М. Хамермеш

ТЕОРИЯ ГРУПП

и ее применение к физическим проблемам

М.Хамермеш

ТЕОРИЯ ГРУПП

и ее применение к физическим проблемам

Книга, как видно из ее названия, посвящена физическим приложениям теории групп. В основе книги лежат лекции, прочитанные автором, американским физиком Мортоном Хамермешем, для сотрудников одного из крупных научных центров США―Аргоннской национальной лаборатории.

Автор последовательно и ясно изложил основы теории групп и ее важнейший для приложений раздел—теорию представлений. Подробно рассмотрены применения теории групп к многочисленным физическим задачам (симметрия кристаллов и молекул, магнитная симметрия, атомные спектры, физика ядра и элементарных частиц и др.). Вводимые понятия и представления и получаемые результаты иллюстрируются многочисленными примерами, даются интересные задачи и упражнения.

Книга рассчитана прежде всего на студентов и аспирантов, специализирующихся в различных областях теоретической физики; она будет полезной также для научных работников — физиков и химиков, желающих овладеть теорией групп. Наконец, книга привлечет внимание и математиков, интересующихся физическими приложениями теории групп.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к русскому изданию5

Предисловие автора7

Введение9

Глава 1. Элементы теории групп13

Соответствия и преобразования13

Группы. Определения и примеры19

Подгруппы. Теорема Кэли28

Смежные классы. Теорема Лагранжа35

Классы сопряженных элементов38

Инвариантные подгруппы. Фактор-группа. Гомоморфизм44

Прямые произведения47

Глава 2. Группы симметрии49

Элементы симметрии. Полюсные фигуры49

Эквивалентные оси и плоскости. Двусторонние оси56

Группы, элементами которых служат чистые повороты: группы60

поворотов вокруг оси, группы диэдров

Закон рациональных индексов65

Группы, элементами которых служат чистые повороты. Правильные 68 многогранники

Группы симметрии, содержащие зеркальные повороты. Присоединение 72 отражений к группе Сп

Присоединение отражений к группам Dn77

Полные группы симметрии правильных многогранников81

Обзор точечных групп. Другие системы обозначений83

Группы магнитной симметрии (цветные группы)86

Г лава 3. Представления групп91

Линейные векторные пространства91

Линейная зависимость; размерность93

Базисные векторы (оси координат); координаты95

Отображения; линейные операторы; матричные представления;98

эквивалентность

Представления групп101

Эквивалентные представления; характеры102

Построение представлений. Сложение представлений104

Инвариантность функций и операторов. Классификация собственных 110 функций

Унитарные пространства; скалярное произведение; унитарные матрицы; ИЗ эрмитовы матрицы

Операторы: сопряженный, самосопряженный, унитарный116

Унитарные представления117

Гильбертово пространство118

Разложение представлений; приводимость; неприводимые119

представления

Леммы Шура124

Соотношения ортогональности127

Критерии неприводимости. Разложение представлений130

Общие теоремы; групповая алгебра133

Разложение функций по базисным функциям неприводимых138

представлений

Представления прямых произведений141

Глава 4. Неприводимые представления точечных групп симметрии142

Абелевы группы142

Неабелевы группы147

Таблицы характеров для кристаллографических точечных групп154

Глава 5. Различные операции с представлениями групп157

Произведение представлений (кронекеровское произведение)157

Симметризованные и антисимметризованные произведения161

Сопряженное представление. Комплексно сопряженное163

Условия существования инвариантов165

Вещественные представления167

Разложение кронекеровского произведения. Ряд Клебша—Гордана176

Коэффициенты Клебша — Гордана178

Просто приводимые группы180

3j символы186

Глава 6. Физические приложения191

Классификация уровней энергии191

Теория возмущений193

Правила отбора197

Связанные системы212

Г лава 7. Симметрическая группа217

Вывод характеров группы из характеров ее подгруппы217

Формула Фробениуса для характеров симметрической группы225

Графические методы. Решеточные перестановки. Схемы Юнга.236

Таблицы Юнга

Графический метод нахождения характеров240

Рекуррентные формулы для характеров. Правила ветвления249

Вычисление характеров по формуле Фробениуса253

Матрицы неприводимых представлений группы & Символы Яманучи 257

Метод Хунда274

Групповая алгебра283

Операторы Юнга288

Построение произведения волновых функций с заданной симметрией. 293 Условия циклической симметрии Фока

Внешние произведения представлений симметрической группы297

Внутренние произведения. Ряд Клебша—Гордана для симметрической 303 группы

Коэффициенты Клебша ——Гордана для симметрической группы. 308 Свойства симметрии. Рекуррентные формулы

Глава 8. Непрерывные группы327

Краткий обзор результатов, полученных для конечных групп327

Бесконечные дискретные группы329

Непрерывные группы. Группы Ли332

Примеры групп Ли337

Изоморфизм. Подгруппы. Смешанные непрерывные группы341

Однопараметрические группы. Инфинитезимальные преобразования 344

Структурные константы350

Алгебры Ли352

Структура алгебр Ли356

Структура компактных полупростых групп Ли и их алгебр362

Линейные представления групп Ли365

Инвариантное интегрирование867

Неприводимые представления групп Ли и алгебр Ли. Оператор371

Казимира

Многозначные представления. Универсальная накрывающая группа 373 Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия377

Группа вращений в двумерном пространстве377

Трехмерная группа вращений381

Непрерывные однозначные представления трехмерной группы390

вращений

Расщепление атомных уровней в полях внутри кристаллов395

(однозначные представления)

Построение собственных функций для кристаллов с различной402

симметрией

Двузначные представления группы вращений. Двумерная унитарная 410 унимодулярная группа

Расщепление атомных уровней в полях внутри кристаллов. Двузначные 420 представления кристаллографических точечных групп

Связанные системы. Сложение моментов количества движения.433

Коэффициенты Клебша — Гордана

Глава 10. Линейные группы в n-мерном пространстве; неприводимые 443 тензоры

Тензоры, преобразующиеся по группе GL(n)443

Конструирование неприводимых тензоров, преобразующихся по группе 445 GL (п)

Размерность неприводимых представлений группы GL(n)451

Неприводимые представления подгрупп группы GL(n): SL(n), U(n),456

SU(n)

Ортогональная группа в n-измерениях. Свертка. Тензоры с нулевым 461 следом

Неприводимые представления группы О(п)464

Разложение неприводимых представлений группы U(n) на470

представления группы О+(п)

Симплектическая группа Sp(n). Свертка. Тензоры с нулевым следом475

Неприводимые представления группы Sp (п). Разложение481

неприводимых представлений группы U (п) на представления ее симплектической подгруппы

Глава И. Применение теории групп к задачам атомной и ядерной физики 485 § 1. Классификация состояний систем тождественных частиц по группе SU 485 (п)

Разложение момента количества движения. Разложение представлений 486 группы SU (п) на представления группы О+ (3)

Принцип Паули. Атомные спектры в схеме связи Рассела—Саундерса 495 § 4. Старшинство в атомных спектрах498

Атомные спектры в схеме jj-связи505

Структура ядра. Изотопический спин509

Ядерные спектры в схеме L — S-связи. Супермультиплеты512

Модель оболочек в схеме L ——S-связи. Старшинство520

Модель оболочек в схеме jj-связи. Старшинство в схеме jj-связи525

Глава 12. Проективные представления. Малые группы537

Проективные представления конечных групп537

Примеры проективных представлений конечных групп543

Проективные представления групп Ли549

Проективные представления псевдоортогональных групп559

Проективные представления галилеевой группы566

Неприводимые представления группы параллельных переносов569

Малые группы571

Литература579

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Хотя физическим применениям теории групп посвящена обширная литература】)，она далеко не исчерпала все те вопросы, которые привлекают физиков и математиков. В последние годы методы этой теории стали «обычным вооружением» физиков-теоретиков, а число работ, основанных на применениях теории групп, и число физиков, владеющих этими методами, неуклонно возрастает. Разные физики, однако, по-разному оценивают важность и трудность разделов теории групп, и ни одна книга не может удовлетворить всех заинтересованных лиц. Среди книг, выпущенных в последние годы за рубежом, одной из наиболее оригинальных по выбору материала и наиболее удачных по изложению является книга известного американского физика Мортона Хамермеша. Эта книга пользуется большой популярностью; сейчас она становится доступной и в русском переводе.

В основу книги положены лекции, которые автор в течение ряда лет читал для сотрудников одного из крупнейших физических научных центров США——Аргоннской национальной лаборатории.

Книга написана физиком и предназначена в первую очередь для физиков. Поэтому в ней не надо искать математической строгости, зато в ней ясно изложены основы теории и описаны многие ее приложения. Так как методы теории групп стали весьма эффективным и удобным средством решения широкого круга различных физических задач, связанных с теми или иными проявлениями симметрии, то книга будет полезна физикам почти всех направлений.

Круг рассмотренных вопросов весьма обширен: сюда входят основные понятия теории, ее элементарные теоремы, их приложения к точечным группам симметрии, теория представлений групп, особенно подробно изложена симметрическая группа (группа перестановок), основные результаты теории непрерывных групп, тензорные представления, понятия о проективных представлениях и многочисленные физические приложения (симметрия кристаллов и молекул, магнитная симметрия кристаллов, классификация уровней энергии квантовомеханических систем, правила отбора, расщепление атомных уровней

Довольно полный список монографий и основных обзорных и оригинальных статей как иностранных, так и советских авторов дан в конце книги.

в полях внутри кристалла, классификация состояний системы тождественных частиц в атомной физике, некоторые вопросы ядерной спектроскопии).

Читателю-физику не приходится преодолевать длинную цепь определений и теорем, оставаясь в неведении относительно того, где и каким образом можно будет воспользоваться приобретенным богатством. Каждое вводимое автором понятие и каждый получаемый или формулируемый им результат, как правило, подкрепляются многочисленными примерами. Нередко, для того чтобы подчеркнуть достоинства того или иного метода, одна и та же проблема решается разными способами. Активному усвоению излагаемого материала немало способствуют также и многочисленные задачи и упражнения.

Читателю-математику доставит удовольствие увидеть, 《как работает» теория групп, и узнать в аппарате, использованном физиками для решения различного рода задач, знакомые ему теоретико-групповые методы,

В последнее время теория групп стала еще более популярной в связи с успехами в области систематизации элементарных частиц, поскольку полученные важные результаты основывались на применениях теории групп Ли. Соответствующие разделы книги Хамер- меша могут служить хорошим введением для тех, кто интересуется этими вопросами.

В книге, конечно, охвачено далеко не все (именно это и делает ее удобочитаемой). В ней нет группы Лоренца, в ней нет специальных функций, придирчивый читатель найдет и другие пропуски. Некоторые из них можно восполнить по списку литературы, добавленному переводчиком.

Читатель, внимательно изучивший то, что содержится в книге Хамермеша, будет вполне подготовлен как к пониманию того, каким образом используются методы теории групп в современной физике, так и к их применению в собственных изысканиях.

夕.Смородинский

Ю. Данилов

Эта книга представляет собой попытку показать, что теоретикогрупповые методы могут служить не только предметом рассмотрений, доступных немногим посвященным, но и удобным средством исследования. Я пытался излагать содержание статей и книг так, чтобы сделать материал как можно более доступным. Для понимания большей части текста не требуется никаких предварительных знаний теории групп, но предполагается, что читатель знает квантовую механику.

В основу этой книги положены лекции, которые в разное время читались в Аргоннской национальной лаборатории. Основная часть материала о кристаллографических группах и полях в кристаллах излагалась в курсе лекций, прочитанном в 1953 г. Некоторые из вопросов, относящиеся к ядерной физике, разбирались на лекциях в 1955 г. В лекциях 1957 г. рассматривалась группа Лоренца. В настоящей книге содержится лишь введение в круг вопросов, связанных с группой Лоренца, поскольку я почувствовал, что этот предмет нельзя излагать должным образом без подробного рассмотрения квантовой теории поля.

Большая часть окончательного варианта рукописи была написана в Цюрихе в 1958—1959 гг.只 весьма благодарен руководителям Аргоннской национальной лаборатории, предоставившим мне возможность сосредоточить все усилия на завершении работы над этой книгой. Я выражаю также свою благодарность совету Лондонского королевского общества за разрешение воспроизвести таблицы (в гл. 10 и 11), первоначально опубликованные в Proceedings of the Royal Society.

Эту книгу я посвящаю моей жене Маделине, которая перепечатала всю рукопись и исправила много стилистических и технических ошибок.

Мортон Хамермем

ВВЕДЕНИЕ

Цель этой книги ― изложить те аспекты теории групп, которые необходимы при рассмотрении физических задач. С самого начала следует сказать, что все излагаемые нами результаты можно получить, не используя абстрактные методы теории групп. Однако на самом деле эти иные «простые» методы, представляют собой не что иное, как некоторые из теоретико-групповых методов, заново открытые физиками. В простых задачах теоретико-групповой подход также прост; в более же сложных задачах использование его мощных средств может значительно уменьшить затраты труда. Не следует отрицательно относиться к теоретико-групповому формализму как таковому: коль скоро физические идеи не упускаются из виду, этот формализм представляет ценность. В нашем изложении «интуитивные» методы будут рассматриваться наряду с более абстрактными.

Я надеюсь, что изучение теории групп позволит читателю составить представление о том обширном круге физических задач, где важную роль играют понятия симметрии и инвариантности. Мы увидим также, что многие из понятий, которые мы считали не связанными между собой, например четность, тензорные свойства, спинор, момент количества движения и т. д., допускают единое рассмотрение с теоретико-групповых позиций.

Прежде чем приступать к изложению теории групп, рассмотрим несколько простых примеров.

Уравнение Шредингера для одномерной задачи можно записать в виде

""十仇一丿(%)]" = 0,(1)

где 九一собственное значение,比 ——собственная функция и V(х)——потенциал. В случае одномерной задачи решения должны быть невырожденными, т. е. каждому собственному значению 九 должно соответствовать лишь одно решение и (х). Предположим теперь, что наш потенциал V (х) есть четная функция от х

у^х^у^—ху(2)

Заменяя х на ——х, мы видим, что если 〃 (х) есть решение, соответствующее собственному значению 九，то это же справедливо и для

w (—x). В таком случае отсутствие вырождения приводит к требованию

и(— х)= си (х),

где с—некоторая константа:

и(х) = си(—х) = с2〃(х),с=±1.(3)

Таким образом, собственные функции w(х) либо четны, либо нечетны. Формулировку наших результатов можно обобщить следующим образом.

В уравнении £〃 = 0, где L ——линейный оператор, свойства симметрии L (в нашем случае оператор L не изменялся при замене х на ——х) приводят к классификации решений w по тем же свойствам симметрии.

Отметим также, что свойства симметрии системы (т. е. ее гамильтониана) приводят к правилам отбора:

J unxumdx = ^l

если функции ип и ит — обе четные или обе нечетные; интеграл будет отличен от нуля лишь в том случае, если ип и ит—функции различной симметрии.

Этот простой пример подводит нас к общему вопросу. Какие свойства собственных функций следуют из инвариантности гамильтониана относительно различных операций симметрии?

В качестве другого примера рассмотрим движение электрона в сферически симметричном поле [потенциал V(г) зависит только от г]. Инвариантность гамильтониана относительно вращений приводит к тому, что собственные функции имеют вид

R(r) ИГ (9, Ф),

гле У? —сферические функции. Каждое собственное значение энергии характеризуется азимутальным квантовым числом / и имеет 22 十1 соответствующую ему собственную функцию (т — /, /—1—/).

Классификацию собственных функций производят в соответствии с тем, как они ведут себя при вращениях. Если V(г) имеет весьма специальный вид, например

V ⑺=；，

то может случиться так, что решения с различными значениями I совпадают. Такое усилившееся вырождение, как показал Фок, происходит из-за того, что гамильтониан оказывается инвариантным относительно более широкого класса операций симметрии, чем просто вращения в трехмерном пространстве. Аналогичный эффект, имеющий такое же объяснение? может встретиться в случае гармонического

осциллятора. Например, решения могут совпадать при специальном выборе констант в гамильтониане. В таких случаях мы говорим о «случайном» вырождении. Под этим понимают, что вырождение не является следствием свойств симметрии гамильтониана, а связано со специальным выбором гамильтониана; такое вырождение можно снять, не изменяя свойств симметрии гамильтониана.

Другим примером служит движение электрона в поле с периодическим потенциалом (внутри металла). Периодичность потенциала позволяет нам сделать заключения о собственных функциях, совпадающие с содержанием теоремы Блоха. Классификация уровней энергии электрона в кристалле будет отличаться от классификации их в свободном атоме из-за отсутствия сферической симметрии.

Для нахождения собственных колебаний молекулы приходится решать секулярное уравнение. За исключением простейших молекул, решение этого уравнения представляет собой весьма трудную задачу. Свойства же симметрии молекулы можно использовать для того, чтобы свести секулярное уравнение к уравнению, решить которое более просто. Точно так же свойства симметрии молекулы дают возможность произвести классификацию ее уровней энергии и вывести правила отбора для различных процессов.

Для системы тождественных частиц гамильтониан инвариантен относительно любой их перестановки. В задачах атомной физики это обстоятельство приводит к классификации уровней энергии по спину. В задачах ядерной физики, если протон и нейтрон рассматривать как различные зарядовые состояния одной и той же частицы (нуклона), мы получаем дополнительную классификацию уровней энергии по «зарядовому» квантовому числу.

Наконец, поведение волновых функций при вращениях можно использовать при рассмотрении задач о сложении моментов количества движения и об угловой корреляции между частицами, испускаемыми в последовательных процессах. Мы кратко упомянули некоторые возможные приложения соображений симметрии и теории групп. Позднее мы рассмотрим их подробно.

ГЛАВА 1

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП

§ L Соответствия и преобразования

Мы все знакомы с понятием соответствия, или отображения. Имеется множество объектов, которые мы назовем точками. Число их может быть конечным, В этом случае их можно перечислить и называть, например, так: „точки а, Ь, си—для множества из трех объектов ——или же: „точки р】「〃“ (либо точки 1, 2, .. ., п)— для множества из п объектов. Они могут образовывать счетное множество (например, точки, помеченные целыми числами 1, 2 и т. д.) или же составлять континуум (все точки плоскости ХУ). Под отображением множества точек на себя мы подразумеваем, что нам задан рецепт, согласно которому мы каждой точке р этого множества ставим в соответствие ее образ — некоторую точку р‘ из того же множества. Мы говорим, что р‘ есть образ р при отображении М. Символически это записывается в виде

р , или р = Мр,(1.1)

Можно сказать, что формулы (1.1) эквивалентны следующему утверждению: „Оператор М, действуя на объект р, переводит его в объект р'“・ Для конечного множества точек отображение можно описать путем перечисления всех точек и их образов; например, для множества из трех точек а, Ь, с мы говорим: отображение М переводит точку а в ее образ 仇 точку b — в ее образ а и точку с — в ее образ с, Все это можно записать с помощью символов:

М= Ъ-^а .(L2)

Другим возможным отображением Мг могло бы быть отображение 'а—> а '

АГ三 Ь—>а ■.(1.3)

,с —> а ,

Для бесконечного множества точек описать отображение путем перечисления невозможно. Вместо этого мы задаем функциональный

закон (или рецепт) для отображения М. Например, можно рассматривать множество точек на оси X и отображение “ задав для него закон:

х f л/ = % + 2,

е. каждую точку, чтобы получить ее образ, следует сдвинуть на две единицы вправо.

Если Мр = Mfp для всех точек р, то два отображения М и Mf некоторого множества точек совпадают. Обратно, если 附=附[то Мр = Mfр для всех точек р. Одним частным, причем важным видом отображения является тождественное отображение /, которое каждую точку множества переводит в себя: 1р = р. Отображения можно выполнять последовательно: если М переводит р в р'(р' = Мр) и ЛГ переводит // в р" (р" = М'р‘)，т. е.

pff^Mfpf = M\Mp\(1.4)

то мы запишем такое отображение в виде

pff = MfMp,(1.4а)

Иначе говоря, существует о дно-единственное отображение (его мы обозначаем 附‘附)，которое приводит к тому же результату, что и последовательное выполнение отображений М и ЛГ. Если при выполнении последовательности отображений 附匕 М2 и т. д. мы введем соответствия

р f р' f р"

р' = МР, р" = М?р',р"' = Мзр"

то

p"=独(加20)=独(餌(MP))=独加2 (MP)=餌加2的p，

е. отображения удовлетворяют ассоциативному закону.

В нашем примере с тремя точками [формулы (1.2) и (1.3)] отображение MfM означает

'а-

■> а

'а-

》а

Ь-

*а-

=

Ь-

》а

(1.5)

с -

》c 一

а а.

с -

> а.

Если бы мы выполняли отображения в обратном порядке, мы

получили бы отображение 附附':

(1.5а)(1.5а)а —► bbfbс fb

(1.5а)

(1.5а)

так что MMr ^= MfM. Таким образом, композиция, или произведение, отображений приводит к резуль га гу, который, вообще говоря,

зависит от порядка выполнения отображений. Отображения являются некоммутативными операциями.

Нас будут интересовать только взаимно однозначные отображения, или преобразования, т. е. такие отображения, при выполнении которых никакие две точки множества не имеют одинаковых образов и каждая точка р‘ множества служит образом одной (и только одной) точки р. Отображение М в (1.2) было взаимно однозначным, в то время как отображение Мг в (1.3) взаимно однозначным не было.

Если задано некоторое взаимно однозначное отображение, то можно найти обратное отображение, которое уничтожает действие первого. Например, если преобразование М переводит р в р，(р，= Мр), то обратное преобразование Ж-1 переводит р‘ в р (рмЛР%). В этом случае

р‘ = Мр = ММ~Хр , откуда

ММ^=^1(1.6)

и

р = Л!—// = M^xMpt так что

加7加=/.

Например, преобразованием, обратным преобразованию

М = Ь~^а ■, .с -> с • является

Ж-1 = 〃 —>。； .с —> с • следовательно, в этом случае преобразование М совпадает со своим обратным.

Легко найти преобразование, обратное произведению преобразований. Для отображений Ж и ЛГ, фигурирующих в (1.4),

Р = ЛГ%, р，= М，7р", р = М~хМ'~хр", так что

=(1.7)

Словами это можно выразить так: преобразование, обратное произведению преобразований, получится, если выполнять обратные преобразования в обратном порядке. Ниже приводятся примерь? преобразований.

Примеры

Перестановки. Множество из п ящиков (точек) перенумеровано числами от 1 до п. Каждый ящик содержит какой-то один предмет. Затем предметы из одних ящиков перемещают в другие так, что снова в каждом из п ящиков находится по одному предмету. Например, если предмет раньше находился в ящике 1, а теперь он находится в ящике 3, мы скажем, что 3 есть образ 1 при таком преобразовании. Рассмотрим конкретный пример множества из 4 ящиков. Предметы в этих ящиках были переставлены между собой так, что содержимое ящика 1 перешло в ящик 4, содержимое ящика 2 — в ящик 3, содержимое ящика 4 — в ящик 2 и содержимое ящика 3 — в ящик 1. Это отображение записывается в виде

1->4

2f 3

4->2

3fl

Можно сказать, что наше преобразование сводится к переходу от одного упорядоченного расположения чисел 1, . .., 4 к другому упорядоченному расположению. Такие преобразования называются перестановками. Одно из общепринятых обозначений для перестановок состоит в том, что под каждым предметом подписывают его образ при этом преобразовании. В этих обозначениях наш пример следовало бы записать так:

порядке, но бы записатьпорядке, но бы записать1234、4312/

порядке, но бы записать

порядке, но бы записать

Числа в верхней строке мы записали в естественном это не обязательно; ту же перестановку можно было и в виде

'1324\/4213Х

4132/ ИЛИ(2341卜

Поскольку соответствия между предметом и его образом сохраняются одними и тем*и же, эти различные способы записи представляют одну и ту же перестановку.

Нашим примером служит перестановка четырех символов, поэтому мы говорим, что она является перестановкой степени 4. Мы могли бы выполнить и другие перестановки четырех символов, например точка 1 могла бы иметь в качестве образа точку 1, 2, 3 или 4. Тогда для выбора образа точки 2 осталось бы только три возможности; что в свою очередь оставило бы только две возможности

для выбора образа точки 3, и, наконец, имелась бы только одна возможность для выбора образа точки 4. Таким образом, существует 4 • 3 • 2 • 1 = 4! = 24 перестановки степени 4. Аналогично, число перестановок п символов, т. е. число перестановок степени п, равно п!

Параллельные переносы. Точки прямой обозначены координатой х. Преобразование состоит в сдвиге каждой точки на две единицы вправо:

3. Проективные преобразования прямой.3. Проективные преобразования прямой.Проективные преобПроективные преобразования точек осиразования точек осиX определяются с помощью соотношенияX определяются с помощью соотношения*’=**^, где ad-儿#0.*’=**^, где ad-儿#0.

3. Проективные преобразования прямой.

3. Проективные преобразования прямой.

Проективные преоб

Проективные преоб

разования точек оси

разования точек оси

X определяются с помощью соотношения

X определяются с помощью соотношения

*’=**^, где ad-儿#0.

*’=**^, где ad-儿#0.

Задача. Двойное отношение четырех точек на прямой определяется как

(%1 - %2)/(%3 - %2)

(%1 -%4)/(%3 - %4)'

где %[, %2，％3，％4 — координаты четырех точек. Покажите, что двойное отношение инвариантно относительно проективного преобразования, т. е. двойное отношение, вычисленное для образов точек, имеет тот же вид, что и для исходных точек.

Примеры (продолжение)

Перестановки степени п можно также рассматривать как специальные линейные преобразования 8 ^мерном пространстве. Точка, v-я координата которой есть 八，отображается в точку, у которой р¥-я координата (относительно тех же координатных осей) есть 八，me pv — образ v при перестановке. Перестановка имеет вид

/1 2 ... п \

\Р1 02 …Рп/

соответствующее ей преобразование координат задается формулами

凸凸XX0202~ “2,~ “2,

凸

凸

X

X

02

02

~ “2,

~ “2,

X = X .

Рп 〃

Для частного случая, рассмотренного в примере 1, соответствующее преобразование координат имело бы вид

Х2 =/,

Х4 =弘

Линейные преобразования 8 п-мерном пространстве. Преобразования, рассмотренные в примере 4, являются частными случаями линейных преобразований в л-мерном пространстве. При фиксированной системе координат линейное преобразование отображает точку с координатами (勺，…，％〃)в точку с координатами (%；, …，吟, где величины xf задаются соотношениями

л).(1.8)

В этих линейных уравнениях л2 коэффициентов 。“ образуют квадратную таблицу — матрицу а преобразования. У преобразования (1.8) будет обратное, если определитель матрицы а отличен от нуля, т* е. если а ——невырожденная матрица. Если вслед за преобразованием (1.8) мы выполним второе преобразование

2 力, jX У(21 , • . •,也)，

то результирующим преобразованием (произведением преобразований) будет преобразование

ПЛлП / /I\

%；= ? 〃 /•= 2 ^Z; 2 ajkxk = 2 ( 2 ^Zjajk ) ХЙ- (L9)

/==1/ = 1 ' й = 1\/ = 1/

Из (1.9) мы видим, что одно преобразование, позволяющее совершить переход непосредственно от х и %", задается равенствами

Где

Равенство (1.10) задает правило, по которому следует комбинировать элементы матриц b и а,чтобы получить произведение матриц с:

с = Ьа.(1.11)

Последи ее равенство служит символической записью 几？ равенств (1.10). Соотношение (1.8) можно также записать в символическом виде. Координаты хь …，хл можно рассматривать как элементы матрицы, имеющей п строк и один столбец:

х= •・(1.12)

Точно так же можно записать и х‘. Тогда равенство (1.8) примет вид

х' = ах,(1.13)

а для обратного преобразования будем иметь

х = а-1х\(1.13а)

где а-1 — матрица коэффициентов обратного преобразования.

Группы. Определения и примеры

Под группой преобразований О мы понимаем совокупность преобразований заданного множества точек, которая удовлетворяет следующим условиям:

содержит тождественное преобразование;

вместе с каждым преоб разованием М содержит также и обратное ему преобразование М-1;

если содержит преобразования М и Mf, то содержит также и их произведение ММ\

Евклидовы движения (движения твердого тела) в обычном пространстве образуют группу; множество всех 孔！ перестановок п точек образует группу; движения равностороннего треугольника, совмещающие его с самим собой, образуют группу и т. д.

Если точкам множества и преобразованиям не придавать никакого конкретного наглядного смысла, то 6 понятия группы преобразований мы придем к понятию абстрактной группы.

Абстрактная группа О ——это множество элементов 〃, Ь, с и т. д.» для которых закон композиции, или „умножениеи, задан так.

что „произведение^ аЬ любых двух элементов вполне определено и удовлетворяет следующим условиям !):*

если а и Ъ ——элементы множества, то и ab также принадлежит этому множеству;

умножение ассоциативно, т. е. а (^с)= {ab) с;

множество содержит элемент % называемый единицей, такой, что ае = еа = а для любого элемента а из множества;

если элемент а принадлежит множеству, то существует элемент b такой, что ab = Ьа = е. Элемент Ъ называется обратным для элемента а и обозначается Ъ = а-1.

Хотя групповую операцию мы часто называем „умножением11, из этого отнюдь не следует, что эта операция является обычным умножением. Множество рациональных чисел (за исключением нуля) образует группу по обычному умножению. Совокупность целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) образует группу, если групповой операцией служит обычное сложение. Даже в этих примерах мы пользуемся не абстрактной группой, а каким-либо конкретным примером („реализацией**) абстрактной группы. Структура абстрактной группы определяется заданием результата „умножения14 каждой упорядоченной пары элементов либо путем перечисления, либо же путем указания функционального закона без какой бы то ни было конкретизации природы элементов.

Говорят, что два элемента а и b группы коммутируют друг с другом, если

〃Ь = Ь〃，(1,14)

т. е. если их произведение не зависит от порядка сомножителей. Из аксиом группы мы видим, что единичный элемент е коммутирует со всеми элементами группы. Если все элементы некоторой группы коммутируют друг с другом； то говорят, что эта группа коммутативная, или абелева. Для абелевых групп в качестве символа для обозначения групповой операции по традиции используют знак ”+“• В таких группах „произведение^ элементов а и b записывается в виде а-\-Ь (или 力 + 〃), символ 0 используется для

])На самом деле приводимые ниже аксиомы избыточны; аксиомы 3 и 4 можно заменить более слабыми требованиями:

3‘)множество содержит элемент е, называемый левой единицей, такой, что еа = а для любого элемента а из множества;

4‘)если а принадлежит множеству, то существует элемент Ь, такой, что Ьа = ^, где е—левая единица, определенная в 3‘. Элемент b называется левым об ратным для элемента а относительно левой единицы е.

Читателю, для которого сказанное представляет интерес, следовало бы доказать, что левая единица е в аксиоме 3’ является также и правой единицей, т. е. ас = а, и определяется единственным образом и что элемент b в аксиоме 4’ является также и правым обратным для элемента a (ab = е) и по элементу а определяется однозначно. Таким образом, аксиомы 3 и 4 следуют из более слабых требований 3’ и 4'.

обозначения единичного элемента, а элемент, обратный для элемента о, записывается в виде (——а) и называется противоположным. Число элементов в группе называется порядком группы.

Выбрав произвольный элемент о группы G, мы можем составить произведения а с самим собой, например произведение

о。，

которое обозначим а2. Точно так же под ап мы будем понимать элемент, получившийся при перемножении п элементов, каждый из которых равен о. Вводя символ а™1 для элемента, обратного о, мы имели в виду именно эти обозначения. Например,

。-1 • о = е = о。.

Аналогично можно определить отрицательные степени о

a-m = (a-i)m = (am)T,(1.15)

причем последний шаг в этих преобразованиях вытекает из (1.7). Говорят, что о ——элемент бесконечного порядка, если все степени элемента о различны. Если же дело обстоит иначе, то, возводя элемент о последовательно в степени 1, 2, ... и т. п., мы найдем два целых числа г и s (г〉s) таких, что

ar = as.

Умножив на о「получим

"7 = % r — s〉0.

Предположим, что п ——наименьшее целое положительное число такое, что о" равно единице, т. е.

о" = % п > 0,(1.16)

и если 。々=% ^ > 0, то 為》必 Мы говорим, что элемент о есть элемент порядка п.

Если о — элемент n-го порядка, то все элементы

淤=% о, а2о"】(1.17)

различны (ибо если 。「=。§, то ar~s= е, причем г——s < п). Следовательно, любая другая степень элемента о равна одному из элементов, перечисленных в (1.17). Всякое целое число 厶 можно записать в виде

откуда

口々=asn+t = азп^ = (о")*9 0f = 0f.

Из этого рассуждения мы видим, что если 〃々=% то 為 кратно п. Группа порядка 1 содержит один элемент ——единицу е: ее = е. Группа порядка 2 содержит два различных элемента. Одним из них должна быть единица е. Второй элемент назовем о. Тогда

аа (= а2) не может совпадать с элементом а, так как из а2=а следует, что а = е. Поэтому должно выполняться равенство а2 — е, т. е. элемент а совпадает со своим обратным элементом а = а'1. Ниже приводятся примеры групп второго порядка.

Примеры

1. Групповой операцией складываем элементы и1. Групповой операцией складываем элементы иЭлементами служат целые числа 0 и является сложение по модулю 2, т. е. мы берем остаток от деления их суммы на 2:

1. Групповой операцией складываем элементы и

1. Групповой операцией складываем элементы и

0+0 = 0,0+1 = 1+0=1,1 + 1=0.

Элементы группы——преобразования точек трехмерного пространства. Элемент е ——тождественное преобразование, элемент а —— преобразование, заменяющее каждую точку ее зеркальным отражением в некоторой данной плоскости (например, в плоскости YZ), так что а изменяет знак координаты х каждой точки.

То же, что и в примере 2, но теперь а—инверсия относительно начала координат (т. е. а заменяет х, у, z на ——х,——у,——г).

То же самое, но на этот раз а — поворот на 180°, например вокруг оси Z.

То же самое, но теперь а ——инверсия относительно единичной сферы: точка, сферические координаты которой равны г, 0, <р, отображается в точку 1/г, 0, ф.

Элементы группы—-целые числа 1 и —1, групповая операция—обычное умножение.

Элементы——перестановки двух символов:

Мы рассмотрели семь различных реализаций абстрактной группы порядка 2. Все эти группы имеют совершенно одинаковую структуру. Такие группы называются изоморфными.

В общем случае мы скажем, что две группы G н G' изоморфны (GqG‘)， если их элементы можно поставить во взаимно однозначное соответствие, сохраняющееся при выполнении групповой операции. Рассмотрим, например, группы 1, 6 и 7, указанные выше. Сопоставим их элементы следующим образом:

Группа 1:Группа 6:Группа 7:Группа 1:Группа 6:Группа 7:012f 2丿012f 2丿1—1If 2、2f 1)1—1If 2、2f 1)1 + 1=0, (_1)(-1)= 1,1 + 1=0, (_1)(-1)= 1,1 f 22fl1 f 22fl1 f 21 f 2

Группа 1:

Группа 6:

Группа 7:

Группа 1:

Группа 6:

Группа 7:

0

1

2f 2丿

0

1

2f 2丿

1

—1

If 2、

2f 1)

1

—1

If 2、

2f 1)

1 + 1=0, (_1)(-1)= 1,

1 + 1=0, (_1)(-1)= 1,

1 f 2

2fl

1 f 2

2fl

1 f 2

1 f 2

Если элемент, соответствующий элементу а (а принадлежит группе О), обозначить через 〃'(〃' принадлежит группе G'), т. е. штрих над символом элемента будет означать элемент, поставленный ему в соответствие, то группы G и G' окажутся изоморфными, если

afbf =(05)'.

Заметим, что а'Ь' означает произведение а1 и bf относительно групповой операции в группе G', в то время как аЬ означает произведение а и b относительно групповой операции в группе О. Например, групповыми операциями в трех перечисленных выше группах были сложение, умножение и последовательное выполнение преобразований соответственно.

Если две группы изоморфны, то их структура одинакова; символы и слова могут отличаться, но как абстрактные группы они совпадают.

Рассмотрим далее абстрактную группу порядка 3. Различные элементы ее назовем 。，力 и е. Произведение ab не может быть равным а (или 5), так как из этого следовало бы, что Ъ — е (или 〃 = е). Поэтому ab должно быть равным е. Аналогично усматриваем, что。2 =尻 Таким образом, группа порядка 3 состоит из элементов 。，〃2, 〃з=е Она служит примером циклической группы, состоящей из степеней одного элемента.

Вот некоторые реализации этой группы:

вращения равностороннего треугольника АВС в его плоскости, совмещающие треугольник с самим собой;

повороты трехмерного пространства на углы 0, 120 и 240° вокруг оси Z;

кубичные корни из единицы с обычным умножением в роли групповой операции.

Дпя групп более высокого порядка такой процесс перечисления всех элементов группы был бы чрезвычайно затруднительным. Поэтому групповую операцию удобно задавать в виде групповой таблицы. Обозначим все строки и столбцы квадратной таблицы так же, как и элементы группы. В этой таблице мы запишем на пересечении n-й строки и m-го столбца произведение элемента, символом которого помечена n-я строка, и элемента, символом которого помечен m-й столбец:

или краткоили краткоВот как, например, выглядит таблица для группы порядка 2:

или кратко

или кратко

С ©2 = © с〃 = 〃， 〃 ае = а а2 — е

Для группы порядка 3 имеем

I е а b (= а2) с е а b а а b е Ь b е а

Обычно мы будем опускать первую строку и первый столбец, так как они только повторяют обозначения строк и столбцов. Заметим, что групповая таблица в наших примерах симметрична относительно главной диагонали. Так будет в том и только в том случае, если группа абелева. Кроме того, мы видим, что в каждом столбце (и в каждой строке) все элементы группы встречаются один и только один раз. Это объясняется тем, что если все элементы группы умножить слева (или справа) на некоторый фиксированный элемент а, то все получающиеся при этом произведения должны быть различными: если ab — ас, то 〃 = с.

Дня абстрактных групп порядка 4 существуют две различные структуры:

А)

т. е. мы имеем циклическуют. е. мы имеем циклическуюгруппу а, а2, а3, △ = «；группу а, а2, а3, △ = «；

т. е. мы имеем циклическую

т. е. мы имеем циклическую

группу а, а2, а3, △ = «；

группу а, а2, а3, △ = «；

с

а

Ь

с

а

Ь

с

с〃2 =方， ab = с

Ь

с

с

аа^ ~ Ь2 =

с

с

а

Ь

Б)

с.

а

Ь

с

а

с

с

Ь

Ь

с

с

а

с

Ь

а

е

й2 _ ^)2 _ с2 __ е, ab = с, ас — b, Ьс

31y группу называют четверной группой Клейна и часто обозначают символом V.

Из симметрии таблиц видно, что обе группы абелевы.

I

Задачи, 1. Покажите, что А) и Б) образуют единственные возможные структуры для группы порядка 4.

Покажите непосредственными выкладками, что всякая группа порядка 4 должна быть абелевой.

Приведите пример реализации каждой из групп порядка 4.

Рассмотрим еще несколько примеров групп.

Примеры

Элементы группы ——целые числа

• • •, —3, —2, —1, 0, 1 f 2, • • •.

Групповая операция—обычное сложение. Сумма любых двух целых чисел есть снова целое число, 0 играет роль единичного элемента, а элементом, обратным п, служит элемент ——п. Это группа бесконечного порядка. Единичный элемент 0 имеет порядок, равный единице; все остальные элементы ——бесконечного порядка.

Элементы группы ——рациональные числа. Групповая операция —— сложение.

Элементы группы——комплексные числа. Групповая операция — сложение.

Заметим, что неотрицательные целые числа не образуют группы относительно сложения. „Произведения** содержатся в этом множестве, множеству принадлежит и единичный элемент (0), но обратные элементы множеству не принадлежат.

Элементы группы ——четные числа. Групповая операция—- сложение. Это группа бесконечного порядка. Заметим, что группа 1 изоморфна группе 4. Каждому элементу п группы 1 можно поставить в соответствие элемент 2п группы 4. Этот пример показывает, что одна группа может быть изоморфна другой группе, составляющей лишь часть первой (разумеется, для групп конечного порядка такого положения быть не может).

Элементы группы——степени числа 2. Групповая операция — обычное умножение, т. е.

.2~2, 2"1, 2°, 21, 22

Если элемент п группы 1 сопоставить элементу 2" группы 5, то станет видно, что эти две группы изоморфны.

Элементы группы—все рациональные числа, за исключением нуля. Групповая операция—умножение.

Элементы группы — все вещественные числа, за исключением нуля. Групповая операция — умножение.

Элементы группы—все комплексные числа, за исключением нуля. Групповая операция—умножение.

Элементы группы——корни /г-й степени из единицы. Групповая операция — умножение. Эти корни равны

&血〃枕，九=0, 1, .... % - 1.

Это—циклическая группа, все ее элементы совпадают со степенями числа «2"〃"・ Очевидно, что существует только одна структура циклической группы порядка 汽，т. е. все циклические группы порядка п изоморфны друг другу, ибо если элементы двух циклических групп одного порядка являются степенями элементов а n Ь соответственно, то изоморфизм можно задать, сопоставляя элементы

0「^► У.

Этот пример показывает также, что существуют группы любого лго- печного порядка п. Кроме того, если имеется циклическая группа бесконечного порядка, т. е. Группа с элементами

..а°=

то она изоморфна группе 1. Отсюда следует, что существует только одна структура для циклической группы счетного порядка.

Элементы группы—перестановки степени п

1 2 ... п \

Pi「2 …Р J

Эту группу, называемую симметрической группой степени %, мы обозначим символом Sn. Легко найти число элементов в группе 5Л: вместо 1 можно подставить любой из символов от -1 до 汽；после того как это сделано, вместо 2 можно подставить любой из оставшихся п—1 символов и т. д. Таким образом, порядок симметрической группы Sn равен %!.

Рассмотрим перестановку степени 8

1 2 3 4 5 6 7 8\

2 3 1 5 4 7 6 8丿

Выбрав сначала символ 1, мы видим, что эта перестановка переводит 1 в 2. Затем мы отыскиваем число 2 в верхней строке и видим, что рассматриваемая перестановка переводит 2 в 3, а 3 — в 1, замыкая цикл, который мы запишем в виде (123). Выберем теперь в верхней строке какой-нибудь другой символ, например 8. Наша перестановка переводит 8 в 8, образуя цикл (8). Продолжая этот

процесс, мы найдем циклы (45) и (67). Нашу перестановку можно записать по-другому в виде

(45) (67) (8).

Заметим, что циклы не имеют общих символов. Цикл (123) можно рассматривать как сокращенную запись следующей перестановки степени 8:

/1234567 8\

〔2 3 1 5 4 7 6 8〉

Наши обозначения можно еще больше сократить, если не указывать символа 8, остающегося на месте, и записывать нашу первоначальную перестановку в виде

(123) (45) (67),(1.18)

но степень перестановки следует иметь в виду. Поскольку циклы неимеют общих элементов, они коммутируют друг с другом, например(123) (45) = (45) (123),

поэтому порядок, в котором мы записываем циклы, несуществен. Кроме того, записывая отдельный цикл, мы можем начинать с любого элемента в цепочке:

= (231) = (312).

Цикл длины 2 называется транспозицией. Всякий цикл можно записать в виде произведения транспозиций (имеющих общие элементы). Например,

= (13) (12), или в общем случае

(12 . .. /г) = (1/г) ... (13) (12).

Цикл из 3 символов записывается в виде произведения 2 транспозиций, цикл из л символов ——в виде произведения л — 1 транспозиции.

Продолжая аналогичным образом, можно разложить всякую перестановку в произведение транспозиций. В нашем примере

(123) (45) (67) = (13) (12) (45) (67).(1.19)

В (1.18) число переставляемых символов равно 7, а число независимых циклов равно 3. Разность между этими числами 7—3 = 4 называется декрементом перестановки. Читатель должен самостоятельно доказать, что если декремент перестановки четен (нечетен), то разложение этой перестановки в произведение транспозиций будет содержать четное (нечетное) число сомножителей. Перестановки с четным (нечетным) декрементом называются четными (нечетными) пере* становкамн.

Покажем теперь, что, умножив данную перестановку на произвольную транспозицию, мы изменим декремент на ± 1, т. е. перейдем от четной перестановки к нечетной или же наоборот. Рассмотрим транспозицию (ab), на которую мы умножаем данную перестановку. Разложим эту перестановку на независимые циклы. Предположим, что а и b попали в один и тот же цикл:

{а xb у).

Тогда

(ab) (а . . . xb …у) = (а . . . х) (^ . .. у),

так что декремент уменьшится на 1, Наоборот, если а и b находятся в разных независимых циклах, мы видим (проводя рассуждения в обратном порядке), что умножение на (ab) увеличивает декремент на 1. Произведение двух четных (или нечетных) перестановок дает четную перестановку. Произведение нечетной и четной перестановок дает нечетную перестановку. Перестановка, обратная четной (нечетной) перестановке, четна (нечетна). Нечетные перестановки степени п не образуют группы (так как их произведения являются четными перестановками). Четные же перестановки степени п образуют группу — знакопеременную группу Лп, состоящую из n !/2 элементов.

Элементы группы ——множество всех целых положительных чисел. Рассмотрим перестановки, в которых меняется местами любое конечное число символов. Множество перестановок, построенных таким способом, называется счетной симметрической группой.

Элементы группы — невырожденные матрицы п\ п. Групповая операция——матричное умножение.

Элементы группы — невырожденные матрицы, имеющие определитель, равный ± 1. Групповая операция ——матричное умножение. Такая группа называется унимодулярной.

То же, что в примере 13, за исключением того, что теперь определители равны 十1・ Такая группа называется специальной унимодулярной.

Подгруппы. Теорема Кэли

Если из элементов группы G мы выберем некоторое подмножество 留，то, чтобы показать, что 鸵 содержится в G, мы воспользуемся обозначением 鸵uG. Если подмножество 留 образует группу (относительно той же групповой операции, которая используется в G), то говорят, что 留 является подгруппой группы G, Всякая группа имеет две тривиальные подгруппы: группу, состоящую из одного лишь единичного элемента, и саму группу G в целом. Эти подгруппы называются несобственными. Одна из главных задач теории групп состоит в отыскании всех остальных (собственных) подгрупп данной группы О.

Следует особо подчеркнуть, что 能 образует группу относительно той же групповой операции, что и G. Рациональные числа образуют группу G относительно сложения. Положительные рациональные числа образуют группу Qf относительно умножения, но Gf не является подгруппой группы G, несмотря на то, что элементы G' образуют подмножество элементов группы G,

Чтобы удостовериться в том, что некоторое подмножество 旣 элементов группы G является подгруппой, мы проверяем, выполняются ли следующие требования:

произведение любой пары элементов подмножества 旣 принадлежит 灰

вместе с каждым своим элементом 郷 содержит обратный ему.

Другие требования группы выполняются в силу того, что 宓 содержится в группе G. Например, ассоциативный закон выполняется в G и тем самым выполняется в 非.Группа G содержит единичный элемент, а из требований 1 и 2 следует, что и 能 содержит его.

Для конечной группы (или любой группы, все элементы которой имеют конечный порядок) необходимо» чтобы выполнялось только требование 1. В этом случае* для каждого элемента а из 能 найдется некоторая степень а (также принадлежащая 能)，например ал-1, такая, что аа"-】 = 〃" = «, в результате чего требование 2 становится следствием требования 1.

В общем случае для бесконечных групп необходимо выполнение обоих требований. Например, целые положительные числа относительно сложения удовлетворяют первому, но не удовлетворяют второму требованию и поэтому не образуют подгруппы всех целых чисел по сложению.

Знакопеременная группа Лп является подгруппой симметрической группы Sni действующей на те же символы (庚〃uSj. При 〃 = 3 группа S3 состоит из ^элементов % (123), (132); (12), (13), (23), а группа 几 содержит элементы е; (123), (132).

Если 能一подгруппа группы G м К — подгруппа группы 苏％ то К — подгруппа группы G. Это отношение транзитивности наводит на мысль о последовательностях подгрупп, каждая из которых содержит все подгруппы, предшествующие ей в этой последовательности. Например, в качестве G можно взять группу всех целых чисел относительно сложения, в качестве 能——группу всех четных чисел относительно сложения, в качестве К ——группу всех чисел, кратных числу 22=4, относительно сложения, затем группу всех чисел, кратных 23, и т. д.:

G:G:• • • —2,.*. —4,• • • —2,.*. —4,—1, 0, 1, 2,...,

G:

G:

• • • —2,

.*. —4,

• • • —2,

.*. —4,

—2, 0, 2, 4,...,

К：К：»• • —8, —4, 0, 4, 8, • •.

К：

К：

и т. д,

Каждая группа содержит все последующие подгруппы, перечисленные ниже ее, т. е.

G п旣п к п…；

кроме того, в рассматриваемом случае все эти группы изоморфны:G 旣*К * —、、

Таким образом, группа может быть изоморфной одной из своих собственных подгрупп, но для групп конечного порядка это невозможно.

В рассмотренном выше случае группы S3

S3 п 必 п %

где е есть группа, состоящая из одного единичного элемента. Для всех групп конечного порядка последовательности, подобные той, которая приведена в этом частном примере, начинаются с группы G и завершаются группой, содержащей лишь элемент е. Другие последовательности в группе S3 имели бы вид

S3 п 影 1 п %

S3 п 影2 п е,

S3 п 影3П et

где подгруппа 留〔содержит два элемента: е и (23), подгруппа 幽2 содержит е и (13) и подгруппа 能3 содержит е и (12).

Группа G' может быть изоморфной одной или более подгруппам другой группы G. Например, группа 52 — группа перестановок двух символов—изоморфна подгруппам 能卜 旣,и *^3 группы 53. Отсюда, очевидно, вытекает, что」

В общем случае группа S〃一〔 изоморфна п подгруппам группы Srt, которые получаются, если фиксировать по очереди символы 1, 2, ..., п. Мы можем заметить, что элементы группы G, которые принадлежат одновременно двум подгруппам 尸〔и F2 группы G, образуют множество D (пересечение подгрупп 尸】и F2), которое является подгруппой группы G, ибо если а и b принадлежат D, то а и 6 также принадлежат 尸〔и F2. Поэтому элементы ab и а"1 принадлежат 尸〔и F2 и, следовательно, принадлежат множеству D, так что D удовлетворяет тем требованиям, которые мы предъявляем к подгруппе. Поскольку каждая подгруппа группы G содержит единицу е, пересечение любого числа подгрупп (т. е. совокупность элементов, принадлежащих всем рассматриваемым подгруппам) обра* зует подгруппу, которая содержит по крайней мере единицу.

Симметрические группы 5Л особенно важны, потому что на самом деле ими исчерпываются все возможные структуры конечных групп. Это доказывается теоремой Кэли.

I

Теорема. Всякая группа О порядка п изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы 5Л.

Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, мы хотим указать на некоторые следствия из нее. Из теоремы Кэли вытекает, что число возможных неизоморфных групп порядка п конечно, ибо эти группы изоморфны подгруппам группы 5Л. Поскольку 5Л——конечная группа, она имеет лишь конечное число подгрупп, чем и доказывается наше утверждение. Это важный результат, поскольку он по крайней мере ограничивает задачу нахождения независимых структур группы порядка п. Переходим к теореме Кэли. Пусть «1，散，…，ап — элементы группы G. Возьмем любой элемент Ь; произведения его и каждого из элементов группы О имеют вид bait Ьаъ ..., Ьап, причем все эти произведения различны, так как Ь%=Ь% означает, что 勺=勺.Таким образом, эти произведения bat задают элементы группы О в некотором новом порядке. Поставим в соответствие каждому элементу b перестановку ль.

п предметов «「..., ал. Другому элементу с группы G сопоставим перестановку 吨：

J …caj'

По тому же правилу элементу cb ставится в соответствие перестановка

cb f n^b =cb f n^b =«1 ... % cb«i …cban«1 ... % cb«i …cban

cb f n^b =

cb f n^b =

«1 ... % cb«i …cban

«1 ... % cb«i …cban

Для доказательства изоморфизма требуется показать, что лсЬ есть произведение перестановок 吨 и п»

Как мы уже видели, при описании перестановки существенно только соответствие между предметом и его образом. Порядок же, в котором мы записываем символы, подлежащие перестановке, несуществен. Поэтому % можно также записать и в виде

/ Ь% … ban

\с（М）... с（必〃）

Взяв произведение образов элементов с н b

получимполучимbt?i ... ban \ / ах .. t апcb〃i . . . cbanj\bax . . . ban

получим

получим

\ cbax . . . cba Jh"c"

Перестановка 冗&, сопоставленная единичному элементу е группы G, есть тождественная перестановка

Точно так жеТочно так же冗Mb =冗eb = b・冗Mb =冗eb = b・

Точно так же

Точно так же

冗Mb =冗eb = b・

冗Mb =冗eb = b・

так что перестановки, поставленные в соответствие элементам О, образуют некоторую подгруппу в Sn, и теорема доказана.Перестановки, поставленные в соответствие каждому элементу группы, — это именно те перестановки, которые мы получили бы из рассмотрения групповой таблицы. Например, в случае четверной группы V структурная таблица имеет видтак что перестановки, поставленные в соответствие элементам О, образуют некоторую подгруппу в Sn, и теорема доказана.Перестановки, поставленные в соответствие каждому элементу группы, — это именно те перестановки, которые мы получили бы из рассмотрения групповой таблицы. Например, в случае четверной группы V структурная таблица имеет видаЬсаЬсе а b се а b с а е с b b с е а с b а ее а b се а b с а е с b b с е а с b а еЧтобы найти перестановку, соответствующую, мы запишем в верхней строке символыЧтобы найти перестановку, соответствующую, мы запишем в верхней строке символынапример, элементу а.например, элементу а.eabc、eabc、а под ними выпишем символы в том порядке, в строке, где мы производим умножение на аа под ними выпишем символы в том порядке, в строке, где мы производим умножение на акак они расположены слева, т. е.как они расположены слева, т. е.ТогдаТогдаaecb.eabc aecbaecb.eabc aecbЕсли мы обозначим элементы % а, Ь, с числами 1, 2, 3, 4, то перестановки, соответствующие элементам е, а, Ь, с, запишутсяЕсли мы обозначим элементы % а, Ь, с числами 1, 2, 3, 4, то перестановки, соответствующие элементам е, а, Ь, с, запишутся

так что перестановки, поставленные в соответствие элементам О, образуют некоторую подгруппу в Sn, и теорема доказана.

Перестановки, поставленные в соответствие каждому элементу группы, — это именно те перестановки, которые мы получили бы из рассмотрения групповой таблицы. Например, в случае четверной группы V структурная таблица имеет вид

так что перестановки, поставленные в соответствие элементам О, образуют некоторую подгруппу в Sn, и теорема доказана.

Перестановки, поставленные в соответствие каждому элементу группы, — это именно те перестановки, которые мы получили бы из рассмотрения групповой таблицы. Например, в случае четверной группы V структурная таблица имеет вид

а

Ь

с

а

Ь

с

е а b с

е а b с а е с b b с е а с b а е

е а b с

е а b с а е с b b с е а с b а е

Чтобы найти перестановку, соответствующую, мы запишем в верхней строке символы

Чтобы найти перестановку, соответствующую, мы запишем в верхней строке символы

например, элементу а.

например, элементу а.

eabc、

eabc、

а под ними выпишем символы в том порядке, в строке, где мы производим умножение на а

а под ними выпишем символы в том порядке, в строке, где мы производим умножение на а

как они расположены слева, т. е.

как они расположены слева, т. е.

Тогда

Тогда

aecb.

eabc aecb

aecb.

eabc aecb

Если мы обозначим элементы % а, Ь, с числами 1, 2, 3, 4, то перестановки, соответствующие элементам е, а, Ь, с, запишутся

Если мы обозначим элементы % а, Ь, с числами 1, 2, 3, 4, то перестановки, соответствующие элементам е, а, Ь, с, запишутся

в видев виде1234\1234/1234\1234/

в виде

в виде

1234\

1234/

1234\

1234/

/ 1234、

% =(2143)=(12)(34)，

/ 1234、

"尸(з412)=(13)(24)，

/1234\

“ =(4321 ) = (14) (23).

Построенные таким способом группы перестановок обладают некоторыми характерными особенностями:

они являются подгруппами порядка п симметрической группы S«;

эти перестановки, за исключением тождественной, которая не переставляет ни один из символов, не оставляют ни одного символа на его прежнем месте, ибо перестановка 冗力 переводит at в элемент 6。九 который равен а» только в том случае, если b ——единичный элемент.

Перестановки группы S^, обладающие этими двумя свойствами, называются правильными перестановками. Подгруппы, содержащие только правильные перестановки, имеют и другие свойства, являющиеся следствиями первых двух. Если две перестановки щ и л2 переводят один и тот же символ, например 3, в один и тот же символ, например 4, то перестановка 冗产不L которая также принадлежит этой группе, должна была бы оставлять 3 и 4 без изменений. С другой стороны, поскольку % 片 %, перестановка 冗产豕】 не может быть тождественной перестановкой и поэтому переставляет местами какие-то символы. Но это противоречит нашему предыдущему результату о том, что все такие перестановки (за исключением тождественной) не оставляют на месте ни одного символа. Так как существует п перестановок п букв, мы приходим к выводу, что символ 1 каждой из перестановок группы переводится в некоторый другой символ (1, . . ., п). (То же применимо к каждому из остальных символов.) Например, в группе V перестановка ле переводит 1 в 1, л« переводит 1 в 2,冗匕 переводит 1 в 3 и лс переводит 1 в 4.

Другое интересное свойство подгруппы правильных перестановок состоит в следующем. Рассмотрим любую из перестановок %, и разложим ее на независимые циклы. Мы утверждаем, что все циклы должны быть одинаковой длины. Если бы разложение пь содержало два цикла различной длины /ь /2 (厶 < /2)( то перестановка 冗夕，также принадлежащая группе, оставляла бы неизменными все символы в первом цикле, но не оставляла бы неизменными все символы

во втором цикле. Это противоречит нашему определению подгруппы правильных перестановок. В правильной подгруппе не может содержаться, например, такая перестановка;

(12)(345),

так как квадрат ее равен перестановке

⑴⑵(354).

Наше утверждение иллюстрируется на примере четверной группы Клейна. Каждая из ее перестановок есть произведение двух независимых циклов длины 2.

Циклическая группа порядка 4 дает нам правильную подгруппу группы S4 следующего вида:

е; (1234);(13)(24);(1432).

Первый элемент имеет 4 цикла длины 1, второй и четвертый имеют один цикл длины 4, а третий имеет два цикла длины 2.

Для нахождения возможных структур группы можно использовать теорему Кэли. Например, предположим, что “一простое число. В этом случае группа порядка “ изоморфна правильной подгруппе группы Sn. Так как перестановки правильные, то в их разложении на независимые циклы все циклы должны быть равной длины. Поэтому длина цикла должна быть делителем п. Так как п — простое число, длины циклов могут быть равны только “ или 1 (для тождественной перестановки). Поэтому правильная подгруппа является просто циклической группой, содержащей перестановку (12 . .. л) и ее степени. Тем самым мы показали, что если порядок “ группы — простое число, то группа — циклическая. Другое доказательство этого результата мы приведем в этой же главе позднее. Наш результат позволяет решить задачу об отыскании возможных структур групп простого порядка.

Воспользуемся теперь теоремой Кэли для отыскания возможных структур группы порядка 4. В соответствии с теоремой наша задача эквивалентна нахождению правильных подгрупп группы S《.Перестановки такой подгруппы должны содержать либо один цикл длины 4, либо два цикла длины 2 (разумеется, тождественная перестановка содержит 4 цикла длины 1). Предположим сначала, что одна из перестановок является циклом длины 4, например (1234). Возведя ее в степени 1, 2, 3 и 4, получим перестановки (1234), (13)(24), (1432), е, т. е. совокупность четырех элементов. Это — циклическая группа порядка 4. Далее предположим, что не существует циклов длины 4, а имеются только перестановки с двумя циклами

длины 2. Квадрат таких перестановок равен е, и существует ровно три такие перестановки:

(12)(34);(13)(24);(14)(23),

которые вместе сен образуют четверную группу.

I

Задачи. 1. Укажите элементы правильной подгруппы группы S6, изоморфной цикличёской группе порядка 6.

Воспользуйтесь теоремой Кэли, чтобы найти возможные структуры групп порядка 6.

Смежные классы. Теорема Лагранжа

Абстрактные группы порядков 1, 2, 3 не имеют собственных подгрупп. Циклическая группа порядка 4 имеет подгруппу порядка 2, состоящую из элементов а2 и % так как (а2) (а2) = d =夕 Четверная группа имеет три собственные подгруппы порядка 2:

@, е\ Ь, е; % 也

все эти подгруппы изоморфны. Заметим, что порядок подгруппы, равный 2, является делителем порядка группы, равного 4. Сейчас мы покажем, что этот результат (принадлежащий Лагранжу) выполняется и в общем случае.

Порядок подгруппы конечной группы есть делитель порядка группы.

Пусть группа G порядка g содержит подгруппу 宓 порядка Л. Если 能 исчерпывает собой группу О, то S^ = G, и результат тривиален (заметим, что здесь знак равенства означает, что два множества содержат одни и те же элементы). Если же это не выполняется, то пусть а есть элемент группы G, не содержащийся в 品・ Обозначив элементы 能 через

образуем произведения

ае = а, аНъ @"з， aHh.

Эту совокупность произведений обозначим символом 仪蕤.Все про, изведения а% различны, так как если

аН v = qH炉 то

Точно так же ни одно из них не содержится в 能，так как если аНр = Н»,

то

и а принадлежало бы 能，вопреки нашему предположению. Мы получили два множества 疏 и а影，каждое из которых содержит А различных элементов, принадлежащих G. Если на этом группа G не исчерпана, мы продолжаем действовать так же, как и прежде, выбирая некоторый элемент b в G, который не содержится ни в 宓！ ни в аМ. Множество 力第 дает Л новых элементов группы G, так как если

bHv = aH^ то

Ъ = аН^Нх1

и b принадлежало бы а能,что противоречит нашему предположению. Продолжая этот процесс, мы можем исчерпать группу G, представив ее в виде суммы конечного числа различных множеств, каждое из которых состоит из А элементов:

0 = 能+0飴+0能 ++々能.(1.20)1)

Таким образом, порядок g группы G есть кратное порядка Л ее подгруппы 第，т. е.

g =也儿(1.21)

где m называется индексом подгруппы 影 в группе G. Множества элементов вида а能 в (1.20) называются левыми смежными классами 能 в G. Они, безусловно, не являются подгруппами, так как не содержат единичного элемента. Разумеется, доказательство можно было бы проводить» умножая 第 справа. Это привело бы к разложению G на правые смежные классы по подгруппе 能

"=對 +能优+ %"++ 彫必. (1.20a)

Из равенства (1.21) мы видим, что группа, порядок которой есть простое число, не может иметь собственных подгрупп.

Взяв любой элемент а (порядка Л) в группе G, мы можем построить циклическую группу, образуя последовательные степени а.

Циклическая группа [а] :〃°=е, 〃， а2, . . ., ah~}, образованная элементом а, называется периодом элемента а. Это наименьшая подгруппа группы G, содержащая элемент а. Из (1.21) следует также, что А есть делитель числа g, так что порядки всех элементов конечной группы должны быть делителями порядка группы. Из этого мы заключаем, что группа простого порядка должна быть циклической и может быть образована по любому своему элементу, отличному от единицы. Это обстоятельство дает нам ответ на задачу о нахождении структуры группы порядка 5: она образуется из элемента а такого, что 〃5 = «, и аналогичный ответ для групп порядка 7, 11, 13 и т.

Ниже приводятся примеры разложения группы на смежные классы.

Примеры

Пусть G — группа целых чисел по сложению,影一группа чисел, делящихся на 4, по сложению. Тогда

0 =影十(1 +影) + (2 +歌) + (3 +留)，

так что индекс подгруппы 影 в G равен 4. Здесь смежный класс (1+影)представляет собой множество целых чисел вида 4%+1 (л ——целое число). Два элемента о и 力 группы G принадлежат одному и тому же смежному классу, если а——b делится на 4.

Пусть G = S3 и 影一подгруппа, содержащая е и (12). Тогда

S3 =影 + (13)影 + (23)影=影 + 非(13)+影(23).

Задача. Циклические перестановки четырех символов образуют подгруппу 兆 в S《.Разложите S4 на левые смежные классы по 馭 Сравните это разложение с разложением на правые смежные классы.

Теорему Лагранжа можно использовать для того, чтобы найти возможные структуры групп заданного порядка. Для примера найдем все структуры групп порядка 6. Так как порядок равен 6, порядок каждого из ее элементов является делителем 6, т. е. равен 1, 2, 3 или 6. Если группа содержит элемент а порядка 6, то она является циклической группой о, а2, . . ., с^ — е. Чтобы найти другие возможные структуры, предположим, что группа не содержит элемента порядка 6, но имеет элемент а порядка 3. Таким образом, эта группа содержит подгруппу о, а2, а3~е. Если группа содержит еще и другой элемент Ь, то она содержит шесть различных элементов е, а,必，ь,力。，ba2. Порядок элемента Ь равен 2 или 3. Если порядок элемента b равен 3, т. е,力з=% то элемент 力2 должен быть одним из перечисленных выше 6 элементов. Равенство 力2 =。 выполняться не может (поскольку мы предположили, что порядок b равен 3),

из равенства же b2— b, Ьа или Ьа2 следует, что b — е, а или а? соответственно, что противоречит нашим предположениям о том, что элемент Ь отличается от этих элементов. Кроме того, так как Ь2= а, то Ьа = е, а из того, что 加=* следует bW = е; и в том и в другом случае это противоречит сделанным нами предположениям. Таким образом, порядок элемента Ь не может быть равным 3 и мы должны иметь: Ь2 = е. Произведение ab не может быть равным % а, а2 или Ь. Если ab = bat то

（而）2 =（而）（而）=（而）ba = ab2a = *

（而）3 - a2（沏）=勿（曲）4 -a，（而）5 -b* （曲）6 - 6

Следовательно, группа содержала бы элемент ab порядка в, вопреки нашему предположению. （То же можно проделать короче: порядок а равен 2, порядок Ь равен 3 и ab = Ьа, т. е, а н Ь коммутируют. Возводя ab в различные степени, мы видим, что порядок элемента ab равен наименьшему кратному порядков элементов а и Ь） Остаются равенства

歩=% ab = ^а2.

Из ab = Ьа1 следует, что （ab）2 = （@b） Ьа2 = «

Это последнее предположение не приводит к противоречиям. Найденную таким образом группу порядка 6 можно кратко охарактеризовать так: она образована всеми возможными произведениями элементов а и 仇 причем

@з =旅=（曲）2 — с・

Легко построить групповую таблицу

е

а 心 b Ьа Ьа2

л а2 b Ьа 友：2

а2еba2bЬа

еababa2b

Ьа也2еаа2

ba2bа2еа

bЬал炉е

Эта группа изоморфна группе S3.

J Задача. Найдите возможные структуры групп порядка 8.

Классы сопряженных элементов

Говорят, что элемент Ъ в группе О сопряжен элементу а, если в группе G можно найти элемент и такой, что

我 @〃-1 =瓦.（1.22）

Иногда говорят, что b есть трансформация элемента а элементом и. Выбрав 以=е, мы видим, что элемент а сопряжен самому себе. Точно так же, если элемент b сопряжен а и с сопряжен Ь, то с сопряжен а, так как если

c = vbv~1t Ь = иаи~11 то

e = и以а以~10一 1 =(0卫)a (0〃)^上

Далее, из (1.22) следует, что а = и~хЬ (н"1)-1, поэтому если элемент b сопряжен а, то элемент а сопряжен Ь. Таким образом, мы имеем отношение между элементами, которое удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к отношению эквивалентности (символ =):

а 三 а;

если а 三 Ь, то b三 а;

если амЬ и Ь= с, то a = ct

Отношением эквивалентности можно воспользоваться для того, чтобы разбить некоторое множество на непересекающиеся классы — в нашем случае для того, чтобы разбить группы на классы сопряженных элементов. В абелевой группе каждый элемент сам по себе образует класс, так как baK' = а при любых а н Ь. Во всякой группе единичный элемент е образует класс. Заметим, что все элементы, принадлежащие одному и тому же классу, имеют одинаковый порядок: если 。也=« н b = иаи~1, то

bh =(以на-】)"=иаи~х иаи~х ... = наЛ и'1 = иеи'1 = е.

Сопряженные преобразования. Для группы преобразований понятие сопряженных элементов имеет простой физический смысл. Предположим, что а—отражение в плоскости Р и с — вращение вокруг некоторой оси. Так как а оставляет каждую точку х плоскости Р неизменной, ах = х. Тогда

(сас~х) (сх) = сах = сх.

Таким образом, преобразование сас'1 оставляет множество точек сх неизменным. Иначе говоря, сас~х есть отражение в плоскости, которая получится из плоскости Р, если последнюю подвергнуть повороту с. Аналогично, если а означает вращение вокруг некоторой оси, то сас~х означает вращение на тот же угол вокруг оси, получающейся из первой при преобразовании с.

Предположим, например, что группа содержит элемент а, который представляет собой поворот на угол 屮 вокруг прямой I. Пусть с ——некоторое другое преобразование той же группы, например параллельный перенос. Тогда с переводит прямую I в какую-то другую

прямую 2- Преобразование cac~i обладает следующими свойствами; с'1 переводит прямую 1Г в прямую /; кроме того, а есть вращение на угол ф вокруг /, оно оставляет точки прямой / неподвижными; наконец, с переводит / снова в，‘. В результате точки прямой 2’ остаются неподвижными; следовательно, сас"1 есть поворот (на угол ф) вокруг прямой

Сопряженные перестановки. Применим теперь понятие сопряженных элементов к перестановкам. Предположим, что а—это перестановка

/ \ п\

\ai • • •。J

и 力一перестановка

Тогда

Сравнивая ЬаЬ~г с а, видим, что для того, чтобы получить bab) мы применяем перестановку b к верхней и нижней строкам перестановки а порознь. Пусть, например,

/ 1234\ / 1234\"=(432丿"=(2134>

Применим перестановку b к верхней строке перестановки а (при этом 1234 перейдет в 2134) и к нижней строке перестановки а (при этом 4321 перейдет в 4312); таким образом, ^а^"1 имеет вид

2134\ /1234\4312尸(3412丿，

Этот метод равным образом применим и в том случае, если пере* становки заданы в виде циклов; например, а = (12) (345) и Ь = = (24135). В этом случае bab^ = (34) (512). Мы видим, что сопряженные перестановки имеют одинаковую структуру с точки зрения их разложений на циклы, так что перестановки, относящиеся к заданному классу, либо все четны, либо все нечетны. Например, в группе S3 элемент е образует класс, состоящий лишь из одного элемента. Кроме того, один класс образуют элементы (12), (13), (23). Элементы (123), (213) также образуют класс. Таким образом, груп-

па S3 содержит три класса сопряженных элементов. В группе S4 различными являются классы:

%

(12). (13), (14), (23), (24), (34);

(12) (34), (13)(24), (14) (23);

(123), (132), (124), (14 2), (134), (143), (234), (243);

(1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432).

I

Задача. Разбейте элементы группы S5 на классы сопряженных элементов.

Общий метод должен быть ясен из процедуры, которой мы пользовались в примере с группой S4. Перестановки группы Sn действуют на совокупность п символов. Представим себе, что мы разложили перестановки на независимые циклы. Пусть число циклов, состоящих из 1 символа, равно vb число циклов, состоящих из 2 символов, равно v2, ..., число циклов из п символов равно ул. Поскольку полное число символов равно %, должно выполняться равенство

(1-23)(1-23)Vj -j- 2V2 ""I- • ■ • -1- ^^л = Д.

(1-23)

(1-23)

О перестановке, которая при разложении на независимые циклы имеет Vi циклов длины 1, v2 циклов длины 2, . ... vn циклов длины п, говорят, что она обладает циклической структурой (1%, 2”2, . . ., nv^), или кратко(V). Как мы уже видели, все перестановки группы S小 обладающие одинаковой циклической структурой (v), образуют класс сопряженных элементов в Sn. Каждое решение уравнения (1.23) в целых положительных числах vb ...» ул задает в S^ некоторый класс. Следовательно, число классов в точности равно числу таких решений. Если ввести обозначения

% + %+ …+ v„ = 1ь

V2 + V3+ . . . +^ =入2,V2 + V3+ . . . +^ =入2,(1.24)(1.24)

V2 + V3+ . . . +^ =入2,

V2 + V3+ . . . +^ =入2,

(1.24)

(1.24)

vn ="小

ТО

Xj —)—入2 ~H • ■ ■ -1- ^ля и Xj ^-入2 ^* • • • ^-入以 ^- 0. (1.25)

Представление числа % в виде суммы п целых чисел такое, как в (1.25), называется разбиением числа п. Из (1.23)—(1.25) следует, что каждое решение уравнения (1.23) (в неотрицательных целых числах) соответствует разбиению числа п вида (1р ...,入«). Обратно,

если разбиение задано, как это сделано в (1.25), то существует соответствующая ему структура разложения на циклы, а именно:

Vj ==九］ 九2，Vj ==九］ 九2，(1.26)

Vj ==九］ 九2，

Vj ==九］ 九2，

Обычно у нас нет необходимости записывать те слагаемые X в (1.25), которые равны 0. Например, разбиение числа 5

(22100),

т, е.5 = 2—^-2—|—1—^-0 —|— 0 =九］九2~Н ・• • ~Н 九5，записывают

в виде (221), или еще более кратко в виде (221). Согласно равенствам (1.26), соответствующая такому разбиению структура разложения на циклы имеет-вид

V］=九1-^九2 = 2 --2 = 0,V］=九1-^九2 = 2 --2 = 0,^3 ==九 3 === 1 *^3 ==九 3 === 1 *

V］=九1-^九2 = 2 --2 = 0,

V］=九1-^九2 = 2 --2 = 0,

^3 ==九 3 === 1 *

^3 ==九 3 === 1 *

т. е. состоит из одного цикла длины 2 и одного цикла длины 3. Аналогично, в случае группы S6 разбиению (313) отвечает набор

Vi = 2, v2= 0, v3 — 0, v4= 1, вследствие чего циклическая структура, соответствующая разбиению (3№), состоит из двух циклов единичной длины и одного цикла длины 4.

Транспозиция в группе 5Я содержит один цикл длины 2 и (п—2) цикла единичной длины, поэтому разбиение, соответствующее такой циклической структуре, имеет вид (п ——1, 1).

Мы видим, что задача о нахождении числа классов сопряженных элементов в группе 5Я сводится к задаче о разбиении числа п. Перечислим такие разбиения и укажем полное число г всех классов для нескольких первых симметрических групп:

S】：(1); г = 1,

S2： (2), (I2); г =2,

S3： (3), (21), (1》； г = 3,

S4： (4), (31), (22), (212), (14)； г = 5.

Обратите внимание на порядок, в котором мы записываем разбиения. Разбиение, у которого % максимально, записывается первым. Если

же два разбиения имеют одинаковые 九匕...,九口 то первым записывается то из них, у которого Z/+1 больше.

Задача. Продолжите таблицу до л == 5, 6 и 7. Для л = 5 укажите циклическую структуру, соответствующую каждому разбиению.

Важной характеристикой служит число перестановок группы 5Я в данном классе сопряженных элементов. Это число 希«)легко найти следующим способом. Класс перестановок с циклической структурой (V) содержит перестановки, в которых имеется % циклов из одного символа, v2 циклов из двух символов,…，vn циклов из 希 символов. Представим себе, что структура перестановки выписана, но входящие в нее символы не указаны:

(.)...(•)(••)(••)••.(••)и т. д.

、.yf' Y ”"…~"'-т™нн,■*

% циклов v2 циклов v3 циклов длины 3 длины 1длины 2

Всего имеется п мест в различных ячейках, по которым требуется разместить % символов от 1 до %. Это можно проделать п ! способами. Однако при этом возникнут повторения. Например, если символы 1 и 2 входят в циклы, состоящие каждый из одного символа, то (1) (2) означает то же самое, что и (2) (1). Все % циклов из одного символа можно переставлять между собой (, ! способами), все v2 циклов из двух символов можно переставлять между собой v2! способами и т. д., вследствие чего данная перестановка будет повторена Vj I v21 ... vn ! раз. Кроме того, такой цикл из двух символов, как (12), может встречаться и в виде (21), а такой цикл из трех символов, как (123), может встречаться в виде (231) или же (312) и т. д. Таким образом, каждая перестановка повторяется 1^2^ ... ... %"门 раз. Поэтому число различных перестановок в группе 5Л, имеющих циклическую структуру (v), равно

〃(V)= —V^^——•(1-27)

Vi!• 2 2 • v2! • 3 3 • v3! ... n n

Задача. Найдите число перестановок в каждом классе сопряженных элементов группы

Важно помнить, что то, что мы делали выше, применимо только к полной симметрической группе Sn, Например, в группе S《все перестановки

(12) (34), (13) (24), (14) (23)

принадлежат одному и тому же классу, потому что группа 羽 содержит перестановку Ь = (2§) такую, что

Ь(12) (34)^7 = (13) (24).

Если же мы рассмотрим четверную группу 匕 то перечисленные выше перестановки уже не будут принадлежать одному и тому же классу в 匕 так как группа 卜 не содержит транспозиций. В самом деле, группа V — абелева, каждый из ее элементов образует класс.

I

Задача. Образуя последовательные произведения перестановок (1234) (5678) и (1537) (2846),

покажите, что при этом порождается группа порядка 8. Разбейте элементы этой группы на классы сопряженных элементов. Покажите, что эта группа (группа кватернионов) изоморфна группе с элементами

L -1, " -厶Л —/，小一比

£2 =产=总2 = — ],〃 = A, jk — z, kt = /.

§ 6. Инвариантные подгруппы. Фактор-группа.Гомоморфизм

Взяв за исходную подгруппу 金 группы G, мы можем образовать множество элементов。能。亠＜ где。一произвольный элемент группы G. (Под 。宓а"4 мы подразумеваем множество элементов aha~xt где А пробегает все элементы подгруппы 第.)Эта совокупность элементов (или комплекс) в свою очередь является подгруппой группы G (проверка этого предоставляется читателю). Говорят, что эта подгруппа сопряжена подгруппе 對 в группе G. Выбирая из О различные элементы а, мы можем получать различные сопряженные подгруппы. Может случиться так, что при всех а

а 匏 ат\ =厥、(1.28)

т. е. все подгруппы, сопряженные 留 в группе G, совпадают с подгруппой 對.В этом случае мы скажем, что 對——инвариантная подгруппа (самосопряженная подгруппа, нормальный делитель) в группе G. Соотношение (1.28) означает, что при заданном элементе 力]в подгруппе 影 мы можем при любом а найти некоторый элемент 力такой, что

0力1a亠1 = 力2， йЛйa力1=力2a.

Последнее равенство можно записать в виде

a能=能^(1.29)

Эта запись приводит ко второму определению инвариантной подгруппы: подгруппа 要 инвариантна в группе G, если левые и правые классы смежности, образованные по любому элементу а группы G, совпадают. Пользуясь (1.29), можно сказать, что подгруппа 能, вэятая в качестве единицы, коммутирует со всеми элементами группы G. Из утверждений, следующих за равенством (1.28), мы видим также, что из (1.28) вытекает следующий результат: если hx пр инадлежит ^, то и все элементы ahxa~x принадлежат 非. Иными словами, подгруппа 非 группы G инвариантна тогда и только тогда, когда она содержит элементы группы G в виде полных классов, т. е. для любого класса в группе G справедливо утверждение: подгруппа 宓 содержит либо все элементы, входящие в этот класс, либо не содержит ни одного из них. Единичный элемент и вся группа G являю тся тривиальными инвариантными подгруппами группы G. Группа, которая не имеет инвариантных (собственных) подгрупп, называется простой. Группа называется полупростой, если ни одна из ее инвариантных подгрупп • не является абелевой. Очевидно, что все подгруппы абелевой группы инвариантны.

Инвариантные подгруппы обладают некоторыми весьма примечательными свойствами. Если подгруппа 能 инвариантна в G, то (0%)(5部)=0^b)能=a(5能)翫=ab(影影)=(a5)影，(1.30) поскольку произведение 翫旣 означает не что иное, как совокупность элементов, входящих в 幽.Таким образом, произведение двух смежных классов инвариантной подгруппы снова является смежным классом. Точно так же заметим, что

^ (a» =(影。)雖=(a能)翫=a (影影)=。能，(1.31) поэтому умножение любого смежного класса подгруппы 幽 на 第 дает в результате тот же самый смежный класс. В этом умножении смежных классов инвариантная подгруппа 影 играет роль единичного элемента. Далее, если у нас имеется некоторый смежный класс。影， то мы можем найти обратный ему смежный класс (относительно нашего нового „умножения смежных классов"), а именно смежный класс 。一】関,который содержит элемент 。一】：

(。7毙《旣、=аT\ 旣 a 概=a~^ aS€ 旣=旣、 (1.32)

Если мы будем рассматривать смежные классы подгруппы 宓 в качестве элементов, а произведение определим как результат умножения таких смежных классов, то смежные классы инвариантной подгруппы образуют группу, которая называется фактор-группой и обозначается G\統、Порядок ее равен индексу подгруппы 影 в группе G.

Найдем сопряженные подгруппы для подгруппы 霆[е, (12) (34)] в группе 54. Подгруппа 能 не инвариантна, так как она не со-

держит всех элементов третьего класса, указанного для группы 54 в § 5 настоящей главы. Когда мы образуем произведения а^ёа~1 с элементами а из группы 54, у нас должны получиться циклические структуры, которые должны совпадать с циклическими ■ структурами элементов подгруппы 能. Таким образом, сопряженными подгруппами являются подгруппы:

蕤：е, (12)(34),

Ж： е, (13)(24),蕤"：е, (14) (23).

Каждая из них получается 8 раз:

影 при。= е, (12), (34), (12) (34), (13) (24), (14) (23), (1324), (1423);

影'при。= (14), (23), (132), (124), (143), (234), (1243), (1342)； 歌 при。= (13), (24), (123), (142), (134), (243), (1234), (1432).

С другой стороны, подгруппа

V: % (12)(34), (13)(24), (14)(23)

инвариантна в группе 54, поскольку содержит элементы из 54 в виде полных классов.

(

Задачи. 1. Не перечисляя всех подгрупп, найдите сопряженные подгруппы для S3 в группе S《；для S2 в группе Sg для циклической группы [е, (123), 132)] в группе S*

Докажите, что подгруппа индекса 2 должна быть инвариантной.

Покажите, что все подгруппы группы кватернионов инвариантны.

В циклической группе G четвертого порядка (а, а2, а3, а4 = е) подгруппа 影(е, а2) инвариантна (группа G—абелева I). Факторгруппа О/能 содержит два элемента

Е = (е,出)， A = (at а3), причем А2 = Е.

Ранее мы ввели понятие изоморфизма для групп, обладающих одинаковой структурой. Между элементами а группы G и элементами аг группы Gf было установлено взаимно однозначное соответствие, такое, что (。匕)'=arbr. Под гомоморфным отображением группы G на группу Gf мы понимаем аналогичное соответствие, которое сохраняет произведение, но теперь уже несколько элемен гои группы G могут иметь один и mom же образ в группе Gr.

Пусть, например, G — циклическая группа порядка 4 и пусть группа G' состоит лишь из ^циничного элемента. Мы отобразим все элементы группы G в единичный элемент группы О. Аналогично,

если G'——группа порядка 2 с элементами b и b2 = et мы получим гомоморфизм группы G в О, если отобразим

(“2, е) в 力2 = е и (〃， 〃з) в Ь.

При гомоморфном отображении группы G на группу О образом единичного элемента е из группы G является единичный элемент ег группы G', ибо если ab — a (откуда следует, что b есть единица в группе G), то afbf = а\ из чего следует, что 力'есть единица в группе G'. Если совокупность эцементов а】,а2, ..., а九 группы G отображается в е‘， то, выбрав какой-нибудь другой элемент b в группе G, мы найдем й различных элементов 方а” Ьа^ ••・，bah в группе G, которые отображаются в один и тот же элемент 力' группы G', так как (bd)F = bro! = Уег = bf, Таким образом, в каждый элемент группы 6’ отображается одинаковое число элементов группы G. Если элемент а отображается в е‘，то это же справедливо и для а-1, что можно проверить, взяв образы правой и левой частей равенства аа~1 = е. Поэтому те элементы группы G, которые отображаются в е‘，образуют группу, на самом деле инвариантною подгруппу группы G, ибо если элемент а отображается в е‘， то это же выполняется и для всех элементов, принадлежащих тому же классу, что и элемент а, так как

(〃а〃ту = ufaf (〃т)‘ = ufef (〃'厂】=

Обозначив эту инвариантную подгруппу символом 第，мы обнаружим, что любой класс смежности а彰 отображается в один элемент группы G', так как

(〃兜У = о!旣，=а'е'= 〃'・

Таким образом, мы видим, что группа G' изоморфна факторгруппе G/能.

Прямые произведения

Говорят, что группа G является прямым произведением своих подгрупп 第 1,第2統\，если

элементы различных подгрупп коммутируют;

каждый элемент g группы G можно представить одним и голько одним способом в виде

S == ^1^2 • • •无п，

где % принадлежит 能】，…，a hn принадлежит 酰\.

Предполагается, что ни одна из подгрупп не состоит из одного лишь единичного элемента. В сокращенных обозначениях мы записываем G в виде

0 =能1><能？x … x第Т(1.33)

Подгруппы 毙 1，能2，.・•，彫〃 называются прямыми сомножителями группы G.

Из условий 1 и 2 следует, что общим элементом для подгрупп 能上 является только единичный элемент. Точно так же из этих условий следует, что все 毙上 являются инвариантными подгруппами в группе G. Согласно условию 2, любой элемент g группы G можно записать в виде

g =力1力2 • • •力"，

где, согласно условию 1, все А； коммутируют друг с другом. Предположим, что hi принадлежит подгруппе 能广 Тогда любой элемент, сопряженный 必，имеет вид

gh:g =(加力2 • • •力以)力工(加力2 • • • %)1 =力〃力r1(1.34)

и также принадлежит 影广[Те сомножители в (1.34), которые принадлежат другим подгруппам, отличным от 能厶 сокращаются после коммутации.] Таким образом, подгруппа 第^ содержит элементы группы G в виде полных классов и поэтому инвариантна в G.

В качестве примера разложения группы на прямые сомножители рассмотрим циклическую группу G порядка 6 (〃б = е). Ее можно записать в виде прямого произведения подгрупп

Д: % * *

В: е, 〃з

Имеем•

G^AXB.

Каждый элемент группы G представим лишь одним способом в виде произведения элемента из А на элемент из 3 (проверка предоставляется читателю!).

В нашей книге нам также придется иметь дело с прямым произведением G X G' двух групп. Чтобы получить его, образуем все пары

Q优)，

где элемент а принадлежит G, а элемент аг принадлежит G'. Произведение пар определяется соотношением

(a，优)(仇") = (。仇 优").(1.35)

Если £ и ef — единичные элементы групп G и G', то пары (а, е‘) образуют подгруппу Г, изоморфную группе G, а пары (е, 〃')образуют подгруппу Г\ изоморфную группе G'. Группа, состоящая из заданных выше пар, является прямым произведением Г и ГЛ в соответствии с определением, данным ранее. Обычно мы будем говорить просто, чго эта группа есть прямое произведение групп G и GJ Очевидно, что порядок прямого произведения двух групп равен произведению их порядков.

ГЛАВА 2

ГРУППЫ СИММЕТРИИ

Элементы симметрии. Полюсные фигуры

Обширный класс групп, играющих важную роль в физике и химии, составляют так называемые группы симметрии. В этой главе мы обсудим их несколько подробнее для того, чтобы создать необходимую основу для последующих рассмотрений и как-то конкретизировать понятия, введенные в гл. 1.

Классификация уровней энергии многоатомной молекулы связана с симметрией последней. С симметрией молекулы связана также задача о нахождении спектра колебаний молекулы. Симметрия внешних макроскопических форм кристаллов связана с лежащей в их основе симметрией микроскопической структуры. Классификация энергетических уровней электрона в кристалле оказывается связанной с симметрией поля в кристалле. Для всех этих задач представляется существенным прежде всего дать систематическое перечисление возможных типов симметрии, которыми может обладать молекула или кристалл.

Симметрию некоторого тела описывают, задавая совокупность всех тех преобразований, которые сохраняют расстояния между всеми парами точек тела и совмещают тело с самим собой. Любое такое преобразование называется преобразованием симметрии. Ясно, что такая совокупность преобразований образует группу——группу симметрии данного тела. Все преобразования, сохраняющие расстояние, можно получить из преобразований трех основных типов:

поворотов на некоторый угол вокруг какой-нибудь оси;

зеркального отражения в некоторой плоскости;

параллельного переноса (трансляции).

Последний элемент симметрии — трансляция——может встретиться только в том случае, если тело имеет бесконечную протяженность (например, бесконечная кристаллическая решетка). Следует отметить, что когда трансляционную симметрию используют в физических рассуждениях, то подразумевают, что удаленные точки тела не влияют на решение задачи, так как при таком подходе конечное тело с необходимостью заменяется своей бесконечной экстраполяцией. Например, в теории твердого тела следует затем отдельно рассмотреть проблему, связанную с состоянием поверхности.

Для тела конечной протяженности (молекулы или макроскопического образца какого-нибудь минерала) возможны лишь два первых

типа симметрии. В самом деле, все преобразования, принадлежащие группе симметрии конечного тела, должны оставлять неподвижной по крайней мере одну точку тела. Иначе говоря, все оси поворотов и все плоскости отражений должны пересекаться (по крайней мере) в одной точке. Ясно, что последовательные повороты вокруг непере- секающихся осей или отражения в непересекающихся плоскостях будут приводить к переносам и непрерывному смещению тела. Группы сим^ метрии конечных тел (которые должны оставлять по крайней мере одну точку тела неподвижной) называются точечными группами. В этой главе мы ограничимся рассмотрением точечных групп конечного порядка.

Прежде всего предположим, что тело совмещается с самим собой, если мы поворачиваем его на угол ip = 2л/я (я ——целое число) вокруг некоторой оси. Такая ось называется поворотной осью п-го порядка. Если 汽=1, то совмещение тела с самим собой происходит после по* ворота на угол 2л, что является тождественным преобразованием. Операцию поворота на угол 2л/я мы будем обозначать символом Сп. Последовательные выполнения этого преобразования С：, С： и т. д. (т. е. повороты на угол 4п/汽，6п/汽 и т. д.) должны также совмещать тело с самим собой. Если число п делится на целое число I, то

(%)' = %〃• (2」)

Например, ось 6-го порядка в то же время служит осью 2-го и 3-го порядков. Ось характеризуется наибольшим числом я (или наименьшим углом 屮). Также ясно, что п последовательных поворотов на угол 2л/я вокруг одной и той же оси возвращает нас в исходное положение и приводит к тождественному преобразованию. Таким образом,

d, (2 ⑵

где для тождественного преобразования мы ввели символ Е (Einheit).

Поскольку очень важно иметь наглядное представление о том, что происходит при выполнении преобразований симметрии, мы, чтобы помочь читателю, будем приводить многочисленные схемы. Один тип схем приведен на фиг. 1. Вертикальная прямая служит осью 3-го порядка, проходящей через центр (неподвижную точку) О молекулы. На то, что это ось 3-го порядка, указывает маленький треугольник ▲ на конце этой oof. Аналогично, на ось 2-го порядка указывал бы ромб ♦ на конце оси, на ось 4-го порядка — квадрат ■ и т. д. Если в точке Р находится какой-нибудь атом молекулы, то наличие оси 3-го порядка означает, что тождественные с ним атомы располагаются в точках Р, Р‘，где ОР = 0Pf = 0P,f. Аналогично, если атом находится в точке Q, то такие же атомы должны находиться в точках Q' и Q". Для особых положений, таких, как R на оси вращения, образ Трч|<и совпадает с точкой /?.

Такой метод изображения для молекул вполне достаточен. Когда же мы занимаемся рассмотрением внешней симметрии кристаллов, возникает несколько иная задача. Площади граней кристалла данного вещества могут меняться в широком диапазоне в зависимости от условий, в которых был выращен кристалл. Главным содержанием всех исследований по морфологии кристаллов является закон постоянства углов в кристалле: углы, которые образуют друг с другом грани кристалла, для данного кристалла являются неизменными. Это означает, что кристалл характеризуется направлениями нормалей к граням кристалла и углами, которые эти нормали образуют друг с другом

Заметим, что расстояние от „центраа до граней кристалла неодинаково для всех образцов. Итак, простейший метод описания кристалла состоит в том, что на поверхности единичной сферы указываются полюсы многогранника, т. е. точки, в которых нормали к граням кристалла пересекают поверхность сферы. Для получения формы кристалла по его полюсной диаграмме нам нужно лишь провести касательные плоскости к единичной сфере во всех полюсах и получить замкнутый многогранник.

Чтобы представить полюсную фигуру в двух измерениях, воспользуемся стереографической проекцией. На фиг. 2 мы соединяем полюс Р на единичной сфере с южным полюсом S, Точка пересечения Pf прямой PS с плоскостью экватора является стереографической проекцией точки Р, Чтобы показать полюсы на стереографической проекции, проведем окружность экватора АВ и отметим проекцию полюсов незаштрихованными маленькими кружками (фиг. 3). Заметим, что все точки северной полусферы проектируются на внутренность экваториального круга, а точки, лежащие на экваторе, проектируются на границу этого круга. Если бы мы точки южной полусферы рассматривали точно таким же образом, то их проекции расположились бы

вне единичного круга, а проекция южного полюса S ушла бы в бесконечность. Чтобы избежать несимметричного подхода к рассмотрению двух половинок сферы, мы будем пользоваться полюсом S для

проектирования точек верхней полусферы; точки же, лежащие на нижней полусфере, будут проектироваться из северного полюса N. Чтобы различать эти случаи, можно либо воспользоваться двумя различными кругами (по одному для каждой полусферы), либо же, как сделаем мы, отмечать проекции полюсов нижней полусферы крестиками. Например, на фиг. 3 точка 7V является образом точки нижней

полусферы, а точка Uf и U" (кружок с крестом) означают, что имеются два полюса (по одному на каждой полусфере), каждый из которых является зеркальным отражением другого в плоскости экватора.

Из-за наличия оси 3-го порядка изображением точек 尸,尸‘ и 尸" на фиг. 1 служат три точки, лежащие на одной параллели так, как показано на фиг. 2. Стереографическая проекция тех же самых точек изображена на фиг. 4.

Если к сфере на фиг. 2 мы проведем касательные плоскости в точках Р, Р/г и 夕"'，то получим треугольную пирамиду с вершиной, лежащей на оси 3-го порядка. Если к указанным точкам мы добавим тройку полюсов Q, Q" и Q"', лежащих на экваторе, мы получим треугольную призму. Чтобы замкнуть многогранник, нам понадобится еще одна тройка точек R, R" и R" на нижней полусфере. Заметим, что одних только точек Р и R достаточно для получения замкнутого многогранника, но для получения более сложных фигур мы можем добавлять тройки таких точек, как точки Q. Чтобы избежать таких случаев, когда фигура будет обладать симметрией более высокой, чем симметрия с осью 3-го порядка, мы должны быть уверенными в том, что между положениями точек 夕 н /? не существует никакого простого соотношения. Убедиться в этом легче, если рассматривается задача о симметрии молекулы, поскольку в этом случае, как видно из фиг. 1, мы можем изменять расстояние от атома до оси.

Следует заметить, что первая операция симметрии——вращение — такова, что может перемещать тело как абсолютно твердое из начального положения в конечное. Вторая основная операция——отражение 8 плоскости ——носит иной характер. Она не отвечает никакому физически возможному перемещению тела как единого целого. Фигуры, которые могут быть наложены друг на друга только после зеркального отражения, называются энантиоморфными.

Для обозначения отражения в плоскости мы воспользуемся символом а. Поскольку два отражения в одной и той же плоскости возвращают нас в исходное положение, имеем

d = E, (2.3)

из чего следует, что отражение в плоскости есть элемент порядка 2. Если будет необходимо как-то выделить плоскость отражения, мы будем указывать ее с помощью индекса. В общем случае мы будем иметь одну ось вращательной симметрии, причем вращательная симметрия будет основным видом симметрии тела. Если дело обстоит именно так, мы будем обозначать отражение в плоскости, перпендикулярной этой главной оси, символом аА (Л ——горизонтальный), а символом аР мы будем обозначать отражение в плоскости, проходящей через эту ось (и ——вертикальный).

Совместное применение рассмотренных нами двух основных операций (поворот вокруг оси и отражение в перпендикулярной ей плоскости) приводит к преобразованию симметрии, которое мы назовем зеркально-поворотной симметрией (Drehspiegelung). Говорят, что тело обладает зеркально-поворотной осью n-го порядка, если оно переходит в себя при операции, состоящей из поворота на угол 2л/п вокруг этой оси и отражения в перпендикулярной к ней плоскости (фиг. 5). Эту операцию мы обозначим 5Я. Очевидно, что

S« = Сп% = ”1czp (2.4)

причем мы заметим, что поворот вокруг оси и отражение в перпендикулярной ей плоскости коммутируют друг с другом. Из соотношений (2.2)——(2.4) мы получим

(S“)n = (C„Oft)n = (C„)n (oft)n,(2.5)

откуда при четном л следует, что

(SJ = E,

однако при нечетном л

(S/“ =。汇

Таким образом, в случае нечетного /г, если тело обладает симметрией S^ то оно также обладает симметриями ой и Сл в качестве независимых элементов симметрии.

Чрезвычайно важным представляется случай зеркально-поворотной оси 2-го порядка: S? есть поворот на угол л вокруг некоторой оси, после которого выполняется отражение в плоскости, перпендикулярной этой оси. Результат этой сложной операции, которую мы назовем инверсией, состоит в том, что каждая точка Р тела переходит в точку Р‘， которая является ее образом при инверсии относительно фи* ксированной точки О: точки Р к Р' расположены на прямой POP' по разные стороны от точки О и на одинаковом расстоянии от этой точки. Обозначив инверсию символом /, получим

/ = $2 = С2%・(2.6)

Из (2.6) следует, что

С2 = / оЛ,оЛ = /С2.(2.6а)

Все три элемента симметрии /, ой и С2 коммутируют. Если любые два из этих элементов принадлежат группе симметрии, то и третий элемент также принадлежит ей.

Рассмотрим теперь несколько простых свойств последовательных отражений в различных плоскостях или поворотов вокруг различных осей. Прежде всего заметим, что произведение поворотов вокруг двух осей, проходящих через точку О, есть снова поворот вокруг некоторой оси, проходящей через О. Рассмотрим, далее, произведение отражений в двух плоскостях, пересекающихся по некоторой прямой. Пусть на фиг. 6 прямые и и о' будут следами двух плоскостей, а точка 。一следом линии пересечения этих плоскостей. Пусть ф — угол между плоскостями. Отражая точку сначала в плоскости vft

00Фиг. 6.Фиг. 6.

0

0

Фиг. 6.

Фиг. 6.

а затем в плоскости и, мы видим, что точка Р переходит в точку Р\ а затем в точку Р", где ОР= OPf = OP,f. По построению угол между ОР и ОР" равен 2(р. Таким образом,

cMV=C(2*p), (2.7)

где С(2ф)—поворот на угол 2(р вокруг линии пересечения плоскостей в направлении от vf к и. Точно так же %“ есть поворот на тот же самый угол вокруг той же оси, но в противоположном направлении. Из сказанного видно, что преобразования о^ и(V не коммутируют, за исключением частных случаев, когда ф = зт/2 и их произведение равно С2, и тривиального случая ф = зт, когда 0皆=0皆'・ Умножая равенство (2.7) слева на %, находим

Оу = а^С(2ф). (2.7а)

Таким образом, произведение поворота на данный угол вокруг некоторой оси и отражения в плоскости, проходящей через эту ось, есть отражение во второй плрскости, проходящей через ту 冰е ос§

и образующей с первой плоскостью угол, равный половине угла поворота. Мы снова получаем три взаимно независимых элемента симметрии. Из наличия любых двух элементов симметрии &,, %， и С(2ф)] следует наличие третьего.

Другое важное свойство показано на фиг. 7: отрезок ОР вертикальный, Оа и ОЬ лежат в горизонтальной плоскости. Рассмотрим результат последовательного выполнения поворотов на угол л сначала вокруг Оа, а затем вокруг ОЬ, Поворот вокруг Оа оставляет Оа на месте и перемещает точку Р в положение Pf (ОР = OPf). Если затем мы совершим поворот на угол л вокруг ОЬ, то точка Р возвратится обратно в точку Р, так что произведение этих поворотов должно быть каким-то поворотом вокруг прямой POPf. Точка а, которая оставалась неподвижной при первом повороте, теперь перейдет в положение af на фиг. 7. Таким образом, последовательное выполнение поворотов на угол л вокруг двух осей, образующих между собой угол ф, дает в результате поворот на угол 2ф вокруг оси, перпендикулярной к первым двум. В частности, если оси X н У являются поворотными осями 2-го порядка, то и ось Z является поворотной осью 2-го порядка.

Эквивалентные оси и плоскости.Двусторонние оси

Перечислив возможные точечные группы симметрии, мы найдем, каким образом эти группы можно разбить на классы. Один важный способ получения сопряженных преобразований уже упоминался в § 5 гл. 1. Теперь мы рассмотрим его подробно. Если, как это изображено на фиг. 2, мы имеем вертикальную ось 3-го порядка и если прямая ОР есть ось л-го порядка, /го О戶"и OPW также должны быть осями л-го порядка. Все повороты на один и тот же угол вокруг этих трех осей принадлежат к одному и тому же классу. Все оси (или плоскости), которые можно совместить с помощью какой-либо операции, принадлежащей группе, называются эквива^ леншными осями (или плоскостями). Повороты на один и тот же угол вокруг эквивалентных осей принадлежат одному и тому же классу. То же правило применимо и к зеркально-поворотным операциям вокруг эквивалентных осей.

Этот результат ничего не дает нам в частном случае поворотов или зеркальных поворотов вокруг одной и той же оси. Чтобы понять, как мы действуем в этом случае, рассмотрим еще раз, что мы делали при получении эквивалентных осей. Когда мы описываем поворот вокруг некоторой оси, мы прежде всего задаем направление оси и указываем положительное направление вращения, например, с помощью правила правой руки. Если на фиг. 8 ось А!А можно перевести в положение 6'启 с помощью одного из поворотов, принадлежащих

АА

А

А

группе симметрии, то направления поворотов вокруг эквивалентных осей будут связаны между собой так, как показано на фигуре. С другой стороны, если при действии некоторого поворота из числа входящих в группу ось АГА переходила бы не в ось В'В, а в ось ВВ‘, то схема преобразования имела бы вид, приведенный на фиг. 9.

В обоих случаях поворотами вокруг оси В'В, сопряженными с данным поворотом вокруг оси AfА. служат повороты на равные углы в противоположных направлениях. Рассмотрим теперь фиг. 10. Предположим, что в группе существует какой-то поворот р, который переводит ^А в АА\ например поворот на угол л: вокруг прямой CR

(так что р2 = Е, p = p-i). Если поворот С (ф) на угол 屮 вокруг оси А!А переводит точку Р в Р\ то трансформация поворота С(ф) поворотом р, а именно поворот рС (ф) р, переводит точку Р в точку Q" и представляет собой некоторый поворот вокруг оси АгА на угол ф в обратном направлении. Чтобы увидеть это, выполним поворот рС((р)р постепенно: например, поворот р переводит точку Р в точку Q, затем поворот С (<р) переводит Q в Q' н, наконец, р переводит @‘ в Q". Коль скоро в группе имеется некоторый поворот, который ось ДМ переводит в АА\ мы говорим, что ^А есть двусторонняя дсь. Как видно из фиг. 10, повороты вокруг AfА на равные углы

в противоположных направлениях сопряжены друг с другом. Если АГД является осью симметрии n-го порядка, то повороты國 нС2№ = С丁 сопряжены друг с другом. Итак, мы получаем результат, состоящий в том, что для двусторонней оси любое вращение и обратное ему вращение принадлежат одному и тому же классу.

А

Предположим далее, что имеется плоскость симметрии, перпендикулярная АА\ а именно плоскость экватора на фиг. 11. Если поворот С (ф) переводит точку Р в Р, то трансформация этого поворота с^(ф) а*1 отражением и九 задает следующую последовательность операций: 6^1 =(т九 переводит Р в Q, затем С (<р) переводит Q в Q' и, наконец, аЛ переводит Q' в Р, так что

* 3) «V = с (<р), (2.8)

что очевидно из высказанного нами ранее утверждения о том, что % коммутирует с С (ф). Операция Gh меняет направление оси на противоположное и в то же время изменяет направление вращения так.

как это следует из правила правой руки, в результате чего мы получаем тот же самый поворот, что и прежде, и ось AfA не является двусторонней (см. фиг. 11).

С другой стороны, предположим, что существует плоскость симметрии, проходящая через ось АА^ (перпендикулярно плоскости страницы) так, как это изображено на фиг. 12. Операция % не меняет направления оси (она переводит Z'Z в Z'Z), но меняет направление вращения. На фиг. 12 С(屮)переводит Р в Р, преобразование же орС (ф) о^1 переводит Р сначала в Q, затем Q в Q' % наконец, Q，в QJ так что

。卢(<р) о-1 = о С(<р) % = С(— ff). (2.9)

В этом случае ось АгА двусторонняя.

После этих предварительных замечаний мы можем перейти к нашей задаче. Наши операции симметрии можно разделить на два типа: чистые повороты и зеркальные повороты (включающие как частные случаи отражение и инверсию). Сначала мы построим точечные группы, которые содержат только повороты.

Группы, элементами которых служат чистые повороты:группы поворотов вокруг оси, группы диэдров

В этой категории групп прежде всего рассмотрим случай, когда у нас имеется только одна поворотная ось симметрии. За эту главную ось выберем ось Z. Число элементов в такой группе равно порядку оси. Если ось имеет порядок п, мы будем обозначать группу симметрии символом %.

Группы, имеющие только одну поворотную ось п~го порядка-.

Группа & содержит только тождественное преобразование Е и соответствует полному отсутствию симметрии. Все группы этого типа циклические, и каждый элемент такой группы сам по себе образует класс. Чтобы представить себе наглядно этот тип симметрии, изобразим ряд эквивалентных точек на стереографической проекции. Для 汽=1, 2, 3, 4 н 6 эти точки указаны на фиг. 13—17.

Следует особо подчеркнуть, что на фиг. 13—17 показан только один набор эквивалентных полюсов. Очевидно, что этих полюсов недостаточно для того, чтобы ограничить объем кристаллов. (Чтобы ограничить некоторый объем, необходимо по крайней мере четыре грани.) Изображение полного набора полюсов, обладающего требуемой симметрией (но не обладающего симметрией более высокого порядка) привело бы к чрезвычайному усложнению наших схем. На фиг. 18 показан полный набор полюсов для кристалла с симметрией С「 Строить изображения молекулярных конфигураций, обла-

дающих нужным типом симметрии, несколько легче, так как мы можем варьировать расстояния от атомов до центра и пользоваться ядрами разных сортов. На фиг. 19 и 20 показаны молекулы, обладающие

Фиг. 13.Фиг. 14.Фиг. 15.

группами симметрии С? и Сз・ Молекула, содержащая четыре различных ядра, не лежащих в одной плоскости, „принадлежала^ бы группе G\ (т. е. не обладала бы никакой симметрией). На фиг. 19 изображена молекула Н2С=СС12 в виде конфигурации, части которой повернуты друг относительно друга, обладающая группой симметрии 62- (Если бы эта молекула была плоской, она обладала бы, как мы увидим далее,

более высокой симметрией.) На фиг. 20 изображена закрученная в пространстве молекула Н3С——СС13, которая „принадлежит^ группе & (т. е. обладает группой симметрии С3).

Введем теперь в рассмотрение еще и другие поворотные оси симметрии. Прежде всего мы наложим ограничение, состоящее в том, что разрешается существование не более одной поворотной оси, порядок которой больше 2. Например, если мы берем в качестве исходной группы С〃， то мы можем добавить только одну ось 2-го порядка. Кроме того, эта ось должна быть расположена под прямым

углом к оси %-го порядка, в противном случае мы могли бы получить и вторую ось %-го порядка с помощью поворота на угол л вокруг оси 2-го порядка. Итак, единственная возможность ——это

добавить еще одну ось 2-го порядка, перпендикулярную оси п~го порядка. Если же теперь мы составим произведения этих операций симметрии, то получится совокупность, состоящая из п осей 2-го порядка, расположенных в горизонтальной плоскости, и мы получим:

Группы, имеющие ось п-го порядка и систему осей 2-го порядка, расположенных под прямым углом к ней: группы диэдров Dn.

Эти группы содержат 2% элементов. Главная ось (zi-го порядка) двусторонняя, так что повороты С* и С；” попадают в один и тот же класс. На фиг. 21 изображена горизонтальная плоскость с одной осью 2-го порядка 。； ось %-го порядка перпендикулярна плоскости страницы. Предположим сначала, что % = 2* Применение преобразований С2 к оси。приводит всего лишь к изменению ее направления. Но если Са означает поворот на угол л вокруг оси а, то произведение С£а = Сь、где Сь ——поворот на угол л вокруг оси b на фиг. 21. Таким образом, группа 4 нмеет три взаимно перпендикулярные оси 2-го порядка. Все эти оси двусторонние. Группа является абелевой группой порядка 4 и изоморфна четверной группе Клейна. Иногда для обозначения этой группы пользуются символом V,

При %〉2 группа диэдра Dn не является абелевой.

Случай % = 3 представлен на фиг. 22. Если к оси а применяют преобразования С3 и С§, то появляются эквивалентные оси b и с, Группа & содержит 6 элементов Е, С3, Сз и 3 поворота вокруг осей 2-го порядка. Имеются три класса:

Случай п = 4 изображен на фиг. 23. Повороты вокруг осей 4-го порядка, будучи примененными к оси @, порождают только одну новую ось Ь, эквивалентную оси о. Произведение С4СЙ представляет собой поворот вокруг оси 。‘ 2-го порядка, расположенной посередине между осями 0 Hb. Применяя к @‘ преобразование С4, мы

Фиг. 21.Фиг. 21.Фиг. 22.Фиг. 22.Фиг. 23.Фиг. 23.

Фиг. 21.

Фиг. 21.

Фиг. 22.

Фиг. 22.

Фиг. 23.

Фиг. 23.

получаем ось Ьг. Итак, при п = 4 оси 2-го порядка распадаются на две системы эквивалентных осей. Группа D& имеет 8 элементов, принадлежащих следующим 5 классам:

Е； °4, °4；°4；°b； °ah °少・

Теперь должен быть ясен и результат в общем случае. Группа Dn содержит 2几 элементов. Если п четно (几= 2р), то преобразование Е н。夕=。2 каждое образует класс. Это оставляет еще (п ——2) = (2р ——2) поворотов вокруг осей n-го порядка, которые парами распадаются на классы, что дает всего (р——•1) классов. Повороты вокруг осей 2-го порядка распадаются на классы, в каждый из которых входит р элементов. Общее число классов равно р + 3 = (^ + 6)/2・

Если п нечетно (几= 2р+1), то все оси 2-го порядка эквивалентны, так что все (2р + 1) поворота вокруг осей 2-го порядка попадают в один класс. Элемент Е образует класс сам по себе, что же касается поворотов вокруг оси n-го порядка, то они образуют (几 ——1)/2= р классов. Общее число классов равно р + 2 = (п-|-3)/2.

Задача, Покажите, что группа диэдра Dn порождается двумя элементами а н 6, такими, что

3： = «2 q (〃6)2 N 0.

Полюсные фигуры для групп D2~V, £)3, D4 и D6 показаны на фиг. 24——27. Пример группы D? можно было бы получить, за* менив атомы хлора на фиг. 19 атомами водорода (в результате чего получилась бы молекула С2Н4) и сделав равными все расстояния между атомами углерода и водорода. Примером группы £)3 могла бы служить молекула С2Н6 в конфигурации, изображенной на фиг. 28,

02三(2Z三V

Фиг. 24.

4 M (4;2)

Фиг. 26.

Фиг. 28.

(Угол поворота групп СН3 относительно друг друга не должен быть равен 60°, так как возникающая при этом симметрия была бы более высокого порядка, чем симметрия группы £)3.)

Закон рациональных индексов

Теперь мы исчерпали все возможные точечные группы, содержащие только повороты и имеющие самое большее одну ось, порядок которой больше 2. Читатель, может быть, заметил, что мы дошли лишь до п = б, причем случай тг = 5 не рассматривали. Причина этого состоит в том, что для молекул случаи, которые мы опустили из рассмотрения, являются исключительными. В случае же кристаллов несуществование осей 5-, 7-, 8-го и т. д. порядков следует из эмпирического „закона рациональных индексов**. Рассмотрим различные грани и ребра кристаллического многогранника. Возьмем любые три ребра, не лежащие в одной плоскости, и выберем в качестве системы координатных осей прямые, параллельные им и проходящие через одну точку (начало координат). Любая грань многогранника будет отсекать па этих осях отрезки, равные 〃，и н т. Закон рациональных индексов гласит, что для любых двух граней кристалла ,、

Н=々：〃2 ： 〃з，(2.10)

где nu п2 и п3 — цел ые числа. Заметим, что параллельное перемещение какой-либо плоскости или использование вместо величин отрезков, отсекаемых гра нью на осях, обратных величин, ничего не изменяет в соотношении (2.10). В этом законе нашли свое выражение результаты измерений, проведенных на кристаллах. Следует проверить, является ли этот закон непротиворечивым с точки зрения математики. Плоскости граней, рассмотренные в соотношении (2.10), образуют новые ребра, которые также можно использовать в качестве осей. Для этих новых осей мы можем воспользоваться плоскостями, образованными старыми осями, чтобы получить соотношение, аналогичное соотношению (2.10). Для непротиворечивости мы должны потребовать, чтобы рассматриваемые отношения снова были целыми числами. Полное доказательство в случае трех измерений весьма длинно. Вместо него мы набросаем в общих чертах, как протекает наиболее характерная часть доказательства в более простом двумерном случае. Пусть ООГ и ОО" на фиг. 29 будут прямыми, параллельными ребрам кристалла, a SR и ТОГ——две грани кристаллической решетки. На ООГ и ОО" эти плоскости отсекают отрезки, которые должны удовлетворять соотношению

где г — рационально. Из чертежа

sin ОТ (У и' sin OSR и

丽亦У = 丁，sin ORS =石・

Если теперь мы воспользуемся осями PR и POf и рассмотрим грани 00’ и 00", то отношение индексов примет вид

PS/PR — PS/PT — sin РГО sin PRO'

Tr户ОPR/POr sEPST sin Pap =

_sin OTO" sin ORS _u7〃’ _—

= sin OSR sin 00fT = и/〃一 ~

Доказательство непротиворечивости ством теорем о двойном отношенииДоказательство непротиворечивости ством теорем о двойном отношениив сущности является доказатель- в проективной геометрии.в сущности является доказатель- в проективной геометрии.

Доказательство непротиворечивости ством теорем о двойном отношении

Доказательство непротиворечивости ством теорем о двойном отношении

в сущности является доказатель- в проективной геометрии.

в сущности является доказатель- в проективной геометрии.

Пользуясь законом рациональных индексов, мы докажем теперь, что при 汽》5 единственно возможным порядком поворотной (или зеркально-поворотной) оси является 汽=6. Предположим, что вертикальная ось на фиг. 30 есть ось 汽-ro порядка, причем п ^ 5. В этом случае, начав с полюса 1, мы можем образовать набор, состоящий самое малое из пяти полюсов. Все эти полюсы лежат на одной параллели. Радиусы, проведенные из центра сферы в полюсы, служат нормалями к граням кристалла. Все радиусы образую г с вертикалью один и тот же угол 0. Пусть 必，п2)п3)п4)п5 — единичные векторы, направленные по этим нормалям. Проекции всех этих векторов на вертикальное направление одинаковы и равны cos 0. Их проекции на горизонтальную плоскость имеют одинаковую величину sinQ, и угол 屮 между соседними проекциями равен 2冗/小 как это показано на фиг. 30. (Для зеркально-поворотной оси нормали, например, 1 и 3 изменят свое направление, однако для нашего доказательства это несущественно.)

Любые две грани кристалла определяют ребро кристалла, которое лежит в плоскости как той, так и другой грани и поэтому перпендикулярно к нормалям, приведенным к каждой плоскости. Таким образом ребро, образованное гранями, проходящими через полюсы 1 и 2, имеет направление, задаваемое векторным произведением n〔 X п2. Выберем в качестве осей ребра кристалла

П] X П2, п2 х П3, П] х П3.

Применим теперь к граням кристалла, проходящим через полюсы 4 и 5 (или к параллельным им плоскостям), закон рациональных

индексов. На фиг. 31 показано, что если п есть единичный вектор, перпендикулярный грани кристалла 尸， то отрезок, отсекаемый гранью 尸 на оси v равен 1/v * п. Мы будем оперировать с величинами, обратными длинам отрезков, отсекаемых гранями на осях, поэтому нам потребуются произведения

口4 • П] X п2> п4 . п2 X П3, п4 • П! X П3

и аналогичные произведения для вектора п5. Значения всех этих величин можно получить из фиг. 30. Легко видеть, что отрезки, отсекаемые на осях, имеют общий множитель sin2 0 cos 0, который сокращается, когда мы переходим к отношениям. Закон рациональных индексов в этом случае означает, что

sin 3"--sin 2ф --sin ".sin 2w - sin W——sin ㈠ ф _ .方.

sin 2ip — sin ip — sin ip- ' sin3屮——sin 2屮一^口屮' ~

где % b н с — целые числа, или же

sin 3w —— sin 2w —— sinwsin 2屮 —— sin屮 —— sin屮

sin 3中-sin 2ф - sin ф _ 2 cos (5w/2) sin (w/2) - 2 sin (w/2) cos (w/2) sin 2" --sin ф --sin 屮,一2cos7乐战)A" (w/2)- 2 sin (w/2) cos (w/2) 一

_cos (5w/2) - cos (w⑵_

=cos (3w/2) - cos (w/2)=.

_sin 3 (w/2) 一-sTn7 加分—_sin 3 (w/2) 一-sTn7 加分—=1十2 cos屮=『，=1十2 cos屮=『，

_sin 3 (w/2) 一-sTn7 加分—

_sin 3 (w/2) 一-sTn7 加分—

=1十2 cos屮=『，

=1十2 cos屮=『，

где г——рациональное число.

Отсюда следует, что cos \|)= cos (2л/п) — рациональное число. При /г》5 единственно возможным решением служит число л = 6 (cos л/3 = 1/2). Тем самым наша теорема доказана.

Группы, элементами которых служат чистые повороты.Правильные многогранники

Обратимся теперь снова к группам, содержащим только повороты. Наш следующий шаг состоит в рассмотрении групп, имеющих больше одной оси л-го порядка (л > 2). Среди всех этих осей л-го порядка выберем две, которые образуют друг с другом наименьший угол.

Фиг. 32.Фиг. 32.

Фиг. 32.

Фиг. 32.

Точки, в которых оси пересекаются с единичной сферой (полюсы), представлены на фиг. 32. Предположим, что точки Ро и Л\ являются полюсами наиболее близких друг к другу осей. Иначе говоря, предположим, что дуга большого круга Р0Рг—самая короткая из дуг большого круга, соединяющих любые два полюса осей 孔-го порядка. Если теперь мы произведем поворот вокруг оси Ро n-го порядка, ТО из оси 尸1 мы получим новые оси /?*го порядка, число которых

равно (п——1), причем одна из них проходит через точку А и показана на фиг. 32. Сферический угол 屮 между дугами Р^РХ и Р0Д равен 2冗/孔，а РиР、= Р^А. Совершив поворот на угол 屮 вокруг оси А. мы получим из Ро другую ось n-го порядка, проходящую через В* Все точки Р】，Ро, А, В и т, д., получающиеся при этой процедуре, лежат в одной плоскости, и поэтому фигура должна замкнуться снова в точке R. (В противном случае мы получили бы ось 孔~「о порядка, расположенную ближе к оси Р】，чем ось Ро.) Теперь, вращая вокруг оси Ро, получим новую ось из оси R и будем продолжать так, пока не получим второй правильный сферический многоугольник. С помощью этого процесса мы покроем всю поверхность единичной сферы одинаковыми правильными сферическими многоугольниками. Таким образом мы получим правильный сферический многогранник с 尸 гранями, V вершинами и Е ребрами. Каждая грань такого многогранника представляет собой правильный сферический многоугольник с s сторонами. Число ребер, сходящихся в одной вершине, равно п. Так как каждое ребро имеет по одной вершине на каждом из двух своих концов, число ребер Е = nV[2. Так как каждое ребро принадлежит двум граням, имеем соотношение Е=Г$/2. Объединяя эти результаты, получаем Fs = nV, Площадь многоугольника с s сторонами на единичной сфере равна сумме углов многоугольника минус (s ——2) л. Для нашего правильного многоугольника площадь равна s(2h/k) — (s — 2) л. Умножив эту величину на число граней 尸,мы получаем полную поверхность единичной сферы, равную 4л. Таким образом,

F [s (辱") 一(s — 2)冗]=4h， или

鲁一年 + 尸=2.(2.11)

Воспользовавшись полученными ранее соотношениями, мы можем переписать (2.11) в виде

?+尸=2.(2.12)

Это и есть теорема Эйлера, которая в форме (2.12) пригодна для любой сети на поверхности сферы. Перепишем (2.11) в виде

(2.13)

Мы видим, что величина 2s/n должна быть больше s ―2 и поэтому (так как 孔〉2) допустимые значения s ограниченны.

При 孔=3, s < 6: s = 3 дает 尸=4; s = 4 дает 尸=6; s = 5 требует, чтобы 尸=12.

При 孔=4, s<4:s = 3 приводит к 尸=8.

При 〃=5 возможно лишь s=3 н 尸'=20.

При 〃》6 решений не существует.

Мы получаем следующие возможные случаи:

nS

F

3

3

4

тетраэдр.

3

4

6

куб,

4

3

8

октаэдр,

3

5

12

додекаэдр,

5

3

20

икосаэдр.

Первые два многогранника имеют одинаковые элементы симметрии: четыре оси 3-го порядка, которые соединяют вершины 1, 2, 3 и 4 тетраэдра с противоположными гранями так, как это показано для вершины 1 на фиг. 33. Начав с полюса на одной из граней

Фиг. 33.

кристалла, мы обнаружим, что повороты вокруг этих осей порождают семейство из 12 полюсов, так что число элсменгов в этой группе равно 12. Повороты вокруг любой из этих осей переводят три остальные оси друг в друга, откуда следует, что все четыре оси эквивалентны. Оси односторонние, в силу чего мы получаем два класса по четыре элемента в каждом: Оз(4); °5(4). Если мы совершим поворот вокруг оси 1 так, что 2 f 3, 3 —> 4, 4 f 2, а затем произведем поворот вокруг оси 2, который приведет к отображению 3f4, 4-> 1, If3, то произведение этих поворотов будет осуществлять отображение 2f 4, 4f 2, 3fl, 1 -> 3 и поэтому будет представлять собой поворот на угол л вокруг прямой, соединяющей середины противоположных ребер 24 и 13. Таким способом мы найдем три оси 2-го порядка, эквивалентные друг другу. Эти оси 2-го порядка образуют класс, состоящий из 3 эле-

ментов. Итак, группа Т тетраэдра имеет 12 элеменгов, принадлежащих 4 классам:

7:匕 G(3); Сз(4);鑑(4),

где число в скобках означает число сопряженных элементов в классе. Другой способ изображения этих осей показан на фиг. 34.

Заметим также, что группу Т можно получить из группы V, присоединяя к последней ось 3-го порядка, расположенную симметрично относительно трех осей 2-го порядка группы V. По этой причине для обозначения группы Т иногда пользуются символом Сх ■> Су ■/ Сz.

Рассмотрим далее октаэдр. На этот раз мы начинаем с 3 взаимно перпендикулярных осей 4-го порядка. Взяв произведения поворотов вокруг этих осей, получим полную вращательную симметрию куба, как показано на фиг. 35. Всего имеется 4 оси 3-го порядка (пространственные диагонали), 3 оси 4-го порядка (соединяющие середины противоположных граней) и 6 осей 2-го порядка (соединяющих середины противоположных ребер).

Применив повороты 3-го и 4-го порядков к любой из осей 2-го порядка, мы можем получить все оси 2-го порядка. Поэтому все 6 осей 2-го порядка принадлежат одному и тому же классу. Легко видеть, что все оси двусторонние, кроме того, все оси 3*го порядка эквивалентны друг другу и оси 4-го порядка также эквиваленгны друг другу. Итак, группа О имеет 24 элемента, распределенных по 5 классам:

О: Е; С2(6); Сз, с；(8); &,徹)(6);欧⑶.

Группа икосаэдра У, которая получается согласно составленной нами таблице возможных случаев и при максимальном п и при макси- ма1ьном числе граней 尸,не представляет интереса с точки зрения

физики, поскольку у кристаллов не встречается осей 5-го порядка и не известны примеры молекул, обладающих такой симметрией. Группа У есть группа, состоящая из 60 поворотов вокруг осей симметрии икосаэдра, у которого имеется 6 осей 5-го порядка, 10 осей 3-го порядка и 15 осей 2-го порядка.

Подводя итоги, можно сказать, что, присоединяя оси высших порядков, мы получаем три новые группы поворотов:

Т,。，Г.

Полюсные фигуры для групп Г и О представлены на фиг. 36 и 37. По поводу всех этих полюсных фигур мы должны заметить,

что одного набора эквивалентных полюсов может оказаться недостаточно для того, чтобы замкнуть многогранник или однозначно фиксировать тип симметрии. В таких случаях следует вводить дополнительно второй набор эквивалентных полюсов.

I

Задачи. 1. Покажите, что все элементы группы О порождаются поворотами вокруг осей 4-го порядка.

Перечислите все подгруппы группы О. Какие из них инвариантны?

§ 6. Группы симметрии, содержащие зеркальные повороты.Присоединение отражений к группе Gn

Геперь, когда мы располагаем всеми возможными группами симметрий, содержащими только повороты, мы должны добавить к ним элементы второго типа, т. е. зеркальные повороты. Пусть S — зеркальный поворот, входящий в число элементов группы. Произведение S на любой поворот есть снова зеркальный поворот. Произведение двух зеркальных поворотов есть поворот. Заметим прежде всего, что чистые повороты образуют подгруппу 能 группы G.

Кроме того, эта подгруппа должна иметь индекс 2 и поэтому является инвариантной подгруппой. Иными словами, мы утверждаем, что каждый зеркальный поворот S», принадлежащий рассматриваемой группе, содержится в смежном классе S第，образованном с помощью любого из зеркальных поворотов. В самом деле,

s^^ss-^s^s^s^

и 8-18ь будучи произведением двух зеркальных поворотов, есть поворот и в силу этого принадлежит 第. Порядок фактор-группы О/對 всегда равен 2.

Затем мы поступим следующим образом. Выберем в качестве подгруппы 或 любую из групп чистых поворотов. Вводя зеркальный поворот S, мы не допускаем возникновения новых поворотов (поскольку в силу приведенных выше рассуждений они уже должны содержаться в 訟).Какие возможности имеются у нас для выбора S? Одна возможность состоит в том, что S?=E, отсюда получим два решения: S=o, S = /. Таким образом, мы можем добавить либо отражение, либо инверсию. Если же S?次旦 то преобразование S? должно быть одним из элементов подгруппы 舐、отличных от единичного. Ось зеркального поворота должна быть одной из осей поворотов, принадлежащих группе %. Если элементом 那 является &, то единственный остающийся выбор состоит в том, чтобы S2 = C『 так как если мы возьмем

s^c^, то

S?c]p = Е,

ИЛИ

(SC-Pf^E-,

присоединяя к группе 影 вместо S преобразование

s' = sc;p, мы получили бы

(S^ = E Если бы мы выбрали

S2 = e沪*

то вместо S могли бы ввести дополнительно в 能 преобразование

S‘ = SCL и получить

8)2 =以

Итак, мы имеем три возможности для введения зеркального поворота: о, / н S, причем S2 = C；j.

Присоединение отражений & группе Сл

Случай 1. Присоединяем элемент S2 Сtv

При 〃=1 §2 = Е, и мн имеем случаи 2 и 3.

При п = 2 52 =。2， ^ — ^4- Мн пол}гчаем абелеву группу 34, содержащую 4 элемента, принадлежащих 4 классам.

При 〃=3 S2= С3> 5 = 5б・ Мы снова получаем абелеву группу $6 из 6 элементов, образующих 6 классов.

При 〃》4 мы получили бы зеркально-поворотн)^ю ось, порядок которой больше 6, что было исключено заранее.

Случай 2. Присоединяем о. Если мы не намереваемся вводить новые повороты, то плоскость отражения должна быгь либо перпендикулярна главной оси, либо же проходить через нее.

Если к группе Gn мы присоединим о九，то получающаяся при 9ToM группа называется группой Cnh. Все такие группы абелевы и содержат 2п элементов в 2п классах. Если п четно, группа содержит преобразование

вследствие чего тело, группу преобразований которого мы рассматриваем, обладает центром симметрии. При n = 1 группа С1Л содержит два элемента Е и о; эту группу обычно обозначают символом При таком подходе мы получаем новые группы

/Э /Э/Э/Э/Э

必，У2А» S 加 ° 4ft' °6А-

Если к группе Gn мы присоединим о&, то, комбинируя ov с поворотами вокруг вертикальной оси, мы получили бы систему из п вертикальных плоскостей. Исключая из рассмотрения случай n = 1, который приводит к группе Gs, мы получаем новые группы, которые обозначим

Группа Gav содержит 2п элементов. Как было показано ранее, наличие преобразования о& делает оси поворотов двусторонними. Если же п нечетно (n = 2р -|- 1), то все плоскости эквивалентны и все отражения попадают в один класс. В то же время повороты вокруг двусторонних главных осей приводят к (° + 1) классу: Е; С凱」，С肃 1 при /г = 1, 2, .. ., р. Всего мы получаем 。十2 = = (〃+3)/2 классов. Если п четно (〃=2р), то отражения образуют два класса по р элементов в каждом. Повороты дают класс £\ класс С2 и (р ——1) класс С^, при /г=1, 2, . . (р — 1). Всего мы получаем р-|~ 3 = (〃 + 6)/2 класса.

Случай 3. Присоеаиняя, наконец, инверсию / к группе С#, мы получаем лишь одну новую группу, а именно группу С】. Это—группа С) (или 52), состоящая из двух элемен гов Ей/.

Фиг. 49.

Фиг. 47.

Фиг. 48.

Вывод. Присоединение к группам вп отражений приводит к группам

$4，$6；(?/； 6$；(?2/р (?зд> &九，&九；(?2&, (?3^* 64tp 6qv>

Полюсные фигуры показаны на фиг. 38—49. Примером могла бы служить молекула транс-ClBrHC—CHBrCl, изображенная на фиг. 50.

Любая плоская нелинейная молекула, все атомы которой различны (например, молекула NOC1), обладает группой симметрии в^ На фиг. 51 показана плоская молекула транс・С2H2c%, обладающая группой симметрии Q^h. Примерами групп симметрии в^ (фиг. 52) служат молекулы Н2О, SO2, H2S; примерами групп 63v (фиг. 53) служат молекулы NI%, CHjCl, РС13.

Задача. Какая группа получится, если к группе ©§ присоединить инверсию /?

Присоединение отражений к группам Dn

Аналогичным образом мы поступим и с группами Dn. Рассмотрим присоединение к такой группе плоскости отражения. Если мы включаем в группу о九，то произведение о九 и поворота вокруг любой оси 2-го порядка дает отражение в вертикальной плоскости, проходящей через эгу ось. Таким образом, добавление одной горизонтальной плоскости симметрии порождает п вертикальных плоскостей отражения с п соо гветствующими операциями о&・ Новая группа Dnh содержит 4п элементов: 2п чистых вращений, принадлежащих группе Dn, п отражений 0о в п вертикальных плоскостях и п зеркальных поворотов С^о九.Заметим, что операции о九 коммутируют со всеми элементами группы. Поэтому (см. § 7 гл. 1) мы можем записать группу Dnh в виде прямого произведения групп Dn и С/

^лЛ = ^л X ©$•

[Если п четно (п— 2р), то эта группа содержит инверсию, и мы можем записать также, что D* 卜=D2Pxet.\ Число классов в группе Dnh ровно вдвое больше числа классов в группе Dn: сначала мы получаем все классы группы Dn, а затем те классы, которые возникают при умножении каждого элемента на %. Так же как при рассмотрении группы Dn мы находим, что если п нечетно, все отражения принадлежат одному и тому же классу, если же п четно, они образуют два класса. Зеркальные повороты С：о九 и С；'о九 распадаются на классы парами. Новыми являются группы

Полюсные фигуры представлены на фиг. 54—57.

Показанная на фиг. 58 плоская молекула N2O4 обладает группой симметрии 。2加 форма молекулы С2Нб, у которой атомы водорода находятся „в противостоянии^ и которая представлена на фиг. 59, принадлежит группе 厶加 молекула бензола С6Н6 обладает симметрией DGh и показана на фиг. 60.

Плоскость отражения можно присоединить к группе Dn еще и другим способом: мы можем добавить вертикальную плоскость отражения, которая делит пополам угол между двумя соседними осями 2-го порядка. Коль скоро мы добавили одну вертикальную плоскость, вращения вокруг осей 2-го порядка тотчас же порождают совокупность из п вертикальных плоскостей отражения. Полученная при этом группа является группой Dnd (d означает диагональ) и содержит 4п элементов. Из этих 4п элементов 2п являются чистыми вращениями, принадлежащими группе Dn. Кроме того, мы получаем п зеркальных отражений 0d в п вертикальных плоскостях. Остальные п элементов представляют собой зеркальные повороты вида S^+1 вокруг главных

осей, где 总=0, 1, 2, ..., (п ——1). Простейший способ доказательства этого утверждения состоит в рассмотрении полюсных фигур (фиг. 61 и 62). Итак, главная ось является не просто осью вращения n-го порядка, а зеркально-поворотной осью 2п-го порядка. В результате рассматриваемые нами группы можно построить лишь при п = 2 или 3. (При п > 3 порядок зеркально-поворотной оси был бы больше 6, а этот случай был отброшен нами еще ранее). Двумя вновь полученными группами являются группы О2d и °3d (фиг. 61 и 62).

I

Задача. Покажите, взяв произведение aj и поворотов, что главная ось группы Df1d есть зеркально-поворотная ось 2п-го порядка.

Все оси 2-го порядка эквивалентны, поскольку каждую такую ось можно совместить с соседней ей осью с помощью отражения в плоскости, проходящей посередине между ними. Точно так же эквивалентны все плоскости отражения. (Примените к ним вращения вокруг осей 2-го порядка.)

Фиг. 59.

Фиг. 60.

Наконец, зеркальные повороты S；^+】и 5%"丸十。сопряжены, так как

0 ds 療 ％/ =。也，产Od = ^^'^d =。心尸+" = S 瞪+".

Таким образом, в общем случае при четном п(п=2р) группа D?p,d имеет 私+ 3 = 2/?十3 класса: Е; вращение С% = С? вокруг главной оси; (/?——1) класс, состоящий из пар С^, С^р при 左=1, 2,., р ―1; класс, состоящий из 2P вращений вокруг горизонтальных осей 2-го порядка; класс, состоящий из 2р отражений о《；р классов, состоящих из пар зеркальных поворотов S；^+) 5^"，十。при 左=О, 1, 2, . . ., р——1. При нечетном п(п = 2р -[-Г) группа Dnd содержит инверсию /, и поэтому мы можем записать ее в виде прямого произведения

^^2р +1, d =°2р+1 X С/.

Таким образом, эта группа имеет (2夕十4) класса, что ровно вдвое больше числа классов в группе D2p^, Новые классы в группе D2p+li d получаются из классов группы О?р+1 умножением на /.

D3d

Фиг 63.

„Повернутаяи форма молекулы С2Н6, показанной на фиг. 63, обладает группой симметрии D3d.

Теперь мы могли бы попытаться присоединить к группе Dn инверсию или зеркальный поворот. Если мы присоединим /, то получится прямое произведение Dn Х С” которое, как мы показали, совпадает с группой Dnh, если п четное, и с группой Dnd, если п нечетное. Аналогично, присоединение к группе зеркального поворота новых групп не дает.

§ 8. Полные группы симметрии правильныхмногогранников

Последний шаг в нашем перечислении точечных групп состоит в присоединении зеркальных поворотов к группам Т, О и Y.

Предположим, что мы хогим присоединить к группе Т какую- нибудь плоскость отражения. Поскольку отражения в этой плоскости не должны приводить к появлению новых осей вращения, зга плоскость должна либо проходить через два противоположных ребра

куба (см. фиг. 34), либо быть параллельной двум его граням и проходить посередине между ними.

Использование первой возможности приводит к группе Td с характерными осями и плоскостями симметрии, представленными на фиг. 64 и 65. Группа Td обладает всеми видами симметрии, присущими тетраэдру. Причина, по которой эту группу обозначают символом Т^ состоит в том, что добавляемая нами плоскость делит пополам угол между двумя горизонтальными осями 2-го порядка. Так же как и в случае группы D2d)это означает, что оси вращения 2-го порядка стали зеркально-поворотными осями 4-го порядка, как это показано на фигурах. Плоскости симметрии проходят через оси 3-го порядка, вследствие чего эги оси являются двусторонними. Все плоскости отражения эквивалентны, и все зеркально-поворотные оси 4-го порядка эквивалентны. Поэтому 24 элемента группы Td оказываются распре- деленн! ми по 5 классам:

Td-. Е; Сз,或(8); Sa, S；(6)； S； = C?(3); о&(6).

Использование второй возможности приводит к группе Th с характерными осями, показанными на фиг. 66. Индекс h означает, что соогветствуюищя плоскость расположена горизонтально относительно

OhOhФиг. 67.Фиг. 67.

Oh

Oh

Фиг. 67.

Фиг. 67.

осей 2-го порядка, однако эга плоскость делит пополам угол между двумя осями 3-го порядка и тем самым превращает их в зеркальноповоротные оси 6-го порядка. Поскольку группа содержит 36> она содержит и /, и, следовательно, можно записать, что

7\ = ТХ2・

Поэтому группа Th содержит 24 элемента, принадлежащих 8 классам, которые получаются из классов группы 7\ Другие возможные варианты присоединения новых элементов уже включены в группу Th и Td.

В случае группы О положение присоединяемой плоскости отражения ограничено так же, как в случае группы Т. Но на этот раз добавление одного типа плоскости тотчас же порождает другой тип. Так же как и в случае группы Т( С3-оси становятся 36-осями, и группа включает в себя инверсию /. Следовательно, группу Oh можно представить в виде。％=。>< 综 и группа 0^ становится группой

всех преобразований симметрии куба (фиг. 67). Эта группа содержит 48 элементов, распределенных по 10 классам (что вдвое превышет число классов в группе О):

ОЛ： Е； 。2(6)； Сз,或(8)； с4> С； (6);欧⑶；/； &(6); $6, S*8); Cqa, С；Оа(6)； Оа(3).

Наконец, мы можем присоединить инверсию / к группе 匕 в результате чего получим

Эта группа является полной группой симметрии икосаэдра. Мы не будем рассматривать ее более подробно, поскольку она не представляет интереса для физики.

В силу того что группа Тd обладает полной симметрией тетраэдра, к ней относятся все тетраэдрические молекулы, такие, как СН4 и СС14. Молекула метана изображена на фиг. 68. Гексафторид урана UF6 обладает группой симметрии Oh и представлен на фиг. 69.

Обзор точечных групп. Другие системы обозначений

Мы нашли все возможные точечные группы. Лишь 32 из них находятся в соответствии с законом рациональных индексов. При рассмотрении различных систем мы уже приводили свойства этих групп, указывая каждый раз число элементов в группе.

Триклинная система

.佻(1)； 2. 6*(2)・

Моноклинная система

е2Л(4); 4.③⑵；5. 2(2).

Ромбическая система

D2A(8); 7. Г)2三丿(4)； 8. ©2。(4).

Тригональная система

ПЗЛ(12); X). пз(6); И. езД6); 12.鋒(6); 13. 6з(3)・

Тетрагональная система

П4Л(16); 15. 0式8); 16. %“(8); 17. С4Л(8); 18. %(4).

Гексагональная система

4а(24)； 20.4(12); 21.%(12)； 22. С6Л(12);

23.金(6).

Кубическая система

ОЛ(48); 25,0(24); 26.&(24); 27.乙(24); 28.7(12).

Из числа оставшихся групп группы 29 [б?ЗЛ (6)] и 30 [Q3d (12)] обычно включают в систему VI, а группы 31 [$4(4)j и 32 [D2d (8)]— в систему V.

Заметим, что в каждой системе группы, перечисленные первыми, обладают наибольшей симметрией. В системах IV—-VII симметрия первой группы в системе носит название „голоэдрической** (обладающей полным набором кристаллических граней). После этой группы идут три группы, у которых число элементов в 2 раза меньше (геми- эдрия). Что же касается пятой группы в системе, то она имеет лишь четвертую часть от числа элементов первой группн (тетартоэдрия).

Обозначения, которыми мы пользовались при рассмотрении точечных групп, принадлежат Шенфлису. Было предложено много различных обозначений. Они все обладают некоторыми преимуществами и кое-какими недостатками.

Второй системой обозначений является система, которую мы будем называть системой Шубникова. В этих обозначениях наличие поворотной оси л-го порядка указывается символом п* Так, группа 6】 обозначается 1, 6? — 2 и т. д. Зеркально-поворотные оси обозначаются черточкой над соответствующим символом, так что группа Ci = $2 будет теперь обозначаться 2, группа 鼠 будет обозначаться 4 и т. д. Наличие плоскости симметрии указывается буквой ш, так что группа q三С、% будет обозначаться просто mt поскольку ее единственным элементом симметрии является отражение.

Если точечная группа содержит более одного элемента симметрии, то каждый из них указывают с помощью специального символа, кроме того, указывают их взаимное расположение. Чтобы показать, что два элемента симметрии параллельны (например, ось вращения и плоскость симметрии, проходящая через эту ось), между их символами ставят точку. В этих обозначениях группа C2v запишется в виде 2.ш.

Двоеточие используется для того, чтобы указать, что два элемента симметрии перпендикулярны. Например, 3 : 2 означает, что группа содержит ось 3-го порядка и ось 2-го порядка, расположенные под прямым углом друг к другу. Эта группа в обозначениях Шенфлиса есть в точности группа Q3. Аналогичным образом символ 3 : m указывает на то, что имеется какая-то плоскость симметрии, перпендикулярная оси 3-го порядка, т. е. эта группа есть именно та группа, которую мы называем %拉.

Наклонная черта означает, что группа содержит две оси, расположенные друг относительно друга не под прямым углом. Так, 3/2 означает, что в группе имеется ось 3-го порядка и ось 2-го порядка, образующие друг с другом некоторый угол, отличный от 90°, Из фиг. 34 и приведенных выше соображений ясно, что это — группа Т.

Чаще всего кристаллографы пользуются интернациональной системой обозначений. В этом случае черта над символом озна-

Таблица 1

Шенфлис

仇

&

%九

伪

Cs

02九

C2k

Шубников

1

2

2: т

2

m

m • 2 :加

2:2

2 • m

Интернациональные обозначения

1

1

2/zn

2

m

mmm

222

mm2

=2mm

Шенфлис

03九

4

©Зк

*6

Сз

04九

C4k

%九

Dn

*4

仇

Шубников

т^З： т

3:2

3 • т

6

3

m • 4 : zn

4:2

4 • m

4: m

4 • m

4

4

Интернациональные обозначения

Ът2 =62тп

32

Зт

3

3

41mmm

422 =42

4mm

4/m

42m

4

4

Шенфлис

А

©бк

e6九

03d

%九

仇

oh

0

Td

Th

T

Шубников

т • 6: т

6:2

6 • т

6: m

6 • m

3: m

6

6/4

3/4

3/4

6/2

3/2

Интернациональные обозначения

6/ттт

622 =62

6mm

6/m

Bz

6

6

m3m

432

三三43

43/n

m3

23

чает, что берется произведение соответствующей операции и про- сшранственной инверсии. Например, 1 означает группу С^ Символ /п используют для обозначения плоскости симметрии, так что группа С$ в этих обозначениях запишется как ш. Заметим, что 2 означало бы то же, что т. Группа §6 в этих обозначениях запишется в виде 3, а группа QZh——в виде 6.

Наклонная черта между символами указывает на то, что группа содержит плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения. Например, группа 个2九 записывается в виде 2/т, группа Q^h —— в виде 4/т. Плоскости симметрии, не перпендикулярные оси вращения, записывают без каких бы то ни было дополнительных пометок. Группа % обозначается через 3m, однако группы С4P и C6v записываются как 4mm и 6m/n, ибо все вертикальные отражения в первой группе входят в один класс, в то время как в двух других группах они принадлежат двум различным классам.

Группы D4fl и D6h обозначаются символами 4/mmm и 6/m/nm, поскольку они обладают плоскостью симметрии, перпендикулярной оси вращения, остальные отражения принадлежат двум классам.

Группа D^^V обозначается символом 222, поскольку она содержит одну (главную) ось 2-го порядка и два поворота на 180°, которые не принадлежат одному и тому же классу. Аналогично группы £\ и £)б записываются в виде 422 и 622. С другой стороны, группа D§ имеет обозначение 32, так как все повороты на 180° принадлежат одному 〃 тому же классу.

Для справок мы укажем в табл. 1 обозначения 32 точечных групп во всех трех системах обозначений.

Задача. Объясните смысл символа /п • 6: /п. Почему именно эту группу мы называем группой Рб^? Объясните смысл символов 3, 23 и тЗт в интернациональной системе обозначений.

Группы магнитной симметрии(цветные группы)

Мы рассматривали точечные группы симметрии главным образом для описания внешней симметрии кристаллов. При описании микроскопических свойств мы должны были бы рассматривать симметрию распределения атомов (или ионов) в кристалле. Когда мы поступаем именно так, симметрия, которую мы описываем, является симметрией усредненного по времени распределения вещества в кристалле. В этом случае мы уже можем считать, что точечные группы описывают возможную точечную симметрию усредненной по времени плотности заряда р в равновесном состоянии кристалла. В этом равновесном состоянии можно также задать и усредненную по времени плотность

тока j. Поскольку в состоянии равновесия источники или стоки за- ряда должны отсутствовать, плотность тока j должна удовлетворять уравнению divj = O. Дтя большинства веществ j = 0, по в ферромагнетиках или антиферромагнетиках j # 0.

Если в каждой точке мы изменим направление j на противоположное, то состояние равновесия остается состоянием равновесия. Рассмотрим теперь новую операцию симметрии А, которая изменяет знак j в каждой точке пространства, но не действует на пространственные координаты (А—оператор „обращения времени11). Элемент R имеет порядок 2 (R2 = Е) и коммутирует со всеми простран- ственными вращениями и отражениями.

Теперь мы можем рассмотреть возможные точечные группы симметрии кристаллов, у которых j 卢 0. Такие группы могут содержать обычные вращения и операции зеркального поворота А, но, кроме того, они могут содержать и элементы вида RA, т. е. комбинации геометрического преобразования Л и оператора R, изменяющего направление тока j на обратное. Все 32 найденные нами ранее группы являются допустимыми группами симметрии при j 声 0. Теперь же мы хотим найти новые группы симметрии, содержащие по крайней мере один элемент вида RA. Сразу видно, что простым присоединением элемента R к одной из обычных точечных групп такие группы получить нельзя. В самом деле, если группа содержит элемент R, то это означает, что j = — j, так что всюду j = 0. Поэтому наши новые группы должны содержать один или более элементов RA, но не должны содержать элемент R.

Прежде чем приступить к нахождению всех таких новых групп, рассмотрим еще одну интерпретацию их. Предположим, что грани кристалла можно окрасить в белый (U7) или черный (6) цвет и что R—операция, изменяющая цвет (И7 на В, а В на U7). В дополнение к операциям Л геометрической симметрии, которые приводят к сдвигу граней кристалла, но не меняют их цвета, рассмотрим теперь элементы R%. Например, если А——-поворот, который переводит грань F в грань 尸，то RA переведет 尸 в 尸 н сделает цвет грани 戸 противоположным цвету грани 尸.Потребуем также, чтобы ни одна грань не была окрашена в оба цвета, так что сам элемент R не должен принадлежать группе. Такие группы мы назовем Гцвегными группами11.

Заметим прежде всего, чго если группа G содержит элемент М = RA, то порядок Л не должен быть нечешым, так как средн всех степеней М, которые содержит G, находился бы элемент R, Следовательно, среди элементов группы не может бьпь элементов вида RC3 или RS3.

Группе G не могут одновременно принадлежать элементы Д и М = RA, так как в противном случае в G содержался бы и элемент МА~~ =А. В соответствии с этим результатом мы будем обо- ^начать элементы группы через Ak (々=1, 2,…，m),铀=/?&

(，=加+1, m+2, . . ., п), где все геометрические операции А различны. Ясно, что если заменить R единицей, то п элементов ДЛ (^ = 1, . . ., /п) и At (/ = m-|- 1, .... п) образовали бы одну из 32 точечных групп. Следовательно, элементы ДЛ образуют в группе G некоторую подгруппу 對，которая является одной из 32 точечных групп.

Дачьше мы могли бы поступить следующим образом. Возьмем любую из точечных групп G. Найдем подгруппу 礎 с элементами Ak. Умножим все элементы AL множества G——黝(т. е. все элементы группы G, которые не принадлежат подгруппе 第)на R, после чего получим Ml = RAi. Если элементы 財» и Ak образуют группу, то это одна из групп того типа, который мы ищем. Такой метод был бы чрезвычайно утомительным. Но проблема в целом решается, так как сейчас мы докажем следующее утверждение.

Чтобы элементы ML и ДЛ образовывали группу, необходимо и достаточно, чтобы подгруппа 能 в группе G имела индекс 2.

Если подгруппа 能 имеет в группе G индекс 2, то

6 =影+ 4翔，

где 4—один из элементов множества G —匏\ Наше новое множество О записывается в виде

0=第十/?4能.

Так как

况？ .翫=战、 RA1胱•能1 = RA1旣、RA(旣. RA1旣=能\

то G' — группа.

Наоборот, если элементы Ak и ML = RAi образуют группу G', то в результате умножения 加 элементов из 第 на любой из элементов М1 мы получим m различных элементов типа 財加 Если же элементы Mt мы умножим на любой из них, то получим п различных элементов типа Ак. Итак,影 имеет в G' индекс 2, а следовательно, 鸵 и в G имеет индекс 2.

Наш метод нахождения новых групп сводится к следующему. Мы выделяем произвольную точечную группу G. В группе G выбираем любую подгруппу 樹 индекса 2. Элементы множества G ——宓 умножаем на R. Тогда группа G' = % + R(G —呪)есть новая группа.

Все возможные подгруппы 礎 индекса 2 для каждой из 32 точечных групп G перечислены в табл. 2. Каждая из них приводит к какой-то новой группе (магнитному классу) О'. Мы пользуемся интернациональными обозначениями, которые особенно полезны при рассмотрении магнитных класцрв. Черта под символом означает, что следует взять произведение соответствующего элемента и оператора обращения времени R

浓£浓

浓£浓

浓£浓

浓£z

浓£浓

浓£浓

虚

改

節

宽

浓蜕

找

—

一

仪

2〃 zuru]q

浓/9

гиги

zuuiui/g

w/w/g

гигиги/д

гигиги/д

39

гигиги/д

гигиги®

zuzuui/g

гигиги/д

收9

гиги 浓/9

7〃 gf

給

гии/Q

9

浓/9

浓/9

£

浓/9

w/9

9

w/9

39

驼

乙9

49

9

乙9

浓£

召£

噁

唯

浓£

嚥

喳

唯

g

£

9

гагат 压

гигиги/^

гигит 压

切律

似浓浓/力

M/WfW/f

ш ши/

似用浓压

гигиги/^

浓浓^

浓浓浓/力

/

〃"〃浓修

浓边

饭袁凤

財

0

C v'nnvgv^

近历

浓乙g

〃/父

W/W/f

浓浓^

W/W/f

力

шги\

浓压

浓修

浓压

切内

浓压

浓压

Sv

&

乙力

St

力

乙

乙

力

乙£

乙浓9

5呜

乙吗

9

”9

9

£

9

而£

浓£

28

泥

一

一

£

W/ 〃/"/

гигиги

in гиги

шипи

гиш

&乙

unu

浓浓乙

浓

亿

гиги^

乙

乙

乙％

灰

I

〃〃乙

浓厄

乙

ги

I

山

2

I

乙

I

I

一

I

0

Мы нашли 58 новых групп, что вместе с 32 точечными группами дает нам 90 „групп магнитной симметрии". В основу нашего рассмотрения было положено распределение плотности тока j, но мы могли бы с равным основанием рассматривать и распределение намагниченности ц. (Единственная особенность, которую следует иметь в виду, состоит в том, что м——аксиальный вектор, a j——полярный вектор.) Группы магнитной симметрии (и основанные на них пространственные группы) находят применение в анализе антиферромагнитных структур.

Эти группы допускают обобщения несколькими способами. Например, можно задать п различных независимых признаков, принимающих два значения, и ввести п операторов Rh таких, что /?， изменяет значение /-го признака, причем все R» коммутируют как друг с другом, так и со всеми геометрическими операциями. Мы можем также рассматривать и признак, принимающий п значений (многоцветные группы) и ввести оператор R, такой, что R" = Е (/? коммутирует со всеми геометрическими операциями), потребовав, чтобы элементы вида Rm в группу не входили. Обширную работу в этой области проделали кристаллографы русской школы.

I

Задачи. 1. Выведите вес возможные точечные группы симметрии в двух измерениях.

2. Выведите все возможные двуцветные точечные группы в двух измерениях.

ГЛАВА 3

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП

Во введении мы кратко остановились на том, каким образом симметрия гамильтониана физической системы приводит к классификации собственных функций (собственных векторов) этой системы. В настоящей главе мы вновь обратимся к этой задаче и разовьем математический аппарат для ее полно! о решения.

Линейные векторные пространства

Наше интуитивное представление о векторном пространстве основано на наглядном образе направленных прямых в плоскости или в трехмерном пространстве. Векторы в таком пространстве описываю г, задавая их величину и направление. Векторы можно умножать на любое вещественное число. Проведя любые два неколлинеарных вектора на плоскости (или любые три некопланарных вектора в трехмерном пространстве), мы вводим координатные оси в таком пространстве. В этом случае векторы можно описывать с помощью координат относительно некоторых выбранных осей.

Для приложений в физике наше интуитивное представление требуется обобщить. Рассмотрим множество объектов х, у, .. ., элементы которого можно „умножать*4 на произвольное комплексное число а или „складывать*4 друг с другом, получая при этом 'элементы того же самого множества. Такое множество называется линей

ным векторным пространством L.

Если х и у принадлежат А, то

ах и х + у = у+х(3.1)

также принадлежат А. „Умножение** и „сложение1* должны удовлетворять следующим условиям:

(а-|- 0)х = ах + бх,(3.2)

(ар) х = а фх),(3.2a)

1х = х,(3.26)

а (х + у) = ах + ау.(3.2в)

Пространство А содержит нулевой вектор (нуль-вектор) 0 такой, что х + 0 = х для всех х.(3.2 г)

Таким образом линейное векторное пространство £ образует абелеву группу относительно операции »сложення“，и его элементы можно умножать на комплексные числа.

Если мы ограничимся вещественными множителями, то получим вещественное пространство. Примерами таких пространств служат описанные ранее плоскость и трехмерное пространство.

Исходя из интуитивных представлений, можно говорить о векторах на комплексной плоскости, исходящих из начала координат. Умножение вектора х на комплексное число а увеличивает длину вектора х в |а | раз и поворачивает его на угол, равный аргументу числа а.

Множество всех матриц л X л образует линейное векторное пространство. Сумма двух матриц х и у (с матричными элементами %饅 и у饅)есть матрица х + у (с матричными элементами %係 + 丿认)・ Матрица ах имеет матричные элементы ал:卅 Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Бесконечные последовательности

x = (%i，%2，…)三(修)«=18),(3.3)

образуют линейное векторное пространство, причем

х + у =(勺+ W), ах = (ах).

Множество всех многочленов относительно „переменной*4 g вида

х = Xq —{—々С,(3.4)

где л:。, ％i——комплексные числа, образуют линейное векторное пространство, в котором

ах = а%о + а%1&

х + У = (%。+ Уо) + (%i + У1) £

Непосредственным обобщением последнего примера служит векторное пространство всех многочленов степени, меньшей или равной "относительно переменной g:

х = л:。+«г?厚 + • • • 三 2%#*(3・5)

В частности, л можно устремить к бесконечности. При этом получится векторное пространство многочленов вида

х=』％#・(3.6)

Можно также рассматривать пространства, в которых векторами являются функции вещественной (или комплексной) переменной 2. Например, можно взять пространство всех функций вида

х = Xi х2ег,(3.7)

либо пространство всех функций вида

х = cos 2十 ％2$也 N,(3.8)

либо же пространство

x = %i/i(z) + %2『2(z),(3.9)

где % и /2 — заранее заданные функции от 2. В качестве общего случая можно рассмотреть пространство функций

п

x=X%/(z),(3.10)

где /1，/2, . . ., f п (г) — заданные функции от 2. В соотношении (3.10) " можно снова устремить к бесконечности.

Обобщение можно продолжить и рассмотреть пространство всех функций /(z) вещественной (или комплексной) переменной 2, определенных в некоторой области значений переменной z и удовлетворяющих некоторым условиям непрерывности, интегрируемости и т. д. Например, можно рассмотреть пространство всех непрерывных функций вещественного переменного z в интервале от 0 до 1 или пространство всех функций с интегрируемым квадратом, т. е. функций / (z), для которых

+ 8

j |/(z) 12dz

сходится.

I

Задача. Покажите, что функции с интегрируемым квадратом образуют линейное векторное пространство.

Линейная зависимость； размерность

Линейная комбинация векторов х1( х2, . . ., ха—- это вектор х вида

х = агхг十^门乂几,(3.11)

где ап ..・,а〃——комплексные числа.

Говорят, что векторы х1( х2, . . ., хл линейно зависимы, если нулевой вектор можно представить в виде линейной комбинации

Xi， .. ., хл (тривиальный случай сц = с^ = ••• =а* = 0 исключается)

SX】—出*2 十• • • ~I-а^х〃^=0.(3.12)

Если уравнение (3.12) не имеет нетривиальных решений, мы говорим, что векторы Xi，х2) •••, х及 линейно независимы.

Теперь мы хотим построить системы линейно независимых векторов в нашем пространстве. Прежде всего мы попытаемся сделать это с помощью одного вектора х. Если

ах = 0, а 方 0

для всех векторов пространства, то х = 0, и мы получаем нулевое пространство, состоящее из одного только нулевого вектора. Если же пространство содержит вектор х】+ 0, мы пытаемся найти второй вектор х2 такой, что

ajXj + а2х2 = °

только в том случае, если

а】=а2 = 0.

Продолжая эту процедуру, мы приходим к определению размерности пространства Ln. В п-мерном векторном пространстве Ln можно найти 几 векторов и，и2,…，ил, которые будут линейно независимы, в то время как 〃-[- 1 вектор в этом же пространстве всегда линейно зависим.

На плоскости два коллинеарных вектора линейно зависимы. Если же два вектора неколлинеарны, они линейно независимы. Но любые три вектора на плоскости линейно зависимы, поэтому плоскость является двумерным векторным пространством.

Пространство всех матриц 几 X 〃 имеет размерность п2. Чтобы показать это, рассмотрим матрицу е(〃)，все элементы которой равны нулю, за исключением элемента (/々). Этот элемент положим равным произвольному, отличному от нуля, числу а С). Заставляя / и 々 пробегать значения от 1 до 几，мы получаем набор, состоящий из п2 линейно независимых матриц. В то же время набор, состоящий из любого большего числа матриц, будет линейно зависимым.

Пространство многочленов, задаваемых соотношением (3.4), двумерно; например, многочлены 1 и 已 линейно независимы, всякие же три многочлена линейно зависимы. (Мы всегда можем найти нетривиальное решение уравнения ax+〃y + yz=0, так как его можно представить в виде двух уравнений:

a%o + 6%+YZo = O，

a修 + 6У1 + Y21 —。

относительно трех неизвестных а, В，Y・)Аналогично, пространство, определяемое соотношением (3.5), (〃+ 1)-мерно.

Векторное пространство, задаваемое формулой (3.6), бесконечномерно, так как бесконечный набор многочленов 1, С, С2» •… линейно независим.

I

Задачи. 1. Чему равна размерность векторных пространств, задаваемых формулами (3.7)—(3.10)?

2. Рассмотрите вопрос о размерности пространства функций с интегрируемым квадратом.

§ 3・ Базисные векторы (оси координат); координаты

Говорят, что любые 〃 линейно независимых векторов ub . . ., ил в ^-мерном пространстве 厶〃 образуют систему базисных векторов, или базис (систему координат), в Ln.

Если векторы щ, . . ., ил образуют базис в 厶以,то можно доказать, что всякий вектор х, принадлежащий 厶以，можно представить в виде линейной комбинации векторов uz.

Уравнение

Bx + aiUi + ct2U2 十...+ a„u„ = 0

должно иметь нетривиальное решение (厶+1 вектор в n-мерном пространстве!). В этом уравнении 6 # 0, так как если бы р — 0, мы получили бы нетривиальное решение уравнения

aiui+ …+ «лил — 0>

вопреки предположению о том, что векторы и£ образуют базис. Так как В # 0, наше уравнение можно разрешить относительно х

х = —у (ctiUi+ +%u/I) = %iUi++%勺三％叫.(3.13)

Таким образом, произвольный вектор х можно записать в виде линейной комбинации базисных векторов иг. Коэффициенты х; в линейной комбинации (3.13) называются координатами вектора х относительно базиса (или системы координат) и】,...,ил.

Матрицы е(‘幻，описанные выше, образуют базис в пространстве матриц n X ^- Матрица х с элементами %」％ выражается через эти базисные векторы в виде

так что координатами х относительно этого базиса служат числа X"/a(S

Многочлены 1 и g образуют систему базисных векторов для

двумерного пространства, определяемого соотношением (3.4). Вектор х

из этого соотношения относительно указанного базиса имеет координаты %0, ХР

Координатами многочлена х в формуле (3.6) относительно базиса, образуемого линейно независимыми многочленами 1, ^, ^2служат элементы бесконечной последовательности (х0( хь ...).

Задача. Найдите систему базисных векторов для пространств, заданных соотношениями (3.7) — (3.10), и укажите координаты произвольного вектора относительно найденного базиса.

Следует отчетливо представлять себе, что базисные векторы задаются неоднозначно и на самом деле их можно выбрать бесконечным числом способов. На плоскости любые два неколлинеарных вектора образуют базис. В пространстве многочленов вида /+%& кроме базиса (1, 0, можно выбрать базис (1 + ^, 1 ― Q либо (1+或, 1—或)，где а 次 0, либо же вообще (а-|-篤，丫-|-60, если только ut ~ а + рС и и2 = у + б^ линейно независимы (аб -- ру 0).

Один и тот же вектор х будет иметь различные координаты относительно различных систем базисных векторов. Сам вектор х имеет внутренний смысл, в то время как описание его с помощью координат изменяется при переходе к другим осям координат. Например, многочлен

х = х°+ Х《=d。岁/а (1 + 或)+ 无声а. (1 一或)=

判6 - %[Yад — 0Y判6 - %[Yад — 0Y(a +优)+(a +优)+%1a 一 Лорад — ру%1a 一 Лорад — ру(Y + g(Y + g

判6 - %[Yад — 0Y

判6 - %[Yад — 0Y

(a +优)+

(a +优)+

%1a 一 Лорад — ру

%1a 一 Лорад — ру

(Y + g

(Y + g

имеет относительно трех систем координат, о которых упоминалось выше, координаты

[2，2 卜口口厂 0厂，说—By 丁

Коль скоро найден один какой-нибудь базис iii，.. ., и理,мы легко можем получить все возможные системы базисных векторов. Каждый вектор выражается в виде линейной комбинации векторов и1( . . ., ил [см. (3,13)]. Например, п векторов Up . .., и； можно записать в виде

(3.14)(3.14)4 = Xa〃Uj 三 a〃u, (t= 1«),

(3.14)

(3.14)

где при выполнении последнего преобразования нами введено соглашение о суммировании по повторяющимся индексам. Векторы и； образуют базис, если они линейно независимы, что будет в том и только в том случае, если определитель матрицы коэффициентов。〃 отличен

от нуля. Коэффициенты образуют матрицу а. Новые векторы и； в равенстве (3.14) образуют базис, если матрица а неособенная (определитель =#0). Все возможные базисы в Ln получаются из некоторого одного базиса, если матрица а пробегает все множество неособенных матриц п-го порядка.

Если от базиса, построенного из векторов Up перейти к базису, образованному векторами и(, то координаты xt фиксированного вектора х изменятся и станут равными %,

х = %м = %觴(3.15)

Воспользовавшись равенством (3.14), получим

马U/ = *2〃Uj,

а так как векторы и, линейно независимы, то

% = %他/=a/产)(3.16)

где а ——матрица, транспонированная по отношению к матрице а, т. е.

'沙(3*17)

Если векторы 叫(吩 и совокупность координат 看(％。рассматривать как матрицы с 办 строками и одним столбцом, соотношения (3.14) и (3.16) можно записать в матричной форме:

u/ = аи,(3.14а)

х = /.(3.16а)

Матрица, транспонированная по отношению к произведению матриц, задается формулой

ab = Ьа,(3.18)

т. е. оказывается равной произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке. Матрицей, транспонированной по отношению к матрице х, состоящей из одного столбца, является матрица х, имеющая одну строку и п столбцов:

£三(%i， хл).

В этих обозначениях (3.15) можно переписать в виде

x = xu = xd：(3.15а)

Из соотношения (3.16а) получаем

х' = &Тх・(3.166)

Правильность формулы (3.15) можно легко проверить:

xz = ха-1, uz = au, откуда

x'u' = xa"Jau = хи.

Задачи. 1. Докажите, что многочлены

% = e-‘ 备(『"&)' 几=°，1，2….(3.19)

образуют базис в векторном пространстве всех многочленов [формула (3.6)]. Найдите коэффициенты разложения многочленов /； по базисным функциям /л = ^.

То же проделайте для многочленов

/；=条[佇—丹(3.20)

Отображения; линейные операторы；матричные представления; эквивалентность

Отображение векторного пространства L на себя можно определить так же, как в гл. 1. Отображение Т каждому вектору х ставит в соответствие некоторый новый вектор у, принадлежащий 厶

у=Тх・(3.21)

Если отображение Т взаимно однозначно, то существует обратное отображение 71T такое, что

х = Г 勺.(3.22)

Отображение Т можно рассматривать как оператор, который действует на векторы х пространства L и преобразует их в векторы у, также принадлежащие пространству L, Если это отображение взаимно однозначно, то существует обратный оператор 71T. Для каждого вектора х пространства L

LTx = TT7x = x, т. е.

(3.23)

где оператор 1 есть тождественный оператор, оставляющий все век* торы неизменными.

Говорят, что Т — линейный оператор, если

Т(х + z) = Тх+ Tz,(3.24)

Т (ах) = аТх.(3.24а)

Следует подчеркнуть, что в определении операторов не указывается никакой системы координат. Поэтому операторы имеют внутренний смысл.

Если выбрать некоторый конкретный базис % в пространстве 厶， то действие оператора Т в соотношении (3.21) можно описать, сказав, что координаты % образа являются некоторыми функциями координат 勺：

У/ Т(Xj, . . . ( хл) (»= 1, • • •» л).(3.25)

Если отображение взаимно однозначно, то эти уравнения можно разрешить относительно %», выразив последние через 力：

*£ =「尸(山ул) «=1п).(3.25а)

Необходимое и достаточное условие того, чтобы отображение было взаимно однозначным, состоит в отличии от нуля якобиана

Функции Ti и Г[1 связывают координаты %, и у» относительно заданного базиса и厂 Если же мы переходим к новому базису и] то связь между новыми координатами %； и у； можно установить, пользуясь формулами (3.16а) и (3.166):

У尸 %)* =呼广心、,3)= "J7j (%产，"?"产0， (3.27)

В случае невырожденного линейного оператора Т связь между координатами 巧 и % выражается проще. Применяя к равенству (3.13) оператор Г, получаем

у = Гх = Г (%『山)=々「и 广(3.28)

Равенство (3.28) показывает, что координаты вектора у относительно базисных векторов vi =Tui me же, что и координаты вектора х по отношению к базисным векторам 山.Векторы vz являются линейными комбинациями векторов и；, т. е.

v$= ГП = и*“，(3.29)

где Тл ——комплексные числа, образующие матрицу Т. Подставляя в (3.28), находим, что при фиксированном базисе, состоящем из векторов /,

У/U/ = "jT "Х"(3.30)

а поскольку векторы tiy линейно независимы, то

У/ = Г 户厶(3.31)

или, в матричных обозначениях,

У = Тк.(3.32)

Матрица Т в (3.32) является матрицей, представляющей линейный оператор Т относительно базиса и£. Если мы перейдем к новому базису % заданному равенством (3.14а), то с помощью (3.16а) и (3.166) обнаружим, что

yz = i-iy = а-1Тх = а-^ах".(3.33)

Таким образом, матричное представление линейного оператора Т в новом базисе 《имеет вид

Г = &тт/(3.34)

По определению, матрица, получаемая из матрицы А трансформацией (неособенной) матрицей S, есть матрица

A' = SAST.(3.35)

Таким образом, (3.34) означает, что Т‘ получено из Т трансформацией матрицей а'1.

Отсюда следует, что матричные представления (в различных базисах) одного и того же фиксированного линейного оператора Т получаются друг из друга трансформацией некоторой матрицей. Матрицы, связанные друг с другом таким соотношением, называются эквивалентными. Поэтому матричные представления линейного оператора Т относительно различных базисов являются эквивалентными матрицами.

Можно также рассматривать взаимно однозначные отображения одного пространства £ на другое пространство U. (Очевидно, что если отображение взаимно однозначно, то эти два пространства имеют одинаковую размерность.) При таких отображениях оператор S действует на векторы х пространства £ и преобразует их в векторы х‘ пространства £';

x' = Sx, x = S~lx .

Если линейный оператор Т определен в пространстве А, то отображение S индуцирует в U линейный оператор 7V:

Т = STS。(3.36)

Оператор Tf вполне определен: S~} переводит векторы х‘ пространства L! в векторы х пространства А, Т преобразует векторы х, принадлежащие 厶 в векторы у, принадлежащие 厶 и, наконец, S переводит векторы у пространства L в векторы у' пространства U. Таким образом, 7V переводит векторы К принадлежащие £', в векторы у' из того же £'. Оператор Т‘ получается из Т трансформацией с помощью оператора 5.

Задачи, 1. Покажите, что в пространстве многочленов (3.5) djd^ есть линейный оператор. Выберите базис и укажите матрицу, представляющую этот оператор по отношению к выбранному базису. Имеет ли эта матрица обратную?

Рассмотрите соответствующую задачу для оператора d/dg в пространстве (3.6).

Преобразование Фурье функции / (х) есть функция

g (й) = (2л)-1/2 J f(x)e~ikx dx; /(х) = (2к)-1/2 J g (й) e^^ dk. (3.37)

Покажите, что оператор (1/Z) (д/дх), действующий в пространстве функций /(х), индуцирует в пространстве функций g (力)оператор умножения на瓦

Представления групп

Совокупность операторов Л, В, ... в векторном пространстве L образует группу, если эти операторы удовлетворяют аксиомам, изложенным в гл. 1. В этом случае под произведением операторов Л и В понимают такой оператор С, что

Сх = 4(8х) для всех х из L.(3.38)

Единичным элементом группы служит тождественный оператор, оставляющий все векторы в £ без изменений. Все операторы группы имеют обратные.

Если мы, пользуясь оператором S, отобразим пространство L на другое пространство Л\ мы получим изоморфную группу операторов, которые действуют в пространстве U и получаются из операторов Л, В, ... трансформацией с помощью оператора S;

/ = S4Sl 8' = S8S-i(3.39)

Если произвольную группу О отобразить гомоморфно в группу операторов D (G), действующих в векторном пространстве Z, мы скажем, что группа операторов D (G) есть представление группы О в пространстве представления L. Если размерность пространства £ равна п, говорят, что размерность представления равна п (или же что представление п-мерно). Оператор, соответствующий элементу R группы G, обозначим через D(R). Если R и S — элементы группы G, то

Q(RS) = Q(R)Q(S),(3.40)

D(R~') = [D (/?)]-'(3.40а)

И

Q(E)= L(3.406)

Линейное представление ——это представление линейными операторами. За редким исключением, мы будем ограничиваться рассмотрением только таких линейных представлений. (Предполагается, что все представления, которые будут встречаться, линейны, если только противоположное особо не оговорено.)

Если в n-мерном пространстве L выбрать базис, то линейные операторы представления можно описывать с помощью представляющих их матриц. В этом случае мы получим гомоморфное отображение группы G в группу п% п матриц D(G), т. е. матричное представление группы G. Из (3.40), (3.40а) и (3.406) мы видим, что эти матрицы невырождены и что

(1 при / = /1

=при у /"‘/=1〃)；(3.41)

5)(AS) = J D* (А) %八S)三 口& (A) Dkj (S).(3.41 a)

Если рассматривается несколько различных представлений, мы будем отличать их с помощью верхних индексов: D^- (/?). Другое обозначу?!

чение имеет вид 〃. . Размерность ц-го представления обозначим г|ц или [ц].

Если гомоморфное отображение группы G в D (G) приводит к изоморфизму, говорят, что такое представление „точпой; в этом случае порядок группы матриц D (G) равен порядку g группы G. В общем случае в группе О существует несколько элементов, которые отображаются в единичную матрицу D(E)= 1. Как мы уже видели в гл. 1, совокупность 第 элементов группы G, отображающихся в 1, образует в G инвариантную подгруппу. Группа матриц D(R) образует точное представление фактор-группы G/第.Отсюда следует, что если найдено представление для фактор-группы по некоторой инвариантной подгруппе, то мы автоматически получаем представление и для всей группы G. В этом представлении все элементы, принадлежащие одному смежному классу группы G по 缴，отображаются в одну и ту же матрицу.

Эквивалентные представления; характеры

Если мы изменим базис в n-мерном пространстве £, то матрицы D(R) заменятся матрицами, которые получатся из D(R) трансформацией некоторой матрицей С [см. (3.34)]. Матрицы

/У (R) = CD (R)(3.42)

также задают представление группы G, которое эквивалентно пред.* Ставлеуию D(R)： Из наших предыдущих рассуждений ясно, что экви-

валентные предс гавления имеют одинаковую структуру, несмотря на то что матрицы выглядят по-разному.

Мы хотим найти величины, которые характеризуют внутренние свойства £)(/?), т. е. остаются инвариантными при изменении системы координат. Один такой инвариант найти легко, так как, взяв сумму диагональных элементов матрицы, мы получим

2 (8 (R) c-九=2 CikDkl (R) &7 = 2 ^klDkl (R) = 2 Dkk (/?).

(3.43)

Поэтому сумма диагональных элементов, или след, матрицы D (R) инвариантна относительно преобразования осей координат. Если мы рассматриваем представления групп, то след 2 ^и (R) называется

характером элемента R 8 представлении D и обозначается %(R)=XD〃(R).(3.44)

Мы видим, что эквивалентные представления имеют один и тот же набор характеров. Чтобы как-то выделить то или иное представле* ние, мы будем пользоваться верхними значками. Таким образом, y(N)(R) (или [ц; R]) означает характер R в представлении ц.

Если рассмотреть два сопряженных элемента S н R группы G (S = URLr), то

О (5) = О (U) D (R)[D(и)]「

Так как D (U)—допустимое преобразование координатных осей в нашем пространстве* мы видим, что

XQJS) = Xd“(R)，

или,

%(S) = %(R)・

Иначе говоря, характеры сопряженных элементов в группе G всегда одинаковы. Следовательно, если мы описываем группу, ^ перечисляя характеры ее элементов в некотором данном представлении, то всем элементам, принадлежащим одному данному классу, приписывается одно и то же число (характер). Если для классов в группе G ввести обозначения К】, К?， • • • н т. п., то представление можно будет on 4= сать с помощью набора характеров Xi» Xv» г^е v — число классов в группе G. Далее, если имеется несколько различных предоставлений, то характеры таких представлений мы будем различать по верхнему значку; например, yf есть характер класса ^1 в представлении ц. Таким образом, каждое представление дает нам набор из v чисел, которые можно рассматривать как вектор в v-мерном пространстве, а именно: вектор 严 с компонентами 游 …，瑞.

Построение представлений. Сложение представлений

Прежде чем приступать к дальнейшему последовательному развитию теории, взглянем на рассматриваемую задачу с несколько иной точки зрения. Теория в том виде, как она излагалась до сих пор, следует с необходимостью, если исходить из теории абстрактных групп. В физических же задачах мы отправляемся не от абстрактной группы, а от группы преобразований конфигурационного пространства некоторой физической системы. Например, группы симметрии, о которых шла речь в предыдущей главе, были группами преобразований в трехмерном пространстве. Элементы такой группы сами образуют представление этой группы в трехмерном пространстве. Например, операцией С (9) служило преобразование

%； = Х[ cos 9 — х2 sin 0,

sin в + cos 8,(3.45)

Операцией / было преобразование

= — xv 名=—鸟=—(3.46)

Одна из наших задач состоит в том, чтобы научиться строить представления произвольно взятой группы. Другая ——в том, чтобы понять, какая связь существует между теорией представлений и физикой. Предположим, что нам задана некоторая группа G преобразований (например, группы симметрии, которые мы рассматривали в предыдущей главе) или какое-то представление, вроде тех, что были рассмотрены ранее в этой главе. Имея преобразование Т, принадлежащее группе преобразований G [или группе преобразований, образующих матричное представление D (G)], новые представления можно строить следующим образом. Преобразование Т переводит х в

д/ = Тх.

Сопоставим преобразованию Т линейный оператор О『，действующий на функции 屮(％). Если задана произвольная функция 屮(尤)，то действие оператора От на 屮 состоит в том, что эта функция преобразуется в функцию

0Tw三必 такую, что

4/(%')三0丁屮(％')=“(％), если д/ = Тх. (3.47)

Иначе говоря, преобразованная функция 屮‘三0丁屮 принимает в точке х\ являющейся образом точки %, такое же значение, какое исходная функция 屮 принимала в точке %. То же можно сказать и так: точка Р

(с координатами %) при преобразовании Т переходит в точку Pf (с координатами л/), перенося вместе с собой то численное значение, которое функция 屮 имела в точке Р. Например, если Т есть преобразование %，= % + « (одно измерение!), то 炉(х) получается из ф (х), если сдвинуть график функции 屮(尤)на а единиц вправо; таким образом,

4/ (%) = “(％ —а).

Соотношение (3.47) можно переписать в виде

OT^(Tx) = ^(x)t(3.48)

или

0Tw(%)=w(L％).(3.48a)

Если после преобразования Т мы проделаем преобразование S такое, что

то оператор Os, соответствующий этому преобразованию, определяется так же, как оператор От в (3.48); действуя на любую функцию ф, этот оператор переводит ее в новую функцию 0§(р такую, что

^s*P (^-^^ =屮(尤')•

Если ф есть функция 屮‘，определенная в (3.47), то

。5"‘(S%')=w' (%')，

。凸屮(Sa/)=屮(x),(3,49)

。5。丁屮(STx) = ф(х).

С другой стороны,

%" = Sxf = STx,

и мы можем определить оператор OST как такой оператор» для которого

。$丁屮(％") = “(％)•(3.50)

Сравнивая с (3.49), мы видим, что

О5Г = О5ОГ,(3.51)

откуда следует, что операторы удовлетворяют тем же соотношениям, что и элементы группы. Каждому элементу S соответствует оператор 0$, действующий на функции 屮.Элементу S^】соответствует оператор

Os-i=(Os)7.(3.51а)

Если мы можем найти некоторое представление для операторов, то тем самым мы автоматически получаем представление группы Q.

Чтобы посмотреть, как этот метод действует в простом случае, рассмотрим группу симметрии С» с двумя элементами £ и /; Е — тождественное преобразование xr = Ех = х, /—инверсия хг = /х =—% (все в трехмерном пространстве!). Выберем какую-нибудь функ， цию 屮(％). Из (3.48) видим, что

"(%) =0?w(Ex) =。?屮(%),

"(—%)=0評(_Ex)=0e中(一x),(3.52)

т. е. ОЕ — тождественный оператор. Аналогично

W(x) = OR (/%) = 0冲(—％),(3.53)

или

OR(%) =屮(—％),(3.53a)

откуда следует, что оператор / меняет знак у аргумента х в функции ф. Равенства (3.52), (3.53) и (3.53а) означают, что функции 。？屮(±%), 。/屮(±%) выражаются в виде линейных комбинаций функций “(％) и “(一％):

0ew(х)=屮(х)+ 0 •屮(一Х),

%W(—%) = 0 • W(x)十屮(一％)；(3 54)

0/屮(%) = 0 •屮(%)f屮(一Х),

0绅(一Х)=中(%)+ 0 • ф (- %).

Если ввести обозначения

w(x) = /l， w(一Х)=方，

то равенства (3.54) запишутся в виде

о£/1 = /1 + о-/2.О//1 = 0. /, + /2,

0ё力=0•/1+/2，0//2 = /1 + 0-/2.(3.54a)

Операторы ОЕ и О1 преобразуют функции 力 в те же самые функции 力；можно записать, что

2

。"尸 £ 力％(R)0=1,2),(3.55)

откуда, сравнивая (3.55) с (3.54а), мы видим, что

「10]ГО г

。(Е) = 0 [ ； D(/) = [ ° *(3.56)

Легко проверить, что матрицы (3.56) образуют двумерное представление группы:

。「0 1]「0 1]「10]

-Н 3/)卩=[1 0%= J=D电.

Предположим, что в качестве 屮(％) выбрана четная функция

叭%)三叭一%).

В этом случае мы получили бы только два соотношения

。£■w w， 。/w w，

т. е. оба оператора переводят четную функцию 屮 в функцию, отличающуюся от нее лишь множителем (который к тому же равен 1). Поэтому имеется только одна базисная функция / =屮，н наше представление одномерно:

D(I)(E) = (1),D ⑴(/) = (1),(3.57)

где (1) есть матрица 1 X 1， единственный элемент которой равен единице.

Если бы в качестве 屮 была выбрана нечетная функция

w(х)三一屮(一х),

мы точно так же получили бы лишь два соотношения:

0評=w， 0/屮=-"

Здесь снова оба рассматриваемых оператора преобразуют функцию 屮 в функцию, отличающуюся от нее только численным множителем, поэтому имеется только одна базисная функция / =屮 н наше представление вновь одномерно:

D ⑵(Е) =⑴，№(/)=(—1).(3.58)

Предположим теперь, что в качестве исходных выбраны две функции: четная функция /】и нечетная функция /2. В этом случае

0E力=/i，。e/2 = А»

。//2 = - a-

Можно принять явно извращенную точку зрения и считать, что функции /j и /2 преобразуются в линейные комбинации функций /【 и /2. В этом случае мы сказали бы, что получено двумерное представление:

D(Е)=[о 1 J； *)(/)= [° —卜 (3-60)

Сравнивая с двумя предыдущими случаями, мы видим, что на самом деле каждая из функций /j и /2 в отдельности переходит в функции вида a/j и а/2 (а—численный множитель) соответственно. До сих пор мы лишь рассматривали совместно две функции /】и /2, каждая

из которых преобразуется в функцию, отличающуюся от исходной лишь численным множителем. Матрицы Q⑶ МОжно записать в виде

⑪ГО(1)(£)0 1⑴(/)0 '

*(Е)=⑵,№(/)=. (3.61)

Чтобы рассмотреть крайние случаи, предположим, что мы выбрали

три четные функции 屮卜 ip2,屮3, которые линейно независимы (на

пример, %2, у, ?2) в этом случае мы получили бы трехмерное

представление D такое, что

_1 0 о-R)00 ~

D(E)= 0 1 0 =〃(/)= 0D⑴ 0.(3.62)

_0 0 1__00 D⑴—

Точно так же, если бы мы выбрали в качестве 必 четную функцию, а в качестве 屮】и ф3 — нечетные функции, мы получили бы представление

"1

0

o'

-Q⑵(E)

0

0 '

Q(E) =

0

1

0

=

0

Q ⑴(E)

0

一0

0

_0

0

Q ⑵(E) _

一一1

0

0 .

⑵(/)

0

o -

(3.63)

D(/)=0 1

0

=

0

Q ⑴(/)

0

__ 0 0

—

-1 _

.0

0

62)(/).

Чтобы рассмотреть последний пример, обратимся снова к (3.56). Если бы мы выбрали за исходные линейно независимые функции 屮 и ф (ни одна из которых не является только четной или только нечетной), мы бы получили набор из четырех функций:

力=w(%), % =w(一%)， /3 = фm. Л = ф(- ^)

н, таким образом, нашли четырехмерное представление Q':

一1

0

0

0—

~0

1

0

0"

D(E) =

0

1

0

0

. 〃'(/)=

1

0

0

0

• (3.64)

0

0

1

0

0

0

0

1

_0

0

0

1_

_0

0

1

0_

Процесс, которым мы пользовались в этих трех примерах, носит название сложения представлений. В каждом из рассмотренных случаев матрицы состоят из матриц меньшего порядка, расположенных

вдоль главной диагонали и окаймленных нулями, причем разбиение большой матрицы на меньшие имеет одинаковый вид для всех матриц В общем случае, если имеется один набор функций /lt ..., /я таких, что

。欠力=S /jQ”(R) (Z = 1, ...» ") (3.65)

(этим определяется представление Q("(G)), и второй набор функций /л+1,, fn+m^ не являющихся линейными комбинациями функций

/1，…，/я и таких, что

л + т

S f jD、l〈R) « = "+1,・・.，几 + zn), (3.65a)

то (3 65) и (3 65a) можно рассматривать как линейные преобразования в объединенном наборе, состоящем из (几 + 血)функций. Соотношение (3 65), записанное как преобразование совокупности всех функций при /=1, выглядело бы так:

0必="? (R) Л + 与? (R) % +…

• • • +d^(R)A>+。•九+1+ …+о • /л+т-

Используя в качестве базиса полный набор функций, мы получили бы представление Q(R) размерности (几+zn) такое, что

Г Dm(R) '0) п

Q(R)=строк,

0£>,2) (/?) J )血

n m столбцов откуда

D = D'i)+ D⑵.

В соответствии с такой терминологией (3.61) означает 〃(з)= d(i)+ о⑵，

(3 62) означает

D = D⑴十 D⑴十 D(" = 3D°), a (3 63) означает

D = D。)+ № + № = Dm + 2D。).

Очевидно, что перестановка слагаемых в суммах представлений допустима, так как она сводится к перенумерации базисных функций.

Теперь должен быть ясен и общий метод построения представлений. Мы начинаем с того, что выбираем произвольную систему линейно независимых функций и к каждой из этих функций применяем все операторы Or, соответствующие элементам R группы преобразований G. В результате мы получаем набор функций, которые (хотя они и могут быть линейно зависимыми) можно линейно выразить через ? из них:屯，屮2，屮〃・ Если теперь применить к таким функциям какой угодно оператор 0笈，то получающуюся при этом функцию можно представить в виде линейной комбинации тех же самых 尸 функций:

。笈屮¥ = 2 必％¥ (А)(V = 1 ,…•，尸).(3.66)

)1 = I

В этом представлении элементу R группы преобразований соответствует матрица О (/?). Нужно еще показать, что мы получили именно гомоморфизм О в D (G). Из (3.51) и (3.66) имеем

。5/?w¥ ~。3。別\ = °s 4 %41V(R)=

=Zj 屮/叩(S)q内(R)=

u, o = l

n Гл"

=工屮。X"叩(S)仇v(R)•(3.67)

Lu=iJ

Ho

n

^S^v — £ W/g (SR),о = I

откуда

4V(SR)=g。吓(S)仇 v(R), или

D(SR) = D(S)D(R).

Инвариантность функций и операторов.Классификация собственных функций

Изучим теперь более подробно операторы OR, которые были введены нами ранее. Оператор。笈，будучи примененным к функции 屮(％), переводит ее в функцию, названную нами。加，такую, что

О^ф(xz) — ф(х), если х‘ = Rx,(3.47)

т. е.

0Aw(/?%) = 2(%) для всех %, или

0*(%) = W(R~%) для всех х.(3.68)

1111116 5. Инвариантность функций 卫 операторов

111

111

Последняя форма записи наиболее полезна: Or, действуя на ф, приводит к замене х на /?~^. Может представиться случай, когда 0卩屮 совпадает с 屮,т. е.

OrW(x)三屮(х),(3.69)

так что

屮(х)三 “(R-'x), или 屮(Rx)三q)(x),(3.69a)

и функция 屮 в точке Rxt являющейся образом точки х при преобразовании R, принимает то же значение, что и в точке х. В этом случае мы говорим, что функция 屮 инвариантна относительно оператора Or или, более кратко, относительно преобразования R, Например, функция ф(х) = х44~ У2 инвариантна относительно инверсии; функция ф — х24~ № инвариантна относительно вращений. Чтобы проверить, инвариантна ли некоторая функция, мы заменяем аргументы х на их образы Rx и смотрим, получается ли при этом снова то же выражение.

Мы уже отмечали, что операторы Or линейны:

Or 伸(х) + Ф (х)1 =。口屮(х) +。心(х).(3.70)

Из (3.68) очевидно, что

。口 伸(%) • <Р(х)1 =。科(%) •。口屮(%).(3.71)

Если имеется оператор "(х), который, действуя на функцию ф(х), преобразует ее в функцию

ф (х) = /7 (х)屮(х),

ТО

OR[H (х)у^(х)] = О^ф (х) = ф(/?-1х) = /7(/?-1х)ф(/?_1х).

ORH (х) O^Of^ (х) = Н (R-%) Or^ (х) = Hr (x) O^ (x), ° )

где

H‘(x) = H(r7x) = OrH (x)O^1, или

H, (Rx) = H (x).

Преобразованный оператор в точке Rx оказывает то же дей« ствие, что и оператор Н в точке х. В общем случае операторы Н н в наперед заданной точке х не совпадают. Если же

Нг(х) = Н(х), так что

Н (Rx) — Н (х)

то говорят, что оператор Н (х) инвариантен относительно преобразования R ［оператор Н(х) коммутирует с оператором 0长］.

I

Задачи, 1. Покажите, что оператор 0?/。％； +О?/。％^ инвариантен относительно преобразований (3.45) и (3.46).

Оператор преобразования Фурье 尸 определяется следующим образом:

尸屮(х) м可(у) = (2л)~3/2 С dxely'x^ (х).

Покажите, что 尸一линейный оператор. Покажите, что оператор

〃(％) = В + X?

коммутирует с F.

Теперь мы уже в состоянии рассмотреть вопрос о связи того, что мы делаем, с физикой.

Рассмотрим собственные функции задачи

"也=叫W(3.74)

Пусть данному собственному значению е отвечает п линейно независимых собственных функций 4v Если гамильтониан Н инвариантен относительно преобразования симметрии /?, то, применяя к (3.74) оператор。长，мы получим

応［"%］ = ОкНО-^ = ” ［報％| = е% 必(3-75)

и。戸|\ есть собственная функция, принадлежащая тому же самому собственному значению е. Но тогда Ойфу можно представить в виде линейной комбинации

л

O*v= £ 必仇v(R).(3.76)

Выполняя эту процедуру для всех операторов из группы симметрии гамильтониана, мы получаем л-мерное представление D^v (/?). Если S ——другое преобразование, принадлежащее той же группе симметрии, то л

4Wv = N %%v (S)

И

°S(°7?Wv)= °S N 山％v (R)=工必 (S) %v (R)=

^^(S) Q (R)hv = 2 必％ (SR),(3.77)

откуда следует, что преобразованию симметрии SR соответствует матрица

D(SR) = D(S)D(R).

Собственные функции каждого вырожденного уровня образуют базис некоторого представления группы симметрии. Если мы сможем найти какой-либо способ охарактеризовать возможные представления группы симметрии, то мы сможем классифицировать и собственные функции.

Унитарные пространства;скалярное произведение; унитарные матрицы;эрмитовы матрицы

В квантовых теориях мы сопоставляем парам векторов („векторам состоянийй) некоторые численные величины. Чтобы привести теорию представлений в более тесное соприкосновение с физикой, определим метрику в n-мерном пространстве L. Для этого каждой паре векторов х и у пространства L мы сопоставляем комплексное число (х, у). Комплексное число (х, у) называется скалярным произведением х и у. Требуется, чтобы оно удовлетворяло следующим условиям:

(х, у) = (у, х)*(3.78)

[где * означает переход к комплексно сопряженному числу].

(х, ау) = а(х, у),(3.78а)

(Х1 + Х2, У)=(М，у) + (х2, у),(3.786)

(х, х)>0(3.78в)

и (хх) = 0 только в том случае, если х = 0. [Полагая у = х в (3.78), можно показать, что (х, х) вещественно, поэтому (3.78в) имеет смысл.] Величина (х, х) есть квадрат длины вектора х. Пространство 厶，в котором определено скалярное произведение, называется унитарным пространством.

Скалярное произведение (х, у) есть функция, определенная для любой пары векторов х, у пространства 厶 и принимающая комплексные значения. Вводя определение скалярного произведения, мы не упоминали ни о каком базисе в L. Поэтому скалярное произведение (х, у) является внутренним свойством векторов х и у, не зависящим от базиса.

Задачи. 1. Докажите неравенство Шварца

I (х, У) I2 С(X, х) (у, у),(3.79)

где знак равенства ставится только в том случае, если х и у линейно зависимы. Что означает неравенство (3.79) в случае обычных геометрических векторов в трехмерном пространстве?

Определим в пространстве функций с интегрируемым квадратом скалярное произведение функций / и в виде

(f g) = j 厶/* ⑶ g ⑶.(3.80)

Покажите, что скалярное произведение (3.80) конечно для всех функций fug этого пространства.

Любую функцию, удовлетворяющую условиям (3.78)——(3.78в), можно использовать, чтобы определить в пространстве £ скалярное произведение. Различные определения скалярного произведения в одном и том же пространстве £ порождают различные унитарные пространства.

Векторы в унитарном пространстве можно нормировать (приводить к единичной длине), умножая их на некоторое комплексное число; для любого х, если

11一……e X, К(Х, X)一……e X, К(Х, X)то (х‘，х') = Lто (х‘，х') = L(3.81)(3.81)

1

1

一……e X, К(Х, X)

一……e X, К(Х, X)

то (х‘，х') = L

то (х‘，х') = L

(3.81)

(3.81)

Один из способов задания скалярного произведения (х, у) состоит в том, чтобы записать его в виде функции координат xL и % векторов х и у по отношению к некоторому базису. Если базисными векторами являются векторы uz, то скалярное произведение определяется заданием чисел

Из (3.78) мы видим, чтоИз (3.78) мы видим, что^疗=（口，й》.^疗=（口，й》.(3.82)(3.83)(3.82)(3.83)

Из (3.78) мы видим, что

Из (3.78) мы видим, что

^疗=（口，й》.

^疗=（口，й》.

(3.82)

(3.83)

(3.82)

(3.83)

Числа т^, определяемые соотношением (3.82), образуют матрицу щ — метрическую матрицу. Согласно (3.83), имеем

m — m+,(^十)/У ~Матрица m+ называется сопряженной с сопряженной", или „транспонированной Из (3.84) мы видим, чтоm — m+,(^十)/У ~Матрица m+ называется сопряженной с сопряженной", или „транспонированной Из (3.84) мы видим, что(3.83а)(3.84)(3.83а)(3.84)матрицей m (или „эрмитово комплексно сопряженнойи).матрицей m (или „эрмитово комплексно сопряженнойи).(АВ)+ = В‘А\(АВ)+ = В‘А\(3.85)(3.85)

m — m+,

(^十)/У ~

Матрица m+ называется сопряженной с сопряженной", или „транспонированной Из (3.84) мы видим, что

m — m+,

(^十)/У ~

Матрица m+ называется сопряженной с сопряженной", или „транспонированной Из (3.84) мы видим, что

(3.83а)

(3.84)

(3.83а)

(3.84)

матрицей m (или „эрмитово комплексно сопряженнойи).

матрицей m (или „эрмитово комплексно сопряженнойи).

(АВ)+ = В‘А\

(АВ)+ = В‘А\

(3.85)

(3.85)

Матрица А, совпадающая со своей сопряженной матрицей, называется самосопряженной или эрмитовой. В соответствии с (3.83а) метрическая матрица tn должна быть эрмитовой.

Разложим векторы х и у по базису uz> пользуясь соотношениями (3.13), (3.78), (3.78а), (3.786) и (3.82):

(X, y) = (XjU〃 y;u;) = X*уjmtj = x+my,(3.86)

где x и у—матрицы, состоящие из одного столбца, и х+ — матрица, сопряженная с х. Величина х+ту, где tn ——эрмитова матрица, называется эрмитовой квадратичной формой. Условие (3.78в) требует, чтобы (при у = х)

х+тх》0.(3.87)

Квадратичные формы, удовлетворяющие такому условию, называются положительно определенными. Таким образом, скалярное произведение должно быть положительно определенной эрмитовой квадратичной формой относительно координат %, и у『Говорят, что матрица tn такой формы есть также положительно определенная эрмитова матрица.

Два вектора х и у в унитарном пространстве ортогональны (или перпендикулярны), если

(х, у) = 0.(3.88)

Если имеется некоторый базис V/ в унитарном пространстве 厶，мы всегда можем (образуя линейные комбинации векторов v, построить новую систему базисных векторов и,, из которых все имеют единичную длину и взаимно перпендикулярны, т. е.

(」，Uj) = 6“.(3,89)

Базисные векторы и± образуют орпгонормированный базис.

Задача. Постройте в двумерном пространстве с базисными векторами Vi и v2 линейные комбинации 1ц и и2, образующие ортонормиро- j ванный базис.

Если базис ортонормирован, метрическая матрица (3,82) сводится просто к единичной матрице, и скалярное произведение (х, у) в (3,86) принимает простой вид

(X, У) = N*；% = х+у,(3.90)

причем

(X, X)=§|Xj|2.(3.91)

Если мы, пользуясь формулой (3.14), перейдем от одного орто- нормированного базиса и, к другому базису и] то новый базис и； будет также ортонормированным, если

% = (% 吟=(。泣明。“U, = Q%Q〃®, Uz) = alka.^kl = ^ika.kt

"(3.92)

т. e. если

aa+ = 1 = a+a, a+ — a"1,(3.93)

так как преобразование а имеет обратное преобразование а"1.

Говорят, что матрица А унитарна, если

а+ = аТ.(3.94)

Таким образом, преобразование от одного ортонормированного базиса к другому совершается с помощью унитарной матрицы.

I

Задача. Докажите, что строки (столбцы) унитарной матрицы орто- нормированы.

Операторы: сопряженный, самосопряженный, унитарный

Оператор 丁十，сопряженный с линейным оператором Т, определяется с помощью соотношения

(Тх, у) —(х, Ry) для всех х, у. (3.95)

Воспользовавшись (3.31) и (3.90), найдем, что в ортонормированном базисе

(Тх, y) = T]jXjyi = x^f^yh(х, 7'+у)=х；7'}у,

и, поскольку %, н % произвольны, из (3.95) следует

(T+)" = '"， или T^ = ? ,(3.96)

т. е. матрица, представляющая сопряженный оператор 丁十 в ортонормированном базисе, является комплексно сопряженной транспонированной по отношению к матрице, представляющей оператор Т.

Задача. Докажите, что матрица, представляющая сопряженный оператор Т十 относительно базиса с метрической матрицей т, равна m'^m.

Оператор является самосопряженным, или эрмитовым, если он совпадает со своим сопряженным

(Гх, у) = (х, Гу) для всех х, у, или

Т^ = т.(3.97)

В ортонормированной системе координат эрмитов оператор представляется эрмитовой матрицей.

Оператор U называется унитарным оператором, если

(Ux, Uy) = (x, у) для всех х, у, (3.98) т. е. если скалярное произведение образов векторов к' = Ux и y'=Uy такое же, как и скалярное произведение х и у для всех векторов х и у. Оператор U относительно ортонормированного базиса представляется унитарной матрицей-

и'и = ии+=1.(3.99)

Унитарные представления

Если операторы представления группы G унитарны (или если матрицы представления ——унитарные матрицы), представление называется унитарным представлением.

В § 6 настоящей главы мы видели, что существует бесконечно много представлений группы G, эквивалентных любому заданному представлению D (G). Поскольку унитарные матрицы обладают особенно полезными свойствами (см., например, задачу в конце § 9 настоящей главы), представляется важным выяснить, эквивалентно ли данное представление Q(G) некоторому унитарному представлению. В общем случае это неверно. Но можно доказать, что для конечных групп G всякое представление эквивалентно унитарному представлению.

Для произвольной пары векторов х, у можно построить выражение

{х, y} = ^£(D(R)x, D(R)y).(3.100)

Суммирование в (3.100) проводится по всем элементам R группы G. Величина (х, у), определенная соотношением (3.100), удовлетворяет всем требованиям для скалярного произведения. Кроме того, для любого элемента S и G

{D(S)x, D(S)y} = }£(D(R)D(S)x, D(R)D(S)y) =

"rug

T£(D(AS)x, D(RS)y).(3.101)

Но при фиксированном S, если R пробегает по всем элементам G, эти же значения принимает и RS、поэтому выражения в правых частях (3.100) и (3.101) тождественны и

{D(S)x, D(S)y} = {x, у}.(3.102)

Иначе говоря, операторы нашего представления унитарны относительно скалярного произведения {х, у} [но не по отношению к (х, у)].

Рассмотрим далее систему векторов и〃 ортонормированных по отношению к исходному скалярному произведению, и вторую систему векторов vz, ортонормированную огносителыю нового скалярного произведения:

(&, Uj) = 6〃= {Vj, V/}.(3.103)

Определим оператор 7\ который переводит векторы uf в векторы v£:

%=7\1广(3.104)

Так как

то

{Т'х, 7у} =х；у, = (х, у).(3.105)

Рассмотрим теперь эквивалентное представление, определяемое формулой

Df (S) = T~1 D(S)T,(3.106)

и найдем, что

(厂5(5)7\, T^D^S) Ty^{D(S)Tx, D(S)7y} [из (3.105)],

={7x, 7y} [из (3.102)],(3.107)

=(x, у) [снова из (3.105)].

Последнее равенство показывает, что определенное в (3.106) эквивалентное представление Df (G) унитарно. Поэтому для конечных групп всегда можно так выбрать представление, чтобы оно было унитарным. Для бесконечных групп мы рассмотрим позднее вопрос о том, какой смысл следует придавать суммированию по всем элементам группы, которое производится в (3.101).

Гильбертово пространство

В § 9 настоящей главы мы определили унитарные пространства, вводя в линейном векторном пространстве скалярное произведение. После того как это сделано, можно определить расстояние | х——у | между двумя векторами (точками, функциями) из соотношения

|х —у|2 = (х —у, X —у).(3.108)

Говорят, что последовательность векторов хл (n = 1, 2, ..., оо) в 厶 сходится к вектору х из Л, если

Ит |хл 一х|= 0,(3.109)

л->оо

т. е. если для любого е > 0 существует целое число п (е) такое, что |х^ — х| < е для т > п(е).

Говорят, что последовательность векторов хл сходится или является фундаментальной последовательностью, если

Ит 层小一х〃|= 0.(3.110)

т, л->со

Пространство £ называется полным, если всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторому вектору в Л, т. е. если из (3.110) вытекает существование вектора х в £, для которого выполняется (3.109).

Полное унитарное пространство называется гильбертовым пространством. Унитарные пространства конечной размерности с необходимостью полны.

При рассмотрении бесконечномерных представлений мы будем ограничиваться представлениями линейными операторами 8 гильбертовом пространстве. При этом мы налагаем требование, чтобы эти линейные операторы были непрерывными, т. е. если

I хл — х I -> 0,то(3.111)

I 4х〃 — Ах I —> 0.

Разложение представлений; приводимость;неприводимые представления

В § 7 настоящей главы мы обсудили вопрос о сложении представлений. Теперь же мы хотим рассмотреть обратный процесс. Если задано некоторое представление Dt можно ли описать его с помощью более „простых11 представлений? Грубый критерий простоты состоит в том, что эти представления должны иметь настолько малую размерность, насколько это возможно. Например, если все матрицы трехмерного представления D имеют вид

ci di ,(3.112)

0 I _

то их произведения будут иметь такой же вид, а именно;

。1。2 -Н b、c?

0的+心3

a]% -Н b1"2

a162 +仿八+出g2 gе2+外八+ /1^2

• (3.112а)

.0

0

g\g?у

Мы видим, что матрицы в левом верхнем углу образуют двумерное

представление:

(3.1126)(3.1126)ai%

(3.1126)

(3.1126)

ci d/

матрицы же в правом нижнем углу образуют одномерное представление:

底1，底1，(3,112b)

底1，

底1，

Когда так происходит, мы говорим, что первоначальное представление приводимо.

Вид матриц представления может быть не таким простым, как в (3.112), но если можно найти преобразование базиса, которое все матрицы представления приводит к виду (эквивалентному) (3.112), мы говорим, что такое представление приводимо. В общем случае, если можно найти некоторый базис, в котором все матрицы D(R) л-мер* ного представления можно привести одновременно к виду

Ri)R \ A (R)

(3.113)(3.113)Q(R)= ；•

(3.113)

(3.113)

_О id⑵(R) _

где。⑴(R) — матрицы mX mt。⑵(R) — матрицы (л — /п) X (几一m), Л (/?)——прямоугольная матрица с m строками и (л——m) столбцами, а 0 означает матрицу, состоящую из (л—/п) строк и ш столбцов, у которой все элементы равны 0, мы скажем, что представление D(R) приводимо. Ясно, что произведение матриц

⑴(R) D^ (S) 1D^ (R) Л(5) + Л (R) D^ (S)~ D(RS)=D(R)D(S)=；

—01。⑵(R)D(2)(S) 一

имеет тот же вид, что и (3.113), и поэтому матрицы

D^(RS) = D^{R)D^{S)

образуют /n-мерное представление, а матрицы

D(2)(RS) = O⑵(R)£H2)(S)

задают (几—/п)=мерное представление.

Этот процесс можно продолжить следующим образом, Преобразуем базис в /n-мерном пространстве D^ и попытаемся привести все матрицы。⑴(R)к виду, указанному в (3.113), т. е.

R3)R i 4(R)-

。⑴(R)= •；• ,

,0 i D^(R)^

где матрица Q⑶ р-мерна, а матрица D^ (/и — р)-мерна, и ту же процедуру применим и к матрицам D^ (R) Очевидно, что этот процесс заканчивается, после чего мы получаем все матрицы представления D в виде

R)(R),R)(R),4 ⑴(R)

R)(R),

R)(R),

4⑵(R)4⑵(R)0⑵(R),

4⑵(R)

4⑵(R)

Q(R) =Q(R) =n⑶(R)n⑶(R)A ⑶(R)A ⑶(R)

Q(R) =

Q(R) =

n⑶(R)

n⑶(R)

A ⑶(R)

A ⑶(R)

Q(at)(R) A(a-i)(R)

00000000

0

0

0

0

0

0

0

0

0 I D^ (R)—

(3 П4)

где k наборов матриц。⑴(R) ... D^ (R) ... Q® (R) образуют неприводимые представления размерностей ml ^я = X m) •

Внутренний критерий приводимости можно сформулировать так. В случае (3 112) рассмотрим те векторы, которые принадлежат двумерному подпространству первых двух компонент Матрица (3 112), примененная к векторам х, у которых х3 = 0, дает вектор

снова принадлежащий подпространству х3 — 0 Иначе говоря, это дву-снова принадлежащий подпространству х3 — 0 Иначе говоря, это дву-

снова принадлежащий подпространству х3 — 0 Иначе говоря, это дву-

снова принадлежащий подпространству х3 — 0 Иначе говоря, это дву-

в силу чего (дополнительное) одномерное пространство третьей компоненты неинвариантно.

В случае (3.113) подпространство первых ш компонент инвариантно:

-Q(i)(R兀 A(R) ПГхП-Q⑴(R)x-

_ 0 I Z)(2)(/?) JLo J _ °

в то время как дополнительное (n — /п)*мерное подпространство неинвариантно:

-°⑴(А) у (А) --0 и

一 0 В⑵(А)__х_|-

_Г 4&)(х) 一 ⑵(а)х_

Точно так же в случав (3.114) /пгмерное подпространство первых 恤 компонент инвариантно.

В общем случае, если существует некоторое подпространство размерности /п < п, которое инвариантно относительно всех преобразований группы, представление приводимо. В этом подпространстве можно выбрать ш новых базисных функций ⑦，...,(pm и дополнить эту систему с помощью (п ——也)других базисных функций(рт+1, ...,(ря так, чтобы получить п базисных функций для всего n-мерного пространства. В таком базисе матрицы представления будут иметь вид матриц (3.112).

Представление неприводимо, если не существует собственного инвариантного подпространства.

Мы скажем, что представление вполне приводимо, если можно найти базис, в котором все матрицы представления имеют вид (3.113), но с 4(R) = 0, т. е.

「Q⑴(R)0

0八⑵⑻卜(3」15)

В этом случае и 也-мерное подпространство。⑴ и (п — /п)-мерное подпространство D^ инвариантны. Иначе говоря, базисные функции фь .. .,(pm преобразуются между собой, а базисные функции (рт+ь (ря преобразуются между собой, так что преобразования группы не связывают между собой эти две системы функций. Пространство Л разлагается 8 прямую су附用у пространств L⑴ и Z(2) 厶=小)+ 〃2),

а представление D есть сумма представлений Q⑴ и D^

Q = Q ⑴+。⑵.(3.116)

Этот процесс в точности обратен тому процессу сложения представлений, которым мы воспользовались в § 7 настоящей главы. Представим Себе на минуту, что мы рассматриваем вполне приводимые представления. В таком случае представления Q⑴ и Q⑵ можно

подвергнуть изучению, чтобы выяснить, не являются ли они в свою очередь приводимыми. Заметим, что Q⑴ и。⑵ можно рассматривать в отдельности, поскольку соответствующие подпространства можно рассматривать независимо друг от друга Таким образом, преобразование координат вида

0—} m

_ 01 _} 〃 一 团

действует только в подпространстве представления Q”) и оставляет неизменными матрицы Q⑵.Продолжая эту процедуру, мы сможем в конце концов представить D в виде

~Q⑴(R)『

0

0.

。⑵(R)

'0■

i

0

Q(R) =

0

,(3 117)

0 1

0

0

0 ,

0

т е

Q =》i)+》2)+・・・+QS),где все D^ ——неприводимые представления. В таком случае мы ска-жем, что D разлагается в прямую сумму

0⑴+ ... +Q(切.

Далее, среди неприводимых представлений D^ может быть несколько представлений, эквивалентных друг другу (разумеется, для этого они должны иметь одинаковые размерности) Эквивалентные неприводимые представления различными не считаются, и для их обозначения можно использовать один и тот же символ. Таким образом, некоторое неприводимое представление D^ может входить в представление D несколько раз Символически мы выражаем это обстоятельство в виде

D = aQ ⑴ + ... + arDM = § %*),(3 118)

где av——целые положительные числа

Большей частью мы будем рассматривать вполне приводимые представления и термин приводимое будем использовать в смысле разложимое 8 прямую сумму представлений.

Если матрицы представления унитарны (унитарное представление), то из приводимости следует полная приводимость: если матрицы D(R) в (3.113) унитарны, то 4(R) = 0. В § 11 настоящей главы мы показали, что для конечных групп представления всегда можно выбрать так, чтобы они были унитарными, поэтому в случае конечных групп приводимые представления всегда разлагаются в сумму представлений.

Леммы Шура

Теперь мы приступаем к общим теоремам. Цель этих теорем состоит в том, чтобы найти некоторые простые критерии неприводимости представления и указать некоторые ограничения, налагаемые на число неэквивалентных представлений. Мы начнем с того, что докажем две фундаментальные леммы (леммы Шура).

Предположим, что имеется набор, состоящий из п функций Wv(v=l,…，л), служащих базисом некоторого представления группы G. Тогда для всех R из G

OrWv = X%%v(R)・(З.И9)

Если это представление приводимо, то, по определению, мы можем найти /п функций 屮厶 не обращающихся тождественно в нуль (/п < л), которые будут линейными комбинациями функций 屮屮

<Рг = 2 Vpi(3.120)

р таких, что

0陋=不% %(R)(3.121)

для всех R из G. Пользуясь формулами (3.119)—(3.121), получаем 。/?屮/=2。/?WpapE = 2 Wu。叩(R)告上=

PP

=X 恥％(R)=X%ag%(R)・ (3.122)

Таким образом,

X %%&)%,= >%a6弘(砲・(3-123)

О, Р1 о, k

Так как фа линейно независимы, ^Doe(R)ael：=^aakD^R),(3.124)

р*

или

D(R)A = AD;(R)(3.125)

для всех R из О. Таким образом, если D приводимо, мы можем найти ненулевую матрицу А такую, что равенство (3.125) будет выполняться при всех R из G.

Наоборот, если справедливо (3.125), т. е. если существует матрица А такая, что

D(R)A = ADr(R\

где Dr (/?) — совокупность матриц порядка m < п, то

^Dop(R)ap[ = ^aakD^R).р*

Умножим на 必 и просуммируем

2 % %(А)“р/ = 2 °к (Wp“p) = W ^ааал %(А)・

Таким образом, m функций

◎ = X Фрйр/р

образуют базис представления Q', и D приводимо. Если предположить, что представление D неприводимо, то единственный способ избежать противоречия состоит в том, чтобы положить Д = 0, т. е. сделать все элементы А равными нулю. Итак, наш результат можно сформулировать следующим образом:

I

Лемма I. Если D и Df—два неприводимых представления группы О, имеющие различные размерности, то из того, что матрица А удовлетворяет условию

D(R)A = ADr(R)(3.125)

для всех /? из О, следует 4 = 0.

Рассмотрим далее частный случай, когда п — т. Если выполняется (3.125), мы повторяем те же самые рассуждения и получаем

鼻。К(%%7)=乳(砲%/。工依)，*=「・.，п.

Здесь п функций 2 Фр^р/ должны быть линейно независимыми, иначе D р

было бы приводимым. Но это означает, что определитель матрицы А не равен нулю, и матрица А имеет обратную матрицу. Поэтому из (3.125) следует, что

D{R) = AD' (R) Д-1,

и эти два представления эквивалентны. Если же Z) н Q' неприводимы и неэквивалентньц то единственный способ избежать противо-

речия состоит в том, чтобы положить Л = 0. Поэтому для этого частного случая наш результат можно сформулировать так:

I

Лемма 1а. Если D и D'—неприводимые представления группы О, имеющие одинаковую размерность, и если матрица Л удовлетворяет условию

D(R)A = ADf(R)(3.125)

при всех R из О, то либо D и Dz эквивалентны, либо / = 0.

Наконец, рассмотрим какое-нибудь одно неприводимое представление группы G.

I

Лемма П. Если матрицы Q(R) образуют неприводимое представление группы G и если'

AD(R) = D(R)A(3.126)

для всех R из О, то Л = const • 1.

Иначе говоря, если некоторая матрица коммутирует со всеми матрицами неприводимого представления, то такая матрица должна быть кратна единичной матрице.

Рассмотрим уравнение

Ах = Мс,(3.127)

где х ——некоторый вектор в пространстве. Решения этого уравнения дают собственные значения и собственные векторы матрицы А. Если х ——собственный вектор, принадлежащий собственному значению 九， то, пользуясь (3.126), мы найдем, что Q(R)x есть также собственный вектор» принадлежащий 九.Таким образом, подпространство собственных векторов матрицы Л, принадлежащих данному 九，инвариантно относительно всех преобразований группы G. Но это означало бы, что D приводимо, если только рассматриваемое подпространство не есть все пространство или нулевой вектор. Из первой возможности следует, что Л имеет только одно собственное значение 九，т. е. / =九• 1, из второй ——что / = 0.

Эта лемма весьма удобна как критерий неприводимости. Если задано некоторое представление D, мы пытаемся найти матрицу А такую, чтобы выполнялось соотношение (3.126). Если можно показать, что А кратна единичной матрице, то D неприводимо.

Задача. Воспользуйтесь леммой II для того, чтобы доказать, что все неприводимые представления абелевой группы одномерны.

§ 15. Соотношения ортогональности

Теперь мы воспользуемся этими леммами, чтобы доказать наши общие теоремы. Предположим, что в лемме 11 нам задано неприводимое представление размерности 汽 группы G, порядок которой равен g. Образуем матрицу

厶= №(S)XD(ST),(3.128)

где X — произвольная ментам группы G, Мы леммы 11, так какгде X — произвольная ментам группы G, Мы леммы 11, так какматрица, а сумма 2 берется по всем эле- s'

где X — произвольная ментам группы G, Мы леммы 11, так как

где X — произвольная ментам группы G, Мы леммы 11, так как

утверждаем, что Л удовлетворяет условиям

D(R)A = ^D(R)D (5) XD(5-1)=

= 2D(R)D (5) XD 6一1) D (rT) • D(R) =

(3.129)(3.129)=[事 D (RS) XD (便S} t)] D (R).

(3.129)

(3.129)

Заметим теперь, что когда S пробегает при фиксированном R все элементы группы, произведение RS (вспомните групповую таблицу) также пробегает все элементы группы, и, следовательно,

2 О (RS) X。({RS}-1) = X D (5) XD (S-1)(3.130)

и

D(R)A = AD (/?),(3.131)

Но тогда, по лемме, 厶=九.1, Значение постоянной 九 будет зависеть от нашего выбора произвольной матрицы X. Выберем матрицу X так, чтобы все ее элементы были равны нулю, за исключением Х^加=1. Константу 九 обозначим 九^加.Тогда из (3.128) получим

中 DMS)DmS)=小6",(3.132)

или, если представление D унитарно,

§4(s)%(s)= %%・(3.133)

Чтобы вычислить kg，положим / = / н просуммируем по /;

W 岁 D〃 (S) Dmi(S ')=欣加=冬 Dmi(SS 1)=

=』Dml (E)—』°znZ — gbmh (3.134)

Таким образом, ^im — ~^im(3.135)

и

2 与(S)Dm/(S7) =帯 “3",(3.136)

или, если D унитарно,

22,⑻咻⑹=帯"。%.(3.137)

Теперь мы аналогичным образом построим матрицу Д, удовлетворяющую условиям леммы I. Если заданы любые два неэквивалентные неприводимые представления D^ и QQ) группы G (размерности которых равны 孔]и /г。，то положим

A =£D(2)(s)xd⑴(S-)(3.138)

где X — произвольная матрица. Тогда

О(2)(R)A = ^D^ (R)D⑵(S)XD⑴(5-I) =

=2。⑵(R)D⑵(S) XD⑴(5-1) Dm (У?-1) • D⑴(R)=

uXDZRS'XDapRSD. Dw (R) = ADw (R). (3.139)

Итак, в силу леммы I, / = 0. Выбирая X так же, как и раньше, находим

£ q£?(S)Q^/(S-i)= 0 для всех Z, /, Z, т\ (3.140)

или. если Dm и。⑵ унитарны,

Xm?(S)D^(S) = 0.(3.141)

S

Равенства (3.136) и (3.140) [или (3.137) и (3.141)] означают следующее. Если мы рассматриваем все неэквивалентные неприводимые представления группы G, то величины D^ (R) при фиксированных р, /, / образуют вектор в g-мерном пространстве такой» что

2。少(R)涼人R-')=*b»4jbim,(3.142)

или, если представление унитарно,

Е dW (R) D{^ (R) = £ 仙 6〃Mm.(3.143)

Итак, каждое непр/вопимое представление 3‘")дает нам с： векторов 鄧(R) (2, /=1加， ортогональных друг к другу и к векторам。倒(А), построенным для всех неэквивалентных представлений. Поскольку число взаимно ортогональных векторов в g-мерном пространстве не может превышать g, мы получаем результат, состоящий в том, что

/鼐《g・(3.144)

Иначе говоря, число неэквивалентных неприводимых представлений конечной группы конечно. Пока у нас нет гарантии того, что полученные таким образом взаимно ор гогональные век юры заполняют все g-мерное пространство, но позднее мы докажем, что дело обстоит именно так, т. е. в (3 144) стоит знак равенства.

Исходя из (3.142) или (3.143), мы можем вывести аналогичные соотношения ортогональности и для характеров. Если в (3.142) положить 2 = 2 и j = т, то получим

工 D^ (R)。器/Г) = A ММ =导仙6”.(3.145)

Просуммируем теперь по всем £ и /:

2 严(R)严)(X) = g%，(3.146)

ИЛИ

W#x)(R)**(R)= g6(3.147)

R

если предсгавления унитарны. С этого момента и далее мы ограничимся рассмотрением унитарных представлений.

Здесь следует быть осторожным. Вспомним, что все Э1ементы, принадлежащие заданному классу сопряженных элементов в О, имеют один и тот же характер. Пусть К】，К^ — k классов группы G, и пусть число элементов в классе К/ равно %. Тогда для всех элементов класса К/ харак гер в ^-представлении будет один и тот же:

Таким образом, равенство (3.147) принимает вид

孑渊％” ・gi=g%・(3.148)

При заданном ц числа %y)g》 образуют вектор в /г-мерном пространстве (где 々一число классов в G). Векторы, построенные указанным способом из неэквивалентных неприводимых представлений, ортого-

нальны (и ни один из этих векторов не равен нулю). Поэтому число неэквивалентных неприводимых представлений группы должно быть меньше или равно числу классов сопряженных элементов в группе. Позднее мы докажем, что и здесь имеет место равенство.

I

Задача. Покажите, что элементы, обратные элементам, входящим в класс К,, образуют класс К?. Для произвольных неприводимых представлений выведите уравнение

^gi^W = g^v(3.148а)

§ 16. Критерии неприводимости. Разложение представлений

Характеры неприводимых представлений обычно называются примитивными характерами или простыми характерами. Рассмотрим теперь произвольное представление D. Согласно (3.118), D можно выразить через неприводимые представления в виде

D(R)=^avD(v\R),V

где av ——целые числа ^ 0. Вычислим след от правой и левой частей этого равенства для элемента R, принадлежащего классу 勺 группы С;

厶=Х 气公？(3.149)

V

Характер %, приводимого представления D называется составным характером. Из (3.149) мы видим, что составной характер является линейной комбинацией простых характеров с положительными целочисленными коэффициентами. Умножив (3.149) на %俨)*旦,и просуммировав по Z, получим

£ 虎)％g 1 = 2% 工 g*p)*%y = £ avg 6 = ga Iv iv

или

”=}£gML%・<3 150)

Таким образом, чтобы найти, сколько раз данное неприводимое представление входит в Q, мы пользуемся соотношением (3.150). Заметим, чтэ если два представления имеют одинаковые совокупности характеров, они эквивалентны, так как, согласно (3,150), коэффициенты д^ одинаковы для обоих представлений.

Если равенство (3 149) умножить на комплексно сопряженное равенство, взятое с коэффициентом g,, и просуммировать по Z, то получим

2 XM：g尸 2 好 2= 2 %%g6

，Ц, V/Ц, V

Wx,Kg, = gW哈(3 151)

В частности, если представление неприводимо, то все коэффициенты о“ равны нулю, за исключением одного, который равен единице; поэтому, если исходное представление неприводимо, его характеры должны удовлетворять соотношению

Wg,E|2 = g,(3 152)

i

что дает нам очень простой критерий неприводимости.

Крайне полезными средствами при решении вопроса о неприводимости представления служит равенство (3 151) и его частный случай —равенство (3 152). Если каким-либо образом найдено некоторое представление группы G, мы вычисляем составной характер %, и величину

十2g,1行=2哈

Если эта величина равна единице, то представление неприводимо Предположим, что

§а： = 2.

Поскольку о“ — целые числа, единственно возможное решение состоит в том, чтобы 。卩=。0=1 для двух различных неприводимых представлений D^ и D(o). Аналогично, если

W 罐=3,

то представление D есть сумма трех различных неприводимых представлений, каждое из которых встречается ровно один раз На языке теории характеров мы сказали бы, что составной характер X/ есть сумма простых характеров:

%, = X?)+ x?)+ %R Р#О#Т(3.153)

с коэффициентами, равными единице. Если

W。: = 4,

то либо

儿= %УТ % 俨+ %「+ % 尹，p#o#t#u， (3.154)

либо

友= 2%?).(3.154а)

Очень полезно также следующее обобщение этих результатов. Если нам задано два представления £) и А группы G с составными характерами xz и q)z соответственно, то мы можем прежде всего попытаться применить к каждому характеру в отдельности соотношение (3.151), чтобы выяснить, сколько различных простых характеров он содержит. Затем мы могли бы попытаться узнать, имеют ли xz и (р( какие-либо общие простые характеры. Мы отправляемся от равенств, подобных равенству (3.149):

儿=X 气炉，牝=X Ь倉,

где。寸 力卩——целые положительные числа. Умножим х； на ^g^g и просуммируем по /;

£号%用=2。几2晉炉犷=2。丸% =，气%(3.155)

ZU，v/ц, vv

[здесь мы воспользовались равенством (3.148)]. Если сумма У 〃& равна нулю, то рассматриваемые два представления не имеют общих неприводимых компонент. Если

^J 〃3v1 •

то они имеют ровно одну общую неприводимую компоненту и в каждое представление эта компонента входит только один раз. При

X a3v〉1

число возможных случаев быстро возрастает, но получить полезную информацию все еще представляется возможным.

I

Задача. Выведите для произвольных представлений соотношения:

ац = у ^ gj%硼)，(3.150а)

^giWi' = g^c^,(3.151а)

；(3.155а)

§ 17. Общие теоремы; групповая алгебра

Теперь мы можем вернуться назад и завершить доказательства наших теорем. Прежде всего покажем, что в (3.144) стоит знак равенства. Чтобы проделать это, рассмотрим одно специальное представление группы О — регулярное представление, которым мы воспользовались в гл. 1 при обсуждении теоремы Кэли. Если элементы группы мы обозначим &, .. ., %, то умножение их слева на некоторый элемент Sv приводит к перестановке элементов &, .. . ( Sg. Рассматривая $, . . ., Sg как координаты в g-мерном пространстве, мы можем представить элемент Sv с помощью некоторой перестановки g координат. Так, если 5Vsi = 5%. = 1, …，g)，то

D"(SV)=0力.

В этом (регулярном) представлении диагональные элементы всех матриц равны нулю, за исключением элемента Sv, такого, что

SvSi =翼，

т, е. за исключением единичного элемента Е. Таким образом, в случае регулярного представления

О при R * Е、g при R=E.

Выражая регулярное представление через неэквивалентные неприводимые представления, получаем

М = £а 小？.(3.149)

V

Рассмотрим класс, содержащий единичный элемент. Для этого класса %g = % = g, в то время как в v-м неприводимом представлении №)=吗.Таким образом,

= S av«v(3.157)

V

Коэффициенты 4V задаются равенством (3,150), в котором вклад в сумму дает только член с Z = 1:

“V = £ £ g的%” =十• g〃v =入=%「)•(3 • 158)

Равенство (3.158) означает, что число, показывающее, сколько раз каждое неприводимое представление содержится в регулярном представлении, равно размерности представления. Подставляя в (3.157), получаем

g = W 暗(3.159)

V

что и доказывает нашу теорему. Подставляя (3.158) в (3.149), мы находим

凡=，〃就V)= 2 党v)d).(3.160)

VV

Если I— 1 (класс, содержащий f), то y. = g. Во всех же остальных классах у* = 0, откуда

[0 при 2 # 1,= прн』1.(3•⑹)

Заметим, что процедура, которой мы сейчас пользуемся, является дополнением к тому, что мы делали ранее при доказательстве соотношения ортогональности [равенство (3.148)]. Тогда при фиксированном V величины g?心、образовывали вектор в /г-мерном простран~ стве (/г равно числу классов). При различных v(v = 1,.…，尸)векторы были ортогональны, вследствие чего г《h. Теперь же равенство (3.161) наводит на мысль о том, что при фиксированном I мы можем построить векторы %，”)в r-мерном пространстве (т. е. для заданного класса мы выписываем характеры г различных неприводимых представлений и образуем из них вектор). Равенство (3.161) означает, что ортогональность этих векторов имеет место только в том случае, когда один из классов состоит из единичного элемента. Если бы равенство (3.161) можно было обобщить на случай любой пары классов, мы смогли бы заключить, что 力《尸,и этот вывод вместе с нашим предыдущим результатом о том, что /•《/г, и доказывал бы, что /• = /г, т. е. что число неэквивалентных неприводимых представлений равно числу классов в группе. Приведем теперь план доказательства.

Исходя из группы G, мы можем построить систему, называемую алгеброй. Величины, входящие в алгебру, имеют вид

2耿/?,(3.162)

где коэффициенты а^ ——любые комплексные числа. Под суммой двух таких величин мы понимаем

，《rR +，OrR =，(《к + Or) R,(3.163)

KRK

а под их произведением подразумеваем

，。川・，％5= 2 GrGRS = 2 (工 ars&st\ R (3.164) К S к, s丿

Например, в группе Gt с элементами f и / мы вводим алгебру величин

〃]f 十 ％/.

Тогда

(2Е + 4/)十(Е — 6/) = (ЗЕ — 2/),

(2Е 十 4/) (Е — 6Z) = 2七2 — 12Е/ + 4/Е — 24戶=

=2Е - 12/+4/ — 24Е = —22Е — 8/.

Пусть /，)，川；一элементы в классе 勺 группы О. Построим величину

Si

济=?4У).(3.165)

Z =1

Если перемножить величины 亥二，относящиеся к двум различным классам

死济2 ^А^,(3.166)

丿Z = 1 m =1

то сумма в правой части вновь будет состоять из полных классов, так как, трансформируя(^ .^^ с помощью любого элемента группы, мы лишь изменяем порядок слагаемых. Поэтому

酰I酰尸;С”戲и(3.167)

где Q# — целые положительные числа. Рассмотрим какое-нибудь неприводимое представление группы О. Если взять сумму всех матриц, соответствующих элементам Z-ro класса, то получится матрица, которую мы обозначим £\. Эта матрица коммутирует со всеми матрицами выбранного представления, Так как

2。而，(3.168)

трансформация матрицы £\ изменяет только порядок слагаемых в этой сумме. Но это и означает, что D〔 коммутирует со всеми матрицами представления и, согласно лемме И,

£), = % • L

Переходя в этом равенстве к характерам, получаем

gg =九/ =九次 i，(3.169)

где n —- размерность неприводимого представления. Итак,

Перейдем теперь к матрицам в равенстве (3.167):

d口 =?%卢1，(3.171)

ИЛИ

九.尸*小♦(3.172)

Пользуясь (3.170), получаем

или

glgfAr/.j = 7.1'ZiciJlg^l.(3.173)

Все характеры относятся к данному неприводимому представлению. Что же касается коэффициентов g и С/〃， то они являются свой-

ствами группы и не зависят от представления. Равенство (3.173)

полезно при проверке вычислений характеров.

состоит из элементов, обрат- единичный элемент £ ровно не содержит единичного эле-состоит из элементов, обрат- единичный элемент £ ровно не содержит единичного эле-Если два элемента группы G сопряжены друг с другом, то обратные им элементы также сопряжены друг с другом. Например, если задан класс К” то существует другой класс К尸，состоящий из элементов, обратных элементам класса К(. Заметим, что Kt и К「имеют одинаковое число элементов: g. = gif, Если взять произведение

состоит из элементов, обрат- единичный элемент £ ровно не содержит единичного эле-

состоит из элементов, обрат- единичный элемент £ ровно не содержит единичного эле-

этих двух классов Ki и К，(где Кг ных элементам К》то мы получим g/ раз. При /次，произведение К,К, мента группы, т. е.

(3.174)(3.174){0 при

(3.174)

(3.174)

gj при

Перепишем теперь (3.173). Чтобы указывать на некоторое конкретное представление, введем верхний индекс:

g,g曲吟=多％〃g爲

Просуммируем это выражение по всем v от 1 до г:

g,g丿 £%/(『=2 %風 gjf%w =

=』Cijigtgbc = [здесь мы воспользовались соотноше- ，нием (3.161)]

Тогда из (3.174) получим

илиилиприприприпри2疗)野v« 1j2疗)野v« 1j(3.176)(3.177)(3.176)(3.177)

или

или

при

при

при

при

2疗)野

v« 1j

2疗)野

v« 1j

(3.176)

(3.177)

(3.176)

(3.177)

Для унитарного представления %「= %；, так что (3.177) можно записать в виде

2疗)炉*=号％..(3.178)

V=1/

Равенство (3.178) показывает, что 力 r-мерных ненулевых векторов %())взаимно ортогональны, вследствие чего 々《г, и мы завершили доказательство нашей теоремы:

Число неэквивалентных неприводимых представлений группы равно числу классов сопряженных элементов в этой группе.

Наши результаты можно резюмировать следующим образом. Выпишем таблицу характеров (табл. 3). Тогда из равенства (3.148) и (3.178) (для унитарных представлений) будет следовать, что скалярное произведение любых двух строк или любых двух столбцов (взятых с весами g〉равно нулю. Кроме того, из (3.173) вытекает, что произведение любых двух чисел, стоящих в одной строке, выражается в виде линейной комбинации элементов той же строки, причем коэффициенты от строки не зависят.

Таблица 3

Kt ... Kk

y(Dу ⑴

§ 18. Разложение функций по базисным функциямнеприводимых представлений

Как уже указывалось раньше в этой главе, мы можем получить некоторое представление группы G, исходя из любой функции 屮 и применяя к 屮 все преобразования группы О. В этом случае 屮 сама будет одной из базисных функций или будет линейно выражаться через базисные функции. Это утверждение остается справедливым, если разложить полученное представление на неприводимые компоненты. Поэтому мы приходим к выводу, что любая функция 屮 представима в виде суммы функций, которые могут служить базисными функциями в различных неприводимых представлениях:

(3.179)

(Заметим, что функцией 屮 наиболее общего вида будет такая функция, для которой получающиеся функции 0欠屮 линейно независимы. В этом случае мы получаем регулярное представление, которое мы рассматривали ранее.)

Напомним определение функций 屮?，задаваемых уравнением (3.66). Базисные функции v-ro неприводимого (унитарного) представления удовлетворяют уравнениям

。城『)=2 吟(R).(3.66)

Говорят, что функция 屮?) принадлежит Z-й строке v-ro неприводимого представления. Попытаемся теперь найти условие, которому должна удовлетворять данная функция для того, чтобы она могла принадлежать z-й строке данного представления. Иначе говоря, если задана некоторая функция 屮个)，мы хотим сопоставить ей (儿丫 ——1) других функций таких, чтобы весь набор функций удовлетворял уравнению (3.66). Умножим (3.66) на D需(R) и просуммируем по всей группе:

2 D 器(Q。氏噌=工吟)Е 〃в (R) D% (R)=

S = i 憎％%•(3.180)

В частности, при m = l, ц —v

工鄧)*(R)0")=為屮”〃，(3.181)

полагая /= /, получаем

2 2?* 便)0戒)=舟吟).(3.182)

Уравнение (3.182) является необходимым условием, которому должны удовлетворять функции 曲”).Покажем также, что это условие достаточно, т. е. если функция 屮農 удовлетворяет уравнению

S0箧(a) 。磁)=舟唄 (3.183) R v

то мы можем найти (nv——1) «партнеров» таких, что вся совокупность функций будет удовлетворять уравнению (3.66). Чтобы определить набор функций, воспользуемся уравнением (3.180), где ц = v,

曲 v)= ^2嚟*(a)Or嚟. (3.184) R

В частности, при 1= k мы вновь получаем (3.183). Таким образом, уравнение (3.184) позволяет удовлетворительным образом определить nv функций 曲V) через функции 1|)^\ если уравнение (3.183) для функций 屮離)выполняется. Покажем теперь, что функции W，v), опре* деляемые согласно уравнению (3.184), удовлетворяют уравнению (3.66), т. е. образуют базис v-ro неприводимого представления. Чтобы доказать это, подставим (3.184) в правую часть (3.66):

2守D*S) = ^еe 屮(S) D饯g %崂= 7R 7

=^ Os 工捲*6%) 4-Q啜=

R

=^ Os 2 D2* (A)。氏噌=4屮孔(3」85)

Возвратимся теперь к равенству (3.179) и спросим себя, как найти 屮，”)， если функция 屮 нам задана. Иначе говоря, как разложить данную функцию в сумму функций, каждая из которых принадлежит определенной строке некоторого неприводимого представления? В (3.180) положим /п = 2:

工。俨* (A) OR^ =亲吟)％%•(3 • 186)

Таким образом, оператор

尸尸=^Е »£)*(/?) Or(3.187)

есть проекционный оператор, т. е.

Р^р = ^\bLj.(3.188)

Итак, применяя оператор 夕(}) к равенству (3.179), попучаем

%")= ?•»； D少* (R)。冲(3.189)

R

По аналогии со сказанным выше мы утверждаем, что некоторая функция «принадлежит v-му неприводимому представлению», если она является суммой функций, принадлежащих различным строкам этого представления, т. е.

严=£屮?).(3.190)

Просуммировав по / соотношение (3.186), получим

2 收)* (R) %屮卩 А 吟)％；(3.191)

суммирование же по £ от 1 до nv [с учетом (3.190)] даст нам

工即* (R)。川⑺=X 心№u).(3.192)

Rй

Мы видим, что

W)= ?』/)*(A)Or(3.193)

R

есть проекционный оператор, т. е.

Р(")屮")=屮簡6g.(3.194)

Из (3.179) и (3.190) следует

屮=2屮叫(3.195)

V

где

§ 19. Представления прямых произведений

В § 7 гл. 1 мы ввели понятие прямого произведения. Говорят, что группа G есть прямое произведение двух своих подгрупп 必 и G2 (0=®ХС?2)， если все элементы 5 коммутируют со всеми элементами G2, только единичный элемент принадлежит одновременно О】н О2 H всякий элемент группы G выражается в виде произведения элемента подгруппы О】 на элемент подгруппы G?. Несколько примеров прямых произведений было приведено в гл. 2. Если группу G можно представить в виде прямого произведения двух групп Gr и G^ то характеры неприводимых представлений 「руш】н 0 легко находятся по характерам неприводимых представлений групп G{ и G2. Пусть 屮俨)(г = 1, ...» %) и(р^> (у = 1, . . ., nJ — системы функций, образующие базисы неприводимых представлений групп Gj и G2 соответственно. Тогда n^nv функций 屮尹屮，)образуют базис неприводимого представления группы G. Элементы и представления групп О】и G2 мы отмечаем с помощью индексов 1 и 2. Тогда

。屋肥=§屮伊о総(&)，(3.197)

02吟)=二唄0 芻(自)，(3.198)

。&2屮严吟)=。仙俨。2吸)=S屮俨屮产哪，(R J倒(R)(3/99)

D^ (A&)=。吃• (R)勿为(&),(3.200)

или сокращенно

№ X v)仅限)=W (R1) X 國)&2).(3.200a)

Чтобы найти характер R\R?, мы должны просуммировать диагональные элементы в равенстве (3.200):

*uxv)(r”2)= *t)b)^v)(r)(3.201)

Итак, чтобы найти характеры неприводимых представлений прямого произведения групп Gx и С2, мы берем произведения характеров и G2.

ГЛАВА 4

НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯТОЧЕЧНЫХ ГРУПП СИММЕТРИИ

Теперь мы применим теоремы гл. 3 к точечным группам симметрии, выведенным в гл. 2. Мы рассмотрим различные методы отыскания неприводимых представлений этих групп. Одна из наших задач состоит в том, чгобы ознакомиться с практическим применением различных теорем о представлениях.

Абелевы группы

Задача нахождения неприводимых представлений для абелевых групп проста. Ясно, что, поскольку число классов в абелевой группе равно порядку группы, все неприводимые представления должны быть одномерными. Но в таком случае матрица и характер совпадают, и мы имеем дело просто с умножением чисел. Далее, поскольку порядок любого элемента конечен, характеры всех элементов группы являются корнями из единицы. Например, если порядок элемента А равен 2, т. е.

42 =e，

ТО

с ⑷=% ⑷=± 1.

Если

43 =e， то

QG4) = XG4) = e22〃3(/=i, 2, 3).

Вообще, если порядок А равен 力，4” = Е, то

0(%)=x(%)=e2也，例(/=i ...,九)(4.1)

Если группа циклическая, то она порождается некоторым элементом A (As = f), так что

Х(Д) = е2л^ (/=1,g),(4.2)

а характеры всех элементов получаются путем возведения в степень числа х И)- Например,

Рассмотрим сначала циклические группы.

Эго тривиальная группа, состоящая только из единичного элемента Е (т. е. система несимметрична). Имеется одно неприводимое представление:

D(£)=%(E)=L

С2. Эта группа порождается одним элементом &； С； = £\ В этом случае

0(°2)= %。2)= 62 m""=1，2).

Характеры этих двух неприводимых представлений приведены в табл. 4.

В рассматриваемом случае (одномерное представление) характеры совпадают с матрицами.

Таблица 4

仇：

Е

С?

1

1

8; у

1

—1

Мы ввели следующее обозначение для представлений: одномерные представления обозначаются символами А или В в зависимости от того, симметрична или антисимметрична базисная функция относительно вращения вокруг главной оси. Главную ось мы выбрали вдоль оси 2. В качестве базисных функций для любой из групп Gn можно взять функции

屮=е〃①(/ = 1,.…，n).(4.3)

Каждая из этих функций 屮 задает одномерное представление, поскольку вращение вокруг оси z приводит просто к умножению такой функции на численный множитель. Например, для представления А группы С2 возможными базисными функциями являются

2, /(2), /(х2,俨)и Т. Д.

Для представления В можно взять

屮=е®.

Применим к базисным функциям 屮 операторы OR. (На протяжении этой главы для обозначения оператора мы часто будем пользоваться обозначением самого элемента R группы.) Тогда

С??'①=е‘ (①-n) =е，屮.

Другая возможность состоит в том, чтобы взять нечетные степени % или у. Характеры представлены в табл. 4, где мы указали представления, которым принадлежат координаты х, у, 2； например,

z принадлежит симметричному представлению А, в то время как 尤 и у принадлежат антисимметричному представлению В. Этой информацией мы будем пользоваться позднее при рассмотрении правил отбора. Представления, которым принадлежат %, у, 2, будут определять правила отбора для электрических дипольных переходов. Мы покажем, как получать правила отбора для других мультиполей из информации, содержащейся в таблице характеров.

Нам известны две другие группы, изоморфные группе Съ а именно С$ и Q. Все эти группы должны иметь одинаковые неприводимые представления. Чтобы информацию об изоморфных группах представить в компактном виде, мы объединяем их характеры так, как это показано в табл. 5. В группах, содержащих инверсию, одномерное представление, которое является симметричным (или антисимметричным) относительно инверсии, имеет индекс g (gerade — четное) или и (ungerade ——нечетное), который ставится у символов Л и В.

Таблица 5

Gi-

©2：

%：

£/

石金

&

/；г

11

4； у, N

3 X, у

/Г; г

1—1

Аналогично, в группе, содержащей ст力，симметрия или антисимметрия относительно отражения указывается одним или двумя штрихами соответственно. В группе С$ координаты % н у симметричны относительно отражения (в плоскости ХУ) и поэтому принадлежат представлению 4; в то же время координата z антисимметрична относительно отражения и принадлежит представлению ,4". В группе С/ координаты %, у н z антисимметричны относительно инверсии и принадлежат Аи.

Заметим, что соотношения оргогональности [равенства (3.147) и (3.178)] выполняются.

Представляют интерес теоремы последней главы о разложении произвольной функции по функциям, принадлежащим различным неприводимым представлениям. Например, функция /(х, у, z), согласно (3.192), будет принадлежать представлению Ag группы Ch если

/(х, у, z)十/(—х, —у, —z)=2/(x, у, z), (4.4) /(x, у, z) = /(—x, —у, — z);

в то же время g(x, у, z) принадлежит представлению Аи> если

(4.5)(4.5)OEg — Olg=2g,g(x, у, z) = —g(—х, —у, —z).

(4.5)

(4.5)

Таким образом, для группы ② теорема о разложении утверждает, что произвольную функцию можно представить в виде суммы функций, которые либо четны, либо нечетны относительно инверсии.

Аналогичные утверждения применимы и к группам Qs и С?. Для <?2 наш результат можно сформулировать также и следующим образом. Азимут ср пробегает значения ог 0 до 2л. Любую функцию /(ср) можно продолжить периодически вне указанной области. В разложении Фурье

4 8

/(0)=2。户干(4.6)

сумму можно разбить на члены с четным и нечетным п соответственно, т. е.

/(Ф)= 2 ^те^ + ^ а2т+1^(2™ + )<Р.(4.7)

Первый член в (4.7) четен относительно операции С2( второй член нечетен.

Рассмотрим далее группу 热 Имеется три одномерных представления с базисными функциями е"屮(/ = 1, 2, 3) соответственно или же с функциями i, e'Q e-阿.В этом случае

Cq6‘①."一 6，(①-2以/3) ； 。一 ^ - 2ЛZ/3^Z(p

Таблица 6

E C3俏

4 z4 zE; x 土 iyE; x 土 iye =产"3e =产"3Характеры представлены в табл. 6.Характеры представлены в табл. 6.ВсеВсесоотношения ортогональсоотношения ортогональности сводятся к равенствуности сводятся к равенству

4 z

4 z

E; x 土 iy

E; x 土 iy

e =产"3

e =产"3

Характеры представлены в табл. 6.

Характеры представлены в табл. 6.

Все

Все

соотношения ортогональ

соотношения ортогональ

ности сводятся к равенству

ности сводятся к равенству

Для обозначения двумерных представлений мы всюду будем пользоваться символом Е. Фигурная скобка, стоящая перед двумя последними строками табл. 6, и то, что мы рассматриваем их так, как если бы они были одним двумерным представлением, требует пояснения. Эти два одномерные представления являются комплексно сопряженными. В квантовой механике (при отсутствии магнитных полей) гамильтониан инвариантен относительно обращения времени, и функция, комплексно сопряженная по отношению к некоторой собственной функции, является собственной функцией при той же энергии. Таким образом, несмотря на то что группа С3 имеет только одномерные представления, симметрия относительно обращения времени означает, что мы имеем дополнительный оператор, оставляющий гамильтониан инвариантным. Этот оператор меняет местами базисные функции указанных двух представлений, вследствие чего два рассматриваемых комплексно сопряженных представления физически соответствуют двукратно вырожденному уровню.

Аналогично можно рассмотреть и циклические группы С4, §4, 线 м ^6-

Рассмотрим далее абелеву группу С2Л. Она содержит 4 элемента и поэтому имеет 4 неприводимых представления. Квадрат любого элемента равен единичному элементу Ё, вследствие чего все характеры равны ± 1. Произведение любых двух отличных от единичного элементов порождает третий элемент, поэтому либо все характеры равны +1, либо два характера равны 1 и два равны —1. Характеры представлены в табл. 7. Изоморфные группы C2v и D2=V имеют одинаковые таблицы характеров.

c 2力：

£

Таблица 7

&

/

&

1

1

1

1

4； z

1

1

—1

—1

Bg

1

—1

—1

1

4； 乂 У

1

—1

1

—1

Задачи. 1. Приведите примеры функций, принадлежащих представлениям Ag и Bg группы С?力.Проведите классификацию сферических функций Рр (0) etm^ по представлениям группы ©2/г

Для групп Сз и 珊 найдите неприводимые представления, которым принадлежат выражения, квадратичные относительно %, у н z.

Классифицируйте компоненты аксиального вектора по представлениям группы 珍2方.

§ 2・ Неабелевы группы

Перейдем теперь к неабелевым группам. Рассмотрим сначала группу 公3中(и изоморфную ей группу £>3). Группа С3р содержит 6 элементов, принадлежащих 3 классам. Поэтому существуют 3 неприводимых представления размерности 〃】，п2, п3, причем

汽；+汽^ +汽金=6.

Единственное решение этого уравнения имеет вид /^ =汽？ = 1, п3 = 2. Таким образом, мы имеем два одномерных представления и одно двумерное представление. Простейший метод нахождения этих представлений состоит в том, чтобы в качестве исходных взять уже найденные ранее представления группы С3, являющейся подгруппой группы 爆.Так как 吗=£, то собственные значения % равны 土 1. Следовательно, взяв базисную функцию ф представления Z группы С3, мы можем получить либо

。"w=+w， либо

Так мы получаем два одномерных представления группы С3р, характеры которых приведены в табл. 8.

©30：

Таблица 8

e3,爲⑵

%(3)

4； N

1

1

1

4

1

1

—1

£;羽у

2

—1

0

Равенство (3.178) выполнено:

XgJ%#=l •⑴2+2 ⑴ 2+3( 土 l)2 = 6 = g,

S gi^^ = 1(1 • 1)+2(1 • l) + 3(l)(-l) = 0.(')

Характеры двумерного представления можно найти, пользуясь соотношением (3.178); для двумерного представления %(Е) = 2. Применение соотношения (3.178) к первым двум классам дает

(1)(1)+ (1)(1)+2Х(С3) = 0, Х(Сз) = -1，(4.9)

точно так же применение этого соотношения к первому и третьему классам дает

(1)(1) + ⑴(一1)+2% (%) = 0,%(%) = 0・(4.10)

Уравнение (3.178) удовлетворяется и при i =/:

(1尸 + (1)2 十(2)2 = 6 =寻，(l)2 + (l)2 + (-l)2=3 = -f-, g2

(l)? + (一1)2 + (0)2 = 2 =早.(4.11)

Таким образом, в табл. 8 представлены характеры группы 3羽.Числа, стоящие в скобках в верхней строке, задают величины gi 一一 число элементов в классе К，.

Другой метод, также позволяющий получить матрицы двумерного представления £, исходит из базисных функций е± '屮 комплексно сопряженного представления группы (?3. Выберем в качестве плоскости отражения для одной из операций о^ плоскость ZX (угол ф отсчитывается от оси х). Тогда

%e土河=e干叱

и матрицы Сз и диагональны. Матрицы остальных отражений можно получить из произведений о^Сз и о^Сз，Следовательно, матрицы двумерного представления Е будут иметь вид:

О 1 "I「ОМ]「Ое

Для матриц трех рассматриваемых представлений можно проверить соотношение (3.143). Возьмем представление Ах и элемент ij представления Е. Тогда при всех / и 丿

2 о^ (/?) D(^ (R) = 2 Dt] (/?) = 1 + е + е2 = 0. (4.12)

Затем мы возьмем Д2 и ^ и получим тот же результат. Взяв представление Е и положив i = j=i и 1 = ш — 2, получим

X。11 (/?)。22 (R) = 1 Т + & • £‘ + F • Е = 1 + £ + F = о. (4.13) R

Чтобы найти функции, принадлежащие представлению Аъ можно воспользоваться следующим методом, который хотя и приводит к длинному окольному пути, но может быть поучительным. Если разложить /2(ф) в ряд Фурье, то симметрия относительно & и Сз требует, чтобы в разложении были только те члены, аргумент которых кратен 3, т. е.

/ (Ф) = а0 + а^ + а^ + ...

. ..十。.36-3" +。一66-6阿十....(4.14)

Ангисимметрия относительно % требует, чтобы aQ — 0,的=—а3 и т. д. Следовательно, представлению Д2 принадлежат такие функции, как sin Зф [в общем случае』а〃 sin (Зшр)]・

В гл. 2 мы обращали внимание на то, что U& меняет направление вращения вокруг оси z. Поэтому г-компонента аксиального вектора будет принадлежать представлению Д2. Типичной функцией такого сорта, если выразить ее через координаты двух точек %, у, 2 H х\ у', 2‘，была бы функция %旷一-ухг или sin (ф фЛ). Заметим, чго функция, зависящая о г разности двух азимутов, инвариантна относительно вращений вокруг оси z.

Метод, примененный нами для группы ©з^, можно также использовать и при рассмотрении групп C4v, (?б/

Задача. Найдите матрицы неприводимых представлений группы 佻俨 Найдите функции, принадлежащие каждому из этих представлений.

Существует еще один метод, который можно применять для нахождения характеров. Его мы подробно продемонстрируем для группы С3г1. Установим прежце всего так же, как мы делали эго раньше, что размерности трех неприводимых представлений равны 汽1 =汽2=1, 孔з=2. Затем для нахождения соотношений между характерами данного представления воспользуемся соотношением (3.173). Коэффициенты G#, входящие в (3.173), определяют из (3.171). Обозначим классы группы C3v через

^l :匕 ^2 ： С3,爲；^3 : 0。(3).

Применим к 步^ соотношение (3.171):

步2 = °з + % ^ = (4 + С 犷=2Е +。3 + 禺=2必 1 + 步 2,

(4-15) откуда с221 = 2,e222 = 1， Аналогично

步；=& + %，+。” )2 = ЗЕ 十 3 (Q + 齿)=3sГI + 3 必 2, (4.16) так что &3i = 3, &з2 = 3. Наконец,

步 2步з"з 步 2 = (4 + R) (% + %，+。俨)

= 2(% + %，+ %)= 20^3’ (4.17) так что Ззз = Сз2з = 2・

Все остальные с,〃 равны нулю. Подставим теперь эти коэффициенты в (3.173).

»= j = 2:

翦圖=Xi 2 02留以

4好="(2〃+2及)；%2 = 〃 либ<> X2 = -Y •(4/8)

/ = У = 3:

g袋=打次33咼友，g囁="(3" + 6%2).(4.19)

/ = 2, /= 3:

-g2g3%2%3 = X1 2e23店，小，(4.20)

6%2%3 = 6砍з，%з = 0, либо %2 =小

В случае одномерного представления характеры не могут быть равными нулю (матрицы должны быть неособенными). Поэтому при п — 1 %2=1,=伟(1+2)=1,%3=±1

и мы получаем два решения А} и Д2. Если при п = 2 мы возьмем решение 心=2, то получим, что 抬=2. Но для неприводимого представления

Xl%(R)|2 = g = 6,тогда как это решение давало бы»%(R)|2=24.

Другое решение 羽=0, 心=—办/2 = —1 дает

2l%(R) |2=l(2)2+2(—l)2 + 3(0)2 = 6 = g.

Этот метод нахождения характеров требует значительных затрат труда. Им широко пользовался БетеJ).

Тетраэдрическая группа Т содержит 12 элементов в 4 классах, так что существует 4 неприводимых представления, для которых 壮+碣+碣+%=12.

Единственное решение имеет вид nx = n2=n^=\t п4 = 3, т. е. три представления одномерны и одно — трехмерно. (Трехмерные представления мы будем обозначать символом 尸.Иногда для этой цели мы будем использовать и символ Г.) Напомним, что группа Т получается из группы V = D2 за счет присоединения к последней вращений вокруг пространственных диагоналей, которые служат поворотными осями 3-го порядка (см. фиг. 34). Поэтому представления группы Т можно получить, исходя из представлений группы V. При действии какого-нибудь вращения вокруг оси 3-го порядка полностью симметричная функция, образующая базис представления Д{ группы V, может умножаться на 1, е или е2. (Напомним, что мы хотим получить одномерные представления, так что базисная функция должна быть собственной функцией для С3.) Таким образом, мы получаем три различных одномерных представления, как показано в табл. 9.

Таблица 9

т：

Е

c2⑶

е3⑷

俏⑷

л

1

[

1

Е {

1

1

е

е2

1

1

Е2

Е

尸；X, у, 2

3

—1

0

0

С другой стороны, если взглянуть на те базисные функции, которые мы нашли для других трех представлений группы 丿，а именно х, у н z, то можно заметить, что при вращениях вокруг пространственных диагоналей они преобразуются друг в друга. Таким образом, эти три одномерные представления группы V объединяются в одно трехмерное представление группы Т. Характеры представления F можно найти из соотношений ортогональности. Так как / (Е) = 3, то ортогональность векторов-столбцов в табл. 9 требует, чтобы

% ◎) = — 1, % (Сз) = 0 = % @)・

Матрицы представления 尸 записаны с помощью базисных функций х, у, z. Эти матрицы являются всего лишь обычными трехмерными матрицами для различных вращений. .

I

Задачи, 1. Постройте матрицы представления 尸 группы Т.

2. Найдите функции, принадлежащие представлению £ группы Т.

Рассмотрим, наконец, группу Td (и изоморфную ей группу О). Эта группа содержит 24 элемента в 5 классах, поэтому существует 5 неприводимых представлений и

5

2 片= 24.

Единственным решением служит набор чисел п{ = п2 = 1, /г3 = 2, 汽4=汽5 = 3. Группа Td получается из группы Т путем присоединения отражений в плоскостях, проходящих через противоположные ребра куба, как показано на фиг. 64. Каждая из этих плоскостей содержит две оси 3-го порядка. Базисная функция представления Л группы Т может быть либо симметричной, либо антисимметричной относительно о^, и поэтому для Td мы получаем два одномерных представления Л, и Л2. Пара комплексно сопряженных представлений Ё группы Т обладает базисными функциями, преобразующимися друг в друга при отражении в плоскости, проходящей через ось 3-го порядка, и, Следовательно^ мы получаем двумерное представление Е группы Т@*

Рассмотрим, наконец, трехмерное представление 尸 группы Т. Если мы возьмем базисные функции х, у, z и применим к ним отражение в плоскости х = у, то

O°(z) = z, О°(х) = у, О°(у) = х,

что даст нам матрицу о:

-0 1 О'

10 0,

-0 0 1 -

откуда Х(о)=1. [Все отражения принадлежат одному и тому же классу, так что %(%)=1 для всех %•] Если же теперь в качестве базисных функций представления 尸 группы Т мы возьмем компоненты аксиального вектора, то при чистых вращениях группы Т они будут вести себя как компоненты полярного вектора (для чистых вращений их трансформационные свойства совпадают). Но отражение в плоскости х — у меняет знак 2-компоненты аксиального вектора, в то время как две другие компоненты преобразуются друг в друга, так что

%(3 = — L

Мы получаем, таким образом, два различных трехмерных представления 尸 1 и 尸2 группы 〃. Характеры элементов “ можно определить из ортогональности векторов-строк в табл. 10.

Таблица 10

£

&(8)

&(3)

⑦(8)

S4(6)

4

1

1

1

1

1

4

1

1

1

—1

—1

£

2

—1

2

0

0

尸2； X, у, 2

3

0

—1

1

—1

3

0

—1

—1

1

Задачи. 1. Постройте матрицы для представлений Е,尸] и Л2 группы Т^.

Пользуясь соотношениями (3.154) и (3.156), найдите характеры представлений группы Т.

В сущности мы получили простые характеры для всех кристаллографических точечных групп. Дпя справок все эти данные в компакт^ HQM виде приведены в табл. 12—22,

С помощью наших методов можно с легкостью рассматривать и такие группы (как, например, группы 651V и 巍)，которые иногда встречаются в молекулярных проблемах, но не входят в число кристаллографических групп.

Мы не приводим таблицы для тех кристаллографических групп, которые можно представить в виде прямых произведений, т. е для групп

©3/1 = Сз X Q,

С4Л =©4 X Cf,

^бл = ©6 X ②,

q2九 。2 X G，

q4九=。4 X Cf,

赢=e3 X②,

D3d = "з X 色，

Th=T X&・

0丸=0хe口

Причина, по которой мы не останавливаемся на рассмотрении этих групп, состоит в том, что, как это уже указывалось в предыдущей главе, характеры неприводимых представлений этих прямых произведений можно получить из представлений групп, являющихся сомножителями. Таким образом, все группы, которые получаются при образовании прямого произведения с группой С^ имеют вдвое большее число классов. Каждое из представлений исходной группы приводит

Таблица //

^ЗЛ：

资

°Л^З

0r抬

1 1

1

1

1

1

1 1

1

—1

—1

—1

1 £

Е2

1

£

£2

1

1£2

£

1

£2

£

Е"(

1 £

£2

—1

--F

—£2

1

1£2

£

—1

—Е2

-£

к двум представлениям прямого произведения, одно из которых симметрично относительно инверсии /, а другое антисимметрично. Те же замечания остаются в силе и для прямых произведений с группой С$. Для примера мы приводим таблицу характеров для группы СЗЛ (табл. 11).

Задача. Постройте таблицу характеров для группы SQ.

§ 3. Таблицы характеров для кристаллографическихточечных групп

Таблица 12

Таблица

13

仇：1 Е

仅：e

1

仇：e

。2

统： e

О

АёА'; 2 Л"; у 1

1

/«； *, у, 2 8； *, у /"； 21

—1

Таблица 14

©2%：

E 。2 u» /

e2涼

Е 。2 и» и»，

V^D2

Е Cz Су Сх

Ag4；z4

8g斗；У 83； *

1 —1 —11

4； 248］； 2

11—1—1

8«； x, у 8“ x 82； у

1 —11—1

Таблица 15

仇：

q

穹

84:

Е

用

S：

Л； 2

Л

1

1

1

1

8

8； 2

1

-1

1

—1

£; х±1у

£; "土/у {

1

—1

1

-1

Таблица /6

Таблица /7

©3 •

£ C3 С；&:

Е Q ⑵％ (3)

4：

Е С3 ⑵ Сх (3)

4 N

1 е £24； z 4

1£2 е“24； 2

111

£ x±ly 1

11—1

£ у Е； У

2—10

л-2л//3

Сб：

戶6/"*2бЗ/^4/"*5

心06ь6°6°6^6

4 N

8

11

1 —11 —11 —1

々｛

1炉 一(01Ш2 — to

1— G)Ш21— (0Ш3

e2； x±iy 1

1

1(0Ш2—1— (0— Ш2

1— й)2— (0—1ш2(0

a =产〃6

Таблица 19

D2d •

E爲C4⑵。。⑵

E Cl C“ ⑵ С?⑵

0"(2)

Cr (2) Od⑵

E C2 S4 (2)

C2⑵

4； N

4

4

111

1

1

4

4； 2

4

111

—1

—1

当

B|

11 —1

1

—1

%

B2； N

11 —1

—1

1

E； *, У

E； x, у

E；司У

2 —20

0

0

Таблица 20

A:

e6/

%：

E魂爲⑵

E魂魂⑵

С6(2) е6⑵ S6(2)

c2(3) 。。⑶ C2(3)

С?’ (3)

。"(3) 。。(3)

e 。力

s気2)

4

4； N

4

1 1

1

1

1

1

& z

4

4

1 1

1

1

—1

—1

4

当

4'

1 —1

1

—1

1

—1

当

4

石;N

1 —1

1

—1

—1

1

与

fi

E'； X, y

22

—1

—1

0

0

£i；»

e2； *'

2 -2

—1

1

0

0

7:

Е

С2 (3)

Сз(4)

С久4)

Л

1

1

1

1

£ 1

1

1

£

£2

1

1

£2

£

尸；十，y, Z

3

—1

0

0

Таблица 22

0:

Q：

E

E

Сз(8) е3⑻

с；(3)

s； (3)

d⑹

J (6)

C4⑹

S《(6)

4

4

1

1

1

1

1

4

4

1

1

1

—1

-1

5

5

2

—1

2

0

0

尸2

尸2；十，y, Z

3

0

-1

1

-1

戈У, Z

3

0

—1

—1

1

РАЗЛИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ

С ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ ГРУПП

Произведение представлений(кронекеровское произведение)

В гл. 3 мы рассмотрели сложение представлений группы G, позволяющее получать новые представления. Другим методом получения новых представлений, имеющим основное значение в физических приложениях, является построение произведения представлений (кронекеровского произведения). Этот метод схож с методом, применявшимся в § 19 гл. 3 для получения неприводимых представлений прямого произведения двух групп.

Предположим, что мы нашли все неприводимые представления группы G. Пусть D(")—-неприводимое представление в «^-мерном пространстве векторов х (имеющих относительно некоторого базиса компоненты 修и пусть — другое неприводимое представление в пу-мерном пространстве векторов у (с компонентами Уь • • •» yQ：

%； = £ 〃))(К)х』(Z= 1,％),(5.1)

*=月鑑依)%(^=1%).(5.1a)

Перемножив эти два соотношения, получим

以" 5^/2=1汽\

.(5.2)

Величины xtyk можно рассматривать как компоненты вектора в (пц X пу)-мерном пространстве произведений. Равенство (5.2) устанавливает соответствие между каждым элементом R группы G и некоторым преобразованием в этом пространстве:

啾「强州Ct:二二：),(53) где

八眠力(R) = (№)(R) X D" (R)\ktJl =比)(R) • В (R)・(5.4)

Матрицы D^：：](R) образуют некоторое представление группы G: 。隱％ (RS)=。少(RS)D^} (RS)=2 國)(R)吟)(S) 2 陶)(R)脸(S)= aВ

=S[或)依)〃W(R)][D芻(S)國)(S)] = 2 國謚(R)D%：T(S), (5.5) apap

T，e，№xv)(RS) = Q3x%(R)・№x”)(S)・(5.6)

Представление (5.4) называется кронекеровским произведением представлений D^ и /У?

Равенство (5.6) дает нам также общее правило для выписывания кронекеровских произведений матриц. Если Ль Л2, . . . -- матрицы n-го порядка и 以卜 В2,...——матрицы w-го порядка» то кронеке- ровскими произведениями (Ах X В^, (Л2 X В2), * * * будут матрицы порядка nmt у которых

(4 х 筑)筑,〃=(公)〃・(3Jc.(5.4а)

Так же, как и в равенстве (5.6), имеем

(4 X 当)•(& X В2) = (4%) X (^1^2).(5.6а)

или вообще

{Ax^B^^A^Bi)，…(&Х 纥)=

= (44 … &) X (В、В?...纥).(5.66)

Приведенное выше определение дано в терминах абстрактных векторных пространств. Мы в большей степени приблизимся к физической постановке задачи, если сформулируем наше определение еще раз, пользуясь волновыми функциями физической системы. В § 7 гл. 3 мы сопоставляли каждому преобразованию R оператор OR (。区 есть преобразование аргументов волновой функции):

OrW(x) = W(r7*).(3.68)

Совокупность преобразований R, оставляющих инвариантным гамильтониан Н, образует группу G такую, что

OrHO^i = Н(3.73)

для всех элементов R из G. Если 屮 ——собственная функция гамильтониана Н, принадлежащая данному собственному значению 九，то。区屮 есть также собственная функция, отвечающая тому же собственному значению 九.Если нет „случайного*1 вырождения, то совокупность пц собственных функций 呀)@=1"J, принадлежащих данному

собственному значению 入口，образует базис неприводимого представления группы симметрии G гамильтониана:

0R吟）=芋吟）哨《）.0R吟）=芋吟）哨《）.(5.7)(5.7)

0R吟）=芋吟）哨《）.

0R吟）=芋吟）哨《）.

(5.7)

(5.7)

Точно так же совокупность nv вырожденных собственных функций <р，％, принадлежащих собственному значению 入”，образует базис неприводимого представления /У%:

0R吟）=中磅力肾）（R）.0R吟）=中磅力肾）（R）.(5.7а)(5.7а)Из (5.7) и (5.7а) следуетИз (5.7) и (5.7а) следует(5・8)(5・8)

0R吟）=中磅力肾）（R）.

0R吟）=中磅力肾）（R）.

(5.7а)

(5.7а)

Из (5.7) и (5.7а) следует

Из (5.7) и (5.7а) следует

(5・8)

(5・8)

так что произведения 屮伊)屮，)образуют базис произведения представлений D^ X Q“).

Обозначения с двойными индексами весьма сложны. Чтобы привыкнуть к ним, мы приведем в явном виде результаты для простого случая, когда 冷口 =^”=2. В этом случае

0^ = ф^Ю^)(R) + ^D^ (R),

0R屮尹=屮抖d耨(R)+中尹0即(R),

0鹏,)=宵)"；)(R)+唠)结)(R),(5.9)

0R唠=屮？2£便)+唠0。修《)•

Из (5.9) получаем

Or仲产窩))=№/2中(R) +屮/包屮(R)] X

X 国叫%)(R) + 喳)％)(R)]=叫u宵)0州(R)%)(R) +

+ 呼唠)D(片)(R)包;)(R)+崂)<p「D州(R) q；) (R)+

十崂)吸K?(R)4；)(R). (5.10)

Коэффициент при 屮俨唠)в разложении OR 仲俨屮衿 равен D州(R)a；)(R), откуда

(№)* d(v)便)儿 u =國)(R)國)(R)

(D(u) * 〃(v)(R)%, “ =國)(R)國)(R).

Аналогично находим

Or (屮卜)砲V)) = ^^^(^(^) R；) (R)+屮？)吋)2屮(R) 0；)(R)+

+ 屮产屮？D岁(R) ,；)(R)十屮尹验)0州(R) DM(R), (5 11)

OR 仲尹0J))=呼)叫V)“g (R) D(y (R) + ^^D^{R) D算(R)十

+ 屮产齊唸)(R)公)(R) 4-崂噸)Rg (R) 2? (R), (5 12)

Or仲尹吋))=曲m吋)D眼(R) D^ (R)+

十屮(?唸力版(R) DW(R)+屮尹屮伊必空(R) 2》(R)+

+ 吟崂)D 驴(R) D£)(R)(5 13)

Из равенств (5 10)—(5 13) следует, что матрица, соответствующая элементу R группы G, в произведении представлений имеет вид

№)XQ“)(r)=~d(^\r)d^\r)—D 肾(R)國)(R) =D^\R)D(^\R)—國)(R)國)(R)№)XQ“)(r)=~d(^\r)d^\r)—D 肾(R)國)(R) =D^\R)D(^\R)—國)(R)國)(R)D{^\R)D^(R) d^\r)d^(r) 國)(R)D伊(R) D(^(R)D^(R)D{^\R)D^(R) d^\r)d^(r) 國)(R)D伊(R) D(^(R)D^(R)D^(R)D^\R) D(S(R)D^(R) D^>(R)D^(R) D^(R)D(^(R)D^(R)D^\R) D(S(R)D^(R) D^>(R)D^(R) D^(R)D(^(R)D 皆(R)D 停(А] 优)(R)或)(R) d^(r)dW(r) D^(_R)D^(R)_D 皆(R)D 停(А] 优)(R)或)(R) d^(r)dW(r) D^(_R)D^(R)_

№)XQ“)(r)=

~d(^\r)d^\r)

—D 肾(R)國)(R) =D^\R)D(^\R)

—國)(R)國)(R)

№)XQ“)(r)=

~d(^\r)d^\r)

—D 肾(R)國)(R) =D^\R)D(^\R)

—國)(R)國)(R)

D{^\R)D^(R) d^\r)d^(r) 國)(R)D伊(R) D(^(R)D^(R)

D{^\R)D^(R) d^\r)d^(r) 國)(R)D伊(R) D(^(R)D^(R)

D^(R)D^\R) D(S(R)D^(R) D^>(R)D^(R) D^(R)D(^(R)

D^(R)D^\R) D(S(R)D^(R) D^>(R)D^(R) D^(R)D(^(R)

D 皆(R)D 停(А] 优)(R)或)(R) d^(r)dW(r) D^(_R)D^(R)_

D 皆(R)D 停(А] 优)(R)或)(R) d^(r)dW(r) D^(_R)D^(R)_

(5 14)

где строки и столбцы занумерованы в лексикографическом порядке: 11, 12, 21, 22 Мы предполагали, что все произведения функций линейно независимы, ибо в противном случае мы должны были бы объединить соответствующие члены и получить представление меньшей размерносги Итак, мы предполагаем, что 卩一 и v-представления имеют различную размерность или же (если ц — v) что функции ф и <р независимы друг от друга

Обозначим характеры произведения представлений через

^ X X(v)(R) = /x*)(R)

Как видно из частного случая (5 14) или из общего равенства (5 4), 严 х V)⑹=2 В (R)吻(R)=严)(R) •严)(R)(5 15)

Таким образом, характер элемента в произведении представлений равен произведению характеров этого элемента в представлениях- „сомножителяхк

Задача Покажите, что кронекеровское произведение унитарных пред* ставлений есть унитарное представление.

Симметризованные и антисимметризованныепроизведения

В предыдущем параграфе предполагалось, что 卩次 у. Предположим теперь, что 卩=\? н 屮尹 и 吟^ — независимые совокупности функций. Рассмотрим сначала для простоты случай, когда n^ = nv = 2. Перепишем равенства (5.10)—(5.43), опуская верхние значки [i = v:

Or (Ф1Ф1) = Ф1Ф1 [^ii(^)l2 + 屮№2。口(А) 41 (А) +

+ 屮2%Qi (A) 5i (А) + 56 Si ⑻卩，(5.16)

Or (Ф1Ф-2)=W仰1011 (R)012 (R) + 屮仰2011 (R)022 (R) +

+ w2tpi021 (R)q12 (R) +

+ Ф2ф2а21 (R) D22(R),(5.17)

Or (Ф2Ф1) = Ф1Ф1^12 (A) Ai (А) + 屮仰2。12 (A) 4i(R) +

+ w291。22 (A) Ai (R) +

+ 必的％ (A) 51(A)，(5.18)

Or (Ф2Ф2)=w仰1 [q12(R)12 + W仰2012 (R)q22(R)+

+ w291。22(R)D12(R)+

+5仅02(a)卩・(5.19)

Если сложить и вычесть (5.17) и (5.18), то эти четыре равенства запишутся в виде

0/?(w仰i) = Wi佻[Qu (a)卩 + (w仰2 + W2佻)Qi (R)02i (R) +

+ w2仅[q21(R)]2，(520)

。/?(W仰2 +屮291) = 2屮仰10П(R) ^12 (^) +

+ 仲1 的+55)311(©。22 (R) + % (R) 41 (R)I +

+ 2w2%q21(R)022 (R)，(5.21)

0/?仲仰2 -w2%)=仲仰2 -屮26)01 (R)q22 (R) 一012 (a)分(a)1，(5-22)

Or (屮2Ф2) = Ф1Ф1 [^f2 (R)】2 + (Ф1Ф2 + Ф2Ф1)。12 (A) °22 (R) +

+5仅02筑)卩，(5.23)

Заметим, что (5.22) содержит только антисимметричную комбинацию 屮仰2—屮2%，в то время как соотношения (5.20), (5.21) и (5.23) связывают между собой три симметричные комбинации

W仰1，Ф1Ф2 + Ш и w2%，

Мы заключаем, что произведение представления (размерности〉1) на себя всегда разлагается в сумму симметричного и антисимметричного произведения представлений. Теперь докажем это в общем ciy- чае. В равенстве (5.8) положим ц = v:

Or (吸)*)) = 2 ^^D^ (R) D^ (R).(5.24)

Переставим между собой / и /:

Or (峭)吸))=2 嘅噥)D伊(R)峭(A).(5.25)

Складывая и вычитая (5.24) и (5.25), получаем

Or (吟)齊)+2产鸣))=2呼)咽[D^ (R)D能(R) + /)(R) DW(R)]= =!2仲尹噌+噌切尹)[0少(R)*)(R) +0伊(R) D当(R"， (5.26)

0区仲，9俨)—屮产9歹)=

=1w尹噌叩"(R) D喇(R) 一 D# (R)哪,(R)]=

=^ ，(w抖明一噌哪))[0少(R) D£(R)—D伊(R)d將 代)]• (5，27) ik

Квадрат представления D^t т. e. произведение D^ X D^, всегда (за исключением тривиального случая пц — 1) разлагается в сумму симметричного произведения представлений [D^ X。叫，задаваемого равенством (5.26), и антисимметричного произведения представлений {С“)Х。""}, задаваемого равенством (5.27):

小用 X。3) = [Q® X Q(叫 + 仍3) x Q(u)}.(5.28)

Эти представления в свою очередь могут быть приводимыми. Матрицы симметричного и антисимметричного произведения представлений имеют следующий вид:

[D(3 X №)(R加〃 =$ [D殿(R)D少(R) + D伊 №)。將(砲],(5.29) 仍(口)X №)(R)}&厶 〃• = I [D北(R)比)(R) — D{^ (R)。芻(R)].(5 30)

Размерности этих представлений равны соответственно

■^作(胤+1) и ^•激(曲一1).

Для характеров симметричного и антисимметричного произведения представлений введены соответственно обозначения

[/)х/)(А)1 и {加)х/)(/?)}.

В нашем частном случае из равенств (5,20) — (5.23) имеем

[XXX (R)] = [A1(W + Al (R) 〃22 (R) + 〃12 (R) o21 (R) + [D22(r)]^ =4 [011(/?) + 〃22 (R)]2 + ^ [[Dn(R)]^ +。12 (R) Al (R) + + D2l(R)Dl2(R)+[D22(R"] =

=1 01 (R) + O22 (R)]2 +1 [Du (R2) + % (R2)]=

= ^[(%(R))2 + %(R2)](5.31)

и.

{% X % (R)} = ^ [(X (R) )2 — ％ (R2)].(5.31a)

Точно так же в общем случае из равенств (5.26) и (5.27) получаем

[XXX (R)] = ^ 工{Du (R) Dn (R) + D" (R)分(R)]=

{1X^}^^{^RW-1^V(5.33)

Заметим, наконец, что если p, = v н “у)==(р俨，то антисимметричные произведения (5,27) тождественно равны нулю и мы получаем лишь симметричное произведение представлений (5,29).

Сопряженное представление.

Комплексно сопряженное представление

В этом параграфе мы рассмотрим другие методы получения новых представлений. Предположим, что D(R)——неприводимое представление группы G. Если каждую матрицу представления мы заменим матрицей, обратной транспонированной по отношению к ней, то снова получим некоторое представление, поскольку

О7 (RS) = © (RS)]т =[方⑹力(R)]т = 07 (R)力 т (S). (5.34)

Это представление называется сопряженным представлением Q:

(5.35)(5.35)万(R)三力t(R).

(5.35)

(5.35)

Если перейти от матриц представления D(R) к комплексно сопряженным матрицам [т. е. к матрицам, элементы которых комплексно сопряжены по отношению к элементам матриц D (/?)], мы получим комплексно сопряженное представление 力*(R):

D* (RS) = D\R) D* (S).D* (RS) = D\R) D* (S).(5.36)(5.36)

D* (RS) = D\R) D* (S).

D* (RS) = D\R) D* (S).

(5.36)

(5.36)

Задача. Докажите, что представления D, D % D* либо все приводимые, либо все неприводимые.

Характеры сопряженного представления равны:

(5.37)(5.38)(5.37)(5.38)*r)=%(rt)・

(5.37)

(5.38)

(5.37)

(5.38)

или

X； = 工厂，

где К_ ——класс элементов, обратных элементам из класса К- Характеры комплексно сопряженного представления D* комплексно сопряжены с характерами представления D. В терминах сопряженного представления соотношения ортогональности (3.146) и (3.148а) для характеров можно записать в виде

营视)(R)迦)(R) = gj, 不 g“网v)= g%；

соотношение полноты (3.177) принимает вид

2＞野=(孙小

(5.39)

(5.40)

(5.41)

а равенства (3.150а), (3.151а) и (3.155а), которые используются при разложении представления на неприводимые, выглядят следующим образом:

5 gtX^r^g^i a2(5.43)

£ 偿)九6=£ «Л-@44)

Условия существования инвариантов

Если неприводимое представление D(R) унитарно, то скалярное произведение векторов в гильбертовом пространстве представления инвариантно, так как

(£>у, £>х) = (у, D^ Dx) = (y, х).(5.45)

Кроме того, в этом случае скалярное произведение дает нам эрмитов инвариант. Для конечных групп [а также для любой группы, для которой выполняется (3.101)] мы всегда можем сделать представления унитарными.

Если сопряженное представление D и комплексно сопряженное представление D* эквивалентны, т. е. если

片 т (/?)»;£)*(/?),(5.46)

ИЛИ

D (R)弋 D"T (R),(5.46а)

то существует матрица 尸 такая, что

f)* (R)=A-1 方 T (R)戸，

ИЛИ

D*(R) = Fd7(R)f7,(5.47)

D*(R)FD(R) = F.(5.48)

Тогда скалярное произведение

(У，尸х)(5.49)

инвариантно относительно всех преобразований группы G：

(Dy,尸Dx) = (y, D十尸Dx) = (y, Fx).(5.50)

Если в равенстве (5.48) перейти к сопряженным величинам, получим r)+ (R) F*D (R)=戸，(5.48а)

так что скалярное произведение

(у,尸+х)(5.49а)

также инвариантно. Комбинируя друг с другом инварианты (5.49) и (5.49а), находим два эрмитовых инварианта:

Оба эти инварианта не равны тождественно нулю, так как из их равенства нулю следовало бы, что 尸=0,

Наоборот, если существует неособенная матрица 尸 такая, что скалярное произведение (у,尸х) инвариантно:

(У，尸x) = (Z)y,尸 Z)x) = (y, D^FDk),

TO

Q"Q =尸， Q*=户Т力7户

и сопряженное представление D и комплексно сопряженное представление Q* эквивалентны. Таким образом, необходимым и достаточным условием существования эрмитова инварианта является эквивалентность представлений D и D*.

Для неприводимого представления не может существовать более одного инварианта вида (5.49). Если, кроме (5.49), инвариантно также и скалярное произведение (у, 〃х), то

D‘HD = H,D-卄廿 7 = Н”

尸”т = {D^Fb) (D^H^D^1') = D^FH^D^,(5.52)

{FH'^D^ ^D^ (尸”t).

Матрица FH~l коммутирует co всеми матрицами неприводимого представления D+, откуда по лемме Шура следует, что матрица 尸 кратна Н.

В случае неприводимого представления два инварианта (5.51) не могут быть независимыми, и (с точностью до постоянного множителя) матрица 尸 должна быть эрмитовой.

Мы показали, что если представления D и D* неэквивалентны (они будут эквивалентными, если Q ^ /)十 ),то мы не можем построить эрмитов инвариант. Мы покажем, однако, что это можно сделать, взяв прямую сумму представлений D и D^ . Пусть неприводимое представление D действует в пространстве х, неприводимое представление £＞十 ——в пространстве у. (Ясно, что оба пространства имеют одинаковую размерность п.) Тогда

xf = Dx, y' = Q+ %(5.53)

и величина у+х оказывается инвариантной относительно всех преобразований группы:

у%' =(£)十1)十(Qr) = y^D~x Dx =,十七 (6.54)

Точно так же инвариантна и величина %十у. Следовательно, мы нашли два эрмитовых инварианта:

4=^(у+х + х+у),

1(5.55)

В = 4*(у+х — х+у).

Возьмем прямую сумму пространств х м у и образуем векторы

屮= (у}(5.56)

имеющие 2孔 компонент. Вектор 屮 при преобразовании из группы G переходит в вектор

W' = (q+-iJ・(557)

Две эрмитовы матрицы

ГО flГ 0 —史］

/尸 Н 0 '%=［疋 о .(5.58)

где Е означает единичную (л X л)-матрицу, даю г нам два эрмитовых инварианта:

$5屮=(中，/2) и中+力电(5.59)

Этот результат не противоречит доказанной нами ранее теореме, поскольку пространство представления (5.56) приводимо.

Задача. Покажите, что для представления (5.57) сопряженное и комплексно сопряженное представления эквивалентны. Покажите, что переход от векторов 屮 к векторам 屮'задается либо матрицей 力，либо матрицей /2> указанными в (5.58)*

Вещественные представления

В этом параграфе мы хотим исследовать условия, при которых неприводимые представления группы G можно привести к вещественному виду, т. е.

Dt； (R) = Dtj(R).(5.60)

Мы будем предполагать, что все представления унитарны (для конечных групп это заведомо выполняется), так что

q+(R)Q(R)=1,(5.61)

ИЛИ—

力 7(R)三力(R) = Q*(R),(5.61a)

т. e. сопряженное и комплексно сопряженное представления совпадают.

Если представление D вещественно, то

Q (R) = Q* (R)

и характер %(R) веществен. Наоборот, если характер %(R) вещественный, то, поскольку

tr [D* (R)]=也 D (R『-[/(/?)]*,(5.62)

характеры представления D* будут совпадать с характерами представления D, и представление D будет эквивалентно своему комплексно сопряженному представлению D*. Если характер %(R) комплексный, то Z) и D* неэквивалентны. Это единственный случай, когда имеет место неэквивалентность.

В силу сказанного неприводимые представления группы G можно подразделить на три типа:

D вещественно (т. е. представление D можно привести к вещественному виду),

D эквивалентно D*, но представление D нельзя привести к вещественному виду,

D не эквивалентно

Если характер %(R) веществен, так что мы имеем дело со случаями 1 и 2, то Z) эквивалентно D* и, следовательно, из (5.61а) мы получим

D(R)^b~l(R).(5.63)

Взяв след от матриц, найдем

%(R) = %(R").(5.64)

Кроме того, из (5.63) вытекает, что существует такая неособенная матрица S, что

SD (R)S~l = 5-1 (/?) = О* (/?),(5.65)

b^R) SD^R^S.(5.66)

Поскольку предполагается, что представление унитарно, матрица S также унитарна. Таким образом, существует билинейная форма

姦 у,(5.67)

которая инвариантна относительно всех преобразований

力= Q(R)x,(5.68)

так как

D (R) xSD (R) у = xD (R) SD (R) у = xSy.

Наоборот, если такая билинейная форма существует, то для всех R SD (R) = D~l(R-)S..

Так как представление D неприводимо, а матрица S не равна тождественно нулю, из леммы Шура следует, что матрица S неособенная. Поэтому равенство (5.65) выполняется, и представление D эквивалентно Q*. Мы заключаем отсюда, что в случае 3, когда характер %(R) комплексный, не существует билинейной формы, инвариантной относительно преобразований (5.68).

В случаях 1 и 2 выполняется равенство (5.66). Транспонированное равенство имеет вид

D (R) SD (R) = $

а равенство, в котором все величины заменены на обратные, записывается в виде

D-\R)S~aD-\R) = S~^

Перемножив эти равенства, получим

S~AS = D-\R)S-}SD(R), или

D (R) S-吧= S^*D (R).(5.69)

Так как представление D(R) неприводимо, матрица 5一〔3 должна быть кратна единичной матрице Е:■

5一抬=必，(5.70)

S = cS.(5.70а)

Равенство, транспонированное по отношению к (5.70а), имеет вид

S=cS,(5.706)

откуда

S = cS = с (cS) = c^S, и

。2 = 1, С = ± 1

Мы заключаем, что если характер y(R)——вещественный [случаи (1) и (2)], то существует инвариантная билинейная форма, у которой унитарная матрица S симметрична или кососимметрична:

S == S или S = — S.(5.71)

Так как

det S = det S,det(—S) = (— l)“detS,

где n — размерность представления, мы видим, что знак минус в (5.71) мо>кет встречаться лить в случае представлений цетноЦ размерности.

Если в (5.71) выбран знак плюс, мы имеем дело со случаем 1: матрица S унитарна и симметрична. Тогда существует унитарная симметричная матрица В такая, что

82 = s.(5.72)

Так как

8十8 = 1 и В = В, имеем

В = В = В(5.73)

Подставляя (5.72) в (5.65) и используя (6.73), получаем

B2D (Ц) В^2 = d\h),

8。(R)=BF* (С) В = 8*D*(R) В'-1 =

= [8D(R)8-i]*・(5.74)

Последнее равенство показывает, что представление Q(R) преобразуется к вещественному виду матрицей В. Поскольку матрицы В и Q(R) унитарны, матрицы

D' (/?) = BD (R) 8T

также унитарны. Поэтому они образуют вещественное ортогональное представление группы G:

»(R) Dr (R) = Е.(5.75)

Мы не будем останавливаться на рассмотрении более сложного случая 2. Вместо этого мы приступим к поискам простого критерия, с помощью которого мы могли бы различать три типа представлений. Этот критерий выражается формулами, содержащими суммы, взятые по характерам, поэтому мы будем предполагать, что такие суммы имеют смысл. (Это безусловно так в случае конечных групп.)

Матрица

s= XZ)(R)*D(R),(5.76)

О

где X ——произвольная матрица, удовлетворяет равенству (5.66) и дает нам инвариантную билинейную форму (5.67). В случае 3, когда инвариантной билинейной формы не существует, матрица S должна быть нулевой матрицей при любом выборе матрицы X:

2^ар (^)^уб(^)= 0 ПРИ всех а, р, Y, 6.(5.77)

Положив p = Y и просуммировав по р, получим

Q = X X A。(R)(R) = 2 4б(R2),

в силу чего в случае 3в силу чего в случае 32 О (R2)= 0.2 О (R2)= 0.(5.78)(5.78)Эги результаты для всех верждение:S = cS,Эги результаты для всех верждение:S = cS,трех случаев можно объединить в одно ут-трех случаев можно объединить в одно ут-+ 1 для случая 1,+ 1 для случая 1,с =с =—1 для случая 2, 0 для случая 3.—1 для случая 2, 0 для случая 3.(5.79)(5.79)

в силу чего в случае 3

в силу чего в случае 3

2 О (R2)= 0.

2 О (R2)= 0.

(5.78)

(5.78)

Эги результаты для всех верждение:

S = cS,

Эги результаты для всех верждение:

S = cS,

трех случаев можно объединить в одно ут-

трех случаев можно объединить в одно ут-

+ 1 для случая 1,

+ 1 для случая 1,

с =

с =

—1 для случая 2, 0 для случая 3.

—1 для случая 2, 0 для случая 3.

(5.79)

(5.79)

Из (5.76) и (5.79) следует

2 2 4a(R) ХрАб (R)=哪侖 4a(R) XyRNR)， так что

2 4a (R) % (R)=吟 Aa (R) %6(R)・(5.80)

В частности, положим a = у, 0 = 6 и просуммируем по а и р：

审百％(R)%(R) = c §m%(R)%0(R),(5.81)

ИЛИ

X%(R2)= cX“r)%(r).(5.82)

GО

В случаях 1 и 2 мы имеем соотношение (5.64):

%(R) = %D，

а соотношение ортогональности (3.146) дает нам

》％(R)%(R) = g,(5.83)

в то время как в случае 3 представление D неэквивалентно представлению О, вследствие чего

£%(R)%(R) = 0・(5.83а)

G

Объединяя эти результаты с соотношением (5,82), получаем

专严)(&) = с* g, где с(")=专严)(&) = с* g, где с(")=+1 для—1 для0 для+1 для—1 для0 дляслучая 1, случая 2, случая 3.случая 1, случая 2, случая 3.(5.84)(5.84)

专严)(&) = с* g, где с(")=

专严)(&) = с* g, где с(")=

+1 для

—1 для

0 для

+1 для

—1 для

0 для

случая 1, случая 2, случая 3.

случая 1, случая 2, случая 3.

(5.84)

(5.84)

Вигнер называет представления типа 1, которые можно преобразовать к вещественному виду, целыми представлениями. Для таких представлений с")=1; для полуцелых представлений типа 2, которые

нельзя преобразовать к вещественному виду, но которые эквивалентны представлениям, комплексно сопряженным с ними, с'“)=——1 Наконец, для представлений типа 3, которые неэквивалентны представлениям, комплексно сопряженным по отношению к ним, с® = 0.

Равенство (5.84) дает нам простой критерий для трех типов представлений. В частности, представление можно привести к вещественному виду только в том случае, если сумма характеров квадратов элементов группы равна

Пусть g⑹一число решений уравнения

々 = S.(5.85)

Объединяя в (5.84) те члены, для которых R2 = S, получаем

斗(S)严)(S) = c(叽 g.(5.86)

О

Воспользовавшись соотношением полноты (3.177) и заметив, что t(s-i) =買 S),

мы решим (5.86), откуда

買S) =』卅严(S).(5.87)

Равенство (5.87) устанавливает замечательную теорему.

I

Теорема. Число решений R уравнения 々=S (т. е. число квадратных корней из элементов S) дается формулой (5.87), в которой с® = 0, если характер 产)(S) комплексный. Если же характер %(")(S) — вещественный, то с® = -|-1 либо с(")=1

в зависимости от того, эквивалентно представление D“" вещественному представлению или нет.

В частности, выбрав в качестве элемента S единицу Е, мы найдем, что число решений уравнения R2 = Е равно

€«) =』*%，(5.88)

т. е. число таких решений получится, если взять сумму размерностей всех неприводимых представлений типа 1 и вычесть из нее сумму размерностей всех представлений типа 2.

Матрица

2 D (R2)

коммутирует со всеми матрицами неприводимого представления D (R), так как

D~l (Л) 2 D (r2) D (4) = X 〃т (4) D (F) D (4)=

=2 上尸⑷ D (R) D И)] [о-1 (Л) D (R) D (Л)]=

G

= Xd(R)D(R) = XD(R2).(5.89)

GG

[Поскольку Q(R) пробегает всю группу G, также пробегает всю группу О.] По лемме2 D (R2)должна быть кратна единичной матрице:2 D (R2) = gВзяв след правой и левой частей равенства и получимc")g = Кп[Поскольку Q(R) пробегает всю группу G, также пробегает всю группу О.] По лемме2 D (R2)должна быть кратна единичной матрице:2 D (R2) = gВзяв след правой и левой частей равенства и получимc")g = Кпто и D~A (A) D (R) D (А)

[Поскольку Q(R) пробегает всю группу G, также пробегает всю группу О.] По лемме

2 D (R2)

должна быть кратна единичной матрице:

2 D (R2) = g

Взяв след правой и левой частей равенства и получим

c")g = Кп

[Поскольку Q(R) пробегает всю группу G, также пробегает всю группу О.] По лемме

2 D (R2)

должна быть кратна единичной матрице:

2 D (R2) = g

Взяв след правой и левой частей равенства и получим

c")g = Кп

Шура

(5.90)

воспользовавшись (5.84),

где 九口 ——размерность представления, так что (5.90) принимает вид

£№)(&) =史k Е.(5.91)

Умножим равенство (5.91) на 小⑴⑷：

£ (厶門=Dw (Л)(5.92)

и вычислим след

£ /)(4R2)=半 /)(4).(5.93)

Положим A = S2 ц просуммируем по S:

,2工/)(52个)=学工％伙52).

RS" S

Еще раз воспользовавшись соотношением (5.84), получим

Е 2 /)(S2R2)=绊瞪.'(5.94)

Если т] (Г) -— число решений уравнения

S2R2 = r,(5.95)

то

УП(Т)/)(7) =绊虻.(5.96)

Воспользовавшисьещераз соотношением полноты,мырешим это

уравнение и получим

П (7) = 2(5.97)

В частности, при Г = Е

n(0 = g£[c 吁，(5.98)

т. е. число решений уравнения S?R2 = Е (или S? = R2)равн0 числу неприводимых представлений с вещественными характерами, умноженному на g.

Этот процесс можно повторить. Перемножив уравнения типа (5.91), выписанные для s элементов R】,R?R$, мы получим

Е Q® (&咫…咸=(*У Е. (5.99)

Вычислив след обеих частей (5,99), найдем

2 戶)(8咫…疋)=% (*『•(5.100)

Тем же самым методом, как и раньше, мы получим теперь, что число решений уравнения

居咫...& = Е(5.101)

равно

i

Задачи. 1. Построить таблицу характеров для группы кватернионов (см. задачу на стр. 44). Покажите, что ее двумерное представление имеет тип 2. Проверьте различные теоремы этого параграфа для группы кватернионов.

Укажите, к какому типу (1, 2 или 3) относятся представления кристаллографических точечных групп.

Если равенство (5.87), определяющее C(S), возвести в квадрат, положить

貝S7) = g(S)

и просуммировать по S, то мы получим

S K(S)『=2 卅с" 2产(S)%")(s-1)= ОH> vG

=2 c®c"“v = g 2 MF(5.102)

Этот результат совпадает с (5.98). Равенство (5.102) означает, что сумма квадратов числа квадратных корней из всех элементов группы G равна числу простых вещественных характеров, умноженному на g.

Последний результат можно представить и в более удобном виде. Мы знаем, что элементы R「обратные элементам R, принадлежащим классу ^^ образуют класе К，При » = / соотношение полноты (3.177) имело вид

=(5.103)

Просуммировав по Z, получим

不(芋g,研叫=g少"，.(5-104)

В соответствии с равенствами (6.83) и (б.83а) величина, стоящая в скобках в левой части этого равенства, равна g, если характер %(闺 вещественный, и равна нулю, если характер %(闺一комплексный. Таким образом, левая часть этого равенства равна числу вещественных характеров, умноженному на g. Сумма, стоящая в правой части этого равенства, равна числу классов i, совпадающих с классами，. Такие классы называются амбивалентными классами. Равенство (5.104), таким образом, означает, что число вещественных характеров равно числу амбивалентных классов. Комбинируя это утверждение с (5.102), получаем следующую теорему.

I

Теорема. Сумма квадратов числа квадратных корней из всех элементов группы равна порядку группы, умноженному на число амбивалентных классов.

Заметим также, что если все классы группы G амбивалентны, то все характеры должны быть вещественными. Так будет в случае симметрической группы S〃，поскольку любая перестановка и ей обратная имеют одинаковую структуру разложения на циклы. Таким образом, все характеры симметрической группы вещественны.

I

Задача. Найдите число амбивалентных классов в каждой из кристаллографических точечных групп и сравните его с числом вещественных характеров по таблице характеров. Перечислите точечные группы, у которых все классы амбивалентны,，

Разложение кронекеровского произведения.

Ряд Клебша — Гордана

В § 1 настоящей главы мы определили кронекеровское произведение двух представлений. В теории связанных систем и при выводе правил отбора эти произведения играют основную роль. В этом параграфе мы получим математическое обоснование для таких приложений.

В общем случае произведение двух неприводимых представлений группы G приводимо. Чтобы разложить произведение представлений на неприводимые, мы воспользуемся соотношением (5.15)

严 xv)&)=严)&).%(v)(r),(5.15)

и соотношением (5.42)

%=£2%(8)(砲严)便)，(5.42)

которое показывает, с какой кратностью (%) данное неприводимое представление D^ содержится в представлении D^ х v\ Из этих двух равенств мы получаем

% = 5 2 收)(А) *)(R)迎&).(5.105)

Этому соотношению можно придать различные полезные формы.

Прежде всего возьмем кронекеровское произведение представлений и D^ и спросим, какова кратность, с которой единичное представление содержится в D^ X D” Поскольку все характеры единичного представления D⑴ равны единице, это число равно

% = }Е %® (А)*№)= %，(5.106)

а

где последнее равенство следует из соотношения ортогональности. Таким образом, произведение представлений D(^ и D”)содержит (с кратностью, равной единице) единичное представление в том и только том случае, если ц = V. Этот результат можно сформулировать и в терминах базисных функций. Базисная функция (единственная) единичного представления инвариантна относительно всех преобразований группы G. Равенство (5.106) означает, что мы можем составить инвариантную линейную комбинацию произведений волновых функций тогда и только тогда, когда представления D(") и D^ сопряжены Qi = V). Если представления унитарны, то D = D*. В этом случае мы можем сказать, что их произведение содержит единичное

представление в том и только в том случае, если представления, являющиеся сомножителями, комплексно сопряжены друг с другом.

Далее, если в (5.105) £)“ заменить представлением £)“，мы получим

%=3工川便)川(R)/)依)，(5」°7)

о

что дает кратность, с которой £)")входит в £)")X

Числа 〃口 в (5.105) служат коэффициентами в разложении произведения №)X0(叫 на неприводимые представления:

DWX。⑺=工 ％(5.108)

Разложение (5.108) называется рядом Клебша——Гордана.

Если представления унитарны, то % = %*, и (5.105) принимает вид

% =十2%的便)川依)У 依)・(5• 105a)

Обозначение

№)х £)(v)= 2 (炉6。(。)(5,108а)

О

является более наглядным, чем обозначения, использованные в равенствах (5.105) или (5.108); здесь (p,va) означает кратность, с которой представление D^ входит в кронекеровское произведение представлений D^ и D^\ Ясно, что (p,va) — (vp-a).

I

Задачи. 1. Докажите, что кратности, с которыми

方9) содержится в D^ X

方也) содержится в D^ X。(“)，

D^ содержится в D^ X。'叱

равны между собой. Покажите, что если все характеры группы G вещественны, то символ (gva) в (5.108а) полностью симметричен.

Найдите условия, при которых кронекеровское произведение №)х Q(v) неприводимо.

Докажите, что кронекеровское произведение двух неприводимых представлений размерности 几〔и 几2 (几i> 几2) не может содержать представлений размерности меньшей, чем nYln2.

Найдите коэффициенты ряда Клебша ——Гордана для произведения двумерного представления группы кватернионов на себя.

Покажите, что если характеры представлений D^ и D^ вещественны, а характер представления D^—комплексный, то /У")ХС(У) должно содержать /У⑷ и D*^ с одинаковой кратностью.

Коэффициенты Клебша — Гордана

В предыдущем параграфе мы рассмотрели задачу о нахождении таких неприводимых представлений, которые содержатся в кроне- керовском произведении двух неприводимых представлений. В следующей главе мы покажем, каким образом ряд Клебша ——Гордана позволяет нам найти правила отбора.

Для физических приложений еще большее значение имеет задача о нахождении базисных функций тех представлений, которые содержатся в кронекеровском произведении. Нам заданы пц базисных функций 屮(夕)(/=1,..-,汽卩)неприводимого представления £)(")((?) и nv базисных функций 屮，)(2=1, - - ., %#) неприводимого представления D^V}(G). Требуется найти 勺 функций 屮? (s=l,nJ, которые являются линейными комбинациями произведений 屮歹)屮『)и образуют базис неприводимого представления D^ (G). Функции 4f?) представляют собой систему партнеров, принадлежащих представлению M)(G). Из последнего параграфа мы знаем, что такая система существует лишь в том случае, если представление D^ содержится в произведении D^ X ^(v\ т. е. если (卩v九)耍 0. С другой стороны, если (卩V九)〉1, мы можем образовать несколько независимых систем партнеров吟[На самом деле, найдется (卩v九)„правильных линейных комбинаций** произведений функций.] Чтобы различать между собой эти различные системы партнеров, мы будем применять обозначение Т^^, s=l, 勺，%=1,.一，(卩v九).Функции 屮!入г) будут линейными комбинациями произведений 屮歹)中尸)：

屮，%)=崂时)(m，V/1 A, v).(5.109)

(Условимся о суммировании по повторяющимся латинским буквам, суммирование же по греческим буквам всегда будем указывать в явном виде.) Коэффициенты (ц/, v/|Xtxs) в (5.109) называются коэффициентами Клебша—Гордана. (Другие их названия: коэффициенты Вигнера или коэффициенты векторного сложения. Поскольку эти названия используются для групп частного типа, мы предпочитаем более общее название.)

Общее число функций 屮，'т^) должно быть равно общему числу произведений функций 屮歹

S (HvX) пх = ЯцЯу.(5.110)

поэтому коэффициенты Клебша — Гордана (卩J, v/| 九％s) образуют матрицу порядка п п^. Равенство (5.109) является не чем »нь【м? ка«

описанием связи между двумя различными базисами 4r，”) и吟需) пространства представления кронекеровского произведения. Другой способ описания этой связи состоял бы в выражении произведений 中(；)屮丁)в виде линейных комбинаций функций W^1^

w黑限=? 屮”)(机网!1/,V/) (5.109a)

Это соотношение является обратным по отношению к соотношению (5.109), так что

(ь匚,S［快/，v/)(m，v/1 Xr^s) = %"%芥;%,,(5.111)

I Задача. Пользуясь равенствами (5.109), (5.109a) и линейной независимостью базисных функций, выведите соотношения (5.111) и (5.1Па).Чтобы упростить нашу задачу, предположим, что мы имеем дело исключительно с унитарными представлениями. В этом случае (5.109)I Задача. Пользуясь равенствами (5.109), (5.109a) и линейной независимостью базисных функций, выведите соотношения (5.111) и (5.1Па).Чтобы упростить нашу задачу, предположим, что мы имеем дело исключительно с унитарными представлениями. В этом случае (5.109)2(Ц/, v/' I Xr^s)(ХтЛ5 IW，v/) = 6〃，6〃‘.(5.111a)

I Задача. Пользуясь равенствами (5.109), (5.109a) и линейной независимостью базисных функций, выведите соотношения (5.111) и (5.1Па).

Чтобы упростить нашу задачу, предположим, что мы имеем дело исключительно с унитарными представлениями. В этом случае (5.109)

I Задача. Пользуясь равенствами (5.109), (5.109a) и линейной независимостью базисных функций, выведите соотношения (5.111) и (5.1Па).

Чтобы упростить нашу задачу, предположим, что мы имеем дело исключительно с унитарными представлениями. В этом случае (5.109)

означает переход от одной ортонормированной системы 中,)屮,明 к другой W^1^ с помощью унитарной матрицы (|1/, v/|入%s), так что (Хт^||1/, V/) = (|i;\ V斗鹏s)\(5.112)

(財，V/俨％s)*(uj, v/|Ms) = %,%q,“s，,(5.1116)

£ (К/", v，IXr^s) (цу, v/|肌2)« = 6〃小〃，.(5.111b)

Подействуем теперь на равенство (5.109) оператором Ор соответствующим элементу 7? группы G:

0評产力=W^X^D^ (R),

где матрицы £>(%)(А) должны выбираться по некоторой фиксированной схеме; в частности, мы можем (и будем) выбирать их так, чтобы при всех ” они были одинаковыми, т. е.

WD)(R) = D乳(А).-

Воспользуемся равенствами (5.7) и (5.7а)

0#Г%)=吗工)网鼻)&)=咿限(m vA I XVZ)必厘)(R),

(5.113)

0口屮州)=。R ［吟党)］(m，v/1 %s)=0脚器0就)(/，v/ Ims)= =嘅限必号(R) Q* (R)(快丄 v/j A%s). (5.113a)

Поскольку произведения 屮厂ср} образуют систему линейно независимых функций,

D^(R)D{^(R)(iij, V 屮%s) = (M * |мS)0紡)(/?). (5.114) Равенство (5.114) можно переписать в нескольких видах, удобных для приложений. Применяя равенство (5.111), мы можем перенести коэффициенты Клебша — Гордана в левую часть, в результате чего (Хт4，/1 此 泌)。少(R) D*(R)(叮，v/| XV)=

=必*便)咄%% 叫,.(5.115) Равенство (5.115) означает, чго матрицы。(闻(R) X Z)")(R) кронекеров- ского произведения можно с помощью трансформирования матрицей (цу, v/|Xtzs) коэффициентов Клебша ——Гордана представить в клеточно-диагональном виде. Первый множитель в левой части можно также записать в виде (ц/, vk | А/т，М). Пользуясь соотношением (5.111а), мы можем перенести коэффициенты Клебша — Гордана в правую часть (5.114), что приведет к соотношению

哨(R)噌(R)=工(М 泌仇т£)Н" (R)0%s I 口丄 v/), (5.116) задающему обратное преобразование от клеточно-диагонального вида к кронекеровскому произведению.

Умножив на O；，r)(R), мы можем перенести матрицу представления из правой части (5.114) в левую. Точно так же в равенстве (5.116) мы могли бы воспользоваться соотношениями ортогональности, чтобы перенести все матрицы в одну часть равенства. Однако мы видим, что такая операция приводит к уравнениям, несимметричным по 卩，V, X.

Просто приводимые группы

Мы можем получить коэффициенты сложения, обладающие более высокой симметрией, если будем выбирать группы специального вида. Прежде всего предположим, что характеры всех неприводимых представлений группы G вещественны. Отсюда следует, что каждое представление эквивалентно своему комплексно сопряженному и что представлений типа 3 (см. § 5 гл. 5) нет. Все неприводимые представления группы G ——целые или полуцелые. Этому условию удовлетворяет весьма широкий класс групп: группа вращений, группа кватернионов, большинство кристаллографических точечных групп и все симметрические группы Sn. Действительно, мы увидим позднее, что все неприводимые представления симметрической группы Sn можно выбрать так, чтобы они были вещественными, в результате чего мы получим лишь целые представления.

Вторая трудность в общем случае возникает вследствие того, что коэффициент (|ivX) может быть больше единицы. Это обстоятельство делает определение коэффициентов Клебша — Гордана неоднозначным, поскольку мы можем выбирать произвольные линейные комбинации

屮约)，(5.1⑺

оставляя представление по-прежнему приведенным к клеточно-диагональному виду. Если бы каждое представление D* входило в кро- некеровское произведение с кратностью, самое большее равной единице, то коэффициенты Клебша ——Гордана были бы менее неопределенными. Из (5.117) мы видим, что в этом случае мы могли бы заменять функции Ч7!") лишь функциями с九Ч7，). Поскольку мы рассматриваем унитарные представления, это означало бы, что |cz| = 1. Поэтому единственным произволом в коэффициентах Клебша—Гордана был бы фазовый множитель, одинаковый для всех коэффициентов с одинаковыми 卩，v,九.

При рассмотрении симметрической группы мы покажем, что кое- какие результаты можно получить, несмотря на эту вторую трудность. Мы будем считать, что в этой главе действуют оба ограничения, о которых только что говорилось.

Мы скажем, что группа просто приводима (SR-группа). если: а) каждый элемент группы G эквивалентен обратному, б) кронекеровское произведение двух неприводимых представлений группы G содержит каждое неприводимое представление не более чем один раз.

Условие 《а》 означает, что все классы группы G амбивалентны, все характеры вещественны и все неприводимые представления группы G целые или полу целые (с(口)= +1 или с^ ~——1).

Симметрические группы S3 и S4, группа кватернионов, двумерная унитарная унимодулярная группа и трехмерная группа вращений являются SR-группамн.

Условие 《6》 существенно для физических приложений. Из него следует, что «правильные линейные комбинации» произведений базисных функций определены с точностью до фазового множителя и что решение физической задачи однозначно определяется из соображений симметрии.

Докажем сначала следующую лемму.

Лемма. Кронекеровское произведение двух целых или двух полуце- лых представлений S/?-группы содержит лишь целые представления; кронекеровское произведение целого и полуцелого представления содержит лишь полуцелые представления.

Унитарная матрица S^, преобразующая представление Q(") в его комплексно сопряженное

S^S-^D^^,(5.65)

удовлетворяет равенству

兄=d")S“，(5.79)

где с® = +1, если представление D^ целое, и с")= —1, если /У闺 полуцелое [условие《а》]. Аналогично

SvQ(*S「=炉叫 Sv = NS”.

Объединяя эти равенства и пользуясь соотношением (5.66), получаем

(S" х SJ (№)х £>")) & х Sv尸=(£>*(“)X £>*")) =(£>")X 〃"))*, (5,118)

(恥瓜=с(叽⑺(Sr X SJ(5.119)

Таким образом, унитарная матрица S = 5И X 5V, преобразующая кронекеровское произведение Л4 = Q(")X Q”)в комплексно сопряженное, симметрична, если оба представления Q® и D^ целые или полуцелые, и антисимметрична, если одно из представлений целое, а другое полуцелое:

SMST = M*, S= ±S.(5.120)

Обозначим символом U унитарную матрицу коэффициентов Клебша — Гордана. Тогда

UMU-} = Mr,Uf MU-^ ^NCr,(5.121)

где Мг——приведенная форма кронекеровского произведения М. Из условия《6》следует, что Мг имеет вид

ГР/ I

例= L¥:一,，(5.122)

где Q], С?Q$ — неэквивалентные неприводимые представления. Из (5.121) имеем

М = и^Мги.(5.123)

Объединяя этот результат с (5.120), получаем

(5.124)(5.124)SU-'M.US"1 = м\

(5.124)

(5.124)

UfSU~}Мги8-}и~^ Л^г,

или

S,/SL =附;， SrMr = M*Sr,(5.125)

где

Sr = U*SU-.(5.126)

Воспользуемся соотношениями (6.120), (5.126) и унитарностью матрицы U, тогда

瓦=少-后"* = и飞D"= 土U*st/-1= ±S「(5.127)

Разобьем матрицу Sr так же, как матрицу Мг в (5.122), и обозначим подматрицы символом S“ (2, / = 1, ..., $). Равенство (5.127) означает

S#= 土 $/・(5.128)

Из равенства (5.126) получим

S“Dj= D^Si ；.(5.129)

При 2耍/ представления D* и Dj неэквивалентны, в силу чего из (5.129) и лемм Шура следует, что S^nO при » 耍丄 Таким образом, матрица Sr имеет тот же клеточно-диагональный вид (5.122), что и матрица Мг. Из (5.129) при /==/ имеем

StQiSf] hDi，(5.130)

из (6.128) получаем

%= 土晶.(5 131)

Таким образом, каждая из подматриц Q матрицы Мг преобразуется в комплексно сопряженную матрицей S拉，которая симметрична, если оба представления целые или оба представления полуцелые, и антисимметрична, если одно представление целое, а другое полуцелое.

Коэффициенты (|ivX) ряда Клебша — Гордана должны быть больше или равны 0. Для любой группы числа 公⑶ равны либо ± 1, либо 0. Таким образом,

(|ivX)2》с^с^с^ (|ivX).(5.132)

Знак равенства в (5.132) выполняется лишь в том случае, когда либо (|ivX) — 0, либо (|ivX) = 1 и c®c(v)c?)=L Суммируя по всем неприводимым представлениям, получаем

工()ivX)2 > 2 С(也(V)亦)(屮九)，(5.133)

где знак равенства имеет место лишь в том случае, если при всех ц, V и X либо (цуХ) = 0, либо (|ivX) = 1 и с(阳с(*сР)=1. Но из нашей леммы следует, что именно так и происходит в случае SR- групп. Поэтому знак равенства в (5.133) является необходимым и достаточным условием для того, чтобь] группа была SQ^rpynnoH

£ e也）e（¥）eа）（卩、丸）卩vAhvA, R£ e也）e（¥）eа）（卩、丸）卩vAhvA, RДня любой группы G правую часть неравенства (5.133) можно переписать с помощью (5.105а) и (5.87) в виде

£ e也）e（¥）eа）（卩、丸）

卩vAhvA, R

£ e也）e（¥）eа）（卩、丸）

卩vAhvA, R

c（n）c（v）c（人％（n） （R） %（”）（/?）炉仏）（R）=

= ^，【C（A）凡（5.134）

R

Еще раз воспользовавшись соотношением (5.105а), для левой части неравенства (5.133) получим

£ (栈啲2 = pЕЕ%(口) (А) х* 储(R) %(V)(А) %* (V)(R) х* 阳(А)仆〈R、. ^vXNV入 RRr

Суммы ПО 卩，V,九 можно вычислить в отдельности с помощью соотношения полноты (5.41), откуда

次vp =靑部後)3 = g 3蟲(5135)

где g^ — число элементов в классе, содержащем элемент R. Подставляя в неравенство (5.133) выражения (5.135) и (5.134), получаем

2【“А)]3《2(齐У；(5.136)

таким образом мы доказали следующее:

Неравенство (5.136) выполняется для любой конечной группы.

Знак равенства имеет место в том и только в том случае, если группа просто приводима.

Согласно нашей лемме, в случае 5/?-групп кронекеровское произведение D^ X D^ любого представления на себя содержит лишь целые представления. Это произведение всегда можно разложить на симметричную и антисимметричную части:

О也)х О也)=[О储 X О(叫 + {D^ X О叫. (5.28)

Если D^ — целое представление,то неприводимые представления, содержащиеся в [/)(")X °""]， называются четными представлениями, а неприводимые представления, содержащиеся в {0⑴)X 0叫, называются нечетными представлениями. Наоборот, если D^}— полуцелое представление, то представления, содержащиеся в его дцмцещризованном квадрате, назывцтдтся не^ецными^ а т? из нн&

которые содержатся в антисиммешризованном квадрате, называются четными. Теперь докажем следующую теорему.

I

Теорема. Представление 5/?-группы не может быть одновременно четным и нечетным.

Для доказательства теоремы воспользуемся равенствами (5.32) и (5.33):

[严)X 严(R)] =4 [(严(R)y+ 严)G)]，(5.32)

{严)X 严)(R)}=4[(产)(R))2— 严)(&)]•(5.33)

Условие того, что два представления не имеют общих неприводимых частей, имеет вид

2 严)(R)G ⑹(R) = o,(5.44)

R

где, кроме того, сумма никогда не может быть меньше нуля. Пользуясь соотношениями (5.32), (5.33), (5.44) и определениями четных и нечетных представлений, мы обнаружим, что наша теорема эквивалентна утверждению:

2 [(严)(R) )2 十卅严 G)][(严(R) У — N* (&)] = 0 (5.137) R

при всех ц и v, либо

2 2 [(戶)(<+ с(V、(&)][(#)&))2 — с%⑺(&)] = 0. (5.137а) gv R

Воспользуемся формулой (5.87), в которой положим S = R2;

и преобразуем вторые члены, стоящие в сомножителях равенства (5.137а). К первым членам, стоящим в скобках, применим соотношение полноты (5.41):

£%(")&)/)&)= /.

Тогда левая часть (5.137а) преобразуется к виду

J传十其他)(亳一"的)=¥(穹一£№叫В38)

Но из определения C(S) следует

2 [質S)]3 = X [買S)]2 g (S) = X [買S)]2 6s, R2 = X 忆(R2)r (5.139)

SSS, RR

Наша предыдущая теорема [соотношение (5.136), в котором стоит знак равенства, поскольку мы рассматриваем 5/?-группу] утверждает, что (5.138) обращается в нуль, а это и требовалось доказать.

Теорема отнюдь не утверждает (и это следует особо подчеркнуть), что всякое целое представление либо четно, либо нечетно. Может случиться, что какое-нибудь конкретное целое представление не содержится в квадрате ни одного представления. Такое представление не является ни четным, ни нечетным.

I

Задача. Рассмотрите группу О, состоящую из восьми элементов: 1, —1,—л, у, —у, 2, —n с таблицей умножения

*2==у2 = 1,?2=6 — 1, ху ^ — ух = Z,

XN =——NX = уzy ^ — у Z = *.

Какая связь существует между этой группой О и группой кватернионов? Постройте таблицу характеров группы О. Покажите, что двумерное представление группы О целое, но не содержится в квадрате никакого представления.

ЗУ-символы

В этом параграфе мы будем пользоваться обозначениями, введенными Вигнером, в основе которых лежат обозначения для трехмерной группы вращений. Неприводимые представления мы будем обозначать символами /1( /2 и т. д., а строки и столбцы матриц —— греческими буквами. Мы будем придерживаться соглашения о суммировании по повторяющимся греческим индексам. Во всех же остальных случаях суммирование будет указываться в явном виде. Размерность представления D⑺ будем обозначать символом [у].

В § 7 настоящей главы разложение кронекеровского произведения можно было производить как по представлениям, комплексно сопряженным с неприводимыми представлениями, так и по самим неприводимым представлениям. Определим унитарную матрицу U с матричными элементами

"，(5.140)

乂2 x3/

которая разлагает кронекеровское произведение представлений Q”' и /У в сумму представлений 。"厶).Величина

/1 /г /з

называется ^J-символом.называется ^J-символом.乂 2 乂 3丿

называется ^J-символом.

называется ^J-символом.

В этих обозначениях можно переписать все равенства § 7 настоящей главы. Вместо (5.1116) и (5.111в) мы получаем условия унитарности:

'"к к х/\у к /丿一(厶，2 (5.142)

Равенства (5.115) и (5.116) заменяются равенствами

⑺匕，:”附便/笈吗£力=%做@(5.143) 啾⑻嘅е)。2>e:：加親噥/力.(5」44)

а равенство (5.114) — равенством

您(R)嚓(R) =项/;)(&(； ^2(5.145)

\К1 к2 х3/m1 儿 2Л8/

Поскольку представления унитарны, мы можем, умножив (5.145) на Q('?/(R), перенести все матрицы представлений в левую часть этого равенства:

或心便)改弘(R)。風⑻e 2』=(:之：：)•(5」46)

Перейдя в равенстве (5.146) к сопряженным величинам, используя унитарность представлений и заменяя R~ на R, получаем

陶(R)噸(R)暇(R)(? 77(5 146а)

\К1 К2 к3/\九1九2九3，

3/-символ полагается равным нулю, если (///з) = 0, поэтому нет необходимости указывать пределы суммирования по /. Полагая в (5.142) 丿，=丿=丿3， к' = к = кз и суммируя по Кз， получаем

(5.147)(5.147)仅Л询仏Л厶

(5.147)

(5.147)

［修 К? К3 八 ％ К2 К3 丿一 """

Выберем это обозначение, специально приспособленное для трехмерной группы вращений, и положим (——1)2-/= 1, если 丿 ——целое

представление, и (—1戸=—1, если 丿一полуцелое представление. Тогда мы можем записать

丿1/2厶］=］产+ 2力+ 2八(厶поскольку по лемме § 8 настоящей главы丿1/2厶］=］产+ 2力+ 2八(厶поскольку по лемме § 8 настоящей главы丿2/3、k2 К3,丿2/3、k2 К3,(5.148)(5.148)3/-символ обращается3/-символ обращаетсяв нуль,в нуль,еслиесли( ］)2/i + 2/z + 2力次］( ］)2/i + 2/z + 2力次］

丿1/2厶］=］产+ 2力+ 2八(厶

поскольку по лемме § 8 настоящей главы

丿1/2厶］=］产+ 2力+ 2八(厶

поскольку по лемме § 8 настоящей главы

丿2/3、

k2 К3,

丿2/3、

k2 К3,

(5.148)

(5.148)

3/-символ обращается

3/-символ обращается

в нуль,

в нуль,

если

если

( ］)2/i + 2/z + 2力次］

( ］)2/i + 2/z + 2力次］

Можно также условиться, что (—1)」=1, если 丿一четное представление, и (—1)/ = —1, если 丿一нечетное представление. Если же 丿一представление, не являющееся ни четным, ни нечетным, то (— 1)」 можно произвольно положить равным 1. При полуцелом / можно произвольно положить (—I)」равным i или —Z, но после того, как выбор произведен, значение (—1/ всюду должно быть одним и

тем же.

Приведенное кронекеровское произведение коммутирует с любой диагональной матрицей, в которой все диагональные элементы, соответствующие данному неприводимому представлению, одинаковы. Поэтому 3/-символ можно умножать на величину со(/р /2> /3), зависящую от J】，/2> /з，но не зависящую от хь х2, х3. Если представление должно быть унитарным, то | со | — 1.

Замена коэффициентов Клебша — Гордана 3/-символами с множителем 【/з】" позволяет нам сделать это равенство симметричным относительно матриц представлений. Полагая в (5.149) 乂* =九刀 находим, чтоЗамена коэффициентов Клебша — Гордана 3/-символами с множителем 【/з】" позволяет нам сделать это равенство симметричным относительно матриц представлений. Полагая в (5.149) 乂* =九刀 находим, что/1/2修K2/1/2修K2т. е. что абсолютное ставить столбцы.т. е. что абсолютное ставить столбцы.Г ИГ Ит. д., (5.150)т. д., (5.150)значение 3/-символа не изменится, если пере-значение 3/-символа не изменится, если пере-Докажем далее, что всегда тели д(//a)，чтоДокажем далее, что всегда тели д(//a)，чтоможно так выбратьможно так выбратьфазовые.фазовые./1 /2 ЛKj k2 k3/1 /2 ЛKj k2 k3(J)/i +Л + /э(J)/i +Л + /э丿2丿2/1 /з修K3/1 /з修K3Уз лx3 К2Уз лx3 К2=(-1卢+力+%=(-1卢+力+%откуда с помощью соотношения (5.148) получимоткуда с помощью соотношения (5.148) получиммножи-(5.151)(5.152)множи-(5.151)(5.152)Воспользуемся соотношениями ортогональности (3.137), чтобы преобразовать (5.144) к виду

Замена коэффициентов Клебша — Гордана 3/-символами с множителем 【/з】" позволяет нам сделать это равенство симметричным относительно матриц представлений. Полагая в (5.149) 乂* =九刀 находим, что

Замена коэффициентов Клебша — Гордана 3/-символами с множителем 【/з】" позволяет нам сделать это равенство симметричным относительно матриц представлений. Полагая в (5.149) 乂* =九刀 находим, что

/1/2

修K2

/1/2

修K2

т. е. что абсолютное ставить столбцы.

т. е. что абсолютное ставить столбцы.

Г И

Г И

т. д., (5.150)

т. д., (5.150)

значение 3/-символа не изменится, если пере-

значение 3/-символа не изменится, если пере-

Докажем далее, что всегда тели д(//a)，что

Докажем далее, что всегда тели д(//a)，что

можно так выбрать

можно так выбрать

фазовые.

фазовые.

/1 /2 Л

Kj k2 k3

/1 /2 Л

Kj k2 k3

(J)/i +Л + /э

(J)/i +Л + /э

丿2

丿2

/1 /з

修K3

/1 /з

修K3

Уз л

x3 К2

Уз л

x3 К2

=(-1卢+力+%

=(-1卢+力+%

откуда с помощью соотношения (5.148) получим

откуда с помощью соотношения (5.148) получим

множи-

(5.151)

(5.152)

множи-

(5.151)

(5.152)

Иначе говоря, фазовые множители всегда можно выбрать так, чтобы 3/-символы не изменялись при четной перестановке столбцов и умножались на коэффициент (——1)〃+乃+九(равный 土 1) при нечетной перестановке.

Чтобы получить равенства (5.151) и (5.152), выберем какой-нибудь конкретный набор и10, и2о，и39, для которого 3/-символ

/2/3

ХЮ х20Х30

не обращается в нуль. Из (5.150) мы видим, что для этой тройки 乂 не будут обращаться в нуль и 3/-символы с переставленными столбцами. Выберем теперь фазовый множитель(о (/i/2/3) так, чтобы 3/-символ

J\ /2 /з

х10 х20 乂 30

был вещественным и положительным. Выберем, далее, фазовый множитель (о(y2/i/3) так, чтобы выполнялось первое из равенств (5.151). Это всегда возможно, если 厶次厶，поскольку в этом случае множитель (о(/2/1Л) не зависит от ①(力丿必).Если же 厶=厶，т0 первое из равенств (5.151) означает просто

•Л厶丿3) _ 2九十九.1j，丿3)

т. е. представление /3 содержится в симметричном квадрате представления /1， если представление /з+2_Д четно, и содержится в антисимметричном квадрате 工，если 厶十。/】нечетно. Аналогично, мы можем сделать так, чтобы выполнялось второе равенство (5.151) [а следовательно, и (5.152)] при 修°, х20, х30. Но в этом случае, если в (5.149) вместо xz подставить 乂为，мы увидим из симметрии левой части равенства, что равенства (5.151) и (5.152) будут выполняться при всех 九 1，九2， ^з- Эти равенства сохранятся, если все 3/-символа умножить на фазовые множители (о(У1У2/з)> полностью симметричные по 厶，/2. Л-

Далее мы рассмотрим (5.144) в частном случае, когда 厶 “ть единичное представление. Обозначим это представление 办=0, а его единственную строку (н столбец) обозначим индексом х2 = 0. Кронеке- ровское произведение представлений D^^ и О® содержит только представление。”)，так что в этом случае из (5.144) следует:

D練R）=U】］（? ； ：）D；y?（R）（f о （5」44а）

т. а. унитарная матрица

=［力唄：；)，(5.153)

которую мы будем называть 1 j-символом, преобразует представление Q⑺ в комплексно сопряженное:

D^ = {^ D^^US(5」54)

Перейдя в (5.154) к комплексно сопряженным величинам, получим

D；夕=(5.154а)

Для этого

частного случая условия унитарноеги (5.142) и (5.142а)

сводятся к

и

условиям

J)(5」55)

ОС) = 3(5.155а)

Равенство

(5.151) сводится к равенству

С) =(Т产(5」56)

которое является лишь иной формой утверждения (5.79): матрица, преобразующая представление в комплексно сопряженное, симметрична либо антисимметрична в зависимости от того, является ли это представление целым или полуцелым.

Фактическое вычисление 3/-символов (или коэффициентов Клебша— Гордана) зависит от конкретной структуры группы. Мы остановимся на э гом вопросе при рассмотрении представлений отдельных групп.

ГЛАВА 6

①ИЗИЧЕСКНЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Классификация уровней энергии

Мы уже в некоторых случаях отмечали связь между представлениями групп и квантовомеханическими задачами. Если мы изучаем какую-нибудь атомную систему, то мы прежде всего должны найти группу симметрии ее гамильтониана, т. е. совокупность преобразований, которые оставляют этот гамильтониан инвариантным. Наличие у системы группы симметрии обусловливает возможность вырождения. Если 屮——собственная функция, соответствующая энергии е, то функция 報屮 также будет принадлежать энергии £ (R — произвольный элемент группы симметрии О). Этот уровень энергии оказывается вырожденным, если。^屮厘。屮 при всех R. Собственные функции, принадлежащие данной энергии е, образуют базис некоторого представления группы О. В большинстве случаев это представление будет неприводимым. Только в редких случаях при весьма специальном выборе параметров мы получим „случайное** вырождение, при котором системы функций, принадлежащие различным неприводимым представлениям, будут отвечать одной и той же энергии. Ясно, что партнеры, образующие базис для одного из неприводимых представлений группы О, должны, соответствовать одному и тому же значению энергии, поскольку операции группы симметрии преобразуют их друг в друга. Но каждая из двух различных систем партнеров 屮尹 и 屮厂)，даже если они служат базисами одного и того же неприводимого представления группы G (ц = v), в резуль гате преобразований переходят снова только в себя, и из соображений симметрии отнюдь не следует, что они соответствуют одному и тому же значению энергии.

Поэтому мы можем предположить, что в общем случае совокуп^ ность собственных функций, принадлежащих данной энергии е, является совокупностью партнеров и образует базис одного из неприводимых представлений группн симметрии. Уже одно это многое говорит нам о той степени вырождения, которую следует ожидать. Например, если мы рассматриваем систему, обладающую группой симметрии О, то из таблицы характеров (см. табл. 22) можно увидеть, что уровни энергии этой системы могут быть только одно-, дву- и трехкратно вырожденными. Однократно вырожденные уровни будут двух типов в зависимости от того, принадлежат ли они представлениям 4 или Д2#

Собственные функции простых уровней этих двух гипов отличаются своим поведением при операциях С4 и 5* Все двукратно вырожденные уровни будут одного типа и принадлежат двумерному представлению Е. Наконец, трехкратно вырожденные уровни могут быть двух различных типов, соответствующих представлениям 尸】и F2. Если отвлечься от возможности случайного вырождения, то перечисленные типы являются единственно возможными типами уровней. Хотя обозначения, которыми мы будем пользоваться, могут показаться странными (на самом деле мы делаем в точности то же самое, чго делается в обычных квантовомеханических рассмотрениях), мы будем каждой собственной функции 屮尹 приписывать дза квантовых числа р. и Z, чтобы описать ее поведение при операциях, принадлежащих точечной группе симметрии. Точно так же, как мы увидим позднее, когда группой симметрии будет служить полная группа вращений, мы будем приписывать функции 礎 квантовые числа / и т, что5』 охарактеризовать ее поведение при вращении и инверсии (функция считается соответствующей /n-й строке /-го неприводимого представления).

Итак, для системы с симметрией О может оказаться типичной следующая схема уровней:

炉），屮"屮尹.

屮产

屮戶），屮戸）,“好）. "尸，"尸.

На этой схеме мы начертили два уровня, принадлежащих Д^пред* ставлению. Из того, что они изображены в виде уровней с разл ш* ными энергиями, следует, что функции 屮，'и ср，' ллнейно независимы. Если бы эти функции были линейно зависимы, им должна была бы отвечать одна и та же энергия. Аналогично для двух уровней, обозначенных буквой Е, функции 屮产 и 屮0 являются партнерами, преобразующимися по представлению Е и соответствующими, таким

образом, одной и той же энергии. Функции 屮产）и 屮戸）также являются партнерами, но функции ф и ф не связаны между собой никакой линейной зависимостью.

Теория возмущений

Невозмущенный гамильтониан Н° был инвариантен относительно своей группы симметрии G. Предположим теперь, что на систему наложено некоторое возмущение V. Возмущенный гамильтониан

"=% + 丿

будет иметь группу симметрии, которая должна быть некоторой под* группой группы G. Если возмущение V обладает симметрией, которая по крайней мере не ниже симметрии гамильтониана Н°, то группа G будет по-прежнему группой симметрии полного гамильтониана Н. В этом случае возмущение не изменит возможных типов уровней. В самом деле, расщепления вырожденных уровней произойти не может. Рассмотрим, например, какой-нибудь уровень е и его .собственные функции i|A^\ Поскольку возмущение V инвариантно относительно всех операций группы О, функция

ф^^ = Уф^

принадлежит /-й строке ц-го неприводимого представления. Но мь1 можем утверждать, что недиагональные элементы

（吵）,丿吟））

матрицы возмущения равны нулю, а все диагональные элементы равны между собой, из-за чего и не происходит расщепления уровней. Докажем наше утверждение в более общем случае, поскольку это понадобится нам в дальнейшем. Мы утверждаем, что скалярное произведение двух функций, не принадлежащих одной и той же строке одного и того же неприводимого представления, равно нулю. Обозначим эти функции 屮俨）и 吟）. Унитарные операторы группы симметрии не изменяют скалярного произведения, поэтому

件叫吟））=（0册,。d衿=十工（0册）,00）=

=十工 工映W（R），

=十£仲俨，唄）2哨（R）%）（R）=klR

П春工仲也唄）帚%%% =专工仲尹,明）** （6」）

Положив ц = V, 2 = /, найдем, что скалярное произведение

仲尹，中尹)(6.2)

не зависит от I. В частном случае

中尹-V"屮尹

мы получим тот же результат. Следует обратить особое внимание на то, что этот уровень не может расщепиться ни в каком приближении. Ибо если бы он расщепился, то это означало бы, что исходное представление, вопреки нашему предположению, было приводимым.

Если произойдет случайное вырождение, мы будем предполагать, что г*я система партнеров (образующих базис r-го неприводимого представления) обладает энергией Ег и что энергии Ег случайно совпадают друг с другом. Если на систему наложено какое-то симметричное возмущение V, то оно в лучшем случае может уничтожить это случайное вырождение. Если представление D такого уровня является суммой неприводимых представлений, каждое из которых входит в эгу сумму ровно один раз, то в этом случае теория возмущений несложна, ибо, согласно (6.1), отличными от нуля будут только диагональные элементы представления, а согласно (6.2), они будут одинаковыми для всех партнеров;

(吵)/屮俨)=%

Если же одно и то же неприводимое представление входит в пред^ ставление D несколько раз, то появляются недиагональные элементы вида

^, v^ = v^.

Чтобы получить собственные функции нулевого порядка в этом случае, мы должны решить секулярное уравнение для всех функций, принадлежащих одной и той же строке одного и того же неприводимого представления. Сделать это нетрудно. Например, если какое* нибудь неприводимое представление встречается дважды, нам придется найги только определитель матрицы 2X2, так как для всех 2 строк представления мы получим одно и то же секулярное уравнение.

Если возмущение V обладает более низкой симметрией, чем гамильтониан Н°, то полный гамильтониан Н будет обладать группой симметрии О', являющейся некоторой подгруппой группы G. Предположим, что нам дано некоторое представление D (G) группы G. Мы тотчас же получаем некоторое представление ее подгруппы G\ выбирая среди матриц D (G) те, которые соответствуют элементам О'. Даже в том случае, когда представление D (G) группы G неприводимо, представление подгруппы О', получаемое нами по этому методу [назовем его Df(Gf)]t может оказаться приводимым. Иначе говоря,

несмотря на то, что мы не можем найти подсистему базисных векторов представления D (G), которая бы оставалась инвариантной относительно всех преобразований группы G, может случиться так, что мы сумеем найти какое-нибудь подпространство, инвариантное относительно всех преобразований подгруппы G'. Если сказанное перевести на язык физики, то это означает, что, несмотря на то что собственные функции, принадлежащие энергии е, образуют базис неприводимого представления группы G, это представление для подгруппы G' может оказаться приводимым, В этом случае возмущение V расщепит уровень. Проиллюстрируем этот метод на нескольких примерах.

Предположим, что группой симметрии невозмущенного гамильтониана служит группа С4. Как показано в гл. 4, все неприводимые представления этой группы одномерны, но пара комплексно сопряженных представлений Е отвечает одному и тому же уровню. Если мы наложим возмущение, обладающее симметрией группы С2> то вырожденный Е-уровень расщепится на два уровня, принадлежащих представлению В группы С2-

Предположим далее, что группой симметрии G является группа G3v. Уровни классифицируют по представлениям 4，Л2> Е группы %,. Уровни последнего типа двукратно вырождены. Если группа симметрии G' полного гамильтониана есть группа 伉，то вырождение исчезает. Чтобы найти те представления группы С5, которые содержатся в представлении Е группы G^vt выпишем часть таблицы характеров группы %, соответствующую операциям подгруппы 伉：

Е； %, У I 2 J О

и воспользуемся соотношением (3.150), чтобы найти, какие неприводимые представления группы Cs содержатся в Е. Для представления А! группы Cs найдем:

%=^[2(1) + 0 ⑴] = 1,

для представления 工"：

%,, = ^弘1) + 0(-1)] = 1,

поэтому ^-уровень группы G3v расщепится на уровни типа 工‘ и 工" группы Gs.

В качестве еще одного примера предположим, что группой симметрии G является группа Т тетраэдра. Рассмотрим уровень,

принадлежащий представлению F. Этот уровень будет трехкратно вырожденным. Характеры равны

С2(3)

c2⑷

c；⑷

F J 3

—1

0

0

Предположим, что возмущение таково, что полный гамильтониан обладает группой симметрии D2^V. Из приведенной выше таблицы отберем характеры для элементов подгруппы У:

Е

°2*

С2y

%

尸

3

—1

—1

—1

Из соотношения (3.150) и таблицы характеров группы V (см. табл. 14) находим

a4 = ｝闽1)一М1)一m1)_1(1)]=0，

«в, ^Tl3^1)-1(-1)-1 (-1)-1 (1)1=1.

аВ2 = dgj = 1.

Итак, представление F группы Г содержит представления 修，々 И 区3 группы У.

Далее, в случае представления 尸 группы Г предположим, что полный гамильтониан обладает группой симметрии С3. Выпишем ту часть таблицы характеров, которая относится к подгруппе (?3:

Е 1 С3

尸 3 1 0

0

Пользуясь соотношением (3.150) и таблицей характеров для группы (?3, найдем

ал = |[3(1) + 0(1) + 0(1)] = 1.

Таким образом, F-уровень группы Г расщепляется на Л- и £-уровни группы (?з・

Наконец, предположим, что полный гамильтониан обладает сим-

метрией С?：

Е

尸

3

—1

Из (3.130) получимИз (3.130) получимал = 1[3(1)-1(1)] = 1, ад = у[3(1)-1(-1)] = 2.

Из (3.130) получим

Из (3.130) получим

Итак, F-уровень расщепляется на три невырожденных уровня, один из которых принадлежит представлению Л, а два других—-представлению В группы С2.

Задача. Рассмотрим систему, обладающую симметрией группы О. Предположим, что на эту систему наложено возмущение, которое понижает ее симметрию до симметрии: а) группы Т, б) группы D3, в) группы V с тремя осями 2-го порядка, соединяющими середины противоположных ребер (см. фиг. 35), г) группы V с двумя из трех осей 2-го порядка, соединяющими середины противоположных ребер (см. фиг. 35), д) группы %.

В каждом случае найдите, как уровни, принадлежащие представлениям Е,尸[и 危 группы О, расщепляются в результате наложенного возмущения.

Правила отбора

В § 1 настоящей главы мы рассмотрели классификацию уровней энергии по неприводимым представлениям группы симметрии невозмущенного гамильтониана. Коль скоро схема уровней получена, мы должны задать себе вопрос, каковы правила отбора для оптических переходов между различными (вырожденными) уровнями, или, в более общем виде, мы должны задать себе вопрос, какие элементы матрицы возмущения V обращаются в нуль.

Если случайного вырождения нет, то собственные функции каждого уровня образуют базис одного из неприводимых представлений группы симметрии. Матричный элемент величины /, соответствующий переходу между состояниями, принадлежащими 卩・ и v-представлениям группы симметрии, будет иметь вид

井;=j 嘅)*/吟)dt 仲俨,/吟))，(6.3)

где 屮俨 принадлежит /-Й строке(i-представления, а 鸣)принадлежит /-й строке v-представления. Равенство (6.1) означает

j 噌尸吟)di = (i|)尹，(p?)) = 0, если 卩 # v или £#/. (6.4)

Если в равенстве (6.4) мы выберем в качестве ^-представления единичное представление (в случае единичного представления мы должны взять rrI), то функцию +р) можно выбрать равной константе (константа инвариантна относительно всех преобразований

точечной группы и вследствие этого принадлежит единичному представлению). Тогда (6.4) перепишется следуют,им образом:

j ^р dr — О,j ^р dr — О,если только v 次 1.если только v 次 1.(6.5)(6.5)

j ^р dr — О,

j ^р dr — О,

если только v 次 1.

если только v 次 1.

(6.5)

(6.5)

Пользуясь теоремой о разложении (3.193), можно сказать, что для любой функции

j 屮di = j 屮⑴ di=十 j ] ОЛф dr,(6.6)

где 屮⑴ означает ту часть функции 屮，которая принадлежит единичному представлению.

Равенство (6.5) легко вывести независимо для случая, когда v-представление одномерно. Интеграл от функции 屮 по всему пространству не изменится, если мы преобразуем функцию 屮 в 。笈屮, где R——любое вращение или отражение. Таким образом, для всех А, принадлежащих группе G,

J 屮 di = j O^dx.

Для одномерного представления 0笈屮=厂屮，где г——некоторый числовой множитель, откуда следует, что

j 屮 dt = г j 屮 di = 0,

если только г не равно 1 для всех R. Следовательно,

j屮⑺di= О,

если только v# 1. Обобщение последнего доказательства на случай представлений большей размерности утомительно, в то время как доказательство, приведенное выше, носит весьма общий характер.

Теперь мы можем результат (6.1) сформулировать еще и следующим образом: произведение 屮丁产屮‘)содержит часть, остающуюся инвариантной относительно всех операций группы G тогда и только тогда, когда 卩=\\ / = «/. Что касается интеграла (6.3), то можно сказать, что /；； = 0, если только f齊 не содержит функции, принадлежащей /-й строке ^-представления. Если функция / является скаляром, то она принадлежит единичному представлению. Если мы рассматриваем дипольный момент системы, то / имеет три компоненты и т. д. Во всяком случае, функция (или функции) /, фигурирующая

в интеграле (6.3), является базисной функцией (базисными функциями) одного или нескольких неприводимых представлений группы G. Предположим, что / пробегает систему функций 破)，образующих базис р-представления группы G. В этом случае переход между 卩-и v-уровнями будет запрещен лишь при условии, что ни одно из произведений 0£)屮厂)или ни одна линейная комбинация таких произведений не принадлежит р.-представлению. Если ц,-представле- ние не содержится в произведении представлений D^ и Z)(v), то соответствующий переход запрещен.

Пользуясь (5.15) при вычислении характера каждого элемента в произведении представлений, разложим это произведение на неприводимые представления и подсчитаем, используя (3.150), сколько раз каждое неприводимое представление входит в него. [После выполнения этих двух этапов вычислений мы получим коэффициенты ряда Клебша ——Гордана (5.108).] При построении полной таблицы правил отбора более удобно следовать именно этому методу, нежели объединять эти два этапа и пользоваться соотношением (5.105). Проиллюстрируем метод на примере группы Q3vt При рассмотрении этого первого примера мы перепишем еще раз таблицу характеров (см. табл. 17), но в последующих примерах приводить таблицу мы не будем. К таблице характеров присоединим характеры всех произведений представлений:

©3DEС3⑵0人3)4； N111&； 411—1心，%;月；X, y2—104 X 4111=44 X 411—1=Ai4ХЕ2—10=月4 X 4111=44ХЕ2—10EXE410=4 + 4 + 月©3DEС3⑵0人3)4； N111&； 411—1心，%;月；X, y2—104 X 4111=44 X 411—1=Ai4ХЕ2—10=月4 X 4111=44ХЕ2—10EXE410=4 + 4 + 月(6.7)(6.7)

©3D

E

С3⑵

0人3)

4； N

1

1

1

&； 4

1

1

—1

心，%;月；X, y

2

—1

0

4 X 4

1

1

1

=4

4 X 4

1

1

—1

=Ai

4ХЕ

2

—1

0

=月

4 X 4

1

1

1

=4

4ХЕ

2

—1

0

EXE

4

1

0

=4 + 4 + 月

©3D

E

С3⑵

0人3)

4； N

1

1

1

&； 4

1

1

—1

心，%;月；X, y

2

—1

0

4 X 4

1

1

1

=4

4 X 4

1

1

—1

=Ai

4ХЕ

2

—1

0

=月

4 X 4

1

1

1

=4

4ХЕ

2

—1

0

EXE

4

1

0

=4 + 4 + 月

(6.7)

(6.7)

Ясно, что ббльшую часть результатов можно получить, обозревая эту таблицу. Во-первых, произведение единичного представления и любого другого представления дает только последнее представление (так как ф^ф^ = ф^). Во-вторых, произведение двух одномерных представлений есть представление одномерное и должно быть неприводимым. Единственным приводимым произведением представлений в рассматриваемой таблице является произведение £ X £.

Это представление четырехмерно, сумма квадратов модулей его характеров равна (4)2 + 2 (1)2= 18. Из (3.151) имеем

18 = g』％ или 』а]=3,

с единственным решением

аА^аАг — аВ— 1， так что

ЕХЕ = 4 + 4 + £(6.8)

Тот же результат можно получить и из (3.150):

°А= ^ KD (4) (1)十⑵⑴(1)十⑶(0)⑴]=1, a4=*[(1)(4)(1)十(2)(1)(1)+(3)(0)(1)] = 1,(6.8а)

冲=4 KD⑷⑵+(2)⑴(一1)十⑶(0) (0)] = 1.

Равенство (6.8) означает, что если мы возьмем произведения функций одной системы партнеров, принадлежащих представлению f, и функций другой системы партнеров, принадлежащих тому же представлению f, то мы получим четыре функции, образующие базис представления Е \Е. Можно найти такую линейную комбинацию этих произведений функций, которая принадлежит представле* нию /и другая линейная комбинация будет принадлежать представлению 4 н Две линейные комбинации, образующие систему партнеров, будут принадлежать представлению Е. Заметим, что в таблице характеров z Принадлежит представлению Л1# а % н у, образующие систему партнеров, принадлежат представлению Е. Тройка функций р = (Р“，Ру, Р) называется (полярным) вектором, если эти функции преобразуются как компоненты радиуса-вектора「= (%, у, z). Таким образом, для любого вектора Р компонента Pz принадлежит представлению 4，а компоненты Рх и Pyt составляющие систему партнеров, принадлежат представлению Е. Если заданы два (полярных) вектора Р и Q, мы имеем две системы партнеров, принадлежащих представлению Е: Рх, Ру； Q* Qy. Произведение представлений £ X Е имеет в этом случае базисные функции

P#Qy， PyQx‘ %Qy*

В этом простом примере линейные комбинации, принадлежащие представлениям Лн Л2, Е, можно найти, рассматривая таблицу. Тем не менее мы получим этот результат непосредственно, чтобы

получше ознакомиться с произведением представлений. В § 2 гл. 4

C3v в представлении Е:C3v в представлении Е:мы выписали матрицы группы

C3v в представлении Е:

C3v в представлении Е:

Е1 0О 1Е1 0О 1е ОО е2е ОО е2-е2 (ГО е-е2 (ГО еО Г1 ОО Г1 ОО &е2 ОО &е2 О-0/е О-0/е О(6・9)(6・9)

Е

1 0

О 1

Е

1 0

О 1

е О

О е2

е О

О е2

-е2 (Г

О е

-е2 (Г

О е

О Г

1 О

О Г

1 О

О &

е2 О

О &

е2 О

-0/е О

-0/е О

(6・9)

(6・9)

где базисными функциями были функции ли5о е‘屮 и «一‘屮，либо 尤+ 小 и х—，у, либо Рх + IP у и Рх — tPy. Воспользуемся теперь соотношением (5.4), чтобы найти матрицы произведения представлений:

' 1ООО' 1ОООЕО 1ООЕО 1ОООО1ООО1О0"ОО10"ОО1е2О ООе2О ООСзО I1 IООСзО I1 IООо о1оо о1оО"ООО"ООеееО О ОеО О Оо1о оо1о о彌О о 1 о彌О о 1 оО "ООе2О "ООе2(6.Ю)(6.Ю)12 и 21. В силу12 и 21. В силуи компонентыи компонентысвязывающие компоненты 11 исвязывающие компоненты 11 иэтого матрицы приводимы. Матрицы, 22, являются матрицами представле-этого матрицы приводимы. Матрицы, 22, являются матрицами представле-ния Е, и поэтому произведенияния Е, и поэтому произведения

' 1

О

О

О

' 1

О

О

О

Е

О 1

О

О

Е

О 1

О

О

О

О

1

О

О

О

1

О

0"

О

О

1

0"

О

О

1

е2

О О

О

е2

О О

О

Сз

О I

1 I

О

О

Сз

О I

1 I

О

О

о о

1

о

о о

1

о

О"

О

О

О"

О

О

е

е

е

О О О

е

О О О

о

1

о о

о

1

о о

彌

О о 1 о

彌

О о 1 о

О "

О

О

е2

О "

О

О

е2

(6.Ю)

(6.Ю)

12 и 21. В силу

12 и 21. В силу

и компоненты

и компоненты

связывающие компоненты 11 и

связывающие компоненты 11 и

этого матрицы приводимы. Матрицы, 22, являются матрицами представле-

этого матрицы приводимы. Матрицы, 22, являются матрицами представле-

ния Е, и поэтому произведения

ния Е, и поэтому произведения

(P*-HPy)X(Q*-HQy) и(Р*—7>у)х@—・Qy)

принадлежат представлению Е. Взяв их линейные комбинации, мы сможем также утверждать, что

PXQx~PyQy Н PxQy + PyQx

принадлежат Е. Если взглянуть на матрицы, связывающие компоненты 12 и 21 [базисные функции (Р ^-\-1Ру) (Q# — /Qy) и {Рх—iPy)(Qx~\-iQy)\, то можно заметить, что для представлений £, Сз> Сз они имеют вид

а для представлений 。办 о^* о&”——вид

01011О1О

0

1

0

1

1

О

1

О

Взяв в качестве новых базисныхВзяв в качестве новых базисныхфункций линейные комбинациифункций линейные комбинации

Взяв в качестве новых базисных

Взяв в качестве новых базисных

функций линейные комбинации

функций линейные комбинации

(匕 + iP^(Qx - R) + (Рх - iP^ (Qx + R) = 2 (PXQX + PyQ^

и

(匕 + 2%) (Q* - ZQy) - (Px - mg + ZQy) = 2» (戶yQ* -匕Qy),

можно разложить эти произведения на неприводимые компоненты. Таким образом,

Р«х + 尸 yQy

принадлежит представлению 4，

戶 *Qy — PyQx

принадлежит представлению Л2;

戶 *Qx + %Qy

есть скалярное произведение полярных векторов Р и Q (компонента z инвариантна относительно всех операций группы Л и» следовательно, является инвариантом (скаляром). Величина PxQy —尸yQ* является ^-компонентой векторного произведения Р X Q. Векторное произведение преобразуется как радиус-вектор при вращениях, но не меняет знака при инверсии. Величины такого типа называются аксиальными векторами. Мы можем сказать, таким образом, что г-компо- нента любого аксиального вектора принадлежит представлению Д2 группы Q。.

По таблице характеров мы замечаем, что z (а следовательно, и 戶J принадлежит представлению 4* Произведение представлений Лх X Е = Е, поэтому типичными партнерами, принадлежащими произведению 4 X Е, будут 土 n (либо 土戶z，либо 士Q) умноженные на х и у (либо на PXi Pyi либо на Q** Q, В результате мы обнаружим, что xz, ” принадлежат представлению Е, то же относится и к

PFz，PyPz；巳"Qz，PyQz；pAx —尸*Qz，PyQz —尸zQy・

Следовательно, x~ и у-компоненты векторного произведения Р X Q принадлежат представлению Е так же, как и х- и у-компоненты любого аксиального вектора. Часто аксиальный вектор обозначают символом R (R——означает вращение——типичный аксиальный вектор),

В таблице характеров мы будем относить компоненту R2 к представлению Л2, в то время как компоненты Rx и Ry будут принадлежать представлению Е.

Рассмотрим теперь правила отбора в случае той же самой группы симметрии (?зр. Матричные элементы задаются интегралами (6.3). Если f = (%, у, 2), мы получим правила отбора для электрического дипольного излучения. Рассмотрим интегралы

J 屮产f 吟)dt, (6.11)

где / пробегает значения от 1 до пц, а 丿——от 1 до nv. Переход будет запрещен (для электрического дипольного излучения) лишь при условии, если все эти интегралы обращаются в пуль. Далее мы сделаем следующее. Из таблицы нам известно, что 2 принадлежит представлению Ах группы ©з/ Поэтому система функций z^p 1, nJ образует базис произведения 4 X D” Если 4 X *)не содержит d"^, то все интегралы (6.11) обращаются в нуль. Аналогично, хну принадлежат представлению Е, поэтому системы функций х(р(^\ уф^ (/=1, . . ., nJ образуют базис представления ЕХ /)")・ Если Е X /У’’ не содержит /У? то все эти интегралы (матричные элементы хну) обращаются в нуль. Следовательно, переход между уровнем, принадлежащим представлению D” и уровнем, принадлежащим представлению /)(ц\ будет запрещен (для электрического дипольного излучения), если ни 4 X /У? нн Е X D^ не содержат представления D^\ Из таблицы (6.7) найдем

4X4 = 4， 4 X % = 4， АгХ Е = Е, ex4=e，e></2 =e，e><E=4 + 4 +及("2)

Переходы Ах Л2 запрещены.

Магнитный дипольный момент является аксиальным вектором, поэтому магнитные дипольные переходы будут запрещены, если ни 4XD ? нн EXD")не содержат представления Q(闺.Нз (6.7) имеем

/2 X 4 ^^ 4，/2 X /2 ==:: 4，/2 X e=:e,

七x4 =七，ex4 = e eX七=4 +/2 +e.(/3)

Поскольку пары 4—>4，厶十^々 не встречаются, магнитные дипольные переходы между двумя состояниями, принадлежащими представлению 4 (или Л2), запрещены.

Следует отметить, что в случае, когда группой симметрии служит группа чистых вращений, нет никакого различия между аксиальными и полярными векторами, и правила отбора для электрического и магнитного дипольных излучений совпадают.

С помощью этой таблицыС помощью этой таблицысоотношения (3.150) получимсоотношения (3.150) получимВ качестве второго примера найдем правила отбора для электрического (и магнитного) дипольного излучения для системы с симметрией Т. Все компоненты вектора принадлежат представлению 尸 (см. табл. 21). Поэтому мы составляем произведение представлений 尸 X 4 尸义旦 尸 X 尸 н, пользуясь соотношением (5.15), вычисляем характеры:

С помощью этой таблицы

С помощью этой таблицы

соотношения (3.150) получим

соотношения (3.150) получим

T

£

c2 (3)

С3(4)

俏(4)

尸X/

3

—1

0

0

尸义石

(3

—1

0

0

t 3

—1

0

0

尸义尸

9

—1

0

0

характеров и

尸 x5 = £ 尸 х?=2 尸，尸 X 尸=5 + ? + 2 尸.(6.14) Следовательно, запрещенными являются переходы

В качестве последнего примера рассмотрим группу симметрии Q2d. Из таблицы характеров мы видим, что Рх и Ру являются партнерами, принадлежащими представлению Е, a Pz принадлежит представлению В2. Произведения компонент полярных векторов такие, как P*Qz，PyQz，либо GQ*，BQy，пнбо PZQX — PXQZ, PyQz —BQy， образуют пары партнеров, принадлежащих представлению Е X 々=巨 Итак, для любого аксиального вектора компоненты Rx и Ry образуют пару партнеров, принадлежащих представлению Е. С другой стороны, компонента Rz принадлежит представлению А^ (Это можно усмотреть из геометрических соображений с помощью методов гл. 2. Рассмотрим какое-нибудь вращение вокруг оси N. Что произойдет с этим вращением, если мы сначала произведем поворот на 180° вокруг некоторой горизонтальной оси или же совершим отражение в какой-нибудь вертикальной плоскости? Другой метод, который надлежит испробовать читателю, состоит в разложении матриц представления £ X £ на неприводимые компоненты, что было продемонстрировано нами на примере группы 3纳)

Чтобы найти правила отбора для электрического дипольного излучения, мы должны определить, какие представления содержатся в произведениях представлений В2 и £ со всеми представлениями группы D2d:

% X 4 =%， в2х в2= 4, Е X A2 = Et% X 4 =%， в2х в2= 4, Е X A2 = Et当X力2 =当，当 X £ == E,E X B] = E,当X力2 =当，当 X £ == E,E X B] = E,当X当=4,E X Ax — E, £ X B? = E,当X当=4,E X Ax — E, £ X B? = E,(6.15)(6.15)

% X 4 =%， в2х в2= 4, Е X A2 = Et

% X 4 =%， в2х в2= 4, Е X A2 = Et

当X力2 =当，当 X £ == E,E X B] = E,

当X力2 =当，当 X £ == E,E X B] = E,

当X当=4,

E X Ax — E, £ X B? = E,

当X当=4,

E X Ax — E, £ X B? = E,

(6.15)

(6.15)

七X ? = 4 + & +片+当.

Зарегим, что в таких группах, как группа Qd，г^е имеется выделенная ось (направление оси z), матричные элементы Pz отличаются от матричных элементов Рх и Ру. Эго различие напоминает различие между л- и о-компонентами в обычной спектроскопии. Для компоненты Pz разрешенными переходами оказываются переходы

<~> 耳2，才2 "*~^ 6】)Е <~> Еt

в то время как для Рх и Ру разрешенными оказываются переходы4’4’ В* В?^г~> Е.

В случае магнитного дипольного излучения Rz принадлежит представлению Л2> a R# и Ry——представлению Е. Для Rz

才2 X 4】^^ *2’，2 X，2 == 4】，，2 X 8【^2*

4X62 = 61,& X 七二旦

поэтому разрешенными переходами являются

<~> 才2‘6】"*~^ 耳2‘Е <~> Е,

Для Rx> Ry, а также для Рх и Ру разрешенными являются переходы 4，4，6「

I

Задача. Найдите правила отбора для электрических и магнитных дипольных переходов, если группой симметрии является а) группа D^t б) группа О

Пользуясь результатами, полученными в случае *6*, укажите разрешенные переходы для схемы уровней, приведенной в § 1 настоящей главы.

При вычислении матричных элементов, аналогичных матричным элементам (6.3), мы фактически имеем дело с произведением представлений, состоящим из трех сомножителей. Функция / в (6.3) может пробегать по базисным функциям 眠 некоторого неприводимого представления (например, р-представления). Совокупность функций 屮尹'совпадает во всех рассматриваемых случаях с совокупностью функций 屮尸，поэтому если мы возьмем все произведения, состоя* щие из трех функций wy)*8£)q/?), то получим какое-то представление, которое следует обозначить D^ X。⑻ X。” До сих пор наш метод сводился к тому, чтобы установить, содержит ли произведение »р) * Q⑺ представление D^\ Но произведение трех представлений можно разлагать в любом порядке. Окончательный результат должен всегда получаться один и тот же. Иначе говоря, мы могли бы сначала взять произведение D^ X D^ и посмотреть, содержится ли

в нем представление。(①.(Если подынтегральное выражение состоит из нескольких сомножителей, число их может быть произвольным, то общий метод состоит в том, чтобы взять произведение представлений, отвечающих сомножителям, 。“)X °(?)X °")X • • ■ и посмотреть, содержит ли оно единичное представление.) Например, в случае группы D2d мы образуем произведения, перечисленные в табл. 23.

Таблица 23

л, х л； = 4

4 x 4 二分

Л； X S^ — В]

(4 X 日2=殳"

J 4 X £ 二 £ ]

& х A2= 4

(4 х 8,==殳)

#2 X % ~ 8/

1 4 X £ = £ 1

8f X 8, = Aj

В/ "X B2 =A^

1 &X£ 二 £ 1

6口 X 8? — At

1 б3 X E = E 1

(E X E = 4 + 4 + 鸟 + %)

Чтобы найти правила отбора для электрического дипольного излучения, мы отыскиваем в разложении произведений представления В2 (матричный элемент Р^ или Е (матричный элемент Рх и Ру). В табл. 23 переходы первого типа заключены в овальные рамки, а переходы второго типа——в прямоугольные рамки.

Разумеется, результаты получаются те же, что и раньше.

I

Задача. Примените этот метод к нахождению правил отбора для ди- польного излучения в случае симметрии группы Г.

До сих пор мы тщательно следили за тем, чтобы все наши функции были независимыми. Например, когда мы записывали матричные элементы

то подразумевали, что у 步快，или же, если 快-и v-представления были одинаковыми, считали, что функции 屮 и (р образуют две независимые системы партнеров. Функции 屮 и 屮 одинаковы для диаго-

Таблица 24

仇廿

E

C3⑵

u& (3)

E

2

—1

0

EXE

4

1

0

[EXE]

3

0

1

{EXE}

1

1

—1

нальных матричных элементов оператора /. В этом случае мы должны рассматривать симметризованные кронекеровские произведения, обсуждением которых мы занимались в § 2 гл. 5. Чтобы проиллюстрировать, чем отличаются друг от друга различные типы произведений, возьмем для примера группу Сз&. Характеры различных кронекеров- ских произведений приведены в табл. 24. Чтобы продемонстрировать, как мы получаем такую таблицу, рассмотрим элемент С3. Найдем

% 9з) = —1,% @) = —1,

так что

[ХХх(Сз)] = |[(-1)2-1] =0.

Для элемента % характер

%(%) = 0， но

Х(^) = Х(Е) = 2 и, следовательно,

[XXX(Ov)] = |[02 + 2] = l.

Разлагая произведения на неприводимые представления, имеем

ЕХЕ = 4 + & + Е， [E\E] = AlXE, {ЕХЕ}=&. (6.16)

Наконец, если мы положим jl = v, а функции ф и ф будут одними и теми же функциями (что будет иметь место в случае диагональных матричных элементов), то все антисимметричные произведения будут тождественно равны нулю и мы получим только симметричные произведения представлений. Например, х и у в группе Сз& являются партнерами, принадлежащими представлению Е. Взяв произведения хну, мы не сможем построить базис произведения представлений Е X Е, а вместо этого получим базис для симметричного произведения представлений [ЕХЕ]. Независимыми будут только три произведения: х2, ху и р Ранее при рассмотрении правил отбора для магнитного дипольного излучения [см. (6.13)] мы обнаружили, что два различных состояния, принадлежащих представлению Е, оказались связанными посредством компоненты R%、принадлежащей представлению Для матричных диагональных элементов дело обстоит иначе. Другими словами, все интегралы

для функции /, принадлежащей представлению Аъ равны нулю, ибо если мы сначала образуем произведения 時产屮夕，то получим симметричное произведение представлений \Е X Е], которое [см. ни)к^

не содержит представления Л2. Этот результат формулируют и по-другому: единичное представление не содержится в произведении [Е \ Е]\ 力？， хотя оно и содержится в произведении Е\Е\А2. Когда функции ф и ф одинаковы, мы вынуждены пользоваться симметричным произведением [Е X Е]. Раньше мы действовали в ином порядке: взяв сначала произведения /吟)，получали представление £*乂力2 =七・(Так как Л2 и Е ——различные представления, то этот наш шаг был, безусловно, верен.) Затем делалась попытка объединить Е \ А2 = Е с представлением, базисными функциями которого служат 屮尸广，в результате чего мы имеем Е X Е =力】+ 力？ + 七・ Но этот шаг уже неверен, ибо функции, получающиеся от произведения Е X 力2， связаны с базисными функциями представления Е и результат должен быть симметризован. Проиллюстрируем сказанное на примере группы C^v.

Для первого уровня возьмем функции

Wp=e，屮и 屮产=e-仅

для второго— 中产=6-2?中и 中氏)=e2f(P

и выберем функцию /=/?工，принадлежащую представлению Л2. Если мы будем действовать так же, как и раньше, т. е. рассмотрим переходы между этими двумя уровнями, то подынтегральные вы'ра- жения наших матричных элементов будут иметь вид

Rze± 3Z(p и Qe土'中.

Чтобы получить интеграл, не обращающийся в нуль, мы должны суметь найти какую-нибудь линейную комбинацию этих четырех произведений функций, которая принадлежала бы единичному представлению /]. Это достигается с помощью антисимметричной комбинации Rz sin Зф. Если же мы возьмем диагональные элементы для первого уровня, то подынтегральные выражения будут равны Rz и Rze±2i^, и мы не сможем составить функцию, принадлежащую единичному представлению.

Общий метод нахождения правил отбора для диагональных матричных элементов состоит в том, что строят симметричное произведение [/)(ю X °("1 для каждого неприводимого представления группы симметрии, после этого смотрят, какие произведения содержат то представление, которому принадлежит f.

Для группы (?3皆 мы находим следующие симметричные произведения:

Mi X 41 = 4,【4 X 41 = 4，[Е X 0 = 4 + Е (6.17)

Электрический дипольный момент принадлежит предсгавлению 4]+Е. Так как представление 4】и (или) предсгавление Е входят каждый

раз в правую часть равенств (6.17), мы заключаем, что ни один из диагональных элементов электрического дипольного момента в нуль не обращается. Магнитный дипольный момент принадлежит представлению 4+Е Так как представление Л2 и (или) представление 月 встречаются только в произведении [ЕХ^], мы приходим к выводу о том, что диагональные элементы магнитного дипольного момента обращаются в нуль для состояний типа 力】и Л2.

Пользуясь табл. 19, для группы Q2d находим

02d

Е 1

5

S，2)

5⑵

。4⑵

СХЕ]

3

3

—1

1

1

[4 X 41 = [& X 41 = 0 X 当]=包 X 砌=4,月х月=4 + 8]+4.

Электрический дипольный момент принадлежит представлению 8?+^； единственным необращающимся в нуль диагональным элементом является диагональный элемент для состояния типа Е. Магнитный дипольный момент принадлежит представлению /2 + ^； все его диагональные элементы равны нулю.

Задача. Найдите правила отбора для диагональных элементов электрического и магнитного дипольных моментов, если группой симметрии является а) группа D3^, б) группа О.

Рассмотрим далее правила отбора для электрического квадрупольного момента. Тензор второго ранга в трехмерном пространстве есть, по определению, любая совокупность девяти величин 4/ (/, /=1,2,3), которые при вращениях и отражениях преобразуются как произведение компонент двух независимых векторов. Так, если преобразование координат имеет вид

= 2 aikxkr(6.19)

то

%用。/产用力(6.20)

и компоненты тензора втор ого ранга должны преобразовываться следующим образом:

4/ — ^j aikaji^ki*(6.21)

Говорят, что тензор симметричен, если

4u=力产(6.22)

Симметричный тензор второго ранга в трехмерном пространстве имеет шесть независимых компонент. Типичный симметричный тензор получается из произведений координат %, у, 2：

'X2хуXZ■

xyу2yz.

- XZyz22.

Тензор квадрупольного момента симметричен, но обладает еще и дополнительным свойством, состоящим в том, что его след равен нулю, т. е.

4 片 + &у + "zz —。，

поэтому независимых компонент (сферических функций с / = 2) у него только пять. Чтобы найти правила отбора для электрических квадрупольных переходов, мы должны сначала распределить компоненты соответствующего симметричного тензора по различным неприводимым представлениям группы симметрии.

Так же как в нашем первом примере, мы вновь выберем группу 佻寸 Поскольку z принадлежит представлению 4卜 2? будет также принадлежать представлению 4「 Произведения zx и 2y являются парой партнеров, принадлежащих представлению Дт X Е = Е. Произведения х2, ху, у2 образуют базис симметричного произведения представлений [Е X £] = Ах^-Е. Легко видеть, что х2-|-у2 принадлежит Д1( а х2 — у2 и %у составляют пару партнеров, принадлежащих представлению Е. Итак, компоненты симметричного тензора распределяются по представлениям следующим образом:

ни одной компоненты;

След тензора квадрупольного момента равен нулю, т. е.

4 片 + &у + ^zz —。・

Но поскольку компоненты Azz и A v^ -|- Дуу независимо принадлежат представлению 4卜 то на результате это не скажется. Чтобы найти правила отбора для квадрупольных переходов, мы должны знать, содержатся ли представления Дт и (или) Е в произведении £)"" 乂 £)("). Если речь идет о диагональных элементах, то нужно уметь отвечать на этот же вопрос и для симметричного произведения [D^ 乂 D^]. Для группы Сз^ имеем

4X4 = 4，41乂/2=/2，4 X e e，

厶2乂”2 = 4，& X Е = Е，(6.23)

£ X e = 4十/2十号.

Мы отыскиваем представления /] и (йли) Е в правой части равенств (6.23) и обнаруживаем, что электрические квадрупольные переходы Аг Л2 запрещены. Точно так же для диагональных элементов мы образуем симметричные произведения

[& X XJ = 4，[А X 4] = 4，｛Еу^Е] = АХ-\~Е (6.24)

и обнаруживаем, что ни один из диагональных элементов в нуль не обращается.

Далее мы рассмотрим группу Q2d. Так как z принадлежит представлению В» то ?2 принадлежит fi2 X ^2 — Лр Функции zx и zy являются партнерами, принадлежащими представлению В?Х Е = Е, Функции 炉，ху и у? принадлежат симметричному произведению

[Е X Е] = 4 + 61 + 当.

Легко указать, к каким представлениям относятся те или иные функции: %?+屮 принадлежит 4，ху принадлежит 32, %? — у? принадлежит 8「Таким образом, компоненты тензора распределяются по представлениям следующим образом:

л л Л2' компонент нет;

6/ Лхх — Ауу; В2： 4у； Е: 4z，&z・

Условие равенства нулю следа тензора и в этом случае не влияет на наши результаты. Для переходов, которые должны происходить между уровнями, принадлежащими ц- и v-представлениям, произведение Q”)X Q(v) должно содержать по крайней мере одно из представлений /], В】， В? или Е. Из табл. 23 видно, что переходы Лу *-> Л2> Вх *-> 32 запрещены. Из (6.18) вытекает, что вследствие симметрии диагональные элементы должны обращаться в нуль.

Больший интерес представляет группа Т. Здесь %, у, z——партнеры, принадлежащие представлению 尸.Произведение [户 X 尸]имеет характеры, равные 6, 2, 0, 0, так чго [尸 X 尸]=/ 十尸 + 尸.Выписывая матрицы произведения [尸 X 尸],мы могли бы найти функции, принадлежащие различным неприводимым представлениям, но эти же функции можно легко получить, заметив следующее. Мы видим, что %? -|-屮+ г2 принадлежит представлению Л, %2 + еу2-|-е2^2 и х2-|- е2у2-|~- е^2 принадлежит £\ а %у, xz и у? принадлежит 尸.Поэтому компоненты тензора квадрупольного момента по представлениям распределяются следующим образом:

След тензора квадрупольного момента равен нулю; на сей раз это обстоятельство имеет значение: функция, которую мы приписали представлению 5, на самом деле равна нулю. Поэтому при нахождении правил отбора мы должны отыскивать в произведении представлений представления Е и (или)尸(но не Д). Имеем

A% A = At 5><Е = Е,/X 尸=尸，

ЕХЕ = ЕХ24EX 尸=2尸，(6.25)

尸X尸=/+e+ 2尸.

Запрещены переходы А Д.

Для диагональных элементов получаем

[5X川=儿 [EXE]=A^-Et [尸 ><尸]=5 + e +尸，(6.26) вследствие чего диагональный элемент для состояния типа А равен нулю.

Задача. Найдите правила отбора для квадрупольных переходов, если группой симметрии является а) группа D3^ б) группа О.

Применявшиеся нами методы можно обобщить и на случай тензоров более высокого ранга. Мы еще вернемся к этой задаче позднее, после того как рассмотрим группы вращений.

§ 4. Связанные системы

Развитые нами соображения о произведении представлений можно применять также и к связанным системам. Начнем с двух независимых систем с радиусами-векторами гиг соответственно. Гамильтонианы обеих систем записываются в одном и том же виде и инвариантны относительно одной и той же группы. Если мы будем рассматривать какой-нибудь оператор, принадлежащий группе симметрии, и окажется, что этот оператор действует на координаты первой системы, мы будем обозначать его。卩(оператор принадлежит группе G), если же оператор действует на координаты второй системы, мы будем обозначать его。月(принадлежит группе G). Элементы R и R будут обозначать одно и то же геометрическое преобразование, применяемое к системам 1 и 2 соответственно. Если мы рассматриваем отдельно систему 1, то ее состояния можно классифицировать по ее группе симметрии. Ее волновые функции мы будем обозначать 屮們). Аналогично волновые функции системы 2 мы обозначим 哂^). Если системы не связаны, то полная энергия равна сумме энергий отдельных систем, а гамильтониан Н = Н、+ Н? остается инвариантным относительно всех операций 。卩 0亍.(Эти произведения элементов группы G и эле-

ментов группы G образуют группу — прямое произведение групп G X О. Следует обратить внимание на то, что оператор R действует на координаты первой системы, а оператор S действует только на координаты второй системы.） Если же теперь эти системы будут связаны друг с другом, мы добавим к гамильтониану члены, зависящие от расстояния между этими двумя системами. Такие операторы, как °к°§，не оставляют этот член, учитывающий взаимодействие, инвариантным, за исключением того случая, когда S=R, т. е. KQrna обе системы подчинены одной и той же операции симметрии. Таким образом, при наличии взаимодействия группа симметрии полного гамильтониана состоит из произведений вида 0欠0五,где R и R——одна и та же геометрическая операция, применяемая к координатам систем 1 и 2 соответственно. （Эта группа изоморфна группе О, состоящей из элементов К.） Предположим, что не связанные между собой системы находятся в состояниях с собственными функциями 屮尹 и 屮厂）.Включение взаимодействия снижает группу симметрии от совокупности всех операций 0卢亍・ до некоторой подгруппы операций 。氏0歹. Таким образом, наша задача схожа с задачами о возмущениях, рассмотренными в § 2 настоящей главы, где возмущение приводило к ограничению группы симметрии до одной из ее подгрупп. Произведения волновых функций 屮尹屮7* образующие базис неприводимого представления группы, состоящей из всех элементов RS （поэтому эти произведения и должны принадлежать одному и тому же вырожденному состоянию）, также дают нам некоторое представление подгруппы, состоящей из элементов RR. Но это представление будет приводимым, и вырожденные состояния будут расщепляться за счет взаимодействия. Выберем матрицы представления одинаковыми и для группы G и для группы G, так что國）（© = 砒用 тогда

OrOr屮尹砂"=（Or吸））（0r岭））=N崂五竺^（R）。％（R）， （6-27）

на неприводимые.В этом случае мы тот же метод, который рассматривается группана неприводимые.В этом случае мы тот же метод, который рассматривается группаМы видим, что （6.27） формально совпадает с произведением представлений, в котором функции 屮 относятся к одной и той же системе. Чтобы найти те типы состояний полной системы, которые содержатся среди произведений 屮产屮俨，мы должны （так же, как это делалось раньше） разложить произведение представлений D（"）X D^

на неприводимые.

В этом случае мы тот же метод, который рассматривается группа

на неприводимые.

В этом случае мы тот же метод, который рассматривается группа

применяем к конечным группам симметрии обычно применяют к группе вращений. Если вращений （т. е. электроны находятся в цен

тральном поле атома, где группой симметрии является полная группа вращений）, то отдельные электроны распределяются по моментам

количества движения (неприводимым представлениям) /ь /2 и т. д. Если имеются члены, описывающие взаимодействие, нам требуется найти, как произведение функций распадается на линейные комбинации, принадлежащие различным значениям полного момента количества движения L (т. е. различным неприводимым представлениям полного гамильтониана).

Рассмотрим, например, электрон в атоме, находящемся в кристалле. Если мы пренебрежем взаимодействием между электронами в атоме и предположим, что поле, создаваемое ионами решетки, велико, то состояния отдельных электронов будут классифицироваться по представлениям группы симметрии поля внутри кристалла. Будем обозначать представления для отдельных электронов малыми буквами а, е, /, а большие сохраним за представлениями всей системы.

Предположим, что группой симметрии является группа G3&. Пусть первый электрон находится в состоянии, принадлежащем представлению а, а второй ——в состоянии, принадлежащем представлению е. Состояние всей системы в целом будет в этом случае принадлежать представлению а % е — Е. (Этот результат в какой-то мере аналогичен результату для группы вращений, когда 1Х = 0, так чго £ = %. Однако ясно, что это характерно для всех уровней, принадлежащих одномерным представлениям конечных групп симметрии.) Если оба электрона находятся в состояниях, принадлежащих представлению е, то вся система в целом будет принадлежать представлению е>< е = ~ Ах-\- А2-\-Е, Схема уровней энергии могла бы быть такой, как показано в табл. 25.

Таблица 25

Сильное поле внутри кристалла

Ориентация отдельныхВзаимодействие

электронов в кристаллеориентированных

электронов

024

a2,a24

8— 、—-" "'А 2

Здесь мы не учитываем тождественность частиц (принцип Паули). Наши результаты остаются справедливыми, если одночастичные состояния, от которых мы отправляемся, не одинаковы для обеих систем.

Мы могли бы также попытаться найти для взаимодействующих систем волновые функции, принадлежащие данной строке данного неприводимого представления. Иначе говоря, мы можем задать вопрос: какие линейные комбинации произведений 屮乎)“，)определяют 屮£)? (К этому сводится задача о нахождении коэффициентов Клебша —— Гордана для кристаллографических точечных групп.) Для конечных групп эти вычисления просты (на самом деле мы уже проводили эти вычисления). Напомним, что мы находили произведение любых двух представлений группы симметрии. Затем мы разлагали это произведение и получали те линейные комбинации произведений функций, которые принадлежат различным неприводимым представлениям. Например, для группы 83力 мы получили, что Axy^ Ах = Ах. В наших последних обозначениях это произведение запишется в виде а】* 〃]=4. В терминах базисных функций получим

屮代)="佇砒竺(6.28)

Точно так же aIXe = F, следовательно,

屮仔)=w，噺)И屮产=""硬.(6.29)

Наконец мы получили соотношение ёхё=4+/2+e；

для этого мы нашли произведение представлений (6.10) и разложили его на неприводимые компоненты. В наших новых обозначениях этот результат будет выглядеть так:

唄(w限)+喷翩)，(6.30)

屮产)=今mё破-處帘))，(6.31)

屮产="陶仕呼)=阖谭.(6.32)

Аналогичным образом для группы Т мы находим нужные линейные комбинации произведений функций, принадлежащие представлению 尸(стр. 211). Так, мы находим, что

對孙+感碾+眼碱)

принадлежит представлению /【и, следовательно,

^Л1,=吉(財祀+w"资+理裨). (6.33)

Кроме того, имеем

1—

(6.34)(6.34)(6.35)(6.35)屮产=盒(四)/)+6吋顺/)+62吋)吋))

(6.34)

(6.34)

(6.35)

(6.35)

1_——

屮产=焉（吋）吋）+ е2ф（/）ф（/）+ е^/）ф（/））.

Так какТак как

Так как

Так как

/Х/ = А + Е+2匕

то существуют две системы функций (для связанных систем), принадлежащие представлению 尸.(Такая ситуация не встречается для двух частиц в случае центрального поля; при данных 厶 и % каждое значение момента количества движения L встречается только один раз. Если же мы имеем больше двух частиц, то возникает та же проблема.) Все, что мы можем сделать, состоит в задании двух систем партнеров, принадлежащих представлению 尸.В этом случае собственные комбинации нулевого порядка следует находить, решая секулярное уравнение, как мы уже указывали в § 2 настоящей главы. Таким образом, получим:

屮f）=呕/艰/）, 可夕）=吋呦）, 屮卓=w収力，屮f）=呕/艰/）, 可夕）=吋呦）, 屮卓=w収力，или屮?）中夕, ИЛИ W）屮夕, или屮『）屮，.или屮?）中夕, ИЛИ W）屮夕, или屮『）屮，.(в.36)(в.36)

屮f）=呕/艰/）, 可夕）=吋呦）, 屮卓=w収力，

屮f）=呕/艰/）, 可夕）=吋呦）, 屮卓=w収力，

или屮?）中夕, ИЛИ W）屮夕, или屮『）屮，.

или屮?）中夕, ИЛИ W）屮夕, или屮『）屮，.

(в.36)

(в.36)

Задача. Рассмотрите для группы симметрии D2d все комбинации индивидуальных состояний двух частиц. Выразите собственные функции состояний связанных систем через волновые функции отдельных частиц.

ГЛАВА 7

СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА

Симметрическая группа Sn——группа всех перестановок п символов — имеет фундаментальное значение как для математики, так и для физики. Для математика решение задачи о нахождении неприводимых представлений группы S* является одним из классических примеров использования алгебраических методов. Несмотря на все усилия, которые были затрачены на исследование групп перестановок, их и поныне можно еще использовать как средство для получения новых замечательных комбинаторных формул. Разбиение тензоров на классы неприводимых тензоров относительно любой группы линейных преобразований в случае п измерений проводится легко, коль скоро известны представления симметрических групп. В физике, если мы рассматриваем систему, состоящую из п тождественных частиц, группа симметрии гамильтониана такой системы будет содержать группу Sn. Классификация атомных и ядерных состояний существенно зависит от свойств группы Sn.

В данной главе мы найдем характеры и матрицы неприводимых представлений группы S“. К этой задаче мы будем подходить, используя несколько различных методов. Некоторые из них отличаются чрезвычайной мощностью (и выглядят очень “учено"!), другие же изобретены физиками и используются ими вместо хорошо известных математических методов.

§ 1・ Вывод характеров группы из характеров ее подгруппы

В § 5 гл. 3 мы указывали, чго если нам удается найти простые характеры для инвариантной подгруппы группы О, то мы можем сразу же вывести и некоторые простые характеры самой группы G. Однако этот результат не особенно нам полезен. При п > 4 симметрическая группа Sn имеет только одну инвариантную подгруппу: знакопеременную группу 必 индекса два. Из двух одномерных представлений фактор-группы SjM“ мы выводим два очевидных одно^ Мерных представления S“： единичное (симметричное) представление с характером (матрицей), равным единице для всех элементов группы Sn, и антисимметричное представление с характером, равным 十1 для

четных и ——1 для нечетных перестановок. Все другие неприводимые представления являются точными. Нам требуется установить некоторую связь между простыми характерами группы G и простыми характерами любой из ее подгрупп. Эгу цель можно достичь с помощью теоремы Фробениуса, к выводу которой мы теперь и приступаем.

Пусть группа G порядка g имеет какую-то подгруппу Н порядка h. Предположим, что нам задано некоторое представление D(G) группы G. Выбрав из матриц D(G) те, которые соответствуют элементам подгруппы И, мы тотчас же получаем представление подгруппы И. Представление подгруппы ”，которое мы получим таким способом [будем называть его Df (//)], может оказаться приводимым, даже если представление D (С?) является неприводимым представлением группы G. Иными словами, даже в том случае, когда мы не сумеем найти подмножества векторов базиса представления D (G), которое оставалось бы инвариантным относительно всех преобразований D (G), мы, быть может, сумеем найти такое их подмножество, которое окажется инвариантным относительно части этих преобразований 。'("). (Такое превращение неприводимого представления в приводимое при понижении симметрии, т. е. при переходе к подгруппе первоначальной группы симметрии, и послужило основой для применения теории групп к задачам теории возмущений в гл. 6.)

Постави I теперь вопрос, обратный вопросу предыдущего абзаца. Может случиться так, что найти неприводимые представления для подгруппы И окажется легче, чем для группы G (поскольку порядок подгруппы Н меньше порядка группы G). Можно ли вывести характеры группы G из характеров ее подгруппы ”？

Разобьем элементы группы G на классы ^^; число элементов в классе ^z равно g^. Обозначим простые характеры группы G через %，卩),а соответствующие представления——через D(")(G). Далее, два элемента подгруппы ”, которые первоначально находились в одном и том же классе ^^ в группе G, могут не принадлежать одному и тому же классу в группе ”， поскольку элемент, который осуществляет преобразование, может не принадлежать подгруппе 〃； следовательно, некоторые элементы в классе ^/ в группе G не принадлежат подгруппе Н. С другой стороны, два элемента, которые оказываются в одном и том же классе в подгруппе ”， непременно принадлежат одному и тому же классу в группе G. При образовании подгруппы ” из группы G было выбрано только 力》 элементов из общего числа их g,;力八 из этих элементов принадлежит классу К^, 力力——классу Kt2 и т. д. в подгруппе ". Обозначим простые характеры группы И символами 屮伊)，а соответствующие представления —— символами А(")("). Ранее мы уже видели, что если исходить из (G) и рассматривать только элементы R, входящие в подгруппу И, то

получится некоторое представление (вообще говоря, приводимое) подгруппы ":

D®(R) = У %J(*)(R)； R принадлежит Ht (7.1) V

где 我卩* ——целые положительные числа.

Если по крайней мере один элемент класса К* группы G принадлежит подгруппе ", то из (7.1) мы получаем

х^= W 4肮)=2(7.2)

Предположим, что ни один элемент класса К, группы G не принадлежит подгруппе Н. Умножая (7.2) на %,)* и суммируя по 卩， находим

2岁改尹н0 = /偌野叱(7.3)

для всех классов К( группы G, которые содержат по крайней мере один элемент, принадлежащий подгруппе ", и для всех классов К* на которые распадаются элементы, попадающие в подгруппу ", Но это означает, что для всех классов подгруппы Н

W (事％嶼*)噌=0.(7.3а)

Теперь умножим это равенство на 力々(р£尸/力 и просуммируем по й (т. е. по всем классам подгруппы "), Из соотношений ортогональности получим

£ %%У)* = 0для всех р,(7.4)

или

У 我此％旷)=0Для всех р.(7.4а)

Равенство (7.4а) применимо ко всякому классу в группе G, ни один элемент которого не принадлежит подгруппе И. Обратимся теперь к рассмотрению тех классов группы G, у которых по крайней мере один элемент принадлежит И. Умножим (7.2) на 力$(р，°尸 и просуммируем по всем классам подгруппы ":

h%=2/薫虎*(7.5)

где суммирование распространяется на все классы подгруппы И. Умножим теперь соотношение (7.5) на gq俨尸 и просуммируем по 卩: hgi鼻%載=2"吧f gqp%产=

где последняя сумма берется по всем классам К^^ подгруппы ”, которые возникают из классов ^^ группы О. Переходя к комплексносопряженным величинам, получаем

峭=2%犷=2甞吧 a»

Равенства (7.2), (7.4а) и (7.6) содержат полную формулировку нашей теоремы. Числа 。卩^ в (7.2) были целыми положительными числами, в силу чего левая часть равенства (7.6) есть составной характер 屮夕) группы О. Если нам известен любой простой характер подгруппы ” (т. е.屮俨)),то равенство (7.6) означает, что сумма, стоящая в его правой части, должна быть составным характером группы О. Более того, равенство (7.4а) означает, что полученный таким способом составной характер будет равен нулю для всех классов группы G, которые не содержат ни одного элемента, принадлежащего подгруппе ”.

Очень важный частный случай равенства (7.6) состоит в следующем. Существует один простой характер, который мы знаем для любой группы, а именно характер единичного представления:

%£)=1 для всех i.

Полагая (рр)=1 для всех /т в равенстве (7.6), получаем

鶴=?%喇(7.7)

т. е. величины ghjg^ образуют составной характер группы О.

Равенство (7.7) можно применять к любой подгруппе Н группы О. Чтобы получить ht и gh требуется произвести лишь несложный подсчет. Несколько позднее в этой главе мы покажем, как можно воспользоваться равенством (7.7) для получения формулы Фробениуса, которая выражает в замкнутом виде все простые характеры симметрической группы. В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением простого рекуррентного метода, основанного на соотношении (7.6). Мы найдем простые характеры группы Sn, применяя равенство (7.6) к характерам группы S^.】. Так же как и в § 5 гл. 1, мы будем обозначать через 0a2p3v .. .) класс перестановок, имеющих а циклов ДЛИНЫ 1, В ЦИКЛОВ ДЛИНЫ 2, Y циклов длины 3 и т. д. Для любой группы Sn мы знаем два простых характера: симметричный характер, равный -j^l для всех перестановок, и антисимметричный характер, равный -)-1 для четных и ——1 для нечетных перестановок (при условии, если только 卅 > 1).

При л=1,2 тривиальные результаты состоят в следующем:

1

(1)

11

(I2)(2)

卢 1-1

где число элементов в классе указано рядом с символом разбиения числа. В случае группы S3 нам известна лишь часть таблицы, изображенная здесь:

13

(I3)

2

(2, 1)

(3)

1

1

1

力⑵

1

—1

1

%（з）

Разумеется, последний характер легко написать, если воспользоваться соотношениями ортогональности. Воспользуемся, тем не менее, равенством (7.6). Поскольку класс (3) группы S3 не имеет элементов, принадлежащих ее подгруппе S?, его составной характер равен нулю. Начнем с 屮。)(т. е. с характера %。) в группе Sj. В этом случае (7.6) дает нам следующий результат:

. б 1 Q .611

屮屮)=豆= 3，^2,1)= Т"з = 1-

Мы получаем составной характер 3, 1, 0. Далее,

十工矶%屮・3 + 3・ 1+2.0)=1, I

откуда следует, что %。) входит в % только один раз. Вычитая, получаем характер 2, 0, —1. Этот характер простой, поскольку

•^•[1 • 22 + 3 • 02 + 2. (—1)2] н1.

Следовательно, наша таблица для группы S3 имеет вид

S3 :

13

(I3)

2

(2, 1)

(3)

1

1

-1

工⑴ 卢

%（з）

I

1

2

1

—1 0

Рассмотрим теперь S3 дующая часть таблицы

как подгруппу группы 54. характеров группы 54:

Нам

известна еле-

1

6

38

6

S,：

(I4)

(2, I2)

(22)

(3,

1)(4)

工⑴

1

1

1

1

1

1

—1

1

1

—1

Множители ghjg^, входящие в соотношение (7.6), равны 4, 2, О, lt 0. Возьмем сначала 屮⑴(т. е. характер *(】) для группы S3) и получим составной характер ф: 4, 2, 0, 1, 0. В этом случае

2普吋=—-[1 • 42+6 • 22+3 - 02+8 . 12 + 6 • (Я = 2,

и, следовательно, ф содержит два простых характера, каждый из которых входит по одному разу. Составной характер ф содержит характер %(】)с коэффициентом, равным 1, поскольку

£崇屮砂=2" •4+6.2 + 3.0+8. 1+6・0]=1.

Вычитая %。)， получаем характер %依)：з,匕—匕。，—i Это простой характер, так как

2今冲У =4" -32+6- 12 + 3 (—1)2+8-02+6 (—1)2]= 1・

Возьмем, далее, ф⑵(т. е. %⑵ для группы S3) и получим характер ф: 4, —2, 0, 1, 0. В этот составной характер 严)входит один раз, поскольку

£号屮?炉=咅 U • 4 • 1 十 6 (—2)(—1) + 3 • 0 • 1 +

十8・ 1 • 1十6.0-(—1)1 = 1,

Вычитая %(2), получаем простой характер /(5): 3, — 1, ■—1, 0, 1. Наконец, возьмем q/з)(『е.改⑶ для группы S3) и получим ф: 8} О, О, —1, 0. Проделав вычисления, найдем

2号曲=2 口，82+8(-1)2]=3,

в силу чего характер ф есть сумма трех различных простых характеров. Пол)^ченный ранее характер /(4) в характер ф входит один раз, так как

2号与%俨=立"，8・3 + 0 +()+ 0]=1.

Аналогично,改⑸ входит в ф только один раз. Вычитая %⑷ и %(> из 屮, получаем характер %(з): 2, 0, 2, —1, 0, который является простым характером, поскольку

2詈冲)2=^" .22+3.(2)2+8・(一1)2] = 1.

Мы получили полную таблицу характеров группы S4 (табл. 26).

Таблица 26

16386

(l4)(2, l2)(22)(3, 1)(4)

•

卢 外⑶

声

Применим тепе

11111

1—111—1

202—10

31—1o—l

3—1—101

зь этот же метод к группе 55, рассматривая группу 54

как ее подгруппу. Относительно группы S5 мы располагаем следующей информацией:

1101520203024

(I5)(2, I3)⑵，1)(3, I?)(3, 2)(4t 1)(5)

S 先⑴ 1111111

先⑵i—i11-1—11

Множители ghjgih в равенстве (7.6) равны 5, 3, 1, 2, 0, 1, 0. Характер <р⑴ группы S4 приводит к тому же набору чисел, что и составной характер ф группы 55, а именно:

2号X •^-[1 -524- 10.32+ 15. 12 + 20-22 + 30- I2] —2:

и поэтому 屮 содержит два различных простых характера. Характер 屮 содержит 工⑴，поскольку

21 ；

вычитая %⑴，мы получаем простой характер *）： 4, 2, 0, 1, —1,0, —1. Аналогичным образом мы находим из 屮⑵ простой характер %（‘）： 4, —2, 0, 1, 1, 0, —1.

Исходя из（р（з）,屮（4）, ф（5） соответственно, мы образуем составные характеры:

0, 2, —2, 0, 0, 0:

3, —1, 0, 0, —1, 0:

—3, —1, 0, 0, 1, 0:

Характер х⑶ входит во второй характер только один раз; точно так же %（4） входит в третий характер только один раз. Вычитая эти характеры %（з）и %⑷，получаем составные характеры:

小5）+心恥ю, 0, 2, —2, 0. 0, 0,

Х（5）+Х（7）：", 1, -1, 一1, 1, -1, 1.

%⑹十%⑺：11, -1, —1, —1, —1, 1, 1,

два простых характера. Из последнихдва простых характера. Из последнихкаждый из которых содержит двух характеров находим

два простых характера. Из последних

два простых характера. Из последних

公5）一х（6）：0, 2. 0, 0, 2, —2, 0,

комбинируя с первымкомбинируя с первымхарактером, получаемхарактером, получаем

комбинируя с первым

комбинируя с первым

характером, получаем

характером, получаем

%（5）：5, 1, 1, —1, 1, —1, 0,

#6）：5, —1, 1, —1, —1, 1, 0.

Затем мы находим

%⑺：6. 0. —2, 0, 0, 0, 1.

Полная таблица характеров приведена в табл. 27.

В случае $6 решение задачи становится громоздкйм. Наши трудности на самом деле проистекают из того факта, что мы использовали только подгруппу Szi группы 5Л. В последующих параграфах

1 аблии,а 27

1

(%

10

(2, I3)

15

(22, 1)

20

(3, 1

20

2)(3, 2)

30

(4, 1)

24

(5)

25 •

1

1

1

1

1

1

1

力⑵

1

—1

1

1

—1

—1

1

%(з)

4

2

0

1

—1

0

—1

小

4

—2

0

1

1

0

—1

卢

5

1

1

—1

1

—1

0

工⑹

5

—1

1

—1

—1

1

0

卢

6

0

—2

0

0

0

1

мы покажем,

каким

образом

общую

задачу

можно свести к

задаче,

решение которой осуществляется по

раз и

навсегдз

установленному

алгоритму.

Задача. Воспользуйтесь методом, изложенным в этом параграфе, для получения таблицы характеров группы S6.

Формула Фробениуса для характеровсимметрической группы

В § 1 настоящей главы мы получили следующий результат.

Дана группа G порядка g, имеющая gt элементов в классе К/. Если некоторая подгруппа " группы О имеет порядок й и содержит ht элементов из класса 女厶 то совокупность чисел

对、=黑(7.7a)

образует составной характер группы G.

В этом параграфе мы покажем, как, исходя из (7.7), можно полностью решить задачу о нахождении неприводимых представлений симметрической группы. Идея решения (также принадлежащая Фробениусу) состоит в следующем. Равенство (7.7) задает характер *(") Для каждой выбранной нами подгруппы " группы G (三S^). Рассмотрим любое разбиение (九) = (%], Z2> ...,九抵)числа n

九]-九2+ ■ ■ • 十 九抵=也，(7.8)

九I》•九2》* • • •》*九抵м2 0*(7・8а)

В соответствии с разбиением (九)можно построить некоторую подгруппу группы G. Разобьем символы 1,・・・,п на отдельные классы

в соответствии с указанным разбиением (九)；первый класс будет содержать 九］символов, второй класс ——Х2 символов и т. д. (выбор символов внутри каждого класса несуществен). Построим теперь симметрическую группу из символов первого класса и назовем ее G^. То же проделаем для каждого из остальных классов. Возьмем, далее, прямое произведение всех полученных групп (напомним, что они не имеют общих символов). Это прямое произведение имеет вид

。的=0% Х<4 х •…х<\(7.9)

и является подгруппой группы 5Л; пользуясь равенством (7.7), мы можем получить составной характер группы 5Л, который обозначим 屮仇). Аналогичные операции можно проделать с каждым разбиением (九) числа п. Поскольку число разбиений числа 几 равно числу классов в группе Sn, мы получаем при этом составные характеры группы 5Л, число которых равно числу классов в группе 5Л. Мы докажем, что 屮(入)一 линейно независимые векторы. В силу этого они должны давать все простые характеры группы Sn, если брать их соответствующие линейные комбинации. Мы также приведем окончательный результат, полученный Фробениусом, —замкнутую формулу, дающую все простые характеры группы 5Л.

Чтобы воспользоваться формулой (7.7), нам необходимо вычислить величины 力几 Л и gt. Предположим, что мы хотим построить характер, соответствующий разбиению (X). Из (7.9) следует

力=儿！ • Х21 Хл1.(7.10)

Рассмотрим далее класс К? группы Sn. Класс Ki можно описывать, задавая структуру его разложения на циклы (1а, 2* 3V, .. .). Этот символ означает, что перестановки, принадлежащие классу Kh содержат а циклов длины 1, р циклов длины 2, у циклов длины 3 и т. д. где

口+2|3+3Y+ . . . =/z.(7.11)

Число перестановок в классе 勺 было найдено в гл. 1 ［формула (1.27)］：

Величина 力？ есть число элементов в группе G^t которые обладают структурой разложения на циклы (1а, 2廿，3V . . .). Чтобы какой-либо элемент группы С?(为)обладал этой структурой, он должен содержать

а циклов длины 1, § циклов длины 2，

Y циклов длины 3 и т. д.

Такой элемент можно построить согласно формуле (7.9), если множитель в прямом произведении, взятый из группы G储，содержит

5 циклов длины 1,氏 циклов длины 2,% циклов длины Зит. д.;

множитель, взятый из группы G坛,имеет

а2 циклов длины 1, р2 циклов длины 2,?2 ЦИКЛОВ длины 3 и т. д.

и, наконец, множитель из группы G%抵 имеет,

% циклов длины 1, 6〃 циклов длины 2,уп циклов длины 3 и т. д.

при условии, если ллп

尸 а, 工瓦=В，£% = ? и т. д. (7.13)

4 = 14 = 1J1

Так как группа G% состоит из перестановок 儿 символов, имеем

S + 2也 + 3%+(7.14)

Число перестановок в группе G%, имеющих структуру разбиения на циклы вида

(1%, 2% 3”，...)

при фиксированных а” р；, 丫几...,равно

a，! 2比•耻…

Выбрав любое решение уравнений (7.13) и (7,14), получим

U 1%(1，!2瓦邛，!…

решениям, на-решениям, на-элементов класса (1а, 2°, 3\ ...). Суммируя по всем ходлм

решениям, на-

решениям, на-

也= 工 П 1а/ а I 2^ 6 I ■

а,+2比 +...e X^

Подставляя в формулу (7.7) соотношения (7.10), (7.12) и (7.15), имеем

Ф(Л> =—(7.16)

q «i I a2! • • • Pi! pa' • • •

ga「a, e生Н自a,+2比十...«Л^

Прежде чем переходить дальше, мы хотим проиллюстрировать наш метод на одном частном случае. Рассмотрим группу S4 и построим подгруппу, соответствующую разбиению (22). В этом случае

0(22) = 5 х。2・

Образуем симметрическую группу, действующую на элементы 1 и 2, и умножим ее на симметрическую группу, действующую на элементы 3 и 4: % (12), (34), (12) (34). Порядок этой подгруппы группы S4 равен 力= 2!・2! = 4. Рассмотрим различные классы в группе S4. Классы (4) и (31) не содержат членов, которые входили бы в группу О(22), вследствие чего формула (7.7) для этих классов дает нуль. Класс (22) группы S4 входит в группу G^ один раз, класс (212) входит в эту группу дважды, класс (I4) — один раз, в силу чего мы получаем составной характер

(14), (212), (22), (31), (4),6,2,2, О, 0.

Величины <р^^ служат коэффициентами в некотором полиноме, к построению которого мы сейчас приступим. Предположим, что мы рассматриваем класс (1°2°3丫 . . .) в группе Sa. Многочлен

(*1 + 々+ …+*")"("；+君+ • • • +鬼"X

X (х^+^+…+同у…

относительно переменных %】，...,хп можно разложить так, чтобы он имел вид

£ а» и а, £ В, н В, ♦ ♦ •

можно переписать в видеможно переписать в видеУ а,=а, £ р^= Р» • • • %+20上+ " " " Н а/У а,=а, £ р^= Р» • • • %+20上+ " " " Н а/(7.19)(7.19)5=工喘 £ d…中(М Пр всем перестановкам5=工喘 £ d…中(М Пр всем перестановкам(7.20)(7.20)

можно переписать в виде

можно переписать в виде

У а,=а, £ р^= Р» • • • %+20上+ " " " Н а/

У а,=а, £ р^= Р» • • • %+20上+ " " " Н а/

(7.19)

(7.19)

5=工喘 £ d…中

(М Пр всем перестановкам

5=工喘 £ d…中

(М Пр всем перестановкам

(7.20)

(7.20)

Соберем геперь все коэффициенты, стоящие при данном одночлене

Тогда рассматриваемое выражение

Все одночлены, которые получаются из одночлена

冲…%%

при перестановке переменных, имеют одинаковые коэффициенты. Поэтому мы можем расположить показатели 卩» в порядке убывания их величины и отождествить их с членами разбиения (九).Затем, пользуясь соотношением (7.16), получаем

（少J（2＞；『（£利…=

S

(入)По всемперестановкам

◎ • (7.17)◎ • (7.17)=2喫e由

◎ • (7.17)

◎ • (7.17)

(%)По всем

перестановкам

Сумма берется по всем разбиениям (九) и всем различным одночленам, получающимся при перестановке переменных х” .. ., хп.

Введем теперь новые переменные s「：

sr — ^ хг^ (г — 1, ...» л).(7.18)

Для каждого класса / со структурой разложения на циклы (1а, 2°, 3V, . . .) мы зададим еще третий набор переменных, а именно левую часть равенства (7.17):

• с^ cP

(/) —〉1〉2 ' • • »

где (/) — класс вида (1а, 2匕 3V, . . .). Тогда (7.17). можно переписать в виде

Переменные s「，задаваемые формулами (7.18), представляют собой п функций от 〃 независимых переменных xt. Переменные sr функционально независимы; их якобианом служит определитель

Последний результат получается,Последний результат получается,тель представляет собой полиномтель представляет собой полиномесли заметить, что этот определиесли заметить, что этот определиобщей степениобщей степени

Последний результат получается,

Последний результат получается,

тель представляет собой полином

тель представляет собой полином

если заметить, что этот определи

если заметить, что этот определи

общей степени

общей степени

0+1 + 2+ …0+1 + 2+ …—[—(/z - 1) = /z—[—(/z - 1) = /zn — 1n — 1

0+1 + 2+ …

0+1 + 2+ …

—[—(/z - 1) = /z

—[—(/z - 1) = /z

n — 1

n — 1

1

1

1 …

1

ii

2*2

2%з…

修

为2%3

3*

Зх；

3闿...

=n !

君君

пх^1

/ZXgT …

Л3

J=

Этот определитель обращается в нуль, если совпадают любые две переменные, и, следовательно, содержит все возможные множители (х,——％/), у которых i 次 j; поскольку таких множителей имеется п{п—1)/2, мы получаем равенство (7.21) (знак в этом равенстве находят путем вычисления коэффициента при 尤尸 ％尸？…置)・ Так как якобиан J не равен тождественно нулю, величины sr можно ввести в качестве новых независимых переменных. Кроме того, величины s^, задаваемые равенством (7.19), линейно независимы (ибо если бы они были линейно зависимыми, то из этого вытекала бы функциональная зависимость между величинами sr, которые, как мы только что доказали, являются независимыми переменными). Те же рассуждения показывают, что величины

三 冲…抄，

По всем перестановкам

соответствующие различным разбиениям (А), также линейно независимы. Таким образом, если (Z) пробегает с классов в группе Sn) мы получаем с равенств, аналогичных равенству (7.20) и выражающих с линейно независимых величин s^ через с линейно независимых величин

2 xj • • •

По всем перестановкам

Матрица преобразования, позволяющего перейти от одной линейно независимой системы величин к другой, невырождена. Поэтому столбцы этой матрицы, которые являются не чем иным, как характерами ф[^ при фиксированном (Z), должны быть линейно независимыми.

В силу этого с простых характеров должны выражаться в виде линейных комбинаций характеров 囁).

Для вывода общих утверждений мы использовали л переменных %「Единственное требование, которое следует соблюдать при практических расчетах, состоит в том, что число переменных х должно быть не меньше числа частей в разбиении (九).

Применим равенство (7.20) к группе S4. Тогда

(/) = (№):$(м)= (“)4 =(』％『 =』％；+ 4 2 ^1-^2 +

+ 6』%；端+ 12』%汪2*3 + 24$%卢2%3%4, где под 』%； н т. д. подразумевается суммирование по всем перестановкам индексов, в результате которых получаются различные одночлены. Аналогично,

(/) = (212)：$(212)= $2(“У =(£+ ' ' ■ +/)(/+十％J =

=[2叶+ 2』%也][2对]=

=』%； + 2 ± %:%2 + 2』%沁 +

+ 2』聆：2%3；

(0 = (22)：汨2)= ($2)2 = (2 %г = £ 4 十 2 2 尤用:

(/) = (3, 1)：S(3, 1)= S3s1 = (N *；)(』*2)=』*； +』*；*2；

(/) = (4)：6(4) = $4 = N 叶・

Пользуясь этими равенствами, образуем матрицу из величин

и транспонируем ее так, чтобы

разбиения

(九)означали строки.

а разбиения (/) — столбцы:

(/) = (У)1(212)6(22)3

©I" (4)6

(%)=4

一1

11

11 一

(31)

4

20

10

⑵2

6

22

00

.(7.22)

(21)2

12

20

00

⑴4

_24

00

00 _

Теперь мы могли бы так же,

как в § 7

настоящей главы, найти

по этой матрице простые характеры

Задача. Примените этот метод к группе S5 и получите характер ф(^\ воспользуйтесь табл. 27 для того, чтобы выразить ф^^ в виде линейных комбинаций простых характеров группы S5.

Формула (7.20) позволяет нам найти полный набор составных характеров ср仏)для группы Sn. Фробениус пошел дальше и получил аналогичную формулу, которая дает непосредственно все простые характеры %('). Для этой цели мы воспользуемся определителем такого типа, который уже встречался в равенстве (7.21), а именно:

О(Х;) = О (%!Xm)= И (匕一＜/) =

=§6产以"也厂2 x噜]现，(7.23)

где Р есть любая перестановка переменных и 6尸=± 1 в зависимости от того, является ли перестановка Р четной или нечетной. Заметим, что D (xz) есть знакопеременная функция от %,, меняющая знак при перемене местами любых двух переменных. Величины s^ в равенстве (7.20) являются относительно xz симметричными многочленами [см. (7.18) и (7.19)], поэтому произведение s^ D (xz) меняет знак при любой перестановке двух переменных. Если выписать разложение s^D(xi) в виде суммы одночленов %；】，…，％久 то окажется, что нет членов, имеющих одинаковые степени по любым двум переменным, поскольку перестановка таких переменных в выражении s(,)D (%,) привела бы к перемене знака всех членов разложения, в то время как перестановка одночленов не приводит к изменению знака. Таким образом, эти одночлены должны иметь нулевые коэффициенты. В силу сказанного переменные в одночленах можно перегруппировать так, чтобы сначала шли члены наиболее высокой степени, затем члены меньшей степени и т. д. Поэтому величину s⑺D (%0 можно записать в виде

S(,Q (/)=2 幽)2 yg+**2+ *2 …' x3 (7.24)

Первая сумма берется по всем разбиениям (九)числа 忆，вторая —— по всем перестановкам переменных %「 . . ., хт. Ясно, что коэффициенты %%) являются линейными комбинациями функций ср%,. Теорема Фробениуса утверждает, что величины 複)в (7.24) представляют собой в точности простые характеры группы S^

Мы приведем много примеров, поясняющих смысл соотношения (7.24), но сначала мы изложим доказательство этой теоремы.

Величины 端 будут простыми характерами» если [см. (3.152)]

*g(/)|^『=g,(7.25)

где g——порядок группы 5Л, a g«)——число элементов в классе (/).

Так же как мы вводили переменные %八 введем теперь второй набор переменных у* и положим, по определению,

'「= N%，(7.18а)

打)=f"精... для (/) = (1а, 2₽, З7, . . .).(7.19а)

Образуем сумму

(0(0

(0

(0

Пользуясь соотношениями (7.12), (7.19) и (7.19а), получаем

2 聲 S(N") = £ тЬ"($£)п⑶％)° ….(7・26)

(Z)а, Р,'1 '

a十20十...=П

Просуммируем теперь по п от 0 до 8：Просуммируем теперь по п от 0 до 8：...]. (7.27)...]. (7.27)Подставим выражения (7.18) и (7.18а) для sr и /「：Подставим выражения (7.18) и (7.18а) для sr и /「：

Просуммируем теперь по п от 0 до 8：

Просуммируем теперь по п от 0 до 8：

...]. (7.27)

...]. (7.27)

Подставим выражения (7.18) и (7.18а) для sr и /「：

Подставим выражения (7.18) и (7.18а) для sr и /「：

=一2叭1一Х加=一g11（1 -勺 〃•）• （7・28）

Итак, правая часть равенства (7.27) равна

1

Докажем теперь, что

Ю°(у» ―.ИЮ°(у» ―.И1l-XJs1l-XJs(7.29)(7.29)

Ю°(у» ―

.И

Ю°(у» ―

.И

1l-XJs

1l-XJs

(7.29)

(7.29)

где D—определитель, заданный (7.23), а 11/(1—%川$) |—определитель, г^-элемент которого равен 1/(1 ——％「^$). Этот определитель

имеет видимеет вид

имеет вид

имеет вид

(1一修%) (1-%1%) 1(1 -修%) 1 • • •

(1 ——％2»1) 1 (1—%2»2) 1 (1％2%) 1 • • •

(1一*3犷•(7.30)

Вычитая из i-协 строки первую, получаем

(1 _ 修 У/尸—(1 —修乃尸=т^^ . у^

Множитель (х±——X。является общим для всех элементов Z-й строки, множитель (1——％1У,)——общим для всех элементов /-го столбца. Вынося эти множители, находим

1

11

yi

У2

("2 — “I)("з — ”1)・.・("m — ”i)

1 一 Х2У1

1 — Х2У2

行（1-々刀）

yi

У2

1 — /У1

1 -% 3у2

Вычтем теперь первый столбец из остальных;

1 _ 七力 1 — *"11 _ 七力 1 — *"1―У/ — Х 1—]一屮1 1一/〃―У/ — Х 1—]一屮1 1一/〃

1 _ 七力 1 — *"1

1 _ 七力 1 — *"1

―У/ — Х 1

—]一屮1 1一/〃

―У/ — Х 1

—]一屮1 1一/〃

Множитель (у, — у】) вновь оказывается общим для всех элементов у-го столбца, а множитель (1——％»У1)——для всех элементов Z-й строки, поэтому определитель можно представить в виде

XX(“2 —”1)….("m— ”1) (У2— У1) •…(Ут — У【)

X

X

XX

X

X

1

1 — “2%

У1

1 —”зУ1

О

]

1 — Х2У2]

1 — "зУ2

О

1 — х2Уз

и

j=lt=2

(7.31)

Повторяя этот процесс по индукции, получаем формулу (7.29). Умножив обе части равенства (7.27) на。(勺)。(力)и воспользовавшись соотношением (7.29), найдем

Но

v=0 поэтому

1 l^yl = £ £ *2磴弹…瓏У/(7.32)

Все показатели v должны быть различными, поскольку эта функция меняет знак при любой перестановке двух переменных. Индексы можно расположить в порядке убывания; £ означает сумму по всем перестановкам переменных % н у, а 6夕 равно +1, если перестановки % и у имеют одинаковую четность, и —1 в противном случае. Поскольку показатели v теперь расположены в убывающем порядке, мы можем положить 也=%十/«—/ и получить следующее выражение:

e誓s/时))年(,)=±26M+加一г+2…仑%.

(0 &(М Р

(7.33)

Подставляя сюда выражение (7.24) и аналогичное выражение для у и сравнивая коэффициенты при одночленах, содержащих х1г ..., хт, У1Ут，находим

(7.25а)(7.25а)£ ~ 幽喘=0 при (%)卢(н),(О

(7.25а)

(7.25а)

У=1；

это и доказывает, что формула (7.24) лае г нам независимые простые характеры. Равенство (7.25) оставляет еще одну возможность: величина х需 может отличаться от простого характера знаком, но при использовании наших результатов мы покажем, что знак выбран правильно.

Формула (7.24) выглядит весьма сложной (такова она и на самом деле!), и поэтому мы, исходя из нее, разрабатываем методы, более удобные в работе.

Графические методы. Решеточные перестановки.Схемы Юнга. Таблицы Юнга

Прежде всего рассмотрим единичный элемент группы S小 т. е. класс (，)= (1‘)В этом случае левая часть равенства (7.24) равна просто

Возьмем сначала 八(xj и умножим последовательно 也 раз на 2%八 Поскольку произведение на каждом этапе является знакопеременной функцией, любой одночлен, имеющий два равных показателя степени, должен входить в это произведение с нулевым коэффициентом. Таким образом,%#} будет коэффициентом в (7.24) при члене

В качестве исходной мы выбрали функцию °(修)=EbpPx'LxW …

Если умножить ее на 2%力 то один из показателей степени увели* чится на единицу. Но если на каком бы то ни было этапе вычислений два показателя становятся равными, соответствующий член должен обратиться в нуль. Поэтому ясно, что, поскольку на каждом этапе мы увеличиваем степень полинома на единицу, мы всегда должны увеличивать степень переменной х】по крайней мере с голь же быстро, как и степень переменной х2 и т. д. Наша конечная цель состоит в том, чтобы увеличить степень х】на 九「 степень xz на 九厂 В процессе выполнения этой задачи (каждый раз мы увеличиваем показатель степени только у одной переменной) мы должны быть уверенными в том, что число операций умножения, произведенных над х】，больше числа операций умножения, произведенных над х2, или равно ему и т. д. Общее число способов, которыми можно достичь нашей цели, равно X&h， т. е. размерности представления (九).

Предположим, например, что нам требуется найти размерность не* приводимого представления группы 54, соответствующего разбиению

(入)= (2, i2). В этом случае мы должны увеличить показатель степени переменной 修 на 2, а показатели степени х2 и хз — на 1. Иначе говоря, мы должны прийти к выражению х\х2х^ умножая каждый раз только на один из х-ов и следя все время за тем, чтобы величин *1 было больше, чем х2 и *з，и т. д. Это можно проделать следующими способами:

督З3督З3=*1%产2%=*1%产2%3*3*"产2"产3,"产2"产3,%产2%3%1，%产2%3%1，(7.34)(7.34)

督З3

督З3

=*1%产2%

=*1%产2%

3*

3*

"产2"产3,

"产2"产3,

%产2%3%1，

%产2%3%1，

(7.34)

(7.34)

Эти упорядоченные расположения неизвестных носят название решеточных перестановок выражения х^х2х2. Существует три таких перестановки, поэтому размерность представления, соответствующего разбиению (2, I2), равна 3. Будем теперь вместо 修 говорить „точки в первой строке(1, вместо х2 一 „точки во второй строке" и т. д. В результате мы хотим получить некоторый граф с двумя точками в первой строке (%；) и одной точкой во второй и третьей строках (*2*3)， причем число точек увеличивается каждый раз на единицу и так, что на любом этапе построения в каждой строке точек не меньше, чем в последующих строках (такие графы называются правильными графами}. Наглядно граф, который мы хотим получить, можно изобразить так：

(7.35)(7.35),・□□

(7.35)

(7.35)

ИЛИ □

Разбиение (2, I2)

(во второй схеме вместо точек использованы квадраты). Размещая объекты (точки или квадраты) по одному на схеме и убеждаясь каждый раз в том, что число объектов в первой строке больше числа объектов во второй строке или равно ему и т. д. (т. е. убеждаясь в том, что граф правилен на каждом этапе построения), мы получаем в результате все точки (или квадраты) графа. Такая процедура называется правильным размещением {узлов, точек, квадратов). В нашем примере, если объекты нумеровать в порядке их появления на графе, мы получим следующие возможные случаи;

(7.36)(7.36)121314

(7.36)

(7.36)

322

443

По сути дела, графы (7.36) означают то же, что и выражения (7.34): первый граф означает, что берется „первая строка, первая строка, вторая строка, третья строка", т. е. х1х1х2хз и т. д.

С помощью той же процедуры мы можем найти размерности всех неприводимых представлений группы S4. Каждому разбиению числа 4 соответствует некоторый граф;

(4)： □□□□

(3, 1)： □□□(冷田 (П)：(3, 1)： □□□(冷田 (П)：□□пн□□пн3737(2, I2)：(2, I2)：□□Возможные способы построения этих графов с помощью правильного, размещения отдельных узлов сводятся к следующим:(4): Е⑶回回□Ш0 〃 = з,〃 =2,〃 = 3, (7.38)Возможные способы построения этих графов с помощью правильного, размещения отдельных узлов сводятся к следующим:(4): Е⑶回回□Ш0 〃 = з,〃 =2,〃 = 3, (7.38)11⑶0②回ШЕН□0ШН0 Ш00Н⑶0②回ШЕН□0ШН0 Ш00Н〃 =1.〃 =1.

(3, 1)： □□□

(冷田 (П)：

(3, 1)： □□□

(冷田 (П)：

□□пн

□□пн

37

37

(2, I2)：

(2, I2)：

□

□

Возможные способы построения этих графов с помощью правильного, размещения отдельных узлов сводятся к следующим:

(4): Е⑶回回

□Ш0 〃 = з,

〃 =2,

〃 = 3, (7.38)

Возможные способы построения этих графов с помощью правильного, размещения отдельных узлов сводятся к следующим:

(4): Е⑶回回

□Ш0 〃 = з,

〃 =2,

〃 = 3, (7.38)

1

1

⑶0②回

ШЕН

□0ШН0 Ш00Н

⑶0②回

ШЕН

□0ШН0 Ш00Н

〃 =1.

〃 =1.

Результаты, приведенные в (7.38), указывают на внутреннюю связь между сопряженными, или ассоциированными, разбиениями, т. е. такими двумя разбиениями, которые получаются друг из друга заменой строк на столбцы: например, (4) и (I4), (3, 1) и (2, I2). С другой стороны, разбиение (22) является самосопряженным, при замене строк столбцами оно преобразуется в себя. Из (7.38) мы видим, что размерности представлений, соответствующих сопряженным разбиениям, равны.

В качестве другого примера найдем размерность представления

группы S?, соогветствующего разбиению (4, 2, 1):

1234

1235

1236

1237

1236

1237

(1) 56

(3) 46

(5) 45

⑺45

(6) 47

(8) 46

7

7

7

6

5

5

1234

1235

1245

1245

1246

1247

⑵57

(4) 47

(9) 36

(10) 37

(И) 35

(13) 35

6

6

7

6

7

6

1246

1247

1256

1257

1267

1256

(12) 37

(14) 36

(15) 34

(17) 34

(19) 34

(16)37

5

5

7

6

5

4

1257

1267

1345

1345

1346

1347

(18)36

(20) 35

(21) 26

(22) 27

(23) 25

(25) 25

4

4

7

6

7

6

1346

1347

1356

1357

1367

(24)27

(26)26

(27) 24

(29) 24

(31) 24

5

5

7

6

5

1356

1357

1367

1456

1457

(28)27

(30)26

(32)25

(33) 27

(34) 26

4

1467

4

4

3

3

(35)25汽=35(7.39)

3

I

Задача. Постройте схемы, аналогичные схемам (7.38) и (7.39), для всех представлений группы S§.

Таблицы (7.39) служат примером таблиц Юнга——графов заданной формы (определяемой разбиением), в разных клетках которых размещены числа от 1 до п. Если клетки заполнены в соответствии с нашим правилом правильного размещения, то таблица называется стандартной таблицей. Число стандартных таблиц в точности равно размерности представления. Стандартные таблицы можно определенным образом упорядочить, выписывая все числа подряд, т. е. рыписцвая сначала первую строку, затем вторую и т. дч а потом

располагая записанные так таблицы в порядке, обратном лексикографическому: например, таблица

1367

25-> 1367254

4

будет идти после таблицы

1367

24fl367245.

5

Позднее мы еще вернемся к стандартным таблицам и покажем, каким образом они позволяют нам строить базисные функции для неприводимых представлений.

Графический метод нахождения характеров

Тот же графический метод, которым мы пользовались для нахождения размерности неприводимых представлений, можно применять и для вычисления характеров. Мы снова будем исходить из равенства (7.24), Чтобы найти характер %，，》 мы должны вычислить коэффициент при

Л +m-I Л +т-2九

в выражении

Q(Xi)s(》

Запишем (/) в циклической форме (乙,/2. • • •) и будем умножать D (%,) последовательно на

Мы исходим из выражения

D(X,) = £ 6РРх'"~1хТ~2 Xm^.xm

и пытаемся вычислить коэффициент при

九 +m-12 Л

Если какие-нибудь два показателя в некотором члене равны, то коэффициент при нем (на любом этапе вычислений) равен нулю. Предположим, что /j——это цикл длины 1 (как это было в только что разобранном нами случае). Тогда, умножая 0(x0 па £ *九 мы обнаружим, что единственный член, который не равен нулю, получается

в результате умножения на %卜 Поэтому мы помещаем одну точку в первой строке. Представим себе, что 厶=2. В этом случае мы должны умножать на 2 %?• Существует два отличных от нуля члена: это те, которые получаются от умножения на х； и х^. Первый из них приводит к члену %^ + 1^^-2 ... %加_1，показатели степени которого все еще расположены в убывающем порядке. Второй приводит к члену xm-ixmxm-3 ... ^m_v У которого показатели степени оказываются неупорядоченными. Среди перестановок 2 bpp найдется такая перер

становка, которая расположит показатели степеней в порядке их убывания, а именно транспозиция (12), изменяющая знак, в результате чего мы получим —— 工”厂仅厂^ ... %切_「 Этот результат можно сформулировать следующим образом: мы добавим одну точку ко второй строке, затем одну точку ——к первой и поменяем знак. При 厶=3 мы нашли бы

Л1 Л2Л1 Л2 *3* • • Лт-1*

Л1 内2“3 内4' ' ' Лт-Г

Отбирая из перестановок 2 bpp те, которые располагают показатели р

степени в порядке убывания, получаем

Л1 “2*1， Л1 Л2 *3…—1，

勺Л2儿з 儿％…Лт-Г

Эти три результата соответствуют следующим возможностям:

размещению трех точек в первой строке,

размещению одной точки во второй строке и двух точек в первой строке,

размещению по одной точке в каждой из первых трех строк. Тот же метод применяют и при 厶〉3. Мы видим, что если совокупность, состоящую из /1 точек, размещают на нечетном числе строк, то знак не меняется (четное размещение), но если точки размещены на четном числе строк, то знак меняется (нечетное размещение). Этот результат становится еще более наглядным, если отбросить общий множитель х}-】 ... хш_р после чего указанным нами трем возможным случаям будут соответствовать выражения х?,——х；%?， %］尤2尤3・ Можно сказать, что точки мы размещали следующим образом: добавляли точки к любой строке до тех пор, пока число точек не стало больше числа точек на предыдущей строке на единицу, затем перешли к предыдущей строке и повторили всю процедуру и т. д. После того как все точки добавлены, должен получиться граф

допустимого вида. Знак будет плюсом (минусом), если число соответствующих строк нечетное (четное).

Рассмотрим теперь любой последующий этап в процессе умножения. Предположим, что после добавления точек для /ь /2, ... мы пришли к характерному (допустимому) результату:

Если этот результат относится к числу допустимых, то должно выполняться неравенство 丫1》丫2》• • •》^т・ Если теперь мы будем умножать на 2 %， что соответствует циклу длины г, то необходимо будет учесть действие умножения на %；. Если какие-нибудь два показателя становятся равными, то результат равен нулю. Предположим, что

+ (От — р + 1) > V? + (т — ?) + г > vp + (т — р). В этом случае мы получаем результат

土叶…I土叶…I^4+m~q+r xvm =^4+m~q+r xvm =яяmm

土叶…I

土叶…I

^4+m~q+r xvm =

^4+m~q+r xvm =

я

я

m

m

土 ％”+m-l^ур_^т-р + \^у^т_я^г^ур^т-р

一 I* ' ' p-Iq"p* * *

…弋疗+噜小“窩产*=

+ (ym-I vm-p + l т-р т-р-1、 v

一 Ui * * *%q Кр • • • Лт-1/Л1* * '

(7.40)

Найдется и соответствующий член, в котором переменные хь . . ., хт расположены в естественном порядке, его знак определяется числом переменных хр, . .., х^, показатели которых изменились: плюс (минус) в том случае, если (д ——р) нечетно (четно). Таким членом, выписанным в новом порядке, будет член

(± 1)〜+依尸…w7+“厂"…•

5沖"叫专跋+ 1…吟一 + R方(7.41)

На языке графов можно сказать, что мы ^добавляли точки к ^-й строке до тех пор, пока число их не стало на единицу больше числа точек в предыдущей строке (т. е. x；q перешел в x^-» + I), а затем повторили ту же процедуру с предыдущей строкой и т. д., убедившись в том, что окончательным результатом размещения всех г точек является правильный граф. Этот процесс называется правильным размещением г точек. Общее правило состоит в следующем.

Чтобы найти характер в представлении (九)класса (/), имеющего ци^ды длины 4，厶 • * •» строим граф разбиения (Л) с помощью пд-

следовагельных правильных размещений точек, число которых равно /ь /2 и т. д. Характер 幽)равен числу способов, которыми можно построить граф, содержащий четное число отрицательных размещений минус число способов, при которых граф содержит нечетное число отрицательных размещений.

В качестве первого примера найдем %乳；“ Прежде всего начертим граф разбиения (3, 1):

Н□口(7.42)

Выполним правильные размещения 2, 1 и 1 точек. Эти операции можно проделывать в любом порядке. Разместим, например, сначала две точки (обозначим их символом 1), затем одну точку (2) и еще одну точку (3). Две точки можно расположить двумя способами:

а)円 口 口или б)円口口(7.42а)

Правильное размещение точки (2) приводит к следующим вариантам:

а) □□□а2) DE 図 б) ШЕП (7.426)

②□□

Ясно, что точка (3) помещается в оставшееся свободное место:

а】)ШШ0 а2) ШШИ б)回図図(7.42b) 回回Ш

В вариантах „а/ и „а2и две точки 1 расположены в одной строке, поэтому эти варианты не содержат нечетных размещений. В случае „би точки 1 располагаются в обеих строках, и поэтому вариант ”6“ содержит одно отрицательное размещение. Таким образом, мы получаем 十1 из 力aj, 十1 из „а2и и —1 из ”6“

燉;?)= +1 + 1-1 = L(7.43)

Порядок, в котором выполняются размещения, не существен (хотя разумный выбор его может значительно сократить вычисления). Например, предположим, что сначала размещается одна точка (1), затем две точки (2) и затем одна точка (3). Первую точку (1) надлежит поместить в левый верхний угол:

□□□

Добавим теперь две точки (2). Первую точку (2) мы не можем поместить во вторую строку, поскольку наше правило требует, чтобы мы продолжали заполнение строки до тех пор, пока не будут использованы все точки либо же число точек не станет на единицу больше, чем число точек в предыдущей строке. Следовательно, единственным правильным размещением является

□

и, помещая сюда третью точку, мы получаем

回回回

Мы имеем только один вариант без отрицательных размещений, поэтому

瓚;?)=十1一

В качестве следующего ния (2, I5) имеет видВ качестве следующего ния (2, I5) имеет видпримера найдем 婚导примера найдем 婚导Граф разбие-Граф разбие-

В качестве следующего ния (2, I5) имеет вид

В качестве следующего ния (2, I5) имеет вид

примера найдем 婚导

примера найдем 婚导

Граф разбие-

Граф разбие-

□□□□□□□□□□□□

□□□□□□

□□□□□□

Одно расположение состоит из одной точки (1), четырех точек (2), одной точки (3) и одной точки (4). Единица должна быть в левом верхнем углу. Тогда единственное правильное размещение четырех двоек дает нам

Тройку и четверку можно вписать двумя способами. В любом случае четыре двойки занимают четное число строк (нечетное размещение), так что

循澗=一2.

Попытаемся найти %&『)• Граф разбиения (8, 2) имеет вид

□□□□□□□□

Если разместить пять единиц в первой строке, то получится следующее:

Если теперь мы будем размещать пять двоек, то мы нарушим наше правило, ибо мы должны начать со второй строки и продолжать заполнять ее до тех пор, пока число занятых клеток не станет больше числа заполненных клеток в первой строке. Следовательно, этот метод не позволяет построить граф с помощью правильных размещений. Другой способ состоит в том, чтобы поместить первую единицу во второй строке, а остальные четыре единицы——в первой:

□шаишш

Но и тогда мы не сможем правильно разместить пять двоек, чтобы образовать граф. Поэтому не существует способов образования графа с помощью правильных размещений, вследствие чего

喘 2)=0.

В качестве последнего примера найдем 从猊紹夕 Граф разбиения (20, 2, 1) имеет вид;

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□а

Будем производить заполнение в следующем порядке: 1 точка, 8 точек, 14 точек. Единица отправляется в левый верхний угол. Тогда, если расположить 8 двоек в первой строке, то мы не сможем правильно расположить тройки. Точно так же, если мы начнем с двоек во второй строке и поместим две из них там, а остальные шесть — в первой строке, то п)с гая клетка в третьей строке будет мешать правильному размещению троек. Следовательно, мы должны сначала поместить двойку в третьей строке, затем две двойки ——во второй

и пять двоек——в первой. Четырнадцать троек заполнят первую строку, и мы получим правильное размещение:

⑪回回回回回回回回回回回回回回回回回回固

Оно содержит лишь положительные размещения, поэтому

做::L+L

Задачи. 1. Вычислите следующие характеры:

а)腐)，6)淄，叱B)證^,

0(4,3,12)(6, 2, Р)、(8,12)

「丿(3, 22, 12)，Д丿 ％(5, 4, 1),е丿 ％(з, 23, 1)

Докажите следующую теорему:

Теорема. Характер класса (л) в неприводимых представлениях группы Sn, соответствующих разбиениям (р, И), где р + q = п, равен (—1)' для g = 0, 1, ..., (л — 1). В остальных неприводимых представлениях характер этого класса равен нулю.

[Указание. Попытайтесь построить правильное размещение л точек для различных разбиений; проверьте условия четности и нечетности размещения.]

Выведите следующие формулы:

а)б)в)а)б)в)临Ж.)=1；临Ж.)=1；W I?)=《伍,2В, 3Y・・・)—W I?)=《伍,2В, 3Y・・・)—(а—1)(а — 2)(а—1)(а — 2)(л—2, 2)=Л(1«, 23, 3Y ...)~~(л—2, 2)=Л(1«, 23, 3Y ...)~~2(а-1)(а-2)2(а-1)(а-2)В；В；22卜 0 - 1.卜 0 - 1.

а)

б)

в)

а)

б)

в)

临Ж.)=1；

临Ж.)=1；

W I?)=

《伍,2В, 3Y・・・)—

W I?)=

《伍,2В, 3Y・・・)—

(а—1)(а — 2)

(а—1)(а — 2)

(л—2, 2)=

Л(1«, 23, 3Y ...)~~

(л—2, 2)=

Л(1«, 23, 3Y ...)~~

2(а-1)(а-2)

2(а-1)(а-2)

В；

В；

2

2

卜 0 - 1.

卜 0 - 1.

Попробуйте обобщить эти формулы.

Неприводимое представление, соответствующее разбиению (/г), является единичным представлением, т. е. для всякого класса (/)

璃=1.

Так как его граф состоит из одной строки, то имеется лишь один способ построения этого графа с помощью правильных размещений.

Неприводимое представление, соответствующее разбиению (1'), является знакопеременным представлением:

圖^=十1，

если (2) — класс четных перестановок, и

если (Z) — класс нечетных перестановок. Доказательство этого очень схоже с доказательством приведенной выше теоремы. В данном случае существует только один столбец, и имеется лишь один способ правильного построения графа. Каждый цикл, содержащий четное число символов (нечетная перестановка), приводит к появлению множителя ——1. Утверждение теоремы вытекает из того, что четные (нечетные) перестановки содержат четное (нечетное) число циклов четной длины.

Ранее мы обращали внимание на сопряженные, или ассоциированные, разбиения. Два разбиения (九)и (Z) сопряжены друг с другом, если схема одного из них получается из схемы другого заменой строк на столбцы. Представления, соответствующие сопряженным разбиениям, также называются сопряженными представлениями. Докажем теперь, что характеры класса в сопряженных представлениях равны, если класс четный, и имеют противоположные знаки, если класс нечетный, т. е.

编=嚼嚼"). (7.44)

Существует много способов доказательства соотношения (7.44). Метод, который избираем мы, представляет ценность с той точки зрения, что приучает нас мыслить в терминах графов и схем. Предположим, что мы строим некоторый граф с помощью правильных размещений и приходим к графу:

Возможные правильные размещения трех точек во второй строке указаны на схеме, клетки заполняются в следующем порядке: о, Ь、с. На сопряженной схеме то же расположение в порядке с,力，а будет вновь правильным.

Предположим, далее, что мы достигли следующего этапа в построении графа:

□□□□□□□

(7.45)(7.45)□□□□

(7.45)

(7.45)

□□

口口

и правильно разместили 8 точек, как показано на схеме:

(7.45а)(7.45а)

(7.45а)

(7.45а)

На сопряженной схеме размещение тех же точек, но в обратном порядке, вновь будет правильным:

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

□□□□□

□□□□□

□□□□□

□□□□□

(7.456)

Обратим внимание на форму добавки к нашей головоломке с зигзагом. Добавка всегда имеет форму

Никогда не бывает добавок таких форм;

Иначе говоря, каждая точка находится либо в той же строке, либо в том же столбце, что и предшествующая ей. Общее число различных строк и столбцов, занимаемых г точками при правильном размещении, равно 厂十1, ибо первая точка начинает заполнение и строки и столбца, а последующие точки (как мы уже указывали) располагаются либо в той же строке, либо в том же столбце, что

и предшествующие им. Но из (7.45а) и (7.456) мы видим, что в случае сопряженных разбиений размещения означают, что строки заменяю гея столбцами, и наоборот. Таким образом, если г нечетно (厂+l четно), то общее число строк и столбцов в схеме четно, и, следовательно, размещения на сопряженных графах либо оба положительны, либо оба отрицательны. Если же г четно (厂+l нечетно), то размещение на графе, отвечающем разбиению (Z), отрицательно, если размещение на графе, отвечающем разбиению (九)，положительно, и наоборот. Таким образом, каждому способу построения графа (Z) для класса (/) соответствует некоторый способ построения графа (Z). В случае четных классов число циклов с четным г четно, и поэтому оба метода приводят к одному и тому же числу, равному 十1 или ——1. Если класс нечетный, то число циклов с четным г нечетно, поэтому мы получаем +1 в одном случае и —1 в другом случае.

Рекуррентные формулы для характеров.Правила ветвления

Если требуется построить подробные таблицы характеров симметрических групп, то можно также пользоваться и рекуррентными формулами, так что характеры группы 5门 можно определять по уже известным характерам для симметрических групп меньшего порядка.

Рекуррентные формулы выводят из равенства (7.24):

S庐阳=絆泞6尸”〃1岁2…療，(7.24) где (/) — разбиение числа п.

Предположим теперь, что мы рассматриваем класс группы Sn+r, который получается при добавлении к разбиению (/) одного цикла длины г; (^) — ((/), г). В этом случае

%/&，) = 2 囁 2 6产冲+吟+2 …х»(7%4а)

Но

s(①二3 s⑺ Sf,(7.46)

поэтому

(ц) Р

=(К + …十戏峭甯 2 6pPx”z... X>.(7.47)

Вычислим теперь коэффициенты при одинаковых одночленах в левой и правой частях равенства (7.47) и получим

囁=2’土羯，где 他)=((/)，)(748)

которые мы набор пока-(749)которые мы набор пока-(749)а £' означает суммирование по всем разбиениям (九)， сейчас охарактеризуем. Из (7.47) ясно, что мы берем зателей

которые мы набор пока-

(749)

которые мы набор пока-

(749)

九1 + ?n - 1,九2+加一2,・・・，九m

и по очереди увеличиваем один из них на г. Мы хотим, чтобы возникающая при этом последовательность получалась из последовательности

卩1 + ?П - 1 (卩2+加一2, 卩m (7.50)

с помощью некоторой перестановки. Если это так, то 爲)будет входить в равенство (7.48), а знак его будет определяться тем, получаются ли последовательности (7.49) и (7.50) друг из друга четной (+)или нечетной (——)перестановкой. Поскольку на практике мы исходим из разбиения (ц) и последовательности (7.50), то из каждого члена последовательности (7.50) мы по очереди вычитаем г и то, что при этом получается, сравниваем с (7.49). Чтобы стандартизировать нашу процедуру, мы всегда будем выбирать m равным числу частей в разбиении (ц), хотя возможны и другие выборы т.

Рассмотрим, например, характер 乂力呪 拄).Мы хотим выразить его через характеры 乂? группы S^, где класс (/) получается из (/г) выбрасыванием одного цикла длины 2 (г = 2). Выбираем ?д = 5 н выписываем последовательность (7.50):

8, 6, 5, 2, 1.

Вычтем теперь по очереди из каждого числа по 2 и запишем получающиеся при этом последовательности. Для экономии труда заметим, что при нашем выборе т следует отбросить любую последовательность, содержащую отрицательные числа. Кроме того, если два числа в последовательности, получившейся после вычитания 2, равны, из нее уже не может получиться последовательность (7.49) и ее также следует отбросить. Наши последовательности имеют вид

6, 6,

5,

2,

1；

8, 4,

5；

2,

1；

8, 6,

3,

2,

1：

8, 6,

5,

0,

1：

8, 6,

5,

2,

—1；

поэтому мы можем исключить из рассмотрения первую и последнюю последовательности. Расположим числа в оставшихся последовательностях в порядке убывания. Будем помечать последовательность зна-

ком + или — в зависимости от того, будет ли необходимая для этого перестановка четной или нечетной:

2, 1；2, 1；1, 0.являются последовательностями Z, вычитая из первого числа т. д.1, 1;1, 1;0, 0.2, 1；2, 1；1, 0.являются последовательностями Z, вычитая из первого числа т. д.1, 1;1, 1;0, 0.—8, 5, 4, +8, 6, 3, —8, 6, 5,

2, 1；

2, 1；

1, 0.

являются последовательностями Z, вычитая из первого числа т. д.

1, 1;

1, 1;

0, 0.

2, 1；

2, 1；

1, 0.

являются последовательностями Z, вычитая из первого числа т. д.

1, 1;

1, 1;

0, 0.

Поскольку эти последовательности типа (7.49), мы получим значения /п—1=4, из второго т—2 = 3 и

一4, 2, 2, +4, 3, 1, —4, 3, 3,

Окончательно наша рекуррентная формула будет иметь следующий вид;

艰『广=一瑞方吟+淄3,吟-瑞叱 (7.51)

В качестве второго примера найдем рекуррентную формулу, позволяющую выразить Xi%」％；) через Величины 卩 равны 7, 6 и 5, 加=3, так что последовательность (7.50) имеет вид 9, 7, 5. Вычтем по очереди из каждого числа по 4:

5,7,5 •9, 3, 5;9, 7, 1.

Переставим члены последовательностей в порядке убывания: —9, 5, 3;十9, 7, 1 и вычтем 2, 1, 0, в результате чего получим —7, 4, 3;下7, 6, 1, откуда

丫(7, 6t 5) _— у(7, 6, 1) — у(7, 4, 3)儿((f), 4) *(2)%) ‘

Чрезвычайно важен случай, когда мы отбрасываем цикл длины 1 (尸=1). В этом случае мы должны последовательно вычитать из каждого члена последовательности (7.50) по 1 и то, что получится, отождествить с (7.49). На этот раз члены не могут располагаться в беспорядке (единственный непригодный для нас результат может заключаться в том, что два члена станут равными), и мы получаем возможность оперировать непосредственно с величинами 九 н 卩， В результате сравнения мы получаем правило ветвления

廳3)=w喘"户…)，(7.52)

где суммирование проводится по всем получающимся разбиениям, которые правильны (т, е, таким, для которых 卩——1 ^ Нг+1)*

Предположим, что мы отбрасываем второй цикл длины 1. Повторяя наши рассуждения, получаем

XI产 2 瑞i，...)+ 2 %х相 匕一2>% + [ r厂、卩卄1

(7.53) где ars = 2, если только г и 5 не являются последовательными целыми числами и 卩г не равно 卩$, в противном случае 。「§ = 1.

Последнее выражение чрезвычайно громоздко. Гораздо удобнее изображать его графически. Чтобы перевести эту рекуррентную формулу на язык графов, рассмотрим сначала случай (7.52). Предположим, что при построении графа разбиения (ц) с помощью правильного размещения узлов, соответствующего классу ((/), 1), мы отбрасываем при последнем правильном размещении (одного узла) цикл длины 1. Перед этим последним шагом мы уже построили разбиения (л) числа л ——1 с помощью правильного размещения, и теперь для того, чтобы построить разбиение (ц), мы пытаемся разместить последний узел. Это последнее размещение положительно. Число способов, которыми можно построить разбиение (л), равно характеру класса (/) для этого разбиения числа л——1. Поэтому характер класса ((/), 1) в разбиении (ц) равен сумме характеров класса (/) во всех правильных графах, получаемых из (卩)(правильным) выбрасыванием одной точки. Например, из схемы

(7.54)(7.54)□□□□ □□口図 □□図

(7.54)

(7.54)

□区1

можно удалить любую из точек (одну), помеченных крестиком, и поэтому

艰3『,2)=淄* з. 2)+淵4串,2)+墻鸣州+脸串,3, I).(7.54а)

Выбрасывание двух циклов длины 1, которое привело к выражению (7.53), графически можно описать как два последовательных правильных удаления по одному узлу. Из нашей схемы можно усмотреть и причину того, почему выражение (7.53) столь сложно. Мы удаляли по одному узлу сначала из строки 1, затем из строки 3, или наоборот, в результате чего получающееся разбиение входит в сумму дважды. Если же взять строки 2 и 3, то сначала мы должны произвести выбрасывание из строки 3, а затем из строки 2, в силу чего это разбиение войдет в сумму лишь один раз.

Выорасывапие цикла длины 2 означает правильное удаление 2 точек. Чтобы удаляемая полоска была правильной, она должна иметь вид

□□□□илиили(7.55)(7.55)

□□

□□

или

или

(7.55)

(7.55)

где первая полоска положительна, а вторая отрицательна (четное число строк). Таким образом, в разбиении

□□□□□

□□园朋

(7.56)(7.56)можно удалить лишь косо заштрихованные полоски из 2-х клеток, так что

(7.56)

(7.56)

При отбрасывании цикла длины 3 правильными полосками являются

□□+□□+□□-□□-□□□□□+□□□+(7.57)(7.57)Вообще для цикла длины г существуетВообще для цикла длины г существует2「т различных2「т различныхполосок.полосок.

□

□+

□

□+

□□-

□□-

□

□

□□□+

□□□+

(7.57)

(7.57)

Вообще для цикла длины г существует

Вообще для цикла длины г существует

2「т различных

2「т различных

полосок.

полосок.

Задача. Воспользуйтесь рекуррентными методами для вычисления а)淄，圖,если известны 乂g;б)公；小з?1), если известны 璃.

Вычисление характеров по формуле Фробениуса

Последний метод вычисления характеров состоит в непосредственном использовании формулы Фробениуса (7.24). Проиллюстрируем этот метод на нескольких простых примерах, которые понадобятся нам впоследствии. Согласно (7.24), %。三%&%) и / = /^* ^_2^ равны соответственно коэффициентам при %Ю …％% в выражениях

(巧 + …+ %т)"(7.58)

и

。(占Хт)(%1+…+xj.(皆+ • • • +喝)，(7.59)

где

也 Е = %ш —■ Z.(7.60)

Начнем с (7.58). Каждый член в разложении Q(%0 имеет вид

丄士《г/丄士《г/(7.61)(7.61)

丄

士《г/

丄

士《г/

(7.61)

(7.61)

где числа k образуют некоторую перестановку целых чисел m—1, m—2, . . ., 0, знак шена определяется тем, будет ли эта перестановка четной или нечетной. Чтобы получить из (7.61) требуемое выражение, мы должны умножить (7.61) на

(臥一自)!...(研—砧)! /(

так что искомый коэффициент равен

%0 = 'I £ ± ("一团)!..：(矶一紘)!，(7S3)

伏)

где сумма берется по всем перестановкам чисел m — 10.Эта

сумма является разложением определителя

[曲一5 - 1川1[曲一5 - 1川1[无2 —(加—1)] I[无2 —(加—1)] I[无m -(m一DH[无m -(m一DH[% — (т —2)]!…不[% — (т —2)]!…不[无2 - 5 - 2)]![无2 - 5 - 2)]!(7.64)(7.64)［研一（*2）］1…砌［研一（*2）］1…砌

[曲一5 - 1川1

[曲一5 - 1川1

[无2 —(加—1)] I

[无2 —(加—1)] I

[无m -(m一DH

[无m -(m一DH

[% — (т —2)]!…不

[% — (т —2)]!…不

[无2 - 5 - 2)]!

[无2 - 5 - 2)]!

(7.64)

(7.64)

［研一（*2）］1…砌

［研一（*2）］1…砌

Вынося множитель l/(Aj!.. .Aml), получаем

"0 一 /гi！饱！…研！"

% (% — 1) ... (% — m + 2) A)(A] — 1) ... (%—m + 3).…％ 1

"2 (^2- 1)…，("2 —m + 2) '2 ('2- 1) ■ ■ > (也2—m + 3) ... & 1

X ;

力m(%—1)…(％—m +2) %(%—1)…(％—团+ 3)…％ 1

(7.65)

Столбцы определителя (7.65) представляют собой многочлены степени m—1, m—2, ..., 0 со старшим коэффициентом, равным еди*

нице. Следовательно, вычитая подходящим образом столбцы друг из друга, мы можем привести (7.65) к виду

применимприменим(7.66) к (7.59):(7.66) к (7.59):mm% = (л — 2)!工% = (л — 2)!工0(无], 无 2，..., 无 f 2,..无 m)无1!无2! * * •(无i — 2)!...无m!0(无], 无 2，..., 无 f 2,..无 m)无1!无2! * * •(无i — 2)!...无m!(7.67)(7.67)

применим

применим

(7.66) к (7.59):

(7.66) к (7.59):

m

m

% = (л — 2)!工

% = (л — 2)!工

0(无], 无 2，..., 无 f 2,..无 m)无1!无2! * * •(无i — 2)!...无m!

0(无], 无 2，..., 无 f 2,..无 m)无1!无2! * * •(无i — 2)!...无m!

(7.67)

(7.67)

|а?-1 аГ~2 ...血 1

л!成Т成一2…比1

%—/ц!・」т!：；

[Am"1 А^-2hm 1

ИЛИ

%一 0（也，

(7.66)

Чтобы

вычислить

%三嘴严7），

Нам потребуется величина

(7.68)(7.68)(7.69)(7.69)?.仆一1) %

(7.68)

(7.68)

(7.69)

(7.69)

3—~^-

Из (7.66) и (7.67) имеем

^=42/ = 1^=42/ = 1无2 (无t - 1)0 (无 1，无2，. . .,无i - 2, ・ . .,无m).。(力I，. . .，力m)

^=42

/ = 1

^=42

/ = 1

Знаменатель в (7.69) является знакопеременной функцией от 力* [ср. замечания, сделанные по поводу (7.23)]. Сумма в числителе также является знакопеременной функцией от 力广[Проверка того, что числитель содержит все множители (hi——%), предоставляется читателю.] Следовательно, их отношение должно быть симметричным полиномом второй степени относительно 力,：

£% (力i — 1) D (Ль 力2，* • • • % —2,...,力m)=

= 0(%^[A^h^BZ^hj-^-C^h^F]. (7.70)

Сравнивая коэффициенты в левой и правой частях равенства (7.70), мы можем определить А, В, С,尸.Прежде всего рассмотрим члены, в которые % входит в степени /п + 1 или т, а степень Л2 больше

или приили приравна пг—2. В левой части такиеZ = 1:равна пг—2. В левой части такиеZ = 1:% (% -% (% -(%一2)"1 (%_2)m)成"矿2(%一2)"1 (%_2)m)成"矿2-2-2члены встречаются только•m-3 ...九吁11, (7.71)члены встречаются только•m-3 ...九吁11, (7.71)

или при

или при

равна пг—2. В левой части такие

Z = 1:

равна пг—2. В левой части такие

Z = 1:

% (% -

% (% -

(%一2)"1 (%_2)m

)成"矿2

(%一2)"1 (%_2)m

)成"矿2

-2

-2

члены встречаются только

•m-3 ...九吁11, (7.71)

члены встречаются только

•m-3 ...九吁11, (7.71)

где I 力？-з …力m — J — определитель, который получается после вычеркивания из определителя D (А) первых двух строк и столбцов. Разлагая (7.71), получаем

h^hi - 1)[九厂2 ｛成」—2(?n - 1)/严"..—

-殿-飞丁? 一 25一 2)成一明• I理-3… ^д =

=[或 + %厂2 -后%广2 - 2(ffi - 1)九*广2 - hTh^ ...]x

Х|『з(7.72)

В правой части (7.70) эти члены входят лишь в

厂2—九T-2威-*A必+8%比十 С%+ ...]х,

>ф” …九吁11.(7.72a) Сравнивая коэффициенты, получаем

А=1, В — 0, С = —(2/п — 1).(7.73)

Постоянная 尸 есть коэффициент при 力『一%，"-' .. . hm^\ в правой части (7.70). Этот одночлен в левой части (7.70) получается только из главной диагонали определителя. В Z-м слагаемом диагональный член равен

成一%厂2一.力iW-l)(也一2)*‘%一，

так что коэффициент при 力?一‘力力m-i равен

2 (/n — £) (/n — £ — 1)十 2 (/n — £) = 2 (/n — £)2 и

F ^2^(т — l)2 = j m (m — l)(2m ~ 1).(7.74)

Пользуясь (7.69) и (7.70), находим

自=^e 必一〜e 也 十 ^Lziy^lk.(7.75)

Подставим теперь Az из (7.60) и получим тm

士 = ^ Е % & + 1)-工认"(7・76)

Z«1/ = 1

Задала. Воспользуйтесь соотношением (7.66), чтобы найти неприводимое представление группы S® соответствующее разбиению (4, З2).

§ 7・ Матрицы неприводимых представлений группы &.

.Символы Яманучи

Обратимся теперь к задаче построения матриц неприводимых представлений группы 5Л. Мы будем следовать статье Яманучи 】).

Рассмотрим неприводимое представление D (/?), характеризуемое разбиением (Z). Будем предполагать, что нам известны неприводимые представления группы 5Л_1——группы перестановок символов 1, 2,... ...,л——1. Все перестановки группы 5Л, которые содержатся в этой подгруппе 5Л_Ъ обладают тем свойством, что о нм оставляют без изменений последний символ л. Поэтому всякий элемент R группы 5Л, который содержится в 5Л_Ъ имеет вид ((/), 1) и, следовательно, мы имеем право применять правило ветвления (7.52). Равенство (7.52) можно выразить на языке представлений: для элементов R, содержащихся в 5门_], матрица представления £)(/?) равна сумме матриц представлений 力厂(氏)，me Dr—неприводимое представление группы 5门_], соответствующее разбиению (九卜 Z2九「—— 1,...,九切).В матричных обозначениях это запишется так:

D(R)=2 DJR)(7.77)

九Г-1》九Г+1

для любой перестановки R, оставляющей без изменения последний символ л. Например, в разбиении, указанном в (7.54), любая перестановка первых 18 символов имеет матрицу представления

D (R) = 5 (R) + A (R) + A (R) + А(R)，(778)

где, например, Dx есть матрица, в представлении, характеризуемом разбиением (5, 42, 3, 1). Представление можно выбрать так, чтобы матрица D (R) имела клеточно-диагональный вид, причем на главной диагонали будут стоять матрицы Dr. Индекс г позволяет нумеровать набор строк (столбцов), в которых стоит матрица Dr

(7.79)

Для тех элементов R, которые оставляют без изменения два символа п — 1 и п и, следовательно, принадлежат 5Л_2, матрица Dr

9 Yamanouchi, Phys. Math. Soc. Japan, 19, 436 (1937).

распадается дальше [см. (7.53)] на сумму представлений Drsi соответствующих правильным разбиениям

(九],• • •» 九 г 2, • > • * 九m)，(九1，• • • * 九 г1, • • • > 九§1, • • • f 九m) •

(7.80)

Неприводимые представления, получающиеся при этом, бывают трех типов:

D"(九г》九「十1+2) встречается один раз,

Drs= Dsr встречается дважды, если 九「一1》九「十1 и 九5——1》九5十1， 3) DTS встречается, a Dsr нет; это происходит в том случае, если s =r——1 и九「一]=九广

Например, рассмотрим еще раз разбиение, указанное в (7.54). Для перестановок R, оставляющих на месте последние два символа, получаем

D = °11 + °13 + °14 + °15 十 °31 + °32 + °34 + °35 + °41 +

+。43 +。45 +。51 +。53 4_。54 +。55*(7.81)

(Заметим, что матрица %2 типа 2.) Для таких перестановок мы разбиваем 厂 на rs, и матрица имеет вид

34II11 ~Л~}Г34II11 ~Л~}Г|32134135|4;|43'45'5?153154155一|32134135|4;|43'45'5?153154155一

34

II11 ~Л~}Г

34

II11 ~Л~}Г

|32134135|4;|43'45'5?153154155一

|32134135|4;|43'45'5?153154155一

Матрицы любой перестановки в группе 5л_2 имеют вид (7.82); пунктиром показаны матрицы (7.79), отвечающие элементам группы S抵у* В (7.82) мы снова выбрали базис так, чтобы представить матрицу в клеточно-диагональном виде.

Теперь мы хотим построить матрицу представления тех элементов R группы S〃, которые не содержатся в S及_「 т. е. таких элементов, которые переставляют последний символ п. Для этого нам потребуется лишь матрица транспозиции (п——1, п), которую мы обозначим через U, ибо

(Z, п) = (п — 1, n)(Z, n— l)(n — 1, п).(7.83)

Транспозиция (Z, п——1) принадлежит группе S^.p поэтому ее матрица известна. Зная матрицу U, мы можем построить матрицу для любой транспозиции (Z, п), а следовательно, и матрицу для любой перестановки. Матрица V произвольной перестановки из группы Sn_2 имеет вид, показанный в (7.82):

V 0 = Vr гДс 必(7.84)

Поскольку транспозиция (n ——1, n) коммутирует co всеми элементами группы то

VU^UV(7.85)

или

Vrs TJJrs Dn = Urs 0□(7 86)

для всех элементов* группы 5Л_2. Матрицы Vr^ rs и Vpq^ pQ служат неприводимыми представлениями группы 5门_2， которые эквивалентны лишь при pq= rs или pq = sr. Следовательно, по лемме Шура, U”，рд = 0，за исключением случая, когда pq = rs или pq = sr и

Urs, rs == ^rs, rs^rs, rs* Urs, sr =。“，sr^rs, sr，(7.87)

где Eg pq——единичная матрица, стоящая на пересечении //п-строк и р^-столбцов в (7.82), а величины о — константы.

Если потребовать, чтобы представление было унитарном, то из вида матрицы U можно усмотреть, что если rs имеет тип 1 или 3, то 1。"宀e=1，(7 88)

а если rs имеет тип 2, то

1。“,“|2+|。“,”卩=1-(7.89)

Чтобы найти матрицу U транспозиции (п——1, п), нам необходимо знать лишь константы о. Их можно найти следующим образом.

Ранее мы показали [см. (3.168) — (3.170)], что если просуммировать матрицы неприводимого представления по всем элементам класса К, то получится матрица, кратная единичной:

±и(а)=胃匕(7.90)

где Е ——единичная матрица, пк ——число элементов в классе ^, %长—— характер этого класса и у。一размерность представления. Применим этот результат к классу транспозиций. Для группы S以

л

£и(〃・)= 尹=2,(7.91)

一/ л0

i<J

где 自 ——величина, определенная соотношением (7.68) и вычисленная в (7.76). Точно так же, если рассмотреть неприводимые представления Dr группы 5л_] и Drs группы 5л_2, то получим

л — 1л —2

X /(⑺="耳，》u(⑹(⑺=*"，(7.92)

где ЕГ и Ers ——единичные матрицы представлений Dr и Drst а ^г и 自小 определяются так же, как и ±. Из (7.91), (7.92) мы находим, что матрица

л—1ил—1

2 U (Zn) = £ U(〃)一 2 U(ZJ) = Ап(7.93)

* I/

клеточно-диагональна, причем на ее диагонали [см. (7.79)] стоят подматрицы

(自一自Г)%.(7.93а)

Повторяя эту процедуру и используя оба выражения (7.92), получим, что матрица

—2

£и«, 〃一1) = 4т(7.94)

также клеточно-диагональна, причем на ее диагонали [см. (7.82)] стоят подматрицы

电一，)二5,5(7.94а)

Умножив (7*93) на U (п—1, п), мы получим

л— 1

AnU (п—1,孔)=2и@,孔)U(/i—1, n)—

л —2

=£。(厶 〃)U(〃一 1, 〃) + £. (7.95)

Ho n —2

2 U (2, n)U (n — 1, n)=

■n-2-

=U (n — 1, n) U (n — 1, n) ^U (I, n)U (n — 1, n)=

n-2

^U(n—lt n) ^U(l,以一1) = U(〃一 1, п)Ап_ъ (7.95a)

следовательно,

/^U (д — 1, д) — U (п — 1,尸)/ 抵―IЕ (7.96)

Возьмем теперь из этого равенства матричный элемент (pq, “) и воспользуемся соотношениями (7.93а) и (7.94а). Из рассмотрения элемента rs, rs мы получим

R — l^urs> “-U“，“因-G = %,“，(7・97)

а из рассмотрения элемента rs、 sr следует

倡 一 l^Urs< ” - U“, “Rs - E”)= 0.(7.98)

Подставляя соотношения (7.87), находим.

arst sr=Q^ если 自一自Г一自5+自"県 0， (7.100) Воспользуемся теперь соотношением (7.76). Уменьшим 九「в 。厂 на 1, тогда

—г・ (7.101)

Для представлений типа 1 (r = s) нам необходимо знать В DTr величина 九「уменьшается на 2, так что

Er —Er

И

°", 〃 = L

При г 県 s

屏一Ers = 4—S，

поэтому для представлений типа 2

1

(7.102)

(7.103)

(7.104)

— rs, rs—Zj + s — r柏 h

Заметим, что

в результате чего условие (7.100) выполняется автоматически. Наконец, для представлений типа 3, для которых s = r — 1, Хг-1 = ^г, мы находим из (7.104):

小= —1.(7.105)

Матрица U (п—1,尸)очень проста. Из (7.102) вытекает, что ее подматрица (гг, г г)——единичная; из (7.105) следует, что диагональные элементы подматриц (rs, rs) типа 3 равны —1. Согласно (7.104), в случае подматриц (rs, rs) типа 2 диагональные элементы равны единице, деленной на целое число, а диагональные элементы подматриц (sr, sr) отличаются от диагональных элементов подматриц (rs, rs) лишь знаком. Все эти элементы стоят на диагонали матрицы (7.82). Из условия унитарности (7.89) видим, что в случае типа 2 мы получаем внедиагональную подматрицу, кратную единичной матрице, 4s ； = ±呢 “％ =SE(7.106)

число Ors,“ вещественно, так как ]aFSt f5| < 1. Выбор знака в (7.106) произволен, его можно изменить на противоположный трансформированием клеточно-диагональной матрицей, у которой диагональные элементы в подматрице (rs, rs) равны —1, а остальные диагональные элементы равны -|-1. Мы выбираем знак г-|-и. Определим целое число

так чтотак что(7.107)(7.108)(7.107)(7.108)

так что

так что

(7.107)

(7.108)

(7.107)

(7.108)

(7.109)(7.109)Матрица U содержит, таким образом, на главной диагонали лишь рациональные числа; вне диагонали могут стоять квадратные корни U* rs—1，Поскольку матрица U унитарна и вещественна, то UU — Е, но для транспозиции U?= Е, так что U = D, и матрица оказывается симметричной

(7.109)

(7.109)

°Г6, 6Г °6Г,「6,

Целое число xrs f5 = тГ5 = Zf——九s + s ——г имеет простой геометрический смысл. На схеме Юнга мы движемся из квадрата г, делая шаги по горизонтали и вертикали до тех пор, пока не достигнем квадрата s; тГ5 есть полное число сделанных шагов. Шаги считаются положительными, если их делают влево или вниз, и отрицательными, если их делают вправо или вверх. Величина тГ5 называется аксиальным расстоянием от г до s. При заданном п число T「s будет максимальным, если 九]=л——1,九2=1 или 九】 = 2, 九2= ... = ^л-i = 1. В этом случае тГ5 = п——1.

Пользуясь матрицей U (п ——1, п) и матрицами (7.82) для элементов S〃_], мы можем с помощью умножения найти матрицы, отвечающие элементам группы Sn. Весь процесс можно повторить для транспозиции (п― 2, п—1) и элементов 5Л_2 и получить по индукции следующий результат.

Все матрицы неприводимых представлений группы Sn можно построить с помощью вещественных чисел. Диагональные элементы рациональны, внедиагональные элементы содержат квадратные корни из целых чисел, не превышающих п2—2п.

В этом процессе последовательной редукции матриц группы Sn мы исходим из данного разбиения и удаляем один узел. Эту процедуру мы повторяем до тех пор, пока вся схема не оказывается исчерпанной. Рассмотрим схему

(7.110)(7.110)□□□□

(7.110)

(7.110)

Предположим, что мы удалили один узел из третьей строки, так что г = 3; после этого мы получим матрицу Drt соответствующую разбиению

□□□

□□

Если теперь мы удалим один узел из первой строки, так что s=l, мы получим матрицу Drs, соответствующую схеме

Удаляя далее один узел из второй строки (£ = 2), мы получаем матрицу 口…соответствующую схеме

Если теперь мы удалим по очереди один узел из строки 1 и строки 2, то получатся схемы

□ п

Ясно, что подматрица Drstuvi которую мы получаем на последнем этапе, содержит одну строку и один столбец. В силу самого метода построения базисная функция, соответствующая этой строке (столбцу), обладает тем свойством, что является базисным вектором неприводимого представления (321) группы 56, представления (3, 2) группы S5, представления (22) группы 54, представления (2, 1) группы S3, представления (I2) группы S? и представления (1) группы S「 Эту базисную функцию <р можно обозначать, указывая те строки, из которых по очереди отброшены узлы. В нашем случае ее можно было бы обозначить <р [3, 1, 2, 1, 2, 1]. Последовательность

[3, 1, 2, 1, 2, 1]

называется символом Ямануча (/-символом). Следует заметить, что существует простая связь между символами Яманучи и стандартными таблицами Юнга. В нашем примере мы сначала удалили узел из строки 3. Был удален символ 6, после чего у нас осталась группа S5. Затем мы удалили один символ из строки 1 и получили группу S4. Ясно, что этим символом был символ 5. Таким образом, наша первоначальная таблица имела вид

□回回 回团

Следует также заметить, что наш символ Яманучи состоит из трех единиц, двух двоек и одной тройки, что полностью согласуется с 九]=3,九2 = 2,九з = 1. Кроме того, если мы прочтем числа в символе справа налево, то заметим, что они образуют решеточную перестановку цифр 1, 2 и 3. Итак, существует взаимно однозначное соответствиемеждусимволами Яманучи,решеточными перестанов

ками и стандартными таблицами. Например,

12312 6

45 -> [322111];35->[123211].

64

Для каждого разбиения (X) мы получаем набор символов Яманучи, число которых равно размерности представления /У. Если (X)= =(九1，...,九m)，九m〉О，ТО допустимыми ЯВЛЯЮТСЯ К-СИМВОЛЫ

[乙'^п — 1» • • * »，2，1]，

где g——целые числа от 1 до ш (целое число k встречается 九尼 раз). Если мы будем читать эти символы справа налево, то получим решеточную перестановку

перестановки1]，(МН)• , 1],перестановки1]，(МН)• , 1],Теперь мы можем выразить результат действия (希—— 1,希)с помощью функций ф. Получим (п — 1, ^)ф[г, г,乙一2，•…，1] = + ①卜，Г,乙一2，•・•， (也一1, ^)ф[r, F - 1,乙一2，…，1]=

перестановки

1]，

(МН)

• , 1],

перестановки

1]，

(МН)

• , 1],

=—①卜，F — 1, гд-2* • • если символ [г——1, г, гя„2»1] недопустим, и

(也一1,也)0上，S,『2，…，1]=

= %/p[F, S，乙一2，, • - » 1]+"一(0")2中回”2，• • •，1]，

если оба символа допустимы s ^= г.

Наиболее удобный способ упорядочить К-символы состоит в том, чтобы расположить их в порядке, обратном лексикографическому. Так, для схемы (7.110) допустимые К-символы имеют вид:

322111,

321211,

321121,

312211,

312121,

232111,

231211,

231121,

213211,

213121,

211321,

132211,

132121,

123211,

123121,

121321.

Преимущество этого способа упорядочения состоит в том, что он помогает нам наглядно представить построение матриц при переходе от 5Л к 5л+1. Первые пять символов служат базисными функциями неприводимого представления (Х) = (3, 2) группы S5, соответствующего схеме

□□

получающейся после того, как мы отбросили символ 6 из строки 3. В этом представлении матрицы перестановок группы S5 служат подматрицами нашего представления группы S6. Далее, если мы пройдем цифры 3 и 2 в первых трех символах и цифры 2 и 3 в символах с номерами 6—8, мы придем к одинаковым последовательностям, соответствующим схеме

□□□ □

группы S4. Построим матрицу для перестановки (56) в этом представлении (Х) = (321). Пользуясь соотношениями (7.102), (7.104), (7.105) или (7.111), получаем матрицу

3227" 3272〃 32//2/ 372277 3/2/2/ 2327" 231211237727 273277 2/3/2/277327J322" 732727 7232" /23727 ⑵3273227" 3272〃 32//2/ 372277 3/2/2/ 2327" 231211237727 273277 2/3/2/277327J322" 732727 7232" /23727 ⑵3272 " 22 " 2

3227" 3272〃 32//2/ 372277 3/2/2/ 2327" 231211

237727 273277 2/3/2/

277327

J322" 732727 7232" /23727 ⑵327

3227" 3272〃 32//2/ 372277 3/2/2/ 2327" 231211

237727 273277 2/3/2/

277327

J322" 732727 7232" /23727 ⑵327

2 " 2

2 " 2

(7.112)

Перестановки группы S6 (т.Перестановки группы S6 (т.е. перестановки, оставляющие на

Перестановки группы S6 (т.

Перестановки группы S6 (т.

месте цифру 6) будут иметь матричные элементы только внутри

пунктирных квадратов на главной диагонали. Их матрицы уже известны из рассмотрения группы S5. Матрицы перестановок (/6) с i < 5 можно получить трансформированием матрицы (t5), принадлежащей группе S5, матрицей (7.112) перестановки (56).

Выбрав за исходную группу S「мы можем постепенно построить вещественные ортогональные матричные представления группы перестановок. Мы приводим таблицы этих представлений до группы S5 включительно (табл. 28). Вследствие симметрии мы указываем лишь те элементы, которые расположены на главной диагонали и над ней. Кроме того, мы выписываем матрицы только для транспозиций; остальные представления можно получить перемножением этих матриц.

Задача. Пользуясь таблицами (табл. 28), постройте матрицы для перестановок (23), (45) и (56) в представлениях (九)=(4, 2) и (З2) группы S6.

Уже сам факт, что все неприводимые представления симметрической группы можно привести к вещественному виду, позволяет нам доказать удивительную теорему. Так как все неприводимые представления группы Sn вещественны, все величины 丿⑴ в (5.88) равны 十1, так что

^(£) = 2%.(7.ИЗ)

где g(E)—число решений R уравнения

R2 = E.(7.113а)

Иначе говоря, для группы Sn сумма размерностей всех неприводимых представлений равна числу квадратных корней из единичного элемента. Чтобы удовлетворить уравнению (7.113а), элемент R должен содержать лишь циклы длины 1 н 2, т. е. структура разбиения на циклы элемента R ■ должна иметь вид (1а2₽), где а 2р = л. Число элементов в классе (1°2“)равно

8(1哂=eН确Т，

в силу чего общее число решений уравнения (7.11 За) равно

а+2р=л

Подставляя это выражение в (7.113), получаем соотношение 【哂

£ —4;—= У -в-—；(7.Н4)

彳 к。!理！ 言260!(-2Р)!(丿

а+20=〃

где [л/2]——наибольшее целое числор не превышающее числа 办/2,

Таблица 28

S|：

1

[1]

для всех элементов

S2:

□□

11

[1]

для всех элементов

е

(〃)

□

21

[1]

[-1]

□

S3:

□□□

111

|1]

для всех элементов

□

е

(〃)

□ □

321

[1]

[-1]

е

(12)(23)(13)

□□

211

1 0

1 02222

□

121

1

S4:

1 II II II 1

1111

[1]

для всех элементов

□□□□

е (〃)

4321[1|[—1]

атгнзэюуороаиатгнзэюуороаи

атгнзэюуороаи

атгнзэюуороаи

Продолжение

□□

(12)

(23)

(13)

(34)

(U)

□□

2211

1

О

1

2121

1

—1

О

2

1

У

Кз

2

1

1

О

—1

/3 _

2

1

□□□□ □

攵

Ss： □□□□□

(14)

(24)

(23)

21111

-1

О

О

О

Г 1

о

О

О

— I

О

О

О

12111

11211

11121

Р5

Кб

1

3

5

6

3

КЗ

6

1

攵

/6

3

3

1

О

О

5

6

1

1

/3

2

1

L s

Ms II

s 恒yt

9

9

史也、

。I

L s

回、 哈)

anxawyoGodu

hr— в史 IIa 2

(适

HI T —

-III 二NII = 1

二 I

目二

ISII Ш

0

w-

(氫

4 —

I

會)

0

0

0

to

m

二-I

-I-

I-IZ

二m

-I-

二-I

巨 iz □□□

二 GIG

0 (岂

0

III-

BmtBOtcuoQod и

1/?ze0f［磔】

°9AfIг/г0 l⑶亿

卫小 3/g£/861-0，小0欣"61。

_3

1

力G £小

0

IZ

_£小t沙2/ I J L °8°J/8 SB"

(ss)(se)

Yi—isisi

zeоуо inszi

3小i拆°L0 0 11川。

6

„8 е/ег 610^/ г 0 i00 0 i"求

_ f小

ъ—оООО 1000 、/ 7 ――【11%

(Gl)©)(舵)

дпиджуодос/ц

О I 1寸

ОООО闾 8

О000 I g

I—

0 I OOM OOMI

(寸m) I

0 I—

0 0 I о о 0 I+ — (2)

-mil I

I

m

Ilm mil I

51 口

□□□

Ilm

anHagyoQoaH

(7.П5)(7.П5)Сумма, стоящая в правой части равенства (7.114), легко вычисляется при любом п. Сравнивая ее с суммой (3.159), которая в случае симметрической группы имеет вид

(7.П5)

(7.П5)

мы получаем неравенство

［吸尸--

Величины пц задаются равенствами (7.66) и (7.60). Подставляя эти выражения в (7.114), мы получаем замечательную формулу суммирования

S

0(入［+加一］，入2 + 加一2,.…_ S ］ ,7 117、

仏)(储 +加 一1)1(入2+加 一 2)! ... Zm! /^2呻！(几—20)!*

Метод Хунда

Метод рассмотрения симметрической группы, предложенный Хун- дом 1), является физическим вариантом математического метода, основанного на рассмотрении групповых алгебр.

Предположим, что мы имеем дело с некоторой системой эквивалентных частиц. (Под термином „эквивалентный*4 мы подразумеваем, что гамильтониан задачи, который может по отношению ко всей задаче в целом быть некоторой аппроксимацией, инвариантен при перестановке координат таких частиц. Термин „тождественныйи означает, что мы уверены при настоящем уровне наших знаний в том, что точный гамильтониан инвариантен при перестановке частиц.) Если нам задана любая собственная функция 屮(1, ..., п), принадлежащая некоторому данному собственному значению гамильтониана, то любая из п! перестановок координат частиц будет приводить к собственной функции, принадлежащей той же энергии. (В записи функции 屮 символ 1 означает все координаты первой частицы и т. д.) Таким образом, переставив между собой координаты двух первых частиц в 屮，мы можем получить линейные комбинации 屮(1, 2,…п)+ф(2, 1, . . ., л) = (е+(12))4)(1, 2п),口

屮(1, 2, . . ., л)—屮(2, 1, ■ • •,孔)=(e — (12))屮(1, 2, . . ., л), которые также являются собственными функциями и соответственно симметричны и антисимметричны по частицам 1 и 2. Оператор

】)Н и П ", Zs. Phys., 43, 788 (1927).

перестановки е + (12) называется симметризашором, а оператор е —— (12)——антисимметризатором частиц 1 и 2. Продолжая этот процесс, мы можем попытаться построить из исходных собственных функций 屮 функции, симметричные (антисимметричные) относительно наборов, состоящих из большего числа частиц. Оператор, симметри- зующий 屮 относительно некоторого набора частиц, имеет вид

*, (7.И9)

где суммирование производится по всем перестановкам частиц Р, принадлежащим рассматриваемому набору. Точно так же антисим- мегризагор для этого набора имеет вид

£брР. (7.119а)

Применяя к 屮 операторы, подобные операторам (7.119) и (7.119а), мы можем попытаться построить вырожденные собственные функции, обладающие различной симметрией. Чтобы указать свойства симметрии функции, мы будем помещать частицы, относительно которых функция антисимметрична, в фигурные скобки, а частицы, по которым функция симметрична,——в квадратные скобки. Если символы, обозначающие какие-либо частицы, стоят вне этих скобок, тэ о симметрии по координатам этих частиц ничего не предполагается. Например, функция

屮({1 2 3} [4 5] 6 7) (7.120) антисимметрична по частицам 1, 2, 3; симметрична по частицам 4, 5; по поводу же ее симметрии либо антисимметрии по частицам 6 и 7 никаких утверждений не делается. Более того, a priori мы не располагаем никакими сведениями о том, симметрична или антисимметрична функция по любым частицам, которые не входят в одни и те же скобки.

Во всяком случае, исходя из нашей первоначальной собственной функции, мы можем выполнить перестановки и составить линейные комбинации, чтобы построить эквивалентные собственные функции, обладающие определенной симметрией. Например, взяв за исходную функцию ф(1, . . ., п), можно попытаться симметризовать 屮 по всем частицам, применяя симметризатор (7.119) ко всем 孔 частицам. Мы получим эквивалентную собственную функцию

屮([1 2 3 ...川). (7.121)

Может представиться случай, когда первоначальная функция ф(1, ...» п), из которой мы исходили, такова, что функция (7.121) тождественно равна нулю. Так произойдет в том случае, если исходная функция 巾 антисимметрична по любой паре частиц. Если ф([1 2 ...川)三0,

мы попытаемся симметризовать 屮 по любым п ——1 частицам, например применим к исходной функции 屮 симматризатор по всем частицам, за исключением n-й, затем ко всем частицам, кроме (帮——1)-й и т. д. Если все получающиеся при этом функции обращаются тождественно в нуль, мы попытаемся симметризовать 屮 по (п — 2) частицам и т. д. Если после этих тяжких трудов мы обнаружим, что не можем провести симметризацию ни по одной паре частиц, то это должно означать, что наша исходная функция была полностью антисимметрична по всем п частицам. Вполне аналогично мы могли бы попытаться антисимметризовать нашу исходную функцию ф(1帮)по всем частицам с помощью оператора (7.119а) для всех п частиц. Если получающаяся при этом функция ф({1, . . ., п}) тождественно равна нулю, мы попытаемся антисимметризовать исходную функцию по (帮一1) частицам. Если, продолжая этот процесс, мы обнаруживаем, чго не можем антисимметризовать 屮 ни по одной паре частиц, то наша исходная функция была полностью симметричной.

Для примера рассмотрим случай трех частиц. Начнем с собственной функции “(I, 2, 3). Применим симметризатор и получим 屮([1 2 3]). Если эта функция не равна тождественно нулю, мы скажем, что 屮 обладает симметрией типа 5(3). Если ф( [1 2 3] ) = 0, то мы попытаемся симметризовать исходную функцию по двум частицам и получим, например, функции

3(" 2] 3) и 屮([1 3]2).

Если обе эти функции не обращаются тождественно в нуль, мы скажем, что 屮 обладает симметрией типа S(2+1). Если же они обе равны тождественно нулю, то функция 屮 антисимметрична по трем частицам и обладает симметрией типа 5(1十 1十1). Точно таким же образом можно было бы попытаться антисимметризовать функцию ”. Получились бы следующие результаты:“

3((1 2 3]) — антисимметрия типа Л (3), 3((1 2] 3) — антисимметрия типа 4(2+1), 3(1 2 3) — антисимметрия типа Л (1 + 1 -|- 1).

В общем случае мы поступаем точно так же. Мы пытаемся симметризовать исходную функцию по возможно большему числу частиц. Если максимальное число частиц, по которым мы можем симметризовать функцию 3 (не получая при этом функцию, тождественно равную нулю), равно %, мы можем переобозначить координаты так, чтобы эти частицы имели номера 1, .•・，％, и получить собственную функцию 3([1 2 • . . А】]..• п). Оставим теперь эти частицы и попытаемся симметризовать по возможности ббльшую группу оставшихся частиц. Продолжая этот процесс, мы, в конце концов, придем к экви-

валентной собственной ф}жкции, имеющей в нормальной форме (S-форме) вид:

m —1m —1mmip I [ 1 2 ...九11 [入1 T- 1, ♦ • •,两 Т-九2】* * *ip I [ 1 2 ...九11 [入1 T- 1, ♦ • •,两 Т-九2】* * *£入v + 1 , • • r£入V£入v + 1 , • • r£入Vv-Iv-Iv-I J / (7.122)v-I J / (7.122)

m —1

m —1

m

m

ip I [ 1 2 ...九11 [入1 T- 1, ♦ • •,两 Т-九2】* * *

ip I [ 1 2 ...九11 [入1 T- 1, ♦ • •,两 Т-九2】* * *

£入v + 1 , • • r£入V

£入v + 1 , • • r£入V

v-I

v-I

v-I J / (7.122)

v-I J / (7.122)

где

九 1 ^"，2 -^ • • • -^ 九 m H ^j 九 v ==儿

Под нормальной формой мы подразумеваем следующее: мы не можем применять перестановки и составлять линейные комбинации для построения из 巾 функции, симметричной относительно более чем 九】 частиц. Если же мы занимаемся перестановкой частиц Xj -|- 1, . . ., п, то мы не можем построить функцию, симметричную относительно более чем 九2 частиц и т. д. Если в (7,122) внутри круглых скобок несколько символов фигурируют в конце отдельно, например

“([],[] п 一 2, п — 1,喻

то по этим отдельным символам функция должна быть антисимметричной. Говорят, что функция (7.122) принадлежит симметрии типа

S&+九2+ • • • + 入 m)・(7.123)

Заметим, что имеется полное соответствие между типами симметрии и схемами Юнга, которыми мы пользовались ранее.

Аналогичным образом мы можем привести функцию 巾 к нормальной антисимметричной форме (Д-форме)

屮({ 1 Hi) {M-i ~Ь 1 > • • • * Hi ~Ь 卩2} • • )(7.122а)

принадлежащей антисимметрии типа

"(出 +以2 + •…+卩3(7.123h)

Следует подчеркнуть, что к заданной функции 巾 мы можем применять любой из двух процессов. Иначе говоря, любая данная собственная функция принадлежит какому-то определенному типу симметрии S (九]+ • • • + 九m) и какому-то определенному типу антисимметрии 4(卩1干 ... 十 卩%). Если мы сделаем предположения о том, что иного вырождения, кроме того, которое происходит из-за эквивалентности частиц, нет, то вырожденные (эквивалентные) собственные функции должны обладать одним и тем же S-типом или Л-типом. Любую собственную функцию, принадлежащую данному собственному значению, можно представить в виде линейной комбинации базисных функций определенного S-типа либо Л-типа. (В сущности, к этому сводится сделанное нами ранее утверждение о том, что вырожденные функции

образуют базис некоторого неприводимого представления группы симметрии.)

Докажем теперь несколько простых теорем о симметризации.

Лемма. Если собственная функция

ф({1 2 X} [Х+1, Х + |1](7.124)

антисимметрична по частицам 1, 2九 и симметрична по частицам 九+1,九十2,九+ 卩(характер ее зависимости от остальных частиц не принимается во внимание), то, выполнив перестановку частиц 1, 2,九+ )1 и составив линейные комбинации, мы можем построить одну из функций (狂о не обе)

(р({1 2 ...九，九+ 1}仇+2,・•.，九+ 闵• • •)，

%({1 2.大一1}仇，九+1九+闵...).(7，125)

Для построения <р нам необходимо лишь произвести перестановку частиц 1, 2,...,九，九+ 1. Для построения у нам необходимо лишь произвести перестановку частиц 九，九十1, . . ., Х-|- |i.

Доказательство. Будем вместо 1, 2九 писать а, р, . . . и вместо 九+1九+ 卩 писать х, у, .... Оператор

е — 2 (а%),(7.126)

а = 1

будучи применен к 屮，дает нам функцию, антисимметричную по 1, 2,…，九，х. Чтобы доказать это, применим все транспозиции указанных символов к функции

е — 2 (а%)屮({1 2 ...九}仇 + 1,…，九+ 闻...). а = 1J

Тогда

(₽Y)(₽Y)е — 2 Qx)屮—а= 1е — 2 Qx)屮—а= 1（叫"GAW-。 杀（叫"GAW-。 杀(ах)]屮.(ах)]屮.

(₽Y)

(₽Y)

е — 2 Qx)屮—а= 1

е — 2 Qx)屮—а= 1

（叫"GAW-。 杀

（叫"GAW-。 杀

(ах)]屮.

(ах)]屮.

Так как

(0Y)(眨)=(Y%) (BY) и (ру) ф = — ф.

имеем

(PY)Ге —(眨)—(Y%) — 2 (ax)]屮=

La ¥=小 Y J

=[e — § (ax)卜Y)屮=—[e — § (ax)]屮.

Точно так же, поскольку

получаемфх) е — £ (ax) ф = (0%) _Q ™ I一получаемфх) е — £ (ax) ф = (0%) _Q ™ I一(0%) (ах) = (ах) (а0),

получаем

фх) е — £ (ax) ф = (0%) _Q ™ I一

получаем

фх) е — £ (ax) ф = (0%) _Q ™ I一

e — (0%) — 2 (a%)] ф =

-[(0") 一 e 一 三0(ax) (a叫屮.

Таким образом,

($х) [е — 2 (ах)] ф —

=[—е 十(В*)]屮一(务(ах))(呻)屮=—[е — 2 (ах)] ф.

Может случиться, что при данном выборе % функция

[е — 2 (ах)] ф

тождественно равна нулю. Покажем теперь, что если мы будем выбирать х различными способами (т. е. % =九 十 1九 + 卩)，то либо все получающиеся при этом функции обратятся в нуль, либо ни одна из них в нуль не обратится. Действительно, если при некотором % функция

[2 е — 2 (ах)] Ф = 0, то, применяя транспозицию (%у), мы получим О — (ху) [е —，(ах)]屮=

=(%У)[с — У (ах)卜ху) (ху) ф =

при любом у.Точно так же, применяя к ф оператор«十 N (ax),при любом у.Точно так же, применяя к ф оператор«十 N (ax),(7.127)(7.127)=(%У)J — 2 (ах)卜 ％ у) + = [«—? (ау)] ф

при любом у.

Точно так же, применяя к ф оператор

«十 N (ax),

при любом у.

Точно так же, применяя к ф оператор

«十 N (ax),

(7.127)

(7.127)

мы получим функцию, симметричную по а,九十1,...(九+卩.С по» мощью процедуры, аналогичной той, которой мы пользовались, пока「 жем, что либо все функции

е + £ (ах)屮

4中入+1r

тождественно равны нулю, либо ни одна из них не равна тождественно нулю (а = 1, . . ., Z).

Далее покажем, что два типа функций, получающиеся при действии на 屮 операторов (7.126) и (7.127), не могут одновременно быть равными тождественно нулю. Действительно, если

при всех х ипри всех х и[с — 2 (ах)]屮=0р + 2 (а%)] ф = 0

при всех х и

при всех х и

при всех а, то, суммируя первую функцию по х, а вторую по а и складывая, мы получили бы, что (九一J-jx)屮=0, откуда следовало бы, что первоначальная функция 屮 была тождественно равна нулю.

Наконец, покажем, что обе формы не могут существовать одновременно——одна из них должна быть тождественно равной нулю. Действительно, в противном случае функцию

X({1 2 ...九一1}[九，九+ 1» • • •» 九 + mJ • • •)

можно представить в виде линейной комбинации функций, получающихся из

(р ({1 2 ...九，九 + 1 ] [Z —[― 2,...,九—[―闵• • •)

применением перестановок Р (действующих на символы 1,...,九 +卩) и взятием линейных комбинаций, т. е.

X ({1 2 ...九—1}[九，九 + 1, . . .,九 + 闻• • •)===

= 2арР屮(口 2 . .. Z,九+ 1}仇+2九+闻• . .)• (7.128)

Но тогда ясно, что по крайней мере два символа из числа символов 九，九+ 1,...,九 + 卩，заключенных в квадратные скобки в левой части (7.128), должны попасть внутрь фигурных скобок в правой части того же равенства после того, как перестановку Р применят к ф. Иначе говоря, каждый член в сумме £, стоящей в правой части, антисимметричен по крайней мере по двум символам из числа 九，九 十1,...,九十 卩.Применим теперь симметризатор, действующий на частицы 九，九+1,...,九+世，к обеим частям равенства (7.128). Слева мы получим л! ^, а справа ——нуль.

Применяя эту лемму, мы сможем переходить от S-форм к Л-фор- мам, и наоборот. Предположим, например, что у нас имеется некая нормальная S-форма 屮([123] [45]). Так как эго нормальная S-форма, то она должна быть антисимметричной при перестановке частиц 4 (или же 5) и по крайней мере одной из частиц 1, 2, 3. Поэтому мы

можем антисимметризовать ее, например, по частицам 5 и 3, и получить 屮([12] 4 {35}). Поскольку наша исходная функция 屮 была симметричной по частицам 1, 2, 3 и 4, 5, мы не можем проводить антисимметризацию более чем по двум частицам, по одной частице из каждой пары квадратных скобок в S-форме). По лемме мы можем получить:

1) ф([1 2 4] (3 5}) или 2)屮(1 {2 4} {3 5}).

Если бы первая альтернатива была возможной, то, воспользовавшись еще раз леммой, мы смогли бы получить:

а)屮([1 2 3 4] 5) или б)屮([1 2] {3 4 5}).

Случай „ак невозможен, поскольку из исходной S-формы следует, что мы не можем проводить симметризацию более чем по трем частицам, а случай ”6“ невозможен, поскольку из исходной *5-формы следует, что мы не можем проводить антисимметризацию более чем по двум частицам. Таким образом, из симметрии типа S (3 -|- 2) мы можем образовать с помощью перестановок и линейных комбинаций только антисимметрию типа Д (2-|- 2 -|- 1). Заметим, что эти разбиения сопряжены. Прежде чем применять этот результат, докажем следующую теорему:

Теорема. Нормальную S-форму типа 屮([1 2 ... г] [r + 12г])

можно привести к Л-форме 屮({ 1〃} |2力} .. . |"}), где 〃，仇s взяты из множества 厂十1, . .., 2г.

Так как мы исходим из S-формы, функция должна быть антисимметричной при перестановке символа 1 и какого-то символа из второй пары квадратных скобок, вследствие чего мы можем образовать функцию

屮= ("&} [2 . . . г] М+ 12г]).

Попытаемся продолжить этот процесс антисимметризации по двум частицам, беря по одному символу из первых квадратных скобок и по одному — из вторых. Предположим, что, выбрав р пар, мы обнаружили, что не можем продолжать этот процесс дальше. Это означает, что функция симметрична по 2r — 2P символам, остающимся в скобках. На этом этапе мы имеем

w({"} {2外…仍川[…]).

Применяя нашу лемму к члену, стоящему в квадратных скобках, и к каждому члену в фигурных скобках по очереди, мы увидим, что можем из каждой пары фигурных скобок брать по одному символу и возвращать его обратно в квадратные скобки. Но тогда мы получим

функцию 屮， симметричную по 2r — 2р + р = 2г — р символам. За исключением того случая, когда р = г, т. е. когда 屮 превращается в функцию

ф({1а) {26) .. . {«)),

это противоречит нашему предположению о том, что мы исходим из 5-формы. Заметим, что ес/ги мы переставим две группы частиц, то у ф появится множитель (——1)г.

Наш предыдущий результат о переходе от 5-формы к Д-форме можно обобщить. Функцию типа

S (九1 +九2 + ….)=S (九)

можно с помощью перестановок и линейных комбинаций превратить в функцию типа

▲(以1 + 卩2 + . . .) — a (11).

где разбиения (九)и (卩)сопряжены. Суть доказательства содержится в нашем предыдущем примере. Чтобы пояснить это доказательство, приведем второй пример. Возьмем за исходную нормальную форму ф ([1 2 3 4 5] [6 7 8] 9). Действуя на частицы справа, мы обнаружим, что наша лемма позволяет нам образовать лишь функцию i|)( [1 2 3 4 5] [6 7] {8 9)). Применим теперь лемму к [1 2 3 4 5] и {8 9). Мы не можем образовать [1 2 3 4 5 8] 9, так как это нарушило бы нормальность формы, поэтому выводим один символ из квадратных скобок и получаем

屮([1 2 3 4] [6 7] {5 8 9)).

Мы видим, что произвели антисимметризацию по множеству, состоящему из символов, взятых по одному из каждой пары квадратных скобок нашей исходной нормальной S-формн, поэтому вводить еще какие-нибудь символы в {5 8 9) мы не можем. Оставив член в фигурных скобках, мы повторим весь процесс, оперируя над членами [1 2 3 4] [6 7]. До сих пор мы переставляли лишь 5, 8, 9. Если бы мы могли обра* зовать [1 2 3 4 6] 7, то, применяя перестановку, обратную по отношению к нашей предыдущей операции над 5, 8, 9, мы получили бы результат, противоречащий нормальности нашей формы. Следовательно, мы снова берем по одному символу из каждой пары квадратных скобок и получаем

屮([1 2 3] 6 {4 7) {5 8 9)).

Тот же процесс мы повторяем и с членом [1 2 3] 6 и получаем, наконец,

Ф(1 2 {3 6) {4 7) {5 8 9)), так что

5(5+3 十 l)f 4(3 十 2 + 2+1+1).

Ясно, что нормальные формы 5(九)являются базисными функциями неприводимого представления (九).Тип симметрии любой заданной функции определяется заданием либо ее S-нормальной формы 5(九)， либо заданием ее Л-нормальной формы Л (ц), где (九)и (ц)——сопряженные разбиения. Говорят, что функции ip и <р имеют взаимно обратный, или сопряженный, тип симметрии, если их S-формы (либо Л-формы) соответствуют сопряженным разбиениям.

I

Задача. Докажите, что члены с различными типами симметрии не комбинируются, т. е. если 屮 н 屮 обладают различными типами симметрии и функция / симметрична по всем частицам, то

J 屮/中 ^Q = 0.

Групповая алгебра

Несмотря на то что метод Хунда прост, он не очень эффективен при конструировании функций наперед заданного типа симметрии. Чрезвычайно мощный метод рассмотрения симметрической группы, который, как мы увидим в одной из следующих глав, позволяет нам также находить представления групп линейных преобразований в п-мер- ном пространстве, был разработан Юнгом и Фробениусом. Этот метод основан на общей процедуре анализа структуры конечной алгебры. Понятием групповой алгебры мы воспользовались в § 17 гл. 3, но большую часть теорем о представлениях мы доказывали другими методами. В гл. 3 мы избегали этого алгебраического метода, поскольку большинство физиков без всяких к тому оснований настороженно относятся к этому жаргону и формализму. В данном параграфе мы изложим этот метод в общих чертах. Для придания некоторым из наших утверждений большего правдоподобия мы будем ссылаться на результаты гл. 3, а для того, чтобы избежать излишней абстрактности в изложении, мы воспользуемся в качестве примера симметрической группой.

Начнем с симметрической группы и рассмотрим перестановки как операторы, действующие на функцию 〃 переменных 屮(1,…，n). В результате транспозиции (//) мы получаем некоторую новую функцию (〃)W (1 ‘ …j, 一 屮(1, • ■ ■» У > • • •» Л • ■ ■» 力.(7.129)

Так как транспозиции порождают группу 5Л) равенство (7.129) говорит нам о действии любого оператора перестановки на функцию 屮.Если q)lf . . ., фл ——независимые функции, зависящие от одного набора переменных, то в качестве 屮 мы можем выбрать произведение функций

<Р1(1)<Р2(2) ■ • ■ <Рл (п).

где 1д означают п различных наборов переменных. Тогда

(〃)5(1)...恥⑴•..牝(力・..％(〃)=

= 5(1) •••%(/) • • • Ф;(0 • • • ф« («)• (7.129а)

Применяя операторы перестановки R к функции 屮 общего вида, мы получим совокупность, состоящую из п! линейно независимых функций Rip. Если теперь мы составим линейные комбинации этих функций, то долучим векторы

*=工凤(/?屮)(7.130)

в векторном пространстве, имеющем размерность 献.Коэффициенты х^ являются координатами функции х относительно базиса, образованного функциями Rip.

Если оператор перестановки S применить к функции х в (7.130), мы получим новую функцию

а/ = Sx = S W (Rip) = 2 %rS (/?屮)=2 XnSRxp,RRR

Положив SR = T и R = S"T, будем иметь

X' = ¥%-力(7屮)， а сравнивая с

x'=工号'(恥)，

найдем

写=飞一1T.(7.131)

Формула (7.131) сопоставляет каждой перестановке S некоторое линейное преобразование в п!-мерном векторном пространстве. (В § 17 гл. 3 мы рассматривали только такие векторы %, которые имеют ровно одну ненулевую компоненту, и получали регулярное представление группы.) Ясно, что оператор а§5 будет представлен линейным преобразованием

%р= %х —(7.131а)

а сумма S-\-U двух операторов перестановки —преобразованием

% -I + х -I ,(7.1316)

откуда следует, что оператор общего вида

s = 2

будет представлен преобразованием

写=wa5*5-1Т = 5 "tr-Xq写=wa5*5-1Т = 5 "tr-Xq(7.132)(7.132)

写=wa5*5-1Т = 5 "tr-Xq

写=wa5*5-1Т = 5 "tr-Xq

(7.132)

(7.132)

Рассматривая выписанные только что соотношения, мы замечаем, что наличие функции 屮，являющейся тем объектом, на который мог бы действовать оператор, было несущественным для результатов. Из элементов R любой группы порядка g мы можем построить g-мерное линейное векторное пространство векторов

(7.130а)(7.130а)% = У XrR,R

(7.130а)

(7.130а)

где xR ——координаты вектора х относительно базиса, который получается, если в качестве базисных векторов взять сами элементы группы. Вектор z = ах -\- ру имеет компоненты

(7.133)(7.133)?l嗅+沙口

(7.133)

(7.133)

口роизвед13HHe двух векторов также принадлежит рассматриваемому векторному пространству:

% —-XrR, у

Xr^sRS = 2(5 xTS-^sjT = 2f5 xsys-^ ^Xr^sRS = 2(5 xTS-^sjT = 2f5 xsys-^ ^2 = (%У)= У

Xr^sRS = 2(5 xTS-^sjT = 2f5 xsys-^ ^

Xr^sRS = 2(5 xTS-^sjT = 2f5 xsys-^ ^

так что

(%y)Т = §= § 马厶-1了，(7.134)

Линейное векторное пространство, замкнутое относительно некоторого закона умножения, называется алгеброй. В нашем случае, поскольку закон умножения берется из закона композиции группы, который ассоциативен, групповая алгебра А является ассоциативной алгеброй.

Линейное преобразование (7,132) даег нам некоторое представление групповой алгебры А. Это представление регулярное.

Любое представление группы G автоматически дает некоторое представление алгебры А. Если

5 = 2

то

D⑹=2 а$ D ⑹.(7.138)

Наоборот, любое представление алгебры А задает некоторое представление группы G, Кроме того, если одно из этих представлений

приводимо (или неприводимо), то этим же свойством обладает и другое представление.

Из гл. 3 мы знаем, что регулярное представление (7.132) вполне приводимо и содержит каждое неприводимое представление с кратностью, равной размерности этого представления.

Под подалгеброй 8 алгебры Л мы понимаем линейное векторное пространство, содержащееся в Л и замкнутое относительно умножения, заданного в алгебре А.

Если подалгебра 6 обладает тем свойством, что для любого и из 8 и любого элемента s всей алгебры Л элемент su снова принадлежит В, то 8 называется левым идеалом.

В случае регулярного представления (7.132) левый идеал 夕］ является инвариантным подпространством, поскольку s夕】=夕】для любого элемента s алгебры А. Так как регулярное представление вполне приводимо, пространство Л должно быть прямой суммой левых идеалов, т. е.

4 =夕1 +夕2，(7.136)

где

S 夕1=夕1，S夕2 =夕2・(7.137)

Всякий элемент алгебры Л однозначно представляется в виде суммы элемента, принадлежащего 夕】，и элемента, принадлежащего 夕?； единственным элементом, принадлежащим одновременно 夕】и В» является 0. Матрицы D(s) регулярного представления приводятся к виду

D(s)^D} (s) + D2(s\(7.138)

где Dj (s)——матрица линейного преобразования, индуцированного в С? умножением слева на элемент s.

Единичный элемент е группы G принадтежит групповой алгебре Л и обладает тем свойством, что

es = se = s(7.139)

для всех элементов s алгебры А. Если Л представляется в виде прямой суммы двух левых идеалов, как в формуле (7.136), то единичный элемент е можно единственным образом представить в виде суммы

ё = 21 + e2,(7.140)

где с】 принадлежит 夕】，а ^2 принадлежит 夕?• Аналогично любой элемент s алгебры Л однозначно представляется в виде

s = S］十 S2・(7.141)

Подставляя (7.140) и (7.141) в (7.139), получаем

s = S］ + s? = se = s ® + е?) — sei + sc?. (7.142)

Так как £】и £? — левые идеалы, то se^ принадлежит 夕卜 a se2 принадлежит £2，так что

S] = sg, 52 == 5^2，(7.143)

Если s принадлежит 夕卜 то s = sit $2 = °，и соотношения (7.143)

означают, что для всех

s из ^i

S = s/,

(7.144)

В частности, для s = ех

w2 = 0.

(7.144a)

Аналогичным образом

ДЛЯ S из

夕2 получаем

sei = 0.

% =碌 *1 = °*

(7.1446)

Элемент е1 является идемпотентом, т. е. е^ = е^ кроме того, идеал £1 порожден элементом е】,так как при всех s из / элемент se^ принадлежит £卜 Если s принадлежит 夕卜 то sex = s. То же замечание справедливо и для е2 из 夕2・ Кроме того,

6传2 =匆出-°，

Разложение единичного элемента (7.140) на части, принадлежа* щие £1 и £2，^ет нам образующие элементы левых идеалов £】 и £2 (разложение Пирса).

В свою очередь левые идеалы £】и £? могут содержать подалгебры, которые будут левыми идеалами. Если идеал 夕 не содержит собственных подидеалов, то он является некоторым неприводимым представлением алгебры А. Такой идеал называется минимальным. Продолжая этот процесс, мы приходим, в конце концов, к представлению алгебры Л в виде прямой суммы минимальных левых идеалов:

/ =2]+ 22+枳(7.145)

Левый идеал 夕,порождается идемпотентом eh и

е； = " e.ej == 0 при 2 次丄(7.146)

Из наших предыдущих рассуждений ясно, что образующие элементы е, мы находим, разлагая единичный элемент е на его компоненты в пространствах 夕卜...,夕序

e =/ + з+ • • • + 6比.e =/ + з+ • • • + 6比.(7.147)(7.147)

e =/ + з+ • • • + 6比.

e =/ + з+ • • • + 6比.

(7.147)

(7.147)

Идемпотент е называется примитивным, если его нельзя разложить в сумму идемпотентов, удовлетворяющих условиям (7.146). Мы предоставляем читателю простое доказательство следующей теоремы.

Теорема. Если е—■ примитивный идемпотент, то левый идеал 夕=4е минимален. Наоборот, если 夕一■ минимальный левый идеал, то любой элемент, порождающий 夕，примитивен.

Эти рассуждения можно продолжить и вывести все теоремы гл. 3, но вместо этого мы обратимся теперь к нашей задаче для частного случая симметрической группы.

Операторы Юнга

Из последнего параграфа мы знаем, что всякий идемпотент е， порождает левый идеал £厶 задающий некоторое представление, содержащееся в регулярном представлении. Более того, поскольку (отличные от нуля) численные коэффициенты несущественны, элемент е〃 удовлетворяющий соотношению е： = ае* будет также пригоден для нашей цели, поскольку eja ——идемпотент.

Рассмотрим, в частности, элемент

Р=£а,(7.148)

где сумма берется по всем перестановка財 группы Sn, Так как для любой перестановки S произведение

SP = ±SR=P, 卩="0

то отсюда следует, что Р является образующим элементом. Если Р умножить слева на величину

то получим

sP = 2

Таким образом, левый идеал АР, порожденный элементом /\ состоит из кратных Р. Идеал АР представляет собой одномерное векторное пространство. Умножение слева на перестановку S не изменяет элемента аР, поэтому в нашем представлении каждому элементу группы ставится в соответствие число 1; это представление является единичным представлением.

Точно так же элемент

Q = &rR

R

является с точностью до множителя идемпотентом, так как

SQ = £0gSR — ^sQ, откуда

Q2 = /z!Q.

Элемент Q порождает одномерный идеал, состоящий из кратных Q. Умножив слева на элемент группы S, получим знакопеременное представление.

Чтобы найти другие неприводимые представления, воспользуемся рассмотренными нами ранее в этой главе таблицами Юнга.

Для каждого разбиения (X) числа п начертим схему Юнга, В клетки этой схемы впишем в произвольном порядке числа 1, 2, ..., п, в результате чего получим некоторую таблицу Юнга. После того как таблица фиксирована, рассмотрим два типа перестановок. Горизонтальные перестановки р——это перестановки, при которых меняются местами только символы, стоящие в одной строке. Вертикальные перестановки q меняют местами только символы, стоящие в одном столбце. Образуем величины

Р = £ р —《снмметрпзатор》，(7.149)

Q = X % —《антнспмметрнзатор》，(7.150)

где % — четность перестановки д, а сумма берется по всем горизонтальным перестановкам данной таблицы в (7.149) и по всем вертикальным перестановкам в (7.150).

Оператор Юнга

Y = QP(7.151)

существенно идемпотентен и порождает левый идеал, доставляющий нам некоторое неприводимое представление группы S〃. Представления, получаемые этим методом, для различных схем неэквивалентны. Различные таблицы с одной и той же схемой приводят к эквивалентным неприводимым представлениям.

Если мы всегда будем выбирать стандартные таблицы § 3 настоящей главы, то при этом мы будем получать полное разложение регулярного представления группы S〃.

Эти утверждения допускают изящное прямое доказательство, на котором мы не будем останавливаться, поскольку оно в одном и том же виде приводится во многих учебниках. Вместо этого мы покажем, к каким результатам оно приводит в нескольких простых случаях.

При 几=2 задача тривиальна. Величины 6十(12) и е — (12), соответствующие схемам

ШШ и w

существенно идемпотептны:

[е ± (12)“е 士(12)] = «2 土 2е (12)十(12) (12) = 2 [с ± (12)].

Разложение единичного элемента на идемпотенты имеет вид

° — е + В) I е —(12)

Первый образующий элемент задает единичное представление, второй——знакопеременное представление. Каждое из них входит в регулярное представление с коэффициентом, равным единице.

Случай л = 3・

Таблица

с определяющим элементом, равным ■^工 R， задает единичное R

представление.

Таблица'

с определяющим элементом, копеременное представление.с определяющим элементом, копеременное представление.равнымравным立6川,R立6川,Rпорождает зна-порождает зна-

с определяющим элементом, копеременное представление.

с определяющим элементом, копеременное представление.

равным

равным

立6川,R

立6川,R

порождает зна-

порождает зна-

Элемент 6十(12) и в этом случае существенно идемпотентен. Посмотрим, какой левый идеал он порождает. Умножим 。十(12) слева на каждую из перестановок:

е[е + (12)] = е + (12) = (12)[е + (12)],

[6+(12)] = (13)+(123) = (123) [6+(12)], (23)[6+(12)]=(23)+(132) = (132)[6+(12)].

Мы видим, что элемент 6十(12) порождает трехмерный левый идеал 夕 1 с базисными векторами е~\- (12), (13) + (123), (23) + (132).

Так как

е = ^[е + (12)]+^[е—(12)],

то величина [е ——(12)] порождает левый идеал 夕？， такой, что

Левый идеал 2? имеет базисные векторы е-—(12), (13)—(123), (23)—(132). Из (7.144а) следует, что

[^±(12)] [^Т(12)] = О.

Идеалы 夕】и 夕？ не минимальны,夕】содержит идемпотент ■^工 R, а 夕2 содержит идемпотент ^]°rR Таким образом, 2】 задает единичное н какое-то двумерное представление, в то время как 夕2 задает знакопеременное представление и некоторое двумерное предгтавление. Получающееся при этом разложение единичного элемента имеет вид

е=££а+^2^+[呼"4£r]+

Если вместо получения единичного разложения мы продолжим вычисления по нашему рецепту, то получится стандартная таблица

回，

для которой

Р = е + (12), Q = e —(13) и У = QP = е+(12) — (13) — (123).

Другая стандартная таблица

И®

приводит к

Р = е + (13), Q』《 —(12) и X = Q'P = e—(12) + (13)—(132).

Мы получаем следующее разложение единичного элемента:Мы получаем следующее разложение единичного элемента:

Мы получаем следующее разложение единичного элемента:

Мы получаем следующее разложение единичного элемента:

Задача. Проверьте, что операторы У/З и У'/З идемпотентны и что "'= -ГУ = 0.

Случай л = 4.

представление.представление.-ШЙ0Н-ШЙ0НТаблица дает единичное Таблица

представление.

представление.

-ШЙ0Н

-ШЙ0Н

дает знакопеременное представление.

Для схемы

□□□ □

стандартная таблица

□00

имеет

Р】=е +(12) +(23)+(13)+(123) + (132),

Qi = е — (14) и % =QiR.

Стандартная таблица

回回@ 図

имеет

P2 = e + (12) + (14)+(24) + (124) + (142),

Q2 = е — (13) и Е2 = Q2^2-

Стандартная таблица

имеет

Рз = е + (13) + (14)+(34) + (134) + (143),

-Сз = ^ —(12) и ^з = ^з^з-

Для схемы

田

стандартная таблица

имеет

Q4 = [e-(13)] [е-(24)] и Y4 = Q4P4.Q4 = [e-(13)] [е-(24)] и Y4 = Q4P4.Р4 = [е + (12)][е + (34)],

Q4 = [e-(13)] [е-(24)] и Y4 = Q4P4.

Q4 = [e-(13)] [е-(24)] и Y4 = Q4P4.

Стандартная таблица

□ш

図回

имеет

(?5 = [г -(12)] [е-(34)] и Y5 = Q5P,.(?5 = [г -(12)] [е-(34)] и Y5 = Q5P,.尸 5 = [е + (13)][е + (24]),

(?5 = [г -(12)] [е-(34)] и Y5 = Q5P,.

(?5 = [г -(12)] [е-(34)] и Y5 = Q5P,.

Задача. При л = 4 найдите разложение единицы по операторам Юнга.

§ 11. Построение произведения волновых функций с заданной симметрией. Условия циклической симметрии Фока

Предположим, что у нас имеется система, содержащая п эквивалентных частиц, и что типичная собственная функция, принадлежащая энергии Е, имеет вид

2=我⑴0⑵w(3)… z(n).

Мы предполагаем, что все одночастичные функции в произведении различны и ортонормированы (поскольку они являются решениями одного и того же уравнения Шредингера). Позднее мы изучим случай, когда число одночастичных состояний ограниченно. Так как частицы эквивалентны, мы можем строить базисные собственные функции с помощью перестановок и составления линейных комбинаций. Мы хотим построить базисные функции для различных неприводимых представлений группы Sn. Решение этой задачи было дано в § 10 настоящей главы. Чтобы получить базисные функции соответствующего неприводимого представления, мы применяем к функции операторы Юнга, отвечающие всем стандартным таблицам данной схемы..

Случай п — 2.

Нормированная функция для таблицы

□а

имеет вид

合[а(1)и⑵+а(2)и(1)], а базисная функция для таблицы

шш図図

ш

ш

図

図

имеет вид

J2 j〃/2 |v(l) и⑵

Случай n = 3.

Полностью симметричная функция имеет вид

+ а (3) и (2)吻(1) + 〃(2) и (3)吻(1) + а (3) и (1) з (2)],

а полностью антисимметричной функцией является определитель

辽⑴ zz(2) zz(3) u(l) и ⑵ u(3) 吻(1)吻(2) 吻(3)

Чтобы найти базисные функции двумерного представления, воспользуемся операторами У и Yf § 10 настоящей главы и получим

/3 — у [zz(l)u(2)w(3)+zz(2)u(l)w(3)—zz(3)u(2)w(l)—a(2)u(3)w(l)]=

=^网2){以1)吻(3) — a(3)吻(1)}+以2){似1)吻(3)一似3)矶1)}]；

/4 =-| [zz(l)u(2)吻(3)—zz(2)u(l)吻(3)十辽(3)伏2)吻(1) —zz(3)u(l)吻(2)].

Задача. Пользуясь операторами Юнга § 10 настоящей главы, постройте линейные комбинации произведения волновых функций четырех частиц и составьте таблицу базисных функций неприводимых представлений группы Sy

Мы предполагали, что все одночастичные волновые функции 〃, 0, . . . различны. В этом случае мы имели возможность, применяя подходящие операторы, получать все возможные типы симметрии. Во многих физических задачах число различных одночастичных состояний ограниченно. Например, если рассматривать спиновую функцию много электронной системы как составленную из произведений одночастичных функций, то возможны лишь два спиновых состояния. Точно такие же ограничения применимы и к системам тождественных частиц со спином, отличным от т/2. Дтя нуклонов возможны лишь четыре одночастичных состояния (спин и изотопический спин). Если число одночастичных состояний ограниченно, могут появляться не все неприводимые представления. Мы кратко остановимся на этом здесь и вновь вернемся к этой задаче при рассмотрении физических приложений.

Предположим, что мы имеем систему из п эквивалентных частиц. Если возможно одно одночастичное сосгояние, го необходимо, чтобы произведение волновых функций, когорое мы выбираем за исходное, имело вид

〃⑴〃⑵...〃⑺.(7.152)

Эта волновая функция уже полностью симметрична, так что единственным представлением, когорое может появиться, является представление, соответствующее разбиению (гг).

Предположим, что возможны два одночастичпых состояния, и п v. Начнем с произведения функций

w (1) . . . w (m)V (rz),(7.153)

или (в обозначениях метода Хунда) с

屮([1 . . . /п] [/п十 1, ../г]).(7.153а)

Допустимые неприводимые представления можно получить двумя способами. Мы видим, что нельзя построить таблицы, где число строк больше двух, так как любой ан гисимметризатор, действующий на более чем две частицы, обращает функцию (7.153) в нуль. По сути дела те же соображения применимы и к функции (7.153а) в методе Хунда.

Аналогичным образом мы не сможем получить разбиение более чем с 内 строками, если число различных одночастичных состояний равно 内.(В ядерных задачах для зарядово-спиновой функции встречаются разбиения, у когорых имеется самое бо тьшее четыре строки.) При построении координатных волновых функций с определенной симметрией для /г-электронной задачи Фок использовал метод, заключающийся в наложении на функцию 屮 следующих условий:

антисимметрии по первым k аргументам (内》гг/2),

антисимметрии по остальным п ——k аргументам,

« — 2 (nZ)屮=0.i = 1 一« — 2 (nZ)屮=0.i = 1 一(7.154)(7.154)

« — 2 (nZ)屮=0.

i = 1 一

« — 2 (nZ)屮=0.

i = 1 一

(7.154)

(7.154)

циклической симметрии:

Легко показать, что функция 屮 с антисимметрией в смысле Хунда

типа А (走+{冷——k\) удовлетворяет этим трем условиям. Соответ

ствующая ей таблица имеет вид

/ к + 7

(7.154а)

п

к

Ясно, что функция 屮，имеющая нормальную форму 4(走+{冷 ——/г}), удовлетворяет условиям 1 и 2. Оператор (7.154) совпадает с оператором, который фигурировал у нас в (7.126). Как мы там показали, этот оператор, будучи применен к 屮，дает функцию, антисимметричную по k-\- 1 аргументам 1, 2к, п. Так как функция 屮 имеет нормальную форму A (k-\- ［п — /г}), где 走》冷/2, то получающаяся функция должна быть тождественно равна нулю.

Условия Фока можно сформулировать и в общем случае. Функция 屮 обладает определенной симметрией (т. е. является базисной функцией одного из неприводимых представлений группы S^), если 1) она антисимметрична относительно набора, состоящего из % аргументов, антисимметрична относительно другого набора, состоящего из 入2 аргументов, и т. д.»

в разбиении (入)

入］入 2• • • ^^^ 入И T ■ Л •

функция 2 удовлетворяет условиям циклической симметрии

е—£(а%)］屮=0,(7.155)

а принадлежит 九,」

где х принадлежит Ху при всех комбинациях Xz и 九户 при которых

И снова соображения, вытекающие из формулы (7.126), показывают, что функция, имеющая нормальную форму /(% +九？+ • • •))

удовлетворяет условиям Фока. Операторы (7.155), будучи применены к ф, порождают функции вида

/(%+ ■ • • +(九》+】)+ • ■ ■ +(九/——1)+ ■ ■ ■)■

Поскольку функция 屮 имела нормальную форму, все эти функции тождественно равны нулю.

Приведенные выше общие условия оказываются весьма полезными при выяснении симметрии какой-нибудь конкретно заданной функции.

I

Задача. Докажите, что оператор Юнга У для табл. (7.154а) аннулируется оператором (7.154) циклической симметрии, т. е.

е—£ (砌 Г = 0.

Точно так же докажите, что оператор Юнга для таблицы общего вида аннулируется операторами циклической симметрии (7.155).

§ 12・ Внешние произведения представленийсимметрической группы

В случае симметрической группы кронекеровские произведения представлений обычно называются внутренними произведениями, поскольку они являются произведениями двух представлений, каждое из которых соответствует одним и тем же частицам. Напри， мер, ранее мы научились для трех частиц строить такие внутренние произведения, как D° X D®, где в качестве и а и р, например, слу* жит разбиение (2,1) для частиц, помеченных символами 1, 2, 3. Кроме того, мы научились разлагать внутреннее произведение на неприводимые компоненты. Например, для только что упомянутого случая'

2,1) = (3) + (2,1) + (1)

Это внутреннее произведение (ряды Клебша — Гордана) мы рассмотрим подробнее в следующем параграфе.

В случае симметрической группы для многих физических задач оказывается важным другой тип произведения. Представим себе, что у нас имеется две отделенные друг от друга системы, первая из которых состоит из частиц 1, 2, 3, а вторая содержит частицы 4, 5, 6. Считается, что все частицы эквивалентны. Предположим сначала, что наши системы не взаимодействуют друг с другом. В этом случае мы бы классифицировали состояния первой системы по неприводимым представлениям группы S3, действующей на частицы 1, 2, 3; точно так же состояния второй системы мы бы классифицировали по представлениям симметрической группы, действующей на частицц

5, 6. Таким образом, мы могли бы получить двукратно вырожденный уровень системы 1, соответствующий схеме

□□ 口

с базисными функциями

叵I， 回

и двукратно вырожденный уровень системы 2 со схемой

□

и базисными функциями

回回回固

Когда же две системы взаимодействуют между собой, то состояния объединенных систем надлежит классифицировать по представлениям симметрической группы, действующей на все шесть частиц. В этом случае мы скажем, что имеем дело с внешним произведением (обозначается ®) двух представлений

(2」)® (2,1),

которое следует разложить на неприводимые представления группы S6. Следует заметить, что если ограничиться перестановкой символов 1, 2, 3 между собой и перестановкой символов 4, 5, 6 между собой, то внешнее произведение будет неприводимым представлением той подгруппы группы Sf, которая при этом получается. Но если мы будем переставлять все шесть частиц, то внешнее произведение будет разлагаться по представлениям группы Sf. Итак, чтобы найти общее число базисных функций внешнего произведения, мы можем рассуждать следующим образом. Из шести частиц выберем три частицы, чтобы построить первую систему, а остальные три частицы объединим во вторую систему. Это можно проделать 鑑=20 способами. При каждом выборе мы получаем две базисные функции для каждого представления, так что общее число произведений функций равно 2 X 2 X 20 = 80. Результат разложения, правило которого мы сейчас дадим, выглятит так:

(2,1) = (4,2) + (4,Р)+(32)4-2(3, 2, 1) +

+ (3,1 з)+(23)+(22, Р).(7.156)

Подсчитав размерности представлений справа, найдем 9+10+5+2(16)+10 + 5 + 9 = 80.

Такой подсчет служит полезной проверкой в разложениях подобного рода. Приведем теперь без доказательства общее правило. Чтобы найти компоненты внешнего произведения, начертим схему для одного из сомножителей. В схемы других сомножи гелей впишем один и тот же символ, например а, ” во все клетки первой строки, один и тот же символ b во все клетки второй строки и т. д. Будем теперь дописывать букву а к первой схеме. Будем расширять ее всеми возможными способами, но так, чтобы выполнялось правило: никакие две буквы а не входят в один и тот же столбец, а получающийся при этом граф должен быть правильным. То же проделаем и с символом Ь. Введем еще одно ограничение: после того как все символы добавлены к схеме, при чтении добавленных символов справа налево в первой строке, затем во второй строке и т. д. мы должны получить решеточную перестановку букв а, Ь, . . . и т. д.

Чтобы пояснить этот метод, рассмотрим разложение (7.156). Начнем с первой схемы.

и впишем буквы в клетки второй

схемы

Ь

Расширим

сначала первую схему, присоединив к ней

две буквы а.

Возможны

следующие случаи:

• а а•• а•• о

е •

⑴•

(2) • а⑶•

⑷• a

а

а

(заметим,

что случай

••

а

не является допустимым). Теперь присоединим к схеме букву 6.

Из (1) получим

••

а

а

••

•

6

а а

• b

(Заметим, что случай

•

•

•

а а Ь

не является допустимым, шеточной.)

Из (2) найдем

так

как

перестановка baa не является ре-

•

•

Из (3) будем иметь

•

а

а

Ь

••

• d

6

а

•

•

а

Из (4) получим

•

0

•

b

•

а

b

а

••

•

о

6

•

•

а

•

а

6

что подтверждает формулу (7.156).

Часто равенства типа (7.156) записывают не в разбиениях, а в схемах:

中中□□ □□[8 □ = □□□□ □□[8 □ = □□+-+-++□□□□ □□□+ 口□ 十□□□□ □□□+ 口□ 十□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□2□|2□|□□

中

中

□□ □□[

8 □ = □□

□□ □□[

8 □ = □□

+-

+-

+

+

□□□□ □

□□

+ 口□ 十

□□□□ □

□□

+ 口□ 十

□□

□□

□□

□□

□□

□□□□

□□

□□□□

2□|

2□|

□

□

(7.156а)

Мы привели общее правило без доказательства, ибо в физических приложениях внешние произведения настолько просты, что результаты можно получать и с помощью элементарных методов.

Легко найти внешнее произведение любого представления (九) с представлением, соответствующим горизонтальной полоске. Рассмотрим сначала внешнее произведение

□ ® □

На функции 屮(1) и ф(2) не было наложено никаких условий сим* метрии, так что при перестановке частиц мы можем получить и симметричные и антисимметричные комбинации

屮⑴屮⑵土屮⑵(?(1).

Таким образом,

□ <8)□ = □口 + R(7.157)

Рассмотрим далее внешнее произведение (九)и (1):

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ ®□ ®

□□□□□

□□□□□

□□□

□□□

□□

□□

□ ®

□ ®

Так как на волновую функцию одной добавленной частицы не наложено никаких условий симметрии, мы можем построить функции, антисимметричные по всем частицам любого столбца (X) плюс добавленная частица, либо же мы можем поместить эту частицу в первую строку (X). Таким образом,

(7.158)(7.158)(九)® (1) = 2 & .一儿 + 1 • • ■統)■

(7.158)

(7.158)

Во внешнем произведении (Л) ® (2)

□□□□□□□□□□□□□□□□□□ W□□ W® □□® □□

□□□□□

□□□□□

□□□

□□□

□□ W

□□ W

® □□

® □□

волновая функция для двух частиц в схеме

симметрична по этим двум частицам, но никаких условий симметрии относительно перестановок этих двух частиц с частицами, входящими в (九)，на нее не наложено. Поэтому мы можем дополнить схему (九)двумя клетками всеми возможными способами при условии, что эги клетки не попадают в один и тот же столбец.

Аналогично мы видим, что внешнее произведение (九)и горизонтальной полоски (/п) получается присоединением клеток (/п) к (九) всеми возможными способами с тем ограничением, что никакие две клетки не должны попасть в один и тот же столбец. Если мы поменяем ролями строки и столбцы и перейдем к сопряженным представлениям (стр. 247), мы тотчас же получим правило вычисления произведения (九)® (1т) : m клеток добавляются к (九)всеми возможными способами, но так, чтобы никакие две клетки не попали в один и тот же столбец.

Этим способом мы вычислим следующие внешние произведения:

□□® □ = □□□ + 吕口□□® □ = □□□ + 吕口□□□□□□□□+□□□□+□□□□□□□□+口 =□□□□+口 =□□□□□□□□□□□□ +□□□□=□□□□ +□□□□=□□□□+□□□□+(7.159)(7.160)(7.161)(7.162)(7.159)(7.160)(7.161)(7.162)

□□® □ = □□□ + 吕口

□□® □ = □□□ + 吕口

□□

□□

□□

□□+

□□

□□+

□□

□□

□

□□□+

口 =

□

□□□+

口 =

□□

□□

□□

□□

□

□□□ +

□□□□=

□

□□□ +

□□□□=

□□

□□+

□□

□□+

(7.159)

(7.160)

(7.161)

(7.162)

(7.159)

(7.160)

(7.161)

(7.162)

Теперь мы можем последовательно вычислять более сложные внешние произведения. Последовательные внешние произведения можно вычислять в любом порядке

6)女也)*(V)= [(X) G 也)1 ®(V)=

=13)灰(V)] * (X) = 10) ®(V)] ® 也)；(7.163)

имеет место дистрибутивный закон

Q) ® @) +(V)] = Q) ® 3) + Q) В(V).(7.164)

Таким образом, из (7.159) получаем

Q) ® (2,1)=(九)® [⑵ ® ⑴]一(九)眩⑶=

= [Q)®(2)]㊈⑴一0)2(3).(7.165)

Во все выражения в правой части (7.165) добавлены горизонтальные полоски. Этим приемом мы пользовались ранее, и поэтому внешнее произведение

W 3(2,1)

мы можем вычислить.

Задачи. 1. Вычислите внешние произведения

□□ 0 □□ 6) □□⑨口□

Обобщите рекуррентный метод на случай (Л)®(2,2) и (Л)®(3,1). Попытайтесь вывести общее правило для вычисления внешних произведений.

§ 13. Внутренние произведения.

Ряд Клебша——Гордана для симметрической группы

В гл. 6 мы рассмотрели разложение произведений неприводимых представлений данной группы G. В случае симметрической группы такие кронекеровские произведения называются внутренними произведениями, чтобы их можно было отличать от рассмотренных нами в предыдущем параграфе внешних произведений. В гл. 6 мы показали, как можно производить разложение с помощью габлицы характеров группы; при этом мы получаем некоторую разновидность разложения Фурье. Хотя этот метод прямой, он не приводит к общим формулам. Мы знаем, что для группы вращений ряд Клебша — Гордана (векторная модель) дает весьма общий результат:

小х»'= £ 0上(7.166)

Представляет интерес вопрос о том, существуют ли аналогичные общие формулы для симметрической группы. Следует ожидать, что эти формулы будут гораздо сложнее, чем (7.166); симметрическая группа представляет собой гораздо более сложную структуру, чем группа вращений, несмотря на то (или именно вследствие того), что последняя является непрерывной группой. Следует

также отметить, что, имея в виду пример 4 в § 1 гл. 1, группу Sn можно рассматривать как подгруппу группы линейных преобразований в n-мерном пространстве.

Таблица 29

Ряд Клебша — Гордана

л = 4

(4)(3,1)⑵)(2,12)(P)

' (3,1) X (3,1) (3,1) X (22) Q2) XQ2)

11

111

(3,1) X (22)

(3,1) X (2D © X(22) ”

(I4) (2,12) (22)， (3,1) (4)

л = 5

(5)

(4,1)

(3,2)

(3J2)

NJ)

（2户）

(15)

木(4,1) X (4,1)

1

1

1

1

(4,1) X (2,%

(4,1) X (3,2)

1

1

1

1

(4,1) X(22,l)

(4,1) X (3,12)

1

1

1

1

1

(4,1) X (3,12)

(3,2) X (3,2)

1

1

1

1

1

1

(3,2) X ⑵,1)

(3,2) X (3,12)

1

1

2

1

1

(3,2) X (3,12)

(3,12)X (3,12)

1

1

2

1

2

1

1(3,12)X (3,12)|

(I5)

(2Д3)

(2/)

（3戶）

(3,2)

(4,1)

(5)

Прямой метод разложения внутренних произведений (ряд Клебша — Гордана) был предложен Мурнаганом и Гамба. Мы не станем описывать их метод, а лишь укажем несколько общих формул и приведем таблицы (табл. 29) всех нетривиальных внутренних произведений вплоть до 汽=5:

(П- 1,1) x(n-1,1) = (п)+(п-1,1) +

+(П —2,2) + (п—2,12), (7.167)

(汽一1,1) X (^ — 2,2)=(汽一1,1) + (孔一2,2) + (汽一2,1?) +

+ (汽一3,3) + (汽一3, 2, 1) (汽〉4), (7.168) (n-l,l)X(n—2,12) = (n-l,l)+(n —2,2) + (n-2,l2) +

+ (汽一3, 2, 1) +(汽一3,13),(7.169)

(n — 2,2) X (n — 2,2) =- (n) + (n — 1,1)+ 2 (—2⑵+ (—2,拄)+

+ ^-3,3)+2(n~3, 2, 1) + (汽-3,13)+(汽一4,4) +

十爲一4,3, 1)+5-4?).(7.170)

Таблицы дают коэффициенты в разложении внутренних произведений. Для произведений, стоящих слева, коэффициенты относятся к разбиениям, выписанным над столбцами; для произведений, стоящих справа, коэффициенты относятся к разбиениям, указанным внизу под столбцами. Показаны не все возможные случаи. Не указанные случаи легко получить с помощью простых теорем о сопряженных разбиениях, которыми мы пользовались раньше и которые приводим здесь еще раз для удобства. Из (7.44) мы знаем, что

6)X(1〃)=(力，(7.171)

где 而一разбиение, сопряженное с разбиением (九).Кроме того,

依)X (卩)} X (v) = 3) X {(卩)X (v)} = {(Z) X (v)} X 也).(7.172)

Полагая (v) = (l“), получаем■

広又而=(Z) X (й = (Z) х (卩).(7.173)

Из второго равенства, заменив (九)на (Z), находим

(力 х@) = (九)X3.(7.174)

В гл. 6 мы также показали, что если (九)X (卩)содержит (v), то (九)X (v) содержит (卩)，и (卩)X (v) содержит (Z). В самом деле, во всех трех случаях коэффициент в разложении есть не что иное, как коэффициент единичного представления (п) в (九)X (ц) X (v). Итак, мы видим, что (九)X (卩)содержит единичное представление (с коэффициентом, равным единице) в том и только в том случае, если (九)三(卩)，a (Z) X(Ц) содержит знакопеременное представление (1“)(с коэффициентом, равным единице) в том и только в том случае, если (九)=(卩).

Уже при 几=5 табл. 29 показывает, что задачи, возникающие в связи с рассмотрением симметрической группы, могут оказаться совсем непохожими на задачи, связанные с группой вращений; некоторые представления входят в разложение кронекеровского произведения двух представлений с коэффициентом, большим единицы. Как мы увидим позже, в случае группы вращений с таким явлением можно столкнуться лишь при рассмотрении произведений трех сомножителей (см. также § 8 гл. 5).

Внутренние произведения можно вычислять и графическими методами. Гамба и Радикати сложным путем получили графический метод для частного случая (九)火(几——1, 1). Мы приведем гораздо более простой вывод этого метода и укажем, как можно его обобщить.

Из задачи 3 § 4 настоящей главы мы знаем, что

(7.175)(7.175)у(л-1,1) а — 1

(7.175)

(7.175)

"(传20…)。丄，

Чтобы найти коэффициент а^у с которым представление （快）входит в （九）X （〃 一1, 1）, воспользуемся равенствами （5.107）, （7.12） и （7.175к

。3）=>訪恥二Г端^8，）端2В…）用2В…）=

а, Y，…а+2В+ ... = я

= 工号二T（a—D 確弗…“"б）

а, В，y> • • •

Сумма, стоящая с коэффициентом （——1）, тотчас л<е вычисляется с помощью соотношения ортогональности и оказывается равной ——6&卩. В сумме с коэффициентом а мы применяем к у（&） и %（卩）правила ветвления:

y（九）у（m） а!2₽В!.._ А（1а2₽...）А（1а2Р...

а, ?, % ...

а + 28+ ... =п

（a -1）!2响...（a -1）!2响...?仏） у（Н） —

（a -1）!2响...

（a -1）!2响...

A（1«2P...）A（1«2P...）

1葭！2叩！…1葭！2叩！…，峪工8…)1端8…)，G')也')，峪工8…)1端8…)，G')也')（7.177）（7.177）（а —1）!2р₽! ...总 勺iZB…）Zj Л（1О-12Р...）

1

葭！2叩！…

1

葭！2叩！…

，峪工8…)1端8…)，

G')也')

，峪工8…)1端8…)，

G')也')

（7.177）

（7.177）

где мы ввели обозначение а——1=а‘. Разбиения @‘） и （快'）получаются из разбиений （九）и （快）правильным удалением одной клетки. Но теперь мы видим, что каждое произведение в 22 имеет в точности такой вид, какой необходим для того, чтобы можно было применять соотношение ортогональности для п — 一 1 частицы, что и дает 8入工工 Итак, кронекеровское произведение （九）X （〃 ——1, 1） будет содержать （快），если удаление одной клетки из （九）и удаление одной клетки из （ц） приводит к одному и тому же разбиению числа п——1. Мы можем высказать и более простое утверждение: кронекеровское произведение （九）X （〃 ——1, 1） содержит （快），если удаление одной клетки из （九）и добавление одной клетки к получающемуся разбиению дает нам （快）.Объединяя сказанное с результатом, полученным для множителя （——1）, можно утверждать: разбиение （九）входит в （九）X X （〃1, 1） с коэффициентом ^——•1, где ^ -— число различных 儿. Все представления （快），графы которых получаются из графа （九）выбрасыванием одной клетки, входят в это произведение с коэффи- циенгом 1. . *

Например,

□□□ □□□□ □х □х □□□ □□□ □Этот графический до (7.169) в качествеЭтот графический до (7.169) в качествеИспользованный выше ведение (九)X 也)， для характеров 为昼乙咐)одного полиномов). Рассмотрим,Использованный выше ведение (九)X 也)， для характеров 为昼乙咐)одного полиномов). Рассмотрим,результат содержит частных случаев.результат содержит частных случаев.все формулы от (7.167)все формулы от (7.167)метод можно обобщить на любое произ- когорого мы знаем явные выражения из сомножителей через а, В， ... (в видеметод можно обобщить на любое произ- когорого мы знаем явные выражения из сомножителей через а, В， ... (в виденапример, кронекеровские произведениянапример, кронекеровские произведения(п — 2, I2) X 3) и (п — 2, 2) X (М- В задаче 3 § 4 настоящей главы мы нашли(п — 2, I2) X 3) и (п — 2, 2) X (М- В задаче 3 § 4 настоящей главы мы нашли冷:談 R = Л 岁耳-₽■(7 • 178)瑞蒜.?) =(°—1)2(°凸 + В — 1 •(7.179)冷:談 R = Л 岁耳-₽■(7 • 178)瑞蒜.?) =(°—1)2(°凸 + В — 1 •(7.179)Перепишем эти полиномы, разложив их по полиномам системыПерепишем эти полиномы, разложив их по полиномам системы1, а( а (а — 1), а (а — 1) (а — 2),…，2р, 22р 偉一1),23р (р — 1) (В — 2),Зу, 32у (у — 1), З3у(у — 1)(у — 2)( . .. и т. д.1, а( а (а — 1), а (а — 1) (а — 2),…，2р, 22р 偉一1),23р (р — 1) (В — 2),Зу, 32у (у — 1), З3у(у — 1)(у — 2)( . .. и т. д.Два выписанных полинома содержат 1 ( а, а (а ——1) и 2В， Вычислив (7.176) (где разность а — 1 заменена соответствующим полиномом), мы получим члены, содержащие множители 1 или а (которые мы только что вычислили), один член с множителем а (а——1) и другой —— с множителем 20. Они вычисляются отдельно. Множитель а (а—1) дает в 。⑴)вклад2 TfWT7：a(a~1)x((^...)x((^；..) =а, % …*a+2B+ ... =n=\(a —2)；2咐...瑞12В…产牆2也..)■(7.180)a+2В 十...=лДва выписанных полинома содержат 1 ( а, а (а ——1) и 2В， Вычислив (7.176) (где разность а — 1 заменена соответствующим полиномом), мы получим члены, содержащие множители 1 или а (которые мы только что вычислили), один член с множителем а (а——1) и другой —— с множителем 20. Они вычисляются отдельно. Множитель а (а—1) дает в 。⑴)вклад2 TfWT7：a(a~1)x((^...)x((^；..) =а, % …*a+2B+ ... =n=\(a —2)；2咐...瑞12В…产牆2也..)■(7.180)a+2В 十...=лПрименим теперь к %(入)и %(卩)правило ветвления для двух последо вательных выбрасываний одной клетки (7.53):Применим теперь к %(入)и %(卩)правило ветвления для двух последо вательных выбрасываний одной клетки (7.53):…二2)!卿!二启啼5...)記嘟4...)a 十 2В+ ... =n…二2)!卿!二启啼5...)記嘟4...)a 十 2В+ ... =n(Г(Г〕УУ 小)az!2p₽! ...乙%(U2B...)力"(u2瓦.)al自％…с 卜 8')(g+20+ • > • ™ л — 2〕УУ 小)az!2p₽! ...乙%(U2B...)力"(u2瓦.)al自％…с 卜 8')(g+20+ • > • ™ л — 2(7.181)(7.181)

□□□ □

□□□ □

х □

х □

□□ □

□□ □

Этот графический до (7.169) в качестве

Этот графический до (7.169) в качестве

Использованный выше ведение (九)X 也)， для характеров 为昼乙咐)одного полиномов). Рассмотрим,

Использованный выше ведение (九)X 也)， для характеров 为昼乙咐)одного полиномов). Рассмотрим,

результат содержит частных случаев.

результат содержит частных случаев.

все формулы от (7.167)

все формулы от (7.167)

метод можно обобщить на любое произ- когорого мы знаем явные выражения из сомножителей через а, В， ... (в виде

метод можно обобщить на любое произ- когорого мы знаем явные выражения из сомножителей через а, В， ... (в виде

например, кронекеровские произведения

например, кронекеровские произведения

(п — 2, I2) X 3) и (п — 2, 2) X (М- В задаче 3 § 4 настоящей главы мы нашли

(п — 2, I2) X 3) и (п — 2, 2) X (М- В задаче 3 § 4 настоящей главы мы нашли

冷:談 R = Л 岁耳-₽■(7 • 178)

瑞蒜.?) =(°—1)2(°凸 + В — 1 •(7.179)

冷:談 R = Л 岁耳-₽■(7 • 178)

瑞蒜.?) =(°—1)2(°凸 + В — 1 •(7.179)

Перепишем эти полиномы, разложив их по полиномам системы

Перепишем эти полиномы, разложив их по полиномам системы

1, а( а (а — 1), а (а — 1) (а — 2),…，

2р, 22р 偉一1),23р (р — 1) (В — 2),

Зу, 32у (у — 1), З3у(у — 1)(у — 2)( . .. и т. д.

1, а( а (а — 1), а (а — 1) (а — 2),…，

2р, 22р 偉一1),23р (р — 1) (В — 2),

Зу, 32у (у — 1), З3у(у — 1)(у — 2)( . .. и т. д.

Два выписанных полинома содержат 1 ( а, а (а ——1) и 2В， Вычислив (7.176) (где разность а — 1 заменена соответствующим полиномом), мы получим члены, содержащие множители 1 или а (которые мы только что вычислили), один член с множителем а (а——1) и другой —— с множителем 20. Они вычисляются отдельно. Множитель а (а—1) дает в 。⑴)вклад

2 TfWT7：a(a~1)x((^...)x((^；..) =

а, % …*

a+2B+ ... =n

=\(a —2)；2咐...瑞12В…产牆2也..)■(7.180)

a+2В 十...=л

Два выписанных полинома содержат 1 ( а, а (а ——1) и 2В， Вычислив (7.176) (где разность а — 1 заменена соответствующим полиномом), мы получим члены, содержащие множители 1 или а (которые мы только что вычислили), один член с множителем а (а——1) и другой —— с множителем 20. Они вычисляются отдельно. Множитель а (а—1) дает в 。⑴)вклад

2 TfWT7：a(a~1)x((^...)x((^；..) =

а, % …*

a+2B+ ... =n

=\(a —2)；2咐...瑞12В…产牆2也..)■(7.180)

a+2В 十...=л

Применим теперь к %(入)и %(卩)правило ветвления для двух последо вательных выбрасываний одной клетки (7.53):

Применим теперь к %(入)и %(卩)правило ветвления для двух последо вательных выбрасываний одной клетки (7.53):

…二2)!卿!二启啼5...)記嘟4...)

a 十 2В+ ... =n

…二2)!卿!二启啼5...)記嘟4...)

a 十 2В+ ... =n

(Г

(Г

〕УУ 小)

az!2p₽! ...乙%(U2B...)力"(u2瓦.)

al自％…с 卜 8')(g

+20+ • > • ™ л — 2

〕УУ 小)

az!2p₽! ...乙%(U2B...)力"(u2瓦.)

al自％…с 卜 8')(g

+20+ • > • ™ л — 2

(7.181)

(7.181)

где （?/） и （р/） разбиения, получающиеся из （九）и （卩）при двух последовательных выбрасываниях одной клетки. В произведении 22

мы вновь можем применить соотношение ортогональности（Д1Я группы S理_2）к каждому члену и, таким образом, вычислить а'.

Аналогично вклад множителя 2р в 〃（卩）равен

工訳杲二（2份嘿■20...）締=

а. Y> •••

a+2R+ ・・• =п

=>а!2А（р_1）!曙。20...）%朋（7.182）

а, 0, у,1

а+20+ =п

Применим теперь к （九）и （卩）правило ветвления для случая правильного удаления цикла длины 2 [см. обсуждение, предшествовавшее формуле （7.56）], что даст нам

工 a!20-1（；-1）!...2（±）冷曝”1...）2 冷也

а, В>0, Y,...仏'）伍）

а+2В+ ... ~п

=2a!2В‘В，!... \（土）峪?2伙…）、 （±）端/.J（7/83）

а, В', Y，6'）紋）

a+2R，+ ... =〃一2

Разбиения （Z/） и （卩'）в （7.183） получены из （九）и （卩）с помощью правильного выбрасывания цикла длины 2. Характер входит со знаком плюс, если удаляется положительная （горизонтальная） полоска, и со знаком минус, если удаляется отрицательная （вертикальная） полоска. Формулу （7.183） можно получить вновь, используя соотношение ортогональности для Sn_2*

Общий метод должен быть ясен из приведенных выше примеров.

I

Задачи, 1. Завершите вычисления этого параграфа и получите ряд Клебша — Гордана для произведений

а） 5 — 2, M）x（Q, 6） 5-2,2）Х8）・

Покажите, что формулы для случаев ваа и „6я в задаче 1 можно получить друг из друга с помощью соотношения （7.167）. [Указание, Постройте тройное произведение （Л） X （万 ——1, 1） X （万 ——1, 1）.]

§ 14, Коэффициенты Клебша — Горданадля симметрической группы. Свойства симметрии.Рекуррентные формулы

В этом параграфе мы хотим рассмотреть две задачи:

вывод свойств симметрии коэффициентов Клебша ——Гордана для симметрической группы,

вывод рекуррентных формул для коэффициентов Клебша — Гордана.

При рассмотрении первой задачи нашей целью будет получение соотношений, аналогичных тем, которые были найдены в § 9 гл. 5 [формула (5.151)] для просто приводимых групп. Воспользоваться методом § 9 гл. 5 мы не можем, поскольку при 汽〉4 симметрическая группа не является просто приводимой. Кронекеровское произведение двух неприводимых представлений в общем случае будет содержать представления с коэффициентом, большим единицы, т. е. (Z^v) > 1. Но симметрические группы являются членами одного специального класса групп: все их представления можно выразить в вещественном виде (§ 7 настоящей главы). Для таких групп различие между коэффициентами Клебша — Гордана и (3У)-коэффициентами в (5,140) сводится к тривиальному множителю [厶],поскольку каждое представление совпадает со своим комплексно сопряженным. Поэтому мы будем действовать так же, как и в § 7 гл, 5.

Для любой группы, обладающей лишь вещественными неприводимыми представлениями, все матрицы представлений /)，?(/?) вещественны, а матрицы D(2(R) вещественны и ортогональны:

D^(R)D{^ (R) = 6JP.(7.184)

Мы будем придерживаться соглашения о суммировании по повторяющимся латинским индексам так же, как мы делали это в § 5 настоящей главы.

Запишем коэффициенты Клебша—-Гордана § 5 настоящей главы в виде

(財,v/|Ms) = S?¥：(7.185)

и обозначим размерность ^-представления через пк. В этих обозначениях равенство (5.114) выглядит следующим образом:

関(R)鑑(R) s»〉=國» (R) s?”，(7.186)

где матрицы D 儿(R) так же, как и в § 7 гл. 5, выбраны одинаковыми для всех эквивалентных представлений, содержащихся в X DM:

№r)= //)(R).(7.187)

Уравнения (7.186) для коэффициентов Клебша — Гордана представляют собой линейные уравнения с вещественными коэффициентами, и поэтому коэффициенты Клебша — Г ордана можно выбрать

вещественными. Таким образом, матрица коэффициентов Клебша — Гордана будет вещественной ортогональной матрицей:

Sc喂5fJ嘴=6就6г曾厂，(7.188)

2j S”；；S”；*‘ = 6厶心走，.(7.188a)

Теперь мы можем переставить сомножители в (7.186) и получить (5 115) и (5 116):

s'「"弋D?；(R)D(；； (R)S河;=〃◎)仅两也3，眛，，(7.189)

D*(R)或)(R)=，SJ「唠瓜步(R)S”；：.(7.190)

Поскольку dRR) —ортогональная матрица, перенос ее в левую часть равенства (7.186) приводит к выражению

戍? (R)D*(R)或/ (R)sf 喟=s"K(7.191)

аналогичному (5.146). Мы можем также воспользоваться соотношением ортогональности, чтобы перенести D®、в левую часть равенства(7.186) и получить

2 或(R)%(R)就(R) = g，寸喝S「喟，(7.192) кТа

что аналогично (5.149). Если теперь положить s = L j = h 2 =々 и переставить сомножители в левой части, то вместо (5.150) мы будем иметь соотношения симметрии

2由可汗=2 [*嘅『=』$哨2 = и т. д.(7.193) ГVч

Наличие в соотношениях (7.193) сумм не позволяет нам продвинуться еще дальше, как мы это делали в § 9 гл. 5, (ввести фазы и наложить на коэффициенты Клебша — Гордана условия симметрии). Однако мы все же в состоянии сделать это, ибо теперь (九卩v) > 1, и мы ничем не ограничены в изменениях фазовых множителей наших базисных функций. Как мы уже указывали в § 8 гл. 5 [равенство (5.117)], мы можем оставить матрицу коэффициентов Клебша—Гордана вещественной и ортогональной, не меняя при этом матриц представления №)&), если возьмем любые линейные комбинации базисных функций 屮У 乂

屮 Mr)=』с(7.194)

коэффициенты % " которых образуют вещественную ортогональную

матрицу

I с / с ” = 6 / ” .(7.195)

Покажем теперь, как этой дополнительной свободой в выборе базисных функций можно воспользоваться для того, чтобы наложить условия симметрии на коэффициенты Клебша ―Гордана.

Перенеся в правую часть (7,186) множитель Q^)(R), получим

< (R) S”" = $Г喟。岂(R)宦(R).(7.196)

Для разложения произведения

小X(R)或?(R)

воспользуемся уравнением, аналогичным уравнению (7.190). Найдем

< (R) S”： = N *喩；，电虞(R) S『嚷(7.197)

ETn

Последний множитель в правой части можно перенести влево, в результате чего получим

増)(R) S>r^= s?，吋才匕D%R).(7.198)

Из (7,198) мы видим, что матрица М с элементами

Mjt = s>r^Mjt = s>r^(7,199)(7,199)

Mjt = s>r^

Mjt = s>r^

(7,199)

(7,199)

удовлетворяет уравнению

D%)(R)”a = M〃D^(R),(7.200)

так что

^M = MD^l(7.200а)

По лемме Шура, М есть нулевая матрица, если представления £)<") и /У” неэквивалентны (卩声 £), и кратна единичной матрице, если 卩=£. Поэтому выражение (7.199) можно переписать в виде

^sT^^^^；^(7.201)

Для упрощения последующих выкладок мы ввели в (7.201) множитель, содержащий размерности представлений. Матрица 加即:квадратная, так как (jiv九)=(九vr). Верхние значки указывают, что матрица m зависит ог 九，ц, v и что мы переставили первый и второй столбцы в коэффициентах Клебша — Гордана.

В (7.201) перенесем в правую часть второй множитель:

(7.202)(7.202)

(7.202)

(7.202)

Равенство (7.202) с фиксированной матрицей 加('")v, определяемой соотношением (7.201), выполняется при всех s, j и I. Умножим (7.202) на аналогичное равенство для S；i，：： V孔九 и найдем

66加2 V血呼)v.Г% г%加2 V血呼)v.Г% г%(7.203)(7.203)

6

6

加2 V血呼)v.

Г% г%

加2 V血呼)v.

Г% г%

(7.203)

(7.203)

Так как коэффициенты Клебша — Гордана вещественны, матрица 川2V вещественна и ортогональна, и ее можно использовать для преобразования базиса представления [ср. (7.194)].Весь наш вывод можно повторить, перенеся D^j (R) в правую часть (7.186). Проделав это, получим равенстваТак как коэффициенты Клебша — Гордана вещественны, матрица 川2V вещественна и ортогональна, и ее можно использовать для преобразования базиса представления [ср. (7.194)].Весь наш вывод можно повторить, перенеся D^j (R) в правую часть (7.186). Проделав это, получим равенстваsf 喟S；% = /^ 党；”6М“,sf 喟S；% = /^ 党；”6М“,(7.201а)(7.202а)(7.203а)(7.201а)(7.202а)(7.203а)Рассмотрим сначала случай, когда 九次 卩次 w Предположим, что коэффициенты Клебша — Гордана заданы при некотором выборе ба-Рассмотрим сначала случай, когда 九次 卩次 w Предположим, что коэффициенты Клебша — Гордана заданы при некотором выборе ба-зиса. Тогда (7.201) определяет матрицу т?£, которой зуемся для преобразования базисных функций 屮，“1^)у з中”屮ё%)一中(尸4) ппи Кру ；Это преобразование индуцирует преобразованиезиса. Тогда (7.201) определяет матрицу т?£, которой зуемся для преобразования базисных функций 屮，“1^)у з中”屮ё%)一中(尸4) ппи Кру ；Это преобразование индуцирует преобразованиемы восполь-мы восполь-(7.204)(7.204)

Так как коэффициенты Клебша — Гордана вещественны, матрица 川2V вещественна и ортогональна, и ее можно использовать для преобразования базиса представления [ср. (7.194)].

Весь наш вывод можно повторить, перенеся D^j (R) в правую часть (7.186). Проделав это, получим равенства

Так как коэффициенты Клебша — Гордана вещественны, матрица 川2V вещественна и ортогональна, и ее можно использовать для преобразования базиса представления [ср. (7.194)].

Весь наш вывод можно повторить, перенеся D^j (R) в правую часть (7.186). Проделав это, получим равенства

sf 喟S；% = /^ 党；”6М“,

sf 喟S；% = /^ 党；”6М“,

(7.201а)

(7.202а)

(7.203а)

(7.201а)

(7.202а)

(7.203а)

Рассмотрим сначала случай, когда 九次 卩次 w Предположим, что коэффициенты Клебша — Гордана заданы при некотором выборе ба-

Рассмотрим сначала случай, когда 九次 卩次 w Предположим, что коэффициенты Клебша — Гордана заданы при некотором выборе ба-

зиса. Тогда (7.201) определяет матрицу т?£, которой зуемся для преобразования базисных функций 屮，“1^)

у з中”屮ё%)一中(尸4) ппи Кру ；

Это преобразование индуцирует преобразование

зиса. Тогда (7.201) определяет матрицу т?£, которой зуемся для преобразования базисных функций 屮，“1^)

у з中”屮ё%)一中(尸4) ппи Кру ；

Это преобразование индуцирует преобразование

мы восполь-

мы восполь-

(7.204)

(7.204)

^x^x^Sj %gf 5」丄5上 при всех j, S,厶^x^x^Sj %gf 5」丄5上 при всех j, S,厶(7.204⑺(7.204⑺

^x^x^Sj %gf 5」丄5上 при всех j, S,厶

^x^x^Sj %gf 5」丄5上 при всех j, S,厶

(7.204⑺

(7.204⑺

Так что в новом базисе равенство (7.202) имеет вид

Независимо мы можем воспользоваться для преобразования базисных функций 屮〉”'матрицей /и'^*, определяемой соотношением (7.201а). Новые, коэффициенты Клебша — Гордана будут в этом случае удовлетворять соотношению

(7.205а)

Поскольку мы предположили, что 卩#v#4, порядок множителей 屮用)曲*)

и т. д. в лать так,и т. д. в лать так,sf?； =寸寸,s»；； = s”；士s："=s:唠.sf?； =寸寸,s»；； = s”；士s："=s:唠.произведениях функций несуществен. Поэтому можно еде- чтобы

и т. д. в лать так,

и т. д. в лать так,

sf?； =寸寸,s»；； = s”；士s："=s:唠.

sf?； =寸寸,s»；； = s”；士s："=s:唠.

(7.2056)

Равенства (7.205)——(7.2056) заменяют собой равенство (5.151), выведенное для просто приводимых групп в § 9 гл. 5.

(7.206)(7.206)Теперь мы должны рассмотреть особые случаи. Предположим сначала, что 九次卩=v. Мы все еще можем выполнить первое преобразование базиса (7.204а) и получить

(7.206)

(7.206)

了欣夕而

но второе преобразование базиса не является более независимым и уничтожает действие первого преобразования. Действительно, эте второе преобразование не является необходимым. Так как ja = v, то симметрия коэффициентов Клебша — Гордана при перестановке второго и третьего столбцов определяется тем, содержится ли произведение функций 'Р，'")в

[qW^q 叫 или {Q®XD(叫.

Таким образом, наш первый шаг должен был бы состоять в том, чтобы указать, какие компоненты 屮^ " входят в симметризованный» а какие в антисимметризованный* квадрат представления Q("). Таким образом,-

膏喟=6"书嘴，(7.206a]

где 61九=+ 1, если компоненты Т^1^ содержатся в симметризован- ном произведении, и 6” = — 1, если эти компоненты содержатся

в антисимметризованном произведении. Матрицу 加的*"* следует определять после того, как это установлено. Так как 入 # 卩，порядок сомножителей в произведении 屮!4»尸 несуществен, поэтому можно положить

歹噌=(7.2066)

Комбинируя соотношения (7.206), (7.206а) и (7.2066), получаем полный набор соотношений симметрии:

Рассмотрим, наконец, случай, когда Z = ц — V. Имеем:

$ Fe = 6%Ss 明，(7.207)

где 6р九=十1, если произведения функций 屮!''" содержатся в сим- метризованном квадрате, и 61^ = —1, если они содержатся в антисимметризованном квадрате. В этом случае линейные уравнения (7.191) для коэффициентов Клебша——Гордана имеют вид

D吋(R)國)(R)或)(R) S『％ = S『嚨(7.191a)

ИЛИ

[^tik, s# (R) — 力規]S：，•/ = 0.(7.1916)

Коэффициенты в уравнении (7.1916) симметричны относительно одновременной замены / Z, s J. Поэтому если Ss 人* есть решение, то и S；"i есть решение. Сумма и разность этих двух решений также являются решениями, и самое большее из них равно нулю. Поэтому ясно, что мы можем всегда сделать так, чтобы

5"發=%5了 唸(7.207а)

где ет^ = ± 1. Комбинируя равенства (7.207) и (7.207а), получаем систему соотношений симметрии

5"發=%5了峪=了吧=

=%6"5丁噥=九户了噴=%加户了嚼.(7.2076)

Эги свойства симметрии коэффициентов Клебша ——Гордана имеют место для любой группы, обладающей только целыми {вещественными) представлениями.

В случае симметрической группы мы воспользуемся ортогональным представлением Юнга Яманучи, полноценным в § 7 настоящей главы. Базисные функции этого представления мы обозначим [^z], где 入 означает разбиение, а £символ Яманучи (X-символ), нумерующий строки представления (20, Если в аргумент входят несколько независимых функций, принадлежащих одной и той же строке представления (%), мы будем отличать их, ставя штрих над Y-символом.

Имеется несколько частных случаев, для которых можно легко найти коэффициенты Клебша — Гордана.

Во-первых, мы знаем, чго произведение (入)X (卩)содержит единичное представление с коэффициентом, равным единице, в том и только в том случае, если (入)=(快)，Разложение полностью симметричной функции по произведениям [2-z] [7.JY почти очевидно. Базисные функции являются компонентами в унитарном векторном пространстве представления, а скалярное произведение вектора на себя дает инвариант, т. е. полностью симметрично. Таким образом,

[(Я)，(7.208)

или

где м入——размерность представления (%). То, что выражение (7,208) полностью симметрично, также легко проверить непосредственно, применив к нему произвольную перестановку R:

r 2 &I 山1' = 2 臥力臥同'(R)(R)=

=2仇川/】'2 〃％ (R)國便)=

=2 聞 l^kY^jk = 2 仇川入

Во-вторых, мы знаем, что произведение (入)义(X) содержит антисимметричное представление (1л). Определим базисную функцию [入〃 так, чтобы она была базисной функцией представления (X), таблица которого получается из таблицы [27] при перестановке столбцов и строк. Например,

124136

臥口=35 区* = 25

64

Как мы указывали в § 7 настоящей главы, можно ограничиться транспозициями рядом стоящих символов. Легко видеть, что при таких перестановках

%" = %• ПРИ У/，(7.210)

(7.210а)

Кроме того, заметим, что недиагональные элементы D^j(l=^/) отличны от нуля лишь в том случае, если К-символы для / и / получаются друг из друга транспозицией двух соседних чисел, входящих в К-символ. Например, транспозиция (23), примененная к функции [X/], выписанной выше (К-символ [321211]), приводит к матричному элементу 了3/2, соответствующему функции с К-сим- волом [321121]. Определим теперь некоторую диагональную матрицу с диагональными элементами А? следующим образом.

А/ = ± 1 в зависимости от того, получается ли К-символ / из К-символа, у которого все числа, означающие номера частиц, расположены в естественном порядке с помощью четного или нечетного числа транспозиций. Полностью антисимметричная функция имеет вид

К1"), 1]=爲，А7 Mp7匕(7.211)

или, через коэффициенты Клебша — Гордана,

S(F* =届201t.(7.211а)

Имеется несколько видов симметрии, которые являются характерной особенностью симметрической группы. Их получают с помощью рассуждений, схожих с теми, которые позволили получить (7.211) и (7.211а). Мы знаем, что

6)X(1“)= (%),№)次(冗)1，

поэтому между базисными функциями (X) и (X) существует взаимно

однозначное

откуда

соответствие. Из (7.211а) и (7.205а) имеем

(7.212)

и

仇乃= A?WH(1"), 1].

(7.213)

Выразим функцию [у/] через функции (а) X (Р) [вспомните (7.174)]: 2・]=加：沿说诵]，=

w]=不5)穿а*似力向，(7.214)

где мы сначала воспользовались соотношением (7.213), а затем заметили, что [(1“)， 1][(1"), 1]—полностью симметричная функция. Коэффициенты Клебша—Гордана можно перенести в левую часть равенства, в результате чего получим

[а川的丁 = AJA： 2,5^| [у/].(7.215)

Кроме того, имеем

[а 川我了 = ?Sy沧 Y〃，(7.215a)

так что, сравнивая коэффициенты при ортонормированных базисных функциях в двух последних равенствах, находим

sHI=A第⑶需(7.216)

Другие формы этого соотношения симметрии мы получим, заменяя представления сопряженными с ними представлениями или же повторяя все рассуждения и беря в качестве исходного соотношение вида

М = 25^| [а川御.

Мы найдем следующие соотношения симметрии:

sl，l=^S^,(7.216а)

S^=A；A；S：&(7.2166)

Соотношения симметрии (7.205), (7.205а) и (7.2056) и (7.216), (7.216а) и (7.2166) позволяют нам сократить работу, связанную с нахождением коэффициентов Клебша—Гордана. Если расположить разбиения в порядке убывания от (п) до (1“)， то нам понадобятся лишь коэффициенты для тех произведений (九)X (卩)，где (卩)расположено после разбиения (九)，но не дальше, чем самосопряженные разбиения числа п.

Теперь мы хотим убедиться в том, что этот метод заменяет хорошо известные рекуррентные формулы, существующие для группы

вращений. При рассмотрении этой задачи нет необходимости указывать в явном виде ту систему функций 屮°"九)，которой мы пользуемся. Поэтому вместо того, чгобы прибегать к обозначениям (7.189), мы можем записать преобразование D"义 £)廿 в клеточно-диагональном виде

三 s愿3%(a)图(A)s耀=國(a)6汕 (7.217) 0，e, &g

Для строк различных представлений нам требуются более подробные обозначения, и поэтому мы будем при записи коэффициентов Клебша — Гордана пользоваться двойными индексами, например 5厶；办?/・ Первая буква в каждой паре индексов означает первый символ из числа входящих в /-символ, а вторая буква означает остальные символы, входящие в /-символ. В этих обозначениях (7.217) можно записать следующим образом:

(7.217a)(7.217a)£ St^efDib, cMf: ghS^h = 3/, 2 ab, cd

(7.217a)

(7.217a)

ef, gh

(7.218)(7.218)Сначала мы ограничимся перестановками, входящими в симметрическую группу и действующими на п——1 символ, т. е. перестановками, оставляющими на месте последний символ. Для таких перестановок (7.77) в наших новых обозначениях запишется в виде

(7.218)

(7.218)

%,m=唸03

где ай——представление симметрической группы, действующей на п — 1 символ, которое получается из а выбрасыванием последнего символа из строки а схемы. (Это не что иное, как правило ветвления.) Подставляя в (7.217а) вместо величин D их выражения вида (7.218), получаем

£s『.：)n：6 61 =.(7.219)

abed tjabef bd fh ac eg klcdgh jl ik yA,'‘

либо

詁S%£%吸S霖忠=D'M心心(7.219a)

Для симметрической группы степени п — 1 мы можем написать также уравнение вида (7.217а):

S S%喇國哨及；賦=£Ам(7.220)

где штрихи служат напоминанием о том, что эти разбиения являются разбиениями числа п— 1, а нижние значки служат (п ——1)-местными

У-символами, соотвегсгвующими вторым индексам в (7.217а). Перенеся некоторые члены в (7.220) в правую часть, получим

國D%= 2 S^*D%S%*.(7.220а)

Подставим (7.220а) в (7.219а), выбрав а' = %,卩'=也，廿 найдем

2jabef S；'%，％S：'%%S 爲％ = D 淞的(7.221)

ab, ef, Л

Сначала перенесем последний множитель вправо:

затем мы можем еще раз перенести вправо последний множитель:

2 S£JX粉幺产 / О沁溫/%%.(7.222)

ь, f, рI, a, fl

Теперь мы можем определить матрицу

“а В]

加"V=乎溫簿沙(7.223)

_lа е」仇/

Равенство (7.222) означает, что

S МjpD"pq = S D：jM也, или尸

MDy，= D^M.(7.224)

Применяя леммы Шура, получим, что матрица Л4 = 0, если 丫‘片丫公 или кратна единичной матрице, если 丫' = 丫/； следовательно,

点 S,*A『» = %,仍/[； ； ",(7.225)

или же, перенося второй множитель в правую часть, получим

S減尸 К : ； ： S弹％(7.226)

Уравнение (2.226) означает, чго матрица

# а °

позволяет нам получать коэффициенты Клебша—-Гордана для 〃, зная коэффициенты Клебша — Гордана для п—1. Таким образом, (7.226) заменяет соответствующую рекуррентную формулу для группы вращений. Изучим свойства матрицы К, По аналогии с (7.226) запишем:V 。 °] S寸%31 а ej(7.226) и просу? мируем по ab и е/: а Впозволяет нам получать коэффициенты Клебша—-Гордана для 〃, зная коэффициенты Клебша — Гордана для п—1. Таким образом, (7.226) заменяет соответствующую рекуррентную формулу для группы вращений. Изучим свойства матрицы К, По аналогии с (7.226) запишем:V 。 °] S寸%31 а ej(7.226) и просу? мируем по ab и е/: а В^i'jrabe/ — Лперемножим это уравнение и』jr abjal^fab, efa, a L"^i'jrabe/ — Лперемножим это уравнение и』jr abjal^fab, efa, a L"Применяя к обеим частям6YY，6门，6/广=? *Применяя к обеим частям6YY，6门，6/广=? *X *宾2；；*% (7.227、листва условие унитарности, получаем 「V а В]X *宾2；；*% (7.227、листва условие унитарности, получаем 「V а В]или же, полагая /工/" и % = 丫厶，находимили же, полагая /工/" и % = 丫厶，находим4, е4, еY а 0 ] Г у7 а Вi а е К а е尸，Y а 0 ] Г у7 а Вi а е К а е尸，(7.228)(7.228)Важно отмерить, что равенство (7.228), заключающее в себе первое условие унитарности матрицы К, относится только к тем у, которые отщепляются от одного и того же представления 丫厶 действующего на п 1 символов. Чтобы доказать, что матрица К унитарна, мы должны вывести второе условие, соответствующее равенству (7.188а). Умножим теперь (7.226) на аналогичное выражениеВажно отмерить, что равенство (7.228), заключающее в себе первое условие унитарности матрицы К, относится только к тем у, которые отщепляются от одного и того же представления 丫厶 действующего на п 1 символов. Чтобы доказать, что матрица К унитарна, мы должны вывести второе условие, соответствующее равенству (7.188а). Умножим теперь (7.226) на аналогичное выражениеи просуммируем но у,九 J；и просуммируем но у,九 J；ККY а ВY а Вs；*0S渺％ =s；*0S渺％ =

позволяет нам получать коэффициенты Клебша—-Гордана для 〃, зная коэффициенты Клебша — Гордана для п—1. Таким образом, (7.226) заменяет соответствующую рекуррентную формулу для группы вращений. Изучим свойства матрицы К, По аналогии с (7.226) запишем:

V 。 °] S寸%3

1 а ej

(7.226) и просу? мируем по ab и е/: а В

позволяет нам получать коэффициенты Клебша—-Гордана для 〃, зная коэффициенты Клебша — Гордана для п—1. Таким образом, (7.226) заменяет соответствующую рекуррентную формулу для группы вращений. Изучим свойства матрицы К, По аналогии с (7.226) запишем:

V 。 °] S寸%3

1 а ej

(7.226) и просу? мируем по ab и е/: а В

^i'jrabe/ — Л

перемножим это уравнение и

』jr abjal^f

ab, efa, a L"

^i'jrabe/ — Л

перемножим это уравнение и

』jr abjal^f

ab, efa, a L"

Применяя к обеим частям

6YY，6门，6/广=? *

Применяя к обеим частям

6YY，6门，6/广=? *

X *宾2；；*% (7.227、

листва условие унитарности, получаем 「V а В]

X *宾2；；*% (7.227、

листва условие унитарности, получаем 「V а В]

или же, полагая /工/" и % = 丫厶，находим

или же, полагая /工/" и % = 丫厶，находим

4, е

4, е

Y а 0 ] Г у7 а В

i а е К а е尸，

Y а 0 ] Г у7 а В

i а е К а е尸，

(7.228)

(7.228)

Важно отмерить, что равенство (7.228), заключающее в себе первое условие унитарности матрицы К, относится только к тем у, которые отщепляются от одного и того же представления 丫厶 действующего на п 1 символов. Чтобы доказать, что матрица К унитарна, мы должны вывести второе условие, соответствующее равенству (7.188а). Умножим теперь (7.226) на аналогичное выражение

Важно отмерить, что равенство (7.228), заключающее в себе первое условие унитарности матрицы К, относится только к тем у, которые отщепляются от одного и того же представления 丫厶 действующего на п 1 символов. Чтобы доказать, что матрица К унитарна, мы должны вывести второе условие, соответствующее равенству (7.188а). Умножим теперь (7.226) на аналогичное выражение

и просуммируем но у,九 J；

и просуммируем но у,九 J；

К

К

Y а В

Y а В

s；*0S渺％ =

s；*0S渺％ =

(7.229)(7.229)=工 S'ijilbefS}j^b'^f ^^aa^bb^ee^ff^

(7.229)

(7.229)

где при выполнении последнего преобразования мы воспользовались условием унитарности (7.188а). Умножим теперь обе части равенства на

и просуммируем по 仇 /,匕 /z:и просуммируем по 仇 /,匕 /z:Y.匕JY.匕JY а ВI а еY а ВI а еКК=£ к=£ кV,九/Y а рI а еV,九/Y а рI а е：：，：，］乎芥吵噺今£ *»§%# =：：，：，］乎芥吵噺今£ *»§%# =YYККа Ва ВYYККа р а1 еа р а1 еу а 6 1z。，e， MX Yi)M% =у а 6 1z。，e， MX Yi)M% =；=Зее，2Х2“'КГ；=Зее，2Х2“'КГ

и просуммируем по 仇 /,匕 /z:

и просуммируем по 仇 /,匕 /z:

Y.匕J

Y.匕J

Y а В

I а е

Y а В

I а е

К

К

=£ к

=£ к

V,九/

Y а р

I а е

V,九/

Y а р

I а е

：：，：，］乎芥吵噺今£ *»§%# =

：：，：，］乎芥吵噺今£ *»§%# =

Y

Y

К

К

а В

а В

Y

Y

К

К

а р а1 е

а р а1 е

у а 6 1

z。，e， MX Yi)M% =

у а 6 1

z。，e， MX Yi)M% =

；=Зее，2Х2“'КГ

；=Зее，2Х2“'КГ

=%。*2(s；；呀=%,%,,

2>2>Y аY аВ еВ еККY а P 1/ « eY а P 1/ « e(7.230)(7.230)

2>

2>

Y а

Y а

В е

В е

К

К

Y а P 1

/ « e

Y а P 1

/ « e

(7.230)

(7.230)

Это—в точности второе условие унитарности матрицы К. Таким образом, у нас имеются условия унитарности (7.228) и (7.230), необходимые для определения матрицы К. До сих пор мы ограничивались перестановками, не меняющими положение последнего символа. Применим (7.190) к транспозиции (п, п—1). (При этом возникает необходимость введения тройных нижних значков: первые два служат первыми двумя символами в /-символе, а третий означает остальные символы, входящие в /-символ.) Поскольку транспозиция (п, п ——1) воздействует лишь на первые два символа в /-символе, то появляются лишь матричные элементы вида Dabr, cdr- Кроме того, из (7.111) мы знаем, что матричные элементы для транспозиции (п, п— 1) имеют вид

Dabr, ,〃 = f^bd+g^a^(7 231)

где /^—величина, обратная аксиальному расстоянию а—b [в (7.111) вместо / мы использовали символ о], а

g% = Vi—(/%y・

Подставим (7.231) в уравнение

2 S^jtabr^fsDabr, cdr^fs, ghs = £ D】/f, klt^kltcd^hs^ (7 232) ab, efA, I

получим

a^^/Sf jtabrefs yf^ibf^f^afibtfieg^fh. /：/£/%%%% +

""+ g 犷%儿 %6/Л + g^g学。儿%%]=

^^IWj^glj^8^^(7・232a)

ИЛИ

° £ jtcdrghj cd' gh 十 ° £ jtcdrhgs* cdo hg 十

十 ^ijtdc^ghs^cf^gh ~^~ ^ij^crhgs^c^hg

=小S羽蕊s+ g：E，也猊•”2326)

Подставляя в это соотношение матрицы К из (7.226), находим

К : С ； ^j^ 1-^4* ~ Лj] + K :」^jUHgsfcd^g +

+ К [: ； 口 5累球/i[:；"S)總gAg% =

Поскольку коэффициенты Клебша — Гордана для п — 1 частиц известны, равенство (7.233) и условия унитарности, наложенные на К, позволяют найти матрицу К и определить с помощью соотношения (7.226) коэффициенты Клебша ——Гордана.

Фактическое вычисление рекуррентной матрицы К чрезвычайно трудоемко, но все же гораздо проще, чем непосредственное вычисление коэффициентов Клебша — Гордана. В процессе отыскания матрицы К уравнение (7.233) будет иметь (усф) решений, если мы придем к рассмотрению случая (yaR) > 1. Общего критерия для отбора решений не существует.

При малых значениях л коэффициенты Клебша—Гордана можно вычислять либо непосредственно, либо же, что даже еще легче, из матрицы К. Мы не станем выписывать никаких общих формул, полученных для матриц К, а вместо этого приведем один из более простых результатов. Внутреннее произведение (л — 1, 1) X (孔—1, 1) содержит перестановку (л —1,1) с коэффициентом единица. Если обозначить базисную функцию, имеющую символ Z во второй строке схемы, через 力(или 户)то

『斤*WT”//-£"]・(7.234)

Таблица 31

Таблица характеров для симметрических групп/2 = 3

Разбиение

Класс

1

(Is)

3

(1, 2)

2 ⑶

(З)

1

1

1

(2, 1)

2

0

—1

(13)

1

—1

1

л = 4

Разбиение

Класс

1 (М)

6 (Is. 2)

8 (L 3)

3 (23)

6 (4)

(4)

1

1

1

1

1

(3, 1)

3

1

0

—1

—1

(2D

2

0

—1

2

0

(2, Р)

3

—1

0

—1

1

3)

1

—1

1

1

—1

л = 5

Разбиение

Класс

1

(Is)

10

(№ 2)

20

⑴，3)

15

(1, 2?)

30

(1- 4)

20

(2, 3)

24

(5)

(5)

1

1

1

1

1

1

1

(4, 1)

4

2

1

0

0

—1

—1

(3, 2)

5

1

—1

1

—1

1

0

(3, Р)

6

0

0

—2

0

0

1

(22, 1)

5

—1

—1

1

1

—1

0

(2, Is)

4

—2

1

0

0

1

—1

⑴)

1

—1

1

1

—1

—1

1

Продолжение

л — 6

Разбиение

Класс

1

(I6)

15 (М 2)

40 (Р. 3)

45 02, 22}

90

⑴，4)

120 (1, 2, 3)

144

(1, 5)

15 (23}

90

(2, 4)

40

(З2)

120

(6)

(6)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

(5, 1)

5

3

2

1

1

0

0

—1

—1

—1

—1

(4, 2)

9

3

0

1

—1

0

—1

3

1

0

0

(4, 12)

10

2

1

—2

0

—1

0

—2

0

1

1

(З2)

5

1

—1

1

—1

1

0

—3

—1

2

0

(3, 2, 1)

16

0

—2

0

0

0

1

0

0

—2

0

(23)

5

—1

—1

1

1

—1

0

3

—1

2

0

(3, I3)

10

—2

1

—2

0

1

0

2

0

1

—1

(22, 12)

9

—3

0

1

1

0

—1

—3

1

0

0

(2, В)

5

—3

2

1

—1

0

0

1

—1

—1

1

(16)

1

—1

1

1

—1

—1

1

—1

1

1

—1

л = 7

Продолжение

Разбиение

Класс

1 (Н)

21 (吟2)

70 ” 3)

105 (I3, 2D

210 (吟4)

420

(菖 2, 3)

504 (Л 5)

105 (1, 23)

630

(1, 2, 4)

280

(1, 3»)

840

(1, 6)

210 (22, 3)

504 (2, 5)

420 (3, 4)

720 ⑺

⑺

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

(6, 1)

6

4

3

2

2

1

1

0

0

0

0

—1

—1

—1

—1

(5, 2)

14

6

2

2

0

0

—1

2

0

—1

—1

2

1

0

0

(5, I2)

15

5

3

—1

1

—1

0

—3

—1

0

0

—1

0

1

1

(4, 3)

14

4

—1

2

—2

1

—1

0

0

2

0

—1

—1

1

0

(4, 2, 1)

35

5

—1

—1

—1

—1

0

1

1

—1

1

—1

0

—1

0

О?, 1)

21

1

—3

1

—1

1

1

—3

—1

0

0

1

1

—1

0

(4, 1з)

20

0

2

—4

0

0

0

0

0

2

0

2

0

0

—1

(3, 22)

21

—1

—3

1

1

—1

1

3

—1

0

0

1

—1

1

0

(3, 2, 12)

35

т

—1

—1

1

1

0

—1

1

—1

—1

—1

0

1

0

(23, 1)

14

—4

—1

2

2

—1

—1

0

0

2

0

—1

1

—1

0

(3. к)

15

3

—1

—1

1

0

3

—1

0

0

—1

0

—1

1

(22, 13)

14

—6

2

2

0

0

—1

—2

0

—1

1

2

—1

0

0

(2, 15)

6

—4

3

2

—2

—1

1

0

0

0

0

—1

1

1

—1

(I7)

1

—1

1

1

—1

—1

1

—1

1

1

—1

1

—1

—1

1

При малых 汽 таблицы коэффициентов Клебша — Гордана можно выписать в явном виде, не затрачивая при этом слишком много труда. Например, полная таблица для произведения (2, 1)X(2, 1) = (3) +

-|- (2, 1) + 03)выглядит так:

[211].[211]z

[211]・[121Г

[121]- [211]z

[121] • [12屮

[321]

0

1//2

-1//2

0

[2Н]

1/К2

0

0

-1//2

[121]

0

-1//2

-1//2

0

[Ш]

1//2

0

0

1//2

(7.235)

Как пример более сложного случая мы приведем таблицу коэффициентов Клебша — Гордана для

(3, 12) х (3, 12) = (5)+(4, 1)+2 (3, 2) + (3, 12)十

+ 2(22, i)+(2, 13) + (%

(табл. 30). В качестве двух систем функций для произведения (3, 2) были выбраны частные решения рекуррентных уравнений. Вместо них можно взять любые две независимые линейные комбинации.

ГЛАВА 8

НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ

Краткий обзор результатов,полученных для конечных групп

До сих пор мы ограничивались рассмотрением одних лишь конечных групп, т. е. групп, состоящих из конечного числа элементов. Рассмотренные нами точечные группы симметрии были конечными подгруппами группы зеркальных поворотов в трехмерном пространстве, а найденные нами представления были конечными подгруппами матричной группы в n-мерном пространстве. Группы симметрии многих физических систем состоят не из конечного, а из бесконечного числа элементов. Например, кристаллическая решетка остается неизменной при действии бесконечного (ос3) набора трансляций. Гамильтониан электрона, находящегося в центральном поле, инвариантен относительно всех вращений. Таким образом, задачи физики приводят к необходимости изучения теории представлений групп с бесконечным числом элементов.

Для рассмотрения таких бесконечных групп имеется еще и другая причина. Отыскивая представления точечных групп, мы нашли гомоморфное отображение элементов точечной группы Н в группу "'матриц n-го порядка. Но точечная группа Н является подгруппой группы G зеркальных поворотов. Поэтому если мы найаем какое- нибудь представление группы G с помощью матриц G' n-го порядка, то мы тем самым получим некоторое представление ее подгруппы Н в виде подгруппы группы

Наша задача состоит в том, чтобы перенести на бесконечные группы те теоремы о представлениях конечных групп, которые были нами уже выведены. Чтобы облегчить рассмотрение возникающих при этом проблем, мы сначала дадим краткий обзор результатов по конечным группам в таком виде, в котором эти результаты легко будет обобщить и на бесконечные группы.

Конечная группа G порядка g состоит из g элементов R}t ..., Rg. Мы можем рассматривать эти g элементов группы как совокупность гточеки——групповое многообразие. Кроме того, мы можем перенумеровать точки некоторого множества целыми числами от 1 no g и каждой точке в таком пространстве сопоставить некоторый элемент группы; например, точке, обозначенной числом 〃， мы поставим в соответствие элемент группы Ra (иначе говоря, перенумеруем элементы группы с помощью параметра, принимающего g значений). Если

Точно так же для характеров неэквивалентных неприводимых представлений выполнялось соотношение

2 %* ® ⑷严(а) = j・ g = % W 1.(3.147)

Кроме того, мы показали, что функции D^(а) образуют полную систему, т. е. любую функцию /(а), заданную на групповом многообразии, можно разложить по функциям D^ (а). Аналогично, любую функцию класса g(a) можно разложить по полной системе функций класса kW)・

При выводе соотношений, о которых шла речь выше, мы в двух местах пользовались тем, что рассматривали именно конечную группу. Во-первых, суммирование по группе означало сложение конечного числа величин. Если же мы имеем дело с бесконечной дискретной или непрерывной группой, нам еще следует понять, как заменить конечную сумму бесконечной или же интегралом. Во-вторых, при выводе соотношений ортогональности (3.139) и в § 11 гл. 3 [равенство (3.101) ] мы использовали результат, состоящий в том, что если /(R)—функция, определенная на групповом многообразии, то

^f^^^f^SR),(8.3)

где S — произвольный элемент группы. Это утверждение, очевидное для конечной группы из ее групповой таблицы, требует дополнительных пояснений для того, чтобы его можно было применять к бесконечным или непрерывным группам, если нам придется доказывать соотношения ортогональности.

Бесконечные дискретные группы

Рассмотрим прежде всего бесконечные дискретные группы. Элементы группы Ra перенумерованы с помощью индекса а, принимающего целочисленные значения, например 1, 2, . . ., 8. Групповое многообразие представляет собой счетное множество „точека Ra. Наши элементы мы могли бы перенумеровать либо с помощью всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля), либо с помощью элементов любого счетного множества. (Под счетным множеством мы понимаем множество, которое можно поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством положительных целых чисед.) Так, запись

О1—12—2.. •

IIIIJ и т.д.

12345

устанавливает соответствие между множеством всех целых чисел и множеством положительных целых чисел. Закон композиции &R? = R「

дает нам функцию, которая позволяет найти параметр элемента группы, служащего произведением двух элементов, по значениям параметров сомножителей, т. е.

с =(р(а, Ь). (8.1)

Например, совокупность преобразований координат

%(8.4)

где п — целоё число, образует группу. Преобразованием, обратным преобразованию Rn, служит (/?п)-1 — ^_п* единичный элемент отвечает нулевому значению параметра. Эта группа абелева:

(8.5)・(8.5)・с = <р (а, Ь) ^ <р (仇 а) = а + b.

(8.5)・

(8.5)・

Этой группе преобразований изоморфна группа всех целых чисел с обычным сложением в качестве закона композиции.

Дискретные бесконечные группы обладают одной особенностью: чтобы перенумеровать их элементы, нам всегда достаточно одного дискретного параметра. Рассмотрим, например, группу линейных преобразований вида:

,п — целые числа. (8.6),п — целые числа. (8.6)『==% + /п I

,п — целые числа. (8.6)

,п — целые числа. (8.6)

Rm”： К=У+") 〃

При такой записи единичный элемент имеет вид R^; элементом, обратным элементу Rmn, будет 0Пп)~~* = R—m, * а произведением RmtiRmw будет элемент Rni+m,计山 Однако ясно, что кажущуюся зависимость от двух параметров легко исключить. В рассматриваемом случае точками группового многообразия служат точки двумерной решетки:

—2, 1

—1, 1

1

<—0, 1

一，1 t

2, 1 t

—2, 0

—1. 0

0, 0

—> 1, 0

2, 0

1

t

—2, —1

—1, —1

-> 0, —1

fl, —1

->2. —1

Но те же элементы мы можем перенумеровать с помощью целых положительных чисел следующим образом:

0,0 1,0 1, 1 0,1 —1, 1 —1,0 —1,—1 0,-1 1,—1 2,—1

JJJJJJJJJJ

12345678910

и т. д.

и закон композиции задать заново уже с прмощыр только одного нового параметра,

дает нам функцию, которая позволяет найти параметр элемента группы, служащего произведением двух элементов, по значениям параметров сомножителей, т. е.

с =(р(а, Ь). (8.1)

Например, совокупность преобразований координат

%(8.4)

где п — целоё число, образует группу. Преобразованием, обратным преобразованию Rn, служит (/?п)-1 — ^_п* единичный элемент отвечает нулевому значению параметра. Эта группа абелева:

(8.5)・(8.5)・с = <р (а, Ь) ^ <р (仇 а) = а + b.

(8.5)・

(8.5)・

Этой группе преобразований изоморфна группа всех целых чисел с обычным сложением в качестве закона композиции.

Дискретные бесконечные группы обладают одной особенностью: чтобы перенумеровать их элементы, нам всегда достаточно одного дискретного параметра. Рассмотрим, например, группу линейных преобразований вида:

,п — целые числа. (8.6),п — целые числа. (8.6)『==% + /п I

,п — целые числа. (8.6)

,п — целые числа. (8.6)

Rm”： К=У+") 〃

При такой записи единичный элемент имеет вид R^; элементом, обратным элементу Rmn, будет 0Пп)~~* = R—m, * а произведением RmtiRmw будет элемент Rni+m,计山 Однако ясно, что кажущуюся зависимость от двух параметров легко исключить. В рассматриваемом случае точками группового многообразия служат точки двумерной решетки:

—2, 1

—1, 1

1

<—0, 1

一，1 t

2, 1 t

—2, 0

—1. 0