Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ДЖ. Л. СИНГ
КЛАССИЧЕСКАЯДИНАМИКА
Перевод с английского
Л. С. ПОЛАКА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВОФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1963
531
С 38
УДК 531.3
HANDBUCH DER PHYSIK
ENCYCLOPEDIA OF PHYSICS
EDITED BYS. FL' GGE/MARBURGVOLUME III/l
Springer-Vcrlag/Berlin- Gottingen - Heidelberg 1960
CLASSICAL DYNAMICS
by
J. L. SYNGE
Дж. Л. СингКЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
M.t Физматгиз, 1963 г., 448 стр. с илл.
Редактор Г. К. По-жаричкий.
Техн, редактор И. Ш. Аксельрод.Корректор Е. В. Кузнецова.
Сдано в набор 3/III 1963 г. Подписано к печати 2/VIII 1963 г. Бумага 84хЮ81/з2. Физ. псч. л. 14. Условн. печ. л. 22,96. Уч.-изд. л. 21,31.
Тираж 10 000 экз. Цена книги 1 р. 27 к. Заказ № 678.
Го с у дар ств енно е издательство физико-математической литературы.Москва, В-71, Ленинс1<ий проспект, 1 5.
Московская типография № 5 Мосгорсовнархоза. Москва, Трехпрудный пер., 9.
99От переводчика
9
9
ВВЕДЕНИЕ
Классическая динамика. Область применения . .11
Математические схемы или модели 15
Аксиоматика 18
Ньютонова и релятивистская динамика частицы20
Ньютонова и релятивистская динамика системы24
Б. КИНЕМАТИКА
Глава I. Перемещения твердых тел 33
Перемещения, параллельные плоскости 33
Теорема Эйлера 35
Общие перемещения твердого тела 37
Ортогональные матрицы' . .39
Вращение, представленное с помощью его оси и угла (параметры Эйлера) ■ 42
Углы Эйлера 45
Кватернионы 48
Стереографическая проекция и параметры Кэли — Клейна 50
Спиновые матрицы Паули 53
Связи между матрицами Паули и другими способами представлениявращений 56
Бесконечно малыеперемещения 57
ГлаваII. Кинематика 59
Система отсчета. Скорость частицы 59
Ускорение частицы.Годограф 61
Угловая скорость твердого тела 62
Подвижные оси. Абсолютная и относительная скорости изменения вектора 66
Глава III. Распределения масс и системы сил 69
Центры масс. Моменты и произведения инерции 69
Теорема о параллельных осях. Главные оси инерции 71
Импульс 73
Момент импульса 75
Кинетическаяэнергия 78
Системы сил80
Глава IV. Обобщенные координаты 83
Голономные системы. Связи, зависящие от времени 83
Неголономные системы 85
Обобщенные силы. Работа. Потенциальная функция 89
ДИНАМИКА ЧАСТИЦЫ
Глава I. Уравнения движения 92
Основные уравнения 92
Энергия. Момент импульса 94
Движущиеся системы отсчета 95
Глава II. Одномерные движения 97
Простой гармонический осциллятор. Затухание 97
Круговой и циклоидальный маятники 99
Глава III. Двумерные движения 102
Движение частицы в однородном гравитационном поле в сопротивляющейся среде 102
Проблема Кеплера 103
Общий случай центральных сил 105
Устойчивость круговой орбиты 107
Колебания под действием силы тяжести на неподвижной поверхности 108
Глава IV. Трехмерные движения 111
Заряженная частица в электромагнитном поле . .111
Аксиально-симметричные электромагнитные поля .112
Движение относительно вращающейся Земли . . .114
Маятник Фуко 116
Г. ДИНАМИКА СИСТЕМ ЧАСТИЦ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Глава I. Уравнения движения 118
Теоремы об импульсе и моменте импульса....118
Принцип Даламбера. Энергия 120
Уравнения Лагранжа. Игнорируемыекоординаты121
Уравнения Гамильтона 128
Уравнения Аппеля 131
Уравнения движения твердого тела134
Движущиеся системы отсчета 139
Глава II. Системы без связей 142
Проблема двух тел 142
Захват и рассеяние 144
Проблема л тел 159
Периодические структуры 162
Глава III. Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку 166
Твердое тело, на которое не действуют никакие силы 166
Вращающийсяволчок 170
Гироскопическая«жесткостью. Гирокомпас . . .180
Глава IV. Движение под действием ударного импульса 186
Ударный импульс и момент ударного импульса. Уравнения Лагранжа 186
Соударения. Коэффициент восстановления . . -.188
Минимальные теоремы при движении под действием ударных импульсов 192
Д. ОБЩАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Глава I. Геометрические представления динамики . . .196
Значение общей динамической теории 196
Пространства представлений 200
Топологические замечания 203
Глава II. Пространство собъний (QT) 210
Однородный лагранжиан Л (х,工‘)и обыкновенный лагранжиан L(q, t、Q 210
Первая форма принципаГамильтона.Лагранжевы
уравнения движения 214
Два примера 217
Уравнение энергии 0 (工，у) = 0 и гамильтониан 矶0,厶 Р) 219
Вторая форма принципаГамильтона.Гамильто
новы канонические уравнения движения . . . .221
Эквивалентность лагранжевой и гамильтоновой
динамики 226
Примеры соответствий лагранжевой и гамильтоновой динамик 229
Теорема взаимности 231
Гамильтонова двухточечная характеристическая
или главная функция. Уравнение Гамильтона ——
Якоби 235
Динамика, основанная иа выбранной двухточечной характеристической функции 240
Когерентные системы лучей или траекторий. Одноточечная характеристическая функция242
Волны постоянного действия (лагранжева или га
мильтонова). Построение Гюйгенса 245
Определение волн по начальным данным. Метод
характеристических кривых 247
Полный интеграл Якоби уравнения Гамильтона ——
Якоби ■ 250
Практическое использование теоремы Якоби. Разделение переменных 255
Глава III. Пространство импульса — энергии (尸Н) . . .260
Пространство РН и характеристическая функция • в пространстве импульса—энергии . 260
Столкновения 263
Глава IV. Пространство конфигураций (Q) 268
Интерпретация динамики в пространстве 0. Лучи
и волны в когерентной системе .........268
И зоэнергетическая динамика в пространстве Q
и ее отношение к общей динамике в QT 272
Действие Мопертюи. Двухточечная характеристическая функция для изоэнергетической системы.
Однородный лагранжиан. Принцип наименьшего действия Якоби 275
Кинематический линейныйэлемент 279
Наименьшая кривизна 283
Глава у. Пространство состояний и энергии (QTPH)287
Поверхность энергии и функция энергии . . . .287
Канонические преобразования. Билинейный инвариант 289
Производящие функции 293
Скобки Пуассона и скобки Лагранжа в QTPH 301
Канонические преобразования, производимые каноническими уравнениями. Основной относительный интегральный инвариант307
Преобразование естественной конгруэнции к прямым линиям с помощью решения уравнения Гамильтона 一 Якоби 313
Уменьшение числа канонических уравнений с помощью первого интеграла 316
Глава VL Простраиство состояний (QTP) 325
Теорема циркуляции 325
Преобразование координат в QTP. Форма Пфаффа 326
Канонические преобразования в QTP 330
Глава VII. Фазовое пространство (QP) 333
Основная теория для консервативных систем в QP 333
Неконсервативные системы. Канонические преобразования в QP. Скобки Пуассона и скобки Лагранжа 339
Неконсервативные системы. Абсолютные интегральные инварианты в пространстве QF. Теорема Лиувилля 342
Переменные действие — угол 34?
Свойство периодичности угловых переменных . .352
ГлаваVIII. Малые колебания 357
Приведение энергий к нормальной форме. Нормальные моды и частоты. Вырождение 357
Действие связей 364
Диссипативные системы. Гироскопическая устойчивость 367
Вынужденные колебания. Резонанс. Операционные методы 373
Колебания около состояния установившегося движения или около сингулярной точки в фазовом пространстве (QF). Преобразование Н к нормальной форме 378
Возмущения 385
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
Глава I. Пространство — время Минковского и законы динамики 391
Преобразования Лоренца 391
Кинематика в пространстве—времени. 4-импульс 395
Уравнения движения частицы 399
Лагранжева и гамильтонова динамики 401
Свободная частица 406
Двухточечная характеристическая функция в пространстве событий и уравнение Гамильтона — Якоби 410
Глава II. Некоторые специальные динамические проблемы 412
.Гиперболическое движение 412
Частица в потенциальном поле. Гармонический осциллятор 413
Заряженная частица в электромагнитном поле 415
Релятивистская проблема Кеплера 418
ГлаваIII. Волны де Бройля 422
Когерентные системы траекторий в пространстве — времени и связанные с ними волны 422
Скорость частицы и волновая скорость 424
Де бройлева длина волны и частота 425
Глава IV. Релятивистские катастрофы 427
Сохранение 4-импульса 427
Неупругое и упругое столкновения 429
Комптон-эффект 432
Момент импульса и центр масс 434
Частицы со спином 437
Основная литература 439
Именной и предметный указатели 444
Предлагаемая вниманию читателя книга является переводом раздела Classical Dynamics, написанного Дж. Л. Сингом (на английском языке) для первой части третьего тома нового издания немецкой энциклопедии Handbuch der Physik (Springer-Verlag, I960).
Имя ирландского ученого, профессора Дж. Л. Синга, одного из крупнейших специалистов по классической механике, хорошо известно нашему читателю по изданным на русском языке переводам трех его книг (Дж. Л. С и н д ж, Тензорные методы в динамике, Изд-во иностр, лит-ры, Москва, 1947; Дж. Л. С и н д ж, Релятивистский газ, Атомиздат, Москва, 1960; Дж. Л. Синг,* Общая теория относительности, Изд-во иностр, лит-ры, Москва, 19631)・
В нашей научной литературе имеются две книги, посвященные классической механике ). Книга Дж. Синга отличается от них и по подходу, и по характеру изложения. Она интересна как весьма своеобразной «геометрической» точкой зрения, так и органическим сочетанием классической и релятивистской механики. Изложение —— оригинальное и не только сообщает некоторую сумму
знаний, но, что, может быть, гораздо важнее, стимулирует мысль читателя.
В книге имеется некоторое количество мест, вызывающих возражения как с точки зрения строгости (см., например, стр. 272, 307——319), так и с точки зрения ясности отдельных формулировок (см., например, стр. 120, 247). Что касается первых, то сам проф. Синг в начале книги заявляет, что он не претендует на совершенную строгость изложения, и поэтому такие места оставлены без изменения, так как в конце концов предел нестрогости определяется поставленной автором задачей. Неясные же формулировки в переводе по возможности уточнены. Казалось явно нецелесообразным еще загромождать книгу примечаниями, которых в ней и без того много.
Обозначения автора, в общем мало отличающиеся от применяемых в нашей литературе по механике, сохранены. Что касается наименований отдельных механических величин, то в переводе они даны в виде, общепринятом в нашей научной литературе; впрочем, надо заметить, что единообразие наименований в различных изданных у нас за последнее время книгах по механике (отечественных и переводных) пока еще не достигнуто.
Автор дает большое количество ссылок в подстрочных примечаниях; там, где он ссылается на работы, переведенные на русский язык, ссылки даны мною на эти переводы с указанием соответствующих страниц русских изданий. К приложенной в конце книги небольшой библиографии основных, по мнению проф. Дж. Л. Синга, трудов, мною добавлено несколько работ на русском языке, которые могут оказаться полезными для читателя, интересующегося основными проблемами классической механики.
Полак
А. ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Классическая динамика. Область применения. Почти два столетия (от 1700 до 1900) физики изучали только одну динамическую теориют). Теперь их три, причем последняя может быть подразделена еще на две:
Ньютонова динамика.
Релятивистская динамика (квантовая теория исключается).
а) Ньютонова квантовая динамика, основанная на абсолютном пространстве и времени Ньютона, б) Релятивистская квантовая динамика, основанная на плоском пространстве — времени Минковского или на искривленном пространстве ——времени Эйнштейна.
Настоящая книга содержит изложение только 1-й и 2-й динамики, которые резко отличаются от 3-й в философском вопросе формулировки принципа причинности. Однако в книгу включены отнюдь не все вопросы 1-й и 2-й динамики, а именно, полностью опущена статика и также механика сплошных сред; в разделах, посвященных релятивистской динамике, рассматривается только специальная теория относительности, и то весьма кратко.
В современном понимании классическая динамика) означает динамику частиц и твердых тел, причем особое
) В этой книге даются только отдельные исторические справки. Об истории динамики см. Dugas R., Histoire de la Mecanique (Neuchatel, Editions du Griffon, 1950) и La Mecanique au XVII siecle (1954). Много исторических фактов можно найти в книге Уиттекера [28] (см. список основной литературы, стр. 439).
внимание уделяется общей теории. Она включает также существенные разделы кинематики: теорию конечных перемещений, геометрию масс, а также систем сил и обобщенных координат.
Что касается области применилюсти классической динамики, то можно сказать, что ньютонова динамика блестяще описывает физические явления в условиях, которые могут быть названы «обычными», т. е. когда она приложена к проблемам техники в широком смысле слова и к физическим проблемам, включающим системы, которые не слишком велики и нс слишком малы. Расхождения между теорией и экспериментом в этих областях обычно оказываются результатом чрезмерного упрощения применяемой математической модели (см. § 2), например, пренебрежения трением в модели или заменой упругого (физически) тела твердым (математически) телом.
Ньютонова динамика может быть также успешно применена в кинетической теории газов и в небесной механике (однако, с учетом сказанного ниже). Промахи в предсказании явлений появляются когда 1) относительные скорости (и) уже не являются малыми по сравнению со скоростью света (с) или 2) когда в рассмотрение вводятся массы атомных масштабов. Так как в лабораторных условиях высокие скорости могут быть достигнуты только для очень легких частиц, то эти два условия практически совпадают. Однако мы можем разделить их для целей анализа. Действительно, они представляют 1) границу, где ньютонова динамика должна быть заменена релятивистской динамикой, и 2) границу, где классическая динамика должна быть заменена квантовой динамикой.
более глубоко изучивших логическую сторону вопроса, мы употребляем слово «динамика» в его истинном смысле как наименование науки, которая рассматривает действие сил, поддерживают ли они относительный покой или производят ускорение в относительном движении. Соответствующие два отдела динамики, таким образом, удобно назвать статика и кинетика (Preface to Treatise on Natural Philosophy, t. I, часть 1. Cambridge, University Press,[1879). Однако наименование кинетика не привилось, может быть, из-за большого сходства с термином кинематика. Оно, однако, применяется немецкими авторами: G г a m m е 1 [8], стр. 305, и W i п- kelmann и G г a m m е 1 [29], стр. 373.
I] КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ 13
Ошибки порядка (и/е)? появляются, когда ньютонова динамика прилагается к изучению очень быстрых движений тел. Однако нельзя так же просто оценить ошибки, возникающие при применении классической динамики к задачам атомных масштабов. Хотя в квантовой динамике употребляется много старых слов, математические понятия, соответствующие этим словам, коренным образом отличаются от математических понятий классической динамики. Никто уже не пытается с какой-либо уверенностью формулировать атомные проблемы классическим путем. Однако классические понятия и тут не полностью теряют свое значение; так, например, сохранение импульса и энергии находит применение при рассмотрении задач столкновения, аннигиляции или рождения частиц атомных и субатомных масштабов (§ 120 и сл.).
В небесной механике ньютонова динамика остается стандартной основой вычислений и является исключительно продуктивной. Тем не менее существуют некоторые малые расхождения между предвидениями и наблюдениями х). Наиболее заметное из них — вращение перигелия Меркурия. Оно более просто объясняется общей теорией относительности Эйнштейна, чем специальными ньютоновыми силами, вводимыми для его объяснения. Можно считать поэтому, что теория Эйнштейна есть лучшая математическая модель) и что ньютонову динамику надо с осторожностью применять при очень тонких вычислениях в небесной механике.
Ньютонова динамика может применяться в космологии ) как альтернатива общей теории относительности для кинематической космологии Милна. Природа этого предмета исследования, однако, такова, что вряд ли
возможно сказать, какая из этих теорий лучше согласуется с наблюдением.
Однако научное значение классической динамики, в частности и ньютоновой динамики, не исчерпываются только физическими предсказаниями, которые делаются непосредственно на их основе. Ньютонова динамика состоит из совокупности математических выводов и заключений, полученных подчинением некоторых простых понятий некоторым простым законам. В математическом развитии предмета были развернуты общие схемы (в частности, лагранжев и гамильтонов метод), которые позволяют заменить первоначальные примитивные понятия более общими (такими как пространство конфигураций и фазовое пространство). Оказалось, что эти новые математические понятия могут быть использованы, чтобы представить физические понятия, отличные от тех, рассмотрение которых было источником понятий математических. Таким образом, ньютонова динамика породила новые физические выводы путем приложения внутренне присущих ей математических идей за пределами их исходной области применения. Примерами этого могут быть применение лагранжевых методов к теории электрических контуров и (что еще более удивительно) применение гамильтоновых методов в развитии квантовой механики.
При дальнейшем рассмотрении вопроса надо отметить, что ньютонова динамика ставит перед нами задачу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений; можно поэтому с математической точки зрения классифицировать предмет ньютоновой динамики как ОДУ (обыкновенные дифференциальные уравнения).
Гамильтоновы методы вводят дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка и при таком рассмотрении динамика Гамильтона может быть обозначена как ЧПДУ1 (уравнения в частных производных первого порядка). Переход к квантовой теории через уравнение Шредингера заключает в себе переход к дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка, что, в тех же обозначениях, как и выше, может быть записано как ЧПДУ2.
Рассматривая ньютонову динамику в свете этого процесса математического развития (ОДУ т ЧПДУ1 —>
т ЧПДУ2), мы видим, что она имеет значение намного большее того, которое заключалось в первоначальной сфере ее применения; она есть источник новых теорий, в которых первоначальные понятия были обобщены и стали более тонкими, хотя при этом никогда полностью не были .упущены из виду.
2. Математические схемы или модели. Перефразируя известное определение геометрии, можно сказать: физика есть, то, что делают физики. Физики сравнительно мало задумываются над тем, почему и как они делают то, что они делают, и против этого нельзя сильно возражать, так как человеческая активность подавляется самоанализом. Однако имеются случаи, когда опасность интеллектуальной путаницы больше опасности самоанализа. Как это можно, спрашиваем мы, терпеть сосуществование нескольких различных динамических теорий, которые все имеют целью описать поведение единственного реального мира? Является ли одна из этих теорий правильной, а остальные ложными? Или они все ложные? Нет сомнения в том, что существует несколько теорий, поскольку люди работают над ними. Природа также существует. Вопрос состоит в том, как эти теории относятся к природе?
Удовлетворительный ответ на этот вопрос не может быть найден, если рассматривать только одно: дают или не дают те или иные из этих теорий правильные предсказания результатов некоторых экспериментов. Вопрос имеет гораздо более глубокий смысл; кажется, что к ответу на него можно приблизиться, только признав, что математические теории (в какой бы степени они ни были подсказаны природой) являются не более чем схемами или моделями природы. «Частица» реального мира (планета, атом или электрон) должна быть не более смешиваема с «частицей», которая является ее представителем в динамической теории, чем настоящий город с типографским пятном, представляющим его на карте.
Однако даже эта аналогия не дает правильного представления об огромной пропасти, отделяющей реальный мир от его математических моделей. В самом деле, пятно типографской краски на листе бумаги по крайней мере существует в реальном мире (так же как и представляемый
им город), в то время как сущность математических схем или моделей существует только в нашем разуме, даже если математические символы написаны на бумаге; математические операции, включающие идею бесконечности (дифференцирование и интегрирование), являются чисто интеллектуальными идеями, и принадлежат к природе только поскольку человеческий разум принадлежит природе.
Если допустить, что математические модели должны быть резко различаемы от природы, то каково тогда их отношение к природе?
Отношение это, как кажется, основано на некоторых понятиях, наименование которых требует общего языка для всех физиков ——экспериментаторов и математиков. Эти понятия появляются как математические понятия в математической модели и как физические в прямом обсуждении природы. Мы имеем как бы трех столбцовый словарь:
Наименование понятия
Математические понятия
Физические понятия
Масса
Положительное число (т)
Количество вещества в теле. Мера сопротивления тела изменению скорости. Мера способности тела гравитационно притягивать другое тело
Здесь приведены три отдельные записи. Записи первых двух столбцов являются полными. Однако третья запись является только наводящей на мысли, так как для описания физического понятия требуется изучить все пути, которыми идея массы входит в наше понимание природы, и, фактически, никакое описание с помощью слов не может быть удовлетворительным, ибо часть нашего понимания массы возникает из мускульных ощущений и не может быть полностью описана.
Этот гипотетический словарь применяется следующим образом. Физическая задача сначала формулируется с помощью физических понятий. Затем зта формулировка
переводится на язык математических понятий, причем те же слова употребляются теперь в их математическом значении. Математические законы (обычно дифференциальные уравнения) находятся подобным же переводом физических законов, впервые установленных с помощью физических понятий. Применение этих законов к рассматриваемым проблемам представляет тогда чисто математическую задачу, и когда эта задача решена, решение и выводы из него переводятся на язык реальности с помощью восстановления физического смысла слов, употреблявшихся при математическом решении.
Такое описание стандартной процедуры в теоретической физике было до смешного тщательно разработано столетие назад, когда не было ясного различения между физическими и математическими понятиями (даже в геометрии и в умах математиков). Это различение существовало для современной чистой математики, так как иначе математическая аргументация может стать путаной и неясной из-за контакта с путанной природой. Однако современные физики могут прямо и честно оспаривать указанное различение понятий, так как их практикой и желанием может быть сохранение математических понятий в неразрывном смешении с физическими понятиями, как изобильном источнике новых идей. Ясность и плодотворность мысли отнюдь не одно и то же.
Если проведенный выше анализ приемлем, то он расчищает путь к решению вопроса относительно сосуществования нескольких динамических теорий. Ни одна из этих теорий не является истинной более, чем карта является истинным представлением страны. И как удобно иметь различные карты (разных масштабов), чтобы изучать географию страны, так удобно иметь много схем и моделей природы. Легко преувеличить разницу между этими моделями; однако надо помнить, что при обычных условиях (см. § 1) они дают одну и ту же информацию.
'Интересно сравнить эти идеи с идеями БриджменаJ). Согласно его операционному методу понятия определяются
Bridgman Р. W., The Logic of Modern Physics, стр. 5. New York, McMillan, 1951. См. также Bridgman P. W., The Nature of some of our Physical Concepts. New York, Philosophical Library, 1952.
2 Дж. Л. Синг
с помощью и в терминах физических операций, понятие является синонимом соответствующей совокупности операций. Так, например, понятие абсолютного ньютонова времени должно быть отброшено, так как невозможно описать эксперименты, с помощью которых оно может быть измерено.
Это может означать, что в нашем гипотетическом словаре первый столбец мог бы читаться «абсолютное время», второй ——«число 切，но третий был бы чистым, так как нет соответствующего физического понятия. Однако имеет ли это на самом деле место? Многие физики, астрономы и инженеры употребляют слово время, относя его к переменной t, встречающейся в некоторых уравнениях.
Когда они решат эти уравнения, они переходят от формул к физической реальности, делают предсказания, которые иногда имеют очень большую степень точности, например, в небесной механике. Ясно, что в их словарях третий столбец не является пустым. Если бы это было так, они не могли бы использовать свои результаты для физических предсказаний. На самом деле в третьем столбце могут отсутствовать слова, запись может лежать в подсознательной области, в которой происходит значительная часть нашего мышления. Но запись такого рода не позволила бы перевести формулы, приводящие к численным значениям переменной t, на язык прямых указаний куда и как надо направить телескоп.
Хотя операционный метод и является очень ценным для уяснения наших идей, однако кажется, что физические понятия слишком сложны и путаны для нас, и поэтому нельзя требовать, чтобы они всегда удовлетворяли операционным критериям.
§ 3. Аксиоматика. Слово логика имеет широкую область значений, в соответствии с контекстом, в котором оно употребляется, от обычной логики ежедневных общений людей, через логику диагностиков-экспертов или детективов, до основной логики математиковг) двадцатого века;
Любая логическая система, если избегать порочного круга, должна начинать с неопределенных терминов и недоказуемых предложений. Ср. Veblen О. and Young J. W., Projective Geometry, т. 1, стр. 1. Boston, Ginn, 1910.
и сверх того до недавно развитой математической логики. Физические понятия, которые по своей природе являются неясными, не могут рассматриваться с логической строгостью. С другой стороны, классическая динамика, рассматриваемая как чисто математическая теория, допускает аксиоматическое обоснование, как это сделал Гамель
и другиег).
Поэтому кажется правильным, что любое систематическое изложение классической динамики должно было бы начинаться с тщательно сформулированных аксиом, на которых все построение этой науки должно покоиться так же, как дом покоится на своем фундаменте.
Эта аналогия с домом является, однако, ложной. Теории создаются, так сказать, высоко в воздухе и развиваются как по направлению вверх, так и вниз. Ни тот, ни другой процесс никогда не завершается. Вверх разветвления могут расширяться во все стороны; вниз — аксиоматический фундамент должен непрерывно перестраиваться по мере того, как изменяются наши взгляды на то, что составляет логическую точность. Действительно, здесь не видно даже обещания конца, так как мы, по-видимому, движемся по направлению к идее, что логика есть вещь, сотворенная человеком, игра, в которую играют по правилам, обладающим весьма большой степенью и широтой произвольности.
Для физика, всесторонне знакомого с классической динамикой в ее обычном понимании, всегда существует элемент искусственности в создании полной аксиоматической базы, так как он знает, что эти аксиомы выбраны так, чтобы подходить теории, которую, как он считает, он уже понимает достаточно ясно, и которая вовсе не изменится в результате введения этой аксиоматики.
Новые работы на эту тему и ссылки на старые работы см. McKinsey J・ С. С., S u g а г. А. С. and S u р р е s Р., Axiomatic foundations of classical particle mechanics. J. Rational Meeh. Anal. 2, 253—272 (1953); McKinsey J. С. C. and S и p p e s P., Transformations oi systems of classical particle mechanics. J. Rational Meeh. Anal. 2, 273—289 (1953); McKinsey J. С. C. and S и p p e s P., Phylosophy and the axiomatic foundations of physics. Proc. Xi'" Internat. Congr. of Phylosophy, т. VI, стр. 49—54, 1953; Rubin H. and S и p p e s P., Transformations of systems of relativistic particle mechanics. Pacif. J. Math. 4, 563—601 (1954).
Однако когда этот физик оказывается лицом к лицу с двумя различными теориями н стремится понять, в чем они согласны и в чем расходятся, он вынужден обращаться к аксиоматике для того, чтобы понять это согласие и это расхождение. Можно сказать, что аксиоматика вторгается в жизнь и вызывает интеллектуальное возбуждение за пределами ограниченного круга специалистов по аксиоматике только тогда, когда серьезно обдумывается создание новых теорий путем изменения аксиом — новых теорий, имеющих физическое значение. Поэтому хотя эта книга не содержит такого изложения классической динамики, которое могло бы рассматриваться как аксиоматическое в современном смысле слова, тем не менее отношение между ньютоновой и релятивистской динамикой настолько интересно, что два следующих параграфа посвящены сравнению этих динамик на основе совершенно аксиоматического подхода.
Ньютонова и релятивистская динамика частицы. В этом и следующих параграфах, мы, ради краткости, вместо слов «ньютонова динамика» будем писать НД, вместо «релятивистская динамика» — РД.
Слово «событие» употребляется и в НД и в РД. Математически можно представить событие совокупностью четырех чисел (координат) или понятием, эквивалентным этому,— точко i в четырехмерном пространственно-временном континууме, который представляет физически все возможные события. Физическое понятие события есть явление, происходящее в весьма малой области пространства в течение очень малого промежутка времени.
В дальнейшем в этом параграфе (а также и во всей книге) понятия рассматриваются только как математические понятия. Как объяснено в § 2, соответствующие физические понятия иногда чрезвычайно сложны; мы не можем рассуждать о них с точностью, удовлетворяющей современным требованиям. Для этих физических понятий читатель может составить свой собственный трехстолбцовый словарь (см. § 2)г если требуемого понятия не окажется в третьем столбце, его нужно позаимствовать из других источников информации.
В НД событие имеет абсолютное положение и абсолютное время (力). Совокупность всевозможных положений образует абсолютное пространство. Два абсолютных положения определяют расстояние^ и абсолютное про、 странство будет евклидовым, если это расстояние определяет метрику. Это означает существование координат х, у, z таких, что элемент длины do имеет вид
do = (dx + dy2 + dz?)2 . (4.1)
Существует взаимно однозначное соответствие между всеми возможными событиями и множеством четверок чисел 瑞 у, z,力 изменяющихся в пределах —8,十8・
В РД (здесь рассматривается только специальная теория относительности) два события определяют интервал, Существуют координаты (/, у, z, £), изменяющиеся от —оо до 十8, так что интервал ds между двумя близкими событиями естьг)
ds = I d/2 + dy2 + dz2 一 d£2 卜2. (4.2)
Существует взаимно однозначное соответствие между всеми возможными событиями и такими четверками чисел 3, У, z, i)-
И в НД и в РД употребляется слово частица. История частицы это кривая в пространстве — времени (мировая линия); она может быть описана уравнениями вида
/ = /⑴，у = у⑴，z = z(£). (4.3)
В НД производные функций в уравнениях (4.3), т. е. компоненты скорости, могут принимать любые значения. В РД эти производные ограничены условием
так что вдоль мировой линии частицы имеем
ds =(必2 - d/2 — dy2 —也2)2；(4.5)
это — так называемый элемент собственного времени. Мы можем использовать собственное время в качестве параметра мировой линии, записав ее уравнения в виде
n = R(s), у = y(s), z = z(s), Е = E(s) (4.6)
вместо уравнений (4.3). Эти четыре функции удовлетво ряют уравнениювместо уравнений (4.3). Эти четыре функции удовлетво ряют уравнению
вместо уравнений (4.3). Эти четыре функции удовлетво ряют уравнению
вместо уравнений (4.3). Эти четыре функции удовлетво ряют уравнению
Как в НД, так и в РД употребляется слово масса (в РД используется термин «масса покоя» или «собственная масса», но здесь ми будем говорить просто «масса»). Это — число т, связанное с частицейу); оно может быть постоянным, а может и изменяться вдоль мировой линии* частицы.
В НД на частицу действует сила с компонентами (X, У, Z). В этом случае мировая линия удовлетворяет следующим уравнениям движения:
(4.8)(4.8)(4.9)(4.9)dt \ 成丿 dt \ dt)
(4.8)
(4.8)
(4.9)
(4.9)
=Z.dt \ dt /
Если (X, У, Z) — заданные функции величин
dx dz y, z,,——,——,
dt 成 成
то мы говорим, что частица движется в заданном поле силы. В этом случае уравнения движения вместе с уравнением т = m(t) (обычно m = const) определяют единственную мировую линию, соответствующую заданным начальным значениям величин (4.9).
1) В РД собственная масса часто обозначается через 打切，сим- вол т используется для дорелятивистской массы (ср. § 108). Заметим, что в настоящем параграфе т означает собственную массу.
В РД на частицу может действовать 4-сила с компонентами (X, У, Z, Т). Тогда уравнениями движения являются уравнения d / dx ш ds \ ds
d
ds
m
dy
ds
=У,
1= Z,虫吗=T. (4.10)
ds \ ds) ds \ ds]
Из (4.7) следует, что эти уравнения движения заключают в себе уравнение
陋=т 里—X 些— Y® — Z 也.(4.11) ds ds ds ds ds
Если (X, У, Z, 7) — заданные функции величин (4.9), мы говорим, что частица движется в заданном поле силы. Тогда уравнения (4.10) определяют единственную мировую линию и массу ш вдоль нее, соответствующую начальным значениям переменных (4.9).
Пусть теперь m = const в НД и РД. В НД уравнения движения примут вид
т1^ = Х，У = К 中=2・(4.12)
В РД мы имеем согласно уравнению (4.11)
(4.13)(4.13)т = X— + Y ^-+ Z —,dt dt dt
(4.13)
(4.13)
так что в этом случае произвольно заданными можно считать X, У, Z, но не Т. Последнее из уравнений (4.10) заключено в первых трех и если мы возьмем £ в качестве параметра, то уравнения движения могут быть записаны следующим образом:
= ^熏=0， m 寒=R, (4.14) Ctrl ■ 以，
где
р =x _Y2т dy dx，«2 ~Ym dy dyY dtdtYdtdtR =т dydz_ 12Y dtdt2I dx"\2 , /dy、I2 1 / dz\2г?2 =\ dt /1十卜+ — .dt /р =x _Y2т dy dx，«2 ~Ym dy dyY dtdtYdtdtR =т dydz_ 12Y dtdt2I dx"\2 , /dy、I2 1 / dz\2г?2 =\ dt /1十卜+ — .dt /(4.15)(4.15)
р =
x _
Y2
т dy dx
，«2 ~
Y
m dy dy
Y dt
dt
Y
dt
dt
R =
т dy
dz
_ 1
2
Y dt
dt
2
I dx"
\2 , /
dy、
I2 1 / dz\2
г?2 =
\ dt /
1十卜
+ — .
dt /
р =
x _
Y2
т dy dx
，«2 ~
Y
m dy dy
Y dt
dt
Y
dt
dt
R =
т dy
dz
_ 1
2
Y dt
dt
2
I dx"
\2 , /
dy、
I2 1 / dz\2
г?2 =
\ dt /
1十卜
+ — .
dt /
(4.15)
(4.15)
Сравнивая уравнения (4.12) для НД с уравнениями (4.14) для РД, мы замечаем только формальную замену (X, У, Z) на 力,Q, 7?. Однако здесь имеется существенное различие. Предположим, что (X, У, Z) не зависят от скорости (dx/dt, dy/dt, dz/dt), как это часто имеет место в НД. В то же время (Р, Q, R) зависят от скорости, стремясь к нулю, когда о приближается к единице, т. е. когда у стремится к оо. Этот факт и неравенство (4.4) отличают РД от НД, пока речь идет о движении частицы постоянной массы в заданном поле силы.
Значительно более важное различие между НД и РД возникает, когда мы рассматриваем не отдельную частицу в заданном поле силы, а систему частиц, движущихся под действием сил, которые обусловлены только взаимодействием частиц.
Ньютонова и релятивистская динамика системы. Рассмотрим проблему на конкретных физических примерах:
солнечная система,
свободное твердое) тело,
Для солнечной системы ньютонова динамика (НД) устанавливает в качестве математической модели систему Р частиц с постоянными массами 人(Z = 1, 2, . . ., Р), Для нескольких частиц мы имеем уравнения движения следующего вида:
饋%2或2饋%2或2^2= у成2^2= у成2恤翁=Zi (i = l, 2,P),恤翁=Zi (i = l, 2,P),(5.1)(5.1)
饋%2或2
饋%2或2
^2= у
成2
^2= у
成2
恤翁=Zi (i = l, 2,P),
恤翁=Zi (i = l, 2,P),
(5.1)
(5.1)
где силы (X», Yj, Z；) в соответствии с законом тяготения Ньютона определяются уравнениями
X, = Gf 2 竺'(％ 二也3「"X, = Gf 2 竺'(％ 二也3「"(5.2)(5.2)
X, = Gf 2 竺'(％ 二也
3「"
X, = Gf 2 竺'(％ 二也
3「"
(5.2)
(5.2)
Г；) = (/ — Zj)2 +(У; — У；)2 +(2j — Zj)2 J
и аналогичными выражениями для У» и Z*. Суммирование по / производится от / = 1 до j = Р при / =# i； G — гравитационная постоянная. Мы имеем, таким образом, в уравнениях (5.1) и (5.2) совокупность уравнений, достаточных для определения (д, у», zj « = 1, 2, . . ., Р) как функций £ и значений
勿，zg, -—, —— ,(i = l,2, ... , P) (5.3)
dt 或 或
при Z = 0.
В случае свободного твердого тела опять берем систему Р частиц и уравнения движения (5.1). Мы присоединяем к ним условия твердости,
⑵-Xj)2 + (弘一y,2 + (zj - z/户=届〃 (5.4)
где Uij = const — постоянные расстояния между частицами. Что касается сил, то они задаются в форме
X, = £ X",匕=Е Yij, Z = £ Z",(5.5)
где
Xjj = — Xji = Aij (xj —勺). (5.6)
Здесь Au (= 力咒) неизвестны; исключив их, мы получим в уравнениях (5.1), (5.4), (5.5), (5.6) группу уравнений, достаточных для определения (力厶沙力 zj (t — 1, 2, . . ., Р) как функций t и начальных значений (5.3). Эти последние нужно выбрать так, чтобы удовлетворялись условия (5.4) и уравнения, полученные дифференцированием (5.4) по t.
Эти математические модели солнечной системы и твердого тела математически ясны и физически удовлетворительны. На их основе были сделаны многочисленные удовлетворительные физические предсказания： Однако мы можем спросить: какова самая общая модель системы частиц с постоянными массами, допускаемая ньютоновой динамикой?
Пытаясь ответить на этот вопрос, ограничимся рассмотрением системы Р частиц. Система замкнута или изолирована в том смысле слова, что все силы вызваны только взаимодействием этих частиц (и нет никаких внешних воздействий). Частицы системы свободны в том смысле слова, что не имеется никакой жесткой связи между ними. Мы записываем ЗР уравнений движения в виде (5.1), имея в виду, что силы (Х“ 匕,Z。зависят только от мгновенного положения системы. Для простоты предположим, что они зависят только от положений и Скоростей частиц, так что силы ——функции 6Р величин
3,力，Zj•，学，学，学 (7=1, 2, ,P). (5.7) at al d
Спрашивается: какие функции допустимы?
Частично ответ на этот вопрос дает третий закон 】) Ньютона. Этот закон ограничивает возможные действующие силы, которыми действуют друг на друга две частицы, 4 и 6, требованием, чтобы силы были направлены по прямой АВ в противоположных направлениях и имели одну и ту же величину. Это эквивалентно утверждению,
1) Цит. в сноске к § 26.
§ 5] НЬЮТОНОВА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ 27 что (Xj, Yi, Z0 имеют вид, определенный уравнениями (5.5) и (5.6), но это не дает никакой информации о природе коэффициентов Aih кроме условия их симметрии Aij = 4ji； они могли бы быть произвольными функциями переменных (5.7). Более полный ответ на этот вопрос дает следующая аксиома однородности и изотропности пространства'.
совокупность уравнений, определяющая движение с〃- стемы, имеет одну и ту же форму для всех координатных систем (х, у, z), полученных одна из другой переносом и вращением осей.
Чтобы пояснить это утверждение, заметим, что (4.1) определяет систему прямоугольных декартовых координат только в пределах ортогональных преобразований (ср. § 9), Приведенная выше аксиома требует инвариантности уравнений движения относительно таких ортогональных преобразований, при условии, что это — собственные преобразования (т. е, группа преобразований не включает отражений). Инвариантность относительно переноса начала координат означает однородность пространства, а инвариантность относительно вращения — его изотропность^ Инвариантность по отношению к отражению относительно плоскости (несобственное преобразование) означала бы эквивалентность винтов с правой и левой резьбой.
Чтобы узнать, каков самый общий тип системы сил, удовлетворяющей приведенной аксиоме, заметим, что рассматриваемое преобразование точно соответствует перемещению твердого тела. Таким образом, аксиома выполняется, если система сил «жестко связана^ с мгновенной конфигурацией частиц. Чтобы увидеть, что это означает, рассмотрим систему четырех частиц, например, на рис. 1.
Пусть А, В, С, D — положения частиц в момент времени /, а скорости их — четыре вектора, обозначенные через г. Мы должны определить четыре вектора, обозначенные через F, т. е. силы, действующие на частицы. Аксиома требует, чтобы эти силы можно было определить, зная тетраэдр АВ CD и четыре вектора о, жестко связанные с этим тетраэдром. При этом зависимость должна быть такой, что если эти определяющие элементы все вместе жестко перемещаются в пространстве, то силы F также
жестко переносятся вместе с ними. Идея предельно проста; понятия элементарной евклидовой геометрии заменяют формальные уравнения. Если мы отказываемся от третьего закона Ньютона, но принимаем аксиому однородности и изотропности, то допускаем любую
Рис. 1. В заимодействие в ньютоновой динамике.
систему сил, построенную таким образом. Если потребовать также инвариантность по отношению к отражениям, то при отражении определяющих элементов относительно плоскости силы должны отражаться относительно этой же плоскости.
Третий закон Ньютона совместим с аксиомой однородности и изотропности, но он ограничивает силы взаимодействия между частицами: они должны быть направлены по линиям, соединяющим частицы и, таким образом, закон не позволяет охватить электродинамические взаимодействия, кроме простого притяжения и отталкивания Кулона. Однако электродинамические взаимодействия можно истолковать релятивистски; в систематическом развитии ньютоновой динамики мы примем третий закон Ньютона, так как иначе мы не смогли бы доказать основные теоремы 'об импульсе и моменте импульса (§ 44).
Переходим теперь к релятивистской динамике (РД) системы. Требование, чтобы интервал между близкими событиями имел форму (4.2), ограничивает класс допустимых систем координат (а, у, z, t) теми системами, которые получаются из данной преобразованием Лоренца (§ 106). Как в НД мы требовали выполнения аксиомы
однородности и изотропности пространства, так в РД формулируем аналогичную аксиому для пространства —времени.
Для замкнутой или изолированной системы частиц аксиома однородности и изотропности пространства—времени имеет следующую формулировку: уравнения^ определяющие движение системы, должны быть инвариантны относительно собственного преобразования Лоренца^.
Преобразование Лоренца можно рассматривать как перенос и вращение в пространстве — времени, как преобразование твердого тела, «твердость» которого понимается в смысле интервала (4.2). Отсюда, точно так же как возможные ньютоновы системы сил можно рассматривать с помощью жесткой конст-
Рис. 2. Взаимодействие в релятивистской динамике.Рис. 2. Взаимодействие в релятивистской динамике.рукции в пространстве, так и возможные системы релятивистских сил можно обсуждать в смысле аналогичной жесткой конструкции в пространстве ——времени. Однако на этом и кончается аналогия между НД и РД. В НД мы имеем в какое-нибудь (абсолютное) время 力 конфигурацию частиц с приложенными к ним векторами скорости (например, система рис. 1). В РД мы имеем только множество мировых линий и нет очевидного пути для установления единственного соответствия между событиями на нескольких мировых линиях. Для того чтобы установить
Рис. 2. Взаимодействие в релятивистской динамике.
Рис. 2. Взаимодействие в релятивистской динамике.
1) Преобразование Лоренца это ——линейное преобразование с детерминантом +1 или ——1. В первом случае это ——собственное преобразование, во втором— несобственное. (Ср. §106).
соответствие между несколькими событиями и одним и тем же значением t, не существует никакого лоренц- инвариантного метода.
Наиболее естественный путь установить соотношение между событиями на мировых линиях — выделить нулевую линию. Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц с постоянными собственными массами тп2. Пусть W^ W2 — их мировые линии (рис. 2). При рассмотрении вопроса удобно использовать координаты Минковского хг (индексы малых латинских букв принимают значения 1, 2, 3, 4 и предполагается, что по повторяющимся индексам ведется суммирование). Полагаем
% = у = %2, z =胃 з, it =应， (5.8) где i = ]/—1. Пусть Л с координатами хг — событие на мировой линии W±. Проведем из Л как из вершины нулевой конус) в прошлое, пусть он пересечет линию W2 в точке В с координатами %；, тогда ВА — нулевая линия, и мы имеем
(д — %； (g — %；) = 0.(5.9)
Пусть (см. рис. 2,
A dXr, А , UXrс
лг —в точке
где ds, ds'— элементы ственно наW2.
Две мировые линии вляют нам следующие
хг -入
У равнения вида
А, 厶=犷 в точке &, (5.10) собственного времени соответ- и события 4, 5 на них доста- векторы:
Л 4 …. (5.11) ds as
(5.12)
для мировые линии И7!, вместе с аналогичными уравнениями для 戌2, представляют удобную формулировку проблемы двух тел в РД, ири условии, что Хг ——вектор, построенный из векторов (5.11) и из инвариантов, образованных из них. Легко видеть, что это требование выполнено для
Хг = a (xr - X；) + рхг + уХ； + 6 — + е ^ ,(5.13 1
ds ds'
где коэффициенты — заданные функции инвариантов
W^{xn-x^^ y=区一2")軍，
dsds,(5.14)
,d^n一 dXndXnd^ZL
dsfdsdsds'
Записывая уравнения для W2, мы используем события С, D (см. рис. 2) вместо событий А, В и вносим соответствующие изменения в уравнения.
Сохранение массы т^ обеспечено условием
Xrb = 0(5.15)
или
а - р + 丫屮；+ %= 0(5.16)
(ср. с (4.11)); сохранение массы т2 гарантировано аналогичным условием.
Хотя уравнения вида (5.12) удовлетворяют условию лоренц-ковариантности, они представляют проблему значительно более сложную, чем та, с которой мы встречаемся в НД. Эти уравнения появляются как дифференциальные уравнения, но так как они включают два события / и 8, то по своей природе это —— разностные уравнения вследствие эффекта «запаздывания» имеющего
место для события В. Общепринятыми уравнениями движения для двух частиц, несущих электрические заряды е“ &2, являются уравнения вида (5.12); коэффициенты в уравнении (5.13) даны выражениямиг)
4лс2а4лс2аg出伊’一1g出伊’一1九?АП—-九n九?АП—-九n4лс2,у4лс2,уe^e^W — 172Z~W We^e^W — 172Z~W W(5.17)(5.17)4лс2е =4лс2е =ё色5.ё色5.力2力2
4лс2а
4лс2а
g出伊’一1
g出伊’一1
九?АП—-九n
九?АП—-九n
4лс2,у
4лс2,у
e^e^W — 1
72Z~
W W
e^e^W — 1
72Z~
W W
(5.17)
(5.17)
4лс2е =
4лс2е =
ё色5.
ё色5.
力2
力2
другие коэффициенты равны нулю.
Подведем итоги. Для одной частицы в заданном поле силы, как в ньютоновой, так и в релятивистской динамике ,необходимо решить систему из трех дифференциальных уравнений. Но для системы взаимодействующих частиц дифференциальные уравнения ньютоновой механики заменяются в теории относительности дифференциально-разностными уравнениями; эти уравнения представляют столь значительные математические трудности, что только некоторые предельные случаи могут быть разрешены приближенными методами).
аряды измерены в рациональных единицах Хевисайда; чтобы перевести их в гауссовы электростатические единицы, надо зачеркнуть множитель 4л. Множитель с — скорость света. Вывод этих формул см. В. Паули, Теория относительности, пер. с нем., Москва, 1947. Ср. также J. L. Synge, Relativity, The Special Theory, стр. 394, 423, Amsterdam, North-Holland, 1956.
Б. КИНЕМАТИКА
ГЛАВА I
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Перемещения, параллельные плоскости. Положение твердого тела вполне определяется положением какой-нибудь плоскости его сечения, и то же верно относительно перемещений твердого тела, которые, параллельны фиксированной плоскости; их можно исследовать, рассматривая перемещения пластинки в своей плоскости.
Такое перемещение можно описать, указав, что две точки пластинки, занимавшие первоначально положения А и В, переместились в положения 4' и 5\
Это перемещение можно разбить на два последовательных: I) поступательное перемещение точки из Л в точку А! и II) вращение вокруг А'.
Можно также начать с вращения, а затем произвести поступательное перемещение.
Чтобы описать перемещения в плоскости, удобно использовать комплексные числа (2 = х + Ф)* Перенос, представленный комплексным числом 厶 равносилен преобразованию zr ~ z -\- t. Вращение на угол 令 вокруг точки с означает преобразование
一 с = (z — с) е^. 「
Если принять 7 и 7? за символы операций переноса и вращения, а комбинированные операции обозначить через RT и TR (читать справа налево), то мы имеем для двух последовательностей операций следующие
Дж. Л. Синг
преобразования:
RT ： z' = c + (z+ 力一с) е“"，(6 [)
TR : zf ^t + c + (z-c) ?^.'
Вообще говоря, это ——различные преобразования (RT Ф TR) и это, возможно, простейший пример некоммутативных операций в механике. Равенство RT = TR имеет место только в тех исключительных случаях, когда 力=0 или 令=0.
Рассмотрим первое из преобразований (6.1). Чтобы найти неподвижную точку для перемещения RT, мы должны положить z'= z; это дает уравнение для z:
z (1 — е'6) = с + Z (Z - с) еУ(6.2)
Если 9 = 0 (или кратно 2л,) то уравнение имеет единственное решение. Отсюда при каждом жестком плоском перемещении (исключая чистое поступательное перемещение) имеется одна-единственная неподвижная точка. Утверждение, эквивалентное этому, может быть высказано так: любое жесткое плоское перемещение (исключая поступательное) можно представить как вращение вокруг соответствующим образом выбранного центра.
Этот центр может быть найден (а приведенная теорема доказана) простым построением. Пусть перемещение переводит точку 4 в 8 и точку В в С. Тогда, если только перемещение не есть чистое поступательное перемещение, п ерпендикул яры, проведенные через середины отрезков АВ и ВС, пересекаются в некоторой точке О; D есть искомый центр.
Результат двух плоских перемещений (D2D i) есть поэтому результат двух вращений (Я2^1), следовательно, это тоже вращение (%) и можно написать
Ез -冗2冗加(6.3)
Два вращения вокруг различных центров некоммутативны (Я2^1 片 R*》・ Легко привести пример, который иллюстрирует это положение. Пусть 4, А2— два центра 令匕 令2— углы вращения. Тогда углы вращения R^R2 и R2^i равны, а именно, 2屮=也 + 曾2，а их центрами
являются точки &2 и C2i (рис. 3); эти центры являются взаимными отражениями друг друга относительно прямой AiA 2*
Тонкая пластинка, движущаяся в плоскости (или твердое тело, движущееся параллельно плоскости), имеет три степени свободы, так как положение пластинки определено, когда мы знаем две координаты какой-нибудь
Рис. 3. Результирующая двух вращений в плоскости. С12—центр вращения R1R24 а С21—центр вращения R2kl.
ее точки и угол, образуемый какой-нибудь прямой на ней с фиксированным направлением. Для такого движения пространство конфигураций трехмерно (§ 62). Оно того же типа связности, что и бесконечный цилиндр; это означает, что имеется один, нестягиваемый в точку, контур, соответствующий полному повороту пластинки (§ 63); это пространство — плоское по отношению к кинематическому линейному элементу (§ 84).
Теорема Эйлера. Рассмотрим твердое тело с неподвижной точкой О. Проведем сферическую поверхность S единичного радиуса с центром в точке О. Положение тела вполне определяется положениями тех точек его, которые лежат на поверхности S, и любое перемещение тела, которое оставляет неподвижной точку О, есть жесткое преобразование S в себя.
Теорема Эйлера: Произвольное жесткое перемещение сферической поверхности 8 себя оставляет неподвижными две точки этой поверхности, лежащие на одном диаметре. Эту теорему можно доказать (и найти неподвижные точки) построением, приведенным после уравнения (6.2); нужно только перпендикуляры к серединам отрезков в плоскости заменить окружностями больших кругов на сфере. Исключительный случай (чистый перенос на плоскости) не может возникнуть, так как две окружности больших кругов обязательно пересекаютсяг).
Теорему Эйлера можно выразить, сказав, что любое вращение вокруг неподвижной точки равносильно вращению вокруг некоторой прямой, проходящей через эту точку. Это свойство (неподвижная точка подразумевает неподвижную прямую) обусловлено нечетностью размерности пространства.
Как и в случае плоскости (см, рис. 3), можно рассматривать сложение двух вращений вокруг точки; при этом прямые на плоскости нужно заменить окружностями больших кругов на сфере. Теперь точки 41 и 42— точки, в которых сфера пересекается с двумя осями вращений; точка 41 лежит на одной оси, точка 42—— на другой. Существенное различие состоит только в том, что хотя угол результирующего вращения по-прежнему равен 2ф (ф ——соответствующий угол рис. 3), мы имеем теперь 29=也+也一2后，(7.1)
где Е ——сферический избыток треугольника 4М 2Ci2.
Ясно, что два вращения вокруг двух точек некоммутативны (R 27?i济R17? 2)» если только это не вращения вокруг общей прямой).
Вращение полностью определяется тремя параметрами, а именно, углом вращения и двумя направляющими косинусами оси вращения. Следовательно, твердое тело, имеющее неподвижную точку, обладает тремя сте-
оказательство теоремы Эйлера, основанное на том факте, что действительная ортогональная матрица имеет одно собственное значение равное ±1, см. Голдстейн, [7], стр. 134—140.
пенями свободы, т. е. тем же числом, что и пластинка, движущаяся в плоскости. Однако несмотря на аналогию между этими двумя системами, между ними имеется и большое алгебраическое различие. В плоском случае мы очень просто можем использовать комплексные числа, как это было сделано в случае уравнения (6.1), но чтобы рассмотреть вопрос о конечных вращениях вокруг точки, требуются значительно более сложные методы, как мы это увидим из следующих параграфов. Пространство конфигураций (§ 62) в обоих случаях трехмерно и имеет одинаковую связность (оно имеет один нестягиваемйй в точку контур, § 63). Однако пространство конфигураций пластинки — плоское по отношению к кинематическому линейному элементу (§ 84), а пространство конфигураций для тела, имеющего неподвижную то?ку, искривленное.
Общие перемещения твердого тела. Пусть D обозначает перемещение твердого тела. Предположим, что D переводит некоторую точку тела из положения А в положение А'. Тогда D может быть составлено из двух перемещений: (I) поступательное по АА и (II) вращение вокруг точки 4'. Это ——стандартный путь описания общего перемещения. Точку тела А называют полюсом или опорной точкой”.
Множество ортогональных триэдров, оси которых параллельны между собой, остается таким же и после применения преобразования D. Отсюда ясно, что вращение (т. е. направление его оси и угол вращения) не зависит от выбора полюса. Однако от выбора ее зависит поступательное перемещение.
Теорема Шаля. Произвольное перемещение твердого тела в про стр анстве эквивалентно винтовому движению.
Винтовое движение определяется как результирующая вращения и поступательного перемещения тела в направлении, параллельном оси вращения. Легко видеть, что для винтового движения перенос и вращение коммута-
тивны. Для того чтобы доказать теорему Шаля, выберем какую-нибудь опорную точку и разобьем поступательное перемещение на два: одно (назовем его 7\) — параллельное оси вращения и другое (назовем его 7\) — перпендикулярное этой оси. Затем, так как перенос Т2 и вращение представляют собой плоские перемещения в общей плоскости, то их можно объединить в о дно-единственное вращение с новой осью, параллельной прежней оси (ср. § 6). Взятые вместе, это вращение и 7\ образуют винтовое движение, что и доказывает теорему Шаля.
Общее перемещение твердого тела может быть получено двумя полуоборотами. Полуоборот — это вращение вокруг прямой на два прямых угла. Оси двух полуоборотов пересекают перпендикулярно ось эквивалентного винтового движения; они удалены от этой оси на расстояние в полшага винтового движения, а угол между ними равен половине угла вращения винтового движения 1).
Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы: три — поступательного перемещения и три — вращательного движения. Его шестимерное пространство конфигураций имеет один нестягиваемый в точку контур и оно искривлено по отношению к кинематическому линейному элементу (§ 84).
Мы уже отметили аналогию между плоским перемещением (перенос + вращение) и перемещением трехмерного твердого тела, имеющего неподвижную точку (вращение). Подобная аналогия существует между общим перемещением твердого тела (перенос + вращение) и перемещением четырехмерного твердого тела, имеющего неподвижную точку (вращение). Мы не встречаем четырехмерных твердых тел в ньютоновской физике, но в специальной теории относительности преобразования Лоренца с неподвижным началом координат (для этого нужно положить 6г = 0 в преобразовании (107.5)) можно рассматривать как четырехмерное вращение, если, конечно, при этом принять во внимание особенности метрики пространства —времени.
I) Дополнительные детали и другие свойства конечных перемещений см. Л а м б [14], гл. 1.
Ортогональные матрицы. Для матриц будут употребляться следующие обозначения:
М — транспозиция матрицы М (транспоиированна я матрица),
М^ — комплексная сопряженная матрицы М^
——единичная матрица,
М — ортогональная матрица, если М-М 二 1 (или, что то же, М^1 — М), и собственная или несобственная, в зависимости от того, чему равен det М： 4-1 или —1,
М — унитарная матрица, если ММ* = 1 (или, что то же, = М+),
М — симметричная матрица, если М = М,
М — эрмитова матрица, если М+ = М, г ——одностолбцовая матрица (ж, у, 2).
Пусть (7, J, К) — ортогональный триэдр единичных векторов с началом в точке。(ортонормальный триэдр). Пусть твердое тело имеет заданное вращение вокруг О. И пусть в результате вращения (7, J, К), которые мы считаем неподвижными относительно тела, переводятся в ортонормальный триэдр (г, j, "). Тогда существует матрица скалярных произведений (или соответствующих направляющих косинусов):
/7-1 /•/ 1*к\
〃= j・i J・j J.к .(9.1)
\K-i K j K・k)
Используя ортогональные проекции и вводя одностолбцовые матрицы векторов
можно выразить связь между двумя этими триэдрами в следующих формулах:
t = MT, T=Mt.(9.3)
Пусть орт г имеет направляющие косинусы (厶，ттг% %) в системе (7, J, К). Аналогичные обозначения введем
и для ортов у и Л. Тогда матрицы М и М имеют следующий
вид:вид:7711 ПЛ加 2 冷2 •(9.4)加3 ^3/7711 ПЛ加 2 冷2 •(9.4)加3 ^3/
вид:
вид:
7711 ПЛ
加 2 冷2 •(9.4)
加3 ^3/
7711 ПЛ
加 2 冷2 •(9.4)
加3 ^3/
Из ортонормальности триэдров имеем шесть условий, первые два из которых таковы:
ti ~\~ I2 ~\~ 1з — 1,厶加丄 + 22m2 十 з^з = 0.(9.5)
Из них следует, что М — ортогональная матрица, так как
MM=i = MM.(9.6)
Отсюда det 7И = ±1. Если триэдр неподвижен, то М = 1, detM = 1; поэтому, вследствие непрерывности, М — собственная матрица всех вращений. Несобственная ортогональная матрица соответствует вращению с отражением относительно начала координат. Мы ограничимся исследованием случая вращения, хотя некоторые из формул приложимы и к несобственным ортогональным преобразованиям.
До сих пор мы избегали употребления координат. Пусть теперь OXYZ — оси, неподвижные в пространстве, и пусть (Z, J, К) совпадают с этими осями, так что 7=(1,0, 0), J = (0, 1, 0), К = (0, 0, 1). Рассмотрим какую-нибудь точку тела. Пусть (z, у, z) — ее координаты до вращения, (хг, у', z') — после вращения. Тогда начальный и конечный радиусы-векторы точки равны соответственно
(9-7)(9-7)r — xI^yJ^zK,г ^xi + yj + zk,так что
(9-7)
(9-7)
d = г、/ = Цх + l2y + Z3Z и т. д. (9.8) и преобразование координат можно выразить в.матричной форме следующим образом:
г' = Мг, г = Мг',(9.9)
вторая формула следует из первой на основании (9.6). Отметим наиболее важный факт — линейность этого
преобразования. Отметим, кроме того, сравнивая формулы (9.3) и (9.9), формальную взаимную перестановочность М и М.
Для данного вращения матрица М зависит от выбора векторов (Z, J, К) или, что то же, от выбора осей OXYZ. Направляя вектор К вдоль оси вращения, можно упростить матрицу М и привести ее к виду
/cos X — sin х 0\sin%cos x 0 j ,(9.10)
\ 001/
где x — угол вращения.
Рассматривая несколько последовательных вращений, мы, как правило, для каждого нового вращения выбираем новую неподвижную систему координат OXYZ. Мы можем последовать схеме
Т —> Т1 ―> Т2 —> • • •> Tr—1 〉片， /Q 4 4、
Mi 1 &2 財31 мп (У.11)
на которой показаны матрицы вида (9.1) или (9.4), соответствующие каждому переходу от одного триэдра к другому. Результирующее вращение будет представлено тогда формулой, аналогичной (9.3),
t = MT, М = МпМп^ ... >4.(9.12)
Чтобы получить соответствующее преобразование координат, используя неподвижные оси, совпадающие с 7, мы должны, как и в случае перехода от (9.3) к (9.9), заменить М транспонированной матрицей; тогда получим
к = М〃 м = мм …Mr. (9.13)
Заметим, что матрицы написаны здесь в порядке возрастания номера, но на самом деле операции выполняются в обратном порядке.
Разница между преобразованиями (9.12) и (9.13) (перемена местами М и М) может быть источником незначительной путаницы. Существует еще третья точка зрения на вращение. Мы можем считать точку неподвижной в пространстве и рассматривать ее координаты (х, у, z) в старом триэдре 0? а координаты (а/, у\ z‘) — в новом
триэдре t. Тогда преобразование имеет вид
г = Мг, (9.14)
что аналогично представлению (9.12).
Чтобы пояснить сказанное, подведем итог: собственную ортогональную 3x3 матрицу М можно представить следующими четырьмя согласующимися между собой способами:
Таблица скалярных произведений (9.1) старой и повой системы векторов (，，J, К) и (/, j, Л).
Вращение ортонормального триэдра, Т—>力 с t = мт.
Преобразование координат, при котором оси остаются неподвижными в пространстве, а точка перемещается вместе с телом,
г —> г с М = Мг.
Преобразование координат, при котором одна точка пространства остается неподвижной, а оси перемещаются вместе с телом, г―> г с г' = Мг,
10. Вращение, представленное с помощью его оси и угла (параметры Эйлера). Упорядоченный ортогональный триэдр (/, J, К) может иметь две ориентации — правую или левую. В некоторой точке земной поверхности мы получим правый триэдр, если выберем вектор I горизонтальным и направленным на восток, J — горизонтальным и направленным на север и К — направленным вверх.
В этом параграфе (если только не оговорено противное) все триэдры векторов, включая и системы координат, будут правыми, как это и принято обычно.
Положительное направление вращения вокруг оси К — это направление вращения на 90°, в результате которого вектор I совмещается с вектором J.
Какое-нибудь вращение вокруг оси, совпадающей по направлению с -единичным вектором U, можно описать символом [U, %], где % — угол вращения, положительный в указанном выше смысле. Однако соответствие между вращениями и такими представлениями многозначно.
Если R обозначает вращение вокруг U, мы можем нап нсатв в символической форме:
Н = [“ ％ + 2шт] = [—U, — х + 2пл],(10.1)
где п — произвольное целое число.
многозначность такого соответствия, скаляр q следующим образом:многозначность такого соответствия, скаляр q следующим образом:Мы уменьшим введя вектор V и
многозначность такого соответствия, скаляр q следующим образом:
многозначность такого соответствия, скаляр q следующим образом:
(Ю.2)(Ю.2)11
(Ю.2)
(Ю.2)
V =V =Usin — X， Q = cos 2 X-
V =
V =
Пусть компоненты вектора V по каким-нибудь осям равны (А,因 V). Тогда из (10.2) следует уравнение
炉+炉+屮2 +頂=1.(Ю.З)
Легко видеть, что любая совокупность значений 0,卩，v), удовлетворяющая условию (10.3), определяет единственное вращение, но что данному вращению соответствуют две системы значений этих величин. Итак, мы можем написать в символической форме:
В = В, “，V, q} = {—A,—卩，一V, —q}.(10.4)
Величины (А,因 v, q) называются параметрами Эйлера). Они удобны для описания конфигураций твердого тела, имеющего неподвижную точку. Итак, можно перейти от какой-нибудь данной начальной конфигурации Со к конечной конфигурации С с помощью некоторого определенного вращения Н; Л определяется параметрами (А,卩，v, q). Будем считать (Л,卩，v, q) прямоугольными декартовыми координатами точки в четырехмерном евклидовом пространстве. Тогда, принимая во внимание уравнение (10.3) и запись (10.4), мы можем высказать следующие утверждения:
Точка на гиперсфере (10.3) определяет конечную конфигурацию тела.
Конечная конфигурация тела определяет пару
диаметрально противоположных точек на гиперсфере (10.3).
Рис. 4. Ось F и уголРис. 4. Ось F и уголвращения %.вращения %.Существует непрерывное взаимное однозначное соответствие между конечными конфигурациями тела и прямыми линиями пространства четырех измерений, проходящими через начало координат.
Рис. 4. Ось F и угол
Рис. 4. Ось F и угол
вращения %.
вращения %.
Так как 仇，卩，v, q) определяют вращение вокруг неподвижной точки, то матрицу М из § 9 можно выразить через них. Это делается следующим образом:
Пусть Р(г) и P(N) (рн& 4)— начальное и конечное положения точки тела, подвергнутого вращению (10.2). Пусть N — общее основание перпендикуляров, опущенных из точек Р и Р' на V;
пусть, кроме того, NP =р, и пусть s ——единичный вектор, та
кой, что ⑦，с, V) образуют правый ортогональный триэдр векторов. Тогда
Но,Но,(10.5)(10.5)г' = ON + NP‘ = ON + р cos X + ^Р sin %, с другой стороны,
Но,
Но,
(10.5)
(10.5)
p = г-血S =
V pV p
и, значит, согласно (10.2)
rz = г cosX + ON (1 — cos%) + 9通^~^£，)=
=尸(q2 一 卩2)+ 27W -I- 2q (У X 尸).(10.6) Кроме того,
片凉=УЮ(10.7)
и, следовательно, преобразование /—> г имеет вид
# =尸(@2 一 尸)+ 2 V(У • г) + 2q (卩 х г),(10.8)
а в матричной форме г = Мг, где
/九2 -n2 —屮2 + q22 (九N一VQ)2 (屮九+氏)\
M=( 2(人n+恥)炉一屮2一九2+022(炉一九Q)I ,
\ 2 (屮九一NQ)2 (n屮+九Q)屮2 —九2 一n2 + Q2/
(10.9)
X, Ц, V ——компоненты вектора V, так что имеют место условия
九2 十 了 十,2 = sin2 ^х； V+JX2+V2+ Q2= 1. (10.10) Заметим, что M не изменяется, если (九,ц, v, q) заменить на (——九,—卩,—v, ~ q), как конечно, и должно быть.
§ И. Углы Эйлера). Пусть вращение вокруг точки О переводит ортонормальный триэдр (/, J, К) в (г, /, &)・
Рис. 5. Углы Эйлера 心，ф,屮.
Разобьем это вращение на три (рис. 5). Во-первых,
вращение вокруг К такое, чтобы в новом положении плоскость (/, К) содержала вектор к. Предположим, что это вращение на угол ср; оно дает преобразование
(
А =/cos ср+ J sin ср, 〃=-/sincp +Jcoscp, (11.1) К=К・
Во-вторых, вращение вокруг Ji такое, чтобы совместить вектор Ki с вектором 抬 пусть это будет вращение на угол 仆；оно дает преобразование:
-I2 = I cos 仆一К】 sin 館
(Л,几 KJ (厶，厶，幫 I J2H 几(n-2)
k = Ii sin 9 + Ki cos 仆.
Наконец, вращение вокруг к такое, чтобы совместить вектор /2 с вектором 厶 а вектор 厶 с /； пусть это будет вращение на угол 屮；это вращение дает преобразование
"i =厶cos 屮 + Jzsin 屮，
(A，办，力)一>(" j, *) j= - Asinw + 办cosw，(И.3) k = k.
Углы (仆，ср,屮)называют углами Эйлера. Их значения определяют положение триэдра векторов (/, у,力)относительно системы (/, J, К). Они могут, иметь произвольные значения, но все положения (i, /, Аг) определяются следующими пределами изменения этих углов:
(11.4)(11.4)0<^сл, 0<(р < 2л, 0<^ < 2л.
(11.4)
(11.4)
С помощью приведенных преобразований можно выразить (厶 j, Аг) как линейные функции (/, J, К) и отсюда получить матрицу скалярных произведений М вида (9.1) или матрицу направляющих косинусов вида (9.4). Эта матрица М компактно показана в следующей таблице, в которой для
краткости обозначено: с = cos, s = sin, а индексы 1, 2, 3 относятся соответственно к 仆，ф,屮：
IС1С2С3— S2s3—с1с2'?3—s2c3SiC2Jс152сзЧ с253—C]S2sз 卜С2С3S]电к$№зClIС1С2С3— S2s3—с1с2'?3—s2c3SiC2Jс152сзЧ с253—C]S2sз 卜С2С3S]电к$№зCl/с/с(11.5)(11.5)
I
С1С2С3— S2s3
—с1с2'?3—s2c3
SiC2
J
с152сзЧ с253
—C]S2sз 卜С2С3
S]电
к
$№з
Cl
I
С1С2С3— S2s3
—с1с2'?3—s2c3
SiC2
J
с152сзЧ с253
—C]S2sз 卜С2С3
S]电
к
$№з
Cl
/с
/с
(11.5)
(11.5)
■ Мы имеем здесь иллюстрацию сложения вращений согласно формуле (9.13), ибо, транспонируя элементы в (11.1)—(11.3), можно получить матрицы Mi, М^ М3 и непосредственно убедиться, что матрица М (11.5) представима в виде
М=М{М2М^ =
—§3 0、Q 0 • о V—§3 0、Q 0 • о V(11.6)(11.6)
—§3 0、
Q 0 • о V
—§3 0、
Q 0 • о V
(11.6)
(11.6)
Сравнивая матрицу (11.5) получить параметры Эйлера, Эйлера,Сравнивая матрицу (11.5) получить параметры Эйлера, Эйлера,с матрицей (10.9), легко выраженные через углыс матрицей (10.9), легко выраженные через углы
Сравнивая матрицу (11.5) получить параметры Эйлера, Эйлера,
Сравнивая матрицу (11.5) получить параметры Эйлера, Эйлера,
с матрицей (10.9), легко выраженные через углы
с матрицей (10.9), легко выраженные через углы
11e sin 2 仆 sill ~(叩-ф),11E sin 2 仆 cos ~(叩—<p),11E cos — ^1 sin —(叩 + ф),11E COS —仆 COS —22(叩 + ф),11e sin 2 仆 sill ~(叩-ф),11E sin 2 仆 cos ~(叩—<p),11E cos — ^1 sin —(叩 + ф),11E COS —仆 COS —22(叩 + ф),九—卩 TT7ZV —е =九—卩 TT7ZV —е =(11.7)(11.7)
11
e sin 2 仆 sill ~
(叩-ф),
11
E sin 2 仆 cos ~
(叩—<p),
11
E cos — ^1 sin —
(叩 + ф),
11
E COS —仆 COS —
22
(叩 + ф),
11
e sin 2 仆 sill ~
(叩-ф),
11
E sin 2 仆 cos ~
(叩—<p),
11
E cos — ^1 sin —
(叩 + ф),
11
E COS —仆 COS —
22
(叩 + ф),
九—
卩 TT7Z
V —
е =
九—
卩 TT7Z
V —
е =
(11.7)
(11.7)
где е — ±1. Для определенности мы можем взять е = 1, определив тогда 仇，ц, v, q) через (令，屮，ф) единственным образом.
Кватернионы. Кватернион q имеет форму
q = at + bj + ск + d,(12.1)
где а, 6, с, d — обыкновенные числа (мы будем считать их действительными) иг, j, к ——кватернионные единицы или единичные векторых), подчиненные следующим алгебраическим правилам:
(12.2)(12.2)*=户=及2=],jk = — к] = i, ki = — ik = / , 〃= — ji = к.
(12.2)
(12.2)
Векторная часть Vq, скалярная часть Sg, сопряженный кватернион Kq, норма Nq и обратный кватернион L — определяются следующими формулами):
У^ = а/ + д/ + ск, Sg = d, q = Vq Sg, ]
Kq = — Vq + Sg,(12.3)
IKa
Nq = (qKq)2 = ^+Ъ2 + c2 + 笳户，^1 =而•
Векторную часть Vq можно рассматривать как обыкновенный вектор, при этом г, /, к являются единичными векторами координатных осей. Если Sq = 0, кватернион q вырождается в вектор с нормой Nq = 1, если это единичный вектор.
Каждый кватернион q определяет положительное число /г, единичный вектор р и угол % (0《％《2冗).Соотношение между ними выражается формулой
q = h (cos уq = h (cos у(12.4)(12.4), .1
q = h (cos у
q = h (cos у
(12.4)
(12.4)
% + Р sm 2 %
Следуя традиции, мы используем здесь обычный шрифт для кватернионов.
Тогда Nq =无 н получаем
(12.5)(12.5)% — р sin — X
(12.5)
(12.5)
Пусть г ——какой-нибудь вектор и q ——какой-нибудь кватернион. Тогда формула
г' = qrqT(12.6)
определяет преобразование г—>г\ такое, что Srf = Sr = О (т. е. гг — вектор), и это преобразование на самом деле является вращением вокруг оси р на угол %, где р и % определены соотношением (12.4). Это можно показать следующим образом 】).
Очевидно, что h (= Nq) сокращается в формуле (12.6) и мы можем взять, не умаляя общности, Nq = 1, полагая, таким образом,
,=黨 + 卩/ + v" + Q, X2 + И2 + V2 + Q2 = 1 • (12.7)
Тогда
,т =―九力一同一v" + q(12.8)
и, воспользовавшись выражением (12.6), при
г =位 + yj + rr = xri + yrj + zfk
находим в матричных обозначениях
r' = Mr,(12.9)
где М имеет точно форму (10.9). Следовательно, преобразование (12.6) определяет вращение, а числа (X,卩,v, q), введенные в формулах (12.7) действительно являются эйлеровыми параметрами вращения (§ 10). Полагая 冷 = 1 в выражении (12.4), получим следующие соотношения:
Р sin ^ %, (NVq)2 = 乂 + 1 + У = sin -| %,
Sg = Q = COS w %,
(12.10)
) Другие доказательства см. Brand, цит. соч., стр. 417, и Joly, цит. соч., стр. 18.
Дж. JI. Синг
так что (ср. с (10.2)) Vq есть не что иное, как вектор V из § 10 (направленный вдоль оси вращения), а угол % кватерниона, определенный формулой (12.4), есть угол вращения.
§ 13. Стереографическая проекцияг) и параметры Кэли — Клейна. Спроектируем сферу 炉 + у? + z? = 1 из точки (0, 0, 1) на плоскость z = 0 (стереографическая
Рис. 6. Стереографическая проекция.Рис. 6. Стереографическая проекция.
Рис. 6. Стереографическая проекция.
Рис. 6. Стереографическая проекция.
проекция); пусть точка (X, У) на плоскости — проекция точки сферы с координатами (/, у, z) (рис. 6). Тогда, как легко видеть,
—； x =, Y - —;
ХУ 11 一 z 1 — z
一 2X ，_ 2y
— X2 + у2 + 1，У = х2 + У2 + 1，'(13.1)
=x2十片— 1_ _2
Z — Y + y2 + 1 '- Z — X2 + y2+ 厂
Простой подсчет дает
dx2 + dy2 + dz2 =dx2 + dy2 + dz2 =4 (壮+*) 啰2+片+ "24 (壮+*) 啰2+片+ "24dz疯(ZZ + I)24dz疯(ZZ + I)2(13.2)(13.2)
dx2 + dy2 + dz2 =
dx2 + dy2 + dz2 =
4 (壮+*) 啰2+片+ "2
4 (壮+*) 啰2+片+ "2
4dz疯
(ZZ + I)2
4dz疯
(ZZ + I)2
(13.2)
(13.2)
1) Ср. Tietz H., Handbuch der Physik, I960, т. II, стр. 187.
где Z = X -[- iY и черточка означает комплексное сопря- я«енное.
Преобразование Z —> Z' на плоскости вызывает преобразование единичной сферы в себя (х, г/, и)—>(^\ y\z). Оно будет жестким (т. е. движением твердого тела), если сохраняется элемент 彰合 十 蹴 十 血^, т. е. если
dZW2' dZ dZ
—g ===5 °( IO . 3) {Z'Z' + I)3(ZZ + I)2
Легко убедиться, что это условие выполняется при преобразовании
(13.4)(13.4)pZ + д一死十"
(13.4)
(13.4)
где р, q — произвольные комплексные числа (стереографические параметры), удовлетворяющие условию
(13.5)(13.5)pp + qq= 1,
(13.5)
(13.5)
так что три из них могут быть заданы произвольно. Вычисление показывает, что
(13.6)(13.6)J _(M-g)(g%-p)
(13.6)
(13.6)
z 2 十「 zz + 1
и отсюда, принимая во внимание (13.1), получим формулы
Z 2' + 1
(13.7)(13.7)=р2(2 + iy)— q (х — iy) — 2pqz, x'—iy ' = p2(x — iy) — q2(x + iy) — 2pqz, ,Z'Z-1 2 =—=
(13.7)
(13.7)
Z 'Z' + 1
= pq(x + iy) +pg(x— iy) + (p万一qq) z.
Итак, мы имеем преобразование г = Мг, матрица М которого такова:
2(p2 + p2 一92一92)2i (Р2 -炉十92 -d) —pq-pq \
^_貿一口2+p2 +02一02) _^_ (加+炉+炉+尸)i(p9一刼)I '
pg +pqHpq—p0 pp—qq /
(13.8)
Преобразование r—> г\ как нетрудно заметить, является жестким преобразованием единичной сферы в себя, но так как оно линейно и однородно, то оно представляет жесткое вращение всего пространства.
Некоторые свойства вращения очевидны из формулы (13.4). Так, если в (13.4) подставить Z = —q/p, то Z，= 0; следовательно, точка на единичной сфере, соответствующая точке Z = — q/p на плоскости, переходит при этом преобразовании в точку (0,0,—1). Аналогично, подстановка Z = p/q дает Z' = 8, так что соответствующая точка сферы переходит в (0,0,1). Ось вращения может быть найдена, если положить Z‘ = Z н решить получающееся таким образом квадратное уравнение.
Мы свяжем параметры Эйлера 仇，卩，v, q) co стереографическими параметрами (p, ^)), сравнив матрицы (10.9) и (13.8); ранее мы выразили 仇，卩，v, q) через углы Эйлера (令，ср,屮)формулами (11.7), если е = 1.
Существует, конечно, неопределенность в выборе знака в выражениях параметров Эйлера через стереографические параметры, потому что матрица (13.8) не изменяется, если одновременно изменить знаки р и д. Выбирая определенный знак, получим
а I i (ф + 'Ф) р = q + EV = COS —令川,
'/1(13.9)
g = Z九一从=-S1H -号沢.
Параметры Кэли —— Клейна (а, 0, у, 6) определяются следующими формулами):
,.1 a気①+W)
у? = q + tv = cos у 什e*
РР66=—jg =九 + 力卩=»sin仆е^”"":• - А , .in 斗(<P-W)iq=^K+Hk = i sin — ue 2= P = Q — tv = cos -^ v^ J .=—jg =九 + 力卩=»sin仆е^”"":• - А , .in 斗(<P-W)iq=^K+Hk = i sin — ue 2= P = Q — tv = cos -^ v^ J .-(13.10)-(13.10)Вследствие (13,5) они удовлетворяют условию лярности:Вследствие (13,5) они удовлетворяют условию лярности:унимоду-унимоду-YYР 6Р 6=аб — Y0 = 1;=аб — Y0 = 1;(13.11)(13.11)
Р
Р
6
6
=—jg =九 + 力卩=»sin仆е^”"":
• - А , .in 斗(<P-W)
iq=^K+Hk = i sin — ue 2
= P = Q — tv = cos -^ v^ J .
=—jg =九 + 力卩=»sin仆е^”"":
• - А , .in 斗(<P-W)
iq=^K+Hk = i sin — ue 2
= P = Q — tv = cos -^ v^ J .
-(13.10)
-(13.10)
Вследствие (13,5) они удовлетворяют условию лярности:
Вследствие (13,5) они удовлетворяют условию лярности:
унимоду-
унимоду-
Y
Y
Р 6
Р 6
=аб — Y0 = 1;
=аб — Y0 = 1;
(13.11)
(13.11)
воспользовавшись этими обозначениями, можно записать
матрицу (10.9) или (13.8) в виде
331 -2 1 -21 -2 1 -2(<12十02十Y2十62)t (一(12一俨十Y2+62)(<12十02十Y2十62)t (一(12一俨十Y2+62)^ I (а2—Р24-у2 —62) —е(сф+у6)\•^(а2 — 02_у2 十 62) _耶+丫6 Г—ау + М аб+бу /(13.12)^ I (а2—Р24-у2 —62) —е(сф+у6)\•^(а2 — 02_у2 十 62) _耶+丫6 Г—ау + М аб+бу /(13.12)
3
3
1 -2 1 -2
1 -2 1 -2
(<12十02十Y2十62)
t (一(12一俨十Y2+62)
(<12十02十Y2十62)
t (一(12一俨十Y2+62)
^ I (а2—Р24-у2 —62) —е(сф+у6)\
•^(а2 — 02_у2 十 62) _耶+丫6 Г
—ау + М аб+бу /
(13.12)
^ I (а2—Р24-у2 —62) —е(сф+у6)\
•^(а2 — 02_у2 十 62) _耶+丫6 Г
—ау + М аб+бу /
(13.12)
§ 14. Спиновые матрицы Паули. Две 2x2 спиновые матрицы Паули и единичная квадратная матрица определяются следующим образом)
Заметим, что все матрицы (r-зрмитовы (то есть 。+=。) и все они унитарные (℃+ = 1) и что след ^ каждой равен нулю.
Легко непосредственно проверить следующую таблицу умножения
W =君=и； = 1,
。2。3 = -。3。2 = %6,
m6 =-。户3 =打2,(14.2)
Сравнение с правилами (12.2) показывает, что три матрицы Tq = —iaQ (q = 1, 2, 3) подчиняются правилам для кватернионов).
Любая 2 X 2-матрица может быть выражена в виде линейной комбинации матриц。储(г2»。3 и 1； независимо от того, какие заданы значения для коэффициентов а, 6, с, d, будем иметь
(с W = ^ 3 + с) S — с) °2 +
Н—2 (а — d) М + 戈(仪 + d) 1. (14.3)
Если след данной матрицы равен нулю (а + d = 0), последний член исчезает. Если, кроме того, матрица эрмитова (a, d — действительные числа, с = 办)，то коэффициенты при ①一действительные числа.
Матрицы Паули связаны с трехмерной геометрией тождеством
P=U + ^ 丿= “6 + ”2 —Z6；(14.4)
любая точка (z, у, z) определяет, таким образом, матрицу,
След (trace или spur) матрицы—сумма ее диагональных элементов.
и обратно, каждая эрмитова 2 X 2-матрица со следом, равным нулю, определяет точку (况,у, z).
Рассмотрим теперь какую-нибудь 2 X 2-матрицу U. Предположим, что она унитарна (UU* = U*U = 1), но вообще не эрмитова (。=# U). Если P-матрица вида (14.4), то формула
р = UPU" (14.5)
определяет 2 X 2-матрицу Р. Легко показать, что Р— эрмитова матрица со следом, равным нулю и поэтому формула (14.5) определяет преобразование пространства в себя (н, у, z)—>(" у', z'). Так как = 1, то det U-det [7Z = 1 и отсюда detP= detP; поэтому выполняется условие
况"+ У” + Z'2 =疗 + 力 + #, (14.6) так что единичная сфера преобразуется в себя. Кроме того, формула преобразования (14.5) ет dP‘ = UdPU* и отсюда, как и выше,
或个 4- dd + "2 =彰2 + dy2 + 虑2, (14.7)
и, таким образом, преобразование есть жесткое вращение вокруг начала координатг).
Пусть % —— действительное число; положим с = cos у %, s = sin 2 %. Тогда легко видеть, что три матрицы, 〃 (％) = cl —常仇，5(%) = cl —法6,из (%) = cl 一 法M,
(14.8) согласно (14.2) унитарные. Рассмотрим преобразование р = “(％) PU3 (%) = (cl 一 isa^ 3d 4-加2 + 2(Гз) (cl + 重(Гз)・ (14.9) Проведя алгебраические вычисления с учетом (14.2),
находим, что при этом 况'=况 cos % — у sin %,находим, что при этом 况'=况 cos % — у sin %,преобразовании
находим, что при этом 况'=况 cos % — у sin %,
находим, что при этом 况'=况 cos % — у sin %,
у'=况 sin % + у cos %, z' = z.
(14.10)
Это преобразование (относительно осей, неподвижных в пространстве) соответствует вращению на угол % вокруг оси z. Если в (14.9) вместо 〃з(х) подставить Ui(x) или 。2(%), т0 вследствие симметрии выражений (14,2) и (14.8) получатся аналогичные вращения вокруг осей х или у соответственно.
§ 15. Связи между матрицами Паули и другими способами представления вращений. Свяжем сначала матрицы Паули с углами Эйлера. Три матрицы формулы (11.6) соответствуют следующим вращениям: на угол ф вокруг оси z, на угол 令 вокруг новой оси г/ и на угол 屮一 вокруг новой оси z. Эти вращения соответствуют матрицам 〃з(9),。2(令)，〃з(屮)；в таком случае преобразование г = Мг, где М задается формулой (И .6), то же самое, что и преобразование
р = ТРТ,(15.1)
где Р — матрица вида (14.4)), а
7=U3(屮)u2(6) U3 (1|7)=
ссiipiip令1 -2令1 -281 -281 -2小 0 V008!^
с
с
iip
iip
令
1 -2
令
1 -2
8
1 -2
8
1 -2
\ 0 *J[si屮
1\
•1 a 一亨i(0一屮))
(15.2)(15.2)—sm yve，
(15.2)
(15.2)
1 Q /y屮+屮)cos亏令у
Выражая Т через стереографические параметры, имеем, согласно (13.9)
(15.3)
так что преобразование (15.1) можно написать в виде
z尸 七，一iy
р/ '工+吵р/ '工+吵» (15.4)» (15.4)
р/ '工+吵
р/ '工+吵
» (15.4)
» (15.4)
РР + QQ = 1-
Унитарность матрицы Т может быть показана без труда. Выражая Т через параметры Эйлера, имеем согласно (13.9)
у =у =Q —反一泳一N) (15.5) 一次 + n q + iv /
у =
у =
или
Т =-次 5 -in(У2 — tvtJa + pl, (15.6)
так что преобразование (15.4) можно записать в следую* щей форме:
£& + у F + z'q =(―认а —中仃2 — tva3 + Ql) X '
X(XG1 + у(У2 + ZG3) (iXGi + 力卩仃2 + tVG3 + Ql),
^2 + H2 + V2 + Q2 = 1.•
(15.7)
Такое представление эквивалентно кватернионной фор^ муле (12.6):
"% + У’/ + z% =(加 + 闻 + и" + q) х、
X (亦 + у] + гА)(―入力一財一иА: + q),(15.8)
炉+心+仪+哽=К J
§ 16. Бесконечно малые перемещения. Бесконечно малое перемещение твердого тела можно свести к бесконечно малому переносу и бесконечно малому вращению. Благодаря их инфинитезимальному характеру перенос и вращение коммутативны, так как можно пренебречь
всеми дифференциалами выше первого порядка. Это делает исследование бесконечно малых перемещений сравнительно простым.
Для того чтобы рассмотреть бесконечно малое вращение, возьмем угол вращения %, который входит в формулы (10.2), бесконечно малым, так что V = -^^nQ = i. Пусть % ——бесконечно малый вектор (с абсолютной величиной %), направленный вдоль оси вращения. Тогда % = 2匕 и уравнение (10.8) дает для бесконечно малого перемещения, получающегося вследствие вращения на угол %, выражение
rz — г = X X г. (16.1)
Из векторного характера этого уравнения заключаем, что бесконечно малые вращения можно суммировать, складывая соответствующие векторы % по правилу параллелограмма.
В матричной форме уравнение (16.1) имеет следующий ВИД：
/ 0 — Уз %2、
г' — r = Мг, М =(心 0 — Xi I , (16.2)
где %匕 ％2, Хз — компоненты вектора %. Матрица — кососимметрична. Легко непосредственно доказать, что любая ортогональная матрица, бесконечно мало отличающаяся от единичной матрицы, отличается от нее на кососимметричную матрицу.
ГЛАВА II
КИНЕМАТИКА
§ 17. Система отсчета. Скорость частицы. Пусть So — абсолютно неподвижное пространство (см. § 4) и пусть S —— какое-нибудь твердое тело, находящееся в покое или движущееся. S — представляет систему отсчета. Если Oxyz ——любые взаимно перпендикулярные оси, неподвижные относительно S, то любому событию соответствуют четыре числа (z, у, z, %), где t ——ньютоново абсолютное время (см. § 4).
Кинематика рассматривает только относительные движения и для нее S так же пригодно, как и S。. Различие между 5 и 5о появляется только в собственно динамике (т. е. когда рассматриваются силы, производящие движение).
Пусть Р ——движущаяся точка или частица. Ее скорость относительно S есть вектор
и =厂=3, у,三).(17.1)
Здесь точки означают дифференцирование по t. Скорость направлена по касательной к траектории точки Р и имеет величину s, где s ——длина дуги на траектории. Пусть zp ——криволинейные координаты в S, тогда линейный элемент S имеет форму d$ = g^g dx° dx^, где индексы 9，а принимают значения 1, 2, 3 и предполагается, что по повторяющимся индексам ведется суммирование.
Векторы
濟=犷，％ = gp^°(17.2)
являются соответственно контравариантным и ковариантным векторами скорости. Физическая компонента
скорости по направлению единичного вектора с контрава- риантными компонентами 九р (и ковариантными компонентами Хр) есть ортогональная проекция вектора скорости (17.1) на это направление, т. е. это инвариантг)
00)=环狀=%%.(17.3)
В цилиндрических координатах (г, ср, z) физические компоненты скорости по координатным линиям суть
(г, г。，Z).(17.4)
В сферических полярных координатах (г,令，ср) физические компоненты скорости суть
(г, гЗ, г sin 令ср).(17.5)
В системе координат (р, г) на плоскости (рис, 7) компо-
Рис. 7. Координаты (р, г).
ненты vr (вдоль радиуса-вектора) и v^ (перпендикулярно ему) равны
= г,。丄=-2 •(17.6)
У г2 — р2
Если координаты ортогональны (т. е. gp。=。при Q=#o), то это определение удовлетворительно. Если же система координат косоугольная, то иногда удобно определить физические компоненты разложением по осям косоугольной системы координат. Это необходимо сделать, чтобы избежать путаницы. Ср. Truesdell С., Z. angew. Math. Meeh. 33, 345 (1953); 34, 69 (1954).
§ 18. Ускорение частицы. Годограф. Ускорение а точки или частицы ——это скорость изменения скорости,
规=и=尸=(N,y,Z).(18.1)
Разложение по векторам / и у, т. е. по единичным векторам соответственно касательной к траектории и ее главной нормали, дает
0 黑»+ ^"力 U&2)
где г ——абсолютная величина скорости и q ——радиус кривизны траектории.
Для криволинейных координат 依 с элементом длины ds2 = gpa dx ^dx° (ср. § 17) контравариантный вектор ускорения есть 丄)
…+黑^,…+黑^,(18.3)(18.3)
…+黑^,
…+黑^,
(18.3)
(18.3)
где символ Кристоффеля определяется следующим образом:
=gP” 卩 ％ а \ 2[р\ а]
g% =呢.g% =呢.(18.4)(18.4)dg^a [ dgva — °guvdz” d# dx°
g% =呢.
g% =呢.
(18.4)
(18.4)
/ если q = q\ Здесь 6а — дельта-символ Кронекера 6% = ｛八.
\(0, если )
Обычно легче вычислить вектор ковариантного ускорения
QpQpd дТ _ дТ dt d上°О%。'd дТ _ дТ dt d上°О%。'7 = ^gp/%°・7 = ^gp/%°・(18.5)(18.5)
Qp
Qp
d дТ _ дТ dt d上°О%。'
d дТ _ дТ dt d上°О%。'
7 = ^gp/%°・
7 = ^gp/%°・
(18.5)
(18.5)
1) Ср, McG о n n e 11 A. J・，Applications of the Absolute Differential Calculus, Chap. 17, London and Glasgow, Backie, 1931. Sokolnikoff I, 8., Tensor Analisis, гл. 4, New York, Wiley, 1951; Synge J. L. and Schild A., Tensor Calculus, гл. 5, Toronto, University of Toronto Press, 1952.
Физическая компонента 丄) ускорения по направлению единичного вектора Хр есть
a(九)=g狀=a。篇.(18.6)
В цилиндрических координатах имеем
ds = dr2 + г2 &р2 + йг2(18.7)
и физические компоненты ускорения по координатным осям будут
а『=г — г。* аф = ' ° (г%)， & = z. (18.8) Г成
В сферических полярных координатах (г,令，ф) имеем ds2 = dr2 + Г2 d令2 + r2 sjn2 ^ ^ф2(18.9)
и физические компоненты ускорения по координатным линиям равны2)
^ = 7^(^^ = 7^(^аг = г — r# — г sin2 令• 0*)
^ = 7^(^
^ = 7^(^
—r sin 令 cos^-ф2,
f (18.10)
。中=」三(戸sin"•小).r sin v at
Кривая, уравнение которой г' = и«), где и(力)—— скорость движущейся точки, называется годографом движения. Для движения с постоянной скоростью годограф — одна точка; для постоянного ускорения это — прямая линия; для движения, при котором а = кг /г (ускорение обратно пропорционально квадрату расстояния) годограф —окружность3).
Угловая скорость твердого тела. Пусть So— твердое тело, относительно которого движется второе твердое тело S. Для простоты описания мы можем счи-
тать So неподвижным в абсолютном пространстве. Выбрав частицу Ро тела S в качестве полюса, можно описать бесконечно малое смещение S, задавая смещение точки Ро и вращение вокруг нее. Последнее есть бесконечно малый вектор % вида (16.1). Мы определяем угловую скорость о тела S следующим уравнением:
% =(о dtj(19.1)
где dt — бесконечно малый интервал времени, в течение которого происходит перемещение. Тогда скорость и частицы Р тела S можно представить в виде суммы
u = % + s X г,(19.2)
где и。——скорость точки Ро и г — радиус-вектор точки Р относительно PQ,
Векторы и。, со и г можно определить, если задать их компоненты в некоторый момент времени t ® каком- нибудь ортонормальном триэдре 7\ который может быть неподвижным относительно S。или относительно S или может двигаться относительно их обоих. Обычно удобнее всего закрепить Т относительно S, но в случаях симметрии, может быть, лучше, как это будет показано позже (§ 56), выбрать один из векторов Т неподвижным относительно S u совместить другие с плоскостью, неподвижной в Sq.
Так как и。отделено от со в уравнении (19.2), то можно рассматривать угловую скорость тела S так, как если бы точка Ро была неподвижной. Для того чтобы выразить со через углы Эйлера (§ 11), возьмем в качестве Т три вектора (詳 j, Л；) (рис. 5) неподвижными относительнэ S. Перемещение за время dt может быть произведено бесконечно малыми вращениями @仆,@屮,@屮 соответственно вокруг 〃，К,力，так что будет иметь место уравнение
g 山=J1ao 十区 &р + Л: @屮.(19.3)
Разлагая (Ji, К, к) по осям (厶 j, Л:), получим
(t)=(o1i +(o2J +①3力，①！ = Osinw一屮sin0cos屮，
0)2 = cos + Ф sin (p sin(Oз = ,Ф + Фcos，®,■,
(19.4)
Аналогично можно разложить (J, К,左)по осям (/，J, К) неподвижным относительно S。(рис. 5), получим при этом
о =拿 1，+ С2 J + С3К, '
Qi= —^ sin ср + ip sin ^1 cos ср,
•・(19.5)
令cos屮 + 屮sin令sin屮，j
е3=屮+屮cos令.j
Чтобы исследовать угловую скорость с помощью кватернионов и параметров Эйлера, положим, что кватернионные единицы (f, /, fc) соответствуют осям, неподвижным относительно S。. Положение г частицы в момент' времени t определяется уравнением вида (12.6),
г — "0八(19.6)
где Го = д» + уо] + zQk — начальное положение частицы и
g = М + 闻 + vk + q, 、
q~i = — Xi — ц/ — vfc + Q,(19.7)
^ + P3 + V2 + Q2 = 1.,
Из выражения (19.6) имеем
г = qroq~l + gro g (gT)= at
=河-> + rg g (尸)=通二％ — rqq~\ (19.8) at
Заметим, что
qq~i = (kt + (i； + v/c + q) (— Ki — \ij ~vk + q), (19.9) и, кроме того, что
s (河T) = S {q~lq) = П + g|i +vv + QQ = 0, (19.10) так что эти произведения являются векторами.
Если
fi = Q1i + ^2j + ^3*(19.11)
есть угловая скорость, разложенная по неподвижным осям, то согласно (19.2) при vQ = 0 имеет место уравнение r = ^ (Qr- rQ).(19.12)
Сравнивая этот результат с уравнением (19.8), получаем аг — га = 0,(19.13)
где
а = Q - 2；дТ(19.14)
Так как а ——вектор и г — произвольный вектор, то уравнение (19.13) означает, что 规=0 и поэтому угловая скорость равна
Q = 2力尸；(19.15)
выражая это произведение с помощью (19.9), найдем компоненты угловой скорости по неподвижным осям (Л j, *):
(19.16)(19.16)Q1 = 2 (%Q -九Q - (XV —卩y),
(19.16)
(19.16)
盘2 = 2 (|1q — jxq — vX + vX),
◎з = 2 (vq — VQ — %|Л + %|1).
Согласно (19.15) имеем
q-'Qq = 2q~xq =①口 + ①才 + w3A. (19.17) Этим уравнением определяются ①匕 со2> ①з； отсюда, очевидно,
Q = gqiq-' + ① 29%一’ + д*дТ, (19.18) и мы находим ①九 со2> ①з как компоненты угловой скорости по осям того триэдра, который первоначально совпадал с (i, J, А). Проводя вычисление в (19.17), найдем компоненты угловой скорости по движущимся осямх):
①1 = 2 (%Q -九6 + 0y 一卩心)，、
①2 = 2 (jig —卩0 + 卡九一vk),(19.19)
①3 = 2(VQ - VQ + %1Л - %(1).-
Другой вывод см. Уиттекер [28], стр. 29—30.
Дж. Л. Синг
§ 20. Подвижные оси. Абсолютная и Относительная скорости изменения вектора. Теорию движущихся осей часто считают трудной и неясной из-за тех требований, которые она предъявляет к нашей способности наглядно представить тела в движении. Наилучший метод из бежать возникающей таким образом неясности состоит в рассмотрении проблемы с помощью бесконечно малых смещений, разлагая действительные перемещения, которые происходят за время dt, на совокупность элементарных смещений, каждое из которых вызвано своей причиной. При этом порядок, в котором действуют эти причины, не важен, так как бесконечно малые перемещения коммутативны. Для краткости при дальнейшем выводе формул мы не рассматриваем эти причины бесконечно малых перемещений.
Пусть (i, j, к)——ортогональный триэдр, вращающийся с угловой скоростью о)・ Пусть компоненты вектора V по осям этого триэдра равны (卩小 V2, F3), так что
卩=匕» +卩炉+匕左. (20.1)
Скорость изменения векторов (Z, у,左)не зависит от того, закреплено или движется начало триэдра. Эти скорости определяются единственно только угловой скоростью (о. Если начало неподвижно, эти скорости совпадают со скоростями точек с радиусами-векторами i, у, к и, ^следовательно, согласно (19.2) имеем
由dt由dt=й) X I,=й) X I,dj .dj .dk= (дХ к. (20.2)dk= (дХ к. (20.2)
由dt
由dt
=й) X I,
=й) X I,
dj .
dj .
dk
= (дХ к. (20.2)
dk
= (дХ к. (20.2)
Дифференцируя выражение (20.1), видим, что абсолютная скорость изменения вектора есть
dV 6У
+(20.3)
где
(20.4)(20.4)卩 d匕一 dV2 . , dV3 ,《Т=寸叶丁J + PT依
(20.4)
(20.4)
это относительная скорость изменения V.
Если, в частности, V — to, то имеем соотношение
(20.5)(20.5)ds — 6sdt б£
(20.5)
(20.5)
и, таким образом, абсолютная и относительная скорости совпадают.
Для абсолютной второй производной имеем выражение
炉卩 62P … 6V _ 6w ТЛ ,/ TM ,g 公、
^^ = ~^+28>< 而十而六' + 8Х(ЗХ'). (20.6)
Применим эти формулы к вычислению скорости и ускорения. Пусть Sq абсолютно неподвижно, a S ——твердое тело, находящееся в некотором движении. С телом связан и ортогональный триэдр (i, /, А), начало О которого имеет радиус-вектор r0 (D относительно некоторого начала неподвижной системы координат. Пусть Р ——к^кая-либо движущаяся точка или частица, не обязательно принадлежащая телу S; ее абсолютный радиус-вектор г (относительно начала в So) может быть представлен в виде
(20.7)(20.7)r = rQ + r,
(20.7)
(20.7)
где
k =xi + yj + zk.k =xi + yj + zk.(20.8)(20.8)
k =xi + yj + zk.
k =xi + yj + zk.
(20.8)
(20.8)
Этот последний вектор в действительности не что иное, как вектор 0夕；Q, g, z) — координаты точки Р с точки зрения наблюдателя, связанного с телом S. Тело S есть тогда 88и^1сущаяс 凡 система отсчета. Согласно (20.3) абсолютная скорость точки Р равна
dr dr0dr dr0dr'dtdr'dt= v0 + vf +(ax r ,= v0 + vf +(ax r ,(20.9)(20.9)
dr dr0
dr dr0
dr'dt
dr'dt
= v0 + vf +(ax r ,
= v0 + vf +(ax r ,
(20.9)
(20.9)
где vq ——абсолютная скорость начала координат О, г =~^относительная скорость точки Р, измеряемая наблюдателем, движущимся вместе с 5; ее компоненты равны(N, у, z), 8 — угловая скорость тела S.
Если точка Р принадлежит S, то и' = 0, поэтому оставшаяся часть (и。+ s X 尸') называется переносной
скоростью.
Дифференцирование выражения (20.9) дает абсолютное ускорение точки Р в виде
a = a()+ af + ас +。土，(20.10)
где
а0 = -^- — абсолютное ускорение точки О,
af = -^- = oci 弋 yj zk ——относительное ускорение,
Ос = 2о)X г' —ускорение Кориолиса (или дополнительное), (20.11)
例=о)X к + о)X (о)X к) = о)X к + о)(”к)—炉产.(20.12)
Здесь о) = d®[dt = 6о)/6九
Если Р принадлежит телу S, то о' = о, = 0 и а = «о + ®f *(20.13)
Эта часть выражения (20.10) называется переносным ускорением.
Если угловая скорость постоянна (о)= const), то имеет место соотношение
а±= —7?(о2,(20.14)
где В — вектор, проведенный в точку Р и перпендикулярный к оси о); его можно назвать центростремительным ускорением.
ГЛАВА III
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАСС И СИСТЕМЫ СИЛ
§ 21. Центры масс. Моменты и произведения инерции. Центром масс системы частиц с массами пн радиусами- векторами г( является точка, радиус-вектор которой определяется уравнением
S mi-rt
г = У— •(21.1)
Zj mi
i
Если система жестко перемещается, то ее центр масс перемещается с ней.
В однородном гравитационном поле гравитационные силы, действующие на систему частиц, статически эквивалентны (или эквиполентны) одной силе, действующей на центр масс. Поэтому центр масс обычно называют центром тяжести. Иногда также употребляют название барицентр. В этой книге всюду будет употребляться термин центр масс.
Qr &Т Q ЙТQr &Т Q ЙТДля континуума плотности q центр масс определяется формулой, аналогичной (21.1), в которой суммирование заменено интегрированием:
Qr &Т Q ЙТ
Qr &Т Q ЙТ
(21.2)
Эта формула применима в случаях распределения масс по объемам, поверхностям или кривым. В этих случаях dr означает соответственно элемент объема, поверхности или длины, a q — соответствующую плотность.
Если система S состоит из п частей 5г (г = 1, 2, ..., тг) с массами тг и центрами масс г», то центр масс системы S можно найти по формуле (21.1), если заменить каждую часть Sj частицей с массой ть сосредоточенной в точке г^
Линейным моментом частицы относительно начала координат называют вектор тг, а ее квадратичным моментом относительно осей координат ——матрицу или
тензор
'тх2 тух mzx'тх2 тух mzxтху ту2 mzyтху ту2 mzymxzmyzmxzmyz(21.3)(21.3)
'тх2 тух mzx
'тх2 тух mzx
тху ту2 mzy
тху ту2 mzy
mxz
myz
mxz
myz
(21.3)
(21.3)
Линейный и квадратичный моменты системы получаются суммированием или интегрированием.
С квадратичным моментом тесно связаны моменты и произведения инерции. Момент инерции частицы Р с массой т относительно прямой L есть произведение тр?, где р ——расстояние точки Р от £. Произведение инерции частицы относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей есть mpq, где р, g ——расстояния частицы Р от плоскостей, взятые с соответствующими знаками. Моменты и произведения инерции системы находятся суммированием или интегрированиемА). Таким образом, для системы дискретных частиц моменты инерции относительно осей координат Oxyz имеют вид
(21.4)(21.4)4 = S тг (;/• + z-), 6 = 2 叫⑵牛曲?
(21.4)
(21.4)
С = S тг (x- + 成)，
а произведения инерции относительно координатных
плоскостей —
歹=2 т^у［么［, G === 2 mjZj£i, H 2 miXiyi.(21.5)
Если V = (Z, m, тг)——единичный вектор, проходящий через начало координат, то момент инерции системы
относительно 匕 по определению, будет равен
/ = £ gpf ~^mi\rt>^V^ —
=Al2 + Вт2 + Сп — 2Fmn — 2Gnl — 2Hlm. (21.6)
Так как / — величина, не вления осей координат, то рицы инерцииТак как / — величина, не вления осей координат, то рицы инерциизависящая от выбора напра- элементы симметричной мат-зависящая от выбора напра- элементы симметричной мат-
Так как / — величина, не вления осей координат, то рицы инерции
Так как / — величина, не вления осей координат, то рицы инерции
зависящая от выбора напра- элементы симметричной мат-
зависящая от выбора напра- элементы симметричной мат-
(21.7)(21.7)
(21.7)
(21.7)
являются компонентами тензора второго ранга.
Для непрерывного распределения масс имеем для всех этих величин аналогичные выражения:
4 = \ 0 匂2 + z2) dr, С =《/(с? + 疗)d* G= \ qzx dr,4 = \ 0 匂2 + z2) dr, С =《/(с? + 疗)d* G= \ qzx dr,(21.8)(21.8)
4 = \ 0 匂2 + z2) dr, С =《/(с? + 疗)d* G= \ qzx dr,
4 = \ 0 匂2 + z2) dr, С =《/(с? + 疗)d* G= \ qzx dr,
(21.8)
(21.8)
§ 22. Теорема о параллельных осях. Главные оси инерции. Пусть L — некоторая прямая и пусть £о ——параллельная ей прямая, проходящая через центр масс системы. Теорема о параллельных ос兄忆 утверждает, что
(22.1)(22.1)/ = /о + тр2,
(22.1)
(22.1)
где /, /о— моменты инерции системы соответственно относительно L、Lq, т — полная масса системы и р — расстояние между параллельными прямыми L и L。* Теорему легко доказать; имеет место и аналогичная теорема для произведений инерции.
Из формулы (22.1) следует, что момент инерции относительно прямой £(), проходящей через центр масс, меньше, чем момент инерции относительно любой прямой L, параллельной Lq.
Главные оси определяются через стационарные значения моментов инерции. Каждому единичному вектору У,
проходящему через начало координат (которым может быть любая точка), соответствует момент инерции I вида (21.6). Направляющие косинусы (Z, т, п) вектора У, для которого I имеет стационарное значение, удовлетворяют равенствам
А1 — Нт — Gn = Н,、
—Hl + Вт — Fn ~ Im,(22.2)
—Gl — Fm + Cn = Zn,,
где I ——указанное стационарное значение. Три главных момента инерции относительно начала координат являются теми стационарными значениями, которые равны корням кубического детерминантного уравнения:
А — I — Н — G,
(22.3)(22.3)—Я В — I — F - 0.
(22.3)
(22.3)
-G —F С —I
Три корня этого уравнения действительные и положительные: действительные — так как матрица (21.7) симметрична, и положительные — так как квадратичная форма (21.6) положительно определенная【)•
Направления, определенные формулами (22.2), для которых I принимает какое-либо одно из значений, полученных решением уравнения (22.3), называются главными осями инерции относительно начала координат. Эти оси образуют ортогональный триэдр), и три плоскости, определенные им, называются главными плоскостями. Произведения инерции относительно главных плоскостей равны нулю и поэтому (поскольку это значительно упрощает расчеты) почти всегда оси координат
выбираются совпадающими с главными осями инерции. Тогда инерциальные свойства системы описываются тремя главными моментами инерции А, В, С, Момент инерции относительно произвольной прямой, проходящей через начало координат и имеющей направляющие косинусы (/, т, тг), определяется формулой
I = АР + Вт + СтЛ (22.4)
Для геометрического представления инерциальных свойств системы используют эллипсоид инерции1), уравнение которого имеет вид
Ах 2+ By? +。严-2Fyz - 2Gzx - 2Нху = 1. (22.5)
Момент инерции относительно прямой £, проходящей через начало координат, равен 1 /г2, где г—радиус- вектор этого эллипсоида, проведенный вдоль йаправле- ния L.
Два распределения масс называются равномоментными, если их моменты инерции относительно произвольной прямой равны. Отсюда следует, что две равномоментные системы имеют общий центр масс, одну и ту же полную массу, одни и те же главные моменты инерции. Справедливо также и обратное.
Однородная треугольная пластинка с массой т равно- моментна системе из трех частиц с массами т/3, помещенными в серединах сторон этого треугольника. Однородный тетраэдр с массой т равномоментен системе -пяти частиц, одна из которых, с массой 4т?г/5, помещена в центре масс, а остальные четыре, каждая с массой т/20, рас* положены в вершинах тетраэдра2).
§ 23. Импульс. Импульсом частицы называют произведение т% где т — масса частицы, а и — ее скорость. Импульсом М системы называют сумму импульсов
ее частей,
М =』加问， М = g qu dir.(23.1)
Все выводы, которые будут здесь получены, приложимы и к системам дискретных частиц, и к континуальным системам, так что имеют место два типа формул: в одном выполняется суммирование, в другом —— интегрирование. Так как переход от одного типа к другому совершенно очевиден, то обычно в дальнейшем мы будем писать только формулы с суммированием.
Скорость Vi любой 'частицы системы можно представить в виде
Vi = v + vi,(23.2)
где и — скорость центра масс, a uj — скорость относительно центра масс). Согласно определению (21.1) имеем
2 ntiri = 0,(23.3)
где ri ——радиус-вектор частицы относительно центра масс; отсюда следует уравнение
2 niiVi = 0,(23.4)
и вследствие (23<) и (23*2) импульс системы равен
М = mu,(23.5)
где т ——полная масса системы. Импульс какой-либо системы частиц может быть заменен импульсом единственной воображаемой частицы, движущейся вместе с центром масс системы и обладающей массой, равной полной массе системы.
§ 24. Момент импульса. Моментом импульса i) частицы для точки О называют выражение
(24.1)(24.1)A = rXM—rX mv = m (г X и),
(24.1)
(24.1)
где т — масса частицы, и — ее абсолютная скорость) и г — ее радиус-вектор относительно точки О. Его три компоненты имеют вид
(24.2)(24.2)Лх = т (yvz — zvv),、 hv = m(zvx —叫)， Az = m(xvv — у%).,
(24.2)
(24.2)
Абсолютное значение момента импульса относительно прямой, проходящей через точку О, есть ортогональная проекция вектора А на эту прямую. Таким образом, если V —— единичный вектор этой прямой, то абсолютная величина момента импульса равна
V^rxM) = r-(MxV) = M-(Vxr).(24.3)
Момент импульса системы есть сумма моментов импульса ее частей:
无=£ 尸i X 皿⑦=£ 2 g X vt). (24.4)
I) Старый термин момент момента (moment of momentum) вышел из употребления. Можно назвать его, следуя Аппелю ([2], II, стр. 37, 55), кинетическим ж олеитов (moment cinetique). В английском языке принят термин угловой момент. Для него трудно подобрать подходящий символ, который устранял бы всякую возможность путаницы с ранее введенными обозначениями. В этой книге, следуя обозначениям Уиттекера ([28], стр. 74), используется символ /г; так как квантовая механика в настоящей книге исключается из рассмотрения, то 九 нельзя принять за постоянную Планка. Но в других контекстах целесообразны другие обозначения. Голдстейп ([7], стр. 162) использует обозначение Е, несмотря иа принятое всеми обозначение £ для лагранжевой функции; Аппель (цит.) и П е р е [20] используют символ а.
Точка О, для которой вычисляют момент импульса, может быть закрепленной или движущейся. Для того чтобы исследовать влияние перехода от одной такой точки к другой, рассмотрим две точки。，О*, абсолютные
дви-дви-0Рис. 8.0Рис. 8.Момент количества жения.Момент количества жения.скорости которых и, и*, и пусть OW = г (рис. 8). Пусть имеется некоторая система частиц Pi с радиусами-векторами 尸江 г\ соответственно относительно точек О, О*, так что
дви-
дви-
0
Рис. 8.
0
Рис. 8.
Момент количества жения.
Момент количества жения.
C =，i +兀.(24.5)
Тогда моменты импульса соответственно для точек О, О* равны
h = 2 т(г( X s,
i(24.6)
无* = £ mg x %
где vt — абсолютная скорость частицы р. Пусть 负 一 скорость частицы Pi относительно точки О*, так что и尸 U* + /;(24.7)
тогда выражения моментов импульса можно преобразовать к виду
无=2 m»(" + г) X (и* + ri),
塞(24.8)
2m+喲；
г и отсюда
й = mr х и* + г X 2 m必 + 无*,(24.9)
г
где т — полная масса системы. Эта формула особенно полезна, когда О* — центр масс. В этом случае средний член исчезает, и мы имеем выражение
h = hQ + h*t(24.10)
где
无о = г X无* = £ К х (m欣).(24.11)
Вектор 无о можно назвать орбитальным моментом импульса, а А* ~— спиновым моментом импульса, заимствуя термины, принятые в квантовой механике. Отметим, что Ао есть момент импульса для точки О некоторой воображаемой частицы массы т, движущейся вместе с центром масс системы. Отметим также, что 无*— момент импульса системы для центра масс; действительно, при вычислении 无* безразлично, используем ли мы скорости частиц относительно центра масс (как в формулах (24.11)) или абсолютные скорости.
Нужно подчеркнуть, что при конкретном вычислении момента импульса необходимо точно указать I) систему отсчета, относительно которой измеряются скорости, и II) точку, для которой взяты моменты.
Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О с угловой скоростью о, момент импульса для точки О равен
无=2 rntVi X Ui = 2 m^i X ® X 勺)=
=co > иг»吟一 2 色勺(юг；)- (24.12)
Это векторное уравнение можно представить в виде следующих уравнений для его трех компонент по осям некоторого ортогонального триэдра:
hi = 4o)i — Н s? — Go)3,
坛=-笈0)1 + 662 -耳 S3， (24.13) 历 3 = -Go)i-方 0)2 + ей) 3)
где (o)i, o)2, &3)— компоненты вектора о 口 А, В, С, F,G> Н — моменты и произведения инерции относительно триэдра.
Если оси триэдра совпадают с главными осями инерции, то уравнения упрощаются и приводятся к следующему виду:
hi = А о)1, 历2 = Аз = Сй)з. (24.14) Для того чтобы эти простые выражения имели место в течение всего движения, необходимо, вообще говоря, закрепить триэдр в теле. Однако в случае симметрии (4 = В) достаточно, чтобы один из векторов триэдра
7878Распределения масс и системе силРаспределения масс и системе силg, шg, ш
78
78
Распределения масс и системе сил
Распределения масс и системе сил
g, ш
g, ш
笈инетическая знереиа m — масса частицы, для системы частиц笈инетическая знереиа m — масса частицы, для системы частицсовпадал с осью симметрии. Тогда триэдр не закреплен ни в пространстве, ни в теле. Заметим, что в уравнениях (24.14) компоненты угловой скорости — это компоненты угловой скорости тела, а не триэдра.
笈инетическая знереиа m — масса частицы, для системы частиц
笈инетическая знереиа m — масса частицы, для системы частиц
§ 25. Кинетическая энергия, частицы равна Т = — wz?2, где а и — ее абсолютная скорость; кинетическая энергия равна
44
т = £ 2 加冠=2 2 miUfUt. (25.1)
Пусть и — абсолютная скорость центра масс системы, S — абсолютная скорость частицы системы, и и； — ее скорость относительно центра масс. Тогда ⑦=и + и；, и выражение (25.1) превращается в следующее:
(25.2)(25.2)
(25.2)
(25.2)
так как 工 т^1 = 0; здесь m — полная масса системы. Это теорема Кёнига: кинетическая энергия какой-либо системы представляет собой сумму двух слагаемых: (I) абсолютной кинетической энергии некоторой фиктивной частицы массы т, движущейся вместе с центром масс этой системы у u (II) кинетической энергии движения относительно центра масс.
Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки с угловой скоростью(о, кинетическая энергия равна
т = 2 £ 忆(❿ х г。？=
=—(4(d；+8(d^+Сз；—2Ра)23з—2GЗз31—2〃3i(D2), (25.3)
где А, В, С, F, G, Н — моменты и произведения инерции. Если оси триэдра совпадают с главными осями инерции,
то это выражение сводится к следующему:
т = (Aal + Bal+ С^.(25.4)
Если положения главных осей определяются углами Эйлера (§ И), то согласно формулам (19.4) кинетическая энергия равна
Т = -^ А (^ sin -ф — ф sin 1& cos 屮产 +
+ —/?('& cos 屮 + 市 sin 1& sin 屮)2 +
+ — C (ip + ф cos -О1)2.(25.5)
При вращении вокруг неподвижной оси (независимо от того, главная это ось инерции или нет) имеем в&ражение
Т = -|/(о2,(25.6)
где 7 ——момент инерции системы относительно этой оси.
Выражая кинетическую энергию через члены симметричной матрицы инерции 7rs (21.7), получаем для кинетической энергии следующее выражение:
1
7 = Т (з) = Irs^s,(25.7)
причем суммирование производится от 1 до 3 по повторяющимся индексам, и согласно выражениям (24.13) имеем следующие равенства:
1
hr =厶血，7 = ^ 无rw(25.8)
Применяя обратную условию IrsJst = б st,
&г = J% 无s，
Поэтому
dt (①)
матрицу Jts； удовлетворяющую имеем соотношение
1
? = ? (九)=^ 厶也加.(25.9)
— %"7 (无)_ 小ек 1ЛА
д(дг
dhr吋
В случае, когда оси триэдра совпадают с главными осями инерции системы, кинетическая энергия выражается следующими формулами:
Т к (Ай)； + £й)2 + Сй)з)2 = 4-+ 啓 + 々)=
%厶 \ А В С )
1
=~2 (无 1® + 无2^2 + 无з8з)・(25.11)
Системы сил. Рассмотрим силы 尸%(2 = 1, 2,... ..Р), действующие на Р частиц с радиусами-векторами /% относительно полюса О. Будем рассматривать силы Ft как состоящие из двух сил: внешней силы 尸£ и внутренней 尸豆 причем последняя представляет собой результирующую реакций、действующих на частицу i со стороны остальных частиц системы.
Примем как гипотезу или аксиому третий закон Ньютонах). Он утверждает, что сила, с которой частица i действует на частицу /, равна и противоположна силе, с которой частица / действует на частицу X, и что обе силы направлены по прямой, соединяющей эти частицы. Этот закон обычно называется законом действия и противодействия. Он может быть записан следующим образом:
居=2 4心/-乃)(i = l, 2, ...,Р), (26.1)
где Au——скалярные множители, удовлетворяющие условию Аг^ = А л，
Для любой системы сил F^ действующих на rf, главный вектор (или полная сила)尸 и главный момент (или момент вращения) G для центра приведения О равны
1) «Каждому действию всегда имеется равное, противоположно направленное противодействие, или —— взаимные действия двух тел друг на друга всегда равны и направлены в противоположные стороны». И. Ньютон, Математические начала натуральной философии. Собр. трудов акад. А. Н. Крылова, т. 7, изд. АН СССР, М.——Л., 1936, стр. 41. Ср. § 5 формулировку более общего закона, согласующуюся с аксиомой однородности и изотропности пространства.
соответственно
(26.2)
Говорят, что данная система сил эквиполентнах) одной силе F, приложенной в точке О, и паре сил G.
Заметим, что F ——связанный вектор, a G ——скользящий вектор. Если изменить полюс О, то G изменится, а вектор F останется неизменным. Подходящим выбором точки О можно свести систему сил к G = pF、где р — скалярный множитель.
Векторная пара (F, G) называется мбтором) или торсором). Она не изменится, если перенести векторы 吊 вдоль их линий действия. Отсюда легко видеть, что внутренние силы 川 не вносят в нее никакого вклада. Поэтому главный вектор и главный момент определяются следующими формулами:
F=2 Fi, G = 2cXW, (26.3)
в которые входят только внешние силы. Тот факт, что внутренние силы можно исключить, имеет фундаментальное значение в ньютоновой динамике.
Работа, произведенная силой) F при перемещении ее точки приложения на 6г, равна 歹计；в случае системы сил работа выражается формулой
3W = ¥ 吊・3 小. (26.4)
Если силы действуют на твердое тело, и это тело испытывает бесконечно малое перемещение, состоящее из бесконечно малого поступательного перемещения Ко и бесконечно малого вращения бу вокруг полюса, то
Mi = бго + ^х X 儿 (26.5)
где г^ — радиус-вектор относительно опорной точки. Работа, произведенная на этом перемещении, равна
бЖ = ^.бг0 + 2 咒(6%xW = P%o + G6%,(26.6)
i=l
если воспользоваться обозначениями уравнений (26.2).
Пусть дана плоскость П, проходящая через точку О. Любое бесконечно малое вращение вокруг точки О можно разложить на два бесконечно малых вращения: на вращение (б〕％) вокруг оси, перпендикулярной к плоскости, и на вращение (б2/) вокруг оси, лежащей в П. Если пара сил состоит из двух равных по величине и противоположных по направлению сил (с абсолютной величиной Р и расстоянием между ними р) в плоскости П, то работа, произведенная парой сил при бесконечно малом вращении, равна 土 рРб^%. Знак берется в зависимости от того, совпадают или нет направления пары и вращения.
Если две равные и противоположно направленные силы 尸，——F действуют на точки г, г\ тогда работа, произведенная при произвольном бесконечно малом перемещении, равна
8W = F(8r-8r,),(26.7)
Если, кроме того, силы направлены вдоль линии, соединяющей точки, мы можем написать 尸=令(尸一г'), где @ ——некоторый скалярный множитель, . и выражение (26.7) примет вид
б IF =令 & —г')- б (г — к).(26.8)
Это выражение обращается в нуль, если расстояние |г ——rr I не изменяется при перемещении. Так как по третьему закону Ньютона реакции между любыми двумя частицами системы удовлетворяют приведенным выше условиям, наложенным на 尸，то отсюда следует, что реакции в твердом теле не производят никакой работы. Другими случаями сил, не производящих работы, являются: а) реакции гладких контактов; б) реакции контактов качения (без скольжения). Все такие реакции исчезают из тех общих уравнении динамики, которые основаны на понятиях энергии или работы.
ГЛАВА IV
ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ
Голономные системы. Связи, зависящие от времени. Конфигурацию системы, состоящей из Р частиц, всегда можно описать, задав 3尸 координат частиц. Однако если эти 3尸 координат должны удовлетворять уравнениям связей, то достаточно меньшего числа координат. Так, если система неизменяемая и имеет неподвижную точку, достаточно трех координат (например, углов Эйлера; § И). Любая совокупность параметров, которая полностью определяет конфигурацию системы, называется обобщенными координатами, а скорости их изменения — обобщенными скоростями.
Предположим, что N обобщенных координат qp (и это число не может быть уменьшено) описывают конфигурацию системы. Предположим также, что можно изменять координаты qp произвольно и независимо, не нарушая связей (например, жесткие связи); тогда система называется голономной с N степенями свободы.
Примеры голономных систем (с указанными числами степеней свободы):
твердое тело, имеющее неподвижную точку (3), свободное твердое тело (6),
твердое тело, движущееся параллельно плоскости (3), твердое тело, касающееся неподвижной плоскости (5). Система может быть подчинена связям, меняющимся со временем (например, частица должна двигаться по поверхности, которая сама движется некоторым заданным образом). Тогда для описания конфигурации системы, кроме обобщенных координат qp, следует еще ввести и время 九 Система голономна, если произвольные независимые изменения q。и £ не нарушают связей. Система
с не зависящими явно от времени связями называется склерономной, система со связями, изменяющимися со временем — реономной.
Если (忆订 у±, z0 ——координаты 力-й частицы системы в неподвижной системе координат Oxyz, то обобщенные координаты должны быть выбраны так, чтобы выполнялись уравнения
勺=勺(6，^2» • • • ) 9/V, £), Уг ~ Уг (^1) 02,9м£),
Zj = Zj (%, 92, 9м £), (2, • 1) причем в случае склерономной системы') t не входит в уравнения.
Кинетическая энергия реономной системы равна
7 叫(或+就+君)=
=2 Е + 2 'Р’Р + а" (27.2) р, о=,р=1
здесь 〃р「 曲,и а ~ функции qi, *，・・•，9n,九 Для склерономной системы это выражение сводится согласно определению Т к положительно определенной квадратичной форме)
1 N
Т = %2 &訂pGu,(27.3)
Р, и=£
где коэффициенты 〃「。—— функции gi, . . ., qN.
Неголономные системы. Рассмотрим твердую пластинку, которая может свободно скользить по неподвижной плоскости. Это ——склерономная голономная система с тремя степенями свободы. Предположим теперь, что на пластинке имеется маленькое острое лезвие, которое может двигаться только вдоль направления своей длины. Если (х, у)——декартовы координаты какой-либо точки лезвия и 8 ——угол его наклона к оси х, то (х, у,心)образуют систему обобщенных координат для пластинки, но они подчинены неинтегрируемому соотношению ” = tg 仇(28.1)
ах
Число обобщенных координат не может быть сделано меньшим трех, но эти три координаты не могут изменяться независимо друг от друга.
Мы назовем систему неголономной, если невозможно описать конфигурацию с помощью обобщенных координат %(q = 1, 2, • • ., N) и времени 厶 которые могли бы свободно и независимо изменяться. В таких случаях имеются определенные неинтегрируемыег) уравнения связей вида
N
2 ACpdqp + Acdt = 0 (с — 1, 2,, АГ), (28.2)
где ЛСр и Лс — функции переменных (д,力 В этом случае говорят, что система имеет N — М степеней свободы.
Для неголономных систем остаются справедливыми формулы (27.2) и (27.3), определяющие кинетическую энергию.
Неголономность обычно появляется в системах с контактами качения. Условием качения является равенство мгновенных скоростей двух частиц в точке контакта;
Peres [20], стр. 218 называет систему полуголономной, если уравнения связей интегрируемы, причем постоянные интегрирования зависят от начальных условий. Математически полу- голономная система мало отличается от голономной системы, так как с помощью проинтегрированных уравнений связей можно уменьшить число обобщенных координат.
частицы принадлежат двум касающимся 】)телам. Следующие примеры иллюстрируют неголономные связи, вызванные качением.
а) Шар, катящийся по горизонтальной плоскости. Пусть (/, J, К) —— неподвижный ортонормальный триэдр с началом О в заданной плоскости и пусть вектор К направлен по вертикали (рис. 9). Возьмем в качестве
Рис. 9. Шар, катящийся по плос-Рис. 9. Шар, катящийся по плос-обобщенных координат (с, y,令，Ф，巾)，где (瑞 y)- координаты точки касания в системе координат Оху, причем оси с, у совпадают с / и J, а (0, ф,屮)一углы Эйлера (см. § 11), которые описывают положение ортонормального триэдра (г, j,儿)，закрепленного в шаре, относительно триэдра (L J, К)・
Рис. 9. Шар, катящийся по плос-
Рис. 9. Шар, катящийся по плос-
Радиус-вектор точки
кости.касания относительно цент
ра шара, точки С, равен ЬК, где Ъ ——радиус шара. Поэтому согласно уравнению (19.2) мгновенная скорость этой частицы шара, когда
она касается плоскости, равна
xI+yJ + ^Xi-bK),(28.3)
где g ——угловая скорость шара. Разлагая угловую скорость на составляющие по осям (/, J, К), имеем выражение
(0 = */ + *2/ + *3k(28.4)
где коэффициенты выражены через углы Эйлера и их производные по времени, как в формулах (19.5). Подста-
Это не означает, что при обсуждении неголономных систем всегда желательно использовать обобщенные координаты; Routh ([22], II, стр. 105—205) с большой элегантностью применяет прямые методы. Широкое исследование неголономных систем с ^про- блемами, разработанными в деталях и с рассмотрением нелинейных связей см. Hamel [ИJ, стр. -464—507. См. также Winkelmann and. G г a m m е 1 [29], стр. 434—440. В настоящей книге динамику неголономных систем см. в § 46, 48, 85.
Рис. 10. Круглый диск, катящийся по плоскости.Рис. 10. Круглый диск, катящийся по плоскости.
Рис. 10. Круглый диск, катящийся по плоскости.
Рис. 10. Круглый диск, катящийся по плоскости.
вляя значение о из (28.4) в выражение скорости (28.3) и приравнивая нулю результат (условие качения), получим следующие два неинтегрируемых уравнения связей:
х — b(& cos ф + ip sin sin ср) = 0, ](28 5)
у — b @ sin 屮一屮 sin 令 cos 屮)=0. J
Шар имеет 5—2 = 3 степени свободы.
В) Круглый диск, катящийся по горизонтальной плос^- костих). Пусть (/, J, К) — неподвижный ортонормальный триэдр с началом О в заданной плоскости и пусть вектор К направлен по вертикали (рис. 10). Примем (/, К) за оси координат, тогда радиус-вектор точки С — центра диска равен
夕=%/十 yj +zK. (28.6)
Пусть (л, j, к) — второй ортонор мал ьныйтриэдр
с началом в точке С, вектор / направлен в точку касания, j — горизонтально, к — перпендикулярно
к плоскости диска. Пусть 令一угол наклона вектора Z к оси К,屮——угол наклона к оси I касательной к диску в точке контакта и 屮一угол наклона неподвижного радиуса в диске к Л Тогда (если Ъ равно радиусу диска)
(28.7)(28.7)么=匕cos 8
(28.7)
(28.7)
и (z, у,也 屮，屮)образуют систему обобщенных координат. Скорость центра С равна
и =储十 yj — b sin 仆百&(28.8)
i) Динамику катящегося диска см. Аппель [2], гл. 21.
а угловая скорость диска
(0=一力.十中К +屮力； (28.9) в этом можно убедиться, поочередно изменяя углы. Отсюда, согласно (19.2), мгновенная скорость частицы дискаг находящейся в контакте с плоскостью, равна
V + & X Ы ~ xl + yj — b sin ^^К + 6仆力 + 6 (屮 + 屮 sin 仆)у, (28.10) так как
К = —cos 仅+ sin 仆瓦(28.11)
В результате подстановки соотношений
j = cosq)/+sinq)J,)
А = cos ^ sin q)Z — cos 0- cos q> J + sin ^K J ''丿 в (28.10), условие качения приводит к следующим двум неинтегрируемым уравнениям связей:
£ + 6 cos 仆 sin(p& + Ъ cos ср (屮 + sin 仆屮)=0,
....(28.13)
y - b cos。 cos ф0 + 6 sin 中(2 + sin 0屮) =0.
Диск имеет 5—2 = 3 степени свободы.
у) Два колеса, соединенные осью, которые катятся по плоскости. Предположим, что каждое колесо свободно вращается вокруг оси (если бы они оба были неподвижно прикреплены к оси, то это была бы голономная система с одной степенью свободы). Пусть Ь ——радиус каждого из I^oлec и 2с —— длина оси. Выберем обобщенные координаты (£, у,也 屮,屮‘),как показано на рис. И. Вычислим затем компоненты мгновенной скорости — параллельные и перпендикулярные к оси ——двух частиц в точке касания и приравняем эти компоненты нулю, чтобы удовлетворить .условию качения. Тогда получим следующие три уравнения связей:
i cos 屮 + » sin 屮=0,]
-i sin ср + у cos 屮 + с@ + 6屮=0, } (28.14)
i sin ср + у cos ср — сф + b^ = 0. J
Последние два дают интегрируемую комбинацию
2eф + b （w-炉）=0.2eф + b （w-炉）=0.（28.15）（28.15）
2eф + b （w-炉）=0.
2eф + b （w-炉）=0.
（28.15）
（28.15）
Если заданы начальные значения трех углов, то в результате интегрирования имеем
2州=4 一 b （屮一屮’），（28.16）
где А — заданная постоянная. Можно затем взять （ж, у, 屮，屮‘）в качестве обобщенных координат, имея при этом
два неинтегрируемых уравнения связей:
i cos ф + sin ф = 0,..丄. /,:,、 n （28.17）
х sin ф + у cos 屮 + 2 b （屮 + 屮）=0.
Система имеет 4 — 2 = 2 степени свободы.
Обобщенные силы. Работа. Потенциальная функция. Рассмотрим систему Р частиц, вообще говоря, рео- номную и неголономную. Пусть на частицы.^ координатами （的，yit zD действуют силы с компонентами （XI. У*,
Zf). Тогда для любой совершенно произвольной совокупности бесконечно малых перемещений частиц работа, произведенная этими силами, равна (причем все связи не принимаются во внимание):
6% = ^ (Х；6/+ y：Mi + Z：6z〃.(29.1)
Если теперь конфигурации системы описываются с помощью (qQf /), то мы получим уравнения вида (27.1). Следовательно, работа, произведенная при перемещении, соответствующем произвольным вариациям (6^0, б£), равна
bW= ^ Qp6g° + Q &,(29.2)
р =i
где
^l(X^ + Y^ + Z^y (29.3)
Q* = 2 (х： 2包 + У：也 + Z：也).(29.4)
(書 \ dt dt dt /
Величины Q& называются обобщенными силами] обычно их легче вычислить по формуле (29.2), чем по формуле (29.3).
Полная сила (X* У*, Z*), действующая на частицу системы, может быть разложена на две части:
(X?, Yi, ZJ — заданная сила), например, такая, как сила притяжения,
(X% У；, Zi) — сила связи.(29.5)
Следовательно, полная обобщенная сила Q^ может быть разделена на две части:
Q； = Qp + Q；,(29.6)
так что Qp — з〃6〃нн〃兄 обобщенная сила, a Q^ — обобщенная сила связи. Предположим, что Qp — известные функции
переменных gi* . . ., g^， 厶 gi， ” …，On и, возможно, также вторых производных gi，. . ., qN.
Важность такого разложения полной силы - обусловлена тем фактом, что во многих динамических системах силы связей не производ凡т работы; под этим подразумевается, что эти силы не производят работы при перемещении 6др, удовлетворяющем мгновенной связи (при 6力= 0). Это заключает в себе условие
2<2两=0,(29.7)
Р =£
так что работа, произведенная всеми силами при этом перемещении, равна
6^=S Qpdqp.(29.8)
р =，
Если существует функция V(q^ . . ., qNi 力)，такая, что имеют место равенства
Qp = — 察，(29.9)
dqP
так что согласно (29.8) произведенная при перемещении работа выражается через V следующим образом:
6/ = 一 6匕(29.10)
то говорят, что V есть потенциальная 0yHiщия» или потенциальна凡 анераи兄 системы,' В более общем случае, если существует функция 卩(gi, . . ., qN, t, g* ... , gw)， такая, что
= 一餐，(29」力
或 6% dqp
то V называют обобщенной потенциальной функцией.
ранцузские авторы предпочитают употреблять термин силовая функция U, причем U =—V.
В・ ДИНАМИКА ЧАСТИЦЫ
ГЛАВА I
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Основные уравнения. Первые два закона Ньютона объединены в уравнении
^m%=F,(30.1)
где т — масса частицы, и — ее абсолютная скорость и F — сила, действующая на частицу. Если т — постоянна (как мы это и предполагаем), то уравнение (30.1) эквивалентно следующему:
та = F,(30.2)
где а —- абсолютное ускорение.
Пусть хр ——криволинейные координаты в абсолютном пространстве (ср. с § 17, 18). Тогда, согласно выражению (18.3), уравнение движения (30.2) можно записать в контра- вариантной форме:
Q卜%v)=尸，(30.3)
где Fp ——контравариантный вектор силы. Ковариантный вектор силы 尸р можно вычислить из инвариантной формулы
6W = Fp6xp,(30：4,
где 6W——работа, произведенная силой при произвольном перемещении Gd, и Fp — получена из Fp по формуле
歹 р = g^F^.(30.5)
Согласно (18.5) ковариантная форма уравнения движения 1) имеет вид
тар三тар三d дТдТdt 5ip近‘ 'd дТдТdt 5ip近‘ '(30.6)(30.6)
тар三
тар三
d дТдТ
dt 5ip近‘ '
d дТдТ
dt 5ip近‘ '
(30.6)
(30.6)
где 7\ кинетическая энергия частицы, оиределяется формулой
? = ^ mg^^.(30.7)
Если существует функция ) V(x, t) (ср. (29.9)), такая, что
F г РF г Рovov(30.8)(30.8)
F г Р
F г Р
ov
ov
(30.8)
(30.8)
или если существует обобщенная потенциальная функция
У (а, £,小 такая, что
d дУdt dxpd дУdt dxpдУ寿дУ寿(30.9)(30.9)
d дУdt dxp
d дУdt dxp
дУ
寿
дУ
寿
(30.9)
(30.9)
то уравнение движения (30.6)то уравнение движения (30.6)можно записать в видеможно записать в виде
то уравнение движения (30.6)
то уравнение движения (30.6)
можно записать в виде
можно записать в виде
d dLdt ipd dLdt ip(30.10)(30.10)
d dLdt ip
d dLdt ip
(30.10)
(30.10)
(30.11)(30.11)где . L — лагранжева функция L = Т
(30.11)
(30.11)
В случае движения в плоскости наиболее удобными координатами являются обычно прямоугольные декартовы координаты(£, у), в которых уравнения движения выглядят так:
mF = X, my = Y.(30.12)
1) Это — уравнение Лагранжа вида (46.17).
либо полярные координаты (г,仆),в которых эти уравнения принимают вид
т (?'- г#) = R, т-~ (戸О) = 6,(30.13)
где 7? и 8 — радиальная и трансверсальная компоненты силы.
В трехмерном пространстве удобно использовать цилиндрические (18.8) или сферические полярные (18.10) координаты.
Энергия. Момент импульса. Из уравнения (30.2) выводим следующее соотношение:
(31-1)
так что скорость возрастания кинетической энергии равна мощности силы F, Если существует потенциальная функция (не зависящая от 力)，то уравнение (31.1) приводит к интегралу энергии,
Т ~\~ V — Е = const,(31.2)
где Е — полная энергия.
Так же, согласно (30.2), получим уравнение
г X та = г X F(31.3
или уравнение
請 ％(31.4)
где h — момент импульса для начала О, a G — момент силы F относительно О. Если линия действия проходит через то^ку。，то G = 0、поэтому
h — const.(31.5)
Это — интеграл момента импульса. В случае движения частицы в плоскости под действием сил, направленных к началу координат или от него, он приводит к уравнению
产 S = const,(31.6)
из которого следует, что радиус-вектор, проведенный из начала координат к частице, описывает в равные времена равные площади. Полезно запомнить, что
产衣=рг,(31.7)
где г — абсолютная величина скорости и р — перпендикуляр, опущенный из начала координат на касательную к орбите.
Движущиеся системы отсчета. Пусть S — твердое тело, которое движется заданным образом относительно абсолютного пространства. Это движение можно описать, если выбрать определенный полюс。в теле S, задать абсолютную скорость и0 (0 точки О и задать, кроме того, угловую скорость ш тела S. Примем S за движущуюся систему отсчета. То叨а абсолютное ускорение а частицы, возникающее под действием силы F, можно разбить на четыре слагаемых вида (20.10) и написать уравнение движения (30.2) в следующей форме:
加0'=尸 + 尸0 + 尸e + 尸 士,(32.1)
где т — масса частицы и
尸0 =一т仅0,)
Fc= —тас= —2т(д X г/,|
・(32 2)
Ft = — mat =—加① X (<a X В) =' * '
=—т(й х 尸'—т(й (<йг') + та^г.
В уравнении (32.1)优一относительное ускорение, т. е. то ускорение, которое измеряет наблюдатель, движущийся вместе с телом S. Можно сказать, что для движущейся системы отсчета закон Ньютона приобретает форму
加优=尸，(32.3)
где 尸'一сумма реальной силы F и трех фиктивных сил 尸о,吊，Ft， Здесь 尸о — сила, которая возникает только вследствие ускорения полюса (она существует даже если S не вращается); Fc — сила Кориолиса, имеющая большое значение в метеорологии и во всех явлениях, связанных
с вращением Земли;居一до своей природе принадлежит к центробежным силам, хотя этот термин обычно применяется только в том случае, когда о = const, и тогда (ср. (20.14))
Ft = znRoA(32.4)
Если движение тела S равномерное, то а。= о)= 0, и уравнение движения (32.1) превращается в уравнение
та =F,(32.5)
которое означает, что такая система отсчета ——ньютонова. Этот результат известен как относительность в смысле Ньютона. Исходя от абсолютного пространства 5。и ньютонова закона движения относительно S。一 находим, что этот закон выполняется также в любой системе S, движущейся равномерно.
ГЛАВА II
ОДНОМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Простой гармонический осциллятор. Затухание. Простой гармонический осциллятор представляет собой частицу, которая движется по некоторой прямой под влиянием восстанавливающей силы, направленной к точке 。на этой линии, а по величине пропорциональной расстоянию частицы от точки О. Если одновременно яа точку действует сила трения, обусловливающая затухание (ее часто называют демпфирующей силой), пропорциональная скорости и противоположная ей по направлению, а также вынуждающая сила, то уравнение движения принимает вид
х + 2M + р2х = X,(33.1)
где
восстанавливающая сила= — тр^х,]
демпфирующая (сила трения) = — 2m\ix, j (33.2) вынуждающая сила= тХ,丿
и т — масса частицы. Для незатухающего невозмущенного движения осциллятора движение описывается уравнениями
а р2, = о, ](33.3)
出=a cos (pt + е), J
где а——амплитуда колебания), ———период, 涼— частота, р = 2nv = w — круговая частота, pt-^^=^(f——фаза, е — начальная фаза.
Иногда амплитудой называют величину 2а, а величину а — полуамплитудой.
Дж. Л. Сшгг
Говорят, что для двух значений ф, отличающихся на целое кратное 2л, осциллятор находится «в одной и той же фазе». Решение уравнения (33.3) можно также записать в комплексной форме
x = Aeipt,(33.4)
где А —— комплексная амплитуда, которая включает фазовую постоянную. Физическое смещение х равно действительной части комплексного числа (33.4).
Если X = 0, то общее решение уравнения затухающих колебаний (33.1) в комплексной форме имеет вид
х = Аеп^ + Ввп^,(33.5)
где пь п2 — корни уравнения
п2 + 2jin + р2 = о.(33.6)
Эти корни могут быть действительными или комплексными. В первом случае имеет место непериодическое движение (апериодическое затухание), во втором — затухающие колебания1).
Если действует демпфирующая сила, а также вынуждающая сила, заданная как функция времени 力 то общее решение уравнения (33.1) будет иметь вид
X = Аеп1* + Веп^ +
+ •~( X (т)dr. (33.7)
%)
0'
Для синусоидальной вынуждающей силы
Х・《) = Хо/叱(33.8)
решение (33.7) преобразуется к следующему виду:
% — %2 \ig -%] iq — %2/
(33.9)
D Так как коэффициент затухания 卩 положителен, то действительная часть каждого из корней обязательно отрицательна; детали см. Synge and Griffith [26], стр. 163—166.
где 4’ и Вг — новые произвольные постоянные. При 才—8 два первых члена исчезают и мы получаем для выражения вынужденных колебаний
/ =/ =(»g — %) (S — W(»g — %) (S — Wp2 — g? + 2ip，7p2 — g? + 2ip，7• (33.10)• (33.10)
/ =
/ =
(»g — %) (S — W
(»g — %) (S — W
p2 — g? + 2ip，7
p2 — g? + 2ip，7
• (33.10)
• (33.10)
Амплитуда велика (резонанс), если малы (р — g) и ц, т, е. если частота возмущающей силы близка к частоте незатухающего свободного колебания, а затухание мало ).
§ 34. Круговой и циклоидальный маятники. Рассмотрим частицу массы т, движущуюся под действием силы тяжести по гладкому вертикальному кругу радиуса I (круговой маятник). Если В — угол отклонения от направленной вниз вертикали, то полная энергия этой частицы равна
-^ znZ^2 + mgl (1 — cos ^) = Е = const, (34.1) и уравнение движения имеет вид
(34.2)(34.2)+ р? sin В = 0，р2 = у .
(34.2)
(34.2)
т — 2лт — 2лДля малых амплитуд оно сводится к уравнению (33.3) для гармонического осциллятора и период колебания равен
т — 2л
т — 2л
(34.3)
Вообще мы получаем колебательное движение, если
①。=I 仆 I仔=о < 2p,①。=I 仆 I仔=о < 2p,(34.4)(34.4)
①。=I 仆 I仔=о < 2p,
①。=I 仆 I仔=о < 2p,
(34.4)
(34.4)
и движение определяется уравнением
(34.5)(34.5)11
(34.5)
(34.5)
sin 歹 В = sin — a sn р (i —才)
где а — максимальное значение 令，так что
sinsin12a12a1 Зо1 Зо=2万.=2万.(34.6)(34.6)
sin
sin
1
2a
1
2a
1 Зо
1 Зо
=2万.
=2万.
(34.6)
(34.6)
Величина %о в уравнении (34.5)——произвольная постоянная и эллиптическая функция Якоби sn имеет в качестве
модуля х) sin — а.
Лd^Лd^Период колебания выражается следующим образом:
Л
d^
Л
d^
т , УЧ — 依 Sidtp =
=./+(我)肥,(34.7)
,.12
т — 2лт — 2л4 +訂4 +訂где к = sin — а; это дает с точностью до членов порядка а"
т — 2л
т — 2л
4 +訂
4 +訂
(34.8)
Если со。> 2р, движение уже не является колебательным, частица описывает круг за кругом по окружности. В этом случае решение2) таково:
sin 令=sn ^•« — Zj,sin 令=sn ^•« — Zj,(34.9)(34.9)
sin 令=sn ^•« — Zj,
sin 令=sn ^•« — Zj,
(34.9)
(34.9)
где к = 2р/(о()< 1, и модуль функции sn есть к. Если со。= 2р, то частица достигает наивысшей точки
круга при 力=8 ; движение определяется формулой
1
sin 至令=th р (力一％).(34,10)
Уиттекер [26], стр. 371.УиттекерУиттекер [26], стр. 371.УиттекерДля движения под действием силы тяжести по некоторой гладкой кривой в вертикальной плоскости урав-
Уиттекер [26], стр. 371.
Уиттекер
Уиттекер [26], стр. 371.
Уиттекер
нением движения является следующее уравнение:
3，+g寫=о,(34.11)
где s ——длина дуги и 2 ——высота над некоторым фиксированным уровнем. Если
z =底2,(34.12)
то получаем уравнение
s + 2gks = 0,
. уравнение того же вида, что и для гармонического осциллятора. Период тогда не зависит от амплитуды и кривая (34.12), которая является циклоидой, называется таутохроной для силы тяжести).
ГЛАВА III
ДВУМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Движение частицы в однородном гравитационном поле в сопротивляющейся среде. Для частицы с массой т, которая движется в однородном гравитационном поле в сопротивляющейся среде, плотность которой зависит только от высоты, уравнения движения имеют вид
z = -f(v, у) ^, »•= —g —/3, у)^・ (35.1) Здесь ось х ——горизонтальна, ось у направлена вертикально вверх и mf (〃, у) — сила сопротивления движению; 〃——абсолютная величина скорости.
Если / = 0, мы получаем элементарную параболическую траекторию
х = а Ы, у = с ~\- et g『，(35.2)
где а, b, с, е —— постоянные, определяемые начальными условиями). Если / = 力0, уравнения (35.1) имеют простые экспоненциальные решения). Уравнения интегрируются до конца) также для случая f = kQ -\- kvn, который содержит как частный случай) сопротивление, пропорциональное квадрату скорости (/ = к聆.
Интегрирование уравнений в форме (35.1) является центральной задачей внешней баллистики; здесь функция
/(z, у) задается численно или некоторой эмпирической формулой). Применяется также численное интегрирование.
Проблема Кеплера). В проблеме Кеплера частица с массой т притягивается к неподвижной точке О (или отталкивается от нее) с силой, обратно пропорциональной квадрату ее расстояния г до точки。Пусть направленная к точке О компонента этой силы равна тпр, /г2 (卩—поло' жительно в случае притяжения и отрицательно при отталкивании). Вследствие симметрии орбита — плоская кривая, и уравнения движения, выраженные в полярных координатах (仆，г) в плоскости орбиты, имеют следующий вид (ср. (30.13)):
Г- г#2 = - Д , Г2# =瓦(36.1)
где h — const есть момент количества движения единичной массы (ср. (31.6)). Кинетическая и потенциальная энергии единичной массы равны
Т = ^(，2 十闯 В， У = - ^- .(36.2)
Мы имеем уравнение энергии
Т + V = Е,(36.3)
где Е = const — полная энергия единичной массы.
Полагая и = Иг и исключая t из уравнений (36.1), мы получим
и, следовательно,
и =и =% + e e05 (仆一必),% + e e05 (仆一必),(36.5)(36.5)
и =
и =
% + e e05 (仆一必),
% + e e05 (仆一必),
(36.5)
(36.5)
где С, В。一 постоянные интегрирования. Постоянная С определяется из уравнения (36.3) через Е и /г; кроме того, соответствующим выбором линии 8 = 0 можно сделать 令о = 0. Тогда уравнение орбиты может быть записано в виде
11
u =不=7(1+6 cos 令)，(36.6)
где
卩卩2Eh22Eh2u2u2(36.7)(36.7)
卩
卩
2Eh2
2Eh2
u2
u2
(36.7)
(36.7)
Орбита является коническим сечением с эксцентриситетом е. В зависимости от того, какое из соотношений имеет место, Е < 0, Е ~ 0 или Е > 0, эта кривая соответственно эллипс, парабола или гипербола. Центр силы совпадает с фокусом конического сечения.
В случае силы отталкивания(1 < 0, Е > 0 и орбита может быть только гиперболической; это — ветвь гиперболы, обращенная выпуклостью к точке О.
Эллиптическая орбита определяется большой полуосью а и эксцентриситетом % или постоянными Е и 九・ Связь между этими константами выражается формулами
а =e =а =e =卩历上2a卩历上2aI 丄2£A2I 丄2£A2九=]/na(1 — e2).九=]/na(1 — e2).(36.8)(36.8)
а =
e =
а =
e =
卩历
上
2a
卩历
上
2a
I 丄2£A2
I 丄2£A2
九=]/na(1 — e2).
九=]/na(1 — e2).
(36.8)
(36.8)
Абсолютное значение скорости 少 на расстоянии г от точки О определяется выражением
11аа(36.9)(36.9)
1
1
а
а
(36.9)
(36.9)
а период равен
т = ~ 匕一/ = 2л 1/- =. (36.10)
hV Ц К— 2 加
Мы не можем здесь входить в детали исследования эллиптических (планетных) орбит, наиболее интересных для небесной механики).
§ 37* Общий случай центральных сил. Для частицы с массой т, отталкивающейся от неподвижной точки О силой mF (и), где □ — 1/г, уравнения (30.13) приводятся к виду
L_余2 = £ Л = А.(37.1)
и отсюда к уравнению
du ,歹
у + 〃 =^~-.
Эти уравнения охватывают и случай притяжения, тогда F ——отрицательна. Потенциал V в этом случае существует и определяется выражением
(37.3) энергии(37.4)(37.3) энергии(37.4)卩(и) = — \ F dr,
(37.3) энергии
(37.4)
(37.3) энергии
(37.4)
Го где r0一 некоторая постоянная. Уравнение Т + 卩=const приводит к выражению
/九 丫 22(E^V)
которое является, конечно, первым интегралом уравнения (37.2). Это уравнение2)может быть решено в квадратурах,
так как оно имеет форму
/ 3)=/ 3)=(37.5)(37.5)2 (^ - V) 2 =м
/ 3)=
/ 3)=
(37.5)
(37.5)
无2
出=型=土h 一出=型=土h 一duhu2 V (u)duhu2 V (u)(37.6)(37.6)Для того чтобы связать время / с переменными (и,令), мы имеем согласно уравнениям (37.1)
出=型=土
h 一
出=型=土
h 一
du
hu2 V (u)
du
hu2 V (u)
(37.6)
(37.6)
знак выбирается так, чтобы дифференциал dt был положительным.
Апсидами какой-либо орбиты являются те точки, в которых г максимально или минимально. Таким образом, апсидам соответствуют точки и = 口匕 и — 口2, где
/(и。— 0,/(口2)= 0.(37.7)
Апсидальный угол, по определению, равен
我="2期2 吊/
а = 〈 d令=〈.(37.8)
Уравнение всей орбиты можно получить из уравнения части ее, заключенной между двумя соседними апсидами, так как орбита симметрична относительно любого апсидального радиуса. Вся орбита заключена между двумя концентрическими окружностями (и касается их), но в исключительных случаях радиус внутренней окружности может обращаться в нуль, а радиус внешней ——в бесконечность.
Заимствуя термины из астрономии, мы можем назвать одну из апсид внутренней окружности перигелием и одну из внешних апсид —— афелием.
Если сила пропорциональна r(W = efc2r, в = ± 1), то движение проще исследовать с помощью декартовых прямоугольных координат; в этом случае имеем уравнения
х = efc2x, у 二 е/с2y.(37.9)
Если в = — 1, то орбита — эллипс, центр которого сов-
падает с началом координат и уравнения которого имеют ъид
(37.10)(37.10)х = A cos kt + В sin kt； у ~ С cos kt + D sin kt.
(37.10)
(37.10)
Если e =十 1, решение аналогичным образом выражается через гиперболические функции. В этом случае орбита — центральная гипербола. В специальных случаях (при обращении в нуль момента импульса) орбитой является прямая линия, проведенная через начало координат. Тогда в случае £ =——1 мы имеем простой гармонический осциллятор.
Устойчивость круговой орбиты. Для круговой орбиты радиуса г = 1 /и мы требуем выполнения условий
/(и) = 0,/'(а) = 0.(38.1)
Первое условие есть следствие уравнения (37.5), второе же следует из (37.2), которое эквивалентно уравнению
Полагая w = и0 для круговой орбиты, мы пишем для возмущенной орбиты
u = Uo + ^(38.3)
(предполагая, что g — мало) и, отбрасывая члены выше первого порядка в 己，получаем из уравнений (38.2) и (38.1) следующее уравнение:
崇旷(％.(38.4)
Уравнение имеет синусоидальное решение, обеспечивающее устойчивость тогда (и только тогда), когда выполняется условие
*3о) < 0.(38.5)
Таким образом, имеет место следующий критерий устойчивости круговой орбиты радиуса г = — , описанной
частицей под действием центральной силы притяжения: ^广 &) = — 1V °，(38.6)
2n аи \ и /
Здесь сила F — отрицательна, а сила притяжения по величине равна mF. Согласно уравнению (37.2) имеем далее в случае круговой орбиты
庁=—& .(38.7)
Следовательно, критерий устойчивости можно записать в виде
з歹卫，(38.8)
du
или
37? + г — < 0.(38.9)
dr
Если сила притяжения пропорциональна г-п, то движение устойчиво тогда и только тогда, когда тг < 3.
Колебания под действием силы тяжести на неподвижной поверхностих). Пусть S — гладкая неподвижная поверхность и О ——точка на ней, и пусть касательная плоскость к поверхности в точке О горизонтальна. Пусть Oxyz — система координат, в которой ось Oz направлена вертикально вверх и плоскость Оху совпадает с плоскостью, образуемой главными направлениями кривизны поверхности S, так что приближенно ее уравнение в окрестности точки О имеет вид
где Ri и R2 — главные радиусы кривизны. Если частица с массой т движется по поверхности S под действием силы тяжести, ее точные уравнения движения имеют вид х = WV,办=卩忆 z^xN — g, (39.2)
Ср. Аппель [2], 1, стр, 410—442.
§ 39] КОЛЕБАНИЯ НЛ НЕПОДВИЖНОЙ ПОВЕРХНОСТИ Ю9
где mN — реакция поверхности и Z, ц, v — направляю-
первогопервогощие косинусы нормали. С точностью до величин порядка относительно %, у имеем соотношения
первого
первого
瓦，"_一瓦'瓦，"_一瓦'V — 1;V — 1;(39.3)(39.3)отсюда TV = g иX + А：红=0, у + к^у =отсюда TV = g иX + А：红=0, у + к^у =М = _£1凡М = _£1凡毬毬°，]°，](39.4)(39.4)
瓦，"_一瓦'
瓦，"_一瓦'
V — 1;
V — 1;
(39.3)
(39.3)
отсюда TV = g и
X + А：红=0, у + к^у =
отсюда TV = g и
X + А：红=0, у + к^у =
М = _£
1凡
М = _£
1凡
毬
毬
°，]
°，]
(39.4)
(39.4)
Решение имеет вид
(39.5)(39.5)х ~ A cos {kvt + 3),у = С cos (k2t + D).
(39.5)
(39.5)
Эти кривые в плоскости ху (называемые фигурами Лиссажу 1)) представляют собой результат сложения простых гармонических движений с различными частотами. Это — замкнутые кривые, если 瓦/自 一 рациональное число; в противном случае они заполняют ) весь прямоугольник
Сферический маятник состоит из тяжелой частицы, подвешенной к неподвижной точке на легкой нерастяжимой нити. По существу, это тот же случай, что и частица, движущаяся под действием силы тяжести по
исследовать малые изложенной вышеисследовать малые изложенной вышет = 2лт = 2лгладкой неподвижной сфере. Чтобы колебания, мы полагаем R^ = R2 в теории; период колебания равен
исследовать малые изложенной выше
исследовать малые изложенной выше
т = 2л
т = 2л
(39.6)
с центром, совпа-с центром, совпа-и орбита (39.5) является эллипсом
с центром, совпа-
с центром, совпа-
дающим с началом координат.
Значительно более сложны конечные колебания под действием силы тяжести на гладкой сфере. Выбирая центр сферы за начало системы координат, ось Oz которой
направлена вертикально вверх, мы найдем четыре уравнения
(39.7)(39.7)£ =N, у = — — z =Л — g,aaa
(39.7)
(39.7)
2 ]2 I 22
£ +〃 + Z = a ,
где a — радиус сферы. Затем можно использовать либо сохранение энергии (тЕ)，либо сохранение момента импульса (mh) относительно оси Oz. Мы получаем уравнения)
(39.8)(39.8)储一z?) 0 = А,/(0 =与1®—
(39.8)
(39.8)
a L\
в которых (г, (р, z)——цилиндрические координаты. Три корня Zi, Z2，Z3 кубического уравнения )(z) обязательно действительные и удовлетворяют условию — 〃Vzi<z2V < a < z3 и решение может быть выражено следующим образом с помощью эллиптических функций:
z _ Z1 =(Z2 — Zi) sn p(t — 用)，]
Z2 — Z =(Z2 — Z1) CD.2 p(t — %0)， j (39.9) Z3 - z = b3 - Zi) dn2 p(t - 20)，J
где
(39.10)(39.10)
(39.10)
(39.10)
ti модуль эллиптических функций равен 加，где
(39.11)(39.11)后=Z2 — Zi
(39.11)
(39.11)
Когда колебания малы, проекция орбиты на плоскость ху есть небольшой эллипс, который вращается на малый угол 34/4〃2 за оборот орбиты; Л —площадь эллипса. Это вращение (в том же направлении, в каком описывается орбита) нельзя смешивать с вращением Фуко (ср. § 43).
ГЛАВА IV
ТРЕХМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
§ 40： Заряженная частица в электромагнитном поле]), Когда частица с массой т, несущая электрический заряд е, движется в электромагнитном поле с электрическим вектором Е и магнитным вектором Н, уравнение движения) имеет вид
та = е (石十 и X Н).(40.1)
Это дает уравнение:
^ (｝加〃2)= ev-E,(40,2)
следовательно, если Е имеет потенциал) (Е = — grad V), то интеграл энергии имеет вид
—mv2 + eV = const.(40.3)
Если Е и jff — константы (однородное электромагнитное поле), то уравнение (40,1) легко решается следующим образом, В случае, если Н = 0, траекторией будет парабола. Если Н 次 0, мы представим и в форме
у = ViE -[- v2H+ЩЕ X Я.(40.4)
Подставляя это значение в уравнение (40.1) и записывая в компонентах, получаем следующие соотношения:
廿1 = — АН sin (kHt + 3),
1禽=—2 — A cos (kHt + 3),1禽=—2 — A cos (kHt + 3),v2 = С - ^^ {kt-АН sin (kHt + 5)},
1
禽=—2 — A cos (kHt + 3),
1
禽=—2 — A cos (kHt + 3),
где к ———e/т 卩 А, В, C — постоянные интегрировайия. Радиус-вектор частицы, представленный в форме аналогичной (40.4), определится тогда интегрированием уравнений (40.5).
Если и электрическое и магнитное поля оба постоянны и ортогональны, мы имеем Е*Н = 0 и отсюда v2= const. Направляя оси Oxyz по векторам Е、Н, Е X Н, так что
х = ViE, у = 少2Е, z — v3EH, имеем затем
(40.6)(40.6)х = Хо + А' cos (kHt + 5), У = % + С2,
(40.6)
(40.6)
2 = 20 + —А' sin {kHt + Б), Н
где 4'= АЕ/к, С' = СИ. Если С = 0, то уравнения представляют движение по окружности в плоскости, перпендикулярной к _ff с угловой скоростью кН; при этом центр окружности движется по прямой линии, перпендикулярной к Е и Н со скоростью Е /Н,
Если Е = 0, то траектория — круговая спираль с осью, параллельной магнитному полю, описываемая частицей с азимутальной угловой скоростью Не/т.
§ 41. Аксиально-симметричные электромагнитные поля. В статическом электромагнитном поле электрический потенциал V и магнитный потенциал Q являются гармоническими функциями. Если поле имеет ось z осью сим-
ЦЦАКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕКТРОЙАГНИТНЫЕ ПОьПЯ ЦЗ
метрии, эти функции могут быть разложены в стеиенные ряды
ри炉匕(z) +克加% (z)+...,
Q = Q° (z) + 五2% (z) + £*% (z) + ..
где _R2= 土2 + g2, и мк находим из уравнения Лапласа следующие соотношения:
兀'(z) + 2匕(z) = 0, Vi^ + ^V.^^O,(41.2)
и аналогичные уравнения для Q, так что коэффициенты в разложениях (41.1) зависят только от аксиальных потенциалов 卩о, Qo- Уравнения движения (40.1) заряженной частицы, движущейся вблизи оси z, могут быть рассмот-
рены приближенно. Из интеграла (40.3) находим z = w^ 川2 = 2k(VQ — С), где к = —е/т и С = const, и после исключения времени получаем комплексное уравнение траектории:
Г +” + QC = O, P = *W,
(41.3)
^ = x + iy, (? = v — + — +
Штрих означает производную ^ . Здесь Р и Q — задан-
ные функции z. Это дифференциальное уравнение второго порядка — фундаментальное в электронной оптике; им в основном и определяется образование изображения в электронном микроскопе ^. Чтобы исследовать аберрации, нужно привлечь прибли?кения высших порядков).
угольная система координатугольная система координатРис. 12. Осп, связанные с вращающейся Землей.Рис. 12. Осп, связанные с вращающейся Землей.(42⑴(42⑴
угольная система координат
угольная система координат
Рис. 12. Осп, связанные с вращающейся Землей.
Рис. 12. Осп, связанные с вращающейся Землей.
(42⑴
(42⑴
§ 42. Движение относительно вращающейся Земли 丄). Мы пренебрегаем здесь орбитальным движением вокруг Солнца и рассматриваем Землю как твердое тело, вращающееся с угловой скоростью Q. Пусть Oxyz ——прямо
(рис. 12) с началом О в точке земной поверхности. Ось Oz направлена вертикаль? но вверх (т. е. по отвесной ” линии) и ось Ох направлена на юг. Пусть орты t, у, к ортонормального триэдра направлены как осп координат этой системы. Для того чтобы исследовать движение относительно земной поверхности, будем использовать эту систему отсчета так, как если бы она была непо
движной, добавляя фиктивные силы как в уравнении (32.1). Пусть Z — широта точки О и Е — расстояние от точки О до земной оси. Тогда
Q = — Q cos W -|- Q sin кк,&и = — EQ' sin 入i — AQ2 cos ZA*;
следовательно, если 尸,и теперь означают радиус-вектор
и скорость частицы в системе Oxyz и и — ее относительное ускорение, то, согласно выражению (32.1), имеем следующее уравнение:
mv = F^ mR^ (sin.入i十c.os \к)—
—2mQ ( — cos 入力+ sin ZAr) A и — тй A (Q A r), (42.2)
где F — действительная сила, действующая на частицу. Пусть 尸о — сила тяжести, действующая в точке О. Пусть g определяется тем, что натяжение нити со свинцовым грузом массы т, подвешенным в точке О, равно mg.
1) Ср. Аппель [2], II, стр, 248- 253, а также Synge and Griffith [26], стр. 403 —408.
§ 42] ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЗЕМЛИ Ц5
Тогда уравнение (42.2) удовлетворяется при
尸=凡 + 加8左，r = 0, r = 0(42.3)
и поэтому мы имеем соотношение
Fo + mgk + zn7?Q2(疝口 入》十 cos 入 Ar) = 0.(42.4)
Вычтем теперь (42.4) из (42.2), отбросив последний член в (42.2) в силу малости Q. Это дает следующие уравнения движения:
тх = X + 2/nQ sin К-у,)
ту = У — 2mQ (sin X-i + cos X- z), |(42.5)
mi 不 Z — zng + 2/nQ cos 入•九 丿
где (X, У, Z) — компоненты разности между полной действительной силой, действующей на частицу, и силой тяжести, действующей на нее в точке О.
В случае свободной частицы (снаряд в вакууме) мы полагаем X = Y ^ Z ~ 0, если можно пренебречь изменением силы тяжести с положением. Пренебрегая величинами порядка Q2, мы получаем для частицы, начинающей двигаться от начала координат в момент времени ^ = 0 со скоростью (и。, Vo, w0), следующие уравнения
движения:
n = и°£ + Qi^2 sin 入，
(42.6)(42.6)у = vQt — ◎产(г/。sin 入 + w0 cos X) +
(42.6)
(42.6)
H-2 Qg力3 cos 入，
]2- л
z = w^t — -^" gt + Qu()t cos X.
В свободном падении с высоты h (из состояния покоя) частица отклоняется к востоку на величину
1У1УQ COS入⑵2Q COS入⑵2(42・7)(42・7)
1
У
1
У
Q COS入⑵2
Q COS入⑵2
(42・7)
(42・7)
Для снаряда, движущегося по настильной траектории (гр。一 мало), проекция радиуса-вектора на горизонтальную плоскость Оху возрастает с постоянной скоростью и поворачивается также с постоянной скоростью ——Q sin 入； это означает отклонение направо в северном полушарии и налево — в южном (закон Фереля).
§ 43. Маятник Фукох). Частица массы m подвешена на легкой нити длиной I в точке (О, Q Z) (ср. рис. 12). Тогда О есть положение равновесия и если частица выведена из него, то она движется согласно уравнениям (42.5), в которых
х = - —S, У = - 2s, z =(43.1 ///
где S ——натяжение нити. Для малых возмущений z —— величина второго порядка малости, и мы получаем следующее соотношение:
S = Z = mg — 2mQ cos Х-у, (43.2) как следствие последнего из уравнений (42.5). Два других уравнения принимают вид
х — 2Q sin 入切 + P% = О,
..2(43.3)
J + 2Q sin 入・н + p у = О,
где р2 = g]l. Вводя переменную g = н + 勿,мы записываем оба эти уравнения в виде
t 一 2гfi sin X-t + p^ = O,(43.4)
а его решение, пренебрегая Q, в виде
^ = (Aelpt +Be~ipt) e~iQt sin х (43.5)
Первый множитель справа представляет движение по йеподвижному центральному эллипсу, второй множитель
превращает его в эллипс, вращающийся с угловой скоростью——Q sin 九；вращение направлено по часовой стрелке в северном полушарии и против нее — в южном.
Вращение Фуко нельзя смешивать с похожим нвле， нием, имеющим место в случае малых колебаний сферического маятника (§ 39). Если маятник начинает движение из положения покоя (например, при пережигании поддерживающей пити), то орбита должна была бы быть прямой линией, если бы Земля не вращалась. В действительности орбитой является эллиптическая линия и сек- ториальная скорость равна
3
-g- a2Q sin 九，
где a — начальная угловая амплитуда. Так как а мало, то этот эффект значительно меньше, чем вращение Фуко.
Г ДИНАМИКА СИСТЕМ ЧАСТИЦИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
ГЛАВА I
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Теоремы об импульсе и моменте импульса. Р смотрим систему из Р частиц с массами тп» (Х=1, 2,.
и радиусами-векторами Ti относительно начала коор; г, неподвижного в абсолютном пространстве 50- В эти частицы действуют силы Fb которые мы разложим на зт- ние 尸；,и внутренние,尸；,как в § 26. Уравнения . же- ния отдельных частиц можно написать в виде
me=居=居+尸: (i = l, 2,…，尸)4.1)
и, так как 2 尸;=0, получаем i=1
M^F,(44,2
где рр
М= 2网б，尸=?尸入(44.3)
а 7И и _F представляют собой соответственно импульс системы (§ 23) и главный вектор внешних сил (§ 26). Уравнение (44.2) выражает теорему об импульсе: скорость изменения импульса системы равна главному вектору внешних сил^
Можно также записать уравнение (44.2) в форме
та =尸，(44.4)
где 771 ——масса всей системы н。——ускорение центра масс.
Так как -2 rf х /7 = 0, то выражение (44.1) дает так же как следствие уравнение
力=G,(44.5)
где
无=2 优,i XG = 2 勺 X 務， (44.6)
i=li=I
/# 口 G соответственно полный люмент абсолютного импульса, взятый для неподвижного начала отсчета и главный момент всех внешних сил относительно этого начала. Отсюда имеем теорему момента импульса в ее первой форме: скорость изменения момента импульса, взятого для неподвижной точки, равна сумме моментов внешних сил относительно этой точки.
Принимая во внимание выражения (24.11), легко получим из (44.4) и (44.5) уравнение
无* = 6*,(44.7)
где Л* — момент относительного импульса, взятый для центра масс О*, если рассматривать движение относительно точки О*% a G* — сумма моментов внешних сил относительно точки О. Это — вторая форма теоремы момента импульса, когда движение рассматривается не относительно неподвижной точки, а относительно центра масс.
Смысл приведенного вывода состоит в исключении внутренних сил на основании третьего закона Ньютона). Теоремы об импульсе и моменте импульса справедливы для любой ньютоновой системы. Мы можем, конечно, заменить абсолютное пространство Sq какой-нибудь ньютоновой системой S, равномерно движущейся относительно So (ср. § 32).
Принцип Даламбера. Энергия. Пусть 6了， (i = l, . . ., Р) ~ произвольная совокупность бесконечно малых векторов. Согласно (44.1) имеем уравнение
р р
2 恤”М = 2 尸Д\ = 6忆 (45.1) i=l 4=1
где 6W — работа, произведенная силами 尸力 на перемещениях 6门・ Эти перемещения называются виртуальными} в отличие от перемещений, действительно происходящих при движении, а именно таких, что ©尸力=rf dt.
Для того чтобы придать соотношению (45.1) вид принципа виртуальной работы в статике, назовем векторы т》г эффективными силами^ а векторы, противоположные этим (— игу。一 силами инерции^ тогда соотношения (45.1) можно сформулировать в любой из двух следующих форм (принцип Даламбера):
При любом виртуальном перемещении работа, произведенная эффективными силами^ равна работе, произведенной активными силами.
При любом виртуальном перемещении полная работа, произведенная силами инерции и активными силами, равна нулю.
Значение принципа Даламбера обусловлено двумя фактами: а) система векторных уравнений (44.1) заменяется одним скалярным уравнением; б) bW содержит только те силы, которые производят работу при перемещении 6尸加 Отсюда, если система имеет связи, не производящие работы (§ 26), и перемещение допускается ими, то силы связи не входят в выражение принципа.
Теоремы об импульсе и моменте импульса (§ 44) исключают внутренние силы; принцип Даламбера исключает реакции связей, не производящие работы).
Если возможно выбрать виртуальные перемещения бг^ так, чтобы они совпадали с действительными перемещениями при движении (6，= rf d力,то уравнение (45.1)
принимает следующий вид:
(45.2)(45.3)(45.2)(45.3)，т^гггг= 2 Firt^W. i=li=l
(45.2)
(45.3)
(45.2)
(45.3)
Это уравнение эквивалентно следующему:
где Т — кинетическая энергия. Скорость изменения кинетической энергии равна скорости изменена凫 работы (мощности) всех сил, действующих на систему; сюда входят все силы, производящие работу ——внешние и внутренние.
Если система склерономна и существует потенциальная функция V (ср. (29.9)), то уравнение (45.3) приводит к уравнению энергии или к интегралу энергии
уравнение будет выведено ещеуравнение будет выведено ещеЭто фундаментальноеЭто фундаментальноеТ + V = const. (45.4)
уравнение будет выведено еще
уравнение будет выведено еще
Это фундаментальное
Это фундаментальное
раз в § 46 в более общей форме (46.21),
§ 46. Уравнения Лагранжа. Игнорируемые координаты. а) Общая теория. Рассмотрим систему из Р частиц, такую же, как в § 44 и 45. Предположим, что система подчинена связям, вообще говоря, реономным и неголо- номным. Пусть ,p(Q = 1, *.•,%) — обобщенные координаты, так что радиусы-векторы частиц можно записать как функции:
门=门(g, О G = 1,Р).(46.1)
Пусть уравнения связей имеют вид (28.2), т. е.
N
W Acpdqp +Acdt = o (с = 1, ..., М),(46.2)
p=i
где коэффициенты — заданные функции 7V + 1 переменных (g, t). Скорости частиц выражаются уравнениями
；尸 R；р + 竺 《 = 1尸)，(46・3)
так что компоненты скорости являются функциями 2N + 1 переменных (g, д,力 Как легко проверить, частные производные этих функций удовлетворяют уравнениям
* dri _ dri дп — d dri 西。 歯J dq「 dt dqp
(46.4)(46.5)(46.4)(46.5)("1,…，P; q = 1%).
(46.4)
(46.5)
(46.4)
(46.5)
Кинетическая энергия
, 1 °■
T = 2 2
дТ /рдТдТ /рдТ(46.6)(46.6)также является функцией (q, g, t) и ее частные производные имеют вид
дТ /р
дТ
дТ /р
дТ
(46.6)
(46.6)
二 • д「*EL ・ di」
f 0 Gp g 歯 P
Отсюда, принимая во внимание систему уравнений (46.4), приходим к уравнениям
d дТ дТ …dri m //«7\ 成財р /р М @0р
Пусть 6qp (q — 1, … т N) —— произвольная совокупность бесконечно малых величин и пусть бгг ——соответствующие им смещения частиц системы, полученные дифференцированием уравнений (46.1) при фиксированном t, т. е.
=2小q。=2小q。(j = 1, ..P).(j = 1, ..P).(46.8)(46.8)
=2小q。
=2小q。
(j = 1, ..P).
(j = 1, ..P).
(46.8)
(46.8)
Умножая уравнения (46.7) на бд^ и суммируя по q, получаем уравнение
N2Р=1N2Р=1(d дТ дТ \ . 工Аз
N
2
Р=1
N
2
Р=1
I г—) 6% = > ni/i・g. (46.9) \dt dqp dqp /£
Отметим, что это чисто кинематический результат. При получении его не использованы ни силы, ни уравнения движения; оно не включает также и уравнений связей (46.2).
Вводим затем обобщенную силу Qp (29.6), представленную в виде двух слагаемых, как в (29.6):
Q^ = Qp + Qp g = 1, . . ., N),(46.10)
где Qp — заданная (или приложенная) сила, a Qp — сила реакции связей. Предполагаем, что связи не производят работы в том смысле, что
N
(46.11)(46.11)EQ；6% =。
(46.11)
(46.11)
р =1
для всехдля всехзначений 6外，удовлетворяющих условиям
для всех
для всех
2 Лсрб^р — 0 (с = 1, 2, ..., М).(46.12)
Вернемся теперь к принципу Даламбера в форме (45.1). Выберем какие-нибудь б^р, удовлетворяющие условиям (46.12), и пусть g — соответствующие перемещения частиц системы, данные формулой (46.8). Заменим первый член уравнения (45.1) с помощью уравнения (46.9); для последнего члена уравнения (45.1), приняв во внимание (46.11), имеем
61" = 2 Q^ 6"=工 QpMp. (46.13) р =1 р =1
Таким образом, уравнение (45.1) преобразуется к виду
£；дQp ) Мр = 0(46.14)
\dt a% dqp /
для всех 6g0, удовлетворяютцих условиям (46.12).
Из этого последнего уравнения получим лагранжевы уравнения движения неголономной системы.
1M吨 (e = 1，%)；
山 8%8% g
(46.15)
где 九 一 неопределенные множители. К этим уравнениям нужно добавить уравнения связей (46.2) в форме
2 Асрдр + Лс = 0 (с = 1, ..., М),(46.16)
так что имеем 7V + 7И уравнений для определения N + М величин (%, ■О'с). Можно записать уравнения (46.15) для любой системы в явном виде, как только мы зададим вид функции Т и функций Qp. Последние функции легче всего получить, вычисляя работу 6W и используя (46.13).
Р) Голономные системы. Для голономной системы можно принять за N наименьшее возможное число обобщенных координат. Тогда члены с множителями 仆 исчезают из уравнений (46.15) и лагранжевы уравнения движения для голономной системы имеют следующий вид:
d дТ дТ“—
~ = Qp (q = 1, j N\ (46.17)
Но даже когда система голономна, иногда удобно рассматривать число координат больше, чем минимально необходимое. Тогда система уравнений движения состоит из уравнений (46.15) и из (интегрируемых) уравнений вида (46.16).
Если силы голономной системы имеют потенциальную функцию, т. е. имеют место уравнения (29.9) (другими словами, система имеет потенциальную энергию) или если существует обобщенная потенциальная функция вида (29.11), то уравнения движения можно записать в следующей форме:
(q= 1,…，N),(46.18)(q= 1,…，N),(46.18)d 8L dL n
(q= 1,…，N),(46.18)
(q= 1,…，N),(46.18)
=u
dt dqp d%
где
L^T -V.(46.19)
Здесь L — функция 27V + 1 переменных (q, q, t ; она называется лагранжевой функцией или кинетическим потенциалом. Особое достоинство уравнений (46.18) состоит в том, что уравнения движения системы могут быть составлены сразу, если задана одна-единственная функция. Необходимо указать также, что если две различные физические системы имеют лагранжеву функцию одной и той же формы, то они ведут себя одинаково.
Если умножить уравнения (46.18) на др и просуммировать по q, то результат можно преобразовать к виду
(46.20)
P=1
Если Z не зависит явно от t (а это может быть даже в случае реономной системы), мы имеем dL/dt = 0; в этом случае уравнение (46.20) имеет интеграл
Nor
2 6р =&(46.21)
Р=1
Кинетическая энергия — функция второй степени относительно обобщенных скоростей (qj и ее можно представить в виде суммы
Т = Т2+ Ti+ К,(46.22)
где индексы указывают степень однородности выражения относительно обобщенных скоростей. Если V = Т(9)— обычная потенциальная функция, то, прилагая теорему Эйлера для однородных функций к уравнению (46.21), получим
?2 - То + 卩=К.(46.23)
Если, кроме того, система склерономна — имеет место 7 = 丁2 風 выражение (46.23) принимает следующий вид:
(46.24)(46.24)т + v = К,
(46.24)
(46.24)
т. о. иолучаем уравнение энергии или интеграл энергии вида (45.4).
у) Игнорируемые координаты. Рассмотрим голоном^ ную систему с лагранжевой функцией L. Если одна из координат др не входит в Z, то говорят, что эта координата игнорируемаяг).
Если координата др ——игнорируемая, то соответствующее уравнение движения системы (46.8) дает интеграл
dLdL咖咖рр(46.25)(46.25)
dL
dL
咖
咖
р
р
(46.25)
(46.25)
динатам (т. е. qi,.. динат и скоростей, Функция Рауса А,динатам (т. е. qi,.. динат и скоростей, Функция Рауса А,А=Е —》歹》Ор'р，А=Е —》歹》Ор'р，(46.26)(46.26)
динатам (т. е. qi,.. динат и скоростей, Функция Рауса А,
динатам (т. е. qi,.. динат и скоростей, Функция Рауса А,
А=Е —》歹》Ор'р，
А=Е —》歹》Ор'р，
(46.26)
(46.26)
Это ——первый интеграл уравнений движения. Если 51, . . ., qM -— игнорируемые координаты, то имеются М интегралов, аналогичных (46.25). Решая эти уравнения, получаем скорости, соответствующие игнорируемым коор
.,дм), как функции остальных коор- времени t и констант с^, . . ., см.
определенная уравнением
может быть выражена в следующей форме:
R = R(9м +1, • * ■» 5^^ 力,Qm +1» • • •) 9n, Ci, .. ., Cjy). (46.27)
Этой функцией, как мы сейчас покажем, можно заменить функцию L в уравнениях движения.
Так как динамическая система может рассматриваться в любой конфигурации в любой момент времени с любыми
Употребляют также термины киностеническая и циклическая координаты, особенно часто последний, что очень жаль, так как термин «циклический» может оказаться необходимым в топологическом смысле слова; ср. § 63. Слово «игнорируемый» используется в различных смыслах: (I) координата не входит в Т и (II) она отсутствует в L; ср. Голдстейн [7], стр. 62; L а n с z о s [15], стр. 125.
обобщенными скоростямл, то 2W — М 十 1 иеличин
^м +ь • • •» 9n,厶 91, • • *» 9n(46.28)
можно считать независимыми переменными; соответственно 27V — М 十 1 величин
Слг +!, * • м Ow,九 ©1, ■ • ■ 1 См, Ом+i, * • * 1 Qn (46.29)
тоже являются независимыми переменными; используя эти переменные для составления вариации раусовой функции К, получим из (46.27) и (46.26), приняв во внимание интегралы (46.25), выражение
67?67?Nsp=M + iNsp=M + i也6外+空也 +3外 灰也6外+空也 +3外 灰N2p=AT 4-1N2p=AT 4-1dRa?pdRa?pMp +Mp +Af+ 2P=1 NAf+ 2P=1 N5c p5c pppу+ №* +々 dqD dtР-ЛГ4-1 ”PMу+ №* +々 dqD dtР-ЛГ4-1 ”PM++々dqp々dqpp=ip=iS az & p=£，pS az & p=£，p+R+R2 @"p + Ср。％)=P=1 n атм■У尸 б%一2^₽6c₽-adqD1p—Af+ 1 pp =1(46.30)2 @"p + Ср。％)=P=1 n атм■У尸 б%一2^₽6c₽-adqD1p—Af+ 1 pp =1(46.30)
67?
67?
N
s
p=M + i
N
s
p=M + i
也6外+空也 +
3外 灰
也6外+空也 +
3外 灰
N
2
p=AT 4-1
N
2
p=AT 4-1
dR
a?p
dR
a?p
Mp +
Mp +
Af
+ 2
P=1 N
Af
+ 2
P=1 N
5c p
5c p
p
p
у+ №* +
々 dqD dt
Р-ЛГ4-1 ”P
M
у+ №* +
々 dqD dt
Р-ЛГ4-1 ”P
M
+
+
々dqp
々dqp
p=i
p=i
S az & p=£，p
S az & p=£，p
+R
+R
2 @"p + Ср。％)=
P=1 n атм
■У尸 б%一2^₽6c₽-
adqD1
p—Af+ 1 pp =1
(46.30)
2 @"p + Ср。％)=
P=1 n атм
■У尸 б%一2^₽6c₽-
adqD1
p—Af+ 1 pp =1
(46.30)
Отсюда, считая вариации найдем уравненияОтсюда, считая вариации найдем уравнения
Отсюда, считая вариации найдем уравнения
Отсюда, считая вариации найдем уравнения
dR d'p и
_ dL
=-,
dR _
四p
dL 西p
(Q = M+1, •…N)
(46.31)
dR
_ dL
dR _
-少p
(Q = 1,…，M).
(46.32)
dt
dt
dcp
величин (46.29) независимыми,
Подставляя в лагранжевы уравнения (46.18) значения
частных производных функций L из (46.31), получаем
уравнения движения в форме
旦也-也=о (е = м + 1, N). (46.33) 必 dqp dqp
Неизвестными в этих уравнениях являются только N — М неигнорируемых координат %. Уравнения содержат постоянные %, ..., см. Исходные дифференциальные уравнения (46.18) представляют собой систему N уравнений второго порядка.
В уравнениях (46.33) мы имеем систему N — М уравнений второго порядка, причем лагранжева форма сохраняется с заменой L на R. Переход от уравнений (46.18) к (46.33) называется операцией исключения игнорируемых координат.
Если система (46.33) разрешена относительно неигнорируемых координат, то игнорируемые координаты определяются формулами
% = 一〈空由 е = 1,…，М)・(46.34)
J 8cp
Уравнения Гамильтона. Рассмотрим систему с N степенями свободы, движение которой задано уравнениями Лагранжа (46.18), где L — некоторая функция обобщенных координат %, их производных % и времени 九 Определим обобщенные импульсы рр следующим образом:
Рр=4 (Q = 1, .... N). (47.1) dqP
Если
о2т
det # 0,(47.2)
(47.3)(47.3)что имеет место в общем случае, то уравнения (47.1) можно разрешить относительно обобщенных скоростей, так что мы получаем выражения
(47.3)
(47.3)
9р = /р (q, t, Р) (Q = 1%)•
Тогда функцию £ можно выразцть как функцию 2N 4- 1 переменных (д,厶 р) и определить так называемую гамильтонову функцию II при помощи уравнения
〃(q,才，р) = £ РрОр — %. (47.4) р =1
Будем считать теперь 2N + 1 величин (‘,九 р) независимыми переменными. Обобщенные скорости выражаются через них по формулам (47.3). Для произвольной вариации функции Н имеем следующее выражение:
° р аро р а% "
к 2 %зрр + z Рр/р — 2 一 泣〉—PPP 0Gp
^号"一劉，⑷・5)
где суммирование производится от 1 до ^, Согласно (47.1), вторая и третья суммы правой части взаимно уничтожаются и мы получаем уравнения
дН. dlldLdHdL
dppdqpdqpdtdt
(q = 1,N). (47.6)
Используя уравнения (47.1), ми можем теперь написать уравнения Лагранжа (46.18) в форме
• _ дНдН z _ 4 m//7 力
% — —— , Рр = — —— (Q — 1» ..., Л).($7.7)
дрРdqp
Это — уравнения движения в форме Гамильтона; их называют также каноническими уравнениями. Переход от лагранжевых уравнений к уравнениям Гамильтона —— чисто математический процесс, не имеющий никакого отношения к исходной динамической системе. Для любой системы, описываемой уравнениями Лагранжа в форме (46.18), будут иметь место уравнения Гамильтона; в
9 Ди; Л (Мпг
частности, уравнениями движения любой голономной системы (реономной или склерономной), допускающей потенциальную функцию V или обобщенную потенциальную функцию, будут уравнения (47.7).
Можно определить скорость изменения 〃, принимая во внимание систему (47.7):
р =1р =1дН . t дН .■т%)十 ~zРрdqP Ор。дН . t дН .■т%)十 ~zРрdqP Ор。十也(47.8)dt dt十也(47.8)dt dt
р =1
р =1
дН . t дН .
■т%)十 ~zРрdqP Ор。
дН . t дН .
■т%)十 ~zРрdqP Ор。
十也(47.8)dt dt
十也(47.8)dt dt
Таким образом, если Н не зависит явно от 九 т. е. -^- = 0, то как следствие имеем
Н = const.(47.9)
Это равенство можно называть интегралом энергии. Если Т представлено суммой (46.22), Т = Т2 + Т^ + То п J = V(g), ТО
я = X ^吆一£ =北 一 То 十 V. (47.10) eq。
Если Т = Т2 (случай, наиболее часто встречающийся в динамике), то получим
〃 =Т 十 У,(47.11)
так что в этом случае Н равно полной энергии системы. т. е. сумме кинетической и потенциальной энергий.
Если, кроме сил, имеющих потенциальную функцию V (или обобщенную потенциальную функцию), на систему действуют силы Q» то уравнения Лагранжа (46.18) преобразуются к виду
- - <?р (Q = l%)• (47.12) 必 dqv dqp
Для того чтобы преобразовать эти уравнения к форме гамильтоновых, заметим, что уравнения (47.6) были получены чисто математическими преобразованиями безотносительно к уравнениям движения и поэтому они имеют место и в данном случае. Следовательно, уравнения
Гамильтона (47.7) примут вид
. дН .дН 八
Gp ~ 二—，Рр ~h Qq (Q ~ Ъ • - • 1 N)・
dPp財 p
(47.13)
Уравнения Аппеля 上)・ Для системы из Р частиц энергия ускорения определяется следующим выражением:
5 = 0』(48.1)
где в выражении кинетической энергии скорости заменены ускорениями. Если ^р (q ~ 1, ...,7V) — обобщенные координаты, так что Г[ = г» (д,方)，то, очевидно.
L 2 项qp丁飞Г，
(48.2)(48.2)(48.3)(48.3)Р=1 NN
(48.2)
(48.2)
(48.3)
(48.3)
0=1p, 0=1
+2；/备业"Р+力2 •
Мы можем, следовательно, написать
S = S(g, g, g,力
Эта функция 3N + 1 перемени! х называется функцией Аппеля', она второй степени относительно производных др
и ее частные производные по % выражаются следующим образом (ср. (46*7)):
dT(48.4)dT(48.4)dSр•• дпу•• dr»d дТ
dT
(48.4)
dT
(48.4)
-=2j""»五「=而г
Ogpt=i ^pM %dt dqp
(Q = 1,N),
i) Ср. P. Appel, Sur une forme generale des equations de la dynamique. Paris.: Gauthier — Villars, 1925; Аппель [2], П, стр. 322—343; Nordheim [18], стр. 69; Peres [20], стр. 219.
户
Таким образом, если система голономна л если обобщенные координаты др образуют систел!у координат с наименьшим числом независимых координат, то уравнения Лагранжа (4848) приводят сразу к уравнениям движения Аппеля:
W = 4 (q = 1,…，％)・(48.5)
困0
Предположим теперь, что на систему наложены связи (46.2):
2 Acpdq^ + 4 成 (с = 1, • • •, М),(48.6)
р = 1
связи, вообще говоря, неголономные, так что уравнения Лагранжа надо писать в форме (46.15). Используя чисто
нения (46.14)нения (46.14)а результат следующима результат следующимможно выразить урав- образом:
нения (46.14)
нения (46.14)
а результат следующим
а результат следующим
(48.7)(48.8)(48,9)(48.7)(48.8)(48,9)N
(48.7)
(48.8)
(48,9)
(48.7)
(48.8)
(48,9)
для всех 6‘р, удовлетворяющих условням N
Е Аср6^р = 0 (с — 1, ..., М). р = 1
Согласно (48.6) имеем уравнения связей
2 /叩必十 4c = 0(с = 1, .. ,, М)
и отсюда дифференцированием по Е получаем N
S Acpqp + Bc(q, 9, 0 = 0 (с = 1, ...,М), .(48.10)
где Вс — функции указанных 2№十1 переменных. С помощью этих последних уравнений можно выразить
01, ，• дм через 3N ——М 4~ 1 величин
gf, • • < ,%V,仏,• • • 5 ，,V，QM I 1 • • • 1•
I It а к, лил люжем паппсать
S (办，♦ ♦ •, Qn, Qi» • * * 5 Qn, 0i ‘ • • * 5 0n，')
=3 (码，♦ • •, Qv, ?i, • • ♦, 9n,公工 + i, • • ♦, %v‘ ％) .(48.11)
Определим теперь вием:Определим теперь вием:Если мы придаем вариациям Bg% . . ., 6^v произвольные значения, ^удовлетворяющие только условиям
Определим теперь вием:
Определим теперь вием:
то из
N
2 Ac^qp = 0 р—1
уравнений (48.10) и
(с — 1, ..., М), (48.11) следует, что
(48.12)
V as
』戸6gp 皆dgp
弋 as а ••
=6分。
(48.13)
Это
эквивалентно утверждению, что
2 了二6外
=2 一沁
(48.14)
для
ряют
всех вариаций 6^н условиям
N
£ АсрМр о p=i
..B^n，которые
(с — 1, ..., М).
удовлетво-
(48.15)
Qm + 1, • • ^ Qn следующим уело-
EQp6qp= w Q「6 分 (48.16) p — 1 г—M + 1
для всех вариаций, удовлетворяющих (48.15). Тогда согласно (48.14) и (48.16) мы можем переписать уравнение (48.7) в форме
2 言 6分=》QM (48.17) и так как вариации произвольны, то имеем
言(г = МТ ・・・，％),(48.18)
т. е. приходим к уравнениям движения Аппеля в форме, важной для неголономных системт).
§ 49. Уравнения движения твердого тела. Рассмотрим твердое тело массы т с центром масс в точке О и главными моментами инерции А, В, С относительно точки О. Четыре числа т, А, В, С определяют тело как динамическую систему.
Пусть ,з ,2, ,з — обобщенные координаты, описывающие положение точки О в абсолютном пространстве S(), и пусть《，q；, q； — обобщенные координаты, описывающие положение тела относительно точки О, т. е. определяющие направления главных осей, неподвижных в теле по отношению к системе координат, неподвижной в пространстве. По теореме Кёнига (§ 25) можно записать кинетическую энергию тела так:
Т = То (g") + Т'(『，q),(49.1)
где То ——кинетическая энергия частицы с массой т, движущейся вместе с точкой О, а Т" ——кинетическая энергия движения относительно точки О; эти функции имеют вид
33
То = 2 ар0(7)qpq^ Т'= W а；。(д')眾"；• (49.2) р , (7=1р , О=£
Если координаты q —— прямоугольные декартовы, координаты (х, у, z), то имеем
Го - 4 W 6 + у2 + У),(49.3)
а если координаты д' — углы Эйлера (令，屮，屮)，то имеем, как в выражении (25.5),
7"=攵■ 4 (令 sin , — (p sin 仆 соь ф)' +
-г — 5 (^ cos 屮 + 屮 sin 廿 sin 屮『+
+ T C (屮 + 屮 cos 令)4(49.4)
О приложении этих уравнений к сервомеханизмам см.
[2], II, стр. 344—355.
В случае осевой симметрии (АВ случае осевой симметрии (А=В) это выражение упро*=В) это выражение упро*щается и принимает видщается и принимает вид
В случае осевой симметрии (А
В случае осевой симметрии (А
=В) это выражение упро*
=В) это выражение упро*
щается и принимает вид
щается и принимает вид
I•
-2 。 (冲 + 屮 cos 价产.-2 。 (冲 + 屮 cos 价产.(49.5)(49.5)尸=±А (仔2 + ф2 sin2 ^) +
-2 。 (冲 + 屮 cos 价产.
-2 。 (冲 + 屮 cos 价产.
(49.5)
(49.5)
Пусть &, Q； (q н 1, 2, 3) — обобщенные силы, такие, что работа, произведенная ими при произвольном перемещении, выражается формулой
6川=А«рМр+ I^p^p- (49.6)
Тогда имеем шесть лагранжевых уравнений движения, полностью аналогичных (46.17),dt d dtТогда имеем шесть лагранжевых уравнений движения, полностью аналогичных (46.17),dt d dtdZ, dqPdZ, dqPdQpdQpррdT °q'pdT °q'pQpQpS=l, 2, 3). } (49.7)S=l, 2, 3). } (49.7)
Тогда имеем шесть лагранжевых уравнений движения, полностью аналогичных (46.17),
dt d dt
Тогда имеем шесть лагранжевых уравнений движения, полностью аналогичных (46.17),
dt d dt
dZ, dqP
dZ, dqP
dQp
dQp
р
р
dT °q'p
dT °q'p
Qp
Qp
S=l, 2, 3). } (49.7)
S=l, 2, 3). } (49.7)
В левых частях уравнений координаты q отделены от координат д', но это разделение, вообще говоря, не распространяется на правую часть; другими словами, задача движения твердого тела в общем случае не разделяется на две.
Эти лагранжевы уравнения имеют место для твердого тела без связей. Они могут быть распространены также на случай наличия связей при условии, что мы включим в Qp и Q6 силы реакции связей.
При исследовании движения твердого тела часто более удобно применять теоремы об импульсе и моменте импульса вместо лагранжевых уравнений. Согласно (44.4) и (44.7) (отбрасывая звездочки), имеем два векторных уравнения
ma = F, (49,8)
h = G,h = G,(49.9)
h = G,
h = G,
где a — ускорение центра масс О, h — момент импульса, взятый для точки О (движения относительно О), F — глав-
ный вектор внешних сил, G ——главный момент вн0шних сил относительно точки О.
Для того чтобы с помощью этих уравнений определить движение, мы должны разложить их на компоненты по осям ортонормального триэдра. Для этого можно выбрать триэдр, неподвижный в абсолютном пространстве, либо триэдр, движущийся с телом, либо, наконец, какой-то третий. Позднее мы будем рассматривать триэдр, неподвижный относительно абсолютного пространства; для практических же целей лучше выбрать движущийся триэдр, оси которого совпадают с главными осями инерции тела.
Рассмотрим сначала произвольный ортонормальный триэдр (i, у, Аг), вращающийся с угловой скоростью Q. Разлагая h, G, £2 по осям этого триэдра, получим
h = h1i 十 /以/ + 〃3h
G = G# 斗 Qj-卜 G3左，(49.10)
◎ = ◎# + %/+%" J
Тогда, согласно (20.3), можно написать уравнение (49.9) в виде
复+ QX% = G,(49.11)
или в координатной форме,
^1 /^2 Q3 + /23Q2 = Gf,
归 2 一力 3Q1 + 自Q3 = G2,(49.12)
4 3 -力1Q2 + //Qf = G3.
Пусть (i, j, Ar) — главные оси инерции тела для точки О, ас А, В^ С моменты инерции для этих осей. Если(о — угловая скорость тела, то согласно (24.14) имеем
(49.13)(49.13)s =(o；i -f б/ + 5依
(49.13)
(49.13)
力=/(013 Bm2j + с(о3a：.
Могут иметь место три случая:
а) Несимметричное тело (N, 3 и С — все различны). В этом случае триэдр (/, j, "), если он совпадает с глав-
нымм осями инерции, должен быть закреплен в теле. Поэтому Я = ю, и равенства (49.12) вместе с (49.13) дают эйлеровы уравнения движения твердого тела\
— (В — С)(О2З3G],
J3(O2 — (С — 4) gob = G2,(49.14)
С(£)з(4 — В) (i)i(i)2Gз.
В) Тело имеет ось симметрии (А ~ В =^ С). Тогда уравнения (49.14) упрощаются и принимают следующий ВИД：
4(01 — (А — (7)(о 2^з = G],
4о)2 — (С —力)w3(oi = G2,(49.15)
С(Оз = G3.
В этом случае для того чтобы направления (i, /,左)были главными, фиксировать их все в теле не обязательно. Достаточно зафиксировать в теле одно только направление к. Тогда имеем условия
Qi = to% Q2 = ©2；(49.16)
Q3 остается произвольным, и уравнения (49.12) превращаются в следующую систему:
/(О] —А. (1)2 ^з + С(Л)з(1)2 := G],
4 to? — 4 со】Q3 + С СО3(£)1 = G2,(49 • 1 /)
Сёоз = G3.
Первые два уравнения можно представить в комплексной форме) так:
(49.18)(49.18)4 со + (A Q3 — Ой)з) i(o = Г,
(49.18)
(49.18)
(о ~(01 + 必2, Г = Gi + 2G2・
у) Тело со сферической симметрией ^А ~ В ~ С). Теперь уравнения (49.14) еще более упрощаются,
4 向i = G「 А ©а ~ Ga, 4向3 = G§ (49.19) для осей, закрепленных в теле. В этом случае мы можем выбрать Q произвольно: если мы принимаем Q = О, то система (49.12) дает уравнения (49.19), но при этом компоненты берутся по осям, неподвижным в пространстве.
Возвратимся теперь к рассмотрению движения центра масс, определяемому уравнением (49.8); здесь также можно использовать подвижный триэдр (i, j, &)・ Пусть и ——абсолютная скорость точки О и сила F разложены на компоненты по осям триэдра 亿 /,力)
D=u# + 0炉+ 5左，
(49.20) £■=%» + 2j + 尸/•
Тогда уравнение (49.8) можно переписать в виде
tn(警+ Q х f )=尸，(49.21)
или в координатной форме:
(^1 - %。2 + c2*)=储，
/П (г?2 - 盘这3 +Q3刃)=耳2,
(49.22)
m （。3 -q2内+盘1。2）=方3。
В случае а) мы полагаем Q =(о. Уравнения (49.14) и (49.22) представляют собой систему шести уравнений для шести компонент векторов и и(о. Если мы найдем их как функции t, то для полного определения движения требуется еще один шаг. Задавая для тела шесть обобщенных координат д, мы выразим шесть компонент f и s как функции (g, д); затем, так как f и s известны, мы имеем шесть дифференциальных уравнений первого порядка, чтобы определить координаты (д) как функции t, и, таким образом, полностью описать движение.
Аналогично исследуются случаи Р) и у). В случае у) мы можем положить Q= 0 и тогда уравнения (49.22) преобразуются к виду
mvi =乙， mv2 = М, ^容=%• (49.23)
Эта теория охватывает важный случай твердого тел% вращающегося вокруг неподвижной точки (см. § 55——57). Тело имеет три степени свободы и его движение определено уравнением (44.5), которое формально идентично уравнению (49.9). Но теперь h — момент импульса, взятый для неподвижной точки, a G ——суммарный момент сил относительно этой точки. При этом изменении интерпретации приложима вся теория, начиная с уравнений (49ЛО) до (49.19) включительно; но теперь А, В, С — главные моменты инерции также для неподвижной точки, а не для центра масс.
В случае свободно движущегося твердого тела явное отнесение к центру масс обходят, вводя моторную символику (Motorrechnung) Штуди и Мизеса).
Движущиеся системы отсчета ). Пусть S — твердое тело, находящееся в заданном движении самого общего характера. Возьмем S в качестве системы отсчета и найдем уравнения движения динамической системы относительно этого тела. В § 32 мы решали такую задачу для одной частицы. Теперь рассмотрим динамическую систему, состоящую из Р частиц со склерономными голономными связями, так что имеются обобщенные координаты % (q = 1, 2, . , ., N)y определяющие конфигурацию системы относительно тела 5; эти координаты могут свободно изменяться, не нарушая связей.
Так, например, S может быть Землей, которая находится в орбитальном движении вокруг Солнца и одновременно вращается вокруг своей оси; система может быть
твердым телом, одна точка которого закреплена па Земле; др могут быть тремя углами Эйлера относительно триэдра, закрепленного на Земле. Наш план исследования состоит в том, чтобы привести S к ньютоновой системе при помощи введения фиктивных сил. Аналогично уравнению (32.1), для одной частицы, уравнения движения частиц можно записать в виде
т^г = Ft + ^； + Fci Fti (i = 1, . .., P); (50.1) здесь Ft — полная сила, действующая на частицу (активная сила + сила реакции связи), а другие три вектора правой части — те же, что выражения (32.2), но с индексами i, при символах т, г7, и'・ Пусть 3野一 произвольные вариации обобщенных координат и пусть бг£ — соответствующие смещения частиц относительно S. Умножив скалярно (50.1) на бг^ и суммируя no 2 от 1 до Р, получаем уравнение
ррр
2 ш^а^п = Е F16rt + S Foi^i +
pp
十 e凡用尸満广.(50.1a) i=lt=l
(50.2)относи-(50.3)(50.2)относи-(50.3)Так как a； — ускорение частицы относительно тела S, то согласно чисто кинематической формуле (46.9) имеем следующее уравнение:
(50.2)
относи-
(50.3)
(50.2)
относи-
(50.3)
где Т'(д, д') — кинетическая энергия движения тельно S, т. е.
Т' (q,①=工 £ rnirrrt ~2 ^ i=ii=i
Для того чтобы провести суммирование в уравнении (50.1а) ио другим индексам, определим прежде всего обобщенные силы Qp следующим образом:
РN
£g・*；= 2Qp“p；(50.4)
г—1р =1
это — работа, произведенная активными силами; в течение виртуального перемещения система отсчета S остается неподвижной. При этом силы реакции связей не входят в Qp. Затем определяем Лр, ^р, Ср (q = 1,... ..TV) уравнениями (ср. с (32.2)):
РРN]
'LFoi^ri = — S mtao^rt = S Лp6gp, t=lг—1р=1
PPN
S Feibr^ = — 2 2 zn (o)X u；).6r； = 2 3p6gp, i=lг — 1p=l
PP ,P*
^Fti^ri = 一 2 m (o)X ri) 6r^ —① 2 mi (w.rO 6r^ + t=l2=1/—1
PN
+ co2 2 mrt^ri 2 Cpbgp,
i=lp—1J
(50.5) в которых вариации 6^p — произвольные. В этих выражениях “оно являются соответственно ускорением полюса О (неподвижного относительно S) и угловой скоростью тела S; они даны как функции t (так как движение S задано). Отсюда Лр и Ср — функции переменных (g, t), в то время как ^р ——функция (g, д,力
После этих предварительных замечаний мы можем использовать уравнение (50.1а) для того, чтобы получить уравнения в форме Лагранжа для движения системы относительно тела S в виде
d ат‘成d^d ат‘成d^(q = ],..., N);(q = ],..., N);(50.6)(50.6)
d ат‘成d^
d ат‘成d^
(q = ],..., N);
(q = ],..., N);
(50.6)
(50.6)
последние три члена, которые являются фиктивными обобщенными силами, обусловлены движением тела S,
ГЛАВА II
СИСТЕМЫ БЕЗ СВЯЗЕЙ
Проблема двух тел. Рассмотрим две частицы с массами т^ т2, притягивающиеся или отталкивающиеся друг от друга с равными и противоположно направленными силами, действующими вдоль прямой, соединяющей частицы, и зависящими только от расстояния между этими массами. Рис. 13 иллюстрирует случай отталкивания.
Пусть ri, г2 — радиусы-векторы частиц относительно некоторого неподвижного начала координат, и пусть Р —— сила, с которой первая частица действует на вторую. Тогда уравнения движения этих частиц имеют вид
т^г^ = — Р, 加2r2 =尸・(51.1)
Радиус-вектор второй частицы относительно первой, очевидно, выражается так:
г =「2—「1,(51.2)
и из уравнений (51.1) получаем
Mr = Р, М =叱％- .(51.3)
7711 + 7^2
Таким образом, отказываясь от абсолютной системы отсчета и употребляя систему, движущуюся с ускорением и связанную с первой частицей, мы приводим проблему двух тел к задаче одного тела; при этом масса второй частицы будет фиктивно изменена), но сила останется неизменной. Мы можем теперь приложить к уравнению (51.3) теорию центральных сил, развитую в § 37. Заметим,
Рис. 13. Проблема двух тел.Рис. 13. Проблема двух тел.^П1П + ТП2Г2 — 0.^П1П + ТП2Г2 — 0.(51 .В)(51 .В)
Рис. 13. Проблема двух тел.
Рис. 13. Проблема двух тел.
^П1П + ТП2Г2 — 0.
^П1П + ТП2Г2 — 0.
(51 .В)
(51 .В)
однако, что F в уравнении (37.1)—— сила, действующая на единичную массу； используя (37.1), мы должны положить F = Р /М, где I РI — абсолютная величина силы Р, и 尸一положительно для случая отталкивания и отри
цательно для случая притяжения. Потенциал V (37,3) выражается теперь так:
V = —L \ Р dr. (51.4)
Го
Мо?кно также упростить проблему двух тел удачным подбором ньютоновой системы отсчета. Согласно (51.1), имеем уравнение
mi门 + т2Г2 = 0, (51.5)
которое означает, что центр масс движется без ускорения; система, в которой он неподвижен, является ньютоновой. Вы-
биря эту систему и принимая за начало координат центр
масс, имеем уравнение
Тогда достаточно рассматривать в дальнейшем только одпо из уравнений (51.1). Если скалярный закон отталкивания или притяжения имеет вид Р —尸(г), то второе уравнение из (51.1) можно переписать в виде
т2г2 = —(г), гт2г2 = —(г), гmi + т27*2mi + т27*2(51.7)(51.7)
т2г2 = —(г), г
т2г2 = —(г), г
mi + т2
7*2
mi + т2
7*2
(51.7)
(51.7)
Мы имеем опять задачу одного тела. Теперь масса остается неизменной, а закон действия силы изменяется. В случае, когда сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между точками, имеем Р = к/г2 и движение относительно центра масс определяется уравнением
俏2尸2 = I： ) ~з 尸2，(51.8)
十 m2! r2
Орбиты двух частиц, рассматриваемые в неподвижной системе отсчета, представляют собой переплетенные пространственные кривые.
Гораздо проще изучать движение в движущейся системе координат, связанной либо с одной частицей, как в случае (51.3), либо с центром масс —— случай (51.7). В такой системе орбиты ——плоские кривые.
Заметим, что введенное выше предположение, относящееся к взаимодействию между частицами, исключает из рассмотрения магнитное взаимодействие и запаздывающие электромагнитные явления.
Захват и рассеяниех). Рассмотрим вновь две частицы, взаимодействующие как в § 51. Пусть г — расстояние между частицами, а Р(г) — скалярная величина силы взаимодействия, положительная при отталкивании и отрицательная в случае притяжения. Мы предполагаем, что при больших г эта сила есть бесконечно малая величина, порядка не меньшего, чем 1一£ (е > 0), так что при г。= 8 существует потенциал V вида (51.4). При £ = —8 частицы находятся бесконечно далеко друг от друга. Они сближаются и взаимодействуют. Нас интересует результат столкновения (т. е. состояние системы в 力=+8).
Если г—> 0 при 力一>8 или г остается ограниченным при t—>8, то будем говорить, что имеет место захват. Если г—>8 при 力一>8， имеет место рассеяние. Мы хотим определить по заданным начальным условиям исход некоторого столкновения, т. е. выяснить, получится ли в
Ср. С о г b е n and S t е h 1 е [3], стр. 86—90. Голд- стейн [7], стр. 96—105.— Д. Б о м. Квантовая теория, Изд-во Иностр, лит-ры, Москва, 1961, гл. XXI.О деталях теории столкновений частиц, подчиняющихся различным частным законам сил, столкновений шаров, гладких и шероховатых, см. С h а р- m a n S. and Cowling Т. G., The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases, гл. 10, 11. Cambridge, University Press, 1952. [Имеется русский перевод. (Прим, перво.).] См. также G rad Н., Comm. Pure Appl. Math. 2, 331 (1949) и его статью о кинетической теории газов в Handbuch der Physik, т. XII. О захвате и рассеянии неподвижным центром в теории отно сит ел ьно сти см. Singe J. L., Relativity: The Special Theorie, стр. 426. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1956
результате захват или рассеяние, и определить в последнем случае, в каких направлениях рассеиваются частицы.
Целесообразно рассмотреть некоторые частные случаи столкновений в трех системах отсчета:
SM — система, в которой неподвижен центр маес, SR ——относительная система, в которой неподвижна частица %,
SL —— лабораторная система, в которой частица ттц, находится в покое при £ = —оо.
Оси всех трех систем параллельны между собой. Системы SM и SL — ньютоновы, система SR движется с ускорением; однако SR — ньютонова система при t = —оо, а в случае рассеяния также при t = +оо.
Мы будем обозначать начальные скорости через ui, и2 с индексами М, R или 厶 указывающими на систему отсчета, например (ui)M, (и2)я- Тогда
^1(S)M + 皿2 (^2)М = 0,(t?i)R =(S)L =0,
(f2)R =(方无=02)M — (fi)M = (1 +强)(方)也(52.1)
так что во всех трех системах и 2 имеет одно и то же напра
вление.
В SM начальные условия доставляют пару бесконечных параллельных прямых [асимптоты начальных (при £ — —8)траекторий]; в SR и SL мы имеем точку (положение т^ и бесконеч-ш~шк ,
ную прямую (асимптоту начальной траектории частицы т^). Рис. 14 пояс-〃
няет начальные данные столкновения
0— 5〃 JРис. 14. Схема, показывающая начальное состояние перед столкновением.0— 5〃 JРис. 14. Схема, показывающая начальное состояние перед столкновением.независимо от того, какая система при этом выбрана. Здесь 右 ——единичный вектор направления и2- В системе SR или S 厶 точка О совпадает с начальным положением частицы т^ч а в SM начало координат ——это некоторая точка асимптоты начальной траектории частицы 门打. Вектор & проведен из точки О до пере- се'чения с направлением к перпендикулярно к нему. Это — вектор соударения
0— 5
〃 J
Рис. 14. Схема, показывающая начальное состояние перед столкновением.
0— 5
〃 J
Рис. 14. Схема, показывающая начальное состояние перед столкновением.
и его абсолютное значение b ——параметр соударения или параметр столкновения] в действительности —— это
1° Дне Л. Синг
кратчайшее расстояние между двумя асимптотами начальных траекторий, рассматриваемых в некоторой неускоренной системе. Относительная скорость, фигурирующая на рис. 14, равна
w? = и? — s = wk\ (52.2)
она, конечно, одна и та же во всех системах.
Рассмотрев первоначально столкновение в системе 5五, мы перейдем сразу к результатам в системе 5М и несколько более сложным путем к результатам в
В SR частица т^ остается постоянно в точке О (рис. 14) и частица 加2 описывает орбиту в плоскости (仇 к). Согласно уравненияд! (37.5), (51.3) и (51.4), эта орбита
определяется следующими уравнениями:
/ (u)=/ (u)=2（左一0）22（左一0）2(52.3)(52.3)
/ (u)=
/ (u)=
2（左一0）2
2（左一0）2
(52.3)
(52.3)
где
7,7,v (и)=v (и)=也土竺2弋尸⑺dr;mim2 J也土竺2弋尸⑺dr;mim2 J(52.4)(52.4)
7,
7,
v (и)=
v (и)=
也土竺2弋尸⑺dr;
mim2 J
也土竺2弋尸⑺dr;
mim2 J
(52.4)
(52.4)
(г,仆)一полярные а величины Е н h в виде(г,仆)一полярные а величины Е н h в видекоординаты в плоскости движения, выражаются через начальные данныекоординаты в плоскости движения, выражаются через начальные данные
(г,仆)一полярные а величины Е н h в виде
(г,仆)一полярные а величины Е н h в виде
координаты в плоскости движения, выражаются через начальные данные
координаты в плоскости движения, выражаются через начальные данные
厂 127гЕ = / W、 九=bw.厂 127гЕ = / W、 九=bw.(52.5)(52.5)
厂 127г
Е = / W、 九=bw.
厂 127г
Е = / W、 九=bw.
(52.5)
(52.5)
Время определяется формулой
(52.6)(52.6)_ 2 , _ du
(52.6)
(52.6)
h \ u2Vf (и)
(ср. (37.6)). Исход столкновения зависит исключительно от функции /(и), т. е. от вида функции V(u), масс частиц и двух постоянных (方， w). Имеем
/ (0) = ^ = р > о， (52.7)
так что график функции / (и) начинается выше оси и (рис. 15). Если график /(и) вовсе не пересекает эту ось
/7〃丿/7〃丿Рис. 15. Графики функции /(и): захват в случае G и 乙，рассеяние в случае Е.Рис. 15. Графики функции /(и): захват в случае G и 乙，рассеяние в случае Е.при £ f 8.при £ f 8.
/7〃丿
/7〃丿
Рис. 15. Графики функции /(и): захват в случае G и 乙，рассеяние в случае Е.
Рис. 15. Графики функции /(и): захват в случае G и 乙，рассеяние в случае Е.
при £ f 8.
при £ f 8.
(кривая Ci), то f(u) > 0 для всех и и орбита спирально навивается па точку 0、давая в результате захват (рис. 16).
Если кривая касается оси и в точке и = и0 (кривая С2 на рис. 15), то имеется апсида с апсидальным рас- 1п
стоянием г = г0 . Эта апсида никогда не достигается, потому что /(м) содержит множитель (м — —乂0汽 и интеграл формулы (52.6) расходится. Резуль-
тат столкновения — захват,
как показано на рис. 17. Если, наконец, кривая пересекает ось и (кривая 2 на рис. 15), апсида появляется в конечный момент и мы имеем рассеяние, как показано на рис. 18.
соударения, для котоневозможен в случае сила отклоняет траек-соударения, для котоневозможен в случае сила отклоняет траек-
соударения, для котоневозможен в случае сила отклоняет траек-
соударения, для котоневозможен в случае сила отклоняет траек-
Если не рассматривать лобовые рых Ь = 0, то ясно, что захват силы отталкивания, так как такая торию от точки。
Предполагая теперь, что имеет место рассеяние (сила либо отталкивающая, либо притягивающая), перейдем к вычислению угла рассеяния %五,показанного на рис. 18. На чертеже показаны также полярная ось 令=0, две
асимптоты орбиты и апсида Л, для которой имеет место du с %
условие ^ = 0. Апсидальное расстояние равно ОА = г° =——и апсидальный угол, как показано, равен
(52.8)(52.8)du
(52.8)
(52.8)
Уш
Так как орбита симметрична относительно апсидальной прямой ОА, то угол рассеяния Хн будет
99 ¥加
(52.9)(52.9)Xf = e — 2а = л —— 2\■ *
(52.9)
(52.9)
』匕3)
Если принять для знаков введенное выше условие, то для рассеяния отталкивания 0 < ^ < л, а для рассеяния при притяжении имеем —оо < %л < 0. Для того чтобы вычислить %, надо оценить интеграл, верхний предел которого определяется решением уравнения
/ Зо) =。， / (и) — 72入U — d・(52.10)
Угол рассеяния % является, таким образом, функцией двух основных параметров (b, w):
X = %(儿W)；(52.11)
вид этой функции зависит от вида функции V(u), полученной из силовой функции Р(г) по формуле (52.4).
Обозначим штрихами конечные скорости. Согласно
(51.3) имеем в системе Sr уравнение
(52.12)(52.12)
(52.12)
(52.12)
(吟л = ®1)Л = 0,(吟л = ®1)Л = 0,(52.13)(52.14)(52.15)(52.13)(52.14)(52.15)
(吟л = ®1)Л = 0,
(吟л = ®1)Л = 0,
(52.13)
(52.14)
(52.15)
(52.13)
(52.14)
(52.15)
интегрирование дает следующее условие:
®2?)R = (^2)Я*
Так как
то имеем инвариантное уравнение и/ = IP,
справедливое во всех системах отсчета; величина относительной скорости частиц не изменяется при столкновении. Если обозначить через sR единичный вектор направления рассеяния, то конечную скорость можно записать в виде (и2)Л u WSR.(52.16)
Переходим теперь к системам отсчета SM и SL. Это — ньютоновы системы и, следовательно, в них сохраняется импульс. Кроме того, относительная скорость инвариантна относительно изменения системы
отсчета. Отсюда имеем уравнения
^2（Г2）М + ^1 （и；）м = 0,
（Г2）М —（U；）M = W ^ WSh>加2（U，L + ^1（U；）L = ^2（U2）L = ^2ЙЛ（U》L —（U；）L = и/ = WSr.
которые дают конечные скорости в виде
（人 + ^2）（r1）М =-皿必5五，
（^1 + ^2）（t^2）M = ^心5r,
（^7Z1 + ^2）（U,）L = m21V — ^2必Sj?,（ТП\ + ^2）（U2）L — ^2加 + ^TZMSr.
（52.17）（52.17）（52.18）（52.18）Поэтому единичные векторы sM и s^ направлений рассеяния （т. е. соответственно направлений （然）放 и （券）七） определяются выражениями
（52.17）
（52.17）
（52.18）
（52.18）
Рис. 19. Сферическое представление рассеяния.Рис. 19. Сферическое представление рассеяния.L =L =sm = Sr,^2^ + ^iSRsm = Sr,^2^ + ^iSRМ渣 + 届 + 2пцт2k・sr
Рис. 19. Сферическое представление рассеяния.
Рис. 19. Сферическое представление рассеяния.
L =
L =
sm = Sr,
^2^ + ^iSR
sm = Sr,
^2^ + ^iSR
（52.19）
Здесь к、как и выше, единичный вектор направления начальной относительной скорости w, которая имеет то же направление, что и（U2）i> Отметим, что направления рассеяния одни и те же в системах S& и SM и что направление рассеяния для Sl выражено через его направление в системе SR формулой （52.19）.
Построим теперь сферическое представление рассеяния （рис. 19）, видоизменив рис. 14 для трехмерного случая. Вектор w （начальная относительная скорость） задан, но мы рассматриваем все векторы удара 6, перпендикулярные к нему. Ради удобства чертежа мы проводим Ь
в смещенной плоскости П и строим единичную сферу с центром в точке О и со сферическими полярными координатами (0, ф) на ней. Процесс рассеяния для данного Ь дает единичный вектор рассеяния s, с концом в виде точки на единичной сфере. На самом деле, рассеяние отображает плоскость П на единичную сферу. В системах SR и SM имеет место одно и то же отображение, в SL — отличное от них.
В системе SR мы имеем в соответствии с рис. 18
Ь .-
Sr —万 sin x〃 十 Zf cos Xb =
=i COS ф0 sin Xfi + J sin 屮。sin %r + Zc cos Xu, (52.20)
где фо —— азимут вектора Ь относительно единичных векторов г, у, которые вместе с вектором к образуют ортогональный триэдр; таким образом, углы (0Д, (рд) для вектора sR определяются следующими выражениями:
(52.21)(52.21)sin @д cos фд = sin %д cos фо,sin 0Д sin фд = sin xfis n ф0,cos @А = cos Хй
(52.21)
(52.21)
(0 < 0Д < л, 0 <(pfi < 2л).
Для рассеяния при отталкивании имеем равенства
©я = Хл, фл = фо,©я = Хл, фл = фо,(52.22)(52.22)
©я = Хл, фл = фо,
©я = Хл, фл = фо,
(52.22)
(52.22)
а для рассеяния при притяжении (зависящего от величины угла %л, который согласно теории может принимать любое отрицательное значение) имеем две следующие воз- моя^ности:
(52.23)(52.23)ф/? = фо, Hr = Хк,либо фн = л+ фо, 8н = — Хн.
(52.23)
(52.23)
Получив, таким образом, углы (@д, (рд) для вектора sr (углы (0М)фм) те 出е самые), найдем углы (@z,屮工)для sL
ПЗ
уравнений
(52.19). Имеем следующие
выражения:
(52,24)(52,24)①L =屮E,①L =屮E,
(52,24)
(52,24)
①L =屮E,
①L =屮E,
sin @L COS 屮L = В sin 0fl COS фд, sin 0L sin 屮匕=§ sin 0Д sin 屮冗，
COS @L = P ( — + COS 0Д\ 7П1
Поэтому
sin 0Ltg®L
—В sin -Or, sin @r
(52.25)
——+ COS 0Д
mi
Последнее уравнение ограничивает (О, л). Отметим еще следующую
угол @工 пределами формулу:
sin 0Д d®R sin Ql d@L
siY @r1
sin3 @L . . m2 c
1 + — cos 0Д 7П1
I 1 + ―2 + 2 COS 0д
\% 砌/
1
+ —-cos
(52.26)
Рассмотрим столкновения с начальными элементами (&, w) (см. рис. 19), с фиксированной относительной скоростью it и с переменным вектором соударения &. Мы рассматриваем Ъ как радиус-вектор точки в плоскости П, тогда любой точке плоскости П соответствует один из двух результатов —— захват или рассеяние. Определим полное поперечное сечение захвата как площадь Пс плоскости П,
соответствующую захвату; Пс может быть нулевой, конечной или бесконечно большой величиной.
Можно представить процесс рассеяния как отображение П (за исключением площади Пс) на единичную сферу с помощью вектора рассеяния s, причем отображения совпадают для систем SR, SM, а отображение в SL отличается от них. Определим дифференциальное поперечное сечение рассеяния е телесном угле dQ как площадь dll, которая отображается на一 一
Обозначая их отношение
о
единичной
через а
ап
(52.27)
получим для дифференциального поперечного сечения равенство
a dQ = dll.(52.28)
Назовем о плотностью] это действительно относительная плотность вероятности на единичной сфере, соответствующая постоянной плотности вероятности на П. Существуют, конечно, две плотности ам = ал и аь.
Целесообразно различать два случая рассеяния: нулевое рассеяние (0 = 0) и рассеяние под конечными углами (0 > 0). Нулевое рассеяние может иметь место тогда и только тогда, когда с ростом расстояния взаимодействие прекращается, т. е. если Р(г) = 0 для г > т*1, так что если b > ri, то частицы минуют одна другую, не изменив своего прямолинейного движения.
Определим полное поперечное сечение рассеяния как площадь IIS плоскости □, соответствующую рассеянию под конечными углами; таким образом,
□s = \ О dQ,(52.29)
где несобственный интеграл берется по поверхности единичной сферы с исключенной точкой 0 — 0. Если По— площадь на плоскости П, соответствующая нулевому рассеянию, то полная бесконечная площадь П = Пс + IIS + По и, следовательно, по крайней мере одна ртз площадей 1L, П.чт По бесконечно велика.
Определение плотности о сводится к нахождению отношения отображения (52.27). Вектор рассеяния есть
s = tsin 0 cos ф + j sin 0 sin 屮 + A： cos 0,(52.30)
он описывает телесный угол
(52.31)(52.31)&◎ = I sin 0 @® @(р |. Отсюда
(52.31)
(52.31)
*1 32)*1 32)_) ъ dp _ ъ
*1 32)
*1 32)
@Q I sin 0 d© d(p I sin 0
так как d(p0 ~ &屮五—d(pL.
В системе SR нам известен угол %五 как функция (6,缈) (ср. (52.11)). Найдем Ъ как функцию (%以，w) и подставим затем Хд = 0Я (52.22) для рассеяния при отталкивании н %五 = 土®н + 2冗勃(52.23) для рассеяния при притяжении. Таким образом, получимг)
b = b (0Д, w).(52.33)
Из выражения (52.32) находим значение плотности в виде
(52.34)(52.34)b db
(52.34)
(52.34)
Пдт = По =
sin I 五
правая часть, очевидно, есть функция 0Л и 缈；здесь, как и при других дифференцированиях, w считается постоянным.
Для лабораторной системы отсчета 5匕 получаем из выражения
b I db sin ®L I @® Lb I db sin ®L I @® L=0贝=0贝sin 8K d®五 sin ®l @®Lsin 8K d®五 sin ®l @®L(52.35)(52.35)
b I db sin ®L I @® L
b I db sin ®L I @® L
=0贝
=0贝
sin 8K d®五 sin ®l @®L
sin 8K d®五 sin ®l @®L
(52.35)
(52.35)
и согласно (52.26) это выражение можно переписать
Это может быть многозначная функция в случае рассеяния при притяжении.
следующим образом:
Ol = OrOl = Orsin3 0Вsin3 0Lsin3 0Вsin3 0L1 + — cos 01 + — cos 0mimi2\ 3/2l+N + 2 强 cos 0Bmt/2\ 3/2l+N + 2 强 cos 0Bmt/=Or=Or(52.36)(52.36)41m2q1 + ——cos 0B41m2q1 + ——cos 0BМы хотели бы выразить aL как явную функцию 0L и w, но не можем сделать этого. Наилучшая возможность — считать формулы (52.25) и (52.36) выражениями 0L и aL через параметр 0Д для данного w. Можно, однако, написать упрощенное приближенное выражение в том случае, когда отношение масс 加2/^1 мало, так как тогда 0L и aL мало отличаются от 0Д и ад.Ввиду симметрии отображения относительно оси к (см. рис. 19) часто удобно употреблять дифференциальное поперечное сечение рассеяния з кольце 0? 0 + d€L Это площадь плоскости П, которая отображается на кольцо, и ее величина равна2nasin 0 I d© I = 2лЬ \db\. (52.37)Рассмотрим более детально некоторые специальные случаи рассеяния:а) гладкие упругие шары. Столкновение между двумя гладкими упругими шарами можно рассматривать как удар двух частиц с прекращением взаимодействия при г = D、где D — сумма радиусов шаров; мы принимаем V(u) = 0 для м < 1 /Z)и V(u) —> со, когда u—^i/D снизу. Решением уравнения (52.10) является и。= 1 /2) и согласно (52.9) угол рассеяния равенМы хотели бы выразить aL как явную функцию 0L и w, но не можем сделать этого. Наилучшая возможность — считать формулы (52.25) и (52.36) выражениями 0L и aL через параметр 0Д для данного w. Можно, однако, написать упрощенное приближенное выражение в том случае, когда отношение масс 加2/^1 мало, так как тогда 0L и aL мало отличаются от 0Д и ад.Ввиду симметрии отображения относительно оси к (см. рис. 19) часто удобно употреблять дифференциальное поперечное сечение рассеяния з кольце 0? 0 + d€L Это площадь плоскости П, которая отображается на кольцо, и ее величина равна2nasin 0 I d© I = 2лЬ \db\. (52.37)Рассмотрим более детально некоторые специальные случаи рассеяния:а) гладкие упругие шары. Столкновение между двумя гладкими упругими шарами можно рассматривать как удар двух частиц с прекращением взаимодействия при г = D、где D — сумма радиусов шаров; мы принимаем V(u) = 0 для м < 1 /Z)и V(u) —> со, когда u—^i/D снизу. Решением уравнения (52.10) является и。= 1 /2) и согласно (52.9) угол рассеяния равен"0%r =冗一2 С"0%r =冗一2 Соо―…— 2 arcsin — .(52.38)И b~2 iD―…— 2 arcsin — .(52.38)И b~2 iD
Ol = Or
Ol = Or
sin3 0Вsin3 0L
sin3 0Вsin3 0L
1 + — cos 0
1 + — cos 0
mi
mi
2\ 3/2
l+N + 2 强 cos 0Bmt/
2\ 3/2
l+N + 2 强 cos 0Bmt/
=Or
=Or
(52.36)
(52.36)
41m2q
1 + ——cos 0B
41m2q
1 + ——cos 0B
Мы хотели бы выразить aL как явную функцию 0L и w, но не можем сделать этого. Наилучшая возможность — считать формулы (52.25) и (52.36) выражениями 0L и aL через параметр 0Д для данного w. Можно, однако, написать упрощенное приближенное выражение в том случае, когда отношение масс 加2/^1 мало, так как тогда 0L и aL мало отличаются от 0Д и ад.
Ввиду симметрии отображения относительно оси к (см. рис. 19) часто удобно употреблять дифференциальное поперечное сечение рассеяния з кольце 0? 0 + d€L Это площадь плоскости П, которая отображается на кольцо, и ее величина равна
2nasin 0 I d© I = 2лЬ \db\. (52.37)
Рассмотрим более детально некоторые специальные случаи рассеяния:
а) гладкие упругие шары. Столкновение между двумя гладкими упругими шарами можно рассматривать как удар двух частиц с прекращением взаимодействия при г = D、где D — сумма радиусов шаров; мы принимаем V(u) = 0 для м < 1 /Z)и V(u) —> со, когда u—^i/D снизу. Решением уравнения (52.10) является и。= 1 /2) и согласно (52.9) угол рассеяния равен
Мы хотели бы выразить aL как явную функцию 0L и w, но не можем сделать этого. Наилучшая возможность — считать формулы (52.25) и (52.36) выражениями 0L и aL через параметр 0Д для данного w. Можно, однако, написать упрощенное приближенное выражение в том случае, когда отношение масс 加2/^1 мало, так как тогда 0L и aL мало отличаются от 0Д и ад.
Ввиду симметрии отображения относительно оси к (см. рис. 19) часто удобно употреблять дифференциальное поперечное сечение рассеяния з кольце 0? 0 + d€L Это площадь плоскости П, которая отображается на кольцо, и ее величина равна
2nasin 0 I d© I = 2лЬ \db\. (52.37)
Рассмотрим более детально некоторые специальные случаи рассеяния:
а) гладкие упругие шары. Столкновение между двумя гладкими упругими шарами можно рассматривать как удар двух частиц с прекращением взаимодействия при г = D、где D — сумма радиусов шаров; мы принимаем V(u) = 0 для м < 1 /Z)и V(u) —> со, когда u—^i/D снизу. Решением уравнения (52.10) является и。= 1 /2) и согласно (52.9) угол рассеяния равен
"0
%r =冗一2 С
"0
%r =冗一2 С
о
о
―…— 2 arcsin — .(52.38)
И b~2 iD
―…— 2 arcsin — .(52.38)
И b~2 iD
Таким образом, b = D cos 工 *r = D cos*^ @д и согласно формуле (52.34) плотность определяется выражением
Ом = Or — z f 2,(52.39)
которое не зависит от 0Д и w. Для того чтобы получить aL, надо применить (52.25) и (52.36).
Р) Кулоново рассеяние. Возьмем
尸(г)=与，V (u) = Au,"=竺L土 ％ м (52.40) ГТП\ТП2
(А > 0 для отталкивания, А: < 0 для притяжения). Тогда согласно (52.10) имеем
/(〃)=不^2 — о? ~ (〃о — 〃)(〃 + 〃i),(52.41)
где
"。= 上(一加+ мм +户吟, b w
工（加+九2 +户今 b w工（加+九2 +户今 b w(52.42)(52.42)
工（加+九2 +户今 b w
工（加+九2 +户今 b w
(52.42)
(52.42)
Согласно (52.9) угол рассеяния выражается следующим образом:
_9 ydu
%R - л - 2 I ；尸：：1 ,=-
《И (% — 〃)(〃 + и。
=л — 4 arctg 1/ — , (52.43)
так что для к > 0 выполняется условие 0 < Хд < ^ и для Л < 0 имеет место условие — л < Хв < 0； таким образом, в обоих случаях 0R = 1%丸 |・ Из выражений (52.42) получаем
= ММ + 7>%4 — кгbw2
(52.45)(52.45)Подставив в (52.43) это отношение и решив полученное уравнение, находим
(52.45)
(52.45)
6炉=A: ctg 2 Ха = I /с I ctg — 0Я.
Согласно (52.34) плотность имеет следующее значение:
Ь db /4 1c …,小
Ом = Or = кcosec4 K0r. (52.46)
sin2'/
Это формула рассеяния Резерфорда; она справедлива для кулонова поля как в случае притяжения, так и в случае отталкивания. Для системы отсчета SR энергия другой частицы на бесконечности равна ^тп?認
Для лабораторной системы имеем согласно уравнениям (52.25) и (52.36)
tg ®Ltg ®Lsin %
tg ®L
tg ®L
m2 . c
——+ cos
7П1
(52.47)
таким образом, @工 и aL выражены через параметр 0Я. Для двух частиц одной и той же массы т、= т2 получаем уравнения
1к20L = у ®m °L=瓦 C0S1к20L = у ®m °L=瓦 C0S®l cosec4 @L. (52.48)®l cosec4 @L. (52.48)
1к2
0L = у ®m °L=瓦 C0S
1к2
0L = у ®m °L=瓦 C0S
®l cosec4 @L. (52.48)
®l cosec4 @L. (52.48)
Y)Закон 1/r3. Принимаем尸⑺=营' 3)=4^絞'Y)Закон 1/r3. Принимаем尸⑺=营' 3)=4^絞'к =叫 + 侬卩(52.49)к =叫 + 侬卩(52.49)
Y)Закон 1/r3. Принимаем
尸⑺=营' 3)=4^絞'
Y)Закон 1/r3. Принимаем
尸⑺=营' 3)=4^絞'
к =叫 + 侬卩(52.49)
к =叫 + 侬卩(52.49)
(fc > 0 для(fc > 0 дляотталкивания,отталкивания,fc < 0 для притяжения).fc < 0 для притяжения).
(fc > 0 для
(fc > 0 для
отталкивания,
отталкивания,
fc < 0 для притяжения).
fc < 0 для притяжения).
Согласно (52.10) имеем/ 他)=-Согласно (52.10) имеем/ 他)=-+ 1 •+ 1 •—u2—u2(52.50)(52.50)Захват происходит, еслиЗахват происходит, еслик < —"炉.Если к превышаетк < —"炉.Если к превышаетэто значение, то имеет место рассеяние с угломэто значение, то имеет место рассеяние с угломХд = Л — 2 V —^= = п (1Хд = Л — 2 V —^= = п (1bwbwVkTbVwVkTbVw} (52.51)} (52.51)Mo =…尸 」=.Г* 十 bWВ случае отталкивания имеем ©я = Хя иMo =…尸 」=.Г* 十 bWВ случае отталкивания имеем ©я = Хя и上上(52.52)(52.52)
Согласно (52.10) имеем
/ 他)=-
Согласно (52.10) имеем
/ 他)=-
+ 1 •
+ 1 •
—u2
—u2
(52.50)
(52.50)
Захват происходит, если
Захват происходит, если
к < —"炉.Если к превышает
к < —"炉.Если к превышает
это значение, то имеет место рассеяние с углом
это значение, то имеет место рассеяние с углом
Хд = Л — 2 V —^= = п (1
Хд = Л — 2 V —^= = п (1
bw
bw
VkTbV
w
VkTbV
w
} (52.51)
} (52.51)
Mo =…尸 」=.
Г* 十 bW
В случае отталкивания имеем ©я = Хя и
Mo =…尸 」=.
Г* 十 bW
В случае отталкивания имеем ©я = Хя и
上
上
(52.52)
(52.52)
откуда
°м = Ur =°м = Ur =几一®л几一®лu?sin 0д 0д (2л — 0Д)2u?sin 0д 0д (2л — 0Д)2(52.53)(52.53)
°м = Ur =
°м = Ur =
几一®л
几一®л
u?sin 0д 0д (2л — 0Д)2
u?sin 0д 0д (2л — 0Д)2
(52.53)
(52.53)
б) Закон 1 /г5 *). Принимаемр(г) =与，V (П) = 1 кп\ к =也土一加2 г5277117712б) Закон 1 /г5 *). Принимаемр(г) =与，V (П) = 1 кп\ к =也土一加2 г5277117712№№(52.54)(52.54)Мы имеем согласно (52.10) выражение для функцииМы имеем согласно (52.10) выражение для функции
б) Закон 1 /г5 *). Принимаем
р(г) =与，V (П) = 1 кп\ к =也土一加2 г5277117712
б) Закон 1 /г5 *). Принимаем
р(г) =与，V (П) = 1 кп\ к =也土一加2 г5277117712
№
№
(52.54)
(52.54)
Мы имеем согласно (52.10) выражение для функции
Мы имеем согласно (52.10) выражение для функции
『/ \' 加抬 2/"0 = К-^?-"『/ \' 加抬 2/"0 = К-^?-"
『/ \' 加抬 2
/"0 = К-^?-"
『/ \' 加抬 2
/"0 = К-^?-"
=鳥価喻…2.55)
ГДО
u^ = у (-户必 + U必萨+ 2к)； (52.56)
齿=^ (b2w + У б%? + 2加).
Угол рассеяния определяется эллиптическим интегралом
4bw 产 duV2k J4bw 产 duV2k J(52.57)(52.57)
4bw 产 du
V2k J
4bw 产 du
V2k J
(52.57)
(52.57)
§ 53. Проблема n тел. Проблемой n тел называется задача о движении п частиц, притягивающихся друг к другу с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Если т^Ц = 1, . . ., п) — массы частиц, п — их радиусы-векторы и 尸廿=——尸炉=п — г；, то уравнения движения имеют вид
忆七=_G 2尸纪—忆七=_G 2尸纪—(53.1)(53.1)где G — гравитационная постоянная.Система имеет три интеграла импульса и три интеграла момента импульса; в векторной форме они имеют видгде G — гравитационная постоянная.Система имеет три интеграла импульса и три интеграла момента импульса; в векторной форме они имеют видп .£ ШгП = г=1п.£ min Xr I =п .£ ШгП = г=1п.£ min Xr I =М = const,Л — const.М = const,Л — const.Имеется также интеграл энергииГ + 7 = Е = const, гдеИмеется также интеграл энергииГ + 7 = Е = const, гдет = 2 £ ^irtn,т = 2 £ ^irtn,г =1г, j=lг =1г, j=lGminijGminij(53.2)(53.2)(53.3)(53.3)(53.4)(53.4)
忆七=_G 2尸纪—
忆七=_G 2尸纪—
(53.1)
(53.1)
где G — гравитационная постоянная.
Система имеет три интеграла импульса и три интеграла момента импульса; в векторной форме они имеют вид
где G — гравитационная постоянная.
Система имеет три интеграла импульса и три интеграла момента импульса; в векторной форме они имеют вид
п .
£ ШгП = г=1
п.
£ min Xr I =
п .
£ ШгП = г=1
п.
£ min Xr I =
М = const,
Л — const.
М = const,
Л — const.
Имеется также интеграл энергии
Г + 7 = Е = const, где
Имеется также интеграл энергии
Г + 7 = Е = const, где
т = 2 £ ^irtn,
т = 2 £ ^irtn,
г =1
г, j=l
г =1
г, j=l
Gminij
Gminij
(53.2)
(53.2)
(53.3)
(53.3)
(53.4)
(53.4)
Скорость центра масс постоянна, и мы можем, если хотим, принять систему отсчета, в которой центр масс всегда неподвижен.
Эти семь интегралов существуют также, если действуют силы более'общего типа, при условии, что они подчиняются третьему закону Ньютона и зависят только от взаимных расстояний, между частицами. Закон обратной пропорциональности силы квадрату расстояния заключен в уравнении Якоби, которое имеет вид
d2①dt2d2①dt2=2Т + К=2Т + К(53.5)(53.5)
d2①dt2
d2①dt2
=2Т + К
=2Т + К
(53.5)
(53.5)
где
9 =(53-6)
Этот поразительный результат легко доказать), исходя из уравнений движения в форме Гамильтона (§ 47) для системы с N степенями свободы, имеющей гамильтонову функцию вида
а(д,р) = ?(р) + Мд),а(д,р) = ?(р) + Мд),(53.7)(53.7)
а(д,р) = ?(р) + Мд),
а(д,р) = ?(р) + Мд),
(53.7)
(53.7)
где Т — однородная функция второй степени относительно обобщенных импульсов (р) и V — однородная функция степени —1 относительно обобщенных координат (д). Гамильтонова функция проблемы 孔 тел имеет именно эту форму. Благодаря однородности функций Т и V справедливы уравнения
NNр=!如р=!如(53.8)(53.8)Если определитьЕсли определить4r следующим образом:4r следующим образом:
N
N
р=!如
р=!如
(53.8)
(53.8)
Если определить
Если определить
4r следующим образом:
4r следующим образом:
N
(53.9)(53.9)^ = Ерр%,
(53.9)
(53.9)
то, согласно уравнениям Гамильтона (47.7), имеет место уравнение
彈_S/ дНдН\_9Т.т/т、
—2(Рр ~— ~~)—2Т+К(53.10)
或\ бррОдр/
Это общая форма уравнения Якоби;в случаепроблемы п
тел имеем уравнение
—=2 т»ш = у ppqp = У, (53.11) at . *々
a (53.10) приводит к уравнению (53.5).
Величина
①=芽2 血后力(33.1，)
где М — полная масса системы, не зависит от системы отсчета, и легко видеть, что ①'=Ф, если за начало координат выбран центр масс. Отсюда уравнение Якоби можно также переписать в виде
吧=2Т'+ 匕(53.13)
где Т'——кинетическая энергия относительно центра масс.
Если п = 2, имеем проблему двух тел (§ 51), которая легко решается. Но при п > 2 решение проблемы встречает большие математические трудности. Случай п = 3 (проблема трех тел) представляет особый интерес для математиков; по этой проблеме имеется обширная литература1).
В проблеме трех тел имеются девять координат и девять импульсов и мы имеем систему из 18 гамильтоновых
Современные изложения см. W i n t п е г [30], гл. 5; Зигель К. Л., Лекции по небесной механике, пер. М. С. Яров- Ярового, ред. Г. Н. Дубошина, ИЛ, Москва, 1959; текущую литературу по проблеме трех тел см. Mathematical Reviews, раздел Астрономия, проблема трех и п тел; каждый год появляется в среднем около 14 исследований.
11 Дж. Л. Синг
уравнений движения. С помощью интегралов (53.2) и (53.3), применяя канонические преобразованияг), удается уменьшить число уравнений системы с 18 до 6). Если частицы движутся в плоскости, число уравнений уменьшается до четырех.
Хотя не известно никакого общего формального решения проблемы трех тел, однако существуют частные решения проблемы, известной как задача Лагранжа), в которой конфигурация этих тел представляет собой либо жесткую прямую линию, либо треугольник; это следующие движения:
частицы остаются всегда на прямой линии, вращающейся с произвольной постоянной угловой скоростью, которая определяет взаимные расстояния частиц;
треугольник, образованный частицами, остается равносторонним со сторонами постоянной длины, вращаясь в своей плоскости с произвольной постоянной угловой скоростью, которая определяет размеры треугольника.
Периодические структуры. Пусть частицы массы т закреплены через равные интервалы на бесконечной прямой струне (массой которой можно пренебречь).;Если частицы испытывают малые поперечные колебания, то перемещения ур (Z) удовлетворяют уравнениям
Ур = 〃(Ур~н — 2yp + Уp-i) (р = 0, 土 1，土 2,…)
(54.1) где а? = S/(znd), S — натяжение, d — расстояние между частицами.
Если заданы следующие начальные условия:
Ур = ар, У = Вр при % = 0,(54.2)
то решение уравнений (54.1) имеет вид
8 ct■
Ур = 2 ap+iJ2i (2ai) + Рр+г j /〃(2at) dx , (54.3)
где J2i — бесселева функция порядка 2乙 Легко упростить это выражение, используя рекуррентные формулы для функции Бесселя 丄).
Выше приведен простейший пример колебания решетки, которая может в общем случае рассматриваться как бы состоящей из частиц различных масс, и может быть двумерной или трехмерной (кристаллическая решетка трехмерного тела). Пространственная периодичность системы является ее существенной чертой).
Для струны конечной длины с закрепленными концами, несущей п частиц равной массы, прикрепленных к ней через равные промежутки, имеем уравнения движения вида (54.1), однако в этом случае имеются граничные условия в виде
Ур =仪2(Ур+i — 2yp + yp~i) (р = 1, • • •,汽),I (54 4
(54.8)(54.8)мнимым и напишеммнимым и напишемРис. 20. Комплексные амплитуды нагруженной струны с закрепленными концами для случая пяти ча- стлц (л=5), колеблющихся на фундаментальной моде (г = 1).Рис. 20. Комплексные амплитуды нагруженной струны с закрепленными концами для случая пяти ча- стлц (л=5), колеблющихся на фундаментальной моде (г = 1).(54.10)(54.10)глгл(г 1» • • •» 孔),(г 1» • • •» 孔),
(54.8)
(54.8)
мнимым и напишем
мнимым и напишем
Рис. 20. Комплексные амплитуды нагруженной струны с закрепленными концами для случая пяти ча- стлц (л=5), колеблющихся на фундаментальной моде (г = 1).
Рис. 20. Комплексные амплитуды нагруженной струны с закрепленными концами для случая пяти ча- стлц (л=5), колеблющихся на фундаментальной моде (г = 1).
(54.10)
(54.10)
гл
гл
(г 1» • • •» 孔),
(г 1» • • •» 孔),
Чтобы решить эти уравнения, подставляем в них
ур = п「cos (со/ + е) (р = 0, 1, ..., n + 1),(54.5)
где п「, (о и е ——константы; тогда уравнения (54.4) превращаются в следующие уравнения:
a2np+ 1 + (①？ 一 2a2) n「+ а"П「т — О(Р = 1,…，孔)，|
По = Пп + iО-/
(54.6)
Эта система уравнений удовлетворяется величинами
Пр = Rezp (р = 0, 1,...,兀 + 1),(54.7)
если комплексная переменная 2 удовлетворяет уравнениям
a^Zp + i + (со? — 2aВ Zp — a^Zp — ^ = 0 (p — 1,...,力,Re z° = Re z^ + i — 0.
Zp = _ Ф?РФ
(р = 0, 1, ..., n + 1). (54.9) Тогда все уравнения (54.8) удовлетворяются при условии, что выполняются только два уравнения, а именно:
Ye* + ((о2 一 2a2) +
+ ^e一河=0,Re ф?(71 + 1^=0.
Второе уравнение выполняется, если ср принимает одно из следующих значений:
(54.11)
первое же из уравнений (54.10) удовлетворяется, если при
屮=屮『постоянная со имеет значение
5 = 2сsin 2 % (г = 1, ..., п).(54.12)
Таким образом, нормальными частотами (или собственными частотами) нагруженной струны с закрепленными концами будут:
(г = 1, . . *,孔)(г = 1, . . *,孔)(54.13)(54.13). гл
(г = 1, . . *,孔)
(г = 1, . . *,孔)
(54.13)
(54.13)
Vr = = —"- sin
2л л 2 (n + 1)
и общее колебание дается наложением нормальных мод 71
Ур = — Re』刃 exp (ip^ cos (coj + er)=
=2Pr sE ^r°°s(2以 sin 2 总石 + e, (54.14)
Г =1
(p = 1,…，n).
Комплексные амплитуды zp (54.9) можно представить с помощью круговой диаграммы в комплексной плоскости, как на рис. 20.
ГЛАВА III
ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ИМЕЮЩЕЕ ОДНУНЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ
Твердое тело, на которое не действуют никакие силы 1). Рассмотрим твердое тело, на которое не действуют никакие внешние силы. Согласно уравнению (44.4) его центр масс имеет постоянную скорость, а согласно (44.7) движение относительно центра масс удовлетворяет уравнению
Л* = О,Л* = О,(55.1)
Л* = О,
Л* = О,
где 厶* —— момент относительного импульса, взятый для центра масс. Относительно этого центра тело имеет три степени свободы, и трех скалярных уравнений, содержащихся в уравнении (55.1), достаточно для определения движения.
Если на тело действуют внешние силы, которые, однако, не имеют результирующего момента относительно центра масс, то движение относительно центра масс по-прежнему выражается уравнением (55.1). Этот случай встретится, когда твердое тело движется в однородном гравитационном поле; тогда центр масс движется по параболе, но сила тяжести не влияет на движение относительно центра масс.
Если твердое тело не свободно, а имеет неподвижную точку О, вокруг которой оно может свободно поворачи-
Детали выводов и чертежи см. Аппель [2], II, гл. XX; Macmillan [17], II, стр. 192—216; Routh [22], II, гл. 4, Synge and Griffith [26], стр. 418—429; Уиттекер [28]. стр. 162—171; Winkelmann and G г amme 1 [29], стр. 390—404; G г a m m e 1 R., Der Kreisel, т. 1, стр. 121—164, Berlin, Springer, 1950.
§ 55] ТВЕРДОЕ ТЕЛО, НА КОТОРОЕ НЕ ДЕЙСТВУЮТ СИЛЫ [67 ваться, и если на тело не действуют никакие внешние силы, кроме реакции, вызванной этой связью, то, как в случае (44.5), имеем
区=0,(55.2)
где h ——момент импульса, взятый для неподвижной точки.
Математические задачи, выраженные уравнениями (55.1) и (55.2), тождественны, за исключением того факта, что в уравнениях (55.1) моменты инерции берутся для центра масс, а в уравнениях (55.2)——для неподвижной точки. В дальнейшем с помощью уравнения (55.2) мы будем рассматривать задачу о вращении тела вокруг закрепленной точки О; заметим, однако, что все рассуждения приложимы также к случаю движения вокруг центра масс в свободном движении.
Пусть (t, у, к)——главный (с ортами, взятыми вдоль главных осей инерции) ортонормальный триэдр, закрепленный в теле, и пусть <о —— угловая скорость тела и триэдра. Тогда
h = Atojt + 5(о2j + Ст^к,(55.3)
где А, В, С —— главные моменты инерции для неподвижной точки О* Согласно уравнению (55*2), вектор h неподвижен в пространстве, и его абсолютная величина h постоянна. Следовательно,
А2 з； + 6232?+。2碣=居.(55.4)
Согласно уравнению (25.4), кинетическая энергия имеет вид А(й? + 5со1+ Сиз = 2Т,(55.5)
и она постоянна, так как реакция связи не совершает работы.
Движение может быть очень наглядно описано методом Пуансог). Эллипсоид Пуансо, определяемый уравнением
4兴 + в/ .+ Сг2 = 27,(55.6)
Poinsot L., Theorie nouvelle de la Rotation des corps., Paris, Bachelier, 1851. Эта работа интересна исторически, потому что Пуансо восставал против чисто аналитического подхода к динамике, выдвинутого Лагранжей.
неподвижен в теле и движение описывается следующим образом: эллипсоид катится по неизменяемой плоскости (неподвижной в пространстве), проведенной перпендикулярно к неподвижному вектору Л на расстоянии 2Тth от точки О. Вектор, проведенный из точки О в точку касания, есть вектор угловой скорости <о; кривые, вычерчиваемые этой точкой касания на эллипсоиде и на плоскости, называются соответственно полодия и герполодия.
Согласно уравнениям Эйлера (49.14) компоненты угловой скорости удовлетворяют уравнениям
4向1 — (В — С)(O2S3 — 0, 笈①一(С — 4) (0з(01 = О, I С(Ьз — (4 — B)(Oi(o2 = 0.)
(55.7) Уравнения (55,4) и (55.5) являются интегралами этих уравнений. Полагая тело несимметричным (Л, В и С все различны) и выбирая триэдр (i, j, Аг) так, что Л > 5 > С, получим аналитическое решение проблемы следующим путем. Уравнения (55.4) и (55.5) нужно разрешить относительно (01 и (о3 и подставить решения во второе уравнение (55.7). Таким образом получим дифференциальное уравнение для(02, решением которого является эллиптическая функция. Нужно различать два случая в зависимости от того, какое из соотношений имеет место: А2 < 257 или 力2 > 2ВТ,
Итак, решение, выраженное через эллиптические функции Якоби модуля ", таково):
для 炉 > 2ВТ:
(0[ = Ct dnp (力一力о),0)2 = В sn p (力一力0),
g = Y cn p (t —力°),
=2AT-h2 ^^-iCT) (A-B) F В (A - B) ' F ABC
В — C 24?—必.4 -B'^ — 2CT '
(55.8)
для Л2 < 2ВТ:
G)1 = а СП р (Z — %),(02 = ₽ SO р (Z —办),
"1
д = Y dnp G —幻，
/无2 一 2CT = ] / (2/T —无2)(В — С) И В(В — С)' р FАВС'
(55.9)
В обоих случаях имеем
(55.10)(55.10)无2 — 2С?_ [ 2АТ — R
(55.10)
(55.10)
А (А - С) ' Y — — # С (А- С)
Как только найдены эти компоненты угловой скорости, описание движения завершается введением углов Эйлера 出 屮，屮(§ 11), описывающих положение триэдра (厶 j, Ar) относительно неподвижного триэдра (Z, J, К). Выбирая К совпадающим по направлению с вектором А, получим 9 и 屮 из уравнений
cos 9 =, tg 屮=—,(55.11)
hЛ (dt
а ф найдем квадратурой из уравнения
sin ^ф =(о2 sin 屮一on cos 屮. (55.12)
В этих вычислениях мы воспользовались последней строкой из (11.5) и (19.4).
Уравнения (55.7) имеют частные решения, в которых какая-либо одна компонента угловой скорости постоянна, а две другие обращаются в нуль. Эти решения соответствуют установившимся вращениям вокруг трех главных осей.
Чтобы исследовать устойчивость этих установившихся движений, заметим, что (55.4) и (55.5) можно также
выразить через компоненты Л по осям 亿 у, Аг): 欣+居+无;=Л,
+ 算+^=2Т.
Принимая (Ль 无2,无з) за декартовы ортогональные координаты в пространстве представлений, мы видим, что установившиеся вращения соответствуют точкам (Л, 0, 0), (0, Л, 0), (0,0, Л), Изображающая точка движется по кривой, которая согласно уравнениям (55.13) является линией пересечения сферы и эллипсоида. Исследуя формы этих кривых, легко увидеть, что установившиеся вращения вокруг наибольшей и наименьшей осей инерции устойчивы, тогда как установившееся вращение вокруг промежуточной оси инерции неустойчиво1).
Если осью симметрии тела является главная ось инерции, так что Л = В ^С, то движение значительно упрощается. Эллипсоид Пуансо становится эллипсоидом вращения, и мы опишем движение качением прямого кругового конуса, фиксированного в теле (подвижной полодии), по неподвижному в пространстве прямому круговому конусу (герполодии). Нужно различать случаи Л > С и Л < С; в первом случае один конус находится вне другого, в последнем —конус полодии (или конус тела) содержит внутри себя конус герполодии (или пространственный конус)2)；
§ 56. Вращающийся волчок. Волчок представляет собой твердое тело вращения, которое приведено во вращение вокруг своей оси симметрии и касается горизонтальной плоскости. Существенная особенность этой системы состоит в том, что волчок представляет собой твердое тело, движущееся под действием двух сил, а именно, силы тяжести, приложенной в центре масс, и силы реакции в точке касания. Поверхности в точке контакта можно
считать гладкими; в этом случае система голономна. Они могут быть достаточно шероховатыми, чтобы предотвратить скольжение; тогда система неголономна. Они также могут быть не абсолютно шероховатыми; в этом случае тело скользит или катится, в зависимости от обстоятельств).
а) Несимметричный волчок. При обычной математической идеализации волчок считается твердым телом, с неподвижной точкой О (вершина волчка); он движется под действием двух сил, а именно, силы тяжести, приложенной в центре масс D、и силы реакции связи в точке О, такой, что точка О остается неподвижной. Динамические свойства определяются заданием семи чисел: массы т, главных моментов А, В, С для точки О и координат 己，小 白 точки D относительно главных осей с началом в точке О. Теория такого волчка приложима также к движению свободного твердого тела относительно его центра масс под действием сил, эквивалентных одной силе с постоянной абсолютной величиной и направлением, приложенной к точке неподвижной в теле. При такой интерпретации теория имеет значение в баллистике, где эта сила обусловлена сопротивлением воздуха.
Волчок называется симметричным, если
А=В, Е = т] = О, (56.1)
так что OD — ось динамической симметрии. Если условие (56.1) не выполняется, хотя бы по одному из равенств, то волчок называется несимметрwhым .
Для того чтобы, исследовать движение несимметричного волчка, можно применить уравнения Лагранжа,
выразив при этом кинетическую энергию через эйлеровы углы (О, ср,屮)，аналогично тому, как это сделано в (49.4). Однако физический смысл проблемы выявляется более отчетливо, если воспользоваться уравнениями Эйлера (49.14), которые можно записать в виде
4о)1 — (В ― С) o)2(i)3 = — mg (т|Кз — UK2),
582.- (C - 4)0)3砌=一mg &K 1-自к3),(56.2)
со)3 - (4 - 5)①1①2 = - mg (自к2 -ПK1)，
где
К = К._К^ + КзкК = К._К^ + Кзк(56.3)-(56.3)-
К = К._К^ + Кзк
К = К._К^ + Кзк
(56.3)-
(56.3)-
0 = К = ^.+(дхК (56.4)0 = К = ^.+(дхК (56.4)Рис. 21. Несимметричный волчок: mgK — сила гравитации.Рис. 21. Несимметричный волчок: mgK — сила гравитации.
0 = К = ^.+(дхК (56.4)
0 = К = ^.+(дхК (56.4)
Рис. 21. Несимметричный волчок: mgK — сила гравитации.
Рис. 21. Несимметричный волчок: mgK — сила гравитации.
——единичный вектор, направленный вертикально вверх “(рис. 21). Так как направление
К фиксировано, то имеем уравнение
или, в координатной форме,
Kf +①2k3 -①3k2 = °, K2+①3k,一①,К3 =0，(56.5)
К3 + 0)1^T2 — 0)2-^1 —- 0. ,
Шесть дифференциальных уравнений (56.2) и (56.5) — первого порядка относительно o)i, о)2)①з，Ki，衣2, Кз，причем эти величины могут быть выражены через три угла Эйлера и их первые производные.
Эти уравнения допускают
интегралы, которые являются следствиями постоянства полной энергии, обращения
в нуль момента силы тяжести относительно вертикали, проходящей через точку О, а также того факта, что К —
единичный вектор:
—(Л (01 + ^й)2 + С ①彳)十；
+ mg (占区1 +，1区2 + 4Кз) = const, (56.6) A(0丄& + В82K2 + Од反з = const,
锯十抬十抬=L
В некоторых специальных случаях существуют еще другие интегралы. Наиболее замечательный из них — интеграл Ковалевской, который имеет место в случае 4=4 = 2С, С = 0.(56.7)
Переходом к новым главным осям (г, j, Аг) мы приводим 刀 к нулю. Тогда уравнения (56.2) и (56.5) дают выражения
2(0+ 施(дз = »6Кз, .(56.8)
К4~ iK(a^ = i(nK^^ ,
где (о = (Of 4-沁2, К = Ki -\- i%, В = mg*]& Исключая К3, получаем уравнение
^(0)2—眸)+ 必з(з2_рк)= о, (56.9) а отсюда
^ In (о? _ рк) = _ 必3.(56.10)
Складывая (56.10) с комплексной сопряженной величиной, получим искомый интеграл
((о2 — 0К) (со? — §К) = const (56.11) или
(£01 - mi - р&)2 + (23132 - р&)2 = const. (56.12)
Этот интеграл вместе с первыми двумя интегралами (56.6) дает нам три уравнения для эйлеровых углов и их первых производных. Эти уравнения можно разрешить
и выразить их решения через гиперэллиптические функции х).
Р) Симметричный волчок: общее движение. Для того чтобы рассмотреть симметричный волчок, удовлетворяющий уравнению (56.1), удобно использовать два ортонормальных триэдра (г, у, А：), (7, J, К), показанных на рис. 22. Триэдр (7, J, К) неподвижен в пространстве и вектор К направлен вертикально вверх; вектор к направлен вдоль
Рис. 22. Закрепленный триэдр (Z, J, К) и движущийся триэдр (% j, fc) для симметричного волчка.
оси симметрии OD, а вектор j — горизонтален. Положение триэдра (厶 j, А:) описывается углом 令,дополнительным к широте, и азимутальным углом ф, показанным па рис. 22.
Угловые скорости ® и Q тела и триэдра (厶 j, к) соответственно выражаются уравнениями
В приведенном доказательстве мы следовали Routh [22], П, стр. 159—161, и Аппель [2], 11, стр. 181—185. Об исследовании волчка Ковалевской с помощью уравнений Лагранжа см. Уиттекер [28], стр. 184—188. Здесь же можно получить сведения о других интегрируемых случаях несимметричного волчка. Детальное исследование по несимметричному волчку, включающее использование уравнений Гамильтона см. Hamel [11], стр. 407—449. См. также G г a m m е 1, op. cit. § 55, стр. 164—214.
где
Si = Qi = sin 仆屮，(02=^2 =—仆，Й3 — cos'O'q). (56.14) Момент импульса для точки О равен
Л = 4s 川 + /со 炉 + Cco3Ar;(56.15)
а момент силы тяжести относительно точки О
G = akX( — mg К)= 一加gasinOj,(56.16)
где OD — а.
Уравнение движения имеет вид
% = G;(56.17)
оно приводит к трем дифференциальным уравнениям для й, ф и Зз・ Удобнее, однако, продолжать исследование не прямым путем). Согласно уравнениям (49.17) имеем g = s = const(56.18)
(s — спин волчка). Мы имеем также уравнения
h*K = а, постоянная а — момент импульса относительно оси К; кроме того, имеем интеграл энергии
Т + Р= $4 (со； + ①》+ 斤 Cs； + mgacos•& =E, (56.20)
E — const. Подставляя значения 仆 и 屮 из (56.14), (56.15) и (56.18) в уравнения (56.19) и (56.20), получаем следующие два уравнения для 仆 и 屮：
(56.21)(56.21)A sin Оф = а —卩 cos 仆，
(56.21)
(56.21)
4 (仆？ + sin2 仆硝 + % = 2 (E — mga cos 抄)，
где 卩=Cs. Исключая 屮 и полагая cos 心=t, получаем следующее дифференциальное уравнение:
》= /(，)，)
J (56,22)
Так как /(х) положительна во все время движения (исключая моменты, когда t = 0) и так как /(—1) < 0, /(1) < 0, то эта функция есть кубический многочлен относительно х и имеет три действительных корня 立九 х2, х3, таких, что
—1 V 立1 V 立2 V 1 V £з；(56.23)
специальные случаи равенства корней здесь не рассматриваются. Переменная х колеблется в пределах (д, х2) и решением является выражение
COS 心=£ =立1 十(立2 — a：l) sn2 72(£ — %),(56.24)
где
к — модуль эллиптической функции Якоби sn. Азимутальный угол 屮 задается уравнением
屮=計為•(56.26)
Ясно, что 屮 имеет один и тот же знак во время движения тогда и только тогда, когда а/卩 лежит вне интервала (£1,£2).
Лучше всего изучить это движение, исследуя траекторию конца вектора к на единичной сфере; полярные координаты на ней —(心，屮).Траектория заключена между двумя окружностями, х — Xi (верхней) и а: — х2 (нижней);
траектория имеет самопересечения тогда и только тогда, когда во время движения 屮 меняет знак】).
у) Симметринный волчок] регулярная прецессия. Любое движение волчка может быть исследовано, если воспользоваться сравнением моментов G = h, согласно (56.17). Рассмотрим (принимая обозначения рис. 22) установившееся движение, заданное условиями
8 — const, ф — р£, ш3 = s, (56.27)
где р и s ——некоторые постоянные. Согласно (56.14) и (56.15) имеем уравнения
o)i = ai = psin 也 со? = % = О, Q3 = р cos О',
"Ар sin 员 + Csk,(56.28)
右=A X 无=p sin 8 (/p cos 8 — Cs) j」
Момент сил, требуемый для поддержания этого движения, равен моменту силы тяжести (56.16), при условии, что р и s удовлетворяют уравнению
Csp — 4P2 cos 8 ~ mga,(56.29)
Это уравнение определяет установившиеся движения симметричного волчка, с осью, наклоненной под углом 8 к вертикали; s ——спин и р ——угловая скорость прецессии^ с которой ось волчка вращается вокруг вертикали, проведенной через вершину волчка.
Если заданы некоторые значения величин р и 8, то можно найти спин s, удовлетворяющий уравнению (56.29). Пусть, наоборот, заданы s и 8; тогда уравнение (56.29)
I) Дальнейшие детали о движении симметричного волчка см. Аппель [2], т. II, стр. 181—188; Macmillan [17], т. II, стр. 216—249; Routh [22], т. II, гл. 5; Synge and Griffith [26], стр. 432—440; Winkelmann and Gramme! [29], стр. 406—422. Можно сослаться также на классическое исследование Klein F. and Sommerfeld A., Ober die Theorie des Kreisels, Leipzig, Teubner, 1897—1910. Более подробные сведения о теории волчка и приложениях гироскопов см. Gray A., A Treatise on Gyrostatik and Rotational Motion, London, Macmillan, 1918, и Граммель P., Гироскоп, его теория и применения, т. 1, 2, ИЛ, Москва, 1952.
12 Дж. Л. Синг
удовлетворяется при двух действительных значениях р, а именно,
Р = УЙ^(°s 士 l^C2^2 — A^lmgacosO), (56.30) COS V
при условии, что
2 iAmga cos/匚а ^才、
S > ■•(56.31)
Если $ велико, то одна из этих угловых скоростей прецессии мала, а другая ——велика; малая величина равна приблизительно
Р =霁；(56.32)
это ——очень полезная простая формула, из которой можно вычислить спин при помощи измерения медленной прецессии.
стойчивость спящего волчка. Симметричный волчок называется спящим, если он вращается вокруг своей оси симметрии, причем эта ось сохраняет вертикальное направление. В этом движении постоянные а, 0, Е, которые входят в кубичную функцию /(е) формулы (56.22), имеют следующие значения:
а = Р = Cs, Е = ^Cs2 + mga, (56.33) где £ ——спин движения, а функция /(е) равна
/ (н)=屮仕 _ М)(56.34)
Л\2Amga)
Функция имеет двойной корень в точке n = 1 и простой корень в точке
N° А一 1,(56.35)
2Amga
кроме случая xQ = 1, когда корень является трехкратным. Предположим, что х0 Ф 1. Имеем тогда два случая:
бо > 1, показанный на рис. 23, и х0 < 1, показанный на рис. 24.
Любое возмущенное движение, для которого постоянные а, 3 Е мало отличаются от значений (56.33),
Рис. 23. График основной кубической функции для устойчивого спящего волчка.
колеблется в пределах (g, g), определяемых кубичной функцией /(б), аналогичной функции (56.22), график которой мало отличается от графиков рис. 23 или 24,
Рис. 24. График основной кубической функции для неустойчивого спящего волчка.
каждый из которых относится к невозмущенному движению. График возмущенного движения (показанный на чертеже пунктиром), согласно (56.23) будет иметь нули в точках
12*
180 ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ИМЕЮЩЕЕ ОДНУ НЕПОДВИЖ. ТОЧКУ [ГЛ. III (亡匕 力2), где 力1 V н2 V 1. В случае, показанном на рис. 23, эти точки близки к 1, а в случае, показанном на рис. 24, & близок к б。，力2 близок к 1. В первом случае амплитуда колебаний в возмущенном движении мала, во втором случае она конечна (приблизительно от х = xQ до х ^ 1). Первое означает устойчивость, второе — неустойчивость.
Проведя аналогичные рассуждения, найдем, что Но = 1 дает устойчивость; итак, мы имеем как необходимое и достаточное условие устойчивости спящего волчка но》1 или эквивалентное этому условию неравенство
4Amga
где s ——спин и (С, А)——осевой и экваториальный моменты инерции волчка г).
§ 57. Гироскопическая «жесткость». Гирокомпас, а) Гироскопическая ^жесткосты. Гироскоп (или гиростат) —это твердое тело с осью симметрии, вокруг которой тело вращается с большой угловой скоростью. Всякий, кто имел дело с гироскопом, знает, что вращение придает ему род «жесткости», так что кажется, будто гироскоп оказывает сопротивление изменению направления его оси. Это только грубое мускульное впечатление. Необходимо тщательное математическое исследование для того, чтобы объяснить это явление. Обсудим три аспекта гироскопической «жесткости»; в первых двух симметрия тела не используется.
Рассмотрим твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, или свободное твердое тело; в последнем случае ограничимся только движением относительно центра масс. В любом из этих случаев основное уравнение можно написать в виде (ср. с (49.9))
h = G, (57.1)
где 无 и G — момент импульса и момент сил относительно
丄)О различных исследованиях устойчивости спящего волчка с использованием уравнений Лагранжа см. Уиттекер [28], стр. 231—233.
единичный векторединичный векторРис, 25.Рис, 25.
единичный вектор
единичный вектор
Рис, 25.
Рис, 25.
неподвижной точки или относительно центра масс, соответственно тому, какой случай имеет место.
В качестве первой оценки гироскопической жесткости
рассмотрим скорость изменения направления вектора Л,
направление которого описывает U = h/h. Тогда
h^hU + hU = G1 ГГ=0, (57.2)
откуда следует, что
h=UG. (57.3)
и из (57.2) получаем следующее соотношение:
и =今，(57.4)
где
W = G — U(U・G);(57.5)
W представляет собой вектор, проведенный из конца G перпендикулярно к вектору Л до пересечения с ним (рис. 25). Теперь U есть скорость точки, в которой вектор Л пересекает единичную сферу. Из уравнений (57.4) и (57.5) видно, что абсолютная величина скорости этой точки удовлетворяет неравенству
1引《粤， (57.6)
так что она стремится к нулю, когда Л стремится к бесконечности. В этом смысле большой момент импульса @6〃％沼咒〃兄 как бы сообщает 《жесткость» направлению вектора момента импульса.
Во-вторых, пусть R, j, Аг)——главный ортонормальный триэдр, неподвижный относительно тела. В момент £ = О пусть тело вращается вокруг оси к с угловой скоростью s. Пусть к телу приложен момент G. Рассмотрим соответствующее движение изображающей точки к на единичной сфере. Ее скорость и ускорение в произвольный момент
(57.7)(57.7)(57.8)(49.14)(57.8)(49.14)(57.9)(57.9)и уско-и уско-А: = 0, кА: = 0, кGi . G?丁十方Gi . G?丁十方(57.10)(57.10)
(57.7)
(57.7)
(57.8)
(49.14)
(57.8)
(49.14)
(57.9)
(57.9)
и уско-
и уско-
А: = 0, к
А: = 0, к
Gi . G?丁十方
Gi . G?丁十方
(57.10)
(57.10)
времени имеют следующие выражения:
к =(ду,к, 石= o)xA： + gx(gx 右).
В момент % = 0 имеем условия
• = о)2 = 0, g = s,
и, следовательно, согласно уравнениям Эйлера имеем уравнения
Таким образом, в момент времени % = 0 скорость рение равны
Спин s не входит в это ускорение, которое имеет тот же вид, как и в случае, когда s — 0. Поскольку рассматривается вторая производная вектора к по времени (т. е. ускорение)^ гироскопическая жесткость 乂е имеет места.
В-третьих, рассмотрим тело, у которого ось симметрии совпадает с вектором к, а моменты инерции равны (Л, Л, С). Пусть (Z, J, К)——ортонормальный триэдр, неподвижный в пространстве, и пусть тело приведено в движение так, что его спин sk и вектор к вращаются в плоскости (KI) с (прецессионной) угловой скоростью pj. Тогда его угловая скорость и момент импульса равны
s = pJ+sk, h — ApJ-\-Csk, (57.11) а момент сил, необходимый для поддержания этого движения, выражается следующим образом:
G =良=Csk = Css xk = Cspi, (57.12)
где вектор i таков, что (i, J, к) образуют ортонормальный триэдр, как показано на рис. 26. Этот момент вращения известен под названием гироскопическая пара] так как он пропорционален s, то гироскопическая пара есть проявление гироскопической жесткости. Квадранты на единичной сфере, изображенные на рис. 26, поясняют, какой смысл имеют указанная пара, прецессия и спин.
В) Гирокомпас. Рассмотрим твердое тело с осью динамической симметрии, проходящей через центр масс О. Пусть оно установлено так, что может свободно вращаться вокруг точки О, а эта точка закреплена на поверхности вращающейся Земли. Это тело можно назвать свободным гирокомпасом. Его движение определено уравнением (57.1), где 无 и G измеряются относительно точки О.
Момент сил G обусловлен только притяжением к Земле. Предположим, что Земля однородна и имеет сферическую форму, тогда результирующая сил притяжения, действующих на частицы твердого тела, проходит через центр Земли. Но, вообще говоря, она не проходит через точку О, так что G # 0. Однако этот момент вращения в действительности так мал, что на практике им можно пренебречь. Полагая G = 0, мы имеем h ~ =const и движение гироком-
Рис. 26. Гироскопическая пара, прецессия и спин.Рис. 26. Гироскопическая пара, прецессия и спин.Пуан-Пуан-пасапасаестьестьдвижениедвижениесо (§ 55). Ось симметриисо (§ 55). Ось симметриигирокомпаса вращается с постоянной угловой скоростью прецессии вокруг некоторой неподвижной в пространстве прямой, определенной начальными условиями. Действительно, свободный гирокомпас указывает земному наблю
Рис. 26. Гироскопическая пара, прецессия и спин.
Рис. 26. Гироскопическая пара, прецессия и спин.
Пуан-
Пуан-
паса
паса
есть
есть
движение
движение
со (§ 55). Ось симметрии
со (§ 55). Ось симметрии
дателю неизменное направление в пространстве.
Рассмотрим теперь случай, когда ось симметрии гирокомпаса вынуждена (благодаря связи не совершающей работы) оставаться в горизонтальной плоскости 】)・ На
х) Это есть математическое упрощение связи, применяемое практически, см. Л а м б [14], гл. 8, § 60; Р б s с h 1 Th., Handbuch der Physik, т. 5, стр. 543—552 (1927); Deimel R. F., Mechanics of the Giroscope (New York, Macmillan, 1929); Rawlings A. L., The Theory of the Giroscopic Compose (New York, Macmillan, 1929); Ferry E. S.? Applied Gydrodynamics (New York, Wiley, 1932); G г a m m e 1 R.( Der Kreisel, t. 2 (Berlin, 1950).
Рис. 27. Гирокомпас с осью, лежащей в горизонтальной плоскости.Рис. 27. Гирокомпас с осью, лежащей в горизонтальной плоскости.
Рис. 27. Гирокомпас с осью, лежащей в горизонтальной плоскости.
Рис. 27. Гирокомпас с осью, лежащей в горизонтальной плоскости.
рис. 27 PQ ——часть земной оси (направленной с юга на север); К ——единичный вектор, параллельный PQ; OQ —— горизонтальная прямая (направленная с юга на север; X ——широта точки О; (Z, j,左)——ортонормальный триэдр, у которого вектор j вертикален, а вектор к направлен вдоль оси симметрии гироскопл,心——угол, который вектор к образует с осью OQ (положительное направление отсчета ——с востока на запад). Круг в перспективе
представляет горизонтальную плоскость, касающуюся земной поверхности в точке О. Угловая скорость гироскопа складывается из угло-
вой скорости Земли QK, угловой скорости триэдра относительно Земли,⑷,и спина, Sok. Отсюда момент импульса для точки О равен
夾=-4Q sin心cos我十/(8+
+ Q sin %)/十窃左，(57.13)
где (Л, А, С) — моменты инерции для точки О и s = =so + Q cos 心 cos X.
Пренебрегая, как и рань
ше, моментом сил притяжения Земли, найдем, что момент G, поддерживающий ось в горизонтальной плоскости, имеет направление вектора
В координатной форме по осям к и J уравнение (57.1) дает s — const и
力夺十 Cs Q cos X sin 心 一ЛЙ2 sin 心 cos #cos2 X — 0. (57.14)
Это уравнение описывает колебания гирокомпаса около горизонтальной прямой OQ, проведенной с юга на север. Если пренебречь членом, содержащим Й2, то получим уравнение вида (34.2), которое описывает конечные колебания кругового маятника. Для малых колебаний
период равенпериод равент = 2лт = 2л4CsQ cos 入4CsQ cos 入(57.15)(57.15)
период равен
период равен
т = 2л
т = 2л
4
CsQ cos 入
4
CsQ cos 入
(57.15)
(57.15)
Аналогично исследуются случаи, когда плоскость, ограничивающая движение, не горизонтальна или когда неподвижная точка на земной поверхности не является центром масс (барогироскоп, х).
1) Ср. Аппель [2], 11, стр. 320—322.
ГЛАВА IV
ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ УДАРНОГОИМПУЛЬСА
Ударный импульс и момент ударного импульса. Уравнения Лагранжа. Уравнение движения (30.1) для частицы дает следующее соотношение:
nw2 — nwi = \ F dt,(58.1)
индексы 1 и 2 относятся соответственно к моментам времени /1 и $2・ Переходя к пределу, когда F стремится к бесконечности, а интервал /2 — Ei стремится к нулю, приходим к понятию ударного импульса F, который, будучи приложен к частице, вызывает конечное мгновенное изменение скорости, определяемое формулой
т \v = F.(58.2)
В ходе математического исследования ударные импульсы можно рассматривать аналогично обычным силам. Можно говорить о моменте г X F ударного импульса F, приложенного в точке г, и о работе ударного импульса, определенной следующим образом:
6W = F^r,(58.3)
Мы должны, конечно, постоянно иметь в виду, что добавление слов «под действием ударного импульса» изменяет природу основного понятия силы; это выражается в том, что размерность ее изменяется, а именно, умножается на время.
Интегрируя уравнения движения в других формах по короткому промежутку времени и переходя к пределу так же, как это было сделано выше, мы получим законы для ударного импульса из законов обычной динамики. Таким образом, уравнение (44.2) приводит к теореме об изменении импульса для движения под действием ударных импульсов, выраженной в следующем виде:
А〃 = А(58.4)
где F — сумма всех внешних ударных импульсов, а (44.4) приводит к уравнению
пАи=А(58.5)
где и — скорость центра масс системы. Кроме того, согласно уравнениям (44.5) и (44.7) имеем соотношения
厶无=@, М* = @*;(58.6)
первое уравнение относится к случаю какой-нибудь неподвижной точки, второе — к случаю центра масс; здесь G и G* — моменты ударных импульсов.
Однако, что касается энергии, то переход от обычной динамики к динамике движений под действием ударного импульса нельзя осуществить таким простым путем. Согласно уравнению (45.3) приращение кинетической энергии системы равно
大2 ， 大2 P
дг = {w dt= f 2 Fi-'ri 或， (58.7)
где суммирование производится по Р частицам, которые образуют систему. Но когда мы переходим к пределу, устремляя силы к бесконечности, а интервал времени 力2 —— 〃 —— к нулю, то получаем следующее уравнение:
A7 = S FfVi, (58.8)
где и» — неизвестные средние значения скоростей. Хотя, может быть, и удобно говорить о работе импульса, однако мы не будем связывать ее с приращением энергии. Дело в том, что в динамике движения под действием ударного
импульса механическая энергия может превращаться в теплоту; этой форме энергии нет места в ньютоновой динамике).
Рассмотрим теперь уравнения Лагранжа (46.17) для голономной системы. Так как обобщенные скорости остаются конечными при переходе к пределу, то получаем уравнения
дТ ~
= = N), (58.9) а%
где фр ——обобщенный ударный импульс, который может быть вычислен, если использовать понятие работы ударного импульса, по формуле
2 6印 н 2 А (58.10)
Математические проблемы динамики движения под действием ударного импульса гораздо проще, чем проблемы обычной динамики, потому что вместо дифференциальных имеют место только алгебраические уравнения.
Соударения. Коэффициент восстановления. Развитие теории соударений было вызвано (в значительной степени) играми с шарами, в частности биллиардом; в то же время эта теория доставляет модели для молекулярных столкновений, когда принимаются в расчет моменты импульса).
Рассмотрим два твердых тела, Si и 52, движущихся произвольным образом. В некоторый момент времени они коснутся друг друга и продолжение их движения должно было бы вызвать вдавливание их друг в друга; этого не происходит благодаря действию пары ударных импульсов, равных по величине и противоположных по направлению, приложенных в точке контакта С (рис. 28)
Пусть 01, 。2 — центры масс в момент столкновения и ri, г2 — радиусы-векторы точки С соответственно относительно точек 01, 。2・ Пусть т^ т2 — массы тел, а 。1, Гг — скорости центров масс перед соударением, hi,无2— моменты импульса для центров масс также перед столкновением. Те же величины после соударения отмечены штрихами. Пусть —F и F— обозначения ударных импульсов, действующих соответственно на тела Si и S2>
Тогда уравнения (58,5) и (58.6) можно переписать в виде
(59.1)(59.1)加1 (и； — U0 = _ А加2 (и； — U2)= R
(59.1)
(59.1)
五；一也=-Г J X a,无2 -无2 =r2 X尸.
Здесь ui, г2» 无1，无2, ri, гг — известны и, таким образом, имеем 12 скалярных уравнений для 15 неизвестных,
а именно, для компонент пяти векторов,
и；, u；,居，瓦，方.(59.2) Так как известны положения тел и моменты инерции, то 无;определяет угловую скорость (др и обратно; то же верно относительно ^2 и о；. Таким образом, без дополнительных предположений проблема определения движения, по
лучающегося в результа
те соударения, имеет 15—12 = 3 степени произвола.
Мы предполагаем теперь, что тела гладкие); это означает, что ударные импульсы действуют под прямым углом
к общей касательной плоскости, так что имеем равенство F=Fn, F>0,(59.3)
где 〃 ——единичный вектор нормали, направленный от Sf к 52* Это предположение сводит число неизвестных к 13, а именно,
%,吗，居，履，F.(59.4)
Оставшуюся неопределенность можно устранить, если предположить, что имеет место закон сохранения энергии
Т' = Т.(59.5)
Здесь Т известно, а Т' можно выразить через и；,必 ％ 瓦. Но можно воспользоваться и более общим способом, который содержит изложенный как частный случай. Пусть 馥匕 w2 — скорости двух частиц, соприкасающихся в точке С, так что
(59.6)(59.6)Wi = ui + tt>i X 门,
(59.6)
(59.6)
a2 =力+tt>2 X，2,
где tt>i и tt>2 — угловые скорости тел. Можно считать, что формулы такого вида имеют место не только в начале соударения, но и в течение всего короткого времени, пока соударение длится. Введем скорость сжатия с, определенную следующим образом:
(59.7)(59.7)С = n^Ui — U^.
(59.7)
(59.7)
В начальный момент она положительна, так как тела стремятся вдавиться друг в друга. Все соударение разбивается на два периода: (I) период сжатия, когда с > 0, и (II) период восстановления, когда с < 0. В период сжатия действуют ударные импульсы, как раз достаточные для того, чтобы свести с к нулю. Обозначая их через (—In., /п), а скорости соответствующих частиц в момент окончания периода сжатия — через и；, и：, . . ., получим
龍 1 (% — Df) = —In^ Ш2 (l?2—^2)= In,
К —仙=—门 х In,瑞一力2 =，2 X In, (59.8)
d' ~n*(wi — Wg) = 0.,
Из 13 скалярных уравнений, заключенных в (59.8), можно определить I и движение в конце периода сжатия.
Что касается периода восстановления, то предполагается, что ударные импульсы для этого периода пропорциональны ударным импульсам в течение сжатия; коэффициент пропорциональности, обозначенный через называется коэффициентом восстановления. Его величина изменяется от е = 0 (неупругий удар) до е = 1 (абсолютно упругий удар); удары с промежуточными значениями е называются полуупругими.
Конечный результат столкновения получим, если подставим значения 反
力= (1 + е)/%(59.9)
в уравнения (59.1); при этом величина I находится из (59.8).
Можно показать, что условие е = 1 заключает в себе / = Т (59.5).
Для того чтобы дать пример коэффициента восстановления, рассмотрим удар двух гладких однородных шаров. В этом случае ударные импульсы не имеют моментов относительно центров масс, и уравнения (59.8) сводятся к следующим:
mi W-^)= - In, m2(v"2-v^ = In, 1
Отсюда получаем
/ =——:加•(力一 02)=:
叫 + "2mi + m2
где с — начальная скорость сжатия. Согласно уравнениям (59.1) и (59.9) имеем
打"(и；—办)=—(1 + е) /п, ”2 (и； — в) = (1 + е) In (59,12)
и поэтому скорости после соударения равны:
u； = s
”2。
叫+"2
(l + e)”,
%=U2
т^с
"1 +加2
(1 + е)п.
(59.13)
Потеря кинетической энергии выражается следующим образом:
Минимальные теоремы при движении под действием ударных импульсов. Если на систему из Р частиц действуют ударные импульсы F；, то
2 «г» (所一⑦)W= 2 FfWb (60.1)
где wi — произвольные векторы и и” и； — скорости частиц до и после приложения ударных импульсов. Здесь и ниже суммирование производится по Z = 1, . . м Р.
Уравнение (60.1) можно рассматривать как особую форму принципа Даламбера (§ 45), справедливую для движения под действием ударного импульса ^.
Система может быть подчинена связям, вследствие которых определенные частицы должны оставаться неподвижными или двигаться по гладким неподвижным кривым или поверхностям; связи могут быть также такими, что расстояния между некоторыми частицами остаются постоянными (жесткость). Такие связи могут сохраниться при действии ударных импульсов; они могут также внезапно появиться или внезапно разрушиться. В любом случае можно разбить ударный импульс на две части:
F^Pt + Bi, (60.2)
где Pi — данные (или приложенные) ударные импульсы, a Ri — ударные импульсы, обусловленные связями. Последние удовлетворяют условию
2 片＞s=о, (60.3)
если u)i — скорости, удовлетворяющие связи.
1) Ср. Routh [22], I, стр. 298—304; Аппель [2], II, стр 448—462.
Теорема Карно (тгереа兄 часть). Если к системе не приложены ударные импульсы, то внезапное наложение связей уменьшает кинетическую Энергию системы').
Для того чтобы доказать эту теорему, выберем Wi равными Uj； правая часть уравнения (60.1) обращается в нуль по (60.3) и имеем уравнение
2 Mj (所一Vi) • t)i — 0. (60.4)
Потеря кинетической энергии, может быть, поэтому представлена положительно определенным выражением
t — T'=彳 2 TTijS •⑦—2 ^山广5=
=彳 2 叫(S — *)•(3 —所)> 0. (60.5)
Р) Теорема Карно (вторая часть). Кинетическая энергия возрастает, если жесткие) связи разрушаются «взрывом».
В случае «взрыва» ударные импульсы, действующие между частицами системы, попарно равны и противоположно направлены вдоль прямых, соединяющих их (подобно действию и противодействию в третьем законе Ньютона). Хотя они и появляются такими «взаимно уравновешивающимися» парами, это именно ударные импульсы 月储 а не ударные импульсы R^ обусловленные связями; последние и будут представлены в тех жестких связях, которые остаются после взрыва неразрушенными.
По тем же геометрическим соображениям, согласно которым реакции обыкновенных жестких свйзей не совершают работы, имеет место уравнение
J Pi'Vt — Q, (60.6)
Здесь Vi — скорости перёд взрывом. Имеем также уравнение
S Ri-vt = O,(60.7)
а отсюда, полагая в уравнении (60.1)你=у, получаем
£ z^i (所一s)・п = 0.(60.8)
Следовательно, приращение кинетической энергии можно представить положительно определенным выражением
=2 2 加2(所一s)・(W— Uj) > 0.(60.9)
у) Теорема Кельвина. Если система, первоначально находившаяся в покое, приведена в движение ударными импульсами, приложенными к некоторым определенным частицам системы, причем ударные импульсы таковы, что скорости этих частиц приобретают наперед заданные значения, то кинетическая энергия этого движения меньше, чем кинетическая энергия любого мыслимого движения, возможного при связях, наложенных на систему, для которого все указанные частицы имеют те же наперед заданные скорости.
Пусть Vi — действительные скорости ни； — скорости в мыслимом движении, так что для выбранных частиц 所=и；. Тогда если a?i = и： — и；, то имеет место уравнение
»А，д = 0,(60.10)
потому что Рг = 0 для всех частиц, кроме выбранных, а для них u)i = 0. Кроме того, выполняется уравнение
2 走广例=о,(60.li)
так как 所，и； удовлетворяют связям. Полагая в уравнении (60.1)⑦=0 (так как первоначально система находится в покое), имеем уравнение
2 m欣・(и； —喲=0.(60.12)
Отсюда Т"——Тг можно представить положительно опре-
деленным выражением
1 -2 1 -21 -2 1 -2v[-vi)>0.(60.13)v[-vi)>0.(60.13)
1 -2 1 -2
1 -2 1 -2
v[-vi)>0.(60.13)
v[-vi)>0.(60.13)
Теорема Бертрана, Пусть на некоторую движущуюся систему действуют данные ударные импульсы, вследствие чего ее кинетическая энергия делается равной 『• Тогда Т1 > Т", где Т"— кинетическая энергия, возникающая вследствие приложения тех же ударных импульсов к системе в том же начальном движении, но подчиненной связям, совместным с этим движением.
Пусть vt — начальные скорости, 所一конечные скорости при отсутствии дополнительных связей и 贸 一 скорости при наличии этих связей. Если 兑 и Ri — ударные импульсы связей в этих двух случаях, то имеем уравнения
2 烈•贸=0, 2/•贤=0, (60.14)
принимая во внимание только дополнительные связи. Поскольку согласно уравнению (60.1) 色 一 заданные ударные импульсы, то получаем уравнения
(60.15)(60.15)W тп» (讲一 s) ■ г? = Pi • и?,2 mi^Vi-Vij-Vi =户厂u；・
(60.15)
(60.15)
Затем, вычитая их друг из друга, получаем уравнение
2 mi (^i —喲・D； = 0.(60.16)
Поэтому Т'—Т" можно представить положительно определенным выражением
Т, -倉=彳е??ги加:—2^ 2 ^卢'沁；=
= ^2^(^-fi)-(^-fi)>0- (60.17)
Д. ОБЩАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ГЛАВА I
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИКИ
§ 61 ・ Значение общей динамической теории. Наиболее очевидная цель всей динамики состоит в том, чтобы решать динамические проблемы, которые возникают в физике и астрономии. Начав с рассмотрения физической модели (§ 2), такой, например, как солнечная система, мы переходим к соответствующему математическому понятию или математической модели, и пытаемся решить дифференциальные уравнения, относящиеся к этой модели.
Однако в общем недостаточно ясно, что мы подразумеваем, когда говорим о решении системы дифференциальных уравнений. В самом деле, проблема считается решенной, когда координаты частиц модели в момент времени t выражены как простые функции времени t и тех параметров, которые определяют их начальные положения и скорости. Но что такое простые функции? Мы будем, далее, считать функцию/(Z) не формальным выражением, содержащим t, а величиной, определяемой переменной 力 тогда невозможно четко разграничить простые и непростые функции. Если мы опускаем слово простые и говорим только функции, то каждая динамическая проблема разрешена как только она хорошо сформулирована, потому что дифференциальные уравнения с начальными условиями и начальным значением t определяют координаты в момент времени t. Это не только «домыслы» математиков, но и реальный факт, потому что в современных методах численного решения динамических проблем с помощью электронных вычислительных машин можно получить решение с любой желаемой степенью точности после замены дифференциальных уравнений разностными. Например, в баллистике этот современный
метод в значительной степени вытеснил метод отыскания формул, представляющих решение). '
Однако хотя точные определения как бы ускользают от нас, не может быть сомнений в том, что проблема двух тел имеет простое решение, а проблема трех тел — нет. В случае проблемы двух тел мы имеем формулы, содержащие параметры; мы можем, изменяя значения этих параметров, изучить то, что можно назвать математической структурой класса всех решений, достигнув интеллектуального удовлетворения и понимания. Более того, мы можем образовать точные живые мысленные образы поведения двух тел, так что их движение становится для нас почти столь же реальным, как движение детали машины, работающей перед нашими глазами.
В случае проблемы трех тел численное решение, основанное на заданных значениях определяющих параметров задачи, показывает нам, как движутся эти тела при заданных условиях движения. Но ни одно численное решение, ни набор таких решений не обнаруживают математической структуры проблемы. В этом случае, как и во многих других, мы должны искать понимания математической структуры, исследуя сами дифференциальные уравнения.
Но мы могли потребовать большего. Мы можем стремиться не только к пониманию математической структуры некоторой отдельной 'динамической проблемы, но к пониманию математической структуры класса проблем столь широкого, что в конце концов мы можем считать всю динамику находящейся в поле нашего зрения. Мы будем рассматривать те системы, для которых имеют место уравнения движения в форме Лагранжа или в форме Гамильтона; этот класс и в самом деле включает очень широкий круг проблем.
При изучении общих методов динамики мы преследуем две цели. Первая, практическая цель, увеличить наши возможности решения частных проблем, разработав стандартную технику с широкой областью применимости. Вторая, интеллектуальная цель, понять математическую структуру динамики. Но все обстоит совсем
не так просто. Развитие квантовой механики вне классической динамики показывает, что понимание математической структуры динамики может иметь большие практические последствия (т. е. результаты, которые увеличивают наши знания физического мира), чем сосредоточение внимания на частных задачах того типа, для которого первоначально были разработаны динамические методы. Имея это в виду, при дальнейшем изложении общей динамической теории основное внимание будем обращать на изучение ее математической структуры, частные же динамические задачи будем рассматривать скорее как иллюстрации, чем как самостоятельные пред
меты исследования.
Таким образом, мы стремимся понять математическую структуру динамики. Но здесь мы наталкиваемся на громадную трудность, потому что понимание — весьма индивидуальное дело. Это ведь не вопрос признания той или иной теоремы, а вопрос построения всеобщей картины, в которой конкретные детали подчинены центральной идее. Мнения же о том, какая центральная идея является наилучшей, различаются очень сильно. Что психологически удовлетворяет одного человека, может не понравиться
другому.
из общих геометри- интуиции В самом человечеиз общих геометри- интуиции В самом человечеВ элементарной динамике мы все исходим оснований, потому что обладаем наглядной ческой интуицией движения частицы, и этой подчиняем формулы, которыми пользуемся, деле, существует такой треугольник звеньев
из общих геометри- интуиции В самом человече
из общих геометри- интуиции В самом человече
ского мышления:
(ризиуеское прнлтие(ризиуеское прнлтиегеометрическая картинагеометрическая картина
(ризиуеское прнлтие
(ризиуеское прнлтие
геометрическая картина
геометрическая картина
Однако когда мы переходим к более сложным динамическим системам, становится все труднее и труднее следовать
геометрическим образам и, хотя это является шагом назад, но динамика становится областью, в которой рассматриваются только одни формулы. Это удовлетворит тех, кто находит удовольствие в чисто формальных доказательствах, но для большинства из нас потеря геометрической интуиции есть серьезное препятствие.
В настоящей книге сделана попытка дать геометрической интуиции необходимое место в общей динамической теории, систематически употребляя пространства представлений, в которых движение изображающей точки соответствует движению динамической системы】).
Общая динамическая теория занимает любопытное положение в физике. Исторически она была создана и развилась в форме ньютоновой динамики частиц и твердых тел. Но мы чувствуем настоятельную необходимость дать ей более широкую область применения, рассматривая ее как последовательную математическую теорию, приложимую к любой физической системе, поведение которой можно выразить в лагранжевой или гамильтоновой форме. Здесь возникает соблазн рассматривать эту теорию как чистую математику.
Наше изложение носит компромиссный характер. Аргументация не является достаточно строгой, чтобы удовлетворить современного чистого математика,но во всем изложении делается попытка представить математическую структуру независимо от предшествующей части этой книги (исключая допущения и истолкование). Все изложение основано на лагранжиане или гамильтониане, или на эквивалентной величине. Кинетическая энергия, столь важная в прямых физических приложениях ньютоновой динамики, играет второстепенную роль
) Геометрический подход к динамике, по-видимомут впервые развит Герцем; см. Герц Г.т Принципы механики, изложенные в новой связи, пер. с нем., изд. АН СССР, Москва, 1959. В книге содержатся также статьи Г. Гельмгольца и А. Пуанкаре. См. также Ricci G., L е V i-G i V i t a T., Methodes de calcul absolu et leurs applications, Math. Ann. 54, 125—201 (1901); Гиббс Дж., Основные принципы статистической механики, пер. с англ., Гос- техиздат, Москва, 1946; Synge J. L., Phil. Trans. Roy. Soc., London, ser. A226, 31—106 (1926); В г X 11 ®,u i n L., Les Tenseurs en mecanique et en elasticite (Paris,；赫aasoh, 1938); L a n c z о s [15]； P г a n g e [21].
(в иллюстративных примерах и в § 84, 85), и гамильтониан не ограничен требованием быть квадратичной функцией обобщенных импульсов, как это всегда имеет место в ньютоновой динамике.
62. Пространства представлений. При изложении динамической теории мы будем пользоваться следующими пространствами представленийJ):
Название
Символическое обозначение
Размерность
Координаты
Пространство конфигураций ........
Пространство событий
Пространство импульса и энергии
Фазовое пространство Пространство состояний Пространство востояний и энергии ......
QT
РН QP
QTP
QTPH
N
W十1
2W
2W + 1
2N+2
Qp, Е； ИЛИ Хт
Рр, Н; или ут др, рр др, рр
0р, £, Рр，Н； илиа>, уг
Здесь и во всем разделе Д (если не оговаривается противное) маленькие греческие индексы пробегают значения 1, . . ., N, а маленькие латинские индексы ——значения 1, . . ., 7V + 1, причем условие суммирования по повторяющимся индексам выполняется в каждом случае.
Пространства представлений в приведенной таблице перечислены в порядке возрастания размерностей. Мы будем рассматривать их в другом, несколько более удобном порядке.
Наша цель состоит в том, чтобы представить динамическую теорию совершенно абстрактным образом Так, чтобы полученные результаты могли быть приложимы вне
1) Могут быть рассматриваемы также другие пространства представлений, такие как ЗЛ-мерное пространство с координатами 加 др，Рр，используемое П. Дираком [см. сборник: Вариационные принципы механики, под ред. Л. С. Полдка, Физматгиз, Москва, [§50, стр. 705 — 722]. (Прим, перев.)
традиционной ньютоновой динамики. Но для того чтобы сохранить связь с источником этой теории, рассмотрим кратко эти пространства представлений в ньютоновой системе (голономной, склерономной или реономной) с N степенями свободы и обобщенными координатами %. Система имеет лагранжиан L(q, t, q) и движется в соответствии с лагранжевыми уравнениями движения (§ 46); соответственно она имеет гамильтониан HQ 厶 р) и движется согласно уравнениям Гамильтона (§ 47). Мы будем называть систему консервативной^ если 方 не входит явно в Н (или, что эквивалентно, не входит в Л), так что имеем
—=0;(62.1)
это выражение, так же как и (47.9), заключает в себе соотношение
Н =Е,(62.2)
являющееся константой движения. Все движения, для которых Е имеет одно общее для всех движений значение, составляют изоэнергетическую динамикут).
Простейшим из всех пространств представлений является Q* Если система состоит из одной частицы, движущейся в обычном пространстве, то Q — обычное пространство; а если частица под действием связей вынуждена двигаться по поверхности или по кривой, то пространство Q есть эта поверхность или кривая. Однако картина траекторий в целом несколько усложнена, потому что траектория не определяется точкой пространства Q и направлением в Q (т. е. отношениями 對】：dq2 : . . . : dqN). Для консервативной системы заданному направлению в точке соответствует оо множество траекторий (например, частица в гравитационном поле). Для неконсервативных систем имеется оо множество траекторий.
Множество всех траекторий в целом легче представить себе в пространстве Q7; в нем траектория определяется
точкой и направлением в ней (т. е. отношениями dq*: dg2： . . . ： dqN : dt、которые являются обобщенными скоростями). Это относится и к консервативным и к неконсервативным системам. Более того, рассмотрение времени t наравне с координатами 外 делает пространство QT подходящим основанием для релятивистской динамики.
Пространство РН имеет более второстепенное значение. Им полезно пользоваться, когда рассматриваются столкновения, в которых некоторое количество частиц, находившихся первоначально в свободном движении, попадает под влияние друг друга, а затем удаляются друг от друга, причем конечное их движение опять оказывается свободным. Когда частицы движутся свободно (до и после столкновения), то изображающая точка остается неподвижной в РН. В результате столкновения изображающая точка переходит из одного такого положения в другое.
Благодаря в основном работам по статистической механике Гиббса пространство QP есть, вероятно, наиболее известное из всех перечисленных выше. В случае консервативной системы множество траекторий образуют конгруэнцию кривых и через каждую точку пространства QP проходит только одна кривая. Эта картина является достаточно простой, но она усложняется для неконсервативной системы, В последнем случае через каждую точку пространства QP проходит оо1 траекторий. Более того, пространство QP становится неудобным в теории относительности, в которой i должно рассматриваться как переменная, равноправная с координатами ^р.
В пространстве QTP время i рассматривается как переменная, равноправная с координатами д。и импульсами рр. Гамильтониан H{qx t, р) является функцией положения в этом пространстве. Картина траекторий для неконсервативной системы в этом пространстве проще, чем в пространстве QP, потому что теперь мы имеем конгруэнцию кривых, а через каждую точку проходит одна кривая. Пространство QTP отличается от пространств QP и QTPH тем, что оно имеет нечетную размерность； с математической точки зрения это различие является существенным.
Использование пространства QTPH создает наибольшие возможности для общего рассмотрения динамики. В этом пространстве 力 и 〃 рассматриваются как переменные, равноправные с 外 и Рр, так что здесь имеет место полная формальная симметрия. В таком случае 2N + 2 координат распадаются на две группы (g, t) и (р, Н). Эти дво группы почти взаимозаменяемы в динамической теории. Для того чтобы сохранить симметрию, лучше всего построить динамическую теорию, воспользовавшись не функцией Е(д,力 р), а уравнением энергии, заключающим в себе, вообще говоря, все 2N + 2 координат пространства QTPH. Это уравнение определяет 2N + 1-мерную поверхность в пространстве QTPH и изображающая точка должна находиться на этой поверхности. Однако иногда удобно употреблять функцию энергии вместо уравнения энергии для того, чтобы иметь дело с пространством, а не только с этой поверхностью.
Надо заметить, что оптический метод Гамильтонаг), в котором все координаты пространства рассматриваются как равноправные, наводит на мысль использовать пространство QTPH. Симметричное построение динамики было предуказано гамильтоновым исчислением главных отношений). В наше время этот подход к динамике возрожден в ряде работ ). Вся теория, развитая в пространстве QTPH, может быть немедленно перенесена на рассмотрение изоэнергетической динамики в QP простым уменьшением размерности.
63. Топологические замечания. Как простую иллюстрацию топологической ситуации, часто встречающейся в более сложной форме, рассмотрим частицу, движущуюся
по окружности, уравнение которой —
1 Y = L，(63.1)
где (Н, г|) — прямоугольные декартовы координаты, и а = const. Пространство конфигураций Q есть в данном случае сама окружность и мы можем задать обобщенную координату q, написав
〃 cos g, т| = a sin g, — 8 < g V 十 8. (63.2)
Тогда любое значение q определяет конфигурацию (точку пространства Q), но любой конфигурации (или точке пространства @) соответствует бесконечное множество значений q (отличающихся друг от друга на 2л). Мы
2лZ п2п
Рис. 29. Пространство изображений Q'.Б есконечное мнойсество конгруэнтныхточек, циклическая координата q кото-рых отличается на кратное 2л, соответ-ствует одной-единственной конгруэцииили точке пространства Q.
можем тогда говорить о пространстве изображений (скажем, Q'), которое есть бесконечная прямая с отложенными на ней через 2л значениями q (рис. 29). Однако мы всегда должны помнить, что соответствие между конфигурациями и точками пространства не взаимно однозначное. Можно назвать q циклической 】)координатой, а приращение ее, которое приводит к той же самой конфигурации, ее циклической постоянной (в нашем случае это 2л). Множество точек в пространстве Q', полученное прибавлением к циклической координате любого числа, кратного циклической постоянной, можно назвать множеством конгруэнтных точек.
) Во многих динамических проблемах циклические координаты есть игнорируемые координаты (ср. § 46) и слово циклическая часто считается синонимом термина игнорируемая} ср. Голд- стейн [7], стр. ,62. В этой книге слово циклическая имеет только отмеченный выше топологический смысл.
Это многозначное представление вызывает возражения, но оно практично и потому широко применяется. Можно получить взаимно однозначное соответствие между конфигурациями и значениями q, приняв вместо определения (63.2) следующее： ^, = a cos q, т] = a sin q, 0《q V 2л.(63.3)
Однако теперь соответствие разрывное, так как, придав частице малое сме- । щение от конфигурации， q = 0 в сторону уменьшения q, мы получаем зна- 尸 чение q, отличающееся от исходного сразу на 2л.
Такие разрывные представления вызывают еще большие возражения, чем
многозначные представле- рис. 30. Перекрывающиеся копия； мы возвращаемся по-ординатные системы,
этому к знакомому топологическому плану. Он включает использование двух координатных систем, частично перекрывающихся. Мы задаем координаты q, д' следующим образом:
& = a cos q,т] = а sin q, 一 虱 & § & 几十 ％ ) (63 4)
^ = a cos q] 刀=_ @ sin q', 0《q'《л.J .丿
Ha рис. 30 на дуге EADBF определена переменная q, а на дуге AECFB — д'. Очевидно, перекрываются дуги АЕ и BF. В пересечении АЕ и BF мы задаем преобразования
АЕ q = — q', BF : q —冗=冗一q'.(63.5)
Рассматривая частицу, которая движется по окружности против часовой стрелки, начиная от точки А , мы применяем координату q до тех пор, пока точка не достигает BF. Здесь мы переходим к координате д' и пользуемся ею, пока не достигнем АЕ, где снова переходим к координате q. Таким образом, вне пересечения областей мы
206 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИКИ [ГЛ. I имеем непрерывное взаимно однозначное соответствие между точками Q и значениями соответствующих координат (д или д'); в каждой же области пересечения мы можем выбирать между двумя координатами, и когда мы оставляем это пересечение, то переходим в некоторую область с соответствующей ей координатой. Хотя это и более грубое представление, чем то, которое имеется при использовании циклической координаты, однако во многих отношениях это наиболее удовлетворительный метод.
В обычной динамике мы начинаем рассмотрение с физической системы, которую мы могли бы, если нужно, построить в сфере нашего опыта. Тогда на топологические вопросы относительно пространства конфигураций Q можно было бы ответить, апеллируя к нашей интуиции об обычном пространстве. Однако такая интуиция непригодна, когда мы начинаем развивать общую динамическую теорию; эта теория должна быть построена на математическом основании; если наша интуиция правильна и полезна, мы смогли бы избегать чисто формальных аргументов.
Недостаточно сказать, что мы будем обсуждать динамическую систему с обобщенными координатами % и лагранжевой функцией L(q,厶 g). Должна быть задана топология пространства °. Для этого имеются четыре способа.
Можно сказать, что каждая из координат ?卩 изменяется в границах — оо, + оо с непрерывным взаимно однозначным соответствием между конфигурациями (или точками пространства Q) и множеством значений (01， 02,・・ *)* Это простейший случай (евклидова топология). Мы не должны, однако, применять обязательно только эти координаты; мы можем перейти к другим, при условии, что в рассматриваемой области пространства Q преобразование гладкое и его якобиан отличен от нуля.
Можно рассматривать пространство Q, как погруженное в евклидово пространство более высокой размерности. Тогда топология пространства Q заключена в уравнениях ,которые определяют Q как подпространство.
Можно слегка изменить случай 1, добавив циклические координаты, и заменив, таким образом, Q пространством Q'. Точка пространства Q соответствует множеству (вообще говоря, бесконечному) конгруэнтных точек в пространстве
Можно ввести не одну координатную систему, а несколько с частично перекрывающимися областями и с такими преобразованиями координат в этих пересечениях, уравнения которых не имеют сингулярных точек г).
Нам понадобятся следующие топологические термины:
Контур ——это замкнутая кривая в пространстве изображений. Это ——приводимый контур, если непрерывным преобразованием пространства его можно стянуть в одну точку; в противном случае он неприводим. Два контура называются совместимыми, если непрерывным преобразованием можно преобразовать один в другой; если этого нельзя сделать, они называются несовместимыми.
Все приводимые контуры совместимы. Два неприводимых контура могут быть либо совместимы, либо нет. Если они несовместимы, они называются независимыми. Пространство, обладающее несовместимыми контурами, есть многосвязное пространство, если же пространство не имеет таких контуров, то это односвязное пространство. Пространство ——двухсвязное), если имеется один независимый неприводимый контур; оно трехсвязное, если имеется два таких контура и т. д.
Поверхность сферы односвязна); внешняя область круга или поверхность цилиндра — двусвязна; поверхность тора трехсвязна.
Если для цилиндра мы введем азимутальный угол 中 как циклическую координату и отложим z вдоль обра-
В пространстве Q мы могли бы требовать гладкость класса С2 : /'[//р dqx — непрерывны. В пространствах QP или QTPH мы могли бы требовать каноническое преобразование (§ 87).
Рис. 31. Пространство Q' для частицы, движущейся по цилиндру (ф——циклическая координата); Г —— приводимый контур, а Г*'——неприводимый.Рис. 31. Пространство Q' для частицы, движущейся по цилиндру (ф——циклическая координата); Г —— приводимый контур, а Г*'——неприводимый.
Рис. 31. Пространство Q' для частицы, движущейся по цилиндру (ф——циклическая координата); Г —— приводимый контур, а Г*'——неприводимый.
Рис. 31. Пространство Q' для частицы, движущейся по цилиндру (ф——циклическая координата); Г —— приводимый контур, а Г*'——неприводимый.
208 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИКИ (ГЛ- 1 зующей, то стягиваемым в точку контуром будет контур вида Г на рис. 31; нестягиваемым будет контур вида Г4).
Движение по контуру, который можно стянуть в точку, называется либрацией, движение по неприводимому контуру называется вращением.
Конфигурационное пространство для твердого тела, движущегося в обычном пространстве, шестимерное. Пусть 0, % ^) ~ прямоугольные декартовы координаты опорной точки, выбранной в теле. Конфигурационное пространство свободного тела есть произведение двух трехмерных пространств. В первом из них координатами являются (Е，Т|, С) и оно имеет топологию евклидова пространства. Точка во втором пространстве соответствует конфигурации твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Это
второе пространство есть пространство вращений, Обычный путь рассмотрения пространства вращений в динамике это — ввести углы Эйлера 也 屮，屮 (§ 11), рассматривая 屮 н 屮 как циклические координаты, так что имеем пространство в котором конгруэнтные точки в углах бесконечного ряда кубов со сторонами 2л соответствуют одной и той же конфигурации (если рассматривать при этом 屮 н 屮 как прямоугольные декартовы координаты).
Конфигурации, для которых 仆 = 0 н 仆 = л, исключаются из этого представления.
Имеется другой путь для рассмотрения пространства вращений. Согласно § 10 точки этого пространства нахо-
Здесь представлены только простейшие случаи; стягиваемый и нестягиваемый контуры могут быть значительно сложнее.
дятся в непрерывном взаимно однозначном соответствии с парами диаметрально противоположных точек на гиперсфере в четырехмерном евклидовом пространстве; гиперсфера имеет следующее уравнение:
戸 + 1+?2+ 02= (63.6)
Таким образом, топология пространства Q для твердого тела, одна точка которого закреплена, такова же, как топология гиперсферы эллиптического типа, диаметрально противоположные точки которой «отождествлены* одна с друго访(конгруэнтные точки). Это пространство — двухсвязное; неприводимы访 контур соответствует полному вращению тела вокруг какой-нибудь оси.
Кратко изложить динамику, с должным углублением в топологию, практически невозможно; сделанные выше замечания имеют целью только ввести читателя в круг связанных с зто 访 проблем о 访 вопросовг).
До тех пор пока мы рассматриваем достаточно малую область пространства изображений («динамика в малом»), топологические вопросы не возникают, и мы можем предположить поэтому, что малая область имеет простую топологию внутренности евклидовой сферы соответствующей размерности. Эта книга следует в основном традициям математической физики, в которой топологические вопросы являются предметом для исследования ad hoc в частных случаях. Они могут быть оставлены без внимания до тех пор, пока мы не перейдем к рассмотрению переменных де访ствпе — угол (§ 98, 99).
В обширной литературе по современной топологии трудно найти какое-нибудь исследование, в котором бы физический интерес не был сильно затемнен строгостью изложения, необходимой в чистой математике. Живое введение в топологию см. в книге К у- р а н т Р. иРоббинс Г., Что такое математика?, перев. с англ., Гостехиздат, Москва, 1947.
伍 Дэк. л. Синг
ГЛАВА II
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (Q77)
64. Однородный лагранжиан А (лт, х1) и обыкновенный лагранжиан L® 刀 q). Рассмотрим TV + 1-мерное пространство событий QT с координатами д% ..., qN,力* Ради удобства обозначений, а также имея в виду приложения к теории относительности,- положим
% = £р, t = x^+l,(64.1)
так что координатами в пространстве QT являются хг (см. обозначения § 62).
Пусть Г ——какая-нибудь кривая в пространстве QT, уравнения которой имеют вид
g = хг (и).(64.2)
Мы предполагаем, что эти функции гладкие (класс С2) и что все производные
, dxr
не обращаются в нуль одновременно ни при каких рассматриваемых значениях' и. Параметр и не имеет особого значения； в нашем распоряжении имеется целый класс параметров, полученных один из другого преобразованием С2 с необращающейся в нуль положительной первой производной, так что все параметры возрастают одновременно. Итак, имеется кривая Г в пространстве QT с некоторым определенным направлением на ней, но без какой-либо частной параметризации, так что перед нами геометрический объект; он соответствует возможному движению системы.
Введем однородную лагранжевуг) функцию
A(Ni，...，，Nn + 1，N1，土N + 1)(/「н -j「)，(64.3)
которую обозначим ради краткости через A(x, n‘). Потребуем, чтобы эта функция была положительной и однородной первой степени относительно производных /；, так что выполняется условие
Л (n, кх') = АЛ (n, х) (А > 0),(64.4)
и согласно теореме Эйлера для однородных функций имеют место соотношения
* 空=А.(64.5)
дхг
Что касается гладкости, то мы будем предполагать существование и непрерывность производных до того порядка, который может потребоваться. Если все-таки разрывы появляются при рассмотрении того или иного вопроса, то их можно обсудить особо.
В области пересечения координатных систем Л преобразуется как инвариант в смысле тензорного исчисления. Если х* и хГ — две системы координат, а Л* и Л — два лагранжиана, то
Л* (х*, Х+，) = Л(N, N’).(64.6)
Лагранжево действие) вдоль некоторой направленной кривой Г, проведенной из точки 5* (где 〃 = “。в точку В
(где и — u2 > 〃i), определяется следующим образом: 4，(Г) - \ A Q,炉)九，(64.7)
так что 4l(F) — функционал; он зависит от выбора кривой Г. Вследствие однородности A, 4l(F) не зависит от параметризации. Элемент лагранжева действия есть
dAL = А (х, е)九=А (х, dx). (64.8)
Вообще говоря, между действием от точки В* к В и действием от точки 8 к А* не существует никакой связи, даже если кривая одна и та же в обоих случаях.
Определяя в пространстве QT элемент действия А(е, @е), мы превращаем его в пространство Финслера (выражаясь на геометрическом языке). Если А(е, dw)— квадратный корень из однородной дифференциальной квадратичной формы, то QT — пространство Римана.
Элемент лагранжева действия (64.8) можно написать более подробно так:
dAl — A Qi, • • •, ^^^ En + i，£1，•…,工n, En + i) du. (64.9)
Вследствие однородности А элемент лагранжева действия dAL не зависит от выбора параметра и. Примем и — t; тогда согласно (64.1) справедливо равенство
@4工—A (^i, • • •, 9n,力 Or • • •) ^^^ 1) dt. (64.10)
Определим функцию L(q, 力 q) следующим образом:
L (qк .9n,力?i? • • •» Qn)=
==A(0i, ...,дту,力 ^ 1»j Qn■> l)・.(64.11)
Элемент лагранжева действия равен тогда
dAL = L (^, t, q) dt.(64.12)
Эта функция £(g, t, q) называется обыкновенной лагранжевой функцией (ср. § 46).
Две функции, А (функция 2N +2 переменных, положительная и однородная первой степени относительно
последних JV + 1 из них) и L (функция 2N + 1 переменной, не ограниченная никаким таким условием), эквивалентны друг другу в том смысле, что одна определяет другую. Если дана функция Л, мы получим функцию L из уравнений (64.11); наоборот, пусть задана L、 мы получим функцию Л, приравняв (64.9) и (64.12) и разделив иа du. Таким образом,
A(N% . - . , %N, Nn+% N»，--・，工N、^^ +1) ~
—Л (^i, - - • j qn、3 ^ь • • • 1 9n)» h
=厶(n% 勿n，NN + h i i ~N + li (64.13)
что удовлетворяет требованию однородрюсти.
Для того чтобы найти соотношения между частными производными функций A(n, n‘) и £(g,厶 g), варьируем g и n； в (64.13). Получаем
=6% + 吆配 + 更(64.14)
\0% dt dqp /
Но
0. = ^，6仇=芈一嘗.(64.15)
Подставляя эти значения в (64.14), заменяя 6др на 6^Р/ а б^р ——на 6cj, 6，——на §£，n +\ и приравнивая коэффициенты при 2N + 2 независимых вариациях &с「，6£, получаем
认 ，dL, dL
(64.16)(64.16)==/ , - t , dxp dqpd^N + i@才
(64.16)
(64.16)
dAdL 5Л _ ;. dL
%师@N# + i@仇
65. Первая форма принципа Гамильтона. Лагранжевы уравнения движения. Пусть Г (рис. 32) — какая- нибудь кривая, соединяющая точки Б* и Б. Пусть Г1 — одна из соседних варьированных кривых с концами в точках D*. D. Выберем для Г1 тот же параметр и, что и на
Рис. 32. Вариация действия Лагранжа.Рис. 32. Вариация действия Лагранжа.
Рис. 32. Вариация действия Лагранжа.
Рис. 32. Вариация действия Лагранжа.
кривой Г, с теми же значениями на концах：弘，u2. Тогда вариация лагранжева действия равна
Интегрирование по частям даетИнтегрирование по частям дает
Интегрирование по частям дает
Интегрирование по частям дает
&4L三&4L三U1U1个您一du. (65.2) } \ du дхг дхт /
&4L三
&4L三
U1
U1
Ограничим теперь варьированную кривую Г1 требованием} чтобы。。концевые точки совпадали с точками В*,
■В. Тогда первый член правой части (65.2) исчезает. Если 64工=0 для всех вариаций от Г к 1\, совершенно произвольных, за исключением усяовия фиксированности конечных точек, то кривая Г удовлетворяет уравнениям Эйлера ——Лагранжа:
(65.3；(65.3；d 8A 8Adu дхг дхг
(65.3；
(65.3；
Мы можем рассматривать эти уравнения как лагранжевы уравнения движения, а кривые, удовлетворяющие им, как лучи или траекторииг).
Вариационное уравнение
6 § А (力，力')du = 0(65.4)
для случая с закрепленными концами эквивалентно системе дифференциальных уравнений (65.3). Назовем уравнение (65.4) первой формой принципа Гамильтона).
Этот принцип можно также написать в виде
L(q, Л д)或=0,
при фиксированных значениях % и 力 на концах; он приводит сразу же к лагранжевым уравнениям движения в следующей форме (ср. с (46.18)):
(65.6)(65.6)J dL _ 8L dt dqp dq°
(65.6)
(65.6)
Эти уравнения эквивалентны системе (65.3). Появляющееся здесь выражение называют лагранжевой производной функции L.
Система (65.3) состоит из TV + 1 уравнений, а (65.6)— только из N. Однако уравнения (65.3) не являются независимыми, так как в силу однородности функции А имеет место следующее тождество:
—■— — I ~ I хt— хt ■ — xr—
dm а£； dxT) du \ а£；/ де； дхт
_处_dA du du
При условии, что уравнения (65.6) можно разрешить относительно qp (а мы будем предполагать, что это можно сделать), эти уравнения определяют в пространстве QT луч, соответствующий заданным начальным значениям переменных ^р, t, qp. Тогда через каждую точку хт пространства QT и в каждом направлении (определенном отношениями d^i: dx2 ： . . . ： dxN ^^ проходит единственный луч или траектория.
Мы можем употреблять термин А-динамика, когда нужно сказать, что теория основана на вариационном уравнении (65.4) и его экстремалях (65.3). Аналогично можно ввести термин L-динамика для уравнения (65.5) и экстремалей (65.6).
По существу, они эквивалентны друг другу; "цина- мика есть форма А-динамики, в, которой 工 рассматривается двояко: как координата в пространстве QT и как параметр на кривой в QT. Мы объединим их под общим названием лагранжева динамика.
§ G6. Два примера. Лагранжевы уравнения (65.6) связывают наиболее часто встречающиеся динамические системы и излагаем абстрактную теорию. Эта теория приложима ко всем физическим системам, которые ведут себя согласно уравнениям (65.6), независимо от того, действительно ли эта система динамическая или нет. Система может состоять из электрических контуров с обобщенными скоростями, соответствующими токам. В чисто динамической области благодаря (46.18) настоящая теория приложима ко всем голономным системам, для которых обобщенные силы можно получить дифференцированием потенциальной функции или обобщенной потенциальной функцию. В таких системах кинетическая энергия всегда выражается через квадраты обобщенных скоростей и таким же является лагранжиан £( = Т ——У), когда V ——обычная потенциальная функция. В настоящей общей теории на функцию £(g, t, 7) не накладывается никаких таких ограничений; ее можно считать произвольной функцией 2N + 1 аргументов.
Приведем два примера, иллюстрирующих общие выводы.
а) Релятивистская система (PC). Берем однородный лагранжиан
Л (瑞汽')=]/ brsXr Xg + АгХг,(66.1)
где brs (= Ь») и Ar — функции переменных g. Это — обобщение релятивистского лагранжиана для случая заряженной частицы, движущейся в заданном электромагнитном полег). Однородный лагранжиан проще чем обычный, который согласно обозначениям (64.11) имеет вид
£ (9，厶 7)=(拆。0"。+ 26p，^ + 17p + bw + i, n + i)"2 +
+ 4qO* +-4n+i， (66.2)
Обыкновенная динамическая система *(ОДС). Это голономная, склерономная, консервативная система с
1) Ср. с § 114.
обычной потенциальной функцией, так что
ь (д, 0) н Т (д, 9)- V(9)- У аРо9р9а -匕(66.3)
коэффициенты ара(= аар) и V — функции переменных q. Таким образом, t не входит явно в £• В этом случае однородный лагранжиан согласно соотношению (64.13) равен
А (с,修)=土丁— 一 Fx^+1 ;(66.4)
£n + i
это выражение имеет не столь простой вид, как выражение для L(q, q).
Ясно, что теория для PC упростится, если положить в основу А(с, с'), а теория для ОДС будет проще, если
построить ее на L(q, q). Принцип Гамильтона выражается в этих случаях так:
PC: 6 \ [(brs dxr dx^2 + Ar dxr] = 0,(66.5)
ОДС: S ^ (A apoqpqo-V^dt^Q. (66.6)
Уравнения Лагранжа в случае PC принимают вид
—；- — + АГ - 丝二=L —也 W 匸 о, (66.7)
九 femn^n 」И b/nnZKl a^r
а если мы выберем за и параметр на луче, который обращает в единицу выражение
Ътпхтхп - 1,(66.8)
то уравнения упрощаются и превращаются в следующие
曾—咨 W—擊 Wzi, (66.9)
d〃\ dxs дхг / dzT
или
%才+%才+* ，丄* ，丄++ww = 0. (66.10)ww = 0. (66.10)
%才+
%才+
* ，丄
* ，丄
+
+
ww = 0. (66.10)
ww = 0. (66.10)
В случае ОДС лагранжевы уравнения движения имеют вид
d дТ дТ或@仇 四оd дТ дТ或@仇 四оОУOqjОУOqj(66.11)(66.11)
d дТ дТ
或@仇 四о
d дТ дТ
或@仇 四о
ОУ
Oqj
ОУ
Oqj
(66.11)
(66.11)
или
%0旅 +[冲，el GRv =-纟 dqP%0旅 +[冲，el GRv =-纟 dqP(66.12)(66.12)
%0旅 +[冲，el GRv =-纟 dqP
%0旅 +[冲，el GRv =-纟 dqP
(66.12)
(66.12)
или
(66.13)(66.13)
(66.13)
(66.13)
где символы Кристоффеля равны
11++а叫 р/V, о], а"%。=陥а叫 р/V, о], а"%。=陥(66.14)(66.14)
1
1
+
+
а叫 р/V, о], а"%。=陥
а叫 р/V, о], а"%。=陥
(66.14)
(66.14)
§ 67. Уравнение энергии £2(①，z/) — 0 и гамильтониан H(q,力 р). Начнем рассуждения сначала. До сих пор мы рассматривали (ТУ + 1)-мерное пространство QT с координатами хт, выражающимися через qp ^ t как
Ml)Ml)勺匸00， 支n + i = £
Ml)
Ml)
Будем рассматривать вместо лагранжиана A(z, х) или £(g, t, q) в пространстве QT уравнение энергиих)
Q0 У)二 0,(67.2)
связывающее координаты хг точки в пространстве QT с вектором yr, С геометрической точки зрения это уравнение можно рассматривать как сопоставляющее каждой точке QТ-пространства TV-мерную поверхность в (N 十 1)- мерном пространстве, касательном QT, причем уг — координаты в этом касательном пространстве.
В области, где частично перекрываются две координатные системы (%, %*), ут преобразуется как ковариантный вектор
У； =ys~.(67.3)
Это дает условие
玄 d爲=yr dxr,(67.4)
так что эта форма Пфаффа есть инвариант, преобразования. Для общей теории часто лучше рассматривать все координаты симметрично, поэтому мы оставляем уравнение (67.2) в этой общей форме. Но иногда удобно разрешить уравнение энергии относительно yN+仆 так что оно принимает вид)
yN+4 + 3(%4, • • •,2N,%N+4,勿，yn)=0.(67.5)
Определим % и 〃 следующими уравнениями:
Ур Рр，UN+i = —〃(67.6)
(подчеркиваем наличие знака минус). Тогда уравнение (67.2) выражает соотношение между 2N4-2 величинами 0р，九 Ро, Н, а уравнение (67.5) выражает Н как функцию
остальных переменных,
Н s(%, * • • ? Qn?力，Р1 > * • •» Рn),(67.7)
или, кратко, можно записать ее в виде
Н - H(q,力，р).(67.8)
Для последующих целей представляется соблазнительным связать найденную функцию с физическими понятиями, назвав Н гамильтонианом, а уг — вектором импульса — энергии*^ ради краткости можно называть уг просто импульсом^ если нет опасности какой-либо путаницы. Так как для простейших систем гамильтониан равен энергии, то удобнее назвать (67.2) уравнением энергии, ибо оно эквивалентно уравнению (67.8)】).
§ 68. Вторая форма принципа Гамильтона. Гамильтоновы канонические уравнения движения. Пусть Г — какая-нибудь кривая в пространстве QT, соединяющая точки В* и В. Мы определим гамильтоново действие вдоль кривой Г следующим интегралом:
4H (Г)=，圻 ©4 = \(РР dqp — Н(Й).(68.1)
В этом изложении динамической теории я следую методу Гамильтона в геометрической оптике, который в основном тот же, что и его динамический метод, но более компактен, так как здесь он более симметричен. Чтобы добиться этой компактности, приходится рассматривать координаты др наравне с временем t и имиуль- сы рр — наравне с отрицательным гамильтонианом Н. Симметрия здесь достигается по существу, хотя ее может и не быть в обозначениях; см. К а р т а н Э., Интегральные инварианты, пер. Г. Н. Бермана, под ред. В. В. Степанова, Гостехиздат, Москва, 1940. Мы встречаем ее также у Л а н ч о ш а [15], стр. 185—192, иуГолдстейна [7], стр. 269. Ланчош употребляет для уравнения (67.2) название вспомогательное условие. В гамильтоновой оптике это уравнение служит уравнением поверхности, а величины уг являются компонентами «нормальной медленности» (т. е. обратной скорости. — Л. П.); см. Hamilton W. R., Mathematical Papers, т. 1, стр. 291, 303 (Cambridge, University Press, 1931). Из современных общих исследований по геометрической оптике см. Caratheodory С., Geometrische Optik, Berlin, 1937, или более тесно связанную с идеями Гамильтона работу Synge J. L., J. Opt. Cos. Amer. 27, 7 5—82 (193 7).
Поле векторов уг вдоль кривой Г задано каким-нибудь образом, совместимым с уравнением энергии (67.2). Таким образом, гамильтоново действие зависит не только от одной кривой Г, но также и от задания поля уг вдоль Г.
Варьируем кривую Г (как на рис. 32 § 65) и в то же время проварьируем ут каким-либо образом, совместным с уравнением (67.2). Получаем следующее выражение для вариации гамильтонова действия:
64 h = \ 3圻d写+圻6 d写)=
=I Ут^хт I + \ (6* dxT — 6写 d%)・(68.2)
Так как Q = 0 для кривой Г и для варьированной кривой, то имеем
за = ев о写十四 6圻=о. (68.3) 8写 дут
Если концы кривой закреплены, то уравнение (68.2) примет вид
64H = \ (3圻 dg — 6g dy^. (68.4)
Если принять во внимание условие (68.3), то кривая стационарного гамильтонова действия, т. ё. кривая, удовлетворяющая уравнениям
6，圻 dxr = 0, Q (н, у) = 0,(68.5)
и имеющая закрепленные концевые точки, удовлетворяет также следующим уравнениям:
(68.6)(68.6)dxT = dw — , dyr = -dw^-■ дугдхг
(68.6)
(68.6)
где dw — бесконечно малый множитель Лагранжа. Поэтому экстремаль удовлетворяет дифференциальным уравнениям
(68・7)(68・7)dxr _ 8Q * dyT — _ ‘8Q dw дут ' dw дхт
(68・7)
(68・7)
Назовем уравнения (68.5) второй формой принципа Гамильтона, а уравнения (68.7)——уравнениями движения в форме Гамильтона или каноническими уравнениями.
Кривую с соответственными векторами угл удовлетворяющими этому принципу (или, что то же, этим дифференциальным уравнениям), назовем лучом или траекторией. Кривая в пространстве QT и соотнесенное ей векторное поле описываются уравнениями вида
写=写 ®), Уг = Уг (^).(68.8)
Эти функции определяются уравнениями (68.7), если заданы начальные значения переменных сиу.
Параметр w в уравнениях (68.7) есть специальный параметр в том смысле, что его нельзя изменить, если только задана функция R. Так как элемент гамильтонова действия равен
dAu = Уг dxT —力 ^^ dw = yT 患* d叱 (68.9)
то это соотношение и определяет dw. Но, конечно, некоторое соотношение может быть выражено различными уравнениями и если мы перейдем от уравнения Q = 0 к уравнению Q*= 0, и оба выражают одно и тоже соотношение, то соответствующие параметры удовлетворяют условию
(68.10)
Отметим, что уравнение Q = const является прямым формальным следствием дифференциальных уравнений (68.7), ибо имеем
dQ dwdQ dw3Q dxT十dxT dw3Q dxT十dxT dw3Q dyr3Q dyrдуг divдуг div=0.=0.(68.11)(68.11)
dQ dw
dQ dw
3Q dxT
十
dxT dw
3Q dxT
十
dxT dw
3Q dyr
3Q dyr
дуг div
дуг div
=0.
=0.
(68.11)
(68.11)
Изложенная здесь теория имеет фундаментальное значение в классической динамике; выразим ее также в несимметричных обозначениях. Принцип Гамильтона (68.5)
имеет следующую формулировкух):
§ J (Рр dqp -Hdt)= 0, H = H(q,t,p), (68.12)
если концы фиксированы в пространстве QT. Полная вариация этого интеграла выражается следующим образом:
64H =，(брр &% + Ррб &% — 6Н 成一Яд 成)=
=Мб% — H6t\ +
+ \ (Op。d% + 6% dp。一 дЯ 成 + GE dH). (68.13) Но так как
Лгг _ дНдНдНAQ 八
一брр, (68.14) d%dtdp。
то вариацию можно преобразовать к виду
^н =\рр 6qp — Н 6t\+ \ 卜Рр (d% — ^-山)—
-6% (dpp+也力]+6. (68.15) \ a% /' dt /1
Первый член справа обращается в нуль, если концы фиксированы, а на остальной части кривой 6‘р, Op。, 6Е остаются произвольными. Отсюда вариационное уравнение (68.12) приводит к уравнениям движения в форме Гамильтона для лучей или траектории, именно, к уравнениям
• дН .дНа。е
ар = ——~—,(68.16)
Нррdqp
согла сующимся с уравнениями (47.7). Это —— канонические уравнения, так же как уравнения (68.7). Мы получаем
Эта общая формулировка принципа Гамильтона дана Гельмгольцем; ср. Л е в и-Ч и в и т а и А м а л ь д и [16], П2, стр. 452.
так же как следствие
dH — d〃
应(68.17)
Это означает, что Н есть 孔осто兄нна兄 величина вдоль луча или траектории, если £ не входит 兄&мо е функцию H(q,力 р) (система консервативна, ср. с § 62).
Можно использовать термин Q-динамика, чтобы указывать, что теория основана на уравнениях (68.5), или термин Я-динамика в случае, когда теория основана на уравнении (68.12). Это только различные способы выражения и мы объединим их под общим названием гамильтонова динамика*
Относительные преимущества и слабости этих двух аспектов гамильтоновой динамики находятся в тесной аналогии с относительными достоинствами и недостатками выражения уравнения поверхности в двух формах, /(£, у, z) = 0 м z = /(z, у); впрочем, для того чтобы улучшить аналогию, следовало бы рассматривать любое число переменных. Q-динамика кажется предпочтительнее по общим причинам, когда желательно поставить все 2N + 2 переменных в равное положение. Е-дмнамнка во многих отношениях предпочтительнее с аналитической точки зрения. Таким образом, уравнения движения (68.16) представляют собой, очевидно, систему 2N уравнений первого порядка, в то время как в (68.7), очевидно, систему 2N + 2 уравнений. Число уравнений последней системы можно уменьшить до 2N + 1, разделив все уравнения на dxN +1 /dw, так что w+i (т. е. время) становится независимой переменной; а уравнение энергии Q(z, у) = 0 делает возможным дальнейшее уменьшение числа уравнений до 2N, Мы вернемся к этому вопросу в § 91.
Сравнивая (68.7) и (68.16), видим, что в Я-динамике специальным параметром w является время t. В Q-динамике w не имеет простого физического смысла, но если с помощью уравнения Q(% у) = 0 превратить функцию Q + 1 в однородную функцию первой степени относительно 勿，так что будут иметь место уравнения
уг = ^^ — yr (，21) — Q 1 — 1,(68.18)
&丿 Д;к. Л. Синг
то из (68.9) следует, что w есть гамильтоново действие 4H.
В своих оптических исследованиях Гамильтон использует эту операцию как стандартный прием. Однако в этой книге мы не будем прибегать к нему, потому что более удобным оказывается не подчинять форму функции Q(x, у) никаким ограничениям.
§ 69. Эквивалентность лагранжевой и гамильтоновой динамики. Под лагранжевой динамикой мы понимаем теорию, изложенную в § 64 и 65, основанную на однородном лагранжиане Л(х,工‘)или на обычном лагранжиане £ (g, 3 q), под гамильтоновой динамикой — теорию, развитую в § 67 и 68, основанную на уравнении энергии Q(x, у) = 0 или гамильтониане Н(д,力 р). Мы покажем, что эти две динамики, по существу говоря, эквивалентны, хотя гамильтонова динамика является несколько более общей в том, что касается определения вектора импульса — энергии.
Мы покажем эту эквивалентность т установив соответствие
Л(.г, £‘)— Q(x, у) = 0(69.1)
или, что то же самое,
£(д,厶 …Н (q,力 р).(69.2)
После того как это сделано, безразлично, излагать ли динамику в терминах Л или L или положить в основу уравнение Q = 0 или Н. Соответствие устанавливается требованием равенства лагранжева и гамильтонова действий для произвольной кривой в пространстве QT.
Будем считать, что задан однородный лагранжиан Л (n, n') и определим уГ следующим образом:
=(69.3)
дхТ
Эти частные производные — однородные функции нулевой степени относительно производных 工；，поэтому содержат только N отношений х^ : х* : . . . : n'n+i，и» конечно, координаты N：. Исключение этих отлотпений из N -?-1
уравнений (69.3) дает уравнение, которое мы запишем !) в виде
Q(n, у) = 0.(69.4)
Тогда вдоль любой кривой с параметром и и с уравнением n； — dxr /du элемент лагранжева действия согласно (64.8) выражается так:
dAL ~ Л (n, n') du — n； du ~ ут dx「 (69.5)
Согласно определению (69.1) это — элемент гамильтонова действия d/н, соответствующий уравнению энергии (69.4). Действительно, d/н является более общей функцией, чем dA]^ потому, что вектор импульса — энергии, входящий в него, ограничен только уравнением энергии (69.4), тогда как тот же вектор в dAL точно определяется для каждой кривой посредством уравнения (69.3). Однако если мы варьируем гамильтонов луч или траекторию, закрепив концы, то 6_4耳=0 для всех вариаций 6у「，совместных с уравнением ◎ = 0, и поэтому, в частности, для б*, совместных с условием (69.3). Таким образом, уравнение 5Ан = 0 содержит в себе 6力工=0, и это означает, что лагранжевы лучи совпадают с гамильтоновыми лучами.
Эти рассуждения устанавливают однозначное соответствие
A(n, х) —> Q(n, у) = 0.(69.6)
Если задан однородный лагранжиан, то уравнение энергии получается исключением n； из уравнений (69.3), как это описано выше. Эквивалентное однозначное соответствие
£© 力 g)—>Я(дт 力 р)(69.7)
можно получить непосредственно из N + 1 уравнений
Рр =， Н = 7р —厶(69.8)
Мы предполагаем здесь, что в результате этого исключения получается только одно уравнение, но их может быть и больше. Ср. П. Д и р а к, Обобщенная гамильтонова динамика, в сб. Вариационные принципы механики, стр. 705—722.
исключив N величин д。и выразив Н как функцию 〃(g, t, р).
Будем исходить теперь пз гамильтоновой динамики, записав уравнение энергии в общем виде:
◎ (н, у) - 0.(69.9)
На произвольной кривой в пространстве QT, уравнениями которой являются хг 工 хг (м), вектор импульса ——энергии уг можно считать произвольным, за исключением только одного условия: он должен удовлетворять уравнению энергии. Ограничим теперь класс допустимых векторов требованием, чтобы они удовлетворяли уравнениям
生=今哽，(69.10)
du дуг
где 仆 ——неопределенный множитель. Будем называть такие уг естественными. Эти уравнения, очевидно, совпадают с одной группой уравнений движения (68.7). Разрешив 7V + 2 уравнений(69.9) и (69.10) и выразив, следовательно, %• и 仆 как функции хг и их производных xr~dxr/da, определим функцию А следующим образом:
Л (н, н') = угХг.(69.11)
Тогда элемент гамильтонова действия можно представить в виде
dAH —圻 dxr = у禺 du ~ X (н, н') du, (69.12)
но это —— элемент лагранжева действия для однородного лагранжиана А(н, н‘)того же вида, что и (64.8) (об однородности Л см. ниже).
Объединяя все эти уравнения, можем сказать, что из уравнений
н；=仆叩， Л =协，н； ,◎ (н, у) = 0(69.13)
получено однозначное соответствие
Q(x, у) = 0 А(н, £‘)(69.14)
исключением 仆 н у「и выражением Л через оставшиеся переменные. Что касается однородности, то если эти
уравнения выполняются при некоторых значениях (Л? н；,伶),то они выполняются также и при значениях (论А,论н；, к&) для любого к. Это и означает, что функция А(н, н‘)——однородная первой степени, но не обязательно положительно однородная. Однако функция Л может иметь несколько ветвей; умножение на отрицательное 论 может привести к переходу с одной ветви на другую. Иллюстрацией может служить пример § 70. В § 64 требуется только положительная однородность.
Аналогично однозначное соответствие
Н(д,厶 р)—> 上(g, Е, g),Н(д,厶 р)—> 上(g, Е, g),(69.15)(69.15)
Н(д,厶 р)—> 上(g, Е, g),
Н(д,厶 р)—> 上(g, Е, g),
(69.15)
(69.15)
благодаря которому, мы переходим от заданного гамильтониана к эквивалентному лагранжиану, можно получить из уравнений
. дН. дН上=QpPp — H*上=QpPp — H*(69.16)(69.16)
. дН
. дН
上=QpPp — H*
上=QpPp — H*
(69.16)
(69.16)
Для этого надо исключить рр и выразить L в виде £ (д,厶 g).
Мы установили, по существу, эквивалентность лагранжевой и гамильтоновой динамики. Соответствия между ними иллюстрируются в § 70, а их геометрическая сущность рассматривается в § 71.
§ 70. Примеры соответствий лагранжевой и гамильтоновой динамок. Рассмотрим вновь системы PC и ОДС (§ 66).
В PC мы исходим из лагранжиана
Л (н, н) = н； + АгХг.(70.1)
Тогда уравнение (69.3) выглядит так:
比 vYbmnX^Xn
и нсключопие хг дает уравнение энергии в следующем виде:
◎(②，")三彳 W (务—/「)(!/$ — 4) ■~ 1] = 0, (70.3)
где brsbrm = 3*1； множитель 五 введен для удобства записи.
Если исходить из уравнения энергии (70.3) и пытаться вывести из него функцию А, то надо записать уравнения (69.14), которые в данном случае принимают следующий вид:
2：r = ^brs (ys — 4S),A=*z；, Q (z, y) = 0. (70.4)
Отсюда следуют уравнения
У r -小Т ="小s爲J1
2Q =仆飞’一 1 = 0, j (70.5)
где e — ± 1 (все квадратные корни берутся положительными). Поэтому имеют место уравнения
Уг = 4 十,(70.6)
и мы получаем два лагранжиана:
''十(叫 ^ ) = Л,тхт + 1^bfs*r xs , ](70 7)
A一 (爲『)= Arxr- M%ё；右；.J
При /с〉0 имеем тогда условие однородности
A+ (z, кх} = 4А+ (z,右'}, A— (z, кх)二 АА_ (z,右'),
(70.8) а при /с < 0 оно принимает вид
А_{_ (瑞 kxf) — АА_ (z,右'), А_ (z, &n')二 kA + (z,右').
(70.9)
Таким образом, уравнение энергии (70.3) дает два лагранжиана; оба они положительно однородные первой степени, но не однородные в общем случае, так как в случае отрицательного множителя к в (70.9) возможен переход с одной ветви функции на другую.
В ОДС мы начинаем рассуждения с обычного лагранжиана
1厶（g,办=玄 ар/е。— к1厶（g,办=玄 ар/е。— к(70.10)(70.10)
1
厶（g,办=玄 ар/е。— к
1
厶（g,办=玄 ар/е。— к
(70.10)
(70.10)
Затем вследствие уравнения (69.8) получаем соотношения
Pp -=。Р滴0， 7p = 2°°p0,(70.11)
и гамильтониан равен
Я(д, р)-沁卩 一£ =万 °”％Р。+ 匕 (70. 2)
Если исходить от этого гамильтониана, то имеют место уравнения вида (69.16)
7р = ~~— = а° Ps Рр = 〃р/о,(70.13)
и мы получаем из них соотношение
厶(/ 7)= GpPp 一〃 =三叫力pGg — 匕 (70.14)
придя, таким образом, вновь к лагранжиану (70.10).
§ 71. Теорема взаимности. Соотношение между лагранжевой и гамильтоновой динамикой^ становится ясным, если подойти к этому вопросу с геометрической точки зрения1.)
Пусть Л (%, х) 一 однородный лагранжиан и пусть ◎(%, У)= ° — соответствующее уравнение энергии, полученное исключением отношений %； : %； : . . . : %& + i из уравнений
Уг , • (7L1)
дхг
• 1) Ср. Н a d a m а г d J., Lc^ojis sur le calcul des variations, •г. 1, стр. 75, 76, 96, 97 (Paris; Hermann, 1910); Carat heodo- r у C.} Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erstcr Ordnung, стр. 243—248 (Leipzig, Berlin, Teubner, 1935). Kapa- тоодори называет S^ индикатрисой, a S/j ——фигуратрисой.
Рассмотрим пространство ZN+i, касательное к пространству QT в точке хг. В пространстве ZN + i определена евклидова метрика и прямоугольные декартовы координаты zr. Проведем в пространстве Z^+i сферу единичного радиуса
S: z「z「- 1.(71.2)
Рассмотрим две N-мерные поверхности, уравнения которых
5山 n (瑞z)=J
Здесь z「一 текущие координаты; величины хг — обычные постоянные, так как наша геометрия осуществляется в касательном пространстве 纟“十入 Будем называть S L — поверхностью лагранжиана^ a S^ — поверхностью гамильтониана.
Полярная плоскость для любой точки z； относительно S имеет уравнение
z「z； ~ 1,(71.4)
а поверхность, взаимно полярная к поверхности S L относительно S, представляет огибающую этих плоскостей, когда z； пробегает поверхность 5Ь. Для того чтобы найти эту огибающую, имеем уравнения
55cdА (算，Z*) ас 1
zQz； = 0, 6z; = О,
呢(71.5)
Z「Z； = 1, Л(£, Z*)』=1.丿
Отсюда следует соотношение
(7L6)(7L6)ЗА (瑞
(7L6)
(7L6)
2Г q
5 7；
где 屮 ——вначале неопределенны!'! множитель; легко видеть, что
Ф = срЛ (х, z)=⑶写 @А(“4 ) н z「2 = 1,(71.7)
dzj
так что уравпеине (71.6) принимает следующий вид:
@A(n, z*)@A(n, z*)dz*
@A(n, z*)
@A(n, z*)
(7L8)(7L8)Поверхность, взаимно полярную с 5L, можно теперь найти,
(7L8)
(7L8)
исключив из этих уравнений отношения z； : z證исключив из этих уравнений отношения z； : z證Однако сравнивая этот вывод с уравнениями (71.7), видим, что это — тот же путь, каким мы получили уравнение энергии Q = 0, Поверхностью, взаимно полярной с SL, является по-
исключив из этих уравнений отношения z； : z證
исключив из этих уравнений отношения z； : z證
этому поверхностьэтому поверхностьТочно так же нахождение поверхности, взаимно полярной с Sh, даст SL. Имеем теорему взаимности: поверхность гамильтониана есть взаимнополярная поверхность лагранжиана, и обратно. Рис. 33 иллюстрирует это соотношение.
этому поверхность
этому поверхность
Уравнения
Рис. 33. Соотношение взаимности между поверхностью лагранжиана $厶 н поверхностью гамильтониана 5〃.Рис. 33. Соотношение взаимности между поверхностью лагранжиана $厶 н поверхностью гамильтониана 5〃.(71.9)
Рис. 33. Соотношение взаимности между поверхностью лагранжиана $厶 н поверхностью гамильтониана 5〃.
Рис. 33. Соотношение взаимности между поверхностью лагранжиана $厶 н поверхностью гамильтониана 5〃.
сопоставляют любой кривой хГ =第「(〃)естественный
вектор импульса — энергии 处.Обратно, пусть задан уг — вектор импульса —— энергии, удовлетворяющий уравнению энергии. Он определяет направление кривой,' для которой этот вектор импульса ——энергии является естественным. При нахождении поверхности, взаимно полярной к поверхности Q(n, у) = 0 (где уг рассматриваются как текущие координаты) в форме A(n,①')=1 (где текущими координатами являются nJ, нам приходится иметь дело с уравнениями
产g，y)
vl/尸'
71.10)71.10)дУг
71.10)
71.10)
где О — неопределенный множитель. Эти уравнения подобно уравнениям (71.9) устанавливают соотношение между вектором у^ и направлением кривой, т. е. между уг и отношениями величин хт. Из обратимости операций определения взаимно полярных поверхностей следует, что уравнения (71,9) и (71.10) представляют собой различные способы выражения единственного соотношения между направлением в пространстве QT и соответствующим естественным вектором импульса ——энергии уг. В (厶，Я)-обозначениях эти уравнения дают следующую систему:
dL ^ дНm勿р
Эти последние уравнения являются двумя эквивалентными способами выражения единственного соотношения
между скоростью др и естественным импульсом рр.
(71.12)(71.12)Для того чтобы иллюстрировать проведенное геометрическое изложение, рассмотрим системы PC и ОДС (§ 66 и 70), Примем для простоты в PC brs =必$・ Тогда, согласно уравнению (70.1), S，一 поверхность второго порядка, a Sh, согласно уравнению (70.3),— сфера с центром в точке Аг. Что касается ОДС, то согласно представлению (68.4), SL — поверхность второго порядка, проходящая через начало координат и имеющая уравнение
(71.12)
(71.12)
~2 ^ра^р — °Zn + i = ^n +1 j
a Sh, согласно (70.12),— поверхность второго порядка с уравнением
Zn + i + ^ aP°ZpZ° + У = 0.(71.13)
(Действительно, это ——эллипсоид вследствие положительной определенности кинетической энергии.) Если в ОДС рассматривается одна частица, движущаяся в пространстве, то SL является поверхностью вращения, а S“ 一 сферой.
Гамильтонова двухточечная характеристическая или главная функция【)• Уравнение Гамильтона — Якоби. Рассмотрим N + 1-мерное пространство QT и в нем лагранжеву или гамильтонову динамику. Вследствие соответствия, установленного в § 69, безразлично, какую из этих двух динамик рассматривать и использовать при этом однородный лагранжиан А(/, х) или обычный лагранжиан £(q,厶 q) (§ 64 и 65), уравнение энергии ◎(/， У)= ° или гамильтониан H(q,力 р) (§ 67 и 68).
Пусть Г ——луч (или траектория), соединяющий точки 5* и В. Определим двухточечную) характеристическую, или главную, функцию как лагранжево или гамильтоново действие (они равны) от точки 5* до 5 вдоль этого луча. Обозначим ее через 5(5*, В). Это — функция двух точек в пространстве QT. Она может не существовать для некоторого выбора двух точек, так же как может не существовать луч, соединяющий эти точки. Она может быть однозначной (две точки соединяют один луч) или многозначной (две точки соединяют несколько лучей). Но мы не будем сейчас касаться этих тонкостей. В случае многозначности будем выделять одно значение функции.
Характеристическая функция зависит от 27V + 2 аргументов, именно, координат точек 5* и 5, скажем, /；
и хг. Напишем ее в виде
S (В*, В) = S (* н) = S (н；,・・・，Nki 口，• • •，±N + 1) н
=,Л (х, xr) du = , уг dxr,(72.1)
ИЛИ вв
S (8*, 5) — ^ £ (д, /, g)山=\ (a dqp — Н dE). (72,2) £•Б*
Необходимо сделать несколько замечаний относительно характеристической функции:
Координатная система для точки 8* не должна быть той же самой, что и для точки Bt Может существовать область, где они частично перекрываются (ср. § 63). Даже если это не имеет места, мы можем для общности преобразовать координаты для точки В*, а возможно, и для 8, но произвести эти преобразования независимо друг от друга. Тогда существует различие между обозначениями S (毋，切 и S Q*, н), ибо первое указывает только на то, что S — функция двух точек (число, определяемое этими двумя точками, не зависит от используемой при этом системы координат), в то время как второе предполагает определенную форму функциональной зависимости. Эта форма изменяется при преобразовании координат. Функция S есть инвариант (в смысле тензорного исчисления) относительно независимых преобразований двух координатных систем.
Строго говоря, переход от (72.1) к (72.2) возможен при условии, что Е монотонно возрастает при движении от В* к В. Можно поэтому предпочесть более общую форму (72.1) в случае, когда мы хотим рассматривать систему, «движущуюся обратно во времени», или в случае (при некоторых приложениях общей теории), когда переменная Е соответствует не физическому понятию времени ,а чему-то отличному от него.
Вообще говоря, не существует связи между S(8*, В) и S(8,斤к), так как требуется только положительная однородность функции A(z, н‘). Но если мы решим, что точки 笈* и /)и у дут появляться в наших рас*
суждениях только в одном порядке, насколько это допускается определением (72.1) (может быть, в порядке возрастания 力，то мы вольны определить функцию S(В*, В), как это потребуется; обычно удобно определить ее так, чтобы выполнялось условие
S (5, 8)= — S (6*, 7?).S (5, 8)= — S (6*, 7?).(72.3)(72.3)
S (5, 8)= — S (6*, 7?).
S (5, 8)= — S (6*, 7?).
(72.3)
(72.3)
Если точка В совпадает с 5*, то по крайней мере одно значение функции S(8*, В) обращается в нуль. Но это условие не заключает в себе обязательно S(w, w) = О, потому что, возможно, для точек В* и 5 используются различные координатные системы.
Принимая во внимание сказанное в пункте (I), целесообразно будет ввести различные обозначения для ла- граняшанов в точках В* и В, а также для соответствующих уравнений энергии:
А*(£*,£『)，А(£, £‘)，(£*, у^)~ О, Q(£, у) — 0. (72.4)
Мы будем рассматривать В* как начальную точку, а В —— как конечную.
Для того чтобы определить, как изменяется S(5*, В) с изменением концевых точек, обратимся к выражению (68.2); отбрасывая входящий в него интеграл, так как мы имеем дело с лучом, получаем выражение
6s = Уг^^г — Уг^хг •6s = Уг^^г — Уг^хг •(72.5)(72.5)
6s = Уг^^г — Уг^хг •
6s = Уг^^г — Уг^хг •
(72.5)
(72.5)
Если вариации 6% бд：* то получаем системуЕсли вариации 6% бд：* то получаем системупроизвольны и независимы]),произвольны и независимы]),
Если вариации 6% бд：* то получаем систему
Если вариации 6% бд：* то получаем систему
произвольны и независимы]),
произвольны и независимы]),
dS __、@Адхт "т дх^.dS __、@Адхт "т дх^.dS8х；dS8х；=一行=一=一行=一空dxf空dxf(72.6)(72.6)
dS __、@А
дхт "т дх^.
dS __、@А
дхт "т дх^.
dS
8х；
dS
8х；
=一行=一
=一行=一
空
dxf
空
dxf
(72.6)
(72.6)
Согласно уравнению энергии (72.4) функция S(x*, £) удовлетворяет следующим двум уравнениям в частных
1) Тем самым мы требуем существование лучей или траекторий, соединяющих любую точку в окрестности 5* с любой точкой в окрестности В. В исключительных случаях, когда В* и В — фокусы (или сопряженные точки), это требование не выполняется, и уравнения (72.6) пе имеют места.
производных:
(72.7)
dS• • •, Nn + 1，dS• • •, Nn + 1，Первое уравнение в более подробной записи имеет вид
dS
• • •, Nn + 1，
dS
• • •, Nn + 1，
I = 0. (72.8) dxN+J
Это — гамильтоновы уравнения е частных производных] уравнение (72.8) называется уравнением Гамильтона — Якоби).
Если зафиксирован луч и точка В на нем, а точка 5* скользит по лучу, то значение уг (импульс — энергия в точке В) остается неизменным. Поэтому из первого уравнения системы (72.6) следует
6就=0, (72.9)
дхг дх事
и поэтому характеристическая функция удовлетворяет (TV + 1) X (7V+1) детерминантному уравнению
detdetдхг0笈дхг0笈(72.10)(72.10)
det
det
дхг0笈
дхг0笈
(72.10)
(72.10)
Переведем этот вывод на язык других обозначений, положив
(72.11)(72.11)мр = gp， ^jv+i ~ 厶
(72.11)
(72.11)
Уо = Рр， UN + i ~ — Н・・ Согласно (72.5) имеем
6s 工 рр 6% — Я 6f — ；)* 6先 + Н* 6f,(72.12)
а согласно
(72.6)
dS
д8
6%
dS
dS
—
处
=—Н (仏 t, р),
}(72.13)
Я* (Т，尸，р+). I
Уравнение Гамильтона — Якоби немедленно получается в форме
(72.14)(72.14)
(72.14)
(72.14)
Это есть несимметричная форма (координата t играет особую роль) общего симметричного уравнения (72.8). В этой форме оно главным образом и употребляется.
В связи с двухточечной характеристической функцией 5(/*, х) имела место некоторая путаница. Якоби казалось, что в уравнениях (72.7) требуется слишком много, именно, чтобы одна функция удовлетворяла двум дифференциальным уравнениям в частных производных. Для того чтобы выяснить этот вопрос, рассмотрим рассуждения, которые определяют функцию 5(/*, х).
Мы вовсе не будем касаться практических вычислений, которые приводят к формуле для этой функции. В этом смысле очень немногие динамические проблемы «разрешимы». Поскольку рассматривается математическая структура динамики, то речь идет только об определении последовательности операций, которые должны иметь место. Поэтому в дальнейшем мы говорим о «решении» системы обыкновенных дифференциальных уравнений только в смысле такой «определенности» и «нахождения» характеристической функции.
Функция 5(/*, х) выводится из уравнения энергии ◎(/, У)= ° при помощи следующих операций [для простоты будем использовать только одну систему координат (для всех точек)]:
Выбираем точку х* и точку хг.
Выбираем у；, совместные с уравнением
吁 у*) = 0・ (72.15)
Решаем обыкновенные дифференциальные уравнения
dxrdQdyr_。£(尸 К,
dwдугdw дхг
с начальными условиями хг ~ е：, уг ~ 夕^ при w = 0; получаем таким образом луч Г, проходящий через точку К.
Придаем у* всевозможные значения, совместные с уравнением (72.15); получаем пучок всех лучей {Г}, проходящих через точку х*.
Выбираем из этого пучка тот луч Г, который проходит и через точку &, выбранную в пункте (I). Если такого луча не существует, то для выбранных точек не существует функции 5(工*, х). Если же найдется такой луч, то полагают
S (х-, х) = (^ у,.出力(72.17)
где интеграл берется по лучу Г.
Функция 5(х*, х), построенная таким образом, удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных (72.7) (в которых Q* нужно заменить на Q, так как была введена только одна система координат),
Динамика, основанная на выбранной двухточечной характеристической функции. В § 72 двухточечная характеристическая функция 5(х*, х) была определена иерез лагранжеву функцию Л(х,工‘)или уравнение энергии Q(x, у) = 0. Мы видели, что она удовлетворяет детерминантному уравнению
det 哽*- = 0.(73.1)
дхг dxs
В сущности говоря, это наиболее фундаментальное уравнение гамильтоновой теории, так как оно имеет одну форму для всех динамических систем, в то время как уравнение энергии меняет свою форму при переходе от одной динамической системы к другой.
Заметим, что уравнение (73.1) есть инвариант относительно преобразований одних только переменных х или г*. Величины
(73.2)
дхг 6磔
(при фиксированном s) являются компонентами вектора, ковариантного по отношению к преобразованиям переменных х, а при фиксированном г они являются компонентами вектора,, ковариантного по отношению к преобразованиям переменных к*. Будем предполагать, что ранг матрицы из величин (73.2) равен N, что и будет иметь место в общем случае.
Мы покажем теперь, что любую выбранную функцию SQ*, х), удовлетворяющую уравнению (73.1), можно положить в основу динамики). Пусть выбрана любая такая функция; пишем уравнения72
9S (之\ х)GSg 之)
圻=L< , 疗——L .(/3.3)
Так как имеет место уравнение (73.1), то можно исключить переменные х* из уравнений первой группы, и переменные хг —— из второй группы (73.3); получаем уравнения вида
Q (х, у) = О, Q* (х*,夕)=0.73.4)
Это ——уравнения энергии, соответствующие двухточечной характеристической функции S(k*,之)；Q и Q* —— различные функции, так как мы предполагаем, что для начальной и конечной точек введены различные системы координат .
Но для получения лучей или траекторий уравнения энергии не нужны; их можно получить непосредственно из функции S(k*, х) следующим образом.
Во-первых, пусть заданы начальная точка 之：и начальное направление £)*; луч или траектория определяется
тогда уравнениями
(73.5)(73.5)^^ldx^= 0,дхг呪
(73.5)
(73.5)
где dxf соответствуют направлению D*t Эти уравнения позволяют выразить переменные х через один параметр.
Во-вторых, пусть заданы две точки н； и хг; луч или траектория, соединяющие их, определяются следующими уравнениями:
dS(х\ X) , dS(х“)_ дХ ，dS(х\ X) , dS(х“)_ дХ ，(73.6)(73.6)
dS(х\ X) , dS(х“)_ дХ ，
dS(х\ X) , dS(х“)_ дХ ，
(73.6)
(73.6)
где переменные X ——текущие координаты луча.
Однако важнее всего, по-видимому, отметить, что если мы исходим из уравнения энергии и выводим двухточечную характеристическую функцию (либо наоборот), то уравнения
(73.7)(73.7)dS (н*,н)дх；
(73.7)
(73.7)
являются уравнениями луча в конечной точке траектории, проходящей через начальную точку н； с начальным импульсом ——энергией у：, совместным, конечно, с уравнением й*(а:*, у*) = 0; в уравнениях (73.7) переменные н означают текущие координаты.
Когерентные системы лучей или траекторий. Одноточечная характеристическая функция. Предполо* жим, что имеет место уравнение энергии
у) = о (74.1)
и введем только одну систему координат — и для начальной и для конечной точек. Лучи или траектории
удовлетворяют уравнениям
(74.2)(74.2)dxT _ @R dyr _ @Rdw дуг * dw дхг
(74.2)
(74.2)
Рассмотрим систему лучей (рис. 34), образутощих подпространство R в пространстве QT, или, может быть,
% dxr = 0.(74.4)% dxr = 0.(74.4)Хоаерентна^ система 令^? или траепторийХоаерентна^ система 令^? или траепторийРис. 34. Одноточечная характеристическая функция вРис. 34. Одноточечная характеристическая функция вU(B) = %r dxr.U(B) = %r dxr.
% dxr = 0.(74.4)
% dxr = 0.(74.4)
Хоаерентна^ система 令^? или траепторий
Хоаерентна^ система 令^? или траепторий
Рис. 34. Одноточечная характеристическая функция в
Рис. 34. Одноточечная характеристическая функция в
U(B) = %r dxr.
U(B) = %r dxr.
заполняющих все QT (в этом случае R совпадает с QT). Первая группа уравнений из (74.2) сопоставляет каждой точке в R вектор у「Можно дать эквивалентное и более
явное выражение уг через однородный лагранжиан
办=处g卫(74.3)
дхг
Мы говорим, что система лучей или траекторий образует когерентную системуг), если для каждого стягиваемого в точку контура в подпространстве R имеет место условие
В частности, легко увидеть из (72.5), что система лучей или траекторий, проведенных из данной точки, образует в пространстве QT когерентную систему.
Пусть имеется когерентная система; выберем какую-нибудь точку 5(0> б /? и пусть В — любая
другая точка R. Соединим точки 笈⑺ и 5 кривой С и обо
значим
и (3) = \ 价 ％,； (74.5) где интеграл борется по кривой С. Мы опускаем запись нижнего предела 8'°》, так как точку Bw мы раз и навсегда считаем фиксированной. Заметим, что в выражении (74.5) уг не является естественным вектором импульса — энергии, соотнесенным С (ср. с (69.10)); это — вектор
1) Или семейство: ср. D i г a k Р. А. М., Canad. J. Math. 3, 1——23 (1951), который замечает, что, «по-видимому, это семейство имеет в природе весьма глубокое значение, до сих пор еще недостаточно понятое».
поля, заданного уравнениями (73.4), для когерентной системы. Согласно условию (74.4) интеграл (74.5) имеет одно и то же значение для всех совместимых контуров в Е・ Это означает, что если R — односвязное пространство, то U — однозначная функция тех координат, которые определяют положение точки 瓦 Если R — многосвязно, то V ——многозначная функция. Пусть С^ С2,- • • ..Ст— полная система независимых неприводимых контуров. Тогда две любые кривые, проходящие через точку 5С0>, различаются числом контуров, которые они охватывают; имеем, таким образом,
и (В) = U «В) + W1J1 + 孔2厶 + …+ 孔 (74.6) и Uo⑻ 一 какое-либо значение функции (74.5), а
(74.7)
и П1,冷2，・・・，〃m — целые числа, положительные, отрицательные или равные нулю).
Если лучи или траектории заполняют пространство QT (образуя конгруэнцию кривых), то в уравнении (74.5) координатам точки В (назовем их 工尸)можно придавать произвольные вариации. Тогда
(74.8)
или, что то же самое,
6U(g, £)6U(g, £)(74.9)(74.9)
6U(g, £)
6U(g, £)
(74.9)
(74.9)
и поэтому, согласно уравнению (74.1), U удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби
(74.10)
или
в несимметричной форме
小"工。・
dt \ dq /
(74,11)
Назовем U(3)——одноточечной характеристической функцией когерентной системы лучей или траекторий. Правда, она зависит от точки 3(°), но это тривиальная зависимость ——изменение точки 3'°)——самое большее добавляет постоянную к U(3),
Волны постоянного действия (лагранжева или гамильтонова)丄)・ Построение Гюйгенса. Определим волны постоянного действия (лагранжева или гамильтонова; в обоих случаях они одни и те же) для когерентной системы лучей или траекторий, введенной в § 74, следующим условием):
U (3) — const,(75.1)
Лучи пересекают волны, как показано на рис, 35, на котором изображены волны W*, W с точками 3*, 3 на них; кривая, соединяющая эти точки, и есть луч Г. Действие вдоль этого луча равно действию вдоль любого другого пути, проведенного от W* к РИ, и равно интегралу yr dxr , взятому по произвольной кривой в А, проведенной от W* к W; вектор уг принадлежит полю, определенному когерентной системой уравнений (74.3),
В развитой здесь теории не имеет смысла вопрос о том, ортогонально или неортогонально пересекаются лучи и поверхности. Мы не имеем римановой метрики в пространстве QT, а понятие ортогональности кривой и подпространства неинвариантно относительно преобразований координат. Однако это возражение не относится к вектору импульса — энергии у「, так как это ——ковариантный
вектор (чтобы yr dxT было инвариантом, нужно сделать dx} контравариантным). Вектор ут действительно ортогонален к поверхностям в том смысле, что выполняется соотношение ут В伤-0(75.2)
для каждого бесконечно малого смещения Ьхг вдоль 心丫厶 т. Этот вывод следует из определения (74.5), так как U равно нулю при таких перемещениях.
Рис. 35. Лучи или тра- Рис. 36. Построение Гюй- ектории в QT, Пересе- генса в пространстве QT.
кающие волны Ж*,忆
Волну W молено получить из волны W* построением Гюйгенса (рис. 36). Из точки 5* проводим лучи во всех направлениях в пространстве QT и определяем вдоль них величину действия следующим образом:
А = U(W) 一 ЩЖ*), (75.3) где U{W) и U{W*)——значения U на двух волнах. Таким образом, мы получим ^-мерное пространство (назовем его 厶)，уравнение которого имеет вид
S(x*, н) = 4, (75.4) где S ——двухточечная характеристическая функция. Пространство Vn, таким образом, само является волной,
а точка 5* — ее источником. В формуле (75.4) величины 球 фиксированы (координаты точки В*), а величины х —— текущие координаты поверхности VN. Покажем, что VN касается W в точке 5, в которой луч Г, идущий из точки В*、пересекает волну W,
Во-первых, точка В должна лежать на VN, потому что эта точка входит в класс всех точек, лежащих на расстоянии-действии А от точки 5*. Кроме того, если мы придаем точке В некоторое бесконечно малое перемещение 6хг,. переводящее ее в соседнее положение В на волне W, то действие вдоль луча, соединяющего точки В* и 5‘, превосходит А на величину ^尸 6n「(ср. (72.5)). Эта разность обращается в нуль согласно условию (75.2). Таким образом, с точностью до членов первого порядка В1 лежит на VNl а это и доказывает, что волны VN и W касаются в точке В. Ясно затем, что в пространстве R когерентной системы W есть огибающая семейства TV-мерных пространств (75.4); при этом значение А остается постоянным, а точка В* находится на поверхности начальной волны W*. Так как эти JV-пространства сами являются волнами, исходящими из источников на W*, то имеем построение Гюйгенса.
Можно, конечно, рассматривать возникновение одной волны из другой, как если бы имели место бесконечно малые приращения (тем самым А было бы бесконечно малым). Считая все величины конечными или бесконечно малыми, мы имеем 'контактное преобразование, которое устанавливает соответствие между точками и касательными элементами, в этих точках двух волновых поверхностей. Касательный элемент здесь означает совокупность бесконечно малых векторов 6七门 удовлетворяющих условию (75.2) для данных 价.
Определение волн по начальным данным. Метод характеристических кривых1). В предыдущих параграфах область, заполненная когерентной системой лучей, была
подпространством Е пространства QT, или, может быть, самим пространством QT, Предположим теперь, что лучи заполняют QT или часть его, так что они образуют конгруэнцию. Попытаемся определить волны при соответствующих начальных данных. Мы хотим, таким образом, ра решить дифференциальное уравнение в частных производных для функции U
◎(瑞 у) = 0, уг =-— дхг◎(瑞 у) = 0, уг =-— дхг(76.1)(76.1)
◎(瑞 у) = 0, уг =-— дхг
◎(瑞 у) = 0, уг =-— дхг
(76.1)
(76.1)
с начальными условиями U = Uq в подпространстве 2М пространства QT (вообще говоря, С/。，конечно, не постоянная); размерность М может быть любым числом от нуля (одна точка) до N). Волны будут тогда иметь уравнения U = const, a U будет одноточечной характеристической функцией когерентной системы лучей или траекторий, удовлетворяющих указанным начальным условиям.
Это так называемый метод характеристических кривых, которые в каждый данный момент являются лучами или траекториями. Пишем обыкновенные дифференциальные уравнения
... - ...—.(,0.乙) или эквивалентную им систему, вводя параметр w.
dxr 6Q dw дугdxr 6Q dw дугdyr _ 6Qdyr _ 6Qdwdwдхтдхт(76.3)(76.3)
dxr 6Q dw дуг
dxr 6Q dw дуг
dyr _ 6Q
dyr _ 6Q
dw
dw
дхт
дхт
(76.3)
(76.3)
Эти уравнения определяют единственное решение
хr = хT (力),хr = хT (力),уг =*(四),уг =*(四),(76.4)(76.4)
хr = хT (力),
хr = хT (力),
уг =*(四),
уг =*(四),
(76.4)
(76.4)
зли заданы значения хг и ут при 川=0.
Пусть 笈* с координатами z*——произвольная точка на Ем (рис. 37) и пусть у* выбрапы так, что они удовлетворяют уравнению
Q (/*,夕)=О,
а также
Уг 6鍔=OU。
(76、5)(76、5)(76.6)(76.6)для каждого бесконечно малого перемещения на SM.для каждого бесконечно малого перемещения на SM.Невозможно рассмотреть Условия (76.5) и (76.6) могут оказаться несовместимыми; в этом случае не существует решения уравнения (76.1), удовлетворяющего начальным условиям. И даже если эти условия совместимы, могут возникнуть некоторые случаи вырождения. В следующем, общем рассуждении мы предполагаем, что уравнения (76.5) и (76.6) содержат 〃，1 условие и поэтому величины у* имеют N — М степеней свободы. Пусть z* и уг будут начальными
(76、5)
(76、5)
(76.6)
(76.6)
для каждого бесконечно малого перемещения на SM.
для каждого бесконечно малого перемещения на SM.
все относящиеся сюда случаи.все относящиеся сюда случаи.Рис. 37. Волны в QT, полученные из начальных данных с помощью метода характеристических кривых •Рис. 37. Волны в QT, полученные из начальных данных с помощью метода характеристических кривых •значениями для системы
все относящиеся сюда случаи.
все относящиеся сюда случаи.
Рис. 37. Волны в QT, полученные из начальных данных с помощью метода характеристических кривых •
Рис. 37. Волны в QT, полученные из начальных данных с помощью метода характеристических кривых •
(76.3). Из первых уравнений (76.3) следует, что эти значения определяют направление в пространстве QT. Существует ccN-M таких направлений в каждой точке 2財 и существуют 8M точек в 5М. Это означает, что мы получаем конгруэнцию кривых (лучей или траекторий), заполняющих пространство QT.
Пусть В — произвольная точка пространства QT с координатами /「. Через точку В проходит кривая Г, принадлежащая описанной выше конгруэнции; пусть Г пересекает 2Л； в точке В* с координатами /：. Определим
затем U(^) следующим образом:U 位)=U(Z*) + { Уг 此,затем U(^) следующим образом:U 位)=U(Z*) + { Уг 此,(76.7)
затем U(^) следующим образом:
U 位)=U(Z*) + { Уг 此,
затем U(^) следующим образом:
U 位)=U(Z*) + { Уг 此,
в*
где слагаемое U(/*) имеет заданное значение Uo и интеграл берется по кривой Г. Варьируя 5 и, следовательно, В*, мы получаем
6U ⑺=ВU (/*) + 孙6/?・一Уг 6鍔 +
+ ^ (Ьуг dxr — 6zr dy^. (76.8)
Теперь уравнения (76.3) заключают в себе уравнение dQ/dw = 0 и поэтому, принимая во внимание (76.5), найдем
◎ (/, у) - 0.(76.9)
Отсюда 6Й = 0 и интеграл в выражении (76.8) обращается в нуль. Так как, кроме того, имеет место условие (76.6), то уравнение (76.8) сводится к следующему:
6U(H)=孙6叩(76.10)
Поэтому справедливы уравнения
Уг = -— ■(76.11)
дхг
Итак, согласно (76.9), U удовлетворяет уравнению в частных производных (76.1), а согласно (76.7) U удовлетворяет начальным условиям. Таким образом, искомое решение найдено.
Чтобы вернуться к результатам, полученным в § 72, нет необходимости находить формулы для U(x) или находить схему, которая определяет эту величину и указывает условия, при которых она может не существовать.
Полный интеграл Якоби уравнения Гамильтона —Якоби. Предположим, что мы отыскиваем все лучи или траектории и соотнесенные им векторы импульса — энергии для динамической системы с уравнением энергии
叫 У) = о(77.1)
пли, что то же самое, с гамильтоновой функцией
Я =耳(д,厶 р).
(77.2)
Метод Якоби состоит в том, чтобы, не пытаясь прямо интегрировать обыкновенные дифференциальные уравнения движения, разрешить уравнение Гамильтона — Якоби, которое в соответствии с (77.2) имеет вид
(77.3)
Якоби свел задачу о движении к другой задаче: найти полный интеграл уравнения (77.3) в форме
U = /(^Ь• • • > ^N,厶 @1，• • м 〃N)+ 〃N+1・(77.4)
Здесь & ——произвольные постоянные; полный интеграл должен содержать N + 1 постоянных величин аь но одна может быть аддитивной, так как в уравнение (77.3) входят только производные функции U.
Теорема Якоби утверждает, что если Ьр — некоторые постоянные, то уравнения
(77.5)
определяют совокупность всех лучей или траекторий, а уравнения
dJ
6%
(77.6)
определяют соотнесенные им импульсы или (что то же самое), что вследствие (77.5) и (77.6) выполняются- уравнения
дН
(77.7)
дН
0 gp
(77.8)
п что (77.5) и (77.6) содержат все решения уравнелпп (77.7) и (77.8).
Для того чтобы доказать это, заметим, во-первых, что 7V уравнений системы (77.5) содержат д* и Е и, следовательно, определяют функции д*(Е) для любых значений постоянных. Кроме того, система (77.6) дает соответствующие импульсы р*. Производные функций дир получаются дифференцированием по t уравнений (77.5) и (77.6); это дает следующие уравнения:
-一—g° + -一- = 0-(77.9)
dqoot
и . d2J . . d2J dqp dqa дар dt
Так как функция (77.4) удовлетворяет уравнению (77.3), то для произвольных значений & имеем соотношение
我小碎)=。 mi)
и, следовательно, имеют место уравнения
器j + ан а?/dt дро ддо
Сравнивая эту систему с (77.9), видим, что действительно уравнения (77.7) удовлетворяются. Дифференцируя теперь (77.11) по 7Р, получаем уравнения
d2J , дН , дНа?/с
++= 0.(77.13) Oq^Ot dqp dpo dqodqp
Принимая во внимание (77.7) и сравнивая полученное уравнение с (77.10), видим, что удовлетворяются и уравнения (77.8).
Так как число постоянных (〃*, Ьр) равно 2N и равно числу начальных значений (д*, рр), необходимых для определения решения систем (77.7) и (77.8), то теорема Якоби доказана. Можно сказать, что любая динамическая
проблема, по существу, решена, если только монет быть найден полный интеграл вида (77.4).
Если дан полный интеграл уравнений Гамильтона —— Якоби вида (77.4), то двухточечная характеристическая функция
S(91, * •9n,力，qni %)
получается 】)исключением N постоянных а。 из TV + 1 уравнений
(77.14)(77.14)S = J (q, t, a) — (g\ f, a), 'dJ (g,力 a) _ dJ (g： £* a)
(77.14)
(77.14)
dapdap0ap
dap
dap
Соотношение между полным интегралом и двухточечной характеристической функцией тесно связано со следующим фактом. Полный интеграл дифференциального уравнения в частных производных
(77.15)
(назовем его S(c*, с)) (в котором # — произвольные постоянные) можно рассматривать так же как любое решение. того же уравнения, если принять за независимые переменные 2N + 2 величины хг и 唠，из которых переменные х* не входят явно в уравнение. Какую бы точку зрения мы не приняли, мы придем к фундаментальному детерминантному уравнению вида (73.1)
Теорему Якоби можно сформулировать в следующей симметричной форме. Пусть 5 (х*, с) — полный интеграл уравнения
(77.17)
.г) См. Conway A. W. and Me С о n n е 1 1 A. J ., Proc. Roy. Irish Akad. A61, 18—25 (1932); Hamilton W. R., Mathematical Papers, t. 2, стр. 613—621; а также Lanczos [15], стр. 262.
а величины n： деляя у, как
— произвольные постоянные. Тогда, он ре-
孙=黑，(77.18)
дхг
имеем уравнения
ОС d2S
и
=(77/9)
dys 呢 дхт1
必 + 吧_^_ = 0.(77.20)
дхг дуа дх8 дхг
Определим у： следующим образом:
加=一艺.(77.21)
Теперь система (77.19) заключает в себе детерминантное уравнение (77.16), а поэтому (77.21) содержит в себе некоторое соотношение между величинами 欧 и , имеющее вид
Q3, у*) = о. (77.22)
Если задать этим переменным произвольные постоянные значения, совместные с этим уравнением, то уравнения as (В, © 孙 У*, с) /77
Ут = , у.г =——/ ・23)
дхтOx；
определяют кривую xr(w) и соотнесенный ей вектор у「(и;), удовлетворяющие (при некотором параметре w) уравнениям
dxr _ dQ (с, у) dm дугdxr _ dQ (с, у) dm дугdyr = @Q(£ у)dw@呼dyr = @Q(£ у)dw@呼(77.24)(77.24)
dxr _ dQ (с, у) dm дуг
dxr _ dQ (с, у) dm дуг
dyr = @Q(£ у)
dw@呼
dyr = @Q(£ у)
dw@呼
(77.24)
(77.24)
Для того чтобы доказать это утверждение, продифференцируем (77.23) по w; получим таким образом
(77.25)(77.25)дут ^S dxs 八 ^S dxs
(77.25)
(77.25)
-—=—-, U —*
dm дхт dxs ^^賜 dxs div
Доказательство следует из сравнения этих уравнений с (77.19) и (77.20). Нужно отметить, что в действительности нам не нужно уравнение (77.22), ибо для того, чтобы определить кривую и соотнесенный ей вектор уг, требуется только 2N + 1 уравнений. За эти уравнения можно принять (77.23), отбросив одно уравнение второй группы, так что в уравнения входят только N величин у：; этим величинам и %； можно задать произвольные значения.
§ 78. Практическое использование теоремы Якоби. Разделение переменных. Пусть гамильтонова функция§ 78. Практическое использование теоремы Якоби. Разделение переменных. Пусть гамильтонова функцияне содержит явно времени ср. § 62; этот случай часто Применим теорию, развитую будем отыскивать функциюне содержит явно времени ср. § 62; этот случай часто Применим теорию, развитую будем отыскивать функцию(консервативная система; встречается на практике), в предыдущем параграфе; J, как в (77.4), в форме(консервативная система; встречается на практике), в предыдущем параграфе; J, как в (77.4), в форме
§ 78. Практическое использование теоремы Якоби. Разделение переменных. Пусть гамильтонова функция
§ 78. Практическое использование теоремы Якоби. Разделение переменных. Пусть гамильтонова функция
не содержит явно времени ср. § 62; этот случай часто Применим теорию, развитую будем отыскивать функцию
не содержит явно времени ср. § 62; этот случай часто Применим теорию, развитую будем отыскивать функцию
(консервативная система; встречается на практике), в предыдущем параграфе; J, как в (77.4), в форме
(консервативная система; встречается на практике), в предыдущем параграфе; J, как в (77.4), в форме
J = —Et + K(gi, • . ., qNiJ = —Et + K(gi, • . ., qNi^i, • • • ) Qn-i, E),(78.4)^i, • • • ) Qn-i, E),(78.4)
J = —Et + K(gi, • . ., qNi
J = —Et + K(gi, • . ., qNi
^i, • • • ) Qn-i, E),(78.4)
^i, • • • ) Qn-i, E),(78.4)
где @1, @2,・・•， @n+i, Е — произвольные постоянные. Тогда согласно (77.3) функция К должна удовлетворять уравнению
(78,2)(78,2)
(78,2)
(78,2)
Когда такой полный интеграл найден, уравнения (77.5) и (77.6) дают для траекторий следующие уравнения:
ь _ ак1ь _ ак1^NT =^NT =вкdaN^.iвкdaN^.i,,.дК，On =—才十 ~— j дЕ,,.дК，On =—才十 ~— j дЕ
ь _ ак
1
ь _ ак
1
^NT =
^NT =
вкdaN^.i
вкdaN^.i
,,.дК
，On =—才十 ~— j дЕ
,,.дК
，On =—才十 ~— j дЕ
(78.3)
и
一 dк=——，6必一 dк=——，6必дК• • • т pN—l ~ ，дК• • • т pN—l ~ ，дК Pn =-—дК Pn =-—(78.4)(78.4)
一 dк
=——，
6必
一 dк
=——，
6必
дК
• • • т pN—l ~ ，
дК
• • • т pN—l ~ ，
дК Pn =-—
дК Pn =-—
(78.4)
(78.4)
в про-в про-Первые N —4 уравнений (78.3) определяют кривую
в про-
в про-
странстве Q、а последнее — время t. Величина Н имеет постоянное значение в течение- движения (это — следствие условия dH/dt = 0) и это постоянное значение равно Е.
Уравнение Гамильтона — Якоби (78.2) иногда можно решить с помощью метода разделения переменных. Пусть Н— функция вида
〃（仏 p）〃（仏 p）/1+4 + • • • + -4 N/1+4 + • • • + -4 N(78.5)(78.5)
〃（仏 p）
〃（仏 p）
/1+4 + • • • + -4 N
/1+4 + • • • + -4 N
(78.5)
(78.5)
где "匕 Л1 ——зависят только от переменных qit р】；Я2, Л 2 зависят только от g2> Р2 и т. д. Тогда уравнение (78,2) можно написать в форме
Di -|- D2 Ч- . . . -|- Dn — 0,(78.6)
где
DI I — — ЕА1 I — ,(78.7)
\ 8qJ \ dq^ /
。2, . • •, Dn имеют аналогичные выражения. Уравнение (78.6) будет удовлетворено, если положить
К н К1(%, ^1, Е) + K2S2,仪2, £) + ••• +
+ KnSn, £)•(78.8)
Потребуем при этом, чтобы Ki, К2, . . •， Kn удовлетворяли уравнениям вида
dKA f dKA
办‘ 丿—Е/丿=的， (78.9)
постоянпостоянгде величины 口匕 〃2,・・•， ^n — произвольные
постоян
постоян
ные, связанные единственным условием
а】+ & + • • ♦ + 仪№ — 0,(78.10)
так что N—1 из них независимы. Теперь уравнение (78.9)——обыкновенное дифференциальное уравнение. Если разрешить его относительно dK^/dq^ то Ki получается квадратурой; аналогично квадратурами получаются 次2,・.・,Kn、и имеем полный интеграл уравнения Гамильтона ——Якоби (78.2) в форме (78.8), содержащей N произвольных постоянных (напоминаем, что аддитивная постоянная отбрасывается при переходе от U к /),
Одним из частных случаев, когда. H(q, р) может быть представлена в виде (78.5), являются системы типа Лиу-
§ 78] ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ ЯКОБИ 257 билля I), для которых кинетическая и потенциальная энергии имеют следующий вид:
7 =电(41+ .…+ 4n) (6 就 + 一. + b n 姦):
卩—匕+…+八，(78.11)
4 + • • • + 4n
где Лi, ^i, Vi зависят только от 夕,4?,笈2； V2 ——только от ,2 и т. д. Соответствующая гамильтонова функция при этом имеет вид
"2就/以+…+ PnI^n) +%+…+卩n
Обыкновенные дифференциальные уравнения типа (78.9), с помощью которых задача сводится к квадратурам, имеют в данном случае следующий вид:
(體『 = 2Bt(EA,一匕十a，,…]
7涼 « j(78.13)
券=2Bn(EAn — Vn + а»
\ dqN /J
В качестве простогопримерарассмотримпроблему
Кеплера2) (§ 36). В полярных координатах (г, О) имеем следующую лагранжеву функцию:
L^T-V = j (г2 + 产％ + ^(78.14)
Дополнительные детали, а также сведения о более общих системах Штеккеля, которые также решаются методом разделения переменных, см. Аппель [2], II, стр. 374—376; Леви-Чивита и Ама ль ди [16], П2, стр. 343—345.
2)Ср. С о г b е n and S t е h I е [3], стр. 251—257, где подробно исследован трехмерный случай с рассмотрением квантовых условий Бора — Зоммерфельда. См. также Аппель [2], [1], гл. XI.
17 Дда. Л. Синг
а импульсы равны
dLdLdLdL3030(78.15)(78.15)(считаем, что масса частицы равна единице). Гамильтонова(считаем, что масса частицы равна единице). Гамильтоновафункция равна тогдафункция равна тогдаННr 吗 +△也一L=T+V =r 吗 +△也一L=T+V =дгдг393911222 I 12Рт ~Г ~2 P^&2 I 12Рт ~Г ~2 P^&(78.16)(78.16)
dL
dL
dL
dL
30
30
(78.15)
(78.15)
(считаем, что масса частицы равна единице). Гамильтонова
(считаем, что масса частицы равна единице). Гамильтонова
функция равна тогда
функция равна тогда
Н
Н
r 吗 +△也一L=T+V =
r 吗 +△也一L=T+V =
дг
дг
39
39
1
1
2
2
2 I 12
Рт ~Г ~2 P^&
2 I 12
Рт ~Г ~2 P^&
(78.16)
(78.16)
но это выражение имеет форму (78.12). Уравнение Гамильтона —Якоби (78.2) выглядит теперь так:
(78.17)(78.17)
(78.17)
(78.17)
Полный интеграл его получаем в форме
k =尸(r,"，e) +"我k =尸(r,"，e) +"我(78.18)(78.18)
k =尸(r,"，e) +"我
k =尸(r,"，e) +"我
(78.18)
(78.18)
где а и Е ——произвольные постоянные, a F получается квадратурой из уравнения
=2e+型一£.(78.19)
Согласно (78.3) траектории определяются уравнениями
(78.20)(78.20)工d尸I厶,dF
(78.20)
(78.20)
b1 ~ -kV, % = t 十.
daдЕ
Очевидно, что такой метод можно применить, когда потенциал является любой функцией г.
Метод разделения переменных требует специального выбора системы координат. Так, в проблеме Кеплера ничего не удалось бы сделать, пользуясь прямоугольными декартовыми координатами. В проблеме с двумя центрами притяжения можно разделить переменные,
§ 78] ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ ЯКОБИ 259 преобразуя прямоугольные декартовы координаты (с, у) в эллиптические координаты (qlt g2) по формулам
с = с ch gw cos 效， У = с sh 羽 sin 色, (78.21) если центры притяжения находятся в точках с = ± с. Если один притягивающий центр удаляется на бесконечность, а сила притяжения к нему бесконечно возрастает, то приходим в пределе к задаче о заряженной частице, движущейся в поле, которое является наложением однородного электрического поля на поле Кулона (ттарк- эффект)г).
Релятивистская проблема Кеплера исследована в § 116.
I) Подробное исследование см. С о г b е n and S t е h 1 е [3], стр. 258—264; см. также Аппель [2], I, стр. 349—352; G г a m- m е 1 [8], стр. 321; Peres [20], стр. 243, 244. Лагранжево решение задачи двух центров см. Уиттекер [28], стр. 112—114.
ГЛАВА III
ПРОСТРАНСТВО ИМПУЛЬСА 一 ЭНЕРГИИ (РЯ)
§ 79. Пространство РН и характеристическая функция в пространстве импульса — энергии. В главе ДП мы принимали за основу динамической теории N + 1-мерное пространство событий QT с координатами хг, гдег)
zp = qp,^n ч-i =九(79.1)
Рассмотрим теперь динамику в 7V }- 1-мерном пространстве РН импульса — энергии. Координатами в нем являются уг, где
Ур = Рр, Vn +1 — —Н.(79.2)
Начиная развивать теорию, предположим, что имеет место уравнение энергии
Q(g у) = 0(79.3)
или, что то же самое, уравнение
Я =矶矶 ")，(79.4)
если разрешить уравнение (79.3) относительно yN+i. Для произвольной кривой Г в пространстве РН, заданной уравнениями уг = у「(〃), определим новый тип действия как интеграл
л =『g dyr,(79.5)
где величины z「(и) должны удовлетворять уравнению (79.3), а в остальном произвольны. Записывая это
Обозначения см. в § 62.
уравнение в эквивалентном виде
彳=§ (,р dpp —纽Н),(79.6)
и варьируя Г, получаем следующее выражение:
64 = [д 6圻]+ g (6g dyr — 6圻 ①).(79.7)
Если концевые точки Г закреплены (т. е. граничные значения уг постоянны), то вариационное уравнение
М = 5、伤• ©% = о(79.8)
вместе с условием (79.3) сразу приводит к каноническим уравнениям
卫二吗也二一吗 (79.9) dw dyr dw дхг
при некотором параметре 纺.Эти уравнения совпадают с уравнениями (68.7) и можно, как и прежде7 называть кривые, удовлетворяющие им, лучами или траекториями.
Тогда очевидно, что динамика в пространстве РН основана на уравнении энергии (79.3) и вариационном уравнении (79.8), так же как динамика в пространстве QT основана на том же уравнении энергии и на принципе Гамильтона (68.5), т. е. на уравнении
64 = 6 \ уг dxr = 0(79.10)
при закрепленных концевых точках в пространстве QT, Два действия связаны соотношением
^- ~\~ -^ = \^ Уг "%г + \ *「"务=岔гУг 爲 Уг » (79*11) где (х*, у*) относятся к начальной точке, а (х, у)—— к конечной. В пространстве QT мы считаем хг текущими координатами некоторой кривой, а уг ——соотнесенным этой кривой векторным полем; в пространстве РН они меняются ролями. Между двумя этими представлениями существует формальное сходство. Мы могли бы, например,
использовать приемы § 69 для того, чтобы определить «однородный лагранжиан» в РН как функцию величин у и у' (где у； = dyr/du и перейти к «обыкновенному лагранжиану», т. е. к функции переменных рр, Н и dp^/dH,
Введем теперь в РН характеристическую функцию в пространстве импульса — энергии) W (С*, С), определенную следующим образом:
W (С , С) = $ ^r dyr; (79.12)
интеграл берется вдоль луча или траектории, соединяющей точки С* и С пространства РН. Варьируя эти концевые точки, получаем из уравнения (79.7)
6W — g 6价一z* бу;.6W — g 6价一z* бу;.(79.13)(79.13)
6W — g 6价一z* бу;.
6W — g 6价一z* бу;.
(79.13)
(79.13)
Если вариации 6уг и бу： можно взять произвольными (т. е. если существуют лучи, соединяющие произвольно варьируемые точки С* и С), то справедливы уравнения
(79.14)(79.14)dWdW *
(79.14)
(79.14)
—-e ~ -马, 0分дуг
и отсюда, согласно уравнению (79.3), W(y*, у) удовлетворяет дифференциальным уравнениям в частных производных
=0.(79.15)=0.(79.15)Q 学,y =0, Q 一察,У
=0.(79.15)
=0.(79.15)
\ ду /\ ду
Значения z* и zr определяют луч или траекторию, а поэтому они определяют и ?/*, и %•； наоборот, значения у： и уГ1 вообще говоря, определяют луч или траекторию, а отсюда и * и zr. Соотношение между двухточечной характеристической функцией S(z*, z) и характеристической функцией импульса ——энергии W(y*t у) выра-
жается следующим уравнением:
W (у*, у) + S (”*, £)-写勿一爲勿. (79.16)
Кроме этих двух характеризтичэских функций, существуют еще две смешанные характеристические функции ■
尸(* У)= S(£*/)—汇必(79.17)
G(£,夕)=S(£*, а:) + 爲勿・(79.18)
Если допустимы произвольные уравнения
dF*dF
дхгоуг
и
dGdG
=价，~—
0写6亦
вариации, то имеем
=—写，(79.19)
~ 爲，(79.20)
§ 80. Столкновения. Следуя (79.13), предполагалось, что точкам С* и С можно придавать произвольные смещения бу* и 6处 в пространстве РН, однако существуют важные частные случаи, в которых этого нельзя делать. Рассмотрим в пространстве QT луч или траекторию Г, соединяющую точки 5* и 5 (рис. 38). Предполагаем, что в области М* W QT, содержащей точку 5*, функция Q(n, у) не зависит от первой группы аргументов, т. е. от 瑞 и что то же имеет место в области М, содержащей точку 5. Напишем затем уравнение энергии
Q* (夕)=0 в М\ Q(y) = 0 в ”.(80Л)
Согласно (79.9) все у постоянны вдоль луча в области М* или в М; действительно, луч есть прямая линия в каждой из этих областей пространства QT. Тогда из уравнений (80.1) ясно, что переменным 疗 и уг нельзя придавать произвольные вариации.
Решая уравнения (80.1), получаем
У力+ 1 ~з*(У，，• • Un), Уn +1 з(У1，•・Un)
(80.2)
В самом деле, в начальной иВ самом деле, в начальной иРис. 38. Луч или траектория в пространстве событий QT с прямолинейными начальными и конечными участками.Рис. 38. Луч или траектория в пространстве событий QT с прямолинейными начальными и конечными участками.Рис. 39. Столкновение, рассматриваемое в пространстве РН. В начале мы имеем фиксированную точку С*, а в конце — фиксированную точку С.Рис. 39. Столкновение, рассматриваемое в пространстве РН. В начале мы имеем фиксированную точку С*, а в конце — фиксированную точку С.6印=6印=£р — £n + 1 дуР£р — £n + 1 дуР°%)—°%)—
В самом деле, в начальной и
В самом деле, в начальной и
Рис. 38. Луч или траектория в пространстве событий QT с прямолинейными начальными и конечными участками.
Рис. 38. Луч или траектория в пространстве событий QT с прямолинейными начальными и конечными участками.
Рис. 39. Столкновение, рассматриваемое в пространстве РН. В начале мы имеем фиксированную точку С*, а в конце — фиксированную точку С.
Рис. 39. Столкновение, рассматриваемое в пространстве РН. В начале мы имеем фиксированную точку С*, а в конце — фиксированную точку С.
6印=
6印=
£р — £n + 1 дуР
£р — £n + 1 дуР
°%)—
°%)—
или, соответственно,
Я*= 〃*(р*), Я = 〃(р).(80.3)
мы рассматриваем систему, для которой конечной точках гамильтонова функция
зависит только от импульсов, как это, например, имеет место в случае свободной частицы или системы свободных частиц,' не
взаимодействующих друг с другом. Уравнение (79.13) дает затем следующее выражение:
(80.4) которое показывает, что W зависит только от 2N величин ур, г/р. В других обозначениях уравнение (80.4) имеет вид
部=% 一
(80.5)
т. е. W — функция только импульсов /?「, р\. При таких обстоятельствах W должна рассматриваться как произвольная функция своих 27V аргументов, и не требуется, чтобы она удовлетворяла какому бы то ни было дифференциальному уравнению в частных производных вида (79.15). Так как переменным рр, Рр можно придавать произвольные независимые вариации, то уравнение (80.5) дает следующую систему:
= — Op +，
(80.6)(80.6)勿р勿р
(80.6)
(80.6)
dWдН
=- %.
Если считать функцию W заданной, то эти уравнения определяют начальный и конечный луч или траекторию; импульсы /?р, рр имеют постоянные значения вследствие канонических уравнений (79.9). Когда мы рассматриваем задачу в пространстве QT, эти начальный и конечный лучи являются прямыми линиями. Когда имеем задачу в PH、это просто две точки, каждая из которых лежит на некоторой TV-мерной поверхности, заданной уравнениями (80.1) или (80.3) (рис. 39).
Рассмотрим теперь столкновение системы п частиц, взаимодействующих друг с другом (именно этот случай имеет место в кинетической теории газов). Обобщенные силы можно получить дифференцированием потенциальной функции или из обобщенной потенциальной функции и, следовательно, в этом случае столкновение описывается гамильтоновой динамикой. Обозначим через 加1 = “2 — "з массу первой частицы, а через q^ g?, 0з — ее прямоугольные декартовы координаты; через т^ = т^ = “6 обозначим массу второй частицы, через 04, 05, 尋一 ее координаты и т. д. Тогда лагранжева функция имеет вид
Z = 2 吗访一了("办 (80.7)
где N = 3". Мы предполагаем, что V — функция положений и, может быть, скоростей частиц, обращающаяся в нуль, когда расстояние между частицами стремится к бесконечности.
=^ В wiaPa Для t < to, I 卡(80.8)=2』т^РА ДЛЯ t > 用.=^ В wiaPa Для t < to, I 卡(80.8)=2』т^РА ДЛЯ t > 用.Пусть вначале частицы находятся бесконечно далеко друг от друга, а затем начинают сближаться, взаимодействуют и, наконец, снова удаляются на бесконечное расстояние. Чтобы избежать затруднения с пределами t—>士 op, предположим, что взаимодействие полностью отсутствует при 力 < 箱 и 力 > 扑 н может начинаться и прекращаться так, постепенно как мы этого пожелаем. Это означает, что мы должны изменить функцию (80.7), а именно: написать U(q,厶 q) вместо V(q, g), понимая при этом, что 7 — 0 для всех-1, кроме 药 < 力之 ％• Тогда имеем следующее уравнение энергии для начального и конечного положений:
=^ В wiaPa Для t < to, I 卡(80.8)
=2』т^РА ДЛЯ t > 用.
=^ В wiaPa Для t < to, I 卡(80.8)
=2』т^РА ДЛЯ t > 用.
Н
Мы можем теперь описать явление любого возможного столкновения в гамильтоновой динамике с помощью одной- единственной функции W, зависящей от следующих аргументов:
pi, • •Рn, pi, • •РN' (80.9)
Это означаем, что если задана такая характеристическая функция, то начальная и конечная траектории определяются уравнениями (80.6), величины (80.9) имеют произвольные постоянные значения, а функции Я*, Н имеют вид (80.8).
Функция W не является совершенно произвольной, так как мы предполагаем, что имеет место аксиома однородности и изотропности ньютоновой динамики (§ 5). Если 〃*⑴，...,p*g — векторы импульсов (в обычном пространстве) индивидуальных частиц перед столкновением, а р⑴，...,卩⑺)—векторы импульсов после столк-
новения, то бтг компонент этих векторов могут входить в И7 только в форме, инвариантной относительно жестких перемещений твердого тела. Таким образом, если существуют только две частицы, то W должна быть функцией девяти скалярных произведений или эквивалентной совокупности аргументов
戸(1)•戸(1),р^-р^^戸(2).戸(2),
(80.10)(80.10)戸*⑴.Р*(1),戸*⑴J9*⑵，戸*⑵/*⑵，
(80.10)
(80.10)
#⑴.戸 *(1),戸(2).戸 *(2),p(1).戸气2)+p(2).戸*(1)；
последние два произведения представлены суммой ради симметрии.
ГЛАВА IV
ПРОСТРАНСТВО КОНФИГУРАЦИЙ (Q) i)
Интерпретация динамики в пространстве Q, Лучи и волны в когерентной системе). Пространство конфигураций Q, в котором координатами изображающей точки являются N обобщенных координат qp динамической системы, дает ее наиболее естественное геометрическое представление. Если система состоит из одной частицы, то изображающая точка в пространстве Q совпадает с положением частицы в обычном пространстве. Всему, что сказано в гл. Д II о динамике в пространстве QT, можно дать интерпретацию и в Q. Луч или траектория (которые были некоторой кривой в QT) появляются в Q как движущаяся точка; время 力 здесь является только параметром, но не координатой; координаты qp и сопряженные им импульсы рр удовлетворяют каноническим уравнениям
дН . дН
дрРdqp
Однако хотя пространство Q может показаться более наглядным, чем пространство QT, волны постоянного действия для когерентной системы, рассмотренные в § 75, представляются в пространстве конфигураций более слояшой движущейся картиной.. В пространстве QT лучи
ааРис. 40. Луч или траектория Г в Q и движущаяся волна постоянного действия — лагранжева или гамильтонова. За время dt перемещение вдоль луча равно DD7, а перемещение волны —DE*.Рис. 40. Луч или траектория Г в Q и движущаяся волна постоянного действия — лагранжева или гамильтонова. За время dt перемещение вдоль луча равно DD7, а перемещение волны —DE*.или траектории — это неподвижные кривые; волны — неподвижные TV-мерные поверхности, как показано на рис. 35 (стр. 246). В пространстве Q первые представляют собой движущиеся точки,”
а
а
Рис. 40. Луч или траектория Г в Q и движущаяся волна постоянного действия — лагранжева или гамильтонова. За время dt перемещение вдоль луча равно DD7, а перемещение волны —DE*.
Рис. 40. Луч или траектория Г в Q и движущаяся волна постоянного действия — лагранжева или гамильтонова. За время dt перемещение вдоль луча равно DD7, а перемещение волны —DE*.
движущиеся поверхности с уравнениями
U(q, t) = const, (81.2)
где U — одноточечная характеристическая функция. На рис. 40 Г есть луч или траектория, a DD1 — положения изображающей точки на нем соответственно в моменты t, t + dt. W — волна, которая проходит через точку D в момент t, a W — та же самая волна в момент t + dt. Необходимо отметить, что, вообще говоря, точка D1 не лежит на другими словами, ^^изображающая точка не переносится поверхностью волны.
Для того чтобы исследовать соотношение между скоростью изображающей точки (лучевой скоростью) и скоростью волны (волновой скоростью), заметим, во-первых, что лучевая скорость равна др, но что для общей гамильтоновой динамической системы не существует метода, с помощью которого можно было бы превратить этот контравариантный вектор в инвариантную величину скорости. Для того чтобы исследовать волновую скорость, берем точку Е на поверхности W, близкую к точке D, и обозначим смещение DE через 6др, Так как речь идет об одной движущейся волне, то согласно (81.2) имеем уравнение
变6% +丝成=0 dqp ° dt .
(81.3)
или, принимая во внимание (74.9), уравнение
рр &qp — Н 成=0.(81.4)
Следуя обычному методу нахождения волновой скорости, нужно взять перемещение ё^р вдоль нормали к волне W в точке D. Как известно, существует нормаль, определенная производной 8и/8др(нрр), однако это — ковариантный вектор, в то время как bqp— контравариантный. Поэтому, не умаляя общности динамической теории, нельзя (ни в каком инвариантном смысле) говорить о них как об имеющих одно и то же направление. Лучшее что мы можем сделать, это взять ё^р вдоль луча (так чтобы Е совпало с £' на рис. 40), следовательно, будет иметь место уравнение
冗》9р = &9р = 9р 成'冗》9р = &9р = 9р 成'(81.5(81.5
冗》9р = &9р = 9р 成'
冗》9р = &9р = 9р 成'
(81.5
(81.5
где множитель пропорциональности R может быть представлен с помощью следующего отношения:
(81.6)(81.6)лучевая скорость
(81.6)
(81.6)
волновая скорость, измеренная вдоль луча
Умножая уравнение (81.5) на рр и принимая во внимание (81.4), получаем уравнение
(81・)(81・)r—Pp^p — Pp ан
(81・)
(81・)
г I - —I—'"'.
Я Н дрр
Наше изложение до сих пор имело максимальную общность. Рассмотрим теперь обыкновенную динамическую системуг) (ОДС) § 66 и 70; имеем для нее
(81.8)(81.8)7 = ｝旬舒的。，L = Т — V (q), 〃 =^+ К
(81.8)
(81.8)
1) Существенное требование здесь — тензорный характер ара\ это имеет место также в случае реономной системы (ср. с (27.2)). В последнем случае необходимо некоторое небольшое изменение формулируемых положений.
Тензор ара позволяет ввести инвариантный кинематиче - ский линейный элемент ds в пространстве Q, определенный следующим образомт):
ds — dp0 d% dg(j・ds — dp0 d% dg(j・(81.9(81.9
ds — dp0 d% dg(j・
ds — dp0 d% dg(j・
(81.9
(81.9
Естественно определить абсолютную величину лучевой скорости следующим образом:
(81.10)(81.10)"2 =(穿)н арб干0G = 2Т = 2 (Е — V),
(81.10)
(81.10)
где Е — постоянная) полная энергия (Е ~ Н ~ Т + V). Если воспользоваться метрикой (81.9), то волна W имеет контравариантную единичную нормаль 戏,определяемую формулами
几鹏八 »方 »2(«— Q几鹏八 »方 »2(«— Q(81.11)(81.11)
几鹏八 »方 »2(«— Q
几鹏八 »方 »2(«— Q
(81.11)
(81.11)
Для того чтобы найти нормальную скорость распространения волны, возьмем точку Е на нормали к W и Dt так что
3% = а^Рс d",3% = а^Рс d",(81.12)(81.12)
3% = а^Рс d",
3% = а^Рс d",
(81.12)
(81.12)
fi) Этот кинематический линейный элемент более полно обсуждается в § 84.
где d仆——бесконечно малый множитель, и уравнение (81.4) дает следующее соотношение:
(81.13)(81.13)d仆_ Н或 а" РрРа
(81.13)
(81.13)
Отсюда нормальная скорость и волньт определяется выражениями
叫丿%69adt2叫丿%69adt2
叫丿%69a
dt2
叫丿%69a
dt2
Н2 _ Н2 _ Е2
М°РрРа = 2 (Н 二 У) = 2 (£ —卩)
Изоэнергетическая динамика в пространстве Q и ее отношение к общей динамике в QT. Рассмотрим консервативную динамическую систему; время t не входит явно в гамильтониан, так что имеем
Н =砌必 р).(82.1)
Тогда вдоль любой траектории выполняется уравнение
H(q, р) = Е.(82.2)
Будем называть Е полной энергией, так как Е имеет точно этот смысл в обыкновенных динамических системах.
Будем изучать изоэнергеттескую динамику (ср. § 62) в пространстве Q; под изоэнергетической динамикой мы понимаем, что Е = const не только вдоль каждой траектории, но и для всей системы рассматриваемых траекторий, а также и для тех варьированных кривых, которые придется ввести в ходе исследования. Итак, Е ——постоянная величина в изоэнергетической динамике.
Пусть Е —— заданное число, и пусть мы начинаем рассматривать систему в точке D* пространства Q в момент ^* и с некоторыми начальными импульсами, удовлетворяющими условию (82.2). Пусть Г ——кривая, описанная точкой в пространстве Q в соответствии с уравнениями движения. Затем, если D ——положение изображающей
точки на Г в момент времени 力 то гамильтоново действие от точки D* до точки D согласно (68.1) равно
4H (Г) = \ (Рр d% — Н dt) = ^рр d^ —(< —尸)Е. (82.3)
Рассмотрим какую-нибудь близкую кривую 「彳,соединяющую точки D* и D, описанную в тот же интервал времени (i*,力)и имеющую соотнесенное ей векторное поле рр, удовлетворяющее уравнению (82.2) и почти такое же, как соответствующее векторное поле для Г. Тогда
4H (1\) = \ Рр &9р —(力-t ) Е
и отсюда
6Ан = Ан (Г J — Лн (Г) = 6 \ Рр 對。■
Но согласно принципу Гамильтона (68.12) имеем 6ЛН = О, поэтому траектория в пространстве Q удовлетворяет (безотносительно ко времени 力 следующему вариационному уравнению и условию:
< Рр dqp = О, Н {q, р) — Е = 0;(82.4)
при этом концевые точки в пространстве Q закреплены.
Если сравнить теперь эту изоэнергетическую динамику в Q с общей динамикой в QT, основанной на вариационном уравнении (68.5), т. е. на
§ 圻 dxr = 0, Q (х, у) = 0,(82.5)
то увидим полную тождественность двух динамик, за исключением тривиальных различий в размерности: N — для случая (82.4) и N } 1 — для (82.5). Переход от одной динамики к другой осуществляется следующим образом:
9р，协■ —Рр，/on fii
Q(£, У) = о f н (q, р) 一 Е =仇 j 2乙m)
18 Дж. л; Синг
Вся теория, развитая в гл. Д II для общей динамики в пространстве QT, сохраняется для изоэнергетической динамики в пространстве Q; некоторые аспекты ее мы обсудим в § 83.
Заметим, что время t исчезло из уравнений (82.4), так что если мы не используем ничего, кроме них, то трудно ожидать, что в дальнейшем время вновь появится в' уравнениях. Однако дело обстоит именно так. В самом деле, если применить к уравнениям (82.4) метод, с помощью которого мы находили (68.5), то получаем уравнения
dqp _ дН&Рр —
dwdppdw
где w ——некоторый специальный
экстремали уравнения
дН
dqP
(82.7)
.Однако мы
знаем, что траектории удовлетворяют каноническим уравнениям (68.16), т. е. уравнениям
dqp _ дН&Рр
dt дррdt
Сравнивая их с уравнениями (82.7),
дН
(82.8)
ВИДИМ, что хотя мы
исключили время 九 оно войдет как специальный параметр в канонические дифференциальные уравнения, выведенные из (82.4).
Если мы решили динамическую проблему в пространстве Q получив некоторую кривую и поле импульсов вдоль нее, то можно использовать какое-нибудь одно из уравнений системы (82.8) для того, чтобы найти время 方； но можно для этой цели вывести и новое уравнение, например уравнение
dt = РрРа дН/дра
Имеется другой путь нахождения времени движения в изоэнергетической динамике, который, однако, может быть причиной немалой путаницы. Согласно этому методу каждой варьированной кривой ставится в соответствие параметр t следующим образом. Пусть дано некоторое произвольное движение qp = qp(方),вообще говоря, не
удовлетворяющее каноническим уравнениям (82.8), а естественный импульс (ср. (71.11) ) p^t) пусть задан в виде
Рр = ‘ (82.10)
где L ——лагранжева функция. Подбирая параметр 厶 можно добиться, чтобы удовлетворялось уравнение Н (д, р) = Е; тогда можно записать вариационное уравнение (82.4) в более ограниченной форме, именно,
6 £ # 必=0,修一占=0, (82.11) J \ dq /
при варьировании концевые точки закреплены в Q, но н е закреплены во времени, причем время t на каждой кривой получается из второго уравнения (82.11). Это вариационное уравнение является более узким, чем (82.4), потому что равенства (82.10) накладывают более жесткие ограничения, чем уравнение Н (g, р) = Е. Видимо, все же будет меньше сомнений, если использовать более общее уравнение (82.4) и определять время только на траекториях с помощью уравнения (82.9) или каким- нибудь эквивалентным способом.
§ 83. Действие Мопертюи. Двухточечная характеристическая функция для изоэнергетической системы. Однородный лагранжиан. Принцип наименьшего действия Якоби. Определим действие Мопертюи 】)в изоэнергетической динамике в пространстве Q следующим
Хотя интеграл Л вида (83.1), (83.3) или (83.4) принято называть одним словом «действие» (ср. Уиттекер [28], стр. 277; Голдстейн [7], стр. 253, 254), кажется целесообразным иметь какое-то прилагательное, чтобы отличать этот интеграл от лагранжева или гамильтонова действия; § 64, 68. Обычно с интегралом Л (в частности в форме (83.4) или в форме т \ v ds для одной частицы) связывают имя Мопертюи. Будем употреблять этот термин, хотя, может быть, исторически справедливо было бы назвать этот интеграл «действием Эйлера»; ср. Dugas, цит. соч., § 1, стр, 250—264.
образом:
4 = \ Рр dqp,(83.1)
где переменные р m g удовлетворяют уравнению энергии
Н (д, р) = Е.(83.2)
Если, кроме того, ограничиться только естественными импульсами рр вида (82.10), то будем иметь уравнение
,(83.3)
J dqP
Для системы ОДС при условиях (81.8) имеем
А = 2 J Т dt.(83.4)
Продолжая аналогию с общей гамильтоновой динамикой в пространстве QT, определим в изоэнергетической динамике в Q двухточечную характеристическую функцию следующим образом:
S(D\D) = ^ Рр dqp,(83.5)
где интеграл берется вдоль луча или траектории, соединяющей точки D* и D. Вариация концевых точек дает уравнение
6s = Ррб% — р； б^р .(83.6)
Отсюда, если допустимы произвольные вариации (как это имеет место в общем случае), получим систему
Из уравнения (83.2) следует, что S удовлетворяет двум уравнениям в частных производных:
8 卜*,一^!)=及(83.8)
Это уравнение Гамильтона — Якоби в форме (78.2).
В изоэнергетической динамике в пространстве Q, в которой время исключено, когерентная система лучей или траекторий представляет собой семейство неподвижных кривых, а соответствующие им волны — семейства неподвижных поверхностей, причем две волны отстоят одна от другой на постоянную величину действия Мо- пертюи.
Так же как в пространстве QT можно с помощью уравнений (69.14) перейти от уравнения энергии Q (n, у) = О к однородному лагранжиану Л (n, n'), так в изоэнергетической динамике можно найти однородный лагранжиан Л (д, д') (где q： — dq「/d口, а и — любой параметр), исключив 令 и рр из 7V + 2 уравнений
Р)，X = PpgZ， н(д,р)—е = о.(83.9)
Лучи или траектории в пространстве Q удовлетворяют вариационному уравнению
6 \ A (g, д') du = 0,(83.10)
при закрепленных концевых точках в Q.
Проведем эти рассуждения для системы с лагранжевой функцией
1
£(6 °)= 2 旬疝疝g + 仪р；р —匕 (83.11) где Ор。(=%р), ар и У зависят только от переменных д. (Это немного более общий случай,- чем ОДС в § 66 и (81.8), где ар = 0.) Прежде всего находим гамильтонову функцию следующим образом:
Рр =当=%詞。+ ар， % =公°(Р° — а。)，
В S'2 晶Р =(83.12)
=~2 0°° (Рр — Ор) (Ра — %) + Р.
Далее, согласно (83.9), получаем следующие соотношения:
9р ~ 仆а" (Ро — ^а)?Рр = а「=仆 ^ра7а，
H (g, p) — E = — ^Ча7р 勿 + 卩一E = 0,
1,,
E-V
> (83.13)
А = рр7р = др 2 аро9о + &)•
Таким образом, получаем однородный лагранжиан для изоэнергетической динамики в пространстве Q:
А (д, д') = /2 (£ - 7) У &毎 д】+ а.д}. (83.14)
Вариационное уравнение (83.10) можно записать в виде
6 \ (伍7万二^ V а.а dq^ + 旬 dq^ = 0. (83.15)
Если положить ар = 0, так что система становится ОДС, и использовать кинематический линейный элемент (81.9), то уравнение принимает следующий вид:
в \ 丿瓦寺 ds = 0.(83.16)
Это уравнение известно как принцип наименьшего действия Якоби).
Его можно интерпретировать геометрически, сказав, что траектории являются геодезическими в пространстве Q, если в нем задан риманов линейный элемент
ds； = (К - У) ds2 = (£ - 7) ара dqp d%, (83.17) который можно назвать линейным элементом действия. Эта метрика обладает особенностью при V = Е, которая соответствует состоянию мгновенного покоя системы, так как V = Е заключает в себе 7 = 0.
§ 84. Кинематический линейный элемент. В этом и следующих параграфах мы временно оставляем гамильтонову динамику. Рассмотрим динамическую систему с кинетической энергией
T = ^gpc丁承.(84.1)
Так как все рассуждения проводятся с помощью тензорного исчисления, то лучше обозначить координаты через qp (нежели через qj, так как dq^ ——контравариантный вектор. Мы представляем систему точкой в пространстве Q, в котором задан кинематический линейный элемент1) 或2= 27 成2 = gp。對4 dg。，(84.2)
который мы уже вводили в (81.9). (Здесь а заменены на g для того, чтобы не было путаницы с ускорением.)
Прежде чем вводить силы, рассмотрим кинематическую сторону проблемы. Любое движение q。 = Т(力) определяет кривую в пространстве ©ив каждой точке кривой ——контравариантный вектор скорости
№ = к
(84.3)
который можно
написать в
виде
V9 =
協/\
(84.4)
где
壮=
竺
(84.5)
1) Это почти линейный элемент Герца (стр. 78, 84. Цит. в § 61); он делит этот линейный элемент на полную массу системы, с тем чтобы ds имел размерность длины.
——единичный вектор касательной к кривой, также контравариантный вектор ускорения
Имеется(84.6)Имеется(84.6)который равен абсолютной производной скорости о。； абсолютная производная векторного поля Ур (и) вдоль кривой др (口) равна следующему выражениюх):
Имеется
(84.6)
Имеется
(84.6)
(84.7)
ар =力%' + xv2vqар =力%' + xv2vqdvdsdvdsXp + xv2vp,Xp + xv2vp,(84.8)(84.8)Подставляя значение скорости (84.4) в (84.6), получаем
ар =力%' + xv2vq
ар =力%' + xv2vq
dvds
dvds
Xp + xv2vp,
Xp + xv2vp,
(84.8)
(84.8)
где vp — единичный вектор главной нормали к кривой движения и х — кривизна), определенная формулами
——=乂饪， gpGvpvG = 1, х > 0. (84.9)
Таким образом, ускорение изображающей точки можно разложить по касательной и главной нормали и прийти к выражениям, аналогичным формуле (18.2) для движущейся частицы.
Так как мы имеем фундаментальный тензор gp。в пространстве Q и контравариантный сопряженный ему тензор gQ% то можно перейти от контравариантных компонент к ковариантным и обратно. Ковариантное ускорение выражается следующей формулой:
ар ~ gpo〃°ар ~ gpo〃°6% _ d дТ дТ 也 成d(f d(f6% _ d дТ дТ 也 成d(f d(f(84.10)(84.10)
ар ~ gpo〃°
ар ~ gpo〃°
6% _ d дТ дТ 也 成d(f d(f
6% _ d дТ дТ 也 成d(f d(f
(84.10)
(84.10)
Переходя от кинематики к динамике, мы вводим обоб-
Дополнительные детали об абсолютных производных см. Synge J. L. and Schild A., Tensor calculus, стр. 47—51, Toronto, 1952. О символах Кристоффеля см. (18.4).
Рис. 41. Девиация траектории в пространстве Q с изохронным вектором девиации Eq и нормальным вектором девиации т]°.Рис. 41. Девиация траектории в пространстве Q с изохронным вектором девиации Eq и нормальным вектором девиации т]°.
Рис. 41. Девиация траектории в пространстве Q с изохронным вектором девиации Eq и нормальным вектором девиации т]°.
Рис. 41. Девиация траектории в пространстве Q с изохронным вектором девиации Eq и нормальным вектором девиации т]°.
щенную силу Qp, ковариантный вектор которой определен следующим образом:
=(84.11)
где 6W ——работа, произведенная при перемещении 6дР (6W есть инвариант). Лагранжевы уравнения движения имеют вид
d дТ _ дТ
dt 8/84P
и могут быть переписаны в виде
%)= Qp или @р = Q\(84.13)
где Qp — ковариантный вектор силы. Выраженные сло
вами, эти уравнения означают: ускорение = силе】). Нужно заметить, что в то время как физические размерности отдельных компонент вектора зависят от выбора координат, величина 少 вектора скорости имеет размерность [м^ ZZ'3], а величина а вектора ускорения имеет размерность [м^ LT~^\.
Можно построить геометрическую картину проблемы устойчивости; пусть на рис. 41 Г и Г" — две близкие траектории. Со-
ответствие между* их точ
ками можно установить одним из следующих способов:
I) изохронное соответствие, при котором сопоставляются точки с одним и тем же значением 力；бесконечно
Если Qp = 0, то 0р = 0, и отсюда согласно (84.8) х == О, так что если никакие силы не действуют, траектория есть геоде
зическая линия.
малый вектор девиации (отклонения) изображен вектором 守，рис. 41;
) нормальное соответствие, при котором бесконечно малый вектор отклонения 严 ортогонален траектории Г, т. е.
пЧ = 0.(84.14)
Между этими двумя типами векторов отклонения существует соотношение
F =n。+ 仆#,(84.15)
в котором вследствие условия (84.14)
令=聲.(84.16)
Изохронный вектор 占‘ удовлетворяет уравнению девиации)
纵+Q%E°,(84.17)
где E^rv ——тензор кривизны в пространстве Q с метрикой (84.2):8丿对回Iгде E^rv ——тензор кривизны в пространстве Q с метрикой (84.2):8丿对回Iaa卩卩
где E^rv ——тензор кривизны в пространстве Q с метрикой (84.2):
8丿对回I
где E^rv ——тензор кривизны в пространстве Q с метрикой (84.2):
8丿对回I
a
a
卩
卩
a QWu ——ковариантная производная контравариантной
силы
Уравнение девиации для нормального соответствия несколько более сложно. Подставляя значение (84.15) в (84.17), получаем с помощью соотношений (84.13) следующее уравнение:
需 + £ + 2 粤 QP + 比/叫3 = q辅。；(84.20) or 或dt
вместе с соотношением (84.14) имеем N + 1 уравнений для величин " и 限
Наименьшая кривизна. Сохраняя обозначения § 84, определим для произвольного кинематически возможного движения с ускорением аР при наличии заданных сил Qp динамическую кривизну К, как положительный квадратный корень из выражения
к2= gp。(а₽ - QP) (а° — Q。).(85.1)
Так как кинетическая энергия ——положительно определенная функция, то это выражение неотрицательно; К = 0 тогда и только тогда, когда удовлетворяются уравнения движения (84.13).
Наложим на систему связи (вообще говоря, неголоном- ные) с уравнениями
Ясргр+Яс = 0(85.2)
(ср. (46.2)). Все А — функции координат и 厶 а индекс с принимает значения 1, 2, . . ., М, так что система со связями имеет N — М степеней свободы. Дифференцирование дает соотношения
Асра^ +8с = 0(85.3)
для любого движения со связями; Вс не зависит от ускорения.
Зададимся теперь вопросом: какое из ускорений ар, удовлетворяющих уравнениям (85.3), обращает К в минимум? Если считать 必 прямоугольными декартовыми координатами в TV-мерном евклидовом пространстве, то эта задача эквивалентна задаче о нахождении точки касания эллипсоида (85.1) (с заданным центром Q и положением) и гиперплоскости, представленной уравнением (85.3). Легко видеть, что искомые минимизирующие а。' удовлетворяют уравнениям
gPA^-Q°)= S^cp,(85.4)
с =1
где 9c — неопределенные множители. Но эти уравнения точно совпадают с лагранжевыми уравнениями движения (46.15), и мы заключаем, что подчиненная связям траектория^ удовлетворяющая уравнениям движения., обращает 6 минимум динамическую кривизну К, если сравнивать ее с кривизной для произвольных связанных движений с теми же положениями и скоростью.
Для системы частиц выражение (85.1) в обычных обозначениях выглядит как
歹飞訐陸.5)
суммирование производится по всем частицам, а (X, У, Z) —заданная сила, действующая на частицу. Если К имеет эту форму, то теорема К = minimum известна под названием гауссовой теоремы наименьшей кривизны или наименьшего принуждения 丄).
Для более ограниченного случая склерономных связей имеет место условие
Acpvp = 0,(85.6)
где АСр зависит только от координат. Остается справедливой теорема о минимуме кривизны, когда кривизна
I) См. Аппель [2], II, стр. 426; Уиттекер [28], стр. 284—288; L a n с z о s [15], стр. 106—110. Обсуждение принципа Гаусса, Герца и Журдена см. N о г d h е i m [18], стр. 62—69.
понимается в геометрическом смысле § 84. Рассмотрим:
С — траекторию при заданных силах Qp, в том случае, когда на движение не наложены связи;
О' — произвольное движение, подчиненное связям;
Сп— траекторию, подчиненную связям при наличии заданных сил Qp.
Все три движения имеют общую конфигурацию и скорость. По-прежнему определяем вектор кривизны равенством (84.9), т. е.
хр = — = xvp(85.7)
и определим к' и 加"，которые представляют соответственно кривизны О' и С" относительно & следующим образом:
k'2 = gpa^-^ (х--х°), 加"2 = gp。(/Р 一好)伊"。 — Х0).( •)
Тогда
/2 - F2= gp。 伊9-/‘Р)(大。-/'。)+
+ 2gp° (м'р - /р) (м''° — х°).(85.9)
Из уравнений движения для С и С" имеем, согласно (84.8) и (84.13), следующие уравнения:
(85.10)(85.11)(85.12)(85.13)(85.10)(85.11)(85.12)(85.13)狀状=QP 一 夙Р = QP 一 九PQ%。，I m''р戸=qp _ 九pq。統 + Q", I где Q'p — сила реакции связи, а отсюда
(85.10)
(85.11)
(85.12)
(85.13)
(85.10)
(85.11)
(85.12)
(85.13)
(х〃р — хр) V2 = QU для связанных движений О', Сп имеем Ас.^ = О, 4ср%''" = 0; дифференцирование этих уравнений дает
4P (乂“ - /р) = 0.
Но согласно (46.15) или (85.4) сила реакции связи есть
м
Q；= W 仇4р,(85.14)
где О© ——неопределенный множитель; из уравнений (85,11) и (85.13) следует, что последний член в (85.9) обращается в нуль. Имеем тогда
/2 一 к"2 = gp。(х'Р - х''Р) (х'° — /°)》0；(85.15)
из всех подчиненных связям движений, с заданными конфигурацией и скоростью, действительная траектория имеет наименьшую геометрическую кривизну по сравнению с траекторией, на которую “е наложены связи.
ГЛАВА V
ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ «ТРИ)
Поверхность энергии и функция энергии. Некоторые важные аспекты динамической теории лучше всего иллюстрировать, рассматривая изображающие точки в пространствах более высоких измерений, чем N + 1-мерное пространство событий QT. Эти пространства: (27V + 2)-мерное пространство состояний и энергии) QTPH, (2N + 1)-мерное пространство состояний) QTP и 27V-Mepnoe фазовое пространство QP (как всегда, N обозначает число степеней свободы системы). Рассмотрим теперь пространство QTPH、отложив QTP до гл. ДVI, a QP ——до гл. Д VII. Как мы увидим, теорию, развитую для пространства QTPH, можно приложить к QP простым изменениям обозначений, при условии, что система в QP консервативна (dH/dt = 0).
В QTPH мы берем в качестве координат) изображающей точки (27V + 2) величин ^,厶 Рр, Н или, в обозначениях (64.1) и (67.6)),
订(86.1)
Уо = Рр， УNZ = — Н. J
Переменные уг называют переменными, сопряженными £「•
23g пространство Состояний й энергии (qtph) [гл. v
Динамическая система определена, если задана (2N + 1)-мерная поверхность энергии в QTPH и находящаяся на этой поверхности изображающая точка. Будем вообще писать уравнение поверхности энергии в виде
Q(£, у) = о.(86.2)
Данной поверхности соответствует бесконечно много уравнений, каждое из которых представляет ее. Если разрешить уравнение (86.2) относительно то уравнение поверхности энергии можно написать в форме
Q (②，У)= У N+1 + s (^1, > > ■ f 富 N + 1, %,♦••, У n} =。(86.3) или, в эквивалентном видех),
反=s (д,力 р).(86.4)
Целесообразно расширить рамки динамики в QTPH, введя в рассмотрение функцию энергии Q (t, у) вместо поверхности энергии. Заданной функции энергии соответствует единственная поверхность энергии с уравнением Q (а:, у) = 0; данной поверхности энергии соответствует бесконечно много функций энергии.
Определим лучи или траектории в пространстве QTPH посредством вариационного принципа и дополнительного условия
В I 今 &Хт = 0, Q (с, у) = const (86.5) (ср. с (68.5) ), причем концевые значения хТ фиксированы. Отсюда получаем канонические уравнения
dxrOQdyrOQ
=,=,(ob.b) dwдуГdwдхТ
1) При исследовании пространства QTPH может возникнуть путаница, если писать Н = Н (дт 力 р), потому что Н входит и как координата, и как функциональный символ; чтобы пояснить это, приведем пример: в обычном пространстве уравнение между х, у, z определяет поверхность. Можно написать уравнение этой поверхности в форме / (х, у, z) = 0, (Эта форма соответствует уравнению (86.2)) или в форме z — F (х, у) (что соответствует уравнению (86.4)). Опасно писать уравнение в форме z = z(工,у), если может представиться случай говорить о точке (工,у, z), которая не лежит на поверхности, потому что тогда имеем z 辛 z (工，办
где йУ 一 специальный параметр. Эти уравнения, конечно, заключают в себе условие Q = const вдоль каждого луча или траектории. Решения системы (86.6) заполняют пространство QTPH, образуя естественную конгруэнцию лучей или траекторий, так что через каждую точку пространства проходит один луч конгруэнции; часть этих кривых заполняют поверхность энергии Q = 0. Таким образом, вся совокупность динамических траекторий, включая те, которые лежат вне поверхности энергии, представляет собой более простую геометрическую картину, чем та, которую мы имели в QT, где через любую точку проходили траектории в любом направлении.
Канонические преобразования. Билинейный инвариант. При произвольном преобразовании (/, у)—> —>(£‘，у') канонические уравнения (86.6) примут вид
学=&(/,矿)， % =匸位‘,矿). (87.1)
Эти новые уравнения будут иметь каноническую форму только в том случае, если правые части уравнений удовлетворяют условиям 1)
ЗХг dXs dYr dY8 . дХг dYr п 仅7 п
。弘 дуг дх3 дхг дхТ дуг
Для некоторых целей необходимо допускать общие преобразования, но особенное значение имеют канонические преобразования) (а, у)—>(龙\ д'), которые сохраняют кано-
Здесь нет суммирования по одинаковым индексам.
ническую форму уравнений лучей или траекторий, т. е. те преобразования, которые переводят уравнения
dxr
_ 8Q
姒_
(87 3)
dw
дуг '
dw
дхт
в уравнения
d”
АУт =
(87.4)
dw
дуг
dw
дхг
Понятно, что
при каноническом преобразовании
(которое
мы ради краткости будем обозначать КП) специальный
параметр w должен оставаться неизменным, а функция энергии Q должна рассматриваться как инвариант в смысле тензорного исчисления [Q (х, у) = £У (х\ у')]. Мы рассматриваем только несингулярные (обратимые) преобразования.
Напишем уравнения
/0写dxT、Нс/dyrnJ =dysdys,de£ / 片 0.I a*ay"/0写dxT、Нс/dyrnJ =dysdys,de£ / 片 0.I a*ay"(87.7)(87.7)
/0写
dxT、
Нс/
dyrn
J =
dys
dys
,de£ / 片 0.
I a*
ay"
/0写
dxT、
Нс/
dyrn
J =
dys
dys
,de£ / 片 0.
I a*
ay"
(87.7)
(87.7)
где все правые части представляют собой (27V + 2) х 1-матрицы. Тогда любое несингулярное преобразование дает соотношения в дифференциальной форме,
6z = /6z‘， 6z'=/T6z, (87.6)
(2N + 2) X (2N + 2):(2N + 2) X (2N + 2):где J ——матрица Якоби порядка
(2N + 2) X (2N + 2):
(2N + 2) X (2N + 2):
Имеем затем
W =W =г д^\дхг д^\дхw =w =дхгдхг(87.8)(87.8)
W =
W =
г д^\дх
г д^\дх
w =
w =
дхг
дхг
(87.8)
(87.8)
и вводим знак «тильда» для обозначения транспонирования, которое преобразует одностолбцовую матрицу в матрицу из одной строки. Из существования инварианта 帚 6z = 6Q = J^，6z'(87.9)
или каким-нибудь другим способом, легко заключить, что W преобразуется согласно закону
Wf = JW, W^JW.(87.10)
Введем теперь кососимметричную (27V + 2) X (27V -|- 2) числовую матрицу Г, которая действительно является ключом к алгебре КП:
где 1 поставлена вместо (7V 十 1) X (TV + 1) единичной матрицы. Заметим, что
Г = - Г, detF = l,兽=—](2n+2), Г-^ - Г. (87.12)
В этих обозначениях канонические уравнения (87.3) имеют вид
dz = dw-VW,(87.13)
Имеем затем согласно (87.6) и (87.10) следующее соотношение:
dz -dw-VW J {dzf - dw^J~1VJ-1W,).(87.14)
и ясно, что условие
j 1Г/ 1 = Г(87.15)
является необходимым и достаточным ограничением, наложенным на J для того, чтобы преобразование с матрицей Якоби, равной J, было 6м каноническим. Это условие можно записать в эквивалентной форме1):
/Г/=Г,/Г/=Г.(87.16)
Из (87.16) следует, что det J= ±1; позднее, в (88.29), мы докажем, что det J = 1.
Пусть 6iz и 62Z — произвольные независимые вариации; тогда
diz-r-d2^ = (6i^,diz-r-d2^ = (6i^,62У)62У)О IV-1 О/О IV-1 О/=61*/羽 г—62*6 必 г(87.17)=61*/羽 г—62*6 必 г(87.17)
diz-r-d2^ = (6i^,
diz-r-d2^ = (6i^,
62У)
62У)
О IV
-1 О/
О IV
-1 О/
=61*/羽 г—62*6 必 г
(87.17)
=61*/羽 г—62*6 必 г
(87.17)
являются билинейной формой. Применяя КП (87.6), получаем
diZГ• d2z = diz' • JVJ d2zz = S^zz• Г• 632；(87.18)
и, следовательно, КП имеет билинейный инвариант
6価/2力-也写自力=6価；匣办-62*61*. (87.19)
Легко видеть, что (87.19) есть достаточное условие для каноничности преобразования. Эта инвариантная билинейная форма может рассматриваться как основа теории КП, так же как известные инвариантные квадратичные формы (d%2 + &谓 + d^) и (da:2 十 d^2 + dz? — di2) могут считаться соответственно основами преобразования твердого тела в пространстве и лоренц-преобразований в пространстве времени. Так же как эти квадратичные формы определяют квадраты инвариантных элементов длины, так билинейная форма определяет инвариантный элемент площади
{и,矶 du dv = [u,犷 du dv (87.20)
в 2-пространстве с уравнениями хг — хг (и, о), уг = =处(и, г), погруженном в QTPH; здесь {и, 叫 и {и, о}' — скобки Лагранжа (см. § 89):
! дхг дуг дхг дуг
о]—：—
(87.21)(87.21)ди dv dv du
(87.21)
(87.21)
' du dv dv du
Канонические преобразования образуют группу, ибо они содержат тождественное преобразование и каждому
КП (х, у)—位'，у') соответствует единственное обратное КП (хх, у') т (х, у), а из (87.16) или из билинейного инварианта следует, что последовательное применение двух КП есть также КП.
§ 88. Производящие функции. Пусть (х, у) т (х\ у')—— некоторое несингулярное преобразование, не обязательно каноническое. Пусть 4,5 ——две любые точки пространства QTPH и С — какая-нибудь кривая, соединяющая их. Рассмотрим интеграл
1{АУВ- С) = ^ (yr dxr -次dx；) ,(88.1)
взятый по кривой С от А до 5. Здесь
dx； =dxs + ^ dys,(88.2)
так что на самом деле интеграл имеет вид
1{А,В- С) = 5 因也 + 匕 dys), (88.3) где
Xs =%一第学，匕=一次資.(88.4) 呢dys
Договоримся раз и навсегда считать точку Л фиксированной, тогда можно обозначить интеграл через I (5; С). А если взять точку В совпадающей с Л, так что С ——замкнутый контур, то интеграл можно обозначить I (С). Ниже употребляются и другие, очевидно совершенно аналогичные обозначения.
Придавая А, В и С произвольные вариации, получим из (88.1) лнтегрированием по частям
"(4, 5; С) = [угЬхг-у'г^ +
т-$ [{dxr Ьуг — ба?г dyr) - (dx； бу； — бж； dy'^.(88.5)
Предположим, что преобразование (х, у)—(с‘, у')— каноническое. Тогда вследствие существования билиней-
294 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [ГЛ. V ного инварианта (87.19) интеграл в правой части выражения (88,5) обращается в нуль, т. е. имеем выражение
67 (Л, S; С) = [уг “г — yfr 3工；]2(88.6)
Отсюда вытекают следствия:
Так как вариация I обращается в нуль, когда А и В закреплены, то 7 (Л, S, С) имеет одно и то же значение для всех допустимых кривых, соединяющих 4 и 5; в символической форме / (4, В; О) = / (4，8).
Если точка А фиксирована, то I (5; С) = I (5), т. е. интеграл — функция только точки 5, многозначная в случае многосвязной области; имеем
уг дхг — уг 3工；=5/ (5)(88.7)
для произвольной вариацииг) В.
Если А и В совпадают, так что С — замкнутый контур и можно обозначить рассматриваемый интеграл через I (С), то 67 (С) = 0 для произвольной вариации контура. Этот результат заключает в себе условие, что I (С) имеет одно и то же значение для всех совместимых контуров и I (С) = 0 для стягиваемых в точку контуров. Эквивалентно
§ уг dxr = § Уг dz；(88.8)
для каждого стягиваемого в точку контура. Этот результат можно выразить следующим образом: щгрку几叫ия дей- стзия по ст凡еизаемому в точку контуру инвариантна относительно КП. В случае неприводимого контура КП увеличивает или уменьшает циркуляцию на величину, одинаковую для всех совместимых контуров.
Согласно (88.7) имеем следующий вывод: если (工,у)—> f У)— КП, то пфаффиан
Уг dxr — %6z； = Xs ,dxs + Ys Ms (88.9)
o есть при произвольных вариациях (勺,у), или, эквивалентно, (а/, у'), КП может быть таким, что переменным (аг, а/) нельзя придавать произвольные независимые вариации. Это имеет место в случае преобразований Матье (см. ниже).
есть полный дифференциал. Докажем обратное утверждение. Дано преобразование (н, у)т(н\ у'), так что
уг 6хг — Уг^^г = 6/ (В),(88.10)
где I (В)—— некоторая функция переменных (н, у). Возьмем 2-пространство хг = хг (и, &),%• = уг (и,办 так что (н, у, н‘, у', Z) все являются функциями переменных 〃 и г. Тогда справедливо уравнение
дхг , дхС圻五；一分而=дхг , дхС圻五；一分而=didodido(88.11)(88.11)
дхг , дхС圻五；一分而=
дхг , дхС圻五；一分而=
di
do
di
do
(88.11)
(88.11)
Дифференцируя его по и, меняя местами и и г?т и вычитая один результат из другого, получаем
{u, v} = {и, *,(88.12)
пользуясь обозначениями (87.21). Тем самым установлено существование билинейного инварианта, а отсюда и канонический характер преобразования (н, у)—>(£‘, У‘)・
Теперь мы имеем три критерия для установления каноничности преобразования: I) критерий симплектичности (87.16), основанный на матрице Г, II) критерий билинейного инварианта (87.19) и III) критерий полного дифференциала (88.10).
Канонические преобразования могут быть осуществлены следующим образом. Пусть Gi (н, н')——некоторая произвольная функции. Если определить (у, у') как
@G](£, X ), dG{(£, X ) /оо л э\
Ут =,* —,(88.13)
дхгдхг
то
уг 6写一у；6н； — SGi (н, н'),(88.14)
т. е. SGi (н, н‘)——полный дифференциал в пространстве (н, н'). Однако изложенное отнюдь не обязательно определяет преобразование (н, у)—> (н‘，у'), потому что нет уверенности в том, что из уравнений (88.13) можно выразить (瑞 у) через (а/, у') или наоборот. Для того чтобы исследовать этот вопрос, продифференцируем (88.13)? получщ
при этом
6* =一苏毎6戛一就福6%，
(88.15)
Наложим на Gi(£, н') условие
detdeta2Glдхг dxsa2Glдхг dxs^0.^0.(88.16)(88.16)
det
det
a2Glдхг dxs
a2Glдхг dxs
^0.
^0.
(88.16)
(88.16)
Тогда уравнение (88.15) можно разрешить относительно (Sx, By), выразив их через (Вн‘，By) и наоборот. Эти решения можно проинтегрировать, потому что если в пространстве (х, н') мы обходим малый контур、，то и в пространствах (х, у) и (х\ у') мы также обходим малые контуры. Отсюда получаем обратимое преобразование: (х, у)—>(" у')； вследствие уравнения (88.14) это КП.
Таким образом, начав с производящей функции Gi(x, н'), на которую наложено единственное условие (88.16), мы получаем КП из (88.13) или (88.14). Этот мощный метод установления КП не дает, однако, всех КП. Он не дает тех канонических преобразований, для которых переменные (х, н') связаны одним или более соотношениямих); таким путем, в частности, не получаются также КП Матье, для которых)
圻 6g —圻'6z； = 0.圻 6g —圻'6z； = 0.(88.17)(88.17)
圻 6g —圻'6z； = 0.
圻 6g —圻'6z； = 0.
(88.17)
(88.17)
Точно так же с помощью других производящих функций» описанных ниже, не удается получить некоторые специальные КП. Но для понимания общей теорий КП целесообразно пренебречь такими специальными случаями и предположить, что КП, встречающиеся в рассуждениях, таковы, что любая из следующих совокупностей (2^ + 2) переменных образует координатную систему в пространстве QTPH в том смысле, что переменные любой такой
совокупности моишо варьировать произвольно и независимо:
Q,力 Q‘，J), Q, 7‘)，Q, р), (у, £‘)，@, J).
Формула (88.14) может быть записана в следующих эквивалентных формах:
уг 6写—第 6七；=6Gb(88.18а)
хт 6讨一£； 6第=6G2,(88.18b)
Ут 6写 + £；6%= 6 Gз J(88.18c)
хт 6圻 + у； 6孫=6G*(88.18d)
g2g3gg2g3gгде
g2g3g
g2g3g
Имеются, таким образом, порождения КП:
четыре различных
способа
圻一e，
дхт
,dGi (х, х)
дхт
(88.20а)
°% (J/, К)
写一e，
dGz (у, у')
XL —а ,，
ду,-
(88.20b)
„ _ 呢位，a’) дхт
* _абз 位，，) дут
(88.20с)
_ dGj (у, х') дуг
aG&® z')
圻a，
дхт
(88.20d)
=^гУг — £；疗一G],
=X； у； + Gi,(88.19；
—^гУг — G].
Любая из этих формул дает КП; производящая функция, входящая в них, должна удовлетворять только одному —— неравенству вида (88,16).
Можно привести некоторые особенно простые примеры КП. Во-первых, применяя формулы (88.20а), имеем
G/')=写/二 det= 1, дхг dxs(88.21)
иT =岔T、 Ут =一写，J
так что при этом преобразовании переменные меняются местами, причем в одном случае изменяется знак. Во- вторых, взяв другую производящую функцию, применяя при этом формулы (88.20с),
G(£, У ) = “гУг , Уг ~ Уг чG(£, У ) = “гУг , Уг ~ Уг чdetdet炉6дхт畝炉6дхт畝(88.22)(88.22)
G(£, У ) = “гУг , Уг ~ Уг ч
G(£, У ) = “гУг , Уг ~ Уг ч
det
det
炉6дхт畝
炉6дхт畝
(88.22)
(88.22)
получим тождественное преобразование. Наконец, в-третьих, вновь применим (88.20с), выбирая новую функцию G (/, у'):
G(2, у') = /г ⑺ у；, det —, = det 垩次 0, (88.23) дхт dys дхт
причем на произвольные функции /5 (/) накладывается только это последнее условие. Получаем
Ут — ~ % , g = j 3),(88.24)
дхг
следовательно, имеем произвольное преобразование (/) —> (д/), а ут преобразуется как ковариантный вектор. Это обобщенное точечное преобразованиег).
1) Уиттекер [28], стр. 324; Голдстейн [7]т стр. 260, называет его просто точечным преобразованием. См. там же дополнительные детали о КП и примеры. См. также W i n t п е г [30 卜 стр. 34, Caratheodory, op. cit.T § 71; ртр. 102.
В обозначениях (д, & р, Я) (ср. с (86.1)) каноническое преобразование (88.20) принимает следующий вид:
Gt = G《q、t, д',力‘)：
_—dGi
Pp =— H = * ,
/оdt(88.25a)
/ dGi口， dG\
P Gq'p»
G2= Gz(P，牙)：；
@ G?8 G2
% = л —， 力=777，
°Pp°H (88.25b)
° dp；w
餐餐G^q. t4p\ 矿):G^q. t4p\ 矿):PpPpgp =gp =旭 8gp 8G3旭 8gp 8G3— н = 0 dt— н = 0 dt(88.25c)(88.25c)JpZJpZ旭試旭試
餐
餐
G^q. t4p\ 矿):
G^q. t4p\ 矿):
Pp
Pp
gp =
gp =
旭 8gp 8G3
旭 8gp 8G3
— н = 0 dt
— н = 0 dt
(88.25c)
(88.25c)
JpZ
JpZ
旭試
旭試
g& = G&m 〃“；％‘)：
PP = -q ,PP = -q ,-H =-H =8G& ~дН8G& ~дН8G&8G&(88.25a)(88.25a)
PP = -q ,
PP = -q ,
-H =
-H =
8G& ~дН
8G& ~дН
8G&
8G&
(88.25a)
(88.25a)
Следующие КП оставляют неизменным время:
G3(g",p* 斤)G3(g",p* 斤)=—tT + g (g,厶 p')：=—tT + g (g,厶 p')：#一遡,dt#一遡,dt
G3(g",p* 斤)
G3(g",p* 斤)
=—tT + g (g,厶 p')：
=—tT + g (g,厶 p')：
#一遡,dt
#一遡,dt
(88,26c)
伉(р, я, q', f)=
— Ht' + g(p, q',t'X
др — д~， t
(88.26d)
Следующие КП оставляют неизменным гамильтониан:
@gdir@gdirG3S，ip', 〃')= —EH' + g(q,p'):
@gdir
@gdir
(88.27c)
GMp,H,q',t') = —Ht'+g(p,H,q):
OppOpp回，PZ =遊dH P 明]回，PZ =遊dH P 明]H' = H.H' = H.
Opp
Opp
回，PZ =遊dH P 明]
回，PZ =遊dH P 明]
H' = H.
H' = H.
(88.27d)
Следующие КП оставляют неизменными и время, и гамильтониан:
G3S，力 р', Н') =—出’ + g(g,p')：)
Рр =粤，Н = Н',而=粵，＜ =＜ ；i (88.28c) dqPdppJ
G&,H, q',t') = —Ht' + g(p, q')・.)
必=邂，＜ =(88.28d) dpPdqpJ
Покажем теперь i), что КП унимодулярны в том смысле, что det J = 1.(88.29)
Пусть КП вводится формулами, аналогичными (88.20с); продифференцируем их. В матричных обозначениях имеем уравнения
бу = А Ъх -\~В ду, ба/= 66宓 + С 6/(88.30)
1) Ср. Caratheodory, цит. coq., § 71, стр. 92.
где
\дхг dxs)\дхт dxj
(88.31)(88.32)(88.33)(88.31)(88.32)(88.33)
(88.31)
(88.32)
(88.33)
(88.31)
(88.32)
(88.33)
Эти уравнения можно записать в виде
бу — A bjc = В бу', — В Ьх=——5^^ -|- С 6у'， или
(一方0凡У丿1—1。丿隔丿，
Сравнивая это последнее уравнение с (87.6), имеем следующее соотношение:
Y 2И 二；)
(88.34)
Выражение (88.29) получается, если вычислить детерминанты матриц, стоящих справа и слева.
Скобки Пуассона и скобки Лагранжа в QTPH). Пусть н, г — две функции (2N 十 2) независимых переменных (х, у); скобки Пуассона [и, v] определяются следующим образом:
г . ди dv dv ди г л 内仆八
[u, v]=——=—Е и].(89.1)
дхт дуг dg дуг
Пусть (х, у) — функции двух независимых переменных u, г; скобки Лагранжа {н, v} определяются формулами
…T*六*…公…T*六*…公(89.2)(89.2)
…T*六*…公
…T*六*…公
(89.2)
(89.2)
302 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [ГЛ- V
В § 97 мы будем употреблять эти же обозначения, подставляя др, рр вместо хг, у「； во всех следующих результатах можно немедленно перейти от обозначений (%, у) К(0Р，Рр).
Если и, г, w — три произвольные функции переменных Q, / то
[[и, г], w] — [[% w], и] + [[w, и], v] = 0.(89.3)
Это тождество Пуассона — Якоби легко доказать непосредственным вычислениемг).
Пользуясь матричными обозначениями (87.11), имеем
При произвольном преобразовании Q, у) —> Q\ у) в котором миг рассматриваются как инварианты, имеем следующие формулы преобразования (ср. 87.6) и (87.10)):
и такие же уравнения, в которых и заменено на г. Отсюда
1) Непрямое доказательство см. Аппель [2], II, стр. 380— 382; Nordheim and F и es [19], стр. 107; Caratheodo- г у, цит. соч., § 71, стр. 55.
уравнения (89.4) дают
Если преобразование каноническое, то согласно (87.15) и (87.16) эти уравнения принимают следующий вид:
[и, о] = Е, vY, ｛况，叫=｛况，“'，(89.7)
т* е. скобки Пуассона и скобки Лагранжа инвариантны относительно канонических преобразований.
Возвратимся к произвольному преобразованию (%, У)т(£‘，У‘)・ Пусть иА представляют переменные 方,..., n'n+i， У；，. . ., y’N+i； большие латинские индексы принимают значения 1, 2, . . ., 27V + 2 с обычным условием суммирования. Мы имеем затем две кососимметричные (2% + 2) X (27V + 2) матрицы ——матрицу Пуассона Р, элементами которой являются Рав=\Ца^ 〃в], и матрицу Лагранжа L с элементами ZAB = \иА, uв｝^ Элемент АС произведения LP равен тогда
(£Р)ас = ｛〃а, ив｝出，^с]=
_ / дхГ дугдхг дуг \ 厂 дав дисдис див
\ ди^ дивЗив Зиа 丿 ' dxs dysdxs dys
Кроме того,
訖纓二器鶴^綱.9)訖纓二器鶴^綱.9)дхг дав _ дуг див _ ^ @〃в 8% див dxs
訖纓二器鶴^綱.9)
訖纓二器鶴^綱.9)
и отсюда
(LP)Ac =(LP)Ac =(89.10)(89.10)дис дуТ 。况с дхгдуг диА дхг @〃а
(LP)Ac =
(LP)Ac =
(89.10)
(89.10)
В самом деле, имеем
LP=—1, L^ -Р \ Р= — L L (89.11)
Это соотношение между матрицами Пуассона и Лагранжа справедливо для произвольного преобразования (а, у)—> —> (н‘, у'). Кроме того, для произвольных независимых вариаций имеем
(仇重‘，，у‘)丄(в у丿=6{ил {иА. ив} б2ив =
=(=(дхг дуг дхг дугдхг дуг дхг дугдиА див див диАдиА див див диА)61〃а%〃7з —)61〃а%〃7з —
=(
=(
дхг дуг дхг дуг
дхг дуг дхг дуг
диА див див диА
диА див див диА
)61〃а%〃7з —
)61〃а%〃7з —
=(6必'，my) 了IV=(6必'，my) 了IV(89.12)(89.12)
=(6必'，my) 了IV
=(6必'，my) 了IV
(89.12)
(89.12)
=б^бгУг — бг^б^г = (6tj?,，») Г
Поэтому при произвольном преобразовании (а, у)—>'(力\ У’) матрица Лагранжа 丄 связана с матрицей Якоби J соотношением
L = JVJ.(89.13)
Для КП имеем тогда согласно (87.16) 上=「 尸=一上7= 一广1 =「(89.14)
В изложенной теории скобки Пуассона и Лагранжа не имели никакого отношения к функции энергии Q. Введем ее и рассмотрим луч или траекторию, удовлетворяющую каноническим уравнениям (86.6). Пусть F (а, у) — произвольная функция. Тогда если изображающая точка движется вдоль луча или траектории, то справедливы следующие равенства:
dFdF dxrdF dyr
■— ==-H
dw дхг d"； dyr dw
也吧一也吧=W, J (89.15) дхг дуг дуг дхг
В частности, и сами канонические уравнения могут быть записаны через скобки Пуассона в виде
比，Q], 要=e，Q].(89.16)
awaw
Таким образом, скобки Пуассона внутренне связаны с дви* жением динамической системы.
Из уравнения (89.15) и тождества Пуассона — Якоби (89.3) следует, что для любых двух функций / (х, у) и F (х, у) имеет место соотношение
—[/,川=[[/, П Q]= - HF, Q],/]- [[Q, /],F].(89.17)
Если / и F — постоянные движения, т. е.
? = [/,◎] = О, ^=[F, Q] = 0,(89.18)
awaw
то из (89.17) следует, что скобка Пуассона [/, F] также является постоянной движения (теорема Пуассона)1).
Будем теперь употреблять обозначения (q, t, р, Н), связанные с обозначениями (х, у) уравнениями (86.1); возьмем функцию энергии в виде (86.3), т. е.
Q (*‘ У)= УN + i + S(Х1, ■ ■ .)^^ + l, уЬ • • ■, УN)i (89.1 )
(89.20)(89.20)или, что то же самое, в виде
(89.20)
(89.20)
Канонические уравнения (86.6) принимают вид
"外 °s dpp — °s
dw дрр ' dwdq^，
dt .dfl
dwdwdt
Q (х, у) = — Н + (д (q, t, р).
(89.21)
1) Ср. Аппель [2], П, стр. 382—383.
20 Дж. Л, Синг
Таким образом, % = w + const, и мы имеем следующие уравнения:
&%НзdppдаdHНз
成dppdtdqpdtdt
На поверхности энергии Q = 0 можно подставить Н вместо w и уравнения примут обычную форму
dqPдНdppдНdHдН
成дрр dtdqp成dt
Для произвольной функции F(7，t, р, Я) имеем согласно (89.15) следующее уравнение:
dF _ dF 8Q , dF 8Q8Q dF
成 ^P dyp8£n+i8Un + iдхр дур
8Q dFdF 8s , dF8s dF , 8s dF
dxN + i dyN + idqp dpp dtdqp дрр Й дН
(89.24)
На поверхности энергии Q = 0 и можно писать Н вместо со, получив таким образом
(89.25)(89.25)(89.26)(89.26)dF dF
(89.25)
(89.25)
(89.26)
(89.26)
-=—十 dt dt
где
固 Hlqp固 HlqpdF дНdH dF
固 Hlqp
固 Hlqp
8彰 8Ppdqp дрр
Если F = F (q, t, p), это уравнение превращается в следующее:
(89.27)
а если F = Н, оно превращается в простое уравнение:
(89.28)(89.28)跑_也成 dt
(89.28)
(89.28)
Канонические преобразования, производимые каноническими уравнениями. Основной относительный интегральный инвариант. КП, которые мы рассматривали, были конечными преобразованиями. Для того чтобы получить бесконечно малое КП, т. е. преобразование, близкое к тождественному, вспомним, что тождественное преобразование было дано формулами (88.22); соответственно следуя плану (88.20с), вводим производящую функцию
G3(Z,『)=хтУг + F (х, у) du,(90.1)
где функция F произвольна, a du ——бесконечно малая постоянная величина. Эта формула дает КП
分=3 (90.2) дхтдуг
или, с точностью до членов первого порядка, выражения
л," (а , у) '
аxг =写一4.———,
дуг
》(90.3)
d" = У； — % = - du )一. I дхт I
Здесь мы заменили в частных производных у' на у* Если напишем канонические уравнения (86.6) в форме
dxT =如, dyT = — du?.——— (90.4)
дугдхт
и сравним их с (90.3), то можно сказать, что канонические уравнения порождают бесконечно малое КП, приращение dw специального параметра w играет роль инфинитезимальной постоянной du, а функция энергии Q ——роль функции
Однако здесь имеет место существенное изменение в точке зрения, которое может быть источником серьезных недоразумений. До сих пор мы рассматривали КП как изменение, так сказать, «этикетки», прикрепленной к неподвижной точке в пространстве QTPH, а канонические уравнения ——как описание движения изображающей 20*
308 ПРОСТРАНСТВО ЙОСТОЯЙЙЙ Й ЭНЕРГИЙ (QTP甘)tM. V точки в QTPH в некоторой неподвижной системе координат. Этот дуализм интерпретации имеет место во всей теории преобразований, и мы сталкиваемся с ним, когда исследуем две возможные интерпретации КП.
Имеем совокупность геометрических объектов (точки в QTPH), которым могут быть сопоставлены различные группы «этикеток» (х, у), у)
Имеем евклидово пространство E2n+2 с одной фиксированной системой прямоугольных координат и (н, / (н\ у') — координаты двух различных точек этого пространства Е2^ + 2 в этой системе координат.
Согласно первой точке зрения преобразование (н, у) —> (н\ у') изменяет «этикетки», прикрепленные к неподвижным точкам; согласно второй — преобразование смещает точки, а пространство E2n+2 в целом преобразуется в себя. Если положить F = Q и du = dw, то существует полная формальная согласованность между уравнениями (90.3) и .(90.4); эту общую форму можно интерпретировать геометрически любым из указанных двух способов.
До сих пор мы изучали только бесконечно малые КП, порождаемые каноническими уравнениями. В приведенной выше интерпретации II) мы рассматриваем все точки пространства E2n + 2j как заданные бесконечно малыми перемещениями, соответствующими некоторому фиксированному бесконечно малому значению dw. Однако из групповых свойств КП следует, что последовательное выполнение бесконечно малых КП есть опять КП и, следовательно, приходим к заключению, что если мы переместим точки пространства Ezn + 2 вдоль лучей или траекторий с общим значением конечного приращения 卜w для всех их, то тогда результирующее преобразование пространства E2n+2 в себя будет конечным КП. Покажем теперь, как может быть построена производящая функция этого конечного КП (предполагается, что канонические уравнения движения интегрируемы).
Для произвольной кривой С в пространстве QTPH, вдоль которой задан монотонный параметр и, интеграл
G = \ ｛圻 dxr — й (х ,у) du) (90.5)
имеет смысл. Полная вариация этого интеграла дает 6G — [уг 6写一Q би] +
+〈(6价 dxr — 6写 dyr — 6 Q du + dQ би). (90.6)
Попытаемся отыскать те кривые С, для которых 6G = 0, если на вариацию кривой наложены только следующие условия:
концевые значения х*, хг постоянны,
приращение Ам параметра и вдоль кривой постоянно.
Мы можем положить в (90.6) du = 0; тогда получим
дхг /\ дуг /Jдхг /\ дуг /J
дхг /\ дуг /J
дхг /\ дуг /J
(90.7)
Поэтому искомые кривые удовлетворяют уравнениям
dxr — dQ dyr — dQdu дут ' du дхг
Это означает, что такие кривые являются лучами или траекториями, а также, что параметр и на любой из этих кривых есть специальный параметр (и — w). Более того, из природы вариационного принципа, приведенного здесь, следует, что 2N + 3 величин х*, х, Aw, выбранные произвольно, определяют значение интеграла
величинам(90.10)величинам(90.10)С (ж*, g А®)=\ {yrdxr — Q(x, у) dw}. (90,9) вычисленного вдоль луча или траектории (рис. 42). Задавая произвольные вариации 2N + 3 (х*, х, А % получаем из (90.6)
величинам
(90.10)
величинам
(90.10)
JGJG *
~-=一力， 0Cr0С「
а также
^=-Q(gy)= -Qi'力.
(90.11,
Рис. 42. Построение производящей функции G(t*, х, Аз) в QTPH.Рис. 42. Построение производящей функции G(t*, х, Аз) в QTPH.Уг = у；3, %, Ат).Уг = у；3, %, Ат).(90.13)(90.13)
Рис. 42. Построение производящей функции G(t*, х, Аз) в QTPH.
Рис. 42. Построение производящей функции G(t*, х, Аз) в QTPH.
Уг = у；3, %, Ат).
Уг = у；3, %, Ат).
(90.13)
(90.13)
Вдоль луча или траектории Q = const, согласно уравнениям (90.8). Мы видим, что (90.10) совпадает с КП (88.20с) и, следовательно, заключаем, что для любого заданного значения Aw функция G (х*, х, Aw), полученная интегрированием вдоль лучей или траекторий, является производящей функцией конечного КП, которое преобразует пространство QTPH в себя. В самом деле, мы имеем однопараметрическое семейство КП с параметром Nw.
Предполагая, что канонические уравнения (90.8) проинтегрированы, можно построить производящую функцию следующим образом:
Берем в пространстве QTPH произвольную точку В* с координатами х*, у*.
Через точку В* проводим луч или траекторию С, удовлетворяющую уравнениям' (90.8), и продолжаем ее до тех пор, пока ее специальный
параметр w ‘ не возрастет на заданную величину Aw. Пусть В (х, у) — точка, полученная таким образом. Тогда имеем функциональные соотношения
与—xr (/,八 Am), yr — yr (x*, у, Am). (90.12)
Решаем первую систему этих уравнений, получая при 9ToM
Вычисляем интеграл (90.9) от В* до В по кривой С, причем (х, у)——функции (х*, у*, Аз) вида (90.12); таким образом, G оказывается функцией (х*, у*, Aw).
Подставляем в (90.5) значения у* (90.13), чтобы получить G (х*, х, Aw).
Формулами (88.8) установлена инвариантность циркуляции действия относительно КП. Этот результат допускает двойную интерпретацию согласно тому способу, каким мы рассматриваем КП. В случае уравнений (88.8) это, как мы видели, было вопросом изменения «этикеток»
неподвижных точек. Чтобы получить другую точку зре
ния, проще всего начать все рассуждения снова.
Рис. 43 показывает контур С в пространстве QTPH и трубку, содержащую С; эта трубка состоит из лучей или траекторий (часть естественной конгруэнции). Удобно
сохранить обозначение d для смещения вдоль естественной конгруэнции, чтобы были справедливы уравнения
dxr = dw. ]
У 90.14) dyr=-dw.^： I
Для обозначения перемещений вдоль контура С мы будем употреблять знак 6, так что циркуляция по С равна
Рис. 43. Контур С и трубка, образованная кривыми естественной конгруэнции в QTPH.Рис. 43. Контур С и трубка, образованная кривыми естественной конгруэнции в QTPH.% (e) = $ yr 6与.(90.15)
Рис. 43. Контур С и трубка, образованная кривыми естественной конгруэнции в QTPH.
Рис. 43. Контур С и трубка, образованная кривыми естественной конгруэнции в QTPH.
С
Если переместить С в положение & вдоль естественной конгруэнции, то получим уравнение
х (&) - X (С) = М (С)-
=d § % 6写=§ (d* 5写一dxr 6处)с с
или, согласно (90.14),
dx (С) = — § 协 6Q,с
(90.16)(90.17)(90.16)(90.17)где переменная интегрирования Q, a dw — бесконечно малый скаляр, заданный вдоль С.
(90.16)
(90.17)
(90.16)
(90.17)
Если dw — const, то для стягиваемого в точку контура получаем
dg (С)=— 切 § 6Q = 0.(90.18)
С
Таким образом, циркуляция действия по стягиваемому & точку контуру остается неизменной при смещении этого контура вдоль естественной конгруэнции на фиксированное бесконечно малое приращение специального параметра, а следовательно, также и на фиксированное конечное приращение.
Отметим, как второй вывод из уравнения (90.17), что если С проведен на поверхности энергии Q = 0 (или, более общий случай, на Q = const), то BQ = 0, и отсюда dx(C) = 0. Нет необходимости полагать dw постоянным, а поэтому циркуляция действия имеет общее значение для всех контуров (приводимых и неприводимых), проведенных на поверхности энергии^ которая может быть деформирована в другую смещением вдоль естественной конгруэнции,
В обозначениях (q, t, р, Н) циркуляция по любому контуру есть
乂(С) = $ Уг В写=§ (Рр Вдр — Н W).(90.19)
сс
Для контура на поверхности энергии Н задана как функция переменных (q, £, р)・
Так как имеет место условие
§ * В写=—§ g 6圻，(90.20)
сс
то этот же результат справедлив для циркуляции, определенной как
§ g В圻=《仇 Врр — t ВН).(90.21)
Циркуляция действия есть пример относительного интегрального инварианта. Интегральные инварианты определяются следующим образом.
Пусть Sm — некоторое М-мерное подпространство QTPH или может быть само QTPH, так что i^M^ < 2N + 2. Проведем через Sm естественную конгруэнцию и получим из Sm систему подпространств Sm (гр), откладывая вдоль лучей или траекторий одни и те же зна-
чения w, начиная с 初=0 на 5м； таким образом, Sm = Sm (0). Если какой-либо интеграл, взятый по 5^, остается неизменным при такой операции, т. е. если / для Sm (初)не зависит от w, то / называют интегральным инвариантом, абсолютным, если Sm — открытое пространство, и относительным^ если оно замкнутое (как для контура С, например). Интегральные инварианты в пространстве QP будут обсуждены в § 98.
§ 91. Преобразование естественной конгруэнции к прямым линиям с помощью решения уравнения Гамильтона —Якоби. В § 90 мы исследовали две различные точки зрения на преобразование. Примем здесь второй взгляд: рассмотрим евклидово пространство £2n+2» в котором имеются неподвижные оси координат, а преобразование (х, у) —> (х\ у') означает перемещение точек этого пространства в новые положения. Для того чтобы обойти трудный вопрос о топологии пространства QTPH, будем рассматривать только малые области пространства QTPH, топология которых совпадает с топологией евклидова пространства.
С этой точки зрения естественная конгруэнция лучей или траекторий, удовлетворяющих каноническим уравнениям
dxr — @Qdyr ._ gQ(91 今
dwdyrdw dxr
является системой кривых в пространстве Е2^ + 2> Каноническое преобразование изменяет эти кривые. Будем искать КП (х, у)—>(/', у'), которое переводит естественную конгруэнцию в конгруэнцию параллельных прямых.
Пусть G (х, у') — какое-нибудь решение дифференциального уравнения в частных производных,
名
dG\ , дх /
(91.2)
менных (N, у'); это решение таково, что det0.
дхг dys
Т or да т как и в случае (88.20с), уравнения dG , dG дхгдуг
рассматриваемого в области (27V + 2) независимых пере
(91.3)
(91.4)
определяют КП (х, г/)—> (х\ у'). Для функции энергии, всегда рассматриваемой как инвариант в смысле тензорного исчисления, имеем
Q'S,『)=Q (n, у) = QQ'S,『)=Q (n, у) = Q?N + h?N + h(91.5)(91.5)
Q'S,『)=Q (n, у) = Q
Q'S,『)=Q (n, у) = Q
?N + h
?N + h
(91.5)
(91.5)
Следовательно, новые энции имеют видСледовательно, новые энции имеют вид
Следовательно, новые энции имеют вид
Следовательно, новые энции имеют вид
dxp _ @£У _ °&七％+1 _ 0Q _ ]
dwдур，dwду^+1，
dyp _ аа‘ _ с dyi+i _&Q' _ с
dwOn]dw@七％+1
(91.6)
а интегрирование их дает
уравнения естественной конгру-
Np = Ctp,^^ 4-1 ~~ 必，
Ур — Ьр， у ^^-l —归，
(91.7)
где 〃户 Ьр 口 к — постоянные в количестве (27V + 1), значения которых зависят от рассматриваемого луча или траектории. Заметим, что специальный параметр w равен координате х^ +i, а тривиальная постоянная интегрирования опущена. Так как при произвольных значениях постоянных система (91.7) представляет собой конгруэнцию прямых линий, параллельных оси х^ +1, то мы и пришли к преобразованию естественной конгруэнции в конгруэнцию параллельных прямых. Поверхность энергии Q = 0 преобразуется при этом в плоскость 沙&十九
Рассматривая пространство QTPH вместо QZ, мы можем представить теорию § 77 в более общем виде. В самом деле, дифференциальное уравнение в частных производных (91.2) является уравнением Гамильтона — Якоби в общей форме. Для того чтобы установить эту связь, перейдем к обозначениям (д,力 р, Я), полагая, что функция энергии имеет форму
Q (n, У)= Уn + 1 + з (з^1, • • • j *^^ +11 %,•‘♦♦, Уа)・(91.8)
Тогда согласно (86.1) уравнение (91.2) примет вид
(91.9)
где Н написан как функциональный символ вместо з; мы хотим найти решение G (д,厶 р‘，Я7) такое, чтобы выполнялось условие
82G82G82 G82 G3外Gp\32GdtdpG3外Gp\32GdtdpGdqpdH,济GdqpdH,济Gdt dH'dt dH'H 0.H 0.(91.10)(91.10)
82G
82G
82 G
82 G
3外Gp\32GdtdpG
3外Gp\32GdtdpG
dqpdH,济G
dqpdH,济G
dt dH'
dt dH'
H 0.
H 0.
(91.10)
(91.10)
Можно считать (91.9) дифференциальным уравнением в частных производных с независимыми переменными (д,力)，а величины (р‘，Н‘)рассматривать как постоянные. Первый шаг в интегрировании состоит в том, чтобы положить
G = — Н' + U(q, 0-G = — Н' + U(q, 0-(91.11)(91.11)
G = — Н' + U(q, 0-
G = — Н' + U(q, 0-
(91.11)
(91.11)
Тогда функция U должна удовлетворять уравнению
которое действительно является уравнением Гамильтона — Якоби (77.3). Для того чтобы выполнить преобразование (91.4), нужно найти полный интеграл этого уравнения.
§ 92. Уменьшение числа канонических уравнений с помощью первого интеграла. Возвратимся к вопросу о числе уравнений движения, возникшему в конце § 68.
Пусть дана функция энергии Q (с, у), удовлетворяю-
щая системе 2N + 2 канонических
уравнений:
6Q dxr '
(92.1)
dxr — 6Q dw дуг '
dw
Умножив их
dxp
на dwldxN + 1、 6Q
一班
получим
dyP
dxp
(92.2)
(92.3)
d^N+i
d^N+i
6Q
° 的V+l
^yN + i
Это —： система 2N + 1 уравнений; независимая переменная XN+i входит явно в Q・
Известно, что вдоль каждой траектории выполняется условие
Q (ж, у) = с.(92.4)
Разрешая это уравнение относительно yN +i, имеем
У^+l =① Qi, • • ч Cn + i，У1, ♦ • ♦, Un, ')♦(92.5)
Подставляя это значение в (92.2), получим систему 2N уравнений, содержащую постоянную с. Если эти уравнения разрешены относительно с% . . ., xNi yi, ,. . ., yN, то yN + i определяется формулой (92.5). Таким образом, систему канонических уравнений (92.1) можно свести к системе 27V уравнений, но полученные уравнения (92.2) уже не будут каноническими.
Предположим теперь, что вместо заданной функции энергии (которая приводит к естественной конгруэнции, заполняющей QTPH) задана поверхность энергии уравнением
Q(£,仇=0.(92.6)
Траектории теперь проходят через точки этой поверхности. Все еще остаются справедливыми уравнения (92.1)— (92.3), а также (92.4) и (92.5) при с = 0. Однако сейчас мы интересуемся поверхностью^ и уравнение этой поверхности можно взять в различных формах. В самом деле, форма функции Q не задана раз навсегда; мы имеем право изменить ее так, что уравнение поверхности энергии примет вид
Q(£, У)~ yN +1 十 s Qi, . . ., ^г^ +i,沙九• • •) ^^) — 0.
(92.7)
Таким образом получим
=1,=1,(92.8)(92.8)
=1,
=1,
(92.8)
(92.8)
и уравнения (92.2) преобразуются к виду
dtp __ AQ “Ур „ 一 AQ (92 9) dxN+i — дур， dtN+i дхр ■ I .丿
Это ——система 2N уравнений. Если положить в основу динамики поверхность энергии в пространстве QTPH, то уравнения движения можно свести « системе 2N уравнений с сохранением канонической формы, если при этом I) писать уравнение поверхности энергии в форме (92.7) и II) выбрать а качестве параметра xN +i. Заметим, что параметр xN+i содержится теперь в Q, в то время как w не входил явно в Q в уравнениях (92.1).
Обычный переход от переменных (t, у) к (g, t, р, Я) определяется формулами вида
& = 9р， 2n+i = Z, I(92.10)
Ур ~ Рр, 5n+i = -•丿
Однако вследствие симметрии формул при обозначениях (х, у) нет необходимости настаивать именно на этом переходе. Мы вправе переставить индексы при хТ (сделав такую же перестановку и у 圻).Таким образом, в уравнении (92.7) yN+i отнюдь не обязательно обозначает —Н; он может означать 九 и в этом случае параметром в уравнениях (92.9) является не 力 a qi・ Никогда нельзя забывать многозначности обозначений (t, у).
В дальнейшем мы будем предполагать, что задана функция энергии. Рассмотрим систему, которая обладает первым интегралом F (х, у), т. е.
丽=[尸，£2] = 0(92.11)
(ср. с (89.15)), так что вдоль каждой траектории
F (с, у) = const.(92.12)
Обсудим, как с помощью этого первого интегралах) уменьшить число канонических уравнений с 27V + 2 до 2N, сохраняя каноническую форму уравнений и специальный параметр w.
Пусть G Q, у') — решение дифференциального уравнения в частных производных,
尸(с, ——) = yk+i,( 2.13)
удовлетворяющее условию
det———片 0.(92.14)
dxr dys
Рассуждения аналогичны рассуждениям § 91, в которых уравнение Гамильтона — Якоби (91.2) заменено уравнением (92.13), и можно спросить, есть ли смысл тратить время на рассмотрение (92.13), когда решение уравнения (91.2) дает решение задачи движения. Ответ заключается в том, что практические возможности получения такого решения в большой степени зависят от сложности функции (соответственно Й или 尸).Может случиться, что функция F значительно проще, чем R.
Доказательство, данное здесь, будучи проведенным в пространстве QTPH, имеет, по-видимому? большую общность, чем другие исследования; ср. Nordheim and F u е s [19], стр. 115. Детальное обсуждение вопроса об упрощепии системы канонических уравнений, если известен первый интеграл, см. Р г a n g е [21], стр. 713—726.
Решив уравнение (92.13), применим КП
dGdGdGdG(92.15)(92.15)
dG
dG
dG
dG
(92.15)
(92.15)
следующему(92.16)(92.17)следующему(92.16)(92.17)и уравнения движения лреобразуются к виду:
следующему
(92.16)
(92.17)
следующему
(92.16)
(92.17)
дхг __ ее
dw дуг， dw8結'
где Q' — новая функция энергии
Q，(а/, у') = Q (х, у).
Имеем тогда dQ' _dyl+i _ d
дх^+i dwdw
= -*(") = о, (92.18)
так что переменная 胃卜+i не входит явно в Q':
Q' = ^1\х{, ..xN, у[, ..yN, у^+1).(92.19)
Если теперь выделить из (92.16) 2W уравнений
必=竺，越=_ %(92.20)
dw dy； dw dXp
то получим систему 2N канонических уравнений, что и требовалось; новая функция энергии содержит y"+i как постоянную.
Если ограничиться рассмотрением траектории на поверхности энергии Q = 0, то возможно понизить порядок системы еще на 2. В новых координатах поверхность энергии имеет уравнение
Q' (%,…，而，％,…，3n+i}= 0; (92.21) разрешаем, это уравнение относительно одного из yf, например 亦,и продолжаем рассуждать как в случае (92.7), получим 2N — 2 канонических уравнений, анало-
гичных системе (92.9). Таким образом, используя первый интеграл и уравнение поверхности энергии, можно уменьшить число уравнений системы до 2N — 2.
Далее следуют некоторые примеры.
а) Уменьшение числа уравнений с помощью игнорируемой координаты или с помощью, интеграла энергии в случае консервативной системы. Как мы увидим, все эти рассуждения тривиальны, но они помогают объяснить метод. Предположим, что одна из координат, например xN+i, не входит явно в Q (х, у). Принимая во внимание все, что сказано выше о симметрии обозначений, можно утверждать, что либо I) система имеет игнорируемую координату (§ 46), либо II) система консервативна (/ не входит явно в Н (q, t, р)). Следующее рассуждение охватывает оба случая.
Итак, предполагаем, что
-^- = 0,(92.22)
а следовательно, имеем первый интеграл
F (瑞 у) = yN+i = const.(92.23)
Дифференциальное уравнение в частных производных (92.13) имеет очень простую форму:
= yk+i；(29.24)
решение его можно взять в виде
G (瑞 К) - 2屍•(92.25)
Согласно (92.15) эта функция определяет тождественное преобразование
Ут = Уг, 2；=写，(92.26)
и задача уменьшения числа уравнений системы до 2N состоит просто в том, что из канонических уравнений нужно выбрать 2N уравнений:
.d& — @◎d% — dQ(92 27)
dwdw дхр *
Для того чтобы уменьшить это число до 2N — 2 на поверхности энергии, напишем уравнение поверхности в форме
Q (*, У)= Уn + з (^ь • • •» ^^» Уii • • •» Un—1，^/^+l) = О*
(92.28)
Тогда уравнения (92.27) дают, как и в случае (92.9), систему
dxi — 8зdxN-tdco
FW '' d?NSi/N_i '(92 29)
dy{dcod^N—ids
dxNd%N6%n—i ”
Перейдем теперь к обозначениям g, t} р, Я, используя формулы перехода (92.10). Исходим из функции энергии
Q (q, p, -Я);(92.30)
по предположению, t не входит явно в эту функцию. Имеем первый интеграл
H = E(92.31)
и уравнения движения вида (92.27)
小盡，嚮一箫 幾32)
Возьмем теперь поверхность энергии Q = 0 и напишем ее уравнение в новой форме,
Q = Pn + ①(，匕• • •,，n, Р匕…，Pn-匕 一 Е) = 0; (92.33) вместо Н здесь подставлена постоянная Е. Тогда имеем следующие уравнения движения, аналогичные (92.29):
d^i8sdqN-i _ 况
函 n dp JdqN dpN—i '
迎也dpN_t = 0з(“句
dqN6必'd，NdqN~i
Здесь со содержит независимую переменную qN. Таким образом, для консервативной системы с помощью инте* 21 Дж. Л. Синг
грала энергии Н = Е можно уменьшить 】)число канонических уравнений до 2N — 2.
Р) Уменьшение числа уравнений с помощью интеграла, линейного относительно импульсов. Предположим, что система имеет первый интеграл
% + У2 + Уз = const.(92.35)
Удобно несколько изменить план исследования, ввести производящую функцию G ("? у) и получить КП
dG , dG写=Та—，圻="Г；
дУт賜
Итак, ищем функцию G, которая удовлетворяла бы уравнению
yi+ Уг+ Уз= У1 = ~ •(92.37)
дх*
Таким решением может быть
G =贫(у + 北+ Уз) + 抬力 + • • • + ££+i?/n+i； (92.38)
эта функция удовлетворяет условию
不20
det —一 歩 0,(92.39)
呢 dys I
так что (92.36) дает КП (х, у) —> (х\ у) Так как у；— постоянная движения, то ◎' (х\ у') не содержит переменной с；, следовательно, новые уравнения движения имеют вид
dx2 — dQ' dz£+i _ dQ '
dwd叭， dw dy%+i，
dV2_ HQ' dyN+l _ HQ' (92・4° .—,■.., ,
du? dx2dw 82工十1
I) Ср. Уиттекер [28], стр.£345, где дано другое изложи ние процесса уменьшения числа уравнений.
т. е. они представляют собой систему 27V уравнений. Интегралы приведенного выше типа встречаются в проблеме трех тел (§ 53); в этом случае мы имеем три интеграла количества движения:
(92.41)(92.41)92+% + 2/8 = %,% + % + % = &； 一
(92.41)
(92.41)
здесь в правых частях стоят постоянные движения. Система имеет девять степеней свободы (ТУ = 9). Выбирая производящую функцию в виде
G (2/, у) =抬(山+ % +力)+员(y2 +北十禽)+
+ 土3‘(沙3 + % +：沙9)+ £力& + • - • + ^10^10» (92.42) исключаем Хр 土；，土； из преобразованной функции Q, в которую у；, у2, Уз входят как постоянные. Вследствие этого число канонических уравнений, взятых в форме (92.1), сводится с 20 до 20 — 6 = 14. Но если мы рассматриваем задачу в пространстве QP (§ 96), используя вместо Q(£, У)функцию энергии Н (д, р), то при этом число уравнений уменьшается с 18 до 12х).
у) Уменъшение числа уравнений с помощью интеграла площадей. Предположим, что
F (н, у)=工沙2 — н2yl = У1F (н, у)=工沙2 — н2yl = У1(92.43)(92.43)
F (н, у)=工沙2 — н2yl = У1
F (н, у)=工沙2 — н2yl = У1
(92.43)
(92.43)
является постоянной движения. Согласно (92.13) мы должны решить дифференциальное уравнение в частных производных
dG dG ,dG dG ,(92.44)(92.44)
dG dG ,
dG dG ,
(92.44)
(92.44)
Легко проверить, что G (а, у') есть решение:
G(Н, у')=貝 У2 (* + а：2)+ arctg ^j +
+ 為呢 + …+ ^N+iUN+i- (92,45)
1) Об уменьшении числа уравнений в проблеме трех тел с 18 до 6 см. Уиттекер [28], стр. 371—388.
21*
G (с, у') удовлетворяет детерминантному условию (92.14) и дает КП
dG勿=-—=2yly2出一 oxidG勿=-—=2yly2出一 oxiУ2 =У2 =УзУзdG—~ = 21/11/2^2 — дх2dG , ~~ = Уз， дх3dG—~ = 21/11/2^2 — дх2dG , ~~ = Уз， дх3疝2/ +登‘臂+式'疝2/ +登‘臂+式'
dG
勿=-—=2yly2出一 oxi
dG
勿=-—=2yly2出一 oxi
У2 =
У2 =
Уз
Уз
dG
—~ = 21/11/2^2 — дх2
dG , ~~ = Уз， дх3
dG
—~ = 21/11/2^2 — дх2
dG , ~~ = Уз， дх3
疝2
/ +登‘
臂+式'
疝2
/ +登‘
臂+式'
(92.46)(92.46)
(92.46)
(92.46)
=粤=у2 (* + 爲)+ arctg —,dyi3
Mg = y；(好 + 珊, дуг
dG
fV = Сзт дуз
Переменная с； не входит в новую функцию энергии^ Производящую функцию (92.45) легко получить, используя полярные координаты Xi = г cos 我 х2 = г sin 仇
ГЛАВА VI
ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ (^ГР)
Теорема циркуляции. В (27V + 1)-мерном пространстве состояний QTP координатамиг) изображающей точки являются qp,尢 Рр・ Гамильтонова функция Н здесь не координата, а функция положения в пространстве QTP;
Н = Н (g, t, р).(93.1)
Канонические уравнения движения здесь следующие:
Ор =
дН
дрР
Рр =
дН dqj
(93.2)
Напишем
их в форме
_ dpi
dpN —
dt
(93.3)
дН " dpi
dpN
1'
чтобы сделать все
координаты
равноправными;
тогда
эти уравнения представляют естественную конгруэнцию траекторий в QT力,причем через каждую точку пространства проходит одна кривая. Отметим, что уравнения (93.2) заключают в себе уравнение
dt dt
Для того чтобы обсудить циркуляцию в QTP независимо от теории, изложенной в § 90 для QTPH, определяем циркуляцию по любому контуру С следующим образом:
к (С) = §(Рр б^р — Н 配).(93.5)
с
Придавая контуру С произвольное бесконечно малое смещение d (не обязательно вдоль естественной конгруэнции) и интегрируя варьированное выражение по частям, получаем
dx (С)=伞(dpp 5% — d% dpp — dH 配 + dt BH)=
7 , дН \/ , дН , \ ,
dPa + —-成 +成 +
@外/\dpQ /
+ dH +~ 成)].(93.6)
Если теперь перемещение d происходит вдоль естественной конгруэнции, то из (93.3) и (93.4) следует, что
dx (С) = 0.(93.7)
С другой стороны, если dx (С) ~ 0 для произвольного С и для перемещения d, взятого вдоль некоторой конгруэнции, то эта конгруэнция должна удовлетворять уравнениям (93.3) и (93.4) и, следовательно, это ——естественная конгруэнция. В самом деле, условие циркуляции (93.7) эквивалентно каноническим уравнениям (93.2).
§ 94. Преобразование координат в QTP. Форма Пфаффа. Произведем общее преобразование
(g, t, р) -» (х),(94.1)
где (с) означает совокупность 2N + 1 переменных. Будем обозначать эти переменные через 土厶,где индексы А принимают значения 1,2,.. ., 2N + 1,瓜 условимся суммировать по повторяющимся индексам. Тем самым мы.приписываем точкам пространства QTP совершенно произвольные координаты.
При преобразовании (94.1) получаем
Ppbqp — Н (q, & р) б£ = ХАЬхА, (94.2) где X —— функция переменных 2A. Циркуляция по контуру С равна теперь
乂 (С)=夕 ХА 6жА,(94.3)
с
и если придать С произвольное смещение d, то получим
dx (С)=冬(dX& 6立幺一dxA 6X&);(94.4)
с
преобразуем это выражение, обозначив дХ^/д^в = Х&,七， dx (С) = § XAi в (dxB ЬхА — dxA б^в)=
—§ (Х& в — Хв, a) dxB 8ха, (94.5)
Если dxA ——перемещение вдоль естественной конгруэнции, то &乂 (С) = 0 для произвольного контура С (ср. с § 93); поэтому траектории должны удовлетворять уравнениям
(XAtB - XB>^dxB = 0.(94.6)
Это есть форма, которую принимают канонические уравнения, если используется общая координатная система в пространстве QTP.
Этот важный результат можно рассмотреть несколько иначе; dxA — компоненты контравариантного вектора относительно произвольных преобразований (можно пи* сать dxA. чтобы подчеркнуть этот факт); Х&,七 ——XBts —— компоненты кососимметричного тензора; поэтому уравнения (94.6) представляют собой векторные уравнения, справедливые при любом выборе координат, если они справедливы для одной системы координатх). Однако если
1) Интересно сравнить уравнение (94.6) с уравнением (73.5), в котором полная размерность та же, но детерминант из коэффициентов обращается в нуль согласно (73.1).
координаты хА выбраны следующим образом:
N] = 9丄,• • • 1 々N = 9n,
^^ + 1 = 7^1) • • • j ^2^ = РNi(94. /)
^2^+1=力，
то, принимая во внимание тождество (94.2), ми видим; что имеют место равенства
Xi=pi, ・・tXn = Pn,
Xn+i = 0, ・・・，X2N = 0,(94.8)
^2N + i — — H (^, t, p)r 」
Подставляя эти выражения в (91.6), получаем канонические уравнения (93.2), поэтому (94.6) представляют траектории во всех системах координат, так как это —— уравнения траекторий в системе координат (94.7).
В уравнениях (94.6) мы имеем 27V + 1 однородных уравнений для 27V + 1 дифференциала; мы знаем (совершенно независимо от предыдущего доказательства), что они совместны, так как матрица коэффициентов, будучи кососимметричной и нечетного порядка, имеет самое большее ранг 2N (другими словами, ее детерминант обращается в нуль). Имеем тогда новый подход к динамике в пространстве QTP, основанный на форме Пфаффаг)
Хл 8хл\(94.9)
Теорию форм Пфаффа см. D а г b о u х G., Le Probleme de Pfaff (Paris, Gauthier-Villars, 1882); Картан Э., Интегральные инварианты, Москва, 1940; G о и г s a t Е., Lemons sur le probleme de Pfaff (Paris, Hermann, 1922), а также очень общее исследование Schouten J. A. and v. d. К u 1 k W., Pfaff *s Problem and its Generalizations (Oxford, Clarendon Press, 1949); см. также Уиттекер [28], стр. 327—328. Внешнее умножение и внешнее дифференцирование Картана (цит, выше, гл. 6, 7) приводит к Весьма сжатым обозначениям, но, как всегда, когда к динамике применяются краткие обозначения, необходима большая практика, чтобы применять их с уверенностью. О приложении этих обозначений к механике см. Картан (цит. соч.); Dedecker Р., Sur le theoreme de la circulation de V. Bjerkness et la theorie des invariants integraux, Inst. Roy. MeteoroL Belg. Mise., N 36, 1951; Gallisot F., Les formes exterieures en mecanique (Chartres: Durand, 1954 — These, Paris, отдельное издание, а также в томе 4 Ann. Inst. Fourier), См. также: С а г t a n E«, Les systemes diffe-
здесь Ха ——функции переменных хА, Любой такой пфаф- фиан определяет траектории посредством уравнений (94.6). Это ——инвариантный метод, не зависящий от какого бы то ни было частного выбора координат хА.
Если имеем две формы Пфаффа,
ХА дхА и ХА дхА + -G^ ЬхА, (94.10) гдхА
где G ——функция положения в пространстве QTP、то система (94.6) определяет одни и те же траектории для этих двух форм. Другими словами, траектории не изме- нпютсв, если к форме Пфаффа прибавить полный дифференциал.
Пусть (д，力 р)——канонические переменные в пространстве QTPy так что траектории удовлетворяют уравнениям
也=也，也=一也. (94.11) dt dpp dt 3外
Ассоциированная форма Пфаффа имеет вид
Рр&9р —Н(д,力 р)6九(94.12)
Применим преобразование (‘, t, P)f(9‘,力‘,Р‘)・ В преобразованном пфаффиане появятся члены, выраженные через б^р, брр, 6У, и коэффициент при 6曲，вообще говоря, не будет совпадать с р]. Но предположим, что преобразование таково, что з преобразованном пфаффиане можно выделить полный дифференциал, оставив пфаффиан, не содержащий дифференциала 6Pl. с коэффициентом при 6而， равным р]・ Коэффициент при 6f будет функцией переменных (д', ', р‘)； обозначая ого через —— Я (д', ，,р‘), получим
РрМр — Я (q, t, р) 6f = Ррб^р — Н' (д', У, р') 6У + 6G;
(94.13)
6G — полный дифференциал, и канонические уравнения (94.11) преобразуются в следующие х):
吗=吗，岖一吗.(94.伍) dt dpp d， dqp
§ 95. Канонические преобразования в QTP, Если мы хотим произвести в пространстве QTP преобразования координат, сохраняющие форму уравнений движения, то лучше всего свести все рассмотрение к форме Пфаффа (94.12); канонические уравнения, исследованные в § 87, могут быть применены в пространстве четного числа измерений. Таким пространством является фазовое пространство QP. Поэтому мы возвратимся к каноническим преобразованиям координат при исследовании QP в гл. Д VII. Однако прежде чем перейти к рассмотрению фазового пространства, покажем, как движение системы, представленное в пространстве QTP, может быть исследовано с помощью канонических преобразований между двумя поверхностями, на каждой из которых t = const; эти поверхности, будучи четной размерности, преобразуются одна в другую каноническим преобразованием.
Вернемся к двухточечной характеристической функции S (а:*, х) § 72, которую запишем теперь в форме
S = S (q*.戸，g, f).(95.1)
Рассмотрим две поверхности 5*, 5 в пространстве QTP с £ = const на каждой из них. Естественная конгруэнция устанавливает соответствие £*— £ между точками этих двух поверхностей; пусть Е* и Е — точки пересечения поверхностей с одной из траекторий, как показано на рис. 44. Его нельзя смешивать с рис. 35 § 75, который показывает совокупность траекторий в (N + 1)-мерном пространстве QT, образующих когерентную систему (8^ множество кривых). На рис. 44 показаны изображающие кривые, взятые из конгруэнции всех траекторий (82* множество кривых).
1) О связи этих уравнений с каноническими преобразованиями в пространстве QP см. § 97.
Согласно (72.12) имеем выражение
(95.2)(95.2)6S = PpWp - Н& -虎6曲 + Я*б^*
(95.2)
(95.2)
для произвольных вариаций Е* и Е. Преобразование Е* —> Е задается поэтому уравнениями
dS3SdS3S(95.3)(95.3)
dS3S
dS3S
(95.3)
(95.3)
при этом 力* н 力 ——заданные постоянные значения, которые
Рис- 44. Каноническое преобразование Е* т Е, производимое естественной конгруэнцией траекторий в QTP.Рис- 44. Каноническое преобразование Е* т Е, производимое естественной конгруэнцией траекторий в QTP.
Рис- 44. Каноническое преобразование Е* т Е, производимое естественной конгруэнцией траекторий в QTP.
Рис- 44. Каноническое преобразование Е* т Е, производимое естественной конгруэнцией траекторий в QTP.
t имеет соответственно на поверхностях 2* и 2. Преобразование функции Н определяется уравнениями
Я = - — , н = — .( 95.4)
dt"
Мы видим, что (95.13) представляет собой каноническое преобразование
(g*, р*)->(д, р);(95.5)
величины 力* и 力 входят как параметры в производящую функцию S. Если зафиксировать значение t* и изменить t, то получается множество канонических преобразований, которые преобразуют начальную изохронную поверхность (t = 力*) во все последовательные изохронные поверхности.
Для того чтобы вывести каноническое преобразование, можно использовать также характеристическую функцию в пространстве импульса — энергии W (^*, у) (§ 79). Выражая эту функцию в виде
W = W(p*, Я*, р, Я), (95.6) получим преобразование
* dW9р=—：—* dW9р=—：—(95.7)(95.7)dW др =
* dW
9р=—：—
* dW
9р=—：—
(95.7)
(95.7)
дРр
(ср. с (79.14)). Поверхности, которые при этом канонически преобразуются одна в другую, являются поверхностями, на которых Н = const. Это преобразование теряет смысл, если dH/dt — 0, так как тогда Н = const на каждом луче или траектории и, следовательно, эти уравнения не могут преобразовать одну поверхность Н = const В другую.
ГЛАВА VII
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (Q尸)
§ 96. Основная теория для консервативных систем в QR В главах Д II—VI были введены различные пространства изображений для того, чтобы пролить свет на математическую структуру гамильтоновой динамики. Несмотря на разнообразие представлений, все они связаны между собой теорией одного типа, теорией, основанной на допущении уравнения энергии Q (н, у) = 0 или на гамильтониане Н (д,九р). Из этих пространств пространства Q7\ QTPH и QTP лучше других подходят для обсуждения теории наиболее общего типа: РН имеет несколько более узкий интерес в связи с проблемами столкновений; Q — полезно в случае консервативных гамильтоновых систем (для которых Н = Н (q, р)), а также для негамильтоновой динамики.
Мы переходим к последнему пространству изображений ——2%-мерному фазовому пространству QP, в котором координатами L) точки являются ^р, ?р. Вероятно, пространство QP наиболее знакомо физикам в связи с использованием его в статистической механике).
При изучении гамильтоновой динамики в QP нужно рассматривать время t как параметр, а гамильтониан — как заданную функцию Н (g, Е, р) переменных (д, р) и этого параметра. Канонические уравнения
・ дН.дН% = ~， Рр Л~・ дН.дН% = ~， Рр Л~(96.1)(96.1)
・ дН.дН
% = ~， Рр Л~
・ дН.дН
% = ~， Рр Л~
(96.1)
(96.1)
в простран- (dH/dt 次 0) случае кон-в простран- (dH/dt 次 0) случае кон-(96.2)(96.2)описывают движение изображающей точки стве QP, Нужно различать общий случай и случай консервативности (^Н/dt = 0). В сервативной системы имеем
в простран- (dH/dt 次 0) случае кон-
в простран- (dH/dt 次 0) случае кон-
(96.2)
(96.2)
н = Н (q, р)
弱1dqN斤_…-анdpi@pn弱1dqN斤_…-анdpi@pnи видим, что QP заполнено естественной конгруэнцией с уравнениями
弱1dqN
斤_…-ан
dpi@pn
弱1dqN
斤_…-ан
dpi@pn
dpi —— &Pn .
二!^==二!^，(96.3)
86dqN
каждая кривая конгруэнции (т. е. каждая траектория) лежит на (22V — 1)-мерной поверхности, уравнение которой имеет вид
(96.4)(96.4)H (g, p) = E,
(96.4)
(96.4)
где E = const. Соответствующая картина для случая, когда Я = Я (g, Е, р), более сложна потому, что направление траектории в точке пространства QP зависит от значения Е, так что существует оо1 возможных направлений в точке пространства, зависящих от значения 九
В дальнейшем в этом параграфе мы будем рассматривать только консервативные системы, для которых функция Н имеет вид (96.2).
(New Haven, Gale University Press, 1936). Пространство QP называется также ji-пространством (ji-Raum) или Г-пространством соответственно способу, которым оно вводится в статистической теории; ср. М u n s t е г A., Statistische Thermodynamik, стр. 27—99 (Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1956).
Сравнивая (86.6) и (96.1), видим, что динамика консервативной системы 6 простр анстве QP с гамильтоновой функцией Н (д, р) л (тематически тождественна динамике в пространстве QTPH с функцией энергии Q (х, у). Единственное отличие заключается в обозначениях.
Этот изоморфизм интересен потому, что он объединяет вместе противоположные подходы к гамильтоновой динамике. С одной стороны, динамика в пространстве QTPH имеет столь большую общность, какую только можно пожелать в настоящее время, причем как время £, так и гамильтониан Н входят в уравнения математически равноправно с (д, р), так что теория вполне пригодна для применения в релятивистском случае. С другой стороны, динамика консервативной системы в QP охватывает те проблемы, которые являются наиболее известными в ньютоновой динамике и возникают из рассмотрения движения систем частиц и твердых тел.
Однако хотя динамика в пространстве QTPH и динамика консервативных систем в QP математически изоморфны, их физические интерпретации совершенно различны и целесообразно перевести теорию, развитую для QTPH, в форму, приложимую к динамике консервативных систем в QP.
В таблице на стр, 336 приведены отмеченные соответствия 1).
Если сместить контур С в пространстве QP на (Qg, dp) вдоль естественной конгруэнции, то, как и в формуле (90.17), циркуляция изменится при этом на
dx (С) = d§ Рр Мр = — § 成 6Я.(96.5)
сс
Поэтому циркуляция не изменяется при перемещении, если
контур С движется вместе с системой, так что dt = const, или
контур С проведен на изоэнергетической поверхности Н = const.
Обозначения см. в § 62.
Пространство состояний и энергии QTPH 2 ^+2-измерений
Фазовое пространство QP 2^иэмерений
Координаты точки
丐，уT
Ор, Рр
Функция энергии
у)
Гамильтониан Я (% р)
Канонические урав-
dxT —
dqp _ дН
нения
dwдуг ，
dtd_Pp '
dyrdQ
dppдН
divдхг
dtd'p
Специальный параметр на траектории
w
£
Циркуляция
Ф Ут^хт
勺 Рр %р
С
Инвариантная билинейная форма
Й^гд2Уг 一闻立Г6[圻
610PМРр —620p6jPp
Скобки Пуассона
г 15м dv
[% 也=ао„
因р SR
回力 дхт дуг
dv
dv 8«
不丐8价
3qp 8Pp
Скобки Лагранжа
‘1ди
/р дрр
{м,叫=— ди
дхт дут
因 р 8рр
dv d«
5у 5м
прини-(96.6а)(96.6b)(96.6с)(96.6d)прини-(96.6а)(96.6b)(96.6с)(96.6d)Рр一 &G1 (g, д')p,_ dG'{q,q)dqP_ %（P，P‘）呢(р, р')4Pdpp 'дрРРр—"з (g, p') dqP 'qj=四3 (д, р').Рдрр ，外_ aG&(p, д')— 鸡g，9’)дрРdqPРр一 &G1 (g, д')p,_ dG'{q,q)dqP_ %（P，P‘）呢(р, р')4Pdpp 'дрРРр—"з (g, p') dqP 'qj=四3 (д, р').Рдрр ，外_ aG&(p, д')— 鸡g，9’)дрРdqPКанонические преобразования (88.20) здесь мают вид
прини-
(96.6а)
(96.6b)
(96.6с)
(96.6d)
прини-
(96.6а)
(96.6b)
(96.6с)
(96.6d)
Рр
一 &G1 (g, д')
p,_ dG'{q,q)
dqP
_ %（P，P‘）
呢(р, р')
4P
dpp '
дрР
Рр
—"з (g, p') dqP '
qj=四3 (д, р').
Рдрр ，
外
_ aG&(p, д')
— 鸡g，9’)
дрР
dqP
Рр
一 &G1 (g, д')
p,_ dG'{q,q)
dqP
_ %（P，P‘）
呢(р, р')
4P
dpp '
дрР
Рр
—"з (g, p') dqP '
qj=四3 (д, р').
Рдрр ，
外
_ aG&(p, д')
— 鸡g，9’)
дрР
dqP
Здесь производящие функции произвольны и должны только удовлетворять условию несингулярности, а именно
(96.7)(96.7)
(96.7)
(96.7)
Различные производящие функции, выполняющие одно и то же преобразование, связаны уравнениями вида (88.19).
В QTPH функция Q была инвариантом, а специальный параметр w оставался неизменным при КП. Поэтому в QP, Н преобразуется как инвариант, а 力 не изменяется. Канонические уравнения (96.1) преобразуются в следующие:
Для того чтобы преобразовать траектории в пространстве QP в параллельные прямые, повторим рассуждения § 91) Находим функцию G (д,р‘)，удовлетворяющую уравнению Гамильтона — Якоби,
片 0.(96.9)
\ dq /dqp дра
Тогда КП
р.=吗,р) , gj =嘗/2(96.10)
а〃дрр
определяет гамильтониан
Н，5, р') = я (д, р) = p'N,(96.11)
и после интегрирования траектории будут представлены следующим образом:
弘=〃£,•••, 0N —1 — 〃N—h qN =力，] /gg(2) Pl= ^1» • • • » PN-^-i = ^N —1, Pn=E,(
где а»,几 к E ——постоянные.
i) Эта формальная аргументация имеет место только в малых областях; ср. с § 63, 100.
22 口田，л, Синг
В случае консервативной системы всегда можно уменьшить число канонических уравнений на два с помощью интеграла энергии
(96.13)(96.13)Н (д, р) =Е,
(96.13)
(96.13)
который является очевидным следствием уравнений (96.1). Это уменьшение проводилось в § 92 и здесь достаточно отметить, как выполняется эта операция. Разрешаем уравнение (96.13) относительно одного из импульсов, например р^, получая, таким образом,
Pn = —/ Si, • • •, 9n, Pi, • • •, Pn-i, E)； (96.14)
тогда система 2N ——2 полученных уравнений имеет вид (92.34), с той лишь разницей, что ю заменена на /.
Если дан первый интеграл F (д, р), т. е. постоянная движения, то можно уменьшить число уравнений движения на два, как в § 92, решая уравнение
F(q, =р&, det — 中 0(96.15)
、ддр дро
относительно G (g, р‘)и применив КП (96.10). Так как р^ —— постоянная при движении, то новый гамильтониан Н' (д', р‘)не содержит д* и новые уравнения движения имеют следующий вид:
・， WdH
0] =，…，0NT
(96.16)(96.16)ан‘— ан’091/ntан‘— ан’091/nt0PlOp NT
(96.16)
(96.16)
ан‘— ан’
091/nt
ан‘— ан’
091/nt
Кроме этого, мы можем уменьшить число уравнений на два с помощью интеграла энергии (96.13).
Заметим, что решение уравнения (96.15) эквивалентно определению движения. Решение (96.15) может быть гораздо более простым, если /* (g, q) будет простой функцией, аналогичной pi + р? + Рз (ср. (92.35))
§ 97. Неконсервативные системы. Канонические преобразования в QP, Скобки Пуассона и скобки Лагранжа). Обратимся к рассмотрению неконсервативных систем с гамильтонианом Н (q, t, р), явно зависящим от времени, так что
дНдН0.0.(97.1)(97.1)
дН
дН
0.
0.
(97.1)
(97.1)
Так как функция энергии в пространстве QTPH имела вид Q (х, у), а не Q (с, у,①),то нельзя перенести теорию, развитую rua *QTPH, простым уменьшением размерности, как мы сделали это для консервативных систем в § 96. Правда, теория для пространства QTPH.остается справедливой во всей ее общности, однако она развита для пространства, в котором £ является координатой, а в пространстве QP мы низводим £ до роли простого параметра.
0G(q, * £)0G(q, * £)(97.2)(97.2)Рассмотрим функцию G (q, q「 £) и преобразование (,,р)т(4‘，р'), заданное формулами
0G(q, * £)
0G(q, * £)
(97.2)
(97.2)
—OG(q, q'")
PP ~ a ， PpMp
Тогда имеет место уравнение
(97.3)(97.3)Рр Мр — р； 6q； = 6G —史&dt
(97.3)
(97.3)
или
Pp б^р H〈q^ t, p) b£ ~
h P；师 一 К (『,厶")也 + 6G,(97.4)
где
К g, t, р) = Н 9, t, р) + 吧空3 .(97.5)
dt
Теперь G ——функция положения в пространстве QTP (так как можно разрешить (97.2) относительно q；, выразив его через (q, £, р)) и мы можем применить доказа-
тельство Пфаффа, аналогичное проведенному па стр, 329; отсюда заключаем, что канонические уравнения преобра-
・дН
8Pp
.дН
(97.6)
Рр =
зуются в следующие:
159
дК
Рр =
дК
(97.7)
@Рр
причем гамильтониан изменяется согласно (97.5). Таким образом, (97.2) есть каноническое преобразование (КП) в пространстве QP; производящая функция G содержит время i как параметр.
Это исследование в пространстве QP является менее общим, чем исследование, данное в § 94 для пространства QTP, потому что в случае пространства QP время не подвергается преобразованию. О КП, сохраняющих время в QTPH^ см. уравнения (88.26).
Пусть и и у — две произвольные функции 2N 十 1 величин (q, р, i), т. е. функции положения в пространстве QP и параметра i; их скобки Пуассона определяются следующим образом:
г 1 ди dv dv ・(97.8) 8外 др@ dqp дрр
Когда изображающая точка движется вдоль траектории, скоростью изменения любой функции F (q, р, i) будет
dFdtdFdt(97.9)(97.9)dF dF . dF . dF f ,=/+呪 G +加 Pp = R+ 仍'"]•
dFdt
dFdt
(97.9)
(97.9)
В частности, с помощью скобок Пуассона имеем другую возможную запись канонических уравнений:
号р = [qp, N],力р = Рр, Н].(97.10)
Покажем теперь, что если u (q, р, t) и v (q, р, i) — две постоянные движения^ то их скобки Пуассона [и, у] также являются постоянной движения.
Нам даны выражения
(97.11)
Согласно (97.9) имеем уравнение
@ к,少]=色 к, и] + [к,办 Я];(97.12)
последний член его можно изменить, приняв во внимание тождества Якоби — Пуассона
[к, г], m] + [[u, w],。] + [[г^, w], Z?] = О
(ср. с (89.3)), так что вследствие кососимметричности скобок Пуассона получаем соотношение
■^ 岗叨=亲也，W — М 〃]，以]+ [[и, Н], V]. (97.13)
Подставляя значения (97.11), получаем
dv .dtdv .dtди况ди况=0, (97.14)=0, (97.14)
dv .dt
dv .dt
ди
况
ди
况
=0, (97.14)
=0, (97.14)
что и доказывает сформулированное утверждение.
Рассмотрим теперь оо2 семейство траекторий с уравнениями
др = д° 伍 乙 /), рР = рР ®, % 力， (97.15) где и и V — постоянны вдоль каждой траектории. Тогда скобки Лагранжа
小外叭) d% dp@du dv dv du小外叭) d% dp@du dv dv du(97.16)(97.16)
小外叭) d% dp@du dv dv du
小外叭) d% dp@du dv dv du
(97.16)
(97.16)
есть функции u, г и i; докажем непосредственным вычислением г что эти скобки Лагранжа — постоянная движения. Имеем уравнения
. дН% =dPp. дН% =dPp"Ра -力dt"Ра -力dtдН/рдН/р(97.17)(97.17)
. дН
% =
dPp
. дН
% =
dPp
"Ра -力dt
"Ра -力dt
дН
/р
дН
/р
(97.17)
(97.17)
эти величины являются функциями и, о н t. Тогда d (dgp дрд _ д (Gqp дрЛ — dt\~du~dv) - dt\du~dv)—
= д*Н @9。@Рр 卜 @附 дра дррbppWqu °〃 °& Opp Ори °〃 dv
—珪 62H dqa _ dqp 62H dpa =
du dgp dqa dv du dqp dpa 6。
=@2〃 dpa dpp #H dgp dqa 岱) °Pp °Pu °〃 °d °Qp dq^ du dv
Меняя местами миги вычитая из (97.18) полученное таким образом уравнение, приходим к уравнению
-[u, v] = 0,(97.19)
dt
которое и доказывает наше утверждение.
§ 98. Неконсервативные системы. Абсолютные интегральные инварианты в пространстве QR Теорема Лиувилля. Продолжаем рассматривать общую систему, для которой Н = Н (q、t, р). Пусть большие индексы Л, 41, . . . принимают значения 1, 2, . . ., 2М, где Л/< &N、а №, как всегда, число степеней свободы системы. Рассмотрим 82M семейство траекторий с уравнениями
0р = 0р Ом), Рр = Рр ОМ), (98.1)
где 口 означает совокупность 2Af величин □&, которые постоянны вдоль каждой траектории.
Для любого фиксированного значения t уравнения (98.1) определяют 2Л/-мерную поверхность в пространстве QP. Пусть D ——некоторая область на этой поверхности, ограниченная пределами изменения «д. Введем
следующий 2М X 2М детерминант, зависящий от 〃а и 七
А班(Qi，・
Одг)=
Moi
6%1
.dui
du2
% 2M
a^2
四02
du{
切2
GM2M
aq°M
附PM
dus.
du2
%2亚
dp 01
@Pq
dPei
dUi
du2
6以2M
аром
6。仃".
dui
%
du 2M
• , Qm
7 Ом —
любые
числа в пределах
Здесь Qi,, 1, 2, . . ., N・ Тогда интеграл
(98.2)
，Дм(21, 一” 2м» о】，•…，Пм) diii，. . du2M (98.3) b
инвариантен в том смысле, что он имеет одно и то же значение независимо от того, какие параметрыт) ил выбраны в области D, Определим ①м следующим образом:
Флг — Ам (Qr г Qm，Qi, . * м Qm) (98.4)
(с обычным условием суммирования). Далее определим:
(98.5)(98.5)1 с
(98.5)
(98.5)
‘妝= Т77 \ ①М ""1 * ■ • "〃2ЛЬ助!3
1) При условии, что их ориентация ие изменяется; ср. В 1 о с к Н. D,, Quart. Appl. Math. 12, 201—203 (1954).
Его значение не зависит от выбора параметров □а в D.
Вводя символ перестановки еА1 . . . а2м' который кососимметричен относительно всех своих индексов и равен единице, когда они пробегают значения 1,2, . . ,, 2M, можно записать детерминант (98*2) в явном виде. Однако нам нужна функция Фм только в форме (98.4); она имеет вид
е °Мам "夕@1 ^Ppm
(98.6)
Здесь суммирование производится по каждому q в пределах 1 . . . 7V и по каждому Л в пределах 1 . . . 2M. Выражая ①м через скобки Лагранжа, имеем
••• {%，%J(98・7)
Каждые скобки Лагранжа не зависят от t согласно (97.19). Поэтому Ф< не зависит от 力,и мы заключаем, что интегралы 7>, определенные формулами (98.5) 6儿兄 М = = 1,2,..,, N,只8几凡юте# абсолютнымих) интегральными инвариантами. |
Случай М ~ N имеет особый интерес. Абсолютный интегральный инвариант
г -
In =z=\ ①n dti{ <«« 6?口23(98.8)
представляет теперь интеграл, распространенный по части 27VlMерной области D в 2*-мерном фазовом пространстве QP. Эта область изменяется с 力,изображающие точки перемещаются согласно каноническим уравнениям (рис. 45). Для любого произвольно выбранного значения t можно использовать (д, р) как координаты в области £>, так
Они называются абсолютными (не относительными), потому что D не должно быть замкнутой областью (например, контуром).
что
〃£ =。£，• • •，〃N н 0N, 〃N+£ = р£, ••” 〃2N = Pn・
(98.9)
Уравнения (98.2) и (98.4) дают тогда
An(Qi， •・•， Qn, 。£， •・•， On) = Epj …PN%i…°n'1
(98.10) и интегральный инвариант IN принимает следующий вид:
(98.11)(98.11)In —— ) &,£ • • • &q n dp I • > • dpn —- \ &q dp
(98.11)
(98.11)
(если использовать сокращенное этот инвариант объемомr) D, имеем теорему Лиувилля: объем любой части пространства QP сохраняется^ если изображающие точкикоторые образуют его, движутся согласно каноническим уравнениям.
Этот результат имеет столь большое значение в статистической механике, что мы рассмотрим его е двух точек зрения.
Во-первых, теорема Лиувилля в той форме, в какой она доказана им), на самом деле более обща, так как в ней можно не требовать ни четности пространства, ни канонической формы уравнений движения.
彰厶dt彰厶dt=Хд (况，*),=Хд (况，*),обозначение). Называяобозначение). НазываяРис. 45. Сохранение объема в QP (теорема Лиувилля).Рис. 45. Сохранение объема в QP (теорема Лиувилля).Рассмотрим уравненияРассмотрим уравнения(98.12)(98.12)Гиббс называет его extension-in-phase (фазовый объем). [См. Гиббс, Основные принципы статистической механики, Гос- техиздат, Москва, 1946, стр. 23. (Прим, перев.)]
彰厶dt
彰厶dt
=Хд (况，*),
=Хд (况，*),
обозначение). Называя
обозначение). Называя
Рис. 45. Сохранение объема в QP (теорема Лиувилля).
Рис. 45. Сохранение объема в QP (теорема Лиувилля).
Рассмотрим уравнения
Рассмотрим уравнения
(98.12)
(98.12)
где правые части удовлетворяют условию 些-=0,(98.13)
а индексы Л пробегают значения 1, 2, . . ., 7И (с обычным условием суммирования). Используем гидродинамическую терминологию вместо того, чтобы следовать рассуждениям Лиувилля. Уравнения (98.12) определяют поле скорости Va = Ха в 7И-мерном пространстве, в котором хд выбраны в качестве декартовых прямоугольных координат. Так же как в обычной гидродинамике выражение
дх ду dz есть расходимость (скорость возрастания единицы объема), так и в этом 7И-пространстве dv^/dx^ имеет тот же смысл, а объем определяется как g dwi . . . dw^. Тогда вследствие (98.13) объем сохраняется. Детали доказательства можно дополнить, выразив скорость возрастания объема, движущегося согласно уравнениям (98.12), через интеграл по ограничивающему его (М ——^-пространству и применяя теорему Грина. Очевидно, что в частности условие (98.13) выполняется, если М четно и уравнения (98.12) — канонические.
Возможен другой подход с помощью канонических преобразований (КП). Суть дела здесь состоит в том, что якобиан КП равен единице (ср. с (88.29)); это остается справедливым даже в том случае, если КП (q, р)т (д', р') содержит t как параметр. Отсюда следуют два заключения. Во-первых, совершенно безотносительно к движению, видим, что интеграл IN (98.11) есть удобное определение объема, так как объем, определенный таким образом, имеет одно и то же значение для всех координат (q, р) в пространстве QP, полученных из одной такой совокупности координат посредством КП ^. Во-вторых, объем сохраняется при движении, потому что движение в соответствии с каноническими уравнениями состоит из бесконечно малого КП (ср. (90.4)).
е существует определения объема, инвариантного относительно произвольных преобразований (д, р).
В статистической механике 】)мы рассматриваем огромное число п идентичных гамильтоновых систем, отличающихся только их начальными условиями. Суперпозиция этих систем в пространстве QP дает ансамбль («облако тонкодисперсной пыли») изображающих 'Точек с плотностью вероятности / (夕，р,力)，такой, что п/ dq dp есть число изображающих точек в элементе объема dq dp в момент времени 九 Когда элемент dq dp движется, согласно каноническим уравнениям его объем сохраняется, также сохраняется число изображающих точек в нем. Отсюда df/dt = 0 или, что эквивалентно,
^+[/,Я] = 0. (98.14)
Это —- фундаментальное дифференциальное уравнение в частных производных, которому удовлетворяет плотность /; оно определяет / для любого 厶 если задано / для 力=0.
Переменные действие — угол). Переменные действие ——угол были введены Делоне для исследования проблем астрономических возмущений в небесной механике. Позже они оказались чрезвычайно удобными для старой формы квантовой механики, так как квантование Бора — Зоммерфельда состояло в том, что каждая переменная ——действие полагалась равной целому кратному постоянной Планка h.
1) См. Fowler R. Н., Statistical Mechanics (Cambridge, University Press)； X и н ч и н А. Я., Математические основания статистической механики (Москва, Гостехиздат, 1943); М й п- s t е г A., Statistische Thermodynamik (Berlin, Springer, 1956); см. также статью Э. А. Гуггенхейма в части второй тома Ill Handbuch der Physik.
Как показано ниже, теория переменных действие — угол зависит от разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби. Пространство QP должно иметь евклидову топологию, одна или более разделяющихся переменных может быть циклической (как, например, азимутальный угол)丄).Однако наличие циклических координат не является существенной чертой теории, просто они делают обсуждение несколько более сложным. Поэтому будем предполагать, что таких координат нет; существенные изменения, вызванные их наличием, будут отмечаться там, где это необходимо.
Пусть гамильтониан2) Н (д, р) таков, что уравнение Гамильтона — Якоби допускает разделение переменных (§ 78). Поэтому мы замечаем, что в 2MMeрном пространстве переменных (д, р') дифференциальное уравнение в частных производных
имеет решение вида
G (g, ") = Gi (必，")+ G2 (а?，") + ••• + GnSn, Р)
(99.2)
где рг подставлено вместо N величин р} и выполняется детерминантыое условие
J 82G сdet父 0;J 82G сdet父 0;6备 дро6备 дро(99.3)(99.3)
J 82G с
det父 0;
J 82G с
det父 0;
6备 дро
6备 дро
(99.3)
(99.3)
другими словами, (99.2) есть полный интеграл уравнения.
Каноническое преобразование (КП) определяется уравнениями
@G(g, р'), _ &G (д, р')@G(g, р'), _ &G (д, р')(99.4)(99.4)
@G(g, р'), _ &G (д, р')
@G(g, р'), _ &G (д, р')
(99.4)
(99.4)
(§ 63).(§ 63).1) Напомним, что слово «циклический» употребляется в топологическом смысле; этот термин нельзя путать с «игнорируемый^
(§ 63).
(§ 63).
а) Предполагается, что система консервативна, т. е. дН/dt = 0.
Отсюда можно видеть, что дает разделение переменных; в более подробной записи первая группа этих уравнений имеет вид
Р1Р1dGi (%, р')dGi (%, р')dqtdqtР2Р20&(02, Р)0&(02, Р)dgdg• • •, Р N• • •, Р N%（出加；（99.5）%（出加；（99.5）@，N@，N
Р1
Р1
dGi (%, р')
dGi (%, р')
dqt
dqt
Р2
Р2
0&(02, Р)
0&(02, Р)
dg
dg
• • •, Р N
• • •, Р N
%（出加；（99.5）
%（出加；（99.5）
@，N
@，N
каждое уравнение содержит только одну переменную р и соответствующую ей q, но, конечно, в каждое уравнение входят, вообще говоря, все величины р；.
Новый гамильтониан равен тогда
и, р) = на р) = н 0,勖=рзи, р) = на р) = н 0,勖=рз(99.6)(99.6)
и, р) = на р) = н 0,勖=рз
и, р) = на р) = н 0,勖=рз
(99.6)
(99.6)
а новые уравнения движения имеют вид
Ср = а , ' /рСр = а , ' /р8Н'8Н'(99.7)(99.7)
Ср = а , ' /р
Ср = а , ' /р
8Н'
8Н'
(99.7)
(99.7)
постоянные вдоль каж- для нее имеем д% = 4, написатьпостоянные вдоль каж- для нее имеем д% = 4, написатьПоэтому все величины (д', р‘)一 дой траектории, исключая д》，ибо так что g* = Е + const. Можно
постоянные вдоль каж- для нее имеем д% = 4, написать
постоянные вдоль каж- для нее имеем д% = 4, написать
(99.8)(99.8)Р N = Е \
(99.8)
(99.8)
на траектории. С по-на траектории. С по-где Е — постоянное значение Н
на траектории. С по-
на траектории. С по-
мощью КП (93.4) мы преобразовали траекторию в параллельные прямые линии, как в § 96.
Рассмотрим изображающую плоскость П^ в которой ,i, pi выбраны за прямоугольные декартовы координаты (рис. 46). Если N величин р] остаются постоянными, то первое уравнение (99.5) определяет кривую в плоскости /7\； обозначим эту кривую через Г1 (р‘). Аналогично другие уравнения в (99.5) определяют кривые Г2 (р‘),..- ・• •，Fn (Р) в изображающих плоскостях 〃纟,...,П^.
Предположим теперь, что все эти кривые замкнутые). В каждой изображающей плоскости имеем 87V контуров Гр (р‘)； система контуров
Рис. 46, Контур Г(р') или Г1(у) в плоскости канонических переменных д, р.
(по одному в каждой плоскости) определяется значениями “ величин
Определим величины J。формулами
J] = § р& dq&,= § Рn (99.9)
Г1(РОFn(P')
на самом деле это «площади», заключенные внутри) нескольких контуров, определенных значениями р]. Предполагая затем, что
det ^ ^ 0,(99.10)
др а
имеем обратное функциональное соотношение (J) J(p) и можем выразить р'р как функцию интегралов Jp:
Р； = Р；(/)・(99.11)
Подставляя эти функции в (99.1) и (99.2), получаем решение уравнения
，(д,嘗)=pi(J)(99.12)
в 27У-мерном пространстве переменных (g, J); это решение вида
G (д, /) = G] (к, J) + G2 (倣，/) + ・・・ + Gn Sn, J),
(99.13) где переменные все еще разделены. Примем эту функцию за производящую функцию КП (g, р)—> (w, J), выраженного формулами
=(99.14)
dqpdJ р
Величины 乙 называются переменными действия, а величины wp — угловыми переменными.
Когда употребляются угловые переменные, гамильтониан содержит только одну переменную действия; обозначим его через Н* (J). Канонические же уравнения движения имеют вид
р =р =ан _0ан _0Wp =Wp =дНдН(99.15)(99.15)
р =
р =
ан _0
ан _0
Wp =
Wp =
дН
дН
(99.15)
(99.15)
так что все Jp постоянны вдоль каждой траектории и все wp определяются выражениями
(99.16)(99.16)% = *pt + бр,
(99.16)
(99.16)
где vp и бр — постоянные, причем первые равны
дНIF；дНIF；(99.17)(99.17)
дН
IF；
дН
IF；
(99.17)
(99.17)
Постоянное значение Н вдоль траектории есть
Е = Е = Н* (/), постоянная Е — полная энергия в обычных динамических системах.
Свойство периодичности угловых переменных. Пусть Г ⑺一некоторый контур в пространстве QP、 такой, что все переменные действия /р на нем постоянны. Положение изображающей точки В в пространстве QP определяет положения изображающих точек 5P в плоскостях Лр (рис. 46) и когда точка В обходит один раз контур Г (J), эти точки Вр обходят соответствующие контуры Гр (J), возможно, по нескольку раз. В символической форме можно написать
门J)=几pFp (J),(100.1)
где коэффициенты пр — целые числа (положительные, отрицательные или равные нулю). В соотношении (100.1) и ниже имеет место обычное условие суммирования от 1 ДО N.
При обходе контура Г точкой В производящая функция G*(9, /) возрастает на
ApG* = $ dqp = $ рр dqp, (100.2)
Для того чтобы исследовать это выражение, пишем первую группу уравнений преобразования (99.14):
Р1 =鸣(gi，J),…,Pn = ”n Sn, J).(]00 3) dqidqN
Первое из этих уравнений устанавливает связь между pi и ^i, которая одинакова для точки 8 на контуре Г (J) и для соответствующей точки 约 на Г1 (/); поэтому согласно определению переменной /； (99.9) имеем
§ Pi dqi =小 § Pi dqi = м〃.(100.4)
г (J)Г1 (J)
Таким образом, уравнение (100.2) дает следующее соотношение:
(100.5)(100.5)ApG* --• zipj р *
(100.5)
(100.5)
Мы видим, что вследствие предположений (явных и неявных) функции G： (^i, J) •・・ G齐 Sn, J) необходимо представляют собой многозначные функции аргументов д.
При бесконечно малом варьировании переменных действия 几 соответственно изменится контур Г (/). Коэффициенты лр в выражении (100.5), будучи целыми числами, не изменяются при этой бесконечно малой вариации; получаем поэтому
6AfG* = np 6Jp・(100.6)
С другой стороны, из уравнения (100.2) имеем
SArG* = 6 § Рр dqp = § (bpp dqp — d9p dpp). (100.7) rV)г (J)
Последнее выражение есть билинейная форма, инвариантная относительно КП (ср. § 96), и поэтому
6ArG* = § (6Jp d% — 6% dJp). (100.8) r'(j)
Но все Jp постоянны на контурах Г — варьированном и неварьированном; поэтому dJp = 0 и dJp = const и мы имеем новое уравнение,
SArG = 6/рДги?р,(100.9)
(100.10)(100.10)где Дггрр ——приращение переменной wp при одном обходе контура Г (J). Сравнивая это последнее уравнение с (100.6), мы можем сформулировать следующий результат. Если изображающая точка В обходит в пространстве QP один раз нек о- т о р ы й контур Г (/), н а котором все переменные действия Jp сохраняют постоянные значения, т о приращение угловой переменной wp есть
(100.10)
(100.10)
Дг 4 = %,
23 Дж. Л. Синг
где zzp — ч и с л о обходов, которое совершает точка / п о контуру Гр (J) в плоскости %.
В частности, если все величины (g, J), кроме д% фиксированы, то точка Bi движется по кривой Г1 (/) в плоскости Я1, а точки В2. . . ., BN остаются неподвижными. Это вынуждает изображающую точку В в пространстве QP двигаться по некоторой кривой Г1 (/) и когда Bi ПОЛНОСТЬЮ обходит контур Г1 (/), В полностью обходит некоторый контур Г* (/), для которого числа пр формулы (100.1) равны
— 1, nN = 0. (100.11)
Подставляя их в (100.10) и заменяя Г на Г*, имеем уравнения
1, Ar*tz^2 0, • • ”，Af*iz^n = 0. (100.12)
Отсюда получаем более общие соотношения, принимая введенные выше обозначения
Аг* % = бро-(100.13)
Пусть теперь вторая группа уравнений (99.14) разрешена относительно qp:
0р = 0р W, /)•(100.14)
Фиксируя все величины (比,/), кроме 比九 мы оставляем тем самым изображающей точке в пространстве QP одну степень свободы. Что касается переменных %, то они задаются для этой одной степени свободы с помощью уравнений (100.3). Тогда В движется по некоторой кривой в пространстве QP, а «проектируемые» точки В^ движутся по кривым Гр (/)• Пусть Wi непрерывно возрастает от нуля до 1, другие переменные 叫，как мы договорились, остаются неизменными. Из уравнений (100.12) следует, что по выполнении этой операции точка 另i обойдет один раз контур Г1 (/), а точки В2, • • •, BN будут оставаться на своих исходных положениях, не обходя соответствующих контуров. Это же рассуждение можно провести для возрастания на единицу каждой угловой переменной в отдель-
ности; заключаем, таким образом, что функции (100.14) — периодические функции относительно каждой переменной wp с периодом 11).
Можно поэтому разложить эти функции в ряды Фурье вида
先=£4р；П,就(з什…+"峻浦；(100.15)
(n)'
суммирование ведется по всем целочисленным значениям (положительным, отрицательным и равным нулю), а функции Ар — комплексные функции переменных действия J, так что перемена знаков всех «р превращает Л в ее комплексно сопряженную величину. Тогда согласно (99.16) движение системы определяется уравнениями
% = 28Р； П1，…，£2"小-..宀2/，(100.16)
5 — функции переменных J. В этом смысле величины Wp являются «частотами». Если мы знаем функцию Н* (J), то частоты можно сразу вычислить из (99.17), дифференцируя эту функцию.
Предполагалось, что кривые в плоскостях 〃「，определяемые уравнениями (100.3) (при фиксированных значениях J), замкнутые; эти замкнутые кривые являются в действительности контурами Гр (J). Это предположение отнюдь не означает, что движение системы периодическое: мы видим из (100.16), что оно периодическое тогда и только тогда, когда отношения частот vp — рациональные числа.
Система называется вырожденной, если частоты удовлетворяют соотношению вида
51V1 + S2y2 + ・・• + SNVN = 0,(100.17)
где Si, . . ., Sn — целые числа или нули, среди которых по крайней мере два отличны от нуля. Вырождение
Циклическая координата не будет периодической. Она возрастает на свою циклическую постоянную и уравнения (100.15) и (100.16) изменяются — к ним добавляются другие члены; ср. Fu е s [6], стр 140; Голдстейн [7], стр. 115.
появляется, когда гамильтониан Н* (J) некоторым определенным образом содержит переменные действия. Поясним это следующим примером. Предположим, что гамильтониан имеет вид
(100.18)(100.18)E*(J) =/(К,乙，人，…，厶), К = "Ji + ТПгЛ + 加3」3,
(100.18)
(100.18)
где 码 一 целые числа. Тогда имеют место уравнения
ан* 5/刃а/ g
V2=硒^, v3 = m3 -, (100.19) uJ 167Л67ЛG К
и мы получаем двойное вырождение:
加2屮1 — ^iV2 = 0, ?Пз\ч — трз = 0.(100.20)
Как отмечалось в § 63, изложение общей динамической теории (с точки зрения современной чистой математики) дано в этой книге на довольно низком уровне математической строгости. Пока дело касалось теории в малых областях, было нетрудно внести в нее добавления, которые делали ее строгой теорией, но переменные действие —— угол выводят нас из бесконечно малых областей в конечные введением указанных выше контуров Гр (J). Отсюда возникают очень сложные топологические вопросы, которых мы в этой книге не рассматриваем.
ГЛАВА VIII
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 101. Приведение энергий к нормальной форме. Нормальные моды и частоты. Вырождение. Рассмотрим динамическую систему с N обобщенными координатамих) д" и лагранжевой функцией
L=T-V, Г = -А ара (9) q^if, V = V (9)； (101.1)
система движется согласно лагранжевым уравнениям движения
d дТдТdV*
dt dqpd(fdqp
Это ——обыкновенная динамическая система § 66 (ОДС). Рассмотрим задачу в пространстве конфигураций Q. Изображающая точка описывает траекторию в соответствии с уравнениями (101.2), траектория определяется начальной точкой q" и начальной скоростью q". Если в некоторой точке пространства Q имеем соотношение
% = 0，(101-3)
тогда, если скорость обращается в нуль, никакого движения нет. Эти N уравнений определяют конфигурации
Для того чтобы согласовать обозначения с тензорным исчислением, будем писать индексы вверху. См. § 62 об условии суммирования.
равновесия и можно ожидать, вообще говоря, что будет найдено дискретное множество таких точек в пространстве Q, так как число уравнений равно числу координат. Рассмотрим теперь малые колебания около положения равновесия.
Изменив систему координат, можно сделать положение равновесия началом координат 0 (тогда др = 0) и положить также, что F ~ 0 в точке О (так как потенциальная энергия всегда определена с точностью до аддитивной постоянной). Раскладывая F и ара (^) в степенные ряды в окрестности точки О, получаем главные части функций
?=^ap°F 严，F = 1 b^q0.(101.4)
Здесь коэффициенты — постоянные и ap(J = аор1 bp0 — =匕吁 Уравнения движения (101.2) теперь примут вид
apoqa + &p°g° = 0.(101.5)
Ради математической ясности стоит забыть, что мы имеем дело с приближениями и рассматривать уравнения (101.4) и (101.5) как точные уравнения,определяющие нашу задачу с конечными %; однородность системы позволяет это.
Непосредственный практический метод решения системы (101.5) состоит в том, чтобы подставить значения
др=а%2‘，(101.6)
где ар — постоянные комплексные амплитуды и со — круговая частота. Исключая ар из уравнений (101.5), получаем вековое уравнение
det SpoS? — ftpа) = 0,(101.7)
из которого надо определить значения со. Любой положительный корень со2 дает действительное значение со. Это — нормальная круговая частота, а соответствующая нормальная мода колебания является действительной частью д* (101.6); амплитуды являются решениями уравнений
(аоп(и2 — b00) а° = 0.(101.8)
Отношения величин а ——действительные числа, но они имеют некоторый общий произвольный комплексный множитель.
Приведенному методу трудно следовать, если вековое уравнение (101.7) имеет кратные корни; кроме того, мы достигаем значительно более глубокого проникновения в математическую структуру проблемы, представленной уравнениями (101.4) и (101.5), начиная с начала и используя геометрию пространства Q. Предполагаем, что кинетическая энергия ——положительно определенная функция (что и имеет место в случае всех естественных систем); тогда квадратичная форма
Л = аРм° 峭 (101.9)
также положительно определенная и существует линейное однородное преобразование (д)—>(丁)，которое превращает т) Л в квадратичную форму:
4 = д『+д『・+…+ 抬. (101.10)
Если обозначить конечные приращения знаком Д, то формула
Z>2= apo\<f\(f = Д?；2 + ... + A?n (101.11) определяет конечное евклидово расстояние D между некоторыми двумя точками пространства Q. (Это интегрируемая форма кинематического линейного элемента § 84.) Кинетическая энергия выражается следующим образом:
? 严0° = ^ (疗 + 減 混).(101 12)
Можно теперь рассматривать Q как евклидово TV-мерное пространство, д。—— как косоугольные, ад] —— прямоугольные декартовы координаты. Мы хотим определить геометрическую форму эквипотенциальных поверхностей, которые имеют уравнения
В = 6°°g°g° = 6]°gZ g； = const, (101.13)
卫)Удобно обозначить новые координаты через 公(а не 尹)； для преобразований, сохраняющих форму (101.10), не существует различия между контравариантными и ковариантными величинами.
Рис. 47. Приведение к нормальным координатам методом максимума (случай, когда N = 3).Рис. 47. Приведение к нормальным координатам методом максимума (случай, когда N = 3).где % о ——новые коэффициенты, полученные в результате преобразования.
Рис. 47. Приведение к нормальным координатам методом максимума (случай, когда N = 3).
Рис. 47. Приведение к нормальным координатам методом максимума (случай, когда N = 3).
Для того чтобы исследовать главные оси эквипотенциальных поверхностей и выяснить, какого типа эти поверхности, эллиптического или гиперболического, проведем следующее рассуждение. Удобно иметь перед собой одновременно выражения в обеих координатных системах (q) и (q) Будем записывать слева— первые, справа — вторые уравнения. На сфере Sn—1， уравнение которой
GpoqPqO = 1 или q『+ q『亠• • • +抬=1, (101.14) 5 есть функция положения; она достигает максимального значения (обо
значим его 11) в двух или более точках сферы SN^i. Пусть U⑴р (или С7р1})——координаты такой точки (рис. 47).
Теперь пересечем сферу Snt плоскостью, ортогональной этому последнему вектору; уравнение плоскости apauwpqp = 0 или /⑴ д； = 0,(101.15)
получаем при этом N — 2-мерную сферу (обозначим ее Sn-2)・ На сфере Sn-2 величина В достигает максимума (12) в двух или более точках; пусть t/(2)p (или U；")) координаты такой точки. Имеем условие ортогональности
Qp°t/⑴ Р。⑵。=0 или%(”£/；⑵=0. (101.16)
Пересечем затем сферу Sn-2 плоскостью, ортогональ- но立力⑶Р, получаем сферу Sn-з и продолжаем те же рассуждения. Придем в конце концов к окружности S^ и, наконец, к паре точек S°・
Таким образом, мы получаем систему N взаимно ортогональных единичных векторов U«〉q или %(。) И ЧИСЛЯ 入о.
§ 101] ПРИВЕДЕНИЕ ЭНЕРГИЙ К НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ 361 связанные с ними;入。一это максимумы функции В при условиях, установленных выше. Затем с помощью ортогонального преобразования
qp = 4ра，а » ^рст^рх = ^ах^. (101.17)
перейдем к новым прямоугольным декартовым координатам 曲，оси которых совпадают с полученными выше ортогональными векторами. Благодаря свойствам максимума легко показать, что в форме В отсутствуют все произведения членов, когда В выражена через координаты q\・ Опуская два штриха в конечных координатах, можно выразить этот результат так. Да«ы две квадратичные формы А и В, причем 4 —— положительно определенная, тогда существует линейное однородное преобразование- которое превращает 4 в сумму квадратов переменных^ а В — е квадратичную форму^ в которой отсутствуют произведения членов* соответственно зтому кинетическую и потенциальную энергии (101,41) можно преобразовать к следующим выражениями
7 = ~^ (?1 + 宏 + • • • + 派)，
(10148)
Р = 2 (^1^1 + ^2^2 + •・• + ^^^^)■
Эти последние координаты называются нормальными координатами. В этих рассуждениях несущественно, являются ли 左 положительными или их знаки различны; все они конечные действительные числа 】),так как наша аргументация не выходила за пределы вещественной области.
Как только энергии приведены к нормальной форме (101,18), исследование движения становится предельно простым, ибо уравнения движения (101.2) принимают вид
赏 + 入 141 = 0, ... qN + kNqN = 0,(101,19)
Преобразование энергий к нормальной форме вида (101.18) (на основании свойств максимума или другим способом) есть основание исследований по теории малых колебаний. Ср. С о г b е п and S t е h 1 е [3], гл. 8 (где имеется большое число примеров систем с малыми и большими числами степеней свободны) ;Голд- ст е 近 н [7], гл. X； Уиттекер [28], гл. VII.
в котором переменные разделены. Любое из этих "уравнений имеет следующее решение (в зависимости от знака числа X, входящего в уравнение):
если X > 0, ' если 九=0,(101.20)если X < 0,если X > 0, ' если 九=0,(101.20)если X < 0,q = a cos У Kt + Ъ sin ]/方，
если X > 0, ' если 九=0,(101.20)
если X < 0,
если X > 0, ' если 九=0,(101.20)
если X < 0,
g = а£ + 6，
g = a ch ]/ —九£ + 6 sh ]/ — Xi,
где а и 6 — постоянные.
Равновесие устойчиво при любом из следующих эквивалентных условий:
Все 九 一 положительны.
b^Gq^qG — положительно определенная форма.
V ——потенциальная энергия ——достигает истинного минимума в равновесии.
Если одно из чисел 九 равно нулю или отрицательно, то равновесие неустойчиво. В случае устойчивости эквипотенциальные поверхности — эллиптического типа; в случае неустойчивости они либо эллиптические (V имеет максимум в центре), либо гиперболические, либо цилиндрические.
Предположим равновесие устойчивым так, что каждая нормальная координата изменяется синусоидально как в первом случае в (101.20). Тогда нормальная мода колебания есть та, в которой колеблется только одна нормальная координата, а другие равны нулю, а нормальные частоты 丫口 и нормальные круговые частоты сор равны соответственно
"р = 丁 丿九% = М'р； (101.21)
Если две (или более) из этих частот совпадают, то систему называют вырожденной). В нормальной моде изображающая точка пространства Q совершает гармоническое колебание по прямой линии. Эти пря-
мые являются главными осями эквипотенциальных поверхностей (101.13), когда эти поверхности отнесены к координатной системе (д'). В невырожденной системе эти прямые фиксированы в пространстве. Для вырожденной системы они частично не определены; известно, что они лежат в плоскости двух или более измерений (соответственно степени вырождения) и нормальную моду можно представить на любой одной из этих линий, причем нормальные координаты в этом случае останутся частично не определенными. В совершенно вырожденной системе направление нормальной моды колебания совершенно произвольное. В этом случае эквипотенциальные поверхности являются сферами в системе координат
При произвольных начальных условиях система совершает движение, которое есть наложение всех нормальных мод. Вообще говоря, орбита в пространстве Q есть очень сложная кривая и движение является периодическим тогда и только тогда, когда отношения нормальных частот — рациональные числа.
Корни уравнения
det (ароХ — %о) = 0 (101.22)
инвариантны относительно линейных преобразований координат q. Для нормальных координат, как в случае (101.18), эти уравнения принимают вид
(入-儿)(入一入2)一.(入一入n) = 0. (101.23)
Следовательно,入匕 入2, . . ., ^ являются корнями уравнения (101.22). В самом деле, они представляют собой собственные значения матрицы 匕口。 относительно матрицы Если 厶一какое-нибудь одно из этих собственных значений, то уравнения
入环。炉=Ьраи° (101.24)
определяют соответствующие собственные векторы для любой системы координат. Из инвариантности этих уравнений легко увидеть, используя нормальные координаты, что направления собственных векторов совпадают с направлениями нормальных мод колебания. Так как
(101.22)—то же уравнение, что и (101.8) (за исключением тривиальных изменении в обозначениях), то становится ясной математическая важность простой подстановки (101.6), которая остается самым практичным методом для исследования задачи теории колебаний. На вырождение указывает наличие кратных корней векового уравнения (101.7).
§' 102. Действие связей. Пусть на систему с кинетической и потенциальной энергиями вида (101.4) наложены связи
ApqP = 0,(102.1)
где Ар — постоянные.
Если мы рассматриваем энергии в (101.4) как приближения, справедливые при малых значениях скоростей и координат, то (102.1) можно считать следствием любой связи, которая не зависит от времени; она может быть даже неголономной, так как в линейном приближении не существует никакого различия между голо- номными и неголономными связями.
Как и в случае (46.15), уравнения движения системы, на которую наложены связи, таковы:
ар^ = -Ьр^ + ^Арч(102.2)
где 存——неопределенный множитель. Для того чтобы исследовать движение, подставим
др = а噎 3(102.3)
в уравнения (102.1) и (102.2); исключая величины ар и А, получим следующее детерминантное уравнение для круговой частоты о:
%)о ① Ьр о%)о ① Ьр о4P04P0=0.=0.(102.4)(102.4)
%)о ① Ьр о
%)о ① Ьр о
4P0
4P0
=0.
=0.
(102.4)
(102.4)
Таков план практических действий. Но для того чтобы найти соотношение между частотами свободной системы и системы, подчиненной связям, лучше использовать нормальные координаты свободной системы, как в выражениях (101.18). Тогда, если обозначить(оа через X,
уравнение (102.4) примет вид
А 仇)-0,
(102.5)
где
X —入 10.
>4丄•
0 入—入2 .
*А 2
А 0)= —
00.
•(102.6)
4142
4n °
Числа Ар —
коэффициенты в
уравнении связи (102.1),
выраженном через нормальные, координаты. Разлагая
в ряд, имеем
△ 3)=0 -入2)3 — 入з)仇一 An) +}
+ 4；(入一九 1)(入一九3). . .(入一入N)+ I + Л3 (X - Xi) (X -入2). 一(入一入n) +> (102.7)
+ 4^仇—九1/仇-九2丿...(九-入n_1) ■ J
Здесь 入 1,入2,. …入n — квадраты круговых частот свободной системы.
Предположим, что свободная система невырождена; тогда простой перестановкой координат можно упорядочить 入 так, что
入1 V入2V. •・V入№・(102.8)
Предположим, кроме того, что ни одна из величин 4P в уравнении (102.7) не обращается в нуль. Тогда
А(М>0, А(^_1) <0, А (^_2) > 0, ..,(102.9)
и поэтому А (А) имеет N —( действительных корней, разделяющих числа 入匕...,入》• При этих обстоятельствах (т. е., можно сказать, в общем случае) частоты системы, подчиненной связям, разделяют частоты свободной системы.
Для того чтобы сделать поправку на возможность обращения в нуль одного или более Л р, нужно ослабить
это утверждение, а именно, полоясить
V1 < V； < V2 < V2 • • . < Wnt《V」< Vn, (102.10) где v означают частоты свободной системы, а ”‘ 一 связанной. Вырождение может быть следствием введения связи; на геометрическом языке — эллипсоид допускает круговые сечения.
Эффект наложения связи на вырожденную систему лучше всего иллюстрировать примером. Возьмем N = 5 и предположим
儿 V 九2 = Аз = А& V 九5,(102.11)
так что в свободной системе имеет место тройное вырождение. Тогда уравнение (102.7) примет вид А 0) = /；仇一九2)3 仇-九5)+
+ (/+糸+ /：)仇一儿)(九一九2)2仇一九5)+
+ 腿3— 儿)0 一А2)、(102.12)
Предположим, что ни одна из величин Лр не обращается в нуль, тогда кривая А仇)ведет себя так, как показано на рис. 48. Имеем, таким образом,
A (Xt) >0, А (儿)=0,А 仇5)> 0,(102.13)
а вблизи А =九2
а (九)(/； + /之 + /：)(入2 — Ai)(九一九2户仇2 —a5)V 0-
(102.14)
Система, подчиненная связям, имеет нормальные частоты ”； V ”2 = 州；＜ ^ как показано на рис. 48 (переход от А/ к М определяется соотношением 4n2v'2 =力). Тройное вырождение сводится к двойному.
Устойчивая система остается устойчивой при наложении связи, а пеустойчивая может быть сделана устойчивой с помощью связи.
Если система подчинена одной связи (как это было в рассмотренном случае), то можно исключить одну из координат и ввести N ■— 1 новых нормальных координат. Такой ход рассуждений позволяет изучить действие дополнительных связей. В общем случае, когда нет никакого вырождения и связи не выбраны каким- либо специальным образом, мы имеем последовательные разделения в следующем виде:
Никаких связей:
已 v2
Уз
Одна связь:
V；
Две связи:
Vg
…-N—2
N — 2 связи:
/V ——1 связи:
『2)
『2)
Все эти вопросы с геометрической точки зрения являются вопросами о длинах главных реей плоских сечений эллипсоида в многомерном евклидовом пространстве; если встать на эту точку зрения, то на некоторые из этих вопросов можно сравнительно легко ответить.
§ 103. Диссипативные системы. Гироскопическая устойчивость. Рассмотрим следующую систему ^ линейных дифференциальных уравнений с действительными постоянными коэффициентами
Qp°F+cp/° 十仇。外=0. (103.1)
Такие уравнения встречаются при изучении диссипативных и гироскопических систем, а также в теории электрических контуров. Мы рассматриваем их как точные уравнения хотя на практике они могут быть только
линейными приближениями более сложных точных уравнений. Нас - интересует устойчивость решений системы (103.1); случай, когда сра = 0,伽。=аар и 如。=6。「， уже изучен в § 101.
Рассмотрим систему, кинетическая и потенциальная энергии которой определяются выражениями
7 ="р。^丁， Р = bpaqpqa. (103.2)
Если, кроме обобщенной силы —dV /dqp^ приложена сила трения (затухание),
Qp = — СрП，(ЮЗ.З)
то уравнения движения принимают форму (103.1); отсюда имеем
(7 + 7) = Qpqp = - cpaqpqa. (103.4) at
Если мы принимаем естественное предположение, что работа демпфирующей силы затухания отрицательна, то квадратичная форма c^^q0 — положительно определенная и величина Г + V постоянно убывает. Если система устойчива при отсутствии затухания, т. е. если V положительно определенная функция, то при затухании устойчивость не нарушается. Но если система без затухания неустойчива, то без привлечения изложенных ниже общих соображений нельзя сказать определенно, вызовет ли затухание устойчивость.
Уравнения в форме (103.1) получаются также для системы, имеющей лагранжиан вида
i = 4 apaqpq°+ d^q0 - ^ йр^^. (103.5)
Мы имеем здесь кососимметричную матрицу
^р ст = ^р о ^стр*^р ст = ^р о ^стр*(103.6)(103.6)
^р ст = ^р о ^стр*
^р ст = ^р о ^стр*
(103.6)
(103.6)
Лагранжиан такого вида встречается при рассмотрении реономных систем или в задаче с игнорируемыми коор-
динатами, в частности, в случае гироскопических систем. Поэтому устойчивость, возникающая благодаря наличию среднего члена в уравнении (103.1), называется гироскопической 】)•
Продолжаем исследовать устойчивость решений уравнения (103.1), подставив
9Р = apes/, (103.7)
где все а и s ——постоянные. Исключая первые величины, получим детерминантное уравнение для
A(s) = det (apas + Cp(yS + bp。)= 0. (103.8)
Критерий устойчивости, таков: для устойчивости каждый корень этого уравнения должен иметь неположительную действительную часть 2).
Легко установить следующий результат, отмеченный уже в связи с (103.4). Если apa = aap, ipa = Ь°р (но Ср。# сар, вообще говоря), и если три квадратичные формы
4 = ap/Pq°, B=bp°qPq。, С = Ср。厂 9° (103.9) все положительно определенные, то система устойчива. Для того чтобы доказать это, заметим, что положительная определенность В заключает в себе условие det 6pa Ф 0 и поэтому (103.8) не имеет корней, равных нулю. Тогда для любого корня s имеем
(so。。+ cpa + sFp。) a° = 0 (103.10) для некоторого не обращающегося в нуль (комплексного) вектора а°・ Умножая это выражение на комплексное сопряженное ар и складывая полученное таким образом уравнение с сопряженным ему, получаем следующее уравнение:；
(S + §)4'十 2С'十($т 十 ^)В' = 0, (103.11)
370
Малые колебания
[гл. Aziii
где
4= &р詆％°, В' = Ьроара0, 2С，= ^証％°+ сраара°.
(103.12)
Уравнение можно переписать в виде
(s + w)(лм 哥 + 2С(s + w)(лм 哥 + 2СО,О,(103.13)(103.13)
(s + w)(лм 哥 + 2С
(s + w)(лм 哥 + 2С
О,
О,
(103.13)
(103.13)
откуда получаем s + s < 0 (условие, заключающее в себе устойчивость), так как положительная определенггость форм Л, В, С означает, что Af, 5\ С' положительны, Обратимся к детерминантному уравнению (103.8), не накладывая никаких ограничений на матрицы ар0, Ьр0, Ср о, за исключением одного условия:
det аро > 0.(103.14)
Тогда, разлагая детерминант, мы получаем алгебраическое уравнение степени 2N, в котором коэффициент при s?n положителен. Мы отыскиваем необходимое и достаточное условие отрицательности действительных частей корней этого уравнения (это несколько более сильное условие, чем требование устойчивости, для которой достаточно также равенства действительных частей корней нулю).
В рассуждениях, которые следуют ниже '), четность степени уравнения не играет роли; удобно написать уравнение для s в следующем виде:
/ (s) = QoS" + &s"T + ... = 0, Qo > 0. (103.15)
Если в комплексной плоскости s пробегает мнимую ось от —8 до + оо, то приращение arg /(s) точно равно л-кратному числа корней с отрицательными действительными частями функции /(s) = 0. Для того чтобы использовать этот факт, пишем s =力沙 и
Ш = /向)=产(九一歩R-3(103.16)
R о u t h E. J., Stability of Given State of Motion, гл. 3 (London: Macmillan, 1877); Peres [20], стр. 265; Routh 22, II, гл. 6; Winkelmann and Grammel [29], стр. 480*
где
рК = a0y" -021/" 2 + …♦，
(103.17)
Таким образом, для s, пробегающих мнимую ось, имеем
(103.18)(103.18)1Рп~
(103.18)
(103.18)
arg /(5)= ^ пл — arctg -—
и если все нули функции /(s) имеют отрицательные действительные части, то arctg (pn-i/pn) уменьшается на пл,
Рис. 49. Сцепленные полиномы.Рис. 49. Сцепленные полиномы.
Рис. 49. Сцепленные полиномы.
Рис. 49. Сцепленные полиномы.
Это имеет (Рп, Pn-丄)Это имеет (Рп, Pn-丄)когда у пробегает значения от —оо до 4~оо. место тогда и только тогда, когда полиномы сцеплены в следующем смысле:
Это имеет (Рп, Pn-丄)
Это имеет (Рп, Pn-丄)
Все нули рп (у) действительные.
разделяютразделяютВсе нули Pr_丄(у) действительные и
разделяют
разделяют
нули полинома р»(у).
Взаимоотношение Рп и Pn~i показано на рис. 49; Рпт 一 положителен в точке Л и отрицателен в точке В, Точки 4 и 5 一 последовательные нули полинома Рп^ и полином Рп между ними положителен. Это отношение эквивалентно условию, что Рп и Pn-i имеют один и тот же знак в пределе при у —> + оо (на рис. 49 arctg (Pn~t/Pn) уменьшается на л, при переходе от А к В).
изменим обозначения, положивРп=Апуп +Впуп~2+изменим обозначения, положивРп=Апуп +Впуп~2++ …](103.19)+ …](103.19)Соответственно вопрос об отрицательности действительных частей нулей функции /(s) эквивалентен вопросу о сцеплении (尸冷,Рп-^- Для того, чтобы обсудить это,
изменим обозначения, положив
Рп=Апуп +Впуп~2+
изменим обозначения, положив
Рп=Апуп +Впуп~2+
+ …](103.19)
+ …](103.19)
Определим последовательность полиномов Рп-2, Рп-з^ • - ..,,Ро и последовательность чисел Лп_2, Ап-^ , . ., Ло (коэффициентов при наивысших степенях переменных в этих полиномах) следующими формулами:
Рп-2 =Ап-2уп- + В…I +-
—^nyPп-1 一 ^n-iPni Pr-3 = ^п—з/Т 十 Вп_3уп~5 十…=
=^n-iyP n-2 —j/i-zP/i-l,
P2 =422/2 十瓦=44*)3 - 43P4
Pi = Aiy= A3yP2 — A^^
Po = Aq= A2yPi — 41P2 .
(103.20)
Как и в (103.5), принимаем Ап = До > 0. Предположим, что (A, Pn_i) сцеплены, так что и 4-1 > 0. Докажем, что тогда 仍冷-!, Рп_2) сцеплены. Для этого заметим, что из первого уравнения (103.20) следует: в любом нуле полинома Pn-i полиномы Рп_2 и Рп имеют противоположные знаки. Поэтому все нули Р^т действительные и разделяют нули Рп-^ В пределе, при у ―> 十8, Рп-2 имеет тот же знак, который он имел в наибольшем нуле полинома Pn-i，Этот знак совпадает, конечно, со знаком —Рп в этом нуле и он положителен (ср* с рис. 49). Поэтому 4т > 0, таким образом, полиномы (Рп_1, Рп_2) сцеплены.
Продолжая шаг за шагом такое рассуждение, мы увидим, что все пары полиномов (Рп_2, Рп_3), (Рп_3, Рп-д . • • (Pi, Ро) сцепленых) (задано, что Ап > 0), и заключаем, что сцепление полиномов (Рп, Рп^д означает также, что
471T > 0, Лп_2 > 0, ... Л! > 0, Ло > 0- (103.21)
Для того чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что имеют место условия (103.21) и Ап > 0. Для больших у каждый из членов правых частей фор-
мул (103.20) имеет более высокий порядок, чем соответствующие члены в левых частях этих равенств. Отсюда все полиномы Р имеют один и тот же положительный знак при у —^со, именно, знак 40. Таким образом, согласно последнему уравнению (103;20),尸2 положителен на бесконечности и отрицателен в у = 0, где 7\ = 0. Отсюда (尸2, Pi) сцеплены и, продолжая эти же рассуждения, мы придем к заключению, что и (Рп,尸尼一1) также сцеплены.
Таким образом, неравенства (103.21) представляют собой необходимые и достаточные условия для сцепления полиномов (尸几,Pn»i) или, что то же самое, для того, чтобы действительные части всех корней функции /(s) были отрицательны.
4九一1 = %,4九一1 = %,/■71—2 =/■71—2 =азазВеличины, входящие в (103.21), можно выразить в следующей детерминантной форме через коэффициенты функции /(s)), согласно (103.15):
4九一1 = %,
4九一1 = %,
/■71—2 =
/■71—2 =
аз
аз
fli Oo 0
4九-3 -
a3 & flf
a5 也 03
«2
(103.21)
имея в виду при этом, что аг = 0 для г > п.
§ 104, Вынужденные колебания. Резонанс. Операционные методы. Если для системы, движущейся согласно уравнениям (103.1), все корни уравнения (103.8) имеют отрицательные действительные части, то независимо от того, какими были начальные условия, система в конечном счете стремится остановиться в начальном положении. Пусть теперь, кроме сил, представленных
в уравнении (103.1), к системе приложена возмущающая сила Qp(Q, рассматриваемая как заданная функция £; уравнения движения примут вид:
恥 F+Cp#+ %" = Qp・ (104.1) Если приложенная сила является гармонической силой с круговой частотой со, то имеем
Qp = У •(Ю4.2)
После того как пройдет достаточно большое время, система будет стремиться (независимо от характера начальных условий) к вынужденным колебаниям, определяемым уравнениями
др = ар/©'.(104.3)
Комплексные амплитуды ар находятся подстановкой в (104.1). Они должны удовлетворять уравнениям
(—〃р(у①2 + tCpaw + Ьра) аа = %・(104.4)
Эта задача не совпадает с проблемой собственных значений; в данном случае вопрос идет просто о решении системы линейных уравнений. Однако проблема собственных значений, представленная уравнением (103.8), тесно связана с решением системы уравнений (104.4), потому что амплитуды возрастают, когда возмущающая частота близка к собственной частоте или, выражаясь более точно, когда is близко к одному из корней уравнения (103.8). Тогда имеет место резонанс.
Такие задачи наиболее компактно решаются с помощью операционных методов. Мы покажем, как получить решение уравнений (104.1) для возмущающей силы общего вида, не обязательно имеющей форму (104.2). Выбираем начальные условия:
дР = лР, jP = 2/ при 力=0.(104.5)
Пусть / обозначает операцию 1) интегрирования по
〃 0) = у (т)阮(104.6)
о
Подробно об операционном методе см. Jeffreys Н. 即@ J effreys В. S., Mathematical Physics? гл, 7 (Cambridge,
Применим оператор I к выражению (104.1) и примем во внимание условие (104.5); получаем таким образом
Ара (于 一 d) + Сри 伍。一 d) + bpJqU = /Qp. (104.7)
Повторяя эту операцию, получим
Apaqa = Вр + IQp,(104.8)
где
(104.9)(104.9)/ри=ар(т 十 рМ + 仇 qI ,Bp —仪「(1冗 十 dp(ylv 十 Cpu/jl .
(104.9)
(104.9)
Уравнение (104.8) эквивалентно (104.1) и (104.5); если оно удовлетворяется, то удовлетворяются и последние; в этом можно убедиться, продифференцировав (104.8).
Сущность операционного метода состоит в том, что с оператором I обращаются так, как если бы это было число. Правильность результатов, полученных таким образом, проверяется после. Мы рассматриваем Ара как числовую матрицу и определяем 加‘ как алгебраическое дополнение элемента Ара так, что
D^A^ = ^D.(104.10)
(104.11) на D, полу-(104.11) на D, полу-где D — детерминант вида
(104.11) на D, полу-
(104.11) на D, полу-
О = det (apo 十 CpOZ 十 bp(yl).
Умножив (104.8) на О*" и разделив затем чаем уравнение
d=^〃P"(练十 Г。。)*d=^〃P"(练十 Г。。)*(104.12)(104.12)
d=^〃P"(练十 Г。。)*
d=^〃P"(练十 Г。。)*
(104.12)
(104.12)
ные, зависящие от начальных данных, Lt — постоянные, не зависящие от начальных данных, а зависящие фактически только от трех матриц арст, Ьр。，срст. Подставим теперь выражения (104.16) в (104.12) и применим следующие формулы):
——1 = eR
(104.17)(104.17)1 - а/
(104.17)
(104.17)
—(<)=(/ (t)
где а — некоторая постоянная. Решение (104,12) принимает вид
gU = K^eSlt + 砲е‘2t + ...十芯厶或2卡 +
+(広产产"-T)+厶/网~Т)+ о
+ 厶衆或2N#-T)]Qp ⑺ ©т(104.18)
Приведенный выше результат является весьма общим и ограничен только неявным предположением, сделанным в (104.16), что собственные значения различны. В случаях вырождения эти разложения должны быть изменена добавлением дробей с более высокими степенями в знаменателях.
Предположим теперь, что возмущающая сила — гармоническая вида (104.2). И предположим, кроме того, что все собственные значения различны и имеют отрицательные действительные части. Тогда, опуская те члены, которые стремятся к нулю при 力一>8, получаем из (104.18) следующее выражение для вынужденного колебания, вызванного приложенной силой (104.2):
寸= 上上一+... +上竺一 稣宀.i3 — Sj I (0 — 622S — $2N 一
(104.19)
ные, зависящие от начальных данных,厶 一 постоянные, не зависящие от начальных данных, а зависящие фактически только от трех матриц аро, 6рс, сро. Подставим теперь выражения (104.16) в (104.12) и применим следующие формулы):
где а — некоторая постоянная. Решение (104.12) принимает вид
疗=曾或"+ К^产 + ...十К^е^ +
+ \ [々MD+&”(—)+ … о
...十£翳 ея^((-т)] & (т) М. (104.18)
Приведенный выше результат является весьма общим и ограничен только неявным предположением, сделанным в (104.16), что собственные значения различны. В случаях вырождения эти разложения должны быть измененЬг добавлением дробей с более высокими степенями в знаменателях.
Предположим теперь, что возмущающая сила — гармоническая вида (104.2). И предположим, кроме того, что все собственные значения различны и имеют отрицательные действительные части. Тогда, опуская те члены, которые стремятся к нулю при t —>оо, получаем из (10448) следующее выражение для вынужденного колебания, вызванного приложенной силой (104.2):
■ ТРЕ/■ РН/■ РН ■
一力 3 — Sji to — ^22 3 — S?n _
(104.19)
Так как частота со входит только явно, то формула ясно представляет явление резонансаг).
§ 105. Колебания около состояния установившегося движения или около сингулярной точки в фазовом пространстве (QP)・ Преобразование Н к нормальной форме. Рассмотрим динамическую систему с N степенями свободы и гамильтонианом Н (д, р), в который не входят некоторые из координат (игнорируемые координаты). Установившееся движение ——это движение, в котором неигнорируемые координаты и соответствующие им импульсы постоянны.
Пусть имеется М игнорируемых координат qA (Л = =1, 2, . . ., М), неигнорируемые координаты обозначим через ^г (Г = 1, 2, . . . ^ — 7И), аналогично обозначим импульсы. Тогда гамильтониан может быть написан
Ог = 0,Ог = 0,Р「= 0.Р「= 0.(105.4)(105.4)
Ог = 0,
Ог = 0,
Р「= 0.
Р「= 0.
(105.4)
(105.4)
Н = Hgp,,
Р),
(105.1)
а уравнения движения ——в виде
дн с
0А
=T ' 力a =- дрА
―=о, dqA
(105.2)
дн •
дн
(105.3)
<2г
дРг
Условия установившегося движения имеют вид
Комбинируя эти последние условия с (105.2), получаем для установившегося движения
(105.5)(105.5)%. — «а^ + const, Ра — const,
(105.5)
(105.5)
где аА — постоянные, так что игнорируемые координаты возрастают с постоянной скоростью, а соответствующие импульсы постоянны. Комбинируя условия (105.4)
1) Ср. с (33.10) для гармонического осциллятора.
с (105.3), получаем для установившегося движения уравнения
*0. дРг*0. дРг(105.6)(105.6)
*0. дРг
*0. дРг
(105.6)
(105.6)
Для того чтобы получить такое движение, должны удовлетворяться 2 (7V ——М) уравнений, задавая подходящие значения 2加——М постоянным (Q, р, Р). Таким образом, вообще говоря, можно он<идать, что мы найдем 8敗 установившихся движений, где М —— число игнорируемых координат.
Если система, находящаяся в установившемся движении, возмущена таким образом, что постоянные рА не изменяются, то можно исследовать колебания около такого движения (105.3), линеаризированные с помощью предположения, что (Q, Р) принимают значения, близкие к тем постоянным значениям, которые они имеют в невозмущенном установившемся движении.
Имея сформулированную таким образом проблему колебаний около состояния установившегося движения системыт обладающей игнорируемыми координатами, мы представим теперь ту же проблему другим способом, безотносительно к такому движению или к игнорируемым координатам.
Дана гамильтонова функция Н (д, р); канонические уравнения
・ дН9р = ~・ дН9р = ~・ дН・ дН(105.7)(105.7)
・ дН
9р = ~
・ дН
9р = ~
・ дН
・ дН
(105.7)
(105.7)
определяют направление движения в каждой точке фазового пространства (QP) за исключением тех сингулярных точек, где удовлетворяются 2N уравнений
-^ = 0,跑=0.0%0Рр-^ = 0,跑=0.0%0Рр(105.8)(105.8)
-^ = 0,跑=0.
0%0Рр
-^ = 0,跑=0.
0%0Рр
(105.8)
(105.8)
Так как имеется 27V величин (q, р), то можно ожидать, вообще говоря, что мы найдем конечное число сингулярных точек в пространстве (QP). Каждая такая точка представляет цолную историю системы, потому что уравнение
движения (105.7) удовлетворяются при постоянных значениях (д, р), при условии, что эти значения удовлетворяют уравнениям (105.8).
Будем теперь исследовать траектории в пространстве (QP) вблизи сингулярной точки. Сравнивая (105.6) и (105.8), видим, что такое исследование есть в то же время исследование колебаний около состояния устойчивого движения для системы с игнорируемыми координатами. Такой подход имеет то преимущество, что мы входим сразу в существо дела.
Следующее обсуждение тесно связано с вопросами, рассмотренными в § 103. Однако здесь мы будем употреблять скорее гамильтоновы методы, чем лагранжевы. В методе Лагранжа мы ограничены преобразованиями координат (д), а преобразование импульсов (р) является производным преобразованием. В методе Гамильтона мы можем применять канонические преобразования (КП).
Сингулярные точки в пространстве (QP) инвариантны относительно КП. Уравнения (105.8) эквивалентны уравнению 68 = 0 для любой вариации положения в пространстве (QP), а это последнее уравнение ——инвариант, так как Н есть инвариант КП.
Пусть ,р =仅р, Рр = Ьр — сингулярная точка. Производящая функция
G@p') = '®—哈(Р什 2 (105.9) дает КП
Рр = ~— = Рр + %, 9р = =价—恤，(105Л0) 8介 оРр
так что сингулярной точкой становится точка д； = 0, р] = 0. Будем употреблять теперь эти новые канонические переменные, отбросив штрихи.
Предполагаем, что функция Н (д, р) разложима в степенной ряд в окрестности сингулярной точки. Постоянный член в разложении не имеет значения в (105.7) и мы его опустим. Тогда, принимая во внимание (105.8), имеем
1
н (д, р) = 2 4。％% + 稣о%Ро + J СроРрРо，(105.11)
где включены члены до второго порядка и коэффициенты — постоянные.
Ради компактности введем обозначения § 87 с некоторыми изменениями размерностей, а именно, будем рассматривать 27V-MepHoe пространство QP вместо Q ТРН (2W + 2 измерений). Имеем
Z=(：)；(105.12)
тогда уравнение (105.11) можно написать в виде
28 = ^Nz,(105.13)
где Н — симметричная 2N X 2W матрица (Я = Я). Введем матрицу (87.11)
「=(_； 3(105.14)
где 1 есть теперь единичная N X N матрица; отметим свойства матрицы Г:
Г=一八 尸1= - r, r=一1(2%), detr=l. (105.15)
Тогда, как и в случае (87.13), уравнения движения имеют вид
z = THz.(105.16)
Для того чтобы определить природу движения, попытаемся разделить переменные в этих уравнениях; сделаем это, применив КП, которое переводит матрицу Н в простую (нормальную) форму х).
Рассмотрим линейные уравнения
FHz = kz или Hz= —kFz (105.17) и присоединенное детерминантное уравнение
det (N+/) = 0,(105.18)
которое имеет 2N корней, действительных или комплексных, и не обязательно различных. Для произвольного
Ср. Уиттекер [28], стр. 448—450; L а n с z о s С., [5], 20, 653—688; Зигель К., стр. 76—80, цит. соч. в § 53.
корня 九 имеем уравнение
(105.19)(105.19)det [Г(Н+ХГ) Т] = 0,
(105.19)
(105.19)
(так как det Г — 1). Транспонируя эту матрицу и принимая во внимание соотношения (105.15), получаем
det (Е —廿)=0. (105.20)
Сравнение с уравнением (10548) показывает, что если X — корень, то корнем является также и ——Z. Можем написать полную систему корней так: 土 厶^ …•，土 А» и представить их в форме диагональной матрицы
(105.21)(105.21)
(105.21)
(105.21)
где Lq — диагональная N X N матрица с элементами (期，* - -； A/v)・
Будем предполагать, что 寫，.…А» — различны х). Тогда система решений уравнения (105.17) может быть охарактеризована 2N X 2力 матрицей Z такой,, что
Z^rHZ^L.Z^rHZ^L.(105.22)
Z^rHZ^L.
Z^rHZ^L.
Однако это уравнение не определяет Z единственным образом (и этот факт имеет большое значение). Если^ — какая- нибудь матрица-решение, то решением является также и матрица ZP, где Р —— произвольная диагональная матрица. Если У и Z — две матрицы-решения, то имеет место соотношение
Z= УР,Z= УР,(105.23)
Z= УР,
Z= УР,
где Р — некоторая диагональная матрица.
Пусть Z — матрица-решение. Определим У следующим образом:
У = — (丁窃厂1 = - ГгГ. (105.24)
Тогда справедливы равенства
Y^rHY = rZ ГН Гг гГ = 一 rZHrZ^r. (105.25) Однако, транспонируя (105.22), получаем соотношение
ZHrZ1 =-L(105.26)
и, следовательно, у^гН¥ = ГЬГ = Ь.(105.27)
Таким образом, У тоже есть матрица-решение и это решение связано cZ соотношением (105.23), где Р — некоторая диагональная матрица. Отсюда имеем
Р = Y~lZ = - rzrz, rP = ZrZ, (105.28) транспонируя эти матрицы, получаем
РГ=ГР,(105.29)
откуда следует, что P-матрица имеет форму
где Ро — диагональная N X N матрица.
Найдем в классе матриц-решений, удовлетворяющих условию (105.22), матрицу (назовем ее j), удовлетворяющую условию симплектичности (ср. с (87.16)),
jrj = r.(105.31)
Мы сделаем это, выбрав произвольную матрицу-реше
ние Z, образуя соответствующую диагональную матри-
цу Р согласно (105.28) и определив D как
Л=(о° 1)
(105.32)
и полагая затем
J^ZD.
(105.33)
Легко проверить, что выполняется равенство
DFDn,
(105.34)
а поэтому согласно (105.28) равенство
jrj = DZrZD == DrPD = Dr DP = Г.
(105.35)
Тем самым доказано (105.31).
Пусть J определено формулой (105.33); применим КП z = J犬(105.36)
и гамильтониан примет вид
2H = z'H'z', Н = JHJ. (105.37)
Так как J — матрица-решение, то соотношение (105.26) дает
JHrJ^1^ -L, JH = LJT, (105.38)
и, следовательно,
~/ О Lo\
Н' =LJrJ = Lr^ г с •(105.39)
\Ьо U /
Таким образом, с помощью КП можно преобразовать квадратичный гамильтониан к нормальной форме
牙=3q；P； + 九2诚卩2 + ・・• + ^nQnPnj (105.40)
ade A — корни уравнения (105.18). Новые координаты (У，Р)，вообще говоря, комплексные.
Применим еще одно КП с производящей функцией
G (д', р")=』(д；р『—^ ^^ 入pd), (105.41)
так что будут иметь место уравнения (без обычного условия суммирования)
(105.42) тогда гамильтониан преобразуется в другую нормальную форму
= ^(Р「* + • • • + Pn2 —九;qi"—・・•一九^qg2)・
(105.43)
Если использовать форму (105.40), то уравнения движения имеют вид
& =缪=脑道,= 一察=一入皿,dpi0生& =缪=脑道,= 一察=一入皿,dpi0生…，(105.44)…，(105.44)
& =缪=脑道,= 一察=一入皿,dpi0生
& =缪=脑道,= 一察=一入皿,dpi0生
…，(105.44)
…，(105.44)
где переменные разделены; движение определяется уравнениями
q[ — bd",…，р； н — (105.45) где постоянные коэффициенты зависят от начальных условий. Ясно, что движение, определяемое этими уравнениями, устойчиво тогда и только тогда, когда все % чисто мнимые.
Легко показать, что если Н (д, р) — положительно определенная функция, то все корни уравнения (105.18) чисто мнимые, даже в вырожденном случае кратных корней. Пусть 儿 z (при z f 0) будет некоторым решением уравнения (105.17). Пусть z — комплексное сопряженное z, az* — транспозиция z (т. е. это матрица в одну строку). Тогда имеет место соотношение
z+Hz =—九 z^Fz. (105.46)
Из положительной определенности функции Н следует, что левая часть — действительная и положительная. Поэтому 九 力 0 (не нулевые корни) и
7f£ 力 0.(105.47)
Легко видеть, что эта величина должна быть чисто мнимой и отсюда 九 тоже чисто мнимое.
Мы получили следующий результат: движение системы. имеющей однородный квадратичный гамильтониан Н, устойчивоу если Н положительно определенная функцияг).
§ 106. Возмущения. Рассмотрим две дииамические системы, S и S', с каноническими переменными (д, р) и (д', р‘) и гамильтонианами Н (q,力 р) и J/7 (q* 力 р').
Мы доказали это только для невырожденного случая различных собственных значений; о вырожденном случае см. предыдущее примечание.
25 Дж. Л. Синг
Они совершенно
независимы,
их уравнения
движения
можно написать индексы):
3 следующей
форме (опуская
при этом
S:
. дН
.дН '
q = др
p = 一丁； dq
一 dHf
(106.1)
др
р =.
dq
Представим теперь, что S и
Sl образуют как бы одну
систему S + S' с гамильтонианом
я (g,力 Р) + *' (д',厶 Р') + к (д, д', t, р, р'), (106.2) где К есть гамильтониан взаимодействия. В качестве очень простого примера можно взять за S и S' две свободные частицы; тогда К — потенциал, возникающий вследствие их взаимного гравитационного притяжения. Уравнения
движения системы
S + S' имеют вид
дН 1
дК
дН
F
др，
р =—
ар
S + 6'：〈
дК
р =—
д1Г
7 =
1
др
ар'
四
дк
dq，
дК j
(106.3)
Действие гамильтониана взаимодействия К возмущает исходные движения (106.1) систем S и S'. Если производные От К малы, то величины g,p, q',р' в данной точке пространства QTP системы S + S' для возмущенного и невозмущенного движений мало отличаются друг от друга. Однако за очень долгое время в движении могут накопиться существенные изменения; в этом случае говорят о вековых изменениях.
Для системы, образованной Солнцем и планетами, гамильтониан можно написать в форме
Н = T(S) + ^T(P) + s V\SP) + ZV(PPr)1 (106.4) где Т (S) — кинетическая энергия Солнца, Т (Р) — кинетическая энергия планеты, V (S?) — взаимная потен-
циальная энергия Солнца и планеты, V (尸尸‘)—взаимная потенциальная энергия двух планет. Для того чтобы написать гамильтониан возмущенного движения, обозначим через So фиктивное солнце, закрепленное в начале координат, и определим 卩'(SP)следующим образом:
『(SP) = V (SP) — V (5疋)・ (106.5)
Тогда гамильтониан (106.4) может быть написан в виде
H = H(S) + ^Н(Р) + К, (106.6) где
H(S) = T (5), Н(Р) = Т (Р) + V (S.P), (106.7) а через К обозначены члены, не вошедшие в первые два гамильтониана; К есть гамильтониан возмущения.
Невозмущенное движение известно, ибо Н (S) соответствует свободному движению частицы, а Н (Р)——проблеме Кеплера. Практическое значение уравнения (106.6) основано на том факте, что К мало. Действительное движение солнечной системы есть возмущение такого состояния движения, в котором солнце покоится, а планеты описывают эллиптические орбиты (с Солнцем в фокусе).
Фундаментальная идея, лежащая в основе теории возмущений, состоит в следующем: начиная с момента £ = h 瓜 до £ = %2 движение полной системы (включающей возмущение) мало отличается от невозмущенного движения, при условии, что мы начинаем рассматривать два движения в одной и той же точке пространства QTP и берем интервал t2 ——厶 достаточно малым. Предположим, что невозмущенное движение известно; влияние возмущения в течение такого конечного интервала можно найти приближенными методамих).
Не применяя никаких приближений, основанных на малости возмущающего гамильтониана, общую задачу возмущенного движения можно поставить в следующем виде: пусть дано решение канонических уравнений
1) Подобное исследование возмущений с использованием пе
ременных действие —— угол см. Франк [5], стр. 87——100.
25*
невозмущенного движения
外=—外=—力р =—力р =—8%8%(106.8)(106.8)
外=—
外=—
力р =—
力р =—
8%
8%
(106.8)
(106.8)
Рис. 50. Возмущение, наблюдаемое в QTP* Го — невозмущенные траектории, Г—возмущенная траектория.Рис. 50. Возмущение, наблюдаемое в QTP* Го — невозмущенные траектории, Г—возмущенная траектория.(106.12)(106.12)
Рис. 50. Возмущение, наблюдаемое в QTP* Го — невозмущенные траектории, Г—возмущенная траектория.
Рис. 50. Возмущение, наблюдаемое в QTP* Го — невозмущенные траектории, Г—возмущенная траектория.
(106.12)
(106.12)
Требуется установить метод определения движения, для которого гамильтониан имеет вид
Н = Hq (q, t, р) + Hi (g, t, p),(106.9)
где Hi ——возмущающий гамильтониан. Пусть решение системы (106.8) есть
(106.10)(106.10)% = % (% «). Рр = Рр (с, «).
(106.10)
(106.10)
где с означает 2N произвольных постоянных 以，индексы А пробегают значения 1, . . ., 2N; эти величины остаются постоянными вдоль каждой невозмутимой траектории. Разрешая (106.10) относительно с&, имеем
са = с& S，厶 р)・ (106.11)
Эти 2N функций определяются формой функции Но (q,厶 р).
Рассмотрим теперь задачу в пространстве QTP (рис. 50) 1). ^2N —
поверхность £ = 0, В — какая-нибудь точка, и Го — невозмущенная траектория, проходящая через точку В и пересекающая поверх-
ность 工2№, например в точке 5*. Так как сА постоянны вдоль траектории Го, то в точке Б* имеем
qp = qp (% °)， pp = pp (% °)・
Вспомним, что любая система канонических уравнений определяет конгруэнцию кривых в пространстве QTP; через каждую точку проходит одна кривая; ср. с § 93.
Таким образом, сА образуют систему координат на W2N, (с, t) образуют систему координат в QTP、вообще говоря, не канонических. Невозмущенные траектории Го образуют систему проектирующих линий, посредством которых точка В проектируется на точку 月*; соответствующие значения с& определяются выражениями (106.11).
Рассмотрим теперь возмущенную траекторшо Г. В точке В ее направление отличается от направления Го> и в то время, как изображающая точка В пробегает Г, проекция этой точки 5* движется по поверхности S2^- Поэтому метод, изложенный здесь, называется методом вариации произвольных постоянных, так как 以 постоянны для Го, но не для Г. Проблема возмущений сводится к изучению закона, по которому са изменяются с 力， когда изображающая точка пробегает Г. Если бы мы знали этот закон, то могли бы найти Г; ее уравнения в форме
以=/а (力)(Ю6.13)
определяют кривую в пространстве QTP в системе координат (% i).
На кривой Г согласно (97.9) имеет место уравнение
笃=¥ + 以 Н。+ %],(106.14)
dt
где 以 —— функции (106.11); на Го (вследствие того, что Сд = const) эти уравнения превращаются в следующие:
о = " + 以，％].(106.15)
dt
Вычитая, получаем уравнение на Г:
Са =以，Я1].(106.16)
Вследствие (106.10) или эквивалентных уравнений (106.11) правая часть есть функция переменных (с, t) и, следовательно, мы имеем здесь систему 2N уравнений для определения функции (106.13), а отсюда и возмущенного движения.
Уравнения (106.16) можно представить в другой форме.
Согласно (106.10) можно выразить Hi как функцию (с,力)：
"1 (д,厶 р)=
=К (% t).
(106.17)
Тогда
дНг _ дК дсв
00Р 0cB dqp '
0Hl _ GK dcB OPo dcB dpp '
(106.18、
[Са，&]
_ дсА dHi _ dHi
=kA, dppdcB
.(106.19)
Таким образом, уравнения (106.16) можно написать в виде
久=以 св]—(106.20)
До сих пор все рассуждения были точными. Заметим теперь, что если производные Н\ малы, или, что то же самое, малы производные К, то правые части (106.16) и (106.20) также малы. Тогда проектируемая точка В* движется медленно по поверхности S2^ и ее движение можно аппроксимировать в конечном интервале (力九 力2), подставляя в эти правые части значения сА в 力=力 и интегрируя в квадратурахг).
1) О теории возмущений, основанной на уравнениях Лагранжа и касательных преобразований.'см. С orb е л and S t е h 1 е, [3], стр. 306-312. -
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА4)
ГЛАВА I
ПРОСТРАНСТВО - ВРЕМЯ МИНКОВСКОГОИ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ
§ 107, Преобразования Лоренца, Теперь маленькие латинские индексы будут принимать значения 1, 2, 3, 4, а греческие — 1, 2, 3 (суммирование в обоих случаях производится по повторяющимся индексам).
Пусть хг — действительные координаты некоторого события в 4-мерном многообразии пространства — времени; и пусть интервал ds между двумя соседними событиями определяется формулой
ds2 = egmn dxm dM,(107.1)
где коэффициенты — функции координат, а е берется равным +1 или —1 так, чтобы сделать ds действительным.
В специальной теории относительности (а мы касаемся здесь только ее) пространство — время плоское; это
Основные законы ньютоновой и релятивистской динамики были сопоставлены в § 4 и 5. Здесь будут повторены основные формулы, но не будет более говориться о характерных трудностях, возникающих в релятивистских системах. Общие сведения о специальной теории отно сите льно сти читатель может найти в Costa de Beauregard О., La Theorie de la Relativite restreine (Paris: Masson & Ge. 1949); Бергман П., Введение в теорию относительности, ИЛ, Москва, 1947, пер ев. П. Кунина и И. Таксара, под ред. В. Л. Гинзбурга, т, 1; Эйнштейн А., Сущность теории относительности, ИЛ, 1960; Н а 1 р © г п [9]; М. von Jane, Die Relativitatstlieorie, т. I (5 th. Ed. Braunschweig: Vieweg, 1952); Moller C., The Theory of Relativity (Oxford, Clarendon Press, 1952), Papapetrou A., Spezielle Relativitatstheorie (Berlin, 1955); Synge I. L, Relativity: The Special Theory (Am^ sterdam, North—Holland Publishing, 1956).
означает, что существуют действительные координаты (с, у, z,力)，такие, что
ds2 = с (dd + dy11 + dz? — c2 成?)，(107.2)
где с ——фундаментальная постоянная (скорость света). Удобно ввести координаты Минковского с «мнимым временем», определенные следующим образом:
N] == N, ^2 ~ У JN3 ^21 Z, N& -— let)(107.3)
тогда выражение (107.2) можно компактно записать как dl = и dxT dxr.(107.4)
В этой книге всюду будут употребляться координаты Минковского. Они имеют то большое удобство, что для них ковариантные компоненты векторов и тензоров те же, что и контравариантные компоненты, и все векторы и тензоры можно написать с индексами внизу, избегая, таким образом, сложности в обозначениях. Если мнимое время х& окажется некоторым источником неясностей, то мы можем сразу перейти от координат Минковского хт к действительным декартовым координатам ", положив Ср = с* х4 == »%4 Нам представится случай перейти к действительным координатам в § 111 для того, чтобй обсудить вопрос о знаке.
Группа преобразований Лоренца состоит из тех преобразований (обязательно линейных), которые сохраняют квадратичную форму dxT dxr. Любое такое преобразование имеет вид
W = 4sg + %(107.5)
где коэффициенты удовлетворяют условию
4S“ = 6$土・(107.6)
Сравнение с (9.6) показывает, что, формально говоря, А есть ортогональная матрица, и это наводит на мысль, что преобразование Лоренца — это «жесткое» преобразование пространства ——времени в себя. В известном смысле это справедливо и очень важно для понимания преобразования Лоренца, но наличие мнимых элементов в Л (обусловленных мнимостью времени) существенно отличает геометрию преобразований Лоренца от геометрии ортогональных преобразований 4-пространства с четырьмя действительными координатами.
Нулевой конус, проведенный из любого события аг как из вершины (рис. 51), имеет уравнение
(хг — аг) (хг — аг) = 0.(107.7)
События, лежащие вне нулевого конуса, удовлетворяют условию
(2г — аг) (хг — аг) > 0,(107.8)
а лежащие внутри — условию
(д — аг) (хг — аг) < 0.(107.9)
События внутри конуса делятся на две совокупности в зависимости от того, положительно или отрицательно
Рис. 51. Нулевой конус. Прошедшее и будущее. Времениподобный, пространственноподобный и нулевой векторы.
(х4 ——〃4)/方.Эти две совокупности представляют собой соответственно будущее или прошедшее по отношению к событию аг.
Смещение dxr из 〃厂 в будущее или в прошедшее называется времениподобными для него е = ——1; смещение на нулевом конусе называется нулевым, а смещение, направленное во вне нулевого конуса,——про стр анственно- подобным смещением (е,= 十1).
Нулевой конус остается инвариантным при преобразованиях Лоренца, а следовательно, инвариантны и его внешняя и внутренняя области. Однако будущее и прошедшее могут поменяться местами; в нашем исследовании мы отбросим преобразования Лоренца, допускающие это изменение. Согласно (107.6) якобиан J преобразования Лоренца есть J = ±1; преобразование называется собственным, если J = +1, и несобственным, если J = —1.
Основной постулат теории относительности состоит в том, что все законы динамики должны быть инвариантными относительно собственных лоренцовых преобразований, сохраняющих будущее. Это эквивалентно утверждению, что законы допускают геометрическое построение с помощью геометрии пространства — времени Минковского (ср. § 5). Кроме того, предполагается, что любое перемещение материальной частицы dxr вдоль мировой линии — времениподобное. Это эквивалентно утверждению, что ни одна частица не может передвигаться со скоростью света (ср. § 108 ниже).
Абстрактное понятие интервала 曲 приобретает физическое содержание при помощи утверждения, что вдоль мировой линии материальной частицы ds является мерой собственного времени^ т. е. времени, определяемого стандартными часами, перемещающимися вместе с частицей.
Говорят, что наблюдатель галилеев (или, что употребляется чаще, галилеева система отсчета), если интервал ds между любыми двумя событиями можно выразить в виде (107.2) или (107.4) через его координаты. Когда два галилеевых наблюдателя, S и S[, наблюдают одно и то же событие, их наблюдения связаны преобразованием Лоренца. При соответствующем выборе пространственных осей для обоих наблюдателей лоренц-преобразование, связывающее два наблюдения, может быть выражено в простой форме,
工，=Y (工—材)，у' = у, z' = z,，= Y，—耳)，(107.10)
ГДе Y = ―…, (107.11)
а V ——относительная скорость S и S'; более точно, скорость наблюдателя S' относительно S есть (г, 0, 0), а скорость наблюдателя S относительно S' есть (—v, 0, 0),
§ 108. Кинематика в пространстве — времени. 4-им- пульс. а) Скорость точки. Рассмотрим движущуюся точку (не обязательно частицу). Уравнения ее мировой линии можно написать в виде
⑨，(Ю8.1)
где х — монотонный параметр. 3-скорость точки равна
V = ^ = ic^.(108.2)
° dt 也
Отсюда абсолютная величина скорости 〃, определенная как
и = М %%,(108.3)
больше, равна или меньше, чем % в зависимости от того, является 4-вектор dxT/d^ пространственноподобным, нулевым или времениподобным.
Для материальной частицы этот 4-вектор времениподобный и мы определяем 4-скорость как времениподобный единичный вектор
% =刍，(108.4)
ds
удовлетворяющий условию
(108.5)(108.5)А«ГХГ = — 1.
(108.5)
(108.5)
Согласно определению (108.2) существуют следующие соотношения между 3-скоростью и 4-скоростью:
Для точки, движущейся быстрее, чем свет, 4-скорость можно определить уравнениями (108.4); в (108.5) надо заменить —1 на +1, и соотношения для 3-скорости имеют вид (108.6), с той только разницей, что у заменяется на где
Y* =. 工 …•(Ю8.7)
Для фотона предполагаем, что dx^ Id* есть нулевой вектор. Таким образом, абсолютная скорость фотона есть с. Он не имеет допускающей определение 4-скорости; выражение (108.4) нельзя использовать потому, что ds = 0.
Р) Волновая скорость. Уравнение
F (ач, х2, д, £&) = 0F (ач, х2, д, £&) = 0(108.8)(108.8)
F (ач, х2, д, £&) = 0
F (ач, х2, д, £&) = 0
(108.8)
(108.8)
определяет 3-пространство в пространстве — времени. Его можно назвать 3-волной. Это есть, так сказать, история 2-волны; мгновенная 2-волна может быть получена, если положить & = const в уравнении (108.8).
Легко видеть, что нормальная 3-скорость 2-волны есть 1)
(108.9)(108.9)
(108.9)
(108.9)
где F,r = dF/дхТ. Отсюда следует, что абсолютная вели
11чина скорости и распространения волны удовлетворяет уравнению
1
1
(108.10)
Так как F、& — чисто мнимая, то и больше, равна или меньше, чем % в зависимости от того, является ли 4-вектор F,r (который есть пространственновременная нормаль к 3-волне) времениподобным, нулевым или пространственноподобным.
1) См. Synge, цит. соч. в § 107, стр. 419.
Y)i-ускорение. Для материальной частицы 4-ускорение есть 4-вектор:Y)i-ускорение. Для материальной частицы 4-ускорение есть 4-вектор:db — d2xr6 ds2db — d2xr6 ds2(108Л1)(108Л1)Он ортогонален4-скорости, потомуОн ортогонален4-скорости, потому(в смысле пространства — времени) что условие (108.5) дает(в смысле пространства — времени) что условие (108.5) дает吟=。■吟=。■(108Л2)(108Л2)3-ускорение, определенное ньютоновым способом как3-ускорение, определенное ньютоновым способом как〃р〃рd2xpdt2d2xpdt2(108.13)(108.13)
Y)i-ускорение. Для материальной частицы 4-ускорение есть 4-вектор:
Y)i-ускорение. Для материальной частицы 4-ускорение есть 4-вектор:
db — d2xr
6 ds2
db — d2xr
6 ds2
(108Л1)
(108Л1)
Он ортогонален
4-скорости, потому
Он ортогонален
4-скорости, потому
(в смысле пространства — времени) что условие (108.5) дает
(в смысле пространства — времени) что условие (108.5) дает
吟=。■
吟=。■
(108Л2)
(108Л2)
3-ускорение, определенное ньютоновым способом как
3-ускорение, определенное ньютоновым способом как
〃р
〃р
d2xpdt2
d2xpdt2
(108.13)
(108.13)
можно выразить следующим образом:
Qp =' (1°8.伍)
так как jds = с dt,入4 = ij.
6) Сложение скоростей. Пусть S и Sr ——две галилеевы системы отсчета, связанные с помощью преобразования Лоренца соотношениями (107.10). Пусть частица движется со скоростью (F, 0, 0) относительно S，. Тогда ее скорость
(108.15)(108.15)относительно системы S равна (и, 0, 0), где v+V
(108.15)
(108.15)
• с2
Этот закон сложепия скоростей можно выразить через гиперболические функции в форме
屮=①+①,屮=①+①,(10846)
屮=①+①,
屮=①+①,
/ ・(108.17)/ ・(108.17)число т — ее относительночисло т — ее относительногде
/ ・(108.17)
/ ・(108.17)
число т — ее относительно
число т — ее относительно
th 屮 —， th (р — , th Ф
е) i-импулъс. Мы связываем с частицей собственную массу, которая инвариантна
преобразования Лоренца. 4-импульс частицы определяется как
Мг - тп%,(108.18)
где 入г есть 4-скорость. Все четыре компоненты имеют размерность массы, но можно прийти к размерности импульса или энергии, введя в правую часть множитель с или с2.
Обозначив Y = {1—先),введем следующие опреде
ления:
релятивистская масса = ту,
релятивистский импульс (3-импульс) = 加丫力р, релятивистская энергия = К = тус2, собственная энергия =瓦=md,
релятивистская кинетическая энергия = Т=т(? (у — 1). Разлагая по степеням г/с, получаем
Т = ^mv(i + ^+ ..У,(108.19)
первый член совпадает со значением кинетической энергии в ньютоновой механике.
Четыре компоненты Мт можно выразить через релятивистский импульс и энергию следующим образом:
Мр = тХр =里电，
(108.20)(108.20)М^ — /га 入 & = imy = —— •
(108.20)
(108.20)
Для фотона формула (108.18) теряет силу, Так как для фотона /га = 0 и компоненты 入「становятся бесконечно большими.
Уравнение
(108.21)(108.21)*
(108.21)
(108.21)
中= 中0 cos ——(办p支p - Ct),
где ПрПр = 1, представляет плоские волны частоты v, распространяющиеся в направлении единичного 3-век-
тора 几р с абсолютной скоростью & Положим
/р = vnp\ /4 = Xv・(108.22)
Можно написать (108.21) в форме
Ф = фо cos —frxr.(108.23)
с
Для того чтобы фазовый множитель мог быть инвариантным относительно преобразований Лоренца, необходимо и достаточно, чтобы /г преобразовывался как 4-вектор. Таким образом, четыре величины (108.22) являются компонентами ^-вектора, т. е. при лоренцовом преобразовании (107.5) они преобразуются по закону
М = 4/・(Ю8.24)
Употребим этот 4-вектор частоты /г для того, чтобы определить 4-импульс Мг фотона, положив
МрМр以=绊以=绊(108.25)(108.25)
Мр
Мр
以=绊
以=绊
(108.25)
(108.25)
где h ——постоянная Планка, v ——частота фотона и пр —— единичный 3-вектор в направлении движения фотона, так что 3-скорость фотона есть с%.
Компоненты импульса Мг имеют размерность массы.
Мы определяем:
релятивистский импульс (3-импульс) фотона =,
энергию фотона = Е = Отметим, что
(108.26)(108.26)МГМГ =——m2 для материальной частицы,
(108.26)
(108.26)
МГМГ — 0 для фотона.
§ 109. Уравнения движения частицы. Если на частицу действует 4-сила Хг, то предполагаем, что уравнения движения частицы имеют вид
色(тп%) = Хг.(109.1)
ds
Эти уравнения согласно (108.12) приводят к следующим:
—=-X爲.(109.2)
ds
Следовательно, собственная масса изменяется, если только не имеет места условно
ХД> = 0,(109.3)
которое является условием ортогональности 4-силы и 4-скорости.
Используя соотношение у ds = с dt, можно написать первые три уравнения (109.1) в форме
? (Мр)=咨;(109.4)
эта квазиньютонова формула определяет скорость изменения релятивистского импульса. Последнее из уравнений (109.1) дает формулу для скорости изменения релятивистской энергии:
—-~ (тус2) = 一 i 达•(109.5)
dtdtу
Если уравнение (109.3) удовлетворяется, то имеем
-(109.6)
и отсюда получаем формулу, связывающую скорость изменения энергии со скоростью изменения релятивистского импульса,
竿=%》^ = Ср g (ер)・(109.7)
at у dt
Условие ортогональности (109.3) удовлетворяется (и поэтому сохраняется собственная масса), если 4-сила зависит от 4-скорости следующим образом:
Хг=Угз%,(109.8)
где Уг$ — кососимметричный тензор, так что имеют место соотношения
匕 8 = —匕厂(109.9)
4-сила такого типа появляется в случае заряженной частицы ,движущейся в электромагнитном поле (ср. § 115,116).
Лагранжева и гамильтонова динамики. Можно не класть в основу динамики уравнения движения в форме (109.1), а построить релятивистскую динамику на лагранжиане или гамильтониане, употребляя методы гл. Д, которые достаточно общи и могут быть приложены к теории относительности. Так как мы рассматриваем только одну частицу, то полагаем N = 3. Пространство конфигураций Q становится мгновенным пространством галилеева наблюдателя, а пространство событий QT становится самим пространством — временем. Для описания релятивистской динамики полезны также другие пространства изображений, перечисленные в § 62. В частности, кажется интересным 8-мерное пространство QTPH, однако мы будем использовать только пространство QT и РН, со ссылками на пространство Q для физической интерпретации формул.
Будем употреблять координаты Минковского (107.3); напоминаем, что маленькие латинские индексы принимают значения 1, 2, 3, 4, а греческие — 1, 2, 3 и имеют место обычные условия суммирования. Все общие формулы легко перевести в действительные криволинейные координаты " по (107.1).
Некоторые важные формулы гл. Д нужно вывести снова с некоторыми изменениями в знаках (ср. (110.4) и (110.8)). Это изменение в знаке обсуждается в § 111.
Рассмотрим в пространстве — времени некоторую времениподобную кривую с параметром %, возрастающим от прошлого к будущему,. Пусть А (х, н‘)一 заданный инвариантный однородный лагранжиан), где xr = dxrjd%. Лагранжево действие есть
Al = \ А (с, с') d%;(110.1)
его значение не зависит от выбора параметра %. Первая форма принципа Гамильтона имеет вид (ср. с (65.4))
6 ^ Л (х, х)女=0,6 ^ Л (х, х)女=0,(110.2)(110.2)
6 ^ Л (х, х)女=0,
6 ^ Л (х, х)女=0,
(110.2)
(110.2)
для фиксированных концевых событий. Это уравнение приводит к следующим уравнениям движения Лагранжа:
(110.3)(110.3)d 5Л _ 5Л
(110.3)
(110.3)
敢 8х； дхг
тождественно совпадающим с (65.7).
Итак, имеем релятивистскую динамику, основанную на выбранном лагранжиане. Релятивизм проявляется только в требовании, что лагранжиан должен быть инвариантным относительно преобразований Лоренца.
Можно также построить релятивистскую динамику на гамильтониане. Пусть уг—— гамильтонов 4-вектор 】), соотнесенный событию хг. Определим в пространстве —— времени гамильтоново действие вдоль какой-нибудь кривой интегралом (68.1) (изменив при этом знак ))
ПустьПусть4H = — j Ут dxT.Q (x,沙)=04H = — j Ут dxT.Q (x,沙)=0(110.4)(110.5)(110.4)(110.5)
Пусть
Пусть
4H = — j Ут dxT.
Q (x,沙)=0
4H = — j Ут dxT.
Q (x,沙)=0
(110.4)
(110.5)
(110.4)
(110.5)
есть инвариантное уравнение энергии. Принцип Гамильтона во второй форме имеет вид (ср. (68.5))
(110.6)(110.6)6 \ 圻 dxr = 0, Q (х, у) = 0.
(110.6)
(110.6)
Он приводит к каноническим уравнениям Гамильтона в форме
(110.7)(110.7)dxr — dQ dyr — dQdw dyr ' dw dxr
(110.7)
(110.7)
где w ——специальный параметр. Пусть дано начальное событие 化г и начальный гамильтонов 4-вектор уг, удовлетворяющий условию (110.5); тогда уравнения (110.7) определяют мировую линию и поле векторов уг вдоль нее. Это устанавливает гамильтонову динамику, основанную на выбранном уравнении энергии. Релятивизм требует инвариантности этого уравнения относительно преобразований Лоренца.
Итак, имеются три различных пути для построения релятивистской динамики. Первый связан с 4-силой (§ 109); второй — с выбором однородного лагранжиана А (х, л/) и третий ——с выбором уравнения энергии Q (х, у) = 0.
Как и в § 69, мы объединяем эти два последние пути. Изменяя знак соответственно сделанному изменению в (110.4), переходим от А (х, л/) к Q (х, у) = 0, положив
圻=(1Ю.8) охт
(ср. с (69.3)) и исключив производные хг. Мы можем перейти также от Q (n, у) = 0 к A(n, n‘), написав (ср. с (69.14))
W = 8 空，А = — yTXr, R (х, у) = 0, (110.9)
и исключив из этих уравнений уг и ^. При таком объединении лагранжева и гамильтонова динамики представляют одно и то же, с общим для обеих форм динамики действием
4 = ^ А (х, х) d% = — \ yr dxT. (110.10)
В лагранжевой динамике имеются два важных специальных случая выбора параметра %, а именно, % = s и % =九 Первый, будучи лоренц-инвариантным, удобен
для общей теории; второй ——удобен для того, чтобы провести сравнение между релятивистской и ньютоновой динамиками.
Если % = s, то
Л (瑞 /') dy = А (瑞 dx) = Л(£, X) d& (110.11)
где 九г = dxr/ds 4-скорость. Действие равно интегралу
Л = ^ Л (ж, X) ds,(110.12)
и уравнения Лагранжа принимают вид
(110.13)(110.13)(110.14)(110.14)d dA дЛ п—=u,ds 观 дхт
(110.13)
(110.13)
(110.14)
(110.14)
при специальном условии
%% = — 1.
Здесь необходимо сделать некоторые замечания. Выполняя первое дифференцирование в уравнениях (110.13), мы должны взять Л в форме однородного лагранжиана первой степени относительно 4-скорости. Если мы в какой- либо момент упростим Л посредством (110.14), нарушив формальную однородность, то для того, чтобы восстановить однородность (имевшую место до дифференцирования), мы должны опять применить то же уравнение.
Если % =厶 то можно написать
Л(£, /') dy = A (g dx) = L dt. (110.15) О быкновенный лагранжиан 厶，определенный таким образом, есть функция семи величин /р, 力 хр. Действие определяется следующим интегралом:
А = ^Ldt,(110.16)
и уравнения Лагранжа имеют знакомую форму:
(110.17)(110.17)d dL dL dt dx9 d/p
(110.17)
(110.17)
Отметим, что релятивистское требование состоит в лоренц- инвариантности L dt, но не самой функции £; L есть
§ 110] ЛАГРАНЖЕВА И ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКИ 405 инвариант, разделенный на четвертую компоненту 4-вектора. Это любопытное требование выполняется автоматически, если мы выводим L из инвариантного однородного лагранжиана (как в уравнениях (110.15)).
В методе Гамильтона можно разрешить уравнение Q (х, у) = 0 относительно у^ получив
勿—iw (Xi, х2, g, t, Us 1/2,禽)=о (110.18) (четвертая компонента вектора Минковского % — чисто мнимая). Определим рр и Н уравнениями
Рр = %, Е =跑；(110.19)
тогда выражение (110.18) приводит к гамильтониану
Н = сз (xi, x2j х3, t、pi, р2, Рз)・ (110.20)
Трудно подыскать какое-либо непретенциозное и недвусмысленное название для 3-вектора рр. В случае свободной частицы (ср. § 111) рр есть релятивистский импульс или 3-импульс, определенный в § 108. Но когда заряженная частица движется в электромагнитном поле (ср. § 115), то поле каким-то образом входит в рр. Возможно, для рр наиболее подходит название гамильтонов 3-импульс.
Действие теперь имеет вид
4 = — \ * dxr = g (— рр @Wp + Н 或).(110.21) Это определение согласуется с обычным выражением (68.1) гамильтонова действия с точностью до знака. Выражение (110.21) дает п о л ожител ьный элемент действия для частицы, находящейся в мгновенном покое (dxp = 0) при условии, что Н положительно.
Канонические уравнения Гамильтона имеют знакомую форму:
・ дНдн
r =大—-工一•
Отметим, что требование релятивизма состоит в том, что Н должна преобразоваться как четвертая компонента 4-вектора, но не в том, чтобы Н было лоренц-инвариантн?)1Мт
Свободная частица. В релятивистской динамике теория, связанная со свободной частицей, не тривиальна, ибо она служит для того, чтобы связать физические понятия и математическую схему.
Выбираем для свободной частицы постоянной массы инвариантный однородный лагранжиан
Л (力，х) = mcV —(111.1)
так что элемент действия есть
Л (%,/') d^^mcV^ 一力;%;d^= те ^ - dxr @写—
=me ds = тс У — "% 曲.(111.2)
О™етим,что он имеет правильную размерность действия [ML^T-1].
dXrdsdXrdsУравнения Лагранжа (110.13) в рассматриваемом случае приводят к выражению
dXrds
dXrds
(111.3)
так что мировой линией является прямая.
Для гамильтонова 4-вектора имеем, как в случае (110.8), выражение
Уг ——Уг ——&А&Атех；тех；dg М一 n二叫dg М一 n二叫(111.4)(111.4)
Уг ——
Уг ——
&А
&А
тех；
тех；
dg М一 n二叫
dg М一 n二叫
(111.4)
(111.4)
力；приводит к力；приводит куравнениюуравнениюи исключение производных энергии
力；приводит к
力；приводит к
уравнению
уравнению
2Q (/, у) = угуг + m2c2 = 0,(Ш.5)
в которое не входят пространственновременные координаты. Канонические уравнения (110.7) в данном случае имеют вид
dxrdxr-^ = 0.div-^ = 0.div(111.6)(111.6)
dxr
dxr
-^ = 0.div
-^ = 0.div
(111.6)
(111.6)
Мы можем выразить уравнения (111.4) через 4-скорость
УгУг(111.7)
Уг
Уг
Таким образом, в случае свободной частицы гамильтонов 4-вектор есть касательная мировой линии; для движущейся в поле частицы это, вообще говоря, несправедливо. Из уравнений (108.6), (110.9) и (111.7) видим, чтд гамильтонов З-импульс есть
рр = myvp,(И1.8)
и имеем также
% = imyc =——т(111.9)
с
где Е —— энергия, определенная согласно § 108. Далее, имея в виду (110.19), получим
Н =Е.(111.10)
Для того чтобы найти форму гамильтониана, мы должны разрешить (111.5)' относительно у&, получив при этом
% = 土 i VУРУр + т2с2,(111.11)
где знак -[- должен быть выбран вследствие (111.9). Тогда, аналогично (110.20), гамильтониан равен
А = с М/?рРр + тп2cL(111.12)
Остается рассмотреть обыкновенный лагранжиан для свободной частицы. Применяя уравнение (110.15) к (111.2), получаемОстается рассмотреть обыкновенный лагранжиан для свободной частицы. Применяя уравнение (110.15) к (111.2), получаем2L dt = тс ds = dt , у2L dt = тс ds = dt , у11=,(1И.13) г/с=,(1И.13) г/с
Остается рассмотреть обыкновенный лагранжиан для свободной частицы. Применяя уравнение (110.15) к (111.2), получаем
Остается рассмотреть обыкновенный лагранжиан для свободной частицы. Применяя уравнение (110.15) к (111.2), получаем
2
L dt = тс ds = dt , у
2
L dt = тс ds = dt , у
1
1
=,(1И.13) г/
с
=,(1И.13) г/
с
так что
Г тс22 П212 I4八
L =— тс у 1 — тс —讶 mv + • • • (111.14)
ненаписанные члены содержат квадраты и более высокие степени и/с.
Это выражение отличается от лагранжиана
L=T = ^т^(111.15,
для свободной частицы в вых, наличием постояннойную энергию; во-вторых,для свободной частицы в вых, наличием постояннойную энергию; во-вторых,ньютоновой динамике, во-пер- тс2, представляющей собствен- 1 9знаком минуе приньютоновой динамике, во-пер- тс2, представляющей собствен- 1 9знаком минуе при
для свободной частицы в вых, наличием постоянной
ную энергию; во-вторых,
для свободной частицы в вых, наличием постоянной
ную энергию; во-вторых,
ньютоновой динамике, во-пер- тс2, представляющей собствен- 1 9
знаком минуе при
ньютоновой динамике, во-пер- тс2, представляющей собствен- 1 9
знаком минуе при
и в-третьих, членами, не выписанными в явном виде. Если лагранжиан есть просто подынтегральное выражение в вариационном уравнении для определения уравнений движения, то наличие слагаемого тс2 тривиально, так как оно добавляет один и тот же член к интегралу j Е d£ для всех варьированных движений. Так же несу-
9г
ществен знак加少气 так как лагранжиан — L дает
те же экстремали, что и L. Что касается ненаписанных членов, то они представляют род релятивистской поправки, которая, как можно предполагать, стремится к нулю вместе с г/с.
Однако если само действие имеет физический смысл, то имеет физический смысл и различие между (111.14) и (111.15). Для покоящейся частицы выражение (111.14) дает положительное действие me2 \ d£, в то время как (111.15) дает нуль. Если сравнить две частицы, одна из которых находится в покое, а другая движется, то формула (111.14) приписывает (в данный интервал времени) большее действие покоящейся частице, в то время как (111.15) приписывает большее действие движущейся частице.
Возвратимся теперь к вопросу об изменении знака, введенного в (110.4) и соответственно в (110.8), и рассмотрим определение гамильтонова 4-вектора, когда координаты действительны.
Если применять действительные координаты 芯丁 в пространстве —времени, то надо различать ковариантные и контравариантные векторы. Переход от одних к другим выполняется с помощью фундаментального тензора gmn (107.1). Однако геометрия пространства — времени не изменится, если изменить знаки всех величин gmn на обратные. Отсюда, когда мы приведем gmn к диагональному виду, применяя вещественные декартовы координаты, могут иметь место два случая: можно взять
диагональную форму в виде
(111.16)(111.17)(111.16)(111.17)(gmn) = (+ 1,+1,+ 1j — 1),
(111.16)
(111.17)
(111.16)
(111.17)
или в виде
(gmn) = J 1, —1, — 1» + !)•
Некоторые авторы предпочитают первую форму, другие — вторую. Между ними нет никакой физической разницы, однако (111.16) имеет то преимущество, что можно перейти к единичной матрице (координаты Минковского) при помощи введения одной мнимой координаты, в то время как в случае (111.17) для этого требуются три мнимые координаты. С помощью действительных координат и величин gmn и gmn, определенных как указано выше, можно написать лагранжиан (111.1) в форме
А (/,/') = mcV—gTsF'F = тс Vё^ ^ ； (111.18) частное дифференцирование дает в обоих случаях один и тот же ковариантныйтвектор:
JA——；=—mе 5/JA——；=—mе 5/V — gmnxV — gmnx
JA
——；=—mе 5/
JA
——；=—mе 5/
V — gmnx
V — gmnx
Этот единственный ковариантный вектор дает два (противоположных) контравариантных вектора в зависимости от того, какую из групп уравнений мы используем: (111.6) или (111.7); это соответственно векторы
(111.20)(111.20)
(111.20)
(111.20)
Первый из них направлен в прошлое, второй ——в будущее. Итак, имеются два возможных определения ковариантного гамильтонова 4-вектора, а именно, уг = = ± 6А/6"'. Удобно выбрать тот знак, при котором соответствующий контравариантный 4-вектор направлен в будущее, по крайней мере в случае свободой частицы.
Таким образом, нам нужны два различных определения 力： 分=一算 для (111.16),(111.21)
для (111.17).(111.22)
дх
В координатах Минковского мы не должны делать различия между ковариантными и контравариантными векторами. Мы уже видели, что (111.21) 一 удовлетворительное определение, так как (111.7) показывает, что вектор 处，определенный таким образом, направлен в будущее.
§ 112, Двухточечная характеристическая функция в пространстве событий и уравнение Гамильтона— Якоби. Обозначим через S (力*, х) характеристическую функцию, зависящую от координат двух точек в пространстве событий QTP. Это —— функция (72.1), взятая с обратным знаком,
S (力*,力)=一 \ %, d写；(112.1)
интеграл берется вдоль траектории, соединяющей два события. Отсюда имеют место уравнения
dS , dSм
圻=一蔣'处=而・(112.2)
Если подставить эти значения у尸，у* в уравнение энергии Q (力，у) — 0, то получим уравнение Гамильтона — Якоби: 一繁) = °・(112-3)
В данном случае, аналогично § 77, если мы имеем полный интеграл S (力*, х) уравнения (112.3), то уравнения (112.2) определяют траектории и соотнесенные им гамильтоновы 4-векторы. Величины (力*, у*) в этих уравнениях можно рассматривать как постоянные. На самом деле необходимо только шесть постоянных, так как имеется со6 траекторий. Если одна из х* берется как аддитивная
постоянная для S, а другие три величины х* и первые три из величин у* выбраны произвольно, то первые три уравнения второй группы уравнений (112.2) определяют траекторию (в действительности все траектории, так как в уравнения входят шесть произвольных постоянных).
Для свободной частицы (§ 111) имеем следующую функцию:
S (办…)=-%•(与-咛)，(112.4)
где уг — постоянна вдоль траектории. Полагая
s = М—(写一£)(写一£),(112.5)
имеем аналогично уравнению (111.7)
力=тсК =吧(与—崎,(112.6)
а отсюда
S (н： x)тс V — (g — £)(& — £) = mcs. (112.7)
Рис. 52. Гиперболическое движение.Рис. 52. Гиперболическое движение.(113.3)(113.3)
Рис. 52. Гиперболическое движение.
Рис. 52. Гиперболическое движение.
(113.3)
(113.3)
ГЛАВА II
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕПРОБЛЕМЫ
§ ИЗ. Гиперболическое движение. В ньютоновой динамике можно задать движение частицы и вычислить силу, которая вызывает это движение. Аналогично в теории
относительности можно задать мировую линию и вычислить соответствующую 4-силу, согласующуюся с заданной постоянной собственной массой частицы; для этого надо использовать формулу
Хг = т^ . (ИЗД)
Одна из простейших мировых линий есть псевдоокружность, уравнения которой
Xi + н& —3 а ,^2 =: Нз =: О,
(113.2)
где а — постоянная. Так как первое уравнение в действи
тельных координатах имеет вид
' 2.2/
х —.cl = а ,
то это движение называется гиперболическим (рис. 52).
§ 114]Частица в потенциальном поле413
Параметрические уравнения мировой линии таковы:
Ni = a ch ф, 备=ia sh 屮，(113.4)
отсюда
d¥ = — de； — dxf = a2 d(p* (11 .5)*
так что отличные от нуля компоненты 4-скорости равны
九I = Ё^ == sh ф, 2吆=^^ = f ch (р.(113.6)
dsds
Согласно уравнениям (113.1) искомая 4-сила есть
XI — ch ф — —,
X2 = X3 — 0.
Таким образом, 4-сила направлена от начала координат пространства — времени и имеет величину, пропорциональную расстоянию Минковского.
§ 114. Частица в потенциальном поле. Гармонический осциллятор. Пусть V (g, z2, 旳) —— потенциальная функция, и пусть
Л (瑞 n') = тс V — n；n； — W“4(114.1)
——однородный лагранжиан для частицы постоянной собственной массы т, движущейся в этом поле. Это выражение не является лоренц-инвариантным; необходимо выбрать специальную систему отсчета.
Можно написать
Л （瑞九）=mе ■/二入爲一整 ,
(114.2)
L dtL dtа соответствующий обыкновенный лагранжиан L определяется форл1улами
L dt
L dt
(114.3)(114.3)=A (g dx) = тс ds + V dt,2
(114.3)
(114.3)
£ =竺 + К
Согласно (110.13) уравнения движения принимают вид
(114.4)(114.4)方（一me%） +以际人=0,方（一me%） +以际人=0,
(114.4)
(114.4)
方（一me%） +以际人=0,
方（一me%） +以际人=0,
так что имеют место следующие уравнения:
d /、—(Wp)=— atd /、—(Wp)=— atдУЕрдУЕртус2 + 卩=К,тус2 + 卩=К,(114.5)(114.5)
d /、
—(Wp)=— at
d /、
—(Wp)=— at
дУ
Ер
дУ
Ер
тус2 + 卩=К,
тус2 + 卩=К,
(114.5)
(114.5)
где К — постоянная (постоянная энергии).
Для того чтобы обсудить движение гармонического осциллятора, рассмотрим движение вдоль оси & при V = — A2a;J. Пусть частица начинает двигаться от начала координат с начальной скоростью 〃 = г?。. Тогда согласно последнему уравнению (114.5) имеем
(114.6)(114.6)
(114.6)
(114.6)
Частица приходит в состояние покоя в 第=а (полагаем для простоты Xi — ж), где а определяется из выражения
тс2 = К^ Л;%*тс2 = К^ Л;%*(114.7)(114.7)
тс2 = К^ Л;%*
тс2 = К^ Л;%*
(114.7)
(114.7)
и постоянные 夕° и а связаны соотношениями
Y2 I 1 ,2 2№■
14>(114.8)
亍兴а? = тс' (у。— 1), у。=—==.
J
Согласно выражениям (114.6) получаем уравнение
夕7夕7{К- v^{К- v^(114.9)(114.9)
夕
7
夕
7
{К- v^
{К- v^
(114.9)
(114.9)
и следовательно, период гармонического осциллятора т определяется следующими формулами:и следовательно, период гармонического осциллятора т определяется следующими формулами:к =ак = 4 \ 或=4х =0к =ак = 4 \ 或=4х =0гдегде〈"м — 4 f (К — V) dx =)石一"\近二v)2 一疗1-JC(1 + 2x2 cos2 Ф)d^>( (114 10CK J Ml +炉cos密屮2X2 = —^.(114.11)〈"м — 4 f (К — V) dx =)石一"\近二v)2 一疗1-JC(1 + 2x2 cos2 Ф)d^>( (114 10CK J Ml +炉cos密屮2X2 = —^.(114.11)Формула (114.10) — точная; разлагая в ряд пеням х, получаемФормула (114.10) — точная; разлагая в ряд пеням х, получаемпо сте-по сте-
и следовательно, период гармонического осциллятора т определяется следующими формулами:
и следовательно, период гармонического осциллятора т определяется следующими формулами:
к =а
к = 4 \ 或=4
х =0
к =а
к = 4 \ 或=4
х =0
где
где
〈"м — 4 f (К — V) dx =
)石一"\近二v)2 一疗1
-JC
(1 + 2x2 cos2 Ф)d^>( (114 10
CK J Ml +炉cos密屮
2
X2 = —^.(114.11)
〈"м — 4 f (К — V) dx =
)石一"\近二v)2 一疗1
-JC
(1 + 2x2 cos2 Ф)d^>( (114 10
CK J Ml +炉cos密屮
2
X2 = —^.(114.11)
Формула (114.10) — точная; разлагая в ряд пеням х, получаем
Формула (114.10) — точная; разлагая в ряд пеням х, получаем
по сте-
по сте-
т = 2лт = 2лh^乙丄3加2a2h^乙丄3加2a2+・•・+・•・(114.12)(114.12)
т = 2л
т = 2л
h^乙丄3加2a2
h^乙丄3加2a2
+・•・
+・•・
(114.12)
(114.12)
в котором первый член есть ньютонов период.
§ 115. Заряженная частица в электромагнитном поле. Электромагнитное поле с электрическим вектором Ер и магнитным вектором % можно описать кососимметричным
416 НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧ. ПРОБЛЕМЫ [ГЛ. II тензором Frs, где
(115.1)(115.1)& = IF 14,Е2 = IF 24, % =冰за,
(115.1)
(115.1)
Hi = F 2з,Н? = F 3i,% = F12；
соответствующий 4-потенциал (рг таков, что выполняется условие
^rs =伙"一屮г, S'(1 15.2)
где запятые обозначают частные производные.
Для частицы с постоянной собственной массой т и зарядом % движущейся в заданном электромагнитном поле г), мы берем однородный лагранжиан в виде
Л (х, /') — тс М — /；力——屮声； (115.3) или, выражая его через 4-скорость, в виде
a (X,九)=те -九，Г ——中「入Г. (115.4)
Соответствующий обыкновенный лагранжиан есть
Z = f_^<Pp^ + K (115.5)
где потенциальная энергия частицы V выражается следующим образом:
昨竺(115.6)
Уравнения движения (110.13) дают следующие уравнения:
加华=刍小統，(115.7)
as с
где член в правой части есть лоренцова пондеромоторная сила. Это уравнение имеет форму (109.1); при этом вследствие кососимметричности электромагнитного тензора
Нами используются электростатические единицы.
(115.8)(115.8)удовлетворяется условие постоянства собственной массы (109.3). Эти уравнения можно также выразить в векторной форме (ср. (40.1) и (40.2))
(115.8)
(115.8)
石(тус2) = еи • Е・
Для того чтобы получить уравнение энергии Q (窠,у) = —0, напишем уравнение гамильтонова 4-вектора,
. е 圻=一 —-=т% Фг,. е 圻=一 —-=т% Фг,(115.9)(115.9)
. е 圻=一 —-=т% Фг,
. е 圻=一 —-=т% Фг,
(115.9)
(115.9)
и получаем, следовательно, уравнение
2Q(£, у) = (* — ? <pJ (圻—у %) + 疗1 = 0,
(115.10)
так как 九「九厂=—1.
Канонические уравнения имеют вид
(115.11)(115.11)
(115.11)
(115.11)
(115.10)(115.10)Согласно уравнению (110.20) гамильтониан выражается
(115.10)
(115.10)
следующим образом (мы разрешили уравнение относительно у「)：
丑=坐=
=卩 ± С |^ 卜 р — у фр^ 卜 р —三 <Рр) + тс2. (115.12)
Гамильтонов 3-импульс равен
Рр = т"р + ~(рр.(115.13)
27 Дж. л. Синг
Согласно уравнениям (112.3) и (115.10) уравнение Гамильтона — Якоби таково:
弧 + £W + W2C2 = о. (115.14)
дхт с / \ дхг с /
Фр = 0,Фр = 0,В случае электростатического поля полагаем
Фр = 0,
Фр = 0,
еср4 = iV; имеем тогда
11小四弧+然2=0 / дхр дхр小四弧+然2=0 / дхр дхр(115.15)(115.15)
1
1
小四弧+然2=0 / дхр дхр
小四弧+然2=0 / дхр дхр
(115.15)
(115.15)
Движение определяется иерез полный интеграл формулой (112.2).
§ 116. Релятивистская проблема Кеплера. Рассмотрим частицу с постоянной собственной массой m и зарядом е, движущуюся в поле заряда е' противоположного знака, помещенного в начале координат. Если е, е' измерены в гауссовых электростатических единицах, то поле и 4-потенциал определяются уравнениями
фр = °,фр = °,(116.1)(116.1)Уравнения ношениям:Уравнения ношениям:движениядвиженияприводят к следующим соот-приводят к следующим соот-
фр = °,
фр = °,
(116.1)
(116.1)
Уравнения ношениям:
Уравнения ношениям:
движения
движения
приводят к следующим соот-
приводят к следующим соот-
房（yu）=_^， ^（Yc2）=一金…，（146.2）
где г — радиус-вектор движущегося заряда и
к = — — > 0.mк = — — > 0.m(116.3)(116.3)
к = — — > 0.m
к = — — > 0.m
(116.3)
(116.3)
Отсюда следует, что движение плоское и если ввести полярные координаты (г,兮)в плоскости орбиты, то получим
интеграл момента количества движения
Y产8 = А,Y产8 = А,и интеграл энергиии интеграл энергии2 ус2 ус2 =呼2 =呼(116.4)(116,5)(116.4)(116,5)
Y产8 = А,
Y产8 = А,
и интеграл энергии
и интеграл энергии
2 ус
2 ус
2 =呼
2 =呼
(116.4)
(116,5)
(116.4)
(116,5)
где А и W — постоянные. Полагая q = 1/г и исключая время, получим уравнение орбиты в следующей формех):
(116,6)(116,6)
(116,6)
(116,6)
Предполагая, что коэффициент q положителен и полагая
(116.7)(116.7)
(116.7)
(116.7)
получим уравнение орбиты в форме
(116.8)
где С — постоянная.
Условие конечности орбиты есть
—с2 < Wr < с2.—с2 < Wr < с2.(116,9)(116,9)
—с2 < Wr < с2.
—с2 < Wr < с2.
(116,9)
(116,9)
11Конечную орбиту можно рассматривать как вращающийся эллипс, один фокус которого находится в начале координат, а перемещение перигелия за один оборот равно
1
1
(116.10)
эта величина равна прибли-эта величина равна прибли-Если скорость мала, то женно
эта величина равна прибли-
эта величина равна прибли-
(116.11)(116.11)л"? _4л3а2
(116.11)
(116.11)
В = ??(1 —/)，
где а — большая полуось эллипса, т —— период, е — эксцентриситет. Это выражение дает одну шестую часть вращения, определяемого общей теорией относительности для движения планеты в гравитационном поле Солнца.
Решение релятивистской проблема Кеплера может быть получено также методом разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби х). При переходе к полярным координатам (г,令，屮)уравнение (115.5) преобразуется к следующему:
+(聲丫 + 掰展=О, (116.12)
гдегдег sin 令 \ dtp 丿
где
где
ее'
— .(116.13)
г
Мы получаем полный интеграл, положив
S = % + в(Г,因 &) + $2 (8，&, S)+ g3屮 + 题；
должныдолжны(116.14)
должны
должны
функции 5i и S2 находятся квадратурами; они удовлетворять уравнениям
--a2*--a2*殁殁——2 (а4 — V)2 + С——2 (а4 — V)2 + С(116.15)(116.15)
--a2*
--a2*
殁
殁
——2 (а4 — V)2 + С
——2 (а4 — V)2 + С
(116.15)
(116.15)
Здесь @t ——произвольные постоянные. Как и в случае (112.2), движение определяется уравнениями
, as， ds2
,,dS2,dSi
да2 да2
a =中十-，九2 + —
da3@"4
(116.16)
где 6» ——произвольные постоянные. Эти три уравнения дают г,仆，ф как функции £ и шести произвольных постоянных @2, @3，@，62，63，仇，
ГЛАВА III
ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ
§ 117. Когерентные системы траекторий в пространстве —времени и связанные с ними волны. Теорию § 74 и 75 можно приложить к пространству — времени с тем только изменением в* знаке, которое указано в § 110 и обсуждалось в § 111. Существенные стадии изложения этой теории следующие.
Принимаем за основу уравнение энергии
Q (怎 у) = 0.(117.1)
Для свободной частицы оно имеет вид (111.5):
2Q = угуг + т2с2 = 0.(117.2)
Для заряженной частицы в электромагнитном поле имеем более сложное уравнение (115.10); для частицы в потенциальном поле (как в § 114) имеем уравнение
2Q = УрУр + (弘 一 ?『+ m2c2 = 0.(117.3)
Траектории определяются каноническими уравнениями
(h7.4) div дуг div дхг
Выделяя множество траекторий, образующих подпространство R пространства — времени, мы связываем с каждым событием в R гамильтонов 4-вектор 处，принадлежащий траектории, которая проходит через это событие. Этот 4-вектор уг можно найти из первой группы
уравнений (117.4), или, что эквивалентно, из уравнений
圻(117.5)
где Л (х, ◎') — однородный лагранжиан, соответствующий уравнению энергии (117.1). Это множество траекторий образует когерентную систему, если
Ф Ут dg = о (117.6)
для каждого приводимого контура в R. Одноточечная характеристическая функция в пространстве событий QT для когерентной системы определяется так:
и (х) = — ^ z/r dxr, (117.7)
где интеграл берется вдоль любой кривой в /?, от того события, которое раз навсегда зафиксировано, и до события £「, для которого и вычисляется функция U,
Выбирая подпространство R односвязной 4-мерной областью в пространстве — времени и варьируя событие хг, имеем уравнения (74.8) (в которых изменен только знак):
Функция U удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби,
小,一黑)=0,(117.9)
а волны, принадлежащие к когерентной системе, имеют уравнения
U ⑺=const.(117.10)
Отметим, что гамильтонов 4-вектор ут есть нормаль к 3-волне в смысле пространства — времени.
Эт г волны являются волнами де Бройля в смысле геометрической механики.
§. 118. Скорость частицы и волновая скорость. Согласно формулам (108.9) и (117.8) нормальная скорость распространения волны U = const равна
-—也一 •УаУа-—也一 •УаУа(118.1)(118.1)
-—也一 •
УаУа
-—也一 •
УаУа
(118.1)
(118.1)
Как и в уравнении (108.10), абсолютная величина скорости и удовлетворяет условию
,2,211УтУг成УтУг成(118.2)(118.2)
,2
,2
1
1
УтУг
成
УтУг
成
(118.2)
(118.2)
скорость частицы естьскорость частицы есть(118.3)(118.3)Согласно уравнениям (117.4)
скорость частицы есть
скорость частицы есть
(118.3)
(118.3)
% = ic ——-=ic—.dx^ dQ/d^4
Связь между волновой скоростью ир и скоростью частицы 0р можно найти (для любого события а>), исключив четыре величины уг из семи уравнений (117,1) (118.1) и (118.3).
Для свободной частицы, при наличии уравнения энергии (117.2), согласно (118.3) скорость частицы равна
(118.4)(118.4)% =历近.
(118.4)
(118.4)
Она имеет то же направление в пространстве, что и волновая скорость и。, которая определяется выражением (118.1); это направление совпадает также с направлением гамильтонова 3-импульса рр. Соотношение между двумя абсолютными значениями скоростей (и для волны и у — для частицы) таково:
uv ~ %% = с2.uv ~ %% = с2.(118.5)(118.5)
uv ~ %% = с2.
uv ~ %% = с2.
(118.5)
(118.5)
Это и есть уравнение де Бройля).
Де Броилева длина волны и частота. Пусть L — мировая линия частицы в когерентной системе (рис. 53) и пусть Wi, W2 — две 3-волны де Бройля, пересекающие L соответственно в событиях 4, В. Пусть эти волны выбраны так, что действие вдоль АВ равно h (постоянная Планка).
Считая h бесконечно малой, имеем
—Ут dxr = где ут — гамильтонов 4-вектор, ке 4, и dxr ——смещение вдоль АВ. Если СВ проведена параллельно оси времени из точки С, которая лежит на 巾储 то период волны де Бройля есть
т = — ,(119.2)
С
где ВС — интервал Минковского.
Согласно уравнениям (117.8) уг ортогонален волне W±. Отсюда (так как смещение АВ есть векторная сумма АС и СВ) имеем из уравнения (119.1)
一圻喘=九(119.3)
无，(119.1)соответствующий Е в точ-无，(119.1)соответствующий Е в точ-где d^r ——перемещение СВ. Но ние параллельно оси времени,
无，(119.1)
соответствующий Е в точ-
无，(119.1)
соответствующий Е в точ-
это последнее перемеще- следовательно,это последнее перемеще- следовательно,d^p = 0, d& = iBC.(119.4)
это последнее перемеще- следовательно,
это последнее перемеще- следовательно,
Поэтому уравнение (119.3) дает следующий результат:
ВС =—匹、(119.5)
и у = —.(119.6)
Это — приближенное выражение для периода волны де Бройля, так как Л считается бесконечно малым.
В случае свободной частицы имеем (ср. (111.7))
% = тс 入& = imyc.(119.7)
Итак, период т и частота v имеют следующие значения:
hтус2hтус2hv = тус2.hv = тус2.(119.8)(119.8)
hтус2
hтус2
hv = тус2.
hv = тус2.
(119.8)
(119.8)
(119.9)(119.9)Так как абсолютная величина волновой скорости равна 乂 = с2/г?, то длина волны де Бройля такова:
(119.9)
(119.9)
Л = UT =— myv
Эти выражения являются точными в наипростейшем случае, а именно, когда мировые линии когерентной системы параллельны и, следовательно, волны плоские и параллельные.
Возвращаясь к общему случаю частицы, движущейся в соответствии с некоторым уравнением энергии Q (а, у) = 0 или, что эквивалентно, в соответствии с некоторым гамильтонианом Н, получаем из уравнений (110.19) и (119.6) выражения
无_无
辽% h
hv = Н.
(119,10)
ГЛАВА IV
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ КАТАСТРО①bl
Сохранение 4-импульса. В последующем обсуждении катастроф слово частица означает как материальную частицу с 4-импульсом,
мр =映，M「g = ^,(120.1)
так и фотон с 4-импульсом,
ihv
Мр = г 7%,1% = F .(120.2)
Все эти компоненты (как в § 108) имеют размерность массы. Под словом катастрофа будем понимать удар или столкновение нескольких частиц, причем могут возникнуть новые частицы и число их после катастрофы может отличаться от исходного, или взрыв, в котором одна частица превращается в несколько.
Основное предположение состоит в законе сохранения 4-импульса, который может быть записан в виде
2М；= ЦМГ,(120.3)
где суммирование в правой части ведется по всем частицам до катастрофы, а суммирование в левой части — по всем частицам после катастрофы; число частиц отнюдь не должно быть одним и тем же. Этот закон можно написать в эквивалентной форме:
2 涼у% + 2 — Пр = 2 тпу好 + 2 —(120.4)
2 wi'y'I + 2 fevA = 2 тус2 + 2 无у, (120.5)
где (120.4) выражает сохранение релятивистского импульса, а (120.5) — энергии. Эти законы имеют силу для всех галилеевых систем отсчета.
Пока мы не переходим к содержанию § 123, нет необходимости предполагать, что мировые линии участвующих в катастрофе частиц пересекаются при этом. Урав-
Рис. 54. Векторная диаграмма катастрофы в пространстве РН, показывающая сохранение 4-импульса.Рис. 54. Векторная диаграмма катастрофы в пространстве РН, показывающая сохранение 4-импульса.нение сохранения (120.3) введено безотносительно к положениям частиц.
Рис. 54. Векторная диаграмма катастрофы в пространстве РН, показывающая сохранение 4-импульса.
Рис. 54. Векторная диаграмма катастрофы в пространстве РН, показывающая сохранение 4-импульса.
Целесообразно рассмотреть 4-мерное пространство РН, в котором координатами точки являются Мт и которое имеет ту же геометрию, что и пространство ~ время, с той только разницей, что в РН начало координат есть точка, которую физически можно выделить, в то время как в пространстве — времени начало координат таким свойством не обладает. Имеем соотношение
МТМТ = -т2 (120.6)
(для фотона т — 0), и это позволяет метризовать пространство РН. С такой точки зрения уравнение (120.3) представляет очень простую картину в пространстве РН, аналогичную полигонам сил в статике. Единственный результирующий вектор двумя различными путями разлагается на два вектора, из которых один соответствует начальному состоянию, а другой — конечному. Рис. 54 показывает катастрофу, имеющую место для*двух начальных и трех конечных частиц.
Считая начальное состояние заданным, имеем четыре уравнения (120.3) для определения конечного состояния. Могут быть заданы дополнительные условия, например, собственные массы конечных частиц. Однако даже при таких условиях существует. только один случай, при котором определено конечное состояние, и это тот случай, когда получается только одна частица. Ее 4-им-
пульс определяется равенством
М； = ЕМ-(120.7)
а ее собственная масса определяется как
mz2 = -М；М；.(120.8)
Если имеются две частицы в конце рассматриваемого явления и известно, каковы их собственные массы, то имеем всего шесть уравнений, а именно, четыре уравнения (120.3) и два уравнения типа (120.8). Таким образом, конечное состояние имеет две степени свободы, т. е. положение такое же, как при столкновении двух упругих шаров в ньютоновой динамике, когда не задано направление прямой, соединяющей центры.
Если материальные частицы, возникающие в результате катастрофы, приходят в состояние покоя без изменения их собственных масс, и какие-либо фотоны, получающиеся при этой катастрофе, покидают рассматриваемую область, то остающаяся энергия будет равна полной релятивистской энергии Е"с2. Таким образом, потеря энергии будет равна
Q = Е 无夕 + Е тус2 — Е т'с'.(120.9)
Если катастрофа представляет собой взрыв одной частицы, находящейся в состоянии покоя и имеющей собственную массу т, то
Q = тс2 -ш：с2；(120.10)
Q —— энергия связи взорвавшейся частицы (некоторые авторы предпочитают обозначение — Q).
Система отсчета центра инерции это — галилеева система, которая имеет полный 4-импульс WAG для оси времени. Когда употребляют эту систему, то правая часть уравнения (120.4) обращается в нуль. Использование этой системы иногда упрощает вычисления, но, конечно, это не относится к вопросу определения результатов катастрофы.
Неупругое и упругое столкновения. При абсолютно неупругом ударе все сталкивающиеся частицы
объединяются в одну частицу с 4-импульсом
2Ж(121.1)
и собственной массой 加‘，определяемой по формуле
Y = - м；М；.(121.2)
Если число сталкивающихся частиц равно двум, то собственная масса одной конечной частицы определяется как
加2 = _(”「+ Мг) (Мг + М^ =川 + / — 2МГМГ,
(121.3)
где т, т — собственные массы, Мг, Мг — 4-импульсы частиц.
Если, в частности, сталкивающиеся частицы являются фотонами с частотами v, v, движущимися в направлениях, заданных единичными векторами 几「, пр, то получаем
加'2 = 2 容(1-九/р) = 4争sid^G, (121.4)
где 令一угол между направлениями движения фотонов. Это выражение описывает рождение одной вещественной частицы из двух фотонов. Если мы употребляем систему отсчета центра инерпии, то имеют место соотношения V = V,令=л, а также
加 J = 2hv,(121.5)
что очевидно, так как конечная частица может находиться в покое и иметь энергию m'd, а полная энергия фотонов равна 2Av.
При абсолютно неупругом ударе двух материальных частиц, движущихся со скоростями ，р, гр, уравнение (121.3) принимает вид
Tn/? = тп2 + тп2 + 2ттуу И — ^^) ,(121.6)
Легко показать, что выполняется условиеЛегко показать, что выполняется условие(равенство наступает, если vp = vp, но в этом не имеет места столкновение) и отсюда
Легко показать, что выполняется условие
Легко показать, что выполняется условие
тп‘〉т 十
Таким образом, полная собственная масса всегда
(121.8)случае(121.9)возрас-(121.8)случае(121.9)возрас-тает при абсолютно неупругом ударе. Возрастание полной собственной энергии равно
(121.8)
случае
(121.9)
возрас-
(121.8)
случае
(121.9)
возрас-
т'с2 — тс2 — тс2;(121.10)
если абсолютные значения скоростей сталкивающихся частиц малы по сравнению со скоростью света с, то легко показать, что это возрастание равно приблизительно количеству тепла, выделяющемуся при таком столкновении согласно ньютоновой динамике (ср. § 58, 59).
Аналогично исследуется абсолютно неупругое столкновение материальной частицы и фотона. Он представляет собой поглощение фотона материальной частицей. Здесь также полная собственная масса возрастает; так как собственная масса фотона равна нулю, то это означает, что получена материальная частица с большей собственной массой, чем масса исходной сталкивающейся материальной частицы.
Упругий удар характеризуется двумя условиями:
Число частиц остается неизменным.
П) Собственная масса каждой частицы остается неизменной.
Результат упругого столкновения двух материальных частиц очень легко описать с помощью системы отсчета центра масс. Абсолютные величины скоростей частиц не
изменяются и они расходятся после столкновения в противоположных направлениях, причем эти направления не определяются законом сохранения. На рис. 55 показана векторная диаграмма в пространстве РН, При упругом столкновении материальной
Рис. 55. Векторная диаграмма упругого удара.Рис. 55. Векторная диаграмма упругого удара.частицы и фотона (комптон- эффект, см. § 122) частота фотона не изменяется, когда применяется система отсчета центра масс.
Рис. 55. Векторная диаграмма упругого удара.
Рис. 55. Векторная диаграмма упругого удара.
§ 122. Комптон-эффект. Упругое столкновение материальной частицы и фотона называется комптон-эффек- том. Как отмечено в § 120, существует двойная неопределенность в результате столкновения.
Для того чтобы обсудить столкновение в общей галилеевой системе отсчета, обозначим через Мг, М； 4-импуль- сы материальной частицы до
и после столкновения, а через Pr, Е — 4-импульсы фотона. Имеют место следующие уравнения:
М；+Р；=МТ + РГ^
М；М； = МГМГ = 一 病，(122.1)
Эти шесть уравнений содержат всю информацию, имеющуюся для определения восьми величин М；, Р；.
Описание исхода столкновения зависит от используемой системы отсчета. Проще всего это описание в случае системы отсчета центра масс (см. § 121). Однако в обычном описании, которое дано ниже, употребляют лабораторную систему, в которой частица первоначально находится в покоех).
')Дальнейшие детали и описания в других системах отсчета см. Synge, цит. соч., § 107, стр. 193—199.
Рис. 56 показывает фотон (с частотой v), приближающийся слева и рассеивающийся (с частотой v‘)под углом ". Материальная частица испытывает отдачу под углом <р со скоростью, абсолютное значение которой равно 吟Рис. 56 показывает фотон (с частотой v), приближающийся слева и рассеивающийся (с частотой v‘)под углом ". Материальная частица испытывает отдачу под углом <р со скоростью, абсолютное значение которой равно 吟
Рис. 56 показывает фотон (с частотой v), приближающийся слева и рассеивающийся (с частотой v‘)под углом ". Материальная частица испытывает отдачу под углом <р со скоростью, абсолютное значение которой равно 吟
Рис. 56 показывает фотон (с частотой v), приближающийся слева и рассеивающийся (с частотой v‘)под углом ". Материальная частица испытывает отдачу под углом <р со скоростью, абсолютное значение которой равно 吟
как и показано на рис. 56. Из соотношений (120.4) и (120.5) следует, что три направления движения компланарны и что
,,.Av а. hv
(122.2)(122.2)my v cos ф + ——cos v =— сс
(122.2)
(122.2)
zny^'sin ф — — sin ^ = 0,
myrc2-\-hvf— тс2 + Av.
Предполагая, что 8 принимает любое значение (неопределенность проблемы заключена отчасти в этом), находим после небольших вычислений
Ctg-^ О
tg 屮=4,7 '
+ /с
,2к sin — 8V _2,2к sin — 8V _2+ /с (2 + к) sin2 2 8+ /с (2 + к) sin2 2 841 + 2А (1 + A) sin2 у 941 + 2А (1 + A) sin2 у 9(122.3)(122.3)
,2к sin — 8
V _2
,2к sin — 8
V _2
+ /с (2 + к) sin2 2 8
+ /с (2 + к) sin2 2 8
4
1 + 2А (1 + A) sin2 у 9
4
1 + 2А (1 + A) sin2 у 9
(122.3)
(122.3)
28 Дж. л. Синг
(122.4)(122.4)V1 + 2Zc sin2 — О1V1 + 2Zc sin2 — О1гдегдеhvтс2hvтс2(122.5)(122.5)
(122.4)
(122.4)
V
1 + 2Zc sin2 — О1
V
1 + 2Zc sin2 — О1
где
где
hvтс2
hvтс2
(122.5)
(122.5)
i + 2k(i + к) sin2 ^ 杼
1 + 2к sin2 - О
§ 123. Момент импульса и центр масс ^. Пусть хг — какое-нибудь событие в истории частицы и пусть Мг — 4-импульс частицы в этом событии. Тогда момент импульса частицы в этом событии относительно начала пространственновременных координат определен кососимметричным тензором
Hrs = xTMs — xsMT. (123.1)
Более общо, момент импульса относительно некоторого события определяется следующим образом:
Hts (矶==(写 &) М$ (g. %) Л^г —
=Hrs — /Ms — %Мт・ (123.2)
Если частица свободна, то ее мировая линия есть прямая и МТ направлен вдоль нее. В этом случае НГБ(а) не зависит от частного события 写，выбранного на мировой линии.
Рассмотрим теперь систему частиц, взаимодействующих друг с другом только при катастрофе, в которой мировые линии пересекаются. Столкновение может быть упру-
г им или неупругим; частицы могут при этом соединяться и могут образоваться новые частицы; частицы могут быть вещественными частицами или фотонами. Существенное условие состоит в том, что 4-импульс должен сохраняться при каждой катастрофе и что каждая катастрофа происходит в один акт, т. е. катастрофа должна иметь место в од- ной-единственной точке пространства событий. Рис. 57 показывает мировые линии такой системы.
Пусть П — какое-нибудь пространственноподобное3-пространство.
Рис. 57. Мировые линии Системы частиц, взаимодействующих в точке катастрофы.Рис. 57. Мировые линии Системы частиц, взаимодействующих в точке катастрофы.Пусть хт — событие, в котором обычная мировая линия пересекает П и пусть Мт — соответствующий 4-импульс. Тогда каждая мировая линия, пересекающая П, определяет момент импульса вида (123.1) относительно начала пространственновременных координат, а полный момент импульса
Рис. 57. Мировые линии Системы частиц, взаимодействующих в точке катастрофы.
Рис. 57. Мировые линии Системы частиц, взаимодействующих в точке катастрофы.
для системы получаем сложением моментов импульсов отдельных частиц.
Если передвигать П в пространстве — времени, то этот полный момент импульса остается, конечно, постоянным до тех пор, пока точка катастрофы не окажется в пространстве ГГ, потому что между катастрофами каждая частица является свободной. Кроме того, полный момент импульса не изменяется и тогда, когда точка катастрофы окажется в П, потому что она представляется только одним событием, и полный 4-импульс всех частиц сохраняется. На самом деле, как полный 4-импульс, так и полный момент импульса на мировой линии, пересекающей П, не зависят от выбора П; они являются постоянными системы.
Говоря о системе, будем употреблять те же обозначения, которые мы использовали для одной частицы, а именно: HTS —— полный момент импульса относительно 28*
начала, Hrs(d)——полный момент импульса относительно события а「, Мг ——полный 4-импульс. Справедливо уравнение вида (123.2), в котором индексы имеют только что указанный смысл,
Hrs (а) = Hrs — 0rMs + asMr.(123.3)
Рассмотрим четыре уравнения
Hrs (а) М8 = 0,(123.4)
из которых- только три независимых вследствие кососимметричности HTS (а). Подставив значение HTS (а) из (123.3), получим
HrsMs — arMsMs + MTasMs = 0.(123.5)
Эти уравнения локализуют аг на прямой линии в пространстве —времени с уравнениями
&г =+ м(123.6)
МпМ п
где 2 ——переменный параметр. Это, так сказать, история центра масс системы, причем центр масс определяется релятивистски. Эта история параллельна Мг.
Если применить систему отсчета с осью времени, параллельной Мг (т. е. это система отсчета центра масс § 120), то имеем условие
= 0;
выражение (123.6) означает, что центр масс закреплен в точке с координатами
а =吼.(123.7)
Если, с другой стороны, оставить все направления пространственновременнйх осей произвольными, но передвинуть начало координат в некоторое положение на мировой линии центра масс, то уравнение (123.5) удовлетворяется при аг = 0 и поэтому имеет место
HTSMs=0tHTSMs=0t(123.8)
HTSMs=0t
HTSMs=0t
§ 124. Частицы со спином. Уравнение (123.8) предполагает, что спин или внутренний момент импульса частицы, имеющей 4-импульс МГ1 должен быть представлен кососимметричным тензором Не удовлетворяющим условию
HrsMs = 0.(124.1)
Тогда момент импульса частицы относительно какого- нибудь события аг будет состоять из двух частей: орбитального момента импульса
(£『一а『)М$ — (% — 4)Mr (124.2) и спинового момента импульса ЯГ5, удовлетворяющего (124.1) и не зависящего от выбора начала координат и события
Любой кососимметричный тензор может быть представлен двумя 3-векторами, и мы можем описать спин двумя 3-векторами Н「и "訂 где
Hi = гЯ14,Я2 =由2&,Я3 = Ш3^〃乘 ох
% = Н^Я； = Я31,Н； = Н^,皿‘冋
Множитель i внесен сюда для того, чтобы получить действительный 3-вектор, так как Яр4, будучи координатами Минковского, чисто мнимые.
Четыре уравнения (124.1) дают векторное уравнение
Е = Е*Х^(124.4)
(где V — скорость частицы), а также следующее скалярное уравнение:
Н・и=0,(124.5)
которое, конечно, является следствием уравнения (124.4). Согласно (124.4) два спиновых вектора взаимно перпендикулярны.
Если мы используем систему отсчета, покоящуюся относительно движущейся частицы, то, полагая и = 0, получим согласно (124.4) Н = 0 и поэтому имеем только один спин-вектор Н*, Спиновый тензор дает возможность образовать лоренц-инвариантное выражение
鎖=HrsHra = Н*2 — Н\ (124.6)
Это выражение всегда положительно, так как выбором системы соответствующего отсчета Н можно сделать равным нулю, а поэтому Q — действительное число.
Для частицы, движущейся под действием 4-силы X и момента Yrs (= — У5Г), могут быть предложены) уравнения движения, которые в введенных в этой книге обозначениях имеют вид
(124,7)(124,7)Hr8Xs = О, Х7КГ = 一 1, = Х「，H；s = М% — Mb + У%;
(124,7)
(124,7)
здесь 入г — 4-скорость, а штрих означает d/ds, взятую вдоль мировой линии. Масса частицы определяется как т = — М%; приведенные уравнения заключают в себе
Мг = тК + ХМ； + Yrs^ (124.8)
Если Х「= 0 и Yrs = 0, то МТ ——постоянный 4-вектор, а орбита есть окружность в той системе отсчета, для которой Mi = М2 = Мз = 0.
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Здесь подобраны курсы, книги и статьи по классической динамике с краткими замечаниями, в которых даны общие указания о содержании этих работ.
Ames J. S. and Murnaghan F. D., Theoretical Mechanics. Boston, Ginn, 1929.
Векторный анализ, включающий теорию винтов. Кинематика, Динамика частицы и твердого тела. Уравнения Лагранжа и Гамильтона. Вариационные принципы. Уравнение Гамильтона ——Якоби. Скобки Пуассона. Теория относительности.
Appel Р., Traite de Mecanique rationelle. Paris: Gauthier 一 Villars, т. I (1941); т. II (1953). Есть русский перевод: П. Аппель, Теоретическая механика, тт. 1, 2. Физматгиз, Москва, 1960.
Классическое исследование, в котором вопросы рассматриваются подробно и с большой ясностью. Редкое употребление векторных обозначений. Том I — кинематика, статика и динамика частицы. Том II 一 системы голономные и неголо- номные, уравнения Лагранжа и Гамильтона и связанная с ними общая теория, удар, взрыв, столкновение. Три дополнительных тома ——непрерывные среды, вращение жидких масс и тензорное исчисление.
С о г b е n Н. С. and S t е h 1 е Р., Classical Mechanics. New York: Wiley; London, Chapman & Hall, 1950.
Современный учебник; подчеркнуты те вопросы, которые наиболее важны для квантовой механики. Используется векторный и матричный аппарат. Теория Гамильтона, скобки Пуассона и касательные преобразования. Введение в специальную теорию относительности.
Finzi В., Meccanica Razionale, два тома, Bologna, 1948.
Общий учебник по механике, с особым вниманием к методам Лагранжа и Гамильтона. Релятивистская механика. Статистическая механика.
Frank Ph., Analytische Mechanik. Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik, часть 2, стр. 1— 176, Braunschweig, 1927.
Есть русский перевод несколько переработанного автором текста в книге: Франк Ф. и Мизес Р., Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, ч. II,
ОНТИ, Москва, 1937.— Уравнения Лагранжа и Гамильтона, теория преобразований, уравнение Гамильтона — Якоби, переменные действие——угол, устойчивость, движения твердого тела, возмущения..
F u е s Е., Storungsrechnung, Handbuch der Physik, т. 1, стр. 131—177. Berlin, Springer, 1927.
Многопериодичные движения, переменные действие — угол, вырождение, адиабатические инварианты, разложение в степенной ряд по параметру, вековые возмущения, метод Делоне, возмущения, зависящие от времени.
Goldstein Н., Classical Mechanics. Cambridge, 1950.
Есть русский перевод: Г. Голдстейн, Классическая механика, Гостехиздат, Москва, 1957.— Изложение, имеющее целью дать методы, требующиеся в квантовой механике. Используются матричный и векторный аппарат. Специальная теория относительности. Уравнения Гамильтона, канонические преобразования, малые колебания, знакомство с лагранжевой и гамильтоновой формулировками задач для непрерывных систем и полей.
Gramme! R., Kinetik der Massenpunkte. Handbuch der Physik, т. V, стр. 305—372. Berlin, Springer, 1927.
Динамика частицы, свободной или подчиненной связям. Движение относительно вращающейся Земли. Проблема двух тел. Проблема трех тел. Устойчивость.
Halpern О., Relativitatsmechanik. Handbuch des Physik, т. V, стр. 578—616. Berlin, Springer, 1927.
Динамика частицы и континуума в специальной теории относительности. Квант света. Общая теория относительности.
Hamel G・，Die Axiome der Mechanik. Handbuch der Physik, т. V, стр. 1—42, Berlin, Springer, 1927.
Законы Ньютона. Построение механики из аксиомы непрерывности, из гипотезы твердого тела и частицы. Построение ее на основе принципа Лагранжа и принципа сохранения энергии. Неклассические формы динамики. Непротиворечивость.
Hamel G., Theoretische Mechanik, Berlin, 1949,
■ Всесторонний, глубокий учебник, с подробным исследованием механики твердого тела, проблемы 孔-тел и неголоном- ных систем; 263 стр. отведены задачам и их решениям.
Jung G・，Geometrie der Massen. Encyklopadie der mathema- tische Wissenschaften, т. IV, стр. 279—344, Leipzig, Teubner, 1901—1908.
Специальная статья о моментах — линейных, квадратичных и высших степеней; приложена библиография, доведенная до 1903 г.
Lamb Н., Dynamics. Cambridge, 1929.
Имеется русский перевод: Л а м б Г., Теоретическая механика, т. 2, Динамика, Гостехиздат, Москва, 4935. Элементарный курс, без векторных обозначений, примечательный простым прямым изложением плоских задач.
Lamb Н., Higher Mechanics. Cambridge, 1929 (Segreel to [13]). Имеется русский перевод: Л а м б Г., Теоретическая механика, т. 3, более сложные вопросы, ОНТИ, Москва, 1936.
Геометрия конечных вращений, винтов и движение твердого тела в пространстве. Уравнения Лагранжа и Гамильтона. Колебания.
L а п с z о с С., The Variational Principles of Mechanics. Toronto, 1949.
Принцип Даламбера. Уравнения Лагранжа и Гамильтона. Канонические преобразования. Теория Гамильтона — Якоби. Особое внимание к геометрии фазового простран
ства.
L е V i-C i V i t a T. and A m а 1 d i U., Lezioni diMeccanica Razionale, Bologna; т. I, 1923; t. 11〃 1926; т. II?，1927.
Имеется русский перевод: Леви-Чивита Т. и А м а л ь д и У., Курс теоретической механики, т. 1; т. 2, ч. 1, ОНТИ, Москва, 1935; т. 2, ч. 2, ИЛ, Москва, 1951.
Исчерпывающее глубокое изложение, которое можно сравнить с трактатом Аппеля. Том I — кинематика, геометрия масс и статика; II — динамика частицы, уравнения Лагранжа, устойчивость колебаний. Том II — динамика твердого тела, теория Гамильтона, вариационные принципы, движение под действием ударного импульса.
Macmillan W. D., Theoretical Mechanics. - New York — London, т. I, 1927; т. II, 1936.
Исчерпывающий учебник с большим количеством подроби ностей. Том I — орбиты, баллистические траектории, уравнения Лагранжа и Гамильтона и вариационные принципы для частицы. Том II — твердое тело, имеющее неподвижную точку или катящееся; ударные импульсы, общие лагранжевы и га мильтоновы методы, метод периодических решений.
Nordheim L., Die Prinzipe der Dynamik. Handbuch der Physik, т. V, стр. 43—90, Berlin, 1927.
Дифференциальный и интегральный принципы виртуальной работы, принцип Даламбера, принципы Гаусса)Герца, Гамильтона, Якоби.
Nordheim L. and F u е s E., Die Hamilton — Jacobische Theorie der Dynamik. Handbuch der Physik. т. V, стр. 91— 130. Berlin, Springer, 1927.
Канонические преобразования, скобки Пуассона и Лагранжа, уравнение Гамильтона — Якоби, эйконал.
Peres J., Мecanique generale. Paris, 1953.
Компактный учебник, в котором рассматриваются моменты инерции, неголономные связи, принцип виртуальной работы, динамику частицы и твердого тела, уравнения Лагранжа, Аппеля и Гамильтона, уравнение Гамильтона — Якоби, устой
чивость около положения равновесия или равномерного движения. Удар и возмущения.
Р г a n g е G., Die allgemeinen Integrationsmethoden der analy- tlschen Mechanik, Encyklopadie der mathematischen Wissen- schaften, t. IV2, стр. 505—804, Leipzig, 1904—1935.
Подробное изложение принципа Даламбера, уравнений Лагранжа, вариационных принципов, вариации произвольных постоянных, оптики Гамильтона, характеристической функции, уравнений Гамильтона ——Якоби, разделения переменных, интегральных инвариантов, систематическое интегрирование систем канонических уравнений, канонические преобразования, подстановки или производящие функции, эквивалентные системы.
Routh Е. J., A Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies. London, т. I, 1897; т. II, 1905.
В книге используются совершенно устаревшие обозначения, тем не менее она остается наиболее полезным источником разнообразной информации по динамике твердых тел. Здесь исследуются струны и мембраны. Изложение несистематичное, но имеется хороший указатель.
Schaefer Cl., Einfuhrung in die theoretische Physik, Bd. I. Berlin, 1950. Имеется русский перевод: Кл. Шефер, Теоретическая физика, т. 1, ч. 1. Общая механика. Механика твердого тела, Гостехиздат, Москва, 1934.
На первых 469 страницах книги исследуется динамика частиц и твердых тел с важными деталями, включая лагранжевы и гамильтоновы методы.
S с h о е n f 1 i е s A. and G г u b 1 е г М., Kinematik, Епсу- klopadie der mathematishen Wissenschaften, т. IV, ч. 1, стр. 190—278. Leipzig, 1901—1908.
Конечные перемещения, ускорение, механизмы.
S t а с k е 1 Р., Elementare Dynamik der Punktsysteme und starren Korper, Encyklopadie der mathematischen Wissenschaf- ten, т. IV, ч. 1, стр. 436—684. Leipzig, 1901—1908.
Прямое исследование динамики частиц и твердых тел; библиография и подробные исторические ссылки. Более полно, с диаграммами, рассматривается гироскопическое движение.
S у n g е J. L. and Griffith В. A., Principles of Mechanics. New York—Toronto — London； 1959.
Учебник статики и динамики, включающей теорию гироскопа. Движение заряженных частиц в электромагнитном поле с аксиальной симметрией. Методы Лагранжа и Гамильтона. Колебания. Введение в теорию относительности.
Voss A., Die Prinzipien der rationellen Mechanik. Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften, т. IV, стр. 3—121. Leipzig, 1901—1908.
История и философия механики от Галилея и Ньютона. Исключение силы Кельвином и Герцем. Принцип Даламбера, Фурье, Гаусса, Гамильтона. Принцип энергии.
Whittaker Е. Т., A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, Cambridge, 1937. Имеется русский перевод: Уиттекер Е., Аналитическая динамика, ОНТИ, Москва, 1937.
Образцовое изложение с систематическим расположением материала, более компактное, чем у Аппеля [2] или Леви- Чивита и Амальди [16]; обычные проблемы динамики частиц
и твердых тел исследуются методами Лагранжа без векторных обозначений и чертежей. Во второй половине книги рассматриваются гамильтоновы системы, интегральные инварианты, теория преобразований, первые интегралы, проблема трех тел, теория траекторий.
Winkelmann М. and G г am m е 1 R., Kinetik der starren Кбгрег. Handbuch der Physik, т. V, стр. 373—483. Berlin, 1927.
Волчок симметричный и несимметричный, много чертежей. Относительное движение твердого тела на вращающейся Земле. Системы твердых тел. Гироскопическая устойчивость.
W i n t п е г A., The Analytic Foundations of Celestial Mechanics, Princeton, 1947.
Главная тема — проблема n-тел, но книга содержит подробное критическое изложение методов Гамильтона и канонические преобразования с интересными историческими замечаниями и ссылками в конце.
Дополнительна я литература на русском языке
Вариационные принципы механики, Сборник статей под ред. Л. С. Полака, Физматгиз, Москва, 1959.
ГантмахерФ. Р., Лекции по аналитической механике, Физматгиз, Москва, 1950.
Ландау Л.Д. иЛившиц Е. М., Теоретическая физика, т. 1 Механика, Физматгиз, Москва, 1958.
Лич Дж. У., Классическая механика, перевод Я. И. Секерж- Зеньковича под ред. Л. Н. Сретенского, ИЛ, Москва, 1961.
Лурье А. И., Аналитическая механика. Физматгиз, Москва, 1961.
Полак Л. С., Вариационные принципы механики, их развитие ' и применение в физике, Физматгиз, Москва, I960.
Розе Н. В., Лекции по аналитической механике, ч. 1, Ленинград, 1938.
Суслов Г. К., Теоретическая механика, Гостехиздат, Москва, 1946.
Френкель Я. И., Аналитическая механика, Кубуч, Ленинград, 1935.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
315, 318,344, 348,405, 406, 422, 423315, 318,344, 348,405, 406, 422, 423325, 333 —379, 380,410, 417,325, 333 —379, 380,410, 417,Р. 443Р. 443
315, 318,
344, 348,
405, 406, 422, 423
315, 318,
344, 348,
405, 406, 422, 423
325, 333 —
379, 380,
410, 417,
325, 333 —
379, 380,
410, 417,
Р. 443
Р. 443
Адамар (Hadamard J.) 231
,Амальди (Amaldl U.) 221, 257 268. 441
Амес (Ames I.) 73, 439
Аппель (Appel Р.)45, 73, 75, 87,
103,105,108,Hi,114,
120,131,132,134,139,
177,185,192,257,259,
284, 302, 305, 439
Бергман (Bergmann Р. G.) 390, 419
Бертран (Bertrand I. L. F.) 195
Бессель (Bessel F. Н.) 163
Биркгоф Birkhoff G. D.) 162
Блекберн (Blackburn I.) 109
Блок (Block Н. D.) 343
Блэкмен (Blackman М.) 163
Бом (Bohm D.) 144
Бонди (Bondi Н.) 13
Бор (Bohr N.) 257, 347
Борегар (Beauregard О.) 390, 438
Борн (Born М.) 163, 347
Браамс (Braams С. М.) 171
Бранд (Brand L.) 48, 49, 139
Бриджмен П. (Bridgman Р.) 17
Бриллюэн Л. (Brillouin L.) 163,
<99, 271
Брунс (Biuns Н.) 235
265, 266, 269, 271, 273, 275 —
278, 313,
335, 337, 401—403, 418, 420, Гантмахер Ф.
Гаус (Gauss С. F.) 284
Гёльдер (Holder L. О.) 278
Гельмгольц (Helmholtz Н.) 199, 224
Герц (Hertz Н.) 199, 279, 280, 284
Гиббс (Gibbs J. W.) 109, 202, 333, 345,
Глазер (Glaser W.) 113
Голдстейн (Goldstein Н.) 36, 45. 53, 56, 75, 126, 144, 204, 211, 221, 235, 271,275,278, 289, 347, 355, 361, 440
Граммель (Grammel R.) 12, 86, 139, 162, 166, 171, 174, 177, 183, 259, 370, 373, 440, 443
Грин (Green G.) 346
Гриффит (Griffith В. А.) 98, 100, 102, 106, НО, 113, 114, 116, 166, 170, 177, 442
Грюблер (Grubler М.) 442
Гуггенхейм (Guggenheim Е. А.) 347
Гурвиц (Hurwitz А.) 373
Гурса (Goursat Е.) 328
Гюйгенс (Huygens Ch.) 245, 246
14, 161, 203, 231, 250, 26?,14, 161, 203, 231, 250, 26?,103,128,129,131,160,163,174,197,199,201,214,215,218,221--229,235,238—241,244,245,251,253,256,258,261,103,128,129,131,160,163,174,197,199,201,214,215,218,221--229,235,238—241,244,245,251,253,256,258,261,Журден (Jourdain F.) 284Журден (Jourdain F.) 284
14, 161, 203, 231, 250, 26?,
14, 161, 203, 231, 250, 26?,
103,
128,
129,
131,
160,
163,
174,
197,
199,
201,
214,
215,
218,
221-
-229,
235,
238—241,
244,
245,
251,
253,
256,
258,
261,
103,
128,
129,
131,
160,
163,
174,
197,
199,
201,
214,
215,
218,
221-
-229,
235,
238—241,
244,
245,
251,
253,
256,
258,
261,
Журден (Jourdain F.) 284
Журден (Jourdain F.) 284
Вагнер (Wagner К. W.) 375
Веблен (Veblen О.) 18
Вейерштрасс (Weierstrass К. F.) 382
Вейль (Weyl Н.) 291
Вейсенхоф (Weyssenhoff J.) 438
Винкельман (Winkelmann М.) 12.
139, 166, 177, 370, 443
Винтнер (Wintner А.) 161, 183, 289,
298, 443
Гааз (Haas А.) 333
Газер (Haser W.) 113
Галилей (Galilei G.) 140
Галлисо (Gallisot F.) 328
Гамильтон (Hamilton W. R.)
Даймел (Beimel R. F.) 183
Даламбер (D'Alembert J.) 120, 123, 192
Дарбу (Darboux J. G.) 328
Дарвин (Darwin C. G.) 32
Дафин (Duffin R. J.) 369
Де Бройль (De Broglie L.) 215, 422—426
Дедекар (Dedecker P.) 328
Делоне (Delonay Ch.) 347
Джелет (Jdett J. H.) 171
Джефрис (Jeffreys B. S.) 374, 377
Джефрис (Jeffreys H.) 374, 377
Джоли (Joly G. J.) 48, 49
Дирак (Dirac P. A. M.) 200. 203.
997 9AQ
Дондер (Ве Donder Th.) 329
Дюга (Dugas R.) 11, 275
Зигель (Siegel С. L.) 161, 291, 381
Зингель (Sungel J. L.) 280, 282
Зоммерфельд (Sommerfeld А.) 177, 257, 347, 420
Имгенхолви (Imgenholtz N. М.) 171
Каратеодори (CarathGodory С.) 162, 221, 237, 245, 247, 289, 298, 300, 302
Карман (von Karman Th.) 163
Карно (Carnot L.) 193
Картан (Cartan E.) 287, 328
Каулинг (Cowling T. G.) 144, 158
Келли (Kelley J. L.) 103, 137 Кельвин—см. Томсон
Кениг (Koenig S.) 78, 134
Кеплер (Kepler J.) 103, 105, 257 —
387, 418, 420
Клейн (Klein F.) 50, 53, 175, 177
Ковалевская С. B. 137, 173, 174
Конвей (Conway A. W.) 238, 253
Корбен (Corben H. C.) 144, 163, 203, 257, 259, 289, 347, 361, 390, 439
Кориолис (Coriolis L.) 68, 95
Кристоффель (Christoffel E. B.) 61, 219, 280
Кронекер (Kronecker) 61
Кулон (Coulomb Ch.) 28t 156, 259
Курант (Courant R.) 209
Кэли (Cayley A.) 50, 53, 175
Мак-Кинсей (McKinsey J. C.) 19
Мак-Коннел (Me. Connell A. J.) 61, 238, 253
Мак-Лахлан (Me. Laclilan N. W.) 163
Мак-Миллан (Me. Millan W. D.
101, 102, 105, 166, 174, 441
Мак-Шэйн (Me. Shane E. J.) 103 137
Марешаль (MarGchal A.) 113
Матье (Mathieu E.) 294
Мёллер (MOller C.) 434
Мизес (von Mises R.) 139, 439
Милн (Milne ) 13
Минковский (Minkowski H.) 11, 30, 391, 392, 401, 409, 410, 413, 425, 437
Мопертюи (Maupertuis P. L. Mor- reaude) 275
Мурнаган (Murnaghan F. D.) 43, 52, 53, 55, 73
Мэтисон (Mathisson M.) 438
Мюнстер (MUnster A.) 334
Нильсен (Nielsen К. L.)
Нордхейм (Nordheim L.) 284, 302, 318, 441
137137235,25,145,397,235,25,145,397,Ньютон (Newton I.) И 26, 28, 80, 82, 92, 96, 160, 199—201, 335, 404, 407, 408
137
137
235,
25,
145,
397,
235,
25,
145,
397,
Лагранж 125, 162, 186, 212, 231, 275, 304, 401,
(Lagrange 127—130, 167, 171, 188, 197, 214—219, 235, 240, 281, 284, 339, 341,
J. L.) 93, 121,…135, 141,-175, 180,
132,
174, 199, 222, 257, 292, 357,
201, 211, 226—229, 259, 269, 301, 303, 380, 390,
Лайзеганг
403, 404, 406
' (Leisegang S.) 113
Ламб (Lamb H.) 36, 38, 102, 183, 440, 441
Ламберт (Lambert J. H.) 105
Ландау Л. Д. 443
Ланчош (Lanczos C.) 120, 126, 203, 221, 284； 287, 289, 381, 441
Лаплас (Laplace P. S.) 113, Леви-Чивита (Levi-Civita T.) 221, 247, 2 57, 268, 441
Лежандр (Legendre A. M.)
109,
Папапетру (Papapetrou A.) 391
Паркин (Parkyn D. J.) 171
Паули (Pauli W.) 32, 53—56
Пере (Рёгёз J.) 75, 81, 106, 131, 259 370
Пёшль '(P68chi Th.) 183, 189
Полак Л. C. 443
Пранге (Prange G.) 199, 318, 441
Пуанкаре (Poincare H.) 129
Пуассон (Poisson S. D.) 301—305, 339—441
Пфафф (Pfaff J. E.) 220, 326, 328, 329, 340
Лиувилль (Liouville 346
J.) 342,
199,
347,
375
199,
102
345,
Лиссажу (Lissajous) 109
Лифпшц E. M. 443
Лоренц (Lorentz H. A.) 29, 38,
391—394, 397—399, 402, 403
Лурье А. И. 443
Раабе (Raabe A.) 438
Payc (Routh E. J.) 73, 86. 126, 162, 163, 166, 168, 171, 174, 177, 189, 192, 370, 442
Раэр (Raher W.) 139, 189
Резерфорд (Rutherford E.) 157
Рено (Reno F.) 103, 137
Риман (Riemann B.) 212, 245
Риччи (Ricci G.) 199
Розе H. B. 443
Рубин (Rubin H.) 19
Mafiep (Mayer A.) 245
Мак-Витти (McVittle G. G.) 13
Cannec (Suppes P.) 19
Синг (Synge J. L.) 9, 10, 13, 32, 61, 98, 100, 102, 106, 110, 113, 141 116 137. 144. 166. 170.
171, 177, 188, 199, 221, 244, 282, 396, 402, 419, 424, 432, 434, 442
Скаутен (Schouten J. A.) 328
Снеддон (Sneddon L. N.) 375
Сокольников (SokolnikoXX I. S.) 61
Отель (Stehle) 144, 163, 203, 257, 259, 289, 347, 361, 390, 439
Сторки (Storchi E.) 278
Gyrap (Sugar A. G.) 19
Суслов Г. К. 443
Хевисайд (Heaviside О.) 32, 375
Хинчин А. И. 347
Титц (Tietz Н.) 44, 49, 52, 289, 301
Томсон (Thomson W.) 11, 194
Трусдел (Truesdell G.) 60
Тэт (Tait P. G.) 11
Уайтхед (Whitehead) 13
Уиттекер (Whittaker) 11, 45, 53, 62, -65, 75, 100, 105, 160, 162, 166, 174, 175, 180, 201, 211, 259, 275, 284, 296, 298, 301, 322, 323, 328, 339, 361, 381, 382, 442
Чепмен (Chapman S.) 144, 158
Черчил (Churchill R. V.) 375
Шази (Chazy J.) 13
Шаль (Ghasle) 37, 38
Шарбонье (Charbonier Р.) 103
Шефер (Schaefer Ch.) 170, 442
Шилд (Schild А.).61, 280
Шлебодзинский (SlebodziHski W.)
Шонфлис (Schoenflis А.) 442
Шредингер (Schrodinger Е.) 14, 215, 270
Штеккель (Stackel Р.) 257
Штуди (Study Е.) 139
Эддингтон (Eddington A. S.) 13 Эйлер (Eiler L.) 35, 36, 42, 45 — 47, 52, 56, 57, 63, 64, 79, 86, 134, 137, 168, 169, 172,173,175, 208, 211, 2L5, 275
Эйнштейн (Einstein А.) 11, 13, 244, 245
Эпштейн (Epstein Р. S.) 333
Эрмит (Hermitte Ch.) 39, 54, 55, 373
Фаулер (Fowler R. H.) 347
Фер ель (Ferel) 116
Ферри (Ferry E. S.) 183
Финслер (Finsler) 212
Финци (Finzi B.)
Фосс (Voss A.) 442
Франк (Frank Ph.) 139, 162, 387, 439
Френкель Я. И. 438, 443
Фуко (Foucault) 110, 1.16, 117
Фурье (Fourier J. В.) 355
Фюс (Fues Е.) 235, 302, 318, 347, 355,
440, 441
Юнг (Joung G.) 18, 73, 440
Якоби
160, 239, 256, 290,
318,
410,
122234
1■4'8-1'7'8-
645931
8 51210 Т^647О42 С122334
G. J.) 100, 103, ,176, 235, 238, ,250—253, 255, ,275, 276, 278, > 304, 313, 315, ,348, 380, 405, ,423
предметный указатель
9■一8'923342必6 59■一8'923342必6 5
9■一8'9
2334
2必6 5
9■一8'9
2334
2必6 5
Аксиома однородности и изотроп-ности пространства 27, 119
—однородности и изотропности пр остр анств a-в р вмени 29
Апсида 106, 147, 148
Возмущения 385—390
Волны Де Бройля 215, 422—426
—постоянного действия 245—250, 269—272
Волчок 170—179
Время абсолютное 18, 21, 29
—собственное 22, 394
Гамильтониан 129, 221, 226—231, 340, 348, 349, 384—388, 401, 417, 426
Герполодия 168 Гироскоп 180—185
Действие 211
—гамильтоново 221, 222, 226—228, 235, 269, 276, 402
▼ лагранжево 211, 212, 214, 226— 228, 235, 269, 401
— Мопертюи 275—279
—Эйлера 275
Динамика гамильтонова 14, 225— 231, 235, 265, 266, 276, 333—335, 401—405
— изоэнергетическая 201, 272—278
— квантовая 12, 13, 14
—классическая 12, 13, 14, 19, 20 — лагранжева 216, 226—231, 235. 401—405
—ньютонова 11, 14, 20—32, 199— 201, 335, 390, 404, 407, 408 — релятивистская 11, 12, 20—32, 390, 391—440
Задача Лагранжа 162
Законы Ньютона 25, 26, 28
Захват 144—158
Импульс обобщенный ударный 188 — релятивистский 398—400, 435— 437
—ударный 186, 189, 191, 192
Импульсы обобщенные 128
Инвариант абсолютный и1гтеграль- ный 313, 344, 345
—адиабатический 347
—билинейный 289——292, 353
—относительный интегральный 307, 313
Интеграл энергии 111, 121
Интервал 21, 29, 394
—Минковского 425
Катастрофа релятивистская 427— 438
Кватернионы 48—50, 57, 64
Колебания вынужденные 373—378
—малые 355—390
Комптон-эффект 432—434
Контур неприводимый 207, 244, 312
—нестягиваемый в точку 35
— приводимый 207, 243, 312
Контуры несовместимые или независимые 207, 244
— совместимые 207, 244
Координаты игнорируемые 126— 128, 308, 320, 378—380
—Минковского 30, 391, 392, 401, 409, 410, 437
—обобщенные 83—96, 139, 140
— циклические 204, 206—208, 348, 350, 355
Коэффициент восстановления 191
Кривизна динамическая 283
Лагранжиан 93, 199, 201, 210— 213, 217, 218, 220, 226—231, 277, 278, 368, 401—409, 413, 414, 416, 423
Линия мировая 21—23, 29—31
Лоренц-инвариантность 30. 403, 404, 405, 413, 437
Матрица Лагранжа 304
—Паули 53—57
—Пуассона 304
—Якоби 290, 291, 304
Масса собственная 22, 400, 413, 430, 431
Метод вариации произвольных постоянных 389
—Гамильтона 215, 380, 405
— Лагранжа 380
—операционный 17, 18, 373—377
—Пуансо 167
— характеристических кривых 247—
250
—Якоби 251
Метрика Риманова 245
Механика квантовая 198
Мода колебания нормальная 165, 358, 362, 363
Момент импульса 75—78, 94, 119, 159, 166, 167, 175, 434, 436
—— ударного импульса 186, 187
Мотор 81, 139
Параметр соударения или столкновения 145
Параметры Кэли——Клейна 50—53, 175
—Эйлера 42—45, 47, 52, 57, 64
Переменные действие — угол 209 347—356, 387
Поверхность гамильтониана 232, 233
—лагранжиана 232, 233
—энергии 287—289, 306, 312, 314, 316, 319—321
Полодия 168
Построение Гюйгенса 245—247
Преобразования канонические 289 — 301, 307—313, 322, 330—332, 336—340, 348, 351, 353, 364, 380, 381, 384
—координат 40—42, 45—47
—Лоренца 29, 38, 391—399, 402
—Матье 296
Принцип Гамильтона 214—216, 218.
221—224, 261, 273, 401, 402
—Гёльдера 278
—Даламбера 120, 123, 192
——наименьшего действия Якоби 275, 278, 279
Проблема двух тел 30, 142—158
—Кеплера 103 — 105, 257 — 259, 387, 418—421
—n-тел 159—162
Пространство абсолютное 21, 75, 92
—-время 29, 38, 395—399, 401, 428, 435
—евклидово 21, 209, 284, 308, 313, 359
—импульса и энергии 200, 202 260—267, 333, 428
—конфигураций 14, 35, 37, 200, 201, 204, 206, 245, 268—286, 333, 357, 401
— Минковского 391—411
— представлений 170, 200—204, 333
—Римана 212
—событий 200—202, 210—259 264 333, 401
— состояний 200, 202, 325—333 388, 389
——и энергии 200, 202, 203, 287— 324, 333, 381, 401,
—фазовое 14, 200, 202, 203, 330, 333—356, 378, 379, 381
—Финслера 212
Рассеяние 144—158
Расстояние 21
Резонанс 99, 373, 374, 378
Сила 22
— возмущающая 97—99, 377
Сила восстанавливающая 97
—вынуждающая 97
—демпфирующая 97—99, 368
Силы взаимодействия 27
—Ньютоновы 13
—обобщенные 90
— центра льйые 105—107
Символ Кристофеля 61, 219, 280
—Кронекера 61
Система голономная 83, 84,1 24, 130. 139, 201, 217, 364
—диссипативная 367—373
—консервативная 334, 335, 338,
—неголономная 85—89, 124, 283, 364
—неконсервативная 339—347
— подчиненная связям 364—367
—реономная 84, 89 <
— склерономная 84, 85, 139
—частиц 23—31
Скобки Лагранжа 292, 301—306, 341, 342, 344
— Пуассона 301 ■^ЗОб, 339^^342
Соударения 188—192
Сохранение импульса и энергии 12
Столкновения 13. 144—158. 263— 267, 429—434
Теорема Бертрана 195
—взаимности 231—234
— Гаусса наименьшей кривизны или наименьшего принуждения 284—286
—Грина 346
—Карно 193
—Кельвина 194
—Кёнига 78, 134
— Лиувилля 342—346
—об импульсе 28, 118—120
—о моменте импульса 28, 119, 120
—о параллельных осях 71
—циркуляции 325—326
——Шаля 37
——Эйлера 35, 36, 211
—Нко血 251—253, 255
Тождество Пуассона—Якоби 302. 305, 341
Углы Эйлера 45——47, 56, 63, 86, 134.
172, 173, 175, 208
Уравнение Лапласа 113
—Эйлера 168, 182
—Эйлера—Лагранжа 215
—энергии 105, 121, 219—221. 260, 261, 276, 277, 403, 423
—Якоби 160, 161
Уравнения Аппеля 131—134
Уравнения де Бройля 424
—.Гамильтона 128—131, 160, 161, 174, 197, 201, 223, 224, 403, 405
— Гамильтона—Якоби 103, 235 — 240,244,250—256,258,271,
313,315, 318,319,337,
405,410, 418,420,423
—канонические 129, 224, 288, 305, 307 —313,316—325,327,328,
338,340, 347,35力379,
403 —405,406,417,422
— Лагранжа 121—130, 135, 141, 171,174,175,180,186—188,
201,214,217—219,281,
390,402,404,406
Форма Пфаффа 220, 826, 328, 329
Функция Аппеля 131
—Бесселя 163
—Гамильтона 129, 1в0, 277, 325
—двухточечная характеристическая 235 —242, 253, 262, 275, 276, 330, 410, 411
—Лагранжа 74, 93, 125, 211, 212, 257, 265, 275, 357
—одноточечная характеристическая 235, 242—245, 269, 423
— потенциальная 91, 93, 130, 217, 218, 265
—производящая 293—301. 307 — 310, 324, 337, 351, 384
—Рауса 126
—смешанная 235, 263
—характеристическая в пространстве .имп7льса"внергии 235, 260—263, 332
—эвертии 287—289, 316—319, 324,
—Якоби 168, 176
эллиптическая 100, 176
Частота нормальная 362
——круговая 262
Элемент кинематический линейный 35,37, 271, 278—283. 3 59
Эллипсоид Пуансо 167> 168, 170 Энергия кинетическая 78—80, 84, 85, 93, 103, 121. 122, 125, 130, 131, 134, 140, 161. 167, 193— 195, 199, 217, 234, 257, 359, 361, 368, 384
—полная 94, 130, 272
—потенциальная 91, 94, 103, 125, 130, 257, 362, 368, 416
—релятивистская 398, 400
—ускорения 131
1) На титульных листах первых двух книг его фамилия транскрибирована как Синдж. На мой запрос автору он ответил, что фамилия Synge происходит от староанглийской формы глагола singe (петь) и произносится Синг.
Дж. Л. Синг родился в 1897 г. в Дублине. Член Английской и Ирландской Академий наук. В настоящее время работает в Дублине в Институте развития наук. Ему принадлежат многочисленные статьи и книги по механике, математике, частной и общей теории относительности, теории поля и т. д.
I) Ср. Chazy J” Theorie de la Relativite et la mecanique celeste, т. 1, гл. IV, V. Paris, Gauthier — Villars, 1928; M c V i t t i e G. CM General Relativity and Cosmology, гл. V, New York, Wiley, 1956 [имеется русский перевод (〃尸以他 перев.)].
1) Обычно в формуле (4.2) перед 山2 стоит множитель с2
1) См. сноску в § 17 в связи с криволинейными координатами.
1) Если система с общей массой т имеет момент инерции /
относительно прямой L, то радиус инерции к относительно L определяется уравнением тк2 = /.
1) За исключением случая, когда все массы лежат на одной прямой, проходящей через начало; тогда она полуопределенная и один корень равен нулю, а два других — положительные, равные между собой.
1) Дополнительные детали относительно эллипсоида инерции и гирационного эллипсоида и теорию моментов инерции вообще см. Routh [22J,_ I, стр. 16—22; см. также Ames and Murn a g h а и [1], стр. 191—196; П. Аппель [2], гл. XVII» и Jung [12].
1) Часто употребляют слово «эквивалентная, но это неточно, так как эквивалентность имеет место только в том случае, когда частицы, на которые действуют силы, образуют твердое тело.
I) Однако даже для системы со связями, не зависящими от времени, может быть удобно использовать уравнения в форме (27.1). Например, чтобы изучить движение твердого тела (скажем, ракеты) относительно Земли (движение последней известно), можно положить, что координаты gi, g?，—・，Об описывают положение тела относительно осей, неподвижных на Земле. Тогда уравнения, которые выражают координаты частиц тела в неподвижной системе координат, будут иметь форму (27.1), так как время t входит в них из-за движения Земли. С точки зрения аналитической иногда удобно употреблять слово—«склерономный», когда t не входит в уравнения (27.1) и «реономный», когда оно входит в них, без того, чтобы рассматривать физическую систему по существу.
(33.10) на случай колебания системы с большим количеством степеней свободы.
1) О получении фигур Лиссажу с помощью маятника Блэкберна см. Л а м б [13], стр. 101—103.
1) Ср. Аппель [2], 1, стр. 315,
1) Некоторые детали см. Synge and Griffith [22], стр. 387—403.
1) Ср. Аппель [2], т. II, стр. 254—257; Synge and
1) Имеется в виду импульс по отношению к системе отсчета, движущейся поступательно с началом в центре масс.
*) Отталкивание, изменяющееся обратно пропорционально пятой степени расстояния, имеет значение в кинетической теории газов; ср. С h а р m a n and С о 1 w i n g (цит. соч. в предыдущем примечании, стр. 170—174), где рассматриваются силы, зависящие от любой степепи расстояния.
1) Очень удобный список формул бесселевых функций дан в книге McLachlan N. W., Bessel Functions for Engeneers, Oxford, Clarendon Press, 1934.
1) Удобство этого представления обусловлено тем фактом, что мы имеем дело со сферой и эллипсоидом, в то время как если ввести в рассмотрение угловую скорость, то уравнения (55.4) и (55.5) привели бы нас к двум эллипсоидам. Об исследовании этих двух приближений (с чертежами) см Шефер [23], стр. 322—349.
1) Кинетическая энергия не изменяется в исключительном случае, когда внезапное наложение связей не изменяет скорости. Исключительные случаи, подобные этому, опускаются в формулировках и доказательствах.
1) Hamilton W. R., Mathematical Papers, I, Cambridge, University Press, 1931. См. примечание в § 67. '
1) Настоящее обсуждение проводится намеренно несколько абстрактно для того, чтобы не ограничивать область возможных приложений теории. Слово «лагранжиан» связывает наши рассуждения с более конкретной теорией § 46, а поэтому и с физическими понятиями (§ 2).
1) Слово траектория связывает математическое понятие с физическими понятиями динамики. Слово луч связывает его с оптикой, так что может показаться, что ему нет места в настоящем изложении. Однако волновая механика де Бройля и Шредингера уничтожила барьер меяеду динамикой и оптикой. Если в динамике нам нужно слово волна^ то слово луч естественно сопровождает его. Более того, настоящее изложение общей динамической теории столь же обязано методу Гамильтона в оптике, сколько и его методу в динамике, так как в его оптике все координаты были равноправны, тогда как в его динамике время было на особом положении.
1) Причина такого названия выяснится, когда мы введем уравнение (67.8).
I) В динамике Гамильтона имелось различие между характеристической функцией и главной функцией; его отмечали многие авторы (ср. Голдстейн [7], стр. 283), которые должны были бы считать функцию, рассматриваемую нами, главной функцией, а не характеристической; последняя является несколько менее общей. Однако в этой книге мы следуем оптическому методу, в котором характеристическая функция имеет требуемую общность и любая попытка употреблять два названия, характеристическая и главная, вызывала бы путаницу. Мы будем употреблять здесь слово ^характеристическая^^ а термин «главная» считать эквивалентным понятием. К сожалению, существует еще третий термин «эйконал», введенный в 1895 г. Брунсом, который вновь открыл гамильтонов оптический метод в несколько специализированной форме; см. Hamilton W. R., Mathematical Papers, т. 1, стр. 488, Cambridge, University, Press, 1931. Наименование «эйконала ирэниклс it в динамику, см. Nordheim and F u е s [19], стр. 127; Голдстейн [7], стр. 333.
1) О волнах в пространстве конфигураций Q см. § 81.
1) Это пространство часто называют ^-пространством.
образования» и «контактные преобразования» используются почти как синонимы. Справки см. Голдстейн [7], стр. 261; Л а н-
ч о ш [28J — «контактный». С о г b е п и S t е h 1 е [3], стр. 302, употребляют выражение обобщенное контактное преобразование для канонического преобразования в QTPH. О математической связи между каноническими и контактными преобразованиями см. Caratheodory, op. cit., § 71, стр. 107; Tietz Н,, Hand- buch der Physik, т. II, стр. 193; W i n t n e г [30], стр. 31. В настоящей книге будет употребляться только термин каноническое преобразование, О канонических преобразованиях, производимых в пространстве QTP с помощью естественной конгруэнции, см. § 95; о канонических преобразованиях в QP см. § 96
19 Дж, Л, Синг
1) См. Уиттекер [28], стр. 324.
1) Вообще говоря, в конечных областях может потребоваться существование перекрывающихся координатных систем (ср. § 63) с каноническими преобразованиями в пересечениях.
i) См. в § 105 рассмотрение колебаний около устойчивого дви* жения с помощью гамильтониана.
1) В случае сцепления полиномов (% Ро) это означает просто,
1) Есть риск внести путаницу в терминологию, называя уг 4-вектором импульса ——энергии, потому что такой термин включает в себя действие, оказываемое полем на частицу (ср. (115.9)). По аналогии с оптикой Гамильтона уг можно назвать 4-вектором медленности. Ср. Synge J. L., Geometrical Mechanics and de Broglie Waves, стр. 8. Cambridge, University Press, 1954.
1) Ср, Бергман П,, Введение в теорию относительности, ИЛ, Москва 1947, стр. 285; Synge, цит соч, в § 107, стр, 398.
27*
1) См. книги MoIIer'aiiSynge'a, цитированные в § 107; см. также М 0 1 1 е г С,, Ann. Inst. Н. Poincare И, 251—278 (1949) и Comm. Dublin Inst. Adv. Studies, Ser. A, 1949.