П к. РАШЕВСКИЙ

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯИ ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО《НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИ KO-МА ТЕМ АТИЧ ЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 19 6 7

517.5

P28

УДК 513.813:512.972

Петр Константинович РашевскийРиманова геометрия и тензорный анализМ., 1967 г., 664 стр. с нлл.Редактор А. Ф. ЛапкоТехн, редактор К・ Ф. Брудно■Корректор Л. Ф. Серкина

Сдано в набор 26/Х1 1966 г. Подписано к печати 3/1V 1967 г. Бумага бОХЭО'/гв-Физ. печ. л. 41.5. Условн. печ. л. 41.5. Уч.-изд. л. 38,94. Тираж 18 000 экз.

Т-04714. Цена книги 2 р. 63 к. Заказ № 1 108.

Издательство «Наука»

Главная редакция физико-математической литературы

Москва, В-7 1, Ленинский проспект, 15

Ордена Трудового Красного Знамени

Первая Образцовая типография имени А. А. ЖдановаГлавполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР.Москва, Ж-54, Валовая, 28.

2-2-3

788 9 94606 94 16 8 2 50259239 25 s Q4734O4681112 2 23 4 4 4 5 56666777 88 & ^990011112788 9 94606 94 16 8 2 50259239 25 s Q4734O4681112 2 23 4 4 4 5 56666777 88 & ^990011112

788 9 94606 94 16 8 2 50259239 25 s Q4734O4681

112 2 23 4 4 4 5 56666777 88 & ^990011112

788 9 94606 94 16 8 2 50259239 25 s Q4734O4681

112 2 23 4 4 4 5 56666777 88 & ^990011112

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к первому изданию

Предисловие ко второму изданию

Предисловие к третьему изданию

Глава I. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве

Одновалентные тензоры

Понятие о двухвалентном тензоре

Двухвалентный тензор как аффинор

Многовалентные тензоры. Тензорная алгебра

Кососимметрические тензоры

Получение инвариантов с помощью кососимметрических тензоров

Симметрический аффинор

Разложение аффинора на симметрическую и кососимметрическую части

Тензорные поля

Дифференцирование тензора поля

Дифференцирование одновалентного тензора

Кинематическое истолкование векторного поля и его производного аффинора

Малая дефформация твердого тела

Тензор напряжений

Зависимость тензора напряжений от тензора деформаций •.

Поток векторного поля через поверхность

Поток аффинорного поля через поверхность

Теорема Остроградского

Основные уравнения гидродинамики

Дифференциальные уравнения теории упругости в перемещениях

Глава II. Аффинное пространство п измерений

Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства...

Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства (окончание)

Аффинная координатная система

Преобразование аффинного репера

Задача тензорного исчисления

Понятие о ковариантном тензоре

Общее понятие о тензоре

Сложение тензоров

Умножение тензоров

Свертывание тензора

Операция подстановки индексов

Г

Степень произвола в выборе тензора данного строения...124

Об /п-мерных плоскостях в л-мерном аффинномпространстве125

Бивектор и задание двумерной плоскости129

Основные свойства /п-векторов . 133

Ориентация в л-мерном аффинном пространстве141

Измерение объемов 143

Тензорные поля 150

Глава III. Евклидово пространство л измерений154

Понятие о евклидовом пространстве 154

Тензорная алгебра в евклидовом пространстве 158

Плоскости в л-мерном евклидовом пространстве *161

Ортонормированный репер 167

Собственно евклидовы пространства173

Двумерное псевдоевклидово пространство *. 176

Вращение ортонормированного репера в псевдоевклидовой плоскости 182

Измерение площадей и углов на псевдоевклидовой плоскости 188

Трехмерное псевдоевклидово пространство индекса1....193

л-мерное псевдоевклидово пространство индекса 1198

Ортогональные преобразования201

Псевдоортогональные преобразования 204

. Квазиаффинная и аффинная группы преобразований....209

. Группа квазидвижений и группа движений в евклидовом пространстве 216

. Вложение вещественных евклидовых пространств в комплексное евклидово пространство. 220

Измерение объемов в вещественномевклидовомпространстве 223

. Понятие о геометрическомобъекте231

. Линейные геометрические объекты в аффинном и евклидовом пространстве 236

. Спинорное пространство 241

. Спиноры в четырехмерномкомплексномевклидовомпространстве246

. Спиноры в четырехмерномпсевдоевклидовомпространстве

индекса 1 . .. . .251

. Спинорное поле и инвариантная дифференциальная опера- пня 少畲 255

2582589'2829 3183 斤^ 2 ^^ ^ ^^^ ^ 39'2829 3183 斤^ 2 ^^ ^ ^^^ ^ 3лава IV. Математические основы специальной теории относительности

258

258

9'2829 3183 斤

^ 2 ^^ ^ ^^^ ^ 3

9'2829 3183 斤

^ 2 ^^ ^ ^^^ ^ 3

Постановка задачи

Пространство событий

Формулы Лоренца

Исследование формул Лоренца

Кривые в вещественном евклидовом пространстве

Кинематика теории относительности в геометрическом истолковании

Динамика точки

Плотность масс, плотность заряда, вектор плотности тока

Электромагнитное поле

Уравнения Максвелла

Тензор энергии-импульса^14

. Закон сохранения энергии и импульса

* Дивергенция тензора энергии-импульса электромагнитного 'ПОЛЯи纟幫

*. Волновое уравнение Дирака для свободного электрона 331

5 5 0 4 8 23 3 4 4 4 53 3 3 3 3 &5 5 0 4 8 23 3 4 4 4 53 3 3 3 3 &Глава V. Криволинейные координаты в аффинном и евклидовом пространствах • •

5 5 0 4 8 2

3 3 4 4 4 5

3 3 3 3 3 &

5 5 0 4 8 2

3 3 4 4 4 5

3 3 3 3 3 &

Криволинейные координаты в аффинном пространстве ...

Тензоры в криволинейных координатах

Параллельное перенесение

Объект связности

Криволинейные координаты в евклидовом пространстве . . •

9 9 4 8 3 85 5 6 6 7 7& 3 3 3 3 39 9 4 8 3 85 5 6 6 7 7& 3 3 3 3 3Глава VI. Многообразия

9 9 4 8 3 8

5 5 6 6 7 7

& 3 3 3 3 3

9 9 4 8 3 8

5 5 6 6 7 7

& 3 3 3 3 3

Элементарное многообразие

Тензоры в многообразии

Касательное аффинное пространство

Поверхности в многообразии

Понятие о многообразии

Глава VII. Римановы пространства и пространства аффинной

связности383

Риманово пространство . . 383

Евклидово пространство Rn как частный случай риманова 389

Неевклидовы пространства393

Измерение объемов в римановом пространстве Vn404

Пространство аффинной связности • • . . 407

Геодезические линии в L„•415

Геодезические координаты в пространствах аффинной связности без кручения L°425

. Изображение кривой в 厶以 в виде кривой в Ап431

. Пространства Ln с абсолютным параллелизмом439

Аффинная связность в римановом пространстве443

Глава VIII. Аппарат абсолютного дифференцирования448

Параллельное перенесение тензоров в L„448

Абсолютный дифференциал и абсолютная производная . . . 453

Техника абсолютногодифференцирования461

Абсолютное дифференцирование в римановом пространстве V п 466

Кривые в римановом пространстве Vп 470

Кривые в римановомпространстве (окончание)475

Геодезические линиив римановом пространстве485

§ 102*. Геодезически параллельные гиперповерхности 491

Полугеодезические координатныесистемы 497

. Динамика системы в обычном пространстве как динамика точки в римановом пространстве504

Глава IX. Тензор кривизны509

Тензор кривизны в Ln509

Геометрический смысл тензоракривизны515

Геометрический смысл тензоракривизны (окончание) . . . . 520

Тензор кривизны в L° . . . 530

.Проективно евклидовы пространства535

3 95 55 53 95 55 5^ то ^ ^ ^9500020955555 5666^ то ^ ^ ^9500020955555 566658159294 724711222334 455566666666 666658159294 724711222334 455566666666 6666

3 9

5 5

5 5

3 9

5 5

5 5

^ то ^ ^ ^95000209

55555 5666

^ то ^ ^ ^95000209

55555 5666

58159294 7247

11222334 4555

66666666 6666

58159294 7247

11222334 4555

66666666 6666

. Тензор кривизны в римановом пространстве Vп

L Кривизна риманова пространства в данной точке и данном двумерном направлении

Тензор кривизны в случае двумерного риманова пространства Р2'

Римановы координаты

Кривизна риманова пространства в данной точке и данном двумерном направлении как кривизна геодезической поперх- ности

Смешанные тензоры на гиперповерхности 匕”】в V„

Теория гиперповерхностей 丫以_] в V„

Теория гиперповерхностей Уп_г в Rn

Пространство постоянной кривизны

Пространство постоянной кривизны 卩〃_】как гиперсфера в

Проективно евклидовы пространства в метрическом случае

Конформное соответствие римановых пространств

Конформно евклидовы пространства

Глава X. Математические основы общей теории относительности 615

Пространство событии в общей теории относительности ,..

Локально галилеевы координаты

Тензор энергии-импульса в общей теории относительности ..

Движение частицы в поле тяготения

Основная идея общей теории относительности

Приближенная теория

Центрально симметрическое поле тяготения

Центрально симметрическое поле тяготения (окончание)...

Геодезические линии в случае центрально симметрического поля тяготения

Вращение планетных орбит

Искривление световых лучей в поле тяготения .......

Красное смещение спектральных линий. Заключение ・・..

Предметный указатель659

Указатель обозначений664

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

По своему характеру эта книга гораздо ближе к учебнику, чем к монографии, предназначенной для специалистов. Это сказывается прежде всего в выборе материала: автор стремился дать лишь действительно основное и важнейшее в рассматриваемой области, но зато в развернутом изложении со всесторонним освещением предмета.

По характеру изложения книга должна быть вполне доступна студенту III курса университета.

Другой характерной чертой книги являются выходы из области тензорного анализа и римановой геометрии в механику и физику; эти выходы автор старался указывать везде, где это было возможно. Как известно, наиболее замечательные приложения тензорный анализ и риманова геометрия имеют в области теории относительности; ей посвящены IV и X главы книги.

Особую роль играет глава I; она носит как бы пропедевтический характер и развивает тензорные методы с их приложениями к механике и физике в простейшем (даже тривиальном) случае обычного пространства в прямоугольных декартовых координатах. Эта глава по уровню изложения должна быть доступна инженеру и студенту втуза, которые пожелали бы познакомиться с элементами тензорного анализа в минимальном объеме, необходимом для технических приложений.

Для читателя, знакомо го с моей прежней книгой 《Введение в риманову геометрию и тензорный анализ», замечу, что по сравнению с ней излагаемый материал сильно увеличился. В настоящее время нельзя пройти мимо псевдоевклидовых и псевдоримановых пространств (кстати, необходимых для теории относительности) н пространств аффинной связности. Эти вопросы нашли место в книге. На ряде примеров даны также основные идеи теории геометрических объектов, в том числе теория спиноров в четырехмер- ном пространстве. Изложение дополнено также рядом частных вопросов, но зато фундаментально го значения (как, например, тео- Рия кривых и гиперповерхностей в римановом пространстве и др.).

Имея в виду значительный объем книги, автор отметил ряд параграфов звездочками, что означает возможность пропустить их

без ущерба для понимания дальнейшего. Некоторые указания в этом направлении сделаны и в тексте. При всем том чисто факультативного материала книга не содержит, и почти все в ней изложенное в том или ином отношении имеет в рассматриваемой области важное значение.

В заключение мне хотелось бы выразить благодарность редактору книги А. Ф. Лапко за его внимательное отношение к тексту и сделанные им замечания.

П. Рашевский

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Второе издание отличается от первого лишь некоторыми небольшими добавлениями, а также редакционными изменениями. Существенно переработаны лишь §§ 57—59 (основы теории спиноров); здесь изложение сильно упрощено и в то же время несколько дополнено.

П. Рашевский

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

Третье издание практически не отличается отТретье издание практически не отличается отлишь мелкие редакционные изменения.лишь мелкие редакционные изменения.второго： сделаныП. К・ Рашевскийвторого： сделаныП. К・ Рашевский

Третье издание практически не отличается от

Третье издание практически не отличается от

лишь мелкие редакционные изменения.

лишь мелкие редакционные изменения.

второго： сделаны

П. К・ Рашевский

второго： сделаны

П. К・ Рашевский

FJIA В A I

ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В этой главе мы подойдем к понятию тензора в наиболее простом и элементарном случае, а именно, рассматривая обычное про* странство и притом в прямоугольных декартовых координатах. Мы покажем важнейшие применения понятия тензора в гидродинамике и теории упругости. Таким образом, эта глава по отношению ко всей книге будет носить вводный характер, но в то же время предста* влять собой в известном смысле законченное целое. Читатель, желающий получить лишь простейшее понятие о тензорах и их приложениях, может ограничиться даже одной этой главой. Напротив, читателю, математически хорошо развитому и желающему серьезно изучить книгу, возможно, будет достаточно лишь просмотреть эту главу, так как дальнейшее изложение на ее результаты не опирается и использует их лишь в качестве иллюстраций.

1. Одновалентные тензоры

На протяжении главы I мы будем рассматривать (не оговаривая этого каждый раз отдельно) исключительно прямоугольные декартовы координаты (в обычном пространстве).

Пусть ех, е2, е3——ортб, положенные в основу нашей координатной системы (рис. 1). Совокупность ортов е， е2, е3, отложенных из начала О, мы будем называть ортогональным репером. Составим скалярные произведения ортов:

= М = 3 ”力 (1.1)

Рассмотрим произвольный вектор х, отложенный для простоты нз начала О. Как известно, координаты вектора х (которые мы будем обозначать х2, х2, х3) можно определить как коэффициенты разложения

х = ххех 十 х2е2 十 л：3е3

н，что означает то же самое, как проекции вектора х на оси:

(1.2)(1.2)★LX%, х2 = хе3, х3 = хе3.

(1.2)

(1.2)

Здесь проекции записаны в виде скалярных произведений вектора х на соответствующие орты.

Вектор х выражает какой-либо геометрический или физический объект, например, параллельный сдвиг твердого тела (заданный по величине и направлению), силу, Хзскорость, напряженность электриче

ского поля в данной точке и т. п. Этот объект имеет реальное существование '乌二^ независимо от того, в какой системе

координат мы его рассматриваем и ,рассматриваем ли мы его вообще.

Однако числа %】,х2, х3 ——координа- /^~% тн вектора х — зависят уже не толь-

/ко от самого векторах,но и отко-

丁&ординатной системы,ккоторойон

отнесен.

IМежду тем, координатные оси

Рис. 1.можно выбирать со значительным про

изволом: их можно подвергать произвольным параллельным сдвигам и поворотам около начала О.

Таким образом, наш способ задания векторов х координатами %п х2, %з отражает между прочим и произвол выбора координатных осей. Это обстоятельство является вредным: на картину изучаемых нами векторов (а в дальнейшем и более сложных объектов) накладывается, вообще говоря, случайный выбор координатных осей. Вследствие этого изучаемая картина усложняется излишними подробностями. Мы увидим далее, что основная задача тензорного исчисления ——разобраться в создавшемся положении, научиться выделять то существенное, что относится к самим изучаемым объектам, и отбрасывать то случайное, что привнесено произвольным выбором координатных осей.

Для этой цели нужно выяснить прежде всего, как меняются коор

динаты неизменного вектора х вследствие перехода от одних координатных осей к другим.

Здесь и в дальнейшем мы будем рассматривать лишь поворот осей (включая и зеркальное отражение) около неподвижного начала О. Параллельных сдвигов осей мы, таким образом, не рассматриваем. Это объясняется тем, что в большинстве геометрических и физических приложений положение начала О или вообще не играет роли (как, например, для подсчета координат вектора) или, наоборот, естественно определяется (большей частью ——это та точка,

в бесконечно малой окрестности которой изучается геометрическая или физическая картина).

В обоих случаях нет надобности рассматривать параллельные сдвиги осей, и начало О можно считать неподвижным.

Итак, пусть мы перешли при неподвижном начале О от старого ортогонального репера j, е2, е3 к такому же новому реперу е\ е', е；. Этот переход можно задать, выразив новые орты в разложении по старым:

В? = ”21电十 ”22^2 + ”23%， }(1-3)

e3 = Л31е1 + 42% + /33%.]

Из этих соотношений немедленно следует, что скалярное произведение е^е2 равно Д13 и вообще

4/=€/(2, 7=1, 2, 3).(1.4)

Другими словами, /行 совпадает со скалярным произведением Z-ro нового орта на 丿-济 старый орт, т, е. с косинусом угла между этими ортами.

Выразим теперь старые орты через новые при помощи обратной матрицы Ац；

% = с】+ Л12 е2 Л13 е3,

& = ”21 % + ”22 % + 4з ^з,“(1.5)

е§ ~ ”3] ®1 ~Г ”32 电 + 4з Сз・‘

Аналогично предыдущему получим:

4/=*е/ 亿丿=1, 2, 3).(1.6)

Сравнивая (1.4) с (1,6), мы замечаем, что

4/ = /#,(1.7)

т. е. матрицы “&“ и || Ац || — взаимно транспонированные. Но, кроме того, они и взаимно обратные, так как определяют взаимно обратные преобразования (1.3) и (1.5).

Итак, чтобы получить матрицу, обратную ||&J|, достаточно ее транспонировать. Матрицы с этим свойством называются ортогональными. То, что матрицы [[ Ду ||, ||4/|| взаимно обратные, можно записать в виде равенства их произведения единичной матрице:

или согласно (1.7)или согласно (1.7)2 ^Js^ks = 5/а2 ^Js^ks = 5/а(1.8)(1.8)

или согласно (1.7)

или согласно (1.7)

2 ^Js^ks = 5/а

2 ^Js^ks = 5/а

(1.8)

(1.8)

Перемножая эти же матрицы в обратном порядке, получим аналогично:

(1.9)(1.9)审 ^sj^sk= 5m

(1.9)

(1.9)

Каждое из соотношений (1.8), (1.9), очевидно, равносильно ортогональности матрицы.

Пользуясь формулами (1.8), легко показать, что ортогональность матрицы II 力j/И не только необходима, но и достаточна для того, чтобы формулы (1.3) давали переход от ортогонального репера снова к ортогональному реперу.

Ортогональная матрица имеет определитель 土 1.

В самом деле, равенства (1.8) показывают, что, умножая определитель ортогональной матрицы на себя (причем строки умножаются на строки), мы получаем определитель единичной матрицы:

1

0

0

0

1

0

=1

0

0

1

Таким образом, квадрат определителя ортогональной матрицы равен 1, а сам определитель равен ±L

Положительный знак означает, что новый ортогональный репер имеет ту же ориентацию, что и старый, а отрицательный — что ориентация репера меняется на обратную (правый заменяется левым, и наоборот).

Посмотрим теперь, как будут меняться координаты неизменного вектора х при повороте осей. Запишем формулы (1.2) в старой координатной системе:

々 = х* (z= 1, 2, 3),

и аналогично, в новой координатной системе:

月;= хе；2, 3).

Умножая скалярно на х равенства (1.3) и пользуясь последними формулами, получим:

月 1 =力 и%] + 力 12*2 + 力 13*3’

月2 ~力21月1十 %2*2十力23*3，

*3 +431*1 + *32*2 + /3月3，

Другими словами, при повороте осей координаты каждого данного вектора подвергаются тому же ортогональному преобразованию (1.3), чт0 и орты. Эти преобразования мы будем записывать кратко:

еР = ^^ 4网号， (1.10)

хр =〉［ 24 P卢广 (1.11)

В пределах главы I индекс, по которому происходит суммирование, всегда пробегает значения 1, 2, 3. Равным образом свободным буквенным индексам в формулах можно придавать любое из этих значений. Преобразования, обратные (1.10) и (1.11), запишутся аналогичным образом:

е ； = Д^вр, (1.12)

•У； = У1Дохр =£/『％• (L13)

Мн воспользовались здесь соотношением (1.7).

Будем говорить, что нам дан тензор 1-近 валентности, если 8 каждой из координатных систем нам заданы три занумерованных числа %н х2, х3 преобразующихся при повороте осей по закону (1.11). Эти числа мы будем называть координатами тензора.

Мы видим, что координаты данного вектора, рассматриваемые во всевозможных координатных системах, образуют вектор 1-й ва・ лентности. Очевидно и обратное: координаты каждого тензора 1-й валентности можно рассматривать как координаты некоторого постоянного вектора. Для этого достаточно подобрать вектор так, чтобы это имело место в одной координатной системе; в силу того что и для координат вектора, и для координат одновалентного тензора действует закон преобразования (1.11), это же будет иметь место и в любой координатной системе.

Однако не нужно думать, что одновалентный тензор может иметь истолкование только лишь в виде вектора. Пусть, например, нам задана фиксированная плоскость, не проходящая через начало координат О. Уравнение этой плоскости можно записать в виде

01"1 +a2"2 + %%3 0 1.

Когда мы совершаем поворот координатных осей, коэффициенты уравнения аъ а2, а3 подвергаются, как нетрудно подсчитать преобразованию по тому же закону (1.11) и образуют, следовательно, одновалентный тензор (как и координаты вектора).

Понятие о двухвалентном тензоре

Понятие о двухвалентном и вообще многовалентном тензоре естественно возникает при рассмотрении уже простейших геометрических образов.

Возьмем, например, (неконическую) центральную поверхность 2-го порядка с центром в начале О. Ее уравнение можно записать в виде

》a〃W= 1.(2.1)

Как мы условились, каждый индекс суммирования пробегает значения 1, 2, 3. Матрица коэффициентов || а^ || предполагается симметричной:

aij = aji-(2.2)

Мы будем называть коэффициентами именно числа 仪〃、хотя после приведения подобных членов в уравнении (2.1) коэффициенты при произведениях координат будут иметь вид 2〃疗(при / =0= у).

Совершаем поворот координатных осей. Новые координаты каждого вектора (и тем самым каждой точки) выражаются через старые согласно (1.11). Обратное преобразование согласно (1,13) запишется в виде

(2.3)

И аналогично,

Xj — £ AqjXq.

Вставляя эти выражения в (2.1), получим уравнение той же поверхности в новых координатах:

£ £ £ £g = 1.

Очевидно, коэффициенты преобразованного уравнения имеют вид aо0 =工工4尸♦人/аа (p, 9=1, 2, 3).(24)

Получается, что наша поверхность определяет в каждой координатной системе (с началом О в центре поверхности) совокупность девяти чисел а^ занумерованных двумя индексами, каждый из которых независимо от другого пробегает значения 1, 2, 3. При повороте координатных осей (1.12) эти числа преобразуются по закону (2.4), который, очевидно, повторяет закон (1.10) для каждого из двух индексов, имеющихся у а〃.

Мьс будем говорить, что нам. дан тензор 2-й валентности, если 8 каждой 〃з координатных систем нам, заданы девять чисел, занумерованных двумя индексами

II а11 〃12 а1з|1

II ^//Ц— Д21 &2 &3(2.5)

II a31 fl32 fl33 И

и преобразующихся пр〃 повороте координатных осей по закону (2.4). Сами числа % мы будем называть координатами тензора.

Условия (2.2) не являются обязательными. В тех случаях, когда они соблюдаются, тензор 2-й валентности называется симметрическим. Таким образом, коэффициенты уравнения центральной поверхности 2-го порядка с центром в начале О образуют симметрический тензор 2-й валентности. Нетрудно показать и обратное: координаты (ненулевого) симметрического тензора 2-й валентности всегда можно истолковать как коэффициенты уравнения некоторой фиксированной поверхности 2-го порядка с центром О.

Впрочем, это истолкование, как мы вскоре увидим, является не самым важным.

Нетрудно получить примеры и несимметрических тензоров 2-й валентности. Возьмем два вектора х (х15 х2, х3) и у(%, %，％)и обозначим через а” всевозможные попарные произведения их координат:

а1/ = Х1Ур(2.6)

Определенные таким образом в каждой координатной системе числа &廿 занумерованы двумя индексами и образуют тензор 2-й валентности. В самом деле, при повороте осей получаем согласно (1.11)

&卢齐(2.7)

И аналогично

Уд = 2&/У 尸(2.8)

Перемножая эти равенства почленно, получим:

ХрУя S 2 ^pi^qfxiyj)(2.9)

а значит,

аря ~ ^々&i&/%7，(2.10)

т. е. имеет место закон преобразования (2.4). Здесь особенно наглядно выступает то обстоятельство, что этот закон преобразования получается повторением закона преобразования (1.11) для каждого из двух индексов. В частности, если в формулах (2.6) векторы х и у равны, то тензор 电了 симметрический.

Двухвалентный тензор как аффинор

Важнейшее значение двухвалентного тензора 。“ состоит в том, что он всегда определяет некоторый аффинор.

Аффинором 31 называется закон, посредством которого каждому вектору х в пространстве сопоставляется некоторый вектор у, обозначаемый нами

У = 31х,(3.1)

причем должны соблюдаться следующие условия:

31(х + х') = 21х4-21х\(3.2)

g((ax) = a3Ix.(3.3)

Здесь х, х' — произвольные векторы, а а—произвольное (вещественное) число.

Другими словами, аффинор 3( означает задание функциональной зависимости вектора у от вектора-аргумента х, причем эта зависимость должна быть линейной, т. е. при сложении двух значений аргумента х складываются и соответствующие значения функции у (согласно (3.2)), а при умножении аргумента х на какое-либо число функция у также умножается на это число (согласно (3.3)).

Рассмотрим, в частности, те векторы 3(е1? Э(е2, 3(%, в которые перейдут орты еп е2, е3. Если аффинор 飘 не задан наперед, то его всегда можно подобрать (и притом единственным образом) так, чтобы векторы $Ле1, ?1е2, $йе3 имели любые наперед заданные значения. В самом деле, задавшись этими значениями, мы можем вычислить Э(х для любого вектора х с координатами 力口 х2, х3:

Э1х = 31 (х^ + х2е2 + х3е3) = % 担 j + x3S(e3.(3.4)

Мы воспользовались здесь свойствами (3.2), (3.3) искомого аффинора 31. Таким образом, искомый аффинор, если он существует, определяется формулой (3.4). Нетрудно проверить, что эта формула действительно определяет аффинор, т. е. свойства (3.2), (3.3) всегда имеют место.

Можно следующим образом наглядно представить себе действие аффинора.\

Для каждой точки М пространства строим ее радиус-вектор х-W(3.5)

и подвергаем его действию аффинора 31. Новый вектор Six, отложенный также из начала О, укажет своим концом некоторую, вообще говоря, новую точку ”：

31х = ОЛГ. (3.6)

В результате каждая точка Ж пространства перейдет в новое положение ЛГ, и тем самым пространство подвергнется некоторой деформации.

В частности, единичный кубик, построенный на ортах ех, е2, е3, Перейдет в параллелепипед, построенный на векторах 班2工,31е2, З1е3, если предположить, что эти векторы некомпланарны, Действительно, точкам кубика будут отвечать координаты 看，для которых 0 ^ х• ^ 1 (/ = 1, 2, 3), а тогда согласно (3.4) преобразованные точки Мг заполняют указанный параллелепипед.

Вообще пространственная решетка, составленная из единичных (или любых других) одинаковых кубиков, растянется (сожмется) и перекосится так, что кубики превратятся в параллелепипеды, однако тоже одинаковые.

В случае некомпланарности векторов Sie】, 3(е2, З1е3 рассматриваемая деформация пространства называется его центроаффинным преобразованием. В случае компланарности этих векторов все пространство отображается в одну плоскость или в одну прямую, или, наконец, даже в одну точку О (случай, когда ?1х = 0). Это ——различные случаи вырождения аффинора %

Переходим к координатной записи аффинора 3L Мы знаем, что аффинор 班 вполне определяется заданием векторов Ще{, а эти последние можно задать их разложением по ортам. Запишем это разложение, обозначая коэффициенты через ар^

班e1 = ^11^1 十a21e2 +a31e3，

以22 =旬2% 十a2222 + ^32^3? (3.7) 以% = a^3% +a23e2 十 a33e3?

или в краткой записи:

双^ = 2%产尸 (3.8)

Вполне определяющие аффинор 31 коэффициенты apq мы будем называть его координатами. Умножая скалярно первое из уравнений (3.7)，например, на е3, получим в силу (1.1) €3北5 = %『 Аналогичным образом и вообще

apq = е卅 ％. (3.9)

Будем рассматривать один и тот же аффинор 沮 но в разных координатных системах. Его координаты apq будут иметь при этом каждый раз другие численные значения. Спрашивается； по какому

закону эти численные значения будут меняться при повороте координатных осей?

Запишем формулы (3.9) в новой координатной системе:

PQ

Но согласно (1.10)

а следовательно,

°"@= £ £'〃"勿*疗3 = £ £ 5.4/4/ (pj Q 2, 3).

Полученный закон преобразования совпадает с (2.4), и это показывает, что координаты аффинора а〃 образуют двухвалентный тензор.

Нетрудно проверить и обратное: координаты всякого двухвалентного тензора а^ могут быть истолкованы как координаты некоторого аффинора 31. Для этого достаточно построить аффинор 31 с данными координатами в какой-либо одной координатной системе. В силу одинакового закона преобразования (2.4) для координат двухвалентного тензора и координат аффинора равенство между этими координатами сохранится и при переходе в любую другую координатную систему.

Дадим, наконец, координатную запись аффинора S(, выразив координаты вектора у = Йх через координаты вектора-аргумента х. Запишем разложения:

х =(3.10)

у-=2уА(з.н)

и подействуем на (3.10) аффинором 3(.

Получим, пользуясь линейными свойствами аффинора и формулами (3.8):

爪=以2х居=£/鸣=£/工喙з. (3.12) qqq D

Так как (3.11) и (3.12) дают разложение одного и того же вектора у, то коэффициенты при ортах е^ должны быть одинаковы. Следовательно;

Ур=^ар9Хд-(3.13)

Итак, координаты вектора у==>Э(х получаются из координат вектора х линейным преобразованием, матрица которого совпадает с матрицей ард координат аффинора (в то время как в преобразо-

вании (3.7) мы пользовались транспонированной матрицей). Заметим еще, что для вырождения аффинора 或,т. е. для компланарности векторов (3.7), необходимо и достаточно обращение в нуль определителя I |. В этом и только в этом случае преобразование (3.13) необратимо.

Отметим частный случай аффинора 戰,когда он сводится к умножению каждого вектора х на одно и то же число X:

у = 3(х = Хх.(3.14)

Очевидно, в этом случае

УР-^Р (Р=1, 2, 3).(3.15)

Сравнивая с (3.13) убеждаемся, что матрица координат нашего аффинора 6 любой координатной системе имеет вид

II aiJ II =II aiJ II =(3.16)(3.16)X О О 0X0 о о х

II aiJ II =

II aiJ II =

(3.16)

(3.16)

Следовательно, соответствующий двухвалентный тензор (3.16) обладает тем замечательным свойством, что его координаты остаются постоянными во всех координатных системах.

Центроаффинное преобразование, отвечающее аффинору в нашем случае, есть преобразование подобия (при 入，0).

При 九=1 аффинор (3.14) называется единичным и дает, очевидно, тождественное преобразование. Мы будем обозначать единичный аффинор через £, так что Fx = х. Соответствующий ему тензор

\\aU II =\\aU II =(3.17)(3.17)

\\aU II =

\\aU II =

(3.17)

(3.17)

（D（学丿）・（D（学丿）・также называется единичным. Для координат единичного тензора принято обозначение 5〃， причем во всех координатных системах

（D

（学丿）・

（D

（学丿）・

(3.18)

Пользуясь обозначениями (3.18), можно переписать (3.16) (при любом X) в следующем виде:

Многовалентные тензоры. Тензорная алгебра

По аналогии с двухвалентным тензором можно ввести. понятие о тензоре любой валентности.

Мы говор им, что нам дан тензор валентности и, если в каждой из координатных систем нам заданы 3” чисел &厶厶.・・兀,занумерованных. V индексами 匕，/2,. . .} lv> каждый из которых независимо от других, пробегает значения 1, 2, 3 (и которые 6 записи различаются друг от друга 1-л, 2-м,...卩-м местом записи при букве @), причем при повороте координатных осей эти числа преобразуются по закону:

脸……名…二^-vj^vtiz* • '^vchai^4…*e (4・ 1)

Здесь предполагается, что поворот осей задается, как и прежде, формулами (1.10).

Закон преобразования (4.1) получается, очевидно, повторением закона преобразования одновалентного тензора (1.11) для каждого из индексов многовалентного тензора.

Как и раньше, мы будем называть числа а^. . . /у координатами тензора в данной координатной системе.

Многовалентные тензоры также выражают различные геометрические и физические объекты. В связи с этим существенно помнить, что тензор есть нечто единое и целое, а «распадение» его на координаты &&&•..〃 происходит лишь по отношению к данной координатной системе. В законе преобразования (4.1) это сказывается в том, что каждая координата тензора в новой системе выражается, вообще говоря, через все его координаты а%%...% в старой системе, т. е. распадение на координаты не имеет инвариантного смысла.

Над тензорами можно производить ряд инвариантных операций, т. е. операций, результаты которых не зависят от той координатной системы, в которой они производятся.

1°. Сложение тензоров одинаковой валентности^ Пусть 々匕厶...％ и Ьщ …无——два тензора одинаковой валентности.

Составим в каждой координатной системе числа с%%..」？ путем сложения соответствующих координат наших тензоров

%小…% - 4也， • •办+瓦iGe(4.2)

Мн утверждаем, что эти числа тоже являются координатами некоторого тензора валентности °.

Для этого достаточно показать, что 仇％…九.подчиняются закону преобразования (4.1). Но это почти очевидно. В самом деле, для

тензоров &小…2 bt&.…％ закон преобразования (4.1) имеет место:

^Pt • • ' р0 — N •…2，卩dt • • • ^Puiv^ii • • • z'y'

Складываем эти равенства почленно и пользуемся формулами (4.2), учитывая, что числа с……〃 построены в каждой координатной системе, в том числе и в той, которая у нас отмечена штрихом. Получим:

w，Ap小包…• 2

Таким образом, закон преобразования (4.1) выполняется и для ££・・•“， так что эти числа, построенные в любой координатной системе, представляют собой координаты одного и того 宛е тензора.

Этот тензор называется суммой двух данных тензоров, а сама операция (4.2)——их сложением.

Сложение тензоров отвечает сложению (в каком-нибудь естественном смысле) тех геометрических и физических объектов, которые данными тензорами изображаются. Так, например, сложение одновалентных тензоров по схеме (4.2)

zi = xi+yi(4.3)

соответствует сложению тех векторов, координаты которых образуют данные тензоры:

z = x + y.

Равным образом, сложение двухвалентных тензоров

cij = aij + ^ij(4.4)

отражает сложение соответствующих им аффиноров:

6 = 51 + ®.(4.5)

Последнее равенство нужно понимать в том смысле, что для любого вектора х

6х = 91х + 23х.(4.6)

Ясно, что сложение нескольких тензоров одинаковой валентности выполняется совершенно так же, как и сложение двух.

2°. Умножение тензоров. Эта операция применяется к любым Двум (или нескольким) тензорам, заданным в определенном порядке.

Лучше всего показать ее на примере; в общем случае дело будет обстоять совершенно так же.

Пусть требуется умножить трехвалентный тензор а^屈 на двухвалентный тензор Ь1т. Составляем в каждой координатной системе всевозможные произведения каждой координаты а〃“ на каждую координату Ь1т. Эти произведения, которые, очевидно, будут зависеть от пяти индексов, мы обозначим:

Cijklm °打也加， (4.7)

причем условимся писать (при букве с) сначала индексы первого множителя с сохранением их порядка, затем индексы второго мно* жителя с сохранением их порядка (если бы множителей было несколько, мы таким же образом последовательно переписали бы индексы каждого из них).

Мы утверждаем, что числа с^к1тУ составленные нами согласно (4.7) в каждой координатной системе, суть координаты одного 以 того же тензора 5-й валентности. Чтобы это проверить, вы пишем закон преобразования (4.1) для перемножаемых тензоров:

= 2 222vg 八左％'#，

Перемножим эти равенства почленно и воспользуемся формулой (4.7), учитывая, что она имеет место в любой координатной системе, в том числе и в той, которая отмечена у нас штрихом. Получим:

= 2 S S S S ^p^4i^rk^sl^tmcijklm' (4.8) / / k / m

Нетрудно видеть, что мы получили для чисел c^klm закон преобразования вида (4.1) для случая и = 5. Это показывает, что числа Sjhim в любой координатной системе являются координатами одного и того же тензора 5-й валентности.

Полученный таким образом тензор называется произведением двух заданных (в определенном порядке) тензоров, а сама опера- ция — умножением тензоров.

По этому же образцу рассматривается и произведение любого числа тензоров любой валентности, заданных в определенном порядке, Валентность тензора, получающегося в произведении, равна, очевидно, сумме валентностей множителей: по схеме (4.7) координаты произведения снабжаются индексами, снятыми поочередно со всех множителей.

В частности, в этой же схеме можно рассматривать умножение тензора на инвариант (т. е. на число, заданное независимо от выбора

координатной системы и не меняющееся при ее преобразовании).

Всякий инвариант а можно рассматривать как тензор 0-й валентности, т. е. тензор, лишенный индексов и имеющий потому лишь одну координату а. (В общем случае число координат тензора равно 3", где и — его валентность; в случае ^ = 0 получаем 3° = 1.)

Схема перемножения (4.7) дает в этом случае

%т =叫悔、(4.9)

т. е. просто все координаты тензора Ь[т умножаются на инвариант а н превращаются в координаты нового тензора с1т той же валентности.

Заметим, что вычитание тензора из тензора той же валентности мы не считаем самостоятельной операцией, потому что она сводится к сложению уменьшаемого с вычитаемым, умноженным предварительно на инвариант —1.

3°. Св-ертывание тензоров. Пусть нам дан, какой-нибудь тензор не менее, чем 2-й валентности, например, трехвалентный, a^k. Отметим какие-либо два его индекса, например 2-й и 3-й, и сделаем с ними следующее. В каждой координатной системе отберем те координаты нашего тензора, для которых отмеченные индексы равны (это будут координаты вида 勺〃)，и составим сумму всех таких координат при каких-нибудь фиксированных остальных индексах (в нашем случае при как-нибудь фиксированном первом индексе /).

Эта сумма имеет вид 2 аш и зависит только от фиксированных индексов (в нашем случае от индекса Z). Обозначим ее 勺. Итак, ai = ^aiu*(4.1。)

Мы утверждаем, что числа а” составленные е каждой координатной системе согласно (4.10), образуют тензор 1-й валентности. Мн будем говорить, что этот тензор получается из исходного тензора а『次 свертыванием 2-го и 3-го индекса.

Для доказательства выпишем закон преобразования (4.1) в применении к исходному тензору

(4.11)

(4.12)(4.12)Составим теперь числа ai в новой (штрихованной) координатной системе. Обозначая эти числа а；, получим согласно (4.10)

(4.12)

(4.12)

Заменяя в преобразовании (4.11) индексы q и г через s и вставляя результат (в 4.12), получим:

。。=2£22勺，4，儿睫，%，плз)

si/k

Выполним прежде всего суммирование по s. При этом согласно (1.9)

审4人=3•产1 1 (/=月)，*14)

и (4.13) принимает вид

。。= 2££/力№ 〃".(4.15)

В процессе суммирования по / и /? можно сохранить лишь члены, для которых / = k; остальные члены согласно (4.14) обратятся в нуль. Обозначим общее значение индексов у и /г через /; при этом 6/а = 6〃=1, и (4.15) принимает вид

ар = 2 2 Ар1аШ = 2 Apiai-(4.16)

Мы воспользовались здесь формулой (4.10). Этим доказан тензорный закон преобразования чисел а「 так что они действительно определяют одновалентный тензор.

Совершенно так же производится свертывание двух произвольно избранных индексов в любом тензоре. Например, свернуть 2-й и 4-й индекс в тензоре apqrst значит составить новый тензор следующим образом:

%个=乡 apiriv(4 J7)

Тензорный характер результата доказывается совершенно так же, как и выше. Валентность свернутого тензора на две единицы ниже, чем у исходного.

Повторяя свертывание достаточное число раз, причем валентность снижается каждый раз на 2, мы в случае тензора четной валентности приходим в конце концов к тензору нулевой валентности, т. е. к инварианту. Таким образом свертывание есть важный источник получения инвариантов рассматриваемых геометрических и физических объектов.

Так, для аффинора Э1 с координатами а^ можно составить путем свертывания важный инвариант

a=尸。"，(4.18)

который называется следом этого аффинора.

Для двухвалентного тензора (2.6) а“ = ЬУ^

где %.，/一координаты двух произвольных векторов, свертывание дает инвариант

а = 2 а〃 = » xtyt ~ ^1У1 + %2% 十 *з»з = ху. (4.19)

Мн видим, что этот инвариант есть скалярное произведение векторов х, у, которое по своему геометрическому смыслу действительно не зависит от выбора координатной системы (а зависит лишь от самих векторов х, у).

Этот пример проливает свет на механизм операции свертывания. Она протекает и в общем случае как бы по образцу составления скалярного произведения из попарных произведений координат xty^ и с этим связан ее инвариантный характер.

Очень часто, как и в приведенном примере, свертываемый тензор предварительно получен перемножением двух или нескольких тензоров, В таком случае мы будем кратко говорить, что один тензор свертывается с другим или с другими, подразумевая, что предварительно составляется произведение этих тензоров. В нашем примере: тензор Xj свертывается с тензором »尸

4°. Подстановка индексов. Еще одна травиальная, но имеющая большое значение операция над тензорами, может быть названа подстановкой индексов. Она заключается в том, что из тензора, например 。〃左，составляется новый тензор “丁友 той же валентности и даже с теми же координатами, но с иной нумерацией этих координат. Например, координата, которая раньше была занумерована индексами i, /, k (индекс г— первый, /——второй,也——третий), теперь нумеруется теми же индексами, но в другом порядке, например, /,电 i (индекс /—первый, А — второй, /—третий). Получающийся в результате новый тензор определяется, очевидно, формулой

%hi=aijk. (4.20)

Т。，что bjki представляет собой действительно тензор, т, е. тоже подчиняется тензорному закону преобразования, проверяется очевидным образом.

Не следует думать, что операция подстановки индексов ничего не изменяет, и мы получаем «прежний тензор». В определение тензора входит нумерация его координат при помощи значений первого, второго и т, д. его индексов. Поэтому изменение этой нумерации есть изменение и самого тензора.

Разумеется, аналогичным образом можно производить любую подстановку индексов над тензором любой валентности.

Кососимметрические тензоры

Свертывание не есть единственный источник получения инвариантов данного тензора. В этом параграфе мы встретимся с другим важным способом; но предварительно нам нужно познакомиться с кососимметрическими тензорами.

Тензор называется кососимметрическим, если при транспозиции (перестановке) любых двух индексов у любой еао координаты она меняет знак.

Рассмотрим прежде всего двухвалентный кососимметрический тензор с〃.

Согласно сказанному он характеризуется свойством

(5.1)◎2)(5.1)◎2)%• = 一с」；(/, 7=1, 2, 3).

(5.1)

◎2)

(5.1)

◎2)

В частности, если / = у, мы получаем:

сц =——с*, откуда сП = 0.

(5,3)(5,3)Двухвалентный кососимметрический тензор называется кратко бивектором. Будем считать, что мы находимся в правой координатной системе. Тогда, обозначая

(5,3)

(5,3)

"1 = — ‘23，“2 = — ‘31，“3 = — C12

и принимая во внимание (5.1) и (5.2), мы можем составить матрицу координат нашего бивектора:

С11 С12 С13 II J &—“3，“2

С21 С22 С23 к〃3‘°，—"1

•(5.4)

С31 С32 С33Ц〃2，"1，。

Как мы знаем (§ 3), всякому двухвалентному тензору, в частности нашему бивектору q」，отвечает некоторый аффинор с теми же координатами. Обозначим этот аффинор через 6 и выясним его характер. Для этой цели используем координатную запись аффинора (3.13), которая в нашем случае дает:

А 2,

или в подробной записи при р = 1, 2, 3

(5.5)(5.5)У1 ~ —%2“3 + %3“2, J2 n X1U3 —”3〃1，* )3=—“"“Г

(5.5)

(5.5)

Мм замечаем, что вектор у ^ (£х есть не что иное, как векторное произведение и на х, если обозначить через и вектор с коор-

дннатамн w2> w3. Итак,

®х = [их].(5.6)

Из этой записи видно, в частности, что вектор и будет вполне определенным независимо от выбора координатной системы. В самом деле, если бы он мог меняться, то менялась бы и зависимость вектора у от х, что невозможно, так как мы рассматриваем некоторый вполне определенный аффинор 6.

Таким образом, аффинор В, отвечающий бивектору q『，сводится к векторному умножению некоторого постоянного вектора и на вектор-арг у мент х.

При этом в правых координатных системах координаты бивектора с〃 “ вектора и связаны формулами (5.3).

В левых координатных системах, напротив, полагаем

"1=e23，"2 =e31， W3 = c12-(5.7)

Тогда в правых частях (5.5) тоже нужно изменить знаки на обратные; мы получаем запись (по-прежнему правого) векторного произведения [их] в левой системе и снова переходим к (5.6).

Переходим к трехвалентному кососимметр инее ком у тензору, который носит название тривектора. Обозначим его координаты с^. Для любых двух его индексов, например 2-го и 3-го, имеет место соотношение

cijk = — cikp(5・8)

Если среди его индексов есть хотя бы два одинаковых, например 2-й и 3-й, то (5.8) принимает вид

%> = —%>, откуда 4//=。.(5.9)

Итак, если мы хотим рассматривать отличные от нуля координаты тривектора, то должны брать все три индекса различными, т. е. придать им значения 1, 2, 3. Получим шесть следующих координат тривектора:

С123 = с231 ~ С312 = — с213 = iС321 ~ —%2・(5.1。)

Знаки равенства поставлены на основании (5.8) и аналогичных соотношений для любой пары индексов. Так, например, чтобы проверить первый знак равенства, достаточно в с123 переставить 1-й и 2-индексыэ а у полученной координаты переставить 2-й и 3-й индексы. При: двойной транспозиции дважды меняется знак, и полученная в итоге координата с231 равна с123.

Нетрудно заметить, что общий смысл (5.10) состоит в том, “то при четной подстановке индексов координата тривектора не меняется, а при нечетной―меняет только знак.

В результате у тривектора имеется лишь одна, как говорят, существенная координата, например, с123. Остальные координаты

28 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ (ГЛ. I или равны ей, или отличаются от нее только знаком, или, наконец, равны нулю.

Пусть х, у, z — три произвольных вектора, хр,凡，zF—их координаты. Подсчитаем инвариант, полученный путем полного свертывания тензоров ciJk, у」,z左：

4分巧力分・ (5.11) j а

Сумма в правой части формально содержит 27 членов, но большинство членов равно нулю в силу (5.9). Остается лишь шесть членов, не равных нулю, а именно, те, для которых индексы i,丄 k все различны (и представляют собой, следовательно, некоторую подстановку из 1, 2, 3). Эти члены имеют коэффициенты с^ выражающиеся через c12s согласно (5.10).

Выписывая теперь (5.11) в развернутом виде, получим окончательно:

/ = С123 (х^/з + /У3Z1 + x3y±z2 — /%Z3 — x3yzz± — x^3z2)二

尤 1 尤2 %з I (Q23 (xyz) (в правой системе),

‘123‘123У1 % % =4(5.12)

‘123

‘123

纟1 纟2 纟3 I I. —&23 (xyz) (в левой системе).

Мы использовали то обстоятельство, что полученный определитель выражает смешанное произведение (xyz) в правой координатной системе и отличается от этого произведения лишь знаком в леврй координатной системе (само смешанное произведение трех векторов мы берем всегда правое).

Из полученного результата вытекает, в частности, что

С]_2з =ANJ xyzС]_2з =ANJ xyzС123 ~С123 ~xyzxyz(в правой системе),(в левой системе).(в правой системе),(в левой системе).(5.13)(5.13)

С]_2з =

ANJ xyz

С]_2з =

ANJ xyz

С123 ~

С123 ~

xyz

xyz

(в правой системе),(в левой системе).

(в правой системе),(в левой системе).

(5.13)

(5.13)

Мы предполагаем здесь, что xyz，0. Так как / и xyz инвариантны, то С12з сохраняет одно и то же численное значение во всех правых системах и одно и то же численное значение во всех левых системах, причем эти два значения отличаются только знаком. Величина, обладающая таким свойством, называется относительным инвариантом.

Итак, единственная существенная координата тривектора есть относительный инвариант^ Это позволяет нам использовать тривекторы как источник получения инвариантов..

Заметим, что в рассматриваемом нами трехмерном пространстве невозможен кососимметрический тензор более чем 3-Й валентности. Говоря точнее, такой тензор всегда имеет лить нулевые координаты.

В самом деле, совершенно так же, как и в (5.9), убеждаемся, что наличие двух одинаковых индексов обращает координату нашего тензора в нуль. Между тем, его координаты всегда имеют по мень- щей мере два одинаковых индекса, так как индексов у них четыре или больше, а принимать они могут лишь значения 1, 2, 3. Следовательно, все координаты нашего тензора равны нулю.

Получение инвариантов с помощью кососимметрических тензоров

Если нам задан грехвалентный тензор apqr (не обязательно кососимметрический), то мы можем получить из него кососимметрический тензор с〃з путем так называемой операции альтернации^ а именно, каждая координата 气注 определяется как среднее арифметическое шести координат тензора 〃尸§「, индексы при которых получены из «, /, А всевозможными подстановками (в том числе и тождественной), причем в случае четной подстановки координата берется со своим знаком, а в случае нечетной ——с обратным:

cuk+akij—ajik~~akji~^aik^(6.1)

Нетрудно заметить, что Q)% представляют собой тензор, так как операция альтернирования, которой мы их получили, сводится к комбинации известных нам тензорных операций подстановки индексов и сложения (вычитания) тензоров (§ 4). Кроме того, из соотношений (6.1) немедленно следует, что с“殳 меняет знак при транспозиции двух индексов, так как в правой части первая тройка членов превращается во вторую тройку со знаками + вместо ——, а вторая тройка превращается в первую со знаками ——вместо Таким образом, альтернация по трем индексам дает нам тензор, кососимметрический по этим индексам.

Когда тензор c^k получен из тензора a^k по формуле (6.1), то 根，будем говорить, что 。允 получен из 。仃〃 альтернацией по индексам /, /, А; при этом мы будем применять взамен развернутого выражения (6.1) краткое обозначение

с〃％ = 〃[£问.(6.2)

Альтернацию можно производить и над тремя произвольно выбранными индексами многовалентного тензора, например, над первыми тремя индексами тензора 口叮風亦

Получаем тензор

cijklm Н а[订月 /m,(6.3)

Причем в правой части над индексами /, /, А проделывается в точ- 区配тн то же самое, что и в правой части (6.1); индексы /, m перекрываются при этом без изменения. Полученный в результате

тензор является кососимметрическим по индексам /, у, А (т. е. по тем, по которым произведена альтернация).

Альтернацию можно производить и по двум индексам, произвольно выбранным в каком-либо {по крайней мере, двухвалентном) тензоре, причем в этом случае она выглядит значительно проще и означает просто составление полуразности данной координаты 〃 координаты, полученной из нее транспозицией избранных индексов.

Так, для двухвалентного тензора 。沙 альтернация по его индексам означает составление тензора

//=0［切=^(%/ —a*).(6.4)

Для четырехвалентного тензора 仪疗^ альтернация, например, по 2-му и 4-му индексам означает составление тензора

cijkt = ^(a仃制一a汉卜丿)。(6.5)

Ясно, что результат альтернации и здесь будет кососимметричен по соответствующим двум индексам /, /.

Как мы вскоре увидим, альтернация по двум индексам в своем месте играет большую роль, но для составления инвариантов (в трехмерном пространстве) является полезной лишь альтернация по трем индексам. К ней мы и возвращаемся.

Ясно, что, проальтернировав трехвалентный тензор согласно (6.1), мы можем получить его относительный инвариант в виде одной существенной координаты кососимметрического тензора

%3 =石(a123 +。231 +0312-。213 -0321-0132)*(6 6)

Интересно, что выражение в скобке по способу своего составления весьма напоминает определитель 3-го порядка. И действительно, оно и в самом деле обращается в определитель 3-го порядка, если, в частности, в качестве тензора а^ взять произведение трех тензоров 1-й валентности:

aijk = ПУ产七(6.7)

Эти тензоры можно всегда считать, как мы знаем, координатами некоторых определенных векторов х, у, z.

Теперь (6.6) принимает вид

工1工2为3

”3 = G (工］%2з+♦..)=石儿 ％ Уз •(6.8)

2］ ^2 飞

Полученный определитель дает смешанное произведение (xyz), если он вычислен в правой координатной системе, и — (xyz), если

0Н вычислен в левой координатной системе. Это соответствует тому, что с123 есть относительный инвариант.

Однако при помощи кососимметрических тензоров можно составлять и абсолютные инварианты, а не только относительные.

Пусть шестивалентный тензор 储工為久旧岂 будет кососимметрическим как по индексам первой тройки, так и по индексам второй тройки, рассмотрим его единственную существенную координату с123123.

Так как она является относительным инвариантом, если рассматривать ее в зависимости отдельно от первой или отдельно от второй тройки индексов, то при переходе от правой координатной системы к левой (или наоборот) она дважды умножается на ——1, т. е. не меняется. Следовательно, с123123 есть инвариант уже абсолютный.

Пусть теперь нам задан произвольный шестивалентный тензор aiti2iahi2l^ Проальтернируем его как по первой, так и по второй тройке индексов, в каждом случае по схеме (6.1). Получим тензор

e/2f=а[£#2厶]f/M川，(6・9)

кососимметрический как по первой, так и по второй тройке индексов. Следовательно, мы можем составить абсолютный инвариант

С123123 ~ а[123] [123](6.10)

Особенно важен частный случай, когда этот шестивалентный тензор представляет собой произведение трех одинаковых двухвалентных тензоров:

生也0/小八=%伉а厶厶*)•(6.11)

Произведем альтернацию по индексам /1, /2, /3. Получим новый тензор

ачл ачЛ ° 5

%力、"/必=©*必修了"/=g°"八°"厶d小■(6.12)

%3八a，3厶勿必

То, что в результате получается именно такой определитель, вытекает из близкого родства процесса альтернации согласно (6.1) и процесса составления определителя, а именно, исходное для альтернации выражение (6.11) представляет собой тот член определителя, который получается произведением элементов по главной диагонали, а в процессе альтернации к нему добавляется не что

иное, как остальные члены определителя. Это легко усмотреть, вспомнив правило составления определителя. Впрочем, легко проверить равенство (6.12) и прямой выкладкой, написав результ^ альтернации в развернутом виде согласно (6.1) и убедившись, что он совпадает с разложением определителя.

В отличие от (6.9) мы произвели здесь альтернацию лишь по одной тройке индексов. Но этого в данном случае достаточно, так как полученный нами тензор (6.12) будет кососимметричен не только по индексам д,厶,厶,по которым мы альтернировали^ но 〃 по индексам. Zlt /2, /3 тоже.

В самом деле, взаимная перестановка индексов, например /工，_/2, означает перестановку первых двух столбцов определителя (6.12), а взаимная перестановка индексов, например, 2工，г2, означает перестановку первых двух его строк. И в том и в другом случае определитель умножается на ——1, чем и доказывается требуемая кососимметричность.

Мы можем теперь составить абсолютный инвариант

‘123123 ="g‘123123 ="gg11a12 g13。21。22a23。31。32。33g11a12 g13。21。22a23。31。32。334~Det|®・J4~Det|®・J(6.13)(6.13)

‘123123 ="g

‘123123 ="g

g11a12 g13

。21。22a23

。31。32。33

g11a12 g13

。21。22a23

。31。32。33

4~Det|®・J

4~Det|®・J

(6.13)

(6.13)

Таким, образом, определитель, составленный из координат двухвалентного тензора, есть инвариант преобразования координатной системы.

Этот результат, впрочем, можно было бы получить и совершенно самостоятельно следующим образом. Запишем закон преобразования координат двухвалентного тензора

% = X Z ApiAqjaH-

Тогда из правила умножения детерминантов следует, что

Det II = Det I Api | ■ Det | Aqj |-Det| a;j | = Det | g/,

так как Det | Api | и Det]<q/| суть детерминанты одной и той же ортогональной матрицы и, следовательно, равны оба или 十 1 или ——1.

Инвариант Det | а^ | имеет важный геометрический смысл, а именно, он дает то постоянное отношение, в котором изменяются объемы всех тел при центроаффинном преобразовании

У = 3(х,

где аффинор 班 имеет координаты %广

Достаточно проверить это утверждение для кубов, так как объем любого тела можно сколь угодно точно приблизить объемом входящего тела, составленного из кубов, и выходящего тела, также

границей).Возьмем вершиной вграницей).Возьмем вершиной в仇а6丿仇а6丿Рис. 2.Рис. 2.

границей).

Возьмем вершиной в

границей).

Возьмем вершиной в

仇а6丿

仇а6丿

Рис. 2.

Рис. 2.

составленного из кубов (имеются в виду тела с кусочно гладкой

какой-нибудь куб, помещенный для простоты одной начале координат О, и направим координатные оси

по ребрам куба (рис. 2). Тогда можно будет считать, что куб построен на векторах /%, /е2, /е3, где /—ребро куба. Эти векторы согласно (3.8) перейдут в векторы:

奴(/%) = / (%1% + a21ё2 + a31e3),

21 (/e2) = / (旬2% + “22% + аза^з),北(他3)= / (Й13®1 + a23ё2 + a33%)。

Куб перейдет в построенный на этих векторах параллелепипед, объем которого V равен, как известно, смешанному произведению векторов, а значит, равен определителю

R = Det I /〃〃• I = /3- Det | а；/

Мн считаем при этом, что е1; е2, е3 образуют правую тройку： объем V берется со знаком 土 в зависимости от правой или левой ориентации векторов 9( (/ег), 91 (/е2), Э( (/е3), на которых он построен.

Если учесть, что объем куба V = /3, то оказывается, что изменение объема произошло в отношении Det | а^ |. Тем самым и для всякого тела коэффициент объемного расширения (со знаком!) имеет вид

V Det 1 aiJ^ (6・ 14)

Исходя из инварианта Det|a；」|, можно построить и другие инварианты двухвалентного тензора 吃广 Для этой цели вычтем из а〃 тензор (3.19) с постоянными координатами 九5〃， где X —

2 п. К. Рашевский

из координат новогоиз координат новогопроизвольное число, и составим детерминант двухвалентного тензора

из координат нового

из координат нового

Det [ aп—九5:j 卜=Det [ aп—九5:j 卜=a11 -九a12a31a32a11 -九a12a31a32^13a23азз一,^^13a23азз一,^

Det [ aп—九5:j 卜=

Det [ aп—九5:j 卜=

a11 -九a12

a31a32

a11 -九a12

a31a32

^13

a23

азз一,^

^13

a23

азз一,^

Мы получаем снова инвариант преобразования координатной системы.

Если развернуть определитель и собрать члены с одинаковыми степенями 九，то получится, очевидно, кубический многочлен относительно 九

Det I %. — 九6川=一 N + /口2_/2X + /3,(6.15)

где

/1=a11 + a22 十a33 = 2j %,(6. 16)

。11 %2

a21a22

+

a22 。23

%2 %3

+

^33 a31

a13 0 11

,(6.17)

4=

Det 1 atj J

(6-18)

Так как (6.15) представляет собой инвариант при любом, значении 九， то коэффициенты 人，/2, /3 по отдельности также должны являться инвариантами.

При этом инвариант 厶 нам уже встречался ранее (см. (4.18)), а инвариант /3 был нами получен в этом параграфе.

Таковы основные инварианты тензора 。疗.Что же касается добавка — АД/ то он уже сыграл свою роль и в окончательном результате, как мы видим, не участвует.

§ 7. Симметрический аффинор

Для приложений тензорного исчисления исключнтельно важную роль играет понятие симметрического аффинора.

Аффинор 31 называется симметрическим, если для любых двух векторов х, х‘ имеет место соотношение

С)С)毋’= x^Хх.

С)

С)

Другими словами, скалярное произведение одного вектора на функцию 31 от другого вектора не меняется при перестановке этих векторов между собой.

Необходимым и достаточным признаком симметричности аффинора служит симметричность матрицы его координат, В самом деле,

пусть аффинор 31 симметрический. Согласно (3.9)

。?<7 = %班%, аp = е^\ер，(7.2)

а в силу симметричности аффинора правые части равны % следовательно,

apq н aqр、(7.3)

т. е. матрица координат аффинора симметрическая.

Обратно, пусть соблюдаются соотношения (7.3). Тогда в силу формул (7.2) получаем:

6卅% = %以%.(7.4)

Тем самым соотношение (7.1) проверено для ортов. Но тогда оно будет справедливым и для любых двух векторов х, х'. Чтобы убедиться в этом, достаточно помножить равенство (7.4) почленно на х尸％д (где хр—- координаты х, а %?——координаты х') и просуммировать почленно по р к q. Так как

х^Р = х> 2х?% = х，.

то в результате мы получим соотношение (7.1).

Важнейшее свойство симметрического аффинора ——наличие у него трех взаимно ортогональных собственных направлений. Вообще собственным направлением аффинора 31 (не обязательно симметрического) называется направление, все векторы которого х при действии на них аффинора 31 умножаются на некоторое число 厶:

31х - Хх.(7.5)

Для того чтобы направление было собственным, достаточно, чтобы хоть один его вектор х обладал свойством (7.5); тогда и все векторы этого направления обладают этим свойством, причем 厶 имеет для всех них одно и то же значение. Для проверки этого достаточно умножить (7.5) почленно на произвольное число а ^ 0 и внести а в левой части равенства под знак 31. Тогда оказывается, что вектор ах, т. е. любой вектор, коллинеарный с х, также обладает свойством (7.5).

Число а может быть и отрицательным: собственное направление всегда рассматривается с точностью до замены на обратное.

Коэффициент 厶 называется собственным значением аффинора 91 для данного собственного направления.

Запишем условие (7.5) в координатах, обозначая через ур координаты 火х:

Ур =厶％尸 W = 1, 2, 3).

Пользуясь формулами (3.13), получим:

(7.6)(7.6)» а尸产g =九得(Р = 1, 2, 3).

(7.6)

(7.6)

Выписывая каждое из трех равенств отдельно в развернутом виде и перенося все члены налево, получим:

亿7)亿7)(a11 -九)*1 +旬2*2+旬3*3=。，

亿7)

亿7)

a21%1 +(a22 一九)*2 +a23*3~ °,

a31"1 十 a32*2 + (a33 一九)*3 = °*

Для отыскания собственных направлений и собственных значений достаточно решить эту систему относительно неизвестных 九，％「x2J х3. При этом %], %2，%з не должны одновременно обращаться в нуль (иначе вектор не укажет направления!) и ищутся они, как вытекает и из смысла задачи и из однородного характера уравнений (7.6), с точностью до умножения на общий множитель.

Чтобы система линейных однородных уравнений (7.7) относительно 丫「х2> %з нмела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель равнялся нулю:

(7.8)(7.8)a11 一九 a12 旬3

(7.8)

(7.8)

a21a22 -九a23=6

a31a32a33 一九

Таким образом, чтобы удовлетворить системе (7.7), необходимо брать в качестве 九 корень кубического уравнения (7.8) (которое называется характеристическим уравнением, аффинора 界).Обратно, если в качестве 入 взят корень уравнения (7.8), то система (7.7) имеет ненулевое решение%з・

Однако это не всегда означает отыскание собственного направления, так как взятый нами корень 入 может оказаться комплексным.

(7.9)(7.9)До сих пор мы говорили о произвольном аффиноре 91. Теперь предположим, что он симметрическийt а следовательно,

(7.9)

(7.9)

арч = aQP'

В этом случае see тр〃 корня уравнения (7.8) обязательно вещественные. Действительно, возьмем какой-нибудь корень 九 уравнения (7.8), подставим его в систему (7.7) и найдем ненулевые хх, х2, х3, удовлетворяющие (7.7), а следовательно, и (7.6). При этом ми не предрешаем вопроса, будут ли значения X, хг, х2, х3 вещественными или существенно комплексным-и. Во всяком случае мы не ошибемся, считая их комплексными, так как вещественные числа есть частный случай комплексных.

Умножим обе части равенства (7.6) на х^, где Хр комплексно сопряжено с хр, и просуммируем почленно по 夕=1, 2, 3. Получим:

» X а夕产(7.10)

Произведения вида хрХр — вещественные (и даже неотрицательные) числа. Поэтому те члены суммы в левой части, для которых 夕=д, будут вещественными. Те же члены, для которых p#q、мы будем рассматривать попарно, объединяя, например, члены с 夕=1, q = 2 и с р — 2, д=1. Получим (пользуясь затем (7.9));

"12%1%2 十。21"2*1 ~ 旬2 (*1*2 + %2%1).

Выражение в скобках есть сумма двух комплексно сопряженных чисел, и следовательно, число вещественное. Тем самым левая часть (7.10) есть число вещественное, равно как и коэффициент при X в правой части (который, кроме того, не равен нулю, так как хр не обращаются в нуль одновременно). Отсюда и X всегда оказывается числом вещественным, а следовательно, ему отвечает определяемое из (7.7) собственное направление нашего симметрического аффинора 31, для которого X, таким образом, является собственным значением.

Теперь мы можем показать существование трех взаимно ортогональных собственных направлений. Возьмем какой-нибудь корень 九】 уравнения (7.8) и отвечающее ему собственное направление, представленное, например, единичным вектором %. Таким образом,

Ве1 = %е；.(7.11)

Рассмотрим плоскость f2, ортогональную к ех. Мн утверждаем, что векторы этой плоскости под действием аффинора 21 переходят в векторы этой же плоскости. В самом деле, пусть х ——вектор плоскости f2, так что х 丄 ％:

е；х = 0.(7.12)

Умножая скалярно обе части равенства (7.11) на х, получим:

=九 fix = 0.

Пользуясь свойством (7.1), можем переписать это в виде

叨孰х = 0・(7.13)

Другими словами,必х ортогонален к е】и, следовательно, тоже принадлежит плоскости 七？ (точнее, может быть в ней отложен).

Мн можем теперь рассматривать наш симметрический аффинор ?1 на плоскости f2, поскольку он переводит векторы этой плоскости В векторы этой же плоскости. Вводим на плоскости ^2 прямоуголь-

ные декартовы координаты и ищем собственные направления и собственные значения аффинора §1 совершенно так же, как и ранее с тем лишь упрощением, что вместо трехмерного пространства у нас будет двумерное, и вместо трех координат 人，х2)х3 будут лишь две %, х2. Матрица координат аффинора 21 будет иметь теперь вид

。11。12°21 °22。11。12°21 °22%2 = а21,%2 = а21,

。11。12

°21 °22

。11。12

°21 °22

%2 = а21,

%2 = а21,

а вместо уравнения (7.8) мы получим:

а11—^ 一12a2 1, a2 2入а11—^ 一12a2 1, a2 2入=0.=0.

а11—^ 一12

a2 1, a2 2入

а11—^ 一12

a2 1, a2 2入

=0.

=0.

Мы снова обнаружим наличие собственного направления, которое зададим некоторым единичным вектором е2; соответствующее собственное значение обозначим Х2. Так как е2 принадлежит 上],то е2 丄 et.

Наконец, построим единичный вектор e:J, ортогональный и к е^ и к е2. Так как из (7.12) следует (7.13), то 91е3 тоже будет ортогонален к ех и аналогично к е2. Другими словами, З1е3 оказывается коллинеарным е3, а следовательно, определяет собственное направление. Соответствующее собственное значение обозначим Х3.

Итаку у нас построены три взаимно ортогональных собственных направления е1т е2, е3 с собственными значениями 入工，А2, Х3:

§1ех — Xj©!,§1е2 =Х2е2, З1е3 = ^-3^3.(7.14)

Возникает вопрос, почему мн не построили сразу всех этих собственных направлений, используя поочередно все три корня уравнения (7.8) (подобно тому как мы построили еп используя корень 九J. И действительно, это было бы самым простым способом доказательства, но лишь для случая различных корней уравнения (7.8). Для случая же, когда два или даже все три корня равны между собой, этот способ не годится. Поэтому мы пошлн другим путем, пригодным во всех случаях.

ства по трем入I，九2，九3*,Примем еркаждая точкаства по трем入I，九2，九3*,Примем еркаждая точкаМы уже давали (§ 3) истолкование аффинора как центроаффинного преобразования пространства. В случае симметрического аффинора это истолкование принимает особенно простой вид, а именно, так как векторы е丄,е2, е3 взаимно ортогональны, то согласно (7.14) симметрический аффинор производит растяжение (сжатие) простран- взаимно ортогональным направлениям в отношениях

ства по трем

入I，九2，九3*,

Примем ер

каждая точка

ства по трем

入I，九2，九3*,

Примем ер

каждая точка

е21 е? за орты новой координатной системы. Тогда с координатами (хх, х2) х3) переходит, очевидно,

в точку (у； у；, Уз) ПО формулам:

y1=入1%1,y2=入2%2, % =入3%3.(7.15)

Если среди 入 1,入2，入з нет нулей, то получающееся таким образом специального вида центроаффинное преобразование пространства называется чистой деформацией. При отрицательном знаке, например у Х1} в растяжение (сжатие) по оси Л\ нужно включить и ее «перепрокидывание» в обратную сторону (т. е. зеркальное Отражение пространства относительно плоскости Х2Х3).

В случае, когда, например, 3 = 0, преобразование (7.15) вырождается: все точки пространства переходят в точки плоскости Х?%.

Строго формально соотношения (7.15) можно получить так. Сравнивая (7.14) с (3.7), мы видим, что в новой координатной системе координаты нашего аффинора имеют вид

i^i о 0

=о 入2 0 .(7.16)

о о 九

Отсюда координатная запись аффинора (3.13) принимает вид

т. е. мы снова получим (7.15).

Если 入 1，入2，入з все различны, то аффинор не имеет собственных направлений кроме трех найденных. Действительно, из формул (7.15) легко следует, что всякий вектор, не направленный по одной из осей, под действием аффинора уклоняется в сторону от своего первоначального направления.

Если 入1=入2*入3， т0 всякий вектор 0 плоскости XYX2 (т. е. при *з = 0) под действием аффинора, как видно из (7.15), умножается на X (— Xj 入2)：

УI =入尤1, у^ —入％2 ,«Уз = 0・(7.1/)

Поэтому двойному собственному значению 入(=入1 =入2) будет отвечать целая собственная плоскость .Х^Х^, любое направление которой будет собственным. Направления, не принадлежащие ни этой плоскости, нн оси X，очевидно, собственными быть не могут.

Если 入1 =入2 =入3=入，то (7.15) принимают вид

У1 —入尤1, 歹2 =入尤2， 《Уз =入尤з*(7.18)

т. е. для любого вектора х

Six = Ах, и аффинор 21 вообще сводится к умножению на данное число X. Любое направление является собственным.

Мы разобрали все возможные случаи расположения собственных направлений. Нам нужно показать, наконец, что корни уравнения (7.8) (с учетом их кратности) совпадают с нашими собственными значениями Х15 Х2, Х3.

Прежде всего в осях X；, X；, Хд уравнение (7,8) принимает вид (согласно (7.16))：

九1 -九 00

0 九2—а0二0,

00人3一九

откуда, действительно, видно, что в этом случае его корни совпадают с собственными значениями >а, Х3, Х3, а так как коэффициенты уравнения (7.8) суть инварианты преобразования координатной системы (см. (6.15)), то корни этого уравнения суть тоже инварианты и, следовательно, вычисленные в любых координатных осях дают наши собственные значения 九》Х2, Х3.

Пример. Тензор моментов инерции. Дано твердое тело, вращающееся около закрепленной точки О. Эту точку мы примем за начало координат. Будем для простоты записи считать, что тело состоит из конечного числа л материальных точек, жестко скрепленных между собой. Массы этих точек обозначим 加味 /и⑵，加？ а координаты их (в данный момент) через 心°, х^2\ . . . , £" (/— 1,2, 3).

Составим матрицу

пл

й,7=— 2 加呱俨/胃 + 3“ £ 加а)х(а)1(7.19)

а=1а=1

Нетрудно убедиться, что эта матрица, построенная в любой координатной системе, дает координаты одного и того же симметрического тензора, В самом деле, в первом слагаемом при умножении тензора на %，) (т. е. на себя) получается симметрический двухвалентный тензор; дальнейшее умножение на инвариант т^ и сложение полученных результатов дают тензор той же валентности. Второе слагаемое представляет собой единичный тензор 5〃， умноженный на инвариант; действительно, как 加？ так и

№” =""+x肾产+竭”，(7.2g>

т. е. квадрат расстояния данной точки от начала О, суть инварианты преобразования координатной системы.

Полученный симметрический тензор &〃 называется тензором моментов инерции данного твердого тела. Физический смысл этого тензора следующий. Пусть через точку О проведена некоторая ось с единичным направляющим вектором 1 (乙，/?, /3). Вычислим инва-

риант ?£仪炉厶/力 полученный в результате полного свертывания тензора 仪炉 с дважды взятым тензором 厶：

Х2 — 2 加а) 2心叫,.2功"%十三》6〃"/ 2加a)Х(a/.

； /&==i///' /а= i

так как 饵,=j 。(/ 声力，T0 ZZ Mj/了 = /；+/:十理=1； кроме

того. 2%尸4 =m*)1, и мы получаем:

NN。厅仏 х £ 加 a){—便矶)2 十 x(a))(7.21)

Выражение, стоящее в фигурных скобках, дает квадрат расстояния гочки с массой m(a)до выбранной нами оси, и мы получаем момент инерции относительно этой оси.

Момент инерции данного твердого тела относительно произвольной оси вращения, проходящей через точку О, получается путем свертывания тензора момента инерции с дважды взятым тензором /； (направляющие косинусы, оси). Собственные направления аффинора 旣 с координатами о” параллельны так называемым главным осям инерции. В них тензор моментов инерции принимает вид (7.16).

Разложение аффинора на симметрическую и кососимметрическую части

Рассмотрим произвольный аффинор

у = ?反(8.1)

Соответствующая координатная запись имеет вид (3.13):

%=2%产，(8.2)

Здесь &% — координаты аффинора, образующие двухвалентный тензор. В правой части (8.2) происходит тензорная операция умножения этого тензора на тензор q с последующим свертыванием по двум последним индексам. В результате получается снова тензор, именно, ур.

Мы хотим теперь детальнее представить себе структуру аффинора 班，разложив его на симметрическую и кососимметрическую части. Для этой цели произведем альтернацию над тензором 〃〃, т. е. составим новый тензор с〃・ согласно (6.4):

勺/ =硏切 J- Uj—а*)・(8*3)

(8.4)(8.4)С другой стороны, составим новый тензор 匕〃•， беря в формуле (8.3) полусумму вместо полуразности:

(8.4)

(8.4)

Ь" = 4,力=у(а〃 +

Здесь а(〃)есть сокращенное обозначение для выражения в правой части. Операция составления тензора a(i^ = y(^/y+ ^；() называется симметрированием тензора а{} по его индексам 乙 丿(аналогично тому как операция составления тензора a^j^ = — (а^—。八)называется альтернацией тензора а厅 по его индексам /, у). В обозначениях различие состоит в том, что симметрируемые индексы заключаются в круглые скобки, в то время как альтернируемые — в прямые скобки.

То, что операция (8.4) приводит действительно к тензору, видно из того, что она сводится (не считая деления на 2) к операции сложения двух тензоров, причем второй из них образован из первого также тензорной операцией — подстановкой индексов. Очевидно, тензор bjj будет симметрическим, а с炉——кососимметрическим;

勿=%力e" = —С卄

Складывая тензоры (8.3) и (8.4) почленно, мы видим, что первоначальный тензор %/ можно представить в виде

а〃 = %+%•/.(8.5)

Итак, любой двухвалентный тензор а^ можно разложить на сумму симметрического тензора 匕〃 и кососимметрического тензора е〃.

Такого рода разложение будет единственным. В самом деле, симметрируя какое-либо разложение вида (8.5) почленно, мы получаем, что bjj обязательно выражается формулой (8.4), а альтернируя его, видим, что с(у выражается формулой (8.3).

Обозначим теперь аффиноры, координатами которых служит % и 汕 соответственно через 25 н 区 Тогда (8.5) можно переписать в виде

91 = ® + 6 или Six = ЗЗх + (Sx. (8.6)

Итак, любой аффинор 91 разлагается на сумму симметрического аффинора 泣 выражающего чистую деформацию пространства (§ 7), it кососимметрического аффинора 6 (§ 5), сводящегося к векторному умножению вектора аргумента х на некоторый постоянный вектор и.

Разложение (8.6) играет особенно важную роль в одном частном, с/у^ае, 。 именно, когда рассматривается аффинор, бесконечно мало отличающийся от единичного.

Будем рассматривать аффинор 七十凰，где f—единичный аффинор (§ 3), §1 ——произвольный аффинор, а е ——бесконечно малый множитель. Разумеется, аффинор f + £笠 будет переменным и стремится к единичному аффинору f как к своему пределу при £—0.

Переход к пределу для аффинора можно определить, чтобы не вдаваться в излишние подробности, хотя бы как переход к пределу для каждой из его координат.

Важное значение аффинора вида f + £5( выяснится несколько позже.

Разложим аффинор 班 на симметрический и кососимметрический аффиноры согласно (8.6). Тогда

e+£次=上+£汨+ £位,e+£次=上+£汨+ £位,(8.7)(8.7)

e+£次=上+£汨+ £位,

e+£次=上+£汨+ £位,

(8.7)

(8.7)

н соответствующее центроаффинное преобразование запишется в виде

(8・8)(8・8)у = (£ + £§l) X = X + £$Вх + £®х,

(8・8)

(8・8)

где х — произвольный вектор.

Ввиду того что рассматриваемый аффинор бесконечно близок к единичному, формула (8.8) определяет бесконечно малое центроаффинное преобразование пространства (если понимать под х, как мы это ранее п делали, радиус-вектор произвольной точки пространства).

Рассмотрим сначала частный случай, когда в (8.7) отсутствует ⑨, так что речь идет об аффиноре f + е®.

Вместе с f и 93 этот аффинор будет симметрическим и, следовательно, дает чистую деформацию пространства, т. е. его растяжение (сжатие) по трем взаимно ортогональным направлениям.

Координаты аффинора £"+喇，очевидно, равны 6疗 +叫户 т. е. в подробной матричной записи имеют вид

1 + 6bli叫11 + 6bli叫128121 + е^22283228121 + е^222832£%2£%з1 + £^33£%2£%з1 + £^33(8.9)(8.9)

1 + 6bli

叫1

1 + 6bli

叫1

2812

1 + е^22

2832

2812

1 + е^22

2832

£%2

£%з

1 + £^33

£%2

£%з

1 + £^33

(8.9)

(8.9)

Чтобы найти собственные направления и собственные значения для аффинора 七十£券,достаточно найти их для аффинора 93. В самом деле, пусть Х1} Х2, Х3 ——собственные значения 勇 и пусть х —— вектор, идущий по одному из собственных направлений, например, первому. Тогда

(8.10)(8.10)(Е + еЗЗ)х = Ех + dbx = х + £%х = (1 + £%) х.

(8.10)

(8.10)

Следовательно, направление х будет собственным и для 石十 £怨 и притом с собственным значением 1 十 е%.

Итак., собственные направления аффинора Е + £纷 совпадают с собственными направлениями аффинора S3, и соответствующие собственные значения равны 1十£九工，1十&九°, 1 +еХ3. Таковы будут коэффициенты бесконечно малого растяжения (сжатия), производимого аффинором Е + еЭЗ по трем взаимно ортогональным собственным направлениям.

Теперь рассмотрим противоположный частный случай, когда в (8.7) отсутствует 泣 так что речь идет об аффиноре Е-|-е(£, где @ кососимметричен.

Согласно (5.6) для любого х

®х — [их],

где и—некоторый постоянный вектор. Следовательно,

(£* + &芭)х = х + £ [их].(8」1)

Легко заметить, что соответствующее цептроаффинное преобразование

х —> (5 + е® х = х + е [их](8.12)

означает поворот около ос〃, проходящей через О и направленной по и, на бесконечно малый угол е | и

В самом деле, рассмотрим вращение пространства как твердого тела около точки О с постоянным вектором угловой скорости и. Это значит, что вращение совершается вокруг оси, направленной по и, причем за единицу времени происходит поворот на угол | и| (против часовой стрелки, если смотреть от конца к началу вектора и).

Как известно из кинематики твердого тела, линейная скорость движения каждой точки М выражается при этом вектором

v = [их],

где х = ом— радиус-вектор точки М.

За бесконечно малый промежуток времени е точка М сместится на вектор

ev = е [их],

если пренебречь бесконечно малыми высшего порядка. Следовательно, радиус-вектор смещенной точки Мг будет:

QM = x+ev = x + e [их] = (Е十 £⑵ X.

Итак, переход

или, что то же,

х —> (f + eG) х,(8.13)

означает поворот пространства за бесконечно мало^е время е при векторе угловой скорости и (координаты которого определяются согласно (5.3) или (5.7)). Угол этого бесконечно малого поворота равен, очевидно, е | и |. Этим наше утверждение доказано.

Рассмотрим^ наконец, общий случай аффинора (8.7). Подействуем на произвольный вектор х сначала аффинором f + еЗЗ

(f + ^23) х ~ х Н-еЗЗх,'

а на полученный вектор подействуем аффинором f + e®. Получим:(f + еб) (^Ч-еЗЗ) х = х + е®х + сЗЗа + £26ЭЗх.

Последний член мы отбросим, пренебрегая бесконечно малыми 2-го порядка, и, пользуясь (8.8), получим окончательно:

(Е + еб)(七十 еЗЗ) х ^ (七 +阈)х.(8Л4)

Этот результат показывает, что если пренебречь бесконечно малыми высшего порядка, аффинор f + ^Sl представляет собой результат наложения аффиноров f + £^3 и f + ^CS, г. е. бесконечно малой чистой деформации и бесконечно малого поворота. Изменение формы и размеров тел происходит при этом за счет чистой деформации; при

повороте, они, конечно, не меняются.

Заметим, что и произвольный аффинор (а не только вида f + ^Sf) можно свести к последовательному выполнению чистой деформации и поворота, и притом совершенно точным образом. Однако доказательство в этом случае будет значительно сложнее, а чистая деформация и поворот уже не отвечают симметрической и кососимметрической частям рассматриваемого аффинора.

Для дальнейшего нам будет необходим коэффициент объемного расширения (6.14) в случае бесконечно малого центроаффинного преобразования

у =(e +阈)х.

Согласно (6.14) в нашем случае мы получим:

1 +₽^ц2&12£021[ + £a22£。31£a321 +₽^ц2&12£021[ + £a22£。31£a32~=Det|8.7 + ea/y|-

1 +₽^ц2&12

£021[ + £a22

£。31£a32

1 +₽^ц2&12

£021[ + £a22

£。31£a32

£〃13

Е&З ^ 1 + е ( «11 + «22 + Д33)• (8.15)

1 + еазз

Здесь при раскрытии определителя мы пренебрегли бесконечно малыми высшего порядка.

Мы видим, что коэффициент объемного расширения отличается от 1 на след аффинора §1, умноженный на s.

Тензорные поля

Начиная с этого параграфа, мы переходим из области тензорной алгебры в область тензорного анализа, но по-прежнему в самом простом частном случае: рассматриваем трехмерное евклидово пространство и притом в прямоугольных декартовых координатах. Следует предупредить читателя, что узость нашей точки зрения гораздо более резко будет сказываться после этого перехода. Если о тензорной алгебре н можно составить себе некоторое представление по предыдущим параграфам, то тензорный анализ в широком смысле слова при нашем подходе настолько упрощается, что теряет почти все свое содержание.

Смысл перехода от тензорной алгебры к тензорному анализу заключается в том, что вместо отдельных тензоров мы будем рассматривать тензорные поля, в связи с чем появляется дифференцирование тензоров.

Мм говорим, что нам дано тензорное поле, если в каждой точке М пространства задан некоторый тензор постоянной валентности, но в остальном, вообще говоря, меняющийся от точки к точке. Этот тензор мы будем называть тензором поля, Он задается, следовательно, как функция точки М^ причем его валентность остается постоянной, например, 3-Й:

a3山二二 (附).(9.1)

Эту формулу нужно понимать в том смысле, что координаты тензора зависят от выбора точки М (и, разумеется, от выбора координатной системы, преобразуясь по обычному тензорному закону).

Если мы рассматриваем тензорное поле в определенной координатной системе, то точка М характеризуется своими координатами х1( х3( х3( и формула (9,1) принимает вид

4也为 =a,也% (%i,%2，%)，(9，2)

т. е, координаты тензора заданы как функции координат точки 財， Мм будем предполагать, что функции (9,2) непрерывно дифференцируемы столько раз, сколько нам будем нужно.

Тензорное поле может быть задано и не во всем пространстве, а лишь в некоторой его области Q, Это значит, что тензор поля (9Л) определен как функция точки М для всевозможных положений точки М лишь в некоторой области Q (а не во всем пространстве).

Рассмотрим простейшие частные случаи тензорных полей.

Тензорное поле нулевой валентности называется иначе скалярным полем. Так как тензор нулевой валентности есть инвариант, то скалярное поле означает задание в каждой точке М некоторой области Q определенного числа а:

а = а (聞，(9.3)

причем а (М) зависит только от выбора точки М, но не зависит от выбора координатной системы. Если зависимость (9.3) записывается в определенной координатной системе, то она принимает вид

а = а (%], %2，%з)・(9.4)

Примеры скалярных полей: температура неравномерно нагретого тела, имеющая свое значение в каждой его точке; потенциал электростатического поля как функция точки; плотность неоднородного тела, в каждой его точке имеющая свое значение; давление в газовой среде, меняющееся, вообще говоря, от точки к точке, и i. п.

Рассмотрим теперь одновалентное тензорное поле

=(9.5)

Мы знаем, что координаты одновалентного тензора 勺 всегда можно истолковать как координаты некоторого инвариантного вектора а, причем

а = J

Поэтому задать поле одновалентного тензора (9.5) все равно, что указать в каждой точке М определенный вектор

а = ?生・(М * = а(М,(9.6)

т. е. все равно, что задать векторное поле,

Примеры векторных полей: вектор электрического или магнитного поля; вектор скорости движения жидкой или газовой среды, имеющий в каждой ее точке свое значение; вектор плотности электрического тока в массивном проводнике и т. п. О двухвалентных и т. д. тензорных полях мы будем говорить позже.

Настоящий смысл тензорного исчисления заключается, конечно, в изучении тензорных полей, и для приложений нужны, как правило, именно тензорные поля, а не отдельные тензоры. Поэтому на тензорную алгебру, изложенную в §§ 4, 5, где рассматривались операции над отдельными тензорами, следует смотреть как на необходимый подготовительный материал, а именно, все операции, уста- яовленные там для отдельных’ тензоров, автоматически переносятся и на тензорные поля, если подразумевать, что эти операции производятся над тензорами поля в каждой точке М области Q.

Так, например, сложение тензоров двух полей одинаковой валентности

aijk = atjk(M^ bijk =瓦冰(加)

означает построение нового тензорного поля

cijk （附）=aijk （附）十6『"（附）cijk （附）=aijk （附）十6『"（附）(97)(97)

cijk （附）=aijk （附）十6『"（附）

cijk （附）=aijk （附）十6『"（附）

(97)

(97)

путем сложения тензоров 〃〃胃 и 6口力 в каждой точке М области <2.

(9.8)(9.8)Аналогично и перемножение тензоров двух полей, например, a^k (М) и Ь1т (Л4), означает построение нового тензорного поля

(9.8)

(9.8)

cijklm (附)=aifk (附)bg (附)

путем перемножении тензоров。〃力 и blm в каждой точке М области Q.

Аналогично операции свертывания и подстановки индексов производятся над тензором поля в каждой точке М области Q.

Но помимо алгебраических операций над тензорами поля можно производить еще операцию дифференцирования, которая и определяет лицо тензорного анализа.

Дифференцирование тензора поля

(10.1)(10.1)Рассмотрим какое-нибудь тензорное поле, для примера, трехвалентное:

(10.1)

(10.1)

aijk = aijk(^)aijk (Х1> %2，%3)*

Нас интересует вопрос (действительно очень важный для приложений): как меняется наш тензор от точки к точке в бесконечно малой окрестности данной точки М (х1( х2, х3). Для этой цели мы смещаемся из точки М в произвольную бесконечно близкую точку ;И\

Говоря более точно, это бесконечно малое смещение состоит в том, что мы движемся по некоторой параметрически заданной кривой

%з =尤з ('),%з =尤з ('),(10.2)(10.2)

%з =尤з ('),

%з =尤з ('),

(10.2)

(10.2)

причем при данном значении / мы находимся в Л4, а при бесконечно близком зна(1ении £十厶/ попадаем в бесконечно близкую точку М\ Все дифференциалы, которые мы будем выписывать, предполагаются взятыми по отношению к аргументу /.

Функции xi (/) мы считаем, конечно, непрерывно дифференцируемыми.

Радиус-вектор ОМ точки М в силу (10.2) выражается формулой

(10.3)(10.3)。加=206弔,

(10.3)

(10.3)

а его дифференциа；!, который дает главную линейную часть вектора смешения MMf и который мы будем обозначать dM, имеет вид

dM = §d%j(f) ez ММ.(10.4)

В силу (10.1) и (10.2) координаты тензора %扶 меняются как сложные функции от /; их дифференциалы при нашем бесконечно малом смещении NIM' вычисляются по формулам

d&i& = ； g； "%厂(1S5)

Тензор с координатами da ^k мы 6典ем называть абсолютным дифференциалом тензора поля

Абсолютный дифференциал "迎炉月 зависит, очевидно, и от точки /И и от данного бесконечно малого смещения из 附 в /И\ То, что это действительно тензор, легко проверить. В самом деле, при переходе к новой координатной системе

е₽ = 2 AP^i(Ю.6)

координаты тензора 。卄在 испытывают преобразование

，pqr = ££』ApiAqjArh%抉;(10・7)

дифференцируя почленно, получим:

dapqr 工^^A^.A^da^,(Ю.8)

так как Api от выбора точки М не зависят и при переходе от М к 用'ведут себя как постоянные.

Таким образом, для da^k также имеет место тензорный закон преобразования.

Как видно из формулы (10.5), дли харакгерметики изменения тензора 口卄也 от точки М к любой бесконечно близкой точке М' нужно знать частные производные от координат тензора aljk по координатам точки%з)，

Мы будем обозначьть для краткости

点=小(29)

*) Смысл термина «абсолютный» выяснится позже, когда абсолютный дифференциал будет рассматриваться в криволинейных координатах (вообще говоря, в пространстве аффинной связности, в частности, в евклидовом пространстве).

Выясним, по какому закону будет происходить преобразование этих величин при переходе к новой координатной системе (10.6).

н £ ^SlX^н £ ^SlX^Как мы знаем, при этом переходе старые координаты точки М выражаются через новые согласно (1.13):

н £ ^SlX^

н £ ^SlX^

(10.10)

Вычислим теперь величины (10.9) в новой координатной системе:

d 而。"一 V dXld 而。"一 V dXl(10.11)(10.11)

d 而。"一 V dXl

d 而。"一 V dXl

(10.11)

(10.11)

Последнее выражение получено по правилу дифференцирования

функции от функции (можно считать а；〃 функциями от х】，х2, х3

причем эти переменные сами являются функциями от х；, Х2, х； в силу (10.10)). Так как согласно (10.10)

и согласно (10.7)

(Api ——величины постоянные), то окончательно (10,1 1) принимает вид

(10.12)(10.12)^saPQr = 5 ^J ^J 5 ^sl^pi^qj^rk^laijk-

(10.12)

(10.12)

Мы видим, что %д/々 преобразуются как координаты четырехвалентного тензора (при трехвалентном исходном тензоре aQ.

Наши рассуждения дословно повторяются и при любой валентности исходного тензора. Таким образом, получаем следующий результат. Совокупность всех частных производных 1-го порядка {например, V|O〃％) от координат тензора поля по координатам xz той точки, где этот тензор в данный момент рассматриваетсяч образует снова тензор на единицу высшей валентности,、 а именноч в качестве добавочного индекса появляется индекс той координаты, по которой берется производная.

Новый тензор Г科诉 можно построить в любой точке М области Q, так что по существу мы из тензорного поля 。厅々 получили новое тензорное поле Vq及.

Тензор поля Vfiijk взывается абсолютной производной тензора поал.

Формулу (10.5) теперь можно переписать в виде

^Дijk ~ ^j ^^l^Lai/А(10.13)

и понимать в том смысле, что тензор d%抉 есть результат свертывания двух тензоров dxL и R卩仃壮

В качестве простейшего случая рассмотрим дифференцирование скалярного ноля

〃 =а (М) = а х2, /)•(10.14)

Абсолютная производная есть одновалентный тензор

券.(10.15)

Как и всякий одновалентный тензор, ?『а может быть истолкован как вектор с теми же координатами. Этот вектор называется градиентом скалярное。поля

grad а = N Vz-^-ez.(10.16)

Формула (10.13) принимает вид

=2d&T№ — "M・grad а.(10.17)

Последняя запись в виде скалярного произведения легко получается при помощи формул (10,4) и (10.16),

Итак, дифференциал ска/兄ра а (М) при бесконечно малом сме

щении ММ равен скалярному произведению дифференциала радиуса- сектора施на градиент скалярного 几о/兄，

Градиент скаа兄риоео 几о/兄 определяется, разумеется, в каждой точке области Q, в которой скалярное поле задано, и образует векторное поле.

Приведем примеры.

1°. Силовое поле F (М) (где F (М)——напряженность поля, т. е. сила, действующая в точке М на единицу заряда (массы)) называется потенциальным, если F (М) в каждой точке есть градиент некоторого скалярного поля а (М):

F = grada.(10.18)

Функция а (М) называется потенциальной функцией данного силового поля и лишь знаком отличается от его потенциала.

Физический смысл формулы (10.17) состоит в том, что приращение потенциальной функции при бесконечно малом смещении ММ'

равно работе, производимой силой поля при этом же смещении над единицей заряда (массы). Правда, в формуле (10.17) выписаны не сами названные величины, а их главные линейные части, но если (10.1 7) почленно проинтегрировать по какому-либо пути, то наше утверждение оправдается, и притом для любого конечного пути (а не только для бесконечно малого).

2°. Рассматриваем скалярное поле а (附),где а (Л4) выражает давление в произвольной точке идеальной жидкости, заполняющей некоторую область Q, Тогда grad а имеет следующий физический смысл: вектор

F — — grad a ds(10.19)

выражает равнодействующую сил давления, приложенных к элементарному объему ds.

3°. Скалярное поле а (Л1) выражает температуру в различных точках однородного, но неравномерно нагретого тела. Здесь вектор

F — — A grad а(10.20)

выражает плотность теплового потока, идущего от более теплых, к более холодным местам тела;々 ——коэффициент теплопроводности. Более подробно, роль вектора F состоит в том, что тепловой поток в каждой точке идет по его направлению, причем через ортогональный к F элемент площади do за единицу времени проходит количество тепла, равное |F|do.

Дифференцирование одновалентного тензора

Пусть в некоторой области 62 нам дано одновалентное тензорное иоле

а； = & (Л7)—叫(％i，Ат?,尤з),(1 1.1)

или, что то же самое, векторное поле

а = а (Ж) = ^ а； (М) е?.(11.2)

Его дифференцирование, которым мы сейчас займемся, исключительно важно для приложений. Формулы (10.5), (10.13) для Hauiero случая примут вид

dai^H~dxi^lL^iaiaxi-(11.3)

///

Абсолютная производная представляет собой в нашем случае поле двухвалентного тензора, координаты которого мы обозначим: да；

0" = ?0，=阪，(11.4)

Вводя обозначение 〃〃 для координат тензора, мы сознательно сделали так, чтобы индекс дифференцирования занимал второе место.

Двухвалентному тензору。葭 всегда отвечает, как мы знаем, аффинор 91 с теми же координатами а”. Вместе с тензором а〃 аффинор 旣 определится в каждой точке М, так что мы получаем аффинерное поле

班=班(44).(11.5)

Итак, абсолютной производной вектора поля а (М) можно считать аффинор поля Э1 (М), где координаты аффинора определяются через координаты вектора по формуле

Этот аффинор мы будем называть производным аффинором векторного поля а (М).

Перепишем теперь (11.3) в виде

da尸不。“К，(117)

где дифференциалы взяты при произвольном смешении из данной точки М в бесконечно близкую точку АГ. При этом согласно (10.4) d巧一координаты вектора dM ^ ММ\ a da- — координаты вектора da, что легко получить, дифференцируя (11.2) почленно:

В таком случае (11.7) можно переписать в виде

da = ?Х dM.(11.8)

В самом деле, (11.7) можно рассматривать согласно (3.13) как координатную запись действия аффинора 31 на вектор dM, причем получается вектор da.

Итак、 абсолютная производная 91 (М), действуя на вектор dM ММ1, дает вектор da (М) ^ Аа (М). Пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, можно сказать, что 91 (/И), действуя на.

вектор бесконечно малого смещения ММ't дает соответствующее при- расценив вектора поля а(Л4):

а (”)一а (М) = Да (М) -3(z,(11.9)

где z — ММ'.

Аффинор 31 (Л4) можно разложить (§ 8) на симметрическую и кососимметрическую части:

奴(М) =纷(М)十①(М),

(11.10)

причем координаты

Здесь

а?， разложатся соответственно

%产btj+Cjj.

(1LH)

hH

=^ (a +％)= 4■患十霜，

(1L12)

1 ..1даД

(11.13)

■Формула (11.8) принимает вид

da = 33dM +(idM.(11.14)

Действие аффинора б можно заменить согласно (5.6) векторным умножением (слева) на определенный вектор и, координаты которого в правой координатной системе выражаются через координаты аффинора по формулам (5.3). В нашем случае эти формулы принимают вид (после почленного умножения на 2, что будет для нас удобно в дальнейшем):

2旬=-2c23

(11.15)

Формулу (11.14) можно теперь переписать следующим образом:

da = 55 dM + [u dM].da = 55 dM + [u dM].(11.16)(11.16)

da = 55 dM + [u dM].

da = 55 dM + [u dM].

(11.16)

(11.16)

Так как вектор и определяется вместе с аффинором (5 (М) в каждой точке М области й, то он образует векторное поле

и = и(Л4),

порожденное, как мы видим, исходным векторным полем а (Л4).

Удвоенный вектор u (Af) называется ротором векторного поля а (М) и обозначается rot а. Итак:

за = 2и = е1農-粉)十ez盘-图十e3瑞-釣=

% е2 е?

д

д

д

0%1

дх2

4

口2

口3

(11.17)

Мы пользовались здесь формулами (11.15)

В правильности последней записи rot а в виде символического определителя 3-го порядка нетрудно убедиться, развертывая его по элементам первой строки.

Что касается симметрического аффинора 少(М), то он не может быть охарактеризован столь же просто, как (S (Af). Во многих приложениях играет роль не столько он сам, сколько его след совпадающий, между прочим, со следом аффинора §1(М), т. е. с £ а〃・. Действительно,

2 аа~ 2 (^ii + сц} ~ 2 ^if> так как %尸 0.

След аффинора 91 (М) есть инвариант, зависящий вместе с самим аффинором от выбора точки М.

След аффинора 91 (Af) называется дивергенцией исходного векторного поля а (М) и обозначается diva:,

diva=£4『工6"=工欝.diva=£4『工6"=工欝.(11.18)(11.18)

diva=£4『工6"=工欝.

diva=£4『工6"=工欝.

(11.18)

(11.18)

Дивергенция образует, таким образом, скалярное поле, порожденное данным векторным полем а (兩).

§ 12. Кинематическое истолкование векторного поля и его производного аффинора

Построения предыдущего параграфа получают наглядный кинематический смысл, если исходному векторному полю

а = a (Af) = ? а{ (М) е?а = a (Af) = ? а{ (М) е?(12.1)(12.1)

а = a (Af) = ? а{ (М) е?

а = a (Af) = ? а{ (М) е?

(12.1)

(12.1)

придать следующее истолкование. Пусть область Q, 8 которой задано векторное 几。』е, заполнена некоторой подвижной деформирующейся средой^ например жидкостью, 〃 пусть вектор a (Af) выражает ту скорость, с которой движется частица жидкости, находящаяся 6 данный момент 6 точке М.

Для простоты движение жидкости будем считать стационарным, т. е. поле скоростей а (Л4) не зависящим от времени.

Спрашивается, какой кинематический смысл получает производный аффинор 21 нашего векторного поля.

Для этой цели мы проследим, что делается с бесконечно малой «каплей» жидкости в процессе ее движения. Вырежем из жидкости шарик с центром в какой-нибудь точке Мне бесконечно малым радиусом р. С течением времени жидкость, заключенная в этом шарике, перемещается с общим потоком жидкости, одновременно вращаясь и деформируясь. Этот процесс мы и проследим.

Каждая точка, увлекаемая потоком жидкости,— мы ее будем кратко называть «частицей жидкости» ——описывает с течением времени t определенную траекторию

%]=%](/), ”2=”2(，)，"з = %3(，)・ (12*2)

При этом проекции вектора скорости на координатные оси равны, как известно, ^~ (Z = 1, 2, 3). С другой стороны, вектор скорости совпадает в каждой точке М с вектором поля а(М), и его проекции равны at (Л4), т. е. ai (xr, х2, х3). В результате

dt ~ й/ (^i5 尤а，%з) (• = 1,2, 3)’ (12.3)

Таким образом, функции (12.2) должны удовлетворять системе ■обыкновенных дифференциальных уравнений (12.3).

Частица жидкости, находящаяся в данный момент в точке Л4, спустя бесконечно малый промежуток времени е сместится на вектор Еа (Л1)> если пренебрегать бесконечно малыми высшего порядка.

В самом деле, скорость движения частицы жидкости в данный момент выражается вектором а(Л4), и если бы эта скорость оставалась постоянной, то за время е смещение частицы точно выразилось бы вектором Еа (/И).

Но так как скорость движения частицы зависит от ее положения, го в процессе движения скорость будет, вообще говоря, меняться. Однако за бесконечно малый промежуток времени она успевает измениться, начиная от значения а (М), лишь на бесконечно малую величину. В результате Еа (М) дает смещение с ошибкой бесконечно малой высшего порядка (грубо говоря, бесконечно малая ошибка в скорости умножается еще на е).

Будем рассматривать смещения всех, частиц жидкости за бесконечно малый промежуток времени е, пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка относительно е. Тогда эти смещения можно считать равными £а(Л4), где М ——начальное положение частицы жидкости.

порядка не только нужно оговорить висимые друг отпорядка не только нужно оговорить висимые друг от

порядка не только нужно оговорить висимые друг от

порядка не только нужно оговорить висимые друг от

Пусть М — какая-нибудь точка в шарике бесконечно малого радиуса р с центром в М. Подвергнем все точки шарика указанному смещению; в частности, точки М, Мг переходят в некоторые точки Lr (рис. 3).

При этом, как мы знаем,

(12.4)(12.4)ML ^ еа (Л4), АГ厶'^ еа (ZVT).

(12.4)

(12.4)

Нас интересует, что произошло в результате смещения с вектором 也М, ведущим из центра шарика М в его произвольную точку ЛГ. Очевидно, он перейдет в вектор ££', который можно представить в следующем виде:

Ц1 ^=LM^ ММ + JF2 = MMr + {MU — l^L} и

就’+£(а(”)一а(Л1))・ (12.5)

В дальнейшем мы пренебрегаем бесконечно малыми высшего

относительно е, но и относительно особо, так как е и р — неза- друга бесконечно малые. Тогда

можно принять согласно (11.9)

а (ЛГ) —а (М) = Да (Л4) ^ ?(z,

где z — краткое обозначение для 也”. Теперь (12.5) дает:

LLr ^ z -}- e^z = (Е4- е?1) z.(12.6)

Итак, преобразование вектора 也也' в вектор LLf происходит (с указанной степенью точности] посредством аффинора 七 + 匕31, где ?1 — производный аффинор векторного поля скоростей, а £ —— протекший бесконечно малый промежуток времени.

Другими словами, бесконечно малые векторы, исходящие из центра М первоначальной «капли»

(т. е. нашего шарика радиуса р), переходят в векторы, исходящие из центра 厶 смещенной (и деформированной) капли, п(а- вергаясь действию аффинора E + e?L Но действие такого аффинора, как мы знаем (§ 8), сводится к чистой деформации, порождаемой аффинором Е-|- е®, н к повороту посредством аффинора Е + е(В. При этом 安 и Й —симметрическая и кососимметрическая части аффинора 必. В нашем случае их координ^ги

выражаются согласно (11.12) и (11.13). так как у нас Ш (Л4) — производный аффинор векторного поля а (2И).

8 результате бесконечно малая шаровая капля жидкости за бесконечно малый промежуток времени 8 подвергается (помимо параллельного сдвига вместе со своим центром М на вектор ML га (Л4)), во-первых, бесконечно малой чистой деформации f + еЗВ, т. е. растяжению (сжатию) по трем взаимно ортогональным направлениям^ превращаясь из шара е эллипсоиду и, во-вторых, вращению 万十石区 В силу (8.13) это вращение происходит с вектором угловой скорости и, который согласно (11.17) равен в нашем случае 攵 rota.

Вращение любой бесконечно малой капли жидкости в процессе ее движения происходит с (переменным) вектором угловой скорости, равным в каждой точке -^- rot а, где а ——векторное поле скоростей.

Аффинор ® называется аффинором скоростей деформации, а соот~ ветствующий тензор

行=4"(芻+ 芻)(12.7)

——тензором скоростей деформации.

Как отмечалось в § 8, коэффициент объемного расширения при действии аффинора f 4- е91 равен (согласно (8.15)):

= 1 十 6 a.

Но в нашем случае в силу формулы (11.18)

二 〃Ldiva, и следовательно,

—=1 +е div а.

Отсюда видно, что в процессе движения жидкости относительное объемное расширение 0 каждой ее бесконечно малой капли за бесконечно малый промежуток времени е равно е div а (т. е. происходит со скоростью div а):

S^ediva二е£Ь" (гае 8 =匕工丿)•(12.8)

В этом и заключается кинематический смысл дивергенции векторного поля.

Отметим важные частные случаи.

Векторное поле а (М) называется соленоидальным, если

diva (М) = 0.(12.9)

В нашем кинематическом истолковании это означает, что объемное расширение происходит с нулевой скоростью, т. е. любая пространственная область, заполненная частицами жидкости в начальный момент, с течением времени смещается и деформируется, не меняя своего объема (строго говоря, это показано у нас лишь для бесконечно малых капель жидкости, и переход к конечному объему требовал бы еще некоторых рассуждений). Таким образом, условие (12,9) при кинематическом истолковании векторного поля а(М) означает несжимаемость жидкости.

Векторное поле а (Л4) называется потенциальныму если а (М) представляет собой градиент некоторого ска;тярного поля

а (W) = grad а(Л4).(12.10)

Согласно (10.16) координаты вектора а (М) выражаются формулами:

%=芻(，== 1,2,3).(12.11)

Отсюда, в частности, вытекает, что для потенциального поля rot а (вычисляемый по формуле (11.17)) тождественно равен нулю:

rota = 0.(12.12)

Возвращаясь к кинематическому истолкованию^ рассмотрим случай потенциального поля скоростей а (М). Тогда обращение в нуль rot а означает, что вращение любой бесконечно малой капли жидкости происходит с нулевой угловой скоростью, т. е. в каждый бесконечно малый промежуток времени капля испытывает лишь смещение и чистую деформацию. Движение жидкости — незавихренное. Условие (12.12), т. е. незавихренность движения жидкости, является и достаточным для того, чтобы поле скоростей было потенциальным, по крайней мере, в любой односвязной области Q. Действительно, из (12.12) в силу формулы (11.17) вытекает:

да3 да2 — ° да、 Оа%дх2 0%'0%з дх^да3 да2 — ° да、 Оа%дх2 0%'0%з дх^0。2 О/0。2 О/daj_daj_0,0,(12.13)(12.13)

да3 да2 — ° да、 Оа%

дх2 0%'0%з дх^

да3 да2 — ° да、 Оа%

дх2 0%'0%з дх^

0。2 О/

0。2 О/

daj_

daj_

0,

0,

(12.13)

(12.13)

а при этих условиях в односвязной области всегда можно подобрать скалярное поле а (М) такое, что az выражаются согласно (12.11), т. е.

а (М) = grad а (附).

Малая деформация твердого тела

Все, что было сделано в § 12 для течения жидкости, применимо в известном смысле и для малой деформации твердого тела. Аналогично предыдущему мы будем представлять себе, что а (М) есть поле скоростей, но теперь уже частиц твердого тела.

Однако перемещение частиц твердого тела мы будем допускать лишь в течение некоторого малого промежутка времени е, в результате чего получается малое, но конечное смещение каждой точки М на вектор еа (/И). Это малое смещение точек твердого тела мы и будем рассматривать.

Итак, разница по сравнению с трактовкой течения жидкости заключается в следующем. Раньше промежуток времени е был бесконечно малым, т. е. ^стремящейся к нулю переменной величиной. Теперь е — малая постоянная величина. Раньше за время е происходила лишь бесконечно малая доля неограниченно продолжающегося процесса течения жидкости. Теперь за малый промежуток времени е происходит и заканчивается весь процесс смещения частиц твердого тела. Добавим к этому, что в данном случае нас интересует не сам процесс смещения, а только его результат, т. е. тот факт, что каждая точка 7И сместилась на малый вектор еа (Л).

Если мы говорим все-таки о процессе смещения, то в сущности лишь условно, чтобы подогнать наши построения под предыдущие результаты и не повторять снова почти тех же рассуждений. Строго говоря, нас интересует лишь векторное поле окончательных перемещений, которое мы будем обозначать:

w(M) = &a(M). (13.1)

Разделение же w (Л) на множители е и а(М), как было сказано, является по существу условным.

Несмотря на то, что е уже не бесконечно малая величина, мы по-прежнему будем пренебрегать малыми второго порядка относительно е. При достаточно малых деформациях твердого тела это приближение является практически допустимым, и на нем основывается простейшая (линейная) форма теории упругости.

В таком случае результаты § 12 переносятся и на наш случай, а именно, мысленно вырезанный из твердого тела бесконечно малый шарик радиуса р с центром в точке М испытывает (помимо параллельного сдвига вместе со своим центром на вектор w(/W)), во-первых, чистую деформацию £十&少，во-вторых, поворот Е + ь^. Оба аффинора применяются к бесконечно малым векторам, исходящим из центра шарика.

При этом здесь играют роль лишь те малые добавки 干方,е(£, коюрые делаются к единичному аффинору Et а не 53 и (£ в чистом виде.

Соответственно

обозначим координаты этих аффиноров:

~да；

勺尸Ёa〃 = £丙，

4尸叫丿7(符十鄒，｝(13.3)

-e /дa； da/\

(13.2)

Мы воспользовались здес1 Так как ва (М) = w (/И),

】формулами (11.12), (11.13).

а значит, еа■= wz, то окончательно

получаем:

勺尸

翁，（134）

cij =

^儒一第.。3.6）

Введем обозначения:敏= e2(,易=£泣 6 = eе.Введем обозначения:敏= e2(,易=£泣 6 = eе.Так выражаются через se/стор поля перемещений w (М) координаты аффиноров 贸,Й,⑥,причем чистая деформация и вращение бесконечно малого шарика с центром в точке М вызываются соответственно аффинорами 万十 势,£十位(воздействующими на всевозможные бесконечно малые векторы, отложенные из точки М внутри этого шарика).

Введем обозначения:

敏= e2(,易=£泣 6 = eе.

Введем обозначения:

敏= e2(,易=£泣 6 = eе.

Аффинор В называется аффинором деформаций и соответствующий ъензор %/ —— тензором деформаций. Если предположить тело упругим, то упругие силы, развивающиеся в нем, определяются в каждой точке тензором деформаций, так как аффинор £+位 создает лишь поворот, а следовательно, не меняет взаимного расположения частиц тела в пределах вырезанного нами бесконечно малого шарика.

В формулах (13.3), (13.4) малый множитель е включен в рассматриваемые величины 〃 в явном виде не выписывается. Поэтому нужно просто помнить, что координаты 叫 вектора перемещения w н их частные производные ^ мы считаем величинами малыми, так что их квадратами можно пренебрегать (сравнительно с 1). Очевидно, то же относится и к координатам тензоров &」• и с〃.

Отметим еще, что относительное объемное расширение будет равно в нашем случае (согласно (12.8) и принимая во внимание

соотношение (13.1)):

0 div w (Л1). (13.7)

При этом, умножая почленно (11.18) на е, мы имеем:

div w = ££" = £&,• =£察 (13.8) £ i i г

Тензор напряжений

Пусть упругое тело подверглось некоторой деформации, и в нем появились упругие напряжения. Это означает следующее.

Рассмотрим какую-нибудь плоскую площадку, мысленно внесенную нами внутрь упругого тела и там как-либо установленную. Проведем нормаль к этой площадке и выберем какое-либо из двух направлений на нормали за положительное. Площадку мы в этом случае будем называть ориентированной.

Вблизи данной ориентированной площадки упругое тело будет рассечено ею на две части: одна из них расположена с положительной стороны площадки (т. е. в сторону положительного направления нормали), другая — с отрицательной стороны.

Наличие в теле напряжений означает, что первая из этих частей действует на вторую через отделяющую их площадку с известной силой. Эту силу мы будем называть силой напряжения, действующей на данную ориентированную площадку. Разумеется, вторая часть тела также действует на первую (по закону равенства действия и противодействия), но, чтобы при подсчете силы напряжения не сбиваться в знаке, мн условимся рассматривать действие именно первой части на вторую.

Охарактеризовать напряжения, существующие в теле, значит уметь установить силу напряжения для любой ориентированной площадки, указанной в теле.

Однако наша постановка вопроса является слишком грубой и нуждается в уточнении. Дело в том, что сила, действующая на площадку, большей частью непрерывно по ней распределена, и это распределение также должно быть указано.

Другими словами, мы должны указать силу, приложенную к каждому элементу (к каждому бесконечно малому кусочку) нашей площадки.

Это показывает нам, что нет смысла класть в основу рассмотрение конечных площадок, а нужно ограничиться площадками бесконечно малыми. Так мы и поступим.

Выберем произвольно какую-нибудь точку М в рассматриваемом теле и будем проводить через нее всевозможные ориентированные бесконечно малые площадки. Каждую из этих площадок мы будем

характеризовать, во-первых, единичным вектором п, направленным по ее нормали в положительную сторону, и, во-вторых, ее плошадью dS. При* этом мы представляем себе дело так, что вектор п является для данной площадки постоянным; следовательно, ортогональная к п плоскость, проходящая через 附,в которой расположена площадка, тоже постоянная, но сама площадка ——переменная и стремится стянуться в течку М; при этом dS—>0.

Форма площадки нас интересовать не будет.

Более коротко нашу площадку можно задать одним бесконечно малым вектором

s = MS,(14.1)

по которому, очевидно, можно определить и п, и dS (п — как единичный вектор того же направления, a dS — как модуль).

Обозначим F силу напряжения, действующую на площадку s. Естественно предположить, что в данной точке М и при данном п сила F, действующая на площадку, пропорциональна (пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка) ее площади dS.

Тем самым сила F не зависит от формы площадки и вполне определяется вектором площадки s, причем при умножении s на число на то же число умножается и F. Итак, F мы должны искать как функцию от s:

F = ^(s),(14.2)

учитывая, что для всякого числа а

夜(叫=吟(5).(14.3)

Последнее показывает, что достаточно знать 岩(и), чтобы определить и 窖(s)：

F =宫(s)=衣(и dS)=衣(n) dS.(14.4)

Кроме того, отсюда видно, R (и) выражает силу напряжения на данной площадке, отнесенную к единице площади, т. е. напряжение Р на данной площадке. Итак,

F = PdS.(14.5)

Характер зависимости 齿(п) выводится в курсах теории упругости из некоторых механических соображений, которые мы повторять здесь ие будем. Воспользуемся готовым результатом *), а именно, оказывается, что в произвольной координатной системе проекции напряжения Р = * (и) на координатные оси выражаются линейно через направляющие косинусы положительной нормали п, т. е. в наших

См., например, М. М. Филоненко-Бородич, Теория упругости изд. 3-е, Гостехиздат, М.~ Л., 1947, § 3, формулы (1.8).

обозначениях через координаты 仆，几,，п3 единичного вектора п：

"1 =力 1〃1 + /12〃2 + /13〃3> I

?=/21〃1+/22〃2+/23"3，｝(14.6)

"з F /з1〃1 + /з2Л2 + /зз^з-)

Мы обозначили /1Ь 力?, . . . напряжения Хх, Х?, . . . на площадках, параллельных координатным осям. В данной координатной системе и в данной точке М это будут постоянные величины.

Запишем (14.6) в наших кратких обозначениях

匕=2力/〃 尸(14.7)

Умножим эти равенства почленно на 〃S. Тогда вектор Р согласно (14.5) превратится в F, а вектор п в силу формулы (14.1) в s, и мы получим:

尸，=?力丹、(14.8)

Таким образом, для всевозможных бесконечно малых ориентированных площадок, проведенных через данную точку М, координаты вектора силы F линейно выражаются через координаты вектора площадки S, а следовательно, сила F получается из вектора площадки s действием на него некоторого аффинора 府 с координатами

F = 8s.(14 9)

В самом деле, из линейного характера формул (14.8) сейчас же следует, что для функциональной зависимости F = ^ (s) соблюдается свойство 取(Si + в?)=咅(S1)+ 注($2)， что в сочетании с (14.3) и означает, что эта зависимость является некотором аффинором (см. § 3).

Этот аффинор 疗 называется аффинором напряжений, а соответствующий ему тензор /-у ——тензором напряжений.

В каждой точке М будет свой тензор напряжений, так что в деформированном упругом теле возникает поле тензора напряжений.

Чтобы уяснить себе смысл координат тензора напряжений в данной точке Л4, достаточно, например, положить п = ег.

Тогда

〃]=1, 〃2 = 〃з = °，

и формулы (14.6) дают

Р\ = f^2 ~ /21，Rj h 倉(14 10)

Мы получаем координаты наиряжения Р на площадке, ортогональной к et.

Таким образом,丿疗 выражает i-ю координату напряжения Р на площадке, ортогональной к у-му орту е『(/, /= 1, 2, 3).

Из механических соображений можно получить, далее, что тензор напряжений должен быть симметрическим *)

fij^fji-(14.11)

Тензор напряжений возникает не только в деформированном упругом теле, но и, например, в жидкости. Если жидкость идеаль- 咒а兄,т. е. силы внутреннего трения отсутствуют, то сила напряжения F, действующая на площадку, может быть лишь силой нормального давления на эту площадку, т. е. направлена по нормали п (в отрицательную сторону). Так как вектор площадки s тоже всегда направлен по п, то в формуле (14.9) функция F оказывается всегда коллинеарной с аргументом s, т. е. у аффинора 夜 все направления собственные.

Исследуя собственные направления симметрического аффинора (§ 7), мы обнаружили, что этот случай возможен лишь тогда, когда действие аффинора сводится к умножению на некоторое определенное число. Следовательно,

F = a$=—ps, т. е.轡=—pEt(14.12)

где число——р означает взятое с обратным знаком давление в данной точке жидкости. Тензор напряжений имеет в этом случае вид

力尸 0 (/#=/),九=—Р・(14.13)

Если же жидкость вязкая, то тензор напряжений не обязан иметь столь простой вид, так как помимо нормального давления на данную площадку действуют еще силы, порождаемые трением.

Зависимость тензора напряжений от тензора деформаций

Основой теории упругости является установление зависимости тензора напряжений от тензора деформаций. В самом деле, каждый элемент деформированного упругого тела испытывает, как мы знаем, параллельный сдвиг, поворот и чистую деформацию. Только последняя вызывает появление упругих сил, а следовательно, тензор напряжений должен в каждой точке тела зависеть от тензора деформаций, который как раз и выражает чистую деформацию. Если такая зависимость будет установлена, то становится ясной и основная схема теории упругости, которая в грубых чертах такова: ускорения, испытываемые частицами упругого тела, зависят от напряжений в нем, эти последние зависят от тензора деформаций, а тензор деформаций выражается уже известным нам образом через переме-

")См. там же, § 2, формулы (1.6).

3 П. К. Рашевский

66 ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. I щения частиц тела. Следовательно, ускорения частиц тела выражаются в зависимости от их перемещений, что и приводит к основным дифференциальным уравнениям теории упругости.

Итак, речь идет о зависимости тензора напряжений /〃 (§ 14) от тензора деформаций “了 (§ 13).

В первом приближении (как это большей частью и делается в теории упругости) эту зависимость можно считать линейной. Для однородных и изотропных тел она имеет вид

/" =入96,7 + 2必". (15.1)

Здесь X и 卩——коэффициенты Ламе, постоянные для данного тела, а 0 — относительное объемное расширение (13.7):

О =2^7- (15.2)

Разумеется, 9 ——инвариант преобразования координатной системы и по своему геометрическому смыслу, и как след аффинора 23. Обратим внимание на инвариантный характер зависимости (15.1): в какой бы координатной системе ни вычислять /〃• по этой формуле, они всегда будут служить координатами одного и того же тензора.

В самом деле, /〃 получаются сложением координат двух тензоров, из которых один ——единичный тензор 3〃， умноженный на инвариант Х9, а другой ——тензор деформаций 方夕 умноженный на инвариант (и даже константу) 2卩・ Операция носит, таким образом, тензорный характер. Легко заметить, что три взаимно ортогональных собственных направления являются общими для тензора деформаций и для тензора напряжений (главные оси деформаций и напряжений). В них картина деформаций и напряжений становится особенно простой.

На обосновании формулы (15.1) мы останавливаться не будем, отсылая за этим к курсам теории упругости.

Несколько иной вид принимает зависимость (15.1) в случае жидкости (вообще говоря, вязкой). Аффинор напряжений ^ состоит здесь из двух слагаемых 咅，п,若色》,первое из которых представляет собой реакцию жидкости на изменение ее формы. Его мы сейчас и рассмотрим. Жидкость не оказывает сопротивления изменению ее формы, если это изменение уже произошло, однако оказывает сопротивление в самом процессе изменения, что и выражается в силах внутреннего трения.

Поэтому та часть тензора напряжений, которая связана с силами внутреннего трения, будет зависеть не от аффинора деформаций JJ, а от аффинора скоростей деформации 03 (12.7) с координатами

夕X需+符》 (15.3)

Здесь, как и в § 12, ai ——координаты вектора поля скоростей а(М).

При этом нужно учитывать даже не весь аффинор скоростей деформации 安,а только ту его часть 券(〔,которая отвечает изменению формы элемента жидкости,, откинув другую часть 券亟),отвечающую лишь изменению объема.

Говоря точнее, мы разлагаем аффинор 通 на два слагаемых:

53 = ®〕+必⑵(154)

таким образом, чтобы 33(» имело вид

а» =比(15.5)

и? следовательно, вызывало бы в элементе жидкости происходящее с известной скоростью преобразование подобия.

Действительно, как мы знаем из § 12, за бесконечно малый промежуток времени £ элемент жидкости подвергается деформации при помощи аффинора 七 + 后纷；в том числе за счет 界(2) получается аффинор

Е + £®2}=(1+£б)Е,(15.6)

который означает преобразование подобия с изменением линейных размеров в отношении 1十£瓦 Коэффициент b в формуле (15.5) мы выбираем так, чтобы, это преобразование подобия могло принять на себя все изменение объема элемента жидкости. Тогда оставшееся слагаемое 33")определяет как бы чистое «изменение формы» элемента жидкости без изменения объема. За возникновение сил внутреннего трения мы будем считать ответственным именно это первое слагаемое ЙЗШ. Действительно, второе слагаемое 挚色)означает лишь преобразование подобия, т. е. равномерное объемное ^расширение (сжатие) элемента жидкости; это изменяет лишь давление р (в более детальной теории соответствующее слагаемое в р рассматривается отдельно).

Подсчитаем теперь коэффициент Ь. Преобразование подобия (15.6) означает изменение объема в отношении

(1 +左)3大；1 +3 俄.(15.7)

Мы откинули здесь бесконечно малые высшего порядка относительно а

Поскольку преобразование подобия (15.6) мы подбираем так, чтобы оно приняло на себя все изменение объема^ нам приходится положить:

3b= diva =工瓦订(15.8)

Действительно, как видно из (15.7), при нашем преобразовании подобия относительное объемное расширение за время е равно ЗЬе-

Оно должно совпадать с имеющим место в действительности относительным объемным расширением (12.8), откуда и получаем (15.8). Итак, мы от аффинора скоростей деформации ® отщепляем аффинор

必⑵=^ div а •吕(15.9)

прин；1мающий на себя все изменение объема элемента жидкости, а оставшийся аффинор

行⑴= ^_^diva■吕(15.10)

означающий лишь изменение формы без изменения объема, считаем целиком ответственным за возникновение сил внутреннего трения.

В гидродинамике принимается, что в изотропной вязкой жидкости первая часть ^у11) аффинора напряжений 帝，вызванная силами внутреннего трения, пропорциональна аффинору 苏⑴：

方 1)= 2k33(1)= 2n{分—gdiva E%(15.11)

Коэффициент 卩——для данной жидкости величина постоянная —— называется ее коэффициентом вязкости.

Если записать (15.11) в координатной форме, то получим:

野=2卩卜"—Rvaq.},(15.12)

где bjj определяется по формуле (12.7), а 6炉——координаты единичного аффинора Е Как легко проверить, пользуясь (15.8), след аффинора 穹⑴-равен нулю.

Вторая часть 霽电)аффинора напряжений 帝,не связанная с силами внутреннего трения, принимается такой же, как н в идеальной жидкости, где эти силы полностью отсутствуют. В силу (14.12) получаем:

&(2>=—叫(15.13)

где р=р (ЛТ)——давление в данной точке жидкости (в данном случае после исключения сил внутреннего трения).

В координатной записи:

fii' = —P^ij-(15.14)

Складывая почленно (15.11) и (15.13), получим окончательное выражение тензора напряжений:

衣=2卜* [»—у diV а ■ £у—рЕв(15.15)

Соответственно в координатах:

—^- diva* "j—рб；广—^- diva* "j—рб；广(15.16)(15.16)

—^- diva* "j—рб；广

—^- diva* "j—рб；广

(15.16)

(15.16)

Так как след аффинора 方")равен нулю, то след 若 совпадает со следом 方®), т. е. имеет значение Зр. Отсюда давление р в каждой точке можно вычислить по формуле

卩к 工力广 (15.17)

В случае несжимаемой жидкости, плотность которой р (附)=const,

давление р (附)связывается ными уравнениями движения маться. В случае сжимаемой с плотностью р (Л)抬 constдавление р (附)связывается ными уравнениями движения маться. В случае сжимаемой с плотностью р (Л)抬 constс вектором скорости дифференциаль- жндкости,— ими мы еще будем зани- жидкости р(М) связано, кроме того, определенными соотношениями, кото

давление р (附)связывается ными уравнениями движения маться. В случае сжимаемой с плотностью р (Л)抬 const

давление р (附)связывается ными уравнениями движения маться. В случае сжимаемой с плотностью р (Л)抬 const

рыми мы заниматься не будем.

Поток векторного поля через поверхность

Возвратимся к общей теории векторного поля а (М), Пусть нам дана некоторая ограниченная кусочно гладкая поверхность S Это значит, что она склеена из конечного числа ограниченных кусков, на каждом из которых (включая границу куска) она обладает непрерывно меняющейся касательной плоскостью. Говоря более точно, мы требуем, чтобы поверхность могла быть склеена из конечного числа кусков, каждый из которых при подходящем выборе координатных осей можно задать уравнением

%3=/(%1，%2)， (16.1)

где У} %?) — функция с непрерывными частными производными 1-го порядка, определенная в некоторой области D на плоскости %d %2； ПРИ этом D ограничена кусочно гладким (не самопересекаю- щимся) контуром. Функция / определена на Q, включая и ее границу. Далее предполагается, что склеивание производится так, что кусочек поверхности в окрестности каждой точки склеивания допускает взаимно однозначное и непрерывное отображение на кружок.

В дальнейшем мы будем рассматривать только такие поверхности. Кроме того, мы будем считать, что поверхность двусторонняя и, следовательно, ее нормаль (определенная во всяком случае на каждом отдельном ее куске) может быть снабжена положительным направлением так, что единичный вектор п, идущий в этом наирав-

называется взятый 〃оназывается взятый 〃о

называется взятый 〃о

называется взятый 〃о

лении, указывает в местах склейки «в одну и ту же сторону» от

поверхности, независимо от того, какому из склеиваемых кусков он принадлежит. Конечно, предполагается, что в пределах каждого

отдельного куска вектор п меняется от точки к точке непрерывно.

Если поверхность ограничивает некоторое пространственное тело, то вектор п мы будем направлять по внешней нормали, если же нет, то предполагаем, что выбор п произведен каким-нибудь одним из двух возможных способов.

Поверхность S мы будем называть в этом случае ориентированной и только такие поверхности будем рассматривать.

Если поверхность S помещена в той области Q, в которой задано векторное поле а(Л4), то для этой поверхности можно определить важное понятие потока векторного поля.

Потоком векторного поля а (Л4) через данную поверхность S

этой поверхности двойной интеграл от элемента

площади dS, умноженного на нормаль- ную составляющую вектора поля а (44):

〃 =j j andS. (16.2)

Так как п — единичный вектор нормали, то скалярное произведение ап выражает как раз проекцию вектора поля а на положительное направление нормали к поверхности. Двойной интеграл по поверхности следует понимать как сумму соответствующих интегралов по гладким кускам, составляющим поверхность.

Значение введенного нами понятия выясняется из следующих примеров.

1°. Пусть а (М)—поле скоростей ста

ционарного движения жидкости (§ 12).

Тогда поток 卩 выражает объем жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность с отрицательной ее стороны на положительную (если жидкость сжимаемая, то объем каждой «капли» жидкости мы оцениваем в момент ее протекания через поверхность S). Разумеется, если течение жидкости происходит в обратном направлении, то поток засчитывается с отрицательным знаком.

В самом деле, за бесконечно малый промежуток времени е частицы жидкости, находящиеся на элементе поверхности dS, сместятся на вектор еа (рис. 4). В результате этого через площадку &S вытеснится некоторый объем жидкости, заключенный в наклонном цилиндре с основанием dS и с образующей, которая совпадает с вектором еа. Этот объем dV мы найдем, умножая площадь осно-

вания цилиндра dS на его высоту к, которая равна проекции образующей 8а на перпендикуляр к основанию &S, т. е. на нормаль к поверхности:

/г = Еап, dV — hdS = Ean dS.

Интегрируя полученный элементарный объем по всей поверхности S, мы видим, что полный объем жидкости, протекающий через S за время е, равен

е § § ап 殴

а за единицу времени он, следовательно, равен потоку р, как видно из (16.2).

Рассуждение, которое мы сейчас провели, нельзя, разумеется, считать доказательством, так как оно было проведено чрезвычайно грубо; мы путали маленький кусочек кривой поверхности dS с кусочком плоскости, переменный вектор а (М) считали в пределах dS постоянным, а в заключение суммирование по кусочкам поверхности подменили двойным интегрированием. Однако это грубое рассуждение содержит правильную идею, и, уточняя его, можно было бы показать, что все допущенные нами ошибки исчезают при предельном переходе к интегралу, так что окончательный результат является правильным. Чтобы не загромождать изложения, мы ограничимся здесь, как и в других примерах этого параграфа, лишь такого рода ориентировочными рассуждениями.

2°. По-прежнему а (附)——поле скоростей стационарного движения жидкости, а р (М} — ее плотность. Тогда поток вектора р (Л4)а(Л1) через поверхность S

§§ pandS(16.3)

дает массу жидкости, протекающую через S за единицу времени.

В самом деле, подсчитывая массу жидкости, протекшую за время е через элемент поверхности dS, мы должны умножить на плотность р соответствующий объем dV:

р dV = Epan dS.

Интегрируя затем по всей поверхности S и относя результат к единице времени (т. е. деля на 8), получаем (16.3).

Возвращаясь к общему определению потока (16.2), отметим, что его (в целях последующих выкладок) можно переписать так:

Р =2 а产jdS.(16.4)

Здесь скалярное произведение векторов а и п записано как результат свертывания соответствующих тензоров.

Поток аффинерного поля через поверхность

Пусть теперь в области Q, где выбрана поверхность S, вместо векторного поля а (М) задано аффинерное поле 21 (Л4), т. е. вместо поля одновалентного тензора ai ——поле двухвалентного тензора 〃厅.

Мы определяем поток, аффинорного поля 31 (М) через поверхность S как взятый по этой поверхности двойной интеграл от элемента площади dS, умноженного на результат действия аффинора W( на вектор единичной нормали п:

(17.1)(17.1)р ~ У У Sin dS.s

(17.1)

(17.1)

Поток р аффинора 31 (М) как результат интегрирования вектора Э(п также будет вектором в отличие от потока р вектора а (附), который представлял собой число.

Что же касается интегрирования вектора Sin, то, не вдаваясь в излишние разъяснения, его можно определить просто как интегрирование каждой из координат этого вектора по отдельности. Тогда формула (17.1) распадется на три координатные формулы:

Р»=\\2% 产 #S (i=l,2'3). (17.2)

и

Мы выразили здесь координаты вектора ЭСп согласно (3.13) при помощи тензорной операции свертывания.

В этой записи обнаруживается .глубокое формальное родство понятий потока векторного поля и потока аффинорного поля. В самом деле, формула (17.2) представляет собой как бы повторенную в трех вариантах (при i=i, 2, 3) формулу (16.4). Этим родством мы в дальнейшем воспользуемся.

Не нужно забывать, что величины л-, 〃‘, стоящие под знаком интеграла (17.2), меняются от точки к точке поверхности, хотя мы и не выписываем явно их аргументов. Аналогично дело обстоит и в ,случае (16.4).

Теперь укажем важнейшее приложение понятия потока аффинора.

Пусть в какой-либо сплошной среде имеются силы напряжения, характеризуемые полем аффинора напряжений 轡 с координатами //у. Составим поток этого аффинора через какую-либо поверхность 5, мысленно построенную нами в рассматриваемой среде. Тогда в силу (17.1)

P=§\%ndS (17.3)

Но подынтегральное выражение согласно (14.4) представляет собой силу напряжения, приложенную к элементарной площадке dS (которая предполагается ориентированной соответственно ориентации всей поверхности S). Поэтому в результате интегрирования мы получаем равнодействующую р всех сил напряжения, приложенных к поверхности S. Таков смысл потока аффинора напряжений.

§ 18. Теорема Остроградского

Теорема Остроградского сводит вычисление потока векторного поля а (М) через замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторое пространственное тело о), к тройному интегралу по этому телу от дивергенции вектора а:

(Bl)(Bl)g § an dS = , , , div a do.Sw

(Bl)

(Bl)

Здесь d(o обозначает элемент объема, п—единичный вектор внеизней нормали. Для доказательства удобно переписать (18.1) в координатной форме:

仃（旬"1』9"2'+。3"3）^=仃5（器 + 器 + 器）加（18.2）

Мы докажем сначала формулу (18.2) в частном случае, когда

что каждая параллель оси

X? пробивает ее не более чем в двух точках. Для краткости будем называть поверхность S в этом случае правильно расположенной. Проектируя S на плоскость Л^Х?, получим на последней некоторую область D (рис. 5). Проводя параллели оси & через

точки М (х1( л：?) области D, мы отмечаем на каждой из них точки 〃，厶2 пересечения с поверхностью S.

Пусть L] расположена «ниже» £?*), т. е. обладает меньшей координатой Ху Когда точка М описывает область D、£】описывает нижнюю часть поверхности S, которую обозначим S» а £2 — верхнюю часть, которую обозначим S2. При этом и для L* и для L? К00Р_ дината х3 меняется в зависимости от 占，х2:

%з =/](%1, %2)(для Li)； I(18 4)

х3 =/2 (х1? %?) (Для 厶2)“ J

Уравнения, которые мы записали, определяют, таким образом, соответственно поверхности S】и S2.

Функции Д, /2 однозначны по определению и непрерывны, как можно вывести из наших общих предположений о характере поверхности S (§ 16).

Вычисляем теперь правую часть (18.3), производя сначала интегрирование по % при данных £, х2 от Д до /2, а затем интегрирование по х15 %2 в пределах области D:

仃0翁3"8 =分f ^dXsdX2dX1 =

COD 3 (勺宀)

H § S {〃3(%L %2‘『2 (“I，%2))〃3(%L %2, /1 (%L %2))} ^修 d/*(】8.5)

С другой стороны, рассмотрим левую часть (18.3), разбивая ее на два интеграла — по S】и по S?:

(18.6)(18.6)%〃з 4S = ) ) “з " + ) ) /а dS.S*S?

(18.6)

(18.6)

*) Или в крайнем случае с ней совпадает (когда М лежит на области £)).*) Или в крайнем случае с ней совпадает (когда М лежит на области £)).Если функция %3=/i(%i, %2) обладает непрерывными частнышр производными 1-го порядка, то для соответствующей поверхности S] элемент площади 4S и единичный нормальный вектор п можно записать, как известно, в виде

*) Или в крайнем случае с ней совпадает (когда М лежит на области £)).

*) Или в крайнем случае с ней совпадает (когда М лежит на области £)).

(18.7)

(18.8)

границе

Знак 士 соответствует тому или другому выбору положительного направления на нормали.

Отсюда, в частности,

(18.9)(18.9)

(18.9)

(18.9)

Так как S】образует нижнюю границу рассматриваемого объема, то внешняя нормаль будет направлена 《вниз» (т. е. в сторону убывания %з), и проекция 〃з вектора п на ось / будет отрицательной; в формуле (18.9) мы выбираем знак минус. Перемножая (18.7) и (18.9), получим：

л3 dS = —dx1 dx2fл3 dS = —dx1 dx2f(18,10)(18,10)и следовательно,и следовательно,

л3 dS = —dx1 dx2f

л3 dS = —dx1 dx2f

(18,10)

(18,10)

и следовательно,

и следовательно,

=—，\ а3 (х1； х2, /К/, x^dx± dx2. (18.11)

В последней записи мы свели интеграл по поверхности S】к двойному интегралу по переменным /, х2, которые пробегают область D、 когда точка пробегает поверхность S> При этом пришлось уже явно указать, что а§ берется для точек поверхности Slt т. е. аргументу х5 придается значение Д (х1? х2).

Совершенно аналогично мы поступаем с интегралом по 52 с то甘 только разницей, что S? ограничивает рассматриваемый объем сверху, вектор п будет направлен 《вверх» (в сторону возрастания х3), и в формуле (18.9) мы должны будем взять знак плюс. Соответственно и в формуле (18.10) знак — заменяется на 十，и мы получаем:

S S %"з dS = , , %(%i，%2, /2(*1，%2)) d% dx^ (18.12)

Две последние формулы позволяют переписать (18.6) в виде

SS§ \ я3л3 dS = — " % (占，xa, /1 (修，/))К dx2 十

S

S

D

+ S S @3(%и %2，『2(%1，%2))d%] dx^

Сравнивая это выражение с (18.5), убеждаемся в справедливости формулы (18.3), которую нам и требовалось доказать.

При доказательстве мы предположили, что 九(％i， х2) (и аналогично /2 (%i，先2))нмеют непрерывные частные производные. В действительности это не везде соблюдается, так как поверхность S, вообще говоря, лишь кусочно гладкая и, кроме того, на ней могут встречаться точки, особенно по линии соединения 5工 и 5力 в которых касательная плоскость параллельна оси Х3.

В таком случае доказательство равенства (18.12) (и аналогично (18.11)) следует видоизменить: сначала это равенство устанавливается для отдельных гладких кусков S?) поверхности S? и соответствующих кусков £)(') области D, откуда почленным сложением приходим к равенству (18.12). При доказательстве равенства для отдельного гладкого куска S〈) мы относим его к параметрам 〃工, причем текущие координаты хг, х2, х3 являются функциями 〃工,〃？ с непрерывными частными производными 1-го порядка.

Из дифференциальной геометрии известно, что тогда

(18.13)(18.13)dS ^У £G—尸 du、小，

(18.13)

(18.13)

3 一 - Peg一直 万e，«2)

d〃idu2d〃idu2*)*)где

d〃i

du2

d〃i

du2

*)

*)

?(/, %2) a(〃i、以2)

В случае S? мы берем л3 положительным, вернее неотрицательным, так как л3 =^ 0 в точках, где касательная плоскость параллельна оси Х2. Следовательно,

公=-上二](18.14)

МEG—户包〃 1，w2)i''

а значит,

〃з^ = |ЯК^"№2・(18.15)

Отсюда

J J。3"3 dS = J j。31 ^ [:: ::: \dui rfw2 = J J。3 dX、 dx^.

S ⑴s(i)O(力

Последний знак равенства поставлен на основании формулы преобразования переменных под знаком двойного интеграла. Этим

равенство (18.12) доказано для отдельных кусков S，)， а значит, и для S?.

Рис. 6.Рис. 6.Аналогично поступаем с S】н его гладкими кусками S? с той лишь разницей, что в формуле (18.14), а значит, и в формуле (18.15), в правой части добавляется знак минус, и мы приходим к (18.11).

Рис. 6.

Рис. 6.

S, ограничиваю-S, ограничиваю-верхностиверхностиИтак, формула (18.3) у нас доказана, правда, пока только для «правильно расположенных» поверхностей £ Но она будет верна и лля произвольной замкнутой по-

S, ограничиваю-

S, ограничиваю-

верхности

верхности

щей некоторое пространственное тело со. В самом деле, это тело всегда можно разбить на куски g таким образом, чтобы ограничивающие их поверхности 5； были «пра-

вильно расположенными» (не вдаваясь в подробности, будем считать это наглядно очевидным; см, рис. 6). В таком случае мы выписываем формулу (18.3) по отдельности для каждого куска

(18.16)

и все эти формулы складываем почленно. В правой части сумма интегралов по телам cnz даст соответствующий интеграл по со, а в левой части сумма интегралов по поверхностям 5? даст интеграл по поверхности S В самом деле, интегралы по дополнительным поверхностям, рассекающим тело со, берутся по два раза с противоположными знаками и в сумме уничтожаются. Так, например, интеграл по поверхности п12 войдет, во-первых, в состав интеграла по поверхности S], ограничивающей тело %, и, во-вторых, в состав интеграла по поверхности S?, ограничивающей тело со2. Так как тела сох и(о2 примыкают к п13 с противоположных сторон, то внешние нормали к п12 будут направлены в том и другом случае в противоположные стороны, так что вектор п меняет направление на обратное, а его проекция 〃з меняет знак. Но вместе с п3 меняет знак и интеграл §卜3几3 ds.

Итак, формула (18.3) доказана окончательно. Но ввиду полного равноправия координатных осей она будет верна и с заменой 3-го индекса на 1-й или 2-й. Складывая все три формулы почленно,

получаем равенство (18.2), а следовательно, и (18Л). Доказательство закончено.

Рассмотрим еще поток аффинерного поля 21 через замкнутую поверхность S. Пользуясь координатной записью (17.2), получим:

2・=§ § (。门〃1 + а1^г + %з〃з) dS =

dco.dco.(18.17)(18.17)

dco.

dco.

(18.17)

(18.17)

Последнее выражение получено на основании формулы (18.2). Введем понятие дивергенции аффинерного поля, а именно, сопоставим аффинерному полю 31 векторное поле div ЗХ, определив координаты вектора div Э1 формулами:

｛而明,=工嘉=工^jaif.(18Л8)

Мн видим, что координаты вектора div 31 образуют одновалентный тензор, полученный свертыванием тензора V女а〃 по 1-му и 3-му индексам; следовательно, вектор div 31 будет в каждой точке вполне определенным (не зависит от выбора координатной системы, в которой вычисляются его координаты; см. § 1).

Теперь (18.17) можно переписать в виде

p产5 5 5 ｛而奴｝9,

9

или, что то же,

■ Р= , , , divSlJco.9■ Р= , , , divSlJco.9(18.19)(18.19)

■ Р= , , , divSlJco.9

■ Р= , , , divSlJco.9

(18.19)

(18.19)

Записав р в развернутом виде согласно (17.1), получим окончательно

(18.20)(18.20),,"In dS = , , , div 31 dco.S9

(18.20)

(18.20)

Мн получили теорему Остроградского для потока аффинора

через замкнутую поверхность.

§ 19. Основные уравнения гидродинамики

Теперь мы можем составить основные дифференциальные уравнения гидродинамики. Они, в сущности, сводятся к записи второго закона Ньютона для элемента жидкости.

Предположим для общности, что внутри жидкости действуют (кроме сил напряжения) объемные силы, т. е. нам задано векторное поле Q (7И, /), выражающее в каждой точке и в каждый момент времени силу, действующую на элемент жидкости и отнесенную к единице ее массы.

Мы рассматривали до сих пор в случае течения жидкости лишь стационарные процессы, когда все изучаемые нами величины, например, вектор поля скоростей а, плотность р, аффинор напряжений 寿 и т. д. зависели лишь от точки Му в которой мы их рассматривали; теперь будем считать их, кроме того, и функциями времени:

а(Л4, /), р(Л4, /),若(Л4, /) и т. д.

Полученные ранее выводы этим затронуты не будут, так как стационарность процесса мы предполагали лишь для простоты и по существу не использовали.

Сначала составим равнодействующую сил напряжения, действующих на замкнутую поверхность S, которая выделяет каким-либо образом часть нашей жидкой среды. Относительно поверхности S сохраняем прежние предположения; п направляем по внешней нормали.

Эта равнодействующая согласно (17.3) имеет вид p=，，若ndS.

Пользуясь теоремой Остроградского (18.20), этот результат можно переписать так:

Р=div普ds,(19.1)

где тройной интеграл берется по области, ограниченной поверхностью S.

Далее, составим равнодействующую объемных сил

,,,(3р4з.(19.2)

Этот интеграл также берется по области, ограниченной поверхностью S, причем ds — элемент объема, р dco — элемент массы, a Qp dco ——объемная сила, действующая на этот элемент массы.

Составим, наконец, равнодействующую сил инерции для жидкости, заключенной внутри S. Скорость каждой частицы жидкости выражается вектором а (附，/), ускорение же ее будет выражаться вектором

где 双(Л4, 0 ——производный аффинор векторного поля а (Л4, /) (который составляется в каждый данный момент времени так же, как и в § И).

Действительно, прослеживая движение одной частицы жидкости, мы видим, что ее координаты xi являются функциями от /, причем в каждой точке М и в каждый момент времени f скорость ее движения выражается вектором а (Л!, /). Это можно записать так:

前=а (М /)>

или в проекциях на оси: d t •

/ = %(/, *2，(19.3)

Чтобы найти проекции ускорения, дифференцируем по f еще раз. Получаем:

&2尤,—dai ] да I dxx da^ dx?丄 д/ dx^ 山2 — dt 厂 дхг ' dt 十 дх2 * dt 十 ^^ ' ~dT *

Пользуясь формулами (11.6) и (19.3), получаем окончательно： 萨=肃十"门"1+ 02& + &3。3^7 + 2^ aijap (19.4)

где a/jr— координаты производного аффинора 界.Обозначая вектор ускорения , можно перейти теперь от координатной записи к векторной:

初 + Ma.(19.5)

Умножая ускорение на элемент массы pdco, интегрируя по об- ластит ограниченной S, и беря результат с обратным знаком, мы получаем равнодействующую сил инерции

—УУУ (嘗+5Ia)pds.(19.6)

Сумма всех сил, действующих на рассматриваемую часть жидкости, включая силы инерции, должна равняться нулю. Складывая

§ 19] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ 81 выражения (19.1), (19.2), (19.6) и приравнивая результат нулю, получаем:

JJJ (^ div 您卜 Q —穿―2(a) p ds = 0. (19.7)

Так как этот тройной интеграл равен нулю для любой области, вырезанной в нашей жидкой среде, то подынтегральное выражение должно равняться нулю тождественно. Мы получаем:

嘗+ 5la = Q + £di 吟. (19.8)

При этом, пользуясь формулами (18.18) и (15.16), мы можем вычислить координаты вектора div 安：

Так как1j——一= А есть оператор Лапласа, то первый

0х； 汝； 0总

член дает 卩А&; во втором члене операцию 育 можно вынести за знак суммы, а сумма дает тогда diva; в последних двух слагаемых от суммы фактически остается по одному члену, именно, тому, где / = i (остальные обращаются в нуль). Окончательно получим:

гzI ddiva 2и, д div а др

(19.9)

尸 :3 dxf дх^、/

В векторной форме это же равенство принимает вид

div》=“Аа +-у grad div а — grad.(19,10)

Вставляя полученное выражение в (19.8), имеем окончательно：

^ + 31а = Q + ^ Аа + ^ grad diva——^ grad р. (19.11)

Это уравнение Навье-Стокса в инвариантной форме. Здесь фигурируют неизвестные функции а (М, /), р (Ж, /) и р (/И,价.Производный аффинор 31 самостоятельного значения не имеет — его координаты выражаются через координаты а (Л4/) по

формулам (11.6):формулам (11.6):да；工 J0к「да；工 J0к「

формулам (11.6):

формулам (11.6):

да；

工 J0к「

да；

工 J0к「

Следует отметить еше, что оператор Лапласа А (в применении к скалярному или векторному полю безразлично) носит инвариантный характер. Действительно,

Аа =Аа =д2а乙0/дх；д2а乙0/дх；

Аа =

Аа =

д2а

乙0/дх；

д2а

乙0/дх；

есть результат свертывания тензора дифференцированием скалярного поля но, представляет собой инвариант.есть результат свертывания тензора дифференцированием скалярного поля но, представляет собой инвариант.АналогичноАналогичнод2адх/дх/a (% 1，д2адх/дх/a (% 1，полученного двойным*2,尢з)， н， следователь-полученного двойным*2,尢з)， н， следователь-

есть результат свертывания тензора дифференцированием скалярного поля но, представляет собой инвариант.

есть результат свертывания тензора дифференцированием скалярного поля но, представляет собой инвариант.

Аналогично

Аналогично

д2адх/дх/a (% 1，

д2адх/дх/a (% 1，

полученного двойным

*2,尢з)， н， следователь-

полученного двойным

*2,尢з)， н， следователь-

А绘=£А绘=£°2%(*1，/，心)0/ дx1°2%(*1，/，心)0/ дx1

А绘=£

А绘=£

°2%(*1，/，心)0/ дx1

°2%(*1，/，心)0/ дx1

есть результат свертывания тензора %,% = &'£ по индексам z и 丿 и представляет собой, следовательно, снова тензор. Тем самым вектор Да, обладающий, очевидно, координатами Аа切 будет инвариантно определенным вектором.

К уравнению (19.11) нужно присоединить так называемое уравнение неразрывности

幫+ div(pa) = 0,(19.12)

выражающее закон сохранения массы.

§ 20. Дифференциальные уравнения теории упругости

в перемещениях

Мы будем рассматривать малые колебания однородного изотропного упругого тела под действием объемных сил, которые (аналогично § 19) заданы переменным векторным полем. Q (Л4, /). Вектор Q выражает объемную силу, отнесенную к единице массы, в данной точке Мив данный момент времени t. Искомым является переменное векторное поле w (Л4, /), выражающее перемещение каждой точки упругого тела (сравнительно с положением равновесия) в каждый момент времени. Мы не будем ставить задачу в полном виде и ограничимся инвариантной записью дифференциальных уравнений, накладываемых на w (М, /).

Тензор деформаций выражается формулой (13,5):

а тензор напряжений — согласно (15.1):

力尸 Х06,7+ 2 血/,0 = N&j.(20.2)

Выделим из упругого тела произвольный кусок (о, ограниченный некоторой поверхностью S. Подсчитаем равнодействующую р сил напряжения, действующих на (о через его поверхность S.

Совершенно аналогично (19.1) получаем:

р 二=,,, div 沪 ds,р 二=,,, div 沪 ds,(20.3)(20.3)

р 二=,,, div 沪 ds,

р 二=,,, div 沪 ds,

(20.3)

(20.3)

где 轡一аффинор напряжений, координаты которого имеют вид (20.2). Далее, равнодействующая объемных сил тоже совершенно анало- логично (19.2) имеет вид

，，，Qpd(n, (20.4)

где р ——плотность упругого тела.

Заметим, что ввиду малости перемещений w мы позволяем себе брать все интегралы по той области (о, которую занимает выделенный кусок упругого тела в состоянии равновесия (а не по той переменной области, которую он занимает в процессе колебаний).

По той же причине считаем, что плотность р не меняется в процессе колебаний.

Теперь составим равнодействующую сил инерции:

(20.5)

02w (Д4 f)

Действительно, 急2—- выражает в момент времени t ускорение точки, которая в положении равновесия совпадала с Л4, а р ds дает элемент массы. Равнодействующая всех сил, действующих на(о, должна равняться нулю. Складывая выражения (20.3), (20.4) и (20.5) и приравнивая нулю, получаем:

JJJ (div*+Qp —Р 患)ds = 0.

Поскольку равен нулю интеграл, взятый в любой момент времени по любому куску (о нашего упругого тела, то это значит, что подынтегральная функция в любой момент времени и в любой точке равна нулю. Поделив на р, получаем:

у divg + Qу divg + Q諾=。■諾=。■(20.6)(20.6)

у divg + Q

у divg + Q

諾=。■

諾=。■

(20.6)

(20.6)

Пользуясь формулами (18.18) и (20.2), вычисляем координаты div^: jj /

Так как 5〃 равно 1, если i = < и 0, если i 手 j、то в первой из двух сумм остается лишь один член 人 而；во второй сумме производим замену, используя формулу (20.1). Получим:

｛市若｝i =大患十屯籌+屯繇:”7)

Согласно (20.2), (20.1)

0 = £^ = ES->divw(20.8)

Поэтому последний член в (20.7) равен 卩票，так что окончательно можно написать:

｛div g-｝； (X + ц) ^- + [lAw,-.(20.9)

Отсюда, возвращаясь к векторной записи, получаем:

div 您=(九 + 卩)grad 0 + ц Aw.(20.10)

Вставляя это выражение в (20.6), получаем дифференциальные уравнения упругих колебаний 6 перемещениях (刀аме), записанные в инвариантной форме:

~ (X 4~ Ц)grad 0 4~ "- Aw + Q — ^jy ~ 0, где 0 = div w. (20.11)

Такнм образом, неизвестной функцией является здесь лишь w (Al, I).

Функция Q (/И, /) и константа р предполагаются заданными. Кроме дифференциального уравнения на искомую функцию w накладываются обычно граничные и начальные условия, но этим мы заниматься не будем.

ГЛАВА II

АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО « ИЗМЕРЕНИЙ

Исходным пунктом всех геометрических теорий являются свойства протяженности материальных тел и при том в основном в том виде, как они были фиксированы в старейшей геометрической теории—в геометрии обычного трехмерного евклидова пространства. В частности, и аффинная геометрия имеет тот же источник; а именно, анализ различных геометрических свойств обычного пространства показывает, что они не все равноценны по степени своей устойчивости, по степени той прочности, с которой они связаны с геометрическими фигурами. Одни, как, например, отношение любым образом расположенных отрезков, величина угла, свойство фнгуры быть кругом или шаром и т. д., сохраняются лишь при движениях пространства как твердого тела (и преобразованиях подобия); другие, более устойчивые, как, например, отношение параллельных отрезков, параллельность двух прямых, свойство фигуры быть прямой линией или плоскостью и т. д., сохраняются, кроме того, и при всех аффинных (линейных при записи в декартовых координатах) преобразованиях пространства. Этот, более глубоко лежащий и более прочно связанный с геометрическими фигурами класс свойств и образует аффинную геометрию, которой мы будем Заниматься в этой главе.

Однако при построении аффинной геометрии мы не пойдем путем выделения аффинных свойств из числа евклидовых, напротив, мы сформулируем самостоятельную систему аксиом, достаточную для вывода всех аффинных свойств, и притом не только в трехмерном, но и в многомерном пространстве. Позже — уже в следующей главе—мы построим на этой базе и евклидово пространство путем введения добавочных аксиом.

§ 21. Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства

Основными понятиями, не подлежащими прямому логическому определению, будут служить у нас точка и вектор. (Это, конечно, не означает, что понятия точки и вектора будут лишены у нас содержания. В нашей теории они будут определены по ср ед-

ством перечисления их свойств в аксиомах. При этом мы считаем, что теория вещественных (равно как и комплексных) чисел уже построена.) Тогда нам достаточно принять следующие аксиомы.

1°. Существует по меньшей мере одна точка.

2°. Каждой паре точек Л, В, заданных в определенном порядке, поставлен в соответствие один и только один вектор.

Этот вектор мы будем обозначать АВ, но, если понадобится, будем пользоваться обозначением и в виде отдельной (жирной) буквы а, х и т. п.

3°. Для каждой точки А и каждого вектора х существует одна и только одна точка В такая, что

AS = х. (21.1)

Знак — между векторами (как и между числами) мы будем понимать в смысле тождества, например, в данном случае = означает, что АВ и х — это просто один и тот же вектор. В связи с этим нет надобности обосновывать особыми аксиомами свойства знака — (например, транзитивность), так как это просто свойства логического тождества. В дальнейшем мы именно так со знаком = и будем обращаться.

Следует подчеркнуть, что при наглядном истолковании нашей аксиоматики вектор выступает не в виде направленного отрезка, а в виде параллельного сдвига, которому подвергаются все точки пространства. Поэтому наглядный смысл аксиомы 2° состоит в существовании (единственного) параллельного сдвига, переводящего данную точку А в данную точку В, а аксиома 3° в сущности означает, что каждый вектор х реализуется в виде сдвига, а именно, каждой точке А ставит в соответствие определенную точку 5 согласно (21.1).

Конечно, очень полезно иметь в виду эти наглядные истолкования наших аксиом, но не нужно забывать, что мы дадим аксиоматику, достаточную для развертывания аффинной геометрии и независимо от каких-либо наглядных соображений (как и полагается делать при аксиоматическом построении математической теории).

4°. (Аксиома параллелограммаJ Если

АВ = CD, то АС = BD.

Очевидно, наглядный смысл аксиомы 4° в основном состоит в том, что при равенстве и параллелизме одной пары противоположных сторон четырехугольника то же имеет место и для другой пары.

Перечисленные четыре аксиомы образуют в известном смысле законченную часть нашей аксиоматики: остальные аксиомы относятся к умножению вектора на число и тем самым носят иной характер. Поэтому, прежде чем перечислять остальные аксиомы, рассмотрим следствия аксиом 1° — 4°.

Теорема. Векторы АА и ВВ для любых точек Д, В равны между собой',

АА^ВВ.(21.2)

Для доказательства достаточно применить аксиому 4°, положив С= Л, D=B, Тогда, очевидно, справедливо равенство AB^CD (так как оно сводится к АВ^ ДВ), а следовательно, по аксиоме 4° справедливо и АС = BD^ т. е. АА =^= ВВ.

Определение. Вектор АА (как было показано, один и тот же при любом выборе точки А) носит название вектор-нуль и обозначается

筋=二 (21.3)

Откладывая вектор 0 от любой точки М^ мы получаем в качестве результата вектор ММ. Действительно, этот последний вектор равен 0, а так как откладывание данного вектора происходит единственным образом (аксиома 3°), то других возможностей предста

виться не может.виться не может.Т е о р е м аТ е о р е м а.Если АВ^сЬ,.Если АВ^сЬ,то BA = DC,то BA = DC,Доказательство. Применяя аксиому 4° кДоказательство. Применяя аксиому 4° кАВ^сЪ,АВ^сЪ,полуполучимчим启= 5Ь,启= 5Ь,мы 4° следуетмы 4° следуетили, что то же,или, что то же,BD^AC,BD^AC,откуда снова в силу аксно-откуда снова в силу аксно-

виться не может.

виться не может.

Т е о р е м а

Т е о р е м а

.Если АВ^сЬ,

.Если АВ^сЬ,

то BA = DC,

то BA = DC,

Доказательство. Применяя аксиому 4° к

Доказательство. Применяя аксиому 4° к

АВ^сЪ,

АВ^сЪ,

полу

полу

чим

чим

启= 5Ь,

启= 5Ь,

мы 4° следует

мы 4° следует

или, что то же,

или, что то же,

BD^AC,

BD^AC,

откуда снова в силу аксно-

откуда снова в силу аксно-

BA = DC.

Определение. Вектор ВА мы будем называть обратным по отношению & вектору АВ. Вектор, обратный вектору х, обозначаем-х.

Для каждого вектора х существует один и только один обратный ему вектор — х. Действительно,. представляя х в различных

видах

х = АВ = CQ —...,

мы тем не менее получим лишь один, обратный вектор

—х = BA = DC =...

согласно только что доказанной теореме.

Определение. Пусть нам заданы два каких-нибудь вектора в определенном порядке, например, х, у. Выберем произвольно точку А и отложим от нее вектор АВ = х (аксиома 3°), а затем от точки В—вектор ВС=у (аксиома 3°). Точки Л, С определяют вектор АС (аксиома 2°), который мы будем называть суммой х + у вектора х и вектора у (именно в этом порядке взятых). Итак:

х + у 二н/1& или, что то же,

АВ+ВС^ 正.(21.4)

Теорема. Вектор х + у не зависит от выбора точки А (так что сложение векторов —операция однозначная).

Доказательство. Повторим построение суммы при другом выборе точки А и, следовательно, с другими точками В и С. Новые точки будем обозначать штрихованными буквами. Тогда аналогично (21.4) причем

А'В'二二 АВ = х、 В'С，= 6С = у.

Отсюда согласно аксиоме 4° следует, что

А^А^В'Ъ^ СС.

Применяя снова аксиому 4° к равенству

получаем:

т. е. результат сложения векторов х, у не зависит от выбора начальной точки 4

Теорема. Сложение векторов—операция коммутативная：

(2L5)(2L5)X十У』у十х・

(2L5)

(2L5)

Д о к а з а (аксиома 3°)Д о к а з а (аксиома 3°)тельство. Из произвольной точки А откладываемтельство. Из произвольной точки А откладываемАВ = х, затем ВС= у, так чтох + у,АВ = х, затем ВС= у, так чтох + у,(21.6)(21.6)кроме того, Так каккроме того, Так какиз той же точки А откладываем AD = у.AD = ВС = у, то (аксиома 4°) АВ = DC, т. е. QC = x・из той же точки А откладываем AD = у.AD = ВС = у, то (аксиома 4°) АВ = DC, т. е. QC = x・Можно считать, что из точки А отложен сначала векторМожно считать, что из точки А отложен сначала векторAQ = y,AQ = y,а затема затемDC == х, так что по определению сложенияDC == х, так что по определению сложения

Д о к а з а (аксиома 3°)

Д о к а з а (аксиома 3°)

тельство. Из произвольной точки А откладываем

тельство. Из произвольной точки А откладываем

АВ = х, затем ВС= у, так что

х + у,

АВ = х, затем ВС= у, так что

х + у,

(21.6)

(21.6)

кроме того, Так как

кроме того, Так как

из той же точки А откладываем AD = у.

AD = ВС = у, то (аксиома 4°) АВ = DC, т. е. QC = x・

из той же точки А откладываем AD = у.

AD = ВС = у, то (аксиома 4°) АВ = DC, т. е. QC = x・

Можно считать, что из точки А отложен сначала вектор

Можно считать, что из точки А отложен сначала вектор

AQ = y,

AQ = y,

а затем

а затем

DC == х, так что по определению сложения

DC == х, так что по определению сложения

(21.7)(21.7)4С = у + х・

(21.7)

(21.7)

Сравнивая равенство (21.7) с (21.6), получаем: х + У = у + х・

Теорема. Сложение векторов — операция ассоциативная:

(x + y)+z = x + (y + z).(21.8)

Доказательство буквально такое же, как н в элементарной векторной алгебре; повторять его мы не будем.

Ассоциативность сложения при любом числе слагаемых векторов является простым следствием соотношения (21.8).

Короче говоря, сложение векторов, как оно у нас установлено, обладает всеми обычными свойствами. В дальнейшем мы будем обращаться с ним столь же непринужденно, как и в обычной векторной алгебре (не делая каждый раз ссылок на соответствующие теоремы).

Отметим, в частности, что

(21.9)

Действительно, представим вектор х 《аксиома 3°) как АВ, а век、 тор 0 — как ВВ. В силу (21.4) АВ + ВВ =^ АВ, и тем самым х + 0 и х・

Далее, всегда справедливо равенство

(21.10)(21.10)х+ (— х) = 0.

(21.10)

(21.10)

Действительно, представим х как АВ; тогда ——х по определению представится как В А; но АВ -|- В А — АА (согласно (21.4)), а значит, х + (— х) = 0.

Определение. Вычесть вектор у из вектора х значит найти вектор z такой, что

z + y = x.(21.11)

Вектор z мы будем называть разностью х — у.

Теорема. Вычитание ——всегда выполнимая и притом однозначная операция.

Доказательство. Допустим сначала, что разность z найдена. Добавим к обеим частям (21.11) вектор —у. Получим:

z + y + (—У) = х+ (--у).

В силу ассоциативности сложения можно в левой части сложить сначала у и —у. Это дает 0 в силу (21.10), после чего согласно (21.9) в левой части остается просто z. Получаем в результате

z = x + (—у),

т. е. если разность z существует, то она обязательно имеет такой вид. Остается показать, что х -|- (—у) действительно есть разность. Это легко проверить, складывая х -|- (—у) с у и убеждаясь, что в результате получается х. Итак,

х-у = х+(—у).(21.12)

Отметим, в частности, что

х —х = х + (— х) = 0.(21.13)

§ 22. Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства (окончание)

Мы переходим теперь ко второй группе аксиом, связанной с операцией умножения вектора на число. Под числами мы будем здесь понимать или вещественные числа — тогда полученное аффинное пространство называется вещественным — или комплексные числа — тогда полученное аффинное пространство называется комплексным.

В изложении мы не будем разделять эти два случая до тех пор, пока разница между ними не начнет сказываться (а это наступит еще не скоро).

Если мы изучаем вещественное аффинное пространство, то везде в дальнейшем изложении (а не только в формулировке аксиом) под «числами», «численными значениями функций» и т. п. нужно понимать вещественные числа; если же речь идет о комплексном аффинном пространстве, то везде имеются в виду комплексные числа. Можно употреблять вместо чисел вообще элементы некоторого ал-

гебраического поля — тогда мы получим аффинное пространство над этим полем. Последнее построение нам, впрочем, не понадобится.

5°. Каждому вектору х и каждому числу а 'поставлен в соответствие определенный вектор. Этот вектор мы будем обозначать ах и называть произведением вектора х на число а.

6°.1х = х・(22.1)

Важнейшее значение этой аксиомы не в том, что умножение на единицу не меняет вектора, а в том, что различными произведениями векторов на числа можно исчерпать все векторы (а не только их подмножество, как это было бы возможно, если бы аксиому 6° исключить).

7°.(а + В) х = ах + 0х.(22.2)

8°.а(х+у) =ах + ау.(22.3)

Аксиомы 7° и 8° выражают два дистрибутивных закона: один —— для умножения вектора на сумму чисел, другой—для умножения суммы векторов на число. Из них немедленно следуют аналогичные правила при любом числе слагаемых.

9°.а (Рх) = (аР) х,(22.4)

т. е. последовательное умножение вектора на числа р и а сводится к его умножению на их произведение.

Выведем некоторые следствия. Прежде всего при любом х

0х = 0.(22.5)

В самом деле, взяв произвольное число а, составим выражение

ах Ох = (а + 0) х = ах.(22.6)

Мы воспользовались здесь аксиомой 7°. То, что а + 0 = а, разумеется, нам известно из арифметики чисел и здесь в обосновании не нуждается. Итак,

ах-|-0х= ах, т. е. Ох = ах — ах = 0.

согласно (21.13). Тем самым (22.5) доказано.

Далее, отметим, что при любом а

а0=0,(22.7)

Действительно, взяв произвольный вектор х, составим выражение

ах 十 а (х 十 0) = ах.

Мы воспользовались здесь сначала аксиомой 8°, затем свойством (21.9)” Получаем, что

аО = ах — ах = О,

н (22.7) доказано.

Очевидно, что установленные нами аксиомы и их следствия позволяют беспрепятственно производить по обычным правилам выкладки над векторами с участием операций сложения и умножения на число. Мы н будем в дальнейшем это делать уже без скрупулезных ссылок на аксиомы. Но еще одну очень важную аксиому, которой нам не хватает, мы должны сейчас рассмотреть.

Речь идет о том, что наши аксиомы справедливы для точек и векторов аффинного пространства любого числа измерений /г = 0, 1,2, и даже /г = сю. Поэтому, если мы хотим остановиться на пространстве определенного числа измерений, то нам придется ввести еще одну соответствующую аксиому. Но предварительно нужно сформулировать важные понятия линейной зависимости и линейной независимости векторов.

Определение. /7 усть дано некоторое число векторов Xi，х2, . . . , хт. Эти векторы называются линейно зависимыми, если можно подобрать числа ах, а2, . . . , а^ так., чтобы имело место соотношение

OjXj + а2х2 + . . . + аих,„ = 0,(22.8)

причем среди чисел ах> а2, . . . , а/л хоть одно 兄е равно нулю. Если же таких чисел подобрать нельзя, то векторы х^, х2, . . . , х加 называются линейно независимыми.

Смысл линейной зависимости векторов состоит в следующем. Так как в соотношении (22.8), по крайней мере, один коэффициент отличен от нуля, то будем считать для определенности % 声 0< Прибавив к обеим частям равенства (22.8) вектор — а1х11 получим:

a2X2 + • • - + ag統二一a61・

Умножим полученное равенство на —丄 почленно:

Обозначая дня краткости

можно записать окончательно

X]=0/2十十8小亦(22.9)

Таким образом, при линейной зависимости векторов один из них (но, вообще говоря, не любой!) может быть выражен в виде линейной комбинации остальных, т. е., говоря коротко, разложен 110 ним.

Обратное также верно: разложение вида (22.9) означает, очевидно, наличие линейной зависимости между х» х2* . . . , хот.

Обращая эту характеристику линейной зависимости, получаем, что линейная независимость векторов равносильна тому, что ни один из них не может быть разложен по остальным, так что все они играют, так сказать, самостоятельную роль.

Теперь мы можем сформулировать аксиому размерности.

10° (Аксиома размерности). Существует л линейно независимых, векторов, но любые 〃+1 векторов линейно зависима между собой.

Целым неотрицательным числом п можно задаться произвольно, так что аксиома размерности существует в бесчисленном количестве вариантов. Мы будем называть п-мерным аффинным пространством множество точек 〃 векторов, удовлетворяющих аксиомам 1°~ 10°. Чем больше л, тем большее многообразие векторов, а следовательно, и точек мы имеем в своем распоряжении.

Важно заметить, что аксиома 1° гарантирует нам существование лишь одной точки (обозначим ее 厶),а следовательно (совместно с 2°), и лишь одного вектора 厶厶=0. То, что у нас имеются и другие точки и векторы, вытекает исключительно из первой половины аксиомы размерности и притом в случае л > 0. Если же /z — 0, то из аксиомы размерности следует, напротив, что всякий вектор х «линейно зависимый», т. е., попросту говоря, совпадает с 0, и точка А ——единственная; нульмерное аффинное пространство содержит лишь одну точку А 〃 один вектор ДА = 0.

В дальнейшем мы будем рассматривать, как правило, случай л > 0.

Мы получили довольно простую и легко обозримую аксиоматику л-мерного аффинного пространства. Это объясняется отчасти элементарностью самого предмета, отчасти тем, что мы допустили некоторую хитрость, включив в аксиоматику операцию с участием числа. Если бы мы задались целью построить чисто геометрическую аксиоматику, то дело не обошлось бы так просто.

Не следует рассматривать нашу аксиоматику как нечто особенно принципиальное и глубокое. Мы хотели сказать ею лишь то, что в л-мерном аффинном пространстве можно обращаться с точками и векторами в основном так же, как и в обычной векторной алгебре (в ее аффинной части), с тем лишь отличием, что максимальное число линейно независимых векторов ——не обязательно три, а любое п.

И именно, чтобы сказать это, мы перечислили те основные свойства точек и векторов, из которых очевидным образом можно вывести все остальные их (аффинные) свойства. Это перечисление и составило нашу аксиоматику.

§ 23. Аффинная координатная система

Цель этого параграфа — рассмотреть в л-мерном аффинном пространстве наиболее естественные координатные системы, геометрически связанные со свойствами пространства. Указания для первой ориентации в этом направлении дает нам аксиома размерности.

В самом деле, согласно ей в нашем пространстве существует л линейно независимых векторов. Выберем их каким-нибудь образом и обозначим е】,е3, . . . , е“. Присоединяя к этим векторам любой вектор х, мы получим л -|- 1 уже линейно зависимых векторов согласно второй половине аксиомы.

Запишем эту линейную зависимость

ах + а©+ . . . + апеп = 0 (23.1) (начиная с этого параграфа, мы перестаем писать стрелку над век- тором-нуль).

Мн утверждаем, что а#0. Действительно, если бы а = 0, то у нас осталась бы линейная зависимость между е】,.•. , еп> что противоречит выбору этих векторов. Выражая теперь из нашей линейной зависимости х через остальные векторы, мы получаем его разложение (совершенно аналогично выводу (22.9) из (22.8)):

х =炉％ + х2е2 十.•.十 хпеп. (23.2)

Через *1, *2, ... , х" обозначены коэффициенты разложения; х1 =——号 и т. д. Запись индекса наверху является не случайной; она, как мы увидим, будет указывать на характер преобразования этих коэффициентов.

Итак, любой вектор п-мерного аффинного пространства может быть разложен по л как-либо выбранным линейно независимым векторам.

В случае 〃=1 любой вектор х может быть записан в виде х = х^!， (23.3)

что соответствует положению вещей на прямой линии, где все векторы коллинеарны между собой.

В случае л — 2 любой вектор х разлагается по двум данным линейно независимым векторам:

х = xleL + к%?,(23.4)

что дает картину плоскости, аффинную геометрию которой мы в этом случае и получаем.

В случае zz=3 любой вектор х можно разложить по трем данным линейно независимым векторам:

х =+ х2е2 + х3е3.(23.5)

Геометрия трехмерного аффинного пространства, которую мы в этом случае получаем, и есть геометрия нашего обычного пространства с сохранением лишь ее аффинных свойств (о чем шла речь в начале этой главы).

Возвращаемся к /z-мерному случаю. Мы будем называть аффин- ным репером совокупность какой-нибудь точки О (начало репера) и каких-нибудь п занумерованных линейно независимых векторов с】,е2, .. ., еп (которые для наглядности будем представлять себе отложенными из начала О).

Пусть некоторый аффинный репер нам задан. Тогда любой вектор х разлагается по векторам репера согласно (23.2). Коэффициенты разложения х1, х2, ... , хп мы будем, называть аффинными координатами вектора х относительно данного репера.

Эти координаты определяются единственным образом. В самом деле, если бы вектор х допускал два различных разложения

х =尤 1% + .. . + хпеп = х1е1 + . •. + хпеп,

где не все х1 были бы равны соответствующим %', то оказалось бы, что еь ..・,е^ линейно зависимы, так как

(尤| —к) е】+ . •・ +(%" —口)％ = 0;

но это невозможно.

Обратно, вектор х однозначно определяется своими координатами согласно (23.2), так что соответствие между векторами х и совокупностями их координат (%】,х2, . . . , хп) является взаимно однозначным, В частности, вектор-нуль имеет все координаты, равные нулю.

Посмотрим, как выглядят операции над векторами с точки зрения их координатного задания. Пусть даны два вектора:

х = %】％ + • .. + %"%,(23.6)

(23.7)

Складывая эти равенства почленно и преобразуя правую часть при помощи известных нам правил, получим:

X + У = (R +▽)%+...+ (х" +У1) е„.(23.8)

Это означает, что координаты суммы двух (и аналогично нескольких) векторов получаются сложением соответствующих коорди- нат этих векторов.

Далее, умножая (23.6) на какое-либо число а, мы получим:

ах = ах1е1 + ... + ахле„.(23.9)

Это означает, что при умножении вектора на число а каждая его координата умножается на это число.

Объединяя операции сложения и умножения на число, рассмотрим составление линейной комбинации данных векторов. Пусть нам дано т векторов:

Хд = Х!©^ -т- X 1^2 Л~)

X2 = %2ё1 + %222 +%2e",[(23 [0)

Составим их линейную комбинацию х с произвольными коэффициентами ат, а2, .. ., %：

х = 5X1+ “2X2++ 口广办(23.11)

Умножая разложения (23.10) соответственно на %, а2, ..., 口血 и складывая почленно, убеждаемся, что координаты нашей линейной комбинации х:

х2,хл(23.12)

образуют линейную комбинацию строк матрицы

% 2 ” 2 * • • % 2

(23.13)

12П

^m^m • ♦ ♦ X tn

с теми же коэффициентами 口口 а2) ..., аЛЛ, а именно:

尤' =%£+…•+北山％%‘(23.14)

Пусть векторы х】,х2, .. ., хт линейно зависимы. Тогда коэффициенты а】，а2, ..., % (не обращающиеся одновременно в нуль) можно подобрать так, что будет равна нулю линейная комбинация х, а вместе с нею и все ее координаты (23.12). Это значит, что обращается в нуль линейная комбинация строк матрицы (23.13), а следовательно, между строками этой матриц имеется линейная зависимость.

Существование линейной зависимости между строками матрицы. (23.13) не только необходимо, но и достаточно для линейной зависимости векторов X], х2) .. ., х^, в чем сейчас же убеждаемся, проводя рассуждение в обратном порядке.

Мы ввели координаты для векторов; но это нетрудно теперь сделать и для точек. Пусть М——любая точка нашего пространства. Ей однозначно отвечает вектор ОМ, где О——начало репера. Этот вектор мы будем называть радиусом-вектором данной точки; он, как и всякий вектор, обладает определенными координатами %匕

...,万"относительно нашего аффинного репера;

х — ОЛ1 = %1丸+ %迎2 + • • • +(23.15)

Аффинными координатами точки М относительно данного репера мы будем называть аффинные координаты %* ,. ., хп ее радиуса-вектора ОМ относительно того же репера.

Очевидно, таким образом, что координаты данной точки М определяются однозначно. Обратно, при задании координат %】,...,хп радиус-вектор точки М однозначно определяется согласно (23.15), а откладывая его затем от начала О, мы однозначно определим точку М.

Таким образом, задание аффинного репера влечет построение аффинной координатной системы и для векторов 〃 для точек.

Если точки А и В имеют соответственно координаты х1 и У, то такие же координаты имеют и векторы 04, 08, а так как

0В= ОА + АВ,

ТО

у =

где zl ——координаты вектора ДВ, и окончательно i = y —

Аффинные координатные системы наиболее естественно связаны с геометрическими свойствами рассматриваемого нами л-мерного аффинного пространства, хотя в нем возможны и другие (криволинейные) координатные системы.

На протяжении этой главы мы будем рассматривать только аффинные координатные системы .и под словами ^координатная система» всегда будем понимать аффинную координатную систему.

§ 24. Преобразование аффинного репера

Естественно возникает вопрос, с какой степенью произвола можно выбирать аффинный репер и каким образом переходить от одного репера к другому. Мы займемся вопросом о преобразовании векторов репера е1т ,, , т ел, так как в связи с переносом его

4 П, К. Рашевский

начала О никаких вопросов не возникает: начало О можно по желанию передвигать в любое положение. Кроме того, как мы увидим, в интересующих нас вопросах выбор начала О большей частью будет безразличен. Дело в том, что мы будем пользоваться координатами не столько для точек, сколько для векторов, а в этом случае положение начала О совершенно не играет роли.

Пусть ей, е2-, . . ., ел-—это 1-й, 2-й, . .., л-й векторы некоторого нового аффинного репера, занумерованные для отличия штрихованными индексами.

Каждый из этих векторов согласно (23.2) может быть разложен по векторам старого репера е15 е2,…，ел. Коэффициенты этих разложений мы будем обозначать буквой Л с соответствующими индексами:

е2г — ДЬе1+ ^2^2+• • * + ^2，e/r J,(24.1)

е加=4；& + /а + •. • + 4$ J

или, объединяя эти формулы в общей записи, можно написать:

e" = 4制1 + 4沁2 + ...+在左门.(24.2)

В этом равенстве, как и во всех дальнейших, мы будем подразумевать, что буквенному индексу, встречающемуся по одному разу в каждом одночленном выражении, можно давать любые значения 1, 2, ..., л, т. е. что фактически имеется в виду не одно, а л равенств (если такой индекс один).

В нашем случае имеется буквенный индекс 尸,которому, как мы подразумеваем, по очереди придаются значения Г, 2',л\ В результате (24.2) означает в краткой записи то же самое, что и (24.1).

Нетрудно заметить, что при помощи знака g можно записать (24.2) следующим образом:

е〃 =2(24.3)

Суммирование происходит здесь лишь по нештрихованному индексу Z, в то время как индекс Г сохраняет постоянное значение. Таким образом, здесь и в аналогичных случаях дальше мы позволяем себе рассматривать буквенные индексы, обозначенные одной и той же буквой, но в одном случае штрихованной, а в другом——нештрихованной (как сейчас у нас » и 尸),как принимающие значения один независимо от другого.

То, что индекс суммирования / встречается дважды, один раз наверху, а другой раз внизу, является, как мы дальше увидим, далеко не случайным. Такого типа суммы нам будут встречаться часто, и для сокращения записи мы условимся в этих случаях опускать знак £. Так, (24.3) мы будем записывать просто:

е〃 = 4，е“ (24.4)

подразумевается суммирование по i от 1 до п. Общее правило: пусть дано выражение, записанное в виде буквы, снабженной индексами^ пусть при этом какой-либо буквенный индекс встречается дважды^ один раз вверху и один раз внизу; тогда мы будем счи- татьу qto написанное обозначает сумму этого рода выражений для значений 1, 2, . .., л, пробегаемых данным индексом. Если таких (встречающихся один раз вверху и один раз внизу} индексов нес- ко/ько, то подразумевается суммирование по каждому из них.

Например, выражение ①％ мы будем понимать так:

①鼠=它纟①釈 (24.5)

£=1 々=1

так что фактически это выражение будет зависеть лишь от одного индекса, именно /, который мы будем называть свободным в отличие от индексов суммирования.

В связи со сказанным обозначения индексов суммирования не играют, конечно, никакой роли; так, если вместо ①;% написать, например,①徽 обозначив индексы суммирования р, q вместо /, В, то по смыслу равенства (24.5) результат нисколько не изменится:

①名=①徽

Этим обстоятельством мы часто будем впоследствии пользоваться в процессе выкладок.

Все, что было только что сказано относительно сокращенной записи суммы для выражений, обозначенных просто буквой с индексами, полностью относится и к произведениям такого рода выражений. Пример сокращенной записи в этом случае мы имеем уже в формуле (24.4).

Позже мы узнаем принципиальный смысл суммирования указанного типа и тогда уточним и употребление нашего сокращенного обозначения.

Возвращаемся теперь к вопросу преобразования аффинного репера. Векторы нового репера е〃 могут быть выбраны произвольно с единственным условием линейной независимости. Но линейная независимость векторов е〃 равносильна линейной независимости

строк матрицы преобразования (24.1):

複，

川,

(24.6)

麓，

4% • • •

4,

(ср. с (23.13)). Другими словами, соответствующий определитель

должен быть отличным от нуля:

(24.7)(24.7)Det [ /4：, I # 0.

(24.7)

(24.7)

Это и есть единственное условие, наложенное на преобразование векторов репера (24.1). В остальном коэффициенты 4，произвольны. Тем самым матрица (24.6) до пускает обратную матрицу, элементы которой мы будем обозначать 4； (штрихованный индекс наверху!):

；/' лГ ... А：

Если, обратно, выразить векторы старого репера ez через векторы нового репера е，， то придется применить преобразование, обратное преобразованию (24.1), для чего надо воспользоваться вместо матрицы (24.6) обратной матрицей (24.8). В краткой записи, аналогичной (24.4), мы получим:

(24.9)(24.9)g = 4 е” •

(24.9)

(24.9)

По общему соглашению здесь имеется в виду суммирование по индексу /\ так что в подробной записи получаем:

q = 4 ер + 4；e2, + • • • + 总7 e献.

Здесь / нужно давать поочередно значения 1, 2, ..., п. То, что матрицы (24.6) и (24.8) взаимно обратные, означает, что их произведение, в том или другом порядке, дает единичную матрицу. Элементы единичной матрицы мы будем стандартно обозначать

(о (W)i Л)

так что связь Л/ итак что связь Л/ и4，можно записать так:4，можно записать так:4 4* = 6//)4m； — &；4 4* = 6//)4m； — &；(24.10)(24.10)

так что связь Л/ и

так что связь Л/ и

4，можно записать так:

4，можно записать так:

4 4* = 6//)4m； — &；

4 4* = 6//)4m； — &；

(24.10)

(24.10)

По А, равно как и по А', предполагается суммирование от 1 до л по общему соглашению.

Эти формулы можно также получить, подставляя в (24.9) выражение е? согласно (24.4) (заменив лишь обозначение индекса суммирования i на какое-нибудь другое, например, /), получим:

* = 442.

В правой части подразумевается двойное суммирование: по индексам / и，.

Так как разложение по векторам репера совершается единственным образом, то коэффициенты при е『в правой части должны равняться соответствующим коэффициентам в левой части, т. е. нулю, если /=#，, и единице, если В результате

44 = б{-,

что дает вторую из формул (24.10). Аналогично получается и первая из формул (24*10) — подстановкой (24.9) в (24.4).

При переходе к новому реперу каждый вектор х получает новые координаты, которые мы будем обозначать хх\ х2\ ...,尤"'в отличие от старых х1, х2, .. ., хп. Разумеется, что при этом сам вектор х остается прежним, и изменение координат идет лишь за счет изменения репера.

Спрашивается, как будут выражаться новые координаты произвольного вектора х через старые, и обратно.

По определению координат вектора мы имеем в старом репере

х = х1е1 + ... 4~ 尤"％ =尤匕(24.11)

и аналогично в новом репере

х =尤 1'е,，十.…+= хг'е//.(24.12)

В правых частях мы прибегли к сокращенной записи с опусканием знака суммы.

Теперь, чтобы решить нашу задачу, мы должны сравнить оба разложения, а для этого вставим в (24.1 1) выражение ez согласно (24.9). Тогда (24.11) принимает вид

х =方 xfer .(24.13)

Здесь происходит двойное суммирование： по / и по ，.

Сравнивая разложения (24.12) и (24.13), мы должны приравнять коэффициенты при е(/ ввиду единственности разложения вектора х по векторам репера. Получим:

炉'==4%*(24.14)

где по i происходит суммирование, так что в подробной записи

х(，= Л1Х1 + Д^х2 + . . . + А'пхц.(24.15)

Совершенно аналогично при помощи обратного преобразования выразятся старые координаты через новые:

х=4；лЛ(24.16)

Весьма важно для дальнейшего сравнить формулы преобразова- вания векторов репера ег, е«辽 координат инвариантного вектора х1, ..., хп, Для определенности рассматриваем в обоих случаях переход именно от старого репера к новому и сравниваем формулы (24.4) и (24.14). Мы видим, что матрицы этих преобразований различны, а именно матрица преобразования (24.14) есть транспонированная обратная матрица преобразования (24.4) (такие преобразования называются коншрагредиеншными).

Действительно, матрица преобразования (24.14) (как особенно ясно видно из записи (24.15)) имеет вид

МГ лГ ...篇’

,,(24.17)

hr лг... 4；'

т. е. получается транспонированием (поворотом на 180° вокруг главной диагонали) матрицы (24.8), а эта последняя матрица — взаимно обратная с матрицей (24.6) преобразования (24.4).

Формулы преобразования векторов репера и координат инвариантного вектора при переходе от старого репера к новому

(24.18)

*"二川*'(24.19)

являются фундаментальными для тензорного исчисления. Они лежат в основе всех остальных тензорных законов преобразования.

Таким образом, преобразование векторов репера совершается при помощи произвольной неособенной матрицы (Det|A^, 1^0), а преобразование координат вектора — при помощи транспонированной обратной матрицы.

Мы занимались до сих пор преобразованиями координат вектора, а не точки. Если меняются лишь векторы репера, а начало О остается неподвижным, то координаты каждой точки М меняются так же, как и координаты ее (неизменного в этом случае) радиуса- вектора ОМ т. е. по закону (24.19). Если же, кроме того, и начало О испытывает сдвиг на вектор а, то радиусы-векторы всех точек М изменяются вследствие этого на вектор—а и тем самым координаты х1 всех точек М увеличиваются на W, где W — координаты вектора — а. В результате окончательная формула для преобразования координат х: неподвижной точки М имеет вид

(24.20)

Задача тензорного исчисления

Прежде чем приступить к построению тензорного аппарата,— а к этому мы уже вплотную подошли,— постараемся уяснить себе в общих чертах его цели.

Исходным пунктом нашего построения л-мерного аффинного пространства послужила аксиоматика векторного исчисления (в его аффинной части). Векторное исчисление представляет собой важнейший пример прямого геометрического исчисления: и объекты его и операции носят непосредственно геометрический характер. Всякое вычисление, проводимое в векторах, может быть истолковано как геометрическое построение.

Вместе с тем большую и часто ведущую роль в геометрии играет координатный метод. Здесь геометрические образы изучаются не непосредственно геометрически, а методами алгебры (аналитическая геометрия), а затем и анализа (дифференциальная геометрия). Огромная сила этого метода основана на том, что он применяет к геометрии сильный, хорошо развитый вычислительный аппарат алгебры и анализа. В результате удается ставить и решать вопросы, лишь малая часть которых укладывается в сравнительно узкие рамки прямых геометрических методов.

Однако эти успехи достаются недаром. В основе координатного метода всегда лежит условность, заключающаяся в приписывании каждой точке (или вектору и т. п.) координат, например, аффинных координат х1, х2, ., . , %\ как сделали мы в этой главе для точек и векторов л-мерного аффинного пространства. Но сама точка (или вектор) никоим образом не порождает эти л чисел; чтобы получить такой результат, нужно, как мы видели, задаться некоторым репером, т. е. некоторой аффинной координатной системой, а аффинный репер можно выбирать с большим произволом, вне связи с изучаемыми геометрическими образами.

Аналогичным образом дело обстоит и во всех случаях применения координатного метода: на изучаемую г еом^тр инее кую картину накладывается случайный выбор координатной системы, и те аналитические данные, которые мы получаем, отражают не только то, “то нас интересует (геометрическую картину), но и то, что нас вовсе не интересует (произвольный выбор координатной системы) и что без надобности усложняет результаты ).

Приведем элементарный пример: в обычном пространстве в прямоугольных декартовых координатах вектор, соединяющий точки Мх (1, —2, 3) н 也(2, —2, 5), имеет координаты (1, 0, 2). В этом результате то обстоятельство, что вторая координата вектора равна

нулю, является случайным, зависящим от выбора координатной системы. Напротив, выражение 12 + 02 + 22 не случайно дает 5. И в любой другой прямоугольной системе координат мы получим тот же результат, хотя координаты вектора будут уже другие. Первое обстоятельство не имеет геометрического смысла для вектора самого по себе, второе — имеет (получается квадрат длины).

Возникает потребность и в сложных построениях научиться отделять геометрически существенно важное от случайно привнесенного выбором координатной системы.

Решением этой задачи и занимается тензорное исчисление. Общая схема его построения такова.

Строятся прежде всего тензоры, т. е. системы величин, отражающие определенные геометрические (или физические) конструкции и преобразующиеся по некоторому простому закону при переходе от одной координатной системы к другой. Далее, между тензорами вводятся операции и соотношения инвариантного характера, т. е. сохраняющие свой вид при переходе в любую другую координатную систему. Таким образом, все соотношения пишутся в форме, годной не только в избранной, но и в любой координатной системе, а значит, эти соотношения отражают геометрические (или физические) факты, независимые от выбора определенной координатной системы; искажающее влияние случайного выбора этой системы устраняется.

Из дальнейшего будет видно, каким образом целый ряд геометрических и физических вопросов поддается именно этой трактовке.

Понятие о ковариантном тензоре

Мн рассмотрим сначала одновалентный ковариантный тензор. Он появляется наиболее естественным образом в связи с линейной скалярной функцией вектора.

Пусть каждому вектору х поставлено 8 соответствие число 屮

Ф = ф (х)(26.1)

таким образом, что для любых двух векторов х1} х2

ф(х1+х2)=(р(х1)+(|)(х2)(26.2)

и для любого числа а

屮(ах) = а(р(х).(26.3)

Тогда (р,(х) называется линейной функцией вектора х.

Будем рассматривать <р(х) в какой-нибудь координатной системе, т. е. будем задавать аргумент х его координатами х1, х2,.・・>%“ и выражать 屮(х) как функцию этих координат. Так как

х =х1е1 +・・・十£七公

то, пользуясь свойствами (26.2), (26.3), легко получаем:

屮(х)=屮(Х%1 十■ . • +%〃％) =%1 屮(61)+ ...十 ％"屮(％)・

Обозначим для краткости

Р•工屮(S)・(26.4)

Тогда окончательно

屮(х)二屮咨 J(26.5)

где подразумевается суммирование по индексу г. Итак, линейная функция вектора 屮(х) выражается через его координаты линейной формой. Запишем зависимость (26.5) в какой-нибудь другой координатной системе:

屮(х)=屮尸％".(26,6)

Функция 屮(х) остается прежней, но так как х1 ——координаты вектора-аргумента — примут преобразованные значения %", то должны преобразоваться и коэффициенты 屮上 линейной формы (26.5). Спрашивается, по какому закону происходит это преобразование.

Применим формулу (26,4) в новой координатной системе:

д,=屮(е“(26,7)

Согласно (24.4)

е〃 = 4%i + …• +/%% =(26.8)

Пользуясь свойствами (26.2), (26.3), можно переписать (26.7) в виде

^f = ф (4%i+ ■ • ■ +4'，е“)=厶：呼 ®)+ . . . +邓屮(e“).

Вспоминая (26.4), получаем окончательно

屮〃 =/；Е・(26.9)

Сравнивая (26.9) с (26.8), мы замечаем, что закон преобразования коэффициентов 屮；в точности совпадает с законом преобразования векторов репера е;.

Итак, когда нам задана линейная функция вектора 屮(х), то в каждой координатной системе у нас возникает п чисел 屮】， 屮2， • • •,屮小 преобразующихся по тому же закону, что и векторы соответствующего репера. Мы пришли к понятию одновалентного ковариантного тензора.

Мы говорим, что нам дан одновалентный ковариантный тензор, если в каждой координатной системе нам задано л %〃се?га〃 занумерованных при помощи одного индекса (пробегающего значения 1, 2, . . . , 〃) и преобразующихся при переходе от одной координатной системы к другой по закону

ар = Ара^.(26. !0)

Эти числа а • мы будем называть координатами тензора в соответствующей координатной системе.

Термин «ковариантный», т. е. сопреобразующкйся, выражает то обстоятельство, что закон преобразования а. такой же, как и для векторов репера

Коэффициенты 屮工・ линейной функции вектора доставляют нам важный пример одновалентного ковариантного тензора а『,как показывает закон преобразования (26.9). Обратно, легко убедиться, что любой одновалентный ковариантный тензор ai при желании всегда можно истолковать именно таким образом. В самом деле, определим, ф (х) по формуле ф (х) = а-х1 в некоторой исходной координатной системе. Очевидно, ф (х) будет линейно зависеть от х и, самое главное, ее коэффициенты 牝 будут совпадать с ai не только в исходной координатной системе (что имеет место по определению), но и в любой другой тоже, так как 屮^ и ai подчиняются одному и тому же закону преобразования (ср. (26.9), (26.10)).

Пример. Гиперплоскостью мы будем называть множество всех точек, координаты которых в какой-нибудь координатной системе удовлетворяют линейному уравнению

aR + …+а户以 + a = 0. (26.11)

Определение это имеет инвариантный смысл: вследствие линейности закона преобразования для координат х1 уравнение (26.11) остается линейным — конечно, с другими коэффициентами — и в лю* бой другой координатной систем®.

Коэффициенты уравнения (26.11) заданы с точностью до умножения на отличное от нуля число. Чтобы уничтожить эту неопределенность, приведем свободный член к —1 (предполагая, что гиперплоскость не проходит через начало О) и запишем уравнение гиперплоскости в виде

@1*1 -・・• -а万х"— 1 = 0,

(26.12)(26.12)а/' = 1.

(26.12)

(26.12)

Будем рассматривать всевозможные координатные системы с фиксированным началом О

При переходе от одной из них к другой радиус-вектор ОМ любой точки М не меняется, а следовательно, координаты точки Л1(%1, ... , х") преобразуются как координаты инвариантного вектора по закону (24.16):

Подставляя этоПодставляя этох1 в уравнение (26.12), получим:а^А^/Х^ = 1.

Подставляя это

Подставляя это

Мы пришли к уравнению прежней гиперплоскости, но в новых координатах 先尸. Если записать это уравнение аналогично уравнению (26.12):

= 1,(26.13)

то коэффициенты а”, очевидно, будут иметь вид

а〃 — Ара.^(26.14)

Закон преобразования совпадает с (26.10), и следовательно, коэффициенты уравнения гиперплоскости

= 1

ведут себя как. одновалентный ковариантный тензор при всех преобразованиях координатных систем с фиксированным началом О.

Рассмотрим теперь двухвалентный ковариантный тензор. К нему лучше всего подойти, рассматривая скалярную билинейную функцию двух векторов. А именно, пусть каждой паре векторов х, у, заданных в определенном порядке, поставлено в соответствие число

<₽ = <р(х, у),(26.15)

причем функция <р (х, у) является линейной по каждому из двух аргументов. Таким образом, ф (х, у) по самому определению не зависит от выбора координатной системы. Выразим теперь 屮 через координаты векторов х, у в какой-нибудь координатной системе. Так как

х = х&, у =У еу,

то, пользуясь билинейным характером функции ф, получаем:

屮(Х, у) = ф(Х(е,., у1^ = х'У(р (е,-, еу).(26.16)

В этой записи, конечно, подразумевается двойное суммирование по / и у. Обозначая для краткости

(p"=中(*,号)，(26.17)

получаем окончательно

<р (х,у) = ^и^у1.(26.18)

Таким образом, билинейная функция двух векторов выражается билинейной формой их координат. Коэффициенты (р〃 этой билинейной формы зависят от выбора координатной системы й преобразуются по закону, который нетрудно установить. А именно, в новой координатной системе аналогично (26.17)

屮少=(р(е“，е”)，

а так как то

中"/,=中(40，40)= 4,4，中(力0)=胃阔呼〃.(26 j 9)

Закон преобразования коэффициентов 屮疗，который мы таким образом установили, как бы повторяет формулу (26.9) для каждого из двух индексов.

Формулируем теперь общее определение двухвалентного ковариантного тензора, пример которого мы только что получили, в виде совокупности коэффициентов 中疗.

Мы говорим, что нам дан двухвалентный ковариантный тензор, если в каждой координатной системе нам заданы л2 чисел %「及о- торые занумерованы при помощи двух индексов (пробегающих один независимо от другого значения 1, 2, . . , , п) и преобразуются при переходе от одной координатной системы 及 другой по закону аи『 = А：,А‘『(1[『(26.20)

Числа (1仃 мы будем называть координатами нашего тензора в соответствующей координатной системе. Двухвалентный ковариантный тензор мы будем называть более коротко дважды ковариантным тензором.

Дословным повторением предыдущего рассуждения для одновалентного случая мы покажем и здесь, что не только коэффициенты ф；у билинейной функции двух векторов образуют всегда дважды ковариантный тензор, но и обратно, координаты 仪疗 любого такого тензора всегда можно истолковать как коэффициенты 中疗 некоторой билинейной функции. Для этого достаточно построить ф (х, у) в какой-либо исходной координатной системе по формуле 屮(х,у) =。，•产3，(26.21)

и тогда, поскольку, таким образом,中犷=仪疗 в одной координатной системе, это равенство будет соблюдаться и в любой другой (в силу одинакового характера законов преобразования (26.19) и (26.20)).

Отметим важный частный случай, когда билинейная функция ф (х,у) будет симметрической:

ф(х,У)= ф(У,х)-(26.22)

В координатной записи это означает: (р〃・х,/ = ф,7УхЛ

Меняя обозначения индексов суммирования в правой части, получим:

也产 Т = Ъ，У^1-

Так как это равенство должно соблюдаться тождественно отно

(26.23)(26.23)сительно х1, у/, то из него следует:

(26.23)

(26.23)

Ф/7 =屮川，

т. е. матрица коэффициентов <р〃・ является симметрической. Тензор @Ь и вообще тензор а〃， удовлетворяющий условию

%= a J,；,(26.24)

называется симметрическим. При этом, если это условие удовлетворяется в какой-либо исходной координатной системе, то удовлетворяется и в любой другой, как без труда вытекает из закона преобразования (26.20).

Впрочем это вытекает также и из того, что функция 屮(居 丁)， построенная в исходной координатной системе согласно (26.21), будет в нашем случае симметрической, а это ее свойство, как мы видели, влечет за собой в любой координатной системе соотношение (pZy —(py.f) т. е. а盯=а*

Пример. Гиперповерхность 2-го порядка, не проходяш,ая через начало О, может быть задана уравнением вида

а；」％'+ 2%х"+1 = 0, %j =(26.25)

При всевозможных преобразованиях координатных систем с закрепленным началом О коэффициенты уравнения а- ведут себя как симметрический дважды ковариантный тензор, a ak—как одноковариантный тензор. Это легко показать тем же путем, как и в случае гиперплоскости.

Теперь ясно, как формулировать определение ковариантного тензора в общем случае.

Мы говорим, что нам дан к-валентный ковариантный тензор, если в каждой координатной системе нам заданы /z^ чисел aiyi2 занумерованных при помощи k индексов 〃 преобразующихся при переходе от одной координатной системы к другой по закону

/ • • • * +。口(26.26)

J '2I '2%

Индексы при 。厶厶.…九 различаются друг от друга 1-м, 2-м,... ...,左-м местом записи и пробегают независимо друг от друга значения 1,2, ... , п.

Числа 。厶厶….〃 мы будем называть координатами нашего тензора в соответствующей координатной системе. Мы будем называть ^-валентный ковариантный тензор также 左 раз ковариантным тензором.

Совершенно так же, как в случае билинейной скалярной функции, можно показать, что всякая полилинейная (линейная относительно всех своих аргументов) скалярная функция 屮(х15 х2, , . . , х左) с векторами-аргументами х「х2,…，/ допускает координатную запись

Ф(X], х&, • • * , X/J =屮厶厶...tii^x ^2 • • • ^k •(26.27)

Здесь Xj——координаты вектора-аргумента хх и т. д. Аналогично предыдущему коэффициенты (р『也 ….九 определяются формулами

S 也》.=屮(外，е2, ... , ej(26.28)

и преобразуются по закону (26.26), т. е. образуют k раз ковариантный тензор.

Обратно, координаты всякого k раз ковариантного тензора ④也…九 могут быть при желании истолкованы как коэффициенты ^>iziz. . . ik некоторой полилинейной скалярной функции <р (х15 х2, ..., х左) от k векторных аргументов. Все это проверяется совершенно аналогично двухвалентному случаю.

Подчеркнем, что, говоря о функции ср (х1} х2, . . . , х左)，мы, как и в предыдущих случаях, имеем в виду функцию инвариантную, т. е. определенную независимо от выбора координатной системы.

Общее понятие о тензоре

Прежде чем формулировать общее понятие о тензоре, мы зажмемся так называемыми контравариантными тензорами.

Важнейший пример одновалентного контравариантного тензора доставляют нам координаты х£ фиксированного вектора х. Поскольку вектор х фиксирован, координаты х1, х2, . . . , хп имеют определенные численные значения в каждой координатной систете и преобразуются по закону (24.19):

х1' = ^-^.(27.1)

В общем случае мы будем говорить, что нам дан одновалентный контравариантный тензор, если в каждой координатной системе нам заданы, п чисел а， а?, . . . , а", занумерованных при помощи одного индекса и преобразующихся при переходе от одной координатной системы к другой по закону

а，" = 4：'/(27.2)

Числа а1 мы будем называть координатами нашего тензора.

В обозначении контравариантные тензоры отличаются от ковариантных записью индексов наверху. Этим соглашением мы фактически пользовались и ранее (хотя смысл его раскрывается лишь теперь) и систематически будем пользоваться в дальнейшем. Термин «контравариантный», т. е. «противопреобразующийся», напоминает о том, что координаты контравариантного тензора 出，а2, ... , ап преобразуются не так, как векторы репера е1} е2, .. . , еп, а при помощи (транспонированной) обратной матрицы (о чем подробно говорилось в § 24 в применении к координатам вектора х1, 炉

Как уже отмечалось, координаты х1 любого фиксированного вектора х образуют одновалентный контравариантный тензор. Но верно и обратное: координаты любого одновалентного контрава- риантного тензора / можно истолковать как координаты х1 некоторого фиксированного вектора х.

В самом деле, построим в какой-нибудь исходной координатной системе вектор х с координатами %'=<?. Тогда это равенство продолжает соблюдаться и в любой координатной системе ввиду одинакового характера законов преобразования (27.1) и (27.2).

Ясно, что определение 左 раз контравариантного тензора 出也…£% может быть теперь без труда формулировано аналогично определению 左 раз ковариантного тензора 仪厶“ •…九 единственно с той разницей, что закон преобразования вместо (26.26) будет иметь вид

Q '； % •・ 4…к(27.3)

повторяя, таким образом, для каждого из индексов закон (27.1).

Мы, однако, не будем останавливаться на этом более подробно, так как общее определение тензора, обладающего и ковариантными и контравариантными индексами в любом числе, покрывает все до сих пор перечисленные частные случаи.

Начнем с примера, в дальнейшем весьма важного.

Мы будем называть аффинором §1 закон, ставящий 8 соответствие каждому вектору х нашего пространства определенный вектор у:

У = Ш,(27.4)

причем зависимость у от х носит линейный характер, т. е. соблюдаются условия:

象(Х] + х2)=北 X] + ЗХх2,(27.5)

§1 (ах) -(27.6)

для любых Xi, х2, х, а (а—число).

Рассмотрим аффинор 3( в координатной записи, т. е. выразим координаты 少/ вектора у как функции координат х1 вектора х в какой-нибудь координатной системе. Для этой цели разложим предварительно векторы 3(е, (т. е. результат действия нашего аффинора на векторы репера) по векторам репера. Коэффициенты разложения обозначим ар

2(% = а：% + …+ "% =照с,. (27.7)

Тогда, учитывая, что, как обычно,

x = xze；,

и пользуясь свойством линейности аффинора ?(, мы можем напнсать: у = 2(х н 3I(xzez) — НМе, = х1 ai^j.

Так как, с другой стороны,

У =У%/,

(27.8)(27.8)то, сравнивая оба разложения, получим: у/ = а*"

(27.8)

(27.8)

Таким образом, координаты вектора-функции у выражаются линейно через координаты вектора-аргумента х с коэффициентами 理.

Эти коэффициенты а, мы будем называть координатами аффи нора St. Выясним теперь закон их преобразования.

Запишем (27.7) в новой системе координат:

We〃=“e/,.(27.9)

Пользуясь формулами

e" = 40，g;==4/％,

а также формулами (27.7), мы можем, с другой стороны, написать:

21е〃 = 8( (4‘е；)=二 4 担(％ = 4’ а/е『=4> а/ Л у е/,.

Н；=Н.Н；=Н.Сравнивая это разложение с разложением (27.9), мы можем приравнять коэффициенты при одинаковых векторах нового репера. Получаем:

Н；=Н.

Н；=Н.

(27.10)

Это и есть искомый закон преобразования координат аффинора.

Мы видим, что нижний индекс участвует в преобразовании по схеме (26.10), т. е. как ковариантный, а верхний индекс ——по схеме

т. е. как контравариантный. В связи с этим совокупность координат аффинора а；, заданную в каждой координатной системе, мы будем называть тензором один раз ковариантным и один раз контравариантный. Как мы видим, закон преобразования для координат аффинора а彳 существенно отличается от закона преобразования коэффициентов билинейной функции 〃/戸 хотя в обоих случаях мы имеем двухвалентный (т. е. с двумя индексами) тензор.

Заметим, что мало того, что координаты аффинора подчинены закону преобразования (27.10), но и, обратно, величины *, подчиненные этому закону, всегда представляют собой координаты некоторого аффинора 5(. Чтобы убедиться в этом, достаточно определить §1 формулами (27.8) в какой-нибудь одной исходной координатной системе. Тогда величины а? продолжают служить координатами аффинора и в любой другой координатной системе, так как преобразуются по тому же закону (27.10), как и координаты аффинора.

Отметим еще важный частный случай, когда аффинор означает тождественное преобразование, т. е. когда

у = 3(№Х,

а следовательно, у^ — xL

Сравнивая эти формулы с (27.8), мы замечаем, что в нашем случае в любой координатной системе .

.(0 (/=7^ j)

(27.11)

Таким образом, мы получаем пример тензора один раз ковариантного и один раз контравариаитного, имеющего в любой координатной системе одни и те же координаты 5& Этот тензор мы будем называть единичным. То, что числа 5； действительно подчиняются закону преобразования (27.10), оставаясь в то же время неизменными, легко проверить и непосредственно. В самом деле, вычисляя правую часть (27.10), получим:

4,％ 6；,=心以=5厶.

Мы сначала применили соотношение (27.11) и сохранили в сумме лишь члены, где i — j (обозначив их общее значение через 左)，а затем использовали (24.10).

Дадим, наконец, общее определение тензора.

Мы говорим, что нам дан k + l-валентный тензор,先 раз ковариантный и / раз контравариантный, если s каждой координатной

системе нам заданы 〃扑'чисел 碎|…•/，，занумерованных k индексами внизу и / индексами наверху и преобразующихся при переходе 0T одной координатной системы к другой по закону

(27.12)(27.12)

(27.12)

(27.12)

Индексы внизу отличаются друг от друга 1-м, 2-м, . . ., ^-м местом написания; аналогично отличаются друг от друга и верхние индексы. Все индексы пробегают значения 1, 2, , , ., л независимо друг от друга. Числа 〃，•••，; мы будем называть координатами тензора в соответствующей координатной системе.

Смысл закона преобразования (27.12) состоит, очевидно, в том, что каждый нижний индекс участвует в преобразовании один раз по схеме ковариантного тензора

а каждый верхний — один раз по схеме контр авар иантно го тензора

aJ' = А，а/.

Общее число индексов 总十/ будем называть валентностью тензора.

Числу нижних индексов k и числу верхних индексов / можно придавать любые значения О, 1, 2, . . ., одному независимо от другого. Если 々 = / = 0, то, как мы будем считать, тензор имеет лишь одну координату % совсем лишенную индексов, и сводится к инварианту^ т. е. координата а имеет одно и то же численное значение в любой координатной системе. Кстати, в случае 在= / = 0 имеем 〃厶+"=1. Особое внимание следует обратить на то обстоятельство, что в правой части (27.12) происходит суммирование по всем ^ + / нештрихованным индексам, и, таким образом, каждая координата тензора в новой координатной системе зависит от всех его координат в старой системе. Это означает, что в конечном счете тензор не сводится просто к совокупности отдельных чисел — его координат,——а представляет собой единое целое.

Последнее связано с тем, что каждый тензор, как мы видели на примерах, отражает какой-либо цельный геометрический или физический объект и «распадается» на свои координаты лишь условно, т. е, по отношению к той или иной координатной системе.

Сложение тензоров

В ближайших параграфах мы займемся тензорной алгеброй, т. е. рассмотрим основные инвариантные операции, позволяющие по тензорам составлять новые тензоры. Этих операций четыре: сложение, умножение, свертывание тензоров и подстановка индексов у тензора.

Инвариантность тензорных операций нужно понимать в том смысле, что, примененные к данным тензорам, они дают в результате вполне определенный тензор, не зависящий от того, е какой координатной системе происходит выкладка. Тем самым тензорные операции отражают по существу те операции над геометрическими и физическими объектами (заданными посредством тензоров), которые имеют геометрический или физический смысл и совершаются независимо от выбора координатной системы.

В этом параграфе мы рассмотрим сложение тензоров. Пусть нам даны два тензора одинакового строения, т. е. с одинаковым числом верхних индексов и с одинаковым числом нижних индексов. Пусть, для примера, эти тензоры будут трижды ковариантными и дважды контр авар иантными:

Q^qr , ^pqr ■

В каждой координатной системе каждую координату первого тензора сложим с соответствующей (т. е. занумерованной теми же индексами на тех же местах) координатой второго тензора, и результат примем за координату нового тензора

%=% + %•(28.1)

Координату нового тензора нумеруем, конечно, теми же индексами на тех же местах.

Однако нужно еще проверить, что cg^ действительно представляют собой координаты одного и того же тензора, независимо от того, в какой координатной системе мы их вычислили. Другими словами, нужно убедиться, что с金尸 подчиняются тензорному закону преобразования:

с^7- = 47/朗齒，4, с/.(28.2)

Здесь

%，，=嚼，~ + 明…(28.3)

т. е. с[/；《 вычисляются в новой (как и вообще в любой) координатной системе по схеме (28.1),

Но равенство (28.2) легко вытекает из справедливости тензорного закона преобразования для &爲宀 6，疗：

a", = 4 %/2尚/；‘*",(28.4)

bpi'q'r' = Ai'А1-А^Аг，Ь^г.(28.5)

Действительно, складывая эти равенства почленно, вынося общие множители в правой части за скобки и принимая во внимание (28,1) и (28.3), мы сейчас же получаем равенство (28.2).

Очевидно, в нашем рассуждении ничего по существу не изменится, если мы будем складывать любые тензоры, но обязательно одинакового строения. В результате получается вполне определенный тензор того же строения. Ясно также, что если вместо двух тензоров складывать несколько тензоров одинакового строения, то все сказанное остается справедливым.

Поясним еще инвариантный характер операции сложения на примере. Допустим, что складываются два одновалентных контравари- антных тензора 尤‘,в результате чего получается тензор того же строения 公：

zl = xl +yl. (28,6)

Инвариантный характер операции сложения означает, что 父 дают нам координаты вполне определенного тензора, независимо от того, в какой координатной системе они вычислены.

Истолкуем теперь 尢'，у1 как координаты фиксированных векторов, х, у, что, как мы знаем, всегда возможно. Поскольку 父一координаты вполне определенного тензора, то и их можно истолковать как координаты некоторого фиксированного вектора z. Тогда равенство (28.6) выражает геометрический факт, независимый от выбора координатной системы, именно, что вектор z есть сумма векторов х и у. Аналогичным образом и в более сложных случаях инвариантность тензорных операций означает по существу рассмотрение геометрических и физических фактов вне завнеимости от случайностей выбора координатной системы,

Умножение тензоров

В отличие от сложения перемножать можно любые тензоры (не требуя, чтобы они были одинакового строения), но при этом обязательно указывать порядок множителей, так как результат будет зависеть не только от самих множителей, но и от их порядка.

Рассмотрим для примера перемножение тензоров а^‘，% заданных в порядке их записи.

В каждой координатной системе каждую координату первого тензора множим на каждую координату второго тензора и полученные произведения а%“ принимаем за координаты нового тензора c^qrf причем нумеруем эти координаты так: внизу выписываем сначала нижние индексы первого множителя, а затем нижние индексы второго множителя, сохраняя 8 обоих случаях их прежний порядок, и анало^ гично поступаем с верхними индексами.

Полученный тензор cg^ мы будем называть произведением тензоров a}q? %・

Если бы множителей было несколько, то мы совершенно таким же образом перенесли бы поочередно индексы 1-го, 2-го, . . . и т. д. множителей на координату произведения.

Однако мы должны еще, конечно, доказать, что определенные в каждой координатной системе ч исла

瑞二唯原(29.1)

действительно я вл я юте я координатами тензора. С этой целью выпишем закон преобразования для координат множителей:

b,, - 4 4用/.

Перемножая эти равенства почленно и принимая во внимание, что в новой (как и во всякой) координатной системе имеет место равенство (29.1), так что получим окончательно

也，〃二 Л； ^-А^А4^, с^г.(29.2)

Этот результат показывает нам, что в какой бы координатной системе мы ни вычисляли величины egg^ согласно (29,1), они являются всегда координатами одного и того же тензора. Таким образом, операция умножения тензоров действительно определяет некоторый новый тензор.

Очевидно, все сказанное дословно повторяется и при перемножении любых тензоров в любом числе.

Заметим, что если мы станем перемножать те же тензоры в другом порядке, то получим другой результат, А именно, хотя координаты произведения будут, конечно, те же, но они будут иначе занумерованы индексами. Так, при изменении порядка множителей в нашем примере получаем:

СрЧГ = ^ра^г.(29.3)

Сравнивая это выражение с (29.1), убеждаемся, что соответствующие (т. е. занумерованные одинаковыми индексами на одинаковых местах) координаты тензоров с^. и с^「 не совпадают, хотя совокупность координат у этих тензоров одна и та же. Так как в понятие тензора входит и способ нумерации его координат при помощи индексов, то мы должны признать полученные тензоры различными. Более подробно см. об этом в § 31.

Отметим простой частный случай, когда из двух перемножаемых тензоров один — нулевой валентности, т. е. попросту инвариант а.

Тогда дело сводится к умножению всех координат другого множителя, например bg , на этот инвариант, в результате чего получается тензор того же строения:

b =w.

Между прочим, в связи с этим мы не рассматриваем особо операцию вычитания тензоров (одного строения), поскольку ее всегда можно представить как сложение уменьшаемого с вычитаемым, умноженным на —1.

Пример. Перемножением одновалентных тензоров 〃 и Су получается двухвалентный тензор

〃； = Ь%/.(29.4)

Тензор а；, как мы знаем (§ 27), всегда может быть истолкован как некоторый аффинор 31:

у = Э(х, т. е. у» = а；лЛ

Как отзывается на аффиноре 31 то обстоятельство, что соответствующий тензор а； мультипликативный (т. е. получен произведением одновалентных тензоров)?

Пользуясь тем, что。片死力 перепишем:

у1 = biCjXj.

Мы знаем (§ 26), что с/ можно всегда истолковать как некоторую линейную скалярную функцию ср (х) вектора х, так что

У = 〃ф(х).

А так как 〃 всегда можно истолковать как координаты некоторого фиксированного вектора Ь, то окончательно

у==Ьср(х).

Таким образом, в нашем случае действие аффинора на вектор-аргумент х дает произведение постоянного вектора b на линейную скалярную функцию ср (х). Аффинор 31 в этом случае называют иногда диадой.

Свертывание тензора

Операции сложения и умножения тензоров естественно переносят в тензорную область привычные нам арифметические операции. В противоположность этому операция свертывания носит специфически тензорный характер и не. имеет прообраза в более элементарных разделах математики.

Пусть дан тензор произвольный, но имеющий, по крайней мере, один индекс внизу и, по крайней мере, один индекс наверху, например, 嘅.Выберем какой-нибудь индекс наверху, например, 2-й, и какой-нибудь индекс внизу, например, 1-й. Отберем те координаты тензора, для которых два выбранных индекса имеют одинаковые значения 1, 2, . . ., л, и просуммируем все эти координаты при фиксированных значениях остальных индексов:

a贽+a赞+ •.•+a静=唠.(30.1)

Мы обозначили сумму 喏，так как она зависит лишь от остальных (фиксированных) индексов. Пользуясь краткой записью суммирования, можно (30.1) переписать:

啜喏.(30.2)

Как оказывается, числа 喏，определенные согласно (30.2) в каждой координатной системе, являются координатами одного и того же тензора, утерявшего по сравнению с исходным тензором по одному индексу вверху и внизу.

В самом деле, запишем закон преобразования координат исходного тензора:

Придадим второму индексу наверху (/') и первому внизу (р*) одно и то же значение хг и по хг произведем суммирование. Получим:

0贫尸=小2多然‘阳，典，Q鲁.

В правой части происходит суммирование по шести индексам. Мы выполним сначала суммирование по х\ В силу (24.11)

4淞，=学， и мы получаем:

嘴户=4,破用，学哦

Так как 6夕=｛，，то в сумме следует оставить лишь те члены, для которых р = j (общее значение р =/ обозначим через х), причем 6^=1 (здесь по х суммирования не предполагается), так что множитель 6® можно не писать. Получим окончательно:

礎片=磷F(30.3)

Заметим, что во всех случаях, когда в выражение входит множитель 8% причем но обоим индексам происходит суммирование, этот

множитель, как мы видели, следует выкинуть, а в оставшемся выражении индексам ри/ придать общее значение (и по нему суммировать). Это правило нам пригодится в дальнейших выкладках.

Пользуясь обозначениями (30.2), мы можем переписать последний результат в виде

腸火=緞磨羽噌.(30.4)

Эта формула показывает, что величины 噌 действительно подчиняются тензорному закону преобразования и, следовательно, дают нам вполне определенный тензор.

Мы будем говорить, 〃т。 тензор 〃仍 составленный из тензора 〃窈 согласно (30.2), получен из него свертыванием по индексам J и р, или, точнее, по индексам второму сверх у и первому снизу-

В то время как сложение дает нам тензор той же валентности, как и слагаемые, умножение дает тензор, вообще говоря, высшей валентности, чем множители, свертывание приводит, наоборот, к снижению валентности на 2 единицы: пропадает один индекс вверху и один индекс внизу. В связи с этим свертывание является важным источником получения инвариантов: повторяя его достаточное число раз, мы можем уничтожить все индексы у тензора, если у того сначала было одинаковое число индексов внизу и вверху. Полученный в итоге тензор нулевой валентности представляет собой, как мы знаем, инвариант.

Например, тензор 吟 отвечающий, как всегда можно считать, некоторому аффинору 2(, порождает посредством свертывания инвариант

а =期=а： + 吗 + .…+ 〃3(30.5)

который называется следом аффинора 2L

Особенно часто применяется свертывание к тензорам, полученным перемножением данных тензоров. Например, запись линейной скалярной функции (р (х) (§ 26)

(р(х) =(р/“(30.6)

мы можем теперь истолковать как получение инварианта 屮(х) путем свертывания тензора (ргхр (представляющего собой произведение тензоров 屮£ и %尸).

Совершенно аналогично этому и запись билинейной скалярной функции

<Р(X, У)=死产，/

нужно понимать как результат двукратного свертывания тензора 屮,/%勺° по индексам z, р и /, q.

В подобных случаях мы для краткости будем говорить, что «тензор 屮仃 свертывается с тензорами %', J」》， вместо того, чтобы

говорить: «тензор 屮订 перемножается с тензорами 尤尸，j? н в полученном результате производится свертывание по индексам /, р и /, ”.

После введения операции свертывания раскрывается полностью и смысл нашего сокращенного обозначения суммирования по индексу, встречающемуся один раз наверху и один раз внизу. Это обозначение именно потому и имеет право на существование, что оно выражает важную и часто встречающуюся операцию свертывания. И действительно, во всех случаях, когда мы его применяли, оно имело именно этот смысл, хотя операция свертывания и была нам неизвестна. Исключительно этот смысл оно будет иметь и в дальнейшем.

Операция подстановки индексов

Пусть нам дан какой-либо тензор, например,。发「. Мы можем составить из него новый тензор того же строения 力扌什,не меняя его координат самих по себе, а лишь иначе нумеруя их посредством индексов. Условимся каждую координату нумеровать теперь так, чтобы прежний первый индекс снизу стал писаться на втором месте, второй ——на третьем, а третий ——на первом. Формулой это можно выразить так:

"2® =咽卩. (31.1)

Так как в определение тензора входит и способ нумерации его координат посредством 1 - го, 2-го,. . . и т. д. индексов внизу, и то же самое наверху, то 匕爲「мы должна признать за тензор, отличный от apqr-

Мы будем говорить, что тензор 6%尸 получен из а%「подстановкой его индексов (в данном случае круговой подстановкой трех нижних индексов при неизменных верхних).

В общем случае можно задаться любой подстановкой нижних индексов и одновременно любой подстановкой верхних индексов (причем, как и в нашем примере, имеются в виду подстановки не численных значений индексов, а мест их написания при координате тензора). То, что в результате снова получается тензор и притом того же строения, легко следует из одинакового поведения всех нижних индексов при тензорном законе преобразования и равным образом из одинакового поведения всех верхних индексов.

Но, разумеется, подстановки, при которых верхние индексы могли бы переходить в нижние и наоборот, не рассматриваются, так как они не являются инвариантными операциями. Ввиду различного поведения верхних и нижних индексов при преобразовании координатной системы мы при такой подстановке не получили бы вновь тензора.

Операция подстановки индексов производит впечатление формальной и мало содержательной и действительно является такой, если ее рассматривать изолированно. Но основное ее значение сказывается в тех операциях, где она комбинируется со сложением и вычитанием, особенно в операциях симметрирования и альтернации.

Операция симметрирования производится следующим образом. Из одноименных (например, нижних) индексов данного тензора произвольно выбирается некоторое их число N, над этими индексами производятся N! всевозможных подстановок и берется среднее арифметическое всех полученных при этом N! тензоров. Результат симметрирования обозначается тем, что участвующие в симметрировании индексы берутся в круглые скобочки.

В случае N= 1 симметрирование тривиально и не меняет тензора; подстановка только одна ——тождественная.

В случае Л/=2 рассмотрим тензор。⑦ где явно выписаны лишь индексы, участвующие в симметрировании; остальные индексы, которых может быть сколько угодно (а может и совсем не быть), лишь подразумеваются. Подстановок здесь будет лишь две: тождественная и транспозиция 1-го и 2-го индексов. Результат симметрирования:

。{切=у(3L2)

В случае N=3 рассмотрим тензор 。〃左 с той же оговоркой, что он может иметь и другие индексы, хотя симметрированию подлежат лишь явно выписанные. Делая все шесть подстановок и беря среднее арифметическое, получим:

a{ijk^^ (。〃左 + ajki + akij + а}1^ aikj + akji)'(31.3)

Аналогично производим симметрирование и при любом числе симметрируемых индексов. Для верхних индексов все происходит, разумеется, точно таким же образом.

Мы называем тензор симметрическим по нескольким данным (обязательно одноименным) индексам, если он не меняется при транспозиции любых двух из этих индексов, а следовательно, и при любой их подстановке. Таков, например, дважды ковариантный тензор, координаты которого образуют симметрическую матрицу

aij — aji-(31.4)

В результате симметрирования получается, очевидно, тензор симметрический по тем индексам, которые участвовали в симметрировании* Переходим теперь к операции альтернации. Она производится так. Из одноименных индексов данного тензора произвольно выбирается некоторое их число N, над этими индексами производятся N! всевозможных подстановок, результаты четных подстановок берутся

со своим знаком, а у результатов нечетных подстановок знак меняется на обратный, и берется, наконец, среднее арифметическое всех полученных при этом N! тензоров. Результат альтернации обозначается тем, что участвующие в альтернации индексы берутся в прямые скобочки.

В случае N= 1 подстановка лишь одна, тождественная, альтернирование тривиально и не меняет тензора,

В случае N=2 альтернация имеет вид

aм=^(出)一力3(31.5)

В случае 3 получаем:

。卩阳=^ (aijk + ajki + akij— ajik —akji —aik^-(31 ・6)

Кроме индексов, участвующих в альтернации, у рассматриваемых тензоров могут быть и другие, явно не выписанные индексы.

Мы называем тензор кососимметрическим но нескольким даниым (обязательно одноименным) индексам, если он умножается ма —1 при транспозиции любых двух из этих индексов (и, следовательно, умножается на — 1 при любой нечетной подстановке и не меняется при четной подстановке этих индексов). Таков, например, дважды ковариантный тензор, координаты которого образуют кососимметрическую матрицу

aij~— a)i,(31.7)

или трижды ковариантный тензор, обладающий свойством

aijk = ajki = akij == 一 ajik = — akji = — atkj-(31.8)

В результате альтернации всегда получается, как легко проверить, тензор кососимметрический по тем индексам, которые участвовали в альтернации.

Если тензор кососимметричен по данным индексам, то альтернация по этим индексам его не меняет. Действительно, если, например, &融 кососимметричен по трем своим индексам, т. е. обладает свойством (31.8), то в скобках (31.6) все шесть слагаемых равны между собой, и мы получаем:

°и闽=

Отметим также, что если из тех индексов, по которым тензор кососимметричен, хотя бы два имеют одинаковые значения, то соответствующая координата обращается в нуль.

Действительно, при транспозиции этих двух индексов координата должна изменить знак в силу косой симметрии; с другой же стороны, она не изменится в силу равенства индексов, Следовательно, она равна нулю.

Степень произвола в выборе тензора данного строения

Мы установили основы тензорной алгебры, оперируя с произвольными тензорами, однако мы, строго говоря, до сих пор не знаем, существуют ли тензоры любого строения (т. е. с любым числом индексов наверху и внизу), и если существуют, то с какой степенью произвола определяются. Ясно одно, что если координаты тензора заданы в одной координатной системе, то в силу тензорного закона преобразования они определятся и в любой координатной системе. Но всегда ли можно построить тензор, задавшись произвольно его координатами в какой-либо одной координатной системе? На этот вопрос мы отвечаем утвердительно и на основе вот каких соображений.

Зададимся произвольно координатами искомого тензора, например, a%q, в какой-нибудь одной координатной системе S. Если искомый тензор существует, то его координаты в любой другой координатной системе S' будут определяться по тензорному закону преобразования:

磁号=徹，或 т(32.1)

Однако это еще не значит, что искомый тензор уже построен. Нужно еще убедиться, что тензорный закон преобразования действует не только при переходе от данной 汇 любой координатной системе, но и при переходе от любой 汇 любой координатной системе. Для этой цели рассмотрим еще одну произвольную координатную систему S". Для нее аналогично (32.1) получаем;

吟什，=^, аР.公唯.(32.2)

Очевидно, по смыслу наших обозначений

e；v - ае е^, 0产=4；"е？, e产= 4，,，e门(32.3)

откуда легко следует (подегановкой из первого равенства во второе и сравнением с третьим), что

4；，, = 4%4K(32.4)

т. е. матрица, преобразующая е; в 已厂，есть произведение матриц, преобразующих в 加 и 已产в 已仆

Аналогично для обратных преобразований имеем:

4" = 4'4：・(32.5)

Заменяя теперь в формуле (32.2) 4兀 4务，4机 их значениями согласно (32.4) и (32.5), приведем ее к виду

= АС А；出'怨:典,Л^ %q.

Пользуясь (32.1), получим окончательно

(32.6)

. действительно тензорный закон преобразования имеет место и при переходе от любой координатной системы к любой другой.

Этим наше доказательство закончено. Основа его заключается просто в том, что наложению двух линейных преобразований над векторами репера е「….，％ отвечает наложение соответствующих (н, очевидно, тоже линейных) преобразований над координатами тензора

Об m-мерных плоскостях в и-мерном аффинном пространстве

Мы изложили в основных чертах тензорную алгебру и сейчас должны пополнить наши сведения по геометрии «-мерного аффинного пространства. Прежде всего мы рассмотрим в этом пространстве плоскости различных измерений.

Мы будем называть плоскостью множество точек, обладающее следующим свойством. Пусть А, В, С——произвольные точки этого

множества. Построим вектор АВ, умножим его на произвольное число а и отложим от точки С, так что получится вектор

CD = aAB.(33」)

Тогда точка D должна тоже принадлежать нашему множеству.

Всякий вектор АВ, где Л и В принадлежат данной плоскости, мы будем называть вектором этой плоскости. Из определения плоскости видно, что при умножении на любое число а вектор данной

плоскости (например, АВ) переходит в вектор той же плоскости

(т. е. CD), и при откладывании вектора данной плоскости из любой ее точки мы приходим в точку той же плоскости (вытекает из определения при а — 1).

Теперь ясно, что все найти аксиомы 10 — 9° имеют место для точек и векторов плоскости. Что же касается аксиомы размерности 10°, то она видоизменится: максимально возможное число m линейно независимых векторов на плоскости будет, вообще говоря, меньше тг. Число m мы будем называть размерностью данной плоскости.

Мы видим, что m-мерная плоскость в п-мерном аффинном пространстве по свойствам своих тачек, и векторов представляет собой m-мерное аффинное прост рана ьо.

Пользуясь этим обстоятельством, на плоскости всегда можно выбрать аффинный репер, т. е. некоторую точку О* и 加 линейно независимых векторов а15 . . ., ат.

Тогда радиус-вектор О^М любой точки М на этой плоскости разлагается по векторам репера

О^М=户а】+ •・• + (33.2)

где 尸，tm ——коэффициенты разложения, которые пробегают всевозможные численные значения, когда точка М описывает нашу плоскость.

Одним словом, мы повторяем построение аффинной координатной системы для w-мерного аффинного пространства, каким и является наша 加-мерная плоскость.

При этом {О*, а15 ат} будет репером, а 力,/,л —соответствующими координатами.

Отсюда вытекает, что всякая w-мерная плоскость может быть построена следующим образом.

Берется некоторая точка О芸〃加 линейно независимых, векторов а1? а2, ..., а/л и строится множество всех точек М^ для которых вектор О^М допускает разложение по а1? а2, . . ., ат.

Последний вопрос, который нам нужно выяснить,——получим ли мы этим путем 加-мерную плоскость при любом выборе точки О* и /и линейно независимых векторов.

Легко проверить, что ответ будет утвердительным. В самом деле, вектор АВ, соединяющий любые две точки А, В из построенного нами множества, может быть записан в виде

АВ= 6^—済А

и вместе с векторами 0*5 и ОМ допускает разложение по а1?...

...,ат; то же остается верным н для вектора аАВ; откладывая этот вектор от произвольной точки С нашего множества, получаем вектор CD = аАВ; так как O^D — 0^С+ ^^, то O^D вместе с 0*С и

CD разлагается по а1; . .., ат, а следовательно, точка принадлежит построенному множеству. Тем самым это множество представляет собой плоскость (согласно определению последней) и притом w-мерную, так как 加 линейно независимых векторов на ней имеются по построению, но все остальные от них линейно зависимы.

Векторы а15 .. ., ат мы будем называть направляющими векторами данной плоскости.

Соотношения (33.2) легко позволяют записать уравнения /п-мер- ной плоскости в л-мерном аффинном пространстве. Отнесем последнее к какому-либо аффинному реперу {О, е15 ..., еп}. Тогда радиус-вектор любой точки М из 加-мерной плоскости может быть записан в виде

ОМ - ОО* -h О^М - ОО- + /1а1 4- .. . +，％# (33,3)

Здесь ОО*, а15 .. ат — постоянные векторы, а £丄,...,tm — независимые переменные (аффинные координаты на плоскости), так что (33*3) можно рассматривать как параметрическое уравнение нашей плоскости в векторной форме.

Переходя в равенстве (33.3) от векторов к их координатам относительно аффинного репера {О,已工,...,е以}, мы получим параметрические уравнения нашей плоскости в координатной форме:

炉=5+十伊涯+ .…+产*. (33.4)

Здесь х( — координаты вектора ОМ, а значит, и самой точки М а1—постоянные координаты вектора 00*, а； — постоянные координаты вектора ах и т. д.

В итоге текущие координаты %* произвольной точ^и 714 нашей m-мерной плоскости выражаются линейными функциями 加 независимых параметров Р,...,俨,причем see 加 столбцов матрицы коэффициентов линейно независимы между собой (что равносильно линейной независимости векторов а15 ..., а^; см. § 23).

Очевидно, что и обратно, уравнения вида (33*4) с условием максимального ранга (=加)для матрицы коэффициентов (т. е. с условием линейной независимости столбцов этой матрицы) всегда определяют 加-мерную плоскость. Это легко проверить обратным переходом к векторной записи.

Наконец, уравнения w-мерной плоскости можно дать в неявной записи. Для этого достаточно из п уравнений (33.4) исключить 加 параметров- Р, . . ., £必,что всегда выполнимо в силу максимального ранга w матрицы коэффициентов. Считая, что ранговый минор матрицы образован, например, первыми 加 ее строкам% мы можем выразить а,.…，产 через %i,…xm из первых w уравнений (力=1, 2, ...)w). Подставляя эти выражения в остальные уравнения (力=加+1,…/z), мы получим:

%m十1=力?十1%1+.一+力器+1无m十力m + I, \

(33.5)

尤"=々尸+...+号1A/"十力々

Коэффициенты 空 выражаются, конечно, через коэффициенты 吟, но как именно — нас сейчас не интересует.

Итак, m-мерная плоскость может быть задана л ——加 независимыми линейными уравнениями между текущими координатами х1, . . . ? х： Независимость полученных уравнений ясна из того, что в каждом из них выражена координата, отсутствующая в остальных.

То, что, обратно, уравнения вида (33.5) всегда определяют /п-мерную плоскость, становится очевидным, если принять х1, . . ., хт за независимые параметры 丹，...} ，"； тогда мы получаем частный случай параметрического задания /n-мерной плоскости. Размерность плоскости 加 может принимать значения 0, 1, 2, ..., л.

В случае 才左=0 уравнения (33.4) дают

%’= *(33.6)

н плоскость сводится к точке.

В случае т = 1

(33.7)(33.7)х1 = а1 〃*,

(33.7)

(33.7)

и текущие координаты суть линейные функции одного параметра. Одномерную плоскость мы будем называть прямой линией. В векторной форме она задается начальной точкой О* и одним направляющим вектором

В случае 加=2 мы получаем двумерную плоскость

力=标+户用+步g$,力=标+户用+步g$,(33.8)(33.8)

力=标+户用+步g$,

力=标+户用+步g$,

(33.8)

(33.8)

для которой текущие координаты суть линейные функции двух независимых параметров. В векторной форме она задается начальной точкой О* и двумя линейно независимыми направляющими векторами а】，а2.

Аналогично обстоит дело и при остальных значениях т. Особо следует от^тить случай т~п——1 ? когда плоскость называется гиперплоскостью. Гиперплоскость может быть охарактеризована тем, что она задается одним линейкьш уравнением между текущими координатами. Действительно, л ——т уравнений (33.5) сводятся в этом

случае к одному.

Наконец, наше определение плоскости допускает и случай т = п. Но тогда, очевидно, плоскость просто заполняет все пространство.

Для нас будет особенно важен случай, когда все рассматриваемые плоскости принадлежат одной связке ——проходят через фиксированную точку О (которую мы примем за начало координат). Тогда для задания /п-мерной плоскости достаточно знать ее направляющие векторы а1： . . ., а”

Но та же самая плоскость может быть определена и любой другой системой направляющих векторов а」， ат/ — лишь бы они тоже принадлежали плоскости и были линейно независимы. Разумеется, как здесь, так и далее индекс 加' имеет то же численное значение, что н т, н лишь в записи снабжен штрихом. Связь между старыми и новыми направляющими векторами /n-мерной плоскости — это в сущности связь между векторами старого и нового репера в /n-мерном аффинном пространстве. Мы можем записать ее аналогично § 24：

a,・，= 4，ai+…+駆а^ (i‘= 1', 2',…，歴')(Det | 修 | =# 0), (33.9) и обратное преобразование:

а,- = Xf ar+ . ..+Af am, (/= 1, 2歴).(33.10)

Неудобство здесь заключается в том, что одна и та же плоскость связки задается весьма разнообразными системами направляющих векторов. Возникает вопрос, нельзя ли систему направляющих векторов заменить чем-то другим, что было бы уже однозначно или почти однозначно связано с плоскостью данной связки. Ответом на этот вопрос является понятие простого поливектора. Им мы займемся в §§ 34, 35.

Бивектор и задание двумерной плоскости

Мы будем называть бивектором дважды контр авар иантный кососимметрический тензор

d = — а 人(34.1)

Бивектор мы будем называть простым, если он составлен из каких-нибудь двух векторов а1} а2 с координатами

а】(а；, • • • > 呼)，I^2 (а；‘ • • • > *) /

по формуле

aiJ =(а{а[~ а{а^ =• -. .(34.3)

Другими словами, простой бивектор получается перемножением контр авар иантных тензоров а； , а( с Последующей альтернацией:

аи = а|%А(34.4)

Очевидно, порядок Перемножаемых тензоров, т. е. порядок за * Дания векторов а】,а2, играет здесь важную роль: если порядок 5 П. К. Рашевский

заменить на обратный, бивектор, как легко заметить из (34.3), умножается на —I.

Простой бивектор, составленный из двух заданных в определенном порядке векторов а^, а2 согласно (34.3), мы будем называть косым произведением, векторов а^, а2 и кратко обозначать [3^2].

(34.5)(34.5)Выясним основные свойства косого произведения. Прежде всего при перестановке множителей оно, как уже отмечалось, меняет знак:

(34.5)

(34.5)

[а1аз] = — [а2а1]'

Отсюда в случае ах = а2 = а получаем:

[аа] = — [аа], т. е. [аа] = 0.(34.6)

Далее, из Линейной зависимости координат косого произведения [аха2] от координат одного из векторов, например ах)очевидно, следует, что при умножении аг на произвольное число а бивектор умножается на то же число:

[аа» а2] = a [a^J,(34.7)

а также, что при замене аг суммой двух (или нескольких) векторов бивектор распадается на сумму соответствующих бивекторов:

[а^ + а；, aj = fa；aj + [aia2].(34,8)

Теперь нетрудно заметить, что для линейной зависимости векторов а1? а2 необходимо и достаточно обращение 8 нуль их косого произведения.

В самом деле, если ах и а2 линейно зависимы, например а2 = аах, то

[а^з] = [an aaj = а 注科」=0.

Обратно, если [^^2] ~ ^» т0 согласно (34.3)

а； а{

т. е. обращаются в нуль все миноры 2-го порядка матрицы

II а\а{ .. . а^

II a：磴…g

Следовательно, между строками этой матрицы, а тем самым и между вектррами аА> а?? имеется линейная зависимость.

Далее, исследуем вопрос, как меняется косое произведение векторов а】，а2 при их линейном преобразовании:

а』=+ 浦找，](34 9)

а2* =幺；巧 4-Л^а2. J*

Составим косое произведение преобразованных векторов а』，а2*: 包自2，] = [(4；旬 + 4：%)⑷，a—&%)].

Раскрывая в правой части скобки, т. е. перемножая сумму на сумму почленно (согласно (34.8)), отбрасывая равные нулю. косые произведения линейно зависимых векторов и вынося численные множители за знак косого произведения (согласно (34.7)), получим：

4：，А[-

[ага2-] = Л}-^-^^] + Д i^j-^aJ =但關.(34.10)

厶2'厶2'

При последнем преобразовании мы воспользовались свойством (34.5).

Итак, косое произведение двух векторов в результате линейного преобразования этих векторов умножается на определитель линей* ного преобразован ия.

Допустим теперь, что векторы а】，а2 играют роль направляющих векторов некоторой двумерной плоскости н, следовательно, линейно независимы. Тогда линейное преобразование (34.9) с определителем, отличным от нуля, означает, очевидно, переход к любой другой паре направляющих векторов той же плоскости. Так как косое произведение 自科?] приобретает при этом лишь численный множитель (не равный нулю), то мы получим следующий результат.

Косое произведение направляющих векторов двумерной плоскости, рассматриваемое с точностью до численного множителя (не равного нулю), зависит только от самой плоскости и не зависит от выбора направляющих векторов на ней.

Таким образом, каждой двумерной плоскости сопоставляется определенный с точностью до численного множителя простой бивектор [а^а?], который мы будем называть ее направляющим бивектором. Он никогда не равен 0 в силу линейной независимости alf а2.

Ясно, что, беря всевозможные плоскости, мы будем получать в качестве направляющих бивекторов всевозможные простые бивекторы.

Будем называть две плоскости одного числа измерений napah- лельными, если одна получается из другой сдвигом всех ее точек на постоянный вектор. Очевидно, при этом векторы одной плоскости

переходят в равные им векторы другой плоскости. Следовательно, и направляющие векторы а】, а加 можно брать для параллельных плоскостей общими. А следовательно, в случае параллельных двумерных плоскостей общими будут и направляющие бивекторы.

Итак, параллельные двумерные плоскости обладают одним и тем же (определенным с точностью до численного множителя) направляющим бивектором.

Обратно, если две двумерные плоскости имеют один и тот же (определенный с точностью до численного множителя) направляющий бивектор, то эти плоскости параллельны. В самом деле, пусть одна плоскость имеет направляющий бивектор [а^2], а другая—- [b1b2J. С точностью до численного множителя эти бивекторы должны совпадать, так что

[bib2] = a[aia2],

т. е. согласно (34.3)

у (々区一〃碩=4 (a：W—a/成).

Свернем это равенство почленно с ковариантным тензором с,, который подобран так, что

(34.11)(34.11)力"尸0, *『=1.

(34.11)

(34.11)

Этого, очевидно, всегда можно добиться ввиду линейной независимости направляющих векторов Ь】,Ь2, а следовательно, и строк матрицы

В результате свертывания получим ( отбрасывая множители-^- 1 : b] *сb\・ b*cj = а\ (аа?С/) — а； (аа?,).

Учитывая равенства (34.11) и обозначая инварианты аа”一aa{cj через р1, р2, получаем окончательно:

(34.12)(34.12)瓦=6%: +俨W.

(34.12)

(34.12)

Мы видим, что тензор Ь\ оказывается линейной комбинацией тензоров а/,。宮 т. е. вектор Ь】разлагается по векторам а】,а2. То. же самое, конечно, справедливо и для Ь2.

В результате направляющие векторы blf b2 второй плоскости принадлежат и первой плоскости, а следовательно, могут служить

и ее направляющими векторами. Таким образом, при построении обеих плоскостей разница может быть лишь в выборе начальной точки О* (§ 33). Пусть О*, О* — начальные точки наших плоскостей. Тогда сдвигом на вектор 0*0* мы приводим начальную точку О； в совпадение с О*, а так как направляющие векторы и без того общие, то первая плоскость придет в совпадение со второй. Следовательно, наши плоскости параллельны, и утверждение доказано.

Окончательный вывод: для того чтобы две двумерные плоскости были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы их направляющие бивекторы были одинаковы с точностью до численного множителя.

Таким образом, направляющий бивектор характеризует целую совокупность параллельных между собой двумерных плоскостей, заполняющих все пространство, т.е., как мы будем говорить, ха- рактеризует двумерное направление s пространстве-

Если мы рассматриваем только плоскости некоторой связки (т. е. плоскости, проходящие через фиксированную точку О), то в нашей формулировке вместо параллелизма плоскостей следует говорить просто об их совпадении.

§ 35・ Основные свойства т-векторов

Результаты предыдущего параграфа полностью переносятся с двумерного случая на случай любого числа измерений.

Тензор &4 …fm, w раз контравариантный и кососимметрический по всем своим индексам, мы будем называть 加-есктором (поливектором).

/w-вектор мы будем называть простым, если он составлен из каких-нибудь 加 заданных в определенном порядке векторов а1( а2, .. . , аш по формуле

а〕а% …a[m

**…a書

Другими словами, мы перемножаем в заданном порядке тензоры 。；\ . - ., , образованные координатами наших- векторов/ и результат альтернируем по всем индексам /1? /2, . . . , i^.

Нужно помнить при этом, что нижние индексы здесь не тензорные, а номера заданных векторов; альтернация, разумеется, к ним относиться не может.

Правильность записи в виде определителя проверяется без труда, если сопоставить определение альтернации ло m индексам с прави-

лом составления определителя ^-го порядка в виде суммы т\ членов. Действительно, и в том и другом случае мы должны в произведении а?а， ... а^ (это произведение элементов по главной диагонали определителя) проделать всевозможные подстановки из индексов /г, /2). . ., /т и сложить полученные результаты, беря их со знаком 土 в зависимости от четности или нечетности подстановки (в случае альтернации к этому еще присоединяется деление на т\).

Простой ^-вектор (35.1) мы будем называть косым произведением векторов а15 а2, •••,% и обозначать кратко [а^ . .. ат],

^-векторы вообще и простые в частности имеет смысл рассматривать лишь при т= 1, 2, 3, . . ., л. Дело в том, что при т〉п всякий ^-вектор тождественно равен нулю.

Действительно, среди т индексов каждой его координаты обязательно должны найтись, по крайней мере, два одинаковых, а следовательно, каждая его координата равна нулю (см. конец § 31).

Полагая т — п, рассмотрим произвольный л-вектор а»厶…％ (как увидим, он всегда будет простым). Всякий л-вектор имеет лишь одну существенную координату а12 •• - п . Действительно, все остальные его координаты а'"、• • • ％ или равны нулю, если среди индексов /1? 『2，・・・，»п имеется хоть два одинаковых, или равны + а12 - • -п, если все индексы /1? /2, .. ., /п различные и, следовательно, получаются из 1, 2, .. ., л некоторой подстановкой (土 в зависимости от четности или нечетности этой подстановки).

В связи с этим любые два л-вектора М…小 и N…小 отличаются друг от друга лишь инвариантным численным множителем:

(35.2)(35.2)加「• •『п =九 а'1.."%

(35.2)

(35.2)

если положить

(35.3)

(предполагается, что а12- • -п ^= 0).

Действительно,九 подобрано так, что (35.2) соблюдается при /1/2 . ., /п = 12 /.. п. Но тем самым оно соблюдается и всегда, так как остальные координаты наших л-векторов или такие же, как при &『2 •・• /п — 12 . . . л или отличаются лишь знаком, или р'авнн нулю. Инвариантность же коэффициента 九 вытекает из того, что а^- -1п и Ь〃…％ преобразуется по одинаковому закону.

Решим теперь еще один важный вопрос, касающийся л-вектора. Так как все его координаты выражаются через координату а12■ • -/г, то закон их преобразования сводится к закону преобразования этой единственно существенной координаты.

Этот последний мы и хотим вывести. Запишем тензорный закон преобразования для нашего случая

确/也••/.(35.4)

При суммировании по /1( /2)...,% мы откинем все слагаемые, где среди этих индексов встречаются равные, так как в этом случае все равно a'J”」"=0. Остаются слагаемые, в которых &, /2)... все различны, т. е. получены некоторой подстановкой из 1, 2, л. Но в таком случае

〃，％…％ = ± @12(35.5)

знак 土 выбирается в зависимости от четности или нечетности подстановки. Вставляя выражение для а'м%—」" из (35.5) в (35.4) и вынося(р2…п за скобки, получим：

。「2,.... = aiz…" £ 土 4； …*

где сумма берется по всевозможным подстановкам 12 ... zz f т»1»2・• • »п н представляет собой, очевидно, определитель Det \А^\.

Окончательно получаем:

дГг7.. .nf „ д12.. .n Det IV I.(35.6)

Единств-енная существенная координата п-в^ктора при переходе в новую координатную систему умножается на определитель Det |^4f |.

В связи с этим <21а- ■ -п можно назвать относительным инвариантом веса——1. Вообще же относительным инвариантом веса р (р —целое) называется величина, имеющая определенное численное значение в каждой координатной системе и при переходе от старой к новой координатной системе умножающаяся на

{Det II}~ = {Det| %, | 产.(35.7)

Вернемся к общему случаю простого w-вектора (т = 2, 3, . .., л)*) и установим его основные свойства. Когда в косом произведении [a±a2 * • • а^] мы меняем местами два множителя, то в определителях (35.1), выражающих его координаты, меняются местами две строки, и косое произведение умножается на —1.

Отсюда совершенно так же, как в предыдущем параграфе, вытекает, что при наличии двух одинаковых множителей косое произведение обращается в нуль.

Далее, из той же записи (35.1) виден линейный характер зависимости координат косого произведения от координат любого из множителей (например, множителя а】),加 координатами которого образована первая строка определителя.

Отсюда совершенно так же, как для бивектора, вытекает

[aaq .. . a„J = а 卜也...a„J(35.8)

И

[at 4~ 31, ^2 • • • am] = [а1а2 • • ' am] + [ata2 am]- (35.9)

Разумеется, совершенно теми же свойствами обладает любой множитель косого произведения.

Теперь докажем теорему: для линейной зависимости векторов а「а2, . . ., аот необходимо и достаточно обращение 8 нуль их косого произвед-ения.

Необходимость. Пусть а15 а2, . . ., аот линейно зависимы, например, а】 разлагается по остальным векторам с коэффициентами а2, .,., ат:

а1 — а2а2+ ••• +。足応・

Тогда

[а1а2 • • • а/л] ~ [а2а2 + • •• + amam^ а2 • ' • aml =

=%[а2a2 .. . am] + 十am[^m^2 ' • • a„J = °・

Равенство нулю вытекает из того, что в каждом из полученных косых произведений имеется два одинаковых множителя.

Достаточность. Пусть [aq . . . аот] — 0; тогда обращаются в нуль все определители (35.1), т. е. все миноры 加-го порядка матрицы

а\ а} .. . а：

，(35.10) ат ат • • •畤t

образованной координатами наших векторов. Тем самым между строками матрицы, а следовательно, и между нашими векторами имеется линейная зависимость.

Из доказанной теоремы следует, между прочим, что простой л-вектор [axa2 . . . ал] в случае линейной независимости векторов а「 а2, . . ., ал отличен от нуля. Следовательно, любой другой п-век- тор, отличаясь от него лишь численным множителем 入,тоже будет простым (множитель 入 можно включить, например, в а】).

Заметим, кстати, что любой л——1-вектор тоже всегда является простым.

Выясним теперь, как преобразуется косое произведение т векторов а1} ...} а^ при их произвольном линейном преобразовании в векторы а— .. .} а”：

a1，=4:依1 +需，a2 + .. - + 4费m = 4匕" ,] - J (35.11)

a卅-/за1十磊"a?+….十鳳，aм = 4^%“ J

при помощи квадратной матрицы /；， порядка т. Мы позволяем себе здесь в виде исключения сокращенную запись суммирования, несмотря на то, что индексы суммирования &, . . ., 1т пробегают значения 1, 2,...,加,а не 1, 2, ..., л.

Составим косое произведение:

[a1/a2* .. . a勿]" ["}%：]/；a%,5^即‘」=

—Л• • /渺囱自乙….а(от].

Полученное выражение с формальной стороны вполне аналогично (35.4), отличаясь от него только тем, что число множителей 4步 здесь 加,а не л, и индексы суммирования пробегают значения 1,т (а не 1, . . ., л), а также тем, что верхние и нижние

индексы поменялись ролями. Роль а厶…G играет сейчас [а^ . . . агш], также кососимметрическое по всем своим индексам. Поэтому аналогичным образом получим:

[ара?，..・ @川} —- [а】％ • • • a" Det 14, | »(35.12)

Итак^ косое произведение т векторов в результате их линейного преобразования умножается на определитель матрицы этого преобразования.

Докажем теперь следующую важную теорему.

Для того чтобы вектор а (а】,а?, . . . , ап) разлагался по линейно независимым векторам а】,а2, . . ., а^, необходимо и достаточно соблюдение условия

а【£ д/也…• £拼]=о,(35.13)

где aziz2 - - ■ »m—координаты косого произведения [3232 . . . аот].

Разберемся прежде всего в смысле условия (35.13). В процессе альтернации мы, строго говоря, должны взять среднее арифметическое (加+1)! слагаемых, полученных в результате всевозможных подстановок 加+1 индексов (с изменением знака в случае нечетной подстановки). Однако фактически у нас будет лишь m + 1 существенно различных слагаемых, так как каждое слагаемое встретится нам 加！ раз, В самом деле, те 加！ подстановок индексов в слагаемом, например, а’。％；? • • • бп, которые затрагивают лишь последние /п

индексов, дадут нам (в силу косой симметрии a^fa • • ■ *« и правила изменения знака в случае нечетной подстановки) одинаковые слагаемые. В таком случае достаточно взять среднее арифметическое лишь т + 1 существенно различных слагаемых. В качестве таковых можно взять слагаемое с^а^ • • • ^т н те 加 слагаемых, которые получаются из него поочерёдной транспозицией индекса z с &, /2, . . ., //л, конечно, с изменением знака (ввиду нечетности транспозиции). Получаем развернутое выражение:

球'從也• • • ^w|]=

加+1'加+1'—a'm'a'也…•》 (33.14)

加+1'

加+1'

Для доказательства теоремы нам придется преобразовать условие (35.13). Координаты косого произведения имеют по определению вид

Вставляя это выражение в (35.13), получаем：

а^а^а^1 . • .— 0.а^а^а^1 . • .— 0.(35.15)(35.15)

а^а^а^1 . • .— 0.

а^а^а^1 . • .— 0.

(35.15)

(35.15)

Внутреннюю альтернацию (и это общее правило) можно выкинуть, раз она покрывается внешней альтернацией. Результат от этого не изменится. В самом деле, пользуясь выражением (35.14), получаем:

^7j (a'af* .…a 型一a% af . 一 a 刎一一”《*a[“ ・…a^).

Осуществляя теперь оставшиеся альтернации, в каждом случае по т индексам, мы получим из каждого члена т! слагаемых (с последующим делением на 加).

Всего мы получим (т+1)! слагаемых, составленных, очевидно, по правилу альтернации выражения a'af . . • а^ по всем его верхним индексам и с последующим делением на /и! (ти + 1) = (^ + Ь*-

Другими словам%

(35.16)(35.16)a[ia[^ . .. a漿]=^а^ . . . a^1

(35.16)

(35.16)

Теперь условие (35.13) принимает вид

аиа^ ... а^] = 0, т. е. [аа】...а" = 0.(35.17)

Но в таком виде наше условие по выше доказанному равносильно линейной зависимости векторов а, alt ..., ада, а так как

@1， а?,・••, а。линейно независимы, то равносильно линейной зависимости а от а], а?,…，а,л. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь какую-либо /n-мерную плоскость с направляющими (и тем самым линейно независимыми) векторами а】，...,аст. Косое произведение этих векторов [аг . .. аш], очевидно, не равное нулю, мы будем называть направляющим т-вектором нашей плоскости.

При любом выборе направляющих векторов на данной плоскости ее направляющий m-вектор с точностью до численного множителя остается прежним,. Это непосредственно следует из результата (35.12), если считать, что формулы (35.11) дают переход от старых к новым направляющим векторам на данной /n-мерной плоскости (при этом Det J/> |*0).

Обратно, если g двух m-мерных плоскостей направляющие m-векторы отличаются лишь численным множителем

(瓦一 • ь J= а 同...а*],(35.18)

то эти плоскости параллельны (т. е. получаются одна из другой сдвигом всех точек на постоянный вектор).

Действительно, пусть 。厶 …'》» и Ь~ ———координаты направляющих /n-векторов [ах ... аст] и [Ьх ... bm] первой и второй плоскости. Нам дано, что

Согласно (35.13), для того чтобы вектор а разлагался по а], а2, .. ■, а^, т. е. чтобы он принадлежал первой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы его координаты удовлетворяли условию

а【％“ …褊]=0.(35.19)

Совершенно аналогично, для того чтобы а принадлежал второй плоскости, необходимо и достаточно, чтобы

а^Ь^ • * ■ ^1 — 0.(35.20)

Но оба последних условия равносильны вследствие (35.18). Поэтому все векторы, принадлежащие второй плоскости, принадлежат и первой плоскости, и наоборот. В частности, векторы Ь「. . . , bm принадлежат и первой плоскости и могут служить направляющими векторами на ней наряду с ах, ..., а^. Теперь достаточно сделать параллельный сдвиг, переводящий какую-нибудь одну точку второй плоскости в какую-нибудь точку первой плоскости, чтобы обе плоскости совместились. Тем самым наше утверждение доказано.

Резюмируем: для того чтобы две m-мерные плоскости были параллельны^ необходимо и достаточно, чтобы их направляющие

140 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО п ИЗМЕРЕНИЙ (ГЛ. II т-векторы, рассматриваемые с точностью до численного множите几父、 были одинаковы.

Это можно выразить и в такой форме, что направляющий /и-век- тор, заданный с точностью до численного множителя, характеризует m-мерное направление в пространстве, т. е. совокупность параллельных между собой /и-мерных плоскостей, заполняющих все пространство.

Если мы ограничиваемся плоскостями некоторой связки О, то параллелизм плоскостей будет означать просто их совпадение, которое и будет равносильно совпадению направляющих /и-векторов.

Наконец, последнее замечание. Вся алгебраическая теория, развитая здесь для кососимметрических контр авар иантных тензоров а^ • ■ ■ z« (加-векторов), повторяется, конечно, дословно и для кососимметрических ковариантных тензоров а^ . .. zm (которые мы будем называть т-ковекторамй). Более того, можно установить своеобраз- ньей принцип двойственности, по которому каждому /и-вектору взаимно однозначно сопоставляется л—/и-ковектор, и обратно (при условии задания некоторого фиксированного /z-вектора). Мы не будем останавливаться здесь на этом подробнее ). Укажем только, что совершенно аналогично (35.6) можно получить, что единственная существенная координата а12 ... л /z-ковектора aixi2, ,. £п преобразуется по закону

.出=^12 . .. 〃Det| A\f I. (35.21)

Тем самым, согласно (35.7), а^^. — л представляет собой относительный инвариант веса + 1 (определители в (35.6) и (35.21) представляют собой взаимно обратные величины как определители взаимно обратных матриц). Отсюда вытекает, что произведение существенных координат /z-вектора и /z-ковектора а】？ • • ■ л • а12 … 门 представляет собой инвариант.

Если, в частности,

а】？ 一・人11, (35.22)

то /z-вектор и /z-ковектор мы будем называть взаимно сопряженными. Ясно, что по данному /z-вектору всегда можно построить сопряженный ему /z-ковектор, и обратно.

Что касается геометрического истолкования /и-ковекторов, то на нем мы останавливаться не будем. Укажем лишь, что по упомянутому принципу двойственности (кстати, имеющему непосредственное отношение к принципу двойственности в п—1 -мерной проективной геометрии в связке О) каждое /и-мерное направление в про-

странстве характеризуется 〃 ——加-ковектором, заданным с точностью до численного множителя. Так, например (при т =、〃一 1), л—1-мерное направление характеризуется 1-ковектором о；, а именно, это есть направление гиперплоскости, уравнение которой

0 卢‘=0.

§ 36. Ориентация в л-мерном аффинном пространстве

Будем рассматривать в л-мерном вещественном аффинном пространстве ) всевозможные реперы {О', е*}. Легко заметить, что они распадаются на два класса аналогично «правым» и «левым» реперам в, обычном трехмерном пространстве. А именно, выбрав произвольно некоторый начальный репер {О, еп ел}, мы распределим все вообще реперы {О', е』,，..,ел/} на два класса по следующему принципу. Запишем разложение векторов произвольного репера по векторам начального репера

Если Det [ Л^л I > 0, то мы относим произвольно взятый репер к первому классу, если же Det | Л^ | < 0, то — ко второму классу. Начальный репер попадет, очевидно, в первый класс (матрица 4% будет в этом случае единичной). Покажем теперь, что это распадение реперов на два класса не зависит от выбора начального репера (если не считать нумерации этих классов, которая, конечно, определяется выбором начального репера).

Для этого достаточно показать, что любые два репера одного класса связаны между собой преобразованием, с положительным, определителем, а в случае разных классов ——с отрицательным определителем. Тогда действительно, исходя из любого начального репера, мы получим разбиение реперов на те же два класса (с точностью до их нумерации).

Возьмем два произвольных репера (О', е^, е〃，) и (О", е】”,е^"). Пусть они связаны с исходным репером и между собой преобразованиями:

(36.1)(36.1)о,[/ = /4；,%, е；〃 — /4，，疋尸, е?” — /1^»е-.

(36.1)

(36.1)

Очевидно, третье преобразование есть результат наложения первых двух, так что его матрица есть произведение матриц：

4，,三d：，4”，(36.2)

а значит,

Det I %,, I = Det I А^ | • Det |《,|.(36.3)

Если взятые реперы одного класса, т. е. Det|4$, | и Det [ Л^ | одного знака, то отсюда следует

Det J -4g [ > О, если же разных классов и, следовательно, указанные определители разных знаков, то

Det I Л<： I < 0.

Этим наше утверждение доказано.

Мы условимся говорить, что два репера имеют одинаковую ориентацию или различные ориентации в зависимости от того, принадлежат ли они к одному классу или к различным классам.

В случае л = 1 (прямая линия) репер (О, ег) имеет одну ориентацию, если вектор е± направлен в данную сторону, и другую, если он направлен в противоположную сторону. Таким образом, выбор ориентации сводится к выбору определенного направления на прямой.

В случае двумерного аффинного пространства, т. е. в сущности в случае обычной плоскости, рассматриваемой в пределах ее аффинных свойств, ориентацию можно представлять себе наглядно в виде определенным образом заданного направления вращения на плоскости (против или по часовой стрелке).

Тогда реперами (О, е1( е2) данной ориентации будут те, для которых направление вектора eXj вращаясь около О в заданную сторону, приходит в совпадение с направлением вектора е2 в течение первого полуоборота.

Нужно пояснить, что в этой формулировке мы не выходим за пределы аффинных свойств, так как вращаются не целые фигуры, а лишь направления, исходящие из данной точки.

В случае /z=3 распадение реперов на два класса вполне аналогично их распадению на «правые» и «левые» в обычном пространстве.

Мы говорим, что л-мерное аффинное пространство ориентировано, если из двух возможных ориентаций избрана одна определенная (т. е. избран один из двух классов реперов).

Все сказанное относится и к /n-мерным плоскостям л-мерного пространства, так как они по своей геометрии являются также аффинными пространствами. Соответствующий /n-мерный репер, ориентация которого будет рассматриваться, образуется какой-нибудь точкой О* и направляющими векторами alt ..., am данной /п-мер- ной плоскости. При этом не нужно забывать, что ориентация репера в той же мере зависит от нумерации его векторов, как и от выбора

самих этих векторов. Составим направляющий 加-вектор [а^ ... ат] данной /n-мерной плоскости. Если мы перейдем в ней к другому реперу ах/, ..., а^ посредством линейного преобразования с матрицей /n-го порядка ||<%Н

a，=得力，

то согласно (35.12)

[ауа^，. .. 2廿]—[а^а2 • • • a」Det | А^ |.

Если новый репер имеет ту же ориентацию, что и старый, то определитель, на который множится направляюи^ий 加-вектор, будет, как мы видим, положительным; в противном случае ——отрицательным. Мы получаем следующий результат.

Все направляющие т^векторы данной т-мерной плоскости, отвечающие m-мерным реперам одинаковой ориентации, отличаются лишь положительными численными множителями; при изменении ориентации репера на обратную направляющий m-вектор приобретает отри- цателъный численный множитель.

Отсюда вытекает, что если направляющий m-вектор задан нам с точностью до положительного численного множителя, то у нас определено не только m-мерное направление в пространстве, но 〃 определенная ориентация на каждой m-мерной плоскости этого направления (т. е. из двух классов реперов на ней избран один определенный).

§ 37. Измерение объемов

Пусть в вещественном л-мерном аффинном пространстве дано некоторое тело Df Отнесем пространство к какой-нибудь аффинной координатной системе (х1, .. ., *") и составим л-кратный интеграл

Ио = J dx1 dx2 dxn, (37.1)

распространенный по области D. Мы будем рассматривать лишь такие области D (например, ограниченные кусочно гладкими гиперповерхностями), для которых существование этого интеграла не вызывает сомнений.

При переходе в другую координатную систему (хг\ ..., *“') получаем в силу (24.20)

(37.2)(37.2)% 尸=4'W + ^z\

(37.2)

(37.2)

Аналогичный интеграл имеет вид

/d = f dx^' 3 …W f I恥 I dx】dx2 ... dxn =

=$ I Det I ^f \ \dxA dxn | Det | %' | ：・ $ dx1 ... dxn

= |Det|4'|]・％・(37.3)

Мн воспользовались здесь формулой преобразования переменных под знаком кратного интеграла, причем якобиан преобразования совпадает с Det | 4, |, так как из преобразования (37.2) следует, что

Итак, интегралы VD для всех областей D умножаются при переходе в новую координатную систему на общий множитель | Det | zlf 11.

Другими словами, интеграл VD для данного тела D можно рассматривать как относительный инвариант веса ——1 с той только разницей, . что его преобразование сводится к умножению не н Det I -4f I, а на | Det | Af 11 (ср. (35.6)).

Чтобы отметить это, мы будем называть VD знакопостоянным относительным инвариантом веса —1; впрочем, прилагательное «знакопостоянный» мы будем для краткости большей частью опускать.

Относительный инвариант VD мы будем называть объемом тела D, Таким образом, в аффинной геометрии объем данного тела не выражается каким-либо определенным числом и меняется вместе с координатной системой. Тем не менее между объемами существуют соотношения, вполне аналогичные обычным и в отличие от самого объема инвариантные относительно выбора координатной системы.

Равенство объемов двух тел

丿 5 =“(37.4)

сохраняется при переходе в любую другую координатную систему.

Если объем тела D равен сумме объемов тел D* и О?

/)=丿5 +丿%(37.5)

в одной координатной системе, то это верно и в любой другой.

Отношение объемов двух тел D % D'

鲁=月(37.6)

есть инвариант преобразования координатной системы.

Все эти утверждения очевидным образом следуют из одинакового для всех VD закона преобразования (37.3).

Введенное нами понятие объема, вернее, те инвариантные соотношения, к которым оно приводит, хорошо согласуются с нашим обычным представлением об объеме.

Так, при параллельном сдвиге тела D на вектор а в положение D его объем, как мы и ожидаем, не изменится. Действительно>

，Q=，• • dxn,，力=，MA . . .

Но при этом 亍=%'+足，где а1 — постоянные координаты вектора сдвига а. Преобразуя интеграл V/ к переменным л/, получим, очевидно:

了方=§ dx1 dxn = J dx1 .. . dx" = VD. (37.7)

Далее, для тела D, составленного из (неперекрывающихся) тел D] и £>2, объем будет равен сумме объемов этих тел:

vD=vo, + vD2, так как, очевидно:

\ dx1 .. . dxn = \ dx1 . . . &*"+ g dx1 .. . dxn. (37.8)

DD1Dj

Эти и подобные им свойства объемов показывают, что хотя объем у нас ——относительный инвариант и не выражается определенным числом, тем не менее он характеризует пространственную протяженность тела независимо от его формы и места расположения подобно численно выраженному объему в обычном пространстве.

Рассмотрим, в частности, п-мерный параллелепипед, построенный на л линейно независимых векторах ах, а2,а„, исходящих

из данной точки О. Так мы будем называть множество точек М, для которых радиус-вектор ОМ разлагается по векторам ах, ..., art с коэффициентами, меняющимися от 0 до 1:

0附=/匕1+ ...十尸a“,

где

0《产 «1.(37.9)

В случае m = 1

苏=/匕1， 0w厶41，

и получаемый при этом «одномерный параллелепипед» мы будем называть отрезком одномерного аффинного пространства (прямой линии).

В случае л == 2 мы получаем «двумерный параллелепипед» 苏=〃ai + f2a2，0 «〃《1,0 & 伊《[,

который будем называть параллелограммом в двумерном аффинном пространстве.

Эти определения, очевидно, вполне согласуются с нашими обычными представлениями об отрезке на прямой, полученном откладыванием вектора а】 от точки О, и о параллелограмме на плоскости, построенном на векторах а】，а2, отложенных от точки О.

Совершенно аналогично при m = 3 наше определение параллелепипеда вполне согласуется с обычным.

Отнесем пространство к какой-нибудь координатной системе {О, е1? . . ., еп} и вычислим интеграл VD для нашего л-мерного параллелепипеда. При этом всегда можно считать, что параллелепипед построен, исходя из начала О (так как VD не меняется при параллельном сдвиге тела Q).

Обозначим координаты векторов а^ через %, так что

(37.10)

Вычисление интеграла VD мы для краткости проведем обходным путем. Примем на время а^ за векторы %，нового репера (с прежним началом О). Тогда в новой координатной системе коэффициенты fi, . . ., /п будут служить координатами, причем в пределах нашего параллелепипеда они меняются от 0 до 1. Поэтому в новой координатной системе

11

(37.11)(37.11)Vd — ^ ... , а" ... dtn — 1.

(37.11)

(37.11)

Но VD и I7} согласно (37.3) связаны соотношением

17^ = 1 Det |4'||“》.(37.12)

В нашем случае матрица || А^ || , как видно из (37.10), совпадает с матрицей || 砒 ||, а следовательно, матрица ЦЛ|* || — с ее

обратной матрицей, и мы получаем: Det I I ~.

' Det I 4 I

Теперь соотношение (37.12) дает (если учесть, что Уд = 1): VD-|Det|al||-(37.13)

Итак, относительный инвариант VD 8 случае п~мерного параллелепипеда выражается модулем определителя Det | а^ |, составлен^ ного из координат векторов, на которых построен параллелепипед.

Между прочим, сам этот определитель является относительным инвариантом веса—1, так как согласно (35.1) он равен л! а12 • ■ -п, где а12 • ■ • п — координата л-вектора [a1a?….a J

В частности, если DQ ——параллелепипед, построенный на векторах репера ej, ,. ., ел, то аналогично (37.11) Vo0 ^ 1 > так что

厶：吸。=11%"研1|， (37.14)

Итак, отношение объемов двух п-мерных параллелепипедов, построенных соответственно на векторах а1т . .., ал и е1( . .., еп, равно модулю определителя той матрицы, посредством которой векторы а/ выражаются через векторы е「 Этот результат получен в предположении, что векторы е(- совпадают с векторами репера. Но, в силу того, что отношение двух объемов есть инвариант, наш результат остается верным и в любой координатной системе.

Все сказанное до сих пор об объемах в л-мерном аффинном пространстве полностью переносится и на его m-мерные плоскости, поскольку они также представляют собой аффинные пространства. При этом /и-мерные объемы тел О, расположенных на разных /«-мерных плоскостях, вообще говоря, нельзя сравнивать друг с другом. Действительно, речь идет об относительных инвариантах VD, меняющихся в зависимости от выбора репера {О*, а1т . . ., а^}, в одном случае ——на одной плоскости, в другом случае ——на другой. Так как выбор реперов на разных m-мерных плоскостях происходит совершенно независимо, то никаких инвариантных соотношений между значениями VD на разных плоскостях установить нельзя.

Однако из этого правила имеется исключение. Если речь идет о параллельных /и-мерных плоскостях, то их можно относить к одному и тому же реперу (если не обращать внимания на положение начала О*). В самом деле, векторы репера аг, . .., а^, построенного на одной плоскости, можно отложить и на параллельной ей плоскости из какой-нибудь ее точки.

Относя параллельные m-мерные плоскости к одному и тому же (в указанном смысле) реперу аг, . . . , а^，мы можем сравнить значения /n-мерных объемов VD не только для тел D на данной плоскости, но и на различных параллельных ей плоскостях. Отношение двух таких объемов по-прежнему будет инвариантом, и, вообще, все инвариантные соотношения между объемами повторяются и в этом случае по прежним причинам.

Рассмотрим частные случаи.

Пусть /п — 1; мы рассматриваем связку параллельных прямых; в качестве областей D на этих прямых берем их отрезки (о, 6); «одномерные объемы»

Уд — j dt1 b—〃 (Z＞〉а)

представляют собой длины этих отрезков, вычисленные при условном выборе направляющего вектора а】 (общего для всех прямых связки) за единичный вектор. Однако отношения длин отрезков на параллельных прямых будут уже инвариантными, равно как и такие факты, что длина данного отрезка есть сумма длин двух параллельных ему отрезков (если это имеет место при одном выборе вектора а), и т. д.

Пусть 加=2； мы рассматриваем связку параллельных двумерных плоскостей; двумерные области D берутся на этих плоскостях. Их «двумерные объемы» VD = ^ ^ dt1 dt2 — это площади, которые получатся, если условно выбрать в качестве единицы измерения площадь параллелограмма, построенного на направляющих векторах а1? а2 (общих для всех плоскостей связки). Однако отношения площадей параллельно расположенных плоских фигур будут уже инвариантными, равно как и такие факты, что площадь данной плоской фигуры есть сумма площадей параллельных ей плоских фигур, и т. д.

В заключение мы дадим окончательную геометрическую характеристику простого /п-вектора.

Задание простого m-вектора, отличного от нуля, равносильно заданию некоторой m-мерной плоскости (с точностью до параллельного сдвига), с определенной ориентацией и с определенным объемом, указанными на ней. Это мы будем кратко называть геометрической характеристикой m-вектора* Переходим к доказательству нашего утверждения.

Каждый простой 加-вектор, не равный нулю, можно (хотя и неоднозначно) представить в виде косого произведения {а^ а? •・・ а". Если принять аь а2, . . . , ал за направляющие векторы некоторой s-мерно亡 плоскости, то эта плоскость определяется с точностью

до параллельного сдвига, на ней определяется некоторая ориентация (т. е. ориентация репера а17 а2).. . , ат) и некоторый /n-мерный объем, именно, объем параллелепипеда, построенного на а1( а2, • -. , ат. Мы получаем геометрическую характеристику нашего /n-вектора. Однако нужно еще показать, что эта характеристика будет одной и той же независимо от того, каким косым произведением представлен данный /п-вектор.

Пусть данный /n-вектор представлен косым произведением других векторов а2ч . .. ,

[ах^ ... ат/] ~ [аг ... ат] 0.(37,15)

Мы имеем два равных между собой косых произведения, т. е. можно сказать, отличающихся друг от друга численным множителем а = 1. Такое положение вещей разбиралось в § 35 (см. (35.18)) и приводило к тому, что а】，,• •・,ат* и а15 . . . , ат служили направляющими векторами одной и той же /n-мерной плоскости, а следовательно, могли разлагаться одни по другим. Таким образом, и в нашем случае

а^ = Та*(37.16)

Теперь согласно (35,12)

[а『...am,] = [aj . . . am]-Det | Л?；|.(37.17)

Сравнивая с (37.15), получаем:

Det|d"= 1-(37.18)

Это показывает, во-первых, что реперы а1} . .. , ат и aj , . .. , аш- определяют на /n-мерной плоскости одну и ту же ориентацию (так как Det |《,|=1〉0) и, во-вторых, что построенные на них параллелепипеды имеют одинаковый объем. В самом деле, отношение этих объемов согласно (37.14) равно | Det | Л<, 11 , т. е. единице.

Итак, геометрическая характеристика данного /n-вектора действительно не зависит от способа его записи в виде косого произведения и будет, таким образом, вполне определенной.

Теперь нужно показать, что и обратно, данной геометрической характеристике отвечает только один простой /п-вектор.

Пусть [аг .. . ат] и [а』.・・ amJ — два не равных нулю простых /n-вектора с данной геометрической характеристикой. Поскольку, таким образом, как ап .. . , ат7 так и ау, •・.,а^， являются направляющими векторами заданной (с точностью до параллельного сдвига) /n-мерной плоскости, то одни из них разлагаются по другим; мы снова получаем (37.16), а следовательно, и (37.17). Так как ориентация на /w-мерной плоскости нам также задана, то аг, ... , аш и

а^, .. . , а^，должны иметь общую ориентацию, и таким образом

Det I ЛМ > 0.(37.19)

Далее, объем в /n-мерной плоскости нам также задан, так что объемы параллелепипедов, построенных на а1т .. . ,ат и ар, . . . , а^，, должны быть одинаковыми, т. е. отношение этнх объемов равно единице:

|Det|4^|= 1.(37.20)

Сравнивая два последних соотношения, получаем:

Det |4, |=1, откуда согласно (37.17) следует:

[aif • • • а" — [ах ... ат],

а это мы и хотели показать. Теперь наше утверждение доказано полностью.

Тензорные поля

Мы изучали до сих пор отдельные тензоры. Однако эта точка зрения по существу является только подготовительной и достаточна лишь для рассмотрения простейших вопросов. Как правило, геометрические и физические задачи приводят нас к рассмотрению тензорных полей.

Мы 2080"〃м, что в п-мерном аффинном, пространстве задано поле тензора 〃/：二.^, если для каждой точки М задан определенный тензор указанного строения

成：：丸=碎：二成(m).(38.1)

Тензорное поле может быть задано и не во всем пространстве, а только в некоторой его л-мерной области D (и даже только на некоторой /n-мерной поверхности, в частности на линии). Это значит, что точка М в (38.1) пробегает не все пространство, а только его область D (или даже /и-мерную поверхность), а для остальных точек тензор 〃忙二左 не определен. В дальнейшем, если не будет оговорено противное, подразумевается, что тензорное поле задано в л-мерной области D (в частности/ во всем пространстве). Кстати, здесь уместно дать общее определение п-мерной области D: это такое множество точек, что вместе с каждой точкой %[ к нему принадлежат все точки х\ для которых J xz—х^ I <8, если только е > 0 взято достаточно ма・ мм. Для различных точек х0 значения е, вообще говоря, различны.

Нетрудно было бы показать инвариантность этого определения относительно преобразования аффинной координатной системы

Если пространство отнесено к определенной координатной системе, то (38.1) можно переписать в виде функциональной зависимости

砂:党= %：：%(* ••• ,х"),(38.2)

где х1, . . . , хп — координаты точки М. Эта функциональная зависимость предполагается достаточное (для будущих выкладок) число раз непрерывно дифференцируемой.

Геометрическое и физическое значение понятия тензорного поля заключается в том, что соответствующий геометрический объект обычно меняется от точки к точке (как, например, кривизна кривой или поверхности), а физический, кроме того, зависит и от момента времени. Так, например, напряженности электрического и магнитного полей зависят от точки, где они наблюдаются, и от момента времени. В связи с этим эти напряженности задаются в теории относительности тензорным полем в четырехмерном пространстве (выражающем пространственно-временную протяженность материи).

Над тензорными полями мы производим все операции тензорной алгебры, установленные нами для отдельных тензоров. Это не требует особого обоснования, так как мы подразумеваем, что эти операции производятся над тензорами наших полей в каждой точке М по отдельности (а в этом случае каждое тензорное поле представлено отдельным тензором).

Так, например, сложение двух данных тензорных полей吸(М), % (/И) обозначает построение нового тензорного поля

巡(M = Wh(M) + Ek(M)

путем сложения в каждой точке М тех тензоров, которыми в этой точке представлены наши тензорные поля.

То же самое относится и ко всем другим операциям тензорной алгебры. Разумеется, тензорные поля, участвующие в операциях, предполагаются определенными в одной и той же области D, которую и пробегает точка М.

Но для тензорных полей возможна и еще одна инвариантная операция——абсолютное дифференцирование, вместе с которой мы переходим из области тензорной алгебры в область тензорного анализа.

Пусть в области D、где определено тензорное поле。欠 二?；，проведена кривая, т, е. дано геометрическое место точек М.^ М. (/), или в координатной записи

» = "(/),(З&З)

где параметр t пробегает определенный интервал изменения. Функции %’ (/) предполагаются непрерывно дифференцируемыми, по крайней мере, один раз. Вдоль нашей кривой координаты тензора ag；：二^ будут являться, как видно из (38.2) и (38.3), сложными функциями параметра 九 Вычисляем дифференциалы этих функций

da八

(38.4) дх1

В правой части подразумевается суммирование по 乙 так что написанное неравенство есть просто формула полного дифференциала.

Мм утверждаемчто da[； ：：儿 образуют тензор того же строения, что a a^：：二?：； этот тензор мы будем называть абсолютным дифференциалом тензора 砂二：幺(при данном бесконечно малом смещении по данной кривой).

Проверка нашего утверждения производится просто. Выпишем закон преобразования координат тензора нашего поля при переходе в новую координатную систему

。4二2(阳=w'…脅二2阳•(38.5)

Конечно, Др и т. д. — величины постоянные, не зависящие от точки Му бегущей по кривой, а следовательно, и от параметра t. Дифференцируя по J получим:

da"= 4“ .. . Л г . .. da'1"'! .(38.6)

Этим наше утверждение доказано.

Рассмотрим теперь в каждой точке М совокупность частных производных от функций (38.2) по всем их аргументам, причем введем для них обозначения

=(38.7)

Мы утверждаем, что %也忙二幺 образуют тензор с тем же числом верхних индексов и на единицу большим числом нижних индексов, чем у исходного тензора* причем увеличение происходит за счет индекса дифференцирования z.

Этот тензор мы будем называть абсолютной производной исходного тензора ag；二：以 Так как абсолютная производная определена в каждой точке 2И, то она в свою очередь образует тензорное поле.

Проверку нашего утверждения проводим следующим образом. Положение точки М можно определять как старыми координатами %* так и новыми координатами %二 а потому члены равенства (38.5) можно рассматривать и как функции от х\ и как функции от S'.

Дифференцируя (38.5) почленно по координате %', получим:

В последнем выражении мы использовали правило дифференцирования сложной функции (по / происходит суммирование).

Так как по общим формулам то

и предыдущий результат можно переписать (пользуясь обозначением (38.7)):

%，二? = 4彳• 4, ％碎二幺 (38.8)

Мы видим, что величины Vra^- • ：^ действительно преобразуются по тензорному закону.

Заметим, что абсолютный дифференциал можно брать и в том случае, когда поле тензора задано хотя бы только вдоль той кривой, вдоль которой этот дифференциал вычисляется. Но для вычисления абсолютной производной нужно, чтобы поле тензора было задано в n-мерной области, по крайней мере, в некоторой окрестности данной точки.

ГЛАВА III

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ

Понятие о евклидовом пространстве

Мы уже упоминали о том, что аффинная геометрия может быть построена на основе евклидовой путем отвлечения от метрических свойств пространства. Однако мы идем обратным путем: аффинную геометрию мы построили на основе самостоятельной аксиоматики, а переход к евклидовой геометрии совершим путем дополнительного включения метрических свойств. Это проще всего сделать, введя в л-мерном аффинном пространстве скалярное произведение векторов, что повлечет за собой и все другие метрические свойства и будет означать превращение нашего пространства в евклидово.

Для этой цели зададимся в л-мерном аффинном пространстве некоторой билинейной скалярной функцией ф (х,у) двух векторных аргументов х, у (§ 26). Мы потребуем, чтобы эта функция удовлетворяла условию симметрии

<р (х,у) = ф (у,х)(39.1)

и условию невырожденност и, которое заключается в том, что для каждого вектора х ^ 0 можно найти такой вектор у, что

Ф(х,у)^0.(39.2)

В остальном функцию ф (х,у) мы выбираем произвольно, но затем уже раз навсегда присваиваем ее нашему пространству и в дальнейшем менять не будем.

Евклидовым пространством л измерений мы будем называть п-мерное аффинное пространство, в котором задана раз навсегда фиксированная билинейная скалярная функция двух векторных аргументов х, у, удовлетворяющая условиям симметрии и невырожденности.

Эту функцию векторов х, у мы будем называть их скалярным произведением и обвзначать просто ху или (х,у) (вместе 屮(х,у)).

Скалярный квадрат вектора х определяется формулой

х? = хх・(39.3)

Два вектора х, у будут называться ортогональными^ если их скалярное произведение равно нулю:

ху = 0.(39.4)

Длиной вектора х мы будем называть рх? и обозначать ее будем | х |: |х| = ]/我(39.5)

Расстоянием между двумя точками А, 3 мы будем называть длину вектора АВ:

AB^Y^i где х— АВ.(39.6)

Вообще, как мы увидим, из факта существования скалярного произведения векторов можно вывести метрические свойства л-мерного евклидова пространства, причем в одном частном случае мы получим в точности обычное пространство.

Скалярное произведение, как и всякая билинейная функция двух векторов, обладает свойствами

(Xi + х2,у) = (Xi，y) + (х2,у), (ах,у) = а (х,у), которыми мы будем широко пользоваться. Конечно, относительно второго аргумента оно обладает такими же свойствами.

Евклидовы пространства распадаются на два больших класса: вещественные и комплексные. В самом деле, евклидово пространство можно строить как на базе вещественного аффинного пространства, так и комплексного. Соответствующие обозначения: Rn и R^, где л-размерность.

В первом случае мы сохраняем прежнее соглашение, по которому в теории вещественного аффинного пространства все рассматриваемые числа считаются вещественными. В частности, и скалярное произведение ху двух векторов х, у, как мы будем подразумевать, принимает лишь вещественные численные значения. Полученное при этом евклидово пространство также будет называться вещественным. Вещественные евклидовы пространства в свою очередь разделяются на два класса: собственно евклидовы^ в которых для любого вектора х 方 9: х2 > 0,(39.7)

и псевдоевклидовы, в которых х2 может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Собственно евклидовы пространства по своей геометрии вполне аналогичны обычному пространству и отличаются от него лишь числом

измерений: при л — 3 мы получаем в точности обычную стереометрию, равно как при л = 2 — обычную планиметрию, а при л — 1 — геометрию на обычной прямой.

Псевдоевклидовы пространства по характеру своей метрики обладают весьма своеобразными чертами, не имеющими аналогов в обычной геометрии. Укажем уже сейчас】 что, хотя подкоренное выражение х2 в (39.5) и вещественное, но может принимать в псевдоевклидовом случае и положительные, и отрицательные, и нулевые значения, а значит, длина вектора | х | может быть и вещественной, и чисто мнимой, и нулем,. Мы условимся, между прочим, в первом случае брать I х I положительной, а ао втором случае ——с положительным коэффициентом при I. Тогда умножение вектора х на положительное число означает умножение |х [ на то же число. Таким образом, отрезки АВ в псевдоевклидовом пространстве будут трех сортов; вещественной, чисто мнимой и нулевой длины (причем последний случай, как мы увидим, возможен и без совпадения точек Л, В). Заметим, что наличие мнимых длин (расстояний) в псевдоевклидовом пространстве будет являться единственном нарушением нашего обще го соглашения о том, что в вещественном пространстве рассматриваются лишь вещественные численные значения.

Псевдоевклидово пространство играет основную роль в теории относительности, причем разнотипность отрезков вещественной и чисто мнимой длины отражает разнотипность пространственных и временных «расстояний».

При данном, числе измерений л собственно евклидово пространство будет по существу единственные^ т. е. все другие будут с ним изоморфны. Напротив, псевдоевклидовых пространств будет целых л, различных по своим свойствам.

Во втором, комплексном, случае евклидово пространство строится на базе комплексного аффинного пространства. Рассматриваемые числа считаются комплексными, причем тогда, конечно, и функция ху принимает комплексные значения； евклидово пространство называется в этом случае комплексным. Расстояния АВ будут комплексными числами (определенными с точностью до знака). Комплексное евклидово пространство при данном числе измерений л будет, как мы увидим, единственным (с точностью до изоморфизма).

Возвращаемся к общему случаю. Вообще задание билинейной скалярной функции 屮(х,у) равносильно, как мы знаем, заданию дважды ковариантного тензора 屮沙 ее коэффициентов

W,=屮(е,・,е》， ф(Х,у) = %产".

В частности, в случае скалярного произведения ху тензор коэффициентов мы будем обозначать gy и называть метрическим тензором

вашего евклидова пространства. Тогда соответственно

9炉=联户(39.8)

ху = g/W(39.9)

Координатыметрическоготензора представляют собой, такимобразом,

попарныескалярныепроизведения вектороврепера.Вчастности,

в случае у = х мн получаем скалярный квадрат вектора х, который выражается квадратичной формой

x2 =豆产屮：(39.10)

Условие симметрии^ наложенное нами на скалярное произведение ху = ух, равносильно, как мы знаем, симметричности тензора коэффициентов, в данном случае

g〃・=gjf(39.11)

Условие невырожденности, как оно было нами формулировано, заключается в том, что для каждого вектора х#0 найдется неортогональный ему вектор у, т. е. не существует векторов х У= 0, ортогональных ко всем векторам пространства.

Если на минуту допустить, что это условие не соблюдается (т. е., как мы будем говорить, происходит вырождение метрики), то существует такой вектор х=/=0, что

ху = 0(39.12)

при любом у; или в координатной записи:

自产"=0(39.13)

при любых yi, . . . уп. Это значит, что коэффициенты при у^ должны по отдельности обращаться в нуль:

gijX’ =0・(39.14)

Так как х у= 0 и, значит, все л/ одновременно в нуль не обращаются, то система п однородных линейных уравнений (39.14) с п неизвестными х1 имеет ненулевые решения, а значит,

Det 図/=0.(39.15)

Обратно, если имеет место последнее равенство, то можно найти ненулевое решение х1, ... , %" системы (39.14), для которого, очевидно, при любых у1, .. . , уп имеет место (39.13). В результате вектор х будет ортогонален ко всем у, и происходит вырождение метрики.

Итак, для вырождения метрики необходимо и достаточно обращение в нуль Det I g^ |.

Тем самым условие невырожденности равносильно условию

Det |g,•/，().(39.16)

Мы можем теперь разюмировать: внесение в п-мерное аффинное пространство операции скалярного умножения векторов равносильно заданию в нем метрического тензора ©丁，удовлетворяющего условиям симметрии (37.11) и невырожденности (39.16) (а в остальном выбранного произвольно).

Заметим, что достаточно потребовать соблюдения условия (39.16) в одной координатной системе; из нашего рассуждения видно, что отсюда следует невырожденность скалярного произведения, а гем самым соблюдение условия (39.16) в ^юбой координатной системе. Впрочем, это нетрудно проверить и прямой выкладкой. В самом деле, закон преобразования g〃・ имеет вид

g「j，= 4,喜

Если считать номером строки в матрицах g^, g『『 первый индекс, в матрице /%—нижний индекс, а в матрице Ау——верхний индекс, то можно сказать, что матрица ||&丁|| получена умножением матриц II Лр II，И g^ II，|| Л^, || в порядке их записи. Но отсюда следует, что определители матриц также перемножак)тся, причем определители матриц II Ар II， Л Л^, II，конечно, равны. В результате

Det| ger I = (Det I %, |户• Det | 勁・ |.(39.17)

Другими словами, Det | g^ | есть относительный инвариант веса 2. Ясно, что обращение его в нуль (или, наоборот, неравенство нулю) 8 одной координатной системе влечет тот же самый результат 8 любой координатной системе.

Тензорная алгебра в евклидовом пространстве

Все, что было сказано о тензорных операциях в аффинном пространстве, остается, разумеется, верным и для евклидова пространства. При этом появляется, однако, и кое-что новое, а именно, исчезает принципиальная разница между ковариантными и контравари- антными индексами и возникает возможность переводить одни в другие.

Составим прежде всего в каждой координатной системе матрицу величин g", обратную матрице координат g〃・ метрического тензора. В силу условия невырожденности обратная матрица существует, а в силу условия симметрии будет симметрической вместе с матрицей g〃・・

Мн утверждаем, что величины g" образуют дважды контравариант- ный тензор, т. е. преобразуются по закону

炉，'二仆'典公".(40.1)

Проще всего показать это, обратив постановку вопроса: построим матрицу g", обратную матрице g〃, в одной координатной системе; затем, переходя к любой другой (штрихованной) координатной системе, преобразуем g'」по закону (40.1) и покажем, что полученная при этом матрица gU' будет обратной матрице &，厂. Тот факт, что g" есть матрица, обратная g〃・，мы запишем уравнениями

g®L%(40.2)

выражающими, что произведение наших матриц дает единичную матрицу. При переходе в новую координатную систему мы учтем, что $% ——координаты дважды ковариантного тензора, g" мы условились преобразовывать как координаты дважды контравариантного тензора, а значит, у нас записано, что результат свертывания двух этих тензоров по индексу / дает единичный тензор 必.Соотношения (40.2) имеют, таким образом, инвариантный характер, так что в новой координатной системе получаем снова

”g汴，=瑞

а это показывает, что матрица g", полученная преобразованием (40.1), действительно оказывается обратной матрице g『『.

Дважды контравариантный тензор g" мы тоже будем называть метрическим тензором, но, s отличие от g# контравариантный.

Теперь покажем, как в евклидовом пространстве каждый контравариантный индекс можно «переделать» в ковариантный, и обратно. Начнем с одновалентного контравариантного тензора х\ Путем свертывания с метрическим тензором его можно «переделать» в ковариантный тензор:

看=g一产乙(40.3)

Поскольку метрический тензор евклидова пространства задан раз навсегда, то эта операция «опускания индекса» у тензора %’ определена однозначно.

(40.4)(40.4)Обратно, любой одновалентный ковариантный тензор Xj можно «переделать» в контравариантный путем свертывания с контравариант- ным метрическим тензором:

(40.4)

(40.4)

х1 = g“X/.

Эта операция 《поднятия индекса.) также однозначно определена. С алгебраической точки зрения опускание индекса представляет собой линейное преобразование х1 в %； при помощи матрицы g〃， а поднятие индекса — преобразование х. в х1 при помощи матрицы /」.Так как матрицы 备丁 и g" взаимно обратные, то операции опускания и поднятия индекса взаимно уничтожают друг друга. Так, например, сначала «опустив» и затем «подняв» индекс у х\ мы возвращаемся к прежнему контравариантному тензору х\

Координаты контравариантного тензора х\ как мы знаем, всегда можно истолковать как координаты некоторого вектора

х = %匕. (40.5)

Спрашивается, какое отношение к вектору х имеет тензор %加 полученный из тензора х* опусканием индекса. На этот вопрос легко ответить, пользуясь (39.8) и переписав (40,3) в виде

Xi = g,・产'=(е.еу) х1 == (е；, We#, т. е. окончательно

Xi = xe「 (40.6)

Итак, опускание индекса у координат х1 вектора х приводит нас к скалярным произведениям этого вектора на векторы репера. Эти скалярные произведения мы будем называть ковариантными координатами xi вектора х.

Очевидно, ковариантные координаты xi однозначно определяются по вектору х, как и обратно, по ним можно однозначно определить этот вектор, перейдя предварительно к контравариантным координатам х1 поднятием индекса.

По той же схеме (40.3) и (40.4) производятся опускание и поднятие индекса (любого по выбору) у многовалентных тензоров. Единственное, что к этому нужно добавить,——это необходимость изменить нумерацию индексов у тензора в евклидовом пространстве. В самом деле, индексы тензора отличались друг от друга: контравариантные — порядком их записи наверху, а ковариантные——внизу. Но если мы, например, второй верхний индекс опускаем, то нельзя дать общего правила, на какое место его следует ставить внизу (второе место внизу может быть уже занято или внизу может и совсем не быть индексов).

Чтобы избежать связанной с этим неопределенности в обозначениях, мы часто будем нумеровать места индексов верхних и нижних в совокупности, так что каждому номеру отвечает лишь один индекс, стоящий или наверху или внизу. Если например, 3-й индекс стоит наверху, то третье место внизу остается «пустым», что отмечается точкой, и наоборот. Например, а方方 обозначает тензор, у ко-

торого 1 -й и 2-й индексы ковариантные, 3-й ——контра вариантный；, 4-й ——снова ковариантный. Если 1-й индекс мы захотим «поднять»；» то для него заготовлено свободное место наверху, и мы получаем:

呦=g'F%(40.7)

Аналогично, если мы захотим опустить верхний индекс, то получим:

aijhi = gkp аИР1-(468)

Отметим важный пример: поднятие одного, например 2-го, индекса у g〃 дает единичный тензор:

魚=产$*=网(40.9)

для которого мы сохраняем прежнее обозначение.

Если мы теперь поднимаем и нижний индекс, то получим:

так как при суммировании уцелеет лишь один член, для которого р — У，Итак, поднимая оба индекса у метрического тензора, мы получаем контравариантный метрический тензор.

Еще один пример: пусть аффинор у = Six задан посредством тензора а$ (§ 27), или, как мы теперь будем писать, а%, считая верхний индекс первым, а нижний ——вторым. Тогда у = а^х7. Опуская индекс получаем:

а^х1, где aif = gipaP-.(40. IC)

Таким образом, аффинор 31 можно задать и дважды ковариантным тензором 出户 причем его координаты образуют матрицу преобразования (сонтравариантных координат вектора-аргумента в ковариантные координаты вектора-функции. В частности, аффинор 必 называется симметрическим или кососимметрическим в случае симметричности и кососимметричности тензора а... Следует подчеркнуть, что эти определения могут быть формулированы лишь в евклидовом пространстве и не имеют никакого смысла в аффинном пространстве, где опускание индексов невозможно. Это относится и к понятию ковариантных координат вектора.

Плоскости в n-мерном евклидовом пространстве

Мы понимаем под ^-мерной плоскостью в /z-мерном евклидовом пространстве то же самое, что и в /z-мерном аффинном пространстве (на базе которого евклидово пространство построено). Нам известно, что такая ^-мерная плоскость сама является ^-мерным аффинным

6 П. К. Рашевский

пространством. Но теперь на ней (как и во всем вмещающем пространстве) определено скалярное произведение ху для любых двух векторов х, у. Казалось бы, можно утверждать, что плоскость евклидова пространства тоже представляет собой евклидово пространство меньшего числа измерений. Однако это не всегда верно. Может случиться, что скалярное произведение на данной /п-мерной плоскости не удовлетворяет условию невырожденности (хотя во вмещающем пространстве это условие и удовлетворяется). Другими словами, возможно, что на данной плоскости найдется вектор к声 О, ортогональный ко всем векторам этой плоскости, но, конечно, не ко всем векторам пространства. В этом случае метрику на плоскости мы будем называть вырожденной, а соответствующую плоскость с такой метрикой будем называть изотропной.

Изотропную плоскость мы за евклидово пространство не признаем ввиду того, что в определение последнего входит условие невырожденности; здесь же оно нарушено.

Очевидно, все остальные свойства скалярного произведения в /z-мер- ном пространстве имеют место и на любой плоскости этого пространства.

Забегая вперед, следует сказать, что изотропные плоскости представляют собой исключение; как правило, плоскости являются неизотропными, т. е. несут на себе невырожденную метрику, и, следовательно, по своей геометрии являются евклидовыми пространствами соответствующего числа измерений. Кроме того, в случае собственно евклидова пространства вообще не существует изотропных плоскостей; в частности, их нет в обычном пространстве, в связи с чем нам трудно дается наглядное представление об этих плоскостях.

Чтобы показать, что в собственно евклидовом пространстве все плоскости неизотропные, рассмотрим какую-нибудь /п-мерную плоскость; на ней, как и во всем пространстве, соблюдается условие (39.7):

х2 > 0, если х #= 0. (41.1)

А в этом случае на плоскости невозможен вектор х 声 0, ортогональный ко всем векторам плоскости, так как такой вектор был бы ортогонален, в частности, и к себе и мы в противоречие с условием (41.1) имели бы

х2 = 0 при х #= 0. (41.2)

Вектор х#= 0, для которого х2 == 0 и который, следовательно, ортогонален к самому себе, называется изотропным, В собственно евклидовых пространствах такие векторы, как мы только что сейчас видели, невозможны, зато в псевдоевклидовых и комплексных евклидовых пространствах они встречаются обязательно.

Пусть m-мерная плоскость задана начальной точкой О* и направляющими векторами а1} ..., а^. Принимая эти векторы за векторы аффинного репера в плоскости, составим их скалярные произведения:

网6 — За ар (а, Р — 1» 2,т).(41.3)

В соответствии с (39.8)爲自 можно принять за координаты метрического тензора на нашей плоскости, если только соблюдается условие невырожденности (39.16):

DetKfjl^°-(414)

В этом случае плоскость неизотропная и несет на себе евклидову геометрию с метрическим тензором (41.3). Если же оказывается

Det |^| = 0,(41.5)

то плоскость будет изотропной и несет на себе вырожденную метрику.

Пусть теперь у нас имеется прямая линия с направляющим вектором а(а\ .. ., а")=/：0. Рассмотрим совокупность всех векторов х (х1, . . ., хп), ортогональных к данной прямой, т. е. ортогональ* ных ко всем ее векторам. Очевидно, для этого достаточно, чтобы векторы х были ортогональны к а:

ах = 0,(41.6)

т. е.

gijO^x1 = 0.

Обозначая через а」ковариантные координаты вектора а и пользуясь (40.3) (в применении к а'), можно записать:

а 卢' = 0.(41,7)

Таким образом, координаты %， векторов х должны удовлетворять линейному уравнению (41.7). Откладывая векторы к от начала О, мы видим, что концы их (обладающие теми же координатами %，) образуют гиперплоскость с уравнением (41.7), проходящую через начало О. Все векторы этой гиперплоскости, очевидно, ортогональны ко всем векторам данной прямой; такую гиперплоскость мы будем называть ортогональной к данной прямой.

Итак, через точку О (и совершенно так же через любую заданную точку) всегда можно провести гиперплоскость, ортогональную к данной прямой, и притом единственным образом. При этом нужно различать основной случай, когда данная прямая неизотропная, т. е. a'WO, и исключительный случай, когда она изотропная, г. е. а2 = 0. (Мы использовали условна (41.4) и (41.3), записанные для

«одномерной плоскости», т=\.) Будем для простоты рассматривать прямую и ортогональную к ней гиперплоскость, проходящие через общую точку О.

В первом случае прямая линия не лежит в ортогональной к ней гиперплоскости, что, конечно, представляется нам само собой разумеющимся. Действительно, вектор а не может лежать в гиперплоскости, построенной согласно (41.6), так как иначе он был бы ортогонален самому себе, а это невозможно в силу а2 ^= 0. Таким образом, вектор а будет линейно независимым от п—1 направляющих векторов гиперплоскости Ь、、. . ., Ьп_1У а следовательно, все эти векторы в совокупности

а,瓦,...,b“_i (41.8)

можно принять за векторы аффинного репера в пространстве. Далее, наша гиперплоскость сама будет неизотропной: если допустить противное, то в гиперплоскости найдется вектор х声 0, ортогональный ко всем векторам гиперплоскости, в частности, к направляющим векторам Ь】,...,bn_lt Но, кроме того, вектор х, как лежащий в нашей гиперплоскости, будет ортогонален и к а, т. е. ко всем векторам репера (41.8), а тем самым и ко всем векторам пространства. Но это невозможно в силу условия невырожденности.

Итак, если данная прямая неизотропная, то ортогональная ей гиперплоскость тоже неизотропная и не содержит данной прямой (даже при наличии у них общей точки). При этом всегда можно построить репер (41.8), один вектор которого принадлежит прямой, а остальные л——1 векторов ему ортогональны и принадлежат гиперплоскости.

Во втором случае, когда данная прямая изотропная, ее направляющий вектор а входит в число векторов х, к нему ортогональных (в силу а2 = 0), и принадлежит тем самым ортогональной гиперплоскости. Поэтому, если изотропная прямая и ортогональная к ней гиперплоскость проведены через общу{д точку О, то вместе с направляющим вектором а и сама прямая принадлежит гиперплоскости. Кроме того, гиперплоскость тоже оказывается изотропной, так как содержит вектор а, ортогональный ко всем ее векторам.

Итак» если данная прямая изотропная, то ортогональная ей гиперплоскость тоже изотропная и при наличии общей точки проходит через данную прямую.

Эта картина резко противоречит нашим привычным представлениям, воспитанным на обычной (т. е. трехмерной, собственно евклидовой) геометрии. Мы получаем здесь первое серьезное предупреждение о непригодности наших привычных представлений в области псевдо- евклидовой (и комплексной евклидовой) геометрии. Правда, это относится лишь к метрическим свойствам пространства; в области аффинных свойств разницы нет, так как все типы евклидовых про-

странств строятся на базе одного и того же (вещественного или комплексного) аффинного пространства.

То, что было сейчас сделано для прямой линии («одномерной плоскости»), нетрудно повторить и для любой /и-мерной плоскости. Пусть а15 а2, .. ., ат ——направляющие векторы этой плоскости. Рассмотрим совокупность всех векторов х, ортогональных к нашей плоскости, т. е. ортогональных ко всем ее векторам. Но для этого достаточно, чтобы векторы х были ортогональны к ее направляющим векторам, т. е.

агх = 0,. а2х = 0,amx = 0,.(41.9)

Запишем эти соотношения аналогично (41.7):

"⑴产'=а⑵产'=°，•…，°у)产'=°，(41.10)

где индексы в скобках обозначают номера соответствующих векторов. Уравнения (41.10) линейно независимы, так как в противном случае имелась бы линейная зависимость между векторами аг, а2,. . ., а/л, ковариантные координаты которых служат коэффициентами уравнений, а это невозможно, так как направляющие векторы всегда берутся линейно независимыми. Откладывая векторы х от начала О, мы видим, что концы их (обладающие теми же координатами х7) образуют п ——/и-мерную плоскдсть. В самом деле, т линейно независимых уравнений (41.10) всегда можно переписать в виде, разрешенном относительно т переменных, а такая система уравнений определяет п —/и-мерную плоскость (§ 33).

Каждый вектор этой л ——/и-мерной плоскости ортогонален к каждому вектору у исходной /и-мерной плоскости; такие плоскости мы будем называть ортог он ал ьными между собой.

Итак, через начало О (как и вообще через любую точку) проходит одна 辽 только одна п — m-мерная плоскость, ортогональная к данной m-мерной плоскости. Будем считать для простоты, что обе эти плоскости имеют общую точку О.

Здесь имеются две возможности. Если т・мерная плоскость ——неизотропная, то п — m-мерная плоскость — тоже неизотропная; между собой эти плоскости не пересекаются ), и их направляющие векторы

(41.11)(41.11)а15 .. ., (для m-мерной плоскости), Ьи • • -, Ьл_ш (для п ——m-мерной плоскости)

(41.11)

(41.11)

можно принять в совокупности за векторы пространственного репера.

Если же m-мерная плоскость — изотропная, то п — m-мерная плоскость тоже изотропна兄;эти плоскости пересекаются между

собой, их направляющие векторы (в совокупности) линейно зависимы и, значит, не могут служить векторами пространственного репера.

Для доказательства этих утверждений разберем две возможности: случай непересечения и случай пересечения наших плоскостей.

В случае непересечения векторы (41.11) линейно независимы. В самом деле, если предположить линейную зависимость

叫+…+九+似也+…+严^…=0，(41.12)

то из нее вытекает существование не равного нулю вектора

aiai + ... +Лт = - p^bi- .,. - ₽n-mb„.m,(41.13)

общего для обеих плоскостей. Отсюда вытекает существование и общей прямой, а именно проходящей через общую точку О в направлении этого обще го вектора, что противоречит непересечению наших плоскостей. Следовательно, векторы (41.11) линейно независимы, и их можно принять за векторы пространственного репера. Запишем для этого репера условие невырожденности (39.16):

Det I g'tj I = Det I e^j I #= 0.(41.14)

В нашем случае

%? - • •» em = ai?em 4-1, ■ ■ •» e„ Ь1э ..., bn_m, (41.15)

причем векторы а； и , ортогональны между собой (как принадлежащие ортогональным плоскостям). Матрица е^еу имеет вид

а 尸 а/ 0

,(41.16)

0 |ЬЛ а следовательно,

Det|ezey |-Det|a^| • Det|b「b$|,(41.17)

и условие невырожденности (41.14) принимает вид

Det I ара/Det |Ь也 |*0.(41.18)

Тем самым отличен от нуля и каждый из множителей, а значит (согласно (41.4)), обе плоскости неизотропные.

6 случае пересечения, т. е. в случае существования у наших плоскостей, по крайней мере, одной общей прямой, ее направляющий вектор с также будет для них общим. Поэтому с можно разложить как по alt . . ., am, так и по Ь】，..,,bn-m. Приравнивая эти разложения, получаем линейную зависимость между направляющими векторами обгих плоскостей в совокупности. Далее, так как вектор с при-

§ 42] ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ РЕПЕР 167 надлежит w-мерной плоскости, то он ортогонален к 几——加-мерно询 плоскости, и наоборот, так как он принадлежит л ——w-мерной плоскости, то ортогонален к т-мерной.

Итак, с принадлежит каждой из двух плоскостей и в то же время к ней ортогонален; отсюда вытекает, что каждая из плоскостей—изотропная,

В итоге из проведенного исследования случаев непересечения и пересечения видно, что первый имеет место тогда и только тогда, когда исходная w-мерная плоскость неизотропная, а второй —когда она изотропная.

Этим наши утверждения доказаны.

§ 42. Ортонормированный репер

В случае евклидова пространства уже не все аффинные реперы равносильны по своим геометрическим свойствам, как это было в аффинном пространстве. Среди них можно выделить теперь геометрически наиболее простые, так называемые ортонормированные реперы, которые в случае обычного пространства соответствуют прямоугольным декартовым координатам.

Нам понадобится следующая тривиальная лемма: в евклидовом пространстве не могут быть изотропными все векторы, т. е. не может быть, чтобы х2 = 0 при любом X. Действительно, если это допустить, то, в частности, (^^『 = 0,(三^丫了 = 0 при любых х, у. Почленно вычитая из первого равенства второе, получим ху = 0 при любых х, у. Оказывается, таким образом, что любой вектор ортогонален ко всем векторам, что противоречит условию невырожденности.

Мы начнем со случая п-мерного комплексного евклидова про~ странства R^, В силу леммы всегда можно найти неизотропный вектор х, так что х2 =# 0. Нормируем вектор х, т. е. поделим его на его длину ]/х2. Это будет, вообще говоря, комплексное число, что нас не смущает, так как мы находимся в комплексном пространстве и имеем возможность умножать и делить на комплексные числа. Обозначим полученный вектор через %:

Очевидно,Очевидно,(42.1)(42.2)(42.1)(42.2)

Очевидно,

Очевидно,

(42.1)

(42.2)

(42.1)

(42.2)

т. е. скалярный квадрат вектора е± равен единице. Такие векторы мы будем называть единичными.

Построим теперь гиперплоскость R^_* ортогональную к единичному вектору ег и проходящую через фиксированную точку О. Гиперплоскость ^_1? как ортогональная к неизотропному вектору ег> сама будет неизотропной (§ 41) и несет на себе л—1-мерную (тон<е комплексную) евклидову геометрию. Поэтому на гиперплоскости R^—i можно повторить наше построение, выбирая как-либо неизотропный вектор у, нормируя его и получая второй единичный вектор е2. Обозначим далее R^_? гиперплоскость в Rn-i, ортогональную к е2 и проходящую через О. Гиперплоскость R」в R1, ортогональная к неизотропному вектору е2, сама будет неизотропной и несет на себе л—-2-мерную комплексную евклидову геометрию. Следовательно, на ней можно еще раз повторить то же самое, построив единичный вектор е3 и ортогональную к нему и проходящую через О гиперплоскость R^-з и т- Д- Процесс заканчивается на «одномерной плоскости» R；, на которой мы берем какой-либо вектор w и, нормируя его, получаем единичный вектор ел. В итоге получаем последовательность вложенных друг в друга плоскостей убывающего числа измерений (начиная с самого пространства):

….п 理 п R扌 (42.3)

и последовательность единичных векторов:

%, е2, е…，е„.(42.4)

При этом, как видно из построения, z-й вектор ez принадлежит Rn-t+i и ортогонален к RL. Тем самым ez ортогонален и ко всем последующим векторам ег+1, . . ., еп, так как они принадлежат R^-i, а так как 才 можно давать значения 1, 2, . . ., л, то ясно, что все единичные векторы попарно ортогональны:

ё声/ = °('声/)，

кроме того, 驴=L

Эти формулы можно объединить:

/ 0 "声力，

2声/=6〃， где 6〃=、[ (£=/)•(42.5)

Векторы е1? . . ., ел будут линейно независимыми, что следует из способа их построения. Впрочем, это легко обнаружить и непосредственно: если допустить линейную зависимость

. +а& = 0,

то, умножая левую часть скалярно на е1? получим (в силу (42.5)): а】О*

Совершенно аналогично убедимся в исчезновении и всех других коэффициентов, т, е. предполагаемая линейная зависимость оказалась тождеством и, следовательно, не существует.

Мы можем принять теперь л единичных и взаимно ортогональных векторов elf . . ., еи за векторы некоторого репера {О, еп , . ., еп}. Такой репер мы будем называть ортонормированным^ а соответствующую ему координатную систему — ортонормированной. Векторы ортонормированного репера мы будем называть ортами.

В ортонормированной координатной системе происходит большое упрощение основных формул. Координаты метрического тензора приобретают вид

(0 (/=#/),

]« = /).(42・6)

Другими словами, матрица g〃・ оказывается единичной; обратная ей матрица g" поэтому тоже будет единичной

= { 1(42.7)

Исчезает разница между контравариантными и ковариантными координатами вектора; действительно,

=(42.8)

так как в процессе суммирования отличным от нуля окажется лишь член, где /= i, причем gi( = 1. На этом основании в ортонормированной системе мы будем пользоваться лишь одной записью координат вектора, именно

Скалярное произведение в координатной записи примет вид

Ху = & 产。/ = x\yl + *2,2 + …+ х，\

так как в сумме сохранятся лишь члены, где i — /, причем 旦立=1. В частности, скалярный квадрат запишется:

х2 = (х1)2 + (х2)2 + . • • + (хп)2.

Пользуясь (42.8), запишем окончательно:

ху =修必+ …+хпуп.(42.9)

х? = х； + •• • + 睡・(42.10)

Расстояние между точками Л и В мы определяли по формуле (39.5). Если xi— координаты точки А, а 兄一координаты точки 8, то вектор АВ (как разность радиусов-векторов ОВ и О А) имеет

координаты 元一так что

蓝2 = (х； 一心户+…+阂一xj,(42.11)

и следовательно,

Ab=•/旧一忆户+…+㈢一分户.(42.12)

Формулы эти обнаруживают близкое родство с формулами обычной векторной алгебры:

ху = Х1У1 + х2у2+ х3у3,(42.13)

х2 = х；+招+ 吟(42.14)

43 =m(后一占)2 + (元一2)2 + (元一% 产(42.15)

и даже совпадают с ними в случае 〃 = 3. Однако нужно помнить, что в обычном пространстве координаты вещественные, а у нас сейчас—комплексные.

Займемся теперь ортонормированным репером s вещественном, евклидовом пространстве Rn. Здесь мы также начинаем с выбора неизотроиного вектора х (х2 #= 0), всегда существующего согласно лемме. Однако мы не всегда можем пронормировать его согласно (42.1):

Это законно, если х2 > 0, причем, как и прежде, получаем:

е；= 1.(42.17)

Если же х2 < 0, то знаменатель окажется чисто мнимым, и полученное выражение не имеет смысла, так как умножение вектора на число в вещественном пространстве определено лишь для вещественных чисел. Поэтому в этом случае мы проведем нормирование вектора х иначе:

0=7^^ "(42.18)

Теперь под знаком корня стоит положительная величина, делитель вещественный, и операция деления является законной. Полученный вектор, как непосредственно проверяется, обладает свойством

(42.19)(42.19)е； = — 1.

(42.19)

(42.19)

Векторы со скалярным квадратом — 1 мы будем называть мнимоединичными. Не следует думать, что такие векторы сами являются в каком-то смысле мнимыми; это вещественные векторы веществен-

§ 42] ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ РЕПЕР 171 ного псевдоевклидова пространства, обладающие тем не менее мнимой длиной ]/^ I =乙

Построив единичный или мнимоединичный вектор е15 мы проводим через фиксированную точку О ортогональную к нему гиперплоскость Эта гиперплоскость, как ортогональная к неизотропному вектору, сама будет неизотропной и несет на себе евклидову метрику л——1 измерений. Поэтому на ней снова можно найти единичный или мнимоединичный вектор е2 и т. д. Очевидно, все построение, проведенное для комплексного случая, повторяется и для вещественного с той только разницей, что нормировка каждого из векторов 5, е2, . .., ел происходит в одном из двух вариантов (42.16), (42.18). В результате мы получаем ортонормированный репер {О, elt е2> .. ., ел}; так мы будем называть репер, в котором

%%=0 (，*/), £=± 1, (42.20)

т. е. векторы которого, вообще говоря, частью единичные, частью мнимоединичные и все ортогональны м-ежду собой. Такие векторы мы будем называть ортами. Занумеруем их так, чтобы сначала шли мнимоединичные

е； = е； = • •. = е^ = — 1, (42.21) а затем единичные

eh+i = eh+2 =…•=曉=L (42.22)

Число мнимоединичных векторов k может принимать значения 0, 1, 2,…，九 Соответственно метрический тензор 且疗二已卢了 в ортонор- мированной координатной системе примет вид

(42.23)(42.23)gf/=O ('，/)； ^Ц — ^22 — • • • gkk —一1; I

(42.23)

(42.23)

g左+1,左十i н ，. . = gnn =1.J

Связь между ковариантными и контра вариантными координатами вектора

xi = giH

теперь перепишется в виде

*i 二一х'('=1, 2,...,月)，巧.=储« =月+ 1,…，〃)，(42.24)

так что разница между контра вариантными и ковариантными координатами вектора хотя, вообще говоря, и не исчезает, но становится мало значительной.

Скалярное произведение и скалярный квадрат в координатной записи теперь примут вид

ху = gij^yj = — %W—…一Xkyk + xk+1yk+1 + .. . + хпупл X2 二 gijXlXj = —(X1)2— . . . —(Л?)2 + (屮+1)2 + . . . + (xn)2. j

Пользуясь зависимостями (42.24), эти формулы можно переписать совершенно в таком же виде для ковариантных координат:

(42.26)(42.26)ХУ =—尤1%— • • • —хкУк + хк+1Ук+1~^~ • • • +%〃％， X2 — — Х1 — • • • — xk + xk+i + • • • + xn-

(42.26)

(42.26)

Инвариантную квадратичную форму g[jXlx\ выражающую скалярный квадрат вектора через его координаты, мы будем называть метрической квадратичной формой.

Мы видим, что в ортонормированной координатной системе метрическая квадратичная форма g；产W приводится к каноническому виду суммы-разности квадратов переменных. Верно и обратное: из (42.25) следуют^, очевидно, условия (42.23), а отсюда и условия (42.20), так что метрическая квадратичная форма приводится к каноническому виду только в ортонормированных координатах.

Покажем теперь, что при любом выборе ортонормированного репера в данном пространстве число 々 его мнимоединичных ортов всегда одно и то же. В самом деле, допустим, что мы построили два ортонормированных репера (О, ех, ..., е出,e^+i， еи) и (О, е；,..., 唸 в%, ..., 喲，причем в первом мнимоединичные орты — это первые 々 векторов, а во втором — первые / векторов.

Допустим, например, что / > ^, и покажем, что это приводит нас к противоречию. В самом деле, рассмотрим в совокупности единичные орты е在+1， ..., ел первого репера и мнимоединичные орты е；, •宀 ej второго репера. Так как их число > л,

(〃一&) + /〉л, то между ними обязательно должна иметь место линейная зависимость. Ее мы запишем, перенеся в одну часть члены с мнимоединичными, а в другую — с единичными ортами:

ау； +...+ %е；=团+曲十】十...十 Р„е„.(42.27)

Это равенство возводим почленно в скалярный квадрат. Учитывая, что e；e；=0(i=#J) и е『= … =е? = — 1, а также, что %$• = =0 (i * и %】=…=е^ = 1, получим:

—а； —*а/ —■ Ph+i 十• • • + Pn*

Ясно, что это равенство может иметь место только при аг —... ...=ctg = 6々+工=♦ . * = 6抬=0 (мы находимся в вещественном евклидовом пространстве и в соответствии с общим соглашением все рассматриваемые численные величины должны быть тоже вещественными). Но тогда вопреки нашему предположению оказывается, что (42.27) есть тождество, а не линейная зависимость между рассматриваемыми векторами. Мы получили искомое противоречие.

Итак, число 左 мнимоединичньсх ортов ортонормированного репера в вещественном, евклидовом, пространстве, как, следовательно, 〃 число п——k его единичных ортов, не зависит от выбора этого репера. Число 左,которое представляет собой важную характеристику евклидова пространства, мы будем называть индексом евклидова пространства.

С алгебраической точки зрения наш результат представляет собой «закон инерции» для вещественной квадратичной формы: при любом способе приведения ее к каноническому виду число как отрицательных, так и положительных квадратов остается без изменения.

§ 43. Собственно евклидовы пространства

Мы определили собственно евклидовы, пространства как такие вещественные евклидовы пространства, в которых для любого вектора х，0

х2 > 0.(43.1)

Построение ортонормированного репера в этом случае можно провести проще, чем в случае псевдоевклидова или комплексного евклидова пространства. Дело в том, что в собственно евклидовом пространстве, как мы знаем, все плоскости и все векторы, отличные от нуля,—неизотропные. Поэтому в процессе построения нет надобности в предосторожностях, обеспечивающих неизотропный характер векторов х, у, . . ., w, и в ссылках на результаты § 41 (именно, что гиперплоскость, ортогональная к неизотропному вектору, сама неизотропная).

Далее, среди векторов репера elt е2, . . ., еп не может быть мнимоединичных (в силу (43.1)), так что индекс 左=0, и все векторы е；——единичные:

е； = е；=...=或=L (43.2)

Формулы (42.6) принимают вид

且丿=。(»¥=/), Wi = L且丿=。(»¥=/), Wi = L(43.3)(43.3)

且丿=。(»¥=/), Wi = L

且丿=。(»¥=/), Wi = L

(43.3)

(43.3)

Связь между ковариантными и контравариангными координатами вектора (42.24) теперь принимает вид (учитывая, что А — 0)

巧.=巧.=(43.4)

巧.=

巧.=

т, е. те и другие принимают видт, е. те и другие принимают вид(43.5)(43.5)координаты просто совпадают. Равенства (42.26)

т, е. те и другие принимают вид

т, е. те и другие принимают вид

(43.5)

(43.5)

X2 = Xj + Х2 + * • • + 蹋• J

Таким образом, в ортонормированной координатной системе в собственно евклидовом пространстве мы получаем те же по внешнему виду формулы, что и в комплексном евклидовом пространстве. Не нужно забывать при этом, конечно, что сейчас у нас координаты точек и векторов принимают всевозможные вещественные значения, в то время как тогда они принимали всевозможные комплексные значения.

В частности, расстояние между двумя точками А, В будет выражаться (в результате совершенно аналогичного вывода) формулой (42.12):

(43.6)(43.6)АВ = /а[—%产+ 一 ・ + (%Z —% J.

(43.6)

(43.6)

Ясно, что у нас расстояние АВ будет всегда вещественным, в то время как в формуле (42.12) оно, как правило, было комплексным.

Особо рассмотрим случай трехмерного собственно евклидова пространства, л = 3. Формулы (43.5), (43.6) принимают вид

ху = %]% +/J? + %%，

(43.7)(43.7)X2= 瑞 + 瑞 + 吟

(43.7)

(43.7)

/W= У (%； - %1产+ (%2—%2户+ (元一%3户，，

Эти формулы уже буквально повторяют формулы векторной алгебры обычного пространства. В связи с этим нетрудно обнаружить совпадение трехмерного собственно евклидова пространства с нашим обычным пространством, точнее, их изоморфизм. Этим мы хотим сказать следующее. Отобразим построенное нами трехмерное собственно евклидово пространство на обычное пространство взаимно однозначно, а именно так, чтобы каждая точка первого пространства с координатами xL, х2, х3 в ортонормированной координатной системе отобразилась в точку второго пространства с теми же координатами %i， х2, х3 в прямоугольной декартовой системе. Очевидно, при этом отображении сохраняются все свойства точек и векторов

§ 43J СОБСТВЕННО ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 175 трехмерного собственно евклидова пространства (в том числе и метрические), так как они в ортонормированной координатной системе выражаются совершенно так же, как соответствующие свойства точек и векторов обычного пространства в прямоугольной декартовой системе (в частности, одинаково записывается расстояние между двумя точками). Проверка этого совершенно тривиальна. Единственный вопрос, который мог бы возникнуть,——это не имеется ли у обычного пространства еще таких свойств, которые отсутствуют у трехмерного собственно евклидова пространства. Грубо говоря, этого не может быть потому, что в конечном счете все свойства обычного пространства определяются измерением расстояний между точками по формуле

= Х1)?+(х； —х?)2 十(*；—%)2,

а эта формула совпадает с аналогичной формулой (43.7) для трехмерного собственно евклидова пространства.

Однако точная проверка потребовала бы и точного определения того, что мы понимаем под свойствами обычного пространства.

Поясним, что до сих пор мы пользовались понятием «обычного пространства», имея в виду то пространство, которое изучается элементарными средствами в школьном курсе, затем средствами аналитической и дифференциальной геометрии в высшей школе и которое каждому знакомо, если и не в смысле строгого обоснования, то во всяком случае по основным свойствам. Между тем сейчас мы затронули вопрос, который для точного ответа потребовал бы и точного обоснования геометрии обычного пространства посредством той или иной ее аксиоматики. Между прочим, одной из таких аксиоматик может служить и наша аксиоматика трехмерного собственно евклидова пространства.

Вернемся к /z-мерному случаю. Мы обнаружили, что для собственно евклидова пространства индекс k равен 0. Конечно, верно и обратное: евклидово пространство индекса 尼=0 будет собственно евклидовым^ В самом деле,尼=0 означает, что все векторы орто- нормированного репера — единичные и, следовательно, имеют место формулы (43.2) — (43.5). Но согласно (43.5)

х2 = х?4-х^+ ... +局，

а значит, х2 > 0 для любого вектора х，0 (так как в этом случае среди координат х1( • • •, хп хоть одна не равна нулю). Добавим, что нетрудно обнаружить изоморфизм любых двух собствен но евклидовых пространств данного числа измерений л, отображая одно на другое тем же приемом, каким мы отображали трехмерное собственно евклидово пространство на обычное пространство.

§ 44. Двумерное псевдоевклидово пространство

Мы начнем изучение псевдоевклидовых пространств с простейшего случая двух измерений. Вообще в двумерном евклидовом пространстве (〃 =2) индекс 色 может принимать значения 0, 1, 2.

Случай 々=0 приводит к двумерной собственно евклидовой геометрии, т. е. к обыкновенной планиметрии.

Случай 色=2 отличается от предыдуи(его лишь формально. В самом деле, в этом случае оба вектора ортонормированного ре^ пера мнимоединичные и формулы (42.20) — (42.26) принимают вид

(44.1)(44.2)(44.3)(44.4)(44.1)(44.2)(44.3)(44.4)е；=畛=—1,gll=?22 =—1,М12 =0,

(44.1)

(44.2)

(44.3)

(44.4)

(44.1)

(44.2)

(44.3)

(44.4)

xy=-%他1 -%丿2，[

Таким образом, скалярные произведения и скалярные квадраты лишь знаком, отличаются от того, что мы получаем для соответствующих векторов на обычной плоскости, а следовательно, все расстояния в нашем случае отличаются от соответствующих расстояний на обычной плоскости лишь множителем i = J/—1. Поэтому и разница между обеими геометриями будет лишь формальной, т. е. сводится к разнице в терминологии. В самом деле, расстояние определяется формулой

АВ = У (х； — хх)2 4- (х； —х2)2

на обычной плоскости и формулой

/8 =『|/(片一£)2 + (%；—%2户

в нашем случае. Таким образом, то, что мы называли расстоянием на обычной плоскости, теперь мы называем расстоянием после умножения на L Ясно, что всякое предложение одной геометрии может быть повторено для другой в результате простой перефразировки. Такие случаи будут встречаться у нас и в дальнейшем. Мы примем за общее правило, что если выражения скалярных произведений s ор т он ормир о ванном, репере различаются для двух п^мерных евклидовых геометрий лишь знаком, то эти геометрии мы. не будем считать существенно различными и изучать будем лишь одну из них,

В частности, если в ортонормированном репере скалярный квадрат вектора имеет вид

х2 = — Xj—用—«. .—(44.5)

то такую геометрию мы считаем сводящейся к собственно евклидо-

вой. В дальнейшем, говоря о псевдоевклидовом пространстве, мы. исключаем случай (44.5).

В частности, двумерную псевдоевклидову геометрию при 々=2 мы считаем сводящейся к собственно евклидовой геометрии, имеющей место при 々=0.

Остается, таким образом, лишь случай 々=1, который заслуживает внимательного изучения. Соответствующее двумерное псевдо- евклидово пространство мы будем называть кратко псевдоевклидовой плоскостью.

Будем обозначать ——это будет удобно для дальнейшего ——мнимоединичный орт ортонормированного репера через е0, а единичный—— через %:

储1, е；=1. (44.6)

Соответственно координаты вектора х будут обозначаться х°, х1 и вообще тензорные индексы будут пробегать значения 0, 1 (вместо 1, 2).

По своим аффинным свойствам псевдоевклидова плоскость, как мы знаем, не отличается от обычной плоскости, однако по своим метрическим свойствам резко расходится с ней. Поэтому чертежам, которые мы будем делать, нужно доверять лишь в той мере, в какой речь идет об аффинных свойствах, но отнюдь не о метрических. Действительно, чертеж, сделанный на листе бумаги, отражает приблизительно геометрию обычной плоскости, мы же будем изучать псевдоевклидову плоскость. Поэтому чертеж будет «верен» лишь в тех пределах, в каких мы рассматриваем аффинные свойства, общие для обеих плоскостей. С метрическими свойствами дело будет обстоять иначе. Например, ортогональные векторы или равные отрезки псевдоевклидовой плоскости в условном изображении на чертеже (т. е. на обычной плоскости), вообще говоря, ортогональными векторами или равными отрезками выглядеть уже не будут. Не следует думать, что в этом положении вещей кроется что-то загадочное и своеобразное. По существу дело обстоит здесь совершенно так же, как и с картой земных полушарий, т. е. с изображением полусфер в виде плоских кругов. Это изображение неизбежно содержит искажения, поскольку геометрии на сфере и на плоскости существенно различны; неизбежно получается, что расстояния, равные в оригинале (т. е. на полусфере), выглядят, вообще говоря, различными в изображении (т. е. на плоском круге). Совершенно так же обстоит дело и в нашем случае, когда оригиналом является псевдоевклидова плоскость, а ее условным изображением — собственно евклидова плоскость чертежа.

Следует уточнить, как именно мы будем строить это изображение. Орты е0, ех какого-нибудь ортонормированного репера псевдоевклидовой плоскости мы изобразим в виде ортов на обычной

плоскости; начало О изобразим в виде начала О. Далее, каждую точку М псевдоевклидовой плоскости изобразим точкой обычной

плоскости с теми же координатами. Другими словами, вектор OAf в изображении должен разлагаться по ортам е0, е】с теми же

коэффициентами, как и в оригинале Заметим еще, что мы отнюдь не нормированный в оригинале репер

(рис. 7).

предполагаем, что любой орто- будет ортонормированным и в

изображении: верным лишь первоначально

это будетдля одноговыбранного

ортонормированного репера, положенного в основу изображения.

Мы так подробно останавливаемся на этом вопросе, так как в дальнейшем мы будем таким же образом изображать трехмерное псевдоевклидово простран-

ство

в обычном трехмер-

ном пространстве, причем

все

сделанные замечания

ванной координатной системе с

ным е0 и единичным е「

Пользуясь условиями (44.6), рического тензора

остаются в силе.

Итак, рассмотрим псев- доевклидову плоскость, отнесенную к ортонормиро- векторами репера: мнимоединич-

получаем матрицу координат мет-

goo ^oi gio Mil

(44.7)

Очевидно, обратная матрица, т. е. матрица координат контравариант- ного метрического тензора, имеет тот же вид:

gOO g01 gi° gn

(44.8)

Далее, зависимость между ковариантными и контравариантными координатами вектора х,

Xi=g"R， принимает, очевидно, следующий вид:

Скалярное произведение ху ~ §(^^ теперь запишется так:

ху = — *0у° + *1у1.(44.10)

В частности,

犬 з — х°2 + %".(44.11)

Мы предпочтем здесь пользоваться контравариантными координатами х°, х1 вектора х, так как они имеют аффинный характер (коэффициенты разложения х по е01 е】),и потому их можно без ошибок подсчитывать «по чертежу», т. е. так же, как и на обычной плоскости.

Посмотрим теперь, как будут выглядеть «на чертеже» некоторые основные конструкции псевдоевклидовой плоскости.

Для простоты рассматриваемые векторы будем откладывать от начала О; однако нужно помнить при этом, что по существу О — любая точка псевдоевклидовой плоскости. Найдем прежде всего изотропные векторы х. Полагая х2 — 0, получим согласно (44.11)

—%°2+尤12 = 0, T. e. %0= 士%1.(44.12)

Откладывая всевозможные изотропные векторы х от начала О, мы видим, что их концы располагаются по двум прямым (44.12). С точки зрения собственно евклидовой геометрии листа бумаги, на котором сделан чертеж, эти прямые являются биссектрисами координатных углов. С точки же зрения псевдоевклидовой геометрии такое их понимание не имеет, конечно, никакого смысла.

Итак, через каждую точку О псевдоевклидовой плоскости проходят две изотропные прямые (которые испытывают, очевидно, параллельный сдвиг при сдвиге точки О в любое новое положение). Неизотропные векторы х, откладываемые от начала О, попадают в ту или другую пару вертикальных углов, образованных изотропными прямыми. При этом под углом понимается область на плоскости, выделенная двумя полупрямыми, исходящими из общей точки (в данном случае О), а отнюдь не численная величина угла. В таком понимании угол есть аффинная конструкция, которая в псевдоевклидовой плоскости выглядит так же, как и на обычной плоскости, так что здесь мы можем довериться чертежу.

Ра-ссмотрим сначала векторы, лежащие в одной паре вертикальных углов с ортом е】(«первая пара вертикальных углов»). Для этих векторов, как видно из чертежа, | х11 > | х° |, а следовательно, согласно (44.11)

X2 = — Х°2 + х12 > 0.(44.13)

Таким образом, в первой паре вертикальных углов расположатся векторы вещественной длины.

В противоположность этому векторы, лежащие во второй паре вертикальных углов, характеризуются тем, что для них

I ^11 < I Х° I,

а следовательно,

Х2= — х°2+х12<0, (44.14)

и эти векторы обладают мнимой длиной.

Окончательно: векторы вещественной длины, отложенные из начала О, располагаются в первой паре вертикальных углов, векторы мнимой длины ——во второй паре вертикальных углов 〃， наконец^ изотропные векторы — по сторонам этих углов.

Посмотрим теперь, как выглядят R нашем изображении ортогональные векторы псевдоевклидовой плоскости. Но так как для ортогональности векторов существенно лишь их направление, то мы лучше рассмотрим взаимно ортогональные прямые линии (проведенные для простоты через начало О).

Пусть М (х°, х1), N (у°, у】)一произвольные точки соответственно на первой и второй из этих прямых. Их радиусы-векторы х = ОМ и y = ON имеют те же координаты, что и сами точки, а условие ортогональности этих векторов имеет вид ху = 0, т. е. согласно (44.10) ■—xoy + xiyiuO, откуда

у】:у° = х°:х1. (44.15)

Это означает, что в изображении наши прямые имеют взаимно обратные угловые коэффициенты и расположены, следовательно, симметрично относительно биссектрис координатного угла. Подчеркнем, что эта характеристика ортогональных прямых, данная с точки зрения изображения, не имеет ни малейшего смысла с точки зрения оригинала, т. е. геометрии псевдоевклидовой плоскости. Там эти прямые лишь ортогональны, и ничего более.

Из полученного результата ясно, что вопреки обычному поведению ортогональных прямых вращение одной из них вызывает встречное вращение другой, причем когда одна приходит в совпадение с изотропной прямой, другая совпадает с ней же. Это и неудивительно, если принять во внимание, что изотропная прямая, как направленная по изотропному вектору, ортогональна к себе самой.

Теперь, чтобы составить себе представление о метрике псевдоевклидовой плоскости, будем откладывать от начала О отрезки данной постоянной длины р во всех направлениях, в которых это возможно сделать. Другими словами, мы описываем окружность данного радиуса р с центром О. Эту окружность образуют концы наших отрезков. При этом радиус р может быть как вещественным, так и чисто мни-

-х炉 + x12= -a2-х炉 + x12= -a2(44.18)(44.18)

-х炉 + x12= -a2

-х炉 + x12= -a2

(44.18)

(44.18)

мым. Запишем условие того, что вектор х имеет длину р: х2 — р2, или в координатной записи

(44.16)(44.16)_"。2十№= p2.

(44.16)

(44.16)

Если откладывать переменный вектор х постоянной длины р от начала О, то его конец опишет нашу окружность радиуса р с центром в О, причем (44.16) будет, очевидно, уравнением этой окружности.

Разберем теперь отдельно три случая. Пусть а обозначает какое- либо положительное число. Положим сначала р = а (радиус окружности вещественный). Уравнение (44.16) дает

—х°2 + х12 = а2.(44.17)

Таким образом, изображением окружности с центром О и вещественным радиусом а служит на плоскости чертежа равнобочная гипербола(44*17) с центром О и действительной осью 6х工(рис. 8).

Как мы уже отмечали, не следует смущаться тем, что радиусы окружности, равные в оригинале, получились в изображении различными: это неизбежное искажение полу

чается в результате несовпа-Рис g

дения геометрических свойств'

оригинала и изображения. Далее, непривычное для нас распадение окружности на две разомкнутые ветви вытекает из свойств псевдоевклидовой метрики, непохожих на обычные.

Рассмотрим теперь случай р = а/ (радиус окружности мнимый). Тогда уравнение (44.16) дает

т. е. в этом случае изображением окружности служит равнобочная гипербола с центром О и действительной осью ОХ°. Итак, в псевдоевклидовой плоскости окружности (при q ^= 0) принадлежат к числу гипербол, а не эллипсов, как в собственно евклидовой плоскости.

Наконец, в случае р = 0 мы возвращаемся к уравнению (44.12), и окружность нулевого радиуса сводится к паре изотропных прямых.

(45.2)(45.3) ₽, по-(45.4)(45.5)(45.6)(45.2)(45.3) ₽, по-(45.4)(45.5)(45.6)

(45.2)

(45.3) ₽, по-

(45.4)

(45.5)

(45.6)

(45.2)

(45.3) ₽, по-

(45.4)

(45.5)

(45.6)

§ 45. Вращение ортонорми{)ованного репера в псевдоевклидовой плоскости

Выясним, как будет выглядеть переход от одного ортонормнро- ванного репера к другому в псевдоевклидовой плоскости.

Сдвиг начала О совершается тривиальным образом, так что мы займемся лишь преобразованием ортов при неподвижном начале. Такое преобразование ортонормированного репера мы будем называть его вращением.

Пусть е0, еА ——старые и е0А, е』——новые орты. По общим формулам

е0, — Л^е0 + Л^е(,(45 1)

Заметим, что здесь А^ =# 0. Действительно, в противном случае оказалось бы, что мнимоединичный вектор е0, лишь численным множителем отличается от единичного вектора ег, что после почленного возведения в скалярный квадрат приводит к противоречию (все коэффициенты Т，—вещественные ввиду вещественного характера псевдоевклидовой плоскости). По той же причине А^ =# 0. В силу ортогональности ортов е0/, ег мы получаем согласно (44.15)

4, :&，=尚,:尚,.

Обозначая

Лд/ — а, Л},—仇

а также обозначая общее значение отношений (45.2) че лучим:

勺‘н а£= /ф,

и преобразование (45.1) примет вид

e。，=。但 + 阳)，]电,=6(限 + 5).)

Запишем теперь, что орт е0,——мнимоединичный:

略-—(&，)2 + (/[У =—出 + 球旷1, откуда

1а；二.

士 Н1-02

Записывая аналогично, что орт ег ——единичный, получим:

吟工一(尚,)2+(/%)2=-加产+ *=1,

откудаоткуда

откуда

откуда

(45.7)

Пользуясь последними результатами, можно окончательно переписать закон преобразования (45.5):

(45.8)(45.8)eo+阿 )

(45.8)

(45.8)

限+ei /

± /Г^р-丿

Ясно, что 卩 можно давать лишь значения, по модулю меньшие единицы, иначе коэффициенты преобразования оказались бы мнимыми или (в случае р — 1) вообще не существовали бы. Итак,

(45.9)(45.9)-1 <Р< 1.

(45.9)

(45.9)

Зато в этих пределах 卩 можно давать любые значения, а также можно в каждой из двух формул (45.8) брать /1 ——Р2 с любым знаком, в одной независимо от другой. То, что при этом формулы (45.8) всегда переводят ортонормированный репер снова в ортонор- мированный, ясно и из нашего вывода, и легко устанавливается простой проверкой.

Мы получаем четыре типа вращений ортонормированного репера в зависимости от знака, с каким берется ，1 ——р2 в верхней и нижней формулах (45.8). Этот знак в верхней формуле, очевидно, совпадает со знаком _Aq>, причем, если он положительный, то е°, продолжает быть направленным «вверх» от ОА\, т. е. к той же ветви мнимоединичной окружности, что и е0; если же он отрицательный, то е0/ «перепрокидывается» к другой (^нижней») ее ветви.

Аналогично знак ]' 1 ——р2, избранный нами для нижней формулы, совпадает, очевидно, со знаком /：, • При этом ег остается направленным к той же, как и £工(«правой»), ветви единичной окружности, если этот знак положительный, и «перепрокидывается» к другой («левой») ее ветви, если этот знак отрицательный.

В результате можно следующим образом охарактеризовать четыре типа вращений ортонормированного репера:

1°. Собственное вращение. Так мы будем называть вращение при условии Л^ > О, Л；/ > 0. Тогда (45.8) дает

е = e0+卩 % ё =阻 + %

Det|4%| =Det|4%| =iiу i —俨у i —俨7T^7T^(45.11)(45.11)

Det|4%| =

Det|4%| =

i

i

у i —俨

у i —俨

7T^

7T^

(45.11)

(45.11)

В согласии со сказанным при собственном вращении концы векторов В/, е0/ остаются на прежних ветвях единичной и соответственно мнимоединичной окружностей (рис. 8; чертеж отвечает случаю 0 ＞ 0).

Векторы еоЧ е「будут в изображении симметричными относительно «биссектрисы координатного угла》 (как и полагается ортогональным векторам). Неравноправие реперов {О, е0, ег} и {О, е0/, “,} кажущееся и связано с условностью их изображения на обычной плоскости (отчего и получается, что один как бы «настоящий-», а другой ^искаженный»). Мы могли бы условиться, наоборот, векторы е0,, % изображать ортами обычной плоскости, и тогда е0, ег изобразились бы более длинными векторами, образующими тупой угол (рис. 9).

При непрерывном изменении 0 в допустимых для него пределах (45.9) непрерывно меняется и соответствующее собственное

Рис. 9.вращение, причем при 0 = 0 мн имеем тож

дественное преобразование. Отсюда видно, что собственное вращение репера может быть осуществлено за счет непрерывного процесса вращения, а именно при непрерывном изменении р от 0 до требуемого значения. Вычислим еще определитель преобразования:

Собственное вращение не меняет ориентации репера.

2°. Несобственное вращение 1-го рода. Так мы будем называть вращение репера при условии

風＞ 0,仆＜ 0.

Это значит, что конец единичного орта 电 «перепрокидывается» на другую ветвь единичной окружности, конец же орта е0 остается на прежней ветви мнимоединичной окружности. Формулы (45.8) принимают вид

=呪 + 肥1e , = _ g +J=呪 + 肥1e , = _ g +J(45.12)(45.12)

=呪 + 肥1e , = _ g +J

=呪 + 肥1e , = _ g +J

(45.12)

(45.12)

При р, непрерывно меняющемся в пределах (45.9), непрерывно меняется и несобственное вращение 1-го рода, причем, конечно,

тождественное преобразование из него получить невозможно. При Р =з 0 мы получаем:

е—=&>(45.13)

т. е. происходит как бы зеркальное отражение репера за счет пере- прокидывания оси ОА\ при неподвижной оси ОХ。(зеркальное отражение относительно оси ОХ。). Нетрудно заметить, сравнивая формулы (45.12) с (45.10), что всякое несобственное вращение 1-го рода получается из соответствующего собственного вращения наложением на него зеркального отражения (45.13). Заметим еще, что в нашем случае

Def| = —1,(45.14)

и следовательно, ориентация репера меняется на обратную.

3°. Несобственное вращение 2・зо рода определяется условием Л^ < 0, /%〉0.

Оно вполне аналогично несобственному вращению 1-го рода с той л ишь разницей, что теперь конец орта е0 пере прокидывается на другую ветвь мнимоединичной окружности, а конец орта % остается на прежней ветви единичной окружности. Формулы преобразования будут:

с 一е° +耻Iс耻о + %

]/1一炉，1 y ]一炉

При 卩=0 получаем:

%'=е°,(45.1 fi)

т. e. происходит зеркальное отражение репера относительно оси О^г. Принципиальная разница сравнительно с (45.13) заключается в том, что зеркальное отражение происходит там относительно прямой с мнимыми расстояниями вдоль нее, а здесь относительно прямой с вещественными расстояниями.

Сравнивая формулы (45.15) с (45.10), замечаем, что несобственное вращение 2-го рода получается из соответствующего собственного вращения наложением на него зеркального отражения (45.16).

Отметим еще, что в нашем случае

Det|4，| = —1,(45.17)

так что ориентация репера меняется на обратную.

4°. .Несобственное вращение 3-го рода определяется условием

風< 0, 占< 0.

186 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ [ГЛ. III Концы обоих ортов перескакивают на другие ветви соответствующих окружностей. Формулы преобразования будут:

Очевидно, в этом случае

Det]砌=1,

и ориентация репера сохраняется. При непрерывном изменении 0 в пределах (45.9) несобственные вращения 8-го рода меняются непрерывно; конечно, тождественное преобразование в их число не входит. При 0 = 0 получаем:

询,m в0, е〔，zzz ―— в(, (45.19)

т. е. репер испытывает как бы отражение относительно начала О. Заметим, что в нашем случае нельзя получить такое преобразование непрерывным «вращением на 180°», как мы сделали бы на обычной плоскости; изотропные прямые представляют непреодолимую преграду для непрерывного вращения орта (который, оставаясь единичным или мнимоединичным вектором, не может принять изотропное направление).

Сравнивая формулы (45.18) с (45.10), мы замечаем, что несобственное вращение 8-го рода получается из соответствующего собственного вращения наложением на него отраисения (45.19).

Как мы видели, вращения репера в пределах каждого из четырех типов непрерывно переходят одно в другое за счет непрерывного изменения р. Зато два вращения разных типов не могут быть непрерывным образом переведены одно в другое. В самом деле, такие вращения всегда отличаются друг от друга тем, что при одном из них конец орта е0 (или ej остается на прежней ветви окружности, а при другом перескакивает на другую ветвь. Так как этот переход нельзя осуществить непрерывным образом, то нельзя осуществить и непрерывный переход от вращения одного типа к вращению другого типа. То же самое легко установить и из того, что f, и /；，не могут обращаться в нуль, а следовательно, при непрерывном изменении не могут менять знака.

Мы рассматривали вращения ортонормированного репера. Но следом за вращением данного ортонормированного репера всегда можно заставить вращаться и саму псевдоевклидову плоскость. А именно, каждую точку плоскости мы будем переводить в новую точку, расположенную относительно нового репера точно так же, как прежняя точка была расположена относительно прежнего репера. Другими словами, координаты х°, %】 новой точки относительно нового репера должны совпадать с координатами х°, х1 прежней точки относительно

прежнего репера. Такое преобразование псевдоевклидовой плоскости в себя мы будем называть ее вращением около фиксированной точки О и относить к одному из четырех типов в соответствии с характером вращения репера. При этом классификации вращений можно придать форму, независимую от выбора начального репера: при собственных вращениях каждая ветвь и единичной и мнимоединичной окружностей переходит в себя; при несобственных вращениях соответственно 1-го, 2-го и 3-го рода меняются местами: 1) ветви единичной окружности, 2) ветви мнимоединичной окружности, 3) ветви обеих окружностей.

Сходство вращения псевдоевклидовой плоскости с вращениями обычной плоскости заключается, конечно, в том, что как при тех, так и при других остается неподвижной одна точка (точка О), и, главное, геометрические свойства фигур не испытывают никаких изменений. В самом деле, поскольку координаты перемещенных точек относительно повернутого репера остались прежними, а повернутый репер остался ортонормированным и обладает, следовательно, в точности прежними геометрическими свойствами, то и свойства фигур в результате вращения не меняются. Позже мы уточним сказанное здесь (§ 52).

Комбинируя произвольные вращения около точки О с произвольными параллельными сдвигами, мы получаем преобразования ортонор- мированного репера, а вслед за ним и преобразования плоскости в себя, которые мы будем называть движениями в псевдоевклидовой плоскости. Движения, очевидно, тоже сохраняют геометрические свойства фигур и, как позже мы увидим, исчерпывают все преобразования псевдоевклидовой плоскости в себя, обладающие этим свойством.

На обычной плоскости существуют движения двух сортов: собственные движения, при которых сохраняется ориентация плоскости и которые можно осуществить, переводя плоскость из начального положения в конечное непрерывным образом, и несобственные движения, которые меняют ориентацию плоскости на обратную и которые можно получить, комбинируя собственные движения с зеркальным отражением относительно какой-либо прямой.

На псевдоевклидовой плоскости движения будут уже четырех типов, в зависимости от того, какого типа будет вращение около точки О, входящее в его состав (наряду с параллельным сдвигом).

Эти четыре типа движений мы будем называть соответственно собственными движениями и несобственными движениями 1-го, 2-го и 3-го рода. Согласно ранее сказанному в пределах каждого типа возможен непрерывный переход от одного движения к другому. В частности, собственные движения включают в себя тождественное преобразование и их можно осуществлять непрерывным переходом от начального положения плоскости к конечному; несобственные

188 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ [гл. П1 же движения 1-го, 2-го и 3-го рода получаются наложением на собственные движения отражений соответственно относительно прямой с мнимыми расстояниями, относительно прямой с вещественными расстояниями и относительно точки.

В связи с этим и ортонормированные реперы распадаются на четыре класса, в зависимости от того, какого типа движением они получаются из какого-либо исходного репера: собственным движением или несобственным движением 1-го, 2-го или 3-го рода. В пределах одного класса возможен непрерывный переход от одного репера к другому; между двумя различными классами он невозможен.

В терминах теории групп Ли можно сказать, что группа движений на псевдоевклидовой плоскости несвязная и состоит из четырех связных компонент. То, что движения действительно образуют группу, легко проверяется (мы сейчас не будем этим заниматься, так как затем все сказанное будет выведено в общем случае л-мерного псев- доевклидова пространства).

§ 46. Измерение площадей и углов на псевдоевклидовой плоскости

В § 37 мы определили объем произвольного тела D в л-мерном аффинном пространстве посредством интеграла

嗓=§ dx1. . . dxn

в какой-либо аффинной координатной системе. В частности, «двумерный объем», т. е. площадь в случае двумерного аффинного пространства, имеет вид

%=w尸d炉. (46.1)

Определенная таким образом площадь (как и объем в общем случае) представляет собой лишь относительный инвариант, принимающий различные численные значения в различных координатных системах, а именно, умножающийся на | Det | А^ Ц"1 при переходе от одного репера к другому:

(46,2)

Но в случае двумерного евклидова пространства мы. находимся в лучшем положении, так как у нас среди аффинных координатных систем выделены ортонормированные координатные системы..

Мы условимся называть площадью фигуры D в двумерном евклидовом. пространстве интеграл VD (46.1), вычисленный в ортонорми- рованной координатной системе.

Определенная таким образом площадь будет уже инвариантом. В случае собственно евклидовой, т. е. обычной, плоскости хорошо известно, что интеграл VD действительно дает площадь в обычном смысле слова, разумеется, не зависящую от той ортонормированной координатной системы, в которой она вычисляется.

В случае псевдоевклидовой плоскости матрица преобразования (46.2) при всех вращениях ортонормированного репера удовлетворяет (как мы видели в § 45) следующему условию:

Det|d，| = ±1, следовательно, | Det | Л^ || — 1,(46.3)

а отсюда следует, что интеграл (46.1) при переходе от одной ортонормированной координатной системы к другой не меняется (умножается на единицу).

Переходим теперь к измерению углов на псевдоевклидовой плоско-

сти. Мы дующим ниметрий. угол, мы центром

воспользуемся здесь сле-построением обычной пла-

Желая измеритьстроим единичныйв вершине угла и

удвоенную площадь сектора^

данный круг с берем выре-

занного из этого круга сторонами угла. Очевидно, это и будет как раз величина угла, измеренного в естественной мере ——в радианах.

Аналогично мы будем и на псевдоевклидовой Однако здесь мы будем

поступать плоскости.

Рис. 10.

лишь углы, для которых все мые, исходящие из вершины дящие внутри угла или по

измерять полупря- и прохо-

его сторонам, будут неизотропными.

Другими словами, если представить себе, что угол описывается вращением одной его стороны до совпадения ее с другой стороной, то мы хотим, чтобы в течение этого процесса вращающаяся сторона нигде не принимала изотропного направления. Смысл этого ограничения вскоре станет ясным. Углы, удовлетворяющие нашему условию, мы будем называть допустимыми.

Опишем теперь единичную и мнимоединичную окружности с центром в вершине 0 данного допустимого угла (рис. 10). Тогда (в силу нашего условия) стороны угла пересекутся с одной и той же ветвью какой-нибудь из этих окружностей. Образуется сектор АОВ,

удвоенную площадь которого мы будем называть величиной угла АОВ (или, кратко, просто углом АОВ}.

Из этого определения ясно, что величина угла обладает аддитивным свойством: если допустимый угол разделить полупрямой, исходящей из его вершины, на два угла, то его величина будет равняться сумме величин составляющих его углов.

Таким образом, измерение углов производится по отдельности внутри каждого из четырех «основных углов», образованных в данной точке проходящими через нее изотропными прямыми. При этом мы отказываемся измерять углы, «перекидывающиеся» из одного основного угла в другой. Причина этого станет ясна, если мы будем менять угол АОВ (рис. 10), вращая, например, его сторону ОВ против часовой стрелки и стремясь к совпадению с изотропным направлением 01. Тогда площадь сектора АОВ стремится к бесконечности. Действительно, площадь в оригинале (на псевдоевклидовой плоскости} и площадь в изображении (на обычной плоскости) одинаково выражаются интегралом (46,1) в ортонормированноЙ координатной системе и, следовательно, совпадают, В изображении же площадь сектора АО! как площадь, ограниченная ветвью гиперболы и ее асимптотой, является бесконечной.

Итак, величина угла АОВ стремится к бесконечности, когда хоть одна из его сторон стремится к изотропному направлению. Отсюда ясно, что угол, в котором сторона ОВ достигла изотропного направления О/, мы измерять не будем (его величину пришлось бы признать бесконечной) и тем более не будем измерять угол, в котором сторона ОВ перешла за изотропное направление О/ (величина угла как бы сверхбесконечная).

Подсчитаем, в частности, угол, на который поворачивается вектор ег при собственном вращении (45.10) ортонормированного репера {。，е°, е』(рис. 8).

Требуется подсчитать, следовательно, площадь сектора АОВ^ причем это можно сделать, как мы только что отмечали, и в изображении. Воспользуемся полярными координатами, разумеется, на плоскости изображения. Тогда а

пп. 408=^ [г2d中.(46.4)

о

Здесь г—полярный радиус—выражается через полярный угол ср из уравнения единичной окружности

_Хо2 + Х12= 1.

Так как х1, х° в изображении играют роль прямоугольных декартовых координат, то

(46.5)(46.5)尤1 = г cos ср, х° = г sin ср,

(46.5)

(46.5)

и мы получаем:

，2( —Sin2(p + cos2(p) = 1, Г2= —L-.(46.6)

Вставляя это значение в (46.4), имеем:

пл."08 = ^/^^=；11^3 +子).(46.7)

О

Здесь а — конечное значение полярного угла (р ——совпадает с углом наклона вектора ег к вектору ег (в изображении!). Обозначим через 6 псевдоевклидов угол между ег и ег. Тогда по общему определению

8 = 2 пл. A08 = _|lntg(a + +) = ^ln^|^.

Отсюда

tga = —= th 6.(46.8)

1

Итак, гиперболический тангенс угла между е】,е】，в псевдоевклидовой плоскости равен, тангенсу угла между этими векторами в плоскости изображения (при условии, что ег, е0 в изображении тоже являются ортонормированными, как мы все время это и предполагаем).

При вычислении угла 6 мы молчаливо приписали ему (как и площади АО В) знак, совпадающий со знаком полярного угла а. В этом смысле нужно понимать и формулу (46.8).

Из (46.8) видно еще раз, что когда направление е「 стремится к изотропному, т. е. когда a—*±丁 ％ значит, tga—> + 1, то th6—^土 1, а следовательно, 6—> + оо.

Таким образом, заставляя ег вращаться в пределах основного угла ГО1, мы заставляем псевдоевклидов угол 6 его наклона к е2 меняться от —оо до -|- оо.

Поучительно выразить формулы преобразования (45.10)

©о + 耻1 二 Peo4-ei©о + 耻1 二 Peo4-ei(46.9)(46.9)

©о + 耻1 二 Peo4-ei

©о + 耻1 二 Peo4-ei

(46.9)

(46.9)

через угол 6. Так как {О, ег, е0} равны, как обычной геометрией начерез угол 6. Так как {О, ег, е0} равны, как обычной геометрией накоординаты вектора 立，относительно репера 1 вМЫ ВИДИМ, ,- .-—- . то, пользуясь/1 一炉 /1 —р2Jплоскости изображения, получаем:координаты вектора 立，относительно репера 1 вМЫ ВИДИМ, ,- .-—- . то, пользуясь/1 一炉 /1 —р2Jплоскости изображения, получаем:tga= 0,tga= 0,

через угол 6. Так как {О, ег, е0} равны, как обычной геометрией на

через угол 6. Так как {О, ег, е0} равны, как обычной геометрией на

координаты вектора 立，относительно репера 1 в

МЫ ВИДИМ, ,- .-—- . то, пользуясь

/1 一炉 /1 —р2J

плоскости изображения, получаем:

координаты вектора 立，относительно репера 1 в

МЫ ВИДИМ, ,- .-—- . то, пользуясь

/1 一炉 /1 —р2J

плоскости изображения, получаем:

tga= 0,

tga= 0,

а отсюдаа отсюдаР = th 0,Р = th 0,(46.10)(46.10)и следовательно,1 小 +е-«и следовательно,1 小 +е-«ch 0,ch 0,—sh 0.—sh 0.

а отсюда

а отсюда

Р = th 0,

Р = th 0,

(46.10)

(46.10)

и следовательно,

1 小 +е-«

и следовательно,

1 小 +е-«

ch 0,

ch 0,

—sh 0.

—sh 0.

(46.11)(46.11)Формулы собственного вращения (46.9) примут теперь вид е°, — ch 0ео + sh 0ex, еР = sh 0ео + ch 與广

(46.11)

(46.11)

Эти формулы по внешности напоминают формулы собственного вращения ортонормированного репера на обычной плоскости

(46.12)(46.12)= cos ае0 — sin ае1?er = sin ае0 + cos ае「

(46.12)

(46.12)

Но, конечно, замена тригонометрических функций гиперболическими (а также изменение знака в одном члене) сильно преобразует всю картину. В частности, в формулах (46.11) можно менять 0 от --оо до + оо без периодического повторения результата, как это будет в обычных формулах (46.12).

Мы можем теперь ввести измерение углов в любом п-мерном вещественном евклидовом пространстве. Проводим через стороны угла двумерную плоскость. Она или несет на себе собственно евклидову геометрию (как это всегда будет в случае собственно евклидова пространства), и тогда угол измеряется как на обычной плоскости, или является псевдоевклидовой, и тогда угол измеряется так, как было только что показано, или является изотропной, и тогда измерение угла не имеет смысла.

В первом случае острый (или прямой) угол между векторами а, b определяется обычной формулой

cos0 = 4^=，(46.13)

Уа2・Ь2‘，

во втором же случае формулой

сЬ0 = 4=,(46.14)

причем здесь предполагается, что a2, b2, ab ——одного знака (иначе угол не имеет смысла). В самом деле, если этот знак положительный, то можно принять:

7^=^=%，=(46.15)

]/ а2У Ь?

причем 已1已1， > 0， т. е. ех, еР лежат в одном основном угле. Тогда, умножая скалярно на % второе из уравнений (46.11), получаем:

%,% = ch 0

и, пользуясь (46.15), приходим к формуле (46.14).

Если же знак a2, b2, ab отрицательный, то положим: b

=%，Y^^ = %'，(46.16)

причем eoeoz < 0, т. е. е0, е0* лежат в одном основном угле. Умножая скалярно на е0 первое из уравнений (46.11), получаем:

%% = —ch0

и, пользуясь (46.16), снова приходим к (46.14).

Заметим, что для данных неколлинеарных векторов а, b первый, второй или третий случай имеет место в зависимости от положительного, отрицательного или нулевого значения а2Ь2 — (ab)2.

§ 47, Трехмерное псевдоевклидово пространство индекса 1

После евклидовых пространств индекса 々 = 0, т. е. собственно евклидовых, наибольший интерес представляют евклидовы пространства индекса 々=1 (он% конечно, принадлежат к псевдоевклидовым пространствам). Псевдоевклидова плоскость, рассмотренная нами в §§ 45, 46,——это двумерный случай такого пространства. Евклидово пространство индекса 1 представляет интерес с точки зрения теории дифференциальных уравнений (волновое уравнение с п аргументами) и особенно с точки зрения теории относительности. В последнем случае играет роль именно четырехмерное евклидово пространство индекса 1. Однако для наглядности мы рассмотрим сначала трехмерный случай. Здесь индекс 囱 может принимать значения 0, 1, 2, 3.

При 々=0 получаем собственно евклидово (обычное) пространство и при 々=3 фактически снова его же. Действительно, все орты будут вместо единичных мнимоединичными, и скалярный квадрат вместо вида

х2尤3?

будет иметь вид

х2 = ——х12--无22 —— x3\

что означает лишь формальную разницу, сводящуюся к изменению знака у скалярного произведения (ср. начало § 44).

7 П. К. Рашевский

Точно такая же лишь формальная разница будет между случаем

X2 = —Х°2 + X12 + 炉2

и случаем /г = 2

X2 = Х°2 --%2[

Поэтому вещественное трехмерное евклидово пространство имеет смысл рассматривать лишь в случаях /г = 0 (собственно евклидово пространство) н 力=1 (псевдоевклидово пространство).

К изучению последнего мы и переходим.

Выберем какой-либо ортонормированный репер. Так как индекс пространства равен единице, то один орт будет мнимоединичным — его мы обозначим е0, а два других единичными: е1( е2. Итак,

备=—1, е；=鶴=1, кроме того,巳卢/=0 (/^у). (47.1)

В соответствии с формулой 幻/=巳邑 мы получаем:

goo = —1, gii=g22=lj 幻/=。('*/)•(47.2)

Согласно формуле 巧・ = g・产丿 получаем связь между ковариантными и контравариантными координатами вектора в виде

х0 = —х0,尤1 = %\ х2 = X2.(47.3)

Скалярное произведение и скалярный квадрат выразятся формулами:

Xy= —%2y2,(47.4)

х2 = — x°2 + x12 + %2【(47.5)

Выясним некоторые основные свойства нашего пространства. Прежде всего рассмотрим всевозможные изотропные векторы х, причем для наглядности будем откладывать их от начала О (разумеется, за начало О можно принять любую точку пространства). Тогда концы векторов х будут иметь те же координаты 尸，что и сами векторы, а так как векторы изотропные, то х2 — 0, а следовательно:

—%。'十％J 十％2*= °(47.6)

Как и в случае псевдоевклидовой плоскости, мы будем пользоваться изображением нашего пространства в обычном пространстве. А именно, орты е0, е15 е2 данного репера изобразим обыкновенными ортами, начало О—некоторой точкой обычного пространства, а все остальные точки М изобразим такими точками обычного пространства, чтобы вектор ОМ в изображении разлагался по е0, е15 е2 всегда с теми же коэффициентами, как и в оригинале.

Очевидно, аффинные свойства изображения точно передают аффинные свойства оригинала (мы имеем здесь аффинный изоморфизм), но метрические свойства будут резко различными.

Мы видим, что в изображении концы изотропных векторов располагаются на конусе 2-го порядка (47.6). Впрочем, и в оригинале поверхность (47.6) мы вправе называть конусом 2-го порядка ввиду аффинного характера этого понятия. А именно, конус 2-го порядка в трехмерном вещественном аффинном пространстве можно определить как поверхность, имеющую уравнение вида (47.6) в некоторой аффинной координатной системе,

Конус 2-го порядка, на котором располагаются концы всевозможных изотропных векторов, отложенных из данной точки О, мы будем называть изотропном конусов. 8 изображении изотропный конус выглядит как прямой круглый конус с осью ОХ。и с углом 45° между осью и образующей. Очевидно, при переходе в другую точку О* изотропный конус переносится параллельным сдвигом на вектор 00*.

Будем откладывать теперь от начала О всевозможные векторы х мнимой длины. Для этих векторов х2<0, а значит, координаты их концов удовлетворяют условию

—х°2 + х12 + х22<0, т. е. \х°\>^х12 ^х22. (47.7\

Концы этих векторов расположены, очевидно, внутри изотропного конуса, так как в изображении их расстояния от оси конуса меньше расстояний от плоскости 0Х^Х2 (в то время как для точек конуса эти расстояния равны). Напротив, концы векторов х вещественной длины (х2>0) удовлетворяют условию

—%m + %d + 炉2〉0，т. e. yМ%/ + д^, (47.8) и располагаются вне изотропного конуса. Аналогичная картина повторяется, конечно, и при откладывании векторов х от любой точки пространства

Таким образом, ясно, что прямые, исходящие из данной точки, распадаются на три класса: прямые, расположенные внутри изотропного конуса (длины мнимые), вне изотропного конуса (длины вещественные) и по самому конусу (длины нулевые). Эта картина повторяется в псевдоевклидовом пространстве любого числа измерений (см. рис. 11, стр. 283). В двумерном случае роль изотропного конуса играет пара изотропных прямых.

Рассмотрим теперь двумерные плоскости трехмерного псевдоев- клидова пространства, причем для простоты будем проводить их тоже через начало О. Здесь возможны три случая.

1°. Плоскость проходит, не считая точки О, целиком вне изотропного конуса. Тогда все ее векторы х (не считая вектора х — 0)

обладают положительным скалярным квадратом х2>0, так что плоскость обладает собственно евклидовой геометрией (т. е, на ней имеет место обычная планиметрия).

Примером такой плоскости может служить, очевидно, координатная плоскость A10A2， Обратно, всякая собственно евклидова плоскость, проходящая через О, может быть принята за координатную плоскость Л10A2 при подходящем выборе ортов (е】,е2 строим в плоскости, е0 — ортогонально к ней).

2°. Плоскость касается изотропного конуса по одной образующей. Заметим прежде всего, что касание плоскости с изотропным конусом по его образующей равносильно тому, что плоскость проходит через начало О и ортогональна к этой образующей.

В самом деле, пусть и (и0, 〃， а2) — радиус-вектор какой-либо (отличной от О) точки на образующей. Тогда, как видно из уравнения изотропного конуса, уравнение плоскости, касательной к нему, в этой точке (а следовательно, и вдоль всей образующей) будет:

—х°а° + %“i + %2〃2 = °. (47.9)

Это уравнение можно переписать в виде

хи=0, (47.10 )

где х ——радиус-вектор любой точки нашей плоскости. Таким образом, (47.9) равносильно тому, что радиус-вектор любой точки плоскости ортогонален к и, т. е. что плоскость проходит через О и ортогональна к образующей. Этим наше утверждение доказано.

Теперь ясно, что плоскость, касающаяся изотропного конуса по образующей, будет изотропной (так как она содержит вектор и, ортогональный ко всем ее векторам).

Обратно, всякая изотропная плоскость, проходящая через О, будет касаться изотропного конуса по некоторой образующей. В самом деле, прямая, ортогональная к изотропной плоскости, сама будет изотропной (вытекает из теоремы § 41 при л= 3, т = 2) и, следовательно, если ее провести через начало О, является образующей изотропного конуса. Таким образом, наша изотропная плоскость проходит через О и ортогональна к одной из образующих изотропного конуса, а это, как мы только что видели, равносильно касанию с изотропным конусом вдоль этой образующей.

3°. Плоскость пересекается с изотропным конусом по двум образующим. Тем самым случай касания с конусом устранен, а значит, плоскость неизотропная и несет на себе евклидову метрику. Остается выяснить, чему равен индекс этой метрики: 0, 1 или 2? Собственно евклидов случай (й = 0) и сводящийся к нему (й = 2) отпадают, так как в этих случаях на плоскости нет изотропных прямых, в то время как наша плоскость их содержит (а именно, две

§ 47] трехмерное пснвдоЕвклидово пространство Индекса 1 197 образующие, по которым она пересекается с изотропным конусом, и, конечно, все параллельные им прямые).

Остается случай 々=1, т. е. наша плоскость псевдоевклидова. Примером такой плоскости может служить, очевидно, координатная плоскость Х^ОХх. Обратно, всякая псевдоевклидова плоскость, проходящая через О, может быть принята за плоскость Х^ОХ± при подходящем выборе ортов (е0, ех — на плоскости, е2 — ортогонально к ней).

Заметим, что в случае /z-мерного псевдоевклидова пространства индекса Ze = 1 все наши рассуждения (проведенные для случая л — 3) повторяются дословно; только вместо изотропного конуса нужно рассматривать изотропный гиперконус

—+ %"一丄2= 0,

а вместо плоскостей — гиперплоскости.

Рассмотрим теперь картину взаимно ортогональных направлений в нашем пространстве. Здесь будет более наглядным рассматривать не взаимно ортогональные прямые, а взаимно ортогональные прямую и плоскость (проходящие для простоты через начало О). Пусть прямая задана направляющим вектором и. Тогда радиусы-векторы х точек плоскости удовлетворяют условию

их = О,

т. е. плоскость определяется уравнением

一葭%0+ 出尸 + /?%2 = 0. (47.11)

С точки зрения изображения эта плоскость ортогональна к вектору и'(——“°, “1, “2), который представляет собой зеркальное отражение вектора и относительно плоскости Х^рХ2. Можно сказать и так, что, проводя плоскость, ортогональную к данной прямой с точки зрения изображенияt и беря ее зеркальное отражение относительно плоскости Х±ОХ2 (тоже с точки зрения изображения!), получаем плоскость, ортогональную к данной прямой с точки зрения псевдоевклидовой геометрии. Очевидно, что, когда данная прямая вращается в направлении к изотропному конусу, ортогональная плоскость вращается ей навстречу, причем, когда прямая занимает положение образующей, ортогональная плоскость становится касательной к конусу вдоль этой образующей.

Рассмотрим еще изображения сфер нашего псевдоевклидова пространства, для простоты, с центром в О. Снова (как и для окружностей) рассмотрим случаи вещественного, мнимого и нулевого радиуса.

Вообще уравнение сферы с центром в О, т. е. уравнение геометрического места точек с постоянным расстоянием р от О?

записывается в виде

х2 = р2, т. е. — Х°2 + X12 + X22 = р2.(47.12)

Если р = а (радиус вещественный), то получаем:

—х°2 + х12+х22=«2}

. в нашем изображении сфера вещественного радиуса выглядит как однополостный гиперболоид вращения с осью вращения ОХо.

Если р — а/ (радиус чисто мнимый), то имеем:

-%m+%产+炉；-a2,

и сфера чисто мнимого радиуса выглядит в изображении как дву- полостный гиперболоид вращения с осью вращения ОХ。.

В обоих случаях асимптотическим конусом гиперболоидов служит изотропный конус.

Если же р = 0, то уравнение (47.12) совпадает с (47.6), так что сфера нулевого радиуса совпадает с изотропным конусом, что ясно, конечно, и из его определения.

n-мерное псевдоевклидово пространство индекса 1

Мы уже упоминали, что в /z-мерном случае псевдоевклидово пространство индекса 1 будет выглядеть в основном сходно с трехмерным случаем. Действительно, мнимо единичный орт е0 остается по-прежнему единственным, увеличивается лишь число единичных ортов: вместо е「 е2 мы будем иметь е】,е2) .. ., е仪_「 Скалярный квадрат вектора будет теперь выражаться формулой

х2^—х°2 + х12+..，+хп-12(48.1)

вместо частного случая этой формулы

х2 二一х°2 + х12 + х22.(48.2)

Нетрудно повторить все построения и выводы § 47 и для л-мерного случая. Так, изотропный гиперконус определяется уравнением

_хо2 + х12+ . . . +%7= 0,(48.3)

его внутренняя область определяется условием

+12 c о,(48.4)

а внешняя——условием

_ х°2 + х12+ …> 0.(48.5)

Наименования «внешняя» и «внутренняя» можно оправдать без апелляции к наглядности тем, что внутренняя область всегда со-

держит вместе с двумя какими-нибудь точками 4, В и соединяющий их отрезок; внешняя область этим свойством не обладает.

Таким же образом и далее можно воспроизвести почти автоматически все построения § 47. Разница будет лишь в том, что в трехмерном случае мы могли широко использовать наглядное представление, построив в обычном пространстве изображение нашего псев- доевклидова пространства. При этом искажались метрические свойства, но по отношению к аффинным свойствам, в частности, к числу измерений пространства, изображение было точным. Таким образом, трудность, если таковая вообще была, заключалась лишь в непривычном характере метрики. Теперь на эту трудность накладывается и другая ——многомерный характер пространства. Тем не менее мы не отказываемся и здесь от использования наглядных представлений по аналогии с трехмерным случаем. Мы будем делать чертежи, апеллирующие, конечно, к трехмерному наглядному представлению, но используемые нами по аналогии для многомерного случая.

Для дальнейшего нам будет особенно важен четырехмерный случай, когда ортонормированный репер имеет орты е0, е1} е2, е3:

篤1,男=学=/=1,(48.6)

и скалярный квадрат вектора имеет вид

X2 = —Х°2 + Х^2 + X22 +х3\(48.7)

Трехмерная гиперплоскость /?3, построенная на единичных ортах е^ е2)е3 и проходящая через начало О, имеет уравнение

%。= 0.(48.8)

Положение точки на гиперплоскости /?з определяется, очевидно, тремя координатами х1, х2, х3, причем формула скалярного квадрата (48.3) принимает вид

X2 = %1? + %游 + Х3\

Ясно, что & несет на себе обычную (трехмерную собственно евклидову) геометрию. Этим же свойством будет обладать и любая трехмерная плоскость, проходящая через вершину изотропного гиперконуса и лежащая в остальном вне его (в соответствии с результатами § 47, если их повторить для четырехмерного случая).

Изучим теперь преобразование одного ортонормированного репера в другой. Орты нового репера обозначим:

^о'» ej, %，，R%(48.9)

Начало О будем считать прежним. Плоскость R3 для нового репера обозначим /?з，

Вообще преобразование старых ортов в новые в четырехмерном случае — вещь достаточно громоздкая. Но мы сумеем свести его к двумерному случаю следующим приемом.

Будем называть тривиальным вращением репера такое его преобразование, при котором плоскость R3 остается без изменения и, следовательно, ортогональный к ней орт е0 или не меняется или меняется на обратный, а орты е1? е2, е3 испытывают вращение в плоскости R3. Это вращение, происходящее, таким образом, в обычном трехмерном пространстве (геометрию которого несет на себе &), изучается в элементарном курсе аналитической геометрии и никаких затруднений для нас не представляет.

И вот оказывается, что если старый и новый реперы подвергнуть предварительно тривиальному вращению, то переход от одного к другому становится очень простым.

Мы предполагаем, что плоскости & и R； не совпадают; в противном случае переход от старого репера к новому можно было бы совершить просто при помощи тривиального вращения.

Поскольку трехмерные плоскости & и R； в четырехмерном пространстве не совпадают и имеют общую точку, то они пересекаются по двумерной плоскости R2. Это видно из того, что место их пересечения будет определяться парой независимых однородных линейных уравнений. Итак, плоскость & принадлежит и /?3 и R；.

Выполним теперь в трехмерной плоскости R3 такое вращение ортов %, е2, е3, чтобы орты е2> е3 поместились на двумерную плоскость R2. После этого в трехмерной плоскости R； выполним вращение ортов ег, е2/, е3/ таким образом, чтобы е2/, е3, тоже поместились на & и притом совпали с е2> е3 (уже помещенными на ней). Возможность всех этих операций не вызывает сомнений, так как они происходят в обычных трехмерных пространствах & и R；.

Итак, за счет тривиальных вращений старого и нового реперов можно добиться совпадения ортов:

е2/ — е2, е3/ ~ е3. (48.10)

Теперь нужно рассмотреть оставшуюся часть преобразования. Плоскости ортов (е2, е3) и (е2/, е3/) совпадают, следовательно, совпадают и ортогональные к ним псевдоевклидовы плоскости (е0> %) и (е0/, е「). Преобразование свелось, таким образом, к преобразованию репера е0> ej в псевдоевклидовой плоскости, а это преобразование было нами хорошо изучено и имеет вид (45.8):

° ± К^Р'° ± К^Р'Peo + eiPeo + ei(48.11)(48.11)

° ± К^Р'

° ± К^Р'

Peo + ei

Peo + ei

(48.11)

(48.11)

Мы считали, что начало О у старого и нового реперов общее. Но если это не так, то начала О, О' можно предварительно совместить параллельным сдвигом одного из реперов.

В результате всякое преобразование ортонормированного репера {О, е0, е15 е2, е3} с точностью до тривиальных вращений и параллельного сдвига сводится к преобразованию (48.10), (48.11).

Ортогональные преобразования

Выясним теперь степень произвола в выборе ортонормированного репера в евклидовом пространстве. Уже из способа построения репера ясно, что такой произвол имеется; мы хотим теперь точно определить, как в общем случае преобразуется один ортонорми- рованный репер 況 в другой 況'.Ясно также, что начало О можно передвигать при этом произвольно, так что мы займемся лишь преобразованием ортов. Пусть они преобразуются по формуле

虫,=4足广 (49.1)

Какова должна быть матрица 厶$ для того, чтобы преобразование переводило векторы ортонормированного репера снова в векторы ортонормированного репера?

Мы рассмотрим сначала случаи комплексного евклидова и собственно евклидова пространств и притом параллельно; будем помнить лишь, что в первом случае все рассматриваемые численные величины, вообще говоря, комплексные, а во втором — вещественные. В остальном изложение протекает одинаково.

Вслед за преобразованием репера преобразуются ковариантные и контравариантные координаты произвольного вектора х соответственно по формулам:

Xf^A^x^ (49.2)

(49.3)

Но в силу (42.8) и (43.4) в ортонормированных реперах 勺=上‘，а следовательно, закон преобразования для них должен быть одинаковым ), и мы получаем:

4, = 4% (49.4)

Другими словами, матрица Д■/ преобразования ортонормированного репера в ортонормированный репер должна совпадать со своей транспонированной обратной матрицей 4f. Транспонирование обратной матрицы сказывается в том, что в (49.4) приравниваются элементы матриц с одинаковыми, но поменявшимися местами индексами. Матрицу со свойством (49.4) мы будем называть ортогональной, при

этом вещественной или комплексной в зависимости от характера ее элементов.

Обратно, если соблюдается условие (49.4), то, преобразуя орто- нормированный репер при помощи (49.1), мы снова получаем орто- нормированный репер. В самом деле, до преобразования мы в орто- нормированном репере имеем для любого вектора xi — х1. Но в силу (49.4) это равенство сохраняется и в преобразованном репере, как видно из (49.2), (49.3):

%产=, т. е.

g'力%' ~炉.

Так как это равенство верно для любого вектора х, то оно представляет собой тождество относительно %", откуда следует:

J о(/*，)= [ 1

Тем самым преобразованный репер оказывается тоже ортонормиро- ванным.

Итак, для того чтобы матрица /4} отвечала переходу от одного ортонормированного репера к другомуу необходимо и достаточно, чтобы эта матрица была ортогональнойу т. е. чтобы

= 4'・

Произведение взаимно обратных матриц в любом порядке дает еди-

ничную матрицу:

或4 = 也, &,第，=臥

(49.5)

В нашем случае

(49.6)

и мы получаем:

2а"4 ={

(49.7)

т. е. в ортогональной матрице произведение двух строк дает нуль, если эти строки различны, и единицу, если они совпадают; тем же самым свойством обладают и столбцы. Обратно, если такое свойство имеет место хотя бы только для строк или только для столбцов, то справедливо одно из соотношений (49.7), например, первое. Но в этом соотношении, как можно убедиться, сравнивая его с первым соотношением (49.5), роль обратной матрицы 黑 играет транспонированная данная матрица, так что мы возвращаемся к условию (49.4), и наша матрица будет ортогональной.

Ортогональные матрицы обладают определителем, равным + 1, и в соответствии с этим распадаются на два класса.

Действительно, согласно (49,4) матрицы А[ и 胃'должны обладать одним и тем же определителем; но в то же время эти матрицы, как матрицы взаимно обратные, должны обладать и обратными (т. е. дающими в произведении единицу) определителями. Таким образом, определитель матрицы《，должен быть обратным самому себе, т. е. равным 土 1.

Преобразование репера 朮一►沢‘ при условии

Def |=1 (49.8)

мы будем называть его собственным движением^ в частности, при неподвижном начале О—собственные вращением около О. Собственные движения репера At, как можно было бы показать, всегда допускают непрерывный переход от одного из них к другому за счет непрерывного изменения репера 況'при постоянном Л В частности, любое из них может быть осуществлено непрерывным переходом от тождественного преобразования (которое, конечно, входит в число собственных движений). Геометрически это значит, что если в результате собственного движения ^i —+ Dtz, то W можно получить непрерывным изменением 把 При этом здесь и в дальнейшем подразумевается, конечно, что в процессе изменения репер остается ортонормированным.

Преобразование репера 3ft ―►沢'при условии

Det|4，| = — 1 (49.9)

мы будем называть его несобственные движением. Несобственные движения легко получить из собственных, накладывая на каждое из них зеркальное отражение репера относительно одной из его гиперплоскостей: например, оставляя начало О и все орты е2, . . ., еп без изменения, а орт заменяя через —е£. Очевидно, это элементарное преобразование, наложенное на любое собственное движение, приводит к изменению знака Det\Л],\У т. е. к превращению этого движения в несобственное.

Между любыми двумя несобственными движениями возможен непрерывный переход, что вытекает из аналогичного свойства собственных движений. Но, конечно, непрерывный переход от собственного к несобственному движению невозможен, так как Det[/；,| не может непрерывным образом перейти от значения +1 к значению -1.

Если выбрать какой-нибудь репер 910 и отнести к одному классу все реперы *', получающиеся из него собственными движениями, а к другому — все реперы 3ft", получающиеся из него несобственными движениями, то все реперы распадаются на два класса, причем в пределах

каждого класса возможен непрерывный переход от одного репера к другому, а от одного класса к другому непрерывный переход невозможен. Полученное разбиение на реперы данной и противоположной ориентаций аналогично рассмотренному в вещественном аффинном пространстве. Разница только в том, что сейчас нас интересуют не любые аффинные, а лишь ортонормированные реперы; это приводит и в комплексном случае к той же картине (в то время как комплексные аффинные реперы на два класса не распадаются).

Псевдоортогональные преобразования

Рассмотрим теперь случай, когда (49.1) дает преобразование репера Jtf 脏‘ в псевдоевклидовом пространстве индекса k, Мн будем считать, что k принимает значения 1, 2, . . ., л——1. Случай 々=〃 исключаем, как приводящий по существу к собственно евклидову пространству (см. начало § 44); в этом случае /%——тоже вещественная ортогональная матрица.

Пусть, как обычно, ех, . .., ek (соответственно е】,, е-,)—— мнимоединичные орты; остальные орты — единичные. Пусть индексы а, р, у, ... пробегают у нас значения 1, 2, .. ., &, а индексы A,卩，V, .. .—значения k-\-1, ..., л.

Тогда разложение

можно записать в детализированном виде, отличая единичные и мнимоединичные орты:

(50.1)(50.1)= Ла/ва +』а，е九,

(50.1)

(50.1)

В правых частях по а и X происходит, конечно, суммирование. Вся матрица преобразования состоит, таким образом, из четырех матриц：

114114k л--kk л--k(5U.2)(5U.2)

114

114

k л--k

k л--k

(5U.2)

(5U.2)

При помощи этой же матрицы преобразуются, как мы знаем, ковариантные координаты xi произвольного вектора х:

(50.3)(50.3)%СЬ，= ^^-^GC + 片必％九，月九，=Иx^а十片九，月九*

(50.3)

(50.3)

Но его контравариантные координаты х1 преобразуются при помощи транспонированной обратной матрицы, а именно:

или, как мы теперь можем записать:

(50.4)

(50.5) через(50.6)сумми-(50.5) через(50.6)сумми-Но в любом ортонормированном репере между х1 и xz существует связь (42.24), которую мы теперь можем записать в виде 尤a=——尤a,尤能=尤乙

(50.5) через

(50.6)

сумми-

(50.5) через

(50.6)

сумми-

Заменяя согласно этим формулам ковариантные координаты контравариантные в преобразовании (50.3), получим:

^ = Аа>Ха~Аа'Х\ )хх，= —A^xa + A^xk.，

В правых частях по а и X по-прежнему подразумевается

рование. Матрица, посредством которой производится преобразование (50.6), отличается от матрицы (50.2) лишь изменением знака у элементов с разнородными индексами. Но преобразование (50.6)— это лишь другая запись преобразования (50.4), и матрицы у них должны совпадать:

般=够，戒Н一心，IFh

一质，成=痂 /9。.7)

Таким образом, матрица (50.2) после изменения знаков элементов в правой верхней и левой нижней клетках совпадает со своей транспонированной обратной матрицей.

Такие матрицы мы будем называть псевдоортогональными матрицами индекса А. Если матрица Л^ псевдоортогональная, то, конечно, обратная матрица 吗 тоже псевдоортотональная того же индекса А. Это видно хотя бы из полной симметрии формул (50.7) относительно обеих матриц.

Таким образом, переход от ортов старого к ортам нового репера осуществляется при помощи псевдоортогональной матрицы. Обратно, всякая псевдоортотональная матрица (индекса А) переводит любой данный ортонормированный репер (в пространстве индекса А) снова в ортонормированный репер. Это следует из того, что при наличии условий (50.7) закон преобразования контравари- антных координат (50.4) можно переписать в виде (50.6); далее, сравнивая закон преобразования (50.6) с (50.3) и пользуясь соот-

ношениями (50.5), которые имеют место в данном ортонормиро- ванном репере, убеждаемся, что и s преобразованном репере эти соотношения также справедливы:

(50.8)(50.8)

(50.8)

(50.8)

Сравнивая полученные формулы с общей формулой опускания индекса

убеждаемся, что в полученном репере

^”= — 1,= 1,в，? = 0 (厂，/'),

т, е. что репер ортонормированный.

Псевдоортогональные матрицы (подобно ортогональным) можно было бы характеризовать условиями, наложенными на попарные произведения их строк, однако теперь произведение двух строк нужно понимать как сумму произведений соответствующих элементов перемножаемых строк, причем первые k произведений берутся с обратными знаками. Тогда произведение разных строк всегда давало бы нам нуль, а произведение одинаковых или —1 (для первых k строк) или +1 (для остальных).

Разумеется, все сказанное справедливо и для столбцов.

Нетрудно обнаружить, что, как и для ортогональных матриц,

De“4，| = ± L(50.9)

В самом деле, изменение знаков в правой верхней и левой нижней клетках матрицы (50.2) не меняет ее определителя, так как сводится к умножению на — 1 первых k ее строк и первых k ее столбцов (а определитель умножается при этом на (—1)?，=1).

В то же время это изменение знаков означает согласно (50.7)пере- ход к транспонированной обратной матрице, а значит, и определитель меняет свое значение на обратное. Таким образом, Det [ 4^ | равен своей обратной величине, а это влечет равенство (50.9).

Однако в случае псевдоортотональных матриц их классификация по значению определителя ± 1 оказывается слишком грубой. Фактически псевдоортогональные матрицы данного порядка п и данного индекса k распадаются не на два, а на четыре класса (аналогично простейшему случаю псевдоевклидовой плоскости, когда л — 2,々=1).

В самом деле, заметим, прежде всего, что в матрице (50.2) левая верхняя и правая нижняя клетки содержат неособенные матрицы (порядков k и п — k соответственно):

Det|川,| 关 0, Det| 砍(50.10)

Чтобы показать это, допустим противное, например,

Det II — 0.

Тогда между строками матрицы &，(优一номер строки) существует линейная зависимость, которую можно написать в виде

以=0 (а - 1, 2，粉；(50.11)

по а' происходит суммирование. Умножая верхнее равенство (50,1) на а&，и суммируя по ах = Г, 々',получаем (учитывая (50.11)): £。唸" =2磷e入.

а，а，

Так как коэффициенты линейной зависимости а" не обращаются в нуль одновременно, то скалярный квадрат левой части равенства будет отрицательным (так как е*=—1, еа/вр/ = 0), а скалярный квадрат правой части будет положительным, в крайнем случае нулем (так как е^ = 1, е^е^ = 0). Полученное противоречие показывает справедливость нашего утверждения (50,10). В результате для определителей (50.10) возможны следующие четыре комбинации знаков, соответственно чему распадаются на четыре класса и движения ортонормированного репера Di (как мы будем кратко называть переход от одного ортонормированного репера 淑 к другому 況').

Det 展 1

Det М|

Тип движения

1°

+

+

Собственное движение

2°

+

Несобственное движение 1-го рода

3°

—.

+

Несобственное движение 2-го рода

4°

Несобственное движение 3-го рода

(50.12)

Простейшими примерами движений каждого из четырех типов служат:

1°. Тождественное преобразование.

2°. е„ переходит в —)

е»» еI остальные орты

'1I и начало Онеменяются.

Так как рассматриваемые определители не могут принимать нулевых значений, то при неизменном 9i и непрерывном изменении 紀' движение всегда остается в пределах одного из указанных четырех типов. Можно было бы показать также (этого мы делать не будем), что в пределах одного типа всегда возможен непрерывный переход

от одного движения 91 -► fRz к любому другому 沢-> 睨"в смысле непрерывного перехода репера 猊'в 脱".

В результате движения каждого типа можно характеризовать тем, что они могут быть получены непрерывным переходом от простейшего движения этого же типа. В частности, собственные движения 9if ЗИ' характеризуются тем, что их можно получить непрерывным переходом от тождественного преобразования, т. е. 9V получается непрерывным изменением 91.

Отсюда вытекает также, что последовательное выполнение двух собственных движений iRf 況'，9Г-> 睨"дает снова собственное движение St -> 9tw. В самом деле, поскольку переход от 睨 к 睨‘ и от 睨'к 說"происходит в результате непрерывного изменения репера, то тем же свойством обладает и переход от SR к 睨"・

Нетрудно было бы составить таблицу, которая указывала бы, какой тип движения мы получим в результате наложения движений двух данных типов. За образец можно принять простейшие движения каждого из четырех типов; наложение их дает всегда одно из этих же простейших движений. Если перейти теперь от простейших движений к произвольным движениям этих же типов, то ввиду непрерывности такого перехода тип результирующего движения не изменится; таблица, составленная для простейших движений, будет пригодна во всех случаях.

Далее, так как при непрерывном изменении движения Det | А^ | (равный ± 1) не меняется, то для любого движения он будет таким же, как и для простейшего движения этого же класса, т. е.

Det\А^\=\ для движений классов 1°, 4°;

Det|// = —1》》》2°, 8°.

Таким образом, наша классификация (50.12) является действительно подразделением более грубой классификации (50.9).

Нетрудно уяснить себе наглядный смысл нашей классификации движений: собственное движение не меняет ориентации не только всего репера в целом, но и отдельно его частей: еа (совокупность мнимоединичных ортов) и е\ (совокупность единичных ортов); несобственное движение 1-го рода не меняет ориентации еа, но меняет ее для ех； несобственное движение 2-го рода ведет себя обратным образом; наконец, несобственное движение 8-го рода меняет ориентацию и для еа, и для е儿,но не меняет ее для репера в целом.

[Три этом мьт говорим, что векторы е? и еа имеют одинаковую ориентацию тогда и только тогда, когда

и аналогично для е入，и е九.

Чтобы это понятие об одинаковой ориентации векторов еа и еа* (и аналогично е%，，е%) имело смысл, нужно, конечно, чтобы оно обладало транзитивностью. Другими словами, нужно, чтобы сохранение ориентации еа при переходе от первого репера ко второму и от второго к третьему влекло бы за собой сохранение ориентации еа и при переходе от первого репера к третьему. Но это можно показать так: ввиду сохранения ориентации еа оба перехода будут принадлежать к типам 1°, 2° таблицы (50.12). Наложение двух таких движений дает движение снова типа 1° или 2°, что легко усмотреть, беря для образца простейшие движения типов 1°, 2°. Таким образом, для результирующего движения условие (50.13) снова соблюдается и еа для первого и третьего реперов имеют снова одинаковую ориентацию.

Для е% проводится совершенно аналогичное рассуждение, но для типов 1°, 3°.

Обращает на себя внимание то, что, оказывается, имеет смысл говорить об одинаковой (или различной) ориентации векторов, например, еа и еа/, несмотря на то, что они определяют различные ^-мерные плоскости. Но дело в том, что эти плоскости в нашем пространстве——максимально-мерные плоскости со знакоотрицательной метрикой (х2 < 0), а такие плоскости, как можно было бы показать, нельзя вращать слишком свободно (иначе в них появятся ха > 0), в частности, нельзя «перевертывать» и накладывать на себя с обратной ориентацией. Поэтому ориентацию, выбранную на одной из них, можно однозначно перенести, непрерывно вращая эту плоскость, и на все другие такие плоскости, — подобно тому, как это можно сделать (применяя грубое сравнение) для всех плоскостей обычного пространства, наклоненных к данной плоскости под углом не более чем, например, 20°.

Выберем какой-нибудь репер Э^о и разобьем все реперы пространства на четыре класса в зависимости от того, получаются ли они из 沢° движениями собственными или несобственными 1-го, 2-го и 3-го рода. То г да согласно выше сказанному в пределах каждого класса возможен непрерывный переход от одного репера к другому, но непрерывный переход от одного класса к другому невозможен. Очевидно, такое разбиение всех реперов 况 на четыре класса от выбора начального репера 尤 нВ зависит (если нумерацией этих классов не интересоваться).

§ 51*. Квазиаффинная и аффинная группы преобразований

В этом и следующем параграфах мы хотим отчетливо выявить некоторые ведущие идеи, лежащие в основе аффинной, евклидовой и вообще всех «однородных» геометрий. В самом деле, однородный в каком-то смысле характер рассмотренных нами до сих пор пространств, их одинаковое строение в разных местах и в разных

направлениях, с наглядной точки зрения представляется очевидным. Этой идее однородности мы придадим точную математическую форму, в этом параграфе для аффинных, а в следующем — для евклидовых пространств. Попутно мы уточним и понятие о преобразованиях репера; с этого мы даже и начнем.

Произвольный репер в л-мер ном аффинном пространстве {О, ех, '.. ., е„} определяется л2 +л независимыми параметрами в комплексном случае — комплексными, в вещественном—вещественными). Действительно, начало О и каждый из векторов ez определяется п координатами. При этом из условия линейной независимости векторов репера следует, что определитель, образованный их координатами, отличен от нуля. В остальном л2 + ^ параметров совершенно произвольны.

Мы рассматривали до сих пор обычно преобразование одного определенного репера в другой. Сейчас мы станем на более широкую точку зрения и будем применять данное преобразование сразу ко всем 00”2+" аффинным реперам, в результате чего каждый из них переходит в некоторый другой. А именно, применить данное преобразование к многообразию ) аффинных реперов это значит указать для каждого репера {О, ех, . . ., е门} новый репер {О\ е】，,...,е»}, имеющий заданное расположение относительно старого репера. Другими словами, для каждого репера {О, ех, . . ., ел} векторы е^, . . ., еп/ и вектор сдвига ОО' разлагаются по ех, ..., ел с одними и теми же численными коэффициентами:

е” = /4%е『，ОО = А %.(51.1)

Произвольно взятыми численными коэффициентами Д^, А1 (при условии Det I4,1 声 0) и характеризуется данное преобразование в многообразии реперов.

Можно также вместо коэффициентов А1 задаваться коэффициентами 4" (как мы делали в § 24), положив

63’ =

Тогда.

4, = —4'А и, обратно, А = —&,4：(51.2)

Последние соотношения легко получить, пользуясь зависимостью между е(- и е〃.

Рассматриваемые нами в многообразии реперов преобразования (51.1) являются, очевидно, взаимно однозначными и образуют группу.

Последнее означает, что совокупность наших, преобразований содержит, во-nepsbix, обратное преобразование для каждого из них и, во-вторых, результирующее преобразование для любых двух из них (а следовательно, и тождественное преобразование). Проверка этих утверждений тривиальна: достаточно убедиться, что при построении обратного и результирующего преобразований мы получаем преобразование того же вида (51.1), причем его коэффициенты 4%, А полностью выражаются через коэффициенты исходных преобразований (и следовательно, вместе с ними имеют одни и те же численные значения для всех реперов).

Преобразования многообразия аффинных реперов 8 себя (51.1) мы будем называть квазиаффинными преобразованиями, а группу этих преобразований ——квазиаффинной группой. Квазиаффинная группа в многообразии реперов является одндтранзитивной^ т. е. квази： аффинное преобразование вполне определяется заданием двух произвольно выбранных реперов {О, е1} . . ., е〃} и {О', е』,...,ел/}, если потребовать, чтобы первый из них при этом переходил во второй. Действительно, коэффициенты А^ А1 вполне определятся из разложений (51.1), а тем самым определится и соответствующее квази- аффинное преобразование (путем применения формул (51.1) с теми же численными значениями 4%, А1 к каждому реперу).

Очень важно отчетливо представлять себе, что квазиаффинная группа действует не в аффинном пространстве, а в многообразии его реперов. Более того, ее нельзя даже истолковать как группу, действующую в самом аффинном пространстве. В самом деле, попробуем истолковать квазиаффинное преобразование как точечное преобразование в аффинном пространстве. Для этого рассмотрим всевозможные реперы, имеющие общим началом какую-нибудь точку О, и подвергнем их одновременно одному и тому же квазиаффинному преобразо^ ванию. Векторы сдвига ОО', именно потому, что они будут разлагаться в разных реперах с одними и теми же коэффициентами Л\ будут, вообще говоря, различными, и начала наших реперов «расползутся» из общей точки О по разным направлениям. Точка О в результате квазиаффинного преобразования не будет иметь образа.

Квазиаффинное преобразование многообразия реперов можно также рассматривать как преобразование соответствующих аффинных координатных систем; а именно, каждая координатная система преобразуется в другую согласно (24.20):

х1'А1；X1 + А1', (51.3)

где %', А' имеют фиксированные значения: &' — матрица, обратная 4%; 4" имеет то же значение, как и в (51.2). Здесь х1 ——координаты произвольной точки относительно старого репера, а 尤〃——координаты

той же точки относительно преобразованного репера; коэффициенты преобразования произвольны с единственным ограничением

Det|/lf ]=^0. (51.4)

Оставим теперь квазиаффинные преобразования и займемся вопросом «об однородности» аффинного пространства. Прежде всего формулируем понятие об изоморфизме двух л-мерных аффинных пространств.

Мы называем аффинным изоморфизмом двух аффинных пространств такое взаимно однозначное отображение точек одного пространства в точки другого и векторов одного пространства в векторы другого, что: 1) если точкам Л, В первого пространства отвечают точ^и А*, В* второго пространства, то вектору АВ отвечает вектор 4*8*; 2) если вектору х первого пространства отвечает вектор х* второго пространства, то вектору ах отвечает вектор ах* (где а — любое число, комплексное в случае комплексного пространства и вещественное в случае вещественного пространства).

В частности, когда рассматриваемые пространства совпадают и речь идет о взаимно однозначном отображении точек и векторов аффинного пространства в точки и векторы того же пространства (с соблюдением прежних требований), то изоморфизм мы будем называть автоморфизмом или аффинным преобразованием аффинного пространства в себя.

Наше определение изоморфизма подобрано так, что, переходя от точек и векторов первого пространства к точкам и векторам второго пространства, мы не нарушаем никаких их аффинных свойств и соотношений; эти взаимоотношения в точности повторяются и после перехода. Действительно, если внимательно просмотреть нашу аксиоматику аффинного пространства, то нетрудно заметить, что в ней фигурируют по существу лишь два основных взаимоотношения между точками и векторами: что данный вектор х определяется парой данных точек Л, В(х = АВ} и что данный вектор у есть вектор х, умноженный на число а (у = ах). В остальном аксиомы говорит о свойствах этих взаимоотношений, но каких-либо иных взаимоотношений не устанавливают.

Из определения изоморфизма легко получается, в частности, что вектор-нуль отображается в вектор-нуль, сумма векторов отображается в сумму отображенных векторов и т. д. Линейная зависимость между векторами, как следует отсюда, переходит в линейную зависимость с теми же коэффициентами. Поэтому размерность л, т. е. максимальное возможное число линейно независимых векторов, будет в изоморфных пространствах обязательно одинаковой.

Выберем в первом аффинном пространстве какой-либо репер 310 {О, еп ..., еп}. В силу изоморфизма ему отвечает во втором пространстве некоторый репер 91J {О*, е*, .. ., е*}. Каждому вектору

х=%а“ (51.5) отвечает вектор

(51.6) с теми же координатами %" в силу сохранения линейных зависимостей при изоморфизме.

В частности, радиус-вектор ОМ каждой точки М переходит в радиус-вектор О*附* преобразованной точки М^, сохраняя прежние координаты %叱 Тем самым и точка Af* имеет в преобразованном репере прежние координаты.

Итак, всякий данный изоморфизм двух аффинных пространств можно описать следующим образом. В первом пространстве задаемся произвольным реп ером Э10 (О, е】,...,еп) а во втором пространстве берем соответствующий ему репер 3io (О*, е；, . .., е*). Каждой точке М (вектору х) в первом пространстве ставим в соответствие точку Л4* (вектор х*) во втором пространстве так, чтобы координаты 府* (вектора х*) относительно второго репера были такими же, как и координаты М (вектора х) относительно первого репера.

Обратно, задавшись реперами 910,睨：произвольно, мы при помощи указанного построения всегда получаем изоморфизм, что обнаруживается тривиальной проверкой. Этот изоморфизм переводит 況° в 況：н определяется, очевидно, однозначным образом.

Все сказанное справедливо и для частного случая, когда оба пространства совпадают, и речь идет об автоморфизме—аффинном преобразовании пространства в себя.

Оба репера 猊()и 9i； берутся тогда в одном и том же аффинном пространстве, и каждая его точка М переводится в некоторую точку Л4* с таким расчетом, чтобы АР относительно 呪：имела те же координаты xz, что и точка М относительно Э10. Пусть %" суть координаты точки 府* относительно репера 丸，и, следовательно, связаны с х1 формулами (51.3)

%" = 4'炉 + 4'. (51.7)

Но так как х1 — координаты произвольной точки М относительно репера fR0, %" — координаты преобразованной точки М^ относительно того же репера 猊q, то теперь формулы (51.7) дают аффинное

преобразование пространства в себя, т. е. выражают координаты преобразованной точки как функции координат произвольно взятой исходной точки в неизменной координатной системе.

Очевидно, далее, что аффинные преобразования в данном аффинном пространстве образуют группу. В самом деле, из определения автоморфизма немедленно следует, что обратное к автоморфизму преобразование есть тоже автоморфизм и наложение двух автоморфизмов есть снова автоморфизм. Группу аффинных автоморфизмов мы будем называть аффинной группой. Наличие этой группы и есть точное выражение идеи однородности аффинного пространства.

В отличие от квазиаффинных преобразований аффинные преобразования по самому определению суть точечные преобразования пространства (соответствующие преобразования векторов можно при желании считать следствием точечных преобразований). Вместе с тем аффинное преобразование переводит каждый репер пространства снова в репер, так что мы получаем взаимно однозначное преобразование многообразия реперов в себя. Группа аффинных преобразований, рассматриваемых в многообразии реперов, является согласно сказанному выше однотранзитивной.

Понятие группы автоморфизмов аффинного пространства введено нами лишь на заключительном этапе его теории. Однако это не значит, что речь идет о маловажном понятии; напротив, эта группа играет огромную принципиальную роль. С ее точки зрения необходимо переосмыслить некоторые наши прежние понятия. Так, мы рассматривали до сих пор аффинные реперы как специального вида конструкции, оказавшиеся нам полезными. Теперь мы можем формулировать идею, лежащую в основе этого понятия. Пусть нам дана совокупность фигур 睨,обладающая следующим свойством: любую фигуру 市工 этой совокупности можно перевести в любую фигуру &t2 этой же совокупности одним и только одним автоморфизмом данного пространства и любой автоморфизм пространства переводит каждую фигуру 沐工 нашей совокупности в некоторую фигуру Dt2 зтой же совокупности. Тогда фигуры 91 называются реперами данного пространства.

Это определение раскрывает настоящий смысл наших аффинных реперов, но применимо не только к ним. Так же определяются реперы и в любом однородном пространстве, т. е. в пространстве, геометрические свойства которого могут быть определены как инварианты некоторой транзитивной группы взаимно однозначных преобразований этого пространства в себя(которая и будет группой его автоморфизмов).

Заметим, что из нашего определения репера не вытекает его конкретный вид, например, что аффинный репер будет именно состоять из точки и п линейно независимых векторов; здесь остается произ-

§ 51] КВАЗИЛФФИННАЯ И АФФИННАЯ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 215 вол, который используется в целях наибольшей простоты и удобства.

Интересно сравнить теперь группу аффинных и группу квази- аффинных преобразований в л2 -]-л-мерном многообразии всевозможных реперов л-мерного аффинного пространства.

Обе группы однотранзитивны, т. е. для любых двух реперов 以。, 況:как в одной, так и в другой группе найдется точно одно преобразование, переводящее 9t0 в 9t*- Но характер этих преобразований существенно различный. В случае аффинного преобразования мы изоморфно отображаем аффинное пространство в себя, точки переходят в точки, векторы в векторы с сохранением всех их аффинных взаимоотношений; в частности, и реперы переходят в реперы （причем ^t。 переходит в 猊：），

В случае квазиаффинного преобразования о преобразовании точек и векторов нет смысла говорить; каждый же репер Э{ переходит в новое положение 猊* так, что "t* относительно 31 расположен точно так же, как 况;относительно 淑°. Мы уточняли это в том смысле, что векторы репера 睨* и смещение его начала сравнительно с началом 呪 разлагаются по векторам репера 州 с теми же коэффициентами, как и в случае реперов 猊彳，猊°.

Но это равносильно тому, что, переводя аффинным преобразованием 猊° в 范 мы заставим перейти и й* в Э1*. Таким образом, геометрический смысл того утверждения, что репер Э^ относительно 9ff0 и 9t* относительно 猊 расположены одинаково, заключается в возможности перевести пару реперов 猊°, DiJ в пару реперов 沢,Э1* некоторым автоморфизмом нашего пространства. Это определение пригодно не только в аффинном, но и в любом однородном пространстве.

Мы можем теперь формулировать следующее правило, исчерпывающее связь между аффинными и квазиаффинными преобразованиями в многообразии реперов.

Если четыре репера подобраны так, %т。

況。一猊:'[ .й

況一奨 j （51.8）

при одном и том же квазиаффинном преобразовании, то

沁，嘱）

при одном и том же аффинном преобразовании （и обратно）.

Эту зависимость между аффинными и квазиаффинными преобразованиями в многообразии реперов можно формулировать в виде перестановочности любого аффинного преобразования с любым квази- аффинным преобразованием. Действительно, из (51.8), (51.9) видно, что при выполнении данного аффинного и данного квазиаффинного преобразований, в том или другом порядке безразлично, репер 北。 все равно перейдет в репер 31*. Обратно, из перестановочности данных преобразований следует наше правило.

Две однотранзитивные взаимно перестановочные группы преобразований в многообразии аффинных реперов представляют собой пример конструкции, играющей важную роль в геометрии и в теории групп Ли.

Л именно, если в каком-либо многообразии дана однотранзитивная группа взаимно однозначных преобразований этого многообразия в себя, то единственным образом определяется вторая однстранзи- тивная группа, преобразования которой будут перестановочны со всеми преобразованиями первой. В самом деле, задавшись как-либо элементами многообразия Ло, Л^, мы передвигаем эту пару элементов всевозможными преобразованиями первой группы в положения А, Л*; в силу однотранзитивности первой группы А пробегает все многообразие, причем каждому положению А отвечает строго определенное положение Л*. Преобразование А-^ А* будет перестановочным со всеми преобразованиями первой группы и, как мы видим, однозначно определяется выбором Ло —> Д*. Совокупность таких преобразований и образует вторую, тоже однотранзитивную группу. Обе группы играют взаимно симметрическую роль.

В случае многообразия аффинных реперов все же естественно считать основной аффинную группу (группу автоморфизмов), а ква- зиаффинную группу — построенной дополнительно по принципу перестановочности с группой автоморфизмов.

§ 62*. Группа квазидвижений и группа движений в евклидовом пространстве

Мы проведем сейчас в евклидовом пространстве те построения, которые были выполнены в предыдущем параграфе для аффинного пространства. При этом под евклидовым пространством можно понимать как комплексное евклидово пространство, так и любое из вещественных евклидовых пространств; по внешности наши рассуждения зависеть от этого не будут. Вместо аффинных реперов соответствующую роль будут играть теперь ортонормированные реперы.

Мы подробно рассматривали в свое время переход от одного ортонормированного репера к другому; согласно (51.1) его можно

записать в виде

胃，=4，, ОО* = 4 %(52.1)

так как ортонормированные реперы —частный случай аффинных. Только теперь матрица 4 — уже не произвольная неособенная матрица, а обязательно или комплексная ортогональная, или вещественная ортогональная, или вещественная псевдоортогональная — в зависимости от характера рассматриваемого евклидова пространства. Рассмотрим многообразие всех ортонормированных реперов нашего пространства. Если вспомнить построение ортонормирован- ного репера, то нетрудно подсчитать, что это многообразие будет ^■^t^—мерннм. Действительно, произвольный выбор начала О в л-мерном пространстве дает л независимых параметров, произвольный выбор единичного (или мнимоединичного) вектора % дает л—1 параметров (один параметр снимается за счет нормировки), далее еа выбирается уже в л——1-мерной плоскости Rn^t и зависит поэтому от л — 2 параметров и т. д. В итоге число параметров равно;

л + (л — 1) + (л — 2) + • • •十2 + 1 =•

Разумеется, в случае комплексного пространства эти параметры будут комплексными *).

Задавшись матрицей / и коэффициентами А, мы будем производить преобразование (52.1) над каждым ортонормированным репером нашего евклидова пространства. Мы получаем взаимно однозначное преобразование многообразия реперов в себя, которое будем называть квазидвижением в многообразии реперов. Таким образом, наглядный смысл квазидвижения состоит в том, что каждый репер переходит в новый репер, расположенный относительно его вполне определенным образом. Действительно, так как мы задались определенными численными значениями ^ и Д(, то в аффинном смысле новый репер будет расположен всегда одним и тем же способом относительно старого (§ 51); то так как, кроме того, старый репер ортонормированный и обладает строго определенными метрическими свойствами, то постоянство коэффициентов означает^ что и в метрическом смысле расположение нового репера относительно старого будет всегда одним и тем же.

Так, на обычной плоскости квазидвижение можно определить, например, тем, что каждый ортонормированный репер {О, е1; е2} сдвигается на три единицы длини в направлении вектора ех и поворачивается затем около О на 60° в направлении от ех к е2.

Квазидвижение в многообразии реперов сопровождается преобразованием соответствующих им координатных систем по формуле (частный случай (51.3))

~=4'炉 + 4二 (52.2)

Как и квазиаффинные преобразования, квазидвижения суть преобразования в многообразии реперов и не могут быть истолкованы как точечные преобразования евклидова пространства.

Переходим теперь к изучению изоморфных соответствий (изоморфизмов) между евклидовыми пространствами. Изоморфизмом между двумя евклидовыми пространствами мы будем называть аффинный изоморфизм между ними (§ 51) с добавочным требованием сохранения скалярного произведения, т. е. мы требуем дополнительно, чтобы для любых двух векторов х, у первого пространства и соответствующих им векторов х*, у* второго пространства имело место равенство

ху = х*у*. (52.3)

Так как евклидово пространство мы определили как аффинное пространство с фиксированной в нем билинейной скалярной функцией двух векторов — скалярным произведением, то ясно, что изоморфизм переводит образы первого пространства в образы второго пространства с сохранением их аффинных и метрических свойств.

Изоморфное отображение евклидова пространства на себя мы будем называть автоморфизмом или движением в евклидовом пространстве. Всякий изоморфизм, в частности, автоморфизм переводит ортонормированный репер, очевидно, снова в ортонормированный репер, причем соответствующие точки будут иметь в этих реперах одинаковые координаты (§ 51).

Обратно, зададимся произвольными ортонормироваиными реперами 貝° и 2ft* или в разных евклидовых пространствах (но тогда обязательно одинакового числа измерений л и, в вещественном случае, одинакового индекса 左)，или в одном и том же евклидовом пространстве, и каждую точку М (вектор х) с координатами л/ относительно репера 猊° отобразим в точку (вектор х*) с теми же координатами х1 относительно репера 説^. Тривиальная проверка показывает, что при этом сохраняются аффинные свойства, и мы имеем, таким образом, аффинный изоморфизм; кроме того, сохраняется и скалярное произведение, так как в ортонормированном репере данного индекса 左 оно всегда одинаково выражается через координаты векторов ху = — х1^1—.. ,—xkyk + + 1 + •.. + xnyn;

координаты же векторов х, у остаются в результате нашего преобразования неизменными, если их оценивать в преобразованном репере.

В частности, движения в данном евклидовом пространстве, согласно сказанному, однозначно определяются произвольным выбором ортонормированных реперов 沁 и 此 и требованием, чтобы репер 此 переходил в репер 91*. Мы видим( что ортонормированные реперы в евклидовом пространстве рассматриваются нами не случайно: они играют такую же роль, как аффинные реперы в аффинном пространстве. А именно, в обоих случаях каждой паре реперов отвечает один и только один автоморфизм пространства, переводящий первый репер во второй; и каждый репер любым автоморфизмом переводится снова в некоторый репер; это и есть то основное, что заключено в идее репера (см. § 51).

Совершенно аналогично § 51 мы можем истолковать одинаковое расположение ортонормированных реперов 犷* относительно Di и 汴^ относительно ^(0 как возможность перевести пару реперов 310,呢 в пару реперов Di, 济* некоторым движением евклидова пространства, т. е. снова получаем схему (51.8) — (51.9). Дословно повторяются и последующие рассуждения, так что для движений и ква・ зидвижений в многообразии ортонормированных реперов справедливо все сказанное относительно аффинных и квазиаффинных преобразований в многообразии аффинных реперов. В частности, идея однородности евклидова пространства находит себе точное выражение в существовании группы движений.

Классификация движений ортонормированных реперов, т. е. переходов 3t0 —> 9i* (§§ 49, 50), полностью переносится и на вызываемые этими переходами движения всего евклидова пространства:

собственные движения и несобственные движения,

Det|&,| = ±l, (52.4) в случае комплексных евклидовых или собственно евклидовых пространств;

собственные движения и несобственные движения 1 -го, 2-го, 3-го рода:

Det 1 %Det |41° 2°3。 4=*+ 十十Det 1 %Det |41° 2°3。 4=*+ 十十(52.5)(52.5)

Det 1 %

Det |4

1° 2°

3。 4=*

+ 十

十

Det 1 %

Det |4

1° 2°

3。 4=*

+ 十

十

(52.5)

(52.5)

в случае псевдоевклидовых пространств.

Правда, может возникнуть следующее сомнение. Одно и то же движение в евклидовом пространстве можно задать как парой реперов 况。一►睨工 так и парой реперов St —* St*, где репер 朮 выбран произвольно, а 91* ему соответствует в результате движения. Нужно показать, что при данном движении переход от 沁 к 况；н от 朮 к St* будет принадлежать всегда к одному и тому же типу, который тем самым естественно принять и за тип движения.

Если мы непрерывно меняем репер 睨,причем, конечно, непрерывно меняется и соответствующий репер St*, то тип перехода 貌 f Di* не может измениться, так как определители (52.4), (52.5), не принимая нулевых значений, не могут менять и знаков. Но непрерывным изменением репера 5R мы можем получить, как нам известно, любой репер того же класса. (Мн имеем в виду, что все реперы в комплексном евклидовом и собственно евклидовом пространстве распадаются на два класса, а в псевдоевклидовом пространстве ——на четыре класса; см. §§ 49, 50.) Таким образом, тип перехода fR —* 9i* будет одним и тем же, если реперы 91 берутся из одного класса.

Но это же самое будет верным и при любом выборе репера》t. В самом деле, заменим и в репере 9i, и в репере 況* вектор ех на —ег. Полученные в результате реперы 況,St*, очевидно, по-прежнему соответствуют друг другу при том же движении:受 f 祖*, причем тип перехода останется прежним. Действительно, в силу замены ех —► f ——en е^—* ——е】'в матрицах |[ А^ ||, || Л^ || умножаются на ——1 первая строка и первый столбец, т. е. соответствующие определители не изменятся; матрица же || Л^ || вообще не изменится.

Итак, тип перехода 5i —* 3i* останется без изменения, хотя репер 曳 принадлежит к другому классу, чем репер 2t. В случае комплексного евклидова и собственно евклидова пространств вопрос этим исчерпывается ввиду наличия лишь двух классов реперов. В случае псевдоевклидова пространства имеется четыре класса реперов, и нужно провести совершенно аналогичное рассуждение, во-первых, с заменой еп на ——еп и, во-вторых, с заменой еп на ——еп и ех на ——ех одновременно. В результате мы убеждаемся, что данное движение в евклидовом пространстве, примененное к любому реперу, дает переход всегда одного и того же типа. Поэтому тип этого перехода законно принять за тип самого движения.

§ 53*. Вложение вещественных евклидовых пространств в комплексное евклидово пространство

Далеко идущая аналогия в свойствах комплексного и вещественного пространств, ранее аффинных, а теперь евклидовых, не должна, однако, вводить нас в заблуждение. Комплексное л-мерное аффинное пространство (мы начнем с него) обладает весьма своеобразной

геометрией. Начать с того, что по существу это пространство обладает не л, а 2л измерениями. В самом деле, каждая из л комплексных координат х尸,определяющих положение точки, как и всякое комплексное число, может быть записана в виде

а следовательно, положение точки определяется 2л независимыми вещественными параметрами, и фактически мы имеем 2л-мерное пространство. Может показаться, что комплексное л-мерное аффинное пространство просто эквивалентно 2л-мерному вещественному аффинному пространству, но это тоже было бы неверно.

Так, например, /n-мерные плоскости в комплексном аффинном пространстве будут действительно 2/п-мерными плоскостями в вещественном 2л-мерном пространстве с координатами а\ §\ но, однако, отнюдь не любыми такими плоскостями. В частности, прямые линии в комплексном пространстве (/»— 1) будут по существу двумерными плоскостями в вещественном 2л-мерном пространстве, но также не произвольными, а принадлежащими к некоторому определенному классу.

Аффинные преобразования в комплексном л-мерном аффинном пространстве зависят от л2 Н- л комплексных параметров, т. е. от 2 (л2 -|- л) вещественных параметров.

Между тем аффинные преобразования в соответствующем 2л-мерном вещественном аффинном пространстве зависят от

(2л)2 + 2п = 4п2+2п

вещественных параметров и образуют более обширную группу.

Все это показывает, что формальное сходство между комплексным и вещественным аффинными пространствами не затрагивает самую геометрическую основу этих пространств. Это сказалось, между прочим, в § 37 при рассмотрении объемов в аффинном пространстве, где мы сознательно ограничились вещественным случаем. Если бы захотели рассматривать объемы в комплексном пространстве, то нам не удалось бы удержаться в рамках формальной аналогии с вещественным пространством н пришлось бы прямо трактовать л-мерное комплексное пространство как 2л-мерное вещественное.

Все, что было сказано, остается справедливым и при переходе к евклидовым пространствам. Особенно следует подчеркнуть, что пара точек в вещественном евклидовом пространстве обладает одним вещественным инвариантом (расстоянием), в то время как в комплексном евклидовом пространстве таких инвариантов два, так как комплексное расстояние равносильно двум вещественным инвариантам. С этим связано и то, что группа движений в л-мерном комплексном евклидовом пространстве зависит от существенно меньшего числа

параметров, чем в 2л-мерном вещественном евклидовом пространстве (в первом случае - ~' комплексных, а значит, //(//+1) вещественных параметров, во втором случае ?〃(?彳七» = п &п + 1) вещественных параметров).

Мы хотим теперь показать, что л-мерное вещественное евклидово пространство всегда можно «вложить» в л-мерное комплексное евклидово пространство, т. е. рассматривать как подпространство последнего.

Покажем это сначала для собственно евклидова пространства. Выберем какой-либо ортонормированный репер 猊{О, е15 . . ., еп} в комплексном евклидовом пространстве и рассмотрим совокупность всех точек. М 〃 векторов х этого пространства, координаты которых х1 имеют вещественные значения. Мы утверждаем, что эта совокупность точек и векторов образует л-мерное собственно евклидово пространство. В самом деле, прежде всего мы получаем таким образом л-мерное вещественное аффинное пространство, так как все соответствующие аксиомы будут у нас соблюдаться. Так, например, вектор ДВ, «соединяющий» точки /,8 с вещественными координатами, сам имеет вещественные координаты; откладывание вектора х с вещественными координатами от точки А с вещественными координатами приводит нас в точку В тоже с вещественными координатами; умножение вектора х с вещественными координатами на вещественное число а дает нам вектор ах, снова обладающий этим свойством, и т. д. Размерность полученного вещественного аффинного пространства будет равна л, так как л линейно независимых векторов е1( е2,.…，е^ существует, а любой вектор х с вещественными координатами тем самым разлагается по ним с вещественными коэффициентами. Но, кроме того, в полученном пространстве имеется и метрика (заимствованная из вмещающего комплексного евклидова пространства)

x2 = %尸 + 炉2 + .…+ xn\

Так как мы ограничиваемся векторами х с вещественными координатами х1, х2, . . ., хп, то это есть метрика собственно евклидова пространства.

Следует обратить внимание на то, что выделенное таким образом в л-мерном комплексном евклидовом пространстве л-мерное собственно евклидово пространство 凡е образует s нем плоскости, по крайней мере, в том смысле, как мы употребляем этот термин. В самом деле, плоскость строится у нас на основе каких-то w < л линейно независимых направляющих векторов, из которых составляются всевозможные линейные комбинации с комплексными коэффициентами (поскольку пространство комплексное); полученные векторы

откладываются от фиксированной точки О*. Мы же вместо этого взяли все л ортов е】,...,е〃, но, составляя их линейные комбинации, искусственно ограничились лишь вещественными коэффициентами.

Почти столь же просто можно выделить в л-мерном комплексном евклидовом пространстве и псевдоевклидово пространство, тоже л-мерное и обладающее любым индексом 在=0, 1, . . ., л. Для этого достаточно взять за основу вместо какого-нибудь ортонормирован- ного репера At {О, ег> е“} репер

玩{°,沁],• • • > »е 丸，e 丸七工，(53.1)

т. е. помножить первые 在 векторов на I (это вполне возможно, так как мы находимся в комплексном пространстве). Нетрудно заметить, что тем самым эти векторы из единичных превратятся в мнимоединичные.

Рассмотрим теперь совокупность точек и векторов, имеющих вещественные координаты х1 относительно репера R Совершенно так же, как и ранее, убеждаемся, что мы получили вещественное л-мерное аффинное пространство. Кроме того, это пространство снабжено метрикой

— х12— ... —xk2 + xk^lZ + ... + хп\ (53.2) так как вектор х с вещественными координатами xi относительно репера 無 имеет разложение

х = i%Si + ... + ZxAeA + 尤* + 七 1 + ... +%'%, (53.3)

откуда легко получается (53.2) почленным возведением в скалярный квадрат. Мы действительно выделили псевдоевклидово пространство индекса 瓦

В ряде случаев бывает полезным трактовать этим путем вещественные евклидовы пространства как подпространства комплексного евклидова пространства того же (в комплексном смысле!) числа измерений л. Конечно, такое выделение вещественных евклидовых пространств совершается бесчисленным количеством способов — при любом выборе репера 脏.

§ 54. Измерение объемов в вещественном евклидовом пространстве

Мы выражали объем какой-либо л-мерной области D в л-мерном вещественном аффинном пространстве посредством интеграла

Vq = j dR d%? .. * d£\ (54.1)

D

вычисленного в какой-либо аффинной координатной системе (§ 37). Этот интеграл не имеет, конечно, определенного численного значения и является (знакопостоянным) относительным инвариантом веса ——1, т. е. он преобразуется по закону

VD= VD|Det|4||-\(54.2)

В случае евклидова пространства мы сужаем определение объема, а именно, объемом области D мы называем интеграл Vq, вычисленный в любой ортонормированной координатной системе.

Объем в евклидовом смысле будет уже инвариантом, так как при переходе от одного ортонормироваиного репера к другому всегда

Det〔d：,| = ± 1,

а следовательно, (54.2) дает

ь々=力.(54.3)

Таким образом, теперь объем данной области D имеет вполне определенное численное значение. При этом следует иметь в виду, что задание объема в евклидовом смысле влечет его задание и в аффинном смысле: раз для данной области D известен интеграл VD> вычисленный в ортонормированных координатах, то он будет известен и в любых аффинных координатах — достаточно восполь- зоваться^законом преобразования (54.2),——а это и означает задание объема в аффинном смысле.

Обратно, если в евклидовом пространстве нам задан объем некоторой области D в аффинном смысле, т. е. известен интеграл VDi вычисленный в любых аффинных и, в частности, ортонормированных координатах, то, значит, известен объем и в евклидовом смысле.

В дальнейшем будем заниматься свойствами объемов в евклидовом смысле; будем обозначать эти объемы WD. Объем составной области 0 = 01 + 0?, где DT и D2 ——неперекрывающиеся составляющие области, по элементарному свойству кратного интеграла будет равен сумме объемов этих областей:

畛=%，十呼А-(54.4)

Далее, если D и Q* ——конгруэнтные области, т. е. переводятся одна в другую движением евклидова пространства, то их объемы одинаковы

(54.5)

В самом деле, будем вычислять интеграл (54.1) для областей D и Q*, причем в первом случае берем координаты х1,..・,%" относительно какого-либо ортонормированного репера 9t, а во втором случае—относительно репера 犷，полученного из 況 тем движением,

которое переводит D в £)*. Координаты х1 каждой точки области Q* относительно 況* будут такими же, как координаты соответствующей точки области D относительно 范 так что переменные под знаком интеграла пробегают в обоих случаях одну и ту же область изменения, и интегралы будут равны.

В ортонормированной координатной системе объем WD области D выражается интегралом (54.1). В произвольной же аффинной координатной системе этот интеграл меняет свое значение, а именно, ведет себя как знакопостоянный относительный инвариант веса——1, так что объема (в евклидовом смысле), вообще говоря, не выражает.

Мы хотим все-таки получить выражение объема в произвольных аффинных координатах; в таком случае удобнее всего домножить интеграл (54.1) на (тоже знакопостоянный) инвариант веса 4- 1, так чтобы в результате получился бы уже настоящий инвариант, выражающий евклидов объем WD области D в любой аффинной координатной системе.

Простейшим инвариантом веса 2, связанным с метрикой евклидова пространства, является определитель, составленный из координат метрического тензора

g=Det|g“|.(54.6)

Действительно, согласно (39.17) при переходе из одной аффинной координатной системы в другую

g' = (Det|4，|)2g(54.7)

Очевидно, g и g‘ имеют всегда одинаковые знаки: мы находимся в вещественном евклидовом пространстве, так что (Det | Л^ |)2 > 0. Чтобы получить теперь относительный инвариант веса 1, достаточна взять Jg, причем, чтобы не иметь дела с мнимостями, мы предпочтем взять К| ^ |- Беря обе части (54.7) по модулю и извлекая из них квадратные корни (со знаком 十)，получаем:

M^7=|Det|4，||・MZ.(54.8}

Таким образом, M|g| есть знакопостоянный относительный инвариант веса + 1, и перемножая (54.2) и (54.8) почленно, получаем:

=(54.9}

т. е. произведение ]/ |g|・％ есть инвариант преобразования аффинных координат. Этот инвариант совпадает с №炉

%=ИТГ"о=МТГ|，川…dx". (54.10)

В П. К. Рашевский

±1（』力'±1（』力'Чтобы в этом убедиться, достаточно записать (54.10) в ортонорми- рованной координатной системе; тогда =

±1（』力'

±1（』力'

g= ±1, НL и мы получаем верное равенство

*口=，dx1 ... dxn.

D

Особо следует заняться измерением объемов л-мерных параллелепипедов.

Пусть параллелепипед построен на (линейно независимых) векторах аь . . ., ап. Интеграл (54.1), распространенный по нашему параллелепипеду» в любой аффинной координатной системе выражается формулой (37.13):

厶=|Det[明I，(54.11)

где а^ — координаты вектора ал. Следовательно, согласно (54.10) евклидов объем параллелепипеда выражается формулой

^D^VTFi-IDetl^H.(54.12)

В частности, в ортонормированной координатной системе Я= i 1» и следовательно,

畦=|Det| 砒 ||.

Эта формула при л = 3 хорошо известна из элементарной аналитической геометрии.

Все сказанное относительно вычисления объемов в л-мерном евклидовом пространстве остается справедливым и для его /«-мерных неизотропных плоскостей, поскольку они также несут на себе евклидову метрику. В результате объемы плоских рх-мерных областей также получают определенные численные значения. В связи с этим (в отличие от аффинного пространства) мы можем сравнивать рх-мер- ные объемы областей, расположенных в каких угодно (а не только параллельных) рх-мерных плоскостях. Однако плоскости эти должны быть неизотропными; для изотропных же плоскостей мы не имеем никакого прогресса сравнительно с аффинным случаем.

В § 37 было выяснено, что задание простого отличного от нуля /w-вектора в вещественном аффинном пространстве равносильно заданию /w-мерной плоскости Rm (с точностью до параллельного сдвига) с определенной ориентацией и с определенным объемом, указанными на ней. При этом, если простой /w-вектор имел вид [ах ... а,я], то

речь шла об объеме /^-мерного параллелепипеда, построенного на векторах а1? ..., ат (линейно независимых в силу [ах ... ат]#^0).

Применяя этот результат в нашем вещественном евклидовом пространстве, мы вправе понимать объем параллелепипеда в евклидовом смысле (если плоскость неизотропная), так как задание объема в аффинном смысле равносильно ——при наличии евклидовой метрики ——его заданию в евклидовом смысле,

Мы хотим выяснить теперь, как будет выражаться евклидов объемt отвечающий нашему простому m-сектору [ах ... ат] У= 0, через его координаты а^ —'т и, конечно, через координаты метрического тензора g〃 (в произвольной аффинной координатной системе).

Один из простейших инвариантов, которые можно составить из указанных тензоров, мы будем называть скалярным квадратом /и-вектора и определять путем свертывания следующим образом:

/= 〃! g£国5 • • • a/J…J”. (54.13)

Множитель 加！ добавлен для упрощения окончательного результата. Здесь имеет смысл выделить в качестве леммы следующее предложение. Пусть происходит свертывание тензоров Ь^ .., /й u az* • • • z«( причем тензор а〃 …fm кососимметрический. Тогда

bi, ... inail---im = b[llit,..i^ a“ …&, (54.14)

т. е. результат свертывания не меняется, если тензор 瓦、…& подвергнуть предварительно альтернации и сделать, таким образом, тоже кососимметрическим.

Чтобы проверить равенство (54.14), достаточно обнаружить, что каждая координата а₽»- • •₽» входит в правую и левую части с одинаковыми коэффициентами (после приведения подобных членов). При этом мы рассматриваем лишь координаты а^3^ • •₽»*, при которых все индексы Рз、、гРт различны, так как все прочие координаты равны нулю.

В процессе суммирования в левой части (54.14) каждая координата аР「‘・Рт встретится ml раз, а именно, когда »工,...,fm совпадают с /?1,.… 卩图 или получаются из них произвольной подстановкой; в случае нечетной подстановки ар^- —рт входит с обратным знаком. В результате коэффициент при а^ - *рт будет иметь вид

£±",...，т， (54.15)

где суммирование идет по перестановкам zx ... гт индексов р、…р^、 а знак 土 берется в зависимости от четности или нечетности соответствующей подстановки. Но по определению альтернации (§ 31) сумма (54,15) после деления на 加 дает координату проальтерни-

в*

228

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Л ИЗМЕРЕНИЙ[ГЛ. Ш

рованного

тензора bPl Pm:

""ИJ =^f £±以…品，

так что

2 土仇］…名=向仇内…"优卜（54.16）

Далее мы

подсчитываем коэффициент при ар^ ■■■ р« в правой части

равенства

(54.14), который совершенно аналогично (54.15) оказы-

вается равным

S ± Ьи…》т\・(54.17)

Суммирование снова идет по перестановкам & ... 1т индексов Pi • • • Рт・ При этом в силу косой симметрии тензора Ьцх im]

^IG ■■■ iml == ±^fPi Pmb

где знак 土 зависит от четности или нечетности соответствующей подстановки. Следовательно, все слагаемые под знаком суммы (54.17) равны Рт]) так что

£ 土 ^[G im]—加而["1 …Pm\£ 土 ^[G im]—加而["1 …Pm\(54.18)(54.18)

£ 土 ^[G im]—加而["1 …Pm\

£ 土 ^[G im]—加而["1 …Pm\

(54.18)

(54.18)

Сравнивая равенства (54.16) и (54.18), убеждаемся, что коэффициенты при а% — р«* в правой и левой частях (54.14) равны, и следовательно, лемма доказана.

Используя эту лемму для инварианта (54.13), мы можем, не меняя ничего по существу, произвести предварительно альтернацию по индексам /г/2 ...，加 в произведении координат метрического тензора. Выполним сначала эту альтернацию (с умножением на ml):

Ь1 ，2гт1

^i/i g/…g&

==Si^ im} /S ... Im- (54.19)

Запись результата альтернации в виде определителя, деленного на 矶 получается совершенно аналогично (35.1). Из свойств определителя видно, что полученный тензор будет кососимметрическим ■не только по индексам /г/2 ..・ im, но и по индексам 九丿? /т. Кратким обозначением полученного тензора будет служить

Теперь (54.13) можно переписать в виде

I = gt…• 5 h • • “а"…片办…自.(54.20)

Чтобы установить геометрический смысл этого инварианта, мы рассмотрим аффинный репер, в котором первые т векторов е「. ..，е亦 принадлежат /n-мерной плоскости R^ нашего /w-вектора [а】 ... ат].

В этом репере векторы а° . .., ат полностью разлагаются по elt …，％，а потому их координаты с индексами

i=1,2,

равны нулю. Согласно (35,1) равны нулю будут и все координаты простого /n-вектора а/1(2 • • • zm, среди индексов которых встречается хоть один, больший чем т.

В результате в процессе свертывания (54.20) можно считать, что все индексы пробегают значения лишь 1, 2, …，т. Теперь нужно учесть, что а厶…'小——кососимметрический тензор, а потому при наличии двух одинаковых индексов его координаты обращаются в нуль. В сумме следует сохранить поэтому лишь те слагаемые, где все индексы & . , . im (и аналогично j、• • •丿加)различны между собой, т. е. получены из 1, 2, . . ., т некоторыми подстановками,

В частности, в сумму (54.20) войдет слагаемое

gl2・・・m; 12 ….mai2-.mal2.-m,(54.21)

для которого ii?2 • • • ^т = ^2 .../пн 厶/^ • • • /т = 12 ... /п, а все остальные слагаемые будут получаться из этого всевозможными подстановками индексов & im и индексов j、jm. Всего, таким образом, в сумме будет (〃！户 слагаемых. Но в силу кососимметричности тензоров а厶 …и gt….曜、厶 …Л» относительноim

произведение этих тензоров не меняется при любой подстановке индексов ц . , . im (так как или оба множителя не меняются или оба меняют знак). То же справедливо и для индексов j、. * .加 Поэтому в сумме (54.20) все слагаемые равны между собой и совпадают с (54.21), а так как их число равно (/»!)2, то окончательно

/= gl2 一 • m；T2 …m (m I 办2 …m)2.(54.22)

Согласно (35.1)

mlan* ・・m = Det|aM (Z, 4=1, 2, •…，m).(54.23)

В правой части мы получаем определитель, составленный из координат векторов aL, . . ., am относительно репера {О, elt .. ., em} в нашей /n-мерной плоскости Rm,

Далее, согласно (54.19)

gll gl2 • • • glm ^12 m; 12 . . .m == g, (54.24)

где g, таким образом,— определитель метрического тензора плоскости Rm.

Теперь (54.22) принимает вид

/=i.(Det|4|)2.(54.25)

Теперь мы можем установить геометрический смысл инварианта /, который определен для какого-либо простого m-вектора [а】...ат] с координатами d#…• ％ при помощи формул (54.13), или, что то 宛е, (54.20).

Если /#0, т。，как видно из (54.25), g=/=0 и, следовательно, плоскость Rm данного простого m-вектора неизотропная и

\l\=wl,(54.26)

где Wd——евклидов объем т~мерного параллелепипеда, построенного на векторах ап ...,

В самом деле, применяя к m-мерному параллелепипеду на плоскости Rm формулу (54.12), получаем:

^d — V^|g I I Det I 砥 U (i, & = 1, 2, .. ., /w).(54.27)

Сравнивая эту формулу с (54.25), мы приходим к (54.26).

Если /=0, то из (54.25) следует, что g=0, а следовательно, плоскость Rm данного простого m-вектора изотропная (Det | а^ | =^ 0» так как а1т .. ., ат линейно независимы).

Окончательно, объем /«-мерного параллелепипеда, построенного на векторах а17 ..., ат (в неизотропной Rm), выражается через соответствующий m-вектор [а】 ...а^] следующим образом:

WD =/卩1， т. е.

%=W &…./；小.• //‘…'…g =

= /m"gfM …^m/mat| * * *CmaK '' ' /m|. (54,28)

Добавим сюда еще одну формулу для объема m-мерного параллелепипеда. А именно, если за векторы е17 ..., ет принять, в частности, просто а17 . .., ат, то

區={ 1(』炉Det1明=1,

и (54.25) принимает вид

/=g=Detjgf/ (Л /=1, 2, . . ., т).

Но, как мы знаем,

g〃・ = ех-ву,

в нашем случае, следовательно,

Sij = а*а/ (Л /=1, 2, .. ., /л),

и мы получаем:

/=Det|a；ay-| (/, /= I, 2, .. ., т).(54.29)

Отсюда

WD = ]/叵帀^Д,(54.30)

т. е. объем /«-мерного параллелепипеда, построенного на векторах а1} . .., ат, равен корню квадратному из модуля определителя, составленного из попарных скалярных произведений векторов а1}... ...,а^. Эта формула при /л = 2, 3 известна из обычной векторной алгебры.

§ 55*. Понятие о геометрическом объекте

Мы занимались до сих пор n-мерными пространствами двух видов: аффинным и евклидовым. В аффинном пространстве мы ввели аффинные реперы 沢{О, е1} …，ej, в многообразии которых установили две однотранзитивные группы взаимно однозначных преобразований: аффинных и квазиаффинных преобразований. При аффинном преобразовании реперы просто увлекаются данным автоморфизмом аффинного пространства; при квазиаффинном преобразовании каждый репер 8t переходит в новый репер 况‘,расположенный относительно него вполне определенным образом, одинаковым при любом выборе исходного репера.

Последнее означает, что векторы репера Э1‘ и сдвиг его начала разлагаются по векторам репера 況 с фиксированными численными значениями коэффициентов 4%, А:

%, = 4е, ОО* — 4&・ (55.1)

С понятием квазиаффинного преобразования в многообразии реперов тесно связано понятие тензора, хотя до сих пор это и не было показано у нас явно. Действительно, координаты тензора, например, Vjk имеют определенные численные значения при определенном вы-

232 ЕВКЛИДОВО ПРССТРАНСТВО 7Z ИЗМЕРЕНИЙ [гл. III боре репера 猊，т. е. являются, можно сказать, функциями репера 脏：

吟产咻(沁. (55.2)

Однако выбор этих функций далеко не является произвольным: когда мы подвергаем реперы lit данному квазиаффинному преобразованию (55.1), координаты тензора подвергаются тоже вполне определенному преобразованию:

叫"，=黑%服咻. (55.3)

Мы можем рассматривать при этом не один какой-либо тензор 吟卜， а всевозможные тензоры данного строения; тогда численные значения У；丸,отвечающие данному тензору, могут быть какими угодно. В результате вслед за каждым квазиаффинным преобразованием (55.1) в многообразии реперов мы получаем линейное преобразование (55.3) над переменными V% или, если угодно, линейное преобразование в п^-мерном пространстве переменных 吟丸)・

При этом, как мы проверяли в свое время (§ 32), наложению двух преобразований (55.1) отвечает наложение соответствующих преобразований (55.3).

Пусть каждому элементу некоторой группы G однозначно сопоставлено взаимно однозначное преобразование данного множества Ш{ в себя, причем перемножению элементов группы отвечает наложение соответствующих преобразований в том же порядке (а тогда единице группы отвечает тождественное преобразование и обратному элементу—обратное преобразование). В этом случае мы говорим, что нам дано представление группы G в виде группы преобразований множества SDI в себя. (При этом мн, вообще говоря, не требуем, чтобы соответствие между элементами G и преобразованиями в 2Ё было взаимно однозначным.)

В нашем случае мы имеем линейное представление квазиаффин- ной группы, именно, представление s виде группы линейных преобразований (55.3) в п3-мерном пространстве переменных 匕忘 это пространство играет роль множества BL

Нетрудно заметить, что задание этого линейного представления квазиаффинной группы и есть самое существенное в понятии тензора. В самом деле, если линейное представление (55.3) задано, то каждый отдельный тензор данного типа (в нашем примере один раз контравариантный и два раза ковариантный) можно получить следующим образом: какому-нибудь реперу 猊 сопоставляем произвольно выбранную точку (У^) в пространстве представления, а затем любому другому реперу 脏'сопоставляем точку (丿；，片，),пользуясь законом преобразования (55.3). Более подробно: берем квазиаффинное преобразование в многообразии реперов, переводящее 脏 в ЛУ; ему отвечает определенное линейное преобразование (55.3) в пространстве представления; это преобразование переводит точку (У_^) в некоторую точку (理牛‘)，которую мы и ставим в соответствие реперу 貌‘：

吟%，П吟i (猊‘)•

По существу мы повторили лишь в иных терминах построение тензора по наперед заданным его координатам в какой-нибудь одной координатной системе (§ 32). Но теперь перед нами открывается путь к естественному обобщению понятия тензора. В самом деле, почему линейное представление квазиаффинной группы должно иметь вид обязательно тензорного закона преобразования, как, например, (55.3)? Можно предположить, что существуют и другие линейные представления квазиаффинной группы, которые можно положить в основу определения величин, аналогичных тензорам, но с иным законом преобразования.

Пусть 8 N-мерном пространстве некоторых переменных

Ф1» 屮2，• • • ? Фл

нам задано линейное представление квазиаффинной группы. Это значит, что каждому квазиаффинному преобразованию (55.1) однозначно сопоставлено линейное преобразование переменных ср? (р = 1 j 2,N):

N

ФР- = 2 В 当 Qp + Bp，, Det \BP,\=^ 0, (55.4) так, что результирующему преобразованию двух квазиаффинных преобразований всегда сопоставлено результирующее преобразование соответствующих линейных преобразований.

Коэффициенты 8$、 Вр. являются, конечно, функциями от коэффициентов А}, А1 квазиаффинного преобразования. Эти функции мы 6д@ем предполагать непрерывными. Заметим, между прочим (это можно было бы доказать), что тогда эти функции (по крайней мере в вещественном случае) являются обязательно непрерывно

дифференцируемыми и даже аналитическими ). Нам, впрочем, это не понадобится.

Сопоставим теперь какому-нибудь реперу 沐 произвольную точку 屮尸 в пространстве переменных ^р, Любому другому реперу JR' сопоставим точку q)p,, полученную из ^р тем линейным преобразованием (55.4), которое отвечает квазиаффинному преобразованию 脏—3V (т. е. переводящему Э1 в 猊').

В таком случае каждому реперу 況' будет сопоставлена точка q)p, = ср尸(況')，

причем при переходе от любого репера 況'к любому реперу 呪" будет действовать закон преобразования (55.4):

屮£ 8齐屮р，+ 8р，，，(55.5)

где коэффициенты 绯二，Вр, отвечают квазиаффинному преобразованию 沢'-Di".

Чтобы проверить равенство (55.5), рассмотрим его правую часть. Она представляет собой результат последовательного выполнения над 屮尸 линейных преобразований (55.4) и (55.5), отвечающих ква- зиаффинным преобразованиям 9i —* ЗГ и 況'—3(". Результирующее линейное преобразование над 屮尸 отвечает, следовательно, результирующему квазиаффинному преобразованию

ае -沢"

и, следовательно, согласно нашему построению дает 屮戶(呪")=中

Этим (55.5) доказано.

Мы будем говорить, что нам дан линейный геометрический объект в п-мерном аффинном пространстве, если каждому реперу At сопоставлены ^ занумерованных чисел (р1( (р2,...,屮“， которые при переходе от репера St к реперу 9V подвергаются линейному преобразованию (55.4), отвечающему в данном линейном представлении квазиаффинному преобразованию Э{ ―► SV- Числа (р1( . . ., q)jV мы будем называть координатами линейного геометрического объекта относительно данного репера.

Таким образом, для определения линейного геометрического объекта в аффинном пространстве нужно задаться прежде всего соответствующим законом преобразования (55.4), т. е. некоторым линейным представлением квазиаффинной группы. Мы будем говорить, что это линейное представление определяет тип линейного

геометрического объекта. Затем любой линейный геометрический объект данного типа можно получить, задавшись произвольно его координатами ^р для одного какого-нибудь репера 況.

Очевидно, тензоры являются частным случаем линейных геометрических объектов.

Можно рассматривать и нелинейные геометрические объекты, т. е. такие, для которых закон преобразования координат ^р является нелинейным и выражает некоторое нелинейное представление квазиаффинной группы в пространстве переменных 屮工，...,屮尸 В остальном понятие геометрического объекта в общем (нелинейном) случае строится аналогичным образом. Мн будем во всем дальнейшем заниматься лишь линейными геометрическими объектами, которые при современном состоянии теории геометрических объектов играют преобладающую роль.

В предыдущем изложении мы кое-где пользовались термином «геометрический объект» в наглядном смысле — в смысле какого-то геометрического образа или конструкции. Теперь мы будем употреблять этот термин лишь в указанном точном смысле. Однако не нужно считать, что мы существенно изменили содержание понятия «геометрический объект»; мы его лишь уточнили. Действительно, основные геометрические образы и конструкции будут характеризоваться геометрическими объектами в том смысле, как мы теперь этот термин понимаем. Возьмем, например, такой основной геометрический образ, как точка. Когда мы переходим от репера SR к реперу 兆 квазиаффинным преобразованием (55.1), координаты л/ каждой фиксированной точки М подвергаются, как мы знаем, преобразованию

№ = 4'%' +4', (55.6)

где %' — матрица, обратная /%, а М = — А^А1 (см. (51.2)).

Можно считать, что формула преобразования координат (55.6) есть частный случай (55.4) (линейного представления квазиаффинной группы), а координаты точки %’ являются примером линейного геометрического объекта 屮尸.

Роль коэффициентов 8分，％ играют Xf, А', которые действительно, как только что было у нас отмечено, являются функциями /%, X. Таким образом, точка находит себе выражение в виде линейного геометрического объекта, координаты которого совпадают с ее координатами, а закон преобразования имеет вид формулы преобразования координат (55.6).

Аналогичным образом коэффициенты уравнения данной гиперплоскости (или гиперповерхности 2-го порядка) образуют линейный геометрический объект, который, так сказать, является представителем соответствующего геометрического образа.

§ 56*. Лилейные геометрические объекты в аффинном и евклидовом пространстве

Теперь естественно поставить вопрос о том, какого же вида линейные геометрические объекты возможны в аффинном пространстве. Прежде всего мы сузим постановку вопроса, а именно, ограничимся лишь теми объектами 屮卩(汉)，которые реагируют только на изменение векторов е； репера Of, но не реагируют на сдвиг его начала. Другими словами, мы предположим, что коэффициенты преобразования (55.4) зависят только от А^, но не зависят от А, так что квазиаффинное преобразование, сводящееся к параллельному сдвигу репера, порождает тождественное линейное преобразование (55.4) и координаты объекта не меняются.

Наибольшую роль играют аффинные геометрические объекты именно этого упрощенного вида (заметим, однако, что точки уже не входят в их число).

В частности, они появляются при переходе из аффинного пространства в более простое центроаффинное пространство. Так называется аффинное пространство с раз навсегда фиксированной в нем точкой О——центром пространства. Группа автоморфизмов центроаффинного пространства состоит, очевидно, из аффинных преобразований, сохраняющих точку О неподвижной (центроаффинные преобразования). В качестве реперов центроаффинного пространства можно принять всевозможные аффинные реперы с общим началом в центре О. Действительно, каждый репер с началом в О переводится центроаффинным преобразованием снова в репер с началом О и каждой паре таких реперов отвечает одно и только одно центроаффинное преобразование, переводящее первый репер во второй.

Квазицентроаффинное преобразование сводится к линейному преобразованию векторов каждого репера

ег = Д^ег (56.1)

при постоянном начале О. Линейный геометрический объект в центроаффинном пространстве определяется совершенно так же, как и в аффинном, с той только разницей, что теперь коэффициенты 6%, 8р в законе преобразования (55.4) должны зависеть от коэффициентов квазицентроаффинного преобразования, т. е. только от %；， (ввиду отсутствия 4’ в формуле квазицентроаффинного преобразования (55.1)). В результате мы приходим снова к линейным геометрическим объектам упрощенного вида, где в закон преобразования (55.4) входят только 4%. Такие линейные геометрические объекты мы будем называть центроаффинными.

Итак., центроаффинные линейные геометрические объекты появляются в двух случаях: или мы имеем дело s аффинном пространстве с таким объектом, координаты которого не меняются при параллельном сдвиге репера (например, координаты вектора), или мы имеем дело с объектом s центроаффинном пространстве, где выделена точка О, играющая особую роль, так что естественно ограничиться реперами с началом s этой точке.

Последний случай встречается при дифференциально-геометрическом исследовании сложной конструкции в бесконечно малой окрестности любой ее точки; тогда эту точку естественно принимать за центр пространства.

Итак, в дальнейшем мы ограничимся центроаффинными линейными геометрическими объектами (для краткости мы будем называть их просто центроаффинными объектами), причем будем предполагать, кроме того, что закон преобразования (55.4) является линейным однородным:

N

Фр- = 2 Вр-^р'(56.2)

Р=1

где 绯，суть функции

Здесь на основании теории линейных представлений групп Ли можно утверждать следующее (приводим без доказательства).

Пока мы рассматриваем унимодулярные преобразования (56.1), т. е. пока Detl^% |=1, соответствующий закон преобразования (56.2) является s вещественном случае по существу тензорным; точнее, величины ф15 ...,屮火 за счет линейного преобразования с постоянными коэффициентами могут быть сведены к совокупности координат одного или нескольких тензоров.

Аналогично обстоит дело s комплексном случае^ только здесь кроме тензоров приходится рассматривать и псевдотензоры: так мы будем называть объекты, сходные с тензорами и отличающиеся от них лишь тем, что в законе преобразования (например, (55.3)) множители Л все или частично заменяются комплексно сопряженными им величинами.

Если же брать всевозможные линейные преобразования (56.1) (Det IЛ^, I ^： 0), то здесь, кроме тензоров, могут встретиться и другие центроаффинные объекты, прежде всего относительные тензоры. Так мы будем называть величины, например,丿九，для которых тензорный закон преобразования осложнен умножением на некоторую степень модуля определителя

U%, = 4：'照確，％% I Det I 怨,11 s.(56.3)

Показатель s мы будем называть весом относительного тензора. В вещественном случае з может принимать любые вещественные

значения, в комплексном — любые комплексные; мы считаем при этом, что

|Det|A% I「= е$1пд"纯川，

где значение логарифма берется вещественное. Конечно, при s = 0 относительный тензор превращается в обыкновенный тензор.

Закон преобразования относительного тензора (56.3) можно еще усложнить: в вещественном случае — домножением на —1, когда Det IА^ I является отрицательным, с сохранением прежней формулы, когда Det | Л^ | положителен; в комплексном случае — умножением на 个叫 где т—любое целое число, а 戸 определяется из разложения

Det|/%| = ea，・|Det|/%||,(56.4)

т. е. является тем комплексным числом модуля 1, на которое нужно умножить модуль Det | /% | , чтобы получить сам Det | /% |.

Формула (56.3) заменяется соответственно формулами:

v^ = sign Det I 硬 Hf Ai,Ai，Vjjh | Det | A多 11=

= ±4'4〃£Mh・|Det|^||s (Det I缗隹0)(56.5)

в вещественном случае и

Wh = е^А1；А^吗h • I Det I 缎 11 s(56.6)

в комплексном случае.

Мб будем говорить, что весцественный относительный тензор с законом преобразования (56.3) имеет вес s и показатель 0, а с законом преобразования (56.5)—вес s и показатель 1, а комплексный относительный тензор с законом преобразования (56.6) имеет вес s и показатель е

При т—0 получаем как частный случай (56.3). Формулу (56.5) также можно считать частным случаем (56.6) при /и = 1, с той только разницей, что в (56,5) мы ограничиваемся вещественными величинами, так что еа/ — ± 1.

Далее, в комплексном случае возможны «псевдотензоры», в том числе и относительные, с законом преобразования (56.6), в котором коэффициенты Л все или частично заменены комплексно сопряженными им величинами. Возможны центроаффинные линейные объекты и более сложного типа, не играющие, впрочем, в геометрии заметной роли. На них мы останавливаться не будем. Существенно, что все возможные усложнения в законе преобразования (не считая перехода к псевдотензорам) связаны здесь с наличием Det | /§, | 声 1 н исчезают в случае Det | А^ | = 1.

Существенно иная картина наблюдается в евклидовом пространстве, к которому мы сейчас и переходим. В евклидовом пространстве понятие линейного геометрического объекта вводится совершенно аналогично тому, как мы делали это в аффинном пространстве. При этом вместо квазиаффинной группы в многообразии аффинных реперов мы исходим из группы квазидвижений 8 много- обоазии ортонормированных реперов и задаемся каким-либо ее линейным представлением в пространстве переменных %,...,屮从 А именно, каждому квазидвижению в многообразии ортонормированных реперов) мы сопоставляем линейное преобразование переменных

中Р, = £ 然呼Р + %， (56.7)

с таким расчетом, что наложению квазидвижений отвечает наложение соответствующих линейных преобразований (56.7). Коэффициенты 3务，％, должны по-прежнему непрерывно зависеть от коэффициентов 黴 А1 квазидвижения

£尸=力注厶 ОО'== 4&, (56.8) где теперь, конечно, матрица 叫 либо ортогональная комплексная, либо ортогональная вещественная, либо псевдоортогональная, в зави^ симости от того, в каком евклидовом пространстве мы находимся: в комплексном евклидовом, собственно евклидовом или псевдоевкли- довом.

Задание линейного геометрического объекта в евклидовом пространстве означает сопоставление каждому ортонормированному реперу Э{ чисел фг (fR), ...,屮#(沐)，которые при переходе к другому ортонормированному реперу 9Г подвергаются линейному преобразованию (56.7), отвечающему квазидвижению fR —► Ж\

Аналогично аффинному случаю и по тем же причинам мы ограничимся частным случаем линейного геометрического объекта, когда закон преобразования (56.7) не зависит от /V, т. е. координаты объекта не меняются при параллельном сдвиге репера. Такого частного вида объекты могут быть истолкованы как объекты в центроевклидовом пространстве, т. е. евклидовом пространстве с фиксированной точкой О ——центром пространства. В самом деле, в центроевклидовом пространстве группа движений сводится к группе вращений около центра О, а в качестве реперов достаточно брать ортонормированные реперы с началом в центре О. Соответственно, вместо группы квазидвижений в многообразии ортонормированных реперов мы можем ограничиться ее подгруппой—группой квазивращений. Квазивращениями мы будем называть квазидвижения, при которых начало каждого репера остается неподвижным (А1 = 0),

так что (56.8) принимает вид

е 尸=幺沁厶 ОО'-О. (56.9)

Линейные геометрические объекты в центроевклидовом пространстве мы будем кратко называть центроевклидовыми. Их мы определяем, исходя из закона преобразования (56.7), где, однако, (56.7) есть линейное представление группы квазивращений (56.9), а не всей группы квазидвижений. Это значит, что коэффициенты в (56.7) зависят только от 幺%, но не от W, так что центроевклидовы объекты совпадают с этим частным случаем линейных геометрических объектов 8 евклидовом пространстве.

Кроме того, мы будем предполагать 8P, = 0* В результате центроевклидов объект задается следующим образом: каждому ортонор- мированному реперу Dt сопоставлены N чисел 屮】(淑)，...,屮％(市)， причем мы ограничиваемся реперами Dt с фиксированным началом О； зти числа при переходе от одного репера 混 /с другому 淑‘ испытывают линейное преобразование

N

屮Р = £ 8乡中р， (56.10)

отвечающее квазивращению »{ —► Й* в некотором линейном представлении группы квазивращений.

В качестве центроевклидовых объектов могут служить прежде всего тензоры, а в комплексном случае—и псевдотензоры, рассматриваемые в ортонормированных реперах. Что же касается относительных тензоров, то мы не сможем их сконструировать ввиду того, что при ортогональном (псевдоортотональном) преобразовании Det I И^ I = + 1 и какую-либо степень модуля этого определителя бесполезно употреблять в качестве дополнительного множителя в тензорном законе преобразования. Единственное, что можно здесь сделать — это условиться о появлении дополнительного множителя Sign Det I А]. I , причем в псевдоевклидовом случае можно брать и другие множители: sign Det | Л^ | или sign Det | Лv | (обозначения § 50).

Зато чрезвычайно важно, что центроевклидовы объекты не исчерпываются тензорами. Существует более широкий класс центроевклидовых объектов — так называемые спиноры и спинтензоры^ играющие существенную роль в современной физике. Правда, при этом приходится несколько расширить понятие о центроевклидовом объекте, допуская его «двузначность» (см. ниже).

В последующих параграфах мы дадим изложение основ теории спиноров в четырехмерном евклидовом пространстве. Мы ограничимся случаем л = 4 по двум причинам. Во-первых, именно этот

случай играет роль в физике; во-вторых, он допускает элементарное изложение, в то время как для общего случая потребовалось бы развивать довольно обширную теорию *). Для сокращения изложения мы будем вынуждены отказаться от наводящих соображений и прямо показать, как строятся спиноры и спинтензоры.

§ 57*. Спинорное пространство

Мы построим теорию спиноров сначала в комплексном четырехмерном евклидовом пространстве R：. Пусть {д, е17 е2, е3, е4} обозначает ортонормированный репер 况 в R：, а х1, х2, х3, х4—— координаты вектора относительно этого репера.

Ортонормированные координатные системы в R： характеризуются тем, что скалярный квадрат вектора х имеет вид

х2 = № +%2? +%з& _|_ 尤 4：

К пространству R： мы вернемся в § 58, а на протяжении этого параграфа мы будем вести подготовительные построения в четырехмерном комплексном аффинном пространстве 4：, рассматриваемом параллельно с R：. Прежде всего в пространстве 4： мы зададим раз навсегда начало О и пару двумерных плоскостей Л2, Л2, проходящих через О и не имеющих общих направлений.

Аффинный репер в 4： мы условимся выбирать всегда так, чтобы начало его лежало в О, первые два вектора е1т е2 принадлежали плоскости Л2, а последние два, которые мы будем обозначать , — плоскости Л2,

Таким образом, из одного репера 沢{е】,е2, е；, е^} любой другой будет получаться преобразованием

е】‘ =а】,е〔 +产]“е?，е? = а 1 в ? + а§е?,

(57.1)

%，= a2,ej + а2/е2, е? = ”е； + а^е.,

так как еР1 е2 остаются в плоскости Л2, а е,, е@ — в плоскости Л2.

Мн условимся (до конца главы), что греческие индексы будут пробегать у нас значения 1, 2. Тогда (57.1) можно записать кратко:

以,=以心储以,=以心储(57.2)(57.2)

以,=以心储

以,=以心储

(57.2)

(57.2)

Однако мы наложим еще ограничение на выбор допустимых реперов: все они должны получаться друг из друга при помощи уникоду- лярных преобразований как над е】,е2, так и над е；, е^. Унимоду- лярными мы называем линейные преобразования с определителем 1, так что в нашем случае:

■ 1 I а：-叫Det&，l=a；,吗=1，■ 1 I а：-叫Det&，l=a；,吗=1，De"嗓尸(57.3)De"嗓尸(57.3)

■ 1 I а：-叫

Det&，l=a；,吗=1，

■ 1 I а：-叫

Det&，l=a；,吗=1，

De"嗓尸(57.3)

De"嗓尸(57.3)

Так как унимодулярные линейные преобразования образуют группу, то достаточно потребовать, чтобы все рассматриваемые реперы получались унимодулярными преобразованиями в смысле (57.3) из одного начального; тогда унимодулярность автоматически имеет место и при переходе от любого репера к любому.

Итак, в 4： мы рассматриваем совокупность аффинных реперов, которая замкнута относительно всевозможных преобразований (57.1), удовлетворяющих условию (57.3), причем любые два репера совокупности получаются друг из друга преобразованием этого вида. Если не считать условий (57.3), то в остальном ab, а^——произвольные комплексные числа. Между собой матрицы |а^||, ||а^,|| ничем не связаны.

Реперы этой совокупности мы будем называть спинреперами. Мн условимся относить векторы 屮 пространства Д+ исключительно к тому или иному спинреперу. Координаты 屮 относительно спин- репера мы будем обозначать 般，仪，屮‘，仪，так что 屮=屮& + + 屮氾2 + 屮'е； + 屮* е;• Так как согласно (57.2) е1? е2 преобразуются между собой и е；, е&—между собой, то, очевидно,屮* 屮？ и 屮，，屮2 преобразуются тоже по отдельности при помощи транспонированных обратных матриц：

=a 211A 屮》= a^i|)^,(57.4)

где

0G = 6v»0G = 6v»ag畤=8.ag畤=8.(57.5)(57.5)

0G = 6v»

0G = 6v»

ag畤=8.

ag畤=8.

(57.5)

(57.5)

Если учесть, что а^—унимодулярная матрица, то легко подсчитать, воспользовавшись уравнениями (57.5), ее обратную матрицу:

I： SH-：r：lI： SH-：r：l(57.6)(57.6)

I： SH-：r：l

I： SH-：r：l

(57.6)

(57.6)

§ 57] спинорное пространство 243

Разумеется, а^ — тоже унимодулярная матрица. Аналогичные соотношения имеют место н в случае индексов с крышками. Преобразования вида (57.4) с произвольными унимодулярными матрицами ах\ а| образуют группу, которую мы будем называть спинорной группой.

Так как спинреперы есть частный случай аффинных реперов, то относительно спинреперов можно рассматривать тензоры совершенно так же, как относительно аффинных реперов вообще. Мы уже рас~ смотрели один раз контравариантный спинтензор (屮九,屮欠),образо- ванный координатами вектора 屮.Этот тензор будем называть спинором (с контравариантными координатами). Аналогичным образом можно строить и любые многовалентные тензоры, которые мы будем называть спинтензорами. При этом каждый индекс пробегает значения 1, 2, f, 2. В отлнчие от обычной тензорной алгебры разница между контра* и ковариантными индексами будет здесь мало сущест* венной: из контравариантного спинтензора (屮九，屮》всегда можно получить ковариантный, положив

屮1，屮z，州3，屮$=炉，-屮1屮2，一屮t (57.7)

Действительно, элементарный подсчет показывает, что когда (屮九,屮％) преобразуются по закону (57.4), полученные из них таким образом ($九,屮欠彳 преобразуются по закону (57.2):

屮m = ам屮储 中* = a??中公 (57.8)

В самом деле, если в (57.4) выразить 屮九,屮欠 через 屮九,屮兀 согласно (57.7), то, учитывая (57.6), приходим к соотношениям (57.8). Ковариантный спинтензор 屮九.屮％ мн также будем кратко называть спинором (с ковариантными координатами).

Аналогично (57.7) можно «переделывать» любой индекс спинтензора из контравариантного в ковариантный, и наоборот. Этой переделке можно придать инвариантную форму следующим образом. Дважды контравариантный спинтензор имеет, вообще говоря, координаты вида

Рассмотрим спинтензор этого вида с такими свойствами:

м“ = 一Е 吃 Е 父口 = —£口乙 е Хц =Е 執=0 (57.9)

Другими словами, этот спинтензор кососимметричен по всем индек- сам, причем координаты со смешанными индвксзми все равны нулю.

Ввиду того, что индексы 1, 2 участвуют в спинтензорном преобразовании отдельно и индексы 1, 2 тоже отдельно (согласно (57.4)), то условия (57.9) носят инвариантный характер. Кроме того, значение координаты е12 является инвариантом. Действительно, мы знаем, что в двумерном случае единственная существенная координата е12 кососимметрического тензора 8加 является относительным инвариантом и при преобразовании умножается на Det |Лх | (см. (35.6) при т=2)・ Но в нашем случае матрица 或=£ унимодулярная, так что е12 будет просто инвариантом. То же справедливо, конечно, и ДЛЯ 8丨 2，

Выберем спинтензор (57.9) так, чтобы е12 = е 1 2 =： 1. Итак, все координаты нашего спинтензора равны нулю кроме

е12= — е21 = 1, 户= —&£?= 1,(57.10)

и это имеет место относительно любого спинрепера.

Совершенно аналогично строим дважды ковариантный спинтензор со всеми теми же свойствами:

е12 = — &21 =1, E?W = — 8*?=1,(57.11)

причем остальные координаты равны нулю.

Теперь соотношение (57.7) можно записать .при помощи свертывания с тензором ear следующим образом:

5=8加5，屮а=8入口屮口，]

屮人 = ——g九以屮以， 屮儿=--E 人以屮口.丿

Непосредственно проверкой убеждаемся, что и в первой, и во второй строчках повторяются формулы (57.7). Инвариантный характер этих формул виден из инвариантности тензорной операции свертывания. Правда, при этом, например, в первой формуле индекс суммирования у должен был бы пробегать значения не только 1, 2, но и 1, 2, но фактически это является лишним, так как е九口 все равно дают нуль. Это же замечание относится и к остальным формулам.

При помощи (57.12) можно «поднимать» и «опускать» любой индекс у спинтензора наподобие того, как мы это делали в евклидовом пространстве.

Рассмотрим теперь другой частный случай дважды контравариант- ного спинтензора, когда

с加= с%0=О, ск^ = с ^.(57.13)

Из закона преобразования верхних индексов (57.4), в силу которого значения 1, 2 участвуют в преобразовании по отдельности от 1, 2,

видно, что условие с*心=0 носит инвариантный характер; то же относится к условию с^^ = 0. Оставшееся условие означает, что наш тензор симметричен. Матрица его координат имеет вид

В дальнейшем спинтензор этого вида мы будем называть кратко «спинтензор сх^». Ясно, что здесь речь идет не о единственном спинтензоре, как в случае 日九^,日入口, а о целом их классе. В силу симметрии тензора достаточно рассматривать одну из выписанных здесь матриц 2-го порядка, например, верхнюю; другая получается из нее транспонированием. Закон преобразования будет иметь вид

= afaU'c 疝.(57.14)

Здесь по общему соглашению индекс суммирования 九 пробегает значения 1, 2 и аналогично р — значения 1, 2; для каждого индекса мы повторяем здесь закон преобразования (57.4). Правда, по общей схеме тензорного преобразования индекс X должен бы был пробежать все четыре значения, т. е. еще 1, 2; но соответствующие дополнительные члены все равно обращаются в нуль, так как в (57.4) следует считать а^ = 0 (гр1*, гр2' разлагаются только по гр1, “2 без участия 屮】,屮^)・ Аналогичное замечание относится, конечно, и к индексу |л.

Формулу (57.14) можно истолковать так, что матрица с1^ получается последовательным перемножением матриц а?, с'&, ар , считая номером строки у первой матрицы верхний индекс, у второй——первый индекс, у третьей ——нижний индекс. При перемножении матриц их определители тоже перемножаются. Учитывая унимодулярность матриц 冠[а@[ получаем:

Det|cv^| = Det|c^ | .(57.15)

Следовательно, наш спинтензор обладает инвариантом

7=Det|c^| =с^с^—с^с'^.(57.16)

§ 58*. Спиноры в четырехмерном комплексном евклидовом пространстве R：

С каждым спинтензором вида c'^ мы свяжем определенные ли

нейные комбинации его координат:

х1 — — (с1^ + с2^*2 = ^(" — с"),

彳「С (58J)

*3 = 2 (с С — С22),*4 =方(с" + С?').

Обратно, координаты комбинации:Обратно, координаты комбинации:X3 +，％&*1一1炉X3 +，％&*1一1炉X1 + /х2 II—х3+/х4 卜X1 + /х2 II—х3+/х4 卜(58.2)(58.2)М без труда выражаются через эти линейные

Обратно, координаты комбинации:

Обратно, координаты комбинации:

X3 +，％&

*1一1炉

X3 +，％&

*1一1炉

X1 + /х2 II

—х3+/х4 卜

X1 + /х2 II

—х3+/х4 卜

(58.2)

(58.2)

так что х1, *2] х3, х4 можно, если угодно, рассматривать как видоизмененную форму координат спинтензора eg

Очевидно, инвариант / (57.16) принимает при этом вид

(58.3)(58.3)/= _ (*V + *2? + *з2 + *4).

(58.3)

(58.3)

Когда в результате преобразования спинрепера с" преобра； зуются как координаты спинтензора, их линейные комбинации х* испытывают линейное преобразование, сохраняющее сумму их квадратов, т. е. (комплексное) ортогональное преобразование.

Если мы истолкуем х1 как ортонормированные координаты в некотором R，то оказывается, что каждое преобразование спинрепера в * влечет за собой вполне определенное преобразование орто- нормированных координат в R^, Очевидно, что при этом наложению спинорных преобразований (57.4) отвечает наложение соответствующих ортогональных преобразований и тождественному спинорному преобразованию отвечает тождественное ортогональное преобразование в Rj. Кроме того, очевидно, что матрица ортогонального преобразования непрерывно зависит от матрицы преобразования (57.4). Другими словами, спинорная группа в Д^ получает представление в группе ортогональных преобразований в &. Обозначим это представление р

Спинорная группа (57.4) будет связной, так как непрерывным изменением а^ (и аналогично 磷)，начиная от единичной матрицы

(*)(*)|о 1

(*)

(*)

§ 58] спиноры в 4-мерном комплексном пространстве R； 247

и соблюдая условие унимодулярности, можно перейти к любой наперед заданной унимодулярной матрице (например, если а；'，0, то можно непрерывно менять а：', а：', а：' от начальных значений (*) до конечных, избегая для а：' значения 0 и определяя каждый момент значение af из условия унимодулярности).

Поэтому и в представлении 屮 мы получим лишь те ортогональные преобразования, которые можно достичь непрерывным переходом по ортогональной группе, начиная с тождественного преобразования; такими будут лишь собственно ортогональные преобразования (т. е. преобразования с определителем 十1).

Заранее не ясно, дает ли представление 屮 все такие преобразования; однако это так, что мы докажем немного позже.

Очень важно, что в представлении 屮 спинорная группа, как говорят, дважды накрывает собственно ортогональную группу. Действительно, если все коэффициенты спинорного преобразования (57.4) умножить на —1 (условие унимодулярности при этом не нарушается!), то, очевидно, закон、преобразования для сА^ не меняется, а значит, и матрица ортогонального преобразования для %’ остается прежней.

Итак, два спинорных преобразован ия (57.4), отличающихся лишь множителем ——1, будут представлены, одной и той 宛е ортогональной матрицей.

Заметим, что еще какого-нибудь третьего спинорного преобразования, дающего ту же ортогональную матрицу, не существует. Действительно, данная ортогональная матрица вполне определяет преобразование над『，а потому и над соответствующими d«・ Следовательно, в преобразовании (57.14)

вполне определены все коэффициенты 威畤'.Учитывая это, попробуем все же изменить матрицы 威，稣，тогда умножение какого- нибудь из элементов а^ (в предположении, что он не равен 0) на какое-нибудь число 々声 0 повлечет за собой умножение на Л*1 всех элементов матрицы а£‘, а следовательно, умножение ее определителя на 々*2. Но так как матрица должна остаться унимодулярной, то 々~2=1, 々==±1. Следовательно, у нас есть лишь один способ изменить матрицу а -: умножить ее на —1; конечно, 或 при этом тоже приходится умножить на —1, чтобы сохранить коэффициенты в (58.4). Мы возвращаемся к уже рассмотренному случаю.

Расширим теперь спинорную группу (57.4) так, чтобы в представлении 屮 она порождала не только собственные, но и несобственные ортогональные преобразования в R：.

А именно, кроме спинреперов 汜 описанных в начале § 57, мы будем допускать и такие Ji {е1т е2, е?, е$}, которые отличаются от прежних переименованием е1эе2 в е；, eq, и наоборот, так что у них еп е2 будут лежать в Д2, а е；, е?—в Д2. Другими словами, к преобразованиям (57.1) мы присоединяем преобразование

ej = e；, е2/=-е^, ер = ео е^> = е2, (58.5) а также преобразования, полученные наложением этого преобразования на преобразования (57.1):

(58.6)(58.6)etz = a；,e； +a%eq, ер = аре( +а^е2;

(58.6)

(58.6)

е2/ = а；,е； + офе?, ер = аДе(十 аре2.

Мн изменили здесь обозначения коэффициентов по сравнению с (57.1), но обе матрицы 2-го порядка остались по существу прежними, т. е. произвольными унимодулярными матрицами. То же самое в краткой записи:

臥=а&е(7, е『=а©, е%. (58.7)

Координаты спинора преобразуются при этом с помощью транспонированных обратных матриц:

屮"=a?屮"，屮w - *屮上 (58.8)

Под спинорной группой мы будем теперь понимать группу, состоящую как из преобразований (57.4), так и из (58.8).

Эта расширенная спинорная группа будет, очевидно, несвязной, так как переход от старых преобразований к новым связан с перескакиванием векторов е1т е2 со своей плоскости 4? на плоскость 才2 ^аналогично и для е;, eq) и непрерывным путем осуществлен быть не может.

Покажем теперь, что спинорная группа в представлении <р покрывает (дважды) всю ортогональную группу в Rj (^старые» спинорные преобразования порождают собственные ортогональные матрицы, а новые» — несобственные).

Так как любые ортогональные преобразования в R： (и вообще в /?+) можно осуществить наложением некоторого числа зеркальных отражений^ то достаточно доказать, что в представлении 屮 появляется любое зеркальное отражение. Рассмотрим преобразование

§ 58] спиноры в 4-мерном комплексном пространстве R： 249 тензора (57.13), отвечающее спинорному преобразованию (58.8):

小通（=…）=*器2小通（=…）=*器2(58.9)(58.9)

小通（=…）=*器2

小通（=…）=*器2

(58.9)

(58.9)

af,冲 будут единичными,af,冲 будут единичными,и мы получим;и мы получим;В частности, если взять преобразование (58.5), то обе матрицы

af,冲 будут единичными,

af,冲 будут единичными,

и мы получим;

и мы получим;

Здесь штрих поставлен при с, так как штрихование индексов в этом частном случае неудобно.

Итак, спинорному преобразованию (58.5) отвечает транспонирование тензора с"' в клетке 2-го порядка (58.2), а это равносильно зеркальному отражению х2—►—х2 при неизменных х1, х3, х4.

Теперь ясно, что новые спинорные преобразования (полученные наложением преобразования (58.5) на старые спинорные преобразования) дают в представлении ф несобственные ортогональные преобразования (полученные наложением зеркального отражения х2—> —х2 на какие-то собственные ортогональные преобразования). Требуется доказать, что этим путем получатся, в частности, все зеркальные отражения в R：.

Для этой цели возьмем произвольную комплексную унимодуляр- ную матрицу 2-го порядка Ж; дальше она остается фиксированной.

Рассмотрим специальное спинорное преобразование вида (58.8), положив

|af| = M I 哈 | = AfT.(58.10)

Тогда преобразование (58.9) над произвольным спинтензором 歩1 можно переписать в матричной форме:

||?，ft，|| г = ж.|| с*|| .(АГУ,(58.11)

где Т обозначает транспонирование матрицы. Очевидно,

(Ж-||сх，цТи)г = || "@|| T-MT=M-l $R||,

в последнем равенстве использовано (58.11).

Отсюда видно, что матрица М-^ сх&|| при преобразовании (58.11) переходит в транспонированную матрицу; в частности, она не меняется, если была симметричной, и умножается на —1 в случае кососимметричности.

Комплексные матрицы 2-го порядка М*^с^|| при фиксированной М и всевозможных Цс/ образуют четырехмерное комплексное

линейное пространство, причем симметрические из них образуют трехмерное подпространство, а кососимметрические—прямую (одномерное подпространство). Тем самым и среди тензоров с"“ найдется трехмерное подпространство тензоров, инвариантных при (58. 11), и одномерное подпространство тензоров, умножающихся на —1. Это означает, что ортогональное преобразование над х\ которое порождается спинорным преобразованием (58.10), оставляет в R： неподвижной некоторую трехмерную плоскость R；, «перепрокидывая» некоторую прямую П：. Итак, спинорное преобразование вида (58.10) порождает в R： зеркальное отражение относительно некоторой (тем самым неизотропной) плоскости R；.

Остается показать, что этим путем можно получить всевозможные зеркальные отражения в R：. Зададимся произвольно неизотропным вектором х £ R： или, что то же, невырожденной матрицей с'° (ср. (58.3)). Подходящим выбором унимодулярной матрицы М всегда можно добиться, чтобы /И II с入口 II оказалось кососимметрической матрицей; тем самым тензор с^, а вместе с ним и вектор х умножаются на —1 при спинорном преобразовании (58.11), и порождаемое им отражение в R： идет в направлении наперед заданного вектора х.

Вместе со всевозможными отражениями расширенная спинорная группа порождает в R： все вращения, собственные и несобственные, т. е. все ортогональные матрицы, и наше утверждение доказано.

При этом группа ортогональных матриц покрывается дважды: каждой ортогональной матрице отвечают ровно два спинорных преобразования, отличающихся друг от друга множителем —1. (Это можно показать так же, как и в случае спинорных преобразований (57.4).)

Но каждое спинорное преобразование (вида (57.4) или (58.8)) влечет за собой соответствующее преобразование каждого спин- тензора. В итоге ортогональному преобразованию ортонормиро- ванного репера в R： отвечает некоторое преобразование каждого спинтензора и спинтензоры можно рассматривать как центроевклидовы объекты в Rj: для одного ортонормированного репера координаты спинтензора, в частности спинора 认 屮* можно выбрать произвольно; любой другой ортонормированный репер получается из данного определенным ортогональным преобразованием, соответственно которому и пересчитываются координаты спинтензора. Так как наложению спинорных преобразований отвечает наложение соответствующих ортогональных преобразований, то указанное правило преобразования координат спинтензора действует и при переходе от любого ортонормированного репера к любому другому.

Здесь необходимо сделать важное уточнение: так как ортогональное преобразование определяет соответствующее спинорное пре-

образование с точностью до множителя —1, то правило преобразования координат спинтензора будет вполне определенным лишь для спинтензоров четной валентности. Действительно, в этом случае в тензорный закон преобразования элементы матрицы спинорного преобразования входят множителями четное число раз. В случае хе спинтензоров нечетной валентности, в частности спинора, тензорный закон преобразования будет определен с точностью до множителя ——1, а потому и спинтензоры нечетной валентности, в частности спиноры, в качестве центроевклидовых объектов имеет смысл задавать лишь с точностью до множителя —1 (т. е. с точностью до одновременного умножения всех координат спинтензора на —1).

Таким образом, спинтензоры нечетной валентности оказываются двузначными центроевклидовыми объектами. Это новые объекты, конечно, не сводящиеся просто к тензорам. Зато спинтензоры четной валентности задаются однозначно и по существу не дают ничего нового по сравнению с тензорами: всякий спинтензор четной валентности после подходящего линейного преобразования его координат с постоянными коэффициентами превращается в некоторый тензор в R， и этим путем можно получить любой тензор в R：. Это последнее утверждение доказать нетрудно. Сначала вспомним, что один раз контравариантный тензор х* можно согласно (58.1) свести к спинтензору 小《 = /* с*^ == 0. Характерно, что одновалентный тензор эквивалентен двухвалентному спинтензору, так что спинор 屮入,产 нужно расценивать как нечто вроде «полувалентного» тензора.

Аналогичным образом любой w-валентный тензор У^^ -Лт в R： можно свести к 2/и-валентному спинтензору с入1以”入2M2，・・•，入шШп с симметрией индексов внутри каждой пары (при этом предполагается, что однотипность индексов в какой-либо паре влечет обращение координаты в нуль). Для этого достаточно каждый из индексов /1} . . . переделать в пару спинорных индексов Х^^ . .. по схеме (58.1), (58.2).

§ 59*・ Спиноры в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1

Построив спиноры и спинтензоры в комплексном четырехмерном евклидовом пространстве Rj, мы уже почти автоматически получаем их и для вещественных четырехмерных евклидовых пространств. При этом мы ограничимся пространством R? индекса 1, имеющим особое значение для физики; но и в остальных случаях можно поступать аналогично.

Зададимся каким-либо определенным R^, выделенным в R： (см. § 53). Для этого достаточно взять ортонормированный

репер в R：

е「е?, %, е&}

(59.1)

и переделать его в репер

{0-

в。，е〔> ®2> ®з}>

(59.2)

где

(59.3)

а в остальном все осталось без изменения. Тогда пространство R(? мы определим как множество точек, координаты которых х1, х2, %* относительно репера (59.2) являются ве(цественнымиу а следовательно, относительно репера (59.1) имеют вид

%| = х* 炉=炉，％з = %з,%& =，％*\(59.4)

Так как

е： = е； = е； = 1,蜕=—1,

то репер (59.2) служит ортонормированным репером в R{^.

Из всевозможных (комплексных) ортогональных преобразований репера (59.1) мы в этом параграфе будем рассматривать лишь те, которые переводят R(? в себя, т. е. оставляют вещественными х* %2, х3 и чисто мнимой %* Такие ортогональные преобразования в R： образуют группу, которую мы будем обозначать О. Они, очевидно, означают всевозможные псевдоортогональные преобразования репера (59.2) в

Ограничивая ортогональную группу в R： до группы О, мы соответственно сузим группу спинорных преобразований (57.4), (58.8) так, чтобы в представлении ср получались все ортогональные преобразования только лишь из группы О. Мы покажем, что для этого в случае (57.4) нужно наложить добавочно или условие комплексной сопряженности двух унимодулярных матриц, которые до сих пор были совершенно произвольными:

«4 = (*)*,(59.5)

или условие их комплексной антисопряженности:

吟’=一(時')*.(59.6)

Одна из двух матриц остается при этом произвольной комплексной унимодулярной матрицей. Звездочкой мы обозначаем переход к комплексно сопряженной величине.

Аналогичные условия накладываются и в случае (58.8): или

(59.7)(59.7)中=咸）*»

(59.7)

(59.7)

§ 59] СПИНОРЫ в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве 253 или

«ц =—(嘘')*・ (59.8)

Мы должны показать, что спинорные преобразования вида (59.5), (59.6), (59.7), (59.8) порождают в R『)всевозможные вращения соответственно собственные и несобственные 3-го, 1-го, 2-го рода.

Переходим к доказательству. Если вектор х принадлежит R^, то соответствующий спинтензор 小足 будет эрмитовым (т. е. его матрица комплексно сопряжена транспонированной матрице). Это сразу видно из (58.2), если учесть, что х1, х2, х3 — вещественные, а х4 — чисто мнимая координата. Как видно из (58.1), верно и обратное, так что для того, чтобы вектор х принадлежал /?£), необходимо и достаточно, чтобы соответствующий спинтензор с九G был эрмитовым:

(e九0)* =心血・ (59.9)

Какое бы из спинорных преобразований (59.5) — (59.8) ни применить к эрмитову спинтензору с&「， он остается эрмитовым, так как его индексы преобразуются при помощи комплексно сопряженных матриц (в случаях (59.6), (59.8) — с добавочным умножением на —1, что не нарушает эрмитовости). Действительно, в случаях (59.5) или (59.6)

“G = agaU'c 加

(ср. (57.14)); отсюда

С，“)* =储，)* (а|-)*(с^)* = <4'唠'с"2 = с^'.

Это показывает, что эрмитовость спинтензора (59.9) сохраняется и после преобразования. Аналогично обстоит дело и в случаях (59.7), (59.8).

Но раз спинтензор 掘 остается эрмитовым после преобразований (59.5) — (59.8), то соответствующий ему вектор х остается в пространстве R?)после вращений, порожденных этими преобразованиями.

Итак, спинорным преобразованиям вида (59.5)——(59.8) отвечают в R； вращения, переводящие R)u в себя, т. е. ортогональ-- ные преобразования группы О.

Остается показать, что этим путем мы получим всю группу О. Покажем прежде всего, что спинорные преобразования вида (59.7) и (59.8) порождают, в частности, все зеркальные отражения в Ю Пусть х ——произвольный единичный или мнимоединичный вектор из /?£)； ему отвечает согласно (58.2) спинтензор с®. Как следует

из (58.3),

п ., 庇 |_丿 + 1, если х — мнимоединичный, е * с '—1—1, если х — единичный.

(59.10)

Подберем матрицу 2-го порядка /И так, чтобы

AI-II с^ ||=| — ° ] в первом случае, I г о i II I (59.11)

ЛЬ || с加 11H , ° во втором случае.丿

Переходя от матриц к их определителям, замечаем, что матрица Л/ в обоих случаях унимодулярна. Спинорное преобразование, построенное согласно (58*10), порождает в 内，как мы знаем, зеркальное отражение в направлении вектора х・ Это отражение, в частности, переводит 悶)в себя, так как вектор х принадлежит

Остается показать, что в нашем случае спинорное преобразование с матрицами (58.10) удовлетворяет или условию (59.8) (в первом случае), или условию (59.7) (во втором случае), т. е. что

AfT=—/И* в первом случае, 附т = 7И* во втором случае.

(59.12)

Любая матрица 2-го порядка С, как легко проверить, удовлетворяет равенству

(59.13)

Положим С= || с^ К и, пользуясь (59.10), а также эрмитовостыо С, получим в первом случае:

О 1

—1 О

С?

Это означает, что —Af*'1 = Ж, так как согласно (59.11) (в первом случае):

Итак, выполняется первое из условий (59.12).

Во втором случае получаем из (59.13):

что означает Л!-1 ~ М, так как согласно (59.11) (во втором случае) "IL：：т，心一叫

Мн видим, что выполняется второе из условий (59.12).

Итак, спинорное преобразование (58.10) с матрицей /И, построенной согласно (59.11), порождает в R^ зеркальное отражение в направлении любого наперед заданного неизотропного вектора х, причем выполняется условие (59.12), т. е. наш，е спинорное преобразование будет вида (59.8), когда отражение 2-го рода, и (59.7), когда—1-го рода.

Так как спинорные преобразования вида (59.5)—(59.8) очевидным образом составляют группу преобразований и наложением зеркальных отражений в /?£)(как ранее в R*) можно получить любое вращение, то спинорные преобразования вида (59.5) — (59.8) порождают в R^ всевозможные вращения (т. е. всю группу О).

В R^ можно рассматривать спинтензоры подобно тому, как это делалось в Rt; при этом мы ограничиваемся вращениями ортонор- мированного репера в R^\ т. е. группой О и соответственно спинорными преобразованиями только вида (59.5) — (59.8)*).

§ 60*. Спинорное поле и инвариантная дифференциальная операция 0厶口

Пусть в R?) задано спинорное поле. Это значит, что спинор 屮戸 屮£ задан в каждой точке пространства (или некоторой его области), так что

6=6(*。，为1 炉，%3)?==］，2); 1佔0 1、

屮尤=屮((Х。, A, X2, ^3) (Х=1, 2). I'

Мы предпочли здесь опустить индексы у координат спинора, хотя принципиального значения это и не имеет.

Каждому вектору х1 в R^ отвечает согласно (58.2) определенный спинтензор с〃С. Переписывая (58.2), мы предпочтем воспользоваться ковариантными координатами %「а они в W имеют вид х0= — х°,工］=х\ х2 =炉，％ = %з.

Мы получаем:

г21г21С22С22%з + *0%1—%%з + *0%1—%%i + i%2—%з + %о%i + i%2—%з + %о(60.2)(60.2)

г21

г21

С22

С22

%з + *0

%1—%

%з + *0

%1—%

%i + i%2

—%з + %о

%i + i%2

—%з + %о

(60.2)

(60.2)

так как х4 = /х° =—/х0. Все эти соотношения носят инвариантный характер и, записанные в одном ортонормированном репере, будут справедливы и в любом другом.

Рассмотрим теперь совокупность операторов частного дифференцирования по координатам точки:

金三色包дx^^并‘安，获‘金三色包дx^^并‘安，获‘(60.3)(60.3)

金三色包

дx^^并‘安，获‘

金三色包

дx^^并‘安，获‘

(60.3)

(60.3)

которые можно применятькоторые можно применятьк различным функциям точки в нашем

которые можно применять

которые можно применять

пространстве, в частности, к тензорным и спинорным полям в нем. При переходе к другому реперу меняются координаты точек, меняются и операторы (60.3), причем они ведут себя как. ковариант^ ные координаты вектора. Действительно, по формуле дифференци

(60.4)(60.4)рования сложной функции

(60.4)

(60.4)

寿

Формулу (60.4), как и последующие операторные формулы, нужно понимать в том смысле, что мы получим верное равенство, подействовав операторами в левой и в правой частях на произвольную (дифференцируемую, конечно) функцию точки /(х°, х1, х2, х3). Формула (60.4) означает, что совокупность операторов (60.3) можно рассматривать как одноковариантный тензор с операторными координатами. Формальные выкладки, для которых играет роль лишь закон преобразования, остаются справедливыми и для таких тензоров. Но для перелицовки одноковариантного тензора xi в спинтен- зор с^ как раз играет роль лишь закон преобразования %八 Поэтому 7 ензор с операторными координатами можно аналогичным образом перелицевать по формуле (60.2) в спинтензор, конечно, тоже с операторными координатами. Обозначая координаты этого спинтензора /У口 = q"% получаем

及0痴卜包1包_色旦・ (60.5) dx1 dx2 dx3 dx°||

При этом мы будем считать (как и для спинтензора сл^), что qMi _ 力^口 = 0. Важность этого операторного спинтензора заключается в том, что он позволяет получать инвариантные дифференциальные зависимости между спинорными полями.

Свертывая произвольный спинтензор с^н = си^ с произвольным спинором i|)x,屮^, мы всегда получаем новый спинор ，* Q^:

(60.6)(60.6)p = eа日屮W，$% = e而屮卩.

(60.6)

(60.6)

Соотношения эти носят строго инвариантный характер, так как с точки зрения спинрепера мы имеем здесь тензорную операцию свертывания. Заметим, что в каждой формуле индекс суммирования в принципе пробегает все четыре значения: 1, 2, 1, 2, но фактически в первой формуле берутся значения 1, 2, а во второй — 1, 2, так как у нас предполагается &^ = с^^ = 0. В частности, если свернуть спинтензор с операторными координатами (60.5) со спинором поля (60.1), то в результате получается опять некоторый спинор:

®：=吸屮匸,;(60.7)

О入=QA|1屮产J

Здесь под умножением 。九0 на 屮值 и т. п. нужно понимать воздействие оператора Q九口 на функцию 屮色(х°, х1, х2, х3). Спинор «* #' будет, очевидно, также функцией точки и дает новое спинорное поле. Инвариантность соотношений (60.7) вытекает из их тензорной структуры, с формальной стороны совершенно такой же, как и у (60.6), хотя по существу смысл формул (60.7), конечно, иной.

入 Развернем формулы (60.7), причем вторую из них берем в виде О'=0м%1n пользуясь равенством Z)^u = D^. Получим:

г小+西,=善+轟+需+，等，]2加屮,+0^=靄一礬一礬+礬,

(оО.о) и=a加+=後+浄+験一•需，

产=0% +炉纳2 =翡L +，•蟄一蒔+簷.

Таким образом, при помощи дифференциальной операции (60.8) из спинорного поля ^Xj i|)£ инвариантным образом возникает новое спинорное поле g

9 П. К. Рашевский

ГЛАВА IV

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Теория относительности возникла в результате длительного накопления опытного материала, приведшего к глубокому преобразованию наших физических представлений о формах материи и движения. После целого ряда попыток приспособить прежние понятия о пространстве, времени и других физических величинах к вновь открытым опытным фактам обнаружилось, что для этой цели требуется перестроить все эти понятия коренным образом. Эта задача была выполнена в основном А. Эйнштейном в 1905 г. (специальная теория относительности) и в 1915 г. (общая теория относительности). Впрочем, задача была выполнена лишь в том смысле, что было дано стройное формально-математическое описание нового положения вещей. Задача глубокого, подлинно физического обоснования этой математической схемы все еще стоит перед физикой.

Мы имеем здесь в виду, что теория относительности является в основном макроскопической теорией и в этом отношении (в отличие от квантовой механики) продолжает традицию классической физики. Между тем трудно сомневаться в том, что макроскопические понятия, в том числе и наши пространственно-временные представления, на самом деле уходят своими корнями в микромир. Когда- нибудь они должны быть раскрыты как некоторый статистический итог, вытекающий из закономерностей этого мира——далеко еще не разгаданных — при суммарном наблюдении огромного числа микроявлений.

По характеру этой книги основы теории относительности будут даны именно с их математической стороны в готовой, законченной форме. В частности, поучительная история накопления опытного материала, подталкивавшего шаг за шагом к созданию теории относительности, почти полностью выпадает из рамок нашего изложения. Мы говорим об этом для того, чтобы у читателя не создалось впечатления, что теория относительности была кем-то выдумана «из головы» сразу в том виде, как она будет изложена, В действительности

это математическое оформление теории появилось лишь как итог долгих экспериментальных и теоретических поисков.

Из двух частей, составляющих теорию относительности (специальная и общая теория относительности), мы будем заниматься в этой главе только первой. Математический аппарат специальной теории относительности сводится к теории тензорных полей в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1. Между тем общая теория относительности требует более квалифицированного математического аппарата, который будет пoдгoтQвлeн нами лишь в последующих главах.

Значение двух частей теории относительности в современной физике не соответствует их названиям. Специальная теория относительности пронизывает собой в сущности всю современную физику, во всяком случае, когда речь идет о больших скоростях движения тел (при малых скоростях она дает практически те же результаты, что и классическая механика). Выводы специальной теории относительности, означающие огромный переворот в наших представлениях о пространстве—времени, а в связи с этим и о других физических величинах, всесторонне подтверждаются опытом.

В противоположность этому общая теория относительности, представляя собой с математической точки зрения широкое обобщение специальной теории, создана для объяснения лить одного физического явления — явления всемирного тяготения. Опытные данные, подтверждающие ее выводы (в тех случаях, когда она заметно отклоняется от теории Ньютона), сравнительно немногочисленны и требуют весьма тонких измерений, часто лежащих на пределе доступной в настоящее время точности. В связи с этим будет разумным рассматривать общую теорию относительности в ее современном математическом оформлении скорее как эскиз теории, чем как установленную истину. Вместе с тем трудно подвергать сомнению ее основные идеи: зависимость между геометрическими свойствами пространства-времени и распределением и движением масс и вытекающее отсюда объяснение явлений тяготения. Но вполне возможно, что математическое оформление этих идей еще не окончательное.

От подлинного содержания общей теории относительности следует отличать связанный с нею большой поток исследований, не имеющих серьезного физического обоснования и представляющих собой лишь математические спекуляции на ее темы.

§ 61. Постановка задачи

В дальнейшем у нас будет играть важную роль понятие системы отсчета. Систему отсчета можно наивно представлять себе в виде подвижной ««латформы» (т. е. некоторой системы неизменно скрепленных между собой твердых тел), на которой установлены

движущиеся вместе с ней измерительные приборы — часы, эталоны длины и т. д., позволяющие производить измерения различных величин, как мы будем говорить, относительно данной системы отсчета.

В частности, можно «установить» прямоугольные координатные оси X, К, Z, твердо связанные с данной системой отсчета, и отмечать координаты точек, в которых совершаются те или иные события. М@жно также при помощи часов, движущихся вместе с системой отсчета, отмечать моменты совершения этих событий, отсчитывая время 士 от некоторого произвольно выбранного начального момента. При этом подразумевается, что все системы отсчета снабжены совершенно одинаковыми часами и эталонами длины.

В дальнейшем мы всегда будем считать, что с системой отсчета неизменно скреплены каким-либо образом выбранные координатные оси X, У, Z н указан начальный момент для отсчета времени. Таким образом, под системой отсчета мы будем понимать, окончательно, подвижную «платформу» вместе с установленными на ней прямоугольными координатными осями X, К, Z и выбранным начальным моментом для отсчета времени £.

Если на прежней «платформе» мы установим по-другому координатные оси или изменим начальный момент для отсчета времени, то мы будем считать, что перешли к другой системе отсчета, хотя такое преобразование системы отсчета и будет тривиальным (так мы и будем его в дальнейшем называть).

С классической точки зрения среди систем отсчета существует лишь одна система (если не считать ее тривиальных преобразований), неподвижная в каком-то абсолютном смысле, относительно которой и формулируются законы физики.

Правда, для классической механики с самого начала ее возникновения было известно, что формулировка ее законов нисколько не меняется, если покоящуюся систему заменить системой, движущейся относительно нее равномерно и прямолинейно,——такие системы мы будем называть инерциальными. В этом заключается принцип относительности Галилея.

В самом деле, пусть система S——покоящаяся, a S'——движущаяся инерциальная система. Предположим для простоты, что координатные оси X, 匕 Z, связанные с S, н X', К\ Z\ связанные с S', в начальный момент совпадают, причем ось X идет по направлению движения системы S'. Если (постоянную) скорость движения инерциальной системы S' обозначить через в, то спустя время / координатные оси X', У[ Z' сдвинутся относительно неподвижных координатных осей X, К, Z на расстояние vt в направлении оси X. Поэтому, если в момент £ произойдет какое-либо событие в точке с координатами х, j, z относительно системы S, то относительно

системы S' эта точка будет иметь координаты:

yr = J, 2’= 2.(61.1)

К этому нужно добавить, что с точки зрения классической механики время имеет абсолютный характер, т. е. промежуток времени между двумя событиями имеет всегда одну и ту же величину независимо от того, в какой системе отсчета он измеряется. Поэтому момент совершения данного события будет одинаковым с точки зрения обеих систем отсчета, и к формулам (61.1) можно присоединить еще одну:

加=我(61.2)

Если мы прослеживаем движение материальной точки, так что х, у, z являются функциями f (и аналогично в системе х\ j\ zf —— функциями от f), то из формул (61.1), (61.2) сейчас же вытекает, что

(й/ d2xd2y — d2gd^zr—d22

т. e. проекции ускорения на оси будут одинаковыми для обеих систем отсчета. Теперь нужно учесть, что в классической динамике рассматривается система материальных точек, ускорения которых пропорциональны действующим на них силам, а силы зависят от взаимного расположения этих точек в каждый данный момент. Но это расположение тоже, очевидно, выглядит одинаково с точки зрения обеих систем, так как разности координат любых двух точек х2 — %i, %—уъ &—/ будут при данном f равны 元一匕， 义一у；, 2；—а； (как немедленно следует из уравнений (61.1)). Теперь ясно, что уравнения движения запишутся одинаково относительно обеих систем отсчета S и S'.

Итак, наблюдая механические явления, мы не в состоянии установить, наблюдаем ли мы их с точки зрения покоящейся или с точки зрения равномерно и прямолинейно движущейся системы. Однако к началу XX века, т. е. к моменту возникновения теории относительности, теоретическая физика состояла не только из механики. Наряду с ней стояла другая, столь же важная теория, созданная в XIX веке,—электродинамика, И вот основные законы электродинамики не удовлетворяли принципу относительности (если руководствоваться «галилеевыми» преобразованиями (61.1), (61.2)). Наиболее выпукло это сказывалось в том известном результате, что скорость света (т, е. скорость распространения электромагнитных волн) в пустоте является постоянной величиной с. С классической точки зрения было ясно, что этот результат может относиться лишь к покоящейся системе отсчета, так как относительно системы отсчета, движущейся со скоростью и, скорость света будет с ——v, если свет «догоняет» систему, и с 4-*и, если он движется ей навстречу, Поэтому,

естественно, считали, что можно обнаружить абсолютную скорость движения данной системы отсчета, наблюдая те отклонения от законов электродинамики, в частности, от закона постоянства скорости света, которые должны обнаружиться в этой системе, если только она не находится в абсолютном покое.

Ряд опытов, поставленных с этой целью (где в качестве движущейся системы отсчета служила Земля в ее движении по орбите), дал отрицательный результат. Оказалось, что движение системы отсчета не нарушает законов электродинамики вопреки тому, что бесспорно следовало из классической теории. Разрешение возникшего таким образом глубокого противоречия было дано специальной теорией относительности, согласно которой не только законы механики^ но и электродинамики тоже^ выглядят совершенно одинаково 6 любой инерциальной системе; в частности^ скорость света (б пустоте) постоянна и равна с 6 любой инерциальной системе.

Но если дело обстоит таким образом, то теряет смысл отличать среди инерциальных систем те, которые находятся «в абсолютном покое», от тех, которые «движутся». Раз за понятием абсолютно покоящейся системы отсчета не стоит никакой физической реальности, которая отличала бы ее от остальных инерциальных систем, то это значит, что мы имеем дело с неудачной абстракцией, не оправдавшейся дальнейшим развитием науки. В дальнейшем, рассматривая инерциальные системы, мы будем считать их все равноправными и обладающими движением лишь одна относительно другой (а не абсолютным).

Итак, вместо одной привилегированной системы отсчета возникает привилегированный класс инерциальных систем^ в которых законы физики формулируются одинаково и которые движутся одна относительно другой равномерно и прямолинейно. Этими свойствами класс инерциальных систем и будет описываться в специальной теории относительности (после того, как наша исходная «покоящаяся» система потеряла смысл).

§ 62・ Пространство событий

Мы уже указывали на противоречие между опытом, который показал равноправие всех инерциальных систем, и классической теорией, согласно которой законы электродинамики верны лишь в «покоящейся» системе, а в остальных нарушаются. С точки зрения теории относительности это противоречие имеет своим источником в первую очередь неправильность формул (61.1), (61.2), пересчитывающих пространственно-временные координаты события х, у, 2, /, вычисленные относительно одной инерциальной системы S, на х\ у', е', /\ вычисленные относительно другой инерциальной системы S' (мы вывели эти формулы, предполагая систему S покоя-

щейся, но в них ничего не изменится, если считать S любой инерциальной системой, a S'——движущейся относительно нее со скоростью и в направлении оси X, причем в начальный момент S н S' совпадают). Согласно теории относительности эти формулы должны быть заменены новыми, которые обеспечат инвариантность уже всех физических законов; и в области механики, и в области электродинамики. Само собой ясно, что признание формул (61.1), (61.2) неправильными означает отрицание наших прежних представлений о пространстве и времени, на основании которых эти формулы легко получаются, а замена их новыми означает коренную перестройку этих представлений. В дальнейшем мы все это увидим на конкретных примерах.

Чтобы подойти к установлению новых формул с достаточно широкой точки зрения, мы должны будем рассмотреть четырехмерное пространство событий, которое на протяжении всей этой главы будет играть у нас основную роль и в котором будут развертываться все наши построения.

Под событиями мы условимся понимать элементарные события, т. е. происходящие в столь малой области пространства и в столь короткий промежуток времени, что, идеализируя положение вещей, их можно считать происходящими в одной точке и мгновенно. Само содержание события нас интересовать не будет, так что в сущности событие в нашем понимании сводится к заданию определенного места (точки) в пространстве в определенный момент времени. Таким образом, наше понятие события примерно в том же смысле представляет собой идеализацию реального физического процесса малой протяженности в пространстве и времени, в каком геометрическое понятие точки — идеализацию реального физического тела малой протяженности в пространстве.

Перед нами стоит задача установления новых формул преобразования, смысл которой можно формулировать так. Одно и то же событие может рассматриваться относительно различных инерциальных систем; рассмотрим какие-нибудь две из них, S и S： Пусть относительно S событие произошло в точке с координатами х, у, z в момент времени /, а относительно S' в точке с координатами х\ у', z' н в момент времени /'. Спрашивается, какова зависимость между координатами события в системе S и системе S' (координатами события мы будем называть числа х, у, z, /).

Прежде всего мы предполагаем, что эта зависимость будет линейной, т. е. /', х\ у', z' выражаются линейными (вообще говоря, неоднородными) функциями от /, х, у, z.

Действительно, классическая зависимость (61.1), (61.2) является линейной как в том простейшем случае взаимного расположения осей X, Y, Z и Х',У', Z', для которого она у нас выписана, так, конечно, и в самом общем случае. Естественно попытаться решить

поставленную нами задачу, видоизменяя коэффициенты этой зависимости, но не отказываясь от ее линейного характера.

Более же глубокая причина заключается в том, что лишь при линейном характере зависимости мы обеспечиваем соблюдение закона инерции в любой инерциальной системе (предполагая, что он соблюдается в одной из них).

Далее, нам нужно обеспечить, чтобы скорость распространения света была с точки зрения любой инерциальной системы одна и та же и равнялась константе с. Точнее говоря, нам нужно потребовать, чтобы всякий сигнал, распространяющийся в каком-либо направлении со скоростью с относительно одной инерциальной системы, распространялся бы с этой же скоростью с и относительно любой другой инерциальной системы.

В таком случае, принимая, что свет распространяется в любом направлении со скоростью с относительно хотя бы одной инерциальной системы, мы получим этот же результат и для любой другой инерциальной системы.

Будем рассуждать следующим образом.

Пусть первое событие М состоит в том, что из некоторой точки в некоторый момент времени подается сигнал, а второе событие М ——в том, что этот сигнал принимается в какой-то другой точке в другой момент времени. Координаты событий М и М относительно системы S обозначим (% %, у, N) и (7, х, у, N), а относительно системы S' — теми же буквами, но со штрихами. Тогда тот факт, что сигнал распространялся со скоростью с, относительно системы S можно записать в виде

/ « —X)2+(j—屮2十 « —z)2=c"—/),

т. е. путь, пройденный световым лучом, равен протекшему времени, умноженному на с. Возводя почленно в квадрат и перенося все члены налево, получим:

—“7—Cf)2+G—%)2 十(3—у)2+@ —n)2 = 0. (62.1) Тот же самый факт, записанный с точки зрения системы S', приводит к аналогичному соотношению:

—“7—4)2 + (/—亡户+炉一歹)2+(》_/)2 = 0・ (62.2) Мы требуем, чтобы из того, что сигнал распространяется со ско* ростью с относительно одной инерциальной системы, следовала бы такая же скорость его распространения и относительно любой другой инерциальной системы. Другими словами, из соотношения (62.1) должно следовать (62.2), и обратно.

Однако мы потребуем еще большего, а именно, чтобы для любых двух событий 附, М выражения, стоящие в левых частях

равенств (62.1), (62.2), всегда были бы равны между собой:

—(J—出)2 + (Х—X)2 + (у—у)2 +(Z —2)2 =

^—^Г — сГ^+^ — х^^^—у^ + ^—гУ，(62.3)

Ясно, что если это требование соблюдается, то из (62.1), т. е. из обращения в нуль левой части (62.3), вытекает (62.2), т. е. обращение в нуль правой части (62.3) (равно как и обратно). Однако мы требуем соблюдения (62.3) и в тех случаях, когда его правая и левая части в нуль не обращаются, что, конечно, означает дополнительное предположение. Мы как будто произвольно усилили наши требования, но дело в том, что иначе мы пришли бы к физически нелепым выводам, которые все равно вынудили бы нас сделать дополнительные предположения.

Итак, окончательно: линейная зависимость ，, х\ у', z' от 厶 х, j, z при переходе от одной инерциальной системы, к другой должна быть такова, чтобы для любых двух событий соблюдалось равенство (62.3).

Теперь нетрудно установить связь с предшествующей математической теорией, именно с геометрией четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса 1 (§ 48). В ортонормированной координатной системе х°, х1, х2, х скалярный квадрат вектора выражается в этом пространстве формулой

х2= — х°2 + х12 + 炉‘ + 炉\

в частности, скалярный квадрат вектора ММ, «соединяющего» две какие-нибудь точки М (х;), 府(％'), имеет вид

幽而 2= — go —%0)2 +(3—%1户 + a2—炉户 + 伊一%3 户(62.4)

Выберем какую-нибудь инерциальную систему S, и пусть /, х, j, z будут координаты событий с точки зрения S.

Выберем в нашем псевдоевклидовом пространстве какую-нибудь ортонормированную координатную систему х°, х1, х2, х3.

Условимся изображать каждое событие М (/, х, у, z) точкой М (х°, х1, х2, х3) в псевдоевклидовом пространстве таким образом, чтобы

х° = с/, х1 —х, х2 = j, %3 = z(62.5)

(£'，К У’，2)Но мы уже поставили в соответствие каждому событию М точку М псевдоевклидова пространства. Припишем этой точке следующие координаты (не предрешая вопроса о их характере с точки зрения псевдоевклидова пространства):

%X = С，，= x^ =у\炉，=2;(62.6)

Мы утверждаем, что координаты х* будут тоже ортонормирован- ными, В самом деле, так как 尸,尤‘,у', е' линейно зависят от /, х, у, z, то координаты х「 линейно зависят от координат хг. А так как эти последние — ортонормированные аффинные координаты, то х「 тоже будут аффинными координатами. Но, кроме того, для любых двух событий выполняется соотношение (62.3). Это соотношение можно переписать для соответствующих точек псевдоевклидова пространства следующим образом (пользуясь (62.5), (62.6)):

—&о —尤呼 + (к —炉)2 + (/— % 2)2 + (/—炉)2 =

=—(g'一胆')2+(，’—以)2+(以’—川户+ (g'一炉'产(62.7)

Так как левая часть выражает скалярный квадрат ЖЖ согласно (624) (координаты 炉 ортонормированные!), то наше равенство можно переписать в виде

m兩 2= —(» —%0)2+(3，—x1)2+(/，一 ")2 +(8，_x3)2.(62.8)

Итак, х「 являются аффинными координатами, в которых скалярный квадрат вектора ММ2 выражается формулой (62.8), т. е. приводится к сумме-разности квадратов его координат хг—хг. Но мы знаем, что скалярный квадрат вектора имеет такое выражение в ортонор- мированной и только 8 ортонормированной координатной системе псевдоевклидова пространства (§ 42). Следовательно, хг представляют собой тоже ортонормированную координатную систему.

Окончательный результат: пространство событий можно так взаимно однозначно отобразить на четырехмерное псевдоевклидово пространство индекса 1, 4To координаты событий /, х, у, е, вычисленные с точки зрения любой инерциальной системы S, будут играть роль ортонормированных координат 8 псевдоевклидовом пространстве (причем / нужно еще умножить на с):

%0=俏 %i = %, 炉=乂 炉=n (62.9)

Тем самым выбор инерциальной системы S в пространстве событий равносилен выбору ортонормированной координатной системы в псевдоевклидовом пространстве, а переход от одной инерциальной

системы S к другой S' равносилен переходу от одной ортонорми- рованной координатной системы к другой. Но мы знаем, что этот последний переход совершается при помощи формул

(62.10)(62.10)хг 二 А^х ~^Aift

(62.10)

(62.10)

где 仆'一псевдоортогональная матрица 4-го порядка, индекса 1. Напомним, что это означает, что матрица А； связана со своей обратной матрицей А^ как следует из соотношений (50.7), следующим образом:

4：

< Il

II 勺，一勺，一个，

-用

仆'

4；'

个'

1 一&， 4， 丁，

.(62.11)

个‘

偿

不'

抬，

財

用'

个'

II -工 勺，个，

代，

Другими словами, данная матрица 4，' и обратная ей 4} совпадают после транспонирования одной из них и умножения первой строки и первого столбца у одной из них на —1. При этом, как мы вскоре увидим, нам придется ограничиться случаем Л^ > 0 (следовательно, и Лу〉0).

Так как %’ согласно (62.9) могут служить и координатами событий, то (62.10) дает нам общий вид перехода от одной инерциальной системы к другой. Этим и решается основная задача, поставленная 6 этом параграфе.

В дальнейшем мы всегда будем представлять себе, что пространство событий отображено указанным, образом на паевдоевклидово пространство и восприняло его геометрию, причем инерциальные системы отсчета приняли вид ортонормированных координатных систем,.

Заметим, что если два события М, М являются одновременными относительно какой-либо системы отсчета S, то в соответствующей ортонормированной системе х° = х° формула (62.4) принимает вид

ММ2 = (х1—■ х1)2 + (х2 — х2)2 + (х3 — х3)2,

и расстояние 7И7Й в пространстве событий совпадает с точки зрения системы S с обычным расстоянием между точками, где события произошли.

Если же относительно системы S два события 7И н 7И про

изошли в одной точке,

то формула (62,4) дает

М府 2= — (口― ％Q)2, откуда видно, что расстояние ММ в пространстве событий будет мнимым и равно / (х° — х°) = ic (t—f), т, e. равно промежутку времени, протекшему между этими событиями, умноженному на 必

Таким образом, псевдоевклидова метрика в пространстве событий носит универсальный характер и объединяет в себе измерение как пространственных, так и временных расстояний, В первом случае расстояния в этой метрике получаются вещественными, во втором —— мнимыми.

§ 63. Формулы Лоренца

Разберемся теперь детально в полученном результате, именно в новых формулах перехода (62.10) от одной инерциальной системы к другой. С геометрической точки зрения речь идет о переходе от одной ортонормированноЙ координатной системы к другой в пространстве событий, т. е, в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1. Этот переход изучался нами специально в § 48. Там было выяснено, что, проделав предварительно тривиальные вращения над ортонормированными реперами 9i и fRz и параллельный сдвиг одного из них, можно свести преобразование к простому виду (48.10), (48.11):

е。，

660+5

%, = е8, (63,1)

причем О неподвижно. Соответствующее преобразование ортонормнрованннх коорди^

нат 无'будет иметь вид

土 /Гтр'

—pхо + 炉

尸=%3(63 2)

(см, переход от преобразования (50.1) к (50.6)). Посмотрим, что означает этот результат с точки зрения пространства событий. Прежде всего параллельный сдвиг репера, например 范 означает, что над ортонормированными координатами х°, х1, х2, № произведено преобразование, заключающееся в добавлении к ним некоторых констант. Но так как координаты W имеют теперь в соответствующей инерциальной системе S физический смысл (62.9), то это означает, что некоторые константы добавились к /, х, у, z, т. е. изменен начальный момент отсчета времени и координатные оси X,匕 Z параллельно сдвинуты и укреплены на прежней «платформе» в новом положении. Такое изменение системы отсчета мн относили к числу тривиальных.

Далее, тривиальное вращение репера Э? (и аналогично Э?‘) заключается в том, что вектор е0 не меняется, а е1т еа, е3 испытывают вращение в своей плоскости, т. е. в трехмерном собственно евклидовом пространстве. Отсюда вытекает, что х° не меняется, а %1, х2, х3 подвергаются обычному ортогональному преобразованию. Но, учитывая (62.9), мы видим, что это означает некоторый определенный поворот координатных осей X, У, Z при прежнем отсчете времени t. Так как коэффициенты ортогонального преобразования константы от времени не зависят, то повернутые оси X、У, Z твердо расположены относительно прежних осей X, У, Z и укреплены на той же «платформе». Такое преобразование системы отсчета мы тоже назвали тривиальным.

Итак, за счет тривиального преобразования инерциальных систем, отсчета S 〃 S', т. е. сохраняя прежнее движение ^платформ» и лишь иначе скрепляя с ними координатные оси X, Y, Z и Х\ У' Z', а также, возможно, изменяя начальный момент отсчета времени, можно добиться, чтобы переход от S 冷 S' принял вид (63.2).

Чтобы выпуклее представить этот результат, перепишем формулы (63.2), пользуясь (62.9), в следующем виде:

(63.3)(63.3)

(63.3)

(63.3)

Здесь имеется четыре варианта выбора знаков в знаменателях. Однако мы из них оставим лишь один, именно, когда оба знака положительные. В первой формуле мы делаем это на основе физических соображений: если бы знак знаменателя был отрицательным, то возрастание t вызывало бы убывание f (считая для простоты х, j, z постоянными). Другими словами, наблюдая с точки зрения системы S' существование точки Q (х, у, ?), скрепленной с системой S, мы увидели бы все события происходящими в обратной последовательности. Этот физически абсурдный результат заставляет нас отказаться от знака минус в первой формуле (63.3) и, что то же самое, в первой формуле (63.2) и по совершенно аналогичным причинам считать и в общей формуле (62.10) коэффициент』：'положительным: 4；'〉0. Заметим, что с точки зрения пространства событий это означает, что переход от одной инерциальной системы к другой не есть любой переход от одного ортонормированного репера к другому. Этот переход представляет собой либо собственное движение, либо несобственное движение 1-го рода (но не 2-го и не 3-го). Соответственно этому инерциальным системам будут отвечать в пространстве событий ортонормированные реперы не всех четырех, а лишь двух классов.

Что же касается случая знака минус в знаменателе второй формулы (63.3), то его устранение не связано с какими-либо

принципиальными соображениями и достигается просто изменением положительного направления оси X' на обратное, вследствие *jero х" меняет знак. Итак, окончательно формулы (63.3) мы будем писать в виде

=мт^=мт^у' = J, z'=z.у' = J, z'=z.(63.4)(63.4)

=мт^

=мт^

у' = J, z'=z.

у' = J, z'=z.

(63.4)

(63.4)

Таковы формулы перехода от одной инерциальной системы S к другой S' после упрощений, внесенных предварительным тривиальным преобразованием этих систем отсчета. Конечно, нетрудно догадаться, каков настоящий смысл этих тривиальных преобразований: мн так повернули и сдвинули координатные оси, скрепленные с каждой из платформ, и так изменили начальный момент отсчета времени на одной из них, чтобы оси У, Z системы S в начальный момент / = 0 совпадали с осями У, Z' системы S' в начальный момент 尸=0, а последующее движение Sf относительно S (равно как и S относительно S') происходило вдоль общей оси X. Однако, если бы мы попытались привести формулы преобразования к упрощенному виду (63.4), исходя непосредственно из этих соображений, то могли бы легко запутаться в новых, еще неизвестных нам, пространственновременных соотношениях.

Формулы (63.4) представляют собой аналог формул (61.1) и (61.2) и призваны их заменить при переходе от классической точки зрения к релятивистской. Уже беглое сравнение этих формул показывает глубокую разницу между ними, которая при дальнейшем исследовании станет еще более разительной.

Прежде всего нужно выяснить смысл параметра £ входящего в формулы (63.4). По аналогии с (61.1), (61.2) следует ожидать, что он должен быть связан со скоростью движения и одной инерциальной системы относительно другой, и это действительно оправдывается.

Рассмотрим точку R закрепленную в системе S'. Ее координаты х\ у', z' остаются, следовательно, постоянными; время же， будем считать переменным, так что мы рассматриваем одну и ту же (с точки зрения системы S') точку Р в разные моменты времени ，.

Как будет восприниматься поведение точки Р с точки зрения системы S?

Дифференцируя почленно последние три из четырех уравнений (63.4) и учитывая, что в нашем случае dx" = dyr — dzf = 0, получаем:

0 =—尸,0 =少，0 = dz,

откуда

贯=也 й=0' 27 = °-(63.5)

Эти формулы показывают, что всякая точка Р, закрепленная в системе S', движется относительно системы. S с постоянной скоростью 0с в направлений оси X. Последний результат позволяет нам говорить, что и вообще инерциальная система S' движется относительно S поступательно с постоянной скоростью ^с (в направлении оси Л), имея в виду, что так движется всякая точка, скрепленная с системой 5\ Обозначим скорость движения S' относительно S через % так что

v=pc,卩=子.(63.6)

Так как параметр 卩 меняется в пределах

-1 <р<1,

то скорость и может принимать значения в пределах

—с < -у < с.

Таким образом, относительная скорость инерциальных систем никогда не достигает скорости света. А так как мы считаем, что в принципе со всяким твердым телом можно связать систему отсчета, то в теории относительности принимается, что вообще никакие два тела не могут иметь относительной скорости, превышающей или хотя бы достигающей скорости света. Далее мы увидим, что все основные формулы приводятся к абсурду, если предположить противное: дело в том, что в них вслед за формулами (63.4) почти во всех основных формулах будет фигурировать радикал

который становится мнимым, если предположить и〉с. Принимается также, что никакое возмущение не может распространяться со скоростью, превосходящей % хотя скорость с и может им достигаться, как это происходит для электромагнитного возмущения.

Теперь формулы (63.4) можно переписать в виде

Эти формулы пэрехода от одной инерциальной системы S к другой S' носят название формул Лоренца.

Если, обратно, выразить отсюда 九 х, у z через 厶 ％', у', z', то это обратное преобразование, как показывает элементарный подсчет, будет иметь вид

(63.8)(63.8)

(63.8)

(63.8)

т. е. отличается от прямого лишь заменой и на ——v. Это означает, что если система S' движется относительно S со скоростью v, то S движется относительно S' со скоростью —v. Это, правда, представляется само собой ясным, но так как нас ждут в дальнейшем выводы, опрокидывающие многие привычные представления, то этот результат следует отметить.

§ 64. Исследование формул Лоренца

При первом взгляде на формулы (63.7) поражает их, казалось бы, полное несходство с формулами (61.1), (61.2) классической теории. А между тем мы знаем, что классические формулы практически безусловно верны, по крайней мере, с большой степенью точности. Поэтому возникает вопрос, как согласовать формулы Лоренца с классическими. Ответ очень прост. На практике мы обычно имеем дело

со скоростями, весьма малыми сравнительно со скоростью света, т. е. отношение — очень мало, и его квадратом практически можно пренебречь по сравнению с 1. Поэтому можно считать

(64.1)

Кроме того, в первой формуле (63.7) можно пренебречь величиной —х сравнительно с временем г, так как 厘 х есть произведение весьма малого промежутка временем — ) на весьма малую дробь —. В результате формулы (63.7) принимают вид

t‘ у t、X’ ^—V/ -f X, У=у 2，= 2,

т. е. мы возвращаемся к классическим формулам (61.1), (61.2). Таким образом, при скоростях, малых сравнительно со скоростью света, теория относительности дает практически те же результаты, что 〃 классическая механика. Это будет повторяться в дальнейшем постоянно, и, естественно, так оно и должно быть — иначе теория относительности стояла бы в явном противоречии с нашим повседневным опытом. Но при больших скоростях, в повседневной практике недостижимых, появляется разногласие между обеими теориями, и опыт решает этот спор в пользу теории относительности.

Разберем теперь некоторые частные следствия формул Лоренца, которые покажут нам характерные черты новых пространственновременных соотношений.

1°. Сокращение продольных размеров движущихся тел. Пусть на оси X' в инерциальной системе S' покоится стержень длиной /. Обозначим абсциссы концов этого стержня через х*, %；. Тогда

%；—%；=/. (64.2)

Абсциссы %；, %； остаются постоянными, но 尸 мы считаем переменным, т. е рассматриваем существование стержня во времени.

Относительно системы S этот стержень вместе с системой S' движется со скоростью и в направлении оси X, вдоль которой он расположен. Заметим, что вообще оси X н X' все время совпадают в том смысле, что всякое событие, происходящее на оси X с точки зрения S, происходит с точки зрения S' на оси X'. Это сейчас же следует из того, что обращение в нуль у, z влечет обращение в нуль и у', z'.

Попробуем измерить длину нашего стержня относительно системы S. Ввиду того что он движется, нужно зафиксировать положение его концов в какой-либо определенный (один и тот же!) момент времени /, а затем найти расстояние между отмеченными точками. Пусть абсциссы этих точек будут %口 х2. Тогда согласно второй формуле (63.7) абсциссы концов стержня в системе S' выразятся следующим образом:

J — 一+ 尤碧

V J：

Вычитая почленно из второй имеет в обоих случаях одно и

声*1/ 1/

формулы первую и учитывая, что i то же значение, получаем:

尤2-尤1

Обозначая длину отрезка с тс^чки зрения системы S через /':

и пользуясь (64.2), получаем:

/ = 一, т. е. /，= /*(64.3)

Таким образом, стержень, имеющий длину / 8 той инерциальной системе, где он покоится, имеет длину / ^/^ 1 ——% 8 той инерци

альной системе, относительно которой он движется со скоростью и

8 продольном направлении.

Все сказанное относительно стержня применимо, конечно, и к любым твердым телам. Таким образом, когда относительно данной инерциальной системы S твердое тело приводится в поступательное

движение с постоянной скоростью а, его размеры в направлении

движениядвиженияв отношенииS', связаннойв отношенииS', связаннойсокращаются с точки зрения системы S * В то же время с точки зрения системы

движения

движения

в отношении

S', связанной

в отношении

S', связанной

с самим движущимся телом, в нем не происходит ни малейших изменений. Итак, оказывается, что размеры тела не есть нечто принадлежащее только ему самому; они носят относительный характер, т. е. зависят и от той системы отсчета, к которой тело

отнесено.

В дальнейшем мы обнаружим относительный характер еще ряда величин, считавшихся ранее абсолютными. Это обстоятельство нередко давало повод к идеалистическому толкованию: на нем пытались обосновать субъективный характер физических величин, именно, зависимость их от положения наблюдателя на той или иной системе отсчета. В действительности же речь идет о материальных взаимоотношениях двух физических тел: одно, например, наш стержень, другое, практически обычно более массивное и соподчиняющее себе первое,— наша инерциальная система отсчета S. Длина стержня «с точки зрения системы S》——это объективно существующий факт, результат материального взаимодействия этих двух физических тел.

Заметим кстати, что подлинная цель теории относительности не в установлении этой относительности физических величин, а (в известном смысле наоборот) в установлении абсолютного характера физических законов, одинаковых в любой инерциальной системе.

Сокращение размеров движущегося тела происходит лишь в продольном направлении (т. е. в направлении движения); поперечные же

его размеры не меняются. Это видно из формул у'=у, z'= N, показывающих, что поперечные размеры тел одинаковы с точки зрения обеих инерциальных систем. :

2°. Относительный характер одновременности. Пусть на оси X в инерциальной системе S происходят два события в точках х1( х2 в один и тот же момент времени tl = t2 = t. Отметим моменты совершения этих событий f；, f； в системе S'. Со гласно первой формуле (63.7) получаем:

Мн замечаем, что 厶声& а именно:

(64.4)

Таким, образом, два события, одновременных относительно S, оказываются разновременными относительно S' и притом с тем большим расхождением во времени, чем далее отстоят друг от друга с точки зрения системы S места, где они произошли (расстояние учитывается лишь в направлении оси X, т. е. в направлении относительного движения систем S и S'; поперечное смещение в сторону осей У, Z не играет роли). Так, например, если с точки зрения системы S электрические лампочки, расположенные цепью вдоль оси X, вспыхнули одновременно, то с точки зрения системы S' они вспыхивали последовательно, начиная с того края, который расположен по направлению движения S' относительно S.

Этот результат разрушает наше привычное представление об абсолютном характере времени： одновременность двух событий не есть нечто, свойственное лишь самим этим событиям; она зависит еще от той системы отсчета, относительно которой устанавливается. Более того, возможно, что события, происшедшие относительно системы S в одной последовательности, наблюдаются в системе S' в обратной последовательности. Это легко показать, если, вместо того чтобы брать % =5 взять %〉А・ Тогда, считая х2 > хъ е〉0, мы получим, если /2 — f】достаточно ма/о, что

f； <九

На первый взгляд это кажется явным абсурдом: если в системе S причина, как и полагается, предшествовала следствию, то не значит ли это, что в системе S следствие будет предшествовать причине?

Этот парадокс разъясняется следующим образом. Прежде всего исключительно важно, что относительный характер одновременности имеет место лишь для событий, происходящих в разных местах пространства, В самом деле, если наши события в системе S произошли не только одновременно, но и в одной и той же точке (x2 = x1)t то из (64.4) следует, что 力； = /；, т. е. одновременность будет наблюдаться и с точки зрения системы S'.

Но раз события произошли в разных местах пространства, то чтобы одно служило причиной, а другое следствием, нужно, чтобы некоторое возмущение, вызванное первым, пришло к месту совершения второго не позже, чем в момент его совершения. Но у нас все возмущения распространяются со скоростью, не превышающей с.

И вот оказывается следующее: когда два события таковы, что их последовательность относительно разных инерциальных систем может быть различной, возмущение, вызванное первым событием, никогда не может своевременно поспеть к месту совершения второго события (т. е. если и приходит, то уже после его совершения). Поэтому из таких двух событий одно не может служить причиной другого. Или, что то же самое: если одно событие способно служить причиной другого, т. е. возмущение, вызванное первым событием и распространяющееся со скоростью света, способно своевременно достичь места совершения второго события, то последовательность таких двух событий одинакова относительно всех инерциальных систем.

Справедливость наших утверждений будет показана в следующем параграфе, и этим парадокс устраняется.

Заметим, что, переходя от формул (63.3) к (63.4), мы опирались на то, что знак минус в знаменателе первой формулы приводит к обратному течению времени в системе S', причем речь шла о событиях, происходящих 8 одной и той же точке Q(x,у, z) 8 системе S; но в этом случае события способны служить одно причиной другого, и их обратная последовательность действительно представляет абсурд.

3°. Отставание движущихся часов. Пусть в системе S' неподвижно укреплены часы, отсчитывающие время f. Их пространственные координаты х\ у', 2’ являются, следовательно, постоянными. Будем наблюдать показания этих часов с точки зрения системы S. Отмечаем с точки зрения системы S тот момент t* когда часы показывают время %; согласно первой формуле (63.8)

Совершенно аналогично показание часов i* наблюдается с точки

зрения S в момент %:

Вычитая почленно, получаем:

=—==,т. е. t—k]/ 1一多⑸一幻.(64.5)

Итак, с точки зрения системы S прошел промежуток времени %—G； если же судить по показаниям движущихся часов (точно таких же, какими измеряется время в системе М), то этот промежуток времени равен 才；一厶，т. е. короче в отношении *|/^ 1—^~. Таким, образом, движущиеся часы начинают отставать^ ход их замедляется в отношении

у 1^, хотя с точки зрения той инерциальной системы S', ко

торая движется вместе с часами, в часах не произошло абсолютно никаких изменений.

В этом примере, как и в большинстве других, отклонения от обыч* ного положения вещей зависят от значения радикала у 1———. Когда скорость v мала сравнительно со скоростью света с (как это и бывает в повседневной практике), радикал ничтожно мало отличается от единицы, и эти отклонения незаметны. Напротив, при скоростях, близких к скорости света, когда значение радикала приближается к нулю, создается картина, резко отличная от наших обычных представлений.

4°. Формула сложения скоростей. Мы уже говорили о том, что относительные скорости инерциальных систем и вообще физических тел не достигают скорости света. На первый взгляд здесь заключено противоречие: допустим, что система S' движется относительно S со скоростью 0?9с и система S" относительно S' движется в том же направлении тоже со скоростью 0,9с. Казалось бы, что тогда S" относительно S должна двигаться со скоростью 1,8с.

S', причем составляющие ееS', причем составляющие ееНо дело заключается в том, что обычная формула сложения скоростей неверна с точки зрения теории относительности и должна быть заменена новой. В самом деле, пусть некоторая материальная

S', причем составляющие ее

S', причем составляющие ее

точка движется относительно системы скорости по осям Х\ У', Z，равны vxi

(64.6)(64.6)dx‘ ， dyf ,

(64.6)

(64.6)

"=%，3F = %，

Пусть система S' движется относительно S по-прежнему со скоростью V в направлении общей оси X. Тогда, дифференцируя формулы (63.8), получаем:

dx =dx =и dt' -^dx'и dt' -^dx'dy = dyf, dz= dz‘,dy = dyf, dz= dz‘,

dx =

dx =

и dt' -^dx'

и dt' -^dx'

dy = dyf, dz= dz‘,

dy = dyf, dz= dz‘,

откуда скорость движения точки уже относительно системы S имеет следующие составляющие по осям X, У, Z:

dt 一 [丄 о dx‘ * 1十圆犷dt 一 [丄 о dx‘ * 1十圆犷

dt 一 [丄 о dx‘ * 1十圆犷

dt 一 [丄 о dx‘ * 1十圆犷

Пользуясь обозначениями (64.6) и аналогичными системы S, запишем окончательно:Пользуясь обозначениями (64.6) и аналогичными системы S, запишем окончательно:обозначениями дляобозначениями для

Пользуясь обозначениями (64.6) и аналогичными системы S, запишем окончательно:

Пользуясь обозначениями (64.6) и аналогичными системы S, запишем окончательно:

обозначениями для

обозначениями для

(64.7)(64.7)

(64.7)

(64.7)

Итак, результирующая скорость vx в направлении оси X, полученная наложением двух скоростей — скорости и системы S' относительно S и скорости о] точки относительно S',— равна не просто сумме и + и], как в классической механике, а сумме с последующим делением на

十e2

Когда они] малы сравнительно с с, эта величина практически равна епннние, и мы возвращаемся к классической формуле. Зато если хоть одна из слагаемых скоростей близка к скорости света, то влияние знаменателя велико, и результирующая скорость растет непропорционально мало, в частности, ни в коем случае не может превзойти скорости света с. Это особенно заметно, если взять предельный случай и=с. Тогда

十产

т. е. когда одна из слагаемых скоростей равна с, то добавление к ней любой другой скорости ее не меняет. Это, впрочем, есть

лишь перефразировка нашего исходного положения — постоянства скорости света относительно всех инерциальных систем.

До сих пор мы говорили о сложении одинаково направленных (по оси X) скоростей v и vx. Если же наша точка обладает относительно S' еще «поперечной» скоростью, например,皆工,то относительно S эта скорость оказывается уже иной, именно, приобре

тает множитель г- (конечно, весьма близкий к единице при

небольших q 暝).

Мы начали с рассмотрения пространства событий, введения в нем псевдоевклидовой метрики и сопоставления инерциальных систем ортонормированным координатным системам в этом пространстве. Но получив отсюда формулы Лоренца, дающие связь между различными инерциальными системами, мы выводили следствия непосредственно из них, как бы забыв о псевдоевклидовой геометрии. Между тем и отдельные наши конкретные результаты имеют поучительное истолкование в псевдоевклидовой геометрии пространства событий; но для этого нам будут нужны некоторые свойства кривых в псев- доевклидовом пространстве.

§ 65. Кривые в вещественном евклидовом пространстве

В л-мерном аффинном пространстве естественно определить кри* в дю как совокупность точек М (х(), зависящих от одного параметра /:

x^x^t), /уу%・x^x^t), /уу%・(65.1)(65.1)

x^x^t), /уу%・

x^x^t), /уу%・

(65.1)

(65.1)

Под хг мы понимаем координаты в какой-либо аффинной координатной системе. Зависимость %’ (/) предполагается достаточное число раз дифференцируемой. В частности, если эта зависимость линейная, то мы получаем прямую линию, о которой ранее уже говорилось. Мы ограничиваемся вещественным пространством и все рассматри* ваемые величины считаем вещественными.

Радиус-вектор ОМ точки М (/), очевидно, тоже будет функцией от /:

ОМ^=х (/) = х1 (^) ez.ОМ^=х (/) = х1 (^) ez.(65.2)(65.2)

ОМ^=х (/) = х1 (^) ez.

ОМ^=х (/) = х1 (^) ez.

(65.2)

(65.2)

Продифференцируем радиус-вектор по /, определяя производную обычным образом:

(65.3)(65.3)dx [. Ах (f)

(65.3)

(65.3)

方=lim

При этом переход к пределу для вектора, например, х0 = lim х, мы определяем как переход к пределу для каждой его координаты, Хо = lim х\ Очевидно, смысл этого определения одинаков в любой аффинной координатной системе: если xj = lim xz в одной системе, то Xq = lim %产 в любой другой системе в силу одинакового линейного закона преобразования и для х\ и для 兄 при переходе к %” и %；. В частности, непрерывность функций х1 (/) равносильна непрерывности векторной функции х (/), т. е. соотношению lim х (£) = х (%) при ff 4 (в нашем случае при каждом /0, ^^ /0/3).

Таким образом, координаты вектора ~ по определению получа

Дх

ются предельным переходом от координат вектора — , а эти по- AdWdx

следние равны — и да ют в пределе 而.Итак,山 суи^ествует и имеет координаты r :

Предполагая, что вектор 五 отличен от нуля, мы будем называть его касательным вектором к нашей кривой в данной точке М (/). Такой вектор определяется с точностью до численного множителя, так как вдоль прежней кривой можно выбрать новый параметр /, и тогда

dx 一 dx dt

Прямую линию, проходящую через точку М (/) и направленнук по вектору 近，мы будем называть касательной к нашей кривой в точке М (/).

Дифференциал радиуса-вектора определяется как произведение его производной на приращение параметра:

rfx = ^ Д/ = ^- е,- rff = dx\.(65.5)

Так как £—аргумент, то можно писать df вместо Д/. Дифференциал dx направлен по касательной и показывает смещение по ней из точки М (/), пропорциональное приращению Д/ параметра t. Сравним дифференциал dx с приращением Ax = x(f + Af) — х (/). Очевидно, Дх дает вектор смещения из точки М (/) в другую точку jW(f + Afj на кривой. Так как

Ах =“(/)%,(65.6)

(65.8)(65.8)

(65.8)

(65.8)

то, сравнивая с (65.5), мы видим, что соответствующие координаты векторов Ах и dx (т. е, AW (/) и dxl) отличаются друг от друга при бесконечно малом А/ на бесконечно малые высшего порядка. Поэтому, окончательно, смысл дифференциала dx заключается s том, что он выражает вектор смещения по касательной из точки касания Ж(/), растущий пропорционально А/ и притом так, что уклонение от истинного смешения по кривой в точку Л4« + А/) будет бесконечно малым высшего порядка относительно АЛ Одновременно здесь содержится разъяснение геометрического смысла касательной: из всех прямых, проходящих через М (/), только по касательной можно смещаться так, что уклонение от кривой будет бесконечно малым высшего порядка сравнительно с самим смещением.

Все сказанное до сих пор относится к кривым в аффинном пространстве и, разумеется, остается верным и в евклидовом пространстве. Но в этом случае добавляются и новые свойства. Прежде всего вдоль кривой вещественного евклидова пространства можно вычислять длину дуги. Длину дуги кривой между точками Afi (£1) и М^ (/2) проще всего определить как интеграл

по аналогии с длиной дуги в обычном евклидовом пространстве черточки означают, что вектор берется по длине. Нетрудно заметить, что выписанный интеграл не зависит от выбора параметра t вдоль кривой. Действительно, при переходе к новому параметру т, так что т = т(£) и / = /(т) — непрерывно дифференцируемые возрастающие функции, получаем:

В случае псевдоевклидова пространства касательный вектор — может иметь или вещественную, или мнимую, или нулевую длину. Это будет зависеть от того, будет ли скалярный квадрат вектора —, или, что то же, вектора dx, положительным, отрицательным или нулем:

d^ > 0, dx2 < 0, Jx2 = 0.

Соответственно этому и наша кривая будет в любом своем куске иметь вещественную, мнимую или нулевую длину (изотропная кривая), Конечно, можно провести кривую н так, что на одном ее

участке будет одно положение, а на другом другое, но таких кривых мы рассматривать не будем.

Из формулы (65.7) видно, что если отсчитывать дугу 5 — МЬМ от некоторой начальной точки Л40 (^0) до переменной точки М (t) на кривой s = A4()M то ее дифференциал будет выражаться формулой

ds = |dx| = ^d/,(65.9)

т. е. совпадает с подынтегральным выражением. Или, что то же, ds2 = dW.(65.10)

Если кривая имеет вещественную длину, за параметр t вдоль кривой, и тогда формула 応Т對虑，откуда |g| =Если кривая имеет вещественную длину, за параметр t вдоль кривой, и тогда формула 応Т對虑，откуда |g| =то S можно (65.9) даетто S можно (65.9) даетпринятьпринять1.1.

Если кривая имеет вещественную длину, за параметр t вдоль кривой, и тогда формула 応Т對虑，откуда |g| =

Если кривая имеет вещественную длину, за параметр t вдоль кривой, и тогда формула 応Т對虑，откуда |g| =

то S можно (65.9) дает

то S можно (65.9) дает

принять

принять

1.

1.

Таким образом, производная радиуса-вектора по дуге s дает еди

ничный касательный вектор

(65.11)

Если кривая имеет мнимую длину, то s является чисто мнимой величиной

s = B(65.12)

и за параметр £ вдоль кривой мы примем вещественный коэффициент а при мнимой единице. Тогда ds=ido, и формула (65.9) дает

'•""=1案也 откуда 関=，.(65.13)

Таким образом, производная радиуса-вектора по а дает мнимоединичный касательный вектор

；=爲；2 = Т(65.14)

Разумеется, сам вектор т — вещественный, и вообще в псевдоевкли- довом пространстве мы по-лрежнему не рассматриваем каких-либо мнимостей кроме (в некоторых случаях) длин.

Пусть теперь кривая — изотропная, т. е. на любом участке имеет нулевую длину, что равносильно изотропности ее касательного вектора — в любой ее точке

闕=0, т. е.備У = 0・(65.15)

В этомВ этомслучае выбор дуги в качестве параметра, конечно, невоз

В этом

В этом

можен.

Нас будут особо интересовать псевдоевклидовы пространства индекса I, так как пространство событий принадлежит к их числу. Для каждой точки такого пространства можно построить, как мы знаем, изотропный гиперконус с вершиной в этой точке, причем векторы вещественной длины, отложенные из данной точки, пойдут

вне гиперконуса, векторы мнимой длины ——внутри его, а изотропные векторы — по его образующим (рис. 11). Соответственно этому кривая

вещественной длины в каждой своей точке направлена вовне изо

тропного конуса в этой точке, кривая мнимой длины ——внутрь его, а изотропная кривая касается его образующей (но, вообще говоря, не совпадает с ней).

§ 66. Кинематика теории относительности в геометрическом истолковании

Рассмотрим процесс движения какой-либо материальной точки. Для этого нужно указать положения, которые занимает точка в отдельные моменты времени, т, е. совокупность событий, зависящую от одного параметра (например, от времени t изме

ряемого относительно какой-либо системы S). Но такая совокупность событий образует в четырехмерном пространстве событий некоторую линию. В самом деле, зададим процесс движения точки

Для этого нужноДля этого нужноотносительно какой-либо инерциальной системы S.

Для этого нужно

Для этого нужно

как функциикак функциих, у z выразитьх, у z выразитьпеременные координаты этой точки

как функции

как функции

х, у z выразить

х, у z выразить

%=/1«), «У=/2(%n=/3(W).%=/1«), «У=/2(%n=/3(W).(66.1)(66.1)времени:

%=/1«), «У=/2(%n=/3(W).

%=/1«), «У=/2(%n=/3(W).

(66.1)

(66.1)

Но с/, х, у z можно рассматривать как ортонормированные координаты х°, х1, х2, %з в пространстве событий, так что наши уравнения

примут вид

(66,2)(66,2)

(66,2)

(66,2)

Мы получаем, следовательно, совокупность событий М (х°, х1, %2, %з), зависящих от одного параметра *°, т. е. линию в пространстве событий, Итак, процесс движения материальной точки изображается линией 8 пространстве событий, Если, в частности, движение точки

равномерное и прямолинейное^ то функции (66.1) линейные, а следовательно, и х1, х2, х3 линейно зависят от х°, и линия будет прямой.

Кривая, отображающая в пространстве событий процесс движения материальной точки, называется ее четырехмерной траекторией. Впрочем, вернее было бы говорить об изображении не «процесса движения», а «истории существования» данной материальной точки. Дело в том, что движение мы рассматриваем всегда относительно той или иной системы отсчета S, между тем четырехмерная траектория является построением абсолютным, не зависящим от выбора системы отсчета 5 и в таком выборе вообще не нуждающимся. Действительно, грубо говоря, четырехмерная траектория есть совокупность событий, из которых состоит история существования данной материальной точки, следовательно, определяется вне связи с выбором S и представляет собой однозначным образом определенную кривую в пространстве событий. В связи с этим и касательный к ней мнимоединичный вектор — тоже вполне определенный вектор, инвариантный относительно выбора системы отсчета. Однако не всякая кривая в пространстве событий может служить четырехмерной траекторией материальной точки: для этого необходимо и достаточно, чтобы кривая была мнимой длины.

В самом деле, материальная точка может двигаться лишь со скоростью, меньшей с. Запишем это с точки зрения инерциальной системы 5, в которой закон движения точки имеет вид (66.1).

ти7dz

Так как проекции скорости на оси л, У, Z суть %, 扑 —, то получаем:

/備У+偿У+偿(66.3) откуда

—c2dt2 + Jx2 + df + dz2 < 0,(66.4)

или, переходя в соответствующие ортонормированные координаты в пространстве событий:

—(dx^^(dx^ + (Jx2)2 + (dx^2 < 0.(66.5)

Но согласно (65.5) для нашей четырехмерной траектории

dx = d%d = dx°eQ + dx1^ + Jx2e2 + Jx3e3,

откуда

dx2 = —(Jx0)2 + (d/)2 + (d%2)2 + (JX3)2 V 0,(66.6)

а это согласно (65.8) означает, что четырехмерная траектория есть кривая мнимой длины в пространстве событий.. Мы будем относить

ее к вещественному параметру。工号(§ 65), условившись отсчитывать о в сторону возрастания х°. Пишем ее уравнения в виде

xQ^xQ (о), %i = %i(o), %2 = %2(о), х3^х3 (о).(66.7)

При этом

ds = I dx I •= М—炉十dx12 4-山戸十壮炉名—

так что

do ^dx^—dx12—dx2"—dx3\(66.8)

Касательный вектор

будет, как мы знаем, мнимоединичным. Его координаты имеют при этом вид

/ — dx* dxi

T 一而一 小 俞一d"2_dx22 片小

Ясно, что и, обратно, всякая кривая мнимой длины в пространстве событий может служить четырехмерной траекторией некоторой материальной точки, так как обеспечивает скорость движения, меньшую с.

Будем представлять себе, как это делается в геометрической оптике, что свет в пустоте распространяется прямолинейными лучами наподобие частиц, движущихся прямолинейно и равномерно со скоростью с. Тогда можно говорить о четырехмерных траекториях распространения света; эти траектории будут, очевидно, прямыми линиями и притом изотропными, так как в формулах (66.3) — (66.6) придется везде изменить знак < на —.

Пусть событие Ж состоит в том, что световой сигнал исходит в данный момент из данной точки; тогда картина его распространения по всевозможным направлениям изображается в пространстве событий всевозможными образующими изотропного гиперконуса, исходящими из точки Ж (точнее, «верхними» полуобразующими, так как «нижние» полуобразующие отвечают времени, предшествующему подаче сигнала).

Четырехмерные же траектории материальных точек будут представлять собой кривые, в каждой своей точке направленные внутрь соответствующего изотропного гиперконуса, что означает скорость движения, меньшую с.

Параметр о (деленный на с) имеет физический смысл так называемого собственного времени материальной частицы (под которой можно понимать в известном контексте и достаточно крупное тело, например космический корабль или даже планету).

Действительно, на бесконечно малом отрезке чётырехмерной траектории вычислим dx° = с dt в системе отсчета S, в этот момент движущейся «вместе с частицей» или, что то же самое, в системе отсчета S, относительно которой частица в этот момент покоится:

dx1 = dx2 = d%3 = 0.

Получаем согласно (66.8):

do — dxQ = с dt.

Естественно принять, что внутренние процессы, происходящие в неравномерно движущейся «частице», согласуются с течением времени г = — о; в самом деле, на каждом бесконечно малом участке четырехмерной траектории — имеет смысл протекшего времени dt в системе S, движущейся в этот момент «вместе с частицей».

Если две различные частицы имеют четырехмерные траектории с общей начальной точкой Мх и общей конечной точкой Л72, то собственное время -у о, протекшее от «начальной встречи» частиц до их «конечной встречи», имеет, вообще говоря, свое значение для каждой из частиц, так как их четырехмерные траектории, соединяющие точки 心，/И?, могут быть весьма различными (рис. 11). При этом, как нетрудно показать, наибольшего значения протекшее время достигает в случае прямолинейной траектории (см. (103.15)).

Если одна из «частиц»——Земля, а другая — космический корабль, улетающий с Земли с очень большой скоростью, а затем на нее возвращающийся, то из сказанного следует, что космонавты по возвращении на Землю постареют меньше, чем люди* оставшиеся на Земле. Дело в том, что четырехмерную траекторию Земли приближенно можно считать прямой линией взамен «винтовой линии», сильно вытянутой в направлении оси х°, как это на самом деле имеет место (в системе отсчета S, связанной с Солнцем).

Мы хотим теперь кинематические результаты, полученные в § 64, геометрически истолковать в пространстве событий. По-прежнему рассматриваем инерциальные системы S и S', связанные формулами Лоренца (63.7), (63.8). Но для простоты и наглядности мы будем рассматривать лишь события, происходящие на оси X s системе S 〃， значит, на оси X' s системе S'.

Другими словами, мы считаем у = 2 = 0, а значит (согласно формулам Лоренца), и у =z' = 0. Так как cj %, у, z в пространстве

событий представляют собой ортонормированные координаты х°, х1,

х2, х3, то это означает, что все рассматриваемые события распола

гаются в двумерной плоскости X3 = х3 = 0 (или, что то же, X3' = х3' = 0). Это будет координатная плоскость, построенная на ортах е0, ех или равным образом на ортах е0>, ег, и притом псевдоевклидова, так как 爲=—1, е： = 1. Эту псевдоевклидову плоскость мы и будем рассматривать, выделив ее из пространства событий (рис. 12).

Инерциальные системы S н S' представлены в этой плоскости ортонормирован- ными реперами (е0, ег) и (е0/, е4/) и соответственно

координатными системами

лишь двелишь две(66.10)(66.10)(х°, х1) и (х°\ хи). В силу %2=%з = о мы сохраняем из формул Лоренца

лишь две

лишь две

(66.10)

(66.10)

и обратные формулы

(66.11)(66.11)

(66.11)

(66.11)

Рассмотрим прежде всего вопрос об одновременности событий. Относительно системы S одновременными будут события с одинаковыми значениями f:

f = const, т. е. х° = const, (66.12)

Но уравнение х° = const определяет на нашей плоскости прямую, параллельную оси №, так что одновременные относительно системы S события располагаются на одной прямой, например PQ, параллельной оси X1. В частности, события, происшедшие в начальный момент f = 0, т. е. %° = 0, изображаются точками самой оси XL Как известно (конец § 62), псевдоевклидо вы расстояния между

событиями, одновременными относительно какой-либо системы S, выражают просто расстояния между точками, где эти события произошли (тоже относительно S). На рис. 12 псевдоевклидово расстояние между событиями Р, Q можно измерить, взяв отношение отрезка PQ к единице длины, отложенной в том же направлении (орт ej. Это отношение выражает расстояние между точками, где произошли события Р, Q, с точки зрения системы 8.

Совершенно аналогично события, одновременные относительно характеризуются условием

f = const, т. е. х0/ = const(66.13)

и изображаются точками какой-либо прямой, например, PQ', параллельной оси X». В частности, события, происшедшие в начальный момент ，= 0, изображаются точками самой оси Х1'. Ясно, что события, одновременные относительно системы S, будут разновременными относительно системы S'. Далее, изображенное на рисунке событие М расположено над осью X】и под осью X，'、т. е. произошло с точки зрения системы S после начального момента / = 0, а с точки зрения системы S'——до начального момента 力=0; событие же ЛГ, наоборот, произошло с точки зрения системы S до начального момента 力=0, а с точки зрения системы S'——после начального момента Г = 0. Выходит, что относительно системы S событие ЛГ произошло раньше, а 附——позже; относительно же системы S'——наоборот.

Процесс движения какой-нибудь точки, закрепленной в системе S' (на оси X'), характеризуется тем, что х' = const, a f меняется. Другими словами, мы получаем совокупность событий, характеризуемую уравнением

%1 ~ const(%0' — переменное)

и изображаемую, следовательно, прямой, параллельной OXJ

Прямые линии, параллельные ОА?\ представляют собой четырехмерные траектории точек, закрепленных на оси X' s системе S'.

Аналогично прямые линии, параллельные ОХ°, дают четырехмерные траектории точек, закрепленных на оси X в системе S:

х = const, т. е. х1 = const.

Если мы хотим изобразить процесс движения целого стержня, покоящегося, например, в системе S' на оси X', то нужно взять совокупность четырехмерных траекторий всех его точек (стержень мы представляем себе в виде отрезка). Пусть в начальный момент ，= 0 стержень изображается отрезком OL оси Xv (ось ОХ1' в пространстве событий, как мы знаем, изображает ось X' в системе S\ точнее, происходящие на этой оси события в начальный момент i* = 0).

Тогда в другие моменты времени ，стержень будет изображаться отрезком。厶 параллельно сдвинутым в направлении оси Х°‘ (см. штриховку на рисунке). Не надо забывать, что стержень покоится в системе S', и его различные изображения показывают лишь течение времени, а не перемену места: у каждой точки стержня х「= const, а меняется лишь х°\

В результате на рис. 12 история существования стержня изобразится целой заштрихованной полосой. Ее можно получить также, строя четырехмерные траектории каждой точки стержня, т. е. проводя параллели оси Х°' через все точки отрезка О£.

Рассмотрим эту полосу с точки зрения координатной системы ^ОХ1. Здесь она уже не вытянута вдоль оси Х°, а является наклонной. Это говорит о том, что происходит не только течение времени, но и перемена места. И действительно, относительно системы S стержень движется вместе с системой S'. Желая рассмотреть этот движущийся стержень в какой-нибудь момент времени / с точки зрения системы S, например, в начальный момент, мы должны положить:

/ = 0, т. е. х° = О,

и рассмотреть соответствующие точки полосы. В результате мы получаем отрезок ОК на оси №, который изображает наш стержень в начальный момент / = 0 с точки зрения системы S. В другие моменты времени / стержень будет изображаться параллельными ОК срезами полосы.

Обращает на себя внимание, что когда относительно системы S мы фиксируем движущийся стержень в определенный момент времени / (например, в виде отрезка ОК при У == 0), то относительно системы S' мы фиксируем разные точки этого стержня в разные моменты времени (значения х°' будут для различных точек различными).

Соотношение (64.3)

можно было бы элементарным путем вывести из нашего рисунка. При этом, очевидно, / будет равно отношению отрезка OL к единице длины на оси ОХ1' (орт ег), а /' — отношению ОК к единице длины на ОХ1 (орт ег). На глаз видно, что Г < /.

Возвращаемся в полное пространство событий и займемся вопросом, в каких случаях события Л4, 府 могут влиять одно на другое, в частности, одно может служить причиной другого. Мы уже упоминали, что это возможно тогда, когда сигнал, распространяющийся со скоростью света, успевает дойти от места одного до места другого события за время, протекшее между этими событиями. Будем

10 П. К. Рашевский

рассматривать наши события в какой-либо инерциальной системе S.

Записываем наше условие:

7 / (x-x^+ty-y^ + iz-z)^ < 17- q,(66.14)

т. е. время, нужное свету, чтобы пройти соответствующее расстояние, не превышает времени, протекшего между событиями. Отсюда следует:

_С2^_02 + ^_х)2+(；_^2 + ^_2)2<0>

т. е.

—(Х° —炉)2 + (k — %1)2 4- (х2 —为2户 + (分3 _ 尢3)2 & 0(66 J 5)

(так как с/, х, j, z — не что иное, как ортонормированные(так как с/, х, j, z — не что иное, как ортонормированныекоорди-коорди-ммРис. 13.Рис. 13.наты х°, х1,吟 X3). Пользуясь (62.4), получаем, наконец,наты х°, х1,吟 X3). Пользуясь (62.4), получаем, наконец,m而2《0.m而2《0.(66.16)(66.16)Таюим образом, для того чтобы из двух событий 7И, М одно могло влиять на другое, необходимо и достаточно, чтобы длина вектора ММ (равная / мар) была мнимой или нулевой. Это условие носит, как видим, инвариантный характер (рис. 13).Таюим образом, для того чтобы из двух событий 7И, М одно могло влиять на другое, необходимо и достаточно, чтобы длина вектора ММ (равная / мар) была мнимой или нулевой. Это условие носит, как видим, инвариантный характер (рис. 13).Мы не уточняли до сих пор, какое именно двух событий влияет на другое. Допустим, чтоМы не уточняли до сих пор, какое именно двух событий влияет на другое. Допустим, чтовлияет на М и, следовательно, времени, так что х° < х°.Рассмотрим те же события другой инерциальной системывлияет на М и, следовательно, времени, так что х° < х°.Рассмотрим те же события другой инерциальной системыпредшествует емупредшествует емуМ, ММ, Миз Мвоиз МвоотносительноотносительноS'. В § 63 мы выяс-S'. В § 63 мы выяс-нили, что при переходе от S к S' в первой фор-нили, что при переходе от S к S' в первой фор-муле (63.3), а следовательно, и (63.2) приходится сохранить в знаменателе лишь знак 十. Но тогда согласно (63.2)муле (63.3), а следовательно, и (63.2) приходится сохранить в знаменателе лишь знак 十. Но тогда согласно (63.2)

(так как с/, х, j, z — не что иное, как ортонормированные

(так как с/, х, j, z — не что иное, как ортонормированные

коорди-

коорди-

м

м

Рис. 13.

Рис. 13.

наты х°, х1,吟 X3). Пользуясь (62.4), получаем, наконец,

наты х°, х1,吟 X3). Пользуясь (62.4), получаем, наконец,

m而2《0.

m而2《0.

(66.16)

(66.16)

Таюим образом, для того чтобы из двух событий 7И, М одно могло влиять на другое, необходимо и достаточно, чтобы длина вектора ММ (равная / мар) была мнимой или нулевой. Это условие носит, как видим, инвариантный характер (рис. 13).

Таюим образом, для того чтобы из двух событий 7И, М одно могло влиять на другое, необходимо и достаточно, чтобы длина вектора ММ (равная / мар) была мнимой или нулевой. Это условие носит, как видим, инвариантный характер (рис. 13).

Мы не уточняли до сих пор, какое именно двух событий влияет на другое. Допустим, что

Мы не уточняли до сих пор, какое именно двух событий влияет на другое. Допустим, что

влияет на М и, следовательно, времени, так что х° < х°.

Рассмотрим те же события другой инерциальной системы

влияет на М и, следовательно, времени, так что х° < х°.

Рассмотрим те же события другой инерциальной системы

предшествует ему

предшествует ему

М, М

М, М

из М

во

из М

во

относительно

относительно

S'. В § 63 мы выяс-

S'. В § 63 мы выяс-

нили, что при переходе от S к S' в первой фор-

нили, что при переходе от S к S' в первой фор-

муле (63.3), а следовательно, и (63.2) приходится сохранить в знаменателе лишь знак 十. Но тогда согласно (63.2)

муле (63.3), а следовательно, и (63.2) приходится сохранить в знаменателе лишь знак 十. Но тогда согласно (63.2)

(66.17)(66.17)Переписывая эту же нее (66,17), получим:Переписывая эту же нее (66,17), получим:формулу для события М и вычитая изформулу для события М и вычитая из—х°—х°（0 一叫一3（立一尸）（0 一叫一3（立一尸）уг^уг^(66.18)(66.18)

(66.17)

(66.17)

Переписывая эту же нее (66,17), получим:

Переписывая эту же нее (66,17), получим:

формулу для события М и вычитая из

формулу для события М и вычитая из

—х°

—х°

（0 一叫一3（立一尸）

（0 一叫一3（立一尸）

уг^

уг^

(66.18)

(66.18)

Так как [р [ < 1 и, как вытекает из (66.16), [х1 —为"《|%° — х° |,

то вычитаемое в числителе (66.18) по модулю меньше уменьшаемого, а значит, числитель имеет тот же знак, как и уменьшаемое х° — х°, т. е. положителен. Таким образом, и левая часть (66.18) положительна и х0/ > х0/.

Итак, если вектор ММ имеет мнимую или нулевую длину и если событие М следует за М с точки зрения инерциальной системы. 5 (х° > х°), то М следует за М и с точки зрения любой другой инерциальной системы. S' (х0/ > х0/).

Следовательно, как раз в тех случаях, когда событие М может влиять на 府,временная последовательность этих событий является абсолютной, и 府 следует за Л! с точки зрения любой инерциальной системы S. Это показывает, что парадокс с обращением последовательности причины и следствия в действительности места не имеет. Когда же М, 府 не могут влиять друг на друга, т. е. когда

вектор ММ вещественной длины, тогда, как нетрудно показать, всегда возможно обращение последовательности событий М, М за счет перехода к другой инерциальной системе. Но это не приводит к парадоксам ввиду отсутствия какого-либо влияния одного события на другое.

Динамика точки

Мы будем рассматривать движение материальной точки в какой- нибудь одной инерциальной системе S, предполагая в соответствии с основной установкой теории относительности, что все сказанное справедливо и в любой другой инерциальной системе.

Еще до появления теории относительности был установлен экспериментальный факт зависимости массы тел от их скорости. А именно, если масса тела в состоянии покоя равна m# то при движении со скоростью и она будет равна:

При и—> с масса /п стремится к бесконечности, что с новой точки зрения подтверждает невозможность разогнать до скорости света тело, обладающее массой покоя.

Мы будем рассматривать материальную точку с массой покоя mQ и переменной массой т. Вектор скорости обозначим и, вектор силы, действующей на точку, обозначим F,

Второй закон Ньютона записывается теперь следующим образом: F=%u),(67.2)

т. е. сила F равна производной от импульса /пи по времени Л Это выражение не сводится к произведению массы т на ускорение du,,

—,так как масса т переменная и при дифференцировании дает дополнительный член.

В теории относительности и во всей современной физике играет исключительно важную роль закон взаимосвязи массы а энергии. Он состоит в том, что наличие у данного тела энергии Е означает наличие у него массы 彌， и наоборот, наличие массы 加 означает наличие энергии /пс2:

f = wc2.(67.3)

Этот закон подтверждается физическим опытом, особенно ядерными реакциями, при которых излучение энергии связано с соответствующим уменьшением массы ядра или его остатков.

Естественно, что формально «вывести» этот закон в полной общности нельзя. Однако полезно проделать следующую выкладку, которая в значительной мере способна убедить в справедливости этого закона.

Пусть наша материальная точка движется для простоты по прямой линии, например, по оси X, под действием силы F, тоже направленной по оси X. Подсчитаем работу, произведенную силой на каком-нибудь участке пути от точки Р1 до Р2:

(67.4)(67.4)А= Fdx.

(67.4)

(67.4)

Формула (67.2) для движения вдоль оси X принимает вид

尸=泵加“)， где и = ^.(67.5)

Преобразуем интеграл (67.4), пользуясь (67.5):Преобразуем интеграл (67.4), пользуясь (67.5):

Преобразуем интеграл (67.4), пользуясь (67.5):

Преобразуем интеграл (67.4), пользуясь (67.5):

Мы нарочно вместо пределов в определенном интеграле указываем лишь начало Р1 и конец Р2 данного пути. Это избавляет нас от необходимости каждый раз отдавать отчет в том, что служит аргументом под знаком интеграла.

Последний из полученных интегралов берем по частям и получаем:

А = mu2 J —у mudu*

Заменяя под знаком интеграла т согласно (67.1), продолжаем выкладку:

А=ти2 I — Сти2 +т0с2 /1 —^ .

Заменяя, наконец, т口 через т у 1—厘，получаем окончательно

А = тс2 = (/к? — %) с2,

где т*, /к? — значения массы в начале и конце пути. Так как работа А, совершенная силой 尸 над нашей материальной точкой, пошла на увеличение ее энергии (именно, кинетической энергии), то

乂 =e2G，

где 七工，F2 — значения энергии Е нашей материальной точки в начале и конце пути. Сравнивая две последние формулы, получаем:

旦一g=(/n2 -mi)*

т. 2. приращение энергии нашей материальной точки равно приращению ее массы, умноженному на с2.

Такая взаимосвязь между энергией и массой может показаться случайной, относящейся лишь к кинетической энергии. Однако на основе этого частного случая можно привести некоторые соображения в пользу универсального характера закона. В самом деле, энергия, приобретенная нашей точкой, должна быть в силу закона сохранения энергии откуда-то заимствована. Но и масса, приобретенная нашей точкой, тоже должна быть откуда-то заимствована в силу закона сохранения массы. Естественно предположить, что и энергия и масса были заимствованы у одного и того же тела ^, именно того тела, которое действовало на нашу точку с силой F, чем и было вызвано приращение и массы и энергии точки («тело К» здесь нужно понимать в широком смысле; оно может включать в себя и силовое поле, под действием которого находится наша точка). Но в таком случае получается, что потеря телом К некоторого

количества энергии, независимо от вида этой энергии, сопровождается потерей и соответствующего количества массы.

Разумеется, это лишь наводящие соображения, говорящие в пользу закона Е = тс?. Подлинным его доказательством является прямая и косвенная проверка на опыте; последняя состоит в подтверждении

опытом теории относительности, одним из которой является этот закон.

краеугольных камней

Запишем формулу кинетической энергии точки с массой покоя

mQ и скоростью движения и, В состоянии

массой mQ и, следовательно, энергией mQc2;

покоя точка обладает

она обладает массой т

加0

двигаясь со скоростью и, следовательно, энергией

—"-—.Приращение энергии и составляет кинетическую энергию точки:

T =加户

1

(67.6)

Эта формула как будто совсем не похожа на обычную, и мало сравнительно с с, то, пренебрегая величинами

и выше, получаем:

но когда порядка

откуда

亍，

и мы возвращаемся к обычной формуле, производятся в какой-либо инерциальной Кроме энергии тс2 большое значение

Разумеется, все системе S.

подсчеты

имеет импульс движущейся

точки ти, где и — вектор скорости. Запишем проекции

координатные оси X, У, Z в системе

S:

импульса на

здесь

т% muyJ

加%；

dy

u-=dt> ~=近，

"37 •

(67.7)

Выразим еще скорость по абсолютной

величине:

“=|u[=]/i4 + % + G =

di

(67.8)

Теперь переходим к истолкованию всех этих величин в четырехмерном пространстве событий. Процесс движения материальной точки задается четырехмерной траекторией мнимой длины, которую согласно (66.7) мы будем относить к параметру о в какой-нибудь ортонормированной координатной системе х1:

х‘ = х'(0).(67.9)

Координаты мнимоединичного касательного вектора т равны согласно (66.9):

т‘ =潦，где do = ]/族蕾一d%v —W，—“炉^. (67.10)

Пусть наша ортонормированная координатная система в пространстве событий изображает некоторую инерциальную систему S, так что

Х° = Ct, X1 = X, %2=,,%3=z.

Тогда относительно инерциальной системы S отдельные координаты касательного вектора т имеют следующий смысл.

Так как

тото

то

то

Мы воспользовались здесь формулами (67.7), (67.8).

Мнимоединичный касательный к четырехмерной траектории вектор т никак не отражает индивидуальности рассматриваемой материальной точки. Эта индивидуальность в данной связи характеризуется массой покоя 加°, или, что то же самое, энергией покоя woc2:

(67.12)(67.12)£0=加展汽

(67.12)

(67.12)

Мы построим 8 каждой тельный к ней еектор E^t,Мы построим 8 каждой тельный к ней еектор E^t,точке четырехмерной траектории каса- умножив мнимоединичный касательный

Мы построим 8 каждой тельный к ней еектор E^t,

Мы построим 8 каждой тельный к ней еектор E^t,

вектор т на энергию покоя. Этот вектор мы. будем называть (четырехмерным) вектором энергии-импульса нашей материальной точки (рис. 14). Смысл этого названия сейчас выяснится.Вектор энергии-импульса имеет постоянную длину Е°£, так как длину i. Таким образом, вектор энергии импульса, вслед за четырехмерной траекторией, которой он касается, является инвариантным геометрическим построением в пространстве событий, соверигенно не зависящим от выбора инерциальной системы S (энергия покоя Е° зависит лишь от выбора самой материальной точки).Но, конечно, ничто не мешает нам рассматривать вектор энергии-импульса и в инерциальной системе S, точнее, в соответствующей ортонормированной координатной системе %)вектор т на энергию покоя. Этот вектор мы. будем называть (четырехмерным) вектором энергии-импульса нашей материальной точки (рис. 14). Смысл этого названия сейчас выяснится.Вектор энергии-импульса имеет постоянную длину Е°£, так как длину i. Таким образом, вектор энергии импульса, вслед за четырехмерной траекторией, которой он касается, является инвариантным геометрическим построением в пространстве событий, соверигенно не зависящим от выбора инерциальной системы S (энергия покоя Е° зависит лишь от выбора самой материальной точки).Но, конечно, ничто не мешает нам рассматривать вектор энергии-импульса и в инерциальной системе S, точнее, в соответствующей ортонормированной координатной системе %)Координаты вектора энергии-импульсаКоординаты вектора энергии-импульсачатся умножением координат т (67.11) =m屮2：чатся умножением координат т (67.11) =m屮2：e pi =恤〃/e pi =恤〃/нанаи т.и т.полу- £0 =полу- £0 =д.д.

вектор т на энергию покоя. Этот вектор мы. будем называть (четырехмерным) вектором энергии-импульса нашей материальной точки (рис. 14). Смысл этого названия сейчас выяснится.

Вектор энергии-импульса имеет постоянную длину Е°£, так как длину i. Таким образом, вектор энергии импульса, вслед за четырехмерной траекторией, которой он касается, является инвариантным геометрическим построением в пространстве событий, соверигенно не зависящим от выбора инерциальной системы S (энергия покоя Е° зависит лишь от выбора самой материальной точки).

Но, конечно, ничто не мешает нам рассматривать вектор энергии-импульса и в инерциальной системе S, точнее, в соответствующей ортонормированной координатной системе %)

вектор т на энергию покоя. Этот вектор мы. будем называть (четырехмерным) вектором энергии-импульса нашей материальной точки (рис. 14). Смысл этого названия сейчас выяснится.

Вектор энергии-импульса имеет постоянную длину Е°£, так как длину i. Таким образом, вектор энергии импульса, вслед за четырехмерной траекторией, которой он касается, является инвариантным геометрическим построением в пространстве событий, соверигенно не зависящим от выбора инерциальной системы S (энергия покоя Е° зависит лишь от выбора самой материальной точки).

Но, конечно, ничто не мешает нам рассматривать вектор энергии-импульса и в инерциальной системе S, точнее, в соответствующей ортонормированной координатной системе %)

Координаты вектора энергии-импульса

Координаты вектора энергии-импульса

чатся умножением координат т (67.11) =m屮2：

чатся умножением координат т (67.11) =m屮2：

e pi =恤〃/

e pi =恤〃/

на

на

и т.

и т.

полу- £0 =

полу- £0 =

д.

д.

Пользуясь (67.1), получим окончательно:

(67.13)(67.13)for0 = me2, EqX1 = тихс,Eq^ ~ тиус, ^0т3 = muzc.

(67.13)

(67.13)

Таким образом, нулевая координата вектора энергии-импульса выражает энергию материальной точки, а три другие — умноженные на с ——составляющие ее импульса по осям X, У, Z. Название вектора энергии-импульса этим оправдано: его координаты, вычисленные в ортонормированной координатной системе х1, определяют энергию и три составляющие импульса материальной точки относительно соответствующей инерциальной системы S.

Подобно тому, как пространственная и временная протяженность мира изображается в четырехмерном пространстве событий единой псевдоевклидовой метрикой, так энергия и импульс материальной точки изображаются единым четырехмерным вектором. «Распадение» его на энергию и три составляющие импульса происходит лишь по отношению к той или иной инерциальной системе S.

Существование инвариантного вектора энергии-импульса с координатами (67.13) представляет интерес не только с точки зрения

четырехмерного геометрического истолкования механики. Напротив, важнейшее значение этого факта в другом: до сих пор мы предполагали, что динамика точки строится одинаково в каждой инерциальной системе S, но не знали, как связаны между собой соответствующие величины для разных систем S, S'; теперь же, зная энергию и импульс материальной точки в одной инерциальной системе S, м抗 можем вычислять эти величины и в любой другой инерциальной системе

В самом деле, поскольку энергия и три составляющие импульса (умноженные на с) образуют в пространстве событий координаты инвариантного вектора EQTt то они и преобразуются соответствующим образом. А именно, переход от одного ортонормированного репера S)t (отвечающего S) к другому, 9t\ (отвечающему S) выражается формулами

0* = 4,0八 00 =-Air^if (67.14)

и влечет за собой, как мы знаем, преобразование координат точки (т. е. события)

х" = 4'2 + 4"(67.15)

и преобразование координат вектора

х^ = А^х\(67.16)

При этом матрица /； (как и обратная ей матрица /%) должна быть в нашем случае псевдоортогональной 4-го порядка, индекса 1 с добавочным условием /，＞ 0 (см. (62.11)). Таким образом, чтобы получить закон преобразования координат х°, х1, х2, х3 инвариантного вектора, достаточно отбросить свободные члены в формулах (67.15), выражающих преобразование координат события х°, х1, х2, х3 = =ct^ х, у, z при переходе от инерциальной системы S к инерциальной системе S'. Таков будет, в частности, и закон преобразования координат вектора энергии-импульса Е^.

Простейший пример преобразования (67.15) дают формулы Лоренца (63.7), которые можно переписать в виде

一乙0+"

Х^=-^=-, 炉'=*2, *3' = *8. (67.17) /у

Здесь свободных членов нет, так что эти же формулы дают и закон преобразования (67.16) координат вектора. В частности, подставляя

сюда ЕдТ1 вместо х\ мы получаем закон преобразования энергии и трем составляющих импульса материальной точки (умноженных на с) при пер входе от S /с S'.

Возвращаясь к общему преобразованию (67.16), заметим, что каждая новая координата вектора зависит, вообще говоря, от всех старых, так что энергия в новой системе У' зависит не только от энергии, но и от импульса в системе S; равным образом, и импульс в системе S' зависит не только от импульса, но и от энергии в системе S. В этом и заключается реальный физический смысл объединения энергии и импульса материальной точки в один четырехмерный вектор.

Плотность масс, плотность заряда, вектор плотности тока

Чтобы не загромождать последующее изложение деталями, мы произведем в этом параграфе некоторые нужные нам подсчеты.

Когда мы имеем не отдельную частицу, а поток большого числа частиц, то в идеализированном виде представляем себе его как поток непрерывно распределенных в пространстве масс. Обозначим плотность этих масс относительно какой-нибудь инерциальной системы S через 出. Конечно, плотность 出 будет различной в разных точках и в разные моменты времени:

р. = р. (х°, х1, х2, х3), (х°, х1, х2, л3= с/, х, у, z). (68,1)

Далее, в каждой точке и в каждый момент времени поток масс имеет определенный вектор скорости

u = u (х°, х1, х2, х3). (68.2)

Мы должны ожидать, что плотность 出 относительно различных инерциальных систем S будет различной, хотя бы мы измеряли ее в том же месте и в тот же момент времени. При этом есть одна инерциальная система, которая будет играть в этом измерении особую роль: это система 50, движущаяся вместе с потоком, т. е. такая, с точки зрения которой массы покоятся. Разумеется, подобрать систему S^ так, чтобы относительно системы S。 покоились вообще все рассматриваемые массы, невозможно, если только мы не берем в качестве потока очень частный случай равномерного и прямолинейного движения твердого тела. Но для данной точки и данного момента времени всегда можно подобрать систему S。，заставив ее двигаться относительно системы S со скоростью и, которую имеет поток в этой точке и в этот момент времени. Тогда элемент массы dm, заключенный в элементе объема da и движущийся вместе с потоком со скоростью и,

будет в этот момент покоиться относительно системы So (для краткости мы позволим себе говорить об «элементах^ массы и объема без детальных уточнений; по существу речь идет о массе и объеме, заключенных в бесконечно малой окрестности данной точки и рассматриваемых с точностью до бесконечно малых высшего порядка; в частности, тогда массу и объем можно считать пропорциональными между собой).

Относительно системы 50 наш элемент объема имеет уже другую величину, которую мы обозначим d(oo. Действительно, поскольку с точки зрения системы 50 элемент объема покоится, а с точки зрения системы 5 движется со скоростью и, его продольные размеры с точки зрения системы S сократятся в отношении 1/ 1 —, поперечные

же размеры не изменяются. В результате объем сократится в отношении

j/^ 1 —左，и мы получаем:

(68.3)(68.3)

(68.3)

(68.3)

Пусть с точки зрения системы 50 наш элемент массы имеет значение dm^ Поскольку в системе 50 он покоится, а относительно системы S имеет скорость и, получаем согласно (67.1)

(68.4)

Обозначим через |Л0 плотность масс в данной точке и в данный момент времени с точки зрения системы 50 (плотность покоя). Конечно, ц0 зависит от выбранной точки и от выбранного момента времени

№炉，炉)，(68.5)

но в отличие от 卩 является инвариантом—не зависит от выбора инерциальной системы S. По смыслу понятия плотности

dmQdm

Вставляя в последнюю формулу выражения (68.3) и (68.4), получаем

卩=―%•(68.6)

Такова важная формула, связывающая плотности масс в системе 50, где они покоятся, и 8 системе S, относительно которой они движутся со скоростью и.

Посмотрим теперь, как выглядит картина потока масс с точки зрения пространства событий.

Каждая частица массы, вернее, каждая точка, движущаяся вместе с потоком, обладает четырехмерной траекторией в пространстве событий. Если представлять себе в идеализированном виде, что поток масс заполняет все наше пространство, то четырехмерные траектории его частиц заполняют все пространство событий, причем через каждую точку пространства событий проходит одна и только одна траектория.

Действительно, в любой точке и в любой момент времени мы находим частицу массы, движущейся с нашим потоком; вполне определенный процесс ее дальнейшего (и предшествующего) движения изображается вполне определенной четырехмерной траекторией в пространстве событий. Но «любая точка и любой момент времени» означают выбор произвольной точки в пространстве событий, через которую и пройдет эта (единственным образом определенная) траектория.

Построим мнимоединичный касательный вектор т к каждой четырехмерной траектории потока в каждой ее точке. В результате вектор т будет построен в каждой точке М пространства событий, и мы получаем векторное поле в пространстве событий

；МГ(М), V = ?(%°, * %2, Xs). (68.7)

Очевидно, по этому векторному полю можно, обратно, восстановить совокупность четырехмерных траекторий потока масс. Связь между координатами т/ вектора т в пространстве событий и координатами 〃#, иУу uz вектора и (68.2) в обычном пространстве дается формулами (67.11).

Обращает на себя внимание, что в полученной нами картине не нашла себе отражения такая важная характеристика потока, как плотность его масс. Но к этому мы вернемся позже, когда будем заниматься тензором энергии-импульса.

Переходим теперь к другому, хотя и сходному вопросу: рассмотрим поток частиц, несущих электрические заряды; масса частиц интересовать нас не будет. Идеализируя эту картину, можно рассматривать движение непрерывно распределенного в пространстве электрического заряда. Плотность этого заряда, рассматриваемая с точки зрения какой-либо инерциальной системы S, является функцией места и времени:

р = р(х。，х* *2, %» (68.8)

Аналогично (68.2) обозначим

u —и(х°, х1, х2, X3)(68.9)

вектор скорости потока электричества с точки зрения системы S. Теперь аналогично предыдущему подберем для данной точки и данного момента времени систему 5°, движущуюся вместе с потоком электричества. Плотность электрического заряда в этой точке и в этот момент времени, измеренную в системе S。， обозначим р0 (плотность покоя). Конечно, плотность покоя также есть функция места и времени:

Ро = Ро(%°, %1,炉，叫(68.10)

и аналогично 卩° представляет собой инвариант (не зависит от выбора инерциальной системы S). По-прежнему для элемента объема имеет место соотношение (68.3) между его величиной dco с точки зрения S и его величиной d(oo с точки зрения S。. Обозначим через de элемент заряда, заключенный в этом элементе объема. Элемент заряда будет одинаковым и с точки зрения Sue точки зрения 50, так как теория относительности сохраняет классическую точку зрения на заряд кок на инвариант, значение которого не зависит от выбора инерциальной системы.

Плотность электрического заряда с точек зрения систем S и S。 имеет соответственно значения

dede

Р=而，PoF，

откуда при помощи (68.3) следует:

Так меняется плотность электрического заряда при переходе от системы S。, относительно которой он покоится, к системе S, относительно которой он движется со скоростью и.

Переходя к геометрическому истолкованию в четырехмерном пространстве событий, воспроизводим прежнюю картину четырехмерных траекторий, но теперь уже для частиц заряда, вернее, для точек, движущихся вместе с потоком электричества. По-прежнему через каждую точку пространства событий проходит одна и только одна четырехмерная траектория, и ее мнимоединичный касательный вектор т образует поле (68.7) в этом пространстве. Связь с вектором скорости и (68.9) по-прежнему дается формулами (67.11). Но теперь мы пойдем дальше. Умножим вектор т на плотность покоя р0 и обозначим

полученный вектор через s:

s = р0 (х°, х1, X2, х3) т (х°, х1, х2, х3).(68.12)

Подчеркнем, что векторное поле s в пространстве событий является инвариантным, т. е. не зависит от выбора инерциальной системы S, так как инвариантны оба множителя, при помощи которых оно получено.

Вектор s мы будем, называть четырехмерным вектором плотности тока. Смысл этого названия выяснится, если рассмотреть координаты вектора в ортонормированном репере 況,изображающем какую-нибудь систему 5.

Пользуясь (67.11), получаем:

а пользуясь (68.11), получаем окончательно:

s° = p, S1 = Р7 , s2 = p,, s3 = p^. (68.13)

Таким образом, нулевая координата вектора s выражав! плотность заряда, а три остальные (после умножения на с)——значения плотности тока в направлениях координатных осей X, У, Z——все это относительно данной инерциальной системы. S.

Плотностью тока, например, в направлении оси X мы называем количество электричества, протекающее за бесконечно малый промежуток времени е через бесконечно малую площадку dS, ортогональную к оси X, отнесенное к единице площади и к единице времени и взятое в пределе. Плотность тока мы считаем положительной, если ток течет в положительную сторону оси Л. Легко подсчитать, что поскольку плотность электричества р, а движется оно в направлении оси X со скоростью 口#, то плотность тока в направлении оси X равна ри* и аналогично для других осей. Очевидно, рах зависит от момента времени и от места, где выбрана площадка dS, т. е. от х°,

х2, X3.

Итак, плотность заряда и три значения плотности тока в направлениях осей X, У, Z (деленные на с) оказались координатами одного инвариантного четырехмерного вектора.

Реальный физический смысл этого утверждения заключается в том, что мы можем указать закон преобразования этих четырех величин при переходе от одной инерциальной системы к другой. Здесь можно повторить все сказанное в конце § 67 относительно координат вектора энергии-импульса.

Электромагнитное поле

В этом параграфе мы покажем, как электромагнитное поле находит изображение в пространстве событий в виде определенного тензорного поля. Начнем с того, что будем наблюдать электромагнитное поле (в пустоте) относительно какой-нибудь инерциальной системы S. Пусть Е (J, Еу,邑)будет напряженность электрического и Н (”к，”у, 〃z)— напряженность магнитного поля. Для простоты будем считать эти векторы постоянными в рассматриваемой малой области пространства и за малый промежуток времени.

Если у нас имеется частица, несущая заряд с и движущаяся со скоростью и, то в электромагнитном поле на нее действует сила по закону Лоренца:

F = eE+y [иН].(69.1)

Согласно общей установке теории относительности мы предполагаем, что этот закон действует в любой инерциальной системе.

Пусть наша частица имеет (переменную) массу т. Тогда, пользуясь вторым законом Ньютона в форме (67.2), можно записать:

^gu) = “E + ^[uHj}.(69.2)

Проектируя это равенство почленно на координатные оси, получим:

^(m&) = е { J + ^ (иуНг- игНу)}

и две аналогичные формулы, получаемые из этой круговой подстановкой х, у, z.

Умножая почленно на с dt и учитывая, что 〃# = % 〃产=黑, dz

"2 =近，получим:

d (muxc) = c {fxc df+dy ”z—dz”,(69.3)

и две аналогичные формулы.

Переходим теперь в пространство событий, где нашей инерциальной системе S отвечает ортонормированная координатная система х°, х1, х2, х3 = с/,招 у, z. При этом движение частицы изображается четырехмерной траекторией с мнимоединичным касательным вектором % при помощи которого мы составляли вектор энергии-

импульса £)% где EQ — энергия покоя. Согласно (67.13)

тихс = Е^1 и т. д,,

так что (69.3) и две аналогичные формулы можно переписать так:

d (^от]) = е {ExdxQ + Hzdx2 — %d%3},

d (皖工2) = e {EydxQ — H^x1 + Hxdx3}, .(69.4)

d (皖#)= e {EzdxQ -Y Hydxx — Hxdx2}.

К этим формулам следует прибавить еще одну, выражающую дифференциал энергии частицы,——пока мы выразили лишь дифференциалы трех проекций ее импульса (умноженные на с). Но дифференциал энергии т© равен элементу работы, совершенной над частицей силами поля:

d (тс?) — е {Е/% + Е/у+ E?dz}.(69.5)

Обращает на себя внимание, что в правой части записана работа, произведенная лишь силами электрического поля; это потому, что магнитное поле, как видно из (69.1), дает силу, ортогональную к направлению движения частицы (к вектору скорости и), и потому работы не производит.

Пользуясь формулами (67.12), запишем окончательно:

d (品工°) = е {£/% + Eydy + Ezdz}.(69.6)

Теперь объединим формулы (69.4), (69.6), поставив на первое место (69.6). Мы видим, что эти формулы выражают линейную зависимость координат вектора d (旦窜)от координат dx вектора dx, где х ——текущий радиус-вектор четырехмерной траектории частицы в пространстве событий. Оба дифференциала dx, d (^от) берутся при бесконечно малом смещении по четырехмерной траектории.

Формулы (69.6), (69.4) становятся более прозрачными, если перейти

к ковариантным координатам вектора d (^от).

Согласно (42.24) для любого вектора х в ортонормированной координатной системе в пространстве событий мы имеем:

= —(А=1, 2, 3),(69.7)

так как в этом случае 备=—1, е^ — 1. Применяя эти формулы

к £от, мы перепишем (69.6), (69.4) в виде

d(E()To) = e{—ExdG — Eydx* — Ezdx3 },)

d 岡1\) = е {ExdxQHzdx2 — Hvdx3}, I

d(Eox^=e{Eydx^-H2dx^+Hxdx^}, Г (69'8)

d (当％) = e {Jd%。+ %d*i—Hq弁}. j

Мы замечаем, что матрица линейного преобразования dx' в d (Е()Т[) является кососимметрической и, если отбросить множитель е и обозначить ее элементы через F“ имеет следующий вид:

0 12 3 尸尸尸尸 0 12 3 尸尸尸尸0 12 3 尸尸尸尸 0 12 3 尸尸尸尸0一 J~ЕУ—旦0—必000一 J~ЕУ—旦0—必003 3 3 32 2 2 2 0 12 3 尸尸尸尸3 3 3 32 2 2 2 0 12 3 尸尸尸尸

0 12 3 尸尸尸尸 0 12 3 尸尸尸尸

0 12 3 尸尸尸尸 0 12 3 尸尸尸尸

0

一 J

~ЕУ

—旦

0

—必

0

0

0

一 J

~ЕУ

—旦

0

—必

0

0

3 3 3 3

2 2 2 2 0 12 3 尸尸尸尸

3 3 3 3

2 2 2 2 0 12 3 尸尸尸尸

Очевидно, Fп=——弓「 Пользуясь индексными обозначениями, фор мулы (69.8) можно переписать в виде

d (f广,=ё尸〃 d%'.d (f广,=ё尸〃 d%'.(69.10)(69.10)

d (f广,=ё尸〃 d%'.

d (f广,=ё尸〃 d%'.

(69.10)

(69.10)

можем заставитьможем заставить

можем заставить

можем заставить

Разберемся в смысле полученного результата. При бесконечно малом смещении по четырехмерной траектории заряженной частицы (рис. 15)

мы рассмотрим дифференциал dx радиуса-

вектора х (его контравариантные координаты dxl) и дифференциал d (£*от) вектора энергии-импульса £от (его ковариантные координаты d (£otz)).

Причиной того, что d(E()T) вообще существует (т. е. не равен нулю), является электромагнитное поле, действующее на заряженную частицу; если бы частица не подвергалась действию сил, то мы имели бы

а (々т) = о,т. е. вектор энергии-импульса £от оста-вался бы постоянным, и четырехмерная

траектория, как легко следует из т — const, была бы прямолинейной. При этом в одном и том же электромагнитном поле мы

направлениям с раз-направлениям с раз-заряженную частицу двигаться по разным

направлениям с раз-

направлениям с раз-

ными скоростями, т. е. можем варьировать четырехмерную траекторию. Тогда вектор dx будет принимать различные значения, a d (f0T) будет меняться е зависимости от dx. Так как координаты вектора d (f0T)при этом линейно зависят от координат вектора dx, то d (f0T) получается из dx действием некоторого аффинора (§ 3), который, отбрасывая множитель е, мы обозначим 穹.Итак,

(69.11)(69.11)d (E(J)=喈 dx.

(69.11)

(69.11)

Формулы (69.10) выражают зависимость ковариантных координат вектора-функции от контравариантных координат вектора-аргумента, так что коэффициенты 尸〃 аффинора 穹 образуют согласно (40.10) дважды ковариантный (и при этом кососимметрический) тензор. Тензор 尸[/ называется тензором электромагнитного поля. Таким образом, составляющие электрического и магнитного полей, рассматриваемые относительно какой-либо инерциальной системы S, образуют по схеме (69.9) координаты дважды ковариантного кососимметрического тензора F *尸 вычисленные в соответствующей ортонор мированной системе координат е пространстве событий.

Реальный физический смысл этого результата заключается в том, что он дает возможность пересчитывать электромагнитное поле, заданное в одной инерциальной системе S, на любую другую инерциальную систему S'. Для этого составляющие электромагнитного поля, записанные по схеме (69.9), нужно подвергнуть преобразованию по тензорному закону

F"=臥％F[j.(69.12)

Здесь А^—псевдоортогональная матрица (см. (62.11)), выражающая переход от ортонормированной системы, отвечающей S, к системе, отвечающей S'：

е〃 = 4，е『.

Если нам задан переход от S к S' формулами

х〃 =AR + &・，

(где х°, х1, х2, %з = “，х, j, z), то обратную матрицу А% мы сейчас же получаем согласно (62.11). В простейшем случае, когда переход задается формулами Лоренца (67.17), эта матрица имеет

(69.13)(69.13)

(69.13)

(69.13)

Применяя ее в формуле (69.12), получаем, например:

e；=尸一0, = a?阑尸叮и а：7尸20 +个，个，尸21 =

=14=线 + 1 ——=(—h\ =;. (69.14)

В процессе суммирования по 2,丿 мы не выписывали членов, равных нулю. Аналогично можно вычислить любую составляющую электромагнитного поля относительно системы

Мн рассматривали электромагнитное поле для простоты в малом участке пространства и в течение малого промежутка времени, т. е. в малой области четырехмерного пространства событий, и считали его в этой области постоянным. В действительности же напряженности электрического и магнитного полей зависят от места и времени, так что тензор 尸〃 должен быть задан в каждой точке пространства событий, и мы получаем тензорное поле

尸"=尸岁(*。，** 炉，*)(69.15)

Этим тензорным полем мы и будем в дальнейшем заниматься.

Уравнения Максвелла

div Н = 0, rotE = —翡,div Н = 0, rotE = —翡,Еще до появления теории относительности краеугольным камнем электродинамики служили уравнения Максвелла. Пусть Е(£, х, у, z), Н (力 ％, У, z) будут соответственно электрическое и магнитное векторные поля, рассматриваемые относительно «покоящейся» системы отсчета S. Тогда первая группа уравнений Максвелла связывает эти поля друг с другом

div Н = 0, rotE = —翡,

div Н = 0, rotE = —翡,

(70.1)

а вторая группа связывает их, кроме того, с распределением и движением электричества в пространстве:

ЗдесьЗдесь(70.2)(70.2)div Е = 4лр, rot Н = ■器 +手 pu.

Здесь

Здесь

(70.2)

(70.2)

р = р(/, х, у z)

есть плотность электрического заряда, а и = и(/, х,『，z}

——вектор скорости его движения в данной точке и в данный момент времени. Уравнения Максвелла записаны у нас для пустоты.

Как уже указывалось, законы электродинамики, т. е. в основном уравнения Максвелла, с классической точки зрения неинеариантны относительно перехода от одной инерциальной системы к другой и должны нарушаться в «движущейся» системе S'・ Опыт же показал противное, и теория относительности возникла как разрешение этого противоречия. Сейчас мы покажем, что, действительно, с точки зрения теории относительности имеет место инвариантность уравнений Максвелла, т. е. если эти уравнения справедливы в одной инерциальной системе S, то они справедливы и в любой другой системе S'.

Для этой цели мы должны истолковать уравнения Максвелла с точки зрения четырехмерного пространства событий как ограничения, наложенные на выбор тензорных полей 尸"(электромагнитное поле) и s' (поле вектора четырехмерной плотности тока). Займемся сначала первой группой уравнений Максвелла (70.1). Дадим эти уравнения в развернутой координатной записи (проектируя второе из них на координатные оси X, У, Z):

总T十ду十'

dEz дЕу _ 1 дНхду dz 一 с Of '

и еще две формулы, получающиеся из последней круговой подстановкой х, j, z. Пользуясь теперь таблицей (69.9), а также обозначениями х°, х1, -V2, %з = с/, х,『，z, получаем:

(70.3)(70.4)(70.3)(70.4)°尸 23 j °尸 31 j °尸 12 — ° 万户十并■十曲一

(70.3)

(70.4)

(70.3)

(70.4)

。尸3Q 6F2Q — °尸 23

0%20%8 -0%0

и еще две формулы, получающиеся из последней круговой подстановкой 1. 2, 3.

Пользуясь косой симметрией 尸炉=—— 弓门

можно записать (70,4)

в более симметричном виде, перенося

все члены в левые

части:

0尸30 10尸02 1 6尸23e

OK 1 办3 1 d%0U,

。尸io 丄 °尸оз 1 °F3i — ° d炉｝'

(70.5)

d 尸 20 1。尸 01 ] "12 — л

Мы замечаем, что четыре первая группа уравнений допускают общую записьМы замечаем, что четыре первая группа уравнений допускают общую записьформулы (70.5), (70.3), к которым свелась Максвелла, имеют однотипное строение и с буквенными индексами:

Мы замечаем, что четыре первая группа уравнений допускают общую запись

Мы замечаем, что четыре первая группа уравнений допускают общую запись

(70.6)(70.6)& 6尸"gF мdxk dxl d〃

(70.6)

(70.6)

Заметим, что левая часть этого уравнения кососимметрична по всем трем своим индексам: если переставить между собой, например, индексы 左，/, то последний член меняет знак, первый член превращается во второй и наоборот, в обоих случаях с изменением знака (все это в силу косой симметрии тензора 尸〃).При этом формулы (70.5), (70.3) исчерпывают все случаи, когда /, у, k представляют собой тройку различных индексов из числа индексов 0, 1, 2, 3. В самом деле, задавшись индексами, например, 1, 2, 3 и написав соответствующее уравнение (70.3), сделаем в нем над индексами 1, 2, 3 какую-нибудь подстановку, в силу косой симметрии левая часть или не меняется или меняет лишь знак, и смысл уравнения не изменится. Если же среди индексов i, у, k имеются хотя бы два одинаковых, то в силу косой симметрии левой части (70.6) она тождественно обращается в нуль, и (70.6) вместо уравнения дает тождество.

Таким образом, уравнения (70.5), (70.3) равносильны уравнениям (70.6), рассматриваемым при всех комбинациях индексов.

Первая группа уравнений Максвелла 8 четырехмерном пространстве событий записывается 8 виде дифференциальных уравнений (70.6), наложенных на тензорное поле 尸

Теперь тензорный характер, а вместе с ним и инвариантность этих уравнений становятся очевидными. Действительно, в § 38 мы выяснили, что в результате частного дифференцирования тензора поля по координатам точки получается поле нового тензора с добавочным ковариантным индексом. В нашем случае частные производные ―^ образуют трижды ковариантный тензор

вследствие чего образуют тензор и величины

= Fi他 + 尸我:+ 尸kij-

Действительно, тензор 八疗左 получается сложением трех трижды ковариантных тензоров (отличающихся друг от друга лишь круговыми подстановками индексов). Теперь уравнения (70.6) принимают вид

Af/丸=0»

Но по характеру тензорного закона преобразования обращение тензора \jk (т. е. всех его координат) в нуль в одной координатной системе влечет то же самое и в любой другой координатной системе. Поэтому уравнения (70.6), установленные в одной координатной системе, будут справедливы и в любой другой. При этом можно брать не обязательно ортонормированные, но и любые аффинные координатные системы. Однако для нас важны именно ортонормированные системы, так как инвариантность при их преобразовании означает инвариантность при переходе от одной инерциальной системы ^ к любой другой S',

Теперь займемся второй группой уравнений Максвелла (70.2). Перепишем их в развернутой форме:

ЗЕ*дхЗЕ*дхду 十 дгду 十 дг4лр,4лр,

ЗЕ*дх

ЗЕ*дх

ду 十 дг

ду 十 дг

4лр,

4лр,

и еще два уравнения, получающихся из последнего круговой подстановкой z.

Пользуясь таблицей (69.9) и формулами (68.13), получаем:

GF io GF go . 8Fзо дх1 * дх2 * дх3GF io GF go . 8Fзо дх1 * дх2 * дх34 冗 s°,4 冗 s°,6%6炉6%6炉%дх3%дх3"10"104nsi4nsi(70.7)(70.8)(70.7)(70.8)

GF io GF go . 8Fзо дх1 * дх2 * дх3

GF io GF go . 8Fзо дх1 * дх2 * дх3

4 冗 s°,

4 冗 s°,

6%

6炉

6%

6炉

%дх3

%дх3

"10

"10

4nsi

4nsi

(70.7)

(70.8)

(70.7)

(70.8)

и еще два уравнения, получающихся в результате круговой подстановки 1, 2, 3. Перенося все производные в левую часть и пользуясь косой симметрией 尸疗，можно написать вместо (70.8)

—% I 8Fв J °尸"—% I 8Fв J °尸"4Л514Л51(70.9)(70.9)

—% I 8Fв J °尸"

—% I 8Fв J °尸"

4Л51

4Л51

(70.9)

(70.9)

и еще два уравнения, получающихся из этого круговой подстановкой 1, 2, 3.

Итак, вторая группа уравнений Максвелла свелась к (70.7) и (70.9). Однако тензорный характер наших уравнений в этой записи еще неясен. Чтобы его обнаружить, нужно перейти к контравариантной

записи тензора 0, подняв оба его индекса при помощи контра- вариантного метрического тензора g叮(§ 40):

Fij = giPgSFpq.(70.10)

Здесь по р и ^ происходит суммирование. Очевидно, косая симметрия сохранится и после поднятия индексов.

В самом деле, переставив индексы /, / в формуле (70.10), мы можем также поменять и обозначения индексов суммирования р, д, что не играет никакой роли для результата. Получим:

Сравнивая с (70.10), получаем:

尸戸П—尸к

так как 尸勺尸=——Fpq. В пространстве событий для ортонормирован- ного репера все координаты метрического тензора g『尸立匕 равны нулю кроме

= 痂=1 仇=1, 2, 3).(70.11)

Координаты контравариантного метрического тензора g" образуют матрицу, обратную матрице g〃，следовательно, в данном случае просто с ней совпадающую:

g°° = —1,广=1 仇=1, 2, 3); g"=0 (,耍力.(70.12)

Поэтому при суммировании по р, g в (70.10) следует сохранить лишь слагаемые, где р = /, д = /, и мы получаем:

尸"=^g^^ij (без суммирования).(70.13)

Это значит, согласно (70.12), что если оба индекса х, / равны нулю или оба отличны от нуля, то或g"=l и 尸"=.4； если же один из них нуль, а другой отличен от нуля, то {g〃==—1 и 尸"=-尸⑦Итак,

尸О。 =尸期 尸"П尸中，尸"=一尸以 仇,(1=1, 2, 3). (70.14)

(70.15)(70.15)Перепишем теперь уравнение (70.7), заменяя Fk0 через —尸办，а затем через 尸°У

(70.15)

(70.15)

В уравнении (70.9) заменяем — Flo через 戶。；F12, F13 заменяются просто через 尸2* 尸з. Получаем, присоединяя еще два уравнения,

получающихся круговой подстановкой 1, 2, 3:

“1022"13

0 +凉+ 而=4ns ,

(70.16)(70.16)d产Qd产3 0尸21

(70.16)

(70.16)

加+加+試= 4ns ,

d尸300尸310尸32

KF + b+^ = 4hs3.

Итак, вторая группа уравнений Максвелла сводится к (70.15), (70.16).

Эти четыре уравнения можно объединить в тензорной записи:

理dxJ理dxJ4 Jis)4 Jis)(70.17)(70.17)

理dxJ

理dxJ

4 Jis)

4 Jis)

(70.17)

(70.17)

В левой части происходит суммирование по j. Легко проверить, что, действительно, при i = 0, 1, 2, 3 мы получаем соответственно формулы (70.15) и (70.16). Для этого достаточно написать в каждом случае суммирование по / в развернутом виде, учитывая, что в каждой сумме выпадает один член, равный нулю (именно, при j=i, когда 尸“ = 0)・

Так как частные производные дважды контравариантного тен・ зора образуют тензор дважды контравариантный и один раз ковариантный, то суммирование по / можно рассматривать как свертывание тензора —— по второму верхнему и нижнему индексам. Но в результате свертывания тензора получается снова тензор, в нашем случае с одним верхним индексом I. Таким образом (70.17) означает равенство двух контравариантных тензоров 1-й валентности. Но такое равенство, справедливое в одной координатной системе, будет справедливо и в любой другой ввиду одинакового закона преобразования левой и правой частей. Тем самым, и вторая пара уравнений Максвелла имеет место в любой инерциальной системе S, если она имеет место в одной из них.

Таким образом, мы показали, как теория относительности выполняет свою основную задачу — обеспечить инвариантность уравнений Максвелла (70.6), (70.17), т. е. инвариантность законов электродинамики, установленную ранее на опыте.

Из (70.17) и из кососимметричности 尸"легко следует, что

дх1

т. е. четырехмерная дивергенция векторного поля s' равна нулю. Физический смысл этого соотношения ——закон сохранения заряда；

приращение заряда в какой-либо трехмерной области со, выделенной в какой-нибудь инерциальной системе S, всегда равно заряду, втекшему за то же время через границу П области s (вывод совершенно такой же, как и в случае (72.8)).

Отметим без доказательства, что из уравнений (70.6) следует существование один раз ковариантного тензорного поля

力(X。，X1, X2, X3),

(70.18)(70.18)такого, что

(70.18)

(70.18)

“ dxl dxJ

Тензор 力 можно геометрически представить в виде вектора f с ковариантными координатами /•, так что поле тензора /z истолкуется как векторное поле f. Вектор f называется четырехмерным потенциалом электромагнитного поля; напряженность электромагнитного цоля Fн получается из него, как мы видим, операцией, сходной с построением ротора данного векторного поля в обычном пространстве. Но теперь дело происходит в четырехмерном пространстве, и мы получаем в результате не вектор, а бивектор (кососимметрический тензор) F寸 Впрочем и в обычном пространстве при построении ротора мы получаем по существу сначала бивектор (кососимметрический аффинор, см. § 5), который уже затем условно переделываем в вектор, для чего существенно используется трехмерный характер пространства.

Обратно, из формул (70.18) немедленно вытекают уравнения (70.6), в чем легко убедиться прямой проверкой.

Заметим еще, что четырехмерный потенциал /z данного электромагнитного поля определяется неоднозначно: из вида формул (70.18) легко вытекает, что к fi можно добавлять любой градиентный тензор

где ф — произвольное скалярное поле. Действительно, формулы (70.18) при этом не нарушаются.

Произвол в выборе четырехмерного потенциала существенно уменьшается, если на него наложить, как обычно делают, инвариантное добавочное условие

普=0. (70.19)

Здесь по i происходит суммирование, так что нулю приравнивается инвариант, полученный полным свертыванием тензора —.. Под 尸мн понимаем тензор, полученный поднятием индекса у тензора /「 или, что то же( контравариантные координаты вектора f.

・ Тензор энергии-импульса

Допустим, что нас интересует общая картина распределения и движения энергии и импульса в пространстве и времени. Как мы далее увидим, для ее описания мы должны построить в четырехмерном пространстве событий соответствующим образом подобранный дважды контравариантный симметрический тензор Т*у — тензор энергии-импульса.

Этот тензор задается в каждой точке пространства событий, так что получается тензорное поле

Т,у= rJ(M).(71.1)

Конечно, этим еще ничего не сказано о том, как тензор энергии- импульса строится и как он связан с распределением и движением энергии и импульса. Но мы начнем с рассмотрения частного случая тензора энергии-импульса, общее же его определение дадим потом.

1°. Тензор энергии-импульса потока масс. Рассмотрим поток масс так, как мы это делали в § 68, и сохраняя все прежние обозначения. В каждой точке АГ пространства событий мы имеем мнимоединичный касательный вектор т (68.7) к четырехмерной траектории потока и плотность покоя у。(68.5):

т = т卩q =卩。(附).(71.2)

Координаты т вектора т образуют один раз контравариантный тензор. Перемножая этот тензор с самим собой и с инвариантом с2ц0, мы полу-чим симметрический дважды контравариантный тензор, который обозначим

(71.3)

и будем называть тензором, энергии-импульса потопа масс. Что мы хотим сказать этим названием, станет ясным, если рассмотреть коор・ динаты тензора Т” в какой-либо ортонормированной системе х°, л:1, *2, *з и раскрыть 〃％ физический смысл с точки зрения соответствующей инерциальной системы S. Подразумевается, что N берутся в определенной точке пространства событий, и соответственно их физический смысл истолковывается в определенный момент времени и в определенной точке обычного пространства (с точки зрения системы S).

Для этой цели нам будут нужны формулы (67.11), дающие связь между координатами V и скоростью движения масс и (% % %)

относительно системы S:

(71.4)(71.4)

(71.4)

(71.4)

Кроме того, мы используем формулу (68.6):

(71.5)

дающую связь между плотностью покоя р0 и плотностью 卩 с точки зрения S.

Вычисляем Т0。：

Т00 = р,ос2т°т° = j^ = цс2.(71.6)

с2

Так как 卩 есть плотность масс, то рс2 выражает, следовательно, плотность энергии в нашем потоке. Здесь и в дальнейшем все физические величины измеряются относительно системы S.

Вычисляем теперь W =戸：

Аналогичные выражения получаем и для Г02, Г03. В результате

丁。工=卩 &с,Т02 = "〃уС,T°3 = w(71.7)

Физический смысл этого результата двоякий. Во-первых, раз плотность масс 卩,а скорость их движения и (〃#, ау, аг), то плотность импульса будет равна р.и. Этим мы хотим сказать, что, умножая ри на элемент объема dco, мы получаем (пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка) импульс, заключенный в d®. Действительно, 卩ds дает, по определению плотности, массу, заключенную в dm, а следовательно,卩 dcou дает соответствующий импульс (пренебрегая в обоих случаях бесконечно малыми высшего порядка). Аналогично плотности проекций импульса на оси X, У, Z будут равны:

叫，叫，咚(71.8)

Этим мы хотим сказать, что, умножая, например,卩％ на dco, мы получаем проекцию импульса, заключенного в ds, на ось X. Действительно, рых^ю есть проекция вектора р^со и на ось Х・

Таким образом, координаты Т°入(入=1, 2, 3) совпадают с умноженными на с плотностями проекций импульса на оси X, У, Z.

Во-вторых, координатам Т°г можно дать такое истолкование Пусть в данной точке помещена бесконечно малая площадка dS, направленная ортогонально к оси X. Назовем плотностью потока энергии в направлении оси X (в данной точке и в данный момент времени) количество энергии, протекшее через dS за бесконечно малый промежуток времени е, отнесенное к единице площади и к единице времени и взятое в пределе. Этой плотности приписывается знак плюс, если энергия течет в положительную сторону оси, и минус — в противном случае. Так как плотность энергии цс2, а движется она в направлении оси X со скоростью и* то плотность ее потока в этом направлении будет равна ^иХУ как легко показать элементарным подсчетом. Аналогичным образом определяется и вычисляется плотность потока и любой другой физической величины, распределенной в пространстве и переносимой вместе с нашим потоком масс.

Итак, значения плотности потока энергии в направлениях координатных осей равны:

卩閭工，цс2иу, цс2иг,(71.9)

и следовательно, они совпадают с

с Г01, сТ°\ с7'03.(71.10)

В этом состоит второе истолкование координат Т1%=1, 2, 3).

Для дальнейшего важно отметить следующий результат. Вычисленный в данный момент / поток векторного поля цс2и через какую-нибудь (двустороннюю) поверхность П равен скорости д° протекания энергии через эту поверхность в этот же момент /:

9° 0 ,, N^inidS.(71.11)

п

При этом д° мы называем скоростью протекания энергии через П в данный момент /, если за бесконечно малый промежуток времени е, начиная от данного момента 九 количество энергии, протекшей через П в сторону +п, равно е^° (пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка). Грубый вывод этого результата получается совершенно так же, как и в случае (16.3) с заменой лишь плотности жидкости р плотностью энергии цс2. Правда, в случае (16.3) движение было стационарным, чего в данном случае не предполагается. Но для вывода это не играет роли, так как в нем рассматривается лишь бесконечно малый промежуток времени е. Скорость протекания энергии через П д° будет в нашем случае, вообще говоря, зависеть от времени; в стационарном случае она будет постоянной.

В дальнейшем мы будем говорить о скорости протекания через поверхность П и пользоваться формулой (71.11) и для других физических величин совершенно аналогично тому, как сейчас мы делали это для энергии (предполагая, что эти величины тоже с известной плотностью распределены в пространстве и перемещаются вместе с нашим потоком масс).

Переходим теперь к истолкованию координат Т^ (X, р, = 1, 2, 3). Рассмотрим для примера 丁吗 Пользуясь (71.3), (71.4), (71.5), получаем:

丁12 = р，оС2Т1Т2 = р，оС2丁12 = р，оС2Т1Т2 = р，оС2ихиуихиу=吗4r=吗4r(71.12)(71.12)

丁12 = р，оС2Т1Т2 = р，оС2

丁12 = р，оС2Т1Т2 = р，оС2

ихиу

ихиу

=吗4r

=吗4r

(71.12)

(71.12)

Другие координаты 丁九卩 имеют аналогичный вид. Рассмотрим те из них, для которых X — 1:

Г11 = liuxux, Т12^цихиу, Г13 = р.«ж«г.(71.13)

Мн замечаем, что величины (71.13) получаются из 卩〃工,т. е. из плотности проекции импульса на ось X, последовательным умножением на в#, в?, в?，т. е. совершенно аналогично тому, как величины (71.9) получаются из р,с2, т. е. из плотности энергии. Но величины (71.9) выражают плотность потока энергии в направлениях X, У, Z; значит, (71.13) играют такую же роль для проекции импульса на ось Х・ Итак, для проекции импульса на ось X плотность потока 6 направлении осей X, У, Z будет Г11, Т12, Т13. Для плотности потока проекций импульса на оси У, Z такую же роль играют вторая и третья строки матрицы Т^. Конечно, все это легко получить и непосредственно, не ссылаясь на (71.9).

Рассмотрим теперь скорость протекания проекции импульса на ось X через какую-либо поверхность П. Совершенно аналогично (71.11) получаем, что эта скорость — обозначим ее q1 — равняется вычисленному в данный момент потоку векторного поля 卩〃#11 через поверхность П:

寸=，，^их undS.(71.14)

п

Скорости протекания через П проекций импульса на ось У и на ось Z выражаются аналогичными формулами:

(71.15)(71.15)д' §§ р«у undS,口

(71.15)

(71.15)

,з =,,卩勺 un dS.

Формулы (71.11), (71.14), (71.15), которые вскоре нам понадобятся, мы объединим в общей записи. А именно, обозначая проекции п на оси X,匕 Z

%, 〃才= 〃1，〃2，лз

и развертывая скалярное произведение

пп = uxn1+uvn2 + uzn3l

можно переписать эти формулы в следующем виде:

д° = , , цс2 (〃 ji + а*? + игл8) dS = с , , (T°i〃i + Тогпг + Т03ля) dS. пп

(71.16)

个=，，"％(%"1 + 〃〃2 + "z〃3)dS =

=，，(刀匕+产勺+内仆)"， и

d =，，N"v(" Ji + "v”2 + 〃z〃3)dS = П

=J J {Т«П1 + T^ + T^n3) dS, П

g3 =，，“〃Z(%〃i + 叫”2 + %〃з) dS = П

=N (K% + 732% + 戸3〃3)dS. П

Мы воспользовались здесь формулами (71.7), (71.13) и им аналогичными.

Формулы (71.17) можно объединить:

9，= И 2 T^dS (v=l, 2, 3).(71.18)

П х=1

Выясним теперь нашу общую установку в отношении тензора энергии-импульса. Мы рассмотрели тензор энергии-импульса, отвечающий потоку масс. Однако в дальнейшем мы будем считать, что и всякому физическому процессу, протекающему в сплошной среде, отвечает в пространстве событий определенный тензор энергии-импульса W (М), который имеет аналогичный физический смысл.

А именно, если вычислить координаты V1 в какой-либо ортонормированной координатной системе, то относительно соответствующей инерциальной системы S они будут представлять собой:

7°° — плотность энергии;

7°入(入=1, 2, 3) — умноженную на с плотность проекции импульса на Х-ю ось или деленную на с плотность потока энергии в направлении Х-й оси;

Q九(入，w=l, 2, 3) — плотность потока проекции импульса на v-ю ось в направлении Х-й оси (или наоборот).

В этих формулировках оси X, У, Z в системе S именуются 1-й, 2-й, 3-й осями. Из этого физического истолкования вытекает, в частности, что формулы (71.16), (71.17) остаются верными и для любого физического процесса.

Допущение о существовании тензора энергии-импульса у всякого физического процесса очень важно. Конечно, суть его не в том, что определенные физические величины обозначены в виде элементов симметрической матрицы, а в том, что они предполагаются координатами дважды контравариантного тензора и, следовательно, имеют вполне определенный закон преобразования при переходе от одной инерциальной системы S к другой S'：

Здесь /；' имеет тот же смысл, как и в (67.15). Таким образом, существо нашего допущения в том, что для любого физического процесса оно устанавливает закон преобразования плотности энергии, плотности импульса и плотности потока импульса при переходе от S к S'. Какие имеются основания перенести тензорный характер этих величин, установленный для потока масс, на общий случай?

Математического вывода здесь, разумеется, дать нельзя, но физические основания достаточно веские. Энергия и импульс способны переходить из одной формы в другую, например, из механической в электромагнитную, количественно не меняясь. Поэтому после такого перехода плотность энергии и плотность импульса должны преобразовываться от S к S' по прежнему закону. Правда, в действитель* ности закон преобразования охватывает, кроме того, и плотности потока импульса. Все же естественно принять, что и этот усложненный закон преобразования не должен нарушаться, когда энергия и импульс переходят из одной формы в другую.

Рассмотрим теперь другой важный частный случай тензора энергии-импульса.

2°. Гензор энергии-импульса электромагнитного поля. Пусть электромагнитное поле задано тензорным полем 尸〃 в пространстве событий. Составим из тензора 尸〃 и метрического тензора g〃 новый

320 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИЙ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [гл. IV тензор по следующей формуле:

6.19)

По р и 7 происходит свертывание. Очевидно, тензор W будет симметрическим и дважды контра вариантным. Этот тензор и принимается за тензор энергии-импульса электромагнитного поля.

На первый взгляд кажется, что такой выбор тензора энергии- импульса является совершенно произвольным и ничем не обоснованным. Однако вскоре мы убедимся, что это не так; выбор именно этого выражения почти полностью продиктован законами сохранения энергии и импульса. Мы только не сможем излагать здесь все наводящие соображения и пойдем путем простой проверки.

Как было сказано, мы приписываем координатам тензора энергии-импульса определенный физический смысл. Это значит, что, выбрав для электромагнитного поля определенный тензор энергии- импульса, мы приписали тем самым электромагнитному полю определенное распределение и перемещение энергии и импульса. А это, разумеется, нужно сделать в соответствии с действительностью и прежде всего так, чтобы соблюдался закон сохранения энергии и импульса. При этом нужно учитывать, что энергия и импульс электромагнитного поля могут не только перемещаться, но и переходить в другую (механическую) форму. Мы увидим позже (§ 73), что выражение (71.19) подобрано действительно так, что оно удовлетворяет поставленным условиям.

Чтобы увидеть конкретный смысл формул (71.19), запишем их в развернутом виде в ортонормированной координатной системе. При этом мы будем пользоваться таблицей (69.9) и соотношениями (70.14).

Вычислим сначала инвариант FpqFpq, т. е. сумму произведений соответствующих элементов матриц Fpq и 尸尸^. Эти элементы согласно (70.14) или равны или отличаются лишь знаком; последнее имеет место в случае 尸。入(入=1, 2, 3). Заменяя соответственно Fpq через 土尸尸^ и учитывая косую симметрию матрицы Fpqi получаем:

曰。尸忆О 2 (一个,一个2 一帮3 +尸金+ % +尸幻=

(71.20)(71.20)(71.21)(71.21)= 2(-/-皖一怨 + 心+ 筑+ d) = 2(H2-E2).

(71.20)

(71.20)

(71.21)

(71.21)

Далее, учитывая, что

получим

3

Fl^F/qgpq ——尸ioр0十 三 尸拉尸八.

В частности,

尸"ig?g=刘(尸。y=鸟 + 写+e*E2,(71.22)

iig% = ± F°lF^^EyHx-ExHy. (71.23) Вычисляем теперь 7”。из (71.19), пользуясь (71.20) и (71.22), а также учитывая, что g°° =——1:

小=急(#一Е2) + ± Е2 =急(E2 + H2).(71.24)

Такой вид имеет, следовательно, плотность энергии электромагнитного поля. Далее, находим 7ю1, 702, 7ю3, пользуясь (71.19) и (71.23) и учитывая, что 产工0(£关丿)，в частности, g。】=0：

产Н祟当%一/必)，｝ (71.25)

Таким образом, проекции вектора ^ [ЕН] на координатные оси X, 匕 Z совпадают с 701, 7ю2, 7ю3. Согласно физическому смыслу этих величин вектор j^[EH] дает плотность импульса электромагнитного поля, а вектор 訂[ЕН]——плотность потока энергии электромагнитного поля. Проекции последнего вектора на оси X, У, Z дают плотности потока энергии в направлениях этих осей.

Аналогичным образом можно было бы вычислить и плотности потока импульса.

3°. Рассмотрим еще пример, хотя и далеко не столь общего значения, как первые два. Пусть в инерциальной системе S покоится тело, находящееся в напряженном состоянии, возникшем, например, в результате упругой деформации. Ввиду того, что тело покоится, плотность импульса равна нулю:

戸九=0 (九=1, 2, 3).

Матрица 7“ состоит по существу из элемента Т°° (плотности энергии) и из матрицы третьего порядка 丁泌(％ 九=1, 2, 3).

Оказывается, что в нашем примере эта часть тензора энергии- импульса лишь знаком отличается от трехмерного тензора напряжений /vX (§ 14). В самом деле, в произвольной точке рассматриваемого тела установим бесконечно малую площадку dS, ортогональную

11 П. к. Рашевский

к оси X. Тогда на единицу площади этой площадки согласно (14.10) действует сила

Р (厶 Л13)，(71.26)

а на всю площадку— сила Р^5(/И^5т /^dS, /13 dS), Точнее, эта сила действует через площадку на часть тела, расположенную за площадкой (т. е. в сторону — X). За время е этой части тела будет сообщен тем самым импульс

PdSe (小 S* f^dS 凤几 dS0

который, таким образом, протек через площадку в сторону—X. Чтобы установить плотность потока импульса в направлении —X, достаточно отнести протекший импульс к единице площади и к единице времени, т. е. поделить на dS и е. Получаем снова (71.26). Таким образом, напряжения /11} /12, /13 равны плотностям потока трех проекций импульса в направлении—X, а следовательно, лишь знаком отличаются от W, 712, 713, которые выражают то же самое, но в направлении -\-Х. Это же справедливо и для других координатных осей, так что окончательно

(V,九=1, 2, 3).(71.27)

Конечно, мы предполагали в этом рассуждении, что, кроме напряжений в теле, нет других причин для появления потока импульса.

Если перейти в другую инерциальную систему S', то тензор энергии-импульса пересчитывается по закону (71.20). Как отсюда можно заключить, на плотность энергии и импульса, наблюдаемых в системе S', имеет влияние не только плотность энергии, наблюдавшаяся в системе S (плотность импульса была равна нулю), но и напряжения, наблюдавшиеся 6 системе S. Если в системе S покоятся два тела с одинаковой плотностью энергии (и нулевой плотностью импульса), но одно находящееся в напряженном состоянии, а другое нет, то в системе S' они будут обладать различными (вообще говоря) плотностями энергии и импульса.

Таким образом, объединение плотностей энергии, импульса и потока импульса в один четырехмерный тензор не является лишь формальностью; совокупность этих величин образует единую физическую сущность, и это проявляется в том, что одни из них способны «переходить» в другие, когда мы меняем инерциальную систему.

Закон сохранения энергии и импульса

В этом параграфе мы рассмотрим вопрос, каким образом обеспечиваются законы сохранения энергии и импульса, когда распределение и перемещение энергии и импульса задается тензором 7〃. Будем вести рассмотрение относительно какой-либо инерциальной

системы S, пользуясь соответствующими ей ортонор мированными координатами х1 в пространстве событий* Выделим покоящуюся относительно системы S трехмерную область з, ограниченную поверхностью П. Будем наблюдать втекание и вытекание энергии через поверхность П, причем говорить будем только о вытекании (втекание оцениваем как отрицательное вытекание). Согласно (71.16) скорость этого вытекания будет равна:

Т = с \ \ £т办"'dS.(72.1)

nа=?

Преобразуем это выражение по теореме Остроградского (18.2): 竝”(72⑵

to 入=1

За бесконечно малый промежуток времени е количество вытекшей через 11 энергии будет равно:

^°е = ес У У У £^^ "з.(72.3)

(о Х=1

Здесь и в дальнейшем бесконечно малыми высшего порядка мы пренебрегаем. С другой стороны, увеличение количества энергии в области з за время е можно подсчитать следующим образом. Общее количество энергии в пределах области со выражается в каждый момент времени £ интегралом

J J J r°d(o,(72.4)

СО

так как Т°° есть плотность энергии. При этом не нужно забывать, что тензор энергии импульса 7v образует поле в пространстве событий, так что, в частности, Т°° есть функция от х\ т. е. от 居 р, z и времени i. Но по 尤，у, z в (72.4) произведено интегрирование, так что интеграл есть функция только от времени 九 Увеличение количества энергии за время е можно подсчитать как дифференциал этой функции:

ПУТ- (72.5) (D(О

Таким образом, за время е внутри области з появилось дополнительное количество энергии (72.5), и еще некоторое количество энергии (72.3) вытекло за пределы области. Складывая эти авт

И*

выражения, мы

время е внутри области (о:

получаем то количество энергии, которое возникло за

犷"吟

(0 '入=1

(72.6)

Учитывая тельно:

что

丄 di _ di

Т ~dt

так как ci = х°, получаем оконча-

(72.7)

где под знаком интеграла происходит суммирование по/=0, 1, 2, 3. Спрашивается, каким образом возникла энергия (72.7)?

Если рассматриваемый нами тензор энергии-нмпульса является частичным^ т. е. связан с одним лишь видом явлений (например, электромагнитным полем), то такое возникновение энергии данного вида возможно за счет исчезновения энергии другого вида (например, механической) и означает лишь переход, одного вида энергии в другой. Если же 7^ есть полный тензор энергии-импульса, т. е. исчерпывает всю картину распределения и перемещения энергии-им- пульса^ то посторонние источники энергии отсутствуют и количество возникшей энергии (72.7) должно всегда равняться нулю (закон сохранения энергии).

Итак, в случае полного тензора энергии-импульса

при любомпри любомвыборе области (о и в любой момент времени. Это

при любом

при любом

возможно только в случае тождественного обращения в нуль подынтегрального выражения

(72.8)

Так записывается закон сохранения энергии с точки зрения данной инерциальной системы S.

То, что сделано сейчас для энергии^ мы дословно повторим для импульса. Согласно (71.18) скорость вытекания v-й проекции импульса через поверхность П, ограничивающую область (о, выражается формулой

Последнее выражение получено по теореме Остроградского. Следовательно, скорость вытекания самого импульса равна:

333v= 1v= 1⑴ X= 1333v= 1v= 1⑴ X= 1

333

v= 1v= 1⑴ X= 1

333

v= 1v= 1⑴ X= 1

За бесконечно малое время е через П вытечет импульс

(72.9)(72.9)С другой стороны, времени £, равен:С другой стороны, времени £, равен:импульс, заключенный в со^^Tvad^импульс, заключенный в со^^Tvad^в данныйв данныймоментмомент

(72.9)

(72.9)

С другой стороны, времени £, равен:

С другой стороны, времени £, равен:

импульс, заключенный в со

^^Tvad^

импульс, заключенный в со

^^Tvad^

в данный

в данный

момент

момент

(V = 1, 2, 3) равна — Т吗(V = 1, 2, 3) равна — Т吗3вид evTV0.V= Iможно подсчитать3вид evTV0.V= Iможно подсчитатьУвели- анало-Увели- анало-вытекший через II, и получаем общее коли- время 8：вытекший через II, и получаем общее коли- время 8：323U警加323U警加(72.11)(72.11)

(V = 1, 2, 3) равна — Т吗

(V = 1, 2, 3) равна — Т吗

3

вид evTV0.

V= Iможно подсчитать

3

вид evTV0.

V= Iможно подсчитать

Увели- анало-

Увели- анало-

вытекший через II, и получаем общее коли- время 8：

вытекший через II, и получаем общее коли- время 8：

3

23U警加

3

23U警加

(72.11)

(72.11)

так как v-я проекция плотности импульса

а значит, сама плотность импульса имеет

чение импульса в области со за время 8 гично (72.5). Получаем:

33

缁(咕3犷。*涪2§器*

3

=。23先嘉 ds. (72. Ю) 2 = 1(!)

Объединяя (72,9) и (72.10), т. е. импульс, импульс, дополнительно обнаруженный в (о, чество импульса, возникшего в области со за

Здесь по /= 0, 1, 2, 3 происходит суммирование. Как и в случае энергии, возникший в области со импульс (72.11) может быть отличен от нуля, только если Т"——частичный тензор энергии-импульса и речь идет об импульсе частного вида. Если же Т"—полный тензор энергии-импульса, то импульс? возникший в области (о? должен

равняться нулю (закон сохранения импульса). Мы получаем, следовательно:

зз2心J热2心J热心=0.心=0.

з

з

2心J热

2心J热

心=0.

心=0.

отдельности равны нулю:отдельности равны нулю:(w=l,2, 3).(w=l,2, 3).Отсюда коэффициенты при ev по

отдельности равны нулю:

отдельности равны нулю:

(w=l,2, 3).

(w=l,2, 3).

J J J(0

А так как это равенство верно для любой области з и любого момента времени 厶 то подынтегральное выражение тождественно равно нулю:

(v = l, 2, 3). (72.12) dxJ

Так выглядит закон сохранения импульса с точки зрения инерциальной системы S. Объединяя его с законом сохранения энергии (72.8), пишем: .

吗=о (t = o, 1, 2, 3). (72.13)

В этой форме закон сохранения энергии-импульса имеет вид инвариантного тензорного соотношения в пространстве событий.

В самом деле, совокупность частных производных——-для любого дважды контра вариантного тензорного поля W образует, как мы знаем (§ 38), поле тензора, дважды контравариантного и один раз ковариантного. Тогдаг, где по 丿 происходит свертывание, дает снова тензор (один раз контравариантный), который мы обозначим Т1:

ГГОТ"0〃ОТ"0〃(72.14)(72.14)

Г

Г

ОТ"

0〃

ОТ"

0〃

(72.14)

(72.14)

тензора энергии-им- равны нулю в одной и в любой другой, имеет инвариантныйтензора энергии-им- равны нулю в одной и в любой другой, имеет инвариантный

тензора энергии-им- равны нулю в одной и в любой другой, имеет инвариантный

тензора энергии-им- равны нулю в одной и в любой другой, имеет инвариантный

Этот тензор естественно назвать дивергенцией тензора 7" в четырех- мерном пространстве событий. Теперь (72.13) принимает вид

Г = о.(72.15)

Таким образом〉закон сохранения энергии-импульса записывается

в виде обращения в нуль дивергенции полного пульса. Ясно, что если координаты тензора Т1 координатной системе, то то же имеет место Поэтому и закон сохранения энергии-импульса

характер и, будучи установлен в одной инерциальной системе 5,

соблюдается и в любой другой S'. Закон сохранения энергии-импульса (72.13), как мы видим, накладывает существенное ограничение на допустимый выбор полного тензора энергии-импульса. Разумеется, если тензор энергии-импульса является частичным, то его дивергенция Т1 не обязана обращаться в нуль.

Дивергенция тензора энергии-импульса электромагнитного поля

Пусть теперь Т” является частичным тензором энергии-импульса, а именно, отвечает электромагнитному полю согласно (71.19):

= —嘉 +(73」)

Тогда в области ① за время £ возникают (за счет перехода из других форм) некоторые количества энергии и импульса электромагнитного поля, которые выражаются согласно (72.7) и (72.11). Пользуясь дивергенцией тензора энергии-импульса (72.14), эти выражения энергии и импульса можно переписать в виде

ес，，，КМ е 2 ev $ $ $ Т- d®.(73.2)

GTv= 1з

Подсчитаем теперь дивергенцию тензора (73.1). Заметим предварительно, что при дифференцировании выражения FpqFpq можно дифференцировать лишь второй множитель и затем результат удваивать. В самом деле, дифференцирование первого множителя дает тот же результат, что и дифференцирование второго

竺竺尸—Fpq"pqdxk 尸9 一dxk

Чтобы убедиться в этом, выражаем Fpq как результат поднятия индексов у 尸〃：

и вставляем в обе части проверяемого равенства (73.3). Получим (учитывая, что g订 и g"—константы):

• .dFfi., dF d(j

gplg4JF p^t

а это ——тождество, в чем легко убедиться, переставляя в одной из частей равенства обозначения индексов суммирования р, i п q, /.

Теперь вычисляем дивергенцию:

/=1 =

叱.2尸尸g "pq + 丄 ^£Z р!ч„ I 丄 pip ^L 幺 16л「歹十 411ap「g?g 十 4『dw gpq"叱.2尸尸g "pq + 丄 ^£Z р!ч„ I 丄 pip ^L 幺 16л「歹十 411ap「g?g 十 4『dw gpq"(73.4)(73.4)0/

叱.2尸尸g "pq + 丄 ^£Z р!ч„ I 丄 pip ^L 幺 16л「歹十 411ap「g?g 十 4『dw gpq"

叱.2尸尸g "pq + 丄 ^£Z р!ч„ I 丄 pip ^L 幺 16л「歹十 411ap「g?g 十 4『dw gpq"

(73.4)

(73.4)

Полученное выражение можно значительно упростить. В первом члене dFpq

мы заменяем множитель —^ , пользуясь уравнениями Максвелла (70.6):

Получаем:Получаем:(73.5)(73.6)(73.5)(73.6)6門一"力 dFjp

Получаем:

Получаем:

(73.5)

(73.6)

(73.5)

(73.6)

—尸/竺里=旺）网竺更 尸g竺欠

16л qxJ 8兀 дхр 十 8л dx，•

Оба слагаемых здесь равны, в чем легко убедиться, заменяя в первом из них обозначения индексов суммирования р на д, н наоборот. Тогда первое слагаемое примет вид

g" Fqp °F Pi

8л dx，

и совпадет со вторым (так как перестановка индексов у 尸',Fjp дважды меняет знак выражения). Поэтому в (73.6) мы сохраняем лишь удвоенное второе слагаемое и, подставляя в (73.4), получаем:

『Fpq-4n『Fpq-4nBFjpBFjp/堂冲gm + Wm^g河(73.7)/堂冲gm + Wm^g河(73.7)

『Fpq

-4n

『Fpq

-4n

BFjp

BFjp

/堂冲gm + Wm^g河(73.7)

/堂冲gm + Wm^g河(73.7)

Первые два члена в правой части взаимно уничтожаются. Действительно, в первом члене происходит поднятие первого индекса у 号尸, так что его можно переписать в виде

丄严g崂

4n,

Во втором члене происходит опускание второго индекса у F*p、 так что этот член принимает вид

叫叫4n dxJ4n dxJ

叫

叫

4n dxJ

4n dxJ

Заменяя здесь обозначения индексов суммирования д,丿 на р, д, убеждаемся, что это выражение отличается от предыдущего лишь знаком (так как 尸"=—Fpq).

Итак, (73.7) принимает вид

7' = ^尸尸響(73・8)

Воспользуемся уравнениями Максвелла (70.1 7):

/, А

г = 4冗？ а следовательно, ——-=—4冗s .дх7\dW/

Теперь (73.8) дает окончательно

7'=— 户尸 s^g.(73.9)

Выясним физический смысл тензора 尸 с точки зрения какой-либо инерциальной системы S, рассматривая координаты Т1 в соответствующей ортонормированной координатной системе х1 (заметим, что все тензоры и тензорные соотношения, которые у нас встречаются, можно рассматривать в любой аффинной координатной системе, но физическое истолкование они получают лишь в ортонормированных системах). Тогда ^00 =——1, g“=l (九=1, 2, 3), остальные gpq = 0, так что (73,9) приобретает вид

Г =尸。S。一尸 10 —尸 2$2—尸 З$з.(73.10)

Пользуясь таблицей (69.9) и соотношениями (70.14), получаем:

尸° = — Е.尸2。= — Е尸 3。=—七 i

尸 12=“Z，户3 = "*, 尸J (73.11)

При этом 尸7 = 0 и 尸# =—尸丿.Кроме того, согласно (68.13)

s° = p, si = p*, ^2 = р у, s3 = p^.(73.12)

Теперь окончательно подсчитываем Т‘ при』0, 1, 2, 3:

7。= 一3(马也 + 4、+ 吃吗=_^^, '

сс(73.13)

и далее круговой подстановкой х, у, z. Отсюда вытекает, что

3

£宀尸 _р(Е + ^[иН]).(73.14)

V= 1

Здесь р есть плотность заряда, а и—скорость его движения.

Подсчитаем теперь первое из выражений (73.2):

£с，，，Т° ds = — , , , euEp ds.(73.15)

(00)

Так как pdco — заряд, заключенный в элемент объема Jco, то Ер Jco — сила электрического поля, действующая на этот заряд; ей ——вектор бесконечно малого смещения за время е; следовательно, стоящее под знаком интеграла скалярное произведение дает работу, совершаемую электромагнитным полем над элементом заряда за время £ (магнитное поле работы не производит). Сам же интеграл в правой части означает работу, произведенную электромагнитным полем 6 пределах области со за время £ над частицами^ несущими электрические заряды. Эта работа идет на приращение механической энергии частиц. Но так как правая часть (73.15) содержит интеграл с обратным знаком, то она выражает убыль механической энергии частиц.

Окончательно, равенство (73.15) означает, что возникновение энергии 6 электромагнитном поле (левая часть) происходит за счет убыли такого же количества механической энергии заряженных частиц (правая часть).

Таким образом, во взаимоотношениях электромагнитного поля и движущихся в нем заряженных частиц соблюдается закон сохранения энергии.

Теперь подсчитаем второе выражение (73.2), пользуясь соотношением (73.14):

з

(Е + ； [uH]) pds. (73.16)(Е + ； [uH]) pds. (73.16)§巾

(Е + ； [uH]) pds. (73.16)

(Е + ； [uH]) pds. (73.16)

В круглых скобках стоит сила, действующая в электромагнитном ноле на единицу заряда, движущегося со скоростью и； после умножения на элемент заряда р jco получаем действующую на него силу, а после умножения на £ — импульс, который сообщается электромагнитным полем элементу заряда за время £. Сам же интеграл в правой части означает, следовательно, механический импульс、 сообщенный электромагнитным полем в пределах области со за время £ частицам^ несущим электрические заряды. Так как правая часть (73.16) содержит интеграл с обратным знаком, то она выражает убыль механического импульса частиц.

Окончательно смысл равенства (73.16) состоит в том, что возникновение импульса электромагнитного поля (левая часть) происходит за счет убыли такого же количества механического импульса заряженных частиц. Таким образом, в балансе электромагнитного и механического импульса соблюдается закон сохранения импульса.

Напомним, что мы говорили до сих пор об энергии, импульсе и потоке энергии и импульса в электромагнитном поле, предполагая^

что его тензор энергии-импульса имеет вид (73.1). Лить теперь это предположение оправдано в том смысле, что оно правильно описывает переход энергии и импульса из электромагнитно访 формы в механическую и обратно: закон сохранения энергии-импульса при этом соблюдается.

§ 74*. Волновое уравнение Дирака для свободного электрона

必=办（*°，炉，炉，工3）,必=办（*°，炉，炉，工3）,В этом параграфе мы рассмотрим один вопрос репятнвнстско访 (т. е. согласованной с теорией относительности) квантовой механики. Изменение состояния электрона с течением времени описывается в ней спинорным полем в пространстве собнтн访

必=办（*°，炉，炉，工3）,

必=办（*°，炉，炉，工3）,

2a =^st(х°> * 炉，*з)・ (74.1)

Здесь, как обычно, х°, X1, х2,尤з = % х, у, z (74.2)

в некоторо访 ннерп1Hально访 системе отсчета. Так как пространство собнтн访 представляет собо访 псевдоевклидово пространство R(?, то все, сказанное относительно спинорных полей в § 60, применимо и в нашем случае.

Закон изменения состояния электрона с течением времени выражается системе^ дифференциальных уравнений, наложенных на функции (74.1) и имеющих одинаковы访(ннварнантнн访)вид в 〃ю6о访 ннеринально访 системе отсчета. Эти уравнения согласно Дираку будут следующими:

moc^ = hD^-,]

тос^ =%6乩屮甘.I

Здесь % — масса покоя электрона, с — скорость света, А = ^-, где h ——постоянная Планка. Величины 屮% 屮艺,стоящие в левых частях уравненн访，это контравариантные координаты того же самого спинора 屮九，屮久，которн 访 входит в правые части. Операторы 小 R = D 值入 имеют тот же смысл, что и в § 60.

Инварнантнн访 характер уравненн访(74*3) виден из того, что их правые части согласно (60.7) представляют собо访 также контравариантные координаты некоторого спинора и преобразуются, следовательно, одинаково с левыми частями. Напишем теперь уравнения (74.3) в развернутом виде при 厶=1, 2, X = 1, 2, причем правые части развернем согласно (60.8), а в левых частях контравариантные координаты нашего спинора выразим через ковариантные

(74.4)(74.4)

(74.4)

(74.4)

Это и есть волновые уравнения Дирака для свободного электрона. Мы здесь не имеем возможности вдаваться в физический смысл этих уравнений и хотели лишь показать их инвариантный характер на основе предыдущей теории спиноров. Заметим только, что из уравнений Дирака можно без труда выразить частные производные по времени 笳，證，в，" через сами функции 屮工，屮屮[屮金, и их частные производные по пространственным координатам х, у, z = = х1) х2, х3 f не нужно забывать, что ^7^ = у ^" и т. д. Y Получим:

(74.5)(74.5)方号=—就（号一号一号）办， 崂一版（嚷+，需-劉+%%•

(74.5)

(74.5)

Это означает, что по начальному состоянию электрона при данном значении / мы можем, интегрируя систему уравнений Дирака, определить его состояние при любом значении / ). Со спинорным полем электрона связано векторное поле плотности тока. Не вдаваясь в разъяснение его физического смысла, покажем, как оно возникает

из нашего спинорного поля 屮% 屮％. С каждым спинором 屮* 屮大 можно связать сопряженный спинор ±入,составленный следующим образом:

&=(屮з)*,恥=(屮')*. (74.6)

Здесь звездочка по-прежнему означает комплексную сопряженность. Покажем, что построение сопряженного спинора этим путем имеет инвариантный смысл в нашем псевдоевклидовом пространстве /?(?, если ограничиться вращениями лишь собственными и несобственными 1-го рода. Последние связаны с зеркальными отражениями репера в пространственном смысле, без изменения ориентации на оси времени х° — ct. Поэтому наше ограничение с физической точки зрения является вполне естественным, так как системы отсчета с обращенным течением времени в природе не существуют. Рассмотрим сначала случай, когда репер 睨 в /?(? испытывает собственное вращение. Тогда “* 屮2 преобразуются в 屮[屮2' ПрИ помощи некоторой унимоду- лярной матрицы, а значит, (“】)*,(屮?) * преобразуются при помощи комплексно сопряженной матрицы, т. е. так же, как вторая пара координат спинора 屮，屮？ (см. (59.5)). Таким образом, 1, j % совпадающие с (屮】)*,(屮?)* согласно (74.6), преобразуются так, как подобает координатам спинора. Аналогичным образом показываем это и для др1, #2

Пусть теперь репер испытывает несобственное вращение 1-го рода; приходим к тому же результату, используя вместо (59.5) формулы (59.7). 仆

Составим из данного спинора 屮* 屮％ и ему сопряженного 《* 屮％ спинтензор с'0=сН 入 по формуле

小口 =屮入《立+j%)?口， eе九="口《？ + #口"入. (74.7)

Другими словами, мы перемножили наши спиноры как одновалентные спинтензоры, в результате чего по общему правилу перемножения тензоров получился двухвалентный спинтензор. Перемножение мы выполнили при одном и при другом порядке множителей и результаты сложили. Наконец, мы откинули (положили равными нулю) координаты саЦ, с入口 и сохранили лишь сл^, с^'. Здесь мы воспользовались уже специфическими свойствами спинтензоров, в силу которых координаты этих двух типов преобразуются по отдельности и образуют как бы два подтензора в составе каждого двухвалентного спинтензора. Наш спинтензор допускает истолкование в виде вектора в К? согласно (58.1). Учитывая, что х4 = /х°, и заменяя с'®

согласно (74.7), a g 讲 согласно (74.6), получаем:

户=一扌（戶+ （;e）=一3 ｛炉（屮1）+样（»）* +

+ 屮2(屮2)*+ 庐(屮£)*},

*1 =y (eе + ^) = _ ^ {一炉(w2) *一晒(晒 *_

一22(炉)*一w1(22) *}, 炉=^(e宓一‘码=一^卩炉件?卢+?炉他')* 一

—i屮2 (屮 1) * - j炉(产)*}, 炉=(c‘- c^)=^{—屮1 (屮 1) * -屮i 州)* +

+ 屮2(屮2)* + 炉(联')*}.

Обозначая /' = — 2%' и переходя в правых частях к ковариантным координатам спинора, согласно (57.7) получаем:

4。=屮1也+屮2也+屮；屮；+%屮｝

41=屮2屮：+屮1屮:+屮£屮；+ WfW^,

(74.8)(74.8)42 = 一?5屮:+绅1屮：+t屮金行-W?*, 43=屮1屮：一屮2屮：+屮；屮：——W^Wg.

(74.8)

(74.8)

Этот вектор и есть вектор плотности тока, инвариантно связанный со всяким спинорным полем (74.1). При этом мы устранили несобственные вращения репера 2-го и 3-го родов; если бы их рассмотреть, то оказалось бы, что при них вектор плотности тока не остается инвариантным, а умножается на—1 *).

ГЛАВА V

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В АФФИННОМ И ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВАХ

До сих пор мы рассматривали л-мерные аффинные и евклидовы пространства лишь в аффинных координатах, т. е. таких, которые наиболее естественно связаны с геометрическими свойствами этих пространств.

В этой главе продолжаем заниматься теми же пространствами, но уже с более широкой точки зрения — относя их к произвольным криволинейным координатам. Это играет роль и для геометрии самих этих пространств ^например, для изучения криволинейных образов в них), однако главное назначение этой главы — служить переходным этапом к пространствам аффинной связности (обобщение аффинного пространства) и к римановым пространствам (обобщение евклидова пространства).

Начиная с этой главы и до конца книги, мы будем заниматься исключительно вещественными пространствами, и все встречающиеся в дальнейшем переменные величины и отдельные числа считаем вещественными, если не оговорено противное.

Криволинейные координаты в аффинном пространстве

Имея аффинный репер (О, еп .. ., еп) в л-мерном аффинном пространстве, мы относили каждой точке М координаты х\ разла

гая ее радиус-вектор ОМ по векторам репера

ОМ = x^i，(75.1)

От одной аффинной координатной системы к другой мы переходили линейным преобразованием

=+(75.2)

где коэффициенты выбираются произвольно с единственным условием

Det ]/lf )=^0.

При этом новые векторы репера разлагались по старым векторам ег = 4，д,(75.3)

где 叫 и 用一взаимно обратные матрицы, а координаты инвариантного вектора х испытывали преобразование

Е =4*.(75.4)

Мы введем криволинейные координаты, обобщая преобразование координат (75.2), а именно, заменяя в правой части линейные функции координат xz их «произвольными» функциями, конечно, с известными ограничениями.

Но сначала дадим некоторые определения. Арифметическим пространством л измерений называется множество всевозможных последовательностей вида (х1, х2, . . ., хл), где х1, х2, . . ., хл — произвольные вещественные числа; отдельные последовательности *%i, х2, . . ., хл) называются точками арифметического пространства, а числа х1, ха, . . ., хл — координатами точек.

Областью (открытым множеством) в арифметическом пространстве называется такое множество его точек, что вместе с каждой своей точкой х — (х1, .. ., хл) оно содержит и любую точку у = •••,»")， Для которой

1У —х;| < 6(/ = 1, 2, ..., л),

где 6——некоторое положительное число (выбор которого зависит от точки х).

Иными словами, область характеризуется тем, что вместе с каждой своей точкой она обязательно содержит и охватывающий эту точку многомерный куб, если только этот куб имеет достаточно малые размеры. Разумеется, вместо куба можно брать (многомерный) шар и т. п.

Пусть х1, . .., хп—независимые переменные, и пусть системы значений, которые они способны принимать, образуют область в арифметическом пространстве; тогда эту область мы будем называть областью изменения переменных х1, ..., хп.

Множество Q точек л-мерного аффинного пространства мы назовем областью, если последовательность (х1, . . ., xtl) аффинных координат точки /W^Q описывает область в арифметическом пространстве.

Нетрудно показать, что смысл этого определения не меняется при переходе к другой аффинной системе координат, хотя область в арифметическом пространстве становится, конечно, иной.

Мы будем обычно предполагать, что рассматриваемые области являются связными, т. е. что любые две точки области:

а = (а1, •…,а"), 6 =传\ ….,6") —могут быть соединены непрерывным путем, проходящим по области: %』=/'(/) (0&/ & ijj/^Oj^a1',/^!)^ =Е\ где 尸")一непрерывные функции.

Пусть в некоторой п-мерной связной области Й аффинного пространства заданы л непрерывно дифференцируемых однозначных функций аффинных координат Д (х1, . . ., %也)(々=1, . . ., л). Введем новые переменные х1*, х2\посредством уравнений

%’ н力％")；(75.5)

пусть они пробегают область изменения й\ Мм наложим, далее, на функции fi требование, чтобы преобразование (75.5) было обратимым, точнее, чтобы из уравнений (75.5) можно было бы, обратно» однозначно выразить х1 как непрерывно дифференцируемые функции от

»=g,・(*i'*"')(75.6)

во всей области ◎' изменения переменных %".

В этом случае переменные х" мы будем называть криволинейными координатами в области ◎ аффинного пространства. Коротко говоря, переменные %" с областью изменения ◎' называются криволинейными координатами в области ◎, если они связаны с аффинными координатами в области Q обратимым и в обе стороны однозначным и непрерывно дифференцируемым преобразованием.

Тем самым, в частности, системы значений х1', ...,%" из области ◎' взаимно однозначно отвечают точкам области Й, что и оправдывает название координат для переменных хг. Область Й может, в частности, совпадать и со всем пространством, но это для нас мало существенно и вот почему. Дальнейшие исследования будут носить большей частью дифференциально геометрический характер, т. е. относиться к бесконечно малой окрестности точки, а для этого достаточно иметь координатную систему Xе в некоторой области Й, содержащей эту точку.

Мы предположили, что функции /门 g『непрерывно дифференцируемы, т. е. имеют непрерывные частные производные до некоторого порядка ^ включительно. При этом в §§ 75, 76 достаточно ограничиться ^= 1, а начиная с § 77 и до конца главы, мы будем предполагать ^= 2. Позже понадобится N=3 и больше. Мн не будем в каждом случае оговаривать это особо, а просто факт записи производных данного порядка будет означать предположение о существовании и непрерывности этих производных. Значение N=8 также допустимо (когда рассматриваемые функции имеют непрерывные производные любого порядка).

Важно отметить, что якобианы обоих преобразований—прямого и обратного — отличны от нуля:

D"偿 I，。，Det 慝卜0,(75.7)

причем соответствующие матрицы взаимно обратные. Это легко получить, рассматривая %’ как сложную функцию от х1, . .., хл: х1 зависит от %】',л/1' согласно (75.6), а эти переменные зависят

от х1, . . ., хл в силу (75.5). Тогда частная производная от %’ по одному из аргументов х1, . . ., хл вычисляется по известному правилу:

з-/=—тг (по k* ——суммирование).

Но, с другой стороны, производная от одного аргумента по другому равна нулю, если аргументы различные, и равна единице, если они совпадают: —.= S-.

Итак,

(75.8)(75.8)亜竝

(75.8)

(75.8)

т. е. произведение матрицт. е. произведение матриц^|| и Ц^Цдает единичную матрицу.

т. е. произведение матриц

т. е. произведение матриц

Таким образом, эти матрицы взаимно обратные и тем самым не

особенные.

Заметим, что если бы мы откинули условие обратимости (75.6), а потребовали бы вместо него необращение в нуль якобиана

(75.9)(75.9)D吼偿，。,

(75.9)

(75.9)

то мы не достигли бы нашей цели. Если даже условие (75.9) соблюдается во всей области Q, то это гарантирует однозначную обратимость лишь в некоторой окрестности каждой точки области, но не во всей области й в целом. Так, например, пусть область Q (в трехмерном случае) имеет вид распухшей буквы С, причем отображение на область Q' состоит в том, что Q сдавливается в вертикальном направлении, так что просвет справа исчезает, и отросток, спускающийся сверху, входит в отросток, поднимающийся снизу. Такое отображение Q на Q' уже не будет взаимно однозначным, хотя при этом всегда можно обеспечить условие (75.9) и взаимную однозначность в малом.

Переход от одной криволинейной системы координат %* к другой %* в той же области Q удовлетворяет тем же условиям, что и переход от аффинных координат х1 к криволинейным %"•

В самом деле, согласно нашим требованиям %г суть непрерывно дифференцируемые функции от х\ а х1 ——от х", так что хг оказываются непрерывно дифференцируемыми функциями от %'', и обратно; Q', область изменения %", и Q", область изменения хг, будут находиться во взаимно однозначном соответствии.

Ясно также, что если от криволинейных координат %" (с областью изменения ◎') перейти к новым переменным %'" (с областью изменения Q") при помощи обратимого и в обе стороны непрерывно дифференцируемого преобразования, то будут тоже служить криволинейными координатами в той же области й. Действительно, переменные %尸 посредством координат %" будут связаны с аффинными координатами л/ обратимым и в обе стороны непрерывно дифференцируемым преобразованием, а именно в этом случае мы и называем %产 криволинейными координатами в данной области. Во всех этих формулировках имеется в виду непрерывная дифференцируемость того же порядка, что и в определении криволинейных координат.

В случае обычного евклидова пространства простейшими примерами криволинейных координат могут служить цилиндрические и полярные координаты. Заметим, что, желая обеспечить взаимно однозначный характер их соответствия с точками, мы должны рассматривать их не во всем пространстве, а в области Q, полученной удалением из пространства одной полуплоскости, краем которой служит ось Z (при обычном расположении чертежа), причем ось Z удаляется тоже.

Выражая в формуле (75.1) л/ через %" , мы получаем зависимость радиуса-вектора точки М от ее криволинейных координат:

苏 =gi(%\ ・・・，％吟，+・••+&(%】'％吟％・(75.10)

Обозначая кратко ОМ через х, мы будем писать:

x = x(%\ .一，%献).(75.11)

В силу непрерывной дифференцируемости функций gi эта векторная функция будет такое же число раз непрерывно дифференцируемой согласно § 65. Правда, там мы дифференцировали вектор по единственному аргументу и один раз, но для частных производных и притом любого порядка все рассуждения повторяются дословно. Отметим еще — это для нас будет важно,— что частные производные ———；будут в каждой точке дх1дхп

линейно независимыми векторами. Действительно, дифференцируя (75.10) по , получаем:

дх1дх1,,дхпе? + •••+^е“,,дхпе? + •••+^е“(Г=Г, 2‘，…，/И. (75.12)(Г=Г, 2‘，…，/И. (75.12)

дх1

дх1

,,дхп

е? + •••+^е“

,,дхп

е? + •••+^е“

(Г=Г, 2‘，…，/И. (75.12)

(Г=Г, 2‘，…，/И. (75.12)

дхдх

дх

дх

Матрица коэффициентов j| у^ || неособенная, следовательно, линейно независимы.

Тензоры в криволинейных координатах

Мн будем рассматривать область Q аффинного пространства, отнесенную к криволинейным координатам 尤'(сейчас мы обозначаем их без штрихов). Радиус-вектор х произвольной точки М области Q, отсчитываемый от фиксированной точки О, будет выражаться согласно (75.11) функцией

х~ х (х1, ..., %),(76.1)

достаточное число раз непрерывно дифференцируемой (для этого параграфа довольно одного раза). В дальнейшем мы предполагаем, что все рассматриваемые точки принадлежат области Q.

Для ориентации в строении данной координатной системы весьма полезны координатные линии. Так мы будем называть кривые, вдоль которых меняется лишь одна из координат х\ а остальные остаются постоянными. Рассмотрим, например, координатную линию х]. Это значит, что х2,закреплены на постоянных значениях, так что радиус-вектор х (76.1) остается функцией одного лишь х1; мы получаем кривую, отнесенную к параметру х1.

Через каждую точку М пройдет одна и только одна координатная линия х1, именно, если х2, . .., хн закрепить на значениях, которые они имеют в точке Ж. Частная производная дает касательный вектор к координатной линии х1 (§ 65). Все сказанное справедливо и для любых координатных линий, так что через каждую точку Ж проходят л координатных линий с касательными векторами —г , Эти векторы мы будем обозначать дх1 кратко

х，・ = *・(76.2)

Они, как мы знаем, всегда линейно независимы, и потому в каждой то^ке Ж могут быть приняты за векторы аффинного репера {М. х1э .・・, х^}・ Таким образом, задание криволинейных координат в области Q влечет появление в каждой ее точке Ж вполне определенного аффинного репера {Ж, хх, . . ., хп}. Этот аффинный репер мы будем называть локальным, репером в точке Ж.

Когда в качестве частного случая криволинейных координат мы берем аффинные координаты, функция (76.1) принимает прежний вид (75.1):

х = %'е,・， так что xz= —= е-,(76.3)

дх1

н локальный репер в каждой точке Л4 имеет те же векторы, что

и основной репер, на котором построена данная аффинная координатная система.

Для рассмотрения локальных реперов имеются глубокие основания. Именно вспомним те простые свойства, которыми обладали аффинные координаты точек: приращения этих координат при переходе из точки М (х() в точку £ (力 выражали координаты вектора

смещения ML'.

ML = OL — ОМ = (у1 —xf) e；, поскольку

ОМ = xzez(

OL ="

(говоря о координатах вектора, мы всегда будем иметь в виду его аффинные координаты; криволинейные координаты для векторов не имеют смысла). В этом, можно сказать, и состояла сущность аффинных координат точек.

Для криволинейных координат х( эти простые свойства теряются. Однако мы находим их снова, если рассматривать криволинейные координаты в бесконечно малой окрестности данной точки М.

Смещаясь из точки М(х1) в бесконечно близкую точку/, (W + А%'), мы находим вектор смещения ML^ как приращение радиуса вектора х точки М:

ML = OL — ОМ = х (%'+△%') — х (%').

Пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, заменяем приращение полным дифференциалом и получаем:

ML х1Ах1 + ..« + хпАхп.(76.4)

Это значит, что вектор смещения ML в локальном репере {М хх, . . . ,хч} имеет координаты, равные приблизительно приращениям Ах\

Итак, для бесконечно мои^% смещений из точки М приращения криволинейных координат Ал? снова выражают координаты вектора

смещения ML^ если эта последние вычислять в локальном репере в точке М^ пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка.

Таким образом, при помощи локального репера криволинейным координатам возвращаются свойства аффинных координат, правда, теперь уже лишь в бесконечно малой окрестности данной точки.

Можно сказать также, что приращения Ал/ криволинейных координат в бесконечно малой окрестности точки М совпадают

с точностью 1 -го порядка с аффинными координатами относительно локального репера, построенного в точке М.

Естественно, что, занимаясь геометрией аффинного пространства в криволинейных координатах, мы постоянно будем сталкиваться с локальными реперами.

Выясним теперь, что происходит с локальными реперами, когда криволинейные координаты подвергаются преобразованию

(76.5)(76.5)

(76.5)

(76.5)

которое предполагается однозначно обратимым и непрерывно дифференцируемым в обе стороны (§ 75). Выражая, обратно.

W=〃(x「，х"),(76.6)

мы можем считать в уравнении (76.1) радиус-вектор х сложной функцией от %'. Частная производная по Xе выразится тогда по известной формуле:

dx — dx дх1дх*' 办

В правой части по Z, конечно, происходит суммирование. Заметим, что мы будем без стеснения прилагать обычные формулы дифференцирования к выражениям, содержащим векторы, так как справедливость этих формул устанавливается тривиальным образом: достаточно свести дифференцирование векторов к дифференцированию их координат (§ 65).

Окончательно получаем:

X/' = —р- X/.(76.7)

Итак, преобразование криволинейных координат влечет за собой преобразование локального репера в каждой то^&е М, причем век

торы нового локального с коэффициентами —;дх1записью преобразованияторы нового локального с коэффициентами —;дх1записью преобразованиярепера разлагаются по векторам старого Det I -^771 ^= 0. Сравнивая с нашей прежней аффинного репера

торы нового локального с коэффициентами —;

дх1

записью преобразования

торы нового локального с коэффициентами —;

дх1

записью преобразования

е「=4：，е,・,

мы видим, что (76.7) представляет собой ее частный случай, когда

(76.8)

а роль векторов е；, е,- играют хл х(，・

Рассмотрим теперь произвольное тензорное поле, например, 匕* (附)(§ 38). Точка М может при этом пробегать всю область Q или только некоторую поверхность в ней, или даже линию в зависимости от того, где тензорное поле задано.

Координаты тензора Vjk можно вычислять относительно любого аффинного репера. Однако в дальнейшем мы всегда будем считать, что аффинное пространство (по крайней мере в пределах области Й) отнесено к каким-либо криволинейным координатам х\ Тогда в каждой точке М возникает локальный репер, 〃 координаты тензора V；* (М) мы будем брать относительно именно этого репера. Эти координаты мы будем кратко называть координатами тензора V% (М) в данной системе криволинейных координат х\

Когда в дальнейшем мы будем говорить о тензорном поле

叫々(附)=匕％ (R, • ••, %"),(76.9)

то всегда будем подразумевать сказанное выше.

Если тензорное поле задано не во всей области ◎, а лишь на некоторой поверхности (линии), то в уравнениях (76.9) V；? нужно задавать, конечно, как функции параметров этой поверхности (линии). Тензорное поле может выродиться и в задание тензора 丿；々 в одной только точке М.

Вслед за преобразованием криволинейных координат происходит преобразование локального репера в каждой точке 附，а значит, и преобразование координат тензора V%(Af) по обычному тензорному закону:

W”，(М) = ^A^v\k (М).(76.10)

При этом, как мы видели, матрица 4 совпадает с матрицей 竺7 , дх1

а следовательно, обратная матрица 4；—с матрицей : дх!

4 =7? '(76.11)

Следовательно, закон преобразования (76.Ю) принимает вид

(М)=当(М) ~ (М)缥(М) V% (М).(76.12)

ах / дх

Таким образом, переход от одних криволинейных координат к другим, влечет за собой преобразование координат тензорного поля

V\k (М) по закону (76.12). При этом частные производные хг по х1 и обратно берутся в той же точке Ж, как и координаты тензора, что и отмечено в записи.

Все тензорные операции алгебраического характера автоматически переносятся и на тензорные поля, как это было показано в § 38. Правда, там мы относили все тензорное поле к одному реперу {О, е「 . . ., ея}, теперь же у нас в каждой точке имеется свой локальный репер {Mt хп хп}. Но это не меняет наших рассуждений, так как алгебраические операции над тензорами совершаются по отдельности 6 каждой точке М.

Зато с абсолютным дифференцированием тензорных полей в криволинейных координатах дело будет обстоять совсем не так просто. В этой главе мы не будем им заниматься, так как в главе VII мы получим соответствующие результаты в более общем виде.

Отметим, в частности, что любой вектор 自，заданный в точке 也, мы будем всегда относить к локальному реперу в точке Л4 и под его координатами g понимать координаты относительно локального репера. Таким образом, У определяются из разложения

& = ЕХ・. (76.13)

Координаты инвариантного вектора образуют, как мы знаем, контра- вариантный тензор относительно любого аффинного репера, в частности, и относительно локального репера, так что закон преобразования У будет иметь вид

(76.14)

Обратно, если нам задан в точке Л4 один раз контравариантный тензор с координатами g, то разложение (76.13) определяет инвариантный вектор 自，как тоже известно из общей теории (§ 24). Задание векторного поля g (Л4) равносильно вследствие этого заданию тензорного поля 己‘(Л4).

§ 77- Параллельное перенесение

Одним из важнейших свойств аффинного пространства является возможность откладывать данный вектор из любой точки. Возникает вопрос, как это реализовать, когда рассматриваемая область Q отнесена к криволинейным координатам х1. Вектор 自° мы будем предполагать заданным его координатами ^ в некоторой точке MQ\ отложить его мы хотим из другой точки Mv Разумеется, если отложить в вектор с теми же координатами 幫，го это не достигнет цели, так как локальные реперы в Л40 и Мг различны. Нам нужно

установить, как следует изменить Е；, чтобы в локальном репере в точке 714] они определяли прежний вектор |0,

Однако решение этой задачи не приводит к чему-либо интересному, если переносить вектор |0 из Мо в 加】одним скачком. Интерес представляет непрерывное перенесение вектора |0 по какой-либо кривой ТИо^, причем мы рассматриваем ход непрерывного изменения его координат f на каждом бесконечно малом участке пути. Именно это упрощение задачи и приводит к содержательным результатам.

Пусть путь MQM± задан параметрическими уравнениями

川=浦⑺ (』1, 2,…，")，/00»0々，(77.1)

где х^ (/) — непрерывно дифференцируемые функции. Заметим, что 714%1 есть кривая в смысле § 65: если х1 (/) подставить в (76.1), то радиус-вектор х оказывается функцией от Л В каждой точке 附(/) этого пути мы откладываем постоянный вектор |0, координаты которого W- однако, меняются от точки к точке ввиду изменения от точки к точке локального репера. Таким образом, координаты F зависят от

У = Н(/),(77.2)

и мы хотим выяснить, по какому закону будут меняться эти функции хотя бы на бесконечно малом участке пути.

Так как функции х1 (^ — непрерывно дифференцируемые, мы сейчас же получаем, что вдоль пути векторы локального репера х； (х1, . . ., %"), а значит, и F являются непрерывно дифференцируемыми функциями / (предполагая N= 2; смысл N см. § 75).

Относя вектор |0 к локальному реперу в точке М (/), пишем:

三о = У(/)х"%1,xnY(77.3)

Здесь имеется в виду, что аргументы х1, . , ., %" сами зависят от / согласно параметрическим уравнениям пути. Дифференцируя по / почленно и учитывая, что |0 = const, получим:

0 =密% + 日也一(77.4)

Чтобы разобраться в этом результате, нам нужно векторы dx； разложить по векторам локального репера.

По формуле полного дифференциала

где

Векторы X//, вполне определенные для каждой точки области Q (а не только вдоль рассматриваемого пути), можно разложить по векторам локального репера х; в этой точке:

x,/=ltx&.(77.6)

Через F% мы обозначили коэффициенты разложения; по k происходит, конечно, суммирование. Очевидное равенство

%7 = х// влечет за собой

1^=г%(77.7)

ввиду однозначности разложения по векторам репера. Конечно, F分 зависят от точки, где производится разложение (77.6), так что

F%(M) = F$(R, хп),(77.8)

Величины F方，определенные таким образом в данной системе криволинейных координат хг для каждой точки М области Q, мы будем называть коэффициентами связности.

Смысл этого названия вскоре выяснится. Коэффициенты связности впоследствии (в обобщенном виде) будут играть у нас исключительно важную роль.

Возвращаемся к нашей задаче. Вставляя разложение (77.6) в (77.5), получаем:

也=F%xQ"

после чего равенство (77.4) принимает вид

0 = ^\ + r?,x^W.

В первом члене правой части мы изменили лишь обозначение индекса суммирования на А. Ввиду линейной независимости векторов хА обращение в нуль их линейной комбинации означает обращение в нуль и всех ее коэффициентов; следовательно,

4竹十味"=0,

или, что то же,

"У =—味(77.9)

(Ввиду симметрии F% по нижним индексам безразлично, свертыва-

ется ли F с первым, a dx{—со вторым его индексом или наоборот). Это и есть формула параллельного перенесения вектора в бесконечно малом. Она решает следующую задачу: если в данной точке М(х1) вектор имеет координаты У, то какие координаты будет иметь тот 宛е вектор в бесконечно близкой точке ЛГ (尤『十 壮％『)？ Конечно, эту задачу мы решаем не точно, а пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка. Вернее, мы выражаем не приращения, а дифференциалы координат У при переходе из 7И в М\

Как мы видим, dg' линейно зависят и от данных координат 三」 и от дифференциалов dx1 координат точки. Коэффициентами служат 「％ мы видим, что при их помощи связываются векторы в М и векторы в ЛГ, откуда и происходит название «коэффициенты связности».

Мн как будто забыли о том пути 餌网，по которому двигались, или, точнее, ограничились его произвольным бесконечно малым кусочком.

Если же мы захотели бы применить полученную формулу (77.9)

к перенесению вектора по конечному пути 他)％, то нам пришлось бы интегрировать соответствующую систему дифференциальных уравнений. Здесь мы на этом не останавливаемся, так как позже будем заниматься этим вопросом в обобщенном виде.

В частном случае, когда координаты х1 аффинные,

х(%1, Хп) = х,е/,х,- = е,-, х〃 = 0,

и из (77.6) следует:

「方=0.(77.10)

Обратно, если в какой-нибудь системе криволинейных координат Г^- (х1, •…，хп) тождественно обращаются в нуль, то из (77.6) следует:

х〃 = 0, xr = const.

Обозначая 乂工・=*, получим наконец

х = х'% + хо.

Такое выражение для радиуса-вектора (где х0 — const) показывает, что х1 — аффинные координаты (с началом в точке х0).

Итак, для того чтобы, криволинейные координаты, в рассматриваемой области Q оказались, как частный случай, просто аффинными. необходимо 〃 достаточно, чтобы, в зти% коорО〃兄ата% тождественно обращались б нуль Г*%

§ 78. Объект связности

Мн ввели коэффициенты связности Г方 в некоторой системе криволинейных координат %’ в каждой точке М области Q.

Допустим, что мы перешли в другую систему криволинейных координат 尤尸 и там вычислили Г,；; по какому закону будут преобразовываться г力 в f第?？

Как оказывается, этот закон не будет тензорным, хотя индексные обозначения коэффициентов связности как будто наталкивают на эту мысль. Исходя из разложения (77.6), определяющего 「%, нетрудно этот закон найти. В старых и соответственно в новых координатах мы имеем:

х；у = r^xfeJ %•,/，= Г%/，х々乙(78.1)

Мы хотим, пользуясь первым разложением, подсчитать коэффициенты второго разложения, что и даст искомый закон.

Дифференцирование х (х1, ..., хп) как сложной функции от хл приводит нас к (76.7):

X"(78.2)

дх1

Еще раз дифференцируем, теперь по ", снова рассматривая xz (х1, . . ., хп) как сложную функцию от 尤产.Так как

因—dxj dxJ — dxJдх 产 dxJ дх 产'"дх '

то мы получаем, дифференцируя (78.2) по 尤广，

(78.3)(78.3)©2%' I dxi dxJ

(78.3)

(78.3)

勺+ * 前％/

В первом члене правой части меняем обозначение индекса суммирования f на 内 ％ пользуясь первым разложением (78.1), переписываем:

X〃，= \dx｛，dxi'十审寿"丿

Пользуясь, далее, формулой (78.2), записанной с переменой ролей старых и новых координат:

% = ^^ х^,(78.5)

получаем окончательно:

/ 。2丛 дх1 dW rk\dxk，

дх1 дх^ дк"「内дх1 дх^ дк"「内Сравнивая со вторым разложением (78.1), мы видим, что

дх1 дх^ дк"「内

дх1 дх^ дк"「内

(78.6)

Это и есть искомый закон преобразования коэффициентов связности. Этот закон совпал бы с тензорным, если в правой части оставить лишь последний член. Но наличие дополнительного члена, содержащего, между прочим, вторые производные старых координат по новым, принципиально меняет дело.

Если 8 данной точке М для каждой системы криволинейных координат х1 нам указана система чисел Г?；, преобразующихся по закону (78.6) при переходе от одной системы & другой системе криволинейных координат, то мы говорим, что в точке М задан объект связности. При этом подразумевается, что частные производные в (78.6) вычислены в точке М. Обычно объект связности рассматривается не в одной точке М, а в каждой точке области Q:

Г?； = Г// (Л4) = Г?；(х1, . . ., %"), (78.7) так что мы имеем поле объекта связности 「%(財). Для краткости мы в дальнейшем под «объектом связности» будем понимать именно поле объекта связности.

Мы видим, что коэффициенты связности Г?/ (Л4) в нашем аффинном пространстве образуют определенный объект связности, который мы назовем объектом связности нашего аффинного пространства. Но произвольно взятый объект связности, вообще говоря, не является объектом связности нашего пространства. Более того, он не является объектом связности и вообще какого-либо аффинного пространства. Точный смысл этого замечания выяснится позже.

Объект связности есть частный случай дифференциально-геометрического объекта класса 2. Мы говорим, что в точке М дан диф~ ференциально-геометрический объект класса 2, если в каждой системе криволинейных координат х1 нам дано s чисел (р「 ф2, . . ., ф$, причем при переходе от координат х1 к новым координатам %" новые значения (р^,屮？〃 . • ., (ps выражаются как определенные (непрерывно дифферен цируемые) функции старых значений ф1} ф2,... ….,(р, и частных производных новых координат %'' по старым х1 до 2-го порядка включительно; эти производные предполагаются вычисленными в точке М*). В закон преобразования могут входить,

конечно, производные и старых координат по новым, но мы об этом не упоминаем, так как их всегда можно выразить при желании через производные новых координат по старым.

Совершенно аналогично определяется дифференциально-геометрический объект любого класса и; в частности, тензоры являются примером дифференциально-геометрических объектов класса 1, так как в закон их преобразования входят лишь первые частные производные новых координат по старым.

Важнейшее значение объекта связности аффинного пространства состоит в том, что он определяет всю геометрию аффинного про- странства^ точнее, той его области Й, в которой объект связности задается.

Это можно формулировать в виде следующей теоремы.

Пусть нам известно, что переменные х1, .. ., хп, пробегающие данную связную область изменения Q*, служат криволинейными координатами в какой-то (неизвестной) области Q аффинного пространства, причем коэффициенты связности в этих криволинейных координатах нам заданы функциями

ГД = Г/М^. .... Хп). (78.8)

Тогда мы можем восстановить всю геометрию области Q,

Подчеркнем, что в условии теоремы нам не дано к/к именно и 6 какой области Q введены криволинейные координаты %, а известно лишь, что как-то это сделано. Таким образом, заранее мы не знаем, как именно сопоставлены наши координаты точкам аффинного пространства, и должны это обнаружить на основе знания коэффициентов связности.

Чтобы доказать теорему, достаточно суметь перейти в области Q от криволинейных координат л/ к каким-нибудь аффинным координатам, которые мы обозначим

Действительно, в аффинной координатной системе мы без труда можем определить все соотношения между точками и векторами и осуществить все конструкции, которые перечислены в аксиоматике аффинного пространства. Тем самым и вся геометрия аффинного пространства будет восстановлена (в нашем случае в пределах области Q).

Для того чтобы хГ служили аффинными координатами в области Q, необходимо и достаточно, чтобы F；：炉=0 (конец § 77). Поэтому мы будем искать такие формулы преобразования

...,Хп),

чтобы этого добиться в преобразованных координатах %".

Используем закон преобразования (78.6), написав его для обратного перехода от к х1:

(78.9)(78.9)(78.10)(78.10)Г4 _ d女勿 竺)] 经上dxr dxk 「色'

(78.9)

(78.9)

(78.10)

(78.10)

“ дх1дх^ d尤勿д£ дх^ дх^ "

Очевидно, требование 「％“ = () влечет за собой

「色 дУ dxk

a =—：—：дx1дx}

Обратно, отсюда следует「方丁 = 0. Правда, непосредственно при подстановке (78.10) в (78,9) получаем обращение в нуль「分厂， подвергнутых преобразованию по тензорному закону^ но это влечет обращение в нуль и самих Г^-с

Перепишем теперь (78.10) в более удобном виде. Умножая по-

членно

на —— и dxk

суммируя по 6,

получим:

—д?хЛ* dxk дх^г

_ @2尤炉 r. . d2/，

(78.11)

Итак,

дх^дх^ dxk/ д屮

dxldxJ ' dxldxJ

=「邑（%1

…')д/ ,

(78.12)

Таким образом, для того чтобы преобразование криволинейных координат х1

х1, = %' (%，…，%")

давало 6ь, нам аффинные координаты xv , необходимо и достаточно, чтобы, функции хн (х1, . . ., хл) удовлетворяли системе дифференциальных уравнений второго порядка (78.12).

А так как функции 「方(吟 ...,хл) нам заданы, то мы можем фактически написать уравнения (78.12) и среди систем криволинейных координат %" выделить те, которые этим уравнениям удовлетворяют. Это будут аффинные координатные системы; по любой из них мы можем восстановить и всю геометрию области Q, Теорема доказана. Заметим, что существование решений у системы дифференциальных уравнений (78,12) в нашем случае сомнений не вызывает, так как в области Q наверняка существуют аффинные координаты %’ ; вопрос состоял лишь в том, как »' выразить через %：

Доказанная теорема наводит на следующий вопрос, исключительно важный для дальнейшего.

Пусть 6 области изменения переменных х1, ..., хл, которую мы обозначим Q*, заданы какие-то функции Г；&(%1, .. ., хл), ц притом

во всей области Й* Г/t = Г^-; всегда ли можно истолковать переменные х1, . , ., хп как криволинейные координаты в некоторой области Q аффинного пространства так, чтобы наперед заданные функции 『；々(尢1, . . ., хл) выражали коэффициенты связности в области Q?

Ответ на этот вопрос будет, как мы позже увидим, отрицательным, даже если вместо всей области Й* брать сколь угодно малые ее куски. Требуемое истолкование возможно лишь в весьма частном случае, когда Г/* удовлетворяют определенной системе дифференциальных уравнений в частных производных. Заметим, что этот отрицательный результат не противоречит доказанной теореме: действительно, возможность истолковать функции Г/t (х1, . . ., хл) как коэффициенты связности в криволинейных координатах х1 входила в условие теоремы.

Теперь возникает следующий вопрос: мы знаем, что в некоторых частных случаях функции Г^ (х1, хл), заданные в области изменения переменных х\ определяют в этой области аффинную геометрию (именно, если истолкование F；% как коэффициентов связности в криволинейных координатах хг удается). Нельзя ли считать, что и в общем случае функции Г/* (х1, . . ., Xм) все-таки определяют в рассматриваемой области некоторую геометрию, которая, естественно» является обобщением аффинной? Ответом на этот вопрос служит понятие о пространстве аффинной связности, которым мы будем заниматься в главе VII (§ 89).

§ 79. Криволинейные координаты в евклидовом пространстве

Так как евклидово пространство получается из аффинного лишь дополнительным введением метрики (в форме скалярного произведения векторов; § 39), то все сказанное о криволинейных координатах в §§ 75 — 78 остается верным, и повторять этого мы не будем. В частности, за объект связности евклидова пространства мы принимаем объект связности Г?； аффинного пространства, на базе которого оно построено. Но наличие метрики означает появление дополнительных вопросов, которые мы также хотим рассмотреть в криволинейных координатах. Как мы знаем, задание метрики сводится к заданию метрического тензора gj户 который можно относить к любому аффинному реперу. При этом имеет место формула

(79.1)

В соответствии с общим соглашением (§ 76) мы, рассматривая тензор 且仃 в криволинейных координатах х\ относим его в каждой

точке Л7 к соответствующему локальному реперу { Ж, xlf . . ., х^}・ Его координаты будут при этом выражаться скалярными произведениями

gi.(M) = xi(M)x/(M) (79.2) согласно (79.1).

В этой трактовке метрический тензор нужно рассматривать уже как тензорное поле; его координаты будут являться функциями точки

g〃(M) = g"(* ％"), (79.3)

хотя по существу в каждой точке задается все-таки один и тот же тензор. При переходе к новым криволинейным координатам g^ преобразуются по закону

дх{ dW

g'T =而斎gj

Мы вскоре увидим, что задание в криволинейных координатах xz метрического тензора g^ (х1, хл) играет для евклидова пространства такую же роль, как задание объекта связности Г?/ (х1,. . . ,хл) для аффинного пространства, т. е. полностью определяет его геометрию. Но пока мы просто выведем некоторые свойства евклидова пространства на основе задания метрического тензора g^ в криволинейных координатах. При этом ясно само собой, что для локального репера в произвольной точке М и соответствующего метрического тензора 且了(的 можно повторить все сказанное в §§ 39 — 41.

Рассмотрим прежде всего параметрически заданную кривую (см. 77.1)):

2 (/), 九《/ К /2.(79.4)

Радиус-вектор любой точки выражается функцией ее криволинейных координат

х = х (х\ ・.•, Xя) т

причем вдоль кривой сами х1, .,., хл зависят от /. Отсюда каса- тельный вектор 近 в произвольной точке М нашей кривой имеет вид

dx1

■yr —г — X 山 dx1 dt dt

а значит, обладает в координаты образуют,а значит, обладает в координаты образуют,локальном репере координатами ^ . Эти следовательно, один раз контравариантный

а значит, обладает в координаты образуют,

а значит, обладает в координаты образуют,

12 П. К- Рашевский

тензор, что легко проверяется и непосредственно: при переходе к новым криволинейным координатам 尤》' получаем:

d%尸 &%〃 d炉d£A炉 dt

по правилу дифференцирования сложной функции. Но это выражает в то же время тензорный закон преобразования для .

Аналогично, рассматривая вместо производной дифференциал радиуса-вектора при бесконечно малом смещении по нашей кривой, получаем по формуле полного дифференциала:

dx = Xidx)(79.6)

Мы видим, что координатами dx служат dxl. Следовательно, d%‘ образуют один раз контравариантный тензор, и это легко проверяется непосредственно:

Все дифференциалы берутся при бесконечно малом смещении. Здесь и в дальнейшем мы будем понимать под этим, что они берутся как дифференциалы функций от параметра / при его бесконечно малом приращении dt.

Скалярный квадрат вектора ^ можно вычислить по общей формуле (39.9), пользуясь ею в локальном репере:

借)』•嘉g(79.7)

Отсюда

g疗运应■■g疗运应■■(79.8)(79.8)

g疗运应■■

g疗运应■■

(79.8)

(79.8)

Мы знаем, что длина кривой определяется формулой (65.7):

и, следовательно, 而然"(79.9)

Не нужно забывать, что в подынтегральном выражении g〃・一функции от %】,%" согласно (79.3), а х1,...,尤"—функции от /

согласно (79.4), так что подынтегральное выражение зависит в конечном счете от /.

Итак, если в криволинейных координатах хг в области Q нам задан метрический тензор g〃 (％】，...,хп), то длину любой кривой (79.4) мо宛&о вычислить по формуле (79.9).

Вместо того чтобы задавать длину дуги интегралом, можно выразить ее дифференциал, совпадающий, конечно, с подынтегральным выражением:

ds=\d\\ = V gijdxTW,

или, что то же, ds2 = gi/(x1t xn)dxrdx\ (79.10)

Квадрат дифференциала дуги при любом бесконечно малом смещении по любой кривой выражается дифференциальной квадратичной формой (79.10) от криволинейных координат (вообще дифференциальной квадратичной формой от переменных х1, ..., хп называется квадратичная форма от их дифференциалов dx，,, dxn с коэффициентами—функциями от х1, .. ., хп).

Эту квадратичную форму мы будем называть метрической. Она инвариантна относительно преобразования криволинейных координат W; это видно как по ее геометрическому смыслу, так и по алгебраической структуре: она представляет результат двойного свертывания метрического тензора g〃 с контравариантным тензором dx'*

Покажем теперь ——и это важный факт,—что объект связности Г；^(7И) евклидова пространства можно вычислить, зная метрический тензор g〃 (Ж) в какой-нибудь криволинейной системе координат.

Согласно (77.6) коэффициенты связности подсчитываются из разложения

= Г%*.(79.11)

Теперь, имея в пространстве евклидову метрику, мы можем по-новому подо員тн к этому подсчету. Умножая (79.11) на xz скалярно, получим:

х/и = Г?/ glki(79.12)

так как

~觐=马眇(79.13)

Мн видим, что правая часть (79.12) получается из「％ опусканием верхнего индекса (правда, опускание индексов мы рассматривали лишь для тензоров, в то время как Г*——не тензор; однако формальная сторона дела от этого не меняется). Соответственно 12*

этому обозначим:

1\" = &江方・(79.14)

Обратно, Г* получаются индекса:

из Г/иу поднятием первого нижнего

弋心(79.15)

Ясно, что для вычисления но (79.12)

Г；； достаточно вычислить Г\心 Соглас-

При этом, очевидно,

F/ "7 = Х/Х〃.(79.16)

F/"尸

Эти величины и есть те неизвестные, которые требуется выразить посредством метрического тензора g，户 Для этой цели дифференцируем равенство (79.13) по хт почленно. Получим: т. е.

^ = ^・(79.17)

Мы имеем здесь (при фиксированных А, 2,加)одно уравнение с двумя неизвестными. Однако, если переписать это уравнение, сделав над A, Z, т круговую подстановку, сначала один раз, а потом еще раз, то уравнений будет уже три, а неизвестное добавится лишь одно. Получаем:

I link 十丄 tn ,1k — @/，

p 丄「-

丄 zn,WZ 十丄 k、ml —「*

Учитывая симметрию Уi^j по индексам z, /, мы замечаем, что в левых частях у нас имеется фактически лишь три неизвестные величины, попарные суммы которых заданы:

°々"加 + ^ l^mk

—дхт

^ I ,mk + ^ m,kl —

°m,々/ + ^ ktlm

ad '

°g тк

Такую систему можно решить элементарным приемом, складывая

почленно первые два уравнения и вычитая третье. Получим:

и окончательнои окончательно(79.18)(79.18)

и окончательно

и окончательно

(79.18)

(79.18)

Вставляя этот результат в (79.15), мы приходим к решению нашей задачи:

(79.19)(79.19)

(79.19)

(79.19)

Полученные выражения для Г\,血左 и Г*/ называются Кристоффелями (символами Кристоффеля) соответственно 1-го и 2-го рода.

Если, в частности, л/ — аффинные координаты, то

х = %'e『, х『=е； = const, gkl = x^L = е^е^ = const,

все частные производные обращаются в нуль. Этим еще раз подтверждается, что в аффинных координатах Г^/ = 0.

Докажем теперь теорему, показывающую фундаментальную роль метрического тензора 且订 для евклидовой геометрии.

Пусть нам известно, что переменные %】,...,%〃, пробегающие данную связную область изменения Q*, служат криволинейными координатами в какой-то (неизвестной) области Q евклидова пространства, причем координаты метрического тензора в этой системе криволинейных координат нам заданы:

(79.20)(79.20)Sij = Sij (-^1 j • • • j %").

(79.20)

(79.20)

Тогда мы можем восстановить всю геометрию области Q.

В самом деле, пользуясь (79.19), мы находим коэффициенты связности Г?/ тоже как функции %】,...,хп и, исходя отсюда, совершаем переход в какую-нибудь аффинную координатную систему %" так же, как в § 78. В этой координатной системе находим координаты метрического тензора по формуле преобразования

gi'Y =gi'Y =

gi'Y =

gi'Y =

Так как %"——аффинные координаты, то g^^ = const, т. е, от выбора точки не зависят. В результате мы нашли в области Q аффинную координатную систему %" (что позволяет восстановить всю аффинную геометрию области Q) и метрический тензор g「『в ней, что

позволяет выразить скалярное произведение любых двух векторов, а тем самым полностью восстановить евклидову метрику области Q. Теорема доказана.

Снова возникает вопрос: пусть в области изменения переменных хг каким-либо образом заданы функции g^ix1, ..., xn), g^ = g^h Det I g(71=7^0. Всегда ли можно истолковать х1 как криволинейные координаты в некоторой области Q евклидова пространства так, чтобы gu (х1, ..., %") выражали координаты метрического тензора 6 этой области в криволинейных координатах %'?

Ответ снова будет отрицательным: такое истолкование возможно лишь в очень частном случае, именно, когда функции g^ (х1,. .., хп) удовлетворяют определенной системе дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка (которой мы будем заниматься позже). Лишь тогда задание g^ (х1, …，х") позволяет установить евклидову геометрию в области изменения х1. Но здесь естественно спросить: нельзя ли и в общем случае задания функций g；」(х\ . . . ,хп) связать с ними определенную геометрию в области изменения переменных х1 наподобие этой евклидовой геометрии?

Ответом на этот вопрос служит понятие римановой геометрии^ которой мы будем заниматься в главе VII.

ГЛАВА VI

МНОГООБРАЗИЯ

Мы собираемся перейти к основным для этой книги понятиям пространства аффинной связности и риманова пространства. В рамках этих понятий мы будем затем оставаться до конца книги. Как уже указывалось в § 79, мы приходим к ним путем обобщения соответственно понятий об аффинном и евклидовом пространствах. В грубых чертах указывался и путь этого обобщения: мы рассматриваем некоторую область изменения переменных х1, . .. , х^ и геометризируем ее в первом случае путем введения функций Г%(%1, . .. , хл), которые используются аналогично коэффициентам связности аффинного пространства, во втором случае путем введения функций g^ (х1, . . . , хл), которые должны служить чем-то вроде координат метрического тензора g】,евклидова пространства.

Однако геометризацию области изменения переменных х1, ... , хп нужно начинать с более раннего этапа, именно, с превращения ее 6 многообразие, еще независимо от задания функций 「% или g〃. В настоящей главе мы этим и займемся.

Элементарное многообразие

Начнем с наводящих соображений. Связную область в аффинном пространстве мы можем относить к различным системам криволинейных координат, любые две из которых связаны между собой преобразованием взаимно однозначным и в обе стороны А/ раз непрерывно дифференцируемым:

%"=力(А, •…，хл) и, обратно, ，％"')• (80.1) При этом х1 пробегают область изменения Q, %"—область изменения Q， (определение области см. § 75). При соблюдении всех этих условий преобразование (80.1) переменных х( в переменные %" мы будем называть кратко преобразованием класса ^.

То, что мы имеем область именно в аффинном пространстве, сказывается в том, что среди координатных систем выделены особые,

аффинные координатные системы с точностью уже до линейных преобразований. Перейдя в какую-нибудь из аффинных координатных систем, мы очевидным образом можем установить все аффинные свойства области Q. Представим себе теперь, что мы отказались от выделения среди координатных систем некоторых особенных (аффинных), а считаем все эти системы равноправными. Тогда мы теряем аффинные свойства рассматриваемой области, она перестает быть куском аффинного пространства и становится некоторым множеством, элементы которого мы называем точками в сущности лишь по инерции. Однако это множество, как мы сейчас увидим, все же сохраняет некоторые геометрические свойства, правда, очень бедные. Этим самым мы и приходим к понятию многообразия в простейшем частном случае (элементарное многообразие).

Мы можем теперь дать следующее определение. Элементарным многообразием (п измерений и класса N) мы будем называть любое множество ЯЛ, для которого задано взаимно однозначное отображение на связную область изменения п переменных х1, . . . ( %", но задано лилиь с точностью до произвольного преобразования этих переменных в новые переменные по схеме (80.1) (включая условие непрерывной дифференцируемости порядка N).

Обозначая область изменения переменных х1, ... , хл через Q, а элементы множества через М можно записать отображение в виде

. . . , хп) (80.2)

Область Q предполагается связной. Самым важным в определении многообразия является то, что отображение (80.2) задается с точностью до всевозможных преобразований класса N над переменными х1, . . . , %\ т. е. с точностью до перехода к любому другому отображению

加,尤吟 (80.3)

при единственном условии, что х^^ . . . , хп， получаются из X1) . . , , %" (и обратно) непрерывно дифференцируемым преобразованием класса N (80.1). Другими словами, задается не одно отображение (80.2), а бесчисленное множество таких отображений, причем любые два из них, например, (80.2), (80.3), связаны преобразованием класса N (80.1), и, обратно, любое преобразование класса ^ (80.1), примененное к одному из заданных отображений, снова приводит к одному из заданных отображений.

Поскольку отображение (80.2) задано, таким образом, с огромной степенью неопределенности, то можно подумать, что оно ничего не может и дать для геометрии многообразия. Но это не совсем так. Будем называть элементы многообразия М точками、заданные нам отображения (80.2) координатными системами в многообразии 9JI и, наконец, значения х1, . . . , %\ отвечающие точке М в ото-

бражении (80.2),——ее координатами в соответствующей координатной системе. Геометрические свойства многообразия нам приходится извлекать только из отображений (80.2), так как элементам множества 5DI самим по себе никаких свойств не приписывается. Если бы при этом отображении (80.2) были бы заданы с точностью до произвольных взаимно однозначных преобразований области 0 в область Q', то отсюда было бы нельзя ничего извлечь. Но потому, что эти отображения заданы с точностью до непрерывно дифференцируемых преобразований класса N, многообразие приобретает некоторые, хотя и скудные, геометрические свойства. Прежде всего в многообразии можно определить понятие предельной точки. Мы будем говорить, что переменная точка 附 стремится (например, по счетной последовательности положений) к предельной точке 附°, если координаты точки М стремятся к соответствующим координатам точки Мо хотя бы в одной координатной системе х1 (т. е. хотя бы при одном из заданных отображений (80.2)). Но так как переход к другой координатной системе %" совершается при помощи функций, во всяком случае непрерывных (даже при N=0), то наше определение имеет смысл, независимый от выбора координатной системы. Аналогично обстоит дело и с понятием области (открытого множества) 9t и 2)1, которое определяется посредством координатной системы так же, как и область в арифметическом пространстве в § 75. Далее, пользуясь снова какой-нибудь координатной системой в многообразии, нетрудно определить в нем кривые, их касание между собой того или иного порядка, поверхности и еще ряд геометрических конструкций; мы не останавливаемся на всем этом более подробно, так как дальше будем заниматься этим систематически. Оказывается, что такого рода определения формулируются так, что их смысл не зависит от той координатной системы, которой мы в данный момент пользуемся, и тем самым наши конструкции определены действительно для самого многообразия.

Резюмируя, можно сказать, что элементарное многообразие (класса N) воплощает в себе те свойства области изменения переменных х1,％ которые инвариантны при любом взаимно однозначном и непрерывно дифференцируемом преобразовании (класса N) этих переменных в новые переменные %】'，…，尢出*). Чем больше ^, тем меньшее количество преобразований мы допускаем, тем большим количеством свойств обладает многообразие. Все, что имеет место для многообразия данного класса, и подавно имеет место для многообразия высшего класса. Многообразие наиболее бедное свойствами мы получаем при ^— 0, т. е. когда

от взаимно однозначных преобразований х1 в %" требуется лишь непрерывность. В этом случае мы имеем многообразие в топологическом смысле. В этой и следующих главах достаточно потребовать, чтобы многообразие было, по крайней мере, 2-го класса; в главе VIII класс придется повысить до ^^ 3, а в некоторых ее параграфах и еще больше. Допускается и значение N = оо.

Все, что до сих пор было сказано, относилось к многообразиям простейшего вида, которые мы назвали элементарными. Не давая пока точных определений (см. § 84), мы постараемся составить хотя бы грубо наглядное представление о многообразии вообще.

Начнем с двумерного случая N=2. Моделями различных двумерных многообразий могут служить поверхности в обычном евклидовом пространстве, например, эллиптический параболоид, сфера, тор, полусфера и т. д. Если рассматриваемая поверхность имеет край, то он в поверхность не включается. Например, полусфера берется без ограничивающей ее окружности большого круга.

Когда мы рассматриваем поверхность, как модель многообразия, мы, конечно, игнорируем ее обычные геометрические свойства и воо61це интересуемся этой поверхностью лишь с точностью до ее непрерывно дифференцируемого преобразования определенного класса N； действительно такое преобразование переносит координатные системы (класса N) с одной поверхности на другую. Таким образом, целая плоскость, внутренность круга, полусфера, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид и т. п. как многообразия между собой эквивалентны. Действительно, все эти поверхности допускают взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение друг на друга. В частности, они отображаются на целую плоскость ХОУ, т. е. на область изменения переменных х, у, —оо < х, р< + 8・ Тем самым перечисленные многообразия являются элементарными двумерными многообразиями; существуют и не эквивалентные им (например, кольцо между двумя концентрическими окружностями на плоскости представляет собой существенно иное, хотя тоже элементарное многообразие).

Но многообразие, моделью которого служит сфера, будет уже неэлементарное многообразие, так как сфера не допускает взаимно однозначного и непрерывного отображения ни на какой кусок плоскости, т. е. ни на какую область изменения двух переменных х, у. Это равносильно тому, что сферу в целом нельзя отнести к какой- либо координатной системе х1, х2 при обычных предположениях взаимной однозначности и непрерывности соответствия.

Однако сферу можно склеить из двух полусфер, которые представляют собой элементарные многообразия и допускают каждая координатную систему %* х2. При этом, чтобы не выпала окружность большого круга, по которой полусферы должны склеиваться,

но которая им не принадлежит, мы одну из полусфер возьмем несколько продолженной за ее границу посредством пояска, наставленного по ее краю, причем этот поясок будет наклеиваться на соответствующую часть второй полусферы. Аналогичным образом и многообразие, представленное тором (и, конечно, тоже неэлементарное), можно склеить, например, из заходящих один на другой четырех кусков в виде искривленных и деформированных прямоугольников, которые по отдельности представляют собой, конечно, элементарные многообразия.

Из этих наглядных примеров можно почерпнуть общую идею: произвольное двумерное многообразие можно определить как результат последовательного склеивания заходящих одно на другое элементарных двумерных многообразий. Двумерное многообразие, полученное в результате такого склеивания, ведет себя в малом, в окрестности каждой точки, совершенно так же, как и элементарное многообразие. Это видно хотя бы из того, что достаточно малая окрестность точки принадлежит одному из составляющих элементарных многообразий. Но в целом неэлементарное многообразие своими топологическими свойствами существенно отличается от элементарного.

Совершенно аналогичная идея лежит в основе понятия //-мерного многообразия. Оно составляется по существу путем склеивания (т. е. частичного отождествления) заходящих одно в другое элементарных л-мерных многообразий. Для неэлементарного многообразия в целом нельзя ввести координатную систему х1, . . . , хп с обычными требованиями взаимной однозначности и непрерывности соответствия; но это можно делать по отдельности для тех элементарных кусков, из которых оно составлено.

Конечно, грубые описания, которые нами даны, не содержат точного определения многообразия. Однако мы не очень пострадаем, если ограничимся ими, по следующей причине.

Мы будем в дальнейшем заниматься дифференциальной геометрией многообразия, а для этого достаточно каждый раз иметь в своем распоряжении лишь некоторую окрестность рассматриваемой точки. В пределах же такой окрестности многообразие всегда можно считать элементарным. Поэтому дальнейшие построения мы обычно будем вести так, как если бы многообразие было зле- мектарным» в частности, пользоваться координатными системами х1, , xn, ade х1, ... , хп пробегают некоторую область изменения Q. При этом нужно помнить, однако, что мы имеем в виду координаты, введенные в отдельных составляющих элементарных многообразиях. В тех частях, где эти многообразия накладываются одно на другое, соответствующие координаты связаны зависимостью (80.1) класса ^. Точное определение (неэлементарного) многообразия мн дадим позже (§ 84).

Тензоры в многообразии

Переходя к геометрии многообразия, необходимо хорошо понять, что по сравнению с аффинным (и, тем более, евклидовым) пространством мы очень много потеряли. В нашем распоряжении нет больше векторов, которые можно было строго определенным образом переносить из точки в точку, что придавало пространству строго оформленный, жесткий характер. Теперь у нас нечто аморфное и пластичное, так как вся геометрия многообразия должна быть извлечена лишь из задания в нем множества координатных систем (80.2):

М —> (х1, …，хп) € С, связанных между собой произвольными взаимно однозначными и N раз непрерывно дифференцируемыми преобразованиями.

Тем не менее, понятие тензора в данной точке многообразия без труда копируется с соответствующего понятия для аффинного пространства в криволинейных координатах.

Мы говорим, что в данной точке М задан тензор, например, один раз котравариантный и два раза ковариантный, если в каждой системе координат х1, . . . , хл нам задана система чисел V；* (Л4), преобразующихся при переходе к другим координатам .・・,по закону

V^, (Ж) =%W^(^)^(^)^ W^ (81.1)

где частные производные вычислены в точке М (именно в этом и проявляется то обстоятельство, что тензор задан в точке Л4).

Большей частью нам придется рассматривать не отдельный тензор, а тензорное поле^ когда тензор данного строения, например, V；储 задан в каждой точке М многообразия (или, по крайней мере, в каждой точке некоторой поверхности или линии в нем). Тогда координаты тензора в каждой системе координат %】，...,хл являются определенными функциями точки

%=必(聞=片一尸，•••，*"),(81.2)

причем здесь и везде далее эти функции мы считаем N—^1 раз непрерывно дифференцируемыми. При переходе в новую координатную систему действует закон преобразования (81.1). Мы знаем, что х"(х* . . . , хл), равно как и %’(х\ ... , %"'), суть N раз непрерывно дифференцируемые функции; отсюда следует, что условие N——1-кратноЙ непрерывной дифференцируемости для V% сохраняется и при переходе к 吃，々，(так как оно имеет место для мно

жителей , —- появляющихся при преобразовании (81.1)).

дх1 дх1

Мн видим, что задание тензорного поля в многообразии с формальной стороны вполне совпадает с заданием，тензорного поля в криволинейных координатах аффинного пространства (§ 76). И в том и в другом случае в данной системе координат х1 ... хп координаты тензора задаются как функции точки, и в том и в другом случае они преобразуются по закону (81.1) (который представляет собой повторение закона (76.12)).

Разница лишь в том, что в аффинном пространстве мы могли трактовать У^ (М) как координаты тензора, вычисленные относительно локального аффинного репера в точке М. В многообразии это невозможно, так как в нем не существует векторов, а тем самым и аффинных реперов, в том числе и локальных. Поэтому, давая наши определения тензора в точке и тензорного поля для многообразия^ мы были вынуждены скопировать именно формальную сторону дела. Если угодно, роль локальных реперов в точке М играют у нас сами координатные системы х1,％\ рассматриваемые в бесконечно малой окрестности точки М. В следующем параграфе мы геометризируем понятие о координатной системе х1, . . . , хп, рассматриваемой в бесконечно малом вблизи /И, в виде

локального репера в касательном пространстве.

Для того чтобы задать тензор данного строения в определенной точке М^ достаточно произвольно задаться его координатами V^ в одной какой-либо координатной системе х\ Тогда в любой другой координатной системе %" координаты тензора V；%， определятся по закону (81.1), причем этот же закон преобразования уже автоматически будет действовать и при переходе от любой координатной системы %" к любой координатной системе хг\

Последнее выводится совершенно так же, как и в § 32; разница

лишь в обозначениях, а именно, роль взаимно обратных матриц

i貓，庐i貓，庐используемыеиспользуемыеПри этом соотноше-при выводе, имеютПри этом соотноше-при выводе, имеютII 川 И и II4” II играют у нас ния А^ = А^^гА^у Л/ =片，4,

i貓，庐

i貓，庐

используемые

используемые

При этом соотноше-

при выводе, имеют

При этом соотноше-

при выводе, имеют

место и у нас:

(81.3)(81.3)дх1 — dd d*д* — д* дх"

(81.3)

(81.3)

d*' дхе d炉’' d%‘ d%〃 dxi

Действительно, это не что иное, как формулы дифференцирования сложных функций %’ от %'" (и наоборот) при промежуточных аргументах %『.Если нам нужно задать тензор не в одной лишь точке, а целое тензорное поле, то в соответствии со сказанным можно задаться произвольными N—1 раз непрерывно дифференцируемыми функциями

%") (81.4)

в данной координатной системе х\ Тем самым в каждой точке Л! будет определен тензор поля, координаты которого в любой другой координатной системе %" определяются теми же формулами (81.1). Аналогичным образом можно поступать и в тех случаях, когда тензорное поле задается в многообразии лишь на некоторой поверхности или линии.

Все операции тензорной алгебры со всеми их свойствами, установленные нами в главе П, переносятся дословно и на тензоры, заданные в одной и той же точке нашего многообразия. Дейстзи- тельно, расхождение с главой 11 будет здесь лишь в обозначениях:

роль 4%, 4' в тензорном

黑(的H к(加).

дх1дх1

Зато тензоры, заданные лены друг от друга, так

законе преобразования будут играть

6 разных точках многообразия, отде-сказать, пропастью: их нельзя даже

сравнивать между собой, не говоря уже о том, чтобы дить над ними совместно какие-либо операции.

В самом деле, желая сравнить два тензора, заданных точках 也 и 也，мы должны были бы каким-то образом ности Мх и в окрестности М2 согласовать координатные

произво-

в разныхв окрест-системы,

в которых вычисляются координаты этих тензоров. Но для такого согласования в многообразии нельзя указать никакого приема. Ввиду широкого произвола в допустимых преобразованиях координат %— ... , хп из задания координатной системы в окрестности Мх нельзя извлечь никаких указаний на построение координатной системы в окрестности 也.

Эту же мысль можно выразить и так: допустим, что два тен-

зора в точках 也 и координатной системе

имеют одинаковые координаты в данной

Тем не менее эти тензоры не могут считаться равными, так как при переходе к новым координатам М указанное равенство, вообще говоря, нарушится. Это произойдет потому, что в законе преоб-

разования (81.1) в первом случае будут фигурировать —г (Ж,), а

во втором случае ——：(^И2)> вообще говоря, не равные между собой. дх1

Операции тензорной алгебры переносятся также и на тензорные поля в многообразии, а именно, операции над полями определяются как операции над тензорами этих полей, производимое в каждой точке Ж по отдельности. Так, сложение тензорных полей (одинакового строения), например, У* (Ж) и U^ (Ж), определяется

как составление нового тензорного поля

умножение тензорных полей, например, Уд (/И), Uf(Af), определяется как составление нового тензорного поля

свертывание тензорного поля, например, 取需(М), по второму верхнему и первому нижнему индексам означает построение нового тензорного поля

唠(М)=诡^ (М);

наконец, подстановка индексов означает переход от тензорного поля, например,啜(加)， к тензорному полю того же строения Z需(М), например, следующим образом:

Z驚(М)=嚟(М).

Именно потому, что операции над тензорными полями сводятся таким образом к операциям над тензорами, взятыми каждый раз в одной и той же точке М, эти операции сохраняют все свои обычные свойства. Для краткости мы в дальшейшем часто будем говорить просто «тензор», имея в виду тензорное поле.

В противоположность алгебраическим операциям операция абсолютного дифференцирования тензорного поля в многообразии не существует. В процессе дифференцирования нужно прежде всего брать приращение тензора при переходе из данной точки в бесконечно близкую, т. е. вычитать тензор в одной точке из тензора в другой точке, а это в многообразии не имеет никакого смысла. Если же попробовать обойти это формальным дифференцированием координат тензора поля, например, 丿2/(%1хп), по координатам точки, то полученные величины не образуют тензора. В самом деле, продифференцируем закон преобразования (81.1) почленно по %" и получим тем самым величины — в новых коор

динатах; тогда в правых частях придется дифференцировать, кроме множителя множители и т. что приводит к дополнительным членам, портящим тензорный закон преобразования для . Более того. } зависят не только от но и от

@尤戸дхр8Kp

самих

Касательное аффинное пространство

Опираясь на то, что в каждой точке М многообразия 5ШЛ можно построить тензоры с обычными свойствами, мы постараемся гео- метризировать понятие многообразия, насколько это возможно. Особое значение в этом смысле будут иметь один раз контрава- риантные тензоры R В аффинном пространстве такой тензор определил бы нам вектор; но в многообразии у нас пока векторов нет, да в настоящем смысле слова никогда и не будет. Но мы все же постараемся связать с каждым тензором g‘ в данной точке М нашего многообразия вектор | в некотором условном смысле. А именно, возьмем экземпляр л-мерного аффинного пространства Ап с отмеченной в нем точкой О. Отобразим каждый тензор У 6 данной точке М в некоторый вектор | пространства Ап так,, чтобы умножению тензора ^ на число и сложению двух тензоров g и т/ отвечали такие же операции над соответствующими векторами:

если rf = ag\то т| = а|,(82.1)

если } = ¥ + #,т。? = I + Я(82.2)

Кроме того, мы требуем, чтобы в этом отображении получались все векторы | пространства Лл, а не происходило бы, например, отображение всех тензоров g в вектор-нуль.

Искомое отображение нетрудно построить следующим образом. Выберем среди тензоров Q в точке М п линейно независимы*

三⑴，e(2), ■ ■ ■ » 瓦口)，

т. е. удовлетворяющих условию

Det 间)|*0.

Тогда любой тензор У можно разложить по этим с некоторыми коэффициентами

F = a⑴弘+・•・+«⑺乩)(i=l, 2, •・.，办 (82.3) где коэффициенты а“), . . . , а‘") без труда определяются из выписанной системы п уравнений с л неизвестными.

Теперь в Ап выберем произвольно п линейно независимых векторов

и каждому тензору У (82.3) сопоставим вектор |, в Ап определяемый формулой

自=必喝1,+ ...十/，,.(82.4)

Ясно, что отображение будет взаимно однозначным с соблюдением условий (82.1), (82.2). Следует подчеркнуть, что наше отображение относится именно к тензорам независимо от того, в какой координатной системе х1 они рассматриваются, и носит, таким образом, инвариантный характер.

Мы условимся, кроме того, отображать данную точку М многообразия ЗЛ门 в точку О пространства /〃； можно даже для наглядности представлять себе их отождествленными, так что пространство Лп «пришпилено» к многообразию й)1п в данной его точке М.

Итак, для каждой точки М многообразия 9)1П мы строим, аффинное пространство Ап, имеющее с многообразием, одну общую точку /14, причем тензоры ^ s точке /14 с сохранением, линейных зависимостей между ними изображаются векторами | s Ап. Такое пространство Ап называется касательным, аффинным, пространством, а его векторы | ——касательными векторами в данной тоне /14 многообразия 9Jln. Впрочем мм будем кратко называть векторы | просто векторами s данной точке М, подразумевая, что они принадлежат касательному пространству в этой точке. На первый взгляд кажется, что касательное пространство привязано к многообразию внешне и искусственно и с геометрической стороны ничем не может его оживить. В действительности, однако, связь здесь более глубокая.

Рассмотрим кривую, проходящую через данную точку М многообразия 9)1п. Под кривой в многообразии мы будем понимать множество точек, заданных параметрическими уравнениями

*' = *'(/), (82.5)

причем будем предполагать, что — не обращаются в нуль одновременно; функции х1 (/) N раз непрерывно дифференцируемы.

Пусть при данном значении / мы находимся в точке М^ а при t-\-dt попадаем в бесконечно близкую точку ЛГ. Дифференциалы координат dxl = dxl (/) образуют в точке М один раз контрава- риантный тензор. Действительно, при переходе в многообразии к новым координатам

尤尸尤") (82.6)

мы для того же бесконечно малого смешения по нашей кривой получаем по формуле полного дифференциала

"/'(/) = &(M)d*'(f), (82.7)

а это означает тензорный закон преобразования для dxl. Но в таком случае в касательном аффинном пространстве тензору У = dxl (/) должен отвечать (бесконечно малый) вектор^ который мы обозначим dx.

Итак, бесконечно малому смещению из точки М по кривой 8 многообразии 9Л〃 отвечает бесконечно малый вектор dx в касательном пространстве Ап в точке М. Этот вектор играет примерно ту же роль, что и дифференциал dx радиуса-вектора х в аффинном пространстве (§ 65). Но разница в том, что кривая теперь лежит в многообразии, радиуса-вектора х (как и вообще векторов) в многообразии не существует, и аналог вектора dx удается построить лишь в касательном в данной точке аффинном пространстве Лл.

Как и в § 65, вектор dx определяет отвечающее ему бесконечно малое смещение лишь с точностью 1-го порядка, так как задание dx равносильно заданию dxl (/), для самого же смещения нужно было бы знать Ал?(/).

Тем не менее полученная геометрическая картина имеет большое значение. Представим себе7 что из точки М по всевозможным направлениям берутся бесконечно малые смещения в многообразии. Все эти смещения находят себе изображение s виде вполне определенных бесконечно малых смещений (векторов dx) из той же точки М 8 касательном пространстве, правда, если пренебречь бесконечно малыми высшего порядка. Тем самым касательное пространство не только «пришпилено» к многообразию в точке /И, но и как бы «сливается с ним» в бесконечно малой окрестности точки М^ однако лишь с точностью 1-го порядка. Теперь ясна аналогия между касательным пространством и касательной плоскостью, например, к обыкновенной поверхности. Смещаясь из данной точки М на поверхности в бесконечно близкую точку М по какой-либо кривой, мы можем, пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, выразить это смещение бесконечно малым вектором в касательной плоскости. Таким же свойством обладает касательное пространство по отношению к многообразию (однако при этом не обязательно мыслить их вложенными в некоторое объемлющее пространство).

В дальнейшем мы будем говорить кратко «вектор g в точке /И», имея в виду соответствующий вектор 三 в касательном пространстве Ап в точке М. В частности, под «вектором d%% мы будем понимать вектор dx. Следует подчеркнуть, что касательные пространства Дп) взятые 8 разных точках многообразия 5Dl„, не имеют между собой ничего общего. У нас нет никаких данных для того, чтобы вектор, взятый в точке М± каким-либо мотивированным образом, отложить в точке /И2. Мы увидим далее7 что устранение этого пробела будет означать превращение многообразия в пространство аффинной связности.

Вернемся к кривой (82.5). Рассмотрим вместо дифференциалов dxl производные 彳 в данной точке М, Они, очевидно, тоже образуют тензор. Действительно, считая, что в (82.6) х1 зависят

от f согласно (82.5), и дифференцируя по /, получаем:

(82.8)(82.8)d* _ 里，dV~dF = ~dxl ~dt '

(82.8)

(82.8)

т. e,亩 подчиняются тензорному закону преобразования. Следовательно, тензору §"=石 должен в касательном пространстве отвечать определенный вектор |, который мы будем называть касательным вектором к нашей кривой s точке Ж (нлн просто «вектором (~»У Конечно, касательный вектор определяется неоднозначно; при непрерывно дифференцируемом и обратимом преобразовании параметра

т = т (/), / = / (т)

этот вектор умножаетсяэтот вектор умножаетсяdtна五:dtна五:

этот вектор умножается

этот вектор умножается

dt

на五:

dt

на五:

df — dM dtdx — df di

Таким образом, он будет определен в данной точке для данной кривой с точностью до численного множителя ~. Другими словами, все касательные векторы в данной точке Л1 данной кривой коллинеарны, а потому они указывают в касательном пространстве вполне определенную проходящую через точку М прямую; ее мы будем называть касательной к нашей кривой. Итак, касательная к кривой, заданной в многообразии, лежит не в многообразии, а в касательном пространстве в соответствующей точке М,

Отметим, наконец, что утраченный нами в многообразии локалъ^ 儿从近 аффинный репер возрождается снова в касательном пространстве, А именно, задавшись в многообразии координатной системой х\ рассмотрим в какой-нибудь точке /И тензоры 尿加 占；2〃・••咼6 имеющие в данной координатной системе х1 следующие координаты:

財6登力・•・，^1)=1, 0,・•・，0, j

Е(2), ^(2)> • - • J &2)=°> 1,°, J(82.9)

釈编，^n), • •^u)= 0t о, ..1. j

В краткой записи

%) = 6}

Отвечающие этим тензорам векторы в касательном пространстве Ап обозначим соответственно %, е2, . .., еи и будем называть репер

{М, ех, е2, . . ., еп} в Ап локальным репером в данной точке М и в данной координатной системе х1. Значение локального репера основано на следующем факте: если тензору 己‘ 8 точке М отвечает в касательном, пространстве вектор 三,то его координаты относительно локального репера совпадают с ^. При этом предполагается, что координаты тензора g берутся в той же координатной системе х\ в которой построен локальный репер. В самом деле, как видно из таблицы (82.9), всякий тензор 己‘ может быть разложен по тензорам 固1), . . ., &%)с коэффициентами 耳，上 Соответственно этому при переходе к векторам касательного пространства получаем:

自=耳%+...+yз,自=耳%+...+yз,(82.10)(82.10)

自=耳%+...+yз,

自=耳%+...+yз,

(82.10)

(82.10)

откуда и вытекает, что координаты вектора 三 относительно локального репера равны 耳，...,己".

Из определения локального репера видно, что он зависит от той координатной системы х\ к которой отнесено многообразие. Можно даже уточнить это: вектор % есть касательный вектор к координатной линии л/, отнесенной к параметру f= %*. Действительно, вычисляем касательный вектор при й = 1

dx' — Ox' m=荻dx' — Ox' m=荻

dx' — Ox' m=荻

dx' — Ox' m=荻

а значит, этот касательный вектор совпадает с ег.

При переходе к новой координатной системе %" векторы локаль ного репера в каждой точке М преобразуются по закону

(82.11)(82.11)0*' / ял\з蕾…

(82.11)

(82.11)

(т. е. так же, как и в криволинейных координатах в аффинном пространстве). В самом деле, поскольку координаты g любого вектора 三 относительно локального репера совпадают с координатами соответствующего тензора У, то они преобразуются по закону

(82.12)

а следовательно, векторы репера е『 должны преобразоваться при помощи транспонированной обратной матрицы, т. е. согласно (82.11). Конечно, эту формулу нетрудно проверить и непосредственно, если учесть, что е^ имеют координаты 0尸 в новом локальном репере. Тем самым в старом локальном репере они имеют каорди-

наты &，=наты &，=——6^/ =——а именно это и выражает разложение

наты &，=

наты &，=

(82.11).(82.11).犷 дх1

(82.11).

(82.11).

Из формул (82.11), (82.12) следует общий результат, окончательно выясняюший роль локальных реперов в точке М. Координаты тензора, например 叫品 заданного в точке М многообразия 5)1〃, ведут себя в то же время как координаты тензора в касательном пространстве, взятые относительно локального репера. Действительно, преобразование координат х1 влечет за собой преобразование локального репера (82.11). Рассмотрим тензор, например V%, в касательном пространстве, отнесенный к локальному реперу; закон преобразования его координат будет:

так как (82.11) дает образец преобразования для ковариантных индексов, а (82.12) —два контравариантных. Но этот же вид имеет закон преобразования (81.1) для координат тензора в данной точке М многообразия ЗЛ^. Поэтому безразлично, сказать ли, что 丿；％ суть координаты тензора s многообразии 1И1П в данной его точке М относительно координатной системы х1 или в касательном аффинном пространстве Лп в точке М относительно соответствующего локального репера. Закон преобразования в обоих случаях будет один и тот же.

Поверхности в многообразии

Под элементарной m-мерной поверхностью 弧巾 в 〃-мерном элементарном многообразии 1НП мы будем понимать множество точек, заданных параметрическими уравнениями

х^=х1 (и1, ..um) (i= 1, 2, •・(83.1)

где 口 1, ..., um — независимые переменные (параметры), пробегающие некоторую связную 加-мерную область изменения Qa. При этом мы будем предполагать функции х1 (и1, ..., ит) непрерывно дифференцируемыми N раз (N—класс многообразия) и удовлетворяющими условию регулярности поверхности:

дх1 дхг дхп

初俞…初

ранг матрицыранг матрицыравен 华равен 华(83.2)(83.2)

ранг матрицы

ранг матрицы

равен 华

равен 华

(83.2)

(83.2)

也竺 竺研研…丽

т. е. строки этой матрицы линейно независимы. Элементарная выкладка показывает, что это условие инвариантно относительно любого преобразования координат х1 в 9Jtn.

Число измерений т нашей поверхности может принимать значения 1, 2, . . ., л—1. При 加=1 мы возвращаемся к кривой (82.5), причем условие (83.2) в этом случае означает, что состоящая из одной строки матрица

陽吟••開(83.3)

имеет ранг 1, т. е. выписанные производные не обращаются в нуль одновременно (это мы предполагали и для кривой (82.5)), В случае т = п——1 поверхность называется гиперповерхностью; условие (83.2) принимает вид

0"

^х2

дхп

ди1

''ди1

ранг матрицы

равен л— 1.

(83.4)

дх1

。炉

дхп

Смысл условия (83.2) состоит в том, чтобы предотвратить появление особых точек на поверхности и, особенно, ее вырождение в образ меньшего числа измерений. Так, если функции, стоящие в правых частях (83.1), являются константами, то, конечно, условия дифференцируемости соблюдаются прекрасно; но поверхность вы* рождается в точку. Условие (83.2) делает, однако, невозможным как этот, так и другие не столь грубые случаи вырождения (например, когда при т = 5 поверхность оказывается фактически двумерной и т. п.).

Более точно, условие (83.2) означает следующее. Допустим для простоты, что в данной точке ранговый минор образован первыми m столбцами:

Ох】 дхт 乔…/ ....声 0. 0炉 дхm

Тогда функциональная зависимость первых 加 текущих координат %】 от * . . ., ит

х1 = х2 (и1, ..., ит), ■. ■, хт = хт (и1, ..., ит)

обладает якобианом, отличным от нуля, и поэтому ее в окрестности данной точки можно обратить:

〃1 = и1Хт), . . . , ит = Um(X1, . . . ,

Вставляя эти (тоже ^ раз непрерывно дифференцируемые) функции вместо 〃1, . . ., um в остальные уравнения (81.1) (Z ~ m + 1,加 + 2,... ...,л), мы получим уравнения поверхности в виде

(83.5)(83.5)xm+1 = /m+1 (х1, . . - , %加)，y加+2 — //f1ут\

(83.5)

(83.5)

хП=/п(х1^

Итак, в окрестности каждой данной точки уравнения поверхности (с точностью до нумерации координат х1) можно записать в виде (83.5). Здесь роль независимых параметров и1, ..., ит играют координаты %i, .. ., хт, а потому все т параметров являются здесь существенными в том смысле, что любое их изменение влечет за собой смещение точки поверхности. Вырождение ти-мерной поверхности в образ низшего числа измерений, т. е. возможность задать ее при помощи меньшего числа параметров, здесь, очевидно, отпадает; особые точки также становятся невозможными.

Элементарную поверхность всегда можно рассматривать как т- мерное элементарное многообразие. Действительно, не меняя поверхности, можно подвергать параметры н" на ней взаимно однозначному и в обе стороны ^ раз непрерывно дифференцируемому преобразованию

即= Лх(*骏=统(川〃")•(83.6)

Здесь /г】,...,um пробегают область изменения 我口, а и1', • •.，辽^' ——некоторую область изменения Q[. Ясно, что после такого преобразования параметров уравнения поверхности можно снова записать в виде..

(〃1‘,...,辽叫，

где новые функции %’(〃】',...,ит，) удовлетворяют прежним условиям, в том числе и (83.2), как можно показать после простой выкладки. Рассматривая параметры н。 как координаты на поверхности, заданные с точностью до указанного преобразования, мы вправе считать нашу поверхность 加-мерным элементарным многообразием S01m согласно определению последнего (§ 80). В связи с этим все построения, сделанные нами для многообразия 9ЯЛ в координатах %* . . ., %", повторяются и для нашей поверхности в координатах н* ..., um. Все сказанное относится к элементарной поверхности. В общем же случае ти-мерную поверхность в /z-мерном многообразии 9ЛП можно определить как множество точек в ЭК禮, взаимно однозначно и непрерывно в обе стороны отображенное на некоторое многообразие Wi俄,и притом так, что отдельные

элементарные многообразия W%, из которых 9Лт «склеено», отображаются в элементарные поверхности (83,1). Тем самым любую поверхность в некоторой окрестности любой ее точки можно считать элементарной поверхностью. Так как нас дальше будут интересовать только локальные свойства, то фактически мы можем ограничиться лишь элементарными поверхностями. Так мы и будем поступать.

На поверхности можно рассматривать тензоры как в отдельных точках М, так и тензорные поля. При этом координаты тензора, например 丿晶，подчинены закону преобразования

圖1，(附)=雲(m 蛛(附)粵(附)嗓『(83.7)

Кривую на поверхности мы будем задавать уравнениями

/="«),= d ⑺，(83.8)

где функции ua (/) N раз непрерывно дифференцируемые, и -^- не обращаются в нуль одновременно. Вставляя функции (83.8) в (83.1), мы получаем функциональную зависимость %’ от 九 что действительно определяет кривую в нашем многообразии. Правда, еще нужно проверить условие (83.3). Найдем касательный вектор 衣 к этой кривой, дифференцируя х1 как сложные функции;

(83.9)Вообще к нара- 加 в то(83.9)Вообще к нара- 加 в то"—dN d〃aZT — dua dt '

(83.9)

Вообще к нара- 加 в то

(83.9)

Вообще к нара- 加 в то

Здесь имеется в виду суммирование по а = 1, 2} .,,, т. мы условимся считать, что греческие индексы относятся метрам на поверхности и пробегают значения 1, 2,

время как латинские пробегают значения 1, 2, . . ., п и относятся к многообразию "Л〃・ Заметим, что согласно (83.9) строка, составленная из производных

艺竺 %

представляет собой линейную комбинацию строк матрицы (83.2) с коэффициентами —. Эти коэффициенты, как было оговорено, не все равны нулю, а следовательно, в силу линейной независимости строк матрицы (83.2) элементы строки (83.3) не могут обращаться в нуль одновременно. Условие (83.3) проверено.

Важный геометрический смысл (83.9) состоит в том, что это соотношение «переводит» тензор # на поверхности 空％ в тензор

先 в многообразии Ш1п. Связь между этими двумя тензорами яв

ляется, очевидно, инвариантной и заключается в том, что они получены дифференцированием текущих координат соответственно 〃° и по одному и тому же параметру вдоль одной и той же кривой в одной и той же точке. Тем самым каждый тензор 將 через посредство тензора 不 изображается некоторым вектором в 2Лп

(т. е. в касательном пространстве Ап).

Будем проводить теперь по поверхности через данную ее точку Ж всевозможные кривые (83.8). Для всех этих кривых строим в точке Ж касательные векторы (83.9). Тогда под видом — мы будем получать всевозможные тензоры 占° в 耽切 (в данной его точке Ж). Им соответствуют векторы ^ = — в 9Jt门 согласно (83.9):

电电(83.10)(83.10)

电

电

(83.10)

(83.10)

Они представляют собой, следовательно, всевозможные линейные комбинации w векторов

及D =案1，…，眾向=薪，(83.11)

линейно независимых в силу (83.2).

8 результате векторы 三)отвечающие всевозможным тензорам 三° е данной точке многообразия 5Dtm, заполняют в касательном пространстве Ап m-мерную плоскость Ат, проходящую через М (предполагается, что векторы 占‘ откладываются от Ж).

Плоскость Ат можно рассматривать как касательное пространство к многообразию 5)1皿 в точке Ж, так как векторы 占‘ плоскости Ат служат изображением всевозможных тензоров 占° в данной точке Ж многообразия Жт. (с сохранением линейных зависимостей между ними).

♦ W

С другой стороны, векторы ^ ~ -^- суть всевозможные касатель-

ные векторы к поверхности 力1切 в данной точке Ж, т. е. касательные к всевозможным кривым на 2)1 m в этой точке. Поэтому порожденную ими плоскость А^ можно рассматривать как касательную плоскость к поверхности

Первая точка зрения на Ат является, так сказать, внутренней, вторая ——внешней. (Пользуясь рис. 16, нужно помнить, что изображенные на нем векторы и плоскость Ат на самом деле не принадлежат многообразию 2ЛП, в котором расположена поверхность 屮1麻,

% строго говоря, должны были бы изображаться отдельно в касательном пространстве 4厂)

Векторы (83.11), на которых строится /加，являются касательными векторами к координатным линиям 公，...，ит (под координатной линией 〃“ мы понимаем кривую на поверхности, вдоль которой меняется лишь данный параметр 〃° при постоянных значениях остальных параметров). В самом деле, если в (83.8) положить, в частности, и1 — а2 = const, ..., ит = const, т. е. рассмотреть координатную линию а1, то (83.9) дает

что и показывает, что ч—；что и показывает, что ч—；不=而，

что и показывает, что ч—；

что и показывает, что ч—；

сть вектор, касательный к линии а1.

С точки зрения многообразия 9)1亦 векторы (83.11) образуют ло* кальный репер, что легко обнаружить подсчетом их координат в ЭЛт: например, координаты первого из них будут 己“ =5；, и т. д.

Понятие о многообразии

В этом параграфе мы дадим точное определение понятия многообразия, пользуясь уже установленным нами понятием элементарного многообразия.

Мы будем называть п-мерным многообразием класса ^ множество 3JI, 6 котором задана конечная или счетная система подмножеств 耽⑺，удовлетворяющая следующим условиям (элементы множества 3Ji будем называть точками).

1°. Каждое подмножество 3)i(a)есть элементарное л-мерное многообразие класса N.

2°. Каждая точка М множества 5DI входит, по крайней мере, в одно肮⑷.

3°. Если два подмножества ?Dl(a), 2Jl(p)пересекаются по некоторому непустому множеству 97, то оно образует (вообще говоря, несвязную) область как в SQt(a), так и в Wt(p); при этом, когда точка 府 пробегает 9?, ее координаты у1 в SDl(p)являются ^ раз непрерывно дифференцируемыми однозначными функциями от ее координат х* в 鸣办 равно как и обратно.

4°. Если /И】и Л12 — две различные точки Wt, причем 川1€切卜/), ^2 €^^(a2)(допускается, в частности, и совпадение аг = а2), то в

9）1（а1） найдется область 儿3/ и в ЭЛ（а2）—область 员2 3M2，не пересекающиеся между собой.

5°. Любые два подмножества 2Л（а） и 2Я（р）можно связать конечной цепочкой последовательно пересекающихся между собой подмножеств 5R（Y）; точнее, существует конечная последовательность 9）1（у;）（/ = 1, 2, . .., s）, причем 9Л（^） и 9Л（у.+1）всегда между собой пересекаются и, кроме того, Ш1（а） пересекается с €Dt{V1）, а 9Л向一с ЭЛ（у5）.-

Смысл этих условий следующий. Условия 1° и 2° означают, что SDi «склеено» из конечного или счетного запаса элементарных многообразий ЗЛ（а）, частью, возможно, не имеющих общих точек, частью налегающих друг на друга или даже заключающих одно другое. Впрочем в последнем случае ЭЛ®, входящее в 9Л{а）, является по существу лишним и может быть изъято без ущерба для дела.

Условие 3° требует, чтобы （непустое） пересечение 猊 элементарных многообразий ЭЛ{а） и 9Л（в） было областью （открытым множеством） и в ЭЛ（а）и в 9Jt（p）. Это значит, что если точка М g9Л（а） склеена с какой-то точкой 上^编七的，то и некоторая окрестность точки М в 9Л（а）тоже подклеивается к 2）l（p）,t т. е. не может быть так, чтобы 9Л（а） и Я）1（р）до какого-то места были подклеены друг к другу, а дальше отходили бы одно от другого. Другими словами, склеенное из ЭИ（а）многообразие 凱 не должно «ветвиться» вследствие неаккуратной, неполной подклейки многообразий 9Л（а） друг к другу.

Далее, условие 3° требует, чтобы в склеенных местах многообразий 9Л（а）, 9Jt（р） их дифференцируемая структура была одинаковой, т, е. координаты в одном и в другом многообразии был и связаны ^ раз непрерывно дифференцируемыми преобразованиями. Действительно, если бы этого не было, то мы не знали бы, какую дифференцируемую структуру приписать многообразию ЭЛ в области 猊：заимствованную из 9Л（а） или из 9Л（в）? При наличии же нашего условия это становится безразличным. Координатной системой в ЭИ мы будем называть любую координатную систему в любом 9Л（а）.

Если нас интересуют лишь чисто локальные свойства многообразия 2R, т. е. его поведение в некоторой окрестности произвольной точки М, то для этого перечисленных требований 1° ——3°, в сущности, достаточно. Однако если ограничиться этим, то мы допустим существование многообразий, весьма неприятных в некоторых отношениях. Прежде всего, несмотря на условие 3°, все еще возможно «ветвление» многообразия SD1. Рассмотрим простой пример: пусть л = 1 и ЭЛ склеивается из двух одномерных элементарных многообразий 9Л（1）, Ш1（г）, представляющих собой интервалы （—1, 1） на осях х1, х2 соответственно: 9Л（1} {— 1 < х1 < 1},

3J[(21 { — 1 < х2 < 1}. Образуем ЗЛ, склеивая SR⑴ и SR(2) следующим образом: точки х1 при — 1 < х1 < 0 отождествляются с точками х2 при —1 < х2 < 0 по принципу равенства координат х1 = х2; точки х1 при 0 ^ х1 <1 и точки х2 при 0 ^ X2 < 1 не склеиваются ни с чем.,

В результате 2)1 будет состоять из интервала ——1 < х < 0 (это будет область пересечения 9!) и примыкающего к нему раздвоенного полуинтервала 0 ^ х < 1, т. е. Л? будет ветвиться.

Между тем условие 3°, как легко проверить, полностью соблюдается: ветвление этого типа оно неспособно устранить, хотя и устраняет ветвление более грубого характера, например, если бы мы составили 3)! из полуинтервала —1 < х ^ 0 и из примыкающего к нему раздвоенного интервала 0 < х < 1 (действительно, в этом случае 9£ {—1 < х ^ 0} не будет областью).

Чтобы устранить не только такие, но и более тонкие случаи ветвления Й}{, подобные приведенному выше примеру, мы вводим условие 4° (аксиому Хаусдорфа). Теперь и первый наш пример становится невозможным, так как условие 4° в нем нарушено для точек х1 = 0 и х2 = 0 (в 屮t ——это различные точки). Действительно, какими бы интервалами ни окружать эти точки в Ш((1> и 9Л(г)соответственно, эти интервалы всегда будут иметь общие точки в склеенной части—1 < х < 0.

Наконец, мы не хотим, чтобы многообразие ЭЛ состояло из отдельных, ничем не связанных между собой кусков. Условие 5° (условие связности многообразия) устраняет эту возможность и превращает многообразие в единое целое, не распадающееся на не пересекающиеся между собой многообразия.

Отметим, что в многообразии Wt, естественно, определяется понятие области (открытого множества): это множество точек, содержащее вместе с каждой своей точкой MQ (х^) и все точки М (х7),

для которых разности х* — %； по модулю меньше некоторого б > 0 (6 зависит от /И。)； под х* понимается какая-либо координатная система в каком-нибудь элементарном многообразии ЗЛ(а) содержащем MQ. Нетрудно показать, что смысл определения не зависит от того или иного выбора этой координатной системы.

Определенный таким образом класс открытых множеств удовлетворяет аксиомам топологического пространства, специальным случаем которого и является многообразие.

Далее, мы говорим, что переменная точка М стремится к точке 川о (стремится или по последовательности положений Mk (々=1, 2, .. .) или как функция M(f) непрерывно растущего (убывающего) параметра /—► /0), если точка М с некоторого момента находится в области действия координатной системы, включающей точ・ ку М0,и координаты х1 точки М стремятся к координатам Xq точки Мо

(если сказанное имеет место для одной координатной системы, включающей Л!。， то и для любой другой ——тоже).

В силу условия 4° наша переменная точка М не может стремиться одновременно к двум различным точкам М。, Мъ.

Мы называем кривой «параметризованное» множество точек М(/), где /1&/&%，“ли при достаточно малых изменениях любого данного значения / точка М (/) остается в пределах одной координатной системы, причем ее текущие координаты %'(£) —N раз непрерывно дифференцируемые функции.

Далее мы говорим, что в SD1 задано тензорное поле, например V%, если в 断 в каждой точке Мив каждой координатной системе х1 (действующей в области, содержащей точку М) задана система чисел V^ {М)т которые ^—1 раз непрерывно дифференцируемым образом зависят от координат х1, . . ., хп точки М и преобразуются (при преобразовании координатной системы) согласно (81.1).

Аналогично определяется тензорное поле, заданное лишь в некоторой области V?uSDl или на поверхности SDlmczDJL

Наше определение многообразия дает нам все нужное, но страдает тем недостатком, что дает и кое-что лишнее; а именно, в нашем определении способ склеивания многообразия из элементарных многообразий рассматривается наряду с его окончательным результатом—готовым многообразием. Между тем нас интересует лишь последнее, и мы не будем считать два экземпляра одного и того же многообразия различными, если они по-разному разбиты на элементарные многообразия. Например, сферу можно составить, как уже указывалось, склеиванием двух (слегка продолженных за края) полусфер, а можно составить и склеиванием внутренностей нескольких сферических треугольников, заходящих один на другой. Тем не менее сфера в обоих случаях представляет одно и то же многообразие. Поэтому наше определение нужно несколько дополнить. С этой целью дадим определение диффеоморфизма двух многообразий.

Два многообразия 9R и 断‘ одного числа измерений л и одного класса ^ называются диффеоморфными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, обладающее следующим свойством: пусть ЛТ ^ЯЛ и ЛГСЯЛ'—любые две отвечающие друг другу точки и пусть М принадлежит некоторому элементарному многообразию ЯЛ(а)czSQt с координатной системой %', а ЛГ——элементарному многообразию ЯЛ(а，)иЗИ‘ с координатнс й системой %〃； тогда соответствие между точками многообразий ?01 и 2)^ можно записать 8 виде

先"=力(尸，…，X"),炉‘=/.(先1xn，),

по крайней мере, в пределах некоторой области изменения х\ заключающей точку М, и соответствующей ей области изменения х1\ заключающей точку ЛГ, причем функции /；, gj ^ раз непрерывно дифференцируемые.

Под областью изменения х1 здесь подразумевается не обязательно область изменения, которую пробегают х\ когда М пробегает 9)1(8), а, вообще говоря, некоторая ее подобласть; аналогично и для х^.

Коротко говоря, диффеоморфизм многообразий ЯЛ и 汨？ есть взаимно однозначное соответствие, ^ раз непрерывно дифференцируемое в обе стороны в тех пределах, в каких его удается записать в виде функциональной зависимости между координатами х1 в многообразии 立 и 尤"в многообразии 汨Г, причем это должно удаваться, по крайней мере, вблизи любой пары соответствующих точек М и М'.

Теперь к нашему определению многообразия следует добавить только, что вся кое многообразие будет интересовать нас лишь с точностью до замены диффеоморфным многообразием. Этим мы отвлекаемся от ненужных по сути дела подробностей, именно от способа составления данного многообразия из элементарных кусков.

ГЛАВА Vil

РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА И ПРОСТРАНСТВА АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ

Риманово пространство

Многообразие является той основой, на которой строится риманово пространство ——важнейшее понятие этой книги. Пути для этого мы уже наметили в конце § 79. Чтобы превратить многообразие в риманово пространство, нужно внести в него метрику. Это мн осуществляем заданием в многообразии метрического тензора, аналогичного метрическому тензору евклидова пространства в криволинейных координатах. Дадим точное определение.

Римановым пространством Vn мы будем называть многообразие в котором задано поле тензора

gijW = gij(x^ • • •> %")，(85.1)

два раза ковариантного, симметрического и невырожденного:

Det|g〃|*。，g『/=g_/i・(85.2)

В остальном тензор g^ (М) выбирается произвольно; это значит, что на одно и то же многообразие 3Jtrt можно по-разному накладывать риманову метрику. Тензор g^ (М) мы будем называть метрическим; его мы кладем в основу построения римановой геометрии по аналогии с евклидовой геометрией, вполне определяемой своим метрическим тензором (§ 79). В этой главе многообразие Dln имеет класс N》2 и, соответственно, функции (85.1) непрерывно дифференцируемы N—1 раз.

Мы начнем с рассмотрения касательного аффинного пространства Ап к нашему многообразию в какой-нибудь точке М. Векторы g этого пространства служат геометрическим изображением тензоров F в данной точке М. Располагая тензорным полем g^ (М), мы превратим каждое касательное пространство из аффинного Ап s евклидово Rnt вводя s нем скалярное произведение любых двух

векторов 三，п по формуле

In = ^/ <.M^^J.(85.3)

В сущности говоря, к этому и сводится геометрическое осмысливание тензора g〃 (如)；все остальное будет уже отсюда вытекать. Можно было бы даже сказать, что риманово пространство Vn — это многообразие ЗЛП, в котором в каждое касательное пространство 4“ внесена евклидова метрика; нужно было бы лишь обеспечить достаточно гладкое ее изменение от точки к точке (что у нас обеспечивается непрерывной дифференцируемостью функций 旦疗(％\ . . ., %"))•

В силу полного свертывания в правой части (85.3) скалярное произведение 三“ представляет собой инвариант. Очевидно,三“ линейно зависит от I и от ”， обладает симметрией

Wn=啃

в силу симметрии тензора 且*了 и дает невырожденную евклидову метрику в силу условия (85.1). Все это показывается дословно так же, как в § 39.

Мы будем называть риманово пространство собственно римановым или псевдо римановым в зависимости от того, будут ли его касательные пространства собственно евклидовыми или псевдоевкли- довыми (мн рассматриваем только вещественные пространства). Все, сказанное для евклидовых пространств, будет, конечно, само собой справедливо для касательных пространств Rn в каждой точке М риманова пространства Vn. В частности, длина вектора | выражается формулой

|W| = P^ = Pg〃FK(85.4)

При этом собственно риманово пространство характеризуется тем, что квадратичная форма 白订自飞/ будет положительно определенной.

11усть в какой-нибудь точке М риманова пространства задан тензор, например, Н；；. Его можно рассматривать одновременно и как тензор в касательном пространстве Rn относительно локального репера. При этом g^ (Л4) служит в Rn метрическим тензором. Составим контравариантный метрический тензор g^ (М), координаты которого образуют матрицу, обратную Ц^ {М) ||. Как мы знаемт в евклидовом пространстве Rn разница между верхними и нижними индексами является несущественной в том смысле, что верхние индексы можно переводить в нижние и, наоборот, при помощи метрического тензора. Так, например, индекс г у нашего тензора можно «поднять?), т. е. составить тензор

匕:sug^U'ps.(85.5)

Обратно, у полученного тензора индекс г можно «опустить», причем мы возвращаемся к прежнему тензору:

^ = grpV[p；,(855)

Эти взаимно обратные операции 《поднятия» и «опускания» данного индекса можно рассматривать и для тензорных полей 片启(加)，丿& (加)，подразумевая, что формулы (85.5), (85.5') имеют место в каждой точке рассматриваемой области.

Рассмотрим теперь в римановом пространстве кривую

xl^=xl (t)y(85.6)

Бесконечно малому смещению по этой кривой отвечает бесконечно малый вектор dxl (^) в касательном пространстве (§ 82). Но теперь мы можем измерить длину этого вектора, чего раньше (в многообразии) нельзя было сделать. Получим:

I dx I =丿dx?=丿g^d^dxL

По аналогии с евклидовым пространством мы принимаем длину вектора Jx за дифференциал дуги ds вдоль нашей кривой, так, что

ds2 = d^ = gi}- (х1, . . ., хп) dxldx\(85.7)

Здесь х1, . . ., хп ——координаты той точки М, из которой производится бесконечно малое смещение по кривой. Таким образом, квадрат дифференциала дуги выражается дифференциальной квадратичной формой от координат х\ При преобразовании координат х1 эта квадратичная форма инвариантна, так как представляет собой скалярный квадрат вектора dxl, или, что то же, результат полного свертывания тензора g〃 с дважды взятым тензором dx； Квадратичную форму g^dx^x^ мы будем называть метрической,

В определении риманова пространства можно заменить задание тензорного поля g^ (х1, . . ., %") заданием метрической квадратичной формы (или, как говорят еще, линейного элемента риманова пространства). Тогда определение будет звучать так:

Римановым пространством Vп называется многообразие 5)1Л, в котором задана инвариантная дифференциальная квадратичная форма

gif (х\ .. ., %")d%K%{(85.8)

где 且寸 ^——1 раз непрерывно дифференцируемы, и удовлетворяют условию

Det I gif I #=0(g〃 = g〃)・(85.9)

13 П. К. Рашевский

Из инвариантности квадратичной формы будет следовать, что g〃. образуют тензорное поле, так что мы возвращаемся к прежнему определению. В самом деле, запишем инвариантность формы (85.8) при переходе к новым координатам %":

Подставляя в правую часть

,/ дх1 ,dx =,dxif

дхГ

получаем тождественное равенство двух квадратичных форм относительно переменных dxr\ dxn，:

gi'i'dx1' dxi' = gu * 工 dx1' dxi'.

丿 dxi

Отсюда, учитывая, что 旦疗=当厶 gt『 = gpt\ получим:

g”g”dxi d/ , 寿奇g".dxi d/ , 寿奇g".

g”

g”

dxi d/ , 寿奇g".

dxi d/ , 寿奇g".

т. е, тензорный закон преобразования для g〃. Мы вернулись к первому определению.

За длину кривой (85,6) мы принимаем интеграл от дифференциала дуги

s= j 丿gjjdH d%' =

=j Уgi7(x^t),xn(t))^-^-di. (85.10)

В последнем выражении мы выносим dt из-под знака радикала и везде явно выписываем окончательный аргумент /, чтобы строение подынтегральной функции было видно полностью. Инвариантный характер интеграла относительно преобразования координат х1 ясен из инвариантности квадратичной формы под знаком радикала (полное свертывание); инвариантность относительно преобразования параметра / вдоль кривой проверяется очевидным образом.

Собственно риманово пространство характеризуется тем, что в нем метрическая квадратичная форма будет положительно определенной, a ds — всегда вещественным. Напротив, в псевдоримано-

вом пространстве ds может быть вещественным, чисто мнимым и нулем. При этом радикал в (85.10) мы условимся брать положительным или с положительным коэффициентом при /. Кривые у нас будут, следовательно, трех сортов: вещественной длины, мнимой длины и изотропные.

Рассмотрим теперь в римановом пространстве Vn поверхность 3Jtm 严)，

сохраняя все обозначения и предположения § 83.

Вычислим дифференциал дуги при произвольном бесконечно малом смещении при произвольной кривой на ЯЛт. Пользуясь снова формулой (85.7) и учитывая, что теперь

(85.11)(85.11),/ дх1 ,dx == 5~

(85.11)

(85.11)

и аналогичнои аналогично"%'=^"“B), получаем:"%'=^"“B), получаем:

и аналогично

и аналогично

"%'=^"“B), получаем:

"%'=^"“B), получаем:

ds』g 〃案^勿“

Обозначим:

(85.12)(85.12)厂дx,加

(85.12)

(85.12)

Очевидно, Gag представляет собой скалярные произведения векторов дх1 dxJа и

——* ——,касательных к координатным линиям и , цр.

Учитывая, что G礎 зависят от точки на SUt^, т. е. от и】,...,и™, записываем окончательно:

金2=0邱(山，.一，ат) difd^.(85.13)

Итак, на поверхности 9Ит возникает дифференциальная квадратичная форма от переменных и】,...,ит> выражающая квадрат дифференциала дуги 〃，следовательно, инвариантная (линейный элемент поверхности S)tm). Используя второе определение риманова пространства, мы вправе утверждать, что поверхность 9Лт представляет собой 加-мерное риманово пространство Vm с метрическим тензором &в，если только соблюдается условие

Det|Ga₽|=/=0.(85.14)

Что касается условия Оа?=Сва, то оно очевидным образом следует из формулы (85.12) и условия g^^g^.

Условие (85.14) не обязано соблюдаться само собой, хотя, грубо говоря, большей частью оно соблюдается. Здесь положение

В*

такое же, как с плоскостями в евклидовом пространстве: большей частью они бывают неизотропными и несут на себе евклидову метрику, но могут быть и изотропными — с вырожденной метрикой.

Еслн условие (85.14) соблюдается, то поверхность мн будем называть неизотропной; она несет на себе риманову метрику, и в дальнейшем мы обозначаем ее Vmi т. е. как /n-мерное риманово пространство. Обозначение Vm мы будем употреблять только в случае неизотропной поверхности.

Если же условие (85.14) не соблюдается,

Det| Ge3| = 0T (85.15)

то поверхность мы называем изотропной и сохраняем для нее обозначение i)lm. Квадратичная форма (85.13) имеет на ней неполный ранг, и метрика вырождается. Как правило, изотропными поверхностями мы интересоваться не будем. В случае собственно риманова пространства все поверхности неизотропные, так как условие (85.14) вытекает из положительной определенности формы ds2= G^if du?. Правда, непосредственно нам дана положительная определенность лишь для формы ds2 = g^dx1 dx^. Но если принять, что не все du" равны нулю, то из условия (83.2) следует, что соответствующие d' = ^pda“ тоже не могут быть все равны нулю, а следовательно,

Gep dd d^B (= g〃 dxl dW)〉0.

Рассмотрим теперь касательную плоскость Ат к поверхности ®^. Эта плоскость лежит в касательном пространстве Ап. которое сейчас у нас является евклидовым, причем ее векторы g‘ в силу (83.11) имеют вид

=而自，=而自，(85.16)

=而自，

=而自，

где 三"——всевозможные тензоры в 9Лт в данной точке М.

Скалярное произведение любых двух векторов 自，“ плоскости Ат мы получаем, вставляя в (85.3) выражения для 三\ т/ согласно

/ dxJ &11 F肥/ dxJ &11 F肥(85.16):

/ dxJ &

11 F肥

/ dxJ &

11 F肥

В результате

(85.17)

Пусть соблюдается условие (85.14). Плоскость Ат будет неизотропной и несет евклидову метрику. Для многообразия 9ЛСТ и тем самым

для риманова пространства Vт плоскость Ат служит касательным пространством, так как все тензоры 己“ находят себе изображение в виде ее векторов согласно (85.16). Формула (85.17) для Vт повторяет формулу (85.3) для Vn, Метрическим тензором служит теперь

Мы будем называть нормальной плоскостью к поверхности Vт в данной точке М л — /w-мерную плоскость 耳％_次 в касательном к Vп евклидовом пространстве Ап1 ортогональную к касательной плоскости Ат и проходящую через М. В случае гиперповерхности Vn_± нормальная плоскость В】 будет одномерной, т. е. представляет собой просто прямую (нормаль).

В трехмерном римановом пространстве V3 (в частности, в обычном евклидовом пространстве) можно рассматривать одномерные поверхности 匕，т. е. кривые и двумерные поверхности V2. В согласии с элементарной дифференциальной геометрией в случае 丿1 нормальная плоскость имеет л ——т—2 измерения, а в случае V2 она представляет собой просто нормаль к поверхности (л —加=1).

Евклидово пространство Rn как частный случай риманова

Мы видели в § 79, что евклидово пространство (вообще говоря, рассматриваемое в пределах некоторой области Q) обладает, как и риманово, полем метрического тензора g^ (М), причем этот тензор определяет всю его геометрию. Следовательно, мы можем рассматривать евклидово пространство как частный случай риманова. В чем же выражается особенность этого частного случая?

В евклидовом пространстве всегда можно перейти в такую специальную координатную систему, именно, в любую аффинную, в которой координаты метрического тензора становятся константами:

g“ (附)=const.

Между тем в произвольном римановом пространстве этого, вообще говоря, сделать нельзя. Как бы мы ни подбирали новую координатную систему нам не удастся добиться, чтобы в ней координаты метрического тензора

Ох' Ол7

d^f dx!f 丿

оказались бы константами. Таким образом, в римановом пространстве не существует, вообще говоря, специальных «прямолинейных» координатных систем наподобие аффинных. Поэтому мы здесь говорим просто о координатных системах без прилагательного «криволинейные»: они все по необходимости являются криволинейными В силу «кривого» характера самой метрики.

Возникает вопрос, как узнать фактически, возможен ли в данном римановом пространстве Vп переход к таким координатам х1 с некоторой областью изменения Q, в которых

g〃.(財)=const,

т. е. можно ли отождествить Vn с некоторой областью Q в евклидовом пространстве, заданном в аффинных координатах. Но на этот вопрос мы сможем ответить лишь в главе VIII.

Если в римановом пространстве Vп в целом мы, возможно, не в состоянии подобрать таких координат х\ чтобы в них ^zy (М) были константами, но можем сделать это по отдельности в некоторой окрестности каждой его точки, то пространство Уп называется локально евклидовым. Так, например, если отождествить в квадрате точки каждой стороны с соответствующими точками противоположной стороны, то квадрат «склеится» в двумерное многообразие, устроенное наподобие тора. При этом все четыре вершины склеятся в одну точку, в которой сойдутся все четыре угла квадрата. Если сохранить в этом многообразии прежнюю метрику, то мы получаем пример локально евклидова пространства двух измерений (разумеется, это пространство приходится рассматривать абстрактно, не пытаясь реализовать его в виде тора в обычном пространстве: в последнем случае метрика не может быть локально евклидовой). Здесь мы имеем дело с неэлементарным многообразием; но и элементарное многообразие может нести на себе локально евклидову метрику, не будучи областью евклидова пространства. Так, последовательно подклеивая друг к другу листы бумаги, нетрудно сделать так, что последний лист будет заходить на первый (причем мы их оставим не- склеенными). Мы получим локально евклидово двумерное многообразие, не являющееся в то же время областью евклидовой плоскости.

В евклидовом пространстве нет надобности в каждой точке М строить касательное пространство, как мы делали в римановом пространстве общего вида. Действительно, каждый контравариантный тензор F в евклидовом пространстве, заданный в криволинейных координатах в какой-нибудь точке Му изображается вполне определенным вектором

—X,

в этом же пространстве (см. (76.13)). Поэтому евклидово пространство служит, как мы будем считать, само к себе касательным в любой точке 附.Отдельных от него касательных пространств рассматривать не будем.

Мы выяснили, что поверхность Vm в римановом пространстве Vп сама является римановым пространством.

В частности, в качестве вмещающего пространства Vп можно взять евклидово пространство R?.

Простейший пример такого рода доставляет теория поверхностей в обычном евклидовом пространстве На поверхности, отнесенной к параметрам 〃, е, появляется первая основная квадратичная форма, выражающая квадрат дифференциала дуги

ds2 = Е (u,v) du2 + 2F (〃尸)du du* G(u,v) dv2. (86.1)

Тем самым поверхность можно считать двумерным римановым пространством с метрической квадратичной формой (86.1) и соответственно с метрическим тензором

gll = £,?12=?21=尸，？22 = a(86,2)

Риманова геометрия, порождаемая на поверхности метрической квадратичной формой (86.1), носит название внутренней геометрии поверхности; она инвариантна при изгибании поверхности.

Аналогичным образом и в многомерных евклидовых (в том числе и псевдоевклидовых) пространствах Rn мы можем рассматривать любые поверхности Vm, получая на них каждый раз определенную риманову геометрию (при условии (85.14)).

По сравнению с изучением поверхностей Vm в произвольном римановом пространстве Vп мы получаем здесь ряд преимуществ. Прежде всего будем считать, что уравнения поверхности Vm

储=W(〃i,”)(86.3)

записаны в аффинных координатах х1. Тогда можно перейти к параметрическому уравнению поверхности в векторной форме, выразив радиус-вектор х произвольной точки поверхности как функцию параметров:

X = %'(〃， . . ., и? %、или, коротко, х = х(〃1, . . ., ит), (86.4) Касательный вектор к произвольной кривой

〃а = 〃а«)(а=1, 2,...,加)(86.5)

на нашей поверхности мы находим, дифференцируя радиус-вектор X по /:

dx — dx du"

Проводя через данную точку М всевозможные кривые по поверхности, мы получаем в качестве 前 всевозможные тензоры g на Vmy а в качестве 栄一 всевозможные векторы |, касательные к 嗫

в данной точке. Итак,

(86.6)

В результате касательные векторы 丑,откладываемые от точки М. заполняют 加-мерную плоскость Ат, построенную на векторах

(86.7)(86.7)dxdx

(86.7)

(86.7)

касательных к координатным линиям. Линейная независимость этих векторов видна из условия (83.2). В отличие от риманова пространства все рассматриваемые векторы и плоскость Ат (касательная плоскость) принадлежат тому же евклидову пространству, в котором расположена поверхность (а не специально построенному в каждой точке М касательному пространству А^. Этому же евклидову пространству принадлежит и нормальная плоскость Вп_т, ортогональная к касательной плоскости Ат. В частности, для гиперсферы S^-i с центром в начале О радиус-вектор х удовлетворяет соотношению

х2 = const.

Дифференцируя х2 вдоль любой кривой на гиперсфере, получим:

с dx сdx [

2x^ = 0, т. е."丄 х.

Таким образом, все касательные к гиперсфере S万_工 векторы в данной точке (а значит, и касательная гиперплоскость Лп-1) ортогональны к радиусу-вектору данной точки.

Наконец, линейный элемент на поверхности Vт можно найти, применяя формулу (65.10):

公2 = dx?

к произвольной кривой на поверхности Vт. Так как

dx = ^M‘

то

rfs2 = dx2 = —— d«ad«P.(86.8)

Сравнивая с (85.13), получаем:

4产煮亲•(86・9)

Мы получили выражение координат метрического тензора в римановом пространстве Vт (предполагаем, что 口叫。呻|*6). Возникает

вопрос, любое ли наперед заданное риманово пространство Vт можно реализовать таким образом на некоторой поверхности в Rn, Можно было бы доказать (хотя и совсем не простым образом), что ответ будет утвердительным, если вмещающее евклидово пространство Rn взять достаточно большего числа измерений, а именно:

〃=次喈2 (86.10)

Разумеется, иногда Vт можно реализовать и в евклидовом пространстве меньшего числа измерений, но чтобы провести реализацию во всех случаях, нужно ^зять указанное значение п. При этом наше утверждение носит локальный характер, т. е. мы можем гарантировать реализацию Vт в виде поверхности в R^, беря Vт не в целом, а лишь в некоторой окрестности любой его точки. Кроме того, функции g^ (х1, хп) предполагаются аналитическими, и уравнения поверхности получаются тоже аналитическими. Если же Vт псевдо- риманово пространство, то Rn должно быть псевдоевклидовым и притом подходящего индекса.

Интересно отметить, что в случае 加=2 формула (86.10) дает л = 3, т. е. любое двумерное риманово пространство локально реализуется на некоторой поверхности в трехмерном евклидовом пространстве.

В 1956 г. Нэш показал, что собственно риманово Vт в целом может быть реализовано в собственно евклидовом Rn при достаточно большом л.

Неевклидовы пространства

Мы хотим сейчас рассмотреть важный частный случай поверхности Vm в именно, когда эта поверхность является гиперсферой Sn_r Гиперсферой S^—i мы называем множество всевозможных точек в Rg находящихся на постоянном расстоянии (вещественном, чисто мнимом или нулевом) от фиксированной точки. Римановы геометрии, возникающие на гиперсферах 5п-1 в Rn1 обладают рядом замечательных свойств; эти геометрии мы будем называть «г- евклидовыми^ а гиперсферы 5吋口 рассматриваемые как римановы пространства,——неевклидовыми 几pocrpa/icrsa川&. Чтобы оценить важность неевклидовых геометрий, достаточно принять во внимание, что геометрия Лобачевского принадлежит к их числу (хотя и была получена самим Лобачевским совершенно иным путем). Заметим, что приходится говорить о неевклидовых пространствах во множественном числе, потому что даже при данном числе измерений л евклидовы пространства Rn могут обладать различными индексами 々 = 0, 1, 2, . . ., л, в связи с чем гиперсферы 5п-1 будут представ-

лять собой существенно различные римановы пространства. Вещественное или чисто мнимое значение радиуса гиперсферы тоже играет роль. Нулевого же значения мы не допускаем, так как 5门_] в этом случае будет изотропной поверхностью, именно изотропным гиперконусом, или даже просто сводится к точке (для собственно евклидовых пространств при k = 0 или л).

Пусть в евклидовом пространстве Rn индекса /г, отнесенном к ортонормированному реперу, рассматривается гиперсфера 5门_] вещественного радиуса р с центром в начале О. Ее уравнение будет:

—状一...一状 + С + .. . + = р2, (87.1) если считать, что скалярный квадрат вектора х имеет вид

х2 = — %Р — . . . — У + У+1' + . . . + (87.2)

Заметим, что то же уравнение (87.1) можно переписать в виде

. +x*2 _ %々+12—…——p2 (87.3)

и истолковать как уравнение гиперсферы Sn_± мнимого радиуса pi в евклидовом пространстве Rn индекса л—&, в котором

х2 = № + ... + л?2 —.. . —х"2. (87.4)

Так как при этом изменился знак метрической квадратичной формы в Rn、то то же самое произойдет и на 5门一1，вследствие чего риманова метрика на Sn_x испытает тривиальное преобразование: все длины умножатся на i.

Итак, гиперсфера радиуса р в Rn данного индекса k несет на себе такую же, риманову метрику, как и гиперсфера радиуса р/ в Rn дополнительного индекса л — k, если не считать умножения всех длин на /.

Вычислим теперь фактически метрическую квадратичную форму на гиперсфере 8п-1 вещественного радиуса р > 0. При этом случай k = n исключаем, так как тогда гиперсфера вещественною радиуса р невозможна (как видно из уравнения (87.1)). Это позволяет нам считать, что в метрической квадратичной форме (87.2) хп входит всегда с плюсом.

Мы должны прежде всего ввести какую-либо координатную систему на 5П_1. Один из удобнейших способов для этого дает стереографическая проекция гиперсферы S开一】на гиперплоскость /?«_]； особенностью стереографической проекции является то, что центр проектирования Р выбирается на самой Sn_lt а плоскость проекций /?п-1 проходит ортогонально к радиусу ОР (т. е. параллельно касательной гиперплоскости к Sn_t в точке Р). Разумеется, Rn_x не проходит через Р.

Всем этим условиям можно удовлетворить, взяв в качестве центра проектирования точку Р (0, 0, . . ., 0, р), а в качестве плоскости проекций R也г — координатную плоскость 尤" = 0.

Допустим, что, проектируя точку М(х1, . . ., хл) гиперсферы из Р на А〃_1，мы попадаем в некоторую точку L (и1, . . ., ип-1, 0) плоскости 凡-1, где через и1, ... jU"-1 обозначены х1,...,尤“т в точке L.

На рис. 17 изображен случай п=3, причем уравнение S2 нмеет вид

х2 =--%12+%22+ + %3* = р2, точка 尸 имеет координаты (0, 0, р), а 辽 1, и2 совпадают с координатами х1, х2 точки L на координатной

плоскости /?2・

В случае обычного пространства zz ~ 3, ^ — 0, и мы получаем обычную стереографическую проекцию.

Примем и1,...,辽"~1 за параметры на Sn_1 и выразим х1, .. ., хп через них; это даст нам параметрические уравнения гиперсферы Sn_1. Точку М мы будем брать на Sn_1 где угодно, однако при условии

(87.5}(87.5}尤〜p.

(87.5}

(87.5}

В самом деле, при хл — р мы берем точку М на пересечении S吋] с гиперплоскостью R]* (хп = р), параллельной R也_】и проходящей через Р. Тогда проектирующий луч РМ тоже параллелен R11T и проекции L не существует. Заметим, что плоскость R；】имеет направляющими векторами орты е】,...,en_lt тем самым ортогональна к радиусу-вектору ОР, идущему по оси X", и, следовательно, служит касательной гиперплоскостью ^ гиперсфере Sn_1 в точке Р.

Пересечение /?〃_] и Sn_1 определяется уравнением гиперплоскости 尤"=р и уравнением гиперсферы (87.1); это последнее можно переписать, пользуясь хп = р, в виде

—(х1)2— . . .-(хА)2 + (хА + 1/ +，..+ (хп-1)' = 0. (87.6)

Отсюда видно, что в гиперплоскости R； мы получаем изотропный конус с вершиной в Р. В самом деле, х1, . . ., хп-1 при 尤"=р

играют роль ортонормированных координат на Rn с началом в R причем левая часть уравнения служит метрической квадратичной формой. В случае собственно евклидовой геометрии на плоскости А1 (и тем самым и на R；_， изотропный конус вырождается в точку R которая, таким образом, лишь одна не имеет проекции на R〃-i (как это и имеет место в обычной стереографической проекции). На рис. 17 изотропный конус в /?2 представлен парой прямолинейных образующих поверхности 工，проходящих через Р. Так как за точку Р можно принять любую точку гиперсферы Sп_г (если пустить через эту точку ось X"), то отметим полученный нами попутно общий результат: гиперсфера S以пересекается со своей касательной плоскостью R；_] по ее изотропному конусу с в-ершиной в точке касания.

Теперь переходим к выкладке, предполагая, что в точке М %"声 р. Так как точки Р、Му £ расположены на одной прямой, то векторы PM п PL должны быть коллинеарны. Записывая пропорциональность координат этих векторов, получаем:

%а — хм — р

где а = 1, 2,л— 1. Отсюда

Вставляя в уравнение гиперсферы (87.1), имеем:

(1 _^У [ 一产 + d+广 + • — + 〃"7」十 = P2.

Перенеся 尤“"в правую часть, получаем выражение

(Т)(】+訂

Так как %"声 р и, значит, 1声 0, то, сокращая на 1—— , получим;

(1_更)[_"/_ ..._/+/+/+=

= р20+^). (87.8)

Обозначим через и радиус-вектор OL точки £; он вместе с £ имеет координаты 口1,О и, как видно из (87.2), его скалярный

квадрат можно записать в виде

и2 = —ие — ... —ukt Н- ик + с + ...十“”-亡(87.9)

Вставляя в (87.8) и2 вместо прямой скобки и разрешая это уравнение относительно хл, приходим к выражению x"=р寻=р(1-总).(87.10)

Вставляя это значение хл в (87.7), придадим последнему следующий вид:

х“ = 11^〃" (а=1, 2,п-1).(87.11)

Мы получили параметрические уравнения (87.10), (87.11) гиперсферы S弘-1 с параметрами и1, . . ., и""1. В то же время это есть выражение координат х' точки М на гиперсфере S以_】через координаты 辽° ее стереографической проекции L на гиперплоскости Rn_^

В случае собственно евклидовой геометрии на /?仪一】имеем и2 ^ 0, и знаменатели в наших уравнениях всегда положительны, параметрам 辽° можно давать любые значения, так что их область изменения состоит из всей гиперплоскости /?п_1( причем на S仪—丄 мы получаем, как уже указывалось, тоже все точки за исключением, центра проекций Р.

Хуже обстоит дело в случае псевдоевклидовой геометрии на Rn^±\ тогда выбор значений и® нужно ограничить условием

112十p2*0,

где и2 имеет значение (87.9). Поэтому область изменения состоит из гиперплоскости R^工 с выкинутой из нее поверхностью (сферой радиуса pi) и2 4~ р2 =" 0. Точки этой области изменения (которая будет несвязной) взаимно однозначно отвечают точкам гиперсферы S仪_1 с выкинутым из нее изотропным конусом с вершиной в Р* Точки этого конуса в нашем параметрическом представлении получаться не будут. Это связано с тем, что S仪_】не является элементарным многообразием и одной координатной системой не может быть обслужена. Но двух уже будет достаточно (то же построение с центром проекций Q (0,. . . ,0,—р) дает вторую координатную систему).

Запишем наше параметрическое представление в векторной форме, обозначая через х радиус-вектор точки М, а через и — по-прежнему радиус-вектор точки L. Греческие индексы пробегают значения 1,2, . . ., л——1. Тогда

X =工匕=х& + х”е“ = ^^^ 个露十 Р (1 - ；Д^ ) е“.

Так как

то окончательно

х = П^и + р(1—(87.12)

Вычислим теперь квадрат дифференциала дуги ds2 для произвольной кривой на S以一и пользуясь формулой

(87.13)(87.13)ds2 =川

(87.13)

(87.13)

(см. (65.10)). Для этого вычислим сначала

dx = F^dudx = F^du2P2・2uduс 2P2*2iidii

dx = F^du

dx = F^du

—(I12 + p2)2 口 十 P (M + p2)2 e“.

Возводим в скалярный квадрат, выписывая сначала квадраты слагаемых, а потом их удвоенные произведения, и помня при этом, что ел _|_ /?п_г, так что enii = 0, e^du = 0, и из трех удвоенных произведений два пропадут; кроме того, е^ = 1. Получим:

_4P42 I 16P4(u du)2 216p6(udu)216p^(udu)2

~(U2 + p2)2WU 十(U2+p2)4 貝 十(I12 + p2)4硏可戸"’

Три последних члена взаимно уничтожаются, и мы имеем окончательно:

_ 4р4du2 _4р4 [ —dM‘一…一du炉+ dd+J+…+du“ —叩_ ..

= М+pу=[-*- .一小』必+j+…+ ”-/ + p乎• 374)

Это ——метрическая квадратичная форма (линейный элемент) на гиперсфере Sn_1} записанная в параметрах и1, . . ., и0'1. Метрический тензор 6呻(以* . .., ип-1) имеет, очевидно, в этих параметрах следующие координаты:

G呻=0 (а，В), о (87.15)

""十[一小一…一爬+小+1』…+"“т + p2f•

Таким образом, мы получили метрику неевклидова пространства как частный случай римановой метрики.

Следует обратить внимание на свойственный стереографической проекции конформный характер отображения Sn_± на /?п_1( Действительно, пользуясь (87.13), получаем для линейного элемента на гиперплоскости

2s2 = d*

Вставляя в (87.14), приходим к соотношению

(87.16)

которое показывает, что метрические квадратичные формы на S^_i и /?以一1 для соответствующих бесконечно малых смещений отличаются

множите arm, зависящим лшиь от точки. Другими словами, координаты метрических тензоров в соответствующих точках М н L пропорциональны между собой. В этом случае взаимно однозначное соответствие между двумя римановыми пространствами называется конформным. Грубо говоря, это означает, что в бесконечно малой окрестности каждой данной точки на S^.】 линейные размеры фигур меняются при отображении на Rn_x пропорционально, так что в пределах этой окрестности отображение сводится как бы к преобразованию подобия (разумеется, если пренебречь бесконечно малыми высшего порядка).

Вернемся к формуле (87.14). Пользуясь ею, не нужно забывать, что мы рассматривали р только вещественные. Но чтобы учесть случай чисто мнимых р, достаточно в рассмотренной задаче умножить метрическую квадратичную форму 8 Rn на ——1, вследствие чего, во-первых, умножится на —1 и метрическая квадратичная форма на S抬一1 и, во-вторых, S^.】 станет гиперсферой мнимого радиуса pi. При этом индекс k евклидова пространства Rn заменится на п — £

Таким образом, мы имеем 2л вариантов л——1-мерной неевклидовой геометрии: во-первых, гиперсферы S^—】 вещественного радиуса р в /?п индекса 左=0, 1, ..., л——1; метрика задается согласно (87.14); во-вторых, гиперсферы Sn_x мнимого радиуса р/ r Rn индекса п —— 左=孔,п——1, . . ., 1; метрика задается согласно (87.14) с обратным знаком.

Среди различных неевклидовых пространств особенно важнн пространства с собственно римановой метрикой, т. е. с положительно определенной метрической квадратичной формой. При данном л такие пространства мы получим лишь в двух случаях: когда в (87.14) все квадраты положительны, т. е. /г = 0, или наоборот, когда они все отрицательны, h = n——1; в последнем случае нужно еще умножить метрическую квадратичную форму в Rn^Y (а значит, и на ^„-1)на —1.

Первый случай, /г = 0. Пространство Rn собственно евклидово. Уравнение гиперсферы 5п-1 имеет вид

л/+・・.+А/ = р2. (87.17)

Область изменения ка——вся плоскость /?仪_1； параметрическое представление (87.12) дает всю гиперсферу S^—】 за исключением центра проекций Р. При этом к точке Р на Sn_x мы неограниченно приближаемся при к1 + ...+〃〃-1 —> оо. Метрическая квадратичная форма на S^1T принимает вид

Полученное неевклидово пространство называется сферическим пространством Римана в данном случае л—1 измерений (не смешивать с римановым пространством). Сферическая геометрия двух измерений, 〃=3, 〃一1=2, есть, очевидно, внутренняя геометрия обыкновенной сферы. Следует отметить родственное сферическому эллиптическое пространство Римана. Оно получается из сферического путем отождествления диаметрально противоположных точек сферы Sn_1. Таким образом, эллиптическое пространство есть как бы «сложенное вдвое» сферическое пространство. Хотя такая конструкция представляется искусственной, но фактически оказывается, что эллиптическое пространство обладает более простыми свойствами, чем сферическое, т. е. последнее целесообразно рассматривать именно «сложенным вдвое». Конечно, в пределах не слишком больших кусков эллиптическое пространство обладает той же геометрией, как и сферическое. Эллиптическое пространство можно получить, ограничившись в нашем параметрическом представлении лишь теми значениями 〃°, которые удовлетворяют условиям

公” + г/+ …&р2,(87.19)

причем в полученном л—1-мерном шаре в плоскости &_】нужно отождествить диаметрально противоположные точки его граничной сферы S2：

“ + /+. . .+〃"-f = р2.(87.20)

Тем самым /г—1 -мерный шар превращается в замкнутое л—1 -мерное многообразие; в это многообразие вносится риманова метрика согласно (87.18), и полученное риманово пространство как раз и будет эллиптическим л—1 -мерным пространством.

В самом деле, ограничение (87.19) означает, что мы рассматриваем лишь нижнюю половину гиперсферы S«_i, срезанную плоскостью Rn_1 (коэффициент при еп в (87.12)0); далее на срезе,

который как раз совпадает с Sn_2, мы отождествляем диаметрально противоположные точки, а это и означает построение эллиптического пространства, причем, вместо того чтобы отождествлять точки верхней половины 5„_х с диаметрально противоположными точками нижней половины, мы просто их (точки верхней половины) выкинули и провели указанное отождествление лишь по срезу.

Второй случай, h = п — 1. Напишем уравнение гиперсферы радиуса р

—X12— ... — х"-^ + х"г = ^(87.21)

и параметрическое представление (87.12) (учитывая (87.9)):

2P2. Л2P2\

х =5 u+ p 12 ? е„.

Меняем знак метрической квадратичной формы в R , после чего она принимает вид

х? = д/+ …+%"Т —%冉二(87.23)

Вследствие этого меняется знак и у метрической квадратичной формы на 5计1, так что (87.14) запишется теперь

.(87,24).(87,24)_4P4 (介1"+ .一 +介〃~/)_d〃i24■.一+ du〃-iz

.(87,24)

.(87,24)

=[p2 _储二…—"不2 一 [] 门+…+"一吓

При этом, хотя гиперсферу S〃_i мы оставляем прежней, но в результате изменения метрики в Rn ее радиус становится мнимым, р? вместо р.

Итак, мы имеем дело с гиперсферой мнимого радиуса pz в псевдоевклидовом пространстве индекса 1. Такая гиперсфера с аффинной точки зрения представляет собой двухполостный гиперболоид. При этом в параметрическом представлении (87.22) мы получаем нижнюю полость, когда коэффициент при еп отрицателен:

112р2_р2 一川一…2р2_р2 一川一…г <0,г <0,

1

1

2р2_

р2 一川一…

2р2_

р2 一川一…

г <0,

г <0,

что равносильно неравенству

(87.25)(87.25)

(87.25)

(87.25)

Таким образом, на нижнюю полость Sn_x отображается внутренность шара радиуса р в плоскости R吁 J аналогично на верхнюю полость 3—1 (за исключением точки Р) отображается внешняя по отношению к этому шару часть плоскости Rn^^

汉 1” + ….+ ип~^ > р2汉 1” + ….+ ип~^ > р2(87.26)(87.26)

汉 1” + ….+ ип~^ > р2

汉 1” + ….+ ип~^ > р2

(87.26)

(87.26)

(точки на граничной сфере 汉丄"+ … + 〃"一工‘=р® образов на Sn_x не имеют). Достаточно рассмотреть нижнюю полость S〃_i，так как верхняя полость в силу симметрии несет на себе точно такую же риманову геометрию, хотя формула (87,22) и дает для разных полостей разные параметрические представления (в том смысле, что параметры и1,…，汉“т пробегают разные области изменения). Но это уже связано с избранным нами способом параметризации.

Итак, нижняя полость гиперсферы S〃_「рассматриваемая как риманово пространство, задается метрической квадратичной формой (87.24) в области изменения параметров (87.25). В отличие от

сферического и эллиптического пространств полученное пространство представляет собой элементарное многообразие.

Каждая полость гиперсферы мнимого радиуса pi 8 псевдоевкли- довом пространстве индекса 1 несет на себе собственно риманову геометрию, совпадающую с геометрией Лобачевского соответствующего числа измерена.

Эту формулировку можно при желании рассматривать как определение геометрии Лобачевского; если же исходить из другого, например, аксиоматического построения геометрии Лобачевского, то это предложение можно доказать как теорему.

Мн получили пространство Лобачевского во взаимно однозначном отображении на внутренность шара в евклидовом пространстве R”i； это отображение называется интерпретацией Пуанкаре.

Возвращаясь к общему случаю неевклидова пространства S〃一 отметим, что оно обладает свободной подвижностью так же, как и евклидово пространство. Этим мы хотим сказать, что в 5п_г точку с ортонормированным локальным репером в ней всегда можно перевести движением 41T (т. е. его изометрическим отображением на себя) 6 любую другую точку с любым ортонормированным локальным репером в ней. Покажем это.

При нашем понимании неевклидовой геометрии как римановой геометрии на гиперсфере Sn_1 в Rn движения в 5п_г также наглядно изображаются вращениями в R〃 около начала О. Ясно, что при этом гиперсфера S1T переходит в себя с сохранением всех ее геометрических свойств, в том числе и римановой геометрии на ней. При этом путем вращения Rn около 0 можно заставить ортонор- мированный репер {О, е】,...,еп} перейти в любой другой орто- нормированный репер {О, е】,...,еп}. С точки зрения Sn_1 это означает, что вектор рел, идущий нз О в точку Р*), превращается в вектор реп, идущий в другую точку Р той же гиперсферы 5П_1} причем Р можно выбирать произвольно (так как при желании е всегда можно направить по ОР\ Далее, векторы е15 . . ., еп_, ортогональны к реп = ОР и потому принадлежат касательной гиперплоскости Rn— к S〃_i в точке Р, образуя ортонормированный локальный репер для 5п_г. При задании точки Р определяется орт еп, направленный по ОР、но орты е】,...,еп_у в ортогональной к еп плоскости R〃_] остаются произвольными и образуют произвольный ортонормированный локальный репер в точке Р. Поэтому возможность перевести векторы е15 . .., еп вращением Rn около О в соответствующие векторы любого другого ортонормированного репера означает с точки зрения гиперсферы 5п_г, что не только точка Р

переходит в любую другую точку 尸，но и ортонормированный локальный репер в Р переходит в любой ортонормированный локальный репер в Р.

В связи с этим ясно, что произвол в выборе движений в неевклидовом пространстве (т. е.число независимых параметров, определяющих движение) должен быть таким же, как и в евклидовом пространстве. Это можно проверить и прямым подсчетом. В евклидовом л-мерном пл(л+1)

пространстве Rn движение зависит от -—у~параметров; следовательно, в R%_i — от (七或1)2 параметров. Заметим, что под «числом параметров», строго говоря, нужно понимать здесь размерность группы движений, как некоторого (неэлементарного) многообразия.

Движения в S吁1 порождаются вращениями Rn около О и, сле- (л— 1) л

довательно, тоже зависят от -——параметров.

Свободная подвижность неевклидовых пространств показывает, что они обладают столь же высокой степенью однородности, как и евклидовы пространства. С этим связано и богатство их геометрических свойств, развертывающихся в последовательности, напоминающей евклидову геометрию, но совершенно своеобразных. Как и евклидово пространство, они допускают исследование элементарно геометрическими средствами, особенно эллиптическая геометрия и геометрия Лобачевского. Последняя этим путем и была впервые получена Лобачевским.

Исследование элементарно геометрическими средствами тесно связано со свободной подвижностью пространства. Действительно, важнейшей основой элементарной геометрии является возможность переносить данную фигуру из одного места пространства в другое и поворачивать ее без изменения геометрических свойств. Но это означает по существу свободную подвижность пространства. Отсюда вытекает понятие о конгруэнтных (равных) фигурах, как переводимых одна в другую посредством движения; на основе свободной подвижности фигур доказываются важнейшие теоремы, например, о равенстве треугольников； даже процесс измерения отрезка другим отрезком, принятым за эталон длины, требует свободной подвижности этого эталона. Конечно, в элементарной геометрии в ее школьном изложении свойство свободной подвижности принимается просто как очевидное, но при аксиоматическом построении оно должно быть точно охарактеризовано соответствующими аксиомами (или прямо, или косвенно через понятие конгруэнтности).

Другие римановы пространства свободной подвижностью уже не обладают； более того, произвольно взятое риманово пространство, вообще говоря, совершенно неоднородно и никаких движений не допускает.

§ 88. Измерение объемов в римановом пространстве Vn

Мы хотим ввести измерение объемов в римановом пространстве. Изложим сначала некоторые наводящие соображения. Рассмотрим бесконечно малый координатный параллелепипед, стягивающийся в данную точку М (xz). Вообще под координатным параллелепипедом мы понимаем область, состоящую из точек М (х‘)，для которых

а1 胃&勿(，=1, 2,.・.，л).(88.1)

В данном случае координатный параллелепипед определяется неравенствами

х1 ^xi -^х1 + dx£ (i=l, 2, ..л),(88.2)

где dxl f 0.

«Ребра» этого параллелепипеда состоят из бесконечно малых отрезков координатных линий. Так, на координатной линии х1 соответствующий отрезок заключен между данной точкой М (х\ . . ., хп) и точкой Mi (xl-\-dxl, X3, …，хп). В касательном евклидовом пространстве бесконечно малому смещению ММХ отвечает бесконечно малый вектор с координатами

自】=rfx1, ±2 = .. • = J" = 0(88.3)

(координаты берутся относительно локального репера). Аналогично обстоит дело и с бесконечно малыми смещениями по другим координатным линиям.

Подменим координатный параллелепипед соответствующим па- раллелепипедом в касательном евклидовом пространстве, построенном на бесконечно малых векторах вида (88.3). Согласно (54.11) объем параллелепипеда в евклидовом пространстве выражается формулой

% = М 向 |Det|%||,

1'де g=Det|g〃], 或一координаты &-го вектора из числа векторов, на которых построен параллелепипед. В нашем случае

口声囱)с так что(z = k)口声囱)с так что(z = k)Det I ai I == dx{Det I ai I == dx{—dxn>—dxn>

口声囱)

с так что

(z = k)

口声囱)

с так что

(z = k)

Det I ai I == dx{

Det I ai I == dx{

—dxn>

—dxn>

и мы получаем:

dW = PI g| d%i .. • dxn.dW = PI g| d%i .. • dxn.(88.4)(88.4)

dW = PI g| d%i .. • dxn.

dW = PI g| d%i .. • dxn.

(88.4)

(88.4)

Оценим грубо объем какой-либо области D риманова пространства как составленный из объемов элементарных координатных параллелепипедов, на которые мы область D разбиваем, причем мы

их подменяем параллелепипедами в касательных евклидовых пространствах. Суммирование таких объемов в пределе сводится к интегрированию элемента объема dW (88.4) по области Dt и мы получаем:

^0=5 КШ^-v1 •• • dxn.(88.5)

D

Мы не станем уточнять приведенное выше грубое рассуждение, а предпочтем принять формулу (88.5) за определение объема в римановом пространстве. Чтобы это определение было законным, нужно показать его инвариантность при преобразовании координат Для этой цели вычислим

%=\小团川'… W,(88.6)

где gf == Det | g^p [, и покажем что Wq = WD. По тензорному закону преобразования

дх1 dxJ

откуда аналогично (39.17) получаем:

Det I g〃 I =(Det| 疆炉 Det I I, так что

/|7| = |Det|^||/M(88.7)

Вставляя последний результат в (88.6) и пользуясь формулой замены переменных под знаком кратного интеграла, получим:Вставляя последний результат в (88.6) и пользуясь формулой замены переменных под знаком кратного интеграла, получим:眩眩

Вставляя последний результат в (88.6) и пользуясь формулой замены переменных под знаком кратного интеграла, получим:

Вставляя последний результат в (88.6) и пользуясь формулой замены переменных под знаком кратного интеграла, получим:

眩

眩

что и требовалось доказать.

Очевидно, по свойствам кратного интеграла объем обладает аддитивным характером, т. е. объем составной области равен сумме объемов составляющих областей. Далее, в частном случае евклидова пространства (88.5) дает объем в евклидовом пространстве. Действительно, если х1, . . ., хп ——ортонормированные координаты в евклидовом пространстве, то |g| = l, и мы получаем:

rD= ^Х1.. .dr4,

а это согласуется с определением объема в евклидовом пространстве (54.1).

Пусть в римановом пространстве Vп дана поверхность Vmi также несущая на себе риманову геометрию (§ 85). На этой поверхности мы можем, следовательно, измерять объемы /«-мерных областей по формуле (88.5):

吟=，МТЩ"〃1. . .dd, (88.8)

где

G=Det|Gap|, Oap = g〃詣訪.(88.9)

В частности, в случае двумерной поверхности % мы получаем:

так что «двумерные объемы», т. е. площади на поверхности, выражаются формулой

WD=W(51。22 一 ^12 I du'd*

Если речь идет о поверхности в обычном евклидовом пространстве /?з， то С?ы, G12, G22 ——коэффициенты первой квадратичной формы на поверхности. При этом 01±022 — G%〉0, так что знак модуля

под радикалом можно устранить.

Как видно из (88.9), Gap представляют собой попарные ска- дх1

лярные произведения т векторов —, касательных к координатным линиям а" на поверхности Vm. Поэтому подынтегральная функция У" I G|, т. е. )/ I Det | Gap 11 , представляет собой объем /«-мерного параллелепипеда, построенного на векторах (а = 1, 2,...

...,加)в касательном евклидовом пространстве. Но этот же объем выражается формулой (54.28), так что

]/砌=]/该7K“小.%a/…J叫(88.10)

простого /«-вектора, построенной напростого /«-вектора, построенной наЗдесь ”…』一координаты дЗ

простого /«-вектора, построенной на

простого /«-вектора, построенной на

векторах■~— , т. е.

дЛ^2 • • • ^тдЛ^2 • • • ^т11т\т\(88.11)(88.11)

дЛ^2 • • • ^т

дЛ^2 • • • ^т

1

1

т\

т\

(88.11)

(88.11)

а&「・」1nM…晶 вьфажаются согласно (54.19):

git" giiim

目…」m；/m= *•(88.12)

В то время как формула (88.8) дает нам объем области D на поверхности Vт с «внутренней» точки зрения, можно записать тот же результат с «внешней» точки зрения, заменив /1 G| согласно (88.10). Получим:

%= § Р I &,. . .，т；小• . /т° 厶• • "m。/…• А» | dll' . . . dUm. (88.13)

суммированиясуммированияВ частности, получаем выражение площади какой-либо области D на двумерной поверхности V2 в виде

суммирования

суммирования

D- 2 ! |/&山 0M

£dxis

дх11дх1г

d〃2d〃2

дх11 дх^2

дх11 О"?

0〃20〃2

d〃i dd.

(88.14)

Подкоренное выражение предполагается взятым по модулю (после

по всем индексам).

§ 89. Пространство аффинной связности

Мы на время оставим в стороне римановы пространства и займемся другим вариантом геометрии, которую можно получить на базе данного л-мерного многообразия ЭЛл. Именно, если вместо поля метрического тензора g^ (М) внести в 2Jtn поле объекта связности 「% (Л4), то вместо римановой геометрии мы получим в Dtn геометрию аффинной связности^ превратив 2Jtn 8 пространство аффинной связности £以.

Подобно тому как образцом для построения риманова пространства Vп служило у нас евклидово пространство Rn в криволинейных координатах, так теперь такую же роль будет играть аффинное пространство Ап тоже в криволинейных координатах. Определение объекта связности, которое было дано в § 78 для аффинного пространства, легко переносится на многообразие ЗЛ^.

Если 8 данной точке М в 9Л〃 для каждой координатной системы, х\ область действия которой включае! точку /И, задана система

чис^л 「%, преобразующихся при переходе от одной к другой координатной системе по закону

” d/dN' dx" dxir dx『dxk” d/dN' dx" dxir dx『dxk(89.1)(89.1)

” d/dN' dx" dxir dx『dxk

” d/dN' dx" dxir dx『dxk

(89.1)

(89.1)

то мы говорим, что s точке M задан объект связности. Все частные производные в (89.1) предполагаются вычисленными в точкеЛ4. Пространством аффинной связности Ln мы назовем многообразие 近仪,в котором задано поле объекта связности

「务(附)=Г^- (х1, ..., %"),「务(附)=Г^- (х1, ..., %"),(89.2)(89.2)

「务(附)=Г^- (х1, ..., %"),

「务(附)=Г^- (х1, ..., %"),

(89.2)

(89.2)

т. е. объект связности задан s каждой точке 附,причем функции (89.2) ^——2 раза непрерывно дифференцируемы ). При этом в отличие от объекта связности аффинного пространства, вообще говоря,

Покажем прежде всего, что для задания объекта связности (как мы будем кратко называть поле объекта связности) в элементарном Dt仪 достаточно произвольно задаться функциями (89.2) в одной какой-нибудь координатной системе х\ Тогда в любой другой координатной системе хг координаты Г〃 объекта связности определятся по закону преобразования (89.1). Однако при этом объект связности еще нельзя считать построенным: нужно проверить, что закон преобразования (89.1) действует не только при переходе от х к хг, где х1——начальная координатная система, но II при переходе от %" к W, где %", W—любые координатные системы. Координаты объекта связности в системе %尸 выражаются аналогично (89.1):

(89.3)

ражениеражениеНам требуется пробрить, следовательно, что, подвергая Г,；, преобразованию по тому же закону при переходе от %" к х；“, мы получим Г%/”. Другими словами, требуется проверить, что вы

ражение

ражение

(89.4)(89.4)02/'°产 I о* 0*。产 у

(89.4)

(89.4)

歹/尸哀十М * *少

дает нам「％产 Для этого вставим сюда「£『из (89.1) и рассмотрим сначала член, содержащий 「%. Этот член в (89.1) имеет такой вид, как если бы 「% подвергались тензорному закону преобразования при переходе от х1 к %"; при подстановке в (89.4) этот член еще раз подвергается тензорному закону преобразования при переходе от 尤尸 к хг; в результате Г?/ испытают преобразование по тензорному закону при переходе от л/ к %，' (см. § 81, (81.3)), и мы получим:

加 dxj d屮"rhк м k少

Теперь рассмотрим свободные от Г// члены становки из (89.1)). Получаем (обозначая в суммирования / вместо /):

(89.5)

в (89.4) (после подпервом члене индекс

@2*虻丄％史/ // 犷 дх1，，дх^ dx" бН" Gx『dxk， dx'dx" dxk

Так как во втором члене

а в первом члене

dd" — д产 dxk

dW' д/ dW '

то, вынося —- за скобки, получаем: dxk

dxk ( дх^дх1, dx'f дх1" dx^f dxlf dx'f / dxk 8*дМ'

(89.6)

То,

@2%力

что круглая скобка равна ——~, легко получить,"дх1

диффе-

ренцируя xk как сложную функцию от х1", ...,尤”"при жуточных аргументах %". В результате (89.4) состоит из (89.5) и (89.6), т. е. совпадает с правой частью (89.3) действительно, 「%厂・ Проверка окончена.

проме- членов

и дает,

Закон преобразования (89.1) можно записать в несколько ином виде, удобном для некоторых выкладок. Умножаем (89.1) почленно на ；：, и суммируем по /. Так как

дх1 dxk， с/дх дх'

то получаем:

дх1@2// дх1 dxJ rfe 史j

а после суммирования по k получаем окончательно:

дх1 д2х1 I дх1 d"「/дх1 д2х1 I дх1 d"「/(89.7)(89.7)

дх1 д2х1 I дх1 d"「/

дх1 д2х1 I дх1 d"「/

(89.7)

(89.7)

Заметим, что эта формула вполне эквивалентна закону преобразования (89.1), так как он из нее обратно следует. Достаточно умножить (89.7) почленно на 詆(с суммированием по /) и учесть, что в левой части ——- — 6^, чтобы вернуться к (89.1).

дх дх1 龙

Будет полезным записать формулу (89.7), поменяв ролями координаты х1 и Получим:

ph竺ph竺02/02/.дх1> дх"「〃ir —г 1 р；/.дх1 d 仪J.дх1> дх"「〃ir —г 1 р；/.дх1 d 仪J(89.8)(89.8)

ph竺

ph竺

02/

02/

.дх1> дх"「〃

ir —г 1 р；/.

дх1 d 仪J

.дх1> дх"「〃

ir —г 1 р；/.

дх1 d 仪J

(89.8)

(89.8)

Мы уже отмечали, что, вообще говоря.

Обозначим:Обозначим:F俨用S%=F%一岭厂F俨用S%=F%一岭厂(89.9)(89.9)

Обозначим:

Обозначим:

F俨用

S%=F%一岭厂

F俨用

S%=F%一岭厂

(89.9)

(89.9)

Величины S% образуют тензор, что легко показать следующим образом. Перепишем (89.1), переставив между собой индексы 〃，/ и поменяв местами обозначения индексов суммирования /, /. Получим:

(89.10)(89.10)「左，—@2达 dxk，I dW d炉 dxk，

(89.10)

(89.10)

'dx『dx' dxk dxJ，d* dxk “

Вычитая это равенство почленно из (89.1) и пользуясь обозначением

(89.9) как в старых, так и в новых координатах, получаем:

Свободные члены при вычитании уничтожились, и мы получили тензорный закон преобразования для S%. Тензор S方(7И) называется тензором, кручения данного пространства аффинной связности. Его геометрический смысл выяснится позже. Если тензор кручения S% равен нулю, т. е. если

то мы говорим, что нам дано пространство аффинной связности без кручения; обозначаем его 丄：.Оэращение в нуль тензора S方 (как и всякого тензора) есть факт, инвариантный относительно

преобразования координат х\ а потому, если 「％=「£ в одной координатной системе, то то же имеет место и в любой другой.

Переходим теперь к геометрическому истолкованию объекта связности, а вместе с тем к установлению основной конструкции геометрии аффинной связности ——параллельного перенесения векторов. Мы воспользуемся при этом аналогией с § 77, где параллельное перенесение вектора 8 криволинейных координатах 8 аффинном пространстве задавалось при помощи объекта связности формулой (77.9):

Аналогичным образом мы определим параллельное перенесение в пространстве аффинной связности Ln.

Пусть вдоль некоторой кривой

х1 — х1 (/), Q&/&仇где х* (/) непрерывно дифференцируемое, дано векторное поле

¥ = &(/)■(89.11)

Мы будем говорить, что вектор ^ (/) параллельно переносится вдоль кривой, если при каждом бесконечно малом смещении по кривой координаты вектора g (/) меняются по закону

d^=—臂j^dN.(89.12)

Речь идет, конечно, не о приращениях, а о дифференциалах координат ^ (/). Аналогично dxl—дифференциалы функции х1 (/); Г方一координаты объекта связности. Напомним еще, что g — это по буквальному смыслу один раз контравариантный тензор; мы говорим о векторе g, имея в виду истолкование g в виде вектора 8 касательном аффинном, пространстве Ап (§ 82).

Если вдуматься в смысл нашего определения параллельного перенесения, то оно перестает казаться столь произвольным, как кажется с первого взгляда. В самом деле, мы хотим установить какой-то определенный закон, по которому вектор У из данной точки х1 переносится в бесконечно близкую точку xl -\-dxl (рассуждение ведем с точностью до бесконечно малых высшего порядка). Спрашивается, каковы будут при этом приращения dg координат нашего вектора. Простейшее предположение на этот счет, которое можно сделать, заключается в том, что dg линейно зависят и от начальных координат вектора g и от координат вектора бесконечно малого смещения dxl. Но по существу это предположение и записано в виде формулы (89.12), причем через Г.^ обозначены коэффициенты соответствующих билинейных функций. Конечно, выбор коэффициентов ГА (х1, . ь. , %") остается

произвольным, и это означает, что на данное многообразие 屮1〃 можно по-разному наложить аффинную связность.

Таким рассуждением мы оправдываем наше определение с его содержательной стороны. Но оно нуждается в оправдании и с формальной стороны. А именно, необходимо показать его инвариантный характер: если вектор g «) параллельно переносится вдоль данной кривой с точки зрения одной координатной системы х1, то это же верно и с точки зрения любой другой координатной системы хг. Другими словами, если условие (89.12) соблюдается в координатах х\ то оно будет соблюдаться и в координатах

Чтобы проверить это, мы вычислим d^k，(/) при бесконечно малом смещении по нашей кривой. Согласно тензорному закону преобразования

Поэтому

Обозначая в первом члене индекс суммирования 左 через / и заменяя d^ согласно (89.12), получаем:

齊'=(關一萼吟)自%也(89.13)

Пользуясь формулой (89.8) (заменив в ней Г на 々')， мы получаем для круглой скобки выражение

Учитывая, наконец, что

(89.14)(89.14)приводим (89.13) к виду

(89.14)

(89.14)

Таким образом, предполагая, что для векторного поля вдоль данной кривой соблюдается (89.12), мы получили, что соблюдается и (89.14), т. е. наше определение параллельного перенесения инвариантно относительно преобразования координат х\ Важнейшим местом нашей выкладки является использование закона преобразования для 「方 в форме (89.8). Можно сказать, что закон преобразования ГД подобран именно так, чтобы параллельное перенесение

вектора, определенное согласно (89.12), было инвариантным относительно преобразования координат х1. И действительно, если потребовать эту инвариантность (для перенесения любого вектора вдоль любой кривой), то наш закон преобразования для Г^ получается как следствие. В этом можно убедиться следующим образом. В силу инвариантности данного параллельного перенесения формулы (89.12), (89.14) должны вытекать одна из другой. По- прежнему преобразуем (89.12) к виду (89.13), а в (89.14) подставляем

dx1'=竺芷

дх1dxJ “

Так как полученные формулы должны вытекать одна из другой, то их правые части тождественно равны; приравнивая коэффициенты при dx\ Е」，возвращаемся к формуле (89.8), т. е. к прежнему закону преобразования для F挤

Заметим, что в случае аффинного пространства мы не нуждались в доказательстве инвариантности параллельного перенесения; там оно имело непосредственный геометрический смысл и, в отличие от того, что мы делаем сейчас, не определялось, а миль записывалось формулой (89.12).

Мы определили параллельное перенесение вектора вдоль кривой, однако не знаем еще, когда можно такое перенесение осуществлять и будет ли оно совершаться однозначно. Обращаясь к формулам (89.12), мы перепишем их, поделив на dt\

嘗= -「％(/(/),…，х"(/))Н^. (89.15)

Так как Г.^ в данном пространстве и в данной координатной системе нам известны как функции от х\ а 尤"вдоль данной кривой известны как функции от /, то в уравнениях (89*15) все функции от / можно считать известными кроме E*(f), которые мы будем считать искомыми. Для этих л функций мы имеем нормальную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений; производная каждой неизвестной функции 己'(/) линейно выражена через сами неизвестные функции 自'\ причем коэффициентами служат известные функции от / (при наших предположениях во всяком случае непрерывные).

Из теории дифференциальных уравнений известно, что такая система имеет решение 己*(力)при любых начальных условиях вида

广=^ (^= 1, 2, л) при £ = (89.16)

причем это решение определяется единственным образом и существует на всем интервале изменения /.

тождествен но равнялся единице. Для этого достаточно положить:

t=，ct(f)df, так что dx=a (t) dt,(90.2)

после чего (90.1) принимает вид:

詳=廿.(90.3)

Параметр т на геодезической, для которого ^- есть параллельно переносимый касательный вектор, мы будем называть каноническим параметром. Как мы показали, переход к каноническому параметру всегда возможен. При этом канонический параметр выбирается с точностью до произвольного линейного преобразования с постоянными коэффициентами

т^ = Дт +В, А^О.(90.4)

Действительно, если т ——канонический параметр, то и т* тоже, так как

* =窘 G= const)

dx'dx1

и вектор j^r будет вместе с 齐 параллельно переносимым касательным вектором.

С другой стороны, формула (90.4) исчерпывает все возможные способы выбора канонического параметра. В самом деле, если т и т*——два канонических параметра, то векторы 否,疳 оба параллельно переносятся вдоль кривой, а следовательно, в равенстве dx1 —dW di — d/ di

коэффициент 右 должен быть постоянным (линейные зависимости между параллельно переносимыми векторами сохраняются). Отсюда следует, что зависимость т* от т обязательно будет линейной.

Мы дали определение геодезических линий, но не знаем еще, существуют ли они, с каким произволом их можно выбирать и как фактически их строить. На эти вопросы дают ответ дифференциальные уравнения геодезических линий.

Будем искать параметрические уравнения геодезических линий с каноническим параметром т:

х1 = х1 (т).(90.5)

Запишем требование, чтобы вектор параллельно переносился вдоль искомой кривой; это будет означать одновременно, что кривая геодезическая а 4丁。параметр т на ней канонический^

Далее, если в начальной точке ^ = ?о^^о5 то в процессе параллельного перенесения этих трех векторов сохраняется зависимость

7(/)=日，) + 限(/). (89.20)

В самом деле, складывая почленно (89.18) и (89.19), убеждаемся, что вектор ^ + Т)1 тоже удовлетворяет формуле параллельного перенесения и, следовательно, переносится параллельно вместе ери т]\ Поскольку, вектор ，‘ тоже переносится параллельно, то равенство между g и ^ + Л^ имеющее место в начальной точке, сохраняется все время, и мы приходим к (89.20).

Так как все линейные зависимости между векторами сводятся к рассмотренным простейшим (89.17) и (89.20), то все они сохраняются при параллельном перенесении.

§ 90. Геодезические линии в Ln

Геодезические линии в пространстве аффинной связности играют приблизительно такую же роль, как прямые линии в аффинном пространстве. Именно, они обладают тем же основным свойством ■ постоянством направления. Для прямых линий это свойство выражается в том, что вектор, направленный по данной прямой линии в какой-нибудь ее точке, будет направлен по ней и в любой другой ее точке. Аналогично этому мы формулируем определение геодезической линии.

Кривая в пространстве аффинной связности называется геодезической, если всякий вектор 自；(#=0), касательный к этой кривой в какой-нибудь ее точке 附°, остается к ней касательным при параллельном перенесении вдоль нее.

Пусть геодезическая задана уравнениями

X1= %1(/), 口 忘少，

dxl к 笛=嘴，dxl к 笛=嘴，где 尤'(f) — по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемые функции, и пусть параллельно переносимый касательный вектор вдоль геодезической будет Е‘ (£). В схлу коллинеарности касательных векторов в каждой точке кривой можно написать:

dxl к 笛=嘴，

dxl к 笛=嘴，

(90.1)

где а= а(/) зависит от точки на кривой и нигде не обращается в нуль, так как иначе обращались бы в нуль одновременно, что мы исключаем. При желании всегда можно перейти к такому параметру 工 вдоль геодезической, чтобы коэффициент а

тождественно равнялся единице. Для этого достаточно положить:

3=\ct(f)df, так что d%=^ (/) dt,(90.2)

после чего (90.1) принимает вид:

詳=К(90.3)

Параметр т на геодезической, для которого ^- есть параллельно переносимый касательный вектор, мы будем называть каноническим параметром. Как мы показали, переход к каноническому параметру всегда возможен. При этом канонический параметр выбирается с точностью до произвольного линейного преобразования с постоянными коэффициентами

俨=/T十6, (90.4)

Действительно, если т——канонический параметр, то и т* тоже, так как

dT* = "dT'祭=4■祭с。")

и вектор ^- будет вместе с 而 параллельно переносимым касательным вектором.

С другой стороны, формула (90.4) исчерпывает все возможные способы выбора канонического параметра. В самом деле, если т и т* — два канонических параметра, то векторы 石,用 оба параллельно переносятся вдоль кривой, а следовательно, в равенстве dx1 — dx' dx* dt —' dx* dx

коэффициент 右 должен быть постоянным (линейные зависимости между параллельно переносимыми векторами сохраняются). Отсюда следует, что зависимость т* от т обязательно будет линейной.

Мы дали определение геодезических линий, но не знаем еще, существуют ли они, с каким произволом их можно выбирать и как фактически их строить. На эти вопросы дают ответ дифференциальные уравнения геодезических линий.

Будем искать параметрические уравнения геодезических линий с каноническим параметром т:

х' = х'(т). (90.5)

Запишем требование, чтобы вектор 右 параллельно переносился вдоль искомой кривой; это будет означать одновременно, что кривая геодезическая и что параметр т на ней канонический.

d/d/=—г?备 dx=—г?备 dx% деля на di, зических% деля на di, зическихприходим к дифференциальным уравнениям геоде-приходим к дифференциальным уравнениям геоде-</та</та「也 dx1 dxJ1〃而右，「也 dx1 dxJ1〃而右，(90.6)(90.6)Применяя формулу параллельного перенесения (89.12) к вектору -^, получаем:

d/

d/

=—г?备 dx

=—г?备 dx

% деля на di, зических

% деля на di, зических

приходим к дифференциальным уравнениям геоде-

приходим к дифференциальным уравнениям геоде-

</та

</та

「也 dx1 dxJ

1〃而右，

「也 dx1 dxJ

1〃而右，

(90.6)

(90.6)

отнесенных к каноническому параметру.

Как было уже сказано, xk (т) мы рассматриваем как неизвестные функции. Вторая производная каждой неизвестной функции %*(т) выражена здесь через сами неизвестные функции (входящие как аргументы под знак Г// (х1, ... , %")) и через их первые производные. Мы имеем здесь, таким образом, частный случай канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, решение такой системы единственным образом определяется заданием начальных значений неизвестных функций и всех их производных порядка более низкого, чем порядок старших производных, выраженных в дифференциальных уравнениях. При этом необходимо сделать определенные предположения относительно гладкости функций, входящих в правые части уравнений; в нашем случае эти предположения вполне покрываются непрерывной дифференцируемостью функций F%(*i, .. . , хп). В соответствии со сказанным мы можем произвольно задаться начальными значениями неизвестных функций х и их первых производных при каком-либо начальном значении параметра:

⑴…=储，借)比 (90.7)

где 少 одновременно в нуль не обращаются. Тогда по общей теореме существования мы можем утверждать, что 8 некоторой окрестности значения т = т0 существуют и единственным образом определяются функции %' (т), удовлетворяющие системе дифференциальных уравнений (90.6) и начальным условиям (90.7).

Полученное решение, таким образом, зависит от начальных условий и в развернутом виде записывается:

а1, ... , а";加，….,6"), (90.8) причем, как доказывается в теории дифференциальных уравнений, эти функции по всем своим аргументам будут непрерывно дифферен-

14 П. К. Рашевский

цируемыми такое же число раз, как и функции Г (х1, . ., , %"), а по аргументу т—даже на 2 единицы выше. В переводе на геометрический язык наш результат означает, что всегда можно провести геодезическую линию и притом только одну через наперед заданную точку Л (а1) и с наперед заданным касательным вектором Ь1 в этой точке. Заметим, что существенно при этом задание не самого касательного вектора У, а лишь касательной прямой, по которой он направлен. В самом деле, если 少 заменить любым коллинеарным вектором, например,——ЗУ, то геодезическая от этого не изменится: достаточно на прежней геодезической взять вместо канонического параметра т другой канонический параметр т* =—写七. Тогда в прежней начальной точке

dxi _加 7dr*

Точно так же полученная геодезическая не зависит от начального значения т0 параметра т, так как, не меняя самой кривой, можно принять на ней за канонический параметр 七 + C, где С——любая константа. Тогда начальное значение т0 + С может быть сделано каким угодно.

Мы видим, что произвол в выборе геодезических в пространстве аффинной связности такой же, как и произвол в выборе прямых в аффинном пространстве: через каждую точку по каждому направлению проходит одна и только одна геодезическая.

В случае аффинного пространства Лл прямые линии являются геодезическими, как сразу видно из определения геодезических. Теперь мы можем утверждать и обратное: всякая геодезическая в 4n является прямой линией. Действительно, через данную точку по данному направлению проходит лишь одна геодезическая, которая должна, таким образом, совпадать с прямой линией, проведенной через ту же точку по тому же направлению.

Возвращаемся к произвольному £л.

Общая теорема существования гарантирует нам существование функций х1 (т) лишь в некоторой окрестности данного значения т = т0, т. е. существование лишь некоторого кусочка геодезической около данной точки Л (а1). После небольшого дополнительного рассуждения мы сможем утверждать больше. А именно, обозначим через Tj > т0 такое значение т, что: 1) при т, меняющемся между т0 и %(То ^ т < q), функции х1 (т), удовлетворяющие (90.6), (90.7), существуют, но 2) при т, меняющемся от т0 до тх + 6, они уже не существуют, сколь бы малым ни брать 6 > 0. При этом мы допускаем случай тх — оо； тогда, конечно, последнее требование 2) излишне и даже не имеет смысла. Другими словами, т^ ——верхняя грань всех тех значений канонического параметра т, которые можно

достичь, продолжая нашу геодезическую столько, сколько это возможно.

Итак, меняя т в сторону возрастания, начиная от т0, мы неограниченно приближаемся к т> но не превосходим этого значения.

Как сейчас будет показано, мы даже не достигаем значения q; более того, при т —% (имеется в виду непрерывное изменение т) точка /И (т) на геодезической не может стремиться к какому-либо предельному положению /И「В самом деле, допустим противное:

/И(т) г (90.9)

Окружим /И】 очень малой окрестностью U, так что заключенные в ней маленькие кусочки геодезических будут иметь, грубо говоря, почти линейные уравнения х1 ^; аЧ 4- If и будут вести себя почти как кусочки прямых (если координаты %’ представить себе на минуту как аффинные координаты в аффинном пространстве). Ясно, что те геодезические отрезочки в U, которые не проходят через точку /И» не могут к ней и неограниченно приближаться (это нетрудно было бы показать и с полной строгостью). Наша геодезическая в силу (90.9) войдет в окрестность U и будет в ней оставаться, начиная с некоторого значения т. Следовательно, она должна в этой части совпасть с одним из геодезических отрезочков, заключенных в окрестности U, а именно с одним из отрезочков, проходящих через 餌,一иначе (90.9) не могло бы иметь места. Но тем самым наша геодезическая не только дойдет до точки /Wj, но и пройдет через нее, а значит^ параметр т не только достигнет значения т、 но и превзойдет erot а это невозможно.

Наше предложение доказано. Смысл его в том, что, продолжая геодезическую, мы не можем вдруг остановиться, упереться в некоторую точку; если даже возрастание канонического параметра ограничено значением тг < оо, геодезическая в пределах нашего пространства продолжается неограниченно. Этому не противоречит такое, например, положение вещей: пусть наше пространство представляет собой ограниченную область Q аффинного пространства Дп. Тогда при продолжении геодезических линий (т. е. прямых) мы часто будем останавливаться, упираясь в границу области Q. Однако граница области Q не принадлежит рассматриваемому многообразию, и с точки зрения самой области С геодезическая продолжается неограниченно (см. определение области; § 75).

Мы все время говорим о продолжении геодезических линий; при этом важно, что продолжать геодезическую можно лишь одним способом. В самом деле, допустим, что геодезическая линия при ее продолжении с некоторого момента раздваивается; пусть при этом т* —верхняя грань значений т ^ т0, при которых обе геодезические еще совпадают. Тогда они будут совпадать и при значении т =吟

так как в обоих случаях

Ж(т) —► Л1 (т*) при т* (%&tVt*),

где точки М (т) — общие для обеих геодезических; действительно, в силу условия 4° (§ 84) М (т) при t 一 t* не может стремиться одновременно к двум различным предельным точкам Мг (т*), Ж2 (т*). Исходя теперь из точки М (т*), можно продолжить общий отрезок т0 ^ т ^ т* двух геодезических линий и на значения т > т* (вблизи т*), и притом единственным образом по уже использованной теореме существования и единственности. Мы вступаем в противоречие с определением т*, и этим доказывается наше утверждение.

Пространство аффинной связности Ln называется полным^ если на любой его геодезической канонический параметр т можно менять от —оо до + оо. Таково, например, аффинное пространство Ап.

Рассмотрим еще некоторые свойства геодезических. Если s пространствах. аффинной связности нас интересуют лишь их геодезические, то мы можем ограничиться пространствами без кручения, А именно объект связности Г?/ определяет в данном многообразии те же геодезические, что 以 объект связности без кручения 『方,полученный его симметрированием:

督尸•|(7沁啖.

Убедимся прежде всего, что f务，таким образом полученные, действительно образуют объект связности. Для этого достаточно почленно сложить и разделить на 2 формулы преобразования (89.1) и (89.10). Заменяя как в старых, так и в новых координатах полусумму г?/ И Г% через Т%, получаем для Т% закон преобразования вида (89.1), а это означает, чтоР%—тоже объект связности. Очевидно, эта связность без кручения, так как Г?/ симметричен по нижним индексам.

Теперь покажем, что геодезические для обеих связностей будут общие. Пишем дифференциальные уравнения геодезических для связности Гф

d2xk 于月小‘厶/ 1 「电 dx'1 「也 dxl dx,

Меняя обозначения индексов суммирования во втором члене правой части (/ на / и наоборот), убеждаемся, что он равен первому члену, в результате в правой части остается удвоенный первый член, и мы получаем: 石一「/石"石，а это есть дифференциальные уравнения геодезических связности Г*/.

Таким образом, геодезические для обеих связностей действительно общие.

Будем рассматривать теперь геодезические для связностей без кручения. Поставим следующую задачу. Пусть 8 многообразии заданы две связности без кручения F%, G方；8 каком случае они имеют общие геодезические!

Допустим, что нам дано, что геодезические у обеих связностей общие. Рассмотрим для какой-либо геодезической касательный вектор ЕМ параллельно переносимый в первой связности, и касательный вектор п, параллельно переносимый во второй связности. Так как оба вектора касательные, то

瞰=嗡匕(90.10)

где коэффициент а, вообще говоря, переменный; а 声 0. Запишем формулы параллельного перенесения:

倉々 = —(90.11)

4瞰=—Gq^ dxl.(90.12)

Вставляя в последнюю формулу п囱 из (90.10), получим:

da У + а^У = — G^a^ dxl.

Деля почленно на а и вставляя сюда *У из (90.11), получим:

^ У — rtiy ad = —G柒♦.(90.13)

Параллельно переносимый касательный вектор g согласно (90.3) можно записать: & =石，где т — канонический параметр по отношению к первой связности. Тогда (90.13) после почленного деления на dx принимает вид

^^^{V^-G^ ^.(90.14)

Так как геодезические линии можно проводить через любую точку по любому направлению, то это равенство должно быть верно 8 лю-

„—它 i т—гd 1 п ОС

бои точке и для любого вектора £ . При этом #一 имеет, конечно, каждый раз свое численное значение, которое зависит от выбора точки и вектора g.

Обозначим для краткости

r%-G^=Tt.(90.15)

Отметим, что составленная таким образом разность двух объектов связности дает всегда тензор, один раз контравариантный и дважды

ковариантный. Это легко проверить, выписав закон преобразования (89.1) для Г?/ и параллельно для G^ и вычитая почленно из первого равенства второе. Тогда члены со вторыми производными взаимно уничтожаются, и для разностей 7方 мы получаем тензорный закон преобразования. Это верно, разумеется, для любых связностей Г*方，G方 в том числе и с кручением. В нашем случае связности без кручения; отсюда следует 7需= 7%. Теперь (90.14) можно переписать:

若・旣丿=需也(90.16)

Из этого соотношения мы должны сделать выводы относительно строения тензора 7方.

Для этой цели исключим неизвестный нам множитель 就 следующим образом: умножаем (90.16) почленно на g‘ и альтернируем по индексам 左 н /. Получим:

^T^=Q.(90.17)

Пользуясь единичным тензором 6*, можно записать тождество

8 = 6洽。

Вставляя это выражение в (90.17), получим:

瞋窗&飞冒=0.(90.18)

Так как это равенство должно иметь место тождественно относительно gi, . .. , Е“, то после приведения подобных членов все коэффициенты кубичной формы в левой части должны обратиться в нуль. Член с произведением "尸Е°Е‘ будет встречаться при суммировании по m, /, / шесть раз (если р, д, г все различны), именно, когда т, /, / принимают значения р, ^, г в их всевозможных перестановках. Соответствующий суммарный коэффициент при g空戈，который мы должны приравнять нулю, легко вычисляется из (90.18):

2 (/7丿 + 码7界 + 册7紛=0.(90.19)

Ввиду симметрии 7方 по нижним индексам среди шести коэффициентов будут три пары одинаковых. Аналогичным подсчетом соотношение (90.19) получается и при наличии среди р, д, г одинаковых индексов.

Запишем альтернацию в (90.19) в развернутом виде:

bpTqr + ^qi гр V bJ pq — ^p ^ qr — bql rp— ^r i pq~ 0.

Произведем теперь свертывание по индексам /, г. Учитывая свойства тензора 6/, в частности, что

6/ — б} + 62 + . - . + 6п = Л, получим:

i qp-T i qp~V П1 %— Ор/ ql—Од / 価一 откуда

Tpq = ^pp (8疗胃 + 8：彌).(90.20)

Обозначим через р- одноковариантный тензор, полученный свертыванием тензора Т% и последующим умножением на 孔；】:

Pi = -^Tlil.(90.21)

Теперь (90.20) можно записать окончательно:

7方= ^(&6：+р#),(90.22)

т. е. 资=“碗.(90.23)

Мы выяснили строение тензора Тц. Формулируем теперь теорему, которая является ответом на поставленный нами вопрос.

Для того чтобы два объекта связности без кручения обладали общими геодезическими, необходимо и достаточно, чтобы они отличались на тензор вида

7分 = p (就.

Правда, нами доказана лишь необходимость этого признака. Но достаточность его проверяется легко. Пусть нам дано, что

(90.24)(90.24)G%= Г?； — у (Р/6/ +Р/6?)»

(90.24)

(90.24)

где р；—некоторое тензорное поле. Пусть дана какая-нибудь линия, геодезическая в связности Г；/, с каноническим параметром тис параллельно переносимым касательным вектором g. Покажем, что, подобрав некоторый (переменный) множитель а, мы можем добиться, чтобы вектор “' = аЕ‘ оказался параллельно переносимым уже в связности G%. Тем самым будет показано, что наша геодезическая будет геодезической и в связности Gf『 Записывая, что ±" переносится параллельно в связности Г//, получим снова (90.11). Требуем, далее, чтобы “' = аУ переносился параллельно в связности G%: записываем (90.12) и после прежних

преобразований получаем (90.14). Пользуясь (90.24), вставляем сюда -i- (pz6y -]-р^) вместо F%—% и получаем:

т. е. наше требование принимает вид

d In a

Так как вдоль нашей кривой р^ есть вполне определенная функция параметра т, то отсюда после интегрирования найдем 1п а с точностью до постоянного слагаемого, а само а——с точностью до постоянного множителя. Тем самым найден и вектор т]1 = а^\ и всякая геодезическая в связности F% оказывается геодезической и в связности 嗡.Теорема доказана.

Заметим, что если бы мы потребовали для двух связностей без кручения совпадения не только геодезических, но и канонических параметров на них, то и сами связности совпали бы. Действительно вдоль общей геодезической и для общего канонического параметра т удовлетворяются дифференциальные уравнения

或壮— dx^ dxJ dk dxi dx} 招=一丄"而旷，而" = _ 5/而行，

откуда dxl d/ 内

а так как геодезические линии проходят через любую точку по любому направлению, то здесь мы имеем тождество относительно %’ и 器.Из него следует (учитывая симметрию Г*/ и G^ по нижним индексам):

r-,= G-/.(90.25)

Наше утверждение доказано.

Добавление к какому-либо объекту связности любого тензора вида (90.23) называется геодезическим преобразованием аффинной связности; геодезические при этом не меняются.

Пространство аффинной связности L^ с объектом связности Г/*( = Г17) называется проективно евклидовым^ если в некоторой окрестности каждой его точки можно перейти в такую координатную систему л/, в которой геодезические линии задаются линейными параметрическими уравнениями

х1 = alt-\-bl (а< bl = const).(90.26)

Это значит, что они ведут себя как геодезические аффинного (или евклидова) пространства в аффинных координатах, т. е. как прямые линии.

Тем самым геодезические линии, определяемые нашим объектом связности Г/^, определяются и объектом связности С；欠 аффинного пространства, а следовательно, согласно (90.24)

% (90.27)

где pj — некоторое тензорное поле (все это в пределах рассматриваемой окрестности).

Чтобы Лд с объектом связности Г?/ было проективно евклидовым, необходимо и достаточно существование в пределах некоторой окрестности любой его точки такого тензорного поля &, что Г//——鏡"/) можно было бы отождествить с объектом связности G% в некоторой области аффинного пространства.

Необходимость этого признака только что была показана: достаточность же обнаруживается переходом к аффинным координатам в аффинном пространстве, после чего уравнения геодезических (общих для обеих связностей) можно записать, очевидно, в виде (90.26).

§ 91. Геодезические координаты в пространствах аффинной связности без кручения £?

Среди пространств аффинной связности имеют наибольшее значение и обладают наилучшими геометрическими свойствами пространства без кручения, для которых

「％=「%•(91.1)

Их мы сейчас и будем рассматривать. Важность их основывается прежде всего на том, что к их числу принадлежит аффинное пространство. Действительно, мы видели (§§ 77, 78), что объект связности аффинного пространства симметричен по нижним индексам. Кроме того, аффинное пространство (или, более общо, область Q в аффинном пространстве) можно рассматривать как частный случай пространства аффинной связности, так как вся аффинная геометрия области Q вполне определяется заданием в ней объекта связности (§ 78). Таким образом, область в аффинном пространстве есть частный случай пространства аффинной связности без кручения.

Возникает вопрос, как узнать, не является ли данное пространство аффинной связности просто некоторой областью аффинного

пространства (которая, в частности, может заполнять и все пространство). Прежде всего при этом имеет смысл рассматривать лишь пространства без кручения — для пространств с кручением вопрос сразу решается отрицательно. Затем вопрос сводится к такому: можно ли перейти в такую координатную систему %", действующую во всем пространстве, в которой все коэффициенты связности Г%『 тождественно обращаются в нуль.

В самом деле, мы знаем, что коэффициенты связности аффинного пространства равны нулю в аффинных координатах и только в них. Поэтому если в пространстве аффинной связности £„, отнесенном к координатной системе %'' с областью изменения координат Q\ оказывается

% = 0,(91.2)

то мы вправе отождествить это пространство с куском аффинного пространства, заданным в аффинных координатах %' в пределах той же области изменения Q\ Действительно, коэффициенты связности F*，в обоих случаях одинаковы (равны нулю), а следовательно, одинакова и геометрия, определяемая объектом связности.

В некоторых случаях нельзя, может быть, добиться обращения в нуль во всем пространстве одновременно, но можно это сделать в некоторой окрестности каждой его точки. Тогда пространство аффинной связности мы называем локально аффинным, (аналогично локально евклидову; § 86). В некоторой окрестности любой своей точки локально аффинное пространство представляет собой «кусок аффинного пространства» и лишь в целом отличается от него.

Возвращаемся к общей теории. Вообще говоря, пространство аффинной связности, даже с нулевым кручением, аффинным пространством не является, и ни в какой координатной системе %", хотя бы в пределах малой окрестности данной точки М, F，；， не удается обратить в нуль тождественно.

Однако в случае нулевого кручения без труда можно обратить F*，в нуль в самой данной точке М. В самом деле, переходя от координат х к координатам х , зададимся значениями —- в данной точке М произвольно (разумеется, матрица должна быть неособенной), а значения ―：~~г в той же точке подберем так, чтобы F%(〃) обратились в нуль. Для этого, как видно, из (89.1) достаточно потребовать:

@2Aл 。户dxk，

奇寿病+万万寿⑼・3)

Все величины предполагаются вычисленными в данной точке М. Можно взять вместо (91.3) равносильное соотношение

(9L4)(9L4)р/г 包^ —<2*

(9L4)

(9L4)

” д/ дх'дх^ '

используя закон преобразования (89.1) в форме (89.8)

Таким образом, переходя от координат х1 к координатам х1 , мы можем добиться обращения Г*/* в нуль в наперед заданной точке М. Для этого достаточно подобрать функции 尤丄'(％】,...,尤") так, чтобы их вторые частные производные в точке М выражались через их первые частные производны^ и Г1% в той 宛£ точке М согласно (91.4), а это можно сделать бесчисленным количеством способов. Зададимся, например, неособенной числовой матрицей 。: и введем новые координаты %’ посредством формул

』=& (尤‘一х^) Ч~ ~2 а1 Г// (Af) (xz — %%)(%'—尤ii)・ (91.5)

Здесь Хм, Г?/(/И) — определенные числа, так что 尤"выражаются через х1 квадратичными многочленами. Дифференцируя (91.5) по х\ а потом по %' почленно и полагая х1 — х^, получаем:

дх1дх^

так что (91,4) соблюдается, а значит, 『/,『=0. Полученная координатная система %'' пригодна, по крайней мере, в некоторой окрестности данной точки М.

В качестве матрицы а/ можно взять и просто единичную матрицу. Точкой М можно задаваться произвольно. Однако каждый раз переход к координатам х1 приходится делать по-своему, и каждый раз мы получаем, что Ff；j，= O лишь для одной точки М, Если бы захотели указанным приемом добиться тождественного обращения F?；，в нуль, то нам нужно было бы обеспечить равенство (91.4) в каждой точке М, т. е. проинтегрировать соответствующую систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций л/' (х1, . . ., хп). Однако эта система, вообще говоря, несовместна. К этому вопросу мы вернемся в главе IX.

Напомним, что мы рассматриваем пространство без кручения. Это очень существенно, так как в случае Г%老F% вторые частные производные нельзя было бы вычислять по формуле (91.4)

Если в данных координатах х1 в данной точке М имеет место Г* ,/ (М) — 0, то координаты 尤"называются геодезическими в точке Лк

Значение геодезических координат состоит в том, что они вблизи точки М подражают аффинным координатам, насколько это возможно в нашем пространстве. Действительно, формула параллельного перенесения (89.18) в точке Жив соответствующих геодезических координатах х1' дает

= 0.

Это означает, что координаты параллельно переносимого вектора 广‘ хоть и не являются постоянными, как в аффинных координатах, но все же являются стационарными в точке Ж. Точнее, это значит, что при бесконечно малом смещении из точки М по любому пути координаты параллельно переносимого вектора 吃 получают приращения 纯"бесконечно малые высшего порядка (ввиду dl' = 0). В остальных точках пространства координаты х1 , геодезические в точке Ж, никакими преимуществами не обладают.

Заметим, что линейное преобразование геодезических координат

оставляет их геодезическими в данной точке. Действительно, так как в этом случае ：———=0, то закон преобразования Г〃电,при- нимает тензорный характер「；“ = 4,4；屋：『｝々,，и из Г/^< (Ж) = 0 следует Г^(^) = 0.

Итак, если пространство без кручения, то для каждой точки М можно построить координаты х1', геодезические в этой точке.

Этот результат можно значительно усилить: преобразованием координат х1 можно добиться обращения F% в нуль не только в любой наперед заданной точке, но и вдоль любой наперед заданной кривой С Кривая С предполагается несамопересекающейся; координаты %’ задаются в некоторой окрестности этой кривой).

Предварительным преобразованием координат всегда можно добиться, чтобы наша кривая оказалась некоторым отрезком координатной линии %，т. е. чтобы х2,.…，％" вдоль нее оставались постоянными. Для простоты всегда можно принять, ничего не теряя в общности, что вдоль кривой

х2 = . . . = %" = 0, 0 &《1.(91.6)

Предположим, что нам удалось перейти к искомым новым координатам х1\ так что вдоль нашей кривой Г^г ~ 0. Тем самым в каждой точке нашей кривой должно соблюдаться соотношение (91.4).

Вдоль нашейВдоль нашейкривойкривойзначениязначениябудут функциями от %，чтобудут функциями от %，чтомы обозначим так:Тогда (91.4) даетмы обозначим так:Тогда (91.4) даетдхгдхг暮7 =吟（/）4’（/）, дхдх}暮7 =吟（/）4’（/）, дхдх}(91.7)(91.8)(91.7)(91.8)

Вдоль нашей

Вдоль нашей

кривой

кривой

значения

значения

будут функциями от %，что

будут функциями от %，что

мы обозначим так:

Тогда (91.4) дает

мы обозначим так:

Тогда (91.4) дает

дхг

дхг

暮7 =吟（/）4’（/）, дхдх}

暮7 =吟（/）4’（/）, дхдх}

(91.7)

(91.8)

(91.7)

(91.8)

где Гу/ вдоль нашей кривой тоже являются функциями х1. Отсюда легко вытекает, что функции а：(%1) не могут быть произвольными: дифференцируя (91.7) по х1 почленно и сравнивая с (91.8) при у = 1, получим для а： (%】) нормальную систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений

= “”/(/)•(919)

Все полученные до сих пор соотношения лишь необходимы, так как мы рассуждали, предполагая задачу решенной. Теперь откинем это предположение и перейдем к фактическому отысканию новых координат %尸.Для этой цели интегрируем систему (91.9), произвольно задавшись начальными значениями а： (0) функций а； (%】) при условии неособенности матрицы а； (0). Как известно, решение ali (х1) в этом случае существует (причем матрица af (х1) остается неособенной).

Далее, напишем соотношение (91.7) при / = 1

若=а；'(х)(91.Ю)

Интегрируя его при произвольных начальных значениях %' = %" (0), находим %〃 как функции от х1 вдоль нашей кривой:

%" = xv (0) + § J； (R)d%i=/〃 (％)(91 JI)

0

Теперь мы введем новые координаты %" в окрестности нашей кривой по формулам

х"=/“(尸)+M(xi)x« + g i^(xi)a%'(xi)£xP.(91.12)

Здесь а, § пробегают значения 2, 3 ..., л.

По существу мы получаем здесь новые координаты %' в виде разложения в ряд Тейлора по степеням старых координат х3, х3,... • ・•,％" при каждом значении х1, 0 ^х1 ^ 1. Для простоты

обрываем ряд на членах второй степени. Выражения для вторых частных производных заимствованы из (91.8).

Остается проверить, что вдоль кривой (91.6) удовлетворяются уравнения (91.4), а для этого достаточно проверить (91.7) и (91.8). Дифференцируя (91.12) по %? (у = 2, 3, ..., л), имеем:

男=或(外)+ %(/)小/)x"• (91.13)

В последнем члене мы дифференцировали по %’ только х\ а потом удвоили результат, так как дифференцирование ха дает то же самое. Так как речь идет о кривой (91.6), то ха = 0, и

так что (91.7) имеет место при / = 2, 3,…，л. Чтобы проверить (91.7) при / = 1, дифференцируем (91.12) по х1 и, полагая затем %а = 0, приходим вдоль нашей кривой к выражению

дх1 川 1 ' "

где последнее равенство следует из (91.11). Итак, (91.7) проверено

полностью.、

Продифференцируем (91.13) по х° (6 = 2, 3, ..., л) почленно:

或(R),

дх дх*

и значит, (91.8) соблюдается при /, /= 2, 3, ..., п. Далее, дифференцируя (91.13) по х1 и полагая х° = 0, имеем:

0既" da)(叫

дх1дх1 —川•

что (91.8) со-х1 и полагаячто (91.8) со-х1 и полагаяЗаменяя правую часть согласно (91.9), убеждаемся, блюдается вдоль нашей кривой при / = 1,丿=2, 3,

что (91.8) со-

х1 и полагая

что (91.8) со-

х1 и полагая

Наконец, дифференцируя (91.12) два раза по

х°= 0, получим:

02%"дх1дх102%"дх1дх1d峨'(叫_曲f (叫 дх1дх1 — de】d峨'(叫_曲f (叫 дх1дх1 — de】ГаЛх1)或(").ГаЛх1)或(").

02%"дх1дх1

02%"дх1дх1

d峨'(叫_曲f (叫 дх1дх1 — de】

d峨'(叫_曲f (叫 дх1дх1 — de】

ГаЛх1)或(").

ГаЛх1)或(").

В этой выкладке мы использовали (91.10) и (91.9). Итак, соотношение (91.8) проверено полностью. В результате вдоль нашей кривой соблюдается и (91.4), и тем самым, Гг/z = 0. Координаты %" со свойством F%/，= 0 вдоль данной кривой мы будем называть геодезическими вдоль этой кривой.

Координаты 尤"，геодезические вдоль данной кривой, обладают вблизи нее свойствами как бы аффинных координат; при бесконечно малом смещении из любой точки М нашей кривой дифференциалы координат параллельно переносимого вектора 三々'равны нулю, так что АЕ" суть бесконечно малые высшего порядка. Таким образом, при параллельном перенесении вектора в бесконечной близости нашей кривой его координаты остаются «почти постоянными». Это справедливо при любом бесконечно малом смещении не только по нашей кривой, но и «вбок» от нее.

Если же, в частности, смещение происходит вдоль самой кривой, то все время

dg = О

и координаты параллельно переносимого вектора просто остаются постоянными:

g = const.

Конечно, наш способ введения координат 尤",геодезических вдоль данной кривой, отнюдь не является единственным; мы его выбрали лишь как наиболее простой. Результат не изменился бы, например, если бы мы в (91.12) добавили еще какие угодно многочлены с членами степени 〉2 относительно х2,...,尤"н с коэффициентами, зависящими от 尤L

Наше предположение, что кривая не самопересекается, существенно: иначе она содержала бы замкнутый контур, при обнесении по которому вектор 三々',вообще говоря, должен был бы измениться, а потому и нельзя было бы подобрать таких координат 尤",чтобы вдоль кривой координаты вектора Е” оставались постоянными.

Но и сейчас не исключено, что 尤" будут принимать одинаковые значения в разных точках кривой С; в этом случае 尤"играют роль координат лишь локально — в некоторой окрестности каждой точки кривой С.

§ 92*. Изображение кривой в 丄厶 в виде кривой в Ап

Рассмотрим в пространстве аффинной связности Ln произвольную несамопересекающуюся кривую С

х'=х'(/), а《/《Ь,(92.1)

вдоль которой мы параллельно переносим всевозможные векторы

так что

W&=—г 笈％X，.(92.3)

Одновременно с пространством Ln будем рассматривать аффинное пространство Лл.

Мы ставим себе следующую задачу: данную кривую С и всевозможные векторы F в каждой ее точке М изобразить кривой С* 〃 векторами 自 в пространстве Ап таким образом, что:

1°. Все аффинные свойства (линейные зависимости) векторов ^ в данной точке /И сохраняются в изображении.

2°. Вектор бесконечно малого смещения dxl вдоль кривой С изображается вектором соответствующего бесконечно малого смещения dx вдоль кривой С* (где х ——скользящий радиус-вектор кривой С*).

3°. Параллельно переносимый вдоль С вектор W (/) изображается вектором 自，параллельно переносимым в Ап, т. е. постоянным.

Таким образом, мы хотим получить в аффинном пространстве Ап как бы модель кривой С с параллельно переносимыми вдоль нее векторами 三‘ (/) и притом такую, чтобы она правильно передавала все существенные свойства оригинала (однако для С* мы уже не требуем несамопересечения). Очевидно, что в этой модели касательные аффинные пространства в разных точках М кривой С все отождествятся с пространством 若山

Чтобы облегчить себе задачу, выберем из бесконечного множества параллельно переносимых векторов g'(/) л линейно независимых векторов

比)(/),以2)«),…，/”)(/)•(92.4)

Тогда в силу сохранения линейных зависимостей при параллельном перенесении любой параллельно переносимый вектор g'(/) разлагается по векторам (92.4) с постоянными коэффициентами:

¥(/) = 乂比)(力+入咱")(/).(92.5)

Изобразим векторы (92.4) в согласии с 3° постоянными векторами

^i» е?, • • ♦, е«(92.6)

в пространстве Ап. Эти векторы выбираются произвольно при условии их линейной независимости. Теперь любой вектор g\ заданный в точке М(/), будет изображаться в согласии с 1°

I =入 1% + Х2е2 + . .. 4-入飞小(92.7)

где 入——коэффициенты разложения g по векторам 耳° (/),.・•,屍⑴⑺. Очевидно, что при таком изображении все линейные зависимости между векторами У в данной точке М(/) переходят и на векторы g. Если вектор 三‘ параллельно переносится вдоль кривой, то его изо-

§ 92] ИЗОБРАЖЕНИЕ КРИВОЙ в 丄〃 В ВИДЕ КРИВОЙ в Ап 433 бражение — вектор 匕一остается постоянным, так как согласно (92.5) коэффициенты не меняются. Применим изображение (92.7), в частности, к вектору бесконечно малого смещения dx' в данной точке М(/). Разлагая ~ по “)(/),...,弘(/)：

^Р-=旷⑴弘(/)+...+М ⑴乩)《)

и используя полученные коэффициенты 卩'(f) в (92.7), мы получим изображение вектора ^- , которое согласно 2° совпадает с ~ :

集=出(/)5+…W)e“. (92.8)

Интегрируя почленно, найдем радиус-вектор х как функцию от /:

х = х (/). (92.9)

Это и будет параметрическое уравнение искомое кривой С* в Ап- Из построения видно, что все поставленные требования соблюдены, и наша задача решена. Заметим, что самопересечение С* у нас не исключается.

Искомое изображение получилось как будто со значительным произволом: произвольно выбраны линейно независимые векторы е» и функция х (/) получилась с точностью до добавления произвольного постоянного вектора.

Но это неудивительно: заранее можно было предвидеть, что нашу модель можно подвергать любому аффинному преобразованию в 4，так как оно не нарушает ни одного из ее свойств 1°, 2°, 3°. Но с точностью до аффинного преобразования наша модель будет единственной: если у двух моделей векторы еп ..., еп будут различными, то их можно отождествить аффинным преобразованием одной из моделей; если, далее, х (/) будут отличаться на постоянный вектор, то их можно отождествить параллельным сдвигом одной из моделей. В результате наши модели совпадут.

Таким образом, решение нашей задачи с точки зрения аффинной геометрии s Ап будет единственным, т. е. все решения будут в аффинном. смысле эквивалентными.

Заметим, что для случая связности без кручения мы фактически решили эту задачу уже в § 91, установив координатную систему %", геодезическую вдоль данной кривой С. В координатах 尤"вдоль кривой С мы имеем:

用'=0. (92.10) Введем в том же многообразии новую связность G%, такую, что в тех же координатах W

G-T = 0, (92.11)

т. е. обращение G^ в нуль происходит не только вдоль С, но и во всей области изменения %' . Многообразие с такой связностью можно рассматривать как аффинное пространство в аффинных координатах (вообще говоря, в пределах некоторой области).

Таким образом, кривую С можно одновременно рассматривать как кривую С* в аффинном пространстве со связностью G"『в аффинных координатах %"* Возможно, С* самопересекается (см. конец § 91), но это мы допускаем. В силу (92.10), (92.11) оба объекта связности совпадают вдоль С, и параллельное перенесение вдоль С происходит в обоих случаях одинаково. Это можно истолковать (при желании) как отображение кривой С в аффинное пространство вместе со всеми векторами, построенными в ее точках, причем параллельное перенесение векторов вдоль С реализуется в виде их параллельного перенесения в аффинном пространстве, а это и есть решение задачи этого параграфа. Однако результат § 91 более сильный, так как там реализуется параллельное перенесение не только вдоль С, но и «вбок» от кривой С (в бесконечно малом). Зато этот результат относится только к пространствам без кручения, в то время как более слабый результат этого параграфа справедлив для всех пространств аффинной связности.

Докажем еще следующую простую теорему.

Для того чтобы кривая С была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы ее изображение С* было прямой линией (или ее отрезком).

В самом деле, то, что кривая С геодезическая, равносильно существованию на ней тако го параметра т, что вектор g =石 параллельно переносится вдоль С. Но последнее равносильно тому, что соответствующий ему в изображении вектор ^ = ^ будет параллельно переносимым вдоль С*, т. е. постоянным;

—=^ = const, или х= ^т+ х0. (92,12)

Полученное параметрическое уравнение линии С* означает, что это — прямая, и требуемое доказано.

Произведем в связи с этим некоторые подсчеты.

Пусть отрезок геодезической PQ изображается в виде прямолинейного отрезка P*Q* и пусть в точке Р (и соответственно Р*) канонический параметр имеет значение нуль, а в точке Q (и соответственно Q*) — значение т. Обозначим далее 留 касательный вектор 丁 в точке Р；

(92.13)(92.13)齿=（勃,

(92.13)

(92.13)

а через g—соответствующий ему вектор в изображении. Вектор в точке Р

崇)

мы будем называть вектором, геодезического смещения PQ. Этот вектор зависит лишь от самого геодезического отрезка PQ и не зависит от выбора канонического параметра вдоль него. Действительно, если, например, мы умножим канонический параметр т на 5, то вектор геодезического смещения одновременно умножится и разделится на 5.

В изображении этому вектору отвечает вектор ^т. Как видно из (92.12),

XQ・ = gT + x(), где х0 = Хр*, так что QQ* = Xq*—Хр* = gr.

Итак, вектору геодезического смещения PQ 8 оригинале отвечает вектор P*Q* 8 изображении. Беря теперь т бесконечно малым (так что QfP, Q*f Р*), вычислим приращения координат при переходе из Р в Q:

姉一底=e阮一｝吟厩或#+…(92.14)

Мы воспользовались здесь разложением в ряд Маклорена по степе- сfdxk\

ням т с точностью 2-го порядка, причем (石丿卩 мы заменили согласно (92.13), а (^^~)р — из дифференциальных уравнений геодезических. Величины 「方 взяты в точке Р.

Соответствующее смещение P*Q* в изображении задается, как мы видели, вектором

痴* = “(92.15)

Эти результаты нам вскоре понадобятся.

У нас не было до сих пор геометрического истолкования для кручения данной аффинной связности. Сейчас мы можем его дать. Будем рассматривать изображение какой-нибудь кривой С в виде кривой С* в аффинном пространстве. Пусть начало и конец кривой С совпадают между собой; тогда в изображении они, вообще говоря, разойдутся и кривая С* уже не будет замкнутой.

Наоборот, когда кривая С* окажется замкнутой, то С, вообще говоря, будет разомкнутой. Оказывается, что это нарусиение замкнутости при переходе от оригинала к изображению и наоборот определяется 8 случае бесконечно малых контуров 8 основном

тензором кручения S% 8 соответствующей точке («в основном»——это значит, что речь идет о главной части того бесконечно малого зазора, который появляется в ранее замкнутом бесконечно малом контуре).

Точный смысл этого утверждения мы сейчас раскроем.

Пусть кривая С* образует параллелограмм P*Q*R*S*『 (рис. 18), причем начальная ее точка Р* совпадает с конечной точкой Т*.

Рис 18.

Тогда кривая С представляет собой ломаную PQRST、состоящую из отрезков геодезических. Концы ломаной Р и 7, в общем случае, уже не совпадают.

Правда, мы до сих пор не рассматривали изображений кусочно гладких кривых, но они осуществляются без труда: прежнее построение повторяется дословно, и вся разница будет в том, что функции 卩亙(方)в угловых точках терпят разрыв непрерывности.

Обозначим через 自，q постоянные векторы, направленные по R*S关, R*Q*, причем будем считать:

磊洋=自*(92.16)

点& * = ТП,(92.17)

где Tf 0 (при неподвижной точке /?*). Мы будем рассматривать, таким образом, бесконечно малый параллелограмм, стягивающийся в точку А*. Аналогично в оригинале ломаная PQRST стягивается в точку R. Оценим, теперь с точностью 2-го порядка относительно т зазор ТР, образовавшийся при переходе от параллелограмма в изо- бражении /с ломаной в оригинале. Для этого мы подсчитаем разности координат Хр — хт：

хр—% 务={(*%—% 务)一(xs ——{(% 冬一%&) —(XQ — %£)}• (92.18)

Обозначим Е%,展 векторы в точке R, касательные соответственно kRS и RQ и имеющие своим изображением векторы § и Т|.

Так как (92.16) вполне аналогично (92.15), то, применяя (92.14), пишем:

= &标—^「方訣 К# + …•(92.19)

Здесь и в дальнейшем 「务 вычисляются в точке R. Совершенно аналогично

х*_4 = n^T —^ r^lR Т]依 +(92.20)

Теперь для аналогичного подсчета Хр—Xq мы снова можем применить (92.14), учитывая, что

Q*P* (=応*) = gt

вполне аналогично (92.15). Только теперь исходной точкой будет служить уже не Р, a Q. Соответственно этому в (92.14) в качестве &} нужно взять вектор &%, касательный к QP в точке Q и имеющий своим изображением по-прежнему g. Такой вектор &% легко получить параллельным перенесением &% из точки R в точку Q по пути RQ, так как при этом изображение &% тоже лереносится параллельно, т. е. остается вектором g. С точностью 1-го порядка можно записать формулу параллельного перенесени-я в виде

Bq-或=一「方或(xq-以)+…，

подменив дифференциалы приращениями. Заменяя с той же точностью Xq — %} из (92.20), имеем окончательно:

韵=盛-「%或n*+…(92.21)

Применяя теперь (92.14) для подсчета Хр — Xq, получаем:

-^р — %^ = &缶一у Г*- ^q ^т2 -|- • ■ *(92.22)

Здесь, собственно, 「% следовало бы брать в точке Q. Однако мы будем брать их по-прежнему в точке R, учитывая, что в「力 при этом будет допущена ошибка бесконечно малая 1 -го порядка, а после умножения на т2—уже 3-го порядка (которым мы пренебрегаем). Вставляем теперь в правую часть равенства (92.22) &% из (92.21),

причем в первом члене происходит умножение на т, и точность 1-го порядка превращается в точность 2-го порядка, а во втором ввиду умножения на т2 достаточно вставить вместо 自^ лишь его главную часть В результате имеем:

统一爲=Е舐一吟或県#一 4「%驍Е缶2 + ••• (92.23)

Вычитая почленно (92.19) из (92.23)， получим первую фигурную скобку в (92.18):

{(Xf — Ю一(您一^r)}= —「方算限辞

Вычисление второй фигурной скобки должно проходить совершенно симметричным образом лишь с переменой ролей векторов 自}, п%・ В результате приходим к выражению

(%耳一-^5)- {XQ - XR)= -「%心 联 T +

Вычитая почленно это равенство из предыдущего, мы согласно <92.18) найдем искомый зазор:

Хр —若=「方联呸 0—「% 威 nb#+

Меняя в последнем члене обозначения индексов суммирования i на 7 и наоборот и пользуясь определением тензора кручения

получаем окончательно:

Хр — Хт = 5?/ ^ т]^та + …(92.24)

Таким образом, мы можем резюмировать:

Приращения координат х1, которыми характеризуется зазор ТР, с точностью 2-го порядка получаются в результате свертывания 6 точке R тензора кручения S务 с векторами 联％ 県т，выражающими геодезические смещения RS, RQ (и дающими в изображении векторы R1*，启脑).

Итак, «зазор» в своей главной части выражается посредством тензора кручения в той точке R, к которой стягивается наш «разомкнутый параллелограмм». В этом и состоит геометрическое истолкование тензора кручения. Если связность будет без кручения, то «зазор» оказывается бесконечно малым уже не 2-го, а 3-го порядка относительно т.

Подчеркнем, что эта роль нулевого кручения сказывается лишь в бесконечно малом. В случае конечных размеров и при нулевом кручении обнаруживаются те же явления «размыкания» замкнутых контуров. Наконец, следует отметить, что мы брали в качестве

§ 93} ПРОСТРАНСТВА Ln с абсолютным параллелизмом 439 замкнутого контура параллелограмм лишь для упрощения выкладок. Аналогичные результаты можно получить для любого бесконечно малого контура, стягивающегося в данную точку и расположенного в данной двумерной плоскости пространства Ап. Можно было бы исходить также — обратно тому, что мы делали,— из контуров, замкнутых в 厶〃 н размыкающихся в Лп. Оценка зазора получилась бы по существу такой же.

§ 93*. Пространства Ln с абсолютным параллелизмом

В этом параграфе мы решим такую задачу: найти всевозможные пространства аффинной связности Ln с абсолютным параллелизмом векторов. Так мы будем называть пространства, в которых результат параллельного перенесения произвольного вектора ±‘ из точки Р в точку Q при любом выборе этих точек не зависит от пути перенесения PQ. Это значит, что по какому бы пути ни совершать переход из Р в Q, мы придем в Q с одним и тем же вектором. Следовательно, мы получаем возможность вектор, заданный в какой- нибудь точке Р, как бы откладывать из любой точки пространства. В результате возникает целое векторное поле. Очевидно, любой вектор этого поля можно принять за исходный и считать, что все другие векторы поля получены его параллельным перенесением. Такое векторное поле мы будем называть однородным.

Один пример Ln с абсолютным параллелизмом нам известен —— это аффинное пространство Ап. Требуется выяснить, существуют ли и другие Ln с абсолютным параллелизмом и какие именно.

Допустим, что нам дано Ln с абсолютным параллелизмом. Выберем в какой-либо начальной точке MQ л линейно независимых векторов

и путем их параллельного перенесения в любую точку М нашего пространства получаем л однородных векторных полей

К) (/И),…，玖)(/И).(93.1}

В силу абсолютного характера параллелизма эти векторы будут в каждой точке М вполне определенными; при этом их линейная независимость при параллельном перенесении сохранится. Параллельное перенесение любого вектора g из одной точки М в другую Мг совершается теперь, очевидно, так: разложим вектор 己‘ по векторам I Jp) (М) в данной точке М; так как при параллельном перенесении линейные зависимости сохраняются, то параллельно перенесенный вектор |: разлагается в точке М по векторам |(р)(/И') с теми же самыми коэффициентами. Этим перенесение определится.

Теперь ясно, что, обратно, задавая, в каком-либо многообразии 9)2〃 п произвольно выбранных полей линейно независимых векторов^) 办(的，…，弘(的，(93.2)

мы можем превратить 9ЛИ в Ln с абсолютным параллелизмом. Действительно, мы можем тогда определить в at罹 абсолютное перенесение любого вектора &' так, как это было только что описано. Может, однако, возникнуть сомнение, подходит ли это перенесение под наше общее определение, т. е. под формулу параллельного перенесения с определенным объектом связности Г/；. Покажем, что действительно всегда можно подобрать такой объект связности Г/；, для которого наши наперед заданные векторы ^(р)(М) будут параллельно переносимыми векторами при любом бесконечно малом смещении из любой точки. Тем самым и все их линейные комбинации с постоянными коэффициентами будут тоже параллельно переносимыми векторами, и построенную нами связность с абсолютным параллелизмом можно будет считать порожденной объектом Г%. Запишем, что каждый из &р)при любом бесконечно малом смещении из любой точки М должен удовлетворять формуле параллельного перенесения

禮p)= -「%乩)dx1,

где 「％—искомый объект связности. Так как 肅)есть функция от х\ . . . , хи (которая предполагается непрерывно дифференцируемой), то левую часть можно развернуть как полный дифференциал, и мы получаем:

~^2dW= — Г方乩)dx1.

Так как это есть тождество относительно dx', то имеем окончательно:

第=—Г务乩).(93.3)

Фиксируя на время А, г и давая р значения 1, 2, .. ., п. мы получаем здесь л линейных уравнений с л неизвестными Г^, Г^2) . . .,「%. Определитель этой системы отличен от нуля в силу линейной независимости векторов (93.2), и следовательно, Г" находятся однозначно. То, что при этом 「％ удовлетворяют обычному закону преобразования, видно из единственности определяемого ими перене-

*) Это всегда можно сделать в элементарном многообразии, но далеко не всегда в многообразии общего вида; многообразия, где это можно сделать, называются параллелизуемыми.

сения, а также может быть проверено формальной выкладкой, исходя из (93.3).Таким образом, мы получили довольно обширный класс связно-сения, а также может быть проверено формальной выкладкой, исходя из (93.3).Таким образом, мы получили довольно обширный класс связно-стей с абсолютным параллелизмом. кручением за исключением лишь пространства Ап.В самом деле, покажем, что в лелизмом и без кручения можно.стей с абсолютным параллелизмом. кручением за исключением лишь пространства Ап.В самом деле, покажем, что в лелизмом и без кручения можно.Однако все они будут обладать случая (локально) аффинногоОднако все они будут обладать случая (локально) аффинногослучае Ln с абсолютном парал- по крайней мере, в некоторойслучае Ln с абсолютном парал- по крайней мере, в некоторойокрестности любой точки М^ перейти к аффинным координатам 尤", т. е. дсблться 「$% 三 0; тем самым наше Ln будет (локально) аф-окрестности любой точки М^ перейти к аффинным координатам 尤", т. е. дсблться 「$% 三 0; тем самым наше Ln будет (локально) аф-финным .Для%’и %"финным .Для%’и %"пространством.этого будем искать функциональную зависимость из системы дифференциальных уравненийпространством.этого будем искать функциональную зависимость из системы дифференциальных уравнениймеждумежду薪= ЕЗ(* …，х")(司加=1, 2,〃).(93.4)薪= ЕЗ(* …，х")(司加=1, 2,〃).(93.4)Здесь xk ищутся, таким образом, как функции от хт\ причем частная производная каждой неизвестной функции по каждому аргументу выражена через сами неизвестные функции.Геометрический смысл уравнений (93.4) состоит в следующем: мы ищем новые координаты хт' так, чтобы векторы ^^, касательЗдесь xk ищутся, таким образом, как функции от хт\ причем частная производная каждой неизвестной функции по каждому аргументу выражена через сами неизвестные функции.Геометрический смысл уравнений (93.4) состоит в следующем: мы ищем новые координаты хт' так, чтобы векторы ^^, касательные к координатным линиям хт\ совпадали с наперед заданными векторами ^П1), т. е. обладали абсолютным параллелизмом. Легко видеть, что это требование соответствует свойствам аффинных координат. Следует отметить также инвариантный характер уравнений (93.4) относительно преобразования координат х\ так как в левой и правой частях стоят одинаково преобразующиеся контра- вариантные тензоры (при фиксированном т). Составим условия интегрируемости этой системы. Дифференцируем (93.4) по %" и частные производные, получающиеся в правой части, заменяем согласно (93.4):ные к координатным линиям хт\ совпадали с наперед заданными векторами ^П1), т. е. обладали абсолютным параллелизмом. Легко видеть, что это требование соответствует свойствам аффинных координат. Следует отметить также инвариантный характер уравнений (93.4) относительно преобразования координат х\ так как в левой и правой частях стоят одинаково преобразующиеся контра- вариантные тензоры (при фиксированном т). Составим условия интегрируемости этой системы. Дифференцируем (93.4) по %" и частные производные, получающиеся в правой части, заменяем согласно (93.4):Условия интегрируемости получаются, шем, что правая часть этого равенства симметрична относительно т, /:Условия интегрируемости получаются, шем, что правая часть этого равенства симметрична относительно т, /:как известно, если мы запи- должна быть (вслед за левой)как известно, если мы запи- должна быть (вслед за левой)能fm) 1 _死力)J 小"尸小2能fm) 1 _死力)J 小"尸小2(93.5}(93.5}

сения, а также может быть проверено формальной выкладкой, исходя из (93.3).

Таким образом, мы получили довольно обширный класс связно-

сения, а также может быть проверено формальной выкладкой, исходя из (93.3).

Таким образом, мы получили довольно обширный класс связно-

стей с абсолютным параллелизмом. кручением за исключением лишь пространства Ап.

В самом деле, покажем, что в лелизмом и без кручения можно.

стей с абсолютным параллелизмом. кручением за исключением лишь пространства Ап.

В самом деле, покажем, что в лелизмом и без кручения можно.

Однако все они будут обладать случая (локально) аффинного

Однако все они будут обладать случая (локально) аффинного

случае Ln с абсолютном парал- по крайней мере, в некоторой

случае Ln с абсолютном парал- по крайней мере, в некоторой

окрестности любой точки М^ перейти к аффинным координатам 尤", т. е. дсблться 「$% 三 0; тем самым наше Ln будет (локально) аф-

окрестности любой точки М^ перейти к аффинным координатам 尤", т. е. дсблться 「$% 三 0; тем самым наше Ln будет (локально) аф-

финным .Для

%’и %"

финным .Для

%’и %"

пространством.

этого будем искать функциональную зависимость из системы дифференциальных уравнений

пространством.

этого будем искать функциональную зависимость из системы дифференциальных уравнений

между

между

薪= ЕЗ(* …，х")(司加=1, 2,〃).(93.4)

薪= ЕЗ(* …，х")(司加=1, 2,〃).(93.4)

Здесь xk ищутся, таким образом, как функции от хт\ причем частная производная каждой неизвестной функции по каждому аргументу выражена через сами неизвестные функции.

Геометрический смысл уравнений (93.4) состоит в следующем: мы ищем новые координаты хт' так, чтобы векторы ^^, касатель

Здесь xk ищутся, таким образом, как функции от хт\ причем частная производная каждой неизвестной функции по каждому аргументу выражена через сами неизвестные функции.

Геометрический смысл уравнений (93.4) состоит в следующем: мы ищем новые координаты хт' так, чтобы векторы ^^, касатель

ные к координатным линиям хт\ совпадали с наперед заданными векторами ^П1), т. е. обладали абсолютным параллелизмом. Легко видеть, что это требование соответствует свойствам аффинных координат. Следует отметить также инвариантный характер уравнений (93.4) относительно преобразования координат х\ так как в левой и правой частях стоят одинаково преобразующиеся контра- вариантные тензоры (при фиксированном т). Составим условия интегрируемости этой системы. Дифференцируем (93.4) по %" и частные производные, получающиеся в правой части, заменяем согласно (93.4):

ные к координатным линиям хт\ совпадали с наперед заданными векторами ^П1), т. е. обладали абсолютным параллелизмом. Легко видеть, что это требование соответствует свойствам аффинных координат. Следует отметить также инвариантный характер уравнений (93.4) относительно преобразования координат х\ так как в левой и правой частях стоят одинаково преобразующиеся контра- вариантные тензоры (при фиксированном т). Составим условия интегрируемости этой системы. Дифференцируем (93.4) по %" и частные производные, получающиеся в правой части, заменяем согласно (93.4):

Условия интегрируемости получаются, шем, что правая часть этого равенства симметрична относительно т, /:

Условия интегрируемости получаются, шем, что правая часть этого равенства симметрична относительно т, /:

как известно, если мы запи- должна быть (вслед за левой)

как известно, если мы запи- должна быть (вслед за левой)

能fm) 1 _死力)J 小"尸小2

能fm) 1 _死力)J 小"尸小2

(93.5}

(93.5}

Если бы у нас было пространство с кручением, то условия интегрируемости не удовлетворялись бы тождественно, мы получили бы зависимость между х1, . . ., хп, т. е. противоречие. Система (93.4)

оказалась бы несовместной. Но в нашем случае дело обстоит иначе. В самом деле, умножая (93.3) на 己；§) и свертывая по /, получим:

(p) i — _「氏 m t/^, £(g)— — ' ij€(g) &(p)-

Из условия 「务=「方 вытекает, что перестановка индексов р, q в правой части равносильна перестановке обозначений индексов суммирования i, у и, следовательно, результата не меняет. Значит, и левая часть симметрична относительно р, g н условия интегрируемости (93.5) выполняются тождественно (при любых х1, . . ., хп).

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что в этом случае система (93.4) имеет решение и притом единственное при любых начальных условиях вида

xk — x^(k= 1, 2, . . ., л) при xmf = х^(тг = Г, 2\ •..,〃，)，(93.6) по крайней мере, в некоторой окрестности точки %『'). В этой окрестности можно считать зависимость xk (х1?, . . ., хп/) обратимой, так как в силу линейной независимости векторов 三，皿)из уравнений (93.4) следует неравенство нулю якобиана:

…，炉)关 0(93 7)

Таким образом, %'п‘ можно принять за новые координаты в некоторой окрестности произвольной точки М (xj, . .., xj). Новые координаты xtn， подобраны, следовательно, специальным образом, в то время как старые хА были произвольными. В частности, можно взять хА совпадающими с %叫 тогда (93.3), (93.4) дают

端)_d%炉 一灰尸——1 ” bp)， /m，— &(m)'

Из второго равенства получаем:

自m)=5僚

и, вставляя в первое, приходим к искомому результату

0=—「％ т. е.「％, = 0.

Следовательно, хт，действительно служат аффинными координатами в некоторой окрестности данной точки Л/, и наше пространство является (локально) аффинным.

§ 94. Аффинная связность в римановом пространстве

До сих пор мы рассматривали отдельно риманову геометрию порождаемую метрическим тензором 且仃(Л4), и геометрию аффинной связности, порождаемую объектом связности Г^- (М). Наиболее содержательная геометрическая картина получается при объединении той и другой геометрии, причем это можно сделать вполне естественным путем. 4 именно, в римановом пространстве всегда можно построить и притом единственным образом связность 「务(Л1), обла* дающую следующими двумя свойствами.

1°. Кручение равно нулю

「％ =「%• (94.1}

2°. Всякий раз, когда вдоль какого-либо пути одновременно переносятся параллельно два вектора 自,”, их скалярное произведем ние не меняется.

Из условия 2° следует, в частности, что скалярные квадраты параллельно переносимых векторов также остаются постоянными. Таким образом, мы хотим подобрать связность「务 так, чтобы всевозможные векторы Е, % ..., заданные в какой-нибудь точке Mv вели себя в процессе параллельного перенесения как одно твердое тело', не только аффинные, но и все их метрические свойства должны оставаться неизменными, в частности, не должны меняться их длины и углы между ними (все это вытекает из постоянства скалярных произведений 自“).Это требование должно приблизить нас к поло* жению вещей в евклидовом пространстве, где параллельное пере* несение векторов, очевидно, сохраняет все их метрические свойства.

Условие 1° имеет аналогичное назначение: аффинная связность в евклидовом (или, что то же самое, в аффинном) пространстве имеет кручение нуль. Вводя связность в римановом пространстве, мы стараемся сохранить и это свойство.

Переходим к доказательству нашего утверждения. Будем, искать связность 「§/, удовлетворяющую условиям 1°, 2°. Скалярное произ* ведение векторов 自,*q записывается согласно (85.3) в виде

^\ = gi^-

Требование постоянства 自"при параллельном перенесении вдоль- какого-либо пути можно записать в виде равенства нулю диффе* ренциала

d^ = d (纟〃甘唄)=0, (94.2>

ИЛИ

(94.3〉(94.3〉dgtj^^ + gij^J + gij^^^ 0.

(94.3〉

(94.3〉

Так как векторы g, т] переносятся параллельно, то

dl = — Г 號'dxP,d^ =—爲Т1〃х?,

где Г?；—коэффициенты искомой связности, a dxp—дифференциалы координат точки при бесконечно малом смещении по пути. Кроме того,

% =欝 dxF-

Вставляем все это в (94.3), изменив предварительно в этом равенстве обозначения индексов суммирования: во втором члене i на 々，в третьем члене / на k. Получим:

^gf^ - ^kj^Pi - 自飞〃为尸=0.

Так как g,外丿， dxp мы можем выбирать совершенно произвольно, т. е. любые векторы можем переносить по любому пути, то равенство должно представлять собой тождество относительно К *, dxp. Отсюда вытекает обращение в нуль всех коэффициентов при этих величинах:

^~gkJTpi~g!krpf = 0. (94.4)

Из этих уравнений и из условия 10 и подлежат определению искомые Г^. Очевидно, от соотношений (94.4) можно обратной выкладкой вернуться к (94.2), так что эти соотношения не только необходимы, но и достаточны для соблюдения условия 2°.

(94.5)(94.5)величины r^j(94.6)симметричны повеличины r^j(94.6)симметричны по(94.7)(94.7)Обозначим аналогично (79.14):

(94.5)

(94.5)

величины r^j

(94.6)

симметричны по

величины r^j

(94.6)

симметричны по

(94.7)

(94.7)

Ясно, что обратным поднятием индекса через можно выразить Г*/：

При этом в силу условия 1° как Г^, так и 1\,订 индексам /, у.

Теперь уравнения (94.4) перепишутся в виде

г ,г 一

Но эти уравнения по форме вполне совпадают с (79.17) и ре

шаются таким же образом. Получаем (аналогично (79.18)):

(94.8)(94.8)=1j @&加 @gmk\

(94.8)

(94.8)

加4一М (研十dxk дх｛丿

и согласно (94.6)

(94.9)(94.9)

(94.9)

(94.9)

Формула (94.9) дают решение поставленной задачи, как MbL видим, единственное. Мы нашли связность без кручения, сохраняющую скалярное произведение любых двух параллельно переносимых векторов; оказалось, что она будет только одна.

Ранее полученную формулу (79.19) по внешности совершенно такую же, как формула (94.9), нужно рассматривать как частный случай последней. Действительно, формула (79.19), решает для евклидова пространства по существу ту же самую задачу, которую мы решили сейчас для более общего случая риманова пространства.

Может показаться, что нужно проверить, образуют ли「％ , найденные в различных координатных системах х1, один и тот же объект связности, т. е. удовлетворяют ли они закону преобразования (89.1). Однако это можно утверждать и без проверки. Действительно, в силу инвариантного характера требований 1°, 2° безразлично, в каких координатах х1 искать нашу связность; она будет получаться всегда одной и той же. Но это и означает, что 「%, вычисленные в любых координатах, образуют один и тот же объект связности. Конечно, это можно проверить и непосредственной выкладкой, исходя из (94.9) и пользуясь законом преобразования метрического тензора g〃.

Полученную связность в римановом пространстве мы будем называть римановой связностью. В дальнейшем будем всегда считать, что риманово пространство снабжено этой связностью.

В заключение покажем геометрический смысл нашего параллельного перенесения в том случае, когда риманово пространство Vm реализовано в виде поверхности в евклидовом пространстве R履：

х = х (М,…，d)(94.10)

(см. § 86 (86.4)). Разложим вторые частные производные ха3 = на составляющие по касательной плоскости Ат (т. е. по ее направляющим векторам ха = ^^ и по нормальной плоскости Вп_т\

Xа3=比ВXВ + y咿(94.11)

где 型в—некоторые коэффициенты разложения, очевидно, симметричные по нижним индексам, а у^ — вектор в В—т так что у3 = 0.(94.12)

Покажем, что 『之^ совпадают с коэффициентами связности Гар & римановом пространстве Vm. Умножая для этого (94.11) на Ху скалярно и учитывая (94.12), получаем:

乂产珅=ГарХ^Х^. Так как согласно (86.9)

ХаХв=&3，(94.13)

то 乂产呻=^б^ар = Гт(а3,(94.14)

где f\s обозначает результат опускания индекса. Дифференцируя (94.13) по а7, получаем:

ХатХ3 + ХаХрт = ^ЦТ， т. е.

『3，炉 +「fb =而Г •(94.15)

Эти уравнения в применении к Vm совпадают с уравнениями (94.7), а следовательно,『力呻 совпадают с Гт)а?. Отсюда, поднимая первый индекс, убеждаемся и в совпадении 『士^ с Г^р. Окончательно разложение (94.11) принимает вид х,з= Га₽х8 + уа3.(94.16)

Здесь принципиально важно, что коэффициенты Г^р вполне определяются из римановой метрики G^ на поверхности Vm вне зависимости от способа ее вложения в Rn.

Пусть теперь на поверхности Vm задана кривая 个=个(% а вдоль этой кривой мы строим поле вектора 自(/), касательного к Vm. Тем самым согласно (86.6) имеет место разложение

EG)=^f«)=x/«),(94.17)

где FG)——координаты вектора 自 в многообразии Vm. Рассмотрим дифференциал вектора 自 при бесконечно малом смещении по кривой:

公=dx^a + МГ= Xagd 〃空 а + Х/^・ В последнем члене заменяем обозначение индекса суммирования на 6, а 乂呻 выражаем согласно (94.16). Получим:

= (Г„р du^ + d『)％ 十 у” d嶼“.(94.18)

Мы хотим, чтобы вектор 自(/) при переходе от точки f к точ- <е t + dt по нашей кривой изменялся возможно наименыиим образом. Мы не можем требовать, чтобы он совсем не менялся, так как касательная плоскость Ат к Vmt в которой он расположен, вообще говоря, поворачивается при переходе от точки к точке. Если 三 з точке f задан, то при переходе в точку i-\-di мы можем распоряжаться лишь значениями 塞\ При этом мы можем уничтожить в разложении (94.18) первый член, направленный по касательной плоскости Ат в точке 力 если положим:

Г% W + ^5 = 0, т. е. d^ = ~r^du^ (94.19)

Мы заменили здесь Гар через Гра по свойству римановой связ

ности. Что же касается второго члена, направленного по нормаль

ной плоскости Вп-т，то мы не в состоянии его как-либо варьировать, так как он d? не содержит. Поэтому наилучшего возможного

результата в смысле малости 。三 мы добиваемся, уничтожая его касательную составляющую, т. е. перенося вектор 自 из точки f в точку I -\-dt согласно (94.19). Но это есть параллельное перенесение согласно римановой Связности на Vm.

Таким образом, параллельное перенесение вектора 三 в римановом пространстве Vm при вложении VM в Rn в качестве поверхности получает следующее геометрическое истолкование: с точки зрения объемлющего пространства Rn вектор 自 переносится так, чтобы касательная составляющая d& все время была равна нулю、 т. е. чтобы d^ был нормален к Vmi d三丄厶加 Как мы только что видели, для вектора |, касательного к поверхности Vmt этот способ перенесения есть наилучшее приближение к идеальному

случаю, когда переносимый вектор просто не меняется. Тем самым

в римановом пространствев римановом пространствевведенное нами параллельное перенесение

в римановом пространстве

в римановом пространстве

получает дополнительное геометрическое обоснование.

Как побочный результат получается следующая теорема. При любом способе вложения данного Vm в Rn перенесение касательного вектора 三 по полученной поверхности с соблюдением условия d^J_Am всегда имеет один и тот же смысл, так как совпадает с параллельным перенесением согласно римановой связности на 乙.

ГЛАВА VIII

АППАРАТ АБСОЛЮТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

В пространстве аффинной связности Лл) в частности, в римановом пространстве Vn, естественным путем возникает аппарат абсолютного дифференцирования. Смысл его заключается в следующем. Желая исследовать какое-нибудь тензорное поле, например, U£im〈M、、в бесконечно малой окрестности данной точки Af, мы рассматриваем, как обычно, полные дифференциалы dU^ltn функций U^ltn (х1, . . . , хц). Однако эти дифференциалы уже не образуют тензора и преобразуются по более сложному закону с участием самих U^ltn. Это мешает выявлению инвариантных результатов и не позволяет пользоваться аппаратом тензорной алгебры. Делу можно помочь тем, что, прежде чем вычислять дифференциалы dU^ltn, мы параллельно переносим тензор поля иЦт (Mf) из бесконечно близкой точки АГ в данную точку М и уже после этого вычитаем из него тензор ^^1т в данной точке. Главная линейная часть полученной разности и будет абсолютным дифференциалом OU，% тензора U必巾 Это будет снова тензор того же строения, как и t7^m. Что касается параллельного перенесения тензоров, то оно легко определяется на основе параллельного перенесения векторов, как будет показано в ближайшем параграфе.

Тензорная алгебра, дополненная аппаратом абсолютного дифференцирования, образует тензорный анализ.

§ 95. Параллельное перенесение тензоров в 丄％

Пусть пространство аффинной связности Ln отнесено к координатной системе %', и пусть в некоторой точке М задан тензор, например, UJ. Мы знаем, что координаты этого тензора относительно координатной системы х1 можно рассматривать в то же время и как его координаты относительно локального репера {М, еь …，е7} в касательном пространстве Ап в точке М (§ 82).

Зададимся в Ап аффинным репером {附，^,…，自“ }, где ^,... , g“ суть п произвольных линейно независимых векторов. Если координаты вектора g片 обозначить 兔，то, очевидно,

自力=三亚力(95.1)

так как координаты вектора 自左 в координатной системе хг суть в то же время его координаты относительно соответствующего локального репера (§ 82).

Вообще при переходе от одного аффинного репера к другому тензор U% преобразуется по закону

и鳳, = *4М，&},и 队(95.2)

причем

ег —А^е^(95.3)

Мы хотим в записи закона преобразования ограничиться лишь матрицей %, и не прибегать к обратной матрице Xf. Для этого умножаем соотношение (95.2) почленно на А&А, и производим суммирование по 尸* /. В правой части получим:

碑川=4，晔4?=%，

так что

4沁”偽=^.A[,AM =4”器勿版

и окончательно, меняя для симметрии обозначения индексов суммирования Г, jr на получим:

縹Т，竇爲=《，К，и器. (95.4)

В результате закон преобразования (95.2) записан с участием лишь одной матрицы 4%$ зато в виде, не разрешенном ни относительно старых, ни относительно новых координат тензора. Ясно, что, обратно, соотношения (95.4) влекут за собой (95.2); чтобы убедиться в этом, достаточно умножить (95.4) почленно на 4^4, и произвести в левой части свертывание по р, q.

Для примера мы взяли тензор, два раза ковариантный и два раза контравариантный; но запись (95.4) применяется очевидным образом и для тензора произвольного строения： в левой части пишется по одному множителю вида 4% для каждого верхнего, а в правой——для каждого нижнего индекса.

Возвращаясь к нашей задаче, обозначим через 6?? координаты тензора UJ относительно репера {附，自工，...,|n}. Когда мы переходим к этому реперу от локального репера {М, ех, ... , еп}

15 п. к.

Рашевский

согласно (95.1), роль матрицы %, играет матрица ±£. Поэтому закон преобразования (95.4) принимает вид

誰4"毋=攀沙%.(95.5)

Так связаны координаты тензора Uj^ в координатной системе хс с его координатами U堆 относительно произвольного репера { М,三1， . . . , ^„ } в касательном пространстве Ап.

Допустим, теперь, что векторы этого репера параллельно переносятся, в то время как. точка М описывает некоторый путь в Ln. Мы будем, говорить, что тензор U乳 параллельно переносится вдоль данного пути, если он задается в каждой точке этого пути и притом так, что его координаты 0}^ относительно параллельно переносимого репера сохраняют постоянные значения:

= const.(95.6)

Это определение параллельного перенесения тензора не зависит от выбора параллельно переносимого репера {714,瓦，...,飢}. В самом деле, пусть {714,三” 三紋}——другой репер, параллельно переносимый вдоль того же пути в Ln. Разлагая векторы 三尸 по векторам 三介

晶=Ali^i>

мы замечаем, что & остаются постоянными, так как в процессе параллельного перенесения линейные зависимости между векторами сохраняются (§ 89). Поэтому, записывая закон преобразования (95.2), убеждаемся, что ⑦装 остаются постоянными вместе с 0普 и 4，, т. е. наш тензор имеет постоянные (хотя и различные) координаты относительно любого параллельно переносимого вдоль данного пути репера.

Таким образом, определенное нами параллельное перенесение тензора совершается вдоль данного пути строго единственным образом. В частности, если в данной точке тензор был равен нулю, то в результате параллельного перенесения он, очевидно, остается равным нулю.

Теперь выясним, как записать закон параллельного перенесения тензора, заданного своими координатами U& относительно координатной системы х\ Для этой цели дифференцируем почленно соотношение (95,5) вдоль рассматриваемого пути, учитывая постоянство U^. Получим:

嗚羽爾+ ^喝改』阕自出徐+ ^延丝盅+旣弟d0％. (95.7)

Так как все векторы репера переносятся параллельно, то

(95.8)(95.8)喝=—Г牖3.

(95.8)

(95.8)

Прежде чем вставлять это выражение для d^p вПрежде чем вставлять это выражение для d^p вформулу, можно сделать предположение,формулу, можно сделать предположение,предыдущуюпредыдущуюсильносильновыкладку. Предположим, что { М 自 1，…，1п} выбран так, в данный момент производится с локальным репером {Му еп . лельном перенесении тензора эвыкладку. Предположим, что { М 自 1，…，1п} выбран так, в данный момент производится с локальным репером {Му еп . лельном перенесении тензора эупрощающееупрощающеепараллельно переносимый репер что 8 той точке пути, в которой дифференцирование, он совпадает .,ел }. Мн знаем, что на па рал- 'о не отразится. Тогда 8 даннойпараллельно переносимый репер что 8 той точке пути, в которой дифференцирование, он совпадает .,ел }. Мн знаем, что на па рал- 'о не отразится. Тогда 8 даннойточке 8 силу совпадения реперов мы имеем 力乂 = U£; как видно из (95.1),笈=6* и (95.8) принимает видточке 8 силу совпадения реперов мы имеем 力乂 = U£; как видно из (95.1),笈=6* и (95.8) принимает видкроме того,кроме того,

Прежде чем вставлять это выражение для d^p в

Прежде чем вставлять это выражение для d^p в

формулу, можно сделать предположение,

формулу, можно сделать предположение,

предыдущую

предыдущую

сильно

сильно

выкладку. Предположим, что { М 自 1，…，1п} выбран так, в данный момент производится с локальным репером {Му еп . лельном перенесении тензора э

выкладку. Предположим, что { М 自 1，…，1п} выбран так, в данный момент производится с локальным репером {Му еп . лельном перенесении тензора э

упрощающее

упрощающее

параллельно переносимый репер что 8 той точке пути, в которой дифференцирование, он совпадает .,ел }. Мн знаем, что на па рал- 'о не отразится. Тогда 8 данной

параллельно переносимый репер что 8 той точке пути, в которой дифференцирование, он совпадает .,ел }. Мн знаем, что на па рал- 'о не отразится. Тогда 8 данной

точке 8 силу совпадения реперов мы имеем 力乂 = U£; как видно из (95.1),笈=6* и (95.8) принимает вид

точке 8 силу совпадения реперов мы имеем 力乂 = U£; как видно из (95.1),笈=6* и (95.8) принимает вид

кроме того,

кроме того,

(95.9)(95.9)嗚= —%рЗ

(95.9)

(95.9)

Аналогичные упрощения за счет 己幺=5£ произойдут и в (95.7), так что (учитывая。幺=U&) получим:

d^ ^ +成彳0圾=朮⑷总+礙明+ </0总

Заменяем здесь 鸣，и т. д. согласно (95.9). Это дает нам

一 rip dxkUP>- Г^ dx^U履=一 Г^ dx^U% — ГХ dMu4“ + d以

Выражая отсюда dU弘 вынося dxk за скобку и обозначая все индексы суммирования (кроме k) через р, получим окончательно: d% = {-14。期一 ％殲十「&哪 + WP } dxt (95.10)

Мы получили дифференциалы координат параллельно переносимого вдоль данного пути тензора U/喜 выраженные через сами координаты этого тензора и, конечно, через дифференциалы координат точки и объект связности. Координаты тензора берутся теперь относительно лишь координатной системы f (т. е. локального репера); параллельно переносимый репер сыграл свою роль и больше ни в чем не участвует.

Запутанность полученной формулы лишь кажущаяся; в действительности она составлена строго закономерно и по простой схеме. А именно, каждому верхнему индексу тензора (например, /) в правой части формулы отвечает определенный член (в данном случае первый), составленный следующим образом: данный индекс переходит на объект связности, причем на освободившееся место ставится индекс суммирования (в данном случае р), который свертывается со вторым индексом внизу у объекта связности. Остальные индексы у тензора переписываются без изменения. Первый индекс у объекта связности (в нашем случае k) всегда свертывается с дифферен-

циалами координат точки. Все выражение берется с обратным знаком. В нашем примере тензор имеет два верхних индекса, и в правой части формулы мы получаем два отвечающих им по этому правилу члена. Но весь проделанный нами вывод дословно повторяется и для тензора с любым числом индексов наверху, причем в правой части формулы появляются составленные по указанному правилу члены по одному для каждого индекса.

Для каждого нижнего индекса (например, г) в правой части формулы также имеется соответствующий член (в данном случае третий), составленный по несколько иному правилу. Данный индекс переходит на объект связности на второе место внизу; на освободившееся место ставится индекс суммирования (в нашем случае р), который свертывается с верхним индексом объекта связности. Остальные индексы у тензора переписываются без изменения. Первый индекс у объекта связности по-прежнему свертывается с дифференциалами координат точки. Все выражение берется со своим знаком. В нашем случае мы имеем в правой части два члена такого типа соответственно двум нижним индексам. Но весь вывод повторяется и при любом числе нижних индексов. Поэтому на (95.10) нужно смотреть как на схему записи дифференциалов координат любого параллельно переносимого тензора.

Эта схема станет более отчетливой, если выделить два основных случая: когда параллельно переносимый тензор один раз контравариантный (U) и когда он один раз ковариантный (UJ. В первом случае в правой части формулы (95.10) мы помещаем лишь один член, отвечающий индексу，：

dUi = —FhpUPdx 上 (95.11)

Мы, как и следовало ожидать, вернулись к формуле параллельного перенесения вектора U1.

Во втором случае в правой части формулы (95.10) нужно поместить лишь один член, отвечающий нижнему индексу г：

dUr = Г^гир dx*. (95.12)

Такова формула параллельного перенесения один раз ковариантного тензора (ковектора). Если теперь вернуться к общей схеме (95.10), то можно сказать, что для каждого верхнего индекса параллельно переносимого тензора 8 правой части формулы составляется член согласно (95.11), а для каждого нижнего индекса—согласно (95.12), 8 обоих случаях так, как если бы данной индекс был единственным; при этом нужно лишь приписывать каждый раз остальные индексы без каких-либо изменений по сравнению с левой частью.

Таким образом, в общем случае формула (95.10) будет иметь вид

d。；* 二今={-協0旣.•.今一

—丄 hpUy…——丄々pUq%.. 十丄 kr^prz. ..

+「2~0；%，二力 + …+Г队。*二％} d炉.(95.13)

В частности, когда тензор лишен индексов, т. е. представляет собой просто инвариант U, в правой части не будет ни одного члена, и формула принимает вид

dU=0, т. е.

U = const.

Параллельное перенесение инварианта, как и следовало ожидать, сохраняет его численное значение.

§ 96. Абсолютный дифференциал и абсолютная производная

Пусть точка Ж в пространстве аффинной связности Ln пробегает некоторый путь

W = W ⑺,(96.1)

причем в каждой точке этого пути задан тензор определенного строения, например %:

峭=“{(/).(96.2)

Другими словами, нам задано тензорное поле, по крайней мере, вдоль данного пути. Как обычно, функциональные зависимости предполагаются непрерывно дифференцируемыми.

Переходя из данной точки пути f в его бесконечно близкую точку f + df, мы находим в ней тензор поля с координатами

u^ + dD^uKg + dU% ⑺.(96.3)

Здесь мы пренебрегли бесконечно малыми высшего порядка относительно df, заменив приращения функций U幺«) их дифференциалами. С той же степенью точности мы будем вести выкладку и далее. Однако, желая оценить, насколько изменился тензор поля U幺(')при переходе из точки / в точку / + rf/, мы не должны ориентироваться на дифференциалы его координат dU^ (/). В самом деле, U% и U^ + dU^—это тензоры, заданные в разных точках, именно

в точках / и / + dt^ а значит, отнесенные к разным локальным реперам. При преобразовании координатной системы х1 эти локальные реперы испытывают преобразование вида (82.11):

где матрицы —^ вычислены в разных точках и, следовательно, дх1

являются различными. Поэтому не имеет смысла сравнивать между собой тензоры U幺(力 и U$g(£ +出)， отнесенные к различным и различно преобразующимся реперам. Другое дело, если мы предварительно перенесем параллельно тензор U^(i-\-di) в ту же точку /, в которой задан тензор Sg ⑺.Тогда оба тензора будут заданы в общей точке /, а значит, отнесены к общему локальному реперу. Вычитание из первого тензора второго будет иметь инвариантный смысл и даст нам снова тензор в точке i. Главную линейную часть этого тензора мы и назовем абсолютным дифференциалом QU幺⑴ тензора U幺⑺. Проделаем соответствующие выкладки.

Обозначим через 立幺 тензор Z7^ (/ + di), параллельно перенесенный из точки t-\-di в точку /. Это значит, что, обратно, U^(t-\-dt) получается параллельным перенесением 研! из точки / в точку t-\~dt. Пользуясь формулой (95.10), можно записать:

U^i + di)^

Q如+ { 一 ％以一 ％改+ Г分吸+ Г%如} dd.(96.4)

Мн поставили знак приближенного равенства, так как формула (95.10) дает нам лишь дифференциалы, а не приращения координат параллельно переносимого тензора, так что в равенстве допускается ошибка на бесконечно малые высшего порядка.

Как видно из (96.4), 立幺 отличается от U^(i +£?/), а следовательно, и от Sg(f), на бесконечно малую величину. Поэтому с принятой степенью точности можно заменить в фигурной скобке 6幺 через U/!(力. Действительно, фигурные скобки множатся еще на dx^, так что ошибка получается бесконечно малой высшего порядка. По той же причине можно заменить U幺(力 + d力 через иЩ±)十 dU幺⑺.Выражая теперь 0玄 из (96.4), получаем

+ {IV加⑺+儿哪(/)-r*%!⑴一牛明⑺} dx\ (96.5)

Мы называем абсолютным (ковариантным) дифференциалом QU幺(/) главную линейную часть разности 齿£——U幺(/) между тензором U您(/ + df), параллельно перенесенным из точки t -\-dt в точку 厶 口 тензором U，*f).

Очевидно, DU幺 совпадает с тем выражением, которое в правой части (96.5) добавляется к U幺(/). Действительно, из (96.5) видно, что это выражение лишь на бесконечно малую высшего порядка отличается от разности U,g — U幺(/) (т. е. составляет главную часть этой разности) и в то же время линейно зависит от dt (вместе с dU幺(/) и dxk (/)). Итак,

DU以⑴=dU或⑴+

+ {ПР^(0 + 乩嘴(/) —「斗嗯(/)—r2s。％ (/)} 〃*• (96.6) Совершенно аналогично мы приходим к формуле абсолютного дифференциала и в случае самого общего тензора:

—…Ги 十 1丄 kp^r^g. . .Гу

[「‘2 f I’iP • • • 'и [[ 「包[]i*〃 . . . Р 「Р Л 7^1^а ■ • • ^м .

十丄 kp^r^z，. .г0~Г • - •十丄 kpuг±гг. . ,Гу —丄 kr^pr^. . .rv '

一乩3會：:一...一FM〃左二%}(96.7)

Здесь L/^.7.^ — тензорное поле, заданное, по крайней мере, вдоль рассматриваемого пути. При выводе нужно воспользоваться конечно, вместо формулы параллельного пересечения (95.10) общей формулой (95.13).

Таким образом, абсолютный дифференциал тензора (тоже тензор) имеет координаты, которые вычисляются следующим образом: берутся дифференциалы координат данного тензора и к ним приписываются дополнительные члены с участием объекта связности, по одному для каждого индекса тензора. Закон составления этих членов ясен из формулы (96.7).

Впрочем, он был описан и словесно в предыдущем параграфе в связи с формулой параллельного перенесения тензора. Это описание вполне применимо и теперь, лишь с изменением знаков всех членов на обратные.

В частном случае, когда тензор U лишен индексов и является просто инвариантом, так что вдоль пути задано скалярное поле U (/), дополнительные члены в (96.7) отсутствуют, и абсолютный дифференциал совпадает с обыкновенным:

DU(t) = dU(t).(96.8)

Для тензора, один раз контравариантного, формула (96.7) принимает

ВИД

0U『⑺=dUp) + Г%и 尸(f) dd.(96.9)

Аналогичным образом для тензора, один раз ковариантного:

DUr (f) N dUr ⑺ —r台 Up(/) dd.(96.10>

Можно сказать, что в общем случае формулы (96.7) для каждого верхнего индекса составляется дополнительный член по образцу (96.9) и для каждого нижнего —по образцу (96.10), причем каждый раз все остальные индексы тензора переписываются без изменений.

Параллельное перенесение векторов, а следовательно, и тензоров, имеющее место в пространстве аффинной связности £相,обладает инвариантностью относительно выбора координатной системы. Поэтому наше построение абсолютного дифференциала QU；；：；% проведенное с помощью параллельного перенесения тензоров, также обладает инвариантностью, т. е. приводит всегда к одному и тому же тензору, независимо от той координатной системы х\ в которой проводились выкладки.

Но для желающих можно проверить этот факт и прямым подсчетом, исходя непосредственно из формулы (96.7).

Mw хотим показать, что величины DU^/.^ составленное по формуле (96.7), преобразуются по тензорному закону при переходе от координатной системы х1 к х1 .

Для этой цели запишем закон преобразования тензора U；：二匚^:

г /Ь^а • • • *иy/2*…”г /Ь^а • • • *иy/2*…”dx" дх12дх » дх2dx" дх12дх » дх2吟经亚…迫必3…& (96.11)吟经亚…迫必3…& (96.11)

г /Ь^а • • • *иy/2*…”

г /Ь^а • • • *иy/2*…”

dx" дх12

дх » дх2

dx" дх12

дх » дх2

吟经亚…迫必3…& (96.11)

吟经亚…迫必3…& (96.11)

Мы пишем закон преобразования для перехода от штрихованных координат к нештрихованным, что ничего не меняет по существу, а для выкладки будет удобнее.

Составим теперь 0U；；；：二今 по формуле (96.7), причем вычисляем дифференциал dU；*：二&, используя выражение (96.11).

Все полученные при этом члены разобьем на три группы. Во-первых, запишем член, полученный при дифференцировании множителя g в (96.11):

夕...迎 dU；；…3・(96.12)

Во-вторых, для каждого верхнего индекса, например, £〔, мы выделяем член, полученный дифференцированием соответствующего множителя в (96.11), в данном случае ―— , причем этот член объеди

няем с дополнительным членом в (96.7), отвечающим этому же индексу. Получим для %:

—и'；，…3 + г%%二吵。3(96.13)

и аналогично для каждого верхнего индекса. В-третьих, поступая совершенно так же и с нижними индексами, получаем, например, для J, выражение

…乌 u，： :，-Г鼠*二*(96.14)

и аналогично для каждого нижнего индекса. Очевидно, выражение (96.12), сложенное с выражениями (96.13) для всех верхних индексов и с выражениями (96.14) для всех нижних индексов, дает нам DU1^'/^. Теперь мы должны заняться преобразованием выражений (96.13) и (96.14), пользуясь законом преобразования Г务.В этом и будет заключаться принципиальная часть нашей выкладки.

Перепишем (96.13), заменяя в первом члене d— через дх11

期ьdxk , Ь^

― dx , а во втором члене ах через ах . Кроме того,

dJ】dW。屮

заменяем。彳二今 по формуле (96.11), причем индекс суммирования 2； в первом множителе обозначаем р'. Получим:

Пользуясь теперь законом преобразования Г方 в виде (89.7), мы заменяем скобку выражением Г \k, —г, и окончательно (96.13) принимает вид

吧 2(96.15)

дх 1 дх 2 дх у '

Аналогичным образом преобразуем выражение (96.14), заменяя

,dJi/Ji,

d через — ах , обозначая индекс суммирования г черезр

dx 10好，6炉

и выражая U；二丿：согласно (96.11). Получим:

Множители перед скобкой те же, что и в (96.11), с пропуском лишь ——-.Пользуясь законом преобразования Г, в форме (89.8), мы иdxkf дх1

можем заменить скобку через ——1 詳，——,после чего получаем

окончательно:

дх 1 дх

Здесь dxk， появился в результате объединения множителей dxk и ―-с последующим суммированием по 々. Множители перед ， теперь те же, что и в (96.11), так как имевшийся пробел заполнен множителем 戸-.По самому ходу нашей выкладки выражение (96.12), выражения (96.15) для каждого верхнего индекса и выражения (96.16) для каждого нижнего индекса дают те слагаемые, на которые распался QU；；：二;)С другой стороны, вынося за скобки общие во всех этих выражениях множители —— . . ., мы полу,,дх1 дхе

чаем в скобках, составленный в точности по формуле

(только все индексы штрихованные). В результате

D咏二^ =吟…迎 DU5 …3.(96.17)

Это значит, что тензорный закон преобразования (96.11) в точности переносится и на абсолютный дифференциал рассматриваемого тензора. Абсолютный дифференциал тензора представляет собой, таким образом, тензор того же строения.

Мы рассматривали до сих пор тензорное поле, заданное вдоль некоторого пути, и абсолютный дифференциал DU；；：二^ брали вдоль этого пути. Если тензорное поле задано во всем пространстве или, по крайней мере, в некоторой д-мерной его области, то абсолютный дифференциал тензора можно брать вдоль любого пути в этой области. При этом, так как координаты тензора в данной координатной системе будут функциями точки

院.：* =项二%(*',…，X"),(96.18)

ТО

初；% =警寿川(96.19)

и основная формула (96.7) принимает вид

DU；：：二^ =弘丈二 * dx\(96.20)

где через VQ；；% обозначены коэффициенты при dxk в правой части (96.7) после подстановки туда dU；：：：J： из (96.19):

W:::: * =青次:堂 + ? 2咸:;二次 + …+ 信第;.:工一

一Г凱u0；二*--Г乳次；；%.(96.21)

Эти коэффициенты образуют тензор, имеющий один дополнительный ковариантный индекс сравнительно с тензором U；；二% (индекс дифференцирования /г). В самом деле, вставим в (96.17) разложение абсолютного дифференциала (96.20)) как в старой, так и в новой координатной системе. Получим:

v№： ： =吟...经弘,»…3 dxk，.

Вставим в правую часть ——-• ах вместо ах и сравним коэффициенты при dxk в левой и правой частях. Так как dx сейчас у нас произвольны, то равенство должно удовлетворяться тождественно относительно dx* и эти коэффициенты должны быть равны. Получаем:

vX：::^vX：::^処办,£••%丝.処办,£••%丝.(96.22)(96.22)

vX：::^

vX：::^

処办,£••%丝.

処办,£••%丝.

(96.22)

(96.22)

Легко заметить, что для V尼U；；：：：；： имеет место тензорный закон преобразования при контравариантных индексах &,，九 н ковариантных индексах к> q rv. Тензор V^U；；：：：；^ называется абсолютной (или ковариантной) производной тензора U；；：；： Впрочем, мы иногда будем называть абсолютными производными и отдельные координаты тензора V^S：：：：；^・ Очевидно, абсолютные производные тензора U；：：二;:играют по отношению к его абсолютному дифференциалу ту же роль, как обыкновенные частные производные по отношению к обыкновенному полному дифференциалу.

Рассмотрим частные случаи. Если нам дано скалярное поле U(х1, ..., хп) (тензор лишен индексов), то в (96.21) дополнительные члены отсутствуют, и мы получаем абсолютную производную

(96.23)

Конечно, легко проверить и непосредственно, что —т образуют один dxk

раз ковариантный тензор. Такой тензор мы будем называть градиен

том скалярного поля U.

Далее, пусть дано поле один раз контравариантного тензора U；

Тогда

办0'=翌+'卢'，(96.24)

дхк

абсолютная производная представляет собой тензор, один раз ковариантный и один раз контравариантный.

Наконец пусть дано поле одноковариантного тензора Ur, Тогда

тензор. Если тензор Ur—гра-тензор. Если тензор Ur—гра-%и 产堂一£%Up.(96.25)

тензор. Если тензор Ur—гра-

тензор. Если тензор Ur—гра-

Мы получаем два раза ковариантный диент, 5 =胃卩=瑞,то получаем:

(96.26)(96.26)

(96.26)

(96.26)

Если пространство аффинной связности Ln является просто аффинным пространством Ап (в частности, евклидовым пространством R^, то 8 аффинной координатной системе все Г*务=0, дополнительные члены в формулах (96.7), (96.21) пропадают, и мы имеем:

DUi'—^dU^.：%(96.27)

▽№：：* =糸切二之(96.28)

Другими словами, абсолютный дифференциал тензора совпадает с обыкновенным дифференциалом, а абсолютные производные —— с обыкновенными частными производными. В частности, пусть нам задано вдоль кривой х1 = х1 (/) поле тензора ^ (/), а следовательно, и векторное поле 三(f) = F(f)e「 Тогда абсолютный дифференциал отвечает вектору

^V⑺e:=眼⑺e, = d日⑺e,.) =倉⑺.

Таким образом, абсолютное дифференцирование тензора 三‘ означает дифференцирование соответствующего вектора 三 8 прямом геометрическом смысле этого слова-.

若(，)=门，)出，гдe 门，)= lim 券%

Д/-> 0 暮

Результат был выведен в аффинных координатах в Ап {или в RJ, но в силу тензорного характера абсолютного дифференциала 力己‘ он дает координаты того же вектора d& н в любой криволинейной системе координат (в локальном репере, § 76).

Не нужно забывать, что упрощенные формулы (96.27), (96.28) верны лишь в аффинных координатах. Если рассматривать аффинное пространство Дл 8 криволинейных координатах^ то приходится пользоваться общими формулами (96.7), (96.21), так как Г方 отличны от нуля.

§ 97. Техника абсолютного дифференцирования

Чтобы свободно обращаться с операцией абсолютного дифференцирования, мы должны установить правила, по которым она комбинируется с операциями тензорной алгебры. Другими словами, мы должны дать правила, по которым мы сможем находить абсолютные дифференциалы от суммы тензоров, от произведения тензоров и от свернутого тензора. Говоря о тензорах, мы имеем в виду тензорные поля, заданные, по крайней мере, вдоль того пути, по которому берется абсолютный дифференциал.

Пусть тензор 耽;:二;: представляет собой сумму двух или нескольких тензоров того же строения

酰;：：*=5；：：*+%；*.(97.1)

Тогда

。既;二* = OS；: ：* + DU：： • • 2•(97.2)

Действительно, выпишем формулу (96.7) для тензора U；：：：：；J； и

совершенно такую же формулу для тензора Р；；：：：；：：

ои；;・*=*：* + {1% 啸.・.％ + ...-Г 外爲・.•*-…}加，

оу[\-^ау1г\-.-：^-\- {*.唄;;.・.％+ .. .-IXM；;.・.・.•；：一 ...}dxk.

Складываем эти формулы почленно, объединяя соответствующие члены их правых частей и заменяя везде сумму тензоров U н У через W согласно (97.1). Кроме того, учитываем, что

W；： ：% + ”，；：：：" а*%・

В результате в правой части мы получаем для W в точности такое же выражение, какие были выписаны для U н V, т. е. DW1；—.^. Итак,

DU；；::少 +0%：：* =0^：：：1^,

а это нам и требовалось доказать. Мы приходим к правилу дифференцирования суммы тензоров:

D(U^：^+V^：；^=DU^^(97.3)

Пусть теперь тензор 毗;二：黑:二：§ представляет собой произведение двух тензоров:

1рХ1 • ■ ■ ^u/i • • ■ /я /"户1 ♦ • • % I//1 ■ • • /х/07 Л \

Тогда

DW^ — 1^—^ = DU^：：^.V^：；^+ S；：：力。吸:二勺.(97.5)

Др^^гими словами, абсолютный дифференциал произведения тензоров получается по обычному правилу: абсолютный дифференциал первого множителя, умноженный на второй множитель, плюс первый множитель, умноженный на абсолютный дифференциал второго. При этом сунеся вен именно такой порядок перемножения. В формуле он обеспечен расстановкой индексов (в каком же порядке перемножать координаты тензоров, например, DU；二二 и М「二，конечно, безразлично).

Переходим к выводу формулы (97.5). Запишем развернутое выражение абсолютного дифференциала в ее левой части. В него войдет прежде всего обыкновенный дифференциал

d В； % = dU" l；匕；：•名十 S； )：dM；；£,(97⑹

а затем дополнительные члены, по одному для каждого индекса. Объединим первый член правой части (97.6) с теми дополнительными членами^ которые отвечают индексам zT ... /а> гт ...尸皆,т. е. индексам, 《снятым》с первого множителя. Эти дополнительные члены будут составлены по схеме (96.7). Получим:

心；.:；％：;£ +

丄/「厶 11ТР『2 • ♦ ♦几/i ♦ •，Zs 丄 「卩 TFX1G ■ ■ • ^u/1 • • • /в \ ,J i，fe

Г V1 ftp W ^r2. . .AySi- . .Sy ~r • • • — 1 A<i Wpr2 . . .AySi ■■ .Sy —ax .

Члены в скобке составлены по очереди для индексов 人，…，〃， Гц ,尸皆,так что индексы & .…，厶,su - ■ • > sy во всех случаях переписываются без изменения. Заменяя W произведением Z7 на У согласно (97.4) и вынося за скобку общий для всех членов множитель %:二：§, получим:

{dd：：：U + T爲и吃：：：& + •. .-т%и急：：；;一…)dx\ 吆二或.

Но в фигурной скобке стоит, очевидно, DU；；二力，так что мы получаем первый член правой части в (97.5).

Совершенно аналогично, объединяя второй член правой части (97.6) с теми дополнительными членами^ которые отвечают индексам д, . . . , /], 5Т, . . . , 5у, мы получим второй член правой части (97.5). Этим формула (97.5) доказана.

Абсолютный дифференциал произведения любого числа тензоров вычисляется следующим образом: множители этого произведения поочередно заменяются своими абсолютными дифференциалами с сохранением прежнего места в произведении, и полученные результаты складываются. Это легко доказать, переходя от N к N-\-\ (где ^—число множителей в произведении) путем применения формулы (97.5).

Теперь переходим к абсолютному дифференцированию свернутого тензора. Рассмотрим тензор U；：二；；% полученный свертыванием тензора U；：%二今，например, по первому верхнему и первому нижнему индексам:

. .Г с —必「2 ..・3

Запись абсолютного дифференциала от свернутого тензора DU；；：：「j； является, в сущности, двусмысленной: неясно, произведено ли здесь сначала свертывание, а от результата взят абсолютный дифференциал, или сначала взят абсолютный дифференциал ZX7；；，二，\ а затем произведено свертывание по индексам %, & Мы покажем, однако, что оба истолкования приводят к одному и тому же выражению^ т. е. операция свертывания перестановочна с операцией абсолютного дифференцирования. В этом и будет заключаться наш результат.

Начнем с вычисления QU；；；：；% истолкованного во втором смысле. Тогда мы должны положить в формуле (96.7) i*= r* = s н по s произвести суммирование. Покажем, что при этом в правой части взаимно уничтожатся дополнительные члены, отвечающие индексам & и г】.В самом деле, эти члены суть

gpU旣:+。一戰#点:，：)dx\

а после того как мы положим гг = 5, они примут вид

G山僚.「:一此0設；^) dx\

т. е. взаимно уничтожаются, так как в скобке уменьшаемое равно вычитаемому (разница только в обозначениях индексов суммирования: 〃 вместо s, и наоборот).

В результате формула (96.7) принимает вид

00片.2 = dU；；；*+{li2M：*+ ••• +1^喝:二工一 一*喝二* 一…—Г机电二：%} 3.

В левой части мы произвели свертывание в абсолютном дифференциале DU*&二::w Присмотревшись же к правой части, мы замечаем, что она представляет собой абсолютный дифференциал от свернутого тензора U；；；二составленный по общей схеме (96.7). При этом индекс s, конечно, в счет не идет — по нему произведено суммирование—и индексами здесь служат лишь 厶，…，九；「2，…，rv Им как раз и отвечают сохранившиеся дополнительные члены. Итак, полученное равенство можно переписать в виде

DU：T「，』D(U之二力(97.7)

где в левой части свертывание производится после дифференцирования, а в правой —до дифференцирования, что отмечено скобкой. Итак, оба истолкования записи О；%：：丿片 имеют по существу один 〃 тот 冗е смысл. А это мы и хотели установить.

В технике абсолютного дифференцирования этот результат находит наибольшие применения в случае свертывания между собой двух или нескольких тензоров. Пусть, например, требуется найти D{ai^'^)^ где а〃、自尸，刀，——некоторые тензорные поля. Абсолютный дифференциал берется здесь от выражения «*限，которое нужно понимать, как произведение наших тензоров а^р^, свернутое затем по индексам / и р, / и ^, Но свертывание можно выполнить и после

абсолютного дифференцирования. В результате мы должны продифференцировать а/'Н как произведение тензоров, а затем выполнить свертывание. Получаем:

0(a话W) = дa,7)m唄十 %/ (成‘)唄+ %戸0唄. (97.8)

Таким образом, правило дифференцирования произведения тензоров формально сохраняете я и при наличии свертывания.

Заметим, что в левой части равенства, мы имеем (в нашем примере) абсолютный дифференциал от инварианта, так что с равным правом можем писать d(a/W)・

Полученные нами в этом параграфе правила абсолютного дифференцирования (97.3), (97.5), (97.7) автоматически переносятся и на абсолютные производные простой заменой знака D на знак Vk

Действительно, заменяя в любой из этих формул символы абсолютного дифференциала D через dxk\k согласно (96.20) и принимая во внимание, что дифференциалы d%总 совершенно произвольны, мы имеем право приравнять коэффициенты при dxk в правой и левой частях формулы, а это и означает замену символа D символом \k.

В заключение нужно вернуться к связи между параллельным перенесением и абсолютным дифференцированием. Мы начали с параллельного перенесения и на его основе установили абсолютное дифференцирование. Этот путь геометрически наиболее поучителен. Однако возможен обратный, хотя и весьма формальный, но зато короткий способ изложения, а именно, задавшись объектом связности Г^, можно определить абсолютный дифференциал непосредственно формулой (96.7), показать его тензорный характер (так, как это было у нас сделано), установить технику абсолютного дифференцирования, а затем определить параллельное перенесение тензора

* вдоль произвольного пути условием

0院："0. (97.9)

Или подробно: будем говорить, что тензор U；；二：；：，заданный в каждой точке некоторого пути, параллельно переносится вдоль него, если абсолютный дифференциал этого тензора при любом бесконечно малом смещении вдоль пути равен нулю.

Легко видеть, что это определение равносильно прежнему. Действительно, приравнивая нулю абсолютный дифференциал DU^\ \ ；J.^, записанный согласно (96.7), мы возвращаемся к формуле параллельного перенесения (95.13). Этого, конечно, и нужно было ожидать, так как абсолютный дифференциал есть главная линейная часть приращения тензора по сравнению со случаем его параллельного перенесения на данном бесконечно малом участке пути. Поэтому обращение

абсолютного дифференциала в нуль естественно означает параллельное перенесение тензора. В частности, приравнивая нулю Qg:

Dl^d^ + r^dx^

мы получаем формулу параллельного перенесения вектора: dg =

Формальная характеристика параллельного перенесения (97.9) удобна для разного рода выкладок. Так, например, легко можно получить теорему: при одновременном параллельном перенесении нескольких т-ензоров по данному пути параллельно переносятся и тензоры, полученные из них операциями тензорной алгебры.

(97.10)(97.10)В самом деле, пусть, например,

(97.10)

(97.10)

причем тензоры U, V параллельно переносятся вдоль данного пути. Это означает, что

QU夕=0,。吸=0.

Отсюда следует：

D (Up吸)-DU卜吸 + U＞。吸=0,

т. е. произведение тензоров U?V? тоже переносится параллельно. Аналогичным образом легко показать, что параллельно переносятся и суммы параллельно переносимых тензоров и тензоры, полученные их свертыванием.

Конечно, эти теоремы нетрудно получить и непосредственно из определения параллельного перенесения тензора (§ 95).

§ 98. Абсолютное дифференцирование в римановом пространстве Vn

Все сказанное в §§ 96, 97 справедливо, конечно и для связности F务 в римановом пространстве. Но при этом абсолютное дифференцирование приобретает и некоторые новые свойства. Прежде всего вычислим абсолютную производную от метрического тензора &$ по общей схеме (96.21):

Пользуясь (94.4), мн замечаем, что

V k^rs = °，V k^rs = °，(98.1)

V k^rs = °，

V k^rs = °，

Таким образом, абсолютная производная метрического тензора тождественно равна нулю. Тем самым тождественно равен нулю и

абсолютный дифференциал метрического тензора:

0当事=。，0当事=。，(98.2)

0当事=。，

0当事=。，

Рассмотрим теперь поле единичного тензора % считая, что в каждой точке Л4 и в любой координатной системе х( его координаты определены соотношениями

б/ = {б/ = {О (W)1 ('*).О (W)1 ('*).(98.3)(98.3)

б/ = {

б/ = {

О (W)

1 ('*).

О (W)

1 ('*).

(98.3)

(98.3)

Мы знаем, что, действительно, тензорный закон преобразования не меняет этих численных значений. Вычислим абсолютную производную этого тензора:

弘学=^学+联碎一联用

Частная производная от константы 6| дает нуль, а остальные член尸 в результате суммирования по р приводятся к виду

ГЦ・

Итак,

▽々* = 0, и тем самым。学=0.(98.4)

Этот результат верен, разумеется, не только в римановом пространстве V", но и в любом пространстве аффинной связности Ln.

Теперь покажем, что и для контравариантного метрического тензора g" абсолютный дифференциал тождественно равен нулю:

Qg"=0, или, что то же, v*"=0・(98.5)

Для доказательства запишем основное соотношение, выражающее, что матрицы &/ и g" взаимно обратные и при перемножении дают единичную матрицу:

gSgpj=*(98.6)

Берем почленно абсолютные дифференциалы (от левой части — как от произведения тензоров, выполняя свертывание по р после дифференцирования):

Dgip • g力 + gS ・Dgpj = 0s.

В силу (98.2) и (98.4) получаем:

0g'人多/=0，

т. е. тензор Dgip равен нулю после опускания индекса р; следовательно, он и сам равен нулю, и (98.5) доказано.

Пусть теперь в римановом пространстве заданы два тензорных поля, например, Vl'r's и У".；, причем первое получается из второго опусканием индекса г, а следовательно, второе из первого — его поднятием (см. (85*5), (85*6)):

片S = grpViP：s, 片,=gB 匕 s.(98.7)

Берем почленно абсолютные дифференциалы, причем правые части диффенцируются как произведения (с выполнением свертывания после дифференцирования):

0V& = (Og“d•仁十g，/>v” 0d工=(OgW) dps 十 gWDMps.

Так как

Dgrp = DgrP=O, то мы получаем:

DVl：r-s^grpDVlp；s, DV"” g*DV)ps.(98.8)

Формулы (98.8) показывают, что операции опускания и поднятия индексов перестановочны с операцией абсолютного дифференцирования.

Проверим еще при помощи абсолютного дифференцирования известный нам факт, что при одновременном параллельном перенесении векторов F, т/ по данному пути их скалярное произведение g^^ не меняется. Очевидно,

D (g/W = (Og〃) Е'т/ 4- g〃・(英')唄十 g君力唄=О,так как Dg“ всегда равен нулю, a D^^ D^ равны нулю в силупараллельного перенесения этих векторов. Абсолютный дифферен-циал от инварианта совпадает с обыкновенным, так что получаем:

d(g〃甘唄) = 0, т. е. g〃.Fr/= const,

что мы и хотели показать. Мы видим, что геометрический смысл соотношения Dg^ = 0—это неизменность скалярного произведения параллельно переносимых векторов.

Заметим, что в римановом пространстве нетрудно ввести основные понятия векторного анализа по аналогии с обычным пространством.

Так, каждому скалярному полю

ф -■— ф (%i) • • • ) х )

отвечает поле вектора-градиента

который можно задать и контравариантными координатами, подняв, индекс /:

Каждому векторному полю ?=日/，…，х")

отвечает дивергенция ——инвариантное скалярное поле ^^. Дивер* генция от градиента скалярного поля ф называется оператором Лапласа от ф：

Дф = V, (g"q>/) = g“ViV/p・

Все эти понятия, очевидно, принимают обычный вид, если рассматривать обычное пространство в прямоугольных координатах.

Сложнее обстоит дело с ротором векторного поля g, который в л-мерном случае приходится определить как бивектор'

где 駐一ковариантные координаты вектора g. Инвариантное истолкование этого бивектора как вектора т/ возможно лишь 6 трехмерном случае. Оно производится по формулам

причем мы ограничиваемся координатными системами некоторой данной ориентации.

Следует отметить еще, что в частном случае, когда риманово пространство является евклидовым, абсолютный дифференциал в криволинейных координатах выглядит по внешнему виду не проще, чем в общем случае риманова пространства. Его более простой характер выступает явно лишь при переходе к аффинным координатам. Тогда коэффициенты связности обращаются в нуль, дополнительные члены пропадают и абсолютное дифференцирование дает тот же результат, как и обыкновенное. Для любого тензора, например Z分，мы в этом случае имеем:

В главе I, рассматривая обычное евклидово пространство 8 прямоугольных координатах, мы вводили абсолютное дифференцирование именно этим путем. Все полученные там тензорные соотношения с участием абсолютных дифференциалов или производных имеют место и 8 любых криволинейных координатах^ если, разумеется, выполнять абсолютное дифференцирование так, как в этом случае полагается (с участием Г*/). Впрочем, при переходе к криволинейным координатам нужно произвести еще расстановку индексов у тензоров —— часть их поместить наверх, — в то время как в главе I мы все индексы писали внизу, пользуясь тем, что в ортонормированном репере в собственно евклидовом пространстве ко- и контравариантные индексы ведут себя одинаково.

§ 99. Кривые в римановом пространстве V„

В этом параграфе мы ограничимся такими свойствами кривых в римановом пространстве Уп, для которых существенно лишь параллельное перенесение векторов, а метрика не играет роли. Поэтому все сказанное будет справедливо и для кривых в пространстве аффинной связности Ln (только касательное пространство Ап не будет в этом случае евклидовым пространством RJ

Рассмотрим параметрически заданную кривую

%『=%『(£), а</<р,(99.1)

где а/ предполагаются л раз непрерывно дифференцируемыми функциями параметра, причем производные —ни в одной точке не обращаются в нуль одновременно. В каждой точке кривой составляем касательный вектор 自‘：

円/)= *)•(99.2)

Так как вдоль нашей кривой W) образуют тензорное поле, то в любой ее точке можно вычислить абсолютный дифференциал

D^^di,! + rUPdxk(99.3)

при бесконечно малом смещении из точки £ в точку t-\-dt. Разделив (99.3) на dt почленно, получаем:

零=雾十儿吟.(99.4)

Один раз контравариантныи тензор, в частности, ~~, всегда имеет истолкование в касательном евклидовом пространстве Rn в виде вектора. Вектор ■~мы будем называть производной вектора 鼻‘ по параметру Л От этого векторного поля можно в свою очередь

вычислить производную ——访,которую мы будем обозначать

, и т. д. Выпишем последовательность векторов

R (99.5)

в какой-нибудь точке Ж (/) на кривой.

Вообще говоря, эти п векторов будут в каждой точке линейно независимыми. Рассмотрим этот случай, который мы будем называть основным (кривая основного типа). Плоскость в касательном пространстве Rn、проходящая через точку М и построенная на первых р векторах (99.5), называется р-й соприкасающейся плоскостью R尸. В частности, первая соприкасающаяся плоскость R^ совпадает просто с касательной. Соприкасающиеся плоскости имеет смысл рассматривать, кончая R值—1：

RiU&u — • uRpURp+*u u&_d(99.6)

Действительно, Rn совпадает уже со всем касательным пространством.

На данной кривой параметр / можно выбирать по-разному, в зависимости от чего будут меняться векторы последовательности (99.5). Однако плоскости Rp последовательности (99.6) от этого меняться не будут, так что понятие соприкасающейся плоскости Rp носит инвариантный характер. В самом деле, можно утверждать, что при переходе к новому параметру т каждый вектор —詣亠 разлагается по первым р +1 векторам последовательности (99.5). Начнем с р = 0:

□Т)=给，日/)= *， откуда

У(т) = У(/)霜(99.7)

Заметим, что при наших предположениях относительно кривой и_

выбора параметра на ней т будет л раз непрерывно дифференцируемой функцией от /, равно как и обратно.

Берем почленно абсолютный дифференциал:

°¥(т) =纯•(/)黑 + 円/)0案.

Так как 武一величина на dt:Так как 武一величина на dt:скалярная, то Dскалярная, то D如一 石=如一 石=ddiddiДелим почленноДелим почленно

Так как 武一величина на dt:

Так как 武一величина на dt:

скалярная, то D

скалярная, то D

如一 石=

如一 石=

ddi

ddi

Делим почленно

Делим почленно

爵=甯需+日，)露 齡8)

Таким образом, F (т) разлагается по g (£) согласно (99.7);—詁」 разлагается по F «), Р§? согласно (99.8); продолжая дифференцировать почленно, мы докажем наше утверждение для любого р:

…+%忠⑺,…+%忠⑺,(99.9)(99.9)D空'(т) 一 “ 呷•《) j Df(f) I

…+%忠⑺,

…+%忠⑺,

(99.9)

(99.9)

dt? - PP df? 十а尸，?一i df戸7 十

где 口尸歹,ct尸，尸一1， .. . , ct尸，о — некоторые скалярные коэффициенты, строением которых мы не интересуемся. Чтобы сделать рассуждение совершенно строгим и в то же время не затруднять себя фактическим дифференцированием до произвольного порядка р, достаточно доказывать формулу (99.9) от /? к р+1・ Тогда, беря от (99.9) абсолютный дифференциал D почленно и деля результат на dt, £)尸+因(T)

легко убеждаемся, что —丸捻； разлагается по первым р + 2 векторам (99.5). Это значит, что формула (99.9) верна для номера °十1, если она верна для номера /?, а так как для /? = 0 (а также °=1) она уже проверена, то в результате она установлена при любом р. Разумеется, совершенно аналогичная формула имеет место и при обратном переходе от параметра т к параметру 九

Итак, векторы

D?(Т)。空'(A

* ⑺''~dr » • • ■ ■ > ~~(99.10)

разлагаются по векторам

W),等，…，喀2，(99.11)

равно как и обратно. Следовательно, плоскость Rp+1 будет в обоих случаях одна и та же, что мы и хотели показать.

В частности, при р = 〃一1 отсюда следует, что векторы (99.5), подсчитанные для нового параметра т, остаются линейно независи-

мыми, так что наше определение кривой основного типа инвариантно относительно выбора параметра /.

Рассмотрим теперь различные случаи уплощенной кривой ); так мы будем называть кривую, в каждой точке которой векторы (99.5) линейно зависимы. Нарушение линейной независимости в отдельных точках мы рассматривать не будем. Пусть при этом первые m среди них

?(/),(99.12)

D吧⑴ еще линейно независимы, а следующий за ними вектор ―^^ уже линейно зависит от предыдущих (в каждой точке кривой). Дифференцируя эту линейную зависимость, мы легко убеждаемся, что ке только —力大-,но и последующие производные линейно зависят от (99,12), т. е. лежат в соприкасающейся плоскости Rm. Поэтому соприкасающиеся, плоскости имеет смысл рассматривать лишь от R* до Rm: R'UR^u ... u/?m・ Число m может принимать различные значения от 1 до /г—1. Чем меньше т, тем сильнее «уплощение» кривой. При m — 1 «уплощение» наибольшее, и кривая, как мы вскоре увидим, является геодезической. При т = п «уплощение» исчезает, так как тогда векторы (99.5) линейно независимы, и мы возвращаемся к основному случаю.

Покажем, что максимально-мерная соприкасающаяся плоскость Rm параллельно переносится вдоль кривой, т. е. что ее векторы при параллельном перенесении вдоль кривой продолжают оставаться в этой плоскости (разумеется, в каждой точке кривой — своя пло= скость R^. Абсолютные дифференциалы векторов (99.12) имеют вид 阴叫喘dt,铸dt

и, следовательно, линейно зависят от самих этих векторов. Обозна， чая для краткости векторы (99.12) через 乳,^, ••* ,魏* мы можем записать:

八晶=(吗跳+磁乳+ ...+а片恥力g=1, 2,...,询，(99.13) где 叫一коэффициенты соответствующих разложений; 叫=叫(/). Составим косое произведение:

中，….5=3飞3金J(99.14)

и вычислим его абсолютный дифференциал

=。琳1 臂…詞+ 黑厶。皆...Е加 + ... + E『BV-.- да1- (99.15)

В первом слагаемом правой части заменяем 0J? его разложением согласно (99.13) (при р = 1). Учитывая, что при наличии одинаковых множителей косое произведение векторов обращается в нуль, мы можем сохранить в разложении QJ； лишь член с ^, т. е. а瑞 df.

В результате первое слагаемое принимает вид а{ ^Z，B22 • • • Bm*] • Поступая аналогичным образом с остальными слагаемыми в правой части (99.15), мы приводим это равенство к виду

QgiG…5 = (а； + 吗 + •十 唠)dt F也…％ = ct df 三他…6», (99.16) где мы обозначили для краткости

а = а}+а^ + .. . +«^.(99.17)

Соотношение (99.16) означает, что m-мерная плоскость RmJ построенная на векторах 自；,...,^, параллельно переносится вдоль нашей кривой.

В самом деле, 加-вектор 占厶‘…％* всегда можно пронормировать так, что его абсолютный дифференциал будет равен нулю. Для этого умножим (99.16) почленно на скалярную функцию

/八 -Га ^)dt

q)(f) = e J0.

Так как Dtp (^) = d^ (/) = — e~^a^di ос (/) dty то получаем:

ф (/) D^^ - ■— Dq) (/) В'、…

откуда

Q (屮(f)F…&⑴) = 0,(99.18)

так что m-вектор 屮(/)&*-•"*(/) параллельно перекосится вдоль &а・ weu кривой. ^

Пусть теперь 卄一вектор, также параллельно переносимый вдоль нашей кривой. Тогда альтернированное произведение

w3 .imi — ф.m厶...品可1(99.19)

будет также параллельно переносимым /п +1 -вектором. Отсюда следует, что если т『「 」т， равно нулю в одной точке кривой, то это же имеет место и в любой ее точке. Но обращение тр…£7* в нуль означает согласно (35.13) линейную зависимость вектора ^ от век-

торов 貝，..., 鷗，т. е. принадлежность 什 нашей плоскости Rm. Таким образом, если параллельно переносимый вдоль кривой вектор "* принадлежит Rm в одной точке кривой, то это %е имеет место и 6 любой ее точке. Это свойство мы и имеем в виду, когда говорим, что плоскость Rm параллельно переносится вдоль кривой. Наше утверждение доказано.

В частности, когда m = 1, параллельно переносится касательная К】,т. е. всякий вектор т/, касательный в данной точке кривой, остается касательным и в процессе параллельного перенесения вдоль- кривой. Но это есть определение геодезической линии, которая, таким образом, является наиболее «уплощенной» из всех кривых в Vn.

В случае, когда в качестве Vn берется евклидово пространство Rm уплощенная кривая просто лежит в своей соприкасающейся плоскости Rg общей для всех точек кривой.

§ 100. Кривые в римановом пространстве (окончание)

В этом параграфе мы ограничимся кривой основного типа, причем будем предполагать, кроме того, что в каждой ее точке М все соприкасающиеся плоскости

RiURzU …uRpURp+'U …uR…RiURzU …uRpURp+'U …uR…(100.1).(100.1).

RiURzU …uRpURp+'U …uR…

RiURzU …uRpURp+'U …uR…

(100.1).

(100.1).

являются неизотропными плоскостями в касательном евклидовом пространстве Rr. В случае собственно риманова пространства это условие соблюдается автоматически.

При этих предположениях с каждой точкой кривой можно естественным образом связать ортонормированный репер, А именно^ выбираем единичные или мнимоединичные векторы

следующим образом:следующим образом:(100.2)(100.2)следовательно^следовательно^崎，^i j • • • > 吗т，吟，* * • > Мт

следующим образом:

следующим образом:

(100.2)

(100.2)

следовательно^

следовательно^

vj направлен по касательной R、 и совпадает, с пронормированным касательным вектором 次；

V； построен в двумерной плоскости R? ортогонально к &：

v^ построен в R尸+1 ортогонально к R尸；

ортогонален к

В каждом случае идет речь о построении в евклидовом пространстве R^+i направления, ортогонального к его гиперплоскости Rp, что выполняется единственным образом. Вследствие неизотропно-

ст и Rp это направление будет также неизотропным и гиперплоскости Rp не принадлежит (§ 41). Вектор % идущий в этом направлении, может быть, следовательно, пронормирован, т. е. умножением на подходящее число сведен к единичному или мнимоединичному вектору. После этого он будет вполне определен с точностью до умножения на — 1.

Поскольку % ортогонален к Rp, то он ортогонален ко всем предшествующим векторам vj, .. . , "т, а значит, векторы (100.2) вообще попарно ортогональны, а так как, кроме того, они пронормированы (единичные или мнимоединичные), то мы получаем вполне определенный (с точностью возможных замен vj, на ——vp ортонор- мированньсй репер, связанный с каждой точкой нашей кривой. Его мы будем, называть сопровождающим репером нашей кривой. Очевидно, векторы v{, v(, .. . , vjj при любом р = 0, 1, 2, ... , л—1 определяют соприкасающуюся плоскость Rp+1. Прямые, проходящие в касательном пространстве R“ через данную точку кривой в направлениях ортов V；, vg, . . ., vZ—i, мы будем называть 1-й, 2-й, . . . , л— 1-й нормалями к нашей кривой.

Орт vj направлен по касательной.

Так как касательная R】 неизотропная, то скалярный квадрат касательного вектора 京 не равен нулю:

0・(100.3)

Вычислим длину дуги нашей кривой от некоторой начальной точки f0 до переменной точки f по формуле (85.10):

ds = j/^g" dM dW .ds = j/^g" dM dW .

ds = j/^g" dM dW .

ds = j/^g" dM dW .

Пусть сначала подкоренное выражение остается все время положительным. Тогда кривая имеет вещественную длину, и при f > f。мн получаем положительные значения s, при / < ^0 — отрицательные. f ds

Так как производная 近 все время положительная, то зависимость s = s(f) допускает обращение, и s можпо принять за новый параметр вдоль кривой. Так мы и поступим.

Положительное направление отсчета дуги s такое же, как и первоначального параметра t, т. е. выбирается по существу произвольно. Касательный вектор 石 будет единичным, так как его ска

лярный квадрат имеет вид

„dxlf

Следовательно, можно принять 飞 за вектор vj:

時=需(Ю0.5)

Обратно, если для некоторого параметра s вдоль кривой вектор 石 оказывается единичным, то имеет место (100.4) и, следовательно, ds2 = g^ dxl dx\ так что параметр s оказывается длиной дуги.

Пусть теперь подкоренное выражение остается^ все время отрицательным, так что радикал чисто мнимый, и мы имеем кривую чисто мнимой длины. Мы запишем:

S =由

и за новый параметр вдоль кривой будем принимать вещественный коэффициент а. За вектор vj мы примем вектор 石,причем он будет уже мнимоединичным. В самом деле, его скалярный квадрат имеет вид

1, так как ds2 — — du久1, так как ds2 — — du久d炉 d/ — dxl d/ — &/ do do" —$'/ ds ^T —

1, так как ds2 — — du久

1, так как ds2 — — du久

Итак,

%=瑞，J00.6)

d炉

Обратно, если для некоторого параметра а вдоль кривой вектор 石 dN dx^

оказывается мнимоединичным, то gij 否石=—1, откуда du2 ^—d«.

так что длина дуги кривой оказывается чисто мнимой и имеет вид s = ui.

Мы хотим теперь установить для ортов vj； сопровождающего репера формулы Френе. Другими словами, мн хотим выяснить, как разлагаются производные этих ортов禦(師請)по самим ЭТИМ ортам. Для определенности будем говорить о параметре s, имея в виду, что все сказанное будет справедливо и в случае параметра а. Заметим прежде всего, что ^^ всегда принадлежит плоскости Rp+2» т. е. вполне разлагается по ортам wj, v^, . . . , w%+「 В самом деле, v^ принадлежит плоскости R尸+】,т. е. разлагается по векторам (99.11):

门/),啥,.门/),啥,.ag (0 一也尸ag (0 一也尸

门/),啥,.

门/),啥,.

ag (0 一也尸

ag (0 一也尸

Ясно, что при дифференцировании этого разложения порядок входящих в него производных повышается не более чем на единицу,

так что Qv% будет разлагаться по векторам

определяющим плоскость Rp+i. Итак, ^^ принадлежит плоскости R戸+2 и разлагается по vj, vj, ... , v^+1, а следовательно, ортого^ нален к v^+2,...,嗝_]

g"% 礬=。прн g>P+L(100.7}

Используем теперь ортогональность векторов vj„ v^:

g〃・％W = 0.

Беря почленно абсолютный дифференциал и учитывая, что Dgjj=b> получаем:

g” (0%) R + gijV^Dvf, = 0.

Деля почленно на ds и пользуясь (100.7), получаем окончательно:

DvqI г

giK叫при 9〉p+l

Нам будет удобнее поменять в этой формуле обозначения р и 夕：