Р. Вонг

Метод

Харди -Литтлвуда

Р. Вонг

Метод Харди - Литтлвуда

Р.Вон

МЕТОД ХАРДИ — ЛИТТЛВУДА

М.: Мир, 1985.—184 с.

Книга известного английского математика, излагающая один из основных методов теории чисел ——метод Харди ——Литтлвуда. На примерах решения ряда конкретных проблем автор демонстрирует возможности этого метода, приводит изящные и краткие доказательства известных теорем. Приведены задачи разной степени трудности, поставлены новые проблемы.

Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов, специализирующихся по теории чисел.

Оглавление

Предисловие редактора перевода5

Предисловие7

Обозначения8

Введение и исторические сведения9

Проблема Варинга9

Метод Харди — Литтлвуда10

Проблемы Гольдбаха13

Другие проблемы14

Упражнения14

Простейшая верхняя оценка G(k)16

Определение больших и малых дуг16

Вспомогательные леммы16

Оценка на малых дугах21

Большие дуги22

Особый интеграл26

Особый ряд27

Заключение31

Упражнения32

Проблемы Гольдбаха34

Тернарная проблема Гольдбаха34

Бинарная проблема Гольдбаха39

Упражнения43

Большие дуги в проблеме Варинга44

Обобщенная функция44

Экспоненциальная сумма S(q, а)51

Особый ряд53

Вклад больших дуг55

Согласование условий58

Упражнения60

Методы Виноградова61

Теорема Виноградова о среднем61

Переход от среднего66

Малые дуги в проблеме Варинга73

Верхняя граница G(左)74

Упражнения78

Методы Дэвенпорта79

Множества сумм hx степеней79

G(4)-1689

Оценки Дэвенпорта G(5) и G(6)92

Упражнения92

Верхняя оценка G(k) И. М. Виноградова94

Некоторые замечания к теореме Виноградова о среднем94

Предварительные оценки95

Асимптотическая формула для，(Х)101

Верхняя оценка G(左)И. М. Виноградова104

Упражнения108

Тернарная аддитивная проблема109

Общие предположения109

Формулировка теоремыПО

Определение больших и малых дугПО

Рассмотрение п112

Большие дуги N @ а)117

Особый ряд117

Завершение доказательства теоремы 8.1125

Упражнения126

Однородные уравнения и теорема Бёрча128

Введение128

Аддитивные однородные уравнения128

Теорема Бёрча131

Упражнения135

Теорема Рота136

Введение136

Теорема Рота137

Теорема Фюрстенбурга и Шаркоци141

Определение больших и малых дуг143

Вклад малых дуг144

. Вклад больших дуг146

Завершение доказательства теоремы 10.2146

Упражнения147

Диофантовы неравенства148

Теорема Дэвенпорта и Хельбронна148

Определение больших и малых дуг150

Оценка на малых дугах161

Большая дуга168

Упражнения186

Библиография166

Список работ на русском языке173

Именной указатель177

Предметный указатель179

Предисловие редактора перевода

Книга Р. Вона посвящена изложению основ кругового метода Харди — Литтлвуда. В нашей литературе этот метод называют круговым методом Харди — Литтлвуда — Рамануджана (X. — Л. — Р.) по причинам, изложенным в § 1.2. Круговой метод имеет своим истоком метод производящих функций Эйлера, которым Эйлер решал линейные аддитивные задачи. Рассмотрим уравнение вида

С1\Х\ + . . . + ClnXn —1 N, О], . . . , CLfi ^> О,

в целых неотрицательных числах %匕...,хл. Если /(^)— число решений этого уравнения, то производящая функция (р(/) определяется так:

ф(/)=》(%)" =

^^0

G》・(a>』Следовательно,G》・(a>』Следовательно,NU(N) = 5^NU(N) = 5^/«о/«о

G》・(a>』

Следовательно,

G》・(a>』

Следовательно,

NU(N) = 5^

NU(N) = 5^

/«о

/«о

Можно вычислить /(^) по интегральной формуле Коши

/(")= * S <p(f)L""f.(*)

I"=RV1

Изложенная идея Эйлера и последняя формула послужили истоком кругового метода. Кроме того, формула (*) дала название методу — «круговой». Круговым методом решаются нелинейные аддитивные задачи, такие, как проблема Варинга, проблема Гольдбаха и многие другие. Слово «решаются» означает следующее. Для числа решений /(N) некоторого нелинейного уравнения выписывается точная формула в виде интеграла типа (*). Этот интеграл / разбивается на два слагаемых 八 и /2 по определенному правилу, предложенному Харди — Литтлвудом — Рамануджаном,一

Первое слагаемое 厶 исследуется методом X. — Л. — Р. и оно дает предполагаемый главный член асимптотической формулы для / при Nf 十оо. Если после этого удается доказать, что второе слагаемое /2 есть величина меньшего порядка, чем /], то для / получается асимптотическая формула. Таким образом, круговой метод X. — Л. — Р. — это метод выделения из / предполагаемого главного члена. Для полного решения задачи остается оценить предполагаемый остаток, т. е. /2- В 1924 г. И. М. Виноградов заменил в круговом методе бесконечные ряды конечными тригонометрическими суммами. Это не только значительно упростило метод, но и открыло путь к решению новых задач аддитивной теории чисел. Создание И. М. Виноградовым в 1934 г. нового метода оценок тригонометрических сумм позволило для широкого круга задач, которые стали называться 《тернарными аддитивными проблемами», оценить остаточный член /2- Таким образом, общая схема решения тернарных аддитивных проблем круговым методом выглядит так: число решений /(“) некоторого уравнения записывается в виде интеграла / от тригонометрической суммы; интеграл / разбивается на два слагаемых по правилу, предложенному X. — Л. — Р.; интеграл 厶 исследуется методом X. — Л. — Р. в форме тригонометрических сумм И. М. Виноградова; интеграл /2 оценивается с помощью метода оценок тригонометрических сумм И. М. Виноградова. По такой схеме решаются основные задачи, изложенные в книге Р. Вона. Автору книги принадлежит замечательное тождество, которое позволило упростить решение И. М. Виноградова проблемы Гольдбаха (см. теорему 3.1). Отмечу также, что некоторые из теорем книги, в частности теорема о среднем И. М. Виноградова (гл. 5), асимптотическая формула для /$(Х) (гл. 7) и др., в нашей литературе изложены и точнее, и лучше (см. [1]-[4]). В книге имеется ряд приложений кругового метода к задачам, которые в нашей литературе не были достаточно отражены (см. гл. 9—11). В моих примечаниях, помещенных в конце глав и обозначенных цифрой в квадратных скобках, даны дополнительные ссылки на литературу и некоторые комментарии. .

В заключение мы благодарим автора, который проявил большой интерес к русскому изданию н прислал список исправлений и замечаний.

А. 4 Карацуба

Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теори чисел.— М.: Наука, 1980.

Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1976.

Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы. Труды МИАН, т. 151. — М.: Наука, 1980.

Карацуба А. А, Основы аналитической теории чисел.— М.: Наука, 1983.

Предисловие

Метод Харди — Литтлвуда рассматривался ранее в двух работах Ландау (1937) и Эстермана (1952), изданных в Кембридже. Однако, несмотря на немалый вклад английских ученых в открытие и разработку данного метода, в Великобритании не был опубликован его полный обзор, тогда как за рубежом появилось много монографий.

Цель настоящей монографии состоит в том, чтобы наряду с описанием классических форм этого метода привести некоторые из недавних его усовершенствований. Сделать ударение на это представляется особенно важным, поскольку многие из более поздних приложений широко используют классический материал.

Было бы полезно уделить внимание работе Дэвенпорта о кубических формах, совместной работе Дэвенпорта и Льюиса о системах уравнений, работе Радемахера и Зигеля, в которой этот метод распространяется на алгебраические числа, а также работам различных других авторов, завершившимся недавней статьей Шмидта о границах решений однородных уравнений и неравенств. Однако это сделало бы книгу слишком громоздкой. Читатель, интересующийся этими вопросами, может обратиться к библиографии.

Предполагается, что читатель знаком с элементами теории чисел в объеме книги Харди и Райта. Кроме того, для пони* мания некоторых тем данной книги желательно, чтобы читатель был в курсе современного состояния дел в теории чисел. Там, где необходимо, дается ссылка на стандартный текст по соответствующей теме.

В основу содержания глав 2, 3, 4, 5, 9, 10 и 11 легли расширенные курсы, предлагаемые в «Империал Колледж» в течение ряда лет, и их можно использовать для работы аспирантов в аналитической теорий чисел.

Р Вон

Обозначения

Буквой k обозначается натуральное число, обычно 左 2 2; формулировки, в которых появляется g, верны для каждого положительного действительного числа & Буквой р обозначаются простые числа.

Символы Виноградова 《，》имеют свой обычный смысл, именно для функций f и g, где g принимает неотрицательные действительные значения, f《g означает \f\^ Cg, где С — постоянная, а если, кроме того, f также неотрицательна, то f» g означает g《f.

Неявные постоянные, включаемые в О, <С и》，обычно зависят от k, s и е. Дополнительная зависимость будет упомянута особо.

Как обычно в теории чисел, функции е(а) и ||а|| означают с?市а и mini а ——А | соответственно. Иногда встречается вы

ражение min (X, 1/0), и в этом случае надо брать X.

Соотношение рг^п используется для обозначения того, что рг—наивысшая степень р, делящая 九，

Введение и исторические сведения

Проблема Варинга

В 1770 г. Варинг в своих «Алгебраических размышлениях» выдвинул гипотезу о том, что каждое четное натур альное число является суммой не более девяти кубов целых положительных чисел, суммой не более 19 биквадратов и т. д. Считается, что тем самым он предполагал следующее: для любого целого положительного числа 々 3 2 существует число s, такое, что каждое натуральное число является суммой не более s Ах степеней натуральных чисел, и наименьшее такое s, скажем g (盼，удовлетворяет соотношениям .3) = 9, g⑷=19.

Вероятно, уже Диофанту было известо, хотя и в другой форме, что каждое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов. Впервые точно теорему о четырех квадратах сформулировал в 1621 г. Баше, а Ферма объявил, что доказал ее, однако умер, не раскрыв своего доказательства. Доказательство теоремы не было известно до 1770 г., когда Лагранжу удалось получить его на основе более ранней работы Эйлера, Теорема о четырех квадратах рассматривается в гл. 20 книги [Hardy, Wright, 1979]).

В XIX в. существование g(山)было установлено для многих отдельных значений k, но реального прогресса на пути к решению проблемы удалось достичь только в нынешнем столетии. Гильберт [Hilbert, 1909а, b] сложным комбинаторным методом при помощи алгебраических тождеств (см. [Rieger, 1953а, b, с; Ellison, 1971]) первым доказал существование g(山)для всех k. Метод Гильберта дает очень грубую оценку величины g(k).

В начале 1920-х гг. Харди и Литтлвуд предложили аналитический метод, который послужил основой работ Диксона, Пиллаи и др. и привел к полному решению задачи о g(k). Так как целое число

T [(犷 i

меньше 3纟 то оно может быть суммой 左-х степеней только 1 и 2. Ясно, что наиболее экономным является представление

посредством [(4~)^]——1 左-х степеней 2 и 2比——1 й-х степеней 1. Отсюда

g 伊))2丘 +[(4■再一2.(1.1)

Весьма вероятно, что это неравенство фактически является равенством. Сейчас в этом отношении известно следующее.

Предположим, что 々声 4. Было показано, что если

2Ч(4)/е}-Ь[(|)1<2\(1.2)

тоg (6)=2# +[(4■再一2.(1.3)

Если же

2Ч(4)Й} + [(4)'] > 2T

то либоg (6) = 2^ + [(4■再 + [(|)^ — 2,

либоg (й) — 2fe + [(4)]^] + [($)'] — 3

в зависимости от того, равно 2比 или больше 2А число m 团=[(款]・[(寸]+[(打]+g再・

Информацию о различных вкладах в доказательство этих утверждений можно найти в библиографии.

Стеммлер [Stemmier, 1964] с помощью ЭВМ проверил справедливость (1.2) (а значит, и (1.3)) для всех 々 W 200000, а Малер [Mahler, 1957] показал, что если существуют 山,для которых неравенство (1.2) не имеет места, то количество таких k конечно. Исключения неизвестны, но, к сожалению, неизвестна и граница, за которой этих исключений нет.

Томас [Thomas, 1974] показал, что g(4)&22 (значит, согласно (1J), ^(4) = 19, 20, 21 или 22), а Баласубраманиян недавно анонсировал, что g(4)&2L Томас доказал также, что 九 является суммой не более 19 биквадратов для 九 V 10310 и n > 101049.

Метод Харди — Литтлвуда

Почти все указанные выше результаты получены на основе аналитического метода Харди и Литтлвуда, который позволяет найти число С^ такое, что каждое натуральное число, большее 0左,есть сумма не более Sk 々-х степеней натуральных чисел, причем Sk не превышает ожидаемой величины g®. Затем в некоторой степени громоздкие, но подчас очень остроумные вычисления дают возможность проверить

справедливость этого утверждения для всех чисел, не превосходящих С*.

Одна из особенностей метода Харди — Литтлвуда заключается в том, что он может применяться для рассмотрения многих других аддитивных проблем. Начало этому методу было положено работой Харди и Рамануджана (1918), касающейся главным образом функции разбиения чисел на слагаемые, но затрагивающей также представзенне чисел в виде сумм квадратов.

Пусть 垓= (а^)—строго возрастающая последовательность неотрицательных целых чисел. Рассмотрим функцию

Р(2)= 2 (I Z I < 1)

и ее s-ю степень

888

Wj =1加「1/1 = 0

где R$(〃)一 число представлений 〃 в виде суммы s членов ^. Задача состоит в том, чтобы оценить Rs(n) по крайней мере для больших значений п.

По интегральной формуле Коши

凡(九)=击，尸冲"А"2,

где 野一окружность с центром в 0 радиуса р, 0 < р < 1.

Харди и Рамануджан разработали метод оценки этого интеграла в случае am = т2. Пусть р = 1 — 1/〃，где 〃 велико, и пусть е(а) = е2"'а. Тогда функция F имеет 《пнкн》 в точках 2= ре (а), «близких» к e(a/q), если q «не слишком большое». На самом деле в окрестности таких точек F имеет асимптотическое представление, грубо говоря, справедливое при \а — a]q\&Mq Нп к q & 7n. По теореме Дирихле о диофантовом приближении, каждое 2W & находится в такого рода окрестности.

Упомянутое выше асимптотическое представление имеет вид

尸 8 居 + В))〜^S 匂，а)(1 — ре#))*,(1.4)

гдеS(q, а)= Е е (а*/办

Его можно получить путем распределения квадратов по классам вычетов модуля g в случае р = 0 с последующим применением частичного суммирования. Таким образом, можно

показать, что для s П 5

Rs («) ®s (а) Л (л),(1.5)

где 包(力=》S q7 S (q, S е (— an]q)

(a, <7)=1

И

1/2

厶⑺=b \ (1 _^^))-^9-^{_ ^d^t

Интеграл /$(〃) нетрудно оценить, а ряд ©$(〃) отражает некоторые интересные теоретико-числовые свойства последовательности квадратов целых чисел.

Разложение (1.4) отвечает особенностям ряда для функции F в рациональных точках a/q круга его сходимости. В связи с этим Харди и Литтлвуд ввели термины особый ряд и особый интеграл для @$(/1) и /$(м) соответственно.

После первой мировой войны Харди и Литтлвуд (1920, 1921) обратились к проблеме Варинга. К сожалению, в случае % =序 с 左》3 они смогли показать только, что разложение, соответствующее (1.4), справедливо при

qWn'U и |а — — J ^'q~xnl/k~s~\

а это составляет лишь малую часть точек 2 на 野.Поскольку q-】S(g, а)т0 при д-> 8 (для (a, g) = 1), возникла гипотеза, 4то в остальных точках z функция 户 во всяком случае мала по сравнению с тривиальной оценкой (1—р)-】〃= =科卜.Эта гипотеза подкреплялась фактом равномерного распределения по модулю 1 чисел атА для иррациональных а. Действительно, на основе метода, берущего начало в фундаментальной работе Вейля [Н. Weyl, 1916] о равномерном распределении последовательностей, Харди и Литтлвуд сумели доказать, что на остатке 皆 функция F существенно меньше, чем 九旷克.Полученное утверждение о величине F часто называют неравенством Вейля. Для описания частей 份，на которых используются соответственно аналог соотношения (1.4) и неравенство Вейля, Харди и Литтлвуд ввели термины большие дуги и малые дуги.

И. М. Виноградов (1928а) внес в рассматриваемый метод ряд значительных усовершенствований 111 одним из которых явилась замена 尸.(2)конечной суммой

f(a)= £e(aW),(1.6)

гдеN^[n^k].口.7)

Теперь

f (吟=£ Rs (% «) e (am).

где R$(m,九)一число представлений m суммой s 々-х степеней, каждая из которых не превосходит п. Таким образом,

Rs(m, n) = Rs(m) (m W /г).

Далее, специальный случай интегральной формулы Коши, именно тривиальное соотношение ортогональности

С /认-(1, если Л = 0,八 а

\'(1.8)

J(0, если 九干 0,'

дает\ f (吟 е (— сш) da = Rs (м).(1.9)

о

Из предыдущих рассмотрений ясно, что величина g(k) определяется согласно особым требованиям нескольких исключительных относительно малых натуральных чисел. Таким образом, более интересной проблемой является оценка числа G(A), определяемого при А ^ 2 как наименьшее s, такое, что каждое достаточно большое натуральное число есть сумма не более s А-х степеней натуральных чисел. При этом оказывается, что для больших A G(k) намного меньше, чем g (左),что, естественно, делает его оценку намного более трудной. Фактически величина G (А) известна только для А = 2 и А = 4, именно

G⑵=4,G(4)= 16.

нее Ватсон [Watson, доказательство этого вестные в настоящее Харди и Литтлвуда. 5, 6, 7.нее Ватсон [Watson, доказательство этого вестные в настоящее Харди и Литтлвуда. 5, 6, 7.Последним результатом мы обязаны Дэвенпорту [Davenport, 1939с]. Ю. В. Линник (1943а) показал, что G(3) ^ 7. Позд-

нее Ватсон [Watson, доказательство этого вестные в настоящее Харди и Литтлвуда. 5, 6, 7.

нее Ватсон [Watson, доказательство этого вестные в настоящее Харди и Литтлвуда. 5, 6, 7.

1951] дал в высшей степени элегантное неравенства. Для 々 > 3 все лучшие из- время оценки G(k) получены по методу Изучению G 伍)посвящены главы 2, 4,

Проблемы Гольдбаха

В двух письмах к Эйлеру в 1742 г. Гольдбах высказал предположение, что каждое четное число является суммой двух простых чисел и каждое число, большее 2, есть сумма трех простых. Он включал 1 в простые числа. Современная формулировка гипотез Гольдбаха выглядит так: каждое

четное число, большее 2, есть сумма двух простых, а каждое нечетное число, большее 5, является суммой трех простых.

Харди и Литтлвуд (1923а, Ь) обнаружили, что при условии справедливости расширенной гипотезы Римана их метод может быть с успехом применен к этим проблемам. При этом условии они смогли показать, что каждое достаточно большое нечетное число представляется в виде суммы трех простых чисел и что почти все четные числа — суммы двух простых.

В 1937 г. И. М. Виноградов сумел устранить зависимость от расширенной гипотезы Римана, дав тем самым безусловное доказательство утверждений Харди и Литтлвуда. Это направление исследований проблем Гольдбаха изучается в гл. 3. Однако природа простых чисел, и в частности проблема их распределения в арифметических прогрессиях, показывает, что дальнейшие уточнения метода (см. [Montgomery, Vaughan, 1975]) лучше прослеживаются в контексте мультипликативной теории чисел и поэтому опущены в этой книге.

Многие обобщения методов, изложенных в гл. 3, содержатся в монографии Хуа Ло-кена [Ниа, 1965].

Другие проблемы

Последние тридцать лет наблюдается большое распространение и разнообразие применений метода Харди и Литтлвуда, и ряд тем в гл. 8, 9, 10, 11 выбран для иллюстрации его развития. Описанные здесь применения метода, особенно к общим формам и неравенствам в гл. 9 и 11 соответственно, охватывают лишь небольшую часть работ в этих областях и должны рассматриваться как введение к оригинальным статьям, включенным в библиографию.

Упражнения

Покажите, что число р(п) решений уравнения

%1 + ... + х$ =九

в неотрицательных целых хь ..., xs равно (— 1)п(~„).

Покажите, что сумма делителей /г, а (/г) = £т выражается min

в виде

0(及)=普及£ 9-2%⑺，q

где Cq(/i)— сумма Рамануджана, т. е.

Cq (n) = Z е (an/q).

(a, q)«=l

Пусть Р, Q — действительные числа, Р>1, Q N 2P Покажите, что интервалы

卜："一*厂5}

при q W Р « (a,g)= 1 попарно не пересекаются.

Примечание редактора

I" Э. Ландау (1927) в своей знаменитой книге «Vorlesungen uber Zahlent- heorie, Band I» посвятил этому главу под названием «Метод Виноградова»; см. также Успехи математических наук, вып. 36:6, 1981, С. 3—20.

2

Простейшая верхняя оценка G (也)

Определение больших и малых дуг

В последующие годы в метод Харди — Литтлвуда вносились различные улучшения, наиболее значительные из которых даны Хуа [Ниа, 19386]. Это позволило получить простое доказательство того, что G(k) ^ 2А + h тем не менее иллюстрирующее замечательные свойства этого метода.

В определении больших и малых дуг много свободы, ч выбор, сделанный здесь, достаточно произволен.

Пусть п велико, ^ определяется формулой (1.7),

V尸(2.1)

и пусть 6 — достаточно малое положительное число, зависящее Только от k. Для \ V a W q £ Р, (a, g) = 1, положим

2R(g, а) = {а: |а —а/д| & 心'(2.2)

ЗЭТ(д, а) по указанным выше историческим причинам называются большими дугами, хотя фактически это интервалы. Пусть 耽 означает объединение 耽(д, а). Вместо (0,1] удобнее рассматривать единичный интервал

以= (№-% 1+№-н.(2.3)

Это избавляет от некоторых затруднений, связанных с тем, что в промежуток (0, 1] попадают не все большие дуги, тогда как 2Пи 勿.Множество m = ^/5Л составляют малые дуги.

При a/q #= af/qf н g, g，& Nv имеем

1a/g-a7 展 1a/力＞ ("+ 扪 n一・

Следовательно, дуги 2Л(д, а) попарно не пересекаются.

Согласно соотношению (1.9) (для краткости индекс s опущен),

R ® = \ f Q『g (— an) da + ^ f (a)s s (— na) da, (2・4) 航m

где f(a) определяется равенством (1.6). Прежде чем перейти к оценке этих интегралов, докажем некоторые вспомогательные лбммур「宀

Вспомогательные леммы

Метод оценки /(а) для а @ ш можно описать следующим образом. При А = 1

f (а) = £ е (amk)

оценивается тривиально. В общем случае рассуждения основываются на использовании разностного оператора, позволяющего оценить /(а) в терминах сумм, в которых тА заменяется полиномом степени А—1. Последовательное применение этих рассуждений понижает степень до 1.

Лемма 2Л (Дирихле). Пусть а — действительное число. Тогда для любого действительного X 2 1 существует рациональное число a/q, такое, что (а, g)=l, 1&д^Х и

|а —а/д| & 1/(дХ).

Доказательство. Достаточно получить этот результат без условия (a, g) = 1.

Пусть m = [X]. Все m чисел 殳=ад — [ад] (д = 1,2,… ...,m) лежат в интервале (0, 1]. Рассмотрим m + 1 интервалов

当川士小帚内(Г=1，2m+ 1).

Если в В\ или Bm+i есть число 伝，то доказательство окончено. Если нет, то один из m— 1 интервалов Вг с 2 ^ г ^ m содержит по крайней мере два 卩幻 скажем ри, 0力 и <Z v. Полагаем q = и —况,а = [av] — [аа].

Лемма 2.2. Пусть X,匕 а一действительные числа, X》1, У》1 и |а — a/q \ & ^2, (а, ^)=1. Тогда

£ min(Xyx「||ах|「)《ХУ (^ 十｝十齐)log(2Xg),

где ||₽ || = min I ₽ —//1.

Доказательство. Пусть

S= £ min(XYx~\ ||ах||т)・

Очевидно,

S& 2 2 min (措7, 1|а(д/ + "||т).0W/<X/q・l'■

Для каждого / пусть у； = [а/^2], и положим 6 = q?a — qa.

Тогда.

a(gj + г) =回 + ar) /q + {^jq2}/q+Qrq~2.

При / = 0 и r < 4

II a (gj +r) ll>||ar/q || - l/(2g) > 41| ar/q ||.

В противном случае для каждого / имеется не более 0(1) чисел г, для которых неравенство

l|a(gj + r) II >4II ^i + ar)lq ||

не имеет места и, кроме того, qj + r^> q(j + 1). Поэтому

s《 2 \\ar/qr+ 2 (謐ту+ 力 l® + ar)/"}《

1^У〃20</<Л/^ IIJ

《x5 2 rrr+^-' + D X f.

0</<X吋式 g/2

откуда легко следует лемма.

Пусть Д/ означает /-е применение разностного оператора, так что для любой функции ① действительной переменной a

& (① ®； В)=①(a + В)—①(a),

A/+1 (①(a)； Bi，•…，B/+i) = & (А/(①(a)； Bi, P/)» P/ + 1)*

Тогда нетрудно убедиться, что

А/ (a*; pi, • • •, рр = pi ... В// (% Bi,…•，В/),

где р, — многочлен от а степени А — / со старшим коэффициентом 左!/ (А - /) I.

Следующая лемма является промежуточным звеном в доказательствах обеих нижеследующих лемм 2.4 и 2.5.

Лемма 2.3 (Вейль). Пусть

т ®)= £ е @ (х)),

где ①一произвольная арифметическая функция. Тогда |T@)k(2Qj 京…I

Т/ = £ е (А/ (①(х); Лр • • • > 九/))»

и интервалы 厶=厶(也，...,九力 {возможно, пустые) удовлетворяют соотношениям;

厶(加)и", Q], 7； (AlА/) <=//-! (Al, .... 力/т).

Доказательство. Индукция по /. Для краткости вместо Д/((р(х)； Ль ..., Л/) пишем А/(х). Очевидно,

Q Q — xQ — 1

I г (<Р)I2 = X 2 е(& (х))= ££е(&(х)),

х =1 Л, =\~хZijnl-Q Х0*

где 7] = [1, Q]n[l — Ai, Q —Л]].

Теперь если лемма верна для какого-либо значения /, то, согласно неравенству Коши,

|Т@)『+у(2Q)2/+I/-2(2Q)/£|厶|2

и, очевидно,

\т^= ££ е(Д/ (x + /i)-A/W),

f A f VQx三/什1

где/什1 = /亦{尤% +九w//}.

Лемма 2.4 (Неравенство Вейля). Предположил^ что

(а, д) = 1, |а —а/д| W дт,屮(％) = а^ + а冰7 + … + a*-ix+

Q

т (® = 2 e (①(%))•

X =1

Тогда

T(中)《Q4(g" + Q" + gQT)】/，

где К =2^.

Доказательство. По лемме 2.3 при / = А—1 (и упражнению 2.1),

|T®)|K《(2Q)K"X

хXX 2 е (Л] * *. ”—1Рь~ 1 (局 九1, 九左—i)),

где pk_x (x; /ij, ... hk^ = k\ a(x +y/ii + ... +4■色 _i) ++ 他―1)1 al*

Члены c /ii ... Ла-i =0 дают вклад 《Q克~L Поэтому /k\ Q*-1、

IT @) F《(2Q)S+ Q8 2 min (Q, II a/i 厂)丿《 《QKT+”-+ g rnin(Q%T||a/i|L)).

Согласно лемме 2.2, для q W Q& это есть '《QK+2e(g"+Q7+gQ№)・

Заметим, что результат тривиален при q > Q&, что и заверь шает доказательство.

Лемма 2.5 (Лемма Хуа, 19386). Пусть 1 & j W 々.Тогда

\|〃а)|2%а《№/-/+е.(2.5)

о

Доказательство. Индукция по /. Случай / = 1 непосредственно следует из тождества Парсеваля.

Предположим теперь, что (2.5) справедливо и что 1 &

W j & 左一1. По лемме 2.3 с 中(х) = ах*,

If (а)卩&

^(2N)2l-l-1 2 … 2 2 0(叫%p/(Х；也，…，也)),

где p/(x； h\t ...,加)一многочлен от х степени А ——/ с целыми коэффициентами. Следовательно,

If(a) f <^W214-1 ^che (ah),(2.6)

где сн — число решений уравнения

/ii ... Л/Р/(х; Ль ...,九/)=九

с 也 |V" и х е //. Очевидно,方《7W, с^《№ (Л =# 0).

Из представления

lf(a)|”=f(a)"f(—a)2"

следует также, что 1f3)产=¥6厶0(一叫，(2.7)

где bh есть число решений уравнения

X] + • • • + Х?/ — ] у \• • •у?; - \ 厶

с х(, у» W Л\ Таким образом,

^bh = f (0产==N”

и по предположению индукций

b0=\\f(a)f da^N2'-'+s.

Согласно (2.6), тождеству Парсеваля и (2.7),

卜 f (а)/%а《(2N)2jT £ с 也. ол

Кроме того,

£ %瓦《e也+炉2玩《мУ/т+ё +м产'， что дает требуемое заключение.

Лемма 2.6. Пусть с】,с2, • • • 一произвольная последовательность комплексных чисел и 尸 имеет непрерывную производную на [О, X]. Тогда

£ cmF (m) = F (X) £ с^Т 卩(Y)2。洞丫. m<Xm^X 0m< y

Доказательство. Эта лемма непосредственно получается из очевидного тождества F (т) == F (X)—— j Ff (у) dy переменой m порядка суммирования и интегрирования.

Оценка на малых дугах

Теорема 2.1. Если s > 2t то

\ I f (a)『da《几”1-6.

Доказательство. Величина 几一】-6 представляет собой понижение по сравнению с тривиальной оценкой nsfk. Лемма Хуа с / = А понижает ее на величину пе~1, а неравенство Вейля дает остальное.

Очевидно,

1

^\f^) Г da《Qup I f (a)厂 2)、卄⑷『da.(2.8)

m0

Рассмотрим произвольную точку a на m. По теореме Дирихле (лемма 2.1), существуют а, % (。，夕)= 1 и q & №—, такие, что |а — '&lq\W q~'№f. Так как амти(Л^~Л 1—Nv~k)t то 1 W a W g, откуда q> № (в противном случае а принадлежало бы 欢).Поэтому, согласно неравенству Вейля,

f (а)《М+е (д- + % -1 + qN~ky/K《川+”丫/勺

Это в соединении с (1.7), (2.8) и леммой Хуа доказывает теорему.

Большие дуги

Первый шаг состоит в том, чтобы получить подходящее приближение функции f на 5Ш(仇 а) функциями，

u (p) = 2 +加他一b偉m),(2.9)

m=l

S(% °)= 2 e(amklq).(2.10)

Функция v получается из / заменой характеристической функции А-х степеней вероятностью того, что m есть A-я степень. Сумма S(q, а) — это дополнительный множитель, который возникает для а, близких к a/q, поскольку А-е степени в общем случае неравномерно распределены по модулю 仇

Лемма 2.7. Пусть 1 & а《g & №, (а, q) = 1 и а 三 三班(％ а). Тогда

Да) =「Г(д, a)v(a — a/q) + O(N2v).

Доказательство. Для У ^ 0

£ е (amk/q) = £ e(arkjq) £1 = %一$ (q, а) + О (g)

т<УIm《y

m』r (mod g)

И

£ lm'M-i = J ■|•аl/Jdа + 0⑴ = У+0(l). (2.11)

m^Yk1

Пусть

，e(am/g)——g_】S (g, а)^^】/^—* когда m — A-я степень, Cm = \[

—q~ ]S(7，。)"^加信~1в противном случае

и У = у】/储 Тогда

Е Cg《q (у>0).

Следовательно, по лемме 2.6 с 尸(？)= е(Ву),

£ cme{^^({+\^\X)q.

Полагая X = nt ^ = а — a/q, получим лемму.

Выбор функции и в лемме 2.7 не является единственно возможным. Обе функции

5(0)= \ e (时)外О

подошли бы для этой цели. Есть аргументы за и против каждой из и, 5,卩2・ Аналитическое выражение 5 изучать легче, чем выражения для и или и2, а использование 卩2 позволило бы избежать некоторых технических трудностей при рассмотрении определяемой ниже величины J(n). Однако и2 отчасти искусственна, а при замене и на U)для изучения Цп) требуется формула преобразования Фурье.

То, что и и ui обладают во многом сходным поведением для достаточно малых р, можно вывести из (2.11) и леммы 2.6. Именно

勿(0) = е (рп)储俱一2шр j е (0y) 丫“匕丫 + О (1 + n| р |)= о

=\ 6偉Y)^Y1/5外 +。(1+九101) = 0М0) +。(1+九101). о

Пусть

V(a, q, a)= LS(g, a)u(a — a/g).(2.12)

Тогда, по лемме 2.7, для a 三耽(g, a)

f (a『一I/ (a, q, a)s《|f(a) - V (a, g, a) |《*-+2V.

Следовательно,

£ J \f^)S-V^ 9> a)s\da^Ns-k-l+；n.

z仆(广就№w“)

Таким образом, существует положительная постоянная 6, зависящая только от 归,такая, что

，f (a)5 е (— an) da = R* ⑺ + 0(絞法-"。)，(2.13)

肌

где

R* (几)= X X \ V (a, q, a)s e an) da, g《NV a.] Wl(g, a)

, g)T

Согласно (2.2) и (2.12), &*(〃) является произведением вида

R* ⑺= 0(& N^J^n),(2.14》

где

⑨(& Q)= £ X (^-1S(^, a))se(—an/q)

(a, <7)*1 И

/• (n) =，u(₽)se(-₽n)dp.(2.15)

Сумма ©(n, Q) и интеграл /* (n) наиболее просто изучаются путем дополнения суммы до ряда и замены интервала интегрирования единичным интервалом.

Пусть

S®= £ (g-'S^, a))se(-anlq). (2.16) a=l (a, g) = l

По неравенству Вейля, S(g, a)《gi+£-i/K при условии, что (a, g) = 1. Следовательно, если s ^ 2ft + 1 и е достаточно малое, то

S(q)《户7К2+1《дТ-2T(2.17)

поэтому ряд

邑⑷в (g)(2.18)

сходится абсолютно и равномерно по п и

©(п, ^) — 0 (п)《п~б.

Отсюда вследствие (2.14)

R*5) = (®5)+。(/6))尸6) и ®6)《1.(2.19)

Для того чтобы расширить интервал интегрирования в J*(n), как сказано выше, надо оценить величину изменения 0(0) при возрастании |0| от 0 до 扌・

Лемма 2.8. Предположим, что 丨 0 |&3・ Тогда

v(P) С min(nI/ft, |₽|"I/ft).

Такое же заключение имеет место и для вышеупомянутых функций tn и и?； доказательства аналогичны; для tn результат справедлив при всех действительных р.

Доказательство. Доказательство получается использованием суммирования по Абелю. Согласно (2.11), имеем

2%1/1=加信 + 〃1),

откуда лемма следует сразу для |0| W 1/п.

Предположим теперь, что |р| > 1/п и М = [IPI-1]- Тогда члены суммы

° (p)= £^加信-16(0加)

с zn W М оцениваются величиной <^Myk <С |P|~I/ft. Чтобы оценить оставшуюся часть суммы, положим

Sm=2e("), cm= —m1^-1.

Тогда

2 ^ mVA-i e(pm)= cn+1sn _ CM+1SM + 2 (cm-cm+1)Sm. m=M + lm=M+l

Так как |3巾|W 1/(2|0|) и cm一убывающая последовательность, то

£ I 加信т е 偉/п)《См+1 101T < I 0 尸信，

что и требовалось.

Пусть

1/2

/(«)= \ и(₽)5е(—₽n)d₽.(2.20)

-1/2

Тогда, согласно (2.15) и лемме 2.8,

/e)《\ min(/：s/3 07/冲d0《絞/1

/*(%)-/(%)《，0-s/Ad0《緑/1-6

При условии, что s > й. Отсюда ввиду (2.17)

r*(几)=@⑺ J(n)+O (出注-1-6).(2.21)

Это в соединении с (2.4)', теоремой 2.1 и (2.13) дает следующий результат.

Теорема 22 Если s > 2*, то.

R (几)=® (n) / (几)土 0 (科 л).

Особый интеграл

Особый интеграл оценивается применением индукции по s. Следующая лемма играет двоякую роль, обеспечивая начало процесса индукции и осуществление шага индукции.

Лемма 29 Пусть а, § — действительные числа, а》В > О, В & 1. Тогда

2疗7他一加尸=①1 （鼻耨■芻+。（"）），

где константа, входящая в О, зависит только от а 〃 0.

Доказательство. Рассмотрим функцию

Ф(7)= т^1 (^一у)а-1.

На интервале (0, п) ф имеет не более одной стационарной точки. Поэтому (0, п) можно разбить на два интервала (О, X), (X, п) (один из которых может быть пустым), такие, что ① возрастает на одном из них и убывает на другом. Следовательно.

л-1л

X Ф (т) = ^ ф (у) dy + О (”7 + пр+а"2)=

Теорема 2.3. Для s》2

7(П) = Г(1 +±уг(~)"1 ns^{\+0 包一1/々))・(2.22)

Доказательство. В силу (2.9) и (2.20)

/仇)=(包)= Z ..• Z k~s (他I… 恤)" J.

При s = 2 теорема непосредственно следует из леммы 2.9. Предположим, что теорема имеет место для некоторого s》2. Тогда

Л+1 («)= 2 Е mxik~4s (п — т) = m = I

=r(i 户伐厂j 2加/一m一加尸+

Справедливость теоремы в случае s + 1 следует теперь из леммы 29

Особый ряд

Особый ряд отражает распределение вычетов 々-х степеней целых чисел по модулю q* Прежде чем перейти к изучению свойств ©(п), оценим S(q, а) и S(g).

Лемма 2,10, Если (a, q) = (b, г) = (^, г) = 1, то S(〃, ar + bq) = S(g, a)S(r”).

Доказательство. Согласно алгоритму Евклида, каждый класс вычетов m по модулю qr единственным образом представляется в виде fr + 〃д с 1《 f W g и 1《 〃《匕 Следовательно, ввиду (2.10)

S (〃，аг + &^) = ^ £е (atkrklq + bukqk/r).

Так как числа tr и uq пробегают полные системы вычетов по модулям е и г соответственно, то лемма доказана.

Лемма 2.11. Функция S(g) мультипликативна.

Доказательство. и лемме 2.10,<7S (д, г) = £а = 1(а, <7) = 1Доказательство. и лемме 2.10,<7S (д, г) = £а = 1(а, <7) = 1Пусть (q, г) = 1, Тогда, согласно (2,16)

Доказательство. и лемме 2.10,

<7

S (д, г) = £

а = 1

(а, <7) = 1

Доказательство. и лемме 2.10,

<7

S (д, г) = £

а = 1

(а, <7) = 1

X qSS (〃，ar + bq)s е (— (аг + Г = 1 (г, 6) = 1

十 М)砧“))=S (g) S (г).

Для каждого простого р определим формально функцию Т(Р)：

ОО，

T(P)u£S，).(2.23)

о

Теорема 2.4. Пусть s > 2幺 Тогда ряд Г(р) 〃 произведение Г1т(р) абсолютно сходятся 〃

邑⑷=Л т (р)・

Более того, существует положительная постоянная С, зависящая только от k, такая, что

V П т (р) V 彖

Р> с

Доказательство. Утверждения теоремы легко следуют, из (2.17), леммы 2.11 и элементарной теории рядов мультипликативных функций (см. теорему 286, Харди и Райт, 1979). Заметим, что ввиду (2.16) и (2.10) замена а на —а в определении S(e) дает S(q) = S(q), Таким образом, S(g) и Т(р)— действительные числа.

Остается рассмотреть Т(р) при р W С・ Существует тесная связь между Т и Mn(Q)—числом решений сравнения

^f + •・・ + ^f 曰几(mod q)

c 1 0 “ W g・

Лемма 2.12. Для любого натурального числа q

У5^) = д^Мп (力・d\q

Заметим, что, если q = pz, сумма слева равна

£ s ”) Л-0

и, таким образом, согласно (2.23),

Т(р)= Нт 川 1% (/И)!-»8

всякий раз, когда существует этот предел либо предел в (2.23).

Доказательство. Из соотношения ортогональности

следует, что

M/xS) =^£ Е Е е(г(研 + …+鸾一朗办 rT m严 1% 1tsi

Теперь сумма по г разбивается на подсуммы в соответствии с величиной (г, д). Общий член в каждой подсумме является периодической функцией /и, с периодом q/(г, q)= 山 Отсюда м“(д)= ddd

=7 Ее®(喈 ++ 鸾—叫d)

d \ q a — 1=1m„ = l

(a, d)71s

и лемма следует из (2.10) и (2.16).

Для дальнейшего полезно привести некоторые сведения из мультипликативной теории приведенной системы вычетов по модулю р‘. Изложение этой теории см. в гл. 6 работы И. М. Виноградова (1954) или гл. 10 книги Апостола [Apostol, (1976)].

Количество различных вычетов по модулю р‘ Ах степеней чисел, т. е. вычетов вида х* с р х, равно 屮(户)/(財屮«)), когда р — нечетное, или / = 1, или k — нечетное, и равно 2i/(比 21), когда f》2 и оба числа р и 归一четные. (Здесь Ф обозначает функцию Эйлера.) Таким образом, когда р в высокой степени делит k, вычеты 々-宓 степени по модулю р‘ сравнительно редки, и поэтому Мп(р1) довольно трудно оценить. Удобно, следовательно, определить т = т(р) как наивысшую степень р, делящую 財

p^k(2.24)

и полагать

р + 1, когда р > 2 или р = 2 ит = 0,^

V + 2, когда р = 2 и т > 0."

Таким образом, количество вычетов 岳х степеней по модулю pY равно Ф(严叫/他 q)(pT+I)), а число решений сравнения

xk = a (mod 叫

для р ^ а равно 0 или pYf-i (比 ф(р°+1)), К тому же если a — вычет &-й степени по модулю pY, то он будет также вычетом 论•汪 степени по модулю р‘ для каждого t.

Пусть М；(е)означает число решений сравнения

Л* + …+х^ = п (mod q)(2.26)

с (%i,e)= 1*

Лемма 2.13. Предположим, что М* (р^)〉о и t ^у. Тогда

Мп(р^ А р(^^-^\，

Доказательство. Рассмотрим какое-нибудь решение сравнения

双=n 一虑一…一戏(modРY)

c p 才％i・ Тогда р«т)($-1)решений сравнения yk=n^ yk_ _ _ yk (mod 炉)

могут быть построены выбором у?, ..., ys в виде у» = = Xj(modpY). Причем 几——у^——•・・——у^ будет вычетом 々-宓 степени по модулю * а, значит, также и по модулю р‘.

Разрешимость сравнения (2.26) устанавливается при помощи следующей леммы.

Лемма 2.14 (Коши, 1813; Дэвенпорт, 1935; Човла [Chow- la, 1935а])・ Пусть 垓,例 обозначают соответственно множества из г и s классов вычетов по модулю q. Предположим далее, что 0三例 〃 что для любого b ^ ^ 匕看 O(modg) имеем (&, «)=1. Пусть 揉 + ⑨ означает множество классов вычетов по модулю q вида а + b с。三必 〃 b 三纺.Тогда

card(接 + 例)2 min(g,r + s — 1).

Доказательство. Можно предположить, что r + s— 1 W g, в противном случае достаточно просто удалить s — (g—叶1) элементов из 例.Случай г = q тривиален, так что можно считать в дальнейшем, что г V д. Доказательство теперь проводится индукцией по s. Случай s = 1 тривиален. Предположим, что s > 1 и что утверждение леммы справедливо, если card^ < s. Тогда существуют с 三垓，匕三例，такие, что с + 匕柒垓，так как иначе для каждого 匕三例，。4■瓦 как и а входило бы в в таком случае

X (а + Ь)= £ a (modg), rb = Q (mod q).

пусть皆={ь：匕曰纟，e +ь亥孩},孩1 =垓u ({e} +⑨， ⑨]=例、野.Тогда 1《card细 < s, card垓i + card例〔=г + s и

Mi + 纲=(® + 络)U (({с} + 纲)+ ⑨ и 加 + 微

Лемма 2.15. Предположим, что s>7ТЙ(^ Px(P-D) для у = т + 1; s 2计2 для 丫 =工 + 2 〃 々>2, u s 含 5, когда р =々=2, Тогда Л4* (pY) > 0 для любого %

Доказательство. В случае v = т + 1 лемма получается многократным применением леммы 2.14. Когда р = 2, результат тривиален, когда 々 > 2, имеем неравенство s》2n и сравнение может быть удовлетворено, если взять %/ равным 0 или 1, а когда 々 = 2, сравнение %，+・・.壬%纟三 三/г (mod 8), как легко видеть, разрешимо при 2 才 尤卜

Объединение заключений теоремы 2.3 и лемм 2.12, 2.13 и 2.15 дает следующую теорему.

Теорема 2.5. Пусть s > 2々・ Тогда

0⑺之1.

Заключение

Из (2.19) и теорем 2.2, 2.3 и 2.5 следует

Теорема 2.6. При s > 2卜 число R (п) представлений п суммой s &-% степеней натуральных чисел выражается в виде

Rd) = r(I +y)Sr (у)-1^/*-1®^) + о Н*-1-0), (2.27) где ®(п)^> 1.

Следствие. G 优)0 2左 + 1.

Асимптотическая формула (2.27), вероятно, справедлива при любом s》々 + 1. Граница s > 2々 понижена для й > 10, о чем см. гл. 5. Однако для 3 & 々 0 10 улучшения неизвестны. Было бы действительно большим достижением получить (2.27) при 々 = 3 и s = 8. Это можно было бы сделать, если бы удалось показать, что

\ I £е (ах3) |6 da《儿力-°.(2.28)

0“1

Существует предположение, что

J|f(a)|2sda«№min(№, №s-fe),(2.29)

о

вследствие которого (2.27) имело бы место для всех s 2 》2总十1.

Пусть й > 2. Харди и Литтлвуд (1922) определили F (归) как наименьшее s, такое, что для каждого простого р существует положительное число С(р), такое, что Т (р) ^ С(р)

равномерно по п. В более поздней статье (Харди, Литтлвуд (1925)) они показали, что ®(/г)»,1 для всех s》 ^ тах(Г(й), 4).

Если определить Г0(й) как наименьшее s, такое, что для каждого и п сравнение

%f + …+ 道三 /г (mod q)

разрешимо с (х：, q) = 1, то доказательство теоремы 1 из книги Харди и Литтлвуда (1928) показывает, что Го(^)= =7(々).Они предположили, что 十(々)-> оо при й-> оо, но до сих пор не известно даже,, справедливо ли неравенство

liminf Г(й)>4..

尼+8

Упражнения

Покажите, что для 1 0 j & 々 j-e применение А, — разностного оператора — имеет выражение

Д；(аА； ₽1； • • •> ₽；) =£7°[ /；..团"。畤• • • В?=

Io》O/lNL〃》1?n+ А + ... + /•=A

^= P1 • • • P^P/ (。； M‘ ♦ • • ‘ B/)‘

где р/ — многочлен от a степени k — / с коэффициентом при старшем члене k\/(k — j)!.

Покажите, что при й > 2 G(k) ^ max优 + 1, Го(й)).

Покажите, что каждое большое натуральное число есть сумма одного квадрата и семи кубов.

Покажите, что для s》2

J I / (а) Г da》max (№~\ №/2). О

Покажите, что число R решений уравнения

Х^ + у\ + У2= А + Уз + у\

с Xi ^ п1/2, у? W 几 1/4 оценивается в виде R《 几1+气 Получите асимптотическую формулу для количества представлений числа суммой двух квадратов, четырех биквадратов и степени.

Пусть м仅n

5偉）=\ 6（^）外，。2偉）=2 "臂；间e偉九）. оft=O

Покажите, что

ОО1

\ Vi（^）s e（—^n}d^ и 卜2（0『е （—阿 dp

—ооО

асимптотически равны Г Г1 + у ）51д （у） %п при >оо.

3

Проблемы Гольдбаха

Тернарная проблема Гольдбаха

Полученное И. М. Виноградовым решение тернарной проблемы Гольдбаха следует схеме предыдущей главы, но на этот раз с функцией

/ (а)= Е (logp)e(ap).(3.1)

Недостаточность нынешних знаний распределения простых чисел в арифметических прогрессиях диктует, чтобы большие дуги были возможно более редкими. Принципиальная трудность возникает на малых дугах и заключается в получении подходящего аналога неравенства Вейля.

Пусть В — положительная постоянная. Для достаточно большого п положим

尸=(10g 几尸(3.2)

Когда(a, q) = 1, пусть

5(仇 a)={a: |a — a/e| W P/i}(3.3)

обозначают типичные большие дуги,日耽一их объединение. Поскольку п достаточно велико, большие дуги не пересекаются и лежат в промежутке

么=(Р〃-* 1 + Рп^].

Пусть ш = ■?/№)?. Тогда ввиду (3.1)

«(")=、' (а)' е (— %a) da =

=\ f (a)3 е (— /га) da 十 \ f (а)3 е (— па) da,(3.4)

где R(n)=£ (iogpJOog/%) QogP3)・(3.5)

2 +。+ PE"

Изучение интеграла на малых дугах принципиально основано на следующей теореме.-

Теорема 3.1. Предположим, что (а, ^) = 1, q ^ п и |а — —a/q\^ gT Тогда

/(а)《(logn)4(n^-1/2 + n4/5 + ”/2qi/2).

Доказательство. Пусть

т% = X 卩(d),

d《X

где 卩一функция Мёбиуса. Тогда выбор X = п2/5 и 九(％, у)= = А(у)е(аху) в тождестве

е 九a, у)+ X X %九(X, у)=

XXx<%忘以 n<У忘以/х

X

X

=S S X “(d)九(dz, у)

даетдаетd&X X<yK〃/d z&n/yd

дает

дает

гдегдеf (a) = Si— S?— S3 十。(序/2),

где

где

.X z口 (x)Qogy)e(axy), x & X y-^-n/x

S2 = X X с^е^ху), c*= Ej X 卩(d) A (y), x 4 X2 у《注仇d《X y&X

dy=x

S3 = X X t%A (y) e (ct%y)・ x>X y>X xy ^n

Здесь A — функция Мангольдта, а тождество получается переменной порядка суммирования, если учесть, что т% = 0 для 1 V % w X.

Внутренняя сумма в Si равна

nW J £ е (axy)學

YVJ玄咏 н 以《log x. Следовательно,

Si, S2 < (logn) X min(n/x, llaxir1).

Отсюда, по лемме 2.2,

Si, S2《(logn)^^-1 + /г4/5 +e)・

Таким образом, остается оценить S3.

Пусть 解={X, 2Х, 4Х,…，2咏：2^2 < п & 2*+^2}. Тогда

S3= X S(y),у巨m

гдегдеS吁Y〈MxK……).S吁Y〈MxK……).

где

где

S吁Y〈MxK……).

S吁Y〈MxK……).

Согласно неравенству Коши,

I s (У) |2《(X d (х)2) X I х а ®) е (аху) Р. \х < 2У ) Y<x < 2У I Х<у С п/хI

Легко показать, что

X d (х)2《Z (log 2Z)3.

Следовательно,

IS (У) I2 «У (log n)5 X X min(r, II a (//-z)!!-1). у & 〃/У z & n/Y■

Таким образом, по лемме 2.2,

|S(y)|2《/г(log/г)6(шу"十 Y + n/Y + q), откуда,

S3《X ^n}\nq-XI4^ + nY-^ + ^

《(log “ (的-1/2 + n4/5 + m，2严)，

что и требовалось.

Теперь, чтобы оценить интеграл

\ f (仪尸 е (—/ш) da,

достаточно обратить внимание на два следующих обстоятельства. Во-первых, тождество Парсеваля и элементарная теория простых чисел дают

1

卜〃а)产 da = 2 (log р)2《п log п.

Ор & %

Во-вторых, согласно теореме 3.1 (ср. с выводом теоремы 2J),sup I f (a) I《/г (log 切 jB/2.

Таким образом, справедлива

Теорема 3.2. Если А — положительная постоянная 〃 В》

> 2Д + 10, то'

\ I f (a) р da《п2 (logrt)~4.

Изучение интеграла на больших дугах основано на пои- менении теории распределения простых чисел в арифметических прогрессиях.

Лемма 3.1. Пусть

у (₽) = Хе(0加).(3.6)

Тогда существует положительная постоянная С, такая, что каковы бы ни были 1 W a W q W Р, (а, е) = 1, a 三 ЗЭТ(д, а), имеем

f (а) = "^* ^ (а — у) + О (« ехр (— С (log п)1/2))-

Доказательство. Пусть

fx (а)= X (logp)e(ap).

Тогда

fx (а/д) = X е (а，/д) 6 (X, д, г) +。((log X) (log д)),

(Г, 4) = 1 где

о (X, е,尸)= X (log р)・

р 口 г (mod 4)

Как известно [теорема 53, Estermann, 1952], для Vn < Х<п имеем

fх (у) = ~^у £ е (^) + О (п ехр (— & (log ^)1/2))- (3.7)

То же самое тривиально имеет место и для Х&"/г・ Кроме того, [см. теорема 271, Харди, Райт, 1979]2)

t е(2)т(д)・

(г, 4)-1

Следовательно, из (3.1), (3.6), (3.7) и леммы 2.6 при X = п, 戶(加=e{^m), Р = а — a/q,

(е (~^) logm — N(e)Ap(e)‘ если m — простое число,

I —卩(е)/(р®в противном случае

имеем

f (а) - V§7и(а ~7)<(1 +«|а-у |)nexp(-Cl(log切^)),

что вместе с (3.3) и (3.2) доказывает лемму.

Пусть а 三 2Л(е, а), тогда вследствие леммы 3.1

f (货一；^j и (а — ^У《川 exp (_ С (log 九产).

Теперь интегрирование по 2Л дает

Г £\ (f(a)3-將。(a-g)e(_*da《

q &Р a = l 亚(q, а)

(а. 4)=1

《P3n2exp (— С (log n)1/2)-

Следовательно, ввиду (3.3)

Pin

j f (а)3e (— an) da = ® (n, P) j и (p)3^ (— pn) dp + 號-P/n

+。(P3n2exp (— C (log n)1/2)),(3.8)

где ® (n, -P) = 2 2 今* e(—anlq). (3.9)

4 & P a = l

(a, 4)=1

Согласно (3.6), если 0 — нецелое число,

^(₽)< IIPII-1.(3.10)

Поэтому отрезок интегрирования [—Р/п, Р/п] можно заменить отрезком [^, с точностью до величины

《X ^^пР~\

q&P

Следовательно, ввиду (3.2)

j f (a)3е (— an) da = ® (n, Р) / (n) + О (^2 (log п)~2в\ (3.11)

1/2

гдеJ(/i)= j и (p)3^ (— pn) rfp.

-1/2

Согласно (3.6), J(n) есть число решений уравнения п — = 加1 + 加2 + 加3 в целых числах 1 W 加了 W п. Таким образом,

J (〃) ^ n 仇一〔)(〃 一2).(3.12)

Кроме того, в силу (3.9) имеем

<5(П, Р) = <г>(п) + о ( 2 Ф (д)-2)，

где⑨(切=£"^^ 2 е(-аа@.(3.13)

(a> q)・l

РайтРайтРайтРайтОтсюда ввиду (3.1), (ЗЛ1) и теоремы 327 [Харди, (1979)]

Райт

Райт

Райт

Райт

，f(a)% (- an) da == ® (九)J (九)+0(/iRog 总厂切)

Сумма Рамануджана (см. теоремы 67 и 272 [Харди, (1979)])

% (n)= £ e (— a»e)a = i

(a q)= l

является мультипликативной функцией q й выражается в виде

(3.14)(3.14)「Л 一卩⑷（9,几））屮⑺

(3.14)

(3.14)

△—屮（q/（g，几））

Следовательно, согласно (3.13),

®(п)= П (1 +(р-1)~3) П (1 - (р-1)"2).(3」5)

р 彳 npin

Мы доказали следующую теорему.

Теорема 3.3. Пусть Л — положительная постоянная, BN ? 2Л. Тогда

，f (a)3e(—na) da = -у n2® (n) +。(/? (log 加一”)，

где ^{п) определяется равенством (3.15).

Заметим, что ®(п) ^ 1 для нечетного числа п и g(n) = О, если п——четное. В соединении с теоремой 3.2 и (3.4) теорема 3,3 дает следующий результат.

Теорема 3.4. Пусть А — положительная постоянная, К(〃) 〃 ®(/г) определяются соответственно формулами (3.5) 〃 (3.15). Тогда

R{n) = ~ г^^> (п) +。(层(log п)~Л).

Следствие. Каждое достаточно большое нечетное число является суммой трех простых чисел.

Бинарная проблема Гольдбаха

В бинарной проблеме Гольдбаха нельзя изложенным выше способом получить асимптотическую формулу. Однако

может быть получена нетривиальная оценка суммы

п

g (R (т) — m®, (m))2,"

гдеR(m)= £ (log Pi) (log Р2)，

Pl，P2

Pl + p2 = m

a Si (m)—соответствующий особый ряд. Это выражение соответствует скорее кватернарной проблеме, чем бинарной. Оно приводит к следующему менее сильному заключению: почти все четные числа — суммы двух простых чисел.

Пусть

R (т) = & (т, /г) = £ £ (log 〃)(log 小)・

Pl & М Р2 & М pi + p2=m

(3.16)

Тогда

R1 (九)=r2 (九)+R3 (加)，

(3.17)

где

& (加)=\ f (аУ e (— am) da

(3.18)

и

R3 (加)=Vg产e (一a也)da.

(3.19)

或

Здесь 力 耽，nt такие же, как в § 3.1.

/?з(т) является коэффициентом Фурье функции, которая равна /(а)? на nt и 0 для других значений а. Следовательно, по неравенству Бесселя,

W IR3(m)F&\|f(a)|4da.(3.20)

т= 1ni

Теорема 3.5. Пусть А — положительная постоянная, В ^ 4 + 9. Тогда

X I 欠3 (т)产《п3 (log п,уА.

Эта теорема ввиду (3.20) может быть выведена таким же способом, как теорема 3.2.

Пусть

&i(m, Р)=2 2 將^e(—amlq).(3.21)

q &Р а = 1

(a. q)=»l

Тогда тривиальными видоизменениями рассуждений, дающих оценку (3.8), получаем

R2 (m) = ®! (m, Р) j и ⑻2е(—В 优)坤 +

-Pin

+ О(Р% exp (— С (log 孔严))・

Кроме того, согласно (3.10),

1/2

\|и(В)12dB《九РГ

Pin

Отсюда ввиду (3.21) и элементарной оценки X <р(<7)-1《 《log п имеем

&(加)=® (m, РМ (加)+ О S(log/书，

где /1 (т) = \ и(0)2е(—0m)d0・

-1/2

Вследствие (3.6)厶(加)есть число решений уравнения m = ==加1 +加2 в целых числах 1 W /п/ W п. Отсюда при т п имеем 厶(加)=т— 1. Поэтому ввиду (3.21)

兄(团)=т@1(т,Р) + О(〃(1од北)J) (1 W m W 〃)•(3.22)

Согласно (3.14) и элементарной оценке

Z(p(g)-2《zT,(f>Z

имеем

У У e(-amlq}=Y^- У 臘《

Х<4《Уa = ld|mX[dVq & Y[d

(a, q)=»l(4,加)=4

《£ '^■min(4"，1). (3.23) d \ m

Следовательно, ряд

®i M= X ^f^ £ ? (— amlq) (3・24)“(a, <7) = 1

СХОДИТСЯ, 'Oi(rP) —01 (加)《log m

и

2 I % (加，Р)—⑨ 1 (加)F《(log 孔)2 ^罂：min (^, 1) «

« n(logn)P_1 X ^W rt?-1 (log rt^2'

Отсюда в силу (3.2) и (3.22)

2 I 火2 (团)一加$i (团)『《n (log п^~в.(3.25)

пг*»1

В силу (3.14)

回(优)=П (1-(р-1)-2) И (1 H-^-l)-1). (3.26) р Т mр [加

Теперь, выбрав подходящую постоянную В, получаем теорему.

Теорема 3.6. Пусть Л — положительная постоянная, В/ ^ 4 十 2. Тогда

п

X] Ir2 (他)一他61 (加)『《n (log切"，

где ©i (m) определяется равенством (3.26).

Комбинируя равенство (3.17) и теоремы 3.5, 3.6, получаем следующую теорему.

Теорема 3.7» Пусть А — положительная постоянная. Тогда п

У, I R1 (т) — т®!(优)|2《п (log п)~А, пг—1

где Ri и 61 определяются равенствами (3.16) и (3.26) соответственно.

Заметим, что ©i (m) >> 1, когда m четно, и ©i (m) = 0 для нечетных ш.

Следствие. Число Е(п) четных чисел 加,не превосходящих п, непредставимых в виде суммы, двух простых чисел, удовлетворяет неравенству

£(п)《n(log п)~л.

Доказательство. Согласно (3.16) и (3.26) для каждого mt входящего в Е(/г),

zn~2p2(m) — ш@!(т) |2 = 61 (/п) 2 > 1,

Отсюда

e (切《X加t Ir2 (m)-他(加)I2-■

Утверждение теоремы получается теперь из теоремы 3,7 частичным суммированием.

Упражнения

Покажите, что каждое большое натуральное число может быть представлено в виде pi + р? +

Пусть。1,…，。4一фиксированные отличные от 0 целые числа, причем аь 耿，的 не все одного знака. Покажите, что

R (切=X X X (log Pl) (log 02)(log Рз)

pl&tl p2《tl рз&п

dpi+a2P2+азрз+а4=*0

выражается в виде

R(/i)= J {п)^ + O(n2(logn)~-4),

где J(n)—число решений уравнения

а\Ш\ + a2m2 +。3加3 + a4no

с W 拄 н

®= 2 ф(<7)-3П

Покажите, что если (а^。2, °з) | “4, то /(/г)》/г? д』я больших п.

В обозначениях предыдущего упражнения покажите, что достаточным условием того, что @》1, являются следующие соотношения:

(a2，a3，a4)^ (°1，a3，04)^ (°1，a2)04)^ (01，。2，。3)，

01 + & +03 + @三 0( mod 2 @,a2,的，04))■

Покажите, что эти соотношения также необходимы и что в противном случае S = 0.

4

Большие дуги в проблеме Варинга

Обобщенная функция

Теория больших дуг в проблеме Варинга, изложенная в гл. 2, может быть значительно усовершенствована. Наша цель здесь—получить относительно хороший остаточный член приближения У(а,么 Q) для обобщенной функции /(а) на каждой большой дуге, делая эти дуги как можно более широкими и многочисленными.

Пусть

S (д, а, 6) = 2 е ((&•? + 匕尤)дТ).(4.1)

Лемма 4.1 (Хуа, 1957 а). Предположим, что (д,а)=1. Тогда

S(g, а,6)《 qU2^(q,b).

Доказательство использует глубокую теорему Вейля (Weilr см. ниже ссылку на Шмидта). Есть более элементарная теорема Дэвенпорта и Хельбронна (1936R 1937а), в которой показатель степени — заменен на — для 尼=3 и на — для 左 2 4. Кроме того, теорема 7.1 вместо ~ дает 1 — 1 /k. На самом деле рассуждения Морделла, используемые в доказательстве теоремы 7.1 в случае, когда q—простое число, можно изменить так, что вместе с рассуждениями, приведенными ниже, это даст теорему Дэвенпорта — Хельбронна.

Доказательство. Если (矶，q?) = 1, имеем (ср. с доказа“ тельством леммы 2.10)

S(%%，a，6) = S@，ад广* b)S(q» aq「办

Таким образом, достаточно показать, что для любой степени простого числа р‘ при р 才 а

S(p/,a“)《曲2(加,6).(4.2)

При / = 1 оценка (4.2) сразу вытекает из следствия 2F гл. II книги Шмидта [Schmidt, 1976]. Поэтому можно предполагать, что / > L

Если й = 0 или 匕方 О н наивысшая степень р, р°, делящая Ь, удовлетворяет неравенству 0 ^ //2, то оценка (4.2) тривиальна. Аналогично, если наивысшая степень р, р* которая делит /г, удовлетворяет неравенству т》//2, оценка (4.2) также тривиальна. Следовательно, можно в дальнейшем считать, что

&=#о,工<告厶 е<4/-

Пусть” = [%(/+ 1)].

Тогда 3/ — 3v ^ I. В определении S(pl, afb) (формула (4.1)) каждое х по модулю р1 может быть записано единственным образом в виде zpz'v + у с 1 W у W。~"> 1 W % W Р"・ Следовательно, по биномиальной теореме

S(#,a,匕)=X X e ((ayk + by}p~l + (kayk~l + b) zp~v + у = 1 z = 1

+ (；)& 力 一2%-2力(4.3)

Предположим сначала, что / четно или р|(；)・ Тогда (；)山-2"— целое число, и отсюда, согласно (4.3),

|S (處 a,b)\Wp、N,

где ^ — число решений сравнения

kayk~{ + 方三 0(mod р”)(4.4)'

с 1 W у W р"一上 Напомним, что max(0, т) < 1/2 ^ v. Таким образом, это сравнение неразрешимо, если не имеет места неравенство 8^т и 0 — т кратно k—1. Если (4.4) не имеет решений, то (4.2) следует немедленно. В противном случае пусть X = (0 — т)/(^ — 1). Тогда ^ есть число решений сравнения -

(々р-т) awi + (方р-°) = 0 (mod р"。)

с 1 W w W рЛ. Заметим, что 入 W 8 W / — v. Когда / — v — —九 W v — 0, имеем N《1, так что

|S(6, а,匕)I «: pv.

Если / — v — X > v — 0, то N《p/+e-2vf, так что

|S(山,a") I《pipe.

В обоих случаях

|S(p/,Q向 |《炉(山")•(4.5)

Когда / четное, v = [(/ + 1)/2] = //2, и если р1(；} то р* W pi+〃2《р〃2. Таким образом, (4.2) следует из (4.5).

Остается рассмотреть случай, когда /——нечетное число и р ( г)- Тогда

v=^(/+ 1), v>2.

Каждое z в (4.3) однозначно по модулю pv и записывается в виде гр + w с i W г W р”т, а 1 W з w р. Более того, (；)=^^ayk~2w2 (mod р).

Поэтому сумма по г равна нулю, если сравнение kayk~x + + 6 = 0(mod pi) не имеет места. Отсюда

S(p，，а, 6) = р"Т X 8《аук + Ьу)р-1)Х р

X е (((打沙-2勿2 + 呵 р-1)(4.6)

с у и и, удовлетворяющими соотношениям

kay^ -]- 6 ^ 0(mod pv^) и и =(^qy左―^ + 6)pi—* (4.7)

Сначала рассмотрим вклад S】членов с р | yk~2. В таком случае 々>2 н внутренняя сумма равна нулю, если р г Таким образом, по (4.7)

Si < pvN,где ^ — число решений сравненияkap^u^ + 方三 0 (mod pv)с 1 W 〃 W pi」2. Аналогично предыдущему случаю полу-чается TV = 0, если 0* 内一1 + т + (^ ——1)Х с X ^ 0, а в про-тивном случае ^ есть число решений сравнения

(々D ayi + (方р-°) = 0 (mod р—。)

с 1 W у W р/т—!—九 Заметим, что 8》内一1 >0. Если / — v — —1 —九 W v —仇 то N《1 и, значит, S】《р” W р*т+е & W pi/2(pi, ь). При / — V — 1—九>卄一0 имеем N《 《pZ-v—i—九—W-叱 так что снова

S] < pi~v-i^+e^pi/2 (р/｝办

Теперь остается оценить вклад S? членов в (4.6) ср# #-?< Тогда внутренняя сумма, как легко видеть, есть《少父(ср. со случаем 0 = 2 теоремы 4.2). Таким образом,

S2 < p5N,где N ——число решений сравненияhay"，+ 匕三 0 (mod

с 1 W у W pf Заметим, что v —у = 4^ I — v = v—〔=±(/ — — 1)^0 и / ^ 3, Если 0 = -^-(Z — 1), то сразу

S2《p〃2(“6).

Если 6<4~(/— 1), то, так же как и выше, или ^ = О, или 0 — т =九优一1), где 九》0 и, следовательно, N《 《p(j-i)/2-九一((j-D/2-6)《p“ Таким образом, в этом случае также

S2《曲2(00.

Следующая лемма часто является исходной для оценки экспоненциальных сумм. Это сокращенная форма формулы суммирования Пуассона.

Лемма 4.2. Предположим, что X V У,尸"существует и непрерывна на [X, Y], a Ff монотонна на [X, Y]. Пусть "卜 Н2 — целые числа, такие, что Н、W F (a) W Н? для любого а 三 三[X, У]. Тогда

% у

> е (尸(%))= £，е (尸(а) —a/i)da + O(log(2 + ")),

XV% < уй=Я； X

где " = max(|"J,財2|)・

Доказательство, Для дифференцируемой функции 屮(а) с непрерывной производной 市'формула суммирования Эйлера—Маклорена дает

2 2(X)= \ 2 (a) da — [2 (а) (а — [а]—扌)]；+ Х<х < YX

У

+、2'(а)(а — [а]—%)血・(4.8)

Следовательно,

2 е (尸(х)) = \ е (尸(a)) da +

X V у УX

У

+ \ 2冗泳'(а) е (F (а)) (а — [а]^) da + О (1).

Напомним теперь разложение Фурье

a_[a]_2_= у

Этот ряд ограниченно сходится для всех действительных а. Поэтому второй интеграл записывается в виде

8у

X ； j 尸(а) е (F (а) — а/i) da.

Когда 九 > ”2 или h V Н\,尸'(а) — h монотонна и не обращается в нуль на [X, У]. Поэтому 尸，(а)/(尸，(а)——ft) также монотонна на [X, У]. Таким образом, интегрирование по частям дает

W (а) е (尸(а) — ta) da《| 戸譯方 || 尸*T | •

£ I"喚0£ I"喚0Следовательно,

£ I

"喚0

£ I

"喚0

\ Ff (а) е (F (а) — fta) da 京

Й = //2Ц-1/I = 1

и аналогично получаем для суммы по Л ^ Н{ — 1. Интегрирование по частям оставшихся членов дает

ун2 y

£ e(F (х)) = \ е (尸(a)) da + £ \ e (尸(a) — aA) da +

+ О (log (2 + ")),

Если "i W ° W ”2, то доказательство леммы закончено. Если же О V * или ”2 V 0, то I 产(a) I》1 и поэтому

уу

г"=昌阁:+ Wj《l，

что входит в остаточный член.

Пусть

/ (a)= X e(aj?),(4.9)

s(% a)= х е(м%)>(4.10)

悟T

U(6)= 2 戸LJe((U),力軍)=\ e(₽Yft)dy, (4.11) x《％0

V (a, q,a) = qTS(q, a)u(a —a/q).(4.12)

Теорема 4.1. Предположим, что (a, q)= 1 〃 a = a/q + P- Тогда

f(a)— I/(a, q, a)《e"2+&(l 十孔明). (4.13)

Если, кроме того, \^\^(2kq)~ini/k-\ то

j(a)— К (a, q, a)《q®J(4.14)

Те же утверждения справедливы при замене у (Р) на vx (Р),

Доказательство использует лемму 4.1, Если вместо нее используются более слабые результаты, упоминавшиеся в замечании после этой леммы, то показатель степени ~ в теореме 4.1 заменяется соответствующим большим показателем.

Доказательство. Для X W 孔'/々 положим fx(a)= £ e(ad)..

Согласно (4.1) и (4.9),

fx (a) = X е 偉炉) £ e (amk/q)=

x《Xm = l

m x (mod q)

q

Отсюда

fx (a) — LS (% a)尸(q) = q~' g、F (6) S (% a,刀，(4.15)

где尸(匕)=2 e^^-bxlq).(4.16)

Если 0 = 0 и q ^ b, то F(b) <^\\b/q\\^1. Отсюда по лемме 4.1 и (4.15)

fx (勺一LS (q, a) [X]《L £ у b/q 尸严+e(力匕)《严+2e.

Теперь (4.13) легко получается при помощи интегрирования по частям (ср. с доказательством леммы 2,7). Эквивалентность у и Vj в (4.13) вытекает из замечания после этой леммы.

Остается доказать (4.14), Далее будем предполагать, что X =歩/% так что в (4.15) fx (a) = f (а). При 1 W 方 £ q выра-

жение В^у左」一b/q— монотонная функция у на [О, X] со значениями между ——(b + 3)/q и 方—4")/# Таким образом, может быть применена лемма 4,2 с /Л =—2, Н2 = 0, откуда о х

尸(匕)=X \ e^\k -by/q-yh) dy + 0(1).(4.17)

h =—2 О

При iW^Wq — 1 hOWyWX имеем | ^kyk^x — b〔q — h\> 》|| ^kyk~i — b/q II》4-И blq ||. Таким образом, интегрируя по частям, получаем

\ e(0Y* — "q—丫九)dy《Ub/qU」'，

и поэтому, согласно (4.17), / (方)《im/q||-L Следовательно, по лемме 4,1, правая часть (4.15) есть величина

《L 2 II Ь/g\\~i q^+R(q,6)《严+2纟

Рассмотрим теперь 尸(q). При OWyWX имеем | 倣丫左-，士 士 l|》g・ Отсюда интегрирование по частям дает

ии

и

и

Следовательно, в силу (4,11) и (4,17)

尸(g)=。1(0) +0(1).(4.18)

Это дает (4.14) с v\ (Р) вместо и (В).

Пусть

G (7) = 2扌初伍т.

Формула суммирования Эйлера — Маклорена (4.8) дает G(y)= у^ +a + 0(H/J).

Следовательно, по лемме 2.6 и (4,11) xk

v^) = G (X，e 偉x^) - 2市6 ) G (Y) e (Вy)办=

=(Х + &) е (0六)-2ш₽ \ 5伍 + &)е偉у)dy + О 啰1十| ₽ |/).

Интегрирование по частям и замена переменных показывают, что

Р(0)=5®+О(Х』+[6|Х).

Формула (4,14) следует из этого результата, если в нем заменить и (|3) на Ui(0), и это заканчивает доказательство теоремы.

Экспоненциальная сумма S(仏 а)

Лемма 4.3. Пусть р 4 a. Тогда

S(p, а)= 2 又(а)т(%)，(4.19)

где 國 обозначает множество неглавных характеров % по модулю р, для которых х* — главный характер, а т(/) обозначает сумму Гаусса

2 %(%)е(х/р).

Кроме того, ]т(*) | = р^2 и card 必=(内,р — 1) — 1.

Доказательство. Пусть g — первообразный корень по модулю р. Тогда 必一множество характеров *州 вида

规")= е(伍一占уЕ〃х) (р^х)

с I ^ h <Z (k, р — 1). Таким образом,

+ X %(%)

есть число решений в у сравнения yk = %(modp)・ Откуда

р

S(p, fl)= ХеWp) (1 + X %(%)),

что дает (4.19). Остальные утверждения леммы тривиальны.

Пусть 工 и у такие же, как в (2.24) и (2.25). Заметим, что

Y W 内 всегда, кроме случая 内=р = 2, когда 丫 = 3.(4.20)

S(p‘，a)=S(p‘，a)=Лемма 4.4. Предположим,乜т。р ^ а и I > у. Тоёда р'тпри Z&A

S(p‘，a)=

S(p‘，a)=

炉一6(山一纟 о) при I > k.

Доказательство. Напомним, что приведенный вычет по мо- 4улю р1 является вычетом k-й степени тогда и только тогда, когда он является вычетом k-и степени по модулю рК Таким o5pa3OMi

рт p，-yр j

S(p‘，а)=Е 2 e(a(zpY +疗)+ pT) + X e(apJ").

P 4 b

Внутренняя сумма в двойной сумме равна 0, а сумма справа равна р』一‘ при / W 片 н 卩左」5(少一幺 а) при / > k.

Лемма 4.5. Если (q, г) = (qr, о) = 1, то

S(qr, а) = S (q, ark~l)S(rt aqi).

Доказательство см. лемму 2.10.

Теорема 42 Пусть (q, о)= 1. Тогда S(q, а)《qi」/储

Доказательство. Если = 2, то

I s (% а) F = £ £] е (а (у?-炉)/勺)=

=2 2 e (a (z + 2x) z/q) = q £ e (a#/q)忘 2q.X = 1 N = i2=1

Следовательно, можно предполагать, что 内 > 2. Запишем I = uk -\- v с 1 W и W A u》0 и предположим, что р ^ а. Согласно лемме 4 4 и утверждению (4.20),

S(〃，a) = p(J〉〃S(吸 а).(4.21)

Рассмотрим сначала случай и > 1. Если р > 財 то у = 1, так что по лемме 4.4

S (吸 а) = pf

Если р W 力，то тривиально выполняется неравенство

|S(p。, a) I w hpf

Следовательно, по (4.21) f pUh (р > 期，

Рассмотрим теперь случай и = 1. По лемме 4.3 |S(p", a) I W 々Р‘/2 W kp~l/6pl~l/k.

Таким образом, в соответствии с (4.21)

2(0,叫忌[沏1/*眇).(4・23)

Согласно (4.22), (4.23) и лемме 4.5,

|S(q, a)|&qi/ П 比

откуда следует теорема.

Лемма 46 Предположим, что (q, а)= 1. Тогда

(4」2),(4」2),ь得 + з % а) «(「 min (九，II 6 L))竺

(4」2),

(4」2),

Доказательство. Лемма непосредственно следует из теоремы 4.2 и леммы 2.8.

Особый ряд

Для любого целого ft положим

S/,(q)= £ (S(q, а)д-】『е(—a/i/q).(4.24)

(q, а) = 1

Тогда в обозначениях (2.16) и (2.18)

с 1 W и W 比если 1= 1 (mod 内), если /声 1 (mod 内).с 1 W и W 比если 1= 1 (mod 内), если /声 1 (mod 内).S(g) = S“(g), ◎(〃) =自 S“(g).(4.25)

с 1 W и W 比

если 1= 1 (mod 内), если /声 1 (mod 内).

с 1 W и W 比

если 1= 1 (mod 内), если /声 1 (mod 内).

Лемма 4.7. Пусть s / 1 〃 / = u^ + v Тогда

Р Sh(P)《tp_s$,例，

Более того, если 九=/ — max (^, у) удовлетворяет условиям 九 > 0 〃 pY 九，то

S/!(p') = 0.

Доказательство. Пусть сначала р > k, так что у = 1. Положим / = u^ + V с 1&uW^・ Тогда по лемме 4.4

plsSh (d)=(那园一 D)s£| S (炉，a)s e( - ahp-lY (4.26)

Каждое a может быть записано единственным образом в виде a = xpv + у с 0 W 尤 V pi」。,1 W У W Р°, Р У- Сумма по х равна 0, если pl~v 不九，а в противном случае она равна pl~v. В последнем случае сумма по у при и > 1 по лемме 4.4 равна

и по модулю это не превышает ps^-1) (ри, hpv~l). Таким образом,

|Sa(p')|&p-“s-s(p，，ft) (/^i(mOdA!)).

С другой стороны, когда и= 1, сумма по у, согласно лемме 4.3, есть

X … X т W)…т Ws) t 七…％ (у) е ( — yhp-i)・

3cl三淡%S三庚/Й

Когда %i ••• %$ — неглавный характер, предыдущая сумма по у равна

小%s (九p一')T (九…筋)；

а когда xi … ％$ ——главный характер, она равна—1 при pl h н р 1, если pl\h. Отсюда по лемме 4.3

Sh (少)e pii/2 (p"2 (少」,九)+ (0,九)), что и требовалось доказать.

Предположим теперь, что р £ к. Когда / W max (у,内), утверждение получается тривиально. Следовательно, можно считать, что / > max (у,内).Запишем I = uk v с max (у,内)一 —内 V и W max(y,内).Тогда по лемме 4.4 равенство (4.26) имеет место. Более того, как и раньше, 5用(卩』)=0, если р'"” 才九；в противном случае

pisSh(pi) = p^fpj £ S(p。，y)se ( — yhp~l) < Р^*-» (pz,九),

рху

так как р & Таким образом,

S<pD《p-5m/i),

что является более сильным результатом, чем требовалось.

Теорема 4.3. Пусть s 》4. Тогда ряд

G (九)=纟 5Я (g)

абсолютно сходится и ©(и) ^ 0. Кроме того, когда s》 ^max(5, 々 + 2), имеем S(n) < 1, а при max(4, k)^ s < V max (5,内，2) имеем © (и)《ne.

Доказательство. Согласно лемме 2.11 и соотношениям (4,25), Sm(q)—мультипликативная функция q, По лемме 4.7 玄 I Sn (pZ) I《mp —(s-D/2《叩-3/2.

Отсюда

為1工(4)10嘉0+&l2)У强

где Ci и С2 зависят только от fe и s. Это доказывает абсолютную сходимость ряда ©(и). Неотрицательность ©(и) следует из леммы 2.12.

Пусть рб означает наивысшую степень р, делящую и, и пусть 2 = ^〃 + и с IWuW" Тогда, по лемме 4.7,

Sn (d) < 叫

Sn(P‘)=。，

если

если

/^0 + max (比 у),)

(4・27)

/ > 0 + max (比

Y)J

где

если

Z<0 и

и = 1,

(o + us — min(/, 0)=

—т(s

—1), если

Z > 0 и

и = 1,

Таким образом, ряд

一S，

если

и声1.

(4.28)

2产（八

есть О(р"/2), если 0 = 0 или 0 ^ 1 и s》тах(В,内 + 2), и 0(0), когда 0 ^ 1 и s》max(4,内).Следовательно, в первом случае S(n) С 1, а в последнем —匂(п)《d(n)J где С зависит только от s и ^. Отсюда следует результат.

Лемма 4.8. Если s 》max(4, k + 1), то

Z 严 1szi (q)|《(九Q)e.

Доказательство. Согласно (4.27) и (4.28), (pz) l/kSn (p‘) есть 0(0), 0(D или 0 в зависимости от того, что Z ^ 0, 6 V Z W 6 + max侬 у) или Z > 0 + max(崑 у). Отсюда

Z ^|Sn(q)|<II (1 + ®(р'Г4 szi (d)|)&

《火九尸11 (1 + c/p).

где С зависит только от s и ^.

Вклад больших дуг

(4.29)(4.30)(4.31)(4.29)(4.30)(4.31)Пусть п — большое натуральное число,^ = [n1/k],P = N/(2k),叨(夕,а) = {а: \ a — a./q\ ^ Pq-^n-'},

(4.29)

(4.30)

(4.31)

(4.29)

(4.30)

(4.31)

^ — объединение ОТ(7, ci) с 1 0 оV q 0 Р н (а, 7) = 1. Тогда 咙(％ а) попарно не пересекаются и лежат в промежутке

勿;=(尸丁 * 1+尸九一1].(4.32)

Пусть

Ran ("О = ^ f (а* ( — am) da.(4.33)

Лемма 4.9. Предположим, что f^：max(4, R) 〃 что 九=0 при / 力左 + 1 и л = 1Д, когда t = k. Пусть

S；(g)= £ |S(%a)L『.(4.34)

a = l(a, q)=l

ТогдаS 尸S； (g) < Q.

Доказательство. Действуя так же, как для Sn(q), в обозначениях леммы 4.7, можно показать, что S；(q) мультипликативна и р""§(р“)есть 。(卩-力/2)при / = l(modR) и О (р~9 при / 声 1 (mod R). Таким образом,

Отсюда в обозначениях (4.12), (4.31) is (4.34)

2\ (f (a) — v (а，q, a)s)e( — am)da《

а = ' зт; (q, a)

《P"T (屮+ey + 小+es；_](g) J I у (P) p-1 dp.

Следовательно, согласно (4.33) и лемме 2.8,

^н=£ £\ U (ct, 7，a『e ( — am) det + E,

q*P 3 1 9Jl(q, a)

(a, U) = 1

(4.35)

где, принимая во внимание возможность s = R + l,

Е < Р2П-' (Р% + е『+ 产/4+e £ g- 1笛；一〔⑷及($7%-宀.

В силу леммы 4.9, (4.29) и (4.30)

Е《犷№—1—6(4.36)

для подходящего положительного числа б.

Пусть 况(％ a) = {а: Р/(祠 V I a — a/q | 甚？}• Тогда

из равенств (4.12), (4.24) и леммы 2.8

£\ V (а, 7, а)5 е ( — am) da < | 5т (7) | j В^/及呻《

"1^c(q,a)P/(mq)

Q q) = 1

《⑺q/P)Z\Sm (q)|.

Следовательно, по лемме 4.8

Отсюда, согласно (4.29) и (4.30),

Z |Sm®1《…， так что по (4.25)

⑨(团,Р) = ®(m) + O(L).(4.38)

Наконец, из (4.11), (2.20) и теоремы 2.3 для 1 Wm W 九

/(团)=/(团)=Г(1 +})吓(套广加"a+ 0(m一")・ Теорема следует теперь из теоремы 4.3, (4.37) и (4.38).

Согласование условий

Пусть 此(〃)и М\(7)такие же, как в § 2.6.

Теорема 4.5. Предположим, что s》max (4,々 + 1) 以 M；(P‘)> ° °九兄 ^сьждого простого числа р. Тогда е(гг)》1.

Доказательство. Согласно леммам 2.12 и 2,13,

причем абсолютная сходимость ряда обеспечивается абсолютной сходимостью ®(п) (ср. с теоремой 4.3).

Теперь достаточно показать, что при р> k

£ s〃 (р‘) > - Cp-吗(4.39)

Заметим, что у = 1. Рассуждения из леммы 4.7 показывают, что если / = / + и с 2 W и W R，то

严+DS—$〃(//) = 1-А, 0

соответственно, если pl |n, р1~1 Цп, р'т 才& (4.40) и что если / = 1 (modR), то Sn(pl) = 0 для р1~1 才叫 в противном случае p-[ilk]{k-s)Sn(р，)=

=р7 X • • • £ т <Zi) • • • т(Х5) X Xi • • • хЛ«) е ( — апр~1).

(4・41j

Выберем 0 так, чтобы pQ\\n. Тогда, по (4.40)，

zS.(泊2一也

”1 (mod К)

где 厶= [6/R](R — s) + 1 — s. Легко видеть, что 厶 W—2.

Согласно лемме 4.3, члены в (4.41) с xi …Х$=#Хо оцениваются как 《p($+D/2, а если р 彳 пр'-* то члены с xi ・•• Х§ = =%о дают《р$/2. Следовательно,

Z $〃(*= Z S〃(泊+ О(р-з/2).

1= I (mod三 1 ,(mod 同

Если s》5, то по лемме 4.3 и (4.41)

S〃(p/)《 pUA](^)-3/2> так что

，S"(p‘)< p-叫

I = l(mod к)PZ I n

Таким образом, остается рассмотреть Snip1), когда pl\n и s = 4.

Согласно (4.41),

р7〃哪7)s“(泊=S叩一(р) = Sp (р).

Следовательно, достаточно показать, что Sp(p) ^ 0.

В силу- (4.24)

Sp(p)= £(s(p, а)рТ)£

Мы завершим доказательство, если покажем, что при R = 2 или 3 и р > R S(p, а) является действительным или чисто мнимым числом. Заметим, что при s = 4 имеем R = 2 или 3.

При R = 2 лемма 4.3 дает

S(p,a) = %(a)t(%),

где % — символ Лежандра. Таким образом,

S(p,a) = S(p, —。) = %(—а)т(%) = %(—l)S(p,a), так что S(p, а) — действительное или чисто мнимое число в зависимости от того, %(—1) = 1 или %(—1) = —L

При R = 3 имеем (—х)А =—炉.Отсюда

S (р> а) = S (р> а) = S (р, а), так что S(p, а) — действительное.

Теорема 4.6. Предположим, что s 2 5 при R = 2, s》4R, если R является степенью 2cR>2, 〃s> 等 R в остальных случаях. Тогда ©(n) > 1.

Доказательство. Эта теорема сразу следует из леммы 2.15 н теоремы 4.5,

Упражнения

Покажите, что (4.13) имеет место с заменой левой части на qi/2+e(l + 九| В]) "2. Выведите частный случай 屮(尤)= =ах3 леммы 2 4 (неравенство Вейля).

Рассмотрите утверждения:

s 4 и ©(/?)》1,

Mn(q) ^> 0 для любого 九 и для каждого большого q,

M；(q) > 0 для любого п и для каждого большого q. Покажите, что если (i) имеет место для любого п, то (ii) справедливо, и что если R=#2 или 4, тогда из (ii) следует (ш).

Предположим, что so(R) дается следующей таблицей:

R3456789101112131-41516

s°(R)41659432 13121116641564

Покажите, что для s 力 s()(R) (2(几)》1 для любого n(

Методы Виноградова

Теорема Виноградова о среднем

Когда R мало, т. е. меньше 11 или 12 или около того, наилучшими известными являются леммы 2.4 и 2.5, дающие основной вклад в оценки малых дуг в гл. 2. Однако для больших R можно получить весьма значительные улучшения при помощи теоремы И, М. Виноградова о среднем. Эта теорема важна также в теории дзета-функции Римана.

Для ее описания надо ввести некоторые обозначения, Пусть °Uk означает A-мерный единичный гиперкуб (0, 1]

f(a)=£е(а】％ ++ • • • +爆炉)・(5.1)

У<Х《У+Х

Для любого A-мерного вектора h =(九卜...,九左)с целыми компонентами 九/ пусть /产(工 У, h) обозначает число решений системы R уравнений

£ ⑷一必) = %(l&j《R) с Y <ХГ, yr^Y-VX. (5.2)

Тогда

厅)(Х, У, h)=, |f(a)FSe(a.h)da,(5.3)

где a h — скалярное произведение aiAi + ,・・+о^九左. Очевидно следующее неравенство

/0(х, У, h)忘管(X,匕 0).(5.4)

Полагая xr = М -{- иг, Уг ~ М -\- vr и применяя биномиальную теорему, легко видеть, что

厅)(М М, 0) = /,)(М 0, 0).(5.5)

Для краткости пишем

厶(Х) = /『)(Х)=/『)(Х, 0, 0).(5.6)

Согласно (5.2), /$(Х) есть число решений системы

苫(*一理)=°(1 W/W R)с 0<хг> уг^х. (5.7)

Нетривиальная оценка для /$(Х) известна как 《теорема Виноградова о среднем» ⑴

Все известные методы оценки 厶(X), когда R велико, основаны на редукции 厶(X) к /$_〃Х/р), где р — подходящее простое число【2]. Метод, принятый здесь, является вариантом Бомбьери метода А. А. Карацубы.

Лемма 5.1. (Линник, 1943 с). Предположим, что р — простое число, р > R. Пусть A (p,h) означает число решений системы R сравнений

^nlr=hj (mod р/) (1 А)

с nr pk и nrt несравнимыми по модулю р. Тогда 坦】

А{р} h)^ R!p*(f/2.

Доказательство. Пусть 8(g)—число решений системы

X n'r = gt (mod pk) (1 ^/<А)(5.8)

с 期 W 加 и несравнимыми по модулю р. Тогда A (p,h) есть сумма всех 8(g) с gi = Л； (mod р‘)и I ^ gi ^ pk (1 W j0 R). Общее число возможных вариантов g равно 卩釈々一1)/2. Таким образом, достаточно показать, что

B(g)<Al,

а это будет следовать из того, что каждое решение системы (5.8) является перестановкой какого-либо данного решения.

Для заданного g пусть 九厶...,п* — решение сравнения (5.8),九г W р* и пг несравнимы по модулю р. Предположим, что mi,...,团左—другое такое решение, и пусть

Р(х) = Т1(х-пг).(5.9)

Тогда из формулы Ньютона, связывающей суммы степеней корней многочлена с его коэффициентами, и условия р > R следует, что

Р (х) s И (% — (mod р')・

Таким образом,

Р (mf) s 0 (mod рА) (l《r《R).(5.10)

Таким образом, для каждого г найдется s, такое, что ns = =mr(modp). Кроме того, поскольку ns несравнимы по модулю р* & единственно, Следовательно, ввиду равенств (5.9)

и (5.10) п5 = mr(modpk), откуда 九§ =团入 Таким образом, тГ являются перестановкой пг, что и требовалось.

Пусть р — простое число, пусть Ri(h)——число решений системы уравнений

£% = % (У《&),

где 0<А7《Х и по крайней мере R из хг несравнимы по модулю р, и пусть 2(h) — соответствующее число с не более чем R — 1 из хг несравнимыми по модулю р. Тогда

/s (X) = z (R (h) + R2 (h))2 & 2 Z (R (h)2 + 旦(吁). hh

Отсюда

厶(X)&2 厶(p) + 2/2(p),(5.11)

где 厶(卩)——число решений системы (5.7) с по крайней мере R из хг несравнимыми по модулю р н но крайней мере R из уг несравнимыми по модулю р, а /?(р)—число решений (5.7), в которых ни среди хг, ни среди уг нет более чем R— 1 несравнимых по модулю р величин.

Решения системы (5.7), подсчитываемые 厶(р), характеризуются тем, что в них %卜％左 несравнимы по модулю р и уь •••, р用 несравнимы по модулю р. Поэтому, обозначая 厶 число таких решений, немедленно получаем, что

厶(Р)&(；)/з・(5.12)

Пусть

f (а,勿= Z е &% + а2х2 + ... + %%，， 0<х《Х

х = у (mod р)

и пусть 加 означает множество й-мерных векторов а =(。卜...

,.., 砌，где 0 < аг ^.р и аг несравнимы mod р. Тогда

Z f (% %) Z f (а, %)…f (а,陶 da.

综 *《"a日必

По неравенству Гельдера

|Z /(а, х)Г2Ч Р…Г lf(a,叫％宀.

Следовательно, 厶 & p2s-2比 max /4 (x),.(5.13)

где 厶(％) — число решений системы уравнений

g m -峭=g((叫+%y -(叫+%y)( 1 & j & &)

с 0 < mr,小 W X, —х/р < 勿，2> W (X — %)/р с mb 加① несравнимыми по модулю р, и с 花卜...,几总,несравнимыми по модулю р. Простое применение биномиальной теоремы показывает, что /4(х) является числом решений системы уравнений

Z((m, — %y— (% — %y)= Z р/(勿一型)(1《/&R)

с переменными, удовлетворяющими тем же условиям, что и прежде.

Предположим теперь, что

pk X, р> k.(5.14)

Тогда, согласно лемме 5.1 и формулам (5.4), (5.5) и (5.6), /4(%)《Х"! p^T)/2max〃3(X/〃 一 ％/〃 h) &

&X%!№i”》(i+Xp7).

Это вместе с (5.11), (5.12) и (5.13) дает

4(х)&2,2(р) + 2(；)R!卢+^-5)ах%т (1 + ХрГ). (5.15)

Лемма 5.2. (Бомбьери). Пусть 九 > 0, 〃 пусть, ^ь ...,⑨$ означают s подмножеств конечного множества 留,

card^ 戸 Z card (1 W 厂 W s).

Тогда для любого t ^^s существуют n,...,尸门 такие, что Г1 < Г2 < • . - < Г/ Ui

card (例q П ^Г2 П • • ■ n 纫，》(九—4) Q) card 例.

Доказательство. Пусть 旨 обозначает множество элементов Ь из ⑨，которые принадлежат по крайней мере t из 标 Тогда

s入 card 阁 W Z card 吼 & t card 阁 + s card 皆，

откудаcard份》(厶—^ card%.

Более того,

card旨忘 Z card (齡Г)筋川…[*)%■)

rj<r2< ..< < r^

а количество членов в кратной сумме равно (；). Если выбрать гь ..., г/, чтобы они соответствовали максимальному члену, то получим утвер?кдение леммы.

Теорема 5.1 (теорема Виноградова о среднем). Для любой пары, натуральных чисел R, / существует положительное число С(А, /), такое, что для каждого 文〉О

壊)(X) & С (R, /) X2lk-k^^,

где т] =； R2 (1 — 1/R)'.

Следует отметить, что для применений в мультипликативной теории чисел существенно и поведение C(R, /), когда 尼 и / растут [4L Здесь, однако, это менее важно. Заметим, что при R — 1 теорема тривиальна.

Доказательство. Индукция по /. Рассуждениями, подобными тем, что использовались при оценке 8(g) в доказательстве леммы 5.1, можно показать, что когда s = k, все решения (5.7) получаются с у「, являющимися перестановками хг [5]. Таким образом,

九(X)&RM,

что сразу дает случай / = 1.

Предположим теперь, что /〉1 н теорема справедлива при замене / на /—1. Когда X W R勺 искомое утверждение тривиально. Таким образом, можно считать, что X > kk. Пусть р — простое число, X"兑 & р & 25兑乂】/兑,так что условия (5.14) имеют место. Тогда в силу (5.15) и предположения индукции

厶2 (X) С 2/2 (р) + & (R, /)产片跳尼-5)/2 (Х/р产”^+5)/2+"Х匕 где ^ = ^- ^ (1 — 1/R)"L Показатель степени р здесь равен 炉一rf, так что

4/ (X) & 2/2(р) + С2 (R, /) х^-^+^.

Теперь доказательство разбивается на два случая. Первый случай имеет место, когда существует по крайней мере одно простое число р в интервале X"兑 W р W 25兑%“兑,для которого

/2(Р)&%%(Х)・

Тогда теорема следует сразу.

Второй случай — противоположность первому, — когда не существует таких простых. Тогда, согласно постулату Бертрана, имеется по крайней мере S& простых р】，.*.,卩5尼，таких, что

l2 {p^>^hi W(5.16)

и#/УХ25 叮也(5.17)

Пусть 毋 означает множество решений системы (5.7) с s = kl. Тогда

card ^ = Jki(X).

Пусть 例(р) — подмножество ⑨,содержащее решения, в которых ни среди л>, ни среди уг нет более чем 归一1 несравнимых по модулю р величин. Тогда

card ⑨(〃)=/2(〃).

Таким образом, ввиду (5.16) и леммы 5.2 с 九=扌，s = 5R, t = k, имеется R различных простых 夕卜...,«々,таких, что

А/ (X) W 20 (6；) card (⑨(％) n 0 Q) П . •. П 例(％)). (5.18)

Рассмотрим теперь типичный элемент, принадлежащий 陽(％)口 П⑨(«2)П • • • П@(«г) • Поскольку 尤г W X н «1 ….击 ^ X, каждое хг единственным образом определяется своим классом вычетов по модулю «1, модулю «2, …，модулю qk. Более того, %ь ..., л:*/ лежат, самое большее, в R——1 классах вычетов по модулю qt. Таким образом, количество наборов для &/-мер・ ного вектора (хь ...,尤加 по модулю qt не превышает 4,-1 (R — 1)丸'・ Поэтому число наборов по модулю д】...g丸 не больше («I 外尸t(R —1 尸〃.Аналогично для (，卜 …у丸儿 Следовательно,

card侈m)n0(外) П…П习仇))《®… %)2i (a 一 IF吗

Отсюда вследствие (5.18)

С другой стороны, тривиальных решений системы (5.7) с s =忘 при / > 1 в 厶£(角 будет по крайней мере [X产 [X]2k. Таким образом, X ^ С4(й, /), что дает утверждение теоремы во втором случае.

Переход от среднего

Пусть

"(盼=加丸)(%) = (%,%2, 一炉：)，(5.19)

и для a w R丸 положим

f (а) = £ е (у (х) • а),(5.20)

Х = 1

Где, как обычно, Для двух элементов а, 0 из R丸,а-p означает Скалярное произведение a】0i 十...+仪丸§女.Предположим, что М — непустое множество целых 5нсел,

4u[1,jV]$ М = card (^)*(5.21)

Тогда для mR 風

N+m

f(a)= £ e (v (x — m) • a)= x=i+m

N+m、

•a + %0) У e(—y^,)]d^.

f (а) ^Мf (а) ^МСледовательно, суммированием по элементам 風 получаем

f (а) ^М

f (а) ^М

\g(m,呻，

2N

гдеg (m, p) = S e (v (x — m) • a + xp). (5.22)

X = 1

Таким образом,

/(a)《(log 2M sup Z |g (/«, 0)1,(5.23)

и оценка для f может быть выведена из подходящей теоремы о среднем.

Следующая лемма осуществляет связь между дискретными и соответствующими непрерывными средними величинами. Заметим, что

Z |a(n)|2= \ |S(P) 12dp. n三分口

Для получения таких связей изобретено много методов, но все они основаны на сходных идеях. Приведенный здесь метод основан на неравенстве большого решета и является его обобщением на Л-мерный случай, полезный в алгебраической теории чисел (см. [Huxley, 1968] и [Wilson, 1969]).

Лемма 5.3. Предположим, что 6/ > О (J = 1, ...,/) и что I1 — непустое множество точек у в R, таких, что открытые множества

先е)={в： 丫油 vs, owMvi}

попарно не пересекаются.. Пусть N、, ..., М обозначают / на- туральных чисел, а Л9 — множество целочисленных 1-мерных векторов п = (/гь ..., /г。，I W 切 W Nj・ Тогда для суммы

S(0)= Z a(n)e(n-₽),

где а (п) — комплексные числа, справедливо неравенство 迦⑺工打⑻通W + 于).

Доказательство, Без ограничения общности можно предполагать, что 0 <； 6/ <； 1. Достаточно оценить двойственную форму—

£|т(п)|2,

гдеТ (n) = Е b (у) е (п • у).

v^r

Поскольку 1—|们/(2%)>等 для |/i|《M то

2,gj Т (п) У ? IT'(h) |2П(1 -\ht 修N/)),

что после возведения в квадрат и изменения порядка суммирования принимает вид

2 2 My) 5(V)П (击12 е S(Y； — Y/))

Внутренняя сумма здесь есть

< min (2, |М — Y/尸)《N〃(l + %/ Y； — y/)).

Следовательно,

gj T (n) F《結 b (Y) l2vJrn W (1 + %• II Y；-匕旷 2). (5.24)

Пусть 0 < 6 < 1,

F(^t6) = N или N(1 +MIBQT

при ПРИ < 6 и II0II ^ь 6 соответственно и

/(%6)= {р: ||а-р|| <6( OW0О

Тогда достаточно доказать, что

F (а, 6)《6一1，尸偉，6)〃0,(5.25)

/ (а, б)

так как тогда из (5.24) следует, что

2 |T(n)|2《Е 2(y)f£ (d …м)тх

nw#ywFv^r

ХП( \ Рф，^d^\.

L1(丫е6/ 丿

С помощью замены переменных произведение интегралов записывается в виде

，nf(P/-Y/. 6/)d0,

так что, согласно предположению относительно 先(V), сумма по у не больше чем

(储6,尸口()f偉一抄6/)呻).

Здесь /-й интеграл есть

буОО

《\ N 呻 + \ N (1 + Лф)т 呻=NS】+ (1 + N6尸.

О6/

Остается, следовательно, установить соотношение (5.25). Если ||а|| ^ 6 и ||а —卩|| V 6, то

1 +^ПРП W 1 +%(向| +6)0 2(1 + Ng||),

так что 尸偉，6)》N(1+MIB 旷2》；F(a,б), что дает

в случае ||а|| > б. В противоположном случае ||а||<6 можно предполагать, что |a|V6, и, более того, если необходимо, делая замену переменной, что a》0. Если 0 W 0 V 0, то —6 Va — 0 V 6, так что каждое такое 0 лежит в /(af 6) и 尸(В, 6) = 7V =户(a, 6). Отсюда

У】\尸偉，6)呻》N = F(a, 6),

Ла, б)

что снова дает (5.25).

Технический прием, применяемый здесь для оценки /(a), заключается в сравнении

Z ig (也份产

c /s(27V) посредством леммы 5.3 и подходящего выбора 儿

Пусть Y(m) = (pi(m),丫々7(加))，где

Y/(团)=*%(：)(一疗 Т (1《了《左一1).(5,26)

Тогда, согласно (5.19),

m例(x - m) • a =巾7)(%). У(m)+ %%8 + Z a/ (一力‘.

к (5.27)

Таким образом, для того чтобы применить лемму к сумме g, заданной (5.22), необходимо выяснить распределение уД/п) по модулю 1.

Предположим, что 1 W %, у《М 尤片 У, и определим "舟(T)一尸口工(yw…), (5.28) a九/ = 0(10九 < j < k).

Заметим, что a九『一целое число и 〃订=&!. Определим далее

Рл = a计 1 (力 + 1) (у — %)(5.29)

и г； = ^!(?/ (х) —у/(у)). Тогда ввиду (5.28)

Т/ = R!(Y/ (盼一V/ ®)) = Z 龜a什(5-30)

Наша следующая цель — обратить это линейное преобразование. Положим

"(*3,二；

и В = А — АН, где I — единичная матрица порядка (R—1)Х X(R — 1). Матрица А является нижней треугольной, а В = =(匕幻)，где 匕打=0 при 1《力 W j V R и bhj = ah^ когда \ ^ j <h<k. Таким образом, (5.30) можно записать в виде т = рА.(5.31)

/-я степень В имеет вид

B，=(喲，

где6彳,=Z・・・.Z 6九/也也6/д/.

Следовательно, 6}? — целое число и 6々} = 0, если h < j -^t. Более того, согласно (5.28), а^《№Т при h > j. Отсюда при力扌j * f

/ V /；-! V … V /2 V 力 V /i'

так чтоbg《№Т.(5.32)

Очевидно, что В*-1 — нулевая матрица. Таким образом, полагая J = АП и

D = #-2 _ #-зв +・.・+(- 1 产тв^т.

получаем

AD = (В + J) D = #т +( - 1)етв^т =(总)尼-工

Поэтому ввиду (5.31)

tD = (加)f, так что 、k-2尼一1

(R!) J, = (R!)—t/ + g ( — 1 尸(&!)—,§+ jM

Таким образом, согласно (5.32),

IK^-lP/IK 211%1№叫h = /

Следовательно, в соответствии с (5.29) и (5.30)

II (川)％/ (% — У) II《/ J 匕(盼-% ®) II №Т+1 (2 忘/忘 R).

(5.33)

Предположим, что для некоторого /, 2 W / W R, существуют а, д, такие, что (a, q) — \t q М и |а/ — a/q\^ 尸. Пусть

L = min(g, 7V)・(5.34)

Тогда для каждого х е [1, Л] число у ^[\, L]y для которых

II <

ограничивается числом у ^.[\, L}, для которых

II (RI) Q (х - у) /д|| W МТ + W)hLq-2,

что не превышает R, где

R =(侬)電дт + 1)(2g”7 + 2 (R!)吃夕一】+ 1).(5.35)

Поэтому существует множество % целых чисел х е [1, Л], такое, что М — card Л удовлетворяет неравенству М 扌 》L/(R + 1) и для любой пары х, у,尤已及，//三原，尤* У,

Согласно (5.33), для каждой такой пары %, у существует А, для которого / — 1 W/lWR — 1 и

麻(%) - ¥厶 G/) Н》Nf

Теперь можно применить лемму 5.3 с А — 1 вместо к, с N；= в sM； с 6；》％т； с Г = {у(т): m 曰 Ж\ и с

a(n)= Z e((%f + …+喲％+ (占 + …+%)§),

где сумма распространяется на решения хь ..., xs системы уравнений

х^ + ^ ^ + х^ = nh (1 ^h^k — 1)

с 1 & Л7 & 2M Следователмо, в силу (5.22), (5.27) и (5.6)

Отсюда, согласно (5.23) и неравенству Гельдера,

f (a产《(R/D (log 2M2%(1)(2%)№仅7)/2.

Отсюда и из (5.34) и (5.35) вытекает следующая теорема.

Теорема 5.2. Предположим^ что существуют числа /, а, % такие, что 2 0 j《R, |а/ — a/q\^ ^2, (а,д)=1, q W №、 Тогда

f (а)《(/厂D QN) N臥 fR(qN— + N~{ + gp严slog 2M

Комбинируя эту теорему с теоремой 5.1 получаем следующую теорему.

Теорема 5.3. В предположениях теоремы 5.2

f (a)《N (m (g/Г/ + NT + g-»/^-1)，)log 2M

гдеn =告伊一1)2伐三^)'.

В частности, если N《q《"2, то

f (а)《M-ulog 2M где

o = ,ax 2%，i), (1 一4■优— 1)2 (4^))・(5・36)

Кроме того, 4oR? log R 〜1 при R -> oo.

Все утверждения, кроме последней части, следуют сразу. Чтобы доказать последнюю часть, заметим, что при R ^ 3 максимум достигается при величине /, удовлетворяющей неравенству |/ —Z(log:二；)11 < 1, где X больший корень трансцендентного уравнения

0=J(R —1)2(А+1)・

Теперь легко видеть, что А 〜21ogR и

у 费 г^т(1+о(49)・

Несложные вычисления показывают, что при А ^ 12 теорема 5.3 дает более сильные результаты, чем лемма 2.4.

Малые дуги в проблеме Варинга

Пусть /(а) задана формулой (1.6). Тогда

1\|〃а)产厶О

есть число решений уравнения

*+…+ %?=火+…+成

c 1 W х/, у； & М Отсюда

1

j f (a) |2s da《川回 М2 厶(M.(5.37)

О

Пусть М Р, 9Л,勿 такие, как в § 44, и пусть ш = ^ХЭЛ. Пусть awm. Выберем a, q такими, что (a, g)=l, q & п]Р и |а — a/q\^ Pq^n~{ (лемма 2.1). Тогда 1.&а&/ и поскольку а лежит вне больших дуг 9Л(а, q), то q > Р. Отсюда ввиду леммы 2.4 и теоремы 5.3

f (а)《М*+е,

где по = max (о, 21-*), а о задается (5.36), Таким образом, в силу теоремы 5.1 и (5.37) с заменой s на kl существует положительное число 6, такое, что каково бы ни было

s —〔/а" + 2&厶

имеем

\|f(a) fs da N2s~k~\

Объединяя это с (4.33) и теоремами 4.4 и 4.6, получаем следующую теорему.

Теорема 5・4・ Пусть о0 = max (of 21-*), и пусть s0 — наи~ меньшее целое число, такое, что

So > min (^^ (1 -^) + 2砌.(5.38)

Тогда асимптотическая формула (2.27) справедлива для любого s》so- Кроме того, s0 〜4R2 10g R при R f оо.

Несложные вычисления показывают, что so < 2fe + 1, при R > 11.

Верхняя граница G(k)

Изучение проблемы Баринга пока было сосредоточено на асимптотической формуле для числа решений уравнения

冲 + …+ %： = 〃•

Однако Харди и Литтлвуд (1925) заметили, что величину s можно уменьшить, ограничив область изменения нескольких из переменных ,. Этот метод был позднее значительно разработан И. М. Виноградовым и Дэвенпортом.

Виноградов показал, что G (R) & R(logR) (С + о(1)) при R —оо, и в течение приблизительно 30 лет было получено снижение допустимого значения С до 2. Достаточно простыми рассуждениями можно показать, что С.можно взять равным 3. Дальнейшее уменьшение от 3 до 2 см. в гл. 7.

Пусть Z велико, положим

Zi =4 Z, Z/+I = 4"Z尸/匕

и пусть Qz(zn)——число решений уравнения xf + ... + x^ = zn

с Z/ < х/ 2Z/. Тогда сумма ^Qz (zn)2 равна числу решений уравнения

冲 + .. • + %?=外 + …+ 璃 с Z/ < %/,勿 W 2Zj. (5.39) Поскольку

\x^ — yi\>\xl—yl\kZ^-1

И

I疹 + …+ 疹_^_ …一劣 I V2^^+O(Z»VRZL，

то (5.39) может иметь решение только при %i = у\. Повторяя это рассуждение, получаем, что х? = у& Хз = уз и т. д. Таким образом,

£ Qz (疗《Z1 …Z,《(£ Qz (力у (Zi … m\ m/

Более того, Z】・•• Zt》Z^-*(i 信)'и Qz (m) = 0, когда m>^kZk+O(Zk~[\

Таким образом,'

£ Qz 3)2 ^(^Qz (m)Vz-k+k([-[lk}t(5.40)

m\ m/

ИИQ?(zn) = 0 при m > V・Q?(zn) = 0 при m > V・(5・4l)(5・4l)

И

И

Q?(zn) = 0 при m > V・

Q?(zn) = 0 при m > V・

(5・4l)

(5・4l)

Приведенные выше рассуждения, кроме того, показывают, что Qz(m) равно 0 или 1, и дают множество Я натуральных чисел т, не превосходящих Z^, для которого т есть сумма t 々-х степеней и

card Я》Z^t ат同：

Таким образом, для сравнительно малого 乙 например C^log 比 мощность М можно сделать сравнительно близкой к Zk. Это построение, представляющее собой незначительную модификацию построения Харди и Литтлвуда, используется на малых дугах двумя различными способами. Во-первых, аналогично лемме Хуа (лемма 2.5) для того, чтобы сэкономить почти №, а во-вторых (и это является вкладом Виноградова) ,чтобы сохранить небольшой запас для получения неравенства, подобного неравенству Вейля (лемма 2.4), но более эффективного.

Пусть

^ (а)= S Qn (m)е (ат),(5.42)

т

Тогда, согласно тождеству Парсеваля и (5.40),

j"(a)『da《 "(О/旷為+為"向.(5.43)

о

Следующий результат в значительной степени принадлежит И. М. Виноградову (1947).

Лемма 5.4. Пусть

V (а) =V (а) =x/£xNy”(a 為)，x/£xNy”(a 為)，

V (а) =

V (а) =

x/£xNy”(a 為)，

x/£xNy”(a 為)，

где by — произвольные комплексные числа. Предположим, что а=а/е + 0, |卩|总^＞依~', q & 2Х 勺(а，е)=1, что Y .》Xk и что если q 0 X，то || В II》 q~lXl^fiY~i. Тогда

К(а)《(ХУ\£у|%|2尸

Заметим, что описанные ниже рассуждения легко могут быть видоизменены, так что интервал суммирования [0, /] для у заменяется произвольным интервалом длины У.

Доказательство. По неравенству Коши

(5.44)(5.44)^)9話"?附(才舛

(5.44)

(5.44)

При (力，g)== 1 число / решений сравнения xk h (mod 4)

оценивается в виде /《qe. Следовательно, существует Л « q&, такое, что простые числа р, удовлетворяющие условию X/2vp《X, можно распределить в L классов 俨卜

俨厶 так, что для двух различных простых 卩卜 р? в данном классе 俨」• выполнено pf = p^(modq) тогда и только тогда, когда pi = 02 (mod q).

Рассмотрим два таких простых числа pi и р?・ По предположению

|)« (研-p釧判Ia (讨一噌"II -九-玄一我后>1^

при условии, что pi 看 р2(modq). Когда q > X, элементы 乡/ несравнимы по модулю q. Поэтому для pw 乡/ apk отличаются по модулю 1 друг от друга по крайней мере на 4 Следовательно, в силу одномерного случая леммы 5.3 (неравенство большого решета)

X I X 方/(а&)『《У S 也 F， (5.45) X/2<p^X}y^Y ”I “《У

и лемма легко следует из (5.44).

При q & Х рассуждения могут быть изменены следующим образом. Предположим, что pi = p2(mod q), но pi =# Р2・ Тогда по предположению

||a(pf-p鐫=|伸(献一叫| = l P l|pf-p 引》》尸厂1山一丛1，

Теперь |pi — р2| ^ q, так что в комбинации с предыдущим это показывает, что ар^ по модулю 1 находятся на расстоянии 》УТ Следовательно, по лемме 5.3 сразу получается (5.45) и лемма 5.4.

Пусть X = NR Y — Xk и

取(а) = £ X Qx 3) е (а典).

Примем обозначения § 5.3 и предположим, что awm. Возьмем a, q такими, что (а, ^)=1, q & 2Х匕 | a — a/q |《^ q^X XX* Тогда 1 & a W д, и, поскольку а не лежит на большой дуге, когда q W М сразу имеем | a — a]q |》q^世一卜> >qTx"'y~L Таким образом, по лемме 5.4, (5.40) и (5.41),

步(а)《Й7 (0) 肉

Следовательно, ввиду (5.43) и (1.6)

\ / (а)伍 Н (а)2 U7 (а) е (- ап) da《"(О)2 Г (0) /?+”п, tn

где

n = i-4(l -у) •

Таким образом, если / взять таким, что

/ > (log5期/(—log (1 — ^)),(5.46)

то отсюда следует, что существует положительная постоянная 6, такая, что

У (а严 Н (а)2 呼(а) е (- an) da « Я (О)2 Г (0) п~\(5.47)

Теперь

Н (а)2 Г (а) = £ Q* (m) е (ат),(5.48)

где

Q (ш) = £ £££ Qn (т) Qn (团2)Qx(У)・

加，т2 Х/2< р< Л у

т^т^+о^у^т

Согласно (5.41), Q*(m) = 0, когда т^ ^п. Поэтому по теореме 4.4 и (4.6)

У (а产 н (a)2 W (а) е (- an) da =

=2 Q* (/п) У (а)，* е (—(孔一m) a) da》* 2 Q* (m).

Следовательно, ввиду (5.47) и (5.48)

V (a产 H (а)2 步(а) е (- а/г) da》川〃仰产密(°)> 0.

С другой стороны, левая часть есть число решений уравнения 冲+ •・・+ %幫+讨+…+劣+ 2『+…

...+Z?十р々(硏+，，，+時)=n

с X/, “/, 2/, 5/, р при соответствующих ограничениях. Поэтому

G (й) W 4々 + 3力

Оптимальным вариантом f в (5.46) оказывается / ^ k log k. Таким образом,

G(k) k(\ogk) (3 + о(1)) при оо. (5,49)

Упражнения

Покажите, что, если 2 — последовательность натуральных чисел /^ такая, что ряд £ 1/1左 сходится, тогда для каж- до го £ н % существует 厄，такое, что если Л (X) — число натуральных чисел п с п W X、которые могут быть записаны в форме

2.2.с неотрицательными целыми %® то Л (х) > Х1~Б(Х > > Х0(£,砧).

2.

2.

[Freiman's hypothesis, 1949; Scouzfield, 1960]. Пусть 2 — последовательность из натуральных чисел 必 Покажите, что свойство: для каждого 々о найдется 也，такое, что любое натуральное число 九 может быть записано в виде

с неотрицательными /, имеет место тогда и только тогда, когда ряд £ 1/1左 сходится.

Пусть а такое же, как в теореме 5.4. Покажите, что для 2s》So

卄居)『«(n依7+4产一.

QVq W R

(a, g)Ql

Примечания редактора

H Теоремой Виноградова о среднем называют теорему 5.1, которая дает точную верхнюю границу /$(Х) при s > ck2 log k\ нетривиальная оценка /s(X), например 厶(火)《左— первый шаг индукции на с. 65.

R】 Неточное замечание, см., например, доказательство И. М. Виноградова [1], с. 54.

口 1 В оригинале формулировка леммы несколько иная.

*1 Доказательство теоремы о среднем с оценкой с(电 /) W 庐胪2罪"伐/)?" см. в статье Архипова Г. И. Карацубьт А. А. (1978) с. 762.

付 1 Есам решения уг указанной системы сравнений являются перестановками хг, то решения уГ системы уравнений тем более являются перестановками Хг.

Методы Дэвенпорта

Множества сумм А-х степеней

В § 5.4 было показано, что верхнюю границу G(k) можно существенно уменьшить прежде всего при помощи построения множества Ж натуральных чисел, не превосходящих 2月,являющихся суммами t ^-х степеней. Это построение дает card胫》淤气 где а=1—(1 — 1/々)‘，и представляет собой незначительное упрощение конструкции Харди и Литтлвуда (1925). В самом деле, они строят Z, так же, как и выше для /=1,t—1, но полагают Z/ = Z/_i， Рассуждения проводятся, как и ранее, до (/ — 1)-го шага, когда (5.39) сводится к

殊 Т + ¥ =+ 龍.

Для каждой заданной пары 切一匕 yt число вариантов %л, %『 есть《Z?. Следовательно,

£ Qz ("2)2《Z] . . . Z jZ；+e <

< (ZQz(m))2(z1 Zt^z^y^ Кроме того,' *

Zi …Zf》Z"(A-2)(I间"2.■

Отсюда по неравенству Коши

Qz (m)>0

Пусть M(%) означает число натуральных чисел т、не превосходящих X, которые являются суммами не более t 々-х степеней. Тогда■-..

Nt (Х)>^-Е (Х>Х°(/,е))* (6.1)

%= 1 —(1 —*) (1 -%)(6.2)

Заметим, что а2 = 2/瓦

Имеется ряд усовершенствований этих рассуждений, которые эффективны при таком способе улучшения оценок

сверху для G(^), когда k сравнительно мало. Следующая теорема является обобщением результата Дэвенпорта и Эрдеша (1939).

Теорема 6.1. Пусть f ^ 3, 8 = 1 — 1/々，九i = 1,

^2 -0f-3庐/-йе73‘^2 -0f-3庐/-йе73‘左 2 —• k 一 1 q/ —3 庐+左一Ze二互左 2 —• k 一 1 q/ —3 庐+左一Ze二互(3WE)(3WE)

^2 -0f-3庐/-йе73‘

^2 -0f-3庐/-йе73‘

左 2 —• k 一 1 q/ —3 庐+左一Ze二互

左 2 —• k 一 1 q/ —3 庐+左一Ze二互

(3WE)

(3WE)

“ Q(/n) обозначает число решений уравнения

%f +・・・+%$ =优 с Z“ V 々 V 2Z%・(6.3)

Тогда

ZQ(/n)2《Z% + ・f+a.

Следствие. Неравенство (6.1) справедливо с а/ = 1—р, еде

々з —з必+左+ 2 J3

Это следствие получается использованием неравенства Коши тем же путем, что и выше.

Доказательство теоремы. Пусть Л45 — число решений урав

нения

精 + …+х^ = у^ ++ у^(6・5)

с zF < X/, У! < 2Z“ н %s * у§. Поскольку Ml = О,

ZQ(/n)2《 ^MsZ^+^'-^ +(6.6)

Кроме того,財2 ——число решений уравнения

*一必=砲一呢

с %2 #= У2 и Z‘ V х/, yj V 2Z『. Для каждой заданной пары 七，//2 (%2 声 勿)число возможных значений %i,协 есть《2* Отсюда

м2 < Z%"+°《Z^'+K(6.7)

Для 5 胃 3

М = М + 2%(6・8)

где ” — число решений (6.5) с дополнительным условием Xi = у】，а М；—— число решений с Xi > у\. Тогда

« Z九厶，(б©)

где Ls есть число решений уравнения

#； + ‘ * • + 鹫 號 + ♦ • ♦ + У^»

Для данных 打,•…，爲 число у小…，у$ есть 《1 (ср. с § 5.4). Таким образом,

厶《z%+…+%・(6.11)

Теперь рассмотрим М：. Число значений х2, //2 есть 《Z**, Для любого такого набора уравнение (6.5) превращается в

叶—號+4+自国—琳)= 0,(6.12)

где Л фиксировано. Пусть h = х{ — у〔. Тогда 宜 ——у& > /zZ比 К тому же

4+ 上(巧一銀《2也

Отсюда 0 V 力《Z^l比+1 и (6.12) можно переписать в виде

4+ ® +九y 一必《2々®(6.13)

Для заданного Л пусть у и y+j ——два возможных значения yi, для которых выполняется оценка (6.13). Тогда

(У + j + 次 一 (у + 犷一® + 不 + ? < Z叫

откуда hjZk^2 ^ZkK\ Таким образом, число возможных значений для /л есть

< 1 +Zk^k+2h~l.(6.14)

Для данных Xi, у» (6.12) принимает вид

4 + g 因—竹)n 0,(6.15)

где Л1 фиксировано. Число наборов уз, ..., ys^ есть 《Z九з+…н для каждого такого набора число наборов х3,...,爲-1 есть «1 (заметим, что %,+ ，・・+%：《Z〃e и что в интервале длины Z九也 имеется 《1 значений 端 и т. д.).

Для заданных %, ..., у st, %з， * • •, 爲一i (6.15) переписывается в виде

“2 + %f —璃 в 0’

где Л2 фиксировано, и, так как xs #= ySi количество наборов Xs, ys есть《之纟 Следовательно, в силу (6.14)

M；'《z2 脑£(1+zM；'《z2 脑£(1+z左九3一在+2力7

M；'《z2 脑£(1+z

M；'《z2 脑£(1+z

+ •••+九5 十 Z?九 2 (z'M~^+l + ^feXg— fe+2^ Z 九 з+"—+%一J +2в+ •••+九5 十 Z?九 2 (z'M~^+l + ^feXg— fe+2^ Z 九 з+"—+%一J +2вТаким образом, ввиду (6.8), (6.9), (6.11)

+ •••+九5 十 Z?九 2 (z'M~^+l + ^feXg— fe+2^ Z 九 з+"—+%一J +2в

+ •••+九5 十 Z?九 2 (z'M~^+l + ^feXg— fe+2^ Z 九 з+"—+%一J +2в

Ms《z%

Теорема следует теперь из (6.6), если заметить, что для S 3, . • . , / 他 + 1 )九2 -左 *^ 入 1s И 九2 + 々九3 —々 + 1 ：^ кд.

Следующая теорема принадлежит Дэвенпорту (194公&),

Теорема 62 Предположим, что 1五/&々一2, 0 < v < 1, 垓一множество натуральных чисел а, а & z”+J, S = =card 吼 Q (m) — число решений уравнения

xk -\- а = m

с Z V % V 2Z, а 三垓〃 丁 = £ Q(m)2. Тогда

7《ZS (1 + Z"+e (z~2 + Z-T-syT).

Доказательство. Пусть А/ такое же, как в § 2.2, и

箔/ = {h: hj > 0;力 1 V Z”； h^ ..., hj V Z}.

Пусть p/(h, m) обозначает число решений уравнения

А/ (卄；h) + & = /n c Z < х < 2Z,& 三垓， (6.16)

ИM/= ££ P/(h, a).(6.17)

h三箔/ a三城 Очевидно,

Т《ZS + M(6.18)

Согласно неравенству Коши,

Л1/ < ZV+/-S 2 2 Р/ (h, a)2.

h三衫/ a三城

Двойная сумма является числом решений уравнения

Ду (辩；h) + a】=А,(您；h) + % = &

c Z V 札 %2 V 2Z, Qi w 风02 三接，a w 接，h 三阳.так как элементы 垓 различны, эта величина《/ + 乂屮.Отсюда

Ml < Zv+l~lS + (Zv+i~lSMl+l)l/2.

Таким образом, индукцией по j получаем

М{《ZV+1-21Ts + Z(v+1)(ТТ)Т2-®-2Тм紹.(6.19)

По определению (6.17) Л4/+1 есть число решений уравнения

А+1 (炉；h) + &i = a

c Z V % V 2Z, h 三箔/+1, &i w 垓,a w 垓.Из упражнения 2.1 следует, что при j ^ k — 2 для каждой пары 。匕 а число наборов х, h оценивается как 《Z% Таким образом, M(+i <i & SZ* Теорема следует теперь из (6.18) и (6.19).

Теорема 6.2 обычно применяется повторно для получения понижений границ Nt(X) для последовательных значений /. Вообще, пусть 垓 означает строго возрастающую последовательность натуральных чисел а, обладающую тем свойством, что

4(X) = card{&： aR 國,а & X}(6.20)

удовлетворяет неравенству

А(Х)>^-^(Х>Хо(е)),(6.21)

где 0 < а < 1, и пусть %(垓，X) обозначает число различных чисел вида xk -\- а с условиями 恭 + а & X и а w 垓.Пусть Z = ；X】友.Тогда в обозначениях теоремы 6.2

Q (^)> о и по неравенству Коши

£ ^^Q(my^(^Q(m)Y^Z2S2,

Q (m)>0 丿

где S = A (Z^-1). Отсюда в силу теоремы 6.2

N (必，X)》ZS (1 + Z"+e (z」2 + Z-v-iS)2T)二

Таким образом, по (6.21)

гдеит = maxгдеит = max%(垓,X) > X— (X > Х1 (е)),(6.22)

где

и

т = max

где

и

т = max

sup. (min (та, 21-/ — v(l — а), к/ <fe-2 0<v<l

0 + 1)2-/一他-1)a2-/-?(1 -a)(1 -2-/)))■

При / + 1 & (々—1)а упомянутый выше супремум неположителен, поэтому максимум достигается для значения j с условием / + 1 > (ft—1)а. Для такого j супремум имеет место, когда V есть наименьшая из двух следующих величин:

w = 21-^ ——V (1 ~ а),

w = (/ + 1)2-/-(й- l)a2-/-v(l -а)(Г-2-/),

aj + 1 —伐一1) a

t. e.?匸=21-/, v = -,~~——-一.

Таким образом,

т = а max min(2—, J + 厂仅一 l)a).iuy^-2 \2‘一1 + a /

Рассмотрим неравенство

/ + 1 —(左一1) а > / —伐一1) а2，— 1 + а1 2~ — 1 +а *

Оно эквивалентно каждому из следующих неравенств：

/+1 一.伐—1)а~2У- 1 + а~，

1 +(^- 1)а> / + 21-/(1 -а).(6.23)

Правая часть (6.23) является строго возрастающей функцией j. Таким образом, если J — наибольшее значение /, при котором неравенство (6.23) выполняется, то

Т =『 +厂(f a

а если таких значений / нет, т. е. если a <； l/財 то т = a. Мы доказали следующую теорему.

Теорема 6.3. Предположим^ что 垓 удовлетворяет уело- виям (6.20) и (6.21). Пусть Н = [(^— l)a], a / = //±1, когда

2H ((尼—1) сс — H) ^ 1 — а, и " + 1 W k — 2

и J = H в остальных случаях. Тогда N (解,X) удовлетворяет неравенству (6.22) с

B = ^(l+a3— 1) +(х З厂"a)

Я \2J一1 + a/

когда a N 1Д, 〃 В = 1Д 十 а при a V 1/比

В случае четвертых степеней полезно иметь небольшое улучшение этого результата. Если считать Q(m) числом решений уравнения m = х4 + a с Z V 尤 V 2Z, г = г (mod 16), 。三 解,a W Z^+з, T0 предыдущие рассуждения изменятся незначительно. Также в сущности не меняются рассуждения, дающие (6.1) и (6.2) при ограничении каждого 打 заданным классом вычетов по модулю 16. Таким образом, справедлива

Теорема 6.4 (Дэвенпорт, 1939с). Пусть N‘？ (X) обозначает число натуральных л, не превосходящих X в классе вычетов h по модулю 16, которые являются суммами t четвертых сте・ пеней. Тогда для £》2〃0&力& min(f, 16)

М" (X) > X'L (X > Хо (е, 0),(6.24)

1з + 13a,

а。。а》=另 >а,” =及 + 4% *(6.25)

В частности,

19 аз=18 *

331

412

— 5539а5 = -6268 *

(6.26)

Дэвенпорт (1942а) усовершенствовал рассуждения из теоремы 62 которые, в частности, эффективны при 々=5 или 6. Пусть в предположениях теоремы 6.2 Q(m) означает число решений уравнения

xk * pkа = m(6.27)

с Z V % V 2Z, a&Z"i, 4 Z"” V 炉 V Z'f, p 才工 Пусть также Q(m, p) обозначает число решений (6.27) для данного р с Z < х < 2Z, а & Z'+玄一* р^х. Тогда, по неравенству Коши, для

? = X Q (他)2 справедливо неравенство

т《尸 X £ Qg р)2,

где Р — число простых р, таких, что ^Z1^ < pk < Z1~v. Для заданного простого р и целого г с р г число решений сравнения х* ^ r(modpk) равно 0 или (龙，(р(р*)). Таким образом, целые х с условием р ^ х можно распределить по q(p)=(々，屮(р&)) классам 笈卜...,先双# так, что если х и у принадлежат данному классу 笈门 то х* ^ yA(mod pk) тогда и только тогда, когда х = g(modp&). Пусть Qr^m, р) означает число решений уравнения (6.27) с Z < х <； 2Z) a W Z*+ % 三终 Тогда по неравенству Коши

/д(р)、2

m р \т)»1/

k

《々Р2 ? gQrW，犷

где Qr(m, р) полагается равным 0 при г > q\p). Тройная сумма ограничена числом решений уравнения

xf +pka{ = x^ + pka2t

где %i 三 ％2(mod。厶),и хь Хг, a^ &2, P удовлетворяют тем же условиям, что и прежде.

Пусть Д/ — такое же, как и раньше,

第/ = {h:力/ > 0; % V 2Z*; %,・••，舟 V Z}.

Пусть pj (h. m, p) означает число решений уравнения p-k А/(xft; 0切1,%2,自)+a=m

ИMj= SES Р/ (h, а, р).

p hh炳/ 4巨W

Тогда, как в доказательстве теоремы 6.2,

Т《尸(PZS+M1)

иМ/《ZV+/7RS + (Z^+!~xPSMi+^!\

Таким образом, если можно показать, что

М/+1 < S2Z&,(6.28)

то

Т《尸?ZS (1 + Z^+e (z」2 + z-vT-ip-is)2T) (6.29) и дополнительный сомножитель 尸一丨 во внутренних скобках дает улучшение теоремы 6.2.

Вероятно, оценка (6.28) справедлива при всех jW 山一3, но доказать это в общем виде, по-видимому, довольно трудно. Она, однако, может быть получена для некоторых значений j. Рассмотрим центральный разностный оператор V/, который можно определить в терминах А/ как

% (/ (а)； Рь • • • > В/) = % (f (鼠—г Pi •—…—f P/) Pi» • • •» P/)* Тогда

V/ (d； pi> • • • > Pj)—

=£ ... 2 仇…％(a+；RM+ ... +3%財了 = 8]==±10у = ±1

2m 2才々

2q+'l+…+'广丸

可阳+ 1)!…(2乙・+屮■

'q + 2('【+ * * * +，/) =丸"

Если k — / нечетно, то /о ^ 1 в каждом члене, так что

V/ (<хА； Рь • • • > р/) =(xpi . .. Pjpj (a; pb . . ., В J,

где

Pi («; M'₽/)=

■ Ч

'о+2(，[+ • • • ^yj =« А —/ — 1

加2%+-+展。产…07

(% + l)!(2/] + l)J.(2// + l)!，

Если k — / = 2, то

%(*₽Р財)=昆…財肃(12a2+m++%.

Число М^[ теперь можно снова интерпретировать как число решений уравнения

P~k Vj+l(CCfe；①0% 力2,…，力什1)+a1=02

e а=% + 4"九1p'+ • • • +4力什1. при нечетном и положительном 々一j - 1

P ，/4*i(a'；力ip',力2’ * …，％+i)

=Ct/Z[ * ..力j + lp/+l (ct； h\pkt 力2，*Л/4-1)>

что положительно. Для данных &i, &2 число наборов для а, Л1, .. , Л]+1, т. е. для х, h^ ...» 力丁+i есть 《Z&. Если, кроме того, k — /—1 > 3, то pj+i (а; Pi, ..., В/+1)—полином от 仇 степени не ниже 2. Таким образом, для заданных ©, а, 力卜 ….，％+i количество значений р есть 《1. Следовательно, в этом случае имеем (6.28).

При k — j — 1 = 2

P 'V/+i W； Ep',海，…•，勿+i)

o/+ 1 Al

=4 …勺+1-^守(12a2+;?2紡:十卷+ . . . +管+]).

Для данных &i, 。2 число наборов Ль ...,八屮 оценивается величиной 《Х&. Тогда при заданных &【,&2, Ль ...,力j+i количество наборов для а, р, т. е. для %, р, снова 《X®, так как число решений уравнения 3t/2 + у2 = m есть 《团斗 Таким образом, для / =宜——3 оценка (6.28) также имеет место.

Теорема 6.5 (Дэвенпорт, 1942a). Предположим, что 1 0 W j & h — 4 и k — / четно, или j = k — 3. Предположим далее, что 0 < v < 1 и 或一множество натуральных чисел а, а ^ zv+k~{, Пусть Q(m) обозначает число решений уравнения

xk + pka = m

c Z < x < 2Z,。三或，~Z{~V < pk < Z”"，p ^ xt пусть T = =Em Q (力2，卫 пусть S = card M Тогда

T《尸?ZS(1 +Z”+£ (Z^ + Z^^^^S)2^1),

где P— число простых p, таки% что -^Zi < pk < z"*

Следствие. Предположим, что неравенство (6.1) выполняется, & 宜一4 卫々一j четное или что j = k ——3. Тогда

M + i(X)>X%L (х>4(?+1, 6))

cctf+i = ； (1 + a^ (^ — 1) + q)

ии% = % min ( 21-/% = % min ( 21-/j+ 1 -伐一1)% +左—、2’ 一 1 + % + 左 1 丿

и

и

% = % min ( 21-/

% = % min ( 21-/

Это следует из теоремы 6.5 так же, как теорема 6.3 следует из теоремы 6.2.

Предположим, что 々 = 5. Тогда (6.2) дает % = 4"，вышеприведенное следствие дает

16 + 85a /2з

= 5 (16 + 5azp когда Т < Т；

а теорема 6.3 дает

7 + 33%з

= 5 (7 + %) npй 于其%V1”

Отсюда

Теорема 6.6 (Дэвенпорт, 1942a). При 々=5 неравенство (6.1) имеет место с

255696 913 439ccics、

a2 = а3 = ~» а4 = "845»°8 =「7 杀订笈(> 0,91253).

Пусть теперь 々 = 6. Тогда уравнение (6.12) дает а2 = у, следствие из теоремы 6.5 дает

19 + 120%1]9

电+ l = 6 (19 +网了 npи百《电V 无；

43 + 246%192

% +L 6(43 + 6%, Пp"

а теорема 6.3 дает

15 + 81%2

= 6 (15 + aj， если T&afVl・

Отсюда

Теорема 6.7 (Дэвенпорт, 1942a). При 々=6 неравенство (6.1) справедливо с

—5549 a5 = 8379 *—5549 a5 = 8379 * 575 117a6 = ‘787 182， 575 117a6 = ‘787 182，—1— _59_— 1661

—5549 a5 = 8379 *

—5549 a5 = 8379 *

575 117

a6 = ‘787 182，

575 117

a6 = ‘787 182，

a2 = Т» % =就，a4 = *2886 »

%3 =

24 040 980 990 984 981

25 335 323 032 000 蔡

(> 0,94891),

G(4)= 16

Здесь полезно ввести обобщенную функцию

й(а)=£ е (ах*)(6.30)

и соответствующие вспомогательные функции , з(а)=£x{/k~{e (ах)(6.31)

Xk<x^(2X)k

иW (а, q, а)=厂6 (g, а)侬(а — а/办(6.32)

где S(么 а) определяется формулой (4.10). Следующая лемма является непосредственным следствием теоремы 4.1 при п = [2ХУ и п = [Х]\

Лемма 6.1. Предположим, что (a,g)= 1 u а = а/д + 0. Тогда

力(а) — 取(а,么 а)《^/^^+х^^)}(6.33)

и если, кроме того, | Р | ^ (2々夕)—(2Х)】-% то

h(a)—W(а,么 а)《д^+е(6.34)

Одна из причин такого выбора А(а) состоит в том, что он больше подходит в контексте §6.1. Другая причина раскрывается следующей леммой, которая показывает, что h(a/q -\- + 0) убывает как ||р||-1 при возрастании ||0||, а не как ||р||-1/,/Е, что имело место в случае /(&/' +6) (см. лемма 4.6). Обычно это не существенно, но часто может способствовать уменьшению технических трудностей.

Лемма 6.2. Пусть |0|久/・ Тогда

М6)《Х(1+Х盍旧尸

Доказывается тем же способом, что и лемма 2,8. Отсюда и из теоремы 4.2 непосредственно следует

Лемма 6.3. Предположим, что (д, а)=1. Тогда

W(a/q + 6,么 а)《Xq-Rl + Х^|||3||)7

Следующая теорема принадлежит Дэвенпорту (1939с) и до сих пор является лучшим известным результатом для четвертых степеней. Упражнение 2.2 дает G(4) ^ 16.

Теорема 6.8. Предположим, что п # 0 или —1 (mod 16) u п достаточно велико. Тогда п является суммой четырнадцати четвертых степеней

Следствие. 6 (4) = 16.

Доказательство теоремы 6.8. Выберем Ль Л2, j такими, что 力i + 力2 +，三 几(mod 16), 04九1&4, 0久力2《4, 1《/&6 Пусть v = X=4w， (6.35)

и пусть 或(力)означает множество натуральных чисел а, таких, что a W Хз+¥, а = /z(mod 16) и а есть сумма четырех четвертых степеней. Далее, пусть

Vr (а) =£ е(аа)、

a w城(五广)

Тогда по теореме 6.4

Vr(0)>^-\ 卩=齧・(6.36)

Согласно (6.30) (с 尼=4),

1

оо，I /г (а)匕■ (а) |2 da = £ Q (团)2,

о

о

m

где Q(m)-—число решений уравнения х4 +(2 =з m

с X V % V 2Х и а е ^{hr). Отсюда в силу теоремы 6.2 с 々=4, / = 2

口 力(a) % (a) I2 da《X% (0) (1 + Г+е (X^ + 厂一乙⑼严). о

Следовательно, по (6.36) и неравенству Коши

1

J I h (а)2 У J (а) У2 (a) | da « Х2У, (0) V2 (0) Г'", 丫 =薔.(6.37) 0

Определим большие дуги SJ?(g, а), полагая Р = (2Х)/(2田= =X/々耳

迦(％ а) = {a: I a — a/q \ & Pq^n^}.

Пусть 峡一объединение всех ЗЭТ(д, а) с 1=。《夕=尸 И (a, g)= 1. Тогда 2ЭТ(д, а) не пересекаются и лежат в интервале 勿—(Р/г-* 1 + Pn~l].

Пусть m =玄\血.В силу неравенства Вейля (лемма 2.4) и рассуждений, использованных при доказательстве теоремы 2.1,

Л(а) Х7"+е (а е ш).

Отсюда ввиду (6.35) и (6.37)

\|/i(a)6%(a)/(a)|da《mi%(o)%(o),(6.38)

где 6 — подходящая положительная постоянная.

Как и в доказательстве теоремы 4.4, для 1 & m & 孔 получаем

\ h (a)6e(— am) da = / (团)匂(m) + О (疗尸-曳 (6,39) где

/(切= X ••• X 4-6(х, ...х6)-3/4, kv修《(2X)4Х4<м,《(2Х)』

а ©(т) — особый ряд, определенный в теореме 4.3. Легко проверить, рассматривая 尤【,=..,х5 с условием Л4 < х； & 2X4, чт0

/ (m) ^> п1/2 при 之几 < т&п.(6.40)

Согласно лемме 2.15, при s = 6 н р > 2 имеем М^ (pY) > 0. Кроме того, при s = 6, о = 2 и т = / (mod 16) с i & j & 6 из определения Л1щ в § 2.6 тривиально следует, что М/(2丫)> 0. Отсюда в силу теоремы 4.5

©(m) ^ 1 при т = j (mod 16).

Если т = п —。1 — &2, &г 三垓(力『)，то m удовлетворяет условиям ~ п <.т ^п и m = /(mod 16).

Следовательно, ввиду (6.39) и (6.40)

где /(/г)》序/屮1(0)卩2(0). Поэтому, согласно (6.38), для

имеет место неравенство

r⑻》小/2%(0)%(0)>0.

Следовательно, п является суммой четырнадцати четвертых степеней, что и требовалось доказать.

. Оценки Дэвенпорта G(5) и G(6)

Теорема 6.9 (Дэвенпорт, 1942b). G(5)《23, G ⑹ *36.

Доказательство этого результата подобно доказательству теоремы 6.8, но несколько проще. В этом случае достаточно применять обозначения § 4.4, так что имеют место формулы (4.29), (4.32).

Пусть г = 7, f = 8 при 々=5 и г = 10, f = 13 при 々=6. Далее, пусть 垓 обозначает множество натуральных чисел а, не превосходящих -|" п и являющихся суммами f 々~х степе^ ней, и

V (а)= £ е(аа).а е Л

В силу теорем 6.6 и 6.7

\|U(a)|2da < У (0)2п-и о

где ц = 0,91253 при А = 5 и 卩= 0,94891, если А = 6.

Пусть щм^'Ш?. Тогда по неравенству Вейля (лемма 2.4)

где 6 — подходящее фиксированное положительное число.

По теореме 4.4 при 1 m п

\ / (а)г е (— am) da = Cmr/k~{^ (т) + О (nr/k~{~6), (6.42)

где С—положительное число, зависящее только от А и г.

Из леммы 2.15 с s = г,々=5 или 6 и п, замененным на т, имеем Mm (pY) > 0. Отсюда по теореме 4.5 而(m)》1. Из соотношений (6.41) и (6.42) теперь легко следует, что

1

J / (а)г У (а)2 е (- ап) da » ^!k~^ (О)2 > 0, о

и, следовательно, G(^)&「+2f при А = 5 или 6.

Упражнения

Покажите, что для X > X。

М9(Х) >”,9668 при 々 = 7,%28(Х) >Х°М38 При Ап 8,

Выведите, что G(7)V53i), G(8) ^ 73.'

(Дэвенпорт, 1939а). Пусть Q(m) означает число решений уравнения m = х3 + у3 + г3 с Zv%W 2Z, Z"5《у & W 2Z"5, z《/5 v z《Sz"5. Покажите, что

ZQ(m『《z"5+e.

Выведите, что (i) G(3)&8 и (ii) почти каждое натуральное число есть сумма четырех положительных кубов.

(Дэвенпорт, 1950). Покажите, что при 々=3

Мз(Х)>Х47/54т(Х>Хо(В))・

Отметим, что в обосновании утверждения G ⑺ W 52 [Sambasiva Rao, 1941] допущена арифметическая ошибка.

7

Верхняя оценка G(k)

И. М. Виноградова

Некоторые замечания к теореме Виноградова о среднем

В этой главе сохраняются обозначения гл. 5.

По определению (5.3) С(Х, 0, h) есть число решений системы уравнений

£(整一必)= 々(1 & jWR) с 0<.V yr^X. (7.1)

Эта система несовместна при \hj\^ sX^ для какого-либо /'. Следовательно, в силу неравенства (5.4)

z /『(X, 0, h) < 产 3M/s(X).(7.2)

С другой стороны, в левой части (7.2) подсчитываются все решения системы (7.1), где h рассматривается как дополнительная переменная. Таким образом,

厶(X)》X2ST5+D/2.

Напомним, что 丿$(Х) есть число решений системы

名(» — ％) = 0 (1&/&R) С О < xr, yr < X. (7.3)

Очевидно, число Ts(X) «тривиальных» решений, получаемых при выборе в качестве уг перестановки %” удовлетворяет неравенствам

Таким образом,

4(Х)》max(x2s-^+叱 Г), (7.4) что указывает, между прочим, на наличие «нетривиальных» решений системы (7.3), когда s > 4" ^ (^ + 0 нХ достаточно велико. Дальнейшие комментарии см, в § 29 Хуа (1959).

Можно предположить, что, если А ^ 3 при оо,

厶(X)〜Csj max (Х*т 伪+叱 Г). (7.5) Хотя этот результат, вероятно, лежит очень глубоко, его можно получить, во всяком случае, при достаточно большом

s"L Достигается это путем применения метода Харди — Литтлвуда к 々-мерному единичному гиперкубу 勿^. На малых дугах применяются теоремы 5.1 и 5.3, которые можно считать аналогами леммы Хуа и неравенства Вейля соответственно f2]. Для больших дуг необходимо получить асимптотическое приближение общей функции

f (а) = 2 е (дх + . .. + аАхА)(7.6)

и оценить соответствующие вспомогательные функции

/(₽) = ^(р,у+ ••• +P^)^Y，(7.7)

6

S (% а) = S (%。|, ..., aj = 2 e((a{x 十...+ akxk)lq). (7.8)

Предварительные оценки

Многое из материала этого параграфа принадлежит Хуа (1940а, 1952, 1965).

Здесь удобно напомнить определение: полиномиальное сравнение

屮(％) = 6。+ 仇工 + .,. + bkXk = 0 (mod р)

имеет корень х0 кратности т, если 屮(％) = (% — xo)m<Pi (^) + + p屮2 (工)，где 屮1 (工)и 屮2 (%) — полиномы, такие, что р <Pi (^о)，

Теорема 7.1. Предположим, что (仇 й{, .,., aQ= L Тогда S(q, а)《gi/^+e.

Доказательство. Подобно доказательству леммы 2.13, когда (е，г)=(“，的，а^ = 1, сразу имеем

S (“，а】，...,©々)= S(e，а】，гаъ 汴-“ X

XS亿 a” e&, qk-'a3

Таким образом, достаточно рассмотреть случай, когда д — степень простого числа. Предположим, что р ^ (а[у …，а^ и /Л является наивысшей степенью р, делящей (@卜 2a2, …，kak}. Пусть 也，...,爲 означают различные корни срав* нения

pf(ai+2a2工+ … + kakXk~[) э 0 (mod р),

и предположим, что mi,…，mr их соответствующие крат- н℃ти. Заметим, что г ^ k—1. Пусть далее 加=皿 +

...в+ mr. Тогда достаточно показать, что для /= 1, 2,

\S(pl, ah aQ I V 必 max(l, m)pi№. (7.9)

Поскольку m A — 1, теорема доказана.

Случай / = 1. Рассуждения для этого случая принадлежат Морделлу [Mordell, 1932] и дают больше, а именно

1S(p,初 …，^)10加1/4(7.10)

Без ограничения общности можно считать, что р{ а^ и р > ^. Рассмотрим рр

Т= Z … 丨s(p, 21>2力竺(7.11)

Тогда, раскрывая суммируемое произведение, применением (7.8) и переменой порядка суммирования получаем

Т = р^М,(7.12)

где М ——число решений системы сравнений

*+ .一+找三仪+ .一+ у{ (mod p) (l&j《々)(7.13)

с 1 W 打 & р, 1 ^ у/ ^ p. Подобно доказательству леммы 5.1, получается, что если 心，…，хз 屮，…，？卜 удовлетворяют системе (7.13), то для каждогох Ц? (% —修)=Ilf (% — “J (mod p). Таким образом,札 …，х/г представляют собой перестановку 夕，yk. Отсюда M k\pk, значит, по (7.12)

T V总产为.(7.14)

При р * и, их + ^ вместе с % пробегает полную систему вычетов по модулю р. Пусть

Тогда

1S(p, e,公)1 = 15(亿 6h6Q1.(7.15)

Кроме того, b? = а/ и bk~] = u^1 (vka^ + a^i). Таким образом, когда и меняется, bk принимает (р 1) (^, р — I)"1 несравнимых по модулю р значений, а для данного % когда меняется и, bj принимает на р несравнимых по модулю р значений. Следовательно, ввиду (7.15) и (7.11)

\K> p

Отсюда, согласно (7.14),

\S(p, аh ..а^\ а々！ 2々p 《々 Р , что дает (7.10), как и требовалось.

Случай / > L Доказывается индукцией по 厶 Очевидно, рт ^ А. Таким образом, когда 2 ^ / < 2т + 1, (7.9) тривиально. Следовательно, можно предполагать, что / ^ 2т + 2.

Для краткости положим 屮(工)=〃1*+ ... + а^^ Вспо

сравнения(7.16)(7-17)(7.18)сравнения(7.16)(7-17)(7.18)миная, что %i, ..., л> — различные решения ртд/ (%) — 0 (mod р), получаем

сравнения

(7.16)

(7-17)

(7.18)

сравнения

(7.16)

(7-17)

(7.18)

S (〃，а】，а^ = Т^+ ^Th

гдеТ/=2е((р(х)р—)

№ 1

х 口 X/ (mod р)

рЛ р”

НТо= 22 е((р(pl-^-{z + y)p-1).

pТ+1 *①'(W

Поскольку / ^ 2т + 2, имеем

¥(外一l电 + у)= <p(z/) + 05-电中'(у) (modpl).

Следовательно, внутренняя сумма в (7.18) равна нулю. Таким образом, в (7.16) остается оценить Г； с / =# 0.

При /■ = 0, т. е. m = 0, здесь нечего доказывать. Предположим, что m ^ 1. Когда /W 財 тривиальная оценка |T/|Wpj в (7.16) дает

IS(少，ai,ав) I w RpJ W kpl~1^.

Таким образом, можно предполагать, что / > 亙

Рассмотрим полином от 尤：

^(px + x^—^i.Xi}^ di%+ ... +九/,

гдеb*="2%(》尸・

hi

Пусть рР означает наивысшую степень р, делящую (匕卜 д2» .,・

,Ья). Очевидно, р ^ 1. Если р > 々,то

p|Z4O尸(уу同

Й —4

и, следовательно, р\а^ р|〃々一匕р|а】в противоречие тому, что (р, О],, ak) = 1. Таким образом,

pW^V/.(7.19)

Пусть d = btpf и

2 (%) = p一р (屮(Р% + 修)一屮(打))R %% + … + C/t

Тогда, согласно (7.17),

|Г/1 = Pp-"S(pf, и,/)|・(7.20)

Так как p~V(x) = 0(modp) имеет корень 勺 кратности рт屮'(％) можно записать в виде

pfq/ (%) = (% —修)勺(Р1 (х) + Рф2(х),

где p#6(q) и deg(p2< my. Пусть теперь р^ означает наивысшую степень р, делящую (з, 2c2,々源)・ Тогда

夕-叫/ (%) = р1-°-Р(р, (рх + X/)=

="-。-叶。(pmiXm^ (рх + X/) + р(р2 (рх + X/)).

Все коэффициенты этого полинома целые и по крайней мере один взаимно прост с р. Так как deg(р2 < ^/, коэффициент при хт^ равен

так что п + р ^ 1 + т + ш/. Отсюда если d > 加厶 то коэффициент при 好 делится на р. Поэтому

к” (%) е р Jgp+т(产%加电 ⑴)+ рф2 (рх + %у)) (mod р).

Следовательно, степень。-纱'(％) по модулю р не превышает т； и число решений сравнения

(х) н 0 (mod р) не больше т^

^Отсюда, согласно предположению индукции (7.9) с заме- ной / на / —р, а； на С/, m на т^ при помощи (7.19) и (7.20) получается, что

I Т/1《炉团/炉7р”р)(I信)&序трТК

Желаемое утверждение, неравенство (7.9), следует теперь из (7.16) суммированием по всем j А 1.

Следующая теорема дает асимптотическое представление/ на больших дугах.

Теорема 7.2. Пусть % = а〃е/+ 历(j = 1,...,々)，〃 предположим, что q = [qlt j 9左]и Aj = ajqq;'. Тогда

f(a)= q-lS(q, А)/(р)+A,

咏 A《e(i+В|х+…+|&|м).

Доказательство. В силу леммы 2.6 с

eх = ?((4]%++人工々)4亠1)

и尸(Y)= e(dY+ ... +“竹

2 i =у (mod q)2 i =у (mod q)н замечания Q

2 i =

у (mod q)

2 i =

у (mod q)

2 % = 2е((4也+ ... +Akyk}q-')

+ А,+ А,,(а) = е-£(е“)尸(Х)Х-,(а) = е-£(е“)尸(Х)Х-(仇 A) + o(e) получается

+ А,

+ А,

,(а) = е-£(е“)尸(Х)Х-

,(а) = е-£(е“)尸(Х)Х-

где

A《q(l+、IBi++ 々瓦丫 л Id

Интегрирование по частям сразу дает теорему.

Теорема 7.3.【з] для вспомогательной функции /(§) справедлива оценка

/⑻《X(l+g|X++|阮因尸色

Доказательство. Можно предполагать, что X = 1, ибо общий случай следует тогда с помощью замены переменной. Далее, можно предполагать, что

!₽i I + …+|阮1 ^ 1,

так как в противном случае результат тривиален. Пусть

k/ = (IР/1++|h|)叫

Pi (а)= ₽i +2₽2а + ... + 左§即々"

и幽=包：0《а《1, 1Р1(а)|>У1}.

Тогда 幽 можно разбить на《1 интервалов, на каждом из которых р；(а) не меняет знак. Пусть 毋一интервал такого типа. Тогда интегрирование по частям дает

^(₽ia + …+%d)dct《yj・

Таким образом, остается показать, что для

伤= {а: O&a&l, I рх (а) | < KJ

имеет место оценка

теа8(例)《У〕.(7.21)

Доказательство дальше ведется при помощи повторных построений последовательности следующих множеств:宏卜 ^2, 勿2,鋁з,Если 例 пусто, то здесь больше нечего доказы-

вать. Таким образом, можно предположить, что существует ai, такое, ито 0 W a】W 1 и |pi(ai) | V 匕・ Теперь |仍(aj| 2 》I Pi | —々У翁 так что если |生|>2々瞭 то 41 ₽i | *^ ( | ₽i | + + У切华 < ((1 + 1/(2々))I Р1I 产.Откуда

展《|Р/《1・

Следовательно, в этом случае (7.21) тривиально. Таким образом, можно предполагать, что для подходящего числа С\, зависящего самое большее от 比 имеют место неравенства 停1|《&嗯 и |pi(a)|vGY2 для каждого aw%. Следовательно, достаточно показать, что

где勿尸{а: 0<а< 1, la-аНЖГ1, | 〃 (а) | <。占}・ Пустьгде勿尸{а: 0<а< 1, la-аНЖГ1, | 〃 (а) | <。占}・ Пустьmeas (皱)《讨，

где

勿尸{а: 0<а< 1, la-аНЖГ1, | 〃 (а) | <。占}・ Пусть

где

勿尸{а: 0<а< 1, la-аНЖГ1, | 〃 (а) | <。占}・ Пусть

p2(a} =丄！®二生SL.

Тогда 宏I и 穹2, где

份2= {a： 0《a&l, |p2(a)|<2C№}.

Продолжая таким же способом, на /-м шаге получаем константу С/-1, полином р；(а) степени k — / и рассматриваем множество

^/ = {а: 0<а<1,|р/(叫 < 2С/_14}.

Если 穹/ не пусто, то существует а/, такое, что

l^/(a/)l<2WP

Определяя на каждом шаге

убеждаемся, чтоубеждаемся, чтогдегдекТаким образом,кТаким образом,小）=弋户刁з）=£Y州，"'’=£咻1以二‘Y?）=（九+1）＞+「小）=弋户刁з）=£Y州，"'’=£咻1以二‘Y?）=（九+1）＞+「

убеждаемся, что

убеждаемся, что

где

где

к

Таким образом,

к

Таким образом,

小）=弋户刁з）=£Y州，"'’=£咻1以二‘Y?）=（九+1）＞+「

小）=弋户刁з）=£Y州，"'’=£咻1以二‘Y?）=（九+1）＞+「

哪=怦/ +。(w+1[+ ... +IBM),

и, следовательно, можно предполагать, что существует число С/, зависящее, возможно, только от 依 такое, что

|₽/!<%1(7.22)

и IР/ (a) I V。№+1 для каждого а 三 例.Пусть

宏/= {а: 0&а《1, |а —а/1>У^1, |р/(а)| V&W+i}.

Тогда, согласно (7.22), требуется показать, что meas (^5/)<С 《У弘

Процесс может прекратиться, в случае, если для некоторого ，£々—2 множество 仔/ пусто или нарушается неравенство (7.22). В других случаях j &々一2 имеет место включение 又)『• и 例+1, и процесс продолжается до 宏々一卜 Теперь

Y尸"=邮〃

Таким образом,

纱I и {a: IY尸％т貶 + а I < С一 | % R1%

так чтоmeas (宏々-1)《У記，

как и требовалось.

Асимптотическая формула для Л(Х)

Теорема 7.4. Существуют положительная постоянная Ci и положительные числа 6(左)и С2(й, s), такие, что для sN

A2(31ogA + loglog А + Ci) имеем

Js(X) = C2(k, s)X2sEA D/2 + 0(Х21(1Ж ⑷).

Доказательство. Пусть X — большое действительное число, пусть

九=£， Qi = X"2, Q/ = X— (2&j&R), (7.23) и пусть 也％ — декартово произведение интервалов(Q，* 1 + + Q 尸].Для 5&}Х"： % 甚产(2</<А) и iWajWqj с (е/,的)=1 пусть 耽(q, а) означает декартово произведение интервалов

{a: [a-a^l^^'Q；1}.

Большие дуги 2R(q, а) попарно не пересекаются и содержатся в 以3 Пусть 瓜 означает их объединение. Тогда малые дуги задаются формулой nt =也％ \ 2)?.

Согласно лемме 2.1, для каждого aw<?/% существуют q, a, такие, что 回 匕)=1，网 -"/例区 歹口广 и "^Qj•пусть

п означает множество aw%%, для которых к тому же 4/ > К при некотором 厶 2 W j g 友 Тогда по теореме 5.3 с / = [4А log А] существует положительная константа Сз, такая, что

f(a)《Xif(awn) с p" = C3R3iogR. (7.24)

Пусть теперь 呪 означает множество awQ/Z, для которых существуют q, а, такие, что (^, %)=1, |% — a/分区 qjQ；*

Е Qi, q： W X人(2《/《々)・ Таким образом, n J ^ = ^a (хотя n П 31 может не быть пустым) н 耽 и 3L Пусть Р/ = ®・一 —а〃е/, е =①，еМ, 4 = е“ Je/, так что

(е, 4, - •, 4) = 1-(7.25)

По теореме 7.2 и (7.23)

f(a)-LS (仇 А)/(₽)<

qk(\+X^ + XKq^+ +Х\^)^Х^\ (7.26) Если awntn, так что a 陆迦，то е戸①>//々 Следовательно, согласно теореме 7.1 и (7.7),

广匕(9, А)/(В)《XqK/《 К」'+'.

Следовательно, оценка (7.24) справедлива при замене ш на п. Пусть m н [Сз] + 1 н п = 4■炉(1 — 1/々)'・ Тогда, по теореме 5.1,

\ I f (a)『'' + 2m'2da ч^ j^tk-^^mk2— А (А+1)/24-т)'—2znА2р

Кроме того, для /》3々 log 々 + 々 loglog々 имеем

「2m件<炉(1 - £)‘一T^<0,

и, следовательно, при s 戸筑 + mA2, существует положительное число 6 = 6(左)，такое, что

\ I f(a)『sda《片一*伍+W2-6.

\\f^-v(^\da^x2- 飢\\f^-v(^\da^x2- 飢Остается, следовательно, рассмотреть большие дуги 毗 Для a 三 耽(q, а) (7.26) справедливо. Определим Й(а)= = Y(a，e,a), если ae3R(^, а) и V(a) = 0 при awm. Тогда

\\f^-v(^\da^x2- 飢

\\f^-v(^\da^x2- 飢

j (I/(a)尸+ ”a)Dda.

线

(7.27)

По теореме 5.1, если s — 1 R 班 с /》3左 log 电 то

J I/(а)产-2&а《

где т]=｝炉(1 - 1/R)'< 1/(2同=大. Следовательно, существует положительное число б = 6(左)，такое, что

Х2-Л j I f (а) Iй-2 (/a < ^-ft(*+1>/2-«.(7.28)

Пусть a 三耽(q, а). Тогда, по (7.25) и теоремам 7.1 и 7.3,

Ma)《XgiM(l.+ |M|X++®|Х 々尸华

Отсюда

\ |У(а)产 da < X2iWZ,

где

И

z = n\ ^ + ^ix，yitlk3d^i-/-1 0

При / > 2依 имеем

К《22•仇(% 仇)t< 8

и

z《f[x7 = xf(B+叱

Следовательно, для s — 1 > 2依

X2f\ I У (a)产一2 da《产必 *+Wf

Эта оценка в совокупности с (7.27) и (7.28) показывает, что если s удовлетворяет предположению теоремы при подходящем выборе Ci, то

J|/(a)|2s(/a= J I У (a) fs da + О (х^-* (^Ь/г-в).

Непосредственно из теорем 7.1 и 7.3 следует, что

卜 У (a) \ da = ^JX2s~k{k+1)p + 0 (x2s~A (А+1)/2-6,

8 хе 一一。8 хе 一一。где■

8 хе 一一。

8 хе 一一。

限疗1 и

12s

/= \ ^(Pta ++ pftaft)da d§.

R* 0

Заметим, что q"S(e, 4,4々)=(力...eQ"S(ei q左,

〃i, ..., 4)• К тому же @ V 8, / V 8 ⑷，и поэтому теорема справедлива с С2 (й, s) = ©J. Положительность С2 (й, s) является следствием (7.4).

Более подробный анализ и различные приложения полученной теоремы см. Хуа (1965).

Верхняя оценка G(fe) И. М； Виноградова

Рассмотрим

W (а)=£^ Q (m) е (apkm).

X/2VP&X m

По неравенству Гёльдера для любого натурального числа г

W (а)〃《X?I£ I X Q (m) е (ар^т)『=

=х" Z SQi (Л)е(арМ X/2vp*X ft

гдеQi (/i)= X Q (g)…Q (恤)

и суммирование ведется no mi, ..., /и2r с условием

Ш1 + . 一 + ШГ - ШГ+1 - ... -加2Г=九

Следовательно, в обозначениях § 4.4 и 5.3 по лемме 5.4

К (а)"《(xuf+е 不 Q1 (%"2 (a w nt). (7.30)

Сумма ^h Qt (А)2 является числом решений уравнения

^Lf (X/) = 0,(7.31)

где X/w [1, V^r и

乙(У) = (S + Удк + •. • + (U/ + 次』-

—(^/ + У2г+^к —…一(U/ + 9")匕(7.32)

Оценка Qi (力)опирается на лемму, в доказательстве которой используется теорема 7.4.

Лемма 7.1. Предположим, что г > СК? log К, ?de С — подходящая постоянная. Тогда число R『различных у в [1, V/]4г для которых L/(y) лежит в данном интервале длины 立片长一叱 удовлетворяет неравенству

Rt《У»7K.

Доказательство. Для краткости параметр / будем опускать. По биномиальной теореме

k

L&)=2(："f心),

где 铀(у)=必 + ... + Mr —吟十 1 - •••—券・

Так как у w [1, У] 4rH у = [uq, ИМеем

Z ( ： " 1〃1 (у)《и『2К-ty2K+l《IjU

J2K+1

Следовательно, достаточно показать, что число R* различных у из [1, V]4г, для которых

2K

£(："』,(У)

1=1

лежит в заданном интервале длины Uk~K, удовлетворяет оценке

r*《h1u1-2生(7.33)

Рассмотрим число R** 2/С-мерных векторов с целыми компонентами 31,, г2^ с zi <С Р, для которых

2K

i ™ 1

лежат в заданном интервале длины Uk~2K. Этот интервал можно записать в виде

((и - 1)。2 + и, 〃。…+ и),

где w н и— целые, 0 0 и V Uk~2K. Тогда

胃2K 三 и (mod U),г2^+l 三(〃一次)U" (mod U)

и т. д. Таким образом, 22K определяется модулем U,乞2艮—1 определяется модулем U по 22K и т. д. до г2. Более того, поскольку 0 W & V Uk~2K, Zi единственным образом определяется по г2^, ..., гг. Следовательно, вспоминая, что У? / U, имеем .

/Г《(y2KUT)(p2K7U7)… 俨U7)=pK(2K + i) — U-2K. (734)

Согласно теореме 7.4, для заданных 胃卜...,22K число решений системы

(：)M，(y) = Zj (1WC&2K) с yw[l/]"

冢ть <С ]/4r-^(2^+l)_ Зто совместно с (7.34) дает оценку (7.33), а следовательно, и лемму.

Здесь и далее будем предполагать, что условия леммы выполняются, и пусть Xi, ... -, х/ ——типичное решение уравнения (7.31). По (7.32) для х/+1 е [1, V/+i]4г имеем

4+1(巧+1)《0标心+]《沙一Х%,

Отсюда по (7.29) 厶 i(xi) лежит в интервале длины 《Uf-艮一%. Таким образом, в силу леммы 7.1 для xi имеется 《1/丁。丁艮 значений. Тогда для данного Xi Л2(хг) лежит в интервале длины U广кf и т. д. Следовательно, общее число значений Xi, хг, ..., х/ есть величина

《(%…匕)"(U1-U尸.

По определению (7.29) (и】...。炉》5卜甲乂1一"* Следовательно, согласно (7.29) и (7.30), для а 三瓜

Г (а)《X匕…У^Х-Ю^-^Ч^1^)1^《Г(0) № г, гдеР = /_ 亲(归 r)nz-

Возьмем теперь

K = [glog 矶 / = 3电 r=l + [CK21ogK]・ (7.35)

Тогда по (7.29)

т/ = ехр (/ log (1 —左 *「)) < exp( — 3[4 log й])《左Т

где включаемые в 《 постоянные являются абсолютными. Таким образом, если й достаточно велико,

скажем, где Ci — подходящая постоянная. Таким образом, в обозначениях § 5.4 (но с 1^(а), как выше)

\ f(a 声 〃(а)2 犷(a)e(-cm)da《Н ^W (G)n+{l~xik^~alk ■

Оптимальный выбор t, так что (1 — 1/々尸 Vo/財 дает f〜々log й.

Тогда оценка на малых дугах имеет вид 《"(0)2/0)46,

где 6 = 6(々)一подходящее положительное число.

Большие дуги могут быть рассмотрены так же, как в § 5.4. Следовательно,

O(k)^2t + 4k^L

Это вместе с (7.35) показывает, что справедлива

Теорема 7.5. При й-> оо, G(Zs) W 力(log/s) (2+ о(1)). Для больших 力 это лучшая из известных верхняя оценка G (左).

Упражнения

Покажите, что при s ^ й Js (X) = s!Xs + О (Xs-1).

Покажите, что при й = 2 /з(Х) <С X3 log_¥ и что (7.5) неверно.

Пусть Gi(Zs)"! означает наименьшее s, такое, что почти каждое натуральное число является суммой s й-х степеней. Покажите, что

limsup —& L

也左log々

Примечания редактора

口 Оценки 人(X) при малых s см. в статье Архипова Г. И. и Карану- бы А. А. (1978)：

⑶ Доказательство теоремы 7.4 об асимптотической формуле для /з(Х) при s~3^2!og 左 существенно опирается на теорему И. М. Виноградова о среднем.

⑶ Эта теорема принадлежит И. М. Виноградову, см., например Г1], с. 27.

I旬 Сходимость (расходимость) © при 2s > 山宁包 十 2(2s《总；'总十 2) доказана Хуа (1952); сходимость (расходимость) J при 2s > >——hl(2s &—^hl丿 доказана Архиповым Г. И., Кара-

цубой А. А., Чубарнковым В. Н. в работе «Тригонометрические интегралы». Изв. АН СССР, сер. матем. 1979, 43 : 5, с. 971—1003.

历】Д. Гильберт около 1909 г. поставил задачу о представимости k натуральных чисел М, М, …，必 суммами соответственно первых, вторых, …；，наконец,左-x степеней одних и тех же натуральных слагаемых (проблема Гильберта — Камке); если через G0(k) обозначить максимальное число слагаемых в таком представлении, то Архипов доказал, что 2々一1 W Go 他)《3依2” см., Архипов 匚 И. О проблеме Гильберта —Камке. Изв. АН СССР, сер. матем., 1984, 48 : 1, с. 3—52.

8

Тернарная аддитивная проблема

Общие предположения

Предположим, что Е, 阮 …，ks — s целых чисел, таких, что

2 & %甚財& А н g々J > L (8.1)

Тогда предыдущие рассмотрения, в частности в гл. 2 и 4, наводят на мысль, что уравнение

=п=п(8.2)

=п

=п

разрешимо в натуральных числах хь ,.,, xs всякий раз, когда:

для каждого простого р и большого й уравнение (8.2) разрешимо по модулю pk с р ^ xf для некоторого /;

i) п достаточно велико.

Вопросы такого рода очень тщательно разрабатывались; эта работа, в сущности, еще не завершена, потому что рассмотрение малых дуг при нынешних знаниях, вообще говоря, требует, чтобы сумма £ 々厂 была значительно больше единицы.

Наименьшей величиной s, для которой условия (8.1) выполняются, является s = 3. Причем окончательное решение получено только при 也 = 厉= 々з = 2 — это классическая теорема Лежандра о суммах трех квадратов. Однако во всех остальных случаях показано, что почти все числа представимы в виде (8.2). Случаи 拓=厉=2 и 拓=2,厉=亀=3 рассмотрели Дэвенпорт и Хельбронн (1937〃，6), случай 比=2, %2 = 3,々з = 4 — Рот [Roth, 1949], а случай 風=2, й2 = 3, 々з = 5 —Вон [Vaughan, 1980〃]•⑴

Последний случай — самый трудный, и ему посвящена оставшаяся часть этой главы. Изложенный здесь метод можно применять и в других случаях.

Формулировка теоремы

Пусть Е(Х) означает количество натуральных чисел, не превосходящих X и не являющихся суммой квадрата, куба и пятой степени натуральных чисел.

Теорема 8.1. Существует положительное число 6, такое, “то E(X)《Xi

В основном рассуждения подобны изложенным в § 3.2. Важная особенность их в том, что большие дуги здесь могут быть взяты более длинными и более многочисленными, чем можно было предполагать из-за присутствия куба и пятой степени. Однако большая часть больших дуг в некотором смысле рассматривается теми же методами, что и малые дуги.

Другая особенность рассуждений ——это некоторые трудности, связанные со сходимостью особого ряда. Они преодолеваются заменой особого ряда конечным произведением.

Определение больших и малых дуг

Пусть п означает большое натуральное число и

A = (i<-

Далее, пусть R(m) = R(m, п) обозначает число представлений m в виде

tn= х^ + х^ + х^

с Pk<Xk^ 2P归，и пусть

/ (加)=e e e 1рУз 2/3桔4/5,(8.3)

где переменные суммирования удовлетворяют условиям Ри < 勿 & (2Р护 н У2 + У3 + У5 = т.

Определим также

Sk = Sk(q, d}=2e(arklq),(8.4)

A (m, q)= £ q~3S2S3S^ (— am/q) (8.5) a=l

(a. Q) =* 1

И0(m, X)= Z A(m, q).(8.6)

Первую часть доказательства теоремы 8.1 составляет

Теорема 8.2. Существует положительная постоянная 6, такая, что для каждого достаточно большого п

R(/n) = J(m)6(m,序/2)-]- 0(几1/3。-6)

для всех, за исключением《注」％ значений "2, удовлетворяю- щах неравенству 几 V m W 2/г.

Доказательство, Пусть

(8・7)(8.8)(8.9)(8・7)(8.8)(8.9)hk①；(а)2 е (а% )>

(8・7)

(8.8)

(8.9)

(8・7)

(8.8)

(8.9)

Р尼&2Р^

ТогдаТогдаR(m) =R(m) =6=10-5, p = ni3/3o+76f〃 = (Р//г, 1+Р/矶

Тогда

Тогда

R(m) =

R(m) =

большуюбольшую(8.10)(8.10)При 1《〃&е&Р и (а，е)=1 определим дугу 耽(q, а) в виде

большую

большую

(8.10)

(8.10)

耽(么 〃)={а: |а—a/q\ ^ Рд~1п~1},

a SD? — как объединение всех больших дуг. Как обычно, легко доказывается, что SD?(q, 〃) не пересекаются, и малые дуги л берутся как ^XSDl.

Приведем важное в дальнейшем подразделение дуг 耽. Пусть SDli означает подмножество 2Л, состоящее из SD?(g, а) с q > 序"，и пусть

夂(么 а) = {а: |а — a/q \ W п3б-14/15}. (8.11)

Определим теперь SD?2 как объединение SD?(q, 〃)\夂(内 а) с условиями 1 W 〃 W q W 几'"2 и (а, д) = 1. Тогда если положить

(8.12)(8.12)n = mU 耽 1U 耽2

(8.12)

(8.12)

ии/?i (m) = \ 力2 (а)力з (а)力5 (а) в ( — а/и) da,

и

и

то надо будет доказать неравенство

Е I R (/«)产《«18/15-36

2fl < «1/122fl < «1/12g£а= 1 (a, S =g£а= 1 (a, S =и соотношение

2fl < «1/12

2fl < «1/12

g

£

а= 1 (a, S =

g

£

а= 1 (a, S =

)海(a)力3 3)力5 (a) g (-a他)da =

1 产(a a)

*/(m)$(他，^2) + 0(1).

Первая из этих оценок будет следовать из тождества Парсе- валя, если показать, что

卜力2 (а)侬(а)力5 (а) I2 加《献6/15-36.(8.14)

Рассмотрение n

Малые дуги ш могут быть рассмотрены прямым путем. Интеграл

1

Ь 修(а)绰(a)|d@

О

выражает число решений уравнения

〃2 一絞 + %5 — g5 + г5- /5 -0

с AV% d《2P2, А V %, у, z, £《2R. Эти решения подразделяются на три вида:

⑴ и，и,

〃 = 5 х^у,

〃=5 % = у, 2 =九

Таким образом, общее число решений есть

《呼+ё + 2琛+8 + 2行.

Следовательно, по определению (8.3)

1

\ I 抬片 I da《*/1。+?(8.15)

О

Аналогично

1

\ I/г計 da《出/з+е.(8.16)

О

Из неравенства Вейля (лемма 2.4) следует, что для каждого a w ш

力2 Q)《 献+/|Т/2)1/2《пе (п{Р)х^.

Поэтому ввиду (8.16)

^\hl h^\da ^ п5^Р-\

Следовательно, по неравенству Шварца, оценке (8.15) и формулам (8.8),

\ I 抬片傍 I da《层6/15-36.(8.17)

Пусть

铀(0=?(1/々)//10(昵)，(8.18)

где переменная суммирования удовлетворяет неравенствам 丸 < % & (2尸/匕 и определим

吃=吃& 9’ m = q-'Sh(q, 〃)叫(a—a/e)・(8.19)

Для a e SD? определим 中々，厶々 полагая

以= <Pe(a)=%(a，9, 〃) @三 駅(q, 〃))， M =M 3)=力总一屮肌 (8.20)

Первым шагом в рассмотрениях SDliU 耽2 является замена 力2 на 屮2・ По теореме 4.1,厶2(«)« Р1/2+е, если a 三 2JL К тому же, так же как в доказательстве (8.16), имеем

1

\ I您偌|da《外/吗 о

Следовательно, ввиду (8.8)

\ I 包抬凭 |da《п*(8.21)

Следующий шаг состоит в оценке

\ I屮纷；底|da.

Для ее получения сначала надо рассмотреть соответствующие интегралы с подынтегральными выражениями | ^h^\ и |屮^4 卜 Согласно соотношениям (8.19) и (8.20),

,I 嘅 I "a &

《2 2「5“ |g(02%(0 + a/g)4邮 (8.22) (a, 4)=» 1

и в силу (8.18)

|а'2(Р)|2= £B(/i)e( —陋，

с х — у = % ^-п = Р^< х, //^ ^2Р^ = п. Кроме того, по определению (8.7)

丨力5(а)『=£ с*)е (叫，

гдес (力)=X 1

х, у, z, f

с х5 —犷 + 乞5 —户=力 и Ps V х$ у, г, f《2R. Следовательно,

\ I w2 (Р)2 饱(В + a/q)41 呻=2 В (/г) с (Л) е (a/i/q).

Отсюда в силу неравенства (8.22)

\ I <р獨 da & 2 В 伍)с 伍)££|S2 ^e(ah/q).

mhg《P a = l

3 g) =• 1

Очевидно, что модуль суммы S2, определенной в (8.4), не зависит от 〃 и имеет оценку 5|2《久 Следовательно, по формуле (3.14) для А =# О

Е ^^2| 52 ^e(ah)q) <С q~{ У d・(a. g) = 1dl(g, h}

Таким образом,

\|呦Ma《”0)c(0)P+ £ “/Oc®^ £ ；.

m“0d\h r^P/d

Непосредственно из (8.23) следует, что 方(力)《 1. Кроме того, аналогично доказательству неравенства (8.16) имеем с(0)宅 《孔2/5+纟 к тому же £hC (小《県", Следовательно, ввиду (8.8)

，后图 da《歩/6+86.(8.24)

Для оценки интеграла

\ I曲玲I da

применяются различные формы неравенства Гёльдера, и поэтому требуется оценить интеграл

I Фз| da・

Согласно (8.20) и лемме 6.3,

、 J 吗 I da « е к 、 м(1 +呻)Т dв, mq^P 0

так что^ |(p^|da <C n1+e.(8.25)

Следовательно, в силу неравенства Гёльдера и (8.16)

\ I觉а3代I da《(序+ё)屮(出/3+ё产4 sup J恥分(.

Ввиду лемм 6.1 и 6.3 для a w SD?(么 а) имеем

(P2(a) Аз(а)《 献"qz

Отсюда, I 屮於3妈 I da《/г5/4+2е.(8.26)

По неравенству Шварца и неравенствам (8.25) и (8.16)

,I 嗚屮3冬居 I da《(序+&产(居/з+”/2 SUp I фздз J

и, согласно леммам 6.1 и 6.3, для aeSD?(么 а)

(Рз(а) &(а)《〃"3qi/6+£《:献/зр/б+

Поэтому ввиду (8.8)

\ I Ф2Ф3А3Л31 da《外/4.(8.27)

Из лемм 6.1 и 6.3 и (8.8) следует, что

/25/3

\ I 啮嗎А|| da《£ “з+е \(1［叩尸(1 + n^2d^ < 标/4.

亚4KP 0

Следовательно, в силу (8.26) и (8.27)

\ I 呜% I da《外/4+8 + 、 I 吸幽 da.(8.28)

Рассмотрим интеграл в правой части. Согласно соотношениям (8.20), (8.19), лемме 6.2 и теореме 4.2,

q%7/3

，I嚥用"。《22 (6产鈔計'(］工鹿产呻《濟%

肌 I〃1〃2<д《Р a=l0

(a, 4)= 1

где 7 = ^ F (^),尸(q)= £ L|S 扑

g&Pa=I1

(a, g) = 1

Вследствие теоремы 4.2 尸(д)《д-'/з. Таким образом, Е F (р“)《Далее по леммам 4.3 и 4.4 |5з(0, 〃)|《р〃?

при /= 1 или 2. Отсюда £ 尸，)《厂丄 Более того, в силу леммы 4.5 尸一мультипликативная функция q* Следовательно, существует абсолютная постоянная С, такая, что

/<п (1 +СрТ).

HP

Отсюда в силу (8.28) и элементарной теории простых чисел

,I <р為 I da《胪/4+e.

Следовательно, по неравенству Шварца и неравенству (8.24)j I曲力抬J da《序6/15-36.

Отсюда ввиду (8.21)~

\ I 做^片 I da《п1б/15-зб#(8.29)

Рассмотрим теперь 耽2・ По лемме 6.3

%2

\ I咽da《£ L \(•^言配dp《九4/5+ef

耻 2q£P „36-14/15

Согласно лемме Хуа (лемма 2.5),

j闻da《科3+&,\ I您| da《序乜

оо

Поэтому по неравенству Гёльдера

\ I @奶气 I da《(公/5+”96)% (标/3+岁/4(献+e)l/4《序6/15 -36.

Следовательно, ввиду (8.21)

\ 1九沥爲J da《載飢5-36 ,

что в комбинации с (8.29) и (8.17) дает (8.14).

Большие дуги 夂(д, а)

Для завершения доказательства теоремы 8.2 остается доказать соотношение (8.13). Простые вычисления показывают, что если 々=2, 3 или 5, q W п1/12 и | р | ^ пзб-14/15^ т0

〃2+8(1 +川閏)《("力/々(1 +几1因)-L

Отсюда по леммам 6.1 и 6.3 для 仪已夂(么〃)имеем

儿3),吟(а)《(/г/д)厶(1 +〃|а —a/g|L

И

力2 (а)力3 (а)力5 (а)—步2 (а) ^3 (а)步5 (а)《

《(n/^)5/6(l +n\a — a/q |)~i^l/2+e. Таким образом,

22、|九2九3% 一步2%%丨da « 1.

q^nlli2 a=l n(q, a)

(a, G - 1

Пусть 舉(q, a) = {a： 〃36~i4/i5 < ।。一 a/q |《4~}・ Тогда по лемме 6.3

2 z \ I W2W3W5\da < 1.

q 4 МП? a=> 1 召(q, a)

(a, g) ■ 1

Следовательно, ввиду (8.19), (8.4), (8.5) и (8.6)

22、 ^2/z3/z5 е ( — am) da = Ц (m) S (m,川們 + ^⑴，

4《储/12 a = l *(g, a)

(a, g) = 1 где

1

A (加)=\ @2 (P) g (B) @5 (B) e ( — Pm) d§.

0

Согласно (8.18) и (8.3),厶(zn) = /(/n), что дает требуемую формулу (8.13).

Особый ряд

Принципиальная трудность заключается в том, что ряд S М (^, 9)|， очевидно, расходится. Она преодолевается пу- тем аппроксимации (3 (т, и1/12) конечным Эйлеровым произведением.

Теорема 8.3. Для всех, кроме 《/г'-% значений my n<Z V гл V 2/г справедлива формула

© (т,© (т,*2)*2)=u (玄4 (加，泊) p^n \h = o/=u (玄4 (加，泊) p^n \h = o/+ O(exp( — logn)d)).+ O(exp( — logn)d)).(8.30)(8.30)

© (т,

© (т,

*2)

*2)

=u (玄4 (加，泊) p^n \h = o/

=u (玄4 (加，泊) p^n \h = o/

+ O(exp( — logn)d)).

+ O(exp( — logn)d)).

(8.30)

(8.30)

Возможно, что при аналогичных условиях, используя метод, сходный с методом Миха [Miech, 1968], можно показать, что конечное произведение заменимо на бесконечное. Однако при этом возникают трудности, которые описываемым здесь методом можно обойти. Дальнейшее обсуждение этого вопроса в случае 比=2,局=應=3 см. в статье Дэвенпорта и Хельбронна (1937〃). Согласно (8.4), (8.5) и теореме 4.2,

Л(т, 1) = 1, A(m, q)《^~1/3°.(8.31)

Таким образом, каждый ряд в правой части (8.30) абсолютно сходится.

Для доказательства теоремы 8.3 требуется точная оценка А(т, рн). В основе ее получения лежат формулы для S左(р% 〃) при р ^ а. Они являются следствиями лемм 4.3 и 4.4.

Если р > 2,

产(2|й),

S2，，&) Т (/$2(р, I)小…(2 4 期，(&32) если р〉3,

(卢厶/з](力多 1 (mod 3)),

S3(ph} 〃) = { 0(h = 1 (mod 3), p三 2(mod3)),

I S3 (p, а) p^~^ (Л = p = 1 (mod 3)),

(8.33)

если p〉5, to

(p阿5](力女 1 (mod 5)),

S5 (卩匕 а) = { 0(/г = 1 (mod 5), p 女 1 (mod 5)),

I S5 (p, a) p4nM5 (匕=p 凄 1 (mod 5)).

(8.34)

Далее, если 々=3 или 5 и р = 1 (mod 山),то

s“，。宀師⑨,s“，。宀師⑨,(8.35)(8.35)

s“，。宀師⑨,

s“，。宀師⑨,

(8.35)

(8.35)

где 垓 означает множество из й—I неглавных характеров 犬 по модулю р, таких, что / = хо. Более того,

14)| =酬2, |S2(p, 1)| = * (р>2).(8.36)

Характера, иХарактера, и

Характера, и

Характера, и

Лемма 8.1. Предположим, что h ^ 1 辽 р > 5. Тогда

Л (m, ph) = 0, если h > I и pi « т, (8.37) |Л(т, ph) I《8рТ(D/38T(8.38)

u4(m, Р)= X с (х) х (т),(8.39)

ede 必(р) 一 совокупность неглавных характеров по модулю р, I с(尤)| & p-i и card^(p)^ 8.(8.40)

Доказательство. Ввиду соотношений (8.5), (8.32), (8.33), (8.34) и (8.35)

A(m, ph)= S , ^(X)Е X (а) е ( — ap-hm), (8.41) 收团/?) a=l

где M(pD есть подмножество множества характеров по модулю р, а 6(%)—подходящие комплексные числа. Если h > 1 и р"' \ т. то внутренняя сумма равна

X %(х)е( —xpj/n) X е(—ypi/n) = 0. х=1У™1

Это дает (8.37).

Доказательство неравенства (8.38) подразделяется на восемь различных случаев.

Предположим, что 2|力，力展 1 (mod 3) н 力荣 1 (mod 5). Тогда ^(ph) состоит только из одного главного характера и по (8.32), (8.34) и (8.35)

\А(т} ph)\^p\

где 九=4~ 力 + [2/i/3] + [4力/5] — 2/г. Число 九一целое и не превосходит —/г/30 ^ — [(А — 1)/30] — 1/30. Отсюда имеем (8.38). Во всех остальных случаях все элементы 加(р“) в (8.41) являются неглавными характерами по модулю р. Таким образом, если ph\m} то внутренняя сумма автоматически равна 0, и неравенство (8.38) следует сразу. Кроме того, ввиду (8.37) можно предполагать, что или 力=1, или 力 > 1, ph~l/m и ph ^ tn. В любом случае внутренняя сумма в формуле (8.41) имеет вид

р/!

纟 % (а) е (:户))= Х(-角)р1т (%)•(8.42)

^(^\ = ph/2^h^[4h/5]^(^\ = ph/2^h^[4h/5]-3%-3%Предположим, что 2 才力，力关 l(mod3) и 力苦 关 1 (mod 5). Тогда 必(р，)состоит из одного квадратичного

^(^\ = ph/2^h^[4h/5]

^(^\ = ph/2^h^[4h/5]

-3%

-3%

Следовательно, согласно (8.42),

I 4 (加，泊 I =尸 с k = ^h + [2Л/3] + [4/г/5] 一 2/г -；.

Показатель 九 является целым числом, которое не превосхо- пнт —力/зо—L, Таким образом, справедливо неравенство (8.38).

Предположим, что 2\hth= l(mod3) и /г ^ 1 (mod 5). При р ^ 1 (mod 3) (8.33) дает A (m, ph) = 0. Следовательно, можно предполагать, что р = 1 (mod 3). Тогда card 碎(ph) = 2 и |%(丸 ph) I & 2p^, где Л = 4 ^ + 2 (/z — 1)/3 + у + [4/z/5]— —2/z — 4- Число 九一целое, не превосходящее — й/30 — 4"- Следовательно, (8.38) имеет место.

Предположим, что 2|力，力多 1 (mod 3) и h= 1 (mod 5). Случай p 多 1 (mod 5) снова тривиален, поэтому можно предполагать, что р = 1 (mod 5). Тогда

I Д (m, d)]《4p* с ^ = ^/г + [2/г/3] + 4(/г- 1)/5-2/г, и рассуждения заканчиваются, как и выше.

Предположим, что 2|力 и h = 1 (mod 15). Случай р 壬 1 (mod 15) тривиален, а если р = 1 (mod 15), получаем I Л(т, р^) I W 8M+I/2 с ^ = 4 /г + 2(/г - 1)/3 + 4 (/г - 1)/5 - 2/г. Это снова целое число, не превосходящее —— 力/30 ——22/15 < < —[(/г — 1)/30]——1. Следовательно, показатель 九 + ^ удовлетворяет неравенству 九 + U & 一【(力—1)/30] —

Предположим, что h 三 1 (mod 10) н 力多 1 (mod 3). При р 壬 1 (mod 5) неравенство (8.38) немедленно следует из (8.34); поэтому можно предполагать, что р = 1 (mod 5). Тогда |Л(т, ph) | ^ 4рЛ+1/2 с ^ = 4 (Л — 1) + [2й/3] + 4 (й — —— 1)/5 —— 2/ьКак и в предыдущем случае, показатель не превосходит -[(й-1)/30]-4，

Предположим, что h = 1 (mod 6) и 力多 1 (mod 5). В этом случае рассуждаем как в (vi).

Предположим, наконец, что h = 1 (mod 30). Тогда Л(т, ph) = 0 для р 多 1 (mod 15). Остается возможность р = 1 (mod 15). Тогда \А (m, ph) | ^ 8рх с ^ = y^ + 2(/i — -1)/3+4 +4 (/г - 1)/5+ 4- -2/г-4- Снова 九 является целым, не превосходящим — /г/30 ——^ ——^ = —— (/г — 1)/30 — 1.

Доказательство леммы теперь заканчивает оценка (8.39) с (8.40). При h = 1 (8.32), (8.33), (8.34) и (8.35) дают равенство (8.41) с b (х) = 0, если р 多 1 (mod 15). Таким образом, если р 多 1 (mod 15), получается (8.39), из которого тривиально следуют неравенства (8.40).

Когда р = 1 (mod 15), (8.41) справел/шво с s^(p), состоящим из характеров % в 1да 才=Х2%з%4 где %立 означает неглавный характер порядка 々 Таким образом, все элементы 必(р) являются неглавными и card ^(р) = 8. Более того,

6(%) = 52(p, 1)T(戈3)T(戈5)厂，

Следовательно, согласно (8.41) и (8.42),

4(/и, р)= £ S2 (р, 1) т (хз) т (х5) р~3Х ( — О (X)X И-

Если характер % принадлежит 必(р), то то же самое верно "'门兄X'

Кроме того, в силу (8,36) имеем

I $2 (〃 1 ) Т 仇)龟5)PF (― 1 ) т (%) I = р-1.

Это дает формулу (8.39) с оценками (8.40), как и требовалось.

Пусть множество ⑨ состоит из 1 и таких натуральных чисел д, что если р|д, то р《〃 и либо p2\qf либо р М 5. Пусть 诊 означает множество бесквадратных чисел, все простые делители которых удовлетворяют неравенству 5 V V р & п. Наконец, пусть 父)一множество натуральных чисел, не имеющих простых делителей, больших п. Тогда каждое q в 3) может быть единственным образом записано в виде q =广邑 где г w 然 s 三 & в (г, s) = 1.

Следующий этап рассуждений состоит в оценке суммы

X 4(加，办(8.43)

U<q^Vq三3)

гдеU =川竺 V = exp ((log 力‘+我).(8.44)

Согласно (8.5) и лемме 4.5, функция q. Следовательно,I X А(т, q)\^ S X и < q &Vг > 〃806 $ м &g w 仞гм%+ X |А(т,Согласно (8.5) и лемме 4.5, функция q. Следовательно,I X А(т, q)\^ S X и < q &Vг > 〃806 $ м &g w 仞гм%+ X |А(т,A(mf q) — мультипликативнаяM (m, г) 4 (m, s) 1 +A(mf q) — мультипликативнаяM (m, г) 4 (m, s) 1 +ЛЛ54(54(

Согласно (8.5) и лемме 4.5, функция q. Следовательно,

I X А(т, q)\^ S X и < q &Vг > 〃806 $ м &

g w 仞гм%

+ X |А(т,

Согласно (8.5) и лемме 4.5, функция q. Следовательно,

I X А(т, q)\^ S X и < q &Vг > 〃806 $ м &

g w 仞гм%

+ X |А(т,

A(mf q) — мультипликативная

M (m, г) 4 (m, s) 1 +

A(mf q) — мультипликативная

M (m, г) 4 (m, s) 1 +

Л

Л

54

(

54

(

Первая двойная сумма

£ г^\А{т, г)|) ( £ \А(т, s) .(8.46)

Первая сумма здесь равна

1 +^phii0]A{m'ph)

1))Ц(1 + ^РН1Ю\А{т, рА)|),

и ввиду (8.31), (8.37) и (8.38) это есть величина «U(i+c(/+i)), р. f

где произведение берется по всем парам р, J для которых р"| т. Это произведение《"％

Ввиду неравенства (8.38) вторая сумма в (8.46) не превосходит

П (1 +8рТ) «絞.

Следовательно, по (8.31) и (8.45),

У 4 (m, е)《+ 尸(m),(8.47)

U<q^V

gw仞 где

尸 5) = X I X л (m, s) .(8.48)

r w n80fl U/r<s^ V/r

I (s/)7, sw行

Согласно (8.39) и (8,40) и свойству мультипликативности

A(m,s),*

4 (m, s) =£ * с (%) % (m) (s 三穹)，(8.49)

% mod s

где £* означает сумму по примитивным характерам,

|c(%)|£si(8.50)

и для 九 > 0

X* |c(%)FW8Ms)sf(8.51)

% mod s

Лемма 8.2. Пусть / — натуральное число. Тогда для про- извольныл комплексных чисел b (х)

/ % 一.3/2、2/3/x(2Z-l)/2Z

(Ё I Е Е* (х)х(^)| ) <4 Е Е' l^(x)l2Z/(2Z-1)),

\х = 1 J q^Q Xmod q| '、q£Q %mod q/

где

в = (”/2 + Qi") ”/6 (log(Me))« j)何)

u входящая 8《постоянная абсолютна.

Доказательство. В случае / = 1 по лемме 5.3 (неравенство большого решета) для произвольных комплексных чисел С], ♦ • •, Cn

g N2N

X £ Е схе (ax/q) < (^ + Q2) £ | cx |2.(8.52)

(a, 4)=■ 1

Из теории сумм Гаусса (см. § 20 [Hasse, 1964] или § 9 [Дэвенпорт, 1966]) для примитивного характера % по

модулю q,

Т(X)-' X 父(у) е @х@ = X (х),

где 1TН) ]2 = д. Следовательно,

N4M

X 点％ (%) = Т 伤尸七戈(у) X схе (”/q).

2qN2W L X E X (у) E c%e (yx/q)%mod q 〃 = 1x= 12qN2W L X E X (у) E c%e (yx/q)%mod q 〃 = 1x= 1Отсюда

2qN2

W L X E X (у) E c%e (yx/q)%mod q 〃 = 1x= 1

2qN2

W L X E X (у) E c%e (yx/q)%mod q 〃 = 1x= 1

x* £点%(%)

“mod q x = l

Поэтому из ортогональности характеров и (8.52)

X X*g£Q %mod qX X*g£Q %mod qN2N

X X*

g£Q %mod q

X X*

g£Q %mod q

X CxX (%) < (^ + Q2) S I Cx I2-

NN2/2/Применение этой оценки к /-й степени суммы £ с%% (%) дает

N

N

2/

2/

X X* £%%(%) 《(№ + Q2)Xld/, gWQ %mod q x = lу

где ' dy X сх • • • Сх{

и X’ означает, что суммирование по %/ ограничивается условием х/ ^ ^. Предположим, что 九 >2 Тогда посредством двойного применения неравенства Гёльдера имеем

где di (у) — число решений уравнения Х\ ... xt ^ у ^ Хи .... xt. Следовательно, по теореме 288 Харди, Литтлвуда, Полна (1951),

/ N (X где

ЕЕ6 (х)х(%) gWQ “mod q

А/(А-1)ч(А-1)/Л

”VQ %mod q/

纭=("+Q2)l/2,

（2入一2）/仇一2）

(1 -2小)/(2Z)

Пусть 九=3. Тогда лемма следует при условии, что для ХА

X d/Q/)yx(logXe)J.

На самом деле при помощи индукции по 广 нетрудно видеть, что dr(xy) W dr(xjdr(y), а посредством индукции по s — что

X d,(y)s《X(logXe)f

ИX dr (уУу~^(1о§ Xeys.

Пусть Qo = Ur" и Qz = nt/2t пусть 6(%) = с(%), когда ^--модули х принадлежат 從(q, г) = 1 и U〃VqWV〃，и пусть 6(%，= 0 в других случаях. Тогда по (8.48) и (8.49)

F (m) = 2 Е Е' ^(Х)хИ|.(8.53)

'г《门8°6 q Xmod q|

Согласно лемме 8.2, неравенству Гельдера, неравенствам (8.50) и (8.51),.

2п

Е Е Е* ь (х) X («I)< mi+1 Q/fVgWQ/%mod д

<п(/ log (2/ie))("7)/(6/QW(绚 П (1 + 8рТ 产一1)/(2"

Последнее выражение

< rt7/8 (/ log (2neWli-^ (log 2ny&i~^

ИЛИ《 献厂'"产(log〃)4

в зависимости от того /> 1 или / = 1. Следовательно, суммирование по /, для которых Q/_] W V, дает в силу (8.44) и (8.53)

2п

X F(m) < 献7/48. m = n+l

Отсюда для всех, кроме 《/г】-% величин mt п <Z m^2nf имеем F(m)《а-% так что по (8.47), когда m не является исключительным,

У 4 (m, q)《(8.54)

Доказательство теоремы 8.3 заканчивается рассмотрением

X А (/и, е)・

q>V.

Пусть 九=l/(logn). Тогда

2 !я(m, q)|《X (0卩)人m(加，q)| = q>Vgw&

gw仞

=尸 П + 三 Р叫

р^п\九=1/

Отсюда в силу (8.31), (8.38) и (8.44)

X I 4 (加，q) I《exp (— (log 九产)X q>V

X П (1 +240 三产小+301)《(一(1)6).

Следовательно, по (8.54), (8.44) и (8.6) для всех, кроме «/г'-% значений т, удовлетворяющих условию п <； m 2п, имеем

口 (玄 4 (加,р，) 一 ® (т,< ехр(— (logn)6),

р& п \ h = 0/

что и требовалось.

Завершение доказательства теоремы 8.1

Согласно теоремам 8.2 и 8.3, для всех, кроме 《/г'-% величин т, таких, что n < m 2п, имеем

R (т) = / (т)((生(£ 4(加‘ Р，))) +

+。(exp (― (log n)e))) +。(歩a。-% Рассмотрим величину /(m), заданную в (8.3), когда /г V V. m W 2n. Для уз, У5, удовлетворяющих неравенствам 万/и —彳/г V %, z/5 < ^tn — ^n, имеем ^ п < y3f у5 < п и 1 п< < лп—%—^5 < п. Следовательно, I(m)》п1/3°. То, что / (/и)《 《 載叫 тривиально. Таким образом, достаточно показать, что Пп (£ 4 (加，р'))》(log п)~С>(8.55)

Согласно неравенству (8.38), существует константа & такая, что

X，4(加，d))X (1 - еpт)》(log也)一°.

Следовательно, надо показать только, что для каждого простого числа р имеет место неравенство

玄 Л (т, р')>(8.66)

Из (8.5) легко вывести (ср. с леммой 2.12), что

р2, X Л (т, рЛ) = М (т, р‘)，(8.57)

где М(т, р9~" число решений сравнения

х2 + у3 + z5 т (mod р，)(8.58)

с I &х, у, z w pt. Пусть Y⑵=3, у(р)=1. (р〉2). При р а сравнение х2 ^ a(modр^) имеет решение для каждого 7》У(Р) всякий раз, когда оно имеет решение для / = у(р). Таким образом, если возможно показать, что (8.58) разрешимо, когда t = у(р) с р 才 ％, т。齡力_2丫⑺ различных решений можно получить в общем случае +》у(р), взяв любые zr, такие, что 夕三 y(modpY(p)), 2, = 2(mod 卩丫⑺). Таким образом,

М(m,户)》产一2做叫

что ввиду (8.57) дает неравенство (8.56).

То, что (8.58) разрешимо с 2 才 ％, когда р = 2 и / = i=Y(p) = 3, тривиально. Остается установить соответствующей результат для р〉2.

Число кубических или нулевых вычетов по модулю р по меньшей мере равно (р——1)/(3, р — 1)+ 1. Заключение будет следовать отсюда по принципу «ящиков», если показать, что число ^ вычетов по модулю р вида х? или 尤2十 1 с 1 & W х W Р— 1 имеет выражение'

%T(3p +(U)J

Этот результат легко получается из формулы

^ = p-y + y(^-)L-£ 4(1 -(£)厶)(1 -(宁))

Х=2

Упражнения

Покажите, что почти каждое натуральное число имеет вид

Покажите, что card{n: 〃，р土/, п^ X} ^ X^k.

Пусть R(n) означает число решений уравнения

/+ ?3 +淤=m

с %〉0, у〉0,之〉0. Покажите, что

⑴ Z R(%)= хг 偿)嗚)г ⑶ +。К/%

⑺)Г(4)Г(4)Г(1) = °>73

(iii)尤2+ уЗ+ 之6 二〃(mod g) всегда разрешимо c(x, q)==l・

Получите асимптотическую формулу для числа представлений числа в виде суммы двух квадратов, двух кубов и двух пятых степеней.

Примечание редактора

U1 См. также замечательные работы К. Хооли: On Waring's problem for two squares and three cubes. J. Reine Angew. Mathem., 1981, 328, p. 161—207; On another sieve method and the numbers that are a sum of two 力-th powers. Proc. London Math. Soc. 1981, 43 : 3, p. 73—109.

g

Однородные уравнения и теорема Бёрча

Введение

Пусть 尸(尤1,...,尤§) — однородная форма степени 々^2 с целыми коэффициентами. Естественно возникает вопрос, имеет ли уравнение

尸(修，力)=0(9.1)

нетривиальное решение, т. е. решение в целых X/, не все из которых равны нулю. Очевидно, если 山 четное, указанное уравнение может иметь только тривиальное решение. Однако, когда k нечетное, можно надеяться на большее. Льюис [Lewis, 19у7], основываясь на ранней работе Брауэра [Brauer, 1945], показал, что для достаточно большого s любая кубическая форма от s переменных с целыми коэффициентами имеет нетривиальный нуль. Вскоре это утверждение было распространено Бёрчем [Birch, 1957] на формы произвольной нечетной степени. В действительности Бёрч доказал даже несколько больше. Целью настоящей главы является рассмотрение теоремы Бёрча. О более поздних ра* ботах в этом направлении и близких темах читатель может узнать из сборника работ Дэвенпорта (1977).

Доказательство теоремы Бёрча основано на частном случае, именно на разрешимости аддитивного однородного уравнения

с}х^ + ・・・ + csx^ = 0,(9.2)

а это может быть установлено при помощи метода Харди—■ Литтлвуда.」

Аддитивные однородные уравнения

Для получения следующей теоремы применимы методы гл. 2, 4 и 5, поэтому ее доказательство дано лишь в общих чертах.

Теорема 9.1. Пусть 左 ^ 2 〃 s。, как в теореме 5.4, и пусть s 2 min(SQ, 2走 + 1) и 5 ^ 4ft2 — ft + 1. Предположим так宛％

что когда k ——четное, не все целые числа с^ ・・・,cs имеют один знак. Тогда уравнение (9.2) имеет нетривиальное решение в целых числах %ь •一, ％$•

Всюду в этом параграфе постоянные могут зависеть от

Если имеется /, такое, что с/= 0, утверждение теоремы тривиально. Таким образом, можно считать, что для любого / с/ =/= 0. Для нечетного k также можно считать (если необходимо, заменяя Xi на ——％i), что не все с/ имеют один знак. Пусть R(N) означает число решений уравнения (9.2) с 1 W W х/ g М Тогда методы, развитые в гл. 2, 4 н 5, дают

R(M = &(M + 0(”a),

где® = IlT(P), Т(Р)= £ 5”)，

S(q)=玄 IJ^-'S^ ас^)

(а, а)-1

^A Nk...,

И 〃N)= £ … £ 月-sg …％y/i.

Эти методы показывают далее, что существует число С, за* висящее разве что от сь ..., с§, такое, что

□ Т (р) > }

р>С

и/(M》L.

Теперь достаточно показать, что Т(р)>0, и снова это будет следовать, если показать, что М尸(q), число решений сравнения

尸(л:” ・・•，％)=已財 + . ■ • + %"三 0 (mod q)

с 1 0 Xj 0 q, удовлетворяет для достаточно большого f не* равенству

MQ)〉С(р)р"(9.3)

с некоторым положительным С(р), зависящим только от Ci, с§ и р.

Для того чтобы оценить MFt необходимо преобразовать переменные так, чтобы получить новую форму Я, в которой подходящее число коэффициентов взаимно просто с р. Выберем т/ так, что рт/|| Ср и %,乙 так, что q = %h 土 L и 0 ^

W // V 无 Тогда

尸(尤 1，,尤 6)= G (p^1%!, . • ., phsXs)t

гдеG (%, ..., xs) = diPl'x\ + ... + dsP’sxf

и 4 = CjP；L Пусть теперь й = тахй/. Тогда

F{p~h'X\, ..., pisxs) = p^Gg. . .%s)

и для / > й

лЫр')》 X … X 1>л10(^-^)Праа~й+Ч xiel匕 т

/% (Хр х$)0。(mod 淌

откудаm尸方)》m。w一喝.(9.4)

Форму G можно переписать в виде

G = G® + pGU +・・・+pJGf

гдеG(/)= G⑺(尤⑺)=£ "Н・

Очевидно, существуют г и г, такие, что r^s/々 и G(‘) conep- жит по крайней мере 广 переменных. Рассмотрим форму

"(右爲)=(£. p’G⑺(px⑺)+ /£. p。" (*)) pT Теперь

М0(р^^Мн(р^)(9.5)

и Н имеет вид

Н = Н⑼ + pH ⑴++pJ"(D,

где "(°) содержит по крайней мере г переменных, г ^ s/kt и все ее коэффициенты взаимно просты с р. Можно считать, если необходимо, переименовав переменные, что

"® = Н^(х}峭=4冲 + ... + drx^

Согласно неравенствам (9.5) и (9.4), для доказательства (9.3) теперь достаточно показать, что существует положительное число & (р), такое, что для достаточно большого /

М& (户)> & (p)p*sT).(9.6)

Пусть т означает наивысшую степень р, делящую 幺 и положим у = т + 1 при р〉2 или т = 0 и y = т + 2 при р = 2 и т ^ 1. Тогда, как в § 2.6, будем иметь (9.6), если показать, что для каждого m сравнение

d{x^ + ・…+ d» 三 m (mod pY)(9.7)

разрешимо в %ь ..., xr c p *f хи

Пусть К = рут"(电 р«р—1)). Тогда число Ах степеней вычетов по модулю р，есть ①⑺)/К. Следовательно, по лемме 2.14 множество 弘 вычетов т по модулю р£ которые могут быть записаны в виде

d^ + ... + d.xf, (р 才/), удовлетворяет условию card ^f ^ min(pL j(p(pY)/K). Таким образом, если г ^ 4й, т. е. s 》4ft2-——ft, то (9.7) имеет решение желаемого типа, и это завершает доказательство теоремы 9.1.

Предположим, что Ci, ..., cs — целые, такие, что для каждого q сравнение с^^ + ... + csx^ = 0 (mod q) имеет реше^ ние с (х/, q) = 1 для некоторого /. Тогда, следуя Дэвенпорту и Льюису (1963), говорят, что Ci, ..., cs удовлетворяют уело- вию конгруэнтности^ F* (山)определяют как наименьшее s, такое, что каждая последовательность целых с^ ..., cs упов^ летворяет условию конгруэнтности, a G* (左)一как наименьшее число 厶 такое, что всякий раз, как s ^ 厶 уравнение

с" + …+ csx^ = О

имеет нетривиальное решение в целых числах, если с^ ・.・,с§, не все одного знака при четном 山 и удовлетворяют условию конгруэнтности.

Предыдущие рассуждения дают Г* (山)W 4ft2 — k + 1 и G* (ft) W min(s(), 2走 + 1). Дэвенпорт и Льюис показали： (i) что Г*(й) ft2 + 1; (ii) что Г* (ft) = ft2 + 1, когда ft + 1 простое, и (iii) что G*(ft) ^ й2 + 1, когда 0^18 и 々 & 6. Вон (1§76Ь) сократил разрыв в (iii), применив методы гл. 5, 6, 7 при 11 W 々 £ 17.

Для малых значений k величина Г* (山)известна. (См. [Bierstedt, 1963], [Bovey, 1974], [Dodson, 1967], [Norton, 1966].) Также, на основе более ранннх работ Нортона 《Norton, 1966] и Човлы, Шимуры [Chowla, Shimura, 1963], Титавайненом [Tietavainen, 1971] было показано, что

limsupIWlL= 2 .

gj 々log 山 log 2

9.3 Теорема Бёрча

Теорема 9.2 (Бёрч, 1957). Пусть j, / ——натуральные числа, и пусть 々1, ..., kj ——нечетные натуральные числа. Тогда существует число 中/(也,...,々/, /) со следующим свойством. Пусть Fi (х), ..., F/(x) — формы, от х = (%ь ..., xs) степеней 拓，••・,后 соответственно с рациональными коэффициентами.

Тогдщ каково бы ни было

s > Т；(Й1用，/),

существует l-мерное векторное пространство У в Qs, такое9 что для каждого № V

尸 i(x)= ... =Fj(x)=O・

На первом шаге доказательства устанавливается справедливость теоремы в случае, когда j = Т, F】аддитивна и й ^ 3.

Лемма 9.1. Существует число Ф(й, /), определенное для натуральных чисел й, / с нечетным 々才 3, такое, что если s》①(电 /), то для каждой формы с/心 + ... + cj^ с рациональными Ci, ..., cs существует l-мерное векторное простран* ство V в Q$, такое, что для любого х е V

&冲 + ... + %誉=0.(9.8)

Доказательство. По теореме 9.1 найдутся f = t(k) и //“ —・ …，у〃 не все равные нулю, такие, что，

С\У& + ・・・ + qyf = 0.

Аналогично для

4+也?+1 + ， 一+ e2f"=。

и т. д. Следовательно, при s^ It точка

(〃1У1,・・г 〃1УЬ 〃2次+1, •一, W2Z/26 ...» Uiyit^ 0, . . , f 0)

удовлетворяет уравнению (9.8) для всех 〃卜・,・, ш.

Доказательство теоремы 92 Пусть k = max kiy так что k — нечетное положительное число. Доказательство проводится индукцией по нечетным 財 Для й = 1 результат установлен. При 々>3 главный шаг состоит в том, чтобы пока* зать: если теорема имеет место для систем форм, таких, что max瓦《々一2, то она справедлива для одной формы степени 々.Это заключение затем легко обобщается на систему форм степени не выше k.

Для формы

尸(X)=尸(％],・・・，％) =£

4%

%，…，俨L…％

(нечетной) степени 山 рассмотрим

F (〃оУ⑼ + “J⑴ + …+ 味 1уб+")=

=/ X % Qitk (必吸+…+ "计例:+")…

•• •("田? + …+ ""+1 呢+")=

Теперь определим е⑴=(1, 0, 0, ...), е⑵=(0, 1, 0,…)и т. д. и возьмем 〃о = и, у(°)= у, у。)= е。), у(2)= е(2), ... . Тогда перегруппировка членов дает

F ®у + /е⑴ + …+ 〃"+M+D)=

=X。厶 X 以…Uj F(y, Л, Л/й-л),(9.9)

гдеF(y； Л, /1厶_л)

——форма степени й от у = (yi, ..., ys). Общее число таких форм с нечетным й, 1 ^ й ^ й — 2 и 1 ^ р ^ /г + 1, не превосходит k(n +1)*. Следовательно, в силу предположения индукции находим, что при условии

5》屮初"+1严他-2,.。.，々一2, 1)

соответствующие уравнения

尸(У；瓦九・・・，/—) = 0

имеют нетривиальное решение z⑼ в Q$.

Если z⑼,е⑴一…,e("+i) линейно зависимы в Q$, то исключение одного из е⑺ дает линейную независимость множества п + 1 точек в Q$. Таким образом, в любом случае, беря в качестве одного из 〃/ в (9.9) нуль и, если необходимо, переименовывая переменные, получаем, что z(叱 z(D, ,,,, z(") линейно независимы и таковы, что

F (uz⑼+ 〃iz⑴+・・・+ 〃江z("))=

=cvk + £ vhGh (u) + Go (u), (9.10) ”2

及 четное

где Gft(u)——форма степени k ——й от и =(〃卜...,〃〃)・

Линейная независимость z(°), ..., z(") обеспечивает то, .что, если

X = uz@)十 U1Z⑴十 ...才映Z(7

нетривиальные наборы (о, щ,…)以)дают нетривиальные значения для х.

Рассмотрим систему форм

G/；(u) = О, й четное, 2 W 力 W 々一1-(9.11)

Степень k — h нечетна в каждом случае. Следовательно, дальнейшее применение предположения индукции показы* вает, что, когда 几 ^屮月(山—2,...,々 ——2, т), т. е.

S?So的m)，

система (9.11) разрешима для каждого вектора и т-мерного векторного пространства U в Q". Пусть 卫⑴,...,必俏)m линейно независимых точек в U н

И =侬111(1)++ 侬力 u("").

Линейная независимость снова обеспечивает то, что нетри- виальность w в Qm влечет за собой нетривиальность и в Q生 Следовательно, по формуле (9.10) для нетривиального вектора (и, 叫，…，9由)существует нетривиальный вектор х = =(修，…，%)，такой, что

尸(х) = cvk + 〃(w),

где Н — форма от w = (^ь ...» 侬小)степени А, т. е. F представляется в виде cvk + 〃(w).

Повторение этих рассуждений показывает, что если s 层， ^si (电/), т。尸 представляется диагональной формой ”

quf + ... + q吟

где t =①(h, I) • Лемма 9」теперь дает случай j = 1,也=月 теоремы.

Чтобы завершить рассуждения индукции, остается исследовать общий случай системы / уравнений 尸i = ... = 尸/ = О с max ki s== k. Это делается в свою очередь индукцией по /. Случай j = 1 был только что рассмотрен. Предположим, что / > 1. Не ограничивая общности, можно предполагать, что kj = k. Согласно утверждению в случае / = 1, если для данного m s ^ Ti (kft m), то существует m-мерное векторное пространство U в 0$, такое, что F/(x) = 0 для любого х w U、 Точки U могут быть представлены в виде

УС⑴ + ... Т^~Ут^т\

где x(D, .一, x(m)——линейно независимые точки Q§. Для этих точек формы 尸ь，一？尸j-】 становятся формами от у = (у】* 一* ■ its J/m) * ЕСЛИ

max 包《々一2,

то используется главное предположение индукции. Если max kt =瓦

то используется предположение индукции по /. В любом случае при условии, что /и A 4fl (也，…，^/-i, /), существует Z-мерное векторное пространство V в Q7 на котором каждая форма Fi равна нулю. Это заканчивает доказательство теоремы.⑴

Упражнения

Применяя методы гл. 7, покажите, что

lim sup —

Применяя методы гл. 6, покажите, что G*(3) ^ 8, G*(4)& W 14, G*(5)^23, G* ⑹ W36.

Покажите, что Г* (2) = 5, Г* (3) = 7, Г*(4) = 17 и что Г*(^) W min(5o, 2走 + lj・

Примечание редактора

В связи с теоремой Бёрча см работы Архипова Г. И. и Карацубы А. А. О локальном представлении нуля формой. Изв. АН СССР, сер. матем., 1981, 45 : 5, с, 948一961、Об одной задаче теории сравнений. УМН, 1982, 37 : 5, с. 161—162: здесь, в частности доказана теорема； Пусть р — простое числом для любого натурального числа г существует такое П]= 几 1 (г; р), что при 〃戸屯 существует форма 尸(修，...,хЛ) степени, не превосходящей п, с целым коэффициентами, число переменных которой К, К > р“，

logp п 10且卩 logp п ... logp .. • logy log* ... log； л

в тривиально представляющая нуль в поле р-адических чисел.

10

Теорема Рота

Введение

В 1927 г. Ван дер Варден [Waerden, В.匚 van der, 1927] доказал, что для заданных натуральных чисел 厶 г существует 几о(4 г), такое, что если п ^ «о(/, г) и множество {1, 2, ...» /г} разбито на г подмножеств, то по крайней мере одно подмножество содержит / членов арифметической прогрессии.

Для произвольного множества натуральных чисел 國 пусть

А(п) = А (/г, *) =£1, D[n} = D (/г, m)= ^/(/i)

(10.1)

н d н 3 — соответственно нижняя и верхняя асимптотические плотности 必

d = d (W) = lim inf D (zz), d = d (加)=lim sup D (/:). (10.2) 11n->OOn->QO

В случае когда d = 5, пусть d = d(j^) означает их общее значение, асимптотическую плотность 必 Эрдеш и Туран |[Erdos, Turan, 1936] на основе анализа известных доказательств теоремы ван дер Вардена высказали предположение, что каждое множество 加 с 2(加)>0 содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Эквивалентное утверждение состоит в том, что если существует /, такое, что 必 не содержит / членов арифметической прогрессии, то d(m)= 0.

Первый нетривиальный случай： / = 3. Справедливость предположения в этом случае впервые установил Рот [Roth, 1952, 1953, 1954] при помощи остроумного применения метода Харди — Литтлвуда.

Другим методом Семереди [Szemeredi, 1969] доказал предположение для / = 4, а Рот (1972) дал иное доказательство, используя свой предыдущий метод.

В 1975 г. Семереди установил общий случай. К сожалению, доказательство Семереди использует теорему Ван дер Вардена. Позднее Фюрстенбург [Furstenburg, 1977] доказал теорему Семереди, основываясь на идеях эргодической тео* рии. Хотя в доказательстве не применяется теорема Ван дер

Вардена, очевидно, что оно имеет похожую структуру и, таким образом, все еще не дает желаемого результата.

Идеи, возникшие при изучении проблемы, позволили Фюрстенбургу (1977) и Шаркёзи [Sarkozy, 1978а, Ь] установить, что если 5(з^) > 0, то множество чисел вида а — а' с а 旺乩 俄旺加 содержит бесконечно много полных квадратов.

В этой главе доказывается теорема Рота с использованием его варианта метода Харди — Литтлвуда и развивается доказательство теоремы Шаркёзи — Фюрстенбурга по Фюрстенбургу, но без эргодической теории.

На протяжении всей главы постоянные являются абсолютными.

Теорема Рота

Пусть М⑴(лг) означает наибольшее число элементов, которые можно выбрать из множества {1, 2, ..., п} так, чтобы никакие / из них не принадлежали прогрессии. Пусть

卩⑺ 5) = n^M^(Z2).

Тогда теорема Семереди формулируется в виде

Ит 卩")5)=0,rt->oo

что, очевидно, включает в себя предположение Эрдеша — Турана. Как показывает следующая лемма, легко доказать, что такой предел существует. Другое дело — найти его значение.

Лемма 10.1. Для любого целого числа / существует lim 快")(〃). Кроме того, для т^ п справедливо нера

венство 卩⑺(m) 0 2卩⑺(zz).

Доказательство. Из определения М«)тривиально следует* что

М&)(m + n)^ М ⑷(m) + М^(п).

Поэтому

М^ (т) < [? ] М" («) + М"(加—“*]) W

^^М^(п) + п.'

Следовательно,卩«)(/n) W 卩")(九)+ п/m, так что

lim sup卩⑴(m)《卩⑴(/г),

m今8

откуда

lim sup 卩⑴(〃z) & lim inf 卩⑴(гг), m->8п~>оа

Кроме того, при m ^ п М⑺(m)《(m/〃 + 1) М«)(〃)《 W 2М^ (〃) m/n.

Следующая теорема не только показывает, что при / = 3 рассматриваемый предел равен нулю, но и дает оценку величины "3)(〃).

Теорема 10.1 (Рот). Пусть 〃 ^ 3. Тогда 卩⑶(〃)《 《(loglog/г)-1.

С этого момента предполагается, что / = 3, и для удобства верхний индекс (/) опускается.

Выберем ^ и {1, 2,, 〃}, так что card ^ = М(п) и ни

какие 3 элемента ^< не принадлежат прогрессии. Пусть

f(a)= 2 e(am).

ТогдаМ ⑺=у (a)? f (— 2a) da,(10.3)

поскольку интеграл справа равен числу решений уравнения 的 + 团2 = 2恨 с g 三 4\ а по построению ^ такие решения могут быть ТОЛЬКО при 团1 =团2 =团3・

Пусть х(х)

означает характеристическую

функцию мно-

жества 風 так

что

f (a) = X 乂 (％) е (а%)・

(Ю.4)

Предположим,

что

m < гг,

(10.5)

и рассмотрим

и (а)=卩(m) £ е (ах)

(10.6)

и

Е (а) = и (а) — f (а).

Тогда

Е(а)= X с(х)е(ах),

Х = 1

(Ю.7)

где

с(х) = ц(т) — х(х).

(10.8)

Идея доказательства состоит в том, что если М (п) близко к 小 то интеграл

1

\ f (a)? f (— 2а) da

о

должен бы быть ближе к М (п)2, чем к М (п) (ср. с (10.3)). Чтобы показать это, прежде всего используется беспорядочность арифметической структуры 風、чтобы заменить f на и со сравнительно малой погрешностью. Это достаточно общий принцип, возникший из применений метода, изложенного в предыдущих главах; суммы вида

2 е (ах)

X < П, Y巨抬

стремятся иметь《пнкн》в точках a/q, когда элементы W регулярно распределены в классах вычетов по модулю 仇 тогда как и (а) имеет «пики» значений в целых точках.

Пусть

尸(а)== X e(az)・(10.9)

Лемма 10.2. Пусть q — натуральное число^ q V n/m, 〃 для у = 1, 2,・・・，〃一 mg пусть

。(切= G®； m, д)= 2 С(у + %д).(10.10)

х=0

Тогда о(у)^0 (у — 1, 2, ..., и — mq) (10.11) и,

F(ag)E(a)= X ^^е (а (у + mq — q)) + R (а),(10.12)

y = I■

где R(a) удовлетворяет неравенству

|R(a) I V 2m2^.(10.13)

Доказательство. Объединяя члены произведения FE, для которых х -\- zq = h mq — q, получаем

n

戶(ag) £ (a)= 汇 e (а (力 + mg — g)) X k' + q-mq

X 2 c (/2 + g (加一1 — z)).

2 = 0

Внутренняя сумма по абсолютной величине не больше т, поэтому общий вклад членов с А 0 и h> п — mq не превышает по модулю m(mq + (m—1)^) < 2m2^. Для остальных значений й имеем 1 ^ А + ^(т ——1 ——z) ^ п для всех 2 в интервале [0, m—1]. Это дает (10.12) и (10.13).

Согласно (10.8) и (10.10),

?п—1

О @) = М (加)一£ % ® + xq).

”0

Пусть

'гл — !Г= £ ^(у+ xq).

Тогда г—число элементов Я среди у, у + q, ..., у + + (т—l)q. Пусть это элементы у + x^q,…，у + xrq. Тогда никакие три из них не принадлежат прогрессии. Следовательно, никакие три из чисел 弘，…，х「не принадлежат прогрессии. Те же рассуждения применимы для 1 + %i, ..., 1 + + Хг. Кроме того, 1 + %/ ^ т. Отсюда г ^ М (т), что дает (10.11).

Лемма 10.3. Предположим, что 2m2 V 几.Тогда для каждого действительного числа а

1е(a) I V 2几(卩(m)一卩(九))+ 16m2.

Доказательство. По лемме 2.1 существуют а, % такие, что (а, q)=l, 1《е《2m и |а — a/q\ ^ l/(2^m). Тогда

尸(а, е)= F(aq—a)=尸(0),

где |р| ^ 1/(2т). Следовательно, согласно (10.9),

1尸(/)| = |世等L以也.

vI Sin np I Л

Таким образом, в силу леммы 10.2

n—mq

< £ сг (у) + 2m旳 < mE (0) + 8m3.

Кроме того, согласно (10.7) и (10.8),

£ (0)= X 也依)—и ⑶)=/г (ц (m) — ц (〃)).

Отсюда следует лемма.

Доказательство теоремы 10.1. Пусть

/ = \ f (а)? V (— 2а) da.(10.14)

о

Тогда ввиду формул (10.4) и (10.6)

/= 2 Zn(加).

21a+方

Таким образом, если Mi — число нечетных элементов 及，а 〃2 — число четных элементов, так что ЛЛ + Л4? = М(〃)，то

/ = ц (т)(М[ + М^ > 4 ц (m) М (nf. (10.15)

Согласно (10.3) и (10.14),

I м (“)— / к (max I Е (а) |) \ 卄(а)『da.а0

Следовательно, по лемме 10.3 и равенству Парсеваля, в случае когда 2m2 V п, имеем

\М (п) — / | W (2/z(|i(m) — ц(/г)) + 16m2) М(〃).

Отсюда ввиду (10.15)

ц (т) ц (/г) & 4 (卩(m)—卩(〃))+ 34团仇川 (2m2 < /г). (10.16)

Переход к пределу при 〃->8, а затем при 他-> оо показывает, что т= lim 卩(〃) удовлетворяет неравенству т2 ^ 0. Для того чтобы получить количественное выражение этого, положим

%(元)=快(23*).

Ввиду леммы 10.1 достаточно показать, что 入(2尤)《尸.

Согласно (10.16),

入(У) % (У + 1)44(% (у)—%(у+ 1)) +34X2-3 •

Деление на \(у)\(у + 1), суммирование по у = xt 尤土 1, … ...,2х — 1 и применение леммы 10.1 дают

%《4% (2%)т + 200хЛ (2x)-2 2一产.

Если 入(2х)> 1/х, второй член справа <gx для достаточно больших х, так что 入(2х) V 8/尤,что дает желаемое утверждение.

Теорема Фюрстенбурга и Шаркоци

Теорема 10.2. Пусть 垓一множество натуральных чисел с 2(%) > 0, и пусть R(n)——число решений уравнения

а — а' = #

в а, а\ х, где a 三 ％ 优三 必 a £ n. Тогда

lim sup R ⑺〃-3/2〉о.

П->оэ

Эта теорема несколько сильнее теоремы 1.2 Фюрстенбурга (1977). У Шаркоци (1978) подход другой. Он применяет ме-

тоды § 10.2, чтобы показать, что если уравнение а — af = x имеет только тривиальные решения, то

А(п)《九(loglog^)2/3(logлг)-1/3.

Пусть Л% — бесконечное множество натуральных чисел, такое, что

lim A (n) = d(s^)t 门今8

门W #0

пусть 3Urt (q, a) = {a ： I a — afq | & ^-irt-i/2^(10.17)

и пустьf (a) = X е(з)・

a 《门

a w揑

Необходимо показать, что f имеет довольно обычное поведение на 獣式q, а). Для 九 4

\ I f (a) F da & 卜 f (а) |2 da < п.

航"W，а)0

Следовательно, интеграл

\ I f(a) “Ka航门(% a)

ограничен равномерно по q, а, п. Поэтому можно выбрать бесконечные множества 斤(％ а) натуральных чисел, такие, что

4(1, 1)=斤(1, 0)и/, #(е+ 1, 1)и%@ е— 1),

Л (% а') и УГ (^, а) при IWaVa'Wq—1 и (优，q)= =(а, ^) = 1, и предел

p(q, а)= Hm \ I / (а) n~l da

п 三巾(％ a) 5n («, а)

существует. Таким образом, при заданном Q для всех достаточно больших п п ^ Jf (Q, Q—1) имеем

и ^n{q, а) с 1 W Q & q W Q, (a,q)=l попарно не пересекаются. Поэтому

2 £ p(g, а) < 1 + \ If (а) |2“-"а&2. qWQ а=1О

(а,幻

Следовательно, ряд 2 2 р (% а) q = l а = 1 (а, 4)=1

сходится.

Определение больших и малых дуг

Предположим, что 0<外 V 1, и выберем Q = Qo(n), так что

£ 2 р(д, а)<п， Q > ^-(10.18)

qgQ + l а = 1

(a, q}nl

Теперь определим

也= (Q!)2, Р = ^и(10.19)

и, начиная отсюда, будем предполагать, что

〃三 h(p,尸—1).

Затем для заданного Х/1 выберем 〃о =的⑺，X)扌 X?, так что при п > по и 1 W а & е & R (а, 4)= 1, большие дуги

叫,х(е，а)={а: |а—a/e|£XL〃"}

попарно не пересекаются,

\ I f (a) FL da < р(% а) + “Р-2(10.20)

航门①，g

иА(п) > ~ dn.(10.21)

Ввиду (10.⑺ для 〃% 耽％ x(q, а)и 耽篦(q, а). Поэтому

в силу (10.20)

J If (а)『"-%а< р(д, а)+ 吁一2.(Ю.22)

恥，X(q，а)

Обозначим через 5Л объединение больших дуг ЭЛл,х(е, а) с I ^ а ^ q ^. Р и (а, д)=1 и определим малые дуги т,

полагая

Далее где

m = (XL, 1 +Xn-l]\3R.

g(6)= g 6(眠)， ^ 《 (加々严.

(10.23)

(10.24)

Тогда,

согласно (10.19),

R (切》现，где ^=\ g (々a) 1 f (a) |2 da.

(10.25)

В силу теоремы 4.1 при (а，q) = 1

g(Y)= g-6(g,a)九(Y_第 +0(严6о+必卜 _^])),

(10.26) где

S(e，а) = 2 е (以炉/办 力軍)=，у а- |/2^ (ра) da.(10.27)

Кроме того, по теореме 4.2 S(q, а)《〃4

Вклад малых дуг

Предположим, что asm. Выберем a, q так, что (a, q) = 1, q W 力4/3, I 々а — a]q \《д"“-4/з Пусть а\ = а/(幺 а),⑺= =qk/(幺 а). Тогда | а — a/qi | W е"М-”з и(④，⑺)=1. Поскольку asm, либо 91 > R либо |а —的/⑺ | > X/Lq” В первом случае в силу (10.26)

g(砌《厂1/22+产6(1 +川]加一貝)《

《Nk'!2P~w + N3,\

а во втором случае | ka — a/q\ >> Xn~lq~lt так что ввиду (10.26), (10.27) и леммы 2.8

g (ta)《q~^\ 々a - ^「"2 + 广《評X…+ ^3/4.

Следовательно, согласно (10.19), в любом случае

g (々a)《^^--40 + /?'2x-1/2 + 23/4.

Отсюда по равенству Парсеваля

Jg(te)|/(a)|2da« (Nk^10 + п/：2Х-гр + N3/4)n. (10.28) SR

Вклад больших дуг

Теперь предположим, что а 三迦门，犬(仇以)，где l《aW WqWP И (a, q) = 1. Пусть q\ = q/{q, k), ax = ak/ (^, k). Тогда ввиду (10.26)

g ( йа) = q「S〈q「%)力(々(cty^ +

+ о(еб(1 + №й|а-^)).

Остаточный член этой формулы мажорируется величиной Р + N2kXn~l. Поэтому

\ g (ta)| / (а)产厶=阳 + О (Рп + N空х),(10.29)

где

q

隔=£ £\%-£(%, %)/г (々(a-^)) If (a) |2 da.

q《P «hl 打质犬(g, a

(fl,(7)=1'

В силу (10.22) и (10.18) сумма членов с q^Q + l по абсолютной величине не превосходит

У У (Р@ а) + »尸-2) < 2?1乂〃・ g r Q + г q=i i：a. q} =1

При qWQ ввиду (10.19) q|N так что ⑺= 1. Следовательно,

见=^^O^Nti^(10.30)

где

笈2= 2£\ 力(々(a _ ^)) I f (a) Fda.

q《Q a= 1% x(q, a

a,'

Легко показать, что для любого положительного числа У у

\ а-1/2 cos a da > 0.

Поэтому в силу (10.27)

Re/z ⑻= |р「а \ ^ а-и2 cos 2na da >0.(10.31)

Следовательно, отбрасывая в 5?2 все члены, за исключением одного с a = q = 1, получаем

1/4ЛП

Re 笈2》\ Re h (ta) | f (a) |2 da.

~ l/4jin

Кроме того, если |а| & 1/(4冗/г), то имеем 〃а

f (а) — f (0) = £ 2лй \ е 偉尤)d§,

0,

так что

W(a)|2〃0)(l — 2n|ah)2^(0) = ^4(*

Следовательно,

1/4лп

Re彌》；4(及 У J Re/г (々a) da.(10.32)

Завершение доказательства теоремы 10.2

Согласно соотношениям (10.24) и (10.31), Re A (ta) ^ ■^^J как только 4лтг|а|《 1. Поэтому в силу неравенств (10.32) и (10.21)

Ке”2 戸 32лп 250 '

Таким образом, в силу (10.25), (10.28) и (10.30)

R (及)> %=Re %=Re ^2+О((^"40+«1/2^~1/2 +№/4)«+пМ>

> -^nN -С ((^^^40 + A^I/2 + N吟 n + &N6 (10.33)

для подходящей постоянной С 扌 1.

Доказательство завершается подходящим выбором параметров. Пусть

刀=10-452С-1.

Это фиксирует Q = Qo(“)，а следовательно,々 н Р. Заметим, что ввиду (10.18) и (10.19) k^ Q > 1/т].

Пусть

X =刀一幺

и предположим, что /г》九0(“, X), tl^^ (Р,Р — 1).

Наконец, пусть ^ = [ (n/k)1/2] f так что (10.24) выполняется. Теперь для /г 扌 п\ (刀)

С《N『"+九雜犬-‘必+ N』、n + i]N〃) <

< C {y\Nn + x\ti^k^12 + qNn + t)Nm) < 5Ct)Nm = ^^ d2 MM.

Следовательно, ввиду (10.33)

Hm sup R (/г)几一昵 > /万胃%〜"？ > 0.

几今8JUU

что и требовалось доказать.

10.8 Упражнения

Докажите теорему Шаркоци, сформулированную в § 10.3.

Покажите, что если 2(<^) > 0 н R(〃)означает число решений уравнения а — af = р—1 с a w 必，af е ^, a W & р простое, то

limsupR(/z)(log〃)〃i2 > 0.

八一>8

Диофантовынеравенства

Теорема Дэвенпорта и Хельбронна

Все формы метода Харди一 Литтлвуда, описанные до сих пор, были связаны с решением уравнений в целых числах. Например, в гл. 9 показано, что если s достаточно большое, то для заданных целых С\, ,.,, cs (или, что эквивалентно, для заданных рациональных с】，с§), не все из которых одного знака при 々 четном, уравнение

С]*。十...十 Csx^ = О

имеет нетривиальное решение в целых 工匕...,xs, Теперь возникает вопрос, что происходит, когда не все с】,...,cs являются рациональными числами. При этом неразумно требовать, чтобы форма представляла 0, но можно вместо этого потребовать, чтобы она принимала произвольно малые значения.

Для ответа на этот вопрос Дэвенпорт и Хельбронн (1946) ввели своеобразный вариант метода Харди — Литтлвуда. Это позволило им получить следующую теорему,

Теорема 11.1. Предположим, что s》2々 + 1 и 九卜 …，入$ — отличные от нуля действительные числа, не все из которых рациональные w не все одного знака при четном k. Тогда для любого положительного числа 刀 существуют целые 尤卜..,,х§, не все равные нулю、такие、что

I入/『+ •…+ ^sxs I V巾I入/『+ •…+ ^sxs I V巾(UJ)(UJ)

I入/『+ •…+ ^sxs I V巾

I入/『+ •…+ ^sxs I V巾

(UJ)

(UJ)

Достаточно доказать теорему для 刀 = 1, так как затем в ней можно заменить 九/ на Х//т),

Кроме того, если 々 нечетное, замена при необходимости 冲 на(—л:】)电 дает возможность считать и в этом случае также, что не все 九/ имеют один знак.

Введя новые обозначения, можно предполагать, что 九 1/九2 ——иррациональное. Если 九丿九2 > °, рассматриваем любое /, для которого Х1/Х； V 0, Тогда если ^丿九/ рациональное, то 九2/九/ ——иррациональное и отрицательное. В любом случае,

снова заменив обозначения, можно предполагать, что

九 1/九2——иррациональное и отрицательное. (11.2)

Во всех формах метода Харди — Литтлвуда, рассмотренных до сих пор, основным орудием были преобразования Фурье на торе (torus)f Т = R\Z. Для решения данной проблемы удобнее работать на R. Очевидным аналогом формулы (1.8) является тождество

[е(ар)更萨 da =[е(ар)更萨 da =1о1о(IPKD,(lpl〉i)・(IPKD,(lpl〉i)・

[е(ар)更萨 da =

[е(ар)更萨 da =

1о

1о

(IPKD,(lpl〉i)・

(IPKD,(lpl〉i)・

Однако существуют некоторые трудности, связанные с этим преобразованием из-за того, что интеграл не сходится абсолютно. Более удобно, следовательно, вместо него использовать интеграл

/⑻=\ е(сф)К(а)〃，K(a)=(^^)1 (11.3)

Непосредственное применение интегральной формулы Коши дает

/(3) = тах(1 — I§I，0),(11.4)

Пусть

f (а) = £/(♦),"(a) = f&a).(П.5)

чтобы инте-(11.6)чтобы инте-(11.6)Для успешного применения метода необходимо, грал

чтобы инте-

(11.6)

чтобы инте-

(11.6)

R(N)=、(也(a))K(a)da

имел положительную нижнюю границу. Согласно (11.4) и (1L5), этот интеграл равен

2 ... e max (1 - 1%冲 + •.. + 人明，

X, =1% =1

эта величина может быть положительной, только если существуют 尤1,xs. для которых выполняется (11.1) с 刀= L Таким образом, теорема 11.1 вытекает из следующей теоремы.

Теорема 11.2. Предположим, что s > 2*. Тогда существуют сколь угодно большие N, для которых

R(N)》Nf

Отметим, что всюду в этой главе неявные постоянные могут зависеть от Xi,...,九$.

Определение больших и малых дуг

Используемая здесь форма метода Харди — Литтлвуда несколько проще тех, которые были описаны ранее. Наиболее важное упрощение вызвано тем, что при подходящем выборе N подынтегральное выражение имеет только один действительно большой пик в начале координат. Поэтому иррациональность 九J九2 обеспечивает относительную малость одной из функций 厶，,2, когда а не близко к нулю.

Пусть

v=击，P = N(11.7)

Тогда R разбивается на три части: одна большая дуга

迦={а: |а|£Р“т},(11.8)

пара малых дуг

ш = {а: PN-卜 V I I & 尸}(11.9)

и ^тривиальная^ область

t = {а: Iа| > Р}.(11.10)

Оценка интеграла по тривиальной области производится быстро. По лемме Хуа (лемма 2.5),

\ I力(а『

так что по неравенству Гёльдера

X” 2履

\ Д ft (a) da《2*.(11.11)

Таким образом, согласно (11.3),

\ Е(а) К (а) det《『Е(а)宀

f /7Р / = 1

^Ns-k+e^(h + РГ2.

Следовательно,

，Й?/(а) К (а) da《№~^в;(11.12)

здесь и ниже 6 — фиксированное положительное число, зависящее разве что от k, s, Хь .,.(九

Оценка на малых дугах

Именно при оценке на ш используется иррациональность 九 1/九2 и требуется специальный выбор ^.

Лемма 11.1. Пусть a, q — произвольная пара чисел с условием (а, д) = 1 辽

Пусть далее ^ = g Тогда

sup min (丨 ％ (а) I, | % (а) I )《廿-厶

Существование сколь угодно большого q и, следовательно, N, удовлетворяющего лемме 11.1, обеспечивается леммой 2.1 и иррациональностью 九丿九2・ Такие ^ встречаются довольно редко, но, во всяком случае, их бесконечно много. Эта лемма неверна, если не производить такой специализации. Например, можно показать, что для подходящего Xi/X2

limjup (%sup min(| ft (a) |, | %(a) l))> 0.

Доказательство леммы 11.1, Предположим, что ^ ^ 扌 No(九i,...,九§), a 三 ш и Q = /2. Выберем 勿，a； в соответствии с леммой 2.1 такими, что .

(力，5) = 1, %《Q, \kIa — al/q!\^：l/(qjQ).

Первый шаг состоит в том, чтобы показать, что по крайней мере одно из qi, ^2 сравнительно велико. Если бы а； равнялось 0, тогда мы имели бы

|a|W l/(g/Q&|)VZ

и, следовательно, а принадлежало бы 2Л, а не ш. Таким образом, 的 声 0. Кроме этого, имеем

力=^ + ^ =弘1+今)，|"0.

ПоэтомуПоэтому九1九2九1九2卷）（1 +泰）卷）（1 +泰）

Поэтому

Поэтому

九1

九2

九1

九2

卷）（1 +泰）

卷）（1 +泰）

в силу того, что ^ и, следовательно, Q велико, дает

и, следовательно,

92。】

02 gl

<2^

А鴿+。®）

Согласно предположению,

17 = 7+0^2 с I" —

Отсюда -у —《Мт = е；

так чтоI a2q{a — q热q I| а?% I/仏

Если левая часть здесь не нуль, то |以2令1|》q, а если нуль, то a/е =(倣以1)/(以291), что снова дает \a2q\ \ ^> q. Поскольку 以2 =九2仪令2 — HzQ-i《 令2尸,то имеем 9^92》qPj Следовательно, ввиду (11.7)

max(^i,令2)> №/5.(11.13)

Теперь, по неравенству Вейля (лемма 2.4), для / = 1, 2

+ v +《m+旳产"+ 2一.

Отсюда ввиду (11.13)

min(| 厶(a) I，|%(a) |)《NY

что и требовалось.

Для завершения доказательства теоремы 11.2 будем предполагать, что ^ выбрано специальным образом в соответствии с леммой 11.1. Пусть

mi = {a：awm, | ^ (а) |<| /2 (а) |}, m2 = m\ Шр

Согласно (11.3)f К(а)《 min(l, а"). Кроме того, рассуждения, которыми мы получили оценку (11.11), показывают, что

Х+1 2丸+1Х+1 2丸+1\ 1"@)X Z = 1\ 1"@)X Z = 1da《№ j+e,da《№ j+e,修/修/так чтотак что\屮*)\屮*)К (a) da《乂2』+е.К (a) da《乂2』+е.

Х+1 2丸+1

Х+1 2丸+1

\ 1"@)

X Z = 1

\ 1"@)

X Z = 1

da《№ j+e,

da《№ j+e,

修/

修/

так что

так что

\屮*)

\屮*)

К (a) da《乂2』+е.

К (a) da《乂2』+е.

Следовательно, по лемме 11.1, если / = 1 или 2,

^ Д // (a) к (a) da《№"1一 丸一叶纟

ту /■1

Таким образом, существует положительное 6, такое, что

J n力⑷ к (a) da < №_ft"°.(11.14)

m /-1

Большая дуга

Ввиду (11.12) и (11.14) остается только показать, что для достаточно большого ^

\(f]4(a)]K(a)da》(11.15)

Пусть aw耽.Ввиду (11.7), (11.8), леммы 2.7 и замечания после доказательства этой леммы имеем

f^a^v^^ + O^N2^

гдеи, (а) = \ е 仇产§丸)dp.(11.16)

о

Следовательно,

小_ 5…%=}(力一,)(h“(«产)《产…"

Отсюда ввиду (11.8)

\ (寸力(a)一寸办(a)) k (a) da《 L弋(11 .⑺

Заменив переменные в интеграле (11.16), а также заметив, что

\ т^1к~ 0есть《1 равномерно по X ^ 0,Отсюда по (11.7) и (11.8)\ (fl唄⑴)К(G 〃《 R\耽 \/™i/川、Таким образом,陋頂 a))K(a)da=询 ал \/=i/-oo\/=：%(V)dyнаходим, что\ q—s傕 da《n(s—丸)a—v他).r一丸円(a)) к (a) da+O(№ ^~6).(11.18)\ т^1к~ 0есть《1 равномерно по X ^ 0,Отсюда по (11.7) и (11.8)\ (fl唄⑴)К(G 〃《 R\耽 \/™i/川、Таким образом,陋頂 a))K(a)da=询 ал \/=i/-oo\/=：%(V)dyнаходим, что\ q—s傕 da《n(s—丸)a—v他).r一丸円(a)) к (a) da+O(№ ^~6).(11.18)

\ т^1к~ 0

есть《1 равномерно по X ^ 0,

Отсюда по (11.7) и (11.8)

\ (fl唄⑴)К(G 〃《 R\耽 \/™i/川、

Таким образом,

陋頂 a))K(a)da=询 ал \/=i/-oo\/=：

%(V)dy

находим, что

\ q—s傕 da《n(s—丸)a—v他).

r一丸

円(a)) к (a) da+O(№ ^~6).

(11.18)

\ т^1к~ 0

есть《1 равномерно по X ^ 0,

Отсюда по (11.7) и (11.8)

\ (fl唄⑴)К(G 〃《 R\耽 \/™i/川、

Таким образом,

陋頂 a))K(a)da=询 ал \/=i/-oo\/=：

%(V)dy

находим, что

\ q—s傕 da《n(s—丸)a—v他).

r一丸

円(a)) к (a) da+O(№ ^~6).

(11.18)

В силу (11.16)

\ (ГМ)—8 \/ и 1 Z\ (ГМ)—8 \/ и 1 ZК (a) det =К (a) det =

\ (ГМ)

—8 \/ и 1 Z

\ (ГМ)

—8 \/ и 1 Z

К (a) det =

К (a) det =

ОО ^N

+ %Pf)a)K(a)dh・+ %Pf)a)K(a)dh・\ da \ dp]…、e ((九用+ • •

+ %Pf)a)K(a)dh・

+ %Pf)a)K(a)dh・

—оо ОО

Поскольку К(а)《min(l, а*2) и подынтегральная функция непрерывна, порядок интегрирования можно изменить. Следовательно, согласно (11.3) и (11.4),

К (a) da =К (a) da =

К (a) da =

К (a) da =

=、呻I …\ таX(1 — 1m叶 ++hP外 0"队=

Оо

川履N*

=k~s ^ det】…\ (aj.. .a^)1^"1 max (1—| 九m+.. . +%& |, 0)d&. оо

Теперь требуется предположение, что Xi/X2 V 0. Рассмотрим область

例%) ： 6产 & a? W 26繕，&歴 <a；C

&2呼№(3&/&S)}.

Тогда для достаточно малого 6, каков бы ни был элемент (a2,a§)w 乳 имеем'

262n' V —(九2ct2 + . . . + 九$Cts)九1 1 « 4" “'，

и поэтому каждое ai, такое, что| X^j + . . . + Xsas I ^4> УД°В- летворяет неравенствам 2№ V a】V №. Следовательно,

\ (ТТ % (a))K (a) da》(№~厶『\…\ dab

-оо \/«1/鋁Л (a2%)

где 幽(a?, ... f a§) означает интервал с концами в точках (——(九2a2 + . . . + Xsa^) ±；)入「) Очевидно, объем 毋 есть 》(№)7 Поэтому

К (a) da》№^\К (a) da》№^\

К (a) da》№^\

К (a) da》№^\

что в комбинации с (11.17) и (11.18) дает оценку (11.15) и, таким образом, завершает доказательство теоремы 11.2.

Упражнения

(Дэвенпорт, Рот, 1955; Вон, 1974b.) Получите теорему 11.1 для любого s ^ Ck log fe, где С—подходящая постоянная.

Пусть 九 1,九2,九з,卩，Л — действительные числа, X/ =/= 0f 刀>0, Xi/X2 ——иррациональное и 九】/九2 Vo. Покажите, что существуют простые pi, р2, р3, такие, что

I 九Ri + 九2P2 + 入зРз + pj V 斗

(Baker, 1967; Vaughan, 1974a.) Модифицируя рассуждения, использованные в вопросе 2, покажите, что существует бесконечно много троек простых чисел 卩，卩2, рз, таких, что

丨储Pi + 九2P2 + 九зРз + 卩丨 V (log max р?)Т/

(Бэйкер) 9 Пусть F(2V)f 0 при N fg. Докажите, что утверждение 《для любого достаточно большого ^ существуют простые pi, 02, Рз, такие, что р^ & N и |AiPi + + 入2P2 + 九зРз| > 尸(")》，может быть ложным для подходящих 九 1, ^2,九з, для которых Х1/Х2 > 0 и Xi/X2 иррационально.

Сообщено в разговоре в июне 1973 г.

Библиография

Apostol, Т. М. (1976). Introduction to analytic number theory. New York： Springer Verlag. [В].

Arhipov, G. I. & Karatsuba, A. A, (1978). A new estimate of an integral of I. M, Vinogradov. Izv. Akad. Nauk SSSR, ser."也％ 42, 751-62, [5].

Arkhangelskaya, V. M. (1957). Some calculations connected with Goldbach's problem. Ukraine Math. J., 9, 20-9. [3]

Ayoub, R. (1953л). On Rademacher's extension of the Goldbach-Vinogradoff theorem. Trans. Am. Math. Soc., 74, 482-91. [G].

Ayoub, R. (1953b)」Qn the Waring-Siegel theorem. Can. J. Math., 5, 439-50, [G]*

Babaev, G. & Subhankulov, M. A. (1963). An asymptotic formula for two additive

■ problems. Tadjhik. Gos. Univ. Uisen. Zap., 26, 49-68. [G]..

Baker, A. (1967), Ori some diophantine inequalities involving primes. J. Reine Angew. Math., 228, 166-81. [11].

Bam bah, *R. P. (1954). Four squares and a hth power. Q, J. Math.* 5, 191-202.

[Н].；…

Batchelder, E M. (1936). Waring' problem. Am. Math. Month., 43, 21-7. [1} S].

Behrend, F. A. (1946). On sets of integers which contain no three terms in .

arithmetical progression. Proc. Na in. Acad. ScL U.S.4, 32, 331-2. [10].

Bierstedt, R. G. (1963). Some problems on the distribution of kth power residues modulo a prime. Ph.D. thesis. University of Colorado, Boulder. [9].

Birch, B, J, (1957). Homogeneous forms of odd degree in a large number of variables. Mathemaiika; 4, 102-5. [9]

Birch, B. J. (1962). Forms in many variables. Proc. R. Soc. Land., 265A, 245-63.

Birch, B. J. (1970). Small, zeros of diagonal forms of odd degree in many variables.

Proc.'Lond. Math. Soc.} (3), 21, 12-18. [9].

Birch, B. J. & Davenport； H. (1958). On a theorem of Dayenport and ЙеЦЬгопп.

Acid Math，, 100, 259-79. [11].

Birch, B. J., Davenport, H.' & Lewis, D. J. (1962). The addition of norm forms.

Mathematika, 9, 75-82. [G]<

Bombieri, E. & pavenport, H. (1966). Small differences between prime numbers.

Proc. R Soc. Lond.t 293A, 1-18, [GJ.

Bovey, J. D. (1974). Г*(8). Ada Arith., 2s 145-50. [9].

Brauer, R, (1945). A note on systems of homogeneous algebraic equations. Bull.

Am. Math. Soc., 51, 749-55. [9].

Cassels, J. W. S. (I960). On the representation of integers as the sums of distinct summands taken from a fixed set. Acta Sci. Math. Szeged^ 21, 111-24. [10].

Cauchy, A. L. (1813). Recherches sur les nombres. J. Ec. Poly tech., 9, 99-116. [2]

Chen, J. -R. (1958). On Waring's problem for л-th powers. Acta Math. Sinica, 8, 253-7, translated in Chin, Math. Acta, 8 (1966), 849-53. [5].

Chen, J, -R. (1959). On the representation of a natural number as a sum of terms of the form x(x +1).. . (x + к — 1 J/kL Acta Math、Sinica., 9, 264-70. [G].

Chen, J. -R, (1964). Waring's problem for 矶5) = 37・ Scientia Smica. 13」335 and 1547 68. See also Sci. Rec.t 3 (1959), 327-30. [1].

Chen, J. -R, (1965). On large odd numbers as sums of three almost equal primes. Scientia Sinica, 14, 1113-17. [3].

Chowla, I. (1935a). A theorem on the addition of residue classes. Proc. Indian Acad. Sci., 2, 242-3. [2].

Chowla, I, (1935b). A theorem on the addition of residue classes: Application to the number Г化)in Waring's problem. Proc. Indian Math. Soc, 2A, 242-3, and Q. J. Math., 8 (1937), 99-102. [4].

Chowla, I. (1937d). On Г(k) in Waring's problem and an analogous function. Proc.- Indian Acad. ScL, 5A, 269-76. [4].

Chowla, I. (1937b). A new evaluation of the number「(k) in Warings problem. Proc. Indian Acad. Sci., 6A, 97-103. [4].

Chowla, S. D. (1934). A theorem on irrational indefinite quadratic forms. J. Lond. Math. Soa, 9, 162-3. [11].

Chowla, S. D； (1936). Pillai's exact formula for the number g〃?)in Waring's problerrL Proc. Indian Acad. Sci.. ЗА, 339 40 and 4, 261. [1].

Chowla, S. D. (1944). On g(左)in Waring's problem.尸roc Lahore Philos. Soc., 6? 16-17. [1].

Chowla, S. D. (I960). On a conjecture of J. F. Gray, Norsks Vid. Selsk. Forh. (Trondhebn), 33, 58-9. [9].

Chowla, S. D. (1961). On the congruence LjWIa；xA = 0 (mod p), J. Indian Math. So* 25, 47-8. ВД.

Chowla, S. D. (1963). On a conjecture of Artin, I, II. Norsks P/d. Selsk. Forh. (V-ondheim), 36, 135-41. [9].

Chowla, S. D. & Davenport, H. (1960/1961). On Weyl's Inequality and Waring^ problem for cubes. Acta Arit", 6, 505-21. [9],

Chowla, S. D. & Shimura, G. (1963). On the representation of zero by a linear combination of А-th powers, Norske Hd： Selsk. Forh. (Trondheim^ 36, 169-76.

Chudakov, N. G. (1937). On the Goldbach problem. C. R. Acad. Sci. URSSr (2^ 17, 335-8.

Chudakov, N. G. (1938). On the density of the set of even numbers which are not representable as a sum of two odd primes. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Nat, 2, 2$-40」3丁

Chudakov. N G. (Г947). On the Gpldbach -Vfnogradov-s theorem. Ann. Math.}(2),48;

515-45. [3].'

Cook, R. J. (1971). Simultaneous quadratic equations. J. Land. Math. So% ⑵)4, 319-26. [GJ.

Cook, R. J. (1972л). A note on a lemma of Hua. Q. Л Mat", 23, 28 7-8. [GJ. *

Cook, R. J. (1972b). Pairs of additive equations. Michigan Malh. J., 19, 325-31.

[GJ.，、.

Cook, R. J. (1973d). A note on Waring's problem. Bull. bond. Math. Soc, 5, 11-1X

[6].

Cook, R. J. (1973i>). Simultaneous quadratic equations П./c伝'々i加.，25, 1-5. [G], Cook, R. J. (1974). Simultaneous quadratic inequalities. Acta Arith.^ 25, 337-46.

[GJ.'

Cook, R. J. (1975). Indefinite hermitian forms. J. Lond. Math. So% (2), llr 107-12.

[GJ.:「

Cook, R. J, (1977, 1979). Diophantine inequalities with mixed powers L IL Л Number Tlwor., 9, 261-74; 11, 49-68. [GJ.

Corput, J. G. van der (1937a). Sur le theoreme de Goldbach-Vinogradov^ C. R.

Acad. ScL, Parts, 205, 479-81. [3]

Corput, J. G. van der (1937b). Une nouvelle generalisation du th^orSme de Goldbach-Vinogradov. C. R Ac^d. Scl. Paris, 205; 591-2. [3].

Corput, J. G. van der (1937c). Sur Fhypothese de Goldbach pour presque tous les nombres pairs. Acta ^rith.f 2? 266-90. [3].■

Corput, J. G. van der (1937d, 1938a,b,c,d). Sur deux, trois ou quatre ndinbres

.premiers, I,】L HI, IV, V. Proc. Akad. И^. Amsterdam, 40, 846-51; 41, 25—3£ 97-107,217-26, 344-49. [G]....、

Corput, J. G. van der (1938e), Sur Fhypothese de Goldbach. Proc. Akad.他f.

Amsterdam, 41, 76-80. [3].，

Corput, J. G. van der (1938/). Uber Summen von Primzahlen und Primzahlcn quadraten. Math. Ann., 116, 1-50. [G]

Corput, J. G. van der (1938g,〃JJ, 1939). Contribution a la theorie additive des .nombres I, II, Ш, IV,-V. Proc. Akad. Wet. Amsterdam, 41, 227-3 7, 350-61, 442-53, 556-67; 42, 336-45. [GJ.

Corput, J. Gr. van der & Plsot, Ch. (1939). Sur un problgme de Waring g^neralisS III, Proc. Akad. Wet. Amsterdam, 42, 566-72. [GJ.

Danidc, L (1958), Ths solubility of certain Diophantine inequalities. Proc. Lond, Math. Soc, (3), 8t 161-76. [11].:

Danicic, L (1966)、On the integral part of a linear form with prime variables. Can. ЛМлгй., 18, 621-28. [11].

Davenport, H. (1935). On the addition of residue classes. J. Lond Math. Soc., 10, 30-2. [2]..

Davenport, H. (1938). Sur les sommes de puissances entieres. C. R. Acad. S% Paris, 207, 1366-8. [6].

Davenport, H. (1939a), On Waring's problem for cubes. Acta Math., 71, 123-43.

И.'

Davenport, H. (1939b). On sums of positive integral Ath 'powers. Proc. R Soc.

Lond., 170A, 293-9. [6]..'

Davenport; H. (1939c). On Waring's problem for fourth powers. Ann. Math., 40, 731-47. [6].

Davenport, H. (1942д). On sums of positive integral kth powers. Am. Л Math.j 64, 189-98. [6].'

Davenport H. (1942b). On Waring's problem ftyrfifth and sixth powers. Am, Л Math., 64, 199-207. [6].

Davenport, H. (1947), A historical note. J. Land. Math, S。％ 22, 100-1. [2].

Davenport, Н. (1950). Sums of three positive cubes. J. Loml. Math. Soc., 25, 339, 43. [6].

Davenport, H. (1956, 1958). Indefinite quadratic forms in many variables I, II. MaiheHQika, 3, 81-101： Proc. Lond. Math. Soc., (3), 8. 109-26. [11].

Davenport, H. (1959). Cubic forms in thirty two variables. Philos. Trans. R Soc.

Lo门厶 261A, 193-*210. [9].'

Davenport. H. (1960tj). Uber einige neuere Fortschntte der addhiven Zahlentheorie. Jahresbr. der Deutschen Math. Ит., 63. 163-9. [SJ.

Davenport, H. (1960b). Some recent progress in analytic number theory. J. Lond. Math. Soc., 35, 135-42 [S]・

Davenport, H, (1962a). Cubic forms in 29 variables. Proc. R. Soc. Lond” 266A, 287-98. [9].

Davenport, H. (19626). Analytic niethods for Diophantine equations and Diophantine ineqiialities. Ann Arbor： Ann Arbor Publishers. [Е].

Davenport, H. (1963). Cubic forms In sixteen variables.' Proc. R. Soc. Lond., 272A, 285-303, [9].

Davenport, H. (I96(j). .Multlplicaliue number theory. 1 st edn. Chicago： Markham. 2nd ed. revised by Montgomery, H. L. (1980). Graduate Texts in Mathematics, 74. Berlin: Springer-Verlag. [В].

Davenport, H. (1.977). The collected works of Harold Davenport, vol. Ill, ed. B. J. Birch, H. Halberstram & C. A. Rogers. London: Academic Press. [GJ.

Davenport, H. & Erdos, P. (1939). On sums of positive integral kth powers. Ann. Math., 40, 533-6. [6].

Davenport, H. & Heilbronn, H. (1936(7), On Waring's problem for fourth powers. Proc. Lond. Math. Soc”(2), 41, 143-50. [5].

Davenport, H. & Heilbronn, H. (1936b)： On an exponential sum. Proc. Lond. Math. Soc., (2), 41, 449-53 [4].

Davenport, H. & Heilbronn, H. (1937a). On Waring's problem: two cubes and one square. Proc. Lond. Math. SoC., (2), 43, 73-104. [8].

Davenport, H. & Heilbronn, H. (1937b). Note on a result in the additive theory of numbers. Proc. Lond. Math* Soc,⑵，43, 142-51. [GJ.

Davenport, H. & Heilbronn, H. (1946). On Indefinite quadratic forms in five variables. J. Lond.-Math. Soc, 21, 185-93. [11].

Davenport, H. & Lewis, D. J. (1963). Homogeneous additive equations. Proc. R. Soc. Lond., 274A, 443-60. [9].

Davenport, H. & Lewis, D. J. (1966). Cubic equations of additive type. Philos.

Trans* R. Soc. Lond., 261A, 97-136. [G],

Davenport, H. & Lewis, D. J. (1969a). Simultaneous equations of additive type.

Philos. Trans. R Soc. Lond., 264A, 5 57-9 5. [GJ.

Davenport, H. & Lewis, D. J. (1969b). Two additive equations. American Mathematical Society Proceedings of Symposia 加 Pure Mathematics, 12, 74-98. [GJ..

Davenport, H. & Lewis, D. J. (1972). Gaps between values of positive definite quadratic forms. Acta Anth.f 21, 87-105. [GJ.

Davenport, H. & Ridout, D. (1959). Indefinite quadratic forms. Proc. Lond. Math. Soc., (3), 9,-544^55. [GJ.

Davenport, H. & Roth, K. F. (1955). The solubility of certain Diophantine inequalities. Mathetnatika, 2?.Bl-96. [11].

Dickson, L. E. (1933). Recent progress on Waring's theorem and its generalizations. Bull. Am. Math. Soc.t 39, 701-27. LU.

Dickson, L. E.(1936a).Researches on Waring's problem, Carnegie Inst, of Washington Publ. 464. [1].

Dickson, L. E. (1936b). Proof of the ideal Waring theorem for exponents 7-180.

Am. J. Math., 58, 521-9. [1].'

Dickson, L. E. (1936c). Solution of Waring's problem, Am, J. Math., 58, 530-5, [1].

Dickson, L. E. (1936d). The Waring problem and its generalizations. Bull, Am.

Math. Soc., 42, 833-42. [1].

Dickson, L. E, (1936e). On Waring's problem and its generalization. Ann. Math., 37, 293-316, [1].

Dickson, L, E, (1936/), The ideal Waring theorem for twelfth powers. Duke Math. J„ 2, 192-204, [1].

Dickson, L, E. (1936g). Universal Waring theorems. Monatshefte fur Maihematik und Physik, 43, 391-400, [1],

Dodson, M. M.'(1967), Homogeneous additive congruences, Philos, Trans, R_ Soc, bond., 261 A, 163-210. [9].

Ehlich, H. (1965), Zur Pillaischen Vermutung. Arch, Math,, 16, 223 26. [1].

Ellison, W, J, (1971), Waring's problem. Am, Math, Mon,, 78, 10- 36. [1].

Emefyanov, G. V, (1950). On a system of Diophantine equations. Leningrad Gos.

Univ. Uc力，Zap, 137, Ser. Mal. Nauk, 19, 3-39. [G],

Erdos, P, & Turan, R (1936). On some sequences of integers. J. bond. Math. Soc,, 11, 261-4, [10],“

Erdos, P. & Vaughan, R. C (1974), Bounds for the rth coefficients of cyelotomic polynomials, Л bond, Math, Soc,, (2), 8, 393-400. [3].

Estermann, T, (1929). On the representation of a number as the sum of thre? products. Proc, Lond, Math, So% (2), 29, 453-78. [G],心

Estermann, T. (1929). Vereinfachter Beweis eines Satzes von Kloosterman.

Abhandlungen aus 必m Mathematischen Seminar der Hamburgiscfien Vniversitat, 7, 82-98. [G], f

Estermann, T, (1930a,6). On the representation of a number as the sum of two products, I, IL Proc, bond. Math, Soc., (2), 31, 123 -133； J, Lond, Math, Soc

131-7, [G].

Estermann, T, (1936). Proof that every large integer is a sum of seventeen biquadrates. Proc, bond. Math. Soc„ (2), 41, 126-42, [6],

Estermann, T. (1937a). On Waring's problem for fourth and higher powers. Acta Arith., 2, 197-211. [5].

Estermann, T. (1937b). Proof that every large integer is the sum of two primes and a square. Proc, bond, Math* Soc,, (2), 42, 501-16, [GJ.

Estermann, T, (1937c). A new result in the additive prime number theory, Q, J.

Math., 8, 32-8, [3],

Estermann, T. (1938). On Goldbach's problem: Proof that almost all even positive integers are sums of two primes. Proc, bond. Math, Soc,f (2), 44, 307-14, [3],

Estermann, T, (1948), On Waring's problem: A simple proof of a theorem of Hua.

5ci, Rep. Natn, Tsing Hua Univ., 5A, 226-39, [2].

Estermann, T. (1951). On sums of squares of square-free numbers. Proc, Lond, Math Soc., (2), 53, 125-37, [G].

Estermann, T. (1952), Introduction to modern prime number theory. Cambridge University Press. [Е].

Estermann, T. (1962), A new application of the Hardy Littlewood- Kloosterman method. Proc. Lond, Math. Soc., (3), 12, 425 -44. [G].

Evelyn, C, J, A, & Linfoot, E. H. (1929, 1933). On a problem in the additive theory of numbers I, VI, Mah Z, 30, 433-48; Q. J. Math,, 4, 309-14. [G].

Foldes, L (1952), On the Goldbach hypothesis concerning the prime numbers of an arithmetical progression, C. R Prem. Cong. Mat. Hongrois, 473-92. [3].

Fowler, J. (1962). A note on cubic equations. Proc. Camb, Philos, Soc., 58, 165-69. [9],

Freiman, G. A, (1949), Solution of Waring's probfem in a new form, Uspehi Mah Nauk, 4, 193. [5,8].

Furstenburg, H. (1977). Ergodic behaviour of diagonal measures and a theorem of Szemeredi on arithmetic progressions. J, ^Analyse Math,, 31, 204-56. [10].

Gallagher, P, X, (1975). Primes and powers of 2. Inv-entiones Math,, 29, 125-42. [G]

Gelbcke, M, (1931), Zum Waringschen Problem. Math, Ллп., 105, 637-52, [2].

Gelbcke, M. (1933). A pfopos de g(k) dans le probleme de Waring. C. R. Acad. S" URSS, (7), 631-40. [2].

Ghosh, A. (1981), The distribution of ap2 modulo one, .Proc. Lond, Math. Soc,t 42, [G].

Gray, J. F, (I960). Diagonal forms of odd degree over a finite field. Michigan Math.人 7, 297-301. [9].

Grosswald, E. (1968/9). On some conjectures of Hardy and Littlewood. PubL Ramanujan Inst.,^, 75-89, [8].

Halberstam, H. (1950), Representation of integers as sums of a square, a positive cube, and a fourth power of a prime. J. Lond, Math, Soc., 25, 158-68, [G].

Halberstam, H. (1951a). Representation of integers as sums of a square of.a prime, a cube of a prime, and a cube. Proc. Lond. Math、Soc. (2), 52, 455-66. [G],

Halberstam, H. (19516), On the representation of large numbers as sums of squares, higher powers, and primes. Proc. Lond. Math. Soc,, (2), 53, 363-80. [GJ・

Halberstam, H. (1957). An asymptotic formula in the theory of numbers. Trans.

Am. Math. Soc,, 84, 338-51. [G].

Hardy, G. H. (1922). Goldbach's theorem. Math. 7Jd. B, 1-16. [1].

Hardy, G. H. (1966). Collected papers of G. H.Hardy, including joint pdpers with J. E. Littlewood and others, ed. by a committee appointed by the London Mathematical Society, vol. I. Oxford: Clarendon Press. [Е].

Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1919). A new solution of Waring's problem. Q.L Math., 48,-272-93. [1,2].

Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1920). Some problems of "Partitio Numeronlm'\ I A new solution of Waring's problem. Gottingen Nachrichten, 33-54, [1/2].'

Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1921). Some problems of "Partitio Numerorum":

Il.Proof that every large number is the sum of at most 2Г biquadrates. Math. Z., 9, 14-27. [1.6],'

Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1922). Some problems of "Partitio Numerorum": IV The singular series in Warings problem. Math. Z., 12, 161-88. [4].

Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1923a). Some problems of “Partitio Numerorum": III On the expression of a number as a sum of primes. Acta Math., 44, 1-70: [1,3]..

Hardy, G. H. & Littlewood, J. E，(1923力)「Some problems of “Partitio Numerorum,'： V A further contribution to the study of Goldbach's problem, Proc. Lond. Math, Soc.,⑵，22, 46-56. [1,3].

Hardy, G. Ц. & Littlewood, J, E. (1925). Some problems of “Partitio Numeгoгum^^: VI Further researches in Waring's problem. Mat% Z.； 23, 1—37. [4, 6].

■Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1928). Some problems of "Partitio Numeronim'** VIII^ The number「伙)in Waring's problem. Proc. Londt Math, Soctt (2), 2& 518-42. [4].

Hardy, G. Н.» Littlewood, J. E. & Polya, G. (1951). Ineqtxilities^ 2nd edn. Cambridge University Press. [В].

Hardy, G. H. & Ramanujan, S. (1918). Asymptotic formulae in combinatory analysis. Proc. Lond. Math Soc., (2), 17, 75-115. [1].

Hardy, G. H. & Wright, E. M. (1979). An .introduction to the theory of numbers, 5th edn. Oxford: Oxford University Press. [В].

Hasse, H. (1964). Vorlesungen uber Zahlentheorie. Zweite au/laget Berlin: SpringerVerlag. [B],..

Heilbronn, H. (1936). Uber das Waringsche Problem. Acta Arith., 1, 212-21. [5].

Hilbert, D. (1909a,b). Beweis fik die Darstellbarkeit dtr ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl nter Potenzen (Waringsche Problem). Nachrichten von der

.Koniglichen Gesellchaft der Wissenschaften zu Gottingen, mathematisch- physikalische Klasse aus den Jahren 1909, 17-36; Math, Annalen, 67, 281-300.

Householder, J. E. (1959). The representation of zero by odd kth power diagonal forms. Ph.D. Thesis. University of Colorado^ Boulder. [9].

Hua, L -K. (1935), On Waring theorems with cubic polynomial summands. MatK Ann., Ill, 622-8. [G].

Hua, L -K. (1936a,b). On Waring's problem with polynomial summands. Am, J* Math., 58, 553-62; J. Chin. Math. Soc., I, 21-61, [G],

Hua, L.-K, (1937a). On a generalized Waring problem. Proc. Lond. Math, Sou, (2), 43, 161-82.

Hua, L. -K. (1937b), On the representation of integers as the sums of kth powers of primes, Q R 力次乩 Sci. URSS, (2), 17, 167-8. [G].

Hua, L. -К. (193&I). Some results on Waring's problem for smaller powers. C. R Acad. S“ URSSf (2), 18, 527-8. [6].

Hua,匚-К. (1938b). Oh Waring's problem. Q.丄 Math., 9, 199-202. [2].

Hua, L. -K. (1938c,<0- Some results in the additive prime number theory. C. R Acad. Sei, URSS, (2), 18, 3; 0 J, Math., 9； 68-80. [G].

Hua, L.-K. (1939). On Waring's problem for fifth powers. Proc. Lond, Math. Soc,, (2), 45, J44-60. [6].:

Hua,' L.-K. (1940w). Sur une somme exponentielle. C R "cad. Sci. Paris, 210, 520-3. [7].

Hua, L. -K. (1940b). Sur le probleme de Waring relatif a un polynome'du trplsleme degre, C R Acad'. Sci. Paris, 210, 650-2. [G].

Hua, L.-K. (1940c). On a system of Diophantine equations. DokL Akad. Nauk S55K, 27, 312-13. [G].

Hua, L. -K. (1940J). On a generalized Waring problem II. J. Chin. Math, Soctf

2, 175-9L [G].'

Hua, L. -K. (1940e,/). On Waring's problem with cubic polynomial summands. Sci, Rep. Natn. Tsing Hua Univ., 4A, 55-83; J. Indian Math. Soc,f 4, 127-35. [G].

Hua, L. -K. (1947), Some results on additive theory of numbers. Proc. Nafn. Acad. Sci. U.S.A., 33」136-7. [G].

Hua, L -К. (1949). An improvement of Vinogradov,# mean value theorem and several applications. Q. J, Mat% 20, 48-61. [5].

Hua, L. -K. (1952). On the number of solutions of Tarry's problem, Acta ScL Sinica} t 1-76. [7].■

Hua, L. -К. (1957«). On exponential sums. Sci. Rec.r 1, 1-4. [4].

Hua, L「K： (1957b), On the major arcs in Waring's problem. Sd, Ree., 1, 17-18. [4],.

Hua, L. -K. (1959). Die AbsMtzung von Expotientialsumnjen und ihre anwendung in der Zahlentheorie. Enzyklopadie der Math. Wiss. Band I, 2. Heft 13. Tell 1. Leipzig: Teubner. [Е].

Hua, L. -K. (1965). Additive theory of prime nunibei's. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. [Е].

Humphreys, M. G. (1935), On the Waring problem with polynomial summands.

Duke Math Л, 1? 361-75. [G]t

• Huston, R. E. (1935). Asymptotic generalizations of Waring's theorem. Proc, bond. Math. Soc., (2), 39/ 82-115. [G].

Huxley, M./N. (1968). The large sieve inequality for algebraic number fields. Mathematika, 15, 178-87. [5].

Huxley, M. N. (1969). On the differences of primes in arithmetical progressions.

Acta AEh,, 15, 367-92. [G].

Huxley, M. N. (1973, 1977). Small differences between consecutive primes, I, IL Mathematika, 20,*229-32; 24, 142-52. [G], ''*

Iseki, K. (1949). A remark on the Goldbach-Vinogradov theorem. Proc. Jpn, Acad., 25, 185-7. [3].'

Iseki, S. (1968). A problem on partitions connected with Waring's problem. Proc. Am, Math. Soc, 19, 197-204. [2].

James, R. D. (1934<?). The value of the number g伙)in Waring's problem, Trans.

Zm, Math. Soc., 36, 395.-444. [2].\，

James, R, D, (1934b). On Waring's problem for odd powers. Proc. Lond. Math, Soc.t ⑵，37, 257-91」2]

James, R. D. & Weyl, H. (1942). Elementary note on prime number problems of VinogradofTs type. Am. J, Math” 64, 539-52. [3],

Kalinka, V. (1963). Generalization of a lemma of L. -K. Hua for algebraic numbers. Litovsk Mat. Sb； 3, 149-55. [G].

Kamke, E. (1921), .Verallgemeinerungen des Waring-Hilbertschen Satzes. Mar. 力叫 83； 85-112. [G],

Kamke, E. (1922), Be/nerkung zum allgemein Waringschen Problem. Mat. Z., 15, 188-94. [G],、、’.

Karatsuba, A. A. (1965). On the estimation of the nutnber of solutions of certain equations, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 165, 31-2, translated in Sov. Math. Dokl.,

1402-4, [5].

Karatsuba, A, A, (1968), A certain system of indeterminate equations. Mat Z., 4, 125-8, [5]...

Karatsuba, A. A. & Korobov, N. M. (1,963). A mean value theorem. Dokl* Akad. Nauk SSSR, 149, 245-8, [5].

Kestelman, H. (1937). Ari integral connected with Waring's problem. J. Lond.

Math. Soc., 12, 232-40. [2].

К hintchine, A. (1952). Three pearls of number theory. Rochester, N.Y.： Grayloek Press, [L]e

Kloosterman, Н. D. (1925а). Over het uitdrukken van geheele positieve getallen in den vorm ax2 + by2 + cz2 + dt2. Verslaff Amsterdam, 34, 1011-15, [G].

Kloosterman, H. D, (1925b). On the representatiofl of numbers in the form a№ + by2 + cz2 +.d产，Acta MqS，49, 407-64. [G].

Kloosterman, H. D, (1925c), On the representation of numbers in the form a№ + by2 + cz? + d*. Proc、bond. Math. Soc, (2), 25, 143-73. [G].

Korner, O. (I960), (Jbertragung des Goldbach-Vinogradovschen Satzes auf reell- quadratisch Zahlkorper. Math. Ann., 141)343-66. [G],

Korner, O. (1961a). Erweiterter Goldbach-Vinogradovscher Satz in beliebigen algebraischen Zahlkorpern. Math. Ann., 143, 344-78. [G],

Кбгпег, O. (19616), Zur additiven Primzahltheorie algebraischer Zahlkorper. Math. 'Ann., 144, 97-109. [G],

Korner, O. (1961c). Uber das Waringsche Problem in algebraischen Zahlkorper.

Math. Ann., 144, 224-38. [G],

Korner, O. (1962). 0ber Mittelwerte trigonometrischer Summen und ihre Anwendung in algebraischen -Zahlkorpern. Math. Ann., 147, 205-39, corrections, ibid? 149, (1963),燄2. [G]・

Korner, O. (1962/3), Garize algebraische Zahlen als Summen von PolynonweTteH* Math. Ллл., 149, 97-104. [GJ.

Korner, O. (1964). Darstellung ganzer Grossen durch Primzahlpotenien lit' algebraischen Zahlkorpern. Math. Ann., 155, 204-45. [G],'

Kovacs, B. (1972), Uber die Losbarkeit didphantischer Gleichungen von additiven Тур. I. PtM MatM, 19, 259-73. [G],

Landau, E. G. H. (1922). Zur additiven Primzahltheorie. Palermo Rend,, 46, 349-56, [3],'

Landau, E. G. H. (1927)1 Vorlesungen uber Zahlentheorie. Erster Band. Leipzig：

■ Verlag von S. HirzeL [E]

Ldndau, E. G. H, (1930), Uber diemeue Winogradoffsche Behandlung des Waringschen Problems, Math:Z., 31, 319-38. [2].

Landau, E. G, H. (1937). Uber einige neuere Fortschritte der additiven ZaA/елгйеопе. Cambridge University Press. [Е].

Lau, K. W,. & Liu, M.-C. (1978). Linear approximation by primes. Bull. Aust. Math. Soc., 19, 457- 66. [11].

Lavrik, A..F, (1959). On a theorem in the additive theory of numbers, Uspehi Maf. Na* 14, 197-8. [G],

Lavrik, A. F. (1960a). On the twin prime hypothesis of the theory of primes by the method of I. M. Vinogradov, Dpkl. Akad. Nauk SSSR, 132, 1013-15, translated in Soviet Math. Dokl.f I (I960), 700-2. [3],

Lavrik, A. F, (1960b). On'the distribution of k4win- primes. Dokl, Akad. Nauk SSSR, l3Z 1258-60, translated in Soviet Math. Dokl., I (i960), 764-6, [3],'

Lavrik, A. F. (1961a), The number of /с-twin primes lying in an interval of a given length. Dokl Akad. Nauk SSSR, 136, 281-3, translated in Soviet Math, Dokl,f 2(1961), 52-5, [3]：

Lavrik, A, F, (1961b)； Binary problems of additive prime number theory connected with the method of trigonometric sums of I, M. Vinogradov. Vestnik Leningrad Univ., 16,11-27. [3]

Lavrlk] A. F. (1961c), On ihe theory of distribution of primes based on

L M. Vinogradov's method of trigonometric sums. Trudy Mai. Inst* Stekl叫 64, 90-125. [3].

Lavrikj A, F. (1961d). On the theory of the distribution of sets of primes with given differences between them. Dokl. Akad. Nauk §SSR、138, 1287-90, translated in Soviet Math Doki, 2 (1961), 827-30. [3],

Lavrik, A. F. (1962). On the. representation of numbers as the sum of primes by ShnirePman's method. Izu. Akad. Nauk UzSSR Ser. Fiz.-Mat. Nauk, 3, 5-10. [3]

Lewis, D. J. (1957), Cubic forms over algebraic number fields. Mathematika, 4, 97-10if [9].

Lewis, D. J. (1970). Systems of diophantine equations. Symp. Math. IV, INDAM, Rome 1968/1969, 33-43. Academic'Press. [G].

Lewis, D. J. (1973). The distribution of the values of real quadratic forms at integer points, American Mathematical Society Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 24, 159-74, [G].

Linnik, Ju* V* (1942, 1943д). On the representation of large numbers as sums of seven cubes. Doklady Akad, Nauk SSSR, 35, 162 and Mat. Sbomik, 12, 218-24, [11

Linnik, Ju. V* (1943b). An elementary solution, of the problem of Waring by SchnireFman's method, Mat. Sb., 12, 225-30, [1].

Linnik, Ju. V. (1945). On the possibility of a unique method in certain problems of "additive” and “distributive" prime number theory. Dokl, Akad, Nauk SSSR, 4«, 3-7. [3].

Linnik, Ju. V, (1946). A new proof of the Goldbach-Vinogradov theorem, Mat. Sb” 19(61), 3-8. [3].

Linnik, Ju. V. (1951). Prime numbers and powers of two. Trudy Mat. Inst.

Steklo% 3$, 152-169., [GJ.

Linnik, Ju.-V, (1951, 1952). Some.conditional theorems concerning binary problems with.prime numbers. Doklady. Akad. Nauk SSSRt 77,15-18 and Izv. Akad, Nauk SSSR Ser. Mat, 16,503-20. [3],

Linnik, Ju, V. (1953). Addition of prime numbers with powers of one and the same number, Mat, Sb.; 32(74), 3-60, [G].

Liu, M. -C. (1974). Simultaneous approximation of two additive forms. Proc, Camb. Philos. Soc, 75, 77-82. [G].

Liu, M. -C. (1977). Diophantine approximation involving primes, J, Reine Angew, Math., 289, 199-208. [G].

Liu, M. -C (1978). Approximation by a sum of polynomials involving primes. J. Math. Soc. Jpn., 30, 395-412. [G], •

Liu, M* -C. (1979). Approximation by a sum of polynomials of different degrees involving primes* J, Aust. Math. Soc., 27A, 454-66. [G].

Liu, M, -€.> Ng* S. -M. & Tsang, К. -M： (1980). An improved estimate for certain diophantine inequalities. Proc, Am, Math. Soc,t 78, 457-63, [G],

Lloyd, D. P. (1975). Bounds for solutions of Diophantine equations, Ph.D, thesis.

University of Adelaide. [G],•

Lu, M. -G. & Chen, W, -D. (1965). On the solution of systems of linear equations

■ with prime variables. Ada Mah Sinica, 15, 731-48, translated in Chin. Ma仇- Acta, 7, 461-79. [G]..

Lucke, B. (1926). Zur Hardy-Littlewoodscheh Behandlung des Goldbachscheir Problems. Dissertation. Math.-naturwiss. Gottingen. [3].

Lursmanashvili, A. P. (1966). Representation of natural numbers by sums of prime numbers. Thbilis, Sahelmc. Univ. Shrotn. Mekh^Math. Mecn. Ser,f 117, 63-76, [3].

Mahler, К. (1957). On the fractional parts of the powers of a rational number IL Matfiematika, 4, 122-4. [1],

Mahler, K. (1968). An unsolved problem on the powers of 3/2, J, Aust, Math. Soc., 8, 313-2L[1],

Malyshev, A. V. & Podsypanin, E, V. (1974). Analytic methods in the theory of systems of Diophantine equations and inequalities with a large number of unknowns. Algebra, Topology, Geometry, 12, 5-50. Akad. Nauk SSSR Vsesojuz, Inst, Nauk i Tehn, htformacii, Moscow. [S],

Mardzhanishvili, K, KJ1936, 1937). Cber die simultane Zerfallung ganzer Zahlen in m-te und n-te Potenzen. Dokl; Akad, Nauk SSSR, 2, 263-4 and Izvt Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat.. 609-3L [7],

Mardzhanishvili, К. K. (1939). Sur un systeme d\quations de Diophante. Doklady Akad. Nauk S^SR, 22, 467r70. [7]..

Mardzhanishvili,.K, К (1940), Sur un probleme add it if de la theorie des nombres. /zu Akad, Na欣 SSSR, 4, 193-214. [7],-.

Mardzhanishvili, К, K. (1941). Sur la demonstration du th6oreme de Goldbach- VinogradofT. Dokl, Akad, Nauk SSSR, 30, 687-9. [3], •

Mardzhanishvili, К, K. (1947), On an asymptotic formula of the additive theory of prime numbers. Soobscheniya Akad, Nauk Gruzin, SSR, 8, 597-604, [G],

Mardzhanishv'ili, К, K, (1949), On some additive problems whh prime numbers.

Uspehi Mat, Nauk, 4, 183-5. [G],

Mardzhanishvili, К. К, (1950л),.On a generalization of Waring's problem, Soobscheniya Akad. 'Nauk Gruzin, SSR, 11, 82-4. [G]»

Mardzhanishvili, К» К (1950b), On a system of equations in prime numbers.

Dokl, Akad. Nauk SSSRt 70, 381-3. [G],'

Mardzhanishvili, К. K, (1950c), Investigations on the application of the method of trigonometric sums to additive problems, Uspehi Mat, Nauk, 5, 236—40. [G].

Mardzhanishvili, К. K. (1951a). On -the simultaneous representation of pairs of numbers by sums of primes and their squares. Akad, Nauk Gruzin. SSR, Trudy Mat. Inst. Razmaaze, 18, 183-208, [G],'

MardzhanishviH, К. K, (1951b), On some additive problems of the theory of numbers, Acta Math, Acad^ Sci, Hungary 2, 223-7? [S],

Mardzhanishvili, К. K. (1953). On some nonlinear systems of equations in integers.

Mat. Sb,, 33； (75), 639-75. [7].，

Miech, R. J, (1968), On the equation n = p + x2. Trans* Am, Math、Soc,, 130, ‘494-512, [G]

Mirsky, L. (1958), Additive prime humber theory, Math, Gaz., 42, 7-10, [S],

Mitsui* T* (1960a,b), On the Goldbach problem in an algebraic number field I, П.

J, .Math, Soc. Jpn,t 12, 290-324 and 325-372.

Montgomery, H. L, (1971), A lemma in additive prime number theory. In Topics in multiplicative number theory, Lecture Notes in Mathematics, 227, Chapter 16. Berlin： Springer-VeYlag.XS].

Montgomery, H, L, &■ VaUghan, R, C (1973), Error terms in additive prime number theoty* Q, J. Mat)itt (2), 24,207-16* [3],

Montgomery, H. L. & Vaughan, R. C (1975), The exceptional set in Gold bachrs proWem,'Acta Arith, 27, 353-70. [3].

Mordell, L J. (1932). On a sum analogous to a Gauss's sum. Q, J. Math,, 3, 161-7.

C71.

Narasimhamurti, V. (1941). On Waring's problem for 8th, 9th and 10th powers, J, Indian Math, Soc,, 5, 122, [6],

Nechaev, V, L (1949,- 1953). The representation of integers by sums of terms of the form x(x+ l)...(x + n — l)/nl. Dokl. Akad, Nauk SSSR, 64, 159-62 and /zu. Akad. Nauk SSSR Ser, M% 17, 485-98, [G],

Nechaev, V, I. (1951). Waring's problem for polynomials, Trudy Mat, Inst, Steklov, 38, 190-243, [G],

Nechaev, V, L (1958), Multinomials with small G(/). Uch, Zap. Moscow, gor, ped, 加心，71, 291-300, [G],

Nechaev, V. L & Telesin, Ju. Z, (1962). On the exact value of G(/^) for sums of multinomials of the second degree, Uch, Zap, Moscow, gor. ped in-ta, 188, 131；8, [G]・

Newman, D,工(I960), A simplified proof of Waring's conjecture, Michigan Math. Л,7, 291-5. [1],

Niven, 1. (1944). An unsolved case of the Waring problem. Am.工 Math, 66, 137-43, [1].

Norton, К. K, (1966). On homogeneous diagonal congruences of odd degree. Ph. D. thesis. University of Illinois. [9],

Padhy, B. (1936). Pillai's exact formula for the number g(力 in Waring's problem. Proc. Indian Acad. Sei” ЗА, 341-5, [1],

Pan, С -T. (1959), Some new results m the additive prime number theory, Acta Math, Sinica, 9, 315-29, [3].

Page, A, (1934a,b). On the representation of a number as a sum of squares and products I, III. Proc, Lond, Math* Soc., (2), 36, 241-56 and 37, 1-16, [G],

Pillai, S, S. (1936a,b,c}J, 19374A 193&2力,c). On Waring's problem; I. J, Indian Math, Soc., 2, 16-44, 131： IL J, Annamalai Univ,, 5,,145-66： III. Ibid,t

50-3: IV, Ibld.4 6, 54-64： V, J, Indian Math. Soc,y 2, 213-14： VL 工 Annamalai Univt> 6, 171-197: VII, Proc. Indian Acad. Sc厶 9Д, 29-34: VIIL J, Indian Math. Soc,, 3, 205-20: IX, Ibid., 221-5. [1],

Pillai, S, S. (1940). On Waring's problem g(6) 口 73. Proc, Indian Acad, ScJ 12A, 30-40. [1],

Piftai, G. Z, (1972), On the size of the difference between consecutive primes, Issled, teor, chisel, 73-9. [G].

Pitman, J, (1968), Cubic inequalities. J, Lond, Math. Soc,, 43, 119-26, [11].

Pitman, J. (1971a), Bounds for the solutions of diagonal inequalities, Acta Arith, 18, 179-90. [11].

Pitman, J, (1971b), Bounds for solutions of diagonal equations, Acta Arith., 19, 223-47, [9, 11].

Pitman, J/& Ridout, D, (1967), Diagonal cubic equations and inequalities. Proc. R Soc, bond., 297A, 476-502/11],

Pleasants, P. A. B, (1966a), The representation of primes by cubic polynomials, Acta Arith., 12, 23-45, [G],

Pleasants, P. A. B, (1966b), The representation of primes by quadratic and cubic polynomials, Acta Arhh,t 12, 131-63. [G].

Pleas；ants, P. A, B, (1967). The representation of integers by cubic forms. Proc. £ondt Math, Soc, (3)： 17, 553-76, [G],

Prachar, К, (1953<з}6). Uber ein Problem vom Waring-Goldbach'schen Typ, L "• Mdnatsh\ Math., 57, 66-74; 113-16. [Gj.

Prachar, К. (1957). Primzahlv-erteilung. Berlin; Springer-Verlag. [3J.

Rademacher, H. (1924a). Uber eine Erweiterung des Goldbachshen Problems, Math. Z., 2, 627-57. [3].

Rademacher, H. (1924b). Zur additiven Primzahltheorie algebraischer Zahlkorper, I Uber die Darstellung totalpositiver Zahlen als Summe von totalpositiven Primzahlen im reell-quadratischen Zahlkorper. Abh. Math. Sem. Hansischen Univ., 3, 109-63, [GJ;

Rademacher, H. (1924c), Zur additiven Primzahltheorie algebraischer Zahlkorper, II (jber die Darstellung von Kdrperzahlen als Summe von Primzahlen im imaginarquadratischen Zahlkorper, Abh, Math. Sem. Hansischen Univ., 3, 331-78, [G],

Rademacher, H, (1926). Zur additiven Primzahltheorie algebraischer Zahlkorper, III Uber die Darstellung totalpositiver Zahlen als Summen von totalpositiven Primzahlen in einem beliebigen Zahlkorper, Math. Z, 27, 321-426. [G].

Rademacher, H. (1942). Trends in research: the analytic number theory, BuH. 4m Math. S比.，48, 379-4OE [S].

Rademacher, H, (1950), Additive algebraic number theory. Proc* Infers Congr.

Math, 1, 356-62. [S]，

Raghavan, S. (1974). On a Diophantine inequality for forms of additive type. Acta 4ir/r, 24, 499-506, 口口

Ramachandra, K. (1973). On the sums £j=1Aj/(pj). J. Reine Angew. MoM., 262/263, 158-65, [11]."

Ramanujan, C. P・(1963). Cubic forms over algebraic number fields. Proc. Camb. Philos. Soc, 59, 683-705. [GJ.

Richert, H. -E. (1953). Aus der additiven Primzahltheorie. J. Reine Angew. Ma〃z” 191, 179-98. [3].

Ridout, D. (1958). Indefinite quadratic forms. Mathematika^ 5, 122-4. [11].

Rieger, G. R, (1953a), Uber eine Verallgemeinerui^g des Waringschen Problems. Math Z, 58, 281-3. [1].

Rieger, G. R, (1953b,c). Zur Hilbertschen Losung des Waringsehen Problems: Abschatzung von g("), M〃L Math、Sem. Giessen, 44, 1-35, and Arch. Math., 4, ‘275-81, [1].

Rieger, G. R. (1954). Zu Linniks Losung des Waringschen Problems: Abschatzung von g(〃). Math. Z„ 60, 213-34,* [1].

Roth, K, F. (1949). Proof that almost all positive integers are sums of a square, a positive cube and a fourth power, J. Lond. Math. Soc” 24, 4T3. [8].

Roth, K. F, (1951). On Waring's problem for cubes. Proc, Lond. Math. Soc, (2) 53, 268-79, 4：j.

Roth, K. F, (19〉). A problem in addit ive number theory. Proc. Lond, Math. Soc.f (2), 53, 381-95. [8].

Roth, K, F. (1952). Sur quelques ensembles d'entiers, С. K. Acad. Sci. Paris, 234, 388-90. [10].

Roth, K. F, (1953, 1954). On certaiif sets of integers I, II- J. Lond, Math, Soc.} 28, 104-9 and 29,20-6. [10].

Roth, K. F, (1967。力，1970, 1972). Irregularities of sequences relative to arithmetic progressions I, П, Ш, IV, Math. Япп., 169, 1-25； ibid,, 174, 41-52, J, Number Theor, 2, 125-42; Periodica Math. Hungar.t 2, 301-26. [10].

Rubugunday, R. K. (1942), On g(k) in Waring's problem", Indian Math, Soc,t 6, 192-8, [1].

Ryavec, С (1969), Cubic forms over algebraic number fields. Proc, Camb. Philos, Soc, 66, 323-33. [G],

Salem, R. & Spencer, D. C. (1942), On sets of integers which contain no three terms in arithmetical progression. Proc. Natn. Acad. Sci U.S.A., 28, 561-3, [10].

Salem, R. & Spencer, D. C. (1950). On seis which do not contain a given number of terms in arithmetical progression. Niew. Arch. Wisk., (2), 23, 133-43, [10].

Sambasiva Rao, K, (1941). On Warings problem for smaller powers. J, Indian Ma仇 Stk, 5, 117-21. [6].

Sarkozy, A. (1978〃,b,c). On difference sets of integers I, 111, II. Acta Math, Acad. Sci. Hungar., 31, 125-49; ibid., 355^-86; Ann, UtW. Sci, Budapest Rolando Eotvos, S*t* Math., 21, 45-53. [10],

Sastry, S. & Singh, R. (1955/6), A problem in additive number theory. J. Sci. Res, Banaras Hindu Univ.y 6, 251-65. [8].

Schmidt, E. (1913). Zum Hilbertschen Beweis des Waringschen Theorems. Math. Ann., 74, 271-4. [1].

Schmidt, W. M. (1976). Equations over finite fields. An elementary approach. Lecture Notes in Mathematics^ 536, Berlin: Springer-Verlag. [В].

Schmidt, W. M. (1979«,b). Small zeros of additive forms in many variables 1, IL Tirdn.s. Amer. Math. Soc., 248, 121-3 3； Acia Math., 143, 219-32, [9].

Schmidt, W. M. (1980). Diophantine inequalities for forms of odd degree. Advances 讪 Msk, 38, 128-51.

Schwarz/W. (1960/1, 1961). Zur Darstellung von ^ahlen durch Summen von Primzahlpotenzen I, II. J. Reine Angew. Math.、205, 21-47; 206, 78-112. [G].

Schwarz, W. (1963). Uber die Losbarkeit gewisser Ungleichungen durch Primzahlen. J, Reine Angew, Math., 212, 150-7. [8].

Scourfield, E. J. (I960). A generalization of Waring's problem. J. Land. Math, Soc., 35, 98-116. [5,8].

Siegel, C. L. (1944). Generalization of Waring's problem to algebraic number fields. Anu J. Math., 66, 121-36. [G].

Siegel, C. L. (1945). Sums of mth powers of algebraic integers, Ann. Math., (2), 46, 313-39. [GJ.'

Sinnadurai, J. St.-G L. (1965). Representation of integers as sums of six cubes and one square. 0 J，Math,, (2), 16, 289-96* [8],

Stanley, G. K. (1929). On the representation of a number as a sum of squares and primes. Proc. Lond. Math. Soa, (2), 29, 122-44, [G],

Stanley, G. K. (1930). The representation of a number as the sum of one square and a number of 匕th powers. Proc, Lond, Math. Soa, (2), 31, 512-53. [G].

Statulevicius, V. (1955). On the representation of odd numbers as the sum of three almost equal prime numbers. Vilniaus Valst. Univ, Mokslo Darbal Mat.

Fiz,-Chemt Mokslu Ser., 3, 5-23. [3].

Stemmier, R. M, (1964), The ideal Waring theorem for exponents 401-200 000.

Math, Comp” 18, 144-6, [1],

Stridsberg, E. (1912). Sur la demonstration de M, Hilbert du theoreme de Waring. Math, Ann,, 72, 145-52, [1],

Subhankulov, M. A, (I960). Additive properties of certain sequences of numbers. Issled. po mat. anal, mech, Uzb” 220-41. [G].

Szekeres, G. (1978). Major arcs in the four cubes problem. J, Aust. Math, Soc,, 25A, 423-37. [G]；

SzeyerCdi, E. (1969), On sets of integers containing no four elements in arithmetic progression； Acta Math, Acad, Sci. Hungary 20, 89-104, [16],

SzemeRdi, Е. (1975). On sets of integers containing no к elements in arithmetic progression. Acta Ariih., 27, 199-245, [10],

Tartakovsky, W. (1935). ijber asymptotische Gesetze der allgemeinen Diophantischen. Analyse mit vielen Uhbekannten, Bull Acad, ScL URSS, 483-524. [9].

Tartakovsky, W. (1958a,Z>). The number of representations of large numbers by a fornj of *lgeneral type'' with many variables I, IL V^stnik Leningrad (/niv,t 13, 131-54; 14. 5-17, [9].,

Tatuzawa, T. (1955). Additive prime number theory in an algebraic number field. J. Mar瓦 Soa Jpn.} 7, 409-23. [G],

Tatuzawa, T. (1958), On the .Waring problem in an algebraic number field. J.

,Math, Soc, Jpn., 10, 322-41. [GJ. ■

Tatuzawa. T, (1973). On Waring's problem in algebraic number fields.;/4eta Arith.t 24, 37-60, [G*

Telesin, Yu* Z, (1958). Waring's problem for polynomials of degree 7, 8, 9, 10. Uch, zap, Moscow, go儿 ped、in-ta, 71, 301-11. [GJ.

Thanigasalam, K, (1966). A generalization of Waring's problem for prime powers. Proc, Lond, Math, Soc., (3), 16, 193-212. [G]»

Thanigasalam, K, (1967). Asymptotic formula in a generalized Waring's problem. Proc, Catnb, Philos. Soc,, 63, 87-98, [8],

Thanigasalam, K. (1967/1968). On additive number theory. Acta Arlth., 13, 237-58. [GJ...

Thanigasalam, K, (1969), Note on the representatiort of integers as sums of certain powers.'Proc. Camb. Philos. Soc., 65, 445-6. [8].

Thomas, H. E. Jr. (1974). Waring's problem for twenty two biquadrates. Trans. Am.

Math, Soc； 193, 427-30, [1]..'

Tietavainen, A.r (1964). On the non-trivial solvability of some systems of equations -in finite fields. Ann. Univ. Turku. Ser. A. I, No. .71. [9].

Tietavainen, A. (1965). On the non-tr*vial solvability of some equations.and- "systems of equatidns in finite fields. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I; No, 360. [9]：

Tietavainen},A. (1971). On a problem of Chowla.and Shimura, V. Number：Theor> % 247-52, [9].•

Toliver, R. H. (1975). Bounds for solutions of two simultaneous additive equations of odd degree； Ph.D. thesis. University of Michigan. Ann. Arbor. [G].

Tong, К. -C. (1957). On Waring's problem. Adv. Math., 3, 602-7. [5].

Trost, E. (1958). Eine Bemerkung zum Waringschen Problem. Elem. Math., 13, 73-5. [1].'

Uchiyama, S. (1961). Three primes in'arithmetical progression. Proc. Jpn. Acad.t 37# 329730. [3]."''

Vaughan. R. C. (1970). On the representation of numbers as sums of powers of natural numbers. Proc. Lond. Math. Soc.t (3), 21, 160-80. [8].

Vaughan, R. C. (1971). On sums of mixed powers. J. Lond. Math, Soc., (2),*3, 677-88. [6]/

Vaughan, R. C. (1972). On Goldbach's problem. Acta Arith., 22, 21-48. J3J.

Vaughan, R. C. (1973). A. hew estimate for the exceptional set in Goldbach*? problem. Am, Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math.、24, J15-20. [3]<

Vaughan, R. C. (1973/1974). A survey.of recent work in additive prime number theory. Sen Theor, Npmbres, 19, 1-7. Bordeaux. [SI

Vaughan, R. C. (1974a, b). Diophantine approximation by prime number! I, II.

Proc, Loud. Math. Soc, (3), 28, 3 73-84; 3 85-401. [11].

Vaughan, R. C. (1975). Mean value theorems in prime number theory. J. Lond. Math. Soc^ (2), 10, 153-62. [3]..

Vaughan, R. C. (1977a). On pairs of additive cubic equations. Proc. Lond.

Math. Sec., (3), 34, 354-64. [GJ.

Vaughan, R. C. (1977Z>). Homogeneous additive equations and Waring's problem.

Acta Arith., 33, 231-53. [5, 6, 9].‘

Vaughan, R. C. (1977c). Sommes trigonometriques sur les nombres premiers, С. K. Acad. Set Paris, S》.A, 258, 981-3. [3].

Vaughan, R. C. (1979). A survey of some important problems in additive number theory. Soc. Math.血 France. Asterisque, 61, 213-22. [SJ.

Vaughan, R. C. (1980a). A ternary additive problem. Proc. Lond. Math. Soc, 41, 516-32, [8].

Vaughan, R. C. (1980h). Recent work in additive^ prime number theory. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Helsinki, 1978, 389-94. [3].,

Veidinger, L. (1958), On the distribution of the solutions of diophantine equations with many unknowns. Acta Arlth,, 5, 15-24. [GJ.

Verdenius, W. (1949), On problems analogous to those of Goldbach and Waring, Ned. Akad, W&t., S2 = Indag, Math.t И, 255-63. [G]：

Vinogradov, A. I, (1955). .On some new theorems of the additive theory of numbers. DokL Akad. Nauk SSSRt 102, 875-76. [GJ.

Vinogradov, A, I, (1956). On an almost binary problem. /iu Akad. Nauk SSSR, Ser,

Mat., 20, 713-50. [GJ.,,

Vinogradov, A. I. (1963). On a problem of L. K. Hua. DokL Akad. Nauk SSSR, 151, 255-7. [3].. •

Vinogradov, L M. (1928a). Sur le theor^me de Waring. С» R. Acad. Sci. URSS、 393-400. [1].*•

Vinogradov, I. M. (1928b). Sur la representation d'un nombre entier par un polynom a plusiers variables.. C. R Acad. Sci. URSS, (7), 1, 401-14. [1].

Vinogradov, I. M. (1934a). A new solution of-Waring's problem. C. R. Acad. Sci. URSSt (2), 2, 337-41. [5].

Vinogradov, I. M. (1934b). On the upper bound G(〃)in Waring*s problem. C. R Acad. ScL PASS, 1455-69. [5].

Vinogradov, I. M. (1935д). Une nouvelle variante de la demonstration du thfeoreme de Waring.C. К Acad. Set Paris. 200, 182-4. [5].

Vinogradov, I. M. (1935b). On Waring's problem. Ann. Math., 36, 395-405. [5].

Vinogradov, I. M. (1935c). A new variant of Waring's theory. Trav. Inst. Steklov, % 5-15. [5].

Vinogradov, L M* (193 3d). On Weyl's sums, Rec* Math., 42, 521-30. [5].

Vinogradov, I. M. (1935c). An ftgymptotic fQpnulg for the number of representations in Waring!s problem.応e* Math., 42, 531-4. [5].

Vinogradov, I. M. (1937a). Representation of an odd number as a sum of three primes. C R. Acad,.ScL URSS, 16, 6-7. [3]/

Vinogradov, L M. (1937f>). Some theorems concerning the theory of primes. Rec.

MsM, 2, (44), 2, 179-9$.国

Vinogradov, I. M. (1937c). Some new problems of the theory of primes. C. R Acad, Sci, URSSt № 131-2 [О].

Viijogradoy, I. M. (1937</). A new method in apalytiQ numgr theory.幼我〃足矗 StAlg 1“ 1-121 £5].

Vinogradov, I. M, (1947). The method of trigonometrical sums in the theory of numbers. Trav. Inst. Steklov, 23, translated from the Russian, revised and annotated by Davenport, A & Roth, K. F. (1954). New York: Interscience； [Е].

Vinogradov, I. M. (1954). Elements of number theory^ New York： Dover. Translated from the fifth Russian edition of 1949 by S. Kravetz. [В].

Vinogradov, I. M, (1959). On an upper bound for G(m). Izv. ASd. Nauk SSSR, 23, 637-42. [7].

Waerden, B. L. van der. (1927). Beweis einer Baudetschen Vermutung. Niew Areh. Wisk” 15,212-16. [10].

Walfisz, A. (1941a,h). Zur additiven Zahlentheorie VI 1(1), (2). Soobsclienia Akad. Nauk Gruzinskoi SSR, 2, 7-14; 221-6/3].

Watson, G. L (1951). A proof of the seven cube theorem. Л Lond. Math, Soc., 26, 153-6. [1].

Watson, G. L. (1953). On indefinite quadratic forms in five variables. Proc. Lend. Math. Soc., (3), 3, 170-81. [11].

Watson, G. L. (1969). A cubic Diophantine equation. J. bond. Math. Soc., (2), 1, 163-73. [GJ.

Weyl, H. (1916). Ubef die (jleichverteilung von Zahlen mod Eins. Math. Ann. 77, 313-52. [2],.

Whiteman, A. L. (1940). Additive prime number theory in real quadratic fields. Duke Math 几 7, 208-32. [G].

Wilson, R. J. (1969). The large sieve in algebraic number fields. Mathematika, 16, 189-204. [5].

Wright, E. M. (1933a,h). The representation of a number as a sum of five or more squares I, II. Q. J. Math., 4, 37-51; 228-32. [G]・

Wright, E. M. (1934). Proportionality conditions in Waring's problem. Math., Z., 38, 730-46. [GJ..

Zuckerman, H. S. (1936). New results for the number g(〃)in Waring's problem.

'Am, Л Math., 58, 545-52. [1].'

Zulau£ A. (1952a). Beweis einer Erweiterung des Satzes von Goldbach- Vinogradov. J. Reine Angew. Math., 190, 169-98. [3].

Zulauf, A. (1952b). Zur additiven Zerfallung natiirlicher Zahlen in Primzahlen und Quadrate. Arch, Math, 3, 327-33. [G].'

Zulauf A. (1953a). Cber den dritten Hardy-Littlewoodschen Satz zur Goldbachschen Vermutung. J. Reine Angew. Math., 192, 117-28. [3].

Zulauf A* (1953b, 1954a/). Cber die Darstellung natiirlicher Zahlen als Summen von Primzahlen aus gegebenen Restklassen und Quadraten mit gegebenen Koeffizienten. I, Resultate fiir geniigend gross Zahlen; II, Die Singulare Rei he; III Resultate fur “fast alleA Zahlen. J. Reine Angew, Math, 192, 210-29； 193, 39-53; 193, 54-64. [GJ.

Zulau£ A. (1961). On the number of representations of an integer as a sum of primes belonging to given arithmetical progressions. Compos. Mat., 15, 64-9, [3]

Список работна русском языке

Архипов Г. И., Карацуба А. А. Новая оценка интеграла И. М. Виноградова.—Изв, АН СССР, сер. матем., 42 (1978), 751—762.

Архангельская В, М. Некоторые численные расчеты, связанные с проблемой Гольдбаха. — Укр, матем. журнал, 9 (1957), 20—29,

Бабаев Г., Субханкулов М. А. Асимптотическая формула для двух аддитивных задач. — Уч. зап, Тадж, ун-та, 26, сер. матем. (1963), 49—68.

Вальфиш А, Аддитивная теория чисел VII (1), (2).— Сообщ, АН Груз, ССР, 2 (1941), 7—14； 221—226.

Виноградов А, И, О некоторых новых теоремах аддитивной теории чисел. —ДАН СССР, 102 (1955), 875—8 76.

Виноградов А, И, Об одной «почти бинарной» задаче, — Изв. АН СССР, сер, матем,, 20 (1956), 713—750,

Виноградов А, И, Об одной проблеме Хуа Ло-кена, — ДАН СССР, 151 (1963), 255—257,

Виноградов И, М, О теореме Баринга, — Изв, АН СССР, ОМЕН (1928), 393—400.

Виноградов И, М, О представлении числа целым многочленом от нескольких переменных, — Изв. АН, ОМЕН (1928), 401—414,

Виноградов И, М. Новое решение проблемы Баринга, — ДАН СССР, 2 (1934), 337—341.

Виноградов И. М, О верхней границе G(k) в проблеме Баринга. — Изв. АН СССР, ОФМН (1934), 1455—1469,

Виноградов И. М, Новьп вариант вывода теоремы Баринга, — Труды Физ.-матем. ин-та АН СССР, 9 (1935), 5—16.

Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел. — ДАН СССР, 15 (1937), 6—7,

Виноградов И. М. Некоторые новые проблемы теории простых чисел,— ДАН СССР, 16 (1937), 131 — 132.

Виноградов И. М. Новый метод в аналитической теории чисел, — Труды Физ.-матем, пн-та АН, 10 (1937), 1 —122,

Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел,— Труды Матем, ин-та АН, 23 (1947), 1 — 111.

Виноградов И, М, Основы теории чисел, — М,: ГИТТЛ, 1954,

Виноградов И, М, К вопросу о верхней границе для G(n). — Изв, АН СССР, сер, матем,, 23 (1959), 637—642,

Дэвенпорт Г, Мультипликативная теория чисел,—М,: Наука, 1971, Емельянов Г. В, Об одной системе диофантовых уравнений. — Л,: Уч. зап, ун-та, сер, матем,, 19 (1950), 3—39,

Калинка В. Обобщение леммы Хуа Ло-кена для алгебраических чисел.— Литовский матем, сб., 3 (1963), 149—155..

Карацуба А. А. Об оценке числа решений некоторых уравнений, — ДАН СССР, 165: 1 (1965), 31—32,

Карацуба А, А, О некоторых системах неопределенных уравнений. — Матем, зам,, 4 (1968), 125—128.

Карацуба А, А,, Коробов Н. М, О теореме о среднем, — ДАН СССР, 149, 2 (1963), 245^248..

Лаврик А, Ф, Об одном предложении аддитивной теории чисел, — Успехи матем. наук, 14 (1959), 197—198,

Лаврик А. Ф, К бннарннм гипотезам теории простых чисел по методу И, М, Виноградова. — ДАН СССР, 132, (I960), 1013—1015.

Лаврик А, Ф. К распределению простых чисел ^-близнецов. — ДАН СССР, 132 (I960), 1258—1260.

Лаврик А. Ф. О числе простых чисел ^-близнецов, лежащих на отрезке заданной длины, — ДАН СССР, 136 (1961), 281—283,

Лаврик А. Ф. К бинарным проблемам аддитивной теории простых чисел в связи с методом тригонометрических сумм И. М. Виноградова,— Л.: Вести, ун-та, 16 (1961), 11—27.

Лаврик А, Ф. К теории распределения простых чисел на основе метода тригонометрических сумм И. М, Виноградова. — Труды Матем. ин-та АН СССР, 64 (1961), 90—125,

Лаврик А, Ф. К теории распределения совокупностей простых чисел с заданными разностями между ними. — ДАН СССР, 138 (1961), 1287 1290,

Лаврик А, Ф, О представлении чисел в виде суммы простых по методу Л, Г. Шнирельмана, — Изв, АН УзССР, сер, физ,-матем, н., 3 (1962), 5—10.

Линник Ю, В, О разложении больших чисел на семь кубов, ДАН СССР,

35 (1942), 179—180.

Линник Ю, В, Элементарное решение проблемы Баринга по методу Шни- рельмана. — Матем. сб., 12 (1943), 225—230.

Линник Ю. В. О возможности единого метода в некоторых вопросах аддитивной и дистрибутивной теории простых чисел. — ДАН СССР, 48 (1945), 3—7,

Линник Ю. В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха—Виноградова,—

Матем. сб., 19 (61) (1946), 3—8.

Линник Ю. В, Простые числа и степени двойки. — Труды Матем, ин-та

АН СССР, 38 (1951), 152—169.

Линник Ю. В, Некоторые условные теоремы, касающиеся бинарных задач с прост纪мн числами, — ДАН СССР, 77 (1951), 15—18, и Изв. АН СССР, сер. матем. 16 (1952), 503—520.

Линник Ю, В, Складывание простых чисел со степенями одного и того же числа. — Матем. сб,, 32(74) (1953), 3—60.

Лурсманашзили А, П, О представлении натуральных чисел суммами простых чисел, — Тбилиси: Труды уи-та, 117, сер. мех.-матем, 17. 5 (1966), 63—76.*

Малышев А. В,, Подсыпанин Е. В, Аналитические методы в теории систем диофантовых уравнений и неравенств с большим числом неизвестных.—М.: Ин-т науч.-технич. информации АН СССР, 12 (1974), 5-50,

Марджанишвили К, К，Об одновременном представлении двух чисел суммами полных m-х н п-х степеней. — ДАН СССР, 2 (1936), 263—264 и Изв. АН СССР, сер, матем, (1937), 609—631.

Марджанишвили К，К. Об одной системе диофантовых уравнений,——ДАН СССР, 22 (1939) 467—470.

Марджанишвили К， К. Об одной задаче аддитивной теории чисел,——Изв АН СССР, 4 (1940), 193—214.

Марджанишвили К，К，К доказательству теоремы Гольдбаха — Внногра- дова, —ДАН СССР, 30 (1941), 687—690.

Марджанишвили К, К. Об одной асимптотической формуле аддитивной теории простых чисел.— Сообщение АН ГрузССР, 8 (1947), 597—604. Марджанишвили К К. О некоторых аддитивных задачах с простыми числами.—Успехи матем, н., 4 (1949), 183—185,

Марджанишвили К，К Об одном обобщении прблемы Варинга, — Сообщение АН ГрузССР, 11 (1950), 82—84,

Марджанишвили К. К, Об одной системе уравнений в простых числах,— ДАН СССР, 70 (1950), 381—383.

Марджанишвили К, К, Исследования по применению метода тригонометрических сумм к аддитивным проблемам,— Успехи матем, н., 5 (1950), 236—240.

Марджанишвили К- К Об одновременном представлении пары чисел суммами простых чисел и их квадратов, — Сообщения АН ГрузССР, Труды Матем. ин-та, 18 (1951), 183—208.

Марджанишвили К- К- О некоторых нелинейных системах уравнений в целых числах. — Матем. сб , 33(75) (1953), 639—675.

Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел, Пер. с англ.——М,: Мир, 1974.

Нечаев В. И. Представление целых чисел суммой слагаемых вида х(х+ 1)…(x + 孔一1)加!，一ДАН СССР, 64 (1949), 159—162 и Изв- АН СССР, сер. матем,, 17 (1953), 48 5—498,

Нечаев В, И, Проблема Варинга для многочленов,——Труды Матем, ин-та АН СССР, 38 (1951), 190—243.

Нечаев В. И. Многочлены с малым G(f), — Уч. зап. Москов. гор. пед. ин-та, 71 (1958), 291—300.

Нечаев В, И., Телесин Ю. 3. О точном значении G(f, а) для последовательности многочленов второй степени, — Уч, зап. Москов. гор. пед. ин-та, 188 (1962), 131 — 138.

Прахар К, Распределение простых чисел. Пер, с англ. — М,: Мнр, 1967. Статулявичус В. А. О представлении нечетных чисел суммой трех почти равных простых чисел.— Вильнюс: Ученые труды ун-та, 3 (1955), 5—23.

Субханкулов М. А. Аддитивные свойства некоторых последовательностей.—В сб. «Исследов, по матем. анализу и мех. в Узбекистане», Ташкент (I960), 220—241,

Тартаковский В, А. О количестве представлений больших чисел формами «общего вида» с большим числом переменных I, II. — Л.: Вести, ун-та, 7, сер. матем. 2 (1958), 131—154; 2 (1959), 5—17.

Телесин Ю, 3. Проблема Варинга для многочленов степени 7, 8, 9 и 10.—— М,: Уч. зап, гор. пед. ин-та, 71 (1958), 301—311.

Фрейман Г, А. Решение проблемы Варинга в новой постановке.——Успехи матем. н., 4 : 1 (29) (1949), 193.

Хассе Г, Лекции по теории чисел. Пер, с англ, — М.: ИЛ, 1953,

Хуа Ло-кен. О представлении чисел суммами 儿-x степеней простых чисел.—ДАН СССР (2), 17 (1937), 167—168.

Хуа Ло-кен. Некоторые результаты в проблеме Варинга для малых степеней,—ДАН СССР (2), 18 (1938), 527—528,

Хуа Ло-кен. Некоторые результаты в аддитивной теории простых чисел.—ДАН СССР (2), 18 (1938), 3.

Хуа Ло-кен. О системах диофантовых уравнений.— ДАН СССР, 27 (1940), 312—313.

Хуа Ло-кен. Аддитивная теория простых чисел, — Труды Матем, ин-та АН СССР, XXII, М.-Л„ 1947.

Чудаков Н, Г, О проблеме Гольдбаха, — ДАН СССР (2), 17 (1937), 335—338.

Чудаков Н. Г. О плотности совокупности четных чисел, непредставимых как суммы двух нечетных простых. — Изв. АН СССР, сер, матем,, 2 (1938), 25—40.

Литература, добавленная переводчиком*

1*, Bessel-Hagen Е, (1929) Bemercungen zur Behandlung des major arc bei der Anwendung der Hadry — Littlewood'schen Methode auf das Waringiche Problem, Proc, London Math, Soc. (2), 29, 328—400, [4].

2*. Вaker R, C., Hartman G. (1982) Diophantine approximation by prime numbers, J. London Math. Soc, (2), 25, 201—215, [11].

3*, Balasubramanian R. Mozzochi C, J. (1984) An improved upper bound for G优)in Waring's problem for relatively small k. Acta Arith., 43, 283—285. [5].

4*. Heath-Brown D. R. (1981) Three primes and an almost prime in arit thmetlc progression. J. London Math, Soc, (2), 23, 396—414, [3].

5*, Heath-Brown D, R, (1983) Cubic forms in ten variables. Proc. London Math. Soc. (3), 47, 255—257. [9].

6*, Линник Ю. В, (1943) On Weil's sum, Матем. сб. 12(54), 28—3 9, [5].

7*, Thanigasalam К, (1980a) On Waring's problem, Acta Arithm., 38, 141 — 155. [5].

8*. Thanigasalam K, (1980b, 1982b) On sums of powers and a related problem, Acta Arith,, 36, 125—141, Addendum and Gorrigendum, Acta Arithm,, 42, 425, [8],

9*, Thanigasalam K. (1982a) Some new estimates for G (k) in Waring's problem, Acta Arith; 42, 73—78, [5].

*, Vaughan R, С, (В печати, a) Sums of three positive cubes. Bull. London Some remarks on weil sums, Colloquia Math. Soc. Janos Bolyai, Budapest, 1981. [4].

*, Vaughan R. С. (В печати, b) Sums of three positive cubes. Bull, London Math, Soc, [8].

Виноградов И, M, Метод тригонометрических сумм в теории чисел,— М.: Наука, 1980,

Виноградов И, М, Особые варианты метода тригонометрических сумм. —М.: Наука, 1976.

Карацуба А, А, Основы аналитической теории чисел. — М,: Наука, 1983.

Венков Б. А. Элементарная теория чисел, ОНТИ — НКТП, СССР 1937.

Хассе Г. Лекции по теории чисел, — М.: ИЛ, 1953,

Звездочкой отмечена литература, добавленная по просьбе автора.

Апостол (Apostol) 29

Баласубраманян (Balasubra- manian) 10

Баше (Bachet) 9

Бёрч (Birch) 128, 131

Бирстедт (Bierstedt) 131

Бомбьери (Bombieri) 62, 64

Боувей (Bovey) 131

Брауэр (Brauer) 128

Бэйкер (Baker) 155

Варден ван дер (Waerden, van der) 136, 137

Варинг (Waring) 9

Ватсон (Watson) 13

Вейль (Weyl) 12, 18, 19

Вейль (Weil) 44

Вильсон (Wilson) 67

Виноградов И. М. 12, 14, 29,

59, 75, 94, 104

Вон (Vaughan) 14, 60, 93, 107, 131, 155

Гильберт (Hilbert) 9

Гольдбах (Goldbach) 13, 34

Дэвенпорт (Davenport) 7, 13, 30, 44, 79, 80, 82, 84, 87, 88, 92, 93, 107, 118, 122, 128, 131, 148, 155

Зигель (Siegel) 7

Карацуба А. А. 62

Лагранж (Lagrange) 9

Ландау (Landau) 7

Лежандр (Legendre) 107

Линник Ю. В. 13, 62

Литтлвуд (Littlewood) 7, 9,

11, 12, 16, 31, 32, 74, 75, 77, 123

Льюис (Lewis) 7, 128, 131

Малер (Mahler) 10

Мих (Miech) 113

Монтгомери (Montgomery) 14

Морделл (Mordell) 44, 96

Нортон (Norton) 131

Диксон (Dickson) 9

Диофант (Diophantus) 9

Дирихле (Dirichlet) 11, 17,21

Додсон (Dodson) 131

Пиллаи (Pillai) 9

Полна (Polya) 123

Радемахер (Rademacher) 7

Райт (Wright) 7, 9, 28, 39

Рамануджан (Ramanujan) 11, 15

Ригер (Rieger) 9

Рот (Roth) 107, 136, 137, 138, 155

Семереди (Szemeridi) 136

Стеммлер (Stemmier) 10

Титавайнен (Tietavainen) 131

Томас (Thomas) 10

Туран (Turan) 136, 137

Ферма (Fermat) 9

Фюрстенберг (Furstenberg) 136, 137

Хаксли (Huxley) 67

Харди (Hardy) 7, 9, 10, 11, 12, 28, 31, 32, 39, 75, 77, 12 3

Хассе (Hasse) 122

Хельбронн (Heilbronn) 44,

107, 118, 148

Хуа (Hua, L. —К.) 14, 16, 44,

94, 95, 104

Човла (Chowla) 30, 131

Шаркоци (Sarkozy) 137, 141, 147

Шефилд (Scourfield) 78

Шимура (Shimura) 131

Шмидт (Schmidt) 7, 44

Эйлер (Euler) 9, 13, 29

Эллисон (Ellison) 9

Эрдёш (Erdos) 80, 136, 137

Эстерманн (Estermann) 7

Предметный указатель

Аддитивное однородное уравнение 128, 129, 131, 132, 148

Алгоритм Евклида 27

Асимптотическая плотность 136

Биквадрат 9, 10, 84, 89

Большие дуги 12, 16, 22, 34, 36, 44, 55, 95, 98, 101, 107, ПО, 117, 143, 144, 145, 150, 153

Большое решето 67, 76, 122

Виноградова символ 8

—теорема о среднем 61, 62, 65, 94

Гипотеза Римана расширенная 14

Диафантово неравенство 148

—приближение 11, 17

Кубическая форма 7, 128

Кубы 9, 13

Лемма Хуа 20, 21, 75, 95, 116, 150

Малые дуги 12, 16, 22, 34, 73, 95, 101, 107, ПО, 112, 143, 144, 145

Метод Харди — Литтлвуда 7, 10, 12, 14, 95, 128, 136, 148, 150

Мультипликативная теория чисел 14, 65

Неравенство Вейля 12, 19, 21, 24, 34, 60, 90, 92, 95, 112, 152

Однородное уравнение 128, 129, 131, 148

Однородная форма 128, 131

Особый интеграл 12, 26

—ряд 12, 27, 40, 53, 91, ПО,

117

Первообразный корень 51

Полиномиальное сравнение 95

Баринга 9, 12, 44, 73

для биквадратов 89

—тернарная аддитивная 103

Проблема Гольдбаха бинарная 13, 14, 29

тернарная 13, 14, 34

Произведение Эйлера конечное 117

Разностный оператор 18, 32, 86

Римана дзета-функция 61

Сумма Гаусса 122

— делителей 14

——Рамануджана 15, 39

—степеней 9, 79, 91, 108

—трех квадратов 109

Теорема Kotuu 一 Дэвенпор

та—Човлы 30

— о четырех квадратах 9

一 Семереди 137

Тривиальная область 150

Формула Ньютона 62

— суммирования Пуассона 47

—*^ Энлвра — ^tciKAop^HQ 47

Функция вспомогательная 22, 89, 95

——Мангольдта 35

一 Мёбиуса 35

—обобщенная 22, 44, 89, 95

—разбиения 11

—Эйлера 29

Характеры 52

Четыре положительных куба 93

Эргодическая теория 136, 137

Эрдёша ——Турана предположение 136

Оглавление

Предисловие редактора перевода .,, Предисловие

Обозначения

Введение и исторические сведения .

Проблема Варинга

Метод Харди — Литтлвуда ,..

Проблемы Гольдбаха

Другие проблемы

Упражнения .,,

Простейшая верхняя оценка G(/c), 2.1 Определение больших и малых дуг 2.2 Вспомогательные леммы ..,.

Оценка на малых дугах

Большие дуги ,

Особый интеграл

Особый ряд

Заключение

Упражнения

Проблемы Гольдбаха

Тернарная проблема Гольдбаха ., 3.2 Бинарная проблема Гольдбаха ., 3,3 Упражнения

Большие дуги в проблеме Варинга ,

Обобщенная функция

Экспоненциальная сумма S(g, а).

Особый ряд .,,.,....

Вклад больных дуг

Согласование условий

Упражнения

Методы Виноградова

Теорема Виноградова о среднем ,.

Переход от среднего

Малые дуги в проблеме Варинга ,.

Верхняя граница G(k)

Упражнения .

в Методы Дэвенпорта

6.1 Множества сумм й-х степеней ., 6.2 6(4)46

5 7 8 9 9 0 3 4 4

6

66126712 4 4 9 3 4 4 13 5 8 0

11222233 3334 4455556

116348

6 6 6 7 7 7

797989

9292949495010408-0909101012171725262828283,3536363741434446名48488061886686737779С 1 1 I 1 11111111 1 1111 1 11111111 И 111 1 1111 I9292949495010408-0909101012171725262828283,3536363741434446名48488061886686737779С 1 1 I 1 11111111 1 1111 1 11111111 И 111 1 1111 I

9292949495010408-0909101012171725262828283,3536363741434446名48488061886686737779

С 1 1 I 1 11111111 1 1111 1 11111111 И 111 1 1111 I

9292949495010408-0909101012171725262828283,3536363741434446名48488061886686737779

С 1 1 I 1 11111111 1 1111 1 11111111 И 111 1 1111 I

6,3 Оценки Дэвенпорта 0(5) и 0(6)

6.4 Упражнения

Верхняя оценка G (А) И. М. Виноградова

Некоторые замечания к теореме Виноградова о среднем，--

Предварительные оценки

Асимптотическая формула для /*(Х)•--

Верхняя оценка 6(4) И. М. Виноградова *

Упражнения

Тернарная аддитивная проблема

Общие предположения■• •

Формулировка теоремы

Определение больших и малых дуг

Рассмотрение

Большие дуги 贝(д, а)

Особый ряд

Завершение доказательства теоремы 8.1•- ■

Упражнения

Однородные уравнения и теорема Бёрча-- •

Введение

Аддитивные однородные уравнения

Теорема Бёрча

Упражнения

Теорема Рота

Введение .

Теорема Рота

Теорема Фюрстенбурга и Шаркоци

Определение больших и малых дуг ....

Вклад малых дуг

. Вклад больших дуг

Завершение доказательства теоремы 10.2

Упражнения

Диофантовы неравенства

Теорема Дэвенпорта н Хельбронна

Определение больших и малых дуг

Оценка на малых дугах

Большая дуга :

Упражнения*

Библиография ,

Список работ на русском языке

Именной указатель

Предметный указатель

2 2 S V (a, 7, a)$e ( — am)da《M/i-6・

q*P a=i 况(q, a)

(a, G= 1

Отсюда no (4,35), (4.36) и (4.24)

R耽(团)=® (团，P) / (m) +。(n5^"1"6),(4.37)

где

1/2

(5(团，P) = 2 S^(力 /(m)= \ v(p)5e( —pm) dp.

代P- 1/2

По лемме 4.8

QVq《2Q

В качестве применения теоремы 7.4 теперь можно пока

зать, что

1.G (也))С

Нт sup —& 2.

А-»ооН 々log 左 '

Во многих отношениях доказательство опирается на идеи

§ 54

Пусть п означает большое натуральное число и

N = [n^k].

Пусть К—натуральное число с условием

2K<k

и

u严匕=[0沟，9=22羡巴丁丄,

%+1 =[叫，匕=[。丹 Х = ^"/2.(7.29)

Теперь пусть Q(m) означает число решений уравнения

(5 + %>++(① + М尸=m

с х/ W V/, где / — параметр, который будет определен подхо