Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
О. И. БОГОЯВЛЕНСКИЙ
ОПРОКИДЫВАЮЩИЕСЯСОЛИТОНЫ
НЕЛИНЕЙНЫЕИНТЕГРИРУЕМЫЕУРАВНЕНИЯ
МОСКВА «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ19 9 1
ББК 22.161.6
Б74 УДК 517.9
Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитонь линейные интегрируемые уравнения,— М.: Наука. Гл. ред. мат. лит., 1991,— 320 с,— ISBN 5-02-014620-Х.
Посвящена теории нелинейных интегрируемых уравнений Эля функций, зависящих от трех и более переменных, обладающих солитонными решениями нового типа — опрокидывающимися со литонами. Найдена новая алгебраическая конструкция интегрируемых уравнений, имеющих аттракторы в фазовом пространстве расширяющая известную конструкцию Лакса. Исследованы интегрируемые случаи динамики твердого тела в ньютоновских грд- витационных полях и интегрируемые случаи уравнений Эйлера иа конечномерных коалгебрах Ли. Построенные нелинейные интегрируемые уравнения и динамические системы имеют применение в гидродинамике, физике плазмы и динамике твердого тела.
Для научных работников, математиков, специалистов в облас ти нелинейных уравнений. Доступна студентам старших курсов соответствующих специальностей.
Ил. 9. Библиогр. 178 назв.
Рецензент
доктор физико-математических наук Д. В. Аносов
Научное издание
БОГОЯВЛЕНСКИЙ Олег Игоревич
ОПРОКИДЫВАЮЩИЕСЯ СОЛИТОНЫ .•
Нелинейные интегрируемые уравнения
Заведующий редакцией А. П. БаеваРедактор В. В. Абгарян
Худоя;ественный редактор Г. М. КоровинаТехнический редактор И. Ш. АксельродКорректор М. Н. Дронова
ИБ № 12920
Сдано в набор 29.10.90. Подписано к печати 10.12.91. Формат 84x100
Бумага тип. № 2. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Усл.
л. 16,8. Усл. кр.-отт. 16,8. Уч.-изд. л. 17,58. Тираж 2400 акз. Заказ. Цена 4 р. 70 к.
Издательско-производственное и книготорговое объединение «Наука!
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства «Наука»630077 Новосибирск, 77, Станиславского, 25
1602070100-106
"053(02)-91^^©«Наука». Физматлит, 1
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение '
ЧАСТЬ I
ОПРОКИДЫВАЮЩИЕСЯ солитоны
Глава I. Интегрируемые уравнения с аттракторами ,.11
Алгебраическая конструкция дифференциальных уравнений с аттракторамиИ
Динамические системы с аттракторами....16
Одномерные интегрируемые уравнения....19
Глава II. Опрокидывающиеся солитоны в двумерных интегрируемых уравнениях26
Двумерное интегрируемое уравнение ....27
Основная лемма31
Опрокидывающиеся солитоны п Л'-солитонные решения 38
Второе двумерное интегрируемое уравнение..46
О связи с уравнением Кадомцева — Петвиашвили49
Динамика полюсов мероморфных решений...51
Трехмерное интегрируемое уравнение ....55
Третье двумерное интегрируемое уравнение...56
Интегрируемая двумеризация уравнения Бюргерса и динамика особенностей58
Глава III. Двумерное модифицированное интегрируемое уравнение . , 61
Двумерное модифицированное уравнение.. .61
Счетное множество законов сохранения ... .65
Представление Лакса для двумерного модифицированного уравнения (1.5) 68
Представление Лакса для двумерных уравнений (1.5) и (1.6)70
Представление Лакса с эрмитовымоператоромL73
Опрокидывающиеся солитоны74
Эволюция данных рассеяния77
Интегрируемые комплексификацииуравненийКдФ
и МКдФ 80
Интегрируемые расширения уравнения КдФ с оператором L четвертого порядка. Модифицированная цепочка Тода84
Глава IV. Трехмерное комплексное интегрируемое уравнение 91
Представление Лакса для трехмерного комплексного уравнения91
■; 2. Опрокидывающиесясолитоны двумерных редукций96
Двумерное матричное уравнение, допускающее представление Лакса ..98
ЧАСТЬ II
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИИНТЕГРИРУЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Глава V. Интегрируемые дискретизации уравнения Кор- тевега — де ФризаЮ1
Интегрируемые динамические системы с квадратичной нелинейностью191
Интегрируемые редукции динамических систем (1.3)108
Интегрируемые динамические системы с произвольной степенью нелинейности112
Интегрируемые редукции динамических систем (3.1)118
Интегрируемые дискретизации второго уравнения
КдФ121
Общие конструкции интегрируемых дискретизаций уравнения КдФ 125
Глава VI. Интегрируемое интегро-дифференциальное уравнение 130
Интегро-дифференциальное уравнение как континуальный предел семейства динамических систем .130
Основные свойства интегро-дифференциального уравнения (1.3)134
Иерархия высших уравнений .......140
Глава VII. Интегрируемые уравнения в алгебрах гладких функций и в непрерывных ассоциативных алгебрах ..146
Первые интегралы дифференциальных уравнений, связанных с автоморфизмами ассоциативных алгебр 146 § 2. Алгебраические конструкции некоторых интегрируемых уравнений149
Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения в алгебрах функций160
Теорема о двух коммутирующих автоморфизмах и ее применения167
Применения к уравнениям Эйлера в прямой сумме алгебр Ли gl(n, R) и so (и, R)174
Третья теорема о двух коммутирующих автоморфизмах и ее применения179
Матричные уравнения, допускающие представление Лакса с несколькими спектральными параметрами 182
Глава VIII. Интегрируемые динамические системы, связанные с простыми алгебрами Ли187
Алгебраические обобщения цепочки Тода . . .187
Алгебраические аналоги системы Вольтерра, .191
Интегрируемые гамильтоновы возмущения цепочки Тода и ее обобщений
Представление нулевой кривизны для некоторых расширений обобщенных цепочек Тода и уравнения Синус Гордона
Континуальные пределы цепочки Тода и ее двумери- зации. Опрокидывающиеся решения
Опрокидывающиеся решения в континуальных пределах систем Ферми — Паста — Улама и их двуме- ризацип
часть ш
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРАНА КОАЛГЕБРАХ ЛИ, ВОЗНИКАЮЩИЕВ ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Глава IX. Уравнения Эйлера на конечномерных коалгеб- рах Ли, возникающие в физических задачах ....
Классические исследования уравнений Эйлера вращения n-мерного твердого тела
Уравнения Эйлера на коалгебрах Ли, связанные с динамикой твердого тела, имеющего неподвижную точку, и с движением тела в жидкости ....
Алгебраическая и гамильтонова структура уравнений вращения спутника вокруг центра масс ..
Глава X. Интегрирование динамики произвольного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с произвольным квадратичным потенциалом § 1. История вопроса ..
Интегрируемость по Лиувиллю уравнений вращения твердого тела вокруг неподвижного центра масс в поле удаленных притягивающих объектов
Интегрируемость по Лиувиллю уравнений поступательно-вращательного движения твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с квадратичным потенциалом
Интегрирование динамики в тэта-функциях Римана § 5. Динамика симметричного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с квадратичным потенциалом
Интегрируемые случаи уравнений вращения твердого тела в нелинейных гравитационных полях
Интегрируемость n-мерного аналога задачи о динамике твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с произвольным квадратичным потенциалом
Глава XI. Интегрируемые уравнения Эйлера на некоторых шестимерных коалгебрах Ли § 1. Уравнения Эйлера для двух классов шестимерных коалгебр Ли.
Интегралы /4 четвертой степени
Явное интегрирование некоторых уравнений Эйлера на коалгебре Ли SO (4)
199202205212199202205212217218220226230230233236241250254256260260263267272217218220226230230233236241250254256260260263267272Интегралы Д второй степени
199
202
205
212
199
202
205
212
217
218
220
226
230
230
233
236
241
250
254
256
260
260
263
267
272
217
218
220
226
230
230
233
236
241
250
254
256
260
260
263
267
272
Физические применения уравнений Эйлера на коал- гебре Ли 80(4) 278
Лагранжева структура уравнений Кирхгофа ..284
Г л а в а XII. Периодические решения в модели вращения пульсара291
1.Магнитогидродинамическая модель вращения пульсара 292
Динамика твердого тела с эллипсоидальной полостью,
заполненной магнитной жидкостью294
Первые интегралы динамической системы. Интегрируемые случаи297
Периодические решения300
Дополнение. Системы гидродинамического типа, допускающие операторные представления305
Система гидродинамического типа, связанная с моделью Вольтерра 305
Интегрируемое 2 + 1-мерное уравнение как континуальный предел систем гидродинамического типа 307
Система гидродинамического типа, связанная с цепочкой Тода308
Список литературы311
ВВЕДЕНИЕ
Современное развитие теории нелинейных интегрируемых уравнений началось с работы Дж. Грина, К. Гарднера, М. Крускала и Р. Миуры (1967), в которой был предложен метод обратной задачи рассеяния, и работы П. Лакса (1968), указавшего метод конструирования интегрируемых уравнений. Дальнейшее развитие этих методов и их многочисленные применения подробно представлены в книгах В. А. Марченко (1977), В. Е. Захарова, С. В. Манакова, С. П. Новикова и Л. П. Питаевского (1980), М. Абловица и X. Сигура (1981), Ф. Калоджеро и А. Дегаспериса (1982), Р. Додда, Дж. Эйлбека, Дж. Гиббона и X. Морриса (1982), А. Ньюэлла (1985), Л. А. Тахтаджяна и Л. Д. Фаддеева (1986).
В монографии излагаются результаты, полученные автором в 1984—1990 годах. В главе I изучается конструкция нелинейных интегрируемых уравнений и динамических систем, расширяющая конструкцию Лакса и основанная на уравнении
t = P(L) + [L, А]
в пространстве линейных операторов. Уравнения, построенные по этой конструкции, имеют аттракторы в фазовом пространстве и вместе с тем обладают большим набором первых интегралов; их солитонные решения имеют нестандартную динамику.
Широко известно, что из уравнения Лакса L = [L, А], которое называют также уравнением изоспектральной деформации, следует сохранение собственных чисел оператора L. Однако это не верно в тех случаях, когда оператор L параметрически зависит от дополнительных переменных, дифференцирования по которым не входят в оператор L, но входят в оператор А. При этом собственные числа оператора L изменяются и удовлетворяют нелинейным дифференциальным уравнениям первого порядка. Частным случаем последних является классическое уравнение опрокидывающейся волны Римана. Такое
поведение собственных чисел оператора L приводит к солитонным решениям нового типа — опрокидывающимся солитонам, которые изучаются в главах II—IV части I. Нелинейные дифференциальные уравнения, эквивалентные уравнению Лакса с указанными операторами L и А, интегрируются методом одномерной обратной задачи рассеяния. В специальном случае, когда оператор L является матричным оператором Шрёдингера, полученные уравнения вкладываются в класс уравнений, интегрируемых с помощью обратного спектрального преобразования, указанный в работах Ф. Калоджеро и А. Дегаспериса (1976, 1977). Нелинейное уравнение
X
vt = 4^ + 212 _ j Vy It, g, у) dg — v^y,
' 0
выведенное в главе II, имеет применения в гидродинамике и описывает двумерное взаимодействие волны Римана с поперечными длинными волнами. Несмотря на наличие опрокидывающихся солитонов, это уравнение, а также его модифицированное уравнение (глава III)
X
Vt = 4vX + 2пж j (п2 (t, g, y))ydg — v^ ■о
имеют счетное множество первых интегралов, определяемых явными локальными формулами.
Явление опрокидывания приводит к возникновению многозначности решений, которая, однако, в отличие от задач газовой динамики не означает ограничение области применимости выведенных уравнений, так как не связана с пересечением траекторий частиц. Другие применения многозначных функций и функционалов указаны в работах С. П. Новикова (1981, 1982).
В части II книги исследуются алгебраические конструкции нелинейных динамических систем и уравнений, допускающих эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром. Такие динамические системы и уравнения в большинстве случаев являются интегрируемыми в тэта-функциях римановых поверхностей с помощью алгебро-геометрических методов (Б. А. Дубровин, В. Б. Матвеев, С. П. Новиков, 1976).
Счетное множество интегрируемых динамических систем, каждая из которых в континуальном пределе переходит в уравнение Кортевега — де Фриза, построено в гла-
ве V. В этом множестве содержится классическая модель Вольтерра (дискретное уравнение КдФ или ленгмюровская цепочка). Полученные динамические системы так же, как модель Вольтерра, имеют применения в физике плазмы и в математической экологии. Континуальный предел всего построенного семейства динамических систем является нелинейным интегро-дифференциальным уравнением, которое исследуется в главе VI. Это уравнение допускает представление Лакса, обладает счетным набором первых интегралов, определяющихся явными формулами и имеет применения в качестве кинетического уравнения в физике плазмы.
Алгебраические конструкции интегрируемых дифференциальных уравнений в алгебрах гладких функций на многообразиях и в произвольных непрерывных ассоциативных алгебрах исследованы в главе VII. С помощью этих конструкций построены интегрируемые уравнения Эйлера в прямых суммах алгебр Ли gl(n, R) и so (и, R), имеющие применения в динамике твердого тела с полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью. Алгебраические аналоги цепочки Тода и системы Вольтерра, связанные с простыми алгебрами Ли, построены в главе VIII; все эти системы допускают представление Лакса со спектральным параметром. В главе VIII построены также опрокидывающиеся решения в уравнениях, являющихся континуальными пределами цепочки Тода, систем Ферми — Паста — Улама и их двумеризаций.
Часть III монографии посвящена изучению задач механики и математической физики, которые сводятся к уравнениям Эйлера на конечномерных коалгебрах Ли. К таким задачам относятся (глава IX): динамика твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости; вращение твердого тела вокруг неподвижной точки под действием гравитационных и электромагнитных сил; вращение твердого тела, имеющего эллипсоидальные полости, заполненные идеальной несжимаемой или магнитной жидкостью; различные задачи, связанные с вращением спутника вокруг центра масс, движущегося по заданной орбите.
Глава X посвящена доказательству теоремы о том, что поступательно-вращательное движение произвольного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с произвольным квадратичным потенциалом является вполне интегрируемым по Лиувиллю и интегрируется в тэта-функциях римановых поверхностей. Эта* задача ес-
тественно возникает при изучении динамики твердого тела в поле удаленных притягивающих объектов; ее интегрируемость является следствием фундаментального физического факта — равенства инертной и гравитационной масс.
В главе XI исследуются интегрируемые случаи уравнений Эйлера на некоторых шестимерных коалгебрах Ли. Указаны физические применения уравнений Эйлера на алгебре Ли SO (4) и в прямой сумме алгебр Ли SO(3), связанные с динамикой твердого тела, имеющего эллипсоидальные полости, заполненные идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.
Магнитогидродинамическая модель вращения пульсара, связанная с уравнениями Эйлера на алгебре Ли 8О(3)+£’з, изучается в главе XII. Указаны конкретные применения этой модели, для которых предсказываемый период вращения пульсара согласуется с астрофизическими данными.
Мне приятно выразить свою признательность сотрудникам Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР за полезные дискуссии по результатам работы.
ЧАСТЬ I
ОПРОКИДЫВАЮЩИЕСЯ солитоны
ГЛАВА 1
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ С АТТРАКТОРАМИ
Большинство интегрируемых нелинейных уравнений допускает, как известно, представление Лакса [4]
L = [L, А]
с некоторыми линейными операторами L и А [4—11]. В данной главе изучаются динамические системы и нелинейные уравнения, зависящие от двух переменных t и х, построенные с помощью новой алгебраической конструкции, расширяющей конструкцию Лакса. Существенной особенностью построенных нелинейных уравнений является наличие аттракторов в их фазовом пространстве и нестандартное поведение их солитонных решений.
Алгебраическая конструкциядифференциальных уравнений с аттракторами
Рассмотрим в алгебре конечномерных линейных операторов gl (п, С) дифференциальное уравнение вида
L = P(L)+[L, А],(1.1)
где Р (ж) — некоторая аналитическая функция с постоянными коэффициентами. Уравнение (1.1) при P(L)=0 переходит в уравнение Лакса. Покажем, что при P(L)=/= =# 0 уравнение (1.1), так же как и уравнение Лакса, имеет набор первых интегралов, однако поведение его траекторий существенно отличается от поведения траекторий уравнения Лакса вследствие наличия аттракторов и неустойчивых инвариантных подмногообразий в пространстве матричных компонент оператора L.
Представим оператор L в виде
L = QAQ-‘,(1.2)
11
где оператор Q определяется из уравнения
Q = -AQ.(1.3)
Вследствие формул (1.2), (1.3) получаем
L = QAQ-1 + QAQ-1 - QAQ-'QQ"1 =
=-AQAQ-> + QAQ-'A + QAQ-1 = QAQ-1 + [L, A].
Отсюда в силу (1.1) находим
QAQ-1 = QP(A)Q-‘, Л = Р(Л).(1.4)
Предположим, что оператор Л в начальный момент времени выбран диагональным. Это свойство сохраняется в силу системы (1.4), которая в этом случае распадается на независимые уравнения для собственных чисел Хк оператора L:
Xh = P№ J^ = t-t0.(1.5)
ск
В общем случае комплексных собственных чисел Хк первыми интегралами динамической системы (1.4) — (1.5) являются многозначные функции
где интеграл берется по произвольному пути у на комплексной плоскости, не содержащему корней уравнения 7)(Х)=0. В дальнейшем предполагается, что оператор L симметрический, А кососимметрический, Р^х) — вещественная аналитическая функция. Тогда уравнения (1.5) определены на вещественной оси 0?1 (—°° < X < +°о) и корни уравнения 7)(^) = 0 делят ось К1 на инвариантные интервалы. Пусть каждая точка ск находится в том же интервале, что и собственное значение Хк. Следующие функции собственных чисел Х<, Хк матрицы L являются однозначными первыми интегралами уравнения (1.1):
m.y-y^-J^. о-в)
Ci ck
Уравнение (1.1) имеет набор инвариантных подмногообразий Ья, на каждом из которых все собственные числа матрицы L являются корнями уравнения Р(Х)=0. Каждое многообразие Ья является орбитой вида QA„Q-1, где Лц = X?6i,, Р (Х?) =0. Орбита Ья является устойчивым инвариантным подмногообразием— аттрактором уравнения (1.1) — если во всех точках А? имеем Р'(Х?)<0. Многообразие Кя является неустойчивым, если хотя бы в одной точке ^ имеем Р'(>.”)> 0.
Таким образом, конечномерная динамическая система, определенная уравнением (1.1), является системой типа Смейла: имеется набор устойчивых и неустойчивых инвариантных подмногообразий — орбит VV L = 8ЛЯ8-1, на которых Р(Ь) = Р(ЛЯ) = 0. Вне орбит Уя динамика траекторий системы (1.1) допускает полное качественное исследование, так как изменение собственных чисел Xi
матрицы L определяется уравнением Xi = Р (Л;).
Покажем, что уравнение (1.1) является условием совместности следующих уравнений:
Ьф =/сф, ф + Аф = цф, /с = Р(/с),(1-7)
где ц(<) — произвольная функция. Действительно, дифференцируя первое уравнение (1.7) по времени, получаем
Ьф = /сф + (к — Ь)ф.
Подставляя в это уравнение выражения к и ф из уравнений (1.7), находим
Ьф = Р(/с)ф + ЬАф — АЬф,(1-8)
что и приводит к уравнению (Ы).
Рассмотрим спектральную задачу, связанную с уравнением (1.1). Пусть ф(^ ко)— спектральная функция оператора L, удовлетворяющая уравнению Ьф(^ ко) = = k(t)^(t, ко), где спектральное значение k^t) изменяется в силу уравнения k(t) = P(k, t), к(О)=ко. Дифференцируя спектральное уравнение по времени, в силу уравнения (1.1) получаем
Р(Ь)ф + (ЬА — АЬ)ф + Ьф = Р (А) ф + /сф.
Отсюда, используя определение спектральной функции ф(Ь ко), находим Ь(ф + Аф) = k(t) (ф + Аф). Таким об-
13
разом, функция ф + Аф также является спектральной функцией оператора L и отвечает тому же собственному числу k^t).. Это обстоятельство делает возможным применение метода обратной задачи рассеяния к уравнениям вида (1.1) (см. ниже § 3).
Отметим следующее естественное обобщение уравнения (1.1):
L = BP(L)+[L, А],
где В — некоторый оператор. Пусть ко — произвольный корень уравнения Р(к) = 0 и ф((, ко)— соответствующая спектральная функция: Ьф((, к0)= kox^t, ко). Дифференцируя это равенство, в силу указанного уравнения получаем ВР(Ь)ф + (LA — АЬ)ф + Ьф = /соф- Отсюда очевидно следует уравнение Ь(ф + Аф) =/с0(ф + Аф), показывающее, что функция ф + Аф также является спектральной функцией, отвечающей спектральному значению ко. В силу этого метод обратной задачи может быть применен к уравнению L = BP(L)+[L, А] на нескольких спектральных уровнях оператора L, являющихся корнями уравнения Р(к) = О (а не на одном уровне, как в работах [27-29]).
' III. Важный случай уравнений вида (1.1) возникает, если уравнение L = [L, А] на орбитах Уя является интегрируемым по Лиувиллю. В этом случае орбиты Уя расслоены на инвариантные торы, динамика траекторий по которым является квазипериодической. Такие уравнения (1.1) могут моделировать, например, возникновение квазипериодического движения жидкости (типа течения Куэтта) из ламинарного движения при росте числа Рейнольдса.
Укажем класс уравнений (1.1), которые на всех инвариантных подмногообразиях Уя являются интегрируемыми. Пусть Р(ж), (?(ж), R (х)— целые аналитические функции, К — постоянная матрица, A(i)— произвольная матрица. Рассмотрим динамическую систему вида
L = P(L)+[0(L), K] + [/?(P(L))^^ (1.9)
Утверждение 1. Уравнение (1.9) принадлежит классу (1.1) и на каждой орбите УЯ(Р(УЯ) = О) допускает представление Лакса со спектральным параметром,.
Действительно, справедливо тождество
KL", К] = [L, a^L^K+L^KL + .-. + KL"-1)],
из которого в силу аналитичности функций Р(х'), Q^, R^ следует представимость уравнения (1.9) в виде (1.1). На орбитах УЯ^Р^У^ = О^ уравнение (1.9) принимает вид L = [()(L), К] и имеет следующее эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром Е:
(L + К£)’ = [L + КА, —Q (L) А-1].(1.10)
Отсюда следует наличие дополнительных первых интегралов, являющихся коэффициентами при степенях Еь в ' разложении многочлена Tr(L + KE)m.
Утверждение 1 справедливо также и для более широкого класса уравнений вида
L = Р (L) + [^ (L), К] + 2 [7?f (Р (L)), А4 (t^ + [L, Кх (t^
(1.11)
при условии [К, Ki(Z)] = O. Действительно, на орбитах Кяф(Б) = 0) уравнения (1.11) допускают представление Лакса со спектральным параметром:
(L + КА)' = [L + KE, Кх (Z) - Q (L) А-1].
Замечание 1. Произвольная динамическая система вида
L = [^(L), Ki]:+[7?(L), К2]
в целом не является интегрируемой, однако на отдельных орбитах, определенных условиями ^>(Кя) = 0 или 7?(КЯ) = = 0, имеет представление Лакса со спектральным параметром (1.10) и поэтому является интегрируемой.
IV. Более сложная, чем в уравнениях (1.5), динамика собственных чисел матрицы L реализуется в уравнениях вида
L = A(L) + [L, А],(1.12)
где В(Е) — аналитическая или мероморфная функция матрицы L, коэффициенты которой зависят от инвариантов матрицы L, т. е. от функций Ih = Тг IA Подстановка (1.2) приводит к уравнению
А = В (А),(1.13)
которое, вообще говоря, не распадается в систему одномерных уравнений и описывает динамику собственных чисел матрицы L. Устойчивым особым точкам или инвариантным подмногообразиям Ая системы (1.13) соот-
ветствуют устойчивые инвариантные подмногообразия уравнения (1.12) — аттракторы 7„ = QA^Q-1.
Например, определим функцию R (L) формулой
7?(L)=L6-1TrL"‘-Lm-1TrlA(1.14)
Тогда уравнение (1.13) принимает вид системы
X; = xb12 ^Г - ^Г-12 ^(1-15)
3=13=1
и не распадается в отдельные одномерные уравнения. Уравнения (1.15) имеют первый интеграл /2=ТгЬ2.
Динамические системы с аттракторами
Построим конкретные динамические системы, допускающие операторное представление вида (1.1):
L = aL3 + pL + [L, А].(2.1)
Предположим, что матрицы L и А (размера п X п) имеют только следующие ненулевые элементы:
Ljj+l Li+lfi б,, А1"1"+2 Ai+2fi ^г-(2.2)_
Уравнение (2.1) эквивалентно системе алгебраических и дифференциальных уравнений:
ccbhbh+ibh+2 + bhzh+i bh+2Xh = 0,(2.3)
bh = ^bk (бд—1 + bk + bh+i) + Р&й + 6ft—рСД—x— Ьк+1Хк.
(2.4)
Решение системы алгебраических уравнений (2.3) определяется формулами (ш — произвольная постоянная)
xh=-(m + ka)bkbh+i.Х^-ЬУ
Дифференциальные уравнения (2.4) после подстановки формул (2.5) и замены переменных ак = Ьк, т = 2t принимают вид
щ = щ[(ш + ка) (aft+i — aA-i)+ а(2щ-1 + щ±щ+1)+ р].
(2.6)
Построенная система уравнений (2.6) в силу вывода эквивалентна уравнениям (2.1), (2.2), (2.5) и поэтому, как показано в § 1, обязана иметь аттрактор. Динамическая система (2.6) вкладывается в общий класс уравнений, предложенных В. Вольтерра для описания дина- 16
мики численности популяций различных взаимодействующих видов [23]. Для таких задач (в математической экологии) характерны притягивающие устойчивые режимы динамики. Наличие аттрактора в системе (2.6) обусловливает существование притягивающих режимов, что является важным для применений. В специальном случае а = 0, р = 0 система (2.6) переходит в интегрируемую гамильтонову систему Вольтерра
йд = так ^йк* 1 ак-1) •
Собственные числа Х4 матрицы L (2.2) в силу уравнений (2.1), (2.6) удовлетворяют уравнениям (см. (1.5))
Xi = Xi (aXf + р).(2.7)
Отсюда находим
Xf = — i (1 — exp (— 2pz + Ci))-1.
Система уравнений (2.7) имеет первые интегралы
F (Xi, ХД = ((aX? + р) X?)/((aX? + р) X?).(2.8)
Если параметры аир имеют одинаковый знак, то уравнение (2.7) имеет единственную особую точку Xi = 0, которая при р < 0 является притягивающей, а при р > > 0 — отталкивающей. Предположим, что Р > О, р/a = = —х2. Тогда уравнение Х = Х(оХ2 + Р) имеет две притягивающие особые точки X = ±х и одну отталкивающую X = 0. Собственные числа симметрической матрицы L вида (2.2) вещественны и симметричны относительно нуля. При п = 2к система (2.1), (2.6) имеет единственный аттрактор — орбиту Vh, отвечающую собственным числам Xi = ... = ХА = х, XA+i = ... = ХгА = —х, единственную отталкивающую особую точку щ = 0 и (к — 1) неустойчивых инвариантных подмногообразий — орбит V,, определенных условиями
Xi = ... = X; = х, Xj+i = ... = Х2, =.—х,
X2j-+i = ... = Х2„ = 0, 1 С / < к — 1.
Аналогично определяются инвариантные подмногообразия У, при п = 2к + 1, причем одно собственное число матрицы L — тождественный нуль.
Инвариантные подмногообразия F, являются различными компонентами множества, определенного алгебраи- 2 О, И, Богоявленский17
ческим уравнением
P(L) = aL3 + pL = 0.(2.9)
Сравнение (2.9) в силу (2.2) эквивалентно системе уравнений
аакак+1ак+2 = 0, aA(a(aA-i + «ь + «а+1) + Р) = 0. (2.10)
При а#=0 в силу первого уравнения (2.10) из трех последовательных величин щ одна равна нулю. В силу второго уравнения (2.10) при яА^0 имеем ак_! + ак + ак+1 = = —р/a = х2. Поэтому на инвариантных подмногообразиях Vj система (2.6) распадается в одномерные уравнения вида
ак = ак(т — /са) (ак — х2), ак = ак(т — (к — 1)а) (х2 — а^.
Следовательно, все траектории системы (2.6) на подмногообразиях Vj стремятся к особым точкам, в которых выполнены соотношения (2.10) и щ = 0 или а. = х2.
И. Построим динамическую систему, допускающую операторное представление вида
£ц = aL2 + pLx + [Lx, Ах].(2.11)
Предположим, что матрицы Li и Ai имеют только следующие ненулевые элементы:
Lm = р^ Ln,<+i = Ln+i.i = с<, An,i+i = —An+i,i = х,-. (2.12)
Уравнения (2.11) — (2.12) эквивалентны следующей системе алгебраических и дифференциальных уравнений:
асАсА+1 + скхк+1 - хкск+1 = 0,(2.13)
Ph = a (pl + 4 + 4-i) + ₽Рй + 2ch_xxk_x — 2скхк, (2.14) сА = ск (a (рк + рк+1) + р) + хк (рк - рк+1).(2.15)
Решение системы алгебраических уравнений (2.13) определяется формулами
хк = -(т + ка)ск.(2.16)
После подстановки этих формул дифференциальные уравнения (2.14), (2.15) принимают вид
рк = а/?й+ PpA + (2m—(2/с—3) a)c2ft_i—(2ш—(2/с-Ц)а) ск1
(2.17)
c-h = ch ((т + (к + 1) (a рк+х — (т + (к — 1) a) ph + Р).
18
Система (2.17) является негамильтоновым возмущением цепочки Тода, в которую она переходит при а = 0, р = 0.
Собственные числа X, матрицы Li в силу уравнения (2.11) удовлетворяют уравнению
Х< = ХДаХ{+£)•(2.18)
Поэтому динамическая система (2.17), эквивалентная уравнению (2.11), (2.12), (2.16), имеет первые интегралы
F(K Ха = ((оХ,+р)Х,)/((аХ,+ р)Х.).(2.19)
Уравнение Х = Х(аХ+Р) имеет две особые точки Х = 0 и X = —р/а = о. Пусть р > 0; тогда особая точка Xi = о является притягивающей. Динамическая система (2.17) имеет единственный аттрактор, которым является притягивающая особая точка рк = о, ск = 0.
Уравнение aLj + (BLj = 0 определяет инвариантные подмногообразия системы (2.17) и сводится к системе урав'нений
achCh+1 = 0, а (рк + Ch + cl-^ = — Pph,
Ск («(Ph + Ph+i) + Р) = 0.(2.20)
В силу первого уравнения (2.20), если с^^О, то ск+1 = = 0, cfc-i = 0. Поэтому в силу остальных уравнений получаем РьРь+1 = 4, рк + Ph+i = о- Уравнения (2.17) на инвариантных подмногообразиях (2.20) элементарно интегрируются.
Отметим, что уравнение (2.1) преобразуется в уравнение (2.11) с помощью отображения Li = L2 и замены времени т = 2f. Поэтому динамическая система (2.6) отображается в динамическую систему (2.17) — точно так же, как модель Вольтерра отображается в цепочку Тода [30].
Одномерные интегрируемые уравнения
Рассмотрим уравнение (1.1) в специальном случае
L = aL2+pL + [L, А](3.1)
в пространстве дифференциальных операторов, причем
В = ^х П-x (Л ^с)»(^ 2^
А = у a.xdx + vdx + w + у (4dx — 6uxdx — Зы^х).
Здесь а, р, у — постоянные, а функции y(t, х^, w^t, х^ необходимо найти из уравнения (3.1). Уравнение (3.1), (3.2) эквивалентно следующей системе дифференциальных уравнений (коэффициенты при операторах dxi dx1 1):
31
vx + сшх + -^ а,хихх + — р = О,
wx + у vxx + аихх + ахиххх = 0,^
^tx = V (6UjtUxx ^хххх) Ч” СХ (z/x — ZZxxx) Ч" Р^х —
а
2* З-^хххх VLLXX Wxx*
Из первых двух уравнений (3.3) находим
v =—-^ аи—^ ахих2^’ w = -^a,ux — -^а,хихх. (3.4)
Третье уравнение (3.3) принимает вид utx = V (б^хх — Uxxxx1) + а,их + 0иж —
— -g ахиххх — у а.иххх + ^ ихх (Захих + ам + 2рт). (3.5)
Новое дифференциальное уравнение (3.5) эквивалентно операторному уравнению (3.1), (3.2), (3.4) и при а = 0, Р = О, у#=0 переходит в уравнение Кортевега — де Фриза.
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что уравнение (3.5) имеет следующее точное решение — солитон
u^t, х) = — 2X(t)th(X(t);r— cp(t)), (3.6) где X(t) и cp(t)— произвольные функции времени, удовлетворяющие уравнениям
X = — у аХ3 + у рХ, ср = 4уХ3. (3.7) Из вида производной
u.x(t, х) = —2X2(t)ch-2(X(t)x — cp(t)) (3.8) следует, что солитон (3.6), (3.8) движется по оси х с переменной скоростью, изменяя при этом свою «ширину» и «глубину». Только в единственном случае X(t) = o1/2, о = р/а>0 солитон (3.6), (3.8) движется без изменения своей формы.
20
Уравнение (3.5) может быть решено методом обратной задачи рассеяния, однако применение этого метода здесь является весьма нестандартным. Выведем уравнения для данных рассеяния, полагая, что функция u^L х) имеет следующую асимптотику при Ы ~> °о;
(3.9)(3.9)х-* — оо: и ^t, х) ~> g(t'),z->+oo; u(t, х)-* h^.
(3.9)
(3.9)
Для таких функций имеем uz(t, ж)-* 0 при |а:| -> оо.
Пусть ^Ц, х)—собственная функция оператора Шрёдингера, отвечающего собственному числу /„, и, следовательно, удовлетворяющая условиям
а21рта2
2 4" ^хфп = /пфп» /п = Аи А» /" О, 01
ф« (£, х) = exp $.пх) (1 + о (1)), х— оо,
(ЗЛО) ф„(^ х) = bn(t)exp( —кпх) (1 + о(1)), а:->+оо.
Так же как и в § 1, доказывается, что собственные числа /п в силу уравнения (3.1) удовлетворяют уравнению вида (1.5):
/п = afn + Р/п-(3.11)
Отсюда находим
А = Р(с„ ехр(—^) — а)"1.(3.12)
Функции
^ (А А) = (аА + Р) А-А + Р) ^nfi1(3.13)
являются первыми интегралами уравнения (3.5). В силу уравнения (3.11) справедливо уравнение
А+4^п-|рАг = 0.(3.14)
Продифференцируем равенство Ьф„ = /„ipn по времени и используем уравнение (3.1); получим
L (ф„ + Аф„) = (/„ — а/® — РА) ф„ + А (фп + Афп). (3.15) Из асимптотики (3.10) и формул (3.2), (3.4) получаем асимптотику при х~* — °о;
фп + Ат|)„ =
= ^Хп + 4 а^п — у РАг) X + 4уХ® — -^ a^ng^ exp (W) X
Х(1 + о(1)). (3.16)
21
В силу уравнений (3.15), (3.11) функция ф„ + Аф„ является собственной функцией оператора L, отвечающей собственному числу /„. Поэтому из асимптотики (3.16) и уравнения (3.14) следует равенство
ф„ + А-фп =^4у^ — уаА^ф„.(3.17)
Подставляя это равенство в асимптотику (3.10) при х ->- +оо и снова используя уравнение (3.14), получаем уравнение
к = (Sy^n — ^ аХ„ (g + h^b™ (3.18)
определяющее динамику коэффициента Ьп^.
Спектральные функции ф(А;, t, х) оператора L удовлетворяют условиям
—+ ихф = /с2ф, /с>0,(3.19)
Эж
ф(А:, t, х} = ехр (—г/сж) + о (1), х— °°,
ф(А:, t, х) = а(к, t) exp (—ikx) + b {к, t)exp(ikx)+о{1),
X +oo.
В дальнейшем мы полагаем, что спектральный параметр к зависит от времени в силу уравнения
kt = 4г ак3 + у р/с.(3.20)
Продифференцируем уравнение
Ьф = А:2ф(3.21)
по времени и используем равенства (3.1), (3.20). Получим
L (фе + Аф) = А:2 (фе + Аф).(3.22)
В асимптотике (3.19) при х -* —°° находим
ф; + Аф =
— ix | kt —у0^3 —уР^) + ^ik3 + у at/cgl exp (—ikx^ X
Х(1 + о(1)). (3.23)
Поэтому из равенств (3.22), (3.23) и уравнения (3.20) 22
следует равенство
ф; + Аф = ^4уг&3 + -^ aikg^ ф. (3.24)
Подставляя в (3.24) асимптотику (3.19) при ж +°°, получаем линейные уравнения в частных производных для функций а(к, (), b(k, t)
at + а^ ^у ак3 + А р^ = А ^ (^ _ &) й)(3.25)
bt + ^s^y ^3 + у Р^ = ^>^ik3 + A aik (g + h1^ b. (3.26) Уравнения (3.11), (3.18), (3.25), (3.26) определяют эволюцию данных рассеяния, отвечающую уравнению (3.5). Однако асимптотические характеристики решения g^ и к^Ц (3.9) здесь остаются не определенными. Их можно точно определить в случае солитонных решений (см. ниже).
IV Потенциал ux(t, х) определяется по данным рассеяния следующими формулами [5]:
^(^ = -2^1^,(3.27)
К (ж, х^ + F (ж + х^ + J К (х, z) F (z + х^ dz = 0, (3.28)
N00
п=1 V ю—0О
в которые переменная t входит в виде параметра. Из уравнения (3.27) получаем формулу
u(t, х) — —2К(х, х, ()+£((),(3.29)'
где G(i)— произвольная функция, выбор которой определяет асимптотические характеристики решения g^t\ и к^.
Построим точные TV-солитонные решения уравнения (3.5). Пусть функция b (к, () = 0. Тогда функция а^к, I) определяется уравнением
N к — п
«(МНП^+ТГ^(3.30)
П=1 й + гАп
Подставим эту формулу в уравнение (3.25) и учтем уравнения (3.14). После простых преобразований получим
равенство
N
g-11 = 4^ Хк.(3.31)
71=1
Определим функции
^>n(t^=bH(ty(ia (iX^Y » = 1, N. (3.32)
В соответствии с формулами Хироты [5] и формулой (3.29) потенциал u(t, х) имеет вид
и (t, х) = — 2 In det A (t, х) + G (tY d$'(3.33)
Ai; (t, x) = б,,- + (X4 + Xj)-xPi (t) exp (—(Xi + Xj) x),
где Ay(t, x) — компоненты матрицы A(t, x), i, / = 1, ... ..., N. В силу условия Xi > 0 асимптотика функции U(t, х) (3.33) определяется формулами
N
со: u(t, х)^4 ^ Хп + G(f),„
п=1(0.04;
х—>- + ею: u(t, x)-^G(t).
В силу (3.34) необходимое условие (3.31) выполнено при любой функции G(t). При t-*±oo решение (3.33) распадается в сумму односолитонных решений (3.6), для которых справедливо равенство g(t) + h(t) = 0. Следовательно, это же равенство справедливо и для решения (3.33), что в силу (3.9) и (3.34) однозначно определяет вид функции G(t\.
С(^ = 1г(1) = -§(1)^-2^Хп(1).(3.35)
П=1
При А = 1 формулы (3.33), (3.35) определяют солитон (3.6), (3.7). При ^/а = о>0 поведение А-солитонно- го решения (3.33), (3.35) существенно зависит от расположения чисел Xu.(ty изменяющихся в силу уравнения (3.14) относительно точки о1/2. При Хп(0)<о1/2 для всех t справедливы неравенства 0 < Xn(t) < о1/2; при Х„(0)> > о1/2 функция Х„(£) становится неограниченной при изменении t. Поэтому поведение А-солитонных решений уравнения (3.5) существенно отличается от А-солитон- ных решений уравнения Кортевега — де Фриза, которое вкладывается в уравнение (3.5) при а = 0, ^ = 0.
V. Рассмотрим уравнение (3.1) в случае матричных операторов L и А вида
L = ipodx+uo, А = (—1—ax)ipod^—(u0 (1+a.r)+pz)dx+w0,
./^i °\ (о й\ /^ и>Д
^0=1 0 гР2/ W°=lu o/’ W° =(^'^б)
где u^t, ж)— неизвестная комплекснозначная функция, a, Р, Ро Pi — вещественные постоянные. Из уравнения (3.1), (3.36) следует, что матричные элементы wk должны иметь вид
W\ = iq( (1 + az) Ы2 + ап), q =(р\ — Рг)-1,
их I til2, №3 = —wx,
__(3.37)
^2 = — q(px (1 + ах^и, + apzu),
^4 = ?(Рг(1 + аж)ыж + арщ).
В этом случае операторное уравнение (3.1), (3.36) эквивалентно следующему дифференциальному уравнению: -iut = pxpiqUl + a^)zz)xx- ip(i:zz)x +
+ 2щг((1 + ая)Ы? + ак). (3.38)
Это дифференциальное уравнение при a = 0, р = 0 совпадает с нелинейным уравнением Шрёдингера. Предыдущие построения данного параграфа применимы также и к уравнению (3.38). Поэтому уравнение (3.38) является интегрируемым негамильтоновым возмущением нелинейного уравнения Шрёдингера.
Замечание. Аттракторы в нелинейных уравнениях, удовлетворяющих алгебраической конструкции (1.1), оказываются гладкими многообразиями (орбиты действия некоторой группы автоморфизмов) и поэтому не являются «странными аттракторами». Другой класс нелинейных уравнений с частными производными, обладающих аттракторами, изучался в большом цикле работ, начавшемся работой [90] (см. обзор [91]).
ГЛАВА И
ОПРОКИДЫВАЮЩИЕСЯ солитоныВ ДВУМЕРНЫХ ИНТЕГРИРУЕМЫХ УРАВНЕНИЯХ
Широко известно, что из уравнения Лакса
L=[L, А],
которое называют также уравнением изоспектральной деформации, следует постоянство собственных чисел оператора L, Одним из следствий этого обстоятельства является простейшая динамика солитонных решений. Однако это не верно, если оператор L параметрически зависит от дополнительных переменных, дифференцирования по которым входят в оператор А, но не входят в оператор L. В данной главе изучается класс нелинейных уравнений, зависящих от трех (i, ж, у) и более переменных, которые допускают представление Лакса. Тем не менее собственные числа /((, у) соответствующих операторов L измейяются и удовлетворяют нелинейным дифференциальным уравнениям [16], частным случаем которых является классическое уравнение для волны Римана
vt + vv^ = 0.
В силу этих уравнений с течением времени происходит, как и для волны Римана v(t, у), опрокидывание графиков собственных чисел /((, у), что приводит к возникновению их многозначности. Такое же опрокидывание происходит и в солитонных и А-солитонных решениях, которые мы будем называть в дальнейшем опрокидывающимися солитонами. Среди уравнений, обладающих указанными свойствами, содержится уравнение, возникающее в теории нелинейных волн и имеющее физические применения.
Двумерное интегрируемое уравнение
Во многих задачах гидродинамики возникают одномерные волны Римана, которые определяются уравнением
vt = kvvy.(1.1)
В работах [31, 32] изучались системы гидродинамического типа, включающие в себя уравнение (1.1) и возникающие при усреднении интегрируемых уравнений по методу Боголюбова — Уизема.
Исследуем вопрос о двумерном взаимодействии волны Римана (1.1), распространяющейся по оси у, с длинными волнами, распространяющимися по оси х. Подобное взаимодействие в некотором приближении наблюдается в волнах на поверхности моря. Какое уравнение может описывать это взаимодействие?
Естественным требованием к уравнению нелинейных волн является линейность по старшим производным и наличие у линеаризованного уравнения волновых решений вида v(t, х, у) = a cos (kix + kzy — at). Вследствие этого каждое слагаемое в линеаризованном уравнении должно содержать производные только нечетного порядка. Так же естественно предположить, что уравнение в целом имеет квадратичную нелинейность и для функций, не зависящих от х, переходит в уравнение волны Римана (1.1), а для функций, зависящих от одной пространственной переменной z = х + су (при произвольных постоянных с), переходит в уравнение длинных волн — в уравнение Кортевега — де Фриза
vt = mvVx + m2wz + mzvllt.(1.2)
Разумеется, эти предположения означают наличие некоторой анизотропии среды по отношению к дисперсии волн. Уравнение с производными третьего порядка, удовлетворяющее перечисленным условиям, может иметь только следующий вид:
Щ ” C^VX -|- C^VVx -|- C^VVy + C4Vxdx Vy -|- C^Va^ -|- С^ОХХу -|-
+ С?17^ + csvxdx 2vyy + с9иждж Vyyy. (1.3) В этом уравнении нет слагаемых
сюуУ’ спуу^х уу’ ci^x8y vx, с^уду иж, c^Vyyy,
^IS^®’ CleVxVy, C17Vy, C1SVXVXX, C^VyCxx и T. Д., так как они не удовлетворяют указанным условиям.
Всюду в дальнейшем операторы дх 1 и ду 1 однозначно определяются формулами
ху
(9хги) (ж, у) = j и (£, у) dl, (д^и) <х, у) = $v ^’ ^ ^'оо
В уравнении (1.3) слагаемое ci^ устраняется с помощью замены координат
x' = x + cit, у'~ у, t'= t.(1.4)
Слагаемые c^Wx и сьи^ устраняются по отдельности с помощью замены
II/ I!Иli.ll! А Г \
х = х + Соу , у = у , t = t ,(1.5)
где со = —сг/(сз + С4) и со = —Cs/(c6 + с7), и одновременно если выполнено соотношение сг/(сз + с4) = сз/(Сб + с?). Другие линейные замены координат, отличные от (1.4), (1.5), приводят только к усложнению уравнения (1.3). Поэтому существенная, неустранимая часть этого уравнения имеет вид
^t = ^3^у + c4vxdx Vy + с^иХХу + с^иХуу +
4~ CgVxdx Vyy + c^vxdx ^ууу (1-6)
В дальнейшем рассматривается простейший случай уравнения (1.6), удовлетворяющий естественному условию, что уравнение, как и уравнение волны Римана (1.1), содержит минимальное возможное число производных по координате у, т. е. имеет вид
vt = kwy + mvxd^Vy — svxxy.(1.7)
Перечислим некоторые свойства уравнения (1.7). Для функций к(£, х, у), не зависящих от х, уравнение (1.7) переходит в уравнение волны Римана (1.1). Для функций v^t, х, у) вида v^t, х, y) = u(t, z), z = х + c~ly, уравнение (1.7) переходит в уравнение КдФ
cu-t = (к + т) и,и,х — sUxzz.(1.8)
Для функций v(t, х, у) вида
U^t, X, z/) = u(t, ж), T=ct + y,'.
уравнение (1.7) переходит в уравнение
сих = киих + muxdx1^ — suxxx,(1.9)
которое исследовалось в работах [33, 341 при дополнительных предположениях к = 2m и к = т.
После замены и = их уравнение (1.7) принимает вид uxt = ки^и^ + тщиа — su^.(1.10)
Нетрудно проверить, что производные по t от выражений
Рх (и) = Ux, р2 (и) =— Uxx + и®
в силу уравнения (1.10) имеют дивергентный вид. Поэтому уравнение (1.10) обладает двумя первыми интегралами
7"i = j* п.ж&е dy, 12 = j* j* ( ^ _^_ m Идх 4" их^ dx dy,
которые аналогичны интегралам импульса и энергии для уравнения КдФ (1.8).
При к = т уравнение (1.10) эквивалентно эволюционному уравнению
Щ = UxUy - и^.(1.11)
Уравнение (1.10) имеет следующие точные решения: и ((, х, у) = -24 (^6Г^ ^ + Ф 0/ + V^ + V^ (1Л2) где ф(у)— произвольная функция, %, V— произвольные постоянные, £(:г)— классическая ^-функция Вейерштрас- са, t,' (х) = —б"^). i^-функция Вейерштрасса является двоякопериодической и мероморфной; ^-функция удовлетворяет соотношениям
£(z + 2®)= ^(z) + 2r|, Цз + 2®') = £(z) + 2 т/ и определяется сходящимся рядом
Ш = т + 2 ( 7^— + 5У- +(!-13)
m,n \ mn mn №mn/
где Wmn^^mto + 2п®' — векторы решетки периодов на комплексной плоскости. Доказательство того, что формула (1.12) определяет решение уравнения (1.10), следует из уравнения $"' = 12W' для i^-функции Вейерштрасса [176].
Уравнение (1.10) имеет автомодельные решения следующего вида:
u^t, х, y) = tau(z, у), z = xta, v = yt~l~2a, (1.14)
29
где а— произвольный параметр. Уравнение (1.10) после подстановки выражений (1.14) принимает вид
2auz + azuzz — (1 + 2a) vuz» = kuzuz„ + mu„uzz — suZZM. (1.15)
В двух специальных случаях a = 0 и a = —1/2 уравнение (1.15) обладает трансляционной инвариантностью по одной из координат z, и. При a = —1/3 уравнение (1.15) имеет одномерные автомодельные решения u(z, y) = u(£), £ = z + у, для которых сводится к уравнению
- 4; <2/ + ^') = (^ + ^) ff - ^г, f = u,
известному из теории уравнения КдФ.
Предельными к решениям вида (1.14) являются автомодельные решения
u^t, х, у) = e*u{z, v), z = хе*, v = ye~2*,для которых уравнение (1.10) сводится к уравнению2uz I zuzz 2yuzv — kuzu<Zu I muvtizz suzzz,,
Уравнения (1.10) при различных значениях параметра klm не эквивалентны —все масштабные преобразования сохраняют это отношение. Значение параметра klm = 2 оказывается выделенным. В этом случае уравнение (1.10) гамильтоново л имеет вид
ut = d^SHlSu,
где гамильтониан Н(и) определен формулой
7? (“) = ^ У ^"2 ^ххх"2" ^х^ uvdx dy.
При klm = 2 уравнение (1.10) после масштабного пре- „, m , 4s
образования х = — х, у =—»У принимает вид т
U-tx == ^^х^-ху + 2ПуПхх Мхххц.(1.16)
Именно это уравнение ввиду его выделенного характера и будет исследоваться в дальнейшем.
Важным свойством уравнения (1.16) является наличие для него эквивалентного представления Лакса
L, = [L, А],(1.17)
где L — оператор Шрёдингера
L = — 81 + u^t, х, у),(1.18)
A — кососимметрический оператор
А =—2(dvL + Ldv) —(щДН-dxtzv);(1.19)"
здесь дх = dldx, dv = д]ду.
Существенно, что в представлении Лакса (1.17)— (1.19) оператор L является одномерным дифференциальным оператором. Вследствие этого, как будет показано в дальнейшем (см. § 3), уравнение (1.16) является интегрируемым методом одномерной обратной задачи рассеяния. Поэтому уравнение (1.16) вкладывается в построенный в работах [13—15] класс нелинейных уравнений, интегрируемых с помощью обратного спектрального преобразования, ассоциированного с матричным оператором Шрёдингера. Основным применением методов работ [13 — 15] было открытие интегрируемого одномерного «уравнения бумерона».
Уравнение Лакса (1.17) после добавления к оператору А (1.19) оператора
Ах = у (4д* — 3 (и^х + дхихУ) (1.20) приводит к нелинейному уравнению, которое относится к общему классу уравнений (1.3):
Utx = 4tzxtzxy 4" 2wvUxx Нххху 4~ ^ ^нх11хх нхххх^. (1.21)
Уравнение (1.21) эквивалентно уравнению (1.16) и преобразуется в него заменой координат х = х — ^у, у' = у.
В заключение разюмируем: в данном параграфе показано, что двумерное уравнение
Vt = 4vvy + 2vxdx XVy — VXXy + Y (6vvx — VXXXY (I-22) описывающее взаимодействие волны Римана, распространяющейся по оси у, с длинными волнами, распространяющимися по оси х, допускает эквивалентное представление Лакса (1.17) — (1.19). Подробное исследование уравнения (1.21) — (1.22) приведено ниже, в § 2 и 3.
Основная лемма
Существование представления Лакса с операторами L и А вида (1.18), (1.19) приводит к возникновению у уравнения (1.16), (1.21) новых свойств, отличающих его от известных ранее интегрируемых нелинейных уравнений. К таким свойствам относится наличие опрокидывающихся солитонов и явление опрокидывания в поведе-
31
нии собственных чисел оператора L, рассматриваемого как одномерный дифференциальный оператор по ж, зависящий от параметров t и у. Эти свойства присущи широкому классу многомерных нелинейных уравнений, включающему уравнения (1.16), (1.21), который и изучается в данном параграфе.
В предыдущей главе были построены нелинейные дифференциальные уравнения и динамические системы, допускающие эквивалентное представление в виде операторного уравнения
L( = P(L)+[L, А]. (2.1)
При этом было показано, что в рассмотренных случаях собственные числа / оператора L удовлетворяют уравнению ft =Р(Л-
В дальнейшем уравнение (2.1) рассматривается в более общей ситуации, когда L — самосопряженный (вообще говоря, матричный) дифференциальный оператор по одной переменной Xi, параметрически зависящий от времени t и дополнительных переменных ж^ ..., жп. Например, L может иметь вид одномерного оператора Шрёдингера
L = — d^ + и (t, ж±, ж2, ..., ж^ di = д/джг,
или эрмитового матричного оператора первого порядка
О \( Оtpj ^Х"^’^)О \( Оtpj ^Х"^’^)и (г, ^)о
О \( О
tpj ^Х"^’^)
О \( О
tpj ^Х"^’^)
Возможны и другие типы операторов L.
Предположим, что оператор А является кососимметрическим (или косоэрмитовым) оператором следующего вида:
nN _
(2-2)(2-2)А = 2 Fi (L) di + Ао, Fi (L) = 2 ёгЛЛ
(2-2)
(2-2)
i = 2/i=l
где Ao — дифференциальный оператор только по переменной Ж1, параметрически зависящий от t, жч, ..., ж^ cik = = cik(t, жч, ..., жп) — произвольные гладкие функции. Оператор А (1.31), очевидно, имеет вид (2.2). Возможность применения операторов А вида (2.2) для построения (по методу Лакса) многомерных нелинейных уравнений отмечалась в работах [35, 36].
Предположим, что функция P(L) имеет вид
т
(2.3)(2.3)P(L)= 2 akL\
(2.3)
(2.3)
h=0
где ак = aAt, ^2, ..., х^ — произвольные гладкие функции.
Лемма 1. В силу уравнения (2.1) — (2.3) собственные числа оператора L удовлетворяют уравнению
■п
^■-^•Ю^-РОТ.(2.4)
1=21
Доказательство. Представим оператор L в виде
L = QL0Q-1,(2.5)
где Q — некоторый унитарный оператор, действующий в пространстве Лг(—°°, 00) функций от хг и параметрически зависящий от t, Х2, • •., хп. Выведем из уравнений (2.1) — (2.3), (2.5) уравнения, которым должны удовлетворять операторы Lo и Q.
В силу тождества VdtV-5 = Vdi+ Udi(<V-i'j справедливо равенство
йй
L‘* - А2 №И - гп 2 и (l‘-j) -7=07=0
Поэтому оператор А (2.2) можно представить в виде
(2.6)(2.6)А = 2 5 (cikS Ш1?~; + 2 L^I?^ + А/ 1=2\ j=oj=o/
(2.6)
(2.6)
nN/ k
Аг = Ao - 2 2 Зс^ Udi (I?-7) - Lhdi (c^, i=2 h=l \7=0
где cik(t, X2, •.., x^ = cih(2k + 2)-1. Здесь использовано, что функции ciA(f, Х2. • • £п) коммутируют с оператором L, который содержит только дифференцирование по переменной Xi, но не коммутируют с операторами di = djdxi, i = 2, ..., п. Первое слагаемое в кососимметрическом операторе А (2.6), очевидно, является кососимметрическим. Поэтому и оператор Ai тоже кососимметрический; по построению это дифференциальный оператор только по одной переменной хь
Справедливы тождества
- L, 2 Udil?4 .7=0- L, 2 Udil?4 .7=0= [Lft+1, di\ = -di^k+yY= [Lft+1, di\ = -di^k+yY
- L, 2 Udil?4 .7=0
- L, 2 Udil?4 .7=0
= [Lft+1, di\ = -di^k+yY
= [Lft+1, di\ = -di^k+yY
3333
33
33
3 о. И. Богоявленский
Поэтому из представления (2.6) в силу коммутативности оператора L и функций с1к(1, хг, ..., я:л) получаем формулу n N
[L, А] = — 2 2 2 ctkdi (Lk+1) + [L, А,].(2.8)
i = 2 к=1
Элементарное вычисление приводит к следующим равенствам:
di (Lk+1) = di (QL^Q-1) = [di (Q) Q-1, L^1] +
ч-р^г^ст1
+ Qdi (Lq+1) Q"1, (2.9) ^(L)-[rff(Q)Q-1, LJ + Qd^^Q-1, P(L) = QP(L0)Q-.
Уравнение (2.1) после подстановки равенств (2.8), (2.9) принимает вид
[d, (Q) Q"1, L] + Odi (Lo) Q-i = QP (Lo) Q”1 + [L, AJ -
-2-2к
-2
-2
cu2 L,di(Q)Q-1L'l-J, L]- j=o
-2 2 2 ^Qdi^OQ-1. (2.10)
i=2 k=l
Определим унитарный оператор Q как решение следующего дифференциального уравнения:
dz(Q)Q^+2 2 2 ci^ Ш (Q) Q-1^ = - Ar (2.11) i = 2 к=13=0
(Все слагаемые в этом уравнении являются кососимметрическими операторами.) Тогда в силу уравнения (2.1), (2.10) оператор Lo удовлетворяет дифференциальному уравнению
dt (Lo) + 22 2 Cikdi (Lk+1) = P (Lo).(2.12)
i=2 A=1
Укажем начальные данные для операторов Q и Lo при tct в уравнениях (2.11), (2.12). Для этого рассмотрим задачу па собственные значения для оператор^ L: Аф = /ф. Выделим непрерывные ветви собственных чисел /(^, Х2, . .., Хп'). В окрестности точки р=(+ ^2, • • ч ^п), в которой эти ветви не пересекаются (общее положение), 34
соответствующие им собственные функции ф/(2, жь хг, ... . .., ж„) ортогональны в пространстве 2-2 (—°°, °°) функций от жь При t = t определим унитарный оператор Q(2, жг, • ■., ж„) в окрестности точки р так, чтобы
(Q-4z) (2, ^ь ^2, ..., ж|П) = тр/(i, жь х^ ..,, ж„), (2.13)
где собственные функции i^ соответствуют одной ветви собственных чисел / (2, жг, ..., ж„). Функция (Q-1ip/) (2, жц Ж2, ..., ж„) является собственной функцией оператора Lo = = Q~'LQ и в силу (2.13) не зависит от жг, ..., ж„. Такое построение определяет начальные данные для операторов Q и Lo при t = t в уравнениях (2.11), (2.12).
При указанных начальных данных уравнение (2.12) имеет решение — оператор Lo, который при всех t, жг, ... ..., ж„ в окрестности точки р имеет одно и то же множество собственных функций фу(?. жц жг, ..., ж„). Соответствующие им собственные числа /(L жг, ..., ж„) в силу (2.12) удовлетворяют уравнению
п N
+ (2-14)
1=2 й=1 *
с начальными значениями /(2, жг, . •., ж„). Унитарный оператор Q(t, жг, ..., жп) определяется из уравнения (2.11) при указанных начальных значениях Q(2, жг, ..., ж„). Уравнение (2.14) совпадает с уравнением (2.4), поскольку собственные числа операторов L и Lo = Q-1LQ совпадают и cik = cUt(2/c + 2)"'. Поэтому уравнение (2.4) справедливо в окрестности всех точек р общего положения (в смысле дискретного спектра оператора L). Лемма 1 доказана.
Важной областью применения леммы 1 являются уравнения, допускающие представление Лакса L( = [L, А] с оператором А вида (2.2). В этом случае собственные числа оператора L удовлетворяют уравнению (2.4) с Р(/)=0:
4г + 2^<лД-0- <2Л5> 1=2 1
Уравнение (2.15) является законом сохранения: из него следует, что для любой области G с границей S в пространстве R"-1справедливы уравнения
^ J’fft(t, ж2, .,., ж„) dxa ...dxn=\ (Фй, n) da, (2.16) с s
где к — произвольное натуральное число, п — вектор нормали к поверхности 5, ФА — вектор с компонентами ФлД/), причем йФу(/)/д/ = —kf" ^Д/). Если функция /(Д #2, ... ■ ■ -, ^п) убывает достаточно быстро при I^J -* <», то уравнение (2.15) имеет счетное множество сохраняющихся величин ■
Ik = Г /"(^ ^2- •--^п)^ ... &п. (2.17) ьЧп—1
Таким образом, в силу леммы 1 для уравнения Лакса L( = [L, А] сохраняются не собственные числа /(£, Х2, •.. ..., хп) оператора L, а интегралы 1к от их степеней (2.17).
Здесь возникает кажущееся противоречие с известным утверждением Лакса о сохранении собственных чисел оператора L в силу уравнения Ьг = [L, А]. Объяснение этого парадокса состоит в следующем. Оператор L действует как в пространстве Нх функций, зависящих только от одной переменной xi, так и в пространстве Нп функций, зависящих от п переменных xi, Х2, ..., хп, в то время как оператор А действует только в пространстве функций Нп. При доказательстве теоремы Лакса операторы L и А рассматриваются в том пространстве, где они одновременно определены, т. е. в пространстве Нп. Собственные числа /(£, Х2, ..., хп) оператора L определяются в пространстве Я1 и в общем случае не связаны с собственными числами оператора L в пространстве Нп, которые остаются неизменными в силу теоремы Лакса.
Простейший пример применения Основной леммы возникает, когда оператор L является диагональной матрицей с компонентами Ly = /,(#, х)6ц, а оператор А = = — F^dfdx. Соответствующее уравнение Лакса эквивалентно системе уравнений на собственные числа Л(£, х);
Ь-РЦ^. (2.18)
Замечание 1. В уравнении (2.4) функции F^t), РУ) являются многочленами от / с коэффициентами с11и ah, которые являются произвольными гладкими функциями от t, Х2, ..., Хп- Доказательство леммы 1 переносится и на более широкие классы функций F^f), Р^), например, аналитические или мероморфные. Поэтому практически любое квазилинейное уравнение вида (2.4); (2.15) возникает как уравнение на собственные числа оператора L в конструкции (2.1), (2.2).
Уравнение (2.15) для функций / вида
/(t, х2, ..., x„) = f(t, х), х = с2^2 + ... + СпХп
после введения обозначения и = c2F2 (/)+... + CnFn (/) и умножения на duHM переходит в уравнение волны Римана
щ + иих = 0. (2.19)
Во всех не постоянных решениях уравнения (2.19) возникает явление опрокидывания (перехлеста) фронта волны v(t, х) и решение становится многозначным.
Уравнение опрокидывающейся волны Римана (2.19) допускает представление Лакса L( = [L, А] со скалярным оператором L = v(t, х) и дифференциальным оператором A = v(t1 х)д)дх и является простейшим примером применения леммы 1.
Важнейшим свойством квазилинейных дифференциальных уравнений (2.4)и (2.15) является возникновение многозначности решений, которую, однако, исходя из аналогии с газовой динамикой, часто исключают введением разрывных решений — ударных волн. Условия сшивки решений на разрыве обобщают известные условия Рэнкина— Гюгонио [169].
Замечание 2. Из теории одномерных интегрируемых уравнений известно, что структура солитонных решений таких уравнений связана с собственными числами соответствующего оператора L. Двумерные уравнения, допускающие операторное представление вида (2.1) — (2.2), и подобные им уравнения более высокой размерности также обладают солитонными решениями, структура которых связана с собственными числами /(£, х2, ... ..., х^ оператора L. Существенно, что ввиду указанного поведения собственных чисел многомерные солитоны, как и функции /(£, х^ ..., х^, являются опрокидывающимися (при Р(/)=0). Такие опрокидывающиеся солитоны будут построены ниже для нескольких двумерных уравнений. Следуя аналогии с газовой динамикой, можно рассматривать разрывные решения /(£, х2, ..., х^ квазилинейного уравнения (2.15). Соответствующие им солитонные решения также имеют разрывы, являющиеся ударными волнами, и поэтому будут называться в дальнейшем ударными солитонами.
Пусть ф(£, Xi, х2, ..., хп) — собственная функция оператора L, отвечающая собственному числу /(£, x2l ... ..., хп).
Лемма 2. В силу уравнений (2.1) — (2.3) справедливо уравнение
Ь(ф( + Аф) = /(ф( + Аф). (2.20)
Доказательство. После дифференцирования равенства Ьф = /ф по времени находим
Ь(ф + Ьф, = Дф + /фг.
Заменяя здесь Lf и /, в силу уравнений (2.1), (2.4), получаем уравнение
L (ф; + Аф) = - 2 Fi (О ^ ф + /ф, + А (/ф). (2.21) г = 21
Последнее слагаемое в силу формулы (2.2) и ввиду того, что функция /(i, ^2, • •., ^п) не зависит от жц имеет вид
А (/ф) =/А (ф) + ^ ^ (/) ^ ф- (2.22) 1=21
Поэтому из равенств (2.21), (2.22) следует уравнение (2.20). Лемма 2 доказана.
Таким образом, функция фг + Аф в силу операторного уравнения (2.1) также является собственной функцией оператора L. Лемма 2 в дальнейшем будет использоваться (так же, как она используется всегда для операторного уравнения Лакса) при применении метода одномерной обратной задачи рассеяния.
Замечание 3. Данные рассеяния для оператора L (в тех случаях, когда они определены) в силу уравнения (2.1) — (2.2) удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка по переменным t, хг, ■ .., хп. Эти уравнения в ряде случаев допускают полное решение. Соответствующие уравнения, эквивалентные операторным уравнениям (2.1) — (2.2), интегрируются методом обратной задачи рассеяния, связанной с оператором L.
Опрокидывающиеся солитоныи А-солитонные решения
Уравнение (1.21) — (1.22) допускает представление Лакса (1.17) с оператором А вида (1.19). Поэтому к уравнению (1.21) — (1.22) и собственным числам соответствующего оператора L (1.18) полностью применима лемма 1 из § 2, согласно которой собственные числа /(£, у) удовлетворяют уравнению волны Римана
Д-4//„ = 0.(3.1)
Этот результат является весьма естественным, учитывая физический смысл уравнения (1.21) — (1.22) — взаимодействие волны Римана, распространяющейся по оси у, с длинными волнами, распространяющимися по оси ж.
Построим солитонные решения уравнения (1.21), которые будем искать в виде бегущих волн
u^t, х, y^X^t, у)а&), ^ = X(i, у)х- ср (£, у), (3.2) где X^t, у), <р(/, у), а(£)—неизвестные функции. После подстановки функции (3.2) в уравнение (1.21) нетрудно убедиться, что функции X^t, у) и q>(i, у) обязаны удовлетворять уравнениям
Xt = тХ2Ху, ср( = т(Х2сру — 4Х3),(3.3)
где т — некоторая постоянная. При выполнении этих условий уравнение (1.21) для функции иЦ, х, у) (3.2) сводится к следующим двум уравнениям относительно функции а (^):
2а'" = аа" + 4а'2 — та',(3.4)
aIV = ба'а" — та".(3-5)
Покажем, что полученная система двух уравнений совместна и эквивалентна одному уравнению
2a' = а2 + т.(3.6)
Действительно, проинтегрируем уравнение (3.5) по £, получим
а'" = За'2 — та'—сх.(3-7)
Вычтем из уравнения (3.4) уравнение (3.7) и затем вычтем удвоенное уравнение (3.7), получим
а"' = (aa')' + сх,(3.8)
аа" = 2a'2 — та' — 2сх.(3-9)
Интегрируя уравнение (3.8) два раза по £, находим
а" = аа' + сх£ + с2,(3.10)
a'=-^ а2 +-^ сх^2 + с2^ + с3.(3.11)
Уравнение (3.9) после подстановки выражения (3.1 Оу принимает вид
(3.12)39(3.12)39a (2a' — a2— т^ = a(ci£ + с2) + 2ci,
(3.12)
39
(3.12)
39
Уравнения (3.11), (3.12), которые эквивалентны исходной системе (3.4), (3.5), являются совместными только при условиях ct = 0, С2 = 0, с3 = пг/2 и в этом случае совпадают с уравнением (3.6).
Таким образом, уравнение (1.21) для функции “(^ я, Z/) (3.2) сводится к уравнениям (3.3) и (3.6). Решения уравнения (3.6) имеют вид:
при
при
т = №
т = 0
a® = btg^^ +д),
(3.13)
(3-14)
а® =
-2^-сГ1,
при
т = — Ь2
а® =
— bcth^-£ + с),
(3.15)
а® =
(3.16)
Особые точки д = ±Ь уравнения (3.6) отражают наличие волны Римана (1.1) в решениях общего уравнения (1.3). Функции (3.13) — (3.15) имеют сингулярности на оси g, поэтому сингулярности имеют и соответствующие им решения (3.2). Функция (3.16) не имеет особенностей. Соответствующая формула (3.2) определяет гладкое ре- шение уравнения (1.21) — (1.22). После замены Х1 = -^ЬХ, ф2 = ^ Ьф приходим к справедливости следующего утверждения.
Утверждение 1. Уравнение (1.21) — (1.22) имеет точные опрокидывающиеся решения двух типов. Решения первого типа являются гладкими и определяются формулами
u(t, х, y'i=—‘21’k(<t1 y)th(X(t, у)х — ф(£, у))', (3.17) где X(t, у), ф(£, у) — произвольные решения уравнений
Л( + 4A2AV = О, ф( + 4Л2фи = 4уХ3.(3.18)
Решения второго типа являются сингулярными, имеют движущиеся полюсы первого порядка и определяются формулами
u^t, х, y) = 2X(t, y)tg(X(t, y)x-4>(t, у)), (3.19) Xt — 4Х2л„ = 0, ф( — 4л2ф„ = — 4ул3,
n2(t, х, y)=-2X(t, у)сМШ y^-^lt, у)}, (3.20) Xt + 4Х2ЛИ = 0, ф( + 4Х2фу = 4ул3.
Уравнения (3.18) — (3.20) для функции Л((, у) после умножения на 8Л переходят в уравнение волны Римана (2.19) на функцию и = 4л2. Поэтому в решениях уравнений (3.18) — (3.20) также возникает явление опрокидывания фронта волны и функция X^t, у) становится многозначной при изменении времени t. Это приводит к опрокидыванию и многозначности графика функции u^t, х, у), которые наступают при изменении t, у одновременно на всей оси — °о.<;г<+оо.
Динамика полюсов ;го = ф(1, у) = ф(^, у)Х-1(1, у) сингулярных солитонных решений (3.19), (3.20) определяется уравнениями
ф( + 4oX2ipv = 4о^2, Kt + 4oZ2Zy = 0, о = ±1.
Далее мы будем рассматривать только гладкие опрокидывающиеся солитоны (3.17), не имеющие сингулярностей. Производные функции u^t, х, у) определяются формулами
и,^, х. у)= —2X2clr2(X;r — <р),(3.21}
му(1, х, у) = —2Xyth(X;r — <р) —2Х(аАу — <py)ch-2(X;r — <р).
(3.22}
Асимптотики функций и, их, иу при |а;| -> оо имеют вид
X -* —оо: и -> 2Х, Ux -> 0, Uy-* 2ЛУ, а?->+о°: и -> — 2Л, их 0, Uy-*—2Xy.
Формула (3.17) показывает, что опрокидывание (возникновение многозначности) графика функции u^t, х, у) происходит одновременно с опрокидыванием графика функции X^t, у). Формула (3.21) при фиксированных t, у для каждой однозначной ветви значений X(_t, у) совпадает с формулой солитона уравнения Кортевега — де Фриза. Поэтому каждому значению X(t, у) соответствует одно собственное значение —Х2(£, у) оператора Шрёдингера L=—dx + uK(t, х, у), где в функции щ(1, х, у) берется соответствующая однозначная ветвь. Таким образом, многозначность функции X^t, у) не означает появления новых собственных значений у оператора L, а соответствует многозначности функции их^1, х, у), причем каждой однозначной ветви ux^t, х, у) отвечает прежнее число собственных значений. Это свойство верно также и для опрокидывающихся А-солитонных решений, указанных ниже.
Обнаруженное явление опрокидывания в решениях нелинейных уравнений (1.16), (1.21) — (1.22) является отражением поведения реальных физических объектов — например, динамики морских волн.
Формула опрокидывающегося солитона (3.17) и асимптотики (3.23) показывают, что в решениях уравнения (1.16), (1-21) нельзя ограничиться случаем функций u(t, х, у), убывающих на бесконечности |ж| вместе с производными и.у, а именно их значения следует предполагать ограниченными при Ы -> оо. При этом |щ! -> 0 при Ы -> оо. Это обстоятельство существенно отражается на эволюции данных рассеяния.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения (1.21) в классе функций u^t, х, у), имеющих следующую асимптотику при Ы -> о°:
u^t, X, y^g^t, У), z->+oo: u^t, х, у) -> h^t, у). ’
Для таких решений имеем щ(£, х, у) —О, u^^t, х, у')-* О при |^| -> оо и Uy^t, х, у) -> gy, hv при ж -> + оо. Применим к уравнению (1.21) метод одномерной обратной задачи рассеяния для оператора L = —dx + их (t, х, у), где переменные t и у входят в виде параметров. Данными рассеяния являются собственные значения дискретного спектра /л(^, у), соответствующие им коэффициенты bn(t, у), и коэффициенты а (к, t, у) и Ъ (к, t, у), характеризующие рассеяние в точках непрерывного спектра.
В силу леммы 1 и формулы (1.19) собственные числа /п(^ у) = — ^п удовлетворяют уравнению волны Римана
^/71 / , ®fn л ^^71 , / л 2 ^71 Л
и поэтому становятся многозначными функциями от t, у. Многозначными становятся и соответствующие собственные функции дискретного спектра фп(£, z, у), удовлетворяющие условиям
2 /пфп> /п ^'711 ^71 /* 0,(3.26)
■фп(#, X, у)= ехр(Л„ж) (1 + о(1)), X -> — оо,ipn(i, х, уУ=Ь„^, у)ехр(-Х„2:)(1+ о(1)), х -> +оо.
Используя явный вид оператора А (1.19), (1.20)
А 4^х^у 2tZyrfx 4пд/^ 3tZxy 4- Y (4cfo ■ ^ихДх — ЗмЖх)
(3.27) и уравнение (3.25), находим асимптотику при х-^—оо-. (фп)« + А(фп) = (— 2guXn + 8уЦ)ехр(Хп.т)(1 + о(1)). (3.28) В силу леммы 2 § 2 функция (фл); + А(ф„) является собственной функцией оператора L, отвечающей собственному числу /„. Поэтому из асимптотик при х -»- — °о (3.26), (3.28) следует равенство
(^n)i + А (ф„) = (— 2"УХП + 8уЦ) фп. (3.29)
Подставим в это равенство асимптотику (3.26) при х ->-+оо и используем формулы (3.24), (3.25), (3.27); получим уравнение
(^п)г 4- 4Х„ (Ь^ц = (— 2An (gu 4- /гу) 4- 8уХн) b1v (3.30)
Это — линейное уравнение с переменными коэффициентами, поскольку Л„, g и h — функции от t, у.
Спектральные функции ф(/с, t, х, у) удовлетворяют условиям
—+ М *211’’ ^ > °’ /ч
ox(o.ol)
ф(/с, t, х, у) = ехр( —ikx^-V о(1), х -> — оо, ф (Л, t, х, у) =
= а (к, t, u)exp(—ikx) 4- b (к, t, у) exp (ikx) 4- о (1), x -> 4- oo.
Из уравнения Лакса (1.17) — (1.20) следует уравнение (L — к^ (ф( 4- Аф) = 0. Отсюда, используя двумерность пространства собственных функций ф(А:, t, х, у) (3.31) при фиксированных к, t, у и асимптотику (3.31) при z —°°, получаем уравнение
ф( 4- Аф = (2ikgv 4- 4у1'/с)ф.(3.32)
Подставляя в это уравнение асимптотику (3.31) при х -»- 4- оо и используя формулу (3.27), получаем уравнения для данных рассеяния
at — 4/с2а„ = 2ik(gy — h^a,(3.33)
bt — 4k?by =(2ik (gv 4- hy) 4- S^ik3) b. (3.34)
43
Таким образом, эволюция данных рассеяния, соответствующих решению u^t, х, у) уравнения (1.21), полностью определяется уравнениями (3.25), (3.30), (3.33), (3.34).
Выше мы показали, что применение метода обратной задачи к уравнению (1.21) имеет две особенности. Во-первых, это не постоянство и возникновение многозначности собственных чисел /п =— А„. Во-вторых, дифференциальные уравнения для данных рассеяния (3.30), (3.33), (3.34) содержат асимптотические характеристики g^t, у) и K^t, у) неизвестного решения u^t, х, у).
Если данные рассеяния известны, то потенциал uxG, х, у) определяется по формулам [5]
их (ж) = - 2 , (3.35)
К (х, х^ + F (х + х^ + [ К (х, z) F (z + Xj) dz = 0,
(3.36)
N00
F to - 2+ F f r to r№-F&
' *га (iX\ 2л J ' '' 7 a (ky
"=1V n'-oo
в которые переменные t, у входят в виде параметров. Из уравнения (3.35) получаем формулу
u^t, х, у^ = —2К(х, х, t, y^-VG^t, у),(3.37)
где G^t, у) — произвольная функция, выбор которой необходимо согласовать с асимптотическими характеристиками g^t, у) и h^t, у).
Укажем точные V-солитонные решения уравнения (1.21). Пусть функция Ъ(k, t, у) = 0. Тогда функция а (к, t, у) определяется уравнением [5]
№ к — п
а(к, t, у) = П(3-38)
Подставим эту формулу в уравнение (3.33) и учтем уравнения (3.25), получим следующее необходимое условие для асимптотических характеристик g(t, у) и h(t, у):
IN \
I g — h — 4 2 ^n I = 0.(3.39)
\71 = 1 /у
Пусть коэффициенты b„(t, у) определены из уравнений (3.30) при g-Vh = O1 а функция ак^к, t, у) задана 44
формулой (3.38). Определим функции
п=У..,К.(3.40)
Тогда в соответствии с формулами Хироты [37] и формулой (3.37) потенциал иЦ, х, у) имеет вид
u(t, х, у) = — 2-^ In det A (Z, х, у) + G (Z, у),(3-41)
A,; (Z, х, у) = 6ij + (Xi + XjP^i (Z, у) exp (— (Xi + X;) x\
где Ay(Z, x, y) — компоненты матрицы A, Z, / — 1, ..., N. Асимптотика функции u(Z, x, у) при |x|-> °° в силу (3.41) и X<>0 имеет вид:
N
при х-> — ОО u(t, х, у)->4 5 Хп + G(t, у), ,п n—i(o.jzj
при х-> + оо и (Z, х, у) -> G (Z, у).
Поэтому необходимое условие (3.39) выполнено при произвольной функции G(z, у).
При Z -> ±°о решение (3.41) распадается в сумму односолитонных решений (3.17), имеющих асимптотику (3.23), удовлетворяющую условию ^(Z, р) + h(t, z/)=0. Следовательно, это же условие должно быть выполнено и для решения (3.41), что в силу (3.42) однозначно определяет вид функции G(^, уУ
G(t, у) = h(t, у) = — g(t, у) = — 2 S An (С у)- (3.43) п=1
При А = 1 формулы (3.41), (3.43) переходят в опрокидывающийся солитон (3.17). В силу того что функции X„(Z, у') удовлетворяют уравнению (3.25), эквивалентному уравнению волны Римана, в решениях (3.41), (3.43)' также возникает явление опрокидывания графика функции u^t, х, у), одновременное на всей оси —оо<х<+°о. Поэтому формулы (3.41), (3.43) вместе с уравнениями (3.25) определяют опрокидывающиеся А-солитонные решения уравнения (1.21).
Опрокидывание графика функции u(t, х, у) происходит одновременно с опрокидыванием графика одной из функций Xn(Z, у). При этом каждому выбору однозначных ветвей функций X„(Z, у') (и соответствующих p„(Z, у)) соответствует однозначная ветвь функции u(t, х, у}, причем производная и^У, х, у) для каждой ветви является А-солитонным решением уравнения КдФ.
Второе двумерное интегрируемое уравнение
В данном параграфе мы построим двумерное уравнение для функции u^t, х, у), допускающее операторное представление вида (2.1):
L = aL2 + pL + [L, А],(4.1)
где а(£, у), Р(£, у)—произвольные функции от t, у.
Пусть L — оператор Шрёдингера (1.18), оператор А является суммой оператора (1.19) и оператора (3.2) главы I:
А 2 (tZ^L -|- LtZy) ^u-ydx -|- dxUy} Н- Y (4cZx 6uxdx 3iZxx)-|-
+ 4 a.xdx1 (Захмж + оси + 2рж) dx + 4 осих|-ахмж.
(4.2)
В этом случае операторное уравнение (4.1) эквивалентно следующему дифференциальному уравнению:
^tx = 4tZx^Xy 4" ^UyUxx ^ххху 4" Y (бМ^ХХ ^ХХХх) 4"
,2 , о11,
“г (ZU# т р^хg О^^^хххх 2 ^^ххх “г
+ 4 ««(За®! + оси + 2р^). (4.3)
Это новое двумерное дифференциальное уравнение, так же как и уравнение (1.21), может быть решено методом одномерной обратной задачи рассеяния.
К уравнению (4.1) — (4.3) применима лемма 1, и поэтому собственные числа /(Z, у) оператора Шрёдингера L = — dx + их в силу (4.3) удовлетворяют уравнению и = -ь2)
ft - 4//„ = а/2 + р/, Х( + 4V^ + 1 аV - 4 рх = 0. (4-4)
Уравнение (4.4), как и уравнение волны Римана (2.16), имеет решения с опрокидыванием графика функции /(Z, у); но имеет также и всюду однозначные гладкие решения. Например, решение типа бегущей волны (здесь аир постоянны)
Ц1, у) = с ехр (рг — 4 “УУ(4-5)
Утверждение 2. Уравнение (4.3) имеет точное решение — солитон, который определяется формулой
и (t, х, y) = —2X(t, y)th(X(^, У)ж—ф(^, у)), (4.6)
где X^t, у), ф(£, у)— произвольные решения уравнений Х( + 4Х2ХУ + 1 аХ3 - 1 рХ = О, <pt + 4Х2сру = 4уХ3. (4.7)
Доказательство аналогично доказательству утверждения 1 из § 3 и может быть заменено прямой подстановкой в уравнение (4.3).
Первое уравнение (4.7) является следствием уравнения (4.4) после подотановки / = —X2. Простейший вид солитона (4.6) определяется следующими явными решениями уравнений (4.7):
X = сехр^р/ — 4ау\ ср = — X — ^ In | аХ2 — р|,
(4-8) где аир постоянны.
Предположим, что функция u(t, х, у) при Ы -► °° имеет асимптотики (3.24); собственные функции i|\(/, х, у) оператора Шрёдингера удовлетворяют условиям (3.26). В асимптотике (3.26) при х -► — °° находим ■фп;+ Афп =^а: ^Хп< + 4Х2ХПу + "2 <хХп —^- pXnj +
+ 4уХ3 — 2gyXn — ^ aXngj exp (k^ (1 + о (1)). (4.9)
Из ле-мы 2 § 2 следует, что функция (ф„)( + A(i|)„) является собственной функцией, отвечающей собственному числу /„(t, yY Поэтому из асимптотики (4.9) и уравнения (4.4) получаем равенство
('фп)с + А (^п) — ^4уХп — 2gyXn ^- aXngj фп. (4.10)
Подставив в это равенство асимптотику (3.26) при х -► -► +°о и использовав формулы (3.24), (4.2), (4.4), получим уравнение
(М« + 4Х„ (6П)У = (8уХ3 — 2Хп (gy + к^ — -^ aXn (g + й)^ bn,
(4.11) определяющее динамику коэффициента bn(t, у).
В силу уравнения (4.3) спектральные функции ф(/с, t, х, у) оператора Шрёдингера L удовлетворяют условиям (3.31) при дополнительном предположении, что параметр к изменяется в силу уравнения
kt = -^ a/с3 + у р/с.(4-12)
Дифференцирование уравнения Вф = к^ по времени и подстановка равенств (4.1), (4.2), (4.12) приводят к уравнению
L (ф( + Aip) = к2 (ф( + Аф).(4.13)
В асимптотике (3.31) при х-* —°° находим (в силу уравнения (4.12))
ф< + Аф = 14^1к3 + ikl2gy-V -^ agj 1 exp (— ikx) (1 + о(1)).
(4.14) Поэтому из (4.13) и (4.14) следует равенство
фг + Аф = ^ik3 + ik^2gy + ^ ag^ ф. (4.15)
Подставляя в это равенство асимптотику (3.31) при ж-* +°°, получаем уравнения
"2 а^3 + -^^>k\ah =
2(gy —7гу) + ^-«(g —/г))а, (4.16) bt - 4k2bv + (A oik3 + A 0k) bh =
= ik^k1 + 2(gy + hy^ + 4а(# + b^b. (4.17)
Уравнения (4.4), (4.11), (4.16), (4.17) полностью определяют эволюцию данных рассеяния, соответствующую дифференциальному уравнению (4.3).
Обратное преобразование рассеяния определяется формулами (3.35) — (3.36). При построении А-солитонных решений полагаем 6 (A, t, у) = 0. В этом случае функция а^к, t, у) определяется при всех t, у формулой (3.38). Подставляя эту формулу в уравнение (4.16) и учитывая, что все функции Z„G, у) удовлетворяют уравнению (4.4), получим следующее уравнение:
2 (g - h)y + 4 a kg - A) = 2 (8 ^ +(4‘18)
n=l
Так же как и в § 3, полагаем g + A = O; тогда из уравнения (4.18) по-прежнему следуют равенства (3.43). Поэтому А-солитонные решения уравнения (4.3) определяются формулами (4.4), (4.11), (3.40) — (3.43). Простей-
48
шее односолитонное решение определяется формулами (4.6)-(4.8).
Явление опрокидывания реализуется в некоторых решениях уравнения (4.4). Построенные по таким функциям АП, у) А-солитонные решения уравнения (4.3) обладают всеми свойствами опрокидывающихся А-солитон- ных решений, указанных в § 3.
Укажем интегрируемый матричный аналог двумерного уравнения (1.16). Пусть U((, х, у) — матрица размера пХп, L = — дх + иж (С х, у) — матричный оператор Шрёдингера, оператор А определим формулой
—2" А = dyL + Ldy + \3ydx + 2" Uxy + W. (4.19)
Уравнение Лакса L( = [L, А] при условии
wx = 4 [Ux, Uy](4.20)
эквивалентно уравнению
Utx = 2 (U^v + UyUXx + UxxUy - UxxxW - 2 (Ux, W]. (4.21)
Уравнение (4.21) и является интегрируемым матричным аналогом уравнения (1.16). Уравнение (4.21) оставляет инвариантным множество симметрических и эрмитовых матриц и на множестве диагональных матриц переходит в уравнение (1.16). Собственные числа /(^, у) оператора L в силу леммы 1 и вида оператора А (4.19) удовлетворяют уравнению волны Римана (3.1). Уравнение (4.21) также интегрируется методом обратной задачи рассеяния (в ее матричном варианте [38]).
О связи с уравнением Кадомцева — Петвиашвили
В данном параграфе мы покажем, что двумерное интегрируемое уравнение (1.21) — (1.22) косвенно связано с уравнением Кадомцева — Петвиашвили [39]
(г, - 6vvx + vxxx)x = о2рто.(5.1)
Справедливо следующее утверждение.
Утверждение 3. Двумерное уравнение
(^iz Р (4Ux^xy "Р 2iU$xUy Ugycxy) у (бг/х^хх Ихххх ) )х==
= -a2 (pum + 3fuXTO) (5.2)
допускает представление Лакса (а2, р, v — произвольные вещественные постоянные).
4 О. И. Богоявленский49
Доказательство. Рассмотрим уравнение Лакса L = [L, А], где операторы L и А имеют вид
L = Lx + аду, Lx = — Эх + ux^t, ж, у),
А = рА] + уА2 — 2а^ду + aw^t, ж),
Ai = — 2 (dyLj + ЬД) — иудх — дхпу, (5.3)
A2 = 4dx — 3 <u^x + dxux\
Операторы Ab A2 совпадают с операторами (1.19), (1.20). Из результатов § 1 следует, что коммутатор операторов L и А имеет вид
[L, А] Р (4tZx^y + 211^x11^ Щххр) "Ь ^ (бЩМ^ i^xxxx)
— а\Ьдх + дхЬ) + a2w„, b = wx + ^ита + З^и^.(5.4)
Поэтому уравнение Лакса (1.17) с операторами L и А вида (5.3) эквивалентно двум уравнениям
К(х Р (4lZXWq; 4™ 2/UgxUy U'XXXy') 4~ ^ (.Зи-xUxx ^xxix) 4" a XVys
w*'= -^Uyy - 3^.(5-5)
Исключая из этих двух уравнений функцию w^t, ж, у), приходим к уравнению (5.2). Следовательно, уравнение (5.2) эквивалентно уравнению Лакса (1.17), (5.3).
Косвенная связь уравнений (1.21) — (1.22) и уравнения Кадомцева — Петвиашвили (5.1) состоит в том, что оба эти уравнения представляют собой специальные случаи при а = 0 и при р = 0 двумерного интегрируемого уравнения (5.2) (уравнение (5.1) вкладывается в (5.2) подстановкой и = и,^.
Укажем дополнительно явный вид оператора А (5.3):
А = р (4дхду — 2иудх — 4ихду — Зиху) — 2арду +
+ V (4дх — 6ихдх — Зихх) + aw. (5.6)
При вещественных а, р и чисто мнимом а оператор А косоэрмитов, а оператор L (5.3) эрмитов.
В представлении Лакса для уравнения (5.2) при а^ ¥= 0 оператор А можно заменить на оператор Ао = А + + 2a-*pL2, так как [L, А] = [L, Ао]. Оператор Ао имеет следующий вид
Ао = 2a-1pLi — р (.itydx + dxUy) + уА2 + aw, (5.7) 50
Этот оператор, в отличие от оператора А (5.6), не содержит дифференциальных. операторов Sy, Sy. Поэтому уравнение (5.2) может быть отнесено к иерархии уравнения КП [171].'
Представление Лакса для уравнения (5.2) с оператором L = L] + ад,, и оператором Ао (5.7) не допускает предельного перехода а-* 0, а с оператором А (5.6) допускает такой предельный переход.
Отметим, что несмотря на указанную связь, свойства двумерного уравнения (1.21) — (1-22) и уравнений (5.1), (5.2) существенно различны. Уравнение Кадомцева — Петвиашвили (5.1) и уравнение (5.2) вообще не имеют никаких опрокидывающихся солитонов; все их решения при изменении времени остаются однозначными, в отличие от решений уравнения (1.21) — (1.22).
Замечание. Уравнение (5.2) после применения линейного преобразования координат
х' = х — В_Чг/ — 2a2B“2v3i,
ti' = ti^2№ t' = ^t<5-8)
принимает вид (штрихи у координат х', У', t' опущены) V^tx 4^х^яу 2^у^Хд: + ^ххху} X ОС Wyyy.(5.9)
Поэтому уравнения (5.2) при различных ненулевых значениях параметров 0, ч эквивалентны одному уравнению (5.9). Уравнение (5.9) с помощью вещественной замены координат t' = Xt, У’ =Ху, х'= х, Х = lai-1 приводится к одному из двух различных неэквивалентных уравнений, соответствующих знаку величины а?.
Динамика полюсов мероморфных решений
В известной работе [170] указаны решения уравнения Кортевега — де Фриза и уравнения Буссинеска, имеющие вид
и (t, х) = 2 2 ^ (х — aj (£)),(6.1)
3=1
где ^ (z) — двоякопериодическая мероморфная функция Вейерштрасса. Применение методов работы [170] к другим нелинейным уравнениям отражено в работах [6, 7, 20].
Обозначим 1?! (х) любую из функций
х-2, sin-2x, sh-2x,(6.2)
4*51
которые отличаются на постоянную 0, 1/3, —1/3 от предельных случаев ^-функции Вейерштрасса.
Функции £i(z) удовлетворяют соотношению SiW = = —^1(2) и соответственно имеют вид
ж-1, ctg х, cthz.(6.3)
Функции ^i(^) (6.2) удовлетворяют дифференциальному уравнению
С = 12^Х + 4qC(6.4)
где коэффициент q в трех случаях (6.2) принимает соответственно значения 0, — 1, 1.
Лемма 1. Функции (6.2), (6.3) удовлетворяют следующей формуле сложения-.
^ (п) ^ ^ = ^ (а - Ь) V'^b) - 2^ (а - b) ^т (6) -
- ^;(и - ь)^т ед + ^;^ - ь) едед - ^ (ед. (6.5)
Доказательство леммы 1 состоит в прямой проверке, использующей стандартные свойства элементарных функций (6.2).
Нетрудно проверить, используя четность функции ^х^), что из формулы (6.5) следует формула сложения
= №-b) [^(«) + ^1ед] +^1(«-WtW-^WI-
(6.6)
Формула (6.6) справедлива для ^-функции Вейерштрасса [172], однако формула (6.5) для нее не справедлива, так как ^-функция Вейерштрасса (1.13) (£' (ж) = — ^W) не является двоякопериодической. Поэтому при построении мероморфных решений уравнения (5.2) мы используем элементарные функции (6.2), (6.3).
Рассмотрим решения уравнения (5.2), имеющие вид
u{t, х, у) = — 2X2 £i(^ — ^(i, у))-(6.7)
Уравнение (5.2) после подстановки формулы (6.7) и использования уравнения (6.4) и формулы сложения (6.5) преобразуется к виду
2 (Ci (^ — «;) Mly + 3^1 (^ — а^ (P«jy — ^7) Ai + 1=1
+ S\(Xz — a,) В,) = 0, (6.8)
где использованы .обозначения
Л = — а2щ-га + 47.4 У, ^[ (aj — а^,(6.9)
Bj = Х2а;г — у | 4XBg + За2Хга2у — 12 А5 У 8Д (aj — а^ +
+ Щ ^Чазу + а?а®и — 4Х42(2а,у + ащ^^а, — а^ (6.10)
\h+з/
Из уравнения (6.8) следуют 2га уравнений А} = О, В, = О, / = 1, . . ., га. Эти уравнения после подстановки
а5<Л У) = а5^, у) + 4X3^qt(6.11)
и замены координат
у = —2к2у + 8Х4М t=X4(6.12)
принимают вид (черту над буквами опускаем)
^ttjyu ~ 2 ^1 ^3®к)1(6.13) ■
ац = 12уХ-1( а2^ — 2 ^(«j — «О ) + \h*3/
+ 4р ( а2«-у — 2 (2щу + ак^ i^ (raj — ak) ). (6.14) \h^j/
Докажем, что уравнения (6.13), (6.14) являются совместными. Для этого, следуя работам [30, 170, 173], рассмотрим матрицы L и А со следующими компонентами:
L = Lx + Р-р Ljjj = ос / (га^ ^Д) Pizj = Pi^iji
А = Aj + А2, Ащ = а-1/' (а, — «Д,
А2у = — ^2~ 2 ^i (а^ — аД б«-(б-15)
Здесь /(z) — любая из нечетных функций ж-1, sin-1^, sh-1z; очевидно, что /2 (л:) = i?j (л:). Используя кососимметричность матрицы Li и симметричность матрицы Pi, получаем
Я2 = TrL2 = Tr (Р2 + L2) = 2 (Pi - a"2^i (^ - «Д),
Я3 = TrL3 = Tr (P? + ЗР^О = 2 (/>i - ЗсГ2рЛ ^-а^\
H4 = TrL4 = Tr (Pt + 4Р^ + 2L1P1L1P1) =
= 2 (/>t — 4a-2/#i (^ — a^) — 2a~2pipj^1 (a, — a,)).
Из результатов работ [30, 173] следует, что уравнение Лакса Li = [L, А] эквивалентно гамильтоновой системе с гамильтонианом у п2 и что гамильтоновы потоки с гамильтонианами Яг, Яз, Я4 коммутируют. Поток с гамильтонианом у Я2 совпадает с уравнением (6.13), где время обозначено через у и pt = а^. Уравнения (6.14) являются второй частью гамильтоновой системы уравнений (ДЛЯ djt)'
Pit = —дН/да^, ajt = дН/др^ Я = 47Х-1а2Я3 + ^а2Я4,
которая совместна с уравнениями (6.13) в силу инволю- тивности гамильтонианов Н^ Н3, Н4. Это и доказывает совместность системы (6.13) — (6.14).
■ Система уравнений (6.13) — (6.14) включает в себя при ^ = 0 некоторые системы, указанные в работах [6, 7, 20] для уравнения Кадомцева — Петвиашвили, которое является специальным случаем уравнения (5.2) при р = 0.
При а = 0 и 7 = 0 уравнение (5.2) переходит в уравнение (1.16). Это уравнение также имеет решения вида (6.7). Совместная система уравнений (6.13) — (6.14) при а = 0, 7 = 0 принимает вид
2 *К(°0 — ак) = 0, /=1, ..., га,(6.16)
ajt = — 40 2 (2а,у + afey)i?i(aj — а^.(6.17)
Уравнения (6.16) выделяют непустое подмногообразие при га = d(d + 1)/2 [170]. Система уравнений (6.17) относится к классу систем гидродинамического типа, изучавшихся в работах [31, 32, 92, 174, 175], и является интегрируемой по крайней мере на инвариантном подмногообразии, определенном условиями (6.16).
54
Трехмерное интегрируемое уравнение
Укажем трехмерное уравнение для функции v^t, х, у, z), которое включает в себя уравнение взаимодействия волны Римана с длинными волнами
Vt = 4vvx + 2vx8x1vy — vxxy;(7.1)
оператор L имеет вид
L = — дх + v(t, х, у, z).(7.2)
Оператор А выберем кососимметрическим:
А = осА^ 4- р)А2,
Ai = — 2 (dyL + Ldy) — (а8х + дха),
А2 = у ^8zV? + А-?8г^—^- ^Ъ8Х + дУ) + сдх 4- дхр.
Из уравнения Лакса L = [L, А] следуют формулы для неопределенных коэффициентов a(t, х, у, z), b(t, х, у, z), с (t, х, у, z):
а = 8x4^ b = 8x^2, с = --^Vxz + ^идх^г + у8ХХ^У
При выполнении этих соотношений уравнение Лакса с операторами (7.2), (7.3) эквивалентно следующему трехмерному уравнению:
к< = а (4кку + гкх^Г^у — ^ху) +
+ Р 4" UUxz + у V^xx + у VVxxz — и^х +
4” ^у ^хх ^" ^х^ 8Х Kz — VX8X (kKz) jjr ^xxxxz^- (^.4)
Уравнение (7.4) для функций и, не зависящих от переменной z, переходит в уравнение (7.1). Для функций
к((, х, у, z)=u{t, г), г = х 4- к\у 4- k^Z
уравнение (7.4) принимает вид н( = а,кх ^иит — иттт) —
— ^ Р^г (Юн3 — 5 (wr)2 — 10ыыгг 4- urrrr)r. (7.5)
Уравнение (7.5) является линейной комбинацией первого и второго уравнений Кортевега — де Фриза.
В силу уравнения (7.4) собственные числа /(L у, 2) оператора L (7.2), согласно основной лемме § 2, удовлетворяют уравнению
/1 = 4a//,-p/=/z.(7-6)
Решения уравнения (7.6) обладают тем же свойством опрокидывания графика функции f(t, у, z), что и классическая волна Римана.
Эволюция данных рассеяния а(&, t, у, z), b(k, t, у, z) и bn(t, у, z) для оператора L (7.2) в силу уравнения (7.4) описывается линейными дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка по t, у, z, которые в принципе могут быть решены. В этом смысле трехмерное уравнение (7.4) является интегрируемым методом одномерной обратной задачи рассеяния, связанной с оператором L (7.2).
§ 8. Третье двумерное интегрируемое уравнение
Выведем из уравнения Лакса
L; = [L, AJ(8.1)
двумерное эволюционное уравнение для функции u^t, х, у), которое при отсутствии зависимости от у переходит в уравнение [166, 167]
Ui = и?иххх,(8.2)
известное под названием «уравнение Гарри Дима». Операторы L и А) выберем в виде [167]
(8-3)(8.4)следстви-(8.5)'(8-3)(8.4)следстви-(8.5)'L = u(da — а^и, A1 = LA+AL.
(8-3)
(8.4)
следстви-
(8.5)'
(8-3)
(8.4)
следстви-
(8.5)'
Справедливы равенства
Lt = u(u-1L + LuiU-1,[L, A,] = L[L, A]+[L, A]L.
Поэтому уравнение Лакса (8.1), (8.3) является ем уравнения
utu~A = [L, А].
Пусть оператор А имеет вид
А = — а(идх + d,u) + P(2dy + gdx + dxg}, (8.6) где функцию g(t, х, у) необходимо найти из уравнения (8.5). Несложное вычисление приводит к следующей
формуле
[L, А] = |3Vdx + |3Vxax + ам2 (м^ — 4м2мж) 4-
4" P ((M2fc)x 2^ (uilxx)x ■ 2 (ммжж^у + 4<Z2M {gllx + My)), (8.7)
где функция У(i, x, у) имеет вид
V = 4и (ugx — gux — mJ .(8.8)
Из уравнения (8.5), (8.7) следует условие У = 0. Поэтому в силу уравнения (8.8) получаем выражение для функции g(i, х, у):
g (г, я,у) = —и (г, х, у) J (м-1)у (£, £, у^ = — ид~х (м-1)у.
(8.9)
Операторное уравнение (8.5) после подстановки формул (8.7) — (8.9) переходит в эволюционное уравнение
ut = «м3 ^и-ххх — 4а2их) +
4" мр (мхмЯу biyLixx i^u-xxy ^ммххх 4~! 4л и (gux 4~ mJ). (8.10)
Наиболее простой вид это уравнение принимает при а = 0:
М/ = <ХМ3МЖЖЖ 4" М0 (мжМЖу МуМжж U-llxxy"V ^^ххх^х (м )у)*
(8.11)
Уравнение (8.11) для функций вида м(£, х, у) = u^t, к^, где z = х 4- су, сводится к уравнению (8.2).
Уравнение (8.11) (и уравнение (8.10)) в силу проведенного выше вывода допускает эквивалентное представление Лакса (8.1). К этому уравнению в силу вида операторов L и А (8.3), (8.6) применима основная лемма § 2. Поэтому в силу уравнения (8.11) собственные числа /(t, z/) оператора L (8.3) удовлетворяют дифференциальному уравнению
А + 4Р/Л = 0,
эквивалентному уравнению опрокидывающейся волны Римана. Уравнения (8.11), (8.10) так же, как и другие уравнения, исследованные в данной главе, обладают опрокидывающимися решениями.
Рассмотрим уравнение
L, = 8aL2 + 2^L + [L, А],(8.12)
которое для операторов (8.3) эквивалентно уравнению UtU-^L + L^tz-1 = 8aL2 + 2pL + L [L, A] + [L, A] L или
UtU-x = 4aL + 0 + [L, A].(8.13)
Возьмем оператор А в виде
A = gdx + dxg, g = си ~ аид^1 ^-1\
Тогда уравнение (8.13) принимает следующий вид: at = сш, (2иихх — и^ + pu + и3иххх (ctdx 1 (и-1) — с). (8.14) Существенно, что полученное уравнение (8.14), в отличие от (4.3), является трансляционно инвариантным.
Интегрируемая двумеризация уравнения Бюргерсаи динамика особенностей
Уравнение Бюргерса
Vi^vVx+^Vxx(9.1)
преобразуется в уравнение теплопроводности с помощью замены у = 2цфхф-1 [176—178]. Рассмотрим следующую естественную двумеризацию уравнения (9.1):
Vt = vvy + Vxdx^y + руху.(9.2)
Уравнение (9.2) для функций и вида v(£, ж, р)=у(£, z), z = х + ср сводится к уравнению (9.-1).
Уравнение (9.2) после подстановки и = их принимает вид
V/xi u^Uxy 4” UyUxx Т- [^^xxu‘(9.3)
Интегрируя это уравнение по ж, находим
ut = UxUv + puxy + рс(£, р),(9.4)
где с(£, р)— произвольная функция. Уравнение (9.4) после подстановки и = ц1пф1 переходит в линейное уравнение
Фи = Цфиу + c(£, p)tpi.(9.5)
Если произвольная функция с(£, р) зависит только от t, то уравнение (9.5) после замены ф = Ф1 ехр ^с(^)<7^ пре- 6
образуется к виду ф/ = цф1у. Таким образом, уравнение 58
(9.2) — (9.3) линеаризуется с помощью преобразования у = ЦфЧф-1.
Рассмотрим решение уравнения (9.3) с логарифмическими особенностями вида
u(t, z, у)= 111пП(:г—a,-(t, у)).(9.6)
Соответствующие функции и = их имеют полюсы первого порядка:
у(С z, у) = ц 2 (z —а;(<, у))”1.(9.7)
3=1
Для функции /(z) = z-1 справедливы уравнения
Г = -W', iWW = Ha-bM'W +
+ f (a—b) (f(a) — f(b)).(9.8)
Из последнего уравнения в силу нечетности функции /(.с) следует формула сложения
f(a)f(b)+f(a)f(b)= -На-Ъ^ (f (a)-f(b)). (9.9)'
Уравнение (9.3) для функций вида (9.6) после применения формул (9.8), (9.9) принимает вид
2 Яд — и 2 («з — «а)-1 («зг/ + ahy) (^ — «зГ2 = 0. (9.10) 3 = 1 \к^з/
Отсюда получаем, что уравнение (9.3) для функций (9.6) эквивалентно системе дифференциальных уравнений
«-it = И(9.11)
Система (9.11) имеет простой закон сохранения (ai(t, y)+... + an(t, у))< = 0.(9.12)
Система уравнений (9.11), так же как и система (6.17), относится к классу систем гидродинамического типа [174] и, видимо, является интегрируемой.
Пусть функция u(t, zi, .. ., zm) зависит от т + 1 переменной, причем zi = z. Многомерное интегрируемое обобщение уравнения Бюргерса определим формулой
Mxt = 2 Ьа^ (^U^^Ux^ + Uxx^Xa + цм^х^р), (9.13)
где Ьа» = Ь6а — произвольные постоянные.
Уравнение (9.13) линеаризуется с помощью замены н = р1пф. Уравнение (9.13) для решений вида (9.6), где а, = аД£, z2, . .., Dm), эквивалентно системе уравнений
ajt = Р 2 1 2. ^ар(Я)Хахр — (dj — Яд)-1 (айха^хр+ О-кХ£азхаУ),
(9.14) где принято условное обозначение о,Х1 = ajX= — 1, djxxp = 0. Функция а = Hi + .. . + а„ в силу системы (9.14) удовлетворяет линейному уравнению
т at = Н 2 ^<хрЯхахо-(9.15)
а,р=21
Уравнения (9.14), (9.15) являются обобщениями уравнений (9.11), (9.12).
ГЛАВА Ш
ДВУМЕРНОЕ МОДИФИЦИРОВАННОЕИНТЕГРИРУЕМОЕ УРАВНЕНИЕ
В работах [2, 3] была установлена важная роль в теории уравнения Кортевега — де Фриза двух преобразований Миуры и преобразования Гарднера. С помощью этих преобразований было выведено модифицированное уравнение КдФ. В данной главе преобразования Миуры и Гарднера применены для вывода двумерного модифицированного интегрируемого уравнения, имеющего две вещественно-неэквивалентные формы. Показано, что двумерное уравнение, выведенное в гл. II, и его модифицированное уравнение, несмотря на наличие опрокидывающихся солитонов, обладают счетным множеством первых интегралов. Указаны три различные представления Лакса для двумерного модифицированного уравнения, в которых оператор L является соответственно симметрическим, кососимметрическим и эрмитовым. Эти три представления Лакса отражают связь двумерного модифицированного уравнения с интегрируемым уравнением (1.21) — (1.22) гл. II, с уравнением Синус Гордона и уравнением МКдФ (соответствующие операторы L совпадают). Выведены уравнения эволюции данных рассеяния. Установлено, что стационарное модифицированное уравнение включает в себя ряд интегрируемых случаев уравнения Клейна — Гордона.
Двумерное модифицированное уравнение
В данной главе мы продолжим изучение двумерного уравнения
Mxi " ^U-xU-xy "Г 2U|yUxX SU-xXXy^(1.1)
интегрируемость которого доказана в гл. II. Применим к уравнению (1.1) преобразование Миуры, которое выберем в виде
их = и1 + оих, и = Э^1 (t?2) + ои, (1.2)
где о = const. Вторая формула (1.2) определяет связь первообразной (^(р2) с функцией ы((, z, у).
Прямая проверка доказывает, что при выполнени соотношений (1.2) справедливо тождество '
Мх; &МжНху 77ШуМхх + SU-xxxy =
= (2п + од^ (vt — kv2vy — mv^d^1 (р2)у + svxxy) +
+ (4s— о2к) vxvxy + (2s — о^т1) v^xx. (1.3)
Эта формула показывает, что значение параметра к/т = 2 приводит к выделенным свойствам соответствующих уравнений. В силу тождества (1.3) при к = 4, т = 2, о2 =- s получаем, что из уравнения
vt = 4р2уу + 2vx8xT (у2)у — svxxy(1.4)
при преобразованиях Миуры (1.2) следует уравнение (1.1). При s>0 имеем о = ±s1/2 и преобразование (1.2) устанавливает вещественную эквивалентность уравнений (1.4) и (1.1). При s<0 имеем o = ±i|s|1/2 и преобразование (1.2) отображает вещественные решения уравнения (1.4) в комплексные решения уравнения (1.1).
Все уравнения (1.1) при s * 0 эквивалентны, так как преобразование и, = suXl t = s-1^ приводит уравнение (1.1) к виду с s = 1. Напротив, никакие вещественные масштабные преобразования не меняют знак параметра s в уравнении (1.4). При s>0 это уравнение отображается в уравнение (1.1) с помощью вещественного преобразования Миуры и поэтому будет называться его двумерным модифицированным уравнением. При s < 0 имеем другое, вещественно не эквивалентное ему уравнение.
■ Уравнение (1.4) для функций n(t, х, у), не зависящих от х, имеет вид vt = 4v2v„. Это уравнение эквивалентно уравнению опрокидывающейся волны Римана; во всех его непостоянных решениях происходит опрокидывание графика функции n(t, у).
При s >0 достаточно рассмотреть случай s = 1; тогда уравнение (1.4) имеет вид
vt = (2идхг (у2)у — v^yV(1.5)
При s<0 достаточно положить s = — 1, тогда из (1.4) получаем уравнение
vt = (2vdx х(к2)у + VxyXvt = (2vdx х(к2)у + VxyX(1.6)(1.6)
vt = (2vdx х(к2)у + VxyX
vt = (2vdx х(к2)у + VxyX
(1.6)
(1.6)
Первообразную Зх 1 (р2)у в уравнениях (1.4) — (1.6) можно определить, например, формулой
дхЧ^Ы^ я,у)=^ Uy (t, g, у) ^.о
Уравнения (1.5), (1.6) для функций v^t, х, у) вида v^t, х, у)= v(t, z), z = х + c~ly, переходят в два вещественно не эквивалентные модифицированные уравнения Кортевега — де Фриза
cvt = 6v2vx — sv^, s = ±l.(1.7)
Выделим в уравнении (1.4) первообразную д^"1^2)^ и продифференцируем по х; получим уравнение, не содержащее первообразной:
(цГ1 (vt — 4^ + sv^V = 4жу. (1.8)
Теорема 1. Любое решение уравнения Клейна — Гордона
^ = fW,(1-9)
где функция f^) удовлетворяет уравнению •
*/"(ф) = Ж),(1.10)
определяет решение уравнения (1.8) по формуле
v^t, х, у) = -^(рх(х + c(t),y),(1.11)
где с (Г)— произвольная функция.
Доказательство. Уравнение (1.8) после подстановки выражения (1.11) принимает вид
(фхх (^ (0 фхх фхфху + $фхххг/))х = фхфху (1.12)
Это равенство после подстановки формулы (1.9) и в силу (c'(£))z = 0 преобразуется к виду
(«Ж (— фх/(ф) + 5фх/"(ф) + 8Ц)ххГ (<р)))х = фх/(ф)- (1.13) Равенство (1.13) тождественно справедливо в сиду уравнения (1.10). Теорема 1 доказана.
При s = + l уравнения (1.9) — (1.10) принимают ВИД
<$>зд = С^ + С2е~'т.(1.14)'
С помощью масштабных преобразований уравнение (1.14)
сводится к трем неэквивалентным видам:
Фч, = еф, фх, = sh ф, фхУ = ch ф.(1.15)
Первое уравнение (1.15) является уравнением Лиувилля и допускает полное решение в виде
Ф (ж- у) = In 2 ■■■ а ^ Ь ^ „ ,(1.16)
(« (г) + 6 (у))3 ’v ’
где а (ж) и Ъ^—произвольные функции. Поэтому согласно теореме 1 уравнение (1.8) имеет следующие точные решения:
„ и т — — а" (ж+ с (<)) ■«'(^ + c(t)),. . „
Ь2 а' (г + с (<))
зависящие от трех произвольных функций а (ж), &(г/), с(0-
Связь уравнений (1.4) и (1.8) означает, что можно так выбрать первообразную д^1^^, что функция (1.17) является также решением уравнения (1.4) при s = l. При этом функция u^t, х, у), определенная любым из двух равенств и = д^1 (к3) ± и (1.2), удовлетворяет уравнению (1.1) (в силу тождества (1.3)).
При s = —1 уравнения (1.9) — (1.10) принимают вид фхУ = Ci sin ф + С2 cos. ф.
Это уравнение с помощью масштабных преобразований сводится к уравнению Синус Гордона
фх„ = 8Шф.(1.18)
Любые точные решения интегрируемых уравнении Клейна— Гордона (1.15), (1.18) определяют в силу теоремы 1 по формуле (1.11) точные решения уравнений (1.8), (1.4), (1.1).
Укажем периодические по х нестационарные решения уравнения (1.4), имеющие вид
v(t, х, у) = а^), £ = х + ф(a^ + у),(1.19)
где ф(£)—произвольная дифференцируемая функция. Уравнение (1.4) для функции (1.19) принимает вид
аа' = 6а2а' — за'".(1,20)
Отсюда после интегрирования получаем
за" = — ^1 (са + а2a4V (1-21)
где с— произвольная постоянная. Уравнение (1.21) является лагранжевым и имеет интеграл энергии
-^ а'2 + са +у а2—^ а4 = Е.(1.22)
Поэтому функция а(£) определяется обращением следующего интеграла:
J (s"1 (2Е - 2сах - аа?+ at))-172^ = С - ^- (1-23) °О
При з > 0 и при определенных значениях параметров а, с, Е функция (1.23) является периодической. При з<0 функция (1.23) при любых значениях параметров а, с, Е является периодической (кроме сепаративных решений). Соответствующие решения (1.19) уравнения (1.4) являются периодическими функциями от ж, зависимость которых от переменных t, у определяется произвольной функцией cp(af + y).
§ 2. Счетное множество законов сохранения
I. Пусть функции u^t, х, у) и to(i, х, у, е)
связаны
соотношением Гарднера
их = iv + e.wx + a2w2.
(2.1)
Отсюда следует
(и — EW)xy = (to + 62lV2)y.
(2.2)
Определим функцию b(t, х, у, е) формулой b = (и — Eto)v.
(2.3)
Функция Ь(С х, у, е) является первообразной правой части (2.2):
bx ~ (iv + e2to2)„.(2.4)
Прямая проверка доказывает справедливость следующего тождества:
Uxt /СПд;Кху ^^KytZaa: I V^xxxy —
= (1 + гдх + 2e2to) (to, — k(w + e2to2)tov — mbwx + totev) +
+ (4 — к) 62wxwXy + (2 — т) ^WyWxx. (2.5)
Из тождества (2.5) при к = 4, щ = 2 следует, что если
5 О. И. Богоявленский65
функция ш(£, x, у, e) удовлетворяет уравнению wt = 4(w + e^w^ wy + 2bwx —(2.6)
где b^t, x, у, e) определена условием (2.4), то функция u^t, х. у'), заданная равенствами (2.1), (2.3) (которые в силу (2.4) совместны), удовлетворяет уравнению (1.1).
Уравнение (2.6) в силу (2.4) представляется в следующем дивергентном виде:
wt = 2(bw)x + (ш2 — w^y.(2.7)
После подстановки формулы (2.3) уравнение (2.6), (2.7) принимает вид
wt = 2(w(uy — ew1/))x + (ie2 — w^y. (2.8)
Соотношение Гарднера (2.1) разрешается с помощью формального степенного ряда
W (t х, у, е) = 2 х, у) 8П -
г? =0
= Их — иххг + (нхта — и2) е2 — (и^ — 2u2)se3 +
+ ((мдлх — Зпх)хх + ихх + Зи2) е4 + ... (2.9)
Явные формулы для коэффициентов ряда (2.9)’ указаны в работе [3] (см. также [6]).
Уравнение (2.8) после подстановки вместо w^t, х, у, е) ряда (2.9) превращается в равенство двух формальных степенных рядов, из которого следует счетное множество законов сохранения
'^„("х’ ^ 9Ru («„)
Законы сохранения (2.10) приводят к первым интегралам уравнения (1.1):
/«(«) = ^P^dxdy, ^1=0(2.11)
при условии сходимости выражений (2.11). Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 2. Двумерное нелинейное уравнение (1.1) имеет счетное множество законов сохранения (2.10) и первых интегралов (2.11), где дифференциальные многочлены РДи^ определены теми же формулами, что и для уравнения Кортевега — де Фриза.
Первый из законов сохранения (2.10) (ч = 0) имеет вид
Щх = 2 (t^x^y)x ~Ь (^х ^ххх)у»(2.12)
совпадающий с уравнением (1.1). Простейшие первые интегралы (2.11) в силу разложения (2.9) определяются формулами
Z2 = J j iz, dz dy, Л = J J (м*< + 2и® ) йжйУ' ~—(2.13)
Iв = J J (uxxx — 5uxuxx + 5ux) dxdy.
Проведенный вывод первых интегралов (2.11) основан на применении к уравнению (1.1) преобразования Гарднера (2.1). Другой метод построения локальных и нелокальных первых интегралов для уравнений, допускающих представление нулевой кривизны, развит в работах [80, 81].'
II. Если в формулах (2.11), (2.13) сделать замену их = ч2 + ovx, 0= ±1,(2.14)
то первые интегралы (2.11), (2.13) перейдут в первые интегралы двумерного модифицированного уравнения (1.5). Преобразование Миуры (2.14) после подстановки
v = aew +(2ае)-1, о = ±1,(2.15)
переходит в преобразование
их = w + ешх + е2ш2 + (4е2)-1,(2.16)
отличающееся от преобразования Гарднера (2.1) на постоянное слагаемое. Уравнение (2.6) при преобразовании (2.15)
w = (ое) ”'р — (2s2)-1 переходит в уравнение
vt = 4у2уу + 2ихдх 1 (у2)у — ихху — е-2^.(2.17)
Это уравнение эквивалентно уравнению (1.5) после замены t\ = t, х\ = х, у\ = у — %~Ч. Поэтому двумерные уравнения (2.6) и (1.5) эквивалентны. В частности, уравнение (2.6) также обладает счетным множеством первых интегралов.
§ 3. Представление Лакса для двумерногомодифицированного уравнения (1.5)
Дальнейшая конструкция основана на следующем разложении на множители (факторизации) оператора Шрёдингера [74]:
А^=—dx~b ^х : = L L = (— ^х Ч- и) (dx Ч- ^— ^х Ч- и ^ — их
(3-1)
Ао = — dx + к-х — LL = (dx + к) (— dx Ч- к) = — d^ -|- v2 + vx •
(3.2)
Здесь L = dx Ч- и — простейший дифференциальный оператор. В силу разложений (3.1), (3.2) наиболее естественно появляются преобразования Миуры их = и2 — их, их = и2 + их. Факторизации различных дифференциальных операторов использовались в работах [75—79].
В ряде случаев уравнение Лакса для оператора Lo является следствием операторного уравнения [27—29, 74]
L( = LA4-BL(3.3)
для оператора L. которое и приводит к модифицированному уравнению для функции и. Более того, уравнение (3.3) само оказывается эквивалентным некоторому другому уравнению Лакса.
Пусть L = dx Ч- v, А и В являются кососимметрическими операторами третьего порядка
А = 4dxdy Ч- a^dx Ч- a2dy 4- -ту я1х Ч- -ту a2yi (3-4)
В =— 4^х^у Ч- Ъ^х Ч- b2dy 4—2 Ьус Ч- -^ ^2у
Простое вычисление приводит к формуле
LA Ч- BL = (аг Ч-^i — ^Ну) dx Ч- (^2 + Ь2 — 8кх) dxdy 4-
Ч“ ^я1ж Ч- ^ (ai Ч- &i)x Ч- ~ (а2 + ^г)у + и (ai Ч- ^1) 8vx^)dx+
+ (а2х + и(а2 + Ь2) — 4иХх) dv 4- yv(a1 + b^x Ч-
Ч- "2и(а2 Ч- Ь^у Ч- bxVx Ч- b2Vy Ч- "2 и1хх Ч- -^ aixu — ^v$xr
Уравнение (3.3) в силу L( = ие приводит к условию равенства нулю коэффициентов при четырех дифференциальных операторах dx, dxdy, dx, dy в полученном выраже- 68
нии для LA + BL. Эти четыре условия эквивалентны Следующим равенствам:
aix = 2(px—№)„, а2='4(их— и2) + с2,(3 5)
bi = 4и„ - at, bi, = 2(щ + и2)^ Ь2 = 4(их + к2)-с2„
Функции щ, а2 согласно (3.5) выражаются через преобразование Миуры их= и2 — их, а функции bi, Ъ2 выражаются через преобразование Миуры щ = к2 + их.
После подстановки формул (3.5) в скалярную часть выражения LA + BL операторное уравнение (3.3) сводится к следующему уравнению
vt = 4к2щ + bvx — v^y — c2Vy, b, = 2(у2)!/.
Это уравнение эквивалентно уравнению (1.5), так как слагаемое — c2uv устраняется после замены переменных t\ = t, х\ = ж, yi = у + c2t. В дальнейшем полагаем с2 = 0.
Таким образом, уравнение (1.5) эквивалентно операторному уравнению (3.3) — (3.4). Представление Лакса для уравнения (1.5) следует из операторного уравнения (3.3) в силу следующего утверждения.
Утверждение 1. Если операторы А и В кососимметрические, то уравнение (3.3) эквивалентно уравнению Лакса
Li = [Li, Ai],(3.6)
где операторы Li и Ai действуют на двухкомпонентные вектор-функции и имеют вид
Т А / А/о ух
L1-(L 0/’В/
Действительно, уравнение (3.6), (3.7) эквивалентно двум уравнениям
L = LA + BL, L* = —AL‘ - L‘B. (3.8)
Второе уравнение (3.8) эквивалентно первому, так как получается из него сопряжением (транспонированием) с учетом условий А* = —А, В‘ = —В. Поэтому уравнения (3.3) и (3.6) — (3.7) эквивалентны.
Из представления Лакса (3.6) получаем следствие
(
Т <Т А \ 0 LL-)’
которое в силу формул (3.7) эквивалентно двум уравнениям
(l'l) = [Ь'Ь, A], (LL1)'= [LLZ, — В].(3.10)
В случае L = dx + у справедливы формулы (3.1), (3.2). Поэтому в силу формул (3.5) получаем, что оба оператора А и —В (3.4) имеют одинаковый вид
(3.11)(3.11)Aq —— 4^х^у2Му(/^ ^ittxdy Зм^р.
(3.11)
(3.11)
где их = у2 — ух для оператора А и к, = и2 + ж, для оператора —В. Оператор (3.11) совпадает с оператором, указанным в гл. II в представлении Лакса для уравнения (1.1) (см. формулу (1.19) предыдущей главы). Поэтому два представления Лакса (3.10) совпадают с представлением Лакса для уравнения (1.1), полученным в гл. II.
Тем самым получено второе, независимое доказательство того, что из уравнения (1.5) при двух преобразованиях Миуры следует уравнение (1.1).
Обозначим uix = у2 — ух и U2X = у2 + ух. Оператор Ai в силу формул (3.4), (3.5), (3.7) имеет следующий вид:
Ai = 2 (L^dy + dyLj) I Q ц j dx dx I 0 и\.
(3.12)
Поэтому в рассматриваемом случае уравнение Лакса (3.6) и эквивалентное ему двумерное модифицированное уравнение (1.5) относятся к классу уравнений с опрокидывающимися солитонами, изучавшемуся в § 2 гл. II. Согласно лемме 1 § 2 собственные числа /(i, у) самосопряженного оператора
(3.13)(3.13)(3.14)(3.14)Li = I 1 о И® + ( 1 о) ^ *’ ^)
(3.13)
(3.13)
(3.14)
(3.14)
в силу уравнения (1.5) удовлетворяют уравнению
ft - 4П = 0,
которое, очевидно, приводит к опрокидыванию графика функции /(<, у).
Представление Лаксадля двумерных уравнений (1.5) и (1.6)
В данном параграфе мы выведем двумерные уравнения (1.5) и (1.6) из следующего уравнения Лакса:
(4.1)(4.1)L„ = [L, AL"1 + (.pa, - ad<) L"2].
(4.1)
(4.1)
Здесь а — произвольная постоянная, p^t, х, у}—неизвестная функция. Одномерный дифференциальный оператор L имеет тот же вид, что и в работах [40, 41], посвященных уравнению Синус Гордона:
!— 1 о\ /0 р\
L = оо)»(^'2)
где и и v — неизвестные функции от t, х, у. Оператор А является матрицей, зависящей от I, х, у;
(4-3)
Уравнение (4.1) после умножения справа на L2 принимает вид
Для указанных операторов справедливы равенстваДля указанных операторов справедливы равенства/0 — 26 \/ cv — bu — axLA — AL =Ц2с 0 )9« + I (а — й)и4-сж/0 — 26 \/ cv — bu — axLA — AL =Ц2с 0 )9« + I (а — й)и4-сжLVL2 = (LA — AL) L + Lpdx — pdxL + aL(. (4.4)
Для указанных операторов справедливы равенства
Для указанных операторов справедливы равенства
/0 — 26 \/ cv — bu — ax
LA — AL =Ц2с 0 )9« + I (а — й)и4-сж
/0 — 26 \/ cv — bu — ax
LA — AL =Ц2с 0 )9« + I (а — й)и4-сж
(d — а) р — 6Ж\ Ъи — cv — dx Ь
0 рж\их 0 )"0 рж\их 0 )"(4.5)
0 рж\их 0 )"
0 рж\их 0 )"
Lpdx — pdxL = рж I о 11 5Ж — р
Операторное уравнение (4.4)' после подстановки выражений (4.5) эквивалентно следующей системе уравнений:
yv = —26, Му — —2с,(4.6)
Ъх = ^ — а) у, Cx = (d —а)п,(4.7)’
ам — Рх = Ъи + су, dx + Рх = —Ъи — су, (4.8) uyyv = су2 + Ъии — а,у + ау( — рих,(4.9)
иж, = Ъи2 — сии + dsu + aut — ри,.(4.10)
Уравнения (4.8) эквивалентны уравнениям
^а — р}х = Ъи + cv, (a + d^jx^O. (4.11) Уравнения (4.9), (4.10) после подстановки уравнений (4.6) и (4.8) принимают вид
aut=(ipu'jx, aut—(,pu\,. (4.12)
В итоге получаем, что уравнение (4.4) эквивалентно системе уравнений (4.6), (4.7), (4.11), (4.12). Эта система уравнений при предположении
и = ки, с = kb, к = const(4.13)
сводится к пяти уравнениям
Пу = — 2b, bx = ^d — a) и, (а — р)х = 2kbu,
(a + d)x = 0, avt=(pv')x.(^-l4)
Из первых четырех уравнений (4.14) получаем выражение функций a, b, d, р через функцию к:
а = (Ди^Уху + у, Ь =^Пу, d = — (iv)~1vXy + у,
__(4Л5)
Р = кдх1 (ууу) + (4п) 1 иху + 7,
где у — произвольная функция от t, у. Подставляя выражение для функции р (4.15) в последнее уравнение (4.14), получаем окончательное уравнение для функции n(t, ж, у1)-.
avt = к (идУ^^Уу^х + ^иХХу + у (^ у) их. (4.16)
Проведенные построения доказывают, что уравнение (4.16) эквивалентно операторному уравнению (4.1) — (4.3) при условиях (4.13), (4.15). При к > 0 уравнение (4.16) эквивалентно уравнению (1.6). В этом случае формулы (4.1) — (4.3) определяют представление Лакса для уравнения (1.6). При к < 0 уравнение (4.16) эквивалентно уравнению (1.5). Таким образом, для модифицированного двумерного уравнения (1.5) получено второе представление Лакса (4.1) — (4.3). При к = 0 уравнение (4.16) является линейным:
aut = ^- ихху + у (^ у) ух.(4.17)
При к = — 1 оператор L (4.2) является кососимметрическим. При к = 1 оператор L (4.2) не обладает симметрией. В следующем параграфе указано представление Лакса с эрмитовым оператором L для уравнений (1.5), (1.6), (4.16).
72
Представление Лакса с эрмитовым оператором L
Возьмем эрмитов оператор L в виде
РР1 0 \/0 1\+о]’РР1 0 \/0 1\+о]’(5.1)(5.1)
РР1 0 \/0 1\
+о]’
РР1 0 \/0 1\
+о]’
(5.1)
(5.1)
где ир, х, у)—вещественная функция, р\ и р^— вещественные постоянные. Косоэрмитов оператор А выберем в виде
А = —a (dyL2 + L ду) -|—2"(Аодх + dxA0) + zip^ Оу, (5.2)
где а — вещественная постоянная, wp, х, у)—неизвестная вещественная функция, Ао — эрмитова матрица, зависящая от t, х, у:
А»-А»-аicаic— icb— icb(5-3)(5-3)
А»-
А»-
аic
аic
— icb
— icb
(5-3)
(5-3)
Предположим, что операторы L и А удовлетворяют уравнению Лакса
(5.4)(5-5)(5.4)(5-5)L = [L, А].
(5.4)
(5-5)
(5.4)
(5-5)
Уравнение (5.4) в силу тождества
- [L, d,,L2 + L25J = LVL2 + Ь2Ьу
является равенством двух эрмитовых операторов, содержащих только дифференциальные операторы дх, 9Х. Приравнивая в уравнении (5.4) коэффициенты при операторах дх, 9Х, получаем формулы, выражающие функции а, Ь, с, w через функцию и;
2р,а ,2р„а
b=-^-9-4vX
Р1+Р2.с = аКу,
^_a(^l + ^2)(4^2-^-^)2 Р1 + Р82
2^-Р,)2^+(p1~p2)2"x
(5-6)
При выполнении условий (5.6) операторное уравнение (5.4) эквивалентно следующему уравнению на функцию
v\t, x, у):
vt = ax (v^ + 0 (vdK 1 (y2)y)x),
a,—^(517)
(^1-^2)2рл
Таким образом, уравнение (5.7) допускает эквивалентное представление Лакса с эрмитовым оператором L (5.1).
Уравнение (5.7), очевидно, эквивалентно уравнению (4.16). При pipa > 0 уравнение (5.7) эквивалентно уравнению (1.6), при pipa < 0 уравнение (5.7) эквивалентно модифицированному уравнению (1.5). Поэтому оба уравнения (1.5), (1.6) допускают представление Лакса (5.4) с эрмитовым оператором L (5.1).
При у = х уравнение (5.7) переходит в уравнение МКдФ (1.7). При этом оператор L совпадает с оператором L из работы [42], но оператор А (5.2) после замены dv на дх не совпадает с оператором А из работы [42].
Замечание. Рассмотрим уравнение
L = 7L + [L, А - 7x3x1,(5.8)
где операторы L и А определены формулами (5.1), (5.2), (5.6), 7 — произвольная функция от t и у. Используя вывод уравнения (5.7), нетрудно получить, что операторное уравнение (5.8) эквивалентно уравнению
Vt = «1 (v^y + Р (уЗГ1 (у2)у)х) + Y W»-(5«9)
Все формулы для решений уравнения (5.7) (см. ниже § 6, 7) после простых изменений переносятся и на решения уравнения (5.9).
Опрокидывающиеся солитоны
Запишем уравнение (5.7) в следующем эквивалентном виде:
vt = (2Р071 (у2)у — SUk^k,(6 Л)
который переходит в уравнения (1.5), (1.6) при s = 1 и s = — 1. Представим уравнение (6.1) в виде, не содержащем операции Эк г:
(и,1 (vt — 4v2vy + sv$xy’)')x = 4vvy.(6.2)
Опрокидывающиеся солитоны уравнения (6.1) — (6.2) будем искать в виде бегущих волн
y(t, х, у) = Ц#, у)а(£), £ — %(t, у)х-ф(^, у). (6.3)
После подстановки формул (6.3) в уравнение (6.2) и приведения подобных членов получаем, что функции
X(f, у), ф(^ У) должны удовлетворять уравнениям Xi = TraX2Xv, ф( = тгаХ2ф1„(6.4)
где т — некоторая постоянная. При этом уравнение (6.2) сводится к следующим двум уравнениям для функции «(£):
F' = ^aa, F = (та'— 4а2а'-V за'^/а',(6.5)
((та — 4«3 + 3sa")/a')' + F = 4д2.(6.6)
Покажем, что система этих двух уравнений совместна и эквивалентна одному уравнению, которое имеет вид
за'2 = а4 — та2.(6.7)
Проинтегрировав уравнение (6.5) по £, находим
F = 2а2 + cv, за'" = &а2а' +(щ — т^а'.(6.8)
Интегрируя еще раз, получаем за" = 2az +(ci — т)а + с2.(6.9)
Это уравнение лагранжево и имеет интеграл энергии Е;
за'2 = а4 + (cj — т) а2 + 2сга + 2Е,(6.10)
Таким образом, уравнения (6.5), (6.9), (6.10) эквивалентны.
Уравнение (6.6) после подстановки выражений для F (6.8) и за" (6.9) и проведения дифференцирования принимает вид
4 ^а2 + сг —^ nij а'2 = (2а3 + (Зсг — 2т) а + Зс2) а". (6.11)
После подстановки в (6.11) выражений (6.9), (6.10) получаем равенство двух многочленов шестой степени. Эго равенство является тождеством, если произвольные постоянные удовлетворяют условиям а = 0, с2 = 0, Е = 0. В этом случае уравнение (6.10) принимает вид (6.7). При этом, согласно проведенным преобразованиям, оба уравнения (6.5), (6.6) удовлетворены. Следовательно, система двух уравнений (6.5) — (6.6) эквивалентна уравнению (6.7).
Решения уравнения формулами:
при т = № > О при т = — Ь2 < О при т = О
(6.7) при $ = 1 определяются
а (Е) = b cos 1 (6^ + с) а^= b sh"1^ + с),
При s = —1 необходимо предположить, что т = Ъ2 > 0; при этом уравнение (6.7) определено в полосе lai ^ 1й1 и все его решения имеют вид
a(^)=6ch-'(^ + c). (6.12)
Особые точки уравнения (6.7) а = ±6 соответствуют точным решениям уравнения (6.1), не зависящим от переменной х\
и(ф, х, y^ = X(,t, у), Xt = 4Л2^И.(6.13)
Решение (6.13) эквивалентно опрокидывающейся волне Римана.
Уравнения (6.1), (6.7) инвариантны относительно da- мены знака у функций v(t, х, у) и а(£), поэтому во всех формулах решений можно изменить знак..
Проведенные рассуждения после подстановки в формулах (6.3), (6.4) Xi = ЬХ, ф1 = Ьф доказывают следующее утверждение.
Утверждение 2. Уравнение (6.1) при s= 1 имеет точные опрокидывающиеся решения, определенные формулами
щ = X cos-1 (Хх — ф) ,Xt = Х2ХУ, ф( = ^2ф„,(6.14)
щ = X sh~* (Хх — ф), Xt = — X2XV, ф( = —Х2фу. (6.15)
Уравнение (6.1) при s = — 1 имеет точное решение — опрокидывающийся солитон
<6-16>
Солитонное решение (6.16) является гладким по х и быстро убывает при Izl -’-«>. Решения (6.14), (6.15) имеют сингулярности на оси х. При преобразовании Миу- ры их = и2 + их солитон (6.15) переходит в функцию
К22р2
Ux ==5>(6-1/)
ch (Xi — <р) + 1 ch2 (их — 1])-’
где ц = л/2, т] = ф/2. Формула (6.17) определяет опрокидывающийся солитон интегрируемого уравнения (1.1)
76
(см. гл. II. § 3). Применение преобразований Миуры и^ = = у2 ± V, к функции (6.14) приводит к сингулярным опрокидывающимся решениям уравнения (1.1).
§ 7. Эволюция данных рассеяния
Уравнение на собственные функции
(7.1)(7.1)/ФЛ
(7.1)
(7.1)
Ьф = Ч, ф =
V т2 /
для оператора (5.1) эквивалентно системе двух уравнений г>Лх + ^^2 = >41- iM2x + ^i = ^2-(7-2)
Система (7.2) после замены
(7.3)(7.3)ф1 = Vp2 ехр(—iWpip2) п2,ф2 = Vpi ехр(—iWpip2)fi
(7.3)
(7.3)
принимает вид
(7-4)
Далее предположим, что выполнены соотношения
pi + р2 = 2, pip2 > 0.pi + р2 = 2, pip2 > 0.(7.5)(7.5)
pi + р2 = 2, pip2 > 0.
pi + р2 = 2, pip2 > 0.
(7.5)
(7.5)
В этом случае в уравнении (5.7) параметр ^ > 0, и уравнение вещественно не эквивалентно уравнению (1.1).
Система (7.4) после введения обозначений
переходит в систему
(7-7)(7-7)Vis + ^i = ^2> игх — ^2 = Фи
(7-7)
(7-7)
которая подробно изучалась в работе [67] в связи с нелинейным уравнением Шрёдингера.
В дальнейшем рассматриваются решения v(t, х, у) уравнения (5.7), имеющие следующие асимптотики:
оо: д, 1 (у2)у (£, х, у) -> g (г, у), v(t,x,y)-+0, (7 8) ж->- + оо: д, 1 ^у (I, х, у) -> h (t, у), v(t, х, у) ->-0.
При этом потенциал q = iv/lpipz -> 0 при |х|-> °°.
Согласно работе [67] преобразование
/гЛ т2=1(7-9)
переводит решение системы (7.7) при вещественном £ снова в решение. Функции Йоста ф, ф ПРИ вещественном £ определены как решения системы (7.7), имеющие асимптотики
/1\ -цх/OVE*
Ф1 ~10 / е п?и — 00 ’ Фа ~*" 11 / при х -> + оо.
(7.10)
Функция г (ф) при х -> + 00 имеет асимптотику
т(ф2)->Р)^.(7.11)
Функции <рг и т(ф2) образуют базис в двумерном пространстве решений системы (7.7). Поэтому справедливо равенство
Ф1=а(?, #, у)т(ф2)+6(£, t, у)ф2.(7.12)
Для спектральной функции ф(Х, ^ х, У) (7-1) (Х = = const) в силу уравнения Лакса L = [L, А] справедливо уравнение
'Ь(ф( + Аф) = Цф( + Аф),(7.13)
г. е. функция ф( + Атр является линейной комбинацией двух функций Йоста (7.10), (7.11).
В силу формул (5.2), (5.6) и асимптотик (7.8) при х — оо получаем
(лр# + Ахр)х = iplt + Зар^^ -^1ж,
Я^(?Л4)
(хр# + Аф)2 = ф21 + 2ар21|)2жху + Р1_?г^2х.
При z + °° в формулах (7.14) необходимо заменить функцию g^t, y^j на h^t, у).
78
Обозначим через Т преобразование (7.3): T(z?i, р2) = = (фь Ф) и чеРез В — преобразование
В = Т
3
(7-15,
Если функции (vi, Рг) удовлетворяют системе (7.7), то в силу (7.13) функции B(pi, Рг) также удовлетворяют системе (7.7).
При х -* — оо в силу формул (7.14), (7.15) и (7.3) получаем B(pj, Рг) = (Вр1, ВРг), где
Bp, = v
р.
*хху
2ig
2а/>2
Рл-Р.
/
-g V,- । b lx n —
2\F1
Вр2
^2хху
px —1У2ху \Pj-l) V'
-^-giva*1
Pi-Pa\Vx Pl”
(7-16)
Применяя формулы (7.16) к функции Поста ф] (7.10) при х -»- — °°, получаем точное равенство
п / X2iaP1p2g
-Ф1(Pi-РаЖ-1) Ф1'
(7.17)
Представим функцию ф1 в виде (7.12) и применим аналог формул (7.16) при а: ^- + оо, при этом функция g(t, у) заменяется на h(t, у). Используя асимптотики (7.10), (7.11) при х + оо? находим
В (Ф1) = В (a (£, t, у) т (ф2) + b (£, t, у) ф2) =
2ap2P2£2a,--T^ay-
(Py - !)
L 2аРЖ к• °t —;—2 °y"
V (Pi -j)
Biap^^(Pl-P2) (Pl-1)
Siap^gg
-Ла т(ф2) +
(^-'^) (рх — 1)
ЛЬ ср2. (7,18)
Подставляя в равенство (7.17). выражение ф1 = ат(ф2) + + 6ф2 и используя формулу (7.18), получаем уравнения для функций а(£, t, у) и Ь(£, t, у):
at — mt>2av = il t,(g — h) a, bt — mVbv = il ^ (g + h) b,
= 2ap=p= = 2aP1p2
(Pi-I)2’(Pi-P^^-Pi) '
(7.19)
Параметр а в формулах (5.2), (5.6) является произвольным. Исходя из вида уравнения (5.7) выберем а = = ~ (Л — ^а)2^?/?^ тогда ai = 1 и коэффициенты т и I в силу pi + ра = 2 принимают вид т = —4, Z = ^ = 2/pipa.
Интегрируемые комплексификацииуравнений КдФ и МКдФ
Конструкции интегрируемых комплексных расширений уравнений КдФ и МКдФ будут основаны на исследовании некоторых операторных уравнений вида
L = LA + BL.(8.1)
Укажем в дополнение к § 3 еще три случая, когда уравнение (8.1) оказывается эквивалентным уравнению Лакса. Пусть L, А, В — комплексные операторы и черта L означает комплексное сопряжение.
Утверждение 3. Если В = —А, то уравнение (8.1) эквивалентно уравнению Лакса
L!=[L1, А1](8.2)
с операторами
т (Од (А 0 \ох
о/’ A1 [о -вг
Действительно, уравнение (8.2), (8.3) эквивалентно двум уравнениям
L = LA + BL, L = — AL — LB. (8.4)
Второе уравнение (8.4) эквивалентно первому, так как получается из него комплексным сопряжением с учетом условия В = —А.
Из уравнения Лакса (8.2) следует уравнение
(L2)' = [L?, Aj,(8.5)
которое в случае (8.3) эквивалентно уравнению
(LL)'= [LL, А].(8.6)
Утверждение 4. Если операторы А и В косоэрмитовы, А‘ = —А, В‘ = —В, то уравнение (8.1) эквивалентно уравнению Лакса (8.2) с операторами
L1 \L О/’А1^(0 — в/'(°’7)
Доказательство аналогично.
Из уравнения (8.5) в случае (8.7) следуют два уравнения
(Гь)' = [Ё'Ь, А],(ГД?)' = [LL1, - В] (8.8)
с эрмитовыми операторами L'L и LL'.
Утверждение 5. Если оператор А кососимметричен, а оператор В косоэрмитов, А' = —А, В‘ = —В, то уравнение (8.1) эквивалентно уравнению Лакса (8.2), где операторы L] и А] действуют на четырехкомпонентные вектор-функции и имеют вид
/ О О L* 0 \/ А О О 0 \
[ООО L1 I * I О А 00 । /о п\
JI I _I' /11 I—I* \^*^/
1 ОLОО I100 —В 0 1
\LООО /\ ОО О— В/
Действительно, уравнение (8.2), (8.9) эквивалентно
четырем уравнениям
L = LA + BL,L1 = — Ь'В - AL1,L = LA + BL,L1 = — Ь'В - AL1,E-La + BL (810)
L = LA + BL,
L1 = — Ь'В - AL1,
L = LA + BL,
L1 = — Ь'В - AL1,
L*L'B - AL1.
Три последних уравнения ^8.10) эквивалентны первому в силу условий А' = —А, В* = —В. Поэтому уравнения (8.1) и (8.2), (8.9) эквивалентны.
Из уравнения (8.2) следует
(8.И) уравне-(8.12)(8.13)(8.И) уравне-(8.12)(8.13)M’-lLt, Aj,
(8.И) уравне-
(8.12)
(8.13)
(8.И) уравне-
(8.12)
(8.13)
которое в силу формул (8.9) эквивалентно двум ниям
Mi = [Mi, A], Mi = L‘LL‘L, М2=[М2,-В], М2 = LL'EE', и уравнениям, комплексно сопряженным к ним. II. Рассмотрим уравнение
L = BL - LB,
где операторы L и В имеют вид
L = — дх + и (t, х^, В = — 4дх + 46 (t, х^ дх + 4dxb (t, т),
(8.14)
u(t, х^, b(t, х) — комплекснозначные функции. Уравнение (8.13), (8.14) сводится к системе двух дифференци- 6 О. И. Богоявленский81
альпых уравнений
Зих = 5* + 3bx, uj4 = (b + 5)их + и(Ь — 6Х) + (6 — и)ххх.
(8.15) Из первого уравнения находим равенство
Ъ = -|- (3iz — и) + с,(8.16)
где с — произвольная постоянная. Второе равенство (8.15) после подстановки выражения (8.16) принимает вид —_—
ut = 6ихи + 3 (tz — tz) их + у (tz — Зи)жхж, (8.17)
где опущено несущественное слагаемое (с + с) их, которое устраняется заменой координат ti = t, ял = х + (с + с) t.
Уравнение (8.17) эквивалентно операторному уравнению (8.13). Поэтому в силу утверждения 3 уравнение (8.17) допускает эквивалентное представление Лакса (8.2), (8.3). Следовательно, уравнение (8.17) интегрируемо методом обратной задачи рассеяния.
Соответствующий (8.14) оператор Li (8.3) является дифференциальным оператором второго порядка, действующим на двухкомпонентные вектор-функции:
Из уравнения (8.17) в силу утверждения 3 следует также уравнение Лакса
(LL)* = [LL, - В],
где оператор LL имеет вид
LL = dx — udx — dxu + | и |2.(8.19)
Собственные числа эрмитовых операторов (8.18), (8.19) сохраняются в силу уравнения (8.17).
Уравнение (8.17) для вещественных функций u^t, х) переходит в уравнение КдФ и является, следовательно, его нетривиальной интегрируемой комплексификацией.
Уравнение (8.17) эквивалентно системе двух вещественных уравнений на вещественную и мнимую части функции u(t, x) = f(t, ж)+ ih^t, х):
ft = 6ffx -/»» + 12hhx, ^--^к.А-гк»»(8.20)
Из последнего уравнения находим f = ^ha, — ht\/Qhx. 82
После подстановки этого выражения в первое уравнение (8.20) получается некоторое интегрируемое дифференциальное уравнение второго порядка по t для одной функции h(t, я).
Из уравнения (8.17) следуют соотношения
(М + М)4 = _ _ (м2 _[_ ы2 _ £ии^ — (Ы + Ы)жжж,
(а2 + и2 — баа)^ =
(8-21)(8-21)= — 6Re Г2аа2 + 2иихх — ихих — 4 иихх + 4 ах] .
(8-21)
(8-21)
В силу этих равенств уравнение (8.17) в классе функций u^t, xY достаточно быстро убывающих при Ы -* °°, имеет следующие первые интегралы:
7\ = ^ (и + a) dx, 12 = [ (а2 + а2— Buu'jdx. (8.22)
Рассмотрим операторное уравнение
L2 = L2A + BL2,(8.23)
L2 = dx + v (t, xY ~ =dx + a (t, x) dx + dxa (t, xY
^ = _d® + b(t, x) dx + dxb (t, xY A = — A, B' = - B,
где a(t, xY b{t, x), v(t, x)—комплекснозначные функции. Уравнение (8.23) эквивалентно системе уравнений
2а + b + Ъ = З^х, Зах + Ьх + (2а + Ъ + Ъ) и = Зу„,
_(8.24)
vt = 4(а„ + (а$ + bx)v + (Ь + Ъ^и, — v^Y
Из первых двух уравнений (8.24) следуют равенства
а = 4 (Зух — у2 — — у2) — 4 (с + с)’
q_(8.25)
6 = -д (Зих + За2 — их — а2) + с-
Третье уравнение (8.24) после подстановки формул (8.25) принимает вид
vt = (Зии1 — а3 + Заж (а — у) + 4(у — Зу)^) , (8.26) \2/х
где опущено несущественное слагаемое (с + с)у$.
Уравнение (8.26) эквивалентно операторному урав
нению (8.23), где А= —А, В1 = —В. Следовательно, в си-
6е83
лу утверждения 5 уравнение (8.26) допускает эквивалентное представление Лакса (8.2), (8.9). Поэтому уравнение (8.26) интегрируемо методом обратной задачи рассеяния.
Уравнение (8.26) для вещественных функций v(t, х) совпадает с уравнением МКдФ
ре = 6нщ — и^хх(8.27)
и поэтому является его нетривиальной интегрируемой комплексификацией. После подстановки v(t, л) = = /(#, ж)+ ih(t, х) уравнение (8.26) переходит в интегрируемую систему двух вещественных уравнений: ttK^hx+af + ^h2-^*,
Ht = Wx -2№ - 6fh + 2А„)Я.(8.28)
Из уравнения (8.23) следует уравнение
(Ь2Ц)' = ВЬ21Д - L2L'B, L2L' = - d2x + v2 + vx = L, совпадающее с уравнением (8.13) при и = и2 + щ. Формулы (8.16) и (8.25) для коэффициента &(£, я) совпадают. Поэтому уравнение (8.26) при преобразовании Миу- ры и = v2 + Vx переходит в уравнение (8.17), т. е. уравнение (8.26) является модифицированным по отношению к уравнению (8.17).
В силу утверждения 5 уравнение (8.26) допускает еще два представления Лакса вида (8.12). Соответствующие операторы Лакса имеют вид
Мг = L2L2L2L = dx -1- dxv vd% vdxv dx (yx -|- у ) dx -|-
+ V (vx + y2) dx — dx (va + y2) v + v2 tyx + v2Y M2 = L2L2L2L2 = dx— (yx + y2) dx— dx^vx + v^ + | vx + v2|2. Оператор Mi симметрический, оператор Ms = LL эрмитов. Собственные числа этих операторов являются первыми интегралами уравнения (8.26).
Интегрируемые расширения уравнения КдФс оператором L четвертого порядка.
(9.1)(9.1)Модифицированная цепочка. Тода
(9.1)
(9.1)
с самосопряженным оператором Li четвертого порядка. Оператор Li представим в виде
Lx = L2 + и = дх — идх — д$и + и2 + и, (9.2) где L — оператор Шрёдингера
L = — 5Х + u(t, л:),(9.3)
u(t, л:) и v(i, л:)—неизвестные функции. Выберем оператор А в виде
А - 45’ — 3 ^ид» + Э^\(9.4)
Справедливо известное равенство
[L, А] = К (и) = 6иих — Uxxx.(9.5)
Уравнение Лакса (9.1) в силу формул (9.2) — (9.5) имеет вид
— Utdx — ЭхЩ + 2uu( + Р/ = L [L, A] + [L, A] L + [u, A] == — К^дх — dlK (u) + 2uK (u) - 6 (ux5x + 5xux) +
+ 6uux + 2pxxx. (9.6)
Это операторное уравнение эквивалентно следующим двум дифференциальным уравнениям:
и, = ,K(u)+6их,
2uut + р( = 2u7C(u) + 6upx+ 2p„xx.‘
Исключая из второго уравнения (9.7) в силу первого уравнения производную и( и подставляя выражение (9.5), приходим к системе эволюционных уравнений
Ut = 6uux — и^ + 6рх, Pt = —6upx + 2pxxx. (9.8)
В силу проведенного построения система (9.8) эквивалентна уравнению Лакса (9.1) с оператором Li четвертого порядка (9.2) и оператором А третьего порядка (9.4). Следовательно, система (9.8) интегрируема методом обратной задачи рассеяния, связанной с оператором Li. Теория прямой и обратной задач рассеяния для общих самосопряженных операторов L четвертого порядка развита в работах [84—85].
Из первого уравнения (9.8) находим
6u = d'^t — Зи2 + ихх.
Подставляя это выражение во второе уравнение (9.8) и дифференцируя по х, получаем интегрируемое дифферен-
85
циальное уравнение второго порядка по V.
Utt = (3iZ2 — ПХДХ1 + 2{ut — 6UUX + и^хе,—
— 6(u(ut — 6иих + и^Дх. (9.9)
Уравнение (9.9) может быть представлено также в виде ut = 6иих — и,» + w, wt =—3{uw)x+2wxxx. (9.10)
Решения уравнения КдФ определяют инвариантное подмногообразие w = 0 уравнений (9.9) — (9.10).
Система уравнений (8.20), допускающая представление Лакса с эрмитовым оператором четвертого порядка LL (8.19), после переобозначений / = и, h = v принимает вид
Ut = 6UUX — Un, + 6 (У2)х, Vt = — 6uVx + 2VXBC. (9.11)
Системы (9.8), (9.11) при всем своем очевидном сходстве являются двумя различными интегрируемыми расширениями уравнения КдФ, которое выделяется условием и (t, х) = const.
II. Уравнение КдФ и уравнение МКдФ связаны, как известно, двумя преобразованиями Миуры, обусловленными двумя различными разложениями на множители оператора Шрёдингера L (9.3). Покажем, что в полной аналогии с этими свойствами существует некоторая система двух уравнений, модифицированная по отношению к системе (9.8), также связанная с ней двумя нелинейными преобразованиями, обусловленными двумя различными разложениями на множители оператора четвертого порядка Li (9.2).
Оператор Li разложим на множители двумя способами:
Li = L1L,, Li = L2L',(9.12)
где операторы Ьг, Ьг имеют вид
Ь2 = — бх + Ьдх + дхЬ + a, L2 = — бх + Ьдх + дхЬ + а
(9.13) с неизвестными функциями a^t, ж), b^t, хД a(t, х), Ъ{t, х). В силу первого разложения (9.12) получаем L} = L2L2 = дх —Да -V 2 (Ь2 + ЬД) дх — б^ (а + 2 (б2 + ЬХД +
+ а2 — 2axb + 2ЬЬХХ + ЗЬХ + Ьххх. (9.14)
Отсюда находим связь функций и, v и а, Ъ;
и = а + 2 (Ь2 + ЬД, и = а2 — 2axb + 2bbxx + 3bx + bxxx—u2.
(9.15) 86
В силу второго разложения на множители (9.12) получаем
L, - ЕЛ = ^ - (а + 2 (b2 -bxy al-al(а + 2 (Ь2 - 6Ж)) + + а2 + 2ахЬ + 2Ь Ьхх + 36Х — Ъххх. (9.16)
Отсюда следуют формулы
и = а + 2 (Ь2 — Ь^, р = а2 + 2ахЪ-\- 2b bxx+ 3bl— Ъххх—и2.
(9.17)
Дифференциальные уравнения на переменные a(t, я), b^t, х) мы выведем из операторного уравнения
L2 — L2A1 + BiL2(9.18)
и после этого покажем, что из (9.18) при двух преобразованиях, определенных формулами (9.12), следует уравнение Лакса (9.1). Операторы Ai и Bi (9.18) являются кососимметрическими и определены формулами
Аг — 48l — щдх — dxuv — Вх = 48l — иг8х — д^ (9.19)
с неизвестными функциями ux(t, z), ui^t, z). Уравнение (9.18) после подстановки формул (9.13), (9.19) сводится к следующим дифференциальным уравнениям для функций а, b, и\, и2;
ux — u2=-12bx, (5ui — U2)* “ 12(аж + 4bbx + ЗЬ,,^, (9.20) s< ~Ь bix ^ Н1ож 4и»сх 4bxxxx 2ibu\xx
— (а + b,^ (uix— и2х) + 2(ах + b^u^(9.21)
bt — 2^1^ — 6а» — ЮЬххх — а(их — u2) —
— b(3uu— u2x) — bx(ux — Зиг). (9.22)
Уравнения (9.20) разрешаются относительно функций ui (t, х) и u2(t, ху.
ui = 3(a + 2(b2 + b,)), и2 = 3<а + 2(Ь2-Ьхуу (9.23)
Уравнения (9.21), (9.22) после подстановки формул (9.23) переходят в систему двух эволюционных уравнений
at = 6аах — ап» + 12axba + 12bebro, bt^2bxxx-12b2bx-6(ab)x.(9-24)
Система уравнений (9.24) в силу проведенного вывода эквивалентна операторному уравнению (9.18). Поэто-
87
му согласно утверждению 1 из § 3 система (9.24) допускает эквивалентное представление Лакса с матричными операторами
L3=[L3, А3], L3=(T°У (9.25)
Из уравнения (9.18) следуют также два уравнения Лакса (l'L2)' = [l'2L2, Aj, (L2L2) = [L2L2, - Bj. (9.26)
Оператор L2L2 в силу формул (9.14), (9.15) совпадает с оператором Li. Оператор Ai (9.19) в силу формулы (9.23) для функции uv(t, х) и формулы (9.15) для функции u^t, х) совпадает с оператором А (9.4). Поэтому первое уравнение (9.26) эквивалентно уравнению Лакса (9.1), из которого следует система (9.8). Ввиду этого из системы уравнений (9.24) при преобразовании (9.15) следует система (9.8).
Аналогично оператор L2L2 в силу формул (9.16), (9.17) совпадает с оператором Li. Оператор —Bi (9.19) в силу формулы (9.23) для функции Ui(t, х) и формулы (9.17) для функции ult, х) совпадает с оператором А (9.4). Поэтому второе уравнение (9.26) эквивалентно уравнению Лакса (9.1), из которого следует система (9.8). Ввиду этого из системы уравнений (9.24) при преобразовании (9.17) также следует система (9.8).
Два преобразования Ti (9.15) и Т2 (9.17) получаются друг из друга заменой я -> я, b —Ъ, которая соответствует инвариантности системы (9.24) относительно изменения знака переменной b (такая же инвариантность имеется и у модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза). Преобразование Т2Т7т или TjT^1 является преобразованием Беклунда для системы (9.24).
Уравнения (9.24) при b(t, ж)=0 сводятся к уравнению Кортевега — де Фриза и поэтому также являются его интегрируемым расширением. По-видимому, системы уравнений (9.8) и (9.24) обладают счетными множествами локальных законов сохранения.
Укажем операторное представление вида (9.18) для уравнений модифицированной цепочки Тода [49]
ak = ah(,bh — bh+1Y bk = bh (ал—i — яд). (9.27)
Пусть L, А, В — бесконечные или периодические (modulo п) матрицы, имеющие только следующие ненулевые
элементы:
1л.,Ч1 = df,L,.i = bi,(9.28)
Aii<+i = —А(+1,< = xt, Bii+i = —Bi+i,i = yf.
Тогда уравнение (9.18) эквивалентно следующей системе уравнений:
ад+1 = -уАчь bi+xXi = ~у(Ь„(9.29)
щ = biXt + y,b<+i, б< = — a^xx — у^А-ь (9.30) Решение алгебраических уравнений (9.29) определяется формулами
Xi = унф(, у, = —унД+1.(9.31)
В дальнейшем произвольную постоянную ч полагаем равной 1. Дифференциальные уравнения (9.30) после подстановки формул (9.31) принимают вид динамической системы (9.27). Таким образом система (9.27) допускает эквивалентное операторное представление (9.18) с кососимметрическими матрицами А и В. Поэтому в силу утверждения 1 из § 3 система (9.27) допускает также эквивалентное представление Лакса (9.25). Следствиями системы (9.27) являются два уравнения Лакса (9.26).
Симметрические матрицы L'L и LL' в силу формул (9.28) имеют следующие ненулевые элементы:
(L L)ii = d,_x + bi, (L Ь)ц1+1 =(L L)i4-lij= нД, ,g 3£\ (LL )ц = a? + b^, (LLt)i,i+i = (LL )i+i,i = яД-н*
Определим два отображения переменных di, bj в переменные р,, ск:
Pt = di_T + bi, Ci = dibi,(9.33)
Pi = df + b^, Ci = нД+1.(9.34)
Уравнения (9.26) в силу формул (9.28), (9.31) — (9.34) совпадают с уравнениями цепочки Тода
Pt = 2 (с?-! — с^, Ci = Ci(pi —pi+1y (9.35)
Следовательно, формулы (9.33), (9.34) определяют два отображения модифицированной цепочки Тода (9.27) в классическую цепочку Тода (9.35).
Уравнения (9.27) после подстановки
di = ехр(у< — yi+i), Ь< = ехр(Д/2) (9.36)
89
преобразуются в гамильтонову систему уравнений
Pi = 2 (exp 2 ^_х — q^ — exp 2 (^ — q^, *qi - exp pit
(9.37) имеющую гамильтониан
H = 5 exp pi + 5 exp 2 (^ — q^.(9.38)
Кинетическая энергия в гамильтониане (9.38) имеет нестандартный вид суммы экспонент от импульсов. Проведенные построения доказывают также, что «экспоненциальная цепочка Тода» (9.37) отображается в классическую цепочку Тода (9.35) с помощью двух отображений (9.33), (9.34).
ГЛАВА IVТРЕХМЕРНОЕ КОМПЛЕКСНОЕ ИНТЕГРИРУЕМОЕ УРАВНЕНИЕ
В данной главе построено уравнение на комплекснозначную функцию u^t, х, у, z), допускающее представление Лакса с эрмитовым оператором L, содержащим только дифференциальный оператор дх. Собственные числа /(£, у, z) оператора L в силу уравнения Лакса удовлетворяют квазилинейному дифференциальному уравнению первого порядка, выведенному в общем виде в гл. II. Полученное трехмерное уравнение в специальных случаях оказывается связанным с нелинейным уравнением Шрёдингера, с двумерным модифицированным уравнением, выведенным в гл. III и (для стационарных решений) с различными интегрируемыми случаями уравнения Клейна — Гордона. Указаны опрокидывающиеся солитоны двумерных редукций построенного уравнения.
Представление Лаксадля трехмерного комплексного уравнения
Рассмотрим уравнение Лакса
L —[L, А](1.1)
в эрмитовым оператором L вида
(1-2)(1-2)
(1-2)
(1-2)
где v^t, х, у, z)— неизвестная комплекснозначная функция, pi, р2 — вещественные постоянные. Оператор А выберем косоэрмитовым следующего вида:
Л-^^аА + ^^-аА.(1.3)
где оператор Ai содержит дифференциальный оператор д/
^=-(^ + 1^) + Г"1(1-4)
уу \— iw г
а оператор А2 содержит дифференциальный оператор дг;
А2 = — (dzL2 + L2dz) + у (адх + дха^ + w,
(1-5)
можнофунк-можнофунк-Здесь «1, «г—вещественные постоянные (но их считать также и произвольными вещественными циями переменных t, у, z). Функции wt, at от четырех переменных t, х, у, z выражаются через функцию y(i, х, у, z) в силу уравнения Лакса (1.1) следующими формулами:
можнофунк-
можнофунк-
W1 = ——8X |у[у, wa = —ру, (1.6) z 2^2
Wa = ui + P2U2, Wt = —ui—P1U2,
. 2^A" X
™ i ■"5 9X ^Рх^г ^«^z)t
(P1-P2)
. Pj + p3 - x
и2 = I h yyz — yyz)>
(P1-P2)
Wb = — i „.^-^.g ((^1 + Pa — 4P1P2) Vxz — 4идхг | v |^).
2 (^1-^2)
В силу соотношений (1.6) уравнение Лакса (1.1) — (1.5) эквивалентно следующему трехмерному уравнению:
vt = а± (ivXy + Ф^Г11 |у) —
0^2 ^XXZ “Ь Р ^дх | V |z)x “Ь Р^^Х (^X^Z^00^2) “Ь .
+ 4 Р2 1Р1 + Pl? V ^г — We) +
+ 4 Р2 (^1 - РаУ (^ I Иг - 2^ | V |2)], (1.7)
где р = 2ЦР1Р2У
92
к уравнению (1.7) ввиду структуры операторов Ai (1.4) и Аг (1.5) применима основная лемма (гл. II), согласно которой собственные числа /(£, у, z) оператора L (1.2) в силу уравнения (1.7) удовлетворяют квазилинейному уравнению
/-= «1М/+ «гр2/2/;,(1-8)
где р = (щ — Pij/tpipz)- В силу уравнения (1.8) при изменении времени происходит опрокидывание графиков собственных чисел /(t, у, z).
Уравнение (1.7) для функций v(t, х, у, z) вида у(^ х, у, z)=u(t, г), г = х + к\у + k^z (1.9) переходит в уравнение
ut = а^ (z'Urr + фп | u |2) — а,2кг ит + р (u | и |2)г +
+ 4 Р2 (Pi + P^u ^иит — ии^ +
+ | Р2 (А - Рг? (и И - 2иг | и |2)].(1.10)
Уравнение (1.10) является линейной комбинацией нелинейного уравнения Шрёдингера (а2 = 0) и второго уравнения из его иерархии (ai = 0). Уравнение (1.10) при ai = 0 можно рассматривать так же, как интегрируемую комплексификацию уравнения МКдФ, поскольку для вещественных функций и (£, г) это уравнение (ai = = 0) переходит в МКдФ.
Уравнение (1.7) при ai, a2 = const имеет первый интеграл полной вероятности
J ( J | у (t, х, у, z) |2 dx dy dz = const. (1.11)
Действительно, в силу уравнения (1.7) находим
| у |t = yty + wt = ia^ (укуу — w^ —
— «2 [^zzz + vdbi + P (yd^11 У !2)жу + Ру (yof1 | у |2)х] =
= Z«1 ((z'x”)y kp^V)^ ^((xx”)z^х1 z)x + ^VVxx^x +
+ р(^|2^1к|^)ж + 4р|у|^]. (1.12)
Правая часть в полученном выражении является полной дивергенцией. Поэтому если |y(i, х, у, z) I-* 0 достаточ-
но быстро при |ж|, |у|, |zl ~*■ °°, то из равенства (1.12) следует сохранение интеграла (1.11).
Уравнение (1.7) для стационарных решений вида u(t, х, у, г)= и(х, у, z)exp(iE(()),(1-13)
где и^х, у, z) и Е^— вещественные функции, сводится к двум уравнениям
Нху + 2ридх 1(ииу) = иЕ ^аТ\ ихг + 2PU571 (wu2)=0. (1.14)
Разделим равенства (1.14) на и и продифференцируем по х, получим уравнения
(u-1wx„)x +2puuv = 0, (ir'iix^x-V 2$uuz = 0. (1.15)
Покажем, что уравнения (1.15) имеют решения вида и(х, у, г) = фх(;г, г), г = к\у + k^z, (1.16) где к\, кг — произвольные постоянные, а функция ф(х, г) удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона
Ф~ = /(ф),(1.17)
причем функция /(ф) является некоторым решением линейного уравнения
Г(ф) + 2р/(ф) = 0.(1.18)
Равенства (1.17), (1.18) определяют различные интегрируемые случаи уравнения Клейна — Гордона (см. § 1 гл. III).
Действительно, уравнения (1.15) после замены (1.16) сводятся к одному соотношению
(ф^фкоОх + 2Рфжфжг = 0,которое в силу равенства (1.17) эквивалентно уравне-нию (1.18), а оно предполагается выполненным.
Уравнения (1.14) также имеют решения (1.16) — (1.18) в силу произвола вида F(t, у, z) в выборе аддитивных постоянных в первообразных д^^ии^, дхх^ииг\ Окончательно получаем, что уравнение (1.7) имеет точные решения вида
u(t, х, у, г) = фх(;г, кху + k^z) exp (IE (t)), (1.19) где функция ф(;г, г) удовлетворяет любому интегрируемому уравнению Клейна — Гордона (1.17) — (1.18), а вещественная функция E^t) произвольна.
• V. Укажем простейшие точные решения уравнения (1.7), имеющие вид
р(£, ж, у, z) = а(^) exp (lb),
(1.20)
^ = кхх + к2у + k3z — kot, Ъ = тхх + т2у + m3z — mot,
где а(£)— вещественная функция переменной 5- Уравнение (1.7) после подстановки (1.20) сводится к одному дифференциальному уравнению
а" = — |ЗА72а3 + сха + с2,(1.21)
где Ci, С2 — произвольные постоянные, и двум соотношениям для коэффициентов к,, тл
к0 = а^ш^ + т^) + аДс^А-з—mi(wi]A:3+2m3A:i)), ахкй = «2 (2тхк3 + к^д).
При «2 = 0 остается только первое соотношение (1.22) При ЭТОМ С2 = 0.
Уравнение (1.21) имеет лагранжев вид
„5 / Р 4 С1 2
а = —а2 — с.2а
^44-222 у
и поэтому ооладает интегралом энергии
(1.23)(1.23)а'2 Н—а4 — с,а2 — 2с,а = 2Е.
(1.23)
(1.23)
йк^ 12
Следовательно, функция а(£) находится путем обраще
-1/2^а1 = t ?о‘-1/2^а1 = t ?о‘(1-24)(1-24)ния интеграла
-1/2
^а1 = t ?о‘
-1/2
^а1 = t ?о‘
(1-24)
(1-24)
2Е + сха2 + 2с„а,— а4
1 1 1 12 12/с2
Из вида интеграла энергии (1.23) следует, что все решения (1.24) при р>0 являются периодическими, кро
ме сепаратрисных решений, которые реализуются при Е = 0. При Р > 0, ci > 0, ci=E = 0 решение уравнения
(1.23) имеет вид
«© =«© =ch(^ + ?0) ‘ch(^ + ?0) ‘(1.25)(1.25)
«© =
«© =
ch(^ + ?0) ‘
ch(^ + ?0) ‘
(1.25)
(1.25)
Этому решению соответствует точное, быстро убывающее при |^|-* оо решение (1.20), (1.22) трехмерного уравнения (1.7).
Опрокидывающиеся солитоны двумерных редукций
Уравнение (1.7) для вещественных функций и, не зависящих от переменной у, переходит в двумерное модифицированное уравнение, изучавшееся в гл. III:
v( = — а2 (пЖ2 + 2РМГ1 (ку2))х.(2.1)
Полное комплексное уравнение (1.7) при «1 = 0 является, таким образом, интегрируемой комплекоификацией уравнения (2.1).
Из результатов гл. III следует, что уравнение (2.1) при р>0 имеет точное быстроубывающее при Ы -► °° решение — опрокидывающийся солитон
и = Х^^У^к^Хх-^,(2.2)
где функции ХУ, ^ и <р(/, z) удовлетворяют уравнениям
Xt = —«:Д2Хг, <р« = —агХ2<рг.
При р<0 уравнение (2.1) имеет два типа опрокидывающихся решений, определенных формулами
иг = %(2/| Р| )1,2/cos(X;r—ср), >t=—a2X2Zz, q,( =—a2V<pz,
(2.3)
г2 = X (2/1 р | )1/2/sh (Xx— ср), Х( = a2VX2, <р#=«2Х2ф2.
(2.4)
Решения (2.3), (2.4) являются сингулярными и имеют движущиеся полюса первого порядка.
Уравнение (1.7) для комплекспозначных функций и, не зависящих от переменной г, переходит в уравнение («1 = 1)
vt = ivxy + фкУГ11 у |у-(2-5)
Имеется два неэквивалентных уравнения (2.5), отвечающих значениям параметра р > О и р < О (масштабные преобразования сохраняют знак параметра р). При р = = —2 для уравнения (2.5) в работе [35] было указано представление Лакса (однако само уравнение не исследовалось). При этом оператор L имел вид
т0\ я , / 0 а)
т. е. в отличие от оператора L (1.2) не являлся эрмитовым. Представление Лакса (1.1) — (1.4) при ai = 1, «2 =
96
= 0 приводит к уравнению (2.5) с произвольным значением параметра p = 2/(pip2).
Уравнение (2.5) после деления на iv и дифференцирования по х принимает вид
(2-7)(2-8)(2.9)(2-7)(2-8)(2.9)После подстановки в уравнение (2.6) v=aexpib (где функции a^t, х, у) и b^t, х, у) вещественны) и разделения на вещественную и мнимую части получаем систему двух уравнений
(2-7)
(2-8)
(2.9)
(2-7)
(2-8)
(2.9)
Пусть функции а и Ъ имеют вид a^t, х, y^Xv^t, y)a(i,), b = т^ ^=X^t, y'jx — y^t, у), где Zi (f, у) и *pi (f, у)— не известные пока функции переменных t, у; т— произвольная постоянная. Подстановка выражений (2.9) в уравнение (2.8) приводит к уравнениям для функций Xi(t, у), (pi (t, у):
Хк + 2тХД1И = 0, фи + 2т?-1ф1„ = 0.(2.10)’
Подстановка выражений (2.9) в уравнение (2.7) при учете соотношений (2.10) приводит к двум уравнениям а" =—ра3 + са,(2.11)
а'2 = -уРа4 + ^(Зс+аг2)а2,(2.12)
где с — произвольная постоянная. Уравнение (2.11) является лагранжевым и имеет интеграл энергии
а'2 + 1 ра4 — са2 = 2£.(2.13)
Уравнения (2.12) и (2.113) совместны, если с =—т2 и Е = 0 и в этом случае сводятся к одному уравнению
а'2 + у ра4 + т2а2 = 0.(2.14)
Ненулевые решения этого уравнения существуют только при р < 0 и имеют вид
а(^) = m(2/|p|) 1/2/cos(m^ — ^0) ■(2.15)
7 О. И. Богоявленский97
Этому решению соответствует опрокидывающийся солитон уравнения (2.5), который после обозначения Х = = тХц ф = ттгф! определяется формулами
V (t, Х,у^ = Х(2.16)
v ’COS Vkx — ф)
Xz + 2ХХУ = 0, ф/ + 2Хфу = 0.
Солитон (2.16) является периодической функцией по х с периодом Т(t, у) = 2nA(t, у), имеющей движущиеся полюсы первого порядка с координатами
2n (*, у) = (ф (С у) + (п + yj л)/х (I, у).
Во всех параметрах солитона (2.16) происходит явление опрокидывания, поскольку функция X(Z, у) удовлетворяет уравнению волны Римана.
Замечание. Если в формулах (2.9) Ь = Ь^ — неизвестная функция, то после подстановки (2.9) в уравнения (2.7), (2.8) с необходимостью следует, что функция Ь(^ является линейной. Поэтому опрокидывающийся солитон вида (2.16) для уравнения (2.5) является единственным в классе (2.9) и существует только при 0<О.
Двумерное матричное уравнение,допускающее представление Лакса
Рассмотрим уравнение Лакса (1.1), где матричные операторы L и А имеют вид
L= ipdx + u(t, х, у),(3.1)
А = — (5yL + Ldy) + w(t, x, у).(3.2)
Здесь p — постоянная диагональная матрица с компонентами рм = Рк&м, Рк^Рь u(t, х, у) и w(t, х, у) — неизвестные матрицы размера п Хп, ду — некоторый дифференциальный оператор. Справедливы равенства
[L, — 5„L — L5J = (L2)K = i(puy + Hyp's дх + tpuXy + (и2)у,
(3.3)' [L, w\ = i(pw— юр)дх + ipwx + [н, w].
Уравнение (1.1) после подстановки выражений (3.1) — (3.3) принимает вид
ut = i (ри,j + Uyp + pw — top's 0х + ^Pu»i +
+ iptOx + ^'Sy + Vu, ш].(3.4)
Из уравнения (3.4) следует, что коэффициент при операторе Эх равен нулю. Отсюда получаем соотношения
Wy =^р ^к^У'^^]\ Ph(uhk)y = O. (3.5)
Далее полагаем, в соответствии со второй группой уравнений (3.5), что величины и№ = дк постоянны и вещественны. Уравнение (3.4) после подстановки формул (3.5) переходит в систему уравнений
^U-kk)t = 0 = tp^ (Whh)x + 2 ((^hsHg^y + Uhs^sh ^ta^sfe)i (3-6) s=i
(^hj)t = ^Рк^Чкйу 4* lVkj^x + ^j ((UksUsj)y + U^sWsj WhsU-sj).
s = l
(3-7)
Из уравнения (3.6) после подстановки формул (3.5) находим
t^kk = ,2ЮХ~ ^М-ктИ-тк^у(3-8)
Wk Рк - Pm
Формулы (3.5) и (3.8) полностью определяют матрицу w^t, х, у) через матрицу u(t, х, у).
Уравнение (3.7) после подстановки выражений (3.5) принимает вид
(u<.j)t =
• 2pkPi ,,,,2 (д,рк — qkpA
1 n „. ^kj^xy + U-ki kwii №hk) 4~ ITT (uhj)y
к i3
2 2 (7 2ГУ. Ukm (Umj^y + ——2 2 (7 2ГУ. Ukm (Umj^y + ——n
2 2 (7 2ГУ. Ukm (Umj^y + ——
2 2 (7 2ГУ. Ukm (Umj^y + ——
~ V^km^yU-mj ) • (3-9) Pk/
Таким образом, двумерное матричное уравнение (3.9), (3.8) эквивалентно уравнению Лакса (1.1), (3.4), (3.2).
Уравнение (3.9), (3.8) при вещественных рк1 ср имеет инвариантное подмногообразие эрмитовых матриц и: иы = й№; в этом случае матрица up определенная соотношениями (3.5), (3.8) является косоэрмитовой. Для матриц и, w размера 2X2 указанная конструкция приводит после обозначения v = «21 к уравнению, эквивалентному (2.5). При у=х уравнение (3.9), (3.8) является интегрируемым обобщением нелинейного уравнения Шрёдингера в эрмйтовых матрицах и размера пХ п.
Уравнение (3.9), (3.8) при чисто мнимых Рк = ^к и вещественных qh имеет вещественные решения Uy^t, х, у). В простейшем случае п = 2, qi = q2 = O уравнение (3.9), (3.8) сводится после замены времени
dx/dt = 2 Ь i Ь2/ (Ь1 — Ь2) к системе двух уравнений для вещественных функций М = М12 и У = НгО
мт = иху — |3ш9х 1 (iw)y, нг = — нжу + Pn^1 (мп)у, (3.10) где £ = 2/(^2).
Полученную систему двух уравнений (3.10) можно записать так же, как одно уравнение на комплекснозначную функцию j(t, х, y)=u(t, х, y)+iv(t, х, у):
h = lxy + ^Wx4P-P)y- (З-ii)
Уравнения (3.10) для функций и, и вида u(t, х, y)=w^x, y)exp(Et),
u^t, x, y) = Cw(x, г/)ехр(—Et) (3.12) сводятся к одному уравнению
шху — 2C^wdx 1 (wwy) = Ею.(3.13)
Это уравнение после замены
w = <p„ Ф^ = /'(ф)(3-14)
эквивалентно следующим интегрируемым случаям уравнения Клейна — Гордона:
Ф^ = Г(ф), Г(ф)~2СЖф) = £.(3.15)
Поэтому любому точному решению уравнения Клейна — Гордона (3.15) соответствует по формулам (3.12), (3.14) точное решение системы уравнений (3.10).
ЧАСТЬ II
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
ИНТЕГРИРУЕМЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛАВА V
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ДИСКРЕТИЗАЦИИ УРА. ЕНИЯКОРТЕВЕГА — ДЕ ФРИЗА
Широко известна интегрируемая динамическая система — модель Вольтерра, возникшая впервые в математической теории борьбы за существование биологических видов [23]. Система Вольтерра возникает также при изучении тонкой структуры спектров ленгмюровских колебаний в плазме [43, 44]. В континуальном пределе система Вольтерра переходит в уравнение Кортевега — де Фриза. Исследованию системы Вольтерра, имеющей и другие названия—«дискретное уравнение КдФ» и «ленгмюровская цепочка», посвящены работы [30, 43—45]. В данной главе изучается счетное множество интегрируемых динамических систем, которые также переходят в уравнение КдФ в континуальном пределе. Построенные динамические системы, как и модель Вольтерра, имеют применения в математической экологии и в физике плазмы.
§ 1. Интегрируемые динамические системыс квадратичной нелинейностью
Интегрируемая система Вольтерра определяется уравнениями
Щ = Щ(Щ+1 — Я;-1).(1.1)
Одним из важнейших свойств системы Вольтерра является то, что в континуальном пределе уравнения (1.1) переходят в уравнение Кортевега — де Фриза
Ut = 6иих— Щхх(1-2)
и тем самым являются его интегрируемой дискретизацией.
Теорема 1. При любом целом р^2 динамическая система
(
Р—1р—1х
2 cii+k — 2 «i-kt1-3)
й=1k=i/
допускает представление Лакса с произвольным спектральным параметром и в континуальном пределе переходит в уравнение КдФ (1.2).
Доказательство. Рассмотрим уравнение Лакса L = [L, А] вида
(а + тпЕу = [а + пгЕ, — Ъ — пгрЕ], (1.4)
где Е — произвольный параметр, матрицы а и к имеют только один ненулевой элемент в каждой строке и каждом столбце, которые определяются формулами
a-i^+i—p а^ m(,i+i 1.(1.S)
Уравнение (1.4) эквивалентно системе трех матричных уравнений (коэффициенты при степенях спектрального параметра Е):
Е°: а =— [a, b], Е1: [т, Ь] = [тр, а],
Е2-. [тге, mp] 0. (1.6)
Второе уравнение (1.6) удовлетворено, если матрица b имеет вид
6=2 тп^'^’ат?.(1.7)
j=o
При этом в силу (1.5) матрица b является диагональной со следующими ненулевыми элементами:
Ьи = Ь, = а4 + а1+1 + ... + ai+P_i.(1-8)
Первое уравнение (1.6) эквивалентно уравнениям а. = = a^bi — biV\-py которые после подстановки формул (1.8) принимают вид (1.3). Поэтому динамическая система (1.3) эквивалентна уравнению Лакса (1.4), (1.5), (1.7).
Для получения континуального предела динамической системы (1.3) предположим, что справедливы равенства
aj^=\—62u^t1 х,У х4 = ]г.,(1.9)
где u^t, х) — некоторая гладкая функция. Система (1.3) 102
после подстановки (1.9) переходит в систему
/р-1
—е2 ^- (i, aj) = (1 — e2u (i, х^ I 2 (1 ~ ^ (;> ^' + кг)) — "\й=1
- 2 (1 —е2ы(7, xj-k^ . (1.10) h=i)
После подстановки разложения функции п(г, Xj + kE) в /р-1 \
ряд Тейлора в точке (г, гД находим ц = у ^ к3 1
\h=i /
ut = Ер(р — 1)нх + е2(—р(р — 1)ппх + цм^) + О(е5).
(1.11)
Уравнение (1,11) после перехода к новым переменным t' = t, х' = х + р (р — l)ei принимает вид
$7=е^-р(р-1)и£7+р^ +О(е5). (1.12)
После замены переменных
т =—e3zt', х = ax', о — (р (р — 1)/6ц)1/2, х = цо3
и перехода к пределу е ->- 0 уравнение (1.12) преобразуется в уравнение Кортевега — де Фриза щ = 6иих — и^. Теорема 1 доказана.
Динамическую систему (1.3) можно представить в виде
Qk = «/t(J Tkh-ah-dk'Y
где ядро Тку антисимметрично и определяется формулами
Т№ = ^(б <к - к' +s)-6kk- к' - s)). s=l
Поэтому система (1.3) является кинетическим уравнением, описывающим перенос энергии ленгмюровских колебаний в случае, когда спектр (в /г-пространстве) имеет струйную структуру [43].
Важным следствием представления Лакса (1.4) для системы (1.3) является существование первых интегралов этой системы
7n = Tr(а + тЕ)пр, и=1, 2, ...(1.13)
103
Простое вычисление приводит к следующим формулам: иА
"^А+1 = 2 2 С (s) ТТ Ot—mr+s + .. .+sm’(1-14)
i=i s1,...,s/tm=o1
где s.>0, so = O, C(s) = (/c + l)r + 1 — si — ... — s,„ si + ... ... + sk ^ (A: + 1) г. Интегралы Ik определены при условиях: 1) периодичности, щ^щ+п; 2) непериодичности, при ак = 0 для к =5 р—1 и к > п. Интеграл R^a) является однородным многочленом степени к. Разумеется, между интегралами 1к (к = 1, 2, ...) имеются некоторые функциональные соотношения. Простейший интеграл 1\ имеет вид Л = 2 аг- В периодическом случае имеется еще i=l п
один первый интеграл Ji = JI av
i—1
С динамической системой (1.3) в периодическом случае (щ+п — щ) связана риманова поверхность Г, определенная уравнением
R(E, w) = det(a(t) + тЕ — w-l) = 0.(1.15)
Коэффициенты уравнения (1.15) также являются первыми интегралами динамической системы (1.3).
Укажем гамильтонову структуру динамических систем (1.3). После замены переменных а, = exp Ui система (1.3) принимает вид
р—1р—1
«г =2 expwi+ft — 2 expu.i_k = "2iIim—, (1.16) Zt=l/t=im
где H = 2 exP um- Оператор Iim является кососимметри- m
ческим и имеет следующие ненулевые компоненты:
11Л^ = ^ /.-,^=-1, k = V 2, ..., р-Е (1.17)
В силу представления (1.16) динамическая система (1.3) является гамильтоновой с гамильтонианом Н. По-види- мому, интегралы 1к (1.14) инволютивны относительно скобок Пуассона {F, G} = 2 Ет -^ и система (1.3) i,mi m
является вполне интегрируемой по Лиувиллю. Из представления Лакса (1.4) со спектральным параметром Е следует интегрируемость системы (1.3) в периодическом случае ai+Tl = щ в тэта-функциях римановой поверхности Г (1.15).
Динамические системы (1.3) входят в общий класс систем, выделенных В. Вольтерра в математической теории борьбы за существование биологических видов [23]. При этом величина щ(<) является численностью популяции Zc-ro вида (или ее плотностью); предполагается, что пищей для i-ro вида являются особи видов i + 1, i + 2, ..., i + р — 1.
В работе [46] рассматривался, независимо от работ [12, 21, 47], специальный случай конечномерных динамических систем (1.3) в периодическом случае а,-+п = й,- и при условии п = 2р — 1. В этом случае любые два вида ац as «взаимодействуют» друг с другом (как хищник и жертва). В работе [46] при и = 2р — 1 с помощью комбинаторных методов найдены формулы для р первых интегралов рассматриваемой динамической системы. Формулы (1.14) в специальном случае п = 2р — 1 отличаются от формул первых интегралов, полученных в работе [46]. В частности, все первые интегралы, указанные в работе [46], имеют нечетные степени ар. 1, 3, ..., 2р — 1. Совпадают только первые интегралы Zi и Уь
Рассмотрим задачу рассеяния, связанную с уравнением Лакса (1.4) при Е = 1 и динамической системой (1.3). Предположим, что функции а,^ имеют асимптотику аД;)-> 1 при у-> ±оо. Собственные функции ф^, <) оператора L(Z 1) = а + т (1.4) удовлетворяют уравнению (Ьф(^ <))„ = апу(к, <)п+1_р + ф(/с, <)„+! =
= кф(к, <)„, (1,18) где к е С — спектральный параметр. Линейное пространство решений уравнений (1.18) имеет размерность р. Выделим в этом пространстве два базиса собственных функций ф.^, <) и ^(Zc, <), которые имеют следующие асимптотики при п ± °°:
(1.19)(1.20)связа-(1-21)(1.19)(1.20)связа-(1-21)(фг (Zc, Z))n ^= Z1 , 72 >* — ОО ,(Ф, (*, г))п = z", 72 -> + ОО .
(1.19)
(1.20)
связа-
(1-21)
(1.19)
(1.20)
связа-
(1-21)
Числа гД/г), Zj(Zc) являются корнями уравнения zp — Zczp_1 + 1 = 0.
Два базиса собственных функций фi(Zc, ;), ^^к, Z) ны линейным соотношением р
фг (к, <) = 2 Вц (к, t) % (A, ty3=1
Матрица ВД/с, t) называется матрицей рассеяния.
Покажем, что функции ф,(/с, 7) и ipi(A:, 7) удовлетворяют уравнению
ф; + Аф; = — (р + Zp) ф;, А=— Ь — П11'. (1.22) Действительно, из уравнения Ланса, как известно, следует уравнение
Ь(ф;(/с, 7)+Афг(/с, 7)) = к (ф;(7с, 7)+АфД/с, 7)), (1-23)
в силу которого функция ф = ф; + Аф; является собственной функцией оператора L и поэтому имеет представление в виде ф = С1ф1 + ... + сРфР. В силу асимптотики (1.19) имеем
(ф; + Аф;)п = (ф,)„ — Ьпп (ф,)„ — (ф4)п+р = — (к + Z^) (фг)„. Поэтому с; = — ^р + гТ) 6ц, и уравнение (1.22) доказано.
Подставим соотношения (1.21) в уравнения (1.22), получим равенства
2 (By (к, I) — (р + zj) By) ф; (к, I) = 2-1
= -(р + гО2Вуф(7с, 7). (1.24) 3=1
Отсюда находим уравнения, определяющие динамику компонент В.^к, 7):
By (Тс, 7) = (zj — z?) By ^k, t\(1-25)
Поэтому динамика компонент матрицы рассеяния полностью интегрируется:
By (А, 7) = By (А, 0) exp ((zf — z?) 7).(1.26)
Очевидно, справедливы соотношения
В;; (/С, 7)=В;;(/с, 0) ,
В;Д/с, 7)ВИ&, 7) = В,Д/с, О)ВР(Л, 0). V ’
Решение системы уравнений (1.3) по методу обратной задачи рассеяния состоит из трех этапов:
«п (0) -^- By (к, 0)-^>-By(/c, f)™an (t).(1.28)
Этап I состоит в нахождении начальных данных рассеяния по известной начальной матрице L(0), т. е, сводит- 106
ся к решению задачи на сооственные значения для оес- конечной матрицы L. Этап II заключается в исследовании динамики компонент матрицы рассеяния. Решение этой задачи получено выше и определяется формулами (1.26). Этап III состоит в восстановлении коэффициентов аДГ) по найденным данным рассеяния В,-, (/с, ty Эта задача, видимо, будет исследована в дальнейшем. Заведомо ясно, что полная матрица рассеяния В„(/с, 1), зависящая от произвольного комплексного параметра к, содержит избыточную инфюрмацию. Если ограничиться вещественными значениями параметра к, то множество корней уравнения (1.20) разбивается на пары комплексно сопряженных корней и между коэффициентами Вц(к, t) появляются тождественные соотношения. Лишь при исключительном значении параметра к = 0 все решения уравнений (1.18) являются ограниченными при п~^
±оо, т. е. все корни z, уравнения (1.20) удовлетворяют условию IzJ = 1; при этом zf = — 1.
Динамическая система (1.3) допускает еще одно представление Лакса со спектральным параметром, не эквивалентное представлению (1.4). Пусть матрицы L(t, Е) и А(1, Е^ имеют следующие ненулевые компоненты:
т Т rp—l —1
р-1р-1(1.29)
А;д+р= Е^сц 1 2 «i-h, А^д+р-! = Ет тсц 1 2 ^-ь- й—1й=0
Система (1.3) эквивалентнавторому матричному урав
нению со спектральным параметром Е, имеющему вид
LL =[L,А],(1.30)
где компоненты матриц L(t, Е^ и A(l, Е) определены формулами (1.29). Уравнение (1.30) имеет набор первых интегралов ,Д = Тг(Е(£, Е))6, к = 1, 2, ..., поэтому собственные числа матрицы L(t, Е^ являются первыми интегралами динамической системы (1.3). В случае обратимых матриц L уравнений (1.30) эквивалентно уравнению L = [L, AL-1]. При этом матрица AL-1 имеет весьма сложную структуру: все ее элементы, вообще говоря, являются ненулевыми.
Динамическая система (1.3) допускает представ- лепие Лакса (1.4), (1.30) как в случае вещественных, так и в случае комплексных переменных a,-(f). Укажем
аналог системы (1.3) в случае комплексных переменных a<(t), также допускающий представление изоспектраль- ной деформации.
Рассмотрим уравнение Лакса
(А + KE)'= [А + КЕ, В-Кр£],(1.31)
где матрицы А, В, К имеют размер п X п и их ненулевые матричные элементы являются двумерными блоками следующего вида:
/О 1\(Ъг 0 \
Ki,i+l = ^=^l oj’ Bii = Bi = I о Т(^)Ьf аг 0 \
Р = 2s + 1: Ai,i+i-p = А =т(^)у-(1-32)
/ 0 аЛ
Р = 2s: А^+1_р = Ai = I т (а^ о у’
где коэффициенты а^ bi—комплексные числа и т(а) = = а. Уравнение (1.31) является следствием уравнений
.р-1.
А = [А, В], В = - 2 Кр-^АК\ К = 0. (1.33)
5=о
Из формул (1.32), (1.33) получаем р—iр-1
Bi = - 2 ^^''Ai+p-i-,-^, bi = - 2 Aai+k\ (1.34) j=0k=0
Первое уравнение (1.33) после подстановки формул (1.34) принимает вид динамической системы
Яг = «i ( 2 ^^(ai+h) — 2 ^(ai-h) L (1.35) \k=lk=l/
Следствие 1. Динамическая система (1.35) допускает представление Лакса (1.31), (1.32) со спектральным параметром и имеет поэтому набор первых интегралов 1т = Тт(Ь + КЕ)т.
§ 2. Интегрируемые редукции динамических систем (1.3)
Рассмотрим динамическую систему (1.3) в конечномерном непериодическом случае, матрицы а и т имеют вид (1.5) при щ, ..., ap-i=0, а, = 0 при / > п. Пусть Хг, ..., Хп, i|?, ..., 4>п— собственные числа и собственные функции оператора L = а + тЕ, ei, ..., еп — векторы с
координатами (eQ} = 6«. Пусть е, = S а^- Введем резольвенту R(Z) = (X—L)-1 оператора L. Справедливы равенства
RWe1= 2 Т^Г^- (2Л) А ^йft=i л лк
Из уравнения Лакса (4.4) следует дифференциальное уравнение
R(%) = [R(X), А], Х = -Ъ-т^Е.(2.2)'
Определим функцию
П/ , Ь \71
/(^(«(И^^^^Д.И
k=lвk=iв
где р6 = а6(ф\ еД.
Пусть Q — диагональная матрица с элементами Qw = = 2^ где z = exp (2ni/p), zp = 1.
Лемма 1. Матрица L = а + тЕ, ее характеристический многочлен P(X)=det(L— Л1), матрица R(X) и функция /(Л) удовлетворяют равенствам
QLQ-1 = z"1L,P(X)=z-P(zX),
QR(X)Q-! = zR(zX), /(X) = z/(zX).(}
Действительно, ненулевые элементы матрицы QLQ-1 имеют вид
(QLQ-1) wi = z^t+iz-6-* = z-’L^i, (QLQ”1) 6Л+1-р = z^i-pZ'^”-1 = r'Lwi. (2'd)
Поэтому первое равенство (2.4) выполнено в силу zp = = 1. Отсюда следует
Р^^ det(L — X • 1) = det(QLQ-1 — X • 1) =
= гт" det(L — Xz • 1), что доказывает второе равенство (2.4).
Умножим тождество (X — L)R(X)=1 на матрицы Q и Q-1 и используем первое равенство (2.4), получим
(Л - QLQ-1) QR(X) Q"1 = (zX - L) z'>QR(X) Q-1 = 1.
Следовательно, QR(X)Q-1 = zR(zX). В силу диагональности матрицы Q имеем
/(X) = (QR(X)Q"1e1, ei) = (zR(^)ei, ei) = z/(zX). (2.6) Лемма 1 доказана.
Из второго равенства (2.4) следует, что матрица L вместе с любым собственным числом X имеет р собственных чисел zhX, к = 1, 2, ..., р, где z = exp(2ni/p). Поэтому число функционально независимых собственных чисел матрицы L не превосходит [и/p] и по крайней мере l=n — p\nip\ собственных чисел Х< = 0. Подставляя разложение (2.3) в равенство (2.6), находим
Отсюда следует равенство коэффициентов р(1, р„ для которых собственные числа Xh, Xj связаны соотношением Xt = z™X,-. Нулевым собственным числам Хк соответствует одно слагаемое Ipjk. Переменные р(1 удовлетворяют связи pi + ... + pn = l, которая следует из асимптотики резольвенты R(X) = X-1 id при X оо и формулы (2.3). Поэтому число независимых коэффициентов р(1, как и число собственных чисел Xj, не превосходит [и/p]. В силу указанной связи существуют такие координаты гк, что (п \ —1
2•
j=i /
Покажем, что переменные rk, X,- определяют интегрируемую редукцию системы (1.3). Для этого продифференцируем функцию /(X) (2.3) по времени, используя равенство (2.2), получим
/‘(X) = (R(X)ei, ei) =i( (RA — AR)ei, ei) =
= (RAei, ei)-(Rei, A'ei). (2.7)
Из формул (1.5), (1.8) получаем Aei =—Ьпец A'ei = = —61161 — EeP+i; поэтому из формул (2.7) следует равенство
/ (X) = (R (X) ev Еер+^ = 2 ^^±1),(2.8)
Обозначим (ф\ 61) = ф?. В силу определения Ьф* = Х^ф* имеем систему уравнений
Е^\ = Х^ф^, ..., Ефр = Х^ф^, арф^ + Ефр+1 = Х^фр,
(2-9) из которой следует соотношение
ф*+1 = (Х^"р - ЯрЕ"1) ф?.(2.10)
ПО
После подстановки этого выражения в формулу (2.8) получаем
й=1яЛ=1 L я
<2.11)
Дифференцируя разложение (2.3) по времени и сравнивая с формулой (2.11), получаем систему дифференциальных уравнений
М^-йМ(2.12)
Покажем, что справедливо равенство аР = 2 ^rE1 Ррк- Й=1
Действительно, в силу определений имеем
(
n\n ip
R (X) Lp У а^\ е, = У (2.13)h=l/h=l я
Для оператора L = а + тпЕ справедлива формула ^Lpe\, е^^арЕ11-1. Асимптотика резольвенты при X-*• °° имеет вид R(X) = X-lid. Поэтому из (2.13) следует, что
2 ^Рл = арЕр-\ h=l2 ^Рл = арЕр-\ h=l(2-14)(2-14)
2 ^Рл = арЕр-\ h=l
2 ^Рл = арЕр-\ h=l
(2-14)
(2-14)
В силу равенства (2.14) и уравнений (2.12) получаем систему дифференциальных уравнений для переменных гк:
rh = №”prh, Xft = 0.rh = №”prh, Xft = 0.(2.15)(2.15)
rh = №”prh, Xft = 0.
rh = №”prh, Xft = 0.
(2.15)
(2.15)
Полученные уравнения представляют собой интегрируемую редукцию динамической системы (1.3), в силу которой
'k(0 = r”exp(—Х^1-^), Xft = const. (2.16)
Число независимых переменных гк, Хк равно 2 \п]р\ в силу тождеств (2.4). При р = 2 система (1.3) сводится к системе Вольтерра (1.1). В. этом случае переменные гк, Хк образуют систему координат в пространстве неизвестных «1, ..., an-i и формулы (2.16) определяют интегрирование системы Вольтерра, осуществленное в работе [30].
§ 3. Интегрируемые динамические системыс произвольной степенью нелинейности
•I. В данном параграфе изучается второе счетное множество интегрируемых дискретизаций уравнения Кортеве- га — де Фриза, которые, в отличие от динамических систем (1.3), имеют произвольную степень нелинейности.
Теорема 2. При любом целом р^2 динамические системы .
./р—iр—г\
Ф = Ui I Д <Т< + й Ц ащ-k I!(3-1)
\й=1й=1/
./Р—1р—1\
<ij = <ijI U a^kJJ Ui_k 1(3'2)
\ h—1k=l/
допускают представление Лаксаи вконтинуальном пре
деле переходят в уравнение КдФ (1.2).
Доказательство. Рассмотрим уравнение Лакса следующего вида:
(а + тпЕу = [а + пгЕ, арЕ-1],(3.3)
где матрицы а и m имеют только по одному ненулевому элементу в каждом столбце, которые определяются формулами
аун = Ф, "Ч;+1-р = — 1.(3.4)
В этом случае матрица ар имеет следующие ненулевые элементы:
р—г
(аР)м+Р = П(3-5)
Л=о
Уравнение (3.3) сводится к трем матричным уравнениям
а = [т, ар], [а, а’]^0, m = 0.(3.6)
Первое уравнение (3.6) в силу (3.4), (3.5) эквивалентно динамической системе (3.1).
Представление Лакса для системы (3.2) имеет вид
(а + шЕ)' = [а + пгЕ, а1-рЕ-1],(3.7)
где ненулевые элементы матриц а, тп, а’~р определяются формулами
р—г
Фд+г = «Г1, ™:,=+р = — 1, (a1~p)i-i_p+1 = П °г-к- (3.8)
/1=1
Уравнение (3.7) сводится к трем матричным уравнениям d = [m, а1-р], [а, а1-р]^0, m = 0.(3.9)
Первое, уравнение (3.9) в силу формул (3.8) эквивалентно динамической системе (3.2).
Переходя к выводу континуального предела динамических систем (3.1), (3.2), предположим, что справедливы равенства а, = 1' — E^u^t, х^, Xj=jE, где u\t, х)— некоторая гладкая функция. Тогда системы (3.1), (3.2) принимают вид
— е2 5 (^ ^) = (1 — е2ы (t, ^))m X
Х| U(1 — е2и (t, Xj + Ав)) — Ц(1 — e2u (t, х; — А-е)) (3.10)
V fc=i/<=1/
где т = 1 и т = 2 в случае систем (3.1) и (3.2) соответственно. Отсюда получаем
"р—г
^М = (1-е2«М)т^М = (1-е2«М)т2 (w(Z, Xj + А:е)—u^t, Xj—А:е)) — . h=i
^М = (1-е2«М)т
^М = (1-е2«М)т
! Р—1\
—е2 2 (u(^ хз + A"e)h(Z, Xj + Ze) — 1Д1, Xj—kE^t, 4,—Ze)) + wi/
+ О (в4)
После подстановки разложения функции и(£, 4,±А:е) в ряд Тейлора находимПосле подстановки разложения функции и(£, 4,±А:е) в ряд Тейлора находим/ р—1 \0t 1Г, ^) — I 4Е ^К \ дх +/ р—1 \0t 1Г, ^) — I 4Е ^К \ дх ++ Е3+ Е3х л=1 7(р—11\тп^к + 2^ + 4“^ h=l h^l / Хх л=1 7(р—11\тп^к + 2^ + 4“^ h=l h^l / ХР—1Р—1+ 42 »•$ +О(==).й=1_+ 42 »•$ +О(==).й=1_
После подстановки разложения функции и(£, 4,±А:е) в ряд Тейлора находим
После подстановки разложения функции и(£, 4,±А:е) в ряд Тейлора находим
/ р—1 \
0t 1Г, ^) — I 4Е ^К \ дх +
/ р—1 \
0t 1Г, ^) — I 4Е ^К \ дх +
+ Е3
+ Е3
х л=1 7
(р—11\
тп^к + 2^ + 4“^ h=l h^l / Х
х л=1 7
(р—11\
тп^к + 2^ + 4“^ h=l h^l / Х
Р—1
Р—1
+ 42 »•$ +О(==).й=1_
+ 42 »•$ +О(==).й=1_
Вычисляя указанные суммы, получаем систему I р =
-42 *4
ft=l J
Эи/.. Эи ,
-(;,ж.) = Е/)(р_1)- +
+ E3f-p(p-l)(p + ^-2)n^ + p^ +О(е3). (3.11)
8 О. И. Богоявленский113
Уравнение (3.11) после перехода к новым переменным t' = t, х' = хА- р^р — 1) ei принимает вид 5" = б3 (- р кР - 1) (Р + ™ - 2) и ^ + р ^ + О (е»).
(3-12) После замены переменных
т = —e3xt', х\=ох1
о^кркР— 1)(р + ш— 2)/6р)1/2, х = ро3
и перехода к пределу е^О уравнение (3.1,2) преобразуется в уравнение Кортевега— де Фриза (1.2). Теорема 2 доказана.
Динамические системы (3.1), (3.2) после введения обозначений'
(3.13)(3.13)(3.14)(3.15)(3.14)(3.15)р— 2р—1
(3.13)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.14)
(3.15)
5i = XX ^i+Ai О = I I ^i+A
принимают видпринимают видА=0А=0
принимают вид
принимают вид
4i Si(5j4-1bi— р4-1),
di di ( Ci Ci— p^. 1) .
Из этих уравнений в силу (3.13) следуют динамические системы
(
p-тр—1 \./р-1р-1 \
2 ^i+A2 ^i—A J ’di= Ci I 2 ^i+A2 ^i—A J *
A=1A=1 /\A=1A=1 /
,(3.16)
Таким образом, системы (3.1), (3.2) с помощью отображений (3.13) преобразуются в одну динамическую систему (3.16), имеющая вид (1.3).
Отображения (3.13) вида
Ъ1 didi^. 1 . . . di^.q— 1,I(3.1 7)
вообще говоря, необратимы и преобразуют системы (3.1) и" (3.2) на некоторые инвариантные подмногообразия системы (1.3). Рассмотрим периодический случай ai+n ^ аь Пусть числа и и q не являются взаимно простыми, т. е. и = sd, q = gd. Тогда в силу формул (3.17) при любых г и / справедливы соотношения
8XX ^i+Ad А=18XX ^i+Ad А=1зII bj^hdtА=1зII bj^hdtА=1
8
XX ^i+Ad А=1
8
XX ^i+Ad А=1
з
II bj^hdt
А=1
з
II bj^hdt
А=1
среди которых имеется d — 1 функционально независимых соотношений. Формулы (3.18) определяют инвариантное подмногообразие — образ отображения (3.17).
Пусть числа п и q взаимно просты. Тогда существуют такие целые числа к и Z, что kn=lq— 1. В этом случае отображение (3.17) обратимо, причем обратное отображение определяется формулами
I—1П—1
1П Я; = 2 In bi+mg ~ 7 2 ln bi+m- (3.19) т=0
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Утверждение 1. В периодическом случае ai+n^ai динамические системы (3.1) и (1.3) эквивалентны, если (п, р— 4)=1. Системы (3.2) и (1.3) эквивалентны, если (п, р)=1. Системы (3.1) и (3.2) взаимно эквивалентны, если (n, р) = 1 и (п, р — 1) = 1.
Из представления Лакса (3.3) следует наличие у динамической системы (3.1) первых интегралов Ik = = Тг Ьйр, где L = а + пгЕ. Прямое вычисление приводит к следующим явным формулам:
тгq
(-1)й+17й+1= 2 5 С^ПП^ (3.20)1=1 зтSq 5=1 m=o
Sj^l, si + ... + Sq (k + l)r, 1^7^ k + 2,
C (q) = k + 3 — q,
(3,21) Cj= Si + . . . + S,-! —U — l)r.
Эти формулы справедливы в •периодическом случае а, = = ai+u и в непериодическом случае при а, = 0 для у < 1, ]>п.'
Рассмотрим задачу рассеяния, связанную с уравнением Лакса (3.3) и динамической системой (3.1), в классе финитных решений с асимптотикой ап -► 1 при п -► ±оо. Собственные функции оператора L(Z, 1) = а + тп (3.3) удовлетворяют уравнению
(Еф(/с, Z))„ = —чр(/с, Cj^i-p-V a^tk, ()п+1 = /сф(/с, ;)„,
(3.22)
где k е С — спектральный параметр. Пространство решений уравнения (3.22) имеет размерность р. Выделим в этом пространстве два базиса собственных функций Ф,(/с, /) и ф3(/с, Z), которые имеют следующие асимпто-
тики при п-> ±о°:
(фг (fc, t))n = z[\ n->oo; (ip; (A, ДД = z", n-* + 00.
(3.23) Числа гДА:), гД/Д являются корнями уравнения
zp - kz»"x -1 = 0.(3.24)
При p = 2 уравнение (3.24) имеет два корня zi, Z2, связанных соотношениями z2 = — z, \ к = zx + zx . Это — случай дискретного уравнения КдФ, подробно рассмотренный в работах [30, 44, 45].
Покажем, что функции ^^к, i) и фД/с, i) удовлетворяют уравнению
Фг + Афг = г[фй А = ар.(3.25)
Действительно, из уравнения Лакса, как известно, следует уравнение
Ь(фг(А:, г) + АфД/с, i)) = к (фД/с, А) 4-АфД/с, А)), (3.26)
в силу которого функция Ф = фг + Афг является собственной функцией оператора L и поэтому имеет представление в виде ср = cicpi + ... + Срфр. В силу асимптотики (3.23) имеем
р-i
(фг 4~ АфДп = (фг)тг 4“ | I ^n+fe (фг)тг+р =
= zX^ = zX^V (3.27)
Поэтому Cj = гХбц и справедливость уравнения (3.25) доказана.
Два базиса собственных функций ф,(к, t) и фД/с, А) связаны линейным соотношением
р
Фг (/с, Д = 2 By (/с, A) ф; (/с, ty(3.28)
l=i
Подставив разложения (3.28) в уравнения (3.25), получим равенства
2 (Ву ^к, А) + zpBy (/с, ty Tpj (/с, t) = zvi 2 By (/с, у ф;. l=ij=i
Отсюда находим уравнения, определяющие динамику компонент матрицы рассеяния
Ву(Л, t) = (zX-^by^ty(3.29)
Решения этих уравнений имеют вид
В^ (к, 1) = Bij (А:, 0) exp ((z? — z?) 1).(3.30),
В частности, справедливы соотношения
В«(А, Г)=Вц(к, 0),
ВУ(А, 1)В^(А, 1) = В^(А, O)Bji(A, 0).
Рассмотрим задачу рассеяния в случае полубеско- нечных матриц L = а + т и А = ар, для индексов которых /, п имеем j, и > 1. В этом случае в первых р — 1 строках матрицы L имеется только по одному ненулевому элементу L^i = Щ. Поэтому уравнение L-ф = Агтр при п < р имеет вид
алф(А, t^x = к^\к, 1)л,
а при п"^р имеет вид (3.22). Следовательно, все компоненты тр(А:, 1)л определяются из уравнения L-ф = Ar-ф по компоненте ^(к, i)i, т. е. пространство собственных функций ф (A, 1) одномерно. Нормируем собственную функцию ф(А, i) условием
Ф1 №, 0 + ( Д «t W ) Фр+i У6’ 0 = °.(3.31)
\i=l /
В силу уравнения (3.26) справедливо равенство
ф(А, <)+ Аф(А:, <) = с(1)ф(А, i).(3.32)
Вычисляя первую компонету уравнения (3.32), убеждаемся, что при условии нормировки (3.31) функция c(i) = — 0, поэтому справедливо уравнение
ф(А, i)+Аф(А, i) = 0.(3.33)
При условии финитное™ решений системы (3.1) (ап-*1 при и-> оо) функция ф(А, t) имеет следующее асимптотическое разложение при п-*■<»:
р
Ф (А, <)„ = s В5 (к, t) z-,-(3.34)
3=1
где z,— корни уравнения (3.24). Подставляя это разложение в уравнение (3.33) и переходя к пределу п-*о°, получаем уравнение
2 (S,(A,i)z” + S,(A, i)z”+p) = 0. 3=1
Отсюда находим уравнения для изменения данных рассеяния
(3.35)(3.35)Bj (к, i) = — z^Bj (к, Z), Bj (к, i) = Bj (к, 0) exp (— z^i).
(3.35)
(3.35)
Таким образом, в двух рассмотренных случаях эволюция данных рассеяния, связанных с динамической системой (3.1), полностью интегрируется.
' VI. Укажем аналог динамической системы (3.1) в случае комплексных величин а,. Рассмотрим уравнение Лакса следующего вида:
(А + MS)- = [А + MS, Ар£-1].(3.36)
Здесь А и М — блочные матрицы, ненулевые элементы которых имеют вид А^,+ 1 = щ, М4л+\-т = пц, где at и т4 являются двумерными блоками, которые определяются формулами
а» = -„ , ттцVi ° /а» = -„ , ттцVi ° /— (1 О/’ Р —— (1 О/’ Р —ТГЦТГЦр = 2s + 1.р = 2s + 1.(3.37)(3.37)
а» = -„ , ттц
Vi ° /
а» = -„ , ттц
Vi ° /
— (1 О/’ Р —
— (1 О/’ Р —
ТГЦ
ТГЦ
р = 2s + 1.
р = 2s + 1.
(3.37)
(3.37)
Уравнение (3.36) сводится к матричному уравнению А = — [М, Ар], эквивалентному динамической системе
(
р—1р—1\_
П^(“1+й)- H^^i-h) , т(и)= и.(3.38)
k=ife=i/
Следовательно, динамическаясистема (3.38)прилюбом
целом р >2 допускает представление Лакса ,(3.36) со спектральным параметром Е и поэтому имеет набор первых интегралов Д = Тг(А + MS)6. Указанная конструкция (3.36) — (3.37) при отрицательных р приводит к уравнениям вида (3.38) с м1ножителем и^ вместо щ, являющимся аналогами динамических систем (3.2).
Интегрируемые редукции динамических систем (3.1)
Построения данного параграфа во многом,аналогичны построениям § 2 и в случае р = 2 (модель Вольтерра) переходят в построение работы [30]. Рассмотрим динамическую систему (3.1) в конечномерном непериодиче- 118
ском случае, т. е. при «о = «п = 0. В представлении Лакса L = [L, А] (3.3) матрицы L и А размера пХп имеют следующие ненулевые элементы:
Lk,A+i 6th, Lh^+i—р 1,^ ^
Ah,h+P ■ ^h ^к+1 • • • Щ+р—Ь
Из представления Лакса (3.3) следует, что собственные числа %ь ..., Х„ матрицы L являются первыми интегралами динамической системы (3.1). Пусть хр1, ..., 4)" — соответствующие им собственные функции, еь ..., е„ — векторы с координатами (С1), = бу. Пусть е1 = 2 «а'Ф*- А=1
В дальнейшем, как и в § 2, существенно используется резольвента R(X) = (X —L)-1 оператора L; очевидно, справедливы равенства-
RW«1 = 2x5^^ (4"2)
и дифференциальное уравнение
R(X);=[R(X), А].(4.3)
Определим функцию
/(X) = (R(%)ep ej = 2х~Г’ Ра = “а ('р'1’е1)- (4-4) /1=1 ь
Матрица L (4.1) имеет ненулевые элементы в тех же клетках, что и матрица L из § 2. Поэтому в рассматриваемом случае также справедливы лемма 1 § 2 и все равенства (2.4). Следовательно, матрица L (4.1) вместе с любым собственным числом X имеет р собственных чисел zU, к = 1, 2,..., р, где z = ехр (2л//р), zp = 1. Так же как и в § 2, из равенства /(X) = z/(zX) следует, что величины рь и р, совпадают, если соответствующие собственные числа ХА, X,- связаны соотношением Хк = zmXj. Переменные рь удовлетворяют связи pi + ... + p„ = l, которая следует из асимптотики резольвенты R(X) = X-1id при X -> оо. Поэтому число независимых коэффициентов Ph, как и число собственных чисел к^ не превосходит Ь/р] •
Продифференцируем функцию /(X) (4.4) по времени; в силу уравнения (4.3) имеем■
/(%) = (R(Mei, ei) = ((RA - AR)eb е,) =
= (RAei, ci)—(Rei, A'ei). (4.5)
119
Из формул (4.1) следует Aei = О, A'ei = ацер+ь поэтому
ГО - - (Re„ А'»,) - - i й-(чЛ 0-6)
Й=1
Обозначим ф? = (фк, е»). В силу определения Lil)" = X(1i|)" имеем систему уравнений
^1^2 = Хйф1, • • м ^р—1Фр = Х/^р— 1т— Ф? + «рФр + 1 = Хйфр,
из которой следует соотношение
^р+1 = —^р+1 = —V2 "•%V2 "•%
^р+1 = —
^р+1 = —
V2 "•%
V2 "•%
После подстановки этого выражения в формулу (4.6) и сокращения па х\ = ащг... ар, получаем
_ 2(4.7)
Дифференцируя разложение (4.4) функции /(X), находим
Из равенств (4.7), (4.8) следует система дифференциальных уравнений
Рй = (X? — ai<z2 . . . «р-О рй.(4.9)
Покажем, что справедливо равенство
а^г ... Яр-! = 2 ^?Рг(4-10)
Действительно, в силу определений имеем
(
n\п .р
в(Х)ьр2^.е|и2Д (I11)1=1/ 1=13
Асимптотика резольвенты при X-* ^ имеет вид R(X) = = X""1 id. Для оператора L (4.1) справедлива формула
(Lpei, ei) = «1^2 • • • «p-ь Поэтому приравнивая асимптотики обеих частей равенства (4.11) при X->-°°, получаем выражение (4.10).
Как отмечалось выше, справедливо равенство pi + + р2 + ... + pn = 1. Вследствие этого можно ввести проективные координаты г,,, для которых
Ph = S •(4-12)
U=i /
Переменные гк определены с точностью до общего множителя. Система уравнений (4.9) в силу равенства (4.10) эквивалентна системе уравнений
Гк—ХкГк, ifc = 0.(4.13)
Уравнения (4.13) являются интегрируемой редукцией динамической системы (3.1). Их решения имеют вид
rh^ = г® exp (Х^), ХА = const.
Эти формулы, очевидно, сохраняют равенство переменных гк, г,, для которых Хк = zmX5, так как zp = 1.
Переменные гк как функции от щ, ..., an-i строятся с помощью операций линейной алгебры (вычисление резольвенты), которые вполне эффективны. Полное число независимых переменных в системе (4.13) не превосходит 2 [га/р]. При р = 2 переменные rk, X, образуют систему координат в пространстве аь ..., ап_ь В силу этого обстоятельства в работе [30] было проинтегрировано дискретное уравнение КдФ (уравнения (3.1) при р = 2 совпадают с дискретным КдФ). В общем случае р>2 из проведенных рассуждений следует, что система (3.4) в некоторых координатах rk, X,, bt имеет эквивалентный вид
Гк = ^кГк, Хк = 0, 6i = /i (rA, Хр bv ..., Ь^. (4.14)
Здесь число координат Ь{ равно d = п — 1 — 2 [га/р].
Интегрируемые дискретизациивторого уравнения КдФ
С каждой динамической системой вида (1.3), (3.1) или (3.2) связана бесконечная иерархия интегрируемых динамических систем, допускающих представление Лакса с той же матрицей L, по с более сложными матрицами А. Операторы Лакса L и At для иерархии «высших» дина-
мических систем, связанных с (1.3), определяются формулами
й-1.
L = а + тЕ, Ад = Ь + 2 cjE3 + $hmhpE ,(5-1)
7=i
где матрицы а, т, Ь, с, имеют только следующие ненулевые элементы:
Щ,1+1—Р Щ> ^Щ,г+1 1, ^iij (о) t,i+Pj* (5-2) Уравнение Лакса L = [L, Aft] со спектральным параметром Е сводится к системе уравнений
а = [а, Ь], [а, ci] + [m, Ь] = m = О,„
‘ [а, Cj] + [m, c,-i]'=0, [а, ^т1*”] + [m, cft_i] = 0,' '
где 7 = 2, ..., к— 1. Решения последних двух уравнений (5.3) имеют следующий алгебраический вид:
йр—1,.
cft_T = p^m^-1^ + [Зй У т1атЬр'м, 7*о (й—1)р—1.
Сй—2 = Рй-2т+ Рй—1m аТП+
7=0
йр—lj—1.., . .
+ Рй У У m3amkp~1~3am3~3~i.
7 = 0 7=0
После подстановки этих формул последние два уравнения (5.3) обращаются в тождества.
При к = 2 из (5.3), (5.4) получаем вторую динамическую систему в рассматриваемой иерархии
а = [а, Ь],
Ь = Pi 2 пггатр-1-г + р2 2 У тгат2р-г-3ат3-1-1, (5.5) 7=07=0 7=0
которая при Рг = 0, Pi = —1 переходит в систему (1.3).
Операторы Лакса L и Ak для иерархии интегрируемых динамических систем, связанных с системой (3.1), определяются формулами
й—1
L = а + тЕ, Ай = 2 CjE-3 + ^h<i,pE-h. (5.6) 7=1
Здесь матрицы <z, т, с, имеют следующие ненулевые элементы:
^i,7+l ^г7 ^T-ip'+l —Р1? (О) <л+РЗ*(5. /)
Уравнение Лакса L = [L, Aft] при этом сводится к системе уравнений
а = \тп, с 1 ], [a, cj + [m, с,+1] = О,
(„,й.11 + [т,МЧ = о.
Решения последних двух уравнений (5.8) имеют вид
ftp—1
ск_г = рй_1а(,1-1)р + рй 2 aW1-1"5,
3=0
(h-l)p-l
Cft_2=₽ft_2a(ft-2)” + ₽ft_12 a^ma^-1-1 +(5.9)
j=o hp—1 j—1
3=1 1 = 0
При к = 2 и k = 3 формулы (5.8), (5.9) определяют вторую и третью динамические системы в иерархии, порожденной системой (3.1), которой соответствует к = ^.
Рассмотрим динамическую систему (5.8) в простейшем случае к = 2, р = 2. В силу формул (5.9), (5.7) получаем
с, = рщ2 + р2(та3 + апга2 + а2та + а3ш),(5.10)
(с1)гД + 2 = Pl«i«i + 1
— Рг («г—l®i«i + l + ®i«i+l + «i«i+l + «{«г + т^И + г)1
Первое уравнение (5.8) а = [т, cj в силу формул (5.7) сводится к динамической системе
а, = (Ci)i|i+2 — (ci)t-i,i+i>
которая после подстановки формул (5.10) принимает следующий вид:
O-i Щ(@1 («t+1О{— 1)
— Рг(щ+1 (щ + Щ-н + «1+2) — «i-i («г + Щ-1 + Щ-2))) -(5.11)
Эта система включает в себя при р2 = 0 систему Воль- терра или дискретное уравнение КдФ, определена в пространстве произвольной размерности и имеет те же первые интегралы, что и система Вольтерра, так как операторы L для этих систем совпадают.
Исследуем континуальный предел системы (5.11). Пусть ak(t) = 1 — e^u^t, zh), u^t, z)—некоторая гладкая функция и zh = ке, После подстановки этих выражений уравнения (5.11) в точке (t, zh) принимают вид
ut = 2е (Pj — бр2) их + 2е3 ^ — 2p2j (иххх — 6иих) +
+ 2е5 ^ (Pj — Збр2) и! — ^ — 4р2) ииххх +
+ 4$2ихихх — 6P2u2wxJ + о (вб). (5.12)
При Pi ^ 12^2 стандартные преобразования (см. § 1, 3) приводят уравнение (5.12) в пределе е -* 0 к уравнению Кортевега— де Фриза ut = 6uux— и^. Пусть Pi = 12^; сделаем последовательно замену (координат tv ■= t, zi = = z+12p2et, замену времени т = —2Ргв5(1 и затем перейдем ж пределу е -> 0. Тогда уравнение (5.12) перейдет в уравнение
ut^ —-^ и^— 2ии"'—4и'и" + 6и2и'.(5.13)
Это уравнение представляется в виде
ut =ЮД = (н")2 - 5и2и" + 5и4(5.14)
1би 2 v'
и поэтому совпадает со «вторым» уравнением КдФ (см., например, [5]). Таким образом, доказано следующее
Утверждение 2. Бесконечная система уравнений (5.11) допускает представление Лакса со спектральным параметром и в континуальном пределе переходит в уравнение КдФ, если Рк^12р2, и «второе» уравнение КдФ (5.14), если Pi = 12^2-
Замечание 1. В утверждении 2 существенно используется то нетривиальное обстоятельство, что в разложении (5.12) произвольные постоянные 01 и 02 входят в коэффициент при е3 в виде общего множителя Pi — — 12^2- Вероятно, утверждение 2 справедливо также и для всех 'динамических систем (5.8) при к = 2, р > 2 и соответствующем специальном соотношении между коэффициентами Pi и ^2. Возможно, что и все высшие уравнения КдФ имеют интегрируемые дискретизации вида (5.3) и (5.8) при некоторых специальных соотношениях между коэффициентами 01, 02, ..., 0л.
Общие конструкцииинтегрируемых дискретизаций уравнения КдФ
В данном параграфе мы покажем, что динамические системы (1.3) и (3.1) являются специальными случаями некоторых общих динамических систем, которые также допускают представление Лакса и в континуальном пределе переходят в уравнение Кортевега— де Фриза. Предварительно выясним, к каким динамическим системам (с точностью до эквивалентности) приводят уравнения Лакса вида
L = [L, A], L = aEg+kEt А = хЕ^ + уЕ60 (6.1) с произвольным спектральным параметром Ео, где матрицы анк функционально независимы, а, ^, у, 6 — произвольные действительные числа. Покажем, что нетривиальные уравнения Лакса (6.1) эквивалентны трем различным случаям, определенным условиями (а, ^) = = (0, 4) и (7, 6)=(0, 1), (—1, —2), (1, —4). Умножим оператор L на Е"^ и перейдем к параметру Е = Ео~а; тогда (ai, £i) = (0, 1). Если из трех пар чисел (0, 1), (71, 71 + 1), (61, 61 + 1) некоторая пара не пересекается ни с 'Одной другой, то из уравнения (6.1) следует либо тривиальная динамика (4 = 0, й = 0), либо функциональная зависимость матриц анк (если, например, из (6.4) следует, что [a, z] = 0, [Л, z] = 0). Поэтому нетривиальные уравнения (6.1) соответствуют следующим значениям пар (у,, б,): 4) (1, -4), 2) (0, 1); 3) (0, -1); 4) (1, 2); 5) (—1, —2). Случаи 2) и 3), а также 4) и 5) эквивалентны после умножения оператора L на Ес и перемены местами матриц анк.
Окончательно получаем следующие уравнения: (Yi> $i) = (1,1); (а + кЕ) = [а + кЕ, хЕ + уЕ х],
.(6-2)
(Yv ^i) = (0, 1); (я + кЕ) = [а + кЕ, х + уЕ),
(6.3) (Yv 6J = (- 1, - 2); (а + кЕ) = [а + кЕ, хЕ-1 + уЕ-^, (6-4) которые эквивалентны соответственно системам уравнений
4 = \к,у],к = )а,х], [а, у] = О,[Л,ж] = 0,(6.5)
4 = [<z,z],к = \к,z]+[a, z/J,\к,z/] = 0,(6.6)
4 = Ik,х],к = 0,[a, z] + [A:, z/] = 0,[a,z/] = 0.(6.7)
Системы (6.5), (6.6), (6.7), очевидно, попарно не эквивалентны.
Из алгебраических связей (6.5) следует, что у = = Р(а), x — Q(k); соответствующие динамические системы в случае матриц а и к ленточного вида рассмотрены в работе [12]..
Уравнения (6.6) и (6.7) далее рассматриваются в пространстве матриц ленточного вида, ненулевые элементы которых определяются формулами
Cltx—т " Hi, ki,l^.q 4.(6*8)
Необходимо предположить, что в случае (6.6) у = = ^кр, а в случае (6.7) у = ^ар.
Рассмотрим следующие уравнения Лакса, отвечающие случаям (6.3) и (6.4):
(ат + кЕ)’ = [am + кЕ, -Ь-крЕУ (6.9) (а + кЕ\ = [а + кЕ, сЕ”1 + ptz^"2].(6.10)
Уравнение (6.9) является следствием уравнений
а = [а, Ь], b = кр~хат + кр-2а™к + ,., + аткр-х,
'7^ = 0. (6.44)
Уравнение (6.10) является следствием 1уравнений
а = [Тс, с], с = аар'2 + (ар-1/с + ар-2ка + ... + кар~х),
к = 0.(6.12)
Для разрешимости уравнений (6.44) в матрицах вида (6.8) необходимо и достаточно выполнения соотношения
тт = ^р— 1)^.(6,43)
Для аналогичной разрешим ости уравнений (6.12) необходимо и достаточно выполнения соотношения
2q = r^p — 2),(6.14)
причем а = 0, если р — нечетное число.
Динамические системы, определенные условиями (6,11) и (6Л2), являются эквивалентными при т = 1, р = 3 (в этом случае уравнения отличаются только знаком); тогда в силу (6.43), (6.14) имеем r=2q. Лри других значениях параметров г, т, р, q уравнения Лакса (6.9) и (6.10) приводят к существенно различным динамическим системам.
При условиях (6.13) матрица b (6.11) является диагональной с элементами (г, т, q, р — 1 > 0)
р—1 т — 1
^ii = 5 11 Q-i+qj — kr-(6.15)
)"=0 к—0
Первое уравнение (6.11) принимает вид динамической системы
Hi,i—г = ®1,1—т (Pip^i—г,г—г) =
(р—1т—1р—1 ”1—1\
2 11 ^i+qj—kr 2 11 ^г+qj—кт— т I • (6.16) 5=0 к=05=0 Л=0/
В последнем слагаемом (6.16) преобразуем индекс, используя соотношение (6.43):
i+ qj — r(l + к) = i + (р — 1 — s) q — r^m — Z) =
= i — sq + rl, (6.17)
где s = 0, ..., p—1, Z = 0, ..., m — 1. Меняя в (6.17) обозначения, получаем окончательный вид уравнений (6.16)
(
Р—1 7П—1р —1 7П—1\
2 11 ^i+qs — kr2 11 ^i—qj + kr !• (6.18)
j=0 7t=05=0 к—0/
Уравнения (6.18), очевидно, представляются в виде
<Zi = <Zi(F(<Zi 4.,) —F («!-()),(6.19)
где —(р— l)5=^Z=^(p— 1)5 и F— функция многих переменных, указанная в (6.18).
При 5=1, ттп,=р— 1 ряд слагаемых в уравнениях (6.16), (6.18) сокращается, и эти уравнения принимают вид
(
Г 771—1Т 771—1\
2 11 ®г+5 + йг2 11 ^г—з—кг(6.20)
5 = 1 к—о3=1 к=0/
Динамические системы (6.20) при т = р— 1, m = 1 и г = 1, ш = р — 1 переходят в системы уравнений
.(p—iр—1\
^г ~ ^г I 2 ^г + к^г—к ) >(6.21)
\ к=1к=1/
/Р-1Р-1\
а> = «г П ai+к — П ai-k ,(6.22)
\й=1k=i/
совпадающие с динамическими системами (1.3) и (3.1).
127
Наиболее важной является динамическая система (6.21); все системы (6.18) с помощью отображения о^ = 7R—1
= П аг-кт преобразуются в систему й=0
/р—1Р—1\
аг = ^г I 2 ^i+qj2 ^i—qj р(6.23)
\j=0i=0/
очевидно, эквивалентную системе (6.21).
Система (6.18) после подстановки
щ(0= 1—е2м(^, ^л), xh = ke, (6.24) принимает в силу формул (6.13) вид (в точке (/, Хц')') й ^(1 — е2м) (ciew,x + с^и^ + о(е4))(6.25)
с некоторыми постоянными щ и сг. Применим к уравнению (6.25) преобразования t' = t, х = х ф с\еД и т = = е3х£', ^1 = оз;', где х =—его3, о = (с1/6сг)1/2. После этих преобразований и перехода к пределу е О уравнение (6.25) преобразуется в уравнение Кортевега—де Фриза:
ди „ ди д3и
K=&ud^-^i(6-26)
Тем самым доказана следующая
Теорема 3. Динамические системы (6.18), зависящие от четырех целочисленных параметров г, тп, р, q, связанных соотношением (6.13), допускают представление Лакса (6.9)-, (6^8), зависящее от спектрального параметра Е, и в континуальном пределе переходят в уравнение Кортевега — де Фриза. Специальными случаями систем (6.18) являются динамические системы (6.20), (6.21) и (6.22).
При выполнении условий (6.14) матрица с (6.12) имеет следующие ненулевые элементы:
Р/2—1Р-1 р-2—33—1
сгл_т_д = а П «i-Ar + PS П а^-нт П ai_q+sr. (6.27) h=0з=о А=0s=o
Первое уравнение (6.12) определяет динамическую систему
(
Р/2—1р/2—1\
XX Ог + hr XI ®i—Ar I "Т
А=1h=l)
Р-1 1Р-2—33=1Р—2—3 3 — 1\
Т Pai 2 I XX ai+q~kr XI ai + srII Oi—q + kr II Яг —sr I •
1=1 \ k=0s=ik=0 s=l/
(6.28)
Здесь сокращены два совпадающих слагаемых, соответствующих / = 0.
Динамическая система (6.28) имеет вид (6.19). Поэтому аналогично доказанному выше система (6.28) после подстановки (6.25) и перехода к пределу б 0 преобразуется в уравнение КдФ (6.26). Тем самым доказана следующая
Теорема 4. Динамические системы (6.28), зависящие от трех целочисленных параметров г, р, q, удовлетворяющих соотношению (6.14), допускают представление Лакса (6.10), (6.8) и в континуальном пределе переходят в уравнение Кортевега — де Фриза.
9 О. И. Богоявленский
ГЛАВА VI
ИНТЕГРИРУЕМОЕИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
В данной главе исследуется интегро-дифференциальное уравнение, являющееся континуальным пределом семейства интегрируемых динамических систем, построенных в гл. V. Показано, что это уравнение ддпускает эквивалентное представление Лакса и обладает счетным набором первых интегралов, представимых в явном аналитическом виде. Построенное интегро-дифференциальное уравнение имеет применения в физике плазмы — в теории кинетических уравнений, описывающих перенос энергии ленгмюровских колебаний по спектру.
§ 1. Интегро-дифференциальное уравнениекак континуальный пределсемейства динамических систем
В гл. V показано, что каждая динамическая система вида (1.3J, (3.1), (3.2), (6.20) в континуальном пределе при фиксированном р переходит в уравнение Корте- вега — де Фриза. В данном параграфе мы рассмотрим континуальный предел всего семейства динамических систем (1.3) и семейств (ЗЛ), (3.2), (6.20) при р ->
Динамическая система (1.3) (гл. V) после замены времени dtldti = е принимает вид
/р—iр—1\
= ^i I ^i+AA b(1*1)
1\й=1Й=1/
Предположим, что р — 1 = с/е и существует такая гладкая функция а(£, х), что at(£) = a(£, х^, хк = кг. Тогда система (1.1J принимает вид
За (г-V
—тт— = a (t, Xt) I еа (t, Xi + кг) — i га (£, х^ — кг) I.
\л=1Й=1/
(1-2)
Система (12) в пределе при е-► О переходит в интегро- дифференциальное уравнение
/Х+сXX
^^- = а(^)1 У а(М)^- J a(M)^j. (1.3) ' Xх—с'
Уравнение (1.3) можно представить в виде
^iLfl = a (t, х) I I Т (ж, ж') а (a/) dx'
где ядро Т^х, х'\ антисимметрично и определяется формулами
Т(х, x'Y = Tlx'-x^ Т^=-Т^,T(^:i, 0<^с, T^W, Ъ>С.
Поэтому уравнение (1.3) согласно [43] является кинетическим уравнением, описывающим перенос энергии ленгмюровских колебаний в плазме по спектру в х-про- странстве.
Динамическая система (3.1) (гл. V) после замены координат и замены времени
at ah = exp euh, ^ = 6(1,4)
принимает вид
ай:/II
Д7 = exp 6“i+ft —ехР eut-h •(1-5)
\Л=1/\к=1/
Предположим, что р— 1 = с/е и существует такая гладкая функция u(t, ж), что u^t, xkY = uk(tY, xh = ke. Тогда система (1.5) в пределе при е 0 переходит в интегро- дифференциальное уравнение
х+сX
^^ = ехр У и {t, §) ^ - ехр У и (t, £) d^. (1.6) XX—с
9*9*Динамическая система (3.2) после замены (1.4) принимает вид (1.5) с заменой нижнего предела суммирования на к = 0. Поэтому в пределе е -* 0 система (3.2), (1.5) также переходит в уравнение (1.6).
9*
9*
131
Динамическая система (6.20) гл. V после замены времени dtldt[ = е принимает вид
да. (m—1v m—1
"ЧТ" = ^i I В Ц (li4-j_^kr E ЦГ (^ '^)
■° 1\ ~ k=0Hi h=o /
Предположим, что число m фиксировано, г = с[е и существует такая гладкая функция a^t, х}, что ак^ = = a^t, х^, xk = kE. Тогда уравнение (1.7) принимает вид
Salt, жЛ(™ 1
—- = а (;, Zi) Л в Ц а (;, Xi + ]Е + fee) —
с/8 т—1\
— 2 в Д а (<, ^ — /е — /се) . (1-8) 1=1 к=0/
Система (1.8) после перехода к пределу при в-* О преобразуется в интегро-дифференциальное уравнение
?Х+С
—^1 ^ = a (t, х) [ Г Д а (;, £ + кс^ dl —
ж т—1\
- J Па(<^-^)^ . (1.9) х—с k—0у
Уравнение (1.9) при т = 1 очевидно переходит в уравнение (1.3).
Исследуем взаимные связи уравнений (1.3), (1.6) и (1.9). Проинтегрируем уравнение (1.6) в пределах от х — с до х и обозначим
Т)^х^= ^ и^Л^Ч-(1.10)
X—С
Получим уравнение х+сх
^Ы.= j e^vit, ^d^_ J ехрк^,^)^, (1.11)
которое после замены
а (£, ж) = ехр и (£, я), a^t, ж) = exp J и (t, g) d^ (1.12) х—С
принимает вид (1.3)ь 132
Уравнение (1.9) после подстановки
u(t,^ = 9-^M-(1.13)
преобразуется в уравнение
д2ф _ e<p(t,x + c)—<p(t,x) eq>(t,x)—q>(t,x—c)(1.14)
dt дхx
Уравнение (1.11) после дифференцирования по ж принимает вид
-^ = e^t.x+o _ ^t^ + e3>(t,x-c)(1 15)
и получается из уравнения (1.14) с помощью замены (1.10)
y(t, ж)=ф((, ж) — ф((, ж —с).
Уравнение (1.14) по своей структуре напоминает двумеризованную цепочку Тода
d ^h =_ Фй(<-х)~ФА-1(<^) И
dt дх’' "'
которая является системой счетного числа уравнений на функции фА, —°° </с < Т°°. Уравнения (1.16) на инвариантном подмногообразии, определенном счетным числом условий
фА((, ж) = ф((, ж+/сс),(1-17)
совпадают с уравнением (1.14). Однако все известные решения двумеризоваиной цепочки Тода (1.46) не принадлежат инвариантному подмногообразию (1.17) и поэтому ничего не дают для исследования уравнения (1.44).
Уравнение (1.14) на инвариантном подмногообразии ф(£, z + c) =—ф(£, ж) сводится к гиперболическому уравнению Синус Гордона
^(i,^) = 2sh(-2?(C<(1.18)
Покажем, что уравнение (1.9) с помощью отображения
m—I
6 (t, ж) = U a (i, ж + /сс)л=о
преобразуется в уравнение вида (1.3). Действительно, из уравнения (1.9) в точках х, х+с, ..., х + (т— 1)с следует уравнение
/т-1 *+<&+!)=
d-^^ = b(t,x) 2 J &M)d|-
\h—О x+kc
т—1 *+Ас
-2 j Ht, £_(т-1)с)^
h~0 x+(fe— 1)с
Это уравнение после сложения интегралов принимает вид
(
к+mcх\
J Ц^Х- J 6(t,M , хх—тс/
совпадающий с (1.3) после замены тс на с.
Таким образом, интегро-дифференциальные уравнения (1.6), (1.9) и уравнение (1.14) вкладываются в более общее интегро-дифференцальное уравнение (1.3). Поэтому в дальнейшем мы будем изучать именно это уравнение.
Основные свойстваинтегро-дифференциального уравнения (1.3)
I. Уравнение (1.3) является континуальным пределом при р -> оо всего семейства динамических систем (1.3) из гл. V. Важнейшие свойства этих динамических систем сохраняются также и у уравнения (1.3).
Теорема 1. Интегро-дифференциалъное уравнение (1.3) обладает следующими свойствами; 1) является гамильтоновым; 2) допускает эквивалентное представление Лакса; 3) имеет счетный набор первых интегралов 1п, которые определяются явными формулами.
Доказательство. 1) Уравнение (1.3) представляется также в виде
Vt (<, ж) = j ф (£ — я) exp и (г, |) d^,ф(у)=1, 0<У<с; ф(р) = 0, у>с, ф(—у) = —ф(у).
(2.1)
В силу представления (2.1) имеем /.,т6Я
»t V’ '^ =1 &7’
соОО
Н = J exp v (t, |) ^, (I (/)) (л) = J Ф (В - х) / (У ^. (2.2) —оо—ОО
Оператор I трансляционно инвариантен и в силу нечетности функции ф(л) является кососимметрическим:
J П/М^Мс^ = — J Ife) (*)/(*)<**■ —оо—ОО
Поэтому представление (2.2) определяет гамильтонов вид уравнения (2.1).
Пусть Рс — оператор сдвига графика функции <р(я) на с: (Рсф) (х) = ф(я + с), dfdx— оператор дифференцирования. Очевидно справедливы равенства
[фРс, фР6] = (фРс (Ф) — фРб (ф)) Рс+6,[фРс, фР6] = (фРс (Ф) — фРб (ф)) Рс+6,"^,Р=] = 0. (2.3)"^,Р=] = 0. (2.3)
[фРс, фР6] = (фРс (Ф) — фРб (ф)) Рс+6,
[фРс, фР6] = (фРс (Ф) — фРб (ф)) Рс+6,
"^,Р=] = 0. (2.3)
"^,Р=] = 0. (2.3)
Рассмотрим уравнение Лакса
а+с
^=[L,A], L = ^+«(;,£)Р_с, А = - Г Й(;л№-Р=,
(2.4) где L и А — линейные операторы, действующие в пространстве функций на оси R1(— оо «<х«< + оо). Используя равенства (2.3), нетрудно проверить, что уравнение (2.4) эквивалентно интегро-дифференциальному уравнению (1.3).
Уравнение Лакса (2.4) можно представить также в алгебре Ли интегральных операторов на прямой ТпЦР1, ц), ядра которых являются обобщенными функциями. Пусть обобщенные функции L(t, х, у) и А (Л х, у) имеют вид
L (i, х, у) = a (t, х) 8(х — с — у) + 8' (х — у), А^ х, у) = — ^ J а (^> Ю <^6 (х — у) — 6 (х + с — у). (2‘5) По определению обобщенных функций 6 (х — у) и
6' (ж— z/) имеем [48]
J 6(z — a:)/(z) dz = /(ж), J 6' (z — Xх) j^ dz = — f (x).
(2.6)
В силу этих равенств нетрудно проверить, что уравнение Лакса
^-^^-^ = J (Ь (<, х, z) A (t, z, у) — A (/, х, z) L (t, z, y)) dz
(2-7) эквивалентно интегро-дифференциальному уравнению (1.3).
Для вывода формул первых интегралов уравнения (1.3) определим следующие линейные операторы, действующие в пространстве функций на оси R:
р-1
Li = еа (t, х) Р(1-р)Е + РЕ, Ах = — е 2 а (^ х + ^е) — Рре, й=0
(2-8)
где р— целое число. Уравнение Лакса Li=ibi, Ai] в силу равенств (2.3) эквивалентно уравнению
(
р—1р—1\
2 &аЦ, х + /се) — ^еа (1, х — &е) (2-9) к=1к=1/
Уравнение (2.9) в пределе при е -> 0, р — 1 = [с/е] -^ =» переходит в интегро-дифференциальное уравнение (1.3). Поэтому первые интегралы уравнения (2.9) в пределе переходят в первые интегралы уравнения (1.3).
Лемма 1. Уравнение Лакса вида
PCft в операторах L и [L, А] в силу формул (2.3) переходит в систему уравнений
^^^ = 2 (^ (Z’ ^ ^ (Z’ ж + Ci) — ф; (t, х) ф4 (Л X + bj)),
(2.12)
где суммирование осуществляется по всем индексам Z, 7, удовлетворяющим условию с,- + 6,- = ск. Если ск = 0, то уравнение (2.12) принимает вид
дфк (t, z)
^= Z (фг (Л х) ip, (t, X + Ci) — ф;- (Z, x) ф{ (Z, X — Ci)).
(2.13)
Из уравнения (2.13) следует, что при ch = О
^ Tr (b) = ^ J фь(Ь х) dx = 0.
Лемма 1 доказана.
Из уравнения Лакса (2.8) следуют уравнения (bf) = = [bf, Ах], поэтому уравнение (2.9) имеет счетное множество первых интегралов вида Tr(L^). Ненулевые интегралы возникают только если в разложение оператора Ь, входит оператор нулевого сдвига Ро, т. е. если существуют такие целые числа к и Z, к +1 = А, что А(1—p) + Z = O. Отсюда находим N =к + 1 = кр. Поэтому счетное множество ненулевых первых интегралов /„ уравнения (2.9) определяется формулами
/„ = Tr (b"p) = Tr ^а (t, х) Р(1_р)е + РЕ)пр. (2.14) Согласно определению (2.11) для вычисления интеграла 1п необходимо вычислить коэффициент при операторе Ро в разложении Ь”р. Оператор Ро возникает в Ь”р от умножения в произвольном порядке п раз оператора ca(t, ж)Р(1_р)е и п(р—1) раз оператора Ре. При п = 1 интеграл 1\ имеет вид
С Р-1
Ji = I 2 ea(Z, х + кв) dx
- со А=0•
и в пределе при е -*■ 0, р —1 = [с/е] переходит в интеграл
ООэс+сОО
1г = J dx j a (t, хг) dxY = с J a(t, x)dx. (2.15) —co60—оо
При произвольном п первый интеграл 7П определяется формулой'
х + 2 ^ч^-ь (^—i)(i i=l/ /
(2.16) где суммирование осуществляется по всем наборам из п целых неотрицательных чисел к^ удовлетворяющих условию к\ +... + кп = п^р—1). Формулы (2.16) в пределе при е->-0, р — 1 = [с/е]оо переходят в формулы для первых интегралов уравнения (1.3)
с»х+ncх+(п—1)с
In = J dx J dxL j dx2 ...
— С» Xx^—с
x+2cx+c, n,
... J dx^_Y J ( IX о (^i ^m) j dxn. (2.17) Xn_2-c «n-l-o 'm=1'
Простейший из этих интегралов 1у определен формулой (2.15) и связан с гамильтонианом Н (2.2) соотношением 1у = ей. Теорема 1 доказана.
Все интегралы (2.17) сходятся, если функция |a(Z, х) | при |ж| -> оо убывает как |ж|-(1+с), е>0.
Рассмотрим задачу рассеяния для оператора L (2.4). Пусть ф(&, t, я)— собственная функция, удовлетворяющая уравнению
^ (к, t,x) + а (I, я) ф (Л, t, х — с) = ^ф (Л, t, х). (2.18)
Уравнение (2.18) является линейным уравнением со сдвигом аргумента. В простейшем случае a(f, х) = (х = = const пространство комплексиозпачных решений уравнения (2.18) является бесконечномерным и порождается решениями вида ф(&, t, x) — expXiX, где показатель ^ удовлетворяет уравнению
Х + аехр(—кс) = к.(2.-19)
Уравнение (2.19) при любом к имеет счетное множество комплексных решений ку. '
Пусть функция a(t, я) при Ы -»- оо имеет асимптотику а(1, ж)->а. Обозначим ф,-(&, t, х) и ip/(A:, t, х) решения уравнения (2.18), имеющие асимптотики
<р^к, t, ж) = ехр(^а:), х
ф^(Л, t, х\= exp (kjx), х +°о,' " '
где Х<, Xj — корни уравнения (2,19). Предположим, что функции ф;(&, t, я) и ^к, t, х) образуют два базиса в линейном пространстве решений уравнения (2.28).
В этом случае справедливы равенства
фi (к, t, х) = 5 В{; (к, Z) ip; (к, t, х),(2.21)
5
где Ву(&, t)— матрица рассеяния.
Собственная функция ф,(7с, t, х) в силу уравнения Лакса (2.4) удовлетворяет уравнению
(L — &)(фг + Аф{) = О, фг + Афг = 5^;фр (2.22) 3
В силу асимптотики (2.20), формул (2.4) и того, что а(£, х^-^-а при |а:|-> °°, получаем асимптотические равенства
фi + Aфi = — (ас + exp Х;с) exp XiX, из которых следуют, ввиду линейной независимости функций ф,-, точные равенства
Ф< + Аф; = — (ас + ехр Х;с)ф<.(2,23)
Подставляя в уравнения (2.23) выражения (2.21), получаем
2(в1Л.-вг.; (ос + ехр Х;с) ф j) = — (ос + ехр Х;С) 5 в^-ф/. 53
Отсюда находим уравнения, определяющие эволюцию данных рассеяния:
By (/с, Z) = By(/c, г) (ехрХ,с — expXjc). (2.24)
Поэтому в рассматриваемом случае динамика данных рассеяния полностью интегрируется:
By(fc, Z)=By(/c, 0)exp(Z(exp Х,с — ехр Х;с)), Ву(&, £)В,ч(&, f) = By(Jc, 0)Вл(А, 0),(2.25)
В и (к, t\='Btt(<k, 0).
Проведенные построения допускают очевидное обобщение на случай двух различных асимптотик a^t, ж)-»-а± при х ±оо.
Покажем, что бесконечная система дифференциальных уравнений 52<Pi(X z)
' 5( 9l =ехр (ф;+1 (i, х+ с) — ф{ (Z, х^) —
— ехр (ф4 (t, х) — ф{_х (i, х — с)) (2.26)
139
d1vi (t, ж)dt Эхd1vi (t, ж)dt Эх+ exp u^ (t, x — c).+ exp u^ (t, x — c).(2.28)(2.28)
d1vi (t, ж)dt Эх
d1vi (t, ж)dt Эх
+ exp u^ (t, x — c).
+ exp u^ (t, x — c).
(2.28)
(2.28)
вкладывается в систему, допускающую представление Лакса. Система (2.26) после подстановки
vt(t, я) = ф<+1(<, я+с) — <pi(t, ж) (2.27)
принимает вид
= exp Vi+1 (t, х + с) — 2 exp к, (i, x) +
Эта система эквивалентна системе уравнений (щ(С х) = = exp vf (t, х)) да, (t, ж)
—-— = а» (i, х) (bi (t, ж) — bi-t (t, X — с)), дЪ- (t, ж)
——— = ai+1 (t, х + с) — аг (t, х).
Система (2.29) эквивалентна уравнению Лакса L = = [L, А], где операторы L и А действуют в пространстве вектор-функций ^(i, ху.
dipj (г, ж)
(И)г (f, х) = ^ + di (t, х) ф;_! (t, X — с),2 g
(Аф){ (i, х) = — bi (t, х) фг (t, х) — ipi+1 (t, X + с).
Система уравнений (2.26) включает в себя в виде частного случая при с = 0 двумеризованную цепочку Тода (1.16). На инвариантном подмногообразии ф,(#, х^ = = Ф,(£, а:) система (2.26) совпадает с уравнением (1.14).
§ 3. Иерархия высших уравнений
Интегро-дифференциальные уравнения, «высшие» по отношению к уравнению (1.3), допускают представление Лакса
£=[L,An],
L = ^ + a(t,x')P_c, An=-'2ibk(t1x)Phc. (3.1) k=o '
Уравнение (3.1) в силу формул (2.3) эквивалентно системе уравнений, которые возникают из разложения оператора [L, А„] в сумму по операторам Рас, з = п, п —
-1, О, -1:
(b„)x(i, z) — О, (b^^t, x) = a(t, ж + (/с+l)c)bft+i(f, ж) —
— a(t, x)bk+i(t, x — c^, azlt, x?) = a(t, x) (bo(t, x}—bo(t, x — c)). (3.2)
Из уравнений (1.20) последовательно при к = п—1, ... ..., О находим коэффициенты b^t, х) как функции от a^t, х) и окончательно из последнего уравнения (3.2) находим искомое «высшее уравнение», отвечающее произвольному натуральному числу п. При и = 2 имеем
Х + 2С
Ъ2 (<, ж) = р2 = const, by (t, ж) = Р2 J а (1, В) dg + pD X
х+сt+cх+с
ММ = 02 J +М)^ J М> Ю^ + ₽1 J aMWXE—CX
Поэтому второе интегро-дифференциальное уравнение оп
ределяется формулами
( х+сх\
at (i, х) = a (t, х)at (i, х) = a (t, х)J akt, W- J а(1, М +
at (i, х) = a (t, х)
at (i, х) = a (t, х)
XX—с/
(
х+с£+сXt + c'
J М,М f a(t,^- J а^ЛЖ j*M,M Xt—СX—сЕ—с
(3.3)
При Pi=4, Р2 = 0 из (3.3) получаем уравнение (1.3).
Уравнение (3.3) может быть представлено также в виде, аналогичном (2.1):
vt (<> ж) = J ф(Е — ж)vt (<> ж) = J ф(Е — ж)рх ехр к (<, ^) +рх ехр к (<, ^) +
vt (<> ж) = J ф(Е — ж)
vt (<> ж) = J ф(Е — ж)
рх ехр к (<, ^) +
рх ехр к (<, ^) +
t+«X
+ р2 exp v (t, £) J ехр к (<, ^) d^ I d^ t-e/
где expp(Z, x^a^t, x).
Уравнение (3.3) и все «высшие» уравнения (3.1) являются континуальными пределами уравнений, «высших» по отношению к уравнению (2.9), для которых оператор L остается неизменным (см. (2.8)), а операторы Ап
определяются формулами
71—1
An =8 2 ^h (^i ^) Рбрв Pnpe-
6=o
Поэтому все «высшие» интегро-дифференциальные уравнения (3.1) имеют тот же набор первых интегралов, что и уравнение (1.3), определенный явными формулами (2.17).
Рассмотрим уравнение Лакса вида
§ = [L, A], L = ^ + a (t, х) Р_с + b(t, ж) Р_2с,
”+=(3.4)
А = — j а^^-Рс
X
Здесь в отличие от (3.1) оператор А тот же, что и в (2.4), а оператор L изменен. Уравнение (3.4) в силу формул (2.3) эквивалентно следующей системе уравнений
(
х+сXX
J a(t,^- J а^Л^Л +XX—С•'
+ Ъ (t, х + с) — b (/, ж),
Сх—с' X
а^Л^- J ^Л>®А.(3.5)
х—2с'
Уравнения (3.5), очевидно, обобщают уравнение (1.3), соответствующее Ь(/, ж) = 0. Уравнения (3.5) являются континуальным пределом при е -* О, р — 1 = = [с/е] -> °° системы уравнений
(
р—1р—1х
2 еа (/, х + Аге) — 2 ед (^ ^ ~ ^е)) +
6=ift=i/
+ Ъ (t, х + ре) — b (i, ж),
2 еа (i, х + ке) —
6=0
р-1
— )2 еа (/, х — (р + к) е)
6=0-
Уравнения (3.6) эквивалентны уравнению Лакса L,-[L„A,],
Li = Ре + ea(f, z)P(i-p)e-he6(f, z)P(i.-2p)«, k ’
p-i
Ax = — e 2 a (^ ^ + ^e) — Ppe-h=0
Поэтому уравнения (3.6) в силу леммы 1 § 2 имеют счетное множество ненулевых первых интегралов
7„ = Tr(L^).(3.8)
Интегралы К в пределе при е-> О, р — 1 = [с/е] -> °° определяют счетное множество первых интегралов уравнений (3.5). Аналогичные результаты справедливы для всех уравнений, допускающих представление Лакса с операторами Li, Ai вида
ит
Li = ^ + 2аь ^'х)ai = _ 2 Р;с"6=11=0
Система уравнений (3.5) может быть представлена также в виде одного интегро-дифференциального уравнения. Действительно, второе уравнение (3.5) после замены
b (t, х) = к exp р (t, х^, a (t, х) = 9а д’принимает видх+сх—с
р(;,z)= j a^^ax- J а^хаххх—2с
Первое уравнение (3.5) после указанных подстановок переходит в интегро-дифференциальное уравнение
Э^аЛГ^ = да (t, ж) f С да (t, |)_ f д« (^ I) дД ,
'' Xх—с/
(
х+2сх\
J а (i, Ю a^ — J а (;, у <№, I — х+сх—с/
(
х+сх—с\
J а(;, X)a^— J а(<, хх—2с/
Выведем явные формулы для первых интегралов уравнений (1.6) и (1.14). Уравнение (1.6) является
континуальным пределом при е -> 0, р— 1 = [с/е]-^°° уравнения
du (t, г)
/Р'1\/р—1\
= ехр 2 еи (^ # + &е) — ехр 2 ем (^ ^ — ^8) • (3-9)
X h=l/\й=1 '/
Уравнение (3.9) эквивалентно уравнению Лакса вида
L2 = [L2, Аг], Ls = еР(1_Р)е + exp(ezz(i, :г))РЕ,
(3.10)(3.10)/р—i\
(3.10)
(3.10)
А2 = — ехр 2 8“ (^ ^ + ^8) Fps-\ь=о/
Поэтому в силу леммы 1 § 2 уравнение (3.9) имеет счетное множество первых интегралов
/п = Тг (L^) = Тг (еР(1_р)Е + ехр (ей (t, я)) РЕ)пр.
Вычисляя эту величину согласно определению (2.11), получаем формулу
”/n ^т—1
In = J dx\ 2 8пехр е 5 5 u^t, x-v^m—1)(1—p)e + je) —ОО Vl’"’finm=I 2=0
(3.11)
где суммирование осуществляется по всем наборам из п неотрицательных целых чисел кг, ..., кп, удовлетворяющих условию к\ + ... + кп = п^р — 1). Выражения (3.11) в пределе при 8-> 0, р— 1 = [с/е]-> °° переходят в формулы для первых интегралов уравнения (1.6):
ООх+ПСх+(п—1)с
7n = j dx dxT dx2 ...
—оохх^—с
х+2сх+с
•.. У tloCfi—1 У (ts Xs ^j, . . ^п) ^^п^ (3.12) жп—2—схп—1—с
/Х1
Z\t, х, xv ..., a:n) = ехр I J и (i, gT) d^ +
+ J M (^ £2) ^2 + • • ■ + J “ (i, ьп+i) d£n+1 Xj^—cxn—c
Простейший из этих интегралов 1х имеет вид оох+с/ “i
Iv = J dx J ^expl j u(t, ^d^
— ООXX^— C
oo/x + c
= c j" dx exp I j" и (t, ^) d^
Уравнение (1.14) следует из уравнения (1.6) после подстановки u^t, z) = dcp(t, х)1дх. При этом подынтегральная функция в (3.12) принимает вид
пп
Z = ехр 2 (ф (^ ^ — ср (t, хк — с)) = Ц a (i, хк^h=ih=l
где использована связь (1.12). Поэтому формулы (3.12), определяющие первые интегралы уравнений (1.6), (1.14), после преобразования (1.12) переходят в формулы (2.17) первых интегралов интегро-дифференциального уравнения (1.3).
10 О. И. Богоявленский
ГЛАВА VII
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯВ АЛГЕБРАХ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙИ В НЕПРЕРЫВНЫХ АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБРАХ
В данной главе изучаются конструкции дифференциальных уравнений в алгебрах гладких и непрерывных функций на многообразиях и в произвольных непрерывных ассоциативных алгебрах. Построенные дифференциальные уравнения связаны с автоморфизмами ассоциативных алгебр и допускают эквивалентное представление Лакса (зависящее от спектрального параметра) в пространстве линейных операторов, действующих на рассматриваемой ассоциативной алгебре. Полученные дифференциальные уравнения обладают счетными наборами первых интегралов. Найдеппы»- алгебраические конструкции для коммутативных алгебр функций на дискретном множестве точек и на прямой приводят к динамическим системам и интегро-дифференциальным уравнениям, изучавшимся в гл. V, VI. Применения этих конструкций в некоммутативных алгебрах матричнозначных функций приводят, в частности, к новым интегрируемым случаям уравнений Эйлера в прямых суммах произвольного числа алгебр Ли gl (га, R) и so (га, R).
Первые интегралы дифференциальных уравнений,связанных с автоморфизмами ассоциативных алгебр
Пусть 91 — произвольная непрерывная (вещественная или комплексная) ассоциативная алгебра, Н: §1 -*- 91 — произвольный ее автоморфизм:
Н^а + k2b\= /c!H(a)i+ /с2Н(Ь),
Н(аЬ) = Н(а)Н(Ь),
где а, 6 е 91; kv кг г R или С. В дальнейшем рассматриваются следующие примеры:
9l = gl(ra, R)— алгебра матриц H(a)=QaQ-1— внутренний автоморфизм.
% = 9"^Л^— алгебра гладких или непрерывных функций на произвольном многообразии Л, Н — оператор сдвига: Н(а(ж)) = а (Л (ж)), где х е Л, к; Л -»- Л — некоторое обратимое отображение (возможно, сохраняющее меру).
91 = ST (Л, gl (тг, R)) — алгебра матричнозначных функций на многообразии Л (гладких или непрерывных) . Наиболее общие автоморфизмы Н имеют вид
Н (а) (я) = Q^a^h^) Q-1 (ж),
где Q (ж) — обратимая матрица, зависящая от точки х^Л.
21 = R [л] или 91 = С [л] — групповая алгебра некоторой группы л, ее элементы — функции на группе a^gV g s л. Автоморфизмы Н определены формулой Н(а) (g) = a(h(g)), где h: лл — произвольный автоморфизм группы л.
Б дальнейшем предполагается, что на алгебре 91 определена линейная функция t; 91—> R или t; 91—> С, обладающая следующими свойствами:
i(ab) = i(6a), t(Н(а)) = t(а),(1-2)
где Н — произвольный автоморфизм из некоторой фиксированной допустимой группы автоморфизмов Г. Если 91 = gl (п, С), H(a) = QaQ-1, то функция i(a) является следом Тг(а) матрицы а. Если 91 = 9"Т\Л^ — алгебра матричнозначных функций на Л, то группа Г автоморфизмов определяется преобразованиями /i: Л Л, сохраняющими меру ц: Н(а) (ж) = Q(/г(ж))а(/г(ж))Q-1 (/г(ж)). При этом функция i(a) определяется формулой
i(a) = J Тг (а (ж)) du (х).(1.3)
Л
Б случае групповой алгебры R [л] функция Ца) имеет вид t(a?) = a(l).
Пусть L(i) и A(i) — линейные операторы, действую щие на алгебре 91, заданные формулами
пт
L(i) = S at^Hi, А^=^Ъ5^НЬ(1.4)
1=1j=l
где a^i), bj^e^ Н{, G, — постоянные автоморфизмы из допустимой группы Г. Предполагается, что разложение операторов L(i), A(i), [L(i), A(i)] в прямую сумму (1.4) определено однозначно. Это свойство выполнено, 10*147
например, если 31 = 5" {Л, R) — алгебра непрерывных функций на многообразии Л, а автоморфизмы Hi, Gj являются степенями автоморфизма сдвига Но, который не является периодическим. Определим числовую функцию
7’(L)=Z(aft), HA = id.(1.5)
Здесь элемент ак определен условием Нй = id — тождественный автоморфизм. Если тождественного автоморфизма нет в разложении (1.4) оператора L, то полагаем 7’(L)=0. Покажем, что функция ТДЕ) обладает следующим свойством:
T’(LA) = T’(AL), ^([L, А])=0.(1.6)
Действительно, коммутатор операторов L и А (1.4) имеет вид
LA — AL = 2 («{Hi (6,-) HfG; — bjGj (<z,) GjHj). (1.7) г,з
Согласно определению (1.5) имеем
Г (LA - AL) = 2 (< (щН (6,)) - 1(№(а^,(1.8)
где индексы г и j определены условиями H,G = id. Поэтому используя формулы (1.2), получаем
Т (LA - AL) = 2 (< (щН{ (b^ - t (Gj (Н4 (b^ a^y = 0. (1.9)
Свойством (1.6) обладает также след Tr(L) оператора L. Однако функция T’(L), очевидно, не совпадает со следом оператора L даже в простейшем случае, когда алгебра 31 конечномерна. Если алгебра 51 бесконечномерна— например ^ = 9ГДЛ^, то след линейных операторов на 91 не определен. Однако функция Т (L) определена формулами (1.5), (1.3) для всех операторов вида (1.4).
Рассмотрим операторное уравнение типа Лакса
L = LA-AL.(1.10)
В силу (1.4), (1.7) уравнение (1.10) эквивалентно некоторой системе дифференциальных и алгебраических уравнений для коэффициентов <z<(i), b^t).
Лемма 1. Уравнение (1.10) и эквивалентная ему система уравнений в пространстве коэффициентов а^ bj 148
имеют счетное множество первых интегралов 1п, определенных формулами
In = T(V).(1.11)
Доказательство. Из уравнения (1.10) при любом п следуют уравнения
(Ln)'= LnA - А1Л(1.12)
Поэтому в силу формулы (1.6) получаем
/; = г((ьп)') = о,
е. функции 1п являются первыми интегралами уравнения (1.10).
Отметим, что в случае конечномерной алгебры 91 уравнение (1.10) имеет еще набор первых интегралов
Л = Тг(Р),(1.13)
которые, вообще говоря, не совпадают с первыми интегралами (1.11). Существенно, что в случае бесконечномерной алгебры 91 (при условии однозначности разложения (1.4)) первые интегралы (1.11) корректно определены, а интегралы (1.13)— нет.
Алгебраические конструкциинекоторых интегрируемых уравнений
Теорема 1. Следующие пять дифференциальных уравнений в произвольной непрерывной ассоциативной алгебре 91 допускают представление Лакса (со спектральным параметром) в алгебре линейных операторов, действующих на 91 (здесь Н: 91 -> 91 — произвольный автоморфизм алгебры 91, р — произвольное целое число, р>2):
/Р-1\/р—1\
а = I 5 Hft(a)ja —al 5 1Г\а)),(2.1)
а =а(Н(а)Н2(а)... Нр-1(а)) —
- (И1"* (а) Н2~* (а)... Н~> (а)} а, (2.2) а=аН(а)Н2(а)...Нр-'(а)а-
- аН,_р(а)Н2-р(а)... Н-1 (а)а, (2.3)а = Ъа — аН~г (Ь),р-1
6 = 2 Н63 (аН~г (а) ... H~(m“1)r (а)),(2.4)
й=0
а= Н’(с)-с,
p-1
с = 2 «Н—r (а) ... h=0
... 1Гг(₽-2~й) (а) H~9 (Н(й'1)г(а) Н(й~2)г(а) .. . а). (2.5)
В случаях (2.4) и (2.5) целочисленные параметры г, р ^ 2, q, m связаны соответственно соотношениями
кР — 1) q = rm,(2.6)
2q = r<p-2Y(2.7)
Доказательство теоремы 1 состоит в явном указании соответствующих представлений Лакса
^^- = [L(i,X), А(^%)],(2.8)
где операторы L(£, X) и А(Х X) имеют вид (1.4), X — спектральный параметр. В силу представления (2.8) из леммы 1 следует наличие счетного множества первых интегралов (1.11) у уравнений (2.1) — (2.5).
Операторы L и А имеют вид
L = aH>-p + XH, А = —6 —ХНР.
Используя основные свойства автоморфизмов (1.1), нетрудно проверить равенство
[L, А] = LA - AL =
= (Ьа - аН1-^^ )Н1"Р + Х(6 - Н(Ь)+ Нр(а)-а)Н.
(2.9) Коэффициент при операторе Н равен нулю, если
р-1
Ъ = 2 Нк(а).
к=0
В этом случае уравнение Лакса (2.6) в силу равенства (2.9) эквивалентно уравнению (2.1). Ненулевые первые интегралы уравнения (2.1) определяются формулами (см. § 1)
Zft = Т (аН1-р + ХН).
Операторы L и А имеют вид
L = аН + ХН1-Р,
А = -Х-1(аН)* = -Х-1аН(а)... Нр-*(а)Нр. (2.10)
Очевидно, что операторы аН и А коммутируют,. поэтому из уравнений (2.8), (2.10) следует уравнение (2.2). Его
ненулевые первые интегралы определяются по формуламZ* = Z’(aH + XHI-p)4
Операторы L и А имеют вид
L = аН1-* + ХаН, А = -Ь - Х(аНр. (2.11)
Из уравнения (2.8), (2.11) следуют два дифференциальных уравнения:
а = Ъа — аН(6) + аН(а)... Нр-1 (а)Нр(а) —
— аН1-р(а).. .Н-1(а)а,(2.12)
а = Ъа — аН1"’^).
Вектор b определяется из условия совпадения уравнений (2.12) и имеет вид
& = аН(а)...Нг"1(а).
При этом уравнения (2.12) принимают вид (2.3). Первые интегралы уравнения (2.3) определяются формулами
Z* = Г (аН1-11 + ХаН)Лр.
Отметим, что в специальном случае, когда алгебра 91 является коммутативной алгеброй функций на множестве целых чисел, уравнение (2.3) переходит в уравнение (3.2) гл. V. В § 3 гл. V указано другое представление Лакса для этого уравнения.
Операторы L и А имеют вид
L = (аН~г)m + ХН9, А--&-ХШ9(2.13)
при условии (2.6). Справедливо равенство
[L, А] = — [(аН-г)т, 6]+Х(&-Н9(6)+Н*9(аН-'(а)...
... Н-(т"1)г (а)) - аН"г (а)... Н"(т-1,г (а)) Н9.
Коэффициент при операторе Н9 обращается в нуль, если элемент b определен равенством (2.4). В этом случае уравнение Лакса (2.8), (2.13) принимает вид
((аН—г )”*)* = —[(aH—r)m, 6]
и является следствием уравнения (аН~г)*= — [аН~г, б], которое эквивалентно первому уравнению (2.4). Ненулевые интегралы уравнения (2.4) определяются формулами
Zft = T((aH-0m + XH9)4
При q = 1, т = 1, г = р — 1 уравнение (2.4) совпадает
151
с уравнением (2.1). При q = 1, т = р — 1, г=1 уравнение (2.4) имеет вид
а = (Н^а) ... Н(а))а-а(1Г1(а) . .. Н1'^^) ~
р—2
(2-14)(2-14)а, 2 Н^нН-1^)Н-(р-2)(н))
(2-14)
(2-14)
h=0
Уравнения (2.14) и (2.2) совпадают, если алгебра 91 коммутативна, и различны в случае некоммутативной алгебры ®.
Операторы L и А имеют вид
L = XaH-r + Н«, А = сН-’-« + Л(аН-г)р
при условии (2.7). Справедливо равенство [L, А] = (Н«(с)-с)Н-г + МаН-г, сН--»]-
-Х[(аН-г)р, №].(2.15)
Последний коммутатор имеет вид
[(«н-г)р, Н5][(«н-г)р, Н5]р—1
[(«н-г)р, Н5]
[(«н-г)р, Н5]
аН“г, 2 (аН-г)р“1-&Н9(аН-г)& &=о,
Поэтому разность двух коммутаторов в (2.15) обращается в нуль, если элемент с определен равенством (2.5). В этом случае уравнение Лакса (2.8) эквивалентно первому уравнению (2.5). Ненулевые первые интегралы уравнения (2.5) определяются по формулам
Z^TUaH-^H’)^2
при условии, что kpj2 — целое число. Теорема 1 доказана.
Все уравнения (2.1) — (2.5) имеют вид а = Ва— аС, где а, В, С е%. В случае алгебры матриц gl(re, В) эти уравнения являются примерами L — А — В троек [27, 28]. Согласно теореме 1 эти уравнения допускают представления Лакса в матрицах L размера n2 X га2 и имеют наряду с первыми интегралами 1к, указанными в Лемме 1, еще и первые интегралы Aj — собственные числа матрицы L(i, л). Поэтому число первых интегралов уравнений (2.1) — (2.5) имеет порядок и2. В силу наличия спектрального параметра X в уравнениях Лакса (2.7) уравнения (2.1) — (2.5) интегрируются в тэта-функциях римановых поверхностей, заданных уравнением
В (X, 1у) = det(L(t, X) — де • 1) = 0.
Пусть ассоциативная алгебра 91 обладает некоторыми дифференцированиями di, йг". 9191,
d(hiai + к2а2) = kid(ai)+ k2d(a2), d(ab) = d(a)b + ad(b),
причем [di, d2] = 0, [di, H] = 0. Простейшими примерами дифференцирований являются отображения
dx = adx, dx (a) = xa — ax, ж s 91.
Теорема 2. Следующие четыре группы уравнений в непрерывной ассоциативной алгебре 91 допускают представление Лакса (со спектральным параметром') в алгебре линейных операторов, действующих на 91:
а-Ьа-аН-ЦЬ), di (b) = Н (а) - а,(2.16)
а = kd\ (а) + ра— аН(р), р = Н-1(я)— а, (2.17) d = ab — ba, di(b) = d2(a^,(2.18)
d = ab — ba — d2(c), c = cb— be, d\(b) = d2(a).
(2.19)
Доказательство. 1) Определим линейные операторы
L = di + Х^яН"1, A= — b — XH. (2.20) Справедливо равенство
[L, A] = — d,(b) + Н(я) — я + Х-^Ьа-аН-^Ь))^1.
Поэтому уравнения (2.16) эквивалентны уравнению Лакса (2.7), (2.20).
Введем линейные операторы
Ь = М1 + ХяН + Х-1Н"1 + р, А = ХяН. (2.21) Справедливо равенство
[L, Ар= Н-1 (я) — я — k(kd\ (а) + ра — яН (р) )Н.
Следовательно, уравнения (2.17) эквивалентны уравнению Лакса (2.7), (2.21).
Рассмотрим линейные операторы
L = я + Xdi, А = b + kd2.(2.22)
Справедливо равенство
[L, А] = ab — ba + X(di (Ъ) — d2(a)) + X2 [di, d2).
(2.23)
153
При условии коммутативности дифференцирований di, da уравнения (2.18) в силу (2.23) эквивалентны уравнению Лакса (2.7), (2.22).
Для линейных операторов
L = с + Ха ~Ь X^d\, А = b -Ь Xda (2-24) справедливо равенство
[L, А] = cb — be + Х(аЬ — Ъа — daic) ) +
+ Л2(й1(&) — й2(а) ) + Л3 [йь da\.
Поэтому при условии коммутативности операторов di, da уравнения (2.19) эквивалентны уравнению Лакса (2.7), (2.24). Теорема 2 доказана.
Пусть 91 = 9" (R1) — алгебра матричнозначных функций ait, х), операторы Ний определены формулами
(На) (i, х^ = a (t, х + с), da (1, х) = ^А (2.25) Из второго уравнения (2.16) в силу (2.25) получаем
$+съ^х^= J ait,^WX
Поэтому первое уравнение (2.16) принимает вид (Х+сX/ X
J a Ц, Е) d^ a it, х) -a it, х{ J a it, £) d^X''х—с
(2.26) Таким образом, матричное интегро-дифференциальное уравнение (2.26) допускает представление Лакса (2.7), (2.20), (2.25). В частном случае п = 1 уравнение (2.26) переходит в интегро-дифференциальное уравнение, изучавшееся в гл. VI.
. Уравнение (2.26) является континуальным пределом при е -* 0 матричного уравнения
да it, х)diда it, х)diр-1'\
да it, х)di
да it, х)di
е а (£, я + &е) a it, х) —
/ р-1\
— a it, х) е 2 а (^ т — ^е) , (2.27) \ А=1/
где е(р — 1).= с- Уравнение (2.27) относится к типу 154
и допускает представление Лакса с операторами р-1
L = еа (i, ж) Р(1_р)е + Ре, А = — е У a (t, х + /се) — Рре, к=0
(2.28) где (Рая) (i, z) = a(£, z + a). Поэтому уравнение (2.27) обладает счетным множеством первых интегралов
7„ = 71(еа(<, ж)Р(1-р)Е + Ре)пр. (2.29) Континуальные пределы интегралов (2.29) при р — 1 = = с/е -> оо определяют первые интегралы уравнения (2.26). Явные формулы для этих интегралов имеют вид
ООх+ncх+(п—1)с
In = Tr J dx J а (/, хт) dxY J а (£, х2) dx2 ...
—СОXх^—с
ЗС+2Сэс+с
J а (/, жп-1) ^п-1 У °- (ti ^n) dxn. (2.30)
Хп-2-сжп-1-с
Формулы (2.30) являются обобщением на матричнозначные функции я(<, ж) формул (2.17) гл. VI.
Рассмотрим конкретный вид уравнения (2.17) в коммутативных алгебрах, например, в алгебре функций ST(Jt'j. Первое уравнение (2.17) после подстановки а = = ехр(^—Н(^)) разрешается в виде p = q— Ы1(^). Вследствие этого второе уравнение (2.17) принимает вид
q— kd^q) = ехрЩ"1^) — q) — exp(g — H(g)). (2.31) При к = 0 уравнение (2.31) является обобщением цепочки Тода в произвольной коммутативной алгебре с автоморфизмом Н, которое впервые было указано в работе [49].
Пусть /с =/= 0, 91 = ^~ (R1), d\=d]dx1 Н(я(/, х^ = = a(t, х — /се). Тогда уравнение (2.31) принимает вид (qtt — kq^ (<, ж) = exp (q (/, х + кс) — q (t, ж)) —
— exp (q (£, ж) — q (t, x — kc^). Это уравнение после замены координат
х = х]к, t = t"\-xlk(2.32)
переходит в уравнение
—q-tx^' ^ ^ ехР to (< + с, ж + с) — ^ (t, х))—
— exp (q (t, х) — q (< — с1 х — с)). (2,33)
Уравнение (2.33) впервые было указано в работе [50].
155
Это уравнение существенно отличается от уравнения
гл. VI; оно не эквивалентно интегро-дифференциальному уравнению (1.3) гл. VI.
Пусть SI = #-(R2), di = dldx, H(a(t, х, у))™ = a^t, х, у — с). Тогда уравнение (2.31) после замены координат (2.32) принимает вид
—9^ (^ ^, У) = ехР (9 (С ^, У + с) — q (t, х, у)) —
— exp(g(t, х, у) — q(t, х, у — с)). (2.34)
Уравнение (2.34) после замены
q^t, х, у)—1 с-1ф(С х, у), t = —сЧ
и перехода к пределу при с -* 0 преобразуется в дифференциальное уравнение
ф1х=(ехр ф„)„. (2.35)
Уравнение (2.34) в случае, когда переменная у пробегает счетное множество точек вида пс, где п — целые числа, совпадает с двумеризованной цепочкой Тода [51].
Уравнение (2.18) в алгебре матриц gl(«, R) при di = ada, ds = dd^ приводит к уравнению, описывающему известные интегрируемые случаи и-мерных уравнений Эйлера [52]. Аналогично уравнения (2.19) в алгебре gl (и, 0?) переходят в интегрируемые случаи [26] динамики твердого тела в ньютоновском поле с квадратичным потенциалом.
Если 91 является алгеброй матричнозначных (и Хи) функций от трех переменных I, х, у с дифференцированиями d\ = d/dx и ds =■ d[dy, то из третьего уравнения (2.19) следует существование такой матричной функции S(t, х, у), что а = Sx, b = Sv. При этом первые два уравнения (2.19) принимают вид
>5Xi='[Sx, Sy]— Су, ct = [с, Sy]. (2.36) Следовательно, уравнения (2.36) и их частный случай при с = 0 — уравнение Sst =' [Sx, S„] — допускают представление Лакса со спектральным параметром.
Замечание. С каждым из построенных в этом параграфе уравнений связана бесконечная иерархия дифференциальных уравнений, допускающих представление Лакса с тем же оператором L, но с более сложным оператором А, являющимся многочленом Лорана от автоморфизма Н.
Пусть алгебра 91 коммутативна и обладает инволютивным автоморфизмом т, коммутирующим с автомор- 156
физмом Н, т2 = id. Укажем алгебраические конструкции уравнений, которые в частных случаях переходят в уравнения нелинейной автодуальной сети и дискретное нелинейное уравнение Шрёдингера [53, 54].
Теорема 3. Следующие три группы уравнений в непрерывной ассоциативной коммутативной алгебре 91 допускают представление Лакса {со спектральным параметром) в алгебре линейных операторов, действующих на 91 или 91 ® 91:
а = ах{а) (Н(а)—Н-1(а)),(2.37)
а = ат{а) (Н-1 {Ь)—Ъ), Б = Ьт{Ь){а— Н(а)), (2.38) —ia = Н (а) + Н-1 (а) - 2а + ат (а) (Н (а) + Н"1 (а)).
(2.39) Уравнения (2.37) — (2.39) обладают счетным множеством первых интегралов.
В случае (2.39) алгебра 91 является комплексной и т{га) =—it(а).
Доказательство. 1) Из уравнения (2.37) следует уравнение
(тТГДа))' = тН-1(а)Н-Да)(т(а)-тЯ-2(а)). (2.40) Обозначим а1=атН^'(а); из уравнений (2.37), (2.40) получаем ai=ai(H(ai)—H-1(ai)). Это уравнение, очевидно, эквивалентно системе Вольтерра и поэтому допускает представление Лакса, например, с операторами (2.10) при р = 2.
Введем обозначения
а, = ат(а)Н"ДЬ)т(Ь), л = -ах{Ь) - Шт(а). (2.41)
В силу уравнений (2.38) получаем систему уравнений
ах = ах{рх — Н-Дл)), рх — H(ai) —ab
Эти уравнения допускают представление Лакса (2.7), (2.21) при к = 0.
Пусть и, р, Ь, с, J — матрицы размера 2 X 2 с элементами из комплексной алгебры 91 следующего вида:
У=(1 + Н-1(а) тН-1(а)) ^ у,
/0Дт(а) — тН—ДаД.
U(a — Н~ Да))0 Г
Ь=г(Н"1(а)т(а)-тН-1(а)а)(о ?j - Л (2.42)
. Л 0 \/ О — тН (а) — тН-^аЙ
С - ^И (а) + И-1 (а)0 Г
Уравнение Лакса (2.7) с операторами L и А вида
L = pV'H-1 + р + ХН, А =■ b + сХН + ЛАШ2 (2.43) эквивалентно системе уравнений
у = уН-1 (6) — 6у, р = pb — Ьр + уН-1 (с) — сН(у),
Н (6) - b + рс - сП (р) + pH-1 (7) - Ш2(у) = 0, (2.44) Н(с) — с + р7 — 7Н2(р) = О, Н(7)-7 = 0.
Дополнительно предположим, что Н(1)=1, H(i)=*i, тогда Н (7) = 7. Непосредственно проверяется, что при условиях (2.42) три последних алгебраических уравнения (2.44) выполнены тождественно. Два дифференциальных уравнения (2.44) при условиях (2.42) являются следствием уравнения (2.39). Поэтому уравнение (2.39) допускает представление Лакса с операторами (2.43).
Указанные выше операторы L и А относятся к классу операторов (1.4), поэтому существование счетного множества первых интегралов In = Т (Ln) для уравнений (2.37) — (2.39) следует из леммы! § 1. Теорема 3 доказана.
VII. Укажем некоторые следствия из теоремы 3. Пусть 91 — комплексная алгебра и т — комплексное сопряжение. Пусть
a=l+-^(a + iV^ — а2) аи где т (а^ = av
Тогда уравнение (2.37) принимает вид
^ = (1 + с^ + рн2) (Н (а^ - 1Г1 (а^.(2.45)
После аналогичной подстановки уравнения (2.38) принимают вид
<4 = (1 + аак + ₽aj) (Н-1 (&J - Ъ^ ^ ^ ^-(l + a^ + P^i-H^)).
Уравнения (2.38) инвариантны относительно преобразования дуальности о:
а(а) = а1=Н-’(&), O^=bx=a, о2 = Н'1. (2.47)
Если 91 — алгебра функций на дискретном множестве Z, то уравнение (2.46) в случае автоморфизма — сдвига 158
(Н(а)) к = ak+i— переходит в уравнение автодуальной сети [53].
Если множество Z разбито на два дискретных набора точек ак и Ък и (т(а))й = Ьй, (Н(а))к = aft+i, (H(6))ft = = bk+i, то уравнение (2.37) переходит в систему двух уравнений
йк = икЪк (яй+1 — Щ-i), 6к = akbk (Ьк+1 — ^ь-i).
Если множество Z состоит из 2и точек и (т(а))й = ак+п, то уравнение (2.37) принимает вид
Дд ДЩд+n (а^+1®Л-1) •
Уравнение (2.39) является аналогом дискретного нелинейного уравнения Шрёдингера [54] в произвольной комплексной коммутативной алгебре %. Если 91 — алгебра гладких функций на произвольном многообразии Ж, а: Ж -+ Ж — сохраняющей меру ц диффеоморфизм и (Н(а)) (ж) = а(а(а:)), х^Ж, то уравнение (2.39) имеет вид
—* ~^~^ = а (^ а М) + а (^ а-1 М) — 2а (i, a:) +
+ | a (t, х) |2 (а (i, а (a:)) + a (i, а-1 (я))) (2.48)
и обладает счетным множеством первых интегралов.
VII. Утверждение 1. Дифференциальное уравнение
(аа-^ = CjH-1 (а) а-1 — аН (а-1) Н (cj), q = О, (2.49) определенное на множестве обратимых элементов произвольной ассоциативной алгебры 91, допускает эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром.
Доказательство. Операторы L(t, X) и А(£, X) определим формулами
L^aH^-^H + V'ciH-1+ ««-', А = ХаН(а-1)Н. (2.50) Оператор L при щ = const имеет вид
L = X (аН (а-1) - аН (лГ1) Н (а) Н (а-1)) Н + (аа-1)'.
(2.51)
Коммутатор операторов L и А определяется формулой [L, А] = Х(<Ш (а-1) - аН (а"1) Н (а) Н (а^) Н +
+ с^-1 (а)а-1 - аН (а"1) Н (с,).(2.52)
159
Подстановка формул (2.51), (2.52) в уравнение Лакса (2.8) приводит к уравнению (2.49). В силу леммы 1 § 1 уравнение (2.49) обладает счетным набором первых интегралов
Ih = T (АаН (а"1) Н + V’ciH"1 + аа"1) \(2.53)
Утверждение 1 доказано.
Если алгебра 91 является алгеброй матричнозначпых функций на множестве целых чисел и Н(а)(/с) = = а(к + 1), то уравнение (2.49) совпадает с «некоммутативной цепочкой Тода» [55]. В случае коммутативной алгебры скалярных функций уравнение (2.49) с помощью подстановки a(t, х^ = exp q(t, х') преобразуется в уравнение цепочки Тода (2.31).
В случае алгебры матриц gl(re,R) и внутреннего автоморфизма Н: H(a)=QaQ-1 уравнение (2.49) принимает вид
(аа-1)" = [с, aQa-1], с = с^-1.(2.54)
Первыми интегралами уравнения (2.54) являются собственные числа соответствующего оператора L (2.50).
Дифференциальные и интегро-дифференциальныеуравнения в алгебрах функций
В данном параграфе рассматриваются ассоциативные алгебры функций следующих двух классов. К первому классу относятся алгебры гладких (или непрерывных) функций 9" кЖ. R) на произвольном многообразии Ж (с поточечными операциями сложения и умножения функций). Ко второму классу относятся алгебры гладких или непрерывных функций /(ж, у) на произведении Ж X Ж, где на многообразии Ж задана гладкая мера ц(ж). Сложение функций является поточечным, а умножение определяется формулой
/ ° g (я, у) = J / (ж, z) g (z, у) dp, (z).(3.1)
jK
Каждой функции f(x, у) поставим в соответствие интегральный оператор F, действующий на функциях ф(ж) из 9" (Ж, R):
(^ф)М = J Цх, у) <р (у) dp (у).(3.2)
Произведению функций / ° g соответствует произведение интегральных операторов F ■ G. Поэтому ассоциативные алгебры второго класса будут обозначаться Int(^, К). Если множество Ж = 1и состоит из п точек, то алгебра Int(Zn, К) совпадает с алгеброй матриц gl(n, К).
В алгебре Int (Ж, К) естественно определяется структура бесконечномерной алгебры Ли
Vb g] (х, У) = / ° ё — g ° / =
= ^ U С^, 2) g (z, y) — g (х, z) / (z, у)) dy, (zY (3.3) Ж
Интегральный оператор, соответствующий функции [/, g], является коммутатором интегральных операторов F и G.
Пусть h: Ж Ж — диффеоморфизм многообразия Ж, сохраняющий меру р. Тогда отображение Н:9"(Ж)-> 9"(Ж}, определенное формулой (Н/) (х) = /(А (ж)), очевидно, является автоморфизмом алгебры 9"(Ж^. В алгебре 9" (Ж^ определен функционал
НГ) = f /М^Р(^),(3.4)
к
удовлетворяющий свойствам (1.2). Теорема 1 из § 2 полностью применима к алгебре 9~ (Ж}. Дифференциальные уравнения (2.1) — (2.3) в этой алгебре принимают вид
(
р—гр—г
2/0, ^(^)-2/0,(Л),(3.5)
h=lЬ^1
а,/Р—1Р~1\
|м = /см П /0, ^м)-П/0- ^км) . (з.б)
где с = 1 отвечает уравнению (2.2) и с = 2 отвечает уравнению (2.3). Операторы Лакса, соответствующие этим уравнениям, имеют вид
Li =/(I, zJH'-^ + ZH, L2 = /(I, ^Н + ХН1-11,
Ьз = Ж zHH^ + XH). (3.7)
Уравнения (3.5), (3.6) согласно теореме 1 и лемме 1 имеют счетное множество первых интегралов, определенных формулой
Ih = Т (LOO = q)ih(.r) dp (xY г = 1,2,3,(3.8)
161161П О. И. Богоявленский
161
161
где к — произвольное натуральное число и функция tpikt.x') является коэффициентом при Н° в разложении оператора 1чР по степеням автоморфизма Н.
Уравнение (2.17), (2.31) при к = 0 принимает вид
d_^LA = exp (q (t, h-1 (ж)) — q (t, x)) —
— exp(q(t, x)— ?(^^(ж))) (3.9)
и является обобщением цепочки Тода в алгебре функций ^" (^, R). Оператор Лакса для уравнения (3.9) имеет -вид''
L = Ха (f, х) Н + Х-Ш-1 + р (f, х),а (t, х) = exp (q (t, х) — q (<, h ^х^уpM-WlEL.
Уравнение (3.9) обладает счетным множеством первых интегралов, которые определяются формулами
Zft = 77 (Xa(i, ,r)H + Х-1Н-1 + p^t, x')')k'j.
Простейшие из этих интегралов имеют вид
/1 = J р (<, .г) dp (я), Z2 = [ (р2 (i, х^ + 2a (i, х^ dp (ж),
/3 = J (р3 (£, .г) + Зр (<, х) а (<, .г) +
+ Зр (i, .г) a (i, /г-1 (ж))) dp (о:).
Уравнение (3.9) является следствием принципа наименьшего действия
Ч
а С С f A fl^ilLiLY _
J J к 2 к at )
ул
— exp (g (t, К-1 {х)^ —q (t, х)^ dp (ж) dt = 0 (3.10)
при произвольных вариациях 6q (t, х). Интеграл -^ /2 является интегралом энергии, соответствующим вариационному принципу (3.10).
Пусть алгебра 91 является алгеброй гладких матричнозначных функций ^" (.J?, М (га, R)) па произволь-
162
ном многообразии Л и автоморфизм Н определен формулой
(Н (и)) (я) = ()№))«№) WVkK М ),
где Q(z)—обратимая матрица, не зависящая от времени.
В этом случае уравнение (2.49) принимает вид
(«1 (t, х)а~' (t, ж)) t = с (ж) a (t, hr1 (ж) ^(z)^-1 (t, х) —
— a(t, x^Q^h^x^a-1 (t, h(x)) c(h(x)),(3.11)
где c(x') = ci (x) Q-1 (ж). Согласно утверждению 1 уравнение (3.11) обладает счетным множеством первых интегралов (2.53). Два простейших интеграла К имеют вид
Ii = Tr J at (t, х^ a-1 (t, х) d^ (х),Л
7a = Tr J ((at(t, ж)а—1(t, ж))2 +
Л
+ 2н (/t-1 (ж)) Q (ж) а7л (х) с (ж)) du (х).
Уравнение (3.11) в случае скалярных функций a(t, х) при cQ = 1 сводится к уравнению (3.9) с помощью замены a^t, х) = ехр^(^ ж).
Укажем некоторые предельные случаи уравнения
Пусть Л = R и Л(ж) = л:+8. Уравнение (3.11) при Q(z) = к • 1 представляется в виде
(ata^t = кв ([ажа-1, с] — с„) +
+ ке2 ^сахха~1 — ахоГ^аха-^ + аха-1сх с^ + о(е2). (3.12)
Рассмотрим два случая.
Функция с^ — произвольная гладкая матричнозначная функция на R. Положим к = е-1. Уравнение
в пределе при 8 -* 0 переходит в уравнение
(ata~l) t = [щн-1, с] — сх.
Функция с(х) = ц • 1 = const. Положим к = е-2. Уравнение (3.11) в пределе при 8 -* 0 переходит в уравнение
(а^-1) t = ц(ща_1)х.(3.13)
Тип уравнения (3.13) определяется знаком ц. При ц = = +1 уравнение (3.13) в новых переменных § = I + х и
11*163
= t — X принимает вид (ща-!)^ + (а^а-!)5 = О, т. е. совпадает с уравнением главного кирального поля на группе Ли GL(n.Lk). 11 ри р, = —1 переход к новым переменным 6 и 11 сохраняет вид уравнения (3.13).
IV. Рассмотрим в алгебре Int (^, R) интегро-диф- ференциалыюе уравнение, имеющее вид уравнения Эйлера
5/(г, ж, у) ., Г
I/, §]=)(/ (G z) g (f, z, у^ —
Я
— g(f, ж, z)/(t, z, y))d^(z). (3.14)
Уравнение (3.14) всегда имеет бесконечный набор первых интегралов. Действительно, из уравнения (3.14) по индукции нетрудно получить уравнения (А: = 1, 2, ...)
- [Л rf.(ЗЛ5)
где fk = / о / о ... о ;f в соответствии со структурой ассо- к
циативной алгебры (3.1). Из уравнений (3.15), очевидно, следует, что функционалы
Д = У jk ((, х, Xs) t/ц (ж)(3.16)
Я
являются первыми интегралами уравнения (3.14).
В дальнейших построениях существенно используется 6-функция б (ж—у), определенная условиями [48]
(6 ° /) (^> У) = J Hx — z)f (z, у) dp (z) = f (х, у), Я
У« 6) (х, у) = \ f (я, z) б (z — у) dp (z) = / (х, у). (3.17) Я
Для обобщенной функции а\х, у') = а^х^б^х — у') в силу (3.17) имеем
(а о /) (х, у) = ^ а (:с) 6 (ж — z) / (z, у) йц (z) = а (ж) / (ж, у), Я
(3.18)
(/ о а) (^, У) = J / (^, z) а (z) 6 (z — у) dp ^ = / (ж, у) а (у). Я
Утверждение 2. Интегро-дифференциальные уравнения
8f= (а ^ _ а ^^ (Z, г) у (^ г> у^ ^ ф,
>(3.19)
5/(<, т, у) = dt
J \ а (у) — а (z) а (г) — а (z)\ ,
Л
имеют дополнительный к набору (3.16) бесконечный набор первых интегралов (а (ж) и P(Z, х)—произвольные функции на множестве Ж из рассматриваемого функционального пространства).
Действительно, определим две обобщенные функции л(ж, г/) = а(ж)6(ж— у) и b(t, х, y)=^(t, x)b(x— у). По определению имеем
(а ° Ь) ((, х, у) = [ а (х) 6 (х — z) р (t, z) &(z — у) dp (z) = Л
= а (ж) 0 (Z, у) 6 (ж — у) = а (ж) 0 (Z, ж) 6 (ж — у)»
Очевидно, a‘b = b°a v [а, 6] = 0. Рассмотрим в алгебре Int (Ж, R) следующее дифференциальное уравнение с произвольным спектральным параметром Е;
и + аЕ)" =[f + aE,g + ЬЕ].(3.20)
Уравнение (3.20) эквивалентно уравнению (3.14) / = = [A #] и Двум условиям (коэффициенты в уравнении (3.20) при Е1 и Е2):
[/,&] +[щ g] = 0, [щ 6] = 0.(3.21)
Второе условие (3.21), как показано выше, выполнено. Первое условие (3.21) в силу формул (3.18) эквивалентно соотношению
g (t, ж, у) = -Р ~ у) / (t, х, у).(3.22)
в \а (,т) — а (у)1х '
Подставляя это выражение в уравнение (3.14), приходим ко второму уравнению (3.19). Первое уравнение (3.19) является специальным случаем второго при P(Z, ж) = а2(ж). Уравнения (3.19) имеют инвариантное подмногообразие кососимметрических функций f(t, х, у) = = —f(t, у, х).
Jn= 2(3.23)/г=0Jn= 2(3.23)/г=0Проведенные рассуждения доказывают, что уравнения (3.19) эквивалентны уравнению (3.20) со спектральным параметром Е. Поэтому уравнения (3.19) имеют бесконечный набор дополнительных первых интегралов JNk1 являющихся коэффициентами при Ек в разложении многочлена
Jn= 2(3.23)
/г=0
Jn= 2(3.23)
/г=0
JN = f (f + «Е)^ (£, ж, ж) (Zp (ж), ж
по степеням спектрального параметра Е. При вычислении интегралов (3.23) и общих интегралов вида (3.16) используется определение
J / (1, ж, у) 6 (я, у) |х=у(/ц (я) = j / (Л <х\
Жж
Простейшие из интегралов 1^ имеют следующий вид: jN,1 =J (^1) / (^’ ^1’ ^2)/ V' *^2’ *з) ' • •
Ж
. . . /(1, Xn-v ^1) ^1 • • • d^N—v Jn,2 = W J a2^/^, xv x2)f(t, x2, x3) ...
ж
Г^-2
.../(<, XN_2, x^ dxx . . • dxN_2 +2 / (^ xv ^2) • • •
• • • f(t, xk_v x^ a (zh) / (t, Xkl Xk_^ . . . f(t, Xm-v xm) X
X “ ^-m) f (^i Xm, -Zm+i) • • - / (^i *^N—2i ^1) j dx^ . . . dx^_2.
Интегро-дифференциальные уравнения вида (3.19) могут иметь применения в теории уравнения Больцмана и теории общих кинетических уравнений.
Наряду с уравнением (3.20) рассмотрим также в алгебре Int (^, R) уравнение (аЕ2 + fE + ^У = [аЕ2 + /£ + + h, g+bE], которое при выполнении условий (3.21), (3.22) эквивалентно двум интегро-дифференциальным уравнениям
Of ^.t, X, у^ _ Г / Р (t, у) — Р (f, 2) р (t, ж) — Р (t, Z) \ ot J \ а (у) — a (z)a (z) — a (z)/ A
Ж
x / (^ X, ^ f ((, z, p) d^ (z) + h, ((, x, у) (P ((, у) — p (f, x)),
82ЛЕдаД Г к i , z<, z, у _
StLa(z)-a(y) M
— ^аМ^ай^" ^ ^’ X’ ^ h ^’ Z’ У)1 ^ ^'
Полученная система интегро-дифференциальных уравнений также имеет бесконечный набор первых интегралов JNk типа (3.23). Рассматривая уравнение (аЕ2 + fE + h) = = VaE2 + /£ +А,/ + аЕ^, приходим к системе уравнений
9f ^at’ У) = (а (у) — а М) /г (^ ж, у),
^1^1 W ж, z, у) —
M
—/(1, x, z) h (t, z, p)) dp, (z), которая, очевидно, эквивалентна одному интегро-дифференциальному уравнению с производными второго порядка по i и также обладает бесконечным набором первых интегралов типа JNh.
Теорема о двух коммутирующих автоморфизмахи ее применения
В данном параграфе предлагается общая конструкция дифференциальных уравнений в произвольной непрерывной ассоциативной алгебре 91, которые допускают эквивалентное представление Лакса в пространстве линейных операторов, действующих на 91. Пусть G, Н — два произвольных коммутирующих автоморфизма алгебры 91.
Теорема 1. (Теорема о двух коммутирующих автоморфизмах.) Дифференциальное уравнение в ассоциативной алгебре 91 вида
da,
-А = S1G ^ - bav(4.1)
где элементы а\ и Ъ алгебры 91 связаны соотношением
H(b)-b -HG-'^O-aj,(4.2)
допускает эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром.
Доказательство. Определим следующие линейные операторы L и Л, действующие па ассоциативной алгебре 91:
L(t, X) = ai(0G +АН, K^t, А)= ^(0+AHG-1, (4.3)
167
где X — произвольный спектральный параметр. Уравнение Лакса
L = LA — AL(4.4)
с операторами (4.3) эквивалентно следующей системе уравнений, которые являются коэффициентами при степенях параметра X:
X2: H2G-'- HG-'H = О,
X1: H(6)H-6H + a1GHG-1-HG-1(ai)H-0, (4.5) Х°: «i=d]G(&) — Ъ<ц.
В силу коммутативности автоморфизмов G и Н первое уравнение (4.5) тождественно справедливо. Второе уравнение (4.5) в силу GHG-1 = Н сводится к уравнению (4.2), третье уравнение (4.5) совпадает с уравнением (4.1). Поэтому уравнение (4.1), (4.2) эквивалентно уравнению Лакса со спектральным параметром (4.4).
Из уравнения (4.4), как показано в § 2, следует, что функции /ДХ) = T(L(t, X)fe) являются первыми интегралами дифференциального уравнения (4.1), (4.2). В случае конечномерной алгебры 91 первыми интегралами являются также функции A(X) = Tr(L(i, X)k). Теорема доказана.'
Теорема о двух коммутирующих автоморфизмах имеет многочисленные применения, которые возникают при конкретном выборе ассоциативной алгебры 91 и автоморфизмов G и Н. Перечислим важнейшие из этих применений.
Пусть G = Н1-р, где р — целое число. Тогда уравнение (4.2) принимает вид
Н(6) — b = №(«])-«].(4.6)
При р > 0 решение уравнения (4.6) имеет вид
р—i
6=2^^).(4.7)
к=0■
При р < 0 решение уравнения (4.6) определяется формулой
—р
Ь = — 2 H-^aJ.(4.8)
Дифференциальное уравнение (4.1) после подстановки 168.
формул (4.7), (4.8) принимает вид •/р—1\/р-1\
р > 0: «1 = «1 2 Н~ («1) - 2 Н1 (aj av (4.9) \h = l1\k=l/
(
—p\/ —p\
2 H^ajj + I 2 H-h(<z1) Hj. (4.10)
h=l/\h=l/
Полученные уравнения (4.9), (4.10), очевидно, переходят одно в другое после замены Н на Н-1 и замены р — 1 на —р. Поэтому достаточно рассматривать только уравнение (4.9). В частном случае, когда алгебра 91 является алгеброй функции на множестве целых чисел 91 = ^"(Z, К), оператор Н является сдвигом на 1: H(a(t, k)) = a(t, /с + 1) и целое число р = 2, уравнение (4.9) переходит в систему Вольтерра
а,- = аДа,+ 1 — а<-1).(4.11)
При произвольном натуральном р > 2 уравнение (4.9) в алгебре ^ (Z, R) принимает вид
./р—1р—1
(4-12)(4-12)ZZi = HiI 2 &i-Vk2 ®г—к
(4-12)
(4-12)
\h=lк=1
Системы (4.12) подробно изучались в гл. V.
Пусть ассоциативная алгебра 91 является алгеброй комплексных матриц gl (тг, С) и автоморфизмы II и G являются внутренними:
Н (ж) = ага-1, G (я) = Pf1^,(4.13)
где а и Pi — некоторые обратимые матрицы. Условие коммутативности GH = HG принимает вид
PZ^a-^! = ар^^Рха-1.(4.14)
Обозначим a ^jO^ 1 = ц, тогда условие (4.14) имеет вид р^р^1 = х, что при произвольной матрице х возможно лишь, если матрица ц является скалярной: jiy = тбу. Вычисляя определитель матрицы ц = a-1piap^1, находим, что тп = 1. Таким образом, условие коммутативности двух автоморфизмов (4.13) сводится к условию
арх 1 = mpx xa, тп = 1.(4.15)
Уравнения (4.1), (4.2) при условиях (4.13) принимают вид
«i = “iPF^Pi — ^v a6a-1 — b = aPja^Z^-1 — av (4.16) 169
Введем обозначения а = «j^ \ Р = а^. Уравнения (4.16) после умножения первого уравнения справа на р?1, а второго уравнения справа на а принимают вид
«=[«, ^], at— Ъа = а.^\а — а^а. (4.17)
Из равенства (4.15) следуют равенства
Pia = maPi, ар = т-1ра.(4.18)
Поэтому уравнения (4.17) принимают вид
а = [а, 6], [а, 6] = р« — тар. (4.19/
Согласно проведенному выводу уравнения (4.19) при условии, что матрицы а, Р удовлетворяют соотношению (4.18): ар = т~1ра, т” = 1, эквивалентны уравнению Лакса со спектральным параметром (4.4), (4.3), (4.13).
Уравнения (4.19) принимают простейший вид при m = 1:
а = [а, Ь], [а, 6] = [р, а], [а, Р] = 0.(4.20)'
В этом случае, как показано впервые в работе [52], уравнения а = [а, 6] допускают представление Лакса со спектральным параметром вида
(а + Ха)‘ = [а + Ха, b + Хр].(4-21)
Выше указано еще одно представление Лакса со спектральным параметром для уравнений (4.20) — в пространстве линейных операторов над матричной алгеброй gl (п, С).
Укажем явный вид связи матриц b и а в силу соотношений (4.19) при тт\. Пусть матрица а диагональ- на с элементами ам, матрица р имеет в каждой строке и каждом столбце только один ненулевой элемент рм+ь Тогда соотношение (4.18) сводится к системе уравнений
<Хы1Рм+1'— m ^Pi.A+l'O^A+l.A+l-
Эти уравнения тождественно справедливы при произвольных pw+1 и a.№ = m,h, тп = 1. Поэтому уравнения (4.19) принимают вид
а = [а, 6], ^,„=(т'* - т5)"1 (рм+1Щ+и - та^р^/.
(4.22/
Согласно проведенному выводу уравнения (4.22) при произвольных числах р^-и и произвольном т—примитивном корне n-й степени из 1 (m'^m5 при /с^/^п) — 170
допускают представление Лакса со спектральным параметром вида (4.4), (4.3), (4.13) и поэтому обладают большим набором дополнительных первых интегралов. Уравнения (4.22), очевидно, имеют квадратичную нелинейность.
Разберем подробнее специальный случай т = —1. При этом необходимо п = 2/с, так как тп = 1. Используем стандартное обозначение для антикоммутатора (ж, у} = ry + уг. Уравнения (4.19) при т = —1 принимают вид
а = [а, 6], [а, 6] = (р, а), (а, р) = 0. (4.23)
Уравнения (4.23) существенно отличаются от уравнений (4.20) [52] и являются новыми условиями интегрируемости уравнения а = [а, 6] в пространстве матриц.
Покажем, что уравнения (4.23) так же, как и уравнения (4.20), имеют смысл и в вещественном случае (в отличие от общих уравнений (4.22)), причем дифференциальное уравнение (4.23) определено в алгебре кососимметрических матриц so (2га, К). Пусть матрицы а, Ь, а кососимметрические и разбиты на двумерные блоки, которые являются матрицами размера 2X2 и обозначаются ati, by, а«. Матрица р является диагональной и также разбита на двумерные блоки. При этом в матрицах а и Р отличны от нуля только диагональные блоки, которые имеют вид
/ГО — «А /р; 0 \
ан=1а; о Р“= I 0 — р (4-24)
В этом случае соотношение (а, р) = 0 выполнено тождественно при любых а,, Ря Соотношение [а, 6] = (р, а) является равенством двух кососимметрических матриц, причем в этих матрицах все диагональные двумерные блоки тождественно равны нулю. Для недиагональных двумерных блоков получаем уравнения
ccyby byccy Р^Щ; -И tZtjPjj.(4.25)
Введем обозначения для матричных элементов двумерных блоков
(4.26)(4.26)(хм ZiAкZy
(4.26)
(4.26)
aV)-\un уцГbi}\ua у a
Матричное уравнение (4.25), (4.24) распадается на две
171
линейные системы из двух скалярных уравнений
<Х<Жу СХуУу (Pi Pj) Uy, а^-а^ = (Р<-р,)2у, “i^ti + CLjZy = (!Pi 4" Pj) Xy, c£jny 4" cctZy ^ (Pt 4- Pj) Ту.
Решения этих уравнений имеют следующий явный вид;
а/ — «у
Угз =2 ^i^U 4" C^Zy),
- ^7 X у.)(4'28)
^ij ■ 2 у ^"iXij <хДДУ — af
Нетрудно проверить, что если матрица а была кососимметрической, то матрица Ъ, определенная формулами (4.26), (4.28), также является кососимметрической и поэтому уравнение а = [а, Ь] определено в алгебре Ли so (2и, К). Это уравнение не является гамильтоновым в стандартной симплектической структуре, так как линейное отображение а -* Ь, определенное формулами (4.28), не является самосопряженным относительно метрики Киллинга — Картана в алгебре Ли so (2и, R).
V. Укажем вторую конструкцию дифференциальных уравнений в ассоциативной алгебре 91, связанную с коммутирующими автоморфизмами G и Н.
Теорема 2. Дифференциальное уравнение в ассоциативной алгебре 91 вида
^ = Н (6) - & 4- aG (Р) - Ра, (4.29)
где элементы a(t'), b(t) и Р(() алгебры 9[ связаны соотношениями
aG(b)= bGH->(a), Н(р)=р,(4.30)
допускает эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром.
Доказательство. Определим линейные операторы L и А формулами
L = aG + XH, A = V1&GH“1 + p. (4.31)
Уравнение Лакса L=[L, А], очевидно, эквивалентно уравнениям (4.29), (4.30).
Укажем применения теоремы 2. Пусть автоморфизм И = G1-p, р 5= 2, Р = 0. Тогда алгебраическое уравнение (4.30) принимает вид aG(b) = &Gp(a) и имеет решение
Ь =aG(a)...Gp-1(a).(4.32)
Дифференциальное уравнение (4.29) после подстановки формулы (4.32) переходит в уравнение
^ = Gw(«)G2“*P (а). - -G-1 (a) a—aG (a). . .С^Да).
(4.33)
Таким образом, уравнение (4.33) в произвольной ассоциативной алгебре допускает представление Лакса. Уравнение (4.33) в алгебрах функций на многообразиях и на множестве целых чисел Z исследовалось в § 3 и в гл. V.
Конструкция теоремы 2 с автоморфизмами G и Н вида G(z) = z, Н (z) = aza-1, а^ = ^а, где а—постоянный обратимый элемент алгебры 51, приводит к уравнению
^ = YP^ ос] + [а, р].(4.34)
Здесь Р(п)—произвольный многочлен от элемента а. При этом операторы L и А имеют вид
L = а + ХН, А =-Х-'Р^аН"1 + £.
Уравнение (4.34) допускает также представление Лакса в самой алгебре 51 с операторами Li = а + Ха, Ai = = —Х-1Р(а)+^ и имеет поэтому большой набор первых интегралов. В частном случае Р(а) = п2, р = 0 уравнение (4.34) переходит в интегрируемый случай работы [52].
Замечание. Формулировки теорем 1 и 2 можно несколько расширить, рассматривая вместо операторов (4.3) и (4.31) соответственно операторы вида
L = aG + XdjH, А = Ai = b + XcZ2HG-1,
A = A2 ^-'O"1 + p,
где d; — постоянный элемент алгебры 51. Однако такое расширение во многих случаях приводит к дифференциальным уравнениям, эквивалентным случаю di = 1.
Применения к уравнениям Эйлера в прямой сумме алгебр Ли gl(«, R)hso(«, R)
Пусть алгебра 91 является алгеброй матричнозначных функций на множестве целых чисел 91 = ST (Z, gl (", К)). Автоморфизмы G и Н определим формулами
Н/(*) = а(*+ !)/(*+ 1)а(*+ I)-1.(5.1)
Обратимые матрицы аА, рА определены с точностью до произвольного скалярного множителя. Условие коммутативности GH = HG принимает вид
а(к + 1)р-'(*+ !)/(*+ !)£(* + !)«-'(*+ 1) =
= P(*)-1a(*+ V)f(k~V !)«(*+ V)~WV (5-2)
Отсюда находим соотношения
а(*+ 1)-^(*)а(*+ 1)Р(*+ I)"1 = р(*),
^(Л+Лу-^нМа^ЧН)-1^)-1^ где ц(&)— произвольная скалярная матрица.
Уравнения (4.1), (4.2) принимают вид
di (к} = ai (к) р (к)~1Ь (к) 0 (к)— Ь(&)а1(&),(5.4)
а(/с+1)Ь(/с+1)а(/с+I)"1 - Ь(к) =
= а(к+ i)^k+ ^a^k-VA^k-V I)-1 X
Xa(*+l)-1-ai(fc).(5.5)
Введем обозначения а(к') = ai(k')^>(k')-1. Уравнение (5.4) после умножения справа на ^(А:)-1 принимает вид
«(&) = [«(&), Цк^.(5.6)
Уравнение (5.5) после умножения справа на а(&+1) принимает вид
а(к+ !)&(*+ 1)- Ь(к)а(к+ 1) =
= а(А:+1)Р(*+ l)a(fc+l)'-a№№(fc + l)'. (5.7)
Это уравнение после подстановки формул (5.3) принимает вид
а(Д+1)6(^+1)- 6(*)а(*+1) =
= р.(к')""х^(к')<х(<к -V 1)а(&+ 1) —
— а (&)[}(&)«(&+1).(5.8)
В периодическом случае, когда алгебра % является алгеброй матричнозначных функций на конечном множестве точек ^~ (Zw, gl (щ R)), соотношения (5.3) приводят к условиям
a(k + N\a(k + N- 1)... а(А + 1) 0(A)-1 =
^^-'а^Т l)...a(& + V),(5.9).
где ц = ц(1)ц(2)... p(V). Вычисляя определитель обеих частей равенства (5.9), находим ц" = 1. Соотношения (5.9) при ц *1, ц" = 1 можно разрешить аналогично п. III и п. IV предыдущего параграфа. В дальнейшем предполагается, что ц = 1; тогда можно считать, что все ц(/с)=1 (так как 0(A) определены с точностью до произвольного множителя). Без ограничения общности можно считать, что все матрицы a(Zc) являются диагональными. Тогда в случае общих диагональных матриц а(&) условие (5.9) при р = 1 означает, что матрица 0(&) коммутирует с диагональной матрицей а (к + 1).. .а^к + V) общего вида, поэтому матрица 0(Zc) также является диагональной. Тогда из условий (5.3) следует, что 0(Zc) = = 0(/)=0, гДе Р— произвольная диагональная матрица.
Проведенные выше рассуждения показывают, что случай произвольных диагональных матриц «(1), ... ..., а (У) и р (Ат) = р, ц(&)=1 является достаточно общим в рассматриваемой конструкции. Обозначим сх^(Ат) = = ац(к), 0, = 0». Уравнения (5.8) при p(Zc)=l, 0 (Ат) — 0 принимают вид
а^к + 1) Ъц^к + 1) — а^к + 1)Ь„(&) =
= 0{^(/с + 1\ау^к + 1) — 0/x,(A + MaaW- (5.10)
Система (5.10), очевидно, распадается на п2 линейных систем из N уравнений, связывающих элементы ац^к), Ьц(к) с постоянными I, / и переменным к. Уравнения (5.10) для диагональных элементов имеют вид
Ъц^к-V 1) — b«\k\=s ^(««(fc + 1) — а« (Ат))
и разрешаются в виде
Ьц\к\= p^ait (Ат) + с,-,
где ct — произвольные постоянные. Обозначим
N
Л («г) =П “i('’)-(5.11)
Г=1
Необходимым условием разрешимости системы (5.10) для не диагональных элементов является условие л(аг)=# =#л(а;). Решение определяется следующими формулами:
bij № = «И (fc)
, ^-1г ^ an (^ - s), ^-1г ^ an (^ - s), (5-12), (5-12)
, ^-1
г ^ an (^ - s)
, ^-1
г ^ an (^ - s)
, (5-12)
, (5-12)
которые легко проверяются прямой подстановкой в уравнения (5.10). Формулы (5.12) зависят от (^+l)-й произвольной диагональной матрицы а(1), ..., a(-W), р.
Конструкция динамической системы (5.6), (5.12) является весьма общей и содержит в виде специальных случаев интегрируемые системы, указанные в работе [52] (^=l), в работе [56] (N = 2 и а(1)=а(2)), в работе [57] (а(1) = а(2) = ... = a(W) = а). В последнем случае формулы (5.12) принимают вид
Ьц № = ау ^ -^ГГ^" +
+77 2 ао (& — s) (5.13)
Формулы (5.13) после подстановки pi = Ь^Г1 совпадают с формулами (2.Й), (2.12) работы [57].
Система уравнений (5.6), (5.12) определена в прямой сумме N алгебр Ли gl (и, R). Согласно проведенному выводу эта система допускает представление Лакса со спектральным параметром в пространстве линейных операторов над алгеброй ^ (Zni gl (n-R))» имеющей размерность n^N. При этом в пространстве матриц размера n?NXn?N представление Лакса (4.3), (4.4) относится к классу уравнений, исследованному в работе [58]. Поэтому согласно [58] уравнения (5.6), (5.12) интегрируются в тэта-функциях римановой поверхности
7? (A, u>) = det,(ai(t)G + ХН — ш • 1) = 0.
Покажем, что линейный оператор, определенный фор-
N
мулами (5.12) в алгебре Ли §1 = ® gl (щ R), является
самосопряженным относительно скалярного произведения ^,и)=^ ^ XiA^yj-vW- (5.14) Л=1 i ,7=1
Первое слагаемое формулы (5.12), очевидно, определяет самосопряженный оператор. Второе слагаемое определяет оператор
Ъ = Ха, Ьц (к) =
N—1s—1^—1
= су 2 atj(к — s) Ц а, (к — г) Ц оу(к — г), (5.15) 8=12=0Г=8
где сц =(Р< — Ру) (л (оу) — л (а,))-1. Рассмотрим два скалярных произведения
s—1N—1
(ж, Ху) = 2 x^Cjiy^k — <1 Мк — г) Ц а, (к — г),г,з,к,&r=0t=s
(5.16) S—1^ —1
(Аж, у) = 2 сужу (к — s) П а-з (к ~ О П оу (/с — г) уц (к).
(5.17)
Сделаем в формуле (5.16) замену s = N— я, я = 1, ... ..., N — 1, а в формуле (5.17) сделаем замену кх= кх + + s и воспользуемся условием периодичности z(k + N) = = z(k); получим
(ж, Ху) = _ 2 ^у (к) с,зуа <к + sj X
X П «г (/с —г) П «Д/с —г),r=ot=N—s
(5.18)
(Аж, у) = 2 (ki) сцУй (ki + s) X
N— 18—1
X П а1 (ki + S — г) JJ aj (к1 + S — г). r=sг=0
В силу условия периодичности для а,,(к) и симметрии cy = cj{ два выражения (5.18) совпадают. Следовательно, справедливо равенство
(ж, Ху) = <Хх, у),(5.19)
т. е. оператор А является самосопряженным относительно скалярного произведения (5.14). Поэтому уравнения (5.6), (5.12) являются уравнениями Эйлера в прямой сумме N алгебр Ли gl(n, R) и гамильтоновы на орбитах
присоединенного представления с гамильтонианом
н (а) - 2 2, а ц (к) а и (к) л, х_л,а , + XV X j)
+ Т 2 аЧ ^ л(аЛ-л(а.) а^ ^k — s>)X
8—1N—l
X П ®i № — H IT аз (& — r)- (5-20) r=ot=s
IV. Коэффициенты при atj(k — s') в формулах (5.12) являются симметричными относительно i, j при N = 2 и а(1) = а(2). В этом случае уравнения редуцируются на алгебру Ли so (n, R) © so (и, R) 156]. В общем случае V>2 коэффициенты при ац(к — з), вообще говоря, не симметричны относительно I, j и поэтому уравнения (5.6), (5.12) не редуцируются на прямую сумму алгебр Ли so (л, R). Однако в некоторых предельных случаях такая симметрия имеет место и соответствующая редукция возможна. Сделаем следующие подстановки:
«i (к) = щ (к) + ещ (к) ^ (к), аЦк) = 1, Р; = р + еХ;,
(5.21) где IeI <1. Справедливы формулы
л(а;) = л(о<) + ел(о,)р; + С(е2), р( = ^(1) + ... + ^W-
Предположим дополнительно, что л (о,) = л (о,). Формулы (5.12) после подстановки (5.21) и перехода к пределу при е 0 принимают вид bij № = ац (к) ^р + р^ _ р^ j +
^ ^ ^—1S—1
+2 «и (X — s) п о?1 (* — r) °i (^ — г). (5.22)
и S=1r-o
Коэффициент р не влияет на уравнения (5.6). Поэтому при условиях о,-(Л) = ±1 и л(о1)=л(о,) формулы (5.22) принимают эквивалентный вид
1.s—1
bti W =2 аЧ (^ — s) П Ф (к — r) аз (к — ГУ (5.23)
s=lг=0
Здесь коэффициенты при а15^к — s), очевидно, симметричны относительно i, j. Поэтому соответствующие урав- 178
нения (5.6) допускают редукцию в прямую сумму N алгебр Ли so (re, R). В пункте III показано, что общее отображение (5.12) является симметрическим относительно скалярного произведения (5.14). Поэтому линейное отображение (5.23), являющееся предельным случаем отображения (5.12), также является самосопряженным.
Таким образом, уравнения (5.6), (5.23) при условиях <ц(&) = ±1, л(о;) = л(о,) являются уравнениями Эйлера в прямой сумме N алгебр Ли so (re, R) и гамильтоновы на орбитах присоединенного представления в стандартной симплектической структуре. Эти уравнения являются предельным случаем уравнений (5.6), (5.12), допускающих представление Лакса со спектральным параметром (5.3), (5.4), и поэтому имеют набор первых интегралов, которые являются пределами при е -► 0 первых интегралов уравнений (5.6), (5.12).
Третья теорема о двух коммутирующихавтоморфизмах и ее применения
Так же, как и в § 4, предполагаем, что G и Н — два произвольных коммутирующих автоморфизма в произвольной ассоциативной алгебре 91.
Теорема 3. Дифференциальные уравнения в ассоциативной алгебре 91 вида
ci = ciH(6)—fcci + щ — HG-1 (щ), а,\ = avG ^ — Ъа\, (6.1) где элементы Ъ, ci связаны соотношением (di = const) diH^G-'^-bdi =HG"1(ci)-ci, di-HG-'^i), (6.2)' допускают эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром.
Доказательство. Определим следующие линейные операторы L и А, действующие в ассоциативной алгебре 91:
L^G + XcH + X^ffG-1, A-t + XHG-1. (6.3)
Уравнение Лакса L — LA — AL эквивалентно следующей системе уравнений (коэффициенты при Х°, X1, X2, X3):
а\ = aiG (d)— bav, ci = CiH(t)— bci + ai — HG-1 (оц),
a, = о = a1n2G-1 w - Mi - hg-1 (с) + c, (6.4)
O = cZi-HG-1(cZi).
При выводе уравнений (6.4) из уравнения Лакса существенно используется, что G и Н — коммутирующие автоморфизмы. Уравнения (6.4), очевидно, совпадают с дифференциальными уравнениями (6.1) и алгебраическими связями (6.2). Из представления Лакса следует наличие первых интегралов 7I1 = 7’(L(Z, Х)6). Теорема 3 доказана.
Первая теорема о двух коммутирующих автоморфизмах (§ 4) является частным случаем теоремы 3 при dv = 0, с, = 1. В этом случае первое дифференциальное уравнение (6.1) превращается в алгебраическую связь (4.2), а алгебраические уравнения (6.2) выполнены тождественно.
Укажем некоторые применения конструкции теоремы 3. В дальнейшем предполагается, что d\ = 1, тогда алгебраические уравнения (6.2) принимают вид
H2G-1 (6) — 6 = HG-1 (с,) —щ.(6.5)
Предположим, что Н = id. Тогда С\=Ъ является решением уравнений (6.5) и уравнения (6.1) принимают вид
b = at — G~'(ai), di = atG (b) — bai. (6.6)
Важнейшим применением уравнений (6.6) является цепочка Тода. Пусть §1 = ^* (^, К) — коммутативная алгебра функций на множестве целых чисел; автоморфизм G является сдвигом: (G/) (к) = /(/с + 1). Тогда уравнения (6.6) принимают вид
6 (к) = av (к) — at (к — 1), сц (к) = ах (к) (Ь (к + 1)— Ъ (к)).
(6.7)
Уравнения (6.7.) после подстановки
av (к) = exp (q (к + 1) — g(/c)), b (к) = q (к)
принимают вид уравнений цепочки Тода
q (к) = exp (q (к + 1)— q (к)) — exp (q (к) — q^k— 1)). (6.8)
Уравнение (6.5) разрешается в общем виде, если
HG-1 = (Н2С-!)Р. G = н^-1’7^-”, р>2. (6.9)
Обозначим F = IPG'1 = Н|/(1-р); в силу (6.9) имеем
H = FI-P, G = F'-2p, HG'1 = Fp.
Уравнение (6.5) разрешается в виде b = ci + F(ci) + ... ... + Fp-1 (cj. Уравнения (6.1) принимают вид'
G = сЛ 2 F-h (ci) — Z Fh (cj 1 С1 + Я1 _ Fp (а^,
,(6.Ю)
«1 = «Л 2 F-h(c1) — 2 F^) av
\ А=р/\ h=o /
Пусть алгебра 9l = gl(n, С)— алгебра комплексных матриц и автоморфизмы G и Н определяются формулами
G (ж) = РГ1^], Н (ж) = а^а^"1,(6.11)
где «1 и Pi — обратимые матрицы. Условие коммутативности автоморфизмов G и Н имеет вид агр71= цР^1^, ц”=1 (см. § 4, формула (4.15)). Уравнения (6.1), (6.5) в силу определений (6.11) принимают вид
q = с1а16а71 — Ьсх + ^ — «тРаРГ^Г1!
ai= ^iPF^Pi — bav(6-12)
aiPi^Pi ai b = o^iPi^iPi cq сг
Умножим первое уравнение (6.12) справа на cq, второе — на Pi1, третье — на «iPi и обозначим a = а^Г1, c = ci«i; получим уравнения
с = [с, 6] + aPi«i — aiPia, a = [a, 6],
Г 91-1-1(6.13)
[aiPi, 6] = oqPjCoq рт аД — ca^.
В силу уравнения (4.15) имеем pia1 = ца^ц oq^PF^iPi = = ц-1. Обозначим a = o^Pd Р = «iPj; тогда справедливо соотношение
а.р = ц^'Ра, цп = 1,(6.14)
и уравнения (6.13) принимают вид
с = [с, 6]+цир — pa, a = [и, 6], [а, 6] = ц-1рс—ср.(6.15)
Таким образом, в силу теоремы 3 уравнения (6.15) при условиях (6.14) допускают представление Лакса и поэтому обладают большим набором первых интегралов.
При ц = 1 матрицы a, р можно считать диагональными. В этом случае уравнения (6.15) принимают вид
с = [с, 6] + [и, р], а=[а, 6], [а, 6] ='[Р, с]. (6.16)
181
Эти уравнения в случае симметрической матрицы а и кососимметрических матриц b и с описывают интегрируемый случай вращения TV-мерного твердого тела в «ньютоновском гравитационном поле с однородным квадратичным потенциалом», указанный в работе [26].
При ц = — 1 уравнения (6.15) принимают вид
с = [с, Ь] — (а, р}, а = [а, Ь], [а, 6] = -{£, с}. (6.17)
Пусть матрицы а, Ь, с принадлежат алгебре Ли so (2га, R). Антикоммутирующие матрицы а, Р выберем в виде (4.24). Тогда алгебраическое уравнение (6.17) разрешается аналогично п. IV § 4. Поэтому дифференциальные уравнения (6.17) корректно определены в алгебре Ли so (2га, R) ф so (2га, R), допускают представление Лакса и обладают большим набором первых интегралов.
Матричные уравнения, допускающиепредставление Лакса с несколькимиспектральными параметрами
Рассмотрим в алгебре матриц gl (га, R) или gl (га, С) дифференциальное уравнение второго порядка
а = [а, а].(7.1)
Очевидно, собственные числа матрицы а или функции Ik — Tr(a)ft являются первыми интегралами уравнения (7.1). В силу (5.1) имеем
(Tra2) = 2Tr(aa + a2) = 2Tr(a2) = const.
Поэтому справедливо равенство
Tra2 (t>= Tr (a2) i2 + c, (a) t + c2 (a),(7.2)
где ^(a2), ci (a) и c2(a)— первые интегралы уравнения (7.1).
Покажем, что уравнение (7.1) имеет большое количество других первых интегралов. Пусть Р^а, [а, а]) — произвольный многочлен от некоммутирующих образующих а и [а, а], например
Р(а, [а, а]) = Хоа + Xi [а, а] + Хга[а, а] + Хз[а, а]2. (7.3)
Утверждение 1. В силу уравнения (7.1) справедливо уравнение
Р (а, [а, а])' = [^(а, [а, а]), а].(7.4)
Собственные числа матрицы Р(а[а, а]) являются первыми интегралами уравнения (7.1).
Доказательство. Уравнение (7.1) после дифференцирования по t принимает вид а = [а, а]. Подставляя сюда в силу (7.1) а = [а, а], находим
[а, а]' = [[а, а], а].(7.5)
Из двух уравнений
б = [6, а], с = [с,а](7.6)
следует уравнение
<ЪсУ = [6с, а],(7.7)
также имеющее вид (7.6). Поэтому если Р(6, с) — любой многочлен от матриц b и с, то в силу уравнений (7.6) получаем
Р(Ь, сУ = [Р(6, с), а\.(7.8)
Уравнения (7.1) и (7.5) имеют вид (7.6). Поэтому в силу (7.8) справедливо уравнение изоспектральной деформации (7.4). Следовательно, собственные числа матрицы Р(а, [а, а]) являются первыми интегралами уравнения (7.1). Утверждение 1 доказано.
Уравнение (7.4) с функциями Р(а, [а, а]) вида (7.3)' является представлением Лакса с произвольным числом спектральных параметров Хо, Xi, ..., Хп для уравнения (7.1). Как известно, с уравнением Лакса, зависящим от одного спектрального параметра X, связано семейство римановых поверхностей, заданных уравнением
det(L(X)-yl) = 0.(7.9)
Уравнение (7.1) в силу представления (7.4) оказывается связанным с алгебраическими многообразиями произвольной размерности, определенными уравнением
det(P(d, [а, а], Хо, ..., Хп) — Ц ■ 1) = 0.(7.10)
Все коэффициенты уравнения (7.10) являются первыми интегралами уравнения (7.1).
Предположим, что матрица a(t, х) зависит от двух переменных t и х и удовлетворяет уравнению
axt=iVax, а"\.(7.11)’
Дифференцируя уравнение (7.11) по х, приходим к уравнению
а^^а», а].(7.12)
183
Уравнения (7.11), (7.12) имеют вид (7.6). Поэтому из них также следуют уравнения вида (7.8). Тем самым доказано следующее утверждение.
Утверждение 2. В силу уравнения (5.11) справедливо уравнение
В (ах, ах^ = [Р (нж, нжж), а],(7.13)
где Р(ах, а^)— произвольный многочлен от матриц ах, ахх. Функции ^т^В*^, а^^ где k = 1, 2, ..., не зависят от времени и являются поточечными первыми интегралами уравнения (7.11).
С уравнением (7.11) связано зависящее от параметра х семейство алгебраических многообразий произвольной размерности, заданных уравнением
det(P(ax, ахх, ко, ..., Z„) — р. • 1) = 0.(7.14)
Все коэффициенты уравнения (7.14) в силу уравнения Лакса (7.13) не зависят от времени t и являются поточечными первыми интегралами уравнения (7.11).
Уравнение (7.11) для матриц а размера 2X2 вида а— г)
эквивалентно системе уравнений
rxt=pxq — pqx, pxt = 2(prx-pxr^, qxt = 2(qxr — qrj. Эта система имеет поточечные первые интегралы следующего вида:
у Тгаж = рдх + гх = С1 (ж), у Тгнжж= РххЦхх “Ь ^ХХ с^ху
Покажем, что дифференциальное уравнение
а = [а, а + с] + [ [с, а], а],(7.15)
где с — постоянная матрица, так же как и уравнение (7.1), допускает представление Лакса с произвольным числом спектральных параметров. Уравнение (7.15) представляется в виде.
(Вщ)i = [Вщ, а], В1Н = н( + [с, а],(7.16)
где Bi — оператор дифференцирования
В^^ + ^с.(7.17)
Из уравнения (7.16) после применения оператора Di получаем уравнение
(В1<?)< = [D^a, <z], Dpi = а + 2 [с, а] + [с, [с, а]]. (7.18) Уравнения (7.16) и (7.18) имеют вид (7.6). Поэтому в силу (7.8) произвольный многочлен ^(В^, В^а) удовлетворяет уравнению
Р (DjH, Bpz) = [Р (Bta, В fa), а].(7-19)
Это уравнение и является представлением Лакса с произвольным числом спектральных параметров — коэффициентов многочлена P(Dia, Вщ). Уравнение (7.16) было впервые указано в работе [16].
Уравнение в частных производных
ах1 = [пх, а] + [щ, с] + [ [с, а], а] (7.20) представляется в виде (с = const)
№<?)( = [Вга, а], Вга = ах + [с, а],(7.21)
где D2 — оператор дифференцирования
TV,
Dp
Применяя к уравнению (7.21) оператор В2, получаем №«)< = [Ban, а], В2а = ахх + 2 [с, ах] + [с[с, а]]. (7.22) Из уравнений (7.21), (7.22) аналогично (7.19) следует, что для произвольного многочлена Р (В2я, В2а) функции
I = ТгР(В2а, В2а)
являются поточечными первыми интегралами уравнения (7.20).
Замечание. Уравнения (7.1), (7.11), (7.15) и (7.20) естественно обобщаются в произвольной алгебре Ли @. Уравнения (7.16) и (7.18) по-прежнему являются их следствиями. Уравнения вида (7.4), (7.13), (7.19) также справедливы, если многочлен Р(Ва, В2а) является произвольной суммой любого числа коммутаторов элементов Вщ В2а. Поэтому если /(ж) — любой инвариант алгебры Ли @, т. е. функция, постоянная па орбитах присоединенного представления, то функции
/(^(Ва, В2а)) являются первыми интегралами уравнений (7.1), (7.11), (7.15), (7.20).
Пусть о, ..., с„ — некоторые постоянные матрицы, @1 — их совместный аннулятор, т. е. множество матриц
х таких, что [с,„ х] = 0, к = 1, ,.,, п. Множество (^является подалгеброй Ли в gl (га, R). Обозначим через ф некоторое отображение алгебры Ли gl(ra, R) в @j.
Утверждение 3. Матричное ■уравнение а = [а, ф(а)](7.23)
допускает представление Лакса с несколькими спектральными параметрами.
Доказательство. Введем обозначения
Ъх = a + XiCi + ... + Х„с„, bk = Vch, а],(7.24)
где Xi, ..., Х„ — произвольные параметры. Из уравнения (7.23) в силу определения отображения ф следуют уравнения
6х = \Ьх, ф(а)], 6k = [bk, ф(а)].(7.25)
Поэтому для произвольного многочлена P(bx, bi, ..., 6„) в силу (7.24) справедливо уравнение
P(bK, bv Ъп) = УР<ЪХ, bv b.Y ф(а)]. (7.26)
Очевидно, уравнение (7.26) содержит произвольное число спектральных параметров. Собственные числа матрицы Р(ЬК, 61, ..., 6„) являются первыми интегралами уравнения (7.23). Утверждение 3 доказано. .
Утверждение 3 без изменения переносится в произвольную алгебру Ли.
Пусть 6: @ -* @ произвольный гомоморфизм алгебры Ли @ в себя, @л — неподвижная подалгебра: h^x^x, х е @h. Обозначим через ф произвольное отображение алгебры Ли @ в @л.
Покажем, что матричное уравнение
а = [а, ф(а)](7.27)
допускает представление Лакса с несколькими спектральными параметрами.
Действительно, из уравнения (7.27) следуют уравнения (k = 1, 2, .,.)
^{а)' = [/?(а), ф(а)].(7.28)
Пусть Р(а, h(a), ..., 6" (а)) —произвольная сумма коммутаторов любого числа элементов a, h(a), ..., 6"(а). Из уравнений (7.28) следуют уравнения
Р^а, 6(a), ..., 6” (а))' = [Р(а, 6 (а), ..., 6” (а)), ф(а)].
(7.29)
Уравнения (7.29), очевидно, содержат произвольное число спектральных параметров.
ГЛАВА VIII
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ,СВЯЗАННЫЕ С ПРОСТЫМИ АЛГЕБРАМИ ЛИ
В данной главе приводится конструкция алгебраических обобщений цепочки Тода, предложенная впервые в работе [59]. Построенные динамические системы и их связи с теорией простых алгебр Ли подробно исследовались в литературе [60—62]. С цепочкой Тода тесно связана система Вольтерра [30, 44]. Поэтому естественно предположить, что система Вольтерра, наряду с обобщениями в произвольных непрерывных ассоциативных ’ алгебрах, построенными в гл. V и VII, имеет также аналоги и в простых алгебрах Ли. Такие алгебраические аналоги указаны в данной главе. Полученные динамические системы допускают представление Лакса со спектральным параметром в соответствующей простой алгебре Ли. Указаны интегрируемые расширения обобщенных цепочек Тода и двумеризованных цепочек Тода. Исследованы континуальные пределы цепочки Тода и динамических систем Ферми — Паста — У лама.
Алгебраические обобщения цепочки Тода
В 1970 году М. Тода при численном исследовании различных моделей взаимодействия атомов в кристаллической решетке обнаружил отсутствие стохастизации в системе частиц единичной массы на прямой, взаимодействие которых определяется потенциалом
7 = 2 exp (дч — qi+i\(1-1)
где Qi — отклонение i-й частицы от положения равновесия [63]. В дальнейшем в этой задаче был построен полный набор первых интегралов [64], найдена L — А пара и доказана интегрируемость по Лиувиллю [44, 65] цепочки Тода, которая в периодическом случае имеет гамильтониан
п + 1
Я = ^ 2^ + 2СХР<7 — 7i+l) + exP(^+l — 91)- (I-2) 1=11=1
Периодическая цепочка Тода изучалась также в работе [19] с помощью алгебро-геометрических методов.
В данном параграфе приводятся алгебраические обобщения цепочки Тода, связанные с простыми алгебрами Ли, которые были впервые построены в работе [59]. Воспользуемся классификацией Картана [66] простых алгебр Ли. Пусть Н — картановская подалгебра простой алгебры Ли @, ate Н — набор корней, eaj е @ — корневые векторы. В базисе Картана — Вейля справедливы коммутационные соотношения
Vh, ea] = (й,а) ea, [ea, e_„]=a,
[«i, /i]=0,[ea, ep] = Aa-Sea+p,' ' '
где h e H и (A, a) — скалярное произведение Киллинга — Картана:
(z, z/) = Tr(adz ° ad z/), adz(z) = [z, z].
Назовем набор корней «i, ..., «„ допустимым, если для всех Z, / ^W вектор % —а,- не является корнем; тогда
[еа., е_а;] = 0.
В каждой простой алгебре Ли имеется один важный допустимый набор корней
то = — И, со 1, ..., юп,(1.4)
где <01, ..., ю„— простые корни (все корни at являются целочисленными линейными комбинациями вц), a Q = = Zc 1<о 1 + ... + knton — так называемый максимальный корень (Q + Zitoi + ... + Z„to„ не является корнем при всех Z^O). Допустимыми являются также все подмножества набора корней (1.4). Справедливо равенство
kotoo + Zcicoi + ... + кптп = 0,(1-5)
где все к, > 0 и являются целыми числами, ко = 1. Допустимый набор корней (1.4) образует набор вершин пополненного графа Дынкина Г.
Из определения допустимого набора корней и тождества Якоби в силу (1.3) получаем следствия
Z /, к [еи., е_и.] = 0, [[е^^ еи.] е_и.] = О,[[еЮр ейг]’] =®1) e®i"
В дальнейшем в алгебре Ли @ будут рассматриваться уравнения вида
L = [L, А](1.7)
с различными векторами L(Z), A(Z)g®. К алгебраическим обобщениям цепочки Тода приводят следующие две конструкции.
Пусть векторы L(Z) и A(Z) имеют вид
L(Z)= 2 ^(<)(сй.+ с_и.) + р(<),(1.8)
i=0
A (Z) = 2 к
где вектор p(t') принадлежит картановской подалгебре И. Используя коммутационные соотношения (1.3) и определение допустимого набора корней, находим, что уравнение (1.7), (1.8) эквивалентно системе уравнений
р = - 2 2 к = к (р, О);).(1.9)
i = 0
Уравнения (1.9) после подстановки
к = CiBxp^q, tot),(1.10)
где вектор q(t') принадлежит картановской подалгебре Н, принимают гамильтонов вид
• 9Н ‘ _9Н
Еdq'Ор'
п(1.11)
^ = у (р, р) + 2схр 2 ^юг)-
1=0
Уравнения (1.11) эквивалентны уравнению Лакса (1.7), .(1.8) и называются обобщенной цепочкой Тода, связанной с данной простой алгеброй Ли.
Пусть векторы L(Z) и A(Z) определяются формулами
L(Z) = 2 МО^-иц + ЕрУ-') + Е2 2 Сгвйг,
:=°1=о(1 12)
A(Z)= — £~12 at(ke_to., 1=0
где p(t)^H, Сг — постоянные, Е— произвольный пара* метр. Уравнение (1.7), (1.12) в силу (1.3) эквивалентно системе уравнений
р = — 2 Cittitoi, aL = at (р, со;).(1-13)
г=0
Эти уравнения после подстановки а, = /,ехр(д, го.) принимают гамильтонов вид с гамильтонианом
п
Н = -^(р, р) + ^ Cifiexp(q, оц). (1.14)i=0
Гамильтонианы (1.11) и (1.14), очевидно, эквивалентны.
Из представления в виде L — А пары (1.7) следует, что уравнения обобщенных цепочек Тода (1.11) имеют первые интегралы
Л = ^(Ь), Л = Тг(ЦЬ))\(1.15)
где Fk — любые инварианты алгебры Ли S, а Т — любое ее линейное представление, например, присоединенное представление алгебры Ли ®.
Уравнения обобщенных цепочек Тода (1.11) могут быть проинтегрированы в тэта-функциях римановых поверхностей в силу того, что представление Лакса (1.7),
) содержит произвольный спектральный параметр Е.
Приведем конкретные примеры систем (1.11). Воспользуемся классификацией простых алгебр Ли и стандартной записью корней алгебры Ли S в ортонорми- рованном базисе в], ..., е„ (см. [66]). Для алгебр Ли типа Ап, Ее, Ei, G2 удобно расширить картановскую подалгебру элементом, коммутирующим со всей алгеброй; в этом расширении имеем базис ei, ..., е„, e„+i. В качестве допустимого набора корней берем набор (1.4): Соответствующий гамильтониан (1.11) имеет эквивалентный вид1)
m
H = ^pl+V(8(qiy(1.16)
i=l
Здесь m = п +1 для алгебр Ли типа An, Ев, Ei, Gi и m = п для остальных типов (и— ранг алгебры Ли @).
Введем обозначение Vh=^iexp(qi— gt+i). Явный видi=i
потенциалов Т@(д<) в зависимости от типа S следующий: VAn = Tn + exp (gn+1 — gj, n>2,
VBn = Tn-i + exp(gn) 4- exp(— (qy + q2)y n>2,
Tcn = Tn-! + exp(2gn) 4-exp(—2^), n>3,
') Другой класс вполне интегрируемых гамильтоновых систем, связанных с простыми алгебрами Ли, указан в работе [68], где используется конструкция L — А пары Мозера — Калоджеро [30, 69].
190
Fpn = Fn_1 + exp (7„-i + 7л) + exp(— qv — q^, n>4,
Ve6 = V5 + exp (y ( — 4i — 9г — Чз + q^ + qb + q6^
+ ^^ + exp (-/27,),
T£j = Иб + exp (y (— 7i + q^ + . .. + q7 — 78)j +^ ^
+ exp (— qv — q^ + exp (— 77 — q8),
Ve8 = ^6 + exp (y (— qx + q2 + ... + q7 — 7s)) +
+ exp (— 7! — 72) + exp (77 + 78),
VFt = exp (71 — 72) + exp (72 — q^ + exp (73) +
+ exp (y (— qY — 72 — 73 + 74)} + exp (— qY — q^
Vg2 = exp (7! — 72) + exp (— 27! + 72 + 73) +
+ exp (7, + 72 — 273).
Используя стандартные линейные представления простых алгебр Ли, можно показать, что гамильтоновы системы с гамильтонианами (1.16) имеют ровно тп первых интегралов. В работах [61, 62] доказано, что все первые интегралы находятся в инволюции.
Для алгебры Ли типа Л„(8Ь(п+1)) гамильтониан (1.16) определяет периодическую цепочку Тода, для остальных типов получаем новые цепочки частиц, имеющие большое число интегралов движения (отметим, однако, что система (1.16) для типа С„ вкладывается в цепочку Тода из 2п частиц),
Для системы двух частиц из (1.17) получаем кроме цепочки Тода еще две интегрируемые системы с потенциалами
Vb2 = exp (7t — 72) + exp (72) + exp (— qY — 72),
FG2 = exp (7i) + exp (/3 72) + ехр (—у 9i — 1^ 72
Алгебраические аналоги системы Вольтерра
I. В предыдущих главах были найдены весьма общие алгебраические конструкции интегрируемых нелинейных уравнений, которые в простейших случаях переходят в систему Вольтерра
йь = щ(щ+] —(2.1)
191
В данном параграфе мы укажем конструкцию интегрируемых гамильтоновых систем, связанных с простыми алгебрами Ли, которая в случае алгебры Ли типа Л„ приводит к системе (2.1).
Рассмотрим в простой алгебре Ли ® уравнение (1.7), где векторы L(Z), A(Z) определяются формулами
пп
L (Z) = Я 2 ^ (i) еО; + 4 2 mV W [еЩ’ ^i]’
i=oм=о(2.2)
A(Z) = E 2 kib?1-etovi=0
Здесь юо, <»i, • •., con — допустимый набор корней (1.4), положительные целые числа kt определены из условия (1.5), ma(t') = — т,г(<), Е— произвольный параметр. В силу равенств (1.6) уравнение (1.7), (2.2) эквивалентно системе уравнений
2 к, [<?а , е_„.] = 2 feitoi = О, г=0'г=0(^-^)
mij^ [еор е„.] = О,
Ьг (О eto. = 2 msi (Z) k^?1 (Z) [[e„s, eo.], e_oJ =
= 2 ^i W kJ)?1 (Z) (ащ ro8) eo.. (2.4) s=o
Первое уравнение (2.3) справедливо тождественно в силу равенства (1.5). Из второго уравнения следует, что my(Z) = const. Уравнение (2.4) эквивалентно динамической системе
Ьг= 2 т)г (ffli, ю;) к5Ь?\(2.5)
j=o
которая имеет гамильтонов вид
^ = 2ни^ Я = 1пП^',(2.6)
5=о))-°
где ру = тщДсщ, <Bj), цу = — р^. Постоянная матрица р« является кососимметрической, и ее ненулевые элементы отвечают ребрам пополненного графа Дыикина Г соответствующей простой алгебры Ли ®. Если все ру ^ 0 при (<Bi, <Bj) 7^ 0, то матрица р имеет максимальный возмож- 192
ный ранг. Поэтому динамическая система (2.5) гамильтонова и гамильтониан Н (2.6) является ее простейшим первым интегралом. Согласно проведенному выводу система (2.5) имеет эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром (1.7), (2.2) и, следовательно, обладает большим набором первых интегралов вида (1.15) и интегрируется в тэта-функциях римановых поверхностей.-
Уравнения (2.5) после замены переменных ai (t) = = 6Д1 (t) принимают эквивалентный вид
а, (О = at (t) 2 mis (®i, «в) кА CO-(2.7)
8=0
Как известно, вершины ю,-, ю3 пополненного графа Г соединены ребрами только в том случае, если (ю.-, os)¥=0. Введем произвольные постоянные pf8 = mis (ю,-, cds), соответствующие ребрам графа Г с фиксированным порядком вершин: pi8 = — p8i. Тогда система (2.7) принимает вид
аг (t) = ал (t) (2148^8 G))>(2-8)
где суммирование осуществляется по всем вершинам ю8 графа Г, соединенным с вершиной о)г одним или несколькими ребрами.
Введем новые переменные
Xyt,t^ = ^flf^a^t'),(2.9)
которые отвечают ребрам графа Г с указанием порядка вершин ы{, (0;, причем xy^t) = — Xji(t); ребрам, соединяющим одинаковые вершины, соответствуют одни и те же переменные ху(Г). Из систем уравнений (2.7) — (2.9) следует динамическая система в координатах xy^t);
(
п\
2 ^8 (^is + XjS) .(2.10)
8=0/
Здесь xi3 = 0, если нет ребра, соединяющего вершины ю{ и (о„ графа Г.
Число ребер графа Г (без кратностей) на 1 меньше числа вершин (для алгебры Ли типа А„ эти два числа совпадают). Поэтому число независимых . переменных xy^t) равно п и на 1 меньше числа переменных щ(<). Динамическая система (2.10) является. редукцией системы (2.7) — (2.8), допускающей матричное представление (1.7), (2.2). Поэтому система (2.10) также имеет набор первых интегралов; их число на 1 меньше числа неза- 13 О. И. Богоявленский1®®
висимых интегралов (1.15) 7t = Tr(T(L)),‘ системы (2.7)-(2.8).
Укажем явный вид динамических систем (2.8), (2.10), соответствующих девяти типам простых алгебр Ли по классификации Картана. Используем стандартную нумерацию вершин графа Г и введем переменные щ(<) = Жу^, Цк = Ри> соответствующие ребрам графа Г с возрастающим порядком вершин («<;)• Для каждого типа простых алгебр Ли укажем также соответствующий граф Г и линейное соотношение (1.5) (см. [66]).
Граф Г и уравнение (1.5) для алгебры Ли типа Лп имеют вид
Пд — Uh (Uh+iUh—i),Пд — Uh (Uh+iUh—i),(2.12)(2.12)
Пд — Uh (Uh+iUh—i),
Пд — Uh (Uh+iUh—i),
(2.12)
(2.12)
Соответствующие динамические системы определяются формулами
(2.11)(2.11)«А = «А (РА&А+1 — ЦА-1«А-1),
(2.11)
(2.11)
где ик = pukakak+i, an+i = ao, и„+1 = ио. Динамическая система (2.12) совпадает с системой Вольтерра (2.1) в периодическом случае.
Граф Г и уравнение (1.5) для алгебры Ли типа В„, п 3, имеют вид
ц>0-*ш1*2а>2*2и>3*... *2а>п- 0
Система (2.8) принимает вид
Uq — 2а0р0а2, ®i = 2а1р,1аа, аг = «2 (2р2а3 — Роао — Р-А).(2-13)
^а = 2a.h (pa®a+iРа—1®а—1}) ^n = 2апрп_1ап_1.
Переменные и.к связаны с переменными а$ формулами (1 < к < п — 1):
и0 Цо^о^2) ^л Цл^л^л+ь
Соответствующая система (2.10) имеет вид (3^7с^ =5 п — 2)
Йо = Uo(2u2 — Щ + гго), Й1 = U\ (2^2 — Ио + U1),
Й2 = U2(2U3 — И1 — ио), (2.14)
Йд 2lZft (Ид4-1 Ид— 1) , tin—12lin—1Ип —2-
Граф Г и уравнение (1.5) для алгебры Ли типа С„, и ^ 2, имеют вид
,^п-З ин-7
% W1 ш2^п-З ШП-1 Шп
со07 2а>]*2(л)27 ... *2<ип_1,г«>п=0
Соответствующая динамическая система (2.8) принимает вид (2 ^ к С п — 2)
я0 = 2яд po®i> ®i = ®i (2Ц1®2 Но®о)>
Яд = 2яд(рдЯд+1 — рд^яд-О,(2.15)
Яп_1 = Яп—1(Цп—1®п ' 2рп—2Яп—а), Яп2ЯпРп—1Яп—1»
В переменных Ыд = рдЯдЯд+1 получаем динамическую систему вида (2.10) (2^/с^и —3)
ЙО = Ио(2И1 + Ио), Й1 = М1(2п2 — По),
йд = 2пд(щ+1 — щ-1)
(2.16)
Йп-2 = п„-2(п„_1 — 2п„-з), Йп-1 = —П„-1(п„-1 + 2пп-2).
Граф Г и уравнение (1.5) для алгебры Ли тина Dn, и 3, имеют вид
принимает195принимает195
принимает
195
принимает
195
Соответствующая динамическая система (2.8) 13*
вид (3 С к < п — 3)
^0 = ^CtgpigCl^i ^1 " ^^Ip-l^a1^2 = ^2 (2р2^3 Но^О M'1^1)i
^А ^ 2б1д (рЬдЛд.^^рА —1^А—1)?^2 17)
22 (рп—2рп—з&п—з)’
Переменные и4 определены формулами (i^k^n — 2) Ug == ^0^0^21 Ид == РдИдИдц-!, Un—1 == Р-n —Щп—2Пп-
Динамическая система (2.10) в этих переменных имеет вид (3 С к С п — 4)
йо = U0(2u2 — И1 + Ио), Й1 = U] (2И2 — по + щ),
«2 = U2(2u3 — ио — щ),
(2.18)
Ид == 2111^ ( Ид4.1 Ид—i) , Un—3 Un—3 ( Un—2 "Г Ип—1 2un—4) ,Un—2 ^ Ип—2 ( Ип—2 ”Ь Ип—12ип—3) ,
Un—1 ■^ Un—1 ( un—1 4~ Un—2 2u-n—3) •
Граф Г и уравнение (1.5) для алгебры Ли типа Ее имеют вид
и, и3 и4 и5ОО———о——о——оw, а>?а>4а>5и>6
><о2
(Vd^Wj ^2ш2^2ш5+Зо>4 *2о>5 +а>6 =0
Соответствующая динамическая система (2.8) определена формулами
Ug = 2UoPqU2’ Hj^ = 2a1p1(Zg> U2 = ®2 (214^4 Ho®o)’
u3 = U3 (Зр3я4 -г- p-i^j), a4 = u4 (2p4u52p3u3 2p2U2)> (2-19)
U5 = U5 (j^gUg Зр-дЯд)) Ug = 2Ugp5U5.
Переменные u< заданы выражениями (Z» = 3, 4, 5)
Uo = P0U0U2! U] = рЩЩз, U2 = P-2U2U4! Ид = pAUAUA+i.
Динамическая система (2.10) принимает вид
йо = Цо(ЗИ2 + «о), Й1 = Д1(Зд3+Д1),
Йг = Д2 (2д4 — 2дз + «2 — До),
(2.20)
Йз = Дз(2Д4 + Д3 — 2дг — «1) , Й4 = «4 («5 — Д4 — 2дз — 2дг) ,Й5 = —«5 (% + Зщ).
Граф Г и уравнение (1.5) для алгебры Ли типа £7 имеют вид
. ао .«>0“4. ао .«>0“4«>4 Ш5 ^6 Ш) ^2«>4 Ш5 ^6 Ш) ^2
. ао .
«>0“4
. ао .
«>0“4
«>4 Ш5 ^6 Ш) ^2
«>4 Ш5 ^6 Ш) ^2
OU)2
4)0)24)1424)2 *За>3 ^ 4(O4jr34)54r2u)6)4)1=0
Соответствующая динамическая система (2.8) принимает вид
Яд = ЗЯдЦдЯр Яд = Яд (ЗЦдЯд ЦдЯд), Яд = 4ЯдРдЯ4,
«3 = Яд (4|1дД4 ЗЩЯд), Яд = К4 (Зц^Дд 3|ХдДд 2|Tgflg),
,(2.21)
Д5 = Д6 (2fX5flg 4ц4я4), Дд = Дд (РдЯ? Зр5д5),
Д^ 2Д^РдДд.
Переменные ut связаны с д^, ah формулами (к = 3, 4, 5, 6)
Ко = ЦоЯоЯЬ К1 = Р1Д1Д3, U2 = Ц2Я2Й4! Щ = ЦдДдДд+ь
В этих переменных динамическая система (2.10) имеет вид
йо = щДЗщ + до), Й1 = «1 (4«з + «1 — до),
йг = Дг(3д4 — Здз + 2дг), йз = Дз(3д4 + ДЗ — 2дг — 2Д1), Й4 = Д4(2дз — Д4 — Зд3 — 2дг),
(2.22)
Й5 = Д5 («6 — «5 — 4д4) , йб = —Дб (до + Здз) .
Граф Г и уравнение (1.5) для алгебры Ли типа Еа имеют вид
a1 U3 и4 “в и6 “7 ио° -°1'1 о—Ооо-о
Ш7^3Ш4 Ш5Ш6ш7Ч>8Ш0
U-2
■ ‘>О>2
a>0*2a>1^3w2*4a>5v 6и>4 *5а>5*4и)6^Зи>7+2и>8=0 Соответствующая динамическая система (2.8) задана уравнениями
®о = 2оуРуО8, а^ = 4адр4ад,
н2 = 602^2^4, ®з = ®з (брз®4 2р4щ),
«4 = «4 (5^4«5 — 4p3fl3 — Зр2«2),«5 = «5 (^^«6 ~ 6^4)-
•(2.23)
«в = «в (Зр6н7 — 5р5й5), ад = а? (2р7а8 — 4р6а6),а8 = ад (роад Зр7ад).
Переменные и4 определены формулами (3^/с^7)
ад = роадад, ад = рщщз, U2 = ргадад, ад = р^ща^+ь Динамическая система (2.10) принимает вид йо = — ад(ад + Зад), Й1 = ад (2ui + 4нз), йг = ад (Зад + 5ад — 4нз), йз = из (—2ui — Зад + 2ад + 5щ),
(2.24) й4 = ад (—Зад — 4ад — н4 + 4ад), Й5 = ад(—6щ — ад Г- Зад), йо = но (—5ад — ад + 2ад), й? = ад (—4ад — ад + ад).
Граф Г и уравнение (1.5) для алгебры Ли типа Р4 имеют вид
Uy и, и2 и3О-^ОII-1^-о
о)дада>2ш3w4
<jDg ^гш^ЗьОд + 4ад+2ад =.0
Соответствующая динамическая система (2.8) определена формулами
Ну = 2адруад, cty = н1(Зр1П2 Мо^о)’ ^2 = ^(^Рг^з 2р4п4)1 ,,(2.25)
<z3 — <z3 (2|13<z4 З^^а)’ ^4 ~
В переменных мА = ^ща^! динамическая система (2.10)' принимает вид
' Йо = Мо(ЗМ] + М0),М] = Ml (4мг + М] — по)',
(2.26)
Й2 = мг(2мз+ м2 — 2м]), м3 = —м3(2м3 + Змг).
Граф Г и уравнение (1.5) для алгебры Ли типа G-z имеют вид
и, ц0
w; <о2 wQ
ша^За>^2а>г = 0
Соответствующая динамическая система (2.8) задана уравнениями
Mq = 2MqPqM2, Ml = 2Я1Ц1Я2>®2 = ®2 (Цо®О ^P1®1)’
(2.27)
В переменных ио = Цояояа и М] = рщщг получаем двумерную динамическую систему
мо = — мо(мо + 3mi), Mi = mi (мо — Mi). (2.28)
Построенные динамические системы (2.13) — (2.28) и являются алгебраическими аналогами системы Вольтер- ра (2.1), связанными с простыми алгебрами Ли.
Интегрируемые гамильтоновы возмущенияцепочки Тода и ее обобщений
I. Покажем, что интегрируемые гамильтоновы системы (1.11) (обобщенные цепочки Тода) вкладываются в некоторые гамильтоновы системы большей размерности, которые также допускают представление Лакса со спектральным параметром. Рассмотрим уравнение (1.7) в алгебре Ли S с векторами L(i) и A(i) следующего вида:
L (<) = 2 «i (0+ Ер (i) + Е^ 2 Ci (П ем. +
1=01 = 0
n
+ 4 53 2(3-1)
1.5=0
A^ = -E”1^ a^e^,i=0
где вектор р^е H (картановская подалгебра), ?м„-= — тп,-,-, Е — спектральный параметр. Уравнение Лакса (1.7),
199
эквивалентно динамической системе
nCi = 2^ij (®i’ ®/) ®P1=0nCi = 2^ij (®i’ ®/) ®P1=0п
n
Ci = 2^ij (®i’ ®/) ®P1=0
n
Ci = 2^ij (®i’ ®/) ®P1=0
аг = аг (р, (о,),аг = аг (р, (о,),р = — S Ciaitoi,i=0
аг = аг (р, (о,),
аг = аг (р, (о,),
ту = 0.(3-2)
Система (3.2) при т.ц = 0 совпадает с системой (1.13), описывающей обобщенные цепочки Тода. При тп^ = = const + 0 система (3.2) с помощью замены а, = = ехр(^, ец) преобразуется к гамильтонову виду
дН• дНV9Н
Pia?’ 4i-d??<313)
115=03
где гамильтониан Н определяется формулой
п
И = 4 (р, р) + 2 Ci (0 еХР <?’ “*)<3'4)
i=0
и Це = — Ця, Це = тц(аг, со,). Симплектическая 2-форма, сохраняемая системой (3.3), является суммой стандартной 2-формы ^dpi/\dqi в пространстве переменных pt, qt и 2-формы, определенной постоянной кососимметрической матрицей щ, в подпространстве переменных Ci. Простейшим первым интегралом системы (3.3) является гамильтониан Н (3.4). Гамильтонова система (3.3) является интегрируемой в тэта-функциях Римана, так как она допускает представление Лакса со спектральным параметром (1.7), (3.1).
Укажем явный вид динамической системы (3.3) в случае алгебры Ли типа Л„, где корни а,- = ei+i — et. Ненулевые элементы матрицы щ,- имеют вид щ,5+1 = ai, щ+1, = = —а;. Гамильтонова система (3.3) принимает вид
q, = с,- exp (^i+i - ?;) - c,-i exp (^ - 9,-1), ,g g. с5 = a,- exp (^i+2 — qi+1) — a,-1 exp (qt — qt-1).
При a, = 0 получаем обычную цепочку Тода, где Ci = = const. С помощью преобразований
qt 9i + In dt, ct-* ct = сД/й^л, Oi -»• a.- = a<dJd<+2,
сохраняющих вид системы (3.5), и замены времени t все коэффициенты о,- (ненулевые) можно сделать равными 1.
Покажем, что алгебраические аналоги системы Вольтерра (§ 2) также вкладываются в некоторые динамические системы большей размерности, допускающие 200
Представление Лакса со спектральным параметром. Пусть векторы L(Z), А(<)е@ определяются формулами
В (Z) = ^i (О ^toi ЕтПц (Z)^op ^oj| +
+4^ftW-[[^’4]’^])’ <3-6)
А (Z) = Е-12 к8а8 (£) с?-^,в
где соо, ..., ton — допустимый набор корней, к, — константы, удовлетворяющие соотношению kotoo + Aicoi + ... ... + кпюп = О, ко = 1. В формулах (3.6) mti = —m3i, lyh = = — 1цк и my^O только если вектор ю.+ со,- является корнем, т. е. если (со,, со,) =/=(); коэффициенты Z^ ^O только если (со,-, со,) =А О и вектор со,-+ со, + со„ является корнем. Уравнение Лакса (1.7), (3.6) эквивалентно условиям kotoo + ... + knton = 0, lyk = const и следующей системе уравйений:
^гз " 2 ^згз (Ыз, СО,) 1ззг (Ыз, toj) Z,j5(to3, toj -]- toj)) k8U81
Ui = Ui ^j ТПу8 (CO3, toj) k8U8*s
В новых переменных z,-,-= тущаДсо(, co,) система (3.7) принимает вид (хц = —х„):
^ij (®i> ®j) 2 ^з ^згз ^st ®i) lsji (to3, toj) 7 s
— Zij3(co5, toj + со,))ща,а5 + хц^^^хи + x^)), (3.8)
d^ == U-^ 1^s^is j •\ 8/
При 1гзз = 0 динамические системы (3.7), (3.8) эквивалентны системам (2.7), (2.10). Система (3.8) после подстановки
<?i — exp I 2 ^&Чг& ]’ Qis,” Qsh Qis " ^is \ 8/
переходит в систему уравнений второго порядка
Qia — (^Ь ^j) S ^з ^sii (^s> ^i) "Isji^si ^j) lije^si ^гЧ-^))^ 8
X exp (2 km (gim + Qjm + Qsm)) + Qr3 f 2 ks (Qis + q^s)\ (3.9) \ m/\ a/
Построенные динамические системы (3.2) и (3.7) включаются в два класса Тк и Вк динамичских систем, допускающих представление Лакса в алгебре Ли ® со спектральным параметром Е. Для динамических систем класса Тк, содержащего алгебраические обобщения цепочки Тода, вектор A(Z) имеет вид (3.1), а вектор L(£) наряду с (3.1) включает разложения по коммутаторам всех корневых векторов eQi в количестве, не превосходящем к. Например, алгебраические обобщения цепочки Тода (1.13) (ттгу = 0) принадлежат классу Ть Системы (3.2), (3.3) принадлежат классу Т^.
Для динамических систем класса Вк, содержащего системы (3.7), вектор A(t) имеет вид (3.6), а вектор L(£) содержит дополнительно к формулам (3.6) еще коммутаторы корневых векторов еИ; в количестве, не превосходящем к. Например, гамильтонова система (2.5) принадлежит в силу (2.2) классу В^ динамическая система (3.7) принадлежит классу Вз и т. д.
Динамические системы из двух указанных классов Тк и Вк в силу существования представления Лакса со спектральным параметром Е являются интегрируемыми в тэта- функциях Римана соответствующих римановых поверхностей det(L(£, А) — w • 1) = 0.
§ 4. Представление нулевой кривизныдля некоторых расширений обобщенныхцепочек Тода и уравнения Синус Гордона
Рассмотрим в простой алгебре Ли ® уравнение пулевой кривизны [5, 11].
(4Л)
где векторы L(£, х, Е), A(t, х, А)^® определяются формулами
L (t, х, Е) = р (t, х) + Е ^ bi (t, х) еи. + 1=0
п
+4 £2 2 т« ^>х) [Ч’ %-ь (4-2) io=o
A (t, х, Е) = — Е-1 S «i (^ ж) e_QVi=0
Здесь p(t, х)^Н (картановская подалгебра), соо, ... ..., го„ s Я — допустимый набор корней, ею. — корневые векторы. Уравнения (4.1), (4.2) эквивалентны системе уравнений пп
Pi = — 2 btattot, (^Д = 2 mij (®i, ®i) i=0j=0
^ = (p, mt) at, (m^t = 0.(4.3)
После подстановки a4 = exp(7, toi), цу = пгу(<щ, co,) система уравнений (4.3) принимает вид (р = q^
qtx = —'St bttot exp (q, to^, (b^t = 2 HU exp (q, co,). (4.4) i=0j=0
Эти уравнения представляются также в виде
52? 8V "г V 8V v V , и ,,.
=И = 7, bi (t, Ж) exp (а, соЛ dt дх да dtdb •M x ' r >
j=01г=о
(4-5)
Ненулевые постоянные н« = —Нл соответствуют ребрам пополненного графа Дынкииа простой алгебры Ли ®. Система уравнений (4.4) является интегрируемым расширением двумеризовапиых обобщенных цепочек Тода, которые определяются условиями цу = 0; при этом Ь4 = = const [62].
В случае алгебры Ли типа Лгп+i из системы (4.4) при сог = Ci+i ~ еь ^i = Hi,*+i получаем
(qd tx = bt exp (qi+t -qt)~ b,-1 exp (qt - qt-^,
(bt)t = a,- exp(qi+2— ?i+i)— a.-i exp (7,— qt-^.
В периодическом случае с периодом 2 (bi+2 = bi. ai+i = a,, qt-vt = qt') из системы (4.6) следует система уравнений
(qi')tx=bt exp(q2— qi)— b2exp(qi — q2),
(q2) ix = b2 exp (^i — q2) — bi exp (q2 — qi),(4.7)
(b^t = a exp (71 — 72), (62)1 = —a exp (72 — 71) ,
где a = ai —аг. Из уравнений (4.7) находим
(qi'jtx = -«-"ЧЬуЬгЬ, (7i + 72) t, = 0.(4.8У
Отсюда следуют равенства
(qOx+а,-гЬ1Ь2 = Р(зс'), 71 + 72 =77(ж)+G(t). (4.9)
20;
В специальном случае gi + д2 = О, qi = q из (4.7) получаем
qtx= bi exp (-2g)- b2exp(2q'),(6i), = aexp(2g), (62), = _aexp(—2g). ()
Эти уравнения в переменных щ = bi + Ь2, w2 = bi — bi принимают вид
qtx = -их (exp(2g) - exp (-2g)) /2 +
+ u2 (exp (2g) + exp (—2g)) /2,
(4.11)
(щ) t = ao(exp (2g) - exp (-2g)),(u2) t= a0 (exp (2g) + exp (-2g)).
В случае вещественных функций g, щ, ui обозначим ф = = 2g, x = 2t; тогда уравнения (4.11) принимают вид
фтх = — ui sh ф + ui ch ф, (и1)т = а0зЬф, (zz2)T = cto ch ф.
(4.12)
В случае чисто мнимых g, Hi, ао и вещественном щ обозначим 2д = /ф, u\ = uv ui = —ivi, ао = —ia, T=2t; тогда из (4.11) находим
Ф« = щ sin ф + р2 cos ф, (щ)т = аз1пф, (г2), = асозф.
(4.13)
Очевидно, уравнения (4.12), (4.13) являются расширениями уравнения Синус Гордон, которое получается из них при а = 0. Из уравнений (4.12) находим
фх + (и? — и^)/2ао = /(о:).(4.14)
Из уравнений (4.13) следует
Фх — (pi + v})/2a = g(xy(4.15)
Уравнения (4.12), (4.14) после подстановки Ц1 = гзЬф, ui = г ch ф принимают вид
гт = a0 ch (ф — ф), фт = а0зЬ(ф — ф)г-1, фх =/(х)4-7^/200.
(4.16)
Уравнения (4.13), (4.15) с помощью подстановки Pi = = г cos ф, vi = г sin ф преобразуются к виду
rt “аэт(ф + ф), ф( = асоз(ф + ф)г-1, фх = ^(х) + г2^.
(4.17)
О помощью растяжения координат qf, t, x введем в уравнение (4.6) параметр е:
(?<)(х = £-1(&.ехр(?1+1 - q^h ~ 6.-1 ехр(д,- ^-1)/е)’,
(4.18)
(6,)1 = 6-(aiexp(§ri+2- gi+i)/e - a,--i ехр(^ - ^-1) /б) .
Предположим, что aA = a = const, qk(t, x'j=q(t, х, ук], bk(t, x) = b(t, x, ykV где yh = ke, q(t, x, у) и b(t, x, y) — гладкие функции. Уравнения (4.18) в пределе при е -► О переходят в уравнения
g(I = (&expgv)v, bt = 2a(exp q^.(4.19)
Продифференцировав первое уравнение по у и обозначив v = q^, получаем систему
Щх = (6ехр v)vv, bt = 2a(exp p)v. (4.20)'
Из последнего уравнения (4.20) находим Ъ = и^, ехр и = = щ/2а; после подстановки в первое уравнение (4.20) получаем
(In Ut^tx ~ 257 (^i^y)yy(4-21)
Таким образом, уравнение (4.21) является континуальным пределом уравнений (4.18), допускающих представление нулевой кривизны.
Континуальные пределы цепочки Тодаи ее двумеризации. Опрокидывающиеся решения
Бесконечная (по индексу /с) цепочка Тода
qk = exp (qk+1 - qk) - exp (qk - qh-1)(5.1)
в опредленном континуальном пределе переходит в уравнение нелинейной струны [70]
(f Л )
Utt = ^о ^(1 bhus) Uxx -|- j2* ихххх\,
которое оказывается связанным с уравнением КдФ [70] .
Укажем другой континуальный предел цепочки Тода. Введем в систему (5.1) путем растяжения функций qk и времени t параметр е:
Предположим,. что существует гладкая функция u(t, а:) такая, что ук^ = и^, х^, где хк = ке. После указанной подстановки система (5.2) в пределе при е -* О переходит в уравнение
utt = (е"^. (5.3)
Уравнение (5.3) лагранжево с лагранжианом
-Ж-Ж12у ut — exp и,ж12у ut — exp и,жdtdx.dtdx.(5-4)(5-4)
-Ж
-Ж
12
у ut — exp и,ж
12
у ut — exp и,ж
dtdx.
dtdx.
(5-4)
(5-4)
Эквивалентная форма уравнения (5.3) имеет вид
Уи = vtvn.(5.5)
Здесь функции u^t, а:) и у(£, а:) связаны соотношениями
ut = Ух, vt = exp их,ut = Ух, vt = exp их,(5.6)(5.6)
ut = Ух, vt = exp их,
ut = Ух, vt = exp их,
(5.6)
(5.6)
которые разрешимы в силу уравнения (5.3).
Утверждение 1. Уравнение (5.5) для решений, имеющих асимптотику у(£, а:)-* с± при х ±°°, имеет счетное множество первых интегралов (т = 1, 2, ...)
[т/2][т/2]т!(т — 2/с!) Qt\fт!(т — 2/с!) Qt\fI”_Г m— 2k k1 Vx Vt^X.I”_Г m— 2k k1 Vx Vt^X.(5-7)(5-7)
[т/2]
[т/2]
т!
(т — 2/с!) Qt\f
т!
(т — 2/с!) Qt\f
I”_
Г m— 2k k
1 Vx Vt^X.
I”_
Г m— 2k k
1 Vx Vt^X.
(5-7)
(5-7)
Доказательство. Рассмотрим в алгебре линейных операторов на пространстве гладких функций на прямой уравнение Лакса со спектральным параметром Е:
^-^--[L^O, А (Я, 01,(5.8)
где линейные операторы L(5, О и А (Е, t) имеют вид L(E, ^ = Еа<^, а:)РЕ+Ь(£, а:) + Я-1Р-Е,
А (Я, О = -E-VYa (0 а:) Ре.(5-9)
Здесь а (0 х), b(t, х)— некоторые гладкие функции, Рв — оператор сдвига
Р«(ф) (я)= ф(я +е),(5.10)
являющийся автоморфизмом в алгебре функций на прямой. Уравнение (5.8), (5.9) эквивалентно уравнениям
da (t, я). ъ (<, х + е) — Ъ ^, х)' ’
аъ^'Х) 1.7 .X(5.11)
—= - (а (i, ж) — а (0 х — е)).
Уравнения (5.11) после перехода к пределу при е -► О принимают вид
(5.12)(5.12)да дЬ дЪ даdt ® дх' dt dx '
(5.12)
(5.12)
В силу второго уравнения (5.12) существует функция р(£, ж), удовлетворяющая равенствам
(5.13)(5.13)а = щ, Ь = у*.
(5.13)
(5.13)
Первое уравнение (5.12) после подстановки формул (5.13) переходит в уравнение (5.5). Уравнения (5.11) при любом е эквивалентны уравнению Лакса (5.8), (5.9), к которому применима лемма 1 из § 1 гл. VII. Поэтому уравнения (5.11) имеют счетный набор первых интегралов 1т, которые являются интегралами по х от коэффициента при нулевом сдвиге в операторе
L(£', t)m = (,Ea^t, x)P,. + b(t, х) + E-^P-i)™.(5.14)
При е ->- О уравнения (5.11) переходят в уравнение (5.5). Поэтому первые интегралы 1т уравнений (5.11) при е -*- О переходят в первые интегралы уравнения (5.5). Коэффициент при нулевом сдвиге в операторе (5.14) при е->■ О переходит в коэффициент ст при Е° в разложении функции
^Ea^t, x)+b(t, x) + E~l)m
по степеням параметра Е. Этот коэффициент ст определяется формулой
[™/2]
ст = У гакЬт-гк. (5.15)
Поэтому после подстановки (5.13) получаем первые интегралы (5.7) уравнения (5.5). Утверждение 1 доказано.
Первые нетривиальные интегралы 1т имеют вид
^2= f (v®-V 2и^ dx, Л= J GxV бад) dx,
Л = J (^ + 12fxPt + 6 г?) dx.
Простейшее автомодельное решение уравнения (5.3) имеет вид
u(f, х) = 2х1п(х/е^).
Покажем, что уравнения (5.3), (5.5) имеют решения, которые с течением времени становятся многозначными. Уравнение (5.3) после дифференцированйя по х и замены их = w принимает вид
wtt = (ехр w}^-(5.16)
Рассмотрим дифференциальное уравнение
wt = е(ехр w^Wx, е = ±1.(5.17)
Дифференцируя уравнение (5.17) по t и подставляя выражение wt, в силу (5.17) получаем
wu = (exp w) Wk + (exp w) w^ = (exp w^.
Поэтому любое решение уравнения (5.17) является также решением уравнения (5.16). Уравнение (5.17) после замены / = exp(iy/2) переходит в классическое уравнение опрокидывающейся волны Римана
ft = effx, е = ±1.ft = effx, е = ±1.(5.18)(5.18)
ft = effx, е = ±1.
ft = effx, е = ±1.
(5.18)
(5.18)
В силу уравнения (5.18) каждая точка графика функции f(t, х) перемещается при изменении времени t горизонтально со скоростью е/. Такое изменение графика приводит к явлению «перехлеста»—возникновению неоднозначности функции ^t, х). В газовой динамике это явление служит формальной причиной возникновения ударных волн. Таким образом, уравнение (5.16) (и следовательно, уравнения (5.3), (5.5)) имеет решения, удовлетворяющие уравнению (5.17) — (5.18), которые при изменении времени t становятся многозначными.
Укажем континуальный предел [12] двумеризо- ванной цепочки Тода [51]. Для этого введем в ее уравнения (с помощью растяжения функций qh^t, ж) и времени t') параметр е:
С/1 С \ О о /
Предположим, что существует гладкая функция u^t, х, у) такая, что qh(t, x) = u(t, х, у^, где yh = ke. После указанной подстановки и перехода к пределу при е О уравнения (5.19) переходят в уравнение
Utx = ^Uy\. (5.20)
Уравнение (5.20) является лагранжевым с лагранжианом
В = ^ ^ ^ utux —ехриу^ dt dx dy. (5. Эквивалентная форма уравнения (5.20) имеет вид
yiK = vtvn.(5.22)
Здесь функции u(t, х, у) и v(t, х, у) связаны соотношениями
Ux = yv, Vt = exp u^(5.23)
которые разрешимы в силу уравнения (5.20).
Уравнение (5.20) после подстановки
u(t, х, у) = y(q(t, х) + In у2 — 2 — In 2)(5.24)
переходит в уравнение Лиувилля для функции ср (2, ж): ф(х = ехрф.(5.25)
Замена (5.24) после использования точных формул для решений уравнения Лиувилля приводит к следующим точным решениям уравнения (5.20):
и (t, х,у) = у 1п-^'(^'^ + с (х) + D (/) - 2у, (5.26)
где А(х), B(t), С(х), D(t)— произвольные функции. Уравнение (5.20) после подстановки
u(t, х, y) = q>(t, х)+ у (In (by)- 1)
переходит в неоднородное волновое уравнение ф(х = Ь. Поэтому уравнение (5.20) имеет следующие точные решения:
u(Z, х, у) = А (х) + В (1) + bxt А у (In (by) - 1), (5.27)
где А (х\ и В (t) — произвольные функции.
Уравнение (5.20) для функций u(t, х, у) вида u(t, х, y) = u(z, у), где z = x + ct, сводится к уравнению си„ = (ехр и^,
очевидно эквивалентному уравнению (5.3).
Уравнение (5.20) после дифференцирования по у и обозначения w = uv принимает вид
wlx = (expw)OT.(5.28)
14 О, И. Богоявленский209
Уравнение (5.20), (5.28) впервые было выведено в 1987 году в работе [12]. Оно существенно отличается от уравнения
= (ехр w) гг,(5.29)
которое возникло при изучении автодуальных решений уравнений Эйнштейна для положительно определенных метрик [82, 83]. Связь уравнений вида
92у (t)/9z+dz_ = J dt'K (t, t') exp у (t')
с континуальными алгебрами Ли изучалась в работах [86, 87[.
Покажем, что уравнение (5.28) имеет решения, которые с течением времени становятся многозначными. Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений первого порядка
U’t = f(u’)wy, Wx^g^Wy,(5.30)
где /(w), gt.w')— некоторые функции. Продифференцировав первое уравнение (5.30) по z, а второе по t и подставив выражения wt и wx, в силу уравнений (5.30) находим
Wtx = Wxt = ^gWy + fgww = kfgw^y. (5.31)
Поэтому уравнения (5.30) совместны.
Уравнение (5.31) совпадает с уравнением (5.28), если f(w)g(w) = exp w. В этом случае любое решение совместной системы уравнений (5.30) является также решением уравнения (5.28). Из уравнений (5.30) следует уравнение
(5-32)
Из уравнений (5.30), (5.32) следуют уравнения
ft = gx = ggy,•(5135)
Каждое из этих уравнений совпадает с уравнением опрокидывающейся волны Римана. Поэтому непостоянные решения уравнений (5.33) и, следовательно, соответствующие им решения уравнения (5.28) при изменении времени t становятся многозначными.
В простейшем случае /(ш) = Ci ехр (ш/2), g(wf = = С2ехр(ш/2) из уравнений (5.30) находим
ш\^ xi gf— ^(П УЪ х = cit + с2х,
и уравнения (5.30) сводятся к одному уравнению опрокидывающейся волны Римана Д = ffy.
Замечание. Уравнение (5.29) для функций вида w(x, у, z)=u?(t, х), т = аж+Ру переходит в уравнение (а2 + Р2) ю- = (ехр w^„, эквивалентное уравнению (5.3), (5.16). Поэтому уравнение (5.29) для решений вида w^t, z) имеет счетное множество первых интегралов и может быть линеаризовано с помощью преобразования годографа (см. § 6).
Укажем вывод уравнения (5.20), (5.22) как предельного случая из уравнения нулевой кривизны
% - S + [L. А1 - 0.(5.34)
Пусть L(E', t, х) и А^, t, х}— линейные операторы, действующие на пространстве функций ср (у), определенные формулами
L(£, t, х^ = ЕаД1, х, y)PB + b^t, x, y) + ^-1P_B,
(5.35)
A(£, t, x^ = Ee,~xa\tn x, y)PB,
где PB — оператор сдвига по у. Рв(ср) (у) = ср(г/+ е); E, e — произвольные параметры. Уравнение (5.34), (5.35) эквивалентно системе уравнений
да (t, я, у) 1 да (t, х, у) dt8 дх
= a (t, х, у) -^- (б (i, х, у + е) — b (t, х, у)), (5.36)
^M1l±J/L = -^(а (t, х, у) — a (t, х, у — е)).
Уравнения (5.36) после замены t\ = t + жц х = е-1Ж1 и перехода к пределу при е -* 0 преобразуются в уравнения
да db дЬ да,r
д7 = а^’(5-37)
В силу второго уравнения (5.37) существует функция r(i, х, у) такая, что я = nt , b = vy. После подстановки этих выражений первое уравнение (5.37) переходит в уравнение (5.22) • 14е211
Опрокидывающиеся решенияв континуальных пределах системФерми — Паста — Улама и их двумеризаций
В классической работе [71] численно изучалась динамика частиц на прямой с лагранжианом
т'де потенциальная функция имела вид
VY^=^u^^u\ У2(Ы) = 4«2 + |ЫУ (6‘2)
Основным результатом работы [71] является открытие аномально большого времени стохастизации рассматриваемых систем при числе частиц порядка ста.
В данном параграфе показано, что нелинейное дифференциальное уравнение, являющееся континуальным пределом систем (6.1) — (6.2), может быть линеаризовано с помощью специального преобразования. Это обстоятельство является еще одним объяснением (см. [72]) отсутствия стохастизации в системах Ферми — Паста — Улама (6.1) — (6.2).
Уравнения движения, соответствующие лагранжиану ("6.1), после растяжения координат qk и времени t могут быть представлены в виде
дк = Цу'(£M_LL1M _ V' f(6.3) е \\ е /\ еv ’
где е — произвольный параметр. Предположим, что существует гладкая функция uVt, z) такая, что дк(х') = = u(t, хк), где хк = ке,. Уравнения (6.3) после указанной подстановки при е ^ О переходят в уравнение
и.и = (У'(щ))х.(6.4)
Уравнение (6.4) лагранжево с лагранжианом
L^^-V^.(6.5)
Динамика общей цепочки частиц (6.3) в отличие от цепочки Тода (1.1), где У(м) = ехрщ не интегрируема. Однако ниже мы докажем, что соответствующий континуальный предел— уравнение (6.4) — всегда (при произвольной функции У(м)) эквивалентен некоторому линейному уравнению. Это утверждение справедливо также 212
и для всех лагранжевых систем с лагранжианами В^п,, их), не зависящими явно от функции и(ф, х). Соответствующее уравнение Лагранжа имеет вид
at aut + ах 0их$.6)
Утверждение 2. Уравнение Лагранжа (6.6) Эля произвольной невырожденной функции Лагранжа L(ut, их) эквивалентно некоторому линейному дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами. В алучае лагранжиана (6.5) эквивалентное линейное уравнение также является лагранжевым и имеет лагранжиан
L = ^T-lv"lM.(6.7)
Доказательство. Обозначим р = ut, г = их; условие совместности utx = uxt переходит в уравнение
Рх— ^ = 0.(6.8)
Уравнение Лагранжа (6.6) принимает вид
LPPpt + LpTrt + LrPpx + LTTrx = 0.(6.9)
Нелинейная система уравнений (6.8)—(6.9) эквивалентна уравнению Лагранжа (6.6). Следуя классическим работам Римана по газовой динамике [73], применим к системе (6.8), (6.9) преобразование годографа, т. е. сделаем нелинейное преобразование
рЦ, х), тЦ, х)-*Цр, г), х(р, г).(6.10)
Частные производные функций (6.10) связаны соотношениями
pt=Drr, rt = —Dxp, px = —DtT, rx = Dtp, (6.11)
где D = (tPxr — trXp)^ * 0. В силу равенств (6.11) уравнения (6.8), (6.9) после преобразования годографа (6.10) принимают вид
tr — Хр = 0, LppXr — Lpr (тр + fr)+ Lpptp = 0. (6.12)
Из первого уравнения (6.12) находим t = иР, х = щ. Поэтому второе уравнение (6.12) принимает вид
LppUTT 2LpTVpr "Р LrTVpp 0.(6.13)
Уравнение (6.13), очевидно, является линейным относительно функции и^р, г).
В случае лагранжиана L (6.5) уравнение (6.13) переходит в уравнение
^rr — V" (r)vPp = 0,(6.14)
которое является лагранжевым уравнением, отвечающим лагранжиану (6.7). Утверждение 2 доказано.
Замечание. Если лагранжиан L имеет'вид
Т-(п,, пх) = Л (n() + B(nx),(6.15)
то соответствующее линейное уравнение (6.13) является лагранжевым с лагранжианом
Ь^^АЧр^^ВЧМ-
В случае лагранжианов (6.5), (6.15) соответствующие линейные уравнения (6.13) могут быть решены методом Фурье разделения переменных. С помощью преобразования годографа [73] произвольное нелинейное дифференциальное уравнение вида
Л(и(, ux^utt -VB^Ut, Ux^utx'V С(ut, их)ихх = 0 преобразуется в линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами
А^р, r^v.r — B^p, r^UpTA-C^p, г')иРР = 0.
Для систем Ферми — Паста — Улама (6.1) — (6.2) предельные дифференциальные уравнения (6.4) имеют вид
utt = (и,к + ап2) , и,и = (^х + Р^х)х- (6.16)
Эквивалентные им линейные дифференциальные уравнения (6.13) принимают вид
Vrr = (1 + 2ar)vpp, кгг =(1 + З^г2)^.(6.17)
Первое уравнение (6.17) является уравнением смешанного типа и после замены s = — (2ос)—1/3 (г + 1/2ос) переходит в классическое уравнение Трикоми
v„ + sup, = 0.(6.18)
Второе уравнение (6.17) всюду является уравнением гиперболического типа.
В случае цепочки Тода У(и) = е“; уравнение (6.14) принимает вид
игг — егирр = 0(6.19)
и имеет всюду гиперболический тип.
214 .
Решения уравнений (6.13) — (6.14) обладают достаточно хорошими свойствами. Однако соответствующее им обратное отображение годографа (6.10) является, вообще говоря, многозначным, что соответствует возникновению особенностей в решениях уравнения Лагранжа (6.4).
Укажем конструкции некоторых решений уравнения (6.4). Продифференцируем уравнение (6.4) по х и обозначим г = их; получим уравнение
(6.20)
(6.21)(6.21)Рассмотрим два уравнения первого порядка ^ + 8(7" (г))1/2Гх = 0, е = ±1.
(6.21)
(6.21)
Дифференцируя уравнение (6.21) по t и подставляя выражение для rt из (6.21), получаем уравнение
rtt = 7"' (г) г2 + 7" (г) г^ = (7" (г) т^ = (7' (r)U
Поэтому решение каждого из уравнений (6.21) является также решением уравнения (6.20) и определяет решение уравнения (6.4) в силу равенства их = т. Обозначим / = = (7" (г))1/2. В силу уравнений (6.21) получаем
Д + еДх = 0.(6.22)
Уравнения (6.22) совпадают с классическими уравнениями опрокидывающейся волны Римана (см. § 5, и. II). Поэтому все лагранжевы уравнения (6.4) имеют решения, удовлетворяющие уравнениям (6.21), (6.22), которые при изменении времени t становятся многозначными.
Двумеризацию систем Ферми — Паста — Улама определим системой уравнений
(6.23)(6.23)02qh1 (у, (gft+i ~_у' (^21^22.
(6.23)
(6.23)
St Эхе \\6/\6
где е — произвольный параметр. Предположим, что существует гладкая функция u^t, х, у) такая, что qh^t,x^ = = u(^t, х, yk), где ук = къ. Система уравнений (6.23) при е-^-0 переходит в уравнение
Щ. = (7'(иД);.(6.24)
Уравнение (6.24) лагранжево с лагранжианом
L = ^ щих — 7 ^tyY(6.25)
Покажем, что уравнение (6.24) при произвольной функции 7'(uv) имеет решения, которые при изменении 215
времени t становятся многозначными. Уравнение (6.24) после дифференцирования по у и обозначения и„ = г принимает вид
rtI = (V'^m.' (6.26)
Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений первого порядка
rt=HrVy, rx = g(r)rv,(6.27)
гДе /(r)> g(r>) — некоторые функции. Дифференцируя первое уравнение (6.27) по ж, а второе по t и подставляя выражения rt и гх из этих уравнений, получаем равенства
Пх = Txt = (№у + tgrw = Ugr^y. (6.28)
Поэтому уравнения (6.27) совместны. Пусть функции /(г) и ^(г) удовлетворяют равенству /(^^(r) = V" (г). Тогда уравнение (6.28) совпадает с уравнением (6.26). Поэтому любое решение совместной системы уравнений (6.27) при /(г)^(г) = V" (г) определяет решение уравнения (6.26). Из уравнений (6.27) следует уравнение
(6-29)
Из уравнений (6.27), (6.29) следуют уравнения
it = Ну» g» = ggy,’(6-30)
каждое из которых совпадает с уравнением опрокидывающейся волны Римана. Поэтому любое непостоянное решение уравнений (6.27), (6.29) при изменении независимых переменных становится многозначным. Следовательно, и соответствующие решения уравнений (6.24), (6.26) многозначны.
ЧАСТЬ III
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРАНА КОАЛГЕБРАХ ЛИ, ВОЗНИКАЮЩИЕВ ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
' ГЛАВА IX
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА НА КОНЕЧНОМЕРНЫХ КОАЛГЕБРАХ ЛИ,ВОЗНИКАЮЩИЕ В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
До недавнего времени считалось, что уравнения Эйлера на конечномерных коалгебрах Ли, возникающие в физических задачах, обязаны обладать малой размерностью (вследствие трехмерности физического пространства). Были известны примеры таких уравнений, связанные с трехмерной алгеброй Ли 80(3) (собственно уравнения Эйлера вращения свободного твердого тела) и шестимерными алгебрами Ли 80(3) ® 80(3) = 80(4) и Ез (уравнения Лэмба — Жуковского — Пуанкаре, уравнения Кирхгофа, уравнения Эйлера — Пуассона (см. [116, 117]))-
В данной главе показано, что уравнения Эйлера на конечномерных коалгебрах Ли сколь угодно большой размерности возникают в следующих двух группах физических задач:
вращение твердого тела, имеющего неподвижную точку, под действием различных физических полей и при наличии в твердом теле произвольного числа эллипсоидальных полостей, заполненных идеальной несжимаемой (магнитной) жидкостью, совершающей однородное вихревое движение (§ 2);
вращение спутника Земли вокруг центра масс, движущегося по круговой орбите, при учете воздействия неоднородности гравитационного поля Земли и ее магнитного поля, а также при наличии на спутнике емкостей эллипсоидальной формы, заполненных идеальной несжимаемой жидкостью (§ 3).
В § 1 приведен краткий исторический обзор классических работ, в которых исследовались уравнения Эйлера вращения «-мерного твердого тела.
Классические исследования уравнений Эйлеравращения п -мерного твердого тела
Классические уравнения вращения свободного трехмерного твердого тела вокруг центра масс были выведены Леонардом Эйлером в 1758 году [93]:
М = МХю.(1.1)
Здесь М, (о — векторы момента количества движения и угловой скорости твердого тела во вращающейся системе отсчета, координаты которых связаны соотношениями з
М; = 2 Vhtohi где 1% — компоненты тензора инерции ■ h=i
твердого тела.
Постановка вопроса о n-мерных обобщениях уравнений Эйлера была дана Артуром Кэли в 1846 году в работе «О свойствах косых детерминантов» [94].
В 1875 году В. Фрам в работе [95] построил и-мер- ные обобщения уравнений (1.1) и представил их в виде
Тгк = 2 (^В Т^ТгрГкуи(1-2)
где переменные величины rik кососимметричны (га = = — гм), а постоянные Ttk симметричны (Та = Т^, I, к, ц = 1, 2, ..., п. В. Фрам нашел ряд первых интегралов уравнений (1.2) и указал их вывод из принципа наименьшего действия. Также В. Фрам отметил, что при п = 4 для интегрируемости уравнений (1.2) достаточно найти еще один дополнительный первый интеграл.
В 1891 году Ф. Шоттки в работе [96] открыл первый интегрируемый случай динамики четырехмерного твердого тела. В этом случае коэффициенты Tih (1.2) удовлетворяют условиям
Tik-At-VAk.(1.3)
Ф. Шоттки удалось свести интегрирование системы (1.2), (1.3) при п = 4 к квадратурам.
В 1901 году Анри Пуанкаре в работе [97] вывел следующие уравнения в сопряженном пространстве к произвольной алгебре Ли:
AjiL_ycsk^4h + ^(1-4)
dt ^ hiV
где C,k]i — структурные константы в коммутационных со-
отношениях дифференциальных операторов, представляющих рассматриваемую алгебру Ли
XiXh — Х^Х; = 2 Cih^Xg. (1.5)
А. Пуанкаре вывел уравнения (1.4) из принципа наименьшего действия и отметил, что уравнения Эйлера вращения твердого тела являются частным случаем уравнений (1.4), причем величины Q, определяют момент сил, действующих на твердое тело.
В 1923 году Герман Вейль в книге «Пространство, Время, Материя» вывел «в качестве упражнения по тензорному исчислению» уравнения свободного вращения тг-мерного твердого тела:
(Л + г.) ^ = (Г, - ТО (1.6) где vtk — компоненты кососимметричной матрицы и.
Уравнения вращения четырехмерного твердого тела были выведены с помощью алгебры кватернионов в 1942 году В. Бляшке в книге «Неевклидова геометрия и механика» [99].
В 1951 году О. Боттемой и X. Бефом в работе [100] были переоткрыты уравнения вращения тг-мерного твердого тела, которые были представлены ими в виде
<гщ(Л +А^) + (Л —Д)<щт(о>т = 0, (1.7)
где <х>у = —®ю О. Боттема и X. Беф указали простейшие первые интегралы уравнений (1.7) и исследовали в работе [101] стационарные вращения четырехмерного твердого тела, не зная, что в 1891 году Ф. Шоттки была решена общая задача (при п = 4).
В 1966 году В. И. Арнольд в работе [102] определил уравнения Эйлера в сопряженном пространстве L* к произвольной алгебре Ли L в виде
М = ad*(M)M, (1.8)
где вектор Me А* и а(М) — линейный самосопряженный оператор из пространства L* в L. В работе [102] показано, что гидродинамические уравнения Эйлера представляются в виде уравнений (1.8) в коалгебре Ли группы Ли диффеоморфизмов евклидова пространства.
После работы [102] появилось большое количество работ, в которых изучались уравнения вида (1.8) (их библиография имеется в обзорах [164, 165]). При этом
219
результаты В. Фрама [95], ф. Шоттки [96], А. Пуанкаре [97], Г. Вейля [98] оказались в определенной степени забытыми, были вновь переоткрыты и существенно продвинуты.
Уравнения Эйлера на коалгебрах Ли, связанныес динамикой твердого тела, имеющегонеподвижную точку, и с движением тела в жидкости
В данном параграфе указаны физические задачи, связанные с динамикой твердого тела, имеющего неподвижную точку, в которых возникают уравнения Эйлера на коалгебрах Ли сколь угодно большой конечной размерности. Связь исследуемых уравнений с алгебрами Ли приводит к их гамильтоновости и существованию ряда первых интегралов динамики, что является крайне важным для нахождения интегрируемых случаев. Отыскание интегрируемых случаев в различных задачах динамики твердого тела является классической проблемой математической физики, имеющей большую и яркую историю. Важнейшие интегрируемые случаи были открыты Л. Эйлером [93], Ж. Лагранжем [103], С. В. Ковалевской 104], В. А. Стекловым [105, 106], А. М. Ляпуновым 107], С. А. Чаплыгиным [108, 109], Д. Н. Горячевым 110], А. Клебшем [111], Ф. Бруном [112] и др. Все перечисленные интегрируемые случаи найдены в задачах, описываемых системами из шести обыкновенных дифференциальных уравнений; динамика их траекторий происходит на двумерных инвариантных торах.
В данном параграфе показано, что классические уравнения Эйлера [93] вращения твердого тела вокруг неподвижной точки в произвольном ньютоновском поле связаны с некоторой двенадцатимерной алгеброй Ли. При исследовании вращения пульсаров (нейтронных звезд) выведена динамическая система, связанная с девятимерной алгеброй Ли 80(3)®^. Показано, что динамика твердого тела с га эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, описывается уравнениями Эйлера на алгебре Ли L — 80(3) ® ... ® 80(3) размерности Зга + 3; при наличии в полостях магнитной жидкости размерность возникающей алгебры Ли L = = 80(3) ® E^ ® • • • ® Е3 равна 6га + 3.
При исследовании этих примеров было обнаружено, что определение (1.8) не охватывает ряда важных физи- 220
ческих уравнений, связанных с алгебрами Ли: например, классические уравнения вращения твердого тела в общем потенциальном поле сил, выведенные Эйлером в работе [93], не могут быть представлены в виде (1.8). Поэтому в дальнейшем используется другое, более широкое определение уравнений Эйлера, данное Анри Пуанкаре в работе [97] (см. (1.4)).
Пусть L — это м-мерная алгебра Ли, L* — ее сопряженное пространство, х\, ..., х„ — координаты на L*. Линейные функции х\, ..., х„ по определению принадлежат алгебре Ли L и образуют базис; пусть С1^—структурные константы алгебры Ли L в базисе Xi, ..., х„. В пространстве функций на L*, как известно, определена скобка Пуассона — Ли
U-A- 2 с^»га (21>
М"|Ь=11 3
которая естественно связана с симплектической структурой Березина, Костанта, Кириллова. Пусть H(xi,..., х„) — произвольная функция на сопряженном пространстве L*.
Определение. Уравнениями. Эйлера в пространстве L* называется система уравнений
2 с^-№
5Л=13
Уравнения (2.2) очевидно совпадают с уравнениями (1.4) при Q, = О после преобразования Лежандра. Уравнения (2.2) в специальном случае, когда гамильтониан Н (^1, ..., жп) является однородным многочленом второй степени, переходят в уравнения вида (1.8).
Перечислим важнейшие физические задачи, приводящие к уравнениям Эйлера в смысле (2.2), которые ранее исследовались в цикле работ автора [121—127].
Вращение твердого тела Т вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле с потенциалом q)(a?i, хг, Хз).
Пусть ос, р, 7 — три орта неподвижной системы координат, отнесенные к системе отсчета S, жестко связанной с твердым телом. Уравнения вращения твердого тела в системе S имеют вид
М-МХ«.+ ^Х« + ^ХР + ^ХТ. (2.3)
ос = ос X <о, р = р X о, 7 = у X о,
где U (а, р, у) — потенциальная функция,
U (а, Р, v) = Jp (г) ф ((г, а), (г, Р), (г, ^дГ1йггйга, т
и г,, Г2, г3 — координаты в системе отсчета S.
Уравнения (2.3) являются уравнениями Эйлера вида (2.2) в пространстве Lvz и имеют гамильтониан
■з
Я = 2-1 (М, <в) — U (а, р, у), Мt = У h=l
Соответствующая алгебра Ли L\i является полупрямой суммой SO(3) + R3 + R3 +R3 с базисом Х{, У)6, г, /, а, р = = 1,2,3, в котором коммутационные соотношения имеют вид
[Xb X,] = 8ijhXh, [Х5, У™] = &V3kY^ [У?, yf] = 0. (2.4)
В силу уравнения Лапласа Аф = 0 потенциальная функция U(<х, р, у) удовлетворяет трем уравнениям (г = 1, 2, 3):
д^Ц_ л
^ + apf + dVf ~ 1
Очевидно, что нелинейность функции U (а, р, у) может быть сколь угодно сложной, поэтому в общем случае уравнения Эйлера (2.3) нельзя представить в виде уравнений (1.8) (для которых гамильтониан Н необходимо квадратичен). В простейшем случае, когда потенциал ф является линейной функцией координат ф = a'^i + a2^ + + а3Жз, уравнения (2.3) эквивалентны уравнениям Эйлера — Пуассона и также не могут быть представлены в виде (1.8).
Динамика твердого тела с распределенным электрическим зарядом в идеальной несжимаемой жидкости при наличии постоянного гравитационного и электрического полей и при условии равенства выталкиваюьцей силы и силы тяжести и нулевом суммарном заряде тела.
Уравнения движения в связанной с твердым телом системе отсчета S, центр которой совпадает с центром масс твердого тела, при условии безвихревого обтекания имеют вид
M = MXto + pXu + mgr X у + Ed X 6,
...(2.5)
р = р X со, у = у X о, 6 = 6 X to,
где (о — угловая скорость, и — скорость твердого тела в жидкости, р — полный импульс, М — полный момент импульса (в системе отсчета S), т — масса тела, g — ускорение силы тяжести, у — направление силы тяжести, вектор г определяет положение центра масс вытесненного объема жидкости, Е — напряженность электрического поля, d — вектор дипольного момента, 6 — направление электрического поля. Уравнения (2.5) являются уравнениями Эйлера в пространстве Еи и имеют гамильтониан
з
Н = 2-1 2 (ауМуМ, + 2cijMtPj + bijPiPj') —
— mg(r, у) — E (d, 6),
ЭН эн
toj =Ui = —,
где u,j, by, су — произвольные постоянные коэффициенты, обеспечивающие положительную определенность указанной квадратичной формы.
При Е = 0 уравнения (2,5) являются уравнениями Эйлера в пространстве Еэ, где алгебра Ли Lg имеет коммутаторы вида (2.4) при а, ^ = 1, 2. При Е = 0, g = О уравнения (2.5) переходят в уравнения Кирхгофа (уравнения Эйлера в пространстве Е3 [116].
Вращение намагниченного твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном гравитационном и магнитном поле.
Уравнения динамики в системе отсчета 5 имеют вид
М = М X (о + mgr X у + hSJl X 6, у = уХ(о, 6 = 6 X (о,
(2.6)
где 9)? — вектор магнитного момента твердого тела, 6 — направление магнитного поля, h, — его напряженность. Уравнения (2.6) являются уравнениями Эйлера в пространстве Е9 с гамильтонианом
з
Н = 2-1 (М, (о) — mg (г, у) — h (9)1, 6), Mt = S Лайд.
А=1
При 991 = О уравнения (2.6) переходят в классические уравнения Эйлера — Пуассона, которые являются уравнениями Эйлера в пространстве Е3 в смысле (2.2).
Динамика твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной магнитной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение (модель вращения пульсара) .
Уравнения динамики в системе отсчета 8 имеют вид
М = МХА, K = KXB + uXw, u = uXB, (2.7)
где М — суммарный момент количества движения твердого тела и жидкости относительно общего центра масс, А — угловая скорость вращения твердого тела, В — угловая скорость внутреннего вращения жидкости, К — вектор вихря скорости жидкости, векторы и и w связаны с магнитным полем, вмороженным в жидкость. Координаты векторов А и В линейно выражаются через координаты векторов М и К, координаты векторов и и w также связаны линейными соотношениями. Уравнения (2.7) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли 80(3) ®Яз и имеют гамильтониан
Я = 2-1((М, А) + (К, B) + (u, w)).
Динамика твердого тела с п эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.
Уравнения динамики в системе отсчета 8 имеют вид
М = МХА, Ка = КаХВа,(2.8)
где а = 1, ..., п, М — суммарный момент количества движения (относительно неподвижного общего центра масс) твердого тела и жидкости во всех эллипсоидальных полостях, А — угловая скорость вращения твердого тела, вектор Ка определяет ротор (вихрь) скорости движения жидкости в а-полости. Векторы A, Bi, ..., В„ связаны с векторами М, К], ..., К„ линейным преобразованием, коэффициенты которого зависят от компонент тензора инерции твердого тела, параметров эллипсоидальных полостей и плотности жидкости в них. Обозначим через Аь о = 80(3) ® ... ® 80(3) прямую сумму к экземпляров алгебры Ли 80(3). Уравнения (2.8) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли An+i,o и имеют гамильтониан
Я = 2-1 f (М, А) + 2 (К«, Ва)).(2.9)
\а=1/
Уравнения (2.8) имеют п + 1 геометрических первых интегралов
J0 = (M, М), Ja = (Ka, Кд), а=1, ..., п.
Совместные (ненулевые) уровни этих интегралов определяют симплектические подмногообразия 7^2п+2, являющиеся произведениями п + 1 двумерной сферы S2, J/2n+2= = S2 X ... X S2, на которых уравнения (2.8) гамильтоновы с гамильтонианом Н (2.9).
Уравнения (2.8) при га = 1 переходят в уравнения Лэмба — Жуковского — Пуанкаре, которые являются уравнениями Эйлера на алгебре Ли S0(3)+80(3) = = 80(4).
Динамика твердого тела с п эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой сверхпроводящей магнитной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.
Уравнения динамики в системе отсчета 8 имеют вид
М=МХА, Ka = Ка X Вес + Ucc X Wcc, Ucc = Ucc X Вес, (2.10)
где а = 1, ..., га, М — суммарный момент количества движения (относительно общего центра масс) твердого тела и жидкости во всех эллипсоидальных полостях, А — угловая скорость вращения твердого тела, векторы Ка, Ва, Ucc, wa характеризуют движение жидкости и вмороженное магнитное поле в а-полости. Координаты векторов А, Bi, ..., В„ линейно выражаются через координаты векторов М, К], ..., К„, координаты векторов иа и wa связаны линейными соотношениями; коэффициенты этих линейных связей зависят от компонент тензора инерции твердого тела и параметров эллипсоидальных полостей. Обозначим через Ak,m = 80(3) ® ...® 80(3) ® Е3 ® ... ® Е3 прямую сумму к экземпляров алгебры Ли 80(3) и гаг экземпляров алгебры Ли Е3. Уравнения (2.10) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли L = А1,„ и имеют гамильтониан
Н = 2"1 ((М, А) + 2 ((К«, Ва) + (иа, wa))Y (2.11) \а=1/
При отсутствии магнитного поля в к полостях (иа = wa = = 0, а= 1, ..., к) алгебра Ли L редуцируется к алгебре Ли Ak+i, „_к.
Вращение твердого тела с п эллипсоидальными полостями, заполненными магнитной жидкостью, вокруг не-
15 о. И. Богоявленский225
подвижной точки в ньютоновском пале с потенциалом ф(^1, а:2, жз).
Динамика в системе отсчета S определяется уравнениями
= М X А + ^ Х “ + ^ X 0 + ^ X V,
(2.12)(2.12)« = «ХА, 0 = 0ХА, т=уХА,
(2.12)
(2.12)
Ка = Ка X В„ + Ua X W„, 11а = На X Ва,
которые являются нераспадающейся комбинацией уравнений (2.3) и (2.10). Уравнения (2.12) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли L = L12 ® Ао.п и имеют гамильтониан
Н = 2” (М, А) + 2-1 2 ((Ка, Ва) + (иа, wa)) - U (а, 0, у).
а=1
При отсутствии магнитного поля в к полостях алгебра Ли L редуцируется к алгебре Ли L^ ® Ak,„-h.
Комбинируя условия задач 2) и 5), получаем уравнения Эйлера, связанные с алгеброй Ли L = Тд2 ® At,o. При отсутствии электрического поля алгебра Ли L редуцируется к алгебре Ли L^ ® At,o. При отсутствии и электрического и гравитационного полей алгебра Ли L редуцируется к алгебре Ли Ез ® А^о = А^д. Алгебры Ли L^ ® Ак,о и Ак,1 связаны также с уравнениями, получающимися комбинацией условий задач 3) и 5).
Алгебраическая и гамильтонова структурауравнений вращения спутника вокруг центра масс
бите по направлению движения спутника, а = n X у. В дальнейшем все векторы рассматриваются во вращающейся системе отсчета S, жестко связанной со спутником Т; в системе S тензор инерции является диагональным: Ilk = ZXfc.
Момент К гравитационных сил ньютоновского потенциала ф = —Gmr~\ действующих на спутник Т, в главном приближении определяется формулой [130]
K = 3fi2yXZy, &2 = GmR~3.(3.1)'
Уравнения вращения спутника вокруг центра масс в системе отсчета S имеют вид [130]
М = М X to + 3fi2y X Zy, to = Z’M,
••(3.2)
y = yX(to— йп),n = nXto.
Рассмотрим алгебру Ли L^ являющуюся полупрямой суммой алгебр Ли SO(3)+R3+R3 (см. (2.4)). Векторы сопряженного пространства Ь9 в соответствии с указанным разложением представим в виде М + у + п. Уравнения Эйлера с гамильтонианом ZZ(M, у, п) в пространстве L^ имеют вид
v, . . ан , . . ан ,. . ан
M = MX"5m + VX- П X ,
’ 9Н ‘ 9П 'd"d, V = VX-5M, H = “XS.
Возьмем гамильтониан ZZ(M, у, п) в виде
Н (М, V, п) = у (М, Z-JM) + 13fi2 (у, 1^ - fi (M, n). (3.4) Справедливы равенства
= Z—1M — fin = co — fin, =(3.5)
dMdnx '
Уравнения (3.3) с гамильтонианом (3.4) в силу равенств (3.5) совпадают с уравнениями (3.2). Следовательно, уравнения (3.2) являются уравнениями Эйлера в коал- гебре Ли Ly.
Уравнения Эйлера (3.2) — (3.4) в силу общей теории [120] являются гамильтоновыми с гамильтонианом (3.4) на шестимерных симплектических подмногообразиях М6 = SO(3)X R3, определяемых в пространстве Ь9 тремя геометрическими условиями
(3.6)227(3.6)227(у, Y) = 1» (п, п)=1, (у, п)=0.
(3.6)
227
(3.6)
227
Поэтому для интегрируемости по Лиувиллю общей системы (3.3) в принципе достаточно иметь два инволютивных первых интеграла, не зависящих от гамильтониана Н (3.4). В случае симметричного тензора инерции /1 = /2 имеется один дополнительный первый интеграл ]\=Мз.
При учете несферичности Земли момент К гравитационных сил, действующих на спутник, определяется формулой
К = 7Х^ + пХ^(3.7)
где U(у, п) — некоторая потенциальная функция. Уравнения вращения спутника в системе S принимают вид
V, к\ / 9TJ . dU
M = MX(» + yXt + dX
r dV 5n(3.8)
Т = V X (®— Йп), n = n X ®-
Уравнения (3.8) также являются уравнениями Эйлера на коалгебре Ли Т9 и имеют гамильтониан
Я = у (М, /-1М) + U (у, п) - Й (М, п).(3.9)
Для учета воздействия магнитного поля Земли предположим, что вдоль орбиты спутника магнитное поле имеет напряженность Ар, где р — единичный вектор, имеющий постоянные координаты в базисе а, у, п. Пусть 24 — вектор магнитного момента спутника (постоянный в системе отсчета 5). Тогда уравнения вращения спутника в системе S имеют вид
М = М X ® + V X ^ + n X ^ + А^ X Р> (З.Ю)
Y = Y X (<о — Йп), n = n X б>, р = р X (о — Йп).
Эти уравнения являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве L12 к алгебре Ли L12, являющейся полупрямой суммой алгебр Ли: Lt2 — SO(3)+R3+R3+ + R3 (см. (2.4)) и имеют гамильтониан
Я = |(М, / -1М) + П(7, п)-Й(М, п)-А(2%, Р), (3.11)
Уравнения (3.10) являются гамильтоновыми на сим- плектических подмногообразиях № = SO(3)XR3, определенных условиями (3.6) и условиями
(Р, P) =l, (р, Y) = cb (р, п)=с2.
Предположим, что на спутнике имеется п емкостей эллипсоидальной формы, заполненных идеальной несжимаемой жидкостью. В первом приближении можно считать, что жидкость в каждой емкости совершает однородное вихревое движение. Уравнения вращения спутника вокруг центра масс при учете воздействия несфе- ричности Земли и ее магнитного поля принимают вид (в системе отсчета 5)
М = МХА +уХ^ + пХ^ + /^ХР,
ka = KaXBa, 7 = 7Х(ю— Qn), п = пХю, (3.12)
Р = Р X (ю — Qn).
Здесь М — полный момент количества движения спутника (вместе с жидкостью в п эллипсоидальных емкостях) , А — угловая скорость вращения спутника вокруг центра масс, вектор К» определяет ротор (вихрь) скорости движения жидкости в a-емкости. Векторы А, В], ... ..., Вп связаны с векторами М, К], ..., К„ линейным преобразованием, коэффициенты которого зависят от тензора инерции спутника, размеров и расположения эллипсоидальных емкостей и плотности жидкости в них.
Уравнения (3.12) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли L = Li2®An-o (см. § 2, п. 5) и имеют гамильтониан
Н = 2-1 (М, А) + 2'1 2 (Ka, Ва) + U (v, п) - Q (М, п) -
-h^, Р).
При отсутствии магнитного момента спутника (8№ = 0) уравнения (3.12) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли L = L^® Ап о-
ГЛАВА X
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТВЕРДОГОТЕЛА В НЬЮТОНОВСКОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
С ПРОИЗВОЛЬНЫМ КВАДРАТИЧНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
В данной главе доказана теорема о том, что уравнения поступательно-вращательного движения произвольного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с произвольным квадратичным потенциалом являются вполне интегрируемыми по Лиувиллю и интегрируются явно в тэта-функциях римановых поверхностей. При этом динамика центра масс твердого тела и его вращение вокруг центра масс разделяются и не взаимодействуют друг с другом. Доказана интегрируемость уравнений вращения произвольного твердого тела вокруг неподвижного центра масс в ньютоновском поле произвольных удаленных притягивающих объектов (в главном приближении). Показано, что в случае осесимметричного твердого тела рассматриваемая задача связана с классическим интегрируемым случаем Клебша для уравнений Кирхгофа. Указаны интегрируемые случаи уравнений вращения твердого тела в нелинейных гравитационных полях и доказана интегрируемость и-мерного аналога исследуемой задачи.
§ 1. История вопроса
Классической задачей механики является исследование поступательно-вращательного движения твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с некоторым потенциалом ср(ж‘, а?, ж3). В общем случае динамика центра масс твердого тела и его вращение вокруг центра масс не разделяются и определяются лагранжевой системой уравнений с шестью степенями свободы. Известным исключением является динамика однородного шара или динамика произвольного числа притягивающихся по закону Ньютона шаровых тел с однородным распределени- 230
ем плотности [129, 130]. В этом случае потенциальная энергия системы не зависит от поворотов любого шарового тела вокруг его центра. Следовательно, динамика центров масс тел определяется той же системой уравнений, что и динамика притягивающихся материальных точек, а вращение каждого тела вокруг его центра происходит по инерции и независимо от других тел.
В случае линейного потенциала ф = п^1 + П2^2 + пз.г3 (постоянное поле сил) движение центра масс твердого тела происходит равноускоренно по прямой. Вращение твердого тела вокруг центра масс происходит независимо по инерции и определяется классическим интегрируемым случаем Эйлера.
Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в некотором поле сил является модельной задачей, так как в природе нет неподвижных точек и неподвижных тел. В случае вращения твердого тела вокруг точки, неподвижной в лабораторной системе отсчета, правильные уравнения движения должны учитывать пеинерциальность этой системы отсчета (например, на поверхности Земли или на борту спутника).
Основной результат данной главы состоит в доказательстве теоремы 2 о том, что уравнения поступательно- вращательного движения произвольного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с произвольным потенциалом, являющимся многочленом второй степени
з
<Р = 4 2/^j^ + ^^) ’ (1 • 1)
з<р = у а^хз<р = у а^хвполне интегрируемы по Лиувиллю [125 — 127]. В этом случае движение центра масс и вращение твердого тела вокруг центра масс оказываются независимыми. Динамика центра масс эквивалентна динамике гармонического осциллятора и поэтому интегрируется в элементарных функциях. Вращения твердого тела вокруг центра масс эквивалентно вращению вокруг неподвижной точки О(х' = 0) в гравитационном поле с однородным квадратичным потенциалом
з
<р = у а^х
з
<р = у а^х
(1-2)
Соответствующие уравнения динамики интегрируются явно в 0-функциях Римана от четырех переменных, ог-
раниченных на некоторое трехмерное подмногообразие (многообразие Прима).
Уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле с линейным потенциалом ф = а^1 + а2з:2 + азж3 (уравнения Эйлера — Пуассона) в общем случае не интегрируемы [114]. Только в трех исключительных случаях, найденных Эйлером [93], Лагранжем [103] и Ковалевской [104], возможно интегрирование динамики, при этом в первых двух случаях уравнения интегрируются в эллиптических функциях, а в случае Ковалевской — в тэта-функциях Римана от двух переменных.
Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки О в ньютоновском поле с квадратичным потенциалом (1.2) является классической задачей механики. В этой задаче был известен единственный интегрируемый случай Бруна [112], в котором ньютоновское поле (потенциал ф (1.2)) обладает осевой симметрией (ось проходит через точку О); при этом квадратичный потенциал ф эквивалентен потенциалу ф = а(х1)2 и уравнения, описывающие вращение твердого тела Т, сводятся к интегрируемому случаю Клебша [111] для уравнений Кирхгофа. При этом динамика траекторий является ква- зипериодической на двумерных торах Г2. В малоизвестных работах Бруна [128] указаны два дополнительных интеграла уравнений вращения твердого тела в поле с общим квадратичным потенциалом вида (1.2); в работе Горячева [140] переоткрыт один из этих интегралов и в случае потенциала ф = а((г')2—(ж2)2) найдены два дополнительных первых интеграла. В названных работах гамильтонова структура уравнений динамики и вопрос об их интегрируемости по Лиувиллю не рассматривались. В исследуемой задаче совместный уровень всех первых интегралов является трехмерным многообразием, как и в самом общем случае уравнений Эйлера — Пуассона. Поэтому в отличие' от интегрируемых случаев уравнений Эйлера — Пуассона и всех классических интегрируемых случаев [114, 119] здесь метод последнего множителя Якоби, который использовали классики для доказательства интегрируемости, неприменим. По рассматриваемой задаче выполнена также работа [149].
В данной главе показано, что уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле с квадратичным потенциалом являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к не- 232
которой девятимерной алгебре Ли Le и, следовательно, гамильтоновы на шестимерных орбитах М6. Возникающие гамильтоновы системы на симплектических многообразиях имеют три первых интеграла Zi, Z2, Z3, которые находятся в инволюции (Zi—гамильтониан), и поэтому вполне интегрируемы по Лиувиллю.
Теорема 2 является отражением фундаментального физического факта — равенства инертной и гравитационной масс, вследствие чего кинетическая энергия вращения твердого тела и его потенциальная энергия в ньютоновском поле с потенциалом (1.2) зависят от одних и тех же параметров — моментов инерции твердого тела. Уравнения вращения электрически заряженного твердого тела вокруг неподвижной точки в электрическом поле с квадратичным потенциалом вида (1.2) в общем случае неинтегрируемы.
В условиях теоремы 2 нет никаких дополнительных предположений, кроме предположения о квадратичном виде ньютоновского гравитационного потенциала ф(а:). Доказательство интегрируемости динамики твердого тела не зависит от того, удовлетворяет ли потенциал <р(;г) уравнению Лапласа. При выполнении уравнения Лапласа Аф(л:)=0 имеем ац + а-п + а3з = 0, поэтому общая траектория центра масс является трехмерной неограниченной кривой. В этом случае существуют также и ограниченные (при всех 2) траектории центра масс, которые необходимо являются плоскими (задача о гармоническом осцилляторе).
Теорема 2 применима для описания поступательновращательного движения произвольного твердого тела в окрестности точек экстремума (внешнего) ньютоновского потенциала, где квадратичное приближение (1.1) является достаточно точным. Другой областью применений теоремы 2 является исследование динамики твердого тела в поле притяжения произвольных удаленных объектов при условии, что расстояние до этих объектов R много больше характерного размера тела I.
Интегрируемость по Лиувиллю уравнений вращения твердого тела вокруг неподвижного центра масс
в поле удаленных притягивающих объектов
Известной задачей механики является задача о вращении произвольного твердого тела Т вокруг его неподвижного центра масс в сферически-симметричном
ньютоновском поле материальной точки Р, имеющей массу т. Если расстояние R от точки Р до точки О много больше линейных размеров / твердого тела Т, то уравнения вращения в главном приближении по UR имеют вид [119, 130, 159]
М = М X ю + 3GmR^3p X /р, р = рХю, (2.1) где Мию — векторы кинетического момента и угловой скорости тела в системе отсчета S, жестко связанной с вращающимся твердым телом, в которой тензор инерции тела диагоналей: Iik = Ii8ik, G — гравитационная постоянная. Уравнения (2.1) проинтегрированы в явном виде [119, 130] и определяют интегрируемый случай Бруна, совпадающий с интегрируемым случаем Клебша.
Рассмотрим более общую задачу о вращении твердого тела Т вокруг неподвижного центра масс О в ньютоновском гравитационном поле произвольного объекта V (который может состоять из нескольких отдельных тел) при условии, что размеры тела Т много меньше расстояния до V. Пусть R(x')— расстояние от точки х, принадлежащей V, до точки О, р(х)—плотность массы объекта V, р(х)—единичный вектор, направленный из точки х в точку О. Уравнения вращения твердого тела являются естественным обобщением уравнений (2.1) и имеют вид
М = М X ю + j 3Gp (я) R-3 (я) (р (.г) X ^Р (я)) dx,v (2-2)
p(r) = p(r)X(o.
Докажем следующую теорему [125].
Т е о рема 1. Рращёние произвольного твердого тела Т вокруг неподвижного центра масс О в ньютоновском гравитационном поле любого удаленного объекта V описывается некоторой универсальной вполне интегрируемой динамической системой, не зависящей от параметров объекта V.
Воспользуемся известным изоморфизмом векторов с компонентами и* в R3 и кососимметрических (3X3) матриц с компоцентами Vjh;
я
Р* -> V№ = — 2 ^^ys, (2.3) г—1
при котором векторное произведение х X у переходит в коммутатор матриц [X, У] = ХУ — YX. После этого изоморфизма векторам М, ю, р(д?) соответствуют кососим- 234
метрические матрицы Л/, со, р^х^. Справедливо соотношение Wjj = Г^Мц (С ), к = 1,2, 3). Система уравнений (2.2) после изоморфизма (2.3) принимает вид
М = [М, со] + J 3Gp (я) R-3 (х) [р (ж), Ср (х) + р (ж) С] dx, p^x^Vp^, to],(2Л)
где матрица С имеет компоненты Су =(2-1 (/! + 12 + /з) — — Zi) by. Введем симметрическую матрицу
и = J 3Gp (х) R~3 (ж) р"2 (ж) dx.(2.5)
у
В силу системы (2.4) и очевидных тождеств
[р, Cp + pC\ = Vp2, С\= — Vp\ /]
получаем редукцию
Й = \М, со] —[щ 2], й = \и, со]. (2.6)
Система (2.6) полностью определяет вращение твердого тела Т. Здесь матрица и записана во вращающейся системе отсчета S, ее собственные числа в силу второго уравнения (2.6) постоянны и согласно формуле (2.5) определяются характеристиками притягивающего объекта V. В неподвижной системе отсчета F матрица (2.5) постоянна.
Уравнения (2.6) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли Ь9, элементы которой I представляются в виде I = М + и, где М и и — трехмерные матрицы, М‘ = —М, и‘ = и; коммутаторы определены условиями'
[Л/, и] = Ми - иМ, [Л/ь М2\ = МХМ2.- М2МХ,
[ыц п2] = 0.(2.7)
Орбиты О действия соответствующей группы Ли С9 в сопряженном пространстве Ь9 являются симплектиче- скими подмногообразиями М6 = R3 X 80(3) = 7(80(3)) — касательный пучок к группе Ли 80(3). Многообразия М6 определяются условиями ХДп) = const, где ХДи) — собственные числа матрицы и; если Х\=к2че=Хз, то орбита О = М5 = R3 X S2, и если Zi = Л2 = ^з, то (? = R3. Скобки Пуассона функций на Ь9 определяются по
формулам
V-г}-2 СУ 5 5-(2'8)
где C^j— структурные константы алгебры Ли L6 в ба- зисе х' (линейные функции на Лэ , например х\ по определению принадлежат алгебре Ли Т9). Функции Х,(п) или Тг(п), Тг(ы2), Тг(ы3) являются аннуляторами скобок Пуассона (2.8), т. е. для любой функции / на 7Lg имеем {/, Х,(и)} = 0. Ограничение скобок Пуассона (2.8) на подмногообразие Л76(ХДы)= Cj) невырожденно.
Уравнения (2.6) имеют гамильтонов вид
ЙЧ = ШЧ, Ш, й^ = ки^ Н\(2.9)
где гамильтониан Н = 1\ = Тг {2-1Л7 • ю — иП.
Введем матрицу В с компонентами Bt, = 717273/Г6г;- Система (2.6) имеет два дополнительных первых интеграла:
/2 = Tr(2-1Jf2 + Su), 73 = Tr(M2u + Su2). (2.10)
Интегралы 71, /2, 73 очевидно функционально независимы. В силу уравнений (2.9) имеем /2 = 172, 7J = 0, /3 = 173, 7J = 0. Прямое вычисление в силу формул (2.7), (2.8) показывает, что скобка Пуассона {/2, 73) = 0, т. е. три интеграла 71, 72 , 73 находятся в инволюции. Поэтому гамильтонова система (2.6), (2.9) на шестимерных симплектических подмногообразиях М6 является вполне интегрируемой по Лиувиллю и динамика траекторий является квазипериодической на трехмерных торах Т3 в
Ь9 , определенных условиями ]г = щ, Xj(u')=kj.
В следующих параграфах приводится другой вывод системы (2.6) и доказывается ее интегрируемость в тэта- функциях Римана.
Интегрируемость по Лиувиллю уравненийпоступательно-вращательного движения твердого телав ньютоновском гравитационном полес квадратичным потенциалом
ционном поле с произвольным квадратичным потенциалом
з
ф (ж1, Ж2, Я3) = у 2 (ацХ1^ + Ь^Е^ (3.1) i,j=l
определяется гамильтоновой системой, вполне интегрируемой по Лиувиллю. Динамика центра масс О интегрируется в элементарных функциях; вращение твердого тела вокруг центра масс интегрируется в тэта-функциях Римана.
Пусть в системе неподвижного наблюдателя F центр масс О твердого тела Т имеет координаты q' (t). Определим систему отсчета S с координатами г1, г2, г3, жестко связанную с твердым телом Т, в которой тензор инерции твердого тела диагоналей и имеет компоненты Lh = = Кб»; центр системы S совпадает с центром масс О. Координаты х! и Р связаны преобразованием
з
5 Q^tV5+ 94^(3.2)
■3=1
где ()}(£)— компоненты ортогональной матрицы QW. По определению ньютоновского гравитационного потенциала сила /, действующая на частицу массы тп в поле с потенциалом <р (3.1), равна — тп gradtp.
Функция Лагранжа твердого тела Т в неподвижной системе отсчета F является интегралом по объему тела Т от функций Лагранжа составляющих его точек:
л 3 / 3\2
L = у J р (г) 2 I 2 QV + ] d3T —
. т i —1 \j=l/
- I Р (г)ф 5 ^ + q\ 2 Qy + д2, 2 Q3r3 + д3 d3r, т \j=i3=1j=i/
(3.3) где р (г) — плотность массы твердого тела. В силу определения тензора /» и определения центра масс твердого тела справедливы формулы
J р (г) rV<Fr = у Тг (/) 6{,- —Iij=J15, Гр (г) гД3т = 0. (3.4) тт
Выражение (3.3) после подстановки формулы (3 1) и интегрирования по объему тела в силу формул (3.4)
принимает вид
зз
L = у т (q, q) + ^ 2 QVi^Qh + <Р (q)— 4 2 aMQaQV«3’
(3.5) где th, — полная масса твердого тела Т. Второе слагаемое в формуле (3.5) имеет вид Тг^/^')’. Используя формулы Q‘ = Q"\ (Q1) = —Q-1QQ~Y получаем
TrYQJQ^-TrfJQ-W'Q').(3.6)
Из выражения (3.5) следует, что переменные д* и Qh в лагранжиане L разделяются. Это важное свойство характерно только для ньютоновского гравитационного потенциала и является следствием равенства инертной и гравитационной масс. Динамика центра масс О (переменные д') описывается лагранжевой системой в евклидовом пространстве № с лагранжианом
з
ьг = 4m(q,q) — 4 2 UhoV + WY (37) ' i,j=l
Вращение твердого тела относительно центра масс О описывается лагранжевой системой на группе Ли SO(3) с лагранжианом
з
^=- 4 тг (j^-^t1^) + 42 <^^ (3.8) i,j,a,3
I
При этом L = LT + L2 — -^-Тга-Тг/.
Лагранжевы уравнения, соответствующие лагранжиану L\ (3.7), являются линейными, распадаются на три лагранжевых уравнения с одной степенью свободы и интегрируются в элементарных функциях.
Лагранжиан L^ (3.8) описывает также вращение твердого тела вокруг неподвижной точки (которая может не совпадать с центром масс) в ньютоновском гравитационном поле с однородным квадратичным потенциалом
з
Фо (ж) = -2" 2(3.9)
Матрица со угловой скорости твердого тела, отнесенная к системе отсчета 5, определяется формулой to = Q-vQ. 238
Матрица кинетического момента М в системе 5 имеет компоненты Ma^Iktoih i, i, к = 1, 2, 3. Уравнения Эйлера вращения твердого тела, эквивалентные лагранжевой системе с лагранжианом Ls (3.8), имеют вид
1й = \М, и] + Я, Q = Qa, (3.10)
где К — кососимметрическая матрица моментов сил, действующих на твердое тело, имеющая компоненты
3 ,X
^=2<ЗЛ1,
s=l V^p/
Потенциальная функция U (Q) в силу (3.8) определяется формулой
U№) = - 4 Tr WaQY(3.12)
Матрица К в силу выражений (3.11), (3.12) имеет вид К = IQlaQ - Q4QI = - [щ 7], и = Q'aQ. (3.13)
Симметрическая матрица и = Q‘aQ определяет вид потенциала (3.9) во вращающейся системе отсчета S. Матрицы и и а подобны, их собственные числа Х,(и) и Xi (а) совпадают.
Уравнения (3.10) в силу формул (3.13) отображаются в систему уравнений
Л7 = [М, со] — [щ 7], й = [щ го], (3.14)
совпадающую с системой (2.6). Уравнения (3.14) па инвариантном подмногообразии №, определенном условиями Xj(и) = Х4(а), эквивалентны лагранжевой системе на группе Ли 80(3) с лагранжианом (3.8). Из теоремы 1 (§ 2) следует, что система (2.6), (3.14) на симплектиче- ских подмногообразиях М6 вполне интегрируема по Лиувиллю. Следовательно, это же справедливо и для лагранжевой системы с лагранжианом Tv2 (3.8),
Доказательство интегрируемости системы (2.6), (3.14) в тэта-функциях Римана будет дано ниже в § 4.
П. Укажем еще один вывод системы (3.14), использующий векторную форму уравнений Эйлера (3.10). Выберем орты а, р, у неподвижной системы отсчета F совпадающими с главными осями квадратичной формы (3.9); после такого, преобразования имеем 2ф(ж) = = al (ж1)2 + a2(a:2)2 + аз(^3)2. Далее все векторы а, р, у, М, со представлены во вращающейся системе отсчета 8,
жестко связанной с твердым телом Т. в которой тензор инерции диагоналей, Iik = I{8ik. Потенциальная энергия твердого тела в ньютоновском гравитационном поле в силу формул (3.4) имеет вид
U (а, р, у) = f р (г) ср ((г, а), (г, 0), (г, у)) dr1 dr2 dr3 = г
= Uо"2" а1 (Аа1 + 72а2 + А“з)— "^^(APi + ^Pz + АРз)
— "2 аз (ATi + АТг + АТз)’ (3.15)
где UQ = (ai + а2 + аз) (А + А + А)/4.
Уравнения вращения твердого тела Т в ньютоновском поле с потенциалом ф^1, х2, х3') в системе отсчета S имеют вид
М — М X М + X а + X ₽ + g7 j X Т^зд g)
a = aX<o, 0 = 0Х<о, у = уХсо.
Уравнения (3.16) после подстановки формул (3.15) и применения отображения (2.3) принимают вид
Й = \М., со] + ai [сс, Са + aC] + 6i2 [0, С0 + 0С] +
+ аз[ъСу + уС], (3.17)
a.= [a, со], 0 = [0, со], Т = [у, со],
где матрица С имеет компоненты Су = (2-1(А + А + А) — — А)бу, My = Iktoi5 (i, /, к = 1, 2, 3). В силу уравнений (3.17) имеем
(а2)’= [а2, со], (02)’= [02, со], (у2)'= [у2, со]. (3.18)
Введем симметрическую матрицу u = 6iia2 + 6i202+ + азу2. Из уравнений (3.17), (3.18) в силу тождеств
[х, Сх + хС] = [х2, С], [и, С] = - [и, Z]
получаем следствие
Й = \М, со] — [и, Z], й = [щ со]. (3.19)
Система уравнений (3.19) очевидно совпадает с системами (2.6) и (3.14).
240
Интегрирование динамики в тэта-функциях Римана
Покажем, что уравнения (3.14) допускают эквивалентное представление в виде уравнения Лакса, зависящего от произвольного параметра Е:
L = [L, A], L = BE2 + ME + и, А = а-Е1. (4.1)
Действительно, уравнение (4.1) является многочленом третьей степени по Е; условие равенства нулю коэффициентов при Ек приводит к следующим уравнениям:
Е3-. [5, 7] = О, Е2: [5, ю] - \М, 7] = О,
Е': М = \М, ®]-[щ 7], £’°:й=[щ®]. (42)
Первые два уравнения (4.2) выполнены в силу определения матрицы В и Му = 1к<йу (i, j, к = 1, 2, 3); последние два уравнения (4.2) совпадают с системой (2.6), (3.14).
Интегралы (2.10) являются коэффициентами при Е2 в разложении функций Tr(L2(E)) и Tr(L3(E)) (которые в силу (4.1) не зависят от i) по степеням Е.
Собственные числа W\, w^, w3 матрицы L являются интегралами системы (4.1) и удовлетворяют уравнению
B^w, E^ = (M<BE2 + ME + u-w • 1) = 0.(4.3)
Таким образом, с уравнением (4.1) естественно связана риманова поверхность Г, заданная уравнением (4.3). Все коэффициенты уравнения (4.3) являются первыми интегралами системы (3.14) и выражаются через шесть независимых интегралов:
/1 = Тг(2"‘Л7 ■ со - и • 7), /2 = Тг (2-‘№ + Ви),
(4.4)
/з = Тг(Л72п + 5и2), /4 = Тг(п), /5 = Тг(и2), /s = det(u).
Явный вид уравнения (4.3) следующий:
В(w, Е) = к6Е6 + к^Е4 + к^Е2 + l^wE4 + l3w2E2 +
+ miivE2 + n3w3 + n3w2 + nxw + no = 0, ко = к2, к = 7i7273, к4 = — kJx, Z4 = —ZcTr(7), (4.5)
^ = ^з - JJa + Tvk Тг (7-1) (J2 - J^, Z2= к Тг (7-1), m2 = J2—kTr(l-1>)J4, п3 = — 1, na = J41
п4 = (J5 J2)/2, п0 = J e.
Уравнения (4.3) — (4.5) имеют при Е-> оо три корня:
16 О. И. Богоявленский241
Wv — 5{£2(1 + 0|£|-1). Поэтому поверхность Г трехлист-, но (и разветвленно) накрывает комплексную прямую Е. Проективное замыкание кривой Г имеет особую точку с координатами жо = w-1 = О, Ж] = Ew-1 = 0, в которой пересекаются три листа поверхности Г при Е -* <». Для разрешения этой особенности введем новые координаты z = E-1, W = wE~2, в которых уравнение (4.5) принимает вид
к6 + W W + kW + ZJF2 + m2W + изЖ3 +
+ П2Ж222 + щ W + п026 = 0. (4.6)
Уравнение (4.6) при z = 0 имеет три корня: W^ = = IJJJ^1 =Ер, которые определяют три точки Р°, Р^ Рз, осуществляющие неособое замыкание поверхности Г на бесконечности.
Поверхность Г, определенная уравнением (4.5), очевидно, допускает инволюцию о: (w, E)-»-(if, —Е). Рассмотрим отображение /: (су, E^-^w, ЕХ = Е^ поверхности Г в поверхность Г] = Г/о, заданную уравнением
Rx (w, Е^ = к6ЕХ + к^ЕХ + к2Ех + l^wEX + ljuPEx +
+ m2wEY + n3w3 + п2иР + n^w + n0 = 0. (4.7)
Уравнение (4.7) имеет степень 3, поэтому род поверхности Г1 g(Ti)= 1 и ее эйлерова характеристика x(^i) = = 0(Г1=Т2). С помощью отображения / несложно вычислить род римановой поверхности Г. Отображение / является разветвленным двулистным накрытием и имеет 6 точек ветвления /(Р?), f(№Y i = 1, 2, 3, где wt— три корня (в общем случае) уравнения (4.5) при Е = 0. Поэтому по формуле Римана — Гурвица получаем:
Х(Г)= 2Х(Г1)- 6 = -6, ?(Г) = 1 - х(П/2 = 4.
Отметим, что таким образом для рассматриваемой интегрируемой динамической системы (2.6), (3.14) род соответствующей римановой поверхности #(Г) = 4 больше размерности d = 3 инвариантных торов Т3, на которых, как показано в § 2, происходит квазипериодическая динамика.
Для полного описания вращения твердого тела необходимо знать зависимость компонент угловой скорости от времени, поэтому нашей целью является получение явных формул для компонент со’ (Z). Применяемый метод [131, 19, 58] заключается в построении некоторых ана- 242
литических (кроме конечного числа точек) функций на римановой поверхности Г (функций типа Бейкера — Ахиезера [137, 138]), которые, с одной стороны, зависят от параметров системы (3.14), (4.1), а с другой стороны, в силу теоремы единственности однозначно выражаются через 0-функцию Римана поверхности Г. Такая связь и позволяет найти выражение компонент со] (О через 6-функцию Римана.
Выполнение уравнения (4.1) эквивалентно коммутативности матричных операторов F = d/dt + А и L. Рассмотрим совместные собственные вектор-функции этих операторов, удовлетворяющие условиям
^ + а) фй = 0, Бф^ = гщф, R (wh, Е) = 0, к = 1, 2, 3,
(4-8)
Три вектор-функции ^^t, Е) образуют трехмерную матрицу ф(Е Е) с компонентами ф!(Е Е). Пусть ф^Е Е)—■ компоненты обратной матрицы <р(4, Е). Определим матричнозначную функцию gi(t, Рк) от точки Pk = (wk, Е) па римановой поверхности Г формулами
§к^Рн) = ^(М)^,Е)-(4-9)
Матрицы ф, ф и g в силу (4.8) удовлетворяют уравнениям "
^ = -Аф, § = фА, ^ = к,А].(4.10)
Три вектор-функции фк(Е Е) с компонентами ф! (Е Е) естественно также рассматривать как одну вектор-функцию ф(Е Р^ с компонентами ^(t, Рк), зависящую от точки Pk = (wk, Е) на римановой поверхностиГ: ф;(Е Рк) = = ф$(ЕЕ). Аналогично определяются вектор-функция ф(Е Рк) с компонентами ф; (Е Рк) = ф? (Е Е). Функции ф^Е Рк) являются целыми на аффинной части римановой поверхности Г, функции ф,(Е Рк) являются мероморфными, дивизоры их нулей и полюсов в аффинной части Г имеют вид:
(W, -?)) = = d'W, Ы^ Р) ). = <ЦГ)-П„ (4.11)
16*16*где D, — дивизор точек ветвления римановой поверхности над комплексной Е-плоскостью. По формуле Римана-Гурвица имеем %(Г)= 3x(<S2) — deg(Dr). В силу Х(Г)= —6, х(82) = 2 получаем deg(Dr) = 12.
16*
16*
243
Из последнего уравнения (4.10) в силу определения А = и? — г-1/ получаем, что при Р-*Рь (г = £'-1->0, W->Bu) матрица g(t, Р) имеет асимптотическое разложение
g = go + g^ + g^ + ..., (^ = 6^6?,(4.12)
t^i=(A - af1 № - б?юо, <a - i^ (g2)i =
= —(^l)i + (A— A) 1(6ici)sC0i — coitoi) +
+ (A — А)”1 (б^СОд — toito?).
Функция gl(t, P) в силу определения (4.9) и асимптотики (4.12) является мероморфной на всей поверхности Г, ее дивизор представляется в виде [58]
(И (Л Р^ = ^ ^ + d5 (t) - Dr + 2 (Р^ + Р» + P^-Pi - Р”.
(4.13)
Для мероморфной функции gk^t, Р') имеем deg(gi(Z, Р)) = = 0. Отсюда в силу deg(Z)r)=12 следует degdi(0 = = deg сР(£) = 4 = #(Г).
Определим функции
(/, т, Р) =(Z т р-) =(4.14)
ф’ (Т, Р)* <Pj(T, Р) Х '
Функции ^(Z, т, Р), фД^, т, Р) не зависят от нормировки собственных функций (4.8) и являются мероморфными в аффинной части Г, их дивизоры имеют вид
(^(t, т, P))a = dj(Z)— d^x),
(^(7, т, Р))а = di(t) — А(т).(4.15)
51n% (i, 0, P)51n% (i, 0, P)StStИспользуя определения (4.9) — (4.14), получаем:
51n% (i, 0, P)
51n% (i, 0, P)
St
St
a In ^ (t, Р) _ у in чр5' (г, 0, Р)dtdt
Отсюда, используя асимптотику (4.12) при Р->Р“, на ходим:
со; (0 = С\ Нт ф’ (Z, 0, Р) фг (Z, 0, Р),с.4.16)
где С; — некоторые константы.
244
Формулы (4.16) позволяют выразить угловые скорости Wt (f) через 6-функции римановой поверхности Г. Для этого необходимо установить аналитические свойства функций ф3, фя в силу которых эти функции однозначно выражаются через 6-функции Римана. Покажем, что в трех точках Р^ имеющих координаты z=£’-1 = 0, W = wE~2 = Вк, функции ^(^ т, Р) и ф((£, т, Р) имеют существенные особенности с асимптотиками
W, т, Py=a?(t, т, Р)ехр((<— т)/^-1),
ф,(#, т, Р) = «,•(#, т, Р)ехр(—(# —т)/йз-1), ' ‘
где функции а3 и а< мероморфны в окрестности точек Рк- Функции ф3(£, т, Р), ^(^ т, Р) в силу (4.8) — (4.14) удовлетворяют уравнениям
д In ф3‘ (t, т, P)/dt = ф3 (£, Р)/ф$ (£, Р) =
= — <2$Ф$ (^ PW (^ р>) = 2~Ч3 — ®s (О ^’ (^ PW (^ Р1) = = z-1Ij — to3 (f) gsx (t, Р^х (f, P),
9 In фг (t, T, P)/dt = ф4 (Z, Р)/фг (£, P) =
= <21фз (^ ^)/фг (^ P^ = — ^E + ®i (О фз (^ P^Wi (^ P) =
= -+ ®! ^ g” (t, P^ (t, P). (4.18)
В формулах (4.18) (значения которых не зависят от х) положим х = к и используем асимптотику (4.12); получим, что при Р —> ?к
д In ф3 (t, т, P^8t = z~7к + f№ (t, z),ig
d In фг (t, T, P^ldt = — z~rIк + fik (t, z),
Где функции ^к (t, z), jtk (t, z) голоморфны в окрестности точки Р°к- Из формул (4.19) и тождества ^(f, t, Р) = = ф,(£, t, Р)=1 следуют асимптотики (4.17). Из формул (-4.18) при j = к = х в силу антисимметричности со3 следует /Ь(^> Р^) = ° и Лч(^> Pt) = 0, поэтому
aj (t, т, Р?) = 1, «i (t, т, Р?) = 1.(4.20)
Функции ф’(^, т, Р) и ф,(^, т, Р) являются трехточечными функциями типа Бейкера — Ахиезера с существенными особенностями в точках Р” и дивизорами полюсов d? (т) и <^,(т) соответственно. Функции ф’(^, т, Р) и ф,(1(, т, Р) при нормировке (4.20) определены одно-
значно на основе следующих конструкций. Пусть ai, ... ..., «4, bi, ..., bt — базис циклов на римановой поверхности Г с индексами пересечений а, ° аз = bi° b, = 0, а, ° Ь, = = бу; toi, о)2, б)з, 6)4—голоморфные дифференциалы на Г с условием нормировки ^ mj = 2ni6j. Матрица Римана ак
В(Г) с компонентами By определяется формулами Вц = = ^ ®р Классическая 9-функция Римана, отвечающая ьз
поверхности Г, определяется своим рядом Фурье вида
9 ^v 22, 23, z4) = 2 ехр(2-1(ВА, A) + (A,z)). (4.21)
Отображение Абеля А: Г ^ Jac Г, где Jac Г — многообразие Якоби кривой Г (Jac Г = Т8 = С4/{2лгА + ВТК}), определяется формулами A(P) = (Ai(P), ..., А4(Р)), где АДР) = J 6)j. Для дивизора В = ciPi+ ... +csPs отобрало
жение Абеля A(Z)) = ciA(Pi)+... + csA(Ps). Пусть О,, (fc = l, 2, 3)—абелев дифференциал второго рода на Г с главной частью в точке Рь вида —-dzlz2, нормированный условиями ^ &k = 0, / = 1, . ..,4. Векторы Uft имеют компоненты
/=1,2,3, 4, к =1,2,3.
Обозначим Q = Ji^ +/2Й2 + Л^з и U = KU + /2U2 + 7з11з. Трехточечные функции Бейкера — Ахиезера ф1 и ф; определяются формулами
ф^ ((, т, Р) = е'ехр (<( - т) f
\*Ро /
фг ((, Т, Р) =
/р >
=Ci exp 1 — (( — т) J Q
\ро /
61А(Р) —А^Чт)! —
(4.22)
\0(А(Р)-А(<7Дт))-(/-т)и-К)
)6(А(Р)-А(йДт))-К) '
Здесь вектор римановых констант К имеет компоненты
Множители с1 и с, определяются нормировками (4.20) и имеют вид
ехр ((т — t) |J)ехр ((т — t) |J)е(А(Р°)-А(^ (т)) — к)
ехр ((т — t) |J)
ехр ((т — t) |J)
0 (А (/>?) - А(^.(т))+ (t — т) U — К)’
(4.23)
Ci = exp ( — (Т — t) И —2L
V7е(А(Р?)--А(^(т))-(^т)и-К)
где константы V (Z = 1, 2, 3) определяются формулами £Z = Л£г + ^£1 + ^з- причем
pz/ р\
|k = (1 - 6k) f ^h + 6k Um ( Qfe - z-1 .
po р^Ч )
Обозначим через о/ образ функции / при инволюции кривой Г: o(ic, £) = (№, —£); oD— образ дивизора D.
Лемма 1. На многообразии Якоби Jac Г справедливы равенства
МАЧ^ + od5^ ) = А(<Р(т) + od’^ ^
A(di(Z)+odf(Z)) = A(di(t) +od<(t)).’
Действительно, рассмотрим функции oi|y(Z, т, Р) и ot|\(Z, т, Р). По определению о/ (Ж, z) = / (W,—z), о (PS) = Pt поэтому асимптотика функций оф3 и оф« при z -► 0, Р -> Р°ь отличается от (4.17) только знаком в аргументе экспоненты. Следовательно, произведения ф3 ■ оф3 (Z, т, Р) и 1|ц-0фД£, т, Р) являются мероморфными функциями на Г, их дивизоры в силу (4.15) имеют вид
(ф3 -oi|)3(Z, т, Р) )= d’(t)+ а<Р(() — d'tr) — od5(x),
(фг ■ оф>(^, т, Р)) = <Z((Z) +o<Zj(t) — </{(т) — ойДт).
Отсюда по теореме Абеля и получаем равенства (4.24).
247
Для получения явных формул для <Oi(t) перемножим формулы (4.22) и (4.23), получим:
Jim ^ (i, О, Р) фг (*, О, Р) = exp (i (^ — ^)) X
, е ( А (Р°) - А (^ (0)) - Ш - к).6 (А (р?) - А (^ (0)) - К)
Л 6 (А (рр) - А (^ (0)) - Ш - К) -е (А (рО) - А ^ (0)) - К) '
(4.29)
(4.30)(4.30)Используя четность 0-функции Римана, формулы (4.28) при i=#/ и подставляя (4.29) в (4.16), получаем:
(4.30)
(4.30)
z0 = A (Dr - а1 (0) - Р? - 2Р“ - 2Р“) + К.
Формулы (4.30) и дают представление решений системы (3.14) через 0-функцию Римана поверхности Г, определенной уравнением (4.3) — (4.5). По начальным значениям искомого решения <0^(0), Ui(0) однозначно определяется риманова поверхность Г и все указанные выше аналитические конструкции, в частности, дивизор d1 (0) и вектор Zo, после этого из формул (4.30) при t = 0 однозначно определяются коэффициенты At. Тем самым по начальным данным <ot (0), Ui(0) в силу (4.30) определяется зависимость от времени всех угловых скоростей coi(i).
В силу формул (4.30) функции со( (i) являются мероморфными функциями на всей комплексной плоскости переменного t. Также мероморфными являются функции Mi (<) =/^ (<) (i,/,/с = 1, 2, 3). Из формул (4.30) следует, что все эти функции имеют общие полюсы первого порядка в комплексных точках t, удовлетворяющих уравнению
0(Ш + го)=О. (4.31)
Покажем, что компоненты симметрической матрицы Ui (i) являются мероморфными функциями t с полюсами второго порядка в точках (4.31). Недиагональные компоненты и\ ^ определяются из первого уравнения (3.14):
(
з \
М\ - £ (мМ - ю?м{) (4.32) й=2 /
и в силу (4.30) являются мероморфными функциями t с полюсами второго порядка. Диагональные компоненты ul (t) определяются из второго уравнения (3.14):
. з
и\= s Wu-MY(4.33)
Вследствие кососимметричности матрицы toh(<)(toi(<) = 0) в правую часть уравнения (4.33) входят только недиагональные компоненты и^ (Z), которые определены выражениями (4.32). Поэтому диагональные компоненты щ(<) определяются квадратурами — интегрированием по t уже известных правых частей уравнений (4.33), которые в точках (4.31) имеют полюсы третьего порядка. Следовательно, диагональные компоненты матрицы и\ (Z) также являются мероморфными функциями t и имеют в точках (4.31) полюсы второго порядка.
Для вычисления ортогональной матрицы Q^, определяющей ориентацию твердого тела, воспользуемся формулой (3.13): и = Q‘aQ. Пусть ei, ег, ез— собственные векторы постоянной матрицы а, определяющей квадратичный потенциал (3.9): а(е^= а.кек. Векторы gk = = У' (eft) являются собственными векторами матрицы и;
u^ = ahgh, gh = Q4ehy(4.34)
Координаты ортонормированных собственных векторов gi(Z), & Wi fcW выражаются через компоненты w-(Z) (4.32), (4.33) матрицы и^ с помощью арифметических операций. Координаты векторов gh^ в силу формул &к= Q4 ке^ являются столбцами матрицы Q^t\. Следовательно, все компоненты матрицы Q^ определяются через компоненты матрицы и^ с помощью арифметических операций и поэтому выражаются через 0-функции Римана в силу формул (4.30) — (4.34). Теорема 2 полностью доказана.
Динамика симметричного твердого телав ньютоновском гравитационном полес квадратичным потенциалом
В данном параграфе мы покажем, что в случае симметричного твердого тела Ц\=1^ интегрируемый случай, исследованный в § 2—4, оказывается связанным с классической системой Неймана [160] на сфере S1 и ин-
тегрируемым случаем Клебша [111] для уравнений Кирхгофа. При этом динамика твердого тела выражается в тэта-функциях Римана от двух переменных 0(zi, 22).
Пусть ж1, х\ х3 — координаты в неподвижной системе отсчета F, в которой квадратичная форма (3.9) диа- гональна; г1, г2, г3 — координаты в системе отсчета S, жестко связанной с вращающимся твердым телом, в которой тензор инерции твердого тела диагоналей: Iik = = F6ik. Пусть a(t), Р(0, 7(0—орты неподвижной системы отсчета F, рассматриваемые в системе S.
В § 3 показано, что поступательно-вращательное движение произвольного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с произвольным квадратичным потенциалом разделяется на независимое движение центра масс в поле с данным потенциалом и на вращение твердого тела вокруг неподвижного центра масс в поле с однородным квадратичным потенциалом. Далее рассматривается только вращение твердого тела вокруг центра масс.
Функция Лагранжа, описывающая вращение твердого тела вокруг неподвижной точки 0(0, 0, 0) в ньютоновском гравитационном поле с однородным потенциалом
(3.9), имеет вид
L = у (Zi©! + /2(о2 + /3Шз) — U (а, 0, у), (5.1) где со =((oi, ©2, (оз) — вектор угловой скорости вращения твердого тела (в системе отсчета S); потенциальная энергия U(а, 0, у) в силу (3.15) определяется формулой 20 (а, 0, у) = — аДГ^аХ + /2а^ + 73а|) —
й2 (ЛРг + ЛРа + Z30s) а3 (ZiTi + /2?2 + ZgYa). (5.2)
Пусть q(i) — единичный вектор, направленный по оси симметрии тензора инерции тела (и соответствующий собственному значению /з) • Ориентацию твердого тела в системе F определим углами Эйлера 6, ф, ф, причем 6 — угол между векторами q(t) и 0, ф— угол прецессии, ф— угол поворота твердого тела вокруг оси q(£). Вектор q(i) в системе отсчета F имеет координаты
91 = (q, a) = sin 6 sin ф, 92 = (q, 0) = —sin 6 cos ф,
9з = (q, Y) = cos 6. (5.3)
В системе отсчета S вектор q является постоянным и
251
имеет координаты (0, 0, 1); поэтому справедливы равенства
gi=(q, а) = аз, g2 = (q, Р) = ^з, 9з =(q, THU (5.4)
Функция U (а, р, у) (5.2) для симметричного твердого тела (71 = 7г) в силу ортонормированности векторов а, р, Y и формул (5.4) имеет вид
27/ (а, р, у) = сг + (7Х — 73) (а^з + а2Рз + азТз) =
= Ci + (Лд, q), (5.5) где оператор А имеет компоненты Atj =\IX — I^aiby и Cl = —71 (ai + аг + аз) •
Функция Лагранжа (5.1) для симметричного твердого тела в силу (5.5) принимает вид
Л = 4 Zi (®2 + ^ sin2 9) + 4 /з ^ cos ° + Ф)2 — 4 ^ч’ q)-
(5-6) Лагранжиан Li по физическому смыслу и вследствие формул (5.3), (5.6) не зависит от поворотов вокруг оси симметрии, т. е. Li не зависит от угла ср. Поэтому соответствующий импульс рФ сохраняется:
9L,
/)ф =-Л = 7g(^cos9 + <р).(5.7)
9ф
Функция Рауса Ьй = Ьх — рфср, представленная в координатах вектора q(Q ((q, q)= 1), имеет вид
ь2=4/^4, q) + ^cos9 “4(q’ лч)" 4"^- (5-8)
Лагранжиан £2 при p<$ = Q совпадает с лагранжианом системы Неймана [160] на сфере №. В общем случае лагранжевы уравнения, соответствующие лагранжиану (5.8), имеют вид
7iq = — Hq — /^(q X q) + Xq.(5.9)
Здесь X(i) = (Hq, q) — 7i(q, q)—множитель Лагранжа, определяемый из условия сохранения системой (5.9) связи (q, q)=. 1.
Слагаемое —pv(qXq) в (5.9) описывает силы, аналогичные воздействию на электрический заряд монополя Дирака [161], и возникает из вариации слагаемого pTi|)cos9 в лагранжиане (5.8), который связан с редук- 252
цией лагранжиана (5.6) по группе симметрии, соответствующей циклической координате ф.
Интегрируемость системы (5.9) по Лиувиллю и в тэта-функциях от двух переменных 9(zj, Z2) при рФ='О следует из интегрируемости классической системы Неймана [160]. При рф#=0 уравнения (5.9) совпадают с уравнениями, возникшими из совершенно другой задачи — динамики бегущих волн для вектора намагниченности в уравнении Ландау — Лифшица. Эти уравнения, как показано в [162], сводятся к интегрируемому случаю Клебша для уравнения Кирхгофа. С помощью отображения
q->M = qXq—^М(5.10)
уравнения (5.9) преобразуются к виду
M = qX-fr^4q, q=qX^ (5.11)
и описывают специальный интегрируемый случай Клебша на уровне первого интеграла (М, q) = —Р^Т1- Приведем явные формулы, описывающие динамику траекторий системы (5.11) в тэта-функциях 0(zi, Z2) [105, 163]. Гамильтониан Н и интеграл Клебша /4 имеют вид
2Я = (М, М) + (q, /r^q),(5 12)
Л = (М, 7Г^М) - /Г3Л1Л2Л3(ч1, M-1q)-
Обозначим через sj, $2, S3, S4 корни уравнения /(^)= О,
/ (s) = [S2 _ s (Тг (7ГМ) - 2Я) - J4]2 -
- 47Г^2 (s - Е^ (s - I^A^ (s - /?%).
Введем риманову поверхность Г рода 2, заданную уравнением
У2 = Р (Д Р^ = z (z — d2) (z — d2) (z — ^3) (z — di^d2),
(5.13)
где величины d;, d^, d^ определены равенствами
Формулы, описывающие динамику траекторий системы (5.11), имеют вид [105, 163]
= . 6 Ы (zo + ш) 6 М (wo) ” 6 Ы (wo) 6 [тЛ (Z0 + ш) А6^П^ТШ)6[^^
(5.14)
Здесь тэта-функции 0(zj, Z2) и вектор U построены по кривой Г (5.13), их характеристики гк, тк, пк, рк зависят от взаимного расположения корней многочлена (5.13), постоянные векторы zg, wg определяются по начальным условиям (см. [105]).
Формулы (5.14) определяют в силу (5.3) зависимость от времени углов Эйлера 0,. хр. Зависимость от времени угла Эйлера ср определяется интегрированием соотношения (5.7).
Интегрируемые случаи уравнений вращениятвердого тела в нелинейных гравитационных полях
Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в гравитационном поле с потенциалом вида
з
Ф = 4 ^ а«Р (I х I) ^^ I х I = ((я1)2 + W + (^3)2)1/2- а, 0=1
где аац (I х|) — произвольные дифференцируемые функции переменной |х|. Ньютоновские потенциалы вида (6.1), удовлетворяющие уравнению Лапласа Аф = 0, определяются формулами
Ф = Iх Г® ( 2 Са₽Л₽) + 2 Ьа₽Л₽ + с | х |-1, \а,₽=1/а,₽=1
Сц "Ь С22 + Сзз = 0, Ьп + 4*22 + 4*33 = 0.
Введем следующий четырехкомпонентный тензор, симметричный по двум парам индексов а, 0 и i, к и обобщающий тензор инерции Iik (3.4):
Т^гк = J Р (г) аар (I г If 62 W dr1 dr* dr3. (6.2) T\Z=1/
Теорема 3. Если тензор Ta6ik допускает представление
T^ik ^АаДш + В^Ь^ + baeCik,(6.3)
где А В, С — произвольные симметрические матрицы, то врагцение твердого тела Т в гравитационном поле с потенциалом (6.1) вокруг неподвижной точки O(z* = 0) является вполне интегрируемым по Лиувиллю и интегрируется в Q-функциях римановых поверхностей.
Если aaP(lxl) = const, то условия (6.3) очевидно выполнены, поэтому теорема 3 является обобщением теоремы 2. Если твердое тело Т является шаром, плотность которого имеет вид
Р (г) = pl (г/!г| )р2 ( Ы ) ,
то условия (6.3) выполнены при произвольных функциях Oap(lxl) (при этом Ва> = Cik =' 0), поэтому вращение такого твердого тела в поле с произвольным потенциалом вида (6.1) является вполне интегрируемым по Лиувиллю.
Пусть ортогональная матрица Q^ определяет преобразование из лагранжевых координат г\ связанных с системой отсчета S, в эйлеровы координаты X: хг = з
= 2<?lWr - По определению Q = Qto, где ы — матрица й=1
угловой скорости. В системе 5 потенциал (6.1) имеет вид
<Р=2-1 2 «ap(|r|)^rV.(6.4)
Компоненты момента гравитационных сил, действующих на твердое тело в поле с потенциалом ср (6.4), определяются формулами (всюду по повторяющимся индексам производится суммирование)
К; = С (г X ^,л А 2 ^т3 = г I or / •
т
= J емш^Р (г) aa₽ (I г I) Q®QiT! dr1 dr2 dr9. (6.5) т
Кососимметрическая матрица К, соответствующая в силу изоморфизма (2.3) вектору момента сил (6.5), имеет следующие компоненты:
К5к = - г^Кл = Ta№QVi - Ta№Q^. (6.6)
После подстановки выражения (6.3) в формулу (6.6) и суммирования по а, р находим, что слагаемые, включающие матрицы В^, CtM сокращаются в силу
симметричности этих матриц. В итоге получаем равенство К№ = I^QVi - hiA^Qt ^.^
Введем матрицу u=Q‘AQ. Равенство (6.7) в матричном виде означает К = 1и— и! = — [и, 7]. Поэтому уравнения (3.10), определяющие изменение матрицы кинетического момента и матрицы и (в силу Q = Qa>>), имеют вид, совпадающий с системой уравнений (3.14). Эти уравнения полностью определяют вращение твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с потенциалом (6.1) при выполнении условий (6.3). Поэтому теорема 3 следует из теорем 1 и 2.
Интегрируемость п -мерного аналога задачио динамике твердого телав ньютоновском гравитационном полес произвольным квадратичным потенциалом
В дальнейшем и-мерным твердым телом мы будем называть некоторый объем n-мерного евклидова пространства с распределением плотности р(х), который перемещается без изменения расстояний между его точками. Система S координат г1, .. ., гп жестко связана с твердым телом Т и ее центр 0(^ = 0) совпадает с центром масс, т. е. в системе S имеем (dr — элемент объема)
J р(г) rkdr = 0, /с = 1, ..., п.(7.1)
т
Координаты х\ . .., жп относятся к неподвижной системе отсчета F. Силовое поле с потенциалом «р^1, . .., .г") называется ньютоновским, если плотность силы, действующей на частицы среды, пропорциональна плотности массы: /;(х)= — р(л)Э<р/Эа:г.
Теорема 4. Динамика произвольного п-мерного тела в ньютоновском поле с произвольным квадратичным потенциалом
71
ф (ж1, . . ., z”) = у 2 («У^ +(7.2)
1,3=1
определяется гамильтоновой системой, интегрируемой но Лиувиллю, Динамика центра масс О интегрируется в элементарных функциях, вращение твердого тела вокруг центра масс интегрируется в тэта-функциях Римана..
256
Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теорем 1 и 2 в трехмерном случае; поэтому мы укажем только основные моменты доказательства. Координаты ж1, ..., хп точек движущегося твердого тела Т определяются преобразованием
^ = 2 QUtVWw,(7.3)
где ^ИО— компоненты ортогональной матрицы, q^t)— координаты центра масс. Функция Лагранжа твердого тела Т определена на конфигурационном пространстве SO (л) X R” и имеет вид
^=4 JpW(x’ х)^ — J Р (г) Ф (х) ^r-(7-4)
тт
Подставляя в интегралы (7.4) формулы (7.2) и (7.3) и дважды используя равенства (7.1), получаем
(
п\
(Ч’ ч) + 2 (а*^
М=1/
m = J р (г) dr,(7.5)
т
4 = ^ 2 Ш^ ~ ayQaQV^Y ja& = J p (r) r“r^r. i,j,a,₽=lt
Отсюда следует, что поступательное и вращательное движения ^-мерного твердого тела в ньютоновском поле с произвольным квадратичным потенциалом разделяются.
Поступательное движение центра масс описывается лагранжианом гармонического осциллятора L\ и поэтому интегрируется в элементарных функциях.
Вращательное движение тг-мерного твердого тела определяется лагранжевой системой на группе Ли SO(zz) с лагранжианом L^ который можно представить также в виде
L2 = - 4 Tr (JQ^QQ^Q) - A Tr kQ"XaQj\ (7.6)
где а и 7 — симметрические матрицы с компонентами ад, 7“р. Введем кососимметрические матрицы ю, М и симметрическую матрицу н:
® = Q-1Q, М = Jto-V о7, u = Q-1aQ. (7.7)
17 о, и, Богоявленский257
Уравнения Лагранжа с лагранжианом (7.6) преобразуются в уравнения
М = \М1 и] — [u, 7], и = [и, ю].(7.8)
Матрицу J можно сделать диагональной с помощью ортогональной замены координат в системе отсчета 5: 7°^ 7а6ар. В дальнейшем вместо связи М = Jm + toJ (7.7) мы будем рассматривать более общую связь
Mtk=(bt-bk)(J*-Ji)-1®«k.(7.9)
Прямая проверка показывает, что уравнения (7.8) — (7.9) эквивалентны следующему матричному уравнению Лакса, зависящему от спектрального параметра Е:
L = [L, А], L = BE2 + ME + и, А = со - JE,где В — диагональная матрица с элементами Bih = Ь&ц.
Уравнения (7.8) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли Ап2, элементы которой I представляются в виде I = М + и, а коммутаторы имеют вид (2.7). Орбрты О действия соответствующей группы Ли Gn2 в Ln2 являются симплектическими многообразиями размерности п2 — п и определяются п условиями %i(u)=ci, ..., %„(u)=c„, где %t-(u) — собственные числа матрицы и. Система (7.1) на 'Орбитах О является гамильтоновой с гамильтонианом Н = Тг(2-1Л7 ■ и — Ju). При выполнении условий (7.9) система (7.8) на О является вполне интегрируемой по Лиувиллю. Инволютивными интегралами этой системы являются коэффициенты уравнения
R(w, Е)=йе1(ВЕ2 + МЕ + и- w • 1) = 0. (7.10)
Вычислим род g(T) римановой поверхности Г, определенной уравнением (7.10) (особая точка в бесконечности IS] разрешается в координатах т. = Е~\ W=wE~x). Вследствие определения М* = — М, и* = и, имеем:
R(w, E)=det(L-wi)=det(L,-wi) = R(w, -Е).
Поэтому в уравнение (7.10) входят только четные степени Е и на поверхности Г действует инволюция * о: <5(и), Е) = (гу, —Е). Обозначим Ex = Е2, и пусть Г1 = Г/о — риманова поверхность, определенная уравнением 7?(щ, Е^2) = 0.Поверхность Г1 имеет степень п, при Ъ^ =/= Ь5 поверхность Г1 не имеет особенностей в бесконечности, поэтому ее род g(Fi) = (n — 1) (п — 2)/2 [139]. Ото-
бражение /: Г -* Гь f(w, E^^w, Ех = Е2) является разветвленным двулистным накрытием и в общем случае имеет 2га точек ветвления: га точек при Е = 0 и га точек при z = Е-1 = 0. Поэтому для эйлеровой характеристики Х(Г) и рода g(P) по формуле Римана — Гурвица получаем:
Х(Г)= 2Х(Г,)- 2га, g(P) = 2g(r0+ га - 1 =(га - I)2.
Интегрирование системы (7.8) в 6-функциях Римана поверхности Г (7.10) проводится аналогично § 4. Аналитический вид окончательных формул для со’ (0 внешне тождественен (4.30). В га-мерном случае также справедливы лемма 1 и лемма 2 из § 4 — после отображения (4.26) динамика системы (7.8) линеаризуется на многообразии Прима РгушаГ с Jac Г. Комплексная размерность многообразия Прима РгутаГ равна вещественной размерности инвариантных торов системы (7.8):
dim® (Ргуша Г) = g (Г) — g (Гх) = га (га — 1)/2 =
= dimR 0/2 = dimR Т.
В силу явных формул вида (4.30) решения системы (7.8) являются мероморфными функциями на всей плоскости комплексного переменного t.
ГЛАВА XIИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРАНА НЕКОТОРЫХ ШЕСТИМЕРНЫХ КОАЛГЕБРАХ ЛИ
В данной главе построены уравнения Эйлера на ко- алгебре Ли SO (4) (и некоторых других шестимерных ко- алгебрах Ли), обладающие дополнительным интегралом четвертой степени и являющиеся алгебраически интегрируемыми (в эллиптических функциях) на однопараметрическом множестве орбит. Найдены интегрируемые уравнения Эйлера, обладающие дополнительным интегралом второй степени и обобщающие интегрируемый случай В. А. Стеклова. Выведены уравнения вращения твердого тела с п эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Показано, что полученные уравнения являются уравнениями Эйлера на коалгебре Ли группы Ли Gn+i = SO(3) X ... X SO(3), и найдены новые физические применения уравнений Эйлера на коалгебре Ли SO (4). Указана лагранжева структура уравнений Кирхгофа.
§ 1. Уравнения Эйлерадля двух классов шестимерных коалгебр Ли
Рассмотрим два класса А и В шестимерных алгебр Ли L, для которых коммутаторы в некотором базисе А,, Ул (г, у, к = 1, 2, 3) имеют следующий вид:
в классе А
[■^ь У)] = вул^лА*, [А<, У,] = еудщУл,
в классе В
[X, У;] = 8<йпЛ, [А,, У,] = 0, [У,, У,] = еУлШлУл. (1.2)
Здесь еУл — антисимметричный тензор, пк1 тк, % — структурные константы. В классе А содержатся алгебры Ли: SO(4) (щ = 1, х = 1), SO(3.1) (П1=п2 = 1, п3 = — 1, х = —1),SO(2.2)(П1 = пг = 1, пз = —1, х = 1),
Е3(п{ = 1, Х = 0), Ьз(П1 = П2= 1, П3 = -1, х = 0). и др. Алгебры Ли Ез и Ез соответствуют группам Ли движений трехмерного евклидова и псевдоевклидова пространства. В классе В содержатся алгебры Ли SO(4) = SO(3)® 80(3) (nt = 1, m. = 1), SL(2, К)® SL(2, R) (»i = mv = n2 = m2 = = 1, n3 = m3 = —1), S0(3)+ SL(2, R) (n,- = 1, mi = m2 = = 1, m3 = — 1) и др.
Пусть X^Y^ —базис в сопряженном пространстве L*, двойственный базису Х^ Yt. Векторы из L* представ- 3
ляем в виде 1(<) = 2 (Мг^Х* + Ki^Y*^. Уравнения i=l
Эйлера определены в пространстве L* и имеют вид: в классе А
M = MXa> + KXu, К = К X to + хМ X и,
^ = ^. ut = ^ Мг = щМъ K^mKi, (L3)
где X X У означает векторное произведение трехмерных вектор о-в,
в классе В
М = МХА, К = КХВ, л анпдН _-
Ai = амТ’ Bi = ЭК7’ Mi = П1М” К1 = miKv ;
Уравнения Эйлера (1.3), (1.4) имеют следующие первые интегралы:
зз
J\ = Н, J2= S (xTZiMj + пЖ У J3 = 2 ПгМгКг, г=1г=1
(1'5)
J1 = H1 J2 = 2 пЖ, J3 = 2 тЖ. г=1г=1
Пусть G — группа Ли, имеющая алгебру Ли L, и О — орбиты нсприсоединенного представления G в L*. Орбиты О определяются условиями J2 = С2, J3 = С3 и являются четырехмерными симплектическими многообразиями, инвариантными относительно уравнений Эйлера (1.3), (1.4). Системы (1.3), (1.4) на орбитах 0 гамильтоновы с гамильтонианом H{Mf, К^. В дальнейшем рассматриваются гамильтонианы Н вида
з
Я = Т 2 ^М^ + 2сгМгКг + ЪЖ + 2Г|А{ + 2^). (1.6) г=1
Уравнения Эйлера (1.3) для алгебры Ли 5з(га,- = 1, х = 0) совпадают с уравнениями Кирхгофа движения твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости; их частным случаем являются уравнения вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки [116]: известны классические интегрируемые случаи этих уравнений, найденные В. А. Стекловым [105], А. М Ляпуновым [107], С. В. Ковалевской [104] и С. А. Чаплыгиным [108].
Для интегрируемости гамильтоновой системы (1.3) (или системы (1.4)) на орбитах О по Лиувиллю достаточно указать дополнительный первый интеграл /4. Метод построения интеграла /4, используемый в данной главе, состоит в отыскании условий на коэффициенты гамильтониана И, при которых из системы уравнений (1.3) (соответственно (1.4)) следуют два уравнения
z+ = ip+zv + v+J^ z- = w-Z- + v-]3, (1.7) где функции z+, z— являются (комплекснозначными) многочленами первой или второй степени и w+ = — ip— При выполнении уравнений (1.7) система (1-3) па уровне /3 = = 0 (т. е. на однопараметрическом множестве орбит 0(72 = С2, /з = 0)) имеет дополнительный интеграл второй или четвертой степени /4 = z+z_; если же v+ = V- = 0, то система (1.3) имеет первый интеграл /4 во всем пространстве L*. С помощью этой конструкции получаются все названные классические интегрируемые случаи [103—108] уравнений Эйлера на алгебре Ли Е^ и их обобщения на другие алгебры Ли (1.1), (1.2).
х&1х&1В § 2 показано, что существуют два семейства уравнений Эйлера (1.3) на алгебрах Ли класса А (в частности, на SO(4)), которые алгебраически интегрируемы на уровне /3 = 0. Эти два семейства определяются условиями:
х&1
х&1
п2 п3 ’ п2 пг п3’ п3 П1 ) 2иЬ- а =
—- = — + —, г, /, к = 1, 2, 3, (1.9) ni nj пк
причем Ci = rt = q< = 0. При этом дополнительный интеграл /4 является многочленом четвертой степени и интегрирование уравнений Эйлера на уровне /3 = 0 проводится (в § 3) явно в эллиптических функциях (для алгебры Ли 80(4)). Отметим, что в работе [144] показано, что алгебраическая интегрируемость уравнений Эйлера на
SO (4) (при Ci = г,- = qt — 0) во всем пространстве L* воз- можна только при специальных условиях [52] ; новые интегрируемые случаи (1.8), (1.9) не удовлетворяют условиям работы [52] и поэтому являются алгебраически интегрируемыми только на уровне 7g = 0. Интегрируемый случай (1-8) при щ = 1, х 0 переходит в классический случай С. А. Чаплыгина [108]; обобщение случая (1.8) при г^О и а] = аг при щ = 1, х 0 переходит в классический случай С. В. Ковалевской [104]. Интегрируемый случай (1.9) не имеет классических аналогов.
Частным случаем уравнений Эйлера на алгебре Ли SO(4)= SO(3)® SO(3) являются уравнения вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение [145—148]. Эти уравнения исследовал В. А. Стеклов [106] в качестве модели вращения Земли; В. А. Стеклов анонсировал интегрируемые случаи, обладающие дополнительным квадратичным первым интегралом Л- С современной точки зрения интегрируемые случаи [106] образуют трехпараметрическое семейство интегрируемых уравнений Эйлера на алгебре Ли SO(4) (отметим, что параметр М в [106, и. 3, п. 42] является несущественным и устраняется растяжением параметров А, В, С, а, Ь, с, которые связаны тремя соотношениями п. 42). В данной главе мы указываем (в § 4) более широкое шестипараметрическое семейство интегрируемых уравнений Эйлера на SO (4), а также его обобщения, содержащие линейные члены в гамильтониане Н. В § 5 указаны новые физические применения интегрируемых случаев на алгебре Ли SO (4).
Интегралы J^ четвертой степени
Предположим, что для уравнений Эйлера (1.3) на алгебрах Ли класса А константы гамильтониана Н (1.6) удовлетворяют условиям ct = q, = 0. Рассмотрим решения уравнений (1.7), для которых функции zE, юг, и6 имеют вид (е = ±1)
zE = cc^Afy -|- 2е<ХзЛ7уМ2 4- о.2Л/2 4~ рАз 4- 2У1А14- 2Y0A2 4-Щ
(2.1) we = 2етМз, иЕ = 2еуКз-
Уравнения (1.7) после подстановки производной zE (2.1) в силу системы (1.3) и ввиду произвольности значений Мц Kt приводят к следующей системе
алгебраических связей на коэффициенты:
СС3 (w3Oi ПЩз) ХОСу^ «3(^2613H3/Z2)^0С2,
«1 («г^з — и3а2) + a2 (n3ai — ищз) = 2а:а3, ^Р = ~Z№,
(2.2) ai(n2b3 — п3Ь2) + Р(хИ1Ь2 — п^= 0, а3(и3Ь1 — nib3)= ущ, аг^Ъу — П1Ь3)+ Р(п!а2 — xn2bi) = 0, а3(п2Ь3 — п3Ь2) = уп2, еа3и3Г1 -Н^трх — n3«i)r2 = ^(хтцЬз — n3ai), (и3а2 — п2рх)г! — еи3а3г2 = yi(n3a2 — хга2Ь3), ^(xnsbi — nra3) = 2^!, fi (7120.3 — xn3b2) = 2x^2, хпа^эгу — Yir2)=exo.
Первые три уравнения системы (2.2) образуют замкну- гую подсистему, из которой легко находятся коэффициенты z и ai, а2, а3, определенные с точностью до несущест- зенного общего множителя. Затем из следующих пяти уравнений находятся коэффициенты у, р и три связи на коэффициенты bt, by, которые имеют вид
П1 П2 пз’ п2 п1 ^’ пз п1 п2‘ V '
Из оставшихся пяти уравнений (2.2) находятся коэффициенты п, ^i, о. Окончательно система (2.2) сводится к трем связям (2.3) и соотношениям
«1 = n3ai - п^э, сс2 = n2a3 — n3a2, a3 = (ara2)1/2, x = a3,
(2.4)X '(2.4)X 'P^= — Из I — — -^ I, P = — or = щ + 2eo2, \n3 )n3
(2.4)
X '
(2.4)
X '
0Ц = — xn2 (п^а^г) 1 (n^r2 + n2a2r2), o2 en n xren n xr.
y. =n4r1 -|——-,y2 =— n3r2——■
П3 11n^a^ >Г23 Zn^
Коэффициенты a, P, x, у определены с точностью до общего множителя. При выполнении условий (2.3) система (1.3) на уровне /з = О имеет дополнительный ин-- теграл
J4 = W^ + <Х2Л?2 + Р^ + 2п3 (г JCy — Г2^2) + Ol)2 — — 4a1a2№, /95^
N = MiMz+ (п^Пза^К! — п^гщ^К^/п^^ —;
— ПдХГ^^2,
и поэтому вполне интегрируема на однопараметрическом множестве орбит О(/2 = с2, /з = 0). Во всем пространстве L*(Mh Ki) функция Ji удовлетворяет уравнению
Л = 8aia2zz3(6i/ni — b3/n3}NK3J3.(2.6)
Если a\Jn\ = а^т, то в силу (2.3) 6i/n1 = 6/n,-, следовательно, Л = 0 и система (3) интегрируема при любых значениях интеграла /з- При х = 0, bt = 0 получаем классический случай С. В. Ковалевской [104], а при х = 0, Ь4 Ф 0 — случай С. А. Чаплыгина [108] для уравнений Кирхгофа.
Если ajnx Ф а^пг, то функция /4 при IJ3I < 1 является адиабатическим инвариантом системы (1.3). В полученном семействе уравнений Эйлера, интегрируемых при Уз = 0, пять коэффициентов av аг, а3, и, г2 гамильтониана Н (1.6) произвольны.
Второе семейство интегрируемых случаев уравнений Эйлера (1.3) получается при условиях (е = ±1)
Ze = ®i^i + 2еа5А1А2 + сс2К2 + |1Аз,
и)а = гхМу ve = буК3.(2.7)
После подстановки zc, в силу системы (1.3), уравнения (1.7) сводятся к системе алгебраических связей на коэффициенты
аз(хпзЬ1 — nias)= хах, а3(пга3 — хп362)' = ха2,ai(n2as — хпз62) +«2(хпз61 — пха3^ = 2ха3,*Р = —№, Hn,ia2 —'xn^i) — ai (и3«2 — хп2Ьз) = 0,аз(пзД1 — xnib3)= yni,(2.8)
P(xtzi62 — П2С1)+ а2(пзП1 — хп1Ьз)= 0,аз(хп2Ь1 — п3а2) = yn2.
Система (2.8) решается аналогично системе (2.2) и сво дится к трем связям на коэффициенты а4, b{ (i, /, к = = 1, 2, 3):
2хЬ,/п,- = а^гц + ак/пк(2.9)
и соотношениям
«1 = xn36i — пха3, аг = п2а3 — -к,п3Ь2, а3 = (а^г) 2, (2.10)’
х = а3, 2р = пд (а2!п2 — а^п^, у = — хр/п3.
Система (1.3) при выполнении условий (2.7) и /г = 0 имеет дополнительный интеграл
/4 = (а^2! + а2А2 + ^К»У - 4а1а2А2А2(2.11)
265
и является поэтому вполне интегрируемой (при /з = 0). Во всем пространстве L* функция Л удовлетворяет уравнению
J^ = 4пз^ач/пч — ajn\) К\КчКЛз
и является адиабатическим инвариантом при |/з! < 1.
Таким образом, доказана
Теорема 1. Существуют два семейства (2.3), (2.9) уравнений Эйлера (1.3) на алгебрах Ли класса А (х 0), которые вполне интегрируемы по Лиувиллю на однопараметрическом множестве орбит ОЛч = с^ /3 = 0) и имеют дополнительные интегралы четвертой степени (2.5), (2.11). При а\1п\ = ач!пч полученные уравнения Эйлера интегрируемы во всем пространстве L*.
Для алгебр Ли SO(4) и SO (3.1) уравнения (2.3), (2.9) имеют открытое множество положительных решений а, > 0, bi > 0. Семейство интегрируемых случаев (2.9) не допускает включения линейных слагаемых в гамильтониан Н (1.6) и при х->-0 приводит к вырожденным уравнениям. Интегрируемость во всем пространстве L* при а^/щ = ач/пч для семейства (2.9) очевидна, а для семейства (2.3) при г< 0 следует только из существования интеграла (2.5), как и в случае Ковалевской [104].
Отметим, что уравнения Эйлера (1.3) при условиях с, = л =qt = 0 и
имеют дополнительный первый интеграл
J4 = У1^1 + У 2^2 + Уз^З'(2.13)
где
и поэтому вполне интегрируемы по Лиувиллю (существование интеграла (2.13) проверяется прямым вычислением).
Для алгебры Ли 80(4) (и< = и = 1) условие (2.12) приводит к интегрируемому случаю С. В. Манакова [52]. Два семейства уравнений Эйлера, определенные условиями (2.3) и (2.9), не принадлежат пятимерному множеству (2.12) и пересекаются с ним по двумерным подмножествам (осесимметричные метрики). Поэтому из результатов работы [144] следует, что уравнения Эйлера (1.3)' при условиях (2.3) и (2.9) не являются алгебраически интегрируемыми во всем пространстве L*. Однако, как показано в следующем параграфе, на уровне 7з = 0 алгебраическая интегрируемость все же имеет место.
Явное интегрирование некоторых уравнений Эйлера на коалгебре Ли 80(4)
В данном параграфе уравнения Эйлера (1.3) при условиях (2.3), (2.9), рассматриваемые на инвариантных двумерных торах, определенных постоянными значениями интегралов J\, Ji, ^ = 0, /4, интегрируются явно в эллиптических функциях времени. Конструкция координат si, № навеяна классической работой С. А. Чаплыгина [108], посвященной уравнениям Кирхгофа.
При условиях (2.3) интеграл /4 (2.5) принимает только неотрицательные значения /4 = № и при гц = и = 1 (SO(^) имеет вид
•^4 = ((Я3а1) -^1 + (а2«з) ^2 + (^1^3) A3)2 +
+ 4 (а3 - а^ (а3 - а2) М^М2. (3.1)
Координаты 51 и 5г при h > 0 определим формулами 51=(п+/г)/п, 5г—(и — /г)/к,
(3.2) и = (а3 — а^ Mi + (<z3 — а2) М», v = {bi~ b3) К3, 5 = а3М3- Отсюда получаем:
v = 2hJ (si — 52), u =(5i+ 52)/г/(аг—5г).(3.3)
Укажем явное выражение координат М^ К, через координаты si, 5г и константы Jk. В силу (3.1) имеем:
м2 + 2 ((а3— аг) Mi — (а3 — а2) М2) и + у2 = №.
Отсюда и из (3.2) находим:
г^-^м^^-^-к)2)^,
2 (с3 - а2) М2 - ((и + к)2 - h^flv. V ‘ '
Подставляя в (3.4) и (3.2) формулы (3.3), получаем выражения для координат М\, М2, К3 через si, «2, h:
(2(«1-«1»-«м1=(?<,;'«)(;.--)у", \1 “ 2/
(2 («, -м, = (±Л±0&±Д Vя(3.5)
\1 2/
^-ь^^-^^-з^1'2.
Перейдем к нахождению выражений координат ^i, К2, М2 через значения интегралов Л и $i, s2. Подставляя выражения (3.2) для Мз, Кз через п и s и выражения (3.4) в интегралы /1, /2 (1.5), получаем:
(^152) Кхи — v + JT — b2J 2 +
+_(« + O^L _ 2 (% - а1) „
I a3 — % у 2va3 ’
(5i — b^ K2 = и — v — J^ + bj2 +-(3.6)
(szM ь2 - (“ - o2 , 1^32^2)s
I a3 — I 2uаз "
Таким образом, остается найти выражение для s через $i, $2, Л. Отметим, что из интеграла /3 = О (1.5) следует:
м43к4 - 2 ^мХкХ + мМ м23к23 + (мХкХ - мХку = о.
(3.7)
Подставляя в (3.7) полученные выше выражения, находим, что переменная s удовлетворяет уравнению
^!s2_^ps + ^ = o,(3.8)
где
*tP=kh?-u2- v2) (Xi - Х2 - № (а, - а2)) +
+ 2ии (Хг + Х2 - № (2а3 -ах-а2^, 4Q=(h2 -и2_ ^ (У1 + у2)+ 2^(7, - У2),
Xi = (,а3 — а2) (и + п) (/1 — 52/2),
Х2 = (а3 — at) (и — п) (Ji — 5i/2),
У1 = (аз — а2) (,—и — и + /1 — 62/2),
У2 = (аз — ai) (и — и — /1 + bj^
4 = 2 (а3 -ai) (а3 - а2).(3.9)
Из уравнения (3.8) находим:
(3.10)(3.10)(3.11)(3.11)(3.12)(3.12)Wvs!a3 = Р±(Р2_ MQV-
(3.10)
(3.10)
(3.11)
(3.11)
(3.12)
(3.12)
Отсюда получаем (s/a3 = Mg):
26(2к) 1/2М3 = (Р + hQ^1/2 ± (Р - hQ')1/2.
Используя формулы (3.9), находим: у(Р-6()) = ((6-и)2- ь2)(агь- Р1!(и + Л)), 7 (Р + 6@)=((6 + и)2 — у2) (а2у — р2(и — 6)),
где
«1 = т\Ц\ + 6) — m2J2, а2 = mi^Ji — 6) — m2J2, Pi = (ai — a2y\Ji + 6)— m3J2, Рг = (ai — a2) (Л — А^з/г,
(3.13)
7П1 = 2аз — ai — a2, m2 = (аз — a2)b2 + (a3 — ai)6i,ттгз = (аз — a2)62 - (аз — ai)6i.
После подстановки (3.12) в формулу (3.11) и использования соотношений (3.2) получаем:
М3 = (((,=-1)(«2-рА))1/2 +
+ (М - 1) («1 - Pi^F Ж - *2) (2?)1/2. (3.14)
Отсюда получаем выражение для величины з.
После подстановки в формулы (3.6) обозначений
(3.13) для о,-, р( находим:
(Ъ -Ъ\Кй = (pisi-ai)(s2 + 1)-(p2s2-a2)(si+1) 12(a3-a2)(si-s2)аз ’
(3.15)
(Pisi-ai)(1-s2)+(P2f2-a2)(si-1) , ^(VZ3), (6‘ - ^ ^2 («,-.,) (./-.,)+ -V*S'
Подставляя в (3.15) величину s/a3 = Mg, в силу (3.14) находим:
(bi - 62)1/2^i =(2(a3 - аг))-*/2^ - s2)-1(((l + я)Х
Х(1 - s2) (а2 - p2S2))1/2 -((1 - si) (1 + s2) (а, - Pis,)i)1"),
(3.16)
(6, - Ь2) ^ =№- Й1))"1/2(31 - з2)->(((1 + 31)Х X(s2 - 1) (а, - PiSi)) V2 + ((S1 - 1) (1 + S2) (а2 - p2S2)) 1/2).
Таким образом, формулы (3.5), (3.14) и (3.16) дают выражение всех координат М, К5 через координаты si, s2 и постоянные /1, J2, J4 = h2 (на уровне 7з = 0). Отметим,
что в этих формулах допускается одновременное изменение знака у каждой пары координат М{, Kt.
Перейдем к преобразованию уравнений Эйлера (1.3) в координаты si, «2- Продифференцировав выражения si, «2 (3.2) в силу системы (1.3), получим:
si/2 = (а3 — «1) («1 + ^М^К^/К^Л-(аъ — а^ (1 — s{)M2Ki/K3,
(3.17)
$V2 = (аз — ai) ($2 "Ь 1)Л717?2/^з + (аз — аг) (1—s^M^Kx/Ka.
После подстановки в уравнения (3.17) выражений (3.5), (3.16) для координат Mt, К, получаем два замкнутых уравнения
$1 = -((1 - «О (ах - Ра))172, s2 = -((l-s^)(a2-p2s2))1/a.
(3.18)
В силу уравнений (3.18) st^ являются эллиптическими функциями времени t. Подставляя s^t^ в формулы (3.5), (3.14), (3.16), получаем явное выражение динамики уравнений Эйлера (1.3) через эллиптические функции. Вырожденный случай /4 = 0 интегрируется в элементарных функциях.
И. Проведем интегрирование уравнений Эйлера (1.3) при условиях (2.9): b{ = (а, + ак)/2. Интеграл /4 име-
J 4 = h? = ((а3 — а2) К.Х + (ах — а3) КХ + (ах — а2) 7£3)2 +
+ 4 (а3 - aj (а3 - а2) К^Х- (3.19)
Введем координаты Si, S2:
«1 = (u + /i)/v,$2 = (и — h^v,
и = (а3-а2)КХ-Ка3-а1)КХ, v = (at - а2) К23- (
Так же как и в п. I, найдем выражение координат М,, Kj через координаты я, s2 и константы Ik. Используя (3.19), получаем:
2(а3-а2)^ = (7г2-(М-кП/21;, 2^a3-a^KX = ^uA-uY-H^i2v. 1'
Подставляя сюда выражения и, и через si, s2 (3.3), находим:
(2(аз - а^Кх = (h(i- s2) (я - 1) ($i - $2)"*)1/2,
(3.22)
(2(а3 - аО) WK2 = (h(sx + 1) (s2 + 1) (»i - $2)"*)1/2, (a, - a2) 1/2^3 = - (2^(51 - S2)-1)1/2.
Обозначим s = a3Ml; из формул (1.5) после подстановки (3.20) —(3.21) получаем: /_о ТТV
(tZ1 — G2) -^ 1 " ^ 1^2" 2~2
_ (°1-°2) ( (“ + У)2 - А2 ) _ °3~а2 Ц-.-чА 2»)’ (3 23)
(ях — я2) М 2 = — J1 + Я172 ^2
Подставив уравнение деления s:Подставив уравнение деления s:_ а1~°2 ( h2-^- у)2 \ ^-«з „2 (аз ~' а2) ^ 2у ' аз
Подставив уравнение деления s:
Подставив уравнение деления s:
полученные выражения координат М{, К5 в (3.7) (/з = 0), получаем уравнение для опре-
(3.24)(3.24)4Л^ $2VS р Ci _ „
(3.24)
(3.24)
^ аз 14
где
^\Р\ = (Л2 — я2 — я2) (Ж1 + ^2 + Л2(Я1 — я2)/2) 4-
+ 2uy(a:i — х3 — h2(2a3 — ах — аг)^,
hQ\ = (h2 — u2 - v2) (ух + у2) + 2мм(У1 - у2),
^1 = (я3 — Я1) (я + я) (71 — я272),
х3 = (a3 — а2) (и — ?;) (a\J2 — /1),
Ух =(a3-ai) (7i -a272-(u+ у)/2),
У2 = (а3 - я2) (Я172 - 71 + (и - v) /2),
Yi =(я3-Я1) (я3 - я2).(3.25)
Из уравнения (3.24) получаем:
4vh2s/a3 = Р1± (Pl - h?Q^112,
и, после подстановки М3 = s/a3, находим:
2(2v)1;2hM3=(Px + hQx) x/2 ±(Рх - hQi)1/2. (3.26)
Из формул (3.25) следует
Pi _ hQt = ((и — Л)2 — я2) (га? — (я + /1) р?)/ти ,3 27) pi + ^<21 = ((“ + ^)2 + у2) (№2 — (я — /t) P?)/yi, где
о^1 = (7^ 1 4* ^-/2) Я1 4* *^2^2’^2 — ^ 1^/2) Я1 4* 7Зп^
р? = (Я1 — я2) (72я3 — 7!—/1/2), р? = (ят—я2)(72я3—7т4-^/2),
(3.28) И^ —— 2tZg —— tty ■~ ^2?^2 —‘ 2GjG2^з (^1 "^ ^2)*
Используя формулы (3.3), преобразуем (3.26) к виду М, -((«-!)« -Й^ГЧ-
+ (И -1) м - й».))1'’)/^!- ^(гт,)"'- (3-29)
После подстановки соответствующего выражения для s = = а3М3 в (3.23) получаем:
(ах - а2)1/2 М. = (2 (а3 - аД)”1'2 (S1 - «зГ1 (((1 + S1) X
X (1 - $г) («2 - (О1/а - ((1 - ^ (1 + 8^ (а? - РМ^)-
(3.30)
(Й1 - а2)1/2 М, = (2 (а3 - а2))"1/2 (х, - s,)"1 (((1 + xj X
X (s2 — 1) (а1 — P1S1))1/2 + ((Sl — 1) (S2 + 1) (а2 ~ Рг^))1^)*
Формулы (3.22), (3.29) и (3.30) дают выражение всех координат Mi, Kj через координаты xi, хг и константы Jh; знаки каждой пары координат Mt, К, можно одновременно изменить на противоположные.
Дифференцируя координаты xi, хг (3.20), в силу уравнений Эйлера (1.3) получаем:
xi = (а3 - аД (1 - sxyMxK2JK3 + (а3 - а2) (xi + Г)М2КХ/К3, s2 =(аз — ai) (1 — s^M^^Ks + (а3 — аг) (хг + V)M2KX/K3.
Подставляя в эти уравнения выражения Mt, Kj через xi, $2, получаем динамическую систему с разделенными переменными
^--(Ц-^м-АЖ'’,(331)
и) м-й%)/2)*'’.
Таким образом, уравнения Эйлера (1.3) при условиях (2.9) также интегрируются явно в эллиптических функциях времени (см. [155]).
§ 4. Интегралы J4 второй степени
В данном параграфе изучаются уравнения Эйлера (1.3), (1.4) с общими гамильтонианами (1.6). Выведем условия на коэффициенты a,, bt, Ci, r{, qx, при которых из уравнений Эйлера следуют два уравнения (см. (1.7)):
Z+ = W+Z+, Z- = гУ-Z-,
ze = axMx + s«2-^2 + Pi-^i + еРг-Kz + «з71 + епз^г, (4-1)
w& = гхМ3 + гуК3, s = ±1.
! В этом случае многочлен второй степени J4 = z+z_ является интегралом уравнений (1.3) или (1.4). Специальный случай уравнений (4.1) получается, если z = z+— комплекснозначная функция, ш+ — чисто мнимая функция; тогда z— = z+, w- — w+ и интеграл* У 4 = zz.
Для алгебр Ли класса А (1.1) уравнения (4.1) после подстановки ze в силу системы (1.3) и ввиду произвольности значений Мц К4 приводят к системе алгебраических связей на коэффициенты:
«1 (пгяз — n3a2)+ >Ф1 (П2С3 — И3С2) = №2,
«1 («2^3 — Пз6г)+ £1 (П2Сз —1П3С2) = У$2,
«1 (П2С3 —1П3С2) + Мх^г&з — «з^г) = уа2,
«1 (П2С3 — П3С2) + Pi (—ХП362 + П2«з) = яфг, «Хй^пзаг — п1а3)+ х^2(гозС1 — Л1С3) = жац (4.2) a2(n36i — nib^-V ^(«sCi — nic3) = p^i,
«2(^361 — nic3)+ ^(-хпфз +. n3ai)= yai,
CC2(nSCi — П1Сз)+ ^(XHs&l — ЛЩз) = яф1, «1^2 + Х^Гг = —^2,«1Г2 + £1^2 = —yt2,
«2^1 + х^гп = Ж^ь агП + ^271 = УТь Гз = </з = 0.
Укажем явное разрешение системы (4.2) относительно коэффициентов а^ Ъ4, с4, г,, д4. Исключим из первых четырех пар уравнений (4.2) (эти восемь уравнений образуют замкнутую подсистему) неизвестные вида п4с3 — ^с<; получим четыре замкнутых уравнения относительно трех неизвестных сц, 02, 03, с4 = а4— иЬ^ Разрешая эти уравнения, получаем одну связь на коэффициенты а<, ^:
афшг + а2М1 = 0,(4.3)
и выражения для о4 через а,-, рм ж, у:
na(a! - xbi) = (xC + z/B),(2a2p2)""V
пз(аг — хЬ2) = (хС - уВ) (2aiPi)-1,
пх (а3 - х63) = (-жА +. yD) (202^2)-1,(4.4)
А = аф2 + a2Pi, В = ai«2 - хРгРг; С = аф2 — «2^1,D = ai«2 +, х^фг.
Рассмотрим следующие две пары уравнений (4.2): первое и третье, пятое и седьмое; после подстановки в
них zbi = at — dj в силу (4.4) легко находим выражения п2а3 — и3а2 = (жа1а2 — х^ ^хА + уВ^а^ (а^ — хр®)-1, п^ — и^з = (а,а1а2 — хр2 (хА + уВ)/2а2) (а| — хр2)-1, (4-5)
^2^3 — ^3^2 = С^ 4* Z/S) 2 («! ИР1)
^ас1 — п^д = (— хС + уВ) 2 (а2 иРг) •
Из оставшихся двух пар уравнений выражаем r(, qt через параметры у,, аЛ р4, х, у:
Г1 = ?!Г1 = ?!а2У ~ 02®^-хрГа2У ~ 02®^-хрГ91 = Т191 = Т1а^ - хр2уа^ - хр2уа=-хр= ’а=-хр= ’?2 —?2?2 —?2apt — хрдуapt — хрдуг3 = 9з = °-г3 = 9з = °-(4-6)(4-6)
Г1 = ?!
Г1 = ?!
а2У ~ 02®
^-хрГ
а2У ~ 02®
^-хрГ
91 = Т1
91 = Т1
а^ - хр2у
а^ - хр2у
а=-хр= ’
а=-хр= ’
?2 —?2
?2 —?2
apt — хрду
apt — хрду
г3 = 9з = °-
г3 = 9з = °-
(4-6)
(4-6)
Уравнения (4.4) — (4.5) не меняются при преобразовании a, -^Са^ р< Ср,, поэтому их правые части на уровне связи (4.3) зависят от четырех Свободных параметров. Коэффициенты а4, bt, с< при х ^ О определены уравнениями (4.4) — (4.5) с точностью до преобразований с двумя параметрами h, h1.
а, щ + ntxTi, bt bt + пД\, Ci->-Ci + ntTi.
Поэтому 9 коэффициентов at, bi, С], удовлетворяющих связям (4.3) — (4.5), имеют 6 свободных параметров. Параметры ai, Pi, 71 принимают произвольные вещественные значения, параметры аг, Рг, ?2, х, у могут быть либо одновременно вещественными, либо одновременно мнимыми — при этом выражения (4.4) — (4.6) являются вещественными; значения параметров 71, 72 в остальном произвольны.
В результате проведенных рассуждений доказана ■ Теорема 2. Уравнения Эйлера (1.3) на алгебрах Ли класса А при х ^ 0, для которых коэффициенты а,, bi, Ct, rf, qt выражаются в силу (4.4) — (4.6) через параметры at, р,-, х, у, ц:, удовлетворяющие одной связи (4.3), имеют дополнительный первый интеграл
/4 = z+z_ = (ai^i + p^i + П371)2 — («2^2 + Рг^г + ”372).2
(4.7)
и являются поэтому вполне интегрируемыми по Лиувиллю на орбитах Q^h = С2, /3 = с3).
Если х = 0, то из уравнений (3.2) следует, что коэффициенты at, bt, ct должны удовлетворять следующим
связям (г, /, к = 1, 2, 3):
nj (пщГ1 — «№) ^ici — ^iO)-1 =
) (ША — ПгСк) \) (ША — ПгСк) \= Пк ^П^О-г МдЯд ntnjnlbi — п® (ji.^ — n^jf а?1 =
) (ША — ПгСк) \
) (ША — ПгСк) \
= ПгП]ПкЪ5 — п® ^ПгСк — n^^aj1.
При этом коэффициенты а,-, 0<, х, у имеют вид
ai = C(n3ai - П1Я3)1/2, а2 = С^пгЯз — «зЯг)1/2, $ = а^гС-2, у=(п1Яг+п2Я1) (n3ci — пщз) 1/2(п2с3 — пзСг) 1/2(п1П2Я1Я2)”1/2, 01 = — уа.гпупз1 (п^ + И2Я1)”^, 02 = — р^^зсс?1»?1- (4-9)
При выполнении соотношений (4.8) — (4.9) уравнения (1.3) имеют дополнительный интеграл (4.7) и являются поэтому вполне интегрируемыми. Связи (4.8) при п, = 1 определяют интегрируемые случаи В. А. Стеклова и А. М. Ляпунова для уравнений Кирхгофа.
Для алгебр Ли класса В (1.2) уравнения (4.1) в силу уравнений Эйлера (1.4) приводят к следующей системе алгебраических связей на коэффициенты:
«2 (»зЯ1 — ПгЯз) = яга,, Мтз&1 - mib3)= УРь а2«зс2 — 02/Я1Сз = жрь —«1ПзС2 + 017П2Сз = 202,«2 (»зЯ1 — ПгЯз) = яга,, Мтз&1 - mib3)= УРь а2«зс2 — 02/Я1Сз = жрь —«1ПзС2 + 017П2Сз = 202,«1 (»2Яз — пзя2) = я:а2, 01(т263~ ТП362) = у^2, —а2П1Сз + Рг^зп = yai, «1П2СЗ — 01ТП3С2 = уа.2,«1 (»2Яз — пзя2) = я:а2, 01(т263~ ТП362) = у^2, —а2П1Сз + Рг^зп = yai, «1П2СЗ — 01ТП3С2 = уа.2,(4.10)(4.10)
«2 (»зЯ1 — ПгЯз) = яга,, Мтз&1 - mib3)= УРь а2«зс2 — 02/Я1Сз = жрь —«1ПзС2 + 017П2Сз = 202,
«2 (»зЯ1 — ПгЯз) = яга,, Мтз&1 - mib3)= УРь а2«зс2 — 02/Я1Сз = жрь —«1ПзС2 + 017П2Сз = 202,
«1 (»2Яз — пзя2) = я:а2, 01(т263~ ТП362) = у^2, —а2П1Сз + Рг^зп = yai, «1П2СЗ — 01ТП3С2 = уа.2,
«1 (»2Яз — пзя2) = я:а2, 01(т263~ ТП362) = у^2, —а2П1Сз + Рг^зп = yai, «1П2СЗ — 01ТП3С2 = уа.2,
(4.10)
(4.10)
и уравнениям, явно выражающим коэффициенты Г;, д,:
(4.Н)(4.Н)И = г/ПзТ^зрг, Г2 = -г/ПзТг/тзРьдх = ягу1/а2, д2 = — ^^г/аь г3 = ^з = 0.
(4.Н)
(4.Н)
Из первых двух пар уравнений (4.10) легко находятся коэффициенты х, у и %, тф, (с неизвестным множителем г). После этого из третьей и четвертой пары уравнений (4.10) находятся величины с< и множитель г. Окончательно получаем, что коэффициенты at, bi, Ci связаны тремя соотношениями:
Cl = («гфг — ЮгфГ1) ^фг^Фз’ 1 = 1,2, 3,ф{ = «п5ак — пка^<т,Ьк — ткЬ^!г,(4.12)
q = (rnibj — т5Ь^ ^пРт^ — ПгТП^-1
(легко проверить, что д не зависит от индексов i, ], г Ф j).
Остальные коэффициенты с точностью до общего множителя при а,, р, имеют вид
ai = (n3ai — пщз)1/2, а2 = (ига3 — ^з^г)1/2, $ = агаг, Pi = гезтГТ<Рз (тзь1 — тгЬ3)1/2, р2 = n^^g (т2Ь3—т3Ь2)1/2, (4ЛЗ) у =i(m3bi — тгЬ3) 1/2(т2Ь3 — т3Ь2)1/2.
Таким образом, при щ, bt, с,, удовлетворяющих связям (4.12), и Ti, qt, заданных соотношениями (4.11), уравнения (4.1) имеют решения zE, wE, определенные формулами (4.13).
Проведенные рассуждения доказывают следующее утверждение.
Теорема 3. Уравнения Эйлера (1.4) для алгебр Ли класса В при выполнении связей (4.12), (4.11) имеют дополнительный первый интеграл Л = z+z_ вида (4.7) и являются вполне интегрируемыми по Лиувиллю на орбитах О.
Интегрируемый случай (4.12) для алгебры Ли SO (4) (щ = т(=1), содержащий шесть произвольных параметров а^ bt, является обобщением трехшараметриче- ского семейства интегрируемых случаев В. А. Стеклова [106, и. 42]. Формулы работы [106, п. 42] настолько сложны, что никакое исследование этого интегрируемого случая не было проведено. Укажем некоторые свойства более общего интегрируемого случая (4.12) (при г, = = q(=OY
Из условия вещественности коэффициентов ct, удовлетворяющих соотношениям (4.12), следует, что при а,-> ">a5">ah либо bi > b5 > bk, либо bt < b, < bk. Пусть а\ > > а2 > а3, тогда в силу (4.13) ai, Pi вещественны, a2, 62, х, у мнимые. Интеграл J4 при этом имеет вид
+ l Ь Г-Ь—-^ +
\\12//
+ ((«2 - ^M, + (^^r^y72^2- (4Л4) \\12//
Условия (4.12) (и,- = т< = 1) не меняются при перенумерации осей. Поэтому уравнения (4.1) при тех же значениях коэффициентов а^ bt, Ci имеют еще две другие пары решений, отвечающие перенумерациям переменных 2 3, 3 2 и 1 3, 3 -> 1, которым соответствуют два других
интеграла уравнений Эйлера ,(1.4):
аЛ (Ь, — ЪЛ \ 1/2\ 23/ \ 12/1IЬ1 - ьз //аЛ (Ь, — ЪЛ \ 1/2\ 23/ \ 12/1IЬ1 - ьз //
аЛ (Ь, — ЪЛ \ 1/2\ 2
3/ \ 12/1I
Ь1 - ьз //
аЛ (Ь, — ЪЛ \ 1/2\ 2
3/ \ 12/1I
Ь1 - ьз //
^-а^МзА-^-а^МзА-6 = f (ai — а^1 Мг +6 = f (ai — а^1 Мг +\ 2 ^3\ 2 ^363 — 6363 — 63(4.15)^2+(4.15)^2++ [ (а1 — аз)1/а ^3 ++ [ (а1 — аз)1/а ^3 +ь2 — ь3ь2 — ь3V/2V/2\ а'з\ а'з
^-а^МзА-
^-а^МзА-
6 = f (ai — а^1 Мг +
6 = f (ai — а^1 Мг +
\ 2 ^3
\ 2 ^3
63 — 63
63 — 63
(4.15)
^2+
(4.15)
^2+
+ [ (а1 — аз)1/а ^3 +
+ [ (а1 — аз)1/а ^3 +
ь2 — ь3
ь2 — ь3
V/2
V/2
\ а
'з
\ а
'з
Интегралы 7s и 7g линейно выражаются через интегралы 71, 72, 7з, 7<: при выполнении связей (4.12) справедливы тождества:
27^1(<Z2 СгФ1Фз ) ^ 2(^2 ^гФзФг ) ^з
Р1 (сгФз J1 сзФг 7Б) = О, 2/! — («! — С1Ф2ФГ1) 7"2 — (61 — ^фзфГ1) 7"3 —(4.16)
— Р2 (^фГ^ + СзфГ1/^ = о,
Рх = ((«2 -Яз) (&2 - Ьз))~1/2, Pi = ((«1 - Яз) (61 - 6з))-,/2.
Орбиты О (7г = с2, 7з = с3) в случае алгебры Ли SO(4) являются компактными многообразиями Ж4 = S2 X S2. Множества минимумов интегралов 74, 7g и седел интеграла 7s апрёделяются двумя условиями и образуют на многообразии Ж4 три двумерных тора Т2. Пересечения этих торов с поверхностью уровня гамильтониана 7i = const являются замкнутыми траекториями уравнений (1.4), которые могут быть проинтегрированы явно в эллиптических функциях времени. Эти траектории на трехмерном многообразии Ж5 совместного уровня интегралов 71, 7г, 7з являются в силу тождеств (4.16) множествами минимумов, максимумов и седел функции 7<.
В предельной ситуации Ъх = bi = Ъз = Ъ существуют интегрируемые случаи, определяемые двумя связями
С1С2Сз (с3 Cj ) = Я1 я3, с^с2с3 (с2 с3 ) = я3 я2
(4-17)
и содержащие поэтому пять свободных параметров; Коэффициенты ах, х имеют вид (4.13), ^1 = c3ai/c2, ^2 = сза2/с1, у = 0. Аналогично предыдущему уравнения Эйлера (1.4)
при выполнении связей (4.17) имеют дополнительный интеграл
Л =(Н] — а3) ^Мх + c3Ai/c2)2 + (н2 — п3) (М2 + сз^2/с1)2
(4.18) и являются поэтому вполне интегрируемыми по Лиувиллю (на орбитах О).
Физические применения уравнений Эйлерана коалгебре Ли SO (4)
Рассмотрим уравнения Эйлера (1.4) на алгебре Ли SO(4) = SO(3)® SO(3) ^ni = mi = 1) с квадратичным гамильтонианом общего вида
з
2Я = 2 кймМгМз + Чс^М.К^ + ЬмКхК5у (5.1) i J=1
Гамильтониан (5.1) зависит от 21 параметра ац, Ъц, сц.
Специальным случаем уравнений Эйлера (1.4) являются классические уравнения движения твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение [145—148]. Эти уравнения в самом общем случае содержат 12 параметров, определяющих компоненты тензора инерции твердого тела Iih и расположение эллипсоидальной полости (Dih). В частности, в случае диагональных матриц ну, Ьу, су (заполняющих девя- тимерпое пространство Г9) гамильтонианы, описывающие динамику рассматриваемого объекта, образуют шестимерное подмногообразие V6 в У9. Новые интегрируемые случаи, найденные в § 2 ((2.3) и (2.9)), зависят от трех произвольных параметров, и их пересечение с многообразием V6 тривиально, т. е. эти случаи не соответствуют указанной физической задаче. Интегрируемые случаи (4.12) зависят от шести произвольных параметров, поэтому их пересечение с подмногообразием V® не более чем трехмерно. Это трехмерное семейство интегрируемых случаев и было указано В. А. Стекловым в работе [106].
Для нахождения физических применений более широкого класса уравнений Эйлера на алгебре Ли SO (4) рассмотрим динамику твердого тела с п эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью. Выделим систему отсчета S, жестко связанную с твердым телом, центр которой О находится в цент- 278
ре масс. Занумеруем эллипсоидальные полости индекобм а = 1, ..., и; пусть г£, г«, г„ — координаты их центров, Da — симметрические операторы, преобразующие единичный шар в эллипсоидальную а-полость. Собственные числа dai, da2, da3 оператора Da являются полуосями соответствующей полости, da = det Da = daida2da3. Каждая полость целиком заполнена идеальной несжимаемой жидкостью с постоянной плотностью ра и полной массой та= ^npada/3.
Вращение твердого тела вокруг центра масс определяется ортогональной матрицей Q^t). Движение жидкости в каждой полости удовлетворяет уравнениям гидродинамики
у dujdt = —grad р, div v = 0,(5.2)
где р — плотность жидкости, и — скорость жидкости, р — давление. В дальнейшем предполагается, что движение жидкости в каждой полости является движением с однородной деформацией (см. [158]), т. е. определяется следующим преобразованием из лагранжевых координат а* (пробегающих единичный шар (а1)2 + (а2)2 + (а3)2 ^ 1) в эйлеровы координаты х';
з
^ = • 2 (^ (О а + QVa\ Fa = QDaQa, (5.3) h=l
где QafJ}—ортогональная матрица, определяющая вращение жидкости в ашолости относительно твердого тела.
Уравнениями движения твердого тела с и полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью, являются уравнения гидродинамики (4.2) в каждой полости и закон сохранения полного момента импульса. Введем обозначение
= QA0, Qa = —BOaQa(5.4)
и воспользуемся изоморфизмом векторов с компонентами у1 в R3 и кососимметрических (3X3) матриц с компонентами У№:
з
(5.5) i«=i
при котором векторное произведение векторов хХу переходит в коммутатор матриц [X, У] = XY — YX. После этого изоморфизма кососимметрическим матрицам Ло и Воа отвечают векторы с компонентами Л1, Ba, i = 1, 2, 3,
Момент количеств движения жидкости в а-полости (относительно центра масс О) имеет вид (всюду интеграл берется по объему полости)
MX = Ра J (х X v)1 ^ ^2 t^3 =
3
5,й=1 \/
Ма = Ца1(^-^') =
= Р« Q (^а^о 4" A0Da 21?а50а^а) Q ’ (5-6) / з, \
Iaih = та I ^д 2 (га) таГа I > Ра = П1а/5.
\1=1/
Из формул (5.6) после перехода к векторным обозначениям в силу (5.5) получаем, что вектор М полного момента количества движения рассматриваемого объекта в системе отсчета 8 имеет вид
М = 7. А 4- 2 Ра 1 (СаА - 2daD-1Ba),а=1W-*)
Iih = 7oiA 4- 7^д + ... 4- 7п{д, Са = Тг (Оа) Е — 7)а,
где Zoift — тензор инерции твердого тела в системе 8.
Закон сохранения полного момента количеств движения в системе отсчета 8 имеет вид
(5.8)(5.8)М = МХА.
(5.8)
(5.8)
Для движений жидкости с однородной деформацией (5.3) уравнение неразрывности divv = 0 (5.2) выполнено тождественно; уравнение динамики pdNldt =—grad р (5.2) эквивалентно закону Гельмгольца о вмороженности вихря <B = rotv, т. е. dto(dt = O вдоль траекторий жидкости. Вектор вихря в а-полости <ва отвечает в силу изоморфизма (5.5) матрице
К-Оа = Fa?aFaFa = QaK-laQai/5 д,
•^1а = 7?а7?оа 4" BqJ)^ — 27)аА07)а.
Закон Гельмгольца (Х'оа = 0) имеет вид
^1а =№а, Воа].(5.10)
Отсюда после изоморфизма (5.5) A'la-^Ka и домножения на Ра1 получаем:
Ka = Ka X ®ai Ка=р-1(СаВа-2^7*74). (5.11)
Уравнения (5.8), (5.14) полностью описывают динамику твердого тела с п эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Эти уравнения после преобразования Лежандра А, В^М, К„ (которое очевидно является симметрическим) переходят в систему уравнений
М = М X А, Ка=КаХВа,
А1 = дН[дм\ Ва = 8н;эк^,1 ' '
где гамильтониан И является полной кинетической энергией вращения твердого тела и жидкости в каждой из полостей и имеет вид
2Я=(М,А)+ 2(Ка, ва)=(с-ЧЮ+2 НаСКа, СаХ), а=1а=1
N = М + 2 З^Са 1^а1Ка,(5.13)
а=1
G-I+ 2 На^аЧ^-^-2). а=1
Уравнения (5.12) определены в пространстве R3n+3 и являются специальным случаем уравнений Эйлера в сопряженном пространстве Ln+1 к алгебре Ли группы Gn+i = = SO(3)X ... X 80(3) (n+, 1 сомножитель). Гамильтониан Н содержит 6п + 6 независимых параметров (компоненты симметрических матриц I, D\, ..., Dn); отметим, что параметры Ца (или плотности ра) несущественны и устраняются путем замены Da = цй 1/2Da. В квадратичную форму Н (5.13) входят скалярные произведения между всеми парами Ka, Кр и Ka, М, т. е. в указанном естественном базисе форма Н существенно диагональна.
Уравнения (5.12) имеют кроме гамильтониана Н еще п + 1 геометрический интеграл
/о = (М, М), /a=<(Ka, Ka), 0=1, . . ., П, (5.14) где /о — квадрат полного момента количеств движения. Поверхности уровня интегралов (5.14) являются орбитами О коприсоединенного представления группы Ли G„+i в Lu+1. Многообразия О = S2 X ... X S2 (п + 1 сомножитель) имеют стандартную симплектическую структуру, в которой уравнения (5.12) гамильтоновы с гамильтонианом Н (5.13).
Уравнения Эйлера на алгебре Ли 80(4) = — 80(3)® 80(3) получаются из уравнений (5.12) в двух случаях. Первый случай, классический, соответствует п = = 1 и содержит 12 свободных параметров (компоненты Iik, Dik). Второй случай соответствует п — 2 и Jo = O (М = = 0); при этом уравнения (5.12) принимают вид
К = К, X Вь К2 = К2 X В2.(5.15)
Уравнения (5.15) (с гамильтонианом (5.13) при М = 0) содержат 18 свободных параметров (компоненты Iik, Duk, ^2«) и, очевидно, являются уравнениями Эйлера на 80(4). В случае диагональных матриц I, Di, Di, таким образом, получается девятимерная область однородных гамильтонианов вида (1.6) (г( = д,= 0).
Исследуем возможность указанной физической интерпретации интегрируемых случаев (2.3) и (2.9) ,_Алгебры Ли класса А при х = 1 после преобразования Xf = (X + + Fj) /2, Yt = (X — У,) /2 переходят в алгебры Ли класса В с Ri = т,. Таким образом получаем разложение алгебры Ли 80(4) = 80(3) ® 80(3) (щ=1, х = 1); при этом уравнения Эйлера (1.3) переходят в уравнения вида (1.4) — (5.15), где К\ = Мг + К\ К\ = Мг — Кг. Гамильтонианы Н (1.6) при ^ = п — 5< = 0, рассматривавшиеся в § 2, после указанного преобразования принимают вид
з
2Я = S («1 (№)2 + (Л^)2) + 2^К\К\\ г=1
4<Zi = Hi + bt, 4р; = Hi — bi.(5.16)
Интегрируемые случаи (2.3) и (2.9) в новых координатах определяются соответственно условиями
Pi = —2«i + а2 + а3, р2 = ai — 2а2 + а3,
рз = —ai —а2 + 2аз, (5.17)
Pi = 3ai — ai — а2 — а3.(5.18)
Соответствующие уравнения Эйлера (5.15) интегрируемы по Лиувиллю на уровне первых интегралов (Ai, Ai) = = №, Х2) (т. е. J3 = W Х) = 0).
Рассмотрим твердое тело с двумя эллипсоидальными полостями, оси симметрии которых параллельны главным осям тензора инерции Iih, т. е. в системе отсчета S, связанной с осями тензора Lk, три матрицы I, Di, Di диа- гональны. Допустим, что плотности жидкостей pi, р2 и 282
полуоси эллипсоидальных полостей удовлетворяют условию подобия
dxJdn —(рг/pi)1/5;dxJdn —(рг/pi)1/5;(5.19)(5.19)
dxJdn —(рг/pi)1/5;
dxJdn —(рг/pi)1/5;
(5.19)
(5.19)
тогда р^ 1/2 йц = 921/2^2i = di- Соответствующий гамильтониан Н (5.13) имеет вид (5.16), где
Pi = 4dX ^ + d^V ^Ц + 2 U" - «НУ Ui + d2hyV> 0.
(5.20)
di = pi + Ui + ^0^> /> ^ = 1> 2, 3.
Интегрируемый случай (2.9) — (5.18) не удовлетворяет физическим условиям (5.20), так как из (5.18) следует Р1 + Р2 + Рз = 0, а согласно (5.20) имеем р<>0.
Условия существования интегрируемого случая (2.3) — (5.17) после подстановки (5.20) принимают следующий вид:
dt + d* = 2d43,
RJa = Ix Ui + AF (16^1 (^ + ^) +
+e(</5- »■ № - am + (4 - « (12 Oh^t^ +
di + d2 / (5.21)
HJ3 = Л UX + ^)-1 (8^1 UX + ^) +
-V^UX-dXYUX-d^A-
+ 8^№22 + ^(3^-4^))j
=16 m ux + dX + dX - dy + ЗЛ UX - ^ + d3 d3
+ e«-«)s4-4
Условия (5.21) определяют связь параметров dx, di, da и выражают компоненты тензора инерции /г, А через Л, d\, di, da. При dx ~ di из (5.21) следует di ~ di ~ d3,
283
Ii «12« 21з, поэтому (необходимое физическое условие It + Ij > Ih выполнено.
Таким образом, интегрируемый случай (2.3) — (5.17) описывает вращение твердого тела с двумя эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью при условиях (5.19)— (5.21) и на уровне первых интегралов (М, М) = 0, (Ki, Ki) = (K2, К2). При этом, как показано в § 3, уравнения Эйлера (1.3) — (5.15) интегрируются явно в эллиптических функциях времени.
Замечание. В § 5 гл. VII указана конструкция интегрируемых уравнений Эйлера в прямой сумме любого числа алгебр Ли gl (re, К) и so (re, К). При ге = 3 эти интегрируемые случаи (в прямой сумме к + 1 алгебр Ли 80(3, К)) могут быть применены для описания динамики твердого тела с к полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью.
Лагранжева структура уравнений Кирхгофа
В § 5 гл. X указана связь некоторой лагранжевой интегрируемой системы на группе Ли 80(3), обладающей однопараметрической группой симметрий, и интегрируемого случая Клебша для уравнений Кирхгофа. В данном параграфе мы установим связь уравнений Кирхгофа (и некоторых более общих уравнений Эйлера) с лагранжевыми уравнениями на группе Ли 80(3) (соответственно 80(ге)).
В работах [116, 117] показано, что уравнения Кирхгофа
М = МХй + рХ«. Р = р X о, toi = —l и
(6.!)
^1 = -у 2 (ai-^i + ^С^МгР] + bijPiPjj
1,7=1
совпадают с уравнениями Эйлера на алгебре Ли Е3 и являются гамильтоновыми с гамильтонианом J\= Н ла орбитах Ж4 = Т* (52), определяемых постоянными значениями первых интегралов J2 = (M, р), 7з=1(р, р). В работах [116, 117] доказано, что уравнения Кирхгофа на многообразиях ^4 «сводятся к системе, математически эквивалентной классической заряженной частице, движу- 284
щейся по сфере S2 с римановой метрикой gap (я) ® потенциальном поле U (ж), а также в эффективном магнитном поле Я12(^)», т- е- сводятся к лагранжевым системам на сфере S2, зависящим от параметров 7г = С2, 7з = сз. Этот результат справедлив также [117, 89] для гамильтонианов общего вида
з
В данном параграфе показано, что уравнения Кирхгофа (6.1), (6.2) во всем фазовом пространстве R6 с координатами Mt, р; являются редукцией некоторой лагранжевой системы на группе Ли SO(3), обладающей однопараметрической группой симметрий, причем лагранжиан системы (6.1), (6.2) на инвариантном подмногообразии X4 = Т* (S2) получается из лагранжиана на группе Ли 80(3) понижением порядка по Раусу. Лагранжева система на группе Ли 80(3), отвечающая гамильтониану общего вида (6.2), имеет следующий физический смысл: эта система описывает вращение электрически заряженного твердого тела — гиростата в осесиметричном силовом поле и в постоянном магнитном поле, направленном параллельно оси симметрии. Поэтому любой интегрируемый случай уравнений Кирхгофа определяет некоторый интегрируемый случай динамики .твердого тела в указанных выше полях. Основная теорема 4 доказана для уравнений Эйлера (на специальных алгебрах Ли), обобщающих уравнения Кирхгофа в «-мерном случае.
Пусть матрица Q принадлежит группе GL («, R), матрицы ], С, D, х являются постоянными. Рассмотрим на группе Ли GL («, R) лагранжиан вида
L = Tr ^ (7ю + aJ) со + (Сю + юС) S + Da — V (5), (6.3) где co = <2-1^, S = Q-xxQ.
Утверждение 1. Группа Ли ортогональных матриц SO («) g GL («, R) является инвариантным многообразием лагранжевой системы с лагранжианом L (6.3) на полной линейной группе GL(«, R), если матрицы J, С симметрические, а матрицы D, х кососимметрические.
Это утверждение означает, что экстремали функционала действия S1=^Ldt на ортогональной группе Ли 80(«) являются также экстремалями относительно произвольных вариаций всех матричных компонент.
Прямое вычисление приводит к формулам
ау« Ц L98 1/ U
= \MQ~4’
SQ^
М = Jю + toJ + CS + SC + D, / j = tt^
\ /a v<->g
Поэтому уравнения Лагранжа имеют вид
d dL dLTt8^ 9Q»d dL dLTt8^ 9Q»M — [M, to] —M — [M, to] —- Cto + toC - g, s ^- Cto + toC - g, s ^'-^ = o. (6.5)'-^ = o. (6.5)
d dL dL
Tt8^ 9Q»
d dL dL
Tt8^ 9Q»
M — [M, to] —
M — [M, to] —
- Cto + toC - g, s ^
- Cto + toC - g, s ^
'-^ = o. (6.5)
'-^ = o. (6.5)
Эти уравнения эквивалентны матричному уравнению
•гav 1
(6.6)(6.6)М = VM, to] + Cto + toC — g, s ,
(6.6)
(6.6)
где матрица М определена формулой (6.4).
Если матрицы I и С симметрические, а матрицы D и х кососимметрические, то алгебра Ли кососимметрических матриц 8О(п) является инвариантным подмногообразием для уравнения (6.6), что и доказывает утверждение 1.
Предположим, что все собственные числа матрицы х различны. Тогда стационарная подгруппа Гх матрицы х в присоединенном представлении группы Ли SO(n) является тором Тг размерности г = rang SO(n) = [n/2], По определению элементов ^хеГх имеемQx^^Qx = х. Группа Ли Гх действует на группе Ли SO(n) левыми сдвигами: Q -+ QXQ; при этом действии матрицы о = ^-1^ и S = Q-xxQ не меняются. Поэтому коммутативная группа Ли Гх = Тг является группой симметрий лагранжиана (6.3). Орбита Ох матрицы х в присоединенном представлении группы Ли SO(n) является факторпространством 8О(п)/Гя.
Выделим однопараметрические подгруппы в Гх, имеющие вид (^(s^exptsr26-1). Интегралы Нётер определяются по формулам [120]
Jh<Q, У) = Тг^ v^₽
dQh (s) Qds
., n. (6.7)
Используя формулы (6.4), получаем
J^Q, ^-ТДЛ/СУ^-^НТДЛЗ2^ (6.8)
Вследствие коммутативности группы Ли Гх возможно понижение порядка лагранжиана (6.3) по Раусу при фиксированных значениях интегралов Jh. В результате получаем
Утверждение 2. Лагранжева система с лагранжианом (6.3) на группе Ли SO(n) эквивалентна семейству лагранжевых систем на орбите Ох, зависящему от значений первых интегралов Zi, ..., 1Т.
В локальных координатах qi, ,.., q« на орбите Ох лагранжиан редуцированной системы имеет стандартный вид Lx = Т2 + 7*1 + U, где Т2 — квадратичная функция от 7,-, Т\—линейная функция от q,, U (q)— потенциальная функция.
Определим алгебру Ли A, dim Л = 2 dim SO (re) = = ге(ге — 1). Элементами алгебры Ли А являются пары кососимметрических матриц Ш, 5} со следующими ком- мутационны'ми соотношениями:
[W,, 51), Ш2, 52}] = {[МЬ М^, №, 52] + [5ь М2]}.
(6-9)
В частности, пары (0, 5} образуют коммутативный идеал ‘ А. Пусть G— группа Ли, соответствующая алгебре Ли А.
Следующие 2г функции являются аннуляторами скобок Пуассона в пространстве функций на сопряженном пространстве А*:
J^Tt^MS®-^, J^^Tt^-^, k = l, ..., г. (6.10)
Поверхность постоянного уровня аннуляторов (6.10) определяет орбиту ОШ, S} присоединенного представления группы Ли G. Используя интегралы (10), несложно показать, что ОШ, S} — Т*ОХ (см. также [149]).
Дополнив уравнение (6.6) уравнением, следующим из определения матрицы S, получим замкнутую систему уравнений
М = \М, го] 4- [Сю + <йС - g, S , S=[S,a], (6.11)
?де матрица М определена формулой (6.4). Уравнения (6.11) являются уравнениями Эйлера в сопряженном
287
пространстве Л* к алгебре Ли А (6.9) и имеют гамильтониан
Я = Тг |^ ^® + ®Z) ®] + v (8). (6.12;
Орбиты ОШ, S} инвариантны относительно системы (6.11). Нетрудно проверить, что аннуляторы Ji, ..., Ji, являются первыми интегралами системы (6.11). Согласно общей теории [120] уравнения (6.11) гамильтоновы на орбитах ОШ, S') = Т*ОХ в симплектической структуре, определенной структурой алгебры Ли А (всюду 8 = = Q"4Qy .
Теорема 4. 'Уравнения Эйлера (6.11), (6.12) в сопряженном пррстранстве А* при фиксированных значениях интегралов Jr+\, ■■■, ^г (6.40) (г. е. фиксированы матрица х и орбита 0^ являются редукцией лагранжевой системы на группе Ли SO(re) с лагранжианом (6.3). Уравнения Эйлера (6.11), (6.12) на орбитах ОШ, S}— = Т*ОХ эквивалентны лагранжевым уравнениям на орбитах Ох, причем соответствующий лагранжиан L\ получается из лагранжиана L (6.3) понижением порядка по Раусу в силу наличия группы симметрий Гя = Тг.
Доказательство основано на вычислениях п. II и на совпадении интегралов Нетер (6.8) и первых г интегралов (6.10). Справедливы обобщения теоремы 4, где группа Ли SO(re) заменяется на произвольную полупростую группу Ли.
В трехмерном! случае перейдем к векторной записи уравнений Кирхгофа (6.1). Воспользуемся изоморфизмом векторов 6) Е Д3 и матриц со е so (3):
УГ^М№ = -МЧцн, (М, со) = -Атг(Мю), _ _ . _ (6.13)
Zo-^/o + coJ, J = у (TrZ) Е - I, Q-^^Q^eQ.
Здесь I — симметричный оператор, Q — ортогональные оператор. В силу (6.43) лагранжиан —Lj2 имеет ви; (см. (6.3), (6.4)) ’
La = у (М, со) + (Сю, q) + (d, со) — V (q), (6.14
где М = 1<» + Cq + d, q — вектор Пуассона, соответствующий матрице 5, q = 2-1е; d и е — постоянные векторы, I и С — операторы. Уравнения Эйлера (6.11) принимают
вид уравнений Кирхгофа
.•6V
М = М х 6) + ч X “- q = q X ®, и = — Cto + -^,
(6.15)
Я = А (/-1 (М - Cq), (М - Cq)) -(/^(М - Cq), d) + V(q).
Рассмотрим вращение электрически заряженного твердого тела Т (с плотностью электрических зарядов а (г)) вокруг неподвижной точки в постоянном магнитном поле с .напряженностью Нив некотором осесимметричном силовом поле (например гравитационном), ось симметрии которого q параллельна вектору Н, Н = Haq. Соответствующая функция Лагранжа имеет вид
L3 = у(М, ш) + 4 J (A, v)o(r)d3r —V (q), (6.16) г
где с — скорость света, v = to X г, вектор-потенциал А = уЯоцХг- Вычисляя интеграл в (6.16), получаем
£3 = 1(М,в>) +|сЯ0(®, Aq)-^(q),(647)
где тензор 7е имеет компоненты
„ /з\
Irik = 6ih 5 W — ГгГк О (Г) d3T.
\ 1=1/
Лагранжиан (6.17), очевидно, относится к типу (6.14). Поэтому в силу теоремы 1 соответствующие уравнения Лагранжа эквивалентны уравнениям Эйлера на алгебре Ли Е3 с гамильтонианом вида (6.15).
В работе [150] путем прямого сопоставления уравнений движения установлено, что уравнения вращения электрически заряженного твердого тела в постоянном магнитном поле являются специальным вырожденным случаем уравнений Кирхгофа. Этот факт получает простое объяснение после доказательства теоремы 1 о лагранжевой структуре уравнений Эйлера на алгебре Ли Е3. Действительно, уравнения вращения твердого тела в рассматриваемом случае являются лагранжевыми на группе Ли 80(3) с лагранжианом Е3 (6.17) при V(q)=O, а этот лагранжиан является специальным случаем общих лагранжианов (6.14) уравнений Эйлера на Еа (уравнений Кирхгофа).
19 о. И. Богоявленский289
Лагранжев подход показывает, что уравнения Кирхгофа с произвольным потенциалом K(q) в (6.16) имеют важный физический смысл — это уравнения вращения электрически заряженного тела (являющегося гиростатом при d =^ 0) в постоянном магнитном поле и осесимметричном силовом поле. В случае квадратичного невырожденного потенциала V (q) получаем классические уравнения Кирхгофа с однородным квадратичным гамильтонианом Яг(М, q) вида (6.1), где pt заменено на q,. Никаких физических ограничений и связей на коэффициенты гамильтониана Н2 нет, кроме известных ограничений на компоненты тензора инерции Ik = аГ1- Вследствие этого все классические интегрируемые случаи для уравнений Кирхгофа [119] реализуются также в задаче о вращении электрически заряженного твердого тела в постоянном магнитном и осесимметричном силовом поле с квадратичной потенциальной функцией V(q) (некоторые интегрируемые случаи найдены в [151]).
ГЛАВА XII
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ В МОДЕЛИ ВРАЩЕНИЯПУЛЬСАРА
Пульсары ((нейтронные звезды) согласно современным представлениям [152] имеют твердую оболочку и жидкое ядро, которое обладает высокой проводимостью (жидкость является плазмой) и имеет сильное вмороженное магнитное поле; основная масса пульсара заключена в жидком ядре. Периодически происходят «звездо- трясения» пульсара, наблюдаемые в виде сбоя периода его вращения. В промежутке времени между двумя такими явлениями реализуется асинхронное вращение ядра и оболочки пульсара. Время релаксации для пульсара Вела (PSR 0833-45) т ~ 6 лет, тогда как период вращения Р = 0,089 с. Поэтому влияние вязкости крайне мало и в качестве модели ядра можно рассматривать идеальную несжимаемую магнитную жидкость.
В данной главе предлагается модель Вращения пульсара, учитывающая магнитные свойства ядра и асипхроп- ное вращение ядра и оболочки (§ 1). Модель применима в течение конечного отрезка времени t; Р ^ t < т в интервале между двумя «звездотрясениями», когда можно пренебречь потерями энергии на вязкое трение и электромагнитное излучение.
Динамическая система, описывающая вращение модели пульсара, выведена в § 2 и состоит из девяти обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих простую векторную запись (2.12). Эта система имеет четыре первых интеграла <4, причем /1 является интегралом полной энергии пульсара, /2 является квадратом полного момента импульса, /з определяет величину вмороженного магнитного поля, a Л определяет скалярное произведение вектора вихря скорости жидкости и вектора напряженности магнитного поля (§ 3).
Важнейшим математическим вопросом в исследуемой модели является наличие периодических решений, поскольку вращение пульсара в течение длительного вре- 19* 291
мени является периодическим с высокой точностью. В § 4 показано, что на многообразиях уровня первых интегралов h = А<; А4 = О существуют 12 замкнутых траекторий динамической системы (для целой области значений констант АД. Эти траектории проинтегрированы в явном виде в эллиптических функциях времени. В рассматриваемой модели обнаружены мапнитаротацисиные колебания, для которых угловая скорость вращения пульсара периодически меняет знак; такие колебания принципиально связаны с наличием магнитного поля. Выведена формула (4.12), выражающая минимальный период вращения и магниторотационных колебаний пульсара через его физические параметры. Для реальных значений параметров предсказываемый период вращения То~ 1с, что хорошо согласуется с астрофизическими данными.
Динамика модели пульсара обладает важными математическими свойствами: динамическая система (2.12) является специальным случаем уравнений Эйлера в со- пряжеином пространстве L* к алгебре Ли группы 63 X XSO(3), где бз— группа движений трехмерного евклидова пространства. Эта-система на инвариантных многообразиях уровня интегралов 7г = Аг, 7з — Аз, 74 = А4 гамильтонова с гамильтонианом 7i; в § 3 указаны некоторые интегрируемые случаи.
Магнитогидродинамическая модельвращения пульсара
В рассматриваемой модели пульсара предполагается: 1. Оболочка пульсара является абсолютно твердой и обладает бесконечной проводимостью. Жидкое ядро с постоянной плотностью р заполняет эллипсоидальную полость с полуосями di, da, ds. Выделена система отсчета 5, жестко связанная с оболочкой, начало которой находится в центре масс пульсара, а оси параллельны главным осям эллипсоида. В системе S центр эллипсоида О имеет координаты г1, г2, г3.
Вращение оболочки пульсара определяется ортогональной матрицей Qi (t). Движение жидкости в полости описывается уравнениями магнитной гидродинамики
р d^ldt = —grad р + (rot Н X Н) /4л — р grad Ф,divv = 0, SH/St = rot(v X Н), divH = 0,^’^
где v — вектор скорости, р — давление, Н — вектор напряженности магнитного поля, Ф — ньютоновский гравитационный потенциал внутри жидкости. Движение жидкости является движением с однородной деформацией [154, 158], причем преобразование из лагранжевых координат ак в эйлеровы координаты х' имеет вид
з
^ = 2 W + (№ft), Е = Q.DQ,. (1.2) к=1
Здесь Qi^ — ортогональная матрица, А3-= Абу; лагранжевы координаты а" пробегают единичный шар (а*)2 + + (а2)2Ъ(а3)2<1.
Напряженность магнитного поля Н1 в точке (1.2) имеет вид
з
^=2 Е^а\(1.3)
й,; = 1
где ||/4 ||— постоянная кососимметрическая матрица.
Электромагнитное поле имеет разрыв на границе раздела Ф1—жидкость-оболочка, с обеих сторон которой магнитное поле касается поверхности эллипсоида и вморожено в сроду.
Покажем, что на границе эллипсоидальной полости (поверхность разрыва) выполнены все необходимые граничные условия. Пусть НП1 Н„ Еп, Ev vn, щ— нормальные и касательные составляющие магнитного поля, электрического поля и скорости жидкости па поверхности эллипсоида. Условия на разрыве в магнитной гидродинамике имеют вид [153] (теплопроводностью пренебрегаем) ■:
(Рт}=0, Ш = 4л9, (Яп} = 0, (Ят) =4лс-'(1Хп),
(1.4)
{ры„} = 0, {sn — (Р • v)n +рщ. (е + v2/2)} = О, (1.5) (py„v — Р • п — Т • п) = 0,(1.6)
8 = с(ЕХН)/4л, Ру = -р6у, Гу=-(ЯД3-Н26у/2)/4л.
Здесь (X) = Xv — X- — скачок величины X на поверхности разрыва, 9 — поверхностный заряд, i — поверхностный ток, п — вектор нормали к поверхности разрыва, s — вектор плотности потока электромагнитной энергии, Ри Т — матрицы с компонентами Рц, Тц; е — плотность внутренней энергии жидкости.
В силу (1.2), (1.3) имеем vn = 0, Нп = 0. В приближении магнитной гидродинамики Е =— (vXH)/c, поэтому Ет = 0. Внутри оболочки v = 0, поэтому здесь электрическое поле Е = 0. Следовательно, условия (1.4) выполнены и определяют поверхностный ток и поверхностный заряд, при этом со стороны оболочки Н„ = 0, Ет = = 0, Е„ = 0. Условия (1.5) выполнены в силу г„ = 0, sn = 0.
Условия (1.6) в силу vn = 0, Еп = 0 приводят к условию (р + Н2/8л} = 0. Это условие определяет давление со стороны оболочки и поэтому в случае абсолютно твердой оболочки также выполнено.
Электромагнитное поле имеет разрыв на внешней границе раздела Фг — оболочка-вакуум. Электромагнитное поле в окружающем вакууме может быть, например, полем магнитного диполя. Предполагается, что это поле вращается вместе с пульсаром; излучение электромагнитных волн не учитывается. Условия (1.4), (1.6) определяют поверхностный ток и давление в оболочке на границе Фг (поверхностный заряд 0 = 0, так как в силу бесконечной проводимости оболочки имеей Е = 0 и, следовательно, (ЕД = 4л0 = 0). Граничные значения магнитного поля, определенные на двух поверхностях Ф) и Ф2, сшиваются некоторым магнитным нолем Но внутри оболочки. Уравнения Максвелла внутри оболочки сводятся к условию вмороженности поля Но и к определению объемного тока j = с(4л)-1 rot Но, при этом никаких дополнительных ограничений не возникает.
Динамика модели пульсара рассматривается в течение промежутка времени, когда влиянием вязкости жидкости и потерями анергии на электромагнитное излучение можно пренебречь.
Динамика твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной магнитной жидкостью
Уравнениями движения (относительно центра масс) твердого тела с полостью, заполненной магнитной жидкостью, являются уравнения магнитной гидродинамики (1.1) и закон сохранения полного момента импульса. Введем обозначения:
Qi = QiA, Q2 = -BQ2 (2.1) и воспользуемся изоморфизмом векторов с компонентами 294
pf в R3 и кососимметрических (3X3) матриц с компонентами У№:
3
V Vik = — 2 иец^(2-2)
г=1
при котором векторное произведение векторов х X у переходит в коммутатор матриц [X, У] = ХУ—YX. После этого изоморфизма кососимметрическим матрицам А и В отвечают векторы с компонентами А\ В*, i = 1, 2, 3.
Момент количества движения жидкости в полости (относительно центра масс) имеет вид (всюду интеграл берется по объему полости)
м; = р J (х х vr ^ ^ ^з =
3
= 2 (2 ^И^зк + (^i)}^^^,
М = mv (FF1 — FF*) = m^ (D2A + AD2 - 2DBD) (4, /3\
l'h = ml 6jA 2 ^У — Угк > m = 4npd1d2d3/3, m1 = m/5, \z=i/
где m — полная масса жидкости, индекс t означает транспонирование, Mik — компоненты матрицы М.
Вектор М = /щМ полного момента количества движения твердого тела и жидкости в системе отсчета S имеет следующие компоненты:
з
М1 =^IihAh-^B\h=iа)
Лк = g^i + тГ1 (1^к + 1^У gi=d^ + d^ у, = 2^^, где Ilk— тензор инерции твердой оболочки в системе S; г, j, I = 1, 2, 3.
Закон сохранения полного момента количества движения имеет вид
М = МХА.(2.4)
Три последних уравнения магнитной гидродинамики (1.1) выполнены тождествеппо в силу определений (1.2) и (1.3). Переходя к преобразованию первого ураинепия (1.1), отметим, что гравитационные силы в случае идеальной несжимаемой жидкости эквивалептиы переопределению давления р1=р + рФ и поэтому не оказывают
влияния на динамику рассматриваемой модели. Эффективное давление рх для движений с однородной деформацией является квадратичной функцией координат:
Pi = Po№+ 5 (рм^ага3 + Pi (<)аг),
<0=1
где рц(<) —компоненты симметрической матрицы Рб^. Подставляя указанную формулу и формулы (1.2), (1.3) в первое уравнение (1.1), получаем, что это уравнение эквивалентно следующим матричному и векторному уравнениям:
р^ = - (F-1) % + ((Тф1)'7iF'F,7i + F/г2)/4л,
Piv) —2-1 Pi \Xl)lr •
h,l=l
Обозначим Ко= F*F — F‘F; очевидно, R0 = F‘F— — F*F — антисимметричная часть матрицы FlF. Симметричная часть этой матрицы определяет матрицу Po(t): 2Po = -p(P'P + F'F) +
+ (2л)-xhF(Fh + (4л)"‘ ^FlF№ + №Р1Р). (2.6)
В силу (2.5) имеем
p/to=i(4H)-1(A2F'F-FW).(2.7)
Используя определение (2.1), получаем:
Fo = Q\KQV К = D^B + BD2 - 2DAD, FfF = Q^D^.
(2-8)
При помощи этих формул уравнение (2.7) преобразуем к эквивалентному виду:
К = \К, 5] + х YQ^QX, О2], х = (4лр)Л (2.9)
где квадратные скобки означают коммутатор матриц. Обозначим и = QzhQ^, тогда в силу (2.1) получаем
й = [щ 5],[м2, D2] = [u, uD2 + B2u],(2.10)
После изоморфизма (2.2) кососимметрической матрице и отвечает вектор и с компонентами и', и2, и3; матрице К и матрице х (uD2 + D2u) отвечают векторы К и w, имеющие следующие компоненты:
К1 = gJP — 4tAf, w1 = xgiU*, i, ], к = 1, 2, 3 (2.11)
(здесь нет суммирования по i). В векторных обозначениях (2.3), (2.11) уравнения (2.4), (2.9) и (2.40) определяют полную систему уравнений, описывающих динамику твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной магнитной жидкостью:
М=МХА, K = KXB + uXw, u = uXB. (2.42)
Уравнения (2.42) полностью определяют зависимость матрицы F от времени, поэтому уравнение (2.6) и второе уравнение (2.5) позволяют найти матрицу Pd(t) и коэффициенты Pi(t), т. е. вычислить давление внутри жидкости (с точностью до несущественной аддитивной постоянной).
Уравнения (2.12) являются обобщением классических уравнений движения тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью [148], и выведены впервые в работах [423, 1,24]. Классический случай соответствует отсутствию магнитного поля и получается из (2.42) при и = 0.
Первые интегралы динамической системы.Интегрируемые случаи
Важнейшим интегралом динамической системы (2.12) является интеграл полной энергии Е (без постоянной гравитационной энергии), который складывается из кинетической энергии жидкости Е\, внутренней энергии магнитного поля Ei и кинетической эи'д>гии вращения твердого тела Ез:
^1 = -^ dx1 dr2 dx3 = 1 Го1 Тг (^^ + 42 10гкАгАк,
(3.1)
^ = J ^ dx1 dx3 dx3 = ^ Tr {к1РгРк) d^d^, з
^3 = 42 JVa\ E = E1 + E8 + Ey i,j=l
Используя в этих формулах обозначения § 2, получаем: 227 = 2M+ = (M, А) + (К, B) + (u, w) =
з
= X {1гкА1Ак~2у^В1 + g^B^ + xg^YY (3.2) i,ft-=l
gi = dj + dX, Yi = 2djdk, i, j, к = 1,2, 3.
Очевидно, М1 = дН1дА*, К=дН!дВ\ wt = dHldu'. Не- посредственной проверкой легко убедиться, что функция J\ = Н — первый интеграл системы (2.12). Эта система имеет также еще следующие три первых интеграла:
/2 = (М,М), J3 = (u, u), /4 = (К, °). (33)
С точностью до множителя интеграл /г есть квадрат полного момента количества движения, /з — квадрат вектора h напряженности магнитного поля в лагранжевых координатах, Л — скалярное произведение вектора вихря скорости жидкости и вектора h. Совместный уровень трех интегралов (3.3) определяет шестимерное многоооразие ^6 = T(S2)XS2 — произведение касательного пучка к двумерной сфере на двумерную сферу S2.
Система (2.12) представляет собой специальный случай уравнений Эйлера в сопряженном пространстве L* к алгебре Ли L, являющейся суммой алгебры Ли группы Сз движений трехмерного евклидова пространства и алгебры Ли SO(3). Многообразия Ж6 являются орбитами коприсоединенного представления группы Ли G = Ga X X SO(3) в пространстве L*, поэтому па этих многообразиях стандартным образом [120] определяется симплек- тическая структура; система (2.12) па Жй гамильтонова с гамильтонианом Н.
В случае шаровой полости (dt = d^ = da1) магнитное поле не влияет на динамику системы и уравнения (2.12) сводятся к обычным уравнениям Эйлера вращения некоторого эффективного твердого тела. В случае осевой симметрии твердого тела и полости
= d2, ? = (0,0, г3), 11к = Л6-, Л = /2
уравнения (2.12) имеют дополнительный первый интеграл Ja = М^ + К? и инвариантны относительно группы одновременных поворотов в плоскостях (Л/1, Л/2), (Х',К2) и (и\ и.2). Поэтому система (2.12) на совместном уровне первых интегралов (3.3) и Js и после факторизации по указанной группе сводится к гамильтоновой системе па четырехмерном многообразии, которая, вообще говоря, не- интегрируема.
Рассмотрим важный случай нулевого полного момента количества движения системы Z2 = 0. Предположим, что центр масс находится в центре эллипсоида (Р = 0) и тензор инерции твердого тела диагоналей: Г*1к = /^, 298
и системаи системаТогда в силу (2.3) Аг = у5Уг (g^ 4- тг Vi) 1 (2.12) принимает вид
и система
и система
K = KxB + uXw, u = u X В, В" = дН/дК\ и? = дН/ди\ _3
2Я = 2 №Т + ^г WY Ь = 8г- ^ Ui + ^Т- i=l
Уравнения (3.4) аналогичны классическим уравнениям Кирхгофа движения твердого тела, имеющего три плоскости симметрии, в идеальной несжимаемой жидкости. Из теории уравнений Кирхгофа известно, что система (3.4) при выполнении условия Клебша [111]
/1 (?2 — №) + /2 (№ — gi) + Ш\ — g2) = о (3.5) имеет дополнительный первый интеграл
/ = (tf')2K(£2)2+(iP)2 + xMgi^^
+ x/i(№-g3)(n2)2 (3.6) и поэтому полностью интегрируется.
Покажем, что при любых значениях полуосей эллипсоидальной полости d\, dz, di существует двухпараметрическое семейство значений тензора инерции твердого тела Л, для которых соотношение (3.5) выполнено, т. е. динамика системы интегрируема на уровне Л = 0. Пусть di > d\ > d^; введем следующие обозначения;
Pi = 1 + т]-1Л^71> К 24 = d^1, т2 = d^dg1, т2 <_ 24 <1,
(3.7)
04 = 2т2 (1 + Ti)-1, a2 = 2^ (1 + z2)-1, a3 =
= 2x^2 (24 + т2)-1.
Из формул (3.4) получаем А = gi (1 — о^рГ1)- Уравнение (3.5) после подстановки (3.7) и несложного преобразования принимает вид
*1 С1 ~ *1) , Х2 (Z2— 0 , ^г (Х1 -~Х2) = Q ,о ОУ
₽2(1 + ^)^(^ + 1) ₽зРт + ^)( }
Из уравнения (3.8) при 0 < т2 < Ti < 1 и двух произвольных параметрах р2, Рз>0 находим Pi>0. Решения уравнения (3.8) допускают преобразование р, -*^р„ поэтому
299
при достаточно большом X получаем двухпараметрическое семейство решений с ^ = Х^>1. После этого из (3.7) находим соответствующие компоненты тензора инерции твердого тела 7,. В частности, уравнение (3.8) имеет решения, ДЛЯ КОТОРЫХ Х1 « х2 « 1 И 01 * 02 * 0з! в этом случае при больших X выполнены также и необходимые условия Л < 7, + Ih.
Известный интегрируемый случай С. Л. Чаплыгина [108] для уравнений Кирхгофа также приводит к интегрируемому случаю рассматриваемой системы. Уравнения (3.4) при условиях
/г=/2 = 2/з, g3 = (gi + ^)/2, 74 = 0(3.9)
имеют дополнительный первый интеграл
Л = (ТО2 - (W) /з-1 + К (d? - d2) (М3)2)2 +
и поэтому полностью интегрируются. После подстановки выражений (3.4), (3.7) легко убедиться, что уравнения (3.9) имеют трехпараметрическое семейство решений ф, 7ft, удовлетворяющее всем необходимым условиям.
Периодические решения
Матрицы Qi(f), Qik^ для периодических вращений модели пульсара являются периодическими функциями времени с одинаковым периодом. Таким решениям соответствуют замкнутые траектории системы (2.12); обратно, если замкнутые траектории системы (2.12) образуют трехмерное множество, то некоторое его всюду плотное подмножество соответствует периодическим вращениям Q\W, что и приводит к периодическому изменению внешнего электромагнитного поля пульсара.
Покажем, что при выполнении условий Iih=(gt + 7<)б1к и 74 = 0 на открытом множестве поверхностей уровня интегралов Jv=kv, J2 = k2, h = k$ существует 12 замкнутых траекторий системы (2.12).
Интеграл ]\ =Н (3.2) при Iik =(gi + 7()6,6 имеет вид
з
2^ = 2 ^М^ + ^MiKt + Ь^ + Hg^,1-1(4-il)
«г = giSi, Ci = YiSi, bi = (gi + I;) Si, Si = ((gi + Ii) gi—^i)-1. 300
Система (2.12) ига уровне 74 = 0 имеет три инвариантных подмногообразия Pit ^д = Mi = Mj = Ki = К; = 0 (z, 7, /с =1,2,3). На многообразии V* уравнения (2.12) и интегралы (3.2) —(3.3) принимают вид
Йз = x(g2 — gi)uiu2, <ц=и2Вз, й2 = —и\Вз, Л73 = 0,27^ = а3Мз + 2с3М3К3 + b3K3 + xg1u1 + х^Иг, (4-2)JV= М3, 73 = и? + «2’ Вг = с3М3 + Ъ3К3.
Поверхность уровня интеграла 7г = /<2 состоит из двух компонент М, = е&У2, е = ± 1. На каждой компоненте многообразие уровня интегралов 7i = ki, Ja = /с3 является пересечением эллипсоида (7i = /ci) и цилиндра (7з = ^з), имеющих общую ось Кз, и либо состоит из двух замкнутых траекторий системы (4.2), либо пусто (число этих замкнутых траекторий одинаково для обеих компонент М3 ~ е/с^2)- Всего на трех инвариантных подмногообразиях V* в зависимости от соотношения 7ц J2, J3 получаем 12, 8, 4 или 0 замкнутых траекторий, причем при 2^ > J2 шах («г — сЦЪ^ + xJ3 max (g;) имеется ровно 12 замкнутых траекторий.
Указанные замкнутые траектории описывают вращение пульсара вокруг неподвижной оси. Максимальное число таких траекторий (4 для каждог/ из трех осей) соответствует двум возможным направлениям полного момента импульса пульсара и двум возможным направлениям вращения жидкого ядра относительно оболочки.
Уравнения (4.2) после подстановки Кз = (53 — С3М3)/ ,Ъз принимают вид классических уравнений Эйлера
Йз = —№и\и2, й\=и2Вз, й2 = —И1Вз, (4.3) где (о = х63(^1 —£2). Вычислим период замкнутых траекторий системы (4.2)—(4.3). Интегралы системы (4.3) запишем в виде
I = В3 + mzz2, J3 = к2 + и2.(4.4)
Пусть d2>d\, тогда to = xb3(d2—di)>0. Выражая Ва и и2 в силу (4.4) через их и подставляя в (4.3), получаем и^^з-и^^-юи^У'2.(4.5)
Решения уравнений (4.5) имеют вид [155]
щ =(Z/co) */2 sn т, т =(ю73)1/2((_ (0),(4.6)
где sn г — эллиптическая функция Якоби, отвечающая параметру к2 = Z/(coJ3). После подстановки (4.6) в (4.4) получаем:
В3 = Z1/2cn т, иа = J^2 dnT.(4»7)
Период эллиптических функций (4.6)—1(4.7) определяется формулой
Т = 4 (mJ^2 J (1 - к2 sin2 а)-1/2 da. (4.8) О
Это и есть период замкнутых траекторий системы (4.2) — (4.3).
Найдем минимальное значение периода Т. реализующееся для моделей реальных пульсаров, т. е. при di « d2 ~ d3 « R и при постоянных J3, Z3, р. Функция Т (4.8) достигает минимума Тт при к = I = 0, т. е. для малых колебаний, происходящих в окрестности оси u2 (S3 = = иг=0); при этом 7’т = 2лф(о/3)""1/2. Такие колебания асимптотически имеют вид (Z<4):
иг = Z1/2 sin (g)1/2U2 (t — Zo)),
B3 = (Z(o)1/2 cos (g)1/2U2 (t — Zo)), u2 = u2-(4-9)
После подстановки формул (4.1) и (4.3) в (4.7) при к < 1 получаем:
Тт = 2я(4лр//3) 1/2K(di, d2, Z3),
К = (d? + d2 + /3)~1/2 (d2 - d2 + /3 (d? + d2) (d2 - d^Y'2,
I s = 77l1 1 (/3 + I3\
Функция К достигает минимального значения Km при d2-d? = (/3(d? + d2))1/2, Km =
= 21/2 (/3 (d? + a^y14 UI + ^ + 13УШ. (4.Ю)
Отсюда получаем минимальное значение периода
Т, - 4п-й(2р/7,)•'’(/,(<: + «№'*№ + ^ + Л)-1'1.
(4.11)
Для реальных пульсаров имеем [1152]: di « d3 ~ d3 « « R ~ 4 О6 см, плотность вещества жидкого ядра р ~ ~ 1014 г/см3, плотность вещества оболочки pi ~ 108 г/см3, толщина оболочки г ~ 104 см, величина маппгтного поля на поверхности пульсара |Я| ~ 1012 Гс (все численные значения определены только по порядку величины). Со- 302
гласно определению (1.3) максимальное значение напряженности маинитного поля на поверхности эллипсоидальной полости дается формулой |Н|=Д1Ы. В силу определения и = Q2hQ2 имеем Уз = Iu12 = ]h12, поэтому J3 = = |Н|/Д. Тензор инерции оболочки при r-cR имеет вид
Ik = -| Л^грДк.
Естественно предположить, что центр масс пульсара близок к центру эллипсоидальной полости, причем ir'l < < R (2rpi/Rp) и2, тогда | Ik | = V | Ik |’ где 7 < 1 (см. (2.3)). Для компоненты 13 получаем формулу
I3 = т?1 (/3 + 7з) =Ю(1+ V) Rrpjp.
Подставляя найденные выражения в формулу (4.41), получаем:
70 = 8л3/2(5(4 + ч)/4) ^Ip1/2/?//"-1 (rpi/7?p)1/4. (4.12)
При этом в силу (4.10) имеем da = t/i(l + 5(1 + у) rpi/ /Др)1/2. После подстановки указанных выше численных значений находим da = d< (1 + (5(1 + 7)) 1/240~4), 7о = 5 с. Полученное значение 7о аппроксимирует период Т = = 3,75 с пульсара PSR 0527. Учитывая неточность определения численных значений всех величин в формуле (4.12), полученную оценку минимального периода вращения пульсара То (4.42) можно считать достаточно хорошо согласующейся с астрофизическими данными. Например, положив Н = 5 • 1012 Гс (что весьма правдоподобно), получим 7о~1 с, а такое значение периода характерно для многих пульсаров, например, PSR 0628 (7 = = 1,24 с) PSR 1133 (7 = 4,49 с) и др. [152].
Траектории системы (4.3), удовлетворяющие условию
№ + d2)-Vo > J3 > (d2 + d^'X
JQ = (2JT — (a3 — c3/b^) J2) x ’
движутся вокруг оси ua(B3 = щ = 0), как и траектории (4.8). Для таких траекторий за период одного колебания матрица Qa не изменяется, так как Qa = — RQa и <^>3Bdt = 0; при этом матрица (Д(1 + T^Qi1^) определяет поворот вокруг оси х3 на уго-л Аф = ТМаШ- Условие Аф = 2лр/д (р и q — целые числа) определяет значения момента импульса |Ml = mi lAfal = 2лрт1/з/д7, обеспечи-
вающие строгую периодичность вращения nyaipcapa (с периодом qT).
При 7зх min(gi) < 71 < 7зх max(gi) и 72^1 на поверхности уровня 7, = kt существуют 8 замкнутых траекторий, вдоль которых величины Кз, Вз, А3 = азМз + сз^з меняют знак. Таким траекториям отвечает немонотонное вращение пульсара вокруг оси хз, при котором угловая скорость оболочки и внутреннего вращения жидкости периодически меняют знак (частным случаем являются колебания (4.9) при | М31 < (tolf^Cg (а3Ь3 — Сз)-1)- Этот вид движения реализуется только при наличии внутреннего магнитного поля И (/] ^ <72.
Магниторотационные колебания несжимаемой жидкости в цилиндрически-симметричном случае (объект бесконечен по оси хз) изучались в работе [156]. Существование некоторых периодических траекторий системы (2.12) можно установить, используя работу [117], так как при 72 = 0 система (2.12) переходит в уравнения Кирхгофа.
Важное .значение имеют также решения, которые на многообразии Жй уровня интегралов 7г = /с2, 7з = ^з, Ц — к^ обладают минимальной полной энергией 7]. Такие решения в силу положительной определенности энергии 7] существуют на каждом многообразии уровня интегралов 7г, 7з, /4 и соответствуют некоторым стационарным точкам системы (2.42). В стационарных точках системы (2.12) выполнены следующие условия:
А = ХМ, B=ctu, w = aK+^u. (4.43)
Соотношения (4.43) после подстановки формул (2.41) принимают вид
Ui — aXztMi, Ki=(xgi —^)kztMt, z{ = ^(<z2 — x)gi + [})*’,
8
X ^i = 2 JihMh, Jih — hh— Tia2Zi6jh. (4.14) k=l
Отыскание особых точек сводится, таким образом, к нахождению собственных значений и собственных векторов матрицы 7is. Твердотельное вращение (а = 0) и чисто внутреннее вращение жидкости (л = 0) реализуются только для вырожденного множества особых точек, лежащих на двухпараметричеоком множестве многообразий Ж^. В общем случае (4.13) — (4.44) матрицы Q\^ и QAA описывают периодические вращения с периодами Т\ и Т^. Если периоды Т\ и Т^ соизмеримы, то решение является строго периодическим.
ДОПОЛНЕНИЕ
СИСТЕМЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА,ДОПУСКАЮЩИЕ ОПЕРАТОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
§ 1, Система гидродинамического типа, связанная с моделью Вольтерра
I. Пусть L— симметрическая матрица, имеющая вид матрицы
Якоби:
ГО
“1
0
... 0
0
“1
0
а2
... 0
0
0
a
0
... 0
0
L =
2
.(1.1)
0
0
0
0
^п—х
0
0
0
•■• “п-1
0
Матрица А является кососимметрической и имеет следующие ненулевые элементы
Ai,г + 2 = Xi,Ai+2,i = —Xi, Z = 1, . . ., П — 2.(1.2)
Рассмотрим для указанных матриц L и А операторное уравнение
Li = LL„L + [L, А].(1.3)
Это уравнение эквивалентно системе уравнений
Oi(Oi + l)s“< + 2 = O«+2^i —Ог^г + ЬI = 1, . . ., 71— 3,(1.4)
(°i)t = т “i ((“i-l)y + (“i)y + (ai+lX) + “i-A-l + “i+A (L5>
Для разрешения уравнений (1.4) относительно неизвестных st сделаем подстановку
Xi = а<сц + 1Ьь(1.6)
В силу (1.4) получаем
Ah)A+i = bi~bi+v(L7>
Решение этой системы имеет вид
й=г
2 Wa1-^,(1.8)
h=l
где р — произвольная функция от t, у.
20 О. И. Богоявленский305
Система (1.5) после подстановки формул (1.6), (1.8) принимает вид
(
h=i+lй=г-2
(ai)y + 2ai+i 2 Ж1-2»; 2 ^Vk1^к=1h-1
+ Р«1-<1))- с1-9)
Таким образом, система (1.9) допускает операторное представление (1.3), и поэтому, согласно основной лемме § 2 главы II, собственные числа Д(1, у) матрицы L (1.1) удовлетворяют уравнениям
/м=<-(1-Ю)
Система (1.9) при р = 0 входит в класс систем гидродинамического типа [92, 174, 175]. Собственные числа /*(1, у) в силу уравнений (1.10) являются инвариантами Римана. Число этих независимых инвариантов равно [п/2], так как собственные числа матриц Якоби (1.1) симметричны относительно нуля. В силу уравнений (1.10) собственные числа f^t, у) опрокидываются. Поэтому так же ведут себя и общие решения системы (1.9) (и системы (3.9), (3.13); см. § 3).
Система (1.9) при отсутствии зависимости от у переходит в классическую систему Вольтерра.
После подстановки at = exp (ut/2) система (1.9) переходит в систему уравнений
fe=i + lк=г—2,.
•<.=VM«"*« 2 »п-'”‘-‘ 2 %+₽(«"'«-.“'-О.
(1.11) которая имеет следующий вид:
п—1
7-11
Я = уТгЬ2 = еи1-]-е"2+ ... + е""-1.(1.13)
Операторы Aij являются кососимметрическими и имеют вид
П —1
^' = ^+2 ъкик^^. [(114)а к=1
Здесь коэффициенты g*I симметричны, I11 и 6^ кососимметричны и постоянны и не равны пулю только в следующих случаях
g« _ gl-i + l == 1, /I,i+1 _ _ /i+М =
^,i+l_— ji+l,i _ | прп 1^Д^г.(115)
Операторы Aij (1.14) имеют вид операторов, определяющих скобки Пуассона гидродинамического типа [92]. Справедливо тождество
a(gi^8u.h = bik4bt(1.16)
в силу которого символы Кристоффеля Г1&,
определяют постоянную связность, согласованную с метрикой g'3.
В силу тождества (1.16) скалярное произведение двух функций F(u) и G(u):
<F,G> = f(1Л8)
J 01^ OU- 3 является кососимметрическим.
Коэффициенты g-13, b^3 можно представить в виде
gi3 = f34-^\ b^ = 8f3/8uh.(1.19)
Здесь коэффициенты ч*3 являются ненулевыми только в следую..1 . .1. . 1
щих случаях: V" = "2", уг,г+1 — Tf + Sj, у,+1’г = у—У{, St = к = г
= 2 Координаты и, ..., un-i ввиду (1.19), согласно терми- h= 1
нологии работы [92], называются лиувиллевыми.
Отметим, что постоянная связность (1.17) в силу формул (1.15) не является симметрической и ее тензор кручения Tbk и тензор кривизны Нг^ы не равны нулю. Поэтому, согласно теореме 1 работы [92], оператор (1.14) не удовлетворяет тождеству Якоби для скобок Пуассона.
§ 2. Интегрируемое 2 + 1-мерное уравнениекак континуальный предел систем гидродинамического типа
Система (1.9) после замены ut = о? принимает вид
(
h=i
ui« + ui+i,«+“m 2 vr1 -
h=l
k=i—2\
~ui 2 V^ + ^^i+i-^i-i) • t2-1) /
Предположим, что выполнены равенства
и, = 1 — е2у (4, xj, у), xj = /е, р = Зрое—’,(2.2)
где v^t, I, у) —некоторая дифференцируемая функция от трех переменных, Уравнение (2.1) после подстановки (2.2) принимает вид
20*307
"it = (! - e4) 2yiy + ^-1,у + vi+l y -
h-i\
(2.3)(2.3)- e2 (yi+i - yi-i) 2 "hy + P (vi+1 - Vi_i) + О (e3) , h=l/
(2.3)
(2.3)
где и, = v(i, n, у). Уравнение (2.3) после применения разложения Тейлора для функции и и иу и использования формулы
6 2 "ку = уу (г> ^’ ^ ^^ + 0 <е)(2-4)
h—О0
принимает вид (/X
4"iy + е2 "гхху - 2vix j vy (i, g, у) ^ +\о
Уравнение (2.5) после замены
t' = —e?t, у' = у + 4t, х' = х + бр0<(2.6)
принимает вид (штрихи опускаем)
х
"и = 4"г"гу + 2vix jvy (Л ё, у) ах - vixxy + Ро (6Р;Р;х — vixxx) 4- О (е). о/
'(2.7)
Полученное уравнение после перехода к пределу е->0 преобразуется в уравнение
х
"t = 4""у + 2"х ( "у (^ £’ У) ^ - "хху + Ро (6""х - "хххУ (2'8) о■
В главе II построена подробная теория уравнения (2.8), которое описывает взаимодействие волны Римана, распространяющейся по оси у, с длинными волнами, распространяющимися по оси х. Уравнение (2.8) имеет операторное представление
(2.9)(2.9)Lj = 2(LL„ + L„L) + [L, А],где L = — й£ -|- и (t, х, у) — оператор Штурма — Лиувилля.
(2.9)
(2.9)
§ 3. Система гидродинамического типа, связанная с ценочкой Тода
I. Пусть L — симметрическая матрица следующего вида;
Pt at 0... 00'
al р2 a2 1 •'00
0 a„ p„ ... 00
L =
23
,(3.1)
000... Pn_T an_T
000 ... an_x pn
ментыИЦа ^ явля6тся кососимметрической и имеет ненулевые эле-
4m+i = zt, А4+11 = —ц.(3.2)
Рассмотрим для этих матриц операторное уравнение вида
L( = LI* + LyL + [L, А].(3.3)
Уравнение (4.о) эквивалентно следующей системе уравнений: («i«i+i)a = ЭД-ц — а4х1+1,(3.4)
4t = (ai (?i + Pi+i))y + *i (Pi ~ Pi+i),(3.5)
Pit = (Pi + «i + °i-i)y + 2ai_1xj_1 — 20.^.(3.6)
Уравнения (3.4) после подстановки х4 = а4Ь4 принимают вид aiyai 1 + ai+l,yai+l = ^i “ ^i+Г(3.7)
Решение этих уравнений определяется формулой
h=i—1
— 6г = 3 + 2 2 ЧуЧ1 + “гу0?1’(3-8)
к=1
где р — произвольная функция от I, у.
Уравнения (3.5), (3.6) после подстановки выражений (3.8) и замены а4 = а^, t = 2t принимают вид (волну над а4, I далее опускаем)
Pit = PiPiy + ai 2 ЧуЧ^ ~ йг-1 2 ЧуЧ^ + ₽ (“i “ аг-1> k=lk=l
(h=i—1\
ait = Pi+l“iy + ai (Pi + Pi+l)y + 4 (Pi+1 - Pi) ₽ + 2 ЧуЧ1 .
\k=l/
(3.9)
Полученная система уравнений (4.9) эквивалентна операторному уравнению (3.3). Поэтому согласно Основной лемме § 2 главы II собственные числа A(L у) матрицы L (3.1) в силу системы (3.9) удовлетворяют уравнениям
Ai = 2АДВ(3.10)
и являются поэтому инвариантами Римана. Таким образом, система (3.9), описывающая эволюцию 2п—1 функции р4, а,, обладает п инвариантами Римана (3.10). При р = 0 система (3.9) входит в класс систем гидродинамического типа [92, 174, 175].
При отсутствии зависимости от переменной у система (3.9) переходит в известную систему для цепочки Тода. Система (2.9) также имеет представление вида (1.12).
Укажем другой вид системы (3.9). Из уравнении (3.7) после подстановки
а4 = ехр (?1+1 — ?<)
(З.Н)
309
получаем
—— (^ 4- qi-^g + 2р, xt = Ъг exp (?<+i — Qt). (3.12)
Уравнения (3.5), (3.6) после подстановки (3.11), (3.12) принимают вид
Ри = Wiy + 4 №+ы, + Р) ^1+1'^ _
-^^i^+P)^"’^- (3.13)
к=г—1
9it = 2Pi4iy-V Piy + 2 2 РАу + 2Р^ + т,к=1
где Зи] — произвольные функции от i, у. Любое решение системы (3.13) после подстановок (3.11), (3.12) определяет решение уравнений (3.5), (3.6), например, можно положить "f = 0.
При отсутствии зависимости от у система (3.13) совпадает со стандартным видом цепочки Тода. При ^ = "f = 0 уравнение (3.13) определяют достаточно изящную систему гидродинамического типа, обладающую п инвариантами Римана (3.10).
III. Операторное уравнение (3.3) совпадает с уравнением Лакса
Lf = [L, А — Ld„ — d„L],(3.14)
Поэтому построенные системы уравнений (3.9), (3.13) эквивалентны также уравнению Лакса (3.14).
Система (3.9), (3.13) связана с системой (1.9) так же, как цепочка Тода связана с системой Вольтерра. Действительно, нетрудно проверить, что из операторного уравнения (1.3) матрицы L следует уравнение для матрицы Li = L2:
2LH = kL^ + L^L, + [Lb AJ,(3.15)
где матрица Ai = 2A—[L, LJ. Уравнение (3.15), очевидно, совпадает с уравнением (3.3). При этом матрица 1ц симметрична и имеет ненулевые элементы Ln,-, Ln i+2 = Ln+2>,, матрица Ai ко- еосимметрична и имеет ненулевые элементы 4щ+г =—Аиш- Поэтому при отображении Li = L2 система (1.9) преобразуется на инвариантное подмногообразие системы (3.9).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Gardner С. S., Greene J. М. Kruskal М. D., М i u- r a R. M. Method for solving the Korteweg — de Vries equation Ц Phys. Rev. Lett — 1967,— V. 19,— P. 1095—1097.
M i u r a R. M. Korteweg — de Vries equation and generalizations. I. A remarkable explicit nonlinear transformation / J. Math. Phys — 1968,— V. 9,— N 8,— P. 1202—1204.
M i u r a R. M., Gardner C. S., Kruskal M. D., Korto- weg —de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion // J. Math. Phys.— 1968,— V. 9 — N 8,— P. 1204—1209.
L a x P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves /7 Comm. Pure Appl. Math.—1968.— V. 21,— P. 467—490.
Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения.— Киев: Наукова думка, 1977.
Захаров В. Е., М а н а к о в С. В., Новиков СП., П и- таевский Л. П. Теория солитонов.— М.: Наука, 1980.
Ablowitz М. J., Segur Н. Solitons and the inverse scattering transform.— Philadelphia: SIAM, 1981.
Calogero F„ Degas peris A. Solitons and the spectral transform I.— Amsterdam: North Holland, 1982.
Non-linear integrable systems — classical theory and quantum theory. Proceedings of RIMS Symposium/Ed. M. Jimbo, T. Miwa.— Singapore: World Scientific, 1983.
N e w e 11 A. C. Solitons in mathematics and physics.— Ariso- na: Society of Industrial and Applied Mathematics, 1985.
T ti'xn"aWHt'H'H Vi. A., Тггдде св Vi. "Д. Тамил г,тонов подход в теории солитонов.— М.: Наука, 1986.
Богоявленский О. И. Некоторые конструкции интегрируемых динамических систем Ц Изв. АН СССР. Сер. мат — 1987,—Т. 51, № 4,—С. 737—767.
Calogero F., DegasperisA. Nonlinear evolution equations solvable by the inverse spectral transform I! / Nuovo Ci- mento.— 1976,—V. 32B„ N 2.—P. 201—242.
Calogero F., Degasperis A. Nonlinear evolution equations solvable by the inverse spectral transform II / Nuovo Ci- mento.— 1977,— V. 39B., N 1,— P. 1—54.
С a 1 о g e г о F., Degasperis A. Nonlinear evolution equations solvable by the inverse spectral transform, associated with the matrix Schrodinger equation / Solitons/Ed. R. K. Bullough, P J Caudrey.— Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1980.
Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны в новых двумерных интегрируемых уравнениях / Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1989,— Т. 53, № 2 - С. 243—257.
Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны II / Изв. АН СССР. Сер. мат,— 1989,— Т. 53, № 4,— С. 907—910.
Б о г о я в л е н с к и й О. И. Опрокидывающиеся солитоны III / Изв. АН СССР. Сер. мат,— 1990 —Т. 54, № 1,—С. 123—131.
Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П. Нелинейные уравнения типа Кортевега— де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия / Успехи мат. наук.— 1976,— Т. 31, № 1.— С. 55—136.
Дубровин Б. А., К р и ч е в е р И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы I /Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики,— 1985,— Т. 4,— С. 179—285.
Богоявленский О. И. Интегрируемые динамические системы, связанные с уравнением КдВ / Изв. АН СССР. Сер. мат — 1987,— Т. 51, № 6 — С. 1123—1141.
Богоявленский О. И. Представление Лакса со спектральным параметром для некоторых динамических систем / Изв. АН СССР. Сер. мат — 1988,— Т. 52, № 2,— С. 243—266.
Volterra V. Lecons sur la theorie mathematique de la lut- tre pour la vie.— Cahiers scientifiques. YII.— Paris: Gauthier — Vollars, 1931.
Б о г о я вЛ е н с к и й О. И. Алгебраические конструкции некоторых интегрируемых уравнений / Изв. АН СССР. Сер. мат,— 1988 — Т. 52, № 4.— С. 712—739.
Богоявленский О. И. Теорема о двух коммутирующих автоморфизмах / Изв, АН СССР. Сер. мат.— 1990.— Т. 54, № 2,- С. 258-274.
Богоявленский О, И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики / Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1984.— Т. 48, № 5.— С. 883—938.
М а н а к о в С. В. Метод обратной задачи рассеяния и двумерные эволюционные уравнения / Успехи мат. наук,— 1976,— Т. 31, № 5,- С, 245-246.
Мельников В. К. Об уравнениях, порожденных операторным соотношением / Мат. сб.— 1979.— Т. 108.— С. 379—392.
Н о в и к о в С. П. Двумерные операторы Шрёдингера в периодических полях Ц Современные проблемы математики (Итоги науки и техники).— М.: ВИНИТИ, 1983.— Т. 23.— С. 3—32.
М о s е г J. Three integrable Hamiltonian systems, connected with isospectral deformations / Adv. in Math.— 1975.— V. 16.— P. 197—220.
H о в и к о в С. П. Геометрия консервативных систем гидродинамического типа. Метод усреднения для теоретикополевых систем / Успехи мат. наук.— 1985.— Т. 40, № 4,— С. 79—90..
Дубровин Б. А., II о в и к о в С. П. Гамильтонов формализм одномерных систем гидродинамического типа и метод усреднения Боголюбова — Уизема / ДАН СССР.— 1983,— Т. 270, № 4 — С. 781—785.
А Ы о w i t z М. .Т„ Каир D. J., Newell A. C., S e g и r H. The inverve scattering transform —F ourier analysis for nonlinear problems / Studies in Appl. Math.— 1974.— V. 53, N 4,— P. 249—291.
H i г о t a R., Satsuma J. A-soli ton solutions of model equations for shallow water waves / J. Phys. Soc. Japan.— 1976.— V. 40, N 2.— P. 601—602.
Z a к h а г о v V. E. Inverse scattering problem method Ц Soli- tons/Edit. R. K. Bullough, P. J. Caudrey.— Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1980.
Dodd R. K„ Eilbeck J. C., Gibbon J. D., Morris H. C. Solitons and nonlinear wave equations.— London: Academic Press Inc., 1982.
Hirota R. Exact 7V-soliton of the Korteweg — de Vries equation for multiple collisions of solitons / Phys. Rev. Lett.— 1971.— V. 27,—P. 1192-1193.
Wadati M. Kam a jo T. On the extension of inverse scattering method / Progress of Theor. Phys.— 1974.— V. 52, N 2.— P. 397—414.
К а д о м ц e в Б. Б., П e т в и а ш в и л и В. И. Об устойчивости волн в слабодиспергирующих средах / ДАН СССР.— 1970,—Т. 192, № 4,-С. 753—756.
A b 1 о w i t z М. J., Каир D. J., Newell А. С., S е g и г Н. Nonlinear evolution equation of physical significance / Phys. Rev. Letters.— 1973.— V. 31.— P. 125—127.
L a x P D. Almost periodic behaviour of nonlinear waves / Adv. Math. Phys.— 1975,— V. 16,— P. 368—379.
Wadati M. The exact solution of the Modified Korteweg — de Vries equation / J. Phys. Soc. Japan.— 1972.— V. 32.— P. 1681.
3 a x a p о в В. E., My шер С. Л., Рубенчик А. М. О нелинейной стадии параметрического возбуждения волн в плазме / Письма в ЖЭТФ,— 1974 — Т. 19, № 5,— С. 249—253.
Манаков С. В. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах / ЖЭТФ.—1974.— Т. 67, № 2 — С. 543-555.
Кас М., van М о е г b е k е Р. On an explicitly soluble system of nonlinear differential equations related to certain Toda lattices / Adv. in Math.— 1975.— V. 16.— P. 160—169.
11 о h Y. Integrals of a Lottka — Volterra system of odd number of variables / Progr. Theor. Phys.— 1987.— V. 78, N 3.— P. 507-510.
Bogoyavlensky О. I. Five constructions of integrable dynamic systems connected with the Korteweg — de Vries equation / Preprint.— Bochum University.— August, 1987.
Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике.— М.: Наука, 1978.
Kupershmidt В. A. Discrete Lax equations and differential— difference calculus.— Asterisque: Paris, 1985.
Сал ль M. А. Преобразование Дарбу для неабелевых и нелокальных уравнений типа цепочки Тода / Теор. мат. физ.— 1982,—Т. 53, № 2 —С. 227—237.
М их ай лов А. В. Об интегрируемости двумерного обобщения цепочки Тода / Письма в ЖЭТФ.— 1979.— Т. 30, № 7,— С. 443-448.
М а н а к о в С. В. Заметка об интегрировании уравнений Эйлера динамики га-мерного твердого тела / Функц. анализ и его прилож.— 1976.— Т. 10, № 4.— С. 93—94.
Wadati М. Generalized matrix form of the inverse scattering problem method / Solitons/Ed. R. K. Bullough, P, J. Caudrey.— Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1980.
A bl о wit z M. J., Ladik J. F. Nonlinear differential-difference equation and Fourier analysis / J. Math. Phys.— 1976.— V. 17, N 6,— P. 1011—1018.
Дубровин Б. А. Тэта-функции и нелинейные уравнения Ц Успехи мат. паук,— 1981,— Т, 36, № 2,— С. 12—78.
Perelomov А. М., R a g n i s с о О., Wojciechowski S. Integrability of Two Interacting TV-Dimensional Rigid Bodies / Comm. Math. Phys.— 1986 — V. 102,— P. 573—583.
Jiang Z., Wojciechowski S. Integrable System of Many Interacting Rigid Bodies Ц Nuovo Cimento.— 1988,— V. 101B, N 4,— P. 415—427.
Дубровин Б. А. Вполне интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с матричными операторами, и абелевы многообразия Ц Функц. анализ и его прилож.— 1977.— Т. 11, № 4,— С. 28—41.
Bogoyavlensky О. I. On perturbations of the periodic Toda lattice Ц Comm. Math. Phys.— 1976,— V. 51, N 3,— P, 201— 209.
К о s t a n t B. The solution to a generalized Toda lattice and representation theory / Adv. in Math.— 1979.— V. 34, N 3.— P. 195-338,
Olshanetsky M. A., Perelomov A. M, Explicite solution of the classical generalized Toda models.—Moscow: Preprint ITEF, 1978.■
Л e з н о в A. H., Савельев M. В. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем.— М.: Наука, 1985.
Т о d а М. Waves in nonlinear lattice Ц Progr. Theor. Phys. Suppl.— 1970.— V. 45,— P. 174—200.
H e n о n M. Integrals of the Toda lattice / Phys. Rev.— 1974,—V. B9.—P. 1921—1924.
Fl as ck a H. The Toda lattice. III. Existence of integrals / Phys. Rev.— 1974,— V. B9.— P. 1924—1926.
Bourbaki N. Croupes et algebres de Lie.— Paris: Hermann, 1968,
Захаров В. E,, Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах Ц ЖЭТФ.—1971.— Т. 61, № 1.— С, 118— 134.
Olshanetsky М. A., Perelomov А, М. Completely integrable Hamiltonian systems connected with semisimple Lie algebras Ц Inv. Math.— 1976,— V. 37, № 2,— P. 93—108.
Calogero F., RagniscoO., Matchioro C. Exact solution of the classical and quantum one-dimensional many-body problems with the two-body potential У(ж) = g2a2/sinh2 аж/ Lett. Nuovo Cimento, — 1975.— V. 13.— P. 383—387.
T о d a M. Nonlinear lattice (Toda lattice) / Solitons/Ed. R. K. Bullough, P. J. Caudrey.— Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1980.
Ферми Э. Научные труды. T. 2.— М.: Наука, 1972.— С, 645— 656.
3 а х а р о в В. Е. К проблеме стохастизации одномерных цепочек нелинейных осцилляторов / ЖЭТФ.— 1973.— Т. 65, № 1,- С. 219—225.
Риман Б. Сочинения.— М.— Л.: Гостехиздат, 1948.
Adler М., М о s е г J. On a class of polynomials connected with the Korteweg — de Vries equation / Comm. Math. Phys.— 1978 —V. 61, N 1,—P. 1—30.
Fordy A, P., Gibbons J. Factorization of operators I, Miu- 314
ra transformations / I. Math. Phys.— 1980,— V. 21, N 10.— P. 2508-2510.
Ford у A. P.. Gibbons J. Factorization of operators. II Ц J. Math. Phys.- 1981,—V. 22, N 6,—P. 1170—1175.
С о к о л о в В. В., Шабат А. Б. L — А пары и замена типа Риккати Ц Функц. анализ и его прилож.— 1980.— Т. 14, № 2.— С. 79—80.
К и р е г s h m i d t В. A., Wilson G. Modifying Lax equations and the second Hamiltonian structure H Invent. Math.— 1981.— V. 62, N 3,— P. 403-436.
An to nowicz M„ Fordy A. P., Wojciechowski S. Integrable stationary flows: Miura maps and bi-Hamiltonian structures // Phys. Lett. A — 1987 — V. 124, N 3,—P. 143—150.
Владимиров В. С., ВоловичИ. В. Законы сохранения для нелинейных уравнений Ц Успехи мат. наук,— 1985.— Т. 40, № 2,— С. 17—26.
Владимиров В. С. Применение метода малого параметра для получения законов сохранения для двумерных вполне интегрируемых систем Ц Си.: Современные проблемы математической физики.— Тбилиси: Изд-во Тбилис. Ун-та.— 1987.— С. 19-34.
Boyer С. Р., Finley J. D. Killing vectors in self-dual, Euclidean Einstein spaces Ц J. Math. Phys.— 1982.— V. 23, N 6,—P. 1126-1130.
Gedenberg J. D., Das A. Stationary Riemannian space-times with self-dual curvature/' General Relativity and Gravitation.— 1984,— V. 16, N 9.— P. 817—829.
Iwasaki K. Scattering theory for 4-th order differential operators. I, II / Japan. Jouru. of Math.— 1988,— V. 14, N 1.— P. 1—97.
В e a 1 s R., С о i f m a n R. R. Scattering and inverse scattering for first order system Ц Comm. Pure Appl. Math.— 1984.— V. 37, N 1,— P. 39—90.
S a v e 1 i e v M. V. Integra-differential non-linear equations and continual Lie algebras / Comm. Math. Phys.— 1989,— V. 121, N 2 — P. 283—290.
S a v e 1 i e v M. V., V e r s h i k A. M. Continual analogs of contragredient Lie algebras / Comm. Math. Phys.— 1989.— V. 126, N 2,— P. 367—37 8.
H о в и к о в С. II. Многозначные функции и функционалы. Аналог теории Морса // ДАН СССР,— 1981.— Т. 260, № 1,— С. 31-34.
Н о в и к о в С. П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса Ц Успехи мат. наук.— 1982.— Т. 37, № 5,— С. 3—49.
Ладыженская О. А. О динамической системе, порождаемой уравнениями Навье — Стокса Ц Зап. науч, семин. ЛОМИ - 1972 —Т. 27,- С. 91—114.
Ладыженская О. А. О нахождении минимальных глобальных аттракторов для уравнений Навье — Стокса и других уравнений с частными производными / Успехи мат. наук,— 1987.- Т. 42, № 6,— С. 25-60.
Дубровин Б. А., И о в и к о в С. П. Гидродинамика слабо деформированных солитонных решеток. Дифференциальная геометрия и гамильтонова теория Ц Успехи мат. наук.— 1989,—Т. 44, № 6,—С. 29—98.
Euler L. Decouverte d’une nouveau principe de Месагприс^ Memoires de 1’Acad.
С a у 11 e у A. Sur quelques properties des determinant gas dies Ц Journal fur die reine und angewandte Matheniatik- 1846.—T. XXXII.— P. 119—123. ,
Frahm W. Veber gewisse differentialgleichungen / Math. Annalen.— 1875,— Bd. 8,— P. 35—44.
Schottky F. Uber das analytische problem der rotation eines starren korpers in raumo von vier dimensionen / Sitzungsberi- chte der Konigligh preussischen Academie der wissenschaften zu Berlin.— 1891,— T. XIII,- P. 227—232.:
P о i n с a r e H. Sur une forme nouvelle dos equations de la Mecanique / Comptes Bendus des seances de l’Academie des sciences—ISOL—T. 132,—S. 369—371.
W e у 1 H. Baum — Zeit — Materie,—Berlin: Springer Verlag, 1923,- P. 45—47.
Blaschke W. Nicht-Euklidische geometrie und mechanik I, II, III. Hamburger Mathematische Einrelshriften.— 1942.— . V. 34,- P. 39.
Bottema 0., Beth H. J. E. Euler’ equations for the motion of a rigid body in «-dimensional space. Koninklijke Nederlandse akademie va Wetenschappen. Proceedings.— 1951.— V. 54, N 1.— P. 106—108.
Bottema N., Beth H. J. E. The stationary motions of a rigid boby under no forces in four-dimensional space / Konink- lijki Nederlands akademie va Wetenschappen. Proceedings.— 1951 —V. 54, N 2,—P. 123—129.
Arnold V. I. Sur la geometrie differentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications а Г hydrodynamique des fluides parfaits / Annales Instit. Fourier.— 1966.— T. XVI, N 1 — P. 319—361.
Lagrange J. Mecanique analytique.— Paris, 1788.
К о w a 1 e w s к i S. V. Sur la probleme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe / Acta Math.— 1889.— V. 12.— P. 177—232.
Стеклов В. А. О движении твердого тела в жидкости.— Харьков: Тип. Дарре, 1893.
S t е k 1 о v V. A. Sur la mouvement d’un corps solide ayant une cavite de forme ellipsoidale remplie par un liquide incompressible et sur les variations des latitudes / Annales de la Facul- te des Sciences de Toulouse.— 1909.— 3е serie.— Tome I.
Ляпунов M. А. Новый случай интегрируемости дифференциальных уравнений движения твердого тела в жидкости / Сообщ. Харьковск. мат. общ.— 1893.— Т. IV, № 1.— С. 3—7.
Чаплыгин С. А. Новое частное решение задачи о движении твердого тела в жидкости / Труды отделения физич. паук. Общ. любит, естествознания.— 1902.— Т. XI.— С. 10—19.
Чаплыгин С. А. Новый случай вращения тяжелого твердого тела, подпертого в одной точке / Труды отделения физич. наук. Общ. любит, естествознания.— 1901.— Т. X.— С. 12— 18.
Горячев Д. Н. О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае А = В = 4С / Мат. сб.— 1900.—Т. 21, № 3,—С. 431—438.
Clebch A. Ueber die Bewegung eines Korpers in einer Fliis- sigkeit / Math. Annalen.— 1871.— B. 3.--S. 238—262.
Brun F. Rotation kring fix punkt Ц Ofversigt at Kongl. Sven- ska Vetenskaps Akad. Forhadl. Stokholm.— 1893.— V. 7.— P. 455—468.
с±3. К 6 11 e r F. Die von Steklow und Liapunov entdeckten integrab- len Fiille der Bewegung eines starren Korpers in einer Flussig- keit // Sitzungsberichter Koniglich Preussischen Akad. Wiss. Berlin - 1900,- T. 6,- S. 79-87.
Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки.— М.: Гостехиздат, 1953.
Berezin F. A. Models of Gross — Neven Type Ц Commun. in Math. Phys.— 1978,— V. 63, N 2, p. 131—154.
Новиков С. П., Шмельцер И. Периодические решения уравнений Кирхгофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расширенная теория Люстерника — Шнирельма- на — Морса (ЛМШ). I Ц Функц. анализ и его прилож.— 1981,-Т. 15, № 3,—С. 54—66.
Новиков С. П. Вариационные методы и периодические решения уравнений типа Кирхгофа. II / Функц. анализ и его прилож.— 1981.— Т. 15, № 4.— С. 37—53.
Id8. Jacobi С. G. J. Vorlesungen fiber Dynamik.— Konigsberg, 1866.
Горр Г. В., Кудряшова Л. В., Степанова Л. А. Классические задачи динамики твердого тела.— Киев: Науко- ва думка, 1978.
Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М.: Наука, 1974.
Богоявленский О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на шестимерных алгебрах Ли Ц ДАН СССР.—1983.— Т. 268, № 1,—С. 11—15.
Богоявленский О. И. Интегралы четвертой степени для уравнений Эйлера на шестимерных алгебрах Ли Ц ДАН СССР,- 1983,— Т. 273, № 1,- С. 15—19.
Богоявленский О. И. Динамика твердого тела с га эллипсоидальными полостями, заполненными магнитной жидкостью Ц ДАН СССР,— 1983,— Т. 272,№ 6.—
С. 1364-1367.
Богоявленский О. И. Периодические решения в модели вращения пульсара Ц ДАН СССР,— 1984,— Т. 276, № 2.— С. 343-347.
Богоявленский О. И. Два интегрируемых случая динамики твердого тела в силовом поле Ц ДАН СССР,— 1984,— Т. 275, № 6,— С. 1359-1363.
Богоявленский О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики / Изв. АН СССР. Серия мат.— 1984.—Т. 48, № 5.— С. 883-938.
Богоявленский О. И. Некоторые интегрируемые случаи уравнений Эйлера Ц ДАН СССР,— 1986,—Т. 287, №5- С. 1105—1109.
Brun F. Rotation kring fix punkt. II, III Ц Arkiv for matem., astronomi och fysik.— 1907,— Bd. 6, N 5,—P. 1—10.
Д у б о ш и н Г. H. Небесная механика. Основные задачи и методы,— М.: Наука, 1968.
Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс.— М.: Наука, 1965.
Новиков С. П. Периодическая задача для уравнения Кор- тевега — де Фриза / Функц. анализ и его прилож.— 1974.— Т. 8, А» 3 - С. 54-66.
Богоявленский О. И. Интегрируемые случаи вращения твердого тела вокруг неподвижной точки в физических полях Ц Вычислительная математика и математическая физика.— М.: МГПИ,— 1985,— С. 21—24.
Adler М., van Moerbeke Р. Completely Integrable Systems, Euclidean Lie Algebras, and Curves / Adv. in Math.— 1980,— V. 38, N 3,— P. 267—317.
Adler M., van Moerbeke P. Linearization of Hamiltonian Systems, Jacobi Varieties and Representation Theory / Adv. in Math.— 1980,- V. 38, N 3.— P. 318-379.
Переломов A. M. Несколько замечаний об интегрируемости уравнений движения твердого тела в идеальной жидкости Ц Функц. анализ и его прилож.— 1981.— Т. 15, № 2.— С. 83-86.
Haine L. Geodesic Flow on SO(4) and Abelian Surfaces / Mathem. Annalen.— 1983.— V. 263.— P. 435—472.
Baker H. F. Note on the foregoing paper «Commutative ordinary differential operators» by J. L. Burchnall and T. W. Cha- undy / Proc. Royal Soc. London.— 1928.— V. A118.— P. 584— 593.
A x и e з e p H. И. Континуальный аналог ортогональных многочленов на системе интервалов / ДАН СССР.—1961.— Т. 141, № 2,- С. 263-266.
Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии.— Т. 1, 2.— М.: Мир, 1982.
Горячев Д. Н. Некоторые общие интегралы в задаче о движении твердого тела.— Варшава.: Тип. Варшавск. учебн. округа, 1910.
Горячев Д. Н. Новые случаи движения твердого тела вокруг неподвижной точки Ц Варшавск. универе, известия.— 1915,- Т. 3,- С. 3-14.
Горячев Д. Н. Новые случаи интегрируемости динамических уравнений Эйлера / Варшавск. универе, известия.— 1916,- Т. 3,- С. 3-15.
Чаплыгин С. А. О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости.— М.: Университет, тип., 1897.
Adler М., van Moerbeke Р. Kowalewski’s asymptotic method, Кас — Moody Lie algebras and regularization / Com- mun. Math., Phys.— 1982 — V. 86, N 1.- P. 83-106.
Greenhill A. G. On the general motion of a liquid ellipsoid // Proc. Cambr. Phyl. Soc.— 1880.— V. IV, N 4.
Жуковский H. E. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью / Журнал Русского физико-химического общества, ч. физическая,—1885,—Т. XVII, отд. 1, № 6.—С. 81—113.
Poincare Н. Stir la precession des corps deformables / Bulletin astronomique.— 1910.— T. XXVII.
Моисеев H. H., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость.— М.: Наука, 1965.
Рейман А. Г. Интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с градуированными алгебрами Ли Ц Записки науч, семинаров ЛОМИ,— Л.— 1980,— Т. 95 — С. 3—54.
Лунёв В. В. Гидродинамическая аналогия задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой в поле сил Лорен- ца Ц ДАН СССР.— 1984,— Т. 276, № 2.— С. 351—355.
Яхья X. М. Новые решения задачи о движении гиростата в потенциальном и магнитном полях Ц Вести. МГУ. Сер. L— 1985,— № 5,— С. 60—63.
Дайсон Ф., X а а р Д. Нейтронные звезды и пульсары.— М.: Мир, 1973.
Куликовский А. Г., Любимов Г, А. Магнитная гид- родинамика.— М.: Наука, 1962.
К у л и к о в с к и й А. Г. О движениях с однородной деформацией в магнитной гидродинамике / ДАН СССР,— 1958,— Т. 120, № 5,- С. 984-986.
Бейтман Г., Э р д е й и А. Высшие трансцендентные функции.— М.: Наука, 1967.
В i s no v a ty i - Ко g а п G. S., Popov Ju. Р., S a m о- chin A. A. The magnetohydrodynamical rotational model of supernova explosion / Astrophys. Space Sciences.— 1976.— V. 41 - P. 321-356.
Bogoyavlensky О. I. Model of pulsar rotation and Euler equations on Lie algebras.— International Congress of Mathematicians— 1982,— Warszaw. Short Communications (Abstracts).— 1983,— V. XI — P. 27.
Богоявленский О. И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике.— М.: Наука, 1980.
Архангельский IO. А. Аналитическая динамика твердого тела.— М.: Наука, 1977.
Neumann С. De problemate quodam mechanico, quod ad priman integralium ultraellipticorum classen revocatur / J. Heine Angew. Math - 1859 - V. 56,- P. 46-63.
Dirac P. A. M. The Theory of Magnetic Poles / Physics Rev., 1948 — V. 74, N 7— P. 817—830.
Веселов А. П. Уравнение Ландау — Лифшица и интегрируемые системы классической механики / ДАН СССР.— 1983,- Т. 270, № 5,— С. 1094-1097.
К б 11 е г F. Veber die Bewegung eines festen Korpers in einer Flussigkeit. I, II / J. Reine Angew. Math.— 1892.— B. 109.— S. 51-81, 89-111.
Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики / Итоги науки и техники. Современные проблемы математики,— М.: ВИНИТИ,— 1985,— Т. 3,— С. 5—300.
Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых систем на алгебрах Ли / Успехи мат. паук,— 1984,— Т. 39, № 2,— С. 3—56.
Kruskal М. Nonlinear wave equations / Lecture Notes in Physics.— Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag.— 1975,- V. 38,- P. 310-354.
Sabatier P. C. Around the classical string problem / Lecture Notes in Physics.— Berlin: Heidelberg; New York: Springer- Verlag.—1980,—V. 120,—P. 85—102.
Solitons/Ed. R. K. Bullough, P. J. Gaudrey.— Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1980.
Lax P. D. Hyperbolic systems of conservation laws / Comm. Math. Phys — 1957,-V. X,- P. 537-566.
A i г a u 11 H., McKean H. P., Moser J. Rational and elliptic solutions of the Korteveg — de Vries equation and a related many — body problem / Comm. Pure Appl. Math.— 1977.— V. XXX, N 1,— P. 95—148.
Oevel W., Fuchssteiner B. Explicit formulas for symmetries and conservation laws of the Kadomtsev — Petviashvili equation Ц Phys. Lett.— 1982 — V. 88A, N 7,— P. 323—327.
Bateman H., E r d e 1 у i A. Higher transcendental functions.— New York: McGraw — Hill book company, 1955, V. 3.
Cal og er о F. Exactly solvable one-dimensional many-body problems Ц Lett. Nuovo Cim.— 1975.— V. 13.— P. 411—427.
Whitham G. B. Nonlinear dispersive waves Ц Proc. Royal Soc. London.— 1965.— A139.— P. 283—291.
Маслов В. П. Переход при Л->0 уравнения Гейзенберга в уравнение динамики одноатомного идеального газа и квантование релятивистской гидродинамики Ц Теор. и мат. физика,— 1969,— Т. 1, № 3 — С. 378—383.
Флорин В. А. Некоторые простейшие нелинейные задачи консолидации водонасыщенной земляной среды / Изв. АН СССР. Отделение техн. наук.— 1948.— № 9.— С. 1389—1397.
Hopf Е. The partial differential equation ut + uux = puxx / Comm. Pure Appl. Math.— 1950,— V. 3, N 3,— P. 201—230.
Cole I. D. On a quasilinear parabolic equation occuring in aerodynamics Ц Quart. 'Appl. Math.— 1951.— V. 9.— P. 226—236.
орбите радиуса 7?, в предположении, что гравитационное
поле Земли является сферически симметричным с потенциалом ср = —Gmr-1, где G — гравитационная постоянная, ш — масса Земли. Предположим, что центр масс спутника движется по круговой орбите радиуса 7?, т. е. вращение спутника вокруг центра масс не влияет на орбиту. Угловая скорость Q вращения спутника по орбите определяется формулой £Х = GmR^3. Пусть М — вектор кинетического момента спутника в неподвижной системе отсчета F, вектор т является радиус-вектором центра масс, вектор п является постоянным вектором нормали к орбите, единичный вектор а является касательным к ор-