РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУКИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Б.Т. ПОЛЯК П.С. ЩЕРБАКОВ

РОБАСТНАЯустойчивостьИ УПРАВЛЕНИЕ

В

МОСКВА (НАУКА» 2002

УДК 007

ББК 22.213

П 49

Ответственный редактордоктор технических наук А.П. Курдюков

Рецензенты:

академик ФЛ. Черноусъко

академик Н.А. Кузнецов

Поляк Б.Т.

Робастная устойчивость и управление / Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков. - М.: Наука, 2002. - 303 с.

ISBN 5-02-002561-5

В работе дано описание современной теории автоматического управления, включающее новые основные разделы, возникшие в последние годы. Изложены как фундаментальные идеи, лежащие в основе теории, так и техника получения результатов. Большое внимание уделяется робастному подходу, т.е. методам анализа и синтеза систем управления при наличии неопределенности. Дана классификация типов неопределенности и возникающих задач стабилизации и оптимального управления. Приведены алгоритмы их решения.

ISBN 5-02-002561-5ISBN 5-02-002561-5Для специалистов по теории управления и практиков-инженеров, а также студентам и аспирантам, изучающим основы теории управления.

ISBN 5-02-002561-5

ISBN 5-02-002561-5

© Российская академия наук, 2002

© Издательство “Наука”

(художественное оформление), 2002

ПРЕДИСЛОВИЕ 6

ВВЕДЕНИЕ 7

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ 14

Часть 1. ПОЛНОСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ СИСТЕМЫ

Глава 1. ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 16

Пространство состояний 16

Передаточная функция 19

Операторный подход 26

Нормы сигналов (26). 1.3.2. Нормы операторов (28). 1.3.3.

Нормы передаточных функций (30).

Одномерные системы 34

Выводы 42

Глава 2. ВИДЫ УПРАВЛЕНИЯ 45

Программное управление. Управляемость 45

Обратная связь по состоянию 51

Обратная связь по выходу. Наблюдаемость 53

Частотные методы 55

Выводы 60

Глава 3. УСТОЙЧИВОСТЬ 64

Устойчивость линейных непрерывных систем 64

Невозмущенные системы (64). 3.1.2. Возмущенные системы (71).

Устойчивость линейных дискретных систем 73

Критерии устойчивости полиномов 76

3.1. Графические критерии (77). 3.3.2. Алгебраические критерии

). 3.3.3. Устойчивость дискретных полиномов (84).

Частотные критерии устойчивости замкнутых систем 87

Множества достижимости для устойчивых систем 93

£2-норма (94). 3.5.2. £оо-норма (96). 3.5.3. Интегральные оценки (100).

Сверхустойчивость 102

Сверхустойчивость линейных стационарных систем (103).

Нестационарные системы н другие вопросы сверхустойчивости (105).

Выводы 109

Глава 4. СТАБИЛИЗАЦИЯ 114

Стабилизация с помощью регуляторов низкого порядка 114

П-регулятор (115). 4.1.2. £)-разбиение (119). 4.1.3. Дискретные системы (122).

Общий вид стабилизирующих регуляторов 123

Размещение полюсов 128

Квадратичная стабилизация 134

Сверхстабилизация 136

Выводы 140

Глава 5. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ 143

Линейно-квадратичный регулятор 143

Принцип максимума (144). 5.1.2. Уравнение Риккати (147).

Функция Ляпунова н линейные матричные неравенства (148).

И<х>-оптимизация 151

Решение в частотной области (153). 5.2.2. Решение в пространстве состояний (155).

Подавление ограниченных возмущений 158

й-оптимизация (159). 5.3.2. Использование сверхустойчивости (164). 5.3.3. Использование инвариантных множеств (167).

Выводы 169

Часть 2. СИСТЕМЫ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ

(РОБАСТНАЯ ТЕОРИЯ)

Глава 6. ВИДЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 173

Параметрическая неопределенность 173

Частотная неопределенность 177

Нестационарные и нелинейные возмущения 181

Вероятностный подход к робастности 181

Выводы 182

Глава 7. РОБАСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 186

Робастная устойчивость полиномов 186

Робастная устойчивость матриц 197

Робастная устойчивость при неопределенных передаточных функциях 204

д-анализ212

Вероятностный подход к робастной устойчивости216

Метод Монте-Карло (216). 7.5.2. Вероятностные аппроксимации критериев робастной устойчивости (218). 7.5.3. Свойства случайных матриц (221).

Выводы 221

Глава 8. РОБАСТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ226

Робастная стабилизация с помощью регуляторов низкого порядка . 226

Робастная квадратичная стабилизация231

Робастный линейно-квадратичный регулятор 232

Робастная стабилизация с помощью Нос-оптимизации234

р-синтез239

Выводы241

Глава 9. НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ243

Стабилизация регулятором заданной структуры243

Одновременная стабилизация249

Линейно-квадратичная оптимизация: регуляторы заданной структуры и робастность 252

Другие проблемы 255

ПРИЛОЖЕНИЕ256

Определитель, характеристический полином, след256

Положительно-определенные матрицы257

Блочные матрицы н лемма Шура257

S-теорема258

Нормы матриц258

Матричные разложения261

Приведение к диагональной форме (261). 6.2. Приведение к жордановой форме (261). 6.3. Приведение к фробениусовой форме (262). 6.4. Приведение к вещественной блочно-диагональной форме (263). 6.5. Сингулярное разложение (263). 6.6. Канони

ческая управляемая форма. Управляемость (264).

Функции от матриц 265

Функции от матричного аргумента (265). 7.2. Матричная экспонента (267).

Решение полиномиальных н родственных уравнений268

Матричные уравнения и неравенства 270

Уравнение Ляпунова (270). 9.2. Уравнение Риккати (272).

Теория возмущений 273

Непрерывная зависимость корней полинома от коэффициентов (273). 10.2. Непрерывная зависимость собственных значений матрицы от ее элементов (274). 10.3. Линейная теория возмущений

(275). 10.4. Круги Гершгорина (275).

Одна теорема двойственности276

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ 277

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 286

РУССКО-АНГЛИЙСКИЙ СЛОВАРИК ПО УПРАВЛЕНИЮ295

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ299

ПРЕДИСЛОВИЕ

За последние 20 лет в теории автоматического управления произошли революционные изменения. Возникли такие новые концепции, как робастность, Яоо-оптимальное управление, ^подход, д-анализ и синтез, LMI-техника и т.д. Им соответствует новый математический аппарат и новый взгляд иа теорию линейных систем. К сожалению, вся эта тематика весьма слабо освешеиа в литературе иа русском языке. Большинство учебников по теории автоматического регулирования отражает состояние предмета иа 1960-70-е годы. Таким образом, российскому читателю нелегко разобраться в потоке современных западных публикаций, где новый взгляд на теорию управления предполагается исходно известным. Отсутствие переводов современных зарубежных монографий и учебников и их труднодоступность усугубляет ситуацию.

Авторам настоящей книги хотелось восполнить этот пробел и изложить некоторые новейшие результаты теории управления в простой и доступной форме. Мы основываемся как иа известных результатах зарубежных ученых, так и на собственных исследованиях в области робастной устойчивости и управления. Конечно, мы понимаем всю трудность поставленной задачи и поэтому сознательно ограничиваем рамки изложения. В книге нет материалов, относящихся к нелинейным системам, стохастическим возмущениям, задачам идентификации, адаптивному управлению; мы совершенно не рассматриваем вопросы практической реализации систем управления. Многие математические вопросы излагаются на возможно более простом уровне.

Авторы будут признательны читателям за любые замечания по содержанию книги.

ВВЕДЕНИЕ

Теория автоматического управления — молодая наука, которая находится в процессе интенсивного развития. При этом существенно меняются взгляды на предмет и основные проблемы данной дисциплины, равно как и используемый математический аппарат.

В XIX веке главным объектом исследования были автоматические регуляторы производственных процессов, такие как регулятор Уатта для паровой машины. Было введено важнейшее понятие устойчивости регулируемого процесса и получены первые критерии устойчивости линейных систем, выражаемые в терминах характеристического полинома (Максвелл, Раус, Вышиеградский, Гурвиц, Стодола). В работах А. М. Ляпунова были получены первые результаты по устойчивости нелинейных систем, опирающиеся на фундаментальную идею введения функции Ляпунова.

В 30-е годы XX века, с появлением телефонии и радиосвязи, основным аппаратом теории становятся частотные методы и соответствующие частотные критерии устойчивости (Найквиста, Михайлова). Эти методы в 1940-50-е годы распространяются на импульсные и дискретные системы (Цыпкин, Джури) — такие системы приобретают особую роль в связи с появлением цифровой вычислительной техники, — а также на некоторые классы нелинейных систем (теория абсолютной устойчивости — Лурье, Айзерман, Попов).

Однако в конце 1950-х годов происходит очередное обновление в теории управления. В связи с развитием ракет и космонавтики возникает совершенно новый аппарат описания систем управления — описание в пространстве состояний. Иначе говоря, движение системы подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению (вообще говоря, нелинейному), в правой части которого стоит функция, которая может выбираться проектировщиком (управление). Более того, возникла фундаментальная идея оптимальности — выбор управления должен оптимизировать некоторый показатель качества. В такой постановке задача управления имеет много общего с классическими задачами вариационного исчисления. В дело исследования систем управления включились математики; результатом явилась разработка «принципа максимума Понтрягина» — необходимого условия оптимальности управляемой системы. Работы специалистов по управлению (Калман, Беллман, Летов) помогли инжене-

рам осознать важность и продуктивность созданной теории оптимального управления.

В то же время постепенно выяснилось, что такая теория адекватно описывает лишь сравнительно узкий круг практических задач, таких как управление космическим полетом или иаведеиие ракет. В остальных ситуациях имеется масса факторов, препятствующих применению красивой математической теории оптимального управления. Во-первых, в каждой задаче имеется неизбежная неопределенность, связанная либо с наличием внешних возмущений, либо с невозможностью точно определить параметры модели. Во-вторых, в теории оптимального управления решение ищется в виде функции от времени (программное управление). Ясно, что необходимость строить стратегию управления заранее является крайне нежелательной. Для инженера гораздо более естественно выбирать управление в форме обратной связи, как функцию от выхода системы в текущий момент (задача синтеза).

Подобное критическое отношение вызвало ревизию теории управления в 1970-е годы. В инженерной практике происходит возврат к классическим способам регулирования с помощью простых регуляторов (типа ПИД) и к простым методам их настройки. В теории восстанавливается интерес к частотным методам; они обобщаются на случай многомерных систем (Розенброк). Одиако подлинная революция произошла в 1980-е годы. Возникла так называемая Hco-теория (Зеймс, Френсис, Дойл, Гловер); она позволила объединить частотные методы и методы пространства состояний и по-иовому ставить оптимизационные задачи. Эта же постановка позволила рассматривать задачи с неопределенностью (робастное управление), именно задачи, в которых частотная характеристика объекта имеет неопределенность, ограниченную в Ноо -норме. Появились и другие постановки задач робастного управления, в которых неопределенность может быть задана иначе — либо как параметрическая, либо как ограниченная в матричной норме при описании в пространстве состояний. Цри этом были найдены многие красивые решения отдельных задач; например, задача о робастной устойчивости интервального полинома допускает очень простой ответ (теорема Харитонова). Был создан математический аппарат, позволяющий единообразно исследовать различные виды неопределенностей — ^-анализ (Дойл). Помимо Нсю-теории и робастности, новое решение получил ряд других разделов теории управления. Так, задача о подавлении внешних возмущений привела к появлению так называемой Zi-оптимизации (Барабанов-Граничин, Пирсон-Далех). Новый математический аппарат, оказавшийся чрезвычайно удобным, связан с линейными матричными неравенствами. Эти неравенства возникли еще в 1960-е годы в ряде задач управления (Якубович, Виллемс); позже выяснилось (Бойд), что они представляют собой очень общий метод анализа и синтеза линейных систем. Наличие эффективных программ решения

линейных матричных неравенств (Нестеров-Немировский) сделало этот аппарат весьма эффективным с вычислительной точки зрения.

Как видит читатель, за последние 20 лет теория управления претерпела очень большие изменения. К сожалению, они слабо отражены в отечественной учебной литературе. Замечательная книга А. А. Первозван- ского [58] дает полное представление о положении в теории управления к началу 1980-х годов. Вышедшие за последние годы учебники затрагивают, как правило, лишь отдельные стороны современной теории. Некоторую информацию можно извлечь из статей и обзоров на русском языке, однако все это дает лишь мозаичную картину предмета.

Мы попытаемся в этой книге дать более систематическое (но неизбежно краткое) изложение современного состояния теории управления.

Книга построена следующим образом. Часть I посвящена задачам управления, в которых отсутствует неопределенность в описании объекта (однако допускается неопределенность внешних воздействий). В первой главе описываются основные способы задания линейных систем — с помощью систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (описание в пространстве состояний), с помощью одного линейного дифференциального уравнения n-го порядка (системы с одним входом — одним выходом), с помощью передаточных функций. Наиболее общий современный подход описывает систему как линейный оператор, преобразующий входные сигналы в выходные. При этом в пространстве сигналов могут вводиться различные нормы, индуцирующие соответствующие нормы в пространстве операторов. Указаны приемы, позволяющие переходить от одного описания к другому. Рассмотрены также дискретные системы, в которых вместо дифференциальных уравнений фигурируют разностные.

Глава 2 знакомит со способами задания управления в линейных системах. В некоторых случаях можно выбирать управление как функцию от времени (программное управление). Однако такой способ непригоден при наличии неопределенности в объекте или во внешних сигналах, поэтому традиционно в инженерной практике используется управление в форме обратной связи. Это может быть либо управление по состоянию (когда вектор состояний доступен), либо управление по выходу (если текущая информация о системе дается ее выходом). Здесь же вводятся такие важнейшие термины теории управления, как управляемость и наблюдаемость. Обсуждаются особенности задания управления при описании системы в частотной области.

В главе 3 исследуется ключевое понятие устойчивости систем управления. Для одномерных систем (с одним входом и одним выходом) условия устойчивости формулируются особенно просто, так как характеристический полином выписывается явно. Проверка устойчивости полинома производится с помощью простых критериев Рауса-Гурвица (в численном

виде) или Михайлова (в графическом виде). Особую роль в теории управления играет критерий Найквиста. Для многомерных систем критерии устойчивости формулируются с помощью собственных значений матрицы состояний. Другой подход к устойчивости связан с введением квадратичной функции Ляпунова; оиа может быть построена путем решения уравнения Ляпунова. В ряде случаев удобны простые достаточные условия устойчивости («сверхустойчивость»), которые легко проверяются как линейные ограничения на коэффициенты матриц. Для устойчивых систем представляет интерес по возможности более точное описание множества достижимости, т.е. всех состояний, в которые может быть переведена система с помощью ограниченных в той или иной норме управлений.

Начиная с главы 4 исследуются основные задачи управления линейными объектами. Простейшая из них — стабилизация, т.е. обеспечение устойчивости замкнутой системы с помощью обратной связи. Мы начинаем с проблем стабилизации простыми регуляторами. Здесь используются такие методы, как годограф Найквиста и £)-разбиение, позволяющее выделить все значения одного или двух параметров, при которых система устойчива. Если ие задаваться видом регулятора, то можно описать все стабилизирующие регуляторы для данного объекта (так называемая параметризация Юлы). Важная идея стабилизации связана с использованием квадратичных функций Ляпунова. Наконец, мужно использовать условия сверхустойчивости для построения стабилизирующих регуляторов.

Еще одному ключевому понятию теории управления — оптимальности — посвящена глава 5. Здесь формулируются основные типы критериев качества в задачах управления. Простейший квадратичный функционал был изучен еще в 1950-60-е годы в работах Калмана, Беллмана, Летова, Виллемса. Решение задачи оптимального управления с таким показателем (задача о линейно-квадратичном регуляторе или задача об аналитическом конструировании регуляторов) удается получить в явном виде с помощью уравнения Риккати. Приведены и другие способы решения — сведение к краевой задаче или к линейным матричным неравенствам. Следующие параграфы этой главы посвящены более современным постановкам задачи оптимального управления. Первой из них является задача Нао -оптимизации, строго сформулированная Зеймсом в начале 1980-х годов (частные случаи задачи рассматривались и в более ранних публикациях). Она допускает несколько трактовок. Можно исходить из задачи оптимального подавления внешних возмущений, ограниченных в ^2-и°рме (т.е. возмущений с ограниченной суммарной энергией). Можно говорить о равномерно-частотном управлении (частота гармонического внешнего воздействия неизвестна; управление должно хорошо подавлять все такие воздействия). Задача Hoo-оптимизации первоначально решалась в частотной области с помощью тонких методов теории функций комплексного переменного (теорема Нехари, интерполяция

Неванлинны-Пика). Позже было найдено решение в пространстве состояний, оно по форме напоминает решение задачи линейно-квадратичной оптимизации и также связано с уравнением Риккати. Заключительный параграф главы 5 описывает еще одну оптимальную задачу — о подавлении ограниченных внешних возмущений. Для дискретных систем ограниченные сигналы связаны с /^-нормой, а оператор, преобразующий такие сигналы, ограничен в h-иорме. Поэтому принято сейчас называть указанную задачу li -оптимизацией. Мы рассматриваем различные подходы к таким проблемам как для дискретных, так и для непрерывных систем.

Вторая часть книги посвящена управлению в условиях неопределенности, т. е. проблеме робастности. Здесь мы имеем дело не с одной системой, а с целым семейством систем. Это семейство может задаваться либо с помощью некоторого множества параметров (параметрическая неопределенность), либо с помощью «полосы» в частотной области (частотная или неструктурированная неопределенность), либо с помощью некоторого допустимого множества матриц состояния (матричная неопределенность). Есть и общая схема записи, охватывающая все упомянутые виды неопределенности — так называемая М-А-конфигурация. Наконец, в рамках вероятностного подхода к робастности рассматриваются ситуации, когда неизвестные параметры являются случайными (вероятностная неопределенность). Все эти способы задания неопределенностей обсуждаются в главе 6.

В главе 7 исследуется проблема робастной устойчивости, т. е. устойчивости систем при наличии неопределенности. Простейшей является задача о робастной устойчивости полиномов при параметрической неопределенности. Предполагается, что характеристический полином системы зависит от параметров; условие робастной устойчивости сводится к проверке гур- внцевости этого полинома при всех допустимых значениях параметров. Критерии этого иногда весьма просты. Если параметрами являются сами коэффициенты полинома н они могут изменяться в некотором параллелепипеде, то теорема Харитонова утверждает, что робастная устойчивость гарантируется, если устойчивы четыре специальных полинома из данного семейства. Для этого же случая графический критерий Цыпкина-Поляка позволяет не только проверять робастную устойчивость, ио и находить радиус устойчивости — максимальный размах неопределенных параметров, при котором все полиномы устойчивы. Более сложная (ио и более реалистическая) ситуация встречается, когда неопределенные параметры входят в полином нелинейным образом. Принципиальное решение вопроса дается здесь с помощью принципа исключения нуля, однако конструктивное построение требуемых для этого «областей значений» возможно лишь в частных случаях. Далее обсуждается проблема робастной Устойчивости при иных видах неопределенности — частотных, матрич-

них, вероятностных. Для частотной неопределенности ситуация наиболее проста. Для одномерных систем можно построить робастный критерий Найквиста; в многомерном случае робастную устойчивость гарантирует теорема о малом*коэффициенте усиления. При матричной неопределенности необходимые и достаточные условия робастной устойчивости удается получить лишь в исключительных случаях; общая задача оказывается /VP-сложной. Здесь весьма плодотворен вероятностный подход. Другим удобным инструментом является переход к проблеме квадратичной устойчивости — построению единой функции Ляпунова для всего семейства матриц. Общая неопределенность рассматривается в рамках так называемого д-анализа.

Наиболее важная задача робастного синтеза рассматривается в главе 8. Она заключается в выборе регулятора (в форме обратной связи по состоянию или по выходу), который, во-первых, обеспечивает робастную устойчивость замкнутой системы, а во-вторых, гарантирует некоторое желаемое значение показателя качества при всех возможных неопределенностях. Мы рассмотрим робастные версии задач стабилизации и оптимального управления, исследовавшихся в главах 4 и 5. Ситуация с ними оказывается весьма различной. Уже задача о линейно-квадратичном регуляторе при наличии неопределенности в матрице состояний достаточно трудна; иногда ее решение возможно с помощью линейных матричных неравенств. В то же время робастный вариант //се-оптимизации может быть исследован аналитически. Далее рассматриваются некоторые специфические задачи оптимального управления, например, задача о максимальной робастности. Здесь же предлагаются робастные обобщения методов синтеза регуляторов низкого порядка, обсуждавшихся в главе 4.

Наконец, в заключительную главу 9 включены проблемы, которые представляют большой интерес для теории управления, но еще не получили полного решения. Первая — известная задача о стабилизируемости по выходу: существует ли стабилизирующий регулятор в форме обратной связи по выходу? Близкая задача о стабилизации по состоянию допускает простое решение (в терминах управляемости системы); однако данная задача представляет большие трудности. Родственная задача: как проверить, существует ли в данном аффинном семействе полиномов устойчивый полином — также далека от решения. Еще одна задача из того же круга: найти ближайший (в смысле какой-либо нормы в пространстве коэффициентов) устойчивый полином к данному неустойчивому. На первый взгляд похожая задача о радиусе робастной устойчивости (найти ближайший неустойчивый полином к данному устойчивому) хорошо исследована и полностью решается с помощью годографа Цыпкина-Поляка. Другой цикл проблем связан с робастной устойчивостью матриц; среди иих остается много нерешенных (одновременная стабилизация нескольких систем;

робастная устойчивость интервального семейства матриц и т.д.). Обсуждаются полученные в этой области результаты и перспективы решения подобных задач.

Параллельно с теоретическим исследованием в книге часто упоминается система MATLAB — важное и удобное программное средство решения многих задач теории управления [7,52,69]. В конце каждого параграфа приводится список сопутствующих процедур, реализованных в версии MATLAB 6.1.

Заключительная часть книги состоит из Приложения, содержащего требуемые сведения из нескольких областей математики. Большинство из них относится к линейной алгебре и полиномам. Здесь освещаются такие вопросы, как приведение матриц к той или иной форме, нормы векторов и матриц, теория возмущений, непрерывная зависимость корней полинома от его коэффициентов, матричные уравнения Ляпунова и Риккати. Приведены также такие результаты, как S-процедура, решение полиномиальных уравнений и т. д.

Список литературы в книге ие претендует на полноту. Мы включили в него основные западные учебники по современной теории управления, журнальные работы, сыгравшие важную роль в становлении этой теории. Литературу на русском языке мы пытались представить более подробно. Наряду с несколькими учебниками прошлых лет даны достаточно детальные ссылки на журнальную литературу, имеющую отношение к тематике книги.

Для удобства читателя, которому придется читать зарубежную литературу или переводить собственные работы на английский язык, мы привели краткий русско-английский словарик по современной теории управления. Нам кажется, что нужда в таком словарике существует, поскольку терминология в этой области только складывается, а переводы русских статей на английский нередко грешат серьезнейшими ошибками из-за незнания этой терминологии.

В заключение — несколько слов о возможном читателе книги. Книга не является учебником (в ней мало примеров, нет упражнений, ие все затронутые вопросы изложены достаточно подробно). В то же время иам кажется, что на основе книги могут читаться курсы для студентов по современной теории управления. Основными же читателями нам представляются студенты, желающие углубить свои знания, аспиранты и специалисты по теории управления. В принципе, знание «классической» теории автоматического управления не требуется для чтения, однако такое знакомство весьма полезно для понимания особенностей новых подходов к теории.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

R, С — множества вещественных и комплексных чисел.

sign® — знак числа ж G R.

Rez, Imz — вещественная и мнимая части комплексного числа z G С, z = Rez + jlmz, 3 = '/—Y.

z* — комплексное сопряжение z € С, т.е. если z = Rez + yhnz. то z* — Re z — jhn z.

arg z — аргумент комплексного числа z G С.

[Rn, C” — пространства n-мерных векторов ж с вещественными и комплексными координатами: ж = (®i,..., ж„)т.

|ж| — норма конечномерного вектора ж G R" или ж G С”, в частности: модуль ж при n = 1;

а

п,X 1/р

С l^iM > 1 С Р < оо; в том числе:

а

пL/2

при р — оо: 1ж|оо = шах |ж,|;

l^t^n

прир—1: |®|i = £ |^|.

1=1

(а, 6) — скалярное произведение векторов из R” или С".

Ij^nxm^ Qnxm — пространства п х т матриц А с вещественными и ком-плексными элементами оу, г = 1,... ,n, j = 1,... ,т.

I — единичная матрица.

Лт — транспонирование А = ((%)): Лт = ((о71)).

Л* — комплексное сопряжение и транспонирование матрицы A G Спх", т.е. если А = ((%)), то А* = ((»£)).

rank Л — ранг матрицы А.

Х<(А) — г-е собственное значение матрицы A g Cnxn, i — 1,... ,п.

tr Л — след матрицы А = ((а^)) G Cnxn: tr Л = ^2 °«-

2=1

det А — определитель матрицы А.

р(А) — спектральный радиус матрицы Л G Спхп, т.е. максимум модуля ее собственных значений: р(Л) = max|At|.

i

<7,(Л) — г-е сингулярное число матрицы A G С"Хтп: аАА) = \1/2(ЛМ),

Л > О (Л ^ 0) — матрица А е ЯпХ” симметрична и положительно (неотрицательно) определена.

|| . || — норма функции (сигнала), или норма матрицы (оператора), или норма передаточной функции; если не указана явно, то подразумевается любая норма или 2-иорма (для сигналов) и индуцированная норма (для матриц); в частности, для матриц А е RnXTn или А е С"Хтп:

спектральная норма (2-норма): ЦЛЦз ^ max А/ (Л* Л) =

тах<7,(Л);

строчная норма (1-иорма): ||Л||1 = max ( 52 l°vl)l

столбцовая норма (оо-норма): ||Л||оо = max ( 52 l°uih i%j^m 4=1'

фробениусова норма: ||Л||с = 52 la*j|2J

(Л,В) — скалярное произведение в пространстве матриц; для А, В е СпХп: (Л, В) = tr А*В; в частности, для Л,В € RnXn, А = А\ В = Вт: (А, В) =tr АВ.

deg P(s) — степень полинома Р(в).

RH^ — пространство устойчивых реализуемых дробно-рациональных функций, т.е. функций вида G(s) = Л(в)/В(в), гае А — полином, В — гурвицев полином, и deg Л ^ deg В. Если М^ — матрица с элементами ту (в), то запись М(в) е RH^ означает, что ту (в) е RHoo для всех i, j.

= — равно по определению.

CST — пакет Control System Toolbox системы MATLAB.

LMIC — пакет LMI Control Toolbox системы MATLAB.

/iAST — пакет ^-Analysis and Synthesis Toolbox системы MATLAB.

ОТ — пакет Optimization Toolbox системы Matlab.

RCT — пакет Robust Control Toolbox системы MATLAB.

SMT — пакет Symbolic^Math Toolbox системы MATLAB.

Часть 1

ПОЛНОСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ СИСТЕМЫ

В первой части книги предполагается, что доступно полное математическое описание системы управления, т. е. она ие содержит неопределенности. В то же время входные сигналы (внешние возмущения) могут быть известны ие полностью.

Глава 1

ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

В первой главе будут рассмотрены различные способы задания линейных систем, соотношения между ними, их сравнительные достониства и недостатки. Мы будем параллельно исследовать как непрерывные, так и дискретные системы.

Пространство состояний

Линейная стационарная непрерывная управляемая система описывается векторным линейным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка:

ж = Ax + Bu + Diw,

у = Сз:-V D-2w.' * '

Здесь ж(() G Rn — вектор, называемый состоянием системы, -и^ G Rm — управление, y(t) ЕЙ1 — выход системы, w(t) G Rmi — входные сигналы (внешние возмущения) или задающие воздействия. Матрицы А е RnXn,B е RnXm,D! G Rnxm*,C € R,XntD2 е RtXmi ие зависят от времени t. Системы, в которых эти матрицы изменяются во времени, называются нестационарными; мы почти ие будем рассматривать этот случай. Форму записи системы в виде (1.1) принято называть описанием в пространстве состояний.

Обычно предполагается, что проектировщик знает лишь выход системы y(t); в некоторых случаях у = ж, т.е. известно и состояние си-

стемы. В данной части книги будет считаться, что система полностью определена, т.е. матрицы А,В,C,Di,D2 заданы. Во второй части будут исследованы системы при наличии неопределенности, когда эти матрицы известны ие полностью. Управление при наличии неопределенности называется робастным.

Относительно внешних воздействий w(t) могут делаться самые разнообразные предположения: они метут отсутствовать или быть полностью известными; могут быть произвольными детерминированными и ограниченными в некоторой норме; могут быть случайными. Последняя ситуация — случайные возмущения с заданными вероятностными свойствами — в этой книге изучаться не будет. Более подробно классы возможных возмущений будут описаны ниже.

Целью управления является выбор таких u(t) (или и(ж)Х которые придают системе (1.1) заданные свойства (например, устойчивость, оптимальность по некоторому показателю качества и т. д.). Более четко постановка задачи управления будет сформулирована позже.

Система, в которой управление отсутствует, может быть записана в том же виде (1.1), но без члена Ви:

ж = Ах-V Dyw,.

у = Cx + D2w.

Такие системы называются открытыми. Отметим, что если в (1.1) управление и уже выбрано в форме и($ или и = Кх (т. е. как про1раммное управление или в форме обратной связи по состоянию, см. ниже), то мы также получаем уравнение в форме (1.2), ио с иным внешним возмущением (равным Ви^ + Dyw, если задано u(t)) или иной матрицей А (равной А + ВК в случае и = Кх; при этом говорят о замкнутой системе).

Решение открытой системы (1.2) может быть записано в явном виде:

« t

x(t) = eAtx(O) + j eA^~T^ Diw(r)dT.(1.3)

о

Здесь «(0) — значение x^ в начальный момент t = 0, a eAt — матричная экспонента (см. Приложение, п. 7.2). Таким образом, если ж(0) и w(t) известны, то можно найти х($ для всех моментов t.

Вообще, в дальнейшем уравнение состояния (первое из уравнений (1-1)) при наличии лишь одного неоднородного члена будем для единообразия иногда записывать в виде

х = Ах + Ви,

подразумевая различную природу неоднородного члена. Например, одна и та же математическая задача описания множества

|®(Т): х = Аг + Ви, ж(0) = 0, ||и]| ^ с}

может интерпретироваться либо как описание всех состояний системы, достижимых к моменту Г из начала координат с помощью ограниченых в какой-то норме управлений и, либо как описание возможной неопределенности в состоянии системы, накопившейся к моменту Т под воздействием ограниченных возмущений и. Физическую постановку задачи будем оговаривать в каждом конкретном случае.

Наряду с непрерывными системами (1.1) будем рассматривать дискетные системы, описываемые ие дифференциальными, а разностными уравнениями

хк = Axk_i + Buk-i -VDiWk-i,

■Ук = Схк + D2wk.1 *

Здесь индекс к играет роль времени (дискретное время), а смысл всех остальных векторов и матриц тот же. Дискретные системы могут возникать как при дискретной аппроксимации непрерывных систем, так и в других случаях. Например, к может обозначать номер итерации в итерационном процессе или время в дискретных процессах, связанных с цифровым управлением. Открытая дискретная система приобретет вид

хк = AXk-i + DxWk-i,.

у к = Схк + D2wk,

а ее решение также выписывается в явной форме:

*-i

хк = Акх0 + ^ Ак~'~хП111ч.(1.6)

«=о

Сопутствующие функции Matlab:

ss (CST) — задание системы в пространстве состояний и переход отдругих описаний (см. ниже) к пространству состояний;

ss2bs (CST) — переход к другим координатам при описании в пространстве состояний;

ssdata (CST) — извлечение данных (вычисление матриц системы) с предварительным преобразованием (если необходимо) к пространству состояний;

c2d (CST) — дискретизация непрерывной системы;

ехрш — матричная экспонента;

f unm — вычисление функции общего вида от матрицы.

Передаточная функция

Проведем некоторые формальные преобразования уравнений в пространстве состояний. Введем оператор дифференцирования по времени: 5 = d/dt\ на гладкие функции ж(<) он действует по правилу

sx(^=x(t\(1.7)

Будем относиться к s как к комплексной переменной и рассматривать различные функции от иее; им нетрудно придать содержательный смысл. Например, если

R(s^ = Со + О] 8 +... + aksk,

го

R(s)x(t) = aox(t} + aix^ + ... + акХ^ (t).

Тогда, подставив s = d/dt в (1.1) (при г(0) = 0) и формально разрешая первое уравнение относительно х, получим

х = (si — Л)-1 (Bu + Dvw)

и для выхода получаем выражение

y = C(sI- A^Bu-V

C(sl - Л)"1 Bi + D2 w.

(1.8)

Матричная функция комплексной переменной s Н^^С^Т-А^'В

называется передаточной функцией от управления и к выходу у, а аналогичная функция

H,„to = C(sl - АГ1 Di + D2

называется передаточной функцией от возмущения w к выходу у.

Рассмотрим эти функции подробнее. Элементами матриц H(s) являются дробно-рациональные функции от переменной з, которые имеют общий знаменатель

P(s) = det (si- Л)(1.9)

— характеристический полином матрицы А. Этот полином от переменной s будем называть характеристическим полиномом системы, так как в дальнейшем увидим, что от расположения его корней зависят такие важные свойства системы, как устойчивость и др. С учетом обозначения (1.9) Вуп (з) (и, аналогично, H^s')') представима в виде

н№м = Ж») = р^м,о ВД

где W^(s) — матрица, элементы которой — полиномы от s. Действительно, для любой невырожденной матрицы М е Rnx"

М~у =М~у =

М~у =

М~у =

где М = ((mij)) — матрица, состоящая из алгебраических дополнений (присоединенная матрица):

ту = (—ly^detMji;

здесь Mji — матрицы, получающиеся нз М вычеркиванием у-й строки и i-го столбца. Поэтому если М — (si — Л), то т^ — полиномы от s, откуда и следует выражение (1.10).

Нули s, характеристического полинома P(s) называются полюсами передаточной функции H(s):

s,: P(Si) = 0, г =!,...,«.

Таким образом, полюса H(s) совпадают с собственными числами матрицы А; для всех остальных s матрица H(s) определена. В частности, если P(s) устойчив (см. ниже, гл. 3), т. е. все его корни лежат в открытой левой полуплоскости, то H(s) — матричная функция, аналитичная в правой полуплоскости. Мы будем неоднократно пользоваться этим в дальнейшем, н такие передаточные функции называем устойчивыми.

Возвращаясь к (1.8), на языке передаточных функций выход системы как функцию от управления и внешних входов можем записать в следующем виде:

У = Hyu(s)u + Hyvj(s)w. (Ill)

Строгое обоснование перехода от записи (1.1) системы в пространстве состояний к форме (1.11) может быть сделано с помощью преобразования Лапласа; мы сейчас не будем этим заниматься, а будем рассматривать (1.11) просто как иную форму записи дифференциальных уравнений (1.1).

Разумеется, описание (1.11) системы с помощью передаточных функций может быть и исходным; иногда оно возникает более естественно, чем описание в пространстве состояний. Рассмотрим для простоты ситуацию, когда внешние возмущения и ошибки измерения выхода отсутствуют:

у —H(s)u, t<€lRm, yeR1.(1.12)

В этой записи под передаточной функцией H(s) будем понимать матрицу I х т, элементы которой есть дробно-рациональные функции от s, т. е.

H(s) представима в виде

(1.13)(1.13)H(s) = ^Ю.

(1.13)

(1.13)

где элементы I х т матрицы TV(s) являются полиномами от s. Полином P(s) — общий знаменатель элементов матрицы H(s) — будем называть характеристическим полиномом системы, а его корни — полюсами передаточной функции (системы). Такое определение характеристического полинома и полюсов системы не вполне точно, поскольку момуг возникнуть неприятности, связанные, например, с возможным сокращением неустойчивых полюсов (см. обсуждение в п. 3.4). Более строгое определение дается следующим образом.

(1.14)(1.14)Формально умножив обе части (1.12) на P(s), с учетом (1.13) получим

(1.14)

(1.14)

P(s)y = И^и

и, рассматривая теперь в как оператор дифференцирования, приходим к системе дифференциальных уравнений высокого порядка относительно y(t) С Kz, u(t) 6 Rm. На элементы матрицы Н^ естественно накладывать дополнительное условие реализуемости1, степень полинома в числителе не превосходит степени полинома в знаменателе (см. также ниже, п. 1.4); такие передаточные функции будем называть правильными или реализуемыми. Тогда, вводя «искусственные» переменные — состояния, можно привести уравнение (1.14) к виду, аналогичному (1.1). Иными словами, от записи системы с помощью реализуемой передаточной функции можно перейти к эквивалентному описанию в пространстве состояний. которое принято называть реализацией передаточной функции в пространстве состояний. При этом используют запись

, Н^ =, Н^ =Л вС DЛ вС D(1.15)(1.15)

, Н^ =

, Н^ =

Л в

С D

Л в

С D

(1.15)

(1.15)

илн H^s) = (Л,В,С,Р), которые означают, что система у = Н(я)ц эквивалентна системе

х = Ах 4- Ви, ж(0) = О,у = Сх + Du

и при этоми при этомH^^CtsI-A^B + D.H^^CtsI-A^B + D.

и при этом

и при этом

H^^CtsI-A^B + D.

H^^CtsI-A^B + D.

Переход от Н(з) к (Л, В, С, Р)-реалнзации может быть осуществлен различными способами, и таких реализаций много. Среди них существуют такие, в которых размерность А (т.е. размерность вектора состояний ж)

минимальна; они называются минимальными реализациями. Соответствующая размерность А называется степенью Мак-Миллана для передаточной функции. Эта степень может быть найдена с помощью специального алгоритма — приведения Н^ к.так называемой форме Мак-Миллана. Если (Л, В, С, В) — минимальная реализация H(s), то

P(s) = det (si -А)

представляет собой характеристический полином системы, а его корни — собственные значения А — называются полюсами матричной передаточной функции (полюсами системы).

В дальнейшем мы увидим, что запись с помощью передаточных функций чрезвычайно удобна; сейчас проиллюстрируем это на простом при- мере. Пусть имеется несколько объектов соответствующих размерностей, соединенных последовательно, так что выход Ук каждого служит входом ujc+i последующего (см. рис. 1.1), причем каждый объект имеет свою передаточную функцию Hk(sy.

Ук = Hk(s)uk, k — V.-^m;

мы для простоты полагаем, что имеется единственный входной сигнал и, а ошибки измерения v отсутствуют.

Ут— 1Ут— 1нт^ 5^5.нт^ 5^5.г/ га ^ ~ “2 г, , х № = и3

Ут— 1

Ут— 1

нт^ 5^5.

нт^ 5^5.

НД8) —► H2(s) *-

Рис. 1.1. Последовательное соединение объектов

Подставляя последовательно, получаем для связи общего входа u = ui и выхода у = ут:

У = Ут = Hm(sy--Hl (s)u! = H(s^U, т. е. передаточная функция последовательного соединения равна произведению передаточных функций объектов:

H(s^ = Hm(sy.-Hi(s\(1.16)

Выразить такое соотношение на языке пространства состояний было бы гораздо труднее. Поэтому в инженерной практике, где нередко рассматриваются сложные соединения простых звеньев (блок-схемы системы), язык передаточных функций является общепринятым. Прн этом существуют простые правила, позволяющие рассчитать итоговую передаточную функцию блок-схемы по передаточным функциям звеньев (подобные правилу (1.16) для последовательного соединения).

Обсудим еще одно важное свойство передаточных функций, поясня ющее удобство такого способа описания систем. Предположим, что си стема (1.1) имеет вид

ж = Ах + Ви,

У = Сх,а входное воздействие u(t) — комплексный гармонический сигнал;u(t) = ое3^.

где а — некоторый постоянный вектор, а и — частота колебаний (напомним, что в теории управления мнимую единицу принято обозначать у, а не г, как обычно в математике). Из формулы (1.3) для решения системы a(t) получим

х^ = елМ0) + ел* У e°w ^Вайт =

= eAtx^ + (М - Ар^ае^ - (jw/ - Ар^Ва, (1.17)

и через х^) обозначим установившееся значение вектора состояния

x(t) = Uu)I - A) ^utt).x(t) = Uu)I - A) ^utt).(118)(118)

x(t) = Uu)I - A) ^utt).

x(t) = Uu)I - A) ^utt).

(118)

(118)

Предположим, что матрица А устойчива, т. е. все ее собственные значения Аг лежат в левой полуплоскости: Re А, < 0, г = 1,...,п (подробнее вопрос об устойчивых матрицах и системах обсуждается ниже, в главе 3). Можно показать, что для устойчивых матриц eAt —> 0 прн t —* со. Тогда из (1.17)—(1-18) следует: |x(t) — ж(£)| —> 0 прн t —» оо. Таким образом, для установившегося значения выхода имеем

y(t) = Cx(t) = C(ju)I — Ap^Bu^t), ]y(t) — y(t)| —* 0 при t -> oo,

илн, иначе говоря,

(119)(119)ЙО = h^WY

(119)

(119)

где матричная функция H^ju)) называется частотной характеристикой системы.

Поясним смысл полученного соотношения (1.19). Пусть все компоненты входного вектора и(0 равны нулю, кроме i-й, которую представим в виде и, (О = a cos wt + ja sin tot (где a — число). Тогда k-я компонента установившегося значения выходного сигнала равна

ykW = |fcwO)|oco8M + у) +j|/ifclO^)|asin(u?t +у?),

где ИкЛз^ — (к,г)-й элемент матрицы H^jw^ а ^ = arghktU^Y В силу линейности Н(-) отклик системы на сумму вещественной и мнимой составляющих u(t) равен сумме откликов на каждую из них, т. е. если в качестве цД0 взять вещественную гармонику acosut, то установившееся значение на k-м выходе будет

Ук^ = |kki(jtj)]acos(<i;t + у>).

Приходим к важному выводу: если на г-й вход системы с устойчивой матрицей А подается гармонический сигнал с частотой ш, то на fc-м выходе в пределе получается также гармонический сигнал с той же частотой. Его амплитуда в |kfci(j<j)| раз отличается от амплитуды входного сигнала (т.е. |hfci(j<^)| имеет смысл коэффициента усиления входного гармонического сигнала), а фаза изменяется, на arghkiU^- Это свойство используется на практике для определения частотной характеристики системы экспериментальным путем.

Таким образом, в терминах передаточных функций очень удобно описывать трансформацию гармонических сигналов, проходящих через линейную систему.

Введем теперь передаточные функции для дискретных систем. Определим оператор сдвига назад z:

(1.20)(1.20)ZXk — Хк-Х

(1.20)

(1.20)

н аналогично непрерывному случаю будем рассматривать его как формальную переменную. Тогда при жо = 0 уравнение (1.4) запишется в форме

$к = zAxk + zBu,k + zDyWk,

т. е.

Хк = zU - гАухВ-ик-^1 - zAyxDxwkt

ук = zQI - zA^Buk + [zC(I - zAyxDx + P2]wA.

Передаточные функции теперь выражаются через переменную z по формулам

Hy^z) = zC(I — zA) 1В) Hyw(z) = zC(I — zA) 1DX + £>2, (1.21) и характеристическим полиномом системы так же, как и раньше, будем называть общий знаменатель элементов матричных передаточных функций, т.е. полином

P(z) = det (I-z Л)

от переменной г. Соответственно, передаточные функции (1.21), как н в непрерывном случае, имеют вид

ад = ^и.

где IV(z) — матрица, элементы которой являются полиномами от х. Поэтому если Р^ не имеет нулей внутри единичного круга, т.е. является устойчивым по Шурух (эквивалентно, матрица А дискретно устойчива, т.е. |Аг| < 1 для всех собственных значений А\ то Н^ аналитична в этом круге.

Аналогично тому, как это сделано для непрерывных систем, можно показать, что если у открытой системы (1.5) без ошибок в наблюдении выхода (£>2 = 0) матрица А дискретно устойчива, а на вход подается гармонический сигнал

■Uk = ое3^,

то выход стремится к установившемуся значению, записываемому формулой

St = Hte-^luk, Щ^) = ^UCV - е^ЛГ'В, т.е. и в этом случае гармонические сигналы преобразуются в пределе в гармонические, с амплитудой, измененной в ^(е3^)! раз, и сдвигом по фазе, равным — argH^^) (знак «—» соответствует оператору х сдвига назад).

Мы вновь видим, что язык передаточных функций хорошо приспособлен к описанию прохождения гармонических сигналов, имеющих фиксированную частоту. Поэтому методы, основанные на таком подходе, обычно называют частотными.

Сопутствующие функции Matlab:

tf (CST) — задание системы с помощью передаточных функций и переход от других форм записи к передаточной функции;

tf data (CST) — извлечение данных (числителя и знаменателя передаточной функции) с предварительным преобразованием (если необходимо) к частотной форме;

pole (CST) — вычисление полюсов системы;

append, connect, feedback, parallel, series (CST) —различные соединения звеньев, заданных как передаточной функцией, так и в пространстве состояний;

f reqresp (CST) — вычисление частотной характеристики;

minreal (CST) — построение минимальной реализации передаточной функции;

Вопросы дискретной устойчивости полиномов и матриц подробно рассматриваются в nil 3.2. 3.3.3 и 4.13.

poly — вычисление характеристического полинома матрицы; det — вычисление определителя матрицы;

inv — обращение матрицы.

Операторный подход

В последние годы все большее распространение получает еще одни способ описания линейных систем, опирающийся на язык функционального анализа. Рассмотрим непрерывную открытую систему

(1.22)(1.22)х = Ах + Ви, х(0) = О, У = Сх

(1.22)

(1.22)

при нулевых начальных условиях и отсутствии ошибок на выходе w — О Тогда сигнал на выходе (у) линейно зависит от сигнала на входе (и):

(1.23)(1.23)у — £w,

(1.23)

(1.23)

где £ — некоторый линейный оператор, действующий в соответствующих пространствах функций, В данном случае, в соответствии с формулой (1.3), этот оператор является линейным интегральным оператором и имеет явное выражение

t t

y(t) = J CeA^~T^Bu(7)dr = j h(t — T)u(T)dr; (1.24) о 0

функция h(t) называется (матричной) весовой функцией системы, см. ниже, в п. 1.4. Однако можно рассматривать и более общие линейные операторы £ (1.23), задающие соответствие входа и выхода; при этом система не обязательно приводима к виду (1.22). На такие операторы следует наложить естественные ограничения, например, требование причинности: значение выхода у (t) в момент t не может зависеть от значений входа и(т) в будущем, при т >t. Очень важно также, чтобы оператор £ был ограниченным. Чтобы строго определить это понятие, нам нужно ввести функциональные пространства, в которых определены сигналы, и нормы в них.

Нормы сигналов

Будем считать, что все сигналы определены на полуоси 0 ^ t < оо. Основные пространства, с которыми придется иметь дело, следующие.

£г — пространство ограниченных с квадратом функций, в котором рассматриваются измеримые функции u(t), заданные на 0 ^ t < оо н

1/2< ОО.1/2< ОО.имеющие ограниченную 2-норму.

1/2

< ОО.

1/2

< ОО.

(1.25)

Здесь |и(()|г — евклидова норма вектора n(f) е Rm. Во многих физических приложениях ||u(t)ll2 означает энергию сигнала, поэтому L2 — пространство сигналов ограниченной энергии. Отметим, что если и 6 L2, то нз конечности интеграла в (1.25) следует u(t) —> 0 при t —♦ 00. Поэтому, например, функция u(t) = 1 не принадлежит Ь2, равно как н функция u(t) = sin tut прн любом щ / 0.

Loo — пространство существенно ограниченных функций. В него входят измеримые функции Ц1) с ограниченной оо-нормой:

hlloo = sup |u(t)| < ОО,0<t<oo

где |u(t)| — какая-нибудь векторная норма в R™ (как правило, это оо- илн 2-норма). Заметим, что более правильно было бы писать

11^1100 = 638 sup |u(t)|,

0^t<oo

где ess sup — существенная верхняя грань функции, получающаяся при пренебрежении множествами нулевой меры. Мы, однако, будем считать, что функция u(t) уже изменена на множестве нулевой меры так, что величина sup|u(t)| оказалась минимальной. Например, вместо u(t) = О, t / 1, «(1) = 1, мы рассматриваем эквивалентную ей u(t) = 0; для обеих функций ИиЦоо = 0.

Обычно ЦиЦоо измеряет интенсивность сигнала, так что Loo — пространство сигналов ограниченной интенсивности. Функции u(t) = 1 н u(t) = sin tut принадлежат Loo, однако

-Нт °^;. <—<^

не принадлежит Loo (она не ограничена), но принадлежит L^ (IMO II2 = 1/УП^).

Li — пространство абсолютно интегрируемых функций, для которых ограничена 1-норма;

Ы1г = jw)\dt< со,о

Мео MbМео Mb

Мео Mb

Мео Mb

где также |w(t)| — норма вектора u(t) е Rm (как правило, 1-норма). Функция

принадлежит Li (j|u(t)ih — V0 ~ а))« но не ^2 (интеграл от l/t2“ расходится в нуле при а ^ 1/2) или Loo.

Рис. 1.2. Пространства Li,£2,^00

Условно соотношение между рассмотренными пространствами можно изобразить в виде диаграммы (см. рис. 1.2). В частности, из ограниченности функции в £1-норме н £оо норме следует ограниченность в £2-иорме:

Мг = J |u(t)||n(t)|dt $ Moo jHWt =

Нормы операторов

Нормы функций дают возможность определить н нормы линейных операторов. Если линейный оператор С (1.23) переводит функции нз Lp в функции из Lv v$№p,q= 1,2 или оо (т.е. если £u Е Lq прн u Е Lp\ то его (р, дУиндуцьфованная норма равна

Заметим, что аналогичным образом определяются и индуцированные нормы для матриц (см. Приложение, п. 5).

Некоторые нз операторных норм особенно важны; в частности, случаи р = q = "2 н р = q = оо. Мы увидим в дальнейшем, как вычисляются эти нормы через передаточные функции системы. Так, мы покажем, что

Ц£||2,2 = №)!!==,

где ||^(s)lloo означает //oo-норму передаточной функции системы (см. ниже).

Можно вычислять норму оператора н с помощью весовой функции, т.е. представления (1.24). Несколько забегая вперед, рассмотрим простейший пример. Пусть (1.22) — устойчивая система (подробнее см. гл. 3) с одним входом и одним выходом. Тогда ее весовая функция

Л(0 = CeAlB Е £1,

так как |Сел*В| ^ const-e-<Tt, а > 0, н поэтому J |Сел*В^ < оо. Пока- о

(1.27)(1.27)жем, что имеет место формула для оператора £, задающего систему (1-24):

(1.27)

(1.27)

||£||1 = ||£||оо,со = IIMI1.

Действительно, для ||и||оо ^ 1 имеем

tt

MOI ^ J |М* - T)l Mr)|d7 ^ j |h(t - T)\dT ^ UMi,о0

поэтому ||y||oo ^ ЦМ1- С другой стороны, зафиксировав t н взяв uo(r) = signh(t — т) при О^т О н uo(r) = 0 при т > t. имеем

ttОО

y(t) = J Ц1- r^uo^dT = j |h(t - T)|dr = ||h||i - j |/i(r)|dr. ооt

Отсюда следует, что y(t) сколь угодно близко к ||h||i при больших t, т.е. sup |у(01 = 11^111-

Норма оператора является мерой того, насколько он «усиливает» входные сигналы, измеряемые в соответствующей норме. Обычно желательно выбрать управление так, чтобы эта норма была по возможности мала; это означает, что выход системы будет мал при любых возмущениях, ограниченных в соответствующей норме.

Аналогичные пространства н нормы вводятся для дискретного случая. Здесь нужно рассматривать не функции y(t) на [0, оо), а последовательности уо,Уь - - -, у»,..., где У* € R1. Для них вводятся пространства 1Р, н нормы в них определяются следующим образом:

/ оо \ V2

Ofc:11*= ^•iH •

\*=о)

^1оо-Цу||оо= SUp |yj,

0^*<оо

ОО

к: 1Ы1 = 5>|.

•=0

Например, если у< = 1 или yt = sign (-1)\ то у е 1Ю1 но у £ Z2, У £ Zi, а для у, = 1/(1 + 1)° будет у 6 1ю при любом а > 0. у Е Z2 прн а > 1/2, у Eh при а > 1.

Дня линейного оператора £, переводящего последовательности в последовательности (у = £-и\ можно аналогично определить индуцированные нормы. Если £: Zp —» Ц, то его (р,ду индуцированная норма равна

№>,9 = sup ||£u||q.

М,<1

Например, если рассмотреть оператор, задаваемый линейным разностным уравнением (1.4) при w = 0, жо = 0:

хк = Ахк_х-V В-ик-х,

У к = Схк,(к28)

то в соответствии с формулой (1.6)

к-1к-1

№ = ^СА^-'Вщ = £>,,_№.

.i=0j=Q

Здесь hk_* = CAk-i-1B является весовой функцией дискретной системы (1.28). Это соотношение задает линейный оператор £, переводящий входные последовательности и в выходные у. Можно показать, что если А дискретно устойчива (|А,| < 1 для всех собственных значений Л), то оператор £ ограничен в (оо, оо)-индуцированной норме н имеет место факт, аналогичный (1.27). Именно, для системы с одним входом н одним выходом при устойчивой А справедлива оценка

Halloo,оо = sup ||р||оо = ЦЬИ!.(1.29)

Н1=о«1

Доказательство проводится так же, как н в непрерывном случае.

Более подробно оценки норм линейных операторов, соответствующих непрерывным н дискретным системам управления, будут рассмотрены ниже.

Нормы передаточных функций

Нам понадобится еше один вид норм — не для функций от времени, а для передаточных функций. Пусть М^ — матрица п х п, элементы которой являются аналитическими функциями комплексной переменной s в правой полуплоскости.

Определим Н^-норму этой функции как

||М1|оо= sup ||M(s)||2 — sup ||M(juO||2,(1-3°)

Re 8^0-oo<w<oo

гдс ||M(s)||2 означает спектральную норму фиксированной матрицы М^ (см. Приложение, п. 5):

||M(s)||2 = (Amax(Af*(s)M(s))j .

Второе равенство в (1.30) (супремум достаточно искать не по всей правой полуплоскости, а лишь по ее границе — мнимой осн) следует из принципа максимума для аналитических функций. В частном случае, когда М(з) — скалярная функция (n = 1), определение Zfoo-нормы приобретает вид

||Л/||ТО = sup |Af(ju)|.

—оо<ш<оо

Например, для

М^ =(1.31)

о Т 1

(эта функция имеет единственный полюс в з = — 1 н потому аналитична в правой полуплоскости) получаем

НмНоо = sup= sup — = 1.

I1 U) VI +^

В дальнейшем мы познакомимся с различными способами вычисления IIМII со в многомерном случае.

Оказывается, если наша система записана с помощью передаточных функций, т.е. исходная система (1.22)

х = Ах 4- Ви, х(0) — 0,

У = Сх

записана в форме

у-Н^и, Щв^ = С(з1 — А^ гВ,(132)

го прн условии, что А устойчива, имеем

ЫЬ ^ ||^(s)||oo||«|h.

(1.33)

где индекс 2 для функций означает 2-норму, а ||^(з)||оо означает Ноо- норму, которая (в предположении устойчивости Л) является конечной.

Более того, Hoo-норма является точной верхней границей отношения энергий выход/вход:

Лемма 1.1. Для системы (1.32) с устойчивой А справедливо

№)!!.» = sup М= = ||£||2,г,(1.34)

1М1з#0

где С — входо-выходной оператор, соответствующий системе (1.32).

Этот результат доказывается с помощью теоремы Парсеваля и требует знания свойств преобразования Лапласа, поэтому мы не приводим доказательства.

Таким образом, Hoo-норма передаточной функции приобретает простой физический смысл — она показывает, во сколько раз может измениться энергия сигнала при прохождении через данную линейную систему. Если вспомнить, что другая трактовка передаточной функции характеризовала H(ju;) как коэффициент усиления системы для гармонического входа заданной частоты о?, то мы получаем, сравнивая формулы (1.19) и (1.34), что Ню-норма является также равномерно-частотной характе-' ристикой системы. Эти два результата относительно двух типов входных( сигналов (ограниченные в 2-норме и гармонические с произвольной частотой) различны, так как гармонические сигналы (см. выше) не прннад-1 лежат £2.

Другая норма, которую можно ввести для тех же матричных функций М^з\ — это Hs-норма:

В частности, для скалярных функций определение принимает вид

Все вышеприведенные понятия и результаты имеют дискретные аналоги. В этом случае вместо матриц М^з), аналитичных в правой по-

луплоскости, фигурируют матрицы M\z\ аналитические внутри единичного круга. Нoo-норма таких матричных функций равна

||М||оо = sup ||M(z)||2 = sup ||M(e^)||2 =

|*|<10<^^2ir

/- X1/2

= sup U^MA^W^m .

0<^^2тг x7

а для скалярных функций

HAflloo = sup ]Af(e^)|.

0^и^2тг

Для системы

xk — Axk-i + Buk-i, yk = H(z)uk, H(z') = zC^.1 - zA^B, yk = Cxk

с устойчивой А справедливо соотношение (аналогичное лемме 1.1)

№>1^= sup

№#0

и Hoo-норма передаточной функции дискретных систем приобретает тот же физический смысл, что и для непрерывных систем.

Сходным образом справедлив и аналог соотношения (1.29) для дискретных систем. Именно, пусть система описывается с помощью устойчивой передаточной функции

ук = H(z)uk, H(z) =(1-36)

где g^z) и р^ — полиномы, и p(z) не имеет корней внутри единичного круга (т. е. дискретно устойчив). В этом случае функция H(z) аналитична внутри единичного круга и представима там в виде абсолютно сходящегося бесконечного ряда:

Н^ = h0 4-/11Z + ... , ^ |h»| < оо.

Определим Н\-норму передаточной функции H^z) следующим образом:

ОО

l№)lh = ^IM.(137)

i=0

Б.Т. Поляк. П.С. Щербаков

Тогда для выхода у системы (1.36) и любого входа и, ограниченного в loo, справедлива оценка

НуНоо ^ 1№)|1Ноо>НуНоо ^ 1№)|1Ноо>(1.38)(1.38)

НуНоо ^ 1№)|1Ноо>

НуНоо ^ 1№)|1Ноо>

(1.38)

(1.38)

причем существует такой вход, что равенство в (1.38) достигается.

Сопутствующие функции Matlab:

norm — вычисление матричных и векторных норм;

norm (CST), normhinf (RCT), h2norm (дА8Т), hintnorm (/zAST)— вычисление различных норм передаточных функций.

4. Одномерные системы

Особо важный (и простой) случай представляют системы, у которых скалярный вход и скалярный выход. Мы будем называть их одномерными, в отличие от общего многомерного случая. Раньше говорили обычно об односвязных и многосвязных системах. На Западе общеупотребительны термины SISO (Single-Input, Single-Output) и MIMO (Multi-Input, MultiOutput), т.е. системы с одним входом — одний выходом и с многими входами — многими выходами соответственно.

На примере одномерных систем рассмотрим способы описания, приведенные в предыдущих параграфах (а также обсудим так называемое входовыходное описание во временной области), и их соотношения и приведем общепринятую терминологию, используемую в инженерной практике.

Рассмотрим' сначала задание одномерных систем в пространстве состояний. Пусть

(1-39)(1-39)х = Ах + Ви,

(1-39)

(1-39)

У = Сх,

где u(t) € R1, y(t) € R1, ac(t) G Rn. Тогда В и Ст — векторы из R”, а передаточная функция Hauls') = Н^ = C^sl — А^В —• скалярная функция от s.

Для удобства перепишем (1.39) в виде

(1.40)(1.40)х = Ах + bu, Ъе№п, у = стх с G R".

(1.40)

(1.40)

Перейдем от записи в пространстве состояний к описанию в виде одного соотношения, связывающего вход и с выходом у напрямую, без использования понятия состояния. С этой целью продифференцируем п раз второе уравнение в (1.40), подставляя выражение для х из первого

уравнения. В результате получим

т

у = С1^

у = стЛх + стЬи,

у = cTA2z + с1 Abu + с^Ьй,

у(к) = стАкх + стАк-1Ьи + сГАк-2ЬйР... + стЬи^к~1\

yW = ^А"! + стАп-1Ъи + стАп-2Ьй +... + ст Ап~кЬи^к~^ +.. - +стЬи^п-1\

Сложим уравнения, предварительно умножив первое на со, второе — на аь и т.д., последнее — на единицу, где а, — коэффициенты характеристического полинома матрицы А. По теореме Кэли-Гамильтона (теорема П.1 из Приложения), матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению, поэтому члены с х в правой части исчезнут; в результате приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению п-го порядка относительно входного и выходного сигналов:

u(n) +an-iy(n-1) + ...+О1у + а0у = 0n-iu^n~^ +... + Дй + Д)«,

(141)

где

Рк = ст ^Ап-к-1 + ап_гАп-к-2 +... + ak+iA + ak+iljb,

к = 0,...,п — 1.

Вспомним, что мы ввели оператор дифференцирования s (1.7); с его помощью (1.41) записывается в компактной форме

P(s)y = Q^u, Р^ = ^ aksk, а„ = 1, Q(s) = У^ РкЗк, fc=Ofc=o

или

У = Н^ Н{з)=^,

где передаточная функция H^s) — скалярная дробно-рациональная (в отличие от общего многомерного случая), а ее знаменатель — полином P(s) = det (si — Л) — является характеристическим полиномом нашей системы. Если Р^ устойчив (т. е. все его корни лежат в левой полуплоскости), то передаточная функция аналитична в правой полуплоскости.

2*

В п. 1.2 мы уже говорили, что всегда предполагается выполненным условие реализуемости — степень т полинома в числителе передаточной функции не превосходит степени п полинома в знаменателе. В (1.41) это условие выполнено: m ^ п - 1.

Итак, система в пространстве состояний сведена к эквивалентной записи на языке передаточных функций. Обратно, пусть теперь доступно описание в форме одного дифференциального уравнения n-го порядка, т.е. исходным является описание с помощью передаточной функции. Тогда, действуя в «обратном порядке», такое дифференциальное уравнение

у(п) + ап-1У(п-1) +... + aty + «оУ = Z?mU(m) + ... + /?1й + ^ои,

n ^ т, (1.42)

можно привести к эквивалентной записи в пространстве состояний. Например, пусть в уравнение (1.42) входит лишь входной сигнал, но не его производные:

У(п) + a„_iy(n-1) + ... + О1& + аоу = и,(1-43)

или в операторной записи

P(s)y = u, P(s) = sn + a„-iSn-1 +... + Q1S + a0.

Вводя новые переменные ж, — состояния — по правилам

Ж1=У, Ж2=У,. .., Жп = у(п-1),

с учетом (1.43) получим

11 = 12,Й2=Х3,. .., Жп = —«0Ж1 — 0^2 — ... — а„_1Жп +U,

или

ж = Ах + Ьи, у = стж

— реализацию в пространсте состояний с

А =

/

0

0

1

0

0

1

0

0

, Ь =

(°) 0

0

—Go

0

-О1

0

On—2

1

—a„-i

1 1 У

(1-44)

ст = (1 0 ... 0).

Нетрудно проверить, что для матрицы Л (1.44) det (si — Л) = P(s) — характеристический полином нашей системы.

Отметим, что (1.44) (с вектором с произвольного вида) — так называемая каноническая управляемая форма записи системы в пространстве состояний (при этом говорят, что матрица Л приведена к фробениусо- вой форме, см. Приложение, пп. 6.3 и 6.6). Оказывается, линейными заменами переменных при некоторых предположениях можно привести исходную систему (1.42) к такому виду (см. лемму П.11 из Приложения).

Рассмотрим коротко еще один способ входо-выходного описания, который основан на предположении, что известна реакция системы на «типовой» входной сигнал. Например, пусть 6^ обозначает 5-функцию; определим функцию h^ в момент времени t как значение выхода системы в момент времени t, если на вход в момент t = О была подана 5- функция, а начальное состояние — нулевое. Назовем h^ импульсной характеристикой системы (иногда ее называют весовой функцией системы). Тогда для произвольного входа u(t) получаем соотношение

t

y(t) = J h(r)u(t — r)dr;(145)

о

это и есть желаемое входе-выходное описание системы; его вид проясняет название функции h^t) — весовая. Выражение (1.45) для y(t) представляет собой свертку функций /i(t) н u(t); для нее используют обозначение у = h * и. Мы уже встречались с формулой (1.45) для систем, описываемых в пространстве состояний (см. (1.24)).

В качестве другого типового входного сигнала часто рассматривается единичный скачок (функция Хевисайда):

О при t < О,1 при t ^ 0.

Реакцию системы (при нулевых начальных условиях) на такое входное воздействие называют переходной характеристикой 7r(t) (переходной функцией); она связана с импульсной характеристикой следующим образом:

t

о

Способ описания систем, основанный на использовании весовой или переходной функций, часто применяется при моделировании сложных физических устройств неизвестной структуры, а указанные характеристики снимаются экспериментально.

При таком описании (как и при описании в форме дифференциального уравнения (1.42)) говорят, что входо-выходные соотношения заданы во временной области. Часто удобнее бывает перейти в частотную область, используя преобразование Лапласа;

ОО

L{/(t)} = У HtK$tdt = F(s),о

которое определено для функций, растущих не быстрее экспоненты: 1/(01 ^ Cest. Термин «частотный» объясняется тем, что поскольку st — безразмерная величина, то s имеет смысл частоты (см. п. 1.2). Функция /(0 называется оригиналом, a F(s) — ее изображением по Лапласу. Из определения следует, что при / (0) = 0

4^}-’ь('<‘»'

т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на s — вспомним введенный формально оператор дифференцирования s = d/dt (1.7). Наконец, нетрудно видеть, что для свертки справедливо

L{/*9} = L{/}L{g}.

Таким образом, в частотной области уравнение (1.45) приобретает вид

у = Н^и, Н^ = L{/i(t)},

где H(s) — передаточная функция, определенная в п. 1.2.

Отметим, что с помощью (1.45) можно описать гораздо более широкий класс линейных систем, чем с помощью дифференциального уравнения — : второй способ по определению накладывает ограничения на структуру J системы. В самом деле, не всякой импульсной характеристике отвечает i дробно-рациональная передаточная функция, например, для системы с запаздыванием y(t) = u(t-1) имеем h^t) = 6(t-1) и H(s) = е~в; в таких случаях говорят о распределенных системах. Мы будем рассматривать только дробно-рациональные передаточные функции, что соответствует конечномерным системам.

В многомерном (MIMO) случае импульсная характеристика становится матричной импульсной характеристикой — матрицей I х т, элемент (i,k) которой есть функция hiktt') — отклик t-ro выхода системы в момент времени t на единичный импульс, поданный на k-й вход в момент t = 0 (импульсная характеристика пары (t, к)).

Аналогичным образом входо-выходное описание вводится для дискретных систем; аппаратом перехода в частотную область является дискретное преобразование Лапласа:

2{А} = ^/^ = Г(я),(1.46)

k=0

обладающее теми же свойствами, что и непрерывное1.

Мы видим, что все формы записи — в пространстве состояний, в виде входо-выходных соотношений во временной области, с помощью передаточных функций (в частотной области) — в определенной степени эквивалентны. Использование того или иного способа описания при решении конкретной задачи — вопрос удобства.

Закончим этот параграф кратким обзором классических частотных методов исследования одномерных систем. В инженерных приложениях различным физическим устройствам — звеньям — соответствуют так называемые типовые передаточные функции; они имеют специальные названия. Звено с передаточной функцией

№> = гГИ

называется апериодическим (инерционным), при этом к = Л(0) > 0 — коэффициент усиления, а Т > 0 — постоянная времени.

Передаточная функция

Н^ = ^-ЬТхз + Г k>°*

отвечает апериодическому звену второго порядка при Ту > 2Тг > 0 (тогда корни характеристического полинома 1 + Tis + Т2 з2 вещественны) и колебательному звену при 0 < 7) < 27г (случай комплексных корней).

Простейший элемент с

к

Н(з) =-, к>0,

называется идеальным интегратором, а с

Н(з) = к

— идеальным усилителем.

‘Обычно дискретное преобразование Лапласа записывают как Zf/tJ = } fkz~k« ПРИ к=о

этом z имеет смысл оператора сдвига вперед; если же под z понимать оператор сдвига назад (см. определение z в п. 1.2), то приходим к записи (1.46).

Для приведенных выше простых звеньев легко нарисовать и их ча- ' стотные характеристики Н0ш). На рис. 1.3 показаны H(jw) для апери- ; одического звена первого (I) и второго (II) порядка, для колебательного звена (III) и интегратора (IV).

Часто удобно отдельно рисовать амплитуду и фазу частотной характеристики (вспомним их физический смысл, описанный в п. 1.2, как реакции системы на гармоническое воздействие). Функция

Л(ц>) = |Я0о;)|■

называется амплитудной частотной характеристикой, она дает коэф- 1 фициент усиления устойчивой линейной системы на входной сигнал частоты U).

Функция

у (о?) = argH(jw)

называется фазовой частотной характеристикой, она характеризует сдвиг по фазе входа и выхода.

Наконец, во многих случаях удобно применять логарифмические ча- ; стотные характеристики Диаграммы Боде), когда величины Л (о;) и у(о>) '

Gm = 3.1302 dB (at 0.22996 rad/s), Pm = 49.68 deg (at 0.15801 rad/s)

Рис. 1.4. Диаграммы Боде

откладываются в логарифмической шкале. Именно, величина

Lm^u?) = 20 log Л (w)

называется логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАХ); она измеряется в децибелах. Дело в том, что, как мы видели в п. 1.2, при последовательном соединении элементов их передаточные функции перемножаются. Поэтому

Н^ = Нг^-Н^з), |ЯС?ш)| = |Я1(уш)|..|ЯтЬа>)|,

А(ш) = А^ш)--- АтМ, Lm^ = Lm^w) +... + Lmm^, т.е. логарифмические амплитудные характеристики при таком соединении складываются. При построении ЛАХ по оси абсцисс откладывается частота ш в логарифмической шкале; единицей измерения при этом является декада — отрезок, на котором частота увеличивается в 10 раз. По оси ординат откладывается величина Lm(w), единицей измерения которой является децибел. Точка пересечения ЛАХ с осью абсцисс называется частотой среза шс, т. е.

201og^(>c)|=0, |Я(ушс)| = 1.

При построении логарифмической фазовой характеристики (ЛФХ) по оси абсцисс откладывается частота ш в декадах (т.е. в логарифмической шкале), а по оси ординат — углы ср в градусах в равномерной шкале. На рис. 1.4 показаны ЛАХ и ЛФХ системы, построенные с помощью процедуры bode (CST) системы MATLAB.

Частотная теория одномерных систем представляет собой хорошо разработанный раздел теория управления со своей терминологией и методами. Мы не будем подробно заниматься этой техникой, а уделим больше внимания многомерным системам.

Сопутствующие функции Matlab:

canon (CST) — приведение системы к канонической управляемой форме; сошрап — матрица Фробениуса для данного полинома;

polyvalm — вычисление полинома от матрицы;

impulse (CST) — построение импульсной характеристики системы; step (CST) — построение переходной характеристики системы;

Isim (CST) — расчет отклика системы на произвольный входной сигнал; conv — свертка;

laplace, ilaplace; ztrans, iztrans (SMT) — прямые и обратные непрерывное и дискретное преобразования Лапласа;

bode (CST) — вычисление ЛАХ, ЛФХ и частоты среза (построение диа- траммы Боде).

Выводы

Под описанием системы в пространстве состояний понимаем векторное дифференциальное уравнение

ЭД = Ar^+Bu^+^w^), t^O, ЭД = Cz(t) + £>2w(t),

с постоянными матричными коэффициентами А, В, С, Dx, D^ где z(t) € Rn — состояние системы, «(t) е R™ - управление, ЭД ЕЙ1- выход системы, w(t) е Rm‘ — внешние сигналы (возмущения) или задающие । воздействия. При отсутствии управления система называется открытой; явный вид решения открытой системы:

t

z(t) = ел<ж(0) + J e^-^Bjw^dr,о

где х(0) — начальное состояние.

Аналогичное описание вводится для дискретных систем:

Xk = Arfc„i + Bvk-i + Dtwk-ь к > О, Ук = Схк + D2wk;

явный вид решения открытой системы:

к-1

Хк = Акх0 + 52 Ak-'-1DIwi.

t=0

о Под описанием системы с помощью передаточных функций (описание в частотной области) понимают запись

у = Нуи^и + Hpw(s)w,

где Hyu(s) и Hyw(s) — матрицы соответствующих размерностей, элементы которых есть дробно-рациональные функции от комплексной переменной s, причем предполагается выполненным условие реализуемо- сти: степень полинома в числителе не превышает степени полинома в знаменателе. В этом случае существуют эквивалентные записи системы в пространстве состояний — реализации передаточной функции; те из них, которые имеют минимальную размерность матрицы А (степень МакМиллана), называются минимальными реализациями.

Общий знаменатель элементов матричной передаточной функции называется характеристическим полиномом системы; его корни — полюса передаточной функции. Если непрерывная система задана в пространстве состояний, то передаточные функции выписываются явно через матрицы системы:

Hyu(s) = C^sl - А^В, Hyw(s) = C(sJ - Л)-1£>, + D21

а характеристический полином равен det (sZ — Л).

Если H(s)— передаточная функция системы, то H(jw) называется частотной характеристикой; ее физический смысл — изменение амплитуды гармонического входного сигнала частоты ы в |H(jw)| раз (при этом |H(jo/)| называют коэффициентом усиления) и сдвиг его по фазе на argH(jw).

При операторном описании выход линейной системы связывается со входом посредством линейного оператора С*.

у = £и,

действующего из нормированного пространства сигналов (функций) Ер Э и в пространство Lq Э у; рассматриваются значения р, 9 = 1,2, оо. Нормы сигналов определяют (р, д)-индуцированные нормы операторов:

И^Нм = sup ||£«||q.

II^IIpCi

Естественно требовать ограниченности операторной нормы, тогда выход соответствующей системы будет ограниченным при любых ограниченных

входах. В частотной области оператор С приобретает смысл передаточной функции системы; для нее также требуется ограниченность в какой- либо Я-норме: в непрерывном случае используются Яоо-норма, определяемая (1.30), и Яг-норма (1.35). Аналогичные пространства сигналов 1Р н нормы операторов и передаточных функций вводятся для дискретных систем, для которых, кроме того, часто используют Я1-норму передаточной функции, определяемую с помощью (1.37).

Задание одномерной системы первого порядка (1.40) в пространстве состояний эквивалентно записи в виде одного дифференциального уравнения высокого порядка относительно входа и и выхода у: P(s)y = Q(s)u, где Q(s),P(s) — полиномы от оператора дифференцирования (degQ < deg Р), или, иначе, записи с помощью передаточных функций у = Я(з)и, Я(з) = Q(s)/P(s). При определенных условиях одномерная система в пространстве состояний приводится линейной заменой переменных к канонической управляемой форме (1.44); при этом говорят о фробениусовой форме матрицы А

Реакцию одномерной системы на входной единичный импульс (5-функцию) называют весовой функцией, а реакцию на единичную ступенчатую функцию (функцию Хевисайда) — переходной функцией.

В инженерной практике простейшие физические устройства называют звеньями; им соответствуют типовые передаточные функции. Например, звено с передаточной функцией

Я(з) = ——

Ts + 1

называется апериодическим или инерционным, при этом к = Я(0) > 0 — коэффициент усиления, а Т > 0 — постоянная времени.

Глава 2

ВИДЫ УПРАВЛЕНИЯ

Предыдущая глава была посвящена описанию открытых систем, в которых управление либо отсутствует, либо уже выбрано. В настоящей главе обсуждаются способы задания управления в замкнутых системах.

Программное управление. Управляемость

Вернемся к общей линейной модели системы

(2-1)(2-1)ж = Аж + Ви + DiW3 у = Сх + D^U)

(2-1)

(2-1)

и попробуем ответить на вопрос: в каком виде ищется управление и в данной модели? В этом параграфе обсуждается способ выбора управления как функции от времени, т.е. в виде и$). Такой способ выбора называется программным управлением; на первый взгляд он представляется наиболее естественным.

Здесь, прежде всего, следует уточнить, в каком классе ищутся функции u(t) и какие на них накладываются ограничения. Так, управления могут быть либо гладкими, либо непрерывными, либо произвольными измеримыми функциями времени. Чаще всего задача ставится именно в последней формулировке, т. е. допускаются и разрывные управления. Однако нередко оказывается, что для некоторых задач оптимальное управление достигается на дифференцируемых функциях от времени. Кроме того, на класс управлений обычно накладываются дополнительные условия типа ограниченности управлений. Типичным является условие

u(t) 6 U для всех t 6 [О, Т],

где U — заданное замкнутое ограниченное множество в К™. Другим типом ограничений являются интегральные, например

J(u) = / |u(t)|H ^ с2,J(u) = / |u(t)|H ^ с2,(2.2)(2.2)

J(u) = / |u(t)|H ^ с2,

J(u) = / |u(t)|H ^ с2,

(2.2)

(2.2)

о

где Т — заданнвя длительность процесса управления.

После выбора программного управления и подстановки его в систему (2.1) мы получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений. в которых фигурируют лишь внешние воздействия. Например, уравнение состояния приобретает вид

х = Ах + wi, wi (t) = Bu(t) + Di w^,

и если х(0), А, В, Di и w(t) известны, то x(t) может быть рассчитано по формуле

t

АЦ = ел‘ж(0) + j ел(‘"т)Ю1(т)<гт

О

для всех значений t. Подчеркнем, что для этого требуется знание всех указанных выше величин.

Разумеется, программное управление может применяться и в дискретных системах (ut выбирается заранее как функция от fc); никаких принципиально новых моментов при этом не возникает.

Используем программное управление для анализа важного понятия управляемости; именно, система

х = Ах + Bu, IE Rn, ue К™,(2.3)

называется управляемой, если для любого конечного я(0) и 0 < Т < оо найдется такое ограниченное кусочно-непрерывное u(t) на интервале [О, Т], что решение системы (2.3) принимает нулевое значение в момент Т.

Иначе говора, в управляемой системе начальное отклонение может быть устранено за (любое) конечное время.

Очевидно, что, поменяв направление времени, мы получим, что упра- вляемая система переходит из я(0) = 0 в любое заданное х(Т\ Более общо: система управляема, если для любых xo,xi е R” н любого Т > О найдется управление u(t), переводящее систему из х(0) = х0 в х(Т) = жр Часто в литературе такие системы называют вполне управляемыми, но мы будем пользоваться более простой терминологией.

Трудность задачи состоит в том, что обычно количество управляющих воздействий (размерность тп пространства управлений) меньше количества управляемых величин (размерности п пространства состояний), однако она разрешается следующим образом.

Пара матриц (Л, В) называется невырожденной (управляемой) парой, если ранг матрицы

U = [В АВ ... Л^В]

равен п. Матрица U называется матрицей управляемости.

Матрица U составлена нз п блоков, каждый из которых — матрица п х т, т. е. в целом U — матрица nx пт. Например, если т = 1 (система С одним входом), В = b € R", то U — матрица п х п, столбцы которой являются векторами 6, ЛЬ,..., А^Ъ, и пара (Л, 6) управляема, если эти векторы линейно независимы (ср. лемма П.8 из Приложения). Следующая теорема дает конструктивное необходимое н достаточное условие управляемости; другие, также полезные условия сформулированы в Приложении (теорема П.З).

Теорема 2.1 (управляемость). Система (2.3) управляема тогда и только тогда, когда пара (Л, В) невырождена.

Доказательство. Необходимость. Пусть rank (У < п. Тогда найдется вектор v G Rn, и / 0, такой, что vTB = vTAB = ... = vTAH-1B = 0. По теореме Кэли-Гамильтонв (теорема ПЛ из Приложения) матрица Л удовлетворяет своему характеристическому уравнению

Лп + ап_1Ап 1 +. - - 4- сщ! — 0»

откуда

утЛпВ = — ап_1цтЛп~1В —... — ао«тВ = 0.

Умножая последнее равенство на Л\ к = 1,2,..., получим, что vTAmB = 0 н для всех т = п + 1,п + 2,.. - Но тоща

ите ЛтВ = vT (l - At + bv - ... )в = 0.

С другой стороны, решение системы (2.3) имеет вцд (1.3) г(

ж(Т) = елг®(0) + у ож(Т) = елг®(0) + у о^"^Ви^йт = елт I х(0) +

ж(Т) = елг®(0) + у о

ж(Т) = елг®(0) + у о

поэтому для ж(Т) = 0 имеем

т

0 = vTa:(0) + j уте~Ат Bv^rjdr = vTx(0)о

для любого управления и^т\ Ясно, что равенство ита:(0) = 0 не может выполняться при произвольных ж(0) (например, при я(0) = v).

Достаточность. Мы укажем конкретный вид управления, которое переводит систему из ж(0) = Хо в х(Т) = 0. Именно, возьмем

n’(t) = ВТеАТ^Т"^у,

где вектор v подлежит выбору из условия х(7) = 0, ж(0) = Яо, т. е.

О = еАтх0 + j e^-^Bu^vdr = о

— рАТ I— L ХО I— рАТ I— L ХО IеА<т-^ВВтеАТ<т-т^теА<т-^ВВтеАТ<т-т^т

— рАТ I

— L ХО I

— рАТ I

— L ХО I

еА<т-^ВВтеАТ<т-т^т

еА<т-^ВВтеАТ<т-т^т

Покажем, что матрица

тт

WC(T)= jWC(T)= jeA(T-T)BBTeAT(T-r)dT = j еАтВВТеАттйт^ ^

WC(T)= j

WC(T)= j

ОО

невырождена (онв называется грамиан управляемости). Прежде всего, гт

(Wc(T)d,d) = / ldTeATBI2dr для любого d е Rn, т.е. эта матрица Vo

неотрицательно определена. Если (H^(T)d,d) = 0 для некоторого d / О, то <р(т) = ^еАтВ = 0 для всех 0 < т ^ Т. Тогда н все производные этой функции равны нулю, н, в частности,

^(0) = /(0) = ... = ^"^(О) = 0, ^(0) = dTAkB,

т.е. dTAkB = 0, к = 0,1,... ,п — 1. Это означает, что d4U = 0, что противоречит условию rank 17 = п. Таким образом, 1%(Т) > 0, поэтому уравнение eAtx0 + U^(T)v = 0 имеет решение v = —И^.-1(Т)еАтя:о прн любом жо. Тем самым мы нашли управление

u*(0 = -BTeAt<T-^W-4T)eATxOl(2.5)

которое переводит систему (2.3) из состояния ж(0) = жо в состояние ж(Г) = 0.

Сделаем несколько замечаний. Во-первых, если известно, что rank В = г, то условие управляемости уточняется: rank [В АВ ... Ап-гВ] = п.

Во-вторых, мы не просто доказали, что найдется управление, которое переводит систему из произвольного начального состояния в начало координат, но указали явно одну такую функцию w*(t)- Более того, предложенное управление оказалось гладкой функцией, в то время как в определении управляемости требуется лишь кусочная непрерывность.

В-третьих, указанное управление u*(t) к тому же является оптимальным по критерию энергии (2.2) среди всех кусочно-непрерывных управлений, которые переводят систему из заданного начального состояния в нуль (управление с минимальной энергией), т. е. если u(t) — любое другое

2 i. Программное управление. Управляемость

допустимое управление, то J^ ^ J№ Действительно, вычитая друг из друга решения системы при м(1) и при u*(t). получим

j eAlT-ny^ _ „-^dt = О, О

откуда, домножив на Wc"1tT')eATx0:

о= ( [ е^^В^-иЧ^, И'-'СПе^зд j = \о'

= jум - «Ч^ B^^W^TV^dt = о

Гт

= - У (u(t) - u-(t)) u^dt-

О

Поэтому

7'Т

J^ = j |u(t)|2d< = j |u(t) — u*(t) + u*(t)|2dt = о0

T

= У [|«(e) - u’(0|2 + l«*(0|2 + 2(«(0 - U-(t))Tu*(O]dt = О

TT

= J |u(t) — u*(t)|2dt + j |u*(t)|2di ^

о0

J(u*).

о

Пользуясь формулами (2.5) и (2.4), нетрудно посчитать н само значение энергии J(u*):

JW = жо

откуда видно, что чем меньше время Т процесса, тем большие управления приходится применять, так что ограничение (2.2) может нарушиться.

Для произвольных ж(0) = Жо и ж(Т) = Ж] управление, переводящее систему нз жо в Ж1 и минимизирующее функционал энергии (2.2), имеет вид

u(0 = -B^^-^W-^T^e^Xo-Xx^;

в частности, при жо = 0 получаем

y*(t) = B^^-^W'XT^xx(2.6)

— управление минимальной энергии, переводящее систему из нуля в заданное состояние Ж1.

Аналогичные результаты имеют место для дискретных систем, именно, дискретная система

Хк = Ахк-х + Buk—if Хк Е R”, Uk Е Rm,(2.7)

называется управляемой, если для любого жо и некоторого к > 0 найдутся такие ограниченные управления ио, - - - ,ОД-1» которые переводят систему в начало координат: ж* = 0.

Согласно (1.6) решением системы (2.7) является

fc-i

хк = Акх0 + ^ Ак11Ви11

<=0

и требование управляемости приобретает форму: для всякого а е R” найдется к > 0 и векторы «о,... ,Uk-x такие, что

fc-i

^2,Ak"i-1Bui = a.(2.8)

t=0

Отсюда вытекает критерий управляемости для дискретных систем.

Теорема 2.2. Система (2.7) управляема тогда и только тогда, когда пара (А, В) невырождена.

Действительно, взяв к = п, перепишем уравнение (2.8) в виде Ву = а, где обозначено U = [В АВ ... А"-1В] е RnXmn и у = (цу ... и„_х)Т Е Rmn. Видим, что это уравнение имеет решение при любом а тогда и только тогда, когда ранг матрицы U равен п.

Заметим, что в отличие от непрерывных систем дискретное время не может выбираться произвольно — требуется конечное число шагов, чтобы «накопить» ранг матрицы U. Если ранг В больше единицы, то систему можно привести в начало координат за число шагов, меньшее п; в частности, если В невырождена, то мы достигаем цели за один шаг.

Подход с точки зрения программного управления допустим, когда нет внешних возмущений (w = 0, v = 0), матрицы А, В, С известны и задан

некоторый критерий оптимальности (типа (2.2)). Например, в линейноквадратичной задаче оптимального управления (см. подробнее в главе 5)

т

minJ ^Rxtx) + (Su.u^dt, z(0) = so, 0

x = Ax + Bn

при известных матрицах A, B,R,S и времени T можно найти оптимальное решение u*(t), 0 ^ t ^ Т. Однако в более общих ситуациях — при наличии неопределенных внешних возмущений или неопределенности в описании системы — применение протраммного управления может привести к резкому ухудшению качества процесса либо к полной катастрофе. Представим себе, например, процесс управления самолетом, рассчитанный заранее, до начала полета, и не предусматривающий использования поступающей текущей информации о скорости ветра, высоте и т. п. Вряд лн кому-нибудь прцдет в голову управлять самолетом таким образом. Это же относится и к подавляющему большинству иных ситуаций, связанных с управлением производственными процессами, транспортом, системами связи, финансами и т.д. Лишь в очень небольшом числе случаев (расчет оптимального режима космического полета или модели, в которых t не играет роль времени, например, расчет оптимальной трассы дороги) решение в виде n(t) является удовлетворительным.

В связи с этим в данной книге мы почти не будем иметь дела с программным управлением. Ниже будут рассмотрены иные подходы к выбору управления.

Сопутствующие функции Matlab.

rank — вычисление ранга матрицы;

ctrb (CST) — построение матрицы управляемости;

gram (CST) — построение грамиана управляемости (н наблюдаемости, см. ниже).

Обратная связь по состоянию

Другой подход к проблеме управления связан с идеей обратной связи. Управление не выбирается заранее, а корректируется в каждый текущий момент на основании информации о состоянии системы.

(2.9)(2.9)Выбор управления в форме функции от состояния н момента времени называется синтезом управления*.

(2.9)

(2.9)

■и — ср^ t).

Функция у?(ж, t), в принципе, может быть нелинейной по ж; существуют различные подходы (например динамическое программирование), позволяющие решать задачу оптимального синтеза при некоторых постановках задачи оптимального управления. Однако после выбора управления в форме (2.9) уравнение состояния становится нелинейным и нестационарным. Поэтому в данной книге мы ограничимся случаем статической линейной обратной связи по состоянию:

и = Кх,(2.10)

где матрица усиления К Е R”lXn не зависит от L Оказывается, во многих задачах управления такого типа обеспечивают наилучшее значение критерия оптимальности в классе любых управлений, т.е. переход к нелинейным нестационарным обратным связям не улучшает критерия качества.

Подставим управление (2.10) в уравнение (2.1), тогда получим уравнение замкнутой системы:

ж = АсХЦ-Diw, АС = А + ВК, у = Сж + D2w.

Таким образом, после замыкания системы обратной связью вида (2.10) мы опять получаем линейное уравнение состояния, но уже с измененной матрицей состояния Ас = А+ВК. В дальнейшем мы покажем (гл. 4), что за счет выбора матрицы усиления К можно улучшить свойства системы, например, сделать матрицу устойчивой, тогда как А таковой ие является.

Управления вада (2.10) называются линейными регуляторами. Большинство используемых на практике регуляторов являются именно линейными; онн легко реализуются технически.

Отметим, что возможности линейных регуляторов в некоторых отношениях ограничены. Так, линейный регулятор в системе без возмущений х = Ах + Ви не может устранить начальное отклонение за конечное время, т. е. не может перевести систему из ж(0) / 0 в начало координат за конечное время даже при выполнении условия управляемости. Действительно, из уравнения замкнутой системы ж = Асх и условия ж(Т) = 0 следует, что ж(<) = 0, поэтому то управление, которое выбиралось выше при доказательстве теоремы 2.1 об управляемости, не было стационарной обратной связью.

В дискретных системах линейная обратная связь имеет вид

uk = Кжк

и уравнения замкнутой системы приобретают вид

хк = Асхк_х + Dxwk-x, Ас = А + В К,

•ук = Схк Ц-D2wk.

Таким образом, матрица состояний Лс замкнутой дискретной системы

пересчитывается по той же формуле, что и в непрерывном случае.

Обратная связь по выходу. Наблюдаемость

Состояние системы не всегда доступно измерению; часто единственная информация о системе предоставляется ее выходом у. Попытка построить регулятор в форме статической линейной обратной связи по выходу

и= Ку,

где К — матрица m х /, как правило, бывает неудовлетворительной; обычно систему даже не удается сделать устойчивой с помощью управлений такого вида. Например, если система х = Ах 4- Ви, у = Сх — одномерная, т.е. и,у 6 R1, то К — к — скалярная величина и матрица замкнутой системы имеет вид А+ВКС = А+kBC. Нетрудно построить пример неустойчивой матрицы А и матрицы ВС такой, что их линейная комбинация А + кВС неустойчива прн всех значениях коэффициента к. Иными словами, мы имеем слишком мало возможностей воздействовать на систему. Поэтому обычно поступают иначе. Например, в простейшей ситуации без внешних возмущений

х = Ах 4- Ви,

У = Сх

управление ищется в виде, аналогичном обратной связи по состоянию:и = Кх,

но теперь вместо неизвестного состояния х берется его оценка х по наблюдаемым значениям выхода системы.

Прежде чем переходить к конкретным способам построения оценок £(t). обсуднм принципиальную возможность восстановления состояния по выходу. Для этого рассмотрим еще более простую ситуацию — открытую систему с выходом:

(2.11)(2.11)х = Ах,у = Сх.

(2.11)

(2.11)

Система (2.11) называется ненаблюдаемой, если разным траекториям могут отвечать одинаковые выходы, т. е. найдутся такие Хо ф жо» 470 Д^ соответствующих траекторий х, з? н выходов у, у* будет у = у’. В противном случае система называется наблюдаемой.

Мы покажем, что если система наблюдаема, то можно точно восстановить значение ж(0 по значениям у(О1У(О»- • - >У^П-1ЧО» т-е- достаточно

знать значения выхода н его производных в тот момент времени, кода производится оценка состояния.

Теорема 23 (наблюдаемость). Система (2.11) наблюдаема тогда и- только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости

V =V =IQtnXnIQtnXnССА

V =

V =

IQtnXn

IQtnXn

САп~*

равен п. В этом случае пара (А^С) называется наблюдаемой парой.

Заметим, что Ут = [СЛ А^С^ ... (ЛТ)П~1СТ] — матрица управляемости для системы х = АТх + С^и, у = В^х, которая называется двойственной к системе х = Ах + Ви, у = Сх, поскольку управляемость одной из них эквивалентна наблюдаемости другой. Необходимые и достаточные условия наблюдаемости, аналогичные сформулированным в теореме 2.1, получаются заменой Л —* Лт, В —♦ Ст.

Доказательство. Необходимость. Пусть rank У < п. Тогда найдется вектор v е Rn, v / 0, такой, что Си = САи = ... = САп-хи = 0. Как и при доказательстве необходимости в теореме 2.1 об управляемости, отсюда следует, что САти = 0 для всех т > 0 и, следовательно, СеАти = 0. Поэтому при ж(0) = v имеем

y(t) = Сх^ = С^и = 0.

С другой стороны, при я(0) = 0 также имеем y(t) = 0. Таким образом, разным начальным условиям отвечают одинаковые выходы и система ненаблюдаема.

Достаточность. Имеем

y(t) = Сх^ y(t) = CAx(t^ - - -, y<n-1)(t) = СА^х^

т.е. У = Vx, где У = (y(t), y(t), .-., ^""^(О) € R”*. х = хЦУ Эта линейная система имеет решение, если выход y(t) порожден системой (2.11) в силу установленной выше связи ж(<) и производных выхода, н это решение единственно, так как ранг V равен п.

Способ оценивания состояния, вытекающий из приведенного выше доказательства теоремы 2.3 о наблюдаемости, неудовлетворителен — он требует вычисления п — 1 производных от выхода. Меньшим числом производных обойтись нельзя, если выход скалярный; конечно, если размерность I выхода больше, то число требуемых производных можно уменьшить (например, если матрица С квадратная невырожденная, то можно

просто взять x(t) = C-1y(t)). Поэтому для оценивания состояний используют другой подход, не требующий вычисления производных. Он основан на построении наблюдателя, т.е. оценки ж вектора состояния, описываемой линейным дифференциальным уравнением, в которое входит рассогласование выхода у и его прогноза у = Сж:

x(t) = ^ + F(y — Сж).

Здесь F — некоторая матрица размера n х I, которую можно выбирать. Возвращаясь к задаче при наличии управления

ж — Аг + Ви,

у = Сж, возьмем наблюдатель в форме

я(0 = Ах + Ви + F^y — Сж).

Тогда, очевидным образом, невязка e(t) = x(t) — ж(<) описывается линейным дифференциальным уравнением

e = (A — FC)e.

Мы покажем в дальнейшем, что можно так выбрать матрицу F, что его решение e(t) —» 0 при t —» со для любого начального рассогласования е(0). Иными словами, получим x(t) —* x(t), н оценка x^t) может использоваться для построения обратной связи и = Кх. Анализ таких алгоритмов будет проведен позже, в п. 4.3.

Сопутствующие функции Matlab:

obsv (CST) — построение матрицы наблюдаемости.

Частотные методы

Предыдущие параграфы данной главы были посвящены выбору управления при описании систем в пространстве состояний; обсудим теперь эти вопросы на языке передаточных функций. Начнем со случая одномерных непрерывных систем. Запишем уравнение системы в виде

P(s)y = Q(s)u + R(s)w,

где P(s),Q(s),R(s) — полиномы от оператора дифференцирования s:

P(s) = Po+Pis + ...+PnSn,Q(s) = go+9lS + ... + 9mSm1R(s) = ro+n»4-— +ns\

I ^ п, т С п (т.е. выполнены условия реализуемости), а скалярные функции y(t), u(t), w(t) имеют смысл выхода, управления и внешнего входа соответственно. Напомним, что такая запись эквивалентна (1.11):

У = Hyu(s)u + Hyw(s)w,(2.12)

где H^s^ H^s) — передаточные функции

н (s) = 2^ и (з) = R^

а также записи в виде одного дифференциального уравнения

РпУ^ + - . . + Pol/ = Чт^^ + • - - + 9oW + HW^ + . .. + T0W

в предположении, что u(t) н w(t) дифференцируемы соответственно т н I раз.

Выбор управления в форме обратной связи означает, что оно ищется в виде

“ =" -С^'<Z13>

где ^(s), -D(s) — полиномы

N(s) = По +П18 + . .. + По5°,

D^s) = d0 + dis +... + dpse, P^ot,

a C(s) — передаточная функция регулятора. Подставляя это соотношение в (2.12), мы получаем связь входа н выхода в замкнутой системе:

„ г, / х и ( \ HtA^ _fi(s)£>(s)

■У c(s)w, c(s) 1+Яуи(в)С(5)Q(s)^(s) + p(s)p(s)-

(2.14)

Таким образом, характеристический полином Pc(s) замкнутой системы

Pc(s) = Q(s)W(s) + P(s)D(s),

а ее передаточнвя функция Нс^ легко определяется по передаточным функциям разомкнутой системы и регулятора. Здесь мы еще раз убеждаемся в удобстве языка передаточных функций при таких операциях, как замыкание системы с помощью обратной связи.

Замкнутую систему можно записывать в виде блок-схемы, изображенной на рнс. 2.1, где G(s) н C(s) — передаточные функции объекта и регулятора, значок ® обозначает суммирующее устройство, а знак «—»

Рис. 2.1. Блок-схема замкнутой системыРис. 2.1. Блок-схема замкнутой системы

Рис. 2.1. Блок-схема замкнутой системы

Рис. 2.1. Блок-схема замкнутой системы

соответствует минусу в формуле (2.13) (отрицательная обратная связь). Таким образом, передаточная функция замкнутой системы объект-ретуля-

тор равнатор равнаНс^~ l+G(s)C(s)‘Нс^~ l+G(s)C(s)‘(2.15)(2.15)

тор равна

тор равна

Нс^~ l+G(s)C(s)‘

Нс^~ l+G(s)C(s)‘

(2.15)

(2.15)

Такого рода язык блок-схем очень нагляден н широко распространен в инженерной практике.

Чаще используется конфигурация системы, изображенная на рнс. 2.2 (она рассматривается при исследовании качества системы, в робастной

Рис. 2.2. Блок-схема замкнутой системыРис. 2.2. Блок-схема замкнутой системы

Рис. 2.2. Блок-схема замкнутой системы

Рис. 2.2. Блок-схема замкнутой системы

теории и т. д.), где входной сигнал ш имеет смысл задающего воздействия, С и G — передаточные функции регулятора и объекта, а и — выход регулятора — имеет смысл управления. В этой конфигурации передаточная функция замкнутой системы (от w к у) равна

W l + G(s)C(s)W l + G(s)C(s)(2.16)(2.16)

W l + G(s)C(s)

W l + G(s)C(s)

(2.16)

(2.16)

а передаточная функция от w к невязке е = w — у называется чувстви

тельностью:

ЭД~ 1 + С(з)С(зУ

(2.17)

личиналичинаПроисхождение этого термина следующее. Пусть ДС — возмущение передаточной функции объекта и kG/G — относительное возмущение; соответственно, Д71 — вызываемое им возмущение передаточной функции Т замкнутой системы и ДТ/Т — относительное возмущение. Ве

личина

личина

дт/тдо™ о AG/G

характеризует чувствительность передаточной функции замкнутой системы к бесконечно малым возмущениям передаточной функции объекта. Рассматривая Т как функцию от G, получаем, что эта величина равна S. Поскольку S(s) + T(s) = 1, то T(s) также называют дополнительной чувствительностью.

Функция 1 + G(s)C(s), стоящая в знаменателе (2.15), называется возвратной разностью. Позже мы увидим, что основные свойства замкнутой системы (в частности, ее устойчивость) формулируются в виде условий на возвратную разность илн на обратную к ней величину — чувствительность.

Конфигурация на рис. 2.2 является простейшей. Существует много других блок-схем, описывающих системы с обратной связью. Значительно более полная конфигурация показана на рис. 2.3. В ней регулирование

Рис. 2.3. Блок-схема замкнутой системы с двумя степенями свободы

объекта G осуществляется с помощью префильтра (иначе, корректирующего фильтра') К н регулятора С, поэтому применяется термин система с двумя степенями свободы (в отличие от системы с одной степенью свободы на рис. 2.2). На систему воздействует задающее воздействие r(t)t внешние возмущения w(t) н ошибки измерения v(t). Для выходного сигнала y(t) такой системы нетрудно получить следующее выражение:

у = S^w + R^r — T(s)v, (2.18)

где S(s) и T(s) — чувствительность н дополнительная чувствительность, описываемые теми же формулами (2.17) и (2.16), а передаточная функция от г к у равна

ВД = K(s)T(s).

Если мы хотим, чтобы влияние возмущения w на выход было мало (так называемая задача подавления внешних возмущений), то из (2.18) видно, что для этого нужна малость S в том или ином смысле (более точные постановки таких задач будут рассмотрены ниже). Аналогичным образом, чтобы ошибки измерения v мало влияли на выход (задача фильтрации

ошибок измерения), нужна малость Т. Обе эти задачи не Moiyr быть решены одновременно, так как

ЭД + 7(a) = 1(2.19)

при всех а. Обычный компромисс заключается в том, что эти задачи рассматриваются на разных частотных интервалах, т.е. S^w) должно быть мало для малых щ, а 7(уи>) — для больших и.

Все вышеприведенные выкладки были достаточно формальными. Чтобы придать им корректность, нужно, чтобы получаемые передаточные функции удовлетворяли условию реализуемости (см. п. 1.2), т.е. чтобы степень полинома в числителе не превосходила степени знаменателя. На первый взгляд кажется, что это условие выполняется в силу реализуемости передаточных функций объекта. Например, в знаменателе (2.14) содержится член PD, а в числителе — RD; поскольку I = deg R ^ deg Р = п, то degKD ^ degPD. Однако может оказаться, что старшие коэффициенты у слагаемых QN и PD в знаменателе (2.14) имеют разные знаки, старшие члены сокращаются, и условие реализуемости нарушается. Поэтому надо наложить дополнительные требования во избежание подобного сокращения.

Лемма 2.1. Если в (2.14)

1 + Яуи(оо)С(оо) / 0,(2.20)

иди в (2.15)

1 + G(oo)C(oo) / 0,(2.21)

то соответствумнцие передаточные функции (2.14) или (2.15) — реализуемые.

Эти условия часто называют корректностью замкнутой системы.

Отметим теперь, какие особенности возникают при переходе к многомерным системам. В этом случае передаточные функции являются матричными, а сигналы — векторными (п. 1.2). Имея это в виду, мы можем рассматривать те же блок-схемы на рис. 2.1, 2.2, 2.3. При этом, разумеется, (2.15) и последующие формулы требуют модификации (хотя бы потому, что деление на матрицу не имеет смысла, а перемножение матриц некоммутативно). Из блок-схемы на рис. 2.2 имеем

у = G(s)C(s)e, е = w — у.

Исключая отсюда е или у и рассматривая получающуюся систему линейных уравнений, находим

у = U + GC^GCw = Tw,е = (I + GCy^w = Sw,

6060

60

60

Глава 2. ВИДЫ УПРАВЛЕНИЯ

Матричные функции

S(s) = (/4-G(s)C(s))-1,(2.22)

T^s) = (7+ G(s)C(s))-1G(s)C(s)(2.23)

по-прежнему носят название чувствительности и дополнительной чувствительности; они являются передаточными функциями от входа го к не-' вязке е и от входа го к выходу у соответственно. По-прежнему верно и соотношение, обобщающее (2.19):

S(s) + T(s) = L

Аналогичным образом вводятся передаточные функции многомерной системы, соответствующей рис. 2.3. Требование реализуемости (лемма 2.1) передаточных матриц приобретает следующую форму: матрица

/ + G(oo)C(oo)

должна быть обратимой — это есть условие корректности для многомер-' ной системы.

Наконец, заметим, что критерии управляемости и наблюдаемости тесно связаны с понятием минимальной реализации многомерных передаточных функций (см. п. 1.2). Справедлив следующий результат.

Теорема 2,4. Реализация

минимальна тогда и только тогда, когда пара (А, В) управляема, а пара (А, С) наблюдаема.

Сопутствующие функции Matlab.

tf (CST) — задание системы с помощью передаточных функций н переход от других форм записи к передаточной функции;

minreal (CST) — построение минимальной реализации передаточной функции.

Выводы

Если в системе

х = Ах + Ви

управление ищется как функция от времени: и = u(t), то говорят о программном управлении. Система управляема, если для любых двух состояний То и xy найдется управление, переводящее ее из т0 в Ху за (произвольное) конечное время Т. Критерий управляемости: ранг матрицы

управляемости U = [В АВ ... ЛП-1В] равен п (теорема 2.1). Программное управление применимо при полной информации о матрицах А, В, С и отсутствии внешних возмущений.

Если управление ие выбирается заранее, а строится как функция от текущего состояния системы, то говорят об управлении в форме обратной связи по состоянию. Рассматриваем статическую линейную обратную связь

и = Кх,

в которой К е IRmXn — матрица усиления. Управления такого вида называются линейными регуляторами; матрица замкнутой системы приобретает вид Ас = А + В К.

Если в системе

ж = Ах + Ви,

у = Сх

измерению доступны лишь выходы, но не состояния, то можно искать управление в форме обратной связи по выходу. Так как статическая обратная связь и = Ку, как правило, не приводит к успеху, то регулятор ищут в форме динамической обратной связи

и = Кх,

использующей оценку х вектора состояний по наблюдаемому выходу системы; эта оценка описывается уравнением наблюдателя

I = (Л + БК')! + F(y - Сх).

Такой подход приемлем, лишь если система обладает свойством наблюдаемости: разным траекториям x^t) ^ a/(i) соответствуют разные выходы y(t) ^ VUY что позволяет восстановить состояние по выходу. Критерий наблюдаемости: ранг матрицы наблюдаемости

С

^пхп^пхпСА

^пхп

^пхп

СА"-1

равен п (теорема 2.3).

Если одномерная система записана с помощью передаточных функций

у =deB р ^ dee Q’ deS ^ 5= deg R,

P(s) P[s)

где P^Q^R — полиномы, то управление в форме обратной связи ищется как

где N(s), D(s) — полиномы, a C(s) — передаточная функция рехулятора. При таком управлении передаточная функция замкнутой системы рис. 2.1 имеет вид

U 1 + G(s)C(s)1

а ее характеристический полином равен Q^N^s) 4- P(s)G(s). В конфигурации рис. 2.2 передаточная функция от внешнего входа w к невязке е называется чувствительностью:

S^ 14-G(s)C(s)’ а от входа к выходу у — дополнительной чувствительностью:

T(sx - G^C^

1 + G(s)C(s) *

при этом функция 1 + G(s)C(s) называется возвратной разностью.

Если конфигурация рис. 2.2 отвечает многомерной системе, то чувствительность и дополнительная чувствительность — матричные передаточные функции

ЭД = (/+ G(s)C(s)) \ ЭД = (/ +G(s)C(s)) 'сде^у

Для обеспечения реализуемости передаточных функций замкнутой системы накладывается условие корректности (лемма 2.1):

1 + G(oo)G(oo) ^ 0;

в многомерном случае оно приобретает следующую форму: матрица I + G(oo)C(oo) должна быть обратимой.

Одна из наиболее полных конфигураций, описывающих системы с обратной связью, приведена на рис. 2.3. Это система с двумя степенями свободы (соответствующими префильтру (или корректирующему фильтру) К и регулятору G). Выходной сигнал z/(t) такой системы выражается через внешнее возмущение w(t), задающее воздействие r(t) и ошибки измерения v(t):

У = S(s)w + R(s)r — 7’(s)y,

Выводы '

где

^ = ТТсЬ<М T^ = iT^&- ад-™>-

Поскольку

S(s)+T(s) = l

при всех s, то невозможно одновременное решение задачи подавления внешних возмущений (малость влияния возмущения w на выход) и задачи фильтрации ошибок измерения (малость влияния ошибки измерения v иа выход). Поэтому обычно эти задачи решаются на разных частотных интервалах: S^jw) минимизируется для малых и, a T^jw) — для больших ш.

• Связь управляемости и наблюдаемости с понятием минимальной реализации многомерных передаточных функций дается теоремой 2.4: реализация H(s) = (Л, В, С, Ь) минимальна тогда и только тогда, когда пара (Я, В) управляема, а пара (Л, С) наблюдаема.

Глава 3

УСТОЙЧИВОСТЬ

В этой главе исследуется важнейшее понятие теории управления — понятие устойчивости. Приводятся различные критерии устойчивости —- как алгебраические, так и графические.

Для нелинейных нестационарных систем имеется множество определений устойчивости: устойчивость точки равновесия и устойчивость движения; устойчивость по Ляпунову н асимптотическая устойчивость; устойчивость «в малом» и «в большом»; устойчивость по начальным условиям и по возмущению. Для линейных стационарных систем все эти определения совпадают, и мы будем говорить просто об устойчивости.

Устойчивость линейных непрерывных систем

Начнем с простейшей ситуации — открытой невозмущениой системы в пространстве состояний.

Невозмущенные системы

Линейная непрерывная система

х = Ах, х^ 6 tRn,х = Ах, х^ 6 tRn,(3.1)(3.1)

х = Ах, х^ 6 tRn,

х = Ах, х^ 6 tRn,

(3.1)

(3.1)

где А — матрица п х п, не зависящая от t, называется устойчивой, если x(t) —+ 0 при t —» оо для любого а:(0).

Теорема 3.1. Для устойчивости системы (3.1) необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения Xi матрицы А лежали в левой полуплоскости:

ReA< < 0, i = 1,...,п.ReA< < 0, i = 1,...,п.(3.2)(3.2)

ReA< < 0, i = 1,...,п.

ReA< < 0, i = 1,...,п.

(3.2)

(3.2)

При этом для всякого 0 < v < о = min{—Re А,} существует такое С = С^А, о), что

(3.3)(3.3)1^(01 С C^^le"^

(3.3)

(3.3)

Отметим, что матрица Л, удовлетворяющая условиям (3.2), в дальнейшем называется гурвицевой или устойчивой. Соответственно, собственное значение с отрицательной вещественной частью также будем называть устойчивым. Если А устойчива, то величина о = min {—Re А^(Л)} называется степенью устойчивости (матрицы или соответствующей системыХ т. е. это минимальное из расстояний от собственных значений устойчивой матрицы до мнимой оси.

Доказательство. Необходимость. Пусть условие (3.2) не выполнено, т.е. найдется некоторое собственное значение матрицы А, например Аь такое, что

ReAj ^ 0.

Если Ai вещественно, то возьмем х(0) = ei, где Асу = AjCi, еу — вещественный вектор и |ei | = 1. Тогда решение с таким натальным условием имеет вид x(t) = eA,tei, и потому x(t) -/* О при t —> оо. Если Ai — комплексное число Ai = и 4- jv, то найдется и сопряженное собственное значение Аг = А* = и — jv, причем если ei = g + jh — собственный вектор, отвечающий Ai: Аеу = Aiei, |g|2+|/i|2 = 1, то ег = g—jh— собственный вектор, отвечающий Аг: Ав2 = Агег- При этом Ад = ид — uh. Ah = ид 4- uh. Возьмем z(0) = aog + Poh, где «о, A) € ^’* тогда x^t) остается в том же двумерном подпространстве: x(t) = a(t)g 4- P(t)h, где a(t),P(t) описываются дифференциальными уравнениями

а = иа + иР, а(0) = ао,Р = — иа + up, р(0) = Ро.

Обозначая pit) = a2(t) 4- P2lt), легко получаем р = 2ир, т.е. p(t) ^* 0 при t —* оо и и ^ 0.

Достаточность. В силу важности теоремы дадим несколько доказательств достаточности; каждое использует технику, которая неоднократно будет применяться в дальнейшем. При этом в ряде случаев доказательство не будет исчерпывающе строгим — для нас важна главным образом идея, заложенная в нем.

Доказательство достаточности 1 (оценка матричной экспоненты). Пусть матрица А диагонализируема (например, все ее собственные значения различны), т. е. существует такая невырожденная матрица Т, что

А = Т-1АТ, A = diag(Ai,...,An).

В этом случае имеем

|x(t)| = le^ '^^tO)! = р^е^О)! < ||7'-1|| ||еЛ1|| ЦГЦ к(0)| = = ||7’-1||e-‘"imi №)|,

3. Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков

что и доказывает оценку (3.3) для устойчивой матрицы А (в этом случаи ст > 0), причем можно взять v = а, а константа С выписывается явно: •;

С = ||Г|Н|7’-,||.

В матричной форме полученный результат можно записать как ouei матричной экспоненты:

(3.4):(3.4):||eAt|KCe-^, С=||Т||||Т-1||.

(3.4):

(3.4):

Случай диагонализируемой А особенно прост потому, что, сделав заме; переменной £ = Тх» мы сводим систему к виду

^Л£, £(0) = 7X0),

или, иначе говоря, Ед = А,^, г = 1,...,тг, т.е. (3.1) распадается на п независимых уравнений с решениями

Ш = ио)^<г» • = !,...,».

Если А, = Ut+yv* и все и* < 0, то с > 0 и |еЛ<е | = le^e^ | — е“^ < e”<rt для всех А„ поэтому |£(£)| ^ К(0)[е-<т*.

В общем случае матрица А приводится преобразованием подобия не к диагональной, а к блочной жордановой форме:

A = T-'JT, J = diag(J1,...,J„),

и система распадается на т независимых подсистем, соответствующих блокам Л- Для одного жордановою бдока Л размерности I х I

имеем _eAt G-i)i

0 eXt , et1-1

162•••(1-1)!

01 t:

:t

о о ...01

поэтому если ReA ^ —a < 0, то найдется полином R(t) степени I — 1 такой, что

||е^ || < R(tKat С Ce"Mt

для любого 0 < v < а; здесь С = max R(£)e~(‘T~~i'^ < оо. Учитывая О^«оо

||ел|| = max, ||eJit||, можно прийти к оценке (3.3).

Доказательство достаточности 2 (приведение к фробениусовой фор-

ме). Пусть матрица А имеет фробениусову форму:

/010...0

001-.0

А= ::'-:

::01

\ ~Оо— °1 " Оп—2о« —1 ,

Тогда, как мы знаем (п. 1.4), система уравнений (3.1) эквивалентна одному дифференциальному уравнению n-го порядка относительно у = яг.

У(п) + а^-!^”-^ 4-... + ооу = 0, 2/(0) = Ж1(0), ..., у^ЧО) = х„(0),

(35)

см. (1.44) с 6 = 0 и (1.43). Его решение, как известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, имеет вид

у№ = A(t)eA,‘ + •. • + Р„№х-‘,

где Ль..., А„, — корни характеристического полинома

P(s) = s” 4-Om-is"-1 + ... +а0, 3*

а Рг(<) — полиномы от t, степень которых на единицу меньше кратное сти Xi. В частности, если все корни P(s) различны н равны Ai,..., Ап, то

$/(0 = cieA,< + ... + СпС^1,

где константы с, (или полиномы Pi(t)) находятся из начальных условий (3.5). Например, для случая различных корней уравнения для а имеют вид

Ci +... + Сп = у (0)ciAi+-.. Ч-^Ап = Х0)

С1А7 1+-..+chA£~l = ^-^(О).

Это система линейных уравнений с мондаЭто система линейных уравнений с монданевырожденной матрицей Вандер-невырожденной матрицей Вандер-

Это система линейных уравнений с монда

Это система линейных уравнений с монда

невырожденной матрицей Вандер-

невырожденной матрицей Вандер-

S^S^1Ai1Ai1А„1А„

S^

S^

1

Ai

1

Ai

1

А„

1

А„

АГ1АГ11«-1 лп1«-1 лп

АГ1

АГ1

1«-1 лп

1«-1 лп

поэтомупоэтому

поэтому

поэтому

c = S ^(О), С=(сЬ...,Сп)Т.

Таким образом, в этом случае для устойчивой матрицы с ReAt < -а < 0 имеем

1^1(01 = Ы01 С ^|с,||еЛ<1| С е-^^1^1 < Се-Ч^О)!!,*=1t=i

С = Halloo

Отсюда немедленно следуют аналогичные оценки для Xk(t) = У^-1ЧО» к = 2,... ,п.

Схожим образом проводятся выкладки н для случая кратных корней. В общей ситуации, как мы знаем, систему можно преобразовать к фробе- ниусовой форме с помощью подобных преобразований1, не изменяющих собственные значения матрицы А.

Доказательство достаточности 3 (построение функции Ляпунова). Рассмотрим уравнение (относительно матрицы Р):

(3.6)(3.6)ATP + PA = -Q,

(3.6)

(3.6)

’Только если матрица А циклическая, см. лемму П.8 из Приложения.

где А — устойчивая матрица, a Q > О — некоторая положительно определенная матрица; это уравнение называется матричным уравнением Ляпунова' .Доказано (лемма ПЛЗ из Приложения), что при сделанных предположениях (Л устойчива, Q > 0) оно имеет единственное решение Р > 0. Построим теперь квадратичную функцию Ляпунова

V(a:) = хТРх

н покажем, что она монотонно убывает иа решениях x(t) уравнения (ЗЛ). Запись V(x) означает дифференцирование V(a?(Q) no t. Имеем:

V^x) = хгРх + хтРх = (Лгг)тРх + хтРАх = хт^АтР + РА^х =

££

= —a:TQx < — £хтх ^ ——хтРх = —77 У = —Д^,

ММ

где £ > 0 — наименьшее собственное значение Q, а М > 0 — наибольшее собственное значение Р. Таким образом, для v(t) = V(x(t)) имеем

откуданоткуданv < — pv, f(0) = з;т(0)Рж(0), v(£) 5s 0,

откуда

н

откуда

н

v(£) ^ v(0)e ^

|ж(<)|2 = xT(t\x(tA < — хтРх =

m

= 1„м $ ^е-^ < «£,-,.,

772TH772

где m > 0 — наименьшее собственное значение Р. Таким образом.

1.(01 с ОДОЛе- С-^, ^ = ^

т. е. мы получили экспоненциальную оценку типа (3.3) для решений уравнения (ЗЛ). При этом показатель экспоненты v не связан напрямую с величиной о» а выражается через максимальные и минимальные собственные значения матриц Р н Q в уравнении Ляпунова. Можно показать, что Для матрицы А с а > 0 справедливо

£Amin(Q)

" 2МIX^tP) " °

‘Иногда уравнение Ляпунова записывают в виде АР-А-РА^ = — Q (в частности, именно такая форма рассматривается в системе Matlab). Переход от одной формы записи к другой достигается переобозначением А —» Лт, и оба уравнения одновременно либо имеют, либо не имеют решения.

и, более того, выбором Q величину v можно сделать сколь угодно близкой к а.

Итак, теорема 3.1 дает условия устойчивости для невозмущенной системы, заданной в пространстве состояний. Ниже (п. 3.4) мы сформулируем частотные критерии устойчивости систем, описываемых с помощью передаточных функций. Этот параграф завершим изучением простейшей одномерной системы

P(s)y(t) = 0, у(О) = ао, у(0) = а!, ...,y<’,-,>(0)=Q„_i, (3.7) где P(s) — полином от оператора дифференцирования s = d/dt:

P(s) = sn + an_isn-1 + ... + ais + a0.

Эта система задана с помощью передаточной функции; сформулируем для нее определения и условия устойчивости, которые понадобятся нам в дальнейшем; при этом используем переход к описанию в пространстве состояний.

Назовем систему (3.7) устойчивой, если у W —♦ о, к = 0,1,..., п — 1, при t —♦ ОО ДЛЯ любых Q1,. . . , Qn.

Такая система, как мы уже видели, эквивалентна системе, записанной в пространстве состояний (п. 1.4):

х = Ах,х = Ах,х(0) = a =х(0) = a =«о сц«о сц

х = Ах,

х = Ах,

х(0) = a =

х(0) = a =

«о сц

«о сц

\ «п-1 /

X! = у х2 = уХп = у^"^X! = у х2 = уХп = у^"^/ О 1... О

X! = у х2 = у

Хп = у^"^

X! = у х2 = у

Хп = у^"^

00'*. о

1

\ —со —»i ...— an_i >

с помощью матрицы А в канонической (фробениусовой) форме. Характеристический полином такой матрицы совпадает с P(s), поэтому ее собственные значения — корни P(s). Таким образом, теорема 3.1 приводит к следующему результату.

Теорема 3.2. Для того, чтобы система (3.7) была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни полинома P(s) лежали в левой полуплоскости:

ReAt < 0, г = 1,...,п.

’Это условие эквивалентно y(i) —♦ 0 (см. решение уравнения (3.7)); мы подчеркиваем здесь стремление к нулю первых и производных, так как именно они выбираются в качестве состояний при эквивалентном описании системы в пространстве состояний.

Такие полиномы мы будем называть гурвицевыми или устойчивыми, равно как и соответствующие им системы (3.7). Теорему нетрудно доказать и непосредственно. Впрочем, мы это уже делали при доказательстве теоремы 3.1, опирающемся на приведение матрицы к фробениусовой форме.

Возмущенные системы

(3.8)(3.8)Используя результаты предыдущего параграфа, мы можем оценить и решения системы при наличии внешних возмущений:

(3.8)

(3.8)

х = Ае + и.

Теорема 33. Для того, чтобы решение x{t} системы (3.8) при а;(0) = О было ограниченным для всех ограниченных внешних возмущений u(t) (Щ01 ^ 1 ^ всех О» необходимо и достаточно, чтобы А была устойчива.

Доказательство. Необходимость. Пусть условие (3.2) ие выполнено: Re Ai ^ 0, Аву = Aiei, |ei| = 1 для некоторого собственного значения А и соответствующего собственного вектора. Если Ai вещественно, то возьмем iz(t) = ci, тогда

z(t)z(t)eXi(t-r)dT.ei = Х-\емeXi(t-r)dT.ei = Х-\ем— l)ei— l)ei

z(t)

z(t)

eXi(t-r)dT.ei = Х-\ем

eXi(t-r)dT.ei = Х-\ем

— l)ei

— l)ei

при Ai / 0, поэтому |з;(0| = |АХ Ч Ie*1* — 1| —> оо при t —* оо. Если же Ai = 0, то x(t) = ei Jq dr = tei, и вновь |х(0| —* оо при t —> оо.

Если Ai комплексно, Ai = 77 + jv, ei = g+э^ то уравнение движения на двумерной плоскости, порожденной векторами g н h, принимает вад

а = iyx + vp + Ji, а(0) = 0,

Р = —va + ?)P+f2, /3(0) = О,

где (см. доказательство необходимости в теореме 3.1) x(t) = a(t)g + P^h, а д(0 выбрано в виде д(0 = /i(0p + Mt^h. Теперь для р^ = о?^ + /32(0 имеем р = 2т?р 4- /ia 4- f^P. Выберем fi(f) = sign a(t), /г(0 — sign/3(0 (где sign 0 = 1), тогда p > 0 и р неограниченно возрастает, т.е. н в этом случае можно так выбрать (ограниченное) внешнее воздействие и^, что |ж(0| —* оо при t —♦ 00.

Достаточность. Как и в предыдущей теореме, доказательство достаточности проведем несколькими способами, использующими различные

идеи. Кроме того, мы будем рассматривать систему формально более общего вида, чем (3.8):

х = Ах 4- Ви(3.9)

н покажем, что устойчивость матрицы А достаточна для ограниченности решений такой системы.

Доказательство достаточности 1 (явный вид решения). В соответствии с формулой (1.3) при ж(0) = 0 имеем

t

Х^ = j e^'^Bu^dr.о

Поэтому, используя оценку для матричной экспоненты (3.4), получаем tt

HOI < У Цела"т)|| ||B||HT)|dr < С||В|| [c-t^dr < -СЦВЦ.ооа

(ЗЛО)

Этот же способ мы применяли (в одномерном случае) при выводе выражения для нормы оператора вход-выход (1.27).

Доказательство достаточности 2 (построение функции Ляпунова). Пусть, как и ранее, V(x) = хтРх, где Р > 0 — решение уравнения Ляпунова АТР + РА = -Q, Q > 0, и V = ^V(x(t)\ Тогда

V = (Ах + Ви)тРх 4- хтР(Ах 4- Вй) =

= — xTQx + итВтРх 4- хтРВи ^

^ — pV -t- -итВтРВи + ^хтРх, где д = Ат;п(У)/Атах(Р) > 0, а 7 > О произвольно. Здесь мы применили стандартный прием дополнения до полного квадрата:

итВтРх + хтРВи =

= - (-^Р'^Ви. - ^Р1^ (-LpV2Bu - ^/>'/2^ +\V7/ \V7/

+ -итВтРВи 4- 7жтРхС -г1ТВтРВи + ^хтРх

для любого 7 > 0. Продолжая полученное выше неравенство, имеем

У^-цУ+^вТрв^+чУ.

Выберем теперь 0 < 7 < д. Тогда для а = р- 7 > 0 и Р = -ЦБ РВ|| получаем

v(t) < —av(t) + Р, v(t) = V (x(f^.

Интегрируя это неравенство (с учетом v(0) = 0, v(t) ^ О), находим

v(t) ^|х(0|2 ^ —хтРх = — v(t) ^ —, m = AmiB(P)

ат т та

что и гарантирует ограниченность решения.

Итак, мы получили, что гураицевость матрицы А необходима и достаточна для того, чтобы решение невозмущенной системы стремилось к нулю при любом начальном приближении и чтобы решение возмущенной системы оставалось ограниченным для ограниченных возмущений. Первое свойство иногда называется устойчивостью по начальному приближению, второе — устойчивостью по входу. В западной литературе системы со вторым свойством называются BIBO (Bounded-Input, Bounded-Output, т. е. ограниченный вход-ограниченный выход). Мы еще раз убеждаемся, что для линейных стационарных систем все определения устойчивости эквивалентны.

Сопутствующие функции Matlab:

eig — нахождение собственных значений матрицы;

ехрю — матричная экспонента;

norm — вычисление матричных норм;

lyap (CST) — решение матричного уравнения Ляпунова (непрерывный случай);

jordan (SMT) — приведение матрицы к жордановой форме; canon (CST) — приведение матрицы к фробениусовой форме; sqrtm — вычисление квадратного корня от матрицы.

Устойчивость линейных дискретных систем

В простейшем случае уравнение невозмущениой открытой линейной системы имеет вид

(3.11)(3.11)хк = Ахк-1,

(3.11)

(3.11)

где хк € Кп, А — матрица п х п. Как н в непрерывном случае, эту систему будем называть устойчивой, если хк —» 0 при к —» оо для любого начального хо-

Напомним, что спектральным радиусом р(А) матрицы А называется максимум модуля ее собственных значений:

р(А) = max|AJ.

Теорема 3.4. Для устойчивости системы (3.11) необходимо и достав точно, чтобы все собственные значения Аг матрицы А принадлежали внутренности единичного круга:

р = р(А)<1.(3.1^

При этом для любого е > О, р + е < 1 существует такая константа С = С(А, е), что

kfc|<C|x0|(p + e)fc.(3.13)

Матрицу А, для которой выполняется (3.12), будем называть шуров-. ской (или просто устойчивой, когда из контекста ясно, что речь идет о; дискретной, а не непрерывной системе).

Доказательства Необходимость. Пусть р > 1, тогда найдется соб^ ствениое значение Ai с |Ai| ^ 1. Выбирая начальные условия xq ^ 0 ^ собственном подпространстве, отвечающем Ai (одномерном, если Ai ве-6 щественио, или двумерном, если Ai комплексно), получаем, что |аъ| ==t |Ai|*|xo|, т.е. |жк| /» 0 при к -♦ оо.л

Достаточность. Вновь, ввиду важности теоремы, приведем несколько доказательств достаточности условия (3.12).

Доказательство достаточности 1 (соотношение спектрального ради- уса и нормы). Известно (см. лемму П.4 из Приложения), чтот

М = Ит 1И*||1/\к—*оо

поэтому для любого £ > 0 и для всех достаточно больших к имеем |з*| = |Л*хо| < ||Л‘|| |хо| < (р + е)‘|хо|,

а следовательно, для всех к выполняется (3.13).

Доказательство достаточности 2 (оценка Ак"). Доказательство совершенно аналогично непрерывному случаю: если А диагонализируема, то существует невырожденная матрица Т такая, что А = Т-1ЛТ, где Л = diag (Ai,..., Ап). Имеем

И = |Л*^| = Р’-'Л'Тзд! $ ||7’-1|| ЦЛ*» ||7|| |хо| = = IlT’-'llp" 117’11 |х0|,

и. таким образом, оценка (3.13) справедлива с е = О, С = 117*11||7-1|| (ср. с непрерывной устойчивостью). В общем случае матрица приводится к блочной жордановой форме, и для одного блока J размерности I х I

имеемимеемС^Хк"хХкС^Хк"хХкclk"lxk-l+1clk"lxk-l+1Qa*-1ХкQa*-1Хк

имеем

имеем

С^Хк"хХк

С^Хк"хХк

clk"lxk-l+1

clk"lxk-l+1

Qa*-1

Хк

Qa*-1

Хк

с(|А| -оценкус(|А| -оценкугде С^1 = к^(тЦт — А)!) при т С к и С^ = 0 при т > к. Поэтому для любого £ из условий теоремы найдется такое С = С(Д,£), что ||Jfc|| ^

с(|А| -оценку

с(|А| -оценку

Не) . Оценивая норму блочно-диагональнои матрицы, получим того же типа.

Доказательство достаточности 3 (приведение к фробениусовой форме). Если матрица А имеет фробениусову форму

/

0 0

1 0

0 1

♦ ♦ *

0

0

А =

•

- е

•

-

•

0

1

—ао

-О1

• • ■

- Qn-2

С-п—1 /

то система (3.11) эквивалентна скалярному разностному уравнению п-го порядка

Ук + а-п-1Ук-1 +.. • + аоУк-п = 0, к^тц

С НачаЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ $/0 = ^ОЬ У1 = ^02, • - • * Уп-1 = ^On, W X(y — j-я компонента xq. Вспомнив введенный в n. 1.2 оператор z сдвига назад, перепишем уравнение в виде

Р^к = О, Р^ = 1 + an-iz +... + aizn-1 + aozn.

В простейшем случае, когда корни Xi полинома Р^ различны, его решение записывается как

Ук = ciX^k +... + СпА^*,

где постоянные с: находятся из начальных условий. Корни полинома Р^ ; J взаимно обратны собственным значениям матрицы А, поэтому, рассуждая ^ ; дальше так же, как в непрерывном случае;'получаем требуемое утвер- i ждение теоремы. Случай кратных корней анализируется, как для непрерывных систем. Наконец, для матрицы общего вида, если она циклическая, можно сделать замену переменных, приведя ее к фробениусовой форме.

Доказательство достаточности 4 (функция Ляпунова). Введем функцию Ляпунова V(a) = хтРх и обозначим и& = V(xk). Тогда

v*+i = х£+1Рхк+1 = хкАтРАхк.

Если выбрать Р > О как решение дискретного уравнения Ляпунова

АТРА — Р =—Q

с некоторой матрицей Q > 0 (положительно-определенное решение такого уравнения существует для устойчивой матрицы А, см. лемму П.19 из Приложения), то мы получим

Vfc+i = хк (Р — Q)xk — vk — xkQxk < vk — avk, a = ^"^ > 0,

T.e. vk < г>о(1 — a)k, или, продолжая,

W « Cko|9\ ^i/t^- 9=VT^<1.

Таким образом, |зй| убывает co скоростью геометрической прогрессии. Аналогично непрерывному случаю можно показать, что для дискретноустойчивой А справедливо

и, более того, выбором Q можно добиться сколь угодной близости величины q к р.

Сопутствующие функции Matlab:

diyap (CST) — решение матричного уравнения Ляпунова (дискретный случай).

Критерии устойчивости полиномов

Мы видели, что проверка устойчивости систем в пространстве состояний сводится к проверке расположения собственных значений матрицы А (или, что то же, корней ее характеристического полинома). Именно, устойчивость имеет место тогда и только тогда, когда Re А, < О, г = 1,...,п (в непрерывном случае) или |Аг| < 1, г = 1,...,п (в дискретном случае), где А, — собственные значения А. Точно так же для

устойчивости систем, заданных с помощью передаточных функций, аналогичные условия нужно проверять для корней характеристического полинома системы — знаменателя передаточной функции.

Разумеется, при огромных возможностях современной вычислительной техники и математического обеспечения проверка подобных условий не представляет никакой проблемы. Достаточно одной команды roots(P) ИЛИ eig(A) в системе MATLAB, чтобы вычислить (практически моментально для разумных значений тг) все корни полинома или собственные значения матрицы и тем самым проверить устойчивость. Тем не менее нам будут интересны другие критерии, не требующие вычисления корней или собственных значений. Дело в том, что матрица А или полином Р обычно не заданы численно, а зависят от параметров или содержат неопределенности. Например, даже если матрица А в системе х = Аг + Bit задана точно, а управление выбирается в виде обратной связи it = Кх, то матрица замкнутой системы Ас = А + В К зависит от параметров регулятора К. Поэтому нас может интересовать вопрос, при каких значениях параметров система устойчива.

Известно много различных критериев устойчивости. Рассмотрим прежде всего графические критерии, которые по поведению некоторых кривых (обычно называемых годографами) позволяют делать выводы об устойчивости полиномов.

Графические критерии

Пусть задан полином

P(s) = Go + O1S + ... 4- GnSn

с вещественными коэффициентами а^ причем ап > 0 (этого всегда можно добиться, так как P(s) и —P(s) имеют одинаковые корни). Рассмотрим его значение при мнимом значении аргумента s = jw:

P^jw) = ад — a^u)2 + аде*;4Ь jw^Qy — аз^2 + asw4 — ...) —

^U^+jwV^2^

где обозначено

U(t) = ao - a2t + a4t2 - ..., V(t) = ai - a^t + a5t2 - ...

Годографом функции Р(^) называется кривая, описываемая точкой z = PQu») на комплексной плоскости при изменении и от 0 до оо.

Теорема 3.5. Следующие условия эквивалентны:

Полином P(s) гурвицев.

Годограф P(ju)) проходит через п квадрантов последовательно, начиная с первого, не проходя через начало координат.

Аргумент годографа arg P(ju>) определен, монотонно возрастает и меняется от нуля до ivn/2,

Полиномы U(t) и V(t) имеют только положительные вещественные корни, которые перемежаются, т. е. найдутся 0 < ij < <2 < •• < tn_i такие, что U(ti) = U^t^ — ... = О, V(t2) = V(t^ = ... = 0, и, кроме того, U(0) > 0.

Условие 2 называется критерием Михайлова (а годограф РОо’) —11 годографом Михайлова), а условие 4 — критерием Эрмита-Билера. !

Доказательство. Прежде всего, исключим случай чисто мнимых корней полинома P(s), так как при этом arg P(ju)) не определен и графический критерий неприменим. Представим полином в виде

P(s) = an(s — Ai) - ■ • (s - А„);

тогда

P(jw) = «пО^ - Ai) - • • (jw - Ап), an > 0,

и поэтому

п

arg P^juj) = £ arg Q’u - Afc).

k=i

Отсюда при w = 0 получаем argP(O) = К=1 arg(—А*). Поскольку корни полинома с вещественными коэффициентами встречаются комплексно-сопряженными парами, то в случае гурвицевости Р(з) имеем arg Р(0) = 0 (или, иначе, во > 0).

Обозначим pk = arg (jw — А*) и рассмотрим случай, когда Afc вещественно. Если А* < 0, то рк монотонио-возрастает, а Ду& — приращение аргумента комплексного числа (Jlo — Afc) при изменении и? от 0 до оо — равно тг/2 (см. рис. 3.1, слева). Если же Afc > 0, то Ду^ = —тг/2.

Рис. 3.1. Приращение аргумента arg(ju; — А*) при изменении ш

Аналогично, если Хк — комплексное число, то найдется сопряженный корень А^. Обозначим рк = arg^'w — Afc) и ф*к = arg(/w — А^). Тогда

f\^k + △У’л — ^ ПРИ ReAfc < 0 и /Х^к + ^Vk = —1Г ПРИ ReAfc > О (рис. 3.1, справа). Таким образом, получаем, что если Р(з) не имеет чисто мнимых корней, то приращение аргумента Plj^ равно

7Г 7Г

△ arg P(ju)) = -тп--(п- mY(3.14)

где m — число корней с отрицательной вещественной частью (в дальнейшем будем называть такие корни устойчивыми). В частности, если т = п (полином гурвицев), то △ arg P{jw) = тгп/2, и arg Р(/ш) монотонно возрастает от нуля до тгп/2 с ростом ш от 0 до оо (как сумма монотонных функций). Обратно, если argPC/щ) определен при всех ш и монотонно возрастает от arg P^j 0) = 0 до arg P^j оо) = тгп/2, то полином Р(з) не имеет чисто мнимых корней, а из формулы (3.14) заключаем, что m = п. Таким образом, доказана эквивалентность условий 1 и 3.

Если P(s) гурвицев, то в силу условия 3 имеем △ arg P(jw) = тгп/2, т.е. argP(ju) монотонно меняется от argP(0) = argoo = 0 до тгп/2, поэтому годограф последовательно проходит через п квадрантов. Обратно, если P{j^) последовательно проходит через п квадрантов, то △ arg POw) ^ (п — 1)тг/2. Из формулы (3.14) (она применима, так как Pfjcj) не проходит через начало координат, т.е. Р(а) не имеет мнимых корней) следует, что т = п. Итак, условие 2 эквивалентно 1 и 3.

Наконец, условие 4 является просто алгебраической формулировкой . - условия 2: последовательное прохождение квадрантов эквивалентно по- / следовательному пересечению вещественной и мнимой осей, т. е. наличию / положительных перемежающихся корней у полиномов [/(<) и V(t\ При/ ! этом никаких других корней у этих полиномов нет, так как нетрудно со-/ J считать, что сумма степеней U(t) и V(t) равна п — 1 — числу пересечений с осями. Таким образом, теорема доказана полностью.

Рассмотрим несколько примеров.

Полином второй степени: P(s) = оо + ois -Ьогз2, 02 > 0.

Имеем

Р(зш^ = во — C.2U? + jayu), U(t) = qq— c^t, V(t) = oi; ty = 00/02-

Годограф Pljw) — парабола (см. рис. 3.2); условие того, что она проходит через квадранты I и II: ау > 0, 00/02 > 0, т.е. для п — 2 необходимое и достаточное условие устойчивости — положительность всех коэффициентов:

Оо > О, Oi > 0, 02 > 0.

Вообще, положительность коэффициентов является необходимым условием гурвицевости полинома — это так называемый критерий Сто- долы, который следует из представления

P(s) = а,, П (» Л‘) П Р - 2яКвАу + IM2)- °" > °-

A*€RAy EC

8080Рис. 3.2. Годограф Михайлова для устойчивого полинома второй степениРис. 3.2. Годограф Михайлова для устойчивого полинома второй степени

80

80

Рис. 3.2. Годограф Михайлова для устойчивого полинома второй степени

Рис. 3.2. Годограф Михайлова для устойчивого полинома второй степени

Глава 3. УСТОЙЧИВОСТЬ

и если Хк < 0, ReAj < 0, то все коэффициенты полинома положительны. При п > 2 положительность коэффициентов перестает быть достаточным условием устойчивости и требуется проверка дополнительных условий.

Полином третьей степени: P(s) = «о + ais +a2s2 +a3s3, аз > 0., Имеем,

PU^ = а0 - 0-2^? + jw(ai - a3w2),’

17(0 = а0 - a2t, V^ = ai - а3Ц.

tl = Со/а2, <2 = Cl/аз-з

Годограф устойчивого полинома изображен на рис. 3.3. Критерий Михайлова выполняется, если

а0 > 0, ai>0, 0 < ti = ao/a? < <2 = ai/a3.

Эти условия эквивалентны следующим:

со > 0, ai > 0, а2 > 0, аз > 0, aia2 > аоа3.

Таким образом, здесь к условию положительности коэффициентов добавляется еще одно условие

°ia2 > aoa3.

Полином четвертой степени: Р^ = a0 4-ais4-a2s2+a3s3+a4s4, ад > 0.

уз. Критерии устойчивости полиномов

Рис. 3.3. Годограф Михайлова для устойчивого полинома третьей степени

Имеем

P(jw) = о0 — О2^2 + a4u;4 + jw(ai — азы2),U(0 = ао - o2t + a4t2, ИО = °1 ~ °з<;

02 — V°2 — 4ао«4,°1,°2 + х/а2 — 4аоа4

= ,— ,13 —-

2а4аз2а4

Условие вещественности lt дает а|—4а4ао > 0, а условие 0 < ti < <2 < £3

выглядит так:

/ о ~2С1О4/ 2 х

-«2 — V°2 — 4а0°4 < < «2 + V °2 — 4аоа4.

Vаз*

Нетрудно проверить, что эти условия (вместе с а, > 0) равносильны следующим:

а* > 0, t = 0,. ..,4, 010203 > О0О3+О1О4.

Отметим, что критерий Эрмита-Билера дает возможность генерировать устойчивые полиномы. Именно, зададимся числами 0 < 11 < 1г < - - . < t„-i н Со > 0,С1 > 0, н построим полиномы

U(t) = co(t - ti) - (t - <з) . • -, ИО = с1^ - <2) • (< - <4) •...;

тогда полином P(s), определяемый условием

Pfaw) = t/(^2) + ^Иш2)э

будет гурвицевым. При этом мы не задаемся числом вещественных и комплексных корней, как пришлось бы делать, определяя P(s) через его корни.

33.2. Алгебраические критерии

Алгебраические критерии устойчивости формулируются в терминах коэффициентов полинома. В примерах предыдущего параграфа мы без труда выписали в явном виде необходимые и достаточные условия гурвнцевости полиномов степени п ^ 4; обычно нх называют условиями Рауса-Гурвица. Однако для более высоких степеней такой подход (основанный на критерии Эрмита-Билера) или громоздок, или нереализуем. Поэтому приведем другой способ проверки устойчивости.

Наряду с полиномом

P(s) = ansn + On-is"-1 + ... + q0, on > О,

рассмотрим полином

Q(s) = an-isn +an_3sn-2

и их линейную комбинацию

Pa(s) = P(s) 4- AQ(s) = (an 4- Aan-i)sn 4- an-isn 1 4-

+ (cn-2 + Aan_3)s” 2 4- an-3sn 3 4-...

Если выбрать A = —an/an-i, то соответствующий полином

P(s) - an_isn 1 4- ( an-2 - ~~an-3 ) sn 2 4- an_3sn 3 4- - -. (3.15)’

будет полиномом степени n — 1.

Лемма 3.1. Если an,an~i > 0 и полином P(s) устойчив, то и полином P(s) устойчив; в противном случае P(s) неустойчив.I'

Проведем доказательство для наглядности для п = 5 (в общем случ;

оно совершенно аналогично). Тогда для £ — ш2

Р^З^ = »о — С2^2 + а4Ш4 4- уЛах ~ °зы2 + <W4) = t/(t) 4- jcoVU^ Q(j<o) — juj^ao — a^u? 4- 04a;4) = jw (/(£),

Pk.3^ = PW - —QU^ =

04

= U(t) + jw^yw - ^t/(t)) = UW)+ju>VW.

Полином P(s) устойчив, поэтому по критерию Эрмита-Билера найдутся такие 0 < ti < t2 < t3, что U(ti) = V(t2) = Щ(з) = 0, и при

этом V(ti) > 0,1/(<г) < 0, V(t3) < 0. Следовательно, в силу равенств f/(t) = U(ty V(t) = V(t) + —UW имеем

04

U(t?) = 0, V(ti) = V(ti) > 0, U(t3) = 0, V(t3) = V(t3) < 0.

Полином V(t) меняет знак в интервале [ti,<з], поэтому существует точка t', ti < ^ < t3 такая, что V^) = 0. В этой точке 1ф2) < 0, так как U(t) отрицателен между своими двумя нулями ti,t3. Итак, 0 < ti < t2 < t3 являются перемежающимися нулями полиномов U^ и V(t). Более того, так как V(t3) < 0, a K(t) = «1 — а3<Ч-С5<2 —♦ +оо при t —юо (поскольку по предположению а^ > 0), то V(t) имеет еще один корень <4 > t3. Итак, мы нашли положительные перемежающиеся корни 0 < ti < t2 < t3 < 64 полиномов I7(t), V$y Вновь применяя критерий Эрмита-Билера, делаем вывод об устойчивости P(sy

Таким образом, задача проверки устойчивости полинома P(s) степени п свелась к проверке знаков а^Оп-! и к проверке устойчивости полинома P(s) степени п — 1. Продолжая последовательно этот процесс и вспоминая формулы пересчета коэффициентов полиномов при переходе от P(s) к Р(в), приходим к следующему критерию устойчивости.

Алгоритм Рауса

Полагаем bi = ап, Ьа = «п-ь • • •. &n+i = ^о, Ьп+г = О, к = п + 1.

Полагаем Л = —bi/b2 (если Ь2 = 0, то полином неустойчив), пересчитываем коэффициенты по формулам

&1 = Ь2, Ь2==Ь3 + ЛЬ4, Ь3 = Ьд, Ьд = Ьь + Абб, bs = b6, ..., Ьк=О, н полагаем к = к — 1.

Если к ^ 2, bi > О, Ь2 ^ 0, возвращаемся к пункту 2. Если к = 1 и bi > 0, то полином устойчив. В остальных случаях полином неустойчив.

Алгоритму Рауса часто придают табличную форму: коэффициенты bi,..., Ьп+г, полученные на первом шаге, записывают в первую строку таблицы. Каждая последующая строка содержит на один элемент меньше; она получается из предыдущей при помощи пересчета на основе леммы 3.1 (шаг 2 алгоритма). В результате получают треугольную таблицу Рауса, и для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы элементы первого столбца таблицы были положительны (условие bi > 0 на шаге 3). Существуют и иные, несколько более экономные схемы вычислений в алгоритме Рауса.

Покажем работу алгоритма на примерах, пользуясь непосредственно способом понижения степени (3.15) и леммой 3.1.

n = 3: P(s) = a3s3 4- 02 s2 4- «is + a0- Получаем

P(s) = G2S2 + ( ai — —ao ] s + ao-\«2/

Можно не проводить вычисления дальше и воспользоваться критерием гурвицевости полинома второй степени, заключающимся в неотрицательности его коэффициентов, т. е.

а3।

аг > 0, aiо0 > 0, оо > 0.::

02

Тем самым мы пришли к тем же условиям, что и с помощью критерия Михайлова.i;

п "= 4: P(s) = 04s4 + a3s3 + 02s2 + ajs 4- Go- Получаем;

P(s) = 03S3 4- f 02 — —01 ) s2 4- ois 4- Oo,\ °s /

и, пользуясь полученными выше условиями устойчивости при п = 3, при- ; ходим к условиям

а, > О, i = 0,...,4, oi ( 02 — — oi | > О3О0. ' \ «з / 1

Существует н много других алгебраических критериев устойчивости., Самый известный из них — это критерий Гурвица, формулируемый с; помощью детерминантов. Он, однако, гораздо менее удобен с вычислительной точки зрения, чем алгоритм Рауса, и мы на нем останавливаться: не будем.

Алгоритм Рауса также предоставляет возможность генерировать устойчивые полиномы. Именно, запишем произвольные положительные числа в первом столбце таблицы Рауса, а затем заполним ее всю, идя «обратным - ходом» по отношению к алгоритму Рауса. Тогда в первой строке окажутся коэффициенты устойчивого полинома.

333. Устойчивость дискретных полиномов

Приведем теперь аналоги этих же условий устойчивости для дискретных систем. Задан полином с вещественными коэффициентами

(3.16)(3.16)P^z) — «о 4- «iz 4-... 4- anzn. gq > 0;

(3.16)

(3.16)

нас интересует, когда он является устойчивым по Шуру, т.е. когда его корни находятся вне единичного круга. Аналогом критерия Михайлова является следующий критерий.

Теорема 3.6. Полином (3.16) шуровский тогда и только тогда, когда годограф Р^е3^^, 0 ^ ш ^ 2тг, не охватывает начала координат.

Действительно,P(z) = а„ П(г - А,), i=lДействительно,P(z) = а„ П(г - А,), i=lр^^п^-М,i=lр^^п^-М,i=l

Действительно,

P(z) = а„ П(г - А,), i=l

Действительно,

P(z) = а„ П(г - А,), i=l

р^^п^-М,i=l

р^^п^-М,i=l

и если А, находится вне единичного круга, то приращение аргумента (е^ — А») равно нулю, когда ^ш пробегает единичную окружность. Если же At лежит внутри единичного круга, то приращение аргумента (е^—Аг) равно 2тт; таким образом, годограф Р^^) охватывает начало координат к раз, если к — число неустойчивых корней P^z\

При пользовании графическими критериями удобство соглашения относительно корней устойчивого полинома (|zi| > 1) налицо: никакого труда не составляет определить по графику, охватывает лн кривая начало координат, в то время как посчитать число оборотов вокруг нуля бывает сложно или невозможно, например, если P(z) = zn. При иных подходах бывает проще проверить принадлежность корней внутренности единичного круга, |z3] < 1; для этого можно воспользоваться следующим соображением. При изменении порядка коэффициентов полинома на обратный, а^ —♦ Оп-ь к = 0,... ,п, его корни переходят во взаимно обратные: А, —» Аг1.

Приведем теперь аналог алгоритма Рауса для дискретного случая (называемый дискретным критерием Рауса-Шура). Наряду с полиномом Р^ рассмотрим полином с теми же коэффициентами, но записанными в обратном порядке:

Q^ = znP f = aozn + a1zn"1 + ... + an, a0 > 0, (3.17) \Z/

А = —on/ao-А = —on/ao-и возьмем их линейную комбинацию

А = —on/ao-

А = —on/ao-

P(z) = P(z) + AQ(z),

Полином P(z) будет иметь степень п — 1, т.е. на единицу меньше степени P(z). Утверждение, аналогичное лемме 3.1, заключается в следующем (приведем его без доказательства).

Лемма 3.2. Если oq>0, ао-(ап/ао)ап > 0 и полином Р^ устойчив, то и P(z) устойчив; в противном случае P(z) неустойчив.

Таким образом, рекуррентно понижая степень полинома, придем к полиному первой степени вида йо + «iz; он устойчив при |ao/ai| > 1. Тем самым получаем простой алгоритм проверки устойчивости дискретных полиномов. Известно и много других критериев устойчивости (Шура, Джури).

Если корни P(z) (3.16) лежат вие единичного круга, то P(z) не меняет знак для всех — 1 ^ z ^ 1. С учетом Р(0) = а0 > 0 это дает Р(1) > 0

и Р(—1) > 0. Приходим к следующим простым необходимым условия устойчивости:

о0 4- oi 4-... + ап > 0, Go — oi 4-... 4- (—1)пап > 0.(3.11

Отметим еще, что имеется также простое достаточное условие: п

£>|<|«о|;(3.19

1=1я

и дискретный полином P(z), удовлетворяющий этому условию, иазыва ется сверхустойчивым. Мы обсудим понятие сверхустойчивости ниже, 1 п. 3.6.ч

Приведем пример:

P(z) = 02Z2 4- aiz 4- о0, Q(z) = a0z2 4- «iz 4- 02, oo > 0,

л

Q^ = UH^jVH;д

U^w) = Go cos 2u 4-a 1 cos a; 4-02;

K(w) = Go sin 2a; 4-ai sinu.

Устойчивость P(z) эквивалентна расположению нулей Q(z) внутри ед^ ничного круга, т. е. годограф Q^^ должен совершить два оборота во^ круг начала координат. Это, в свою очередь, эквивалентно последовав тельному прохождению четырех квадрантов при изменении ш от 0 до 7Г (поскольку QC^j.O ^ о; ^ тг и Q^^Y-k ^ ш ^ 2тг симметричны относительно вещественной оси). Кории V(u;): ич = 0; шз определяется условием COSW3 = —gi/2g0, поэтому должно быть jai| < 2go (так кшГ Go > 0); W5 = 7Г. Корни 17(ш) и V(w) перемежаются, т.е. у t7(w) име-, ЮГСЯ корни О>2 н 0)4 ТЭКИС, ЧТО 0)1 < О?2 < 0)3 < U)4 < О)5. ПОСКОЛЬКУ^ t7(a;i) = &о 4-ai 4-аг > 0 (см. (3.18)), то Е7(ыз) должно быть отрицательно: аг-По < 0, а Щи^ = Go — oi 4- 02 > 0. Анализ условий нд' знаки V(ш) в корнях U(ш) показывает, что дополнительных ограничений ■ на коэффициенты не добавляется, поэтому, собирая вместе полученные выше ограничения, приходим к следующим необходимым и достаточным условиям устойчивости P(z):

Оо 4- О1 4- 02 > 0, Go — О1 4- 02 > 0, Go — 02 > 0.

Те же условия получаем, понижая степень на основе леммы 3.2.

Генерировать устойчивые полиномы можно как иа основе леммы 3.2 (применяя ее «в обратном направлении», т.е. повышая степень полиномов), так и пользуясь следующей параметризацией.

Лемма 3.3. Любой устойчивый полином Р^ степени п с Р(0) = 1 может быть получен с помощью рекуррентной процедуры

РоИ = 1, Pk+^z) = Pk^+t^P^z"^,

|tk|^l, fc = O,...,n-l.

Числа tk иногда называют параметрами Фама-Медича. Таким образом, каждой точке единичного куба в Rn ставится во взаимно однозначное соответствие устойчивый полином.

Таким образом, мы нашли графические н алгебраические критерии устойчивости (гурвицевой н шуровской) для полиномов. Следующим естественным шагом было бы установление таких же критериев для матриц, т. е. способов проверки требуемого расположения собственных значений матрицы без их явного вычисления. К сожалению, такие методы отсутствуют. Единственный известный подход — для заданной матрицы Л построить ее характеристический полином P(s) = det (s/—Л) (для этого существуют эффективные алгоритмы — они совпадают с методами приведения матриц к фробениусовой форме), а затем применить критерии устойчивости полиномов.

Сопутствующие функции Matlab:

poly — вычисление коэффициентов полинома по его корням; roots — нахождение корней полинома;

angle — вычисление аргумента комплексного числа;

rss, drss (CST) — случайное генерирование устойчивой системы в пространстве состояний (непрерывный и дискретный случаи).

Частотные критерии устойчивости замкнутых систем

Пусть теперь описание системы задано не в пространстве состояний, а с помощью передаточных функций. Как в этих терминах проверить устойчивость, не вычисляя явно характеристический полином? Начнем со случая одномерных систем. Пусть передаточная функция объекта (либо объекта совместно с регулятором) в непрерывной системе имеет вид

G(s) =

А^ В^У

где Л(в),В(в) — взаимно простые полиномы степеней т и п соответственно, причем т ^ п (т. е. выполняется условие реализуемости). Объект замкнут единичной обратной связью (рис. 3.4); тогда передаточная функция замкнутой системы равна

(3.20)(3.20). G(s) Л(в)14- G(s) Л(в) 4- B^s) ‘

(3.20)

(3.20)

Таким образом, характеристический полином равен P(s) = A(s) + B(s) и в случае, если А и В заданы явно, проверка его устойчивости не вьь зывает проблем. Одиако во многих случаях нам доступна лишь частотная

Рис. 3.4, Отрицательная единичная обратная связь

характеристика разомкнутой системы, т.е. функция G(ja/) (вспомним,' что во многих практических задачах именно частотная характеристика доступна измерению, см. главу 1). Точка G(ju/) при изменении си от Q до оо описывает некоторую кривую на комплексной плоскости, которая называется годографом Найквиста. Задача заключается в том, чтобы, по поведению этой кривой сделать выводы об устойчивости замкнутой системы, т.е. о гурвицевости P(s). Ее простое решение дается нижеследующим критерием Найквиста.

Теорема 3.7. Пусть передаточная функция G(s) разомкнутой системы имеет р неустойчивых полюсов и п — р устойчивых и не имеет мнимых полюсов. Тогда замкнутая система (3.20) устойчива, если и только если G(jto) не проходит через точку —1м делает вокруг нее p/'Z оборотов против часовой стрелки.

Доказательство. Для замкнутой системы

P(jcu) = АЦсд) + B(ju) = B(ju))^G(ju)') 4-1),

поэтому при изменении и от 0 до ос

△ arg P(jw) = △ arg B(jw) + △ arg (G^jw) + 1).

По условию 3 теоремы 3.5 полином P(s) устойчив тогда и только тогда, когда Д arg P(jw) = тгп/2, P(jcu) + 0. В силу предположений о передаточной функции G(s) имеем B(jw) / 0 и AargB(jw) = ъп!‘1 — -пр (см. формулу (3.14)). Таким образом, должно быть G(jw) + 1 / 0 и Д arg (G(jw) + 1) = -пр. Это н означает, что G(jco) делает р/2 оборотов вокруг точки —1. При этом подразумевается, что 1/2 оборота — это приращение аргумента на тг.

Заметим, что при о, = 0 имеем G(jw) = ao/bo, а при ю = оо имеем G^j^ = ап/Ьп, если m = п, и G(jw) = 0, если т < п, т.е. годограф G(jw) начинается и заканчивается на вещественной оси.

В частности, если B(s) — устойчивый полином, то критерий Найквиста принимает простейший вид: годограф G(jw) не должен охватывать точку —1.

В связи с годографом Найквиста введем понятия, широко употребляемые в инженерной практике (см. рис. 3.5).

Рис. 3.5. Годограф Найквиста. Запасы устойчивости по амплитуде и по фазе

Запасом устойчивости по амплитуде L называется величина, обратная расстоянию от нуля до ближайшего к критической^точке^17пересе- чения годографа с отрицательной вещественной полуосью.

Запасом устойчивости по фазе у называется угол между отрицательной вещественной полуосью и той точкой, в которой |G(jo,)| = 1.

Ясно, что чем больше эти величины, тем дальше годограф от точки —1, поэтому они могут служить некоторой мерой устойчивости. Напомним, что частоту среза ыс> вля которой |G(jcu)| = 1, мы уже ввели в п. 1.4 прн рассмотрении логарифмической амплитудной характеристики. Таким образом, запас устойчивости по фазе — это значение у^с) + тг.

При рассмотрении проблем устойчивости систем, заданных передаточными функциями, надо иметь в виду одно обстоятельство, связанное с возможным сокращением нулей и полюсов, т. е. наличием общих корней у числителя и знаменателя передаточной функции. Рассмотрим, например, последовательное соединение объекта с передаточной функцией

°w = ^т

Н регулятора

Поступая формально, вычисляем передаточную функцию

Ж,),^,^),^-^^.

С^) -^ СИ —С^) -^ СИ —н эта передаточная функция устойчива (единственный полюс — 1 лежит левой полуплоскости). Однако соответствующие дифференциальные ура нения имеют вид

С^) -^ СИ —

С^) -^ СИ —

u = C^w, у = G(s)u, у = W(s)w, й + и = w - w, у -у = и.

откуда, подставляя и в первое уравнение, получаем

у — у = w — ги.

Такое дифференциальное уравнение даже при нулевом входе w — 0 (т.е. У — У — 0) неустойчиво. Действительно, его решение y(t) = сге1 + c2e-t. Ci = (у(0) + у(0))/2, с2 = (у(0) - у(0))/2 растет с ростом t при скол> угодно малом у(0) = е, у(0) = 0. Аналогичным образом даже при нулевых начальных условиях при малых w = е решение возрастает. Это противоречие возникло вследствие сокращения неустойчивого корня я = 1. Таким образом, мы приходим к важному выводу: сокращение общих неустойчивых нулей и полюсов передаточной функции недопустимо. В то же время выводы об устойчивости передаточной функции, имеющей общие устойчивые нули н полюса, можно делать и после сокращения этих множителей.

Перейдем теперь к случаю многомерных систем. Как мы видели в п. 1.2, передаточная функция системы

(3.21)(3.21)ж = Аг + Ви, У = Ci

(3.21)

(3.21)

имеет вид

Н^ = CksI - АГ1 в =

где ^(s) — матрица, все элементы которой являются полиномами от в, а P(s) = det (si—А) — характеристический полином матрицы А, т.е. Р(я) является общим знаменателем всех элементов В(я). Если задана лишь матрица H(s\ а не реализация в пространстве состояний (3.21), то критерий устойчивости звучит так:

Теорема 3.8. Система с матричной передаточной функцией Н (я) устойчива тогда и только тогда, когда полюса H(s) лежат в левой полуплоскости.

Эта теорема есть обобщение теоремы 3.2 на многомерный случай. Напомним, что в п. 1.2 такие матричные передаточные функции мы назвали устойчивыми.

Многомерный аналог критерия Найквиста отвечает следующей задаче. Задана матричная передаточная функция G(s) открытой системы; будет Лн устойчива замкнутая система, получающаяся путем введения единичной обратной связи? Возникающая конфигурация показана на рис. 3.6

Рис. 3.6. Многомерная система, замкнутая единичной обратной связью

(двойные линии отвечают векторным сигналам). Передаточная функция от входа и к выходу у вычисляется так:

u —у = е, у — Ge, у = (7 + G)-lGu = Ни.

Таким образом,

Я-^ + СУ^С,(3.22)

н нас интересует устойчивость этой передаточной функции. Рассмотрим годограф

дкз^ = det ^7 + G(jw^, 0 < to < 00,

н пусть р — число неустойчивых полюсов G(s).

Теорема 3.9. Для устойчивости замкнутой системы рис. 3.6 необходимо и достаточно, чтобы годограф g(jw) не проходил через точку 0 и делал вокруг нее рр оборотов против часовой стрелки.

Доказательство этой теоремы достаточно сложно, и мы его опускаем. Покажем лишь, что в одномерном случае теорема 3.9 совпадает с обычным критерием Найквиста. В самом деле, тогда G(juf) 6 С и g(ju)) = 1 + G(jw), т.е. g(jw) — сдвинутый на единицу вправо годограф G(jw). Поэтому точка (—1, 0) в теореме 3.7 заменяется на точку (0, 0) в теореме 3.9.

Проблема устойчивости многомерных систем, заданных передаточными функциями, имеет некоторые особенности по сравнению с одномерным случаем. Например, для системы, изображенной на рис. 2.3, мы имели несколько передаточных функций (от входа к выходу, от входа к ошибке и т.д.), однако все они одновременно были или устойчивы, или неустойчивы. В многомерном случае это может быть не так. Кроме того, вопрос о сокращении нулей и полюсов матричной передаточной функции

отнюдь не прост, так как само понятие нуля такой функции может бь определено различными способами.

Напомним, что мы обозначили через RH^ пространство матричн функций, все элементы которых — вещественные дробио-рациональн реализуемые функции с устойчивыми знаменателями. Открытая систс с матричной передаточной функцией H^s) является устойчивой то; н только тогда, когда Н^ € RH^. Чтобы сформулировать услог устойчивости замкнутых систем, рассмотрим конфигурацию на рис. З.7

Рис. 3.7. Конфигурация, порождающая четыре матричных передаточных функции

где G(s) и K(s) — матричные передаточные функции объекта и регулятора, a ei, е2, Wi, i^2 — векторные сигналы ошибок и входов. Заметим, что здесь мы используем положительную обратную связь1 и изменили1 обозначение для регулятора. Имеем1

Ci = Wj + Кв2,

е2 = w2 + Gei,

откуда получаем четыре передаточных функции (от w, к е3, i,j =1,2)

Ц-KGp1, ^I-KGyxK, Ц-СК^С, (I-GKV- (323)

Принято говорить, что система на рис. 3.7 внутренне устойчива, если все функции (3.23) принадлежат RH^, а конфигурация корректна, т.е, матрица

I - K(oo)G(oo)(3.24)

обратима.

Конфигурация рнс. 3.7 может быть удобно нитериретирована в терминах реализации передаточных функций (см. п. 1.2). Пусть реализации

Переход к отрицательной обратной связи производится изменением знака регулятора с соответствующими изменениями знака в передаточных функциях.

объекта н регулятора имеют вид

К =К =ВDВD

К =

К =

В

D

В

D

Тогда, обозначая через хих векторы состояний для G и К, имеем

х = Ax + Bei,в2 = Ca; + Dei+w2;

ж = Ах+Вег,d — Сх + Ье2 4-wi,

н для всех передаточных функций могут быть найдены их реализации. Например,

ААGK = ОGK = ОВС А DC |ВС А DC |BDВDDBDВDD

А

А

GK = О

GK = О

ВС А DC |

ВС А DC |

BDВ

DD

BDВ

DD

Поскольку G(oo) = D, К {со) = D, то в терминах реализаций условие корректности приобретает вид det (/ — DD) ^ 0.

Сопутствующие функции MATLAB:

margin, allmargins (CST) — вычисление запасов устойчивости по амплитуде и по фазе и частоты среза;

nyquist (CST) — построение годографа Найквиста.

Множества достижимости для устойчивых систем

Мы видели, что устойчивые системы являются устойчивыми по входу (BlBO-устойчивымн), т. е. их состояния (и выходы) ограничены при ограниченных входах. В этом параграфе мы дадим более точное описание достижимого множества (т. е. всего множества возможных состояний системы) для входов, ограниченных в норме L2 или Loo* такое описание нам неоднократно понадобится в будущем при решении задач оптимального управления.

£2-норма

Начнем с непрерывной системы со входами, о|раниченнымн в L^ норме:

(3.(3.z = Ax + Bu, 7(0) = О, xeR", u6tRm,

(3.

(3.

IMli = J u\t)u(t)dt С 1-о

Функция w(t) интерпретируется как внешнее возмущение, однако можно считать ее н управлением. Условие ж(0) = 0 не является ограничительным, поскольку при ж(0) ^ 0 решение ж(<) представляется в виде х^ = ел<ж(0) + x0(t\ где 70(t) — решение при нулевых начальных условиях.

Множество

8£П = |^(Т): x(t) есть решение (3.25) при некотором и, |]и||2 ^ 1} ‘ называется множеством достижимости в момент Т > 0, а нх объединение для всех Т > 01

S = и S(T)

7^0

— просто множеством достижимости.

Теорема 3.10. Пусть пара (Л, В) управляема, тогда S^T) — эллипсоид

S(T) - {к : x^W^m» 5 1},

где матрица И£(Т) > 0 имеет вид (2.4)

тWC(T) = У еАтВВтеА ^dr.о

Если А устойчива, то S — эллипсоид

В = |ж : xTW-1x ^ 1},

где W > 0 — грамиан управляемости

ОО

W = j eATBBTeATrdT3(3.26)

О

т. е. решение уравнения Ляпунова

AW + WAT = -ВВТ.(3.27)

Доказательство уже по существу было получено в п. 2.1 при обосновании теоремы 2.1 об управляемости. Действительно, там было показано, что Ж (Т) > 0 и что управление (2.6)

и^ = BreAT(T-^W-4T)a

переводит точку ж(0) = 0 в точку ж(Т) = о. Если при этом a G S(T\ то, доопределив и(<) на всей полуоси: n(t) = 0 при t > Т, получим

ОО

HOHi = j uT(t)u(t)dt =

О

т

= j (атф-ЧТ)еА<т-*)ВВтеА^=

О

= ^W^-^TJa ^ 1,(3.28)

т.е. такое управление является допустимым. С другой стороны, там же мы убедились, что приведенное выше управление минимизирует Крите- ОО

рнй / uT(f)ii(t)dt; отсюда и нз (3.28) следует, что если a ^ S(T), т.е. о

ОО

а1Р^Г1(Т)а > 1, то не существует управления с JwT(t)u(t)dt ^ 1, о

переводящего ж(0) = 0 в ж(Т) = а. Наконец, если А устойчива, то И{(Т) —♦ W > 0 при Т —* оо, где W дается формулой (3.26) или, эквивалентно, является решением уравнения Ляпунова (3.27) (см. Приложение, п. 9.1).

Таким образом, достижимое множество для устойчивых систем с ограниченным в Lt управлением (или внешним возмущением) имеет очень простой вид — оно является эллипсоидом. Очевидно, что если нас интересует выходная величина

У = Сх,

то достижимое множество выходов

Y = {y(t), 0 ^ t < 00}

также является эллипсоидом

У={9: 9T(CWCT)-*y<l}

(здесь CWC1 > 0, если С — матрица полного ранга). В частности, в системе с одним выходом у = стх, с Е Rn, множество Y — отрезок

96 Глава 3. УСТОЙЧИВОСТИ

В дальнейшем (см. главу 5) нас будет интересовать синтез управленияд обеспечивающего минимум выхода при тех или иных допустимых возмуЯ щениях. В частности, оценка (3.29) показывает, что в системах с ограни» чениыми в 7^2 возмущениями величина cTWc может служить в качестве® критерия оптимальности при выборе обратной связи.Я

Аналогичный результат верен и для дискретных систем. ПустьЯ

хк = Ахк_х + Buk-i, х0 = О, хк€Мп, ик € Rm,

00(3.30)1

iiM?=52«z^ ^ 1.I

к=0i

Через Sk обозначим множество всех достижимых значений хк, а через 1 S — их объединение, т.е. множество всех точек, которые могут быть I достигнуты нз начала координат с помощью допустимых управлений и. |

Теорема 3.11. Если пара (А, В) управляема, то Sk при к > п — J эллипсоид:

fc—1

Sk = {ж : ^Wf^ ^ 1}, Wk = ^A'BB4XrVi Юп,

1=0

а если А -устойчива, то S — эллипсоид

S=<z: xTW ^^ik

где

W = £ А'ВВГ(АТ)\

2=0

т. е. решение дискретного уравнения Ляпунова

AWAT -W = -ВВТ.

Доказательство проводится по той же схеме, что и выше, с использованием результатов п. 2.1, относящихся к дискретным системам.

Loo-норма

Опишем теперь достижимое множество для управлений (или возмущений), ограниченных не в Т^-норме, а в Loo-норме. В этом случае картина оказывается более сложной. Для задачи

(3.31)(3.31)х = Ах + Ви, ||ц||оо = sup^uT(t)u(t)^ ^ 1

(3.31)

(3.31)

сохраним те же обозначения S(T),S для достижимого множества. Дадим характеризацию этих множеств с помощью опорной функции. Напомним, что для множества X С К” и вектора с G К” опорной функцией называется

fx(c) = тахсгх.

хЕХ

Замкнутое ограниченное выпуклое множество однозначно восстанавлива- ется по опорной функции (т.е. по <рх^с) для всех |с| = 1). Именно, X = {ж : стж ^ ^х^сУ Н — 1} — пересечение опорных полупространств. В нашем случае замкнутость и выпуклость S^T) и S очевидна; множество S(T) всегда ограниченное, а множество S ограничено при предположении об устойчивости системы (см. п. 3.1).

Поскольку

тх^ = j e^-^BuWr,О

то

ттооВТеЛТ(т-г)с dT =ВТеЛТ(т-г)с dT == max j стеА^т ^Ви^йт™о

т

т

о

о

ВТеЛТ(т-г)с dT =

ВТеЛТ(т-г)с dT =

1\в^е\<1т, О

а при устойчивой А

ОО

<Ps(c)<Ps(c)= У [вЛ'^фт-.

<Ps(c)

<Ps(c)

О

Множества S(T) н S, вообще говоря, не эллипсоиды, но это центрально-симметричные выпуклые множества, и их удобно аппроксимировать эллипсоидами. Рассмотрим случай устойчивой системы и назовем эллипсоид

£ = {я : xTQx ^ 11

с центром в нуле и матрицей Q > 0 инвариантным эллипсоидом, если из ж(0) 6 8 следует, что х^ е 8 для всех t > 0, где х^ удовлетворяет системе х = Ах + Ви, ж(0) € f, uT(t)u^ ^ 1. Опишем такие эллипсоиды, содержащие все достижимые точки, а затем выделим в некотором смысле «минимальные» из них.

Введем

V^x) = xTQx;

4. Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков

тогда

У (ж) = <Ax*Bu)TQx+zTQ(Ax+Bu) = xT(ATQ4-QA)z+2uTBTQil

Если будет У(ж) ^ О для всех ж таких, что У(ж) > 1, uT(t)u(t) < 1, тЯ траектории системы ж = Ах 4- Ви не смогут выйти из эллипсоида, ибЯ на его границе V^z) ^ 0. т.е. траектории направлены внутрь Е. Итак, будет инвариантным эллипсоидом, если нз неравенствЛ

zTQx > 1, ити ^1Л

следуетД

жт(Дтд + QA^x + lu^Qx ^ 0.1

В соответствии с S-теоремой (теорема П.2 из Приложения), условия коЛ торой выполнены, необходимым и достаточным условием справедливостнЯ этой системы неравенств является существование таких а ^ Р > 0, что Ж

x^(ArQ + QA^x + axTQx — Ри^и 4- 2uTBTQx ^ 0* ^

для всех ж, и. Иначе говоря,

(

ATQ + QA -baQ QB \ I <0.

BTQ -pi I

По лемме Шура (лемма П. 1 из Приложения) это эквивалентно неравенству

ATQ + QA+aQ+ P"XQBBTQ ^ 0, Р > 0.

Умножая слева н справа на Р = Q-1, получаем

РАТ +АР+аР + Р"ХВВТ ^ 0.(3.32)

Итак, если для каких-то а > Р > 0 нам удастся найти матрицу Р > О, ' удовлетворяющую линейному матричному неравенству (3.32), то эллипсоид

Е = {ж : жтР-1ж ^ 1}

будет инвариантным. Обратно, все инвариантные эллипсоиды являются решениями (3.32) при некоторых а ^ Р > 0. Заметим, что нас интересуют «минимальные» эллипсоиды (т. е. среди матриц вида рР, удовлетворяющих (3.32), нас интересуют матрицы с минимальным р\ Поэтому следует взять максимально возможное Р, оно равно а. Более того, в (3.32) неравенство можно заменить на равенство (лемма П.15). Среди таких эллипсоидов можно выбрать эллипсоид с минимальным следом trP (или

trCPC*T, если мы имеем дело с выходом у — Сх\ Итак, мы пришли к следующему утверждению.

Теорема 3.12. Пусть матрица Л устойчива, пара (Л, В) управляема, а С — матрица полного ранга. Тогда множество достижимых y(t} в системе

х = Ах 4- Ви, у = Сх,х = Ах 4- Ви, у = Сх,®(0) = О, ити < 1, 0 <5 t < оо,

х = Ах 4- Ви, у = Сх,

х = Ах 4- Ви, у = Сх,

содержится в эллипсоиде 8 = {у: y^CPCf^ гу ^ 1}, где Р — Р(а), а> 0, — решение уравнения Ляпунова

ЛР + РЛТ+аР + о-1ВВт = О, Р>0.

Более того, решая однопараметрическую задачу минимизации nnntr СР(а)С\

получаем эллипсоид, обладающий минимальным следом среди всех эллипсоидов, содержащих достижимое множество по выходу.

Случай дискретной системы анализируется практически так же. Пусть Xk = Axk-i +В«|с-ь жо = 0, Хк 6 К”, ик е Мт,

ttkitkCl. к = 0,1,...

Тогда для достижимых множеств Sk,S возможно описание с помощью опорной функции:

/с—1сю

^(с) = 53|вт(ЛтуС|, <ps(c) = ^|вт(ЛтУс|,8=0*=0

но они (как и для непрерывных задач) не являются эллипсоидами. Инвариантный эллипсоид

8 = {ж: xTP-vx С 1},содержащий достижимое множество S для устойчивой А, описываетсялинейным матричным неравенством

-АРАТ - Р + —— ВВТ 4 0

QI1 — Q

прн о* < о < 1, о* = р2(Л), а мниимальный эллипсоид находится путем решения задачи

min trP(o),

о-<о<1

где Р(а) — решение дискретного уравнения Ляпуноваj

1т1-г1

-АРАТ - Р + -ВВТ = 0.

а1 — о

3.53. Интегральные оценки1

Рассмотрим несколько иную постановку задачи о достижимости. Вернемся к системе (3.25):

х = Ах + Ви, г(0) = 0, |№^1,(3.33)

> но будем интересоваться ие множеством значений х^ в момент t, а интегральной характеристикой системы:

ОО

J = j xTRxdi1о

где R > 0 — некоторая матрица. В частности, при R = I этот показатель совпадает с Ьг-нормой решения:

ОО

J = j хт xdt = ЦжЦг-о

Нас интересует, какие значения может принимать J для решений системы (3.33) при всевозможных ||u||2 < 1. Ясно, что Jmin = 0 при и = 0 (тогда х = 0), поэтому важно найти Jmax — максимальное значение J.

Теорема 3.13. Пусть А устойчива, пара (А, В) управляема и при некотором 7 > 0 уравнение Риккати

АТР + РА + —РВВ^Р + Л = 0(3.34)

72

имеет решение Р > 0. Тогда

■'шах <; Г -

Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму

V (з?) = хТРх

с некоторым Р > 0, и пусть для каких-то т > 0 и и, Н^Цг ^ 1. на решениях системы (3.33) выполнено

V^ ^ -x^Rx + 72utu.(3.35)

Тогда, инте1рируя это неравенство от 0 до Т, с учетом того, что V(я(0)) = О, получим тт

V^x^T^ ^ — J xTRxdt + y2 J uTudt.оо

Поскольку У^Т)) > 0, то, переходя к пределу при Т —♦ оо (что возможно в силу устойчивости Л), получим

J — J xlRxdt ^l1 J uTudt ^ ч2-оо

Таким образом, число т2 дает верхнюю оцевку J. Покажем теперь, как удовлетворить неравенству (3.35). На решениях (3.33) имеем

У (ж) = (Лж 4- Ви)т Рх + хтР(Ах + Ви),

поэтому (3.35) принимает вид

хт(АтР + РА 4- R^x + хтРВи + иг ВтРх — 72uTu ^ 0.

Оно будет заведомо выполнено, если мы потребуем его выполнения для любых пар х, и, а не только тех, которые являются решением (3.33), т. е. если

(

АТР + РА+ R РВ \

I ^ 0.(3.36)

ВТР —у21 /

Иначе говоря, если линейное матричное неравенство (3.36) имеет решение Р > 0, то J ^ 72. В свою очередь, (3.36) эквивалентно в силу леммы Шура (лемма ПЛ из Приложения) квадратичному матричному неравенству

АТР + РА + ^РВВТР + R 0,

которое имеет решение Р > 0, если уравнение Риккати (3.34) имеет решение Р > 0.

Можно показать, что таким образом получается точная (а не завышенная) оценка Jmax, т.е. что существует такое u, ЦиЦг ^ 1, что

Jmax = min {72 : уравнение (3.34) имеет решение Р > 0}.

Алгоритм подбора такого минимального 7 легко построить, последовательно проверяя существование положительно-определенного решения уравнения (3.34) при различных 7.

Отметим, что величинаg

d max ||у||2’

Il“ll2^i:

для выхода у = Сх системы (3.33) в соответствии с (1.34) равна Hoq^ норме передаточной функции:j

max ||у||2 = НЯ^Иоо=||C(s7 - Л^ВН»,,4

11412^1

поэтомувычисленная выше величинаJmaxравна)

Jm.x = l|W(S)||t

для С = В1/2 (поскольку J = ||?/||2, У = П^2х\ Иначе говоря, приведенный способ позволяет вычислять Н^-норму передаточной функций линейной системы.

Сопутствующие функции MatlaB:

f easp (LMIC) — решение линейных матричных неравенств общего вида; lyap, diyap (CST) — решение уравнения Ляпунова в непрерывном и дискретном времени;

сате, dare (CST) — решение уравнения Риккати (непрерывный и дискретный случаи);

sqrtm — вычисление квадратного корня от матрицы.

Сверхустойчивость

Устойчивость — асимптотическое свойство; оценки (3.3), (3.13), (ЗЛО), справедливые для всех моментов времени, включают некоторую константу С, которяя может быть весьма велика. В таком случае иа начальном участке траектории может наблюдаться эффект «всплеска» — резкого роста траектории. Мы увидим впоследствии, что такие явления часто возникают при стабилизации системы. Чтобы их избежать, выделим класс «сверхустойчивых» систем, для которых норма решения монотонно убывает. Кроме того, преимущество такого перехода к более узкому классу систем заключается в том, что сверхустойчивость сохраняется и для нестационарных систем, а также при наличии нестационарных и нелинейных возмущений. Наконец, в главах 4, 5 и 7, где будут рассмотрены вопросы стабилизации по выходу, подавления ограниченных возмущений и робастной устойчивости при матричной неопределенности, мы покажем, что для сверхустойчивых систем эти задачи допускают простое решение методами линейного программирования.

Подчеркнем особо, что всюду в этом параграфе используем оо-норму для векторов.

Сверхустойчивость линейных стационарных систем

(3.37)(3.37)Матрица А = ((ati)) 6 К"*” непрерывной системы х = Ах + Ви

(3.37)

(3.37)

называется сверхустойчивой, если у нее иа диагонали стоят отрицательные числа и они по абсолютной величине превосходят сумму модулей недиагональных членов по строке:

тт^-о,. - 52kvl) = "W = ° > °-(3 38>

Такне матрицы, как нетрудно показать, являются устойчивыми (т.е. max,{Re А,} < 0, где А, —собственные значения Л), но не наоборот. На-

(

—15 \

) является устойчивой (Ai = Аг = —1),

но не сверхустойчивой (ст = —4). Систему (3.37) со сверхустойчивой матрицей А также будем называть сверхустойчивой.

Теорема 3.14. Если система (3.37) сверхустойчива, то

при u(t) = 0 справедлива оценка

1^(01 ^ МОЛе-^;(3.39)

при sup]u(t)| ^ 1 и любом начальном |т(0)| ^ 7 = 11^||i jo имеем t^o

для всех t ^ 0

k(t)| ^ 7-(3.40)

Доказательство. Покажем, что для сверхустойчивой А

||еЛ‘И1 < e""*.

Для малых t = 5t справедливо еА 6t ~ /+A 5t, т. е. для матрицы М = еА 61 с элементами ту имеем

mti « 1 + att 6t > 0,

mt3 « Qij 5t,

так что

||M||i = max521^। ®max(|l+a„ft|4-^52la«9 =

131i^

= n>aX(l + (a„ + £|a4|)6t) < l-»« $ e-'6'.

Поэтому для произвольного t = N St, St мало, справедливо

||ел'||1 = Ие^61 И, ^ ||елй||^ $ (е^')" = е""1.

Отсюда, используя явные формулы для решения (3.1) и (3.9), получ; оценки теоремы.

Свойство а) — это устойчивость системы по начальному прибли иию. Из (3.39) следует, что у сверхустойчивой системы существует фу ция Ляпунова, не являющаяся квадратичной, именно:

v^ = н.

Такая функция растет линейно по любому направлению: У (Аж) = АУ (я) для любого х и любого А ^ 0; оиа является кусочно-линейной и иедиф^ ференцируемой. В то же время у нее есть свойства и обычных функций Ляпунова: У (ж) > 0, причем У (ж) = 0 только для х = 0, оиа выпукла й растет на бесконечности. Функция v(t) = У(ж(<)), пае ж(<) — решений системы ж = Ах, ж(0) = жо, монотонно убывает; она, вообще говоря, не^ дифференцируема, ио у нее существует левая и правая производные tu (t), ii+(t), причем

ч)- С —аг), v+ С —аг).

Это может быть показано так же, как в доказательстве теоремы 3.14.

Важно отметить, что отличие от просто устойчивых систем заключается в том, что для устойчивых матриц оценка (3.39) заменяется на (3.3):

|ж({)| ^ СХЛ^^О^е-"*, 0 < v < min {—Re Ai},

где константа C^A,v^ может быть весьма большой. При этом норма х^ не убывает монотонно с ростом t, а может возрастать при малых t. Например, для той же матрицы А = ^ р _^ ^ ПРИ ^Ф) = (1; 1)Т будет ж(1) ев (2,207; 0,368)т, т.е. |ж(1)| возрастает более чем вдвое по сравнению с |ж(0)| (см. подробнее в п. 4.3). Для сверхустойчивых систем иет этого нежелательного эффекта всплеска иа начальном участке траектории.

Свойство б) — это устойчивость системы по входу (В1ВО-устойч- вость). При этом куб {ж 6 Rn : |ж| ^ ||B|[i/<t} называется инвариантным множеством для (3.37), т. е. траектории, начинающиеся в этом множестве, остаются в нем при всех допустимых возмущениях и.

Изложенное относилось к непрерывному случаю, однако аналогичное понятие вводится и для дискретных систем. Матрица А = ((ay)) е RnXn дискретной системы

хк = Ахк-1 + Вик_г

(3.41)

называется ^дискретно^ сверхустойчивой, если

<?=!№<!-

Как н в непрерывном случае, такие матрицы устойчивы (т.е. р(Л) = max, [Аг(Л)| < 1), ио не наоборот.

Аналог теоремы 3.14 для дискретных сверхустойчивых систем дается следующим результатом.

Теорема 3.15. Пусть система (3.41) сверхустойчива. Тогда

если Uk = 0, то для любого k > 1

к*| ^ ^koli(3.42)

если |uk| ^ 1 для всех к> 1, то при ко| ^ 7 = l|S||i/(l — у) будет

|хк|^7, к = 1,2,...(3.43)

Доказательство. Утверждение а) следует из того, что для любого к > 1 |xfc| ^ ||Л||1|гк_1| = 9k*-i|.

В случае б) имеем для любого к > 1

|х*| ^ ||Л||1|тк_1| + ||B||i|uk_if < 9k*-i|+ЦВЦ1,

и если |а:к-1| ^ 11^111/(1 — я\ то из последнего неравенства получаем

М ^ е^ + ЦВЬ = 7,

откуда по индукции приходим к (3.43).

Как и для непрерывного времени, полученные оценки говорят о монотонности убывания нормы решения сверхустойчивой системы и наличии инвариантного множества — куба {г G R” : |я| < ||B||i/(l — ||Л||1)}.

Выше отмечалось (конец п. 3.3), что эффективных методов проверки устойчивости матриц не существует. В то же время проверен сверхустойчивости матриц не вызывает никаких проблем, так как эти условия формулируются непосредственно в терминах элементов матрицы, а не ее собственных значений.

Нестационарные системы и другие вопросы сверхустойчивости

В отличие от устойчивости, сверхустойчивость сохраняется и в нестационарном случае, а также при наличии нестационарных и нелинейных возмущений. Рассмотрим более общую систему, чем (3.41):

Xfc+1 = Ак$к + fk(^k),

где матрицы Ак могут зависеть от времени, а возмущения Jk^Xk) — и времени к, и от состояния.

Теорема 3.16. Пусть для всех к выполнено

1Ил||1^г<1, |А(хк)| <a + ^|xfc|, ^^р<\-т.

Тогда

при а = О справедливо

kfc|<9*|«ob q = T + p<l, к = 1,2,...;

при а > 0 и |зсо | ^ 7 = а/(1 — у) справедливо

|^fe| ^ 71^ — 1,2,...

Доказательство дословно повторяет доказательство теоремы 3.15.

Важно отметить, что для устойчивых систем аналогичная теорема неверна; в частности, для них не выполняется свойство а): решения системы Жк+i = Ак$к могут не стремиться к нулю, даже если все матрицы Ак

(

О 2 \

q q L Ai = Аз = "" = ( 2 0 ) * Т01Ж при т° = (0; ^Т бУдет Х2к = (0; 22*)т -> со, хотя все матрицы Ак устойчивы, р(Ак^ = 0.

Непрерывным аналогом теоремы 3.16 служит следующий результат.

Теорема 3.17. Пусть для всех t > О система

х^ = А^х^ + /(t, x(t)) удовлетворяет условию

<т(Л(<)) ^ а > 0, |/(t,х)| ^ а + /3]х(<)|, 0 ^ р < а.

Тогда

при а = О справедлива оценка

k(t)| ^e-^-ffl'I^O)!, О^Коо,

при а > 0 для любого |ar(O)| С 7 = аК° ~ ^) выполняется |^(<)| ^7» О С t < оо.

Рассмотрим некоторые дополнительные свойства сверхустойчивых систем.

Спектральные свойства. Сверхустойчивые матрицы образуют подмножество устойчивых матриц. Накладывает ли сверхустойчивость какие- либо ограничения иа расположение собственных значений?

Лемма 3.4. Если матрица А е Rnx” непрерывной системы сверхустойчива, то ее собственные значения лежат в секторе

S„ = {А Е С : | arg А - яК (1 - п-*)я/2}.

В частности, при п = 2 собственные значения лежат в прямом угле, биссектриса которого совпадает с отрицательной полуосью;

Аг 6 82 = {А = u + jv : и < 0, — и > |о|},

а при росте п сектор стремится к полной левой полуплоскости.

Если же матрица А дискретно сверхустойчива, то при п = 2 ее собственные значения принадлежат ромбу

Агетг2 = {АеС: |A|i < 1},

(т.е. |uj| + |rj < 1, А, = Ui +jViY, при n > 2 характеризация расположения собственных значений более сложна.

Устойчивость инвариантна относительно линейного преобразования координат (так как А и ТАТ-1 имеют одни и те же собственные значения). Напротиа, поскольку сверхустойчивость формулируется в терминах элементов матрицы, а не ее собственных значений, то это свойство может теряться или, что важнее, приобретаться при переходе к другой системе координат. Одна из простейших ситуаций, когда устойчивая матрица становится сверхустойчивой в новых координатах, описывается следующей леммой.

Лемма 3.5. Пусть матрица А е R"x” дискретной системы имеет различные собственные значения, которые принадлежат ромбу 'R-2- Тогда невырожденным вещественным линейным преобразованием координат она может быть сделана сверхустойчивой.

Доказательство. Согласно лемме П.9 (см. Приложение) матрица А вещественно подобна блочно-диагональной матрице (П.6) с 2 х 2 вещественными блоками I U1 V’ ) и 1 х 1 блоками Aj 6 R. Поскольку V -«г «г /

|A,| < 1 ДЛЯ Аг е R И |ua|+|vj| < 1 для А» = Ui+jVi 6 с, то это и означает (дискретную) сверхустойчивость матрицы А в новых координатах.

Совершенно аналогичный результат справедлив в непрерывном случае, но вместо ромба 7£2 фигурирует сектор 82-

Сверхустойчивость одномерных систем. Рассмотрим одномерный аналог сверхустойчивости. Пусть вместо многомерной дискретной

системы (3.41) задана скалярная система, описываемая разностным иением n-го порядка:

Хк = Р1Хк-1 +р2$к-2 + . - - +РпХк-п + Uk,(3.44)

где Хк е R1, ик Е R1. Вводя оператор сдвига zarjc = ®*-1, приходим к записи

Р^Хк = Uk, Р^ = 1 - pXZ - p^Z2 -...- Рп^,

и система устойчива (т.е. Хк —* 0 при любых начальных условия^ х _П1х _„+!,... ,х_! и Uk = 0), если полином Р^ устойчив, т.е. его корни лежат вне единичного круга.

Скажем, что полином P(z) сверхустойчив» если

52 |р<! < 1.(3.45)

1=1

Вспомним, что в п. 3.3.3 это условие приводилось как достаточное условие устойчивости дискретного полинома. Для одномерных систем со сверхустойчивым Р^ имеют место результаты, аналогичные теоремам 3.15 и 3.16.

Теорема 3.18. Пусть задана скалярная система

Р^хк = G^uk,

где G^ = gxz + ... + g^z™, а полином Р^ = 1 + pyz + ... + pnz” сверхустойчив. Тогда

при Uk = 0 справедлива оценка

l*fcK (11^) - Illi) тю fol» к = 0,1,...;

при |u*;| ^ 1, к = 0,1,..., и любых начальных |яг_п| ^ 7,..., |ж-1| ^ 7, где

. l№)lli

7 1 - ||P(z) - Щ, *

будет

l^fcl ^ 7» * = 0,1,...

Отметим, что стандартный переход от скалярной системы (3.44) n-го порядка к эквивалентной записи в пространстве состояний (т.е. к канонической управляемой форме) не приводит к сверхустойчивой матрице.

Открытым остается вопрос об одномерном аналоге сверхустойчивости для непрерывных систем. По-видимому, ие существует никакого разумного варианта сверхустойчивого полинома, корни которого должны лежать в левой полуплоскости.

Точность оценок. Еще одна проблема связана с тем, насколько завышены оценки, полученные в теоремах 3.14, 3.15, которые дают лишь верхние границы для соответствующих величин. Не вполне ясно, сколь сильно они отличаются от истинных значений. Нетрудно построить примеры, показывающие, что разница может быть очень велика. Например, для Л — ^ q q ^ , kl < 1> яъ+1 = Ла?к, будет т^ = О, Л > 2 при любом хо, тогда как (3.42) дает |х*| ^ |д|к|яо|- Однако для этой же матрицы в неоднородной системе Xk+i = Ахк + w*. jw*] С 1, из (3.43) следует |xk| ^ VO ~ MX тогда как sup|arfc| = 1 + |g|, т.е. разница не столь драматически велика, если |д| не слишком близко к 1. Численное моделирование (генерировались сверхустойчивые случайно распределенные матрицы, и для них вычислялись оценки (3.43) и supfc |т^|) показало, что отношение составляет 1,53; 2,51; 3,41 и 4,32 при п = 2; 5; 10 и 20 соответственно.

Сопутствующие функции Matlab:

cdf2rdf — приведение матрицы к вещественной блочио-диагональной форме (П.б).

Выводы

Непрерывная система, заданнвя в пространстве состояний

х — Ах + и,

называется устойчивой, если x(t) —♦ 0 при t —♦ оо для любого ж(0) при и = 0. При наличии внешнего входа и система называется устойчивой, если х^ остается ограниченным при любом ограниченном входе u(t) (BIBO-устойчивость). Необходимое и достаточное условие устойчивости системы: Не\(Л) < 0 (матрица А [урвицева). При этом если и = 0, то для всякого 0 < v < и ± min {—Re А,} существует такое С = C^A,v\ что

М01 С ОД0)|е”и,

т.е. имеет место экспоненциальная скорость стремления x(t) к нулю; если же возмущение u(t) ограничено для всех t, то гурвицевость А достаточна для ограниченности решений х = Ах + Ви (теоремы 3.1 и 3.3). Величина а = а^А^ называется степенью устойчивости системы.

В дискретном случае устойчивость определяется так же, как и в непрерывном: хк —* 0 при к —♦ оо для любого х^. Необходимое и достаточное

условие устойчивости: р(А) = тах|А,(А)| < 1 (матрица Л — шуро^ ская или дискретно-устойчивая). При этом для любого £ > О, р + е < i существует такое С = С(А,е), чтоя

к*1 ^С|ю|(р + £)к,i

т.е. стремление к нулю происходит со скоростью геометрической про^ грессии (теорема 3.4).^

Устойчивость линейной системы эквивалентна существованию квадра^ тнчной функции Ляпунова вида V = хт Рх, Р > 0, которая положительна и монотонно убывает на решениях x(t) системы.

Полином называется гурвицевым (устойчивость в непрерывном времени), если Re А, < 0 для всех его корней, и шуровским (устойчивость 1 дискретном времени), если |А<| > 1.<

Графические критерии позволяют делать выводы об устойчивости полинома Р(-) по поведению годографа PU^ в непрерывном случае (критерий Михайлова) и Pfe^) в дискретном случае.

Алгебраические критерии устойчивости формулируются в терминах коэффициентов полиномов. Алгоритмы проверки устойчивости основаны на понижении степени полинома: в непрерывном случае — это алго- ритм Рауса, лемма 3.1; в дискретном случае — алгоритм Рауса-Шура, лемма 3.2.

При описании в частотной области выводы об устойчивости замкнутой системы можно делать по поведению годографа передаточной функции разомкнутой системы. Критерий Найквиста (теорема 3.7) дает необходимые и достаточные условия устойчивости одномерной системы, замкнутой единичной обратной связью.

При анализе устойчивости систем, заданных передаточными функциями, не допускается сокращение общих неустойчивых нулей и полюсов.

В многомерном случае система, заданная матричной передаточной функцией, устойчива тогда и только тогда, когда ее полюса лежат в левой полуплоскости; иными словами, когда оиа принадлежит RHoo (поскольку рассматриваются лишь реализуемые передаточные функции). Если матричная передаточная функция разомкнутой системы равна G(s), то согласно многомерному аналогу критерия Найквиста (теорема 3.9) устойчивость замкнутой системы с передаточной функцией H(s') = (7 + G)-IG определяется по поведению годографа g^jw) = det (7 4- G^jw^.

Устойчивость многомерных замкнутых систем формулируют как внутреннюю устойчивость; при этом обычно используют конфигурацию на рис. 3.7. В такой системе присутствуют четыре передаточных функции

<I-KGV\ U-GK^G, V-KG^K, Ц-СКУ\

где G(s) и К^ — матричные передаточные функции объекта и регулятора. Говорят, что система внутренне устойчива, если все четыре

функции принадлежат RH^, а конфигурация корректна, т.е. матрица / — K(oo)G(oo) обратима.

Множеством достижимости системы

х = Ах 4- Ви, У = Сх

называется множество S C R" ее возможных состояний для всех входных сигналов, ограниченных в какой-либо норме. Для устойчивых систем множества достижимости ограничены и допускают простое описание.

В случае Ьг-иормы (||u||2 С 1) множество достижимости — эллипсоид, списываемый теоремой ЗЛО: если Л устойчива и пара (Л, В) управляема,

x: xTW 1x

где W > 0 — решение уравнения Ляпунова AW + WAT = —ВВТ. При этом достижимое множество выходов

У = ^(t) = Сх^ 0 ^ t < оо}

также является эллипсоидом

У= {у: yT(CWCT)-‘y ^ 1}.

Аналогичный результат верен и для дискретных систем, с той лишь разницей, что матрица W, задающая эллипсоид достижимости, является решением дискретного уравнения Ляпунова AWAT+BBT = W. В системе с одним выходом (у — стх) множество Y — отрезок |у| ^ ^IVc)1/2, поэтому величина cTWc может служить показателем качества управления (при минимизации выхода) при выборе обратной связи в системах с возмущениями, ограниченными в Z-2-норме.

ООJ = j xTRxdt,огде R > 0 — некоторая матрица. При R = I этот показатель совпадает с Ьг-нормой решения: J — ||ir|||, поэтому величина J характеризует «размер» множества достижимости, и нас интересует Jmax — максимальное значение J. Ответ дается теоремой 3.13: если Л устойчива, пара (Л, В) управляема и при некотором у > 0 уравнение РиккатнАТР + РА + ^РВВГР + Л = ОООJ = j xTRxdt,огде R > 0 — некоторая матрица. При R = I этот показатель совпадает с Ьг-нормой решения: J — ||ir|||, поэтому величина J характеризует «размер» множества достижимости, и нас интересует Jmax — максимальное значение J. Ответ дается теоремой 3.13: если Л устойчива, пара (Л, В) управляема и при некотором у > 0 уравнение РиккатнАТР + РА + ^РВВГР + Л = ОВ случае Ьг-нормы можно интересоваться не множеством значений, а интегральной оценкой:

ОО

J = j xTRxdt,о

где R > 0 — некоторая матрица. При R = I этот показатель совпадает с Ьг-нормой решения: J — ||ir|||, поэтому величина J характеризует «размер» множества достижимости, и нас интересует Jmax — максимальное значение J. Ответ дается теоремой 3.13: если Л устойчива, пара (Л, В) управляема и при некотором у > 0 уравнение Риккатн

АТР + РА + ^РВВГР + Л = О

ОО

J = j xTRxdt,о

где R > 0 — некоторая матрица. При R = I этот показатель совпадает с Ьг-нормой решения: J — ||ir|||, поэтому величина J характеризует «размер» множества достижимости, и нас интересует Jmax — максимальное значение J. Ответ дается теоремой 3.13: если Л устойчива, пара (Л, В) управляема и при некотором у > 0 уравнение Риккатн

АТР + РА + ^РВВГР + Л = О

имеет решение Р > 0, то Jmax ^ 72 (причем эта оценка — точная, т. е. суЯ шествует такое ||u||2 С 1» что Jmax = min{72 : уравнение Риккати имее! решение Р > 0}). Последовательно проверяя существование положитель- но-определеииого решения уравнения Риккатн при различных 7, находим минимально допустимое 7 и «истинное» Jmax. С помощью та-'j кого алгоритма вычисляется Н^-норма передаточной функции Н^ =’. С (si — Л)-1 В системы с выходом у = Сх при С = Л1/2.

В случае Loo-нормы (||п||оо ^ 1) множество S не является эллипсоид дом, но может быть хорошо аппроксимировано эллипсоидом (поскольку: оио оказывается выпуклым и центрально-симметричным). Пусть Л устой-; чива; тогда

8 = {г: xTQx ^ 1 }

называется инвариантным эллипсоидом, если из х(0) е 8 следует, что х^ 6 8 для всех t > 0, где x^f) — решение системы при ||u||oo $ L Если Л устойчива, пара (Л, В) управляема, а пара (Л, С) наблюдаема, то теорема 3.12 дает описание минимального инвариантного эллипсоида (в смысле следа матрицы, его задающего), содержащею множество достижимых выходов системы.

Матрица Л = ((а^)) € Rnxn непрерывной системы называется! сверхустойчивой, если

а,, < 0, min^—а,, — ^1°у|) == ^ > О,

при этом и саму систему называем сверхустойчивой. В сверхустойчивой системе х = Ах + Ви при отсутствии возмущений (и = 0) справедлива оценка

|401оо С |a:(0)|ooe-<,t,

а при наличии ограниченных возмущений ||u||oo ^ 1 — оценка

|z(t)|„ ^ 1||В||1 при №)]«,< 1||вц,аа

(теорема 3.14). Сверхустойчивость представляет собой простые достаточные условия устойчивости, выделяющие класс систем, для которых норма решения х^ монотонно убывает — в отличие от просто устойчивых систем, для которых норма убывает в асимптотике, а при малых t возможен всплеск (резкий рост траектории).

Аналогичными свойствами обладает и дискретная система, матрица Л = ((ay)) которой дискретно сверхустойчива, т.е. для которой ||Л||1 < 1 (теорема 3.15). Для дискретного случая имеется одномерный аналог

изизВыводы

из

из

сверхустойчивости, именно, полином Р^ = pnzn + ... + p\Z 4- Ро называется сверхустойчивым, если 52”-11Рг1 < IPok ПРИ этом Д™ скалярной системы, заданной разностным уравнением, соответствующим полиному P^z\ аналогичные результаты даются теоремой 3.18.

Если в нестационарной системе i(t) = Л(()к(<) матрица Л(() сверхустойчива при любом фиксированном I, то система сверхустойчива, теорема 3.17 (этот вывод совершенно неверен применительно к устойчивости).

Поскольку сверхустойчивость формулируемая в терминах элементов матриц, то она неинвариантна относительно преобразования координат, т. е. может теряться или, наоборот, приобретаться в новых координатах.

S

■ Ui

.4

Глава 4t

СТАБИЛИЗАЦИЯ'

z

В предыдущей главе обсуждалось важнейшее понятие устойчивости линейных систем. Однако открытая система может быть неустойчивой; тогда можно пытаться добиться устойчивости замкнутой системы путей введения обратной связи. Различные способы подобной стабилизации исследуются в настоящей главе.

Стабилизация с помощью регуляторов низкого порядка

Пусть одномерный объект записывается с помощью передаточной * функции

G(s) ^ -—-г, X(s) = G04-ais+.. .+amsm, B(s) = Ьо+М+-. .+Mn, '

771 ^ П.

Мы хотим замкнуть систему с помощью регулятора (см. рис. 4.1)

(1 о^

так, чтобы замкнутая система была устойчивой. Как мы знаем, характеристический полином имеет вид

P(s) = A(s)^(s) + B^D^Y

Таким образом, нужно выбрать полиномы N(s) и D^s) так, чтобы P(s) был гурвицевым. В такой постановке мы исследуем задачу в п. 4.2, а сейчас рассмотрим ситуации, когда C(s) имеет простейший вид и зависит от одного-двух параметров.

Рис. 4.1. Стабилизирующий регулятор

П-регулятор

Наиболее элементарным представляется случай, когда C(s) — пропорциональный регулятор (П-регуляторУ С^ — к и выбору подлежит коэффициент усиления к > 0. Характеристический полином имеет вид

P(s) = B(s)+M(s),

н его корни являются функциями от к (при к = 0 они совпадают с корнями B(s), а при к = оо — с корнями Л(а)). Можно исследовать поведение этих корней 1рафически; такой метод называется методом корневого годографа. Одиако в двух важных частных задачах решение находится проще.

Устойчивый объект (полином В^ устойчив). Тогда разомкнутая система устойчива и в принципе нет нужды во введении обратной связи. Однако в ряде задач обратная связь вводится для других целей; более того, важно иметь как можно более высокий коэффициент усиления. Характеристический полином Р^ = В^ + kA(s) устойчив при малых к (поскольку B^s) устойчив); вопрос заключается в том, каково критическое значение &крит, при котором происходит потеря устойчивости. Ответ на него немедленно следует из критерия Найквиста. Действительно, там мы рассматривали объект с передаточной функцией G^ и единичную обратную связь, а вышеприведенная задача эквивалентна объекту с передаточной функцией kG^s) и также единичной обратной связью. Вспоминая формулировку критерия Найквиста для устойчивого объекта и проводя «масштабирование» вещественной оси, получаем критерий устойчивости.

Теорема 4.1. Объект с устойчивой передаточной функцией G(s) и коэффициентом усиления к в цепи обратной связи устойчив тогда и только тогда, когда годограф Найквиста G^u?) не охватывает точки -1/*.

Таким образом, один и тот же годограф решает вопрос об устойчивости для любых значений к. Более того, немедленно решается и задача о максимальном ккрит:

^крит

где к — точка самого левого пересечения G^u?) с отрицательной вещественной полуосью (рис. 4.2, слева). Это объясняет термин «запас по амплитуде», введенный в гл. 3.

Отметим, что в некоторых случаях — если G^jw) не пересекается с отрицательной полуосью — ккрит = со (рис. 4.2, справа), т.е. возможны сколь угодно большие коэффициенты усиления, сохраняющие устойчивость замкнутой системы.

Рис. 4.3. Последовательное в цепи обратной связиРис. 4.3. Последовательное в цепи обратной связисоединение звеньев первого порядка с П-регуляторомсоединение звеньев первого порядка с П-регулятором

Рис. 4.3. Последовательное в цепи обратной связи

Рис. 4.3. Последовательное в цепи обратной связи

соединение звеньев первого порядка с П-регулятором

соединение звеньев первого порядка с П-регулятором

Пример 4.1. Рассмотрим цепочку п одинаковых звеньев первого порядка с передаточной функцией W(s) = 1/(1 +Ts), Г > О, соединенных обратной связью с П-регулятором (рис. 4.3).

Тогда передаточная функция разомкнутой системы (см. правило (1.16) для последовательного соединения) равна

G^ = (1+Т^'

Полином B(s) = (1 + Ts^ очевидно устойчив (все его корни равны -1/Т<0)и

С^ = (1+Т»п = ^’

z = 1 + Tjw, |z| = VT+T^lj^, tp = arctgTw,

т.е.

G0w) = (1 + TV) n/2(cosny> — j sin ny>).

Точки пересечения годографа с вещественной осью отвечают значениям ф, для которых sinn^ = 0, т. е. пу = /тг, гае 1 = 0, ±1,... При этом Re G(jw) для таких точек равно ifl-f-T2^2)-"^2. Нас интересуют точки с отрицательной вещественной частью и та из них, для которой —ReG(jw) максимальна; при п > 2 оиа соответствует I = 1. Тогда <р — тг/п, arctgТефрит = тг/п, TwKpHT = tgTr/n, т.е. к = -(1 + Т2о>2рит)-п/2 = -(1 + tg27r/n)-Tl/2 = — (со8тг/п)п. Окончательно получаем значение максимального коэффициента усиления

^крит = 7 - Ч Х-, П> 2.(4.1)

Р (С08Тг/п)п

Нетрудно проверить, что при п = 1,2 замкнутая система устойчива при любом к > О (действительно, характеристический полином P(s) = (1 + TsY1 + к при n = 1,2 и любом к > 0 гурвицев). Например, при п = 3 нз формулы (4.1) получаем ккрит = 1/(0,5)3 = 8; это же следует из критерия устойчивости для кубического полинома Р^ = (1 + Те)3 + к : 973 > (1 + к)Т3, и к < 8.

Минимально-фазовый объект. Так называется объект, для которого полином Л($) устойчив, ат > 0. Как и ранее, характеристический полином равен

P(s) = В^ + кА^ = к (Л(5) + eBteft , е = 1/к,(4.2)

поэтому P(s) устойчив тогаа и только тогда, когда

Ре(8)=Л(5)+£Р(б)

устойчив. На первый взгляд ситуация аналогична рассмотренной выше — A^s) устойчив, и можно ожидать, что при 0 С £ < £крит сохраняется устойчивость. Однако в действительности такой вывод, вообще говоря, не верен. Дело в том, что m — степень полинома А — может быть меньше п — степени В, и даже при малых £ > 0 устойчивость может теряться. Более точный результат учитывает этот эффект. Построим обратный годограф Найквиста

Я0ш) =* 0 w < оо.

Он всюду определен, так как Л(«) устойчив, и потому A^jw") ^ 0 при любом ш. Найдем и>* из условия

Im H(jiv) = О, Re H(jiv) < О, Re H{jtJ) —* max

Г 4Г 4(т. е. найдем корни щг уравнения Im Htju) - 0 и среди иих найдем тс для которого Re H^jw') отрицательно и наиболее близко к нулю) и пол жим v = —Re/fOo/*) (если такого ш* нет, v = 0).

Г 4

Г 4

Теорема 4.2. Пусть выполнено любое из условий

п = т,

1.<1.<n = т + 1, Ьп > 0,

1

.<

1

.<

71 — 771 4" 2, Ь^ > 0, 6„-1 > 0, О.тЬг1—\ > O-m—Y^n- Тогда при 0 ^ £ < £криг = и (т. е. при к ^ \jv) замкнутая система (4. устойчива. В остальных случаях полином Pets) неустойчив при малых е.

Доказательство. При п = т доказательство остается таким же, как у для устойчивою случая, лишь А и В меняются ролями.

При n = m + 1 покажем, что полином

Pets') = Д(в) + eB^s) = а0 + ebo +... 4- (on_! + Ebn_i)sn-1 4 Ebnsn

устойчив при малых е > 0, если Ьп > 0. В самом деле, понижая степень Pets') с помощью леммы 3.1, приходим к полиному степени п — 1, коэффициенты которого лишь членами порядка е отличаются от коэффициент тов Д(в) и который, следовательно, устойчив в силу устойчивости Д(д).

Для n = m + 2 имеем

Pets') = а0 + еЬ0 4-... + (Дп-2 + fb„-2)sn~2 + ebn-is"'1 + ebnsn.

Понижая степень P£(s) с помощью леммы 3.1, приходим к полиному степени п — 1, у которого старший коэффициент равен еЬп_ь следующий равен ап-2 4-еЬп_2 — ■ п (а„_3 4-еЬп_з) , и оба они по условиям по-

LOn—1J

ложительны (второй — в силу малости е). Вновь применяя лемму 3.1 и пользуясь алгоритмом Рауса, получаем, что последующие элементы первого столбца таблицы Рауса для полинома Л(б) 4- eBts) отличаются от соответствующих элементов таблицы Рауса для Л(в) лишь членами порядка е, т.е. положительны для малых е в силу устойчивости Л(в). Отсюда следует утверждение теоремы в случае в). Более того, если в случаях б) или в) соответствующие неравенства не выполнены, то коэффициенты Pets') имеют разные знаки (например, при n = m + 1, bn $ 0, старший коэффициент равен еЬп ^ 0, а младший а0 + еЬо > 0) и потому Pets') неустойчив по критерию Стодолы (см. п. 3.3).

Наконец, при n > m + 2 полином Pets) имеет т корней, близких к корням Л(в) (и потому лежащих в левой полуплоскости) и n — m ^ 3 корней, уходящих в бесконечность при е —♦ 0 под равными углами. Такие корни не могут все оставаться в левой полуплоскости, поэтому при n — m ^ 3 устойчивости при малых £ ие может быть.

Таким образом, в двух случаях можно заведомо стабилизировать систему с помощью П-регулятора: для устойчивых объектов (с помощью

малого коэффициента усиления) и для минимально-фазовых объектов (с помощью большого коэффициента усиления).

D-разбиение

Стабилизировать объект с помощью П-регулятора можно лишь в редких случаях; как правило, приходится прибегать к помощи регуляторов более сложной структуры. Простейшим из них является пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор)'.

C<s^ki^k2/s.(4.3)

Иногда рассматривают и другие аналогичные формы регуляторов, например,

C(s) = -А. с^ = гАг-

s + к21 4- к2в

н т.д. Важно, что они зависят лишь от даух параметров /сь к2, поэтому и характеристический полином будет зависеть линейно от этих же двух параметров:

P^s, к) = Ро^ + kiP^s) + k2P2(s), к =(ki; к2\(4.4)

Например, для ПИ-регулятора (4.3) будет Po(s) = S(s)s, Pi(s) = Л(в)в, Р2^ = Л(з). Оказывается, для характеристического полинома вида (4.4) можно указать области иа двумерной плоскости {Л1, к2), в которых он будет обладать заданным количеством корней в левой и правой полуплоскости (и, в частности, область, отвечающая всем корням в левой полуплоскости, соответствует устойчивой системе). Этот метод называется D-разбиением плоскости параметров; его идея заключается в следующем. Пусть при каком-либо значении к степень полинома P(s, /с) равна п и он имеет m ^ п корней в левой полуплоскости и п — т корней — в правой. Как при изменении к может измениться расположение корней? Ясно, что это может произойти только в одном из следующих случаев:

изменится степень многочлена P(s, к?);

вещественный корень P(s,A) перейдет из одной полуплоскости в другую, т. е. станет равным нулю;

пара комплексных корней перейдет из одной полуплоскости в другую, т. е. P(s, /с) будет иметь пару чисто мнимых корней ±ju).

(4.5)(4.5)Таким образом, границы областей D-разбиения описываются параметрическим уравнением

(4.5)

(4.5)

P(ju,k) =0

(4j(4j(соответствующим случаям б) и в)) и уравнением »п^ = 0,

(4j

(4j

где аДк) — старший коэффициент P(s, к) (случай а)). Уравнение (43^ при фиксированием ш — это два линейных уравнения (отвечающих вещественной и мнимой частям P^jw^k)) относительно двух переменных. ку^. В общей ситуации его решение определяет одну точку k(w) н^ плоскости параметров, при изменении о> от 0 до оо она описывает н^ которую кривую. Кроме того, в вырожденном случае (когда линейные уравнения в (4.5) линейно зависимы) возникают так называемые особые прямые: одному значению w отвечает прямая на плоскости параметров. Наконец, условие (4.6) также определяет прямую линию.

Итак, процедура D-разбиения следующая. Проводится кривая k(w) (4.5), прямая, отвечающая условию (4.6), и особые прямые; они разбивают плоскость к на области. Каждая из этих областей соответствует определенному расположению нулей полинома P^s, к). Среди этих областей находится и область устойчивости; впрочем, она может оказаться пустой — тогда характеристический полином неустойчив при любом значении к. «Расшифровку» расположения нулей в каждой из областей можно делать по-разному. Например, начать с конкретного полинома P(s, к0) и для него выяснить, сколько его нулей лежит в левой, а сколько — в правой полуплоскости, а затем из соответствующей ему области переходить к соседним, пользуясь тем, что кривой k(w) соответствует переход пары корней через мнимую ось, а особым прямым — переход одного корня через начало координат. Впрочем, можно в каждой из областей выбрать по точке и найти корни соответствующих полиномов; то же расположение корней сохраняется и для всех остальных полиномов нз области. Покажем, как эта техника работает на примере.

Пример 4.2. Требуется стабилизировать объект второго порядка

(он не является ни устойчивым, ни минимально-фазовым) ПИ регуляторомC(s) = *1 + ^.

Характеристический полином равен

P(s, к) = s(s2 +1) + (s — l)(fcis + кг) = s3 + kys2 + (1 — ki + кг)« — кг- Его старший коэффициент ие зависит от к, поэтому прямая (4.6) отсутствует. Равенство P^jw, к) = 0 принимает вид

—кг — куш2 = 0,lu(1 — ki + кг — w2^ — 0.

Если и) = 0. то решением является особая прямая

к2 = 0.

к^-ку к'= 1^к^-ку к'= 1^При и ^ 0 точка к(и) определяется однозначно. При этом нет необходимости находить эту зависимость, а можно просто исключить iv2 = 1 — ку + к^ нз второго уравнения и подставить в первое, тогда уравнение кривой будет задано в явной, а ие параметрической форме:

к^-ку к'= 1^

к^-ку к'= 1^

к2 + ki(l — ку + к2) — 0,

Это уравнение гиперболы, однако условие к^/ку = —о;2 < 0 выделяет ее часть, лежащую во II и IV квадранте, она вместе с прямой к2 = 0 осуществляет D-разбиение плоскости к иа четыре области (рис. 4.4).

Рис. 4.4. D-разбиение

Обозначения 0(0), 0(1), 0(2), 0(3) показывают, сколько корней в левой полуплоскости у всех полиномов, у которых параметры к лежат в данной области. Небольшая область 0(3) отвечает устойчивым полиномам. Взяв любые значения коэффициентов ПИ-регулятора внутри этой области, получим устойчивую замкнутую систему.

Для данного примера удалось найти стабилизирующий ПИ-регулятор. Однако в целом проблема синтеза стабилизирующих регуляторов заданной структуры весьма сложна; сказать заранее, можно ли данный объект сделать устойчивым с помощью регулятора низкого порядка, не удается.

Дискретные системы

Рассмотрим, как видоизменяются вышеприведенные методы в случ дискретных систем. Пусть дискретный объект задан в виде передаточи функции

од-в(5'

где z обозначает оператор сдвига назад, и под устойчивостью полино! понимается расположение его корней вие едининого круга, |Л,| > 1. Регулятор

в цепи обратной связи приводит к характеристическому полиному замкнутой системы

P(z) = X(z)^z) + B(z)D(z);

в частности, при C(z) = к имеем

P(z) = P*(z) = M(z) + B^z).

Теоремы 4.1 и 4.2 приобретают следующий вид.

Теорема 43. Если объект G(z) устойчив (т. е. полином B(z) устойчив), то при 0 ^ к < ^ркг полином Pk(z) устойчив. Если объект G(z) минимально-фазовый (т.е. полином A(z) устойчив), то при к ^ ккрт полином Ркк2^ устойчив. При этом

ккрт = min{-l/G(e^): ImG(e^) = 0, ReG(^) < 0} в первом случае и

к^ = max {-1/G(^) : ImG(^) = 0, ReG(^) < 0} во втором случае.

Таким образом, аргумент jw в непрерывном случае заменяется на е^ в дискретном; с этим мы уже встречались н раньше (гл. 3). Более существенно, что в теореме 4.3, в отличие от ее непрерывных аналогов, нет никаких требований к степеням полиномов А и В. Дело в том. что в дискретном случае у полинома

Ре = А 4- еВ, deg А = т, deg В = п > т3

при малом е любого знака т корней близки к корням А, а п — т корней «приходят из бесконечности» (т.е. велики по модулю). Поэтому если А — устойчивый полином, то и РЕ будет устойчивым прн малых е

(именно здесь мы пользуемся определением устойчивости полиномов в форме | А^ | > 1 — «приходящие из бесконечности» корни являются устойчивыми). В остальном доказательство теоремы 4.3 проводится так же, как и в непрерывном случае. Дискретное /7-разбиение осуществляется так же, как н для непрерывных полиномов, с заменой аргумента jw на ^ш.

Сопутствующие функции Matlab:

tf (CST) — задание системы с помощью передаточной функции; г locus (CST) — построение корневых годографов;

nyquist (CST) — построение годографа Найквиста.

Общий вид стабилизирующих регуляторов

В п. 4.1 отмечалось, что проблема стабилизации регулятором заданной структуры не всегда имеет решение и достаточно сложна. Ситуация иная, если не ограничивать порядок регуляторов. Именно, в предположении управляемости системы проблема стабилизации всегда имеет решение и все стабилизирующие регуляторы имеют простое описание. Ниже мы займемся этим кругом вопросов.

Пусть одномерный объект задан с помощью передаточной функции

ад-ВД'

где Л(«), B(s) — полиномы; deg Л = т ^ deg В = п. Требуется описать все регуляторы

Cfs) -

для которых замкнутая система рис. 4.1 устойчива, т.е. для которых ха- рактеристичекий полином

P(s) = Л(s)^(s) + S(s)P(s)(4.7)

является гурвицевым. Изменим несколько точку зрения: зафиксируем Гурвицев полином P(s) и постараемся найти полиномы ^(s)J D(s\ удовлетворяющие уравнению (4.7). Можно ожидать, что эта задача разрешима, если степени полиномов ^(s), D(s) достаточно велики — ведь (4.7) является линейным уравнением относительно коэффициентов этих полиномов. Оказывается, что это действительно так для любых взаимно простых (т.е. ие имеющих общих корней) полиномов ^(s),5(s) (можно показать, что взаимная простота Л($) и B(s) эквивалентна управляемости системы, записанной в пространстве состояний). Напомним сначала полезную теорему П.4 (см. Приложение).

Теорема 4.4. Пусть полиномы Л($), В^ взаимно просты. Тогда линомиалъное уравнение

АХ 4- BY = 1О

всегда имеет решение Xй, У0 с deg Х° ^ deg В— 1, deg У0 ^ deg А — причем общее решение имеет вид

X = X° + BR, Y = Y° — AR, где R = R^ — произвольный полином.

Отсюда нетрудно получить общее решение уравнения (4.7):

N = РХ° ^-BR, D — PY° - AR.(4.

Действительно, поскольку произведение полиномов коммутативно, то

AN + BD = АРХ° + ABR + BPY^ - BAR = Р^АХ0 + BY0) = Р^

Казалось бы, мы получили общий способ построения стабилизируй щих регуляторов: находим частное решение Х°, У° уравнения (4.8), выбя раем любой устойчивый полином Р и произвольный полином R и строи N,D по формулам (4.9). Тогда регулятор С = N/D стабилизирует систему, а характеристический полином замкнутой системы равен Р, т. е. он устойчив. Однако такой вывод, будучи формально правильным, не вполне корректен. Дело в том, что каждое из выражений AN и BD — поли* ном более высокой степени, чем Р. Например, если А, В — полиному степени п, а Р — полином степени р, то deg Х° — deg У0 = п — 1, и при любом R имеем deg^ = deg£) ^ р + п — 1, degЛ^ = degBD > р + 2п — 1 > р для всех п > 1. Поэтому при суммировании AN и BD обязательно сокращение старших членов, однако оно небезобидно. Еслй реальный объект G(s) немного отличается от номинального (или фактиче4 ский регулятор C(s) несколько отличается от планируемого), то полного сокращения старших членов не произойдет, н мы получим характеристический полином вида

Pc(s) = P(s)+ePi(s),

где Р — устойчивый полином степени р, Рх содержит члены степени выше р, а е — малый параметр. Но такой полином никогда не бывает устойчив при сколь угодно малых е любого знака (это не противоречит тому, что в теореме 4.2 утверждается устойчивость некоторых таких полиномов при положительных малых е).

Таким образом, приведенный выше способ стабилизации нуждается в корректировке; ее нетрудно произвести. Запишем G(s) в эквивалентном

G(s)=%)’ У($,=%)' ^^^ё1 (410)

где F(s) — произвольный устойчивый полином степени п. Вместо (4.8) запишем теперь уравнение

UX-vVY = l,(4.11)

где U, V € RHoo, a RHoo — пространство устойчивых реализуемых дроб- ио-рациоиальных функций. Такое уравнение, подобно полиномиальному уравнению, имеет решение X,Y Е RHoo (см. лемму П.12), и с его помощью может быть описано все семейство стабилизирующих регуляторов.

Теорема 4.5. Пусть полиномы X(s), B^s) взаимно просты. Тогда уравнение (4.11) имеет решение X^Y Е RH^ и все стабилизирующие регуляторы имеют вид

С^ =(4Л2)

где Q Е RH^ произвольно.

Доказательство. Прежде всего проверим, что регуляторы вида (4.12) действительно являются стабилизирующими. Передаточная функция замкнутой системы равна

GCU(X + VQ)U(X + VQ)_

1+GCU^X + VQ) + V(Y - UQ) UX + VY

= ЩХ + VQ).

Поскольку U, X, V, Q —• все функции из RHoo, то нх суммы и произведения тоже принадлежат RHoo, те. Н — реализуемая дробно-рациональная функция с устойчивым знаменателем, что и означает устойчивость замкнутой системы.

Обратно, пусть С = Uc/Vc — какой-то стабилизирующий регулятор, UC1VC Е RHoo- Тогда для передаточной функции замкнутой системы

имеемимеемН =Н =GC _ UUc 1+GC UUc-vVVcGC _ UUc 1+GC UUc-vVVc= uucw.= uucw.

имеем

имеем

Н =

Н =

GC _ UUc 1+GC UUc-vVVc

GC _ UUc 1+GC UUc-vVVc

= uucw.

= uucw.

где обозначено W = (UUC + Wc)-1. Поэтому если Н, U, Uc Е RHoo, тои IV g RHqo (в противном случае было бы Н ^ RHoo). Возьмем теперь

Q-Q-Y — VCWUY — VCWU

Q-

Q-

Y — VCW

U

Y — VCW

U

Тогда

1 = WUUC + WVVC = WUUC + V^Y - UQ) = WUUC +1 - UX - VUQ,

откуда UCW - X + VQ. Поэтому

Uc _ UCWX + VQ

Vc VCWY— UQ"

Остается показать, что Q G RH^. Действительно, VCW = Y - Ui VCW = X -V-VQ; поэтому, умножая первое уравнение на X, второе на ' н вычитая первое нз второго, получаем

VCWY - UCWX = YVQ + XUQ = Q.1

Поскольку левая часть принадлежит RHoo, то и Q Е RHoo--"<

Заметим, что при таком подходе не происходит никаких иеприя-м ностей типа сокращения старших членов полиномов в полиномиальном подходе (формула (4.9) для стабилизирующих регуляторов). Вниматель? ный анализ приведенных выше выкладок показывает, что здесь нет соз крашения неустойчивых нулей и полюсов (об опасности этого говорилось в п. 3.4); дело в том, что мы всюду предполагали, что числители н знаменатели функций из RH^ взаимно просты.

В заключение — несколько слов о специфике дискретных систем. Как мы вцдели (см. теорему 4.3), добавление малых членов старшего порядка в полином P(z) не нарушает его устойчивости. Именно, если

P(z) = Go + axz + ... + anzn

имеет все корни вне единичного круга, то и полином

P(z)+£„+1z"+1 + ...+£mZ-

устойчив при достаточно малых ^1, t = п + 1,...,т, и любых т > п. Поэтому сокращение старших членов в таких полиномах не представляет опасности. Таким образом, мы заключаем:

Теорема 4.6. Все стабилизирующие регуляторы для дискретного объекта

G^ = ^-

где A(z),B(z) — взаимно простые полиномы, даются формулой

С^ =С^ =РХ° + BRPY° — AR'РХ° + BRPY° — AR'

С^ =

С^ =

РХ° + BR

PY° — AR'

РХ° + BR

PY° — AR'

где X°(z),y°(z) — полиномы, являющиеся решением уравнения

(4-13)(4-13)АХ + BY = 1,

(4-13)

(4-13)

Р = P(z) — дискретно-устойчивый полином, a R = R^z) — произвольный полином.

В качестве Х°,У° можно выбрать решение уравнения (4.13) минимальной степени, т. е.

degX°<degB- 1, deg У0 ^ deg Л — 1.

Кроме того, разделив числитель и знаменатель в формуле для C^z) на Р^, получим общий вид стабилизирующего регулятора в форме

ад=таг(414)

где Q(z) — произвольная устойчивая дробно-рациональная функция (т.е. не имеющая полюсов в единичном круге).

Важно отметить, что приведенный выше способ описания стабилизирующих регуляторов переносится почти полностью на случай многомерных систем. Небольшое различие заключается в том, что произведение матриц некоммутативно, поэтому небезразлично, в каком порядке они записаны. Приведем окончательный результат без доказательства.

Назовем матричные передаточные функции U,V Е RHqo несократим мыми слева, если уравнение

UX + VY = I

имеет решение X,Y Е RHoo- Аналогично матричные передаточные функции U, V Е RHqo несократимы справа, если уравнение

XU pYV = 1

имеет решение X,Y Е RHoo (см. п. 8 Приложения). Пусть реализуемая передаточная функция G^s) объекта записана в виде несократимого левого или правого разложения:

G(s) = L7(s)V"l(s) = V"1^»),(4.15)

где U, V — несократимые слева, a U, V — несократимые справа матричные передаточные функции из RHoo- Мы рассматриваем конфигурацию рнс. 3.7 (изменяя обозначение К^ на привычное C(s)) и ищем общий вид стабилизирующих регуляторов (обеспечивающих внутреннюю устойчивость системы, см. п. 3.4), т.е. таких матриц С(з), что четыре передаточные функции

У-ССГ1, (l-CGy'C, (I-GCy'G, (I-GO)"1

принадлежат RHqo (cm. (3.23)).

Теорема 4.7. Все стабилизирующие регуляторы имеют вид

С = (X + VQ)(Y + t/Q)"1 = (У + Qt/p^X + QVy (4-16)

где Q Е RHoo-

Ясно, что для одномерного случая U = U, V = V, X = X, Y — Y, этот результат совпадает с теоремой 4.5.

Представление всех стабилизирующих регуляторов, даваемое теоре-е мой 4.7, называется параметризацией Юлы, а матрица Q — лдраме-Ц тром Юлы. Основное преимущество, даваемое такой параметризацией^,™ заключается в том, что передаточные функции замкнутой системы, ка^Я показывают приводимые ниже формулы:Ц

и-ссух=z+^ + VQKr-t/y^xr^y-1,1

ц-ссухс=(Х + У$)(У- UV"xXy\Я

U-GCrxG = (Y + UQ)(Y -UV^Xr^UV"1, • | (7 —GO)-1=(Y + UQ^Y-UV^Xy1,|

линейно зависят от Q, в то время как регулятор С входит в них иелиней- . ■ ным образом. Поэтому разного рода задачи оптимального управления, ко- торые мы будем решать в следующей главе, приводят к выпуклым задачам д относительно параметра Юлы, а попытка рассматривать непосредственно ^ регулятор С в качестве переменной приводит к трудным невыпуклым задачам.

Сопутствующие функции Matlab: youla (RCT) — параметризация Юлы.

Размещение полюсов

Во многих случаях с помощью обратной связи можно не только стабилизировать систему, ио н добиться любого заданного размещения полюсов замкнутой системы. Иначе говора, можно получить любой желаемый характеристический полином замкнутой системы. Приведем основной результат такого типа для систем с одним управлением, заданных описанием в пространстве состояний:

х = Ax-Vbu, х € Rn, и € R1, b € Rn. (4.17) Мы ищем управление в форме статической обратной связи по состоянию

■и = кТх, к е R", тогда матрица замкнутой системы равна

АС = А + Ькт.(4.18)

Пусть А — произвольный набор из п точек A, G С, г = 1,...,п, удо- алетворяющий единственному условию: если A, G А, то и A* G А. Тогда

ПОЛИНОМПОЛИНОМ

ПОЛИНОМ

ПОЛИНОМ

Ро(8) = П(5-Аа = 5п+рп5п 1+-..+p2S+Pl £=1

имеет вещественные коэффициенты. Обратно, любому полиному с вещественными коэффициентами отвечает множество Л его корней.

Теорема 4.8. Пусть пара (Л, 6) управляема. Тогда найдется такое k G R”, что у матрицы Ас (4.18) собственные значения совпадают с А.

Доказательство. Мы знаем (см. лемму П.11 из Приложения), что управляемую систему с одним управлением можно привести к канонической форме путем невырожденного преобразования переменных, т. е. найдется невырожденная матрица Т вида (П.9) такая, что для х = Тх система (4.17)

приобретает вид

5 = Ах + Ьи, А = ТАТ-\ Ь^ТЬ,

Если искать управлениеЕсли искать управлениев форме и = ктх, к = (ki,.в форме и = ктх, к = (ki,.,k„)T е Rn. ТО,k„)T е Rn. ТО

Если искать управление

Если искать управление

в форме и = ктх, к = (ki,.

в форме и = ктх, к = (ki,.

,k„)T е Rn. ТО

,k„)T е Rn. ТО

матрица замкнутой системы выглядит так:

АС = А + Ькт =

( ° 0

1

0

\ —О! + к1

—Q1 + к2 . -.

°

О

1

—ап + кп J

н ее характеристический полином имеет вид

sn + (-ап + к,^-1 + .. - + (-di + к\).

Выбирая kt = Pi + о*, г = 1,...,п, получаем, что его коэффициенты совпадают с коэффициентами полинома Ро(^), т.е. собственные значения Ас совпадают с Л. Наконец, взяв к = Т'к, имеем

Ъкт = ТЬ ктТ"1, Яс = Т^А ^-Ьк^Т-1 = ТАСТ~1, т. е. матрицы Ас и Ас подобны и их собственные значения совпадают.

Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков

Следствие. В предположениях теоремы 4.8 замкнутая система . жет быть сделана устойчивой с любым расположением полюсов в ле. полуплоскости.

Аналогичный результат верен и для систем с многими управлениями приведем его без доказательства.,

Теорема 4.9. Пусть пара (Л, В) управляема, тогда система

х = Ах + Ви(4.20,

путем выбора обратной связи по состоянию и = Кх может приобрести любое расположение собственных значений матрицы Ас = А + ВК; е частности, замкнутая система может быть сделана устойчивой. д

Заметим, что утверждение теорем 4.8 и 4.9 справедливо и в обратную сторону: если выбором матрицы К можно добиться любого расположений собственных значений матрицы А + ВК, то пара (Л, В) управляема.

Совершенно аналогично эти теоремы формулируются (и доказываются) для дискретного случая. Единственная разница — непрерывная система (4.20) заменяется дискретной

$к = Ах к-1 + B-uk-v

Некоторый новый эффект, которого можно здесь добиться, связан с тем, что у матрицы Ас = А + ВК все собственные значения можно сделать нулевыми, т. е. ее характеристический полином будет иметь вид zn = 0. В силу теоремы Кэли-Гамильтона тогда А" = 0. Иными словами, мы можем добиться конечной продолжительности процесса.

Теорема 4.10. Пусть пара (Л, В) управляема. Тогда существует такая обратная связь и = Кх, что для замкнутой системы

хк = (Л + BK)xk-i

будет хп — 0 при любом xq.

Может показаться, что приведенные выше теоремы решают не только задачу стабилизации, но и все разумные задачи теории управления. Например, если в непрерывной управляемой системе мы хотим как можно быстрее устранить начальное отклонение, то в соответствии с теоремой 4.9 можно было бы выбрать стабилизирующую обратную связь и — Кх так, чтобы сдвинуть собственные значения А, матрицы Ас = А + В К далеко влево: Re А, < —а < 0, <т велико. Действительно, тогда для решения замкнутой системы х = Асх, ж(0) = х0, имеем (см. (3.4))

№1 < ||ел-‘|| |з:о| < Се-Чхо!, С = С(Ас,и),

для любого 0 < v < о. Выбирая большие v, за счет экспоненциального члена e-vt мы на первый взгляд можем получить сколь угодно малые

значения |ж(4)| для всех t > Т, где Т > О сколь угодно мало. Однако за все приходится платить; не является исключением и данная ситуация. Во-первых, матрица усиления К, для которой собственные значения матрицы Ас удовлетворяют условию Re А, ^ —ст, ст велико, может оказаться очень большой. Поэтому и управление и = Кж может принимать очень большие значения, в то время как в практических задачах обычно есть ограничения на величину управления. Вторав неприятность связана с константой С в приведенной выше оценке. Оказывается, с ростом ст эта величина возрастает; это проявляется в том, что значения х^ на начальном интервале не убывают, а возрастают, причем весьма значительно. Количественное описание этого эффекта «всплеска» дается следующим результатом.

Теорема 4.11. Существует константа С, зависящая от матрицы А и вектора Ь, но не зависящая от ст, такая, что справедлива оценка

max max |ж(1)| > Сстп-1.

0ОС1/<7 |zol=l

Здесь x(t) — решение замкнутой системы х = (А + bkT^x. ж(0) = х0, для которой КеЛ<(А-ьЫсТ) < —ст < 0.

Иначе говоря, если собственные значения матрицы Ас замкнутой системы сильно сдвинуты влево, то заведомо найдется такое начальное значение жо, |ж0| = 1. для которого решение замкнутой системы принимает значения большие, чем Сстп-1; последняя величина тем больше, чем больше ст и п. Более того, с ростом ст этот всплеск проявляется на все меньшем временном интервале 0 ^ t ^ 1/ст.

Приведем простой пример, показывающий, сколь велики могут быть эти нежелательные эффекты. Пусть п = ДО, а система уже записана в канонической форме (4.19) с сц = 0, г = 1,...,10. Мы хотим, чтобы у характеристического полинома замкнутой системы все корни были равны —2 (т. е. ст = 2 — сравнительно небольшая величина); иными словами, P0(s) = (s + 2)10, и kt должны выбираться равными коэффициентам этого полинома: к, = Сц^11-1. Наибольший из инх к4 = С^о27 = 15360. Таким образом, коэффициенты усиления в цепи обратной связи превышают 1,5 ■ 104. Более того, например, при жо = (1, 1,..., 1) десятая компонента Ж(ю)(0 решения ж(<) замкнутой системы достигает значения ж(10)(<) « 2030 при t = tpeak « 0,4275, т.е. начальное значение возрастает более чем в 2000 раз, прежде чем начать убывать (это не противоречит устойчивости системы — ж(1) действительно стремится к нулю при больших L см. рис. 4.5).

Таким образом, влияние плохих начальных условий на поведение не- возмущениой системы проявляется в виде всплеска. Этот эффект имеет ту же природу, что и хорошо известное в теории управления перерегулирование, т. е. всплескообразиая реакция системы с нулевыми начальными

Рис. 4.5. Эффект всплеска: рост x(t) на начальном интервале 0 ^ t < О 5 х0 = (1, 1, ...» 1)

условиями на единичное входное воздействие

,.х/ ° ПРИ < < О»

прие50.

В самом деле, обозначим решение устойчивой системы

х = Ах + b 1ft), х(0) = 0,(4.21)

через хв;

^^-А-Ч + е^А^Ъ,

И

хв = —Д-1Ь

— его установившееся значение, т. е. xB(t) —* хв при t —♦ оо. Перерегулированием называют величину

|xB(t)-ZB|C = sup^1,

оиа характеризует максимальное отклонение траектории возмущенной системы от установившегося значения. Пусть теперь |<eq| = 1 — начальные условия невозмущенной системы, которые в соответствии с теоремой 4.11 выбраны так, чтобы вызвать большой всплеск ее траектории

^(^ = ^^о- Положив в (4.21) b = Ах01 получаем 5В = —хо и

С = sup jz„(t) - яв| = sup |е^5Е0f,tt

т.е- перерегулирование в системе (4.21) велико.

Перейдем теперь к другой задаче — стабилизации с помощью обратной связи по выходу. В этом случае для той же системы

х = Ах + Ви, ж(0) = х0,

доступен лишь выход

У = Сх.

Можно было бы думать, что если система управляема и наблюдаема, то статическая обратная связь

и = Ку(4.22)

может стабилизировать систему. Однако легко видеть, что это совершенно не так (см. п. 2.3). Покажем, что стабилизация все же возможна, если брать не статический регулятор (4.22), а динамический, т.е. использующий наблюдатель и обратную связь по оценке состояния, описанные в п. 2.3. Итак, наряду с системой

(4-23)(4.24)(4-23)(4.24)х = Ах + Ви,У = Сх

(4-23)

(4.24)

(4-23)

(4.24)

запишем дифференциальное уравнение для наблюдателя

х = Ах 4- Bu + F^y — Сх)

и будем искать обратную связь в виде

и = Кх.

Тогда, исключая и и у из уравнений, получаем

х = Ах + ВКх,

I = (A- FC)x + FCx + BKx

и, вводя невязку е = х — х, перепишем эти уравнения в виде

х = (Л + ВК)х — ВКе, ё = VA-FC)e

илиили

или

или

Здесь блочная матрица

А + ВК -ВК

О A — FC

имеет те же собственные значения, что и стоящие на диагонали матрицы А + ВК, А — FC. По теореме 4.9 они могут быть выбраны произвольна (см. также замечание после теоремы 2.3). Итак, мы пришли к следующему результату.

Теорема 4.12. Пусть система (4.23) управляема и наблюдаема. Тогда можно выбрать матрицы К и F так, что обратная связь и = Kz £ наблюдателем z (4.24) стабилизирует систему.

Таким образом, для управляемых систем всегда можно добиться cra-i билизации в виде статической обратной связи по состоянию, а для упра-3 вляемых и наблюдаемых систем — с помощью динамической обратной связи по выходу с использованием наблюдателя.

Сопутствующие функции Matlab:

place (CST) — решение задачи о расположении корней;

acker (CST) — решение задачи о расположении корней для систем с одним входом (4.17);

initial (CST) — расчет отклика иевозмущенной системы на начальные условия.

Квадратичная стабилизация

Другой подход к задаче стабилизации основан на том, что если система устойчива, то у иее есть квадратичная функция Ляпунова вида

V(z) = zTPz, Р > 0.(4.25)

Таким образом, для задачи

& = Az + Ви(4.26)

с обратной связью по состоянию

и = Kz(4.27)

замкнутая система имеет вид

z = Acz, Ас — А + ВК,

и функция (4.25) является для нее функцией Ляпунова тогда и только тогда, когда (см. п. 3.1)

AjP + PA- < 0,

т.е. если найдутся К и Р > 0 такие, что

(Л + ВК^Р + Р^А + В^ < 0-(4.28)

В этом соотношении две матричных переменных Р и К, и они входят в неравенство нелинейным образом. От этого можно избавиться, сделав замену переменных

Y = KQ, Q = P~'.

Умножив матричное неравенство (4.28) слева и справа на Q = Р-1 (см. Приложение, п. 2), получим

QAT -^AQ-bYTBT +BY < 0, Q > 0.(4.29)

Это неравенство является уже линейным по переменным Y, Q. Оказывается, из него можно исключить матрицу Y. В самом деле, квадратичная форма

Дх) = xT(YTBT + BY^x = (5тх, Ух)

обращается в нуль на подпространстве Втх = 0. По лемме Финслера (лемма П.2 из Приложения) найдется такое 7 > 0, что /(я)+7||Втх|р > 0 для всех х, т. е.

YTBT +BY^ —^BB^.(4.30)

Поэтому если выполняется неравенство (4.29), то тем более

QAT + AQ- ^BBT < 0.(4.31)

Обратно, если мы решим линейное матричное неравенство (4.31), то, взяв Y = — ^Вт, мы получим равенство в (4.30), и тем самым и неравенство (4.29) будет удовлетворено. Поскольку К = YQ-1 не меняется при выборе 7, можно взять 7 = 2. Окончательно приходим к следующему результату.

Теорема 4.13. Если Q — решение матричного неравенства Ляпунова

QAT +AQ- 2ВВТ < 0, Q > 0,

то регулятор (4.27) с матрицей

K=-BTQ~1

стабилизирует систему (4.26), а квадратичная форма

V(x) = x4Q~vx

является функцией Ляпунова для замкнутой системы.

Описанный выше подход, основанный на поиске квадратичной фун ции Ляпунова (и потому называемый квадратичной стабилизацией) i первый взгляд выглядит довольно искусственным. Он ие дает решения явном виде, а сводит задачу к решению линейных матричных неравенп Одиако впоследствии (см. п. 8.2) мы убедимся, что именно такая техни особенно эффективна для задач робастной стабилизации, когда требует стабилизировать систему при наличии неопределенности.

Сопутствующие функции Matlab:

lyap, diyap (CST) — решение уравнения Ляпунова в непрерывном дискретном времени.

Сверхстабилизация

Все приведенные выше методы ставили цепью сделать систему устойчивой путем введения обратной саязн. Одиако можно решать более жесткую задачу и пытаться обеспечить сверхустойчивость замкнутой системы (см. п. 3.6). Оказывается, что этой цели ие всегда можно добиться (например, ие всякая управляемая система может быть сделана сверхустой- чнвой), в то же время если решение существует, то оио легко может быть найдено. Мы начнем сразу с более трудной задачи стабилизации по выходу.

Задана система

ж = Ах + Вп,

у = Сж;

ищется статический регулятор в форме обратной связи по выходу

и = Ку,(4.32)

обеспечивающий сверхустойчивость замкнутой системы. Напомним, что для задачи стабилизации по выходу мы исследовали динамический регулятор, использующий наблюдатель (п. 4.3); задача о статическом регуляторе остается открытой (см. обсуждение этой проблемы в п. 2.3 и ниже, в гл. 9). Вопрос о существовании и отыскании регулятора К (4.32), гарантирующего сверхустойчивость, решается очень просто. Матрица замкнутой системы (которую мы в этом параграфе обозначим М, а не Ас, как ранее) равна

М = А + ВКС.

Ее элементы тгз, i,j = l,...,n, являются аффинными функциями от К = №,)):

^V ^ij (^) — ^ij + ^®КС^^ — Q^j + blKCj1

Сверхстабилизация 1 -

гое ^ — i-я строка матрицы В, с, — j-й столбец матрицы С. Например, в задаче стабилизации по состоянию для системы с одним входом имеем у = z, m = 1, Т.е. С = I, В = (bi,. - - ,МТ — вектор-столбец, а К = (^11 • • •, ^п) — вектор-строка, поэтому

М = А 4- ВК, mtj =aij+ btk3,

где ^ — i-й элемент В, a kj — j-й элемент К (матрица ВК — первого ранга).

Условие сверхустойчивости матрицы М имеет вид

-m«>52lmvl» г = 1,...,п.

Введем искусственные переменные <7,Пу, i,j = 1,...,п; тогда условие сверхустойчивости можно записать так:

а > О,

-т^К^-^пц 5 о*,3*»-т^К^-^пц 5 о*,3*»г = 1,...,п,г = 1,...,п,

-т^К^-^пц 5 о*,3*»

-т^К^-^пц 5 о*,3*»

г = 1,...,п,

г = 1,...,п,

I^ij ^ ^у(^) ^ ^ij.I^ij ^ ^у(^) ^ ^ij.ij = l....,n, i^j.ij = l....,n, i^j.

I^ij ^ ^у(^) ^ ^ij.

I^ij ^ ^у(^) ^ ^ij.

ij = l....,n, i^j.

ij = l....,n, i^j.

Если эта система линейных неравенств имеет решение ку^пу, i,j = г,..., п, при некотором <7 > 0, то система сверхустойчива. Чтобы проверить существование решения, можно перейти к задаче линейного программирования

шах <7,

-т^К) -^2,тц3 ^ <7,ЗУ*-т^К) -^2,тц3 ^ <7,ЗУ*г = 1,...,п,г = 1,...,п,(4.33)(4.33)

-т^К) -^2,тц3 ^ <7,ЗУ*

-т^К) -^2,тц3 ^ <7,ЗУ*

г = 1,...,п,

г = 1,...,п,

(4.33)

(4.33)

71у ^ ^ij(^) ^ ^>3»^131» * • •, ^* ® ^ 3.

в ней переменными являются матрицы K,N = ((Пу)) и скаляр <7.

Теорема 4.14. Если К, а — решение задачи (4.33) и сг > 0, то обратная связь и = Ку обеспечивает сверхустойчивость замкнутой системы. Если же сг С 0, то сверхстабилизация регулятором вида (4.32) невозможна.

Этот результат дает полное решение задачи о сверхстабилизирующем статическом регуляторе.

Рассмотрим простой пример. Пусть п = 2,?п = 1, т.е.

± = Лх + 5и, А=(а" 012 У В = Ъ=(Ь?\ 021022 )\ 02

u = Кх, К = k=(ki k2).

М = А + В К =М = А + В К =Тогда 0114*61^1Oi2+blfc2 \<

М = А + В К =

М = А + В К =

021 + ^2^1022 + ^2^2 /

и условие сверхустойчивости принимает вид

Оц+bifci < —|О12+Ь1&2|, а22+Ь2к2 < -1021+^2^11-

Возьмем для определенности bi = b2 = 1; нас интересует, существуют ля' ki. к2, удовлетворяющие неравенствам&

Оц+&1 < — |oi2 + А^к О22+А?2 < —[О21+&1|.

Каждое из неравенств выделяет прямой угол на плоскости (ki, к2^ (рис. 4.6). Эти прямые углы содержат общую точку (т.е. решение су-

Рис. 4.6. Коэффициенты сверхстабилизирующего регулятора ществует), если и только если вершина одного из них лежит в другом, т. е. удовлетворяется одно из неравенствРис. 4.6. Коэффициенты сверхстабилизирующего регулятора ществует), если и только если вершина одного из них лежит в другом, т. е. удовлетворяется одно из неравенств

Рис. 4.6. Коэффициенты сверхстабилизирующего регулятора ществует), если и только если вершина одного из них лежит в другом, т. е. удовлетворяется одно из неравенств

Рис. 4.6. Коэффициенты сверхстабилизирующего регулятора ществует), если и только если вершина одного из них лежит в другом, т. е. удовлетворяется одно из неравенств

011—021 < —|О12 —О22|,022 —О12 < — |о21 — Оц|.

Это возможно тогда и только тогда, когда

7 = Оц — 021 + 022 — 012 < 0.

Итак, если т < 0, то сверхстабилизация возможна, если т > 0, то она невозможна. Мы видим, что не для любой матрицы А можно обеспечить сверхустойчивость; в то же время для любой А, для которой Ь = (1 1)т

не является собственным вектором, пара (Л,Ь) управляема и (обычная) стабилизация с помощью обратной связи и = кх возможна (теорема 4.8 и следствие из нее).

Легко выявить и случаи, когда сверхстабилизация заведомо невозможна. Пусть в общей задаче

х=АхА-Ьгц и = кх, х € Rn, u G К1,

вектор b имеет некоторые координаты нулевыми, например, by = 0. Тогда М — А + Ьк имеет такую же пераую строку, как и А; если эта строка не удовлетворяла условию сверхустойчивости, т.е. —ац < Tlj^y l°ijk т0 матрица М ие будет сверхустойчивой ни при каком к. Отсюда, в частности, следует, что для системы, записанной в канонической управляемой форме (см. п. 1.4), заведомо нельзя добиться сверхустойчивости с помощью обратной связи по состоянию. Ситуация может измениться, если произвести замену переменных — в новых координатах сверхустойчивость, возможно; удастся обеспечить, см. с. 107.

Все сказанное выше относилось к непрерывным системам; при переходе к дискретному случаю изменения минимальны. Они связаны с тем, что для системы

хк = Ахк_х-V Buk-i,

Ук = Схк

с обратной связью

ик = Кук

условие сверхустойчивости матрицы М = А + ВКС записывается как ||Af||i < 1, т.е.

п

52|mv(K)| < 1, i=l,...,n.

з=1

Относительно элементов матрицы К эти условия также записываются как линейные неравенства. Задача линейного программирования, аналогичная (4.33), имеет вид

miner,

^2^з^а»i=l,... ,п,(4 34)

з

-Пц ^mtj(K) <nv, i,j = l,...,n, i^j,

а возможность сверхстабилизации дается следующим результатом.

Теорема 4.15. Пусть К, а — решение задачи линейного программирования (4.34). Если cr < 1, то регулятор и = Ку обеспечивает сверхустойчивость матрицы М = А А-ВКС замкнутой системы: ||M||i < 1; если же о >1. то М не является сверхустойчивой ни при каком К.

Сопутствующие функции Matlab:

1 inprog (ОТ) — решение задачи линейного программирования.

Выводы

При задании одномерного объекта с помощью реализуемой переда» точной функции G(s) = Л(в)/В(8) в ряде случаев возможно использование регуляторов низкого порядка в цепи обратной связи.-

При использовании простейшего пропорционального регулятора (Пк регулятора) C(s) = к выбору подлежит один параметр — коэффициент усиления к > 0. В случае устойчивого объекта (полином B(s) устойчив^ вопрос о критическом коэффициенте усиления /скр1ГТ — минимальном зна^ чении к, при котором характеристический полином P(s) = B(s) + кАД замкнутой системы теряет устойчивость, решается с помощью годограф! Найквиста (теорема 4.1). При этом говорят о малом коэффициенте усиления. Если годограф G(jw) ие пересекает отрицательную полуось, тб устойчивость замкнутой системы сохраняется при сколь угодно больших коэффициентах усиления.

В случае минимально-фазового объекта (полином A(s) устойчив) вопрос о &крнт — минимальном значении к, при котором P(s) = B(s) + кА^ приобретает устойчивость, решается с помощью обратного годографа Найквиста; при этом решение существует, лишь если степень B(s) превышает степень A(s) не более чем на 2 (теорема 4.2). При этом говорят о большом коэффициенте усиления. В дискретном случае картина та же, ио нет требований на степени В (г) и А^ (теорема 4.3).

При использовании регулятора, зависящего от двух параметров (на- пример, ПИ-регулятора), исследовать устойчивость замкнутой системы можно с помощью техники Р-разбиения. При этом на плоскости параметров явно выделяются области D(p\ для которых характеристический полином замкнутой системы имеет ровно р устойчивых корней, и, в частности, область устойчивости, отвечающая всем устойчивым корням. Техника Р-разбиения равно применима и в дискретном случае.

В целом сказать заранее, можно ли данный объект стабилизировать с помощью регулятора низкого порядка, не удается.

Все регуляторы C(s) (без ограничения ив структуру), стабилизирующие непрерывную одномерную систему с передаточной функцией

G(s) = ^' deg^degB,

где полиномы Л(в),В(в) взаимно просты, описываются теоремой 4.5:

c(s) = x±XQ.

v ' Y-UQ

Здесь Q(s) е RHoo — произвольна, а X — Х($),У = У(б) € RHoo — решение уравнения UX+VY = 1, где U = t/(s) = A^/F^s^ V = V^ = p^/F(s\ a ^(s) — произвольный устойчивый полином, degF > deg В.

В случае дискретной системы

задача упрощается и все стабилизирующие регуляторы C(z) описываются через решение X(z),K(z) полиномиального уравнения АХ + BY — 1 (оно существует, если полиномы A^z^B^ взаимно просты) следующим образом:

РХ + ВВ

PY-AR’

где Р = P(z) — дискретно-устойчивый полином, a R = R^ — произвольный полином (теорема 4.6).

В многомерном случае рассматривают матричную передаточную функцию G(s), задаваемую с помощью несократимого левого или правого разложения:

G(s) = IW'to = V'1^^^,

где U, V и U, V — мвтричные функции из RHoy — таковы, что уравнения UX + VY = I и XU + У V = I разрешимы в НН^. Тогда все стабилизирующие регуляторы C(s) (т. е. обеспечивающие внутреннюю устойчивость замкнутой системы) имеют вид

С = (X + VQW + t/Q)-1 = (У + QUr\X + QV),

где Q е RHoc — произвольно (теорема 4.7). Такое представление всех стабилизирующих регуляторов называется параметризацией Юлы, в матрица Q — параметром Юлы. Преимущество такой параметризации в том, что передаточные функции замкнутой системы линейно зависят от Q, в то время как регулятор С входит в них нелинейным образом.

Если в системе ж = Ах + Ви пара (Л, В) управляема, то с помощью статической обратной связи по состоянию и = Кх можно добиться произвольного расположения собственных значений матрицы замкнутой системы Ас = А + В К — это задача о размещении полюсоа, — в частности, можно сделать систему устойчивой (теорема 4.9). Однако попытка увеличить таким образом степень устойчивости (отодвинуть Х^Ас^ как можно более влево) требует больших управлений и приводит к эффекту всплеска траектории — резкому росту |ж(<)| на начальном этапе (теорема 4.11). В системах с единичным входным воздействием u(t) = l(t) этот эффект называется перерегулированием.

Аналогичный результат о размещении полюсов справедлив в ди

конечной продолжительностиконечной продолжительностином случае, но, кроме этого, выбором матрицы усиления можно доб;

конечной продолжительности

конечной продолжительности

процесса, сделав нулевыми все А*(АС).

Если в управляемой системе х = Ах + Ви доступен лишь выход Сх и пара (А, С) наблюдаема, то такую систему можно стабилизирс с помощью динамической обратной связи по оценке состояния и = 1 использованием наблюдателя х = Ах + Ви + F(y - Сж) (теорема 4.1

Квадратичная стабилизация заключается в поиске квадрать функции Ляпунова для замкнутой системы с матрицей Ас = А + При этом стабилизирующий регулятор и = Кх ищется ие в явном

а через решение неравенства Ляпунова (теорема 4.13). Такой по; плодотворен в задачах робастной стабилизации.

При замыкании системы обратной связью по выходу и = Ку: менты матрицы Ас = А + ВКС замкнутой системы представляют бой линейные функции от элементов матрицы усиления К = ((&у)) условие сверхустойчивости Ас формулируется в терминах линейных равенств относительно ку. Поэтому если соответствующая задача нейного программирования имеет решение, то разрешима задача св< стабилизации непрерывной системы по выходу с помощью статичес! регулятора и = Ку (теорема 4.14). Аналогично решается задача о св< стабилизации по состоянию. Результат для дискретных систем да< теоремой 4.15.

Сверхстабилизация — более жесткое требование, чем стабил

(например, управляемая может измениться при п(например, управляемая может измениться при ппоэтому не всякая стабилизируемая система наблюдаемая) сверхстабилизируема. Ситуация реходе к другим координатам.

(например, управляемая может измениться при п

(например, управляемая может измениться при п

Глава 5

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

Условие устойчивости замкнутой системы, исследовавшееся в пре- дыдушей главе, является необходимым требованием при выборе закона управления. Однако стабилизирующих управлений много, и мы можем выбрать среди них то, которое оптимально с точки зрения некоторого критерия, характеризующего качество управления. В этой главе мы рассмотрим ряд важнейших критериев оптимальности и обсудим технику получения оптимального управления.

Линейно-квадратичный регулятор

Задана линейная стационарная система в пространстве состояний:

х = Ах 4- Bu, А € Rnxn, В е Rnxm,(5.1)

с фиксированным начальным условием

т(0) = з?0.(5.2)

Требуется найти закон управления в ферме линейной обратной связи по состоянию

u = Кх, Ke Rmxn,(5.3)

который минимизирует квадратичный критерий качества

ОО

J = J [(Вт, ж) + (Su, u) j dt.(5.4)

о

Здесь R € Rnxn, S Е IRmXm — положительно-определенные матрицы, так что J ^ 0. Очевидно, что для того, чтобы функционал J был конечен, необходимо, чтобы замкнутая система была устойчива; это же условие и Достаточно для конечности J. Критерий (5.4) гарантирует малость как состояний замкнутой системы, так и применяющихся управлений (за счет больших управлений можно добиться, чтобы x(t) быстро убывал, однако тогда член (Su, и) будет велик). Матрицы R и S играют роль весовых коэффициентов, учитывающих оба указанных фактора. Приведенная выше

задача является одной из основных в теории управления; в отечествен литературе оиа иногда называется задачей об аналитическом коней ировании регуляторов, в западной — задачей о линейно-квадратич регуляторе (LQR — Linear Quadratic Regulator). Существуют также п становки задачи LQR и в частотной области; методы решения нспользуг параметризацию Юлы, н в них проводится оптимизация критерия по и раметру Юлы Q.

Ввиду важности задачи рассмотрим несколько подходов к ее реше*- нию. Каждый из них представляет самостоятельный интерес и может1 быть обобщен на другие постановки задачи; кроме того, аналитическая, форма получаемого решения также различна. Всюду далее принято слс^ дующее предположение: пара (Л, В) управляема, а матрицы R и S поло* жительно определены. Это предположение может быть ослаблено, но мы проанализируем задачу в этом простейшем случае.>

Сопутствующие функции Matlab:

Iqr, dlqr (CST) — построение линейно-квадратичного регулятора для непрерывной и дискретной системы.

Принцип максимума

Видоизменим несколько постановку задачи, считая конечной продолжительность Т процесса; при этом ие будем требовать, чтобы управление имело вид (5.3), а будем искать его в форме программного управлений u(t):

т

minJT(u), JT(u) = I Г(/?х,х) + (Su, u)l dt,

“о LJ (5.5)

x = Лх + Ви, x(0) = xo, 0 C t ^ T.

Нетрудно показать, что в силу условий функционал JT(u) имеет единственную точку минимума ur(t) на гильбертовом пространстве (U функций u(t) в £2(0, Т)1. Пусть xT(t) — решение системы (5.1), соответствующее этому управлению uT(t):

хт (t) = Ахт (t) + BuT (t), хт (0) = хо-

Дадим оптимальному управлению ur(t) некоторое приращение 6ц(£) : u = ит + би; тогда оптимальная траектория хт (t) также получит прира-

Аналогично пространству £2. введенному в и. 1.3, £2(0, Т) — пространство измеримых функций u(t), определенных при t 6 [О,Т] и имеющих ограниченную 2-норму: ЦЙЦг = (/Mt)lidt) 1 < со-

щение 5x(t): х = хт+6х, которое будет описываться дифференциальным уравнением с нулевым начальным условием:

бх = Абх + Вби, 6x(Q) = 0,(5.6)

а функционал JT будет иметь вид

т

Jr(u) = JT(uT)+2 j^RxT16x) + (SuT,du)]dt + E,о

где остаточный член е допускает оценку |е| ^ СЦдиЦ^; здесь ||du||2 = ^J(6u,6u)dt^ ^ — норма в Z2(0,T). Поскольку ит — точка минимума JT(u), то JT(ur) ^ *7Т(Ы) ^^ любого и. и из вышеприведенного выражения следует, что при малых ||du||2 имеем

т

5J = J [(Лгг, бх) + (SuT, du) j dt > 0. о

Рассмотрим теперь так называемую сопряженную систему

ф = —Атф — RxT1 ^(7) = 0.

Подставляя в 6 J значение RxT из этой системы и проводя преобразования, получаем

т

6J = J |(—^> — Атф, бх) + (SuT, du)j dt = о

т

= J ^, бх) — (^, Абх) + (Sur, du) j dt = о

. т

= j ^Фз Вби) + (5иг, би) J dt =

о

т

= J (Втф + SuT, 5u)dt.

о

Здесь мы осуществили интефирование по частям с учетом граничных условий ф^Т) = 0, dx(0) = 0 и подставили бх из уравнения (5.6). Линейный функционал J (о, 6u)dt может быть одного знака для всех малых би.

лишь если а = 0. Поэтому из условия 6J > 0 получаем Втф + SuT = 0,

uT = -S^B^(5.7)[М

Итак, оптимальное решение ит)хт является решением краевой задачи zT = AiT - BS”1BT^1 zT^ = zOl

^ = -Атф-Нхт, <T) = 0.

Таким образом, отыскание оптимального программного управления иг(<у^Я задачи (5.5) свелось к решению краевой задачи (5.8) для системы 2п ли- иейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно пере^^Я менных хт,^; тогда ит находится из (5.7). Если вернуться к исходной задаче (5.1), (5.2), (5.4) на интервале (0,оо), то можно ожидать, что ее решение tioo,®oo находится из системы

Zoo = АХоо — В8~1ВТф, Жоо(0) = Хо,^ — -Ат-ф — Rxqo, ^(оо) = 0,однако предельный переход Т —* оо нуждается в обосновании (мы дадимего несколько позже, в следующем параграфе)..

Описанный выше подход может быть применен для гораздо более общей задачи оптимального управления с нелинейным нестационарным. уравнением, неквадратичным функционалом и при наличии ограничений на управление:

т

min / F^u^dt

Уравнение Риккати

Задача (5.8) представляет определенные трудности. Это не обычная задача Коши для линейных дифференциальных уравнений, а краевая задача, так как условия для кт(0 и ^(t) заданы в граничных точках t = О и t = Т. Попробуем ее решить с помошью специального приема; такой же прием применяется в методе прогонки, используемом в вычислительной математике для решения линейных краевых задач. Именно, попробуем искать линейную зависимость между ^ и х:

ф^ = Р^\(5.11)

где симметричная матрица Р^ е Rnxn подлежит определению. Подставляя это в уравнения (5.8), получаем

х = Ах —BS""XBT Рх, ®(0)=®о«Рх + Рх = -A^Px-Rx, Р^П = О.

Исключая ж, находим

Рх + РАх - PBS~xBTPx + АтРх + Rx = 0, Р(Т)х(Т) = 0.

Такое уравнение заведомо выполняется (при любых х\ если

Р + АТР + РА- PBS~XBTP + R = 0, Р(Т) = 0.(5.12)

Это матричное обыкновенное дифференциальное уравнение (с начальным условием при t = Т). Оно называется дифференциальным матричным уравнением Риккати. Отметим, что это уравнение нелинейно по Р. Таким образом, процедура построения оптимального управления иТ в данном подходе следующая.

Решается уравнение (5.12) и находится P(t\

Управление ит находится из (5.7), (5.11):

uT(t} = -8-хВтР^х^ = K(t)x(ty (5.13)

Итак, в данном случае оказалось, что оптимальное программное управление можно выразить в форме обратной связи по состоянию, однако матричный коэффициент усиления K(t) зависит от времени t. Можно показать (см. теорему П.5 из Приложения), что при сделанных предположениях (пара (Л, В) невырождена, R > 0, S > 0) решение уравнения Риккати обладает следующими свойствами.

При любом Т > 0 оно существует и единственно для всех t е [0,Т].

P(t) > 0 для любых 0 ^ t ^ Т.

Если Рт^) — решение уравнения при заданном Т, то Рта(^ < РТх (!) при Т2 > Ti.

При Т —* со будет Рт^ —* Рос» где (ие зависящая от () мат Роо является единственным положительно-определенным рента алгебраического матричного уравнения Риккати

РА-^АТР-PBS~XBTP-^R = O. (5.1

я:

С учетом свойств 3 и 4 и формулы (5.13) мы получаем, что при Т Ш оо оптимальное управление приобретает форму стационарной обратно^ связие<

u(t) = Kx(t), K = -SXB4P,(5.15).

где Р — решение (5.14). Итак, для решения исходной задачи (5.1), (5.2)^ (5.4) о линейно-квадратичном регуляторе достаточно решить алгебраиче-. ское уравнение Риккати (5.14) и с помощью найденной матрицы Р > О построить оптимальную обратную связь в виде (5.15).

Оптимальность управления (5.15) может быть доказана и «в лоб»; именно, если обозначить его через u*(t), то для любого другого (даже программного) управления u(t) можно путем несложных преобразований получить формулу

ОО

J = х^Рхо + j|u(t) - u*(t)| dt.

о

Отсюда следует важный вывод: оптимальное значение функционала J равно

•Anin = ®о Р^о

и является квадратичной функцией от начальных значений состояния.

Сопутствующие функции MATLAB:

care, dare (CST) — решение алгебраического уравнения Риккатн в непрерывном и дискретном случаях.

13. Функция Ляпунова и линейные матричные неравенства

Результат предыдущего параграфа можно интепретировать с иной точки зрения. Рассмотрим функцию

V (я) = хтРх;(5.16)

тогда для оптимальной замкнутой системы

(5.17)(5.17)х = Ах + Ви, и = -S-YBTPz

(5.17)

(5.17)

значение этой функции иа траектории ж(£) равно

ОО

V(t) = V^t)) = J ^Ях + uT5u]dT,t

т.е. монотонно убывает. Таким образом, (5.16) является функцией Ляпунова для оптимальной системы. Попробуем, ие связывая Р с уравнением Риккати (5.14), найти такие матрицы Р > 0, что для системы, замкнутой той же обратной связью, что и выше,

и = —S~lBTPx,

квадратичная функция V^x) = хтРх являлась бы функцией Ляпунова. Тогда

х = (Л - BS^B^P^x = Асх

и

V = ^С=(9) = ^РА, Л-АТРКх\

условие V < 0 выполняется, если

рас + а!р<0.

Раскрывая это соотношение, получаем

РА + АТР - 2PBS-1BTP < 0.

Умножив это выражение слева и справа на Q = Р~1 (неравенства U < 0 н QUQ < 0 эквивалентны для невырожденной матрицы Q\ получаем

AQ-bQAT -2BS"1BT <0, Q > 0.(5.18)

Итак, чтобы найти любую функцию Ляпунова (5.16) для замкнутой системы (5.17), нужно найти матрицу Q, удовлетворяющую (5.18), и взять Р= Q-1. Таким образом, мы вновь решили задачу стабилизации исходной линейной системы х = Ах+Ви (см. теорему 4.13). Выражение (5.18) является линейным матричным неравенством. В нем переменной является симметричная матрица Q, а неравенства понимаются в матричном смысле. Мы будем оперировать линейными матричными неравенствами на протяжении всей книги; в частности, мы уже встречались с ними в пп. 3.5 и 4.4. Попытаемся теперь оценить, какое значение критерия J мы получим при выборе того или иного стабилизирующего управления. Для этого введем параметр 7 > 0 и рассмотрим более сильное неравенство, чем (5.18), включающее квадратичные члены:

AQ + QAT - 2BS'1BT ^-^BS-XBT + QRQ) CO, Q > 0 (5.19)

(оно совпадает с (5.18) при 7 = 0). Если мы возьмем какое-либо реш ние Q этого неравенства и выберем обратную связь -и = — S"1BTQ^1 то можно воспользоваться леммой П.14 из Приложения: если матрица устойчива, х^ — решение системы х = Ах, х(0) = хо, то значею

ОО

функционала J = J xTWxdt (при W > 0) равно xjХх0, где X — реш о

иие уравнения Ляпунова АТХ +ХА = —W. Заменяя здесь А иа матрш замкнутой системы Ас = A—BS^B^Q-1 и W на R-\-Q-1BS-1BTQ~ получаем

Л = Xq Xxq,

AjX + ХАс = —(В + Q^BS^B^Q^.(5.20^

С другой стороны, если умножить неравенство (5.19) слева и справа на Q-1, то получим

Q 'A + A^Q 1 -VQ-'BS'B’Q-1 < -^Q 'BS^B^Q-' + Д), ' что может быть переписано как

Al ^Q ") + (^Q-")ac с -R- Q-'BS-^Q"1.

Вычитая теперь отсюда равенство (5.20) для X, получаем

$ 0.

\7/ Х7/

Матрица Ас устойчива (это было доказано выше для матрицы Q, являющейся решением (5.18), но решение (5.19) тем более удовлетворяет (5.18)). Поэтому (см. лемму П.15 из Приложения) Q^li — X ^ 0, т.е. X ^ Q”XH- Таким образом.

J = XqXxo^^XoQ 1хо«

Итак, для любого решения Q неравенства (5.19) и обратной связи и = -S-XBTQ лх мы получили оценку функционала

J С ^ lx^Q 1х0.

Сделаем еше один шаг — заменим квадратичное неравенство (5.19) ли иейным с помощью леммы Шура (лемма ПЛ из Приложения):

3V2QRl/23V2QRl/2Q>0.Q>0.AQ + QAT + (7 - 2)BS"1BT

3V2QRl/2

3V2QRl/2

Q>0.

Q>0.

V/2R1/2Q

Окончательно получаем следующий результат. Решим линейное матричное неравенство (5.21). Если для данного 7 > О найдется его решение Q, то, взяв обратную связь

u = -S"1BTQ-Yx1

мы обеспечим в исходной задаче (5.1)-(5.4) значение функционала

ОО

J = JртЯх + uTSujd( ^ 7-1ig Q-1a:o. о

Таким образом, решение линейно-квадратичной задачи при данном подходе сводится к решению линейных матричных неравенств. Величина 7 играет роль параметра; ее оптимальное значение (отвечающее минимуму функционала J) можно найти с помощью одномерного поиска. Конечно, такой путь выглядит более громоздким, чем описанные выше способы решения, ио, как мы увидим позже (п. 8.2), он допускает «робастизацию» задачи — обобщение на случай неопределенных систем.

Сопутствующие функции Matlab:

f easp (LMIC) — решение общей задачи линейных матричных неравенств; lyap (CST) — решение уравнения Ляпунова;

sqrtm (CST) — вычисление квадратного корня от матрицы.

Ноо-оптимизация

Проблема Лоо-оптимизации возникает при различных постановках задач управления. Сейчас мы познакомимся с двумя из них; другие будут рассмотрены позже, в части П, в связи с идеями робастности.

Пусть на вход устойчивой системы

х = Ах + Вш,

У = Сх

подается гармонический сигнал

w^ = а^1.

Тогда, как мы знаем (п. 1.2), установившийся сигнал на выходе будет равен

y(t) = HUv)w(t), //(s) = C(s/ - Л)-1 В.

Если мы хотим, чтобы амплитуда этого сигнала была достаточно мала для всех частот ш, то мерой этого может служить величина

8ир|Я(уш)| = ||B(s)||oo,

т.е. Нос-норма передаточной функции (см. п. 1.3). Несколько бал общая задача возникает, когда иам желательна малость выхода в како то полосе частот или, более общо, когда есть весовая функция W(s), i критерий качества процесса имеет вид

sup|W4»HCM| = 11^(5)27(8)1100.

ЫЦ;

Иначе, пусть на вход той же системы поступает любое возмущение^ ограниченное в Ьг-норме:

ОО

(5.22)(5.22)11^112 = / wT(t)w(t)dt < 1.

(5.22)

(5.22)

о

Тогда, как мы зиаем (см. (1.34) и п. 3.5),

sup |Ы|2= 11^(8)1100,

где супремум берется по всем входным возмущениям, удовлетворяющим (5.22). Итак, в обеих постановках задачи естественным показателем качества процесса является величина

J = |ГЯ(8)Цос.

Пусть теперь в системе присутствует управление:

х = Ах 4- Ви + Du), У = Сх.

Тогда задача Нco-оптимизации заключается в выборе регулятора в форме обратной связи по состоянию

и = Кх,

который минимизирует 7/ос-иорму передаточной функции Н^ замкнутой системы, т. е.

min ||Я(8)||оо, Н^ = C(sl - (Л + BK^D,

в предположении, что К — стабилизирующий регулятор.

Мы дадим два различных решения этой важной задачи. Одно будет проведено в пространстве состояний и будет опираться на описание достижимого множества из п. 3.5. Другое будет связано с описанием исходной системы с помощью передаточных функций и будет дано в частотной области.

Решение в частотной области

Начнем с последнего подхода; для простоты ограничимся одномерным случаем. Задана линейная непрерывная система (см. п. 2.4):

a(s)y(t) = b(s)u(t) + w(t),

где a(s),b(s) — полиномы от оператора дифференцирования s = d/dt; ищется регулятор в форме линейной обратной связи

»w = -C(s)y(t) = -^»(t)

(где /(s),g(s) — полиномы), который, во-первых, стабилизирует систему, а во-вторых, минимизирует Яоо-норму передаточной функции Н^ от

входа т к выходу у.

Прежде всего, мы знаем, как записать все стабилизирующие регуляторы. Именно, введем некоторый устойчивый полином y>(s), удовлетворяющий условию deg у = шах {deg a, deg 6} и рассмотрим

^(s)*)94s)

— функции из НН^ (напомним, что RH^ — пространство устойчивых реализуемых дробно-рациональных функций). Предположим, что полиномы a(s) и 6(s) взаимно просты, т.е. функции A(s) и B(s) не имеют общих нулей. Тогда по теореме 4.5 уравнение

АХ + ВУ = 1

имеет решение X°(s),y°(s) G /Шоо, и общий вид стабилизирующего регулятора дается выражением

с^=5^-(5-2з)

где Q — Q(s) — произвольная функция из RHqo. Передаточная функция нашей системы, замкнутой таким регулятором, примет вид (см. (2.14))

ms') - - =^=

W a(s)g(s) + 6(s)/(s) A(s) + B(s)C(s)

= B(s)(x°(s)- B(s)Q(s)) =

= Х°(») - B(s)Q(s),(5.24)

где обозначено Х° = DX0 = —^Х0, В = DB = —т^-В (подчеи *)y>(s)

нем, что y(s) — устойчивый полином). Итак, для всякой Q g RH^ регулятор (5.23) является стабилизирующим. Следовательно, задача м нимизации )| W(s)||oo свелась к минимизации

min||X°(s)-B(s)Q(s)U

по Q € RH^. Вспоминая определение Нос-нормы (п. 1.3), эту можно рассматривать как задачу иаилучшего приближения: заданы ции Х°(уш), Btjw\ найти Q(yw), минимизирующую

max |X°(ju;) - B0u?)Q0u?)|.

В некоторых случаях решение находится совсем просто. Пусть, нал] полином b(s) устойчив (иначе говоря, разомкнутая система — миш но-фазовая), тогда можно взять

Q(s) =Q(s) =Х°^ X^s)В^ В^ •Х°^ X^s)В^ В^ •qq

Q(s) =

Q(s) =

Х°^ X^s)В^ В^ •

Х°^ X^s)В^ В^ •

q

q

Действительно, тогда Q(s) имеет устойчивый знаменатель и Q(s) € RHo», при этом ||5(s)||co =0.

Явное решение можно найти и в случае, когда b(s) имеет один неустойчивый корень so. Re so > 0. Для этого выберем

= ^Ь^Ы = Х^ - Х^В^В^= ^Ь^Ы = Х^ - Х^В^В^(5-25)(5-25)

= ^Ь^Ы = Х^ - Х^

В^В^

= ^Ь^Ы = Х^ - Х^

В^В^

(5-25)

(5-25)

Тогда Q G RH^ (считаем, что в (5.25) единственный неустойчивый

корень so знаменателя сокращен с корнем so в числителе) и Н^ = X°(s0) = const, т.е. ||H(s)||oo = |X°(s0)|. С другой стороны, при любой Q Е RH^ Н^ — аналитическая функция в правой полуплоскости (nd построению, ибо С (5.23) — стабилизирующий регулятор), поэтому, по известной теореме теории аналитических функций, ее максимум модуля достигается иа границе, т.е. для любой Q будет ||//(s)||oo ^ l#(so)| = |X°(so)| (последнее равенство следует из (5.24), поскольку B(sq) = 0). Поэтому Q(s) (5.25) минимизирует 5»,-норму передаточной функции.

Общий случай произвольных нулей полинома 6(s) анализируется следующим образом. Пусть si,... ,sn — корни b(s), лежащие в правой полуплоскости:

5(Sg)=0, i = l,...,n, Rest>0.

Введем число 7 > 0; иас интересует, можно ли найти Q е RH^ такое, что

(5.26)(5.26)И° - BQIloo ^ 7-

(5.26)

(5.26)

Обозначим

G-, = -(Х° - BQ),(5.27)

тоща G\ G RHqo, и

G3(s^ =-X° ^=71!, i=l,...,n;

в остальном G^^ произвольна. Поэтому задача записывается так: иайти (если таковое существует) G3 G RHoo из условий

|<М- ^ 1,

(5.28)

G3(si) = пп г = 1,...,п.

Решение этой проблемы дается следующей теоремой Неванлинны-Пика.

Теорема 5.1 (Неванлинна-Пик). Составим матрицу Р размерности

пхп (матрицу Пика) с элементами

1 - п,п^

это эрмитова матрица. Задача (5.28) разрешима тогда и только тогда, когда Р ^ 0.

Существует также простой рекуррентный алгоритм, позволяющий в случае Р ^ 0 построить G-р удовлетворяющее (5.28). Тогда из формулы (5.27) можно иайти Q, для которой верно (5.26), а затем и регулятор С из фортуны (5.23). Подбором 7 можно решить и задачу отыскания минимального 7, для которого задача (5.28) разрешима; соответствующий регулятор будет обеспечивать минимум ||H(s)||со

существуют и иные способы решения задачи минимизации К^-нормы для систем, заданных с помощью передаточных функций. Не будем на ннх останавливаться, а перейдем к иному подходу — решению задач Ноо- оптимизации в пространстве состояний.

Решение в пространстве состояний

Итак, мы рассматриваем систему с внешним возмущением w, ограниченным в £2-норме:

х = Ах + Ви + Dw, ЦгиЦз < 1, х(0) = О,

(5-29)

у = Ох + В\и

и ищем управление

(5.31(5.31и = Кх,

(5.31

(5.31

которое минимизирует

J = sup||y|&tu

Обратим внимание, что в (5.29) управление и включено в уравнение выходе для того, чтобы ограничить величину используемого управления; В противном случае можно добиться сколь угодно маленького значения ^ с помощью достаточно больших и (с той же целью управление было?1 введено в критерий J (5.4) в задаче о линейно-квадратичном регуляторе из п. 5.1).'

Как мы зиаем, J = 11^(8)11^,, где Н^ — передаточная функция заг, мкнутой системы от возмущения w к выходу у, т.е. минимизация J экви* валентна задаче Ноо -оптимизации. Преобразуем предварительно ||у|||: i?;

ОС

НуНз = j (Сх + Bvu)T(Cx + Biu)dt = о

ОО

= j (х^Сх + 2ит В^Сх + y^BfB^dt. о

Предположим, для простоты выкладок, что В^С = 0, тогда смешанное произведение отсутствует:

ОО

IMI2 = J ^С^Сх + uTS^dt, S = в? в о

Таким образом, задача записывается так:

х = Л^ + Pw, ||w||^l, з:(0) = О, Ас^А-^ВК;

где R=CTC + KTSK1где R=CTC + KTSK1S = B?Bl.S = B?Bl.ооj x^Hxdt,о

где R=CTC + KTSK1

где R=CTC + KTSK1

S = B?Bl.

S = B?Bl.

На основании теоремы 3.13 заключаем, что если неравенство

А‘Р + РАС + \PDDTP + R С О72

имеет решение Р > 0, то J С ^. Умножим это неравенство слева и справа на Q = Р"1:

Q^A + ВК^ + (Л + ВК№ + ^DDT + QCTCQ + QKTSKQ 5 О

н сделаем замену Y = KQ:

QAT +AQ + QC^CQ + YTBT + BY + YTSY + ^DDT« 0. (5.32)

Преобразуем члены, зависящие от У (дополнением до полного квадрата):

УТВТ + ВУ + YTSY =

= (S^y+ S-V2Bt)t(5i/2K^^ -bs-xbt,

причем равенство достигается при У = —S-1BT. Итак, неравенство (5.32) выполняется прн некоторых Q > 0, У тогда и только тогда, когда выполняется неравенство относительно Q > 0:

QAT + AQ + QC^CQ - BS^B4 + ^DDT 5 0.

В свою очередь, оно имеет положительно-определенное решение Q > 0, если такое решение имеет уравнение Риккати, полученное заменой неравенства на равенство (лемма П.23 из Приложения). По этому решению Q мы можем восстановить соответствующий регулятор:

K^YQ-1 = -S-1BTQ-\

и этот регулятор будет стабилизирующим, т. е. Ас = А + В К устойчива. Итак, мы пришли к следующему результату.

Теорема 5.2. Пусть В^С = 0, S = B^BV > 0. Если уравнение Риккати

QAT +AQ + QC^CQ - BS'АВТ + ^DDT = 0

имеет решение Q > 0 при данном % то найдется регулятор

К = -S^'Q^

такой, что в задаче (5.29)-(5.30) будет

||№)||со ^ 7,

где H(s) = (С + BxK^sI - (А + ВК^-ХD — передаточная функция замкнутой системы.

Отсюда следует алгоритм подбора 7, который позволяет оценить нимальную Ям -норму передаточной функции системы и синтезиро) соответствующий оптимальный регулятор. Он основан на пересчете 7 последовательном решении уравнения Риккати.

Выше мы рассматривали задачу Н^ -оптимизации в предположеин что известно состояние системы. Аналогичная техника возможна и в з даче управления по выходу. В этом случае для отыскания Ноо-оптимал ного регулятора приходится решать два уравнения Риккати. Кроме тог возможен и ряд других, более общих постановок задачи, а также i дискретные аналоги. Не будем на этом останавливаться, так как bi кладки становятся значительно сложнее, а идейная сторона решения мало меняется.

Сопутствующие функции Matlab:

[hinf, lint, hinfopt (RCT)] — Hoo-оптимальный синтез;

[care, daze (CST)] — решение уравнения Риккати.^

ч.

Подавление ограниченных возмущений

Обратим внимание на то, какого рода внешние возмущения считались допустимыми в приведенных выше постановках задач оптималь'^ иого управления. В линейно-квадратичной задаче (п. 5.1) внешние воз11 мущения предполагались отсутствующими (в действительности возможно обобщение на задачу со случайными гауссовскими помехами; это так называемая линейно-квадратичная гауссовская задача — LQGY Проблема Hqc -оптимизации (п. 5.2) была связана либо с синусоидальными внешними воздействиями, либо с ограниченными в L2 помехами (т.е. убывающими с течением времени). Впрочем, возможна формулировка Ноо- оптимизациоиных задач и в ситуации со случайными гауссовскими помехами. Итак, во всех рассмотренных выше подходах внешние воздействия предполагались либо случайными, либо гармоническими, либо затухающими на бесконечности.

Однако во многих случаях возмущения являются просто ограниченными; какая-либо иная информация о них отсутствует. В такой ситуации требуется выбрать закон управления, который давал бы иаилучший возможный результат при наихудшем ограниченном возмущении. Это связано с минимизацией Li-нормы (в непрерывном случае) "или Zi-нормы (в дискретном случае) оператора, задающего замкнутую систему. Поэтому выбор иаилучшего управления по такому критерию называется [г (или ЬхУоптимизацией. При этом иногда говорят о проблеме подавления ограниченных возмущений. Рассмотрим эти задачи подробнее.

53.1- ^-оптимизация

Начнем с одномерных дискретных систем, описываемых скалярным разностным уравнением

а^ук = 6(z)ufc 4-wfc,а^ук = 6(z)ufc 4-wfc,(5.33)(5.33)

а^ук = 6(z)ufc 4-wfc,

а^ук = 6(z)ufc 4-wfc,

(5.33)

(5.33)

(5.34)(5.34)где

(5.34)

(5.34)

a(z) = 1 +aiz + ... + a„zn, b^ = bxz +... + bmZ™

полиномы (согласно практике, установившейся в h -теории, в этом параграфе будем обозначать полиномы строчными буквами), az — оператор сдвига назад, т.е. z^yk = Ук—г- Отметим, что 6(0) = 0, т. е. ук зависит от ,гьк-т» Ук-1, “,Ук-п^ а полином a(z) всегда можно отнорми- ровать так, чтобы a(0) = 1. Относительно помехи -ш будем предполагать лишь ее ограниченность для всех моментов к, т. е.

|ш^| ^ г, к = 0,1,...,|ш^| ^ г, к = 0,1,...,(5-35)(5-35)

|ш^| ^ г, к = 0,1,...,

|ш^| ^ г, к = 0,1,...,

(5-35)

(5-35)

где г > 0 — некоторая константа, или, иначе говоря, ||w||co С г- Нас интересует выбор управления и в форме обратной саязи:

Ик =Ик =№)9^№)9^Ук;Ук;

Ик =

Ик =

№)

9^

№)

9^

Ук;

Ук;

иными словами, Uk находится из разностного уравнения

g^Wk = -fU^

где /(z),g(z) — некоторые полиномы от z. Обратим внимание, что степени этих полиномов могут быть любыми — во всех случаях Ик выражается через предыдущие управления и выходы, а при подстановке этого Ик в (5.33) благодаря условию 6(0) = 0 окажется, что выход ук замкнутой системы выражается только через прошлые значения входов и выходов. Итак, имеем

а^ +) Ук = Wk’

или

У к = h^Wk,

где

Mz) =Mz) =«(2)9(2) + b(z)f(z)'«(2)9(2) + b(z)f(z)'9(г)

Mz) =

Mz) =

«(2)9(2) + b(z)f(z)'

«(2)9(2) + b(z)f(z)'

Прежде всего, нам нужно, чтобы замкнутая система была устойчивой, т. е» чтобы характеристический полином

М = a(z)g(z) + 6(z)/(z)

имел все корни вие единичного круга. В этом случае A(z) аналитична внутри круга, представима там в виде ряда 7i(z) = 7io+^i^+- • -+fycZ:A:+...

(см. п. 1.3), и справедлива оценка

Мое с цад||1 Iiwiloo С г над || ь

где

ООпади, = £>| < «хt=0

Таким образом, минимизируя критерий

J^ ПОДlli= sup Ы|оо,11^11 ОО < Г

мы тем самым минимизируем ^-норму выхода при любых входах w, удовлетворяющих ^-ограничениям (5.35). Задача оптимального управления свелась к проблеме минимизации ||^(z)||i по регулятору

при условии, что этот регулятор является стабилизирующим. В некоторых случаях решение такой задачи находится без труда.

Пусть, например, b(z) = z, т. е. исходная задача имеет вид

*Ук = -а\Ук-1 - . - - - йтгУк-п + llk-L + Wk-

Если взять ик_! = avykl + - - - + апук-П1 то будет ук = wk, т.е. |у*| < |wa-| ^ г, || у|| со ^ т. Ясно, что лучшего результата достичь нельзя — каким бы ни было управление Ш-ь оно не может зависеть от wk (потому что оно зависит лишь от ук-г, • - •, Ук-™ а те не зависят от wk). Поэтому для любой величины ек ^ ttk-i — aiZ/fc-i — - - - — апук-п. ^ 0 можно взять wk = rsigne* н тогда |у^| = к*| + г > г.

Аналогичное простое решение получается, если z-16(z) — устойчивый полином; тогда достаточно взять

*и-к =*и-к =z чад-х)2-4(2)^'z чад-х)2-4(2)^'

*и-к =

*и-к =

z чад-х)

2-4(2)^'

z чад-х)

2-4(2)^'

Тогда р^ = z-1b(z) устойчив, а ук = wk. Однако в общем случае для произвольного полинома Ь^ решение более сложно. Чтобы его получить, нам потребуется, во-первых, общий вид стабилизирующего регулятора (см. п. 4.2) и, во-вторых, некоторые факты из теории оптимизации. Напомним, что все стабилизирующие регуляторы даются формулой (4.14):

_ ^М + ФЖ»)

с^>-^-Ч=^У

где x°(z),2/°(z) — полиномы минимальной степени, являющиеся решением уравнения

by 4- ах = 1,(5.38)

a q(z^ — произвольная устойчивая дробно-рациональная функция (т.е. не имеющая полюсов в единичном круге). Вычисляя передаточную функцию h(z) по формуле (5.36), получаем

A(z) = х° — bq.

Пусть полином Ь^ не имеет нулей на единичной окружности, тогда он представим в виде

t>(z)=b+(z)b_(z),(5.39)

где все нули b+(z) лежат вне, а все нули Ь_^ — внутри единичного круга. Обозначим к^ = q^b^zY тогда к^ — произвольная устойчивая дробно рациональная функция (по к^ восстанавливается q^ = fc(z)/b+(z), также являющаяся устойчивой). Итак, наша задача принимает вид

min ||a:0(z) — fc(z)b-(z)||i,(5.40)

М^)

где з? — заданный полином (решение уравнения (5.38) минимальной степени), Ь_^ — полином со всеми нулями внутри единичного круга, а минимум берется по всем устойчивым k^zY В силу устойчивости функция к^ аналитична в единичном круге, а потому она допускает разложение

k^z') = ко + k\Z +... + kiz' +...

Относительно коэффициентов разложения fc, задача (5.40) является задачей оптимизации вида

6. Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков

где коэффициенты полиномов

a?°(z) = со + ciz +... + CnZn,a?°(z) = со + ciz +... + CnZn,Ъ-^ = do + dxz +... + cUzmЪ-^ = do + dxz +... + cUzm

a?°(z) = со + ciz +... + CnZn,

a?°(z) = со + ciz +... + CnZn,

Ъ-^ = do + dxz +... + cUzm

Ъ-^ = do + dxz +... + cUzm

порождают вектор с и матрицу А*.

Здесь к — бесконечномерный вектор, А — матрица с бесконечным числом строк и столбцов. Рассмотрим конечномерный вариант задачи, • котором берутся N + 1 компонент вектора к н N х (N + 1) усеченная матрица А:

N

min 52 h - AM..—о

гае к = (ко, - - -, к^^, a Ai — первые N + 1 элементов f-й строки матрицы А Эта задача эквивалентна обычной конечномерной задаче линейного программирования:

(5.42)(5.42)Nmin 52 hii=0

(5.42)

(5.42)

—ti ^ Ci — Aik ^ ti.

Численное решение может быть получено с помощью любого пакета линейного программирования, например, процедуры linprog в пакете Optimization Toolbox системы MATLAB.

Обозначим решение этой задачи через kN, а минимальное значение целевой функции — как JN; ясно, что Ji > Jt+1 для любого г.

Теорема 53. Существует такое N, что Ji ^ JN для всех г; иначе говоря, решение бесконечномерной задачи (5.41) достигается на конечномерном векторе kN.

Доказательство. В силу теоремы двойственности для задач вида (5.42) (см. Приложение, п. 11) имеем

min||c —ЛЛ||1min||c —ЛЛ||1_ 1”^М~’_ 1”^М~’U = {u: сТи = 1, Лти = 0}.U = {u: сТи = 1, Лти = 0}.

min||c —ЛЛ||1

min||c —ЛЛ||1

_ 1

”^М~’

_ 1

”^М~’

U = {u: сТи = 1, Лти = 0}.

U = {u: сТи = 1, Лти = 0}.

Иначе говоря, двойственной к (5.42) является задача

min ||w||oo, с1^ = li ATti = О,

которая с учетом вида матрицы А в нашем случае записывается как

N

min^ maxt |u*|, 52 ct^ = 1, d(z)iQ ” 0, t=o(5.43)

d(z) = dm + dm-iZ +.. - + diZm-1.

Здесь d(z) —полином, получающийся нз b-^ изменением порядка переменных. Поэтому у d(z) корни обратны корням b_(z^ и, следовательно, оии лежат вне единичного круга. Отсюда следует, что «t —»0 прн t —* оо. Таким образом, тах|и#| достигается для некоторого конечного t = N, н значение минимума в (5.43) не меняется прн достаточно больших N. В силу соотношения двойственности это же относится и к задаче (5.42).

Подытожим полученный алгоритм решения задачи h -оптимизации.

Алгоритм

Произведем факторизацию (5.39) полинома ЦгУ

Решим полиномиальное уравнение (5.38), найдем решение х°,у° наименьшей степени.

Раним задачу линейного программирования (5.42) для достаточно большого N; убедимся, что решение не изменяется при увеличении N.

По полученному kN = (Л^, ку ,..., к^т построим

k^z^k^ + k?z + ...*k$tzN

н найдемн найдемч^ =ч^ =^)М^Г^)М^Г

н найдем

н найдем

ч^ =

ч^ =

^)

М^Г

^)

М^Г

Оптимальный регулятор дается формулой (5.37):

С^ =С^ =y°(z) + a(z)g(z)

С^ =

С^ =

*°(z) - b(z)9(z) ‘

Отметим, что если на шаге 3 алгоритма решать двойственную задачу (5.43), то требуемое N удается найти сразу; при этом, однако, возникает небольшое усложнение, связанное с переходом от решения двойственной задачи к исходной.

Итак, решение проблемы li -оптимизации удается получить численно, путем решения задач линейного программирования. К сожалению, число N (и, тем самым, порядок оптимального регулятора C(z)) нельзя ь*

оценить заранее. Существуют примеры, для которых этот порядок о* велик для совсем простых объектов. Например, можно показать, что дискретной системы

Ук - еук-1 = ик-1 + Еик_2 + wk порядок оптимального регулятора неограниченно возрастает при е 0. Один из способов преодолеть этот недостаток заключается в поиске субоптимального решения — мы можем заранее ограничить порядок N полинома к^ и решить задачу линейного программирования для фиксированного ^; тогда порядок субоптимального регулятора тоже будет априори ограничен.

Еще хуже ситуация для непрерывных одномерных систем

“(s)3/(t) = b(s)u(t) + w(t), |w(t)| < г.

Здесь оггтнмальный (в смысле минимума ||у||оо) линейный регулятор ?

u(t) = C(s)^(t)

может оказаться бесконечномерным, т.е. оптимальная функция C(s) не является дробно-рациональной. Мы не будем более подробно изучать эту задачу (называющуюся Li -оптимизацией), равно как н многомерные аналоги li н Li, а обсудим иные подходы к проблеме подавления ограниченных возмущений.

5.3.2. Использование сверхустойчивости

Один из. подходов связан с использованием сверхустойчивости вместо устойчивости и возникающих при этом оценок выхода системы. Рассмотрим ту же модель (5.33)-(5.35) дискретной одномерной системы, что н ранее:

Q(z)yk = b^Uk + Wk, |Wfc| ^ г, a(z) = 1 + aiz + ... + anz”, b^ — byz-v ...4-bmzm н линейный регулятор

у(2)и* = -f^yk.

Как уже отмечалось, характеристический полином равен

p(z) = a(z)g(z) +6(z)/(z),

а замкнутая система принимает вид

Р^^ук - g(z\wk.

Аналогично a(z) мы можем отнормировать полином д^ так, чтобы д^ = 1; в сочетании с условиями а(0) = 1, 6(0) = 0 это дает р(0) = 1, т.е. характеристический полином равен

^ = 1 +piz +... + Рп^.

Потребуем, чтобы он был сверхустойчивым (см. (3.45)), т.е.

Еы<1

1=1

(в другой форме записи это означает, что ||p(z) — l||i < 1), тогда согласно теореме 3.18 имеем

. , < llPlii

Ы " 1-11Р-1Ц/

для всех к. Таким образом, чтобы минимизировать ||у||оо — максимум модуля выхода, можно минимизировать (по /^ и g(z)) величину

7(/,У) =7(/,У) =1-Цр-11111-Цр-1111(5.44)(5.44)

7(/,У) =

7(/,У) =

1-Цр-1111

1-Цр-1111

(5.44)

(5.44)

в предположении, что знаменатель этого выражения положителен. Вводя параметр р, 0 < р < 1, мы приходим к задаче

(5.45)(5.45)min «9111/(1 - ^),/,9

(5.45)

(5.45)

II »9 + bf - 1 Hi < р, у(0) = 1.

Если зафиксировать степени F н G полиномов /(z) и g(z): /И = /о + /iz + -. - + Jf2^ 9^ = 1 + 912 + ... + gGzG,

(5.46)(5.46)то при фиксированном р задача (5.45) с помощью стандартных приемов может быть преобразована в задачу линейного программирования относительно переменных /о. Л, • - - > /р, 91, - - • >9g (см- п- 4-5). Решая ее прн различных 0 < р < 1 н оптимизируя по р, мы находим минимум 7* величины (5.44), а сам регулятор С^ = f^lg^ гарантирует оценку

(5.46)

(5.46)

Ь1|оо < Г7*

для замкнутой системы. Может оказаться, что прн слишком малых F н G решеине задачи (5.45) не существует даже прн р « 1, т. е. полином p(z) не может быть сделан сверхустойчивым; тогда порядки F н G полиномов регулятора следует увеличить. Отметим, что здесь не возникает проблем с

высокими порядками, так как в предположении взаимной простоты в( b(z) уравнение ад + bf — 1 = 0 разрешимо cG^n — 1, F^m- (см. теорему П.4 из Приложения), и ограничения в (5.45) совместны п р = 0, т. е. задача (5.45) заведомо имеет решение при G = п — 1, F 771 — 1.

Описанный способ проще, чем Zi-оптимизация. Более того, он поз1 ляет строить оптимальный регулятор заданного порядка. Однако оцев (5.46) является лишь верхней гранью ||у||оо. поэтому ^ -оптимизация может дать лучшее значение этого критерия.

Отметим, что такой подход к задаче подавления ограниченных возмущений допускает обобщение на многомерные системы, причем охватываются случаи и дискретного, и непрерывного времени. Например, pais смотрим непрерывную систему, заданную в пространстве состояний (везд# ниже используем оо-норму для векторов):

х = Ах + Ви + D^w, х(0) = хо,

(5.4^ у = Сх + D2to,MOI ^ li t ^ 0.

Ищем регулятор по выходу и = Ку и прежде всего требуем, чтобы он сверхстабилизировал замкнутую систему

х = Асх + Dw, Ас = А + ВКС, D = Dy-V BKD2,

т.е. чтобы

а^Ас') > 0,

где а^Ас) определяется (3.38). Среди всех таких регуляторов ищем тот, который минимизирует критерий

maxНЧ|оо<1maxНЧ|оо<1max|x(t)|max|x(t)|

maxНЧ|оо<1

maxНЧ|оо<1

max|x(t)|

max|x(t)|

(в более общей постановке можно интересоваться не состоянием x^f), а какой-нибудь линейной функцией от него).

Воспользуемся оценкой (3.40), справедливой для сверхустойчивых систем:

н будем минимизировать ее по всем К при условии, что регулятор К — сверхстабилизирующий. Вводя параметр <7 > 0, приходим к задаче

minк, аminк, аЦА+ВКРаЛгаЦА+ВКРаЛга<7(Л + ВКС) > о > 0.<7(Л + ВКС) > о > 0.(5.48)(5.49)(5.48)(5.49)

minк, а

minк, а

ЦА+ВКРаЛг

а

ЦА+ВКРаЛг

а

<7(Л + ВКС) > о > 0.

<7(Л + ВКС) > о > 0.

(5.48)

(5.49)

(5.48)

(5.49)

Как и выше, при фиксированном а такую задачу нетрудно преобразовать к системе линейных неравенств относительно элементов матрицы регулятора К.

Теорема 5.4. Если задача параметрического линейного программирования (5.48)-(5.49) имеет решение К, а с оптимальным значением J* критерия (5.48), то регулятор и = Ку сверхстабилизирует систему (5.47) и при любых начальных условиях |z(0)| < J* будет |z(t)| < J*. t > 0.

Таким образом, полученный регулятор минимизирует норму вектора состояний равномерно по t, что предотвращает нежелательные эффекты типа всплеска (см. п. 4.3).

Выше (п. 4.5) отмечалось, что не всякая система может быть сверх- стабилизирована. Поэтому решения в задаче (5.48)-(5.49) может н не существовать, однако если она н разрешима, то величина J* дает лишь верхнюю оценку оптимального значения критерия.

533. Использование инвариантных множеств

Совсем другой подход связан с оценками множества достижимости, полученными в п. 3.5. Прн этом сложный случай многомерных непрерывных систем также анализируется легко.

Напомним (несколько изменяя обозначения), что в теореме 3.12 мы получили следующий результат. Пусть замкнутая система имеет вид

х = Асх + Dw, х(0) = О,

(5.5°)

у = Сх, wT(t)w(t) < 1, 0 < t < оо, где матрица С — полного ранга н для простоты считаем, что матрица D квадратная н невырожденная. Тогда в предположении устойчивости Ас для всех t выполняется неравенство

уТ(^СРСТу(Й < 1,

Р>0Р>0(5.51)(5.51)где Р = Р(а) > О — решение задачи min tr СР(а)Ст, а>0

Р>0

Р>0

(5.51)

(5.51)

АСР + РА^ + аР + a'1DDT < О,

(в теореме 3.12 неравенство было заменено на равенство в соответствии с леммой П.15, но мы сделаем это чуть позже). Пусть теперь исходная система содержит управление и:

(5.52)(5.52)х = Ах + Ви 4- Dw, у = Сх,

(5.52)

(5.52)

н это управление ищется в форме статической обратной связи по состоя нию:1

и = Кт.J

Тогда замкнутая система принимает вид (5.50) с Ас = А + ВК. Под^ ставляя это выражение в (5.51), получаем матричное неравенство для ^ нК:U

АР + РАТ + РКТВТ + ВКР + аР + q1 DDT < 0.

Здесь две матричных переменных Р н К, которые входят нелинейны^ образом. Введем новую матричную переменную Y = КР; тогда получая^ линейное матричное неравенство*j

АР + РАТ a-YtBt A-BY А-аР-V а"хDD1 < 0.*

Таким образом, если мы хотим найти минимальный эллипсоид (в смыслу следа соответствующей матрицы), в котором содержатся выходы y(t) прй любых ограниченных возмущениях w(t), то нужно решить следующую задачу:

min trCPCT,

a.P.Y*

АР + РАТ A-YT Вт A-BY А-аР А- a'W <0, а > 0, Р > 0.

(5.53)

На основе лемм П. 18 и П. 16 из Приложения заключаем, что решение в задаче (5.53) достигается на У = —7ВТ н при замене знака неравенства на знак равенства. Таким образом, Р = Р(а,7) является решением уравнения Ляпунова

АР + РАТ - 7ВВ1 + аР + a"1 DDT = 0, Р > 0.(5.54)

Окончательное решение находится путем минимизации

Д^о^С^т), у(а,7) = trCP(a,7)CT, (5.55)

прн этом рассматриваются такие значения 0,7, что Р(а,7) > 0. Предположим, что мы решили задачу (5.55) н нашли оптимальные а, 7, а тем самым н Р, Y. Тогда регулятор

tL=YP"xi

обеспечивает неравенство

^^СРС1^ < 1

|у(012|у(012для выхода y(t) системы (5.52) с таким регулятором при любом ||w||oo ^ 1, причем это неравенство — наилучшее из возможных такого типа. В частности, если выход y(t) — скалярный (т = 1), то С = ст — вектор- строка, н мы получаем

|у(012

|у(012

стРс’

Т С/ т \-V2

llylloo < (стРс) ,

н величина в правой части оценивает ||у||оо- Иначе говоря, решение задачи (5.54)-(5.55) дает наилучший регулятор по состоянию, оптимизирующий эту оценку.

Сформулируем окончательно полученный результат для скалярного выхода (т. е. для m = 1, С = ст).

Теорема 5.5. Пусть Р^а, у) — решение уравнения Ляпунова (5.54); рассматриваются лишь такие а, у, что Р(а, у) > 0. Решим двумерную задачу оптимизации (5.55) и обозначим ее решение через ао,уо- Вычислим

Ко = -7oST Р(а0,7о)"* -

Тогда управление и = Кух обеспечивает оценку

Ыоо ^Р = (стР(ао,7о)с) ’

для системы (5.52) с т = 1, С = сТ при любых ||w||oo ^ 1, « эта оценка — наилучшая из возможных при произвольных обратных связях вида -и = Кх.

Нужно ясно представлять возможности н ограничения предлагаемого подхода. С вычислительной точки зрения он не очень сложен. В то же время инвариантный эллипсоид — лишь оценка для выхода системы; эта оценка может быть н завышенной.

Практически почти без всяких изменений метод переносится н на дискретные системы, н мы не будем на этом останавливаться.

Сопутствующие функции Matlab:

linprog — решение задачи линейного программирования.

5.4. Выводы

Задача оптимального управления заключается в построении такого стабилизирующего управления, которое минимизирует некоторый критерий качества.

Одной из основных является LQR — задача о линейно-!

регуляторе (иначе — задача об аналитическом конструировании ре:

системы в пространстве состоянийсистемы в пространстве состоянийторов), возникающая при описании

системы в пространстве состояний

системы в пространстве состояний

х = Ах + Ви, х^ = хо,

и выборе управления в форме линейной обратной связи по состоя! и = Кх, которое минимизирует квадратичный критерий

со

J =J =j |^(/?а7, ж) + (Su,«)jdtо

J =

J =

с некоторыми весовыми матрицами R > 0, S > 0. Для ее решения можн< пользоваться следующими методами.

Исходя из принципа максимума, решить краевую задачу

х = Ах — ВВ^В^-ф, х(0) = ж0,

ф = -Атф - Rx, ^(оо) = 0,

относительно х,ф. Оптимальным будет программное управление и =

—8-1Втф.Г

Решить уравнение Риккати

АТР + РА- РВЗ~*ВТР + R = 0

и взять статическую обратную связь и = —S~1BTPx. При этом оптимальное значение критерия равно Jm,n = х^Рхо.

Решить задачу минимизации с ограничениями в форме линейный матричных неравенств

min7~1xjQ“1a;o,

AQ + QAT + (7 - 2)BS-1BT ^qhv^ \

I < 0, Q > 0^^RX^Q_t у

и взять обратную связь и = — S~1BTQ~1x.

Задача Boo-оптимизации заключается в построении стабилизирующего регулятора для систем с возмущениями, ограниченными в Вг-норме, а показателем качества является величина Воо-нормы передаточной функ- ции замкнутой системы.

При описании системы в частотной области

a(s)y(t) = fe(s)u(t) + w(t), |jw(t)||2 < 1,

и выборе регулятора в форме обратной связи

и = С^у

используется параметризация всех стабилизирующих регуляторов с последующей оптимизацией критерия по параметру. В ряде частных случаев (полином Ь^ устойчив либо имеет один неустойчивый корень) решение может быть найдено в явной форме. Для общего случая решение дается теоремой Неванлинны-Пика (теорема 5.1), н имеются конструктивные численные алгоритмы построения Нео-оптимального регулятора, опирающиеся на этот результат.

При описании в пространстве состояний

х = Ах + Ви + Dw, ||w||2 < 1, z(0) = О,

у = Сх + Вуи

ищется управление и = Кх, которое минимизирует критерий

J = ||H(s)||oo = sup ||y||2l

- Ilwlb^l

где H(s) = (C+BiK^sI - (Л a-BK^Y^D — передаточная функция замкнутой системы. Решение дается теоремой 5.2, которая использует связь между величиной ||у||2 и существованием положительно-определенного решения уравнения Риккати

QAT +AQ + QCTCQ - BS"XBT + ^DDT = 0, S = B^;

а именно, если при некотором значении 7 уравнение имеет положительноопределенное решение Q, то использование регулятора

К = -S"yBTQ-1

дает оценку J < 7. Наилучшую оценку можно получить, последовательно перебирая 7 н решая соответствующее уравнение Риккати.

Если о присутствующем в системе возмущении известно лишь то, что оно ограничено, то стабилизация такой системы н минимизация оо- нормы выхода (состояния) приводит к задаче Zi-оптимизации.

В случае одномерной дискретной системы

а^ук = b^Uk + wkt |wfcI < г, к = 0,1,...,

tik =tik =м,к1м,к1где а^, b(z) — полиномы от оператора задержки, а ||w||co < г, ищем управление в форме

tik =

tik =

м,к1

м,к1

которое минимизирует оо-норму выхода ||у||оо- Решение основано на раметризации всех стабилизирующих регуляторов с последующей о мизацией по параметру (функции из RH^). Задача сводится к бе нечномерной задаче линейного программирования: решение достига на конечномерном векторе (теорема 5.3), по которому восстанавлнва оптимальный регулятор. Основная трудность — высокий порядок го чаемого оптимального регулятора.

Если встать на позиции сверхстабилизации, то задача упрощает так как сводится к обычному линейному программированию (теорема 5.

SSн легко анализируется случай многомерных непрерывных н дискретных! систем. Прн этом решение (если оно существует) будет субоптимальных^

S

S

однако такой субоптимальный регулятор — регулятор фиксированной; структуры н, кроме того, он гарантирует монотонность убывания нормы состояния, т.е. предотвращает нежелательные эффекты всплеска. '

При использовании оценок множества достижимости также возможно обобщение на многомерный случай н непрерывное время. Регулятор по состоянию выражается через решение уравнения Ляпунова, зависящей от двух параметров; это решение определяет размер инвариантного множества. Последующая оптимизация регулятора по параметрам дает минимальный размер инвариантного множества (теорема 5.5). Такой подход прост с вычислительной точки зрения, но приводит лишь к оценкам нормы выхода системы, т. е. получаемый регулятор также субоптимален;f

Часть 2

СИСТЕМЫ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ (РОБАСТНАЯ ТЕОРИЯ)

В первой части книги рассматривались системы управления, для которых было доступно точное математическое описание. Однако, как уже неоднократно указывалось, такая ситуация является идеализированной. В реальных задачах неизбежно присутствует неопределенность, а используемое управление должно быть работоспособно при наличии неопределенности. Такое управление называется робастным, н мы переходим к изучению робастной теории управления.

Глава 6

ВИДЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Параметрическая неопределенность

Если модель описывает физический объект (механический, алектриче- ский, экономический н т.п.), то, как правило, его параметры не известны точно, причем во многих случаях их значения в принципе не могут быть доступны, поскольку они могут меняться в процессе эксплуатации. Например, при управлении автомобилем мы не знаем заранее его массу (она зависит от загрузки), скорость, коэффициент трения (он зависит от состояния дороги н износа шин) и т.д. При этом сами уравнения, опиг сывающие движение, известны точно. В такихТЛПуациях можно говорить о параметрической неопределенности. Линейная система (1.1) при этом заменяется на семейство систем (иногда используют термин неопреде

ленная система)

ж = A№ + B^q)u 4-Di^w, q^Q, У = C(g)x + D2(q)u),

где все матрицы Л, В, С, А, £>2 зависят от параметров q е Rf, которые принадлежат заданному допустимому множеству Q С ^ (множеству

неопределенности). Подчеркнем, что система (6.1) остается стационар ной — параметры q не меняются во времени, однако априори извести! лишь то, что они лежат во множестве Q.

Аналогичным образом прн описании системы с помощью передаточ ных функций ее элементы метут зависеть от параметров, т. е. передаточна функция объекта (пусть, для простоты, в одномерном случае) приобретав вид

нм^^у q6Q’нм^^у q6Q’(6.(6.

нм^^у q6Q’

нм^^у q6Q’

(6.

(6.

kv-*ktkv-*ktннH(e,T,k) =H(e,T,k) =гае A(e,g), B(s,g) — неопределенные полиномы, коэффициенты а»(д)^ bi(g) которых зависят от q Е Q. В этом случае говорят о неопределенном объекте H(s,q). Например, при последовательном соединении £ простых звеньев с передаточными функциями ^/(1 + T^s) и неопределенным^ постоянными времени Т4 и коэффициентами усиления kt мы получает^ семейство передаточных функций

kv-*kt

kv-*kt

н

н

H(e,T,k) =

H(e,T,k) =

(l + Tis)-.^^^)’

Г = (Т11...,Т,)Те<9т, 1 = №.-Л)т6<?ь.

3

гае роль параметров играют постоянные времени и коэффициенты усю ления. Заметим, что в B(s,T,fc) числитель н знаменатель зависят каждый от своего вектора параметров, что на первый взгляд не укладыва- ется в модель неопределенности (6.2). Однако, объединяя Т н к в вектор q = (Т к) Е й2г, придем к записи (6.2), которая, таким образом, является общей моделью.'

Мы будем рассматривать различные виды ограничений на неопределенные параметры, т. е. на форму множества Q. В принципе, допустимое множество может иметь произвольный вид и даже совпадать с Кг, но чаще всего (по соображениям природы задачи, когда неопределенные физические параметры имеют некоторые допуски) мы будем иметь дело с параллелепипедом, когда каждый из параметров меняется независимо в своем диапазоне (интервале неопределенности):

Q = (qE^ : q^qi^q^,(6.3)

в частности, с единичным кубом в оо-норме:

Q = {g € ^ : jgloo < 1}.Q = {g € ^ : jgloo < 1}.(6.4)(6.4)

Q = {g € ^ : jgloo < 1}.

Q = {g € ^ : jgloo < 1}.

(6.4)

(6.4)

При этом вершинным элементом семейства (или просто вершиной) называется элемент (матрица, полином, передаточная функция), определяемый

крайними допустимыми значениями параметров: % = q* либо % = q^ г = 1, ...,€, в случае (6.3) или q^ = ±1, t = !,...,£, в случае (6.4). Таким образом, всего имеется 2* вершинных элементов — по числу вершин ^-мерного параллелепипеда (куба) Q.

Однако параметры ммут не быть независимыми, а иметь некоторые совместные ограничения; простейший из таких случаев: допустимое множеств Q является шаром {у 6 Rf : 1^,2 < 1} в 2-норме или эллипсоидом вида

Q = {? G Rf : qTM"xq < 1, М > 0}

млн

Q = {g е Rf: 52'^-^ < 1},(6.5)

1=1’

где Q0 = (fl?,.*.>9?) — некоторое значение параметра, соответствующее номинальной системе, а, — масштабные множители. В этом случае говорим о сферических (эллиптических) ограничениях на параметры. Вообще, в качестве Q обычно рассматривается множество, ограниченное в какой-нибудь норме.

Мы будем рассматривать также различные структуры неопределенности, т. е. типы функциональной зависимости от параметра у; главным образом, линейную неопределенность. При этом коэффициенты Qi(q) неопределенного полинома (или элементы Оу (у) матрицы А^) есть линейные функции от q. Особо выделяют следующие случаи.

Интервальная неопределенность. Например, интервальный полином задается так:

P(s) = |р(л) =a0 + ais + ...+апвп : & <Ш < Qi, ^ > 0,

i = 0,..., nJ; (6.6)

в нем сами коэффициенты являются неопределенными параметрами, которые могут независимо принимать значения в своих интервалах неопределенности [ао а*]. Условие а» > 0 обычно накладывается для того, чтобы обеспечить неизменность степени п полинома при всех а^ ^ ап ^ ап. Иноща бывает удобнее следующая форма записи интервального семейства полиномов:

P(s) = {f(s) = оо + «is +... + Опвп :|а< - с? I ^ 7«<>

i = 0,1,..., nJ. (6.7)

Здесь а® — коэффициенты номинального полинома Po(s) = а® + °?8 Н .. - + а® s", ai^O — масштабы изменения коэффициентов а,, 7 > 0 - размах неопределенности. В этой записи а, = а^ — 7а,, а* = а? + ^а^

Таким же образом определяется интервальное семейство матриц: -

Л — ((<1у)): Оу ^ ац ^ оу, г^з — 1,..., п, (6.8;

которое часто записывают в форме, аналогичной (6.7):

Л = Л0 + 7А,(6.9;

где, соответственно, Ло = ((ву)) — номинальное зиаченне, А = ((Ду))й |Ау| < 6ц — неопределенность, матрица 5 = ((бу)) задает масштабьВ изменения элементов ац матрицы Л, а 7 > 0 — размах неопределенности^

Аффинная неопределенность. Описанная выше ситуация, когда не^ определенными параметрами являются сами коэффициенты полиномов^ достаточно редкая, ибо обычно коэффициенты характеристического по^ линома не имеют непосредственного физического смысла н зависят от^ параметров q более сложным образом. Аффниная неопределенность явля{ - ется простейшей моделью такой зависимой структуры неопределенности^ Аффинное семейство полиномов задается так:*

P(s,Q) = {P(s,g) = P0(s) + 91P1W + ■ • - + ЧеР^з), g e q}, £

где полиномы Fi(s), г = 0,...,€, фиксированы н известны (F(s,0) =4 , fb(s) также называют номинальным полиномом семейства). В этом слу-t чае коэффициенты а,(д) полинома F(s,g) зависят аффинным образом от параметров q:

t

Qi^ = ai+^2,qjai,

где а^ — коэффициент P^s) при s*. Иными словами, коэффициенты а*(д) не могут меняться независимо друг от друга прн изменении q. Анат логично задается н матричное аффинное семейство:

А^ — Ло -V-qiAi + ... +qfA{, qeQ,

где At, г = 0,..., £, — известные матрицы.

Линейная зависимость от неопределеных параметров представляет собой удобную модель параметрической неопределенности; чаще, однако, встречается случай мультилинейной зависимости. Скалярная функция а(д), 9 € R€, называется мультилинейной, если она линейна по каждой компоненте прн фиксированных значениях всех остальных компонент.

Мы уже встречали характеристические полиномы, коэффициенты которых являются мультилинейными функциями. Таковым, например, будет характеристический полином уже упоминавшейся цепочки простых звеньев вида A^/(l + T»s), замкнутой единичной обратной связью:

P(s, Т, *) = (1 + T,s)... (1 + Т<д) + *! ... *,.(6.10)

если рассматривать постоянные времени Т, н коэффициенты усиления к^ как неопределенные параметры (Т, к^ Е Q. Характеристический полином интервальной матрицы (6.9) также является мультилинейной функцией переменных Ду.

Отметим также встречающуюся полиномиальную зависимость от параметров; примером может служить характеристический полином аффинного матричного семейства:

г

P(s,g) = det(s/— Л(§)), А^ = Ло + ^q^At, qeQ,

i—1

и др.

При описании в пространстве состояний часто используется модель матричной неопределенности, когда не физические параметры, а непосредственно матрицы, описывающие систему, допускают неопределенность. Например,

х = Ах, А = Ло + Д, где Ло — известная матрица, а Д — возмущение, удовлетворяющее условию типа

IIAll < 7-

Здесь || -1| означает некоторую норму матрицы, а 7 — диапазон возможных возмущений. Типичной является модель, иногда называемая структурированной матричной неопределенностью. Например, при наличии неопределенности в матрице усиления К = Ко + А, ||Д|| < 7, соответствующая неопределенность в матрице замкнутой системы А + В КС будет иметь структурированную форму ВАС, ||Д|| < 7, а номинальное значение матрицы замкнутой системы равно А + ВКоС.

Частотная неопределенность

Н^ = Но^ + ДН(в),Н^ = Но^ + ДН(в),В тех случаях, когда исходным является описание системы с помощью частотных характеристик, естественно описывать и неопределенность в тех же терминах. Так, передаточная функция одномерной системы может иметь вид

Н^ = Но^ + ДН(в),

Н^ = Но^ + ДН(в),

где частотная неопределенность АН(з) принадлежит тому или и классу. Например, нередко считают, что

|дясм1 < i^)iq

для всех и) при заданной функции ^(s)» ^"^s) G RH^. Иными ела вами,]

IIIV-^HIloo < 1.J

Кроме того, предполагается, что число неустойчивых полюсов Но (в) ^ △H(s) одинаково для всех допустимых AH(s).1

Для матричной передаточной функции существует гораздо большее разнообразие форм, в которых может быть задана неопределенность. Нм пример, передаточная функция может иметь вид1

H(s) = H0(s) + B^A^H^s),

где Wi(s), W2(s) 6 RHoo — заданные функции, а■

Д(») 6 НН», ||Д(6)||„ < 1,4

— это так называемая аддитивная модель ошибок. Наряду с ней можее рассматриваться мультипликативная модель:'4

H(s) = H0(s) (l + W (s) A(s) W2(s))1

н ряд других. Несколько иная модель связана с записью объекта в вид% G(s) = 7V(s)M~1(s), где JV(s),M(s) G RHqq (cm. (4.15)); тогда неопределенность может быть учтена в форме

G(s) = (Н(з) + ДП(8)) (M(s) + AM(s))"1.,^

Наконец, весьма общий способ учета неопределенностей связан с та^‘ называемой дробно-линейной формой. Пусть М—матрица, которая имеет; блочную форму:

м _ ( Ми М12 А

М21 М22 ) '

где матрицы Мц,М22 — квадратные (возможно, разных размерностей). Нижним (соответственно верхним') дробно-линейным преобразованием называются матрицы

^(М, Aj) — Мц + Mi2A2(/— М22Дг) 1M2i,(6.11)

^,(ЛГ, Ду) = М^2 + М21Ди(/ — МцДи)-1М12(6.12)

прн условии, что обратные матрицы существуют. Модели, использующие ^i и Fu, могут охватывать большое число способов учета неопределенности Д. Например, можно показать, что если A^B^C^D — матрицы соответствующих размерностей и С-1 существует, то

/ Д(7-1 B — AC-VD

(Д + ВД)(С + РД)“1 = ЖМ,Д), М=( с-х —C-1D

(6.13)

Дробно-линеййое описание неопределенности весьма естественно возникает в задачах с так называемой М-^-конфигурацией. Это общая схема анализа задач с неопределенностями, получившая широкое распространение в современных исследованиях. Она заключается в том, что система приводится к виду, изображенному на рис. 6.1, где w — внешние

Рис. 6.1. М-Д конфигурация

входы, 2 — выход, М = М^ — матричная передаточная функция, а △(s) — матричная функция, отвечающая разного рода неопределенностям. Иначе говоря, неопределенность включается в цепь обратной связи. Более подробно система записывается в виде

ei = Muei-VM^w, е2 = Дв1,2 = M2ie2 + M22W.

Формально исключая отсюда ei,e2, получаем:

= МцДС1 + M12W, Ci = (7 — МцД-V1 M12Wt

2 = М21Де1 + Л722ю = ^А7г1Д(7 — Л7цД) 1М12 + Af22^w;

или, иначе говоря,

2 = ^и(М,Д)ш.(6.14)

В невозмущенной системе Д = 0 и ^(М,Д) = ЛГ22, т.е. M22(s) — передаточная функция невозмущенной системы.

С другой стороны, техника таких преобразований бывает полезна и задачах без неопределенности. Например, в системе

х = Ах 4- Ви,1

у = Сх 4- Du передаточная функция от и к у

G^ = C^8l-AYxBA-D может быть записана в виде

G(«) = Т.ДМ, -Л. М=(® Y

Если же рассматривать систему с внешним возмущением

х = Ах 4- Ви 4- ы,

у = Сх 4- Du

и решать задачу //со-оптимизации, т. е. искать регулятор и = Кх, который минимизирует /Тео-норму передаточной функции замкнутой системы

G^s) = (С 4- DK^sI - А - ВК)-\

то, пользуясь (6.13), G^s) можно записать как

G(8) = ^(MtK), М —G(8) = ^(MtK), М —С(з1 - Л)"1 D 4- С(з1 - AV В ](sJ —Л)-1 (si-AV В

G(8) = ^(MtK), М —

G(8) = ^(MtK), М —

s-(6.едs-(6.едТогда задача Н^-оптимизации приобретает вид minllJiCM.KyiU.

s-

(6.ед

s-

(6.ед

Аналогичным образом полином

P(s) = go 4- 018 4-... 4- оп8п представим в виде

P(8VFi(M18I\ М =P(8VFi(M18I\ М =Ор1Ор1\ О\ ОО1...ап-1апО...ООО...1оО1...ап-1апО...ООО...1о

P(8VFi(M18I\ М =

P(8VFi(M18I\ М =

Ор

1

Ор

1

\ О

\ О

О1...ап-1ап

О...ОО

О...1о

О1...ап-1ап

О...ОО

О...1о

где

Мн=ао» М12 = (oi,..., ап), M2i = (1, 0,..., 0)т.

Заметим, что М представляет собой одну из форм записи матрицы Фробениуса для полинома, ср. с (1.44).

Сопутствующие функции Matlab:

1ft (CST) — дробно-линейное преобразование

Нестационарные и нелинейные возмущения

В рассмотренной выше модели

х = (Ло + Д)х

мы предполагали, что Д — постоянная матрица. Однако иногда возмущения меняются во времени, и мы приходим к модели нестационарных возмущений

Д = △(*)-

При этом предполагается, что для всех t матрицы Д(<) принадлежат какому-либо заданному семейству, например,

«△(ОН ^ 7

для некоторой матричной нормы || ■ || или интервальному семейству

Ду ^ Ду(<) ^ Ду, г,3 = 1,... ,п.

Более того, в ряде случаев возмущения зависят н от состояния системы, и мы можем рассматривать системы типа

х = (Ло + △(t,x(i)))x

и множество других вариантов вхождения нелинейных н нестационарных возмущений. Хотя в этой книге мы в основном ограничиваемся линейными стационарными задачами, тем не менее в ряде случаев развитый аппарат (например, квадратичная стабилизация, п. 4.4; сверхустойчивость, п. 3.6) позволяет решать задачи и при наличии нестационарных и нелинейных возмущений.

Вероятностный подход к робастности

Для всех описанных выше моделей неопределенности в последующих параграфах будет применяться минимаксный подход. Нас будут интересовать вопросы типа: можно ли гарантировать какое-либо свойство системы для всех допустимых значений неопределенности? Например, будут ли все возмущенные системы устойчивыми (робастная устойчивость)? Или: обеспечивают ли они все некоторое заданное значение выбранного показателя качества (робастное качество)? Можно ли выбрать такой регулятор, который для всех систем гарантирует устойчивость (робастная стабилизация)?

Однако можно встать и на несколько иную точку зрения. Пусть мы имеем дело с параметрической неопределенностью; будем считать, что

параметр q выбирается из допустимого множества Q случайным образки! в соответствии с некоторым заданным иа Q вероятностным распредели ннем (например, равномерным). Тоща можно оценить вероятность тогц что выбранная случайно система будет обладать требуемым свойство^ Если эта вероятность близка к единице, то с практической точки зрещу поведение системы будет удовлетворительным (мы пренебрегаем маловй роятными событиями).J

Есть несколько причин, по которым такой подход кажется оправдаш ным. Во-первых, точное решение проблемы о робастности часто сложна или вообще невозможно. Например, для задачи о робастной устойчивоста интервальных матриц алгоритм решения отсутствует. Равным образе® очень трудны задачи робастного синтеза при параметрической неопрст деленное™. Вероятностный подход часто позволяет снять эти трудности Во-вторых, детерминированный подход часто является слишком пессими^ стическим — рассчитывая на самые худшие ситуации, мы занижаем ра^ мах допустимых возмущений. Если же пренебречь событиями малой вс$ роятности, то диапазон неопределенности можно значительно увеличить! В-третьих, во многих практических задачах неопределенные параметру действительно имеют вероятностную природу по своему происхождений или по способу их оценки. Например, параметры стандартных элемент тов электрической сети (емкости, сопротивления и т. д.) имеют разбросы,: подчиняющиеся вероятностным законам. Значения параметров могут быть, также получены в результате идентификации по измерениям, содержвщиМ; случайные ошибки, или они связаны с процессом производства и допускают случайный разброс вокруг номинальных значений н т. д. Ясно, что; тогда и сами оценки имеют вероятностный смысл и вероятностные пока*: затели точности, и устанавливать жесткие верхние и нижние границы для', параметров в этих условиях представляется неоправданным.

Вероятностные модели для неопределенностей могут быть различными, мы познакомимся с ними детальнее позже.

t

Выводы

• При параметрической неопределенности под семейством систем (неопределенной системой) понимают запись вида

х = A^q)x + B^q)ti-V-D^q)-U), q^Q, у = C^q)x + D2^q)w,

где все матрицы зависят от параметров q € Kf, принадлежащих допустимому можеству (множеству неопределенности) Q С Н€. При этом говорят о параметрических семействах матриц {Л(д), q € Q} (неопределенной

матрице). Аналогичное понятие вводится для полиномов P(s, 9) и передаточных функций H^stq), коэффициенты (элементы) которых зависят от параметров.

Допустимое множество Q, как правило, задается в виде ограничений на норму вектора q неопределенных параметров. Наиболее часто используемая оо-иорма приводит к кубу млн параллелепипеду в Rf, при этом каждый параметр меняется независимо в своем интервале неопределенности: qi ^ qt С Чг- В этом случае вершинным элементом семейства называется элемент, определяемый крайними допустимыми значениями параметров. Часто используется 2-норма, приводящая к шару или эллипсоиду — сферическая неопределенность.

Рассматриваются различные структуры неопределенности — типы функциональной зависимости от параметра q. При линейной зависимости коэффициенты а, (у) неопределенного полинома являются линейными функциями от q. Особо выделяют случаи интервальной неопределенности и аффинной неопределенности. Под интервальным полиномом понимают

P^s) = {P(s) = Go 4- ois 4-... 4- ansn : a, ^ ^ ^ a„ an > 0, г = 0,...,n};

иногда используют другую форму записи:

P(s) = |P(s) = ao4-a1s4-. ..4-ansn : |a,-a?| ^ 7a,, г = 0,1,...,nJ, где a® — коэффициенты номинального полинома Po(s) = Gq + ajs 4- ... 4- a^s”, A, ^ 0 — масштабы изменения коэффициентов a^, 7 > 0 — размах неопределенности. Таким же образом определяется интервальное семейство матриц:

А = ((°у)): бу ^ °v ^ °У ’ ^2 = 1, - - •, п, или

А = Ао 4- 7 А,

где Ао = ((Оу)) — номинальное значение, А = ((Ду)), |Ау| ^ бу — неопределенность, 6 = ((бу)) задает масштабы изменения элементов ay матрицы А, а 7 > 0 — размах неопределенности. Под аффинным семейством полиномов понимают

■P(s-Q) = {Л»,е) = Ро(«) + »iPi(s) +... + »<«(»), е е <?}, где полиномы Pi(s\ г = 0,..., £, фиксированы и известны. Аналогично задается и матричное аффинное семейство.

О мультилинейной структуре неопределенности говорят, когда кок фициенты полинома являются мультилинейными функциями от q € Q -4 они линейны по каждой компоненте q при фиксированных значениях* всех остальных компонент.

Часто используется модель матричной неопределенности, ограняв чеиной по норме:d

Л = А0 + Д, НДЦ ^7,х

Л А И где До — номинальное значение, Д — возмущение, 37 — диапазон, возмущений. Типичным является случай структурированной матричной^ неопределенности вида

Д = До+ВДС, ЦДК7-.

Неопределенность в передаточной функции учитывается в аддитивной или мультипликативной форме:

Н^) = Hots) + Wtto^Wits)

или

Щ«) = Н0(б^1 + ^ИДИ^гМ),

где матричные функции И^я), И^(») € RH^ заданы, а Д(я) G RH^ удовлетворяет ||Д(в)||оо ^ 1. В одномерном случае типичной является форма записи

Н^ = Но^ + ДН(Я), НИ^ДННоо ^ 1,

где РУ (в) — заданная функция, ty-1(s) € RH^.

При записи объекта в виде G(s) = A^(s)M-1(s), гае A^(s),M(s) 6 RHcoi неопределенность может быть учтена в форме

G(s) = (n^ + Д^(s)) (to(s) + ^М^\

Нижним и верхним дробно-линейным преобразованием матриц М и Д, где М имеет блочную структуру

м ( ^и Mv2 м21 м22 )

(_Мн,М22 — квадратные матрицы), называются матрицы

■^(^>Д) = ЛГц + ЛГ12Д(1 — ЛГ22Д)-1А^21,^^(Af, Д) = М22 + М2\Д(/ — МухД) IAfi2-

Такой способ учета неопределенности △ назывется дробно-линейной формой; он возникает в задачах с М-Л-конфигурацией, при которой неопределенность включается в цепь обратной связи.

Дробно-линейное преобразование применяется н в задачах без неопределенности. В частности, для системы

ж = Ат + Ви + w, у = Сх + Du

задаче Hoo-оптимизации можно придать вид

min||Zi(M,K)||oo, м =Кmin||Zi(M,K)||oo, м =КCksl-A^ (si - Л)"Cksl-A^ (si - Л)"D + C^8l-ArvB \^sI-A^BD + C^8l-ArvB \^sI-A^B

min||Zi(M,K)||oo, м =

К

min||Zi(M,K)||oo, м =

К

Cksl-A^ (si - Л)"

Cksl-A^ (si - Л)"

D + C^8l-ArvB \^sI-A^B

D + C^8l-ArvB \^sI-A^B

В рамках вероятностной модели параметрической неопределенности считают, что параметр q имеет некоторое заданное вероятностное распределение на допустимом множестве Q. Тогда задачи робастности можно ставить не в минимаксном смысле, а оценивать вероятность того, что неопределенная система обладает требуемым свойством. Если эта вероятность близка к единице, то с практической точки зрения поведение системы можно считать удовлетворительным.

•i

-v

Глава 7

РОБАСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

В отличие от главы 3, где исследовалась устойчивость одной i линейной системы, здесь мы будем заниматься устойчивостью це мейства систем, соответствующих исходной (номинальной) снег наличии неопределенности.1 i

Робастная устойчивость полиномов.

Задано семейство полиномов

Р(з,0) = {P(s,9) = 00(9) +ai(9)s + ... +o„(q)sn, q € Q}V>

u»

коэффициенты о, (9) которых зависят от параметров 9 6 И^, ж ющихся в допустимом множестве Q с К£. Это семейство мы робастно устойчивым, если P(s,9) устойчивы при всех q EQ, т.^'

КезД9)<0, i=l,...,n, qEQ,

где si(9) — корни P(s, 9). Таким образом, здесь мы имеем дело с » рывной устойчивостью; проблема дискретной устойчивости будет ждена ниже. Ясно, что в данной ситуации мы не можем непосредст1 воспользоваться критериями устойчивости из главы 3, так как м ство Q, вообще говора, содержит бесконечно много элементов, цель — получить робастные аналоги этих критериев.

Приведем сначала один общий принцип (часто называемый щ* пом исключения нуля), позволяющий строить конструктивные алго( проверки робастной устойчивости.

Теорема 7.1 (принцип исключение нуля). Пусть P^8,q°) уст для некоторого 9° € Q, множество Q связно, и an(q) ^ 0 для всех q € Тогда условие

О £ S(w) = {P(ju,q): q Е Q}, VO^wCoo С5

необходимо и достаточно для робастной устойчивости семейства (7.

Множество <S(w) называется областью значений полиномиального се- цейства (7.1); это двумерный образ множества Q при преобразовании РЦ^, •)•

Доказательство. Необходимость условия (7.2) очевидна: если 0 = p^jywtq*) ^ некоторого ш* и некоторого q* G Q, то полином P^s,q*) имеет чисто мнимый корень jw* и потому не является устойчивым. До- кажем достаточность условия (7.2); пусть оно выполняется, но найдется полином PUq1^ q1 G Q, являющийся неустойчивым. Рассмотрим непрерывную кривую q^t) 6 Q, 0 ^ t ^ 1. q(0) = q°, g(l) = у1; она существует в силу связности Q. Пусть Sj(t) — корни полинома P(s, q(t)). Поскольку On(g(t)) + 0, то по теореме о непрерывной зависимости корней полинома п-й степени от параметров (см. Приложение, п. 10.1) корни могут быть занумерованы так, что функции st(t) непрерывны. Однако по меньшей мере один корень (например, первый) полинома F\s,q1') лежит в правой полуплоскости: Resi(l) > 0, в то время как Resi(0) < 0 в силу устойчивости P(s,9°). Поэтому найдутся 0 < t* С 1 и q* = q^t*) G Q такие, что Resi(t*) = 0. Но это значит, что P(stq*) имеет чисто мнимый корень juf; можно считать, что ш* > 0 (так как если ш* / 0, то имеется два сопряженных корня ±уш*). Итак, мы получили, что 0 = FO'w*,^) дня некоторых q* е Q н ш* ^ 0; это противоречит условию (7.2).

Идея доказательства теоремы очень проста: при переходе от устойчивости к неустойчивости один нз корней должен пересечь мнимую ось, при этом нарушится условие (7.2). Заметим, что мы уже пользовались такого рода рассуждениями при осуществлении D-разбиения (п. 4.1). Там точка зрения была несколько иной — нас интересовала вся область устойчивости в пространстве двух параметров. При исследовании робастной устойчивости мы пытаемся выяснить, лежит ли заданная область Q целиком в области устойчивости. При этом, как будет видно из дальнейшего, удается рассмотреть случай большого числа параметров.

Для того, чтобы конструктивно пользоваться теоремой 7.1, нам нужно, во-первых, строить множества S^w\ а во-вторых, уметь эффективно проверять условие (7.2). И то, и другое возможно для ряда важных частных случаев задачи о робастной устойчивости. Приступим к их анализу.

Начнем с интервального полинома

^(s) = {F(s) = а0 + ais + ... + ansn,

^di^Oi, i = 0,...,n, Оф > 0, an > 0}, (7.3)

Параметрами которого являются сами коэффициенты полинома, нзменя- *°Щиеся в параллелепипеде. Рассмотрим четыре полинома, составленных Из крайних значений коэффициентов, чередующихся парами (два нижних

значения — два верхних):

Pi(s)

= Qo 4-o1s4-a2S2 4-азе3 4-... ,1

^2(S)

= Go +axe 4-a2s2 4-G3S3 4-... ,

Ps(s)

= ao 4-0184-а2®2 4-Оз»3 4-... ,

P4(s)

= во 4-aiS 4-a2s2 4-Оз»3 4-...

1

Эти полиномы называются полиномами Харитонова.

Теорема 7.2 (Харитонов). Для робастной устойчивости i кого семейства (7.3) необходимо и достаточно, чтобы все Харитонова были устойчивы.

Доказательство. Необходимость устойчивости полиномов

;>^;>^ffz^= Ujk^ + jwV(w)z^= Ujk^ + jwV(w)2» = U (w) + jwVM11 ^ -ли2» = U (w) + jwVM11 ^ -литривиальна, так как они входят в интервальное семейство. Чтобы достаточность, воспользуемся теоремой 7.1 и построим мно Представим

;>^

;>^

f

f

z^= Ujk^ + jwV(w)

z^= Ujk^ + jwV(w)

2» = U (w) + jwVM11 ^ -

ли

2» = U (w) + jwVM11 ^ -

ли

P(jw) = Щш) 4- jwV(w),P(jw) = Щш) 4- jwV(w),V^w) = ах — а3ш2 4- asw4 ^V^w) = ах — а3ш2 4- asw4 ^Р(ш) = ао — а^ш2 4- О4^4

P(jw) = Щш) 4- jwV(w),

P(jw) = Щш) 4- jwV(w),

V^w) = ах — а3ш2 4- asw4 ^

V^w) = ах — а3ш2 4- asw4 ^

Ясно, что

Щш) С Щы) С ЩиГ), V^) ^ V(w) ^ V^,

где

Щы) = Оу — О.-2.Ц)2 + ОдШ4 — .

У(иО = 91 ~ 6з<^2 4- о5ш4 — •

U(си) = Go — g2w2 4* C4W4 .^^ V(cj) = 61 — Оз^2 4-й5^4/U(си) = Go — g2w2 4* C4W4 .^^ V(cj) = 61 — Оз^2 4-й5^4/Иначе говоря, P(jw) может изменяться в прямоугольнике, которого являются точки

U(си) = Go — g2w2 4* C4W4 .^^ V(cj) = 61 — Оз^2 4-й5^4/

U(си) = Go — g2w2 4* C4W4 .^^ V(cj) = 61 — Оз^2 4-й5^4/

zi = Щш) + jwVXwY

23 = U^ +jwV(tu),

Нетрудно видеть, что z, = Pt(jw), i = 1,..., 4, т. е. S(w) — ник, вершины которого соответствуют харитоновским полином^,, жем, что 5(ш) не содержит начала координат при любом 0 ^ У Действительно, при ш = О имеем 0 ^ 5(0) (иначе было бы Р(0) = «о что противоречит условию а^ > 0), поэтому если 0 6 5(о>о) ПРИ ^ то Ld0 > 0, то должно произойти пересечение границы прям 5(о?) с началом координат при некотором 0 < u»i ^ ш0- Это чение не может произойти ни в какой вершине прямоугольника так как вершины соответствуют устойчивым харитоновским п Пусть это пересечение произойдет с некоторым ребром, например z = Azi 4- (1 — Az2), 0 < А < 1. Поскольку Pi (в) н Р2(з) устой

“ ^р^стнаяустончивост^^

сторона 2122сторона 2122Рис. 7.1. Движение области значений S(w)Рис. 7.1. Движение области значений S(w)критерия Михайлова (теорема 3.5) аргументы Pi(jw) и Р2ОМ моно- нН0 строго возрастают с ростом w, однако это противоречит тому, что 10— прямоугольника 5(w) остается вертикальной (см. рис. 7.1).

сторона 2122

сторона 2122

Рис. 7.1. Движение области значений S(w)

Рис. 7.1. Движение области значений S(w)

Таким образом, выполнены все условия теоремы 7.1, т.е. из устойчивости харитоновских полиномов следует робастная устойчивость интервального семейства.

Теореме Харитонова можно придать графическую форму. При этом достаточно проверять поведение лишь одного (а не четырех) годографов, в, кроме того, одновременно можно найти максимальный р^дх^неопре- деленности7при котором сохраняется робастная устойчивосп> С этой ' •, целью запишем интервальное семейство в ^юрме^о.^:"ПГ~

п},п},(7.4)(7.4)ИС1 ^t ^д»ИС1 ^t ^д»P(s) = {P(s) = а0 -f- ais +... + ап8п, |Qi - °?! ^ 7«» i = O,l,.

п},

п},

(7.4)

(7.4)

ИС1 ^t ^д»

ИС1 ^t ^д»

Кричем считаем ао, «1 > 0, и введем следующие величины: PoUw) = H6(w) + jwVb(w);

UoM^aS-a^ + a^4-- -’ V»(w) = “? - ^ + ““^• "'

В(Ш) = ао + С2О.2 + а^4 +... . ТМ = «1 + ази2 + ^ + •" /

Построим годограф—

(7.5)(7.5)z^ = *(w) + M^Y 0 ^ о^ оо,iM - ЛМ ’ ^ ’ Т(Ш) ’

(7.5)

(7.5)

который часто называется годографом Цыпкина-Поляка.

Теорема 73 (графический критерий). Для робастной устойчив! семейства (7.4) необходимо и достаточно, чтобы

°о > 7°о, а„ > 7«п°о > 7°о, а„ > 7«п(7.(7.

°о > 7°о, а„ > 7«п

°о > 7°о, а„ > 7«п

(7.

(7.

и годограф z^w) при изменении ш от 0 до оо проходил последователей через п квадрантов против часовой стрелки и не пересекал квадрата вершинами (±7, ±7).

Доказательство. Очевидно, что область значений семейства (7.4) -

это прямоугольник

S(w) = Iг = х + jy: |ж - L7o(w)| ^ Т^М, |у - ^ИН^)! ^ 7ыТ(ы)}, а условие 0^5(w) эквивалентно тому, что |L7o(u/)| ^ 7-R(w), |Vb(^)| 7T(w), т.е. |ж(о/)| < 7, |y(w)| < 7. Поэтому непересечение пи графа z(w) с квадратом {z = xA-jy. [ж] ^ 7, |у| ^ 7} эквивалентно усг вию 0 ^ S(w), Далее, по критерию Михайлова полином Fo(s) устойч тогда и только тогда, когда годограф Fo(jw) проходит последователь через п квадрантов, но Fo(jw) = Po(^)+j^4)(w) лежит в каком-либо кг драите тогда и только тогда, когда z(w) = (ГУ0(и)/Я(ш)) +j^V0^w)/T(w лежит в том же квадранте. Итак, Цш) проходит через п квадрантов топ и только тогда, когда Po(s) устойчив. Наконец, условие (7.6) требует, для обеспечения положительности коэффициентов ао и ап для всех ш линомов семейства. Тем самым теорема 7.3 эквивалентна принципу ж ключения нуля (теорема 7.1) для данного семейства.

Таким образом, построив годограф z^u)), можно не только проверит, робастную устойчивость при фиксированном 7 > 0, но н найти наиболь шее 7 = 7тах. Для которого робастная устойчивость сохраняется при все) 7 < 7тах- Такое 7тах называется радиусом устойчивости интервального

г(7.7)г(7.7)семейства; оно находится по формуле

г

(7.7)

г

(7.7)

Ttoax = min {7*, 70, 7^},

где 7* — размер наибольшего квадрата {|ж| ^ 7*, |у| ^ 7*}, вписанного в годограф z(w), 70 = ag/a0, а 700 = а®/а„.

Пример. Задан номинальный полином 6-й степени с коэффициентами а0 = (433,5 667,25 502,72 251,25 80,25 14 1) и размахами коэффициентов

о = (43,35 33,36 25,137 15,075 5,6175 1,4 0,1).

На рис. 7.2 показан вид годографа z(w) н вписанный в него наибольший квадрат; из него находим 7тах « 1,2372..я

Рис. 7.2. Годограф Цыпкина-Поляка

Отметим, что годограф (7.5) существенно отличается от годографа Михайлова — он начинается внутри первого квадранта, а не на вещественной оси и заканчивается в конечной точке z(oo), а не уходит на бесконечность (поскольку дробно-рациональные функции a?(v),y(w) имеют одинаковые степени числителя н знаменателя).

Для семейств (7.3), (7.4) неопределенными параметрами являются сами коэффициенты полиномов. Перейдем теперь к изучению более сложной ситуации — аффинному семейству полиномов

PU»Q) = №(») + qJMs) + ... + qePtksV Ы ^ 7» i = 1, • - Л

(7.8)

с параметрами, изменяющимися в кубе

Q^keR': |д|ю<7}-(79>

Одномерное семейство вида

{P(s,9): |9i| = 7, i + к, |%| ^ 7}

назовем реберным полиномом. Напомним (см. п. 6.1), что вершинными полиномами мы назвали полиномы вида P^s,q\ Чг = ^7, ® = 1,...,€. Геометрически вершинные и реберные полиномы соответствуют вершинам и ребрам куба (7.9), т. е. реберный полином «соединяет» два «соседних» вершинных полинома (соответствующих соседним вершинам куба), н всего имеется £2г-1 реберных полиномов. Справедлива следующая

Теорема 7.4 (реберная теорема). Пусть

degР, ^ degРо = n, <=!,...,£,(7.1С

tt

7£Xl<|a”|, 7El°il<l°”l-<711

1=11=1

где alk, г = !,...,£, — коэффициенты при sk полиномов Pi[s). Пуст полином Po(s) устойчив. Тогда для робастной устойчивости семе ства (7.8) необходима и достаточна устойчивость всех реберных п линомов.

Доказательство. Мы воспользуемся теоремой 7.1 с д° = 0; тоща нер венства (7 J0)-(7.11) гарантируют условие а„(д) /0, 9 € Q, для старше коэффициента полинома P(s, 9) (7.8). Нам остается проверить принт исключения нуля (7.2). Область 5(w) имеет вид

t

$М = (z € С: г = PoU^) + 52К^О'^Х Моо ^ 7},t=i

т. е. это аффинный двумерный образ 1-мерного куба. Такой образ являет многоугольником, стороны которого — образы ребер куба Q. Посколы 0 ^ <$(0) (в силу (7.11)), то может оказаться 0 € 5(w), лишь если будет принадлежать границе S^w) для некоторого ш > 0. Однако эп невозможно, так как граница соответствует реберным полиномам, а ок по предположению устойчивы.

Реберная теорема позволяет получить эффективную формулировк критерия робастной устойчивости, лишь если число £ неопределенны параметров мало. В этом случае следует проверить все реберные полиномы. Онн представляют собой однопараметрические семейства вида AM(s) + (1 — X)N(s) (где M^s^N^s) — два соседних вершинных полинома), и в соответствии с критерием Найквиста (роль точки — 1 здесь' играет — (1 — А)/А) их устойчивость при 0 ^ А ^ 1 эквивалентна тому, что полиномы Af(s),7V(s) устойчивы, а годограф G^jw) = M^u^fN^ju)^ не1 пересекает отрицательной вещественной полуоси. Однако если £ велико* то число таких проверок значительно (даже для £ = 5 нужно проверить £2<-1 = 80 реберных полиномов). Можно предложить другой способ,, основанный на более конструктивном описании множества 5(w); мы используем этот подход позже, при исследовании робастной устойчивости дискретных полиномов.

До сих пор мы рассматривали семейства с линейно входящими неопределенными параметрами, которые изменялись независимо в кубе (параллелепипеде). Перейдем теперь к анализу сферических семейств. Проверку робастной устойчивости и определение радиуса устойчивости также

можно осуществить с помощью храфических критериев типа теоремы 73 рассмотрим эллиптические ограничения (6.5):

P(s) = {P(s) =P(s) = {P(s) =оо 4-Qis4-. - • 4-а-п8п,оо 4-Qis4-. - • 4-а-п8п,а?а?2}, (7.12)2}, (7.12)

P(s) = {P(s) =

P(s) = {P(s) =

оо 4-Qis4-. - • 4-а-п8п,

оо 4-Qis4-. - • 4-а-п8п,

а?

а?

2}, (7.12)

2}, (7.12)

где, как и раньше, а® — коэффициенты номинального полинома Ро^в), «г ^ 0 — масштабы изменения коэффициентов at (при а,- = 1 ограничения переходят в сферические), причем oo,ai > 0, а 7 > О — общий размах неопределенности. Как и в теореме 73, введем следующие величины:

Po(jw) ^ Fo^) 4- jwVo^y,

UoM = о® - a$w2 4- адси4 -... , Vb(w) = 0^- а^2 4- а^4 - ... ; R^w) = (а2 Ч-а^4 А-а^и? 4- -.. )1/2, T(w) = (а2 4-a2w4 А-о^иР +... )1/2 н построим годограф

(7.13)(7.13)z<w) = z(w) 4- Mwh 0 ^ а, ^ 00,^ = ад’ У^ " W •

(7.13)

(7.13)

Теорема 7.5. Для робастной устойчивости семейства (7.12) необходимо и достаточно, чтобы о° > 7010» «п > 7°п “ годограф z^w) при изменении и> от 0 до оо проходил последовательно через п квадрантов против часовой стрелки и не пересекал круга радиуса 7 с центром в нуле.

Доказательство в точности повторяет рассуждения теоремы 73 (т.е. основано на принципе исключения нуля), с той лишь разницей, что

область значений S^w) — эллипс

5(и,) = {(г-Р0Оы))тЛ/-1(г-Ро(») 6 72}.

где

М = М(ш) = Д(ш)Дт((у),

( а0 0—q2w2 0a4W4 0••• \

оajtv 0—«aw3 0«б^5)

Таким образом, радиус устойчивости эллиптического семейства (7.12) вычисляется следующим образом:

7max = min {7*, 70, 7оо}, где 7* — радиус наибольшего круга, вписанного в годограф г(си), 70 = °о/«о. 7оо = а®/ап.

1. Б.Т. Поляк. П.С. Щербаков

Для того же семейства 6-й степени из рассмотренного выше мера получаем 7mBX ~ 2,8380, т. е. больше, чем величина радиуса у чивости (7.7) соответствующего интервального полинома, что неу,

тельно, так как ограничения на неопределенность в семействе (7. более жесткие, чем в семействе (7.4): эллипсоид {а = (ai,...,aa)' п

Отметим, что для сферических семейств не существует аналогов • оремы Харитонова: робастная устойчивость семейства не определяе устойчивостью конечного числа алементов семейства.Отметим, что для сферических семейств не существует аналогов • оремы Харитонова: робастная устойчивость семейства не определяе устойчивостью конечного числа алементов семейства.E(ai-a?)2/a? С 72} содержится в параллелепипеде {a = (ai,... ,ая)т 1а<-а?1^7а*. i = 0,l,...,n}.

Отметим, что для сферических семейств не существует аналогов • оремы Харитонова: робастная устойчивость семейства не определяе устойчивостью конечного числа алементов семейства.

Отметим, что для сферических семейств не существует аналогов • оремы Харитонова: робастная устойчивость семейства не определяе устойчивостью конечного числа алементов семейства.

Остановимся кратко на задаче о робастной устойчивости полни мультилинейно зависящего от параметров, например (6.10):

P(s, Т, к) = (1 + Т„) - ■ - (1 + T,s) + kt - ■ • к,

при__

Q = \T,ke^: Т^Т^Т,, k^ki^ki}.

Эта задача существенно более сложна, чем рассмотренные выше. Т1 область S(u>) оказывается, вообще говоря, невыпуклой; ее границы по$ ждены не только ребрами Q и являются криволинейными. В некотор] частных случаях, однако, задача значительно упрощается. Например, ес интервалы неопределенности для Т^ не перекрываются:

T1<T1<T2<T2<..»<Tz<Tt

(порядок следования интервалов может быть любым), то 5(a)) — мног^ угольник с 2£ ребрами, допускающими явное описание. Поэтому задача робастной устойчивости в этой ситуации может быть эффективно разрешена.

В заключение рассмотрим проблему робастной устойчивости дискретных полиномов. Семейство полиномов

V^Q) = {F(z,9) = 00(9) + ai(q)z +... + an(9)zn, 9 € Q} (7.14 робастно устойчиво, если для всех значений параметра q Е Q С R* полиномы P(z, q) дискретно устойчивы, т. е.

1^(9)| > 1, i = l,...,n, qEQ,

me ^(9) — корни P^z, 9). Принцип исключения нуля принимает следующий вид.

Теорема 7.6. Пусть P^z, g°) устойчив для некоторого q° Е Q и Q связно, тогда условие

0<8М*^Р^>еу. qeQ\, V0^w<2ir

необходимо и достаточно для робастной устойчивости семейства (7.14).

Доказательство проводится точно так же, как в теореме 7.1, и мы его опускаем. Разница лишь в том, что границей между устойчивыми и неустойчивыми корнями в непрерывном случае являлась мнимая ось jw, а в дискретном случае — это окружность е?ш, О С из < 2тг. Отметим также некоторое различие в формулировках теорем — в дискретном случае не требуется, чтобы все полиномы P^z, у) имели одинаковую степень (отсутствует условие a^q) / 0). Это связано с тем, что полином вида P£(z) = Po(z) 4- ezn+1 (где Po(z) — устойчивый полином степени п) устойчив при малых е (см. п. 4,1.3).

Для эффективного использования теоремы 7.6 нужно уметь строить область значений S(w\ Начнем с интервального семейства

P(z) =оо+ aiz+ ... + ап2:п, |<^-о?|^7ай Q, > О,

г = О,...,п. (7.15)

Для непрерывного случая область S(w) была прямоугольником. В дискретном случае

Пп

.S(w) = (р0(езш) 4-752^^^*} =со 4- {^Мк^},к=0к=0

гае со = Fo(e^), Zk — ^а^^з &рк — произвольные числа, изменяющиеся от — 1 до 4-1. Отсюда следует, что S^u)) — многоугольник с центром в со н сторонами, параллельными 2ь к = 0,..., п; всего у этого многоугольника 2п 4- 2 ребер н столько же вершин. Исключением являются значения из = 0 н из = тг, для которых 5(ш) — отрезок. Условие 0 £ S(u>) можно записать в аналитической форме, оно эквивалентно условиям

52 о? cos (i — tyw

u; / 0, тг;u; / 0, тг;1 < 7(u0 = max-^,

u; / 0, тг;

u; / 0, тг;

£ а,| COS (i - k)w| i=0

E(-i)^|

7 < *) = "^A

t=0

Таким образом, радиус устойчивости (в предположении устойчивости nd линома P0(z)) вычисляется так:]

'Утах =min 7(w).'

0^<2тг '।

Эти формулы отличаются от тех, которые были получены для непрерыв^ кого случая (7.7). Более того, в дискретном случае нет никакого аналог^ теоремы Харитонова — устойчивость даже всех вершинных полиномов не гарантирует робастной устойчивости интервального семейства (7.15)5 Дело, как уже отмечалось, заключается в различии геометрии области значений S(w) — в непрерывном случае это прямоугольник с заданными направлениями сторон, тогда как в дискретном это многоугольник с 2п+2 вершинами и меняющимися направлениями сторон.

Для аффинного семейства дискретных полиномов верна реберная те-J орема; впрочем, радиус устойчивости для такого семейства можно вычислять и иначе, используя представление области S(u>) в виде многоугольника, подобно тому, как это было сделано выше для интервального семейства.

Отметим другое семейство дискретных полиномоа, для которых область S(w) имеет простой вид. Именно, рассмотрим

P(z) = |p(z) = Qo + Q1Z +... 4- anzn, ^ |ak - a£| ^ 7,

k=0

n = 0,l,...}. (7.16)

В этом семействе отклонения коэффициентов ограничены в ^-норме, а степень полиномов Р(г) не ограничена. Оказывается, для всех ш таких, что ш/тг иррационально (т.е. для почти всех ы) замыкание множества 5(ш) — круг радиуса 7 с центром в Р0(е^). Отсюда следует выражение для радиуса устойчивости этого семейства:

7тах = min |р0(е^)|.0^и><2тг1I

Здесь Po^z) — аналитическая функция в круге |z| ^ 1,

P0(z) =с°+ aiZ + ...+ a°zn + ... , У^|а°| < сю,

к=0

И Pa^z) + ° При |z| ^ 1.

Мы видим, что различные структуры неопределенности и различные виды ограничений на неопределенные параметры приводят к большому разнообразию форм областей значений; тем не менее многие задачи могут решаться единообразно на основе принципа исключения нуля и применения графических критериев устойчивости типа критерия Михайлова.

Робастная устойчивость матриц

Обратимся теперь к параметрическим семействам матриц, таким как интервальное семейство» задаваемое в форме

Л = ((оу)), &ц ^ «у ^ бу, ij = !,...,«,(7.17)

или

Д = Л0 + Д, Д=((Ду)), |Ду|^7, *,7 = !,-•-,^(7.18)

либо аффинное семейство

Л(») = Ло + £>Л, |9,К7, i = l,...,t.(7.19)

е=1

Семейство называется робастно устойчивым, если устойчивы все его элементы, т.е.

Не А, < 0, t = 1,...,п,

прн всех q (Д для семейства (7.18)) из допустимого множества, где А, — собственные значения А. При этом, как и для семейств полиномов, наибольшее 7 = 7max, Для которого робастная устойчивость сохраняется при всех 7 < 7шах. называется радиусом устойчивости матричного семейства.

Можно было бы ожидать, что проблемы робастной устойчивости таких матричных семейств решаются приблизительно так же, как н для соответствующих семейств полиномов. Однако оказывается, что ситуация с матрицами значительно более сложная. Так, для интервального семейства (7.17) иет никакого аналога теоремы Харитонова (все вершинные матрицы метут быть устойчивы, однако робастная устойчивость отсутствует), для аффинного семейства (7.19) неверна реберная теорема и т.д. Формальное пояснение этого заключается в том, что в характеристический полином P(s,y) = det (si — A^q)^ параметры q входят нелинейно (мультилинейно для интервального семейства (7.17) и полиномиально для аффинного семейства (7.19)), поэтому применить реберную теорему или какой-либо иной результат предыдущего параграфа мы не можем. В связи с этим обсудим совсем иные подходы к проблеме.

Первый из них основан на идеях теории возмущений. Пусть нам известны собственные числа Аг(0) и собственные векторы е,(0) матрицы А(0). Как они изменятся при малом возмущении A^q) этой матрицы? Здесь q € Rf — векторный параметр, причем матрица A^q) зависит от этого параметра дифференцируемым образом, так что существуют и известны матрицы Di = I . Например, для семейства (7.19) имеем У Qi >9=0

Л(0) = Ло, Di = Ai. Ответ дается следующей основной теоремой возмущений (см. также пп. 10.3 и 10.2 Приложения).

Теорема 7.7. Пусть все собственные значения Afc(O) матре^ различны, а Хк и ук — соответствующие им правые и левые собой векторы:

А(Р)хк = At(0)zt, ^л(о) = At (0)^, И = 1Ы = 1, * = 1,...

Тогда собственные значения матрицы A(q) имеют вид

Хк№ = At(0) + У ^^д, + о(9).

1=1 ^кХк

Этот результат дает возможность оценить, насколько чувствия собственные числа матрицы Л (у) к изменению параметра q. Пусть, ■ мер, матрица Л(0) устойчива, а А — ее собственное значение, ммц наибольшую вещественную часть. Если х и у — соответствующие dj и левый собственные векторы, а семейство матриц аффинное (7.1! для матрицы Л(?) это собственное значение переходит в

А(е)« а + 52*=1А(е)« а + 52*=1У*АгХу*Х ^"У*АгХу*Х ^"

А(е)« а + 52

*=1

А(е)« а + 52

*=1

У*АгХу*Х ^"

У*АгХу*Х ^"

для малых q, поэтому ReA(g) « Re А 4- $2 очЧь где а* = Re ^—*5 - 4=1

maxReA(y) по IgJ < 7, г = !,...,£, достигается при 9, = 73м

и равен приближенно Re А 4- 7 $2 1^1- Итак, можно ожидать, что t=i

£

Ч* = —ReA/$2 l«il матрица Л(q) потеряет устойчивость (ReA(?) Л равным нулю), т.е. 7* — оценка радиуса устойчивости для Л(д).# зумеется, этот анализ лишь приближенный, н никаких гарантировая выводов о робастной устойчивости семейства (7.19) прн фиксировать на этом пути получить нельзя.я

Другой подход связан с использованием достаточных условий роб ной устойчивости. Можно потребовать, чтобы у всего семейства м& Л(^), q € Q, была общая функция Ляпунова V^x) = хТРх, Р > 0. ’ знаем (см. Приложение, п. 9.1), что существование решения матрон* неравенства АТР+РА < 0, Р > 0, гарантирует устойчивость матриц» тем самым существование решения системы линейных матричных * венств

а-а-AT^q)P + PA^<0, Р>0, qeQ,

а-

а-

гарантирует робастную устойчивость матричного семейства Afa). Если Л(?) — семейство интервальных матриц (7.17) или аффинное семейство (7.19), го неравенства (7.20) достаточно решить лишь для вершин множества Q (обозначим нх через У); поскольку любая точка q Е Q представляется как выпуклая комбинация вершин, то нз выполнения (7.20) дня вершин будет следовать, что (7.20) удовлетворяется (с данным Р) и для любого q Е Q- Итак, достаточно решить конечное число матричных неравенств

ATfav)P + PA^f) < 0, Р > 0, qv Е У, (7.21)

где Afa") — вершинные матрицы: в случае семейства (7.17) это те матрицы, в которых все оу принимают крайние значения (либо ^, либо ЗуХ а в случае семейства (7.19) это матрицы, для которых |^| — 7, 5 = 1,...,^. Ясно, что число неравенств в (7.21) достаточно велико, даже если п и £ не слишком большие числа. Впрочем, существуют простые итеративные методы решения неравенств (7.21), работоспособные даже для больших размерностей.

В то же врема нужно ясно понимать, что мы получили лишь достаточный критерий робастной устойчивости. Если система линейных матричных неравенств (7.20) не имеет решения, то это не значит, что робастная устойчивость нарушена — могут существовать робастно устойчивые семейства, для которых нет общей квадратичной функции Ляпунова.

Другое достаточное условие заключается в использовании сверхустойчивости вместо устойчивости. Покажем, как такой подход работает на примере интервального матричного семейства, записанного в виде (6.9):

А = ((°у)), ”у = «у 4- Ду, I Ду I < 7my, М = 1 - • •«”. (7.22) где номинальная матрица Ло = ((ay)) сверхустойчива, т.е.

а(Ло) = тт(-а£ - £ |о^Q > °-

Потребуем, чтобы условие сверхустойчивости сохранялось для всех матриц семейства:

-(aS + М " Е К + ДУ"1 > °- * = 1”■

Ясно, что это неравенство будет выполнено для всех допустимых Ду тогда и только тогда, когда

~°н - 7гп« - 52 (l°^ + ^j) > °’ • = г» — ”»

т.е. при

Ч-ЭД!

7 < 7* = min*.‘^

3

В частности, если my = 1 (масштабы изменения всех элементов мщ одинаковы), то

у = ^Мо)*

п

Таким образом, мы в явном виде находим радиус сверхустойчивости тервального семейства.

Аналогичные формулы справедливы и в дискретном случае*/ О A) Hi < 1» то семейство матриц (7.22) остается сверхустойчивым й^

1-EI4I

7 < 7е = min —=^,

а в случае my = 1I

. = 1 - ЦАЦ1

п,•

Известны и другие достаточные условия, дающие оценки снизу радиуса устойчивости аффинного или интервального семейства мы

Перейдем теперь к другому типу матричных неопределенностей! ваемых с помощью матричных норм. Пусть

А = А0 + Д, ||Д||^7, где матрица Ао устойчива, и |j - || означает спектральную норму, интересует радиус устойчивости такого семейства, т. е.

7max = sup {7: Ао + Д устойчива при всех ||Д]| ^ 7}.

Оказывается, такая задача очень трудна; ее решение было найдено недавно, н мы его приведем далее. В то же время проблема сущест упрощается, если считать возмущения Д комплексными. До сих пор рассматривали в основном матрицы с вещественными элементами, этому упомянем о некоторых изменениях, возникающих при перех» комплексную область. Как и ранее, матрица А е С пхп называется ус* нивой, если все ее собственные значения А», i = 1,..., п, лежат в * полуплоскости: Re А» < 0, г = 1,...,п. Характеристический пол*» P(s) = det (si — А) такой матрицы имеет, вообще говоря, комплекс коэффициенты. Спектральная норма матрицы А равна

||А|| = ш. |Лг|2 = (А„вх(ЛМ))1/г,

|ж|г$1

а |я:|2 ^ комплексных векторов х вычисляется как |х|2 = ^х*хУ^2. Комплексным радиусом устойчивости устойчивой матрицы А € СпХп называется величина

7max = sup{7: Л + Д устойчива при всех △ е Спхп, || Д|| ^ 7}.

Теорема 7.8. Комплексный радиус устойчивости определяется формулойtt

7™х = IK^ApU = ^pK^^AFT

Доказательство основывается на двух важных утверждениях, которые мы выделим в виде лемм.

Лемма 7.1. Если А устойчива, а А + В неустойчива, то найдется такое 0 < А ^ 1, что А+ХВ имеет чисто мнимое собственное значение. т.е,

^(jwI-~{A + XB))=Q

для некоторого w € R.

Доказательство. Действительно, полином P(s, А) = det(sf - (Л + АВ)) непрерывно зависит от параметра А, его степень всегда равна п, н мы можем воспользоваться теоремой о непрерывной зависимости корней полинома от параметра. При переходе от всех устойчивых корней (при А = 0) к (по крайней мере одному) неустойчивому (при А = 1) траектория корня должна пересечь мнимую ось.

По существу, мы уже пользовались этим рассуждением при доказательстве принципа исключения нуля для полиномов.

Лемма 7.2. Если матрица В € Спх” невырождена, то при любом Д € С-п, ||Д|| < 1/||В 1||, матрица В 4- Д также будет невырожденной, а при у > 1/||В-1|| найдется такая Д G Спхп, ||Д|| ^ 7, что В + Д вырождена.

Доказательство. Если ||Z?j| ^ q < 1, то (I + D^-1 существует и ||(7 + Я)'1 II ^ (1 - g)-1, поскольку ||(7 + В)"11| = ||7 - D + D2 - ... || ^ 1 +9 + 92 +... = (1 — 9)-1- Поэтому при ||Д|| ^ $/||В-1||, q < 1, имеем И^ДК q и

||(В+Д)-1|| = ||(/ + В-1Д)-1В-1|| ^ ||В-1||||(7 + В-1Д)-1|| ^ < ив'*1г^-

т-с- В-f-Д невырождена. Если же 7 ^ 1/||В_1||, то возьмем такое а, |а| = 1. что |В-1а| = ||В-11| |а| (такое а существует по определению спектраль- ной нормы матрицы), и Д = -“^„^г • То,да ИД1 " VIIs'1 II ^ 7 (так

как для матрицы ранга один вида жу*, ж, у G С”, имеем Цжу”|| = С другой стороны, для b = В-1о / 0 будет

(В + Д)6 = а-р^р(В-‘оГ(В-М=о-о = 0, т. е. матрица В + А — вырожденная.

Доказательство теоремы 7.8. Предположим, что ||Д|| < 7тах. А неустойчива. Тогда по лемме 7.1 найдутся Ai = АД, ||Ai|| < ш Е R такие, что матрица B+Ai, В = —A+jwI, вырождена. Ощ противоречит первому утверждению леммы 7.2 (так как ||Ai|| < 1/ЦВ-11| прн любом щ). Обратно, если 7 > 7тах*то найдется таки для В = — A +ju)I будет 7 > ||В— 1||. Применяя вторую часть лев найдем такое допустимое А, что det (—А + jwl + А) = 0; это • что матрица А+А имеет чисто мнимое собственное значение jw И неустойчива.

Заметим, что в ходе доказательства мы обнаружили, что дестМ рующее возмущение А при 7 > 7^ах может быть взято в виде м ранга один.

Приведем без доказательства (оно подобно вышеприведенному^ гичную формулу для радиуса комплексной устойчивости для более схемы неопределенности — так называемой структурированной^ деленности (см. п. 6.1). Пусть матрица А е Спхп устойчива; и^ ресует наибольшее число 7^ах такое, что все матрицы вида

А + ВДС, Д€СЮХ1, ||А|| ^ 7,

являются устойчивыми. Здесь В € CnX7n, С Е С1*п — заданные м Такие задачи естественно возникают, когда есть неопределенность обратной связи. Ясно, что прн В = С = I мы имеем предыдущую?

Теорема 7.9. Комплексный радиус устойчивости семейства (7: вен‘ ^

т^ = №Ь = suplIGMir G^ = C(sI - лг'в^ U)

Вспоминая связь между Boo-нормой н решением соответствуй уравнения Риккатн (см. лемму П.22 из Приложения), мы заключаем» уравнение Риккати

РА + А*Р - 7С*С - РВВ*Р = 0^

имеет эрмитово решение Р = Р* > 0 тогда и только тогда, котда 7тах- Более того, решение Р этого уравнения позволяет построить е

функцию Ляпунова V(x} = х*Рх для всех систем х = (Л + ВДС)х, 11Д || ^ 7 ^ 7тах*

Ситуация с вещественным радиусом устойчивости

г = sup{7: А + В&С устойчива при всех △ € Й™^, ЦДЦ ^ 7},

(7.24)

где А, В,С — вещественные матрицы и А устойчива, гораздо более сложна. Конечно, мы имеем оценку

7тах ^ 7тах

(поскольку комплексные возмущения включают в себя вещественные). Однако уже простые примеры (с п = 2, В = С = Г) показывают, что отношение 7max/7max может быть сколь угодно велико, т. е. вышеприведенная оценка может быть плохой.

Известны н другие достаточные условия робастной устойчивости вещественного семейства А + В£хС, однако н они обладают тем же недостатком. Выражение для 7^ах было получено лишь недавно; для его формулировки напомним определение сингулярных чисел матрицы (см. также Приложение, п. 6.5). Для n х п матрицы А упорядоченные собственные числа 0 ^ Ai ^ ■ • • ^ Ап симметричной матрицы ЛТЛ (эти собственные числа вещественны и неотрицательны, так как ЛТЛ > 0) определяют сингулярные числа А

<т<(Д) = аУ2, i = l,...,n.

Нетрудно видеть, что ||Д|| = ап(Л) н 1/|| А-1,! = <71(Л), так что результат теоремы 7.8 может быть записан следующим образом:

^=^Рде^р = “ ^'" л)-^

U)

В терминах сингулярных чисел записывается н выражение для вещественного радиуса устойчивости.

Теорема 7.10. Обозначим U^ = Re(jwl — A)-1, V(u?) = 1т (31Л — A) 1 и составим блочную матрицу

(

U^-а¥^ \

а ^(iv) U^ /

зависящую от двух вещественные параметров о?, а. Тогда

^^«^^(“^У

В отличие от теоремы 7.8 (в форме (7.25)) здесь фигурируют два/ не один) скалярных параметра, по которым нужно проводить оптим зацию; кроме того, нужно вычислять не крайнее, а второе по порад сингулярное значение матрицы. Ясно, что в вычислительном смысле । хождение вещественного радиуса устойчивости — более трудная зада1 чем комплексного. Отметим также, что дестабилизирующими возмущее ями являются матрицы второго ранга, а не первого.

В заключение заметим, что все результаты данного параграфа ее ственно обобщаются на случай дискретных систем. Например, если ь трица А дискретно устойчива, то комплексный радиус устойчивости < мейства

Л + Д, ||ДК7,

равен

С =1= 1 =

^|Ks/-A)"4|oo max Ще^-А)-1!

= min ai (e^I — л),

0<^<2тг\)

что является дискретным аналогом теоремы 7.8.

Сопутствующие функции Matlab:

матрицы н вычисление сингулярных зн»*матрицы н вычисление сингулярных зн»*svd — сингулярное разложение чений

матрицы н вычисление сингулярных зн»*

матрицы н вычисление сингулярных зн»*

Робастная устойчивость, г

при неопределенных передаточных функциях

В пп. 6.1 н 6.2 обсуждались возможные виды неопределенности при описании объектов с помощью передаточных функций; приведем критерии робастной устойчивости соответствующих семейств замкнутых систем.* ।

Начнем с простейшей задачи об устойчивости одномерных систем;' заданных передаточной функцией, зависящей от параметров. Объект описывается передаточной функцией

= qeQ-

где o(s,g),6(s,g) — полиномы, зависящие от параметров q € Q, а регулятор в цепи обратной связи имеет передаточную функцию

где /(s),s(s) — заданные полиномы (в этом параграфе полиномы обозначаются строчными буквами). Нас интересует робастная устойчивость (т. е. устойчивость при всех q Е Q) замкнутой системы. Характеристический полином в данном случае равен

p(s,fl) = e(s,g)/(s) + b(s,g)$(s), и задача сводится к проблеме устойчивости параметрического семейства полиномов, изученной в п. 7.1. Мы отметим лишь некоторме особенности возникающих задач.

Во-первых, если G(s,$),6(s,q) — интервальные полиномы, то p(s,$) таковым не является, н никакого аналога теоремы Харитонова в обшей ситуации нет. Одиако в некоторых специальных случаях «вершинные* теоремы все же имеют место. Назовем харитоновскими 16 передаточных функций Gj(s), г = 1,...,16 (соответствующих харитоновским объектам}, которые получаются из G(s,y), когда в числителе и знаменателе берутся харитоновские полиномы.

Теорема 7Л. Если a(s,q),b(s,q) — интервальные полиномы, а регулятор C(s) — первого порядка

fo + hs

go + 9is

и он стабилизирует 16 харитоновских объектов, то он стабилизирует все интервальное семейство.

Доказательство достаточно сложно, и мы его не приводим.

В более общем случае, для регулятора произвольного порядка, можно воспользоваться тем фактом, что область значений полинома p(s,g) (т.е. 5(uj) = {p(ju?,g), q € Q}, см. п. 7.1) является восьмиугольником. Действительно, области значений интервальных полиномов a(s, q), Цв, q) являются прямоугольниками, потому сумма /G<v)a0w,g) 4- gtjw)b(jwtq) является восьмиугольником. На этой основе нетрудно выписать эффективный критерий робастной устойчивости.

Во-вторых, если a^q^b^q^ — аффинные семейства то н p(s,$) будет аффинным семейством полиномов, н мы можем применить результаты п. 7.1 для установления его робастной устойчивости. В частности, справедлива реберная теорема, и мы получаем следующий результат.

Теорема 7.12. Если a(s, q), b(s, q) — аффинные семейства и все реберные объекты (получающиеся, когда q пробегает ребро параллелепипеда Q) устойчивы, то имеет место робастная устойчивость.

Есть и несколько других частных случаев, когда, используя конкретный ввд p(s, q), можно получить специальные критерии робастной устойчивости. Не будем на этом останавливаться, а перейдем к непараметрической неопределенности одномерных передаточных функций.

Пусть открытая система описывается семейством скалярных пе| точных функций

Я(з) = Я0(з) + Д(5),|

гае частотная неопределенность Д(з) удовлетворяет условию

|ДСМ1 ^ t^| W(jcu)|(7.2

при всех ш для некоторой функции ТУ(з), TV-"1^) € ЯНоо, что экви лентно условию

НТУ-Чв^Цоо ^ V.

Нас интересует, будет ли робастно устойчива такая система, замкну единичной обратной связью. Как известно (см. п. 3.4), при отсутствии 1 определенности вопрос решается с помощью годографа Найквиста. П] ведем его робастную модификацию.

Теорема 7.13. Пусть неопределенности Д(з) удовлетворяют (7.' и все Н^ = Яо(з) + Д(з) имеют одинаковое число N неустойчив полюсов при всех допустимых Д(з). Построим годограф

HU^ =HU^ =Дорр +11^)|Дорр +11^)|0 ^ и < оо.0 ^ и < оо.

HU^ =

HU^ =

Дорр +11^)|

Дорр +11^)|

0 ^ и < оо.

0 ^ и < оо.

Замкнутаясистема робастно устойчива тогда и только тогда, ког< годограф H(ju>) охватывает круг Cv с центром в точке — 1 и радиуса N/2 раз против часовой стрелки, не пересекая его (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Робастный критерий Найквиста. Поведение годографа H(jw)

Доказательство. Покажем, что при сделанных предположениях для каждой допустимой функции Я(в) выполняется критерий Найквиста. Действительно, условие, что H(ju^ не пересекает Cv> означает |Я0ш) + 1| > и, т.е. |Яо(ущ) + 1| > p|W(ju»)| для всех w. Поэтому для любого допустимого Н^ имеем

|Я(» +1| = IHob'v) +1 + дуаО! > №tM +1| - |Д(,М| > >И^М|-г/|^(^)| = о,

т.е. Я0и>) не проходит через точку —1. Далее, годографы Ho(jw) и H(jw^ пересекают луч (-1, — ос) одинаковое число раз и в одинаковых направлениях (сверху вниз или снизу вверх). Действительно, если Н^зи^ вещественно и H^wA < —1, то HUw\ = —.ттлт-г, 1 < —1; при

|W(>0|

этом, если Я0СМ = Яо + ^Иь Н^и^ = U + jV, то V = - .7?-;.,

IwiMl

т.е. знаки мнимых частей H(jw) и HD(jw) совпадают. Поэтому число оборотов вокруг точки — 1 для Я^о?) и Ho(jw} одинаково. Но все Одографы H(jw] делают одинаковое число оборотов вокруг точки —1 (число оборотов может измениться только при прохождении одного из годографов семейства Я^'щ) через точку — 1, однако, как было доказано, Н^З^ не проходит через — 1 для всех допустимых Я(в)). Итак, все годографы ЯоО'и?), Н(зш\ Н^зи^ делают Я/2 оборотов вокруг точки — 1 против часовой стрелки. По критерию Найквиста отсюда следует устойчивость замкнутой системы с передаточной функцией Я(в), т. е. робастная устойчивость рассматриваемого семейства._

Теперь докажем обратное утверждение: если годограф Я(^) пересекает круг Cv или делает вокруг него число оборотов, отличное от Я/2, то устойчивость нарушается. Действительно, вторая возможность исключается, так как мы доказали выше, что если Н^З^ не пересекает CVl то число оборотов H(ju>) и Яо (ju,) одинаково, а последнее равно N/2. Если же Я(ущ) пересекает Cv> то при некотором о> будет |ЯЬ<ц) +1| = р, т. е. I^o(ju>) +1| = v|Wbw)|. Тогда, взяв

Д(в) = vW^e*®» G = —it + arg W^tjw^HoUw) 4-1),

получим „И^ДЦоо = г/, Д € RH^ (так как W € КНтеХ и все Я(з) = Яо(«)+Д имеют то же число неустойчивых полюсов, что и Яо (в). Поэтому Д — допустимое возмущение. Однако

|Я(» + 1| = |Я0(» + vW(j^s +1| = О

(т.к. |Яо(;щ)+1| = HWCMe^k arg(Wob'w)+l) = - arg(vW(jwVe^ т. е. H^jw) проходит через точку — 1, и тем самым (по обычному критерию Найквиста) соответствующая замкнутая система является неустойчивой.

Отметим, что полученной теореме можно придать и аналитически форму: если номинальная система (с передаточной функцией Яо(б) раз мкнутой части) устойчива, то робастная устойчивость рассматриваемо семейства эквивалентна условию |

S-S-IHoM +1| > И^ЬМ!

S-

S-

для всех ш или

||W-‘(«)(Ho(s) + 1)11=, > V.О-П

Действительно, условие непересечения H(ju>) с кругом Си означает, чт |H(jw) +1| > 1/, что в свою очередь эквивалентно (7.27).’

Перейдем теперь к анализу робастной устойчивости многомерных см стем при частотной неопределенности. Мы начнем с важного вспомощ тельного результата, играющего роль теоремы 7.13 для матричных пер* даточных функций.

Теорема 7.14 (о малом коэффициенте усиления). Пусть М^ ^ ННоо- Матрица (7 + M(s)A(s)) определена и принадлежит RHq, при всех

А € ПН», lAMU $ 1i

тогда и только тогда, когда |JM(s)||oo <7.;

Доказательство. Необходимость. Поскольку Д € RHqo и М € RH^ то и МД € RHqo. Поэтому по теореме 3.8 (7 + МД)-1 е RH^ топ® н только тоща, когда det (7 + МД) не имеет корней в правой полуплоО кости. Но при НМЦоо < 7 имеем (обозначая 01 и оп наименьшие 1 наибольшие сингулярные числа соответствующих матриц):

^L0^ + M(s)A(s)) > 1 - sup ari(M(s)A(s)) = 1 - ИМДИоо ^

Re 8^0

^1-ам||00||д||00>1-71=о,

т. е. действительно матрица 7 + М (s)A (s) невырождена при Re s ^ 0.

Достаточность. Пусть ||М||сю > 7, тогда найдется такое ш, чгоУ ||М(»|| > 7. Пусть сингулярное разложение матрицы M(jw') (см. п. 33 > Приложения) имеет вид i

M(jw') = USV*,

где U,V — унитарные комплексные матрицы, a S = diag(ai,...,crn); здесь 0 ^ tri ^ 02 ^ -. • ^ On = ||M(jw)|| — сингулярные числа M^jw\

Обозначим через и и v последние столбцы матриц U и V; тогда если нам удастся построить А(в) € RH^ такое, что ||A(s)||oo ^ 1/7. ^3^ = ——vu*, то матрица I+МД будет вырожденной. Действительно, исполь- зуя равенство det(/ + ®у*) = 1 + у* ж для ж, у € Сп (см. Приложение, п. 1), получаем

det(T + MUi^A^u^ = det (7 - UCV*—гш*) = xO"n /

= l-u*USV*v— = 1- — = 0 On^n

(в последнем равенстве использовалось u*U = V*v = en = (0,..., 0,1)T). Требуемое A(e) построим следующим образом:

Если и? = 0 или ц> = 00, то M^ju^ вещественно, потому и U, V вещественны н можно взять A(s) =v«T, т.е. A(s) в этом случае не

On

зависит от s. Очевидно, что тогда

№ = ||Д|| = ^ = Ю

н А € RHoq.

Если 0 < ш < оо, то найдем а» > 0, 0г > 0 из условий

0г —а* ~ 3W

arg = arg ^„ arg—- = arg v^

0i-V3WQi+3W

где u^Vi — компоненты векторов u,v. а аргумент в данном случае поии

мается как угол от —эг до 0. Теперь возьмем

A(s) = —-o(s)b*(s),O"n

а(«) = [аК»), ■ ■ -, a„(s)]T, ^ = [hU)Ь„(а)1т;

сц — S к \ „ А — 5

= шах ОО ^= шах ОО ^a 4-^11 7a 4-^11 7Oi(s) = Viz^’ bi^"Ui0xA-s

= шах ОО ^

= шах ОО ^

a 4-^1

1 7

a 4-^1

1 7

Тогда такое A(s) — желаемое, так как

~- е RHoo при a > О, поэтому A(s) € RHoq, ЦАЦ00 ^

a + S*

равенство A(w) =vu* проверяется прямой подстановкой (в силу определений a(s), 6(s)). Итак, теорема доказана полностью.

Отметим некоторые частные случаи теоремы о малом коэффициенте усиления н ее связь с предыдущими результатами.

Прежде всего, теорема 7.13 (в форме неравенства (7.27), а не в грьф ческой интерпретации) является одномерным вариантом этого утвержу ния. Действительно, устойчивость замкнутой системы, рассматриваем, в теореме 7.13, определяется устойчивостью ее передаточной фумхц, S(s) = (1 + Я(з))"\ Обозначая (1 +Я0(5))-1 = М^ € RH^, с лучаем S(s) = M(s)(l + M(s)A(s)) \ т.е. условие S(s) € RHqo экг валентно условию (1 + М(з)Д(з)) € RH^ именно это условие рассматривается (в матричном варианте) в теореме о малом коэффнц енте усиления. Для IV(s) = 1 требование ||M(s)||oo ^ 7 в последи в точности эквивалентно (7.27), а ограничения на Д в обеих теорем

совпадают при v = 1/7. В то же время в скалярном случае было док. зано несколько более общее утверждение — там не предполагалось, чт △ € RH^, а требовалось лишь, чтобы Но^ + Д(з) и Hq(s) имели одЯ наковое число неустойчивых полюсов. Иначе говоря, класс возмущений i теореме 7.13 — несколько более общий, чем в многомерном случае. '-.

Попробуем теперь сравнить результат, даваемый теоремой о малч*| коэффициенте усиления, с формулой для комплексного радиуса устойчив вости. Поскольку матрица устойчива тогда и только тогда, когда обратнее существует н устойчива, а

(А + Д)*1 = А~‘(/+ А~'Д) = А~*(/+ МД), М=А"\ is то устойчивость А + Д эквивалентна устойчивости 7 + МД. Поэтому на пераый взгляд кажется, что нз теоремы о малом коэффициенте усиления следует, что радиус устойчивости равен 1/ЦМЦ = 1/||А-1||, тогда как в действительности он равен ||(s7 — А)-1^ > 1/||А-11|. Дело в том, что в двух теоремах рассматривались разные классы возмущений: в теореме о радиусе устойчивости возмущения Д были постоянными матрицами, тогда как в теореме о малом коэффициенте усиления рассматривались динамические возмущения Д(з). Этот класс более широк, поэтому радиус устойчивости получается меньшим.

Из теоремы о малом коэффициенте усиления можно получить много следствий для различных типов неопределенности и различных структур объектов. Мы приведем нх без доказательств, которые сводятся к преобразованию в форму, описываемую теоремой 7.14, и проверке ее условий. Всюду далее G(s) — матричная передаточная функция объекта; Go(s) — ее номинальное значение; C(s) — матричная передаточная функция регулятора; Д(з) — матричная неопределенность, причем предполагается, что

(7-28)(7-28)Д(5)€Моо, ||Д||оо^1;

(7-28)

(7-28)

Wi, W2 — заданные матричные весовые функции;

S = (7 + GoC)"1, Т = I - S = GoC(Z + G0C)'

— чувствительность и дополнительная чувствительность номинальной системы, показанной на рис. 7.4 слева (она предполагается устойчивой).

Рис. 7.4. Различные типы неопределенности и структур объектов

Теорема 7.15.

й) Если неопределенность входит аддитивно:

G = Go + Wi^W2

(см. рис. ТА, в центре), то условие робастной устойчивости имеет видIIW2CSW1H00 < 1.

Если неопределенность входит мультипликативно:

G = (Z + WiAW2)Go

(см. рис. ТА, справа), то условие робастной устойчивости записывается так:

Н^Т^Поо < 1.

В простейшей ситуации при Wj = W2 = I условия робастной устойчивости при всех возмущениях, удовлетворающих (7.28), принимают вид IICSU < 1

в аддитивном случае и

Halloo < 1

в мультипликативном случае. Аналогичные результаты можно получить и для других моделей неопределенности.

Сопутствующие функции Matlab;

svd — сингулярное разложение матрицы и вычисление сингулярных значений

/^-анализ

Можно предложить единую схему, которая обобщает анализ роб ной устойчивости при разнообразных типах неопределенности, расе треииых выше. Она называется p-анализом, поскольку в ее основу ложено понятие так называемого структурного сингулярного числа трицы, обозначаемого р.

Методология р-аналнза предполагает, что структура системы, сод жащей объект, регулятор, обратные связи, неопределенности, может б преобразована к общему вицу, называемому М-^-конфигурацией. пс занному на рнс. 7.5; мы уже встречались с частным случаем такой к фигурации в п. 6.2 (см. рис. 6.1).

Рис. 7.5. М-Д-конфигурация

Здесь М — номинальная система (предполагающаяся устойчивой; а △ — все относящееся к неопределенности. Заметим, что неопреде ленность здесь включена в цепь обратной связи. Приведение системы, i которой первоначально структура совсем иная (см., например, рнс. 1.* в центре н справа), к М-Д-конфидурации может быть выполнено с по мощью специальных приемов, хотя часто это отнюдь не простая задача. При этом предполагается, что матрица △(«), задающая неопределенность^ имеет специальную структуру, которая будет описана позже. В качестве допустимых возмущений рассматриваются устойчивые △(«), сохраняющие эту структуру н ограниченные в норме Ноо*.

||A(s)||oo = sup||A(»|| С 7-

О?

Нас интересует верхняя грань тех у, при которых сохраняется робастная устойчивость системы прн описанных выше возмущениях. Поскольку система устойчива, если матрица

(7 + M(s)A(s))-1

существует при Re s < 0, то задача сводится к проверке условия

det (7 + M(s)△(«)) ^ О

прн всех допустимых A(s) н всех s : Res ^ О (достаточно проверять лишь значения s, лежащие на границе левой полуплоскости, т. е. s = ju>).

Условие

det(/ + М(уо>)Д (ju?)) ^ О V ш

можно проверять «поточечно», меняя и. Поэтому возникает вопрос: как для постоянных матриц М н Д проверить условие

det(7 + MД)^0 УД: ||ДЦ ^ 1,

причем имеются в виду Д, обладающие специальной структурой. Все это мотивирует введение следующих понятий.

Пусть М G Спхп, т.е. М — постоянная квадратная матрица с комплексными элементами. Предположим, что все матрицы Д имеют следующую структуру:

A = diag|rifi, ..., тт1тп1 61Дп+ь ---> 6aIm+s>

Ль

где Тг — вещественные числа, 6г — комплексные числа, Д», г — 1,..., р, — вещественные квадратные матрицы, Д„ г = р + 1,... ,р + /, — комплексные квадратные матрицы, а /ь..., /т+в — единичные матрицы некоторых фиксированных размерностей. Таким образом, матрицы Д имеют блочно-диагональный вид: сначала идут блоки, пропорциональные единичным матрицам (они называются вещественными н комплексными скалярными блоками), затем идут квадратные матрицы, у которых все элементы могут меняться (вещественные н комплексные полные блоки). Например, Д может иметь следующую структуру:

П2

612622612622Т22

612

622

612

622

611

621

где Г1,Гу — вещественные числа, а 61,5у — комплексные. Размерность Д при этом равна n х п (в данном примере п = 7). Число р, соответствующее данной структуре матриц (что будет обозначаться Д € А),

определяется так:

(7.29)(7.29)д(М) = min {||Д||: Д € A, det (I + МД) = о}

(7.29)

(7.29)

причем если I 4- МД невырождена при всех △, то р(М) = 0. Наломи что || А|| здесь обозначает спектральную норму, т.е. ||Д|| = tr„(A) (Атах(Д* Д))^2. где (тп — наибольшее сингулярное число, а Атах наибольшее собственное значение эрмитовой матрицы. Часто ynoi бляют также обозначение Рд(М), чтобы подчеркнуть зависимость заданной структуры матриц А, но обычно нз контекста ясно, о tri структуре идет речь, н мы будем опускать индекс А. В простейи случаях д(М) совпадает с известными нз линейной алгебры величина Например, если есть лишь один скалярный комплексный блок:

А = {67, 5 е С},

ТО

Да(М) = |Аmax(М)| = р(М),

т.е. р равно спектральному радиусу М. Действительно, det (7 4- МД) det (7 4- М5) = 0 только для 5 = —1/А*, где А» — собственные зна* ния М. Поэтому минимальное ||Д|| = |5|, при котором возможно так равенство, равно 1/|Атах(М)|. Если же есть лишь один полный кс плексный блок, т. е.

А = {Д€Спхп},

то //д(М) = сгп(М) = ||М||. Это следует из леммы 7.2: матрица 7+М невырождена, если ||Д|| < 1/||М||, н она может потерять невырожда ность при больших || Д|[.

Интересно отметить, что р(М) не меняется при некоторых преобр зованиях подобия. Именно, введем

D= {р = diag{Lb...,£m, Л,...,Л, db...,^}}, где Ь4 — вещественные матрицы (той же размерности, что и 7J, Li : LJ > 0; Ji — комплексные матрицы (той же размерности, что и 7m+i Ji — J* > 0; dt — положительные вещественные числа.

Лемма 73. Для любого Р € ID справедливо

pW = p^DMD"xy

Действительно, любые D е Ю н Д е А коммутируют: РД = ДР, поэтому

det (7 + МД) = det (7 + MD-1D^ = det (7 4- МР"1 ДР) =

= det(7 4-РМР-1Д).

Последнее равенство использует тождество det (7 4- АР) = det (7 + РА) (см. Приложение, п. 1).

Обозначим еще

U ={€/€△: (/(/*=/}, т.е. U — множество унитарных матриц той же структуры, что и А. Оказывается, для р можно получить верхние н нижние границы, используя линейные преобразования из QJ и D.

Теорема 7.16. Справедлива оценка

sup p^UM^ = ptM') ^ inf ||ПШГ1||.(7.30)

ueuD€D

Мы не будем доказывать эту теорему; она является основой для численного нахождения р(МУ Минимизация по D в правой части (7.30) — сравнительно простая задача (оиа может быть сведена к выпуклой оптимизации). В некоторых частных случаях (когда нет полных вещественных блоков и 2s + / ^ 3, где s — число скалярных, а / — число полных комплексных блоков) в правой части (7.30) достигается равенство, т.е в этом случае р может быть вычислено эффективно. В обшей ситуации верхняя и нижняя границы для р различаются. Особенно трудно вычисление р для вещественных блоков, которые соответствуют параметрическим неопределенностям. В системе Matlab существует специальный пакет p-Analysis and Synthesis Toolbox, гае собраны эффективные алгоритмы вычисления р н его использования для анализа робастной устойчивости. Подобное использование опирается на следующий результат.

Приведем замкнутую линейную систему, содержащую неопределенность, к ЛГ-А-форме (рис. 7.5), гае М^ — передаточная функция номинальной системы (предполагающаяся устойчивой, М^ Е RH^, a A(s) описывает все виды неопределенности в системе, которые заданы блочио-диагональной структурой А. Это могут быть параметрические неопределенности (им отвечают вещественные скалярные блоки), матричные неопределенности (им отвечают вещественные полные блоки), частотные неопределенности в /Тоо-норме (им отвечают комплексные полные блоки). При этом предполагается, что A(s) Е RHoo и А Е А для всех s: Res < 0.

Теорема 7.17 (критерий робастной устойчивости). Рассматриваемая система устойчива при всех допустимых A, {^(s),^ < 7, тогда и только тогда, когда

sup p(M(jw)) ^ -.(7.31)

ш7

Действительно, этот результат, по существу, следует из теоремы о малом коэффициенте усиления н из определения р; новым элементом является лишь структура неопределенности (теорема 7.14 относилась к одному

полному комплексному блоку). Одиако схема доказательства остается всех случаях прежней.

Итак, критерий робастной устойчивости, даваемый теоремой 1. предполагает выполнение следующих операций.

Система приводится к М-Д-конфитурации.

Для каждого ш вычисляется p(M(ju')).

Проверяется условие (7.31).

Здесь наиболее трудоемким может оказаться второй этап; в случае bi ственных неопределенностей он особенно труден. Поэтому нельзя тать, что теорема является универсальным способом проверки робас устойчивости.

Вероятностный подход к робастной устойчивости

Как объяснено в п. 6.4, возможен и часто целесообразен не минш ный, а вероятностный подход к робастности. Мы рассмотрим лишь за с параметрической неопределенностью (ие вполне ясно, как ввести i ятностную меру в частотную неопределенность). Итак, мы изучаем. полиномы P(s,q), либо матрицы A(s,g), зависящие от параметров По-прежнему будем предполагать, что параметры принадлежат мноз ству Q с IRf, однако теперь на этом множестве задана вероятносп мера. Для простоты будем считать, что задана плотность вероятности р( q Е Q- Если эта плотность не задана по физическому смыслу задачи (< замечания выше), то для ограниченного множества Q естественно бр равномерную плотность на Q. Можно показать, что такое распределег обладает рядом экстремальных свойств.

Метод Монте-Карло

Простейший путь оценки вероятности устойчивости при задали плотности р(д) заключается в применении метода Монте-Карло. Имею генерируется выборка б1,...,^ независимых случайных величин, ик ющих плотность p^qY Для них вычисляются полиномы P(s,g1),...|. P(s, qN) (или матрицы А^1),..., A(qN^ и (с помощью критериев устойчивости либо путем прямого вычисления корней или собственных значений) проверяется их устойчивость. Пусть число устойчивых полиномов (матриц) оказалось равным М ^ N; если М близко к N, то можно надеяться, что вероятность устойчивости высока. Чтобы формализовать такой подход, надо уметь более строго решать каждую из задач — генерацию выборки q*,..., qN н оценки вероятности по частоте M/N. Остановимся на этих вопросах подробнее.

Генерация равномерно распределенных векторов q € Q. Если Q — куб

Q = {g€Rf: 0 ^<7^1, г = 1,...,€},

то равномерное распределение генерируется чрезвычайно просто — достаточно независимо равномерно генерировать каждую компоненту q^ вектора q. В Matlab такая генерация вектора q производится одной командой q = rand(€, 1). Аналогично генерация равномерного распределения матриц в семействе интервальных матриц п х п, 0 ^ а^ ^ 1, производится командой rand(n). Разумеется, если Q — параллелепипед {|ф ~ 9?1 ^ г», i = 1,.. -,/}, то нужно добавить к этому масштабирование и сдвиг вектора q.

Если Q — шар

Q = {9G^: |№^1},

то равномерно распределенные в Q случайные величины проще всего

генерировать так:генерировать так:о =4 5 IM’о =4 5 IM’

генерировать так:

генерировать так:

о =

4 5 IM’

о =

4 5 IM’

где q € Rf — нормально распределенный вектор с нулевым средним н единичной ковариационной матрицей, а £ — равномерно распределенная на [0, 1] случайная величина, независимая от q. На языке Matlab это записывается так: q = randn(l, 1), q = rand'(l/£) * т^/погт^). Таким же образом можно генерировать матрицы, ограниченные по фробениусовой норме. Так, матричное семейство А = Ло + А, ||ДЦг ^ 7, Л € RnXn,

задается командами

q = randn(n), А = ЛО + гашГ(1/п 2) * 7 * q/^or^q, 'fro').

Существуют и способы генерации матриц, равномерно распределенных на шаре || А || ^ 7, где || • || — спектральная норма.

Пусть задана последовательность бернуллиевских случайных величин ^,1 = 1,..., iV (т.е. & взаимно независимы, & = 1 с вероятностью р, 6 = 0 с вероятностью 1 — р) н SN = ££=1 &• Тогда удобная оценка р по частоте pN = S^/N задается границами Чернова

Prob р ^ Pn - е} ^ 1 - е 2е ^

Prob |р - PwI > е} ^ 1 — 2е 2с N.

Применяя этот результат к проблеме робастной устойчивости, получаем следующий способ оценки вероятности устойчивости. Пусть P(s, g) млн ^(9). q 6 Q, — полиномиальное илн матричное семейство, зависящее от векторного параметра q € Q С Re; ql, г = 1,... ,N, — равномерно

распределенная на Q выборка, М — количество устойчивы) (матриц) нз N выборочных, р — истинная вероятность устой* р = Vol(Qs)/Vol(Q), где Q8 — область устойчивости, a Vol объем множества. Тогдараспределенная на Q выборка, М — количество устойчивы) (матриц) нз N выборочных, р — истинная вероятность устой* р = Vol(Qs)/Vol(Q), где Q8 — область устойчивости, a Vol объем множества. ТогдаProb{p>^-eProb{p>^-ee-2e2Ne-2e2NЭНЭНт. е. отношение M,N отклоняется от р больше, чем на с, с ве не превосходящей е~2е N. В частности, если M/N близко a N достаточно велико, то с большой вероятностью можно что доля неустойчивых полиномов в Q мала.Г*Сопутствующие функции Matlab:rand, randn — генерация равномерно распределенных и иор пределенных случайных чисел.т. е. отношение M,N отклоняется от р больше, чем на с, с ве не превосходящей е~2е N. В частности, если M/N близко a N достаточно велико, то с большой вероятностью можно что доля неустойчивых полиномов в Q мала.Г*Сопутствующие функции Matlab:rand, randn — генерация равномерно распределенных и иор пределенных случайных чисел.t’t’7.5.2. Вероятностные аппроксимации критериев робастной устойчивостиДля многих критериев робастной устойчивости, рассмазре пп. 7.1 и 7.2, можно построить их вероятностные аналоги. Пр* руем эти способы и получающиеся при этом возможности на типах задач.Для аффинного семейства полиномовг7.5.2. Вероятностные аппроксимации критериев робастной устойчивостиДля многих критериев робастной устойчивости, рассмазре пп. 7.1 и 7.2, можно построить их вероятностные аналоги. Пр* руем эти способы и получающиеся при этом возможности на типах задач.Для аффинного семейства полиномовг•• а•• аP(s,$) = P0(s) + 5SftPi(s)P(s,$) = P0(s) + 5SftPi(s)мы ранее предполагали, что параметры qt ограничены: q € №е: к»| < 7, г = 1> --»О* а критерий устойчивости для I заключался в том, что область значениймы ранее предполагали, что параметры qt ограничены: q € №е: к»| < 7, г = 1> --»О* а критерий устойчивости для I заключался в том, что область значенийIIz € С: zz € С: z«е<?}^«е<?}^

распределенная на Q выборка, М — количество устойчивы) (матриц) нз N выборочных, р — истинная вероятность устой* р = Vol(Qs)/Vol(Q), где Q8 — область устойчивости, a Vol объем множества. Тогда

распределенная на Q выборка, М — количество устойчивы) (матриц) нз N выборочных, р — истинная вероятность устой* р = Vol(Qs)/Vol(Q), где Q8 — область устойчивости, a Vol объем множества. Тогда

Prob{p>^-e

Prob{p>^-e

e-2e2N

e-2e2N

ЭН

ЭН

т. е. отношение M,N отклоняется от р больше, чем на с, с ве не превосходящей е~2е N. В частности, если M/N близко a N достаточно велико, то с большой вероятностью можно что доля неустойчивых полиномов в Q мала.Г*

Сопутствующие функции Matlab:

rand, randn — генерация равномерно распределенных и иор пределенных случайных чисел.

т. е. отношение M,N отклоняется от р больше, чем на с, с ве не превосходящей е~2е N. В частности, если M/N близко a N достаточно велико, то с большой вероятностью можно что доля неустойчивых полиномов в Q мала.Г*

Сопутствующие функции Matlab:

rand, randn — генерация равномерно распределенных и иор пределенных случайных чисел.

t’

t’

7.5.2. Вероятностные аппроксимации критериев робастной устойчивости

Для многих критериев робастной устойчивости, рассмазре пп. 7.1 и 7.2, можно построить их вероятностные аналоги. Пр* руем эти способы и получающиеся при этом возможности на типах задач.

Для аффинного семейства полиномовг

7.5.2. Вероятностные аппроксимации критериев робастной устойчивости

Для многих критериев робастной устойчивости, рассмазре пп. 7.1 и 7.2, можно построить их вероятностные аналоги. Пр* руем эти способы и получающиеся при этом возможности на типах задач.

Для аффинного семейства полиномовг

•• а

•• а

P(s,$) = P0(s) + 5SftPi(s)

P(s,$) = P0(s) + 5SftPi(s)

мы ранее предполагали, что параметры qt ограничены: q € №е: к»| < 7, г = 1> --»О* а критерий устойчивости для I заключался в том, что область значений

мы ранее предполагали, что параметры qt ограничены: q € №е: к»| < 7, г = 1> --»О* а критерий устойчивости для I заключался в том, что область значений

I

I

z € С: z

z € С: z

«е<?}^

«е<?}^

не содержит нуля (в предположении, что Po(s) — устойчивый ип см. теорему 7.1. Множество 5 (и) — многоугольник, н возмо! точное описание (которое и приводит к теореме 7.4). Станек на вероятностную точку зрения и будем считать qt независимым мерно распределенными на [—7, 7) случайными величинами» Я

личество £ параметров достаточно велико, то сумма z = 00 +

= РАзиУ ведет себя приблизительно как двумерная гауссовская слу- г-г2^йная величина со средним а0 и матрицей ковариаций W = — V^al ^ррсъ и далее комплексное число а,- понимается как двумерный вектор (Rea,, Im at) Е R2). Поэтому 5(и>) хорошо описывается доверительна эллипсом1= РАзиУ ведет себя приблизительно как двумерная гауссовская слу- г-г2^йная величина со средним а0 и матрицей ковариаций W = — V^al ^ррсъ и далее комплексное число а,- понимается как двумерный вектор (Rea,, Im at) Е R2). Поэтому 5(и>) хорошо описывается доверительна эллипсом1ЕД^ = {* € R2: (z - ao^W’^z - g0) ^ т|, де т задает доверительный уровень (ясно, что размер ЕДи?) зависит также от размаха 7 неопределенности). Иными словами, если рт — соответствующая доверительная вероятность, то

= РАзиУ ведет себя приблизительно как двумерная гауссовская слу- г-г2

^йная величина со средним а0 и матрицей ковариаций W = — V^al ^ррсъ и далее комплексное число а,- понимается как двумерный вектор (Rea,, Im at) Е R2). Поэтому 5(и>) хорошо описывается доверительна эллипсом

1

= РАзиУ ведет себя приблизительно как двумерная гауссовская слу- г-г2

^йная величина со средним а0 и матрицей ковариаций W = — V^al ^ррсъ и далее комплексное число а,- понимается как двумерный вектор (Rea,, Im at) Е R2). Поэтому 5(и>) хорошо описывается доверительна эллипсом

1

Prob^P(jv) € ЕДи) | « рт

для данного и).

Важно отметить, что эллипс £r(w) часто существенно меньше, чем вся область значений 5(о/).

7Р = тах<7:7Р = тах<7:О £ ЕДи) Vcvj,О £ ЕДи) Vcvj,Таким образом, если мы, опираясь на вероятностный аналог прин- - ципа исключения нуля (нуль не принадлежит ЕДиД для всех о/), оценим г вероятностный радиус устойчивости, т. е. максимально допустимое

7Р = тах<7:

7Р = тах<7:

О £ ЕДи) Vcvj,

О £ ЕДи) Vcvj,

то окажется, что 7Р > 7, гае 7 — «точный» (детерминированный) радиус — устойчивости. Иначе говоря, если пренебрегать событиями малой вероятности, то можно значительно увеличить размах неопределенности пара- -.- метров. Поскольку данный способ оценки радиуса устойчивости — при- •- ближенный, то окончательную проверку вероятности устойчивости при и выбранном 7 можно провести с помощью метода Монте-Карло.

Аналогичный способ можно применить в случае матричной неопреде- »- ленности. Пусть матрица А Е RnXn устойчива, а ее возмущения △ Е R”xn ограничены во фробениусовой норме: ||Д||р С 7- Для робастной устой- л- чивости семейства А + А требуется, чтобы

det (А — jicl + А) / Оdet (А — jicl + А) / О(732)(2)(732)(2)

det (А — jicl + А) / О

det (А — jicl + А) / О

(732)(2)

(732)(2)

Для всех a? е R и ||A||F ^ 7- Поскольку

det (А - jwl + Д) = det(A - Э^Г) (^ + (-^ — Зш^ ^) == dei^-ja./jde^Z + tA-jwZ)-^),

То Условие (7.32) эквивалентно условию

det(7 + (Д - зш!) 1 А) / О

для всех a? G R и ]|A||F ^ 7. Но для малых по фробениусовой hi матриц X имеем

п

det(Z + X) « Д(1 +^) « 1 + trX,

поэтому

det(/ + (Л — jwiy1 А) « 1 4- tr ((Л — jwJ^A).

Иными словами, когда А пробегает шар ||A||F ^ 7, точки z = 1+tr (( jW)-1A) заполняют эллипс

г G R2: (г - 2b)T^(y)(z - г0) ^ Л

х0 = (1, 0)т, W^ = (ВВТ) 1 € R2*2,

В = В^ = ( ^^^ - ^z:) е ^-'\ Imvec (Л —1 )

(здесь vecM = (?vtii,--.,77irt|1...,min,...177inn)T — п2-мерный векг получающийся вытягиванием в столбец п х n-матрицы М), который х рошо аппроксимирует область

S(cv) = (z = det(/ + (Л - jW)-1A), ||A||f ^ 7}.

Если теперь считать, что матрица А равномерно распределена в ш^ ||A||f ^ 7, то можно показать, что при фиксированной комплекса матрице (Л — уо;/)-1 двумерная случайная величина ^ = 1 + tr ((Л jwl)-1^ имеет распределение с центром в z0 = (1, 0)т, линиями урона которого являются эллипсы ETVoY

г G R2: (z - г0)Ц^(^)(г - г^ < Л ,

где т задает доверительный уровень. Таким образом, приближенно можно считать, что 0 £ det (Л — Jul + А) с вероятностью р — рт (соответствующей уровню т), если

Zo W^zq > 72т = 7p(w)«

что дает максимальное значение 7p(w) при данной частоте ш;

-tpk^ = (^П(Ш))‘/2.

Минимизируя по и, мы получаем приближенное значение вероятностного радиуса устойчивости

7Р = min7p(w).

Ы

Обычно 7Р существенно больше, чем детерминированный радиус робастной устойчивости. Вновь отметим, что заключительная оценка вероятности устойчивости при выбранном 7 может быть получена методом Монте- Карло.

Свойства случайных матриц

Приведем еще один подход к робастной устойчивости матриц, основанный иа некоторых теоремах о поведении случайных матриц.

Теорема 7.18. Пусть элементы ^j матрицы Д размерности п х п независимы и имеют равномерное распределение на [—7, 7]. Тогда при у/3 Л

7i —> оо спектральная норма матрицы —;= Д почти наверное стремится к 2, а ее собственные значения стремятся к равномерному распределению на единичном круге.

Можно показать, что отсюда следует соотношение между вероятностным радиусом устойчивости интервального семейства А + Д (Ду независимы и равномерно распределены на [—7, 7]) и вещественным радиусом устойчивости 7„ах (7.24) матрицы А: случайное интервальное семейство робастно устойчиво с вероятностью 0,99, если

0,82 г

Рассмотрим простейший пример, когда А = —I. Тогда интервальное семейство —Z + Д робастно устойчиво прн 7 < 1/п, а при 7 > 1/п устойчивость может потеряться (дестабилизирующей является матрица с Дч = 1 /п). В то же время собственные значения матрицы — I + Д для случайного интервального семейства лежат приближенно равномерно в круге с центром в — 1 н радиуса 7у/п/3, поэтому прн 7 < у/3/n они будут находиться в левой полуплоскости. Таким образом, соотношение размахов допустимых возмущений для вероятностного и детерминированного подходов равно у/Зп.

Выводы

• Семейство полиномов

^s,Q) = {p(s,9) = 00(9) + 01(9)5 + ... + on(g)sn, q G Q C Kf

называется робастно устойчивым, если P(s, q) устойчивы при всех q € Областью значений полиномиального семейства называется множен

SM = ^P^qy. q G q},

т.е. 5(щ) — двумерный образ Q при отображении F^jio^y Мн« критерии робастной устойчивости основаны на принципе исключен нуля: семейство робастно устойчиво тогда и только тогда, когда Q связ an^q) т^ 0, в семействе существует устойчивый полином, и <S(u>) не ( держит нуля при всех значениях w (теорема 7.1). Принцип справедлив в дискретном случае, но здесь не требуется, чтобы все полиномы P^zt - имели одинаковую степень (отсутствует условие an(q) ^ 0). Доказать ство основано на том, что при пересечении одним из корней грани устойчивости (мнимая ось либо единичная окружность) нарушается уо вие 0 ^ <S(m).

Для робастной устойчивости интервального семейства в непрерывн случае необходима и достаточна устойчивость четырех специальных ] шинных полиномов — харитоновских полиномов (теорема 7.2 — теор Харитонова). Область S^ld) в этом случае — прямоугольник, вершины торою соответствуют харитоновским полиномам, н доказательство о< вано на принципе исключения нуля и критерии Михайлова. В дискрет случае аналогов теоремы 7.2 нет.

Робастная устойчивость интервального полинома может быть уст$ влена с помощью графического критерия (теорема 7.3). Здесь дО1 точно проверять поведение лишь одного годографа (годографа Цыпки Поляка); при этом определяется максимальный размах 7тах неопре, леиности, при котором сохраняется робастная устойчивость — руп устойчивости. Аналогичный результат имеет место для сферической i определенности, в дискретном случае и т.д.

Критерий робастной устойчивости аффинного семейства полиномов1

^(s.Q) = VP^q} = Po($) +9iPi(s) 4-... + деРе(з) : |<7г| ^ 7,

< = !,...,€},

дается реберной теоремой (теорема 7.4): если полином Po(s) устойчив и deg Д < degPo, г = 1,... ,£, то (при некоторых дополнительных усло^ виях регулярности) для робастной устойчивости необходима и достаточна устойчивость всех реберных полиномов, т.е. всех одномерных семейств вида

{Р($,9): |д.| = 7, i ^ ^ Ы ^ 7}-

Реберная теорема эффектиано применима, лишь если число £ неопределенных параметров мало.

Задача робастной устойчивости параметрических семейств матриц много сложнее задач для полиномов. Например, для интервального матричного семейства отсутствуют аналоги теоремы Харитонова (устойчивость вершинных матриц не гарантирует робастной устойчивости), для аффинного семейства неверна реберная теорема. Поэтому используют приближенные методы или формулируют достаточные условия робастности.

Один из приближенных методов использует идеи теории возмущений; он основан на теореме 7.7, в которой оцениваются изменения собственных значений матрицы А(у), зависящей дифференцируемым образом от вектора неопределенных параметров q, вызванные малыми изменениями q. В ряде случаев (например, для аффинного матричного семейства) это позволяет приближенно оценить величину минимального q, приводящего к потере устойчивости невозмущенной матрицы А(0).

Среди достаточных условий робастной устойчивости матричных семейств применяется подход, основанный на поиске общей квадратичной функции Ляпунова для всего семейства A(g), q Е Q, т.е. на решении системы линейных матричных неравенств

AT(q)P-t-PA(q)<0, Р>0, qEQ;

существование решения гарантирует робастную устойчивость А(д\ В случае интервального или аффинного семейства такую систему неравенств достаточно решать лишь для вершин множества Q (для вершинных матриц семейства), т.е. число неравенств конечно и равно 2*.

Другое достаточное условие заключается в использовании сверхустойчивости вместо устойчивости. Например, если в интервальном семействе

^ = (fao))> <^=^+2^, lAijl^l, ij = l..-,n,номинальная матрица Ao = ((°ij)) сверхустойчива: с(Ао) = min^—а^ —52 1°? П > 0, то все семейство робастно сверхустойчиво, т.е.

-(а?( + Д.а-^|а?,+Д^|>0, < = !,...,„,

5/*

прн всех )Ду| ^ 7, тогда и только тогда, когда

— £1^21п

при этом радиус сверхустойчивости 7* находится в явном виде. Аналогичные формулы справедливы и в дискретном случае: если ЦАо||1 < 1, то

семейство матриц остается сверхустойчивым при

. l-IHolh

7 < 7 =•

При задании матричной неопределенности в виде ограничений на спектральную норму возмущения

Л = А0 + Д, ЦДК7 нахождение радиуса устойчивости — максимального значения 7 = 7тах. при котором все возмущения ||Д|| < 7тах не нарушают устойчивости' Ло, — зависит от типа возмущений.

Если возмущения А комплексные, то выражение для комплексного радиуса устойчивости 7тах = 7тах Дается теоремой 7.8. При этом дестабилизирующее возмущение при 7 ^ 7тах может быть взято в вКле матрицы ранга один.

Если допускать лишь вещественные возмущения Д, то нахождений вещественного радиуса устойчивости 7тах = 7^ах усложняется; выражение для 7^ах дается теоремой 7.10. Дестабилизирующими возмущениями являются матрицы второго ранга.

Аналогичные результаты справедливы для дискретных систем, т. е. матриц, устойчивых по Шуру.(

Для одномерных систем с частотной неопределенностью вопрос о робастной устойчивости решается с помощью робастного аналога критерия Найквиста (теорема 7.13).

Для многомерных систем основным техническим аппаратом исследования устойчивости при частотной неопределенности является теорема о малом коэффициенте усиления. Пусть M(s) — матричная передаточная функция из RHoo, A(s) — матричное частотное возмущение из RH^, ограниченное в 7^-норме: ||A(s)||co ^ I/7. Тогда матричная функция (/+M(S)A(S)}~ определена и принадлежит RHoo тогда н только тогда, когда ||M(s)||oo ^ 7 (теорема 7.14). Отсюда можно получить разнообразные критерии робастной устойчивости при частотной неопределенности. Типичные результаты приведены в теореме 7.15. Пусть объект имеет аддитивную неопределенность: G = Go + W\ АИ^, а регулятор G(s) помещен в цепи обратной связи. Тогда замкнутая система устойчива при всех ||А(в)Цоо < 1. если ll^CmU < 1, где S = (7 + GoC)"1 — чувствительность номинального объекта.

Общая схема исследования робастной устойчивости дается так называемым //-анализом. Он основан на понятии структурного сингулярного числа матрицы. В //-анализе система приводится к стандартной М-А- конфигурации, где все неопределенности А включены в цепь искусственной обратной связи, а М — номинальная замкнутая система (включающая

номинальный объект, регулятор и обратную связь). Матричная неопределенность Д($) имеет некоторую структуру (в ней могут быть блоки, отвечающие вещественной или комплексной параметрической или ма- । тричной неопределенности, частотной неопределенности). Число д(М) определяется как обратное к минимальной норме △ заданной структуры, при которой матрица I + МД становится вырожденной. Для вычисления /ДМ) существуют численные методы, основанные на верхних н нижних границах для д(М). Общий критерий робастной устойчивости для М-Д-конфигурации дается теоремой 7.17, обобщающей теорему о малом коэффициенте усиления.

Теория робастной устойчивости опирается на минимаксный подход — требуется сохранение устойчивости при любой допустимой неопределенности. Однако можно считать неопределенность случайной, а систему робастно устойчивой, если она сохраняет устойчивость с вероятностью, близкой к единице. Такой вероятностный подход имеет ряд преимуществ. В частности, можно применить метод Монте-Карло для прямой проверки вероятностной устойчивости. Вероятностный радиус устойчивости часто оказывается заметно большим, чем детерминированный.

i

8. Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков

Глава 8

РОБАСТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ

В этой главе мы проанализируем, каким образом методы стаби ции и оптимального управления, рассмотренные в главах 4 и 5, MOiyr обобщены на задачи с неопределенностями различных видов. Разуме не все описанные там методы допускают «робастизацию». Hanpt подход с помощью размещения полюсов системы (п. 4.3) имеет о только для фиксированной системы. С другой стороны, возможны и циальные постановки задач, связанные с робастностью, например, 35 о максимальной робастности (п. 8.4).

Робастная стабилизация с помощью регуляторов низкого порядка

Как н в п. 4.1, мы займемся вначале задачей стабилизации одно кого объекта с передаточной функцией

с помощью скалярного коэффициента усиления к в цепи обратной связи.

Рис. 8.1. Стабилизация неопределенного объекта скалярной обратной связью

Однако здесь, в отличие от п. 4.1, G(s) не предполагается фиксированной, а содержит некоторую неопределенность. Для примера будем считать, что А и В — интервальные полиномы:

A(s) — Oo 4-OiS+ ...+amsm, д* С а» С а$, i = l,...,m;

S(s) — bo 4- bis +... + bnS™, ^ ^ bi ^ Ь,, i = 1,... n.

Характеристический полином замкнутой системы

Р(в) = Л(в)+*В(я)

при фиксированном коэффициенте усиления к также будет интервальным полиномом с коэффициентами р, = о, + kbi, i = 1,...,п (мы предполагаем, что п > т и дополняем а* = О для m < t < п). По теореме Харитонова 7.2 Р(з) устойчив в том и только в том случае/когда устойчивы четыре харитоновских полинома

РДя) = А^в) + кВ^, t = 1,... ,4,

где АДз), Bi(s) — харитоновские полиномы для интервальных семейств Л(в), B(s) (см. п. 7.1). Используя теоремы 4.1 и 4.2 о стабилизации устойчивых н минимально-фазовых объектов, получаем их робастные аналоги.

Теорема 8.1. Пусть полиномы B^s\ i = 1,... ,4, устойчивы. Тогда система на рис. 8.1 робастно стабилизируется при 0 ^ к < к^^ = min к*, где к^ = —1/к,, а *4 — точка самого левого пересечения i-го l<i<4

годографа Найквиста Gi(jw) = Ai(jw)/Bi(jw) с отрицательной вещественной полуосью.

Теорема 8.2. Пусть полиномы Д(в), г = 1,... ,4, устойчивы, ат > О и выполнено любое из условий

а)п = т,

п = т + 1, Ь^ > О,

п = т + 2, Ь^ > 0, ti-l > °, Йтбп-1 > Om-lbn.

Тогда система на рис. 8.1 робастно стабилизируется при к > ккрт = max к«, где ki — —1/^*, a v» — точка самого левого пересечения i-го 1<г« обратного годографа Найквиста Hi(ju}) = Bi(ju)/Ai(jw) с отрицательной вещественной полуосью.

Таким образом, робастно устойчивые и робастно минимально-фазовые объекты можно робастно стабилизировать с помощью постоянной обратной связи (в первом случае с помощью малого, а во втором случае — большого коэффициента усиления). При этом для отыскания критического значения коэффициента усиления ^рт достаточно построить четыре харитоновских годографа, соответствующих либо прямым, либо обратным голографам Найквиста.

Сходным образом допускает робастное обобщение и техника, основанная на Р-разбиении по двум параметрам, описанная в п. 4.1. Как мы ввдели, для регуляторов, зависящих от двух параметров *i, *2, характеристический полином принимает вид (4.4):

P(s, k^ = P0(s) + kiPi(s) + k2PAs\ * = (*i, ki\

где полиномы Po(s),F](s), P2(s) линейно зависят от Л(в) и B(s). I пример, для ПИ-ретулятора

C(s) = ki 4- k2/s получаем

Р($, к) = B^s + кгА^з + к2Л(«).

Чтобы выявить более четко идею метода, рассмотрим простейц случай, когда полиномы Pi и Р2 фиксированы, а Ро — ннтервальн полином. В приведенном выше примере ПИ-регулятора это соответств случаю, когда числитель объекта Л(«) фиксирован, а знаменатель B(s) —* интервальный полином. Тогда, как мы знаем (п. 7.1), Potjw) изменяете# в некотором прямоугольнике на комплексной плоскости (его вершит! определяются харитоновскими полиномами), поэтому при фиксирован* ном ш решения системы$

kiPi <3^ + k2P2(jw^ = -PoU^

относительно ki,k2 изменяются в параллелограмме, вершины которого определяются решениями четырех харитоновских систем. Таким обра* зом, каждая точка границы D-разбиения размывается в параллелограмм. Точки внутри области устойчивости, не накрываемые ни одним из этих параллелограммов, определяют значения ki,k2l гарантирующие робастную стабилизацию.

Рассмотрим робастный вариант примера 4.2 из и. 4.1. Для объекта с интервальным знаменателем

со + cis 4- а2з2 ’О,8^ао<1,2; -0,1^01^0,1; 0,8<о2^1,2,мы ищем ПИ-регулятор

C(s) = ki + k2/s, гарантирующий робастную устойчивость. Характеристический полином замкнутой системы имеет вид

P(s,k) = o0s + oi s2 + o2s3 + kis(s — 1) + k^s — 1), и уравнение границы D-разбиения Р^ш) = 0 записывается следующим образом:

-kiw2 — к2 = О1Щ2,

—кг 4- к2 = —од 4- о2ш2,

откудаоткуда, ао - (»1 + “г)^2fci =гт-5, ао - (»1 + “г)^2fci =гт-5*2 =*2 =о?2(—ар — Qi + аг^2)1+w2о?2(—ар — Qi + аг^2)1+w2

откуда

откуда

, ао - (»1 + “г)^2

fci =гт-5

, ао - (»1 + “г)^2

fci =гт-5

*2 =

*2 =

о?2(—ар — Qi + аг^2)1+w2

о?2(—ар — Qi + аг^2)1+w2

Задавая значения а = (ар at аг), отвечающие четырем харитонов- ским полиномам: о1 = (0,8 —0,1 1,2), а2 = (1,2 —0,1 0,8), а3 = (1,2 0,1 0,8), а4 = (0,8 0,1 1,2), мы при фиксированном ш получим четыре точки к\ г = 1,..., 4, лежащие в вершинах параллелограмма. При изменении и? эти параллелограммы зачертят полосу, в которую размоется граница Р-разбиения для невозмущеиного объекта а° = (1 0 1) (иа рис. 8.2 она показана жирной линией). Особая прямая fo = 0 не зависит от параметров а, и остается одной прямой. Таким образом, область Ргоь робастной устойчивости на плоскости ^кик^ приобретает вид, показанный на рис. 8.2. Разумеется, эта область меньше, чем в случае невозмущенного объекта (ср. с рнс. 4.4).

Рис. 8.2. Робастное Р-разбиение. Область робастной устойчивостиРис. 8.2. Робастное Р-разбиение. Область робастной устойчивости

Рис. 8.2. Робастное Р-разбиение. Область робастной устойчивости

Рис. 8.2. Робастное Р-разбиение. Область робастной устойчивости

В данном случае (и в других аналогичных) можно было поступить и иначе, воспользовавшись теоремой 7.11 (регулятор первого порядка стабилизирует интервальный объект тогда и только тогда, когда он стабилизирует все харитоновские объекты). Иными словами, можно построить Р-разбиение по двум параметрам к^к^ для всех харитоновских объектов; тогда пересечение всех областей устойчивости даст область робастной устойчивости. Для данного примера Р-разбиение дается гиперболами, получающимися после исключения и2 из уравнений (8.1):

к2 =к2 =(*1 — Оо)(А1 + G1)О1 + 02 + к\

к2 =

к2 =

и особой прямой к2 = 0. Четыре области устойчивости (для

на рис. 8.3; их пересечениена рис. 8.3; их пересечениехаритоновских полиномов с коэффициентами о*, t = 1,... ,4) п<

на рис. 8.3; их пересечение

на рис. 8.3; их пересечение

определяет ту же область робастной усто

вости, что и на рис. 8.2. Идея робастного D-разбиения может быть

Рис. 8.3. Робастное D-разбиеиме. Область робастной устойчивости как пересечение областей устойчивости четырех харитоновских объектовРис. 8.3. Робастное D-разбиеиме. Область робастной устойчивости как пересечение областей устойчивости четырех харитоновских объектов

Рис. 8.3. Робастное D-разбиеиме. Область робастной устойчивости как пересечение областей устойчивости четырех харитоновских объектов

Рис. 8.3. Робастное D-разбиеиме. Область робастной устойчивости как пересечение областей устойчивости четырех харитоновских объектов

менена и в более общем случае, когда полиномы А(в),В(в) принадлежат семействам, отличным от интервальных, однако при этом техника построения границы усложняется (граница порождается не параллелограммами, а более сложными множествами).

Изложенные выше методы относились к стабилизации непрерывных систем. Их можно отчасти перенести н на дискретный случай, но мы на этом не будем останавливаться.

Возможны совсем другие подходы к синтезу робастных регуляторов низкого порядка, опирающиеся на численные методы. Пусть характеристический полином замкнутой системы имеет вид

Л«л,Ю, q^Q-

Здесь, как н ранее, q — вектор неопределенных параметров, изменяющийся во множестве Q с R;, а к — коэффициенты регулятора. Будем считать, что к € R2, т.е. мы проектируем ретулятор, зависящий от двух параметров. Тогда для некоторого номинального g° € Q можно с помощью D-разбиения найти область устойчивости в пространстве {fci, ^h т.е. построить

D0 = {Л 6 R2 : P(s,g°, А;) устойчив}.

Ясно, что множество всех робастно стабилизирующих регуляторов

Drob == {* € R2 : P(s,q, к) робастно устойчив для всех q € <2} является подмножеством D°: Пгоъ С ГР. Генерируя точки к' € D° и пользуясь критериями робастной устойчивости из п. 7.1, можно проверять, будет ли £ € Ргоь* Ясно, что можно не только организовать перебор точек из Р°, но и построить более эффективные методы поиска,

Робастная квадратичная стабилизация

Рассмотрим ту же задачу, что и в п. 4.4, но в робастном варианте. Для семейства систем

х = A(q)x 4- Bu, q € Q,(8.2)

мы пытаемся найти общий регулятор вида

и = Кх

так, чтобы у замкнутых систем

я = АД-М Asfa) = A(q) + ВК, q^Q,

была общая квадратичная функция Ляпунова

V<x^=xTPx, Р>0.

Зависимость матрицы А от параметров q может быть любой, например, это может быть интервальное или аффинное семейство матриц (см. п. 6.1). Как было показано в теореме 4.13, решение задачи для фиксированной А определяется решением одного линейного матричного неравенства: В случае неопределенной матрицы появляется набор соответствующих неравенств, отвечающих всевозможным значениям параметра q.

Теорема 83. Если X — решение системы линейных матричных неравенств

XAT(q) + A(q)X-2BBT <0, q^Q, X > 0,(8.3)

то регулятор с матрицей

К = -ВТХ-1

робастно стабилизирует систему (8.2), а квадратичная форма

V(x) = хТХ”1х

является общей функцией Ляпунова для замкнутой системы при всех qEQ.

Доказательство дословно повторяет доказательство теоремы 4.13; метим лишь, что мы несколько изменили обозначения во избежание таницы.

Таким образом, проблема сведена к решению линейных матрич! неравенств. Их может быть конечное число, если зависимость А(д) нейна, a Q — многогранник. Действительно, если А(д), например, , финнов семейство

£

А^ = Ао +^2,qiA„ q € Q = {g 6 К*: |g|TO < 1}, 1=1

то неравенства (8.3) выполняются для всех q Е Q тогда и только tol когда они выполняются для всех вершин qv Е V = {g Е Q: |g*| = 1, г !,...,£} куба Q. В частности, если А(д) — интервальное семейст. матриц, то достаточно решить систему линейных матричных неравенст соответствующих вершинным матрицам, т. е. тем, у которых все элемент принимают максимальные либо минимальные значения. Для численно! решения конечных систем линейных матричных неравенств существу» мощные вычислительные методы; их можно найти, в частности, в паки LMI Control Toolbox системы Matlab. Тем не менее число неравенст может быть слишком велико: скажем, в случае интервальной матрицы пх п число неравенств равно 2П , и уже при п = 5 применение таких методов наталкивается на трудности. В этих случаях могут применяться более простые итеративные методы, которые на каждом шаге имеют дело лишь с одним случайно генерируемым неравенством. При этом общее число неравенств может быть бесконечным.

Мы рассмотрели лишь ситуацию, когда матрица А включает неопределенность, в то время как матрица В известна точно. Более общий случай неопределенной матрицы В также может быть сведен к линейным ма

тричным неравенствам.

Сопутствующие функции Matlab:

quadstab (LMIC) — нахождение общей квадратичной функции Ляпунова и радиуса квадратичной устойчивости для аффинного семейства на основе решения системы линейных матричных неравенств.

Робастный линейно-квадратичный регулятор

Для той же модели неопределенности, что и в предыдущем параграфе.

х = А^х + Ви, qEQ, л(0) = Хо,

рассмотрим задачу о линейно-квадратичном регуляторе. Мы хотим с помощью обратной связи

и = Кх

ностиностигарантировать некоторый уровень р квадратичного критерия оптималь

ности

ности

сю

J^P,J^P,j = J [(^^ к) + С^»и)] ^i

J^P,

J^P,

О

прн всех значениях параметров q е Q. Для простоты мы рассматриваем лишь случай, когда матрицы В, R > О, S > 0 известны точно, а неопределенность присутствует лишь в матрице А. В п. 5.1 были описаны различные способы решения задачи о линейно-квадратичном регуляторе. Один из них (основанный на решении линейных матричных неравенств (5.21)), допускает робастное обобщение.

71/2Хд1/271/2Хд1/2Теорема 8.4. Пусть Х^ — решение системы линейных матричных неравенств

71/2Хд1/2

71/2Хд1/2

А^Х + ХАТ^ + (7 - 2)BS-1BT

7i/2Ri/2X

X > 0, q Е Q- (8.4)

Решим одномерную задачу минимизации

7* = argminy(7), ^(7) = 7-11?Х(7)жо,

где минимизация ведется по всем 7 > 0, для которых решение Х(7) существует. Тогда для обратной связи

и = -5-1ВТ(Х^*')у1х

гарантируется оценка критерия оптимальности

J ^ ^(7*)

для всех значений параметра q EQ.

Этот результат непосредственно следует из соответствующего результата при фиксированной матрице А из п. 5.1. Таким образом, здесь необходимо решать (при фиксированном 7) системы линейных матричных неравенств (8.4) при всех q Е Q. Как уже отмечалось, если Л(д) — аффинное семейство, a Q — многогранник, то достаточно решить конечное число систем неравенств, отвечающих вершинам Q. Если таких вершин слишком много, можно использовать специальные итеративные методы.

Робастная стабилизация с помощью Н^

В п. 7.3 были приведены результаты, показывающие связь между бастной устойчивостью замкнутой системы и условиями на ограни ность некоторых передаточных функций в Hco-норме. Например, из: ремы 7.14 следует, что если передаточная функция объекта имеет вид

G^ = G0(s) + Wi(s)A(s)W2(s),

то робастная устойчивость при всех ||Д(з)||оо < 7 имеет место при вин

IIW7SW,ll«!<i,

гае S = (I + GoC)-1 — чувствительность. Далее, пользуясь р татами об общем виде стабилизирующих регуляторов (теорема 4.7), i заключаем, что

С = (X + VQKY-UQ)-\

S = (Y-UQ^Y + UV^XV

гае <9 — параметр Юлы (произвольная матричная функция из RH^), матрицы X, У, U, V € RH^ определяются условиями

G0 = UV"\ UX + VY-I.

Таким образом, условие робастной устойчивости записывается в параметра Юлы:

||Ti +T2QTsU < ",

Tx = W2X<Y-vUV"xX^WVl T2 = W2V, T3 = <Ya-UV-xX^Wx.

(8.

В частности, задача о максимальной робастности (т.е. о нахождевс максимального уровня неопределенности 7, допускающего робастную ст билизацию) сводится к задаче 77^-оптимизации

H^+^^sllСО,(8.<

способы решения которой обсуждались в п. 5.2. Таким образом, с при ципнальной точки зрения решение задачи о максимальной робастностя выглядит так.

Для номинального объекта G0(s) находим его представление в виде Go = UV~\ U,V € RH^ решаем уравнение UX + VY — I ■

находим X, Y; на их основе вычисляем Ti,T2,T3 по формулам (8.5)/

Решаем задачу Нс»-оптимизации (8.6), и пусть Q € RHTO — ее решение, a |jTi + T2QT3II00 = 7*-

Строим регулятор

c = (x*VQKv-UQrl;

он является робастно стабилизирующим при всех 0 ^ 7 < 7*.

Каждый из этапов может быть выполнен с помощью соответствующих процедур в системе Matlab.

Приведем еще несколько частных случаев, когда неопределенность задается не в частотной, а в параметрической форме, однако возможно применение техники Нсо-огттимнзации.

Комплексные параметры. Пусть передаточная функция одномерного объекта имеет вид

ОД =ОД =(8.7)(8.7)А)(в) + Ya=\ Qi^MW+^i^M'

ОД =

ОД =

(8.7)

(8.7)

где АьВ«, i = 0,1,...,4 — заданные полиномы, a q^ i = 1,...,A — комплексные параметры, изменяющиеся в шаре пространства Cz:

^^Р^т2, qi^c.(8.8)

i=l

Задача заключается в построении регулятора С^ = N^jD^, который робастно стабилизирует объект (8.7)-(8.8). Отметим, что и в числителе, и в знаменателе стоят одни и те же неопределенные параметры q^; это, однако, не является ограничением (см. рассуждения в главе 6). Необычно здесь то, что qi предполагаются комплексными; впрочем, существуют задачи, в которых такая модель возникает естественным образом.

вмВоМвмBoU)вмВоМвмBoU)Пусть передаточная функция номинального объекта Got*) = = А(«)/Во(«) реализуемая (т.е. deg А) < deg Во), полиномы До, Во взаимно просты, deg А < deg А, degBt < deg Во, i. = 1,-..,/. Составим матрицу И^з) размерности I х 2

вм

ВоМ

вм

BoU)

вм

ВоМ

вм

BoU)

W^ =W^ =АМА(в)

W^ =

W^ =

АМ

X Ao(s)

первый столбец которой обозначим Wj(s), а второй И^(в). Обозначим еще, как обычно, через S(s) и T(s) чувствительность и дополнительную

чувствительность номинального объекта:

1Тих- Gq{s)C(s)

W l+G0(s)C(s)*l+G0(s)C(s)'

Пусть 7* — решение задачи

(8.9(8.9^ = min||WiS + W!T||„.

(8.9

(8.9

7 с

Эта задача эквивалентна задаче Hoo-оптимизации стандартного (см. (6.15))

rmnHHP.QH

для условного объекта

P(S) =P(S) =^(s)G0(s)(^2(S)-I^(s))^(s)G0(s)(^2(S)-I^(s))

P(S) =

P(S) =

^(s)G0(s)(^2(S)-I^(s))

^(s)G0(s)(^2(S)-I^(s))

11-<ЭД

1

1

и ее решение может быть найдено описанными в п. 5.2 средствами.

Теорема 8.5. Пусть ч^С — решение задачи (8.9). Тогда при 7 < У регулятор С робастно стабилизирует объект $.ТНМУ

Мы не будем приводить всех технических деталей доказательства; подчеркнем лишь основную идею. Характеристический полниом замкнуто! системы имеет вид

<

о^'№ Xо^'№ XФ(а,9) = (^o(s) + £QiA(s))N(s)4-^

о

^'

№ X

о

^'

№ X

= »o(s) + £> (A(s)N(s) + Bi(s)P(s)),

и если регулятор стабилизирует номинальный объект, то Фо(в) Гурвицев, и в соответствии с принципом исключения нуля (п. 7.1) робастна^

<<устойчивость имеет место при

<

<

Ai(3w)N(jw) + Bi(ju)')D(jw')

ФоМ°

для всех ш >0и всех q^ удовлетворяющих (8.7). Заметим, что для любых фиксированных с* € С, £ = !,...,£, множество

является кругом с центром в нуле и радиусом 7

1/21/2на комплексна комплексной плоскости. Итак, робастная устойчивость имеет место тогда н только

1/2

1/2

на комплекс

на комплекс

тогда, когда

х^ I A^jw^N^ju^ + BtCMDQw) 2 < 2_^ ^ I AoWNW + BMD^ ^'

С помощью несложных преобразований последнее условие может быть записано в стандартной Boo-форме, что и сделано в теореме.

G^ =G^ =A(z) + ^A(z) B^ + ZXB^zYA(z) + ^A(z) B^ + ZXB^zY(8.10)(8.10)Дискретные системы с ly-неопределенностыо. Пусть передаточная функция дискретного объекта имеет вад

G^ =

G^ =

A(z) + ^A(z) B^ + ZXB^zY

A(z) + ^A(z) B^ + ZXB^zY

(8.10)

(8.10)

где неопределенности — полиномы ДЛ(г),ДВ(г) — ограничены в ly- норме, но их степени не ограничены:

||ДА||? + ||ДВ||?С7<||ДА||? + ||ДВ||?С7<(8.11)(8.11)

||ДА||? + ||ДВ||?С7<

||ДА||? + ||ДВ||?С7<

(8.11)

(8.11)

Такие неопределенности уже рассматривались в п. 7.1, см. (7.16). Мы упоминали там, что области значений таких полиномов — круги на комплексной плоскости. Используя этот факт н рассуждая примерно так же, как при доказательстве теоремы 8.5, приходим к следующему результату.

Составим

с, х -1= Gq^C^

W l + Gok^C^Y l-^G^C<zY

где C^ — искомая передаточная функция регулятора. Go (2) = = А^/В^ — передаточная функция номинального объекта, и положим

^)^. ^)^^.

Робастная устойчивость имеет место тогда и только тогда, когда

WyS1

IV2T7"

Таким образом, если мы решим задачу Вое-оптимизации

1WyS

-г —w т

7* с W2T

и обозначим полученный оптимальный регулятор через С, то при 7 < этот ре1улятор робастно стабилизирует объект (8.10)-(8.1 1).

Вещественная неопределенность. Мы вновь возвращаемся к 1 прерывным системам н рассматриваем ту же модель объекта, что и (8. но с вещественными параметрами:

G^ = ^(а) + ^=1 4iAMВМ+^^вУG^ = ^(а) + ^=1 4iAMВМ+^^вУ53Ы2^72, fli€R. i=l53Ы2^72, fli€R. i=l(8.1(8.1

G^ = ^(а) + ^=1 4iAMВМ+^^вУ

G^ = ^(а) + ^=1 4iAMВМ+^^вУ

53Ы2^72, fli€R. i=l

53Ы2^72, fli€R. i=l

(8.1

(8.1

Такую задачу не удается свести к стандартной Ноо-задаче, но тем менее ее удается записать в виде некоторой выпуклой задачи родствен»! типа. Именно, составим

^(s) =^(s) =^) Р(*У^) Р(*Ун2^ =н2^ =адPWадPW

^(s) =

^(s) =

^) Р(*У

^) Р(*У

н2^ =

н2^ =

ад

PW

ад

PW

me Р(») — устойчивый полином, такой что

PHW») = Л(—s)A(s) + В(—s)B(s), найдем Х,У как решение уравнения

H1X-VH2Y = 1 и составим матрицу

/^(s)B,(s)

(^ w^) =

\ АМ ВМ

Теорема &6 (Ранцер-Мегрецкнй). Если найдутся Q\>Q2 € RH»* удовлетворяющие неравенству^

|«.{(№М^(^s 'ZSDtSwML*1

<ReQxM (8.13) для всех ы ^ 0, то регулятор

С = ^^ ~ ^2^2XQi-HtQ2

робастно стабилизирует систему (8.12).

Мы не приводим доказательство этого результата, так как оно достаточно сложно. Неравенство (8.13) выпукло относительно переменных С 1,^2 € RHoo, играющих ту же роль, что и параметр Юлы. Не совсем ясно, как решать выпуклую систему неравенств такого типа — ведь переменными являются не конечномерные векторы, а устойчивые передаточные функции. Один из возможных путей заключается в конечномерной аппроксимации таких функций.

/х-сингез

В п. 7.4 мы видели, что устойчивость системы при фиксированном регуляторе и различных видах неопределенности можно исследовать с помощью ^-анализа. Именно, теорема 7.17 дает необходимое и достаточное условие робастной устойчивости системы, имеющей М-Д-конфитурацию (рис. 7.5), в терминах структурного сингулярного числа д(М): при всех возмущениях |Д(в)||оо < у заданной структуры робастная устойчивость имеет место тогда и только тогда, когда

Bup^MOu-)) «(814)

<^о7

В этом параграфе мы будем решать задачу выбора регулятора С, который обеспечивает выполнение условия (8.14). Вспомним, что М^ соответствует передаточной функции схемы, изображенной на рис. 8.4.

Рис. 8.4. М-Д-жонфшурация для задачи ^-синтезаРис. 8.4. М-Д-жонфшурация для задачи ^-синтеза

Рис. 8.4. М-Д-жонфшурация для задачи ^-синтеза

Рис. 8.4. М-Д-жонфшурация для задачи ^-синтеза

Здесь G — объект, который удобно представлять в виде блочной матрицы

СиСзгСиСзг^12(?22^12(?22

СиСзг

СиСзг

^12

(?22

^12

(?22

а С — регулятор; тогда

М = Gn +Gi2C(I — G22G) lG2i = ^i(G,C),

где 3\ обозначает нижнее дробно-линейное преобразование (см. п. 6. Таким образом, задача свелась к выбору регулятора С, обеспечиваюгщ выполнение условия

p^g,^ < 1

а задача о максимальной робастности (т. е. о нахождении наибольшего для которого можно обеспечить робастную устойчивость) — к миними цин H^G.C^ по С:

nun^«3,0^.

К сожалению, прямые методы решения этой задачи неизвестны, используется косвенный путь, ие всегда гарантирующий нахождение { шения. Вспомним, что для д известна верхняя граница (теорема 7.16):

tW^ mfo|jDMD-1||,

где D — блочно-диагональные матрицы той же структуры, что и △. П] фиксированном D задача минимизации по С

min || ОД(С, ОО"1 ||оо(8.15

с

— это стандартная задача //ф-оптимизации (п. 5.2), н для ее решет существуют хорошо разработанные методы (использующие либо перех»^ к пространству состояний и уравнение Риккати, либо теорему Неван линны-Пика). С другой стороны, при фиксированном Сны решена задачи

min ||DAfD-1||, М = М^ = ^(G0'W),Cb'v))

может быть сведено к выпуклой конечномерной задаче оптимизации, для которой также известны эффективные методы. Таким образом, в общих чертах метод решения задачи д-синтеза, называемый D-С-итерациями, имеет следующий вид.

D-итерации: для найденного приближения С и сетки по частотам 0 < ал < Ы2 < - -. < wN с помощью методов выпуклой минимиза-; цин решаются задачи

min |DMD-1 II, Mi = М^ы^, г = 1,..., N,

решения которых обозначаются через Dj. Затем находится функция D(s) € RHqq, D € В, которая хорошо аппроксимирует найденные решения на сетке о^: D^Wi) ~ D,.

С-итерации: для найденного D(s) методами Воо-оптимизации решается задача (8.15) и находится очередное приближение для регулятора С. после чего переходят к пункту 1.

Нет нужды говорить, что каждый из пунктов алгоритма достаточно сложен н требует уточнения. Более того, в общей ситуации нет никакой гарантии, что в результате удастся найти решение исходной задачи (8.15). Тем не менее указанный подход реализован в пакете ^Analysis and Synthesis Toolbox в системе Matlab н успешно применяется для решения практических задач.

Выводы

Задача стабилизации с помощью обратной связи, рассмотренная в главе 4, может быть обобщена на случай систем с неопределенностью (робастная стабилизация).

Для одномерного интервального объекта проблема стабилизации с помощью большого или малого коэффициента усиления решается для робастно минимально-фазовых или робастно устойчивых систем (теоремы 8.1 и 8.2). Для двухпараметрических регуляторов робастная стабилизация проводится на основе робастного 0-разбиения. Однако в целом задача робастной стабилизации с помощью регуляторов низкого порядка не имеет простого решения.

Удобным аппаратом робастной стабилизации является техника, основанная на построении общей квадратичной функции Ляпунова. Так, для системы

± = А^х + Ви

с матрицей А зависящей от параметров q Е Qt можно решить систему линейных матричных неравенств

ХАт(у) + А(у)Х — 2ВВТ < О, qeQ, X > 0,

и если ее решение X > 0 существует, то обратная связь и = — ВтХ~хх является робастно стабилизирующей.

Аналогичным образом, путем сведения к линейным матричным неравенствам, решается задача о гарантированном значении квадратичного показателя качества для систем с параметрической неопределенностью (робастный линейно-квадратнчный регулятор).

Результаты о робастной устойчивости при частотной неопределенности, приведенные в п. 7.3, сводят отыскание регулятора C(s), робастно стабилизирующего объект, к решению неравенств типа

HW^CSWiHoo < -, S = (1 + GOC) 1

(см. теорему 7.14). При переходе к параметру Юлы Q в описании i регуляторов C(s), стабилизирующих номинальный объект Go (в), это равенство переписывается в форме

ЦТ, +Т20Т3||оо С i, где матричные передаточные функции Т,(в) легко вычисляются. Та образом, нахождение робастно стабилизирующего регулятора сводит решению стандартной задачи //о-оптимизации и находится максима* допустимое у, при котором возможна робастная стабилизация.

Методы Ноо -оптимизации могут быть использованы и в некого] задачах робастной стабилизации при параметрической неопределве ста в передаточных функциях. Три примера иллюстрируют эффем ность такого подхода: комплексные параметры; дискретные систем Zi-неопределенностью; выпуклая параметризация при вещественной определенности.

• На основе //-анализа (п. 7.4) могут быть построены процедуры t синтеза. Они сводятся к поочередной минимизации верхней грани для* по регулятору С и минимизации этой верхней грани при найденном (D-G-итерации). При этом, однако, нет гарантии, что оптимальный Mi симально робастный регулятор будет найден.

1111

1

1

1

1

Глава 9

НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ

В данной главе мы обсудим некоторые важные задачи, допускающие простую формулировку, но эффективные методы решения которых неизвестны. Эти проблемы относятся как к робастной теории, так и к классической теории линейных полностью определенных систем. О многих из них уже упоминалось в предыдущих главах; там обсуждались методы их решения в частных случаях.

9.1. Стабилизация регулятором запанной структуры

Рассмотрим простейший класс задач такого типа. Задан одномерный линейный объект

G(s) = А^ ” Oo+aiS+...+Om»m, В(в) =Ьо+б1в+..+Ьп»П,

т^п.

Можно ли его стабилизировать регулятором

в цепи обратной связи (рис. 9.1), если порядки числителя и знамена-теля регулятора не превосходят заданных чисел? С математической точки

G(s) = A(»)/B(e)

0(8) = NWW

Рис. 9.1. Стабилизирующий регулятор заданной структурызрения вопрос сводится к следующему: можно ли выбрать полиномыW(s), Р(в) заданных порядков так, «тюбы характеристический полиномР(в) = A(s)N(e) + B^D^

был гурвицевым? Если отказаться от условия ограниченности пор регулятора, то полное решение задачи было приведено в п. 4.2: стаб зация всегда возможна, если А(з) н B(s) не имеют общих неустойчг корней. В п. 4.1 приводились различные ситуации, когда стабилизация ведомо возможна с помощью простого коэффициента усиления C^s) = (это случаи устойчивого илн миинмально-фазового объекта). ОбсухьА также случай, когда регулятор C(s) содержит лишь два параметра ( пример, является ПИ-регулятором); здесь полное решение проблемы в можно найти с помощью 19-разбиения. Однако что происходит в обп случае, когда регулятор содержит £ > 2 параметров? Если представ lV(s),£>(s) в виде

7V(e) = 9г + • • • + qkSk~\ D^s) = 1 + qk+is + ... + qe8l-k, где к, £ заданы, то задача сводится к проверке, существует ли в аффннн семействе полиномов

^(S»Q)= {^(s,fl) = Po(s)+52giPi(s), 9gR£1(9.

i=l

устойчивый полином. Здесь

Po(s) = B(s),

Pi(») = ,<-1Z(s), «=!,...,*, P^s^e^B^ 1 = к + 1„..Л

Если задавать структуру регулятора иначе (например, ПИД-регулятор вц С(в) = 91 + q^/s 4- 93s), то задача вновь сведется к проблеме (9.1). Т ким образом, общей схемой для исследования вопроса стабилизируемое) регуляторами заданной структуры является

Проблема 1. Существует ли в аффинном семействе (9.1) хотя 4 один устойчивый полином?

Можно предположить, что на параметры регулятора наложены нек« торые ограничения

9 е Q-(9.2

Например, это могут быть интервальные ограничения:

Q = {«eR': g. $9, ^g„ i = l,.,0(9.3,

илн ограничения на близость q к номинальному значению 90 в какой-либо норме:

(9.4)(9.4)Q={g6R,:|g-g»|^7};

(9.4)

(9.4)

тогда получаем ограниченный вариант проблемы 1:

Проблема 2. Существует ли в семействе (9.1)-(9.2) хотя бы один устойчивый полином?

На первый взгляд проблема 2 очень близка к задаче о робастной устойчивости полиномов, эффективные методы решения которой были описаны в п. 7.1. Единственная разница в том, что в задаче о робастной устойчивости речь шла о существовании хотя бы одного неустойчивого полинома в семействе (9.1)-(9.2), тогда как в проблеме 2 ищется хотя бы один устойчивый полином в том же семействе. Эта на первый взгляд незначительная разница приводит к кардинальной перемене в сложности задачи. Оказывается, проблема 2 является WP-сложной, причем даже в простейших случаях, таких как поиск устойчивого полинома в интервальном семействе. Поэтому для нее не существует методов решения полиномиальной сложности (т.е. таких, в которых число операций полиномиально зависит от степени полинома P(s, q)\ Более того, для таких задач неверны и результаты типа теоремы Харитонова или реберной теоремы (см. п. 7.1). Иначе говоря, все вершины и все ребра многогранника Q могут быть неустойчивы, однако некоторому q е Q может соответствовать устойчивый полином. Разумеется, можно предложить некоторые достаточные условия, которые гарантируют положительный или отрицательный ответ в проблеме 2. Однако эти условия далеки от необходимых.

Другим возможным путем решения мог бы быть вероятностный подход, который применялся в п. 7.5 к задаче о робастной устойчивости. Так, можно попытаться генерировать случайные точки <t из Q и проверять на устойчивость полиномы Р^в, q'\ Однако эффективность такого подхода невелика — обычно устойчивые полиномы в семействе P(s, QY даже если они существуют, составляют очень небольшую по объему долю. Например, в интервальном семействе полиномов степени п с коэффициентами между 0 и 1 доля устойчивых полиномов v(n) оценивается как

"(П) 5 [(п + 1)/2)!

(хотя эта оценка сильно завышена) или асимптотически v(n) « е~Сп\ где С — некоторая константа; для п = 10 численное моделирование дает v(n) to 10-9. Таким образом, вероятность получить устойчивый полином степени 10 при случайной генерации коэффициентов, равномерно распределенных на [0, 1], ничтожно мала.

Существуют и численные методы решения проблемы 2. Введем функцию

тМ) = max Re st (д),

где s^q) — корни полинома P(s,q). Ясно, что для устойчивого полинома имеем 17(g) < 0, а для неустойчивых 17(g) ^ 0. Поэтому можно решать

ч^пямуч^пяму

ч^пяму

ч^пяму

^^

Функция ?;(д) — дифференцируемая, если все вДд) различны; с щью теории возмущений (см. п. 10 Приложения и обсуждение в нетрудно выписать ее градиент в таких точках. После этого естес

применить метод типа проекции фадиента для решения задачи опт ции (9.5). К сожалению, такой подход не гарантирует получения пр кого ответа в проблеме 2. Дело в том, что функция i]^ — невыпуе метод может привести к локальному (а не глобальному) минимуму. ] того, дополнительные трудности возникают в случае кратных корней. этом искомый устойчивый полином, возможно, не будет найден, хотя и существует.

Этим же недостатком обладают численные методы, основанные на пользовании алгебраических критериев устойчивости типа Рауса-Гур Именно, будем оперировать с полиномом Р(в, д) с помощью алго( Рауса, проводя вычисления в аналитической форме (например, с iiomi пакета для символьных вычислений в системе Matlab). Тоща уса положительности элементов первого столбца таблицы Рауса примет

Mg)>0, i=l,...,n, qeQ.(<

Следовательно, проверка наличия устойчивого полинома в семействе с дится к выяснению разрешимости системы неравенств (9.6). Однако 1 годы решения таких невыпуклых неравенств очень сложны.

Таким образом, эффективные методы решения проблем 1 и 2, rapair рующие получение точного ответа в общей ситуации, в настоящее врс неизвестны. Заметим еще, что проблема 2 в частном случае (когда являются коэффициентами P(s,g)) может быть записана в следуют форме.

Проблема 3, Дак неустойчивый полином Po^s\ Найти ближайш устойчивый полином той же степени.

Здесь расстояние между полиномами А(в) = во + ею +... + On»" B(s) = boA-bi8+...-v-bnsn понимается как diet (Д В) = [о—б|, где о, 6 Rn+1 — векторы коэффициентов Л(в),В(в), а | * | —некоторая норма Rn+1, например, |а — 6| = max fa* — М или |а — Ь| — (£(о* — bi^A Тоща если

dist (po(t),P(s,g)) = 7* ^ 7.

тде Ру — множество устойчивых полиномов, то решение проблемы 2 с Q вида (9.4) и P(s, g) = go + дю 4-... 4- qnsn существует; в противно*

случае — не существует. Вновь проблема 3 получается перестановкой терминов «устойчивый» и «неустойчивый» в простой задаче об отыскании радиуса устойчивости полинома. Однако эта замена принципиально усложняет задачу.

До сих пор мы рассматривали одномерные задачи, описываемые с помощью скалярных передаточных функций. Однако совершенно аналогичный круг трудных проблем возникает при описании систем в пространстве состояний. Типичной является задача о статическом регуляторе по выходу: для системы

х = Аг + В-u, у = Сх

выяснить, можно ли ее стабилизировать обратной связью вида

и = Ку.

Алгебраическая формулировка той же задачи: существует ли матрица К такая, что при данных А, В,С матрица Ас = А + ВКС устойчива? Рассматривая элементы матрицы К как параметры q, заключаем, что задача о статической стабилизации по выходу является частным случаем более общей проблемы.

Проблема 4. Дано аффинное семейство матриц

t

Л(д) = Д, + £д,А, д€К',(9.7)

«=1

где Ло,...,Л/ — заданные п х п матрицы. Существует ли в этом семействе хотя бы одна устойчивая матрица?

К этой же проблеме сводятся н другие задачи стабилизации регуляторами заданной структуры, отличные от статического регулирования но выходу. Более того, в эти же рамки укладываются аналогичные задачи для дискретных систем — просто термин «устойчивая матрица» понимается в этом случае как матрица Шура.

Теоретическое решение проблемы 4 неизвестно. Более того, оно не может быть простым, так как проблема 1 для полиномов, очевидно, является частным случаем проблемы 4 (достаточно в качестве Л, рассматривать матрицы во фробениусовой форме). Аналогичным образом переносятся на матричный случай проблемы 2 и 3:

Проблема 5. Существует ли в семействе A(q) (9.7), q € Q (например, при Q вида (9.3)), хотя бы одна устойчивая матрица?

Проблема 6. Задана неустойчивая матрица А Найти ближайшую устойчивую матрицу.

Для некоторых частных случаев все эти проблемы допускают простое решение. Например, пусть матрицы Ло,. . -, Л/ симметричны. Тогда и все

матрицы А(д) симметричны. Для симметричной матрицы эквивалентна отрицательной определенности. Таким образом, сводится к линейному матричному неравенству: найти q е R* ряющее условию

ttл-и I / ,4t*^l ^ V-Й

t

t

6=1rt

Это выпуклая задача, и для нее существуют хорошо разрабс тоды решения (в частности, соответствующий пакет в системе Таким образом, проблема 4 (и родственная ей проблема 5) ж эффективное решение для симметричных матриц. Для этого Же удается найти явное решение проблемы 6. Именно, пусть А —«ш ная матрица, и нас интересует ее расстояние до множества усхо симметричных матриц. Приведем А к диагональному виду с пом вырожденного преобразования Т (это всегда возможно для матриц):

ТАТ-1 = Л = drag (Аь..., Ап), где А* — вещественные собственные значения А. Построим заменив положительные собственные значения нулями:

Л_ = diag(Af,..-,А^), Af = min{0. А,}.

Тогда матрица

А_ = Т^К.ТА_ = Т^К.Т— это ближайшая (в смысле фробеннусовой нормы) к А снмме*| неотрицательно-определенная матрица. Поэтому расстояние от А у жества устойчивых симметричных матриц равно

А_ = Т^К.Т

А_ = Т^К.Т

7* = ||A- A_||F.

Таким образом, все задачи резко упрощаются, если иметь дело симметричными матрицами.

Один из возможных подходов к проблемам 4-6, связанный с цией сверхустойчивости, мы уже обсуждали ранее (п. 3.6). Он ется на достаточном условии устойчивости, формулируемом как / устойчивость» матрицы. Напомним, что мы ввели обозначение

и если <т(А) > 0, то А называется сверхустойчивой матрицей; следует и ее устойчивость (гурвицевость). Для семейства (9.7)

о,, (fl) матрицы A(g) веравенство,, (fl) матрицы A(g) веравенствявляются аффинными функциями от д.являются аффинными функциями от д.н системан система

о,, (fl) матрицы A(g) веравенств

о,, (fl) матрицы A(g) веравенств

являются аффинными функциями от д.

являются аффинными функциями от д.

н система

н система

(9.8)(9.8)min Г-а«(д) - У^ |«у(д)|) > О» 1i*i

(9.8)

(9.8)

k - д°|оо < 7

сводится к обычной системе линейных неравенств относительно q (мы предполагаем, что множество Q в проблеме 5 имеет вид (9.4)). Таким образом, если система (9.8) имеет решение q*, то матрица Л(д*) является сверхустойчивой, а тем самым и устойчивой. В этом случае вопрос о существовании устойчивой матрицы в семействе (9.7) (проблема 5) заведомо имеет положительный ответ.

Покажем еще, как решается проблема 6 при замене устойчивости на сверхустойчивость. Пусть ау — элементы Л, a ху — элементы искомой матрицы X, принадлежащей замыканию множества сверхустойчивых матриц и ближайшей к Л во фробениусовой норме. Тогда X является решением задачи квадратичного программирования

min^Oy-хх^,

(9.9), что 7 ^ 7*.(9.9), что 7 ^ 7*.*.3

(9.9)

, что 7 ^ 7*.

(9.9)

, что 7 ^ 7*.

хц + 52|ху| co, i = l,...,n.

Если обозначить минимум в этой задаче через 7*, то ясно гае 7 — расстояние от А до множества устойчивых матриц

Одновременная стабилизация

Задача об одновременной стабилизации возникает во многих практических ситуациях. Пусть объект может работать в нескольких режимах. Переход от одного режима к другому происходит независимо от нашего желания, и информация об этом может отсутствовать, например, такой переход может вызываться отказом какого-либо элемента объекта. Цель Управления — выбрать регулятор, обеспечивающий работоспособность (и в первую очередь устойчивость) системы в любом нз возможных режимов. Формализацией такой задачи может служить следующая проблема.

Проблема 7. Имеется т одномерных объектов с передаточными Функциями

g^=Wy i=1--m-

Существует ли регулятор

^"D^Y

который одновременно стабилизирует все эти объекты?

Иначе говоря, можно ли найти полиномы 7V(s),£)(e) так, чтобы характеристические полиномы

Р^ = Ai^N^s) + В»(в)Р(я), i = 1,..., m,

были гурвицевыми? Как мы знаем (п. 4.2), для тп = 1 при Аг ,61, имеющих общих неустойчивых корней, решение всегда возможно; б того, можно описать все стабилизирующие регуляторы с помощью I метризации Юлы.

Для двух объектов решение также может быть получено; оказыва проблему можно свести к задаче стабилизации одного объекта с п щью устойчивого регулятора. В свою очередь, последняя задача допус полное решение в терминах перемежаемости нулей н полюсов обы Более общая многомерная проблема одновременной стабилизации объектов также поддается исчерпывающему исследованию.

Однако уже для т = 3 методы решения проблемы неизвестны, лее того, существуют косвенные подтверждения отсутствия «прост решения.

Задача об одновременной стабилизации возникает н в матричном рианте.

Проблема 8. Даны т линейных систем в пространстве состоять

х = А,х + В^гц i = l,...,m.(9.

Существует ли один регулятор в форме обратной связи по состоя»

и = Кх,(9

стабилизирующий все эти системы?

Иначе говоря, существует ли матрица К такая, что все матрицы

А*с = At + Bi К, г — 1,...,т,

устойчивы? Совершенно аналогично формулируется задача для лист ных систем; единственное отличие в том, что устойчивость пониш как устойчивость дискретных систем, т. е. матрицы Л* должны быть ровские. Общий метод решения проблемы 8 неизвестен; ясно лишь, он не может быть простым, поскольку трудная проблема 7 является з частным случаем. Простое достаточное условие существования рейл

(для случая Bi = В) основывается на идее квадратичной робастной стабилизации и дается теоремой 8.3: если у системы линейных матричных неравенств

AiX + ХА? - 2ВВТ < 0, i = l,...,m, X > О, существует решение X, то обратная связь вида (9.11) с

К = -BTX~V

одновременно стабилизирует все системы (9.10). Однако одновременная стабилизация может быть возможна и тогда, когда не существует общей квадратичной функции Ляпунова, так что приведенное решение является лишь достаточным.

Еще одно достаточное условие разрешимости проблемы связано с понятием сверхустойчивости. Именно, если удается найти матрицу К, которая делает все замкнутые системы сверхустойчивыми, то проблема одновременной стабилизации имеет решение. В свою очередь, проверка одновременной сверхстабилизации возможна на основе линейного программирования (см. п. 4.5). Действительно, используя обозначение <г(А) из п. 3.6 и замечая, что условие <т(А + ВК) > 0 является системой линейных неравенств относительно элементов К, мы заключаем, что если у системы линейных неравенств

<r(Ai + BiK) >0, i = l,...,m,

имеется решение К, то регулятор и = Кх одновременно стабилизирует все т систем.

Заметим, что проблема одновременной стабилизации является частным случаем задачи робастной стабилизации, упоминавшейся в главе 8: для семейства полиномов

Р^чЛУ

зависящих от параметров q € Q н коэффициентов к регулятора, выяснить, найдется ли такой к*, что все полиномы

P^qA*), qEQ,

устойчивы. Задача одновременной стабилизации соответствует случаю, когда множество Q конечно, а размерность вектора коэффициентов к не ограничена заранее. Аналогичным образом более общая задача робастной матричной стабилизации относится к семейству матриц

А^ + В^К, qEQ.

Проблема 8 соответствует случаю конечного множества Q. Для решения таких задач можно применять численные методы, основанные на идеях теории возмущений (ср. выше (9.5)), однако они не дают гарантии отыскания решения.

Линейно-квадратичная оптимизация: регуляторы заданной структуры и робастность

В предыдущих параграфах речь шла о проблемах стабилизации; мечалось, что некоторые из них очень трудны. Предположим, одж что стабилизация возможна, тогда естественно предъявить требовав* качеству системы, т. е. поставить задачу оптимального управления. Бу для определенности говорить о простейшей задаче линейио-квадратнчл оптимизации, рассмотренной в п. 5.1. Она была решена там в ситуаг когда описание системы задано полностью, а состояние системы прея лагается известным (тогда регулятор ищется в виде и = Кх\ Обсу.1 возможный отход от каждого из этих предположений.

Прежде всего, пусть доступен лишь выход системы у, а не ее сос* иие х:

х = Ах + Ви, у = Сх, н требуется минимизировать стандартный квадратичный показатель j чества

со'1

J ~ [\(Дж,ж) + (Su,u)ldt.(91

Решение такой задачи (часто называемое Нг-оптимизацией) может бы получено с помощью динамической обратной связи видаN

и = Кх,

где ж — оценка вектора состояния ж, получаемая с помощью наблюдате^ (см. пп. 2.3, 4.3). Предположим, однако, что структура регулятора задан например, ищется статическая обратная саязьj

и = Ку.(9.Н

Таким образом, нужно найти К в (9.13), которое стабилизирует систему для которого показатель качества (9.12) принимает наименьшее значене^

J —» min.*

Мы уже знаем (п. 9.1, проблема 4), что даже вопрос о существовании ml билизирующего К весьма сложен. Пусть, однако, выполнены какие-либ достаточные условия, гарантирующие наличие стабилизирующих регуле торов вида (9.13) (или найден какой-либо стабилизирующий регулгЩ Ко). Тогда возникает проблема выбора оптимального по критерию (9.13 регулятора.

Проблема 9. Найти регулятор и = Ку, который стабилизирует систему х = Ах + Ви, у = Сх и минимизирует функционал (9.12).

Покольку для системы

х = АГх, Ас = А + ВКС, т(0) = хо,

при устойчивой матрице Ас значение квадратичного функционала

ОО

Л = J^x^dt, Q = R-v-C4 KTSKC о

равно (см. лемму П. 14)

J^X-'zo, AlX + XAc = -Q,(9.14)

то для каждого стабилизирующего К можно найти значение J(K) из (9.14), решив уравнение Ляпунова для X. Далее можно вычислить градиент л^ку

УЛ(К) = 2(ВТХ + SKC^VC^,ФАЗ)

где V > О — решение другого уравнения Ляпунова:

V^J + ACV = -xqXq ,

и, в принципе, можно применить градиентный метод минимизации Л^КУ Однако такой путь не гарантирует отыскания решения. Во-первых, Л^К) — иевыпуклый по К функционал, н градиентный метод может привести к локальному (а не глобальному) минимуму. Во-вторых, множество стабилизирующих регуляторов также невыпукло, т.е. область определения функционала J(X) невыпукла, поэтому градиентный метод следует модифицировать так, чтобы не выходить из указанной области. Последнее, впрочем, нетрудно обеспечить — если J(X) монотонно убывает, то каждое новое полученное К автоматически является стабилизирующим.

Выше мы рассматривали задачу оптимального управления для статического регулятора по выходу. Однако сходные проблемы возникают н при попытках решить линейно-квадратичную задачу для других регуляторов заданной структуры. Например, если в одномерной системе

Л(в)х = и

с устойчивым полиномом Л(в) степени п выбирать регулятор в виде

и = kix + k2X,

то замкнутая система будет заведомо устойчива при малых к^к^ и дратичный функционал вида

можно выразить через коэффициенты полинома А(в) н регулятора А; (ki, А^). Однако н в этой постановке как зависимость J(k), так н обмц определения Дк\ вообще говоря, невыпуклы, н минимизация по к up ставляет трудности. Эти трудности можно обойти, если к Е R2 (жж вышеприведенной задаче), ио с ростом размерности к оии существея возрастают. ^

В связи с задачей о линейно-квадратичном регуляторе рассмогр близкую задачу оптимального управления, в которой показатель жж ства — £1-норма от состояния н управления.

Проблема 10. Найти линейную обратную связь по состоянию if Кх, которая стабилизирует систему х = Ах + Ви, х(0) = хо, « жж мизирует функционал

со

j = J (к|+а|и|)<й.о

Такую задачу естественно называть задачей о линейно-линейном , гуляторе; она возникает, например, в некоторых постановках задачи1 оптимизации, но систематические методы ее решения неизвестны. С нако, как и во многих проблемах, рассмотренных выше, решение лаг получить, заменив устойчивость на сверхустойчивость. ДействитеиМ потребовав, чтобы матрица Ас = А+ВК замкнутой системы была cvj устойчивой. и воспользовавшись оценкой |зс(С)1 ^ e^^^lxol (см. (3.3^ получаем

(l+aflKH^Ixol

С о(А + ВК) *

Теперь можно минимизировать по К правую часть этого неравенсп представляющую собой верхнюю границу для J. Эта задача, в свою оч редь, сводится к параметрическому линейному программированию (d п. 5.3.2):

^(1+“1№)

о(Д + ВК)><т>0.

Другие проблемы

Не нужно думать, что приведенными выше проблемами исчерпывается круг трудных и нерешенных задач линейной теории управления, Эта теория — живая и динамичная область исследований, и в ней постоянно возникают многие новые постановки задач и соответствующие проблемы. Более того, многие вопросы классической теории управления остаются открытыми.

Прежде всего, большинство инженерных требований к качеству реальных систем управления формулируются не в терминах современной теории оптимального управления (линейно-квадратичная оптимизация, Н<х,- теория н т.д., см. гл. 5), а в терминах простых свойств желаемой системы, таких как перерегулирование, время установления, степень устойчивости, колебательность процесса и т.д. (некоторые из этих терминов были определены выше). Существует множество инженерных приемов синтеза регуляторов, позволяющих приближенно достигать желаемого качества проектируемой системы по этим показателям. Однако четкие аналитические методы решения таких задач (подобных, например, «аналитическим методам синтеза регуляторов», т.е. методам линейно-квадратичной оптимизации), как правило, отсутствуют.

Кроме того, мы в основном рассматривали задачи, в которых ставилась лишь одна цель управления (стабилизация, робастная стабилизация, оптимизация по какому-либо критерию и т.д.). Однако обычно имеется ряд требований к качеству системы, которые должны быть выполнены (например, обеспечить при данной неопределенности заданный уровень критерия качества). Такие задачи часто весьма трудны, и их аналитическое решение доступно лишь в немногих случаях.

Наконец, сами линейные задачи управления —лишь маленький островок в океане нелинейных проблем. Как правило, линейные модели являются лишь аппроксимацией реальных задач, которым всегда свойственны отклонения от линейности. Задачи управления для нелинейных систем значительно труднее, чем в линейном случае, но мы не имеем возможности даже затронуть эти темы.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Определитель, характеристический полином, след 1

Свойства определителя матриц из Спхп:Я

det АВ = det В А = det A det В.•

Если А невырождена, то det И-1 = (det Л)- .Я

det Л = Ai... Ап, гае А, — собственные значения А.• 1

Для любых А е CmXn, В € СПХ7П справедливо det (7 + ЛВ) s= 1

det (7 + ВА\■

Для любых х, у € С" выполняется det (7 + жу*) = 1 + у*х. ■

Объем эллипсоида 8 = {ж е Rn : хтР~хх < 1, Р > 0} равен ■

Vol(£) — с„ det Р, где c„ — объем единичного шара в Rn. » ■ Характеристическим полиномом матрицы А € Спх” называется по- ■ лином■

Р(А) = det (AZ — Л) = Ал + оп—i Ая 1 +... + gi А + go ,■

корни А, которого — собственные значения A., Я

Важное свойство характеристического полинома матрицы А заключаете

ется в том, что он является аннулирующим для А, т.е. имеет место г.1

Теорема П.1 (Кали-Гамильтон). Матрица А € Rnxn удовлетво- ■ ряет своему характеристическому уравнению: если Р(А) = det (А7 — ■ Л) = Ал + Gn_jAn ^ +... + ojА 4- ад, wo1

Р(Л) = Atl + Оп-М”-1 +... + а07 = 0.1

Следствие. Видно, что Лп, а следовательно, н Лт прн т > п выража- I ется как линейная комбинация низших степеней Akt к = 0,1,..., и — 1. 1

Для данной матрицы существует много аннулирующих полиномов; тот 1 из них, который имеет иаиннзшую степень д (и старший коэффициент, равный единице), называется минимальным полиномом. Соответственно, любая степень А представима как линейная комбинация Z^A^.^A^-1. Из других свойста характеристического полинома выделим

an_-i = — tr А.

ао = det Л.

Свойства следа матриц из Спхп:

tr АВ = tr В А.

tr Л = Ai +... + Ап, где А, — собственные значения А.

1г(Л + В) = 1гЛ + trB.

Положительно-определенные матрицы

Матрица А называется положительно- (неотрицательно-) определенной» если

(Ах1х)>0 (^ 0)

для всех х Е IRn, х ^ 0. Это обозначается Л > 0 (Л ^ 0), а запись А > В означает, что Л — В > 0. Без ограничения общности можно считать, что А = Лт (поскольку квадратичная форма (Ах,х) не меняется при замене А на симметричную матрицу (Л 4- Лт)/2). Всюду в книге запись Л > 0 (или Л > 0) подразумевает и равенство А = Аг. У положительно-определенных матриц все собственные значения вещественны н положительны. Некоторые свойства таких матриц:

Для А Е IRnXm имеем ЛТЛ ^ 0, ЛЛТ ^ 0, при этом если п = т и А невырождена, то ЛТЛ > 0, ААТ > 0.

Если Л > 0 н В иевырождена, то ВЛВТ > 0, т.е. матричное неравенство можно умножать слева на В и справа на Вт.

Если Л ^ В > 0, то обратные матрицы существуют н 0 < Л-1 < В"1.

Для матрицы Л > 0 существует единственная матрица В > 0 такая, что В В = А; оиа называется квадратным корнем из А и обозначается В — л1/2.

Блочные матрицы и лемма Шура

Лемма ПД (Шур). Пусть

Л= V D Е ) 6 R ’

где В Е Rmxm, Е Е Rlxl, n = т +I.

Если Е невырождена, то А невырождена, если и только если △ = В — СЕ-1 D невырождена, при этом

det А = det Е det △.

Если В = ВТ, D = Ст, Е = Ет, то

А > 0 <=> Е > 0, △ > 0.

Отметим, что в пункте 2 леммы нестрогое неравенство Л ^ 0 при С ^0» Е = (31 справедливо тогда и только тогда, когда Р > 0, △ ^ 0.

9. Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков

S-теорема

Заданы квадратичные формы

/«(ж) = (Да;,х), i — O,l,...,m,

где х е Rn, Ai = Af е Rnxn, и числа ао, ai,.. -, ат. Пусть нераве,

№^сц, i = l,...,m,(ПЛ

влекут неравенство'

/о(®) ^ «о,(П.1

а

т.е. для всякого х, удовлетворяющего (ПЛ), выполняется и (П.2). Нас и тересует соотношение между матрицами Ai н числами a,, з = 0,1,... ,1

ТеоремаП.2 (S-теорема). Если найдутся Xi ^ О, i = l,...,m, т кие, что-

mт

^0 ^ XjAj, Од ^ XjCtj,(П.

i=lt=l

то из (ПЛ) следует (П.2). Обратно, если из (ПЛ) следует (П.2) и выполняется любое из условий

адт — 1;

т = 2, п ^ 3 и существуют х° € Rn, Дъ/12 такие, что

fi(x°) < аь /2(ж°) < а2, Pi А! + р2 Л2 > 0,<

то найдутся Д ^ 0, г = 1, - - -, т, такие, что справедливо (П.З).^

Нетривиальной частью этого утверждения является, конечно, необхо-ч димость условия (П.З) при тп = 1,2. Можно показать, что при т > 2 аналогичный результат не имеет места.

Частным случаем S-теоремы является

Лемма П.2 (Финслер). Пусть (Дж, а:) > 0 для всех х 6 R”, х / О, таких, что (Л1Ж,ж) — 0 для некоторой Ai. Тогда найдется такое 7 е R» что Ao + 7А1 > 0.

Нормы матриц

Рассматриваются квадратные матрицы А = (ay) е Qnxn_ функция || ■ ||: cnxn —»IR называется матричной нормой, если для любых А, В € Спхп выполнены следующие аксиомы:

||А ^0.

||А -0<^А = 0.

ЦаЛЦ = |а| || Л| для любого a G С.

ЦЛ + ВКИ + ЦВЦ.

||ЛВ|| СIIЛII -1 ВЦ.

Два полезных свойства, вытекающих непосредственно из аксиомы 5: 1) 1И1 ^ 1 и 2) если Л обратима, то ЦЛЦ • ||Л—11| ^ 1.

Наиболее употребимы следующие явно задаваемые нормы:

— спектральная норма:

l№ = max А*/2(Л*Л);

l^t^n

— строчная норма;

М1=тм (52|Оу|);

J=1

— столбцовая норма:

ПЛ ||оо =ПЛ ||оо =ппmax l<j<nmax l<j<n

ПЛ ||оо =

ПЛ ||оо =

п

п

max l<j<n

max l<j<n

— фробениусова норма:

Пу№

№=(Е |а0Р) ;

М=1

между ними имеются следующие соотношения:

^Mlh ^ ||Л||2 С V^MHi;

~<=ll-^lloo С ЦЛ||2 ^ х/йЦЛЦоо; уп

-^ЦЛЦгС||Л||25||ЛН^;

уп

-«ли<||Л||,<п||Л||ю;

п

4=Иг<«ЛЦ!$х^«Л||р;

уп

;^ИгСHU<ViiMIr.

= Vn\= Vn\||Л|1р II^IIf

= Vn\

= Vn\

н эти оценки достижимын эти оценки достижимы(т.е., например, max ' ... =

н эти оценки достижимы

н эти оценки достижимы

А*0 ||Л||2|И||2

Если в Спхп ввести скалярное произведение по правилу (Л, В) = tr Л В, то оно порождает фробениусову матричную норму:

M||f = (Л,Л)1/2 = (^Л’Л)1/* = (£ |Оцр)1/2,

М=1

в частности, при Л = Лт G RnXn будет №||f = ttv^A?_ Пусть задана векторная норма | • |; функция

|Ла;1

||Л|| = max = max |Лх| = max |Лх|И/0 |х||»|=1

удовлетворяет всем аксиомам и поэтому является матричной нормой. Она называется подчиненной данной векторной норме | ■ | (.индуцированной нормой). Иногда используют термин операторная норма (в частности, для таких норм ||I|| = 1). Матричные нормы || - ||i, || -||2, || ■ ||оо подчинены векторным нормам | • |то> ] ■ |г, | • |1 соответственно1, т.е.

||Л||2 = max |Аг|2, ЦЛЦ1 = max |Лх|оо, ||Л||оо = max |Лх|ь |Я|2=1|Х|ТС = 1И1=1

в || • || р не является подчиненной нормой.

Матричная норма || -|| называется согласованной с векторной нормой | -1, если

|Лх| ^ ||Л|| |з:|;

это свойство удобно при оценивании сходимости векторных последовательностей. Подчиненные нормы согласованы с соответствующими (индуцирующими их) векторными нормами и поэтому наиболее употребимы.

Величина

р(Л> = тах^(Л)|

называется спектральным радиусом матрицы А. Для любой матричной нормы справедливо неравенство р(Л) ^ ||Л||. Хотя спектральный радиус и не является матричной нормой, он оказывается точной ннжней гранью значений всевозможных матричных норм:

Лемма ПЗ. Для любой Л € Спх” и любого е > 0 существует норма || -1|, удовлетворяющая

р(Л)^||ЛКр(Л)+е.

Следующая лемма характеризует асимптотическое поведение степеней Ак.

Лемма П.4. Для любой матрицы А € Спхп и любой нормы || • |] справедливо

pW = lim Wfc||V‘.

к-*оо

Матричные разложения

Приведение к диагональной форме

Лемма П.5. Если все собственные значения А* матрицы А G Rnxn различны, то она приводится преобразованием подобия к диагональному виду, т. е. найдется невырожденная матрица Т 6 СпХп такая, что

T-^T = A = diag(Ab...,An).

При этом Xi — собственные значения А, Т — матрица, столбцы Хг которой являются правыми собственными векторами A: Axi = Xi$i, а строки у г матрицы Т-1 являются левыми собственными векторами А: у*А = Х*у*. г = 1,...,п|.

В действительности этот результат верен н для некоторых матриц с кратными собственными значениями (именно для так называемых матриц простой структуры, все п собственных векторов которых линейно независимы). В частности, для симметричных матриц верно гораздо более сильное утверждение.

Лемма П.6. Если А = АТ ^ Rnxn, то она приводится к диагональной форме вещественным ортогональным преобразованием подобия, т. е. найдется такая U G R"xn, что UT = U~X и

UTAU = А = diag(Ai,...,An),

и все собственные значения At вещественны.

Приведение к жордановой форме

Лемма П.7. Для любой матрицы A G Спх" существует невырожденная матрица Т €Спхп такая, что

Т-ХАТ = J,

* Отметим, что левые собственные векторы иногда удобнее определять как правые собственные векторы матрицы Ае.

где J — жорданова форма матрицы Л;

/А.

J = diag(Jb...,Jm), J. =

U

1... 0\

бС"-™' ^n. = n

■ •1г=1

Xi)

Здесь А, — собственные значения Л, a J* — жордановы блоки; при этом одному собственному значению может соответствовать, вообще говоря, больше одного блока н размерности тц этих блоков могут быть различны. Например, в качестве J может возникнуть матрица

она имеет одно собственное значение А кратности 6. которому соответствуют три жордановых блока размерностей 1, 2 н 3.

Приведение к фробениусовой форме

Если для матрицы Л € СпХп найдется такой вектор b G С71, что векторы Ъ, АЬ, ..., Ап~ ХЬ линейно независимы, то А называется циклической матрицей (а вектор b — ее циклическим генераторам).

Говорят, что матрица А € Спхп приведена к фробениусовой форме, если она имеет вид

/ о 1 ... о )

о оо

л =

,(П.4)

1

-оо -Qi ... -Оп-1 у

где Oq,. .. ,0^-1 € С. Нетрудно проверить, что характеристический полином А равен

Р^ = An + On-iAn-1 +... + О1А + оо-(П.5)

Иногда матрицу вида (П.4) называют матрицей Фробениуса для полинома (П.5).

Лемма IL8. Матрица может быть приведена к фробениусовой форме невырожденным преобразованием подобия с матрицей Т € Спх” тогда и только тогда, когда она циклично.

Матрица является циклической топа и только тогда, когда каждому ее собственному значению соответствует ровно один жорданов блок; эквивалентно, когда ее характеристический полином совпадает с минимальным.

Приведение к вещественной блочно-диагональной форме

Отметим, что в леммах П.5 н П.7 как матрица Т, так и матрицы Л и J могут быть комплексными, даже если А вещественна. Более того, эти матрицы заведомо комплексные, если у А есть комплексные собственные значения. Оставаться в области вещественных чисел позволяет следующий результат.

Лемма П.9. Пусть собственные значения Х^к-х = иь + З^ь Х^ = ■и-к -З^Ь ^к ^ о, к = 1,... ,р, Xi € Я г = 2р + 1,...,п, матрицы А е КпХп различнЫ- Тогда существует невырожденная матрица Т € Rnxn такая, что

Т"ХАТ = К = diag (Ji,..., Jp, A2p+i, -.., А„),(П.6)

где матрицы Jk € R2x2, к = 1,... ,р, имеют вид

г / Uk ^к \ \ -Dk Uk ) При этом говорят, что К имеет вещественную блочно-диагональную форму.

Это есть частный случай приведения произвольной матрицы к вещественной жордановой форме с помощью преобразования подобия с вещественной матрицей Т.

Сингулярное разложение

Напомним, что унитарной матрицей называется матрица V е Спхп, удовлетворяющая условию

V*V = I.

В вещественном случае (V С RnXn) для таких матриц V^V = I и они называются ортЬгона^ными.

Лемма П.10. Пустд-А € CmXn. Тогда найдутся унитарные матрицы U € Стхт uV Е Спхп такие, что

U*AV = Л, Л = ( ^ Q ) , Ai = diag(<ть...,Стр), p = min{m,n}.

(П.7)

Представление (П.7) называется сингулярным разложением матрицы А. Здесь 0 ^ (71 ^ ... ^ (7Р — сингулярные числа А, т. е. <7, = <7<(Д) =* ХУ(Д*Д), где X, —собственные значения неотрицательно-определенной матрицы А* А. Если при этом Д 6 Rrnxn, то U и V — ортогональные матрицы. Наконец, если т = п, то Л = diag (<7i,..., <7„).

Если обозначить (транспонированные) строки матриц U и V через Ui,Vi, то нз (П.7) следует

А*Ащ = <r?Vi, АА*гц = af«t,(

т.е. о^ — собственные числа матриц А*А н АА*, a v^iii — соответствующие собственные векторы. В частности, для вещественных А будет ДТД ^ О, ААТ > 0, a Vi, iii — вещественные взаимно ортогональные собственные векторы.

Наименьшее н наибольшее сингулярные числа выражаются через спектральную норму матрицы A G СпХп:

<тп(Д) = шах |Дх| = ||Д||, <71 (Д) = min |Дх| = 1/|| Д 1||. |ж|=1|я|=1

Второе равенство справедливо лишь для невырожденных матриц; в вырожденном случае <71 = 0.

Каноническая управляемая форма. Управляемость

Рассмотрим систему

(П.8)(П.8)х = Ах + Ьи, Д G Rnxn, Ь G Rn, и G R1» у = стх, сег,

(П.8)

(П.8)

н пусть Р^ = sn -ban_is” 1 +... + ао — характеристический полином матрицы А.

Лемма П.11. Если векторы b, АЬ, ..., ДП-1Ь линейно независимы (т. е. пара (Д, 6) управляема\ то линейной заменой переменных

О \О \/ 10

О \

О \

х = Тх,

0

Оп-1 1 /(П.9)

система (П.8) приводится к канонической управляемой форме

х ~ Ах + Ьи, у = сж,х ~ Ах + Ьи, у = сж,А = ТАТ"\ Ъ = ТЪ, с1 = стТ"\

х ~ Ах + Ьи, у = сж,

х ~ Ах + Ьи, у = сж,

(П.10)

О

О

О

О \

о 1

(П.11)

\ —Go —G1

При этом матрица А преобразованием подобия приведена к фробенн- усовой форме.

Теорема ПЗ (управляемость). Следующие условия эквивалентны:

Система

х = Ах + Ви, х € R”, u G Rm, управляема.

Граммам управляемости

t

Wc^ = J еАтВВТеАТтд,г

о

является положительно-определенной матрицей для любого t > 0.

Матрица управляемости U = [В АВ ... Ап-1В\ имеет ранг п.

Матрица Хаутуса [Л — XI В] имеет ранг п для любого A € С.

Для любого левого собственного вектора и матрицы А (т. е. ненулевого вектора и € С”, удовлетворяющего и* А — Хи* при некотором A G С) справедливо и* В / 0.

Выбором матрицы К G Rrnx” можно добиться произвольного расположения собственных значений матрицы А + ВК.

7. Функции от мэтр7. Функции от мэтр7.1. Функции от ма7.1. Функции от ма

7. Функции от мэтр

7. Функции от мэтр

7.1. Функции от ма

7.1. Функции от ма

Для функции /(s) комплексной переменной s определим соответствующую функцию от матричного аргумента Л G Rnx".

Если p(s) — полином степени т с вещественными коэффициентами

p(s) = amsm + ... + ais + «Оэ

ТО ПОЛОЖИМ ,,, р(А) = втА*" + ... + Oi Ai + oqI.

Заметим, что согласно следствию из теоремы Кэли-Гамильтона для любсй п х п матрицы А н любого полинома рх степени п н выше существуй полином р2 степени п — 1 такой, что рг(А) = Р2^А\

Для числовой функции /(s) общего вида (не полинома) имеется не сколько способов определения соответствующей функции от матрицы Дадим лишь два наиболее употребимых; оба они представляют /(А) 1 виде полинома от А.

Первый способ основан на теореме Кэли-Гамильтона н определяе! /(А) как значение интерполяционного полинома от матрицы А. Предположим, что функция / : С —> С определена на спектре матрицы А, т.е она аналитична в собственных значениях А. Пусть, как и раньше, А^ г = 1,...,т, — все различные собственные значения матрицы А, а щх г = 1,... ,т, — их кратности. Для функции f (s) построим полином у(в) степени п — 1

y(s) = 7o +71S + --. +7n-isn-1,коэффициенты которого найдем из следующих условий:

^М = fWM, k = o,l...,n,-l, i = l,...,m,

где правые части равенств определены в силу аналитичности /(s) в точках Л,. Эти условия представляют собой систему п линейных уравнений относительно л неизвестных 7,; можно показать, что матрица этой системы невырождеиа, так что всегда существует единственное решение 701--ч7п-1- Таким образом, построенный интерполяционный полином g(s) я функция /(s) совпадают на спектре матрицы А, т.е. в‘ точках \ совпадают их значения н значения их производных вплоть до (л, — 1)-й. Определим теперь

/(А) = ff(A).

Итак, функция от матрицы определяется как значение конечного степенного ряда от матрицы. Отметим, что /(Л) можно было бы определять! исходя не из характеристического полинома, а из минимального, степень которого ниже, однако соответствующие интерполяционные условия (по-’ рядки производных) сформулировать сложнее. Впрочем, оба определения. приводят к одному результату.

Иногда бывает удобно определять функцию от матрицы в виде бесконечного степенного ряда. Так, пусть /(s) аналитична в s = so с радиусом сходимости т = t(sq); тогда для всех s нз круга сходимости, т.е. для |s - Sol < г, выполнено

ОО

/(s) = y^«k(s-s0)fc,

причем ряд сходится аболютно. Пусть все собственные значения А* матрицы А лежат в круге сходимости: |А» — so| < г; тоща определим

ОО

/(Л) = £>tG4-,„/)*.

к—О

причем сходимость матричного ряда — абсолютная (в смысле матричной нормы). В частности, при So — О

ОО/(Л)^"^.к=0

В приложениях часто г = сю, т.е. /(s) аналитична на всей плоскости и /(Л) определена для всех А.

Такое представление функций от матриц часто предпочтительнее с вычислительной точки зрения (в практических задачах соответствующие степенные матричные ряды, как правило, сходятся быстро); кроме того, оно позволяет пользоваться многими удобными свойствами матричных функций.

Разумеется, значения f^A\ полученные двумя описанными способами, совпадают (для тех матриц, на которых оба эти способа определены).

7.2. Матричная экспонента

При анализе дифференциальных уравнений наиболее часто встречающейся матричной функцией является экспонента. Поскольку /(s) = es аналитична на всей комплексной плоскости, то бывает удобнее пользоваться определением матричной экспоненты в виде ряда:

ел = 1 + Л+^Л2 + ^Л3 + ...

Приведем несколько свойств этой функции.

СО

^У^-i-

к=0

Если А = diag(сц,...,оп), то еА = diag(eQ1,--• .е"")- В частности, если А = о/, то ел = еа1.

Если матрицы Л н В коммутируют, то еАев = еА+в (обратное, вообще говоря, неверно). С другой стороны, если е^л+в^ = eAteBt для всех t G (ti, (2), то АВ = В А.

еле^л = ел-л = е° = I вследствие коммутативности. Поэтому, в частности, (ел)-1 — еГА для любой (вырожденной или нет) матрицы А._

AeAt = eAtA вследствие коммутативности.

lcA,^AeAt.

dt

Если Л обратима, то JeAtdt = А^е^ + С, где С — нек< t

рая постоянная матрица. В частности, jeArdr = A-1^eAt — I о

ОО

jeATdT = — А-1 для устойчивых А. о

Решение полиномиальных и родственных уравнений

Пусть полиномы a(s), b(s) — взаимно просты (т. е. не имеют оби корней).

Теорема П.4 (теорема Безу). Полиномиальное уравнение

ax + by = l(П.}

(где неизвестные — полиномы tr(s),y(s)) всегда имеет решение х°, такое, что

dega?0 ^ degb — 1, degy0 < dega — 1, причем общее решение (ПЛ2) имеет вид

х = х° А-Ьт, у = у° - ar,(1

где г(з) — произвольный полином.

Решение минимальной степени х°, у0 можно найти с помощью лк нз следующих алгоритмов.

Алгоритм 1 (решение системы линейных уравнений). Возьмем

x(s) = а?0 +Z18 + ... A-xNsN, y(s) = Уо+yis + ... + yMsM, где N = degb — 1, M = dega — 1. Тогда, приравнивая в (ПЛ2) эффициенты полиномов ах + by н 1 от свободного члена до ст< N + М + 1, получим систему N + М + 2 линейных уравнений от тельно N+М +2 переменных хо.х^,... ,xN,y0,yi,... ,ум. Эта си невырождена в силу взаимной простоты а н Ь.

Алгоритм 2 (использование корней а и Ь). Пусть нам и: корни At полинома a(s) н корни р< полинома 6(s). Рассматривая ние (ПЛ2) в точке s = А», получаем

&СМу(А«) — 1, t = 1,..., dega.

Относительно коэффициентов уо, . - -, "Ум эт0 Дает нам М +1 уравнение с М + 1 переменной. Аналогично, подставляя д, в (ПЛ 2), получаем ^ +1 уравнение относительно переменных хо,... txN.

Алгоритм 3 (Евклида). Используем алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя полиномов a(s) н 6(з) — он полностью совпадает с таким же алгоритмом для целых чисел. В силу предположения наибольший общий делитель равен единице. Зная получающиеся в процессе применения алгоритма частные и остатки, легко восстановить Л у0.

Близкие результаты можно получить, когда уравнение (П.12) относится не к полиномам, а к элементам какого-либо иного кольца. В западной литературе такое уравнение называют равенством Безу; в отечественной литературе часто используют термин диофантово уравнение. В частности, важным для теории управления является случай, когда о, Ь, х, у — устойчивые правильные дробно-рациональные функции (скалярные или матричные), т.е. элементы пространства RHoq. При этом, однако, заметно более трудно записать условие взаимной простоты а и Ь, и часто оно формулируется просто как разрешимость в RH^ уравнения (П.12). В одномерном случае имеется конструктивное определение: скалярные функции a(s) и b(s) из RH^ называются взаимно простыми, если они не имеют общих неустойчивых нулей и одновременно не обращаются в нуль на бесконечности. Отсюда, в частности, следует, что если функции а н b взаимно просты, то по крайней мере у одной из инх степень числителя равна степени знаменателя. Нетрудно показать, что эти условия необходимы н достаточны для разрешимости в RHqo уравнения (П.12), т.е. имеет место следующий аналог теоремы П.4.

Лемма П.12. Пусть а и Ъ — взаимно простые скалярные функции из RHco, тогда уравнение (П.12) имеет решение х°, у° € RH^, а общее решение имеет вид (П.13), где r(s) — произвольная функция из RHqo.

Заметим, что здесь, в отличие от теоремы П.4, не говорится о решении минимальной степени. Что касается многомерных функций А, В G RH^ то для них уравнение (П.12) приобретает вид

АХ + BY = I

н его разрешимость в RH^ берется за определение взаимной простоты А и В.

,прило:

Матричные уравнения и неравенства^

Уравнение Ляпунова/

Лемма П.13 (непрерывный случай). Матричное уравнение JL

АР-t-РАТ =-Q

при Q = QT имеет единственное решение Р = Рт тогда и только гда, когда Не (А, + Aj) Л 0 для всех собственных значений А, матрицы При этом

Р = j eAtQeATtdt > О(П.

о

тогда и только тогда, когда А гурвицева и либо

Q > О (если Q > О, то существует положительно-полуопреде ное решение Р "> О), либо

Q = ВВТ и пара (Л, В) управляема

Отсюда, в частности, следует, что если уравнение (П.14) с Q > 0 ю решение Р > 0, то А устойчива; мы часто пользуемся этим выводом.

Поскольку решение системы х = Ах, х^ = хо, есть x(f) = е*1^ получаем следствие:

Лемма П.14 (значение квадратичного функционала). Пусть х{$ решение системы х = Ах, х(0) = жо. с устойчивой матрицей A. a Q О — некоторая положительно-определенная матрица. Тогда значе! функционала J = j xTQxdt равно xJtVxo, где W — решение уравна о

Ляпунова ATW + WA = —Q.

Лемма П.15 (неравенство Ляпунова). Пусть А гурвицева, пара (Л, управляема и Р_ > 0 — решение уравнения Ляпунова (ПЛ 4) с Q = ВТ Тогда матричное неравенство Ляпунова

АР + РАТ ^-ВВТ(ПЛ

разрешимо, причем для любого решения Р неравенства (ПЛ 6) справе ливо Р ^ Р_ (т.е. Р_ —минимальное решение (ПЛ6)).

Получаем следствие:

Лемма П.16. При сделанных предположениях для любой матрицы решение задачи

min tr (СРСТ)

при ограничении

АР + РАТ + ВВ1 С О достигается на решении Р_ уравнения Ляпунова АР + РАТ + ВВТ = 0.

Иногда представляет интерес неравенство Ляпунова с неотрицательно-определенной правой частью.

Лемма П.17. Если Re(>i + X?) ^ 0 для всех собственных значений X, матрицы А и пара (Л, В) управляема, то неравенство Ляпунова

АР 4- РАТ ^ ВВТ

имеет решение Р > 0.

Если в неравенстве Ляпунова не накладывать требования к симметрии решения, то всегда некоторое решение может быть найдено в явной форме.

Лемма П.18. Если решение матричного неравенства

YTBT + BY ^Q

существует, то оно достигается при Y = —уВ1, т. е. решение существует, если при некотором 7^0 выполняется —уВВТ ^ Q.

Лемма П.19 (уравнение Ляпунова, дискретный случай). Дискретное матричное уравнение Ляпунова

АРАТ — Р =—Q при Q = QT имеет единственное симметричное решение Р = Рт тогда и только тогда, когда XiXj ^ 1 для всех собственных значений А При этом

P=^AkQ(AT)k>Q k=0

тогда и только тогда, когда А — шуровская матрица (| A* j < 1) и либо

Q > 0 ^.при Q > 0 будет Р ^ 0), либо

Q = ВВТ и пара (Л, В) управляема.

Уравнение Риккати

Теорема IL5 (дифференциальное уравнение Риккати). Если пара (А, В) управляема, а матрицы В > 0, S > 0, то решение дифференциального уравнения Риккати

P + ATP + PA-PBS-1BTP + R = Q, Р(Т) = 0

обладает следующими свойствами:Я

при любом Т > О оно существует и единственно для всех t G [О,

Р(£) ^ 0 для любых О ^ £ ^Т;Я

если Рт^ — решение уравнения при заданном Т, mo Pr2(t) <Я Ртт (£) при Т2 > Ту;Я

при Т —* оо будет Р-НА ~* ^оо, где (не зависящая от Т и £)Я матрица Р^ является единственным положителъно-определеннымт решением алгебраического матричного уравнения Риккати

АТР + РА- РВ^В^Р + Я = 0.(П.17) 1

Алгебраическое уравнение Риккати (П.17) часто возникает в несколь- Я ко иной форме3

АТР + РА- РВВТР + СТС = 0.(П.18) Я

Лемма П.20. Если пара (А, В) управляема, а пара (А, С) наблюда- Я ема, то уравнение (П.18) имеет единственное решение Р > О, причем Ж матрица А — ВВТР устойчива.I

В уравнениях (П.17), (П.18) перед квадратичным членом стоит знак Ц минус, а перед свободным членом — плюс. Однако можно изменить 3 знаки.

Лемма П.21. В предположениях теоремы П.5 уравнение'$

QAT + AQ + QRQ - BS"1BT = 0(П.19) ;

имеет единственное решение Q > 0, причем Q = Р \ где Р > 0 — решение (П.17).

Действительно, достаточно умножить (П.17) слева и справа на Q = Р-1. Уравнения (П.17) и (П.19) называются двойственными.

Можно рассмотреть и уравнение Риккати с отрицательным коэффициентом при свободном члене

АТР +РА- РВВТР - ^СТС = 0.(П.20)

Лемма П.22. В предположениях леммы П.20 уравнение (П.20) имеет решение Р > 0 тогда и только тогда, когда

-'<№ ад=^-АГв. (IL21)

Имеется связь между решениями уравнения н неравенства Риккати; | следующая лемма аналогична лемме П.15.I

Лемма П.23 (неравенство Риккати).

Пусть R ^ О, пара (А, R) управляема и матричное неравенство Риккати

АТР + РА + PRP + L ^ О(П.22)

имеет решение. Тогда уравнение Риккати

АТР + РА + PRP + L = О(П.23)

имеет решение Р_, причем Р- — минимальное решение (П.22), т. е. для любого решения Р неравенства (П.22) справедливо Р> Р_. Кроме того, матрица А + RP_ устойчива.

Пусть R ^ 0, пара (A, R) управляема и матричное неравенство Риккати

АТР + РА + PRP + L > О(П.24)

имеет решение. Тогда уравнение Риккати (П.23) имеет решение Р+, причем Р+ — максимальное решение (П.24), т. е. для любого решения Р неравенства (П.24) справедливо Р ^ Р+. Кроме того, матрица А 4- RP+ устойчива.

Теория возмущений

Непрерывная зависимость корней полинома от коэффициентов

Пусть F(s,g) — полином n-й степени, коэффициенты которого непрерывно зависят от параметров q € R£:

P(s,q) = Go (q) +oi (<3)s+...+ an (q)sn,

причем On(0) / 0. Обозначим его корни через sx(g), г = 1,... ,n.

Теорема П.6. Для всякого е > О найдется 5 > 0 такое, что при |д| ^ 6 корни s^q^ полинома P(s,q) можно перенумеровать так, чтобы

|sx(g) - st(0)K £, г = 1,...,п.

Этой теореме можно придать следующую форму для случая одномерного параметра q € [0, 1].

Лемма П.24. Пусть an(q) А 0 для всех q € [0, 1]. Тогда корни Si(q) можно так упорядочить, что s,(q) — непрерывная функция на [0, 1] для всех г = 1,...,п.

Б.Т. Поляк. П.С. Щербаков

Часто представляет интерес более конструктивная оценка близости: корней по близости коэффициентов. Типичным является следующий результат об относительной погрешности.

Теорема П.7. Пусть £ > О, е < (1/4п)” и

М?) - аДО)| ^ £|аД0)|, t = 1,..., п.

Тогда корни Si(q) можно перенумеровать так, что

si(g) - st(0)8i(0)si(g) - st(0)8i(0)< 8nf V".< 8nf V".

si(g) - st(0)8i(0)

si(g) - st(0)8i(0)

< 8nf V".

< 8nf V".

Этот результат выглядит не очень обнадеживающим — во-первых, он справедлив лишь для очень малых £, во-вторых, близость корней оказывается порядка е1^, т. е. медленно убывает как функция от е. Однако в общем случае кратных корней лучших оценок, вообще говоря, получить нельзя. Ситуация значительно упрощается лишь в случае простых корней, см. ниже.

Непрерывная зависимость собственных значений матрицы от ее элементов

Пусть Л(д) — матрица из Спхп, элементы оу (д) которой непрерывно зависят от параметров q € R*. Обозначим через АДО), г = 1,...,п, собственные значения матрицы Л(0).

Теорема П.8. Для всякого £ > 0 найдется й > 0 такое, что при |д| ^ й собственные значения Xi(q) матрицы А^ можно упорядочить так, что

1^(9) - ^(0)| ^£, t = l,...,n.

Близость АДд) к А ДО) в общем случае можно оценить. Приведем типичный результат.

Теорема П.9. Пусть А = ((ву)), |оу| ^ 1, В = J(6y)), |6у| ^ е, i,j = 1,...^ и пусть Aj —собственные значения A. a Xi — собственные значения А + В. Тогда последние можно упорядочить так, чтобы

|At - Ai| ^ 2(n + l)2(n2£)1/n, t = 1,...,п.

Вновь эта оценка показывает очень сильное влияние возмущения матрицы на ее собственные значения (порядка е^п\ однако в общем случае от множителя е1^ избавиться нельзя, как показывает следующий пример:

ПрНПрНО Е )ОО/О Е )ОО/

ПрН

ПрН

О Е )

О

О/

О Е )

О

О/

получаем

А. = А, A^A + ^os^Tr + jsin^^e1/”,к=1,...,п.

Линейная теория возмущений

Для случая простых (не кратных) корней и собственных значений предыдущие оценки могут быть существенно уточнены.

Лемма П.25. Пусть s, — простой корень полинома Po(s) и Pi(s) — некоторый полином. Тогда полином

P(s,q) = P0(s) + qP^, q € R1, имеет корень щ^, удовлетворяющий условию

sAq^Si-q—T-T+o^q).

Аналогичный результат для матриц формулируется следующим образом.

Лемма П.26. Пусть А — простое собственное значение матрицы А 6 Спхп, а х и у — соответствующие ему левый и правый собственные векторы: Ах = Хх, у*А = Ху*. Тогда для матрицы A(q) = А + qB найдется собственное значение А(д) такое, что

ХМ = А + Я^^ + <Aq\

Круги Гершгорина

Теорема П.10 (Гершгорин). Любое собственное значение матрицы А = ((йу)) € Спхп лежит в одном из кругов с центрами в а^ и радиусами 52 1^1- 3*1

Следствие. Пусть все собственные значения Аг матрицы Л G спхп различны, T-VAT = Л = diag(Ai,..., А„) и |by| ^ 1, г, j, = 1,..., п, для элементов матрицы В G СпХп. Тогда для собственных значений А,(е) матрицы А + еВ при достаточно малом е справедливы оценки

|М£)_л^!?Ы£,|М£)_л^!?Ы£,St = У^Х^St = У^Х^

|М£)_л^!?Ы£,

|М£)_л^!?Ы£,

St = У^Х^

St = У^Х^

где ж, — г-й столбец матрицы Т, а уг — г-й столбец матрицы Т~\ причем они нормированы условиями |ж*| = |у.| = 1, г — 1,... ,п.

Можно получить н более точный результат (ср. с леммой П.26).

Лемма П.27. В условиях леммы П.26

, , .. у*Вх.Уг^ч, , .. у*Вх.Уг^ч2п2(п - 1)е21

, , .. у*Вх.

Уг^ч

, , .. у*Вх.

Уг^ч

kJ j*i |А, —AjIJsJ

Одна теорема двойственности

Пусть Л G RmXn, b G Rn, х G Rn, у G Rm, p,q G R — сопряженные числа, т.е. 1/р + 1/q = 1, 1 ^ р < оо, 1 ^ q < оо, а |ж|р, |у|9 — n / \ ^^ соответствующие 1Р н lq нормы векторов, т.е. |ж|р = 52 ( кг|р), Ыд =

£=1''

/ \ЧЧ

£(w’) ■

Теорема П.11. Рассмотрим прямую задачу выпуклого программирования

а = к?11”* l^ip и двойственную к ней

0 = min |у|д.

Тогда их оптимальные значения а и 0 связаны соотношением а = 1/^0.

Если взять р = 1, q = оо, Ь — (1, 0,...,0)т, первый столбец матрицы А обозначить через с G Rm, вектор (жг, ж3,... ,жп)т вновь обозначить через ж, а оставшуюся после удаления первого столбца часть матрицы А — вновь через А, то получим

Лемма П.28.

.1

mm Лж + ch = :——.

"АТ ТПТ J^00

А* у=0,сгу=1

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ

На русском языке в 1955-1985 годы было издано большое число учебников и монографий, достаточно полно отражавших состояние теории управления в тот период. Так, много учебников посвящено частотному подходу клиненным системам [17,24,39,53,67,82]; оригинальные работы собраны в сборнике [123]. Описание в пространстве состояний н задачи оптимального управления освещены в работах [2,3,5,23,24,30,34,36,38, 40,45,46,70,76,77]. Большое внимание уделялось управлению дискретными системами [18,22,28,31,41,73,78,81]. В целом основные результаты теории управления на начало 1980-х годов отражены в справочнике под редакцией А. А. Красовского [72] и в фундаментальном учебнике А. А. Первозванского [58]. За последние годы издано относительно немного учебной н научной литературы на русском языке [6-8,29,55]; как правило, эти книги посвящены отдельным проблемам теории.

Совершенно иная ситуация с публикациями на Западе. Помимо стандартных учебников по линейным системам, которые выходят все новыми изданиями [108,132,139], появляются публикации, которые отражают прогресс в развитии науки об управлении за последние десятилетия. Одним из пераых стал учебник [144]; кроме того, издано много книг, которые можно рассматривать и как учебники, и как монографии [105,117,120,125,127,146,147,166,183]. Наиболее интересные статьи нз журналоа, связанные со становлением новых направлений, переизданы в сборниках [162,163]. Выпущена энциклопедия по управлению [172] н справочник [174], содержащий обзорные статьи по всем основным разделам теории н практики управления.

К главе 1

Содержание пп.1.1, 1.2 н 1.4 достаточно стандартное. Язык передаточных функций стал общеупотребительным в 1930-х годах, после работ X. Боде н Г. Найквиста. Описание в пространстве состояний широко распространилось в конце 1950-х годов, под влиянием пионерских работ Л. С. Понтрягина [66] и Р. Калмана [33,133]. Взгляд на линейную систему как на линейный оператор, преобразующий пространство входных сигналов в пространство выходных сигналов, стал основным значительно позже, в 1970-е годы, главным образом благодаря трудам М. Видьяса-

тара [114,176]. До середины прошлого века исследовались в основном одномерные (односвязные) системы, интерес к многомерным (многосвязным) системам возник позже, причем основным аппаратом для их анализа и синтеза стало описание в пространстве состояний. Техника многомерных (матричных) передаточных функций для таких систем получила значительный импульс благодаря исследованиям Г. Розенброка [165], позже эта техника стала доминирующей. Первые работы по дискретным импульсным системам принадлежат Я. 3. Цыпкину [81] и Э. Джури [28]. Сейчас параллельное исследование всех основных подходов теории линейных систем как для непрерывного, так и для дискретного случая является общепринятым.

К главе 2

Идея программного управления появилась сравнительно поздно, в 1950-е годы, в связи с интересом к задачам космонавтики и управления летательными аппаратами. До этого доминировал подход, основывающийся на идеях обратной связи, наиболее естественный в задачах электротехники и радиотехники, исследовавшихся в то время.

Понятия управляемости и наблюдаемости введены Калманом [33]; теперь они стали ключевыми в теории линейных систем.

К главе 3

Условия устойчивости линейных дискретных н непрерывных систем, заданных в пространстве состояний, известны давно, см., например, [13, 44,110]; их основы заложил еще А. М. Ляпунов [50] в работе 1892 г. Мы приводим несколько различных доказательств, так как используемая при этом техника очень важна и применяется в гораздо более общих ситуациях.

Графический критерий устойчивости полиномов в форме условия 2 теоремы 3.5 предложен А. В. Михайловым в 1938 г.; в форме условия 4 ои был получен Ш. Эрмитом н Билером гораздо раньше, в 1856 г. Алгебраический критерий устойчивости был предложен в 1896 г. А. Гурвицем и доведен до удобной вычислительной формы Э. Раусом. На дискретный случай алгоритм был перенесен И. Шуром (1920). Достаточное условие устойчивости (3.19) было предложено Коном в 1922 г. Много сопутствующих результатов и обобщений можно найти в [68,145]. Знаменитый критерий Найквиста (1932) оказал большое влияние на развитие частотной теории. Многомерный аналог критерия Найквиста был сначала получен Роэенброком в 1974 г. [165] в форме так называемого корневого годо- трафа; теорема 3.9, в которой фигурирует лишь один годетраф, доказана Видьясагаром [176].

Структура множества достижимости для различных ситуаций описывается в книгах А. Б. Куржанского [42], Ф. Швеппе [168] и С. Бойда с соавторами [106].

Термин «сверхустойчивость» является новым. Теорема 3.14 впервые получена, по-видимому, С. М Лозинским в 1953 г. [47]. Использование матриц с «отрицательным диагональным доминированием» (в нашей терминология —сверхустойчивых) для анализа линейных систем управления встречалось ранее в ряде работ, см., в частности, [24,134,150,165,169]. Более подробно материал п. З.бизлагается в [155].

К главе 4

Стабилизация мниимально-фазовых систем с помощью большого коэффициента усиления (теорема 4.2) была обоснована М. В. Мееровым в 1947 г., см. также [53]. Идея D-разбиения в частном случае полиномов третьей степени была высказана еще И, А. Вышиеградским в 1896 г. («диаграмма Вышнеградского», см. [51]); в полной общности технику D- разбиения развил Ю. И. Неймарк [56].

Описание всех стабилизирующих регуляторов обычно называется «параметризацией Юлы» или «параметризацией Юлы-Кучеры», при этом ссылаются на работы [104,138,181]. Однако история этого открытия заметно выходит за пределы данных работ. Прежде всего, в [104] дана лишь параметризация в форме (4.9); мы отмечали ее недостатки. Современная формулировка (теорема 4.5) была придана этому результату в статье [113]. Кроме того, В. М. Ларин, К. И. Науменко и В. Н. Сун- цев получили близкие результаты несколько раньше, в 1971 г. [43], см. комментарии в [4]. Для дискретных систем описание всех стабилизирующих регуляторов (теорема 4.6) использовалось Л. Н. Волгиным еще в 1962 г. [21], см. также [22]. Самая ранняя ссылка, которую нам удалось разыскать, — это статья А. М. Каца [35] 1955 г., в которой предложена параметризация (4.9). В настоящее время параметризация Юлы излагается во многих зарубежных учебниках [120,144,176,183]; на русском языке ей посвящены книги [4,71].

Теорема 4.8 о возможности произвольного размещения полюсов для управляемой системы обычно связывается с именем Калмана, хотя сам Калман [34] указывает на приоритет Дж. Бертрама. Теорема 4.11, характеризующая эффект «всплеска» при удалении полюсов в левую полуплоскость, принадлежит Р. Н. Измайлову [32]. Способ оценки состояния, приведенный в теореме 4.12, часто называется наблюдателем Люенбер- гера; он был предложен в [142], см. также [34,-143].

Идея квадратичной стабилизации была выдвинута в 1980-е годы Дж. Лейтманом н Б. Бармишем [92,140]; впрочем, корни этой идеи мотут

быть прослежены много раньше. Техника сведения к линейным матричным неравенствам описана в книге [106]. Использование сверхустойчивости для целен стабилизации предложено в [155].

К главе 5

Идея оптимальности в теории управления возникла сравнительно поздно, в 1950-е годы. До этого в центр исследований ставились задачи анализа систем и обеспечения их устойчивости; проблемы качества процессов играли меньшую роль. Ситуация кардинально изменилась к 1960-м годам, когда вся наука об управлении стала ассоциироваться с оптимальным управлением, тогда как раньше она обычно называлась теорией автоматического регулирования. В таком смещении акцентов ключевую роль сыграли работы Беллмана, Калмана, Понтрягина, А. А. Фельдбаума и других крупных ученых того времени [15,34,66,77].

Задача о линейно-квадратичном регуляторе (в русской литературе часто называвшаяся задачей об аналитическом конструировании регуляторов) была одной из первых решенных задач оптимального управления; основной вклад в ее решение внесли Р. Калман [133] и А. М. Летов [45]. Эго решение было /воспринято специалистами по теории автоматического регулирования, так как оно формулировалось в привычных для них терминах обратной связи (в отличие от задачи о релейном быстродействии, в которой решение является программным управлением).

В настоящее время теория линейно-квадратичной оптимизации развита очень глубоко, включая анализ всевозможных вырожденных случаев; есть ряд монографий, специально посвященных этому направлению, например [36,90]. Подход, приводящий к краевой задаче (5.8), опирается на принцип максимума [66]. Способ решения последней путем подстановки (5.11), широко применяется в вычислительной математике под названием «метод прогонки». Уравнение Риккати играет ключевую роль в линейноквадратичном регулировании и неоднократно встречается в последующих главах; подробные сведения о нем и его связи с LQR-задачей можно найти в [179,180]. Подход, описанный в п. 5.1.3 и основанный на использовании функций Ляпунова, тесно связан с методом динамического программирования [14].

Термин «линейные матричные неравенства» введен в теорию управления В. А. Якубовичем [86] (хотя первым линейным матричным неравенством может считаться неравенство Ляпунова, сформулированное в 1892 г. в связи с анализом устойчивости [50]). В настоящее время этот аппарат получил широкое развитие; в [106] дано его систематическое изложение и показано, что многие задачи теории управления могут формулироваться

в виде линейных матричных неравенств. Мощные н эффективные численные методы решения таких неравенств разработаны Ю. В. Нестеровым и А. С. Немировским [149].

Использование Нос-нормы в оптимальном управлении обычно связывают с работой Дж. Зеймса 1981 г. [182], однако в частных случаях подобные равномерно-частотные критерии использовались и ранее. В настоящее время Нос-оптимизация составляет ядро теории управления [12, 60,96,115,117,120,124,127,128,144,146,147,183]. Первоначально задача была решена в частотной области с использованием таких средств теории функций комплексного переменного, как теорема Неванлинны- Пика [117,120,146]. В 1989 г. появилась статья [118], в которой было дано полное решение в пространстве состояний (так называемый «2-Риккати подход»). Этот метод в основном и используется сейчас для численного решения проблемы Нто-оптимизации в пакетах Control System Toolbox и Robust Control Toolbox системы Matlab.

Задача об оптимальном подавлении внешних возмущений является одной из основных в теории управления. Однако ею занимались преимущественно в стохастической постановке, где решением является LQG (Linear Quadratic Gaussian — линейно-квадратично-гауссовский) регулятор, аналогичный линейно-квадратичному регулятору из п. 5.1; мы не останавливаемся на стохастических задачах в этой книге. Другая модель внешних возмущений — гармонические с неизвестной частотой; в этом случае их подавление возможно с помощью Нос-оптимизации. Задача же о произвольных ограниченных помехах, рассматриваемая в п. 5.3, была решена сравнительно недавно. Еще в 1940-е годы возникла так называемая задача о накоплении возмущений Б. В. Булгакова [19], однако основной интерес проявлялся к проблеме анализа: каково максимальное отклонение, вызываемое произвольными ограниченными внешними воздействиями. Такая задача, по сути, является задачей программного оптимального управления, в которой внешние возмущения рассматриваются как управления. Позже появились работы по компенсации ограниченных возмущений, не содержавшие, впрочем, общих методов синтеза оптимальных регуляторов [75]. Задача об оптимальном подавлении произвольных ограниченных возмущений для дискретных одномерных систем была четко поставлена в [87] (на Западе — в [177]); позже она получила название Zi-оптимизации. Ее решение для частных случаев было получено в [9,87,177]. Полное решение было построено в [И] и затем в [112]. В несколько модифицированном виде этот результат приведен в теореме 5.3. Развитие теории и методов /1-оптимизации дано в книгах [10,111,167]. Синтез регуляторов заданного порядка для задач с ограниченными помехами осуществлен в [20,99,155]. Результаты, использующие множество достижимости для синтеза регуляторов, можно найти в [106]; теоремя 5.5 является уточнением этих результатов.

К главе 6

Идея о необходимости учета неопределенности при конструировании систем управления являлась фундаментальной в теории управления на всех ее этапах. Если бы объект и внешние сигналы были бы известны точно, возможно было бы программное управление или использование прямой (аие обратной) связи. Об основополагающей роли неопределенности и преимуществах обратной связи в те периоды успехов оптимального управления, когда значение этих факторов несколько забывалось, неоднократно напоминал И. Горовиц [27]. Одна из первых моделей неопределенности (нелинейная секторная) была предложена в теории абсолютной устойчивости в пионерских работах А. И. Лурье, М. А. Айзермана, Ф. Р. Гантмахера [1,48,49].

Модели параметрической неопределенности в линейных системах появились значительно позже; по-видимому, их систематическое исследование начал также Горовиц [27], впоследствии создавший специальные по- луэвристические методы для работы с ними — так называемую QFT (Qualitative Feedback Theory) — качественную теорию обратной связи [130].

Важное направление в анализе неопределенности связано с моделью «неизвестных, ио ограниченных» («unknown-but-bounded») возмущений, восходящей к [168]; большой вклад в развитие этого направления внесли отечественные ученые А. Б. Куржанский [42] и Ф. Л. Черноусько [84]. Близкие идеи использовались в минимаксной теории управления [10,85.96].

Модели частотной неопределенности, использующие Яое-норму для возмущений, интенсивно разрабатывались в 1980-е годы. Все развитие Ясс-оптимизации и робастной теории происходило параллельно, с ис*5 пользованием одного и того же аппарата [109,116,118,121,126,166,182]?

Вероятностный подход к робастности получил распространение в последние годы, когда выяснились теоретические и вычислительные трудности, стоящие перед детерминированным (минимаксным) описанием неопределенности [65,94,170,173].

Очень полный обзор результатов по робастности содержится в монографии [178].

К главе 7

Впервые задачу об устойчивости интервального семейства полиномов рассмотрел С. Фаедо в 1953 г. [119]. Он предложил достаточные условия робастной устойчивости, основанные на интервальном аналоге алгоритма Рауса. Еще один ранний результат по робастной устойчивости приведен в книге Заде и Дезоера [30] (гл. 9, с. 481). Теорема 7.2 доказана

В. Л. Харитоновым в 1978 г. [79], но несколько лет не привлекала к себе внимания. После 1984 г., котла этот результат стал известен на Западе, начался настоящий бум публикаций на тему робастной устойчивости при параметрической неопределенности. Общая теорема 7.1 (принцип исключения нуля) тесно связана с идеями 15-разбиения [56], но, по- видимому, она восходит к работе [122] 1929 г. Теорема 7.3 (графический критерий робастной устойчивости полиномов) доказана в [63]. Реберная теорема получена в работе [95]. В настоящее время опубликовано несколько книг, специально посвященных проблеме робастной устойчивости полиномов [89,91,98,137]. Эти проблемы освещены в ряде сборников [162-164]. На русском языке имеется обзор [83].

После появления теоремы Харитонова казалось, что ее обобщение на случай интервальных матриц должно последовать немедленно, и такие работы действительно появились. Однако они оказались ошибочными; были построены контрпримеры, показывающие, что устойчивость всех вершин или ребер семейства не обеспечивает робастной устойчивости. Позже было доказано [148], что эта задача NP-сложная. Теорему о возмущениях (теорема 7.7) можно найти, например, в книгах [74,80]; основанный на ней численный метод проверки робастной устойчивости матриц предложен в [156]. Переход к робастной квадратичной устойчивости (линейное матричное неравенство (7.20)) и методы решения последнего предложены в [106,107]. Оценки радиуса сверхустойчивости интервальных матриц приведены в [61].

Формула для комплексного радиуса устойчивости матриц (теорема 7.8) получена Хинриксеиом и Причардом [129]. Для вещественного радиуса устойчивости в течение долгого времени существовали лишь оценки снизу; наконец, в 1995 г. эта проблема была разрешена совместными усилиями шести авторов [160]; этот результат приведен в теореме 7.10.

Теорему 7.11 (о стабилизации интервального объекта регулятором первого порядка и ряд близких результатов) можно найти в [93]. Робастный критерий Найквиста по существу получен Розенброком [165]; графическая интерпретация в форме теоремы 7.13 ему придана в [64]. Теорема 7.14 о малом коэффициенте усиления — один из фундаментальных результатов робастной теории — была получена в [176]; ее обобщения и варианты (в частности, теорема 7.15) могут быть найдены в [183].

Понятие структурного сингулярного числа (д) матрицы было введено Дойлом [116]; основанная на этом техника ^-анализа (включающая верхние и нижние границы для /з, критерий робастной устойчивости и алгоритмы вычисления оценок для д) могут быть найдены в книге [183] и ряде статей, см., например, [151].

Вероятностный подход к анализу робастной устойчивости, как уже отмечалось, стал весьма популярным в последние годы. Метод Монте-Карло для этих целей применили Стенгел и Рэй [170]. Оценки числа требуе-

мых испытаний приведены в [173]. Подход, связанный с вероятностной аппроксимацией условий устойчивости (п. 7.5.2), предложен в [94]. Наконец, теорема 7.18 использована для анализа робастной устойчивости интервальных матриц в [62]. Из работ, посвященных вероятностным методам синтеза, отметим [157,158].

К главе 8

Задача о робастной стабилизации с помощью регуляторов низкого порядка в общем виде весьма трудна (см. в п. 9.1). Здесь приводятся ее решения лишь для частных случаев. Теоремы 8.1 и 8.2 (робастная стабилизация с помощью малых и больших коэффициентов усиления) можно найти в [175]. Техника робастного D-разбиения описана в [59]. Численный подход к синтезу робастных регуляторов, зависящих от двух параметров, развит в [37,89,93]. Другие подходы к робастной стабилизации при параметрической неопределенности можно найти в [97,98,135].

Задача о робастной квадратичной стабилизации, вероятно, впервые рассматривалась А. М. Мейлахсом [54]; более подробно техника, основанная на линейных матричных неравенствах, описана в книге [106]. Сведение проблемы о гарантированном квадратичном показателе качества для систем с неопределенностью к линейным матричным неравенствам (теорема 8.4) осуществлено в ряде работ, см., например, [106,153,154].

Робастная стабилизация при неопределенностях, заданных Ноо-нормой, сводится к стандартной задаче Нос-оптимизации. Это было осуществлено еще в первых работах, посвященных Яоо-теории, см. [120,136, 146,182]. То, что другие виды неопределенностей также могут учитываться с помощью техники Ноо. показано в различных исследованиях. Случай комплексных параметров (теорема 8.5) изучен в [88]. Модель с вещественными неопределенностями, ограниченными в ^-иорме (дискретный случай), предложена в [155]. Возможность сведения проблемы стабилизации для интервальных объектов к выпуклой задаче (теорема 8.6) обоснована в [161].

Проблемам д-синтеза посвящен ряд работ [151,183]; соответствующие алгоритмы включены в пакет ^-Analysis and Synthesis Toolbox системы MATLAB.

К главе 9

Нерешенным задачам теории управления посвящена книга [102]; на интернетовском сайте, посвященном ей, можно найти обсуждение содержащихся в ней задач и последние результаты в их решении. Впрочем,

большинство проблем в [102] относятся к нелинейной теории и к другим областям, не затрагиваемым в нашей книге.

Теория сложности задач управления обсуждается в большом обзоре [103]; там можно найти пояснение таких терминов, как «WP-сложные задачи» и ссылки на литературу.

Задача о стабилизации линейного объекта регулятором заданной структуры и родственные ей задачи возникают во множестве разделов теории управления и в разнообразных приложениях. Однако ни аналитического решения, ни эффективных методов для них не известно (за исключением некоторых частных случаев). Стабилизации с помощью статической обратной связи по выходу посвящено много работ, см., например, [171]. WP-сложность проблемы доказана в [148]. Задача об одновременной стабилизации линейных систем (проблема 7 или 8), давно привлекает внимание исследователей; последние результаты см. в [131]. Результат об одновременной стабилизации двух объектов получен в ряде работ; подробности можно найти в книге [100], специально посвященной этому кругу вопросов. Случай трех объектов рассмотрен в [101] и признан очень трудным; в частности, в [101] приведен конкретный пример, за решение которого (т. е. за ответ на вопрос, стабилизируемы ли три данных объекта) авторы предлагали бутылку хорошего французского шампанского.

Задача о робастной неустойчивости интервального семейства полиномов (проблема 2) впервые поставлена в статье [152]. Ее WP-сложность доказана А. С. Немировским [148]. Однако попытки ее решения продолжаются [159]. Приведенные оценки вероятности устойчивости заимствованы из [57]. Градиентный метод (9.15) решения проблемы 9 предложен в статье [141].

К Приложению

Хорошими справочниками по теории матриц являются [16,25,26, /4, 80].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Айзерман М. А., Гонтмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

Александров А. Г. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Высш, шк., 1989.

Алексеев В. М„ Тихомиров В. М„ Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

Алиев Ф. А., Бордюг Б. А., Ларин В. Б. Нз-оптимизация и метод пространства состояний в задаче синтеза оптимальных регуляторов. Баку: Элм, 1991.

Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления, СПб.: Наука, 1999.

Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Элементы математического моделирования в программных средах Matlab 5 и Scilab. СПб.: Наука, 2001.

Афанасьев В. Н„ Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш, шк., 1998.

Барабанов А. Е. Оптимальное управление неминимально-фазовым дискретным объектом с произвольным ограниченным шумом И Вести. ЛГУ, сер. мат. 1980. Т. 13. С. 119-120.

Барабанов А Е. Синтез минимаксных регуляторов. СПб.: Изд-во G-Петерб. ун-та, 1996.

Барабанов А. Е., Граничим О. Н. Оптимальный регулятор для линейных объектов с ограниченным шумом И Автом. телемех. 1984. №5. С.39-46.

Барабанов А Е., Первозванский А. А. Оптимизация по равномерно- частотным показателям И Автом. телемех. 1992. №9. С. 3-32.

Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.

Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, I960.

Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О- Некоторые вопросы математической теории процессов управления. М.: ИЛ, 1962.

Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1966.

Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными системами. М: Наука, 1973.

Булгаков Б. В. О накоплениях возмущений в линейных колебательных системах с постоянными параметрами И Докл. АН СССР. 1946. Т. 5, вып. 5. С. 339-342.

Вишняков А. Н„ Поляк Б. Т. Синтез регуляторов низкого порядка для дискретных систем управления при наличии неслучайных возмущений И Автом. телемех. 2000. №9. С. 112-119.

Волгин Л. Н. Элементы теории управляющих машин. М.: Сов. радио, 1962.

Волгин Л. Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами. ML: Наука, 1986.

Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. М.: Энергия, 1980.

Гонтмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

Голуб Дж, Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

Горовиц И. Синтез систем с обратной связью. М.: Сов. радио, 1970.

Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физматгиз, 1963.

Емельянов С. В., Коровин С. К. Новые типы обратной связи. М.: Наука, 1997.

Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970.

ИзерманР. Цифровые системы управления. М.: Мир, 1984.

Измайлов Р. Н. Эффект «всплеска» в стационарных линейных системах со скалярными входами и выходами // Автом. телемех. 1987. №8. С. 56-62.

Колман Р. Е. Об общей теории систем управления И Труды Междунар. Конгресса ИФАК. М.: АН СССР, 1961. Т. 2. С. 521-547.

Колман Р„ Фалб П, Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.

Кац А. М. Определение параметров регулятора по желаемому характеристическому уравнению системы регулирования И Автом. телемех. 1955. №3. С. 269-272.

Квакернаак X, Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

Киселев О. Н., Поляк Б. Т. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию Н°° и по критерию максимальной робастности И Автом. телемех. 1999. №3. С. 113-119.

Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Физматгиз, 1968.

Красовский А. А., Поспелов Г С. Основы автоматики и технической кибернетики. М.: Госэнергоиздат, 1962.

Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1974.

Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. М.: Машиностроение, 1986.

Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

Лорин В. М., Науменко К И., Супцев В. Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью. Киев: Наук, думка, 1971.

Ла-Саяль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: ИЛ, 1964.

Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов I-IV И Автом. телемех. I960. №4. G 436-441; №5. С.561-568; №6. С. 661-665; 1961. N>4. С. 425-435.

Ли Э., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

Лозинский С. М. Оценка погрешностей приближенного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1953. Т. 92, вып.2. С. 225-228.

Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехизщат, 1951.

Лурье А. И., Постников В. Н. К теории устойчивости регулируемых систем И Прикл. матем. мех. 1944. Т. VIII, вып. 3.

Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Л.-М.: ОНТИ, 1935.

Максвелл Д. К., Вышнеградский И. А., Стодола А. Теория автоматического > регулирования. М.: АН СССР, 1949.i

Медведев В. С, Потемкин В. Г. Control System Toolbox: Matlab 5 для 1 студентов. М.: Диалог-МИФИ, 1999.

Мееров М. В. Исследование и оптимизация многосвязных систем управле- ■ ния. М.: Наука, 1986.

Мейлахс А. М. О стабилизации линейных управляемых систем в условиях -. неопределенности // Автом. телемех. 1975. №2. G182-184.

Методы классической и современной теории автоматического управления / i Под ред. Н. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. Я Т. I: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управле- Я ния; Т. II: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автомата- Я ческого управления; Т. III: Методы современной теории автоматического Ц управления.

Неймарк Ю. И. Устойчивость линеаризованных систем. Л.: ЛКВВИА, 1949.

Немировский А. С, Поляк Б. Т. Необходимые условия устойчивости поли- М номов и их использование // Автом. телемех. 1994. № 11. С. 113-119.Ж

Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука,

1986Я

Петров Н. П, Поляк Б. Т Робастное £)-разбиение И Автом. телемех. 1991. №11. G 41-53.

Позняк А. С, Серебряков Г. Г., Семенов А. В., Федосов Е. А. Н 00-теория управления: феномен, достижения, перспективы, открытые проблемы. М.: ГосНИИАС, 1990.

Поляк Б. Т, Щербаков П. С Сверхустойчивые линейные системы управления I, П // Автом. телемех. 2002. №8,9.)

Поляк Б. Т, Панченко О. Б. Вероятностный подход к проблеме устойчивости интервальных матриц И Докл. РАН. 1997. Т. 353, вып. 4. С. 456-458.

^/ 63. Поляк Б. Т„ Цыпкин Я. 3. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем // Автом. телемех. 1990. №9. С. 45-54.

Поляк Б. Т« Цыпкин Я. 3. Робастный критерий Найквиста // Автом. телемех.

1992. №7. G 25-31.■

Поляк Б. Т. Щербаков П. С. Вероятностный подход к робастной устойчивости систем с запаздыванием И Автом. телемех. 1996. № 12. С. 97-108.

Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г.. Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1961.

Попов Е. П. Теория линейных систем регулирования и управления. М.: Наука, 1989.

Постников М. М. Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981.

Потемкин В. Г. Система инженерных и научных расчетов Matlab 5.x. Т. 1.

П. М.: Диалог-МИФИ. 1999.

Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.

Соколов В. Ф. Стабилизация линейных непрерывных систем. Сыктывкар: СыктГУ, 2001.

Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987.

Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985.

Уилкинсон Дж X. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

Уланов Г. М. Динамическая точность и компенсация возмущений в системах авоматического управления. М.: Машиностроение, 1971.

Уонам М. Линейные многомерные системы управления. М.: Наука, 1980.

Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Физматгаз, 1963.

Фомин В. Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

Харитонов В. Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 1, вып.11. G 2086-2088.

Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

Цыпкин Я. 3. Переходные и установившиеся процессы в импульсных цепях. М.: Госэнергоиздат, 1951.

Цыпкин Я. 3. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977.

Цыпкин Я. 3., Поляк Б. Т. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники, сер. Технич. киберн. Т. 32. М.: ВИНИТИ, 1991. С. 3-31.

Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

Черноусъко Ф. Л.. Меликян А. А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978.

Якубович В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143, вып.6. С. 1304-1307.

Якубович Е. Д Решение задачи оптимального управления для линейных дискретных систем // Автом. телемех. 1975. №9. С. 73-79.

Abrishamchian М., Barmish В. Reduction of robust stabilization problem to standard H°° problems for classes of systems with unstructured uncertainty // Automatica. 1996. V.32, No. 8. P. 1101-1115.

Ackermann J. Robust control: systems with uncertain physical parameters. New York: Springer-Verlag, 1993.

Anderson B. D. O., Moore J. B. Optimal control: linear quadratic methods. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1989.

Barmish B. R. New tools for robustness of linear systems. New York: MacMillan, 1995.

Barmish B. R., Corless M„ Leitmann G. A new class of stabilizing controllers for uncertain dynamical systems H SIAM J. Control Optimiz. 1983. V. 21. No. 2. P. 246-255.

Barmish B. R., Hollot С. V.» Kraus F. J., Tempo R. Extreme point results for robust stabilization of interval plants with first-order compensators П IEEE Trans. Ашот. Control 1992. V.37, No. 6. P. 707-714.

Barmish B. R., Polyak В. T A new approach to open robustness problems based on probabilistic prediction formulae H Proc. 13th World Congress of IFAC. 1996, San Francisco CA. V. H. P. 1-6.

Bartlett A. C., Hollot С V, Un H. Root location of an entire polytope of polynomials: it suffices to check the edges П Mal Contr. Sig. Syst. 1988. V. 1. P. 61-71.

Basar T, Bernhardt P. H^ -optimal control and related minimax design problems: a dynamic game approach. Boston: Birkhauser, 1991.

Bhattacharyya S. P. Robust stabilization against structured parameters. Berlin: Springer-Verlag, 1987.

Bhattacharyya S. P., Chapellat H., Keel L H. Robust control: the parametric approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1995.

Blanchini F., Sznaier M. A convex optimization approach for fixed-order controller design for disturbance rejection in SISO systems II IEEE Trans. Autom. Control. 2000. V.45. P. 784-789.

Blondel V. Simultaneous stabilization of linear systems. London: Springer. 1995.

Blondel K, Gevers M. The simultaneous stabilization of three linear systems is rationally undecidable// Math. Contr. Sig. Syst 1994. No.6. P. 135-145.

Blondel V, Sontag E., Vidyasagar M., Willems J. Open problems in mathematical systems and control theory. London: Springer, 1999.

Blondel V., Tsitsiklis J. A survey of computational complexity results in systems and control П Automatica. 2000. V.35. P. 1249-1274.

Bonjorno J. J_, Youla D. C. On the design of single-loop single-input-output feedback control systems in the complex frequency domain П IEEE Trans. Autom. Control. 1977. V.22, No.3. P. 416-423.

Boyd S., Barratt C. Linear controller design — limits for performance. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1991.

106. Boyd S. L, El Ghaoui L, Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in systems and control theory. Philadelphia: SIAM, 1994.

Calafiore G., Polyak В. T. Stochastic algorithms for exact and approximate feasibility of robust LMIs // IEEE Trans. Autom. Control. 2001. V.46, No. 11. P. 1755-1759.

Chen С. T. Linear system theory and design. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1984.

Chen М. J„ Desoer С. A Necessary and sufficient condition for robust stability of linear distributed feedback systems И Intern. J. Control. 1982. V.35, No. 2. P. 255-267.

Coppel Ж Stability and asymptotic behavior of differential equations. Boston: D. C. Heath, 1965.

Dahleh M., Diaz-Bobillo 1. J. Control of uncertain systems: a linear programming approach. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1995.

Dahleh M„ Pearson J. B. Ii optimal feedback controllers for MIMO discrete systems //IEEE Trans. Autom. Control. 1987. V.32, No.4. P.314-322.

Desoer С. А, Ми R-W., Murray J.» Sacks R Feedback system design: the fractional representation approach to analysis and synthesis // IEEE Trans. Autom. Control. 1980. V.25, No.3. P. 399^112.

Desoer C. A., Vidyasagar M. Feedback systems: input-output properties. New York: Academic Press, 1975.

Djaferis T. E. Robust control design: a polynomial approach. Boston: Kluwer, 1995.

Doyle J. C Analysis of feedback systems with structured uncertainties И IEE Proc.. 1982. PL D. V. 129. P. 242-250.

Doyle J. C, Francis B. A, Tannenbaum A. R Feedback control theory. Englewood Cliffs, NJ: MacMillan, 1992.

Doyle J. C., Glover R., Khargonekar P. P., Francis B. A. State-space solutions to standard Hu and Hoo control problems И IEEE Trans. Autom. Control. 1989. V.34, No. 8. P. 831-847.

Faedo S. Un nuova problema di stabilita per le equazione algebriche a coeffi- cienti reali П Ann. Scuola Norm. Super. Piza, Ser. sci. fis. e mat 1953. V.7, No. 1-2. P. 53-63.

Francis B. A. A course in Hoc control theoiy. Berlin: Springer-Verlag, 1987.

Francis B. A, Zames G. On //^-optimal sensitivity theoiy for SISO feedback systems II IEEE Trans. Autom. Control. 1984. V.29. P. 9-16.

Frazer R A, Duncan Ж J. On the criteria for stability for small motions П Proc. Roy. Soc., Ser. A. 1929. V. 124. P. 642-654.

Frequency-response methods in control systems / Ed. A. G. J. MacFarlane. New York: IEEE Press, 1979.

Freudenberg J. S„ Looze D. P. Frequency domain properties of scalar and multivariable feedback systems. Berlin: Springer-Verlag, 1987.

Glad Т.» Ijung L Control theoiy. Multivariable and nonlinear methods. London- New York: Taylor & Francis, 2000.

Glover K. Robust stabilization of linear multivariable systems: relations to approximation П Intern. J. Control. 1986. V.43, No.3. P.741-766.

Green M„ Umebeer D. J. N. Linear robust control. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1995.

Helton J. Ж, Merino O. Classical control using H°° methods. Philadelphia: SLAM, 1998.

Hinrichsen D., Pritchard A. Stability radius for structured perturbations and the algebraic Riccati equation II Syst. Control Lett 1986. V.8. P. 105-113.

Horowitz I. Survey on qualitative feedback theory (QFT) // Intern. J. Control. 1991. No. 53. P. 255-291.

Jia K, Ackermann J. Some new results on simultaneous stabilizaton of linear plants II Proc. 14th World Congress of IF AC. Beijing, 1999. P. 219-224.

Kailath T. Linear systems. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1980.

Kalman R. Contributions to the theory of optimal control H Bol Soc, Mat. Mex. 1960. No. 5. P. 102-199.

Kaszkurevich E., Bhaya A. Matrix diagonal stability in systems and computation. Boston: Birkhauser, 2000.

Keel L H., Bhattacharyya S. P. Robust stability and performance with fixed- order controlers II Automatica. 1999. V.35. P. 1717-1724.

Khargonekar P. P., Petersen I. R., Zhou R. Robust stabilization and /Joo-optimal control //IEEE Trans. Autom. Control. 1990. V.35. No.3. P.356-361.

Kogan J. Robust stability and convexity. London: Springer-Verlag, 1995.

Kucera V. Discrete linear control. New York: John Wiley, 1979.

Kuo В. C. Automatic control systems. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1991 (sixth edition).

Leitmann G. Guaranteed asymptotic stability for some linear systems with bounded uncertainties II J. Dyn. Syst. Meas. Control. 1979. V. 101. P. 212-216.

Levine W. S., Athans M. On the determination of the optimal constant outputfeedback gains for linear multivariable systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1970. V. 15, No. 2. P. 44-48.

Luenberger D. G. Observing the state of a linear system // IEEE Trans. Military Electronics. 1964. No. 8. P. 74-80.

Luenberger D. G. An introduction to observers H IEEE Trans. Autom. ControL 1971. V.35. P.596-602.

Maciejowski J. M. Multivariable feedback design. Wokingham: Addison- Wesley, 1989.

Marden M. Geometry of polynomials. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1966.

McFarlane D. Q, Glover K. Robust controller design using normalized coprime factor plant description. New York: Springer-Verlag, 1990.

Morari M., Zafiriou M. Robust process control. Englewood Cliffs, NJ: Prentice- Hall, 1989.

Nemirovskii A. A. Several NP-hard problems arising in robost stability analysis // Math. Contr. Sig. Syst 1994, No. 6. P. 99-105.

Nesterov K, Nemirovski A. Interior-point polynomial algorithms in convex pro- i gramming. Philadelphia: SIAM, 1994.

Ogata K. Modem control engineering. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1990.

Packard A., Doyle J. C The complex structured singular value П Automatica. 1993. V.29. P. 71-109.

Padmanabhan P., Hollot С. V. Complete instability of a box of polynomials II . IEEE Trans. Autom. ControL 1992. V.37, No. 8. P. 1230-1233.

Petersen 1. R., Hollot Q V A Riccati equation approach to the stabilization of uncertain linear systems П Automatica. 1986. V. 22, No. 4. P. 397-411.

Petersen I. R» McFarlane D. C. Optimal guaranteed cost control and filtering for uncertain linear systems II IEEE Trans. Autom. Control. 1994. V.39. P. 1971- 1977.

Polyak B., Halpern M. Optimal design for discrete-time linear systems via new performance index И Intern. J. Adaptive Control Sig. Proc. 2001. V. 15, No. 2. P. 129-152.

Polyak В. T., Shcherbakov P. S. Numerical search of stable or unstable element in matrix or polynomial families: A nnified approach to robustness analysis and stabilization И Robustness in Identification and Control / Eds. A. Garulli, A. Tesi, A. Vicino. Berlin: Springer-Verlag, 1999. P. 344-358.

Polyak В. T, Shcherbakov P. S. Random spherical uncertainty in estimation and robustness II IEEE Trans. Autom. Control. 2000. V.45, No. 11. P. 2145-2150.

Polyak В. T, Tempo R Probabilistic robust design with linear quadratic regulators II Syst. Control Lett. 2001. V.43. P. 343-353.

Pujara L R Some necessary and sufficient conditions for low-order interval polytopes to contain a Hurwitz polynomial П Proc. Conf. Dec. Control. Phoenix, AZ, 1999. P. 5024-5029.

Qiu L, Bemhardsson B., Rantzer A., Davison E. J., Young P. M., Doyle J. C. A formula for computation of the real stability radius И Automatica. 1995. V.31, No. 6. P. 879-890.

Rantzer A., Megretski A. A convex parametrization of robustly stabilizing controllers //IEEE Trans. Autom. Control. 1994. V.39, No.9. P. 1802-1808.

Recent advances in robust control / Eds. P. Dorato, R. Yedavalli. New York: IEEE Press, 1990.

Robust control / Ed. P. Dorato. New York: IEEE Press, 1987.

Robustness of dynamic systems with parameter uncertainties / Eds. M. Mansour et al. Monte Verita: Birkhauser, 1992.

Rosenbrock H. H. Computer-aided control system design. London: Academic Press, 1974.

Safonov M. G. Stability and robustness of multivariable feedback systems. Cambridge, MA: MIT Press, 1980.

Sanchez-Pena R, Sznaier M. Robust systems: theory and appplications. New York, Wiley, 1998.

Schweppe F. C. Uncertain dynamic systems. Englewood Cliffs, NJ: Prentice- Hall, 1973.

Siljak D. D. Large-scale dynamic systems: stability and structure. New York: North-Holland, 1978.

Stengel R R, Ray L R Stochastic robustness of linear time invariant control systems П IEEE Trans. Autom. Control. 1991. V.36. P. 82-87.

Syrmos V L, Abdallah С. T., Dorato Р.» Grigoriadis K. Static output feedback: a survey II Automatica. 1997. V.33, No. 2. P. 125-137.

Systems and control encyclopedia / Ed. M. G. Singh. V. 1-8. Pergamon Press, 1987.

Tempo R, Bai E. W., Dabbene F. Probabilistic robustness analysis: explicit bounds for the minimum number of samples И Syst. Control Lett. 1997. V. 30. P. 237-242.

The control handbook / Ed. W. S. Levine. CDC Press, IEEE Press, 1996.

Tsypkin Ya. Z, Potyak В. T. High-gain robust control // Eur. J. Control. 1999. V.5, No. 1. P. 3-9.

Vidyasagar M. Control system synthesis: a factorization approach. Boston. MA: МГГ Press, 1985.

Vidyasagar M. Optimal rejection of persistent bounded disturbances И IEEE Trans. Autom. Control. 1986. V.31. P. 527-535.

Weinmann A. Uncertain models and robust control. Wien: Springer, 1991.

Willems J. C. The analysis of feedback systems. Boston: MIT Press, 1971.

Willems J. C. Least squares stationary optimal control and the algebraic Riccati equation //IEEE Trans. Autom. Control. 1971. V. 16, No.6. P.621-634.

Youla D. C, Jabr H. A., Bongiomo J. J. Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers. Part П H IEEE Trans. Autom. Control. 1976. V. 21. P. 319-338.

Zames G. Feedback and optimal sensitivity: model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses И IEEE Trans. Autom. Control. 1981. V.26. P. 301-320.

Zhou K., Doyle J. C., Glover K. Robust and optimal controL Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.

РУССКО-АНГЛИЙСКИЙ СЛОВАРИК ПО УПРАВЛЕНИЮ

А

амплтуда — magnitude

Б

блок-схема — block diagram

В

возвратная разность — return difference

возмущение — disturbance, perturbation

возмущение неизвестное, но ограниченное — unknown-but- bounded perturbation

возмущение, подавление — disturbance rejection, disturbance attenuation

всплеск — peak effect

вершина — vertex, extreme point

Г

годограф Найквиста — Nyquist plot, Nyquist diagram

трамваи — gramian

трамваи наблюдаемости — observability gramian

трамваи управляемости — controllability gramian

Д

D-разбиение — D-partition, D-decom- position

дополнение но Шуру — Schur complement

дробно-линейное преобразование — linear fractional transformation (LED

дробно-линейное верхнее (нижнее) преобразование — upper (lower) LFT

E

единичный жрут — unit circle, unit disk

3

задающее воздействие — reference signal, command signal

запас устойчивости no амплтуда — gain margin

запас устойчивости но фазе — phase margin

звено — block

звено апериодическое — aperiodic block

звено колебательное — oscillatory block

звено, соединение — connection

звено, соединение в цепи обратной свази — feedback connection

звено, соединение параллельное — parallel connection

звено, соединение последовательное — series connection

И

интервал неопределенности — uncertainty interval

К

корректность — well-posedness корректирующий фильтр — prefilter коэффициент усиленна — gain коэффициент усиленна большой —

high gain

коэффициент усиления критический — critical gainкоэффициент усиления малый — low gainкритерий качества (функционал) — performance index, cost functionкритерий качества Рауса-Гурвица — Routh-Hurwitz testкритерий качества Эрмита-Билера — Hermite-Bieler testЛлинейное матричное неравенство — linear matrix inequality (LMI)логарифмическая частотная характеристика — Bode plot, Bode diagramMматрица — matrixматрица Адамара — Hadamard matrixматрица, фробеннусова форма — com-panion form matrixматрица циклическая — cyclic matrixметод корневого годографа — root locusметод пространства состояний — state space approachмногогранник — polytope, polyhedronмножество — set, domainмножество допустимое — admissible setмножество достижимости — reachability set, attainability setмножество значений — value setмножество инвариантное — invariant setмножество неопределенности — uncertainty domainHнаблюдаемость — observabilityнаблюдатель — observerневязка — residualнеопределенность — uncertaintyнеопределенность аддитивная — additive uncertaintyкоэффициент усиления критический — critical gainкоэффициент усиления малый — low gainкритерий качества (функционал) — performance index, cost functionкритерий качества Рауса-Гурвица — Routh-Hurwitz testкритерий качества Эрмита-Билера — Hermite-Bieler testЛлинейное матричное неравенство — linear matrix inequality (LMI)логарифмическая частотная характеристика — Bode plot, Bode diagramMматрица — matrixматрица Адамара — Hadamard matrixматрица, фробеннусова форма — com-panion form matrixматрица циклическая — cyclic matrixметод корневого годографа — root locusметод пространства состояний — state space approachмногогранник — polytope, polyhedronмножество — set, domainмножество допустимое — admissible setмножество достижимости — reachability set, attainability setмножество значений — value setмножество инвариантное — invariant setмножество неопределенности — uncertainty domainHнаблюдаемость — observabilityнаблюдатель — observerневязка — residualнеопределенность — uncertaintyнеопределенность аддитивная — additive uncertainty

коэффициент усиления критический — critical gain

коэффициент усиления малый — low gain

критерий качества (функционал) — performance index, cost function

критерий качества Рауса-Гурвица — Routh-Hurwitz test

критерий качества Эрмита-Билера — Hermite-Bieler test

Л

линейное матричное неравенство — linear matrix inequality (LMI)

логарифмическая частотная характеристика — Bode plot, Bode diagram

M

матрица — matrix

матрица Адамара — Hadamard matrix

матрица, фробеннусова форма — com-panion form matrix

матрица циклическая — cyclic matrix

метод корневого годографа — root locus

метод пространства состояний — state space approach

многогранник — polytope, polyhedron

множество — set, domain

множество допустимое — admissible set

множество достижимости — reachability set, attainability set

множество значений — value set

множество инвариантное — invariant set

множество неопределенности — uncertainty domain

H

наблюдаемость — observability

наблюдатель — observer

невязка — residual

неопределенность — uncertainty

неопределенность аддитивная — additive uncertainty

коэффициент усиления критический — critical gain

коэффициент усиления малый — low gain

критерий качества (функционал) — performance index, cost function

критерий качества Рауса-Гурвица — Routh-Hurwitz test

критерий качества Эрмита-Билера — Hermite-Bieler test

Л

линейное матричное неравенство — linear matrix inequality (LMI)

логарифмическая частотная характеристика — Bode plot, Bode diagram

M

матрица — matrix

матрица Адамара — Hadamard matrix

матрица, фробеннусова форма — com-panion form matrix

матрица циклическая — cyclic matrix

метод корневого годографа — root locus

метод пространства состояний — state space approach

многогранник — polytope, polyhedron

множество — set, domain

множество допустимое — admissible set

множество достижимости — reachability set, attainability set

множество значений — value set

множество инвариантное — invariant set

множество неопределенности — uncertainty domain

H

наблюдаемость — observability

наблюдатель — observer

невязка — residual

неопределенность — uncertainty

неопределенность аддитивная — additive uncertainty

неопределенность аффинная — affine uncertainty

неопределенность интервальная — interval uncertainty

неопределенность мультнлннейная — multilinear uncertainty

неопределенность мультипликативная — multiplicative uncertainty

неопределенность неструктурированная — unstructured uncertainty

неопределенность, область — uncertainty domain

неопределенность параметрическая —■ parametric uncertainty

неопределенность, структура — uncertainty structure

неопределенность структурированная — structured uncertainty

неопределенность сферическая —spherical uncertainty

неопределенность эллипсоидальная — ellipsoidal uncertainty

несократимый — coprime

несократнмынслева (справа) — left (right) coprime

неустойчивый — unstable

О

обратная связь — feedback

обратная связь отрицательная (положительная) — negative (positive) feedback

обратная связь по выходу — output feedback

обратная связь по состоянию — state fedback

обратная связь статическая — static feedback

объект — plant

объект интервальный — interval plant

объект минимально-фазовый — minimum phase plant

объект неминимально-фазовый — nonminimum phase plant

объект неопределенный — uncertain plant

объект харигоновский — Kharitonov plant

оператор — operator

оператор сдвига вперед — shift operator, forward shift operator

оператор сдвига назад — delay operator, backward shift operator

отрицательное диагональное доминирование — negative diagonal dominance

ошибка измерения — measurement error

П

параметризация — parametrization параметризация Фама-Медича —

Fam-Meditch parametrization параметризация Юлы — Youla parametrization перерегулирование — overshoot переходный процесс — time response, transient response полином — polynomial полином вершинный — vertex polynomial

полином реберный — edge polynomial полином характеристический — characteristic polynomial

полиномы взаимно простые — coprime polynomials

полюс — pole постоянная времени — time constant преобразование Лапласа — Laplace transform

преобразование Лапласа дискретное — z-transform

преобразование Лапласа обратное — inverse Laplace transform

принцип исключения нуля — zero exclusion principle

причинность — causality

Р

равенство Безу — Bezout identity

разложение на простые множители — coprime factorization

размещение полюсов — pole placement рассогласование — error

реализация в пространстве состояний — state-space realization

реализация минимальная — minimal realization, irreducible realization

регулятор — regulator, controller регулятор линейно-квадратичный —

linear quadratic regulator (LQR)

регулятор линейно-квадратичный гауссовский — linear-quadratic Gaussian (LQG) regulator

П-, ПИ-, ПИД-регулятор — P-, PL, PID-regulator робастность — robustness робастность, радиус — robustness margin

C

свертка — convolution сверхустойчивость — superstability сингулярное разложение — singular

value decomposition (SVD) синтез — design, synthesis система — system система, вход — input система, выход — output

система дискретная — discrete-time system

система замкнутая — closed-loop system

система линейная — linear system система линейная нестационарная —

linear time varying (LTV) system

система линейная стационарная — linear time invariant (LTI) system

система многомерная (многосвязная) — multi-input multioutput (MEMO) system

система непрерывная — continuoustime system

система одномерная (одаюсвязная) — single-input single-outpul (SISO) system

система открытая — open-loop system система с одной степенью свободы —

1-DOF (1 degree of freedom) system

система с двумя степенями свободы — 2-DOF (2 degrees of freedom) system

система устойчивая — stable system слежение — tracking

сокращение нулей и полюсов — polezero cancellation

состояние — state

стабилизация — stabilization

стабилизация квадратичная — quadratic stabilization

стабилизация одновременная — simultaneous stabilization

стабилизация робастная — robust stabilization

степень устойчивости — degree of stability

структурное сингулярное число — structured singular value, д

Т

таблица Рауса — Routh array

теорема о малом коэффициенте усиления — small gain theorem

У

управление — control

управление в ваде обратной связи — feedback control

управление оптимальное — optimal control

управление программное — program control

управление робастное — robust control управляемость — controllability уравнение — equation

уравнение Ляпунова — Lyapunov equation

уравнение Риккати — Riccati equation установившееся значение — steady

state response

устойчивость — stability устойчивость в дискретном времени —

Schur stability устойчивость в непрерывном вре

мени — Hurwitz stability устойчивость внутренняя — internal stability

устойчивость по выходу — bounded-

input bounded-output (BIBO) stability

устойчивость, радиус — stability margin, stability radius

функция — function

функция весовая — weighting function

функция весовая, импульсная характеристика — impulse response

функция единичного скачка — stop function

функция Ляпунова — Lyapunov function

функция передаточная—transfer function

функция передаточная дробно- рациональная — rational transfer function

функция передаточная, замкнутой си

стемы — closed-loop transfer

function

функция передаточная матричная — matrix transfer function, transfer matrix

функция передаточная (строго) реализуемая — (strictly) proper transfer function

функция переходная — step response

4

частота среза — crossover frequency частотная характеристика — fre

quency response чувствительность — sensitivity чувствительность дополнительная — complementary sensitivity

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Алгоритм Рауса 83, 85

Аффинное семейство

матриц 176

полиномов 176

вероятностная робастность 218

Вершинный элемент семейства 174

Весовые коэффициенты 143

Внешнее возмущение 16, 58, 158

Возвратная разность 58

Выход системы 16, 58

Гамильтониан 146

Гармонический сигнал 23-25, 151

Годограф 77

Михайлова 78

Найквиста 88, 115

обратный 117

Цыпкина-Поляка 189

Грамиан управляемости 48, 265

Границы Чернова 217

Диаграммы Боде 40

Дробно-линейное преобразование 178

Задающее воздействие 16, 57, 58

Запас устойчивости

по амплитуде 89, 115

по фазе 89

Звено 39

апериодическое (инерционное) 39

апериодическое второго порядка 39

идеальный интегратор 39

идеальный усилитель 39

колебательное 39

последовательное соединение 22,

116, 174. 177

частотные характеристики 40

Инвариантное множество 104

Инвариантный эллипсоид 97

минимальный 98

Интервал неопределенности 174

Коэффициент усиления 32,39, 115

большой 115, 119

критический 115

малый 119

Критерий

Гурвица 84

Михайлова 78. 189, 190

Найквиста 88, 115, 207

дискретный случаи 122

многомерный случай 91

робастная модификация 206

Рауса-Шура 85

Сто долы 79

Цыпкина-Поляка 190

Эрмита-Билера 78, 83

качества квадратичный 143

оптимальности 48, 51, 96, 143

Лемма

Финслера 135, 258

Шура 98, 150, 257

Линейное программирование

11 -оптимизация 162

сверхстабилизация 137,139, 165, 167

Масштабы изменения коэффициентов 176

Матрица вещественная блочио-диагоиальная форма 107, 263

гурвицева 65

жорданова форма 66, 74, 262

замкнутой системы 53, 128. 129

интервальная 176

наблюдаемости 54

неопределенная, номинальное значение 176

ортогональная 263

сверхустойчивая 103

дискретный случай 139

сингулярное разложение 264

сингулярное число 203

структурное сингулярное число 212

унитарная 263

управляемости 46

усиления 52, 131

фробениусова форма 37, 67, 68. 70,

75, 262

Хаутуса 265

циклическая 262

шуровская 74

Метод корневого годографа 115

Множество

допустимое 173

достижимости 93, 94

для входов, ограниченных в £г-норма 94

для входов, ограниченных в £оо-норме 96

интегральная оценка 100

неопределенности 174

Наблюдаемая пара матриц 54

Наблюдаемость 53

критерий 54

Наблюдатель 55, 133

уравнение 133

Невязка 55, 57, 133

Неопределенность

М-Д-конфигурация 179

в матричной норме 177, 200

радиус устойчивости 200

матричная структурированная 177

параметрическая 173, 181, 216

мультилинейная 176

полиномиальная 177

сферическая 175

частотная 178

аддитивная модель ошибок 178

дробно-линейная форма 178

мультипликативная модель ошибок 178

Неравенство

Ляпунова матричное 135, 270

Риккати 101, 273

линейное матричное 98, 149, 198

Норма 28

линейного оператора 28

(р, ^)-индуцированная 28

дискретный случай 29

матричная 258

индуцированная 260

подчиненная 260

согласованная 260

спектральная (2-норма) 200. 259

столбцовая (оо-норма) 259

строчная (1-норма) 259

фробениусова 259

передаточной функции

Яг-норма 32

Ясо-норма 31, 32, 102

дискретной, Яоо-норма 33

Область значений 187

аффинного семейства 192

интервального семейства 188, 190

дискретный случай 195

мультилинейного семейства 194 у

сферического семейства 193

Обратная связь 51, 56, 115

отрицательная 57

по выходу 53

по оценке состояния 54, 133

по состоянию 51, 128, 143

статическая линейная 52

Объект

минимально-фазовый 117

неопределенный 174

устойчивый 115

харитоновский 205

Оператор

дифференцирования 19

линейный 26

интегральный 26

причинность 26

сдвига назад 24

Опорная функция множества 97, 99

Параметр Юлы 128

Параметризация Юлы 128

Параметры Фама-Медича 87

Передаточная функция 19, 55, 56

дискретной системы 24

замкнутой системы 87

матричная 20

номинальное значение 210

номинальной системы 215

объекта 56

от возмущения к выходу 19

от управления к выходу 19

полюсы 20-22

последовательного соединения 22

разомкнутой системы 56

регулятора 56, 210

скалярная 35

сокращение нулей и полюсов 89

устойчивая 20 харитоновская 205

Перемежаемость корней 78

Перерегулирование 131

Подавление возмущений 58

ограниченных 158 сверхстабилизация 164

Полином

гурвицев 71

интервальный 175

неопределенный 174

номинальное значение 176

реберный 191 сверхустойчнвый 86 харитоновский 188 шуровский 84

Постоянная времени 39

Потера устойчивости замкнутой системы 117

Префильтр (корректирующий фильтр)

58

Принцип

исключения нуля 186 вероятностный аналог 219 дискретный случай 194

максимума 146

Пространство сигналов абсолютно интегрируемых 27 дискретных

<1 30

12 29

loo 29

ограниченной интенсивности 27

ограниченной энергии 27

ограниченных с квадратом 26

существенно ограниченных 27

Равенство Безу 269

Радиус сверхустойчивости (матричный) 200

Радиус спектральный 73, 260

Радиус устойчивости 190

вероятностный 219, 221

вещественный 203

интервального полинома 190

дискретный случай 196

комплексный 201, 210

дискретный случай 204

структурированная неопределенность 202

матричного семейства 197

сферического семейства полиномов 193

Размах неопределенности 176

Размещение полюсов замкнутой системы 128 дискретный случай 130 многомерный случай 130

Рассогласование 55

Реализация в пространстве состояний 21 минимальная 22

Регулятор

линейно-квадратичный 51, 144

П-регулятор (пропорциональный) 115, 116

ПИ-регулятор (пропорционально-интегральный) 119

ПИД-регулятор (пропорционально- интегральный дифференциальный) 244 оптимальное управление 143 функция Ляпунова 149

линейный 52 стабилизирующий 114 Робастная стабилизация 181

интервального минимально-фазового объекта 227

интервального устойчивого объекта 227

Робастная устойчивость 181 матриц 197 достаточные условия 198 сверхустойчивость 199 полиномов 186 дискретный случай 194

Робастное качество 181 Робастность вероятностный подход 181, 216 максимальная 234 минимаксный подход 181

Сверхстабилизация 137 дискретный случай 139 нестационарные и нелинейные возмущения 181

Синтез упрваления 51

Система амплитудная частотная характеристика 40 блок-схема 22 весовая функция 37 внутренняя устойчивость 92 дискретная 18

решение 18

замкнутая 17, 52, 114

импульсная характеристика 37 матричная 38

каноническая управляемая форма 37, 129, 139, 264

корректность 59 логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ) 41

многомерная (MIMO) 34 неопределенная 173 непрерывная 16 решение 17

нестационарная 16 сверхустойчивость 105 номинальная 175, 211, 212

одномерная (SISO) 34

описание в пространстве состояний 16

описание с помощью передаточной функции 20

открытая 17

переходная характеристика 37

с двумя степенями свободы 58

с одной степенью свободы 58

сверхустойчивая 102 кусочно-линейная функция Ляпунова 104

оценка решения 103

сопряженная 145

управляемая 46

управляемая (дискретная) 50

устойчивая 71

фазовая частотная характеристика 40 характеристический полином 22 частотная характеристика 23 эквивалентная форма записи в виде дифференциального уравнения высокого порядка 34

Состояние системы 16

Стабилизация 114

дискретных систем 126

квадратичная 136 нестационарные и нелинейные возмущения 181

минимально-фазового объекта 118

многомерных систем 127

по выходу 133, 134

регулятором низкого порядка 114

Стабилизирующие регуляторы параметризация 124, 125 дискретный случай 126 многомерные системы 127 потеря устойчивости 124

Степень устойчивости 65

Таблица Рауса 83

Теорема

Безу 268

Кэли-Гамильтона 256

Неванлинны-Пика 155

о малом коэффициенте усиления 208, 210, 215

реберная 192, 197

Харитонова 188, 197

Теория возмущений 197, 198

Управление 16, 42

в форме обратной связи 51

минимальной энергии 48

оптимальное 45, 143, 147

программное 45, 144

робастное 17, 173

Управляемая пара матриц 46

Управляемость 46

критерий 47, 50, 265

Уравнение

диофантово 269

Ляпунова 69, 94, 270

дискретное 76, 96, 271

Риккати 100 алгебраическое матричное 148, 272

дифференциальное 147, 272

Условие реализуемости 21, 36

Условия Рауса-Гурвица 82

Устойчивость 64

BIBO 73

дискретный случай

критерий 74

определение 73

спектральный радиус 74

матричная экспонента 65, 72

наличие возмущенай 71 непрерывный случай критерий 64 определение 64

по входу 73

по начальному приближению 73 полиномов

алгебраические критерии 82

графические критерии 77

дискретный случай 84, 122 понижение степени 82, 83, 85 приведение к фробениусовой форме 67

функция Ляпунова 68, 72, 76 частотные критерии 87

Фильтрации ошибок измерения 59

Функция

весовая 26, 152, 210 дискретной системы 30

единичного скачка 37

Ляпунова 69

квадратичная 134

общая для семейства 198, 203 мультилинейная 176 от матрицы 265

Характеристический полином дискретной системы 24 замкнутой системы 114, 122, 124 матрицы 19, 256 системы 19, 21, 35

Цель управления 17

Частота среза 41, 89

Частотные методы 25

Чувствительность 57, 211

дополнительная 58, 211

Экспонента матричная 17, 267

Эллипс доверительный 219

Эллипсоид достижимости 94-96

Эффект всплеска 131

D-C-итерации 240

D-разбиение 119

дискретное 123

особые прямые 120 робастное 227

/Zoo-оптимизация 152

11-оптимизация 158

М-Д-конфигурация 179, 212 р-анализ 212

S-теорема 98, 258

ванием. а иногда — А называют матрицами Адамара.