмана, сформулированных в разд. 9.2, видно, что все константы взаимодействия являются безразмерными, а высокоэнергетическое поведение пропагаторов таково, что теория должна быть перенормируемой согласно подсчету индекса расходимости. Расходящиеся диаграммы более высоких порядков можно регуляризовать в рамках схемы аналитического продолжения по размерности пространства-времени (t/) и тем самым определить, какие контрчлены необходимо добавить к первоначальному лагранжиану. Оии имеют тот же вид, что и члены в первоначальном лагранжиане, но умножаются на коэффициенты, которые расходятся в пределе е=(4— </)->-0. После добавления к лагранжиану этих контрчленов функции Грина конечны при е ->- 0 во всех порядках теории возмущений. Практически это довольно сложная программа. Возрождение в последние годы интереса к теоретико-полевому исследованию взаимодействия частиц в значительной степени объясняется предложенным т’Хофтом [383, 384] доказательством того, что неабелевы калибровочные теории перенормируемы и что эта перенормируе- мость сохраняется даже в случае спонтанного нарушения калибровочной симметрии. Подробное обсуждение процедуры перенормировок в калибровочных теориях [258, 259] выходит за

рамки книги. Здесь мы рассмотрим лишь обобщенные тождества Уорда в теории Янга — Миллса, которые иногда в литературе называют также тождествами Славнова [367] — Тейлора [380] , играющие важную роль в программе перенормировок.

Тождества Уорда — это соотношения между различными функциями Грина. Они отражают (нетривиальную) симметрию теории (в данном случае калибровочную инвариантность первоначального действия). Важность этих соотношений в процедуре перенормировок связана с тем, что они ограничивают число независимых ультрафиолетово-расходящихся структур и обеспечивают отсутствие калибровочно-неинвариантных контрчленов. Напомним, что в простой абелевой калибровочной теории КЭД из тождеств Уорда вытекает равенство Zi = Z2, из которого следует, что если две частицы имеют одинаковые голые заряды, то их перенормированные заряды также совпадают. В неабелевых теориях имеется намного больше перенормировоч- ных констант, и для доказательства того факта, что перенормированный лагранжиан по-прежнему остается калибровочноинвариантным, требуется намного больше соотношений между ними. Кроме того, как будет показано ниже, тождества Уорда гарантируют уничтожение всех нефизических сингулярностей в физических амплитудах. Формальный вывод обобщенных тождеств Уорда в неабелевой калибровочной теории мы приводим в конце раздела.

Тождества Уорда и унитарность

Рассмотрим обычную SU(2) -калибровочную теорию с фермионами Д) в дублетном представлении. Требование унитарности S-матрицы

ss+ = s+s=i, или Еу;с=ба1,с

означает, что амплитуда рассеяния Таь, связанная с 5аь равенством

Sab = &аь + i (2л)4 д4 <Ра - Рь) ТаЬ,(9 99).

удовлетворяет соотношению

ImTa6 = 4 ^TJ^W(Pa-Pby (9.100> С

Другими словами, из требования унитарности S-матрицы следует, что мнимая часть амплитуды рассеяния Таь непосредственно выражается через сумму произведений матричных элементов, связывающих начальное и конечное физические состояния со всеми физическими состояниями той же энергии и импульса. Для наших вычислений мы рассмотрим амплитуду рассеяния фермиона на антифермионе ЦД-^Д) в промежуточном состоя-

нии (см., например, [10, 138]). Схематически это показано на рис. 9.4.

Мнимая часть амплитуды рассеяния в левой части соотношения (9.100) может быть вычислена, если пропагаторы в промежуточных состояниях заменить на их мнимые части и умножить их на амплитуды рассеяния Тф^-АА) и Т* фАjf)^ взятые из массовой поверхности [103].

Рис. 9.4. Условие унитарности связывает абсорбтивную часть амплитуды процесса П-^П (а) с суммой квадратов амплитуд процесса ff->-АА в физической области переменных двух калибровочных бозонов (б).

Для пропагатора векторного бозона (правило 1 в разд. 9.2) мы выберем калибровку т’Хофта — Фейнмана с калибровочным параметром £=1:

^ = 6°Ч-§№Ж+^(9.101)

Его мнимая часть равна

^а^б(/г2)0(о)),(9.102)

где а>=| к]. Аналогично мнимая часть пропагатора духов (правило 2 разд. 9.2) имеет вид

лдо6д(/г2)0(<о).(9.103)

Наличие ступенчатых функций в (9.102) и (9.103) приводит к тому, что промежуточные состояния калибровочных частиц и состояния духовых частиц изменяются в одной и той же физической области. Условие унитарности для амплитуды в четвертом порядке теории возмущений имеет вид

$ dP1 [у r№V'gwVv - sa6sa6*] =

= у J d^T^T^P^' (М Р^ (М -(9.104)

где 7^ и Sob— амплитуды переходов ff —» А^АЬ и ^f^-c^c6 соответственно, а A^(c°)— калибровочное (духовое) поле. Интегрирование по dp2— это интегрирование по фазовому пространству двух (безмассовых) частиц. Через Р№ обозначены суммы

по поляризациям калибровочных частиц:

Р№'^ = JL^ky, а^е^ку, а),

PVV'(M = 2 ^Ж, а)е^(/г2, а),(9.105)

где е^/гр а) и е£ (£2, а)— четыре-векторы поляризации двух калибровочных частиц с импульсами ку и кг соответственно.

Заметим, что в этом случае левая часть уравнения (9.104) содержит вклад от духовых полей, а правая — нет, так как духи не являются физическими состояниями. Именно этот факт делает демонстрацию соотношений унитарности нетривиальной. Как мы увидим, в конечном итоге к выполнению условия унитарности приводит тот факт, что сумма по поляризациям P^v в (9.105) не равна g^v, а вклад духовых полей в точности компенсирует это различие.

Вычислим, как в (9.104), нетривиальный вклад низшего порядка. Мнимая часть амплитуды ff->-fh удовлетворяющая уравнению (9.100) (разрезанные диаграммы на рис. 9.5), может быть записана с помощью выражений (9.102) и (9.103) в виде суммы квадратов амплитуды ff-^-AA (рис. 9.6) и амплитуды fl^c^c (рис. 9.7). Множитель 1/2 в левой части уравнения (9.104) обусловлен тем, что при возведении в квадрат амплитуды, показанной на рис. 9.6, появляются девять диаграмм, восемь из которых соответствуют диаграммам рис. 9.5, а—г, повторенным дважды, а девятая соответствует диаграмме рис. 9.5,5. Последняя содержит замкнутую петлю калибровочного бозона и должна быть умножена на симметрийный множитель 1/2. Духовое поле ФП с ведет себя как фермион, для

Рис. 9.5. Разрезанные диаграммы четвертого порядка для процесса ff ->-f/, где промежуточными частицами являются калибровочные бозоны и духи Фаддеева — Попова.

n^Pi —*—ww/z, an^Pi —*—ww/z, aPz—*—ИАЛЛ v, b l<zPz—*—ИАЛЛ v, b l<zРис. 9.6. Диаграммы, дающие вклад в амплитуду Т°&, где конечным состоянием является состояние с двумя калибровочными бозонами.Рис. 9.6. Диаграммы, дающие вклад в амплитуду Т°&, где конечным состоянием является состояние с двумя калибровочными бозонами.

n^

Pi —*—ww/z, a

n^

Pi —*—ww/z, a

Pz—*—ИАЛЛ v, b l<z

Pz—*—ИАЛЛ v, b l<z

Рис. 9.6. Диаграммы, дающие вклад в амплитуду Т°&, где конечным состоянием является состояние с двумя калибровочными бозонами.

Рис. 9.6. Диаграммы, дающие вклад в амплитуду Т°&, где конечным состоянием является состояние с двумя калибровочными бозонами.

Рис. 9.7. Диаграмма, дающая вклад в амплитуду S"6, где конечным состоя-нием является состояние с двумя духами Фаддеева — Попова.

которого с ф с^; поэтому перед членом SS* стоит знак минус и пет симметрийного множителя.

Диаграммы наинизшего порядка для Т^ и S°b показаны на рис. 9.6 и 9.7 соответственно:

„аЬ. 2 - / , Т61Т° , х'

= -igv (р2) — Yv ~7 Yn« (Pi) -

ig2u (р2) Yu ~7v Yv« (Pi) -

2 (Ri — р2) — m 2

gVbc [(^1 - ^Л ^v + ^v + 2Р2)Ц gvX -

№ + к2\ g^] ^ ^ ^)2- у (р2) ^- Y^ (Pi)-(9-106)

°b = - igVbc ^J^ у (№) ^ ^i« (Pi).(9-107)

Поляризация калибровочных частиц. Перейдем теперь к обсуждению вопросов, связанных с поляризацией калибровочных частиц. Калибровочные частицы, будучи безмассовыми, имеют только два физических состояния поляризации: e^(/j,o), о=1, 2. Три 4-вектора ку, &y(k, 1), Ey(k, 2) не образуют базис в четырехмерном пространстве. Введем вектор т]^, такой, что

(9.108)(9.108)Т] • е (k, о) = 0, 0=1,2,

(9.108)

(9.108)

(9.109)(9.110)(9.109)(9.110)где векторы е(1(/г, о) удовлетворяют условиям ортогональности

(9.109)

(9.110)

(9.109)

(9.110)

и поперечностии поперечностиЦк, 1) - е(к, 2) = 0k ■ e(k, о) = 0.

и поперечности

и поперечности

Так как /г = 0 и ц у, не может быть пропорционален к^, должно выполняться условие к-т\ #= 0. Используя обычную процедуру построения соотношений полноты, из условия ортогональности вместе с условием нормировки е2(/г, а) =—1 для суммы по поляризациям получаем выражение

Рцм= Siiv 4~ Qnv> где

Vyv = К* • л) (Mv + Мц) — Tl2Mv]/(£ ■ л)2.(9.111)

Очевидно, что добавочный член Q^ устраняет непоперечные состояния поляризации. Проверка условия унитарности (9.104) сводится к доказательству того факта, что член, содержащий духи ФП, в точности компенсируется добавочным членом в сумме по поляризациям. Наши вычисления упростятся, если вектор т]у подчинить условию т]2 = 0. Тогда добавочные члены в двух суммах по поляризациям в (9.105) принимают вид

(T'^v дМЧЧЧ.Ш'Ч (9.112а)1

С™' (ку Л2) = №,' + -Сд)/^ ■ Л2).(9.1126)

Тождества Уорда для диаграмм низшего порядка. Чтобы вычислить правую часть соотношения (9.104), необходимо рассмотреть свертки к^Т^ и т. д. Первые два слагаемых в (9.106) дают вклад, отличный от нуля;

— lg2V (Do)Yv ~7ГТ22 ^1 +

°V 22(p, — к^У —1

в неабелевых теориях с к*, равна

— g4abc [2/?, • к^к + (/?] — к^к к^, —

— $кх + к^ /?, J q^M5" у Ы q-Yx« (Pi) =

= -gVbcv^^ukPx^- (9.114)

- 6ЧаЬС 6 ^ "Г ^> + ^ и ^ ~<9-115>

(«1 “Г ^2/

- ё^%^-^^(9.Н6)

Мы видим, что (9.114) и (9.113) взаимно уничтожаются, а второй член (9.115) обращается в нуль в силу уравнения Дирака и равенства рх + рг = кх + кг. Третий член (9.116) пропорционален амплитуде духов Sab в (9.107). Таким образом, мы имеем

k^T“b = - IS^k^(9.117)

и аналогично

Т^кг = - iS^ki^.(9.118)

Из этих соотношений можно также вывести равенство к^Т^ьк2 = 0. Таковы примеры тождеств Уорда в неабелевых теориях. (Формальный их вывод будет дан ниже.)

Теперь просто проверить, что условие унитарности (9.104) действительно выполняется, так как правую его часть можно переписать в виде

4 S *= {у;-..[- 8"'+(*W + «) (W] х х [- в*+И<+«) (W])=

—F $ *> 1ТГ8В + [(t.rti XVti +

+ (Л^^г) (^Т^Лг)! (&1Л1)-* (Мг)"’ —

- №хП • (л>П + (тП • ЮТ (k^r1 -

- [(^2) • (Т”л2) + (Тл2) • (Г’62)] М"1} =

= у ^Р2 UTgg + 2SS' - 2SS' - 2SS*} =

= у \dp2trFgg-2SS^, (9.119)

где мы воспользовались соотношениями (9.117) и (9.118).

Подводя итоги, можно сказать, что условие унитарности (9.104) связывает левую часть, где использованы правила Фейнмана в ковариантной калибровке с их фиктивными состояниями

с продольной поляризацией и духами ФП, с правой частью, в которой в силу калибровочного условия (аксиальной калибровки) (9.108) появляются только физические состояния с поперечной поляризацией. Фиктивные состояния ковариантной калибровки в левой части (9.104) взаимно уничтожаются, и в аксиальной калибровке, выбранной в правой части этого уравнения, существуют только физические состояния. Короче говоря, духи ФП необходимы для выполнения условия унитарности.

Преобразование БРС и тождества Уорда

В неабелевых теориях с духами ФП наиболее эффективным способом вывода тождеств Уорда является способ, использующий обобщенные калибровочные преобразования Бекки — Рюэ — Стора (БРС) [35]. Рассмотрим снова простую 5Щ2У теорию с фермионами в дублетном представлении:

+ ф/у^ф - тфф, (9.120)

где

Оцф = (<Эц — igA^T0) ф, K“v = <ЭЦ < - дХ + g&abcAbX а = 1,2,3 и Г = та/2.

(9.121)

(9.122)

(9.123)

Этот лагранжиан инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований

бф = —/7°0°ф,(9.124)

бЛц = so6c06^ - у 5^0°.(9.125)

После включения члена, фиксирующего калибровку, и членов с духами ФП (9.75) и (9.76) эффективный лагранжиан в ковариантной калибровке (9.70) принимает вид

2^фф = 27 + 27Фк + 2щфп,(9.126)

где

^Фк = -Д-(<ЭМ")2,(9.127)

^ДФП = iCa# [баб<9ц — ge^cA^] Сь.(9.128)

Вместо комплексных духовых полей с и с^ оказывается удобнее работать с вещественными грассмановыми полями р и а, определенными следующим образом:

(9.129)(9.129)С0 = (Ра + ^a)/V2,ci=(Pa-4)/V2.

(9.129)

(9.129)

Используя свойства антикоммутативности грассмановых полей р2 = а2 = 0, per = —ар и т. д., получаем

^ДФП = - id^Pa ф^),(9.130)

где

DVLoa = d11aa-geabcobA^(9.131)

Эффективное действие 5эфф не инвариантно относительно общих калибровочных преобразований (9.124) и (9.125) с про-, извольными параметрами 0а, но инвариантно при преобразованиях БРС

бЛ^со^а0,(9.132а)

бф = ig® (Таоа) ф,(9.1326)

6pa=-zWMX(9.132в)

6аа = - gtoeobcQbQc;2,(9.132г)

где со — антикоммутирующая грассманова переменная, не зависящая от пространственно-временной точки, а £ — обычный параметр (ковариантной) калибровки.

Инвариантность 5эфф при преобразованиях БРС. Так как (9.132а) можно записать в виде

6Л^ = id^a0 - ige^VA»,(9.133)

преобразование БРС является в действительности калибровочным преобразованием, отвечающим частному выбору калибровочной функции

Qa = -gtoaa.(9.134)

Таким образом, первоначальное действие 5 = ^ d^xS не меняется при этом преобразовании, т. е. 6S = 0. С учетом соотношения (9.67) очевидно, что доказательство инвариантности действия 5зфф сводится к доказательству соотношения б (5фк + 5дпф) = 0. Имеем

6 [ 2Y И)2 + idV (dX)]=| (/ л?) ^ (блац) +

+ id* (бра) (D^o0) + idVb (о^°\(9.135)

Рассмотрим сначала изменение ковариантной производной от а°:

б (Эца°) = б (dp.a'1 — gaobcQbAc^ = — gtoeobcdll (oboc^2 +

+ ge.abc фВ^а6') oc + geobsA^ (— gtoecdVoe/2). (9.136)

Члены, линейные по g и g2, по отдельности уничтожаются: - gtoeabc (дУ) ас + gtoeobc (д^) ас = 0,(9.137)

gW^A^ (6abc6bde - 6cbdebeo - ЛЬас) = 0.(9.138)

Последнее равенство справедливо в силу тождеств Якоби. Таким образом,

б(Оцо°) = 0.(9.139)

Поэтому, используя (9.132а) и (9.132в) в (9.135), получаем 6 (5фк + 5дфп) =

= $ [у (dM?) 5Ц (юЭ^о0) + d^ (у дх Л^) (ОцОа)] d4x =

= S [у ^^ (“DX)] d4% = °-(9 •14°)

Это завершает доказательство инвариантности 5Эфф относительно обобщенных калибровочных преобразований БРС (9.132).

Вывод обобщенных тождеств Уорда. Обобщенные тождества Уорда отражают симметрию, соответствующую инвариантности эффективного действия относительно преобразований БРС. Чтобы получить эти соотношения между функциями Грина, рассмотрим производящий функционал для функции Грина, вводя источники Ju, а, р, х и % для полей Ац, р, а, ф и ф соответственно. Оказывается также, что для вывода тождеств, линейных по производным, взятым по источникам, удобно ввести источники z^, v, X и X для составных операторов D^a, 1/2оХ о, Т-оф и фТ-о, входящих в преобразования БРС (9.132). Таким образом, производящий функционал имеет вид

U7[J, «> Р, %, %, к, V, Л, Х] =

= J [dA^] [dp] [do] ^ф] [d-ф] exp {I J d4 (S^ + S)},(9.141)

где член с источниками 2 имеет вид

5 = Лц-Ац + а.р + р.о + хФ + Фх+»<ц-£Лт +

+'/2v • (о X <*) + ^Т • оф + фТ • оХ (9.142)

Поскольку эффективное действие 5Эфф инвариантно относительно преобразований БРС, производящий функционал для функций Грина обладает тем же свойством, т. е. 61^ = 0, или j d^x J [dAJ [dp] [do] [dф] [d-ф] (62) X

X exp {I J d / [Хэфф (X) + 2 (X)] } = 0,(9.143)

где 62— бесконечно малое изменение члена с источниками, связанное с преобразованием БРС:

62 = J^ • 6АЦ + а • 6р + р • бег + х бф + бтрх + *ц • $ (^“о) +

+ |v б (а Хо) + Хб(Т.цф) + б(фТ.ц)Л. (9.144)

Сначала мы продемонстрируем, что не только 6(7)^^) = 0 (см. (9.139)), но и изменения всех составных операторов обращаются в нуль:

б <sasb - aba°) = (- £<о/2) (eocdacadab +

+ ebcda°acad - ebcdacada° - £ocdabacad) = 0(9.145)

И

6 (T * a) ip = T • daip + T • о dip =

= T (-f амтХ °) Ф — 4?to(T • a)(T • ст) ф = 0,(9.146)

так как

T . aT • a = TaTVob = ± (TaTb — TbTa) aaab =

= l8^7caV = yT.(aX<T). (9.147)

Следовательно, (9.143) можно записать в виде

со ^xjfdAJ ... №](j^-£>ua + «.<3^-gfP.aX<T/2 +

+ igxV • »Ф — &ФТ • <rx) exp (z d.4' [2^ + 2]) = 0,(9.148)

S,4 / ra 6 a x I Ju —- ( fix0S,4 / ra 6 a x I Ju —- ( fix0или

S,4 / ra 6 a x I Ju —- ( fix0

S,4 / ra 6 a x I Ju —- ( fix0

66/°2 ’ fiv° '

(9.149)(9.149)+ ^X^-—X] = o.ОЛОЛ /

(9.149)

(9.149)

Последнее соотношение представляет собой обобщенное тождество Уорда, связывающее различные функции Грина. Чтобы получить соотношения для некоторого конкретного набора функций Грина, нужно просто дифференцировать (9.149) по внешним источникам JM, a, Р, .. . и положить эти источники равными нулю. Но это довольно утомительная процедура. Информацию, содержащуюся в (9.149), можно получить для имеющихся функций Грина более простым способом, если воспользоваться тем, что из равенства б!У = 0 следует инвариантность функций Грина относительно преобразований БРС (см., например, [278]). Этот факт можно использовать, чтобы получить

соотношения, эквивалентные (9.149). Например, из равенства

6(017 (Лц (х) Л$ (0)) | 0) = О(9.150)

следует

(0 | Т (бЛ£ (х) Аь. (0)) | 0> + (0 | Г (Л^ (х) 5Л* (0)) | 0) = 0,(9.151)

или

о (0 17 (£>цЦ° (х) Л$ (0)) | 0) + (О (0 17 (Л" (х) D^b (0)) | 0) = 0. (9.152)

Очевидно, что, дифференцируя (9.149) по 7ц (х) и 7*(0) и приравнивая все источники нулю, мы также придем к соотношению (9.152). Практически этот метод, используемый в (9.150) и

Рис. 9.8.

(9.151), является более прямым. Но вся информация о калибровочной инвариантности содержится в более компактном уравнении (9.149), которое очень полезно для формальных манипуляций.

Формальный вывод тождества Уорда (9.117). Наконец, мы продемонстрируем, что тождества Уорда (9.117) и (9.118), использованные при доказательстве унитарности в рассмотренном выше примере, содержатся в (9.149). Рассмотрим четырехточечную функцию <0| 7(рЛуфф) |0>. Ее инвариантность относительно преобразований БРС приводит к соотношению

<0 17 (брЛ^ф) | 0) + (0 17 (р бЛ„фф) | 0) +

+ (0 17 (pЛv бфф) | 0) + (0 17 (рЛ^ бф) | 0) = 0. (9.153)

Но когда поля ф берутся на массовой поверхности, составные операторы, соответствующие бф и бф, вклада не дают, так как не имеют одночастичного полюса. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим функцию Грина

<0 17 (р (xj Лv (ха) ф (х3) бф (х4)) | 0) =

= zgto (0 17 (р (xj Лу(х2)ф(х3)Т • оф (х4)) I 0), (9.154)

графическое изображение которой в импульсном пространстве дано на рис. 9.8. Ясно, что эта функция Грина не имеет одночастичного полюса по переменной /?4 и обратится в нуль, когда мы возьмем поле ф на массовой оболочке, умножив ее на об-

ратный пропагатор (у-&4— ш) и устремив затем &4 к т. Поэтому, когда все поля берутся на массовой поверхности, остаются только члены, линейные по полю, и соотношение (9.153) приводится к виду

у <0 17 (^ЛМ^^) I 0) + со <0 17 (pU^'T) | 0) = 0.

В случае калибровки т’Хофта — Фейнмана (9.101), когда калибровочный параметр £ = 1, это соответствует соотношению

R\1"2v>

в точности совпадающему с тождеством Уорда (9.117).

Заключительные замечания. Мы проиллюстрировали, насколько важны тождества Уорда для проверки того факта, что нефизические особенности (связанные с продольными компонентами калибровочных полей и духами ФП) в физических амплитудах действительно сокращаются. Этот вывод особенно важен при исследовании условия унитарности в теориях со спонтанно нарушенной симметрией. В таких теориях при выборе определенного класса условий, фиксирующих калибровку, можно обнаружить и другие нефизические частицы — несостоявшие- ся голдстоуновские бозоны. Необходимо, используя тождества Уорда, проверить, что они также выпадают из физического спектра. Таким образом, мы должны быть уверены, что тождества Уорда выполняются во всех порядках теории возмущений. Так как они являются отражением симметрии теории, очень важно иметь процедуру регуляризации, которая не нарушала бы эту симметрию. Одним из достоинств схемы размерной регуляризации является то, что она явно сохраняет инвариантность относительно преобразований БРС, и, следовательно, в ней по-прежнему имеют место обобщенные тождества Уорда. Тем не менее, как мы видели в разд. 6.2, тождества Уорда, содержащие определенные функции Грина с аксиально-векторными токами, не выполняются автоматически даже в том случае, когда теория регуляризована без нарушения симметрии. Таким образом, в теориях с фермионами необходимо убедиться, что аномалии АБД, которые мешают перенормируемости, не возникают.

КВАНТОВАЯ ХРОМОДИНАМИКА

Исторически первым успешным применением теории Янга — Миллса явилось создание единой теории слабых и электромагнитных взаимодействий (гл. 11). Но мы решили изложить сначала калибровочную теорию сильных взаимодействий — квантовую хромодинамику (КХД) в качестве более простого введения в предмет, поскольку в этой теории не возникают проблемы, связанные со спонтанным нарушением симметрии.

КХД представляет собой замечательный синтез различных идей, которые в свое время развивались в физике адронов (кварки, партоны, цвет, алгебра токов и т. д.). В начале 60-х годов была разработана простая кварковая модель, чтобы объяснить закономерности в спектре адронов. При этом последние интерпретировались как связанные состояния локализованных, но по существу невзаимодействующих кварков (разд. 4.4). Эта точка зрения на кварки как на фундаментальные составляющие адронов стала еще более правдоподобной, когда в конце 60-х годов были успешно применены соотношения, вытекающие из квантовой теории кварковых полей, а именно алгебра кварковых токов и их дивергенций (гл. 5). Постепенно выяснилось, что эту простую картину необходимо усложнить, наделив кварки скрытым квантовым числом — цветом, принимающим три различных значения. Затем была проведена серия важных экспериментов по глубоконеупругому рассеянию лептонов на адронах, начало которой положили эксперименты, выполненные в конце 60-х годов группой СЛАК — МИТ. Было обнаружено, что сечения рассеяния удовлетворяют бьёркеновскому скейлингу, который хорошо объясняется фейнмановской партонной моделью (гл. 7). Значение партонной модели и скейлинга заключается в том, что, хотя составляющие адронов (кварки) не рождаются в виде свободных частиц в конечных состояниях глубоконеупругого рассеяния, они ведут себя как очень слабо связанные друг с другом частицы внутри ядра мишени. Как мы увидим ниже, все эти особенности может объяснить квантовая хромодинамика.

Важным свойством КХД, открытым в 1973 г. и позволившим считать ее кандидатом на роль теории сильных взаимодействий, является свойство асимптотической свободы, т. е. уменьшение константы взаимодействия на малых расстояниях. В настоящей

главе в основном рассматриваются свойства КХД на малых расстояниях, где применима теория возмущений. Лишь в последнем разделе мы касаемся вопросов, связанных с удержанием кварков на больших расстояниях, используя при этом неперр турбативные методы калибровочной теории на решетке. Замечательным фактом является то, что мы располагаем теорией сильных взаимодействий и можем с уверенностью утверждать, что лагранжиан имеет правильный вид, но нам не известно, как получить из этой теории низкоэнергетическую динамику: удержание кварков, спонтанное нарушение киральной симметрии и спектр адронных масс. Тем не менее имеются многочисленные указания на то, что эти свойства действительно присущи КХД.

ОТКРЫТИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ СВОБОДЫ

Гросс и Вильчек [203, 204], а также Политцер [324, 325] обнаружили, что в неабелевых калибровочных теориях в глубокоевклидовой области нулевое значение константы связи является стабильной фиксированной точкой. (т’Хофт [385] также заметил, что в теориях Янга — Миллса график ренормгруппо- вой p-функции имеет в начале координат отрицательный наклон.) Теории, обладающие таким свойством, называют асимптотически свободными. Замечательно, что, как мы покажем ниже, кроме неабелевых теорий калибровочных полей ни одна перенормируемая теория поля не может быть асимптотически свободной [96, 440]. Таким образом, в отличие от всех других теорий поля в теориях Янга — Миллса константа связи убывает на малых расстояниях. В хорошо известной абелевой теории КЭД уменьшение эффективной константы взаимодействия на больших расстояниях интуитивно можно понять, исходя из того, что с увеличением расстояния между зарядами усиливается их диэлектрическая экранировка облаком виртуальных электрон- позитронных пар. Таким образом, необходимо понять, за счет чего в неабелевых калибровочных теориях возникает антиэкранирующий эффект. Как мы покажем, облако виртуальных калибровочных частиц, являющихся бозонами, несущими (цветовой) заряд и спин, делает янг-миллсовский вакуум похожим на парамагнетик, а это благодаря релятивистской инвариантности приводит к тому, что вакуум антиэкранирует заряды.

Теории без полей Янга — Миллса не являются асимптотически свободными

Перечислим некоторые важные для нас здесь пункты гл. 3, где ренормализационная группа была проиллюстрирована на примере простой теории Хф4 с лагранжианом

^=yl(W-^2]-|-^. (ЮЛ)

При растяжении всех 4-импульсов до орг, о-> оо (глубокоевклидова область), функция Грина (за исключением тривиальных размерных множителей) зависит от t = In о только через эффективную константу связи Х(Х,/), которая в свою очередь определяется ренормгрупповой 0-функцией (см. (3.104) и (3.105)):

-^7 = W(10.2)

Нас интересует наклон графика 0-функции в начале координат Х = 0, так как при малых значениях константы связи мы можем вычислять 0-функцию по теории возмущений, а знак этого наклона определяет, является ли точка X = 0 ультрафиолетовой или инфракрасной фиксированной точкой. Если теория асимптотически свободна, т. е. Z =0 является ультрафиолетовой фиксированной точкой, то, как отмечалось в гл. 7, мы приходим к каноническим (т. е. таким же, как в свободной теории) сингулярностям на световом конусе и к партонной модели с кварками, свободными на малых расстояниях.

Мы можем вычислить 0-функцию следующим образом. В безмассовой теории единственным масштабным параметром ц является точка вычитания, необходимая для определения всех перенормированных величин. Из (3.32) или (3.71) следует, что в этом случае 0-функция определяется выражением

Р(М = и-^-;(Ю.з)

здесь X—перенормированная константа взаимодействия, связанная с голой константой взаимодействия соотношением (2.50) :

(Ю.4)

где Z^—константа перенормировки скалярной волновой функции:

ф = г;М2Фй.(ю.5)

Эту константу можно также определить через значение непе- ренормированного пропагатора скалярного поля в точке вычитания, являющейся, например, некоторой евклидовой точкой р2 = — ц2.

^(р2)^--^.(Ю.6)

Аналогично константа перенормировки вершинной функции Zx может быть определена через неперенормированную четырехточечную вершинную функцию (2.38):

Г«> (Рц Р2- Рз> Pt) 1р2=_й2 = - IX^.(10.7)

Однопетлевые вклады в двухточечную и четырехточечную функции Грина, а следовательно, и в Z* и Zk показаны на рис. 10.1. Таким образом, константы перенормировки являются функциями голой константы связи Хо и отношения параметра обрезания Л к параметру вычитания ц.

Чтобы получить из соотношения (10.3) |3-функцию, необходимо просто вычислить расходящиеся части констант перенор-

Рис. 10.1. Диаграммы, соответствующие радиационным поправкам наинизшего порядка в теории скалярного мезонного поля: а — к собственной энергии, б — к вершинной функции.

мировок Z и продифференцировать их по параметру обрезания Л (см. (3.44)):

Р = - Л ТЕдГ I2 ln zt (^о, Л/р) - In Zx (Ло, Л/ц)].(10.8)

Однопетлевая поправка в Z^, показанная на рис. 10.1, а, не дает вклада (Z^ = 1). Единственные нетривиальные диаграммы показаны на рис. 10.1,6 (см. (3.47)). В результате получаем

PW = nS-+0^3)-(10.9)

Поскольку область X < 0 недопустима (так как гамильтониан в этом случае не ограничен снизу), положительный наклон при X >0 означает, что простая теория Х^>4 с лагранжианом (10.1) при больших евклидовых импульсах не обладает асимптотическим поведением свободного поля. Такая же ситуация имеет место для всех скалярных теорий с внутренней симметрией, лагранжианы которых получаются из (10.1) заменой

Ф"*Фь М^-^и^Ф^ФкФь (10.10)

где тензор Хц^ симметричен по своим индексам. Скалярные поля ф;(х) принадлежат некоторому (возможно, приводимому) представлению группы симметрии, и в каждом члене произведена свертка по всем индексам внутренней симметрии. Теперь мы имеем целый набор четверных взаимодействий, удовлетворяющих уравнениям, обобщающим (10.9):

dXl!kl + 1

$i(kl = ^16д2 \Хцтп^тпк1 4"" ^ikrnn^mnll “Ь ^'llmn^'mntlA •

(10.11)

Р111116л2 ^Итл^тпИ > О’Р111116л2 ^Итл^тпИ > О’(10.12)(10.12)Эта теория по-прежнему не является асимптотически свободной, так как легко можно установить, что существуют 0-функции, графики которых имеют положительный наклон в начале координат. Например,

Р111116л2 ^Итл^тпИ > О’

Р111116л2 ^Итл^тпИ > О’

(10.12)

(10.12)

Л22 + Вх^Р2 + ^лР4’Л22 + Вх^Р2 + ^лР4’(10.14)(10.14)

Л22 + Вх^Р2 + ^лР4’

Л22 + Вх^Р2 + ^лР4’

(10.14)

(10.14)

Рассмотрим теперь теории, где взаимодействие скалярных бозонов и фермионов является перенормируемым взаимодействием Юкавы:

$ = ф(/у^_ т^ тр + 2 [(5^)2 _ т2^2] _ ^ф4 + рф^. (10.13)

В этом случае мы имеем систему ренормгрупповых уравнений, соответствующих диаграммам, приведенным на рис. 10.2 и 10.3:

(10.15)(10.15)(10.16)(10.16)+ 2 другие+ 2 другие3 другие3 другие+ 1 другая+ 1 другая

(10.15)

(10.15)

(10.16)

(10.16)

+ 2 другие

+ 2 другие

3 другие

3 другие

+ 1 другая

+ 1 другая

Лрр3 + BpVp.

Следует отметить, что членам низшего порядка не обязательно соответствуют диаграммы, содержащие только одну петлю. В частности, на рис. 10.3, б показана двухпетлевая диаграмма, дающая вклад низшего порядка в (10.15). Но для того, чтобы функция 0х в (10.14) была отрицательной при Ах положительном, р2 должно быть по крайней мере порядка Л; следовательно, членом, пропорциональным Л2р, на рис. 10.3,6 можно пренебречь по сравнению с членом, пропорциональным р3, приведенным на рис. 10.3, а, что приводит к следующему результату:

Рр 16л2 (2 + 2 + 2 + 2) р3 > 01

Таким образом, теория с лагранжианом (10.12) также не является асимптотически свободной. Это утверждение можно

Рис. 10.2. Вклады низшего порядка в константу перенормировки Л четвер-ного взаимодействия.

Рис. 10.3, Вклады низшего порядка в константу перенормировки юкавскогд -. .взаимодействия,

обобщить на всю совокупность перенормируемых теорий, описывающих взаимодействие полей со спинами 0 и 1/2 и обладающих всевозможными внутренними симметриями. Лагранжиан взаимодействия в таких теориях можно представить в виде

$!=- Чк-п^М-п + ^a(Aab + /SM V».(10Л7)

а уравнение ренормгруппы для комбинации р^ = Л^ -ф /5*д, обобщающее (10.16), записывается в виде

Рр = ЧГ = V И^' + I Р'Р/+Р' + 4 Р W+ +

+ (trpzp/+)pz + (trp‘V)Pzb (10.18)

где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. При выводе последнего уравнения мы воспользовались тем свойством, что, когда проходится (безмассовый) фермионный пропагатор, результат коммутирования у-матриц сводится к замене р -> р+. Отсюда получаем

^-(tr p+zp‘) = -^[.2 (tr р'+р/р^рО + у (tr р Vp/+pz) +

+ у (tr p'+p'pW + Re (tr р‘+рО (tr р£+р9 + (tr р'+рО (tr pzp,+)] •

(10.19)

Второе и третье слагаемые в правой части положительно определены, так как они являются следами от квадратов эрмитовых матриц (pzp‘"+). Четвертое слагаемое меньше последнего, так как

Re [(tr pz+pO (tr PZ+PO] < I tr (p‘V) |2 = (tr pz+pz) (tr pzp'+)-(10.20)

Следовательно,

8л2 -^ (tr pz+pz) > 2 [(tr p'WV) + (tr p V) (tr p‘p/+)l =

= (P^a + PzdPz6) (РЙРЙ + PM) > 0(10.21)

(здесь, чтобы получить последнюю строку, мы записали явно операцию взятия следа и изменили обозначения некоторых индексов). Следовательно, все перенормируемые теории, в которые входят только поля со спинами 0 и 1/2, не являются асимптотически свободными. Наконец, нам известно, что график 0-функции КЭД имеет положительный наклон при нулевом значении константы взаимодействия, так как

е = ДГ^г/^ео Z^eo,(10.22)

где мы воспользовались тождеством Уорда Zi = Z2, a Z3— константа перенормировки волновой функции фотона, которая может быть вычислена из диаграммы поляризации вакуума, при-

веденной на рис. 10.4, а:

(10.23)(10.23)2з=1--^1п(Л/ц).

(10.23)

(10.23)

Таким образом, как и в (10.8), имеем

д Г In zV2 Л/|л)14-е3

Ре = - 6 ^пЛ J -12^ + ° ^‘(10.24)

Аналогично в скалярной КЭД, где вклад в Z3 дают диаграммы с петлями заряженных скалярных мезонов, показанные на

Рис. 10.4.Рис. 10.4.

Рис. 10.4.

Рис. 10.4.

рис, 10.4,6, получаем

Ре=-^- + О(с'ДРе=-^- + О(с'Д(10.25)(10.25)

Ре=-^- + О(с'Д

Ре=-^- + О(с'Д

(10.25)

(10.25)

Неабелевы калибровочные теории асимптотически свободны

Лагранжиан в теории Янга—Миллса общего вида, приведенный в разд. 8.1, имеет вид

(10.26)(10.26)$ = -ytr (F^F^,

(10.26)

(10.26)

F^ — d^ Av д^А^ — ig [Лц, Л v],

где Лц = ТаА^ — эрмитова матрица векторного поля, а матрицы Та удовлетворяют соотношениям

[7’°, ^ = iCabcT0) tr (T^^^ab(10.27)

Чтобы проквантовать теорию, необходимо фиксировать калибровку. В разд. 9.2 приведены правила Фейнмана для теории в ковариантной калибровке, а также соответствующие члены, фиксирующие калибровку и духи Фаддеева — Попова. В частности, пропагатор калибровочного бозона имеет вид

/А# ^ = I [- g^ + (I - g) W^ p^-, (10.28)

где g— калибровочный параметр. Тогда p-функцию можно вычислить точно так же, как в других перенормируемых теориях, рассмотренных выше. Если определить калибровочное взаимодействие через трехточечную функцию векторных полей в соответствии с правилом 3 в разд. 9.2:

zTpvx(^l, ^2, ^3) =

= igCQbc [guv (А, - к2\ + g.x Цч - k3\ + gKu (*з - 6JVL (10.29) то перенормированная константа взаимодействия будет связана с голой константой следующим образом:

^ = г3л%^0,(ю.зо)

где ZA— константа перенормировки волновой функции векторного бозона:

(10.31)

которую можно также определить через поперечную часть перенормированного пропагатора векторного бозона, взятого в (евклидовой) точке вычитания кг = — ц2:

М (<г= tZA (g^ + ^) W- (Ю.32)

Аналогично константу перенормировки вершинной функции Zg можно определить через неперенормированную трехточечную вершинную функцию (10.29):

[г^<кх, k2, йз)]0 = г;х8йсаЬс X <кх - к2\ + g.x<к2 - к3\ +

+ gMi(k3 — ^i)v] при й? = —ц2.(10.33)

Может оказаться полезным сравнить (10.30), (10.31), (10.32) и (10.33) с соответствующими выражениями (2.40), (2.23), (2.21) и (2.38) в теории Хф\ Однопетлевые диаграммы, дающие вклад в ZA и Zg, приведены на рис. 10.5 и 10.6 соответственно. После утомительных вычислений находим

^ = 1+-Г&1— -^(ЩиЛ/ц,(10.34)

8п /17 ЗЕ \

(10.35)

где

t2^V)bab = CacdCbcd.(10.36)

Как мы видели в разд. 4.1, сами структурные константы являются матричными элементами генераторов в присоединенном представлении:

(10.37)(10.37)С-^ = [То(П]»с,

(10.37)

(10.37)

и (10.36) можно переписать в виде

/2 (у) ьаЬ = tr {Та (V) Tb (V)}.(10.38)

Величины выбранного представления мы обозначим буквой V (от vector), так как векторные поля Дц принадлежат присоединенному представлению группы. Равенство (10.38) показывает, что МЮ можно интерпретировать как сумму квадратов зарядов векторных калибровочных частиц, соответствующих внутренней симметрии. Исходя из простых свойств присоединенного представления группы SU^n), которые обсуждались в разд. 4.1, и используя (4.21) и (4.136), получаем

t^V^n для 5Щп).(10.39)

Из (10.34) и (10.35) немедленно следует широкоизвестный результат

k = " S m [11п z^ ” z«] = —№ "Г '= < ^ < °'<1 °-40>

который на однопетлевом уровне оказывается независимым от калибровочного параметра g. Если калибровочные поля взаимодействуют с фермионами и скалярными мезонами, взятыми в представлениях, в которых матрицы генераторов группы имеют соответственно вид T^F) и Ta(S'), то можно непосредственно воспользоваться выражениями (10.24) и (10.25); в результате получим

^=t[- 4 w+4 w+т (10-41>

где суммы квадратов зарядов, соответствующих внутренней симметрии, для фермионов и скаляров соответственно опреде-

Рис. 10.5. Диаграммы собственной энергии векторного поля (пунктирная линия соответствует духам Фаддеева — Попова).

Рис. 10.6. Поправки к трилинейной вершине калибровочного бозона.

ляются выражениями

12(таЬ = 1г{ГЧЕ)Ть№

^2(S)da6 = tr{Ta(S)T'6(S)}.(}

Для фермионов и скаляров, взятых в фундаментальном представлении группы SU(n), имеем Ta(S) = Ta(F) = Х°/2, а

(2^ = 1Д5)=\,2.(10.43)

Если используются двухкомпонентные фермионные поля или вещественные скаляры, то коэффициенты при /г (К) и t2(S) в (10.41) приобретают дополнительные множители 1/2.

Янг-миллсовский вакуум как парамагнитная среда

Одной из самых замечательных особенностей квантовой теории поля является то, что в четырехмерном пространстве-времени асимптотически свободны только теории Янга — Миллса. Оказывается, что это явление имеет простое физическое объяснение [223, 306]. Это объяснение в конечном итоге связано с тем, что неабелевы калибровочные поля обладают спином и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, а также в отличие от абелевых фотонов сами обладают зарядом, соответствующим калибровочной симметрии.

Как уже отмечалось в начале этого раздела, свойство асимптотической свободы означает, что вакуум антиэкранирует заряды, т. е. действует как диэлектрическая среда с диэлектрической постоянной

е<1.■(10.44)

Кроме того, вакуум квантовой теории поля отличается от обычной поляризуемой среды в одном очень важном пункте — он релятивистски инвариантен. Это означает, что (относительная) магнитная проницаемость ц связана с диэлектрической проницаемостью соотношением

це= 1,(10.45)

так что скорость света в вакууме равна 1. Это позволяет связать электрические свойства среды с ее магнитными свойствами, которые могут быть двух типов:

Диамагнетизм Ландау (ц < 1). Заряженные частицы в среде в ответ на внешнее магнитное поле создают ток, который сам индуцирует магнитное поле, направленное противоположно этому внешнему полю. '

Парамагнетизм Паули (ц> 1). Если частицы обладают магнитными моментами, то они стремятся выстроиться вдоль внешнего поля.

Оказывается, проще представить себе магнитные свойства янг-миллсовского вакуума; антиэкранировка (10.44) означает, что

P>L

Янг-миллсовский вакуум ведет себя как парамагнитная среда. Заметим, что в случае обычной поляризуемой среды, которая может, например, одновременно обладать свойствами диэлектрической экранировки (е> 1) и парамагнетизма (р > 1), такого соответствия не существует.

Следует подчеркнуть, что электромагнитная терминология используется здесь только по аналогии с обычной калибровочной (7(1)-теорией. В действительности мы имеем в виду заряды, соответствующие калибровочной симметрии. Например, в калибровочной SU (3) -теории КХД это цветовые заряды; под электрическими и магнитными свойствами мы подразумеваем цветовые электрические и магнитные свойства и т. д. Когда мы говорим, что поля Янга — Миллса в КХД (глюоны) обладают зарядом, магнитным моментом, электрическим квадрупольным моментом и т. д., мы имеем в виду, что они обладают цветовым зарядом, цветовым магнитным моментом и т. д. (На самом деле глюоны электрически нейтральны.) Что же является тогда зарядом, магнитным моментом и т. д. янг-миллсовской частицы? Рассмотрим простую SU(2)-теорию. В ней имеется трилинейное взаимодействие калибровочных полей, соответствующее в правилах Фейнмана вершине (см. правило 3 в разд. 9.2):

(10.46)(10.46)1Т^(/гь ^2, кз) = ia“bc [guv (^i — ^гК + gvX (^2 — ^з)ц +

(10.46)

(10.46)

■+ £лц (&3 — &l)vb

которую можно сопоставить взаимодействию заряженной частицы со спином 1 с фотоном. Чтобы такая интерпретация действительно была возможной, предположим, что для калибровочных SU (2) -полей Лц

Лц соответствует фотонному полю А^,

(10.47)(10.48)(10.47)(10.48)—^= (Л^ ± Л^) соответствуют заряженным полям К^ со спином 1 и массой М.

(10.47)

(10.48)

(10.47)

(10.48)

Множитель еаЬс дает

е-+3 = 4l(e123 _ е213)=/-

Мы подберем импульсы (напомним, что все 4-импульсы предполагаются входящими в вершину) следующим образом:

^«(м, -4), ^1«(-М, -4), &з~(0, к)

при М^>|к|; векторы поляризации заряженных частиц имеют

вид

е?=(-ЪГ’ е)- е2 = (т- е'У

так что Bi-ki « е2-/?2 ~ 0. Свертывая векторы е*, е^ и Ах с вершиной (10.46), получаем

Л^АЩд" = 2М [ge • е'А0 + -L(e X е') • (k X А)] + О (б2). (10.49)

Таким образом, мы можем отождествить g с электрическим зарядом, a g/M с магнитным моментом, соответствующим гиромагнитному отношению

ук = 2.(10.50)

Можновычислитьплотность энергиивакуумавприсутствии

внешнего магнитного поля

«0= зевнет.(10.51)

Отсюдаможноопределить магнитнуюпроницаемостьр.Ниль

сен [306] и Хьюз [223] показали, что р = 1 + %, где % — магнитная восприимчивость:

%~(-1)2V£(-4 + y42)>-(10.52)

S3

здесь q, у и s3— заряд, гиромагнитное отношение и проекция спина на направление внешнего магнитного поля соответственно. Первое слагаемое в скобках в (10.52) соответствует диамагнитному вкладу, а второе — парамагнитному вкладу. Множитель (—l)2s означает, что для фермионной системы возникает дополнительный знак минус. При нормальном упорядочении операторов рождения и уничтожения в гамильтониане с целью выделить энергию вакуума антикоммутационные соотношения для фермионных полей приводят к дополнительному знаку минус. (По этой же причине фермионные петли в диаграммах Фейнмана умножаются на минус единицу.) Легко проверить, что для фермионов (у? = 2)

%F^-922(-l+ 1) = -!^.(Ю.53)

Отрицательность восприимчивости означает, что система является диамагнитной (цг< 1) и, следовательно, обладает свойством диэлектрического экранирования ег > 1, как в КЭД. Отметим также известное отношение один к трем, которое составляют парамагнитный и диамагнитный вклады. Учитывая, что без- массовые векторные калибровочные частицы имеют только два состояния спиральности s3 = +1, для векторных, фермионных и скалярных частиц получаем

<*0.54)

Чтобы найти отсюда калибровочные заряды, следует отождествить квадраты зарядов со следами в (10.38) и (10.42):,

^">4 МП- q^-W q^-H.^.(10.55)

Получается результат, идентичный (10.41). Множитель 1/2 в (10.55) отражает тот факт, что в калибровочных теориях векторные частицы описываются эрмитовыми полями, а каждое комплексное заряженное поле в действительности имеет две вещественные компоненты (см., например, (10.47)).

Калибровочные теории и скалярные мезоны

Рассмотрим теперь возможность сделать с помощью механизма Хиггса все янг-миллсовские векторные бозоны массивными (как в разд. 8.3), не уничтожая свойство асимптотической

/' + 3 другие+ другие

/ х диаграммы /\ диаграммы

Рис. 10.7.

свободы [77, 204]. При этом возникают значительные трудности, связанные с четверным взаимодействием хиггсовских скаляров, которое оказывается ультрафиолетово-нестабильным. Выражение (10.10) модифицируется за счет дополнительного вклада

[1252(5)£2^ - ЗАИк1ёЛ(10.56)

от диаграмм, показанных на рис. 10.7, где s2(S)6z/ = (Ta(S)Ta(S))z/,

AW = VT4S\T4s^klAr

+ два других слагаемых, получаемых перестановкой индексов.

(10.57)

Таким образом, в качестве основы мы имеем уравнения ренорм- группы вида

^=-^4. ^>0,dxО0-58)

^=АХН B'XgHCg\

Вводя переменную v —X/g2, из уравнений (10.58) получаем ^-^=Дv2+Bv+C=pv,(10.59)

где В = В'—Ьо. Асимптотическая свобода требует, чтобы g->0 и Х->0, т. е. чтобы v стремилось к фиксированной точке в ультрафиолетовом пределе. Так как правая часть (10.59) является полиномом второго порядка, условие того, что уравнение pv = 0 имеет два вещественных решения, имеет простой вид:

Д = 52 —4АС^0. (10.60)

Обозначим эти корни через vi и V2, и пусть V2>vb Так как наклоны графика функции pv в этих точках определяются из уравнений

^^ = Д(¥1_¥2)<0,

= A(v2-V1)>0, (10.61) • U V IV2

меньший корень vi является стабильной фиксированной точкой. Но Л и V] должны оставаться положительными (чтобы классический потенциал был ограничен снизу), поэтому должно выполняться условие

В < 0, (10.62)

так как и А, и С положительны, a v, = (—В — Va)/4A < —В^А. Во всех исследованных случаях эти асимптотические условия (10.60) и (10.62) всегда приводят к тому, что в теорию можно ввести лишь малое число скалярных мезонов. Это число оказывается слишком малым для того, чтобы полностью нарушить калибровочную симметрию и сделать все калибровочные бозоны массивными. Эта ситуация не меняется даже в присутствии юкавских взаимодействий: их вклад в уравнения (10.58), вообще говоря, мал. (Важным исключением является суперсимметричная теория.) Таким образом, в асимптотически свободных теориях спонтанное нарушение калибровочной симметрии отсутствует, и, следовательно, в такие теории вообще нельзя включать элементарные скалярные поля.

Группы, являющиеся произведениями простых групп

До сих пор мы ограничивались рассмотрением только простых групп Ли, т. е. теорий только с одной калибровочной константой взаимодействия. В более общем случае рассматриваются прямые произведения простых групп G1XG2X ••• X G„, каждой из которых приписывается своя константа взаимодействия gi. В низшем порядке по g? p-функции не зависят друг от друга, поэтому результаты для теории, где калибровочная группа является произведением простых групп, непосредственно по-

лучаются из результатов, полученных для отдельных сомножителей. В частности, если один из сомножителей Gi является абелевой группой ^(1), то соответствующая калибровочная константа взаимодействия не стремится к нулю и теория не является асимптотически свободной.

ЛАГРАНЖИАН КХД И СИММЕТРИИ СИЛЬНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

Успех кварк-партонной модели в описании бьёркеновского скейлинга, наблюдаемого в глубоконеупругом лептон-адронном рассеянии, позволил предположить, что полевая теория сильных взаимодействий должна быть асимптотически свободной, чтобы кварки на малых расстояниях слабо взаимодействовали друг с другом. В предыдущем разделе мы показали, что только теории Янга — Миллса при больших евклидовых импульсах обладают асимптотически свободным поведением.

Какая симметрия кварковой модели должна быть калибровочной? В разд. 4.4 мы уже видели, что, постулируя наличие у кварков скрытого квантового числа, называемого цветом и принимающего три значения, можно преодолеть трудности, возникающие в простой кварковой модели. Эта идея о точной цветовой симметрии подкрепляется согласием экспериментальных измерений с вычислениями сечений процесса л°-*2у, учитывающими аномалии (разд. 6.2), и основанными на кварк-партонной модели вычислениями сечения процесса е+е~ -> адроны (разд. 7.2). Кроме того, поскольку необходимо учитывать, что наблюдаемыми являются только цветовые синглеты, следует предположить, что силы, действующие между цветными кварками, зависят от цвета. Независимость сильного взаимодействия от цвета привела бы к феноменологически неприемлемому результату, когда допускалось бы существование вырожденных адронных состояний различных цветов. Все это приводит к идее о том, что цветовая симметрия в кварковой модели должна быть калибровочной. Таким образом, сильные взаимодействия должны описываться теорией Янга — Миллса с цветовой калибровочной группой SU^, причем каждый кварковый аромат преобразуется как триплет фундаментального представления. Это требование вместе с требованием перенормируемости теории сильных взаимодействий (почти) полностью фиксирует вид лагранжиана. Такая теория называется квантовой хромодинамикой ([145, 203, 405]); ее лагранжиан обычно записывается в виде

. ^кхд = - 4 tr G^ + £ qk - m^qk, (10.63) . k

где,

^nv = Mv д^ц ig [Лц, Xv],

Ву.Чк = <дм-1бА^дк,(10.64)

8

Лц = X /1^72,а = 1

a Xa — матрицы Гелл-Манна, удовлетворяющие коммутационным соотношениям группы ЗД(З):

^ = ifabc2l(10.65)

и условию нормировки:

tr (XaXb) = Wb.(10.66)

Калибровочные поля сильных взаимодействий Лц называются глюонами, а поля qk являются полями кварков, где к— индекс ароматов к=Х, 2, ..., гц (nf — число кварковых ароматов):

qk 'и, d, s, с, Ь, ....(10.67)

В выражение (10.63) мы не включили возможный 3/7(3)-инвариантный и перенормируемый член размерности 4:

trG^, где G^ = ^^GKp.

Такой член может быть записан как дивергенция тока tr GG ~ д^Кц; следовательно, он дает вклад в действие только в виде поверхностного члена. Предполагая, как обычно, что на бесконечности поле обращается в нуль АЦ —>0, можно оправдать отбрасывание этого члена. Отметим, однако, что для калибровочных полей с нетривиальными топологическими свойствами так поступать нельзя. Из эксперимента мы знаем, что если в лагранжиане КХД присутствует член tr GG, то он должен умножаться на очень малый коэффициент. Пока мы будем считать, что этот член отсутствует, и учтем его в полной мере в гл. 16, где рассматриваются проблемы, связанные с инстантонами.

Лагранжиан КХД (10.63) несомненно обладает всеми хорошо известными симметриями сильных взаимодействий. Он сохраняет зарядовую и пространственную четности. Поскольку глюоны не зависят от аромата, лагранжиан КХД сохраняет странность и т. д. На самом деле он обладает всеми симметриями ароматов модели свободных кварков, в частности киральной симметрией 3/7(3)Х 5/7(3), явно нарушенной массовыми членами, как это обсуждалось в гл. 5 (см. замечания в конце разд. 5.5). Если динамика КХД такова, что киральная симметрия реализуется

голдстоуновским способом, то становятся объяснимыми успехи теории частичного сохранения аксиально-векторного тока и алгебры токов.

Калибровочная инвариантность, перенормируемость и симметрии КХД

Очень важно понимать, что эти свойства симметрии не просто включены в лагранжиан (10.63), а являются следствиями калибровочной инвариантности и перенормируемости. В дальнейшем мы покажем, что лагранжиан (10.63) эквивалентен лагранжиану самой общей перенормируемой теории Янга — Миллса с группой St/(3), описывающей кварки и глюоны:■

^№ = q (Л + Ву5) i^D^q + q (С + Ш^ q - -f- tr GG, (10.68) где А, В, С и D — эрмитовы матрицы в пространстве ароматов, a Z— константа. Мы можем записать лагранжиан (10.68) в терминах левых и правых кварковых полей

^ = у(1—Ys)^> <7/? = у 0 + Vs) <7 в виде'

= qL(A+ в) h^L + qR(A- В) i/D„qR +

+ qL (С + iD) qR +qR(C- ID) qL-^tr GG. (10.69)

Последнее выражение можно преобразовать в (10.63), сделав два следующих шага.

Сначала изменим масштаб глюонного поля и константы калибровочного взаимодействия:

x^z1'2^ g-^z-№g,

так что коэффициент Z перед членом кинетической энергии глюонов превратится в единицу, а ковариантная производная кварковых полей не изменится. Затем введем новые кварковые поля qL и qR таким образом, чтобы независимые матрицы А + В и А— В стали единичными матрицами. После этого лагранжиан принимает вид

= q^D^L + qRi^Dy.qR + qLMqR +

+ qRM^qL-^-tTGG,(10.70)

где

M = C + iD,(10.71)

или, что эквивалентно,

^ = qi^D^q -ф q (С + iD^ q - у tr GG. (10.72)

Мы не вводим здесь новых обозначений для новых полей и матриц.

Используем теперь важное утверждение, доказываемое в линейной алгебре. (Доказательство этой теоремы дано в разд. 11.3). Это утверждение гласит, что матрица общего вида, такая, как М в (10.71), не являющаяся ни диагональной, ни симметричной, всегда может быть диагонализована двойным унитарным преобразованием таким образом, чтобы ее собственные значения были положительными. В результате получим

SMP = Md,(10.73)

где S и Т— унитарные матрицы, a Md — диагональная матрица с положительными элементами:

tr Md=^mk.(10.74)

Легко увидеть, что это позволяет преобразовать .S^O (10.70) к каноническому виду (10.63). Теперь мы можем так переопределить кварковые поля

qL ^SqL и qR->TqR,(10.75)

что массовый член в (10.72) диагонализуется, и в него не входят матрицы у5; при этом мы не вводим в члены D^q матрицы у5. С физической точки зрения все это оказывается возможным благодаря тому, что сильные взаимодействия переносятся ароматонейтральными векторными глюонами. Если бы цветовые глюонные поля зависели от ароматов, то матрицы А, В, С и D в (10.68) не коммутировали бы с генераторами калибровочной группы; если бы глюоны не были частицами со спином 1, то симметрии сильных взаимодействий определялись бы и другими членами, а не только матрицами кварковых масс. Это еще один аргумент против присутствия элементарных скалярных полей в теории сильных взаимодействий (наряду с обсуждавшимися в предыдущем разделе трудностями, связанными с механизмом Хиггса в асимптотически свободных теориях).

Сделаем еще два замечания общего характера относительно симметрии КХД.

А. Киральная симметрия КХД. Мы уже отмечали, что в пределе mu = md = ms=0 лагранжиан ^кхд так же, как и лагранжиан модели свободных кварков, инвариантен относительно киральных унитарных преобразований (5.39) и (5.47). Другими словами, в отсутствие матрицы масс кварков теория инвариантна относительно унитарных преобразований (10.75), и мы имеем Д(3)ЬХ ^(3)й-симметрию. Диагональные подгруппы SU^ и U (1) реализуются обычным образом, т. е. вакуум также инвариантен относительно (/(3)1+/?-преобразований. Адроны обра-

зуют вырожденные St/(3)-мультиплеты, н барионное число сохраняется. Остальные симметрии—аксиальная St/(3) и /7(1), соответствующие //(3)1.-/?-преобразованиям, — не отвечают явному вырождению частиц. Так как в теории не используются какие-либо элементарные скалярные поля, мы должны предположить, что эти аксиальные симметрии нарушаются вакуумом КХД. (Выяснение того, имеет ли это место в действительности, представляет собой трудную динамическую проблему, которая до сих пор полностью не решена, но все данные указывают на то, что наши предположения верны.) Тогда в соответствии с теоремой Голдстоуна в адронном спектре должны присутствовать почти безмассовые псевдоскалярные мезоны. Восемь из них сразу можно отождествить с тремя л-мезонами, четырьмя /(-мезонами и одним трмезоном. Но так как аксиальная t/(3)-симметрия тоже должна быть нарушена, не хватает еще одного псевдоскаляра. В этом состоит знаменитая аксиальная //(^-проблема. А именно, в безмассовом пределе КХД (по существу любая кварковая модель) инвариантна относительно фазовых преобразований

(10.76)

где 6 принимает одно и то же значение для всех к, т. е. ul, du st умножаются на общий фазовый множитель е~'0, a uR, dR, sR — на е'0. Эта приближенная симметрия не наблюдается в сильных взаимодействиях: она не реализуется ни в обычной, ни в голд- стоуновской модах. Решение ^( 1)-проблемы обсуждается в гл. 16 в связи с инстантонными решениями в КХД, о которых мы упомянули в начале этого раздела.

Б. Стабильность симметрии КХД относительно слабых радиационных поправок. Рассмотрим теперь кратко проблему нарушающих симметрию членов, которые возникают за счет слабых радиационных поправок [405]. Хотя мы еще не касались калибровочной теории электрослабых взаимодействий, тем не менее указанная проблема может быть рассмотрена, так как для этого нужно знать лишь некоторые общие свойства такой теории.

Генераторы электрослабой калибровочной группы коммутируют с генераторами калибровочной группы КХД, т. е. глюоны являются аромато-нейтральными, а промежуточные векторные бозоны слабых взаимодействий (\Г-бозоны) и токи являются цветовыми синглетами.

Характерный масштаб энергий слабых взаимодействий определяется массами 1Г-бозонов MW = O (102 ГэВ).

Калибровочные константы слабых взаимодействий порядка е и связаны с хорошо знакомой константой Ферми слабых взаимодействий соотношением GF = O^ajMw\ где а —е2/4л — постоянная тонкой структуры.

Зная, что константы слабых взаимодействий порядка е, можно было ожидать, что слабые радиационные поправки приведут к неприемлемо большим, порядка а, нарушениям законов сохранения четности и странности. Из первого свойства следует, что все эти радиационные поправки сами инвариантны относительно группы 5[/(3)Цвет. В частности, добавки к лагранжиану порядка а должны быть операторами размерности 4. Поэтому (как было продемонстрировано выше) подходящим переопределением глюонного и кваркового полей лагранжиан может быть сведен к каноническому виду (10.63) со всеми его симметриями. Как показывает анализ размерностей, члены, содержащие операторы размерности D > 4, должны умножаться на коэффициенты вида

• Например, член ^уц(1 — у5)^<7Уц(1 — Vs)^ имеет размерность D = 6, следовательно, он должен иметь коэффициент О (a/AJ®') и в соответствии с третьим свойством должен быть порядка Gf.

Итак, КХД обладает тем преимуществом, что ее нулевой порядок автоматически обладает набором глобальных симметрий, которые превосходно согласуются с известными симметриями сильных взаимодействий и стабильны относительно слабых радиационных поправок.

10.3. РЕНОРМГРУППОВОЙ АНАЛИЗ СКЕЙЛИНГА

И НАРУШЕНИЕ СКЕЙЛИНГА

Для лагранжиана КХД (10.63) ренормгрупповая 0-функция (10.41) при /2(К) = 3,— \/2 и /2(S) = 0 принимает вид

—(10.77)

где П; — число кварковых ароматов. При изменении масштаба импульсов pi—^Xpt эффективная константа связи g(g,/) удовлетворяет уравнению

#=-^3.(Ю.78)

где

?=1пА.(10.79)

Уравнение (10.78) можно проинтегрировать и получить

s!W=t+W7’(lo.so)

где g = g(g, 0). Таким образом, при гц <. 17, а значит, b > 0 знаменатель в (10.80) не может обратиться в нуль. При Х->оо, т. е. при больших импульсах Хр;, получаем §(/)-* 0, и теория является асимптотически свободной. Однако следует отметить, что эффективная константа связи стремится к нулю логарифмически,

g ~ (26 In X)-1, т. е. очень медленно. Для удобства мы можем выбрать в качестве масштабного параметра X отношение рассматриваемого импульса Q к параметру вычитания ц, т. е. X2 = Q2/p2, или/= 1/2 In Q2/p2. Тогда выражение (10.80) можно переписать в виде

as (Q2) = ---г-2 ,(10.81)

5 71 4кЬа5 (р.2) In Q2/p2v ’

где as(Q2) = £2(^)/4л, as(p2)= §2/4л. Можно далее упростить это выражение, определяя параметр Л из

In Л2 = In ц2- as (р2) 4л6 ’ что дает

a. (Q2) = 7•(10.82)

(11 - у »J In QW

В этом виде константа калибровочного сильного взаимодействия as(Q2) выражается через один параметр Л. Мы видим, что при малых импульсах as(Q2) возрастает и фактически расходится при Q2 = Л2. Хотя соотношение (10.82) получено в рамках теории возмущений и не применимо при больших константах связи, тем не менее параметр Л является полезной мерой масштаба энергий, при которых константа сильных взаимодействий становится большой. Следовательно, Л является фундаментальным импульсным масштабом и называется масштабным, параметром КХД.

Поскольку КХД асимптотически свободна, на первый взгляд может показаться, что, используя ренормгруппу и теорию возмущений, можно рассчитать большое число процессов, происходящих при высоких энергиях. На самом деле это не так: ренорм- групповой анализ является теорией масштабных преобразований и предполагает умножение всех компонент четыре-импульса на одно и то же число; ультрафиолетовый асимптотический предел — это переход в глубокоевклидову область, где все частицы находятся вдалеке от их массовых поверхностей. К счастью, существуют физические ситуации, когда некоторые из «внешних частиц» находятся бесконечно далеко от их массовых поверхностей. В низшем порядке по электрослабому взаимодействию полулептонные инклюзивные процессы можно факторизовать на известную лептонную часть и на адронную часть, соответствующую амплитуде рассеяния вперед фотона (или ЦР-бозона) с переменной массой —q2. В частности, сечение е+е--аннигиляции и лептон-адронного рассеяния определяет абсорбтивную часть матричных элементов произведения электрослабых токов между некоторыми состояниями |Л>:

W(W/V (0)) | Л>.W(W/V (0)) | Л>.(10.83)(10.83)

W(W/V (0)) | Л>.

W(W/V (0)) | Л>.

(10.83)

(10.83)

Предел высоких энергий и больших (—д2) соответствует глубокоевклидовой области. (Приложения теории с асимптотической свободой в общем виде описаны в работах [200, 324].)

е+ ^--аннигиляция

Согласно (7.152), в случае е+е~-аннигиляцпи состояние |Л) в (10.83) является вакуумным состоянием. Таким образом, фотонная масса д2 является единственной масштабной величиной,

Рис. 10.8.

и можно непосредственно воспользоваться ренормгрупповым анализом. Рассмотрим обратный фотонный пропагатор в КЭД:

Г1" («) = (- g1" + gW) П у\ (10.84)

Поляризация вакуума П(<?2) имеет «наивную» размерность 2, так что соответствующее ренормгрупповое уравнение (3.58) принимает вид

[5--^дГ + ^л-2]п(<72) = 0,(10.85)

где уд — аномальная размерность фотонного поля:

Ул = - у ДМ [|п Z= (е- 8' A^L (Ю.86)

/з — обычная константа перенормировки фотонной волновой функции (поляризация вакуума; соответствующие одно- и двухпетлевые диаграммы приведены на рис. 10.8). Мы получаем

=1[1 +^^g2+ ...].(10.87)

Для матриц Ta<Wi представления векторных калибровочных полей имеем

S2(l/)dz/ = (r(V)r(V))z/ = ((rt2-l)/2«)dz/ для группы 8Щп\

(10.88)

Для 5/7(3)-глюонов s2(V) = 4/3, вк— электрический заряд кваркового аромата к. Мы не выписываем явно константу пропорциональности С, так как она не войдет в конечный результат. Решая уравнение (10.85) так же, как (3.68), для Q2 = —д2

имеемимеемH(Q2)H(Q2)Q2expQ2expt-2^(g(tWОt-2^(g(tWО

имеем

имеем

H(Q2)

H(Q2)

Q2exp

Q2exp

t

-2^(g(tW

О

t

-2^(g(tW

О

~Q“[l-2c(3£4)Q + ^.|n(+ ...)].(10.89)

Сечение рассеяния для процесса е+е~-> адроны можно получить взятием абсорбтивной части:

R№R№а (е+е -> адроны)а (е+е -> адроны)а (е+е- -> ц+ц-)а (е+е- -> ц+ц-)^3 У еА Г \ к /^3 У еА Г \ к /1 +1 +«s (Q2)Л«s (Q2)Л{-.-]- (10.90){-.-]- (10.90)

R№

R№

а (е+е -> адроны)

а (е+е -> адроны)

а (е+е- -> ц+ц-)

а (е+е- -> ц+ц-)

^3 У еА Г \ к /

^3 У еА Г \ к /

1 +

1 +

«s (Q2)Л

«s (Q2)Л

{-.-]- (10.90)

{-.-]- (10.90)

Таким образом, результат (7.104), основанный на простых соображениях о скейлинге в партонной модели, получен здесь снова вместе с поправочным членом КХД [19, 442], где as(Q2) дается выражением (10.81). Мы видим, что отношение /?(Q2) приближается к /?(Q2 = oo) сверху. Этот предасимптотический поправочный член, по крайней мере в области выше порога рождения очарованных частиц, вероятно, все еще меньше, чем экспериментальные ошибки, так что, хотя нахождение полного сечения е+е--аннигиляции не является идеальным способом определения as(Q2), суммарные экспериментальные данные согласуются с предсказанием КХД (10.90).

Неупругое /^-рассеяние

Согласно (7.10), в случае /М-рассеяния состояние |Л> в (10.83) является состоянием нуклона. Следовательно, мы будем изучать физические величины с двумя масштабами масс: переменная фотонная масса Q2 = —<?2->оо, а нуклон должен быть на массовой поверхности р2 = Л12. Необходимо разработать методы, позволяющие факторизовать матрицу в произведение не зависящих от импульса величин (которые отождествляются со структурными функциями и функциями распределения партонов) и функций, зависящих от д2, которые обладают скейлинго- вым поведением в соответствии с ренормгруппой. (Более детальное обсуждение этой факторизации дано в разд. 10.4.)

А. Операторное разложение. Техникой, осуществляющей такую факторизацию, является операторное разложение [427], в котором сингулярности произведения операторов выражаются в виде суммы несингулярных операторов с коэффициентами, являющимися сингулярными с-числовыми функциями. Физической основой такого разложения является то, что произведение локальных операторов на расстояниях, малых по сравнению с характерной длиной системы, должно выглядеть как локальный оператор. '

Al. Разложение на малых расстояниях:

А(х)В(у) ~ УС-Дх-у^оА^кх^уЛ. (10.91)

где А, В и Ot— локальные операторы. Операторы Оь появляющиеся в разложении, должны иметь квантовые числа, соответствующие квантовым числам произведения АВ в левой части. Функции САДА являются сингулярными с-числовыми функциями и называются вильсоновскими коэффициентами. В перенормируемых теориях было доказано, что при х-*у такие разложения справедливы в любом конечном порядке теории возмущений. Исходя из простого подсчета размерностей, можно получить поведение вильсоновских коэффициентов на малых расстояниях с точностью до логарифмических коэффициентов:

Ci (х)>- (x)drdA-dB(ln xm)p[l + О (xm)],(10.92)

где Да, Дв и Ai— размерности (в единицах массы) операторов А, В и Oi соответственно. Чем выше размерность операторов Oi, тем менее сингулярными являются коэффициенты СДх). Следовательно, на малых расстояниях доминирующими являются те операторы, которые имеют наименьшую размерность.

Полезность этого разложения связана с его универсальностью: вильсоновские коэффициенты не зависят от рассматриваемого процесса. Зависимость от конкретного процесса проявляется в матричных элементах локальных операторов Ot, которые на малых расстояниях не сингулярны. Другим его достоинством является то, что в конкретной теории в разложении обычно участвует небольшое число операторов. Следовательно, основанные на разложении Вильсона вычисления относительно просты.

А2. Разложение на световом конусе. Такой тип разложения уже встречался в разд. 7.3. Соотношения (7.141) и (7.146) являются примерами общего разложения на световом конусе

a(4)b(~4) ~ £с; (х)<?;(4, -у) ПРИ *2~° (10-93)

с сингулярными с-числовыми функциями и регулярными било- кальными операторами 0Дх, УД Билокальные операторы можно разложить в ряд Тейлора (как в (7.157)) и получить

Ot (4, - 4) = £ ?- . .. хрЮ^ 1)„ (0),(10.94)

/

так что на световом конусе произведение двух локальных операторов можно также представить в виде суммы локальных операторов:

А (4) В (- 4) д о £ С? (?) ?■ ... хМ’А„ ^ (0). (10.95)

Если в качестве базисных операторов С/ц^... yj взять бесследо- вые симметричные тензоры с j индексами, то они будут соответствовать спину /. Поведение вильсоновских коэффициентов на световом конусе х2->0 (как в 10.92)) можно получить простым подсчетом размерностей

W ^7^ (V?) А В (lnx2m2)P, (10.96) где dj,i — размерность оператора О^ 11. ^ДОУ Следовательно, в отличие от случая (10.92) ведущий член соответствует наименьшему значению (с?/, < — /), т. е. размерности оператора Dy’ ^. ^ , из которой вычтен его спин. Такая комбинация называется твистом оператора;

x = d — j,(10.97)

т. е. твист равен размерности минус спин. Операторы с низшими твистами доминируют в разложении на световом конусе.

Скалярное поле ф, фермионное поле ф и калибровочное поле Fy^ все имеют твист, равный единице. Взятие производной от этих полей не может уменьшить их твистов и в лучшем случае оставляет их неизменными, так как взятие производной увеличивает размерность на единицу, изменяя при этом спин на 1 или не изменяя его. Таким образом, минимальный твист оператора, содержащего пг полей, равен пг. Наиболее важными операторами на световом конусе являются операторы с твистом 2, примеры которых приведены ниже: скаляры

^.у^Ф'КК М'(Ю.98а)

фермионы /. Ех_<—><—>

... ц/ = фуц1<5ц2 • • • перестановки, (10.986) векторные частицы

^ ®L у( = Ру^у, ... Dy^ Fy. + перестановки. (10.98в)

В калибровочной теории производные в (10.98а, б) заменяются ковариантными производными Dy. В разд. 7.3 мы видели, что доминирование канонических операторов с твистом 2 в теории свободного поля приводит к бьёркеновскому скейлингу.

Теперь можно приступить к рассмотрению того, как сечение глубоконеупругого /jV-рассеяния факторизуется на два сомножителя, один из которых не зависит от импульса, а другой обладает скейлинговым поведением, определяемым ренормгруп- пой, причем сечение рассеяния связано с абсорбтивной частью амплитуды ток-нуклонного рассеяния вперед, которая затем

разлагается в ряд на световом конусе. Матричные элементы локальных операторов образуют не зависящую от импульса часть, а с-числовые вильсоновские коэффициенты удовлетворяют уравнению ренормгруппы. Мы покажем сначала, что эти вильсоновские коэффициенты связаны с моментами структурных /М-функций.

Б. Моменты структурных функций и вильсоновские коэффициенты. Чтобы основные пункты выкладок не затемнялись сложными лоренцевыми структурами, проиллюстрируем сначала

процедуру расчетов на примере скалярных токов / (х). Рассмотрим амплитуду рассеяния вперед (рис. 10.9):

W ^=\d*xe-“i-4p\T(j(^j(-^\p). (10.99) где M = p-q/M. (Детали кинематики этого процесса см. в разд. 7.1.) Используя операторное разложение

7 (у(т)у(-т)) Г ^^х^ • • ■(10Л0°)

(где значения индекса i соответствуют всевозможным операторам с твистом 2), перепишем амплитуду (10.99) в виде

Т V, v) ~ £ ^ d4e-iqxx^ ... x^di (х2) (р |^; 1 U/ (0) |р> = и

- У ^П d'xe-^dt (х2)] X

X^I^^.^WIp).(10.101)

Матричный элемент локального симметричного бесследового оператора (У^ l\. ^ может быть параметризован следующим образом:

<р\С^; 1 ц/0) |р) = О? [рц^ц, ... р^ — свертки], (10.102) где (УУ— константа, а свертка содержит по крайней мере один множитель g^ ц . Используя равенство

"д^-Ё^ ••• "^-=2W« ... ^/(^г)/ +свертки, (10.103)

при больших (—^2), когда —q^/IMv фиксировано, получим

т v-v) _д. 2 * (»?) ISи] °-1=

= 22 (^У ^ ^ О^(Ю. 104)

"C CftflM-^^lV"'''^^^(10.105)

является по существу фурье-образом произведения V*1 ... ... х^/С(-(х2). Заметим, что свертки, входящие в (10.102) и (10.103), содержат меньшие степени ^p-q), которыми в скей- линговом пределе можно пренебречь. Таким образом, для амплитуды T^q2, v), разложенной на члены с определенными проекциями спина,

Т№, v)= ^I^q2, v),(10.106)

из (10.104) следует

lAq\ v) « x^^C^O^,(10.107)

-q^-yooi

где x = —<72/2A4v. Отсюда видно, что для того, чтобы выделить оператор с данным спином /, необходимо разложить T^q2, v) в ряд по степеням х~* при больших —q2. В глубоконеупругом рассеянии на самом деле измеряется абсорбтивная часть амплитуды рассеяния вперед T(,q2, v):

Г (<72, v) = A- Im Г (?2, v),(10.108)

а сама амплитуда может быть восстановлена по измеряемым величинам с помощью дисперсионного соотношения

Т№ v)=$^^y W- VHP,-Aq2. v), (10.109)

где мы предположили, что число вычитаний равно s, а Ps_1 (<?2> v) — полином по v порядка s —1 при фиксированном значении q2. Если мы предположим далее, что при больших (—<72) полином Ps-Aq2, v) стремится к Ps-AxA т. е. к полиному по х~* порядка s — 1, то получим

+1W, v)= $-1+1W, v)= $-1(V)$-*(V-x) оо 4-1(V)$-*(V-x) оо 4-1Е Ps-! to -Е Ps-! to -Ps-i to + £ х~} dx' ^х'У 1/ —S—1Ps-i to + £ х~} dx' ^х'У 1/ —S—1Г(<72, х').Г(<72, х').(10.110)(10.110)

+1

W, v)= $

-1

+1

W, v)= $

-1

(V)$-*(V-x) оо 4-1

(V)$-*(V-x) оо 4-1

Е Ps-! to -

Е Ps-! to -

Ps-i to + £ х~} dx' ^х'У 1/ —S—1

Ps-i to + £ х~} dx' ^х'У 1/ —S—1

Г(<72, х').

Г(<72, х').

(10.110)

(10.110)

Первые s членов этого разложения не определены, поскольку не известны константы вычитания. Но при У ^ s, сравнивая

/10.110) с (10.106) и (10.107), имеем

( dxx^'W^q2, х) « УсУЧ^оУ* при J>s. (10.111)

Таким образом, моменты структурных функций определяют вильсоновские коэффициенты (точнее, их фурье-образы) СУ'^q2\ В более реалистическом случае электромагнитного тока /^-/™ мы можем провести аналогичный анализ. Используя обычные предположения относительно высокоэнергетического поведения амплитуды комптоновского рассеяния вперед, мы снова получим соотношение (10.111) при всех /^2, когда /-канал комптоновского рассеяния (т. е. канал ток X ток) обладает квантовым числом вакуума, и при / ^ 1 для невакуумных каналов. Разлагая (10.111) по аналогии с (7.30) на две части, соответствующие инвариантным структурным функциям Рь2(х, Q2) неупругого еМ-рассеяния (мы изменили обозначения по сравнению с разд. 7.1: Gi(x, у2)->- Ft(x, Q2)), получим

J dxxI-2F2 (х, Q2) « 7 Е СУ' (Q2) ОУ\ (10.112а)

^dx^'F^x, ^ «^^СУ^^ОУЛ (10.1126) -ii

Нам удалось выделить из сечения рассеяния, которое имеет два масштаба масс р2 = М2 и q2, множитель, зависящий только от q2, к которому можно применить масштабное преобразование <7ц->Х<7и и ренормгрупповой анализ. Заметим, что точный бьёр- кеновский скейлинг (7.32) Fi(x, у2)-»- ^(х) соответствует поведению свободного поля:

СУЧ<22) -* const при Q2-* оо.(10.113)

Мы предполагаем, что в общем случае такое поведение будет модифицироваться за счет взаимодействия. Простейшее возможное отклонение от этого скейлингового поведения может быть связано с тем, что степени ln(Q2/m2) в каждом порядке теории возмущений в результате суммирования дают некоторые степени величины Q2, что приводит к следующей зависимости: сУЧо2)-^)^-(10-114)

Здесь у/ можно интерпретировать как аномальную размерность, приобретенную оператором СУ’У^...^ из-за наличия взаимодействия. Поскольку сохраняющиеся величины конечны, их

константы перенормировки не зависят от обрезания и аномальные размерности обращаются в нуль. Электромагнитные токи и тензор энергии-импульса являются такими величинами. Если бы они появлялись в правой части операторного разложения, то их вильсоновские коэффициенты (точнее, фурье-образы последних) обладали бы скейлинговым поведением свободной теории без аномальных размерностей. Но для моментов общего вида из уравнения (10.114) следует

\F2(x, Q^x^dx ~ . (10.115) J Q»->oo V /

Так как структурные функции Ft положительно определены, аномальные размерности у; должны' монотонно возрастать с увеличением /, и так как тензор энергии-импульса 0^ не появляется в вакуумном канале операторного разложения произведения токов, то у2 = 0, а

у;>0 при />2. (10.116)

Это означает, что в вакуумном канале моменты структурных функций должны уменьшаться с ростом Q2. Кроме того, из экспериментально наблюдаемого приближенного скейлинга следует, что аномальные размерности должны быть очень малы.

В. Ренормгрупповые уравнения для вильсоновских коэффициентов. В гл. 3 мы ввели ренормгрупповое уравнение для функции Грина общего вида. Аналогичные уравнения можно получить для вильсоновских коэффициентов, сравнивая ренормгрупповые уравнения для функций Грина, содержащих произведения операторов, и уравнения для функций Грина, содержащих локальные операторы, входящие в операторное разложение [86].

Операторное разложение схематически можно представить в виде

А(х)В(0) ~ £СДх, g, ц)<?,(0), (10.1171 *->0 I

где g— константа связи, а ц— точка вычитания в процедуре перенормировок. Его же можно записать через «-точечные функции Грина,со вставками операторов АВ и О,:

гдегде(10.118)(10.118)(10.118а)(10.118а)(10.1186)(10.1186)Г^ ~ I Сt (х, g, ц) Г^,*->0 I1

где

где

(10.118)

(10.118)

(10.118а)

(10.118а)

(10.1186)

(10.1186)

Г% = <0 | Т (А (х) В (0) ft Фк (У j) Ю),Xк=\/

г^ноц^ (0)П MaW

1X к-1/

Функции Грина по отдельности удовлетворяют ренормгруп- повым уравнениям (см. (3.58))

р + X Уй (g) — Ул (g) — Ув (й)] глв (g, н) = 0,

^ + X Уй (g) — У; (g)] Г^ (g, р) = 0,где‘

+<10.119)

а ул, ув и у,- — аномальные размерности операторов Л, В и У, соответственно; мы предположили, что они не перемешиваются при перенормировке. Используя (10.118), получаем

[Я + Ул (£) + Ув (£) ~ У; (g)J С, (х, g, ц) = 0.(10.120)

Таким образом, вильсоновский коэффициент С; ведет себя так, как если бы он являлся функцией Грина операторов А, В и Ct. Решение, общий вид которого ;дан в (3.68), принимает вид С» (е-'х0, g, р) = е' ^а+^в-^А ехр | dt' [ул ^ ^ _^_ ?в ^ (/)) _

-Yi^Oljc^Xo, gt), и). (10.121)

где dA, dB и d; — «наивные» размерности операторов А, В и 0-v соответственно. Аналогичные уравнения и решения, конечно, имеют место "для фурье-образов вильсоновских коэффициентов Ct^q\ g, ц). В случае глубоконеупругого рассеяния мы имеем разложение на световом конусе, которое может быть преобразовано в суммы бесконечных наборов локальных операторов с возрастающим спином п и с вильсоновскими коэффициентами Cl (q2, g, ц), которые связаны с моментами структурных функций соотношениями (10.112):

Mrt (Q2) = J dxx^F, (х, Q2) ~ | £ Cl (Q2, g, ц) 01 = 0I

=у2^"^’ ^^ р)ехр=у2^"^’ ^^ р)ехр5 Ул (£ О dt' о■5 Ул (£ О dt' о■01,01,(10.122)(10.122)

=у2^"^’ ^^ р)ехр

=у2^"^’ ^^ р)ехр

5 Ул (£ О dt' о■

5 Ул (£ О dt' о■

01,

01,

(10.122)

(10.122)

где у' — аномальная размерность оператора 0^’ 1\ ^ .

Г. Глубоконеупругое рассеяние в КХД. Применим теперь этот анализ глубоконеупругого рассеяния в КХД 1177, 205], где электромагнитный ток дается выражением

/ц (л:) = Xf^й (х) Yn^ М 11(10.123)

здесь Як^—оператор поля кварка с индексом аромата к, ек — его заряд и подразумевается суммирование по цвету. Рассмотрим амплитуду комптоновского рассеяния вперед (считаем, что произведено усреднение по спинам нуклонов):

т^ч' = ^ \%eiPU<P\T<kVjM.^\P^= (Ю.124)

(10.125)

Абсорбтивные части инвариантных амплитуд Ti являются структурными функциями Wi, определяемыми в глубоконеупругом рассеянии:

q^ = ^\mTx,^, Ч^.(Ю.126)

Г1. Операторное разложение и моменты структурных функций. Операторное разложение произведения электромагнитных токов на световом'конусе имеет вид

it и» (у) Jv (0)) = £ {— g^y^y^ ... y^/c^i (у2. g, р) +

+ gW1g^2y^. • • ^Г^’ §’ I1)} °T ^2 "■ ""(°)- <10J27)

В КХД имеются три набора калибровочно-инвариантных операторов твиста 2 (выражения (10.128а) — (10.128в)), доминирующих в окрестности светового конуса у2 ~ 0:

...^(х) = ^1^^(х) ^i^/)^(х) +

-{-перестановки векторных индексов^, (10.128а)

где Х°— стандартные 1 zif X »f эрмитовы бесследовые матрицы группы ароматов ЗЩп;), т. е. в теории с тремя ароматами .и, d и s это известные матрицы Гелл-Манна группы S[/(3). 'Этот набор операторов дает вклад в операторное разложение для несинглетных по аромату комбинаций структурных ' функций, таких, как FXP — Аг" или АзЛ, когда нейтрино рассеивается на изоскалярной мишени А. Здесь мы основную часть усилий затратим на'изучение более сложного случая синглетных по аромату комбинаций. В них могут давать вклад два набора операторов:

у.И ^ - - ^„ (x) = ^.212 {^ (х) ^2 . .. D»nq (х) +

+ перестановки}, (10.1286)

OV$ *х -^п (х) = ^- tr {G^D^ . . . D^n-xQ^ 4

+ перестановки}. (10.128s)

Поскольку (3^ и О^ имеют одни и те же квантовые числа, при перенормировке они-могут перемешиваться (см. разд. 2.4). Подставляя (10.127) в (10.124), получаем

ТДр, ^ = ^м"\^- е^и^ {- g^y^y^ ... yw^Wi (у\ g, н) +

+ gwlgw1i O3 • • • y^cVKy , g, н)} X

XW^1 - ^(0)|p)+.(10.129)

Записывая усредненный по спину матричный элемент в виде (р |^п (0) |р) = АТ (р^'р^2 . . . р^п + свертки), (10.130)

где Л ^ — константа, можно представить (10.129) в виде т^ (р. ч)~-^м У {_ g^ ^р ■q>,n (^) S dVq'Scin\ ^’ g’ н)+ п, I

A-p^^p-q)^-^г) j d Уе с2. i (У - б- н) ] А, •]-...=

-lirZX^^)"^-^ g. ri +

PtiP^^V" ^^М g, ^p^---’(10.131)

где

ci”, №. g, ri = №Г (^т)" (dV -ctS У, g, ri.

с¥Лс?. g. ti = (.QT'(,^‘~2^У 'йа^". g. dl (Ю.132) Из (10.131) мы сразу получаем выражения для инвариантных амплитуд:

Г1 (х, Q2) = ^- £ х-пС\^ (Q2, g, р) Avr\(10.133а)

тЛх, <^) = ^^гП+^^' g' lM"1' 0°-133б)

Точно так же, как был осуществлен переход от (10.106) к (10.112), можно получить связь между моментами структурных функций и вильсоновскими коэффициентами (их фурье-образами):

dxxn-1F^ (х, Q2) « 1 £ C^t (Q2, g, р) АТ\ (10.134а) о/

dxxn-XFX (х, Q2) « -^ У ^)i (Q2, g, р) АТ\ (10.1346) оI

Г2. Ренормгрупповой анализ и матрица аномальных размерностей в синглетном случае. Сосредоточим наше внимание на синглетном по аромату случае. (Так как между операторами,

Рис. 10.10. Диаграммы, дающие вклады: а •- в у^, б — в у^, в — в у^ иг - в Vgq-

отвечающими твисту 2, возможны смешивания, ренормгруппо- вое уравнение для вильсоновских коэффициентов принимает матричный вид:

(D6ffe - Vkh Со?/ (<7, g, и) = о, а = 1, 2, (10.135)

где 4W — матрица 2X2 аномальных размерностей для синглетных по аромату операторов (У^ и (То*. Решение уравнения (10.135) имеет вид

С^ i (qV, g) ~ £ С^/ (1, g М) exp { - J df^? (g 01, (10.136)

I0)

гдегде/=41п№2)-/=41п№2)-(10.137)(10.137)

где

где

/=41п№2)-

/=41п№2)-

(10.137)

(10.137)

В асимптотически свободной К.ХД величины у^ вычисляются по теории возмущений в соответствии с однопетлевыми диаграммами, приведенными на рис. 10.10:

^-dWgHO(ga),(10.138)

где ( “qq UGq 1 xUqQ aQG7 a

[—4«Г[—4«Г^ 1“°’- 16л2^ 1“°’- 16л2j(n)UGOj(n)UGOл2 + Л + 21

[—4«Г

[—4«Г

^ 1

“°’- 16л2

^ 1

“°’- 16л2

j(n)

UGO

j(n)

UGO

п(п+ 1) (п + 2) ]’

(zif — число кварковых ароматов). Эта матрица может быть диагонализована подходящим выбором линейных комбинаций О'^ и С?^, а ее собственные значения соответствуют аномальным размерностям линейных комбинаций, перенормируемых мультипликативным образом. Используя в (10.138) выражение (10.80) для эффективной константы связи, полученное в низшем порядке теории возмущений, получим

/гg2dVl)dt'

JV/, \s vj1 + 2bg2t-

оо

—dw—d№

= -^T-^(\+2bg4^-^\nt.(10.140)

Вильсоновские коэффициенты при больших q2 имеют следующее поведение:

С^(<Ж. g)~£c^(l, 0)[1п(-^,(10.141)

где Сощ (—1, 0)— вильсоновские коэффициенты в теории свободного поля. Теперь для больших Q2 соотношения (10.134) принимают вид

МТ (Q2) = J dxxn"2F2 (х, Q2/p2) ~ о

^tZ^^1’ 0)Л^>[1П(q7^2)] 11 .(10.142а)

МТ (Q2) = J dxx~xFx (х, Q2/p2) ~ о

—d^^ tab

~ tZ6^1’ 0) ^^[inCQVix2)] 11 .(10.1426)

i

Таковы основные результаты КХД для глубоконеупругого рассеяния. Они были получены путем факторизации инклюзивного сечения на часть, не зависящую от импульсов (локальный оператор), и часть, обладающую скейлинговым поведением в соответствии с ренормгруппой (вильсоновские коэффициенты).

В асимптотически свободной КХД лидирующая сингулярность (при Q2 -> оо) вильсоновских коэффициентов может быть найдена с помощью ренормгрупповой p-функции и аномальных размерностей у)"1* тогда как матричные элементы А^' локальных операторов не могут быть получены до тех пор, пока не решена проблема связанных состояний (на больших расстояниях) в КХД. Хотя мы не можем вычислить сами скейлкаговые функции, но мы обладаем достаточной информацией относительно самого скейлинга и его нарушения. КХД предсказывает очень слабую зависимость моментов структурных функций от qa, как это видно из (10.142). Таким образом, имеет место приближенный бьёркеновский скейлинг с логарифмическими нарушениями.

ГЗ. Снова об импульсном правиле сумм. В качестве иллюстрации мы вычислим выражение для синглетного по аромату второго момента (п = 2) структурной функции, скажем ^(^с, Q2). В этом случае одним из операторов со спином 2 и твистом 2 будет тензор энергии-импульса 0^- Его сохранение приводит к тому, что он не перенормируется: Ze=l; следовательно, соответствующая аномальная размерность должна обращаться в нуль, уе = 0 (см. разд. 6.1, где обсуждаются подобные вопросы, связанные с перенормировкой оператора сохраняющегося векторного тока Z, = l). При п = 2 из уравнения (10.128) следует, что имеются два оператора твиста 2:

[^L^tZ^^A + Yv^)^(10.143а)

[^^^trCG^Gx).(10.1436)

Мы рассматриваем только члены низшего порядка, поэтому G^v = дцДу — сМц. Матрица (10.139) принимает вид

т/.2.1—1(А(10 144)

— Збтъ2 V _ 16 3nJ‘(10.144)

Она, очевидно, имеет нулевое собственное значение de= 0, соответствующее левому собственному вектору (1, 1) = (1,0)+ + (0, 1), т. е. комбинации

e^v = [^2> +^luv,(10.145)

являющейся тензором энергии-импульса. Другое собственное значение равно de'= (16 + 3nf)/36n2. В общем случае мы можем выразить матрицу d)/1 через ее собственные значения 3, и проекционные операторы Pt на соответствующие собственные векторы:

<=Х^№> РкР1 = ^1Рк, Х^ = 1- (10.146) кк

Легко видеть, что в нашем случае п = 2 проекционные операторы (для левых векторов) имеют вид

1 /Зи, 3/zf\ 1/ 16 —3/zf\

— !6 + 3nf ( 16' 16/ Рб' — 16 + ЗпД—163nf)'

(10.147)

Второй момент для синглетной по аромату структурной функции может быть записан в виде

dxF2 (х, Q2) = 1 2 {С^ /(1,0) (PeVr +

+ С^/(1, 0)(^е')£-/Л^[1п (Q7n2)]~^e/26}.(Ю.148)

Так как de'> 0, то при Q2—>оо имеем

$ dxF2 (х, Q2) = 4 £ {С^Д!, 0) (Р^ц ЛН- (Ю. 149) оц

Чтобы вычислить правую часть, заметим, что в низшем порядке по g^ в операторное разложение (произведения токов) дают вклад только кварки; следовательно, значения вильсоновских коэффициентов, соответствующих свободной теории, равны

С®о(1,0) = 0, С^Ц, 0) = (е2),(10.150)

где

(«-iS»2.<10-161)

1 к

есть среднее от квадрата заряда кварка. Таким образом, в правую часть входит только член ^/(Л0),/Л®. Чтобы его вычислить, заметим сначала, что

0> °) 16 + 3nf0> °) 16 + 3nf(3nt 3nt\(0^\

0> °) 16 + 3nf

0> °) 16 + 3nf

Ue 16 Д о® )

= 16 + 3^ M' + ^^rQ,(10.152)

где 0 — оператор тензора энергии-импульса (10.145), а величину

(10.153)(10.153)Зп^16 + 3nf

(10.153)

(10.153)

можно интерпретировать как часть импульса, переносимую кварками. В случае трех кварковых ароматов г = 9/25, что согласуется с экспериментальными результатами, если их интерпретировать в рамках кварк-партонной модели (импульсное

правило сумм) разд. 7.2. В отличие от общего случая матричный элемент оператора 0ЦУ известен:

<Р1МР> = РД^ — g^P2.(10.154)

Сравнивая (10.154) с (10.128) и (10.130), имеем (Р^А® = 8г, а (10.149) принимает вид

" 11

\dxF2(x, <72)= г (е^.(10.155)

L0"'синглет

Это означает, что область под кривой структурной функции имеет строго скейлинговое поведение.

Г4. Пример нарушения скейлинга. Для произвольного п диа- гонализованные величины dV' обладают свойством медленно

Рис. 10.11. Характер нарушения скейлинга функции Рг^х, Q2) при Q^Qi.

увеличиваться с ростом п. При п > 2, когда важна область больших х (~1), момент Mw (Q2) уменьшается как [ln(Q=)]-l*l/=*;np„ п < 2, когда важна область малых х (~0), момент Al^VQ2) растет как [In (Q2)]+' dW ^2Ь. Это приводит к следующему характеру нарушения скейлинга: при Q2-> оо часть Fi^x, Q2), отвечающая большим х, убывает, а часть, отвечающая малым х, возрастает; при этом площадь области под кривой остается неизменной (рис. 10.11). В пределе бесконечного Q2 структурная функция приближается к острому пику в точке х = 0.

В заключение этого раздела обсудим кратко вопрос, связанный с одной уже выполненной экспериментальной проверкой предсказаний КХД. С этой целью рассмотрим более простой случай несинглетной комбинации структурных функций, когда нет усложнений, связанных с перемешиванием операторов. Тогда результат, соответствующий (10.142), имеет вид

И" (</)]„ ...™, - в» [In WW*1**.(10.156)

где BW — константа, значение которой непредсказуемо, a d<"> — коэффициент при g2 в выражении для аномальной размерности

оператора (10.128);

(10.157)(10.157)d1-"' = Г12 — + 4 У 1

(10.157)

(10.157)

6л2 п vn + 1)/

L/-2 J

который, как и следовало ожидать, имеет тот же вид, что и d^q. Приведем выражения для логарифмов моментов

In М™ (Q2) - In In (q7p) + - - -,

(10.158) In (Q2) = —In In foV) + ... .

Многоточия в правых частях выражений (10.158) обозначают нелидирующие члены (которые могут быть существенными при современных энергиях).

Если мы изобразим зависимость одного из этих логарифмов от другого, то получим прямую линию с наклоном d<">/dw>. Было обнаружено, что такие экспериментальные зависимости согласуются с предсказаниями КХД в пределах ошибок измерений (см., например, [58, 107]).

10.4 ПАРТОННАЯ МОДЕЛЬ И ПЕРТУРБАТИВНАЯ КХД

В этом разделе мы даем краткое введение в пертурбативную КХД. Мы снова сосредоточим наше внимание на прототип- ных процессах глубоконеупругого лептон-адронного рассеяния. Сначала приведем вероятностную интерпретацию результата, полученного в предыдущем разделе в рамках КХД, с точки зрения партонной модели. Затем покажем, как тот же результат может быть получен суммированием лидирующих логарифмов в теории возмущений.

Прежде всего еще раз сформулируем результат, касающийся глубоконеупругого /TV-рассеяния, полученный в КХД с помощью операторного разложения и уравнения ренормгруппы. Для п-го момента несинглетных по аромату комбинаций структурных функций ^(х, Q2) формулу (10.156) можно записать в виде

М№<Й = МКпЧ^ тгтпг] > (10.159)

где t = 1/2 In Q2/Q2, а$^— квадрат эффективной калибровочной константы сильного взаимодействия (10.82), а b и dw— лидирующий коэффициент ренормгрупповой р-функции (10.77) и аномальная размерность (10.157) соответственно. Таким образом, КХД предсказывает «почти скейлинговое поведение» с логарифмическим нарушением. Эта ситуация изображена на рис. 10.11.

Партонная модель и нарушения скейлинга

Как следует понимать в рамках партонной модели различные виды нарушения скейлинга, в частности указанное выше нарушение скейлинга в КХД? В гл. 7 уже отмечалось, что точный бьёркеновский скейлинг получается, если можно пользоваться импульсным приближением и рассматривать взаимодействие как некогерентную сумму рассеяний на (свободных) составляющих мишени. Такая картина имеет место в случае любой слабосвязанной системы, и рассеяние представляет собой как бы прощупывание структуры мишени виртуальными фотонами. Из принципа неопределенности следует, что виртуальный фотон с массой (Q2)1/2 позволяет определить структуру в масштабе длин (Q2)~1/2. С увеличением массы виртуального фотона структура выясняется на все более малых расстояниях. Обычно такое представление материи в виде «структуры в структуре» (т. е. в виде дискретных уровней) позволяет объяснить нарушение скейлинга при значениях Q2 из некоторых конкретных интервалов (т. е. при достижении следующих уровней). Таким образом, в общем случае мы наблюдали бы чередование скейлингового поведения и его нарушения по мере перехода от одного уровня в структуре материи к другому. На границах, разделяющих эти уровни, где происходит нарушение скейлинга, структурная функция будет изменяться с изменением Q2 и перераспределяться в сторону области, соответствующей меньшим значениям масштабной переменной х, так как каждая составляющая будет нести все меньшую долю импульса мишени.

В соответствии с такими партонными представлениями следствия КХД можно интерпретировать в терминах адронов, имеющих непрерывный набор составляющих слоев. При определенных значениях Q2 можно считать, что форма структурной функции нуклона имеет вид, схематически изображенный на рис. 7.4—7.6. По мере увеличения Q2 и все более глубокого проникновения в одетый кварк мы будем обнаруживать все большее число виртуальных кварков и глюонов, и валентные кварки будут все большую часть первоначального импульса нуклона отдавать глюонам и морским кваркам. В конце концов структурная функция приближается к дельта-функции, сосредоточенной в точке х = 0:

^(х, Q2) ~ д (х). (10.160) Q2-> со '

Уравнение Альтарелли — Паризи

Таким образом, в соответствии с описанной картиной нарушение скейлинга в КХД происходит из-за того, что эффективная константа сильного взаимодействия a,s(f) недостаточно быстро уменьшается при Q2 -> оо. Хотя теория является асимптотически

свободной, на малых расстояниях все еще имеются некоторые остаточные взаимодействия. Все это можно установить, используя хорошо определенные количественные соотношения, впервые предложенные Альтарелли и Паризи [15]. Простое изложение этих вопросов дано в книге [89].

Пусть при /=l/2lnQ3/Qo вероятность обнаружить кварк, несущий долю х импульса нуклона, равна q^xY При увеличении массы / виртуального фотона до / + 6? вероятность q^

Рис. 10.12.

может увеличиться на б?(х) вследствие того, что другой кварк с долей импульса у > х может испустить глюон и уменьшить тем самым свой импульс от значения у до значения х (рис. 10.12, а). Таким образом, можно считать, что этот кварк содержался в том, который первоначально наблюдался при меньшем значении t. Это означает, что распределение кварков фактически зависит от t, и можно определить величину Pqq(zY соответствующую изменению (на единицу /) распределения вероятности того, что в некотором кварке содержится другой кварк с долей z — x/y импульса первоначального кварка, равного у. Такое изменение, очевидно, является эффектом порядка g2; следовательно, уравнение эволюции имеет вид

11

*ЧД ^ = ^^\dy\ dz6 (* — У^ РЧЧ № Я <У> 0 = х О 1

= О) $ ^РячШя(у, о. (10.161) X

Этот интеграл имеет вид свертки, и его можно проанализировать с помощью преобразования Меллина, так как при таком преобразовании момент произведения является произведением моментов.

Определим моменты функции распределения (т. е. структурной функции) 1

Mw (t) = J dxxnq (x, /).(10.162)

о

Тогда уравнение (10.161) можно записать в виде

. .11

—= 5 (0 ) dxx -у- Pqq (xjy) q ку, f) = 0х

1

= g4^\dyynq<y, t^dzznPqq^ = g40Mw^Dw, (10.163) оо

где

Dw = ^dzznPqq (z).(10.164)

о

Таким образом, партонная картина нарушения скейлинга приводит к дифференциальному уравнению для моментов структурной функции. Ее эволюция определяется зависящей от / константой связи кварков с глюонами as(/). Решение уравнения (10.163) можно получить интегрированием

dMw(T) Р№ dt

илиилиMW^ ~ 2b t ’

или

или

(10.165)(10.165)(t) = Г g,(0 W/2b

(10.165)

(10.165)

M^ Oo) L as (/„I J

Это в точности совпадает с результатом КХД для несинглетных моментов (10.159), если мы отождествим

Dw = -dw.(10.166)

Итак, моменты функции Альтарелли — Паризи Pqq являются просто коэффициентами d^ несинглетных аномальных размерностей.

Если приведенный выше анализ распространить на синглетную по аромату комбинацию структурных функций, то необходимо дополнительно рассмотреть вклад от (синглетной) глюонной функции распределения G(x, 0 (рис. 10.12,6). В соответствии с (10.161) теперь имеем

1

^F1 = ^^\^VP^xly^qky, 0 "V Рсд(х/у)О ку, 01, (Ю.167) х•

1

= g2 (0 \^\pqG ^у) q {у, 0 + Pgg кх]у^ G ку, /)]. (10.168) X

(Предполагается, что проведено суммирование по индексам кварковых ароматов, чтобы получить синглетную комбинацию.) Уравнение (10.167) означает, что синглетная функция распре-

деления кварков изменяется в зависимости от t не только за счет тормозного излучения глюонов, но и из-за того, что глюоны могут превращаться в кварк-антикварковые пары способом, не зависящим от ароматов. При этом связанные уравнения эволюции соответствуют смешиванию операторов в более формальном подходе, в котором используются операторное разложение и уравнение ренормгруппы. Моменты Pqq, Pqa, Paq и Pgg можно отождествить с (взятыми со знаком минус) коэффициентами аномальной размерности d^q, d^a, daq и daa.

Теория возмущений и партонная модель

Итак, мы установили, что результаты КХД, такие, как формула (10.159), имеют простую интерпретацию в рамках партонной модели кварков и глюонов. Это свидетельствует о том, что данные результаты можно получить непосредственно по теории возмущений, не обращаясь к формальному аппарату операторного разложения и уравнения ренормгруппы. Прежде чем начать вычисления по теории возмущений, рассмотрим общую постановку вопроса о том, как получить результаты кварк-пар- тонной модели в рамках этой теории.

Как отмечалось в предыдущем разделе, хотя КХД асимптотически свободна и эффективная константа связи f2(^2)~ ~(lng2)-1 убывает, тем не менее непосредственное применение теории возмущений к многим процессам, происходящим при высоких энергиях, наталкивается на трудности. Для этого имеются по крайней мере две причины.

Теория возмущений имеет дело с полями кварков и глюонов, которые не являются физическими асимптотическими состояниями. Таким образом, непосредственное использование свойств асимптотической свободы позволяет вычислить только общие характеристики системы, которые не зависят от конкретных свойств конечных состояний. Такие величины, как полные адронные сечения е+е~-рассеяния при высоких энергиях и глубоконеупругие инклюзивные сечения /^рассеяния, преимущественно определяются реакцией системы на малых пространственно-временных промежутках и не чувствительны к сложному непертурбативному процессу превращения кварков и глюонов в адроны с единичной вероятностью.

Обычно физические величины зависят кроме эффективной константы связи ^(^2) еще от некоторого параметра размерности массы т. Поэтому если пытаться разложить физические величины в ряды по степеням g(g2) в пределе больших q2, то в общем случае встретятся члены вида [g2(g2)ln q2/m2"\n, которые портят это разложение. Физически зависимость от т является проявлением свойств теории на больших расстояниях. Таким образом, для использования теории возмущений в КХД тре-

буется выполнение хотя бы одного из следующих двух условий.

А. Члены In q2(т2 не появляются. Так происходит в случае сечений Ополн^е- -* адроны) и о(е+е~-> струи), когда группы частиц суммируются внутри узких конусов (см. разд. 7.2). Эти сечения конечны в пределе m -> 0 и поэтому не зависят от множителей In q2/т2.

Б. Члены In q2(т2 можно просуммировать, и зависимость от т может быть как-то факторизована. Эта «факторизация массовых сингулярностей» уже отмечалась в предыдущем разделе; она имеет место в случае глубоконеупругого лептонного рассеяния. Чтобы в более явной форме увидеть полезность свойства факторизации, рассмотрим безразмерную наблюдаемую ^(^(ц2), Q2/p2, tn2/v?V Так как значение Т не может зависеть от масштаба ц, выбранного для определения константы взаимодействия, мы имеем

dT ( д . 9g 9. дт 9 X п

Ьр-ч—1^ = 0. (10.169)

V оц оц 9g оц 9т /''

Это уравнение является уравнением ренормгруппы для рассматриваемой наблюдаемой. Если удается установить фактори- зуемость Т при Q2-> оо;

Y^^-C^H, Q2/p2)D(g(p2), m V) + О (/n2/Q2),(10.170)

то уравнение (10.169) можно использовать для определения зависимости от Q2:

сРУ С dC X _ . ( dD X _ п/, п 1 \

или

=(10.172)

где константа разделения у может зависеть только от g, а С удовлетворяет стандартному уравнению ренормгруппы

[н^+Ш^-У^)]^^2), О2/Ц2) = о. (10.173)

Из этого уравнения и из соотношения ’Y(.g) = g2d получаем уже знакомое нам решение (см., например, (10.159)): с№), Q2/n2) = c(o, i)[^g-p =

= С(0, 1)[1-^^^^(QV)]-^,(10.174)

где использован явный вид функции g2(Q2), приведенный в (10.80). Заметим, что функция С(^(ц2), Q2/p2) зависит от ^(ц) и Q2/p? только через комбинацию ^2(ц2) In (Q2/p2). Тот факт, что каждый множитель ^(ц2) сопровождается ln(Q2/p2), очевидно,

соответствует суммированию лидирующих логарифмических членов вида g2n(p2) (ln(Q2/p2))n в теории возмущений.

В предыдущем разделе мы видели, что факторизация массовых сингулярностей является результатом использования операторного разложения; следовательно, с-числовые сингулярные функции удовлетворяют ренормгрупповым уравнениям. Поэтому в результате проведенного обсуждения мы приходим к следующему соответствию между формальным теоретико-полевым аппаратом и более простыми методами расчета в теории возмущений:

Формальный аппаратТеория возмущений

операторное разложение •*-► факторизация диаграмм с массовыми сингулярностями

уравнение ренормгруппы •*-► суммирование лидирую- ■щих логарифмов

Следует отметить, что, хотя эта таблица может оказаться полезной при выяснении смысла используемых вычислений, в большинстве случаев такое простое выделение отдельных этапов невозможно. На самом деле факторизацию обычно удается осуществить только после того, как просуммированы все логарифмы.

Прежде чем продолжить обсуждение результатов, полученных по теории возмущений и в рамках партонной модели, мы проведем сначала явное вычисление, иллюстрирующее сделанные выше замечания.

Вычисление амплитуды глубоконеупругого рассеяния по теории возмущений

■ Нас интересует амплитуда комптоновского рассеяния вперед виртуального фотона (с импульсом ри) на кварке (с импульсом ру.У В соответствии с операторным разложением необходимо идентифицировать и факторизовать диаграммы, содержащие степени 1п р2. Таким образом, мы ищем диаграммы, которые расходятся при р2 = т2 -► 0. Существуют расходимости двух типов, которые часто называют инфракрасными расходимостями и масовыми сингулярностями.

Расходимости первого типа возникают в той области фазового пространства, где импульс (реальной или виртуальной) безмассовой частицы обращается в нуль. Из теоремы Блоха — Нордсика [54] следует, что в инклюзивных сечениях такие инфракрасные расходимости уничтожаются. Но все сечения фактически являются инклюзивными в силу конечности разрешения по энергии во всех экспериментах. Такая ситуация имеет место и в глубоконеупругом рассеянии.

Мы сконцентрируем наше внимание на расходимостях, возникающих из-за массовых сингулярностей. Такие сингулярности появляются в теориях, где взаимодействуют безмассовые частицы; они обусловлены тем кинематическим фактом, что две безмассовые частицы (скажем, с импульсами р и р'), которые движутся параллельно друг другу, обладают общей инвариантной массой, равной нулю:

к2 = (р-V р'У = 2ЕЕ'0-cos6)->0 при 9->0,(10.175)

хотя ни р^, ни р'^ не являются мягкими. Иногда эту расходимость называют коллинеарной расходимостью. Имеется также

Рис. 10.13. Массовые сингулярности присутствуют в случае диаграммы а иотсутствуют в случае диаграммы б; 0 — угол между векторами р и р'. Про-пагатор, которому соответствует жирная линия, расходится, как 0~2 в пре-деле 0 -> 0.

теорема, доказанная Киношитой [236], а также Ли и Науен- бергом [262], которую в упрощенном виде можно сформулировать следующим образом: для достаточно инклюзивных сечений массовые сингулярности уничтожаются. Физическое обоснование этой теоремы во многом аналогично физическому обоснованию теоремы Блоха — Нордсика: в физических измерениях разрешение по углам недостаточно совершенно, и необходимо суммировать по всем состояниям в пределах некоторого конечного углового разрешения. Таким образом, в наших вычислениях мы не будем касаться массовых сингулярностей, возникающих из-за недетектируемых конечных частиц, движущихся параллельно друг другу, так как все эти сингулярности взаимно уничтожаются. Но в глубоконеупругом рассеянии массовые сингулярности все еще остаются. Они возникают из тех областей фазового пространства, где импульс внутренней безмассовой частицы параллелен импульсу внешней безмассовой частицы, с которой первая взаимодействует. Рассмотрим однопетлевые диаграммы, приведенные на рис. 10.13. Пусть к = р + р' — импульс вдоль петли. Следовательно, мы имеем множитель 9~2 от каждого из \[к2 пропагаторов и 9d9 от множителя dcos 9 в d>k\

Рис. 10.14. Абсорбтивная часть амплитуды комптоновского рассеяния вперед.

наконец, каждая вершина, в которой взаимодействуют безмас- совые частицы, дает вклад, пропорциональный 6. Таким образом, диаграмма на рис. 10.13, а имеет массовую сингулярность d9/9 ~ In р2, а диаграмма на рис. 10.13,6 конечна. Поэтому мы остановимся на исследовании диаграммы, приведенной на рис. 10.13, а, и ее обобщений на более высокие порядки.

Однопетлевые диаграммы. Удобно использовать аксиальную калибровку (соотношения (9.41) и (9.108))

V^ = 0,(10.176)

где rig — некоторый 4-вектор. Глюонный пропагатор в этой калибровке имеет вид

где.

d^W = g^- (6д + Мц)(^ • пГ + П%М^ 1 П)-2- (10.177) В аксиальной калибровке духи Фаддеева — Попова отсутствуют и вычисления значительно упрощаются. Чтобы получить абсорб- тивную часть амплитуды, заменим пропагатор (/г2 + ге)-1 на л6(/г2). Таким образом, диаграмма, показанная на рис. 10.14, а, дает вклад в адронный тензор сечения неупругого лептонного рассеяния (уравнение (7.10)):

w/( d'k ь ^Р — kV^ «q-V к?')(

w pv \Р> Ч)— 2М J (2л)3(к2)2Uу ppva>

где

Tpnva = уtr [^Yp^Yu (^ + ^) Yv^YaK(10.178)

(10.179)(10.179)а 5г(У) — обычный цветовой множитель (10.88), равный 4/3 для группы 5(7(3) цвет. Удобно использовать переменные Судакова '[370];'

(10.179)

(10.179)

±р’±р’Ди = 1Рц + Р^ + &

±р’

±р’

гдегдеq' = q-\-xp, kL • р = kj_ • q' — 0.q' = q-\-xp, kL • р = kj_ • q' — 0.(10.180)(10.180)

где

где

q' = q-\-xp, kL • р = kj_ • q' — 0.

q' = q-\-xp, kL • р = kj_ • q' — 0.

(10.180)

(10.180)

Предположим, что q'2 « р2 « 0, a p-q' ^ p.q, причем (—q2) велико; тогда

d4k = 2n(p • q^ d^dk^.(10.181)

Как мы увидим, происхождение логарифмического члена 1п(—q2/p2) связано с областями фазового пространства, соответствующими р ~ 0 и ^ « х. Таким образом, переменная х, введенная в (10.180), в соответствии с обычной интерпретацией партонной модели является частью продольного импульса мишени. (Это также оправдывает предположение, что q'2 ~ 0.) В этих переменных имеем

d^kS ((р — ^)2) 6 ((г/ + /г)2) = 2лр • q ^ dp de dk\ X

1/к2.\1/1 — х к2. \

А 2р.q<\ -^ °kP 2р.д(Д-^Нр‘Ч V1-^ 2p.q)"

(10.182)

Возводя (10.179) в квадрат, получаем

k2 = fe2J. + 2p^(p^) = fe21 +-3-^ = ^ -£). (10.183)

Следовательно, (10.182) можно переписать в виде

d^6 «р - k)2) 6 «q + к^ =$ dp dl dk2 X

ХЦи-^бО-^ + Г-^)^-)-(10.184)

Сворачивая глюонный тензор поляризации dpcr(p — k) с величиной Т№ха (положив ц = q') и воспользовавшись алгеброй у-матриц, получаем основной член, пропорциональный выражению, соответствующему древесной диаграмме (выражение (7.53)):

dpa (р - к^ Т№Ч0 = (4fe2) 1±^ 1 tr [х^уц 13 + х^ Yv]. (10.185)

При выводе выражения (10.185) мы учли относительные вклады первого и второго слагаемых в (10.177) (равные (1 — ^к2 и 2^й2/(1 — £) соответственно) и отбросили вклад третьего слагаемого, имеющий порядок (А2)2 и поэтому не дающий вклада в величину ln(Q2/p2), получаемую в результате. Объединяя выражения (10.184) и (10.185), получаем

^v(p, q)— 6л2 ) ^ V 1-X J[v P3 (10-l86)

Сравнивая выражение (10.186) с результатом простой партонной модели (7.54), мы видим, что однопетлевая диаграмма вносит в функцию распределения партонов /(х) (которая первоначально была равна единице) следующий вклад:

df(x)=^g2P(x)^r,(Ю.187)

где

<10-188)

Мы запишем это в виде, который более удобен для интерпретации и для вычислений вкладов более высокого порядка:

df = [yg2^-]{$^6(l -^РЦ.(10.189)

Таким образом, диаграмма на рис. 10.14,а, учитывающая глюонное тормозное излучение, приводит к зависимости от импульсов в функции распределения кварков, содержащей функцию Альта- релли— Паризи Р^. Если внимательно проследить за членами р2, то можно найти пределы интегрирования в интеграле по dk2, и он будет равен

Г dk1Г dk1Q2

Г dk1

Г dk1

In (Q2/m2) ПРИ р2 «tn2. (10.190)

р*

Таким образом, однопетлевой диаграмме (рис. 10.14, а) соответствует выражение с массовой сингулярностью;

fix, Q2Wg2\n(QW^(y^y (10.191)

Диаграммы более высокого порядка. Диаграммы более высокого порядка обладают свойствами, во многом похожими на свойства однопетлевых диаграмм. Общим для них является то, что в аксиальной калибровке основной вклад дают лестничные диаграммы [198] (см. рис. 10.14,6) в той области фазового пространства, где

p2<k\«.kX ... «kN<Q2.(10.192)

Предполагается, что диаграммы на рис. 10.14,6 содержат всевозможные вершинные и собственно-энергетические вставки. Эффективно такие вставки сводятся к тому, что в каждой вершине мы должны брать константу связи g (/г2), зависящую от импульса.

Каждая ступенька лестницы представляет собой ящичную диаграмму, подобную той, вклад от которой мы только что вычислили в виде (10.189). Для всех интегралов по поперечным импульсам dlty соответствующим квадратным скобкам в

(10.189), имеем

Q2N-Y

U jggg ~

m2 1m1 2m" N

Г Q3N

(10.193)(10.193)\^W -^P".

(10.193)

(10.193)

-m2-

Используя асимптотический вид g2!^, получаем

Q2

p = $ этЬ^=^[1п1п(№^(10J94)

Интеграл по продольным компонентам импульса, соответствующий интегралу в фигурных скобках в выражении (10.189), имеет вид

ХР^Р№-Р№ч\ (10.195)

Доля импульса р, переносимая кварками i и i + 1, равна ^i и ^+1 соответственно. Аргументом функции Альтарелли — Паризи является отношение ^+i/^- этих двух величин. Выражение (10.195) имеет вид многократной свертки, и для упрощения результата можно перейти к моментам:

^ dxxnо^ dxxnо(10.196)(10.196)I^M= ^dzznP(z)"l ^l^]".

^ dxxn

о

^ dxxn

о

(10.196)

(10.196)

-о-•

Тогда момент структурной функции, соответствующей ^-cтyпeн- чатой лестничной диаграмме, равен

^4^)= ^[р^Т.(10.197)

Суммируя по N, получаем

Mw (Q2) = s М^ (Q2) = exp [р d(n>] =

N

= ехр |^у [In In (Q2/p2) — In In (m2/p2)]| =

= [In (Q2/'p2)]d,n)/2» [In (m2lvi2^-dW,2b.(10.198)

Найденный результат указывает на свойство факторизуемости, которое означает, что Af(n*(Q2) разлагается на произведение функции от Q2/p? и функции от пг2/р?. Заметим, что эта фац-

торизуемость имеет место только после суммирования всех лестничных диаграмм; отдельные слагаемые не факторизуются.

Наконец, проверим, согласуется ли данное здесь определение с№ с полученным выше результатом. Из равенств (10.196) и (10.188) получаем выражение

11

№ = ( dzz11 Р (z) =( dz^-^l,(10.199)

о0

которое в действительности расходится при z-*\. Более тщательный анализ показывает, что при вычислении выражения,

Рис. 10,15.Рис. 10,15.

Рис. 10,15.

Рис. 10,15.

соответствующего диаграмме на рис. 10.15, а, необходимо учитывать диаграмму с вершинной поправкой, приведенную на рис. 10.15,6, чтобы имела место теорема Блоха — Нордсика о взаимном уничтожении инфракрасных расходимостей. Это соответствует замене

( dz -> (dz.(10.200)

J 1 — г J 1 — гv ’

оо

Таким образом, dw может быть вычислена по формуле

dVn' = 4^ ОЛ^ J

о

zn (1 + г2) — 2

1 — z

= -3^ SttK1 -х)п(2-2х + х2)-2] =

О

6л2

1

2

(10.201)

/=2

Таким образом, суммируя лидирующие логарифмы, мы получаем в точности тот же результат, что и найденный с помощью более формальной процедуры, основанной на уравнениях ренормгруппы.

После того как мы поняли основные идеи и провели вычисления, касающиеся хорошо известного случая глубоконеупругого рассеяния, можно перейти к другим жестким процессам рас-

сеяния, на которые описанная выше схема довольно просто обобщается. При этом реальное преимущество заключается в том, что в большинстве таких жестких процессов непосредственное применение операторного разложения невозможно. Таким образом, пертурбативную КХД можно использовать для вычисления процесса Дрелла — Яна инклюзивного рождения лептонных пар в адронных столкновениях (см. разд. 7.3). В этом случае факторизация оказывается возможной, а партонные функции распределения обладают той же зависимостью от импульсов, как и в случае глубоконеупругого рассеяния. Другим важным примером использования пертурбативной КХД для вычисления физических величин, которые не являются «инфракрасно чувствительными», может служить предсказание углового распределения конечных состояний (струй) [368] и энергетических потоков для е+е-аннигиляции в адроны при высоких энергиях [61].

10.5. КАЛИБРОВОЧНЫЕ ТЕОРИИ НА РЕШЕТКЕ

И УДЕРЖАНИЕ ЦВЕТА

Квантовая хромодинамика обладает замечательным свойством асимптотической свободы. Уменьшение эффективной константы связи на малых расстояниях дает правильное описание бьёркеновского скейлинга (и его нарушения за счет логарифмов). Весьма вероятно, что механизм, обеспечивающий уменьшение хромодинамической константы связи на малых расстояниях, приводит к ее росту на больших расстояниях. Это могло бы разрешить центральный парадокс феноменологической картины: на малых расстояниях кварки должны вести себя как свободные, а на больших полностью удерживаться внутри адрона. Наличие сильной связи само по себе, конечно, недостаточно для объяснения удержания кварков. Для этого необходимо показать, что спектр частиц в КХД реализуется в терминах связанных состояний кварков и глюонов. Ниже мы приведем сначала качественные соображения относительно того, каким образом в асимптотически свободной теории может происходить удержание кварков. Эти соображения должны рассматриваться как мотивировка определения теории на решетке. Затем будет продемонстрировано, что удержание можно объяснить в рамках приближения сильной связи калибровочной теории на решетке.

Качественная картина удержания

Качественные соображения о природе удержания, приводящие к некоторым правильным физическим следствиям, основаны на схеме, в которой кварки связаны между собой «струнами» [301] или узкими трубками из силовых линий цветового потока.

Предполагается, что вакуум КХД представляет собой конденсат, состоящий из глюонов и легких кварк-антикварковых пар (см., например, обзор [286]). В каком-то смысле он напоминает собой основное состояние сверхпроводника. В сверхпроводнике конденсат из электронных пар приводит к эффекту Мейсснера, состоящего в том, что магнитное поле выталкивается из конденсата до тех пор, пока энергетический баланс не приводит к локальному нарушению симметрии и возвращению в нормальную

Рис. 10.16. Силовые линии между кварком и антикварком. При удалении кварков друг от друга разрыв струны сопровождается рождением пары кварк — антикварк.

фазу. Это можно представить себе так, как будто в сверхпроводящую среду помещена пара, состоящая из магнитного монополя и антимонополя, между которыми магнитный поток стянут в узкую струноподобную конфигурацию, объединяющую эту пару монополей. Аналогично в энергетически более выгодной конфигурации, скажем, кварка и антикварка цветовые (электрические) линии потока, связывающие их, сильно локализованы в ограниченной области пространства (рис. 10.16). Из трансляционной инвариантности следует, что плотность Энергии глюонного поля вдоль трубки постоянна. Следовательно, полная энергия поля пропорциональна расстоянию. Это означает, что кварки удерживаются линейно растущим на больших расстояниях потенциалом

EV^Kr, (10.202)

где г — расстояние между источниками, а К—константа, обычно называемая натяжением струны. Таким образом, после рождения пары кварк — антикварк (например, в процессе ^--аннигиляции) с увеличением расстояния между ними энергетически выгодным оказывается разрыв связывающей их струны и образование новой пары кварк—антикварк и т. д. Это продолжается до тех пор, пока первоначальная струна не разорвется на несколько отдельных струн, каждая из которых имеет длину, характерную для размера адрона ~1 ферми (~5 ГэВ-1). Такая картина соответствует превращению первоначальной пары кварк—антикварк в набор адронов, имеющих типичные энергии-массы около 1 ГэВ. Таким образом, можно дать грубую оценку натяжения струны:

Л^уГэВ2. (10.203)

Из струнной модели адронов вытекают и другие следствия, согласующиеся с экспериментом: адроны лежат на траекториях Редже [338] с наклонами аг 1 ГэВ-2. Десятилетнее интенсивное изучение динамики адронов, основанное на представлениях, в соответствии с которыми взаимодействие адронов осуществляется за счет обмена частицами и в которых решающую роль играли свойства унитарности и аналитичности, выявило многие свойства этих взаимодействий. Одно из важных открытий в этом S-матричном подходе [83] заключалось в том, что адроны с одинаковыми квантовыми числами внутренней симметрии, но с разными спинами удовлетворяют простому соотношению между спином J и массой Mj [84]: говорят, что они лежат на одной и той же траектории Редже

7 = а0 + а'Мр где

а' ~ 1 ГэВ-2.(10.204)

Представим себе теперь два безмассовых (и для простоты бес- спиновых) кварка, связанных друг с другом струной длиной d и вращающихся со скоростью света [155]. Таким образом, каждая точка, находящаяся на расстоянии г от центра, движется со скоростью и = (2r/d)c. Тогда полная масса равна dp

М = 2^ -—= 5^-,(10.205)

J (1 — о2/с2)1/22v ’

а полный угловой момент dp

J ==(10.206)

J (1—о2/с3)1/28V '

Таким образом, натяжение струны К из (10.202) можно непосредственно выразить через наклон траектории Редже а':

(10.207)(10.207)(10.204), получаем с грубой оценкой(10.204), получаем с грубой оценкойк_ 1

(10.207)

(10.207)

(10.204), получаем с грубой оценкой

(10.204), получаем с грубой оценкой

х 2ла' 1

Используя экспериментальное значение а' К аг 0,2 ГэВ2, что качественно согласуется

(10.203).

Теория поля на решетке

Для изучения свойств КХД на больших расстояниях необходимо регуляризовать теорию так, чтобы эта регуляризация не была связана с обычным разложением в ряд по диаграммам Фейнмана, которое приемлемо только в случае малых констант связи. С этой целью Вильсон [429, 430] развил калибровочную

теорию на решетке, в которой вместо пространственно-временного континуума вводится дискретное пространство-время. Это приводит к естественной схеме обрезания, так как длины волн меньше удвоенного шага решетки а не имеют смысла, т. е. область изменения импульсов ограничена значением л/а. Кроме того, в такой формулировке теория поля во многом аналогична статистической механике. Поэтому мы можем привлечь интуицию и опыт, накопленные в статистической механике, для решения задач квантовой теории поля. Вместе с обрезанием по импульсам возникает ограничение на кинетическую энергию, и в пределе сильной связи ее можно рассматривать как возмущение. Это соответствует высокотемпературному разложению в статистической механике. В случае конечной решетки имеется конечное число переменных. При этом оказывается возможным исследовать различные физически интересные величины (например, энергетический спектр, корреляционные функции и т. д.) в рамках формализма функционального интегрирования с помощью вычислений на компьютерах по методу Монте-Карло.

Как и в любой процедуре обрезания, в решеточной формулировке имеется большая неоднозначность. В пределе, когда шаг решетки стремится к нулю, физические следствия перенормируемой теории поля не должны зависеть от деталей регуляризации; они, если так можно сказать, не должны помнить о величине шага решетки. Это означает, что в этом пределе корреляционная длина в теории должна быть очень большой по сравнению с шагом решетки. На языке статистической механики бесконечность корреляционной длины соответствует фазовому переходу второго рода (непрерывному). Если в модели имеется фазовый переход только первого рода, корреляционная длина никогда не становится бесконечной и требуемой непрерывной теории не существует. Кроме того, в решеточной калибровочной теории легко аналитически получить результаты в пределах сильной и слабой связи. Необходимо выяснить, связаны ли эти два предельных случая теории непрерывным образом, т. е. существуют ли фазовые переходы при промежуточных значениях константы связи. Поэтому очень важно исследовать фазовую структуру калибровочной теории на решетке. В настоящее время большинство наших сведений о фазах КХД получено с помощью различных численных расчетов.

Имеется два наиболее распространенных метода введения решетки в теорию поля. В евклидовой решеточной формулировке и пространство, и время являются дискретными [429]. Квантование в этом случае после виковского поворота (к евклидову пространству) осуществляется в рамках формализма функционального интегрирования. Этот метод обладает тем преимуществом, что в нем сохраняются некоторые следы первоначальной симметрии относительно преобразований Лоренца, поэтому

он формулируется в изящном виде. Кроме того, как мы увидим в случае калибровочной теории на решетке, нет необходимости вводить члены, фиксирующие калибровку. Другим методом является гамильтонова формулировка на решетке, в которой в пространстве-времени Минковского дискретны только пространственные измерения [243]. Эту теорию можно канонически про- квантовать в рамках обычного гамильтонова формализма. Ее преимущество заключается в том, что некоторые физические величины (особенно спектр масс) могут быть непосредственно вычислены. Ниже мы будем рассматривать евклидову формулировку с шагом пространственно-временной решетки а. Узлы решетки параметризуются 4-вектором п. Четырехмерное интегрирование заменяется суммированием:

^dAx->a^. (10.208)

Скалярные поля. Исследуем сначала простейший случай скалярного поля ф(хУ Действие непрерывной теории в евклидовом пространстве-времени имеет вид

S№ = ^d4\l^X+V№Y(10.209)

где

^ = ^тЧН^Ф’г.(10.210)

Скалярное поле ф существует в каждом узле решетки п:

Ф^->фп-(10.211)

Производная заменяется выражением

д^ф (х) -> -^ (фп+р. — фп),(10.212)

где р—четыре-вектор длины а в направлении р. Для решеточного действия имеем

s W - 2 [4 X №w - t.y + «* (4 К + т «) [. (10.213) п ' Ц = 1'

Полезно перейти в импульсное пространство, чтобы определить спектр свободной теории (Л=0). С этой целью произведем фурье-преобразование:

Фп=\-^ег^ф^.(10.214)

Так как рассматривать длины волн меньше удвоенного шага решетки не имеет смысла, интегрирование в приведенном выше выражении производится только по одной зоне Бриллюэна об-

ратной решетки, т. е.

(10.215)(10.215)Л / , /Л

(10.215)

(10.215)

^«„^— для каждого р,

где kp = к-р. После подстановки (10.214) в (10.213) члены, которые получились из кинетической энергии, запишутся в следую-

Рис. 10.17. Дисперсионное соотношение S(A) для свободных а — скалярной и б — фермионной систем. Штриховые линии к2 отвечают обычным непрерывным теориям; сплошные — решеточным теориям.

щем виде:

-•£ ^W«iww”<'X “;-0-

- S wy“* -1)-1)=4 S № ™’ w> ■

Тогда действие свободной теории примет вид

г d^h Г 4/ аки \ ПЧ

SoW = -2 J W Т^^А™)^™ Х^-^^* (10-216) L ИJ

Таким образом, каждая мода дает в действие, записанное в импульсном пространстве, вклад

S(*)-m!+2^si„»(*).

а не стандартный вклад, равный т2 + к2. Тем не менее оба этих выражения имеют один и тот же непрерывный предел, так как они совпадают при минимальном значении к = 0 (на рис. 10.17, а).

Решеточное действие (10.213) может быть проквантовано с помощью формализма фейнмановских функциональных интегралов, в рамках которого вакуумное среднее дается формулой

<о |• • • ^( | о)=4 Ш • • • S)e"s w> (10-217)

.ft

где

2 = 5П^е~5(ф)-(10-218)

Смысл интегралов в этих формулах должен быть ясен, так как можно напомнить, что обычные функциональные интегралы на самом деле определяются сначала на дискретной пространственно-временной решетке и только в конце совершается переход к непрерывному пределу. Если изменить масштабы полей:

^ = V^n-(10.219)

то решеточное действие принимает вид

S(^) = yS/(^)>(Ю.220)

где

s'(/) = £{у£№+я-^)2^(^^2 +^(10-221)

т.е.константавзаимодействия Л сталаобщиммножителем для

всего действия. При этом выражения (10.217) и (10.218) можно переписать в виде

<0|K_K2---KJ0) =

=Ш W1 УА • • • ^) ехР {_ т s' ^} ’о °-222)

z = S П ^ ехР {- Т S' ^} •(10.223)

Заметим, что выражение (10.223) обладает той же структурой, что и статистическая сумма в статистической механике, если произвести отождествление

(10-224)

Таким образом, разложение сильной связи (т. е. по степеням X-1) соответствует высокотемпературному разложению в статистической механике.

Фермионные поля. Рассмотрим теперь фермионные поля на решетке. Процедура, подобная той, которой мы воспользовались в случае скалярных полей, приведет к евклидову решеточному действию для системы свободных фермионов:

5о(Ф) = ££ Ф„Уц (Ф„+а — Ф„-а) + та4^^(10.225)

пЦ-1'

где у-матрицы евклидовы, т. е.

{Ym-YvJ = 2d^v.(10.226)

В импульсном пространстве действие (10.225) записывается в виде'

So (ф) = ( -£L ^(-к^У Yu + «I Ф W, (10.227) откуда следует дисперсионное соотношение sin2 аки „

S(k) =—^^ + m2,(10.228)

показанное на рис. 10.17,6. В этом случае в зоне Бриллюэна имеются два одинаковых минимума. Один из них локализован около точки к = 0 и приводит к правильному непрерывному пределу. Другая мода, соответствующая минимумам в точках к = —+л/а, обладает бесконечным импульсом при а->0, а при конечных а все еще может быть возбуждена. Фермионное вырождение, т. е. удвоение числа фермионных состояний, должно быть подавлено за счет соответствующей модификации теории на решетке. Это допустимо, если такая модификация не влияет на непрерывный предел. Можно рассмотреть много регуляризацион- ных процедур, которые снимают это вырождение; здесь мы приведем одну из них, предложенную Вильсоном, в соответствии с которой к решеточному лагранжиану просто добавляется нелокальное слагаемое

Д2' = -^-фп(Фп+& + Фп-|1 —2ф„).(10.229)

Таким образом, в евклидовом пространстве свободное фермионное действие принимает вид

So (Ф) = У f V У Фп [(1 + Yu) Фп+д +

+ (1 — yJ Фп-я — 2ф„] + та4ф„ф„},(10.230)

а в импульсном пространстве оно равно

S

d^k _ fsin аки

(2^~ WEyh—— +

E

COS И&и — 1

Uw. (10.231)

Это действие обладает тем свойством, что нежелательный минимум, о котором говорилось выше, увеличивается, а поведение теории при малых к не изменяется, так что в непрерывном пределе остается только минимум в точке к = 0.

Локальная калибровочная инвариантность и действие КХД

Как было показано выше, при формулировке теории на решетке имеется значительная свобода. К лагранжиану можно добавлять различные члены, которые не дают вклада в непрерывном пределе. Используя эту свободу, Вильсон предложил особенно изящную формулировку калибровочных теорий на решетке. В таком подходе локальная калибровочная симметрия является точной симметрией математически хорошо определенной системы.

Напомним наши рассуждения в разд. 8.2, касающиеся геометрической интерпретации калибровочной инвариантности. Параллельный перенос материальной частицы вдоль мировой линии С из точки х в точку х' можно представить «неинтегрируе- мым» фазовым множителем ее волновой функции (т. е., как и в (8.65), с каждой траекторией ассоциируется элемент группы)1):

U (х', х) = ехр Jig Т • A ^(t/) dt/^l.(10.232)

Таким образом, при калибровочном преобразовании, описываемом калибровочной функцией

Ф(0х^ехр{1Т-0(х)},(10.233)

имеем

ф (х) -> Ф (6,) ф (х),

__(10.234)

ф(х)->ф(х)Ф+(0,),'’

а

U (х', х) -> Ф (0x0 U (х', х) Ф+ (0J.(10.235)

(Мы обращаем внимание читателя на изменение обозначений калибровочного преобразования и матриц параллельного переноса по сравнению с обозначениями в разд. 8.2.)

Решеточный вариант калибровочных преобразований (10.234) и (10.235) можно записать в виде

Фп->ФпФп, фп-*фпФа>Фп->ФпФп, фп-*фпФа>(10.236)(10.236)

Фп->ФпФп, фп-*фпФа>

Фп->ФпФп, фп-*фпФа>

(10.236)

(10.236)

аа(10.238)(10.238)

а

а

(10.238)

(10.238)

U (п -|- ц, и) —► Фп+ц U (и -|- Д, м) Фп- (10.237)

В случае калибровочной симметрии с группой SU^

') Перед экспонентой должен стоять оператор упорядочения (см. примечание к формуле (8.65)). — Прим, перед.

где Х‘, i = 1, 2, ..., 8, — обычные матрицы Гелл-Манна, а

U{n + ц, п) = exp{zag -^-А‘п, и}.(10.239)

Последнее выражение представляет собой решеточный вариант матрицы параллельного переноса между соседними узлами решетки: п-*пА-р. Обычно эта матрица называется реберной переменной. Из соотношений (10.236) и (10.237) следует, что комбинация фп(/(/г,/г-ф |1) i|)rt+p. является калибровочно инвариантной. Отсюда ясно, как модифицировать (10.230), чтобы полу-

п * V..П+/2 *

л1л*/2

Рис. 10.18. Решеточный плакет.

чить кварковую часть SU(3)-калибровочно-инвариантного действия КХД:

5Кхд = 5(<7) + 5(Д),(10.240)

S(») = X(vX^n К1 +^^и^п> « + Р-)"Фп+Р +

+ (1 — Yu) Щп,п — р) Фя-д + 2ф„] - ma4^n4)nJ. (10.241) А как должно выглядеть решеточное действие для глюонного поля 5(A)? Понятно, что в него должны входить только реберные переменные. Простейшими калибровочно-инвариантными комбинациями будут переменные, определенные на четырех ребрах. (Комбинации, определенные на двух и трех ребрах, являясь матрицами группы 57/(3), тривиальны в силу условия унитарности и равенства единице детерминанта.) Отсюда следует

S(A) = ^£tr7/p,(10.242)

р

где

Up = U(n, п+ |1)7/(л + |1, n + |1 + v) X

X U (п + (1 + v, п + v) U (п + v, л) (10.243) представляет собой произведение четырех реберных переменных, взятых вдоль границы элементарного квадрата (называемого планетом'), рис. 10.18). Сумма в (10.242) берется по всем плакетам решетки. Из обсуждения параллельного переноса

') Plaquette (франц.) — небольшая металлическая пластинка. — Прим, перев,

вдоль границы квадрата, приведенного в разд. 8.2, следует, что выражение (10.242) можно записать в виде)

5 И) = 2^ ^ tr texP Уа2§Рп- ^)}>(10.244)

р

где

F п, nv = 5цДц. v д^Ап, д ig I Ап, д, An, v]>(10.245)

^д^4п, v= “ ( Дп+Д, vAn, v), .

а Ап, д — глюонное поле А^/Ч в узле п. Из этого выражения сразу же можно получить непрерывный предел

S И) = ^ ^ р - ^g'F^F^ + ...} -> 1 ^xF^F^,

.(10.246)

где мы воспользовались тем фактом, что матрицы Л являются бесследовыми (так что линейные по F^ члены исчезают) и tr (W) = 26'/.

Критерий удержания; петля Вильсона

Чтобы определить, имеет ли место удержание кварков в КХД, необходимо найти энергию системы, состоящей из кварка в точке x = kt, 0) и антикварка в точке х = (/, R). В случае отсутствия удержания мы предполагаем, что

£(/?)-> 2m при R-*oo,(10.247)

где т — масса кварка. Наличие удержания означает, что межкварковый потенциал безгранично растет:

£(£)-> оо при £->оо.(10.248)

Состояние qq в момент времени t можно представить в виде (см., например, [29])

\q kt, 0) q kt, R)) = ^ f ^ Г «^ Ю’ V’ °)! C11 °>: (10-249) c

здесь Г[х', x; С]—калибровочно-инвариантный ^-оператор:

U (х , х; Q = ехрU (х , х; Q = ехрГ [х', х; С] = q (х') U кх', х; Qq кх), (10.250) где )

U (х , х; Q = ехр

U (х , х; Q = ехр

ig(10.251)

а С— траектория, соединяющая точки х и х'. Рассмотрим теперь перекрытие ^-состояния в момент времени t = 0 и ^-состояния в момент времени t = Г:

Q (7, R) = (01 Г+ [ (0, 0), (0, R); С] Г [(7, 0), (7, R); С] | 0).

(10.252)

Вставляя полную систему собственных состояний энергии, получаем в евклидовом пространстве

й (Т, ю = X I <01 Г+ [(0, 0), (0, R); С] | п) |2 е^1. (10.253)

При больших Т основной вклад дает слагаемое с наименьшим значением Еп. Это наименьшее собственное значение энергии соответствует потенциальной энергии qq-системы, в которой кварк и антикварк отстоят друг от друга на расстоянии R:

lim Q (7, R) ~е-Е^т.(10.254)

Г -> ОО

В терминах кварковых полей функция перекрытия Q(7, R) мо жет быть записана в следующем виде:

Й (г, R) = (0 | q (0, R) U [(0, R), (0, 0); С] q (0, 0) X

X q {Т, 0) и [(7, 0), (7, R); С] q (7, R) | 0).(10.255)

Если мы рассматриваем кварки как внешние источники (как в случае тяжелых кварков), то кварковый пропагатор (в фоновом глюонном поле) можно выразить в виде

<0\qW, х^а(1, х)|0)сво6 ~<0\qW, х^а(1, х)|0)сво6 ~<0| ^₽ (/', х) ?а (/, х)|0) = Г v

<0\qW, х^а(1, х)|0)сво6 ~

<0\qW, х^а(1, х)|0)сво6 ~

= exp И До (ь х) ^т

U [(i\ х), (/, х); С]да»е-т‘<'-?/|.(10.256)

Объединяя (10.256) и (10.255), получаем

Q (7, /?) ~ е-2тГГ (С),(10.257)

где

Г (С) = (01 tr U [х, х; С] | 0).(10.258)

Здесь С — граница прямоугольника, показанного на рис. 10.19. Корреляционная функция W^C) называется вильсоновской петлей-, ее поведение определяет свойства удержания, так как из сравнения (10.257) и (10.254) следует

(10.259)(10.259)lim W (С) ~ е~т >Е №"2т1.

(10.259)

(10.259)

Т ->оо

Как мы сейчас покажем, в пределе сильной связи в решеточной калибровочной теории вильсоновская петля удовлетворяет за-

кону площади, т. е. для большого контура

№(С)~ехр{-/(А(С)},(10.260)

где К—константа, а А (С)—площадь поверхности, границей которой является контур С. Например, для прямоугольного контура, показанного на рис. 10.19, имеем

A(C) = TR.(10.261)

Подставляя (10.260) и (10.261) в выражение (10.259), получаем для од-системы линейно растущий потенциал. Кроме того, кон-

(т,о)|। (г, R)

(0,0)'40, R)

Рис. 10.19. Вильсоновская петля.

станту К в выражении (10.260) можно отождествить с натяжением струны. Заметим, что мы рассматриваем кварки просто как внешние цветовые источники. Таким образом, с помощью вильсоновской петли можно исследовать вопрос об удержании цвета в чисто глюонной теории без кварковых полей.

Закон площади в разложении сильной связи

В (10.222) и (10.223) мы привели выражение для корреляционной функции в скалярной теории поля, записанное через функциональные интегралы. Аналогичное выражение можно получить для вильсоновской петли в чистой глюодинамике; она будет представлена в виде функционального интеграла по глюонным полям. Так как (инфинитезимальные) реберные переменные непосредственно связаны с калибровочными полями, в решеточной калибровочной теории их можно выбрать в качестве основных динамических степеней свободы. Как мы увидим, это позволяет записать выражение (10.258) в более простом виде:

W ^ = Т S П dU ln’ n + №U(x, х; OexpJ-^-^trt/A, п, НIР )

(10.262) где

z=$ ПdU п + ^ ехр f “ if 2tr UA • (10-263)

Отметим, что мы не добавили к действию никаких членов, фиксирующих калибровку, так как реберная переменная (т. е. решеточное калибровочное поле) меняется только в ограниченной области. Объем пространства траекторий, порождаемых калиб-

ровочными преобразованиями, конечен. Следовательно, до перехода к непрерывному пределу нет необходимости вводить члены, соответствующие фиксации калибровки (см. разд. 9.1).

Реберные переменные являются элементами группы S(/(3). Унитарные матрицы группы SU (3) можно параметризовать обобщенными углами Эйлера и записать групповые интегралы в яв-

п

Рис. 10.20.

ном виде, выразив их через эти восемь углов. В любом случае имеют место следующие свойства ортогональности;

dU (п, п + Д) [(/ (п, п + Д)]г/ = 0,(10.264)

dU (п, п +Д)[£7(п, п + Д)]ц [t/+(п, п + Д)]А/ = -у б/;бм, (10.265)

dU (п, и + Д) [(/ (п, п + Д)]ц [(/ (п, п + |1)]az = 0. (10.266)

Тождество (10.265) означает, что вклады от ребер, имеющих противоположные направления, взаимно уничтожаются при интегрировании. Таким образом, если имеются два соседних пла- кета одинаковой ориентации, то после интегрирования по переменной, определенной на их общем звене, они сливаются в один прямоугольник (рис. 10.20). В пределе сильной связи величина 1/g2 рассматривается в качестве малого параметра, и экспоненту в (10.262) можно разложить в ряд:

W (С) = у ^dU (п, п + Д) tr U (х, х; С) X

X Г1 ~ "^ ^ ^г ^р + "2Г ("5g5") S ^ tr Up tr Up> + ... 1.

Lpp p'J

(10.267)

Для простоты мы возьмем плоский прямоугольный контур С, показанный на рис. 10.19. Ясно, что в этом пределе сильной связи из свойств ортогональности реберных переменных, приведенных в (10.264)—(10.266), следует, что неисчезающий вклад в IT (С) наинизшего порядка дает член, пропорциональный (l/g2)^» где Np — минимальное число плакетов, необходимых для того, чтобы заполнить поверхность, ограниченную контуром С:

(10.268)

Это соответствует закону площади, так как площадь поверхности, ограниченной контуром С, равна

Д(С) = а2Мр.(10.269)

Следовательно,

^(Q - (gYA№,a2 = exp {- (JR IngW). (10.270)

Сравнивая это выражение с (10.260), получаем линейно растущий потенциал

E(R) = KR,(10.271)

где

7< = Jyi.(10.272)

Можно также рассмотреть разложение слабой связи для вильсоновской петли, переходя к непрерывному пределу и заменяя действие гауссовским приближением. Тогда мы получим закон периметра. Оказывается, что это эквивалентно кулоновскому потенциалу E^R^ ~ R-x. Учитывая соответствующие пере- нормировочные эффекты, можно видеть, что по-прежнему имеет место свойство асимптотической свободы.

Означает ли это, что мы доказали существование в КХД свойств асимптотической свободы и удержания цвета? Пока что нет, так как можно заметить, что и в решеточной калибровочной (/(1)-теории выполняются как закон периметра (кулоновское взаимодействие), так и закон площади (удержание),— в приведенных выше следствиях разложения сильной связи не использован неабелев характер теории. Дело в том, что режимы сильной и слабой связи могут быть разделены одним или несколькими разрывными фазовыми переходами. Было доказано, что четырехмерная абелева калибровочная теория обладает нетривиальной фазовой структурой, но подобного аналитического доказательства того, что в КХД отсутствуют фазовые переходы при конечных константах связи, пока не существует.

Эту проблему, правда, можно исследовать, используя численные методы. Особенно успешными при этом оказались два подхода. В одном из них используется метод приближения Паде, с помощью которого результаты, полученные в разложении сильной связи, экстраполируются на ту область, где становятся справедливыми результаты теории возмущений по малой константе связи [240]. Другой подход сводится к вычислениям по методу Монте-Карло, в котором функциональный интеграл (10.263) рассматривается как статистическая сумма статмеханической системы [102]. Вводя различные конфигурации, типичные для систем, находящихся в термодинамическом равновесии, вычислили различные корреляционные функции. Результаты, полученные в этих двух подходах, указывают на то, что в области промежуточных констант связи фазовые переходы отсутствуют. Зависи-

мость gz^a^~eKa' (10.272), полученная в рамках разложения сильной связи, действительно переходит в найденную в пределе слабой связи зависимость g1^u^~ 1/(1па-*) при а->0. Было установлено, что этот переход гладкий и резкий (см. также [241]), так же как в аналогичных вычислениях для (/(1)-теории, явно указывающих на наличие фазового перехода. Кроме того, эти методы позволяют получить удовлетворительные численные соотношения между натяжением струны, являющимся параметром, описывающим взаимодействия на больших расстояниях, и константами калибровочного взаимодействия на малых расстояниях (такими, как масштабный параметр КХД Л: 100 МэВ ^ ^ Л ^ 300 МэВ). Все эти численные результаты вселяют надежду на возможность доказательства того, что асимптотическая свобода и удержание цвета действительно сосуществуют в единой фазе КХД.

СТАНДАРТНАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОСЛАБЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

I: ОСНОВЫ

В этой и следующей главах мы излагаем стандартную калибровочную теорию слабых и электромагнитных взаимодействий. В ее рамках объединяются квантовая электродинамика и низкоэнергетическая V — Д-теория слабых взаимодействий для заряженных токов. Эта объединенная теория перенормируема. Она предсказывает также существование нового набора нейтральных токов; успешное экспериментальное подтверждение в последние годы различных аспектов этой теории усилило нашу уверенность в ее правильности. Гл. 11 может служить введением, в котором излагается теоретическая структура модели. В гл. 12 изучаются ее феноменологические следствия. Возможные расширения и модификации стандартной теории электрослабого взаимодействия обсуждаются в гл. 13.

СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ДО КАЛИБРОВОЧНОЙ ТЕОРИИ

В настоящем разделе дается краткий обзор теорий слабого взаимодействия, существовавших до появления калибровочных моделей, — четырехфермионной теории и теории с промежуточным векторным бозоном. В частности, мы обсудим трудности, которые встретились при попытках сделать эти теории внутренне замкнутыми.

Четырехфермионные взаимодействия

Вскоре после того, как Паули постулировал существование нейтрино, Ферми [132, 133] предложил свою теорию 0-распада n->pev, лагранжиан которой имеет вид

^ И = - -^ [р (х) ухп (х)] [ё (х) уЧ (х)] + эрмит. сопр.,

(ИЛ)

где операторы фермионных полей обозначаются первыми буквами названий соответствующих частиц, а константа взаимодей-

ствия Ферми

С^10->=(11.2)

(mD— масса протона).

В последующие годы были открыты другие процессы, например л—ц- и ц— е-распады, в которых распадающиеся частицы обладают, так же как в p-распаде, сравнительно большим временем жизни. Стало ясно, что речь идет о новом классе взаимодействий — слабых взаимодействиях. Неожиданное открытие не- сохранения четности [264, 433] в значительной мере стимулировало исследования по слабым взаимодействиям, в результате которых была сформулирована V — Л-теория [139, 343, 371]. Согласно этой теории, слабые взаимодействия описываются эффективным лагранжианом, во многом похожим на лагранжиан (11.1),

З’эфф(х) =Л (х) 7х (х) + эрмит. сопр., (Н.З)

где слабый ток А(х) представляет собой разность векторного и аксиально-векторного токов.

Если разбить ток 7х(х) на лептонную и адронную части:

№ = Jlx(x)-VJhX(x\(11.4)

то лептонный ток 7х (х) можно записать непосредственно в терминах лептонных полей

7*(х) = v^p — Y5)e +^у*-(1 — y5)|i,(11.5)

а адронный ток 7д (х) можно разложить на части, имеющие определенные свойства при преобразованиях из группы ароматов SU(3), как в (5.79), и в компактном виде выразить через поля кварков

7^М = йуА(1-y5)d6,(11.6)

где

d0 = cos0с d + sin 0cs(H.7)

(угол Кабиббо 0с ~ 15°). Сравнивая (11.5) и (11.6) и предполагая существование лептон-кварковой симметрии, мы приходим к следующему естественному обобщению выражения (11.6) для адронного тока:■

7£(х) = йух(1 — Y^dg+cy^l — y5)s6,(11.8)

где

s6 = cos 0cs — sin 0cd,(И.9)

a c — поле постулированного нового тяжелого кварка — очарованного [51]. Что более важно, было показано, что в любой разумной теории слабых взаимодействий должен существовать дополнительный адронный ток для снижения до приемлемого уровня эффектов изменения странности, связанных с нейтраль-

«ыми токами [188]. Хотя этот механизм подавления был предложен до того, как стали рассматриваться калибровочные теории, он находит более естественное объяснение в рамках этих теорий. Это будет продемонстрировано в разд. 11.3 и более детально— в разд. 12.2.

Необходимо сделать замечание, касающееся общих свойств слабых токов, определенных в (11.5) и (11.8). Они являются заряженными токами, несущими единичный заряд; в низшем порядке нет процессов с нейтральными токами, таких, как, например, реакция v^N^- v^N. Токи (11.5) и (11.8) билинейны по фундаментальным фермионным полям и содержат оператор проекции на спиральность (1 — ys). Другими словами, в слабых токах присутствуют только левые фермионы. Таким образом,

гдегдеФух(1 — Ys)11) = 2i|)z.y?1Tz., '(11.10)

где

где

^=4(1-YsH, ^^(i + ysW. (П.И) Ф = Фь + Фд.(11.12)

Правило, согласно которому «нарушение четности максимально в слабых взаимодействиях», имеет простую интерпретацию в терминах лептонных и кварковых полей: в теории слабых взаимодействий, где лагранжиан содержит только заряженные токи, фундаментальными динамическими степенями свободы для полей материи являются двухкомпонентные левые фермионные поля.

Если мы ограничимся только основным порядком по Gf, то большое количество экспериментальных данных может быть успешно описано с помощью V — Д-лагранжиана (11.3). Исключений довольно мало. Не ясно, например, правильно ли описываются нелептонные слабые распады членом Лл(х)Л(х) в (11.3), так как мы не можем провести надежных вычислений эффектов сильных взаимодействий. Нарушение CP-инвариантности, открытое в системах нейтральных /(-мезонов [87], не может быть описано простым способом. В наиболее удачной феноменологической теории несохранения СР-четности постулируется существование нового сверхслабого взаимодействия [131]. Короче говоря, низший порядок V—Д-теории правильно описывает те явления с участием слабых взаимодействий, для описания которых, как предполагается, она должна быть применима.

Тем не менее теория с лагранжианом (11.3) не может рассматриваться как внутренне непротиворечивая квантовая теория поля: она неперенормируема, и даже в низшем порядке по GF при высоких энергиях в ней нарушается унитарность.

Отсутствие перенормируемости. Взаимодействие в (11.3) неперенормируемо. Оно представляет собой оператор размер-

ности 6, т. е. константа взаимодействия GF имеет размерность (масса)-2. Следовательно, вклады более высоких порядков все больше расходятся, и эти расходимости нельзя собрать таким образом, чтобы они вошли в несколько «голых» параметров (см. гл. 2, особенно разд. 2.4). В неперенормируемой теории, даже если константа связи мала, нет никакой гарантии, что члены более высоких порядков не будут большими. Тогда вся совокупность правил отбора (например, отсутствие процессов с заряженными токами, в которых AS > 1 и AS = —AQ), являющаяся основой V — Л-теории, становится бессмысленной, когда борнов- ские члены низшего порядка не являются доминирующими.

Нарушение унитарности. Даже если мы ограничимся только борновским приближением, имеются определенные процессы, в которых нарушается унитарность. Рассмотрим, как с помощью эффективного лагранжиана (11.3) описывается реакция х^е-* pve. Амплитуда содержит только одну парциальную волну с / = 1, а сечение реакции при высоких энергиях имеет вид о ~ GFs, где s = 2meE (Е— энергия частицы v^ в лабораторной системе отсчета). Но из требования унитарности следует, что oU = 1) ограничено величиной s-1. Таким образом, при энергиях больше ^Js^GpVi « 300 ГэВ сечение, вычисленное теоретически на основе лагранжиана (11.3), нарушало бы унитарность (детали см. в разд. 11.2).

Оказывается, что эти две проблемы тесно связаны друг с другом. Если диаграммы низших порядков при высоких энергиях имеют плохое поведение, нарушающее унитарность, то вклады более высокого порядка, являющиеся интегралами от выражений, соответствующих диаграммам низших порядков, не могут быть перенормированы.

Теория с промежуточным векторным бозоном (ПВБ)

Подобно электромагнитному току, слабый ток в лагранжиане ^эфф (113) преобразуется при преобразованиях Лоренца как 4-вектор, и теорию слабых взаимодействий можно попытаться строить по аналогии с КЭД, вводя новое массивное поле 1Гц и записывая взаимодействие в виде

S7/= ^(/ц^ + эрмит. сопр.).(11.13)

Тогда теорию с четырехфермионным лагранжианом (11.3) можно рассматривать как эффективную низкоэнергетическую теорию, полученную из теории с лагранжианом $i во втором порядке теории возмущений (рис. 11.1). При этом выполняется равенство g^MV = 2~mGF, где множитель М^ возникает из- за массивного пропагатора ПВБ. Поскольку КЭД является калибровочной теорией, лагранжиан взаимодействия (11.13) есте-

ственно рассматривать как лагранжиан взаимодействия в калибровочной теории Янга — Миллса с массивными калибровочными бозонами.

Обратимся теперь к проблемам унитарности и перенормируе- мости в теории с ПВБ. Проблема унитарности по-прежнему остается, но теперь она возникает в некоторых других процессах. Например, можно показать (см. разд. 11.2), что в случае

ддРис. 11.1, Четырехфермионное взаимодействие как низкоэнергетическое приближение для диаграммы порядка g2 в теории с ПВБ.Рис. 11.1, Четырехфермионное взаимодействие как низкоэнергетическое приближение для диаграммы порядка g2 в теории с ПВБ.

д

д

Рис. 11.1, Четырехфермионное взаимодействие как низкоэнергетическое приближение для диаграммы порядка g2 в теории с ПВБ.

Рис. 11.1, Четырехфермионное взаимодействие как низкоэнергетическое приближение для диаграммы порядка g2 в теории с ПВБ.

реакции vv-> IV'+IV'- с продольно поляризованными частицами W' парциальная (/ = 1) высокоэнергетическая амплитуда порядка GfE2 (Е— энергия нейтрино), хотя условие унитарности требует, чтобы она была ограничена константой.

Несмотря на то, что константа взаимодействия g теперь безразмерна, эта теория по-прежнему не является перенормируемой. Лагранжиан свободного массивного векторного бозона имеет вид

$W=-L fawl - dv^) ^Wv - d^W11^ + M^W^W*

(11-14)

— ^рЛу/Мд?— ^рЛу/Мд?(11.15)(11.15)и приводит к пропагатору в импульсном пространстве:

— ^рЛу/Мд?

— ^рЛу/Мд?

(11.15)

(11.15)

‘k^W i k2_M2 , z К irj -p t C

При к-*оо этот пропагатор ведет себя как константа, поэтому обычный подсчет степеней показывает, что теория непере- нормируема. Проблема, конечно, заключается в том, что ПВБ является массивным, из-за чего возникает член k^kjМ» в пропагаторе. Но именно массивность поля W необходима, чтобы получить желаемую низкоэнергетическую четырехфермионную теорию. Поэтому ключевая проблема состоит в том, как ввести массивные калибровочные бозоны в теории Янга — Миллса таким образом, чтобы она при этом осталась перенормируемой.

ПОСТРОЕНИЕ СТАНДАРТНОЙ SU (2) X (7(1)-ТЕОРИИ

Как отмечалось в предыдущем разделе, в слабых взаимодействиях должны участвовать массивные промежуточные векторные бозоны, но их массивность делает теорию неперенорми- руемой. Это серьезное противоречие было в конце концов раз-

решено в калибровочных теориях со спонтанным нарушением симметрии. Кроме того, оказалось, что в последовательной перенормируемой теории слабые взаимодействия объединяются с электромагнетизмом. Калибровочной группой симметрии в ней является группа SU^) X Б(1) • В настоящее время эта теория считается стандартной теорией электрослабого взаимодействия.

Идею объединения слабых и электромагнитных взаимодействий впервые выдвинул Швингер [353] в 1957 г., отметивший их векторную природу. Глэшоу [185] предположил, что в искомой перенормируемой теории слабых взаимодействий должны одновременно рассматриваться и электромагнитные взаимодействия; позднее он предложил [186] модель с калибровочной S[7(2)X t7( 1)-симметрией. В его теории перенормируемость отсутствовала, так как массы ПВБ вводились как дополнительные параметры. Аналогичная попытка была предпринята Саламом и Уордом [347]. Наконец, перенормируемая теория с массами ПВБ, возникающими за счет механизма Хиггса, была предложена Вайнбергом [400] в 1967 г.; годом позднее она независимо обсуждалась Саламом [346]. Поэтому стандартную теорию часто называют моделью Вайнберга — Салама или моделью Глэшоу — Вайнберга — Салама. Но теоретики, занимающиеся физикой высоких энергий, не осознавали важности этого подхода до тех пор, пока т’Хофт [383, 384] не доказал перенормируемость калибровочных теорий со спонтанным нарушением симметрии и без него.

Ниже излагается теория Вайнберга — Салама. Для простоты мы сначала ограничимся рассмотрением самого легкого фермионного «семейства», или «поколения» (ve, е, и, d). Как будет показано, теория в приближении, когда рассматривается только одно поколение, полностью самосогласована и замкнута. Более тяжелые поколения (v^, ц, с, s) и (vt, т, I, 6) будут снабжены структурой, тождественной структуре легкого поколения. Их введение в стандартную теорию обсуждается в разд. 11.3.

Выбор группы SU (2) X U (1)

Алгебраический подход. Чтобы выбрать калибровочную группу, необходимо рассмотреть теорию с ПВБ, в которой имеются только электрон и нейтрино. Лагранжиан слабого взаимодействия дается выражениями (11.13) и (11.5)

= gUx^x + эрмит. сопр.), (11.16) где заряженный V—А-ток

А = veyx(l — у5)е.А = veyx(l — у5)е.(1Ы7>(1Ы7>

А = veyx(l — у5)е.

А = veyx(l — у5)е.

(1Ы7>

(1Ы7>

С другой стороны, электромагнитное взаимодействие этих лептонов описывается лагранжианом

^зм = еГхмА\(11.18)

где электромагнитный ток

Л“ = -ёчхв.(11.19)

В единой калибровочной теории слабых и электромагнитных взаимодействий необходимо присутствие по крайней мере трех калибровочных бозонов (^ и фотона), взаимодействующих с токами J, Л и /эм. Простейшей группой с тремя генераторами является группа SU^). Но, как мы сейчас покажем, алгебра токов (11.17) и (11.19) незамкнута относительно операции коммутирования. Определим слабые и электрические заряды следующим образом:

Т+ (/) = 4 d3xJoW = Т § ^'^ ^ — Ys)е>

Т_(/) = ТХ(/),(11.20)

Q (/) = J /х/ом (х) = - J d3xe+e.

Используя канонические коммутационные соотношения для фермионов

{Ф? (х, /), ф, (х', /)} = бубз (х - х'), можно показать, что

[Т+(/), Т_(/)] = 2Т3(/),(11.21)

где

^W = 4 5 ^Ье (1 — Уб)Ve — е+ (1 — у5)е]-(11.22)

Поскольку T3=#Q, Т+, Q не образуют замкнутую алгебру. Причину этого установить нетрудно. Для того чтобы оператор Q был генератором группы SU^), заряды компонент полного мультиплета должны в сумме давать нуль в соответствии с требованием, что генераторы группы SU^) должны быть бесследо- выми. В рассматриваемом случае мы пытаемся построить дублет из ve и е, которые явно не удовлетворяют этому условию. Кроме того, операторы T+^t) имеют V — Л-вид, а оператор Q — чисто векторный.

Здесь имеются две возможности.

Можно ввести еще один калибровочный бозон, связанный с оператором Т3 в (11.21). Тогда эти четыре генератора образуют алгебру группы Si7(2)X t)( 1). Именно на этом выборе мы в конце концов остановимся.

Можно добавить к мультиплету новые фермионы и тем самым модифицировать токи таким образом, чтобы новый набор

Т+ и Q образовал замкнутую алгебру группы SU^. В рассматриваемом случае можно попытаться образовать триплет из е, v» и нового заряженного тяжелого лептона £+. Такая теория действительно была построена Джорджи и Глэшоу [173]. (Они также ввели нейтральный тяжелый лептон N, чтобы получить при низких энергиях слабый ток в V — /1-виде.) В этой модели

|(1-V>)|(1-V>)Е +ме cos а + N sin ае

|(1-V>)

|(1-V>)

у (1 + Ye)у (1 + Ye)Е*NеЕ*Nе

у (1 + Ye)

у (1 + Ye)

Е*Nе

Е*Nе

у (1 + у6) (N cos а — ve sin а)

являются двумя триплетами и одним синглетом. Это приводит к слабому току вида

Т+ (0 = у § d3x {Е+ (1 — Ys) (ve cos а + N sin а) +

+ (v+ cos а + A1" sin а) (1 — y5) e +

+ £+(1 +у5)^ + ^(1 +y5)4(11.23)

Легко показать, что

IT ДО, T2(/)] = 2Q(/), где

Q = J d3x VE^E - e+e].(11.24)

Очевидно, что в этом случае единственным нейтральным током является электромагнитный ток, поэтому после открытия в 1973 г. нейтральных слабых токов от этой модели пришлось отказаться. Кроме того, в нее трудно ввести кварки с дробными зарядами.

Соображения, основанные на унитарности. Точно так же из унитарности следует, что необходимо ввести либо новый заряженный лептон, либо новый нейтральный калибровочный бозон. Рассмотрим процесс vv-> W+W-, где оба бозона W продольно поляризованы. Амплитуда полного процесса в низшем порядке теории возмущений, показанная на рис. 11.2, имеет вид

ТДуу-#- W + W"0 = — НЦрД— igeOU — Ys) X

X -—f(— ig^ (1 — Ys) “ (p) =

f) — k — me

= -2g*v(p')^^^^u(p).(11.25)

(p — л) — ms

Векторы поляризации е^ (&), где е(г,е(/) = — diV, а &е(г) = О, можно выбрать в системе покоя бозона 1Г, так как eW = О, а е.^ = 6... Чтобы получить е(‘) в системе отсчета, связанной с движущимся бозоном W, k^ = (£, 0, 0, k), где к = = (Е- — М^у12, можно воспользоваться соответствующим ло- ренцевским бустом вдоль оси z. Поперечные поляризации при

Рис. 11.2. Процесс vv->IV+IV_ с обменом лептонами в /-канале.

таких лоренцевских преобразованиях не изменяются, тогда как вектор продольной поляризации становится равным е® = = Л!^1 (&, 0, 0, 5). В высокоэнергетическом пределе, где к = — Е — М^рЕ + . .., вектор е® можно аппроксимировать следующим выражением:

е® = hjMw + О (М^1еУ(11.26)

Таким образом, подставляя (11.26) в (11.25), получаем

Tt~- 2gW ~ 2р • k) v(p') Цт^ X

X (^ — ^) ^JMW) (1 — Ys) “ (р) *

— Ye)“(P).(11.27)

где мы воспользовались равенством (р— &)8и(р) = (2p-k— — к^и^рУ Чтобы показать в более явном виде, что эта амплитуда является чистой парциальной волной с / = 1, можно выбрать конфигурации импульсов следующим образом:

^ = (£,0,0,£), Р; = <Е, 0,0, — Е),

к^ = (£, бе), к'^ = (Е, — ке), где

е = (sin 6, 0, cos6).(11.28)

Так как v и v обладают противоположными спиральностями, имеем

/ 1 \1 X

и^ = лГЁ\ g Р )x-i/2 = Vf( ) Х-1/2,(11.29)

\7\иг/

б (р') = Vf х\п (т’ -1) = ^2 (- ^, -1), (11.30) где

^=G). х.„=(?)-

Тогда комбинация спиноров в (11.27) принимает вид

v(p') £'(1 — уь^р^Ех^— 1, — 1)Х

( Е кое\( 1 -1W1\_

ho-е -Е1Д-иХ-^-

= — ^Ех^Е — ho • e)x_U2 = ^Eh sin 6.(11.31)

При Е-*оо имеем Tt « G^E2 sin 6, и разложение по парциальным волнам спиральной амплитуды [142, 228] в этом случае имеет следующий вид:

ТхзХ,. х^Е, 6) = 22 (2/ + 1) Тхм (Е) d^x (6), J=M

где At =—А2=1/2, А3 = А4=0 — спиральности начальных и конечных частиц, К = Aj — Л2 = 1, ц = Л3 — Л4 = 0, М = шах (Л, ц) = 1; d^(6) — обычная матрица поворотов, причем d{0(9) = sin 6. Ясно, что Т< соответствует вкладу только одной парциальной волны с / = 1 и ограничение Т/=1 (£)-< const, основанное на унитарности не выполняется. Чтобы избавиться от этого плохого высокоэнергетического поведения, необходимо учесть и другие диаграммы, соответствующие этому процессу. Имеются две возможности; диаграммы с обменами в s-канале или в u-канале. (Диаграммы /-канала не улучшают ситуацию, так как они дают такой же вклад и с тем же знаком.) В случае альтернативы, связанной с тяжелым лептоном, диаграмма с обменом в и-канале, показанная на рис. 11,3 а, приводит к амплитуде

Т„ (vv -> W+W) = - 2g'2u (р')и ^ ~

VP — h ) ~mE

« ~Ч - и (р') ^'(1 —у5) и (р).(11.32)

Если g2 = g'2, вклад в (11.27), обладающий таким высокоэнергетическим поведением, сокращается.

В случае альтернативы, связанной с нейтральным векторным бозоном, диаграмма с обменом в s-канале, показанная на

рис. 11.3,6, приводит к амплитуде

Ts (vv ->W+W-) = - to (^ (- ihf) (1 - Ys) и (p) V» (k'^ (6) x Xq-^ + (H к'У (k + к^^М^к + k'^ -M^.(11.33)

Выбирая взаимодействие бозонов ZWW так, чтобы оно имело янг-миллсовскую структуру:

Т^ацу = if К^ ^)а S^v (2^ “Ь к^ g^ 4~ (2^ -|- к )ц gav],

(11.34) получим

^кц-, = - if' [(^ ~ ^)о (s' • е) - 2 (к' • е) < + 2 (к • е') ео] ~

(11.35)

Следовательно, ^”Тб(/)^(1-Y5)m(p).(11.36)

Если теперь положить ff' = 2g2, то амплитуда (11.36) при высоких энергиях также взаимно уничтожится с амплитудой (11.27).

Фактически, если мы потребуем, чтобы все нарушающие унитарность амплитуды уничтожались, то в результате придем к

Рис. 11.3. Процесс vv->№+№- с обменами а — в u-канале и б — в s-канале, перенормируемому лагранжиану, который будет иметь тот же вид, что и лагранжиан, выведенный формально в рамках алгебраического подхода. (Детали такого построения изложены в работах [40, 100,276].)

Выбрав в качестве калибровочной группы S(7(2)X^(1), можно сразу же написать калибровочно-инвариантный лагранжиан

- 4 ^^ - 4(11.37)

где величины

^v = d^^-dv^^ + gei/^^v, i= 1,2,3,(11.38)

и

GuV = duBv— dNBy(11.39)

являются тензорными калибровочными полями для групп SU^) и 6/(1) соответственно. Очевидно, что теория с таким лагранжианом до спонтанного нарушения симметрии описывает четыре типа безмассовых калибровочных бозонов.

Фермионы (в приближении одного поколения)

В этом разделе исследуется стандартная модель с фермионным сектором, состоящим только из лептонов е и ve и кварков и и d. Оказывается, такая упрощенная теория полностью самосогласованна. Введение более тяжелых фермионов, таких, как ц, s, с и т. д., исследуются в разд. 11.3.

Как уже отмечалось в разд. 11.1, в рассматриваемой модели основными динамическими фермионными степенями свободы являются двухкомпонентные поля с определенной спиральностью. Или, более конкретно, поскольку в калибровочных взаимодействиях сохраняется спиральность, мы можем и должны исходить из независимых левых и правых фермионов. Таким образом, первое поколение состоит из следующих 15 двухкомпонентных спиноров:

^ = veL, eL, eR, uL, uR, dL, dR,(11.40)

где

ед — уО ~ ¥з)е, *я = у(1 + y5)e и т. д. (11.41)

Цветовой индекс а = 1, 2, 3 у кварковых полей мы опускаем.

Квантовые числа в SU^X 67(1)-модели. Из (11.5), (11.7), (11.20) и (11.22) следует, что генераторами группы SU^) являются слабые токи:

Г+ = $ ^eLeL +^Х’ Т- = (Г + )+’

(11.42)

^з = У 5 ^ек^ек ~ elek + “X “ dkdl) ^Х-

Из этих выражений для генераторов группы SU(2) ясно, что величины

^к = Г ®L ) и Чк — Г / )(11 -43)

являются 56/(2)-дублетами, a eR, uR и dR — синглетами. Группа U(1) должна быть выбрана таким образом, чтобы электрический заряд

Q = ^ (- е+е + 4 u+u - у d^ d4 =

~ ( ^L ^R "Ь У UkUk "Ь У URUR

(11.44)

представлял собой линейную комбинацию генератора группы 6/(1) и генератора Т3 группы S6/(2) в (11,42). Видно, что комбинация

Q - Т3 = J [- (^eL + Фь) + | (4“д + d^dL) - 9 1 1

CRCR "Ь У и^я У ^/^Я] ^Зх (11.45)

обладает тем свойством, что для нее все члены любого из SU^- дублетов в (11.43) имеют одно и то же квантовое число. Очевидно, что она коммутирует с генераторами группы S6/(2), т. е.

[Q-T3,TJ = 0, /=1,2,3. (11.46)

Тогда мы выберем оператор

y = 2(Q-T3) (11.47) в качестве генератора группы U(1) и будем называть его слабым гиперзарядом. В отличие от генераторов Tt генератор У не удовлетворяет никаким нелинейным коммутационным соотношениям. Масштаб этого генератора, т. е. коэффициент пропорциональности между ним и оператором Q— Т3, можно выбрать произвольно. Чтобы получить правильные значения электрического заряда различных частиц, нужно воспользоваться уравнениями (11.45) и (11.47) и положить

y(/j = -i, у(^) = -2, I

у Ы = 1/3, УЫ = 4/3, У(^) = -2/3. v * Эти значения гиперзаряда совпадают с удвоенным средним зарядом каждого мультиплета, так как среднее значение генератора Т3 всегда равно нулю. Следует отметить, что групповая структура позволяет произвольно выбрать гиперзаряд. Таким образом, «квантование заряда» (т. е. равенство электрических зарядов частиц целому кратному некоторой основной единицы) не выполняется автоматически в SU^lX 6/( 1)-теории. Это может иметь место только в том случае, если калибровочная группа является полупростой. В гл. 14 мы увидим, что это действительно так в случае объединения электрослабой теории с квантовой S 6/(3)-хромодинамикой в рамках «калибровочной теории великого объединения».

Сокращение аномалий. Как уже отмечалось в разд. 6.2 и 9.3, аномалии АБД мешают калибровочным теориям быть перенормируемыми [59, 174 , 201]. Калибровочные взаимодействия фермионов не должны приводить к аномальным тождествам Уорда. Таким образом, в фермионном представлении R с матрицами представления Ta(R^ след tr((TaL(R), T^R)}!^/?)) в (6.60) должен обращаться в нуль.

В рассматриваемом случае фермионы являются либо дублетами, либо синглетами относительно группы SU^). Матрица Та должна быть либо матрицей Паули та, либо 6/(1)-гиперзарядом У. Поскольку в случае группы SU (2) аномалии отсутствуют,

tr ({?, V} тА) = 264 tr (?) = 0, (11.49)

рассмотрим случаи, где по крайней мере одна из матриц Т является гиперзарядом У. Так как все члены данного SU(2)-мультиплета имеют одно и то же значение гиперзаряда, в случае, когда две из матриц Т являются матрицами У, имеем

tr (?УУ) ~ tr (?) = 0,

а в случае, когда одна матрица Т является матрицей У,

tr({V, V}, У) = 2б'ЧгУ.tr({V, V}, У) = 2б'ЧгУ.(11.49а)(11.49а)

tr({V, V}, У) = 2б'ЧгУ.

tr({V, V}, У) = 2б'ЧгУ.

(11.49а)

(11.49а)

Таким образом, вклад аномалии пропорционален следу матрицы У (сумме гиперзарядов всех фермионов):

try=£y,= £ Уф Е У.Iлептоны кварки

Но это выражение обратится в нуль, если в него подставить значения гиперзаряда фермионов в каждом поколении:

Е У = — 1 X 2 — 2 == — 4, лептоны

(11.496)

X Г = 3(тХ2+4-|) = 4. кварки

Множитель 3 перед скобками возникает из-за цветовых степеней свободы. В случае когда все три матрицы Т являются гиперзарядом У, из (11.47) получаем

tr (УУУ) = 8 tr (Q3 - 3Q2T3 + 3QT| - Т^ ~ tr (Q2T3 - QT23),

(11.50a)

поскольку trT3 = 0, а членами c Q3 мы можем пренебречь, так как электромагнитный ток является вектором (V), а треугольные фермионные петли типа VVV не приводят к аномалиям. Явные вычисления правой части (11.50а) приводят к следующим результатам:

Е (QV3-Qri)=-4+4=лептоныЕ (QV3-Qri)=-4+4=лептоны_1_4 ’_1_4 ’Е (Q273-Q7D =кваркиЕ (Q273-Q7D =кварки1з 62 т 4/41з 62 т 4/4(11.506)(11.506)

Е (QV3-Qri)=-4+4=

лептоны

Е (QV3-Qri)=-4+4=

лептоны

_1_

4 ’

_1_

4 ’

Е (Q273-Q7D =

кварки

Е (Q273-Q7D =

кварки

1з 62 т 4/4

1з 62 т 4/4

(11.506)

(11.506)

Таким образом, аномалии вновь сокращаются, как в (11.49), и можно заключить, что при выборе фермионных квантовых чисел (11.43) и (11.48) 56Д2)Х £/(1)-теория свободна от аномалий АБД.

На самом деле существует простой способ демонстрации сокращений аномалий, выражаемый соотношениями (11.49) и (11.50). Если использовать (11.47), то соотношения (11.49а) и (11.50а) можно записать в виде

(11.51)(11.51)tr У ~ tr Q,

(11.51)

(11.51)

tr (Q2T3 - QT^ ~ tr (ДфУ) ~ tr (Т3У) ~ tr Q,

поскольку tr (73Q2) = tr (Т3У2) = tr (Т3) = 0. Таким образом, нетривиальный вклад в аномалию АБД в SU^X ^( 1) -теории пропорционален

trQ=£Qi = O.(11.52)

Заряды лептонов и кварков взаимно уничтожаются, ёслй принять во внимание три цветовые степени свободы. [Зал<еча«ие: учитывая (11.52), можно показать, что в полной стандартной SU (3) сХ SU (2) LX 6Д1)г-модели аномалии отсутствуют. Точнее, вклады от дополнительных треугольных диаграмм с глюонами и калибровочными электрослабыми бозонами также взаимно уничтожаются.]

Калибровочно-инвариантный лагранжиан с фермионами (11.40) имеет вид

3 = 3Х + s2, где

S2 = ф/у^Дцф,(11.53)

а ковариантная производная имеет вид

5цФ = (5ц — igT • Ац + ig' у 5ц) Ф- (11.54) Например,

D^L^^-ii-T.^ + i^-B^lL, (11.55)

D^ = (дц + ig'B^ eR.(11.56)

Заметим, в частности, что в лагранжиане S' нет калибровочноинвариантных членов, билинейных по фермионным полям. Следовательно, SU(2)X f/(l)-симметричные члены, соответствующие фермионным массам, отсутствуют.

Механизм Хиггса нарушения симметрии

Мы должны ввести набор скалярных полей Ф, причем это нужно сделать так, чтобы вакуумное среднее <Ф>о было инвариантным относительно группы t/(l)3M. В этом случае симмет-

рия нарушается следующим образом:

su^Lxu^Y ^ щх^.

Из первоначальных четырех калибровочных бозонов SU^X X U( 1)-теории три станут массивными, а один, соответствующий фотону, останется безмассовым.

Как мы видели в разд. 8.3, комплексный скалярный дублет полностью нарушает SU(2) -симметрию, и один из членов этого дублета должен быть нейтральным, чтобы была возможность сделать <Ф>017( 1) эм-инвариантным. Необходимо иметь комплексный дублет следующего вида:

Ф =Ф =X Ф° УX Ф° УУ(Ф)= 1.У(Ф)= 1.(11.57)(11.57)

Ф =

Ф =

X Ф° У

X Ф° У

У(Ф)= 1.

У(Ф)= 1.

(11.57)

(11.57)

Полный калибровочно-инвариантный лагранжиан, содержащий скалярные поля, тогда имеет вид

^ = ^ + ^2 + ^з + ^4;(11.58)

здесь

^3 = (^Ф)+(№Ф)-К(Ф),(11.59)

где

^>цф=(д11 — у^т- Ац — уЯ'Вц)ф,(11.60)

у (ф) = — и2ф+ф + Я, (ф+ф)2.(11.61)

Наиболее общее юкавское SU(2)X U( 1)-взаимодействие между скалярами и фермионами описывается лагранжианом

^4 = 11еЧьФек + 1<и)дьФия + 1№дьФс1к + эрмит. сопр.,

(11.62) где изодублет

ф = /т2Ф*

обладает гиперзарядом У(Ф) =— 1.

Как уже обсуждалось в разд. 5.3 и 8.3, при положительных ц2 и Я в (11.61) имеет место спонтанное нарушение симметрии, так как вакуумное среднее скалярного изодублета отлично от нуля:

/ 0 \

(ф)0 = (01Ф | 0) = ( V ), где v = (H2M)1/2.(11.63)

X

Спектры частиц и взаимодействия в унитарной калибровке

Используя для скалярных полей полярные координаты, представим изодублет в виде /0

Ф(х) = 6/-‘(?) у + и (х)

где

6/(?) = ехр[/?(х).т/У].(11.64)

Таким образом, два первоначальных комплексных-поля^+(х). и ^°(х) в (11.57) параметризуются с помощью четырех вещественных полей ^(х) и г](х). Эти сдвинутые поля имеют нулевые вакуумные средние:

(0|^|0) = (0|Л|0) = 0.(11.65)

Чтобы определить спектр частиц, проведем калибровочное преобразование и перейдем к унитарной калибровке, определяя новые поля. ^Замечание; Мы упростили выражение (11.64). В принципе поля ^ в показателе экспоненты должны умножаться на генераторы всех нарушенных симметрий, как в соотношении (8.127). Но в рассматриваемом случае это различие несущественно.] Получим

/0

Ф' = и (?) ф = I V 4-11 (х) х V2 ИЛИ.

Ф' (х) = У + X, где х=(11.66)

И

lL = U (?) lL, eR = eR,

qL = U (?) qL. uR = uR, dR = dR,

,(11.67)

^ = U (?) (^) U^ (?) -1 [c^ (?)] IF' (?),

B^ = B^.

Затем выразим каждое слагаемое $i в (11.58) через новые поля. Рассмотрим сначала слагаемое, содержащее поля Ф, и, используя (11.66), получим

^3 = (^Ф,)+(^Ф,)-И(Ф,)>(П.68)

где

В^' =- z f т • А; - Z Р х, (11-69)

X 22 /L V2 J

у(ф') = ц2Т12+Хот13 + 4т14(11.70)

S’* = ^ [Г'*’8^ ++1№ ^ +

+ -^ V^^^R + tWaLUR + t^ ^LdR] + ЭРМИТ. СОПр., (11.71)

Спектр масс. Из приведенных выше уравнений можно легко выделить массовые члены, билинейные по полям:

Скалярная масса (физической хиггсовской частицы)

тп=д/2р.(11.72)

Фермионные массы

me = f^№, ти = Г%,Ч2, md = f%N^-(U-73)

Массы векторных мезонов. Три несостоявшихся голдстоу- новских бозона g(x) исчезают в результате преобразований (11.66). (Говорят, что они «съедаются» калибровочными бозонами с образованием трех массивных ПВБ.) Массы векторных мезонов входят в член (ДцФ')2 лагранжиана $й\

3¥мм = ^г\^х.^^-в'^^-х.К»^^В,^г =

= ^g2 [(X1)2 + (42)2] + М - g'B^ =

^MW^W^+^-M^Z^.(11.74)

Необходимо провести следующее отождествление собственных состояний массовых и зарядовых матриц. Для заряженных векторных мезонов

A^r^-^t^+u;2)2].(11.75)

Следовательно,_

wt^X^i^N^,(11.76)

Mw = g2u2f4.(11.77)

Чтокасаетсянейтральных векторных мезонов,тотак как

группа6/(1)эмненарушена, т. е. 9<Ф>о = 0, то связанный с ней

калибровочный бозон (фотон) остается безмассовым, и мы имеем

-|- mV^z* = 4 М3 - ^2 =

1 Гм22 oX/W

= 4-(^^(0(И-78)

Массовую матрицу мы диагонализовали с помощью ортогонального преобразования.

£пcos 0tw Au — sin бт^Вп,

.7(11.79)

Лц = sin б^Лц + cos 9^В\х, где

15007 = ^7^.(11.80)

М1 = и(^+/2)/4.(11.81)

Угол поворота 6#? обычно называют углом. Вайнберга. Используя соотношения (11.27), (11.80) и (11.81), мы найдем отношение масс векторных мезонов

P = M^/(A11cos20^)= 1.(11.82)

Хиггсоеский дублет и равенство р = 1. Мы вывели (11.82),. используя хиггсовские скаляры в дублетном представлении. Напомним некоторые этапы этого вывода. Из требования калибровочной инвариантности следует, что скалярный потенциал (11.61) является функцией величины |Ф|2, которую можно рассматривать как квадрат длины 4-вектора с четырьмя вещественными компонентами изодублета Ф. Таким образом, У(Ф) = = У(|Ф|2) обладает более широкой симметрией 0(4)« « SU(2) l X SU (ДУ, а после спонтанного нарушения симметрии (11.63) симметрией 0(3) « SU(2). Нам уже встречался, такой пример нарушения симметрии в разд. 5.3, где рассматривалась a-модель SU (2)XSU (2). Мультиплет (а, л) преобразуется по представлению (1/2, 1/2) при преобразованиях из группы SU(2)Х SU(2) и является 4-вектором относительно- О (4)-симметрии. Истинный вакуум выделяет направление (там было выбрано о-направление), и симметрия теории нарушается до группы 0(3), а л по-прежнему остается вырожденным триплетом. В данном случае Ац. остается вырожденным триплетом относительно остаточной О (3)-симметрии. Поэтому мы имеем очень важное равенство для трех билинейных по полям членов в выражении (11.74):

(4- т (Ф)о А^)2 = 4- < [(А* )2 + (А2)2 + (А^)2]. (11.83) Если теперь принять, что полю А^ также соответствует массовый член 1/2М^> то вид массовой матрицы в (11.78) для нейтральных ПВБ полностью фиксируется значениями следа (= Mz/2) и детерминанта (=0):

'Отсюда немедленно получается выражение для отношения масс (11.82).

Заряженные токи. Чтобы отождествить токи в изучаемой модели с токами в V — Л-теории, рассмотрим теперь калибровочные взаимодействия фермионов, содержащиеся в лагранжиане ^ (11.53),(11.54): ‘

(-^ • А' - ^ в) l'L + <?2 (4- т ' а' + 4-^') q'k -

— eRgBeR + UR-^j- b'u'r — dR-y- ВVr =

= g (4" ^чЛ + 4" ^2туи<7£ ) . A'u +

+ 4" (~"^Л + 4" WW — 2^4 +

+ -g- ur^Urg- d-R^ydR^ B* = (gJyA ш + gJyA 2u) +

+ (gJ» A'3u + 4 /^S^) ,(11.85)

которые соответствуют взаимодействиям заряженных и нейтральных токов.

Взаимодействие заряженных токов в (11.85) описывается лагранжианом

$сс = (^U'1U + £^^) = -^=- U^^ + W*), (11.86) где поля 1^7 определены в (11.76), а

7^ = 4 + i^n = vi-Y^l + ULNydt =

= 4^(1 ~ Ys)^ + 4'“'Yh(1 — Ys)^.(11.87)

Низкоэнергетическое четырехфермионное взаимодействие, показанное на рис. 11.1, можно описать следующим эффективным лагранжианом:

^ФФ = -^-/^(11.88)

а это в точности лагранжиан V — Л-теории. Сравнивая (11.88) с (11.3), (11.5) и (11.87), можно положить

Из этого соотношения с помощью (11.77) получаем, что вакуумное среднее (11.63) равно

u = 2-1/4GF1/2« 250 ГэВ.(11.90)

Нейтральные токи. Для нейтральных токов в (11.85) имеем;

$nc = §А А'3* + 4 gW = gJ3 (cos 9WZU + sin 6^) +

+ tgewg(JuM- /^(cose^^-sine^),(11.91)

где использованы соотношения (11.79), (11.80) и (11.47). Таким образом.

$NC = е/™ Л u + (g/cos 6^) f^,(11.92).

где

e = gsin6U7,(11.93)

/°=72 - sinX/™.(11.94)

Нейтральные токи можно явно записать через фермионные- поля:

Л = S X/lYu/i. + ^«f^Yu/gl =

'=-^-Х[йгПуц(1 — Ys)/+ ^«^(1 + Ys)/1.(И.95а)

где f = ve, е, и и d. Константами взаимодействия слабых ней

тральных токов являются gl r = T3 (JL, R)Тогда из (11.42) и (11.44) имеемgt = — -у + sin2ett7,и 12 . 2 QgL = "23-sln е^’gL = — -3-+ -3- sin 9W,тральных токов являются gl r = T3 (JL, R)Тогда из (11.42) и (11.44) имеемgt = — -у + sin2ett7,и 12 . 2 QgL = "23-sln е^’gL = — -3-+ -3- sin 9W,-Q(/)sin26^.(11.956)^ = 0,gR = sin29w,u_2 .<IL95b>gR3" sln б^.d 1■ 2 ngg="3-sin 9W.-Q(/)sin26^.(11.956)^ = 0,gR = sin29w,u_2 .<IL95b>gR3" sln б^.d 1■ 2 ngg="3-sin 9W.

тральных токов являются gl r = T3 (JL, R)

Тогда из (11.42) и (11.44) имеем

gt = — -у + sin2ett7,

и 12 . 2 Q

gL = "23-sln е^’

gL = — -3-+ -3- sin 9W,

тральных токов являются gl r = T3 (JL, R)

Тогда из (11.42) и (11.44) имеем

gt = — -у + sin2ett7,

и 12 . 2 Q

gL = "23-sln е^’

gL = — -3-+ -3- sin 9W,

-Q(/)sin26^.(11.956)

^ = 0,

gR = sin29w,

u_2 .<IL95b>

gR3" sln б^.

d 1■ 2 n

gg="3-sin 9W.

-Q(/)sin26^.(11.956)

^ = 0,

gR = sin29w,

u_2 .<IL95b>

gR3" sln б^.

d 1■ 2 n

gg="3-sin 9W.

Исходя из взаимодействия (11.92), можно получить низкоэнергетическое четырехфермионное взаимодействие, соответствующее произведению нейтральных токов:

<yNC _*’ эфф <yNC _*’ эфф —g2yOyOU2 cos^Q^Al^ U—g2yOyOU2 cos^Q^Al^ U-g22A1^-g22A1^J^J^(11.96).(11.96).

<yNC _

*’ эфф

<yNC _

*’ эфф

—g2yOyOU

2 cos^Q^Al^ U

—g2yOyOU

2 cos^Q^Al^ U

-g22A1^

-g22A1^

J^

J^

(11.96).

(11.96).

где мы воспользовались равенством (11.82). Множитель 2 в знаменателе возникает из-за симметрийного множителя в фейнмановских правилах для двух одинаковых токов в (11.96). Таким образом, SU ^Х £/(1)-теория предсказывает набор слабых взаимодействий, сравнимых по интенсивности с хорошо известными, фермиевскими взаимодействиями заряженных токов. В качестве иллюстрации рассмотрим упругое Vee-рассеяние, в которое дают

вклад как заряженные, так и нейтральные токи. Низкоэнергетическая амплитуда (рис. 11.4) имеет вид

Т ^ее vee) = {[veYu (1 — у5) е] [ёу^ (1 — Ys) ve] —

оЛ1 ^

— 4"tw(l — Ys) vj [ёу^О — у5)е — 4 зш^ёу^е]}.(11.97)

Используя соотношения Фирна (см. приложение А), эти два тока можно объединить следующим образом:

Т (уее vee) = -^ [veYn (1 — Ys) ve] [ёу^ (а — 6у5) е], где

а = 2 sin2©^ +-^- и Ь = -у.(11.98)

Естественно, старая V— A-теория получается при а = b = 1.

Как описано в гл. 12, именно такой класс процессов с нейтральными токами был открыт в экспериментах при высоких

К" > з >—еve- > - . > ve

<1V<Z

e —> ' > vee > -S- > e

Рис. 11.4. Вклады заряженных и нейтральных токов в упругое уве-рассеяние.

энергиях. Все экспериментальные данные согласуются с теоретическими предсказаниями для значений угла Вайнберга, близких к значению (см. обзор в [235])

sin2 0^ « 0,22.(11.99)

Обсуждение. Следующим важным шагом в проверке стандартной теории является, безусловно, открытие заряженных и нейтрального калибровочных бозонов с массами и зарядами, которые она предсказывает. Из соотношений (11.89) и (11.93) имеем

Л!^ = 2-5/4eGp 1/2/sin 9^- ~ 37 ГэВ/sinO^. (11.100)

Взяв значение 0^ из (11.99), мы получаем, что Mw « 80 ГэВ, а из (11.82) находим Mz « 90 ГэВ. Другой чрезвычайно важной проверкой будет открытие хиггсовской частицы т). Но численное значение массы т-ц (11.72) не фиксируется измеренными ранее величинами. Это сильно затрудняет поиск частицы т), особенно если учесть, что она слабо взаимодействует с фермионами— в соответствии с (11.71) это взаимодействие порядка ^mf/M^e.

В стандартной теории, даже только с одним семейством фермионов, имеется семь произвольных параметров е, sin б^.Л!^,

т-ц, те, пги, tUd- В первоначальном симметричном лагранжиане семью произвольными параметрами являются: две калибровочные константы взаимодействия g и g', две константы самодей- ствия скалярного поля ц2 и X и три константы юкавского взаимодействия р\ f^ и f(d). Заметим, что объединение электромагнитного и слабого взаимодействия в некотором смысле не является полным; мы вынуждены вводить две константы g и g', чтобы включить эти два класса взаимодействий. Исследования, связанные с поиском дальнейших объединений, обсуждаются в гл. 14.

Наконец, подчеркнем, что руководящими принципами при' построении калибровочных моделей являются принципы симметрии и перенормируемости. Мы должны включить в лагранжиан все калибровочно-инвариантные члены размерности четыре и: меньше. Только накладывая требования определенной глобальной симметрии, можно отбросить некоторые из этих членов, не нарушая перенормируемости теории. В случае стандартной электрослабой теории нельзя наложить какой-либо специальной глобальной симметрии. Законы сохранения, имеющиеся в теории, такие, как законы сохранения барионного или лептонного числа, после выбора представлений для фермионных и скалярных полей являются просто следствиями калибровочной инвариантности и перенормируемости. Таким образом, в каждом фермионном поколении должны присутствовать как лептоны,, так и кварки, чтобы из-за аномалий АБД не нарушалась пере- нормируемость теории. С другой стороны, перекрестные взаимодействия лептонов и кварков в (11.62) отсутствуют, так как они запрещены калибровочной симметрией. Например, если бы существовал набор скаляров, преобразующийся как дублет при преобразованиях из группы SU^) и как триплет при преобразованиях из группы SU (3) цвет : /la (i = 1, 2; a = 1,2, 3), то мы располагали бы калибровочно-инвариантными юкавскими взаи- модеиствиями licnaqn и qian$qy& , которые соответствуют членам, не сохраняющим барионный В и лептонный L заряды. Таким образом, теория Вайнберга — Салама автоматически приводит к сохранению В и L. (Мы пренебрегаем здесь ненаблюдаемо малым инстантонным эффектом [388].) Нарушение закона сохранения лептонного числа массовыми членами майорановского нейтрино рассматривается в разд. 13.2. Законы сохранения барионного и лептонного чисел нарушаются в калибровочных теориях великого объединения (см. гл. 14).

11.3. ДУБЛИРОВАНИЕ ФЕРМИОННЫХ ПОКОЛЕНИЙ

В разд. 11.2 мы показали, как строится основной вариант стандартной теории электрослабой калибровочной теории, в котором число фермионов ограничено: 15 двухкомпонентных по-

лей в (11.40). Левые поля преобразуются как дублеты, а правые являются синглетами. Теперь мы хотели бы избавиться от этого -ограничения. Из выражений (11.5) и (11.9) следует, что мы можем рассматривать другие левые фермионные дублеты

(11.101)(11.101)ve \( с \

(11.101)

(11.101)

е 7l’ \цА’ vde/L* \SQ)l’

-где

dQ = cos0cd + sin 0cs, s6 = cos0cs — sin Ocd; (11.102)

правые поля являются синглетами. Другими словами, в теории происходит «дублирование» фермионной структуры. Открытия лептонов т, vt [321, 322] и кварка b [219, 253] позволяют утверждать, что это дублирование продолжается: экспериментальные данные не противоречат предположению о том, что (vt, t)l является SU(2) -дублетом и что существует еще более тяжелый кварк t, составляющий дублет с кварком Ь. В этом разделе мы ставим задачу ввести систематическим образом эти фермионы в стандартную модель. Хотелось бы понять, почему в кварковом дублете присутствует угол Кабиббо, а в лептонном секторе соответствующего угла смешивания нет. Другими важными фактами, связанными с наличием многих фермионных поколений, -являются подавление эффектов нейтральных токов, изменяющих аромат, и фазы нарушения СР-инвариантности в калибровочных взаимодействиях (см. также разд. 12.2).

Калибровочные и массовые собственные состояния

Присутствие угла Кабиббо в выражениях (11.102) уже указывает на то, что мы должны различать два типа фермионных ■состояний: собственные состояния калибровочных взаимодействий (имеющие определенные свойства относительно калибровочных преобразований, т. е. поля de и $е) и собственные состояния массовых матриц (т. е. поля d и s); они связаны друг с другом некоторым линейным преобразованием. Это происходит из-за того, что до спонтанного нарушения симметрии (СНС) фермионы являются безмассовыми, а после СНС собственные состояния массовой матрицы фермионов определяются юкав- ским взаимодействием. Дублирование фермионных поколений, которое упоминалось во введении к этому разделу, означает, что имеется несколько групп с одинаковыми калибровочными собственными состояниями. Таким образом, фермионные состояния обладают индексом «семейства», или «поколения»: А=е, р, т, ... . В разд. 11.2 мы рассмотрели упрощенную конструкцию только с одним поколением фермионов. В этом приближении между калибровочными собственными состояниями и соб- ■ственными состояниями массовых матриц нет различия. По-

е-*е'А = <е', < т ), ve->v4 = (v;, v^, vj, и-* р'А = (и', c', t'), d-*n'A = ^d', s', b').Тогда 5П(2)-дублетами являются, (Va\(Pa\I AL — V и 4 AL — Iе-*е'А = <е', < т ), ve->v4 = (v;, v^, vj, и-* р'А = (и', c', t'), d-*n'A = ^d', s', b').Тогда 5П(2)-дублетами являются, (Va\(Pa\I AL — V и 4 AL — Iскольку в разд. 11.2 мы использовали только свойства фермионных полей относительно калибровочных преобразований, то эти поля должны рассматриваться как калибровочные собственные- состояния. При последовательном обобщении на случай многих фермионных поколений эти калибровочные собственные состояния в разд. 11.2 заменяются на вектор, каждой компоненте которого соответствует свой индекс поколения. Мы должны сделать следующую подстановку:

е-*е'А = <е', < т ), ve->v4 = (v;, v^, vj, и-* р'А = (и', c', t'), d-*n'A = ^d', s', b').

Тогда 5П(2)-дублетами являются

, (Va\(Pa\

I AL — V и 4 AL — I

е-*е'А = <е', < т ), ve->v4 = (v;, v^, vj, и-* р'А = (и', c', t'), d-*n'A = ^d', s', b').

Тогда 5П(2)-дублетами являются

, (Va\(Pa\

I AL — V и 4 AL — I

(11 Л03>

(11.104);

\eA/L\"-A./L

Штрих у поля означает, что оно является калибровочным собственным состоянием. (Мы изменили обозначения по сравнению с разд. 11.2, где штрихами отмечались поля в унитарной калибровке.) В частях лагранжиана, описывающих фермионное взаимодействие, предполагается свертка по индексам поколений,. Обобщения выражений (11.53) и (11.62) имеют вид

^2 = UlI (5 - -f - т . А + 4" в) Ial + 6'arI (3 + igB) rar +

+ qALi (d — -4x-^ — -^-B^qAL +

+ pari (d-^B^pAR + nARi р + ^-в)^,(11.105>

S’4 = fAвiALФeвR + f&qAL^PBR +

+/ав^д^Фив^ + эрмит. сопр. (11.106)'

Таким образом, константы юкавских взаимодействий заменяются на матрицы констант взаимодействий, действующие в пространстве поколений. После СПС, определенного в (11.63),. получаем выражение

^4 = 11 [fABBALBBR + fABPALPBR + ?АВПА1/^] +

+ эрмит. сопр., (11.107)' которое является обобщением выражения (11.71). Поэтому в базисе, элементами которого являются калибровочные собственные состояния, массовые матрицы фермионов имеют вид

М^в = ^^в, i = e, р, п.(11.108);

V2

Двойные унитарные преобразования. Важно отметить, что нет причин, по которым эти матрицы были бы диагональными; в действительности в общем случае они не симметричны и не эрмитовы. Мы продемонстрируем теперь, что они могут быть диагонализованы двойными унитарными преобразованиями, т. е. для данной матрицы МАВ существуют унитарные матрицы S и Т, такие, что

S*MT = Md, (11.109)

где Md — диагональная матрица с положительными собственными значениями. Это утверждение основано на том, что любая матрица М всегда может быть представлена в виде произведения эрмитовой матрицы Н и унитарной матрицы V:

(11.110)(11.110)M = HV,

(11.110)

(11.110)

причем эрмитова матрица Н может быть затем диагонализо- вана некоторой унитарной матрицей.

Доказательство равенства (11.109) строится следующим образом. Матрица ММ^ является эрмитовой и положительно определенной; она может быть диагонализована унитарной матрицей S:

S+ (ММ+) S = Мд,(11.111)

где

M2d =M2d =ГИ1ГИ1

M2d =

M2d =

ГИ1

ГИ1

Матрица S определяется не однозначно, а с точностью до диагональной фазовой матрицы, т. е. если выполняется (11.111), то

гдегде(SP)+ (MM+) (SF) = Md,

где

где

еи>х

(11.112)(11.112)е1Ф,

(11.112)

(11.112)

е1Ф»

Эти фазовые степени свободы мы рассмотрим подробнее, когда будем исследовать вопрос о нарушающих СР-инвариантность калибровочных взаимодействиях. Здесь же ими можно воспользоваться для доказательства того, что все собственные значения матрицы Мд в (11.109) являются положительными:

mt > 0.mt > 0.(11.113)(11.113)

mt > 0.

mt > 0.

(11.113)

(11.113)

Определим эрмитову матрицу V следующим образом:

H = SMdS\(11.114)

тогда можно показать, что матрица

V = H-XM, V^ = M^H~X(11.115)

является унитарной в силу соотношений (11.111) и (11.114):

VV' = Н^ММ^Н-1 = H^SM^H-' =

= Н-х (SMdS^ (SMdS^ Н~х = H~XHHH~X = 1.(11.116)

Из определений матриц Ни V (11.114) и (11.115) имеем

S^HS = S^MV^S = Md,(11.117)

или

5^1 = Md,(11.118)

где Т = У'З также является унитарной матрицей, что и требовалось доказать. Таким образом, мы получаем следующие соотношения между калибровочными собственными состояниями и массовыми собственными состояниями:

^М^ = ^lS^MT") (T^^lM^r,(11.119)

где

= 'Фд = Т'ф^.(11.120)

Матрица смешивания во взаимодействиях

с заряженными кварковыми токами

Применим теперь этот результат к заряженным слабым кварковым токам, которые можно вывести из (11.105) или из (11.87) с помощью подстановки выражения (11.103):

lq\x = ^АкЧу^Ак = РАкЧ^Ак = рAL^^ [S^S^Lb^,(11.121)

где

pL = SwpL, nL = S№nL.(11.122)

Таким образом, в терминах массовых собственных состояний кварковыми дублетами трех семейств являются

где

/d"\рХ

s" = П s ,(11.124)

\Ъ" /ХЪ )

a U = S^S^. Очевидно, что матрица U также является унитарной.

Фазы нарушения CP-инвариантности. Если бы массовые матрицы были вещественными, то матрица U была бы ортогональной, все фермионные калибровочные взаимодействия были бы вещественными и не было бы нарушения СР-инвариантно- сти. С другой стороны, произвольная унитарная матрица 3X3 может быть параметризована тремя вещественными углами поворотов и шестью комплексными фазами. Но не все комплексные фазы имеют физический смысл, так как некоторые из них можно устранить переопределением кварковых полей (за исключением заряженных токов, все остальные члены в лагранжиане диагональны по кварковым ароматам). На первый взгляд кажется, что шесть кварковых ароматов могут поглотить шесть фаз. (Напомним, что qL и qR должны подвергаться одному и тому же фазовому преобразованию, чтобы массы оставались вещественными.) В действительности это неверно, так как матрица смешивания U инвариантна при одинаковом изменении фаз всех кварковых полей. Поэтому за счет переопределения можно устранить только пять фаз. Чтобы убедиться в этом явно, начнем с первого дублета в (11.123):

• /и\• /и\(11.125)(11.125)

• /и\

• /и\

(11.125)

(11.125)

Если t/ц имеет фазу 6, т. е.

^п = ^пе‘6> ^и — вещественная величина, (11.126)

то ее можно устранить переопределением поля и-кварка:

(11.127)(11.127)и-> и' = ue~i6

(11.127)

(11.127)

и

qxL 6 VRud-VUVs^U^b)*qxL 6 VRud-VUVs^U^b)*(11.128)(11.128)

qxL 6 VRud-VUVs^U^b)*

qxL 6 VRud-VUVs^U^b)*

(11.128)

(11.128)

Подобным же образом можно вынести за скобки комплексные фазы величин U2\ и U3t, если переопределить поля с- и ^-кварков в (11.123). Появившиеся перед дублетами общие фазовые множители несущественны, поскольку калибровочное взаимодействие между дублетами с различными индексами поколений в (11.105) отсутствует. Наконец, фазы величин U\2 и 1/\з можно убрать, переопределяя s- и 6-поля. Тогда дублеты (11.123) принимают вид

/ и'\/с'\

(11.129)(11.129)V?nd + R12s' + /?136'А ’ v?2id + R22ei6is' + R^eWk ‘

(11.129)

(11.129)

Raid 4- Ra^^’s' -(- R^e’^'b') l

Мы уменьшили число параметров до 13 (9 величин Rij и 4 фазы б/). Нормировка каждого состояния приводит к трем условиям, а ортогональность между различными состояниями приводит еще к шести условиям. Поэтому остаются четыре независимых параметра. Поскольку для вещественной ортогональной матрицы 3X3 необходимо иметь три параметра, в конце концов у нас остается одна независимая фаза.

Мы закончим обсуждение описанной выше процедуры подсчета независимых параметров, применив ее к общему случаю п дублетов. Комплексная матрица n X ^ описывается 2п2 вещественными параметрами; если на нее наложить условие унитарности, то число параметров уменьшится до п?. Далее (2п — 1) фаза может быть устранена переопределением кварковых состояний. Помня о том, что ортогональная матрица п X л описывается п(п—1)/2 параметрами (углами), мы получаем следующее число независимых физических фаз:

n2 — (2n — 1)-п(п- 1)/2 = (п — 1)(п —2)/2. (11.130)

Таким образом, в теории с двумя поколениями имеется только один угол смешивания — угол Кабиббо, а фазы отсутствуют. Только в теории с 2X3 = 6 кварковыми ароматами можно получить нетривиальную фазу нарушения СР-инвариант- ности в калибровочном взаимодействии кварков. Это наблюдение впервые было сделано Кобаяси и Маскава [238], и унитарную матрицу (11.124) часто называют матрицей КМ. Феноменология, связанная с нарушением CP-инвариантности в калибровочных теориях, обсуждается в разд. 12.2.

Вырождение массы нейтрино и отсутствие лептонного смешивания

Мы видели, что стандартная теория дает естественное объяснение присутствия угла Кабиббо и CP-фаз в заряженных кварковых токах. Подобным образом та же теория помогает понять отсутствие этих параметров в лептонном секторе; без- массовость нейтрино приводит к тому, что смешивания, о которых говорилось выше, в лептонном секторе физически ненаблюдаемы. В этом можно убедиться следующим образом. Так же, как в (11.121), мы можем ’записать заряженный слабый ток лептонов в виде

/Тц = IalXv^Ial = ^д^у^ель = ^al [5(У)5(е)]ддУц.ед, (11.131) где

Vl = S1Vixl, eL = S(eleL, (11.132)

а лептонными дублетами в терминах массовых собственных состояний должны быть

здесьздесь(11.133)(11.134)(11.133)(11.134)

здесь

здесь

(11.133)

(11.134)

(11.133)

(11.134)

где V = S("v)S(e). Но нейтрино являются безмассовыми, и, следовательно, нейтринные состояния вырождены. Любые унитарно преобразованные v-состояния являются собственными состояниями массовой матрицы, в частности nal = nal, или матрицу V можно положить равной единичной матрице. Таким образом, нетривиальные углы лептонного смешивания никогда не появятся в каком бы то ни было физическом процессе, если v-состояния вырождены. В связи с этим следует отметить, что состояния, обычно называемые нейтринными состояниями vz, в действительности являются (калибровочными) собственными состояниями слабых взаимодействий. Состояние vz определяется как «невидимая» частица, отсутствующая в л->/-распаде и (или) детектируемая с помощью испускания I в рассеянии v на материи. При V = 1 различные лептонные семейства полностью разделены.

Замечание. Мы здесь предполагали, что имеется только один набор хиггсовских дублетов. При этом юкавские взаимодействия прямо пропорциональны массовой матрице фермионов. Диагонализация массовой матрицы приводит также к диагонализации юкавских взаимодействий. В случае большего количества дублетов юкавские взаимодействия приводят к изменению ароматов [53]. Однако грубые оценки показывают, что такой механизм изменения ароматов, вообще говоря, приводит к сильным эффектам изменяющих странность нейтральных токов и нарушению сохранения числа мюонов.

Стандартная теория (с одним дублетом хиггсовских скаляров) обладает глобальными симметриями, соответствующими отдельному сохранению е-, ц- и т-лептонных чисел. Такие процессы, как ц->с¥, 7(0->це и т. д., запрещены во всех порядках. Еще раз подчеркнем, что все эти свойства не заложены искусственно, а являются естественными следствиями теории, в которой нейтрино вырождены. Возможность того, что нейтрино может обладать малой массой, рассматривается в разд. 13.2. Даже в случае массивных нейтрино ожидается, что нетривиальные углы лептонного смешивания всегда будут появляться мультипликативно с разностями нейтринных масс. Следователь-

но, эффекты несохранения мюонного числа неизбежно подавляются. Эти замечания иллюстрируются конкретными вычислениями в гл. 13.

Сохранение аромата во взаимодействиях с нейтральными токами

Наличие унитарного преобразования (11.124) означает, что адронные заряженные токи не диагональны по ароматам, и в слабых взаимодействиях заряженных токов странность не сохраняется. С другой стороны, в полном согласии с известными экспериментальными наблюдениями соотношение (11.124) не приводит к нейтральным токам, изменяющим ароматы. Если в (11.95) мы перейдем от базиса калибровочных собственных состояний к базису собственных состояний массовой матрицы с помощью (11.122), то получим

Л — gL 2 PALNv-PAL + gR Е PAR^vlPAR + AA

+ gL E nALN^AL + g*R E ПА^уПАЗл(1 1.1 35a)

условие унитарности означает, что в этом уравнении штрихи можно просто опустить, т. е.

4 = Е Шь^к + g^M (11.135б)

где f = ve, v^, vT, e, p, t, u, c, t, d, s, b, ... . Это оказывается возможным, так как имеет место дублирование фермионных поколений в том смысле, что фермионы с одними и теми же зарядами и спиральностями обладают одинаковым поведением относительно калибровочных преобразований. Фактически это и было первоначальной мотивировкой введения Глэшоу, Илиопу- лосом и Майани (ГИМ) очарованного кварка, обладающего тем же зарядом и таким же слабым взаимодействием, что ыр-кварк. Однако механизм ГИМ означает нечто большее, чем просто отсутствие взаимодействия с изменяющим ароматы нейтральным током в борновском приближении. Поскольку константа слабого калибровочного взаимодействия g порядка е (соотношение (11.93)), необходимо соблюдать осторожность, чтобы эффекты более высоких порядков не приводили к амплитудам процессов с изменяющим странность нейтральным током порядка Gf«, таким, как Kl -> ц‘ц"- (Амплитуды экспериментально наблюдаемых процессов не превышают по порядку G^). Механизм ГИМ рассматривается в следующей главе. Достаточно отметить, что здесь используется та же связь между углами смешивания и различием фермионных масс, которая рассматривалась выше в связи с несохранением мюонного числа:

предполагается, что индуцированные амплитуды обладают величинами ~ §26р\тУм2^ * Gpl\mq, где \mq— разность масс кварков и мы воспользовались соотношением (11.89).

Заключение

Подведем итог обсуждению вопросов, связанных с фермионным сектором стандартной модели. Фермионные калибровочные собственные состояния обнаруживают повторяющуюся структуру, и их можно сгруппировать в поколения. Каждое поколение состоит из 15 двухкомпонентных полей лептонов и кварков с четырьмя левыми дублетами и семью правыми синглетами. Аномалии АБД, связанные с лептонными и кварковыми петлями, в точности взаимно уничтожают друг друга. Таким образом, стандартная модель с одним поколением является полностью самосогласованной теорией. Принципиально новой физической особенностью, возникающей в модели с более чем одним фермионным поколением, является наличие углов смешивания и комплексных фаз в калибровочных взаимодействиях фермионов. Это связано с тем, что калибровочная инвариантность допускает, чтобы массовая матрица для каждого набора подобных заряженных фермионов была недиагональной. Затем путем диагонализации массовой матрицы вводятся ее собственные состояния. Они связаны с калибровочными собственными состояниями унитарными преобразованиями. Эта процедура неприменима к лептонам, так как нейтрино вырождены по массе. Таким образом, в стандартной теории с тремя поколениями имеются три угла смешивания и одна фаза, отвечающая нарушению СР-ин- вариантности в калибровочном взаимодействии кварков. Всего мы должны внести в такую теорию 17 параметров (см. обсуждение в конце разд. 11.2). В настоящее время глубокое понимание такой повторяющейся фермионной структуры отсутствует. (Существование группы симметрии поколений? Наличие лептонной и кварковой субструктуры?) Обычно эту проблему называют проблемой фермионных поколений, или просто проблемой поколений.

СТАНДАРТНАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОСЛАБЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ II: ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ

ПРОЦЕССЫ С НЕЙТРАЛЬНЫМИ ТОКАМИ, СОХРАНЯЮЩИМИ СИММЕТРИЮ АРОМАТОВ

Основным требованием ко всякой калибровочной модели электрослабых взаимодействий является присутствие в ней в низкоэнергетическом пределе надежно установленных заряженных слабых V — Д-токов. Но модель Глэшоу — Вайнберга — Салама, удовлетворяя этому требованию, предсказывает при низких энергиях также новые эффекты, связанные с нейтральными слабыми токами. Их экспериментальное открытие с последующим подтверждением деталей предсказанной структуры привело к всеобщему признанию этой модели в качестве стандартной теории электрослабых взаимодействий. В настоящем разделе мы обсудим процессы, соответствующие на уровне древесных диаграмм нейтральным токам, диагональным в пространстве ароматов (см. (11.135)). Эффекты изменения ароматов нейтральными токами, индуцируемые петлевыми диаграммами более высокого порядка, рассматриваются в следующем разделе наряду с вопросами нарушения СР-инвариантности.

При передачах импульса, много меньших чем массы калибровочных векторных бозонов, эффективный лагранжиан взаимодействия слабых токов можно записать в виде

V^ = ^-№ТФ + Яф) = -^ (tf/^ + РУ), (12.1) где /ц и /ц определены в (11.87) и (11.95) соответственно, а параметр р характеризует относительную интенсивность процессов с заряженными токами (ЗТ) и нейтральными токами (НТ):2

р =.(12.2)

М^ cos^^

В стандартной теории, где имеется только один дублет хигг- совских бозонов, значение р фиксировано (см. (11.82)):

р=1.(12.3)

Часть с нейтральными токами в (12.1) описывает основное взаимодействие (11.92)

^НТ = ^Z^02.4)

с нейтральным слабым током, диагональным по кварк-лептон- ным ароматам f = I, vz, и, d, s, с, ... :

А = dhyuk + gR^nU =

= -г ЕЛ О - Уб) f + ^Уц(1 + Уб) Я (12.5) где

gfL = T3VL^-Q^ sin26^,(12.6)

^ = 7’3(^)-Q(/)sin2e^,(12.7)

а Г3 и Q — третья компонента слабого изоспина и электрический заряд соответственно. Мы умышленно параметризовали части с нейтральными токами, так, чтобы они имели достаточно общий вид, включающий все модели, основанные на группе SU^X ^(1), т. е. модели с различным содержанием фермионов и разным выбором представления. Значения ^.^для первого фермионного поколения в стандартной модели даны в (11.95). Универсальность (и дублирование фермионов) приводит к тому, что для i = L, R имеем g® = ^i = g], g“ = gci = g,, g1 = gSi = gbi, а для нейтрино, конечно, gt = 1/2. Таким образом, в предсказаниях стандартной модели, касающихся нейтральных токов, имеется только один неизвестный параметр — угол Вайнберга 6^, характеризующий отношение сил взаимодействий, отвечающих калибровочным группам SU^) и £7(1).

Нейтральные токи были открыты группой, работавшей с камерой Гаргамелль в ЦЕРНе [215]. Полученные при этом данные и большинство последующих результатов касались инклюзивного рассеяния нейтрино на (изоскалярной) адронной мишени. Но мы решили обсудить здесь сначала теоретически более простую ситуацию, связанную с процессами, в которых принимают участие лептонные нейтральные токи.

Процессы v„ + е -> v„ + е и v„ + е -> v„ + е

Эти два процесса являются процессами с чисто нейтральными токами и описываются диаграммами, приведенными на

t^ (к)—» -—»— ^ (к')(^— ^

е(р1 —>— -^—*— е(р')е - > <—>— е

Рис. 12.1.

рис. 12.1. Амплитуда процесса v^ + е -> v^ + е равна

Т^ (X, X') = g 2 - gL [м Уц (1 — Ys) и№1 X 4MZ cos

X {« V- А') [^УИ (1 - Уз) + &А (1 + Уз)1 и (р, X)}.(12.8)

Суммируя по конечному и усредняя по начальному спинам электрона (v^ всегда является левым фермионом), получаем 4- Е |rv(x, Ор=2(-2^-)Хж ГШйГг'Чр. р') +

2 к, к-\ V2 /

+ Ш^Чр, /)1(12.9)

где

ЛцУ (/г, &') = tr [Гуц (1 ± Ys) ^Yv (1 ± Ys)3 =

= 8 (&^v + £^ц — к • к' gw Т ie,a^k'ak^. (12.10)

Мы пренебрегли массами'лептонов. Таким образом, (k-p^k'-p') и (k'-p^k-p').(12.Ц)

Произведения лептонных тензоров в (12.9) равны

Л" (к, k') L^ (р, р') = 128 {[(6 • pY + (к' - р)2] ±

+ VkkpY-^'.pY^, (12.12)

4- zi^r=(i6G^)2(^)2x

X [Ш2 кк • р? + Ш2 (^ • р)2]-(12.13)

Сечение рассеяния дается выражением

l"-^^ -пт*2")*6'(» + Р - 6' - р') (4 S I rv |=) X

X -У ---у' 7.(12.14)

(2л)3 2/г0 (2л)3 2р0'

Интеграл по фазовому пространству легко вычисляется;

$ (2л)*д< <к + р - к' - р') -^-7 (5^- = 4- -^.(12.15)

J(2л) 2nv031

где £V(£C) и Ее — энергии начального (конечного) нейтрино и конечного электрона в лабораторной системе отсчета. Тогда

do1( 1 у । т |2А

dEe32лпгвЕ^ к 2\1\ )

-^-(g»2[<га!+(йчежп агав»

Используя обычную скейлинговую переменную (для передачи энергии)

y = Ee/Ev,(12.17)

имеем

-^^-^-"АСгтиаЧкаТ -Л (12.18)

а полное сечение можно представить в виде

а^^ = ^^теЕ^1У^еьУ +4" (^)2]-(12.19)

Следует заметить, что множитель (1 — г/)2 в (12.18) и соответствующий множитель 1/3 в (12.19) связаны с членом, имеющим спиральность, противоположную спиральности налетающего нейтрино. Таким образом, можно предположить, что сечение процесса v^ + е -> v^ + е с участием антинейтрино равно

о (М = ^-meEv (gZ)2^ ^^ + ^^2]’(12.20)

так как v^ имеет спиральность, противоположную спиральности v^. Из выражений (12.19) и (12.20) видно, что значения полных сечений о(уце) и о(уцб) ложатся на эллипсы в плоскости (gl. gR) (рис. 12.3), которые пересекаются в четырех допустимых областях. Эти четыре решения отражают наличие знаковых неоднозначностей двух видов: полученные значения сечений рассеяния не чувствительны к заменам 1) gt*-^—gL, Er^—Er и 2) gL^gL, gR*-> — gR. Нечувствительность к последней замене является просто векторной—аксиально-векторной неоднозначностью. Таким образом, необходимы еще два независимых измерения, чтобы разрешить эти неоднозначности.

Процессы ve + e->Ve + e nve + e->ve + e

В эти процессы дают вклад как заряженные, так и нейтральные токи (см. (11.97) и рис. 11.4 и 12.2). Значения сечений рассеяния равны

<^)--^т,Е.(#Ц![(1 +81)4-^^ (12.21)

а(М = —^тЛ.СяЮ^фО +^)2+(^)2]. (12.22)

Сечение (12.22) было измерено в процессах с реакторными нейтрино. Его значение позволило устранить первую из отмеченных выше знаковых неоднозначностей, так как знак интерференции амплитуды, отвечающей ЗТ, с амплитудой, отвечающей НТ, теперь известен благодаря присутствию в (12.22) члена, линейного по gb Остаются еще два возможных решения на рис. 12.3, связанные с векторной — аксиально-векторной неоднозначностью.

Рис 12.3. Экспериментальные результаты по ve-рассеянию и е+е~-аннигиля- ции, касающиеся взаимодействий электрона с нейтральными токами; gv = = (§■£ + g^ и gA = (g£ — g^). Единственная допустимая область, общая для всех четырех типов чисто лептонных процессов, соответствует области, отвечающей стандартной модели с sin29ic « 0,22 [33].

Вклад нейтральных токов в процесс е+е“ —>ц+ц~

Векторный Z-бозон слабого взаимодействия может давать вклад как в процесс рассеяния Баба е+е~ -> е+е~, так и в процессы е+е~-> ц+ц“, т+т~. Мы остановимся на более простом случае реакций е+е”->ц+ц” (или т+т-), которым соответствуют диаграммы, приведенные на рис. 12.4.

Можно установить, что сечение равно

T^-^-MC + ^ei + Bcose], (12.23) где

А = 1 + 2Re ^v + IX I2 IW + <£л)2] [(^)2 + (Й)21>(12.24)

В = 4 Кех^л + 81 х |Ш^л^>(12.25)

а

X = 4--' 74Г.(12.26)

2у2ла (s — М2 + 1М2Г)

gv = (gL + Sr)- Sa = (gb — Sr)- 9 —угол между направлениями ц" в конечном состоянии и падающего е~, Г — ширина 7-бозона. Основным членом в А является чисто фотонный вклад. Члены, пропорциональные Re х, соответствуют интерференции

нейтрального и электромагнитного токов; члены, пропорциональные jx|2> являются чисто Z-бозонными вкладами. Из-за наличия в (12.23) cos 0 существует асимметрия вперед — назад;

1о

d cos 0 (do/d cos 0) — d cos 0 (do/d cos 0)

ABH = 5= 44-(12-2?)

d cos 0 (dc/d cos 0)

При низких энергиях s <C Л!^ имеем

(12-28>

(12'29)

где, используя универсальность, мы положили gv, А = gV л- При этом можно видеть два эффекта слабого взаимодействия:

Отличие полного сечения а (е+е~ -> ц+ц”) от соответствующей величины в КЭД. При низких энергиях оно пропорциональ- 2

НО gv-

Асимметрия вперед — назад в угловом распределении, которая при низких энергиях позволяет определить g^A- Эти эффекты слабого взаимодействия могут быть измерены уже при максимальных энергиях, достижимых на установке PETRA, что позволяет определить допустимую область (£л, gv)-плоскости на рис. 12.3 и выбрать одно из остающихся двух решений, а именно то, которое соответствует стандартной теории с sin2 0 ^ « 0,22.

Нейтрино-адронные процессы с нейтральными токами

Хотя рассмотренные выше чисто лептонные процессы имеют то преимущество, что они не усложнены сильными взаимодействиями, польза от их исследования несколько уменьшается,

так как экспериментальные данные в этой области обычно имеют небольшую статистику. Это отличает их от процессов рассеяния нейтрино на нуклоне, где мы располагаем большим количеством точных данных, особенно для инклюзивного v-pac- сеяния на изоскалярных мишенях. Для интерпретации экспериментальных результатов в соответствующей кинематической области обычно обращаются к кварк-партонной модели. В этом случае можно получить константы gL, и слабого взаимодействия кварков первого поколения способом, аналогичным тому, который используется в v-лептонном рассеянии, рассмотренном выше. Например, для глубоконеупругого рассеяния v-|-M-> ->v-j-^ на изоскалярной мишени М = 1/2(п + р) (по аналогии с (12.18)) при gZ=l/2 имеем

daHT (vV)dyгдеdaHT (vV)dyгде+[ка!+(8а2](1-»)!),+[ка!+(8а2](1-»)!),1Q = ^ х [и (х) + d (х)] dx, о1Q = ^ х [и (х) + d (х)] dx, о(12.30)(12.31)(12.30)(12.31)

daHT (vV)dy

где

daHT (vV)dy

где

+[ка!+(8а2](1-»)!),

+[ка!+(8а2](1-»)!),

1

Q = ^ х [и (х) + d (х)] dx, о

1

Q = ^ х [и (х) + d (х)] dx, о

(12.30)

(12.31)

(12.30)

(12.31)

а »(х), d(x)—функции распределения кварков, зависящие от бьёркеновской масштабной_переменной х (функции распределения антикварков ц(х) = й(х) = 0) (см. (7.72) и (7.78)). Заметим, что коэффициент в (12.30) равен значению партонного сечения для процесса с заряженными токами v + N -> 1~ + ^:

da3T(viV) Gp^E^Q"dyлda3T(viV) Gp^E^Q"dyл(12.32)(12.32)

da3T(viV) Gp^E^Q"dyл

da3T(viV) Gp^E^Q"dyл

(12.32)

(12.32)

Отношение R^ = am ^N^]a3T ^mN^ зависит только от искомых констант слабых взаимодействий. Полностью аналогичный результат получается для рассеяния антинейтрино, но в этом случае множитель (1 — у)2 относится к величинам gl и do^dy. Тем самым озт (vvV) = -д-<тЗТ (vvV). В итоге получаем

М±^Г = ш + (ДУ + W + (ДУ, (12.33)

= ^ + Gt Y - (ДУ - (ДУ- (12.34)

Так же, как в случае v^e- и уце-рассеяния, к этим vN- и ^-измерениям необходимо добавить данные для протонной и нейтронной мишеней или для полуинклюзивного рождения пионов на изоскалярных мишенях, чтобы разрешить знаковые и изо- спиновые неоднозначности. Мы здесь не будем вдаваться в де-

тали. Достаточно сказать, что результаты вновь находятся в согласии со стандартной теорией. Укажем только, что соотношение (12.34) в стандартной модели принимает вид

ант (уУ) - ант (уУ)азт (уУ) — азт (vN)ант (уУ) - ант (уУ)азт (уУ) — азт (vN)= ^-(1 — 2 sin20^).= ^-(1 — 2 sin20^).(12.35)(12.35)

ант (уУ) - ант (уУ)азт (уУ) — азт (vN)

ант (уУ) - ант (уУ)азт (уУ) — азт (vN)

= ^-(1 — 2 sin20^).

= ^-(1 — 2 sin20^).

(12.35)

(12.35)

Это соотношение Паскоса — Волфенстейна [314]. Таким образом, измерения RN и Rs непосредственно дают значение sin2 0^. Самые последние и точные данные получены группами CDHS [180] и CHARM [230].

Необходимо отметить, что в реальном феноменологическом анализе принимаются во внимание значительно более детальные вычисления, учитывающие вклады морских кварков, поправки КХД и т. д. Дальнейшее обсуждение феноменологических значений угла Вайнберга и параметра р (12.2) дано в разд. 12.3, где рассматриваются вопросы, связанные с промежуточными векторными бозонами IF и Z.

Измерение электрон-дейтронной асимметрии; историческое замечание

Выше мы привели результаты для констант связи в слабых взаимодействиях электронов gtR. полученные из исследований лептонных реакций ve и е+е-, хотя исторически первая информация об этих константах была получена в замечательных экспериментах по полулептонному е — D-рассеянию, проведенных группами SLAC и SLAC — Yale [331]. В то время существовала неясность относительно структуры слабых взаимодействий электронов, так как ряду исследователей не удалось зарегистрировать эффекты нарушения четности в атомах в соответствии с предсказаниями стандартной теории. Объявлялось также об экспериментальных эффектах («аномальные» //-распределения в vA-рассеянии), которые можно было интерпретировать как указание на наличие заряженных V + А-токов и т. д. В результате для объяснения всех этих эффектов был предложен ряд вариантов модели Вайнберга — Салама. В эксперименте, проведенном группой SLAC, была измерена асимметрия нарушения четности:

д _ о^ = 1/2)—а (Х =—1/2)..„„„.

Л а (X = 1/2) + а (X = —1/2) ’

где о(Х = ±1/2)—двойное дифференциальное сечение рассеяния (Po/dQ-dEe правых и левых электронов на дейтронах. Имея значение gUL,dR и используя измеренный параметр асимметрии, можно найти gl, r. Эксперимент группы SLAC оказался решающим в доказательстве того, что стандартная модель является единственной жизнеспособной теорией.

СЛАБЫЕ УГЛЫ СМЕШИВАНИЯ, МЕХАНИЗМ ГИМ

И НАРУШЕНИЕ СР-ИНВАРИАНТНОСТИ

В настоящем разделе мы изучим феноменологические следствия того факта, что в стандартной теории электрослабых взаимодействий, изложенной в разд. 11.3, имеется несколько фермионных поколений. В частности, мы остановимся на меняющем странность нейтральном токе и на проблеме нарушения CP-инвариантности в системах К° — К0 как на примерах, иллюстрирующих механизм ГИМ.

Как было показано в разд. 11.3, поскольку юкавские взаимодействия, вообще говоря, включают в себя фермионы, принадлежащие различным поколениям, матрица фермионных масс в пространстве ароматов не является диагональной. Это означает, что массовые собственные состояния отличаются от слабых собственных состояний, обладающих определенными трансформационными свойствами. В простом случае двух фермионных поколений такое отличие приводит к кабиббовскому смешиванию кварков в заряженном токе, и слабые кварковые собственные состояния имеют вид

(и \ Г с \,

I г/ I >I / I > ^Р' ^Р» ^Р» Sp

\dкV r r r r

и

(d' \ ж ( d\ ( cos 0C sin 0Л / d \

\s Jl \s Jl sin cosOc/\sA

t. e. слабые собственные состояния d', s' получаются в результате поворотов массовых собственных состояний d, s. Заметим, что угол Кабнббо 0С представляет собой разность между углами поворотов в секторах {ul, cl) и ^dk, sLy Вот почему в секторах правых фермионов нет угла смешивания: ведь поля (uR, cR) не взаимодействуют с полями (A, sR). Нейтральный ток, пропорциональный оператору (Q sin2 0^—T3Y) (см. (11.94)), обладает тем важным свойством, что он диагоналей по ароматам (т. е. сохраняет их симметрии). Это следует из того факта, что все фермионы с одинаковыми зарядами и спиральностями имеют одинаковые трансформационные свойства относительно калибровочной группы S17(2)X ^(1) [190, 313], так что матрицы поворотов, такие, как приведенная выше матрица ^l, коммутируют с оператором нейтрального тока (Q sin2 0^7 — T3lY Например, в секторе ^dt, sL) часть (1—у$) нейтрального тока имеет вид

Л (d, s) = (d , s)L [—5- sin^ + -у-] ^, ^ =

= & s)L[Lsin2Q^ + _l_]^^

и сохраняет ароматы. Фактически это первоначально и побудило Глэшоу, Илиопулоса и Майани [188] ввести с-кварк, объединив его в один дублет с s'L так, чтобы s'L имел то же SU^X (7(1)-квантовое число, что и d'L, Введение с-кварка устраняет меняющий странность нейтральный ток (механизм РИМ). Иначе в порядке GF были бы возможны процессы с нейтральными токами с AS =# 0 (например, Кь -> Ц+Ц”, rt+vv), неприемлемые с точки зрения феноменологии. Следует подчеркнуть, что такое подавление неприемлемых процессов в механизме РИМ происходит без какого-либо искусственного подбора значений параметров теории. В действительности, как отмечалось в разд. 11.3, механизм РИМ означает нечто гораздо большее, чем простое взаимное уничтожение на древесном уровне процессов с изменением странности; он приводит к дополнительному подавлению нейтральных токов с AS ^ О, индуцируемых петлевыми диаграммами более высокого порядка. Такое дополнительное подавление необходимо, так как в противном случае амплитуды индуцируемых процессов были бы порядка Ора-, тогда как экспериментальные значения амплитуд этих процессов обычно порядка Орт2 (где т порядка нескольких ГэВ). Мы проиллюстрируем этот механизм подавления, вычисляя разность масс Kl —- Ks". Am = 0,35- 10"14 ГэВ.

Как отмечалось в разд. 11.3, в случае трех фермионных поколений возникает еще одна особенность — в матрице смешивания может быть фаза, нарушающая CP-инвариантность. Мы обсудим значение этой особенности, приведя вычисление параметра смешивания состояний е, описывающего нарушение CP-инвариантности в системе нейтральных каонов.

Матрица смешивания

Кабиббо — Кобаяси — Маскава (ККМ)

Основное взаимодействие заряженных токов (ЗТ) в (11.86) вместе со смешиванием, введенным для диагонализации матрицы кварковых масс (соотношение (11.124)), приводит к следующим взаимодействиям ЗТ. В простом случае двух фермионных поколений мы имеем знакомую схему с поворотом Кабиббо, дополненную очарованным кварком в рамках механизма ГИМ:

g и Г cos sin 0^\ Г d \ тту+ । ^ЗТ=-^(«, 4V L +

+ эрмит. сопр. (12.37)

Поскольку в этом случае массовую матрицу можно считать вещественной, унитарные преобразования являются обычными вращениями. Кроме того, амплитуда любого процесса d *->- s, происходящего с изменением странности, должна быть пропор-

циональна величине (тс— mu)sin0c, так как в пределе тс = = ти всегда можно выбрать одну линейную комбинацию с и и, которая не взаимодействует ни с s, ни с d. Подобная ситуация возникает, если имеет место вырождение состояний d и s и т. д. В случае трех поколений, т. е. шести кварков, матрицы смешивания не являются просто обычными ортогональными матрицами. В этом случае имеем

З'зт = —(й, с, /)l Y^ s I И^д + эрмит. сопр., (12.38)

V2 UA

где унитарная матрица

(12.39)(12.39)(Uud U ид U иЬ Ucd Ues Ucb Utd Uts U ^ь-

(12.39)

(12.39)

может иметь одну комплексную фазу, и ее можно параметризовать так, чтобы она приняла вид, в котором ее впервые ввели Кобаяси и Маскава [238]:

и =и =Cl— S]C2■ sls2Cl— S]C2■ sls2S1C3с^гСз — s2s3e16 с^сз + c2s3ei6S1C3с^гСз — s2s3e16 с^сз + c2s3ei6S1S3CiC2s3 — s2c3e‘"6CiS2s3 — c2c3e‘"6.S1S3CiC2s3 — s2c3e‘"6CiS2s3 — c2c3e‘"6.(12.40)(12.40)

и =

и =

Cl

— S]C2

■ sls2

Cl

— S]C2

■ sls2

S1C3

с^гСз — s2s3e16 с^сз + c2s3ei6

S1C3

с^гСз — s2s3e16 с^сз + c2s3ei6

S1S3

CiC2s3 — s2c3e‘"6

CiS2s3 — c2c3e‘"6.

S1S3

CiC2s3 — s2c3e‘"6

CiS2s3 — c2c3e‘"6.

(12.40)

(12.40)

где использованы обозначения Ci = cos 0, и Si= sin 0;. Подбирая подходящим образом знаки у кварковых полей, мы можем ограничить область изменения углов так, что 0^0, ^л/2 и —л 6 ^ л.

В такой параметризации КМ угол 0] близок к углу Кабиббо. Ясно также, что угол 03 должен быть малым вследствие наблюдаемой приблизительной универсальности Кабиббо. Для точности напомним, что из времени жизни мюона и из ядерного p-распада 0+->0+, разрешенного правилами суперотбора, можно получить два значения константы Ферми, которые мы обозначим бц и Ор (индекс R указывает на то, что параметры перенормированы). Используя (12.39), можно получить теоретическое предсказание

[G^/G^^’ll-HA.-M, (12.41)

где Дц и Кр—радиационные поправки к G^ и Ор соответственно, конечные части которых предполагаются различными для р- и p-распадов. Это различие приводит к поправке ^2 %, которой нельзя пренебречь. Получим [363, 364]

\Uud | = 0,9737 ±0,0025, (12.42)

а общая подгонка для гиперонных распадов приводит [360] к следующему значению |£7US|:

| £7US | = 0,219 ± 0,003.(12.43)

Из (12.42) и (12.43) находим

I Uud I2 + I Uus р = 0,996 ± 0,004.(12.44)

Тот факт, что основное значение меньше единицы, указывает на «утечку» взаимодействия u-кварка с 6-кварком, определяемую матричным элементом

\Uub | = 0,06 ±0,06,(12.45)

а это на языке углов КМ означает

| s3 К 0,28.(12.46)

Таким образом, угол 93 может быть таким же малым (если не меньше), как угол Кабиббо. Чтобы получить ограничения на другие параметры КМ, располагая имеющейся информацией, приходится выбирать различные окольные пути, например вычислять параметры процессов №-<—>№ (см. ниже). Результаты всех этих вычислений согласуются с качественной картиной, в соответствии с которой диагональные элементы матрицы ККМ (12.39) являются наибольшими, и с удалением от диагонали матричные элементы уменьшаются:

kUud - Ucs ~ Utb) » kUcd ~ Uts - Uus ~ Ucb) » <Uub - UuY (12.47)

Таким образом, все углы КМ 0< малы. Это приводит к цепочке доминантных распадов

t b -> с -* s.

Поэтому имеет смысл говорить о фермионных поколениях даже в терминах массовых собственных состояний («,d), (с, s), (f, 6) и т. д., так как взаимодействия внутри поколений наиболее сильные.

В параметризации КМ (12.40) фаза 6, нарушая СР-инва- риантность, появляется только в секторе тяжелых кварков. Это вопрос соглашения. Очевидно, 6 можно передвинуть в другие секторы, переопределив фазы кварковых полей. Это означает, что для получения нарушения CP-инвариантности необходимо использовать более чем один элемент матрицы U. Физически это соответствует тому факту, что нарушение СР-инвариантно- сти происходит из-за интерференции между амплитудами с различными CP-собственными значениями.

Феноменология К° — /С°-смешивания: некоторые основные параметры

Мы кратко опишем систему К0 — К0, чтобы определить рамки, в которых изучаются нарушения CP-инвариантности в стандартной модели (детали см. в [237, 293, 432]).

Впервые распад нейтральных /(-мезонов рассмотрели Гелл- Манн и Пайс [169], применив для этого квантовую механику. Интересной особенностью является то, что собственные состояния нейтральных каонов по отношению к сильным и слабым взаимодействиям отличаются друг от друга, так как первые сохраняют странность, а вторые — нет. В частности, собственные состояния сильных взаимодействий К° и К0 могут смешиваться посредством слабых переходов, таких, как 7<° ^ 2л ^ К0. В этой системе К0 — Л° состояние К0 определяется как сопряженное состоянию К° относительно СР-преобразования:

|^о| = СР|№).(12.48)

Индуцированный слабым взаимодействием переход в системе К0 — К0 описывается элементом S-матрицы

Sa,a = <«'IГ exp ( — z ^ H'w (t) dt^ | a),(12.49)

где a, a'= № или K°, H'w^ = eiHtH ^e-11”, a Hw — гамильтониан слабого взаимодействия. Во втором порядке по Hw элемент Таа, матрицы перехода (Г-матрицы) можно записать в виде

Sa'a daa' = 2ntTaa/(Рц),(12.оО)

где

Таа, (£«) = <а' । Hw । а> - 4 $ dt <а' ।Т <Hw ^ Hw (°)) । а> =

(а I H^, | X) (X | Нщ, | а) 1£а —+ ге J ’

Поскольку К” и К” — собственные состояния сильного взаимодействия, для а и а' в состоянии покоя имеем

(a'|//sJa) = daazma.(12.51)

Таким образом, из (12.50) и (12.51) следует, что матричный элемент «эффективного гамильтониана» системы К° — К° можно представить в виде

(a' I^W а) = Наа- = mKdaa' + Таа. (тк).(12.52)

Для удобства матрицу в (12.52) запишем в виде

.н = (^(12-53)

\ Л 2 1 л 2 2 /

где индекс 1 соответствует состоянию К0, а индекс 2 — состоянию К0. Используя формулу

1—^ = Р —Znd(x-a),(12.54) X-a + te х — а vv

мы можем разложить матричный элемент гамильтониана H3$$ на реальную и мнимую части:

г

H = M —(12.55)

или

Наа' = ^аа' ^ Гаа', где

Маа' = т^ + («' IЛ w I а) +

+V\HM\Hv\a), (12.56)

" тк

Г^ = ^к Il(^Hw\W\HwW^x - тк\ (12.57)

Заметим, что матрицы Г, Л1 эрмитовы,

г+ = г, М* = М,(12.58)

в силу эрмитовости Hw и Hst, тогда как «эффективный гамильтониан» НЭфф неэрмитов. Используя СРГ-инвариантность, можно показать, что

^1 1 = ^2 2> или

Г11 = Г22 и МХ1 = М12.(12.59)

Гамильтониан (12.53) непосредственно диагонализуется; соответствующие собственные состояния и собственные значения имеют вид

H\KL,s') = XL,s\KL,s>.(12.60)

где

х5 = нн + (нин2:Г

хк = нхх-фх2н^'\‘

^ =+1 еИ) 1(1 + б) 1 ^ + (1 - е) ^Ь

,_(12.62)

|ад=7П7л^[(1 + е>|ад-(1-',|«1;

Вещественные и мнимые части собственных значений Xl, s являются соответственно массами и ширинами распадов Kl.s",

^L. S — mL. S pL S"^L. S — mL. S pL S"(12.64)(12.64)

^L. S — mL. S pL S"

^L. S — mL. S pL S"

(12.64)

(12.64)

Отметим, что из CP-инвариантности следует

M12 = M2V, Г12 = Г21,(12.65)

или

Н 1 2 = Н 21,

откуда получаем е = 0в (12.63). Это вместе с условием эрми- товости (12.58) означает, что если имеет место СР-симметрия, то Мц и Г,/ являются вещественными. Так как наблюдаемое нарушение CP-инвариантности в нейтральных каонных системах мало, мы выберем приближение, в котором 1тЛ112<С С ReAli2, 1тГ12 <С ReFi2, а е мало. Тогда можно записать

сН12-Н21

4 V^ 1 2^2 1 + ( V^12 — V^2 1 )2

Hv 2 — Н2 Y (2 Im М12 — z" Im Г] 2)Г12

Параметр е является мерой нарушения CP-инвариантности в физических состояниях системы К0— К0. Используя выражение (12.57) и рассматривая вклады всех промежуточных состояний X = 2л, Зл, nev, . .., можно показать, что | Im Г!2| < | Im Mi2|. Тогда разности масс и скоростей распада можно приближенно представить в виде

-Av^Vl-Vs = 2|T12|,(12.67)

Am = mL — ms = 2| М12| « 2 ReМ№(12.68)

так как ImMi2 мало. Параметр е запишется в виде

(12.69)(12.69)— Im М12

(12.69)

(12.69)

61/2 Ду — i km ’

Одним из удивительных свойств системы К0 — К0 является то, что, хотя тк близко к порогу рождения Зл и хотя (в силу малости е) доминантными распадными модами Ks и Kl являются соответственно CP-четная 2л и CP-нечетная Зл моды, Kl и Ks имеют сильно различающиеся времена жизни: .

Vs = 500vl ~ Ау- (12.70)

Это позволяет четко разделять в лабораторных условиях эти две собственные моды и дало возможность Кронину, Фитчу и др. [87] открыть весьма незначительную моду распада Kl -*• 2л. Детальное исследование интерференции между волнами Kl и Ks приводит к чрезвычайно малой разности масс Кт = mL— ms".

Кт/т к = 0,71 • 10"14.Кт/т к = 0,71 • 10"14.(12.71)(12.71)

Кт/т к = 0,71 • 10"14.

Кт/т к = 0,71 • 10"14.

(12.71)

(12.71)

что соответствует значению

Ат ~ у Ys-(12.72)

Далее можно установить фазу параметра в (подтвержденную экспериментально)

(12.73)(12.74)эффектом(12.73)(12.74)эффектомarge « arctg(2Am/ys) « 45°и записать ее абсолютную величину в простом виде:, , I / 1тЛГ12 \।61 Т 1

(12.73)

(12.74)

эффектом

(12.73)

(12.74)

эффектом

Из (12.72) ясно также, что величина Ат является

порядка G^m2. Мы покажем, как этот результат можно понять в рамках механизма ГИМ.

я амплитуд(12.75а)(12.756)изоспинами(12.76)я амплитуд(12.75а)(12.756)изоспинами(12.76)Основными измеренными параметрами, характеризующими нарушение CP-инвариантности, являются отношен,

я амплитуд

(12.75а)

(12.756)

изоспинами

(12.76)

я амплитуд

(12.75а)

(12.756)

изоспинами

(12.76)

Л+- = (л+л- | Hw| КЬЩ^~ I Hw | KSY

.4qq = W'\Hw\Kl>IW\Hw\Ks>

и «зарядовая асимметрия»

= r(KL->n+Z-y)-r(KL->n-Z+v)

Г (j^-* n+Z"v) + Г (jyL-> n"Z+v) '

Разбивая конечное 2л-состояние на две части с / = 0 и / = 2, получаем

Л+- = (бо + ег)/( 1 + 2 * со), Лоо= (6о — 2е2)/(1 — 2 * cd), где е0 = </ = О\HW\KLW = 0\Hw\Ks>, == 2\Hw\KLW = O\HW\KS),

(12.77)(12.77)to = (I = 2| Hw | KsW = 0 I Hw\KsY

(12.77)

(12.77)

Поскольку для распадов, сохраняющих CP-инвариантность, справедливо правило А/ = 1/2, то со С 1 и им можно пренебречь. Кроме того, амплитуду процесса №->2л можно параметризовать следующим образом:

(I = n\Hw\K°)=Anei6n,(12.78)

где 6п — сдвиг фазы лл-рассеяния в канале I = п, характеризующий сильные взаимодействия в конечном состоянии. Обычно выбор фазы [434] таков, что До является вещественной величиной:

1тД = 0.(12.79)

В этом случае из (12.62), (12.77) и (12.78) легко найти, что

е0 — е,

=(12.80)

V2-4о

Поэтому

т]^._=e + e,,т]00 = е —2е', d = Rer. (12.81)

Экспериментально получены значения

|е|«2-10"3, |е'/е|< 1/50.(12.82,83)

Все результаты согласуются с ранее предложенной теорией Волфенстейна [431], которая приписывала все эффекты нарушения CR-инвариантности сверхслабому взаимодействию с AS =2. Ниже мы покажем, что стандартная электрослабая теория со смешиванием КМ может привести к результатам, имитирующим результаты сверхслабой теории.

Эффективный лагранжиан с AS = 2 для свободных кварков

Стратегия, первоначально предложенная Гайяр и Ли [151], состоит в том, чтобы сначала построить лагранжиан с AS = 2Стратегия, первоначально предложенная Гайяр и Ли [151], состоит в том, чтобы сначала построить лагранжиан с AS = 2Рис. 12.5. Диаграммы Фейнмана для амплитуды перехода sd -* si с AS = 2. Член «аннигиляции» диаграммы а равен члену «рассеяния» диаграммы б; I, / = и, с, I.Рис. 12.5. Диаграммы Фейнмана для амплитуды перехода sd -* si с AS = 2. Член «аннигиляции» диаграммы а равен члену «рассеяния» диаграммы б; I, / = и, с, I.

Стратегия, первоначально предложенная Гайяр и Ли [151], состоит в том, чтобы сначала построить лагранжиан с AS = 2

Стратегия, первоначально предложенная Гайяр и Ли [151], состоит в том, чтобы сначала построить лагранжиан с AS = 2

Рис. 12.5. Диаграммы Фейнмана для амплитуды перехода sd -* si с AS = 2. Член «аннигиляции» диаграммы а равен члену «рассеяния» диаграммы б; I, / = и, с, I.

Рис. 12.5. Диаграммы Фейнмана для амплитуды перехода sd -* si с AS = 2. Член «аннигиляции» диаграммы а равен члену «рассеяния» диаграммы б; I, / = и, с, I.

на основе модели свободных кварков, а затем рассмотреть матричный элемент этого лагранжиана ^Сфф"2 между состояниями К0 и К0, чтобы получить Ат из (12.68) и [е| из (12.74).

Прежде всего вычисляют выражение, соответствующее ящичной диаграмме, показанной на рис. 12.5, с промежуточными кварками I, j = и, с, t в приближении, когда все внешние импульсы принимают равными нулю (так как они малы по сравнению с Mw и с массами тяжелых кварков). В калибровке Фейнмана — т’Хофта имеем

XXу • к + т k2 — m]у • к + т k2 — m]к2 — М^ )'Y-& + mj 'к2 — М^ )'Y-& + mj '(12.84)(12.84)

X

X

у • к + т k2 — m]

у • к + т k2 — m]

к2 — М^ )'

Y-& + mj '

к2 — М^ )'

Y-& + mj '

(12.84)

(12.84)

гдегде^ = и^^ = и^(12.85)(12.85)

где

где

^ = и^

^ = и^

(12.85)

(12.85)

a U — элементы матрицы смешивания ККМ (12.39). Рассмотрим сначала интегрирование по импульсам в выражении

. . ГdAkkak^

/а» (Л П 3 ^-М^^-т^ (к2-т^ =

= ^rMxb Xl)ga&, (12.86)

,1In X,

W-T^+TF-yr.(12.87)

a X; = m^JM^. Используя тождество

Y'W = gHOyV + gVOyU _ gHVya _ ^avp^^ (12.88) можно вычислить произведения дираковских матриц [yUydyV (1 — у5)/2] . . . [yvYaYn (1 — Y5)/2] =

= 4 [Ya (1 — Ys)/2][Ya(l-Y5)/2].(12.89)

Подставляя (12.86) и (12.89) в (12.84), найдем

Т (sd —► sd) =

=7=- —^т— ^L^sL) (dLy^sL) У ^А(хь xj). (12.90)

Выполняя (2!) (2!) виковских спариваний, мы видим, что эта амплитуда может быть получена непосредственно из эффектив

Ор а Г 1^2 16л Af^sinO^Ор а Г 1^2 16л Af^sinO^ного лагранжиана

Ор а Г 1

^2 16л Af^sinO^

Ор а Г 1

^2 16л Af^sinO^

(12.91)(12.91а)(12.916)(12.91)(12.91а)(12.916)q?AS = 2

(12.91)

(12.91а)

(12.916)

(12.91)

(12.91а)

(12.916)

где__

Ои = [^ (1 — Ys) s] [^Yn (1 — Ys) s], Х=М^М^ xy.

В принципе можно учесть и радиационные глюонные поправки КХД. Но так как другие величины также определены неточно, такие поправки существенно не изменяют наши результаты, и мы ими пренебрежем.

Разность масс Kl — Ks и механизм ГИМ

С помощью эффективного лагранжиана (12.91) можно вычислить Ат из (12.68):

Ат — — 2 Re[(/< | — З'эфф 2| ^)].(12.92)

В этом расчете можно выделить два аспекта. Первый из них связан с оценкой матричного элемента <К|С//|К>, а второй — с вычислением с-числа (12.916), соответствующего сумме произведений углов смешивания и масс кварков.

Чтобы получить порядок величины <7<|СЪ/|Л>, мы выбираем приближение «вакуумного насыщения», в котором

<К | [Jy^ (! — Vs)s] И?ц О — Ys) s] I Л) =

8,-8

= j (К I ^Ys* I 0) <0 I dW | /0 = -3 -^,(12.93)

где fK « l,23fn—константа каонного распада; множитель (2mK)'1 возникает из условия нормировки состояния. Множитель 8/3 соответствует четырем способам виковского спаривания, умноженным на 2/3. Выбирая такое приближение, мы надеемся, что простое вакуумное промежуточное состояние даст нам представление о величине четырехфермионного матричного' элемента Оп. В несколько более реалистических расчетах этого матричного элемента с помощью модели «мешка» МИТ получено значение, в два раза меньшее (т. е. того же порядка) чем то, которое получается в данном расчете, основанном на рассмотрении только вклада вакуумных вставок [359]. Но даже в этом случае неясно, дают ли эти диаграммы основной вклад в низкоэнергетические параметры, такие, как разность масс Kl — Ks [432]. Игнорируя эти усложнения, из (12.91) и (12.93) получаем

Am = -^-^-Re У^-Л^, хЛ. (12.94) -у2 6л sin2 6^ Li/J

E^=E^d = °-E^=E^d = °-(12.95)(12.95)На первый взгляд кажется, что так как правая часть порядка aGf, то значение Ат должно получиться слишком большим. Но именно в этом месте срабатывает механизм сокращения ГИМ. Поскольку х, <§; 1, величину Л (xt, х,-) можно разложить в ряд по степеням х< и х/. Главный постоянный член такого разложения не дает вклада в сумму вследствие условия унитарности

E^=E^d = °-

E^=E^d = °-

(12.95)

(12.95)

Среди остальных доминируют члены, пропорциональные х^:

Х^-Щ.. х^-^хЛ £ ^^L-toiL. (12.96)

Отсюда видно, что множитель х< превращает Ора. в G^m^:

GFax£t ~ GX^i-(12.97)

Полагая ти = 0, можем записать

тктк2 °L Р —( тс Y з Уг *к 4Л \37ГэВ/2 °L Р —( тс Y з Уг *к 4Л \37ГэВ/8Ш20сСО520Д,8Ш20сСО520Д,(12.98)(12.98)

тк

тк

2 °L Р —( тс Y з Уг *к 4Л \37ГэВ/

2 °L Р —( тс Y з Уг *к 4Л \37ГэВ/

8Ш20сСО520Д,

8Ш20сСО520Д,

(12.98)

(12.98)

где

X = (sm=e, cos=e,)-' Re [(£/„(/;,) + (U „1ГД* (m^ +

+ "ЛДЛ+ "ЛДЛ2m2mt - mc2m2mt - mc(12.99)(12.99)

+ "ЛДЛ

+ "ЛДЛ

2m2

mt - mc

2m2

mt - mc

(12.99)

(12.99)

и использовано соотношение (11.100). В четырехкварковой модели, где имеет место простой поворот Кабиббо (12.37) с (UcsU*cdy= sin26c cos20c, множитель X в (12.99) равен 1. Именно так Гайяр и Ли [151] еще до открытия частицы 1/^ получили оценку тс « 1,5 ГэВ. Хотя масса mt предполагается очень большой (^,20 ГэВ), она умножается на матричный элемент Uta, соответствующий малому углу смешивания (см. (12.45) и (12.47)), и мы не ожидаем, что X сильно отличается от единицы. Таким образом, результат, полученный в (12.98), должен рассматриваться как значительный успех механизма ГИМ, реализованного в рамках стандартной теории электрослабых взаимодействий.

Прежде чем закончить этот подраздел, касающийся механизма ГИМ, сделаем два замечания.

Замечание 1. Для эвристического понимания того, как срабатывает механизм ГИМ, можно воспользоваться понятием .массовой вставки при проведении вычислений петлевых диаграмм [78]. Массовые вставки возникают либо при выборе простого представления для фермионного пропагатора

+(12.100)

k — rn k k k

либо при рассмотрении матрицы фермионных масс ^iLmij^jR + + эрмит. сопр.) как возмущение в симметричной теории (где все фермионы безмассовые). Такая массовая вставка во внут-

реннюю линию изменяет спиральность соответствующей частицы на противоположную и может также привести к тому, что слабое собственное состояние не будет собственным состоянием матрицы масс, если используется один из недиагональных элементов тц. В качестве примера на рис. 12.6 показан основной

WWW

W

W

- >■■ с > 0-^—®-> с > .dt UL i-R CL SL

являются сла- массовая мат-являются сла- массовая мат-Рис. 12.6. Основной механизм перехода s -<->- d. Все частицы быми собственными состояниями с 1 = и, с, t. Следовательно, рица не является диагональной.

являются сла- массовая мат-

являются сла- массовая мат-

механизм перехода s ч-^- d. В этих диаграммах, как можно проверить, взаимодействия должны быть пропорциональны (см. ниже замечание 2) произведению mulmic = У UdiU*stm?p которое i

является основным членом в механизме ГИМ. (Наш пример вычисления Ат несколько усложнен, так как это переход с

AS = 2.)

— iiк2 —— iiк2 —Замечание 2. Вопрос о том , приводит ли механизм ГИМ к подавляющему степенной рост множителю У< UdtU*st(m?tjM^T который обращается в нуль в пределе, когда все т, равны, зависит от свойств сходимости конкретного рассматриваемого интеграла по петлевой импульсной переменной. Имеется случай, когда сокращение в механизме ГИМ приводит к более слабому подавлению, чем такое степенное подавление. Оно может принять вид ^lU^U*^ In (пг^М^ и также обращаться в нуль в пределе равных масс. Примером такого логарифмического сокращения ГИМ является зарядовый радиус перехода s -<->- d, который физически важен, в частности, для процесса 7<->ле+е~ [151]. В калибровке т’Хофта — Фейнмана основной вклад дает диаграмма, приведенная на рис. 12.7, а. В низшем порядке по М^ пропагатор й^-частиц можно аппроксимировать следующим образом:

— ii

к2 —

— ii

к2 —

(12.101)

ствии:ствии:Затем совершается преобразование Фирца (см. приложение А) в полученном четырехфермионном V— А-взаимодей-

ствии:

ствии:

(sL^qtL) (qtL^^L) = ^L^dJ (Дц^иУ (12.102)

Таким образом, мы можем вычислить вершинную функцию перехода непосредственно из диаграммы, приведенной на

Рис. 12.7. Основной вклад в зарядовый радиус перехода s -и-d. Диаграмма б является приближением к диаграмме а, полученным в результате преобразования Фирца V— Л-четырехфермионного взаимодействия.Рис. 12.7. Основной вклад в зарядовый радиус перехода s -и-d. Диаграмма б является приближением к диаграмме а, полученным в результате преобразования Фирца V— Л-четырехфермионного взаимодействия.

Рис. 12.7. Основной вклад в зарядовый радиус перехода s -и-d. Диаграмма б является приближением к диаграмме а, полученным в результате преобразования Фирца V— Л-четырехфермионного взаимодействия.

Рис. 12.7. Основной вклад в зарядовый радиус перехода s -и-d. Диаграмма б является приближением к диаграмме а, полученным в результате преобразования Фирца V— Л-четырехфермионного взаимодействия.

рис. 12.7, б:

ГИ(Р, р;(12.103)

где

/„ v (i) = tf ( -тут» Yv —Yu —Ц•(12.104)

J (2л)4y-& — mt у • (fe — <7) — mt v '

Величина 1^— известный тензор поляризации вакуума, который при /п^ :> q2 имеет вид

^(^^(^-^^ПпЛ-^^^(12.105)

Постоянные расходящиеся члены снова сокращаются, поскольку X ^t =0;при этом остается множитель слабого подавления

ГИМ ^ ^ In ^m2]q2y

Параметр смешивания состояний в случае нарушения CP-инвариантности в системе каонов и углы ККМ

дается(12.106)дается(12.106)Параметр нарушения CP-инвариантности е (12.74) выражением

дается

(12.106)

дается

(12.106)

1 1т(К|-^3АфУ | К)1 / 1т (Л) \

62 Re <К| — S’^2 |К>2 k Re (А) / ’

где четырехфермионный матричный элемент <7<|б?//|К> сократился, а величина К определена выражением (12.916). В пре-

деле ти = 0 воспользуемся снова равенством (12.95) и получим

Im (л) = 2 ^.ci^cRrnzc + ^ti^tj^i^ +

+ O/r + ^)-^^1п<4П>О2-107)

mt - тс k 7 J

Re W = {(^R - &) m^c + ^tR - ^ m^ +

+ (^r-^/) 22 ln(4) L (12.108).

где приняты обозначения ^/= Im £/, £zr = Re £z. Заметим, что если использовать параметризацию КМ, приведенную в (12.40) , то

t>ti = — ^/ = c2SiS2s3 sin б.(12.109)

Это позволяет выделить £с/ в (12.107). Поэтому Im (Л), а следовательно, и сам параметр е пропорциональны комбинации углов КМ:

е ~ з^зЗз sin б.(12.110)

Тогда параметр нарушения CR-инвариантности подавляется всеми углами КМ. Поскольку есть некоторые основания предполагать, что все углы 6; малы, эта изящная теория нарушения CR-инвариантности, естественно, дает нам малое значение е.

Для определенности запишем выражения (12.106) — (12.108) для случая малых углов КМ. За исключением £сл являющегося общим множителем, мы отбросим все такие члены и приближенно положим

^cR ”S1C1C2C3’ ^tR ”^l^l^^S’

Выражение для ^r справедливо только в частном случае

S2>S3.(12.111)

Это условие согласуется с существующими в настоящее время экспериментальными ограничениями, но не вытекает из них. Имеем

Im(X)~2^cX-^ +9

m, — тс k тс 7 J

адс+ад + , 2 in ।1 •(12.Н26)

Подставляя (12.112) в выражение (12.106), получаем [123, 124, 125]

. Х +П1ПЦ) -с2Ц (1 + 1пч) )

~ C2S2S3 s ш б <4—1-1-2—;).12.113)

где т] = т^т], а некоторые члены более высоких степеней по ц отброшены.

Завершим это обсуждение нарушения СР-инвариантности тремя короткими замечаниями.

Вычисление в'. Вычисление параметра нарушения СР- инвариантности в распадах е' (в отличие от параметра нарушения СР-инвариантности состояния е) менее надежно, так как оно зависит от теоретического понимания нелептонных слабых распадов. В большинстве подходов । значение е' оказывается слишком малым, чтобы быть детектируемым. Но если основной вклад в процесс К -* 2л дает диаграмма «пингвин» одноглюонного обмена [182] показанная на рис. 12.8, то вычисленное

Рис. 12.8. Диаграмма «пингвин» процесса sH-vda. с i = «, с, t.Рис. 12.8. Диаграмма «пингвин» процесса sH-vda. с i = «, с, t.

Рис. 12.8. Диаграмма «пингвин» процесса sH-vda. с i = «, с, t.

Рис. 12.8. Диаграмма «пингвин» процесса sH-vda. с i = «, с, t.

отношение |е'/е| практически нечувствительно к значениям углов смешивания, а его предсказываемое значение колеблется от 0,01 до 0,03. Такое значение, вероятно,; можно будет проверить в экспериментах следующего поколения.

Электрический дипольный момент нейтрона. Это еще одна важная область, где стандартная теория с нарушающими CP-инвариантность комплексными взаимодействиями заряженных токов может выступать в качестве сверхслабой модели. Обе они предсказывают значение электрического дипольного момента нейтрона dn]e много меньше 10-26 см [16, 337]. Основная причина малости этой величины в стандартной теории элек- трослабого взаимодействия снова связана с механизмом ГИМ: вклад однопетлевой диаграммы, такой, как показанная на рис. 12.9, а, равен нулю, так как он является ; «самосопряженным» и фаза нарушения CP-инвариантности отсутствует: ^1U ulU*ul = \. В таких диаграммах любая фаза, соответствую- г

щая одной ■ вершине, уничтожается противоположной фазой, соответствующей другой вершине. На двухпетлевом уровне могут существовать «несамосопряженные» диаграммы (рис. 12.9 ,б)\ Это приводит к электромагнитной вершине с передачей 4-импульса к;

edn (fe2) иСу.^^иА*.edn (fe2) иСу.^^иА*.(12.114)(12.114)

edn (fe2) иСу.^^иА*.

edn (fe2) иСу.^^иА*.

(12.114)

(12.114)

Формфактор idn, являющийся электрическим дипольным моментом в статическом пределе, подавляется обычным множителем ГИМ Дт7^=^^,-т-/^. Однако Шабалин [356, 357] показал, что даже этот множитель обращается в нуль в пределе к —>0 за счет взаимного уничтожения выражений, которые соответствуют двум наборам диаграмм, показанным на рис. 12.9,в. CP-нечетная часть пропорциональна выражению

Г_1г11Г -1— 1,

где Vqq' — регуляризованные фотонные вершинные функции кварков, и можно показать, что с точностью |до однопетлевых поправок

Г , = Г '

1 qq — 1 q q-

В статическом пределе fe->0 импульс к в кварковых пропагаторах можно опустить, и рассмотренные выше । вклады, очевидно, обращаются в нуль. Поэтому необходимо включить радиационные поправки более высокого порядка, основной вклад в которые |дают диаграммы с глюонами КХД. Таким образом, предполагается, что дипольный момент нейтрона порядка

ееg4(2л)4 М^g4(2л)4 М^(12.115)(12.115)Множитель пги, а отражает свойство оператора дипольного момента менять спиральность на противоположную. Обычно при-Множитель пги, а отражает свойство оператора дипольного момента менять спиральность на противоположную. Обычно при-Рис. 12.9. Диаграммы для дипольного момента индуцированного «-кварка: фотонная линия должна «прикрепляться» ко всем заряженным линиям в а — однопетлевых и б—двухпетлевых диаграммах. На диаграммах в черные кружки изображают кварк — э. м.-вершины. Будучи по крайней мере однопетлевыми, диаграммы в на самом деле является двухпетлевыми и обраща ■ ются в нуль в пределе к->0.Рис. 12.9. Диаграммы для дипольного момента индуцированного «-кварка: фотонная линия должна «прикрепляться» ко всем заряженным линиям в а — однопетлевых и б—двухпетлевых диаграммах. На диаграммах в черные кружки изображают кварк — э. м.-вершины. Будучи по крайней мере однопетлевыми, диаграммы в на самом деле является двухпетлевыми и обраща ■ ются в нуль в пределе к->0.

е

е

g4

(2л)4 М^

g4

(2л)4 М^

(12.115)

(12.115)

Множитель пги, а отражает свойство оператора дипольного момента менять спиральность на противоположную. Обычно при-

Множитель пги, а отражает свойство оператора дипольного момента менять спиральность на противоположную. Обычно при-

Рис. 12.9. Диаграммы для дипольного момента индуцированного «-кварка: фотонная линия должна «прикрепляться» ко всем заряженным линиям в а — однопетлевых и б—двухпетлевых диаграммах. На диаграммах в черные кружки изображают кварк — э. м.-вершины. Будучи по крайней мере однопетлевыми, диаграммы в на самом деле является двухпетлевыми и обраща ■ ются в нуль в пределе к->0.

Рис. 12.9. Диаграммы для дипольного момента индуцированного «-кварка: фотонная линия должна «прикрепляться» ко всем заряженным линиям в а — однопетлевых и б—двухпетлевых диаграммах. На диаграммах в черные кружки изображают кварк — э. м.-вершины. Будучи по крайней мере однопетлевыми, диаграммы в на самом деле является двухпетлевыми и обраща ■ ются в нуль в пределе к->0.

водитсяiчисленное значение

\dnle\< 10-33 см. (12.116)

Если рассматривать диаграммы с обменами между различными валентными кварками внутри нейтронов, то получается такое же ограничение. Но большой вклад могут давать выражения, соответствующие диаграммам «пингвин». Поскольку подавление ГИМ может быть только логарифмическим, они приводят к значению ^dn/e^ порядка 10-30 см (см. [157] и цитируемые там работы).

Жесткое и мягкое нарушения CP-инвариантности. В стандартной теории имеется только один хиггсовский дублет, так что вакуумное среднее <Ф>о должно быть вещественным, поскольку любая возможная фаза не имеет физического смысла и может быть устранена соответствующим поворотом. Причиной того, что матрица масс оказывается комплексной, является наличие самих юкавских взаимодействий. Обычно это называется жестким нарушением CP-инвариантности в том смысле, что этот эффект возникает из-за операторов размерности 4. Но существует другой класс теорий с нарушением; СР-инвариантно- сти, где это нарушение является спонтанным и, следовательно, мягким [260]. Чтобы возникло спонтанное нарушение СР-ин- вариантности, необходимо расширить хиггсовскую структуру (например, взяв два комплексных дублета) и получить комплексное вакуумное среднее, физически различие между жестким и мягким нарушениями CP-инвариантности заключается в том, что эффект мягкого нарушения исчезает при энергиях выше энергетического масштаба нарушения симметрии, тогда как жесткое нарушение имеет место и в этом случае. Следует также отметить, что в теории с Фолее чем одним хиггсовским дублетом юкавское взаимодействие недиагонально в пространстве ароматов, если не наложено требование некоторой дискретной симметрии. Такие!взаимодействия в общем случае приводят к слишком сильным эффектам нейтральных токов, нарушающих странность и не сохраняющих мюонное число (см. также замечания в разд. 11.3).

.3. ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ БОЗОНЫ W И Z

Наиболее I важной отличительной чертой калибровочной теории со спонтанным нарушением симметрии является существование массивных калибровочных бозонов. В стандартной модели имеются три таких промежуточных векторных бозона W+, W~m Z. В настоящем разделе обсуждаются вопросы, связанные с их массами, распадами и возможными механизмами рождения.

Массы

Массы бозонов W и Z можно выразить через угол Вайнберга би? (см. (11.100)'и (11.82)):

(12.117)(12.118)(12.117)(12.118)1 ( ®2 \1/2 1 — 37’3 ГэВ

(12.117)

(12.118)

(12.117)

(12.118)

2 у^ А72 Gp / sin 9^ sin 9^

/ е2 \ 1/21_ 74,6 ГэВ

yV2 Gp ) sin 29^ sin 29^

Экспериментальное значение 6W позволяет предсказать значения этих масс. Поскольку эти калибровочные бозоны довольно тяжелые, в настоящее время мы обнаруживаем их виртуальные эффекты, изучая низкоэнергетическую феноменологию заряженных и нейтральных токов. В стандартной модели, где хиггсов- ские частицы рассматриваются в дублетном представлении группы Sf7(2)X^(l), массы Mw и Mz связаны (см. (11.82) и (12.158)) соотношением

Mz COS2 9^Mz COS2 9^(12.119)

Mz COS2 9^

Mz COS2 9^

р = 0,998 ± 0,050, 5ш26^ = 0,224 ±0,015.р = 0,998 ± 0,050, 5ш26^ = 0,224 ±0,015.(12.120)(12.121)(12.120)(12.121)Это определяет относительную интенсивность реакций с заряженными и нейтральными токами. Из данных по нейтринным процессам с нейтральными токами можно найти значения двух параметров [235];

р = 0,998 ± 0,050, 5ш26^ = 0,224 ±0,015.

р = 0,998 ± 0,050, 5ш26^ = 0,224 ±0,015.

(12.120)

(12.121)

(12.120)

(12.121)

Тот факт, что р очень близко к единице, говорит в пользу стандартной модели. Конечно, это не исключает возможность существования в теории нескольких хиггсовских дублетов. Кроме того, можно рассматривать и другие представления для хиггсовских частиц с малыми вакуумными средними (за исключением синглетных хиггсовских скаляров, которые не взаимодействуют с W или Z).

Если мы положим р= 1, то усредненные данные нейтринных экспериментов дают

sin2eu7 = 0,227 ±0,010.(12.122)

Тогда массы промежуточных бозонов принимают значения

(12.123)(12.123)Л1^ = 78,5± 1,7 ГэВ,Mz = 89,3 ±2 ГэВ.

(12.123)

(12.123)

Тот факт, что значения этих масс предсказываются в довольно узкой области, позволяет произвести четкую проверку стандартной модели.

Более точное определение sin2 6^ и масс; калибровочных бозонов требует включения радиационных поправок от слабых процессов и учета зависимости констант связи от энергии (см. разд. 13.3). Так как угол Вайнберга определяется через константы связи (уравнение (11.80)), он также зависит от энергии. С учетом радиационных поправок значение sin2 6®- при выбранном значении Mw получается равным

sin20w, (Л!^) = 0,215 + 0,10 ± 0,004,(12.124)

где ।+0,004 отражает теоретические расхождения в вычислениях радиационных поправок [280, 290, 365]. Если значение постоянной тонкой структуры при Mw принять равным

- ,™ = 127,49,(12.125)

то для масс калибровочных бозонов получим следующие > значения:

siX(^^ ГэВ’ (12л26)

AJZ = M^/cos0^ = 93,8 ± 2,0 ГэВ. (12.127)

Таким образом, эффекты более высокого порядка приводят к увеличению значений Mw и Mz приблизительно Hai 5 %. Предполагается, что Mz будет измерено с точностью от 0,1 до 0,2 ГэВ в е+е_-эксперименте при!высоких энергиях, что позволит оценить электрослабые радиационные поправки более высокого порядка.

Рассмотрим теперь распады U7- и Z-частиц. Мы увидим, что их'время жизни очень мало, так как они распадаются «полу- слабо».

Распады УГ-бозона

2 V22 V2/6 \Л’ V ^)уц0 -V5)( и ) +Хт //6 \Л’ V ^)уц0 -V5)( и ) +Хт /z d+ (й, с, F) уи (1 — Vs) ^ ( зХ6z d+ (й, с, F) уи (1 — Vs) ^ ( зХ6+ эрмит. сопр., (12.128)+ эрмит. сопр., (12.128)Взаимодействие 117-бозона с фермионами дается выражениями (11.86) и (11.121);

2 V2

2 V2

/6 \

Л’ V ^)уц0 -V5)( и ) +

Хт /

/6 \

Л’ V ^)уц0 -V5)( и ) +

Хт /

z d

+ (й, с, F) уи (1 — Vs) ^ ( з

Х6

z d

+ (й, с, F) уи (1 — Vs) ^ ( з

Х6

+ эрмит. сопр., (12.128)

+ эрмит. сопр., (12.128)

где U — матрица Кабиббо — Кабаяси — Маскава (12.39). Используя выражение (12.128), можно вычислить ширины различных распадных! мод.

Рассмотрим, например, распад

(12.129)(12.129)l7-(fe)->e(p) + v(<7),

(12.129)

(12.129)

матричный элемент которого равен

7'е = -^^йе(р)Уц(1 — Vs) vv (?)бЦ ^,(12.139)

где еч(£)—вектор поляризации 117-бозона. Суммируя по всем значениям спинов фермионов и усредняя по всем возможным поляризациям11Г-бозона, получаем

у У I ^е I = V lPi*?v + Р* - ^v (Р?)] ( - Ди +) =

° Z“”'V\Мур /

спин

=|W-(12.131)

где мы пренебрегли массой электрона. Ширина распада покоящегося 1Г-бозона равна

ГеГе12А^12А^( (2лГ ^-р-д)1£\Те р ^Р~JО Z.^\Z3vj ^рО \^*^/ “Чо( (2лГ ^-р-д)1£\Те р ^Р~JО Z.^\Z3vj ^рО \^*^/ “Чоg~MGp М48 лV2 6лg~MGp М48 лV2 6л(12.132)(12.132)

Ге

Ге

1

2А^

1

2А^

( (2лГ ^-р-д)1£\Те р ^Р~

JО Z.^\Z3vj ^рО \^*^/ “Чо